ELIB – Էլեկտրոնային Գրադարան | Գրքեր, նյութեր, հոդվածներ

ԵՐԵՎԱՆԻ

Կ.

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ՍԱՂԱԹԵԼՅԱՆ

ՕՊՏԻՄԱԼԱՑՄԱՆ

ՄԵԹՈԴՆԵՐ

ԵՎ

ԽԱՂԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ԵՐԵՎԱՆ ԵՊՀ

ՀՎՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ ԳՄԴ

519.8(042.4) 22.1

ց7

Վրատարակությանէ երաշխավորել մաթեմատիկայի ն մեխանիկայի ֆակուլտետի գիտականխորհուրդը ԵՊՀ

Խմբագիրներ` տեխն.գիտ. դոկտոր, պրոֆ. Ա. Առաքելյան ֆիզմաթ.գիտ. դոկտոր,պրոֆ. Ֆ. Գասպարյան

ՍԱՂԱԹԵԼՅԱՆ

Կ.

Օպտիմալացման մեթոդներն խաղերի տեսություն / 238 էջ: Սաղաթելյան. Եր.. ԵՊՀ հրատ., 2013. --

Կ.

Ձեռնարկը կազմվել է ԵՊՀ մաթեմատիկային մեխանիկայի ֆակուլտետում կարդացած դասախոսությունների հիման վրա: Ներառում է «Վարիացիոն հաշիվ ն օպտիմալացման մեթոդներ», «Գործույթներիհետազոտում»,«Խաղերի տեսություն» դասընթացներիծրագրային նյութը: Ձեռնարկը կարող է օգտակար լինել ինչպես ԵՊՀ, այնպես էլ այլ բուհերի ուսանողներին, ասպիրանտներինն համապատասխան մասնագետներին: ԵՊՀ

Գրադարան

ՏՍ0211232

1ՏՑԻԱ 978-5-8084-1701-4

931448

ՀՏԴ

519.8

ԳՄԴ

22.1

(042.4) ց7

Օ ԵՊՀ հրատարակչություն,2013 Օ ՍաղաթելյանԿ., 2013

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐ

ԸՆԴՈՒՆԵԼՈՒ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ՄՈԴԵԼԸ

Որոշումներ ընդունելու պրոցեսները ընկած են յուրաքանչյուր նպատակային գործունեության հիմքում: Լավագույն որոշումներ մոդելներըբազմազանեն ն կարող են ընդունելու մաթեմատիկական էապես տարբերվելմիմյանցից:Այդ պատճառովայդպիսի մոդելներ հետազոտողմաթեմատիկական տեսություններընույնպեստարբերեն խնդիրների դրվածքով, այնպեւ էլ ինչպես կիրառվող մաթեմատիկականապարատով:Հաճախայդ բոլոր տեսությունները միավորվում են ՀՀգործույթներիհետազոտում»»,ՀՀօպտիմալացման մեթոդներ»»,ՀՀորոշումներընդունելուտեսություն»»անվանումներով: Որոշումներ ընդունելու ընդհանուր մոդելը կարելի է ներկայացնել

որպես ա.ՎԷշ),. ո) բազմություն է,

համակարգ, որտեղ

կոչվում է

որը

բռյոր

24-ը

կամայական

ձնարավոր որոշումների

բազմություն,իսկ »-,-ները կամայականբինար հարաբերություններ են, որոնք կոչվում են նախընտրելիության, կամ գերադասելիության

հարաբերություններ:Եթե Ճ»-չ ),

ից ըստ

ապա ասում

բազմությանորնէ

են, որ

-ը

ն ,

կետերիհամար

է գերադասելիէ կամնախընտրելի

հայտանիշի:

Այժմդիտարկենքընդհանուրխնդրիմասնավորդեպքերը: բազմությունը վերջավոր է, ն այդ բազմությանվրա հարաբերություններ: վերջավորթվով նախընտրելիության Այս դեպքումխնդիրըկոչվում է խմբայինընտրությանխնդիր:

ա) Դիցուք 4,

տրվածեն

բ) Եթե

բազմության վրա տրված հարաբերությունը միակն է,

այսինքն` խնդիրնունի

աշՀ)

տեսքը,ապա կարնոր նշանակություն

ունի այն հարցը, թե գոյություն ունի ֆունկցիա,այնպիսին,որ ցանկացած,) ս(2)»ս()

ԺԹ

արդյո՞ք իրականարժեքս(»)

Ճ-)ջ

համար`

Այս ֆունկցիան անվանում են տեսությունը, որը զբաղվում է տեսություն:

օգտավետությանֆունկցիա, իսկ հարցերով` օգտավետության

այդ

գ) Այն դեպքում, երբ օգտավետությանֆունկցիան գոյություն ունի, ստանում ենք, այդպեսկռչված, էքստրեմալխնդիր` Ճ բազմության մեջ լավագույնկետգտնելու խնդիրըբերվումէ

ոչ ս(2)

Օ)

անալիզիդասընթացիցհայտնիեն գտնելուխնդրի:Մաթեմատիկական ն այս խնդրիմասնավորդեպքերը լուծմանմեթոդները:Դա մեկ կամ մի քանի փոփոխականիածանցելիֆունկցիաներիէքստրեմալարժեքներ գտնելու խնդիրներնեն, որտեղ 2 -ը իրական առանցքիհատված է,

կամ Թ-ի որնէուղղանկյունբազմություն: ֆունկցիաէ, իսկ 7/ դ) Այն դեպքերում,երբ ա(»)-ը ռ փոփոխականի (») խնդիրը բազմությունը տրված է ոչ բացահայտտեսքով, ապա են ծրագրմանխնդիր: անվանում մաթեմատիկական ե) Ը) խնդիրը կոչվում է վարիացիոնհաշվի խնդիր, եթե ա(»)-ը

ֆունկցիոնալէ, որոշված 44

օ«Շ(1»ն)բազմությանվրա: Եթե դրան

դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքի ավելացնում պայմաններ ն սահմանափակումներ,ապա այն անվանում են օպտիմալկառավարմանխնդիր: են

նան

զ) Երբ Ճ բազմություն կամայականբազմություն է ն տրված հարաբերություններիթիվը վերջավոր է, ապա խնդիրը կոչվում է օպտիմալացմանխնդիր: Եթե յուրաքանչյուր բազմանպատակային հարաբերությանհամար գոյություն ունի օգտավետության ֆունկցիա, ապա այն անվանումեն վեկտորական օպտիմալացման խնդիր: է) Եվ վերջապես,այն դեպքերում,երբ 2 բազմությունըկամայականէ ն կամայականթվռվ հարաբերություններեն տրված,իսկ որոշումները ընդունվում են անորոշության կամ կոնֆլիկտիպայմաններում,այդ մոդելնանվանումեն խաղ,իսկտեսությունը`խաղերիտեսություն:

Սույն դասընթացումհակիրճ անդրադարձելենք վերը նշված տեսություններին:

բոլոր

ՕՊՏԻՄԱԼԱՑՄԱՆ

7 (») -ը

(2)

նորմավորված տարածությանենթաբազմություն է

2Ճ -ը այդ

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄ

11: ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Դիցուք

ԴԱՍԱԿԱՆ

բազմությանվրա որոշված իրականարժեքֆունկցիաէ:

ֆունկցիայի սուպրեմում կանվանենք այն /,

թիվը,

որը

բավարարումէ հետնյալերկուպայմաններին.

7(2)Հ1Ո»շօ4

Ցանկացած 2.

Բ2

որ՝

թվի համար գոյություն ունի այնպիսի

6ճ6»-0

/(2.)»1/-8:

Ֆունկցիայիսուպրեմումը 27( բազմությանվրա նշանակվում է`

Տսք

յ (2)։ Այն դեպքում, եթե գոյություն ունի այնպիսի 621

որ

յ/ Ե")-1

:մ

ապա

(2) ֆունկցիայի

թիվը անվանում են /

7 (2)

լո:

մաքսիմումկամմեծագույնարժեք,նշանակում են

կետ,

ն ասում

են, որ սուպրեմումը հասանելի է, կամ մաքսիմումը գոյություն ունի:

Այն կետերը, որտեղ

ֆունկցիան հասնում

արժեքին, անվանում

են

մաքսիմումի կետեր,

ոո.7 (») -ով՝

է իր մեծագույն ն

կետերի

այդ

բազմությունընշանակում 4ոջ

4-ջոո յ Նմանապես / որը

(:) -ն՛օմ:

760Դ-ոա7Ն)|։

(2) ֆունկցիայիինֆիմում կանվանենքայն

ու

թիվը,

բավարարումէ հետնյալերկու պայմաններին.

1. 7(»)Հոծ

2.Ցանկացած 6-0 2,6 2.,որ՝

թվի համար գոյություն ռւնի այնպիսի

/(2,)»ո-8:

-Տ-

7(»)

Ֆունկցիայիինֆիմումը

ա 7 ()։ Հ

բազմությանվրա նշանակվումէ`

Այն դեպքում,եթեգոյությունունի այնպիսի «7

7()Հ,

ո.

ապա

կետ,որ

թիվը անվանումեն յ (2) ֆունկցիայիմինիմում

կամ փռքրագույնարժեք,նշանակում են

ուր7(»)

ն ասում

են, որ

ինֆիմումըհասանելիէ, կամ մինիմումըգոյություն ունի: Այն կետերը, է իր նվազագույն արժեքին, որտեղ / (2) ֆունկցիան հասնում մինիմումի կետերը, 7 (») -ով` նշանակում 47ջ անվանում

են

այդ

ուր

կետերի բազմությունը

4ջ

ոո / (2) -ն՛օ7:7(Դ)5

ուռ

է նան ֆունկցիայիմաքսիմումի ն մինիմումի Հաճախօգտագործվում ընդհանուր` ֆունկցիայիէքստրեմումանվանումը:

անալիզիդասընթացումսահմանվումէ Մաթեմատիկական էքստրեմումիգաղափարը: Ասում

են, որ

«624

կետը

/(չ)

նան

/ռչայ

ֆունկցիայի լոկալ մաքսիմումի

(մինիմումի)կետ է, եթե գոյություն ունի » կետի 7 շրջակայքայնպես, 1 համար որ բոլոր «6

7()Հ7Ն4) Մ(Ը)Հ7ե')|։ Բերենք ֆունկցիայիէքստրեմումներիվերաբերյալմաթեմատիկական մի քանի անալիզի դասընթացից հայտի արդյունքներ: Էքստրեմումներիհասանելիությանխնդիրըլուծվում է Վայերշտրասի հայտնիթեռրեմով: հ" տարածությանփակ սահմանափակ(կոմպակտ) Թեռրեմ 111 բազմությանվրա որոշված անընդհատ ֆունկցիանհասնում է իր մեծագույնն փոքրագույնարժեքներին:

Հետնյալթեորեմըօգնումէ գտնելուֆունկցիայիէքստրեմումները:

Թեռրեմ

/Բ(ռ)-ը Ք 8" տիրույթում որոշված Եթե /(:) ֆունկցիայի էքստրեմումիկետը

Դիցուք

ածանցելի ֆունկցիա Է

ֆունկցիայի Թ տիրույթի ներքին կետ է,

ապա

այդ

կետում /

(2)

մասնակիածանցյալներըպետքէ հավասարլինեն 0հետնյալհավասարումները` ի, այսինքնբավարարվեն

ֆունկցիայիբոլոր

2»

ն ---01Հն2,..ո: Ո.

Այլ կերպ ասած, էքստրեմումի կետում (եթե այն ներքին կետ է)

ֆունկցիայիգրադիենտըհավասար է 0-ի:

1.2 ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄ

ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ

Կիրառականբազմաթիվխնդիրներումայն տիրույթը,որտեղ փնտրում ենք ֆունկցիայի էքստրեմումը, տրվում է ոչ բացահայտ տեսքով: Դիտարկենքդասականպայմանականէքստրեմումիխնդիրը.գտնել դ

-փոփոխականի

/(Հ,.,...7.,)

ֆունկցիայի մաքսիմումը կամ

։ՕՑՉԹՇՏՔ"տիրույթում, որըՑ մինիմոմ`՝։ համակարգիտեսքով` հավասարումների Քլ

տրված

հետնյալ

(",2.,..3.) Հել,

Ք.

(7......)5Ե,,

Քո

(պ...)

ՏԵ:

Այս հավասարումներնանվանումեն կապիհավասարումներ:Դիցուք ու Հո կետ,որ՝ ն գոյությունունի այնպիսի«Թ

7Շ)-ոու7 (2):

Ենթադրենքնան,

որ

ֆունկցիաներըունեն

(,2.,-:.)

(:,2,...4.),:-12,..,ո:

անընդհատմասնակիածանցյալներ ըստ

ն 5 փոփոխականների,

կետում ջյ,-Ն2....,ոչ

(98. 98.

Փ.

ժե

Փզ

ժեռ

98. 98.

Լծժզ ժջռ

բոլոր

ֆունկցիաների`

Չ8.` ժ., ծ,

98.

ծ», )

4 ր ամը

յակոբիանիռանգը հավասար է ու-ի: Դիցուք կամայական հաստատուններ են:

Կազմենք

Լ( 2.4)

խնդրի

այս

թվերը

Լագրանժիֆունկցիան`

Լ(.4)-7(9-2248.6)։ Է-1

4 2 ,

հաստատուններըանվանում

անորոշ

են

Լագրանժի գործակիցներ: Բերենք փոփոխականներ, կամ էքստրեմումիխնդրիլուծմանԼագրանժիեղանակը: պայմանական

եղանակ:Դիցուք տրված Լագրանժի(1բոռոցւ) անորոշգործակիցների է քստրեմումի խնդիր `գտնել պայմանական

ոու./ (») ք-Խօ հ որտեղ

բոլոր

պայմաններինն

-12,..,ու

:9.(2)-Եւ

ֆունկցիաները բավարարում

են

վերը նշված

ի (2) ֆունկցիանիր էքստրեմալարժեքինհասնում

ներքին 5. կետում: Այս դեպքում գոյություն ունեն հաստատուններ,որ էքստրեմումի 77 կետում այնպիսի»42»-.22ն, թ

տիրույթի

բավարարվումեն հետնյալհավասարումները

9Լ(».4)

-----Հ-0,

ւՀն2,...ո:

ժե

եղանակըթույլ է տալիս Այսպիսով,Լագրանժիանորոշ գործակիցների պայմանական էքստրեմումի խնդիրը բերել ոչ պայմանական

էքստրեմումի խնդրին,սակայն

Ն(».4)ֆունկցիայինկատմամբ:

Բերենք այս եղանակի հիմնավորումըերկու փոփոխականին մեկ կապի հավասարման դեպքում: Ենթադրենք հարկավոր է գտնել

7 (2.2)ֆունկցիայիլոկալ էքստրեմումըք

Դիցուք լոկալ էքստրեմումի կետը

կապիդեպքում:

(7,»")-նէ: Յակոբիանիռանգի

պայմանըկվերածվի 970 վերաբերյալ

(» ))

Տ,

կամ

«ՕՕ պայմանների:

Դիցուք

էք »")

կետում8,

-0։

Հետնաբար,

բացահայտ

ոչ

ֆունկցիաներիվերաբերյալհայտնի թեորեմի համաձայն, կարելի

հավասարումից էֆ)

(.»)-0

կետի որնէ շրջակայքում )

արտահայտել|լթորպես ֆունկցիա

»-

ՓԼ")

նույնություն` ջ

(.ՓՐ))։

Քանի որ

»Հ

ՓՐ)

ԲԺ)Փ(-

Յ։

ընդորում`

7/(ռ»)

Այստեղից,`

ֆուկցիայի մեջ

Փ(ա),ն(ո,))-ն/(»»)

կետէ, ուստի այդ կետում`

Այստեղից՝

1 գ Փ »-

--»0, Ճ.

ո"

-Փ(չ),

ՓԼ

Եթե այժմնշանակենք`

35.738... ծ.

ծ.

ԺՓ

ժ.198Ի4

Փ.' .0ջ --Ի4--»-0: Փ Փ ժ.

Կամ`Լչ7,")-0,

(7, »")կետում,կստանանք`

վերջնականապես,

Լ,(ճ,»)-10-

կստանանք`

ֆունկցիայիէքստրեմումի

9 9/|98.98|-0. ծ.

ապա

-ը

Տեղադրելով նույն հավասարման մեջ, կստանանք

Տեղադրելով

2Ճ-ի՝

ՀԱՇԻՎ

ՎԱՐԻԱՑԻՈՆ

1.3:

Դիտարկենքմի քանի օրինակ,որոնք կարող են պատկերացումտալ վարիացիոնհաշվում ուսումնասիրվող խնդիրներիմասին: Ինչպես գիտենք,հարթությաներկու` 4(2,)9) )

կետերըմիացնող

կորի երկարությունը(եթե ունի անընդհատածանցյալ)տրվում է

լ-

Ց(«,)լ)

բի

Ի)

բանաձնով։ՓոփոխելովԸ)

կորը մենքկստանանք

կորի երկարությանտարբերարժեքներ,այսինքն կորի երկարությունը ֆունկցիա է կորից՝ | «1(»(»))։ Հայտնի խնդիր է` գտնել տրված

4(:»3օ) ն Ց(.,)լ)

կետերըմիացնողայն կորը, որի երկարությունը

ամենակարճնէ: Այս խնդիրը կարելի է ձնակերպելհետնյալ կերպ. Գտնել

«Ը

Դիտարկենք մեկ

յ նգշո

ոլո

)՞4.:

խնդիր: Դիցուք փոփոխականխտությամբ

այլ

թափանցիկմիջավայրում տրված են

4(4.79:49) ն 8(«,».2)

կետերը: Հարկավոր է որոշե 4 կետից Ց կետ անցնող լույսի ճառագայթի հետագիծը: Ըստ Ֆերմայի հայտնի.սկզբունքի, լույսի ճառագայթը միշտ շարժվում է ամենաարագ հետագծով: Դիցուք

(2,2 2) կետում լույսի արագությունը 5(»,),2) Է: Ճանապարհի45

2.ժամանակում:Եթե

հատվածըլույսը կանցնի ՄՀ ընդունեք

որպես

պարամետր, լույսի

հավասարումը կարելի

հետագծի

( ) (») դիտարկել (»))-տեսքով,

|ԳԲ3չ,

փոփոխականը

որոնելի

ժամանակիհամարկստանանքհետնյալբանաձնը` բ

Դ.

5(5,5.2) -լ-

Խնդիրը բերվում է

50),20)

հետնյալին։ Հարկավոր է

ֆունկցիաներ,որ

7-ն

ունենա

գտնել այնպիսի

փոքրագույնարժեք, ընդ

որում »Ը)ն Հ(») ֆունկցիաներըպետք է բավարարենհետնյալ եզրայինպայմաններին`

(2)

352(8)Հ 2»»()Հ3»52()52:

Մեզ հասած պատմականտվյալներիհամաձայն, վարիացիոնհաշվի առաջին խնդիրը լուծվել է մոտավորապես 850-ական մ.թ.ա. թվականներին Դիդո (Դիդոնա, Էլիսսա) թագուհու կողմից: Երբ է, թագավորությունըանցնում է իր Տյուրոսի թագավորըմահանում զավակներին` որդի Պիգմալիոնին ն դուստրը Դիդոին։ Սակայն ցանկանալովմիանձնյակառավարելերկիրը,Պիգմալիոնըսպանում է Դիդոի ամուսնուն: Դիդոն, հավաքելովիր ունեցվածքը,հավատարիմ հետ դիմում է փախուստին մի առ ժամանակհետո ազնվականների հասնում Աֆրիկայիհյուսիսային ափերը (այժմյան Թունիս): Այստեղ տեղի բերբերներիթագավորիցնա մի կտոր հողատարածքէ խնդրում բնակվելուհամար,սակայնթագավորըհամաձայնվումէ տալ այնքան հող, որքան կտեղավորվիցուլի մորթու մեջ: Դիդոն համաձայնվումէ, ընտրում ցուլին, ապա ցուլի կաշուց կտրում նեղ ժապավեններն, միացնելովմիմիանց,ստանում 2,5 մղոն երկարությամբ պարան,որով ն անջատումէ օվկյանոսիափիցիր հողատարածքը: Հետագայումայդ տարածքումհիմնվեցԿարթագենպետությունը,որի առաջինթագուհին Դիդոն էր: Դիդոն ոչ միայն հնարամիտէր, այլ նան շատ գեղեցիկ ն բազմաթիվպոետներ,երաժիշտներն նկարիչներ,սկսածՎերգիլիուսից են Դիդոի կյանքիպատմությանը:Ֆորմալ ն Պուչինիիցանդրադարձել տեսանկյունիցԴիդոի խնդիրը կարելի է ձնակերպելհետնյալկերպ. գտնել իրականառանցքի գ ն Ե կետերըմիացնօղհաստատուն

երկարությունունեցողայնպիսի »Ը) կոր, որ իրականառանցքովն

կորով սահմանափակվածպատկերի մակերեսը լինի մեծագույն: Այսպիսով,կգանքհետնյալխնդրին`գտնել

,-Ը)4:

մաքսիմումը,եթե ֆունկցիոնալի

իթ

) -ն բավարարումէ »6Շ

»(ռ)-»(Ֆ)Հ-0

ն,

պայմանին: Ընդհանուր դեպքում, դիցուք 24-ը ֆունկցիոնալտարածություն է ն

(») -ը

ինտեգրալայինֆունկցիոնալ է, որոշված այդ տարածության

վրա: Այստեղ կդիտարկվեն միայն

Շլո»ն|ն

որտեղ ֆունկցիոնալտարածություններ,

Ը'

չե)

տեսքի

չն|-րիրականառանցքի

որնէ հատվածէ: Ֆունկցիռնալի լոկալ էքստրեմումի կետը սահմանվում է այնպես, ինչպես ն ֆունկցիայիլոկալ էքստրեմումիդեպքում`

2"(՛)-ն 7 (2

ֆունկցիռնալիլոկալ մաքսիմումի (մինիմումի)կետ է, եթե գոյություն

ունի

(Դ-ի

նռրմով),որ

բոլոր

շրջակայք (համապատասխանտարածության

չ( ր)6

1 համարտեղիունի

(270),

ՄԸ")Հ76)|

անհավասարությունը: Լեմ

1731:

դ(6

(Լագրանժըոքու՞ոջօ)): Շթե

|ը»ն|,դ(օ) -0,7(ո)-0

իժ"/)4:-0

7(Դ»0,15 ՆՊՂ)

( )ծ Շ |ը»ե|

պայմանինբավարարողբոլոր

ֆունկցիաների համար

ապա

Ապացույց Ենթադրենք,որ լեմի պնդումը սխալ է

|ը»ե|

գոյություն ունի

7(ո »0:։ Մ/(ո)20,մասնավորապես

որ

ընդհանրությունըխախտելուկարող ենք ենթադրել, որ

7-ն

Առանց

|,ղ)

(1) ֆունկցիանանընդհատէ, միջակայք,որտեղ / ն ) Հ 0: (Եթե այն ուստի գոյությունունի ՆՆ ապա գտնվի ծայրակետում, օրինակ 7-կ, /(դ ֆունկցիայի կհետնի, որ գոյություն ունի (՛՛,հ | միջակայք, անընդհատությունից կետ կվերցնենք այդ որտեղ /(1)»0: Այս դեպքում որպես միջակայքիկամայականներքին կետ): Կառուցենք դն) ֆունկցիան

բազմությաններքին կետ է: Քանի որ յ

հետնյալկերպ`

«(ոռ)), ԱՎՐԸ»Ի 0,

ԱՅՆ)

Այսպես կառուցվածֆունկցիան բավարարումէ լեմի պայմաններին`

դ(1)5Շ ՆՆԱ դ(.)Հ-0,դ(դ)-0։Հաշվի առնելով, որ դ(1 -ն

նույնաբարզրո է

(7լ,7,)միջակայքիցդուրս,

ի/(ո(յ«-|/(ՍՆ-»)6-«)"4։ ճ

Սակայն

այս

ինտեգրալը խիստ դրական է, քանի

միջակայքումխիստ դրականԷ /

( ) -ն:

որ

(2,2.)

Ստացված հակասությունը

ապացուցումէ լեմի պնդումը: Նկատենք,

որ

այս

լեմի պնդումը

մնում

ուժի մեջ, եթե 77(

)

ֆունկցիայիվրա դրվենավելիխիստպայմաններ, օրինակպահանջենք մինչն որնէ դ կարգիանընդհատածանցյալների գոյությունը: ֆունկցիոնալ` Դիցուքտրվածէ ինտեգրալային -յձգ-

որտեղ ԼՍ 54 )

Լ(.»»)4Բ

ֆունկցիան անընդհատ է

որպես

երեք

ֆունկցիա,ն ունի անընդհատմասնակիածանցյալներ: փոփոխականի նշանակվածէ «(դ ֆունկցիայիածանցյալը:Մ7լԼչ| Այստեղ ն )-ով ֆունկցիոնալի լոկալ

էքստրեմումը՝ ։6փնտրումեն,

ֆունկցիաներիդասում:

|.չն|

Կասենք,որ Ճո() ֆունկցիան ՄԼ.) ֆունկցիոնալիէքստրեմումիկետ է, եթե գոյությունունի

6 »

այնպեսոր`

11112 մլ»),

Վ. Հճ,

կամ`

ժ1«1Հ112,

Ճ՛

-վ.

Հճ:

Տարբերխնդիրներումկարողեն պահանջվելնան ավելիբարձրկարգի ածանցյալների,կամ ֆունկցիայիմասնակիածանցյալներիգոյության կամ անընդհատությանպայմաններ:Քանի որ այս դասընթացումմեր ն ամբռղական խիստ նպատակը՝ վարիացիոն հաշվի հետ մաթեմատիկականտեսություն շարադրելը չէ (դրանց կարելի է ծանոթանալ,օրինակ մասնագիտական(1) ն (26) գրականությունից), այլ միայնծանոթացնելայս տեսությանսկզբունքներին մոտեցումների հետ, ուստի հետագայում կենթադրենք որ բոլոր հանդիպող ֆունկցիաները ունեն այնքան անընդհատ ածանցյալներ, որքան պահանջվի:

Վարիացիոնհաշվի պարզագույնխնդիրը: Դիտարկենք հետնյալ խնդիրը:Գտնել

«|Լ(ո»3)4" -յ5-

ո-Լօ որտեղ Դիցուք

այս

լո»ճի«(գ)Հ-

խնդրի լուծումը

(ո)

-ո)

0 )-ն գոյություն

կամայականդմ)6 Շ |.»է| ֆունկցիա, հավասար է զրոյի`

«(Հ դն),

դ(օ)-ղ(ղ)-0,

որտեղ 0:

որը

ունի: Վերցնենք ծայրակետերում

կազմենք նոր ֆունկցիա`

փոքրիրական թիվ է: Այս բավականաչափ

-ն

նոր ֆունկցիանբավարարումէ նույն եզրային պայմաններին,ինչ

«(ՌՀճյ(չ)Շ ԽՃՏեղադրելով 7 ֆունկցիռնալիմեջ, կստանանք Օ -ից կախվածֆունկցիա Փ1ն) ն դ (ւ) ֆունկցիաներըֆիքսվածեն)` 5(՛)

ֆունկցիան, այսինքն

7(օ)Ցանկացածտրված

|(ոո

6-0

օղ,»

թվի համար

ւօ): չ( ՛ ) Հ

Օյ

()

ֆունկցիան

կգտնվի «6) ֆունկցիայի ք շրջակայքում0-ին մոտ բավականաչափ փոքր Օ -ի համար:Քանի որ

«0 ) -ն

ենթադրվելէ Մ|| ֆունկցիոնալի

լոկալ էքստրեմումիկետ, ուստի Մ (6) ֆունկցիանպետք է

ունենա

դեպքում, հետնաբար Ժ-0 լոկալ էքստրեմում .-Օ կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է 0-ի: Ածանցելով ըստ Զ-ի, կստանանք`

ե-ԵՐ»այոն)Հե(»3դ()վա-

Օօ

ի,( ոն)», (.»2)դ(1)4-: օ

Մասերովինտեգրելովերկրորդգումարելին,կստանանք` -յ6-

ն,(7.2) -ԶԼ,(ռա)ի(յա դ

7՛(6) ե.»

ԻԼ,(.2.2)ղ(դ|., -Լ(.».)դ0ն)|.,,: Ոչ

ինտեգրալայինգումարելիները հավասար

ատ) ան) -

են

(37

0-ի, քանի

որ

0, հետնաբար`

Ա |իւ(7.2) Թ-17 ոյի(դա(132) ղ

7՛(Օ) լ.»

Կիրառելով Լագրանժի լեմը, 7լ:)

ստանում

ենք,

որ

եթե գոյություն ունի

ֆունկցիոնալիլոկալ էքատրեմումի(1) ֆունկցիա,ապա այն

պետքէ բավարարիհետնյալդիֆերենցիալ հավասարմանը`

(.7.4)-0։ -Զ-Լ,

ու.»

դիֆերենցիալի

Ֆունկցիայի

արտահայտությունն

(7(ա)

նմանությամբ

(13.3)

ծ7--Մ՛(0)Օ

ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ՕԺ-0

կետում) անվանում են Մ(չ| ֆունկցիոնալիվարիացիա:Այս (1.3.3) հավասարում, իսկ հավասարումն անվանում են քյերի (ճս)

հավասարմանըբավարարող1Ա)ֆունկցիաները`մջշռստրեմալներ: Այժմ ենթադրենք, որ

երկու`

(է)

ենթաինտեգրալայինֆունկցիան կախված է

այսինքն Մ ֆունկցիոնալըունի ֆունկցիաներից,

հետնյալտեսքը`

12.21Հ

|ո(.».5:2.Ֆ)4:

Դիտարկենքվարիացիոն հաշվի հետնյալխնդիրը`

եյի»)

ՀՎԸ.»)«Շ'ն,..«Շ Լ,

72(.)5».20)57:»Ը.)52.»6)Մ

Նորից կենթադրենք որ

ՓԱ) »(դ)-ն ,

դրա

լ»,)|-ի

»)

էքստրեմումը գոյություն ունի,

էքստրեմումի կետն է,

ֆունկցիան բավարարում է ածանցելիության բոլոր պայմաններին:Ինչպեսն նախորդխնդրում,դիցուք

ՆՐ»,), 5.))

անհրաժեշտ

դ(05Շ լոիդ,(Դ«ԸՇլեչձ, դւ(օ)-ո(ձ)-0 դ.(օ)-դ,(ո)-0 կամայական ֆունկցիաներ են,

իրական

«(046

թվեր:

գ,02-

Ֆունկցիաներին տանք

(),»(2«6դ, (1),

աճ`

դիտարկենք`

7(6.2.)Հ | (ւղ,

2-:6.3:0դ)4:

Այս դեպքումնույնպես Մ

բավականաչափփոքր

(6.Օշ )

ֆունկցիայիէքստրեմումըպետքէ

բավարարիԷքստրեմումիգոյությանանհրաժեշտպայմանին` գմ

0, ի,-օ «չ-0 Տ

96. ԳՄ

--Գտնենք Մ

(6...)

-0:

ֆունկցիայիմասնակիանցյալները ըստ Օշ ն Օ2-ի:

Արդյունքումկստանանք`

ա-նի

ք),

)--շն:(.7,),7, ջի(հ4:»0,

ե (Է), 9-55(.7.3»:) 9|ենյ6-օ Հեն» զ

Այստեղից,կիրառելովԼագրանժիլեմը, կստանանք`

Լ,

(Ե2.).7Ֆ)-0, (ռոջչա))-5-Լ,

»63)--շն (.7.),5.Ֆ)-0:

Լ, (17,

.Վ

Եթե ենթաինտեգրալայինԼ

ճ(8,0),..7Ճ.()

ֆունկցիան կախված է

ֆունկցիաներից,

ենք

ստանում

հատ

հետնյալ

անհրաժեշտպայմանները`

Լ,

4-ը '

-0,:ՀՆ2....դ:

ԵնթաինտեգրալայինԼ ֆունկցիան կարող է կախված լինել նան բարձր կարգի ածանցյալներից։Պարզության համար դիտարկենք հետնյալ խնդիրը` գտնել

«ոմ լվ- օա Լ(2.35.3)4Ե

-իչօՇոկի

Հա 4(ո)-») »(օ)Հ»::(1)Հ::(գ) Նորից, ենթադրելով, որ «(' ) ֆունկցիան Մ էշ ֆունկցիոնալի տանք աճ՝ էքստրեմումի կետն է, Ա ) ԴՕղ(), որտեղ դ0)5 Շըչո| նորից կամայականէ ն բավարարումԷ եզրային դ(օ0)-դ(ո)Հդ(օ)-Դ(ւ)-0 պայմաններին,Օ-ն 0-ին մոտ թիվ

եթե մ

է:

Տեղադրելովֆունկցիոնալիմեջ,կստանանք` հ

7(62)-ի»: .

ճ.ղ,2.ԷՕ,2-Է ճդյ, 1

Այս ֆունկցիայիածանցյալը0 կետումըստ -լց-

Օ/

Օգ)մք:

-ի հավասարէ`

7՛(օե«-

(.».3)Գ(Ռ|4:յլե(ռմյո(ՌՀե.(:»83)9(Դ-Լ,

-խ(

ձ)դ(դՀԼ,(.»»:)դն

հ:

(ոշ.2.:)դ(Դ2-Հ դոշի

ի(.»:)Գ(դ6: բաայիրյա» ԱՐ տա-4.ւ

Օօ

Երկու անգամմասերով ինտեգրելովերկրորդ գումարելին, ստանում ենք`

Իոթա՞2 չիր

ռա(յի-

Օօ

-Լ,(Ե2,7.Ֆ) (ի, մ

թ111ԱՆ3

1Ա)-0, )Հո()-Դն)-դ (ւշ. ե (,».», 9-5 1227 դԻՋ-ը ցին

որ Այսպիսով,քանի

7՛(օիՏ

ուստի`

ենք Էյլերի Այստեղից, օգտվելով Լագրանժի լեմից. ստանում հավասարումըերկրորդկարգիածանցյալով խնդրիհամար`

2-5Լ,(Է2.52ԱԲԱ(.7,2.4)-0:

Լ,

(Ե7,7,

Ընդհանուրդեպքում,եթե 1, ֆունկցիանկախվածէ մինչն ածանցյալներից,Էյլերի բանաձնըկընդունի ռ

զ:

Ը Ի)» Լ,յ-0

տեսքը:

-րդ

կարգի

Իգոպերիմետրիկ/խեդիր: Դիտարկենք հետնյալ խնդիրը: Բոլոր Ճ ( )6 Շ' ՆԱՆ)կորերիբազմությանմեջ, որոնքմիացնումեն (ո) ն

Ա յզ ) կետերըն որոնցհամարտրվածէ 7լՎ-

|(ւո) Օօ

Ֆունկցիոնալիարժեքը,գտնելայն 2(Ւ)ֆունկցիան,որի դեպքում

70Վ-ո(.ոյյա Օօ

ֆունկցիոռնալըկստանա էքստրեմալ արժեք: Այսպիսի խնդիրները անվանում են /խզռպերիմետրիկ"իհ պատիվ" Դիդո թագուհու: Ֆունկցիաների անընդհատության ն ածանցելիությանվերաբերյալ անհրաժեշտպայմաններիդեպքումայս խնդիրըբերվումէ վարիացիոն խնդրինհետնյալթեորեմիօգնությամբ: հաշվի պարզագույն

Թեռրեմ լուծում

13.1: ն

եթե

Եթե գոյություն ունի իզոպերիմետրիկխնդրի

«(դ ե

էշ

ֆունկցիոնալիէքստրեմալըչե

գոյությունունի այնպիսի4 հաստատուն,

ըվ-

որ

Ա) ապա

ն ) -ն

այտ

Օօ

ֆունկցիոնալիէքստրեմալնէ, որտեղ Ք

4Լ։

Բոլցի խնդիր:Նախորդբոլոր խնդիրներումենթադրվումէր, ֆունկցիան ամրացված է

ծայրակետերում`ն

)

որ

ֆունկցիայի

արժեքները լը») հատվածիծայրակետերումնախապեստրվածեն: Այժմ դիտարկենք այսինքն`գտնել

պարզագույնխնդիրը, հանելով

այդ

պայմանը,

օժ |»|-«ա|(ւ) օ

ֆունկցիաներիբազմությանվրա: Այս խնդիրը «(16 Շ: |ըչե| կանվանենքազատ եզրերովխնդիր Նորից աճ տալով «(դ -ին` «5(Էղն) որտեղ Դ6 Ը վը,հ|կամայականէ, ն ածանցելով մ Եշ) -ն, կստանանք(1.3.1) արտահայտությունը` բոլոր

7՛(օ)

այե(եո) -5-է, (ռա)ի()Հ ղ

ԷԼ,(.2.2)դ(յ|., -նե.(.»»)դնյ|.,:

Սակայն այստեղ, ի տարբերություն պարզագույն խնդրի, չենք պահանջել, որ

դ(օ)-0դ(ո)-0։

Ակնհայտ է,

որ

եթե

«(Դ-ն

էքստրեմալէ ազատ եզրերովխնդրում, ապա այն էքստրեմալ է նան ծայրերովխնդրումն, հետնաբար` ամրացված

ե(.ո)-5Լ(.ց-օ»վվե(ա»-ՋԵՐ ն)«-6 ա

Եվ, քանիոր

7(1ջ)-նն Դ(լ)-ը միմյանցիցանկախկամայականթվեր

են, ոստիստանում

ենք երկու լրացուցիչեզրայինպայման`

(..2)|..-0, 1,(Ե.2)|..-0: Լ,

Որոշ դեպքերում պահանջվում է դիտարկել նան ֆունկցիոնալներ`

հետնյալ տեսքի

ինո60(թ)ԻԾԱն))).

7ԵՎ-

Օօ

որտեղՓ(2)նն

(2 -ն անընդհատածանցելիֆունկցիաներեն ն էքստրեմումըփնտրվումէ Շ՝ |ք,հ Մլչլֆունկցիոնալի | բազմության Մ

Բոյցի խնդիր: դատողությունները, Մ՛(համար

վրա: Այս տեսքով տրված խնդիրն անվանում

Կրկնելով վերը բերված բոլոր

են

կստանանք`

ՍԵՆ.

-Լ,(.»:)դ()Լ.,

-Զէ (ո. իյա:

7,2)

(...2)ոն)|. -

:9.Ր(օ))դ(6)Ւ7.(«(ո))դ(ո)-6:

Այստեղ նորից, քանի

որ

«(Դ-ն էքստրեմալ է,

ապա

ինտեգրալը

հավասար է 0-ի ն նախորդարտահայտությունըընդունում է տեսքը`

հետնյալ

-Ե(»»»յո(դլ.,: 7՛(օ)ՀԵ(-»»յո(8Լ, ..(«(օ))ո(օ)-6.(«ո))ռ(ո)-0 կամ

ո»)

9.((.)))ո(.)Հ(.(թ»3)լ

Հաշվի առնելով, ստանում

որ

(. ), դ (ո)

«Փ.(«(:)))ոն)-0

արժեքները կամայական են,

ենք Բոլցի խնդրիեզրայինպայմանները`

է.(»չ)լՀ0.Րնչ)), -Լ(.Ճ)կՀՄ.Ր(ո)):

ԱՆԱԼԻԶԻ

ՈՒՌՈՒՑԻԿ

ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐ

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ,

2.1 ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԱՆՋԱՏԵԼԻՈՒԹՅԱՆ

ԹԵՌՐԵՄ

Այս պարագրաֆում բերված են ուռուցիկ անալիզի հիմնական ն հասկացություները արդյունքները, որոնք հետագայում պահանջվելու են օպտիմալացման խնդիրների հետազոտման ընթացքում: Դիցուք Ջ"-ը

2-(գ.ռ»..7.) վեկտորինորմը սահմանվումէ հետնյալ

որ Բ-ում

կերպ`

-չափանիէվկլիդեսյանտարածություննէ: Հիշեցնենք,

|վ-

Հ»

վեկտորների (.

(.,)) ԷշՖ՝7

Երկու` 7Հ(զ...)

))

իսկ

ւ-1

սկալյար արտադրյալը

2» )

»-(,)չ»..).)

սահմանվում է այսպես`

հեռավորությունը`

»(«2)-ե-»-վԷն-») Սահմանում

2.11:

ԱՊ" բազմությունը անվանում

բազմություն,եթե իր ցանկացածերկու` «նչ այն պարունակումէ նան

են

ուռուցիկ կետերիհետ մեկտեղ

Օո՛4Հ(1-2)»

0.11)

տեսքիբոլոր կետերը,որտեղ 0 Հ ՕՀ1։ Երկրաչափորենդա նշանակումէ, որ իր ցանկացած երկու կետերիհետ մեկտեղայն պարունակումէ նան այդ կետերըմիացնողհատվածը:Բ" -ում հենց (2.1.1) հավասարմանըբավարարողբոլոր չ կետերի նչ բազմություննեն անվանում կետերը միացնող հատված: Ուտուցիկբազմությանօրինակներեն` գունդը, ուղղանկյունը,ուղիղը, հարթությունը, Ե" տարածությանդրականօկտանտը( Բ.)

այլն:

Թվարկենք ուռուցիկ հատկություններ:

բազմությունների

Հ.1: Ուռուցիկբազմություններիհատումն

-21Ո2յ.

Դիցուք 2

Ապացույց

որ

որտեղ 2ղ-ն ու

28,274 24,

համար Օշկ ԺՈ-03Ճ6

ՕաԷՂ-02:76Ճ:

2-ը ն

ուռուցիկ

77 կետեր 2

ցանկացած ՕՇ|0.յ|թվի

ապա

Ճշ, հետնաբար,նան`

Ճլ, ՕԿ«Ո-Օ:Տ

Նույն

պարզ

ուռուցիկէ:

բազմություններեն: Վերցնենքերկու կամայականՀ ից: Քանի

քանի

մի

եղանակով

այս

պնդումը կարելի է

տարածել ցանկացած թվով ուռուցիկ բազմությունների հատման համար: Հ2:

Ուտուցիկ

5.77...

բազմության կամայական վերջավոր թվով

կետերի`

«ՀՏգա

ուռուցիկ գծային ցանկացած

կոմբինացիաներըպատկանում

են

-ին

Գ, Հ0, -1...է,

Ֆ՝6,-1 նռ)

գործակիցներիհամար:

Ապացույց Ապացուցենք ինդուկցիայի եղանակով ըստ կետերի քանակի է թվի 6-2 դեպքում մեր պնդումը համընկնում է հետ: Այժմ ենթադրենք, որ ուռուցիկ բազմության սահմանման Խ-1 բազմութան թվով ցանկացած կետերի ուռուցիկ գծային կոմբինացիանպատկանում է այդ բազմությանը: Դիտարկենք 2 բազմությանԷ հատ 7,7... գծայինկոմբինացիա`

կետերըն դրանցորնէ ուռուցիկ )

25-65,

գ Հ0,6չ Հ0,..օչ Հ0, -2Տ-

Ֆ՝0,-1:

Եթե Օչ -Լ

ապա

-0,

«Հօ

1Հ:ՀԵ-1ն

Այժմ, դիցուք

է-1

Օ. Հ1: Այդ դեպքում 1-6,

Ֆ՝6,

0։ Ներկայացնենք7-ը

հետնյալ

տեսքով`

այֆՑ Հզլ"

«-Ա-

ձ./1-6.,

1-Ն2....,

5 -1

են թվերըոչ բացասական

դրանց

գումարը հավասար է 1-ի`

է-1Օ,

Ի6ճ,

5...

1-02

1-գ

Հետնաբար, 7՛Հ-

է-լ

ան"

Ֆ՝..-

)- լ:

արտահայտությունը

բազմության

կետերիուռուցիկ գծայինկոմբինացիաԷ: Ինդուկցիայի

62,

ենթադրության համաձայն`

Օլ»

2ՀԱ-Ձյ

կետը

բաց

դեպքում`

այդ

բազմությաներկու կետերիուռուցիկ

գծայինկոմբինացիաԷ ն, հետնաբար,26 27 Հ.3. Դիցուք

Ճլ-ըն Ճշչ-ը կամայականուռուցիկբազմություններեն:

Այդ դեպքումուռուցիկէ

|»: Հա»

մլ Հ2.ԱպացույցԴիցուք` 2,7 ունեն

2, ՕԳ

այնպիսի 2-7

(1- Օ)»:

Ճլ Հ Ճշ բազմությունը,որտեղ`

նան

ՀՖ-:

Հլ

չ.)

6,6 Ճշ: ն

Ըստ սահմանման,

67,

ՎերցնենքկամայականՕՕ

Ունենք`

գոյություն

կետեր,

որ

0,| ն կազմենք

1-50

Ի:):0-90 ՎԱ-»

Քանի որ ճլ

ԷԱՃ-0321:

Ճշ բազմություններըենթադրվելեն ուռուցիկ, ապա`

ՕՁ: Է1-0):5

Էա

8Ի5)-

նլ, ա

ՀԱ-0)5

ն հետնաբար

2:4:1-07264ՀՃԱլՒ1չ: բազմության7 փակումըուռուցիկէ:

Հ.4. ՂԻռուցիկ 2

Ապացույց

"»ՖՓ 7. Օ»-Դիցուք

բազմության կետերի երկու

Այդ դեպքում գոյություն

ի"ՒՆ")

ունեն

հաջորդականություններ, ն

որոնք զուգամիտումեն համապատասխանաբարչ

կետերին:

ն Ն2))"

հետնում Գծայինֆունկցիայիանընդհատությունից

է 02." Գ

կետերի հաջորդականությունըկզուգամիտի Զա

«(1-2)»

ցանկացած

համար

0, |

Զճ

կետը պատկանում է

Ֆ կետընույնպեսկպատկանի7 62:Է(1-4)

Հաջորդ երկու ընթերցողին: Հ5.

Ուռուցիկ ուռուցիկէ:

դեպքում:Քանի որ յուրաքանչյուր դ

Օյ" ՀԱ-օ))"

7-ին,

կետին 1.2.... ապա

-ին:

հատկությունների ապացուցումը թողնում ենք

բազմության ներքին կետերի

բազմությունը

Ուռուցիկ Ճ բազմութան շ՛:. ներքին կետից դուրս եկող ցանկացածճառագայթիվրակա ամենաշատը մեկ եզրայինկետ: Հ6.

Սահմանում այդ

2.1.2:

բազմություն

բազմությանուռուցիկթաղանթ են անվանում ։»պարունակող Շ

(2 )

մինիմալ

ուռուցիկ

բազմությունը,այսինքն ուռուցիկ բազմություն, որն ընկած է բազմությանըպարունակողցանկացածայլ ուռուցիկբազմությանմեջ:

Ակնհայտ է, որ ուռուցիկ թաղանթը համընկնում է Հ պարունակողբոլոր ուռուցիկբազմություններիհատման բազմությանուռուցիկթաղանթըկարելիէ ստանալնան

բազմությունը հետ: Մակայն այլ կերպ:

Ոչ դատարկ Ճ բազմությանուռուցիկ թաղանթը համընկնումէ բազմության կետերի բոլոր հնարավոր ուռուցիկ գծային ադ կոմբինացիաների բազմությանհետ: Հ7.

Ապացույց. Քանի որ Շ

(2 )-ը

ուռուցիկ է

պարունակում է

կետերը ապա պարունակում է նան այդ բազմության բոլոր հնարավոր ուռուցիկ գծային բազմության կետերի բոլոր Մյուս կողմից, 2, բազմության կետերի բոլոր կոմբինացիաները: գծային կոմբինացիաներիբազմությունը հնարավոր ուռուցիկ ուռուցիկ է (քանի որ, ինչպես հեշտ է անմիջականորենստուգել, 24 բազմության կետերիուռուցիկ գծային կռմբինացիաներիուռուցիկ գծային կոմբինացիաննույնպես այդ կետերի ուռուցիկ գծային կոմբինացիաէ)

պարունակումէ

Հաջորդթեորեմըթույլ

Թեորեմ 21.1

հետնաբարն

2 -ը,

տալիսճշգրտելայս արդյունքը:

Ոչ դատարկ 24

Ք"

բազմության Շ

թաղանթիյուրաքանչյուրկետ կարելի է ոչ

ավել, քան դ-1

) -ը: Շ(24

(4 )

ուռուցիկ

ներկայացնել2

բազմության կետերիուռուցիկգծայինկոմբինացիայիտեսքով: էՀԼ

Ասյացույց Դիցուք «6

ՇԱՒ),2-36.

ՒՀոՒԼ

1.0.»0,

«6

ԷՀ1

1-1...

ԵՒԼ

Հ1:

Դիտարկենքյզ -Հե.լ»

լ»

Ճո

վեկտորները:Քանի

որ

է»ո,

ապա

այս

վեկտորները գծայնորեն .

կախյալեն Ք" -ում, այսինքնգոյություն ունեն

Բ. Բ... 5. 5`Բ՛ »0 ,

Բոլ

այնպիսիիրականթվեր, որ

ՔԿ -Հ..)է

20.

2.1) -.3 ԲՕլ-:.)-0:

Եթենշանակենք/8,,լ

-ջ.

ապա՝

Է-1

Ֆ8-0 Դիտարկենք77-Օ,-/ժ,

թվերը, որտեղ յ//-ն որոշվում է հետնյալ

հավասարությունից`

ում:

1. Հեշտ է տեսնել,որ

Հ.

այս

ձ.

«ԺԸ,

դեպքում բոլոր

1.2,...,

ԷՀ

համար յ) ՀՕն

Բացիայդ՝ էՀ1

ԷՀԼ

է-1

ԷՀ1

էՀ)

2, -2չ.-մք)-չչռ-ոշ,8-չյա-Լ էՀ1

ԷՀ1

էՀ1

Հշգա-շյՄ.-շ,ռ.- 7:

2,7.

ԷՀ

Այսպիսով ստանում ենք, որ 7-ը ներկայացվումէ ոչ ավելի, քան է տարրերի ուռուցիկ գծային կոմբինացիայի տեսքով (7, 0):

Շարունակելովայս գործընթացը,ի վերջո կմնա ո-Ւ1 տարը: Սահմանում

կետերի »-

Օա.

2.13:

ԽՍ

հետ

քո՛,

օՀ0,

կետի ներկայացման մեջ

Ք" բազմությունը,որը ցանկացած7767

մեկտեղ

8Հ0

պարունակում

բոլոր կետերը,կոչվում է

նան

ուռուցիկ կոն:

Ուռուցիկ կոնը ուռուցիկ բազմություն է, ցանկացած«6 Խ,ՕՀ0 համար Զ.ճ ԽՃ,հետնաբարցանկացածուռուցիկկոն պարունակումէ սկզբնակետը: .29-

Պ" բազմության համար այդ Ցանկացած2 բազմությունըպարունակողմինիմալ ՍՄ/(7) ուռուցիկ կոնը կոչվում է 24 բազմությանմռնականթաղանթ: Սահմանում

2.1.4:

Ինչպես ն ուռուցիկ թաղանթի դեպքում, կարելի է ցույց տալ, որ կոնական թաղանթը համընկնում է «Հ, բազմությանկետերի բոլոր է

հնարավոր ոչ բացասականգծային

2ՀՖ0...

6, 2-0, ւՀԼ...1

կոմբինացիաների բազմությանհետ: Ուռուցիկ է կոնի համար Խ՝ անվանումհետնյալ բազմությունը` Սահմանում

2.15:

է` (ԱՇ ՀՏ.

Ի" ՀՕ,չ»Տ0

բոլոր

7,6

համալուծ կոն են

Խ համար):

Խ` բազմությունըփակուռուցիկկոն է:

Ապացույց

Է:,

Նախ

տանք

ցուց ՕՀ

(0,1),

«Օմ (օու(1-4)0Դ)»)

Խ՞-ի ուռուցիկությունը։ Դիցուք` չ6ռ

Այդ

:)Է(1-Գ)(ա»)ՏՕ.

դեպքում` հետնաբար՝

վերցնենք Խ՞ կոնի 0/,0...0/,.. վեկտորների հաջորդականություն, որը զուգամիտում է Զ-ի՝ 0::Ցույցտանք, որ գՕ Մ` Իրոք, քանիոր Օ' 6 Խ՞, ապա

Օ0՛փԲօ՛ՇԽ՝

Այժմ

նո" (Հ »)ՀՕ.ՒՀՆ2,..: -

սահմանի ն ստանում

այս

անհավասարության մեջ

օգտվելով սկալյար արտադրյալիանընդհատությունից,

ենք`

Սահմանում

Անցնելով

(0.7)ՀՕ:

2.1.6:

անվանումեն այն

Թ"

ք 6

կետիպրոեկցիա24 կետը,որի համար

Ա" բազմությանվրա

թ-"վ-ուի-»ի-Ք6.0: Ք,

4) -ր անվանումեն

կետիհեռավորություն2

բազմությունից:

Ցանկացած 7 ուռուցիկ փակ բազմությանն 6 համարգոյությունունի 7 կետիմիակ ք պրոեկցիաՃ վրա:

Բ",

Հ9.

