Կարագուլյան, Դավիթ Ավետիքի

Մաթեմատիկա

Աշխատությունը նվիրված է օրթոգոնալ շարքերի զուգամիտության և տարամիտության տեսության հիմնարար խնդիրներից մեկին՝ այն բազմությունների կառուցվածքային և չափային բնութագրմանը, որոնց վրա համապատասխան շարքերի մասնակի գումարները չեն զուգամիտում, ինչպես նաև ինտեգրալ միջինների վարքի և դրանց միջոցով ֆունկցիաների հատկությունների ուսումնասիրմանը։ Հետազոտության կենտրոնում ֆունկցիաների ներկայացումն է օրթոգոնալ համակարգերի միջոցով, նման ներկայացումների կետային վարքը և այն պայմանները, որոնց դեպքում հնարավոր է նախապես նկարագրել կամ բնութագրել տարամիտության բազմությունները։ Օրթոգոնալ շարքերի տեսությունը ֆունկցիոնալ և հարմոնիկ անալիզի կարևոր ուղղություններից է, քանի որ այն հնարավորություն է տալիս բարդ ֆունկցիաները ներկայացնել ավելի պարզ բաղադրիչների հաջորդական համակցությունների միջոցով։ Օրթոգոնալ համակարգի նկատմամբ ֆունկցիայի համապատասխան գործակիցները պարունակում են տեղեկություն նրա կառուցվածքի մասին, իսկ դրանցից կազմված շարքի զուգամիտության ուսումնասիրությունը ցույց է տալիս, թե որքանով է այդ ներկայացումը վերականգնում սկզբնական ֆունկցիան տարբեր իմաստներով։ Սակայն միջին քառակուսային կամ այլ ինտեգրալային իմաստով զուգամիտությունը ինքնին դեռևս չի երաշխավորում յուրաքանչյուր կետում զուգամիտություն, ինչի հետևանքով առաջանում է տարամիտության բացառիկ բազմությունների մանրամասն ուսումնասիրման անհրաժեշտություն։ Հիմնական ուշադրությունը կենտրոնացված է այն հարցի վրա, թե ինչպիսի բազմություններ կարող են հանդես գալ որպես օրթոգոնալ շարքի տարամիտության բազմություններ և ինչպիսի պայմաններ պետք է բավարարեն դրանք։ Այս խնդիրը պահանջում է բազմությունների չափային, տոպոլոգիական և ֆունկցիոնալ հատկությունների համատեղ ուսումնասիրություն։ Տարամիտության բազմությունը կարող է դիտարկվել որպես այն կետերի ամբողջություն, որոնցում շարքի մասնակի գումարների հաջորդականությունը չունի վերջավոր սահման կամ ցուցաբերում է այլ տեսակի անկայուն վարք։ Հետազոտության խնդիրներից է ոչ միայն ապացուցել որոշակի դասի բազմությունների վրա տարամիտության հնարավորությունը, այլև պարզել հակադարձ պնդումները՝ արդյոք տվյալ հատկություններով յուրաքանչյուր բազմության համար կարելի է կառուցել համապատասխան օրթոգոնալ շարք, որի տարամիտության բազմությունը ճշգրտորեն կամ որոշակի չափային իմաստով համընկնի այդ բազմության հետ։ Նման խնդիրները հայտնի են որպես բնութագրման խնդիրներ և կարևոր տեղ են զբաղեցնում իրական ու հարմոնիկ անալիզում։ Առանձին ուշադրություն է հատկացվում օրթոգոնալ համակարգերի ընդհանուր հատկություններին։ Օրթոգոնալությունը հնարավորություն է տալիս գործակիցների և մասնակի գումարների ուսումնասիրության ժամանակ կիրառել հիլբերտյան տարածությունների երկրաչափական կառուցվածքը, էներգետիկ տիպի գնահատականները և ինտեգրալային անհավասարությունները։ Միաժամանակ տարբեր օրթոգոնալ համակարգեր կարող են էապես տարբերվել իրենց կետային զուգամիտության հատկություններով։ Այդ պատճառով աշխատանքում կարող են համադրվել