Այացույց. Դիցուք շ՛

Ե-ի

ով

ՑՈՃ

բազմությանորնէ կետ է: Նշանակենք 8

-ն 1

շառավիղովն

կենտրոնովփակ գունդը: Այդ դեպքում

բազմությունը փակ

տքխ-։վոք. Ե-,վ։

ՆԺՃ

բազմության

սահմանափակ բազմություն է

Քանի որ

ֆունկցիանանընդհատէ իԽ--շվ

(ըստ 2-ի), ապա այն կհասնի իր ստորին ճշգրիտեզրին,այսինքն, պրոեկցիագոյությունունի: Ցույց տանք, որ եթե Ճ -ը ուռուցիկ է, ապա պրոեկցիանմիակն է: Իրոք, դիցուքգոյություն ունեն այնպիսիերկու ք՛, ք՛ 2, կետեր, որ

Նշանակենք |7՛-»|-|թ՛-վ--26.20։ /

-րուռուցիկ է,

ք" 6

ապա

ք"

Դիտարկենք

Հ--շո-:Քանի

որ

2(5)Հ|թ՞-չվ-Խ-չթ՛-15Ղ-|1-4Թ7-17-1ԹՂլ

-շ|Ե-ր7:6-թ )-շ ,

Յ«լ

(51

..-ո

)2.-թ

ՀԽ-ք)-

,՛

(2.12)

-ք,

ԱՆ

)

ոլ

համաձայն (տես, Կոշի-Բունյակովսկու հայտնի անհավասարության |20))` օրինակ

-ք)-ք)Հ Ֆ-6,

3«

-թ)՛

ք).

013)

ընդ որում հավասարությունկարող է լինել այն, ն միայնայն դեպքում, երբ

(7-քթ) ն (7-ք՛)

գոյություն

ունեն

վեկտորներըհամեմատականեն, այսինքն

այնպիսի

-3լ-

թվեր,

0՛Հ/»0,

որ

0: Օ(2-ք)Ի8Թ5-քԴ) Եթե կստանանք,որ 1- ք, անք -ք՛,

50,

ՕՀ

այստեղից

ապա

ւ-Լ2,..,.ո,

այսինքն` ք՛»

ինչը հակասումէ մեր ենթադրությանը:Մյուս կողմից,եթե Օ/ -.//»0, ապա բաժանելովայս հավասարումըՕԳ Թ -ի վրա, կստանանք` Զ

ան

աա 7

այսինքն

ՄՀ

ՕՁ

ՕԹ

ք՛Հ

ՕՍ ենթադրվել է ուռուցիկ, ք՛,ք"՛օ

(7-քԴ3»0,

էօ

ԱԻԹԻ

ք՛

որն անհնար է, քանզի 2-ը նՆ62

խիստանհավասարությունէ: Այսպիսով, (2.1.3) անհավասարությունը Տեղադրելովայն(2.1.2)-իմեջ,կստանանք`

վե«-ոմեջ «վՖ.-քԴ" աա) ժրթ»ա Հ|«-»5 .-, ԱԷ լ

2-Հ1

.-ք3

ՀԱ.-քԴ»

՞.1

՛.1

)

՛,

5):

Այսինքնստացանք,որ ք"Շ 7 կետըավելիմոտ է 7 -ին, քան ք՛ ն ք՛ Ստացվածհակասությունըապացուցումէ պնդումը: պրոեկցիաները:

թեռրեմ):Դիցուք 24 -ը փակ ուռուցիկ Թեորեմ2.1.2 (Անջատելիության Այդ դեպքում գոյություն ունի բազմություն է, Ն6Խ",627 հիպերհարթություն այնպիսին,

ՀՅՃ,.,»-Ը Հգ,«»

բոլոր

Խճ

կետերի համար:

որ

Հճ»

»«

Ապացույց ով ն

բազմությանվրանշանակենքք -

կետիպրոեկցիան4

դիտարկենք

օ-ի-«Բ-Ֆ6-»)

ֆունկցիան: Այդ դեպքում Լոք Փ(») Փ(ք): Ֆիքսենքորնէ «62 ՕՀ «(0:) դիտարկենք (1-Ձռ)ք,0 ՀՕ. Հ1 կետերը:

Քանի որ

ՕՀՕԶՀ1

համարն, քանիոր ք -ն

-ը

ուռուցիկ է,

Փ(«(63)

-ն

(0)

ապա

5»

պատկանումէ

-ին

բոլոր

է, ապա -ի պրոեկցիան

Փ(թ)

Փ(2(0)):

Հետնաբար,

0.009-նդճ«2-ՔԸԸչց։ ԱծանցենքՓ

ն՝

Է. աի23

ց.(:(63)-

()

(»1

Քանի որ 5 (6) Հ(ո-թ):(0)Հ ց

քյ, ապա

0(0)-23՝-»)ալլ

006)

(0)-»)():

թ),

«25՝(/,-)ա-թ):

Այսինքն`

Ֆ`(ջ,-Խ(պ թ1

թ) Հ0,

կամ`

Ֆ՝(ք.-»)դ-Ֆ.(թ-)Հ0։

Է՞1

(2.1.4)

Քանի որ

,»

կետերըֆիքսածեն

կախվածչեն

-ից, կարող ենք

նշանակել`

4.-ՀԽ-ք,լՀԼշ...ո, ն

ՇՀ

Ֆ թ»,

-թք),

0.1.4) անհավասարությունը կընդունիհետնյալտեսքը` ո

Ֆ՝

ՀՇ, կամ Հգ,«»

ՀՇ:

է-1

Քանի որ

ուստի

ԳՀԵԽ-ք»Հ0:

Մյուս կողմից

Հոս»-Ը«Ֆա-քթա-Ֆթ62ա-թ)-Ֆ62.-թ)»0: 1-1

Այսինքն`Հճ,» Սահմանում

2.17:

1-1

Ը:

1-1

Ասպիսով,թեորեմնապացուցվածէ: հիպերհարթությունը կոչվում

ՀՃ,«7»-Շ

հենքայինհիպերհարթություն7 բազմությանհամարԵՇ 2 եզրային ն ՀճյԵ»ՀՇ: կետում,եթեցանկացած«6 27 համար Հ4,:5»ՀՇ Հեշտ է տեսնել,որ թեորեմ2.1.2-իապացուցմանընթացքումկառուցած հենքայինէ ք կետում: հիպերհարթությունը Դժվարչէ ապացուցելհետնյալպնդումը:

Թեորեմ 2.1.3: Ճ ուռուցիկ բազմությանցանկացածեզրայինկետում գոյությունունի 2 -ի հենքայինհիպերհարթություն: Առանց ապացուցմաններկայացնենքանջատելիությանթեորեմի մի քանի այլ ձնակերպումներ, որոնք բավականին հաճախ են օգտագործվում:

Թեռրեմ2.1.4: Դիցուք Ճ -ը ուռուցիկփակբազմությունէ պատկանում 2-ին: Այդ դեպքում գոյություն ունի ն Հ,» հիպերհարթություն,այնպես, որ Հ,»-ԸՇ

Ճ համար:

7»

կետըչի

Հճ,«»-Շ »Ը

բոլոր

Թեռրեմ2.1.5: Դիցուք 2 -ըն Ւ -րուռուցիկ բազմություններեն ն 2-ը չի հատվում 7-ի ներքին կետերի բազմության հետ: Այդ դեպքում հիպերհարթություն, այնպես, որ գոյություն ունի Հգ,«--Շ Հ4,Ճ»ՏԸ

«6

բոլոր

Հճ,»ՀՇ

բոլոր

համար:

Թեռրեմ2.1.6: Ուտուցիկկոնի ցանկացածհենքայինհիպերհարթություն անցնումէ սկզբնակետով: Ապացույց.

Դիցուք

հիպերհարթություն՝

ՀՃ,.»-Շ

հենքայինհիպերհարթությունէ ԵՇ Խ

ԽՃհամար՝

41Հ0։

(Ը,2)ՀՇԱե)

Քանի

կետը, որտեղ ՖԵ

համաձայն` /4Եճ ՍԽ, հետնաբար, /շՀԸ ապա

Ոտուցիկկոնի սահմանման

(ճ.4է)ՀԸ:

(ճ,4Ե)4(6.Ե)-46, -

որ

անհավասարությունըբավարարվում է ցանկացած 4ՀՕ

Այստեղից՝ (4 Ղ-2

1)«

դեպքում

ՀՕ:

4-0

դեպքում ստանում

Այսպիսով

հարթությանհավասարումըստանում այսինքն0

կետըպատկանումէ այդ

Թեռրեմ2.1.7: Դիցուք

կոնի

կետում, այսինքն ցանկացած

Դիտարկենք

Ը:

Օ:։Ճ

2 -ր

«--0

համար:

ենք ՇՀ0,

իսկ

հենքային հիպեր է հետնյալտեսքը` -0, ն

հարթությանը:

(6,2)

ուռուցիկ բազմություն է Ք" -ում,

որը

չի

պարունակում Է, բազմության ներքին կետերը, այսինքն չի պարունակումվեկտորներ,որոնց բոլոր բաղադրիչներըդրականեն: Այդ դեպքում գոյություն ունի սկզբնակետովանցնողՀ «,:«»-0 հիպերհարթություն, որն անջատումէ 2/ բազմությունըԹ, -ից։

ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

2.2. ԳԾԱՅԻՆ

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

2.2.1: Ճ ուռուցիկ բազմության չ կետը անվանումեն ծայրակետ,եթե գոյությունչունեն այնպիսիտարբեր7՛,7,՛6 4 կետեր, 2 Գ

Սահմանում

որ

«Հ

բազմությունն անվանում են ռւռռւցիկ եթեայն վերջավորթվովկետերիուռուցիկ թաղանթէ: բազմանիստ, 2.2. 1: Ուռուցիկբազմանիստըկոմպակտէ: Թեռրեմ Սահմանում

2Ճ

2.2.2:

Ապացույց. Դիցուք

բազմությունը5...

թաղանթնէ: ՎերցնենքկամայականԼ.)

կետերիուռուցիկ

հաջորդականություն2 -ից

տանք, որ այս հաջորդականությունիցկարելի է ընտրել ցույց ենթահաջորդականություն,որը զուգամիտում է որնէ «6 Ճ կետի: ն

Քանի որ 2,

»,

Ճ ցանկացածոդ -ի համար (դ Ը

1,2....,),

ապա

Տ զ(ոյսճ.(8)6|0,լ|,Տո(ո)-1: ,

է, հետնաբար սահմանափակ Օղ(ո),ուՀՆ2.... հաջորդականությունը

դրանից կարելի է

ընտրել զուգամետ

(ոյ)

ենթահաջորդա

կանություն:Օ.չ(ուլյ)հաջորդականությունընույնպեսսահմանափակ է, հետնաբար

դրանից նս կարելի է ընտրել զուգամետ

ենթահաջորդականություն:Շարունակելով այս

անգամ

գործընթացը

կստանանք զուգամետ Օ,(ույ),ւ212,...

հաջորդականություններ:Նշանակենք ԱոՕ.(ոլ) -

յ,

Ակնհայտ է,

Օ(ոե,)

որ

ՃՀ0,

Ֆ6̀,

Այսպիսով,

Ֆ6 նոշ,6,(ոդ,)» -

ԻՎ

Թեորեմնապացուցվածէ:

Ֆ՝6,(դյ)» էԼ

զուգամետէ ն հաջորդականությունը .-

:-12....Է է

Հլ:

62:

է Է

Առանցապացուցմանբերենքհետնյալարդյունքը(տես, օրինակ, |5|):

(Կրեյն, Միլման): Ցանկացածոչ դատարկ կոմպակտ Թեռրեմ 222 ունի ծայրակետերըն իր բոլոր ուռուցիկ բազմություն Ք-ում է: ուռուցիկ թաղանթն ծայրակետերի Սահմանում

այն հետ:

2.2.3:

համընկնում է

Ուռուցիկ ԽՃ կոնը կոչվում է բազմանիստկոն,եթե իր վերջավորթվով կետերիկոնականթաղանթի

Առանց ապացուցմանբերենք փաստը:

հետնյալ ինտուիտիվ ակներն

նան

Թեռրեմ2.2.3: Բազմանիստկոնըփակէ: Սահմանում

2.2.4:

փաստից,

որ

-).6

226.

-շ7 Ւշ7

որնէ 1 Հ0,սՀ0

յ»

Սահմանում

Ջ",5»:0 վեկտորըկոչվում է ծայրային,եթե այն

2.25:

է,

որ

համար:

կոնը անվանում են

Խ պայմաններից հետնում

հետնում

է, որ 7-0:

սուր

կոն, եթե «ռն

Սուր կոների համար կարելի է ապացուցելհետնյալ թեորեմը (տես, օրինակ,5):

Թեռրեմ 2.24: Սուր բազմանիստկոնը իր ծայրային վեկտորների վերջավորբազմությանկռնականթաղանթնէ: համակարգեր` Այժմ դիտարկենք գծայինանհավասարությունների Գլլկ

Գշ"

ՒԷ

ճլԿ

Գոխ

:--Դշո

Տել Տ Եջ (2.2.1)

ճու

Գոշն

Տեր:

Ցա

Եթե գործակիցներիմատրիցընշանակենք4 -ով, Ե -ով` սյունը, կերպ`

ապա

այս

համակարգըհամառոտ

(ել,Ե,,....Ե,)

կարելի է գրել հետնյալ

ՃՀՏԵ, որտեղ 2-(դ,....2.): նշանակենք4, -ով, նան

ապա

(2.2.2)

մատրիցի -երրորդ

'Ճ

Եթե

տողը

(2.2.1) համակարգըկարելի է ներկայացնել

հետնյալտեսքով` 4..42)ՀԵ,:ՀԼ2....ո: (ո,»)

(2.2.3)

ՀԵ,

(2.2.1) համակարգիբոլոր

լուծումների բազմությունընշանակենք 2

ով, այսինքն` 27

:Ճ.

Հէ) Է1:հ" :44:Հ է|բազմությունը(եթե դատարկչէ)

«վ.օհ"

Ճ-

Թեռրեմ2.25

ուռուցիկփակբազմությունէ: Դիցուք չ՛,չ՛6 Աղպլացույց

Վ,

ՕՁ.(0.1)։

Կազմենք 0,»

որտեղ

չ(1-0)Ճ՛ՏՕԵՀ(1-0)ԵՀԵ:

ոն

Կստանանք` Հ

4 (1-2)

Այսպիսով, 24-ը ուռուցիկ է «Փակությունըցույց տալու համար բազմության կետերի կամայական զուգամետ վերցնենք 2Ճ

-12,...

հաջորդականություն`

անընդհատ

ֆունկցիան

է.

նո

Հմ:

-ֆօօ

ապա

Քանի ՏԵ,

որ

է ՀՆ2....

անհավասարությանմեջանցնելովսահմանի,կստանանք47 ՀԵ:

Հեշտ է տեսնել,որ եթե 7"

կետիհամար(2.2.3) համակարգի բոլոր

ա,25)ՀԵ,1ՀՆ2....,

անհավասարությունները խիստ են՝

տ,

ապա

բազմության ներքին կետ է: Իրոք, քանի որ կետը անհավասարություններիթիվը վերջավոր է, ապա կարելի է նշել այնպիսի 6»0, որ եթե ծՀ(ծ,ծչ,...ծ,) վեկտորիերկարությունը այդ

փոջրջ է

-ց՝

Խ|Հ:

տապա

բավարարվում

են

աՃԻ ծ) ՀՏԵ,:ՀՆ2,..,

անհավասարությունները, այսինքն

չո ԻՓ կետընույնպեսպատկանումէ 24 -ին։

Առանձնակի հետաքրքրություն են ներկայացնում 27 բազմության ծայրակետերը:Ակներնէ, որ ծայրակետըչի կարողլինել ներքինկետ: ներքին կետ կարելի է ներկայացնել Իրոք,։ ցանկացած «՛.

-ծ) 1/2 ՀՓ-ՀԼՍ207

ՎԻ

տեսքով, որտեղ

-ծՇԶ,

որը հակասում է ծայրակետիսահմանմանը:Այսպիսով,ծայրակետը կարող է լինել 2Ճ բազմությանմիայն եզրային կետ ն, հետնաբար,

ծայրակետերըհարկավոր է փնտրել (22.3) համակարգիայնպիսի այդ համակարգի լուծումների մեջ, որոնց համար անհավասարություններիցառնվազն մեկը հավասարություն է: Այդ հանգամանքըհանգեցնումէ հետնյալսահմանմանը: »՛Շ

համակարգիայն

բոլոր

եզրայինկետի րիչ կանվանենք (2.2.3) հավասարություններիբազմությունը, որոնց

բավարարում է

այդ

կետը, այսինքն այն

Սահմանում

2.26:

հիպերհարթությունների բազմությունը, որոնց պատկանումէ: Նշանակենք`1

(.,.»")-ե

բոլոր

հատմանը այն

(եշ) ն (,»") ե| -

Այս դեպքում «"Շ « եզրային կետի համար (2.23) կընդունիհետնյալտեսքը`

համակարգը

(ո) Հե,16 10"): Թղ2)Հե,1610):

Ճ.-ով նշանակենք

մատրիցի 16

1(27)

տողերից բաղկացած

մատրիցը: Հետնյալ թեռրեմն ամբողջությամբբնութագրում է 27 բազմությանծայրակետերը:Թեռրեմի ապացույցը կարելի է գտնել, օրինակ,|5)-ում: «6 կետը հանդիսանում է Ճ 6բազմության Թեռրեմ 226: ծայրակետ այն, ն միայն այն դեպքում, եթե Ճ. մատրիցիռանգը

հավասար էո

-ի:

Քանի որ, ըստ այս թեռրեմի, Հ բազմությանյուրաքանչյուրծայրակետ մատրիցի քառակուսային ամբողջությամբ բնորոշվում է

թիվը իսկ այդպիսիենթամատրիցների չվերասերվածենթամատրիցով, վերջավոր է, ապա որպես հետնանք ստանում ենք հետնյալ կարնոր պնդումը: թիվը վերջավորէ: 71բազմությանծայրակետերի

Թեռրեմ227

Եթե ոչ դատարկ 4

Թեորեմ 2.28:

սահմանափակէ,

ապա

նան

:Ճ'Հ

բազմությունը

այնուռուցիկբազմանիստէ:

է Թեորեմի ապնդում`՝ հետնում 2.2.2 սահմանումից թեռրեմից: ն

Ճիշտ է

Հ-

ուռուցիկ բազմանիստի 2.2.2

հակառակպնդումը.

Թեորեմ2.2.9: Է -ում ցանկացածփակուռուցիկբազմություն կարելիէ որնէ (վերջավոր որպեսգծայինանհավասարությունների ներկայացնել կամանվերջ)համակարգիլուծումներիբազմություն: Համանմանորեն կարելիէ ապացուցելհետնյալպնդումը:

Թեորեմ

կոն է: բազմանիստ

«վ.օԷ"

4.Հ)

բազմությունը ուռուցիկ

Գծային անհավասարությունների համակարգեր ուսումնասիրելիս մեծ դեր է խաղում Ֆարկաշի լեմը: Գրականությանմեջ օգտագործ են վում այդ լեմի տարբերձնակերպումներ:

Թեռրեմ

22.11:

Որպեսզի 4Ճ.ՀՕ,

(-,Չ

0 անհավասարությունների

համակարգըունենա լուծում, անհրաժեշտէ ն բավարար,որ համակարգըչունենաոչ բացասական լուծում:

մպացույց. Ֆ6

477ՀԸ

Անհրաժեշտությունը: Դիցուք գոյություն ունի այնպիսի

8",որ 4՛»ՀԸ, »Հ0։ Ադդեպքում,

(Շ»)- Ա7,») նե,)): -

Հետնաբար,եթե

47 Հ 0, ապա

(Հ,2)ՀՕ։

Քավարարությունը:Ենթադրենք,որ բացասականլուծում: Դիտարկենք

477ՀԸ

համակարգըչունի մատրիցի ճ,, 1-Ն2....ռ

ոչ

կոնականթաղանթը: վեկտոր-տողերիԽՃ Կոնական թաղանթըպարունակումէ

4,,

կետերիբոլոր

-1.2,...յ

բացասական գծայինկոմբինացիաները, այսպիսով վեկտորըչի պատկանում ԽՃ կոնին (այլ կերպ կոմբինացիայի գործակիցները Ը

ոչ

477ՀՇ կհանդիսանային

համակարգիոչ բացասականլուծումը): թեռրեմիհամաձայնգոյություն ունի հենքային հիպերհարթություն,որն անջատում է Ը կետը Ճ կոնից։ Քանի որ ուռուցիկ կոնի բոլոր հենքայինհիպերհարթություններըանցնում են ապա սկզբնակետով (տես, թեռրեմ 2.16, այդ հարթության Անջատելիության2.1.2

հավասարումըկունենա (աճ)-0 տեսքը: Այսինքն, գոյություն ունի

(ո...)

վեկտոր,որի բոլոր բաղադրիչներըմիաժամանակ

չեն ն, քանիոր

/Ճ

կոնը փակէ (տես, թեորեմ2.2.3) ՀՕզ6Խ: Ե'.«)»0, Ե",օ)

Քանի

որ

գ, :-1Ն2..,

կետերը պատկանում են

կոնին,

կստանանք`

Ա',ճ.)ՏԻյո -

Հ0,:ՀԼ2...,:

)Վ

Այսինքն` չ«-ն

/5:.ՀՕ0, (Շ2)»0

Ե",«)»0,

համակարգիլուծում է:

ՈրպեսհետնանքբերենքՖարկաշիլեմի նս երկու ձնակերպումներ: Տեղի ունի հետնյալ այլընտրանքը` կամ 47 ՀԸ Թեռրեմ 2212: համակարգը ունի ոչ բացասական լուծում, կամ ոչ բացասական լուծում

ունի 4.Հ0,

(6, 2) »0

համակարգը:

Թեռրեմ 2.213: Տեղի ունի հետնյալ այլընտրանքը կամ 4:ՀԵ ունի ոչ բացասական լուծում, կամ ոչ բացասական լուծում համակարգը ունի

4520, Ա 2)ՀՕ

համակարգը:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ԵՎ ԳՈԳԱՎՈՐ

ՈՒՌՈՒՑԻԿ

Ուռուցիկ 24 բազմությանվրա որոշված /(»օ իրականարժեքֆունկցիան անվանումեն ուռուցիկ, եթե ցանկացած Սահմանում

2.3.1:

երկու`

ո.

կետերին

0/Օ

(0,1)համարտեղիունի

ք(ռոԷ(1-2)Հ61(ՑՀԱ-)

Բ(3)։

(20 ֆունկցիանանվանում են ցռցավոր,եթե -/Ր(»օ ֆունկցիան ուռուցիկէ, այսինքն`

ք(.4(1-0))Հ06ք(9ԷԱ-0) (7 »«յօ2

ցանկացած

Ատվ(ոյ| համար։

ՆԵթե

այս

անհավասարություններըխիստ անհավասարություններեն, ապա խիստուռուցիկ ֆունկցիաներնանվանումեն համապատասխանաբար ն խիստգոգավոր: Նշենք, որ գծայինֆունկցիանմիաժամանակ նուռուցիկ է Բերենք ուռուցիկ հատկություններ:

գոգավոր

գոգավոր:

ֆունկցիաների մի

քանի

Հ23.1.24

ուռուցիկ բազմությանվրա որոշված ցանկացած /(»Ժ ուռուցիկ(գոգավոր)ֆունկցիային Ը իրականթվի համար

Ւ-Կօ 47:7ԹՀԳ, Մ-ն«

1ԹՀ9)

ուռուցիկբազմությունէ: բազմությունը Այս պնդումը անմիջականորենհետնում սահմանումից: Հ.23.2.

ուռուցիկ ֆունկցիայի

(Յենսընի անհավասարությունըԵթե (2-ը

(գոգավորէ) 4

ուռուցիկ բազմությանվրա, ապա ցանկացած276 4 է

կետերին 0,

ուռուցիկ է

0, 7-12...

1:3-6, -1 (1

թվերիհամար

անհավասարություններըըհեշտությամբ ապացուցվում մաթեմատիկական ինդուկցիայիեղանակով: Այս

Հետնյալ թեորեմի ապացույցը անալիզիդասագրքերում:

են

կարելի է գտնել մաթեմատիկական

Թեռրեմ2.3.1. Դիցուք / (5) -ը ուռուցիկ (գոգավոր)է 2 Շ Թ ուռուցիկ բազմությանվրա: Այդ դեպքում /(25)-ը անընդհատէ 2 բազմության ներքին կետերում ն այդ կետերում ունի աջակողմյան ն բոլոր ձախակողմյան ածանցյալներ, որոնք բավարարում են հետնյալ

7 (Հ70Շ) անհավասարությանը`

(7 ()Հ76))

ուռուցիկ (գոգավոր)է 7 ուռուցիկ Թեռրեմ 23.2 Դիցուք /(:)-ը բազմությանվրա: Այդ դեպքում /(:2) ֆունկցիայի լոկալ մինիմումը նան գլոբալ մինիմումէ (լոկալ մաքսիմումընան գլոբալ մաքսիմումէ): Խիստուռուցիկությանկամգոգավորության դեպքումայն միակնէ: որ /(5)-ը գոգավոր Ապացույց Որոշակիությանհամարենթադրենք, Է Դիցուք 7-24 ֆունկցիայիլոկալ մաքսիմումի կետ է, այսինքն գոյություն ունի | Շ 27, 7՝ 6 1 շրջակայք,որ ցանկացած«ճ 1 համար

7(23Հ76)։ Ենթադրենք, որ 7-67 կետը գլոբալ մաքսիմումի կետ չէ: Այդ ունենա է դեպքումպետք գոյություն այնպիսի «՛ ճ 24,որի համար

70Դ»76Ը')։ Վերցնենք ՕՀ Քանի որ

-ը

(0,1) ն

Հ(1-Ձ)7

կազմենք «05

ուռուցիկէ,

ապա 262

կոմբինացիան:

01-2)7607»247Ր0-42)7Ր)Հ7Ը')։ 702647

Այս անհավասարություն, հակասում է նրան, որ 7:-ը լոկալ 1-ին մոտիկ « -ների մաքսիմումի կետ է, քանի որ բավականաչափ համար չ -ը կպատկանի 1 շրջակայքին:

Թեռրեմ 23.3 Դիցուք 7/(:)-ը ուռուցիկ է (գոգավոր է) իրական առանցքիորնէ Մ միջակայքումն ածանցելիէ այդ միջակայքիորնէ ս կետում: Այդ դեպքում,ցանկացածԽճ 1 համար

Ժ'այԹ-ս)Հ76)-7()։

7()Թ-ոյՀՄԸ)-7(). Քանի

Ապացույց ցանկացածՕ6

0, |

որ

/(:2)-ը

ենթադրել ենք ուռուցիկ,

ապա

համար`

ս))Տ7(ո)Էօլ7Ը) 76) | 7(աՀօ(Ր5-

7աՀօ6-ս))-7()Հ«7Ը)-7(3)

(»-սյ/(սՀօ(Ր-ս))-7ն)| ՀՄ()-7/(ո): ՕՐ-ս)

ՁգտեցնելովՕ -ն 0-ի ն հաշվի առնելով, որ /(»«)-ը ածանցելիէ կետում,կստանանքթեռրեմիպնդումը:

Թեռրեմ 2.34. Դիցուք / (2) -րը ուռուցիկ է իրականառանցքիորնէ 7 Հք: միջակայքում,՛, 5,6 1 ն ՀՏ Այդ դեպքումտեղիունեն հետնյալ անհավասարությունները`

7()-7()..70)-7() 7(0-760). Ւ-ի

5-Ի

Ւ-5

Ապացույց Օգտվելով 1----

Լ-Տ

55-Ի

Ւ-Ւ

Է-ր

Ւ-չ 5----իՒ Ւ- ր

նույնություններից,կստանանք`

5-7

Լ-ր

"ՐՄ(Թ:

Ւ-5

7(5:Տ---Մ()Հ Լ-ր

Պահանջվող անհավասարություններըստացվում միջոցով: բարդ ձնափոխությունների

են

այստեղից ոչ

Ք" -ի վրա: Մեզ հարկավորկլինի նան թեռրեմ2.3.3-իընդհանրացումը Բերենքայդ թեորեմնառանցապացուցման:

Թեռրեմ՝2:3.5. Դիցուք /(5)-ը

ոտուցիկ է (գոգավորէ)

Ք"-ի վան

Այդ դեպքումբոլոր ունի անընդհատմասնակիածանցյալներ: համար`

7(-7()), ((Խ/(ս),,-ս)»

ՀՄ()-7("), (Խ/(ս),,-ս) որտեղ` Մ/

Փ Մ ծո ծ.

ս,Խ6

Թ"

ՕԳՏԱՎԵՏՈՒԹՅԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Որոշումներ ընդունելու խնդիրները հիմնականում գործ ունեն թույլատրելիորոշումների բազմություններին այդ բազմությունների վրա տրված նախընտրելիության հարաբերությունների հետ: Նախընտրելիությանհարաբերություններիդիտարկումըկապված է այն հանգամանքի հետ, ռր շատ կիրառություններումորոշում ընդունողնի վիճակիչէ քանակապեսհաշվելկամգնահատելայն ելքը, որին կհանգեցնիայս կամ այն որոշումը: Մակայննա համարյամիշտ կարող է որոշ (պարտադիրչէ բոլոր) ելքերիզույգերիհամարնշել, թե այդ երկու ելքերից ինքը որն է նախընտրում: Օգտավետության այն հարցին,թե հնարավորէ տեսությունըփորձում է պատասխանել արդյոք, հիմնվելով միայն անցկացրածհամեմատություններիվրա, համեմատվող որոշումներին վերագրել այնպիսի քանակական գնահատականներ,որ նախընտրելիորոշմանը համապատասխանի ավելիմեծ գնահատական: տեսությանընդհանուրխնդիրըկարելիէ ձնակերպել Օգտավետության հետնյալ կերպ: Դիցուք տրված է որոշումներ ընդունելու խնդիր`

(Մ Է) ,

որտեղ Ճ

-ը

կամայականբազմությունէ, որն անվանումեն

պատահույթների բազմություն, չ--ր որնէ բինարհարաբերությունէ 7 -իհ վրա: Ընդունված է ենթադրել, որ այդ հարաբերությունը բավարարումէ թույլ գծային կարգավորվածության հարաբերության պայմաններին:Հաճախ ավելի հարմար է լինում դիտարկելերկու ն հարաբերություններ` չ---խիստ նախընտրելիություն --

համարժեքություն Ավելի

դիցուք տրված

ստույգ.

(7 ,-» -)

համակարգ, որտեղ 74-ը կամայական բազմություն է, հարաբերությունները բավարարումեն հետնյալաքսիոմներին`

իսկ

Ցանկացածերկու` «6 74,6 Մ, պատահույթներիհամար տեղիունի հետնյալերեքպնդումներից մեկը` «Հ-)յ-«մ»

ցանկացած«6

Եթե «-

Եթե «-յ/ն

համար,

ապա /-

յ/- շ,ապա

Հ-

Եթե «չ-)

Եթե -:Ֆնջ»-

ն)ջչ-Հ,

ապա Ճ»-2,

Հ, ապա Ն»-2,

օգտավետության տեսության հիմնական ֆունկցիա, որպեսզի խնդրին՝`կառուցել այնպիսի ս:2-5»517 «6 ' ցանկացած «,)6 պատահույթների համար՝

Այժմ

անցնեն,

ս(»)»ս(Ր), այն

միայն այն դեպքում, երբ 2»:

0.11)

Այսպիսի ֆունկցիաներն

անվանումեն

օգտավետությանֆունկցիաներ:Կան օգտավետության ֆունկցիաների կառուցման տարբեր մոտեցումներ: Այստեղ կդիտարկվիմիայն հավանականային մոտեցումը:Ընդհանուրդեպքում որոշումները կարող են ընդունվել անորոշության պայմաններում, այսինքն` ռրոշումը կարող է հանգեցնելմի քանի ելքերի, ընդ որում, որոշում ընդունելիսհայտնի չէ, թե ելքերից որը կիրականանա:Այս

հանգամանք` հարկադրում է դիտարկե՝|րլ))չթայսպես կոչված "վիճակախաղեր": Անցնենքֆորմալ սահմանումներին: » ելքերի, Դիցուք որնէ որոշում կարող է հանգեցնելերկու` չն ք ն (1- ք) հավանականություններով: համապատասխանաբար, Այս դեպքում որոշման ելքը կոչվում է մեճակախաղն նշանակվում է ք» Հ (1- ք)»: Սա հանրահաշվական արտահայտություն չէ, այլ միայն պայմանականնշանակումնէ այն բանի, որ թ հավանականությամբ » կարող է հանդե գալ պատահույթը, իսկ (1-ք) հավանականությամբ պատահույթը: Նմանապես կարելի է սահմանելվիճակախաղերերեք ն ավելի ելքերով:Ենթադրվումէ, որ նույնպես պատահույթներեն, հետնաբարկարող են վիճակախաղերը լինել վիճակախաղեր,ռոնց ելքերը վիճակախաղերեն: Բացի այդ

պահանջենք, որ

ցանկացած 2,262

թզճ

վիճակախաղերը բավարարեն հետնյալաքսիոմներին` Ա.

քթ:Հ(1-ք)»-»

լ0,1|համար

քոՒ(1-քթ)»-(1-ք)»Ւ ք»

Աշ.

ԱՅ.

թ)լՓ:(1-գ)2|-թՀԱ-թ)ՓԺԱ-թ)0-գ)2: ք»Հ(1Լ-

Դժվար չէ տեսնել, որ այս աքսիոմները թույլ են տալիս վարվել հետ այնպես,ինչպեսսովորականհանրահաշվական վիճակախաղերի հետ: արտահայտության Քանի որ ենթադրվումէ, որ վիճակախաղերընույպես պատահույթներ են, տապա նախընտրելիությանհարաբերությունները կարելի է վրա` տարածելնան վիճակախաղերի

Եթե »

Ա4.

ապա

ցանկացած7

Ճ,քծճ 0, | համար`

ք)» քշ4Ա1-թ)» ք»-Է(1-

Եթե .չ-

ԱՏ.

ապա

ցանկացած6

2,քճ

լ0,1|համար`

թ.-Է(1-ք)»չք2Է(1-թ)ջ: Բացի այս աքսիոմներից, կենթադրենք, որ վիճակախաղերի բազմությունը բավարարումէ նան, այդպես կոչված, "լրիվության" աքսիոմին։ Ա.6.

թՏ

Այս դեպքում գոյություն ունի այնպիսի

Դիցուք 2Ճչ-)»»Հ:

|01|,որ »-

ԹՀԱ-ք)չշ:

տարրերից կազմված բոլոր հնարավոր վիճակախաղերիբազմությունը նշանակենք -ով։ Ակնհայտ է, որ

բազմութան

2 4:

Սովորաբարկիրառություններում ենթադրվումէ,

որ 2 -ըո-

է՝ «Քն չափանիէվկլիդեսյանտարածությանենթաբազմություն

դեպքում 7 բազմությունը կարելիէ պատկերացնել որպես 27 -ի ուռուցիկ թաղանթ: այդ

Լեմ 3.11 Եթե

քլ» քչ

ապա

ք»ԷԱ1-թ)»- թ»Ա-թ.)» Մպացույց: Քանի որ քլ»քչ, Ա.1

0Հքլ-քշչ Հ1-թչ։ Օգտվելով

ապա

աքսիոմիցն Խ-Ք:

1-ք,

քլ -1

1-ք,

նույնությունից,կստանանք,որ 1- 2

Լշամ Ք. 1Ք

1- ք,

ք,

Ըստ Ա.3

աքսիոմի` -Աթ»է1-թ)»Հ

քԷ(1քյոԻկ(

Ա.5 աքսիռմից Հետնաբար,

ոյլո-ճա) Խ-Քչ, ք

1-քլ «1-

"ԻԷք,

քթչ«էԱ-թ,)» ք»-ԷՈԱ-քլ)»»Ա.6 աքսիոմովորոշվող ք Հետնանք.,

-ն

միակնէն քճ

(0,1 :

Այժմ անցնենքօգտավետությանֆունկցիաներիգոյության խնդրին: Քանի որ ավելացնելով վիճակախաղերը մենք ընդլայնեցինք հարկավոր է որոշել նան որոշումների բազմությունը, ապա օգտավետությունը:Քանի որ վիճակախաղիելքը վիճակախաղերի բնական է օգտավետությունը պատահականէ, ապա վիճակախաղի սահմանել որպես օգտավետությանմաթեմատիկականսպասում, այսինքն`

ս(թ.Հ(1ք)))Հք()Հ(-թ)ս())։

(3.12)

Թեռրեմ 311. Դիցուք Ճ բազմությունը լիովին կարգավորյալէ նախընտրելիությանհարաբերություններով(բավարարում է 41

ԱյՒՆԱճ աքսիոմների) ն վիճակախաղերը բավարարում են աքսիոմներին:Այդ դեպքում գոյություն ունի այնպիսի ս: 2-5ռր

ֆունկցիա,որ ցանկացածչ,»6 1.

քՇ(0,1)համար`

Կ(»)»ս(ջ)Հ«»52Հ),

«(չՀ(1- ք)))Հքո(»)Ժ(1թ)ս(»):

Բացիայդ,

(2)

ֆունկցիանմիակնէ դրականգծայինձնափոխության

ճշտությամբ, այսինքն` յուրաքանչյուր

այլ

ֆունկցիայիհամար կգտնվենայնպիսի գ»0

(5)

ն Ե

5()-ակ(չ)ՀԵ:

Ապացովց: Վերցնենքերկու կամայական6̀լ,69

օԾԵթեայդպիսիք գոյություն

6լ-6օ:

պատահույթները համարժեքեն,

ապա

օգտավետության իրականթվեր, որ

2, այնպիսիք, որ

չունեն,

այսինքն

բոլոր

կվերցնենքա (») 1

Այժմ, դիցուք «6 2 -ը կամայականպատահույթ է: Քանի որ 7 -ը լիովին կարգավորյալէ, ուստիհնարավորեն հետնյալհինգդեպքերը` 1) Ճ-զ,2)

զ»-Ճ7ծց»4)

Ճ-6,3

Ճ-

օօ

5) Փ»Ճ։

Այս դեպքերից

յուրաքանչյուրիհամարկառուցենք օգտավետության ֆունկցիան: 1.

.7»-օ -6ը: Այս դեպքում,ըստ

քօ(0.1)անպեաոր 2. 7 3.

աքսիոմի,գոյությունունի

թ-Է(1-թ)4չ:Վերցնենք՝ ա(ո)»--։ ք

6լ : Այս դեպքումվերցնենք(7) -1։ 6ց: Այս դեպքում,ըստ

-.Ճ»-

քճ(0,1)այնպես որ 4.

Ա.6

Ճ-6ց

քօ

Ա.6

աքսիոմի,գոյություն ունի

Հ(1-ք)6յ:Վերցնենք՝(2)

Այս դեպքումվերցնենքսՐ) -0։ -Տ0-

ք։

6լ

Այսդեպքում, ըստ

Ճ։

(0.1)այնպես,որ

6ց

-՛

քճլ

Ա.6

աքսիոմի,գոյություն ունի

ս() ՀՍ0-ք)չ։Վերցնենք`

Այսպիսով,ս(2) ֆունկցիան որոշեցինք Է որ այն բավարարում Ապացուցենք,

բոլոր

չ»

(3.1.1) ն (31.2)

---լ: Ք-

համար:

պայմաններին:

Դիցուք 7Ճ)ֆճՃ, Ճ2Ճ-): Այս պատահույթներիցյուրաքանչյուրի համար կարող է տեղի ունենալ 1-5 դեպքերիցմեկը: Հետնաբար, ապացուցելուհամարհարկավորէ դիտարկել թեորեմնամբողջությամբ դեպքերը: Մենք թեռրեմը կապացուցենքմիայն մեկ` բոլոր )»-ծց դեպքիհամար:

-Ճ»Դիցուք`

2Ճ-քզ

ս()-թ

ս()-գ:

(ք),

Եվ հակառակը,եթե »- զա

Ա-զ)օ,

այսինքն`

ապա, ըստլեմ3.1.1-ի

Եթե ք»զ,

քա

»-

՞-զգ

Է(1-թյգ-««ՀԱ-զյա-

ք Հզ

ապա՝

Է(1Լ-զ): -

թո

ԷԱ-ք)օ-»:

սՐ) ֆունկցիայիգծայինլինելը: Վերցնենքորեէ 56(0,1)նկազմենք 8:Ի(1--5))վիճակախաղը.

Այժմ

ցույց

տանք

5:Է(1-:) -:9լթգՀ( -(1-թ)յաի((1-5)|46.(

1-զ)օ. |։

ՕգտվելովԱ.3 աքսիոմից,կստանանք`

5:Հ(1-5)» Եվ, քանի որ

-(94(1-5)«ԲՀ(50-թ)Է0-5)0-գ) թ:

բոլոր

դեպքին,ապա`

են 3-րդ պատահույթներըհամապատասխանում

ջ)Հ55Հ(1-5)զա(»Հ(-5ս0)։ ս(աՀԱ-)) -

ֆունկցիայիմիակությունը:Դիցուք, Այժմ ցույց տանք օգտավետության

բացի կառուցվածսՐ) ֆունկցիայից,գոյություն ունի

(2)

ֆունկցիա, ռրը նույնպես բավարարումէ (3.11

պայմաններին: Այդ 5.-

քօլ

քանի

դեպքում,

Է(1-ք)օց,ապա՝

որ

նան

մեկ այլ` ն.

4312)

ենթադրվել է,

որ

:Ը)Հ»(440-թ)4)-»(1):Ա-թ)(օ)5Ր(4)-»(6))-»(օ): ԱԵ), (5 ) -երըբ կախված չեն »«-ից, նշանակենք ն քանի որ Ն()»5(օ)) 5(5)-Խ(ա)»օ(ա)-Ե (գ»0 կստանանք` հաշվիառնելով,որ քՀ սՐ) վերջնականապես Քանի

որ

5)» ա(Ր)չե: Տնտեսագիտությունումօգտավետությանֆունկցիան կիրառվում է հավաքածուներիգնահատմանհամար: Ենթադրվումէ, ապրանքների ո որ շուկայում ներկա են տեսակի ապրանքներ ն եթե -ով նշանակենք1 չափանի

տեսակիապրանքիքանակը,ապա հավաքածունո վեկտոր է՝ «Հ Աս դեպքում )ծ հ": -

րդ

պատահույթների

(ռլ...

բազմությունը

տարածության ենթաբազմություն է՝ 2

ռո-չափանի էվկլիդեսյան ՉՊ, իսկ 2-ը ադ

բազմությանուռուցիկ թաղանթը:Բնականպահանջներիցմեկն այն է, որ

օգտավետության ս(պչ»,..)

ֆունկցիա էչ ՀՖ-Ֆս()Հ

ս0))

ֆունկցիան լինի չնվազող

Բացիայդ, հաճախենթադրվումէ,

այն անընդհատ է, ունի անընդհատմասնակի ածանցյալներ: ծս ածանցյալներըանվանումեն ֆենտիվկամ արդար Մասնակի

որ

3-Կ

գներ: -Տ2-

են, որ

Ասում

9՛ս

օրենքի,եթե`

Հ0։

են, որ

Ասում

1-րդ ապրանքըենթակաէ ենամտինվազման

է յ 1-րդ ապրանքըփոխարինելի

-րդ

ապրանքով,

եթե`

Փս

ՀՕ0։

Փւժ»,

ՍԱսոռմեն,որ1-րդն յ նկատմամբ,եթե` »

-րդ

են միմիանց ապրանքները/րացռուցիչ

9՞ս

Ժաժ, յժ »

Ասռւմեն,որորնէ, օրինակ,ո

եթե գոյություն

ունեն

-րդ

այնպիսի

ֆունկցիաներ, որ`

ս...) »

այդ

ՀԽ.»

Հ0։

ապրանքըանջատելըէ,

Ֆ(:,2»... 1)

|)ԷՓԸ.)

2.) ֆունկցիանգծայինէ, ասում

Այնդեպքերում,երբ Փ(

ապրանքըգծայնռրենփոխանցելիԷ

Փ(2.)

են, որ

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

4.1

ԿՈՒՆ-ԹԱԿԵՐԻ

ԹԵՈՐԵՄ

Առաջինբաժնի 1.2 կետում դիտարկվելէ պայմանականէքստրեմումի խնդիրը,որը կարելիէ կրճատներկայացնելհետնյալտեսքով`

ոո /(2), "ԵՇ 8":80)50,Հ-Լ2...ով, Այնտեղ նան բերվել է այս խնդրի լուծման Լագրանժի եղանակը: Սակայն շատ կիրառություններում,օրինակ ժամանակակից տնտեսագիտության շատ խնդիրներում, սահմանափակումները կարող են տրված լինել ոչ միայն հավասարումների,այլ նան անհավասարությունների տեսքով:Բացիայդ, ֆունկցիաներըկարողեն չբավարարելայն պայմաններին,որոնք պահանջվումեն Լանգրաժի մեթոդիկիրարկմանժամանակ(օրինակչլինեն դիֆերենցելի): Դիտարկենքհետնյալ խնդիրը,որն անվանում են մաթեմատիկական ծրագրմանընդհանուրխնդիր.

7( 2) -»

ոու

Ք.()50,

ՀԼ...

(4.1.1)

64-ի" Այս խնդրում/(չ) իսկ 2,(2)Հ0,

ֆունկցիանանվանումեն նպատակային ֆունկցիա,

ՀՆ2...,7

անհավասարություններն անվանում են

խնդրիսահմանափակումներ:

օ-խ«օ4Շ8":50)Հ01»-12,.,ո) բազմություննանվանում են թույլատրելի բազմություն: Խնդիրն անվանումեն թույլատրելի,եթե թույլատրելիբազմությունըդատարկ չէ (այսինքնանհավասարությունների համակարգըհամատեղելիէ 4 են ում): Խնդիրն անվանում սահմանափակ,եթե 7/(չ) ֆունկցիան -

սահմանափակ է վերնից Օ բազմությանվրա: -:4-

Իհարկե,(4.1.1) խնդրիլուծմանվերաբերյալկարելի է խոսելմիայն այն դեպքում, երբ խնդիրը թույլատրելի է ն սահմանափակ:Սակայն իրական խնդիրներ լուծելիս` նախորոք անհրաժեշտ պայմանների ստուգումըբերում է բարդությունների,ն հնարավոր է միայն խնդրի լուծմանընթացքում:

Մաթեմատիկականծրագրման (4.1.1) խնդրի համար կառուցենք հետնյալֆունկցիան,որը հաճախանվանումեն Լագանժիֆունկցիա`

Լ6.9-7(00:3548:9.

(12)

րող

(Վ,457»..41»1Հ01-Ն2...,տ: Լ.) թամբակետկանվանենք (22,415) զույգը, որտեղ «06

որտեղ 4»

եթե

բոլոր

ֆունկցիայի 4,

456 Է,",

Ք" համար տեղի ունի հետնյալ կրկնակի

անհավասարությունը ՝

Տ.127,457ՀՏԼ0Հ,4 ):

Լ,

(4.13)

Հետնալթեռրեմըարտահայտումէ (4.1.1) խնդրի լուծման ն 1(2,4) ֆունկցիայի թամբակետի գոյությանկապը: Թեռրեմ Լ(5,4)

(Կուն-Թաքերի (Ճսհո-1ս«նօւ):

ֆունկցիայի(51,41) թամբակետ,ապա գոյությունունի (4.11)

խնդրիլուծում, ընդորում

) (7), Դիցուք բոլոր Ճ.

Շթե գոյություն ունի

8.09,

այդ

լուծումը 7"

(Հ

12....ո),

բազմությունըուռուցիկէ

9.()»00»-12..ո)

-ն Է

ֆունկցիաներըգոգավորեն,

գոյությունունի 5՝

կետ,այնպիսին,

(Սլելթբրի պայման): Այդ դեպքում, եթե (411) խնդիրն ունի լուծում, ապա Լ(.,1) ֆունկցիան ունի թամբակետ: որ

Ապացույց:Նախ ապացուցենքթեորեմի առաջին մասը: Դիցուք (Օ",4:3 գույգը Լ(».4) ֆունկցիայիթամբակետնէ, այսինքն` բոլոր

46"

վեկտորնեի համար բավարարվում է (4.13)

այսինքն` անհավասարությունը, -ՏՏ-

72243415: 2Հ72943.478:22Տ5705Ւ:48.05:414 է»1

մոլ

/»1

աջ մասիցստանում Այս կրկնակիանհավասարության 46 Քր համար ն)

ենք, որ

բոլոր

Ֆ4:9.05Հ 318.0"): 1-1

Եթե

որնէ

համար

անհավասարությունը, ապա, բավարարվումԷ

(4.15)

Է-1

բոլոր

մեծ 4, կարելի է

քանի որ

Ք. («)Հ0

ունենար

տեղի

(4.15) անհավասարությունը

Թ" համար, ընտրելով բավականաչափ

(4.1.5) անհավասարությանաջ մասը դարձնել

ցանկացածչափով փոքր: Այս հակասությունիցհետնում է, 1212..ռ համար ջ,(27)Հ20, այսինքն »ճ-ն (411)

որ բոլոր

խնդրի

թույլատրելիկետ է: Այժմ դիտարկենք (4.1.4) անդամները`

անհավասարության երկու

ծայրերի

/Ֆ.5809570:Ֆ4865: Այս անհավասարությունըտեղի ունի բոլոր թվում /4 «0 համար`

(203.588. Վ

Բոլոր

բոլոր

468Քշ,

Ջ", ունենք, որ

թույլատրելիչ կետերիհամար` -Տ6-

ադ

76»):

կետերի համար ջ,(2)20,:ՀՆ2.....7,

թույլատրելի չ

հաշվի առնելով, որ 4:

չ«

Ք.(5) Հ0։ Հետնաբար,

7(ԹՀ7/ՇՑ, այսինքն` չ"

-ն

»օ6,

(4.1.1) խնդրիլուծումն է:

Այժմապացուցենքթեորեմիերկրորդմասը:Դիցուք` ճե օՀխի«

767-ոււյ(, Նշանակենք

ո":803Հ0,

29(2-/(Թ2)-/2042)

Է-12....ոյ։

դիտարկենք

հետնյալ

բազմությունը` Ե-

7 -(9»Ֆլ:-ա3)6

:Յ 6

Տ5.),

ԷՀ

0,Ն2....,ու) :

Ցույց տանք, որ 1. բազմությունըուռուցիկ բազմություն է: Դիցուք`

ֆշ)՛65Խ6.65(0,1)։ԵԽ ո«՛շ՛Շ

գոյություն ունեն

բազմությանսահմանումիցհետնում Վ

այնպիսիք, որ

ԳՈ-Օ)»՛

Նշանակենք» -Օ7

է, որ

7՛Հջ (7), ) Տջ (2)

Այս վեկտորի 1-րդ բաղադրիչի

համարկստանանք`

Քանի

որ

բոլոր

ԷԱ-0)»/Տ2.2ԴՀ(1-6)9.ՐԴ: ջ,(2),1-0,12,...ոդ

ֆունկցիաներըենթադրվելեն

գոգավորֆունկցիաներ,ապա`

Օ8.ԸԴԺԱ-6)8,ԴՀՏ(.Դ1-8»Դ: Ճ

բազմությունը ուռուցիկ է, հետնաբար`

այստեղիցհետնում է, Քանի

որ

ո-ն

որ

չ"

6.Բ:

Օ2՛Հ(14) 264,

(4.1.1) խնդրի լուծումն է, ապա բոլոր թույլատրելի

կետերի համար` ջշ(2)ՀՕ:

Այսինքն Խ

բազմությունը չի

կարողպարունակելոչ բացասականվեկտորներ,բացիգուցեմիայն0 Դ կետից,հետնաբարչի հատվում 7" .դրականօկտանտի ներքին

կետերի բազմության հետ: Ուռուցիկ անջատելիության վերաբերյալ թեռրեմից

բազմությունների Ք (տես թ.2.17

բազմությունըկարելի է անջատել ի" -ից հիպերհարթությամբ,որն անցնում է սկզբնակետով:Անալիտիկորենսա

գոյություն

այնպիսի

ունեն

միաժամանակչեն,

('.Պ»..4,)»41

նշանակում է, որ թվեր, որոնք

որ

Հ1Ն2»»20,

ՇԽ,

(4.16)

ՀՂՀ»50,

շե

(4.1.7)

(4.1.6) անհավասարությունըտեղի

վեկտորների, այդ այսինքն`

թվում

նան

ունի բոլոր ոչ բացասական միավոր վեկտորներիհամար,,

ծ' -(Լ0,0....,0), օ՛

(0,1,0....,0),

օ"Դ.-(0,0,0.....1) վեկտորներիհամար: մեջ, կստանանք Տեղադրելով(4.1.6) անհավասարության

Հօ

»»4.լՀ0,1ՀՆ2...,ուէլ: համար (ջօ(2),ջլ(2).... 9.())

Մյուս կողմից, ցանկացած«64 /.

վեկտորըբ՝պատկանում է բազմությանը: Տեղադրելով (4.1.7) անհավասարության մեջ,ստանում ենք`

Հ48,(9) 0, Տ

1-0

այսինքն`

ՃԺԹՓ-7/27Է 348050 Եթե /2 0,

ապա

այս

4։

անհավասարությունը կվերածվի -Ց8-

Հ 18.(0Հ0

26.4:

է՞լ

Սակայն դա հակասում է Մլեյթըրի պայմանին,ըստ որի գոյություն »0,:»Ն2...., ունի չ՝ 6 4, որի համար 8.) տ: Ասպիսով,Ճ »0. Բաժանենքանհավասարությունը/4ը-ի վրա ն նշանակենք 4 չ

տ Վատանանք`

1.2,...,

Հ"

/(2:3-258.Լ(..45),

(Հ Քանիոր

«6

(4.18)

ջ/(,:)Հ0,

:Հ12...,ու

ուստի բոլոր 16 Ք" համար

034865

72Տ/ Այժմ, եթե (4.18) կստանանք`

Լ(2",4):

անհավասարությանմեջ տեղադրենք «Հյ,

ՀՏ

ԱՆՑ

Տ7ՄԸՑ:

ԻՎ

Աստեղից, քանի

ԷՎ

4:»Ֆ0,ջ/,(»5)Հ0, :2Ն2..տ,

որ

են, հետնում բացասական

(19 ոչ

է, որ

Հ2րն5)-0 Է1

ԼՑ5,45)»

162) /62)4Ֆ-459.05)

(4.1.10)

Միացնելով (4.18),

ստանում

(4.19)

(4110

ենք`

անհավասարությունները,

45)ՀՆ,

Լ. բոլոր

Թ",

7ճ

45ՀԼՆՈ.,4),

կետերիհամար:

ծրագրմանմինիմալացմանխնդրում, Նշենք, որ մաթեմատիկական այսինքն

7(5)-»

8.02)Հ 0,

ւլ- Ն2,...,

264-Շի՛

տեսք ունեցող խնդրում թեռրեմի պայմաններում նպատակային ֆունկցիայի գոգավորության պահանջը փոխարինվում է ուռուցիկությանպահանջով,իսկ (4.1.3) անհավասարությունը`

Լ0.45)Հ17.45»

1027,4)

անհավասարությամբ:

Կուն-Թաքերիթեռրեմը

պարզ

շատ

խնդիրներում,այսինքն,երբ /(2),

տեսք է

ստանում

գծային

9.(2,:Հ1Ն2,...,ու ֆունկցիաները

գծայինեն: Բերենքայդ թեռրեմնառանցապացուցման: Թեորեմ 4.1.2 Որպեսզիմաթեմատիկական ծրագրմանգծայինխնդրում գոյություն ունենա լուծում, անհրաժեշտէ ն բավարար,որ գոյություն ունենա Լ(«,.1) ֆունկցիայի թամբակետ:

22. ԳԾԱՅԻՆ

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

Գծային ծրագրման խնդիրը մաթեմատիկականծրագրման խնդրի մասնավորդեպքնէ, երբ բոլոր / (2), ջյ2),յ ՀԼ...,ո ֆունկցիաները

գծայինֆունկցիաներեն: Այս խնդիրըպատմականորենընդունված է ձնակերպելհետնյալ կերպ՝ ո

Ֆ՝յ».-» )Վ

ոյ,

».«Տե

1՞Լ...ու,

չյ

42.1)

Ե Հ0,յՀԼ...ո

ՇՀ(լչՕ»-»6),

ԵՀ(ե,ե,,...Ե,),

4-վյ""

121,

(4.2.1) խնդիրըկարելիէ գրել համառոտ Այս նշանակումներով

Ե 2 -»

տեսքով`

Ոճ,

ՃՏեԵ,

(4.2.1)'

Հարկ Է նշել, որ խնդրի այս տեսքը ամենաընդհանուրը չէ, քանի որ կարող է պահանջվել մինիմալացնել նպատակային ֆունկցիան, տեսքով, սահմանափակումները կարողեն լինել հավասարությունների իսկ փոփոխականներիվրա կարող է դրված չլինել նշանի սահմանափակում: Սակայն

(.,շ)

ֆունկցիայի մինիմալացումը

համարժեք է բացասականՎՇ» ֆունկցիայի մաքսիմալացմանը,

փոխարինել երկու անհավասարություններով,իսկ նշանի սահմանափակումչունեցող փոփոխականը կարեի է ներկայացնել երկու դրական փոփոխականներիտարբերությամբ:Այդ տեսքով տրված խնդիրը հավասարությունը կարելի

ընդունվածէ անվանելգծայինծրագրմանընդհանուրկամ ստանդարտ խնդիր: Գծային ծրագրմանխնդիրներիկարնորագույնհատկություններիցէ այդպեսկոչվածերկակիությունը: խնդրի համար սահմանենք Տրված (4.2.1) կամ (4.1.1)" ատանդարտ երկակիխնդիրհետնյալտեսքով`

Հե», Ծ

ուռ,

Ֆ՝ յ): ՀՇյ։

)-Ն2....ո,

(42.2)

թ՞1

) Հ0:ՀՆ2.....ու

կամ, համառոտ տեսքով`

(,,))-»ոռո, 45»Հ6,

(4.2.2)՝

»20. Կարելի է ցույց տալ, որ իր հերթին (4.2.1)" խնդիրը (4.2.2)" խնդրի է: Իրոք, բերելով(422.2)" խնդիրը(42.1): խնդրի համար երկակիխնդիր տեսքի,կստանանք

-(,, 2)

-՞

ոոլ,

-4ՖՀ-Շ »Հ0: Այս խնդրիհամարկազմենքերկակիխնդիրը`

-(6,2)

-/425-է, 20:

ուռ,

Ակնհայտ է, որ այս խնդիրը համընկնում Է (4.2.1)" խնդրի հետ: Այսպիսով կարելի է խոսել երկակի խնդիրների զույգերի մասին, չնշելով,հիմնականթե երկակիխնդիրԷ: Այժմ բերենք մի քանի հատկություններ, ռրոնք արտահայտումեն (4.2.1) ն (4.2.2) խնդիրների երկակիխնդիրներիփոխկապվածությունը: թույլատրելի բազմություններընշանակենքհամապատասխանաբար

1լ-ովն 2շ-ով՝

«Ած8: Ճ.ՏԵ, ճ.-Սօ Լեմ 4.21 Ցանկացած2ճ 2լ,

47724):

Ք"

Ճշ համար

»6

(.,2)Հ(,))։

Քանի որ76

Ճլ,

Ապացույց:

6.չԼեմ

Ֆո )"1

ՀՖԿ "1

4.23)

42, ապա՝

Հո» )յ»"1

«ֆե»-Մ.))։

Եթե երկակիխնդիրներիցորնէ մեկը թույլատրելիէ, է: մյուս խնդիրը սահմանափակ 4.22

ապա

Ապացույց:Դիցուք (4.2.1) խնդիրըթույլատրելիէ, այսինքնգոյություն 6 Ճ,չ համար (4.23) ունի որնէ 22 ւ: Այդ դեպքում բոլոր անհավասարությունից կհետնի,որ

(,)Հ(.Դ. այսինքն,

(Ե,)

ֆունկցիան

սահմանափակ է

Համանմանորեն,եթե (4.2.2) խնդիրը թույլատրելի է, ֆունկցիանսահմանափակէ վերնից։

ապա

ներքնից:

Լեմ

Եթե գոյություն

(,շ")-Թ.)"), ապա

լոծումներն

չ5-ն

ունեն

(42.1)

այեպիսի չ Շ շղ, 6202, որ խնդրի,իսկ )"-ն (422) խնդրի

են:

հետնում Ալացույց: (4.2.3) անհավասարությունից

է, որ բոլոր

«6

համար

(6,2)Հ Ա »:)-: (ա) այսինքն ««-ն տրվում,որ

(4.2.1) խնդրի լուծումն է: Նույն եղանակով ցույց է -ն

(4.2.2) խնդրիլուծումն է:

Եթե երկակիխնդիրներիզույգիցորնէ մեկը թույլատրելիչէ, մյուս խնդիրըանսահմանափակէ:

Լեմ ճ4 ապա

մպացույց: Դիցուք(4.2.1) խնդիրըթույլատրելիչէ: Դա նշանակումէ, որ 4Ճ2ՏԵ,«Հ0 անհավասարություններիհամակարգըանհամատեղելի

թեորեմ 2.2.13 (Ֆարկաշիլեմի տարբերակ)այդ դեպքում ոչ բացասական լուծում ունի հետնյալհամակարգը` է: Ըստ

45Հ0.(5,)) ՀՕ Դիցուք, (4.2.2) խնդիրըթույլատրելի է

վեկտորը՝»՛-)ՕՖ,

(42.6) ն

Ճշ: Կազմենքհետնյալ

7»-ը (4:26) համակարգի դրականթիվ է: Պարզ է, որ

որտեղ

բացասական լուծում է, իսկ

-ն

ոչ

47/7 7Ի04/ՖՀՇ ցանկացած6, դրականթվի համար,այսինքն, 62

շ:

Մյուս կողմից

(,»)-Ս.3)Էօ0:3): Այսպիսով, Զ-ի աճմանը զուգընթաց, նպատակային ֆունկցիայի արժեքըկարելիէ դարձնելցանկացածչափովփոքր:Հետնաբար,(4.2.2) է: Ուստի, եթե (4.2.1) խնդիրըթույլատրելի խնդիրըանսահմանափակ

չէ, ապա կամ (4.2.2) խնդիրըթույլատրելիչէ, կամ, եթե թույլատրելիէ, է: ապա անսահմանափակ է, որ գծային ծրագրման երկակի լեմերից հետնում խնդիրներիցմեկը թույլատրելի է ն սահմանափակայն, ն միայն այն դեպքում,երբ թույլատրելի է ն սահմանափակիր երկակի խնդիրը: Հաջորդ հատկությունը նույնպես ցույց է տալիս երկակի խնդիրների սերտկապվածությունը: 4.2.2

Թեռրեմ4.2.Է Եթե գծայինծրագրմաներկակիխնդիրներիցմեկն ունի լուծում, ապա մյուս խնդիրընույնպեսունի լուծում: Ապացույց:Գծային ծրագրմաներկակիխնդիրներիհամար կազմենք Լագրանժիֆունկցիաներըըստ (4.1.2) բանաձնի`

246-ֆյ», ԵՇ.)-2.օ» 6): ե0.2--ֆե» «ֆայծ».121

Քանի նան

որ

«Հ(պռ,..7.)Հ0

24-(ա.մ,...1.)Հ0. ինչպես ն 4»-(1,.6»-.4.)Հ0

ՀՕ,.-1)50

փոփոխականները միննույն չափողականությանեն ն բավարարումեն նույն ոչ բացասականլինելու պայմանին, ապա, /4-ի փոխարեն վերցնելով»

-ը

իսկ 4-ի փոխարեն` )-ը, կստանանք`

նե

«Ֆ-շ

ծ -ֆոյո 6» չշ.ե», -Նֆ

յ՞1

ոյ).

-63)5 ո0.9--Ֆե: «ՖոՓ-..

չոլ

Ֆե),Ֆա լո

1211 1

Ֆ,-

ջո:

Այսինքն`

ե(»))--ՇՍ»): Հետնաբար,եթե մի խնդրի Լագրանժիֆունկցիանունի թամբակետ, Մնում է կիրառելթեռրեմ4.1.1ապա մյուսը նույնպեսունի թամբակետ: ն:

Լեմ 4.2.5Եթե (Խ.-ն Ճ'ՏԵ,4Հ.չՀ0.,)Հ0,

(4.27)

Ե 2)»- Ա ») համակարգի լուծումն է, խնդիրներիլուծումներնեն: Ապացույց: Քանի

որ

(4.2.8) «օ-ն

ապա

«ն

)

անհավասարություններին, ապա 2:

(421)

-ն

իսկ

ջո-ն՝

բավարարում

)

են

(422)

(4.2.7)

2շ: Հետնաբար,ըստ

(4.2.3) անհավասարության ՝

(.»")ՀԾ,»'): հետ մեկտեղստանում (4.2.8) անհավասարության

ենք, որ

Կիրառելովլեմ 4.2.3

-ը, ստանում

ենք լեմի պնդումը:

Թեռրեմ 422 Եթե գծային ծրագրման (42.1 ն (42.2) երկակի խնդիրներիզույգից յուրաքանչյուրը թույլատրելիէ, ապա երկուսն էլ ունեն լուծում, ընդ որում խնդիրներինպատակայինֆունկցիաների էքստրեմալարժեքներըհավասարեն: Ապացույց: Նախորդ լեմից հետնում է, ռր թեռրեմը ապացուցելու համար բավարարէ ապացուցել,ռր (4.2.7), (4.2.8) համակարգըունի լոծում: Այդ անհավասարությունների համակարգըկարելի է գրել մատրիցայինտեսքով`

4Ճ

01ՄՆՄ»

-4Մ/ Ե

-Ը

Ե Հ|-Շ

(4.2.9)

211211)

Դիցուք թեորեմիպնդումըճիշտ չէ ն (4.2.9) համակարգըլուծում չունի: Այդ դեպքում, ըստ թեռրեմ 2.2.13 (Ֆարկաշ) լուծում պետք է ունենա հետնյալհամակարգը`

| 4.

(4.2.10)

|Հ0,

-(Խօ) ՀՕ,ՆՀ0,5Հ0,սՀ0: (5,ե) Այստեղ Ֆ -ն 7դ-չափանիվեկտորէ, )5 ն դ չափանիէ, իսկ է: (4.2.10) համակարգըկարելիէ գրելհետնյալկերպ` -

-(56) ՀՕ, 47-ԱՇՀ0,-4-սեՀ0,5.եԵ)

«-ն

թիվ

(4.2.11)

ԽՖՀՕՀ0ս5Հ0:

Ցույցտանք,որ

Դիցուք

«6

է): համակարգըլուծում չունի (անհամատեղելի

այս

Ճլ նջճ

Ճշ թույլատրելիվեկտորներեն: Այդ դեպքում`

(,) Հեն)» ԱՄ», »)Հակ»), այսինքն`

(5,օ)ՀՏ (5,47)«(Խ))Հս.)).

(ծ) Հա(շ.2), (5,օ)Հսե):

Առաջինանհավասարությունից հանելովերկրորդը,ստանում ենք` 0»

Ա»)-(6, ») Հ ա(լ 6,2)-(Ֆ,))

որտեղիցս»0: Նշանակենք` ստանում

ենք`

»/

4ՀՇ

(4.2.11) անհավասարություններից

Հ0,

45ՀԵ,5Հ0,

(5,6)Հ(,Ե): Ստացանք,որ Ֆ-ն (4.2.2) խնդրիլուծումն է, իսկ 7 -ն (42.1) խնդրի հակասում լուծումն է: Սակայնվերջինանհավասարությունը է լեմ 1-ի: Այսպիսով,ստացվածհակասությունըապացուցումէ, որ (4.2.7)-ն ու (4.2.8)-ը համատեղելիէ ն, ըստ լեմ 4.2.4-ի երկու խնդիրն էլ ունեն լուծում: Գծայինծրագրմանխնդրիլուծման գոյությանմասին կարելի է խոսել է ն թույլատրելի: միայն այն դեպքում, երբ խնդիրը սահմանափակ հետնում է, Նախորդթեորեմից որ այդ պայմաններընան բավարար են: պայմաններ Որպեսզիգծայինծրագրմանխնդիրը ունենա լուծում, Թեորեմ 4.23 անհրաժեշտ է ն բավարար, որ խնդիրը լինի սահմանափակ ն թույլատրելի: Ապացույց:Անհրաժեշտությունը ակնհայտէ: Բավարարությունըցույց տալու համար դիտարկենքգծային ծրագրման ընդհանուր (4.2.1) խնդիրը:Եթե երկակի(4.2.2) խնդիրըլինի ոչ թույլատրելի, ապա (4.2.1) խնդիրըըստ լեմ 4.2.5-իկլինի անսահմանափակ:Այսպիսով երկակի խնդիրներըերկուսն էլ թույլատրելի են, ն, ըստ նախորդ թեորեմի, (4.2.1) խնդիրըունի լուծում:

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Օրինակ4.3.1: Դիցուք որնէ ձեռնարկությունկարող է արտադրելռ տեսակի ապրանքներ Այդ տեսականին արտադրելու համար են ոչ տեսակինյութեր կամ միջոցներ: Նշանակենք օգտագոոռրծվում ճ-ռվ )-րդ տեսակի արտադրանքիմեկ միավորում 1-րդ նյութի պարունակությունը,իսկ Ծ-ով այդ նյութի ամբողջ քանակը: 6 յ-ով

( ՀՆ 2,..,դ), նշանակենք

-ր/

արտադրանքի միավորից

ստացվող եկամուտը: Եթե ձեռնարկությունը արտադրանքիցարտադրել մյ) քանակ,

Ն Ճյ

եկամուտը կկազմի

Գումար:

արտադրելուհամար յ

-րդ

որոշի

նրա ընդհանուր

ապա

(» »7շչ-...ղ )

նյութի ծախսըկկազմի

7-րդ

Ֆ՝գյ

վեկտորը

յ:

Դրվում է

հետնալ խնդիրը` օգտագործելովեղած պաշարները,

արտադրելայնպիսի

վեկտոր,որ (4»2.:...1.)

ընդհանուրեկամուտը

լինի մաքսիմալ:Այսպիսով,մենքգալիսենք հետնյալխնդրի` ո

Ֆ՝օյ յ"1

-»

ոո,

Ֆ՝գյ» Տե,

1-12,..,ո

7»0:

Օրինակ4.3.2: Տրանսպորտային խնդիր:Դիցուքորնէ ձեռնարկություն ն պետք իր արտադրանքըպահեստավորելէ ոչ հատ պահեստներում հատ է այն առաքի ռ խանութներ: Մեկ միավոր արտադրանքի տեղափոխման ծախսերը1-րդ պահեստիցյ -րդ խանութ նշանակենք

--69-

Ը,»

(Հ12,..ու յ)Հ12,..,.ո)։

Դիցուք

. պահեստի

րդ

պարունակությունը 4կ-Է իսկ /-րդ խանութի պահանջարկը հարկավորէ որոշել

)2 Ֆ՝Ըյճյ

-րդ

Ց,

խանութտեղափոխվող

քանակները:Տեղափոխմանընդհանուր ծախսերը

արտադրանքիյ

կազմում են

պահեստիցյ

1 -րդ

իսկ սահմանափակումներըորոշվում

են

ն խանութների Այսպիսով պահանջարկով: պահեստների պաշարներով ստանում են գծայինծրագրման հետնալխնդիրը` -

ՏԻ «յո, ոլո,

Ֆ՝2

Հ8յ, )-12...,ո

Ճ, 1ՀԼնշ2,...-

«Հ 0: Ակնհայտ է,

որ

խնդիրը թույլատրելի է միան

7,1 ՀԽ, 1-1

պայմաններում: Օրինակ 433: Շրջիկ վաճառականի խնդիր Դիցուք շրջիկ հատ քաղաքներ,ընդ որում վաճառականըպետք է այցելի ո յուրաքանչյուր քաղաքն այցելում է մեկ անգամ: :-րդ քաղաքիցյ -րդ քաղաք

տեղափոխվելուծախսերընշանակենքԸյ-ով: Վաճառականի

յուրաքանչյուր երթուղի կարելի տեղափոխություն թվերից`

ներկայացնել որպես մի

ՔՀ|.,

Այդ երթուղու ծախսերըկկազմեն` -՛.յՉ-

" .

Ի... Շլ

ԻՇ

ՇքՀՇլ

Փաստորեն սա կոմբինատորիկխնդիր է: Եթե նշանակենք Ե -ով ո էլեմենտներից բոլոր տեղափոխություններիբազմությունը (որի հզորությունըո|-է), ապա կստանանքհետնյալ խնդիրը`

ՈՅ» քօթ

Այս խնդրինկարելի է մոտենալ նան «,

փոփոխականներ(1-12....ո: )

այլ

տեսանկյունից:Ներմուծենք

-Ն2....ո),

որոնք հավասար

1-ի, եթե վաճառականը1-րդ քաղաքիցգնում է / -րդ քաղաք, ն 0 այլ դեպքում: Քանի որ վաճառականը յուրաքանչյուրքաղաք մտնում ն դուրս է գալիսմեկ անգամ,ապա .չյ -երը պետքէ բավարարեն հետնյալ են

պայմաններին`

Ֆյ

7-Լ2...,ո,

-Լ

ԷՏ1

)Վ

ւՀՆ2...,ռ:

Աս պայմաններին բավարարող երթուղու ընդհանուր ծախսը հավասարկլինի ա

ՇԱՆՍ:

Այսպիսովստանում ենք հետնյալխնդիրը` Ո

ԳԿ

Հ՝»,ՀՆ

ՀԼՆ2....ո,

Հ» ՏՆ

1Հն2....ռ,

ՀՈՎ

զ որը

տրանսպորտային խնդրիմասնավորդեպքնէ:

ԼՈԻԾՄԱՆ

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐ:

ՍԻՄՊԼԵՔՍ

ՄԵԹՈԴ

Այժմ տեսնենք,թե ինչպեսկարելի է գտնելգծային ծրագրմանխնդրի լուծումը: Դիցուքտրվածէ գծայինծրագրմանընդհանուրխնդիրը`

2.»-Ֆոու, ». 7,

Մ)

(4.4.1)

ՀԵ, 1ՀԼնշ....ռո

:20

Տրված սահմանափակումներիցյուրաքանչյուրը որոշում է Բ տարածության մի կիսատարածություն, -հետնաբար թույլատրելի է: Քանի որ բազմությունն կիսատարածությունների հատում կիսատարածությունըուռուցիկ բազմություն է, ապա թույլատրելի բազմությունը իրենից ներկայացնումէ ուռուցիկ բազմություն: Այդ բազմությունընշանակենք2 -ով, այսինքն` «

-ե-ր, Ֆո» ւշ.ոի Տե,:Հ-

յՀ

իսկ 2 բազմությանծայրակետերիբազմությունը`24" -ով:

Թեռրեմ 44.1 Եթե (4.4.1) խնդիրը թույլատրելի է ն սահմանափակ, ապա նպատակային ֆունկցիանհասնում է իր էքստրեմալարժեքներին Ճ բազմությանծայրակետերում: Քանի որ խնդիրը ենթադրվել է թույլատրելի ն Ապացույց: սահմանափակ, ապա, ըստ 4.2.3 թեռրեմի,գոյություն ունի այդ խնդրի լոփումը: Դիցուք 24-ը սահմանափակբազմություն է: Այս դեպքում,ըստ 2.2.2, 2.2.7 ն 2.2.8 թեռրեմների,չ" ` Հ կետը կարելի է ներկայացնելՃ բազմությանվերջավորթվով ծայրակետերիուռուցիկ գծայինկոմբինացիայի տեսքով` -՛72-

ծ մտ, «67:

4»03Ֆ4-1ւ-172....1:

թ1

ենթադրության,

Ըստ

(ա»)Հ(.»),

անհավասարություններիիցառնվազն մեկը հակասություն` կստանանք

թ-ն Հետնաբար` (ա)

Եթե

ւ-Լ2.....

լինին խիստ,

այս ապա

յ-346թյՀֆ2լաի-(). -

(.,»). ւՀՆ2.... Է,այսինքն` ոււ(6.»)Հոչկօ,»):

Այժմդիտարկենքայնդեպքը,երբ 24 -ը սահմանափակբազմությունչէ:

Դիցուք Լ.Հ »«օլ

Ֆռ

6ի'

«ՇՃՈՔ,

որտեղ

այնպիսինէ, հիպերհարթությունն

հ" :Ֆռ «| Բ-եշ

(այդպիսի

հիպերհարթություն գոյություն ունի, բավականէ վերցնել գ» Քանի

որ

2-ՎՈԽ

որ

բազմությունը սահմանափակ է (

Աֆ.

բազմության կետերը բավարարումեն

ՀԳ

այդ

պայմանին ),

ԷՎ

ինչպես ն նախորդդեպքում, ,չ«-ն կարելի է ներկայացնել7 բազմության վերջավոր թվով ծայրակետերի ուռուցիկ գծային տեսքով` կոմբինացիայի ապա,

«7,

ւ Ս.

«37,

1»03՝4-51::-12....:

-Դ73-

5, -12,...Է

Այստեղբոլոր

չեն կարողպատկանել1. ծայրակետերը

-ին, այլապես կստանանք՝չ"Շ Ն, ինչը հակասում է մեր ենթադրությանըգ թվի վերաբերյալ:Հետնաբար,առնվազնմեկ չ' ն, ինչպես ն վերնում, կստանանք,որ ծայրակետիհամար ՇՎ:

Աաշ")«(.» ) ն ոոու(6,2) Հոճչ(6չ): օ4.՝

Այսպիսով, խնդիրը լուծելու համար հարկավորէ գտնել թույլատրելի բազմությանբոլոր ծայրակետերը,հաշվել նպատակայինֆունկցիայի արժեքըայդ կետերումն գտնելէքստրեմալարժեքը:

Սիմպլեքս-մեթոդիէությունըկայանումէ հետնալում:Նախ գտնումենք թույլատրելի բազմությանորնէ գագաթ ն ստուգում այդ գագաթինկից բոլոր գագաթները: Եթե այդ գագաթներիցորնէ մեկում ֆունկցիայի մեծ է, ենք այդ գագաթ ն ստուգում արժեքըավելի ապա տեղափոխվում դրա բոլոր կից գագաթները:Այս պրոցեսը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչն հասնենք մի գագաթի, որտեղ նպատակային ֆունկցիայիարժեքը ավելի բարձր է, քան բոլոր կից գագաթներում: Քանի որ գծային ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումը նան գլոբալ էքստրեմումէ, ապա լուծումըկլինի հենց այդ գագաթում:Թույլատրելի բազմությանգագաթներիթիվը վերջավորէ, հետնաբարայս պրոցեսը կավարտվիվերջավորթվովքայլերում: Այժմ անցնենք սիմպլեքս-մեթոդի ֆորմալ նկարագրությանը: Դիտարկենք սահմանափակումների հետնյալհամակարգը`

Հ զթյՀ ւՀԼ2... ՀԵ,

Հ0,շ Հ0.....2,

Հ0:

Վերջինսհամարժեքէ հետնյալհամակարգին`

»« Մ)

Ին

ՀԵ,

Հ0,չչ 50...

ւՀՆ2....ո Հ0, պ Հ0,սչ 0... -Ղգ-

Հ0:

կամ`

Ֆ՝4,» յ)

-եւՀ-ս, 1ՀԼշ...,ռ

Հ0,չչ Հ0....,»«,Հ0,

Այս համակարգում չյ

ՀՕ,

20...

Հ0:

փոփոխականներըբավարարում են

մ,

միննույն պայմաններին:Այսպիսով, ստանում ենք դ հատ գծային Կազմենք հավասարում դոդ ոչ բացասականփոփոխականներով: այդպեսկոչվածսիմպլեքս-աղյուսակը`

Գւ

Գշ

ձո

|-ե|--ա

Գոլ

Ճշ

ճո

-ե,

Այստեղ Ա, ւ-Ն2.., ԿԽ»)Հ-Լ2...ռ

-Առ

Ե|0|

ՀԽ

փոփոխականներ արտահայտվածեն

փոփոխականներով: Սակայն, եթե

մատրիցը

չվերասեռվածէ, ապա ցանկացած ու փոփոխականները կարելի է ռո միջոցով: արտահայտել մնացած փոփոխականների Դիցուքայդ միջոցովստացելենք հետնյալաղյուսակը` ,

Կ ,

Գլ ,

Գոլ

272չ

Գոշ

Շճ Զ.-.

|-ե|--կ

ճո

Օլոտ Ե՛ռո ,

ՇԱՏՑ |

-.Լ

Թ»

Այստեղվերջինաջ սյան բոլոր (բացիգուցե վերջինից)ն ներքինտողի (բացիգուցե վերջինից)բոլոր թվերը ոչ դրականեն: Այդ դեպքումայս աղյուսակը տալիս է խնդրի լուծումը: Իրոք, եթե բոլոր հավասարեցնենք 0-ի ապա ՍՀՆ2...,ռ փոփոխակաները 2,»

յուրաքանչյուր ս՛ -ը

հավասար կլինի համապատասխանՆ -ի,

հետնաբարկստանա ոչ բացասականարժեք ն այդ կետը կբնորոշի թույլատրելիբազմությանմի գագաթ: Իրոք, քանի որ », 7ՀՆ2....,ո։ աչ ՀՆ2,...,

:փոփոխականներիցյուրաքանչյուի

արժեքը

է մի հիպերհարթության համապատասխանում հավասարմանըԽ"ռ ապա հատի միաժամանակ լինելը համարժեք է ո

ում,

հատման, այսինքնտալիս է մի կետ Ռ"-ում։ հիպերհարթությունների Եթե մնացածփոփոխականները ոչ բացասականեն, ապա այդ կետը թույլատրելի կետ է: Եվ, քանիոր այդ կետըստացվումէ թույլատրելի բազմությունըսահմանափակող հիպերհարթություններիհատումից, ապա այն թույլատրելիբազմությանգագաթ է: Բացիդրանից,քանի որ բոլոր թվեր ոչ Շ, 1-Ն2,.,.ռ դրական են, ապա Ա)

2, -0,յՀՆ2...,ռ

«շմ

դեպքում

նպատակային ֆունկցիան

կստանամաքսիմալարծեք: Բերենք սիմպլեքս-մեթոդիալգորիթմի հիմնական քայլերը առանց ապացուցման: 1-ին քայլ: Դիցուք -Ել-ն մատրիցի է

-րդ

աջ

սյան ամենափոքրդրականթիվն է: 4

տողում վերցնենքկամայականյյ,

բացասականթիվ

(եթե այդպիսի թիվ չկա, ապա խնդիրըթույլատրելի չէ): Ապա բոլոր ւՀ է

համար,որոնց համար

ե,

-ն

բացասականէ, վերցնենքայն

Սօ

Ծ-ն, որի համար

այդ

հարաբերությունըամենամեծն

է:

4ո՞ն

ձնափոխությանհենքայինտարրն է՝ |, տողի հավասարումից2, արտահայտվումէ մնացած փոփոխականներիմիջոցով փոխարինում է ս, փոփոխականին: -ՂՓ-

-ն ն

Նկար 4.4.1 2-րդ քայլ:

Դիցուք Ըյ

Բոլոր չ-երի

-ն

վերջին տողի ցանկացածդրական տարը է: ե,

համար, որոնց համար -----ն 4.

բացասականէ (եթե

Ս.

այդպիսիքչկան, ապա խնդիրըսահմանափակ չէ) վերցնենքայն է-ն, որի համարայդ հարաբերությունըամենամեծն

է: Եվ նորից

Է տողի

հավասարումից յ-ն արտահայտենքմյուս փոփոխականներով: Օրինակ4.4.1: Դիտարկենքհետնյալօրինակը. ԻՃ

-՞

ոճ

3յզի 2», ՀԾ,

Ի2:Հ2,

Կ -ել

ԷՃչՏՆ

7, Հ0.

Քանի որ այս խնդրի փոփոխականները ընդամենըերկուսն են, ապա այն կարելի է լուծել նան գրաֆիկորեն:Կոորդինատային հարթության ն վրա անցկացնենք 3ռ-Ի2:-6, ԿՀ2Ե-2 -պԿՀՀ-1

ուղիղներըն գտնենքխնդրիթույլատրելիբազմությունը:Գծագրիվրա

այն գծանշվածտիրույթն է: Նպատակայինֆունկցիանիր մաքսիմալ գագաթներից արժեքըընդունում է թույլատրելիբազմության 4,8,Շ որնէ

մեկում:

(0,1):8ֆ.9:) Շ (2,0)

Համեմատելով

գագաթներում նպատակայինֆունկցիայի արժեքները, կստանանք օպտիմալ լուծոմը

գագաթում`

նպատակային ֆունկցիայիմաքսիմալարժեքը`

44.5 94 -

իկ

Այժմ նույն խնդիրը լուծենք սիմպլեքս-եղանակով:Կազմենք խնդրի սիմպլեքսաղյուսակը` Կ

27չ|1

21-6|Հ-ա

-2|)2

1 | -1|»-այ

|Հ-ռ

1|0

Այս աղյուսակումորպես հենքային տարր

նշվածը, այսինքն տեղերով փոխենք 2-ը

ընտրենք աստղանիշով ն Այ-ը: Թվաբանական

հետո կստանանք գործողություններից հետնյալաղյուսակը`

ա|վ1 -2|-4|Հ--աղ

2|0|Հ-ա

1|-1|Հ-յ,

-1|1

Այս աղյուսակըարդեն տալիս է թույլատրելի կետ, քանի որ երրորդ

սյունակի բոլոր սարրերըոչդրականեն: Վերջին տողում ունենք մեկ

դրականթիվ` 2 թիվն է: Որպես ձնափոխությանտարր պետք է ընտրենքաստղանիշովնշվածը: Նոր աղյուսակըկունենա հետնյալ տեսքը`

ալ

Ա:

5 -4|-74|-» 7 4 -174 | Հ-ա, 5 7 -75 |--"

-24 -1չ 137

Ստացված աղյուսակըտալիսէ խնդրիլուծումը: Իրոք, այստեղերրորդ

սյունակը ն վերջին տողը

2: կստանանք

ոչ -

դրականեն: Վերցնելով ա -0ս-0

ԽՀ

Այս լուծումը, իհարկե,

համընկնումէ գրաֆիկորենստացվածլուծմանհետ:

-՛79-

25.ԴԻՄԿՐԵՏ

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

Դիսկրետ ծրագրման տեսությունը ուսումնասիրում է

մաթեմատիկականծրագրման ընդհանուր խնդրի այն մասնավոր դեպքերը,երբ փոփոխականներիմի մասը, կամ բոլորը, կարող են ընդունել միայն վերջավոր թվով արժեքներ: Այդպիսի մոդելներ առաջանում են տարբերբնագավառներում, երբ, օրինակ, ստացվող լուծումը` պետք է արտահայտվիամբողջ թվերով` ամբողջարժեք ծրագրում: Այդպիսի խնդրի օրինակ է նան նախորդ բաժնում դիտարկված նշանակումների խնդիրը: Ամբողջարժեք ծրագրման խնդիրներիլուծման թվացյալ ամենապարզեղանակը` կլորացումը, հաճախբերում է օպտիմալլուծումից շատ հեռու արդյունքների:Սա է պատճառը,որ դիսկրետ ծրագրումը ձնավորվել է որպես առանձին տեսություն:

Կիրառություններիտեսանկյունից շատ կարնոր դաս են կազմում զծայինծրագրմանամբողջարժեքխնդիրները:Դիցուքտրվածէ գծային ծրագրման4.2.1 խնդիր`

»» ջո ՀԵ, -»

Ոլ,

ՀԼ...

մյ Հ0,7ՀԼ...,ո Ընդ որում պահանջվումէ, որ փոփոխականներըընդունեն միայն ամբողջարժեքներ:ՆշանակենքՕ«-ով

6-ի: ՏԻզրո Հե.. «ոյ ւ-1

յՀ

բազմության

բոլոր

բազմությունըն Շ որ

ամբողջ

(6՛ ) -ով

Օ«

բաղադրիչներով

վեկտորների

բազմությանուռուցիկթաղանթը:Քանի

գծային ծրագրման խնդիրներիլուծումը -Տ0-

ոչ

մի սկզբունքային

դժվարություն չի պարունակում, ուստի, հաճախ ամբողջարժեք խնդիրների լուծումը բերվում է գծային ծրագրման խնդիրների լուծմանը: Թեռրեմ 4.5.1: Գծային ծրագրմանամբողջարժեքխնդիրներիլուծումը համընկնումԷ -թա ա4 (6,2) ՀԻ -

յՀ

Շ(6')

գծայինծրագրմանխնդրիլուծմանհետ:

է Ապացույցն անմիջականորեն հետնում ուռուցիկ թաղանթի սահմանումից ն 4.41 թեռրեմից Որոշ մասնավոր դեպքերում այս թեռրեմը թոյլ է տալիս անմիջապեսստանալ ամբողջարժեքխնդրի լուծումը լուծելով գծայինծրագրմանխնդիր:Առանցապացույցի(տես 113))բերենքմեկ օրինակ:

դեպքում Ցանկացած ամբողջ 4 նՑյ գործակիցների է տրանսպորտայինխնդրի լուծումը ամբողջարժեք անկախ նպատակային ֆունկցիայիգործակիցներից:

Թեռրեմ4.5.2:

Ընդհանուր դեպքում 45.1 թեռրեմի պնդումը ընկած է գծային ծրագրմանամբողջարժեքխնդիրներիլուծման թվային ալգորիթմերի մեծ խմբի` այդպեսկոչված մանռնավորհատույթների բավականաչափ հիմքում: Ուրվագծորեն նկարագրենք կանոնավոր հատույթների եղանակը: Դիցուքտրվածէ

(

(0շ)-»

ոո

6Օ":

գծայինծրագրմանամբողջարժեք խնդիրըն դիցուք

ԷԴԻ" Ճ6Շ:

գծային ծրագրման խնդրի լուծումը` Կանոնավորհատույթկանվանենք

.շ-ն

ամբողջարժեք չէ:

գոյ

ՀԵ

անհավասարություն, պայմաններին`

եթե

այն

բավարարում

հետնյալ

յՀ

2)6:

ե-հ"

«ոյ

«ի

Կանոնավորհատույթըավելացվումէ խնդրիսահմանափակումներին լուծվում է գծայինծրագրմաննոր խնդիր`

(«ճ)-»ոճ

օոլ«ԷՖգայ«| ր

)Վ

Եթե այս խնդրիլուծումը նորիցամբողջարժեք չէ, ապա կառուցվում է ենորկանոնավորհատույթն լուծվում հաջորդխնդիրը:Այս գործընթացը շարունակվում է մինչն ամբողջարժեքլուծում ստանալը:Ներկայումս գոյություն ունեցողթվայինալգորիթմերըթույլ են տալիս տարրական գործողությունների միջոցով վերջավոր թվով քայլերով լուծել ամբողջարժեք խնդիրները:

Դիտարկենքդիսկրետխնդիրներինս մեկ եղանակ, որը կոչվում ճյուղերին եզրերիեղանակ:Դիցուքտրվածէ դիսկրետխնդիր`

7(2)-»ո» 260Շի"' որտեղ Օ բազմությունըվերջավորէ: Ենթադրենք,ռր մենք կարողենք որնէ

եղանակով գնահատել /

ֆունկցիայի արժեքը Օ

բազմությանվրա, այսինքն գտնել այնպիսի

(Շ)

գնահատական

(եզր), որ

7(»)Հ 4(6),».6ՕՇ: Եթե այժմկարողանանքգտնել այնպիսի չ"6Օ,որ ապա

չ'-ն

մեր խնդրի լուծումն Է Եթե

ոչ,

ապա

է2)-Օ(6),

տրոհում ենք Օ

բազմությունը Օլ,Օշ»-.Կ.բազմությունների(ճյուղավորում ենք խնդիր)

գնահատոմ

բազմությունների վրա:

յ/ (»)

Ստանում

ֆունկցիան

:ՇՇԿ

ենք նոր գնահատականներ`

)։ Քանի ՕօՕ, «(6),օ(6.)...«(6. որ

ապա

կարելիէ սպասել,

Եթե օ(Շլ12 |- տուօ(Օ.)։ այժմ կարողանանքգտնել այնպիսի «6 Շ, որ / Ը") (6. ) որ

«(`)Հօ(6)-12...հ:

11.

Դիցուջ՝ :

չ՛-ն

-Զ

մեր խնդրիլուծումն է, այլապեսայս գործընթացըպետքէ շարունակելմինչնխնդրիլուծումը գտնելը: ապա

ՕՊՏԻՄԱԼԱՑՈՒՄ

ԲԱԶՄԱՆՊԱՏԱԿԱՅԻՆ

5.1. ԽՄԲԱՅԻՆ

ԸՆՏՐՈՒԹՅԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Ինչպես նշվել է ներածությունում, խմբային ընտրության խնդիրը որոշումներընդունելուընդհանուրխնդրիայնմասնավորդեպքնէ, երբ ինչպես որոշումների բազմությունը, այնպես էլ նախընտրելիության հարաբերություններիթիվը վերջավոր են: Խմբային ընտրության խնդիրը կարելի է ներկայացնել լթհետնյալ մոդելի տեսքով`

ԱՐԻՆ»).

որտեղ՝

ՀՀԱ-ի,

իսկ

նախընտրելիությանհարաբերությունները ենթադրվում 2 բազմությանվրա: կարգավորվածություններ

են

թույլ

Առաջին անգամ այս խնդիրը դիտարկվելէ Էռոուի (ձոօա) կողմից որպես ռրնէ դեմոկրատական երկրի ընտրական համակարգի մաթեմատիկականմոդել: Չնայած վերը նշված մոդելը շատ ավելի ընդհանուր է, սակայն մենք կպահպանենքԷռոուի մոտեցումներըն ձնակերպումները:

Որոշումների բազմության Ճ,՛(-Ն2...,ոդ

թեկնածուներ,իսկ

տարրերը անվանենք

նախընտրելիության Էյ:)ՀՆ2....,ո

հարաբերությունները`անհատականկարծիքներ:Խնդիրը դրվում է հետնյալ կերպ: Ունենք ո թեկնածու ն ռ ընտրող: Ընտրողներից յուրաքանչյուրը արտահայտում է իր կարծիքը թեկնածուների վերաբերյալ`արդյունքում ստանում ենք ռո հատ նախընտրելիության հարաբերություն ո, թեկնածուներիվերաբերյալ: Այդ անհատական կարծիքների հիման վրա հարկավոր է որոշել. թե ինչպիսին է ընտրողներիհավաքականկարծիքը:Փաստորենխնդիրըհետնյալնէ՝ կառուցել արտապատկերում, որը 2 բազմությանվրա անհատական կարգավորվածությունների ցանկացած

փ-յ

համակարգին

մեջ կդնի մեկ կարգավորվածություն` »համապատասխանության խմբայինկարծիք:Այդ արտապատկերումըանվանում են ընտրական կանոնադրություն,կամ, ընդհանուր դեպքում, /նմբայինընտրության կանոն Էռոուն առաջարկել է հինգ մինիմալ պայմաններ, որոնց ներըմբռնողական պետք է բավարարիարդար պատկերացումներով

ընտրականկանոնադրությունըդեմոկրատականերկրներում: Այդ անվանում են Էռոուի աքսիոմներիհամակարգ:Դրանք պայմանները են`

1). Սիարժեքության աքսիոմ.Խմբային ընտրության կանոնը միարժեքորեն որոշվածէ բոլոր հնարավորանհատականկարծիքների

(- ) յ

համակարգերի համար:

2). Մոնոտոնության աքսիոմ Եթե անհատական կարծիքների որնէ

(-, ի համակարգին

թեկնածուներիզույգիհամարխմբային

ընտրության կանոնի համաձայն 7չ-)Ֆ, ապա եթե անհատական կարծիքները փոխվեն այնպես, որ «»-ը պարունակող զույգերի վերաբերյալկարծիքներըփոխվենմիայն ի օգուտ չ-ի, իսկ մնացած կարծիքներըչփոխվեն,ապա կանոնընորիցկհանգեցնի` 5 »-»: 3). Անկախությունչկապված այլընտրանքներից: Եթե անհատական

կարծիքների երկու համակարգերում 74:27 թեկնածուների ենթաբազմության վերաբերյալ բոլոր կարծիքներըհամընկնում են, ապա պետքէ համընկնեննան խմբային կարծիքները: 4).Բռնապետությանարգելք:Գոյությունչունի այնպիսիյց ընտրող,որ

ցանկացած7,

24զույգիհամար

չ-,

)

-ից հետնի` «չ-»:

5). Պետության ինքիշխանություն:Ցանկացածչ,»6

եթե կանոնիհամաձայն`

2 չ-

)ց ընտրող,այնպես,ռր`

»,

ապա

զույգի համար,

գոյություն ունի առնվազնմեկ`

Էյ):

ԷռոուիՄհայտնի պարադոքսը կայանում է նրանում, որ այս աքսիոմները անհամատեղելի են՝ ցանկացած կանոն, որը բավարարում է առաջին երեք աքսիոմների, բերում է կամ բռնապետության,կամ ինքնիշխանության կորստի: Բերենք այդ արդյունքնառանցապացուցման:

Թեորեմ 5.11 Գոյություն չունի կանոն, աքսիոմներիհամակարգին, եթե ոՀ2,դՀ3: -8Տ-

որը

բավարարում է 1)-5)

Ընտրականկանոններիցամենաշատկիրառվողըմեծամասնության կանոնն է: Այն կարելի է ձնակերպելհետնյալ կերպ: Կամայական Ճ զույգիհամարնշանակենք` 2,6 ո,

)) չո, -|/չ»»յի ՎՍ:ո»յ

ոթ

-2-յ

Մեծամասնության կանոնըկձնակերպվիայսպես`7 այն դեպքում, եթե` ո,»

Հեշտ

չ-

|) )

այն, ն միայն

տեսնել, որ մեծամասնության

կանոնըչի բավարարումԷռոուի հենց առաջինաքսիոմին։Դիտարկենք հետնյալօրինակը` Ճ»-լՖ»:2 2:27» 2:25:

Ըստ Ճ-),

մեծամասնության կանոնի, մենք

Ֆ-2

2-7,

այսինքն

ոչ

կստանանք` տրանզիտիվ հարաբերություն:

Մեծամասնությանկանոնը լիռվին նկարագրվում է աքսիոմների հետնյալհամակարգով` Ա

2,»6

Կանոնը միարժեքորենորոշված է թեկնածուներիցանկացած 24 զույգիհամար:

Աշ:

Կանոնըկախվածչէ թեկնածուների անվանումներից:

ԱՅ:

Կանոնըկախվածչէ ընտրողներիանվանումներից:

ն 7 զույգի համարկանոնըորոշել է, որ «-» Եթե որնէ շչ,ճ ընտրողներիցմեկը փոխել է իր կարծիքնի օգուտ չ -ի, ապա կանոնը պետքէ որոշի, որ Ճչ-): Ա 4:

Թեորեմ 5.1.2 Միակ կանոնը, որը բավարարումէ վերը բերված 4 աքսիոռմիմ̀եծամասնությանկանոննէ:

Ապացույց: Հեշտ

ստուգել, որ մեծամասնության կանոնը բավարարում է այս աքսիոմներին:Ցույց տանք, որ այն միակն է: Վերցնենքկամայականչ«,»6 Մ զույգ: Քանի որ կանոնըկախվածչէ ընտրողներիանվանումներից, ապա կարող է կախվածլինել միայն է

դրանց քանակից, այսինքն՝ դ,,դ,,դ,

թվերից: Դիցուք ինչ-որ

կարծիքների Ի-յ ի համակարգիդեպքում`ո,

աքսիոմիկանոնըպետքէ պնդի,որ

փոխի իր կարծիքն ի

դ,: Այդ դեպքում,ըստ

Այժմ, եթե որնէ ընտրող

ն «-ի, կստանանք` ո, -ո, աքսիոմի, կանոնը պետք է ռրոշի, որ «:Ճչ-)»: Ստանում մեծամասնության կանոնը: օգուտ

ըստ

ենք

Դիտարկենք մի կանոն նս, որը լայն կիրառություններ ունի փորձագիտական գնահատականների տեսությունում, սպորտի ն այլն: Դա Կռպյենդի բնագավառում (Ըօք/ոյկանոնն է Դիցուք տրված է կարծիքներիորնէ

7 նշանակենք`

(-, )

համակարգ:Ցանկացած

(0-|Ե«Ճ:5-յ չի 802 -|5«1:»-յ )

կազմենքօգտավետության ֆունկցիա`

սԹ-Տ(.Թ-809): Զ

Ըստ

Կոպլենդիկանոնի` Ճ-

Թ.

ս(ՌԹ)»ս(չ):

Այս կանոնը, ի տարբերություն մեծամասնությանկանոնի միշտ հանգեցնումէ տրանզիտիվ լուծումների, սակայն չի բավարարում ԷռոուիԱ.5 աքսիոմին: Խմբային ընտրության տեսություն հաճախ օգտագործվում է տեսությանշրջանակներում:Այն փորձագիտական գնահատականների է դեպքերում,երբ դժվար ճշգրիտ գնահատականտալ այս կամ այն որոշմանը, կազմվում է տվյալ բնագավառի մասնագետների` փորձագետների խումբ, որոնցիցյուրաքանչյուրնարտահայտումէ իր կարծիքըն այդ կարծիքներիհիման վրա ընդունվում է վերջնական որոշում:

5.2 ՎԵԿՏՈՐԱՎզԱՆ ՕՊՏԻՄԱԼԱՑՈՒՄ

Վեկտորական օպտիմալացմանտեսությունը ուսումնասիրում է որոշումներ ընդունելու մոդելի այն մասնավոր դեպքը, երբ նախընտրելիությանհարաբերություններիիթիվը վերջավոր է ն յուրաքանչյութի համար գոյութուն ունին համապատասխան օգտավետության ֆունկցիա: Այսպիսով, վեկտորական օպտիմալացմանմոդելը կարելի է դիտարկել հետնյալ տեսքով` Ւ

-Ա ել(9,սչ(9,...ա(»).որտեղ

բազմությունէ, իսկ ա (2), :-Ն2...ռ

2-ը

կամայական

ֆունկցիաները` 2-ի

վրա

որոշված իրականարժեքֆունկցիաներեն: Հարկավոր է գտնել 2 բազմությանկետ, որն ինչ-որ իմաստով մաքսիմալացնումէ բոլոր

ս(),ւՀՆ2.....ո

ֆունկցիաներըմիաժամանակ:

Կախված այն բանից թե ինչ բնագավառների է վերաբերում վեկտորականօպտիմալացման խնդիրըն ինչ լրացուցիչինֆորմացիա կա այդ խնդրի վերաբերյալ,խնդրի լավագույն որոշումը կարելի է փնտրել ըստ օպտիմալության տարբեր սկզբունքների: Այստեղ ն կդիտարկվենհայտնիսկզբունքներից մի քանիսը:Ամենաընդհանուր է (թոոօօ) կիրառվող սկզբունքներից Պարետոի օպտիմալության սկզբունքը:

«, կետն անվանում են Պարետո-օպտիմալ, 1ՀՆ2...,ո, եթե գոյություն չունի այնպիսի 7,6 24, որ ա()Հա(:) Սահմանում

5.2.1:

»«6

ընդորում այդ անհավասարություններից առնվազնմեկըխիստէ: Գործնականում, այս սկզբունքով որոշվող կետերը հաճախ մի ընդարձակբազմություն են կազմում, որն անվանում են Պարետոբազմություն: Նկարներ 5.21 ն 5.2.2-ում պատկերված են ո-2 դեպքումհաճախակիհանդիպողՊարետո-օպտիմալ բազմույուններին համապատասղանղ ապ,մչ 60օգտավետությանֆունկցիաների

արժեքներիբազմությունները:Նկար 5.2.3-ում պատկերվածէ այն դեպքը,երբ Պարետո-օպտիմալ բազմույունըբաղկացածէ միակկետից: Սա համապատասխանում է այն դեպքին,երբգոյությունունի այնպիսի կետ, որ Այս

անդ-ոտա(),ա(")Հոոասչ(»

դեպքումխնդիրըվերանում է վեկտորականօպտիմալացմանխնդիր լինելուց: ի

Կ:

Նկար 5.2.1 Նկար 5.2.1

Նկար 5.2.2

Նկար 5.2.3

Փաստորեն,այս սկզբունքովորոշվում է ոչ թե լավագույնկետը,այլ այն կետերի բազմությունը, որտեղ հարկավոր է փնտրել լավագույնը` օգտվելով խնդրի վերաբերյալստացած լրացուցիչ տեղեկատվությունից: Այն խնդիրներում, որտեղ այդ լրացուցիչ տեղեկատվությունըառկա է, այսինքն հայտնի են օգտավետության

ֆունկցիաներիհամեմատականկարնորությունները,այդ

ֆունկցիաներիարժեքներըարտահայտվածեն նույն միավորներով, կամ բերվածեն նույն մասշտաբի,շատ կիրառելիէ այդպեսկոչված սկալյարսկզբունքը: Սահմանում

5.2.2:

Դիցուք`

4»-(Ն1.»-..4.)Հ0,"4 Հյ.

կետն անվանում

են

օպտիմալ

սկալյարսկզբունքի,եթե բոլոր

ըստ

/,1--Ն2,..,Դ

կշիռներով

Ճ կետերիհամար`

անՀ: Այս երկու սկզբունքներըտրամագծորենտարբերեն թվում, քանի որ առաջինիդեպքում դուք ոչինչ չգիտեքխնդրիվերաբերյալբացի 2 բազմությունիցն մ ֆունկցիաներիտեսքից,իսկ երկրորդ սկզբունքը

կարող է կիրառվել այն դեպքում, երբ հայտնի են ֆունկցիաների համեմատական կարնորությունները, որոնք որոշվում են գործակիցներով,ինչպես նան ֆունկցիաներիչափման միավորները: Սակայն պարզվում է, որ այս երկու սկզբունքներըինչ-որ իմաստով համարժեքեն:

Թեռրեմ 521

Եթե

4»-(1.41...4.)»0, 3:4-1

«մ

որոշ

1-1

համար՝

2227Ը")ՀՖ" ճա(չ),

ապա

1-1

չ՛ -ն օպտիմալէ ըստ Պարետոի։

հակառակը`դիցուք »" -ն Ապացույց: Ենթադրենք

Պարետոի:Այդ դեպքումգոյություն ունի այնպիսի «6

աՀա"),

օպտիմալչէ

ըստ

2Ճ,որ

:5-12...,ո,

ընդ որում այդ անհավասարություններից առնվազնմեկըխիստէ: Այս անհավասարություններից յուրաքանչյուրը բազմապատկենք

4 -ով համապատասխան

գումարենք:

Քանի

որ

այդ

անհավասարություններից առնվազնմեկը խիստէ, կստանանքխիստ անհավասարություն՝

Հ՝ա

Սա

ա Ե") (2)» ՀԻ

հակասումէ մեր ենթադրությանը:

Թեռրեմ 522 ա) ւՀՆ2,...ռ դեպքում,եթե »՛

Պ-ը ուռուցիկ բազմություն է, իսկ ֆունկցիաներըգոգավորֆունկցիաներ են: Այս

Դիցուք -ն

օպտիմալէ

այնպիսի 4 Հ0,:-12...ո,

ըստ

Պարետոի,ապա գոյություն ունեն

Ֆ՝4 1թվեր, որ

Ապացույց:

ուֆ

Կազմենք

ՀՏա0թ): Վ

հետնյալ

(ա(9-տ0"),(չ09-ոչ0"3)..