ընդհանուր օրթոգոնալ համակարգերի վերաբերյալ արդյունքները և որոշակի կառուցվածք ունեցող համակարգերի առանձնահատկությունները՝ պարզելու համար, թե որ երևույթներն են ընդհանուր և որոնք են պայմանավորված կոնկրետ համակարգի կառուցվածքով։ Հետազոտության կարևոր բաղադրիչ է մասնակի գումարների հաջորդականության ուսումնասիրությունը։ Յուրաքանչյուր վերջավոր մասնակի գումար ներկայացնում է սկզբնական շարքի մոտարկում, իսկ դրանց վարքը կետ առ կետ որոշում է շարքի զուգամիտությունը։ Եթե այդ հաջորդականությունը տվյալ կետում կայունանում է որոշակի սահմանային արժեքի շուրջ, խոսվում է կետային զուգամիտության մասին, մինչդեռ անկայուն կամ անսահմանափակ վարքը կարող է առաջացնել տարամիտություն։ Հետևաբար մասնակի գումարների առավելագույն արժեքների, տատանումների և սահմանային վարքի գնահատումը կարևոր գործիք է տարամիտության բազմությունների բնույթը հասկանալու համար։ Կարևորվում է չափի տեսության կիրառումը։ Շատ դեպքերում անհրաժեշտ է տարբերակել ամենուրեք զուգամիտությունը գրեթե ամենուրեք զուգամիտությունից։ Զրոյական չափ ունեցող բազմությունը կարող է կետային իմաստով բարդ կառուցվածք ունենալ, սակայն ինտեգրալային տեսանկյունից համարվել բացառիկ։ Այդ պատճառով տարամիտության բազմությունների բնութագրման ժամանակ ուսումնասիրվում են ոչ միայն դրանց առկայությունը, այլև չափը, ներքին կառուցվածքը և այլ չափատեսական հատկանիշներ։ Սա հնարավորություն է տալիս ավելի ճշգրիտ ձևակերպել օրթոգոնալ շարքերի զուգամիտության վերաբերյալ արդյունքները և առանձնացնել այն բացառիկ բազմությունները, որոնց վրա ընդհանուր օրինաչափությունները կարող են չգործել։ Առանձին ուղղություն է բազմությունների տոպոլոգիական հատկությունների ուսումնասիրությունը։ Տարամիտության բազմությունը կարող է լինել բաց, փակ, հաշվելի միավորումների կամ հատումների միջոցով ներկայացվող ավելի բարդ բազմություն։ Տոպոլոգիական դասակարգումը հնարավորություն է տալիս ուսումնասիրել, թե տարամիտության երևույթը որքանով է կապված բազմության տեղային կառուցվածքի հետ։ Բնութագրման արդյունքները հատկապես արժեքավոր են այն դեպքում, երբ հնարավոր է անհրաժեշտ և բավարար պայմանների միջոցով նկարագրել տարամիտության բազմությունների ամբողջ դասը։ Նման արդյունքը թույլ է տալիս ոչ միայն հասկանալ արդեն տրված շարքի վարքը, այլև հակառակ ուղղությամբ՝ որոշակի բազմության համար կառուցել պահանջվող հատկություններով շարք։ Աշխատության մյուս առանցքային թեման ինտեգրալ միջինների ուսումնասիրությունն է։ Ինտեգրալ միջինները հնարավորություն են տալիս ֆունկցիայի տեղային կամ գլոբալ վարքը նկարագրել նրա արժեքների միջինացված բնութագրերի միջոցով։ Միջինացման գործընթացը հաճախ մեղմացնում է կետային անկանոնությունները և հնարավորություն է տալիս ուսումնասիրել այնպիսի ֆունկցիաներ, որոնց անմիջական կետային վարքը չափազանց բարդ է։ Օրթոգոնալ շարքերի համատեքստում ինտեգրալ միջինների գնահատականները կարող են օգտագործվել մասնակի գումարների, մնացորդների կամ համապատասխան առավելագույն ֆունկցիաների վարքը ուսումնասիրելու համար։ Այս կապը կարևոր է, քանի որ ինտեգրալային գնահատականներից որոշակի պայմաններում հնարավոր է ստանալ կետային զուգամիտության կամ գրեթե ամենուրեք զուգամիտության վերաբերյալ եզրակացություններ։ Հետազոտության մեջ կարող են ուսումնասիրվել տարբեր աստիճանային միջիններ և դրանց սահմանային վարքը։ Ֆունկցիայի կամ շարքի մասնակի գումարների տարբեր աստիճաններով ինտեգրումը հնարավորություն է տալիս չափել դրանց մեծ արժեքների տարածվածությունը և գնահատել տատանումների ինտենսիվությունը։ Նման բնութագրերը հատկապես կարևոր են այն դեպքում, երբ սովորական կետային սահմանը գոյություն չունի կամ դժվար է անմիջականորեն ուսումնասիրել։ Ինտեգրալ միջինների միջոցով հնարավոր է տարբերել այն իրավիճակները, երբ տարամիտությունը պայմանավորված է փոքր բացառիկ բազմությամբ, այն դեպքերից, երբ անկայուն վարքը տարածված է ավելի մեծ բազմության վրա։ Կարևոր տեղ է հատկացվում առավելագույն ֆունկցիաների և համապատասխան անհավասարությունների կիրառմանը։ Օրթոգոնալ շարքի մասնակի գումարների առավելագույն արժեքը յուրաքանչյուր կետում կարող է ծառայել որպես շարքի կետային վարքի կարևոր ցուցիչ։ Եթե հնարավոր է ստանալ այդ առավելագույն ֆունկցիայի ինտեգրալային գնահատական, ապա հաճախ հնարավոր է եզրակացություններ անել մասնակի գումարների գրեթե ամենուրեք սահմանափակության և զուգամիտության վերաբերյալ։ Հակառակ ուղղությամբ համապատասխան գնահատականների խախտումը կարող է կապված լինել տարամիտության երևույթների հետ։ Այսպիսով առավելագույն օպերատորների ուսումնասիրությունը կապ է ստեղծում ֆունկցիոնալ նորմերով արտահայտվող գլոբալ հատկությունների և կետային վարքի միջև։ Առանձին ուշադրություն է հատկացվում կառուցողական մեթոդներին։ Տարամիտության բազմությունների բնութագրման խնդիրներում հաճախ անհրաժեշտ է ոչ միայն ընդհանուր գոյության թեորեմ ապացուցել, այլև կառուցել որոշակի գործակիցներով օրթոգոնալ շարք, որն ունի նախապես սահմանված վարք ընտրված բազմության վրա։ Նման կառուցումները կարող են հիմնվել գործակիցների հատուկ ընտրության, շարքի առանձին հատվածների խմբավորման և տարբեր կետային տիրույթներում մասնակի գումարների վերահսկման վրա։ Կառուցողական մոտեցումը հնարավորություն է տալիս ցույց տալ ընդհանուր զուգամիտության թեորեմների սահմանները և բացահայտել, թե որքան բարդ կարող է լինել օրթոգոնալ ներկայացումների կետային վարքը նույնիսկ այն դեպքում, երբ գործակիցները բավարարում են բավական խիստ ինտեգրալային պայմանների։ Հետազոտության տեսական հիմքում կարող են լինել Լեբեգի ինտեգրալի, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ տարածությունների, օրթոգոնալ համակարգերի և իրական անալիզի մեթոդները։ Օգտագործվում են ինտեգրալային գնահատականներ, սահմանային անցումներ, չափով զուգամիտության սկզբունքներ և բացառիկ բազմությունների հատկությունների վերլուծություն։ Հատուկ նշանակություն ունեն այն մեթոդները, որոնք թույլ են տալիս ընդհանուր ինտեգրալային տեղեկատվությունից անցնել կետային եզրակացությունների։ Այդ անցումը օրթոգոնալ շարքերի տեսության ամենանուրբ խնդիրներից է, քանի որ նորմով փոքր տարբերությունը պարտադիր չէ, որ յուրաքանչյուր կետում առաջացնի փոքր տարբերություն։ Աշխատության շրջանակում կարևորվում է զուգամիտության տարբեր տեսակների փոխհարաբերությունը։ Կետային, գրեթե ամենուրեք, չափով և միջին իմաստով զուգամիտությունները տարբեր ուժգնության հասկացություններ են, և դրանց միջև անցումները պահանջում են լրացուցիչ պայմաններ։ Օրթոգոնալ շարքերը հարմար միջավայր են այդ տարբերությունները ուսումնասիրելու համար, քանի որ օրթոգոնալության շնորհիվ հաճախ հնարավոր է ստանալ ուժեղ ինտեգրալային գնահատականներ, մինչդեռ կետային վարքը կարող է մնալ բավական բարդ։ Տարամիտության բազմությունների ուսումնասիրությունը հենց այդ տարբերության խորքային արտահայտություններից մեկն է։ Առանձին նշանակություն ունեն սահմանային դեպքերը, երբ ընդհանուր զուգամիտության արդյունքների պայմանները փոքր-ինչ թուլացնելու դեպքում հնարավոր է ստանալ հակառակ վարք։ Նման օրինակներն ու հակաօրինակները հնարավորություն են տալիս որոշել թեորեմների պայմանների ճշգրտությունը և պարզել, թե որ սահմանափակումներն են իրականում անհրաժեշտ։ Բնութագրման խնդրի տեսանկյունից հատկապես կարևոր է տարբերակել բավարար պայմանները անհրաժեշտ պայմաններից և հնարավորության դեպքում հասնել դրանց համարժեք ձևակերպմանը։ Այդպիսի արդյունքները տալիս են տարամիտության բազմությունների կառուցվածքի առավել ամբողջական նկարագրությունը։ Ինտեգրալ միջինների ուսումնասիրությունը կարող է ներառել նաև դրանց ասիմպտոտիկ վարքի գնահատում։ Երբ միջինացման պարամետրը կամ ինտեգրման տիրույթը փոփոխվում է, ստացված մեծությունների սահմանային վարքը կարող է արտացոլել ֆունկցիայի տեղային հատկությունները։ Այս տեսանկյունից ինտեգրալ միջինները հանդես են գալիս որպես ֆունկցիայի անկանոնությունների չափման գործիք։ Դրանց աճի կամ սահմանափակության պայմանները կարող են կապվել որոշակի բազմությունների վրա շարքի վարքի հետ և օգտագործվել տարամիտության բնույթի ավելի նուրբ դասակարգման համար։ Աշխատության գիտական նշանակությունը պայմանավորված է նրանով, որ այն միավորում է օրթոգոնալ շարքերի տեսության երկու փոխկապակցված ուղղություններ՝ կետային տարամիտության բացառիկ բազմությունների ուսումնասիրությունը և ինտեգրալային միջինների միջոցով ֆունկցիաների ու մասնակի գումարների գլոբալ վարքի գնահատումը։ Այս խնդիրների համատեղ դիտարկումը հնարավորություն է տալիս ավելի ամբողջական պատկերացում կազմել օրթոգոնալ ներկայացումների սահմանային հատկությունների մասին և բացահայտել կապերը չափի տեսության, իրական անալիզի և ֆունկցիոնալ անալիզի միջև։ Ընդհանուր առմամբ նյութը ներկայացնում է օրթոգոնալ շարքերի տարամիտության հնարավոր բազմությունների կառուցվածքի, դրանց չափային ու տոպոլոգիական հատկությունների, մասնակի գումարների սահմանային վարքի և ինտեգրալ միջինների տեսության խորացված մաթեմատիկական ուսումնասիրություն։ Այն կարող է օգտակար լինել իրական և հարմոնիկ անալիզի, ֆունկցիոնալ անալիզի, օրթոգոնալ շարքերի, չափի ու ինտեգրալի տեսության ոլորտներում աշխատող հետազոտողների, մաթեմատիկոսների, դասախոսների, ասպիրանտների և բարձր կուրսերի ուսանողների համար։