արտահայտությունը`

(ա.0)-մ(53))։ Ցանկացած

կետի համար այն կարելի է դիտարկելորպես ոֆիքսած «677 չափանիվեկտոր,այսինքն` կետ Ճ" -ից։ Այդպիսի բոլոր հնարավոր վեկտորների բազմությունընշանակենք Մ -ով՝

0) 7ՀՎ(ա(9-ս

(ա0)-ս,0«)):« 1):

(ո )-ո,(5))..

Քանիոր ենթադրելենք, որ չչ" -ն Շպտիմալէ

ըստ

Պարետռի,ապա

մեջ դրականվեկտորներչկան` ՄՈՔ" -Օ։ վեկտորների

Շ(7)

այս

-ով

նշանակենք ՆՄբազմությանուռուցիկ թաղանթը:Ինչպես հայտնիէ, ուռուցիկ թաղանթի ցանկացածկետ կարելի է ներկայացնել Մ բազմության ոչ ավելի քան դՀ1 կետերի ուռուցիկ գծային կոմբինացիայի տեսքով (տես թեռրեմ 2.1.1.): Դա նշանակում է, որ

Շ(Մ)-իցանկացած

վեկտորի Խ-րդ բաղադրիչը(է -1.2....ո)

ունիհետնյալտեսքը` ոՀ1

Ֆ՝ 0, Ա (2)-սլ (")) )1

որտեղ` ոՀ1

2,6,

0Հ0:)Հն2...ոՀԼ

-1:

մ"

Այստեղից` ՈՀ)

ոչ

»:

ոչ

ռւ): Ֆ գյ (5)-Ֆ:0յսւ0 Ֆ՝ գյաւ(:յ)-Կ, յ )1

Քանիոր ենթադրվելէ,

որ

ա,(2),1 -.2,...ռ

են, ապա` -ցլ-

ֆունկցիաները գոգավոր

ոՀԼ

դՀ1

Ֆ գյա. յ)Տսլ 2Ն77 )Ղ

ոչ

Ֆ՝օ/:յ

Նշանակենք` 7՛-

-ըոտուցիկ բազմությունէ, հետնաբար,

Այսպիսովստանում

գոյություն

ունի

(ւ: Հ12.....ո)

«ԱՎ.

Ինչպես Շ

որ

Շ(7)ՈՊ:

(7)

ցանկացած,ճ

որ

այնպես, որ`

)չ

համար

Ը(Մ)

Տո(3)-ս

(2):

է, ռր եթե Մ բազմությանմեջչկան

Այստեղիցհետնում

դրական վեկտորներ, ապա նշանակումէ,

ենք,

այդպիսիք չկան

նան

-ում:

Դա

-Թ։

բազմությունը, այնպես էլ

Խ.-ը ուռուցիկ

են:

Հետնաբար, անջատելիության թեռրեմի համաձայն, այդ երկու բազմություններըկարելի է անջատելկոորդինատներիսկզբնակետով (տես թեռրեմ 2.1.7): Անալիտիկորենդա անցնող հիպերհարթությամբ

նշանակումէ,

որ

գոյությունունեն այնպիսիԲ.

միաժամանակ 0 չեն, որ

Ֆ՝ 82.ՀՕ,

Բ.ջ-:9Ծ. թվեր,որոնք

չ6.Շ(Մ),

(52.1

ՀԲ. 0.

հ:

Եթե

վերջին անհավասարության մեջ օ -(0,0....0.Ն0....0)6 2" վեկտորներ, ապա

8.Հ0, :-1Ն2....դ:

Այսպիսով,

0: Նշանակենք`

(51

1--Ժ-: շ,6

տեղադրենք

կստանանք`

Բաժանելով(5.2.1) անհավասարությունըՖ ԷՎ

-ի վրա

որպես

վերցնելովՄ բազմությանկետերը,կստանանք`

Հ 4 լո,()-ս, (")|Հ0

«օ21

բո

Այստեղից`

Հ 4.6) Հաշվի առնելով, որ

աւո), ՀՐ

«62

4 Հ0.՞Լ2,...ո,

Ֆ՝4 Հյ,

ստանում

ենք

1-1

թեռրեմիպահանջվողպնդումը: Այս երկու թեռրեմներ՝ փաստորեն փակում են օպտիմալության սկզբունքներիհարցը վեկտորական օպտիմալացմանխնդիրներում: Իրոք, ցանկացած օպտիմալությանսկզբուն, պետք է հանգեցնի կետ Պարետո-օպտիմալ կետի,սակայնցանկացածՊարետո-օպտիմալ է կարելի ստանալհամապատասխան կշիռներովսկալյարսկզբունքով:

Օրինակ5.21:

Ցանկացածարտադրականպրոցես ֆորմալ կարելի է

նկարագրել(»:)

վեկտորներիզույգով, որտեղ

ծախսերիվեկտորն,

Այստեղ2,

Հ-(»42»-.»4.)-ը

»-(3լ»3չ»-»3ո)-ըարտադրանքիվեկտորը:

1-րդ տեսակիծախսվածապրանքիքանակնէ, ),-ն յրդ տեսակի արտադրանքի քանակն է: Որպես կանոն, եղած արտադրական տեխնոլոգիանհնարավորությունէ տալիս իրագործել ոչ թե մեկ, այլ արտադրական պրոցեսներիմի ամբողջբազմություն, որոնցից ըուրաքանչյուրը բնորոշվում է իր ծախսեր-արտադրանք 0ծախսեր-արտադրանք վեկտորով Նշանակենք Ր-ով բոլոր են վեկտորների բազմությունը,որոնքհնարավոր տվյալտեխնոլոգիայի ենթաբազմություն պարագայում:Այսպիսով, Ր-ն ԽՋ""" տարածության -ն

Դիցուք Օ.-(ճ,6շ»-«0.),Թ-(1:Բ,,-5Բ.)

բաղադրիչները դրականեն:

վեկտորներիբոլոր

Եշ Ց ) զույգի համարկազմենք`

Խ»(»))-(.-(6)): Եթե ենթադրենք,որ ՛Ր-ն ուռուցիկէ, ապա տվյալխնդրիհամար վերը է ձնակերպելհետնյալկերպ. բերածթեորեմներըկարելի »

Ծախսեր-արտադրանք ցանկացած մաքսիմալացնումէ

Է,5 (5)

վեկտոր,

որը

ֆունկցիան 7 բազմության

է: վրա,Պարետո-օպտիմալ »

եթե

վեկտորը Պարետո-օպտիմալէ

գռյությունունեն այնպիսիՕ

1Ն-ում,

Ց վեկտորներ,որ

Է, ք (»,)) ֆունկցիայիմաքսիմումիկետէ:

ապա

-ը

Այս պնդումներիտնտեսագիտական մեկնաբանությունըհետնյալնէ:

Դիցուք

-նն

-ն

համապատասխան ապրանքների գներնեն ( Օ-ն

/3-ն 7-րդ Այս դեպքում 1 (5)) -ը

1-րդ տեսակիծախսվածապրանքիմիավորի գինն է, տեսակիարտադրանքիմիավորիգինն է):

կհանդիսանա (6,8 )

գներով (»»)

արտադրական պրոցեսի

իրականացումիցստացված շահույթը: Այժմ նախորդ պնդումները կընդունենհետնյալտեսքը. »

Ցանկացածարտադրականպրոցես որը մաքսիմալացնումէ Է շահույթըորնէ գներիդեպքում,Պարետո-օպտիմալ

Յուրաքանյյուր Պարետո՛օպտիմալարտադրականպրոցես է շահույթը գներիորնէ վեկտորիդեպքում: մաքսիմալացնում

53. ԳՈՐԾԱՐՔՆԵՐԻ

ԽՆԴԻՐ

Այժմդիտարկենքվեկտորականօպտիմալացման խնդիրներինձնային առումովշատ նման, սակայնիմաստայինառումով տարբերվողխնդիր: Դիցուք նորից ունենք որոշումների կամայական 2Ճ բազմություն, սակայնորոշումն ընդունումէ ոչ թե մեկ անձ, այլ ռ անձանցմի խումբ,

որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր

սեփական ա(2),:-Ն2...,դ

օգտավետության ֆունկցիան: Միմյանցհետ գործարքի մեջ մտնելով, նրանք համատեղ ընտրում են մեկ կետ 2Ճ բազմությունից: Եթե գործարքըտեղիչի ունենում, այսինքնչեն կարողանումմիմիանցհետ գալ համաձայնության, ապա 1-րդ մասնակիցըստանում է ֆիքսած կետն օգտավետություն։ Այդ ս՝ ա.6 -Ն2,....ո)

Հ-(անաո.....չ)

անվանում քվո կետ: Այսպիսով, գործարքի մոդելը ստանում է հետնյալտեսքը` են

ստատւս

-Առպլ,սչ(,..«ա.(Թ:ա.ս....սչ) ԱՇս(»)ա՞)։ -

Բնականէ, որ Լ գործարքիյուրաքանչյուր մասնակից ձգտում է ստանալ մաքսիմալ օգտավետությունն գործարքի լուծում ասելով կհասկանանքոչ թե ընտրած որոշումը, այլ օգտավետությունները, են մասնակիցները այդ որոշման դեպքում: Ր որոնք ստանում գործարքի լուծումը նշանակենք ս՛(Ի) Հ (այ,աջ,...,աշ): Քանի որ գործարքի խնդիրր էապես տարբերվում է վեկտորական օպտիմալացման խնդիրներից,ապա այս խնդրիհամար հարկավորէ սահմանելնոր օպտիմալությանսկզբունք: Հիմնական դիտարկվող սկզբունքըանվանումեն Նեշի (Վշջհ) սկզբունք: Այն սահմանվում է աքսիոմատիկորեն: ԲերենքՆեշի աքսիոմներիհամակարգը: Ա

Դիցուք

ս(Ի)

Ի(ար,ալ....,ս')-ն

գործարքի ՍՐա(թ,ո՞)

լուծումն է: Այդ դեպքումլուծումը. ա) հասանելիէ, այսինքնգոյություն

ունի չ՛.

այնպես, որ

ռացիոնալէ` սշՀա՝ 621, չունի

ս-

ս(:)

թ լոծումը անհատապես

նգ) լոծումը Պարետոօպտիմալէ` գոյություն ն այս որ ա(2)Հ (55,1 1.2,...,ռ Հ

առնվազնմեկըխիստէ: անհավասարություններից

Աշ:

Դիցուք

1-(կ,ք...ն)-ը

պ2)15-Ն2...ո

դրական գծային ձնափոխություննէ: Այդ դեպքում գործարքիլուծումը Լա" ԱՅ

Դիցու

-ն է:

«Շ2

ս" Հա(77)-նէ: Եթե ոՀ լուծումընույնպեսԱ Ա4։

ապա

ս()-ն

Լ"

գործարքի ՀԱՐոա(թ)ս՞)

է.

Եթե խնդիրըսիմետրիկէ, այսինքն ս

ցանկացածՃՇ 2 համար ն

-այ.(.)-12...ո) ն

1, 2,...,ո)բազմությանցանկացած

տեղափոխությանհամար գոյություն ունի

ա)

-աՕ).ապա

աԼա Լա՞)

գործարքի լուծումը ԱՇսՐՑ,ո՝)

ՐՀ

7",

ֆունկցիաների

այնպես,

որ

ա Հոյ.(.-12...ո):

Այս համակարգումառաջին աքսիոմը պահանջում է, որ գործարքի լուծումը լինի Պարետո-օպտիմալ,այսինքն բավարարի ամենաթույլ օպտիմալության սկզբունքին:

Երկրորդ աքսիոմըպահանջումէ, որ լուծումը անկախլինի չափման միավորից: Այդ պահանջը բնական է, հաշվի առնելով, որ ֆունկցիաներն օգտավետության ֆունկցիաներեն: է Երրորդ աքսիոմը կոչվում չկապված այլընտրանքների անկախություն Այն կարելի է դիտարկել որպես ֆոնկցիայի էքստրեմումիհատկություններիցմեկը:

Չորրորդ աքսիոմը կոչվում է արդարության աքսիոմ` եթե բոլոր խաղացողներըգտնվում են նուն պայմաններում, ապա պետք է ստանան հավասար: Պարզվումէ, որ այս աքսիոմներըբավարարեն լուծումը միարժեքորեն որոշելու համար:Նշանակենք` Ս

-խՇհ"

Հս(Թ),726

2):

Քանի որ գործարքի մասնակիցներին հետաքրքրում է իրենց ն ոչ թե կոնկրետորոշումն, ինչպես ստացվելիքօգտավետությունները

հաշվի առնելով

նան

աքսիոմի առաջին պահանջը

Ա.1

ՐՀՍՐս(թս՝)գործարքը կարելի

ապա

Ր-(Ս,ո՞)

դիտարկել

տեսքով:

Դիցութ Ս բազմություն փակ, սահմանափակ, Թեորեմ 5.31: ուռուցիկ բազմություն է: Այդ դեպքում գոյություն ուն Ա1ՆԱ4 աքսիոմներին բավարարողմիակ ս«6 Մ լուծում: նպացույց:Այստեղ կբերենքապացուցմանմիայնընդհանուրսխեման: Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ գոյություն ունի այնպիսի

սՀ(պաշ,...0.)6Ս,որ

»ս:

բոլոր

1Հ

համար:

1,2,...,ո

ԿատարենքՄ բազմությանդրական գծային ձնափռոխություն, որի ս" ս՛-ս-ս՝ դեպքում կետըկանցնիկոռրդինատների սկզբնակետ` Ս բազմությանձնափոխված պատկերընշանակենքՄ՛ -ով։ Պարզ է, Մ որ բազմություն նորից փակ, սահմանափակ, ուռուցիկ բազմությունէ: Հետնաբար, գոյությունունի 2 Ծ՛ այնպես,որ` ,

լո -ոուլլխ։

Շ.3.1)

ԱՎ

1-1

նորից կատարեն,՝ Մ՛ բազմության դրական գծային ա ձնափոխություն,որի դեպքում կետը կանցնի (1.1....1) կետի` Այժմ

ս՛Հ

ս, ս

Նոր ստացվածբազմությունընշանակենքՄ. -ով։ '

Նշանակենք`

Ս ն

դիտարկենք

բազմություն է

-ի Հ

Է" (պաշ.....Ա.)6

(Ս,0) գործարքը: Մ

Լր, -|

բազմությունը սիմետրիկ

ակնհայտորեն բավարարում է

պայմաններին:Հետնաբար,

(ն0)

աքսիոմի

գործարքի լուծման մեջ

բաղադրիչներըպետք է լինեն հավասար: Մ

ԱՃ

բոլոր

բազմության միակ

կետը, որը բավարարումէ Ա.1 աքսիոմի հավասարբաղադրիչներով Պարետո-օպտիմալության պայմանին`(1.1.....1) կետնէ: Մյուս կողմից, (53.1) պայմանիցհետնում

Մ՛ համար`

է, որ ցանկացածս:

լր,

ՀԼ

ԷՎ

այսինքն` Ս՛ՇՍ,ն, ԱՅ

Ս՛ բացիդրանից,(Ն1....1)6

Այսպիսով,ըստ

(Սմ0) գործարքիհամար:

(1.1....,1) կետըլուծում է նան աքսիոռմի,

(Մ՛,0) գործարքըստացվելէ (Մ՛.0)գործարքիցդրական գծայինձնափոխությանմիջոցով, ապա (Ս՛ 0) գործարքիլուծումը, Քանի

որ

աքսիոմի, պետք է լինի (1.1.....1) կետի նախապատկերը, այսինքնԱ̀՛ -ը Աշ աքսիոմիցօգտվելով,նս մեկ քայլ ետ կարելի է

ըստ

Աշ

(Սո")գործարքիլուծումը

կատարելն վերջնակապես կստանանք,որ

կ՛-ս՝ կետն է: Այսպիսով, ԱԼ-ԱՃձ աքսիոմներինբավարարող լուծումը գտնելուհամարհարկավորէ հաշվել

Վերադառնալով նախկին Ր»

նշանակումների,

աչԿ(4), ո՞) գործարքի

լուծումը

կստանանք,

ԿՀա(ՇՍ-,Ն

որ

որը

բավարարումէ հետնյալառնչությանը`

ոո: ԱՐօը-ս")ԱՇԹ-՛)։

«Վ

ա(մ)»ս

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ գոյություն չունի այնպիսի

սՀ(աե,,..Ա,)ՇՍ,

աքսիոմիցհետնում է, Դիցուք գոյություն

որ որ

այ»ալ բոլոր

/»12,...ռ

համար:

Ա.1

բավականէ դիտարկել միայն կետերը: `սյս՛«Ծ, երկու կետե

ունն

աջա ս յՀԱՅԱ»ա.ԱՀԱ,

1):

Այս դեպքում,քանի որ Մ-ն

ենթադրվել է

ա - աշ,»խ» ս Լ-1Ն2.....ո)

ուռուցիկ, `

շոԻշա՛

ս»

ապա

Սակայն

ստացանքհակասություն:Հետնաբար,ինդեքսների

բազմությունըկարելի է տրոհել երկու` կ

1շ

մասերի`

դ-Աօ1պ0)Տաօ 1).. Է-1-1։ Եվ ընդհանորդեպքում, Ա՛

Ս լուծումը կստանանք (աչեք Ա5)Շ

հետնյալկերպ: ս: վեկտորի1Շ

յա

մչ բաղադրիչներըստացվումեն

լն 65-ս:)» ոո »նշ

ա(չ)»ս

առնչությունից, իսկ ՄԲ կ համար՝ ս

-ս)

Հայ:

Օրինակ 5.31: Դիցուց ապահովագրական4 ընկերությունն ունի ռիսկերի պորտֆել, որի դեպքում հատուցումների Հ պատահական մեծությանմաթեմատիկական սպասումըհավասարէ5 պայմանական միավորի,իսկ դիսպերսիանհավասար է 4 պայմանականմիավորի: Ապահովագրական ՓԽ ընկերութունը ռիսկերի պորտֆելի հատուցումների 7 պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը հավասար է 10-ի, իսկ դիսպերսիան` 8-ի: Այս երկու են ապահովագրական ընկերությունները որոշում մասամբ փոխանակել իրենց պորտֆելների պարունակությունը ռիսկերը եվազեցնելու նպատակով: Դիցուք. 4 ընկերության պորտֆելի հետո` հատուցումների սկզբնականարժեքը ժլ է, փոխանակումից

Ց ընկերությանհամար` 7). Համապատասխանաբար,

7յչ: Եթե

Հշ:

ընկերություն իր պորտֆելի 2, մասը փոխանակում է 8 ընկերության պորտֆելի Թ մասի հետ, ապա կստանանքհետնյալ հավասարումները`

Ե, «(1-0) ԽՃՀ ԲՔղ, Եղ, Այստեղից երնում է,

Թ)Եղ,

ճԵճ (1-

փոխանակումիցհետռ հատուցումների մաթեմատիկական սպասումներիգումարը չի փոխվում,հետնաբար փոխադարձ հաշվարկները կարող են կարգավորվել դրամական փոխհատուցմամբ:Դիտարկենքռիսկերի հիմնական բնութագրիչը՝ դիսպերսիան:Ենթադրելով,որ պատահականՀ ն 7) մեծությունները անկախեն, կստանանք`

ք:,

որ

«(1-0

ք:

ք՞Ծղ Հա(ճ.թ),

թյ, -Օ՛Շճ, աա)

օղ,

Հս.(ճ.Բ):

Հաշվի առնելով,որ եթե գործարքըչկայանա,ապա ընկերությունների

դիսպերսիաներըկմնան սկզբնականդիսպերսիաներ`

Ծղյ-Տ.

ուստի

այս

գործարքի

(7 ելԵ2Ց ) 177 (6, 5 ):4,8) ՛Հ-

0, | 0, |

մոդելըկարելի

մոդելի

օծ

ներկայացնել

տեսքով,

որտեղ

ԿազմենքգործարքիՆեշի ֆունկցիան`

Բլւ8-(4-«(«815-ա(«8)-լ4-41-Ժ) -88|5»-«2-ՅՈ-8 | Մաքսիմալացնելովայս ֆունկցիան կստանանքհետնյալարդյունքը`

Թ-1

պայմանի դեպքում

Օ/ 0,613:

Բ" 0,387:

ա(օ,Թ)-1797:

սչ(0:,1"| «4,509:

Այսպիսով փոխանակմանդեպքում ընկերությունների ռիսկերը 2,203-ով ն (դիսպերսիաները)նվազում են համապատասխանաբար 3.491-ով: --

ԽԱՂԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ճ1.

ԽԱՂԵՐ

ԱՆԴԱՇԻՆՔ

խաղերիտեսությունըկոնֆլիկտիկամ Ինչպեսնշվել էր նախաբանում, ընդունելու է: Կոնֆլիկտային իրավիճակների տ եսություն մաթեմատիկական մոդելներըկառուցելիսառաջինհերթինհարկավոր մաթեմատիկական է կոնֆլիկտի մասնակիցներին,մասնակիցների նշել հնարավորությունները, ինչպես նան նրանցնախապատվությունները: ո -են, որոնցիցյուրաքանչյուր կոնֆլիկտիմասնակիցները Դիցուք

անորոշության պայմաններում որոշումներ

րդն ունի իր

բոլոր

հնարավորորոշումների 5, բազմությունը, իսկ

որոշումների արդյունք,

գնահատվում է

օգտավետության մ.

ֆունկցիայով Այդպիսով կոնֆլիկտի պայմաններում որոշումներ ընդունելումոդելըկարելիէ ներկայացնել

օ-Մ.Վ5/),,:ՍՆի,)

(6.11)

համակարգի տեսքով: Այս համակարգնանվանում են /խաղ,կոնֆլիկտի մասնակիցներին`

խաղացողներ: Հվ.2,....ո)

բազմություն

խաղացողների

համարներիբազմությունն է, 5,-ն անվանում են 1-րդ խաղացողի ստրատեգիաների բազմություն:Կախվածխնդրիդրվածքիցայն կարող ռ է ունենալ տարբեր կառուցվացքներ,։:1,-ն փոփոխականի

իրականարժեք ֆունկցիա շահույթիֆունկցիա:

է,

որն անվանում

են

1-րդ խաղացողի

Այդպես սահմամված խաղը խաղացվում է հետնյալ կերպ: Խաղացողներիցյուրաքանչյուրը ընտրում է որնէ կետ իր ստրատեգիաներիբազմությունից, որի արդյունքում սատացված են վեկտորն՝ անվանում Հ(ՏՏշ»-.5):5.6 Տ»-Ն2,...,ո

իրավիճակ խաղում: Այս իրավիճակում 1-րդխաղացողըստանում է մ.(5) շահույթ: Ընտրություն կատարելիսյուրաքանչյուր խաղացող ձգտում է առավելագույնշահույթի: Խաղերը միմիանցիցկարող

են

տարբերվել լինչպես հակառակորդների քայլերի վերաբերյալ տեղեկատվությամբ այնպս ել խաղացողնեի միջն պայմանավորվածությունների առկայությամբ: Սահմանում

6.1.1:

(6.1.1) համակարգովորոշվող խաղնանվանում են

նռրմալ տեսքով անդաշինքխաղ, կամ պարզապեսանդաշինքխաղ, եթե խաղացողներն իրենցընտրություններըկատարումեն միմիանցից անկախ, այսինքն չստանալով ոչ մի տեղեկատվություն հակառակորդների քայլերի վերաբերյալ, ն իրավունք չունեն պայմանավորվել համատեղգործողություններիմասին: Ինչպեսերնում է խաղիսահմանումից,խաղացողիշահույթը կախված է ոչ միայն իր ընտրած ստրատեգիաից,այլ նան մյուս բոլոր խաղացողների ընտրություններից, (որոնք անդաշինք խաղերում խաղացողինհայտնի չեն): Այսինքն, ընտրելվ Դ փոփոխականի ֆոնկցիայիմիայն մեկ փոփոխականիարժեքը, խաղացողըպետք է ձգտի ստանալու իր շահույթի ֆունկցիայի առավելագույնարժեքը: Այսպիսով, առաջին հարցը, որն առաջանում է անդաշինք խաղերը դիտարկելիս, օպտիմալության սկզբունքի հարցն է: Հիմնական օպտիմալությանսկզբունքը,որը կիրառվումէ անդաշինքխաղերում՝ Նեշի հավասարակշռության սկզբունքն է: Այն վերաբերում է ոչ թե ստրատեգիաների այլ իրավիճակների օպտիմալությանը: Սահմանում

ընդունելի

6.1.2.

Էրդ

իրավիճակնանվանումեն (50,59,...,50,....55)

խաղացողի

համար,

եթե

բոլոր

56.5,

ստրատեգիաների համար`

մ,

Հմ, (5,522. Տր ած) (52.52... 88,.աՏՏ)

Սահմանում

6.1.3:

(6.1.2)

իրավիճակնանվանումեն --(Տ0,59,...,59,....55)

Նեշի հավասարակշռությանիրավիճակ,եթե այն ընդունելի է բոլոր խաղացողնեի համար միաժամանակ, այսինքն (6.1.2) են նան բոլոր 16 7 համար: անհավասարությունները բավարարվում ըստ

Ինչպես երնում է սահմանումից,հավասարակշռությանիրավիճակը խախտելը ձեռնատու չէ ոչ մի խաղացողի համար: Հետնյալ են սահմանումը ն հաջորդող թեռրեմը թույլ տալիս ստուգել

հավասարակշռությանսկզբունքի կոռեկտությունը,, ինչպես տարանջատել խաղիԷականկողմերըոչ էականներից: Սահմանում

6.1.4:

Երկու Շ-

6՛-

նան

Մ.15.),.1), Մ.Թ), 12.) ո)

խաղերնանվանում են ստրատեցիապեսհամարժեք,եթե գոյություն ունեն այնպիսիգ»0ն 3,6 1 իրականթվեր,որ

2՛(5)-գԱ(5Ե,

(6.13)

ճ.1.1: Թեորեմ Ստրատեգիապես համարժեք խաղերում հավասարակշռության իրավիճակներիբազմություններըհամընկնում

են:

(6.13) Թեորեմի ապացույցն ակներն է Բավական է արտահայտություններըտեղադրել (6.1.2) անհավասարությունների մեջն կրճատելհաստատունները: Սահմանում

6.15.

եթե` ցումարով խաղ,

Անդաշինք խաղն անվանում

են

ճաստատուն

ա (5)

օօոչ::

Դժվար չէ տեսնել, որ հաստատուն գումարով ցանկացածխաղ ստրատեգիապես համարժեքէ զրո գումարովխաղի:

Հավասարակշռության իրավիճակիգոյությանն միակությանհարցերը են կախված կոնկրետխաղերիառանձնահատկություններից: Բերենք երք

տեսական

օրինակներ, որտեղ արտացոլվում են սահմանման հավասարակշռության իրավիճակի ինչպես դրական, այնպեսԷլ բացասական կողմերը:

Օրինակ6.1.1: /Հչանցագործի երկընտրանք:/Ծանր հանցագործության մեջ մեղադրվող երկու հանցագործներ (առաջին ն երկրորդ խաղացողներ)գտնվում են նախնական կալանքի միմիանցից մեկուսացվածբանտախցերում:Չունենալով ուղիղ ապացույցներ,

դատաքննություն՝ կարող է հիմնվե'Ր միայն հանցագործների խոստովանականցուցմունքների վրա: Հանցագործներինհետնյալ պայմաններն են առաջարկվում: Եթե երկու հանցագործները խոստովանեն, որ կատարել են այդ ապա 0հանցագործությունը, կազատազրկվեն յուրաքանչյուրը 5 տարով Այն դեպքում, երբ հանցագործներիցմիայն մեկը խոստովանի,ապա խոստովանողին ազատ են արձակում, իսկ մյուսին դատապարտումեն առավելագույն ժամկետի` 10 տարվաազատազրկման: Եվ եթե երկուսն էլ պնդում են իրենցանմեղությունը,ապա մեղադրողըխոստանումէ ներկայացնել մեղադրանք որնէ մանր հանցագործությանմեջ ն դատապարտել մեկականտարիյուրաքանչյուրին: Կառուցենք

երկուսն

այս

են`

խաղի մաթեմատիկականմոդելը Խաղացողներն երկու

հանցագործները հետնաբար, 1 -Ո,2)։

Խաղացողների ստրատեգիաներիբազմություններըերկէլեմենտ են`

ՏՀՏչ»վ0, 1,

որտեղ 1-ը համապատասխանումէ խոստովանելու

ստրատեգիաին, 0-ն՝ ժխտելու: Խաղացողների ֆունկցիաներըկունենանհետնյալտեսքը

մւ(0,0)Հ-1,

շահույթի

ք.(0,0)--1, քչ(0,1) -0,

մԷլ(0,1)--10, մուՂ0)-0,

Ճ.,(Ն0)--10,

ԱԵՂ»5.

.քԷ.(11)--5:

Դժվարչէ ստուգել, որ այս խաղումհավասարակշռությանիրավիճակ գոյություն ունի ն այն միակն է` դա (1,1) իրավիճակնէ, որի դեպքում երկուսն էլ խոստովանումեն: (0,0) իրավիճակը,որը հանցագործները է, համար,Պարետո-օպտիմալ թվում թե լավագույննէ հանցագործների է է, սակայն կայուն չէ` այդ իրավիճակից շեղվելը ձեռնտու հանցագործներից յուրաքանչյուրիհամար: 6.1.2: Ընտանեկանվեճ: Երիտասարդզույգը որոշում է երեկոն Օրինակ անց կացնելմիասին:Տվյալ պահին յուրաքանչյուրը կարող է ընտրել երկու հնարավոր վայրերից մեկը` գնալ թատրոն կամ ֆուտբոլի մարզադաշտ:Եթե երկուսով ընտրում են թատրոնը, ապա աղջկա (առաջին խաղացող)օգտավետությունըհամարենք 5 միավոր, իսկ

տղայինը (երկրորդ խաղացող) 2 միավոր: Ֆուտբոլը ընտրելու վերցնենք2 միավոր,տղայինը` 5 դեպքումաղջկա օգտավետությունը միավոր: Այն դեպքում, երբ ընտրությունները տարբեր են, օգտավետություննեը համարենք հավասար 0-ի: Եթե թատրոն ընտրելու ստրատեգիաննշանակենք 0-ով, իսկ ֆուտբոլ ընտրելու ստրատեգիան 1-ով ապա մոդելը կընդունի հետնյալ տեսքը`

12112),5:25չ-(01,

էր(0,0)-5.

Էե(0,0)-2,

էո(0,1)-0,

Է(0.1)-9,

էո.0)-0.

ԷՆ(Ն0)-Ջ0,

ԱԿՂՍ-,

էեԼ.1-5

Դժվարչէ տեսնել, որ այս խաղումունենք երկու հավասարակշռության են: իրավիճակ`(0,0) ն (1,1), որոնք,ի դեպ,նան Պարետո-օպտիմալ 6173: Օրինակ (Պիր, ղուշ) Առաջին խաղացողը պահում է մետաղադրամը:Երկրորդ խաղացողը պետք է գուշակի, թե մետաղադրամիոր կողմն է պահած: Ճիշտ գուշակելու դեպքում ստանում է մեկմիավռր,սխալիդեպքում`կորցնումէ մեկ միավոր:Եթե մետաղադրամի կողմերըհամարակալենք,ապա կստանանքհետնյալ

խաղը` 1.2),

5 Հ5չ-(01, Ալ(00)»--1, քԷչ(0,0)-1

աղ(0,1)-1,. ք.(0,.1)--1, եողն1.0)-1, ՁՃ(10)--, ուՂ1յ-1.

ՁԷԶ(11-1:

Այս խաղում գոյություն չունեն հավասարակշռությանիրավիճակներ, ինչպեսնան Պարետո-օպտիմալ ստրատեգիաներ: Այդպիսով.դիտարկված երեք պարզագույն օրինակները ցույց են տալիս, ռր անդաշինք խաղերում կարող են գոյություն չունենալ հավասարակշռության իրավիճակներ,իսկ գոյության դեպքում այն ն Պարետոկարողէ միակըչլինել: Ընդորում հավասարակշռությունը օպտիմալությունը չեն առնչվումայս խաղերում:

6.2.

ԽԱՂԵՐ

ՀԱԿԱՄԱ/Տ

Սահմանում են

Զրո գումարովերկու խաղացողիխաղնանվանում հակամարտխաղ: 6.2.1:

Հակամարտ խաղերի համար կարելի է որոշ չափով պարզեցնել նախորդկետումբերվածսահմանումները:Իրոք, քանի որ հակամարտ խաղերումմիշտ երկու խաղացողեն, ապա (6.1.1) խաղի սահմանման մեջ կարելի է չնշել խաղացողների1 բազմությունը:Այդպիսով,մոդելի սահմանման մեջ կմնաներկու բազմություններն շահույթի երկու` էկ ն

Էշ

ֆունկցիաներ: Սակայն, քանի

սահմանումիցհետնում

է, որ

ռր

զրո

գումարով խաղի

մ, Հ-ք/|լ, ապա մոդելում կարելի է նշել

միայն առաջինխաղացողիշահույթի ֆունկցիան:Վերջնականապես հակամարտխաղիմոդելըկընդունիհետնյալտեսքը`

ՇՀԱՆԻՈ):

(62.1)

7-ը Այստեղ 24-ը առաջի, իսկ երկրորդ խաղացողի է, ստրատեգիաների բազմությունն 71-ը առաջինխաղացողիշահույթի ֆունկցիան: Խաղացողները միմիանցից անկախ ընտրում են «2 ն համապատասխանաբջար Արդյունքում երկրորդ խաղացողըվճարում է առաջինինՄ

ավարտվումէ:

ֆշ չ)

շահուրթ: Դրանով խաղն

Հակամարտխաղերումհավասարակշռության սահմանումընույնպես պարզեցվում է: Իրոք, հավասարակշռության իրավիճակի (6.2.2) սահմանումիցհետնում իրավիճակէ, եթե

է, որ

(Ե,»)

կետը հավասարակշռության

ու,»)Հոյ(ա»»օ

մ,

էչ2շ,5)ՀՈւՐ",»),6օ5: Հաշվի առնելով,

որ

Մշ (».)--Ե(.))

միավորելով

այս

անհավասարությունները, կստանանքհավասարակշռությանիրավի ճակի սահմանում հակամարտխաղերում:

Սահմանում

622:

իրավիճակն անվանում

են

իրավիճակհակամարտխաղերում, եթե բոլոր հավասարակշռության ն չ»օ 7-ի համար այն բավարարում է հետնյալ կրկնակի անհավասարությանը`

ո(ա»)ՀոՐ»)ՀԱՆ",)):

(62.2)

Այժմդիտարկենքօպտիմալությանմեկ այլ սկզբունք,:Դիցուք արաջին խաղացողնընտրել է որնէ «6 Ճ Եթե երկրորդ խաղացողինորնէ եղանակովհայտնի դարձավ այդ կետը, ապա ակնհայտ է, ռր նա կընտրի 6

4-ջ ուռԱ

(2.Ֆ) (այստեղ ենթադրվումէ,

որ

(7, ))

ֆունկցիայիբոլոր էքստրեմումները հասանելիեն): Այսպիսով,առաջին «Շ 2, չի կարողապահովելիր շահույթը խաղացողն, ընտրելովորնէ

Ընտրելով «՛6 ումոմ(ո,»)։

ավելին, քան

4-ջ ոճվուո տո,

)օ7

(2.)|

առաջինխաղացողիապահովածշահույթը դառնում է նվազագույնը

ոոլուո տն

)օի

(2.»)| Հլ:

Մյուս կողմից,ընտրելովորնէ «7,

առաջինին ավելին, քան

»՛6 47ջ

18:

մ (.. »)) ուոլոոճ «ի

Ան

նա

ոլո» մ (5,1) ՀՖչ:

երկրորդ խաղացողըչի վճարի

էշ))

հետնաբար, ընտրելով

կվճարի առաջինինառավելագոյնը

դեպքում, երբ Խ Հչ-Ն,

առաջին

խաղացողն ունի ստրատեգիա,որի դեպքումկստանանվազագույնըՖ շահույթ,իսկ երկրորդխաղացողնունի ստրատեգիա,որի դեպքում չի վճարի առաջին խաղացողինԽ-ից ավել: Եվ այս դեպքում (երբ ՋՀՖչ25)

ն)՛ ստրատեգիաներըկարելի է համարելօպտիմալ:

Այս սկզբունքն անվանում

սկզբունք:

են

մաքսիմալ ապահոված շահույթի

է, որ հակամարտխաղերումայս երկու օպտիմալության Պարզվում սկզբունքներըհ̀ավասարակշռությանսկզբունքը ն մաքսիմալ

ապահովածշահույթի սկզբունքը համարժեք են: Ապացուցենք այդ փաստը:Նախ մեզանհրաժեշտկլինի հետնյալօժանդակպնդումը: Լեմ

621:

Երկու փոփոխականիցանկացած Է(».))

ֆունկցիայի

համար

(5): Ա" (2.))ՅԱասք տաք1ոք -։

Ցանկացած ֆիքսած «Է ապացույց: Է

նբոլոր

«6

համար

(2,)Հասքմ(2):

Այժմ ֆիքսենքորնէ «6 Ճ Քանի որ նախորդանհավասարությունը է ցանկացած բավարարվում ֆիքսած 6 Մ համար,ապա

ոքո(ա))51(սջռ (»3)): -:

Այս անհավասարությունը ճիշտ է ցանկացած ֆիքսած7Շ նան այնճիշտ է Տսք -ի համարըստ 26 27 հետնաբար

էշ )) (ոք(2,)| լոր տաք (աթո .

Թեորեմ

ճ22.

գոյությունունենա

-: Հ

Որպեսզի հակամարտ

դեպքում,

(6.23)

Օ-(ԱԱՖ.Ա)

խաղում

ձավասարակշռության իրավիճակ,անհրաժեշտէն

բավարար,որ գոյոթյունունենան

ոճ».Լոք| (2,չ)

հավասարլինեն

ուրտսքՍ (2,») կրկնակիէքստրեմումները:

,«

Ապացույց: Անհրաժեշտություն: Դիցուք. ՕՀ

ա 1,1 )

գոյություն ունի հավասարակշռության իրավիճակ,այսինքն

իրավիճակ,որը բավարարումէ

ո ա»ՀոՐ.»)ՀԵՐ».))

խաղում

(2",»") (6.2.4)

ն չ67 «6Ճ անհավասարությանը բոլոր աջ մասըճիշտ է բոլոր անհավասարության

համար: Քանի որ Մ համար,ապա՝

ոլ» ) Ս01Հ: )Հոքհ(»)։

ՍՎ.

Եվ,քանիոր այն Ճիշտ է չ"՛ կետում,ապա այն առավելնս Ճիշտ է ճշգրիտվերինեզրիհամար,այսինքն` Հոր Խ",))Տտսթմոք (2): (.»)Հոքա(".»)Տաթոքո(»»)

Է")

այս

նան

6.2.5 625)

Նույն եղանակով6.2.4 անհավասարության ձախմասիցկստանանք` Է

(,:)Հաքա(2»:)2ւոքտսքըո(2,)): նո») Նեջջթաջոլա»)թաքաքք

Միացնելով(6.2.5)

ն (6.2.6)

ստանում անհավասարությունները,

աբլոք (»))Հչոլ» մ

Հո»

(6.2.6)

ենք`

տսք /՛(».») » լոքաքմ(»)): չօ1

Սակայն6.2.1 լեմից հետնում է, որ երկու փոփոխականի ցանկացած ֆունկցիայիհամար տեղի ունի հակառակ անհավասարությունը: Այսպիսով, եթե խաղում գոյություն ունի հավասարակշռության

իրավիճակ, ապա

«սքլոք Մ(»»)-ոք«քք՛(».)) ռ

)

01.

(6.2.7)

Բացիայդ,

ՏսքւոքՍ .

սւյլ

)ՏԷ

Վե թիաջո էլ ) 01..: ) լորաքք(չ. )(628) -մոք

Ն.

հետնաբար, կրկնակի էքստրեմումներիարտաքին էքստրեմումները ստանում են ենք, հասանելի (շն 5 կետերում) ն վերջնականապես որ

ոռւոոք 1(ո))-րաքն(»)):

Բավարարություն: Այժմ ենթադրենք,

ուր Տսք Մ (2, 2)-ը

ունեն

գոյություն

էքստրեմումներիգոյությունիցհետնում կետերիգոյութունը,որոնցհամար`

ռ էշ )) -ը ոճ. մոք

որ

ոօ

հավասար

Արտաքին

են:

է այնպիսի 2»՛6 2

7՛67

ու ԼոքԷՐ, ))-ուհ(, )), ուոտսք մ(5) Է

(7):

սքա

Ճշգրիտ վերին ն ստորին եզրերիսահմանումիցհետնում Ճ նջ. 7 համար Հ ոուոքհ՛(»») ոքՄ(»,))Հո2 ,

ուոչսքԱ(2,») -սքմ(»)՛)Հ «7

է, ռր բոլոր

,Ֆ),

6.2.9 62»)

Է(.»):

Քանի որ այս անհավասարությունները բավարարվումեն բոլոր ն »67 համար, ապա բավարարվումեն նան 7,624 ն

«6

»՛6Ֆ

մեջ ն անհավասարությունների հաշվի առնելով,որ ըստ թեորեմիպայմանիկրկնակիէքստրեմումները հավասարեն, կստանանք

համար:Տեղադրելովայս կետերը6.2.9

ոո յ

(».») -

1ոք 1 )«ի

ուոտսթք

Տեղադրելով կրկնակի էքստրեմումների անհավասարությունների մեջ, ստանում

ԷՐ»):

Մ(ա,)՛)

(6.2.10)

արժեքը (629)

ենք, որ

Ա(ո»ԴՀԱ(ՐՆ»)ՀԷՍ»)) բոլոր

«62

»67

համար Այսինքն,

հավասարակշռության իրավիճակէ

(՛, »)

ՇՕխաղում:

իրավիճակը

էշ

Հետնանք: Դիցուք

»" ) -ը

հավասարակշռության իրավիճակներեն ՕՀ

դեպքում

(", 7)

Ե՛ »)

(շ,»") -Ա(՛»)-

երկու

(Ճ,ե..Զ ) խաղում: Այդ

խրավիձճակները նույնպես

նհավասարակշռության իրավիճակներեն Է

(7, 5) -ը

(4.53)ո -

Այս պնդումն արդեն ստացվելէ թեորեմի ապացուցմանընթացքում: հետնում է, որ Իրոք,6.2.8հավասարումներից

(ոչ (7,)) 4ոջու»(ոչ (2.)), 4ոջ

ոռ.

:՛6

47ջ

)՛6 ճջ

ոլո

ռո Հի

Էք (»,)) ) (աջճնո ,

Ն,«վ

Նվ

է, որ շահույթի ֆունկցիայի արժեքը Իսկ (6.2.10)--ից հետնում հավասարակշռության իրավիճակում հավասար է կրկնակի հետնաբար, էքստրեմումների ընդհանուր արժեքին, շահույթի ֆունկցիայի հավասարակշռության բոլոր իրավիճակներում արժեքներընույնն են:

6.3. ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

ԽԱՂԵՐ

Հակամարտ խաղերում հավասարակշռության իրավիճակների գոյությանխնդրիդիտարկումըսկսենք մասնավորդեպքից` վերջավոր հակամարտխաղերից: Դիցուք ՕՀ ա չԷ .2Զ) խաղում 2 նի բազմությունները վերջավոր Ի

այսինքն` 2

են,

ՀՎ»...

ՀՎջլ,)ու-.),): ` Նշանակենք ո(5.3,)» հ):

7Հ1Լ2.....ռ:

15-12,...,ո:

Այսպիսով,յուրաքանչյուրվերջավորհակամարտխաղին

հ)"

կհամապատասխանիորնէ մատրից՝

Եվ հակառակը,

151.....ո

դիցուք տրված է որնէ 77»4դ չափսերի 17 մատրից: Այս մատրիցը կարելի է դիտարկել որպես հակամարտ խաղ, որտեղ առաջին Օդ հատ խաղացողն ուն ստրատեգիա (տողերի թվին դ հատ համապատասխան)երկրորդխաղացողնունի ստրատեգիա (սյուներիթվին համապատասխան), իսկ առաջինխաղացողիշահույթը ,

(.,յ )

յ:

իրավիճակում հավասար է

Այսպիսով, յուրաքանչյուր

մեջ վերջավորհակամարտխաղինկարելիէ համապատասխանության դնել մեկ մատրիցն յուրաքանչյուրմատրիցկարելիէ դիտարկելորպես հակամարտխաղ: Այդ պատճառովվերջավոր հակամարտ խաղերն անվանումեն մատրիցային խաղեր: Մատրիցային խաղերի դեպքում նախորդ բաժնի սահմանումները

կընդունեն հետնյալ

տեսքը`

հավասարակշռության իրավիճակ է, յՀՆ2...,ո համար`

հ» Հ հշ

(1,յ")

եթե

բոլոր

իրավիճակը ւ-Ն2....ռ:

հչյ:

Հաշվի առնելով,որ վերջավորբազմություններիվրա էքստրեմումները միշտ հասանելի են, հավասարակշռությանիրավիճակի գոյության անհրաժեշտն բավարարպայմանըկընդունիհետնյալտեսքը`

ոու ուդ իչ: յ իչ, ողո յ ոճ». -

Սակայն,ինչպեստեսանքթիվ 6.1.3 օրինակում,նույնիսկպարզագույն խաղերումհավասարակշռությանիրավիճակ կարող է գոյություն չունենալ:Այդ օրինակումբերվածխաղիմատրիցնայսպիսինէ՝

"4 Հեշտ Է ստուգել, որ

այս

խաղումոճ. ուոհլ,Հ--1, ա

ոմո ուհ,

)

այսինքն առաջին խաղացողի մաքսիմալ ապահոված շահույթը հավասար է -1-ի, իսկ երկրորդ խաղացողինը` 1-ի: Ընդլայնենք խաղացողներիհնարավորություններըն թույլ տանք նրանց ոչ թե ընտրենկոնկրետ տող կամ սյուն, այլ տողերը ն սյուները ընտրեն որոշակի հավանականություններով:Դիցու. առաջին խաղացողը

մատրիցիառաջինտողն ընտրում է քթճ 0.1|հավանականությամբ, իսկ երկրորդ տողը 1-ք

հավանականությամբ:Այս դեպքում, եթե երկրորդխաղացողնընտրիառաջինտողն, ապա առաջինխաղացողի շահույթի մաթեմատիկական սպասումը հավասար է

-Եեք-

1.(1թ) Հ1-2ք, -

երկրորդտողնընտրելուդեպքումշահույթի

մաթեմատիկական սպասումըհավասարէ 1»քԻ

(-1):Ըթ) -2ք-1: -

Բոլոր դեպքերումառաջին խաղացողիշահույթի մաթեմատիկական սպասումըկլինի ոչ պակաս,քան

ոԼով1--2ք,2ք-1)։Հեշտ է տեսնել,

հասնում է առավելագույնարժեքի ք արտահայտությունը 1/2 ն դեպքում հավասարէ 0 -ի։ Այսպիսով,ընտրելովտողերըհավասար հավանականություններով, առաջին խաղացողնապահովում է իր համար0-ից ոչ պակասշահույթի մաթեմատիկական սպասում: Բայց ճիշտ նույն կերպ կարող է գործել նան երկրորդ խաղացողը,որը ընտրելովմատրիցի սյուները հավասար հավանականություններով կարողէ վճարելառաջինինոչ ավել, քան 0: Այսպիսով,օգտագործելով այսպիսի հավանականային ստրատեգիաներ 6՛։խաղացողների ապահովածշահույթները հավասարվումեն: Այս օրինակը որոշակի հիմքերէ տալիս հավանականայինստրատեգիաներօգտագործելու որ այս

համար:

չափսերի 1/Մմմատրիցայինխաղումառաջին խաղացողի /խառն ստրատեգիա է կոչվում ոչ բացասական Սահմանում

քՀ-

71201

6.3.1:

(թ. 2շ»:...

քո

): ք,

»0,:ՀԼՆ2.....ու

Ֆ՝ք,-1

վեկտորը:

ԻԼ

Նմանապես, երկրորդ խաղացողի/նառն ստրատեգիաէ կոչվում

բացասականզ «(զզչ»-«զ.): զ

ՀՕ.) -12...ո:

ոչ

Ֆ գյ51

վեկտորը:Այստեղ ք,-ն 17 մատրիցի 1-րդ տող ընտրելու,իսկ զյ-ն 7-րդ սյուն ընտրելու հավանականութուննէ: Առաջին խաղացողի բոլոր

խառնստրատեգիաների բազմությունընշանակենք5, -ով, իսկ

երկրորդխաղացողիբոլոր խառնստրատեգիաների բազմությունը 5, -ով, այսինքն`

Տո

Ֆ212 -ՎԵ-(.թ»«0.« -ե-(զլչզչ:-5Վ.6 :Ֆ՝գ,-փ ի"

Է,

«լ

տարբերությունխառն ստրատեգիաների, խաղացողիկողմից տողի կամ սյան համարի ընտրությունըանվանում են խաղացողիմաքուր ստրատեգիա:Առաջինխաղացողի1-րդմաքուր ստրատեգիան կարելի Ի

է դիտարկելորպես ք

ք.-Նքչ-0,է դեպքում Տ,

«ւ:

-(ք., թշ...»քո) խառն ստրատեգիա,որտեղ

Մաքուր ստրատեգիաիայդպիսի սահմանման

բազմություն, հանդիսանում է առաջին խաղացողի

ստրատեգիաների բազմութան ուռուցիկ թաղանթը: Նմանապես, 5, բազմությունըհանդիսանումէ երկրորդ խաղացողի մաքուն

մաքուր ստրատեգիաների բազմությանուռուցիկթաղանթը:

Խաղացողի շահույթը խառն ստրատեգիաների պայմաններում սահմանվումէ, ռրպես շահույթի մաթեմատիկական սպասում: Քանի որ հակամարտխաղերում խաղացողներըգործում են միմիանցից -1լ4-

անկախ,

առաջին խաղացողի

ապա

հյ

շահութ

ստանալու

հավանականությունը (թ,զ) իրավիճակում հավասար հետնաբար,շահութի Մ հետնյալտեսքը` հ

( ,զ) ք

թյզյ,

մաթեմատիկական սպասումը ունի

(ջ,գ)-Ֆֆրհ, :

Ան դեպքերում, երբ խաղացողներիցմեկն ընտրում է մաքուր

ստրատեգիա,այսինքն

2 յ ). (,զ)

տեսքի իրավիճակներում

խաղացողի շահույթըկընդունիհետնյալտեսքը`

ոնց-ֆգ: ո(»)-Ֆոո,. )Հ

Ակնհայտէ,

որ

է(ք.զ)-ֆտունգ) -Ֆու(».))զ,

Սահմանում են

Մատրիցայինխաղիխառն ընդլայնումանվանում հետնյալհակամարտխաղը 6.3.2:

Հ(5,.5,.Ք(:զ)):

Այժմ անցնենք հավասարակշռությանիրավիճակների գոյության խնդրին: Նախ ապացուցենքերկու լեմ: Լեմ

(Խառն ստրատեգիաներիանցմանլեմ): Եթե առաջին

ն Ը իրականթվի համար խաղացողի որնէ քճ 5, ստրատեգիայի

(ք.))Հօ.յՀն2...ո, ԱԷ բռլոր ապա

զ6

ՀԸ: 5, համար Է՛(թ,զ) -1լ5-

Եթե երկրորդխաղացողիորնէ զ

իրական թվի

ն Շ 5, ստրատեգիայի

նամար

(.զ)ՏօւՀԼ2...ու, ԷԱ բոլոր ապա

քճ

Տ, համար Ա(ք,զ)Հ«։

նսպլացույց:Բավական է ապացուցելլեմի առաջին մասը: Դիցուք զ

Է: երկրորդխաղացողիկամայականստրատեգիա Հ-(զ,զշ»-..զ,)-ն

Այդ դեպքում`

է(ջ,զ)ՀՀ.ո(.))« յՀ

ՀՆ

-«Յ

)Վ

Լեմ 13.2: (Լեմ երկընտրանքիվերաբերյալ):12«ո

չափսերիցանկացած մատրիցիհամարտեղիունի երկու այլընտրանքներից մեկը. Գոյություն ունի այնպիսի քՃՏ,

բոլոր

ԷԼ(ք,20

վեկտոր, որ

Հ Ն2,....ռ համար:

Գոյություն ունի այնպիսի զճ Տ, վեկտոր, որ 1Հ

1,2,....

տ համար:

(,զ)Հ0

Ապացույց: Դիցու. Ա-ը կամայական 7»«դ չափսերի մատրից է: է Մատրիցի սյուները կարելի դիտարկել որպես 71-չափանի վեկտորական տարածությանկետեր` եթե 111-ով նշանակենք7-ի յ -րդ

սյունը,

7ՀԼ2....ո:

այսինքն`117

-(դյշհյ:-Խը),ապ,

ՍՄ

ի":

6 -ով նշանակենք Թ"-ի միավոր վեկտորը,որի 1-րդ

բաղադրիչըհավասարէ1-ի, իսկ մնացածբաղադրիչները հավասարեն 0-ի Ջ"

տարածության

սահմանված -ն

ո Ի ու

Է,յՀ-12....ո

6,ՀՆ2,..,

տայդպես

կետերիուռուցիկթաղանթընշանակենք Շ -ով։ Ը

փակ ուռուցիկ բազմանիստ է

Դիտարկենք երկու

Պ"-ում

իրարամերժ դեպքեր.

(տես Ք"

սահմանումը):

տարածության

սկզբնակետ կամ պատկանում պատկանում::

բազմությանը կամ չի

1. 02 Ը:

0-ն

Այս դեպքում,քանիոր Շ-ն փակուռուցիկբազմությունէ ն չի պատկանումայդ բազմությանը,ապա ըստ անջատելիության

թեորեմի(տես թեռրեմ2.1.4 ),

(1,2)-0 (Ն 2)»0։

կետովկարելիէ անց կացնել

հիպերհարթություն,այնպես,

բոլոր

որ

Անալիտիկորենդա նշանակում է,

որ

շ6Շ

համար

գոյություն ունեն

/1,/2....4,,

0չեն, որ իրականթվեր, որոնքմիաժամանակ

Ֆ424»0,6Շ

(63.1)

1-1

Եթեորպես 2 կետերվերցնենքՀ',/

(.Հ)-4»0

1.2,...,ու կետերը,ապա`

ւՀԼ2...ո:

Նշանակենք`

ք----:1ՀԼ2....ռ:

»:4. է»1

Ակնհայտ է, ՔՀ

( .լ։

»՝ ք,

քշ,....

ք»0:.

որ

ք,

)

Տ":

:»Լ2...,ո,

Ֆ՝ջ, Հ1,

Բաժանելով (6.3.1) անհավասարությունը

վրա,կստանանք` ո

հետնաբար,

3-42.Ֆ՝5,2»0։ -

Բ1

էՎ

(41

վերցնելով /1/,ՀՆ2...,ո

Այս անհավասարությանմեջ որպես Հ կետերը,վերջնականապես կստանանք`

թհ, 0ՀՖ՝

Մ(ք,)):

Այսպիսով, այն դեպքում, երբ ՕՔ: Շ, երկընտրանքը:

12... ստանում

ենք լեմի առաջին

2.Օ06-Շ:

Այս դեպքում սկզբնակետըկարելի է ներկայացնել Ը բազմությանծայրակետերիուռուցիկ գծայինկոմբինացիայիտեսքով: Շ Քանի ո բազմության ծայրակետերի բազմությունը

11.յ-Ն2,...ո

.9շ.-Ն2,...ո

վեկտորների բազմության ենթաբազմություն է, ապա սկզբնակետըկարելի է ներկայացնել հետնյալ կոմբինացիայիտեսքով

0ՀՖ՝2չշՖէ»1 11,

որտեղ

8, Հ0,

4, Հ0ԷՀ12...,ու

)-12...ո

ծ" 0.Ժ5:6.-1

Այս հավասարություն, վեկտորական է: Եթե այն գրենք ըստ կոորդինատների, կստանանք հավասարություննրի հետնյալ համակարգը

0-6,

Իծ-/յհ,.1-12,...:

Այստեղից,քանիոր

Ֆ՝ 8

բոլոր

են, Զ, -երը ոչ բացասական

ՏՕ, 1-12...

-11լ8-

(632)

ապա

(633)

ք.

)ՀՆ2....ո

գործակիցներըոչ բացասականեն

չեն կարող

հավասարլինեն զրոի, այլապես(6.3.2)-իցկհետնի, որ միաժամանակ գործակիցներընույնպես հավասար են զրոի, բոլոր Օ.,:-Ն2....,ու ինչըկհակասի Ֆ.0,փ: Նշանակենք`

է-1

)Վ

պայմանին:Այսպիսով, )՝

8,0

զյ---1

2,6,

)Հ1Լ2...,ո:

ԱկներնՂ Է

որ

զՀ(զլզ:

զ,Հօ./-Ն2,.." )ՑՏ`

այսինքն,

կողմից.

Մյուս

Ֆզյ-Ն

բաժանելով

(633)

անհավասարությունները Ֆ՝գ,-ի վրա,կստանանք Վ

Իջ 2,6, շխ

-Ա(,զ)Տ0, |

ւՀ

Լ2...,ռ:

)

Այսպիաովապացուցեցինքլեմի երկրորդ այլընտրանքայինպնդումը

նս:

Այժմ անցնեն, մատրիցային խաղերի հիմնական թեորեմի ապացուցմանը: հոստշոոՕ Թեորեմ 631 (ֆոն Նեյման-Մորգենշթերն(0 օո 1(Թոջճոջէ6ող)): Ցանկացածվերջավորհակամարտխաղում գոյություն ունի հավասարակշռության իրավիճակ (ընդհանուր դեպքումխառն ստրատեգիաներով):

Ապացույց:Դիցուք տրված է որնէ 7»0դ չափսերի 11 մատրիցով վերջավորհակամարտ խաղ: Այդ մատրիցի համար պետք է մեկը: բավարարվի երկընտրանքիվերաբերյալլեմի այլընտրանքներից Դիցուքկատարվումէ լեմի առաջինայլընտրանքը,այսինքնգոյություն

ունի այնպիսի քճ 5"

Ա(ք,))Հ0

վեկտոր,որ

բոլոր

յ -Ն2,...ո

համար: Քանի որ այս անհավասարությունն՝տեղի ոնի )ՀՆ2.....ռ համար, ապա, ըստ լեմ 6.3.1-ի, տեղի ռնի նան զՃ Տ"

համար՝

մ(ք,զ)Հ0

հետնաբար,նան

բոլոր բոլոր

(թ.զ)Հ0։

ուռ /Մ/ զօՏ"

Այս անհավասարությունը ճիշտ է ք կետիհամար, հետնաբար`

ոուուռ 1 (ք.զ)20 Այստեղ էքստրեմումի գոյություն՝ կոմպակտությունից:

(634)

բխում է

բազմությունների

Այն դեպքում, երբ 17 մատրիցիհամար բավարարվումէ

6.3.2

լեմի

երկրորդ այլընտրանքը,այսինքն գոյություն ունի այնպիսի զ6 5" վեկտոր, որ 1

(,զ)Հ0

1 -1,2,...,

բոլոր

տհամար, ապա,

ինչպես ն

առաջինդեպքում,կստանանք,որ

ուր ոգ:Է(թ,զ)Տ0:

(635)

Այսպիսով,ցանկացած/Մ վերջավորմատրիցիհամարտեղի ունի կամ (6.3.4)-ը,կամ (6.3.5)-ը: Հետնաբար, ոչ մի մատրիցիհամարհնարավոր չէ, որ միաժամանակ ոչ

ուռ1 (ք,զ)Հ0

քօՏ" զօ"

ոռոչ: Մ(ք,զ)»0: ՇՏ" քօՏ"

Այսինքն, ոչ մի մատրիցիհամար չի կարող տեղի ունենալ հետնյալ կրկնակիանհավասարությունը ոճ

գ)

ոլո Ք ((7 ք,զ)ՀՕՀոաւոտշւ

քօՏ" զօՖ"

զՇՏ"

բճՏ"

գ)

(7 Զ(ք,զ):

6.3.6 )

Դիցուք Շ-ն կամայական իրական թիվ է. 1 մատրիցի բոլոր Շ-ն ն տարրերիցհանենք ստացվածմատրիցընշանակենք /Մ՛-ով։ Քանի որ (6.3.6) կրկնակի անհավասարությունըչի կարող տեղի ունենալ ոչ մի մատրիցիհամար,ուստի այն չի կարող տեղի ունենալ նան /1՛ մատրիցի համար: Մյուս կողմից,

Դ-ՏՖ.(, -Հ)զ, -

ՀԻՏթեզ, չոլ

յո1

Բ1

/Վ

քզյ-

)-«օ)- ոչ ոչ քՀՏ" ոո(Ա(ք,զ զճՖ"

Տ"

ուռ հ՛(թ.զ)-«. «6Տ"

(11(ք,զ)-«)- ուռ ուոոո ոքաջ"տ1 (ք,զ)-« զօՏ" քօջ"

Այստեղից,ոչ մի 17 մատրիցին ոչ մի իրականՇ թվի համարչի կարող տեղիոնենալհետնյալկրկնակիանհավասարությունը`

(թ,զ)-Շ ոուոո11(թ,զ)-Հոլոոոչ -ՇՀ0

ք6Տ"

կամ

ոու ք (.զ): ոոուռՒ(ք,զ)ՀՇ Հոմո Հետնաբար ցանկացած117մատրիցիհամար`

ոո: ուոՍ (ք,զ)Հ ուռ քՀՏ" գո" ոչ

Մ(բ.զ):

Սակայնմյուս կողմից, երկու փոփոխականիցանկացածֆունկցիայի համար(տես լեմ 6.2.1) Տ ոլոոու ոռ:ուռ է (ք.զ) է(թ.գ):

Այսպիսով, ցանկացած17 մատրիցիհամար

ոոուռ(թ.զ)- ուը ույ (բ.զ):

(63.7)

Հաշվիառնելով,որ մ -ը կամայականֆիքսածմատրիցէր, ն կրկնակի էքստրեմումների գոյության հավասարությունը հավասարակշռության ն բավարարպայմաննէ, թեռրեմիպնդումըապացուցված անհրաժեշտ է:

Մատրիցաին ՍՄ խաղում կրկնակի էքստրեմումներիընդհանուր արժեքը կոչվում է /խաղի արժեք ն Սահմանում

63.1:

նշանակվումէ

7(ո ) -ով`

Մ(1)ոււուռի(թ.գ)քօՏ"զ6Տ" որդու (թ.գ): Բերենք խաղի արժեքի ն խաղացողներիօպտիմալստրատեգիաների մի շարք հատկություններ: Առաջին խաղացողի օպտիմալ

(ո ) -ով, երկրորդինը`

ստրատեգիաների բազմությունընշանակենք1

(է ) -ով:

Հ.1. Ցանկացած17 մատրիցային խաղում`

ոո»: ոլոհ, ՀՄ (1) Հուոոջ»հյ: յ

Այս պնդումըհետնում է այն փաստից,որ մաքուր ստրատեգիաների բազմությունըխառնստրատեգիաների բազմությանենթաբազմություն Է:

Հ.2. Եթե որնէ ք

Տ" ստրատեգիայի ն իրականԸ թվի համար մ

(ք,))Հօ

)՞Ն2...,ո,

ապա՝ Մ (ո) ՀԸ: Եթե որնե զ.

Տ" ստրատեգիայի ն իրականՇ թվի համար Է

(.զ)Տօմ՞Լ2,..,ո,

ապա՝Մ(Ա)ՀՀ։ Սույն պնդմանապացույցը սկզբնական մասը: Հ.3. Դիցուք որնէ քճ Տ",

կրկնում է հիմնականթեորեմի ապացույցի ն իրականԸ թվի զճ Տ" ստրատեգիաների

համար

(զ)Հ«ՏԱ(Ք)),ւ-12...,ու

յ -Ն2...,ո

(638)

Այդ դեպքում`

քա

1ՌՈ,զօ2(1),«-7(1)։

(63.8) անհավասարության աջ մասը նպացույց: Քանի որ է յ/-1Ն2...,դ համար, ապա ըստ խառն բավարարվում բոլոր ստրատեգիաներին անցման լեմի, այն բավարարվումէ նան բոլոր

զ65`. «Տ

համար ն,

Ա(ք/զ՛): ն, ադ

«-«Ա(ք,զ)

բոլոր

ստրատեգիայի համար`

12,...,7

համար, հետնաբար,նան

բոլոր

ՇՀԱ(քզ՛)։ Այսպիսով,

բավական է (63.8) անհավասարությանմեջ Շ-ի

Որպեսզիք՛6՛1 (է Ա

թվում, ք՛-ի համար՝

փոխարեն տեղադրել2 Հ.4.

զ՛

թվում,

Նմանապես, (6.38) անհավասարությանձախ մասը

բավարարվումէ

քճ5"

այդ

(ք՛,զ՛): է ն բավարար, որ ), անհրաժեշտ

(ք))Հ7 (1),

)Հ12,..ո:

(63.9)

Որպեսզիզ 612 (Է ) անհրաժեշտէ ն բավարար,որ ,

(.զ)ՏՄ(1),ւ512,...:

Ապացույց: Օ։09Ապացուցենք հատկության միայն առաջին մասը:

Անհրաժեշտությունը անմիջականորեն հետնում

հավասարակշռության իրավիճակի սահմանումից: Մյուս կողմից, մատրիցային խաղերիհիմնականթեորեմիցհետնում է, որ 7շ (ո )-ը դատարկչէ: Դիցուք`

օպտիմալէ,

զ 617(ո )։

Այս դեպքում, քանի

որ

զ՛-ը

ապա

(«.զ)ՏՄԱԼ,Հ

Ն2...,-:

հետ, (6.3.9) անհավասարության Միացնելով այս անհավասարությունը խնդիրը կբերվինախորդհատկությանը:

Թեռրեմ

Դիցուք յյ-ն

63.2:

երկրոռդ խաղացողի որնէ մաքուր

չափսերի Է մատրիցային խաղում: Այդդեպքում

է 12«ո ստրատեգիա

կամ առաջին խաղացողն ունի այնպիսի

օպտիմալ

»27(ո1կամ երկրորդխաղացողնունի ու(9',).)

ստրատեգիա,որ

զ6Ն(1)

ք'6Ն (ո )

)կ-րդ բաղադրիչը

«շպտիմալ ստրատեգիա, որի

զ.

ձավասարէզրոի`

-0:

Ապացույց: Ընդհանրությունըչխախտելովկարելի է ենթադրել, որ

7(ճ ) -0ն

Հո:

ԴիտարկենքԸ ուռուցիկ կոնը, որը ծնվածէ Է"

տարածության միավոր

-12,...ու

վեկտորներով

մատրիցի 117, -12....,ո

պուներով։Դիտարկենքերկու դեպք՝ --11՞ վեկտորը կամ պատկանումէ Ը կոնին, կամ չի պատկանում:Եթե -Ա"ՔՇ, ապա գոյություն ունեն այնպիսի ոչ բացասական 6. .1ՀՆ2,...ռ: Թյ»)-Ն2...,ո-1թվեր,որ -Ա"

«Ֆ-զթն) ւ Ցոշ, Վ

է»1

կամ ո-1

-հ-զլ Սա

նշանակումէ,

ԻՖ՝յհ,

ՒՀՆ2....ռ:

ռր

ո-1

Ֆ՝ 8յհյէհ,

--ՕչՀ0,ԷՀԼ2...ո:

Նշանակենք`

4, --Զ-,

"2.5

)ՀԼ2,..,ո-1:

«4--ա-:

"25

Ակնայտ

է,

զ Հ0,

որ

5՞ ն բոլոր զ: -(զզը:-«զ5)Օ Է

ՀԼ2....,ո.

Հ»

12.....ու

ո-1

(զ Պ»-Ֆ-8-ԽՀ-Ն-հ,--ք ("մ Հ. ԿԵՑ ֆո Վ

2.7 Հ-1,

ԻՆ

յ"

այսինքն,

համար

|3 ե ո-1

զ 612 Ն ) ն եր»0։

Հետնաբար, ըստ 24-ի,

Այժմ ենթադրենք,որ -/1" օ Ը: Այս դեպքում,քանի որ սկզբնակետը ուռուցիկ կոնի ծայրակետէ, ապա, ըստ անջատելիությանթեռրեմի, սկզբնակետովկարելի է անց կացնել հիպերհարթություն, որն

անջատումէ --)/" վեկտորը Ը կոնից:Դա նշանակումէ, ռր գոյություն ունեն այնպիսի 1, 1ՀՆ2....,ու թվեր,որոնքմիաժամանակզրո չեն, որ բոլոր

«(22,2

)6 Շ

համար

Հ0

(63.10)

34 (-հ,) ՀՕ։

(63.11)

Եթե որպես 2Ճճ Ը կետերվերցնենքբոլոր

«7,

ապա կստանանք,որ 4, Հ0, :»1,2,..., վեկտորները,

Ֆ՝4 »0:

:-12....ու ն, հետնաբար,

Նշանակենք` քոՀ-2-: Անմիջականորեն ստուգվումէ, »:4 Բլ

քո20,ւՀՆ2.,...:

212Տլ:

որ

Հ4. վրա,

Այժմ, եթե (6.3.10) անհավասարությունները բաժանենք

ւՀ

որպես ՀՇ Ը կետերվերցնենք17,

-12....,.ո

վեկտորները,ապա`

Հ ոի, է(թ,))Հ20ՀՆ(1),)ՀՆշ2,..ո։ -

ԷՀ

Հետնաբար,ք-

(քք,քջ,...ք յՀո (ո )

իսկ(6.3.11)-իցկստանանք՝

(51

քհ,

օպտիմալ է, ստրատեգիան

»0:

Է(ք',յ)»ՆՄ(է)։ Այս դեպքումերկրորդխաղացողնունի օպտիմալզ" զլ,զջ...«զ5)

Հետնանք: Դիցուք ք ՇՏ"

որեէ յց -ի համար

որտեղ զ ՀՕ: Եվ հակառակը,եթե երկրորդխաղացողի ստրատեգիա, բոլոր ապա

օպտիմալստրատեցիաներումյց բաղադրիչըհավասար է զրոի,

համար Ա օպտիմալ

ճՏ" համար` է

(ջ.յ)»0

Դիցուք զ

Տ"

որնէ էյ

(..զ")ՀՄ(ճ)։ Այս դեպքում առաջինխաղացողնունի ք

հակառակը,

(ք), ք... թ)

եթե

ստրատեգիա,որտեղ

Խառաջին ց խաղացողի

բոլոր

Հ0:

6 օպտիմալ

ստրատեգիաներումե բաղադրիչըհավասարէ զրոի, ապա զ 6 5՛ ստրատեգիաի համար Է|

ՀՆՄ Ն (..Գ5)

)

Վերը շարադրված հատկություններըորոշ դեպքերումօգնումեն լուծել մատրիցային խաղերը: Օրինակ6.3. 1: Դիտարկենքհետնյալխաղը:Երկուխաղացողները միմիանցիցանկախընտրումեն 1, 2,3,4, 5) բազմությանթվերիցմեկը: Շահույթի 1

ն յ) ) ֆունկցիանհավասարէ ի յ -

ներկայացնել5245 չափսի մատրիցիտեսքով`

Այս խաղըկարելիէ

Հեշտ Է տեսնել, որ

այս

խաղումոո. ողոհ, -0, :

ուոտոհ յ

-2,

ուստի հավասարակշռության իրավիճակմաքուր ստրատեգիաներում գոյությունչունի: Ըստ

Հ1

հատկության` ՕՀ

(մ ) Հ

2: Նայելով խաղի

պայմաններին, կարելի է գուշակել, որ երկրորդ խաղացողըպետք է ընտրի միջին թիվը` 3-ը, իսկ առաջին խաղացողը` ծայրի թվերը: Ստուգենքերկրորդխաղացողիմաքուր` յ" ՀՅն առաջինխաղացողի խառն`քո

(0,5:0: 0:0:0,5)ստրատեգիաները:Հաշվենք`

ո՛(թ',3)»2։Է(թ'))Հ2,7-12:34.5:8(:3)Հ21512,3545: Այսպիսով,

ո(53)ՀԵ(»:3)ՀԵ(»)ի15-123:4.5)-12:3,45: Հետնաբար, ըստ

Հ.3

հատկության, յ 23

ստրատեգիաները օպտիմալեն

այս

խաղումն

ք »(0,5:0:0:0:0,5)

5(11)-2

Որոշ մասնավորդեպքերումմատրիցայինխաղերըկարելի է լուծել

գրաֆիկորեն: Դիտարկենք(2»Հո) չափսիմատրիցայինխաղ`

սրե, Խշ

եյ

ե,

Այստեղ առաջին խաղացողի խառը ստրատեգիան կարելի է ներկայացնել (ջ,1- լ) տեսքով ն խաղի արժեքըկստանահետնյալ

տեսքը`

(ք)

ՄՀ

"(ՄՌՀոուոո Ւ(ք.))-՛տտւուո( քհյՀ(1թ)ե,յ): կռռրդինատային հարթության

քհՍՒՈ-ք)հյ,.

/-Ն2,..ո

ուո(բկյԱ-ք)հ,յ)

մեջ

կացնենք

գտնենք

այս

բեկյալի

ողիղները

բեկյալը Ակներն է,

առավելագույնարժեքըըստ ք6

անց

որ

հավասարկլինի խաղիարժեքին, |0,1|

իսկ առաջին խաղացողի օպտիմալ ստրատեգիանհավասար է

(թ.1- ք),

որտեղ

ք'-ն այն կետն է,

որտեղբեկյալըհասնում

իր

առավելագույնարժեքին:Երկրորդ խաղացողիօպտիմալստրատեգիան ն խաղի կարելի է գտնել, օգտվելով օպտիմալ ստրատեգիաների արժեքիհատկություններից:

6:32: Օրինակ

Բ-ի ի

(թ.7) կռորդինատայինհարթությանվրագծենք Ժ(բ,))Հ 77Հն2:3 ուղիղները (տես նկ. 6.3.1)` 7-4 քՀ(Լ- ք),

ք),

73քՀՅ(1-

7»

քփ4(1-ք):

Նկար 6.3.1

Նկարիվրա հաստ գծովնշված է

բեկյալը։Գծագրից ուո//(ք,7)

թճվօ| տիրույթում համապատասխանումէ »-«ՍՄ(ք1)ն »ՀԺՄ(ք,Յ)ուղիղների հատման կետին: Համատեղ լուծելով »»-4քթՀԻ(1-ք)ն հավասարումները, քԻ4(1-ք) ստանում ենք` ք" »:0,5:5" 2,5: Այսպիսով`(ԷՄ) 2,5, իսկ առաջինխաղացողի օպտիմալստրատեգիան (0,5:0,5)խառնստրատեգիանէ: երեում է,

որ

բեկյալի մաքսիմումը՝

»-

Այժմ գտնենքերկրորդ խաղացողիօպտիմալստրատեգիան:Հաշվենք

ո(թ',)).) 2,3 շահույթները՝ (ք",1)»-0,5-440,5-1» հո 2,5:Ա(ք".2)-05-340,5-3-3։ ո (ք",3)-0,5:140,5-4» 2.5: Մ -3» Քանի թեռրեմ6.3.2 -ի, երկրորդ (մ), ապա, (թ',2) Հ

որ

ըստ

խաղացողիզ"

զչ ն զ

օպտիմալստրատեգիայումզ9-Օ, Հ(զք,զծ,գի)

իսկ

հետնյալ բաղադրիչներըկարելի է ստանալհավասարումների

համակարգից`

4գ ԷԳ: «25 զ

Լուծելովայն, ստանում

փ4զյ -2,5.

ենք` զյ

0,5:

զ: -0,5:

Այդպիսով,երկրորդ

խառն խաղացողի օպտիմալստրատեգիան(0,5:0:0,5)

է: ստրատեգիան

Օրինակ 6.33: Անկյունագծայինխաղեր Դիտարկենք մատրիցային խաղ,որի մատրիցնունի անկյունագծային տեսք`

որտեղ գ,»0,ՀՆ2,..,դ:

Գնահատենք

առաջինխաղացողնընտրելէ ք դեպքում ըստ 2.2

բոլոր

1,2,...,ռ

հատկության` Մ (ո

ք" «(թքչ։.ոք,)

(/ դ,յ/ո,...,1/ ո)

համար

)»

2.1

Այս ստրատեգիան:

է(թ.)) »--գյ ո

»0, հետնաբար,

0: Եթե առաջինխաղացողիօպտիմալ

ստրատեգիայումորնէ բաղադրիչ, օրինակ 1

(թ'ե)

բաղադրիչը,հավասարէ զրոի, ապա` 117 Հ4

խաղի արժեքը: Դիցուք

հատկությանը, քանի

որ

0: Սա հակասում է

Մ(Ամ)»0։ Այսպիսով,

առաջին

խաղացողիօպտիմալ ստրատեգիայիբոլոր բաղադրիչներըպետքէ լինեն խիստդրական:Հետնաբար,ըստ 6.3.2 թեռրեմիհետնանքի,եթե երկրորդ խաղացողի օպտիմա ստրատեգիան նշանակենք

«(զզչ»-«.),

Միացնելով

այս

ապա` Է(.զ)Հ-7(8)Հ12...ո:

գծային հավասարումների համակարգին

նան

Ֆ՝ զ Վ

հատ

Հ 1 հավասարումը,կստանանքոՀՎ1

ոՀ1 փոփոխականներով

գծային հավասարումների հետնյալհամակարգը Գզ-Ն, Ճշզշչ ՀԵ,

Հեշտէ ստուգել,որ համակարգիլուծումը հետեյալնէ`

ՓՀ-4.

ՎՀ-Լ2,.ու

Ն0ՈՀ--Լ-:

21/4,

` 1/6,

Այստեղիցհետնում է, որ երկրորդխաղացողի օպտիմալստրատեգիաի բոլոր բաղադրիչներըխիստ դրականեն, հետնաբար,օգտվելովնույն

հատկությունից,երկրորդ խաղացողի ք" -(քլ» թչ։..»ք,) օպտիմալ ստրատեգիաի համարկստանանք ՝

ք------,

ւՀԼ2,...ո:

)2 1/6,

է|

Օրինակ6.3.4: Դիտարկենքհարձակում-պաշտպանություն տեսքիմի վերջավորխաղ:Դիցուք ունենք դ օբեկտներ,որոնքպաշտպանության Դա կարիք ունեն կարող են լինել ինչպես ռազմական կամ տնտեսական, այնպեսէլ ինֆորմացիոնբնույթի:Հարցակվողը(առաջին խաղացող)հարցակվումէ այդ օբյեկտներիցմեկի վրա: Պաշտպանը (երկրորդխաղացող)այդ պահին կարող է պաշտպանելօբեկտներից միայն մեկը: Ենթադրենք, որ 1-րդ օբեկտիարժեքը 4,-է, գ, »0, ւՀ

Ն2....,դ,

իսկ հարցակմանգինը Ե »0: -

Այս իրավիճակըկարելիէ

ներկայացնել մատրիցայինխաղիտեսքով`

րք

-Ե

Գ-Ե

զ-Ե

Գլ-Ե

42-Ե

գչ-Ե

գ.-Ե

4չ-Ե

4.-Ե

.-Ե

գ,-Ե

4,-Ե

Ստրատեգիապեսհամարժեք խաղերի վերաբերյալ հետնում է, որ խաղըհամարժեքէ 17՛ մատրիցովխաղին`

թեորեմից

Հաշվենքկրկնակիէքստրեմումները`

ոո»ոլոի, --0,

հ, ոլո ոու»

ոուվօ,,1-12,..,ո):

Այսպիսով, Մ խաղում չկա հավասարությանիրավիճակ մաքուր ստրատեգիաներում,հետնաբար խաղացողներըպետք է կիրառեն

ք"

խառն ստրատեգիաներ: Փորցենք գտնել

զ:

ե զ:

աջ

(ք քչ ,

ք, ).

2.»

ռրոնքկբավարարեն զ. ) ստրատեգիաներ,

ո՛(եզ-5»Ո՛(թ,7խ,1-12,...,ույՀՆ2...ո համակարգին: Ակներնէ, հավասարումների

լոծումներ, որոնք բավարարեն ք" 6

որ

եթե ստանանք 5,

Տզո5.

ըստ

կլինեն օպտիմալ ստրատեգիաներ, իսկ

-ն

ԿազմենքՄ

պայմաններին,

օպտիմալստրատեգիաների3-րդ հատկության,

ապա,

(ք՝,) )

ՏՖ,

)ՀՆ2.....ռ

թյճլ

)2 ք.4:

-Ն,

Ն:

քյճ

Ն,

Բոռ

)2 ք Լ

ք"-նն

խաղի արժեք

հավասարոմների համակարգը`

»-ն՝`

քն

Այսհամակարգըկարելի է գրել հետնյալ տեսքով`

5`քլ Հ»-քլգլ,Է ՀՆ2,..յո

Ֆ`ք. -1: Վ

Որտեղից`

ք---1 զ

Լ,

էՀ-Լ2,..ո:

5»

"6. Գ

Ա՛( զ)

Այժմ դիտարկենք

ՏՖ,ԼՀՆ2,...,դ

համակարգը`

գջ գյ57, յ"

,Ֆ-զ,

Այն կարելիէ ներկայացնելհետնյալտեսքով`

4.(1-գ.)Հ,,է-12...,ո

-ծ0-ծ0ծ-

«առաս

51:

Որտեղից`

ք. ՇՏ,»

Դժվար չէ ստուգել, որ

սակայն

զ -ի

պատկանելիությունը

5, -ին պետքէ ստուգվի:Մասնավորապեսդիտարկենքո ենթադրենք,որ գլ

4շ

գլ »1։

դեպքըն

Տարանջատենք երկու դեպք`

1գ.»-25զա ԼԶ 2.4:Հ----

ԳլԷԳ

Առաջինդեպքում`

Հ1-

գլ

1. 111 ձ.

գ, 11.1

1-5

Գ,

գ:

»0,

-»լ-

«1--Յ--»ւԿավ

գլ

»0, Պ

-ր

1-4, 1.1 Գ.

հետնաբար,զչ »0,1 12,3,

լտ

Գ.

ն,

լվ

«1-

զ: -1-

6չ

Հ1---Յ-

46չ

այսինքն`զ: Շ Տ,,

/Թ)Հ--լ: ,

1 Իգ

ԻԳ

Պլ6շ

Երկրորդ դեպքում, երբ ճյՏ

օպտիմալ՝

ԳլՒՑշ

օգտվելով 6.32

ստրատեգիաներըր փնտրեք

«(զզչ,0) տեսքով:Լուծելով

թեռրեմից,

թ՛«(քյք.0),

աՀ, զե Հ7, քլ ՀՆ, ճչ-ՆԽ ք Իք.-1 զՀզչ-1 հավասարումների համակարգը,կստանանք`

ք»-

զ:

Տ. ,զ5-

ՀաշվենքՄ՛(ք`,).)-12.3

ԻՃ

5.6. -

ճ,

արժեքները` 1՛(Իզ՞).1-12,3

Զ162 -»,2՛(ք՝,2)»46,ԱԶ", է՛(ջ',1)-«էո

ո՛("3-ԱԻ ԱԵ» ե՛(զ՝.1)-ԼՆ ո(2)յ-ո-ՀԻ ո՛(գ",3)Հ զգ.Էզչգլ-- որրան Հո.

օյ

Այսպիսով,երկրորդ դեպքում,օգտվելովօպտիմալստրատեգիաների

վերաբերյալերրորդ հատկությունից, ստանում իրավիճակըհավասարակշռության իրավիճակէ, ն

ենք,

որ

(ք՝,զ՞)

(ԵԴ-ի Մ(Ռ-շԲթ--Է:

Ընդհանուր դեպքում, երբ դ-ը նմանատիպ վերլուծություն:

կամայական է, պահանջվում է

Հետնյալ թեռրեմը ամբողջությամբ նկարագրում է ստրատեգիաների բազմությունները:

Թեռրեմ

օպտիմալ

Մատրիցայինխաղերում խաղացողների օպտիմալ

6.33:

ստրատեցիաներիԷ

(ո ) ,շ (ո )

բազմությունները

ոչ

դատարկ,

ն ուռուցիկբազմություններեն: փակ,սահմանափակ

Ապացույց:Բազմություններիոչ դատարկլինելը հաստատվել է (6.3.1) թեռրեմով: 1

(ո ) 1. (ո )

բազմությունների սամանափակությունը

բազմությունները ան փաստից, որ այս ն 5" Տ" սահմանափակբազմությունների համապատասխանաբար ենթաբազմություններ են: Ապացուցենք ոռուցիկությունը: Դիցուք է

հետնւմ

ք ք՛61(1)

նե

Տ"

բազմության ոռուցիկությունից

ք"-ՕՁք՛Գ(1-ծ)ք՛ՅՏ"

է, որ

հետնում

ԶՓ(01)։։

Ցույց տանք,

ստրատեգիան օպտիմալէ: Իրռք,բոլոր յ «1,2,....ռ

(ք.))-Օ1(թ./)ՀԱ1-Փ8( ՀՕՆ(ո):(1-2Ն(1)-Ն1(3: մ

Այստեղից,ըստ Հ.4-ի, ք 61 Այժմ

ք ք՛ ,

որջ

ք'

կետին: Քանի Տ"

)ՀՆ2Չ,...,ո

համար

(ք ) (ո )

բազմության

կետերիհաջորդականություն,որը զուգամիտումէ ք" որ

հաջորդականության կետերը պատկանումեն

բազմությանը,որը փակ է,

5" -ին. մ

7.))Հ

տանք փակությունը: Վերցնենք 7

ցուց

որ

( ք,) )

ապա

քճ կետընույնպեսկպատկանի

ֆունկցիանգծայինէ

ըստ

ք-ի, հետնաբար,բոլոր

համար

նռք(թ'.))-ճ -

նան

քանի

ք 6 7 (11,

որ,

(ջ,))Հ7(1),

ապա

է Հ12....,

ուստի`

նորիցկիրառել2.4 հատկությունը: Նման

եղանակով

ուռուցիկությունըն

յ/-1Ն2,...,ռ

բոլոր

ապացուցվում

1(ջ',))ՀՄ(1)։ 1(Սմ)

համար Մնում

բազմության

փակությունը:

Հետնանք:Ցանկացածմատրիցայինխաղումկամգոյությունունի միակ օպտիմալ ստրատեգիա,կամ դրանք անվերջ շատ են: Այս փաստը

անմիջապես բխում է

տ(ո

)

(ո )

բազմությունների

ուռուցիկությունից: նս մեկ հատկություն,որը Դիտարկենքօպտիմալ ստրատեգիաների հաճախհեշտացնումէ խաղերիլուծումը:

Կասենք, որ առաջին խաղացողի 1-րդ մաքուր ստրատեգիանգերադասելի է է-րդ մաքուր ստրատեգիաիցն Սահմանում

6.3.2:

նշանակենք`1 չ-

յ -երի համար հյ Հ

եթե բոլոր

ընդ որում այս

Նմանապես, անհավասարություններիցառնվազն մեկը գերադասելիէ 1-րդ երկրորդխաղացողիյ -րդ մաքուր ստրատեգիան մաքուր ստրատեգիաիցն կնշանակենք` յչ»-1, եթե բոլոր 1-երի խիստ է:

համարհ, Տլ,

ընդ որում

այս

առնվազն անհավասարություններից

մեկըխիստէ: Հետնյալթեռրեմըբերենքառանցապացուցման:

Թեռրեմճ6.3.4: Դիցուքմատրիցայինխաղում առաջինխաղացողի1 -րդ մաքուրստրատեգիան գերադասելիէ է -րդ մաքուր ստրատեգիաից` ւ-Լ Աս դեպքում առաջին խաղացողն ունի օպտիմալ

ք" -(,, քչ,...,24

ստրատեգիա,որտեղ

-0:

Եթե երկրորդ

մաքուր ստրատեգիանգերադասելիէ | -րդ մաքուր ստրատեգիաից՝յ-1, ապա երկրորդ խաղացողն ունի օպտիմալ

խաղացողիյ

զ-

-րդ

ե ,զը,...զ5) ստրատեգիա,որտեղ զչ ՀՕ:

Բացի այդ, օպտիմալ

ստրատեգիաներիդրական բաղադրիչները կարելի է գտնել այն

խաղում, որը ստացվում է սկզբնական խաղից դուրս գցելով գերադասվող մաքուր ստրատեցիաներին համապատասխանող տողերըկամ սյուները: Դիտարկենքմատրիցային խաղերիմի կարնորմասնավորդեպք: Սահմանում

եթե 11

1/1 մատրիցայինխաղնանվանումեն սիմետրիկ, մատրիցը շեղսիմետրիկէ, այսինքն, բոլոր յ -ի համար 6.3.3:

հյ Հ-հյ: Թեորեմ6.3.5: Սիմետրիկխաղերոմ

/(8)«0«10դ-Ը(ո): Ապացույց: Դիցուք տրված է 11 սիմետրիկ խաղ: Սահմանումից հետնում է, որ /Մ մատրիցըքառակուսիմատրիցէ: Ենթադրենքայն դ»«ող չափսերի է Քարակուսի մատրիցով խաղում խաղացողների ստրատեգիաներիբազմություններընույնն են` Տ" բազմությունն է: Դիցուք երկու խաղացողներնէլ ընտրում են միննույն թճ 5" ստրատեգիան: Այս դեպքում

թեթ, ո(».թ)-ՀՏ1

յմ

յ-1

--Ա(».թ)»-0: --Ֆ"Ֆքյեյք,

Դիտարկենք խաղացողի շահույթը որնէ

(թ,զ)

իրավիճակում:

Ցանկացածք Տ" ստրատեգիայի դեպքում,ընտրելովորպես զ նույն այդ ստրատեգիանշահույթը հավասար կլինի զրոի։ Հետնաբար,

1 (թ,զ)Հ0 ոլո

ցանկացածք.

ն,

թանի

ռր

այս

անհավասարությունը ճիշտ է

Տ" համար,ապա

ոչուը1/(ք.զ)Հ0։

Մյուս կողմից, եթեառաջինխաղացողնընտրի ք

հավասարկլինի զրոի, հետնաբար,722

քՀՏ"

զ, ապա շահույթը

(ք.զ) Հ0

ն, քանի որ այս

անհավասարությունը ճիշտ է ցանկացածզ -ի համար,ապա Հ0։ ուռոու Է/(թ.զ) մ

Միացնելովայս երկու անհավասարությունները, կստանանքթեռրեմի առաջինպնդումը` Նր

Դիցուք,

քն

այժմ,

-0։

(ո )

առաջին

խաղացողի օպտիմալ

ստրատեգիանէ: Օպտիմալ ստրատեգիաի սահմանումից յ)ՀՆ2.,....ո համար

բոլոր

ՀՆ(Ա)-0։ ո(».))-ֆ.ռհ, Տեղադրելով հ--

հյ»կստանանք` Թ2քչի, 2-0 է»

Հեք

բոլոր

Է()ք)Հ0Հ7ՍՈ

համար: Հետնաբար,ըստ

/-1Ն2,..,դ

121) 0օ35(1)։

( ո) ն 7 (11): (Է)

Հ.4-ի, քճ 7

Նույն եղանակովցույց է տրվում,որ

Դիցուք տրվածէ Մատրիցային խաղերի լուծման ընդհանուր եղանակ: ոռ

չափսերի 1/7 մատրիցայինխաղ: Առանց ընդհանրությունը

խախտելուկարելի

ենթադրել, որ

հյ»0

բոլոր

համար:

Մատրիցային խաղըլուծել նշանակումէ գտնելխաղիարժեքը`

(ք )

-ն ն

խաղացողներիօպտիմալստրատեգիաների7 ( մ

)

Քանի որ բազմությունները:

Մ(/)Հոուուռ է՛(թ.)) ռոռ.(եզ) ո(81)Հ ճոուռ է՛(թ.)). Հ

7.1.

(6.3.12)

է (եզ), ջաոոտւ զ6 '

խաղը լուծելու համար բավականէ հաշվել (6.3.12) կրկնակի էքստրեմումները: ապա

թ»(քլ,ք,,...ք,)`Տ"-ի

Կամայական

5,Հ-

ոո մ (ջ.))

համար

-նշանակենք՝

Այստեղից՝

7(1)Հտռհ(չ.)), 1(8)-ջոու»,. ,ՏԱ(ք.)) Քանի որ

քճՏ"

թհ, «Ֆ-

հյ»0.ն ք.Հ0,

բոլոր

)ՀՆ2,..ո։

(63.13)

ապա

»0

ցանկացած

համար: Բաժանենք (6.3.13) անհավասարության երկու

մասերը 5, -ի վրան նշանակենք

հյՀՆ Ֆո Բ

Մյուս կողմից,

)ՀԼ2...,ո

թյ 55: Կստանանք`

(63.14)

Այստեղից,Խ, ֆունկցիայի մաքսիմում գտնելու խնդիրը բերվում է

Ֆո.

մինիմում գտնելու խնդրին

որտեղ

փոփոխականները

են (6.3.14) պայմաններին: բավարարում

գծայինծրագրմանհետնյալխնդիրը Դիտարկենք ո

Ֆո

-՞ուռ,

Ֆհ

Հեյ

(51

Լ12....ո,

(63.15)

Է-1

ճ Հ0,.ՀԼ2,....տ

Դժվարչէ ստուգել, ռր

Դիցուքայս

խնդիրըսահմանափակէ ն թույլատրելի: է: Հաշվի առնելով խնդրիլուծումը »այս

(ա,

)-ն

բա

մերնշանակումները,կստանանք`

Մ(1)-.որչՆ ԾՆ Իսկ

առաջին

ոռ»

ֆ-

օպտիմալ

խաղացողի

ստրատեգիայի համար`

ք" -(քո.քչ...ք)

ք Հ։.-Մ(Ա)Հ-"-,Հ-ԼՆ2,..ո

ֆ» ԹԼ

Նույն եղանակով,երկրորդխաղացողիզ"

օպտիմալ Հ(գ/չզչ....զ:)

ն խաղի արժեքըգտնելու համար բավականէ լուծել ստրատեգիան գծայինծրագրմանհետնյալխնդիրը

ոճ Վ

) ՏՆ

12,...ո.:

(6.3.16)

Հ0,)ՀՆ2....,ո

Եթե այս խնդրիլուծումը նշանակենք )' լ

7(ո)յՀ

-ով ապա «(71,7ք,-«»5)

»»

բաժինը): Այսպիսով,մատրիցայինխաղիլուծումը բերվում է գծայինծրագրման երկակիխնդիրներիզույգիլուծմանը: (6.3.15) ն (6.3.16) խնդիրներըերկակիխնդիրներեն (տես

4.2

Մատրիցայինխաղերին գծայինծրագրմանկապը ավելի ակնառու դարձնելու համար բերենք գծային ծրագրման հիմնական` 4.2.2 թեորեմի մեկ այլ ապացույց: Դիցուք տրված է գծային ծրագրման երկակիխնդիրներիզույգ՝ ր

շՕ»-5 ոո,

Ֆե.)

Ֆ՝գյ»Տե 1-Լ...,ու,

Ֆ՝գյ) Հ«յ:)5Ն2,..ո,

յ"

-»

ոո,

».2-0.:ՀԼ2.....:

Հ0,)Հն..,ո:

Շթե գծայինծրագրմաներկակիխնդիրներիզույգից Թեռրեմ 422: յուրաքանչյուրը թույլատրելի ե ապա երկուսն էլ ունեն լուծում, ընդ որում նպատակային ֆունկցիաներիեջստրեմալարժեքներըհավասար են:

նպյացույց:Դիտարկենք11 մատրիցովհետնյալմատրիցայինխաղը` (

0...0

գլ...

-Ե՝

0.......0

Գոլ" ո

-եղ

-գլլ»..-ճու

0...0

-Գլ:-

0....0

Ցա

ե,........ՖԽ

-զ.-Շ

Դժվարչէ ստուգել, որ այս խաղըսիմետրիկխաղ է (տես սահմանում 6.33): Ըստ թեռրեմ 6.35-ի այս խաղի արժեքը հավասար է զրոի` իսկ խաղացողների օպտիմալ ստրատեգիաների (մ ) -0,

բազմությունները համընկնումեն: Եթե առաջինխաղացողիօպտիմալ

նշանակենք5Հ (5 527:

ստրատեգիան ո

(55)Հ,(1)-0.ԷՀ-12,..ոՒոՀԼ:

Տոչուլ )--ով,

բացվածտեսքով` անհավասարությունները

թար

Տուն

Հ0.:ՀՆ2...

Հ0, 2...՛- ՖՈԳՈԳԼԸ)

յ յ 2,....Ղ

6յՀ 5) ՏԵԻ Տ ւյաՀ

Ենթադրենք,որ 5,,,չլ

0 ն նշանակենք`

Գրենք

՛ապա՝

այս

Տո)

7ՀԼՆ2.....ո: :-

151Ն2,..,::

Տոո`1

ՈՓՒոՀ1

Այս նշանակումներովանհավասարությունները կընդունեն հետնյալ տեսքը`

Հյ»

Եե,1-12....,ո,

Ֆ՝41):ՀՇյ' )ՀՆ2....,ո,

(6.3.16)

շմ Հ-եջ» »

է-1

է՛ ք բաք) 3)"«(,»չ...35)-ն՝ երկրորդ

Կիրառելով4.2.5 լեմը, այստեղիցստանում ենք, որ ,:-ն

առաջինխնդրի լուծումն է, իսկ

խնդրիլուծումը: Այժմ ենթադրենք որ ստրատեգիաներում 5,,,,լ

առաջին խաղացողի բոլոր օպտիմալ 0: Քանի որ 1/7 խաղըսիմետրիկէ, ուստի

երկրորդ խաղացողիօպտիմալ ստրատեգիայիվերջին բաղադրիչը:Ըստ 6.3.2 թեորեմի, այստեղիցհետնում է, ռր առաջին 11-ի խաղացողիօպտիմալ ստրատեգիայիսկալյար արտադրյալը վերջինսյան հետ խիստ մեծ է 0-ից: Այսպիսով,(6.3.16) համակարգը կընդունիհետնյալտեսքը՝

զրո

է նան

)Ղ

գյ»Հ0, Մ")

Ֆ՝ 4»

:ՀԼ2...,ո,

Հ0,

7ՀՆ2...,ո,

Բ1

Ֆ օյ» Ֆե):

-լգ4-

(63.17)

Աս

վերջին անհավասարության մեջ կամ

Ն իշ »0,

կամ

)Ձ

Ֆ՝Ե)

ՀՕ։ Դիցուք

Ֆճօյ»»0.ն7՛«(չո..... 7.) կետը առաջին

է:

վեկտորը խնդրիթույլատրելիկետ է: Հեշտ է ստուգել, որ 70» ն Օ»0 Օ-ն է մեծացնելով, թույլատրելի ցանկացած թվի համար առաջինխնդրի նպատակային ֆունկցիանկարելիէ անվերջմեծացնել, ուստիառաջինխնդիրըոչ սահմանափակէ, ինչը հակասումէ թեորեմի այն ենթադրությանը, որ երկրորդ խնդիրը թույլատրելի է: Նույն

եղանակով,եթե

Ֆե»:Հ0,

ապա

ոչ

սահմանափակ:

կստանանք,որ երկրորդխնդիրնէ

ճ4

ԱՆՎԵՐՋ

ՀԱԿԱՄԱՐՏ

ԽԱՂԵՐ

Դիտարկումըսկսենքհաշվելի խաղերից,այսինքնայնպիսի խաղերից, որտեղ 2Ճ ն 7 բազմություններըհաշվելի բազմություններ են` Ճ

ՀԱ...)

ՀՎ.)չ,-.),».):

ստրատեգիաներըսահմանվում են

(հաշվելի Ն2....:

ք. -1։

վերջավոր խաղերին

համանման

խաղացողների ստրատեգիաների

խաղերում

բազմությունները նույնն ւՀ

Խաղացողների խառն

են)՝

քՀ

(թ. 2շ».... ,

ք,»

Առաջին խաղացողի շահութի

ք, 20,

է(թ,զ)

մաթեմատիկական սպասումըկունենահետեյալտեսքը`

ՀՏ թիզ, -ՖՖզյք,

2(ք.զ)-

յ1

(64.1)

սահմանումներից երնում է, որ կարող են առաջանալ տեխնիկական բարդույթներ,որոնք չկայինվերջավորդեպքում:Իրոք, (6.4.1) շարքերը կարող են ոչ միայն հավասար չլինեն, այլ նույնիսկ զուգամետչլինել: Բացի այսպիսիտեխնիկական դժվարություններից, կարող են լինել նան այնպիսի խաղեր,որոնքչունեն լուծում նույնիսկ խառնստրատեգիաների դասում:Բերենքայդպիսիմի խաղիօրինակ` Այս

ՕօՀՄՆՊԻՏո(ւ))).

որտեղ ԽՊ-ը ամբողջ դրական թվերի

բազմություննէ: Դիցուք թՀ

(թ.քշ,.... ք,»...)-ն

որնէ ստրատեգիաէ: Քանի որ

առաջինխաղացողի

ք, Հ1, ապա ցանկացած6»0

թվի

համար գոյություն ունի այնպիսի Դոլ,

որ

Ֆ՝ք,

Հճ:

Հաշվենք

Է-ոց

խաղացողիշահութը

11(ք,ոյ) իրավիճակումֆիքսած 6»0

դեպքում` մ

(թ.ու)-Ֆ-թ, (1): Հք, :

1»ղց

թվի

Աստեղից առաջին խաղացողիցանկացած մ ( ք.) լոք

ստրատեգիաի համար

աբոնՄ(թ.7) Ս

լոր

) Հ--1,

ուստի`

յ)Հ-1։

(ք,

կողմից.

Մյուս

ք,.-.) թ-(քյքչ,...

իհնչպիսին էլ

լինի

զ«(զլզչ:-»զո»..:)

երկրորդ

ստրատեգիան,ցանկացած ճ»0

գոյությունունի այնպիսիդը,

որ

)2 զ,

ՀՔ

խաղացողի թվի համար

ն, քանիոր

1-ոջ

-Ֆ«ԸՌ-ՖՎԸ.

տսքմ(եզ)-1երկրորդ խաղացողիբոլոր

ապա

համար: Մ ոքտսք զ :

Այստեղից`

(զ)

ոք

մ (ջ,Դ Տսթյոք

ստրատեգիաների

Տսք11(1,զ)-1։

Այսպիսով,

այս

ուստի

խաղում

հավասարակշռության իրավիճակգոյությունչունի: Այս օրինակըցույց է

տալիս, որ նույնիսկ ամենապարզանվերջ խաղերում գոյության ընդհանուրթեորեմ չի կարող լինել: Մակայն խաղերի որոշ դասերի համարայդպիսիթեռրեմներապացուցելհաջողվումէ:

ԴիտարկենքՕ երբ 27 է

«Ա ՆԱ )

հակամարտխաղերիընդհանուրդեպքը,

բազմություններըկամայականբազմություններեն, իսկ

(2,»)-ը սահմանափակիրականարժեքֆունկցիա

դեկարտյան

է,

որոշված

արտադրյալիվրա:

24 ն 7 բազմություններումկարելի է ներմուծել Ստրատեգիաների մետրիկա հետնյալեղանակով:Ցանկացած«՛,7՛6 4 կետերիհամար

սահմանենք`

Ք(»7)5

(.»)-Ա(՞ աբ|մ

))

Այս քվազիմետրիկան, ռրը հայտնիէ որպես Հելիի (ՌԼ6Ա7)մետրիկա, գցելով 4 հեշտությամբ կարելի վերածել մետրիկայի, դուրս բազմությունիցկրկնվող ստրատեգիաները:Տոպոլոգիան,որի հիմքը կազմում են այս մետրիկայովբաց բազմությունները,կոչվում է բնական տոպոլոգիա,իսկ մետրիկան`բնականմետրիկա:

Դժվարչէ ստուգել,որ բնականտոպոլոգիանկարելի է կառուցելնան այլ Ճանապարհով: Ցանկացած «2 կետ ն ճ»0 համար սահմանենք

ը,Ը»)-ե« աջնչ))-ոն»)յ«փ Ն

շրջակայքերիհամակարգ:Այս շրջակայքերիհամակարգովկազմված տոպոլոգիաննորիցբնականտոպոլոգիանէ: Նմանապես,

(.»)-տ -Ե«7:տսթ|ը

8, (7.6)

հիմանվրա,կամ շրջակայքերի

20»Դ7-աքխ(ա»-ո(»»՛) մետրիկայի հիման վրա կառուցվում է տոպոլոգիան:

բազմությանբնական

Խաղացողների խառն ստրատեգիաներ սահմանելու համար, ն հարկավոր է Ճ բազմություններում ներմուծել չափելի համակարգեր:5,-ով ն Տ,-ով նշանակենքհամապատասխանաբար Ճ

բազմռթյուների ենթաբազմությունների ՕԺհանրահաշիվներ,որոնց վրա առայժմ սահմանափակումներչենք դնում: Սահմանում

6.4.1:

ՕՀ

ստրատեգիա է կոչվում

ա դ2.|) խաղումառաջինխաղացողիխառն (2 ,Տչ ) չափելիտարածությանվրա որոշված

հավանականայինչափը: Երկրորդ խաղացողիխառն ստրատեգիաէ

կոչվում

(Մ5 )

չափելի

6տարածութան

վրա

ռրոշված

չափը: հավանականային խառնստրատեգիաների Խաղացողների բազմություններընշանակենք համապատասխանաբար 4/(,-ովն Դ/, -ով։

2) ֆունկցիանենթադրվումէ

Հետագայում1/1(.

չափելի (2 «Է,5, «Տլ )

սահմանափակն

չափելի տարածություններիարտադրյալի

նկատմամբ: Ինչպես ն վերջավոր դեպքում, առաջին խաղացողի շահույթը /1 ն Մ խառնստրատեգիաներկիրառելիսսահմանվում է որպեսշահույթի 11 Ա

(ա,7) մաթեմատիկականսպասում` (ա.)-

|Ա

(5,5 ո(ա25):

Նշանակենք` ո

Քանիոր Մ

(2, ))

(ա))-վո(ո»իա, (55)

յ" Է22:12

ֆունկցիանենթադրվումէ սահմանափակն չափելի,

ուստի,ըստ Ֆուբինիիթեորեմի(տես Հավելված)`

(ա.)ԱԷ Ինչպես արդեն նշվել

|ոնա-|ոա))»:

ի տարբերություն վերջավոր խաղերի, ընդհանուր դեպքում կարող է գոյություն չունենալ հավասարակշռության իրավիճակ,սակայն,որոշ դեպքերում,կարելիէ Այսպիսիդեպքերի ցանկացած չափով մոտենալայդ իրավիճակներին: փոքրինչ թույլ տարբերակ: համարսահմանենքհավասարակշռության է,

գ9-

Սահմանում

6:42:

անվանում «6

են

811,ն Ծ6

Տրված 6»0

թվի համար

(՛,7՛)

իրավիճակը

Ճ-նավասարակշռության խրավիճակ, եթե 1Ո, համար՝

բոլոր

ո(ա.")-6ՀԱա՛»ԴՀոռկա՛,ս)չ5։(641) Հետնյալպնդումըապացուցվում է 6.2.2 թեռրեմինհամանման: 6»0 թվի ՈրպեսզիՕ (ԱԼ.Ֆ. Թեռրեմ 64.1: Է|)խաղում ցանկացած Հ

Ք -հավասարակշռությանիրավիճակ, համար գոյություն ունենա ն է անձրաժեշտ բավարար,որպեսզի

տսք 1ոք

քւիլլ

ՇՈ

1(յ,7)Հ

լոք

Տսք Ս

ԽՇԵ(, աօ,

(յհ.6):

(6.42)

Այս կրկնակիԷքստրեմումների ընդհանուրարժեքնանվանում են ՕՇ

խաղիարժեքն նշանակում Սահմանում

6.43:

Մ(Շ)-ով։

«(10,7,11)խաղնանվանումեն

լիովին որոշյալ,

եթե 1/(2,)) ֆունկցիանբավարարում է(6.4.2) պայմանին: Բերենքմի սահմանում, որիցհետագայումօգտվելուենք: Սահմանում

6.4.4:

տոպոլոգիականտարածությունը կոչվում է թվի համար նախակոմպակտտարածություն,եթե ցանկացած6»0 գոյություն ունի վերջավոր Ճ-ցանց, այսինքն վերջավոր մ՛

Հվղ,»,...)

Թեռրեմ

641:

Շթե

ենթաբազմություն, որ Ճ

«|Լ )8(5.8)։

ՕՀԱՐԼՖ, Ա) հակամարտխաղում

ն)

տարածություններընախակոմպակտեն բնական տոպոլոցիայում, լիովին որոշյալ է: ապա խաղը Ասյլացույց: Ֆիքսենք որնէ 6»0

( Ֆ»3շ»-» )) ՇՀ

դիցուք 2՛

ՀՎԱ...)

6 -ցանցեր բազմությունները

են

2 ն 7 տարածություններում:Դիտարկենք համապատասխանաբար օ՛ «՛,2ք վերջավոր հակամարտխաղ, որտեղ ԱՍ՛-ը Մ

-Ա՛

ֆունկիաի Լ՛

(5 ))

սեղմոււնՂ

էշ))

Ճ՛«Ւ՛-

բոլոր(. »)6

-փի վրա

Ճ՛2«7՛

այսինքն,

համար: Մատրիցային

«7 Ֆ",8՞) ք..... ք,). (7,գ՛),թ՛Հ(թլ,

թեորեմի համաձայն, Օ՛

խաղերիհիմնական 63.1

խաղումգոյություն ունի զ- (4.չ42»-:»5Վր) հավասարակշռության իրավիճակ`

ՀՖռա ..)) Տան.» ՀԻՖֆռռն,»,)Վ )1

բոլոր

ԹԼ

սճ27

(6.44)

ՓԻ

համար:

հետնում նախակոմպակտությունից

գոյությունունի այնպիսի «27

տարածության

է, ռր ցանկացած«6.

47 համար

,որ

աա(.))-ոն., ))

ՀՏ.

ուստի`

ո (ա»)-ո(Ր.»յՀՏ բոլոր »-

համարն,

այդ

թվում, բոլոր յ

7՛ համար՝

խհ (.»,/)-ոն,»յվՀ ճ

Այստեղից`՝

ո(ա»)-6ՀԵՆ..»յ)

1-12.-.ո

Այս անհավասարություններից յուրաքանչյուրը բազմապատկելով

երկրորդ խաղացողի

Հ(զ,զշ».»զ,)

օպտիմալ ստրատեգիայի

համապատասխան բաղադրիչով ն անհավասարությունները, կստանանք`

գումարելով

սատացված

». Ը»/)ա-3:: Հշո(ռ.3,)«,: Այսպիսով, ցանկացած 62 Մ որ

«6

համար գոյություն ունի այնպիսի

ջոչա-««Փոնչ»)գ Մյուս կողմից,(6.4.4)-իցհետնում

է, ռր բոլոր

27՛ համար

ջեն» «Հֆֆրոն»ա: հետնաբար, բոլոր

«6

համար`

ջո)ա-«ՀԵֆռոլա»))ա (645)

Համանման ձնով,

օգտվելով

նախակոմպակտությունից, կարելի է

ցույց

՛ տալ,

որ

տարածության բոլոր

համար`

Իր

(5.3),

ՀՖ՝քյե (ո.)))Է6 թ

(6.4.6)

Միացնելով(6.4.5) ն (6.4.6) անհավասարությունները, կստանանք

)-«ՀՖֆրո չուն. Իլ

բոլոր

«6

ն 8

)-Վ

("»,)4 Հֆտոնո»):5

-իհամար:

ՕՀ

չակամատ

2. | )

խաղացողների խառն

խաղում

սահմանվում ստրատեգիաները

են

որպես հավանակայինչափեր ն չափելի համապատասխանաբար ( Ւ, Տ, ) (2 5, )

տարածություններիվրա: Կառուցենք դիսկրետ հավանականային

չափեր /՛

հետնյալ կերպ: Ցանկացած427,465,

ցանկացածՑ ՉՒ,8Ձ65,

ո՛(Ս-

համար

Ֆ-ո:7(0)-

ոյք

էա64

զ:

Դժվարչէ ստուգել, որ կառուցվածբազմությանֆունկցիաներըիրոք հավանականային չափերեն ն

(5): -ֆ:ռհ

սա՛ջ)-|ո(ջ)ա՛

ԴՐ .»")-|ո(»))ճ7՛ -ֆոն»)յը

| սջյժ0«3-ՏՏոոն,)թ:

ԽԱ»

)ՇԺ

Տեղադրելով

է»1

այս

յո1

արտահայտությունները

անհավասարությունների մեջ,կստանանք`

(6.4.7)

ոլաԴ-5ՀԱ՛")ՀԽԱ՛,)8 բոլոր «627

»67

համար,այսինքն

հավասարակշռության իրավիճակէ Օ

(ա՛ւ»')իրավիճակը

ո2.|

)

խաղում:

Այժմ դիտարկենքհակամարտխաղերիկարնորմասնավորդեպք,երբ Ճ ն 7 բազմություններըիրականառանցքիհատվածներեն:

Սահմանում

6.4.4:

||,ք(.»)) օ»-կալիլ0,

հակամարտ խաղերը

անվանումեն խաղերմիավորքառակուսուվրա:

Այս

մասնավոր դեպքում,

ինչպես

ընդունված

հավանականություններիտեսությունում (տես Հավելված), չափելի բազմությունները կենթադրվենՑ իրական առանցքի բորելյան բազմությունները,իսկ ռրպես խառն ստրատեգիաներընդունված է դիտարկելբախշմանֆունկցիաներ: Սահմանում

6.45:

Միավոր քառակուսու վրա խաղերում առաջին

խաղացողի խառն ստրատեգիանսահմանվում է հատվածի վրա որոշված 1

()

ֆունկցիա,

որը

ռրպես

լ0,|

բավարարում է

հետնյալպայմաններին`

Բ(«ԴՀԲ(:Դ,

եթե «՛Հչ՛

Բ(0)-ՕԲ()ՀԼ Բ(»)-Բ(«-Հ0),»»0: Երկրորդ խաղացողի խառն ստրատեգիան սահմանվում է համանմանորեն:Խաղացողիշահույթի մաթեմատիկական սպասումը խառնստրատեգիաների օգտագործման պայմաններումսահմանվումէ ն է (ինչպես ընդունված հավանականություններիտեսությունում) որպեսՍտիլտյեսիինտեգրալներ (եթե գոյությունունեն)` Ա

ո Է

(Բ,6)-

(Բ.))

-|ա(ա)4Բ6)

6)-|ո(«))«60)

5)4Բ(»թռ6(») (խո. -|ոաջօ02

Սահմանում

մր,լ,լ0,1|,2 (5,))

ՕՀ

6.46:

հակամարտ խաղն

անվանումեն անընդհատխաղ,եթե էԼ(7,) ֆունկցիանանընդհատ է

0,| « 0, |

քառակուսուվրա:

6Անընդհատխաղերը նախակոմպակտեն մետրիկայում: լեմ

Քանի նապացույց:

որ

(ո)

բնական

ֆունկցիանենթադրվել է անընդհատ

փակ սահմանափակբազմության վրա, ապա այն հավասարաչափ անընդհատէ: Մա նշանակում է, որ ցանկացած ճ»6լ»0 թվերի համարգոյությունունի այնպիսի ծ»0 բոլոր

| համար` |0,

թիվ, որ երբ ի՛

խԽ(»)-ո ը»)

2՛ Հծ,

ապա

Հճ.

ուստի, Տսք

«(.վ

իո(2)-ԱԸ

չ) Հճ

Հճ:

Ակներն է, որ միավոր հատվածընախակոմպակտէ Էվկլիդեսյան մետրիկայում:Այսպիսով,ցանկացած6ճ»-0 թվի համար գոյություն ունի այնպիսի ծ»0 թիվ, որ ծ -ցանցը Էվկլիդեսյանմետրիկայում է 6 -ցանցբնականմետրիկայում։ հանդիսանում

Թեռորմ 642 Անընդհատ խաղերում ձավասարակշռության իրավիճակ:

Ապացույց:Նախորդ լեմից հետնում են, հետնաբար,ըստ նախակոմպակտ են:

Ուստի, ցանկացածճ

է, 6.4.1

գոյութուն

ունի

անընդհատ խաղերը թեռրեմի,լիովին որոշյալ

ռր

թվի համարգոյություն ունի

(7 6Դ

-հավասարակշռության իրավիճակ: Վերցնենք ճ »ճչ»..»86.ՏՀ.. թվերի նվազող զրոին զուգամիտող հաջորդականություն:

Յուրաքանչյուր ճ,-ի

գոյություն

համար

ունի

ճո-

հավասարակշռության իրավիճակ

(648 /Թ(«)«6" Հվա(ա»)ժԲ" -«Հվյո(ա)(6"4Բ" 4:

Այսպիսով

ստանում

ենք

( )

Բ հաջորդականություն՝

բախշման

ֆունկցիաների երկու

Ըստ

Հելիի առաջինթեռրեմի

(6")։

(տես Հավելված), այս հաջորդականություններից կարելի է ընտրել

Առանց գրեթեամենուրեքզուգամիտողենթահաջորդականություններ:

ընդհնրությունըխախտելուկարելի է ենթադրել,որ

հաջորդականություններն են

(Բ"| ն (6"|

զուգամիտող:

Այս

հաջորդականությունների սահմանային բաշխման ֆունկցիաները նշանակեն, համապատասխանաբար՝

(2) -ով

Դիտարկենքհետնյալինտեգրալները` լ

/ո6.»)4Բ"

յո (»,»)46":

Քանի որ 11 ֆունկցիանանընդհատէ

ն ՞՛յ

(6)

ըստ

իսկ երկու փոփոխականի,

հաջորդականություններըհամարյա ամենուրեք

զուգամիտումեն 7

(չ)

Շ«(ջ) ֆունկցիաներին,ուստի, ըստ

երկրորդթեորեմի լ

նո|Մ(»,»)4Ի՞ |ո՛(.ջ)4Բ" -

բոլոր

ֆիքսած 6

Շ" (») -ով:

0, | համար,ն

)46"նո)ո՛(»,

|ո(»»)46"

Հելիի

բոլոր

ֆիքսած «6

|0,Լ|համար:Այնուհետն,քանի որ

յ"

(, ջ)4Շ"

ինտեգրալըանընդհատէ ըստ 7-ի, ապա, երկու անգամկիրառելով Հելիիերկրորդթեորեմը,կստանանք`

սոլո(ոջ)460"4Բ՞ իո(»,))460"4Բ" -

ն հաշվի Այժմ,անցնելովսահմանի(6.4.8) անհավասարություններում առնելով,որ 8, -»0, վերջնականապես կստանանք` լ

|" 6.»)46" Հ||ո(5»)46:4Բ' Հ|.(»ջ)4Բ" |ն |0,

0, |

համար:Սաէլ նշանակումէ,

ե 0")

բոլոր

զույգը

հավասարակշռության իրավիճակէ անընդհատխաղում:

որ

Հետնյալ թեռրեմները թույլ են տալիս որոշ մասնավոր դեպքերում գտնելնան խաղացողների մաքուրօպտիմալստրատեգիաները:

Թեռրեմ 643:

եթե

օ-կլլիլօի(»»))

շահութի ֆունկցիան գոգավոր է

ըստ

ցանկացածֆիքսած ՖՃ|0,| -ի համար,

անընդհատխաղում առաջին փովփոխականի`

ապա

առաջինխաղացողն

ունի մաքուր օպտիմալստրատեգիա:

Ապացույց:Քանի

որ

(5)

ֆունկցիան անընդհատ է, ուստի

առաջին խաղացողն ունի օպտիմալ, ընդհանուր դեպքում խառն լ

ստրատեգիա:Դիցուք այն 3" որ

ն կարող է Շ|0.1|

(») նէնչ«»-

22(2):

դիտարկվել որպես առաջին խաղացողի

մաքուր ստրատեգիա: Տրոհենք |0,1) հատվածը

մասերի`

Հպ

Ակնհայտէ,

Հ..ՀՃՀ1

ոՀ1

հավասար նշանակենք`

1-("()-Ք(«))։ հետնում

(2,))

է,

Բաշխման ֆունկցիայի սահմանումից

4ՃՀ0,1»0,1...ո

որ

Հ41-Բ()-Ի(0)-1 «0

ֆունկցիանենթադրվելէ գոգավորըստ

7-ի, հետնաբար,

ցանկացածֆիքսած »Շ|0,1|-ի համար`

"(Էչթֆոն,»)

ԻՑ

Սթիլթիեսիինտեգրալիսահմանումից`

)-րոֆ»ո(»«('-ի"6)|ա)ո"6) րոջ: ա)("(ա)-Ք"6)): Բ

Հաշվի առնելով, որ

11(",))

ֆունկցիանանընդհատէ, այստեղից

կստանանք`

ո|իա6) թի ».))4Բ՞(»)։

Այսինք,

Ե",ջ)Հռ 2 ջ)

բոլոր

0, |

համար:

Սա

նշանակում է, որ «7 մաքուր ստրատեգիանօպտիմալ է առաջին խաղացողիհամար: Նույն եղանակովապացուցվումեն Թեորեմ

եթե

Օկ,

նան

1(»»))

շահույթի ֆունկցիան ուռուցիկ է

ցանկացածֆիքսած56

հետնյալթեորեմները:

ըստ

անընդհատխաղում երկրորդ փոփոխականի՝

կետիհամար, ապա |0,1|

ունի մաքուրօպտիմալստրատեգիա:

երկրորդխաղացողն

Թեորեմ6:45:

անընդհատխաղում -կ|0,1|.լ0,,Ա(5,»))

Եթե Օ

շահույթի ֆունկցիան գոգավոր ֆիքսած )ճ ցանկացած

|0,|

առաջին փոփոխականի`

ըստ

կետիհամար ն ուռուցիկ է ըստ երկրորդ

փոփոխականի՝ցանկացածֆիքսած

|0,յ|կետի համար, ապա

խաղում գոյություն ունի հավասարակշռության իրավիճակ մաքուր ստրատեգիաներում:

Օրինակ

Դիտարկենք

6.41:

հետնյալ

Այս խաղում (.-))՛ 6-կլօ.լօ..(6-»)")։

խաղը`

ֆունկցիան ըստ

երկու փոփոխականներիէլ ուռուցիկ է, ուստի, համաձայն 6.4.4 թեորեմի,երկրորդ խաղացողնունի մաքուր օպտիմալստրատեգիա: Այստեղից,

Մ(6)-որոթ-»): .

Հեշտէ տեսնել,որ

ճւ

շ»լ0.|

Թ-))

|1-»),»ՀՍ2, -լ՝,

».5ՀԱ2

(«-»)Հ|/4

Հետնաբար, Մ(6)- ողո օպտիմալստրատեգիան 5 »յ/2 .

երկրորդ խաղացողի

Առաջին խաղացողիօպտիմալ ստրատեգիանգտնելու համար կարելի է օգտվել այն փաստից,որ օպտիմալ ստրատեգիայիսպեկտրի կետերը պետք է բավարարեն հետնյալ հավասարմանը (այս հատկություն՝ ձնակերպվել էր վերջավորխաղերի համար, սակայն տեղի ունի նան անընդհատ է

խաղերում)`

ուլ. »:)-(«-12)՛-Ս4-Ն(6)։ Այստեղիցստանում ենք երկուկետ` ,՛

0, «՛ «1:

Դժվարչէ ստուգել,

առաջին խաղացողի օպտիմալ ստրատեգիանհետնյալ բ: բաշխմանֆունկցիանէ` որ

-վտ9-

թՆ)-ի

1/2, 0Հ»Հ1

Դիտարկենքնան խզվողշահույթի ֆունկցիաներովխաղերիմի դաս: Խաղեր միավորքառակուսուվրա, որտեղ շահույթի ֆունկցիանունի խզում քառակուսուանկյունագծիվրա ն անընդհատէ անկյունագծից դուրս, հանդիպումեն այն դեպքերում,երբ խաղացողիստրատեգիան ժամանակիպահի ընտրություննէ ն շատ էական է, թե ռր խաղացողը կկատարիառաջինընտրությունը:Դժվարչէ ստուգել, որ այս խաղերը նախակոմպակտչեն ն Վալդի թեռրեմը կիրառելի չէ, սակայն այս խաղերընույնպեսունեն լուծում:

Թեռրեմ 6:46:թե

-կլ0.Լ|լ0.1|, 8) խաղում՛շահույթիֆունկցիան

ունի հետնյալտեսքը՝

Լ(.»),»Հ» ո՛(5»)-19(8,»-». 221222 ընդ որում

Լ(»,))

(ոջ)

ֆունկցիաներըանընդհատեն իրենց

որոշման եռանկյունիներիփակման վրա

համարՓՐ)

ֆունկցիայի արժեքը ընկած է

արժեքներիմիջն՝

ցանկացած

Լ(.»)

չ6|0.| ե

(52)

ուուՆ(».»),1( (».»))ՀՓ(»)ՀոովՆ(».»), 81(..»)), ապա Օ

խաղումգոյությունունի հավասարակշռության իրավիճակ:

Ապացույց:Նախ ցույց տանք,որ Օ խաղըլիովինորոշվածէ: Վերցնենք

6»Օկամայական դրական թիվ: Քանի

որ

Ն(ո»ջ) ն ((»»)

ֆունկցիաներըհավասարաչափանընդհատեն, ապա գոյություն ունի այնպիսի ծ»0, որ երբ ի՛-չ/Հծ ապա բոլոր 0,1|կետերի ,

համարտեղիունի`

ԱՇ »)-ԼԸՂ»)ՀՏ

իք(2)-ո(»)|ՀՏ ն

երբ թ՛

ծ,

0, | կետերիհամարտեղիունի`

ապա բոլոր

Ը, »)-Լ(. »37| ի/(,»)-8/(2, »Դ7) Հճ

(6.4.10)

Կամայականորեն ըետրենք՝

0ՀաՀպՀ..ՀՀԵ-1

,լ-ԿՀՓ

կետեր այնպես,

որ

վերցնենք

.ՀՃ.

1" օ՛-

ւ-0,1...,ո-1:

Հ։Խոա):3՛

ա«՛,ք

:»-0,1Լ..,դ-1

բոլոր

ՀՎ»3-»)ո)

)

համար

Նշանակենք` դիտարկենք

վերջավոր հակամարտ խաղը: Խաղացողների

Օ՛ օպտիմալ ստրատեգիաները խաղում նշանակենք ք՛ 12 թլ»---» համապատասխանաբար ք,) ն զ- («0 Գ»-»զ,) -

Այսպիսով, բոլոր մ

՛,)յ

7՛ համար

ո ..թԴՀԵ(գԴՀՏԵ(»)):

(64.11)

Նկատենք,որ ո

(ջ' 3,)- ՖԼ (..3յ)Է:Փ(.)ԷՖ՝5ն3,)։ ԷՀ) թյ

Վերցնենք կամայական

0, 3

(6.4.12)

Ենթադրենք, որ

Ունենք՝ Ա(ջ՛,»)ՀՖ«Լ(»)ԷՖՏԱ(".)):

»67՛,5օ(9յ:),):

Տ)

թյ)

(64.13)

Ենթադրենք,որ

Փ(ա)ՀՆ(Ր.»յ):

(6.4.14)

Հանելով(6.4.13) անհավասարությունը (6.4.12)-ից,կստանանք`

ՄԱՏ

1 .»,)-ք,Լյ,») թյՓ(ոյ)-ԷՖ,թ

թյ

Թ)

ԳՆԻ -«ՖՆ.(են., 5»/)-Ն(..5թԻթ,(ՓՐ.)Հ)

Էր

(ե(ո,3,)-Է(.52):31501,3/)-8((2»3: թ»)

Օգտվելով(6.4.10) անհավասարություններից,

ո(Դ5)-8»)52ո2:22:5,Փ(4)-1(55):2, 1»)

ն, հաշվի առնելով,որ

կստանանք, ռր

բոլոր

Լ»)

Այժմ ենթադրենք, որ

ք -1ն(64.14)

պայմանը,վերջնականապես

7-0.Լ...,ռ-1համար՝

(ք) :6Հ8(-".)յ):

Փ(»յ) ՀՍ/ Ը.»

)

Այս դեպքում`

-ո"Չ)-

շն

շ»ո)-ԼԸ»»ծ

ԷԻՔ, ՆՐ .3,.)Իքյո(ՓՐ.)-Լ(:ւ»3/ւ

-ԼԵ,.»ք4 )2 ք(11(..»,ո)-1 («,5»3: ԹթյՀ1

(6.4.15)

ն, ինչպես ն

վերնում, ո

բոլոր 6

(թ»):6ՀԵԱ(7Ն»,ւ)

(»»»,ւի7 Հ-0Լ...,ո Փ(ռ)Հոա

համար:Այսպիսով,

Լ(«,),8/ (..»)),

դեպքում ցանկացած 6 այնպես,որ`

|0,|

-0,Լ...,ո

համար գոյություն ունի

«7 ,

ո(7՛.5)ՀԽ(7.»)Է6: հետ Այս անհավասարությունը միացնելով(6.4.11) անհավասարության

ստանում

ենք, որ

բոլոր

0, |

համար`

ո(4Դ)ՀԵ()):8: Նման

դատողություններով կարելիէ ցույց

տալ, որ

Լ(դ,:),81(ե...)

Փ(«) Հով դեպքումցանկացած7-6

(6.4.16) 1501..ո

համար` |0,1|

ո(ազ՛)-ճ4ՀԵ(թգ՛է: Միացնելովայս անհավասարությունը(6.4.16) անհավասարությանը, կստանանք, որ բոլոր «6 0, |, 6 0,1|համար`

ո(ազԴ)-6ՏԵ(ԹՆզԴՀԻԼ"»ի Նշանակենք Բ"

()

-ով

Օ՛

(»)-ով

աստիճանային բաշխման

ունեն ֆունկցիաները, որոնքհամապատասխանաբար

ք, թռիչքներ.,

ւՀ0,1....ռ

կետերում,ն զ, թռիչքներ յ,

7Հ-0,Լ...,ռ

կետերում:

Հաշվի առնելով,որ`

ԲՐ"9-Հոռա)-լոայո(2-Ք ո(աջ):60)-Ք(«օ՛0)) ոն«Դ-2ֆան»)»-|

ո(47-Հ թո»»)ա-

-ո(աջօ»(2460)Հ6(»"Ը).6"Օ),

ամավասարութունը

(64.17) ո Սա

էլ

կստանահետնյալտեսքը`

(.օ0))-6ՀԵՍ«6)6օ՛0)Հո("6)»): նշանակում է,

որ

(»՛6).օ՛0))

հավասարակշրության իրավիճակ

իրավիճակը

ՃԲ-

Շ է խաղում: Հավասարակշրությանիրավիճակի գոյություն, -ապացուցվումէ այնպես,ինչպես6.4.2 թեռրեմում,օգտվելովՀելիիթեռրեմներից:

ճ.5

ԽԱՂԵՐ

ԿՂՈՊԵՐԱՏԻՎ

Սույն բաժնի սկզբում (կետ 6.1) սահմանելենք նորմալտեսքով որպես Օլ

«վ1,2,...,ո)-ն

Ա.15),,Ս1),)

խաղացողիխաղ

համակարգ,որտեղ`

խաղացողներիբազմություննէ, 5, բազմությունները

խաղացողների ստրատեգիաների բազմություներ 1.(5554:.»57) ֆունկցիաները խաղացողների

են,

իսկ

շահույթի

ֆունկցիաներնեն: Մակայն այնտեղդիտարկվումէր խաղիանդաշինք տարբերակը, այսինքնայն տարբերակը,երբ խաղացողներըիրավունք չունեն պայմանավորվելումիմիանց հետ ն կազմել դաշինքներ կամ կոալիցիաներ:Այժմդիտարկենքայնդեպքը,երբխաղացողները կարող են միավորվել: Դիցուք խաղացողներիմի խումբ միավորվել է ն 7 կռալիցիա:Այդ դեպքում 7 կռալիցիայիմաքսիմալ ստեղծել 7 ապահովածշահույթը`

7(1)-նկարելի Է հաշվել հետնյալբանաձնով

(տես կետ6.2 )՝

5(7)- ոտուր թնո»): ,

Ենթադրենքնան, որ կռալիցիայի ընդհանուր շահույթը կարող է կամայականորեն բաշխվել կոալիցիայիանդամներիմիջն: Այսպիսի խաղերնանվանում են /խաղերկողմնակի վճարումներով:Այսուհետ են միայն այսպիսիխաղեր: Այս խաղերում խաղացողի դիտարկվելու ստրատեգիայի ընտրությունըթելադրվումէ կոալիցիայի կողմից,որին նա անդամակցումէ: Այսպիսով,խաղացողին՛ գործողությունները,ն՛ շահույթըկախվածեն միայնկռալիցիաներիշահույթներից:Հետեաբար կարելիէ վերանալ խաղի սկզբնականստրատեգիականբնույթից ն

դիտարկել միայն 7 Սահմանում

65.1:

(7)

ֆունկցիան: բազմության բոլոր

բազմության վրա ռրոշված

(7)

ենթաբազմությունների

իրականարժեք ֆունկցիան

անվանումեն բնութագրիչֆունկցիա,եթե այն բավարում է հետնյալ պայմաններին`

Ֆ(2Չ)-0,

.5(527)ՀՆ(Տ)Հ»(1),ՐՐՏ-Թ։

35.1)

Այստեղերկրորդպայմանըբնականէ ն նշանակումէ, խաղացողները կարողեն միայնշահել: Սահմանում

Ա(Ր))

միավորվելով

Կռռպերատիվդ խաղացողիխաղ անվանում են

6.5.2:

որտեղ Մ »վՆ 2,...,3 բազմությունըխաղացողների

զույգը,

բազմությունն է, իսկ բնութագրիչֆունկցիա: Ակնհայտ է,

որ

5(Ր)-ն(65.1)

ռր ամենամեծ

սատհմանմանը բավարարող

շահույթը խաղացողները 1 ) ընդհանուր

կստանան,եթե բոլորը միավորվեն:Այս դեպքումհիմնականհարցը ընդհանուրշահույթըխաղացողների միջն արդարացիբաժանելնէ: Սահմանում

(1,,(Ր))խաղում

Կոռպերատիվ

65.3:

(զ,2շ..»2.)

վեկտորն անվանում են բաժանք, եթե այն բավարարումէ հետնյալ երկուպայմաններին`

».. -(1,

.։ՀԽ(լ)յւծ

2շ

Խաղում

բոլոր

բաժանքներիբազմությունը նշանակենք 2

(»)-ով։

է, որ Բաժանքի սահմանումից հետնում ընդհանուր շահույթը է ամբողջությամբ բաժանվումխաղացողներիմիջե ն յուրաքանչյուրը ստանում է ոչ պակաս,քան եթեխաղամիայնակ: Սահմանում

(ն )

(/,(Ր)) խաղն անվանում են

6:5.4: ՀԵ

մ)

Ակներնէ,

որ

հետաքրքրություններկայացնումեն

միայնէականխաղերը,քանիոր

ոչ

միայնմեկ բաժանք`7,

61:

(հիս

ժականխաղ, եթե

Էականխաղերումգոյություն ունի

Կոոպերատիվխաղերի հիմնականխնդիրը լավագույն բաժանքներ գտնելնէ: Լավագույնբաժանքներըգտնելուհամար նախ սահմանենք գերադասելիությանհարաբերությունը:Դիցուք խաղում բաժանքների 5-ըն )»-ը երկու տարբերբաժանքներեն: Քանի ռր այս երկու « են, ապա բաղադրիչների հավասար վեկտորների գումարները ձեռնտու կլինի խաղացողների մի մասին, ) բաժանքը`մեկ բաժանքը պնդեն այս կամ այն այլ մասին: Սակայն, որպեսզի խաղացողները Սա բաժանքի վրա, նրանք պետք է այդ իրավունքը ունենան: սահմանման: է հետնյալ հանգեցնում Սահմանում

գերադասելիէ ն

Ասում

655:

Հ(3լ.)շ,..»),)

նշանակումեն

են,

Ճ- Ֆ,

որ

2»Հ(Կ,,..4,)

բաժանքիցըստՏ

բաժանքը կռալիցիայի,

եթե

"»)Ֆո165,

Ֆ 2 ՀՆ(Տ):

Եվ կասենք,որ

գոյությունունի Տ

բաժանքըգերադասելիէ » բաժանքից` 75չ-», Մ

կռալիցիա,ըստ որի չ

եթե

Է):

Բաժանքներիգերադասելիությանսահմանումից երնում է, որ սա բավականին"վատ" հարաբերություն է` օրինակ այն կարող է տրանզիտիվ չլինել: Ուստի կոպերատիվխաղերումօպտիմալության սկզբունք սահմանելը կարնորագույնխնդիրներիցէ: Հայտնի են օպտիմալությանսկզբունքների բազմաթիվ սահմանումներ, որոնք կիրառվումեն տարբեր ոլորտներում: Այստեղ կդիտարկվենայդ սկզբունքներից մի քանիսը: 1 բազմությունըկոչվում է Կ-Ի/ԲաժանքներիՄ լուծում, կամ պարզապեսլուծում, եթե Մ բազմությանոչ մի բաժանք գերադասելիչէ մյուսից ն ցանկացած«Մ բաժանքի համար Սահմանում

6.5.6:

գոյությունունի այնպիսիՃճ Մ բաժանք,որ Ճչ-):

Սահմանում

6.5.7:

խաղիմիջուկն

Չգերադասվող բաժանքների բազմությունըկոչվում է

նշանակվումէ Շ

(») -ով:

Դիտարկենքխաղիլուծման ն միջուկի որոշ հատկություններ:Հայտնի են խաղեր,որտեղլուծումներըբազմաթիվեն, սակայն կառուցվածեն նան խաղեր, որտեղ լուծում գոյություն չունի: Ի տարբերություն լուծման, միջուկը, եթե դատարկչէ, ապա միակն է խաղում ն ընկածէ լուծման մեջ: Խաղի մի լուծում չի կարողընկածլինել մեկ այլ լուծման մեջ: Իրոք, դիցուք խաղումգոյությունունեն երկու` Մ՛, Մ լուծումներ, ընդ որում Մ՛ՕՄ՛ Եթե 6 Մ7՛ՆՄ՛, ապա, քանի որ Մ՛-ը լուծում է, գոյություն ունի այնպիսի 26

Մ7՛որ

Դա

Ճչ--):

հակասում է այն

պայմանին,որ Ծ՛-ը լոծում այն փաստից,որ միջուկը ընկած է լուծման մեջ, հետնում է, որ եթե միջուկը համընկնում է լուծման հետ, ապա լուծումը միակն է: Հետնյալթեորեմըբնորոշում է միջուկիկառուցվածքը: է: Այստեղիցն

1.) Թեորեմ 6:5.1:

խաղի Շ(») մջջուկըհամընկնում

Ք-ն«ոջո»ս(56դ բազմությանհետ: Ապացույց: Դիցուք ունենա

76.2,

ջ»-.,

«6

ԵԽ: Եթե «6Շ

բաժանք:Դիցուք

ապա ,

պետք է գոյություն

այսինքն

747165,

2.5.5"6): Սակայնյ Թ5

"3,ՀԵ(Տ): Սա

հակասում է նրան,որ

«6

Ք:

Մյուս կողմից, դիցուք

համար

ՇԹ),

սակայն որեէ 5-7

Ֆո Հ»(Տ): Կառուցենք ՀՏ

կոալիցիաի

բաժանք հետնյալ եղանակով:

Նշանակենք

455(5)-Ֆ-շ.

սահմանենք`

Հ41Տ|ւօ5 ()»6)-

(ն)

2.(ն))

Ծիլ,

»-(»3չ:-»Ֆ.)-ն բաժանք է ն 25: Սա հակասումէ այն ենթադրությանը, որ «6 Շ (5) Այսպիսով,Շ (») -Ք: Հեշտ է ստուգել,

որ

Սահմանում

658:

Երկու(1Խ)ն (Մ,ա) խաղերնանվանում են

ստրատեգիապեսհամարժեք, կամ պարզապես համարժեք եթե գոյություն ունեն այնպիսի գ»0 ե Ե,:6 1 իրականթվեր, որ բոլոր 5 ԶՄ համար`

»(5)-Ժօ(5)-2,ծ.: Դիցուք (մ,ս)ն

(մ,ա)խաղերըհամարժեքեն, 20 (5)-նբաժանքների բազմությունն է մ »)) խաղում, իսկ Է (») -ն բաժանքների բազմությունն է ն ) խաղում: Ակներն է, որ » (») ՃԵ ,

է արտապատկերումը՝ փոխմիարժեք 01համապատասխանություն

հաստատում

(Ր)

(ո)

7՛ առնչությունիցհետնում

բազմություններիմիջն, ընդ որում է, որ

)(2՛)-

ՐԸ):

Քանի որ ստրատեգիականհամարժեքությունը համարժեքության հարաբերությունէ խաղերի բազմությանվրա, ապա հետաքրքիրէ ընտրելյուրաքանչյուրհամարժեքությանդասիցմի կոնկրետխաղ: Սահմանում

6.5.9:

Ա)

5(ի))-06

2.2(

խաղնանվանումեն

(0,1) տեսքիխաղ,եթե

1-1:

հետնում Այս սահմանումներիցանմիջականորեն

հետնյալթեորեմը:

համարժեքէ Թեռրեմ 6.5.2 Ցանկացածէականխաղ ստրատեգիապես

մեկ ն մբայնմեկ (0,1)տեսքիխաղի:

Այժմ դիտարկենքկոոպերատիվխաղերիմի կարնորդաս: Սահմանում բոլոր

5,7

65.10:

(մ,Խ)խաղն անվանում են

ուռուցիկ խաղ, եթե

համար` կոալիցիաների

5(5)Է5(1)Հ»(5 ա1)Հ5(5Դ1): Թեռրեմճ.5.3

մ »)

խաղնուռուցիկ է այն, ն միայն այնդեպքում, երբ

ցանկացած16 1 համար

«(5ն))-»(5)Հ»(ՐԹԱ-»(ո) 1-րդխաղացողին բոլոր Տ Է չպարունակող

կռալիցիաների

նամար:

Ապացույց Նախ ապացուցենքանհրաժեշտությունը:Դիցուք ԷՇ / կոալիցիաները չեն պարունակում -ն: Խաղի ուռուցիկությունից հետնում

է, որ

»(ւար))«5(ՌՀ»(.ա18(Թի) Խ5(ԵԵՆ)ՈՐՒՐ, որտեղից՝

ԱՍՋԱՆԱԼՆԼԹԱԱԼՆԹԱՆՄՆԽԱՆՄԵ2

»5(եան))-5(1)Հ5((ԿԽնի-50Ռ: 1ՆՇ/ Ապացուցենք բավարարությունը: Դիտարկենք երկու կոալիցիաներ ն կամայական Ճ կոալիցիա, այնպիսին,

ԴիցուքՄ̀ Հվե,..ե):

ՀԺ:

Լ» Ն2....,

որ

Այս դեպքում ցանկացած

Է համար`

(ԵԱ ն,.ս1))-5( ԵԱ, ե,-ան))ՀՏ Հ,((ԹԱ,ե....ն)-0(Սնչե,..ե.): Գումարելով այս անհավասարություններըը ըստ

ն ԽՇՈՎ/Ր

կստանանք, որ ցանկացած 1. համար`

1-ի 1ից

Է,

կոալիցիաների

(Լաճ )-5(1)Հ.(0(Թ8)-.(4Ռ: վերցնենք կամայական 5, հետնում է, որ անհավասարությունից Աժմ

կռալիցիաներ։ Նախորդ

ո7)ՀԽ(Ր«(5Ր))-»(ո), »((5Դ7)«(547))-»5(5 կամ`

։(5)-,(5ո1)ՀԽ(557)-»(1): Ապացույցն ավարտվածէ: Թեռրեմ6.54

Ուռուցիկ խաղերում միջուկըդատարկ չէ:

ԱպացույցԴիցուք տրված է Նշանակենք` ռ

«0,»

(0,1) տեսքի (մ,Խ)ուռուցիկ խաղը:

Հ.(1.2....)-»(1.2,..1-)), ւօ1Վդ:

»(5)

( տես (6.5.1)) ֆունկցիայիսուպերադիտիվությունից

»(8,

ուստի 2

Վերցնենք կամայական 5

-(դ2..35.)

վկե» ան)

կոալիցիա

քՀ

ապա, ըստ

է,

վեկտորըբաժանքէ:

Լ երկու` «Վլ, մ....1,-)ն 4/ ՀՎՆ2,.....)1Հ

Քանի որ 1 ՕՑ/,

հետնում

դիտարկենք

կոալիցիաներ:

նախորդթեռրեմի`

լլ ն,..0)-»ն նջ...) Տ.Ա2..0)-7112...)-»,: Գումարելով կստանանք՝

այս

անհավասարություններըըստ

ԽԱ,ե,..Ե)ՀԽ(5)Հ Հետնաբար,ըստ

6.5.1

թեորեմի,

ք-ի

1-ից

2,» :

բաժանքըպատկանում է Շ

միջուկին:

(5)

Ակներն է, որ այս թեռրեմում էական չէ խաղացողների համարակալումը, ուստի միջուկին կպատկանեն նան բոլոր

2«-(զչ:...35. ) վեկտորները,որտեղ՝

-,(է)),ռ Հ,(է.ե))-»(ն)). ո, ՀԽ(կլե...ե)-,(1ե....ե.)),

Է-12...ո

Ուռուցիկ խաղերիմիջուկի ամբողջականնկարագրությունըտալիս է հետնյալթեորեմը,որը բերումենք առանցապացույցի:

Թեորեմ6.5.5: Ուռուցիկխաղի միջուկըուռուցիկբազմանիստե որի ծայրակետերի բազմություն համընկնում է նախորդ թեռրեմում սաձմանված բաժանքների բազմությանհետ:

Վերնում դիտարկված օպտիմալությանսկզբունքներըհանգեցնումեն օպտիմալբաժանքներիբազմությունների, որոնցիցայնուհետնհարկ է լինում ընտրել լավագույն բաժանքը, օգտվելով այս կամ այն հանգամանքներից:Հաջորդ օպտիմալությանսկզբունքը զերծ է այդ

որոշում է միակ բաժանք,ընդ որում այն գոյություն թերություններից, ունի ցանկացածխաղում:Այս սկզբունքովորոշվող բաժանքըկոչվում է խաղի արժեք կամ Շեպլիի վեկտոր: Նախ տանք մի քանի սահմանումներ: Սահմանում

կոալիցիան,ռր Սահմանում ն

(մ,»)

65.11:

խաղի կրիչ անվանում են այն 71

(5 ) (5 ԴՐ)ցանկացած5

| համար:

Դիցուք 7,-ն 5 Հվէ,..է) ռ1 6.5.12:

է տարրերիռրնէ տեղափոխություն

կոալիցիաի

ՀՎո(1),76չ),....6.)։եշ

համար`

-ով նշանակենք խաղը, որի

համար`

7»(5)Հ-,(ո5),5օ1 Սահմանում

6.5.13:

Ա)

խաղիարժեք,կամ Շեպլիիվեկտորկոչվում է

օէ)-(ոլ|Փ.լ)....9.|»|) բաժանքը,որը

բավարարումէ Շեպլիի

հետնյալերեքաքսիոմներին: Ալ.

Եթե 7

1 -ն

խաղիկրիչ է,

ապա

212ԱԽԱԱ) 6Ր

Աշ.

Ցանկացած76 1

ն 7

համար` տեղափոխության

շն) (ո|- ..|։ ԱՅ.

Ցանկացածերկու`

(1,»)ն (մ,ս)խաղերիհամար`

ՓլՀչ)-ցլխիօլթլ։խա1 Թեռրեմ6.5.6: Ցանկացածկոպերատիվ խաղում գոյություն ունի միակ վեկտոր, որը բավարարումէ Ա1-Ա3Յ աքսիոմների:

Թեորեմի ապացույցը կարելի է գտնել խաղերի տեսության դասագրքերում(տես, օրինակ, (16),(25)): Նշենք միայն, որ թեորեմը կառուցողականէ ն տալիսէ Շեպլիիվեկտորիբացահայտտեսքը`

.Ե|-

ՏԱՐ

(5)-»(5Վդ)|

Օրինակ 6.5.1: Դիցուք բաժնետիրականընկերությունը ունի չորս ունեն 10, 20, 30 ն 40 բաժնետեր,ռրոնք համապատասխանաբար բաժնետոմսեր: Ենթադրենք,որ 5 կռալիցիաիշահույթը հավասար է 1ի. եթե այդ կոալիցիայի անդամների բաժնետոմսերիընդհանուր 50 տոկոսը ն 0-ի այլ քանակըգերազանցումէ բոլոր բաժնետոմսերի է, (սա դեպքում նշանակում որ այդ կռալիցիանկարող է հաղթել քվեարկության դեպքում): Այս խաղում Շեպլիի վեկտորը կունենա հետնյալ տեսքը`

Այստեղից երնում (1/12,3/12.3/12.5/12)։

է,

որ

խաղացողի«ուժը» որոշվում է ոչ միայնբաժնետոմսերի քանակով,այլ Օրինակ որոշումնեի վրա ազդելու հնարավորություններով: ն քանակըտարբերէ, երկրորդ երրորդխաղացողների բաժնետոմսերի են: սակայնհնարավորությունները նույնն

նան

Օրինակ 6252 Դիտարկենք հետեյալ խնդիրը: Դիցուք որնէ կազմակերպությունունի 1,8 մլն դրամազատ միջոցներն ցանկանումէ ներդնելբանկբարձր տոկոսադրույքով:Բանկայինտոկոսադրույթները հետնյալնեն`

Գումար

Տոկոս

0-իցմինչն 1մլն

1մլն-3մլն

3մլն-5մլն

Բարձր տոկոսադրույքով եկամուտ ստանալու նպատակով իրեն ենւ նս համաձան միանա երկու կազմակերպություն՝ 900000 ն 300000 համապատասխանաբար դրամ միջոցներով: Հիմնականհարցը, որը առաջանում է այս խնդրում` ինչպես բաշխել

ստացվածեկամուտը: Այստեղ պարզունակլուծումը կարող է լինել բաշխումըըստ ներդրածգումարի 12 տոկոսի:Մակայն այս լուծումը յուրահատկությունները: հաշվիչի առնում մասնակիցների Կառուցենք3 խաղացողիկռպերատիվմ

իսկ

Աէ)

ֆունկցիանորոշվում

») խաղ,որտեղ 1 1,2, 3 -

այն գումարով, որը կստանան5

կոալիցիայի մասնակիցները, գործելով Հարմարության համարնշանակենք՝

անկախ:

մյուսներից

»(ն))Հ».5(ն.)))Հ»յԽԱՆ23))Հյջ: Այսպիսով` ջլ

180000, ոչ

5լչ

Ելչ,

270000, լց

72000, 5,

24000,

220000, 5չչ

120000,

360000:

Դժվարչէ ստուգել, որ կառուցվածխաղըուռուցիկ է: Գտնենք խաղի միջուկը: 6.55 թեռրեմի համաձայն բավական է գտնել միջուկի ծայրակետերը:Երեք խաղացող կարող են կազմել 6 հնարավոր հերթականություն`

(12.3),ն.3,2),(213),(2,3.1),(5.12),(3, 2.1) :

Ուստիմիջուկիծայրակետերըվեցնեն՝

(180000, 90000, 90000),

«(180000,140000,40000), 5 «(198000,72000, 2՞ «(240000,72000, 48000), 25 «(196000,140000,24000), 5" (240000, 96000, 24000): 2՛

90000),

Այսպիսով,միջուկը այս վեց վեկտորներիուռուցիկ թաղանթնէ ն միջուկի ցանկացածբաժանք կարող է հանդիսանալ եկամուտների

օպտիմալ բաշխում:

Հաշվենք նան Շեպլիի վեկտորը ն համեմատենք ստացվածլուծման հետ: Օգտվելով(6.5.2) բանաձնից, կստանանք՝

ԱՀՆ»

Շո)

ՍՆ

11)

Շո-»)-լ -(.-

ո աւ ին(5:- ո) ւր Լ

ա)«32(. -0)20566 յ

0, -0) Փ, ՀԱՆՇաԴլնո-»)Ւ-լՐա»,)Է-ւ 5ո)3--ր Փ

ՀԹ -)Իլ

Ել

«101666,6

շղ: այք(թ 0)- 52666,6 -

Դժվար չէ ստուգել, որ Շեպլիի վեկտորը համընկնում է միջուկի ծանրության կենտրոնի հետ ն կարող է համարվել այս խնդրի լավագույնլուծում:

Օրինակ 6.5.3 Դիտարկենք հետնյալ խնդիրը կապված ապահովագրական ընկերություններիգործունեությանհետ: Դիցուք ունենք 100 անհատներիցբաղկացածխումբ,որոնցիցյուրաքանչյուրը կարող է տվյալ ժամանակահատվածում կորցնել 1 միավոր բարիք հավանականությամբ: Իրենցռիսկերընվազեցնելուհամար քյ -0,01 նրանք որոշում են միավորվել ն ստեղծել փոքր ապահովագրական ընկերություն: Ենթադրենք,որ խմբի հիմնադիրկապիտալըպետք է լինի այնպիսին,ռր ընկերությանսնանկանալուհավանականությունը չգերազանցի0,001-ը: Ենթադրելովպարզությանհամար, որ ռիսկերը անկախ են, մռտարկենք բինոմիալ բաշխվածությունը նորմալ բաշխվածությամբ ն, օգտվելով այդպես կոչված "3 սիգմաների օրենքից", հիմնադիրկապիտալիհամարկստանանք հետնյալարժեքը՝

Հղբթլ

(1- ք) Հ10Ի9-19: Հ3վութ,

Այսպիսով,յուրաքանչյուրըպետքէ ներդնի0,19 միավոր:

է 100 անհատից,սակայն Դիցուքերկրորդխումբընույնպեսբաղկացած 1 միավորը երկրորդխմբիանդամներընույն ժամանակահատվածում կորցնումեն ք, -0,02 հավանականությամբ: Եթե իրենք նույպես

ստեզեն ապահովագրական միություն, ֆոնդըհավասարէ՝ ապահովագրական

ապա

այս

խմբի

ոչք,Է3վուք,(1թ.)-20Հ12Հ-32:

Դիտարկենքնան երրորդ խումբը, որը նորից բաղկացածէ 120 անդամից, որոնց համար 1 օմիավոր բարիք կորցնելու է: Այս խմբի ապահովագրական հավանականություն քյ-0,03 ֆոնդըհավասարէ՝

-ոյքլ

3վութ,(1ք,)Հ36ՀԻ15Հ51:

Այժմ ենթադրենք, որ այս երեք ընկերությունները որոշում են միավորվելն ստեղծել մեկ ընդհանուր ընկերություն: Հաշվենք այս միցյալընկերությանապահովագրական ֆոնդը`

նշ Հոլթլ

ոչքչ Էուք:Է

ՀՅվուռյ(1քլ)ոք,(1ք,)Էութ, (1-քյ) «66421587: է տալիս նվազեցնել Ինչպես տեսնում ենք, միավորումը թուլ ապահովագրական ֆոնդի ծավալը, քանի ռր եթե ընկերությունները գործում են միմիանցիցանկախ, ապա ապահովագրականֆոնդերի գումարըկկազմի 194Վ32-51-102 իսկ միավորվելու դեպքում` 87 միավոր:Սակայն միավորվելիսհարկավորէ ռրոշել յուրաքանչյուր խմբիներդրումըընդհանուրապահովագրական ֆոնդում: Այս խնդիրը

դիտարկենք որպեսկոպերատիվխաղ`Օ -

0)-մ,-19, »(2)-7-32, :3)- Մ. -5ն

մ ջ)

որտեղ 1

ՀՎՆ2,3),

(1- քլ)ութ,(15.2)-ությ փոչք, ԷՅվուք թ.)-30Հ1545,

/(2,3)-ուք,փոյթյֆՅվուք,(1ք,)-Է ուք:Ա-ք,)»՛15,3, (13)

ութ

12,3) Մշ

քլ)ութ,(1Ժ3վուք,(1-

փութ,

ք.) -63,5,

87:

Դժվար չէ ստուգել, որ

խաղի համար Շեպլիի վեկտորը կտա : 9:26,9: Դուրս գրենք խաղի միջուկը այս

(14,

հետնյալ բաժանքը՝

բնութագրողառնչությունները՝

45,6)

զ ՀՏ19, Ճշ Տ32,

Կ ՏՏՆ զ

Տ45,

5753,

Հ63,5,

պ Իլ զ Իչ-Է

ՏՏՀ:

Հեշտությամբստուգվում է, որ Շեպլիիվեկտորըպատկանումէ խաղի միջուկին,հետնաբարայն կարող է դիտվել, որպես խնդրի օպտիմալ բաշխում: Այսպիսով, ընդհանուր ապահովագրականընկերություն ստեղծելու համար առաջին խմբի անդամներըպետք է ներդնեն յուրաքանչյուրը մոտավորապես 0,15 միավոր, երկրորդ խմբի 0,27 միավորն երրորդխմբիանդամները՝ անդամներըմռտավորապես 0,38 միավորյուրաքանչյուրը:

ՄՈԴԵԼՆԵՐ

ԴԻՆԱՄԻԿ

Սույն բաժնում դիտարկվում են ռրոշումներ ընդունելու այնպիսի որտեղորոշումը ընդունվումէ ժամանակիընթացքում` քայլ խնդիրներ, առ քայլ, կամանընդմեջ:

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

ԴԻՆԱՄԻԿ

Դիցուք ձեռնարկություննունի որնէ արտադրանքստանալու երկու տեխնոլոգիականպրոցեսներ, ընդ որում առաջին պրոցեսում չ

Շ)

քանակությամբռեսուրսը /պաշարը/ բերում է սկզբնականպաշարից մնում պրոցեսում

պաշարը

բերում է

եկամուտ ն

քանակություն, իսկ երկրորդ

հ(») եկամուտն պաշարը

նվազումէ

մինչն /87: Դիցուք պաշարիսկզբնականքանակը շ է: Այն բաշխելով երկուպրոցեսներիմիջն, համապատասխանաբար ) ն «-) մասերի,

(»,)) -ջ ( »)Է Աէ: ))

ձեռնարկությունը կստանա մլ մնացյալ պաշարը մնացածպաշարը տրոհում ենք ֆլ

հավասար կլինի

եկամուտ,իսկ

պ-Օ7Է0(-)):

Դիցուք

նորիցբաշխումենք երկու պրոցեսներիմիջե` զ ն

մասերի, ստանալով ջ

Կ-)ջլ

7չ-ՕԻ/Ժ

եկամուտ ն

("զ »)

(» ) Է եՐզ

մնացյալ պաշար:

Խ(.»3:1)-80)ԷհԹ-)):8(Թ)Էե(ա-»)։։

հ,

(Թ),

-րդ

քայլումկստանանք` ո-1

լ)»

Ֆի (»,)լ-ռՖ

որտեղ` ո "6.

0Ր2-)),0Հ»ՀՏ». ԻԲՐ -Ֆւ)0Տ»ւ

»)

Այս դեպքում

բաշխմաներկու քայլերիցստացվածեկամուտըհավասարկլինի`

Կրկնելովայս գործնթացը,ո

-ը

Տ".Ա»23.աո:

Առավելագույնվերջնականշահույթը կստանանքմաքսիմալացնելով

հր,()լ-),)

ֆունկցիան լ...

փոփոխականներիվ̀երնում

նշվածանհավասարություններով որոշվողտիրույթում: Եթե ենթադրենք, որ

եՐ)

ֆունկցիաներըանընդհատն

ածանցելիեն իրենցռրոշման տիրույթում,ապա այս խնդիրըկարելիէ լոծել դասական եղանակներով, օրինակ դիտարկելով որպես պայմանական էքստրեմումիխնդիր:Սակայնդասականեղանակները հիմնականում տալիս են տիրույթիներսում էքստրեմումիգոյության անհրաժեշտպայմաններն հարկավորէ լինում ստուգել ֆունկցիայի վարքըտիրույթիեզրում: Այս ամենըշատ է բարդեցնումխնդիրըմեծ դ -ի դեպքում:

Դինամիկծրագրմանեղանակըթույլ է տալիսնման խնդիրներըլուծել քայլ առ քայլ: Նկարագրենքայդ եղանակըվերնում բերվածօրինակի վրա: Քանի որ 8,

(».7,)լ»....),լ ) ֆունկցիայիմաքսիմալարժեքըկախված

է միայն սկզբնականռեսուրսի

նշանակենք`

քանակից ն քայլերի

հ6)-ռալտ(9):6-))ի (Հ

ոռ

թվից,

ոռ Խ(»7.».-).)

Բաշխման երկու քայլերից հետո ամբողջ ստացած եկամուտը հավասարէ առաջինքայլում ստացածեկամուտին երկրորդքայլում Կ

ՀՕ)ՀԻԹ

ռեսուրսը բաշխելիս ստացված եկամուտի

գումարին: Ինչպիսին էլ

լինի առաջին քայլում ընտրած »-ը, մնացորդայինռեսուրսը հաջորդ քայլում պետք է բաշխվիօպտիմալ ձնով: Այսպիսով, եթե )լ-ը օպտիմալ է ընտրվել, ապա (7.1.) արտահայտությունը կընդունիհետնյալտեսքը`

Խ(ո»»)Հ8()հ6-7)Է7(»86-)))։ Իսկմաքսիմալեկամուտիհամարկստանանք`

2()Հ-ոավչ())Հե(«-3)ԷԻ(»66-3)): Շարունակելովայս դատողությունները, Դդ-քայլանիգործընթացի համարկստանանքհետնյալբանաձնը`

ռոՀ2, (/)-ոամտ())Հո(«-))Էի«(66-)))

(012)

հ06)Հոռվտ()ՀԻ2-))ի

Այս ռեկուրենտ բանաձներըթույլ

հանգեցնել

հատ

տալիս դ-չափանի խնդիրը Իրոք,դիցուք` մեկչափանիխնդիրների: են

հ0)-ոալ8()::62-»))-14(2):Ի6-»)|

հաշվում

Երկրորդքայլում

ենք`

հ0)Հոավ()):հՐ-))Է7(»:86-))):

յդ.) ն այսպեսշարունակ:Արդյունքումստանում ենքերկուհաջորդականություններՎ̀)յ) ն ( 7 (:)) .1ՅՆ2...., որոնք Ապահաշվում ենք

տալիսեն տրվածռեսուրսովն քայլերովբաշխմանխնդրի օպտիմալ լուծումը:Այն դեպքերում,երբքայլերիթիվը շատ մեծ է, կարելի է (7.1.2) ռեկուրընտ բանաձների փոխարեն օգտվել) ֆունկցիոնալ հավասարումից`

()):հ6-3):7(»-86Շ-))):

(Հոկ

նույն եղանակըկարելիէ կիրառելտարբերխնդիրներում: էքստրեմումիբազմաչափ խնդիր` Դիտարկենք, օրինակ,պայմանական Լուծման

այս

յ-256.

Բ((".7....52.)

Հ-Շ լո1

75 20,:ՀՆ2.....ռ

Ենթադրենք, որ

բոլոր

ջյ

ֆունկցիաներըանընդհատ են 2«»0

տիրույթում: Քանի որ խնդրիլուծումը կախվածէ միայն Հ -ից ն ո-ից ուստիկարելիէ նշանակել`

Ի(դ,2,.-.2.):

ու: ոլ.ոդ»-«1,

Դատելով այնպես,ինչպես նախորդ խնդրում, կարող ենք ստանալ ռեկուրենտբանաձն`

հ6)-80).

/()-տավա()-7-(--»))

ւՀ

2,....ո համար:

Այս երկու բերված մոդելներում կիրառված է դինամիկ ծրագրման խնդիրներիլուծմանհիմնականօպտիմալությանսկզբունքը`օպտիմալ կերպովբաշխելռեսուրսը վերջին քայլում, եթե հայտնի է, թե ինչպես օպտիմալկերպովբաշխելմնացորդայինռեսուրսը նախորդքայլերում ն այդպես, քայլառքայլ գալ մինչնսկիզբ:

Բերենքթվայինօրինակ:Դիտարկենք հետնյալխնդիրը`

ՀՃ-

-Ֆ»

ոլո,

շ.-«

2 -0,:-Ն2.....ո

Այստեղ ՝ »0,:-Ն2....,ո: Այս խնդրիհամար(7.1.3) բանաձեը կընդունիհետնյալտեսքը`

ո(Թ-քռիչ«6-»5-ի է

Կազմենք`

Ո0)-Ճ()-Տ. .()-Ը «5. լ

Շշ

ն հավասարեցնելով Ածանցելով զրոի,կստանանք`

ո(Ժ-շՏԵ.«-ա(Ս-շԶ.. .(0-քոռ(ց--`Այժմենթադրենք, որ

Շ2

Ի(Ժ--բգՅ2 ն

կազմենք

6-2

/Մւ(0Հաղ- ՀՇ

ՕՀ.««ճ՛ՒՇչ..ԷԸՇչ

«ՀՕլ |

Դժվարչէ ստուգել,որ Ճ

ՇԸ:

ո(9) փԸՇչֆ..Շալ 2Է2

հ..()Հ

առաչ

ԺԸՇչԻ.-ԻՇլլ

Այսպիսով,ցանկացածդ» 2 համար` ո

ճլՒՇշ ...փՇր

Իսկ ռեսուրսի օպտիմալ բաշխման 572

կետերը ստանալու

համարօգտվենքդինամիկծրագրմանհիմնականսկզբունքից.նախ

որոշենքն -ն՝

90. ո-ն)

«6.

ՇԸ,

(լ ԺՇչԻ..ԷԸլ

Հաջորդքայլումորոշվում Է 2,

ոլթ

ԻՈ»

5Հ|վՇ

Հ-ավ---------Հ

լ-ն

Ե-5ք)ո,-լ ճֆՇչԻ..ՀՇ,

ՇԸր

Շո-լ

ՀԻՇչԻ..ԻՇ

)զԻՇշԻ..ԻՇ

ո-1

«(զ ճշ Ի..ճ)ուլ- եռ (գ ԻօշՒէ..փՇ`)((ԻգԻ-ՅՅ). «6

Ղ(զԳԳԻ-ՀՅւ)

ՇԸ,

(ԼԳԶՀ.-ՀՇԸ)(ԿԳՕԻ-ԻՇ (ոռՀ.Յ6)՝

յ)

Շարունակելով,կստանանք`

.----------,յ "`

ՇԸ.

(ՇԳՅ.ՀՇ)

1Հնե2,.ո:

22. ՕՊՏԻՄԱԼ

ԿԱՌԱՎԱՐՄԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Օպտիմալկառավարմանտեսությունըուսումնասիրում Է որոշումներ ընդունելուայնպիսիխնդիրներ,որտեղ որոշումներն ընդունվում են ժամանակիյուրաքանչյուրպահին: անընդհատ,

Որպես օրինակ դիտարկենք ավտոմեքենայիուղղագիծ շարժումը: Առանցընդհանրությունը խախտելուկարող ենք ենթադրել, որ այդ շարժումըկատարվումէ իրականառանցքով,ն ժամանակիէ պահին

մեքենան գտնվում է իրական առանցքի «0 ) կետում: Մեքենայի

վիճակըյուրաքանչյուր ք պահինկարելի է նկարագրել«(դ դիրքովն

2()

արագությամբ: Ուղղագիծ շարժման դեպքում մեքենայի

կառավարումըկատարվում է վարորդի կողմից մեքենայիվրա ուժ կիրառելով (այս կամ այն չափով սեղմելոմ "գազի պեդալը")

ա()-ով:Հաշվի

Ժամանակիէ պահին կիրառվողուժը նշանակենք

1Ա) ըստ

առնելով,որ արագացումըհավասարէ

Նյուտոնի երկրորդ

օրենքիշարժմանհավասարումըկունենահետնյալտեսքը`

ու-ս-եչ, որտեղ ու-ը ստանանք

(7.2.1)

մեքենայի զանգվածնէ, Ֆչ-ը շփման ուժը: Որպեսզի մեքենաի վիճակի 8քպարամետրեի անմիջական

կիրառվող ուժից, նշանակենքպ̀ 2,5 -Ճ: Այս կախվածությունը դեպքում(7.2.1) հավասարումըկվերածվիհամարժեքհամակարգի` Հ

ճչ---Ա---մլ

Ընտրելովյուրաքանչյուր է պահին ս

(դ

կառավարումը,ն լուծելով

սույն համակարգը,կարելի է ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների

մեքենայիշարժմանԷ՛ () դիրքիդեպքում:

()

հետագիծըցանկացած սկզբնական

Ընդհանուր դեպքում կառավարվող օբյեկտի վիճակը կարող է

նկարագրվել 2

Հ(պ,:...4.)6

Ք"

վեկտորով, որն անվանում են

կառավարվել ` շարժումը կարող է սՀ(աե,,..,Աղ)ՕՍՇԱՄ" պարամետրերով,որոնք անվանում են կետ

ֆազային

կառավարողպարամետրեր,իսկ Մ բազմությունը` կառավարման տիրույթ:Շարժմանօրենքըտրվումէ դիֆերենցիալ հավասարումների

Ո(....2.չալչա,,...եղ),

(պ...

ալչն,,...Աղ),

Օ.2.2)

(պ2,,..7.Ալ:Աշ,..,Աղ)

ՃԲ

համակարգով,որոնք անվանումեն շարժմանհավասարումներ Այս համակարգըկարելիէ գրելվեկտորականտեսքով`

4Հ/ որտեղ /-ով

Ակներն է,

նշանակել ենք

(»ս), ( ի, յ»... յ)

վեկտոր-ֆունկցիան:

(դ

տարբեր եզրային պայմաններին տարբեր

որ

կառավարումներիդեպքում կստանանքտարբեր

(Դ) հետագծեր:

Դիցոք տարածության մեջ տրված է որնէ 2. մակերնույթ (մասնավորապեսայն կարող է բաղկացածլինել մեկ կետից) ն ենթադրենք,որ մեր կառավարվողգործընթացըսկսվում է ժամանակի

ք պահին 2

կետը

հասնում

Ճ(ք) է

կետից ն ավարտվումէ դ պահին, երբ

2. մակերնույթին`

5(ո)6:

Այս

«(դ

մակերնույթն

անվանենքտերմինալմակերնույթ:Վառավարման նպատակըտրվում է նպատակայինֆունկցիոնալով որը ընդհանուր դեպքում ոնի հետնյալտեսքը՝

ա-ի Ննյան)ճչոն).

(7.23)

որտեղ11(Տ)ֆունկցիանորոշված է 2. տերմինալմակերնույթիվրա: են Լագրանժի Մասնավորդեպքում,երբ 11 (5) Յ0, խնդիրըանվանում

խնդիր,իսկ երբ

1/(5)»0, ՆՀ1

(այսինքն՝ Մ (»,ս)-ղ -ք),

անվանումեն արագագործության խնդիր: (»ս) ն

որնէ

կառավարում է,

իսկ

20) չն

զույգը, այդ

խնդիրն

որտեղ

(ո-

կառավարմանը

(7.2.2) համակարգիմիարժեք լուծումն է (եթե համապատասխանող այդպիսինգոյությունունի), որը սկսվում է 5: կետիցն ավարտվում2.

տերմինալ մակերնույթի վրա, կոչվում է չմառավարվողպրոցետ ստանում է Կառավարվողպրոցեսը,որի դեպքում(7.3.3) ֆունկցիոնալը էքստրեմալ արժեքը (մաքսիմալ կամ մինիմալ, կախված խնդրի դրվածքից),կոչվում է օպտիմալկառավարվողպրոցես: Այսպիսով,օպտիմալկառավարմանխնդիրըտրվածէ, եթետրվածեն`

Ջ" տիրոյթը, կառավարմանՄ 2. տերմինալ մակերնույթը,

շարժման2--/

նպատակային ֆունկցիոնալը`

ԱԷ)

(ս)

հավասարումները,

խեն յանուն):

Չնայածօպտիմալկռավարմանտեսությունըսկզբնականշրջանում ուսումնասիրելէ խնդիրներ,որոնքկապվածէին ֆիզիկականշարժման հետ` տիեզերագնացության, բալիստիկ հրթիռների, ինքնաթիռների ավտոմատ կառավարման ն այլ բնագավառներում,այժմ այս նան ստացել տեսությունը լայն կիրառություններէ ն ալ տնտեսագիտության, բժշկության, քաղաքաշինության Բերենք մի քանի օրինակ:Յուրաքանչյուրմարդու բնագավառներում: առողջական վիճակը կարելի է նկարագրել վերջավոր թվով արյան բաղադրությունն պարամետրերովճ̀նշում, ջերմաստիճան, այլն, այսինքն ներկայացնել,որպես ֆազային կետ: Յուրաքանչյուր ն տեսար քանակը պահին ընտրելով դեղորայքնեի

կարելիէ դնել խնդիր` մինիմալժամանակումկամ (կառավարումները) մինիմալվնասներովառողջացնելհիվանդին: Բերենք մեկ այլ օրինակ: Քաղաքի կամ երկրի տնտեսական իրավիճակըկարելի է նկարագրելմի շարք պարամետրերով`բյուջե, ցանց, տվյալ ճյուղի գործարանների էներգետիկա,տրանսպորտային ն հզորություններ այլն: Այդ պարամետրերըկարող են փոփոխվել շնորհիվ: Կարող վարկային,հարկայինն այլ միջոցառումների է դրվել ժամանակահատվածում, կամ մինիմալ ծախսերով մինիմալ խնդիր` հզորացնելերկիրը:

Դինամիկ ծրագրման մոտեցում: Պարզության համար հիմնական ն արդյունքներըդիտարկենքարագագործության խնդրի մոտեցումները օրինակի վրա: Դիցուք ֆազային , կետից հարկավոր է մինիմալ հավասարումներին ժամանակում, շարժվելով շարժման (72.2) համաձայն, հասնել ո: ֆազայինկետ: Այստեղ վերջնական ո կետը համարում ենք ֆիքսված, իսկ սկզբնականչ կետը փոփոխական, այսինքն խնդիրըփորձում ենք լուծել ցանկացածսկզբնականդիրքի համար: Ենթադրություն 1: Ենթադրենք,որ ցանկացածսկզբնական7. կետի

համար գոյությունունի միակ օպտիմալ (ս)

պրոցես ն

7( 2) -ով

նշանակենք.. կետից 7 կետ հասնելումինիմալժամանակը:

Ենթադրություն2: Ենթադրենք,որ այս բաժնում դիտարկվողբոլոր ֆունկցիաներըանընդհատեն ն ունեն այնքան անընդհատմասնակի ածանցյալներ, ռրքան պահանջվի: Հետագա դատողություններում ավելի հարմարէ

7(2) ժամանակիփոխարենդիտարկելհակադարձ՝

0(») -Ր(»)ժամանակը: -

ֆազային տարածության որեէ կետ է, ն սօՍ Ենթադրենք,որ |ք պահին մեր օբյեկտըգտնվում է 2. կետում ն

Դիցուք :՛-ն

շարժվում է

Ա՛

հաստատուն

կառավարման ներքո, համաձայն

շարժման(7.2.2) հավասարումների,մինչն

Ա)

կետը,ծախսելով7-10

ժամանակ: «(/) կետիցշարժվելովօպտիմալմինչն

կետըկծախսվի

Ր(«()) ժամանակ: Ուստ, չ' կետից մինչն 7, կծախսվի (-.)փՐ(»«()) ժամանակ:Մակայն,քանիոր 2" կետիցմինչն

հասնելու

Ր(")

-7ր

օպտիմալ

(«(օ))

(մինիմալ)

ժամանակը

հավասար

ապա`

7(«(.))Հ(-ռ)փ1(«(3)։ Փոխարինելով 7(») ֆունկցիան

(») -ով ն

բաժանելով1--մց վրա,

կստանանք`

62(դ)-66(.))

Հլ

Ւ-ռ Անցնելովսահմանին,երբ Մ -»1ց,

ենք`

ստանում

Տ6(())

Հ1:

ԻՎ0

(ո Յի (ս)

Եվ,քանիոր Վ

--Գէ 60)

ստանում ենք` վերջնականապես

90(2")()լ.,

2, ծւ -----1

ապա

Կ"

96(2") 2. ծ. մ (» ) |Տ|: ո

Հ-----իՄՎջն

Այստեղ :«. ն ա՞ կետերը կամայականէին: Ուստի ֆազային տարածությանցանկացած. ՞ 7: կետի ն կառավարմանտիրույթի ս ցանկացած կետիհամար`

ֆաՄ(.ս)ՀԼ ԻՎ

Դիցուք,այժմ, ԱԱչն օբյեկտը

«(յ)

02.4

Դ,

()

-ն

օպտիմալպրոցեսէ,

կետից 7

-Հ(ղ)

որը

է տեղափոխում

կետ, այսինքն 1

պահին

«(մյ)

օբյեկտը գտեվում է

ֆազային կետում

ընդ որում ավելի արագ

ԽՏԼՀղՈ որնէ

ժամանակ, հ պահին հասնում

հասնել »

միջանկյալպահ է:

ծախսելով

կետ: Այստեղից`ո-ն

7(շ")

ԻՆ(»)

կետ հնարավորչէ: Դիցուք Ւ-ն,

Շարժումըօպտիմալ է1ն),ս()

(մօ) կետիցմինչն (Ւ) կետ տնում է ք-ք. ժամանակ,իսկ «(-)-ից մինչե , Հ«(ղ) կետ` 7(«()) ժամանակ:Ավելի արագ (3 կետիցհասնել » -(ղ) կետ անհնար է. դա կհակասերէն ) չս ( ՛ ) պրոցեսիօպտիմալությանը: Այսպիսով, պրոցեսիդեպքումֆազային 2"

7(«(.))-(-օ)ԷԼՆ()): Այստեղ,փոխարինելով 7()-ը

-Օ(.)-ով,կստանանք`

6Ր(դ)-60Շ(գ)) ի

է-ն

Անցնելովսահմանին,երբ 7 -»1ց,

ստանում

(»ն )

ենք`

2) (ը

ն, ինչպեսն վերնում,կստանանք`

ՓՏՐ)Նրան)»

(7.2.5)

Հարմարության համարնշանակենք`

4 Նա)

".00(2

8(ոս)ՀՖ՝ ո

օգ

(72.6)

համեմատելով (7.2.4) ն (72.5) առնչությունները,կարելի Աապժմ, հետնյալպնդումը: ձնակերպել

Եթե ֆիքսված " վերջնականդիրքով, շարժման Թեռրեմ 721: Հյ (ս) հավասարումներովն Ս կառավարման տիրույթով

արագագործությանխնդրում ապա` ենթադրությունները,

(ոս) ՀԼ

1.8

բավարարվւմ

ո»:

բոլոր

կետերի ն

եե

կառավարումների

համար,

8(2(3,ս(1)»1ցանկացած օպտիմալ ա(),»6())

պրոցեսիհամար: Դիցուք, այժմ, պրոցես է:

(սԱ «()) ,

ՕՏքՀՒ,

օպտիմալ կառավարվող

նհ ) 8 (Ն, ս)

Մեր ենթադրությունների

լ,2շ»...»71.»

ընդ որում վերը նշված

-ն,

Ֆիքսենք որնէ

համաձայն գոյություն

ունեն

մասնակիածանցյալներըըստ

թեռրեմիցհետնում

ֆունկցիայի անընդհատ

է, որ մասնակիածանցյալները հավասարեն զրոի։

Ածանցենք8(2,ս) ֆունկցիան`

ծօ(»ս()) ժչ

«Տ966) )1. «(Ռ): Փոժու Հ

չ3966) ծ ր

գր,ս())

,15-Ն2,.ո:

(7.2.7)

էռ1

Քանիոր`

46271

9.0(2)

«662

արըարծւծշ ծգլժ»

20(Գա()).

ուստի(7.2.7) հավասարումըկստանահետնյալտեսքը`

«ԱԹ ԱՄն).

7.Ւ-Լ2,...ո:

«902)4:Թա8)

4|962())1

Նկատենք,որ նախորդ(72.4) - (7.2.7") բանաձներում(2)

ֆունկցիան

մասնակի ածանցյալները:

են միայն դրա չի մտնում, մտնում համարնշանակենք` Հարմարության

«ՅՆ, ( «ՏՐ,

տ()

(7273

աա

Այս նշանակումներով (7.2.6)-ըկընդունիհետնյալտեսքը`

(7( յ-2ո(

7,ս)

իսկ (7.2.7') հավասարումները`

7.0). ծ,

(0:20) (1

-0,

Է-12,..,ո:

Կամ`

--ֆ.()

------Հ--ք,

Հարմարությաանհամար ֆունկցիա` Է

Կ... (Մ,Մ/2»..17:

Ր)

ներմուծենք:

ՔՀԼ2,..ո: 2դ-տ

(.2.9)

փոփոխականի

:Ալ.Ա.»..յԱղ) ՀՏ 7( (»ս)։։

(22.0)

Այս ֆունկցիայի օգնությամբ (7.2.9) հավասարումներըկընդունեն հետեյալտեսքը` .

Մչ--Հ---չ է

ՉԱ ծ:

ԵՀԼ2....ո:

Օ.2.11)

Ամփոփելով վերընշված ոչ խիստ դատողությունները, կարելի է ձնակերպել օպտիմալ կարավարման արագագործությանխնդրի լուծմանհետնյալսկզբունքը: պրոցեսըօպտիմալէ, ապա սկզբունք:Եթե կառավարվող Մաքսիմումի գոյոթյունունի (7.29) համակարգիայեպիսի կղ»ն՛շ»..4Մ,ոչ տրիվիալ

լուծում,որ ցանկացածէկՏԼՀՒղ համար`

ԵԹՄ(»(իա(0)Հ ոթն (7(),«(,ռ),

Օ.2.12)

ԱԱԱԱԽՆԱ))

Չնայած այն հանգամանքի,որ այս սկզբունքը ստացվել է դժվար ստուգվող ենթադրություննեիիդեպքում ն չի կարող համարվել օպտիմալ պրոցեսի գոյության անհրաժեշտ պայման, սակայն պարզվում է, որ այս սկզբունքը գործում է նան առանց որնէ

ենթադրությունների 0(») ֆունկցիայի վերաբերյալ:Անցնենք այդ

մասնավոր`գծայինխնդրիդեպքում: սկզբունքիխիստապացուցմանը բարդ է ն կարելի է Ընդհանուրդեպքի ապացույցը բավականաչափ գտնել|7)-ում: գծալին խնդիր: Դիտարկենքհետնյալ խնդիրը: Արագագործության գծային Դիցուքօպտիմալկառավարմանշարժմանհավասարումները են`

-Ֆ՝գյո,Իծ-ելս,:ւ-Ն2.....ո,

որտեղԳյ

է»|

ե, գործակիցներըհաստատուններեն:

02:13)

Նույնիսկ

ամենապարզխնդիրներումօպտիմալկառավարումըկարող է չլինել անընդհատ:Այդ պատճառովհարկավոր է ընդլայնել դիտարկվող դասը: կառավարումների Սահմանում

721:

կառավարումը ս(դ»-(ա(դ,ա(դ,..ոո(Ռ)

անվանում են թռւյյատրելի կառավարում,եթե ա. Ս) Է ՀԼ2....ռ

ֆունկցիաներիցյուրաքանչյուրըունի ոչ ավելի, քան վերջավոր թվով առաջին կարգի խզման կետեր (գոյություն ունեն աջից ն ձախից վերջավորսահմաններ),անընդհատէ աջից ն անընդհատէ որոշման տիրույթի.ծայրակետերում: Եթե

-հավասարումնեի

(72.13)

ՀՆ2...,ո

ւՀ Ն2,....ո,

յ,

գործակիցներիմատրիցը նշանակենք 4-ով

ծ,,

Հ-Ն2,..ո,

գործակիցների մատրիցը Թ-ով ապա կարողենք գրել վեկտորական տեսքով` հավասարումները եՀԼՆ2,..,

2-Ի

Տրված

ս( )

քս

(72.13)

(7.2.14)

կառավարման համար հետագծի գոյության հարցը

հանգեցնում է (72.13) համակարգի լուծման գոյությանը: Ինչպես հայտնի է (տես, օրինակ, |7), համակարգի/ուծումը սահմանվումէ, ԳՀԼՀԵ որոշված միջակայքի վրա որպես

«() է՛ () -

,36շ Այ"յ

ածանցելիֆունկցիաներիհամակարգ,

որոնք տեղադրելով (72.13) 56համակարգի մեջ, այդ համակարգի դարձնումեն նույնություն: յուրաքանչյուրհավասարումը Բերենքգոյությանմի թեորեմ,որի ապացույցը կարելի է գտնել(7) ում:

Թեռրեմ'72.2: Եթե

սլ(ւ),ս,(լ).....աղ(1)ֆունկցիաներըորոշված ն

անընդատ ենՂ սահմաններ Ւ-»օ

ԳՀԼՀԵ

ֆազային 5.7...

Ւ-»ե

միջակայքի վրա, ունեն վերջավոր դեպքում, ապա, ինչպիսին էլ լինեն

.15կետերը,գոյությունունեն

(1,2.()

(

մեր

ֆունկցիաներ,որոնք որոշված ն անընդհատեն ամբողջ ԳՀՒՀԵ հատվածիվրա,հանդիսանումեն (7.2.13) համակարգիլուծում ն, բացի են այդ, բավարարված

«(0)»

,ռ(0)Հ»..,.. «(ո)»

պայմանները:Այս պայմաններով որոշվումեն միարժեքորեն:

Ա) ,

:.ՀՆ2,....ո

0.2.15)

ֆունկցիաները

Օգտվելովայս թեորեմից,կարելի է լուծում ստանալնան թույլատրելի դեպքում:Իրոք, դիցուքթույլատրելիկառավարումը կառավարումների

վեկտոր-ֆունկցիան է, կամայական ս(Ռ»(ա(8,ս,(դ....աղ(դ)

որոշված

1,ՀԺՀ

«Հ(ա,ց....չչ)-ն որնէ

հատվածի վրան

ֆազայինկետ է: Նշանակենք 4լ,7շ»...»2.

ա(Դ,ո,(1,..աղ() Դիցուք

այս

այն կետերը, որտեղ

ֆունկցիաներիցառնվազն մեկր խզում ունի:

կետեր՝

համարակալված

Տեղադրելով

ճՀռՇՀ..ՀՊ:

բոլոր

են

աճման

ալ(է),ս,(),..,ա(/)

կարգով՝

ֆունկցիաները

(7.2.10) հավասարմանմեջ,կունենանք`

«.(դ- Հ-շյո, (Դ) յՀ

էլա, () ՏԻ

:՞Լ2,..,ո

(7.2.16)

է-1

կամ,վեկտորականտեսքով`

2()Հ.Ճ(3Հ8ան):

Օ.2.16:)

Նախ (7.2.16) համակարգըդիտարկենք |.»4 | հատվածում: Այս

հատվածիվրա (7.2.13) համակարգըբավարարում է պայմաններին, ուստի

գոյություն

ֆունկցիաներ,որոնք որոշվածեն վրա, բավարարում

են

ունեն

7.2.2

ն),» (դ)....7. (7

անընդհատքլ ՀՏՀ

սկզբնական (72.15

թեռրեմի

հատվածի

`պայմաններին ն

են (7.2.16) համակարգիլուծում 1ցՀք Հլ հանդիսանում

վրա:

Այժմ կարող ենք (7.2.16) համակարգըդիտարկել |ո,«| հատվածի վրա, վերցնելով

«(ո)-նզ(1),(ճ)....7, (ո))

կետը որպես

հատվածիվրա նորից կարողենք կիրառել |7.,7չ| 7.2.2 թեորեմը` գոյություն ունի լուծում «(ճ) սկզբնական դիրքով:Այս լուծումը նույնպես նշանակենք «(3 (ո (Դ 2 (/)....7,())։ Այժմ դիրք: սկզբնական

(Դ), (Դ...

Ա)

ֆունկցիաները կառուցված

հատվածիվրա, անընդհատեն ն

բավարարումեն

այս

այդ

հատվածիվրա, ներառյալ 2լ կետը

(7.2.15) սկզբնականպայմաններին:Շարունակելով

գործընթացը,վերջ ի վերջո կկառուցենք(ք) ֆունկցիանամբողջ

հատվածի վրա: Ստացված զ անընդհատեն

ն),. (/),...3,,( )

|/յ,դ|հատվածիվրա ն

(կարող են խզվել միայն 7.,2շ,....2.

5()

1 ՀՄՀ,

են

կտոր

առ

ֆունկցիաները կտոր ածանցելի

կետերում):Այսպես կառուցված

ֆունկցիան կանվանենք (72.16)

համակարգի`

կառավարմանըհամապատասխանողլուծում: Կասենք, կառավարումըտեղափոխումէ ֆազայինկետը չ' եթե նրան համապատասխանող2)

որ

դիրքից »

լուծման համար

ս() ս() դիրք,

«(5)»

«(1)»»: Այժմ անցնենք մաքսիմումի սկզբունքի ապացուցմանը արագագործության գծային խնդրում: Ենթադրենք,որ կառավարման Մ տիրույթըուռուցիկբազմանիստէ, պարունակումէ սկզբնակետը, սակայն սկզբնակետըՄ-ի ծայրակետչէ. Առանց ընդհանրությունը խախտելուկարող ենք ենթադրել,որ վերջնականֆազային »' դիրքը

սկզբնակետն է: Այսպիսով. դիտարկում ենք հետնյալ խնդիրը՝ կառավարվող օբյեկտը, որի շարժումը նկարագրվում է (7.16) հավասարումներով, հարկավոր է, ընտրելով յուրաքանչյուր աԾ Մ Ջ"՞ վայրկյանինորնէ կառավարում, ֆազայինտարածության ցանկացած7 դիրքիցմինիմալժամանակումբերելսկզբնակետ: Սաձմանում

7.2.2:

Դիցուք 1

-ն

որնէ դրականթիվ է: Մ.-ով նշանակենք

ֆազայինտարածությանբոլոր այն կետերի բազմությունը, որտեղից կարելի է տեղափոխվելսկզբնակետ7 ժամանակամիջոցում, կամ ավելի արագ, շարժվելով որնէ թույլատրելի կառավարմամբ: ՆՄ. բազմությունն Օ Օ։Օանվանումեն հասանելիությանտիրույթ:

ՆՐ-ինն 6-նհամապատասխանո

Լեմ 7.2.1:

Մ. հասանելիությանտիրույթըուռուցիկբազմությունէ:

Ապացույց:Դիցուք 2:

թույլատրելի

-ն

Մբբազմությանկամայականկետ է,

կառավարում է,

սկզբնակետ7--ն

որը

չգերազանցող|

տեղափոխում է

այդ

ն ժամանակահատվածում

(ո)-ն

կետը

«(դ-ն

հետագիծնէ: Եթե դ ՀՐ, ապա կարող ս() -ին համապատասխանող ենք շարունակել ս(/) կառավարումըն «() հետագիծը ամբողջ |0,7|հատվածիվրա, վերցնելով »(Ւ)0, ս(1)50, երբ ղ ՀՀ Նշանակենք`

ղՀ.ՀՐ` ԱՀՈՎ Դ-Ե" 0,

Այլ կերպ ասած,

(«(դ,մԱ)

կետըհ պահինհասնում

ղՀ.ՀՐ

կառավարվողպրոցեսիդեպքում

Ա)

սկզբնակետն այնտեղկանգնումամբողջ

մնացածժամանակի ընթացքում: Այսպիսով, եթե 76 Մ.,

ապա

գոյություն ունի այնպիսի թույլատրելի կառավարում, որը է կետըսկզբնակետ ն, ուղիղ 7 ժամանակահատվածում տեղափոխում

հետնաբար Մ.-ն կարելի է սահմանել, որպես ֆազային կետերի այնպիսիբազմություն,որոնցիցկարելի է տեղափոխվելսկզբնակետ ուղիղ 7 ժամանակահատվածում: Այժմցույց տանք Մ. բազմությանուռուցիկությունը:Դիցուք 5,-նն -ն

բազմության երկու կամայականկետեր

Կազմենք70

«օ

(1-4)

պատկանումէ 7-ին:

Ըստ

ն ցույց

տանք, որ

են

Ե:

(0,1)։

Ճը կետը նույնպես

Մ. բազմությանսահմանման, գոյություն

(««(ըա՛(դ)ն ՀԱՆ ԱՍ) թույլատրելի կառավարվող հատվածիվրա, որոնք բավարարումեն պրոցեսներ,որոշված |0,7| ունեն

հետնյալեզրայինպայմաններին`

«՛(0)22, «(0)».

(Ր)»՛(1)»0։

(7.2.17)

Նշանակենք՝

ա()Հ/ռ՛()«(1-4)ս՛(ի, 2(2.:(Հ(1-4)»՛(),

0ՀՒՀԼ,

02.18)

0Հ:ՀՆ։

(72.19)

Քանի որ, ըստ ենթադրության,Մ կառավարմանտիրույթը ուռուցիկ է, որ յուրաքանչյուր բազմանիստ է, ուստի (7.2.18)-ից հետնում համար ս(դ -ն պատկանումէ Մ բազմությանը:Այնուհետն,

ՕՀՄՀ7

ս՛(ո

ս՛()

այսինքն

ունեն

հետնաբարնան

կառավարումներըթույլատրելի կառավարումներեն, ոչ

ավելի, քան վերջավոր թվով խզման կետեր,

ա(/)-նունի ոչ

ավելի, քան վերջավորթվով խզման

կետեր,այսինքնթույլատրելիէ: Մյուս կողմից,

ս՛()

ն ս՛() ն 7՛(Դ)-ն 2՛(1)-նհամապատասխանաբար

կառավարումներինհամապատասխանողհետագծերն են,

ուստի ՕՀքՀ՛Ր միջակայքիբոլոր կետերում,բացիխզմանկետերից, բավարարումեն շարժմանհավասարումներին`

2«"(0»:Ճ՛(ոՀ-քս՛(դ, 2՛()-Ճ՛(դՀ Բազմապատկելովայս

քա՞())։

առնչություններից առաջինը /-ով,

երկրորդը` (1--4)-ով,կստանանք`

-Ճ՛(Ժ(Ա-4)5՛(Ռ»ՀԱԿ ) Խն):

ոշ ո

ի»

4լ՛(Ի:01-4)«՛(ըիւրլա՛(ո:0-4)ս՛(ը|Հ(Հնա

իսկ

0ՀՒՀՄ

Այսպիսով,բոլոր

համար, բացի կառավարումների խզման

կետերից. կառավարվող շարժման

(2(),2(չ))

պրոցեսը բավարարում է

(1)

հավասարումներին, այսինքն`

հետագիծը

է ս(դ կառավարմանը: համապատասխանում

Վերջապեսստուգենք եզրային պայմանները:(7.2.17) ունենք`

(7.2.19) -ից

5(0)Հ/2՛(0):(1-4)»՛(0)242Հ(1-4)75, »5(7)-/27՛(1)«(1-4)7՛(1)-4:0«(1-4).0»0։ Այսպիսով, ստացվեց,

տեղափոխում է

ֆազային կետը

այսինքն`7, ժամանակում, Լեմ 722:

ն )

որ

Եթե :չ-ն

Մ,

ն,

թույլատրելի կառավարումը

7,» կետից սկզբնակետ

հետնաբար,Մ.-ն ուռուցիկէ:

Մ. բազմությաններքին կետ

կարելի է հասնե սկզբնակետ ավելի ժամանակահատվածում: Ապացույց:Դիցուք 7" -ն

նշանակումէ,

է, ապա

2-ից

քան

արագ,

Ն. բազմությանորնէ ներքին կետ:

Սա

գոյություն ունի ռռուցիկ 3/ց բազմանիստ,որը

որ

ամբողջությամբընկած է Մ. բազմությանմեջ: Ց/ց բազմանիստի

)ջ,»՞,..,) -Փով։ Քանի որ 6 ՄԼՀԼՆշ2,.... ապա յորաքանչյուր)' -ի համարգոյությունունի » կետը ս' Ա) կառավարում, որր 7 6ժամանակահատվածում ծայրակետերը

նշանակեք 2,

տեղափոխում

նշանակենք » (0)- »,»(1)-0:

սկզբնակետ: Համապատասխանհետագծերը Է: ւՀ Ն2.... ) (ո -ով, Այսպիսով, Վերցնենքկամայական6»0

նշանակենք

դ(.-ով

(8),»-(8),...»"(6)

կետերի ուռուցիկ

թաղանթը:

փոքր ՓՔ-իդեպքում այն նորից կպարունակի 2" Բավականաչափ

կետը: )'

(6), ւ»

ժամանակում,

Է կետիցկարելիէ հասնելսկզբնակետ7 -ճ շարժվելով » ( ) հետագծով: Հետնաբար, բոլոր Ն2....,

» ե ) )- (2) -:-7): (5)

կետերը պատկանումեն հասանելիության

Ն-.չ տիրույթին:Քանի որ Ֆլ , բազմությունըուռուցիկ է, ուստի Մ.,

բազմությանըկպատկանինան 2: կետը: Սա էլ նշանակում է, կետիցկարելիէ հասնելսկզբնակետ7 Ք Հ Ր ժամանակում:

որ

(7..9)-(.2.12) համար Արագագործութան գծային խնդրի ն նշանակումները առնչություններըկընդունենավելի պարզ տեսք`

ո- ոջ, ո-ֆեռ | լո

«Ֆո

Ֆես է»լ

«(Ի.Ճ)Հ(7.8)

ն, քանիոր առաջինգումարելինչի պարունակումս -ն, ապա`

Իա())-ոռքխ(դ,ո(8.ս)Հ-

եա, -

8ս): երս, -ոտւկլ/, ոուՀմ,(ՏԻ

(7.2.21)

Է»1

ՕժանդակՍ/»Սշ»....Ս/. ֆունկցիաների համարկունենանք`

2"-2 3Ֆ՝ թ

.յ1

գյ»,

«Հմ.ֆու թԼ

էո

հետնաբար,

Ֆայն. (ոլ

)-12...ո,

Մ. --ծ՝գյ

)ՀՆ2.....ոռ

Օ.2.22)

կամ`

Մ--Ճ Մ: Լեմ

723:

Դիցուք

ս()-Աղ(հ,ա(դ,..ս(հ)-ն

կամայական

թույլատրելի կառավարումԵ որոշված ԽՀՒՏՒՈ հատվածի վրա,

(22.10)

«-(Թ(2,5.(8.-«5.(դ)« նձամապատասխան լուծումն Ե

Մ(0-(ո(,7.(3,--Մ.(դ)

որը

հավասարման

սկսվում է որնէ 2: կետից,իսկ ճունկեանրը

համակարգիկամայականոչ տրիվիալլուծումն հավասարումների Այդդեպքում`

է:

Ե) --(7Ա),2Ա))Հ

չ),8ս մ Ն(»(0)-0)չու())

ս(դ

կառավարման անընդհատությանբոլոր

կետերում, որտեղ

ալ

բոլոր

կետերում (այն

( ) չնշ( ) "ամր (ո

ֆունկցիաները

են) ն, հետնաբար, անընդհատ

(7223) ՄՆ)ոն)-ԹՆ)»«(օ»)-|Խ(.ան))4հ

Օօ

ճպացույց:

ալ()

չե,

(Ւ),...ս Այ

կառավարումների

անընդհատության կետերում`

ԶԸ)«())-«(ֆո ո))-Ֆա08(0-360 լոլ

լոլ

ՖՈ

«ֆուդ: է»1

Ն 71

Ֆլջեի -

Քանի որ

ֆո

էո

«(դ,8ո(դ):

ն () «(:))սկալյարարտադրյալը

անընհատֆունկցիաէ ն

ունի ածանցյալներամենուրեք,բացիվերջավորթվովկետերից,ուստի`

/նոն)-7(2)-ի576)(3«-|Ե(Մա հ

Օօ

Հետնանք:Դիցուք

Ա) է՛ (3), (Դ...

ն), Մն ).. Մ(Դ- Նն

ող

հաստատուն

Իրոք,20) -ն

յո ՀԻ

ֆունկցիաները

ւ-12,..,դ

համակարգի

համասեռ

լուծումն է:

Օօ

լուծումն

է,

իսկ

(3) ֆունկցիաները`(7.2.22) համակարգի

Այդ դեպքում

Ն(Ց,»(3)

սկալյար

արտադրյալը

է:

(7.2.10) համակարգիլուծումն է

ն) ՅՕ

կառավարման

դեպքում:Հետնաբար`

«((3) Թեռրեմ

7.23

Հ0,

այսինքն՝

ՆՆ) (8)

ՇՕդչէ:

(Մաքսիմումի սկզբունք: Դիցուք արագագործության

գծայինխնդրում

օպտիմալ պրոցես Ե (ա(դ,»(դ))-ն

որը

մինիմալ

ժամանակում տեղափոխումէ 7" ֆազային կետը սկզբնակետ: Այդ (7.2.22) դեպքում գոյություն ունի համակարգիայնպիսի ոչ տրիվիալ

Ա) լուծում, որ

ժամանակիցանկացածպահին ս(դ կառավարումը

է մաքսիմումիպայմանին` բավարարվում

եԹՐ)Խ»0)ս())-ոռմխ(ը,«().ս)Հ«արֆո(բեռ «ոո:

-ն օպտիմալ ԱՍԽԱՍ)

Ապացույց: Դիցուք

պրոցես է,

որը

տեղափոխումէ օբյեկտը չ«" ֆազայինկետիցսկզբնակետ7-Ո-ք ժամանակում:ԴիտարկենքհասանելիությանՆ տիրույթը:7.2.2 լեմից հետնում

2 կետը ՆՄ.բազմությանեզրայինկետ է: Դիցուք Ի-ն

է, որ

2: կետով

անցկացրած Մ.

բազմության որնէ

հիպերհարթությունէ: Նշանակենք որը

որոշվում

հենքային

11-ով այն կիսատարածությունը,

հիպերհարթությամբն պարունակում է

ՌԴ-ով հիպերհարթությաննորմալ

բազմությունը: Նշանակենք

վեկտորը, որը դուրս Է գալիս :,. կետից ն գտնվում է 11 կիսատարածությունը կիսատարածությունում: բաղկացածէ այն բոլոր

կետերից,որոնց համար

ա)

վեկտորը կազմում է

կամ ուղիղ անկյուն դռ վեկտորի հետ,

լր,Է - )

սկալյարարտադրյալը

լո.»-յք ) Քանի

որ

ոչ

սուր

այսինքն որոնց համար

է` բացասական

Օ.2.25)

Հ0։

ՆԽ. բազմություն

ամբողջությամբ ընկած է

կիսատարածության մեջ, ուստի Մ. բազմությանցանկացածչ կետի համարայս անհավասարությունը ճիշտէ: Սկզբնականվ/()-Դ

նշանակենք7/(/)(7

պայմանով(7.2.22) հավասարմանլուծումը

(Ռ.Մ(8....Մ,(դ) -

-ով

այն դիտարկենք

ԽՏԼՒՏՈ հատվածիվրա: Այս լուծումը տրիվիալչէ, քանի որ Ցույց տանք,

որ

(3 -ն

այն լուծումն է, որի դեպքում

դ 0: ս

(Դ-ն

բավարարում է մաքսիմւմի պայմանին: Ենթադրենք հակառակը` որոշակի

|ը»ն|պահին

մաքսիմումի (7.2.21) պայմանը տեղի

չունի, այսինքնկգտնվիայնպիսիԵՇ Մ, որի համար

Ն(ո,8ա(ո))ՀԱԽԼ(:),Թ) Եթե 7Հղ,

ապա

սկալյար

ՂԱ)կառավարումըն,

արտադրյալը

անընդհատ է որնէ է,

հետնում

Հհ,

սկալյար

ապա

ս(դ

արտադրյալը

անընդհատէ որնէ

կետում, այսինքն

|-1 Իի|հատվածիվրա: Անընդհատությունից

անհավասարությունը: Եթե

Մ().8ս (/)

հետնաբար,

անընդհատ է աջից

այդ

որ

0226)

հատվածի վրա

տեղի

ունի

(72.26)

Խ՛(),8ս(8)

կառավարումըն, հետնաբար,

անընդհատէ ձախից

|7-հ,|

կետում, այսինքն

հատվածիվրա: Անընդհատությունից

հատվածի վրա տեղի ունի (7..26) անհավասարությունը: Բոլոր դեպքերումստանում ենք, որ գոյություն հետնում

է,

որ

այդ

ունի այնպիսի|ճ»6.| հատված,ռր

բոլոր

2,2)

համար`

Ճ(ք)-ովնշանակենք ա(/) կառավարմանը համապասխանող հետագիծը2(ղ)-0 վերջնականպայմանով:Այս հետագիծըդիտարկենք|ն,դ|հատվածիվրա ն սկզբնականկետը նշանակենք 2«-ով (5(1)Հ՞): Այսպիսով, 7 կետից կարելի է մյուս կետերում:

ժամանակումկիրառելով ա(չ)

սկզբնակետ7 -ղ-1ց տեղափոխվել

Ուստի Բ կետը պատկանումէ 7. հասանելիության կառավարումը: տիրույթինն ըստ (7.2.25)-ի`

լո."-»"))

Հ0:

Կիրառենքլեմ 7.23-ը

|.» |հատվածիվրա`

7(դ,:(1),ս(1)

ֆունկցիաներինկատմամբ

ՄՆ)ոա)-ՆՆԱ)(6)-)(օքա(օ)4-: օ

Նմանապես`

Թ)ոա)-Ժ)»(2))-|Խ(2.ոո()«"' օ

Հանելովերկրորդ հավասարությունըառաջինիցն նկատելով, որ

«(ո) 5(ո) ՀՕ -

,ստանում ենք՝ է

Խ().()-«ա))-)Խ(2.ա(2)-ա(ժ.ոո()))օ: օ

Այս հավասարության ձախ մասը հավասարէ

մասում|,

ա()

Հա

(ո

2.) հատվածիվրա (դ ,

ՀԵ,

)

իսկ աջ

իսկ այս հատվածիցդուրս

ֆունկցիանհավասարէ հետնաբարենթաինտեգրալային

0-ի: Այսպիսովկստանանք`

ՈԱ

ո.("-»"))-

(),Խ))մշ: -

ֆունկցիանըստ (7.2.26)-ի Քանի որ աջ մասում ենթաինտեգրալային է, ուստի` խիստբացասական

(ո.(թ" -)) ՀՕ հակասում է (7.2.25) անհավասարությանը:Այս հակասությունը ապացուցում է, որ մաքսիմումի պայմանը բավարարվում է բոլոր Սա

ՒՇ

(չհ)

համար:

Օրինակ: Որպես արագագործության գծային խնդրի օրինակ դիտարկենքսույն բաժնի սկզբում դիտարկվածմեքենայի ուղղագիծ շարժմանօրինակը,ենթադրելով,որ շփմանուժը բացակայումէ, իսկ զանգվածըհավասարէ 1-ի: Այս խնդրիշարժման հավասարումները կընդունենհետնյալտեսքը`

չս: ԽՀ ԱՀ

)20,2.(ո)-0:

Կառուցենք17 ֆունկցիան`

Ա(Մ.ս)ՀՄղչչ ԷՄ: Հեշտ է տեսնել, որ

171 ֆունկցիայի մաքսիմումը կախված է

գործակցինշանից` եթե

պահին

կունենա մաքսիմում ս-1 նշ

()Հ0

ապա

Մշ(Ո»0., ապամ

մաքսիմում կստանանք,երբ ս---1:

պնուհետն,

է/ (),կ/չ(7) ֆունկցիաների

ենք հետնյալհավասարումները`

ԵՐ

Մչ--նղլ:

որտեղից`

ֆունկցիան

կառավարման դեպքում, իսկ եթե

օգտվելով(7.2.9) բանաձներից, օժանդակ համարստանում

ս-ի

տ(0Հճ7չ(ՌՀ«էԷ

գ.

որտեղ ճ»6շ-ը ինտեգրմանհաստատուններնեն: Այսպիսով, մ՛,

(Դ)

ֆունկցիան,լինելովգծայինֆունկցիա,նշանըկարող է փոխելոչ ավելի քանմեկ անգամ,հետնաբարօպտիմալ կառավարումըունի ոչ ավելի,

հատվածիվրա: քանմեկ խզմանկետ |1ըչէ

Ժամանակի այն հատվածում, որտեղ ԿՀ1, շարժման հետագծի համարկստանանքհետնյալհավասարումները`

Կ-, մ, Հ1: Որտեղից` Կ

չ1ո..., 2256:

ենք պարաբոլների ընտանիք,կախվացՇ հաստատունից: է ա 1 Այսպիսով,հետագծիայնկտորը,որը համապատասխանում կառավարմանը, իրենիցներկայացնումէ պարաբոլիաղեղ:Քանի որ Ստանում

ե Հ1»0, հետնաբարշարժումըայս պարաբոլներովկատարվումէ ներքնիցվերն (տես նկ. 7.2.1), ընդորում այս ընտանիքիմիայնմեկ պարաբոլնէ անցնումսկզբնակետով:

Նկ.7.2.1 Ան հատվածում, որտե կստանանհետնյալտեսքը`

Նկ.7.2.2 աԿ»Հ-1Լ, շարժման հավասարումները

5":

Ճչ Հ-1: ն

հետագծիհամարկստանանք`

--ջռ

ենք պարաբոլներիընտանիք, սակայն ողղված Նորից ստանում հակառակկողմ: Այս պարաբոլներով շարժումըկկատարվիվերիցվար, (տես նկ..2.2 ), ընդորում ն այս ընտանիքիմիայն քանիոր Հ, -1ՀՕ Հ

: մեկ պարաբոլնէ անցնումսկզբնակետով Այսպիսով,հետագիծըկունենա հետնյալտեսքը.կախվածայն բանից, թե որ քառորդումէ սկզբնականդիրքը,կետըկշաժվիմեկ պարաբոլով, սզժզՅ-1, կամ այնուհետն, փոխելով կառավարումը ս Հ1-ից պարաբոլի վրա ն կհասնի հակառակը, կանցնի մյուս սկզբնակետ:Նկար7.2.3-ում պատկերվածէ 4 սկզբնականդիրքից ֆազայինկետիօպտիմալհետագծիմի օրինակ:

Կ ճ

Նկ.7.2.3

-Հ »

73. ԴԻՐՔԱՅԻՆ

ԽԱՂԵՐ

Դիրքայինխաղերըդ խաղացողիայն խաղերնեն, որտեղորոշումներն ընդունվումեն ժամանակիընթացքում` քայլ առ քայլ: Դիտարկենքմի խաղը:Ինչպեսհայտնիէ, այս օրինակ`բոլորինհայտնիշախմատային խաղումերկու խաղացողկա` սպիտակներըն սները։ Խաղնսկսվում է վրա ֆիգուրներիսկզբնական սկզբնականդիրքից` խաղատախտակի Այս դիրքին կարելիէ համապատասխանեցնել մի դասավորությունից: կետ հարթությանվրա: Առաջին քայլը կատարում են սպիտակները` ընտրելով 20 հնարավոր քայլերից մեկը: Հնարավոր այս քայլերից յուրաքանչյուրիընտրությանդեպքումխաղատախտակի վրա ստանում ենք նոր դիրք` հնարավորդիրքերիցմեկը, որը նույպես կարելի է նշել կետովհարթությանվրա: Ցույց տալու համար, որ այս դիրքերը կարելի է «ընկնել» սկզբնական դիրքից, յուրաքանչյուր դիրքը հետ միացնենքսլաքով:Հաջորդքայլը սներիննէ: Նրանք սկզբնականի ունեն 20 հնարավոր ընտրություն ստացված20 դիրքերից նույնպես յուրաքանչյուրոմ:Հետնաբար,սների առաջինքայլից հետո կարող է ստեղծվել400 դիրք: Այս պրոցեսը շարունակելով,հարթությանվրա կստանանքկետերի ն սլաքների բազմություն (տես նկ.7.3.1): Այն դիրքերին, որտեղ խաղն ավարտվում է (օրինակ մատային կամ են դիրքեր,որոնցիցսլաք պատային դիրքերում)համապատասխանում չի դուրս գալիս (վերջնականդիրքեր): Յուրաքանչյուր վերջնական 1, -1, կամ 0 թվեր, կախվածնրանից, դիրքինհամապատասխանեցնենք սպիտակներըհաղթել են այդ դիրքում, պարտվել են, թե խաղն է ոչ-ոքի: ավարտվել

Նկար 7.3.1 --209-

դիրքերի բազմությունը 2Ճ-ով, սլաքների Նշանակենք բոլոր բազմությունը` -ով, վերջնականդիրքերիբազմությունը` 2(՝ -ով։ Այս նշանակումներովշախմատի մոդելը կարելի է ներկայացնել ՐՀ

է. 5)

Ինչպես չպ

զույգով հայտնիէ,

Վ-Ն0,Հ1

11:27

շահույթի ֆունկցիայով:

կոչվում զոչ' է գրաֆն, մասնավորապես, պ

(4, 17) զույգը զույգը

կառուցվածգրաֆը միակապ,կողմնորոշված,ացիկլիկ գրաֆ է, որն անվանումեն ծառ, իսկ սկզբնականդիրքը` ծառիարմատ:Ընդհանուր դեպքում կարող են լինել երկուսից ավելի խաղացողներ:Բացի այդ, քանի ռր որոշումները ընդունվում են ժամանակիընթացքում,ապա որոշումները ընդունելիս առաջանում է նան նախորդ քայլերում ընդունվածորոշումների վերաբերյալտեղեկատվությանքանակին կառուցվածքիհարցը: Դիրքային խաղերում այս տեսակի հարցերը ընդունված Է լուծել ինֆորմացիոնբազմություններիհասկացության միջոցով:Կոպիտասած, քայլ կատարելիսխաղացողըկարողէ իմանալ ոչ թե կոնկրետ դիրքը, այլ միայն դիրքերի որ բազմությունում է գտնվում:Նկար 7.3.2-ում բերվածէ երկու քայլանի "գիր-ղուշ՞ խաղի ծառը:

2209092ց

Նկար7.3.2 Այժմ տանքդիրքայինխաղիընդհանուրսահմանումը:

Սահմանում

7.3.1:

ոռ

-խաղացողիՕ խաղըորոշվում է.

5) ծառով,

Խաղի (0,

Խաղացողների1 -Վ1.2....,ո) բազմությամբ,

«-ԿՍՃչՍ.ՍՃ,Ս7՞ ճ-վա).

«Լ/2'

(Ր

տրոհումով

ըստ

քայլերի,

տրոհումովըստ խաղացողների,

Լսո/16

ՈՀ յ՞

1 ինֆորմացիոն տրոհումներով,

(51

-Ծ (-«5,Հ-օ)16

հ:72

1 շահույթի ֆունկցիաներով:

Դիրքայինխաղը խաղացվումէ հետնյալկերպ: Նշանակենք 1.-ով սլաքների բազմությունը, որը անվանում

են

դուրս

է գալիս

դիրքից: Սլաքները

,չ

այյլրնտրանքներ Դիցուք սկզբնական «լ.

պատկանումէ 2(» բազմությանը:Սա նշանակումէ, դիրքում քայլի իրավունքը յց խաղացողիննէ`

«-()6ք,: խաղացողիննէ

ենթադրվում է,

ռր

Եթե

ճապ" 2",

նա

ընտրում որեէ

նա

ապա

որ

դիրքը

սկզբնական

ընտրում է որնէ քայր

«Հ-(ռ,»թ)6Ք,:

յ-րդ Այստեղ

յուրաքանչյուր ինֆորմացիոն բազմության

դիրքերիհամար Է, բազմություններըհամընկնում են: Այս պրոցեսը շարունակվում է այնքանժամանակ,մինչն խաղը տեղափոխվիորնէ 2՝ Այստեղ խաղն ավարտվում է ն յուրաքանչյուր խաղացող ստանում

էիր

շահույթի ֆունկցիայիարժեքը «Օ

2(` կետում:

Խաղացողի մաքուր ստրատեգիաՕ -խաղում անվանում ցանկացած արտապատկերում, որը խաղացողի յուրաքանչյուրինֆորմացիոնբազմությանըհամապատասխանության մեջ է դնում այդ բազմությունիցդուրս եկող որնէ այլընտրանք:Դժվար Սահմանում

7.3.2.

են

ցանկացած5 չէ ստուգել, որ ստրատեգիաների

միարժեքորենորոշում է որնէ

(5)6 7"

վեկտորը (5:52»արդ)

վերջնականդիրք: Եթե 1-րդ

խաղացողիմաքուր ստրատեգիաներիբազմությունընշանակենք5,ով,

(5:-ԽԸՐ:)),16

ապա

խաղը կարելի է ներկայացնել

հետնյալհամակարգիտեսքով`

ն.

:Մո(3ի,)

որն անվանում են դ-խաղացողի խաղի նորմալ տեսք (տես 5.1 բաժինը):Այս եղանակովցանկացածվերջավորդիրքայինխաղկարելի է բերել նորմալ տեսքի: Մասնավորապեսհակամարտ դիրքային խաղերըկբերվենմատրիցայինխաղերի,որոնցլուծման գոյությունըն դիտարկվելեն 5.3 բաժնում: լուծման եղանակները

Սակայն երբ ինֆորմացիոնբազմություններիթիվը աճում է, շատ աճում է մաքուր ստրատեգիաներիթիվը: Բացի այդ, որոշ արագ դեպքերումդիրքայինկառուցվածքըթույլ է տալիսանհամեմատ հեշտ լուծել խաղը: Բերենքդիրքայինխաղերիմի կարնորմասնավորդեպքիսահմանում: Դիրքային Օ խաղն անվանում են չյրիվ եթե խաղի բոլոր ինֆորմացիոն ինֆորմացիայով խաղ, են: մեկ տարրանիբազմություններ բազմությունները Սահմանում

733.

Լրիվ ինֆորմացիայովխաղի օրինակ է հանդիսանում շախմատը: Առանց ապացուցմանբերենքթեորեմ լրիվ ինֆորմացիայովխաղերի վերաբերյալ(տես.|18)): Լրիվ ինֆորմացիայով խաղերում գոյություն ունի Թեորեմ 731. հավասարակշռության իրավիճակմաքուրստրատեգիաներում:

Դիտարկենքդիրքայինխաղի մեկ այլ մոդել, որը չի օգտագործում գրաֆը,որպեսմոդելի հիմք, ինչը թույլ է տալիսայն օգտագործելնան ուսումնասիրելուանվերջ դիրքայինխաղերը:Այս մոդելի հիմնական առանձնահատկությունըկայանում է նրանում, որ այն դիրքայինէ

միայն առաջին խաղացողիհամար: Մոդելը տրվում հետնյալհամակարգով..

Ս,Սշ,..Ս,

օբյեկտների

բազմություններով,որոնց անվանում

են

տարածություններ, ինֆորմացիոն

Ճլ42շ,...Ճյ

բազմություններով,որոնց անվանում են

առաջինխաղացողիայլընտրանքների տարածություններ, 3.

22.522»-.52ղ բազմություններով, որոնց անվանում

են

հակառակորդի այլընտրանքների տարածություններ,

8:112»Լի-»մ.4Հ12..ո է-1

նռ)

արտապատկերումներով, որոնցանվանումեն ինֆորմացիոն արտապատկերումներ,

2 Վ

)Վ

Ճ-»8

արտապատկերումով, որն

անվանումեն առաջինխաղացողի շահույթիֆունկցիա: Խաղումեն հետնյալկերպ:Առաջինքայլումհակառակորդը ընտրումէ որնէ շլ 6 2լ այլընտրանք:Արաջինխաղացողինհայտնի է դառնում արժեքը ն նա ընտրում է որնէ արտապատկերման Ք.(«)6Սլ ընտրում է որնէ 2, 6 2: մլ 6 Ճլ կետ: Այնուհետնհակառակորդը Առաջին խաղացողին հայտնի է դառնում Ք8չ(ա.2,.)6 Մ: ն նա ` է ընտրում որնէ չ, արժեքը, արտապատկերման Ճ,: Խաղը այնքան ժամանակ, մինչն

շարունակվում է

Հլ».

2լ»--»Ճ

առաջին

բոլոր

Սմ

կետում, այսինքն` Սլ,Ս,,..Մ,։ (2լ,...Շ»:».23.): Ընդհանուր դեպքում բոլոր

արտապատկերման արժեքն Է

խաղացող՝։

ընտրվեն

ստանում

Ճ4շ,...4,

բազմություննեը

տարածություններ, իսկ Մ

այդ

ենթադրվում

ջ,,ՀԼշ2....դ

են

չափելի

արտապատկերումները`

չափելի արտապատկերումներ:Սակայն, ավելորդ բարդույթներից խուսափելուհամար կդիտարկենքմիայնվերջավորխաղեր: Սահմանում

7.3.3.

որպես ՇՀ

խաղացողիմաքուրստրատեցիան սահմանվումէ

(ԸլչՇշ»-5Շյ), Օ:ՍԾՃ,

1՞12...,ո

արտապատկերումներիվեկտոր: Հակառակորդի ստրատեգիան ա

սահմանվում է ռրպես

(2լ,...,2,)6

Ոշ

)Հ

վեկտոր: (Այստեղ չենք

տարբերումհակառակորդիմաքուր ն խառնստրատեգիաները): Խաղացողին հակառակորդիստրատեգիաների յուրաքանչյուր (62) զույգ

միարժեքորենորոշում Է 2., Ճ

(պ...)

կետհետնյալկերպ`

ՀՇ(.(լ-52::Ճ:...4,.),1Հ2...,ռ

Կ-(յ):

(շ,2) զույգ

Այստեղից,ստրատեգիաների յուրաքանչյուր որոշում է խաղացողիշահույթը`

միարժեքորեն

(62-Ա (2.2):

Խաղացողի խառն ստրատեգիանսահմանվում է հետնյալ կերպ: Դիցուք (Զ2,Ճ,Թ)-ն հավանականային տարածությունէ: Նշանակենք՝ Ս

-ՍՍ, ի

Սահմանում

7.3.4.

Խաղացողիխառնստրատեցիա կանվանենք

իս ՀՎ5,

1Հ12,..ո: :ԶՋ-Ծ5171.,ս6Ս,

Պատահական մեծություններիհամախմբությունը:

լլշ,

շ62Հ

Ֆիքած

դեպքում յուրաքանչյուր

ԻՎ

միարժեքորենորոշում ստրատեգիան

լռ

ՀՎ

(ա,2»5)

չափ /մ,, հավանականային

բազմության վրա հետնյալ կերպ: Յուրաքանչյուր եռյակի համար, որտեղ

5,2)

սահմանենք(Ս, "լ-

խառն

Տղա).

Զ2, ռեկուրենտ բանաձնով

(Բ

9, Դ9շ,...3Ե.)վեկտոր` Խ-

յ) Հոս...

ւՀ

Ն2.....ռ.

2) պատահական վեկտորի

Եվ /,., չափըսահմանվումէ որպես (,5, հավանականային բաշխում`

ո... Սահմանում

7.3.5.

Երկու 5՛

թԽ (5,2):

57 ստրատեգիաներն անվանում են

համարժեք, եթեցանկացածՀճ 2. համար/,.,.

/մ.,::

Խաղի ինֆորմացիոնկառուցվածքըբնորոշվում է ջ.

ինֆորմացիոն

հատկություններով: արտապատկերումների Սահմանում

Խաղն անվանումեն յրիվ հիշողությամբխաղ, եթե այնպիսի

7.3.6.

գոյությունունեն

Փ.:Ս.-5Ս,

Հմ,

յ:Ս.51յ,)Հ1, որ` արտապատկերումներ (որոնքհայտնիեն խաղացողին)

Փ.Տ.

21:41 »-Վ.1)

816».2:41»

ՄՏ(2»-»42բ:,-2-)5»յ:

4յդ),

նշանակումէ, որ լրիվ հիշողությամբխաղերումխաղացողըհիշում ինչպիսի ինֆորմացիաէ նա ստացել, ն ինչ ընտրություններէ կատարելնախորդքայլերում: Սա

է, թե

Սահմանում

Խաղացողի խառն

7.37.

4-Հ-

15,յ

կանվանենք վարվելակերպի ստրատեգիա,եթե

ն"տրատեգիան

Տ,ԿՇՍ

բոլոր

մեծություններըմիմիանցիցանկախեն: պատահական

Թեռրեմ 7.3.1. Լրիվ հիշողությամբխաղերումխաղացողիցանկացած ստրատեգիայի համար գոյութուն ունն .համարժեք խառն գ ստրատեգիա: վարվելակերպի մայացույք:Դիցուք 5

Հ-15, |,յ

է: խաղացողիորնէխառնստրատեգիա

համապատասխանող վարվելակերպի Կառուցենքայս ստրատեգիային

(2, 2.5 2: գ, 2»..7..), (Հլ,22»...

Դիցուք ԿՇ Ս,սՕՍ,,սՀջյ ստրատեգիա:

Նշանակենք`ս,

ջ,

2114Ճ54Ճշ»-»

յ):

ւՀ-Լ2....1-1:

Քանի որ խաղըլրիվ հիշողությամբխաղէ, ուստի` ս

«գս,

«ժա, ԷՀԼ2,..1-1։

Նշանակենք՝ 7,

55, Հ |5, Հան ՀՆ2...4-| -

ԱՂԵՂՀժե,էՀՆ2...1-լ|: -Բի,, Այստեղ թ(-|)-ով

են նշանակված

պայմանական

հավանականությունները Հավանականություններիի դասընթացից հայտնի է,

որ

4Ճ. բազմության վրա որոշված ցանկացած Մ,

հավանականայինբաշխման համար գոյություն ունի պատահական մեծություն,

Ակնհայտ է,

որ

այնպես,

այսպես կառուցած

է: վարվելակերպիստրատեգիա

զ,:2-»4,

ոռր՝Մ, («) -թ

զկ)

ԱՅԱ

(զ, ռ): -

ստրատեգիան

Ցույց տանք,որ Հճ 2

ն զ

ստրատեգիաները համարժեքեն: Ֆիքսենքորնէ

("զ32»:

նկամայական «Հ

) համարդիտարկենք ՝

.(ՉՀԻ:յ-Գ-

թոն

Նշանակենք`ս,

ջ,

Տ,

(Է

էպ)

(աղա.

ե:..3..),

ւՀ

Ն2....,

Հեռ, ո..(/)ՀՏՆ, Հլ, )լրա, թվ, ՀՀ, 5, աի: «Բլ Հոլ 5. ՀՅ յ-ն, Հի «ՔԱ,Հո )-Բի, թ7. -Ժլն,»...

Կատանանք` ռո:

ՀՅ

-յ

«Քո,

«Ել. Հոլ 57. Հ. (ա). (աւ) Մ

աթի ո.

«իմա-

-Բկ, թվզ, Հվ, -

(ռ)-

Տ, Բութ Հ»)

.«Ի-Բկ,, -ո)Հ». ազ ՏՃ)-ք():

Այսպիսովթեռրեմնապացուցվածէ: Լրիվ հիշողությամբ խաղն անվանում են միաժամանակյա խաղ, եթե խաղում գոյություն ունեն խաղացողին հայտնի Սահմանում

7.:3.8.

ս:Ս.-»52,

յՀ

այնպեսոր` արտապատկերումներ,

Մ8...

Հո»--Հե-) Հյ -

Ներմուծենքօժանդակխաղերնորմալտեսքով:Նշանակենք`

6(0)-(ե.2.8յ) 0(5-65.)-Սեմոու,, 6(4.78.)ՀԱե.2. հյ),

ԷՀՆ2,.ո-Ն

Որտեղ`

ը(«)ՀՄ(6(ղ.2)), 1... (2)Հ ԱԽ ա511852»-58ղ), (:24)ՀՄ(Շ(Ճլ4..)), Է 12...ո-1: ո, Այստեղ Մ(Օ)-ով

»ՀՕղլ»շ»-53.)

: -Օյ»3չ:.»3ւ):

նշանակված է Օ

խաղի արժեքը, ցանկացած

վեկտորի

նշանակել

համար

ենք՝

Առանցապացուցմանբերենքհետնյալթեորեմը:

Թեորեմ 73.2. Միաժամանակյախաղի լուծումը կարելի է ստանալ հաջորդաբարլուծելով Օ(4, 8.-լ) հակամարտխաղերը: լ,

Օրինակ:Դիտարկենքսույն բաժնումբերված"գիր-ղուշ"խաղիերկու քայլանի տարբերակը:Խաղի գրաֆըպատկերվածԷ նկար 7.3.2-ում: Առաջին խաղացողի "հակառակորդի՞ ստրատեգիան կունենա

(2,2)

տեսքը,որտեղ 26

ՀԱլ|,Ս,ՀՎԸաքմ,սչ|,

«(.2),27 -Նշ):

Այս խաղում`

Կառուցենք Շ(11) էլ

ԼՆ2),2չ6 լ, 2|

(2,.2չու)

խաղը:Այն մատրիցայինխաղ է

մատրիցով`

ԱՀ Համանմանորեն կառուցեք

Շ(12),Շ(2,1),Շ(2,2) 9խաղերը:

մատրիցները կունենանհետնյալտեսքը` Համապատասխան

էլչ5-

մլ»

1.ՈՖ.

Հեշտությամբկարելիէ գտնելայս խաղերիարժեքները`

»(Շ(ւ1)»-1, »(6(12))»1.5(օ(2,1))»1, 5(6(2.2))»--1։ Այժմկարելիէ կառուցելՕ" խաղը,որիմատրիցնէ՝ ո

Վ)

Այս խաղին, հետնաբար,սկզբնականխաղիարժեքըհավասար է 0-ի: նունն Իսկ խաղացողի օպտիմալ ստրատեգիաները

խաղերում`զ"

Ը)

դ" ստրատեգիան` -

-Դ-շ

ԵԼղ,

ուստի

են

այս

բոլոր

խաղացողի օպտիմալ վարքի

(ո,դ. "7,դ. ) կընդունիհետնյալտեսքը`

բոլոր ս

Սլ ՍՄչ ն

չդ Է

Ս2-չ

համար:

2.4: ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ԽԱՂԵՐ

Այս բաժնումդիտարկվումեն հակամարտդիֆերենցիալխաղեր:Այս խաղերըդիրքայինխաղերիընդհանրացումեն, որտեղ քայլերի թիվն անվերջ է, այսինքն առաջին ն երկրորդ խաղացողները,որոնց նշանակում են Խ-ովն Ք-ով, որոշումներըընդունում են ժամանակի յուրաքանչյուր պահին: Նախ դիտարկենքհետապնդմանխաղերը:

Դիցուք տարածությամ մեջ տրվածեն երկու՝ «6

Ք"

Ք" կետեր,

որոնց շարժումը կառավարում են երկու խաղացողներ,ընտրելով Ք" ն յուրաքանչյուր պահին համապատասխանաբարսծՄԶ ԵՄ ՇՏ" կառավարումները:։ Այստեղ, ինչպես ն օպտիմալ կառավարմանխնդիրներում,խաղացողներիշարժմանհետագծերըս ն »9 պարամետրերիցկախված համապատասխանդիֆերենցիալ հավասարումներիհամակարգերիլուծումներ են: Դիցուք

ՅԱ) կետի

շարժմանհավասարումներնեն`

2Հ/(Խս), «62,

սօՍՕի'

2 պայմանով,իսկ ն ) կետիշարժման սկզբնական

հավասարումները`

59(»Թ),

6ԵօՄ Շի"

)՛

պայմանով: Ինչպես ն օպտիմալ կառավարման խնդիրներում, կետերի ֆազային տարածություններըկարող են չհամընկնելշարժմանիրական Ս" տարածությանհետ (1 Հ դ, Հո): սկզբնական

Այստեղ մենք կդիտարկենքլրիվ ինֆորմացիայովխաղերը,այսինքն այն դեպքը,երբխաղացողները յուրաքանչյուրք պահինգիտեն «()

(է) ն

ֆազայինկետերը:Խաղը սկսվում է յուրաքանչյուր

պահին

(5:,»-)սկզբնականդիրքից

(«(դ,(դ)

ֆազային կետում

խաղացողներըընտրում են սԲՍՄ ն Խ67 կառավարումները: Հետապնդմանխաղերումշահույթի ֆունկցիաներըկարող են տրվել տարբեր եղանակներով: Հիմնականում դիտարկվում են երկու

խնդիր, երբ առաջին խաղացողը տարբերակներ` արագագործության է ձգտում

:(ւ)

մինիմալ ժամանակումմոտեցնելիր կողմից կառավարվող

կետը երկրորդ խաղացողիկողմիցկառավարվող(ք) կետին

նախորոք տրված 1 հեռավորութան վրա, ն ժամանակամիջոցվ խնդիր, երբ շահույթի

22 (7)չ) ())

ֆիքսած Ր ֆունկցիան

հեռավորություննէ:

Ֆորմալտեսանկյունիցունենալերկու կետ Ջ" -ում համարժեքէ նրան, որ դիտարկվի մեկ կետ` Հ Ջ՛՞ տարածության մեջ, որը կառավարվում է երկու խաղացողներիկողմից`ս6ՓՄ կառավարումներընտրելով:

Ընդհանուրդեպքում կասենք,որ տրվածէ հակամարտդիֆերենցիալ խաղ,եթետրվածեն. 1.0 2.

ՕՔ ՀՀ

ն 7

ՕՔ"

կառավարման տիրույթները,

Մ (աս,թ), 268",

Մ«(ի.յ.-.

շարժման հավասարումները,

3.Տերմինալ2. ՇՊ"

4.2

ի),

սՇՍ,Մ

տիրույթը,

(ա,Խ)ԱԶԾԵՆ

հ(5),56 -

2 շահույթիֆունկցիան:

Այս տեսքով սահմանվածդիֆերենցիալխաղնարտաքնապեսնման է օպտիմալկառավարմանխնդրիմոդելին,սակայն կան նան էական տարբերություններ:Նախ, քանի որ այս խաղը հակամարտխաղ է, ուստիհարկավորէ սահմանելխաղացողների ստրատեգիաները, քանի որ կառավարումները բացիժամանակիցկախվածեն նան ֆազային դիրքերից:Բացի այդ, հարկավորեն պայմաններ,որոնք կապահովեն հավասարակշռությանիրավիճակի գոյությունը: Կան նան այլ տեսականն տեխնիկական խնդիրներ,որոնքԷականորեն բարդացնում են դիֆերենցիալ խաղերիուսումնասիրությունը:

Հիմնականմոտեցումներընկարագրելուհամարառայժմենթադրենք, որ խաղում գոյություն ունի հավասարակշռությանիրավիճակ, գոյություն ունեն օպտիմալ կառավարումնե ն համապատասխան

հետագծեր,ընդ որում կառավարմանՄ են

ՀաՀԵ,

1ՀՆ2....Է:

ն 7

տիրույթներըորոշվում

Շյ ՏԽՍՀՏմյ. 7ՀՆ2....ո

Ինչպես նան ենթադրենք, որ բոլոր անհավասարություններով:։ ֆունկցիաները,որոնց հետ առնչվելու ենք այս բաժնում, անընդհատ ածանցելի են այնքան անգամ,որքան հարկավոր լինի: Մկզբնական Հճ

Ս" ֆազայինկետումսկսվողխաղիարժեքընշանակենքՄ

(2)-ով։

Ենթադրենք, որ Մ-Օ պահին 1: խաղացողնընտրում է սօ«Ս կառավարումը: Այս կառավարումը, իսկ Ք խաղացողը` ԽԱԽ հետո ֆազային փոքր // ժամանակամիջոցից դեպքումբավականաչափ 2Ճ2, ռրտեղ՝ մոտավորապես հավասարկլինեն փոփոխականները

ձՃՀի(առտ)յճխւ»նշ...,ո ն

շահույթիֆունկցիանհավասարկլինի` ճ

2:21) |/օ(շ.

Շ(դ.2...)Խ:

Խաղը վերսկսվում է 2-ՒՃշ կետիցն, եթե /Մ7 պահիցօգտագործվում ապա շահույթըհավասարկլինի` օպտիմալկառավարումները,

են

Շ(ճ,22,..2.)ԹԷՄ(24Ճ)։

Քանիոր

(24 42)»

(ՀՀՖՏՆ(Հ

որտեղ Մ.-ովնշանակել ենք ըստ 2յ,1-Ն2.....ո: ածանցյալները

(2:

Ճ)»-

)

ֆունկցիայի մասնակի

Այստեղից՝

(ՕՏԱ)

ենթադրելով,որ 4-նն Հետնաբար, են Ւ-:0

(էռ,թ)Խ

)7-ն օպտիմալկառավարումներն

պահին, Մ՛(Հ)շահույթիֆունկցիայիհամարստանում ենք

Մ(2)ՀՇ(4»2...2.)ՃՀՄ (2 (ՀՖ7()

(չն,թ)խ:

ձո

Ճ7 -»0, Ձգտեցնելով հավասարումը՝

կստանանքդիֆերենցիալ խաղերիհիմնական

ԶԵՌՊՈՒՊՏՆ() )/(առ,Թ)»0:

04.1)

թ1

Կամ, ռրը համարժեքէ`

»ռաւովՇ(ոշտ»ՏՆ(2)7

(Հս,

(742)

Հիմնական հավասարումըստանալուց հետո, ինչպես ն օպտիմալ կառավարման խնդրում, կարող ենք ստանալ հետագծերի

Ածանցելով(7.4.1) հավասարումըըստ 2,-ի (հաշվի հավասարումները: կառավարումնեը կախված են առնելով, որ ս նչ, հավասարեցնելով 0-ի, կստանանք`

«ո, »ո(9 |

ՍԵ Պատ) -

թշ -

(չռ,5)ՀՇ(ճ,2....2

Ֆ) «ՅԵ... 7(չս,թ)Հ Վ

2-ից

օ2յ

)Մ(առ,)Էօ6(2

(743)

բաոԻօըյթո:

)հ(2ռ,թ)

9Շ(2.,2....2,)Հ0, 92,

7»-Ն2....,ռ

Այս գումարում` (համեմատել(7.2.8)-ի հետ)

)

Այժմ դիտարկենք

«(թն

չ2| ոո) (21

արտահայտությունը: Օպտիմալ կառավարման յուրաքանչյուր

բաղադրիչնիր արժեքը կարող է ընդունել

|շյԵ,|

Այ

հատվածիկամ

մեկում: Եթե այդ արժեքըներքին ներքինկետում,կամ ծայրակետերից է, կետում ապա`

2 (աա(չռ,5)ԷՇ(շ յ-0։ Իսկ եթե օպտիմալարժեքըորոշմանտիրույթիծայրակետումէ, ապա հետնաբար,ժմ,/ 92յ Հ0։ Այսպիսով, բոլոր ալ-ը հաստատուն է

դեպքերում`

»-29 "ոյ

(չռ.5)ԷՇ(շ

ԻՎ

լքո-6. 92,

7-12...,ո:

համաձայն,նան` Նույն դատողությունների

Հաաա »):6(3|թ

ժ:

|Հ

--Է-0, 0,

(2,875

ՀՆշ...,ո: /7ՀՆ2....,ո

(7.4.3) հավասարումըկընդունիհետնյալտեսքը` Վերջնականապես,

նյո

չն

(21

(ւռ)

ատտ)Հ6(աչո.« 96(աշ...2.)ո. Հ-րԻ Է 47,

)

Կամ`

(2 9(ռ.»)

31Յ-,

96(շ)

աաա Ա

Այս հավասարումները

Հ«Խ(չռ.թ),

)-Ն2,..ո

հավասարումներիհետ միասին անվանում են դիֆերենցիալխաղի հետագծիհավասարումներ: Օրինակ 74.1 (Խելագար վարորդ): Այս խաղում շարժումը տեղի է ունենում հարթությանվրա: Վարորդը(թ) ավտոմեքենայով փորձումէ վրաերթի ենթարկել հետիոտնին (մշ): Ենթադրվում է, որ է ավտոմեքենայիշարժումը սահմանափակված պտտմանմինիմալ 7 շառավիղով, իսկ հետիոտնըկարող յուրաքանչյուր պահին ընտրել ցանկացած ուղղություն Պարզության համար ենթադրենք, որ

խաղացողների արագությունները հաստատուն

են`

ն Ե, գՀԵ:։

համապատասխանաբար Հետիոտնիկառավարումը շարժման ուղղությունն է` այդ պահին իր ուղղության վեկտորի ն աբցիսներիառանցքիմիջն կազմած Փ անկյունը: Ավտոմեքենայի գ

կառավարումը`կորության Թ շառավիղիընտրությունը:Այսպիսով, հետիոտնի շարժմանհավասարումներըկունենանհետնյալտեսքը`

մ մ,

«40050, Հ

ԳՏ

Փ:

հավասարումներըկազմելու համար Իսկ ավտոմեքենայիշարժման

բանաձնից`60 Ե/3 կարողենք օգտվելանկյունայինարագության -

7, ՀԵՇՕՏ., ել ՀԵպՏլոյ.,

Որտեղ 4չ-ը

մեքենայի ուղղության վեկտորի կազմած անկյունն է

աբցիսների առանցքի

Քանի

հետ:

որ

կառավարման որոշման

տիրույթը`(7,3) բազմությունըսահմանափակչէ, ներմուծենքնոր կառավարում`Փ 7/8, ն ենթադրենք,որ աջ ուղղությունըդրականէ, Հ

ձախ ողղությունը բացասական:Այսպիսով, վարորդի կառավարման տեսքը`թ Տ:

տիրույթը կընդունի հետնյալ

Խաղի շարժման

կլինեն` հավասարումները

-Գօ0ՏՓ,

5 ՀԳՏ1ոք,

ՀԵՇՕՏ չ.,

ել

ՀԵՏՈ

չ.,

ԵՓ ՛

Այս խաղը դիտարկենքորպես արագագործությանխաղ, այսինքն որ Ք -ն փորձումէ հնարավորինսարագ բռնել 1-ին, իսկ ենթադրենք, -ն փորձումէ հնարավորինսհետաձգելայդ պահը(հույս ունենալով ԽԵ օգնությունստանալ):

Կազմենքայս խաղիհիմնականհավասարումը`

Ոչ ուո .

7.ԵՇՕՏ Շ0Տ7-ԷՄչգՏ1ո Փ-Ժ չ, Ժ ՄլԵՏլոչ, ԷՆ,

ԵՓ

-0։

Կամ`

Հ 51ո)-ԷԵ(Մ օ05 2. տոյչե:ք ռառուռիո(ն ՞

օօ5 Մ,

ԷՄ,

Այստեղ Փ-ից կախվածէմիայն առաջինփակագիծը,իսկ Փ-ից միայն

վերջին գումարելին: Դժվար չէ ստուգել, հետնյալնեն՝ կառավարումները

որ

օպտիմալ Փ

օ0թ--ԸՉՆ-.յվոջչ11 :7-տջոյ,

ՆշԻնշ

Իշ

Այժմկազմենքհետագծերիհավասարումները` -0,

7, «0, 7. -0, 7-0 7, ՀԵ(Մօ0Տչ, -Նլտոչ.): Օպտիմալ կառավարումներիտեսքից երնում է, որ 1-ի համար է (Փ»-«-օոչ), օպտիմալ կառավարումը հաստատուն իսկ Ք-ի օպտիմալ կառավարումը բաղկացած է լինելու աջ ն ձախ հնարավորինս կտրուկ պտույտներից։ Այսպիսով, չնայած մենք ենթադրել էինք, որ բոլոր դիտարկվող ֆունկցիաները պետք է բավականաչափողորկ լինեն, 0կառավարումըանընդհատ չէ ն ընդհանուրդեպքում չենք կարող խոսել շարժմանհավասարումների լուծման գոյության մասին: Այս թերություններըկարելի է վերացնել, խաղացողներիստրատեգիաների նոր դաս: դիտարկելով Սահմանում

7.4.1.

ս() կտոր կտոր ծրագրային (Ժճ) զույգը, որտեղ Օ-ն |0,--»)

մ, խաղացողի

ստրատեգիաանվանում

են

որնէ ժամանակահատվածի

0ՀԽՀՏՈՀՏ"'"ՏոՏ'::

վերջավոր կուտակման կետեր չունեցող ք է, արտապատկերում

որը

(ո

տրոհում է

կետերով, իսկ

յուրաքանչյուրք, կետին ն

մեջ է դնում դիրքինհամապատասխանության որոշվածչափելի ս՛

առ

իչնւ)

Հ(ե) ֆազային միջակայքում

ֆունկցիա:Նույն կերպ, 2 խաղացողի,()

ԵՆ) զույգը, որնէ |0,4-») ժամանակահատվածի

անվանումեն կտորառ կտոր ծրագրայինստրատեգիա

որտեղ ծ-ն

գ-ն

0ՀՈՀՈՀ---ՀղդՀ--- տրոհում Է վերջավոր կուտակման կետեր Ֆ-ն արտապատկերում է, որը կետերով, իսկ չունեցող դ 2 ( մ.) ֆազային դիրքին յուրաքանչյուրՄ, կետին ն համապատասխանության մեջ է դնում 5 (3 չափելի ֆունկցիա, որոշված

միջակայքում: Դիֆերենցիալ խաղերի տարբեր

գոյության թեռրեմներբերված դասերի համարհավասարակշռության են |24)-ում:

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

Օգտագործվող տերմինների ն հասկացություններ վերաբերյալ տարակարծություններիցխուսափելունպատակովբերենք մի քանի հիմնականսահմանումներն արդյունքներ(տես (12ի(24)):

ԲԻՆԱՐՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Տրված Ճ բազմության կարգավորվածզույգերի ենթաբազմություն անվանում են բինար

Սահմանում:

ւ ն.9.34

հարաբերություն Եթե

էշ 212ՄՊ, ապա

ասում

են, որ

չ,

տարրը

բինարհարաբերությանմեջ է Ֆ տարրիհետ ն նշանակումեն «8»: Ներկայացնենք հարաբերությունների մի քանիհատկություններ. »

ԽՌ հարաբերություննանվանում են ռեֆլեքսիվ եթե

ցանկացած«6 2 համար շչԽ.։ Մ հարաբերություննանվանում են հակառեֆլեքսիվ, եթե 22) -ից հետնում է, որ ո»): ՍՈ հարաբերություննանվանում են

21) -ից հետնում »

սիմետրիկ,եթե

ՈՌհարաբերություննանվանում են հակասիմետրիկ, եթե «Է, , »Խչ-ից հետնում է, որ «Հ»: ՈՌ հարաբերություննանվանումեն ւտրանզիտիվ, եթե 28,812 -ից հետնում է, որ «Էշ: Ո

հարաբերությունն Օ:-անվանումեն թույլ ն տրանզիտիվ կարգավորություն, եթեայն ռեֆլեքսիվ,հակասիմետրիկ հարաբերությունէ ՍԽ հարաբերություննանվանում են /նիստ կարգավորություն, եթե այն հակառեֆլեքսիվ ն տրանզիտիվ հարաբերություն անվանում են հարաբերություն է ` Ճ համարժեքություն,եթե այն ռեֆլեքսիվ, սիմետրիկ ն տրանզիտիվ հարաբերությունԷ 24 բազմություննանվանում են յհռվին կամ գծայնորեն կարգավորվածԱ կարգավորությամբ,եթե ցանկացած Ճ կետերիհամարտեղիունի կամ «1, կամ )1..: երկու` 7,6 Սահմանում:

ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՉԱՓԵԼԻ

Տ բազմություննանվանումեն Ճ. բազմությանենթաբազմությունների

բուլյան

-հանրահաշիվ,կամպարզապեսԺ -հանրաձաշիվ,եթե Ցանկացած ԽՇՃ,Խ6Տ

ԲՇՃ,Բ65Տ

համար՝

ԵՆԻճՇ5 2.

Ցանկացած հաշվելի

թվով

բազմություններիհամար`

1ԽՇՃ,Խ65:ՀՆնշ...

Սո,65: էՀ

Ճ65:

Բազմությունների ԵՈԲ

ԶԱՄԱՆԱԹԱՆԽԱՆ»)

հայտնի

առնչությունիցհետնում

հանրահաշիվըփակ է եթ

վերաբերյալ

նան

հաշվելի

ԽՇՀԽՇՏ:ՀԼ2...

հատման

ապա

է, որ

Ժ-

նկատմամբ,այսինքն,

Խ6Տ5։(ՆՏ)

զույգն

ԵՇՃ,Ե65

չափելի տարածություն, իսկ անվանում են բազմությունները`չափելիբազմություններ:

(ռ,Ե) տեսքի)

Իրական առանցքիվրա կիսաբացմիջակայքերով

բռրելյան ծնված -հանրահաշիվ Հեշտությամբապացուցվումէ, ռր այն պարունակումէ նան իրական առանցքիբոլոր ինչպեսբաց, այնպեսէլ փակբազմությունները: Ժ

(2 ,Տ )

-հանրահաշիվնանվանում են

չափելի տարածությանվրա ռրոշված իրականարժեք/

(2)

ֆունկցիանանվանումեն չափելիֆունկցիա,եթեցանկացածբորելյան բազմությաննախապատկերը չափելիէ, այսինքն,բորելյանցանկացած 8 բազմությանհամար` /

Հավանականային չափ (2 5 են Տ

(8)5 5

)

չափելիտարածությանվրա անվանում

-հանրահաշվիվրա որոշվածբազմությանա(5) ֆունկցիան,

եթեայնբավարարումէ հետնյալպայմաններին.

ո»)

ցանկացածԷՇ

ՀՕ

Տ համար:

ցանկացած8.

Ե.65ՏնրբԲՕՇ2Ճ, ԲՇՏ,ԲՐԲՀԹ

բազմություններիհամար` ս(Եպա Բ) -

(4 Տ)

«(2)-0,

ս(2)-1:

չափելի տարածությանվրա որոշված /

ֆունկցիան անվանում ներկայացնել

են

տեսքով,որտեղ //չ

()

-ն

(») իրականարժե

ֆունկցիա, եթե այն կարելի

պարզ

7(»)-

ռ(5) Հա(Բ)։

շ,Պ2.(2

մշ բազմությանբնութագրիչֆունկցիանէ`

(թ

Պարզ ֆունկցիայի ինտեգրալ

Ն28

է,»

0,265: ըստ

հավանականային /մ4 չափի

սահմանվումէ հետնյալկերպ`

(2,5)

//0ռ-շշռանո):

չափելի տարածությանվրա որոշված իրականարժեք/

ֆունկցիանանվանում են գոյությունունի

պարզ

որը հաջորդականություն,

ինտեգրելի ֆունկցիարստ /4 չափի, եթե

Ը) ֆունկցիաներիմիջինումֆունդամենտալ է // (2) ֆունկցիայինըստ /4 զուգամիտում

որ` չափի,այսինքնայնպիսիհաջորդականություն, նո ոո-՞»

||լ/,(»)-/.(»)ճա-0,

նոս: ԽԸ)-76)ՀԳ-0 ինչպիսինէլ ըստ

որ

լինի 6»0

թիվը: Ինտեգրելիֆունկցիայիինտեգրալը

չափիսահմանվումէ որպես` 7 («ռս

հռյ հ («ճա:

( Ճ,5 )

չափելի տարածությանվրա որոշված սահմանափակ չափելի

ֆունկցիաներըինտեգրելիեն

(2 Տ )

ըստ

ցանկացածհավանականային չափի:

չափելի տարածությանվրա որոշվածհավանականայինչափն

անվանում են դիսկրետչափ, եթե գոյությոնունեն

թլ, թշ»... ք,: ք

Հ0,:ՀԼ2....ո.

ցանկացած

24,265

217-Հ1

լ,

շ,......ՇՃ

թվեր

այպես,

որ

(51

բազմությանհամար`

ա(5)-»՝

Ծ.:

Ինտեգրալըըստ դիսկրետչափիվերածվումէ գումարի`

ԱԴ

ԱԹԱՆ (2 Տ ) են

(1)

չափելի տարածությունների արտադրյալ

(2 «3,5 «Ր)

որտեղ 227

զույգը,

դեկարտյանարտադրյալնէ, իսկ 5»«7 որը՝

-ը -ն

բազմությունների

մինիմալ Ժ -հանրահաշիվը,

Խ»«Բ,Ե65Տ5ԲՁՇՐ

»պարունակում է

անվանում

տեսքի

բոլոր

ուղղանկյունները: Դիցուք

(2,5)

(/,Ր)

չափելի տարածություններիվրա տրվածեն

յմ համապատասխանաբար

չափերի

արտադրյալ

հավանականային չափեր: /չ

անվանում

են

այն

(/»«7)

բավարարոմէ հետնյան պայմանին.ցանկացած ԽՄ, ԲՇՎ,

ԲՇՏ

չափը,

որը

ԽՇՏ

համար՝ (/մ2«7)(Ե»«Ի)-ա(է)7(Բ)։ Այս վերջին

պայմանով ( 2մ»« ,) չափը որոշվում է միարժեքորեն:Ակնհայտէ,

(247)

չափընույնպեսհավանականային չափ է:

ռր

Թեռրեմ 8.1 (Ֆուբինի): Դիցուք

(

Ր)

«15

չափելի

1Ա1(ճ,)ֆունկցիանինտեգրելիէ

տարածության վրա

ըստ

(ա«5)

հավանականային չափի: Այդ դեպքում,հետնյալկերպսահմանված

/ԹՀյոա»յ7 ֆունկցիաներըինտեգրելիեն

Լ.

5(0)-յո(չջխա

(»»)4(ա22)-

Դիտարկենք (Ճ,8 )

/7()ձա Տ ()4:: -

չափելի տարածությունը,որտեղ Պ-ը իրական

ուղիղն է, իսկ 8-ն՝

(ձ,8 ) -ի

նւ

բորելյանբազմությունների Ժ -հանրահաշիվը:

վրա որոշված ցանկացածհավանականային ս

համարկարելիէ կառուցելիրականարժեք

չափի

(») ֆունկցիա`

ԲՐ)-ա(-Հ») Բ

(») ֆունկցիանբավարարումէ հետնյալպայմաններին`

Բ(ԴՀ ԻԴ,

երե 7՛Հ»շ՛

Բ(2)- Ի(»:0),

Ի(-»)»-0, Ի(Հ»)»1։ Այս պայմաններինբավարարողյուրաքանչյուրֆունկցիաանվանում են

բաշխմանֆունկցիա:Ճիշտ է

Բ(»)

նան

հակադարձպնդումը.Ցանկացած

բաշխման ֆունկցիային կարելի է համապատասխանեցնել

հավանականային// չափ (Ն.8)չափելիտարածությանվրա`

ա(ած))-Ի()-ԻԱ):

Դիցուք

Ք(»)-ը բաշխմանֆունկցիա էն /(»)-ը |.,Ե|հատվածի

վրա որոշված որնէ անընդհատ ֆունկցիա է:

Վերցնենք

|ճ,Ե|

հատվածիորնէ տրոհում` գՀՅՀՎՊ Այս

Հ..ՀՀՃ

տրոհման յուրաքանչյուր

ՀԵ:

լոլ,դ|

հատվածում ընտրենք

կամայականօ, կետ կազմենք

Ֆ76)ԼԲ)-ԻԸ»1 գումարը: Երբ

ոո(չ. -յ.յ)-»0.

գումարները, անկախ

այս

տրոհմանեղանակիցն կետերից,ձգտում են ռրոշակիսահմանի,որը կոչվում է Ռիման-Ստիլտյեսի ( Քճոճոո-ՏԱ6ԱՍ6Տ)ինտեգրալ ն

նշանակվում`

/6յ«-(5։

Թեռրեմ8.2(Հելի (Ռ1617)):Բաշխմանֆունկցիաներիցանկացածանվերջ հաջորդականությունից կարելի է ընտրել ենթահաջորդականություն, որը գրեթեամենուրեքզուգամիտումէ որնէ բաշխմանֆունկցիայի:

Թեռրեմ 83

(Հելի 11):

Դիցուք

/(»)-ը

անընդհատէ

|գ.Ե|

հատվածիվրան բաշխմանֆունկցիաներիՖ(2),12(2)...., Բ. (2)... հաջորդականությունըհամարյաամենուրեքզուգամիտումէ 1՞ բաշխմանֆունկցիային:Այդ դեպքում`

(»)4Բ.(») հոյ/Ը) -ՄՕ)(»): Ի

(2)

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

լ1| ԱվետիսյանՎ., ՊողոսյանՄ., Վարիացիոն հաշիվն օպտիմալ կառավարում,Երնան,2008: 2. 3: Թունին ԱԴ., ՄովսիսյանՅու.Մ., Գծայինհանրահաշվին գծայինծրագրավորման մեթոդներ,Երնան,2002: (3) ՍահակյանՄ.Ա., ՍարգսյանՀ.Լ., ՍարգսյանԱԴ., Տոնոյան Ռ.Ն., Տնտեսությանվերլուծությանմաթեմատիկական եղանակներ,1 հ., Երնան, 1997: Մ.Ա., Մարգզսյան Հ.Լ., ՍարգսյանԱԴ., Տոնոյան (4) ,Մահակյան Ռ.Ն., Տնտեսությանվերլուծությանմաթեմատիկական եղանակներ,Ա հ., Երնան, 2001: Ծ) Ճոռոռւօր Ը.ձ., մրուօմաւօ6 ոքօրքոեուտմքօԲՅէԱւճ, ԻԼ., ԷԼոյու, 1981. ԷՐ)1, ԽԼ, 1960. 6| Խօռուրո 3. /ԱոԱԽՌՐՎՇԸԽ0Շ ոքօոքնեթօրուուծ, ՐՇԽոՈՎՇԸ 16 Շոու

ՕՈՆՏՈԿՎՅՂԵՒՕԻՕ

Օ1 Տռոաոճուի 8.Լ., ԽՈ. 7ոքմտղծ ԱննԽԼ, Էնչոռ,1969. (8) 8օքօճ»օտ ԷԼԷԼ,ԵՇՇօՆոուա էութ 1ոքու, ԽԼ., ԷէԼչուռ,1984. Ջ) Լաոռո 8.8., ԸռօքաթղԲ.8., 886ղծմուծ8 7օօքյոօ «ոյՎՅԱ թու դքօղճշ«օտ,ԽԼ.,ԷԼ:)ո2,1965. սուշուօօ ԽԼ, (10) Յրոթաող 7.11, ԷԼ ոքօոքոեոութօԲոււոծ, Ե Շօտ.Քողաօ,1973.

11) 2004.

8.Լ., 8ոքառոօթ

հԱոոօոնոՈՎՇԸԽօ6 ոքօրքմումքօր21Ուծ,

հԼ., ՓԵԼԼ,

ո Ճ.ԷԼ, Փօոռու Շ.8., Յդճաօյոււլ 16օքոտ Փոք 12) 8ոտաօոօքօտ Փյոոզդոօէնղ5 ւօ10Հարոն, ԽԼ, ՓԵԼ, 2004. Փաուճուութնու 10.10., /1ւշռքծոււօօ 4.., Ա3| 1օքծ)ո ԽԼ, Էնչուռ,1969. դքթօրքմոոութօոոուճ, 3., 1օօքոռուք, հԼ., հնք, 1985. Ա4| Խո ԽԼ., ԽՐւք, Լ, ԹուոյութւօԸւքյոր/քՒԼ 1 հ.3Յ101ՕԽԿՈՑ, էրոտքոծ (15)

(16) ՕյջոԼ,, 16օքոտոք, ԽԼ, հնց, 1971. 1., Քռուոթտու 1.,ՒԷԼՇոօոօքուծ 80ոքօՇծւ (17) Ոռքուոշռթոում ԽԼ,Ի1աք,1974. 18ու ա, 2 ո րք., 1շօօքոճուք, 1811, ԽԼ, 1998 ըԱ8) Ո: քօշույԼ. 1967. 119) Աօտաղաօտուծտոքու, «6., ԽԼ, Էն),

տօօքմու չք

(20|

Ոօքտ

1., 322:

Լ., Շ6ծ

76օքճարլ

ԽԼ, ՓԵՍԼ,

Հեռույ2,

1978.

11.Շ., Օ6ոոԳԼ086: (21| Աօտաքոոքու 1965.

(22| ԲԲ

Ք0տոու 8.8.,

1.6

6 աֆ.

աՎՇՇա ԱՇուօրծղո

1811, ԽԼ, 2002. օեդուճ,

7քոուճաուն, ոքյոմ311

հԼ., ԷԸ յոռ,

քօա6ժոլ

1976. (23) Ղօտոօտ Լ.1., հ1օքռո յուօոքոո, ԽԼ, Էն, (24| շոաուօա 11, 1օօքոտուօքջւ Ի1., 1-11, 1953. (25) Տշհումւ Ը., Օոոծ Ղհօօոյշոմ Խշօոօոլօ Ճոշի»)5, ԻՐ/, Լօոձօո,

2002.

(26)

«ռո

8ոսու, հօ

Օ1Շսխջ օք ՄՃՈՅԱՕոջ,Տքղոջճո-ՄՀոք,2004.

Բովանդակություն

Ներածություն Օպտիմալացման դասականխնդիրներ 1.1 Ֆունկցիայիէքստրեմում ա5 1.2 Ֆունկցիայիպայմանական էքստրեմում........................... 1.3 Վարիացիոն Խաշյիխվ. աաԱ ա11 ՈՒռուցիկանալիզիհիմունքներ 2.1 Հիմնական սահմանումներ,անջատելիության թեորեմ.........24 2.2 Գծայինանհավասարությունների համակարգեր 2.3 ՈԻռուցիկն գոգավորֆունկցիաներ Օգտավետության տեսություն Լ... Մաթեմատիկական ծրագրում 4.1 Վուն-Թակերիթեդրեմ նան ա,ա 4.2 Գծայինծրագրում`... ԱՎԱ ՂԱԱ Անան նա 4.3 Օրինակներ անաց 4.4 Լուծման եղանակներ: Միմպլեկս-մեթոդ 4.5 Դիսկրետծրագրում մանկան Բազմանպատակային օպտիմալացում 5.1 Խմբային ընտրությանտեսություն ա.84 5.2 Վեկտորական օպտիմալացում 5.3 Գործարքների խնդիր նաաանան Խաղերիտեսություն 6.1 Անդաշինքխաղեր ԱՆԱմանանան 6.2 Հակամարտ խաղեր 6.3 Մատրիցային խաղեր աաննանա 6.4 Անվերջհակամարտխաղեր 6.5 ՎԿոպերատիվ խաղեր նեն 165 Դիետմիկմոդելհեր 7.1 Դինամիկծրագրում նանան 7.2 Օպտիմալկառավարման տեսություն 7.3 Դիրքայինխաղեր 7.4 Դիֆերենցիալ խաղեր նա Հավելված ԱԱ ԱԱ ԱԱ ԱՆԱՆ ԱԱԱԱն նանն, Լ...

Լ...

ե...

Լ.Լ

ե...

Վ...

Ը...

Լ.Լ...

Լ...

Վ.Լ.

ե...

ԼՎԱ

Վ.Լ

ե...

եւ...

Լ...

ՎԱՆՆԱ

Ձ..........................

Լ...

ե...

Լ...

Վ.Լ...

ԱԱ

ՂԱԱ

Լ.Լ...

Ն...

Լ...

ԼՎԱ,

ե...

Լ...

եե...

Լ...

աննա

Լ...

ե...

Լ...

ՎԱՆԱ

եե...

ՎԱՆՆԱ

1...

Լ...

Լ.Լ...

նանան

Աաաա

Լ...

նանան

Լ...

ՎԱՆԱ

ԱԱ

ԱՆՆԱՆ

ՆԱՆ

ՍԱՂԱԹԵԼՅԱՆ

ԿԱՐԵՆ

ՎԱՉԱԳԱՆԻ

ՍԵԹՈԴՆԵՐ

ՕՊՏԻՄԱԼԱՑՄԱՆ

ԵՎ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ԽԱՂԵՐԻ

Ստորագրվածէ տպագրության08.02.2013 Չափսը՝ 60::84'/:6: Տպաքամակ՝ 150: Պատվեր՝ 18:

թ.:

ԵՊՀ հրատարակչություն,Երնան,Ալ. Մանուկյան 1:-

Երնանի պետականհամալսարանի օպերատիվպոլիգրաֆիայիստորաբաժանում Երնան, Ալ. Մանուկյան 1: