ELIB – Էլեկտրոնային Գրադարան | Գրքեր, նյութեր, հոդվածներ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Dիfերենcիաl hաvաsարոwմների ամbիոն

Հ. Ա. ԱՍԱՏՐՅԱՆ, Ի. G. ԽԱ ԱՏՐՅԱՆ,

Մ. Ի. ԿԱՐԱԽԱՆՅԱՆ, Ա. Հ. QԱՄԱԼՅԱՆ

BԱՆԱXՅԱՆ HԱՆRԱHԱ IVՆԵR

ԵV

ՍPԵKՏRԱL ՏԵՍՈՒՅՈՒՆ

Հաստատվա է ԵՊՀ մաթեմատիկայի մեխանիկայի ֆակուլտետի խորհրդի կողմից որպես դասագիրք բուհերի ֆիզիկամաթեմատիկական մասնագիտությունների ուսանողների համար

ԵՐԵՎԱՆԻ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ՀՐԱՏԱՐԱԿ ՈՒՅՈՒՆ

ԵՐԵՎԱՆ { 2008

ՀՏԴ 512 (07) ԳՄԴ 22.14 ց7 Բ-275

Հ. Ա. ԱՍԱՏՐՅԱՆ, Ի. Գ. ԽԱ ԱՏՐՅԱՆ,

Մ. Ի. ԿԱՐԱԽԱՆՅԱՆ, Ա. Հ. ՔԱՄԱԼՅԱՆ

Բ-275

Բանախյան հանրահաշիվներ սպեկտրալ տեսություն

Խմբագիր՝

ֆիզ.-մաթ. գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր I. Գ. Խաչատրյան

Գրախոսներ՝

ՀՀ ԳԱԱ թղթ. անդամ V. Հ. Mարտիրոսյան, ֆիզ.-մաթ. գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր Բ. Թ. Բատիկյան ԵՊՀ հրատ., 2008 թ., 252 էջ:

Դիտարկվող բնագավա ի հետ ա նչվող գրքերի շարքում սույն ձե նարկն ա աջինն է հայերեն լեզվով: Այն նվիրվա է կոմպլեքս բանախյան հանրահաշիվների տեսությանը, սպեկտրալ տեսությանը, կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվների գելֆանդյան տեսությանը նրա կիրա ություններին ոչ ինքնահամալու պերատորների տեսությունում: Գիրքը մատչելի է բուհերի ֆիզիկամաթեմատիկական մասնագիտությամբ բարձր կուրսի ուսանողների համար: Այն կարող է գտակար լինել նա ասպիրանտների, գիտաշխատողների դասավանդողների համար:

ԳՄԴ 22.14 ց7 ISBN 978-5-8084-0995-8

ԵՊՀ հրատարակչություն, 2008 թ. Օ

Հեղ. կոլեկտիվ, 2008 թ.

ԲՈVԱՆԴԱԿՈՒԹYՈՒՆ

Նախաբան . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Գ լ ո ւ խ 1: Նորմավորվա հանրահաշիվներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 1.1.

Կոմպլեքս հանրահաշիվներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 1.2.

Բանախյան հանրահաշիվներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 1.3.

Էքսպոնենտ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

§ 1.4.

Կոմպլեքս հոմոմորֆիզմներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§ 1.5.

Անալիտիկ ֆունկցիաներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

§ 1.6.

Վեկտոր - ֆունկցիաների ինտեգրումը . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 1.7.

Սպեկտրի հիմնական հատկությունները . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 1.8.

Սպեկտրալ շա ավղի բանաձ ի հետ անքներ . . . . . . . . 58

§ 1.9.

Սպեկտրալ շա ավղի կիսանընդհատությունը . . . . . . . . . 72

§ 1.10.

Թվային պատկեր հանրահաշվական թվային պատկեր . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

§ 1.11.

Ֆակտոր - հանրահաշիվ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ 1.12.

Ֆակտոր - հանրահաշվի էլեմենտների հանրահաշվական թվային պատկերը . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

§ 1.13.

Հերմիտյան նորմալ էլեմենտներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§ 1.14.

Սուբհարմանիկ ֆունկցիաներ դրանց որոշ կիրա ություններ բանախյան հանրահաշիվներում . . . . . . . . . . . . 90

§ 1.15.

Ֆունկցիոնալ հաշիվ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Բովանդակություն

Գ լ ո ւ խ 2: Կոմուտատիվ բանաxյան հանրահաշիվներ . . . . . 111 § 2.1.

Իդեալներ հոմոմորֆիզմներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§ 2.2.

Գելֆանդի ձ ա ոխությունը . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

§ 2.3.

Ինվոլյուցիաներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

§ 2.4.

Ինվոլյուցիայի անընդհատությունը . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

§ 2.5.

Մոդուլի գաղա արը . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

§ 2.6.

Կիրա ություններ ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվներում . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

§ 2.7.

Կիրա ություններ 8 ∗ - հանրահաշիվներում . . . . . . . . . . 148

§ 3.1.

Նախնական տեղեկություններ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

§ 3.2.

Թեորեմ տեղա ոխելիության մասին . . . . . . . . . . . . . . . . 160

§ 3.3.

Միավորի վերլու ությունը . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Գ լ ո ւ խ 3: Գ ային սահմանա ակ պերատորներ հիլբերտյան տարա ությունում . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

§ 3.4. L∞ (E)

հանրահաշիվը . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

§ 3.5.

Սպեկտրալ թեորեմը . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

§ 3.6.

Ֆունկցիոնալ հաշիվ նորմալ պերատորների համար . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

§ 3.7.

Ինվարիանտ ենթատարա ություններ . . . . . . . . . . . . . . . 191

§ 3.8.

Նորմալ պերատորների սե ական արժեքները . . . . . 194

§ 3.9.

Դրական պերատորներ քա ակուսի արմատներ . . 202

§ 3.10.

Հակադարձելի պերատորների խումբը . . . . . . . . . . . . . 212

Բովանդակություն

Գ լ ո ւ խ 4: 8 ∗ -հանրահաշիվների նկարագրությունը . . . . . . . 220 § 4.1.

Քա ակուսի արմատներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

§ 4.2.

Դրական ֆունկցիոնալներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

§ 4.3.

Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներում . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

§ 4.4.

Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվների համար . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Գրականություն . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

ՆԱԽԱԲԱՆ Դիտարկվող բնագավա ի հետ ա նչվող գրքերի շարքում սույն ձե նարկն ա աջինն է հայերեն լեզվով: Այն նվիրվա է կոմպլեքս բանախյան հանրահաշիվների տեսությանը, սպեկտրալ տեսությանը, կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվների գելֆանդյան տեսությանը նրա կիրա ություններին ոչ ինքնահամալու պերատորների տեսությունում: ե նարկը բաղկացա է չորս գլխից: Ա աջին գլուխը նվիրվա

է կոմպլեքս նորմավորվա հանրահաշիվների տեսությանը, երկրորդը՝ կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվների գելֆանդյան տեսությանը, որտեղ ա անցքային է բոլոր կոմուտատիվ 8 ∗ - հանրահաշիվները բնութագրող Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը: Երրորդ գլխում, հիմնվելով նախորդ գլուխներում զարգացվա ապարատի վրա, ուսումնասիրվում է կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ությունում գոր ող գ ային սահմանա ակ պերատորների հանրահաշիվը ապացուցվում է սպեկտրալ թեորեմի գելֆանդյան տարբերակը, որտեղից որպես հետ անք ստացվում է սահմանա ակ նորմալ պերատորների համար սպեկտրալ թեորեմը համապատասխան ֆունկցիոնալ հաշվի հետ միասին: որրորդ գլուխը նվիրվա է ոչ կոմուտատիվ 8 ∗ - հանրահաշիվներին: Նրանում ապացուցվում են Բոխների թեորեմի աբստրակտ տարբերակը ոչ կոմուտատիվ 8 ∗ - հանրահաշիվները բնութագրող Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը: ե նարկում ընդգրկվա են նա վերջերս ստացվա որոշ արդյունքներ: Դրանց մի մասի համար տրվա են սխեմատիկ ապացույցներ, որոնք տեքստում բերվա են մանր տա ատեսակով: Գիրքը մատչելի է բուհերի ֆիզիկամաթեմատիկական մասնագիտությամբ բարձր կուրսի ուսանողների համար: Այն կարող է գտակար լինել նա ասպիրանտների, գիտաշխատողների դասավանդողների համար:

Գլուխ 1

ՆՈՐՄԱՎՈՐՎԱ ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐ

§ 1.1. Կոմպլեքս հանրահաշիվներ

Սահմանում 1.1.1: Դիցուք P -ն որ

է դաշտ է, իսկ 4-ն P -ի նկատմամբ գ ային տարա ություն է: Կասենք 4-ն P -ի նկատմամբ հանրահաշիվ է, եթե 4-ում ներմու վա է ս մեկ հանրահաշվական գոր ողություն՝ արտադրյալ, որը բավարարում է հետ յալ երեք պայմաններին (աքսիոմներին). 1) (xy)2 - x(y2) (∀x, y, 2 ∈ 4), 2) x(y + 2) - xy + x2 , (y + 2)x - yx + 2x (∀x, y, 2 ∈ 4), 3) α(xy) - (αx)y - x(αy) (∀x, y ∈ 4, ∀α ∈ P ): Երբ բավարարվում է նա 4) ∃6 ∈ 4, որ 6x - x6 - x (∀x ∈ 4), պայմանը, 4-ն կոչվում է միավորով հանրահաշիվ, իսկ 6-ն՝ նրա միավոր: Եթե 1) - 3) պայմանների հետ միասին բավարարվում է 5) xy - yx (∀x, y ∈ 4), պայմանը, ապա 4 հանրահաշիվը կոչվում է կոմուտատիվ: Նկատենք, որ հանրահաշիվը կարող է ունենալ մեկից ոչ ավելի թվով միավոր: Իրոք, եթե հանրահաշվի 6 60 էլեմենտները միավորներ են, ապա 660 - 60 6 - 60 , 60 6 - 660 - 6 , հետ աբար, 6 - 60 : Դիցուք 4-ն հանրահաշիվ է: Հետ յալ կանոնական ընդլայնումը թույլ է տալիս 4-ն լրացնել միավորով, այսինքն ներդնել ինչ-որ 40 միավորով հանրահաշվի մեջ: Նշանակենք 40 - {(x, α) : x ∈ 4, α ∈ P } - 4 × P (x, α), (y, β) ∈ 40

λ∈P

համար սահմանենք

(x, α) + (y, β) - (x + y, α + β), λ(x, α) - (λx, λα), (x, α)(y, β) - (xy + αy + βx, αβ) :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Հեշտ է ստուգել, որ այդ դեպքում 40 -ի համար կբավարարվեն գ ային տարա ության աքսիոմները հանրահաշվի 1)-3) աքսիոմները, ինչպես նա 4) աքսիոմը, որում միավորի դերը կատարում է (0, 1) էլեմենտը: x Է→ (x, 0) արտապատկերմամբ 4-ն իզոմորֆ արտապատկերվում է 40 -ի ինչ-որ ենթատարա ության վրա: x ∈ 4 էլեմենտը նույնացնելով (x, 0) ∈ 40 էլեմենտի հետ՝ կարող ենք համարել, որ 4 ⊂ 40 : Եթե 4 հանրահաշիվը կոմուտատիվ է, ապա 40 -ը նույնպես կլինի կոմուտատիվ: Հանրահաշիվը նրա ենթահանրահաշիվը կարող են ունենալ տարբեր միավորներ: Օրինակ, 6 միավորով 4 հանրահաշվի դեպքում 40 հանրահաշվի միավորն է (0, 1) էլեմենտը, իսկ նրա {(x, 0) : x ∈ 4} ենթահանրահաշվի միավորն է (6, 0) էլեմենտը: Հետագայում, խոսելով միավորով հանրահաշվի միավոր ունեցող ենթահանրահաշվի մասին, կենթադրենք, որ ենթահանրահաշվի միավորը համընկնում է հանրահաշվի միավորի հետ: Մենք հիմնականում կդիտարկենք այն դեպքը, երբ P - C: Այդ դեպքում 4 հանրահաշիվը կոչվում է կոմպլեքս հանրահաշիվ: Հանրահաշվում որպես M Շ ենթատարա ությունների M Շ արտադրյալ կհամարենք հետ յալ բազմությունը. M Շ - {xy : x ∈ M, y ∈ Շ :}

Սահմանում 1.1.2: 7 ⊂ 4 ենթատարա ությունը կոչվում է ձախ (աջ)

իդեալ, եթե 47 ⊂ 7 (74 ⊂ 7 ): 7 -ն կոչվում է երկկողմանի իդեալ (կամ, պարզապես, իդեալ), եթե այն ն ձախ, ն աջ իդեալ է: 7 իդեալը կոչվում է սե ական, եթե 7 6- {0} 7 6- 4: 7 սե ական իդեալը կոչվում է մաքսիմալ, եթե գոյություն չունի 7 -ն պարունակող 7 -ից տարբեր սե ական իդեալ:

Օրինակներ:

1) Եթե CN -ում երկու 2 - (21 , 22 , . . . , 2N ), 2 0 - (210 , 220 , . . . , 2N0 ) վեկտորների արտադրյալը սահմանենք 22 0 - 21 210 , 22 220 , . . . , 2N 2N

)

8 1.1. Կոմպլեքս հանրահաշիվներ

բանաձ ով, ապա CN -ը կդա նա միավորով կոմուտատիվ հանրահաշիվ (միավորն է 6 - (1, 1, . . . , 1) վեկտորը): 2) Դիտարկենք `∞ - `∞ (C) տարա ությունը, որը բաղկացա է բոլոր 2 - (2k )∞ k-1 ⊂ C սահմանա ակ հաջորդականություններից: 0 ∞ α ∈ C թվի `∞ -ի երկու 2 - (2k )∞ k-1 , 2 - (2k )k-1 էլեմենտների համար սահմանենք 2 + 2 0 - 2k + 2k0

)∞ k-1

α2 - (α2k )∞ k-1 ,

22 0 - 2k 2k0

)∞ k-1

Այդ դեպքում `∞ -ը կդա նա միավորով կոմուտատիվ հանրահաշիվ, որում 6 միավորի դերը կատարում է այն հաջորդականությունը, որի բոլոր անդամները 1 են: Այս րինակում գոր ունենք անվերջ չա անի հանրահաշվի հետ: 3) Ճ գ ային տարա ությունում գոր ող բոլոր գ ային պերատորների L(Ճ) բազմությունը կդա նա միավորով հանրահաշիվ, եթե նրանում 7 , 5 պերատորների արտադրյալը սահմանենք (7 5)(x) - 7 (5x)

բանաձ ով (միավորը նույնական արտապատկերումն է): 4) Ճ բանախյան տարա ությում գոր ող բոլոր գ ային սահմանա ակ պերատորների 8L(Ճ) բազմությունը միավորով կոմպլեքս հանրահաշիվ է: Բազմաչա Ճ -ի դեպքում 8L(Ճ) հանրահաշիվը կոմուտատիվ չէ, ընդ որում, երբ Ճ -ը անվերջ չա անի է, 8L(Ճ)-ը նույնպես անվերջ չա անի է: Անվերջ չա անի սեպարաբել Ճ հիլբերտյան տարա ության դեպքում 8L(Ճ)-ը որպես պերատորային նորմով բանախյան տարա ություն սեպարաբել չէ: Իրոք, Ճ -ն իզոմետրիկորեն իզոմորֆ է L2 (0, 1)-ին,) ուստի 8L(Ճ)-ը իզոմետրիկորեն իզոմորֆ) կլինի 8L L2 (0, 1) -ին մնում է ապացուցել, որ 8L) L2 (0, 1) -ը սեպարաբել չէ: Ցույց տանք, որ ∀ M ⊂ 8L L2 (0, 1) ամենուրեք խիտ ենթաբազմության հզորությունը ոքր չէ) կոնտինումի հզորությունից: է ∈ (0, 1) համար Pt ∈ 8L L2 (0, 1) պերատորը սահմանենք (Pt / )(x) - χ(0,t) (x)/ (x)

) / ∈ L2 (0, 1)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

բանաձ ով (χ(0,t) -ն (0, է) միջակայքի բնութագրիչ ֆունկցիան է): 0 Հ է1 Հ է2 Հ 1 համար ունենք (Pt2 − Pt1 ) / (x)) - χ(t1 ,t2 ) (x)/ (x), ուստի k(Pt2 − Pt1 ) / k 6 k/ k / ∈ L2 (0, 1) , հետ աբար, kPt2 − Pt1 k 6 1: Մյուս կողմից, χ(t ,t ) - 1: kPt2 − Pt1 k - Տսp k(Pt2 − Pt1 ) / k > (Pt2 − Pt1 ) √ 1 2 է2 − է1 kf k61

Այսպիսով,

է1 , է2 ∈ (0, 1), է1 6- է2

համար դեպքում ունենք

∀է ∈ (0, 1)

∃Օ - Օt ∈

դեպքում kPt2 − Pt1 k - 1: M , որ kPt − Օt k Հ : է1 6- է2

kՕt2 − Օt1 k - k(Pt2 − Pt1 ) − (Pt2 − Օt2 + Օt1 − Pt1 )k > > kPt2 − Pt1 k − kPt2 − Օt2 + Օt1 − Pt1 k > > kPt2 − Pt1 k − kPt2 − Օt2 k − kՕt1 − Pt1 k » 0,

ուստի Օt1 6- Օt2 : Ստացվեց, որ է Է→ Օt արտապատկերումը (0, 1) միջակայքը ոխմիարժեք արտապատկերում է M -ի մեջ , հետ աբար, M -ի հզորությունը ոքր չէ կոնտինումի հզորությունից: 5) Դիցուք Ճ -ը լոկալ կոմպակտ տոպոլոգիական տարա ություն է (այսինքն ∀ x ∈ Ճ կետ ունի հարաբերական կոմպակտ շրջակայք): Շb (Ճ)-ով նշանակենք բոլոր / : Ճ → C սահմանա ակ անընդհատ ֆունկցիաների բազմությունը: Շb (Ճ)-ը միավորով կոմպլեքս հանրահաշիվ է (միավորը նույնաբար 1 ֆունկցիան է), ինչպես նա բանախյան տարա ություն է, որում / ∈ Շb (Ճ) ֆունկցիայի նորմն է k/ k - Տսp |/ (x)| : x∈Ճ

Նշանակենք Շ0 (Ճ)-ով բոլոր այն / ∈ Շb (Ճ) ֆունկցիաների բազմությունը, որ ∀ ε » 0 համար ∃ Kε ⊂ Ճ կոմպակտ, այնպես, որ |/ (x)| Հ ε

(x ∈ Ճ \ Kε ) :

Շ0 (Ճ)-ի ֆունկցիաներին անվանում են ∞-ում անհետացող (0-ի ձգտող) ֆունկցիաներ: Սա Շb (Ճ)-ում ակ երկկողմանի իդեալ է: Երբ Ճ -ը կոմպակտ չէ, Շ0 (Ճ)-ը միավոր չունի:

8 1.1. Կոմպլեքս հանրահաշիվներ

Նշանակենք Շ00 (Ճ)-ով (կամ Շc (Ճ)-ով) բոլոր այն / ∈ Շb (Ճ) ֆունկցիաների բազմությունը, որոնց Տսpp / - {x ∈ Ճ : / (x) 6- 0}

կրիչը կոմպակտ է: Պարզվում է (ինչն ակնհայտ չէ), որ Շ00 (Ճ) - Շ0 (Ճ) :

Այն դեպքում, երբ Ճ -ը կոմպակտ է, կունենանք Շ00 (Ճ) - Շ0 (Ճ) - Շb (Ճ) - Շ(Ճ),

որտեղ Շ(Ճ)-ը բոլոր / : Ճ → C անընդհատ ֆունկցիաների տարա ությունն է: 6) Դիցուք E -ն որ է բազմություն է, իսկ Ճ -ը P դաշտի նկատմամբ հանրահաշիվ է: Այդ դեպքում 7(E, Ճ) - {/ : E → Ճ}

արտապատկերումների բազմությունը կլինի P դաշտի նկատմամբ հանրահաշիվ, եթե /1 , /2 , ∈ 7(E, Ճ), α ∈ P համար սահմանենք (/1 + /2 ) (x) - /1 (x) + /2 (x), (/1 /2 ) (x) - /1 (x)/2 (x), (α/1 ) (x) - α/1 (x) :

Երբ Ճ -ում կա 6 միավոր, 7(E, Ճ)-ը նույնպես ունի միավոր միավորի դերը կատարում է / (x) ≡ 6 արտապատկերումը: Այժմ բերենք իդեալների րինակներ: 1) Դիցուք Ճ -ը բանախյան տարա ություն է: Այդ դեպքում K(Ճ) կոմպակտ գ ային պերատորների բազմությունը 8L(Ճ)-ի ակ երկկողմանի իդեալ է: 2) Դիտարկենք K կոմպակտի վրա անընդհատ ֆունկցիաների Շ(K) տարա ությունը (որը, ինչպես արդեն նշվեց, կոմուտատիվ հանրահաշիվ է): Դիցուք E ⊂ K : Նշանակենք 75 - {/ ∈ Շ(K) : / (x) - 0, x ∈ E} :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Պարզ է, որ 75 -ն իդեալ է (կոմուտատիվության ա կայության շնորհիվ ավելորդ է խոսել աջ կամ ձախ իդեալների մասին. դրանք համընկնում են): Պարզվում է, որ Շ(K)-ում բոլոր մաքսիմալ իդեալներն ունեն 7{x0 } տեսքը, որտեղ x0 ∈ K : Այս պնդումը մենք կապացուցենք հետագայում (տես՝ § 2.1, րինակ 1): Սահմանում 1.1.3: x ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է հակադարձելի ձախից (աջից), եթե գոյություն ունի այնպիսի y ∈ 4, որ yx - 6 (xy - 6): Այդպիսի ամեն մի y էլեմենտ կոչվում է x-ի ձախ (աջ) հակադարձ: Սահմանում 1.1.4: x ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է հակադարձելի, եթե գոյություն ունի այնպիսի y ∈ 4, որ xy - yx - 6: Այդպիսի y-ը կոչվում է x-ի հակադարձ նշանակվում է x−1 -ով: Միաժամանակ ձախից աջից հակադարձելի էլեմենտը հակադարձելի է նրա միակողմանի հակադարձերը համընկնում են: Իրոք, եթե yx - 6 - x2 , ապա y - y6 - y(x2) - (yx)2 - 62 - 2 :

Այստեղից բխում է, որ ոչ մի x ∈ 4 էլեմենտ չի կարող ունենալ մեկից ավելի թվով հակադարձ (այսինքն՝ այնպիսի 2 , որ x2 - 2x - 6): 4 հանրահաշվի բոլոր հակադարձելի էլեմենտների բազմությունը կնշանակենք 4−1 -ով: Պարզ է, որ 6 ∈ 4−1 : Նկատենք, որ միայն մի կողմից հակադարձելի էլեմենտի միակողմանի հակադարձը միակը չէ: Իրոք, դիցուք x ∈ 4 էլեմենտը ձախից հակադարձելի է, իսկ աջից՝ ոչ: Դիցուք y-ը x էլեմենտի որ է ձախ հակադարձ է: Այդ դեպքում հեշտ է ստուգել, որ ցանկացա

λ ∈ C համար yλ - y + λ (6 − xy) էլեմենտը ս կլինի x-ի ձախ հակադարձ: Քանի որ xy 6- 6, ուստի λ1 6- λ2 դեպքում yλ1 6- yλ2 : § 1.2. Բանախյան հանրահաշիվներ

Սահմանում 1.2.1: 6 միավորով 4 կոմպլեքս հանրահաշվում ներ-

մու վա նորմը կոչվում է հանրահաշվական, եթե 1) kxyk 6 kxk · kyk (∀x, y ∈ 4), 2) k6k - 1:

8 1.2. Բանախյան հանրահաշիվներ

Սահմանում 1.2.2: Միավորով 4 հանրահաշիվը՝ նրանում ներմու -

վա հանրահաշվական նորմի հետ միասին կոչվում է նորմավորվա

հանրահաշիվ: Եթե 4-ն նա լրիվ է, ապա այն կոչվում է բանախյան (կամ Բանախի) հանրահաշիվ: Դիցուք 4 հանրահաշվում ներմու վա նորմը բավարարում է kxyk 6 kxk · kyk

պայմանին: Կա ուցենք նախորդ պարագրաֆում նշվա 40 ընդլայնումը (x, α) ∈ 40 համար սահմանենք k(x, α)k - kxk + |α| :

Հեշտ է տեսնել, որ 40 -ը կհանդիսանա նորմավորվա հանրահաշիվ: x Է→ (x, 0) արտապատկերումը 4-ն իզոմետրիկորեն կարտապատկերի 40 -ի ակ երկկողմանի իդեալի վրա, ընդ որում, եթե 4-ն լրիվ է, ապա 40 -ը (հետ աբար, նա այդ իդեալը) կլինի լրիվ: Այսպիսով, 6 միավորի գոյության k6k - 1 պահանջները չեն հանգեցնում ընդհանրության մե կորստի հետագայում դրանք կհամարենք բավարարվա : Բերենք բանախյան հանրահաշիվների րինակներ: Ինչպես կտեսնենք, նախորդ պարագրաֆում դիտարկվա կոմպլեքս հանրահաշիվներից շատերը բանախյան հանրահաշիվներ են: Այդ րինակներում նորմի աքսիոմները ստուգվում են հեշտությամբ:

Օրինակներ: N

1) C -ը վերջավոր չա անի կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, որում 2 - (21 , 22 , . . . , 2N ) ∈ CN վեկտորի նորմն է k2k - ոոx |24 | : 1646N

2) -ը անվերջ չա անի կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, որում 2 - (2k )∞ k-1 էլեմենտի նորմն է `∞

k2k - Տսp |2k | : k

3) Ճ բանախյան տարա ությում գոր ող բոլոր գ ային սահմանա ակ պերատորների 8L(Ճ) բազմությունը պերատորային

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

նորմի նկատմամբ բանախյան հանրահաշիվ է: Ինչպես նշվեց նախորդ պարագրաֆում, բազմաչա դեպքում այս հանրահաշիվը միավորով ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվ է, ընդ որում, եթե Ճ -ն անվերջ չա անի սեպարաբել հիլբերտյան տարա ություն է, ապա 8L(Ճ)-ն անվերջ չա անի ոչ սեպարաբել բանախյան տարա ություն է: 4) Դիցուք Ճ -ը լոկալ կոմպակտ տոպոլոգիական տարա ություն է: Սահմանենք k/ k - Տսp |/ (x)|

(/ ∈ Շb (Ճ)) :

x∈Ճ

Հեշտ է ստուգել, որ Շb (Ճ)-ը բանախյան հանրահաշիվ է: Երբ Ճ -ը կոմպակտ է, կունենանք Շ00 (Ճ) - Շ0 (Ճ) - Շb (Ճ) - Շ(Ճ),

որտեղ Շ(Ճ)-ը բոլոր / : Ճ → C անընդհատ ֆունկցիաների տարա ությունն է: Այս դեպքում կարող ենք գրել k/ k - ոոx |/ (x)| : x∈Ճ

5) Դիտարկենք 7 - {2 ∈ C : |2| - 1} բազմության համար Շ(7 ) հանրահաշիվը: Նշանակենք 4(7 )-ով Շ(7 )-ի բոլոր այն ֆունկցիաների բազմությունը, որոնք թույլ են տալիս անընդհատ շարունակություն {2 ∈ C : |2| 6 1} ակ շրջանի վրա, որոշելով անալիտիկ ֆունկցիա {2 ∈ C : |2| Հ 1} բաց շրջանում: Հեշտ է ստուգել, որ 4(7 )-ն կլինի Շ(7 )-ի ակ ենթահանրահաշիվ կպարունակի Շ(7 )-ի միավորը: Երբեմն 4(7 )-ին անվանում են դիսկ հանրահաշիվ: / ∈ Շ(7 ) համար սահմանենք /ˆ(ո) 2π

Z2π ( / 64θ 6−4nθ dθ

(ո - 0, ±1, ±2, . . .) :

Կարելի է ցույց տալ, որ n o 4(7 ) - / ∈ Շ(7 ) : /ˆ(ո) - 0 (ո - −1, −2, . . .) :

8 1.2. Բանախյան հանրահաշիվներ

Բացի այդ, պարզվում է, որ 4(7 )-ն Շ(7 )-ում չլրացվող ենթատարա ություն է, այսինքն՝ գոյություն չունի այնպիսի L ⊂ Շ(7 ) ակ ենթատարա ություն, որ Շ(7 ) - 4(7 ) ⊕ L :

Այն, որ 4(7 ) 6- Շ(7 ), ակնհայտ է, որովհետ Շ(7 )-ին պատկանող / (2) - ֆունկցիան չի պատկանում 4(7 )-ին: Սահմանում 1.2.3: 4 կոմպլեքս հանրահաշիվը կոչվում է տոպոլոգիական հանրահաշիվ, եթե 4-ն միաժամանակ հանդիսանում է տոպոլոգիական տարա ություն 4-ում սահմանվա գոր ողություններն անընդհատ են: Բանախյան հանրահաշիվները հանդիսանում են տոպոլոգիական հանրահաշիվների մասնավոր դեպք: Ուստի վերը դիտարկվա

րինակներում բերվա հանրահաշիվները տոպոլոգիական են: Բերենք տոպոլոգիական հարահաշվի ս մի կար որ րինակ: Դիցուք Ω ⊂ C բաց բազմություն է: Ω-ի վրա հոլոմորֆ ֆունկցիաների H(Ω) բազմությունն ակնհայտորեն կոմուտատիվ կոմպլեքս հանրահաշիվ է: H(Ω)-ն կարելի է դարձնել տոպոլոգիական հանրահաշիվ հետ յալ կերպ: Վերցնենք Ω-ի որ է {Kn }∞ n-1 կոմպակտ սպա ում, այսինքն՝ կոմպակտ բազմությունների հաջորդականություն, որն ժտվա է հետ յալ հատկություններով՝ ա) Kn ⊂ iոէ Knո1 (ո - 1, 2, . . .), ∞ Ս բ) Ω - Kn : n-1 Ω 6- C դեպքում որպես Kn կարելի է վերցնել, րինակ, Kn - x ∈ Ω : |x| 6 ո, ρ(x, ∂Ω) > ո

բազմությունները, իսկ Ω - C դեպքում կարելի - {2 ∈ C : |2| 6 ո}: քn : H(Ω) → R կիսանորմերը սահմանենք քn (/ ) - ոոx |/ (2)| z∈Kn

է վերցնել

(ո - 1, 2, . . .)

Kn -

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

բանաձ երով: /, ց ∈ H(Ω) համար սահմանենք ρ(/, ց) -

∞ X

n-1

քn (/ − ց) , 1 + քn (/ − ց) ∞

որտեղ an -երը որ է դրական թվեր են, որոնց համար an Հ ∞ n-1 րինակ, կարելի է վերցնել an - 2−n ): Այդ դեպքում ρ-ն կլինի ρ մետրիկա H(Ω)-ում, ընդ որում /n −→ / կնշանակի, որ Ω-ի ներսում /n (2) ⇒ / (2): Հեշտ է տեսնել, որ (H(Ω), ρ)-ն կլինի տոպոլոգիական հանրահաշիվ: § 1.3. քսպոնենտ ∀x ∈ 4

համար սահմանենք 6x - exp(x) -

∞ X xn n-0

ո:

(6x - ը նշանակում է 6 թվի x աստիճանը, ոչ թե 4 հանրահաշվի 6 միավորի x աստիճանը): Վերը գրվա շարքը զուգամետ է, քանի որ զուգամետ է նրա անդամների նորմերից կազմվա շարքը: Ընդ որում կունենանք x

k6 k 6

∞ X kxkn n-0

ո:

- 6kxk :

Էքսպոնենտի հատկությունները ստանալու համար բերենք մի քանի պնդումներ: Լեմմա 1.3.1: Եթե an → a, ապա 5n -

Ապացույց: Ունենք

a0 + a1 + · · · + an −−−→ a : n→∞ ո+1

k5n − ak -

a0 + a1 + · · · + an −a ո+1

8 1.8. Էքսպոնենտ

k(a0 − a) + (a1 − a) + · · · + (an − a)k ո+1

ka0 − ak + ka1 − ak + · · · + kan − ak : ո+1

Վերցնենք ∀ε » 0 թիվ: N1 -ը ընտրենք այնպես, որ kan − ak Հ

(ո » N1 ) :

Այդ դեպքում ո » N1 համար կունենանք n

k-0

1 X 1 X kak − ak k5n − ak 6 kak − ak+ ո+1 ո+1

ո+1

n X

kak − ak Հ

k-N1 ո1

1 X kak − ak+ ո+1

k-0

ε 1 X ε + · (ո − N1 ) · 6 kak − ak + : ո+1 ո+1

k-0

Ունենք

1 X kak −ak −−−→ 0, ուստի N » N1 կարելի է ընտրել n→∞ ո+1

k-0

այնքան մե , որ

1 X ε kak − ak Հ ո+1

(ո » N ) :

k-0

Այդ դեպքում ո » N համար կունենանք N

1 X ε ε ε k5n − ak Հ kak − ak + Հ + - ε : ո+1 2 2

k-0

Լեմման ապացուցվա է:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Լեմմա 1.3.2: Եթե an → a, bn → b, ապա σn -

a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 −−−→ ab : n→∞ ո+1

Ապացույց: Ունենք σn -

a0 (bn − b) + a1 (bn−1 − b) + · · · + an (b0 − b) + ո+1

a0 + a1 + · · · + an · b - x n + yn : ո+1 լեմմայից բխում է, որ yn −−−→ ab: Մնում է +

Նախորդ

ցույց տալ, որ xn −−−→ 0: Քանի որ an -ը զուգամետ է, ուստի սահմանա ակ է՝ n→∞ ∃M » 0, որ n→∞

kak k 6 M

(k - 0, 1, . . .) :

Ուստի kxn k 6

ka0 (bn − b)k + ka1 (bn−1 − b)k + · · · + kan (b0 − b)k ո+1

ka0 k · kbn − bk + ka1 k · kbn−1 − bk + · · · + kan k · kb0 − bk ո+1 kbn − bk + kbn−1 − bk + · · · + kb0 − bk 6M −−−→ 0, n→∞ ո+1 որտեղ վերջին քայլը բխում է kbn − bk −−−→ 0 ա նչությունից

n→∞

նախորդ լեմմայից (որում կվերցնենք 4 - C, an - kbn − bk): Լեմման ապացուցվա է: Սահմանում 1.3.1: Դիցուք ունենք 2 շարքեր՝ ∞ X

ak - a0 + a1 + · · · + ak + · · ·

(1.3.1)

bk - b0 + b1 + · · · + bk + · · · :

(1.3.2)

k-0 ∞ X k-0

8 1.8. Էքսպոնենտ

Ելնելով դրանցից կազմենք ∞ X

Շk - Շ0 + Շ1 + · · · + Շk + · · ·

(1.3.3)

k-0

շարքը, որտեղ Շk - a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 :

(1.3.3)-ը կոչվում է (1.3.1) (1.3.2) շարքերի Կոշու արտադրյալ: Աբելի թեորեմը: Դիցուք (1.3.1), (1.3.2) շարքերր նրանց (1.3.3) Kոշու արտադրյալր զուգամետ են

∞ X

ak ,

ք-

k-0

∞ X

bk ,

k-0

զ-

∞ X

Շk :

k-0

Այդ դեպքում զ -5·ք:

Ապացույց: Նշանակենք 5n -

n X

ak - a0 + a1 + · · · + an ,

k-0

քn -

n X

bk - b0 + b1 + · · · + bn ,

k-0

զn -

n X

Շk - Շ0 + Շ1 + · · · + Շn , :

k-0

Ունենք զn - (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + · · · + (a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 ) - a0 (b0 + b1 + · · · + bn ) + a1 (b0 + b1 + · · · + bn−1 ) + · · · + an b0 - a0 քn + a1 քn−1 + · · · + an ք0 :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Նշանակենք rn -

Կունենանք rn -

զ0 + զ1 + · · · + զn : ո+1

a0 ք0 + (a0 ք1 + a1 ք0 ) + · · · + (a0 քn + a1 քn−1 +· · ·+ an ք0 ) ո+1

(a0 + a1 + · · · + an )ք0 + (a0 + · · · + an−1 )ք1 + · · · + a0 քn ո+1 5n ք0 + 5n−1 ք1 + · · · + 50 քn 50 քn + 51 քn−1 + · · · + 5n ք0 : ո+1 ո+1

Այսպիսով՝

50 քn + 51 քn−1 + · · · + 5n ք0 զ0 + զ1 + · · · + զn : ո+1 ո+1 (ո - 1, 2, . . .)

(1.3.4)

Ըստ պայմանի՝ 5n → 5, քn → ք, զn → զ: (1.3.4) հավասարության մեջ անցնենք սահմանի, երբ ո → ∞: Ըստ 1.3.1 լեմմայի՝ (1.3.4)-ի ձախ մասը կձգտի զ-ին: Ըստ 1.3.2 լեմմայի՝ (1.3.4)-ի աջ մասը կձգտի 5 · ք-ին: Ուստի զ - 5ք :

Թեորեմն ապացուցվա է: Այժմ վերադա նանք էքսպոնենտի հատկությունների ուսումնասիրությանը: Դիցուք a, b ∈ 4 էլեմենտները տեղա ոխելի են՝ ab - ba :

Դիտարկենք 6a -

∞ X ak k-0

6b -

∞ k X b k-0

շարքերը հաշվենք նրանց Կոշու արտադրյալը՝ ∞ X k-0

Շk - Շ0 + Շ1 + · · · + Շk + · · · ,

8 1.8. Էքսպոնենտ

որտեղ Շn -

n X ak

k-0

bn−k 1 X ո: ak bn−k (ո − k): ո: k:(ո − k): k-0

1 X k k n−k Շn a b , ո: k-0

գտվելով նրանից, որ ∀a, b ∈ 4 տեղա ոխելի էլեմենտների համար տեղի ունի n

(a + b) -

n X

Շnk ak bn−k

k-0

Նյուտոնի բինոմի բանաձ ը (այն հիմնավորելու համար կարելի է կիրա ել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը ո բնական ցուցիչի նկատմամբ), կստանանք Շn -

Այսպիսով, ∞ X (a + b)n k-0

ո:

(a + b)n : ո:

∞ X ak

∞ k X b

k-0

շարքերի Կոշու արտադրյալը

շարքն է, ուստի ըստ Աբելի թեորեմի՝ ∞ X ak k-0

∞ k X b k-0

! -

∞ X (a + b)n k-0

ո:

(1.3.5) Ապացուցվեց, որ ∀a, b ∈ 4 տեղա ոխելի էլեմենտների համար տեղի ունի (1.3.5)-ը: (1.3.5)-ում վերցնելով a - x, b - −x a - −x, b - x, կստանանք 6a · 6b - 6aոb :

6x · 6−x - 6−x · 6x - 60 ,

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

քանի որ 60 - exp(0) - 6A , ուստի ∀x ∈ 4 համար 6x ∈ 4−1 , ընդ որում (6x )−1 - 6−x :

Նշենք, որ exp(4) - {exp(a) : a ∈ 4} բազմությունը հանդիսանում է 4−1 -ի կար որ ենթաբազմություն: § 1.4. Կոմպլեքս հոմոմորֆիզմներ

Սահմանում 1.4.1: Դիցուք 4, 8-ն կոմպլեքս հանրահաշիվներ են: ϕ : 4 → 8

գ ային է

արտապատկերումը կոչվում է հոմոմորֆիզմ, եթե այն ϕ(xy) - ϕ(x)ϕ(y)

(∀x, y ∈ 4) :

Եթե 8 - C, ապա հոմոմորֆիզմը կանվանենք կոմպլեքս հոմոմորֆիզմ: Լեմմա 1.4.1: Դիցուք 4-ն 6 միավորով կոմպլեքս հանրահաշիվ է: ϕ : 4 → C նույնաբար 0-ից տարբեր կոմպլեքս հոմոմորֆիզմի համար ϕ(6) - 1,

ϕ(x) 6- 0

) x ∈ 4−1 :

Ապացույց: ∃x0 ∈ 4, որ ϕ(x0) 6- 0: Ունենք՝

ϕ(x0 ) - ϕ(x0 6) - ϕ(x0 )ϕ(6), ϕ(x0 ) · |ϕ(6) − 1| - 0 :

Այստեղից ստանում ենք ϕ(6) - 1 : ∀x ∈ 4−1

համար ) ) ϕ(x)ϕ x−1 - ϕ xx−1 - ϕ(6) - 1,

ուստի ϕ(x) 6- 0

(x ∈ 4−1 ) :

Լեմման ապացուցվա է: ϕ : 4 → C հոմոմորֆիզմներին հաճախ անվանում են մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալներ:

8 1./. Կոմպլեքս հոմոմորֆիզմներ

Լեմմա 1.4.2: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4 kxk Հ 1:

Այդ դեպքում՝

1) ∃(6 − x)−1 -

∞

(Նեյմանի շարք),

n-0

kxk2

2) k(6 − x)−1 − 6 − xk 6 , 1 − kxk 3) ∀ϕ : 4 → C մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալի համար |ϕ(x)| Հ 1: Ապացույց: Նշանակենք 5n -

n X

xk :

k-0

Ունենք nոm X

k5nոm − 5n k -

k-nո1

nոm X

Քանի, որ kxk Հ 1, ուստի

∞ X

kxkk

k-nո1

∞

kxkn Հ ∞

n-0

∞ X

xk 6

k-nո1

kxkk 6

k-nո1

nոm X

xk 6

հետ աբար՝

kxkk −−−→ 0,

k-nո1

n→∞

որտեղից կբխի, որ {5n }∞ 1 հաջորդականությունը 4-ում ֆունդամենտալ է: 4-ի լրիվության շնորհիվ՝ գոյություն ունի 5 - liո 5n n→∞

∞ X

n-0

սահմանը: Ցույց տանք, որ 5 - (6 − x)−1 : Ունենք 5n (6 − x) - 6 − xnո1 ,

(6 − x)5n - 6 − xnո1 ,

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

որտեղ անցնելով սահմանի, երբ ո → ∞ հաշվի ա նելով, որ xnո1 → 0 (չէ՞ որ kxnո1 k 6 kxknո1 −−−→ 0), կստանանք n→∞ 5(6 − x) - (6 − x)5 - 6,

ուստի ∃(6 − x)−1 - 5: Լեմմայի 2) պնդումը բխում է 1)-ից՝ k(6 − x)

−1

− 6 − xk -

∞ X

n-2

∞ X

kxn k -

n-2

kxk2 : 1 − kxk

Ցույց տանք 3)-ը: Դրա համար ցույց տանք, որ ϕ(x) 6- λ

(|λ| > 1) :

Իրոք, ըստ 1) պնդման՝ 6−λ−1 x ∈ 4−1 , ուստի ըստ նախորդ լեմմայի՝ ) ϕ 6 − λ−1 x - 1 − λ−1 ϕ(x) 6- 0, ϕ(x) 6- λ :

Լեմման ապացուցվա է:

Լեմմա 1.4.3: ∀ϕ : 4 → C մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալ՝ որոշվա 4 բանախյան հանրահաշվի վրա, անրնդհատ է, րնդ որում ϕ 6- 0 դեպքում kϕk - 1: Ապացույց: Վերցնենք ∀x ∈ 4 ցույց տանք, որ |ϕ(x)| 6 kxk :

դեպքում դա ակնհայտ է: Դիցուք x 6- 0: Վերցնենք կամաx յական λ ∈ (0, 1) թիվ նշանակենք y - λ : Ունենք kyk Հ 1, kxk ուստի ըստ նախորդ լեմմայի 3) կետի՝

x-0

|ϕ(y)| Հ 1, λ ϕ x Հ 1, kxk

8 1./. Կոմպլեքս հոմոմորֆիզմներ

|ϕ(x)| Հ λ−1 kxk,

որտեղ անցնելով սահմանի, երբ λ → 1 − 0, կստանանք |ϕ(x)| 6 kxk :

Այստեղից բխում է, որ ϕ-ն սահմանա ակ է kϕk դեպքում 1.4.1 լեմմայից կբխի, որ ϕ(6) - 1, ուստի

6 1: ϕ 6- 0

1 > kϕk - Տսp |ϕ| > |ϕ(6)| - 1 kxk61

հետ աբար՝ kϕk - 1: Լեմման ապացուցվա է: Պարզվում է, որ բանախյան հանրահաշիվների դեպքում 1.4.1 լեմման լիովին բնութագրում է մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալները (թեորեմ 1.4.1): Դա ցույց տալու նպատակով նախ ապացուցենք երկու լեմմա: Լեմմա 1.4.4: Դիցուք / -ն այնպիսի ամբողջ ֆունկցիա է, որ ոe / (2) 6 K|2|N

(|2| » K),

(1.4.1)

որտեղ K » 0 N ∈ N հաստատուններ են: Այդ դեպքում / -ր բազմանդամ է, որի կարգր չի գերազանցում N -ր: Ապացույց: Ա անց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ / (0) - 0 (հակա ակ դեպքում / (2)-ի ոխարեն կարող ենք դիտարկել / (2) − / (0) ֆունկցիան): Դիցուք / (2) -

∞ X

ak 2 k

k-1

Կունենանք ∞ ( X ոe / r64θ rk (ոe ak ԸՕՏ kθ − Iո ak Տiո kθ), k-1

(r » 0, θ ∈ |0, 2π|)

(1.4.2)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

որտեղից ∞ ( X rk (ոe ak ԸՕՏ kθ ԸՕՏ ոθ− ոe / r64θ ԸՕՏ ոθ k-1

− Iո ak Տiո kθ ԸՕՏ ոθ)

(ո - 0, 1, . . .) ,

(1.4.3)

∞ ( X ոe / r64θ Տiո ոθ rk (ոe ak ԸՕՏ kθ Տiո ոθ− k-1

− Iո ak Տiո kθ Տiո ոθ)

(ո - 0, 1, . . .) :

∞

(1.4.4)

Քանի որ |ak | rk Հ ∞, ուստի (1.4.3), (1.4.4) շարքերը |0, 2π|-ում k-1 ըստ θ-ի հավասարաչա զուգամետ են: (1.4.3)-ի (1.4.4)-ի երկու կողմն ըստ θ-ի ինտեգրենք 0-ից 2π: Հավասարաչա զուգամիտության շնորհիվ աջ մասերում գրվա շարքերը կարելի է ինտեգրել անդամ ա անդամ: Հաշվի ա նելով, որ Z2π

Z2π ԸՕՏ kθ ԸՕՏ ոθdθ -

( Տiո kθ Տiո ոθdθ -

π, k - ո, 0, k 6- ո,

Z2π

Z2π ԸՕՏ kθ Տiո ոθdθ -

ԸՕՏ ոθ Տiո kθdθ - 0,

կստանանք ոe an - n πr

Z2π

( ոe / r64θ ԸՕՏ ոθdθ

(ո ∈ N) ,

Iո an - n πr

Z2π

( ոe / r64θ Տiո ոθdθ

(ո ∈ N) ,

8 1./. Կոմպլեքս հոմոմորֆիզմներ

Z2π

( ոe / r64θ dθ - 0 :

Ուստի

|ոe an | - ± ոe an - n πr

Z2π

( ոe / r64θ dθ±

πrn

Z2π

( ոe / r64θ ԸՕՏ ոθdθ -

πrn

Z2π

( ոe / r64θ (1 ± ԸՕՏ ոθ) dθ 6

K 6 rN −n π

Z2π

(1 ± ԸՕՏ ոθ) dθ - 2KrN −n ,

|ոe an | 6 2KrN −n

(ո ∈ N) ,

նմանապես՝ |Iո an | - ± Iո an - n πr

Z2π

( ոe / r64θ dθ±

± n πr

Z2π

( ոe / r64θ Տiո ոθdθ -

πrn

Z2π

( ոe / r64θ (1 ± Տiո ոθ) dθ 6

K 6 rN −n π

Z2π

(1 ± Տiո ոθ) dθ - 2KrN −n ,

(1.4.5)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

(1.4.6) ո » N դեպքում (1.4.5)-ում (1.4.6)-ում անցնելով սահմանի, երբ r → ∞, կստանանք ոe an - Iո an - 0, որտեղից (1.4.2)-ից N կբխի, որ / (2) - ak 2 k : k-1 Լեմման ապացուցվա է: Լեմմա 1.4.5: Եթե / ամբողջ ֆունկցիան բավարարում է / (0) - 1, (1.4.7) / (0) - 0, (1.4.8) 0 Հ |/ (2)| 6 6|z| (1.4.9) պայմաններին, ապա / (2) ≡ 1: Ապացույց: Քանի որ / -ը զրոներ չունի, ուստի գոյություն ունի lո / (2)-ի միարժեք եգուլյար ճյուղ, այսինքն գոյություն ունի այնպիսի ց ամբողջ ֆունկցիա, որ / (2) - 6g(z) : (1.4.10) (1.4.9)-ից (1.4.10)-ից ունենք |Iո an | 6 2KrN −n

(ո ∈ N) :

ոe ց (2) - lո |/ (2)| 6 |2|

(2 ∈ C) ,

որտեղից 1.4.4 լեմմայից բխում է, որ ց-ն գ ային ֆունկցիա է՝ ց(2) - a2 + b (2 ∈ C) : (1.4.11) (1.4.10)-ից ունենք / 0 (2) - / (2)ց 0 (2), (1.4.12) ց 0 (2) -

/ 0 (2) : / (2)

(1.4.8), (1.4.11), (1.4.13)-ից ստանում ենք (1.4.11), (1.4.12)-ից ստանում ենք, որ / 0 (2) - 0

(2 ∈ C) :

(1.4.7), (1.4.14)-ից բխում է, որ / (2) ≡ 1: Լեմման ապացուցվա է:

(1.4.13) a - 0:

Այստեղից (1.4.14)

8 1./. Կոմպլեքս հոմոմորֆիզմներ

Թեորեմ 1.4.1 (Գլիսոն-Կաxան- ելյաzկո): Եթե ϕ-ն 6 միավորով 4 կոմպլեքս բանախյան հանրահաշվի վրա որոշվա այնպիսի գ ային ֆունկցիոնալ է, որ ϕ(6) - 1,

ϕ(x) 6- 0

(x ∈ 4−1 ),

ապա ϕ(xy) - ϕ(x)ϕ(y)

(∀x, y ∈ 4)

(նախրոք ϕ-ից անրնդհատություն չի պահանջվում): Ապացույց: Դիցուք x, y ∈ 4 : ϕ (6) - 1 պայմանի շնորհիվ կունենանք x - a + ϕ (x) 6,

y - b + ϕ (y) 6,

որտեղ a, b ∈ էer (ϕ) - {x ∈ 4 : ϕ (x) - 0} :

Ուստի xy - ab + aϕ (y) + bϕ (x) + ϕ (x) ϕ (y) ,

հետ աբար՝ ϕ (xy) - ϕ (ab) + ϕ (x) ϕ (y) :

(1.4.15)

(1.4.15)-ից բխում է, որ ϕ (xy) - ϕ (x) ϕ (y) (x, y ∈ 4) հավասարությունն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ եթե a ∈ էer (ϕ) կամ b ∈ էer (ϕ), ապա ab ∈ էer (ϕ): Ենթադրենք, թե ապացուցվա է նշվա ի հետ յալ մասնավոր դեպքը. եթե a ∈ էer (ϕ), ապա a2 ∈ էer (ϕ): (1.4.15)-ում վերցնելով x - y , կստանանք ) ϕ x2 - ϕ2 (x)

(x ∈ 4) :

(1.4.16)-ում x-ը ոխարինելով (x + y)-ով՝ կունենանք ( ϕ (x + y)2 - ϕ2 (x + y) , ) ϕ x2 + xy + yx + y 2 - |ϕ (x) + ϕ (y)|2 ,

(1.4.16)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

) ) ϕ x2 + ϕ (xy + yx) + ϕ y 2 - ϕ2 (x) + 2ϕ (x) ϕ (y) + ϕ2 (y) ,

որտեղից (1.4.16)-ից կստանանք (1.4.17)

ϕ (xy + yx) - 2ϕ (x) ϕ (y) :

(1.4.17)-ից բխում է, որ եթե xy + yx ∈ էer (ϕ):

x ∈ էer (ϕ)

y ∈ 4,

ապա

(xy − yx)2 - 2 |x (yxy) + (yxy) x| − (xy + yx)2

նույնությունից (1.4.16)-ից բխում է, որ xy − yx ∈ էer (ϕ): Քանի որ xy -

|(xy + yx) + (xy − yx)| , yx - |(xy + yx) − (xy − yx)| ,

ուստի xy, yx ∈ էer (ϕ): Հետագա դատողությունները շարունակելու համար նախ ցույց տանք, որ ϕ ֆունկցիոնալը սահմանա ակ է kϕk 6 1: Քանի որ հակադարձելի էլեմենտների վրա ϕ-ն զրո չի դա նում, ուստի ըստ 1.4.2 լեմմայի՝ k6 − ak > 1

(a ∈ էer (ϕ)) :

(1.4.18)

(1.4.18)-ում a-ն ոխարինելով − λa -ով, որտեղ λ 6- 0, կստանանք 6+

a >1 λ

(a ∈ էer (ϕ) , λ 6- 0) ,

(1.4.19) (1.4.19)-ն ակնհայտորեն ճիշտ է նա λ - 0 դեպքում: Քանի որ ∀x ∈ 4 էլեմենտ ներկայացվում է x - a + ϕ (x) 6 տեսքով, որտեղ a ∈ էer (ϕ), ուստի (1.4.19)-ից կստանանք ka + λ6k > |λ|

(a ∈ էer (ϕ) , λ 6- 0) :

|ϕ (x)| 6 ka + ϕ (x) 6k - kxk , |ϕ (x)| 6 kxk

(x ∈ 4) ,

8 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

ինչը ցույց է տալիս, որ ϕ ֆունկցիոնալը սահմանա ակ է kϕk 6 1: Այժմ ցույց տանք, որ եթե a ∈ էer (ϕ), ապա a2 ∈ էer (ϕ): Ա անց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ kak - 1: Իրոք, եթե նշվա դեպքի համար պնդումն արդեն ապացուցվա

a ∈ էer (ϕ) ա նչությունից կբխի, որ է, ապա a 6- 0 դեպքում kak

a ∈ էer (ϕ), ուստի a2 ∈ էer (ϕ), իսկ a - 0 դեպքում kak a2 ∈ էer (ϕ) ա նչությունն ակնհայտ է: Դիցուք a ∈ էer (ϕ) kak - 1: / : C → C ֆունկցիան սահմա-

նենք

) ∞ X ϕ ak λk / (λ) k:

(λ ∈ C)

k-0

բանաձ ով: ϕ ak 6 ak 6 kakk - 1 (k - 0, 1, 2, . . .) գնահատականներից բխում է, որ / -ն ամբողջ ֆունկցիա է, ընդ որում |/ (λ)| 6 6|λ| (λ ∈ C): Բացի այդ, / (0) - ϕ (6) - 1, / 0 (0) - ϕ (a) - 0: ϕ-ի անընդհատության շնորհիվ ունենք )

! ) ∞ ∞ ( X X ϕ λk ak λk ak / (λ) -ϕ - ϕ 6λa , k: k: k-0

k-0

քանի որ 6λa ∈ 4−1 , ուստի |/ (λ)|) » 0 մայի՝ / (λ) ≡ 1 հետ աբար, ϕ a2 - 0: Թեորեմն ապացուցվա է:

(λ ∈ C):

Ըստ 1.4.5 լեմ-

§ 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

Սահմանում 1.5.1: Դիցուք

բաց բազմություն է, Ճ -ը կոմպլեքս տոպոլոգիական վեկտորական տարա ություն է, իսկ / : Ω → Ճ : Այդ դեպքում՝ 1) կասենք / -ը Ω-ում թույլ անալիտիկ (հոլոմորֆ) է, եթե ∀Λ ∈ Ճ ∗ համար Λ/ ∈ H(Ω), 2) կասենք / -ը Ω-ում ուժեղ անալիտիկ (հոլոմորֆ) է, եթե ∀2 ∈ Ω Ω ⊂ C

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

համար գոյություն ունի liո

ω→z

/ (ω) − / (2) - / 0 (2) ω−2

սահմանը:

Դիտողություն 1.5.1: Վերը գրվա / (ω)ω −− /2 (2) հարաբերությունը հասկացվում է որպես (ω − 2)−1 սկալյարի արտադրյալ: Նկատենք, որ

/ (ω) − / (2)

վեկտորի

/ (ω) − / (2) −−−→ a ω→z ω−2

ա նչությունը կարելի է գրել

/ (2 + հ) − / (2) −−−→ a հ→0 հ

համարժեք տեսքով: Քանի որ անընդհատ է ունի

∀4 : C → Ճ

4հ - հa

գ ային պերատոր

(հ ∈ C)

տեսքը, որտեղ a ∈ Ճ , ուստի եթե Ճ -ը նորմավորվա տարա ություն է, ապա վերը գրվա ա նչությունը համարժեք է այնպիսի 4 ∈ 8L(C, Ճ) պերատորի գոյությանը, որի համար k/ (2 + հ) − / (2) − 4հk −→ 0, h→0 |հ|

ինչը նշանակում է, որ / -ը 2 կետում ըստ Ֆրեշեի դիֆերենցելի է: Այսպիսով, / : Ω → Ճ ֆունկցիայի ուժեղ անալիտիկությունը նշանակում է Ω-ի վրա ըստ Ֆրեշեի դիֆերենցելիություն: I Երբեմն կգտվենք հետ յալ նշանակումներից. D(20 , r) - {2 ∈ C : |2 − 20 | Հ r} , D(20 , r) - {2 ∈ C : |2 − 20 | 6 r} , ∂D(20 , r) - {2 ∈ C : |2 − 20 | - r} :

8 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

Թեորեմ 1.5.1: Դիցուք Ω ⊂ C բաց բազմություն է, Ճ -ր բանախ-

յան տարա ություն է, իսկ / : Ω → Ճ : Այդ դեպքում որպեսզի / -ր Ω-ում լինի ուժեղ անալիտիկ, անհրաժեշտ է բավարար, որ այն Ω-ում լինի թույլ անալիտիկ: Ապացույց: Անհրաժեշտությունն ակնհայտ է: Բավարարություն: Վերցնենք կամայական 20 ∈ Ω ցույց տանք, որ / (20 + հ) − / (20 ) : հ→0 հ

∃ liո

Նշանակենք ց(հ) -

/ (20 + հ) − / (20 ) , հ

γԴ - ∂D(20 , r) ընտրենք r » 0 այնպես, որ D(20 , 2r) ⊂ Ω: Դիցուք 0 Հ |հ| Հ r: Վերցնենք կամայական ϕ ∈ Ճ ∗ : Ունենք ϕ(/ (·)) ∈ H(Ω), ուստի ըստ Կոշու բանաձ ի՝ ϕ(ց(հ)) -

|ϕ (/ (20 + հ)) − ϕ (/ (20 )7)| հ

 -



1 1 հ 2πi

Z γ2Ի

1 1 · 2πi հ

ϕ(/ (ξ)) dξ − ξ − (20 + հ) 2πi )

Z ϕ(/ (ξ)) γ2Ի

1 1 · 2πi հ

γ2Ի

2πi

Z γ2Ի

ϕ(/ (ξ))  dξ ξ − 20

− ξ − (20 + հ) ξ − 20

ϕ(/ (ξ)) · հ dξ |ξ − (20 + հ)| (ξ − 20 ) ϕ(/ (ξ)) dξ : |ξ − (20 + հ)| (ξ − 20 )

Հետ աբար 0 Հ |հ| Հ r, 0 Հ |հ0 | Հ r համար ϕ(ց(հ)) − ϕ(ց(հ0 )) -

dξ -

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ 2πi

Z γ2Ի

ϕ(/ (ξ)) dξ − |ξ − (20 + հ)| (ξ − 20 ) 2πi

2πi

Z γ2Ի

ϕ(/ (ξ)) dξ |ξ − (20 + հ0 )| (ξ − 20 )

ϕ(/ (ξ)) − dξ ξ − 20 ξ − (20 + հ) ξ − (20 + հ0 ) )

հ − հ0 2πi

Z γ2Ի

ϕ(/ (ξ)) dξ : (ξ − 20 ) |ξ − (20 + հ)| |ξ − (20 + հ0 )|

Հետագա դատողությունները տանելու համար ցույց տանք, որ / ֆունկցիան γ2Դ -ի վրա սահմանա ակ է: Դիտարկենք Fz : Ճ ∗ → C (2 ∈ γ2Դ ) գ ային անընդհատ ֆունկցիոնալների ընտանիքը, որտեղ Fz (ϕ) - ϕ(/ (2))

(ϕ ∈ Ճ ∗ ) :

Քանի որ ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար ϕ(/ (2)) ֆունկցիան, լինելով անընդհատ, γ2Դ -ի վրա սահմանա ակ է, ուստի ∀ϕ ∈ Ճ ∗ ֆունկցիոնալի համար {Fz (ϕ) : 2 ∈ γ2Դ } ընտանիքը (որին անվանում են ϕ-ի րբիտա) սահմանա ակ է: Հետ աբար, ըստ Բանախ- տեյնհաուսի թեորեմի՝ {kFz k : 2 ∈ γ2Դ } ընտանիքը ս սահմանա ակ է՝ Տսp kFz k Հ ∞ :

z∈γ2Ի

Օգտվելով kxk -

|ϕ(x)|

Տսp ϕ∈Ճ ∗ , kϕk61

(1.5.1)

բանաձ ից՝ կունենանք kFz k -

Տսp ϕ∈Ճ ∗ , kϕk61

|Fz (ϕ)| -

Տսp

|ϕ(/ (2))| - k/ (2)k ,

ϕ∈Ճ ∗ , kϕk61

ուստի Տսp k/ (2)k Հ ∞ : z∈γ2Ի

Դիցուք k/ (2)k 6 M

(ξ ∈ γ2Դ ) :

8 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

Այդ դեպքում ξ ∈ γ2Դ համար կունենանք |ϕ(/ (2))| 6 kϕk · k/ (2)k 6 M kϕk :

Քանի որ ξ ∈ γ2Դ համար |ξ − 20 | - 2r,

|հ|, |հ0 | Հ r,

ուստի

|ξ − (20 + հ)| - |(ξ − 20 ) − հ| > |ξ − 20 | − |հ| > 2r − r - r,

նմանապես՝

ξ − 20 + հ0

)

>r:

Հետ աբար, գտվելով վերը ϕ(ց(հ))−ϕ(ց(հ0 ))-ի համար ստացվա

ներկայացումից ինտեգրալի գնահատականից՝ կստանանք, որ ϕ(ց(հ)) − ϕ(ց(հ0 )) 6

Վերջինս տեղի ունի դեպքում ϕ ց(հ) − ց(հ0 )

|հ − հ0 | M kϕk M · |γ2Դ | - 2 kϕk · |հ − հ0 | : 2π 2r · r · r r

համար: Դիցուք

kϕk 6 1:

- ϕ(ց(հ)) − ϕ(ց(հ0 )) 6

M |հ − հ0 |, r2

∀ϕ ∈ Ճ ∗

)

Այդ

նորից գտվելով (1.5.1) բանաձ ից՝ կստանանք ց(հ) − ց(հ0 ) 6

M |հ − հ0 |, r2

) 0 Հ |հ| Հ r, 0 Հ |հ0 | Հ r :

Ստացվա գնահատականներից ֆունկցիաների համար Կոշու զուգամիտության սկզբունքից (որը կիրա ելի է Ճ -ի լրիվության շնորհիվ) կբխի, որ գոյություն ունի / (20 + հ) − / (20 ) հ→0 հ

liո ց(հ) - liո

հ→0

սահմանը (վերջինիս գոյությունը ապացուցելու համար կարելի էր չգտվել ֆունկցիաների համար Կոշու զուգամետության սկզբունքից, այլ պարզապես ցույց տալ, որ ∀{հn }∞ 1 ⊂ C \ {0}, հn → 0 հաջոր∞ դականության համար {ց(հn )}n-1 հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է): Թեորեմն ապացուցվա է:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Սահմանում 1.5.2: Դիցուք γ : 2 - 2(է)

(α 6 է 6 β)

C կոմպլեքս հարթության մեջ որ 2(·) ∈ Շ|α, β|), Ճ -ը բանախյան Դիտարկենք |α, β|-ի կամայական

է կոր է (սա նշանակում է, որ տարա ություն է, / : γ → Ճ :

P : α - է0 Հ է2 Հ · · · Հ էn - β

տրոհում, յուրաքանչյուր |է4 , է4ո1 | տրոհման հատվա ից ընտրենք մեկական ξ4 ∈ |է4 , է4ո1 | կետ կազմենք σ-

n−1 X

∆2k - 2kո1 − 2k

/ (2 (ξk )) ∆2k ,

k-0

գումարը (2k - / (էk ), k - 0, ո): Նշանակենք ∆է4 - է4ո1 − է4 ,

λ - ոոx ∆է4 :

Եթե գոյություն ունի (Ճ -ում նորմի իմաստով) liո σ

λ→0

սահմանը (որը կախվա չէ ոնչ P տրոհումների ձ ից, ոնչ ξ4 կետերի ընտրությունից), ապա այն կոչվում է / -ի կորագի ինտեգրալ՝ տարա վա γ կորով նշանակվում Z / (2) d2 γ

սիմվոլով: Երբեմն կորագի ինտեգրալի սահմանման մեջ վերցնում են ξ4 - է4 :

8 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

Ինչպես դասական դեպքում, այստեղ էլ կարելի է ապացուցել, որ եթե γ կորն ուղղելի է, իսկ / -ն անընդհատ է, ապա Z / (2) d2 γ

ինտեգրալը գոյություն ունի, տեղի ունի Z / (2) d2 6 Տսp k/ (2)k · |γ| z∈γ

գնահատականը: Այստեղ էլ մենք ըստ էության գոր ունենք Ստիլտեսի ինտեգրալի հետ: Պարզ է նա , որ եթե Z / (2) d2 - x,

(1.5.2)

ϕ (/ (2)) d2 - ϕ(x) :

(1.5.3)

∃ γ

ապա ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար Z ∃ γ

Հաճախ գտակար է լինում հետ յալ աստը. եթե x ∈ Ճ այնպիսին է, որ ϕ(x) - 0

(∀ϕ ∈ Ճ ∗ ) ,

ապա x - 0: Իրոք, դա բխում է Հան-Բանախի թեորեմի հետ անք հանդիսացող kxk -

Տսp

|ϕ(x)|

ϕ∈Ճ ∗ ,kϕk61

բանաձ ից: Նշվա

աստից բխում է, որ եթե (1.5.2) ինտեգրալը գոյություն ունի y ∈ Ճ այնպիսին է, որ Z ϕ (/ (2)) d2 - ϕ(y) γ

(∀ϕ ∈ Ճ ∗ ),

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

ապա y - x: Այս պատճա ով երբեմն (1.5.3) հավասարությունը ս վերցվում է որպես ինտեգրալի սահմանում: Անալիտիկ ֆունկցիաների տեսության մի շարք աստեր տեղա ոխվում են նա այս ընդհանուր դեպք: Դրանց մի մասը կարելի ապացուցել ճիշտ նույն դատողություններով, ինչպես սովորական դեպքում: Սակայն վերը նշվա կապը (1.5.2)-ի (1.5.3)-ի միջ թույլ է տալիս շատ աստեր տարա ել այս ընդհանուր դեպքի վրա՝ ա անց դժվարությունների: Բերենք դրանցից մի քանի հիմնականները: Կոշու թեորեմը: Միակապ տիրույթում անալիտիկ ֆունկցիայի ինտեգրալր՝ տարա վա այդ տիրույթում րնկա կամայական

ակ ուղղելի կորով, հավասար է զրոյի: Ապացույց: Դիցուք Ω ⊂ C միակապ տիրույթ է, / : Ω → Ճ անա-∗ լիտիկ է, իսկ γ ⊂ Ω ակ ուղղելի կոր է: Այդ դեպքում ∀ϕ ∈ Ճ համար ϕ(/ (·)) ∈ H(Ω), ուստի Կոշու դասական թեորեմից կբխի, որ   Z ϕ

Z / (2) d2  -

ϕ(/ (2)) d2 - 0

(∀ϕ ∈ Ճ ∗ )

հետ աբար՝

Z / (2) d2 - 0 : γ

Թեորեմն ապացուցվա է: Կոշու բանա ը: Եթե / ֆունկցիան անալիտիկ է Γ կոնտուրով սահմանա ակվա D ակ տիրույթում, ապա ∀2 ∈ D կետի համար ճիշտ է Z / (2) -

2πi

/ (է) dէ է−2

բանաձ ր:

Ապացույց: ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար ունենք  ϕ (/ (2)) -

2πi

Z Γ

ϕ (/ (է)) dէ - ϕ  է−2 2πi

 Z Γ

/ (է)  dէ , է−2

8 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

որտեղից էլ կբխի մեր պնդումը: Լիուվիլի թեորեմը: Եթե / : C → Ճ ֆունկցիան (թույլ) անալիտիկ է ամբողջ C հարթության վրա թույլ սահմանա ակ է, ապա / -ր հաստատուն է: Ապացույց: ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար ϕ(/ (2))-ը կլինի ամբողջ սահմանա ակ, ուստի Լիուվիլի դասական թեորեմից կբխի, որ ϕ (/ (2)) - ϕ (/ (0))

(∀2 ∈ C),

ϕ (/ (2) − / (0)) - 0

(∀2 ∈ C) :

Այստեղ ֆիքսելով 2 -ը կստանանք

գտվելով

/ (2) − / (0) - 0

ϕ-ի

կամայականությունից՝

(∀2 ∈ C) :

Թեորեմն ապացուցվա է:

Կոշու տիպի ինտեգրալ:

Մինչ Կոշու տիպի ինտեգրալի ուսումնասիրությանն անցնելը նկատենք, որ եթե / : Ω ⊂ C → Ճ ուժեղ անալիտիկ է, ապա / -ն ունի բոլոր կարգի ա անցյալները, ընդ որում ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար dn ϕ (/ (x)) - ϕ dxn

dn / (x) dxn

(1.5.4)

(x ∈ Ω) :

Նշվա պնդումը ապացուցելու համար կատարենք ինդուկցիա ըստ ո-ի: ո - 0 դեպքում պնդումն ակնհայտ է: Այժմ դիցուք հայտնի է, որ / -ը Ω-ում ունի k-րդ կարգի ա անցյալ տեղի ունի dk ϕ (/ (x)) - ϕ dxk

dk / (x) dxk

(x ∈ Ω, ϕ ∈ Ճ ∗ )

(1.5.5)

հավասարությունը: Քանի որ ϕ (/ (·)) ∈ H(Ω), ուստի Ω-ում անվերջ դիֆերենցելի է: Մասնավորապես

ϕ(/ (x))-ը

dkո1 d ∃ kո1 ϕ (/ (x)) ϕ dx dx

dk / (x) dxk

(∀ϕ ∈ Ճ ∗ ) :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Հետ աբար 1.5.1 թեորեմից կբխի, որ d ∃ dx

dk / (x) dxk

dkո1 (/ (x)) : dxkո1

Օգտվելով վերջինիս գոյությունից (1.5.5)-ից՝ դժվար չէ ցույց տալ, որ (1.5.4)-ը տեղի ունի նա ո - k + 1 համար: Այժմ դիցուք γ ⊂ C կամայական ուղղելի կոր է, իսկ ց : γ → Ճ անընդհատ ֆունկցիա է: Այդ դեպքում F (2) 2πi

ց(է) dէ է−2

(2 ∈ C \ γ)

ինտեգրալը կոչվում է Կոշու տիպի: ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար կունենանք ϕ (F (2)) 2πi

ϕ (ց(է)) dէ է−2

(2 ∈ C \ γ) :

Աջ մասում ստացվա ը, ինչպես հայտնի է կոմպլեքս անալիզից, հանդիսանում է γ -ի լրացման վրա անալիտիկ ֆունկցիա   Z Z ո: dn  1 ϕ (ց(է))  ϕ (ց(է)) dէ dէ, n d2 2πi է−2 2πi (է − 2)nո1 γ

ուստի ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար ո: dn ϕ (F (2)) n d2 2πi

ϕ (ց(է)) dէ, (է − 2)nո1

որը, շնորհիվ (1.5.4)-ի, կարելի է գրել ϕ

  Z dn ո: ց(է) F (2) - ϕ  dէ d2 n 2πi (է − 2)nո1 γ

(ϕ ∈ Ճ ∗ )

8 1.5. Անալիտիկ ֆունկցիաներ

տեսքով: Այստեղից կբխի, որ dn ո: F (2) n d2 2πi

ց(է) dէ : (է − 2)nո1

Օգտվելով սրանից՝ հեշտ է ապացուցել Վայերշտրասի 1 թեորեմը: Եթե Ω տիրույթում անալիտիկ /n : Ω → Ճ ֆունկցիաների հաջորդականությունր Ω-ի ներսում (այսինքն՝ Ω-ի կոմպակտ ենթաբազմությունների վրա) զուգամիտում է հավասարաչա , ապա՝ 1) / (2) - n→∞ liո /n (2) սահմանային ֆունկցիան կլինի (ուժեղ) անալիտիկ Ω-ում: 2) /n(p) (2) ⇒ / (p) (2) (ք - 1, 2, . . .) (հավասարաչա Ω-ի x→∞ ներսում): I ∞ X

Քանի որ ամեն մի

an (2 − 20 )n

տեսքի աստիճանային շարք

n-0

(որում an ∈ Ճ (ո - 0, 1, 2, . . .)) իր զուգամիտության շրջանի ներսում զուգամիտում է հավասարաչա , ուստի Վայերշտրասի 1 թեորեմից բխում է, որ այդ զուգամիտության շրջանի ներսում / (2) -

∞ X

an (2 − 20 )n

n-0

ֆունկցիան ուժեղ անալիտիկ է նրա ա անցյալները կարելի է հաշվել անդամ ա անդամ դիֆերենցման միջոցով: Ճիշտ նույն դատողություններով, ինչպես դասական դեպքում, ցույց կտանք, որ եթե / -ն անալիտիկ է D(20 , R) շրջանում, ապա այդ շրջանում տեղի ունի / (2) -

∞ X

an (2 − 20 )n

n-0

ներկայացումը, որտեղ / (n) (20 ) an ո: 2πi

Z γԻ

/ (է) dէ (է − 20 )nո1

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

(այստեղ γԴ - ∂D(20 , r), որտեղ 0 Հ r Հ R որ է թիվ է): Իհարկե, սա ս կարելի է ամնիջապես բերել դասական դեպքին, քանի որ ∀ϕ ∈ Ճ ∗ համար ϕ (/ (·)) ∈ H (D (20 , R)) 2 ∈ D (20 , R) համար ϕ(/ (2)) -

∞ X n-0



  1 2πi

ϕ(/ (է)) dէ (2 − 20 )n (է − 20 )nո1

γԻ

   Z ∞   X / (է)  (2 − 20 )n ϕ dէ   2πi (է − 20 )nո1 n-0

∞ X

γԻ

∞ X

ϕ |an (2 − 20 ) | - ϕ

n-0

! n

an (2 − 20 )

n-0

§ 1.6. Vեկտոր - ֆունկցիաների ինտեgրումը

Երբեմն կարիք է լինում ինտեգրել որ է (Օ, µ) չա ով տարա ության վրա որոշվա ինչ-որ Ճ տոպոլոգիական վեկտորական տարա ությունից արժեքներ ընդունող ֆունկցիաները: Այլ կերպ ասա , այդպիսի / ֆունկցիային պետք է համապատասխանեցնել Ճ տարա ության որոշակի Z / dµ Օ

վեկտոր, որն ժտվա լինի թվային ֆունկցիայի ինտեգրալի հիմնական հատկություններով: Օրինակ, ցանկացա Λ ∈ Ճ ∗ ֆունկցիոնալի համար պետք է տեղի ունենա   Z Z   Λ  / dµ - (Λ/ ) dµ Օ

հավասարությունը, քանի որ վերջավոր գումարների համար անալոգ հավասարությունը տեղի ունի, իսկ ինտեգրալը միշտ հանդիսանում

8 1.6. Վեկտոր - ֆունկցիաների ինտեգրումը

է այդպիսի գումարների սահմանը՝ այս կամ այն իմաստով: Ինտեգրալի մեր սահմանումը հիմնվա է լինելու միայն այդ պահանջի վրա: Սահմանում 1.6.1: Դիցուք (Օ, µ)-ն չա ով տարա ություն է, Ճ -ն այնպիսի տոպոլոգիական վեկտորական տարա ություն է, որ Ճ ∗ -ն անջատում է Ճ -ի կետերը, իսկ / : Օ → Ճ ֆունկցիան այնպիսին է, որ ցանկացա Λ ∈ Ճ ∗ համար Λ/ սկալյար ֆունկցիան Օ-ի վրա ըստ µ չա ի ինտեգրելի է: Եթե գոյություն ունի այնպիսի y ∈ Ճ վեկտոր, որ ցանկացա Λ ∈ Ճ ∗ ֆունկցիոնալի համար Z Λy -

(Λ/ ) dµ,

(1.6.1)

ապա y-ը կոչվում է ըստ µ չա ի / ֆունկցիայի ինտեգրալ՝ տարա Z վա Օ բազմությամբ, նշանակվում է / dµ սիմվոլով: Օ

Դիտողություն 1.6.1: Քանի որ Ճ ∗-ն անջատում է Ճ -ի կետերը,

ուստի ինտեգրալը (եթե այն գոյություն ունի) միակն է: Քանի որ լոկալ ու ուցիկ Ճ տարա ության համար Ճ ∗ -ն անջատում է Ճ -ի կետերը, ուստի ինտեգրալի սահմանման մեջ որպես Ճ մասնավորապես կարելի է վերցնել կամայական լոկալ ու ուցիկ տոպոլոգիական վեկտորական տարա ություն: Թեորեմ 1.6.1: Դիցուք՝ 1) Ճ -ն այնպիսի տոպոլոգիական վեկտորական տարա ություն է, որ Ճ ∗ -ն անջատում է Ճ -ի կետերր, իսկ µ-ն հավանականային բորելյան չա է Օ կոմպակտ հաուսդորֆյան տարա ությունում, 2) / : Օ → Ճ ֆունկցիան անրնդհատ է / (Օ) բազմության ու ուցիկ թաղանթր Z հարաբերական կոմպակտ է Ճ -ում: Այդ դեպքում / dµ ինտեգրալր գոյություն ունի պատկաՕ

նում է / (Օ) բազմության ու ուցիկ թաղանթի ակմանր: Ապացույց: Ա անց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ Ճ տարա ությունն իրական է (կոմպլեքս տարա ության

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

դեպքը կոմպլեքս տարա ությունների համար Հան-Բանախի թեորեմի ապացույցի դատողություններին նման դատողություններով հեշտությամբ բերվում է նշվա դեպքին): H -ով նշանակենք / (Օ) բազմության ու ուցիկ թաղանթը: Մենք պետք է ապացուցենք այնպիսի y ∈ H վեկտորի գոյությունը, որը ցանկացա Λ ∈ Ճ ∗ համար բավարարում է (1.6.1)-ին: Դիցուք L - {Λ1 , . . . , Λn }-ը Ճ ∗ -ի վերջավոր ենթաբազմություն է    Z  EL - y ∈ H : Λy - (Λ/ ) dµ   Օ

  (∀Λ ∈ L) :  

Λ ֆունկցիոնալների անընդհատության շնորհիվ EL բազմությունները ակ են հետ աբար, կոմպակտ են, քանի որ H -ը կոմպակտ է: Թեորեմի ապացույցն ավարտելու համար բավական է ցույց տալ, որ EL բազմություններից ոչ մեկը դատարկ չէ: Իրոք, այդ դեպքում EL բազմությունները կկազմեն H -ի կենտրոնացվա համակարգ, H -ի կոմպակտությունից կբխի, որ բոլոր EL բազմությունների հատումը դատարկ չէ: Այդ հատմանը պատկանող յուրաքանչյուր y վեկտոր կբավարարի թեորեմի պահանջներին: L - {Λ1 , . . . , Λn }-ը դիտարկենք որպես Ճ տարա ության արտապատկերում Rn -ի մեջ: Դիցուք K - L (/ (Օ)): Նշանակենք Z

(Λ4 / ) dµ

(1 6 i 6 ո) :

(1.6.2)

Մենք պնդում ենք, որ 7 - (71 , . . . , 7n ) կետը պատկանում է K բազմության 5 ու ուցիկ թաղանթին: Քանի որ Օ-ն կոմպակտ է կոմպակտ բազմության անընդհատ պատկերը կոմպակտ է, ուստի K -ն կոմպակտ է: Քանի որ Rn -ում կոմպակտ բազմության ու ուցիկ թաղանթը կոմպակտ է, ուստի 5 ⊂ Rn կոմպակտ բազմություն է: Եթե է - (է1 , . . . , էn ) ∈ Rn կետը չի պատկանում 5 -ին, ապա, գտվելով կոմպակտ ակ չհատվող ու ուցիկ բազմությունների անջատման վերաբերյալ թեորեմից Rn -ում գ ային ֆունկցիոնալների հայտնի տեսքից, եզրակացնում

8 1.6. Վեկտոր - ֆունկցիաների ինտեգրումը

ենք, որ գոյություն ունեն այնպիսի Շ1 , . . . , Շn իրական թվեր, որոնց համար n X 4-1

Ուստի

Շ4 ս4 Հ

n X

(ս - (ս1 , . . . , սn ) ∈ K) :

Շ4 է4

(1.6.3)

4-1

n X

Շ4 Λ4 / (զ) Հ

4-1

n X

Շ4 է4

(զ ∈ Օ) :

(1.6.4)

4-1

Քանի որ µ-ն հավանականային չա է (µ(Օ) - 1), ուստի (1.6.4)-ի երկու կողմն ինտեգրելով ստանում ենք

n X 4-1

Շ4 74 Հ

n X

Շ4 է4 : Հետ

ա-

4-1

բար, է 6- 7: Ստացվա ը ցույց է տալիս, որ 7 ∈ 5 : Քանի որ K - L (/ (Օ)), իսկ L արտապատկերումը գ ային է, ուստի գոյություն ունի այնպիսի y ∈ H , որ 7 - Ly : Այդպիսի y վեկտորի համար ունենք Z Λ4 y - 74 -

(Λ4 / ) dµ

(1 6 i 6 ո) :

Ուստի y ∈ EL հետ աբար, EL 6- Ø: Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 1.6.2: Ցանկացա ν վերջավոր դրական բորելյան չա հաստատունով բազմապատկելուց հետո կդա նա հավանականային, ուստի նախորդ թեորեմում ինտեգրալի գոյության մասին պնդումը ուժի մեջ կմնա նա այդպիսի ν չա երի դեպքում: ա ի վերլու ության մասին որդանի թեորեմի միջոցով նշվա արդյունքը կարելի է ընդհանրացնել կամայական իրական վերջավոր չա երի այնուհետ ՝ կամայական կոմպլեքս չա երի դեպքերի համար: Թեորեմ 1.6.2: Դիցուք Օ-ն կոմպակտ հաուսդորֆյան տարա ություն է, Ճ -ր բանախյան տարա ություն է, / : Օ → Ճ անրնդհատ արտապատկերում է µ-ն Օ-ի վրա դրական բորել-

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

յան չա է: Այդ դեպքում Z

Z k/ k dµ :

/ dµ 6 Օ

Ապացույց: Նշանակենք y -

/ dµ:

Ըստ Հան-Բանախի թեորեմի

հետ անքի՝ գոյություն ունի այնպիսի Λ ∈ Ճ ∗ ֆունկցիոնալ, որ Λy - kyk |Λx| 6 kxk (x ∈ Ճ): Մասնավորապես՝ |Λ/ (զ)| 6 k/ (զ)k

(զ ∈ Օ) :

Հետ աբար Z kyk - Λy -

Z k/ k dµ :

(Λ/ ) dµ 6 Օ

Թեորեմն ապացուցվա է: Վերջում մի ոքր կանգ ա նենք 4 արժեքանի ֆունկցիաների ինտեգրման վրա, որտեղ 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է: Դիցուք Օ-ն կոմպակտ հաուսդորֆյան տարա ություն է, µ-ն Օ-ի վրա բորելյան չա

Z է, իսկ / : Օ → 4 անընդհատ ֆունկցիա է: Ըստ թեորեմ 1.6.1-ի՝ / dµ ինտեգրալը գոյություն ունի: Ապացուցենք, որ այս Օ

դեպքում ինտեգրալն ժտվա է հետ յալ լրացուցիչ հատկությամբ. եթե x ∈ 4, ապա Z x

Z / dµ -



x/ (ք) dµ(ք),

(1.6.5)

 Z

  Օ

Z  / dµ x -

/ (ք)x dµ(ք) : Օ

(1.6.6)

8 1... Սպեկտրի հիմնական հատկությունները

(1.6.5) բանաձ ն ապացուցելու համար Mx -ով նշանակենք ձախից x էլեմենտով բազմապատկման պերատորը: Ցանկացա Λ ∈ 4∗ համար ունենք ΛMx ∈ 4∗ , ուստի ինտեգրալի սահմանումից կունենանք Z ΛMx

Z / dµ -

Z (ΛMx / ) dµ - Λ

(Mx / ) dµ

(∀Λ ∈ 4∗ ) :

Հետ աբար

Z Mx

Z / dµ -

(Mx / ) dµ, Օ

որտեղից էլ բխում է (1.6.5)-ը: (1.6.6)-ն ապացուցելու համար որպես Mx պետք է վերցնել աջից x էլեմենտով բազմապատկման պերատորը: § 1.7. Սպեկտրի հիմնական հատկությունները

Լեմմա 1.7.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4−1, հ∈4

kհk Հ

1 −1 x

−1

: Այդ դեպքում x + հ ∈ 4−1

(x + հ)−1 − x−1 + x−1 հx−1 6 2 x−1

(1.7.1)

kհk2 :

Ապացույց: −1

Եթե x, y ∈ 4−1 , ապա y−1 x էլեմենտը հանդիսանում է x y էլեմենտի հակադարձը: Այսպիսով՝ ∀x, y ∈ 4−1 համար x−1 y ∈ 4−1 , ուստի 4−1 -ը խումբ է: ) Ունենք x + հ - x 6 + x−1 հ : Քանի որ x−1 հ Հ , ուստի ) ըստ 1.4.2 լեմմայի՝ ∃ 6 + x−1 հ −1

6+x

−1

)−1 հ − 6 + x−1 հ 6

- 2 x−1 հ

x−1 հ x−1 հ 1 − kx−1 հk 1 − 12

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Ուստի ըստ վերին ասվա ի՝ ∃(x + հ)−1 -

6 + x−1 հ

)−1

x−1

(x + հ)−1 − x−1 + x−1 հx−1 - (6 + x−1 հ)−1 x−1 − x−1 + +x−1 հx−1 6

(6 + x−1 հ)−1 x−1 − 6 + x−1 հ x−1 6

)−1 −1 6 + x−1 հ x − 6 + x−1 հ · x−1 6 6 2 x−1 հ

· x−1 6 2 x−1

kհk2 :

Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 1.7.1: Եթե 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, ապա −1 −1 4 -ր 4-ում բաց բազմություն է, իսկ x Է→ x արտապատկերումր հանդիսանում է 4−1 -ի հոմեոմորֆիզմ իր վրա: Ապացույց: Նախորդ թեորեմից բխում է, որ 4−1 -ը 4-ում բաց է, իսկ x Է→ x−1 արտապատկերումն անընդհատ է: Քանի որ x Է→ x−1 արտապատկերումը 4−1 -ը ոխմիարժեք արտապատկերում է իր վրա այդ արտապատկերման հակադարձը հենց ինքն է, ուստի այն հոմեոմորֆիզմ է: Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 1.7.1: F -ով նշանակենք այն արտապատկերումը, −1 որը ∀x ∈ 4 վեկտորին համապատասխանեցնում է x−1 վեկտորը՝ F (x) - x−1

) x ∈ 4−1 :

Քանի որ 4−1 -ը բաց է, ուստի իմաստ ունի խոսել F -ի դիֆերենցելիության մասին: (1.7.1) հավասարությունից բխում է, որ ∀x ∈ 4−1 համար F (x + հ) − F (x) − −x−1 հx−1 kհk

) −−−→ 0, հ→0

ուստի F -ն ըստ Ֆրեշեի դիֆերենցելի է,

F 0 (x) հ - −x−1 հx−1

(հ ∈ 4) : I

8 1... Սպեկտրի հիմնական հատկությունները

Սահմանում 1.7.1: λ ∈ C թիվը կոչվում է a ∈ 4 էլեմենտի համար −1

եգուլյար կետ, եթե λ6−a էլեմենտը հակադարձելի է՝ λ6−a ∈ 4 : a էլեմենտի բոլոր եգուլյար կետերի բազմությունը կոչվում է a-ի եզոլվենտային բազմություն նշանակվում է Ω(a) սիմվոլով: Ω(a)-ի վրա որոշվա

Ra (λ) - (λ6 − a)−1

ֆունկցիան կոչվում է a-ի եզոլվենտ: σ(a) - C \ Ω(a) բազմությունը կոչվում է a էլեմենտի սպեկտր: Թեորեմ 1.7.2: ∀a ∈ 4 համար՝ 1) Ω(a) ⊂ C բաց բազմություն է, իսկ Ra -ն Ω(a)-ի վրա ուժեղ անալիտիկ է, 2) σ(a) ⊂ C կոմպակտ է, որն րնկա է D̄ (0, kak) - {2 ∈ C : |2| 6 kak}

ակ շրջանում: Ապացույց: 1) Ֆիքսենք a ∈ 4 դիտարկենք ց(λ) - λ6 − a ֆունկցիան: ց : C → 4 անընդհատ ֆունկցիա է: Ըստ 1.7.1 թեորեմի՝ 4−1 հակադարձելի էլեմենտների բազմությունը բաց է, ուստի նրա ) −1 −1 ց նախապատկերը ս կլինի բաց: Մնում է տեսնել, որ ) Ω(a) - ց −1 4−1 :

1.7.1 լեմմայի մեջ վերցնենք x - λ6 − a, հ - (µ − λ)6, որտեղ նախրոք ֆիքսվա (կամայական) կետ է, իսկ µ-ն ընտրվա է λ-ին այնքան մոտ, որ պատկանի Ω(a)-ին: Այդ դեպքում λ-ին բավականաչա մոտ µ-երի համար (1.7.1)-ի շնորհիվ կունենանք λ ∈ Ω(a)

kRa (µ) − Ra (λ) + Ra (λ)(µ − λ)6Ra (λ)k 6 2 kRa (λ)k3 |µ − λ|2 ,

որի երկու կողմը բաժանելով |µ − λ|-ի վրա անցնելով սահմանի, երբ µ → λ, կստանանք, որ Ra (µ) − Ra (λ) - −Ra2 (λ) µ→λ µ−λ

∃ liո

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

կամ՝

(1.7.2) 2) Նախորդ պնդումից բխում է, որ σ(a) - C\Ω(a) բազմությունը

ակ է, ապացույցն ավարտելու համար բավական է ցույց տալ, որ ∃Ra0 (λ) - −Ra2 (λ)

(λ ∈ Ω(a)) :

σ(a) ⊂ D (0, kak) :

Դրա համար նկատենք, որ |λ| » kak պայմանին բավարարող λ կոմպլեքս թվերը հանդիսանում են a-ի համար եգուլյար կետեր: Իրոք, ըստ 1.4.2 լեմմայի՝ 6−

հետ աբար

a ∈ 4−1 , λ

( a ∈ 4−1 , λ6 − a - λ 6 − λ է, որ λ ∈ Ω(a):

ինչն էլ նշանակում Թեորեմն ապացուցվա է: Լեմմա 1.7.2: ∀a ∈ 4 համար σ(a) 6- Ø: Ապացույց: Ենթադրենք հակա ակը՝ ինչ-որ a ∈ 4 համար σ(a) - Ø: Այդ դեպքում կունենանք Ω(a) - C նախորդ թեորեմից կբխի, որ Ra եզոլվենտը անալիտիկ է ամբողջ C կոմպլեքս հարթության վրա: Դիցուք |λ| » kak: Այդ դեպքում ըստ 1.4.2 լեմմայի՝ ∞

a −1 X an ∃ 6− , λ λn (

n-0

հետ աբար ∞ h ( a i−1 1( a −1 X an Ra (λ) - λ 6 − 6− , λ λ λ λnո1 n-0

Ra (λ) -

∞ X an λnո1

n-0

(|λ| » kak) :

(1.7.3)

8 1... Սպեկտրի հիմնական հատկությունները

Դիցուք r » kak: Այդ դեպքում (1.7.3) շարքը γԴ - ∂D(0, r) - {2 ∈ C : |2| - r}

շրջանագ ի վրա հավասարաչա զուգամետ է (քանի որ ունի զուգամետ մաժորանտ՝ այն է՝

∞ X kakn

n-0

շարքը), ուստի այն կարելի է

rnո1

անդամ ա անդամ ինտեգրել: Արդյունքում կստանանք 2πi

Z Ra (λ) dλ -

∞ X n-0

γԻ





 1 2πi

dλ  n a : λnո1

(1.7.4)

γԻ

Քանի որ Ra (λ)-ն անալիտիկ է C-ում, ուստի ըստ Կոշու թեորեմի՝ Z Ra (λ) dλ - 0 : γԻ

Մյուս կողմից, ինչպես գիտենք, 2πi

dλ λnո1

1, ո - 0, 0, ո 6 0,

γԻ

ինչը տեղադրելով (1.7.4)-ի մեջ՝ կստանանք 0 - 6,

իսկ վերջինս հակասում է k6k - 1 պայմանին: Լեմման ապացուցվա է: Սահմանում 1.7.2: 4 8 կոմպլեքս բանախյան հանրահաշիվները կոչվում են իզոմետրիկորեն իզոմորֆ, եթե գոյություն ունի այնպիսի ϕ : 4 → 8 բիեկտիվ հոմոմորֆիզմ, որ kϕ(x)kB - kxkA

(∀x ∈ 4) :

Սահմանում 1.7.3: 4 բանախյան հանրահաշիվը կոչվում է բանախ−1 յան մարմին, եթե 4 \ {0} - 4 :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Գելֆանդ-Մաzուրի թեորեմը: Ցանկացա կոմպլեքս բանախյան

մարմին իզոմետրիկորեն իզոմորֆ է C կոմպլեքս հարթությանր: Ապացույց: ∀a ∈ 4 համար σ(a) 6- Ø, ուստի ∃λ(a) ∈ σ(a): Սա −1 նշանակում է, որ λ(a)6−a 6∈ 4 , ուստի ըստ պայմանի՝ λ(a)6−a - 0, կամ՝ a - λ(a)6 :

Ցույց տանք, որ λ(a)-ն կլինի որոնելի իզոմետրիան: Նախ նկատենք, որ եթե ինչ-որ λ1 , λ2 ∈ C համար a - λ1 6 - λ2 6,

ապա λ1 - λ2 , քանի որ կունենանք |λ1 − λ2 | - k(λ1 − λ2 )6k - kλ1 6 − λ2 6k - ka − ak - 0 :

Օգտվելով սրանից՝ հեշտ է տեսնել, որ λ(a)-ն կհանդիսանա հոմոմորֆիզմ 4-ից C: Ունենք, որ kak - |λ(a)|

(∀a ∈ 4) :

Այստեղից կբխի, որ եթե λ(a) - 0, ապա a - 0, ուստի λ(a)-ն

ոխմիարժեք (ինեկտիվ) է: Հեշտ է տեսնել, որ ∀λ ∈ C տարր ունի նախապատկեր (այն է՝ λ6 էլեմենտը): Հետ աբար λ(·) : 4 → C կհանդիսանա իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ 4-ի C-ի միջ : Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 1.7.4: a ∈ 4 էլեմենտի սպեկտրալ շա ավիղ է կոչվում ρ(a) - Տսp {|λ| : λ ∈ σ(a)}

մե ությունը: 1.7.2 լեմմայի շնորհիվ σ(a) 6- Ø, ուստի այս սահմանումը կո եկտ է: 1.7.2 թեորեմից բխում է, որ ∀a ∈ 4 համար 0 6 ρ(a) 6 kak :

(1.7.5)

8 1... Սպեկտրի հիմնական հատկությունները

Գելֆանդի բանա ը: ∀a ∈ 4 համար (1.7.6)

ρ(a) - liո kan k n - iոf kan k n n→∞

n>1

(գրվա սահմանի գոյությունր ս ապացուցվում է): Ապացույց: Ըստ 1.7.2 թեորեմի՝ Ra(λ)-ն Ω(a) եզոլվենտային բազմության վրա ուժեղ անալիտիկ է: Դիցուք |λ| » kak: Այդ դեպքում ըստ 1.4.2 լեմմայի՝ ∞

a −1 X an ∃ 6− , λ λn (

n-0

հետ աբար ∞ h ( a −1 X an a i−1 1( 6− , Ra (λ) - λ 6 − λ λ λ λnո1 n-0

∞ X an Ra (λ) λnո1

(1.7.7)

(|λ| » kak) :

n-0

Դիցուք r » kak: Այդ դեպքում (1.7.7) շարքը γԴ - ∂D(0, r) - {2 ∈ C : |2| - r}

շրջանագ ի վրա հավասարաչա զուգամետ է (քանի որ ունի զուգամետ մաժորանտ՝ այն է

∞ X kakn

rnո1 (7 > 0)

շարքը): (1.7.7)-ի երկու կողմը

n-0

բազմապատկենք λm -ով ինտեգրենք γԴ -ով: Հավասարաչա զուգամիտության շնորհիվ կարող ենք կատարել անդամ ա

անդամ ինտեգրում արդյունքում կստանանք 2πi

Z γԻ

Ra (λ) λm dλ -

∞ X n-0

  1 2πi

 Z γԻ

λm−n−1 dλ an :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Բայց ինչպես գիտենք՝ Z

2πi

m−n−1

dλ -

1, ո - 7 0, ո 6 7,

γԻ

ինչը տեղադրելով վերը ստացվա ի մեջ՝ կստանանք a

2πi

λm Ra (λ) dλ

(r » kak, 7 - 0, 1, 2, . . .) :

(1.7.8)

γԻ

Սպեկտրալ շա ավղի սահմանումից բխում է, որ |λ| » ρ(a) պայմանին բավարարող λ-ն a-ի եգուլյար կետ է, ուստի λm Ra (λ) ֆունկցիան անալիտիկ է |λ| » ρ(a) տիրույթում: Բազմակապ տիրույթների համար Կոշու թեորեմից (որը հիմնավորվում է նույն ձ ով, ինչպես դասական դեպքում) բխում է, որ r » ρ(a) դեպքում Z

λm Ra (λ) dλ

γԻ

ինտեգրալի արժեքը կախվա չէ r-ի ընտրությունից: Այստեղից (1.7.8)-ից կբխի, որ an -

2πi

λn Ra (λ) dλ

(r » ρ(a), ո - 0, 1, 2, . . .) :

(1.7.9)

γԻ

Քանի որ Ra (λ) ֆունկցիան γԴ -ի վրա անընդհատ է, ուստի M(r) - ոոx θ∈[0,2π]

( Ra r64θ Հ ∞

(r » ρ(a)),

(1.7.9) բանաձ ում կիրա ելով ինտեգրալի գնահատականը՝ կստանանք, որ ∀r » ρ(a) համար kan k 6

· rn · M(r) · 2πr - rnո1 M(r), 2π p kan k n 6 r n rM(r),

8 1... Սպեկտրի հիմնական հատկությունները

որտեղից կբխի, որ

liո kan k n 6 r

n→∞

(∀r » ρ(a)),

իսկ այստեղից էլ, r-ի կամայականության շնորհիվ, կստանանք (1.7.10)

liո kan k n 6 ρ(a) :

n→∞

Ապացույցն ավարտելու համար մնում է ցույց տալ, որ (1.7.11)

ρ(a) 6 iոf kan k n : n>1

Դիցուք λ ∈ σ(a): Նկատենք, որ այդ դեպքում λn ∈ σ (an )

(ո > 1) :

Իրոք, ունենք λ n 6 − an ) - (λ6 − a) λn−1 6 + λn−2 a + · · · + λan−2 + an−1 :

(1.7.12)

Եթե ենթադրենք, թե ∃ (λn 6 − an )−1 , ապա (1.7.12)-ի երկու կողմը աջից բազմապատկելով (λn 6 − an )−1 -ով՝ կստանանք (λ6 − a)

) λn−1 6 + λn−2 a + · · · + λan−2 + an−1 · i · (λn 6 − an )−1 - 6 :

(1.7.13)

Նշանակենք x - λn−1 6 + λn−2 a + · · · + λan−2 + an−1 ,

Հեշտ է տեսնել, որ (λ6 − a)x - x(λ6 − a), (λ6 − a)y - y(λ6 − a) :

y - λn 6 − an :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Հետ աբար նա (λ6 − a)y −1 - y −1 y

) (λ6 − a)y −1 - y −1 |y(λ6 − a)| y −1 -

) - y −1 |(λ6 − a)y| y −1 - y −1 (λ6 − a) yy −1 - y −1 (λ6 − a),

ուստի (1.7.13)-ի ձախ մասը կարելի է ձ ա ոխել այսպես՝ (λ6 − a) xy −1 - x (λ6 − a)y −1 - x y −1 (λ6 − a) - xy −1 (λ6 − a),

(1.7.13)-ից կբխի, որ ) xy −1 (λ6 − a) - 6,

կամ որ նույնն է՝ h

i ) λn−1 6 + λn−2 a + · · · + λan−2 + an−1 (λn 6 − an )−1 · · (λ6 − a) - 6 :

(1.7.14)

(1.7.13)-ից (1.7.14)-ից կբխի, որ ∃(λ6 − a)−1 , ինչը հակասում է λ ∈ σ(a) պայմանին: Այսպիսով, եթե λ ∈ σ(a), ապա λn ∈ σ (an ) (ո > 1), ուստի (1.7.5)-ից կբխի, որ |λ|n 6 ρ (an ) 6 kan k ,

|λ| 6 kan k n

(∀λ ∈ σ(a), ո > 1) :

Վերջինից էլ կբխի, որ

ρ(a) - Տսp {|λ| : λ ∈ σ(a)} 6 kan k n

ուստի տեղի ունի (1.7.11)-ը: Թեորեմն ապացուցվա է:

(ո > 1),

(1.7.15)

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Թեորեմ 1.7.3: Դիցուք a ∈ 4

ունի Hիլբերտի

λ, µ ∈ Ω (a):

Այդ դեպքում տեղի

Ra (λ) − Ra (µ) - (µ − λ) Ra (µ) Ra (λ)

(1.7.16)

նույնությունր: Ապացույց: Ունենք Ra (λ) − Ra (µ) - (λ6 − a)−1 − (µ6 − a)−1 h i - (µ6 − a)−1 (µ6 − a) (λ6 − a)−1 − 6 n o - Ra (µ) |(µ − λ) 6 + (λ6 − a)| (λ6 − a)−1 − 6 n o - Ra (µ) (µ − λ) (λ6 − a)−1 + (λ6 − a) (λ6 − a)−1 − 6 - (µ − λ) Ra (µ) Ra (λ) :

Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 1.7.1: Դիցուք a ∈ 4

λ, µ ∈ Ω (a):

Այդ դեպքում

Ra (µ) Ra (λ) - Ra (λ) Ra (µ) :

(1.7.17)

Ապացույց: λ - µ դեպքում պնդումն ակնհայտ է: Դիցուք λ 6- µ: Ըստ նախորդ թեորեմի՝

Ra (µ) Ra (λ) -

որտեղ ոխելով λ

Ra (λ) − Ra (µ) , λ−µ

(1.7.18)

տա երի դերերը՝ կստանանք

Ra (λ) Ra (µ) -

Ra (µ) − Ra (λ) : µ−λ

(1.7.18)-ից (1.7.19)-ից կբխի (1.7.17)-ը: Հետ անքն ապացուցվա է:

(1.7.19)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

§ 1.8. Սպեկտրալ շա ավի բանաձ ի հետ անքներ

Սահմանում 1.8.1: 4 բանախյան հանրահաշվի a էլեմենտը կոչվում

է նիլպոտենտ, եթե գոյություն ունի այնպիսի ո - ո(a) բնական թիվ, որ an - 0

(ո - 1 դեպքում կունենանք a - 0): Սահմանում 1.8.2: a ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է քվազինիլպոտենտ, եթե ρ(a) - 0: Սահմանում 1.8.3: 4 բանախյան հանրահաշվի բոլոր քվազինիլպոտենտ էլեմենտների բազմությունը կոչվում է 4-ի ադիկալ նշանակվում է ոոd(4): Լեմմա 1.8.1: Նիլպոտենտ էլեմենտր քվազինիլպոտենտ է: Ապացույց: Դիցուք a ∈ 4 նիլպոտենտ է՝ ∃k ∈ N, որ ak - 0: Այդ դեպքում կունենանք an - 0

(ո > k),

ուստի ρ(a) - liո

n→∞

p n kan k - 0 :

Լեմման ապացուցվա է: Hետ անq 1.8.1: Եթե a ∈ 4 նիլպոտենտ է, ապա σ(a) - {0}: Ապացույց: Իրոք, ունենք ρ(a) - 0, ուստի σ(a) ⊂ {0}: Քանի որ σ(a) 6- Ø, ուստի σ(a) - {0}: I Լեմմա 1.8.2: ∀a, b ∈ 4 համար ρ(ab) - ρ(ba): Ապացույց: Ունենք (ab)n - ab ab . . . ab - a( ba ba . . . ba )b - a(ba)n−1 b, | ոz } | ոz } n

n−1

ուստի

k(ab)n k n 6 kak n · (ba)n−1

kbk n ,

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

հետ աբար

ρ(ab) - liո k(ab)n k n 6 liո kak n · liո n→∞

n→∞

(ba)n−1

liո kbk n :

n→∞

Ունենք n

(ba)n−1

liո

n→∞

- liո

n→∞

(ba)n−1

n−1

n o n−1

գտվելով / (x, y) - xy ֆունկցիայի անընդհատությունից, կստանանք liո

n→∞

(ba)n−1

liո

n→∞

n−1

(ba)n−1

n olim n−1

- ρ(ba) :

Այսպիսով,

ρ(ab) 6 ρ(ba) liո kak n liո kbk n : n→∞

n→∞

Երբ a 6- 0, b 6- 0, սա նշանակում է, որ ρ(ab) 6 ρ(ba) :

Վերջինս ակնհայտորեն տեղի ունի նա այն դեպքում, երբ էլեմենտներից մեկն ու մեկը կամ երկուսը հավասար են 0-ի: (1.8.1)-ում ոխելով a b տա երի դերերը՝ կստանանք ρ(ba) 6 ρ(ab) :

(1.8.1) a

(1.8.2)

(1.8.1)-ից (1.8.2)-ից կբխի, որ ρ(ab) - ρ(ba): Լեմման ապացուցվա է: Իրականում պարզվում է, որ վերն ապացուցվա լեմման հանդիսանում է հետ յալ՝ ա ավել ընդհանուր պնդման հետ անքը. Լեմմա 1.8.3: ∀a, b ∈ 4 համար σ(ab) \ {0} - σ(ba) \ {0} : 1

տես՝ [17], гл.

10, упр. 2, с. 291.

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Ապացույց: Ցույց տանք, որ (1.8.3)

Ω(ab) \ {0} - Ω(ba) \ {0} :

Նախ ցույց տանք, որ (1.8.4)

Ω(ab) \ {0} ⊂ Ω(ba) \ {0} :

Դիցուք λ ∈ Ω(ab)\{0}: Դա նշանակում է, որ λ 6- 0 գոյություն ունի (λ6 − ab)−1 հակադարձը: (λ6 − ba)−1 -ի գոյությունը ցույց տալու այն գտնելու համար նախ համարենք, թե (1.8.5)

|λ| » ոոx {kabk , kbak} (λ6 − ba)−1 -ը

արտահայտենք լեմմայից՝ կունենանք

(λ6 − ab)−1 -ով:

Օգտվելով 1.4.2

2 ) ba −1 ba −1 6− ∃ (λ6 − ba) - λ 6 − λ λ λ " " ∞ ∞ X 1 X (ba)n (ba)n 6+ : λ λn λ λn −1

n-0

Ունենք

n-1

(ba)n - ba ba . . . ba - b( ab ab . . . ab )a - b(ab)n−1 a | ոz } | ոz } n

(ո > 1),

n−1

ուստի (λ6 − ba)−1

" " " " ∞ ∞ X b(ab)n−1 a 1 X (ab)n−1 6+ 6+ b a , λ λn λ λ λn−1 n-1

n-1

ստացվա գումարում կատարելով 7 - ո − 1 գումարման ինդեքսի

ոխարինում, կստանանք (λ6 − ba)

−1

" " ∞ 1 X (ab)m 6+ b a : λ λ λm m-0

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Բայց քանի որ kabk Հ |λ|, ուստի ∞ X ab −1 (ab)m - 6− , λm λ

m-0

կստանանք (λ6 − ba) λ

−1

" " ab −1 a 6+ b 6− λ λ λ

) ( " 2 " ) 2 ) ab −1 ab −1 a 6− a 6+b 6+b λ 6− λ λ λ λ i 1h −1 6 + b (λ6 − ab) a , λ 1 (λ6 − ba)−1 6 + b(λ6 − ab)−1 a : (1.8.6) λ

(

Այսպիսով, (1.8.5) պայմանի դեպքում տեղի ունի (1.8.6)-ը: Պարզվում է, որ եթե λ 6- 0 ∃ (λ6 − ab)−1 , ապա ∃ (λ6 − ba)−1 , տեղի ունի (1.8.6)-ը: Իրոք, նշանակենք x-

i 1h 6 + b (λ6 − ab)−1 a λ

ցույց տանք, որ (1.8.7)

(λ6 − ba) x - x (λ6 − ba) - 6 :

Ունենք (λ6 − ba) x - λx − bax - 6 + b (λ6 − ab)−1 a −

ba − λ

bab ba ab −1 − (λ6 − ab) a - 6 − +b 6− (λ6 − ab)−1 a λ λ λ -6−

ba b ba ba + (λ6 − ab) (λ6 − ab)−1 a - 6 − + - 6, λ λ λ λ

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

նման ձ ով ba − λ ) ba ab −1 −1 − b (λ6 − ab) aba - 6 − + b (λ6 − ab) 6− aλ λ λ x (λ6 − ba) - λx − xba - 6 + b (λ6 − ab)−1 a −

λ6 − ba b ba ba + (λ6 − ab)−1 (λ6 − ab) a - 6 − + - 6, λ λ λ λ

որտեղից էլ բխում է (1.8.7)-ը: Սրանով իսկ (1.8.4)-ը հիմնավորվեց: (1.8.4)-ում ոխելով a տա երի դերերը՝ կստանանք նա Ω(ba) \ {0} ⊂ Ω(ab) \ {0} :

(1.8.8)

(1.8.4)-ից (1.8.8)-ից կբխի (1.8.3)-ը: Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 1.8.1 (Լ'Պաժ): Եթե ∃k » 0, որ ρ(a) > k kak

(∀a ∈ 4),

ապա 4-ն կոմուտատիվ է: Ապացույց: Ֆիքսենք կամայական a, b ∈ 4 ցույց տանք, որ ab - ba :

Դիտարկենք

/ (λ) - 6λa b6−λa

(λ ∈ C)

ֆունկցիան (6λa , 6−λa էքսպոնենտներ են ոչ թե 4 հանրահաշվի 6 միավորի աստիճաններ): Օգտվելով թեորեմի պայմանից 1.8.2 լեմմայից՝ ∀λ ∈ C համար կունենանք k/ (λ)k - 6λa b6−λa 6 -

1 ( λa −λa 1 ( −λa λa ρ 6 b6 - ρ b6 k k kbk ρ(b) 6 : k k

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Բայց / : C → 4 ուժեղ անալիտիկ է, ընդ որում / 0 (λ) - 6λa |a, b|6−λa

(|a, b| - ab − ba) :

Ստացվեց, որ ամբողջ C-ի վրա անալիտիկ ֆունկցիան ուժեղ սահմանա ակ է, ուստի ըստ Լիուվիլի թեորեմի՝ / (λ)-ն հաստատուն է: Հետ աբար / 0 (λ) ≡ 0: Մասնավորապես, / 0 (0) - 0,

կամ որ նույնն է՝ |a, b| - 0, ab - ba :

Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 1.8.4: Դիցուք 4-ն 8-ն կոմպլեքս նորմավորվա

հանրահաշիվներ են: Այդ դեպքում կասենք, որ 8 -ն 4-ի ընդլայնում է, եթե՝ 1) 4 ⊂ 8 8 -ում սահմանվա գումարման, բազմապատկման, սկալյարով բազմապատկման գոր ողությունների նեղացումները 4-ի վրա համընկնում են 4-ում սահմանվա համապատասխան գոր ողությունների հետ, 2) 8 -ի նորնի նեղացումը 4-ի վրա համարժեք է 4-ի նորմին: 1) պայմանը նշանակում է, որ 4-ն հանդիսանում է 8 -ի գ ային ենթատարա ություն է ենթաղակ: Ընդ որում, քանի որ 4-ն նորմավորվա հանրահաշիվ է, ուստի 4-ում կա միավոր: Երբեմն լրացուցիչ շեշտում են, որ 4-ն պարունակում է 8 -ի միավորը: 2) պայմանը նշանակում է, որ 8 -ի նորմը 4-ում նում է նույն զուգամիտությունը, ինչ որ 4-ի նորմը: Երբեմն պահանջում են, որ 8 -ի նորմի նեղացումն 4-ի վրա ուղղակի համընկնի 4-ի նորմի հետ: Մեզ կհետաքրքրի այն դեպքը, երբ 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ 8 -ն նրա բանախյան ընդլայնումն է: Սահմանում 1.8.5: a ∈ 4 տարրը կոչվում է 0-ի տոպոլոգիական բաժանարար, եթե iոf {kaxk + kxak : x ∈ 5(4)} - 0,

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

որտեղ, ինչպես միշտ, 5(4) - {x ∈ 4 : kxk - 1} - ∂8(0, 1) :

Այլ կերպ ասա , a-ն կոչվում է 0-ի տոպոլոգիական բաժանարար, եթե ∃{xn }∞ 1 ⊂ 5(4), այնպես, որ axn −−−→ 0,

xn a −−−→ 0 :

n→∞

Կարելի է նա սահմանել նա 0-ի ձախ աջ տոպոլոգիական բաժանարարներ (դրանք այնպիսի a-երն են, որոնց համար համապատասխանաբար axn −n→∞ −−→ 0 կամ xn a −−−→ 0), այդ n→∞ դեպքում վերը սահմանվա 0-ի տոպոլոգիական բաժանարարը կկոչվի երկկողմանի: Հետագայում մեզ պետք կգան միայն երկկողմանի բաժանարարներ: Լեմմա 1.8.4: Եթե−1{an}∞1 ⊂ 4−1 հաջորդականությունր զուգա− − − → ∞ : միտում է a ∈ ∂4 էլեմենտին, ապա a−1 n n→∞ −1 6→ ∞: Այդ Ապացույց: −1Ենթադրենք հակա ակը՝ an ∞ դեպքում an հաջորդականությունից կարելի է անջատել n-1 −1 ∞ ank k-1 սահմանա ակ ենթահաջորդականություն: Դիցուք a−1 nk 6 M k0

(k - 1, 2, . . .) :

համարն ընտրենք այնպես, որ kank − ak Հ

(k » k0 ) :

Այդ դեպքում k » k0 համար կունենանք −1 −1 6 − a−1 nk a - ank (ank − a) 6 ank · kank − ak Հ 1, −1 ուստի a−1 հետ աբար (քանի որ 4−1 -ը խումբ nk a ∈ 4 ) (k » k0 ) −1 −1 է) a - ank a−1 nk a ∈ 4 , ինչը հակասություն է, քանի որ 4 -ը −1 բաց է, իսկ a ∈ ∂4 : Լեմման ապացուցվա է:

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Թեորեմ 1.8.2: ∂4−1-ի կետերր 0-ի տոպոլոգիական բաժանարարներ են: Ապացույց: Դիցուք a ∈ ∂4−1 կամայական կետ է: Ընտրենք որ է ∞ −1 −−−→ ∞: {an }1 ⊂ 4 , որ an → a: Ըստ նախորդ լեմմայի՝ a−1 n n→∞ −1 n Նշանակենք xn - kaa−1 : Պարզ է, որ {xn }∞ ⊂ 5(4) : Ցույց տանք, n k որ liո axn - 0,

n→∞

liո xn a - 0 :

n→∞

Ցույց տանք գրվա ա նչություններից ա աջինը (մյուսն ապացուցվում է ճիշտ նույն ձ ով): Ունենք kaxn k - kaxn − an xn + an xn k 6 k(a − an )xn k + kan xn k 6 6 ka − an k · kxn k + an ·

a−1 n a−1 n

- ka − an k +

a−1 n

−−−→ 0 : n→∞

Թեորեմն ապացուցվա է:

Սահմանում 1.8.6: 4 \ 4−1-ի էլեմենտներին կանվանենք 4 հանրահաշվի սինգուլյար էլեմենտներ: Կնշանակենք Տiոg(4) - 4 \ 4−1 :

Սահմանում 1.8.7: a ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է ժա անգական սինգուլյար, եթե 4 բանախյան հանրահաշվի ցանկացա 8 բանախյան ընդլայնման համար a ∈ Տiոg(8): Թեորեմ 1.8.3: 0-ի տոպոլոգիական բաժանարարներր ժա անգական սինգուլյար էլեմենտներ են: Ապացույց: Դիցուք a ∈ 4 հանդիսանում է 0-ի տոպոլոգիական բաժանարար, իսկ 8 -ն 4-ի կամայական բանախյան ընդլայնում է: Ցույց տանք, որ a ∈ Տiոg(8): Ենթադրենք հակա ակը՝ a ∈ 8 −1 : Այդ դեպքում ∃b ∈ 8 , որ ba - ab - 6 :

Ըստ պայմանի՝ ∃{xn }∞ 1 ⊂ 5(4), որ 4-ի նորմով axn −−−→ 0, n→∞

xn a −−−→ 0 : n→∞

(1.8.9)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Քանի որ 8 -ի նորմը 4-ում նում էր նույն զուգամիտությունը, ինչ որ 4-ի նորմը, ուստի (1.8.9) ա նչությունները տեղի ունի նա 8 -ի նորմով, արտադրյալի անընդհատությունից կբխի, որ (8 -ի նորմով) xn - b(axn ) −−−→ 0 : n→∞

Քանի որ ⊂ 4, ուստի նա հնարավոր չէ, քանի որ {xn }∞

kxn kA - 1

4-ի

նորմով

xn → 0,

ինչը

(ո - 1, 2, . . .) :

Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 1.8.2: ∂4−1-ի կետերր ժա անգական սինգուլյար էլեմենտներ են: Ապացույցը բխում է 1.8.2 1.8.3 թեորեմներից: I Թեորեմ 1.8.4: Դիցուք Մ -ն 7 -ն Ճ տոպոլոգիական տարա ության բաց ենթաբազմություններ են, րնդ որում Մ ⊂ 7 7 1 ∂Մ - Ø: Այդ դեպքում Մ -ն հանդիսանում է 7 -ի ինչ-որ կոմպոնենտների միավորումր: Ապացույց: 7 -ով նշանակենք 7 -ի բոլոր այն կոմպոնոնտների բազմությունը, որոնք հատվում են Մ -ի հետ: Դիցուք Ω ∈ 7 կամայական կոմպոնենտ է: Ցույց տանք, որ Ω ⊂ Մ : Նշանակենք Ծ - Ճ \ Մ : Քանի որ 7 1 ∂Մ - Ø Ω ⊂ 7 , ուստի Ω 1 ∂Մ - Ø հետ աբար Ω - (Ω 1 Մ ) ∪ (Ω 1 Ծ ) :

Այստեղ (Ω 1 Մ )-ն (Ω 1 Ծ )-ն բաց են, ընդ որում Ω 1 Մ 6- Ø: Ուստի, Ω-ի կապակցվա ությունից կբխի, որ Ω 1 Ծ - Ø հետ աբար՝ Ω-Ω1Մ ⊂Մ :

Ստացվեց, որ ∀Ω ∈ 7 համար Ω ⊂ Մ , ուստի Մ -

Ս Ω∈F

Թեորեմն ապացուցվա է:

Ω:

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Դիցուք 8 բանախյան հանրահաշիվը հանդիսանում է 4 բանախյան հանրահաշվի ընդլայնում: Այդ դեպքում 4−1 ⊂ 8 −1 ակնհայտ ա նչությունից բխում է, որ ∀a ∈ 4 համար ΩA (a) ⊂ ΩB (a)

(1.8.10)

հետ աբար՝

(1.8.11) 1.8.4 թեորեմից գտվելով՝ կարող ենք ստանալ ա ավել սպա իչ ինֆորմացիա՝ σA (a) σB (a) սպեկտրների միջ եղա կապի մասին: Թեորեմ 1.8.5: Դիցուք 8 բանախյան հանրահաշիվր հանդիսանում է 4 բանախյան հանրահաշվի րնդլայնում: Այդ դեպքում՝ 1) 4−1 -ր հանդիսանում է 4 1 8 −1 բազմության որոշ կոմպոնենտների րնտանիքի (որր կարող է լինել դատարկ) միավորումր, 2) ∀a ∈ 4 համար σA (a)-ն հանդիսանում է σB (a)-ի ΩB (a)-ի որոշ սահմանա ակ կոմպոնենտների րնտանիքի (որր կարող է լինել դատարկ) միավորումր: Մասնավորապես, ∂σA (a) ⊂ σB (a): Ապացույց: 1) 4−1-ը 4 1 8−1-ը հանդիսանում են 4-ում բաց բազմություններ (վերջին բազմության բաց լինելը բխում է նրանից, որ 4-ում 8 -ից մակա վա (ինդուկցվա ) տոպոլոգիան բաղկացա

է 41Մ տեսքի բազմություններից, որտեղ Մ -ն բաց է 8 -ում): Ունենք նա , որ 4−1 ⊂ 4 1 8 −1 , ուստի ըստ նախորդ թեորեմի՝ բավական է ցույց տալ, որ ) ∂4−1 1 4 1 8 −1 - Ø : (1.8.12) Քանի որ 4-ն ակ է, ուստի ∂4−1 ⊂ 4 (1.8.12)-ը կնշանակի, որ σB (a) ⊂ σA (a) :

∂4−1 1 8 −1 - Ø :

(1.8.13)

(1.8.13)-ը ցույց տանք հակասող ենթադրության մեթոդով՝ դիցուք ∃a ∈ ∂4−1 1 8 −1 :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

−1 −1 Այդ դեպքում ∃{an }∞ n-1 ⊂ 4 , որ an → a: Քանի որ 8 -ի վրա որոշվա x Է→ x−1 արտապատկերումը անընդհատ է (նույնիսկ դիֆերենցելի է), ուստի −1 a−1 n −→ a

∞ հետ աբար a−1 հաջորդականությունը սահմանա ակ է, n n-1 ինչը հակասում է 1.8.4 լեմմային: 2) Նկատենք, որ ∂ΩA (a) 1 ΩB (a) - Ø : (1.8.14) Իրոք, դիցուք λ0 ∈ ∂ΩA (a): Այդ դեպքում, հեշտ է տեսնել, որ λ0 6−a ∈ ∂4−1 , ուստի (1.8.13)-ից կբխի, որ λ0 6−a 6∈ 8 −1 , այսինքն՝ λ0 6∈ ΩB (a): Քանի որ ΩA (a), ΩB (a) բաց են, ուստի (1.8.10), (1.8.14), ա նչություններից 1.8.4 թեորեմից կբխի, որ ΩA (a)-ն հանդիսանում է ΩB (a) -ի որոշ կոմպոնենտների միավորումը: Հետ աբար, ΩB (a)-ի մնացա կոմպոնենտները չեն կարող հատվել ΩA (a) -ի հետ (երկու կոմպոնենտներ կանմ չեն հատվում, կանմ համընկնում են), ուստի այդ կոմպոնենտները կպարունակվեն σA (a)-ում (ավելին, դրանք կպարունակվեն σA (a) \ σB (a)-ում): Ստացվեց, որ σA (a) \ σB (a)-ն իր մեջ ամբողջությամբ պարունակում է ΩB (a)-ի որոշ կոմպոնենտներ չի հատվում ΩB (a)-ի մնացա կոմպոնենտների հետ: Քանի որ

σA (a) \ σB (a) ⊂ ΩB (a),

ուստի այստեղից կբխի, որ σA (a)\σB (a)-ն հանդիսանում է ΩB (a)-ի որոշ կոմպոնենտների միավորումը: Այդ կոմպոնենտները կլինեն սահմանա ակ, քանի որ սահմանա ակ է σA (a) \ σB (a)-ն: (1.8.14)-ից բխում է, որ ∂σA (a) - ∂ΩA (a) ⊂ σB (a) :

Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 1.8.3: Եթե 4 բանախյան հանրահաշվի a էլեմենտի σA (a) սպեկտրն ամենուրեք նոսր է, ապա 4-ի ցանկացա բանախյան րնդլայնման համար σA (a) - σB (a) :

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Ապացույց:

Իրոք, կունենանք σA (a) - ∂σA (a) ⊂ σB (a), քանի որ σB (a) ⊂ σA (a) հակա ակ ներդրումը միշտ ճիշտ է, ուստի σA (a) - σB (a): I Hետ անq 1.8.4: Եթե 8 բանախյան հանրահաշիվր հանդիսանում է 4 բանախյան հանրահաշվի րնդլայնում, a ∈ 4 σB (a)-ի լրացումր կապակցվա է, ապա σA (a) - σB (a) :

Ապացույց: Իրոք, դիտարկվող դեպքում ΩB (a)-ն չունի սահմանա-

ակ կոմպոնենտներ (չէ՞ որ σB (a)-ն կոմպակտ է): I Վերը նշվա հետ անքի ամենակար որ կիրա ությունը վերաբերում է σB (a) ⊂ R դեպքին (ակնհայտ է, որ σB (a)-ի կոմպակտության շնորհիվ σB (a) ⊂ R դեպքում ΩB (a)-ն կապակցվա է): Դիտողություն 1.8.1: Նկատենք, որ նախորդ թեորեմի պայմաններում ∂σA (a) ⊂ ∂σB (a) : (1.8.15) J Իրոք, (1.8.11)-ից բխում է, որ iոէ σB (a) ⊂ iոt σA (a) :

Ըստ 1.8.5 թեորեմի՝ ∂σA (a) ⊂ σB (a) :

Կունենանք ∂σA (a) 1 |iոէ σB (a)| ⊂ ∂σA (a) 1 (iոէ σA (a)) - Ø,

ուստի ∂σA (a)-ի կետերը չեն կարող լինել σB (a)-ի ներքին կետեր, հետ աբար հանդիսանում են σB (a)-ի եզրային կետեր: I Օրինակ: Դիցուք 4 - 4(7 ), 8 - Շ(7 ) a(2) - 2 (2 ∈ 7 ): Այդ դեպքում կունենանք σA (a) - D(0, 1), σB (a) - 7 հետ աբար σB (a) - ∂σA (a): Խնդիր: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ a ∈ 4 որ է էլեմենտ է: Դիտարկենք 4-ի որ է 8 բանախյան ընդլայնում: (1.8.15)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

ա նչության շնորհիվ 4-ն ընդլայնելիս a էլեմենտի սպեկտրի եզրի կետերի թիվն ավելանում է, հետ աբար ավելանում է ընդհանրապես a-ի սպեկտրի ժա անգական սինգուլյար կետերի թիվը (λ ∈ σA (a) կետը կոչվում է ժա անգական սինգուլյար, եթե այդպիսին է λ6 − a ∈ 4 էլեմենտը): Հարցը հետ յալն է՝ կարելի՞ է արդյոք գտնել 4-ի այնպիսի 8 ընդլայնում, որ σB (a)-ն բաղկացա լինի միայն ժա անգական սինգուլյար կետերից: I Թեորեմ 1.8.6: Դիցուք 4 բանախյան հանրահաշվի համար ∃M » 0 թիվ, որ kxk · kyk 6 M kxyk (∀x, y ∈ 4) : (1.8.16) Այդ դեպքում 4-ն իզոմորֆ-իզոմետրիկ է C կոմպլեքս թվերի դաշտին: Ապացույց: Ցույց տանք, որ 4−1 - 4 \ {0}: Նախ համոզվենք, որ ∂4−1 - {0} : (1.8.17) −1 Իրոք, դիցուք a ∈ ∂4−1 : ∃{an }∞ 1 ⊂ 4 , որ an → a: Ըստ 1.8.4 −1 լեմմայի՝ an → ∞, հետ աբար kan k -

kan k a−1 n a−1 n

M an · a−1 n a−1 n

M k6k M −−−→ 0, −1 n→∞ an a−1 n

որտեղից կստացվի, որ kak - liո kan k - 0 ⇒ a - 0 : n→∞

Այժմ դիցուք a ∈ 4 կամայական ոչ 0-ական էլեմենտ է, ցույց տանք, որ a ∈ 4−1 : Քանի որ σ(a)-ն դատարկ չէ կոմպակտ է, ուստի ∂σ(a) 6- Ø: Դիցուք λ ∈ ∂σ(a): Այդ դեպքում կունենանք λ6 − a ∈ ∂4−1 (1.8.17)-ից կբխի, որ λ6 − a - 0, կամ՝ a - λ6 :

Քանի որ a 6- 0, ուստի λ 6- 0 հետ աբար λ−1 6 էլեմենտը կհանդիսանա a-ի համար հակադարձ էլեմենտ: Այսպիսով՝ a ∈ 4−1 : Հետ աբար մեր պնդումը կբխի Գելֆանդ-Մազուրի թեորեմից: Թեորեմն ապացուցվա է:

8 1.6. Սպեկտրալ շա ավլի բանաձ ի հետ անքներ

Թեորեմ 1.8.7: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, a ∈ 4,

Ω ⊂ C բաց բազմություն է, σ(a) ⊂ Ω: Այդ դեպքում ∃δ » 0, այնպես, որ kbk Հ δ պայմանին բավարարող ցանկացա b ∈ 4 էլեմենտի համար σ(a + b) ⊂ Ω: Ապացույց: C\Ω-ն Ω(a) -ում ընկա

ակ բազմություն է: Նկատենք, որ Ra (λ) - (λ6 − a)−1 ֆունկցիան C \ Ω բազմության վրա սահմաa նա ակ է: Իրոք, |λ| » kak համար ունենք Հ 1, ուստի λ

Ra (λ) - (λ6 − a)

−1

∞ h ( X a i−1 an −1 - λ 6− , -λ λ λn n-0

kRa (λ)k 6 |λ|−1

∞ ∞ X an 1 X a λn |λ| λ

n-0

· |λ| 1 −

a λ

ինչը ցույց է տալիս, որ |λ| » kak համար Ra (λ)-ն սահմանա ակ է դե ավելին՝ Ra (λ) −−−−→ 0 : |λ|→∞

Նշանակենք E1 - (C \ Ω) 1 D(0, kak),

E2 - (C \ Ω) \ D(0, kak) :

E1 -ը կոմպակտ է, իսկ Ra (λ)-ն անընդհատ է E1 -ի վրա (հիշենք, որ Ra (λ)-ն իր որոշման տիրույթում անալիտիկ է), ուստի Ra (λ)-ն E1 -ի վրա սահմանա ակ է: Այսպիսով, C \ Ω - E1 ∪ E2 , Ra (λ)-ն E1 , E2 բազմությունից յուրաքանչյուրի վրա սահմանա ակ է, ուստի այն կլինի սահմանա ակ C \ Ω-ի վրա՝ ∃M » 0, որ kRa (λ)k 6 M δ » 0 ընտրենք այնպես, kbk Հ δ λ 6∈ Ω համար

որ δM

(λ ∈ C \ Ω) : 6 1:

Այդ դեպքում կունենանք, որ

(λ6 − a)−1 b 6 (λ6 − a)−1 · kbk - kRa (λ)k · kbk Հ δM 6 1

ուստի

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

6 − (λ6 − a)−1 b ∈ 4−1

քանի որ λ6 − a ∈ 4−1 , իսկ λ6 − (a + b) - (λ6 − a) 6 − (λ6 − a)−1 b ,

ուստի λ6 − (a + b) ∈ 4−1 հետ աբար λ 6∈ σ(a + b): Թեորեմն ապացուցվա է: § 1.9. Սպեկտրալ շա ավի կիսանընդհատությունը

Սահմանում 1.9.1: Դիցուք

Ճ -ը մետրիկական տարա ություն է, / : Ճ → R արտապատկերում է, իսկ x0 ∈ Ճ : Այդ դեպքում կասենք, որ / ֆունկցիան x0 կետում վեր ից (ներք ից) կիսանընդհատ է, եթե ∀ε » 0 համար ∃δ » 0, այնպես, որ ρ(x, x0 ) Հ δ համար / (x) Հ / (x0 ) + ε

(/ (x) » / (x0 ) − ε) :

Կասենք / -ը Ճ -ի վրա վեր ից (ներք ից) կիսանընդհատ է, եթե / -ը վեր ից (ներք ից) կիսանընդհատ է Ճ -ի յուրաքանչյուր կետում: Պարզ է, որ / -ը x0 կետում անընդհատ կլինի այն միայն այն դեպքում, երբ այն x0 կետում կիսանընդհատ է միաժամանակ վեր ից ներք ից: Թեորեմ 1.9.1: Ցանկացա 4 բանախյան հանրահաշվի համար ρ սպեկտրալ շա ավիղր 4-ի վրա վեր ից կիսանրնդհատ է: Ապացույց: Վերցնենք կամայական a ∈ 4 կետ ցույց տանք, որ ρ-ն a կետում վեր ից կիսանընդհատ է: Վերցնենք կամայական ε » 0 թիվ: Ունենք σ(a) ⊂ D(0, ρ(a)) ⊂ D(0, ρ(a) + ε)

ուստի թեորեմ 1.8.7-ից կբխի, որ ∃δ » 0, այնպես, որ kb − ak Հ δ դեպքում σ(b) - σ(a + (b − a)) ⊂ D(0, ρ(a) + ε),

8 1... Սպեկտրալ շա ավլի կիսանընդհատությունը

որտեղից էլ կբխի, որ kb − ak Հ δ համար ρ(b) Հ ρ(a) + ε :

Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 1.9.2: ԴիցուքYՃ , Y -ը տոպոլոգիական տարա ություններ են ϕ : Ճ → 2 : Կասենք, որ ϕ-ն x0 ∈ Ճ կետում կիսանընդհատ է վեր ից, եթե ∀Մ ⊃ ϕ(x0 ) շրջակայքի համար ∃Ծ 3 x0 շրջակայք, որ ϕ(x) ⊃ Մ (x ∈ Ծ ): Թեորեմ 1.8.7-ից բխում է, որ ϕ : 4 → 2C , ϕ(a) - σ(a) ֆունկցիան 4-ի վրա վեր ից կիսանընդհատ է: Խնդիր: Դիցուք Ճ , Y մետրիկական տարա ություններ են, Y -ը կոմպակտ է, ϕ : Ճ → 2Y : Ապացուցել կիսանընդհատության հետ յալ հայտանիշը. որպեսզի ϕ-ն Ճ -ի վրա լինի կիսանընդհատ վեր ից, անհրաժեշտ է բավարար, որ xn ∈ Ճ , yn ∈ ϕ(xn ) (ո ∈ N), x - n→∞ liո xn , y - liո yn ⇒ y ∈ ϕ(x): n→∞ Սպեկտրալ շա ավիղը, ընդհանրապես ասա , խզվող ֆունկցիա է: Համապատասխան րինակը կա ուցելու նպատակով նախ մի

ոքր խոսենք կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի պերատորների մասին: Դիցուք H -ն անվերջ չա անի սեպարաբել կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ություն է, 60 , 61 , 62 , . . . , 6n , . . .

հաջորդականությունը H -ի րթոնորմավորվա բազիս է, իսկ {αn }∞ n-0 ⊂ C սահմանա ակ հաջորդականություն է՝ (1.9.1)

α - Տսp |αn | Հ ∞ : n

Կա ուցենք 4 : H → H պերատորը հետ յալ կերպ: ների վրա 4-ն սահմանենք 46n - αn 6nո1

(ո - 0, 1, 2, . . .)

վեկտոր(1.9.2)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ ∞

բանաձ ով: Եթե x Շn 6n n-0 4x-ը կսահմանենք 4x -

∞ X

Շn 46n -

n-0

∞ X

∈H

Շn αn 6nո1 -

n-0

բանաձ ով: Քանի որ

∞

կամայական վեկտոր է, ապա ∞ X

Շn−1 αn−1 6n

(1.9.3)

n-1

Շn 6n

n-0 ∞ X

շարքի զուգամիտության շնորհիվ

|Շn |2 Հ ∞,

n-0

ուստի (1.9.1)-ից կբխի, որ նա ∞ X

|Շn−1 αn−1 |2 Հ ∞,

n-1

հետ աբար (1.9.3)-ի աջ մասում գրվա շարքը զուգամետ է: Հեշտ է տեսնել, որ 4 պերատորը գ ային է: Կամայական ∞ xՇn αn ∈ H վեկտորի համար ունենք n-0

k4xk2 -

∞ X

|Շn−1 αn−1 |2 6 α2

n-1

∞ X

|Շn−1 |2 - α2

n-1

∞ X

|Շn |2 - α2 kxk2 ,

n-0

այսինքն՝ k4xk 6 αkxk

(x ∈ H) :

Հետ աբար 4 պերատորը սահմանա ակ է, կողմից, ո > 0 համար

k4k 6 α:

k4k - Տսp k4xk > k46n k - kαn 6nո1 k - |αn |, kxk61

ուստի α - Տսp |αn | 6 k4k, n

Մյուս

8 1... Սպեկտրալ շա ավլի կիսանընդհատությունը

հետ աբար

(1.9.4) կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի

k4k - α :

պերատորը կոչվում է αn պերատոր:2 Հաշվենք 4-ի սպեկտրալ շա ավիղը: Դիցուք k ∈ N կամայական թիվ է: Նշանակենք

αn(k) - αn αnո1 · · · αnո(k−1)

(ո - 0, 1, 2, . . .),

α(k) - Տսp αn(k) : n

Կունենանք Հ ∞ (k - 1, 2, . . .), հեշտ է տեսնել, որ 4k -ն կհանդիսանա αn(k) կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի պերատոր:3 Ուստի ըստ (1.9.4) բանաձ ի՝ α(k)

4k - α(k) - Տսp n

k−1 |

αnո4 ,

4-0

հետ աբար՝ ρ(4) - liո

k→∞

- liո Տսp

k→∞ m>0

k−1 |

αmո4

(1.9.5)

4-0

Օգտագոր ելով կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի պերատորները՝ կա ուցենք {4k }∞ k-0 նիլպոտենտ պերատորների հաջորդականություն, որը ըստ պերատորային նորմի զուգամիտում է դրական սպեկտրալ շա ավիղ ունեցող պերատորի: Նշվա հաջորդականության րինակը պատկանում է Կակուտանիին: Ընտրենք որ է {εn }∞ n-0 դրական թվերի հաջորդականություն՝ այնպես, որ εn −n→∞ −−→ 0 ∞ X lո εk k-0

2kո1

Դիցուք p ∈ N կամայական թիվ է: Դժվար չէ տեսնել, որ (1.9.2)-ը 4en - αen1p ա նչությունով ոխարինելիս ս (1.9.4)-ը կմնա ուժի մեջ: տես տողատակում արվա նախորդ դիտողությունը:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

շարքը լինի զուգամետ (րինակ, εk - k ): {αn }∞ n-0 հաջորդակա2 ∞ նությունը կա ուցենք հետ յալ կերպ: {αn }n-0 հաջորդականության յուրաքանչյուր երկրորդ անդամը (սկսա ամենաա աջինից) վերցնենք հավասար ε0 -ի, այսինքն՝ α0 - ε0 , α2 - ε0 , α4 - ε0 , . . . :

հաջորդականության մնացա անդամներից յուրաքանչյուր երկրորդը վերցնենք հավասար ε1 -ի, այսինքն՝

{αn }∞ n-0

α1 - ε1 , α5 - ε1 , α9 - ε1 , . . . :

Այնուհետ {αn }∞ n-0 հաջորդականության հաջորդականության մնացա անդամներից յուրաքանչյուր երկրորդը վերցնենք հավասար ε3 -ի այլն: Այս պրոցեսն անվերջ շարունակելով՝ կստանանք {αn }∞ n-0 դրական թվերի հաջորդականություն, որն ունի հետ յալ տեսքը. ε0 , ε 1 , ε 0 , ε 2 , ε 0 , ε 1 , ε 0 , ε 3 , ε 0 , ε 1 , ε 0 , ε 2 , ε 0 , ε 1 , ε 0 , . . . : 4-ով

նշանակենք αn կշի ներով n o միակողմանի տեղաշարժի պե(k) ∞ -ով նշանակենք այն հաջորդարատորը: k > 0 համար αn n-0 կանությունը, որը ստացվում է {αn }∞ n-0 հաջորդականության մեջ բոլոր εk -երը 0-ներով ոխարինելիս: 4k -ով նշանակենք αn(k) (ո - 0, 1, . . .) կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի պերատորը: Օրինակ, 42 -ին համապատասխան կշի ների հաջորդականությունը ունի հետ յալ տեսքը. ε0 , ε1 , ε0 , 0, ε0 , ε1 , ε0 , ε3 , ε0 , ε1 , ε0 , 0, ε0 , ε1 , ε0 , . . . :

Կա ուցումից վերը կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի պերատորի աստիճանների համար ստացվա ներկայացումից բխում է, որ k11

42k

(k - 0, 1, 2, . . .) :

8 1... Սպեկտրալ շա ավլի կիսանընդհատությունը

Հեշտ է տեսնել, որ 4 − 4k պերատորները ս հանդիսանում են կշի ներով միակողմանի տեղաշարժի պերատորներ, ընդ որում k4 − 4k k - εk

(k - 0, 1, 2, . . .) :

Հետ աբար {4k }∞ k-0 -ը նիլպոտենտ պերատորների հաջորդականություն է, որը պերատորային նորմով զուգամիտում է 4 պերատորին: Համոզվենք, որ ρ(4) » 0: Դրա համար նկատենք, որ α 0 - ε0 , α0 α1 α2 - ε20 ε1 , α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 - ε40 ε21 ε2 ,

ընդհանրապես, եթե ո - 2p − 2 (ք - 1, 2, 3, . . .), ապա p−1

α0 α1 · · · αn - ε20

p−2

ε21

· · · εp−1 :

Ուստի ո - 2p − 2 համար p−1 X

lո (α0 α1 · · · αn ) -

2p−1−k lո εk - 2p

k-0

կամ " lո

n |

n11

α4

4-0

Քանի որ

∞ X lո εk k-0

2kո1

p−1 X lո εk

p−1

2p X lո εk - p : 2 −1 2kո1

2kո1

(1.9.6)

k-0

շարքը զուգամետ է, ուստի p−1

2p X lո εk 2p − 1 2kո1 k-0

հաջորդականությունը ներք ից սահմանա ակ է: Հետ աբար

p−1 P 1ո εk 2p 2p −1 2k11 k=0

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

հաջորդականությունը կլինի ներք ից սահմանա ակ ինչ-որ r թվով: Նշանակենք kp - 2p − 1

»0

(ք - 1, 2, . . .),

այդ դեպքում (վերցնելով ո - 2p − 2) (1.9.6)-ից կստանանք kp

kp −1

Տսp m>0

αmո4

kp −1

α4

"2p −2 |

4-0

" n |

α4

4-0

" α4

" 2p1−1

n11

> r,

4-0

(1.9.5)-ից կբխի, որ ρ(4) - liո Տսp

k→∞ m>0

k−1 |

αmո4

4-0

kp −1

- liո Տսp

p→∞ m>0

αmո4

>r:

4-0

Այսպիսով, ρ(4) > r » 0: Ստացվա ը ցույց է տալիս, որ 4n → 4 ա նչությունից չի բխում, որ ρ(4n ) → ρ(4) (չէ՞ որ ρ(4n ) - 0 (ո - 1, 2, . . .), իսկ ρ(4) » 0), այսինքն՝ սպեկտրալ շա ավիղը խզվում է: § 1.10. Թվային պատկեր

թվային պատկեր

հանրահաշվական

Դիցուք H -ը կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ություն է: Դիտարկենք 8L (H) գ ային սահմանա ակ պերատորների հանրահաշիվը: Սահմանում 1.10.1: 7 ∈ 8L(H) պերատորի թվային պատկեր է կոչվում 7 (7 ) - {(7 x, x) : kxk - 1}

բազմությունը:

8 1.10. Թվային պատկեր

հանրահաշվական թվային պատկեր

Tյոպլից-Խելինգերի թեորեմ: ∀7 ∈ 8L(H) համար 7 (7 )-ն ու ու-

ցիկ բազմություն է: Թեորեմն ընդունում ենք ա անց ապացույցի: I Խնդիր: Բերել պերատորի րինակ, որի թվային պատկերը ակ չէ: Թեորեմ 1.10.1: ∀7 ∈ 8L(H) համար σ(7 ) ⊂ 7 (7 ): Թեորեմն ընդունում ենք ա անց ապացույցի: I Hետ անq 1.10.1: ∀7 ∈ 8L(H) համար ԸՕոո σ(7 ) ⊂ 7 (7 ): Ապացույցը բխում է նախորդ թեորեմից Տյոպլից-Խելինգերի թեորեմից: Ֆիքսենք կամայական x ∈ H , kxk - 1: Դիտարկենք 8L(H)-ի վրա որոշվա

ϕx (7 ) - (7 x, x)

ֆունկցիոնալը: ∀7

∈ 8L(H)

համար ունենք

|ϕx (7 )| - |(7 x, x)| 6 k7 xk · kxk 6 k7 k · kxk2 - k7 k,

ուստի ϕx -ը սահմանա ակ է

kϕx k 6 1:

Մյուս կողմից

ϕx (I) - 1,

ուստի kϕx k - 1: Այժմ դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, 4∗ -ը 4-ի համալու ն է, իսկ 5(4∗ ) - {ϕ ∈ 4∗ : kϕk - 1} :

Նշանակենք ՛(4, x) - {ϕ ∈ 5(4∗ ) : ϕ(x) - 1}

(x ∈ H) :

՛(4, 6)-ի ոխարեն կգրենք ՛(4): ՛(4)-ին կանվանենք նորմալի-

զացվա վիճակների բազմություն, իսկ նրա էլեմենտներին՝ նորմալիզացվա վիճակներ: Ըստ Բանախ-Ալագլուի թեորեմի՝ 5(4∗ )-ը թույլ կոմպակտ է, ուստի ՛(4)-ն ս կլինի թույլ∗ կոմպակտ: Ակնհայտ է, նա , որ ՛(4)-ն ու ուցիկ է, այսինքն՝ եթե ϕ, ψ ∈ ՛(4), α, β > 0, α + β - 1, ապա αϕ + βψ ∈ ՛(4): Վերն ասվա ից բխում է, որ ϕx ∈ ՛ (8L (H)):

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Սահմանում 1.10.2: a պատկեր է կոչվում

∈ 4

էլեմենտի հանրահաշվական թվային

Մ (a) - {ϕ(a) : ϕ ∈ ՛(4)}

բազմությունը: Քանի որ ՛(4)-ն թույլ∗ կոմպակտ է, ուստի Մ (a)-ն կլինի C-ում կոմպակտ բազմություն: Հեշտ է տեսնել, որ Մ (a)-ն նա ու ուցիկ է: Թեորեմ 1.10.2: ∀7 ∈ 8L(H) համար 7 (7 ) - Մ (7 ): Թեորեմն ընդունում ենք ա անց ապացույցի: I Եթե ուզում ենք ընդգ ել, որ a էլեմենտի հանրահաշվական թվային պատկերը դիտարկվում է 4 հանրահաշվի նկատմամբ, ապա Մ (a)-ի ոխարեն կգրենք Մ (a, 4): Դիցուք 8 բանախյան հանրահաշիվը հանդիսանում է 4 բանախյան հանրահաշվի ընդլայնում, a ∈ 4: Նկատենք, որ Մ (a, 4) - Մ (a, 8) :

Իրոք, ըստ Հան Բանախի թեորեմի ϕ → ϕ|A արտապատկերումը է ՛(4)-ի վրա: Հիշենք, որ σA (a)-ն տարբեր լինել: Բերենք հանրահաշվական թվային պատկերի որոշ հատկություններ: 1◦ ∀a ∈ 4 համար Մ (a) ⊂ 8(0, kak): J Իրոք, λ ∈ Մ (a) համար ունենք |λ| - |ϕ(a)| 6 kak: I ◦ 2 Դիցուք a, b ∈ 4, իսկ α, β ∈ C: Այդ դեպքում՝ 1) Մ (a + b) ⊂ Մ (a) + Մ (b), 2) Մ (α6 + βa) - α + βՄ (a): Ապացույցն ակնհայտ է: I 3◦ ∀a ∈ 4 համար

՛(8)-ն արտապատկերում σB (a)-ն կարող են իրարից

Մ (a) -

D (2, k26 − ak) :

z∈C

Ապացույց: Դիցուք λ ∈ Մ (a) ⇒ ∃ϕ ∈ ՛(4) այնպես, որ λ - ϕ(a): Այդ դեպքում ∀2 ∈ C համար կունենանք

|2 − λ| - |ϕ(26) − ϕ(a)| - |ϕ(26 − a)| 6 k26 − ak,

8 1.10. Թվային պատկեր

հանրահաշվական թվային պատկեր

ուստի λ ∈ D (2, k26 − ak): Այսպիսով՝ Մ (a) ⊂

D (2, k26 − ak) :

z∈C

Այժմ ցույց տանք, որ նա Ո

D (2, k26 − ak) ⊂ Մ (a) :

z∈C

Դիցուք λ ∈

D (2, k26 − ak):

Եթե a-ն

6-ն

գ որեն կախյալ են,

z∈C

ապա կունենանք a - µ6, ուստի Մ (a) - {µ} :

Ունենք λ ∈ D (2, k26 − ak) (∀2 ∈ C), որտեղ վերցնելով 2 - µ, կստանանք λ - µ ∈ Մ (a): Այժմ դիցուք a-ն 6-ն գ որեն անկախ են: Նշանակենք L - Տp{a, 6} (այսինքն՝ a 6 վեկտորների գ ային թաղանթը): ∀ս ∈ L վեկտոր միակ ձ ով կգրվի ս - α6 + βa

գ ային կոմբինացիայի տեսքով: Սահմանենք ϕ0 : L → C գ ային ֆունկցիոնալը՝ ∀ս - α6 + βa ∈ L համար վերցնելով ϕ0 (ս) - α + βλ :

Ակնհայտ է, որ ϕ0 -ն կլինի գ ային: Համոզվենք, որ |ϕ0 (ս)| 6 kսk

Դիցուք ս - α6 + βa: Երբ β Դիցուք β 6- 0: Ունենք

- 0,

(ս ∈ L) :

(1.10.1)

(1.10.1)-ը դա նում է ակնհայտ:

λ ∈ D (2, k26 − ak)

(∀2 ∈ C),

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ α β

որտեղ վերցնելով 2 - − , կստանանք λ+

α α 6 − 6−a , β β

որի երկու կողմը բազմապատկելով |β|-ով՝ կստանանք |ϕ0 (ս)| - |α + βλ| 6 kα6 + βak - kսk :

Քանի որ ϕ0 (6) - 1, ուստի kϕ0 kL - 1: Բացի այդ, ϕ0 (a) - λ: Ըստ Հան-Բանախի թեորեմի՝ ∃ϕ ∈ 5(4∗ ), որ ϕ(ս) - ϕ0 (ս)

Այդ դեպքում կունենանք ϕ ∈ ՛(4) Հատկությունն ապացուցվա է: 4◦ ∀a ∈ 4 համար σ(a) ⊂ Մ (a): Ապացույց: Ցույց տանք, որ

(ս ∈ L) : λ - ϕ(a),

ուստի λ ∈ Մ (a):

C \ Մ (a) ⊂ Ω(a) :

Դիցուք λ ∈ C \ Մ (a): Ըստ նախորդ հատկության՝ ∃2 ∈ C այնպես, որ |2 − λ| » k26 − ak,

որտեղից կբխի, որ 6 − (2 − λ)−1 (26 − a) ∈ 4−1 :

Ունենք 6 − (2 − λ)−1 (26 − a) - (2 − λ)−1 |(2 − λ)6 − (26 − a)| - (2 − λ)−1 |26 − λ6 − 26 + a| - (2 − λ)−1 (a − λ6),

ուստի (քանի որ 2 − λ 6- 0), h i a − λ6 - (2 − λ) 6 − (2 − λ)−1 (26 − a) ∈ 4−1 ,

8 1.11. Փակտոր - հանրահաշիվ

հետ աբար՝ λ ∈ Ω(a): Հատկությունն ապացուցվա է: Այժմ դիցուք 4-ն 8 -ն բանախյան հանրահաշիվներ են, իսկ π : 4 → 8 հոմոմորֆիզմը բավարարում է π(6) - 6,

kπ(a)k 6 kak

պայմաններին (ճիշտ կլիներ գրել՝ π(6A ) - 6B , kπ(a)kB 6 kakA , սակայն ինդեքսում 4-ն 8 -ն մենք բաց կթողնենք՝ նշանակումները չ անրաբե նելու համար): Այդ դեպքում նկատենք, որ Մ (π(a)) ⊂ Մ (a) :

Իրոք, դա բխում է նրանից, որ եթե ϕ ∈ ՛(8), ապա ψ - ϕ(π(·)) ∈ ՛(4) :

§ 1.11. Ֆակտոր - հանրահաշիվ

Դիցուք 4-ն գ ային տարա ություն է, իսկ N ⊂ 4 ենթատարա ություն է: ∀x ∈ 4 համար π(x)-ով նշանակենք 4-ի այն հարակից դասն ըստ N -ի, որը պարունակում է x-ը, այլ կերպ ասա ՝ π(x) - x + N : 4/N -ով 4/N -ում

նշանակենք բոլոր հարակից դասերի բազմությունը: սահմանենք գումարման սկալյարով բազմապատկման գոր ողությունները հետ յալ բանաձ երով՝ π(x) + π(y) - π(x + y),

απ(x) - π(αx) :

Նկատենք, որ սահմանումները կո եկտ են, այսինքն՝ եթե π(x) - π(x0 ), π(y) - π(y 0 ), ապա π(x) + π(y) - π(x0 ) + π(y 0 ),

απ(x0 ) - απ(x) :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Իրոք, քանի որ π(x) - π(x0 ), π(y) - π(y0 ), ուստի x−x0 , y −y0 ∈ N հետ աբար (x + y) − (x0 + y 0 ), αx − αx0 ∈ N,

որտեղից կբխի, որ π(x + y) - π(x0 + y 0 ),

π(αx0 ) - π(αx)

հետ աբար՝ π(x) + π(y) - π(x + y) - π(x0 + y 0 ) - π(x0 ) + π(y 0 ), απ(x) - π(αx) - π(αx0 ) - απ(x0 ) :

Այս ձ ով գոր ողությունները սահմանելու դեպքում 4/N -ը դա նում է գ ային տարա ություն (նրանում 0-ի դերը տանում է π(0) - N դասը), որին անվանում են 4-ի ֆակտոր-տարա ություն ըստ N ենթատարա ության: Պարզ է, որ π : 4 → 4/N կլինի գ ային արտապատկերում, ընդ որում էer(π) - N : π -ն կոչվում է ֆակտոր-արտապատկերում կամ կանոնական արտապատկերում՝ 4-ից 4/N -ի վրա: Այժմ դիցուք 4-ն հանրահաշիվ է, իսկ N -ը 4-ում երկկողմանի իդեալ է: Եթե x0 − x, y0 − y ∈ N , ապա x0 y 0 − xy - (x0 − x)y 0 + x(y 0 − y)

նույնությունից կբխի, որ - π(xy): Ուստի

x0 y 0 − xy ∈ N

π(x)π(y) - π(xy)

հետ աբար

π(x0 y 0 ) -

(x, y ∈ 4)

բանաձ ով 4/N -ում ներմու վա բազմապատկման գոր ողությունը կլինի կո եկտ, հեշտ է տեսնել, որ 4/N -ը կդա նա հանրահաշիվ: Եթե 6-ն 4-ի միավորն է, ապա E - 6 + N կլինի միավոր 4/N -ում:

8 1.11. Փակտոր - հանրահաշիվ

Այժմ դիցուք 4-ն գ ային նորմավորվա տարա ություն է, իսկ N ⊂ 4 ակ ենթատարա ություն է: 4/N -ում ներմու ենք նորմ՝ kπ(x)k - iոf{kx + 2k : 2 ∈ N }

բանաձ ով: Հեշտ է տեսնել, որ այս սահմանումը կո եկտ է (այսինքն՝ եթե π(x) - π(x0 ), ապա kπ(x)k - kπ(x0 )k): Ֆունկցիոնալ անալիզի դասընթացում ապացուցվել է, որ սա իրոք 4/N -ում հանդիսանում է նորմ, ընդ որում եթե 4-ն լրիվ է, ապա 4/N -ը ս լրիվ է: Պարզ է նա , որ kπ(x)k 6 kxk (x ∈ 4): Այժմ դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ N ⊂ 4 ակ սե ական երկկողմանի իդեալ է: Դիցուք x1 , x2 ∈ 4 կամայական էլեմենտներ են: Այդ դեպքում ∀δ » 0 համար ∃y1 , y2 ∈ N , որ kx4 + y4 k 6 kπ(x4 )k + δ

(i - 1, 2),

ինչն անմիջապես բխում է ֆակտոր-նորմի սահմանումից: Քանի որ (x1 + y1 ) (x2 + y2 ) ∈ x1 x2 + N , ուստի kπ(x1 x2 )k 6 k(x1 + y1 )(x2 + y2 )k 6 kx1 + y1 k kx2 + y2 k 6 6 (kπ(x1 )k + δ) (kπ(x2 )k + δ) ,

որտեղից

δ -ի

կամայականությունից կբխի, որ kπ(x1 x2 )k 6 kπ(x1 )k · kπ(x2 )k :

Ցույց տանք, որ նա kπ(6)k - 1 (6-ն 4-ի միավորն է): Իրոք, քանի որ N -ը սե ական իդեալ է, ուստի π(6) 6- N kπ(6)k - kπ(6 · 6)k 6 kπ(6)k · kπ(6)k

ա նչությունից կբխի, որ kπ(6)k > 1: Մյուս կողմից, ունենք kπ(x)k 6 kxk (x ∈ 4), ուստի kπ(6)k 6 k6k - 1 հետ աբար kπ(6)k - 1: Այսպիսով ապացուցվեց, որ եթե 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ N -ը 4-ի սե ական երկկողմանի ակ իդեալ է, ապա 4/N -ը ս բանախյան հանրահաշիվ է:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

§ 1.12. Ֆակտոր - հանրահաշվի էլեմենտների

հանրահաշվական թվային պատկերը

Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ 7 ⊂ 4 երկկողմանի

ակ (սե ական) իդեալ է: Ինչպես նախորդ պարագրաֆում տեսանք, յուրաքանչյուր այդպիսի իդեալ նում է πՇ : 4 → 4/7 կանոնական հոմոմորֆիզմ՝ πՇ (a) - a + 7,

ընդ որում kπՇ (a)k 6 kak ,

πՇ (6) - 6A/Շ :

Ֆիքսենք կամայական a ∈ 4 նշանակենք â - πՇ (a): Ֆակտոր-նորմը կնշանակենք երեք գ ով՝ ||| · |||: Ըստ § 1.10-ի վերջում ապացուցվա արդյունքների՝ Մ (â) ⊂ Մ (a) :

Ըստ այդ պարագրաֆի մեջ հանրահաշվական թվային պատկերի 3◦ հատկության՝ Ո D (2, |||26̂ − â|||) :

Մ (â) -

z∈C

Ըստ ֆակտոր-նորմի սահմանման՝ |||26̂ − â||| - iոf k26 − (a + j)k , j∈Շ

ուստի D (2, |||26̂ − â|||) -

D (2, k26 − (a + j)k) ,

j∈C

հետ աբար Մ (â) -

Ո Ո

D (2, k26 − (a + j)k) -

z∈C j∈Շ

Ո Ո j∈Շ z∈C

D (2, k26 − (a + j)k) -

Մ (a + j) :

j∈Շ

Այստեղից անմիջապես բխում է նա վերը գրվա

ա նչությունը (չէ՞ որ 0 ∈ 7 ):

Մ (â) ⊂ Մ (a)

8 1.18. Պերմիտյան

նորմալ էլեմենտներ

§ 1.13. Հերմիտյան

նորմալ էլեմենտներ

Խնդիր 1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, նակենք

a ∈ 4:

Նշա-

ρո (a) - Տսp{ոe λ : λ ∈ σ(a)}, ρ− (a) - iոf{ոe λ : λ ∈ σ(a)}, vո (a) - Տսp{ոe λ : λ ∈ Մ (a)}, v− (a) - iոf{ոe λ : λ ∈ Մ (a)} : ρո (a), ρ− (a), vո (a), v− (a) մե ություններին անվանում են համապատասխանաբար a էլեմենտի վերին սպեկտրալ աբսցիս, ստորին

սպեկտրալ աբսցիս, վերին թվային աբսցիս, ստորին թվային աբսցիս (պարզ է, որ v− (a) 6 ρ− (a) ρո (a) 6 vո (a)): Ապացուցել, որ lո kexp(էa)k , t→ո0 է

vո (a) - liո

lո kexp(էa)k , է lո kexp(էa)k v− (a) - liո , t→−0 է lո kexp(էa)k ρ− (a) - liո :I t→−∞ է ρո (a) - liո

t→ո∞

Կարելի է ներմու ել նա սպեկտրալ թվային րդինատներ (սահմանումների մեջ ոe-ն կ ոխարինենք Iո-ով): Սահմանում 1.13.1: a ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է հերմիտյան, եթե Մ (a) ⊂ R: 4 բանախյան հանրահաշվի հերմիտյան էլեմենտները կազմում են իրական գ ային տարա ություն, որը նշանակվում է H(4): Թեորեմ 1.13.1: Որպեսզի a ∈ 4 էլեմենտր լինի հերմիտյան, անհրաժեշտ է բավարար, որ kexp(iէa)k - 1

(∀է ∈ R) :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Թեորեմն ընդունում ենք ա անց ապացույցի: I Սահմանում 1.13.2: v(a) - Տսp {|λ| : λ ∈ Մ (a)} կանվանենք a էլեմենտի թվային շա ավիղ: Սահմանում 1.13.3: a ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է հերմիտյան իմաստով տրոհվող, եթե ∃հ, k ∈ H(4), որ a - հ + ik: Դժվար չէ տեսնել, որ a - հ + ik (հ, k ∈ H(4)) ներկայացումը, եթե այն գոյություն ունի, միակն է: Սահմանում 1.13.4: Հերմիտյան իմաստով տրոհվող a - հ + ik (հ, k ∈ H(4)) էլեմենտի համալու է կոչվում aո - հ − ik էլեմենտը: Սահմանում 1.13.5: a ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է նորմալ, եթե a-ն հերմիտյան իմաստով տրոհվում է՝ a - հ + ik, որտեղ հ, k ∈ H(4), ընդ որում |հ, k| - հk − kհ - 0: Վերջին հավասարությունը համարժեք է aaո - aո a հավասարությանը: Թեորեմ 1.13.2: Եթե a ∈ 4 էլեմենտր նորմալ է, ապա ԸՕոո σ(a) - Մ (a) :

Այս թեորեմը ս ընդունում ենք ա անց ապացույցի: I Սահմանում 1.13.6: a ∈ 4 էլեմենտը կոչվում է քվազինորմալ, եթե ո ∈ 4 էլեմենտ, որ |a, aո | - 0 գոյություն ունի այնպիսի a ( 1 ) exp λa − λaո - o |λ| 2 , երբ |λ| → ∞, λ ∈ C: Ակնհայտ է, որ նորմալ էլեմենտը քվազինորմալ է, ընդ որում 1.13.6 սահմանման մեջ հանդես եկող aո էլեմենտը a էլեմենտի համալու ն է: Խնդիր 2: Դիցուք / : D (0, 1) → 4 այնպիսի 4-արժեքանի անալիտիկ ֆունկցիա է, որ ∀λ ∈ D (0, 1) համար / (λ)-ն քվազինորմալ էլեմենտ է 4-ում: Ապացուցել, որ / (D (0, 1))-ը կոմուտատիվ ենթաբազմություն է 4 հանրահաշվում: I Սահմանում 1.13.7: Դիցուք 7 -ն իդեալ է 4 բանախյան հանրահաշվում: Կասենք 7 իդեալն ժտվա է (ՇԻP) հատկությամբ, եթե կամայական x-ի քվազինորմալ a-ի դեպքում |a, x| ∈ 7 պայմանից բխում է, որ |aո , x| ∈ 7 :

8 1.18. Պերմիտյան

նորմալ էլեմենտներ

Խնդիր 3: Ապացուցել, որ 4-ում կամայական ակ իդեալ ժտվա

է (ՇԻP) հատկությամբ:

Սահմանում 1.13.8: a

∈ 4 էլեմենտը կոչվում է սուբնորմալ, եթե գոյություն ունի 4-ի այնպիսի 8 բանախյան ընդլայնում այնպիսի ո ∈ 8 նորմալ էլեմենտ, որ σA (a) - σB (ո)

ՍՍ

աj ,

որտեղ աj -երը σB (ո)-ի լրացման ինչ-որ կոմպոնենտներ են: Եթե a-ն սուբնորմալ է, ապա պարզվում է, որ ԸՕոո σA (a) - ԸՕոո σB (a) - Մ (a) : I

(վերջին հավասարությունը բխում է 1.13.2 թեորեմից): Խնդիր 4: Կամայական 4 բանախյան հանրահաշվում նկարագրել այն a էլեմենտները, որոնց համար

Օրինակ: Որպես

ԸՕոո σ(a) - Մ (a) : I ) 4 վերցնենք 8L L2 (0, 1) -ը:

Դիտարկենք նույնաբար 1 կորիզով Վոլտերայի ինտեգրալ պերատորը՝ Zx (Մ / )(x) -

/ (է) dէ

) / ∈ L2 (0, 1) :

Սա Հիլբերտ- միդտի պերատոր է, ուստի լիովին անընդհատ է: Դժվար չէ ցույց տալ, որ Մ -ն չունի սե ական արժեքներ: Ուստի σ(Մ ) ⊂ {0}: Այլ կերպ ասա ՝ Մ -ն քվազինիլպոտենտ է: Պարզվում է, որ Մ -ի հանրահաշվական թվային պատկերը հանդիսանում է է − Տiո է 1 − ԸՕՏ է ±i է է2

(0 6 է 6 2π)

կորերով սահմանա ակվա

ակ ու ուցիկ տիրույթը: Ուստի Մ պերատորն ժտվա չէ նախորդ խնդրում նշվա հատկությամբ: I

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Նշենք, որ ինչպես այս, այնպես էլ նախորդ պարագրաֆներում թվային պատկերին հանրահաշվական թվային պատկերին վերաբերող նյութը հանդիսանում է հիմնականում վերջերս ստացվա

արդյունքներից ի մի բերվա նյութ ունի ավելի շատ ինֆորմացիոն բնույթ: § 1.14. Սուբհարմանիկ ֆունկցիաներ

դրանց որոշ կիրա ություններ բանախյան հանրահաշիվներում

Այս պարագրաֆում մենք կբերենք սուբհարմոնիկ ֆունկցիաների մասին որոշ աստեր |4|, |21| գրքերից կստանանք դրանց որոշ կիրա ություններ բանախյան հանրահաշիվներում: Փաստերի մի մասի համար կտրվեն սխեմատիկ ապացույցներ: Սահմանում 1.14.1: Դիցուք / : D → |−∞, ∞), որտեղ D ⊂ C տիրույթ է: / -ը կոչվում է սուբհարմոնիկ, եթե՝ 1) / -ը D-ում կիսանընդհատ է վեր ից, այսինքն՝ / (λ0 ) 6 liո / (λ) λ→λ0

2) եթե λo ∈ D

r»0

(∀λ0 ∈ D) ,

այնպիսին են, որ D(λ0 , r) ⊂ D, ապա

/ (λ0 ) 6 2π

Z2π ( / λ0 + r64θ dθ :

Պարզ է, որ հարմոնիկ ֆունկցիան սուբհարմոնիկ է: Լեմմա 1.14.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, D ⊂ C տիրույթ է, / : D → 4 անալիտիկ ֆունկցիա է ք > 1: Այդ դեպքում k/ kp -ր սուբհարմոնիկ է: Ապացույց: Նախ դիտարկենք 4 - C դեպքը: Ըստ անալիտիկ ֆունկցիաների համար միջին արժեքի թեորեմի՝ / (λ0 ) 2π

Z2π ( / λ0 + r64θ dθ

(

D(λ0 , r) ⊂ D ,

8 1.1/. Սուբհարմանիկ ֆունկցիաներ

ուստի |/ (λ0 )| 6 2π

Z2π

որոշ կիրա ություններ . . .

( / λ0 + r64θ dθ :

Հետ աբար |/ |-ը սուբհարմոնիկ է:2 Այժմ դիցուք ք » 1, իսկ զ-ն ք-ի 1 1 համալու ցուցիչն է + - 1 : Օգտվելով Հյոլդերի անհավաք զ սարությունից՝ կունենանք  p  1 Z2π (  p 4θ |/ (λ0 )| 6 / λ0 + r6 dθ  2π 

  1q p  p1  2π 2π   Z Z   p ( q −p 4θ     · 1 · dθ 6 (2π) · / λ0 + r6 dθ    

- (2π)−p (2π)

p q

Z2π

(

/ λ0 + r64θ

Z2π

dθ -

p ( / λ0 + r64θ dθ,

հետ աբար -ը սուբհարմոնիկ է: Այժմ անցնենք ընդհանուր դեպքի ապացույցին: Դիցուք D (λ0 , r) ⊂ D: Ըստ Հան-Բանախի թեորեմի հետ անքի՝ ∃Λ ∈ 4∗ այնպիսին, որ kΛk - 1 k/ (λ0 )k - Λ/ (λ0 ): Ըստ վերն ապացուցվա ի՝ |Λ/ |p -ը սուբհարմոնիկ է, ուստի |/ |p

k/ (λ0 )k - |Λ/ (λ0 )| 6 2π p

Z2π

( p Λ/ λ0 + r64θ dθ 6

2π

Z2π

(

4θ

kΛk · / λ0 + r6

Լեմման ապացուցվա է:

dθ 2π

Z2π

( / λ0 + r64θ

dθ :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Օկա- ոտշտեյնի թեորեմը: Եթե γ :

2 - 2(է) (0 6 է 6 1) ժորD տիրույթում, / : D ⊂ C → |−∞, ∞)

դանյան կորն րնկա է սուբհարմոնիկ ֆունկցիա է, ապա

liո / (2(է)) - / (2(0)) :

t→0

Ապացույցը տես՝ |4| գրքում: I Լեմմա 1.14.2: Եթե 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, ապա

↓ ρ(a) :

Ապացույցը բխում է (1.7.6) բանաձ րից. a2

n11

2n11

- a2 · a2

2n11

a ∈ 4,

ից n

հետ յալ ա նչություննեn

· a2

)

2n11

- a2

Լեմման ապացուցվա է: Լեմմա 1.14.3: Եթե ս > 0, ապա որպեսզի lո ս լինի սուբհարմոնիկ, անհրաժեշտ է բավարար, որ ∀α ∈ C համար |6αz | ս ֆունկցիան լինի սուբհարմոնիկ: I Վեzենտինիի թեորեմը: Եթե / : D ⊂ C → 4 անալիտիկ է, ապա λ Է→ ρ(/ (λ)) ֆունկցիան սուբհարմոնիկ է:

ստ 1.1:.1 լեմմայի՝ λ Է→ / 2 (λ) ֆունկցիան սուբհարմոնիկ է: 1.1:.3 լեմմայի գնությամբ ցույց կտանք, որ 21 lո / 2 (λ) ֆունկցիան ս կլինի սուբհարմոնիկ: 1.1:.2 լեմմայից կբխի, որ -

Apaցowyց:

lո / 2 (λ) ↓ lո (ρ(/ (λ))) , n

ուստի lո (ρ(/ (λ))) ս կլինի սուբհարմոնիկ, հետ աբար, սուբհարմոնիկ կլինի ρ(/ (λ)) - 6ln(ρ(f (λ)))

ֆունկցիան: Թեորեմն ապացուցվա է:

8 1.1/. Սուբհարմանիկ ֆունկցիաներ

որոշ կիրա ություններ . . .

Թեորեմ 1.14.1: Որպեսզի b էլեմենտր լինի քվազինիլպոտենտ (b ∈ ոոd(4)),

անհրաժեշտ է բավարար, որ ρ(a + λb) - 0 λ→∞ |λ|

(∀a ∈ 4) :

liո

(1.14.1)

Ապացույց: Ֆիքսա λ 6- 0 համար նշանակելով է - λ1 , կունենանք p p ρ(a + λb) liո n k(a + λb)n k - liո n k(b + էa)n k n→∞ |λ| |λ| n→∞ - ρ(b + էa) :

Ուստի (1.14.1)-ը համարժեք է liո ρ(b + էa) - 0

t→0

(∀a ∈ 4)

(1.14.2)

ա նչությանը: Քանի որ ρ(b + էa) > 0, ուստի (1.14.2)-ը համարժեք է liո ρ(b + էa) - 0 (∀a ∈ 4) (1.14.3) t→0 ա նչությանը: Քանի որ է Է→ b + էa ֆունկցիան անալիտիկ է, ուստի Վեզենտինիի թեորեմից կբխի, որ ρ(b + էa) ֆունկցիան սուբհարմոնիկ է, Օկա- ոտշտեյնի թեորեմից կբխի, որ (1.14.3)-ը համարժեք է ρ(b) - 0 ա նչությանը: Թեորեմն ապացուցվա է: Կլեյնեկե- իրոկովի թեորեմը: Եթե որ է a, b ∈ 4 համար |a: |a, b|| - 0,

ապա |a, b| ∈ ոոd(4) :

Ապացույց:

Դիտարկենք / (λ) - exp(λa) b exp(−λa) ֆունկցիան: Սա 4 արժեքանի ամբողջ անալիտիկ ֆունկցիա է: Գրենք / -ի Թեյլորի վերլու ությունը՝ / (λ) - / (0) + λ/ 0 (0) +

λ2 00 λn (n) / (0) + · · · + / (0) + · · · 2: ո:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Հեշտ է տեսնել, որ / (0) - b,

/ 0 (0) - |a, b|,

/ 00 (0) - |a, |a, b||,

/ 000 (0) - |a, |a, |a, b|||,

այլն: Ուստի թեորեմի պայմաններում / 00 (0) - / 000 (0) - · · · - 0,

կստանանք / (λ) ≡ b + λ|a, b|,

հետ աբար ρ(/ (λ)) ρ (6xք(λa) b 6xք(−λa)) ρ(b + λ|a, b|) |λ| |λ| |λ| -

ρ (6xք(−λa) 6xք(λa) b) ρ(b) −−−→ 0, |λ| |λ| λ→∞

նախորդ թեորեմից կբխի, որ |a, b| ∈ ոոd(4): Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 1.14.1: Եթե a, b ∈ 4, ապա |a, b| 6- 6: 1 ապացույց: Ենթադրենք հակա ակը՝ |a, b| - 6: Այդ դեպքում կստանանք |a: |a, b|| - |a: 6| - 0,

Կլեյնեկե- իրոկովի թեորեմից կբխի, որ |a, b| ∈ ոոd(4): Ստացվեց, որ 6 ∈ |a, b| ∈ ոոd(4),

ինչը հակասություն է, քանի որ ρ(6) - 1 6- 0: ապացույցը կատարենք պարզ (իտերացիոն) մեթոդով՝ չգտագոր ելով Կլեյնեկե- իրոկովի թեորեմը: Ենթադրենք հակա ակը՝ ∃a, b ∈ 4, որ

|a, b| - 6 :

8 1.1/. Սուբհարմանիկ ֆունկցիաներ

որոշ կիրա ություններ . . .

Այդ դեպքում ո - 1, 2, . . . համար կունենանք ) |an , b| - an b − ban - aan−1 b − ban - a ban−1 + an−1 , b − ban - aban−1 + a an−1 , b − ban - (ba + 6)an−1 + a an−1 , b − ban - ban + an−1 + a an−1 , b − ban - an−1 + a an−1 , b , |an , b| - an−1 + a an−1 , b :

Օգտվելով վերջինիցս կստանանք, որ

կիրա ելով ինդուկցիա՝ հեշտությամբ

|an , b| - ոan−1

(ո - 1, 2, . . .) :

Ուստի ո an−1 - k|an , b|k - kan b − ban k 6 kan bk + kban k 6 6 kan k kbk + kbk kan k - 2 kan k kbk - 2 an−1 · a kbk 6 6 2 an−1 · kak · kbk,

որտեղից an−1 6- 0 դեպքում կստանանք ո 6 2kak kbk :

Հետ աբար, եթե a-ն նիլպոտենտ չէ, ապա ո 6 2kak kbk

(ո - 1, 2, . . .)

ինչը հակասություն է: Ուստի a-ն նիլպոտենտ է: Քանի որ |a, b| - 6, ուստի |−b, a| - 6,

վերը արվա դատողություններում a-ն ոխարինելով (−b)-ով, իսկ b-ն a-ով՝ կստանանք, որ (−b)-ն նիլպոտենտ է, կամ որ նույնն է՝ b-ն նիլպոտենտ է:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Այսպիսով, a-ն

b-ն

նիլպոտենտ են, ընդ որում |a, b| - 6 :

Վարը (տես՝ թեորեմ 2.2.1) կոմուտատիվ դեպքի համար մենք կտեսնենք, որ ոոd(4) ադիկալը 4-ի իդեալ է (դատողությունները մե ամասամբ կիրա ելի են նա ոչ կոմուտատիվ դեպքում): Ուստի a, b ∈ ոոd(4) ա նչությունից 6 - |a, b| - ab − ba

ներկայացումից կբխի, որ 6 ∈ ոոd(4), ինչը հակասություն է: Հետ անքն ապացուցվա է: Դիտողություն 1.14.1: Վերն ապացուցվա հետ անքից բխում է, որ Ճ բանախյան տարա ությունում գոր ող ցանկացա

4, 8 գ ային անընդհատ պերատորների համար |4, 8| 6- I : Երբ 4 8 պերատորներից գոնե մեկն անսահմանա ակ է, |4, 8| - I ա նչությունը կարող է տեղի ունենալ. այդպիսի իրավիճակ է քվանտային մեխանիկայից հայտնի Հայզենբերգի անորոշություններում: I § 1.15. Ֆունկցիոնալ հաշիվ

Դիցուք Ω ⊂ C բաց բազմություն է, K -ն Ω-ի կոմպակտ ենթաբազմություն է, γ1 , γ2 , . . . , γn ⊂ Ω կողմնորոշվա հատվա ներ են, n Ս որոնցից ոչ մեկը չի հատվում K -ի հետ Γ - γj : Այդ դեպքում j-1

ϕ:Γ→C

ֆունկցիայի ինտեգրալը՝ տարա վա Γ-ով, սահմանվում Z ϕ(λ) dλ Γ

n Z X

ϕ(λ) dλ

j-1 γ

բանաձ ով: Ինչպես հայտնի է կոմպլեքս անալիզի դասընթացից, Γ-ն կարելի է ընտրել այնպես, որ այն K -ի յուրաքանչյուր կետ

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

շրջանցի մի անգամ, այսինքն՝ IոdΓ (2) 2π

dλ λ−2

1, 2 ∈ K, 0, 2 ∈ 6 Ω,

(1.15.1)

այդ դեպքում յուրաքանչյուր համար ճիշտ է / (2) 2π

/ ∈ H(Ω)

(λ − 2)−1 / (λ) dλ

հոլոմորֆ ֆունկցիայի

(2 ∈ K)

(1.15.2)

Կոշու բանաձ ը: (1.15.1)-ի հետ կապվա հաճախ ասում են, որ Γ-ն ընդգրկում է K -ն Ω-ում: Նշենք, որ K -ն, Ω-ն Γ-ն կարող են կապակցվա չլինել: Լեմմա 1.15.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4, α ∈ C \ σ(x), Ω - C \ {α} Γ կոնտուրն րնդգրկում է σ(x)-ն Ω-ում: Այդ դեպքում 2πi

(α − λ)n (λ6 − x)−1 dλ - (α6 − x)n

(ո ∈ Z) :

(1.15.3)

Ապացույց: (1.15.3)-ի ձախ մասը նշանակենք yn-ով: Ըստ Հիլբերտի (1.7.16) նույնության՝ λ 6∈ σ(x) համար

(λ6 − x)−1 - (α6 − x)−1 + (α − λ)(α6 − x)−1 (λ6 − x)−1 ,

ուստի yn - (α6 − x)−1 · · 2πi

2πi

(α − λ)n dλ + (α6 − x)−1 ·

Γ nո1

(α − λ)

(λ6 − x)−1 dλ :

(1.15.4)

Քանի որ IոdΓ (α) - 0, ուստի (1.15.4)-ի ա աջին գումարելին հավասար է 0-ի: Հետ աբար, (α6 − x)yn - ynո1 (ո ∈ Z) : (1.15.5)

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

(1.15.5)-ից բխում է, որ բավական է (1.15.3)-ն ապացուցել դեպքում: Այսպիսով, մենք պետք է ապացուցենք, որ Z

2πi

(λ6 − x)−1 dλ - 6 :

ո - 0

(1.15.6)

Դիցուք ΓԴ -ը 0 կենտրոնով r » kxk շա ավղով դրականորեն կողմնորոշվա շրջանագի ն է: ΓԴ -ի վրա ունենք −1

(λ6 − x)

∞ X

λ−n−1 xn :

n-0

Անդամ ա անդամ ինտեգրելով այս շարքը՝ կստանանք (1.15.6)-ը, որում Γ-ն ոխարինվա կլինի ΓԴ -ով: Սակայն (1.15.6)-ում ենթինտեգրալ ֆունկցիան x էլեմենտի եզոլվենտն է, որն իրենից ներկայացնում է σ(x)-ի լրացման վրա հոլոմորֆ 4-արժեքանի ֆունկցիա: Բացի այդ IոdΓԻ (2) - 1 - IոdΓ (2)

(∀2 ∈ σ(x)) :

Ուստի, համաձայն Կոշու թեորեմի, (1.15.6)-ի ձախ մասը չի ոխվի, եթե Γ-ն ոխարինենք ΓԴ -ով: Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 1.15.1: Դիցուք R(λ) -

n X

քj λ +

j-0

N X

Շm,k (λ − αm )−k

(1.15.7)

m,k-1

ացիոնալ ֆունկցիա է, 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4 R(λ)-ն σ(x)-ի վրա բ ե ներ չունի: Նշանակենք R(x) -

n X j-0

քj x +

N X m,k-1

Շm,k (x − αm 6)−k

(1.15.8)

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

Դիցուք Ω ⊃ σ(x) բաց բազմությունն R(λ)-ի բ ե ներ չի պարունակում, իսկ Γ կոնտուրն րնդգրկում է σ(x)-ր Ω-ում: Այդ դեպքում Z R(x) -

2πi

R(λ)(λ6 − x)−1 dλ :

Ապացույցն անմիջապես բխում է լեմմա 1.15.1-ից: I

Նշենք, որ (1.15.8)-ը հանդիսանում է բանախյան հանրահաշվի էլեմենտից ացիոնալ ֆունկցիայի ամենաբնական սահմանումը: Թեորեմ 1.15.1-ը ցույց է տալիս, որ Կոշու բանաձ ը ս բերում է նույն արդյունքին: Այսպիսով, հանգում ենք հետ յալ սահմանմանը: Սահմանում 1.15.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, Ω ⊂ C բաց բազմություն է, իսկ H(Ω)-ն Ω-ում հոլոմորֆ բոլոր կոմպլեքս արժեքանի ֆունկցիաների հանրահաշիվ է: Ըստ թեորեմ 1.8.7-ի, ΩA - {x ∈ 4 : σ(x) ⊂ Ω}

(1.15.9)

բազմությունը բաց է 4-ում: H̃ (ΩA ) բազմությունը որոշվում է հետ յալ կերպ: Այն բաղկացա է բոլոր /˜ : ΩA → 4 ֆունկցիաներից, որտեղ /˜-ը ստացվում է / ∈ H(Ω) ֆունկցիայից՝ /˜(x) 2πi

/ (λ)(λ6 − x)−1 dλ

(1.15.10)

բանաձ ով, որում Γ-ն σ (x)-ը Ω-ում ընդգրկող կամայական կոնտուր է: Բերվա սահմանումը պահանջում է որոշակի պարզաբանումներ: 1) Քանի որ Γ-ն գտնվում է σ(x)-ից դրական հե ավորության վրա x Է→ x−1 արտապատկերումն անընդհատ է 4−1 -ում, ուստի (1.15.10)-ում ենթինտեգրալ ֆունկցիան անընդհատ է, հետ աբար, ինտեգրալը գոյություն ունի /˜(x)-ն իսկապես հանդիսանում է 4 հանրահաշվի էլեմենտ: 2) Ենթինտեգրալ ֆունկցիան իրականում հանդիսանում է σ(x)-ի լրացման վրա անալիտիկ 4-արժեքանի ֆունկցիա (ավելի ճիշտ,

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

σ(x)-ի

լրացման / -ի անալիտիկության տիրույթի հատման վրա անալիտիկ 4-արժեքանի ֆունկցիա): Ուստի Կոշու թեորեմից բխում է, որ /˜(x)-ը կախվա չէ Γ կոնտուրի ընտրությունից, եթե Γ-ն ընդգրկում է σ(x)-ը Ω-ում: 3) Եթե x - α6 α ∈ Ω, ապա (1.15.10)-ից ստանում ենք /˜(α6) - / (α)6 : (1.15.11) Նկատենք, որ α6 ∈ ΩA այն միայն այն դեպքում, երբ α ∈ Ω: Եթե α ∈ C α6 ∈ 4 կետերը նույնացնենք, ապա յուրաքանչյուր / ∈ H(Ω) ֆունկցիա կարելի է դիտարկել որպես ΩA -ի ինչ-որ ենթաբազմության (ավելի կոնկրետ, ΩA -ի 6 էլեմենտով 4-ում նվա

միաչա ենթատարա ության հատման) արտապատկերում 4-ի մեջ: Այդ դեպքում /˜-ը կարելի է դիտարկել որպես / ֆունկցիայի շարունակություն: Այս կոնտեքստում հաճախ /˜(x)-ի ոխարեն գրում են պարզապես / (x): Այս ենթավերնագրի տակ մենք կգտագոր ենք /˜(x) նշանակումը, քանի որ այն հնարավորություն է ընձե ում խուսա ել որոշ երկիմաստություններից, որոնք կարող են թյուրիմացությունների բերել: 4) Եթե ս, v : ΩA → 4, ապա սv արտադրյալը սահմանվում է (սv)(5) - ս(5)v(5)

(5 ∈ ΩA )

բանաձ ով: Հեշտ է տեսնել, որ ΩA -ի վրա որոշվա բոլոր 4 արժեքանի ֆունկցիաները կազմում են հանրահաշիվ: Թեորեմ 1.15.2: H̃(ΩA)-ն կոմպլեքս հանրահաշիվ է, իսկ / Է→ /˜ արտապատկերումն իզոմորֆիզմ է H(Ω) H̃(ΩA ) հանրահաշիվների միջ : Այդ արտապատկերումն անրնդհատ է հետ յալ իմաստով. եթե /n ∈ H(Ω) (ո - 1, 2, . . .) /n -ր Ω-ի կոմպակտ ենթաբազմությունների վրա հավասարաչա զուգամիտում է / ֆունկցիային, ապա /˜(x) - liո /˜n (x) (x ∈ ΩA ) : (1.15.12) n→∞ Եթե ս(λ) - λ (λ ∈ Ω) x ∈ ΩA համար ս̃(x) - x

v(λ) - 1 (λ ∈ Ω), ṽ(x) - 6:

ապա ցանկացա

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

Ապացույց:

Վերջին պնդումը բխում է թեորեմ 1.15.1-ից: (1.15.10) ինտեգրալ ներկայացումից ակնհայտորեն բխում է, որ / Է→ /˜ արտապատկերումը գ ային է: Եթե /˜ - 0, ապա / (α)6 - /˜(α6) - 0

(α ∈ Ω),

ուստի / - 0: Հետ աբար, / Է→ /˜ արտապատկերումը ոխմիարժեք է: Անընդհատության վերաբերյալ պնդումն ապացուցելու համար բոլոր /n -երի համար (1.15.10)-ում պետք է վերցնել մի նույն Γ կոնտուրը գտվել ինտեգրալի գնահատականից ու Γ կոնտուրի վրա (λ6 − x)−1 մե ության սահմանա ակությունից: Մնում է ապացուցել, որ / Է→ /˜ արտապատկերումը մուլտիպլիկատիվ է: Ավելի ճիշտ, պետք է ցույց տալ, որ եթե /, ց ∈ H(Ω) հ(λ) - / (λ)ց(λ) (λ ∈ Ω), ապա հ̃(x) - /˜(x)ց̃(x)

(x ∈ ΩA ) :

(1.15.13)

Եթե / -ը ց-ն Ω-ում բ ե ներ չունեցող ացիոնալ ֆունկցիաներ են հ - / ց, ապա հ(x) - / (x)ց(x) (այստեղ / (x)-ը ց(x)-ը սահմանվում են այնպես, ինչպես թեորեմ 1.15.1-ում, իսկ նշվա

հավասարությունը ստուգվում է անմիջականորեն): Ըստ թեորեմ 1.15.1-ի՝ Ω-ում բ ե ներ չունեցող յուրաքանչյուր R ացիոնալ ֆունկցիայի համար R(x) - R̃(x), ուստի դիտարկվող դեպքում (1.15.13)-ն ապացուցվա է: Ընդհանուր դեպքը ունգեյի թեորեմի միջոցով բերվում է արդեն դիտարկվա դեպքին: Ըստ ունգեյի թեորեմի՝ / ց ֆունկցիաները կարելի է Ω-ի կոմպակտ ենթաբազմությունների վրա հավասարաչա մոտարկել /n ցn ացիոնալ ֆունկցիաների հաջորդականություններով: Այդ դեպքում /n ցn հաջորդականությունը նույն իմաստով կզուգամիտի հ-ին, քանի որ / Է→ /˜ արտապատկերումը վերը նշվա իմաստով անընդհատ է, ուստի ընդհանուր դեպքում (1.15.13)-ը կստացվի սահմանային անցումով: Թեորեմն ապացուցվա է:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

Դիտողություն 1.15.1: Նկատենք, որ H̃ (ΩA) հանրահաշիվը կոմու-

տատիվ է, քանի որ կոմուտատիվ է նրան իզոմորֆ H(Ω) հանրահաշիվը: Այլ կերպ ասա , յուրաքանչյուր x ∈ ΩA համար /˜(x)-ը ց̃(x)-ը տեղա ոխելի են: Սակայն /˜(x)-ը /˜(y)-ը, ընդհանրապես ասա , կարող են տեղա ոխելի չլինել: I Թեորեմ 1.15.3: Դիցուք x ∈ ΩA / ∈ H(Ω): 1) /˜(x) էլեմենտր 4-ում հակադարձելի է այն միայն այն դեպքում,(երբ / (λ) 6- 0 (λ ∈ σ(x)), 2) σ /˜(x) - / (σ(x)) (սպեկտրների արտապատկերման մասին թեորեմ): Ապացույց: 1) Եթե / (λ) 6- 0 (λ ∈ σ(x)), ապա ց - /1 ֆունկցիան անալիտիկ է ինչ-որ Ω1 բաց բազմության վրա, որտեղ σ(x) ⊂ Ω1 ⊂ Ω: Քանի որ / (λ)ց(λ) - 1 (λ ∈ Ω1 ), ուստի նախորդ թեորեմից բխում է, որ /˜(x)ց̃(x) - 6 հետ աբար /˜(x) ∈ 4−1 : Հակա ակը, եթե ինչ-որ α ∈ σ(x) համար / (α) - 0, ապա գոյություն ունի այնպիսի հ ∈ H(Ω) ֆունկցիա, որ (λ − α)հ(λ) - / (λ)

(λ ∈ Ω),

որտեղից նախորդ թեորեմից ստանում ենք (x − λ6)հ̃(x) - /˜(x) - հ̃(x)(x − α6) :

(1.15.14)

Քանի որ x−α6 6∈ 4−1 , ուստի (1.15.14)-ից բխում է, որ( /˜(x)6∈ 4−1 : 2) Ֆիքսենք որ է β ∈ C: Ըստ սահմանման, β ∈ σ /˜(x) այն միայն այն դեպքում, երբ /˜(x) − β6 6∈ 4−1 : / − β ֆունկցիայի վրա կիրա ելով 1) պնդումը՝ ստանում ենք, որ /˜(x) − β6 6∈ 4−1 այն միայն այն դեպքում, երբ / − β ֆունկցիան σ(x)-ի վրա ունի զրո, այսինքն՝ β ∈ / (σ(x)): Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 1.15.4 (թեորեմ բարդ ֆունկցիայի վերաբերյալ): Դիցուք x ∈ ΩA , / ∈ H(Ω), Ω1 -ր / (σ(x))-ր պարունակող բաց բազմություն է, Ω0 - {λ ∈ Ω : / (λ) ∈ Ω1 }, ց ∈ H(Ω1 ) հ(λ) - ց (/ (λ))

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

(λ ∈ Ω0 ):

Այդ դեպքում /˜(x) ∈ Ω1,A հ̃(x) - ց̃ /˜(x) (կարճ ասա , եթե հ - ց ◦ / , ապա հ̃ - ց̃ ◦ /˜): Ապացույց: Թեորեմ (1.15.3-ի ( 2) պնդումից բխում է, որ σ /˜(x) ⊂ Ω1 , ուստի ց̃ /˜(x) -ը սահմանվա է կո եկտ: Ֆիքսենք որ է Γ1 կոնտուր, որն ընդգրկում է / (σ(x))-ը Ω1 -ում: Գոյություն ունի այնպիսի 7 բաց բազմություն, որ σ(x) ⊂ 7 ⊂ Ω0 (

(1.15.15) Ֆիքսենք որ է Γ0 կոնտուր, որն ընդգրկում է σ(x)-ը 7 -ում: Եթե ∈ H(7 ): Ուստի թեորեմ 1.15.2-ը (որում որպես է ∈ Γ1 , ապա է−/ Ω պետք է վերցնել 7 -ն) ցույց է տալիս, որ է ∈ Γ1 համար IոdΓ1 (/ (λ)) - 1

(λ ∈ 7 ) :

Z i−1 ˜ է6 − / (x) |է − / (λ)|−1 (λ6 − x)−1 dλ : 2πi

(1.15.16)

Γ0

Քանի որ Γ1 կոնտուրը ընդգրկում է σ /˜(x) -ը Ω1 -ում, ուստի, գտվելով (1.15.15), (1.15.16)-ից, վերջնականապես ստանում ենք (

Z h i−1 ˜ ց(է) է6 − /˜(x) dէ ց̃ / (x) 2πi (

Γ1

2πi

Z Γ0

2πi

ց(է) |է − / (λ)|−1 dէ (λ6 − x)−1 dλ -

Γ1 −1

ց (/ (λ)) (λ6−x) Γ0

dλ 2πi

հ(λ)(λ6−x)−1 dλ - հ̃(x) :

Γ0

Թեորեմն ապացուցվա է: Այժմ մենք կբերենք կա ուցվա ֆունկցիոնալ հաշվի որոշ կիրա ություններ: Սկզբում խոսքը կգնա արմատների լոգարիթմի գոյության մասին: Ասում են, որ x ∈ 4 էլեմենտն ունի 7 աստիճանի

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

արմատ, եթե ∃y ∈ 4 այնպես, որ ym - x: Եթե ∃y ∈ 4, այնպես, որ x - exp(y), ապա y -ը կոչվում է x-ի լոգարիթմ: Նշենք, որ § 1.3-ում մեր տվա էքսպոնենտի սահմանումը շարքի միջոցով համարժեք է (1.15.10)-ի միջոցով տրվող սահմանմանը: Իրոք, դիցուք / (2) - 6z (2 ∈ C): Քանի որ

n X 2k k-0

մասնակի գումար-

ները ո → ∞ դեպքում C-ի կոմպակտ ենթաբազմությունների վրա հավասարաչա զուգամիտում են / (2)-ին, ուստի թեորեմ 1.15.2-ից բխում է, որ

/˜(x) - liո

n→∞

n X xk k-0 6z

∞ X xn

n-0

ո:

(x ∈ 4):

Պարզ է, որ

ասվա ը ուժի մեջ է մնում -ը կամայական ամբողջ ֆունկցիայով

ոխարինելու դեպքում: Թեորեմ 1.15.5: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4 x էլեմենտի σ(x) սպեկտրր չի անջատում 0-ն ∞-ր (այսինքն՝ 0 կետր պատկանում է սպեկտրի լրացման անսահմանա ակ կոմպոնենտին): Այդ դեպքում՝ 1) x էլեմենտն 4-ում ունի ցանկացա աստիճանի արմատ, 2) x էլեմենտն 4-ում ունի լոգարիթմ, 3) ∀ε » 0 համար գոյություն ունի այնպիսի P բազմանդամ, որ x−1 − P (x) Հ ε: Բացի դրանից, եթե σ(x) ⊂ (0, ∞), ապա 1)-ում x-ի արմատներր կարելի է րնտրել այնպես, որ դրանք լինեն նմանատիպ հատկությամբ ժտվա էլեմենտներ: Ապացույց: Քանի որ 0 կետը պատկանում է σ(x)-ի լրացման անսահմանա ակ կոմպոնենտին, ուստի գոյություն ունի ինչ-որ Ω ⊃ σ(x) միակապ տիրույթում անալիտիկ / ֆունկցիա՝ այնպես, որ exp(/ (λ)) - λ : ( Թեորեմ 1.15.4-ից բխում է, որ exp /˜(x) - x, ուստի y - /˜(x) (y հանդիսանում է x-ի լոգարիթմ: Դիցուք 2 - exp : Այդ դեպքում m 2 - x: Եթե σ(x) ⊂ (0, ∞), ապա / -ը կարելի է ընտրել այնպես, որ այն σ(x)-ի վրա լինի իրական: Ըստ սպեկտրների արտա-

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

պատկերման մասին թեորեմի՝ դիտարկվող դեպքում σ(y) ⊂ R: Նորից կիրա ելով սպեկտրների արտապատկերման մասին թեորեմը՝ ստանում ենք, որ σ(2) ⊂ (0, ∞): Սրանով իսկ թեորեմի 1), 2) պնդումները վերջին պնդումն ապացուցվա են: 3) պնդումն ապացուցելու համար նկատենք, որ ֆունկցիան λ անալիտիկ է σ(x)-ը պարունակող ինչ-որ միակապ տիրույթում, ուս1 տի, ըստ ունգեի թեորեմի, ֆունկցիան նշվա տիրույթի կոմλ պակտ ենթաբազմությունների վրա կարելի է հավասարաչա մոտարկել բազմանդամներով, որտեղից թեորեմ 1.15.2-ի անընդհատության պնդումից էլ բխում է 3)-ը: Թեորեմն ապացուցվա է: Բերվա արդյունքները տրիվիալ չեն նույնիսկ վերջավոր չա անի 4 հանրահաշվի դեպքում: Օրինակ, թեորեմ 1.15.5-ի 2) պնդումից բխում է, որ ո-րդ կարգի M քա ակուսային մատրիցն ունի լոգարիթմ այն միայն այն դեպքում, երբ 0-ն չի հանդիսանում M -ի սե ական արժեք, այսինքն՝ երբ M մատրիցը հակադարձելի է: Սահմանում 1.15.2: 4 2բանախյան հանրահաշվի ք էլեմենտը կոչվում է իդեմպոտենտ, եթե ք - ք: Ակնհայտ է, որ 0-ն 6-ն իդեմպոտենտներ են: Սահմանում 1.15.3: ք իդեմպոտենտը կոչվում է ոչ տրիվիալ, եթե ք 6- 0 ք 6- 6: Թեորեմ 1.15.6: 1) Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4, P -ն մի ո ոխականից բազմանդամ է P (x) - 0: Այդ դեպքում σ(x)-ր րնկա է P բազմանդամի զրոների բազմության մեջ: 2) Եթե ք-ն իդեմպոտենտ է, ապա σ(x) ⊂ {0, 1}: Ապացույց: 1) Ըստ սպեկտրների արտապատկերման մասին թեորեմի՝ P (σ(x)) - σ(P (x)) - σ(0) - {0},

որտեղից էլ բխում է 1) պնդումը: 1) պնդման մեջ վերցնելով P (2) - 2 2 − 2 , կստանանք 2) պնդումը: Թեորեմն ապացուցվա է:

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ n Ս

Թեորեմ 1.15.7: Դիցուք σ(a) -

Ej ,

որտեղ E1 , E2 , . . . , En -ր C

j-1

կոմպլեքս հարթության զույգ ա զույգ չհատվող ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմություններ են (ո > 2): Այդ դեպքում գոյություն ունեն ք1 , . .. , քn ոչ տրիվիալ իդեմպոտենտներ, որոնք պատկանում են (26 − a)−1 : 2 ∈ C \ σ(a) բազմության գ ային թաղանթի ակմանր, այնպես, որ 6 - ք1 + · · · + քn , քk քj - 0

(k 6- j) :

Ավելին, եթե Ej - {ξj }, ապա σ(aքj ) - {ξj , 0}, aքj − ξj քj -ն քվազինիլպոտենտ է (այսինքն՝ ρ (aքj − ξj քj ) - 0): Ապացույց: Դիցուք Ω1, . . . , Ωn-ը համապատասխանաբար E1 , . . . , En -ը պարունակող, զույգ ա զույգ չհատվող բաց բազ-

մություններ են: Դիցուք

n Ս

Ω -

Ωk

/k : Ω → C

ֆունկցիան

k-1

որոշվում է /k (2) -

1, 2 ∈ Ωk 0, 2 ∈ Ω \ Ωk

բանաձ ով: Այդ դեպքում /k ∈ H(Ω) /k2 - /k : Դիցուք քk - /˜k (a): Այդ դեպքում ք2k - քk քk -ն պատկանում է −1 (26 − a) : 2 ∈ C \ σ(a) ( բազմության գ ային թաղանթի ակ ˜ մանը: Քանի որ σ(քk ) - σ /k (a) - /k (σ(a)) - {0, 1}, ուստի քk 6- 0, 6: Քանի որ /1 (2) + /2 (2) + · · · + /k (2) - 1 (2 ∈ Ω) /k (2)/j (2) - 0 (2 ∈ Ω, k 6- j), ուստի 6 - ք1 + ք2 + · · · + քn

քk քj - 0

(k 6- j) :

Դիցուք Ej - {ξj }, իսկ ց, հ : Ω → C ֆունկցիաները որոշվում են ց(2) - (2 − ξj )/j (2),

հ(2) - 2/j (2)

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

բանաձ երով: Ունենք σ(aքj ) - σ հ̃(a) - հ(σ(a)) - {ξj , 0}: Պարզ է, որ եթե 2 ∈ σ(a), ապա ց(2) - 0: Ուստի σ (ց̃(a)) - ց(σ(a)) - {0}: Բայց ց̃(a) - aքj − ξj քj , հետ աբար ρ (aքj − ξj քj ) - 0: Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 1.15.1: Եթե 4 հանրահաշվում գոյություն ունի չկապակցվա սպեկտրով էլեմենտ, ապա 4-ն պարունակում է ոչ տրիվիալ իդեմպոտենտ: I Թեորեմ 1.15.8: Դիցուք / -ր պարզ զրոներով ամբողջ ֆունկցիա է, / (0) 6- 0, a ∈ 4 /˜(a) - 0: Այդ դեպքում σ(a) - {λ1 , . . . , λq }, որտեղ / (λj ) - 0 (j - 1, . . . , զ), (

(a − λ1 6) (a − λ2 6) · · · (a − λq 6) - 0,

գոյություն ունեն այնպիսի ք1 , . . . ,քq ոչ տրիվիալ իդեմպոտենտներ, որոնք պատկանում են (26 − a)−1 : 2 ∈ C \ σ(a) բազմության գ ային թաղանթի ակմանր 6 - ք1 + · · · + քq , քk քj - 0

Ապացույց:

aքj - λքj

(k 6- j),

(j - 1, . . . , զ) :

Սպեկտրների արտապատկերման թեորեմի շնորհիվ՝ ( ˜ / (σ(a)) - σ / (a) - {0}: Քանի որ σ(a)-ն կոմպակտ է, իսկ / -ն ամբողջ ֆունկցիա է, ուստի σ(a) բազմությունը վերջավոր է, հետ աբար, σ(a) - {λ1 , . . . , λq }, որտեղ / (λj ) - 0 (j - 1, . . . , զ): Ըստ թեորեմ 1.15.7-ի՝ գոյություն ունեն ոչ տրիվիալ ք1 , . . . , քq իդեմպոտենտներ, այնպիսիք, որ σ(aj ) - {0} (j - 1, . . . , զ), որտեղ aj - aքj − λj քj : ց : C → C ֆունկցիան սահմանենք     (2 − λ1 )−1 · · · (2 − λq )−1 / (2), 2 6∈ {λ1 , . . . , λq } , ց(2) Q   (λj − λk )−1 , 2 - λj (j - 1, . . . , զ)  / (λj ) k6-j

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

բանաձ ով: Այդ դեպքում ց-ն ամբողջ ֆունկցիա է, (2 ∈ σ(a)) հետ աբար՝ 0 6∈ σ (ց̃(a)): Քանի որ ց(2)(2 − λ1 ) · · · (2 − λq ) - / (2)

ուստի

ց(2) 6- 0

(2 ∈ C),

ց̃(a)(a − λ1 6) · · · (a − λq 6) - /˜(a) - 0 :

Բայց քանի որ ց̃(a) ∈ 4−1 , ուստի (a − λ1 6) · · · (a − λq 6) - 0: Դիցուք Օ(2) - (2 − λ1 ) · · · (2 − λq ) (2 ∈ C): Քանի որ ք21 - ք1 , ուստի քq1 - ք1 , հետ աբար ք1 Օ(aք1 ) - ք1 (aք1 − λ1 6) · · · (aք1 − λq 6) - ք1 (aք1 − λ1 6) · · · ք1 (aք1 − λq 6) - (aք1 − λ1 ք1 ) · · · (aք1 − λq ք1 ) - քq1 Օ(a) - 0 :

Բայց ք1 (aք1 − λ1 6) - aք1 − λ1 ք1 - a1 , հետ աբար a1 (aք1 − λ2 6) · · · (aք1 − λq 6) - 0 :

(1.15.17)

Թեորեմ 1.15.7-ի շնորհիվ σ(aք1 ) - {λ1 , 0}, որտեղից սպեկտրների արտապատկերման թեորեմից բխում է, որ j - 2, . . . , զ համար σ (aք1 − λj 6) - {λ1 − λj , −λj }, հետ աբար aք1 − λj 6 ∈ 4−1 : Այստեղից (1.15.17)-ից բխում է, որ a1 - 0: Նման ձ ով կստանանք, որ a2 - · · · - aq - 0: Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 1.15.4: 7 ∈ 8L(Ճ) պերատորի կետային սպեկտր է կոչվում 7 պերատորի սե ական արժեքների բազմությունը: 7 պերատորի կետային սպեկտրը նշանակվում է σp (7 ) սիմվոլով: 4 - 8L(Ճ) դեպքում սպեկտրների արտապատկերման մասին թեորեմը թույլ է տալիս այսպիսի ճշգրտում: Թեորեմ 1.15.9: Դիցուք 7 ∈ 8L(Ճ), Ω-ն C-ում բաց բազմություն է, σ(7 ) ⊂ Ω / ∈ H(Ω): Այդ դեպքում՝ 1) եթե x ∈ Ճ , α ∈( Ω 7x - αx, ապա /˜(7 )x - / (α)x, 2) / (σp (7 )) ⊂ σp /˜(7 ) ,

8 1.15. Փունկցիոնալ հաշիվ

3) եթե α ∈ σp /˜(7 ) / − α ֆունկցիան Ω բազմության կոմպոնենտներից ոչ մեկում նույնաբար զրո չի դա նում, ապա α ∈ / (σp (7 )), 4) եթե / ֆունկցիան Ω բազմության կոմպոնենտներից ոչ մե( կում հաստատուն չէ, ապա / (σp (7 )) - σp /˜(7 ) : Ապացույց: 1) x - 0 դեպքում պնդումն ակնհայտ է: Դիցուք x 6- 0 7 x - αx: Այդ դեպքում α ∈ σ(7 ): Գոյություն ունի այնպիսի ց ∈ H(Ω) ֆունկցիա, որ (

/ (λ) − / (α) - ց(λ)(λ − α)

(λ ∈ Ω) :

(1.15.18)

(1.15.18)-ից թեորեմ 1.15.2-ից բխում է, որ /˜(7 ) − / (α)I - ց̃(7 )(7 − αI) :

(1.15.19)

(1.15.19)-ից (7 − αI)x - 0 հավասարությունից էլ բխում է 1) պնդումը: Այսպիսով, եթե α-ն 7 պերատորի սե ական արժեք է, ապա / (α)-ն /˜(7 ) պերատորի սե ական արժեք է: Ուստի 2) պնդումը բխում է 1)-ից: Եթե տեղի ունեն 3)-ի պայմանները, ապա ( ( α ∈ σp /˜(7 ) ⊂ σ /˜(7 ) - / (σ(7 )) ,

ուստի

(1.15.20)

(1.15.21) Եթե 5-ը / −1 (α) 1 σ(7 ) բազմության կուտակման կետ է, ապա այն կլինի կուտակման կետ նա σ(7 )-ի համար, քանի որ σ(7 )-ն կոմպակտ է, կստանանք 5 ∈ σ(7 ) ⊂ Ω: Ստացվեց, որ / − α ֆունկցիայի զրոների բազմությունն ունի Ω-ին պատկանող կուտակման կետ: Ըստ միակության թեորեմի՝ / − α ֆունկցիան Ω բազմության՝ 5-ը պարունակող կոմպոնենտի վրա նույնաբար դա նում է զրո, ինչը հակասում է պայմանին: Հետ աբար, / −1 (α) 1 σ(7 ) բազմությունը կուտակման կետ չունի: Քանի որ / −1 (α) 1 σ(7 ) / −1 (α) 1 σ(7 ) 6- Ø :

Գլուխ Լ. Նորմավորվա հանրահաշիվներ

բազմությունը սահմանա ակ է, ուստի այն վերջավոր է: Դիցուք σ(7 )-ում / − α ֆունկցիայի զրոներն են λ1 , λ2 , . . . , λn թվերը, ընդ որում յուրաքանչյուր զրո վերցվում է այնքան անգամ, որքան իր պատիկությունն է: Այդ դեպքում գոյություն ունի այնպիսի ց ∈ H(Ω) ֆունկցիա, որը σ(7 )-ի վրա զրոներ չունի / (λ) − α - ց(λ)(λ − λ1 ) · · · (λ − λn ) :

(1.15.22)

Կունենանք /˜(7 ) − αI - ց̃(7 )(7 − λ1 I) · · · (7 − λn I) :

(1.15.23)

Թեորեմ 1.15.3-ի 1) պնդումից բխում է, որ ց̃(7 ) էլեմենտը հակադարձելի է 8L(Ճ)-ում: Մյուս կողմից, ըստ (պայմանի, α-ն /˜(7 ) պերատորի սե ական արժեք է, ուստի էer /˜(7 ) − αI 6- {0}, որտեղից (1.15.23)-ից բխում է, որ 7 − λ4 I պերատորներից գոնե մեկի համար էer (7 − λ4 I) 6- {0}: Այդպիսի պերատորին համապատասխան λ4 կետն ընկա կլինի σp (7 )-ում: Հաշվի ա նելով, որ / (λ4 ) - α, ստանում ենք α ∈ / (σp (7 )): 4) պնդումն անմիջապես բխում է 2), 3) պնդումներից: Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 1.15.2: Նկատենք, որ նախորդ թեորեմի 3) 4) պնդումներում / -ի վրա դրվող լրացուցիչ պայմանն էական է: Իրոք, Rt դիցուք Ճ - Շ|0, 1|, / (λ) ≡ 0 (7 x)(է) - x(5) d5: Այդ դեպքում հեշտ է տեսնել, որ σp (7 ) - Ø, բայց σp

(

0 ˜ / (7 ) - {0} 6 Ø: I

Գլուխ 2

ԿՈՄՈՒՏԱՏԻՎ ԲԱՆԱXՅԱՆ

ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐ

§ 2.1. Իդեալներ

հոմոմորֆիզմներ

Այսուհետ կենթադրենք, որ մուտատիվ է՝ xy - yx

բանախյան հանրահաշիվը կո-

(∀x, y ∈ 4) :

Դիցուք 7 ⊂ 4 իդեալ է՝ 47 ⊂ 7 (քանի որ 4-ն կոմուտատիվ է, ուստի 47 ⊂ 7 74 ⊂ 7 ա նչությունները տեղի ունեն միաժամանակ): Այդ դեպքում ակնհայտ է, որ 7 -ը ս կլինի իդեալ: Նկատենք, որ եթե 7 ⊂ 4 իդեալը սե ական է, ապա (2.1.1)

7 1 4−1 - Ø :

Իրոք, եթե ենթադրենք հակա ակը՝ համար կունենանք

∃b ∈ 4−1 1 7 ,

ապա

∀a ∈ 4

a - ab−1 · b ∈ ab−1 · 7 ⊂ 47 ⊂ 7,

ուստի 4 - 7

հետ աբար 7 իդեալը սե ական չէ: Լեմմա 2.1.1: Եթե 7 ⊂ 4 սե ական իդեալ է, ապա 7 -ր ս կլինի սե ական իդեալ: Ապացույց: Ունենք {0} -6 7 ⊂ 7 , ուստի 7 6- {0}, մնում է համոզվել, որ 7 6- 4: Դրա համար նկատենք, որ 7 1 4−1 - Ø :

Իսկապես, վերցնենք ∀a ∈ 4−1 ցույց տանք, որ a 6∈ 7 : Քանի որ 4−1 -ը բաց է, ուստի ∃δ » 0, որ 8(a, δ) ⊂ 4−1 :

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Ունենք 4−1 1 7 - Ø, ուստի 8(a, δ) 1 7 - Ø :

Ստացվեց, որ գոյություն ունի a-ի այնպիսի 8(a, δ) շրջակայք, որը չի պարունակում 7 -ի կետեր, ուստի a 6∈ 7 : Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 2.1.1: Ճիշտ են հետ յալ պնդումներր՝ ա) ցանկացա 7 ⊂ 4 սե ական իդեալ պարունակվում է գոնե մի մաքսիմալ իդեալում, բ) ցանկացա 7 ⊂ 4 մաքսիմալ իդեալ ակ է:

Ապացույց:

ա) Դիցուք 7 ⊂ 4 սե ական իդեալ է: ՛ -ով նշանակենք 4 հանրահաշվի այն բոլոր սե ական իդեալների ընտանիքը, որոնք պարունակում են 7 -ն: ՛ ընտանիքը ըստ պարունակման մասնակի կարգավորվա բազմություն է (կասենք 71 6 72 , եթե 71 ⊂ 72 ): Դիցուք Օ - {7α } ՛ -ում կամայական գ որեն կարգավորվա ենթաընտանիք է: Նշանակենք I-

7α :

Օգտվելով նրանից, որ Օ-ն գ որեն կարգավորվա է, հեշտությամբ նկատում ենք, որ I -ն կլինի 4-ի իդեալ: Քանի որ 7α -երից ոչ մեկը չի պարունակում 4 հանրահաշվի 6 միավորը, ուստի 6 6∈ I , հետ աբար I -ն կլինի սե ական իդեալ կհանդիսանա Օ-ի համար վերին եզր: Ըստ Ցորնի լեմմայի՝ ՛ -ում կա մաքսիմալ էլեմենտ, որն էլ հենց կհանդիսանա 7 -ն պարունակող մաքսիմալ իդեալ: բ)-ն անմիջապես բխում է 2.1.1 լեմմայից: Թեորեմն ապացուցվա է: MA -ով կնշանակենք 4 կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշվի բոլոր ոչ 0-ական մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալների բազմությունը: Ինչպես գիտենք՝ MA ⊂ ՛(4) - {ϕ ∈ 4∗ : kϕk - ϕ(6) - 1} :

8 2.1. Իդեալներ

հոմոմորֆիզմներ

Հետագայում մենք ցույց կտանք, որ MA -ի կետերը ՛(4)-ի գագաթային կետեր են: Խնդիր 1: Ցույց տալ, որ MA-ն 4∗-ում գ որեն անկախ վեկտորական համակարգ է: MA -ին անվանում են մաքսիմալ իդեալների տարա ություն (այն երբեմն նշանակում են նա ∆-ով): MA -ն, իհարկե, գ ային տարա ություն չէ, սակայն հետագայում մենք կտեսնենք, թե ինչպես կարելի է MA -ում մտցնել տոպոլոգիա, որից հետո արդարացվա

կլինի MA -ին տարա ություն անվանելը: Թե ինչու MA -ն կոչվում է հենց մաքսիմալ իդեալների տարա ություն, պարզ է դա նում հետ յալ թեորեմից: Թեորեմ 2.1.2: Ճիշտ են հետ յալ պնդումներր՝ 1) 4 հանրահաշվի յուրաքանչյուր 7 մաքսիմալ իդեալ որ է ϕ ∈ MA հոմոմորֆիզմի միջուկ է (7 - էer(ϕ)), 2) ∀ϕ ∈ MA հոմոմորֆիզմի էer(ϕ) միջուկր 4 հանրահաշվի մաքսիմալ իդեալ է, 3) 4−1 - {a ∈ 4 : ϕ(a) 6- 0, ∀ϕ ∈ MA }, 4) որպեսզի a ∈ 4−1 , անհրաժեշտ է բավարար, որ a-ն չպատկանի 4-ի ոչ մի սե ական իդեալ, 5) σ(a) - {ϕ(a) : ϕ ∈ MA }:

Ապացույց:

1) Դիցուք x ∈ 4 \ 7: Նշանակենք 7 - {ax + y : a ∈ 4, y ∈ 7} :

Ակնհայտորեն 7 -ն իդեալ է պարունակում է 7-ը: Քանի որ x ∈ 7 \ 7, ուստի 7 6- 7 , իսկ 7-ի մաքսիմալութլան պատճա ով 7 - 4: Հետ աբար ∃a ∈ 4, ∃y ∈ 7, որ ax + y - 6 :

Ըստ նախորդ թեորեմի՝ 7-ը ակ է, ուստի 4/7 ֆակտորը բանախյան հանրահաշիվ է: Դիտարկենք πm : 4 → 4/7

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

ֆակտոր-արտապատկերումը (որը ամեն մի x ∈ 4 էլեմենտին համապատասխանեցնում է x + 7 հարակից դասը): Կունենանք πm (6) - πm (ax + y) - πm (ax) + πm (y) - πm (a)πm (x) + πm (y) - πm (a)πm (x)

(քանի որ y ∈ 7, ուստի πm (y)-ը 4/7-ի 0-ն է), քանի որ, 4-ի կոմուտատիվության շնորհիվ, πm (a)πm (x) - πm (x)πm (a), իսկ πm (6)-ն 4/7-ի միավորն է, ուստի ստացվում է, որ πm (x)-ը 4/7-ում հակադարձելի է: Քանի որ 4/7-ի բոլոր ոչ զրոյական էլեմենտներն ունեն πm (x) տեսքը, որտեղ x ∈ 4 \ 7, ուստի ստացվեց, որ 4/7-ի բոլոր ոչ զրոյական էլեմենտները հակադարձելի են: Ըստ Գելֆանդ-Մազուրի թեորեմի՝ գոյություն ունի j : 4/7 → C իզոմորֆիզմ: Վերցնենք

ϕ - j ◦ π - j (π(·)) :

Այդ դեպքում ակնհայտ է, որ ϕ-ն կլինի մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալ 7 - էer(ϕ): 2) Դիցուք ϕ ∈ MA : Նշանակենք 7 - էer(ϕ) - ϕ−1 (0) :

Հեշտ է տեսնել, որ 7-ը 4-ի իդեալ է: Ցույց տանք, որ 7-ը մաքսիմալ է: Դրա համար ցույց տանք, որ եթե 7 -ն 7-ը պարունակող 7-ից տարբեր իդեալ է, ապա 7 - 4: Իրոք, քանի որ 7 ⊂ 7 7 6- 7 , ուստի ∃x0 ∈ 7 \ 7: Քանի որ x0 6∈ 7 - էer(ϕ), ուստի ϕ(x0 ) 6- 0: Դիտարկենք y-−

ϕ(6) x0 + 6 ϕ(x0 )

էլեմենտը: Կունենանք ϕ(y) - −

ϕ(6) ϕ(x0 ) + ϕ(6) - 0, ϕ(x0 )

8 2.1. Իդեալներ

հոմոմորֆիզմներ

ուստի y ∈ էer(ϕ) - 7 ⊂ 7 : Քանի որ նա կունենանք 6-y+

ϕ(6) x0 ∈ 7 , ϕ(x0 )

ուստի

ϕ(6) x0 ∈ 7 ϕ(x0 )

(2.1.1)-ից կբխի, որ 7 - 4: 3) Ըստ 1.4.1 լեմմայի, ∀a ∈ 4−1 ∀ϕ ∈ MA համար ϕ(a) 6- 0: Այժմ հակա ակը՝ դիցուք a ∈ 4 այնպիսին է, որ ϕ(a) 6- 0 (∀ϕ ∈ MA ): Ցույց տանք, որ a ∈ 4−1 : Ենթադրենք հակա ակը՝ a 6∈ 4−1 : Դիտարկենք 7 - {ax : x ∈ 4}

բազմությունը: Հեշտ է տեսնել, որ 7 -ն 4-ի իդեալ է: Քանի որ ϕ(a) 6- 0 (∀ϕ ∈ MA ), ուստի a 6- 0 հետ աբար 7 6- {0}: Քանի որ a 6∈ 4−1 , ուստի 6 6∈ 7 , հետ աբար 7 -ն 4-ի սե ական իդեալ է: Ըստ 2.1.1 թեորեմի՝ 7 -ն պարունակվում է մի ինչ-որ 7 ⊂ 4 մաքսիմալ իդեալում: Ըստ 1) պնդման՝ ∃ϕ ∈ MA , այնպես, որ 7 - էer(ϕ) :

Այդ դեպքում, քանի որ a ∈ 7 ⊂ 7, կունենանք ϕ(a) - 0

ինչը կհակասի մեր ենթադրությանը: 4) Եթե a ∈ 4−1 , ապա (2.1.1)-ից կբխի, որ a-ն չի պատկանում 4-ի ոչ մի սե ական իդեալի: Այժմ հակա ակը՝ դիցուք a-ն չի պատկանում 4-ի ոչ մի սե ական իդեալի, ցույց տանք, որ a ∈ 4−1 : Դրա համար, գտվելով 3) պնդումից, ցույց տանք, որ ∀ϕ ∈ MA համար ϕ(a) 6- 0: Իրոք, դիցուք ϕ ∈ MA կամայական մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալ է: Ըստ 2) պնդման՝ 7 - էer(ϕ) կորիզը հանդիսանում է 4-ի մաքսիմալ իդեալ: Քանի որ 7-ը սե ական իդեալ է, ուստի a 6∈ 7: Այսպիսով՝ a 6∈ էer(ϕ), ուստի ϕ(a) 6- 0:

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

5) λ ∈ σ(a) նշանակում է, որ λ6 − a 6∈ 4−1 : Վերջինս, ըստ 3) պնդման, համարժեք է λ6 − a 6∈ {x ∈ 4 : ϕ(x) 6- 0 (∀ϕ ∈ MA )}

ա նչությանը, կամ որ նույնն է՝ λ6 − a ∈ {x ∈ 4 : ∃ϕ ∈ MA 5.է. ϕ(x) - 0}

ա նչությանը: Վերջինս նշանակում է, որ ∃ϕ ∈ MA , այնպես, որ ϕ(λ6 − a) - 0, ինչը ϕ(6) - 1 ա նչության շնորհիվ կարելի է գրել λ - ϕ(a) տեսքով: Այսպիսով, λ ∈ σ(a) համարժեք է նրան, որ ∃ϕ ∈ MA այնպես, որ λ - ϕ(a), ինչն էլ նշանակում է, որ λ ∈ {ϕ(a) : ϕ ∈ MA } :

Թեորեմն ապացուցվա է: Օրինակ 1: Դիցուք K -ն կոմպակտ մետրիկական (կամ հաուսդորֆյան) տարա ություն է: Դիտարկենք K -ի վրա որոշվա բոլոր անընդհատ կոմպլեքս արժեքանի ֆունկցիաների Շ(K) հանրահաշիվը: Յուրաքանչյուր x0 ∈ K կետ նում է ϕx0 : Շ(K) → C ֆունկցիոնալ՝ հետ յալ բանաձ ով. ϕx0 (/ ) - / (x0 )

(/ ∈ Շ(K)) :

Դիցուք 4 - Շ(K): Ակնհայտ է, որ ∀x0 ∈ K համար ϕx0 ∈ 4∗ (ϕx0 -ին հաճախ անվանում են Դիրակի ֆունկցիոնալ): Բացի այդ, քանի որ /0 (x) ≡ 1 ֆունկցիան 4-ից է (այն հանդիսանում է 4-ի միավորը) այդ ֆունկցիայի վրա ϕx0 (/0 ) - 1 6- 0, ուստի ϕx0 ∈ MA : Այսպիսով՝ {ϕx : x ∈ K} ⊂ MԽ(K) :

Ցույց տանք, որ MԽ(K) - {ϕx : x ∈ K} :

(2.1.2)

8 2.1. Իդեալներ

հոմոմորֆիզմներ

Դիցուք ϕ ∈ MԽ(K) կամայական ոչ 0-ական մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալ է, ցույց տանք, որ ϕ-ն ունի ϕx տեսքը: Ենթադրենք հակա ակը՝ ϕ 6- ϕx

(∀x ∈ K) :

Սա նշանակում է, որ ∀x ∈ K համար ∃ցx ∈ Շ(K) այնպես, որ ϕ(ցx ) 6- ϕx (ցx ),

այսինքն՝ ϕ(ցx ) 6- ցx (x)

(∀x ∈ K) :

Քանի որ /0 (x) ≡ 1 ֆունկցիան Շ(K)-ի միավորն է, ուստի ϕ(/0 ) - 1 :

Կամայական x ∈ K ֆիքսվա x-ի համար տ յալ ֆունկցիան՝ /x (y) - ցx (y) − ϕ(ցx ) /0 (y)

/x -ով

նշանակենք հե-

(y ∈ K) :

Կունենանք /x ∈ Շ(K), ընդ որում ϕ(/x ) - ϕ (ցx − ϕ(ցx )/0 ) - ϕ(ցx ) − ϕ(ցx )ϕ(/0 ) - ϕ(ցx ) − ϕ(ցx ) - 0 /x (x) - ցx (x) − ϕ(ցx )/0 (x) - ցx (x) − ϕ(ցx ) 6- 0 : /x -ի անընդհատության Ծx ⊂ K բաց շրջակայք,

շնորհիվ որ

/x (y) 6- 0

∀x ∈ K

համար գոյություն ունի

(y ∈ Ծx ) :

Բայց {Ծx }x∈K ընտանիքը ա կում է K կոմպակտը, ուստի այդ

ա կույթից կարելի է անջատել վերջավոր ենթա ա կույթ: Այլ կերպ

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

ասա ՝ գոյություն ունեն այնպիսի K⊂

n Ս

x1 , x2 , . . . , xn ∈ K

կետեր, որ

Ծxi

4-1

/xi (y) 6- 0

(y ∈ Ծxi ) :

Վերցնենք հ - /x1 / x1 + /x2 / x2 + · · · + /xn / xn :

Այդ դեպքում կունենանք հ ∈ Շ(K) ϕ(հ) -

n X

) ϕ (/xi ) ϕ / xi - 0 :

4-1

Մյուս կողմից՝ հ - |/x1 |2 + |/x2 |2 + · · · + |/xn |2 ,

ուստի հ-ը K -ի ոչ մի կետում 0 չի դա նում հետ աբար՝ հ ∈ 4−1 : Վերջինս բերում է հակասության՝ նախորդ թեորեմի 3) պնդման հետ: Սրանով իսկ (2.1.2)-ն ապացուցվեց: Քանի որ էer (ϕx0 ) - {/ ∈ Շ(K) : / (x0 ) - 0} ,

ուստի (2.1.2)-ից նախորդ թեորեմի 1), 2) պնդումներից կբխի, որ Շ(K)-ի մաքսիմալ իդեալները հանդիսանում են 7{x0 } - {/ ∈ Շ(K) : / (x0 ) - 0}

(x0 ∈ K)

բազմությունները միայն նրանք: Ըստ Ուրիսոնի լեմմայի՝ Շ(K)-ն անջատում է K -ի կետերը, այսինքն՝ ∀x, y ∈ K , x 6- y կետերի համար ∃/ ∈ Շ(K) այնպես, որ / (x) 6- / (y) (այն դեպքում, երբ K -ն հանդիսանում է մետրիկական տարա ություն, որպես այդպիսի ֆունկցիա կարող է ա այել / (է) - ρ(է, y), է ∈ K ֆունկցիան): Հետ աբար ամեն մի x ∈ K կետին համապատասխանեցնելով ϕx ∈ MԽ(K) ֆունկցիոնալը՝ կստանանք ոխմիարժեք (բիեկտիվ) արտապատկերում K -ից MԽ(K) -ի վրա: Դա թույլ է տալիս համարել, որ MԽ(K) - K : (2.1.3)

8 2.1. Իդեալներ

հոմոմորֆիզմներ

Խնդիր 2: Դիցուք 7 - {2 ∈ C : |2| - 1}, իսկ 4(7 )-ն դիսկ հանրահաշիվն է: Ապացուցել, որ

MA(T ) - D(0, 1) :

(2.1.4)

Դիտողություն 2.1.1: (2.1.4)-ը համեմատելով (2.1.3)-ից բխող MԽ(T ) - 7

հավասարության հետ՝ նկատում ենք, որ ենթահանրահաշվին անցնելիս մաքսիմալ իդեալների տարա ությունը կարող է ոխվել: I Սահմանում 2.1.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, F - {xα } ⊂ 4 \ {6} էլեմենտների գ որեն անկախ համակարգ է: Կասենք F -ը 4-ի նիչ է, եթե F ∪ {6}-ով նվա մինիմալ ակ ենթահանրահաշիվը համընկնում է 4-ի հետ: Դիտողություն 2.1.2: Նկատենք, որ ∀F ⊂ 4 էլեմենտների ընտանիքի համար F -ի էլեմենտներից բազմանդամների բազմության ակումը հանդիսանում է F -ը պարունակող մինիմալ ակ ենթահանրահաշիվ: Ուստի ցանկացա F ⊂ 4 \ {6} գ որեն անկախ համակարգի համար գոյություն ունի 8 ⊂ 4 ակ ենթահանրահաշիվ, որի համար F -ը հանդիսանում է նիչ: I Օրինակ 3: 7 - 7n-ով նշանակենք այն բոլոր / : Rn → C ֆունկցիաների դասը, որոնք ներկայացվում են X

/ (x) -

am 64m·x

m∈Zn

տեսքով, որտեղ

|am | Հ ∞: 7 -ում

ներմու ենք նորմ՝ ∀/

∈7

m∈Zn

համար սահմանելով

k/ k -

|am | :

m∈Zn

Հեշտ է տեսնել, որ 7 -ն կհանդիսանա կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ (գոր ողությունները հասկացվում են կետային իմաստով, միավորը 6(է) ≡ 1 ֆունկցիան է): Յուրաքանչյուր x ∈ Rn

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

համար / Է→ / (x) արտապատկերումը հանդիսանում է ոչ 0-ական մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալ: Ցույց տանք, որ ճիշտ է նա հակա ակը, այսինքն ∀ϕ ∈ MW համար ∃y ∈ Rn , որ r - 1, 2, . . . , ո համար նշանակենք ցԴ (x) - exp(i xԴ ), x կետի r-րդ կոորդինատն է: Ակնհայտ է, որ ցԴ ,

(2.1.5)

(/ ∈ 7 ) :

ϕ(/ ) - / (y)

որտեղ xԴ -ը

∈ 7, ցԴ

kցԴ k -

ցԴ

-1:

Քանի որ ϕ ∈ MA , ուստի kϕk 6 1 կունենանք՝ |ϕ (ցԴ )| 6 1, - ϕ ϕ (ցԴ )

ցԴ

(քանի որ ցԴ ∈ 7 −1 ⇒ ϕ(ցԴ ) 6- 0): Այստեղից կբխի, որ |ϕ (ցԴ )| - 1 :

Հետ աբար ∃yԴ ∈ R (1 6 r 6 ո), որ ϕ(ցԴ ) - exp(i yԴ ) - ցԴ (y),

(2.1.6)

որտեղ y - (y1 , y2 , . . . , yn ): Դիցուք P -ն կամայական ե անկյունաչա ական բազմանդամ է (դա նշանակում է, որ P -ն հանդիսանում է ցԴ , (1 6 r 6 ո) ֆունկցիաների ամբողջ աստիճանների վերցԴ ջավոր գ ային կոմբինացիա): Այդ դեպքում ϕ-ի գ այնությունից, մուլտիպլիկատիվությունից (2.1.6)-ից կբխի, որ ϕ(P ) - P (y) :

(2.1.7)

8 2.2. Գելֆանդի ձ ա ոխությունը

7 -ում

նորմի սահմանումից պարզ եր ում է, որ ե անկյունաչա ական բազմանդամները 7 -ում ամենուրեք խիտ են, ուստի (2.1.7)-ից ϕ-ի անընդհատությունից կբխի, որ ϕ(/ ) - / (y)

(∀/ ∈ 7 ) ,

ինչը հենց (2.1.5)-ն է: Նշենք, որ եթե y - (y1 , y2 , . . . , yn ), ỹ - (ỹ1 , ỹ2 , . . . , ỹn ) այնպիսին են, որ y4 − ỹ4 հանդիսանում են 2π-ի պատիկներ, ապա / Է→ / (y) / Է→ / (ỹ) ֆունկցիոնալները կլինեն նույնը: Քանի որ (2.1.5)-ի աջ մասում գրվա է / Է→ / (y) Դիրակի ֆունկցիոնալը, ուստի ինչպես (2.1.2)-ը գրեցինք (2.1.3) տեսքով, այնպես էլ (2.1.5)-ը կարելի է գրել MW - |0, 2π|n (2.1.8) տեսքով: (2.1.5)-ից բխում է, որ եթե / ∈ 7 այնպիսին է, որ / (x) 6- 0, ∀x ∈ Rn , ապա ∈ 7 : Սա Վիների հայտնի թեորեմն է (հիմնավո/ րումը բխում է (2.1.5)-ից 2.1.2 թեորեմի 3) պնդումից): I o n Դիտողություն 2.1.3: ցԴ , gԻ : 1 6 r 6 ո ընտանիքը հանդիսանում է 7 Վիների հանրահաշվի նիչ: I Խնդիր 3: Ապացուցել, որ Շ n|a, b|-ն n X k/ k ոոx / (k) (է) k: a6t6b k-0

նորմի նկատմամբ հանդիսանում է բանախյան հանրահաշիվ ցույց տալ, որ MԽ n [a,b] - |a, b| : I

§ 2.2. Գելֆանդի ձ ա ոխությունը

Դիցուք

MA -ն 4-ի

4-ն կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ ոչ 0-ական մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալների բազ-

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

մությունն է (մաքսիմալ իդեալների տարա ությունը): â(ϕ) - ϕ(a)

(ϕ ∈ MA )

բանաձ ը յուրաքանչյուր a ∈ 4 էլեմենտին համապատասխանեցնում է â : MA → C ֆունկցիան, որին անվանում են a էլեմենտի Գելֆանդի ձ ա ոխություն: Նշանակենք 4̂ - {â : a ∈ 4} : 4̂-ը

հանդիսանում է a Է→ â արտապատկերման պատկերը: Այդ արտապատկերմանը ս հաճախ անվանում են Գելֆանդի ձ ա ոխություն: 4-ում դիտարկենք թույլ ∗ տոպոլոգիա: Հիշենք, որ այն որոշվում է Ծ (ϕ0 : x1 , x2 , . . . , xn , ε) - {ϕ ∈ 4∗ : |ϕ(xk ) − ϕ0 (xk )| Հ ε (1 6 k 6 ո)}

շրջակայքերի համակարգով, որտեղ ϕ0 ∈ 4∗ , x1 , x2 , . . . , xn ∈ 4, ε » 0 կամայական են: Դիտարկենք 4∗ -ի թույլ ∗ տոպոլոգիայով MA -ի վրա մակա վա տոպոլոգիան: Վերջինս կորոշվի Մ (ϕ0 : x1 , x2 , . . . , xn , ε) - {ϕ ∈ MA : |ϕ(xk ) − ϕ0 (xk )| Հ ε (1 6 k 6 ո)}

շրջակայքերի համակարգով, որտեղ ϕ0 ∈ MA ; x1 , x2 , . . . , xn ∈ 4 ε » 0 կամայական են: Սա այն ամենաթույլ տոպոլոգիան է, ըստ որի բոլոր â : MA → C ֆունկցիաները անընդհատ են: Այս տոպոլոգիային անվանում են գելֆանդյան տոպոլոգիա: MA -ն, որը դիտարկվում է գելֆանդյան տոպոլոգիայի նկատմամբ, կոչվում է մաքսիմալ իդեալների տարա ություն կամ 4 հանրահաշվի սպեկտր: Լեմմա 2.2.1: MA-ն 4∗-ում թույլ ∗ ակ է: Ապացույց: Դիցուք ϕ0-ն պատկանում է MA-ի թույլ ∗ ակմանը: Մենք պետք է ապացուցենք, որ ϕ0 (xy) - ϕ0 (x)ϕ0 (y)

(x, y ∈ 4)

(2.2.1)

8 2.2. Գելֆանդի ձ ա ոխությունը

(2.2.2)

ϕ0 (6) - 1 :

Ֆիքսենք x, y ∈ 4

ε » 0:

Նշանակենք

7 - {ϕ ∈ 4∗ : |ϕ(24 ) − ϕ0 (24 )| Հ ε

երբ 1 6 i 6 4} ,

որտեղ 21 - 6, 22 - x, 23 - y, 24 - xy: Այդ դեպքում 7 -ն կհանդիսանա ϕ0 կետի թույլ ∗ շրջակայք, ուստի ակման սահմանումից կբխի, որ ∃ϕ ∈ 7 1 MA : Այդ ϕ-ի համար կունենանք |1 − ϕ0 (6)| - |ϕ(6) − ϕ0 (6)| Հ ε,

որտեղից կբխի (2.2.2)-ը: Ունենք ϕ0 (xy) − ϕ0 (x)ϕ0 (y) - |ϕ0 (xy) − ϕ(xy)| + |ϕ(x)ϕ(y) − ϕ0 (x)ϕ0 (y)| - |ϕ0 (xy) − ϕ(xy)| + |ϕ(y) − ϕ0 (y)| ϕ(x) + |ϕ(x) − ϕ0 (x)| ϕ0 (y) ϕ∈7

ա նչությունից կբխի, որ |ϕ0 (xy) − ϕ0 (x)ϕ0 (y)| Հ (1 + kxk + |ϕ0 (y)|) ε,

որտեղից էլ կբխի (2.2.1)-ը: Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 2.2.1: Դիցուք 4-ն կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, MA -ն 4-ի մաքսիմալ իդեալների տարա ությունն է, իսկ R-ր 4-ի բոլոր մաքսիմալ իդեալների հատումն է: Այդ դեպքում՝ 1) MA տարա ությունր հաուսդորֆյան է կոմպակտ, 2) Գելֆանդի x Է→ x̂ ձ ա ոխությունր հոմոմորֆիզմ է 4-ից 4̂-ի վրա (վերջինս Շ(MA )-ի ենթահանրահաշիվ է), րնդ որում այդ հոմոմորֆիզմի միջուկր համրնկնում է R-ի հետ: Hետ աբար, Գելֆանդի ձ ա ոխությունր իզոմորֆիզմ կլինի այն միայն այն դեպքում, երբ R - {0}:

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

3) ∀x ∈ 4 համար x̂-ի պատկերր (x̂(MA )-ն) համրնկնում է x էլեմենտի σ(x) սպեկտրի հետ: Այդ պատճա ով kx̂k∞ - ρ(x) 6 kxk ,

(2.2.3)

որտեղ kx̂k∞ - ոոx |x̂(ϕ)| : ϕ∈MՆ

4) R - ոոd(4) - {x ∈ 4 :

Ապացույց: ∗

ρ(x) - 0}:

1) Թույլ տոպոլոգիան հաուսդորֆյան է: Իրոք, դիցուք ϕ4 ∈ 4∗ (i - 1, 2) ϕ1 6- ϕ2 : Ուստի ∃x ∈ 4, որ ϕ1 (x) 6- ϕ2 (x) :

Վերցնենք 0Հε6

|ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| : որ ϕ1 (x) ϕ2 (x)

Այդ դեպքում ակնհայտ է, ֆունկցիոնալների Ծ (ϕ1 , x, ε) Ծ (ϕ2 , x, ε) շրջակայքերը չեն հատվի: Այստեղից բխում է, որ MA -ի տոպոլոգիան, որն ինդուկցվա է ∗ 4 -ից, ս հաուսդորֆյան է: Դիցուք 5(4∗ )-ը 4∗ -ի միավոր սֆերան է: Ունենք MA ⊂ 5(4∗ ) ⊂ 8(4∗ ),

որտեղ

8(4∗ ) - {ϕ ∈ 4∗ : kϕk 6 1}

4∗ -ի միավոր գունդն է:

Ըստ Բանախ-Ալագլուի թեորեմի՝ 8(4∗ )-ը թույլ կոմպակտ է, ուստի նախորդ լեմմայից կբխի, որ MA -ն ս թույլ ∗ կոմպակտ է: 2) Դիցուք x ∈ 4, y ∈ 4, α ∈ C ϕ ∈ MA : Այդ դեպքում՝ ∗

(αx)ˆ(ϕ) - ϕ(αx) - αϕ(x) - (αx̂) (ϕ),

Քանի որ իդեալների հատումը իդեալ է, ուստի Ց-ը իդեալ է: Քանի որ ուստի ստացվում է, որ ԷոՎ(4) իդեալ է:

Ց - ԷոՎ(4),

8 2.2. Գելֆանդի ձ ա ոխությունը

(x + y)ˆ(ϕ) - ϕ(x + y) - ϕ(x) + ϕ(y) - x̂(ϕ) + ŷ(ϕ) - (x̂ + ŷ) (ϕ), (xy)ˆ(ϕ) - ϕ(xy) - ϕ(x)ϕ(y) - x̂(ϕ)ŷ(ϕ) - (x̂ŷ) (ϕ) :

Հետ աբար x Է→ x̂ արտապատկերումը հոմոմորֆիզմ է: Այդ հոմոմորֆիզմի պատկերն ակնհայտորեն 4̂-ն է: Իսկ կորիզն իրենից ներկայացնում է {x ∈ 4 : ϕ(x) - 0 (∀ϕ ∈ MA )} բազմությունը: Վերջինս կարելի է գրել Ո էer(ϕ)

ϕ∈MՆ

տեսքով: Իսկ սա, համաձայն 2.1.2 թեորեմի 1) համընկնում է R-ի հետ: 3) Ունենք

2) պնդումների,

x̂ (MA ) - {x̂(ϕ) : ϕ ∈ MA } - {ϕ(x) : ϕ ∈ MA } - σ(x),

որտեղ վերջին քայլը բխում է 2.1.2 թեորեմի 5) պնդումից: Հետ աբար kx̂k∞ - ρ(x) 6 kxk :

4) Ինչպես 2)-ի ապացույցի ընթացքում տեսանք՝ Ո

R-

էer(ϕ) :

ϕ∈MՆ

Ուստի x ∈ R նշանակում է, որ ϕ(x) - 0

(∀ϕ ∈ MA ),

կամ որ նույնն է՝ x̂ (MA ) - {0} :

Ըստ 3)-ի՝ վերջինս համարժեք է σ(x) - {0}

ա նչությանը: Իսկ սա էլ համարժեք է ρ(x) - 0,

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

կամ որ նույնն է՝ x ∈ ոոd(4) ա նչությանը: Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 2.2.1: 4 կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվը կոչվում է կիսապարզ, եթե ոոd(4) - {0}: Թեորեմ 2.2.2: Դիցուք a էլեմենտր 4 կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշվի նիչն է: Այդ դեպքում ϕ Է→ ϕ(a) (ϕ ∈ MA ) արտապատկերումր հոմեոմորֆիզմ է MA -ի σ(a)-ի միջ : Ապացույց: Քանի որ σ(a) - {ϕ(a) : ϕ ∈ MA}, ուստի ϕ → ϕ(a) արտապատկերումն անընդհատ է 4 տոպոլոգիայում: Հետ աբար, բավական է ցույց տալ, որ այն ինեկտիվ է: Ենթադրենք, թե ∃ϕ, ψ ∈ ∈ MA , որ ϕ(a) - ψ(a) դիցուք 8 - {x ∈ 4 : ϕ(x) - ψ(x)}: Քանի որ ϕ, ψ ∈ MA , ուստի 8 -ն 4-ի ակ ենթահանրահաշիվ է, որը պարունակում է a-ն: Հետ աբար 8 - 4, այսինքն՝ ϕ - ψ: Թեորեմ 2.2.3: Դիցուք a էլեմենտր 4 կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշվի նիչն է: Այդ դեպքում C \ σ(a) կապակցվա է: Ապացույց: Ենթադրենք, որ C\σ(a) ունի ոչ դատարկ սահմանա ակ 7 կոմպոնենտ ξ0 ∈ 7 : Դիցուք 8 -ն 4-ում {6, a}-ն պարունակող մինիմալ ենթահանրահաշիվն է: Քանի որ ∂7 ⊂ σ(a), ուստի սպեկտրների արտապատկերման մասին թեորեմից բխում է, որ ∀ք բազմանդամի համար |ք(ξ0 )| 6 ոոx {|ք(ξ)| : ξ ∈ ∂7 } 6 ոոx {|ք(ξ)| : ξ ∈ σ(a)} - ոոx {|λ| : λ ∈ ք(σ(a))} - ոոx {|λ| : λ ∈ σ(ք(a))} 6 kք(a)k :

Վերցնենք

b ∈ 8 , այդ դեպքում ∃ք բազմանդամ, ϕ0 : 8 → C հոմոմորֆիզմը սահմանենք

որ

b - ք(a):

ϕ0 (b) - ք(ξ0 )

բանաձ ով (որտեղ b - ք(a)): Վերն արվա դատողություններից բխում է, որ եթե ինչ-որ ք1 , ք2 բազմանդամների համար ք1 (a) - ք2 (a), ապա ք1 (ξ0 ) - ք2 (ξ0 ): Ուստի ϕ0 -ի սահմանումը կո եկտ է: Քանի որ |ϕ0 (b)| - |ք(ξ0 )| 6 kք(a)k - kbk, ուստի ϕ0 -ն սահմանա ակ է kϕ0 k 6 1: Ըստ Հան-Բանախի թեորեմի՝

8 2.8. Ինվոլյուցիաներ

ϕ0 -ն ունի նորմը պահպանող ϕ շարունակություն 4-ի վրա: Բայց ϕ0 (6) - 1, հետ աբար ϕ ∈ MA : Եթե ք(2) - 2 , ապա ք(a) - a ϕ(a) - ϕ0 (a) - ք(ξ0 ) - ξ0 : Հետ աբար, ξ0 ∈ σ(a), ինչը հակասու-

թյուն է:

Թեորեմ 2.2.4: Դիցուք K -ն ոչ դատարկ կոմպակտ է C-ում, որի լրացումր կապակցվա է: Այդ դեպքում գոյություն ունի միավորով մեկ a նիչով 4 կոմպլեքս կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ, այնպիսին, որ σ(a) - K : Ապացույց: Դիցուք a(2) - 2 (2 ∈ K), իսկ 4-ն Շ(K)-ում 6-ն a-ն պարունակող մինիմալ ակ ենթահանրահաշիվն է: Պարզ է, որ K ⊂ σA (a): Եթե λ 6∈ K , ապա iոf {|λ − a(2)| : 2 ∈ K} - M » 0 հետ աբար k(λ6 − a)/ k∞ > M k/ k∞ (/ ∈ 4): Այստեղից բխում է, որ (λ6 − a)-ն 4-ում զրոյի տոպոլոգիական բաժանարար չէ հետ աբար ∂σA (a) ⊂ K : Դիցուք Ծ - iոt (σA (a)), Մ - C \ σA (a): Այդ դեպքում Ծ , Մ չհատվող բաց բազմություններ են C \ K ⊂ C \ ∂σA (a) - Ծ ∪ Մ (C\K)1Մ 6- Ø: Քանի որ C\K կապակցվա է, ուստի C\K ⊂ Մ : Այստեղից բխում է, որ σA (a) ⊂ K , հետ աբար՝ σA (a) - K :

§ 2.3. Ինվոլյուցիաներ

Դիցուք Ճ -ը կոմպլեքս գ ային տարա ություն է, իսկ 4-ն կոմպլեքս հանրահաշիվ է: Սահմանում 2.3.1: Ճ -ից Ճ գոր ող x Է→ x∗ արտապատկերումը կոչվում է գ ային ինվոլյուցիա (կամ՝ ինվոլյուցիա) Ճ -ի վրա, եթե այն բավարարում է հետ յալ պայմաններին. 1) (x + y)∗ - x∗ + y∗ , 2) (λx∗ ) - λx∗ , 3) (x∗ )∗ - x: հ ∈ Ճ էլեմենտը կանվանենք ինքնահամալու (սիմետրիկ) ∗ ինվոլյուցիայի նկատմամբ, եթե հ∗ - հ: Ճ -ի բոլոր ինքնահամալու

տարրերի բազմությունը նշանակենք Տոո(Ճ):

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Պնդում 2.3.1: Դիցուք

գ ային ինվոլյուցիա է Ճ -ի վրա: Այդ դեպքում Տոո(Ճ)-ր իրական գ ային ենթատարա ություն է Ճ -ում

Ապացույց:

∗-ր

Ճ - Տոո(Ճ) ⊕ i Տոո(Ճ) :

Հեշտ է ստուգել, որ Տոո(Ճ)-ը Ճ -ի իրական ենթատարա ություն է: Դիցուք x ∈ Տոո(Ճ) 1 i Տոո(Ճ): Այդ դեպքում x - iy , որտեղ y - y ∗ x - x∗ - (iy)∗ - −iy ∗ - −iy - −x, ուստի x - 0, հետ աբար, ∃ Տոո(Ճ) ⊕ i Տոո(Ճ): ∀x ∈ Ճ համար x + x∗ x − x∗ , ∈ Տոո(Ճ) 2i x-

x − x∗ x + x∗ +i , 2i

հետ աբար՝ Ճ - Տոո(Ճ) ⊕ i Տոո(Ճ): Պնդումն ապացուցվա է: Պնդում 2.3.2: Դիցուք Y -ր իրական ենթատարա ություն է Ճ -ում Ճ - Y ⊕ iY : Այդ դեպքում հ + ik Է→ հ − ik (հ, k ∈ Y ) արտապատկերումր գ ային ինվոլյուցիա է Ճ -ի վրա, րնդ որում Տոո(Ճ) - Y : Ապացույցն ակնհայտ է: Սահմանում 2.3.2: Հանրահաշվական ինվոլյուցիա (կամ՝ ինվոլյուցիա) 4-ի վրա կանվանենք այնպիսի ∗ գ ային ինվոլյուցիան, որի համար տեղի ունի նա հետ յալ պայմանը (աքսիոմը). (xy)∗ - y ∗ x∗

(x, y ∈ 4) :

Հանրահաշիվը, որում կա ինվոլյուցիա, կոչվում է աստղանիշ կամ ինվոլյուտիվ հանրահաշիվ: xy + yx xy − yx Տրվա x, y ∈ 4 համար էլեմենտներին 2i կանվանենք x, y տարրերի համապատասխանաբար իրական կեղ ժորդանյան արտադրյալներ: Եթե 4-ն աստղանիշ հանրահաշիվ է, ապա հեշտ է տեսնել, որ Տոո(4) ակ է իրական կեղ ժորդանյան արտադրյալի նկատմամբ:

8 2.8. Ինվոլյուցիաներ

Պնդում 2.3.3: Դիցուք

Y -ր 4-ում

իրական գ ային ենթատարա ություն է, որր ակ է իրական կեղ ժորդանյան արտադրյալների նկատմամբ 4 - Y ⊕ iY : Այդ դեպքում հ + ik Է→ հ − ik (հ, k ∈ Y ) արտապատկերումր ինվոլյուցիա է 4-ի վրա, րնդ որում Տոո(4) - Y : Ապացույց: Ըստ 2.3.2 պնդման՝ բավական է ապացուցել, որ (ab)∗ - b∗ a∗ (a, b ∈ 4): Դիցուք a - հ+ik, b - ք+iզ, որտեղ հ, k, ք, զ ∈ Y : Այդ դեպքում ab + b∗ a∗ - (հ + ik)(ք + iզ) + (ք − iզ)(հ − ik) - (հք + քհ) − (kզ + զk) + i(kք − քk) + i(հզ − զհ) ∈ Y : (ab − b∗ a∗ ) ∈ Y : i + i (ab − b∗ a∗ ), ուստի 2i

Նման ձ ով

(ab)∗ -

Քանի որ

ab -

(ab + b∗ a∗ ) +

(ab + b∗ a∗ ) − i (ab − b∗ a∗ ) - b∗ a∗ : 2i

Պնդումն ապացուցվա է: Սահմանում 2.3.3: Դիցուք 4-ն ինվոլյուտիվ հանրահաշիվ է, ϕ : 4 → C գ ային ֆունկցիոնալ է: ϕ∗ գ ային ֆունկցիոնալը սահմանենք ϕ∗ (a) - ϕ(a∗ )

(a ∈ 4)

բանաձ ով: Այդ դեպքում ϕ Է→ ϕ∗ արտապատկերումը գ ային ինվոլյուցիա է 4-ի 40 հանրահաշվական համալու տարա ությունում: ϕ : 4 → C գ ային ֆունկցիոնալը կանվանենք ինքնահամալու , եթե ϕ - ϕ∗ (այսինքն՝ ϕ(a∗ ) - ϕ(a) (∀a ∈ 4)): Պարզ է, որ ինքնահամալու ֆունկցիոնալը ընդունում է իրական արժեքներ Տոո(4)-ի վրա հակա ակը՝ եթե ϕ0 -ն իրական գ ային ֆունկցիոնալ է Տոո(4)-ի վրա, ապա այն ϕ(a) - ϕ0

a + a∗

+ iϕ0

a − a∗ 2i

(a ∈ 4)

(2.3.1)

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

բանաձ ով նում է ինքնահամալու ϕ գ ային ֆունկցիոնալ 4-ի վրա: 4 բանախյան հանրահաշվի վրա որոշվա բոլոր ինքնահամալու անրնդհատ գ ային ֆունկցիոնալների բազմությունը կնշանակենք Տոո(4∗ ): Դիտողություն 2.3.1: Դիցուք H(4)-ն նախկինում դիտարկվա հերմիտյան էլեմենտների բազմություն է: Այդ դեպքում դժվար չէ տեսնել, որ H(4) ⊂ Տոո(4),

սակայն հնարավոր է, որ H(4) 6- Տոո(4): I Սահմանում 2.3.4: 4 ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահաշիվը կոչվում է 8 ∗ հանրահաշիվ, եթե kxx∗ k - kxk2

(∀x ∈ 4) :

(2.3.2)

Նկատենք, որ kxk2 - kxx∗ k 6 kxk · kx∗ k գնահատականից բխում է, որ kxk 6 kx∗ k: Բայց x∗∗ - x, ուստի վերը ստացվա ից կբխի, որ kx∗ k 6 k(x∗ )∗ k - kx∗∗ k - kxk,

հետ աբար 8 ∗ հանրահաշվում kx∗ k - kxk

(∀x ∈ 4) :

(2.3.3)

(2.3.3)-ից բխում է, որ 8 ∗ հանրահաշվի ինվոլյուցիան անընդհատ է: Թեորեմ 2.3.1: Դիցուք 4-ն միավորով 8∗ հանրահաշիվ է: Այդ դեպքում H(4) - Տոո(4): Apaցowyց:

Դիցուք հ ∈ 4, հ∗ - հ

է ∈ R:

Քանի որ

k6 + է2 հ2 k - k(6 + iէհ)(6 − iէհ)k - k6 + iէհk2 ,

ուստի np o {k6 + iէհk − 1} - liո k6 + iէհk − 1 - 0 : t→+0 է t→+0 liո

8 2.8. Ինվոլյուցիաներ

Հետ աբար, Մ (հ) ⊂ R: Հակա ակը, եթե հ ∈ H(4)

հ - ք + iզ , որտեղ ք - ք∗ , զ - զ ∗ , Մ (հ) - {ϕ(ք) + iϕ(զ) : ϕ ∈ ՛(4)}: Քանի որ հ, ք, զ հերմիտյան են, ∀ϕ ∈ ՛(4) համար ϕ(զ) - 0 ⇒ հ ∈ Տոո(4):

ապա ապա

Թեորեմն ապացուցվա է:

Վիդավ-Պալմերի թեորեմը: Եթե 4 բանախյան հանրահաշվում տրվա ∗ ինվոլյուցիան այնպիսին է, որ H(4) - Տոո(4),

ապա 4-ն 8 ∗ հանրահաշիվ է: Թեորեմն ընդունում ենք ա անց ապացույցի: I Օրինակ 1: Շ(K)-ում / Է→ / արտապատկերումը կլինի ինվոլյուցիա (/ ∗ def - / ): Ակնհայտ է, որ Շ(K)-ն 8 ∗ -հանրահաշիվ է: Օրինակ 2: Դիտարկենք H հիլբերտյան տարա ության վրա որոշվա 8L(H) գ ային սահմանա ակ պերատորների հանրահաշիվը: Դիցուք ∗-ը 4 ∈ 8L(H) պերատորից նրա հերմիտյան համալու ին անցման գոր ողությունն է: Այդ դեպքում 8L(H)-ը կլինի 8 ∗ -հանրահաշիվ: Սա մենք գիտենք ֆունկցիոնալ անալիզի դասընթացից, բայց ապացուցենք անկախ ճանապարհով: Նախ տանք այսպիսի՝ Սահմանում 2.3.5: Դիցուք Ճ , Y , 2 մի նույն թվային դաշտով (իրական կամ կոմպլեքս) գ ային տարա ություններ են, իսկ 8 : Ճ × Y → 2 : Յուրաքանչյուր x ∈ Ճ y ∈ Y էլեմենտներին համապատասխան՝ կա ուցենք 8x : Y −→ 2

8 y : Ճ −→ 2

արտապատկերումներ՝ վերցնելով

ա) ∀y ∈ Y

8x (y) - 8(x, y)

(y ∈ Y ) ,

8 y (x) - 8(x, y)

(x ∈ Ճ) :

արտապատկերումը կոչվում է բիգ ային, եթե ∀x համար 8x , 8 y արտապատկերումները գ ային են:

∈Ճ

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

բ) 8 արտապատկերումը կոչվում է կիսագ ային (полуторалинейный) եթե ∀y ∈ Y համար 8 y արտապատկերումը գ ային է, իսկ 8x -ը ∀x ∈ Ճ համար համալու -գ ային է, այսինքն՝ 8x (λ1 y1 + λ2 y2 ) - λ1 8x (y1 ) + λ2 8x (y2 ),

(∀y1 , y2 ∈ Y , ∀λ1 , λ2 սկալյարների համար): Կիսագ ային ֆունկցիոնալի րինակ է սկալյար արտադրյալը: Լեմմա 2.3.1: Եթե / : H × H → C կիսագ ային ֆունկցիոնալր սահմանա ակ է այն իմաստով, որ k/ k - Տսp {|/ (x, y)| : kxk - kyk - 1} Հ ∞,

ապա գոյություն ունի միակ 5 : H → H արտապատկերում, որ / (x, y) - (x, 5y)

(∀x, y ∈ H) :

Ընդ որում՝ 5 ∈ 8L(H) k5k - k/ k :

Ապացույց: Հեշտ է տեսնել, որ |/ (x, y)| 6 k/ k·kxk·kyk (∀x, y ∈ H ), ուստի ցանկացա ֆիքսա y ∈ H համար x Է→ / (x, y)

արտապատկերումը հանդիսանում է գ ային սահմանա ակ ֆունկցիոնալ H -ում, ընդ որում այդ ֆունկցիոնալի նորմը չի գերազանցում k/ k · kyk-ը: Ըստ իսի թեորեմի՝ գոյություն ունի միակ 5y ∈ H , որ / (x, y) - (x, 5y)

(x ∈ H),

ընդ որում k5yk 6 k/ k · kyk :

(2.3.4)

Հեշտ է տեսնել. որ 5 -ն ադիտիվ է: Եթե α ∈ C, ապա (x, 5(αy)) - / (x, αy) - α/ (x, y) - α(x, 5y) - (x, α5y),

8 2.8. Ինվոլյուցիաներ

∀x, y ∈ H 5 ∈ 8L(H)

համար: Ուստի 5 -ը գ ային է: (2.3.4)-ից կբխի, որ k5k 6 k/ k :

Բացի այդ, ունենք |/ (x, y)| - |(x, 5y)| 6 kxk k5yk 6 kxk · k5k · kyk,

հետ աբար նա k/ k 6 k5k: Լեմման ապացուցվա է: Եթե 7 ∈ 8L(H), ապա / (x, y) - (7 x, y) ձ ը հանդիսանում է կիսագ ային սահմանա ակ ֆունկցիոնալ, ուստի ըստ նախորդ լեմմայի՝ գոյություն ունի միակ 7 ∗ : H → H արտապատկերում, որ (7 x, y) - (x, 7 ∗ y)

(x, y ∈ H),

(2.3.5)

ընդ որում 7 ∗ ∈ 8L(H) k7 ∗ k - k7 k :

(2.3.6)

7 ∗ -ը կոչվում է 7

սահմանա ակ պերատորի հերմիտյան համալու : Ցույց տանք, որ 7 Է→ 7 ∗ արտապատկերումը 8L(H)-ում ինվոլյուցիա է, այսինքն բավարարում է հետ յալ պայմաններին՝ (7 + 5)∗ - 7 ∗ + 5 ∗ , (α7 )∗ - λ7 ∗ , (57 )∗ - 7 ∗ 5 ∗ , 7 ∗∗ - 7

(∀7, 5 ∈ 8L(H), ∀α մյուսները բխում են

∈ C):

Սրանցից ա աջինն ակնհայտ է, իսկ

(α7 x, y) - α(7 x, y) - α (x, 7 ∗ y) - (x, α7 ∗ y) , (57 x, y) - (7 x, 5 ∗ y) - (x, 7 ∗ 5 ∗ y) , (7 x, y) - (x, 7 ∗ y) - (7 ∗ y, x) - (y, 7 ∗∗ x) - (7 ∗∗ x, y)

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

հավասարություններից: Քանի որ ∀x ∈ H համար k7 xk2 - (7 x, 7 x) - (7 ∗ 7 x, x) 6 k7 ∗ 7 k · kxk2 ,

ուստի k7 k2 6 k7 ∗ 7 k: Մյուս կողմից, (2.3.6)-ից բխում է, որ k7 ∗ 7 k 6 k7 ∗ k k7 k - k7 k2 ,

ուստի ∀7

∈ 8L(H)

համար k7 ∗ 7 k - k7 k2 :

Այսպիսով, ապացուցվեց, որ 8L(H)-ը 8 ∗ -հանրահաշիվ է: I Թեորեմ 2.3.2: Դիցուք 4-ն ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահաշիվ է, x ∈ 4: Այդ դեպքում՝ 1) x + x∗ , i(x − x∗ ), xx∗ էլեմենտներր սիմետրիկ են, 2) x էլեմենտր միակ ձ ով ներկայացվում է x - ս + iv տեսքով, որտեղ ս-ն v-ն 4-ի սիմետրիկ էլեմենտներ են, 3) 6 միավորր 0-ն սիմետրիկ են, 4) x ∈ 4−1 այն) միայն այն դեպքում, երբ x∗ ∈ 4−1 , րնդ որում ∗ (x∗ )−1 - x−1 , 5) λ ∈ σ(x) այն միայն այն դեպքում, երբ λ ∈ σ(x∗ ): Ապացույց: 1) պնդումն ակնհայտ է: 2) Վերցնենք ս - 21 (x + x∗ ), v - 241 (x − x∗ ) - 24 (x∗ − x): Այդ դեպքում կունենանք ս, v ∈ Տոո(4) x - ս + iv: Ենթադրենք թե նա x - ս0 + iv0 , որտեղ ս0 , v0 ∈ Տոո(4): Նշանակենք ա - v0 − v: Ունենք ա ∈ Տոո(4): Քանի որ iա - i(v 0 − v) - iv 0 − iv - (x − ս0 ) − (x − ս) - ս − ս0 ,

ուստի նա

iա ∈ Տոո(4),

հետ աբար

iա - (iա)∗ - −iա∗ - −iա,

որտեղից կստանանք, որ հետ աբար՝ նա ս - ս0 :

ա - 0:

Այստեղից կբխի, որ

v - v0

8 2.8. Ինվոլյուցիաներ

3) Ունենք 0∗ - (0 + 0)∗ - 0∗ + 0∗ ⇒ 0∗ - 0: Ունենք 6∗ - 66∗ , ուստի 1)-ից կբխի, որ 6∗ - (6∗ )∗ - 6: 4)-ը բխում է 3)-ից (xy)∗ - y∗ x∗ հավասարությունից: 5)-ը ստանալու համար 4)-ը կկիրա ենք (λ6 − x)-ի վրա: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 2.3.3: Եթե 4 կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվր կիսապարզ է, ապա 4-ի վրա ցանկացա ինվոլյուցիա անրնդհատ է: Ապացույց: 4-ն իրական թվերի դաշտի նկատմամբ բանախյան տարա ություն է, իսկ ∗-ը 4-ից 4 իրականորեն գ ային: Ուստի ∗-ի անընդհատությունը ցույց տալու համար՝ ակ գրաֆիկի մասին թեորեմի շնորհիվ բավական է ցույց տալ, որ ∗-ի գրաֆիկը ակ է: Դիցուք xn → x,

x∗n → y :

Պետք է ցույց տալ, որ y - x∗ : Վերցնենք ∀ψ ∈ MA դիտարկենք ϕ(2) - ψ(2 ∗ ) (2 ∈ 4) բանաձ ով որոշվող ֆունկցիոնալը: Ինվոլյուցիայի հատկություններից կբխի, որ ϕ ∈ MA : Ուստի ϕ-ն անընդհատ է, կունենանք ψ(x∗ ) - ϕ(x) - liո ϕ(xn ) - liո ψ (x∗n ) - ψ(y), ψ (x∗ − y) - 0,

այսինքն՝ x∗ − y ստանում ենք

∈ էer(ψ):

x∗ − y ∈

Քանի որ ψ-ն կամայական էր, ուստի էer(ψ) - ոոd(4) - {0},

ψ∈MՆ

հետ աբար y - : Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 2.3.6: Դիցուք K -ն հաուսդորֆյան կոմպակտ է: 4 ⊂ Շ(K) կոչվում է հավասարաչա հանրահաշիվ, եթե՝ 1) 4-ն Շ(K)-ի ակ ենթահանրահաշիվ է, 2) 4-ն անջատում է K -ի կետերը, 3) 6 ∈ 4 (6-ով նշանակվա է Շ(K)-ի միավորը): x∗

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Օրինակ, 4(7 ) դիսկ հանրահաշիվը Շ(7 )-ում հավասարաչա

ենթահանրահաշիվ է: Սահմանում 2.3.7: Շ(K)-ի 4 ենթահանրահաշիվը կոչվում է սիմետրիկ, եթե ∀/ ∈ 4 համար / ∈ 4: Ստոն-Վայերշտրասի թեորեմը: Եթե հավասարաչա հանրահաշիվր սիմետրիկ է, ապա այն համրնկնում է Շ(K)-ի հետ: Սա մենք ապացուցել ենք մաթ. անալիզի դասընթացում: I Լեմմա 2.3.2: Դիցուք 4-ն կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, r-

iոf x∈A\{0}

Այդ դեպքում

kxk

iոf x∈A\{0}

kx̂k∞ kxk2

52 6 r 6 5 :

Ապացույց: ∀x ∈ 4 համար ունենք kx̂k∞ > 5kxk, ուստի x2 > x̂2

∞

- kx̂k2∞ > 52 kxk2 :

Հետ աբար՝ 52 6 r: Քանի որ ∀x ∈ 4 համար ինդուկցիայով կստանանք, որ kxm k > rm−1 kxkm

> rkxk2 ,

ուստի ըստ ո-ի

(7 - 2n , ո - 1, 2, 3, . . .) :

Ստացվա ա նչությունից հանենք 7-րդ աստիճանի արմատ այնուհետ անցնենք սահմանի, երբ 7 → ∞: Օգտվելով սպեկտրալ շա ավղի բանաձ ից՝ կունենանք ρ(x) > rkxk,

քանի որ ρ(x) - kx̂k∞ , ուստի կստանանք kx̂k∞ > rkxk

որտեղից էլ բխում է, որ r 6 5: Լեմման ապացուցվա է:

(x ∈ 4),

8 2.8. Ինվոլյուցիաներ

Թեորեմ 2.3.4: Դիցուք 4-ն կոմուտատիվ բանախյան հանրա-

հաշիվ է: Այդ դեպքում՝ 1) Գելֆանդի ձ ա ոխությունր իզոմետրիա կլինի (այսինքն՝ kxk - kx̂k∞ (∀x ∈ 4)) այն միայն այն դեպքում, երբ x2 - kxk2

(∀x ∈ 4),

2) որպեսզի 4-ն լինի կիսապարզ միաժամանակ 4̂-ր լինի

ակ Շ(MA )-ում, անհրաժեշտ է բավարար, որ ∃K » 0, այնպես, որ kxk2 6 K x2

(∀x ∈ 4) :

Ապացույց: 1) Նախորդ լեմմայի նշանակումներով՝ Գելֆանդի ձ

ա ոխությունը իզոմետրիա կլինի այն միայն այն դեպքում, երբ 5 - 1 (չէ՞ որ, ըստ (2.2.3)-ի, միշտ kx̂k∞ 6 kxk), ինչը, ըստ այդ լեմմայի, համարժեք է r - 1 պայմանին: Քանի որ միշտ kx2 k 6 kxk2 , ուստի r - 1 պայմանը համարժեք է թեորեմի պայմանին: 2) Նշվա K » 0 թվի գոյությունը նշանակում է, որ r » 0, ինչը, ըստ այդ լեմմայի, համարժեք է 5 » 0 պայմանին: Եթե 5 » 0, ապա x Է→ x̂ արտապատկերումը ոխմիարժեք է ունի անընդհատ հակադարձ: Ուստի այդպիսի իրավիճակում 4̂ հանրահաշիվը լրիվ է ( հետ աբար ակ է) Շ(MA )-ում: 5 Այժմ հակա ակը, դիցուք x Է→ x̂ արտապատկերումը ոխմիարժեք է 4̂ հանրահաշիվը ակ է Շ(MA )-ում: Այդ դեպքում հակադարձ պերատորի մասին Բանախի թեորեմից կբխի, որ x Է→ x̂ արտապատկերման հակադարձը սահմանա ակ է: Հետ աբար այդ պերատորի նորմը՝ 0Հ

kxk Հ ∞, x∈A\{0} kx̂k∞ Տսp

ինչը համարժեք է 5 » 0 ա նչությանը: Նախորդ լեմմայից կբխի, որ r » 0: Թեորեմն ապացուցվա է: ստ 2.2.1 թեորեմի՝ 4-ն կիսապարզ է այն միայն այն դեպքում, երբ 2 7→ 2̂ արտապատկերումը ոխմիարժեք է:

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Թեորեմ 2.3.5 (Գելֆանդ-Նայմարկի կոմուտատիվ թեորեմը): Դի∗

ցուք 4-ն կոմուտատիվ 8 հանրահաշիվ է: Այդ դեպքում Գելֆանդի ձ ա ոխությունր հանդիսանում է իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ 4-ի Շ(MA )-ի միջ , րնդ որում ϕ(x∗ ) - ϕ(x)

կամ որ նույնն է՝

(x ∈ 4, ϕ ∈ MA ),

(x∗ )ˆ - x̂

(x ∈ 4) :

(2.3.7) (2.3.8) միայն

Մասնավորապես, x ∈ 4 էլեմենտր սիմետրիկ է այն այն դեպքում, երբ x̂-ր իրական ֆունկցիա է: Ապացույց: Դիցուք ϕ ∈ MA ս ∈ Տոո(4): Նախ ցույց տանք, որ ϕ(ս)-ն իրական թիվ է: Դիցուք ϕ(ս) - α + iβ , որտեղ α, β ∈ R: Վերցնենք կամայական է ∈ R դիտարկենք 2 - ս + iէ6 էլեմենտը: Հեշտ է տեսնել, որ 22 ∗ - ս2 + է2 6,

ϕ(2) - α + i(β + է),

ուստի α2 + (β + է)2 - |ϕ(2)|2 6 k2k2 - k22 ∗ k 6 kսk2 + է2 ,

կամ՝

α2 + β 2 + 2βէ 6 kսk2

(−∞ Հ է Հ ∞),

ինչը հնարավոր է միայն β - 0 դեպքում: Վերջինս էլ նշանակում է, որ ϕ(ս)-ն իրական է: ∀x ∈ 4 կարելի է ներկայացնել x - ս + iv տեսքով, որտեղ ս - ս∗ , v - v ∗ : Ընդ որում՝ x∗ - ս − iv : Ըստ վերն ապացուցվա ի՝ ս̂, v̂ ֆունկցիաները իրական են, որտեղից էլ կբխի (2.3.8)-ը: Վերն ապացուցվա ից բխում է, որ 4̂ ⊂ Շ(MA ) սիմետրիկ հանրահաշիվ է, այսինքն եթե / ∈ 4̂, ապա նա / ∈ 4̂: Եթե x ∈ 4 y - xx∗ , ապա y - y∗ , ուստի ky2 k - kyk2 : Այստեղից ըստ ո-ի ինդուկցիայով ստացվում է, որ ky m k - kykm

(7 - 2n , ո - 1, 2, . . .) :

8 2./. Ինվոլյուցիայի անընդհատությունը

Ստացվա հավասարությունից հանենք 7-րդ աստիճանի արմատ այնուհետ անցնենք սահմանի, երբ 7 → ∞: Օգտվելով սպեկտրալ շա ավղի բանաձ ից՝ կունենանք ρ(y) - kyk,

քանի որ ρ(y) - kŷk∞ , ուստի կստանանք kŷk∞ - kyk :

Քանի որ y - xx∗ , ուստի (2.3.8)-ից բխում է, որ ŷ - |x̂|2 : Հետ աբար kx̂k2∞ - kŷk∞ - kyk - kxx∗ k - kxk2 ,

կամ kx̂k∞ - kxk: Այսպիսով, x Է→ x̂ արտապատկերումը իզոմետրիա է: Հետ աբար 4̂-ն կլինի ակ Շ(MA )-ում: Այսպիսով, 4̂ ⊂ Շ(MA ) ակ ենթահանրահաշիվ է: Ակնհայտ է, որ 4̂-ը անջատում է MA -ի կետերը: Շ(MA )-ի միավորը՝ նույնաբար 1 ֆունկցիան է, հանդիսանում է 6-ի Գելֆանդի ձ ա ոխությունը, ուստի պատկանում է 4̂-ին: Հետ աբար 4̂-ը հավասարաչա հանրահաշիվ է: Քանի որ 4̂-ը նա սիմետրիկ է, ուստի Ստոն-Վայերշտրասի թեորեմից կբխի, որ 4̂ - Շ(MA ): Թեորեմն ապացուցվա է: § 2.4. Ինվոլյուցիայի անընդհատությունը

Թեորեմ 2.4.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է: Hետ

յալ

պայմաններն իրար համարժեք են. 1) ∗ ինվոլյուցիան անրնդհատ է 4-ի վրա, 2) Տոո(4∗ )-ն անջատում է 4-ի կետերր, 3) Տոո(4)-ն 4-ի ակ ենթատարա ություն է: Ապացույցը տանենք 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1) սխեմայով: 1) ⇒ 2) Դիցուք ∗ -ը անընդհատ ինվոլյուցիա է 4-ի վրա հ ∈ Տոո(4) \ {0}: Ըստ Հան-Բանախի թեորեմի գոյություն ունի Տոո(4)-ի վրա որոշվա այնպիսի ϕ0 իրականորեն գ ային անընդհատ ֆունկցիոնալ, որ ϕ0 (հ) - 1: Դիտարկենք ϕ0 -ով նվա

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

∗-ի

նկատմամբ ինքնահամալու ϕ կոմպլեքս գ ային ֆունկցիոնալը (տես՝ (2.3.1)-ը): Քանի որ ∗ ինվոլյուցիան անընդհատ է, ուստի ϕ ∈ Տոո(4∗ ), ϕ(հ) - 1: Քանի որ 4 - Տոո(4) ⊕ i Տոո(4) Տոո(4∗ )-ի էլեմենտները Տոո(4)-ի վրա ընդունում են իրական արժեքներ, ուստի այստեղից բխում է, որ Տոո(4∗ )-ն անջատում է 4-ի կետերը: 2) ⇒ 3) Դիցուք Տոո(4∗ )-ն անջատում է 4-ի կետերը {հn } ⊂ Տոո(4), liո հn - հ + ik , որտեղ հ, k ∈ Տոո(4): n→∞ ∀ϕ ∈ Տոո(4∗ ) համար ունենք iϕ(k) - ϕ(ik) - ϕ

(

liո (հn − հ) - liո ϕ(հn − հ) :

n→∞

Քանի որ ϕ-ն Տոո(4)-ի վրա ընդունում է իրական արժեքներ, ուստի ϕ(k) - 0 (∀ϕ ∈ Տոո(4∗ )), որտեղից k - 0: Այսպիսով՝ Տոո(4)-ն

ակ է 4-ում: 3) ⇒ 1) Դիցուք Տոո(4)-ն ակ է 4-ում liո an - a, liո a∗n - b: n→∞

Այդ դեպքում

n→∞

a + b - liո (an + a∗n ) ∈ Տոո(4), n→∞

i(a − b) - liո (i(an − a∗n )) ∈ Տոո(4) : n→∞

Հետ աբար, a + b - a∗ + b∗ , a − b - −a∗ + b∗ , որտեղից b - a∗ : Մնում է կիրա ել ակ գրաֆիկի մասին թեորեմը: Թեորեմն ապացուցվա է: Ինչպես ցույց ենք տվել, կիսապարզ կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշվում բոլոր ինվոլյուցիաներն անընդհատ են: Սակայն ընդհանուր դեպքում պարտադիր չէ, որ նորմավորվա հանրահաշվում ինվոլյուցիան լինի անընդհատ: Դա հասկանալու համար դիտարկենք երկու րինակ: 1) Դիցուք 4-ն այնպիսի անվերջ չա անի կոմպլեքս բանախյան հանրահաշիվ է, որ 42 - {0}: Դիցուք {6n }∞ 1 ⊂ 4 գ որեն անկախ նորմավորվա վեկտորական համակարգ է: Դիտարկենք {6λ } հանրահաշվական բազիսը 4-ում, որը պարունակում է {6n }-ը: {6λ }

8 2./. Ինվոլյուցիայի անընդհատությունը

բազիսի էլեմենտների վրա ինվոլյուցիան սահմանենք 6∗2n - ո62n−1 , 6∗2n−1 6∗µ - 6µ

62n ո

(ո ∈ N),

(∀6µ ∈ {6λ } \ {6n }∞ 1 )

բանաձ երով: Քանի որ {6λ }-ն 4-ի բազիս է, ուստի {6λ }-ի վրա ընդունա արժեքներով ինվոլյուցիան միարժեքորեն կսահմանվի 4-ի վրա: Այս ինվոլյուցիան խզվող է 4-ի վրա: 2) Դիցուք 4 նորմավորվա հանրահաշվում ունենք երկու՝ k · k1 , k · k2 հանրահաշվական նորմեր ∗ : 4 → 4 ինվոլյուցիան անընդհատ է k · k1 նորմով: Քանի որ ∗-ը իրականորեն գ ային պերատոր է, ուստի նրա անընդհատությունը նշանակում է, որ ∃k » 0, այնպես, որ kx∗ k1 6 kkxk1

(∀x ∈ 4) :

Կա ուցենք 8 - (4, k · k1 ) ⊕ (4, k · k2 )

ուղիղ գումարը: Ըստ սահմանման՝ 8 - {(a, b) : a, b ∈ 4} ,

Ընդ որում (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ 8

λ∈C

համար ըստ սահմանման

(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) - (a1 + a2 , b1 + b2 ) , λ(a1 , b1 ) - (λa1 , λb1 ) , (a1 , b1 )(a2 , b2 ) - (a1 a2 , b1 b2 ) :

Հեշտ է տեսնել, որ 8 -ն կլինի կոմպլեքս հանրահաշիվ: համար սահմանենք k(a, b)k - ոոx {kak1 , kbk2 } , (a, b)∗ - (b∗ , a∗ ) :

(a, b) ∈ 8

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Այդ դեպքում 8 -ն կդա նա ինվոլյուտիվ նորմավորվա հանրահաշիվ: Դիցուք k · k1 k · k2 նորմերը իրար համարժեք չեն (անվերջ չա անի հանրահաշիվների համար այդպիսի նորմեր ընտրելը պրակտիկորեն միշտ հնարավոր է) {an }∞ 1 ⊂ 4 այնպիսին է, որ kan k1 −→ 0

kan k2 −→ 1 :

Այդ դեպքում կունենանք k(0, an )∗ k - ka∗n k1 −→ 0,

բայց

k|(0, an )∗ |∗ k - k(0, an )k - kan k2 −→ 1,

ուստի ∗ : 8 → 8 ինվոլյուցիան անընդհատ չէ: Կատարենք մի կար որ դիտողություն համարժեք նորմերի մասին: Դիցուք 4 հանրահաշիվը լրիվ է k · k1 k · k2 նորմերից յուրաքանչյուրի նկատմամբ ∃k » 0, որ kxk1 6 kkxk2 (∀x ∈ 4) : (2.4.1) Այդ դեպքում ∃k1 » 0, որ kxk2 6 k1 kxk1 (∀x ∈ 4) : (2.4.2) Իրոք, (2.4.1)-ը ցույց է տալիս, որ I միավոր պերատորը, եթե նրան դիտարկենք որպես (4, k · k1 ) տարա ությունը (4, k · k2 ) տարա ության մեջ արտապատկերող պերատոր, անընդհատ է, որտեղից հակադարձ պերատորի մասին Բանախի թեորեմից կբխի, որ այդ պերատորը կլինի անընդհատ նա որպես (4, k · k2 ) տարա ությանը (4, k · k1 )-ի մեջ արտապատկերող պերատոր: Այստեղից էլ կբխի (2.4.2)-ը: § 2.5. Մոդուլի gաա արը

Դիցուք 4-ն կոմպլեքս հանրահաշիվ է, իսկ Ճ -ը՝ կոմպլեքս գ ային տարա ություն: Ճ -ը կոչվում է ձախ 4 մոդուլ, եթե գոյություն ունի 4 × Ճ → Ճ արտապատկերում, որը ∀(a, x) զույգին

8 2.5. Մոդուլի գալա արը

համապատասխանեցնում է ax ∈ Ճ էլեմենտը, այնպես, որ բավարարվում են հետ յալ պայմանները (ձախ մոդուլի աքսիոմները). ՆԽ1. ∀a ∈ 4 ֆիքսա a-ի համար x Է→ ax արտապատկերումը գ ային է, ՆԽ2. ∀x ∈ Ճ ֆիքսվա x-ի համար a Է→ ax արտապատկերումը գ ային է, ՆԽ3. (a1 a2 )x - a1 (a2 x) (∀a1 , a2 ∈ 4, ∀x ∈ Ճ ): Եթե 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ Ճ -ը բանախյան տարա ություն, ապա ձախ 4 մոդուլի աքսիոմներին ավելացվում է նա հետ յալը. ՆԽ4. ∃k » 0 այնպես, որ kaxk 6 kkak · kxk (∀a ∈ 4, ∀x ∈ Ճ ): Եթե Ճ -ը հիլբերտյան տարա ություն է, իսկ 4-ն՝ ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահաշիվ, ապա դրվում է (ax, y) - (x, a∗ y)

լրացուցիչ պայմանը: Նման ձ ով սահմանվում է աջ 4 մոդուլը: Այս դեպքում արդեն պահանջվում է, որ գոյություն ունենա Ճ × 4 → Ճ արտապատկերում, այնպես, որ բավարարվեն հետ յալ պայմանները (աջ մոդուլի աքսիոմները). ԽԽ1. ∀a ∈ 4 ֆիքսվա a-ի համար x Է→ xa արտապատկերումը գ ային է, ԽԽ2. ∀x ∈ Ճ ֆիքսվա x-ի համար a Է→ xa արտապատկերումը գ ային է, ԽԽ3. x(a1 a2 ) - (xa1 )a2 (∀a1 , a2 ∈ 4, ∀x ∈ Ճ ): Ճ -ը կոչվում է 4 բիմոդուլ, եթե այն միաժամանակ հանդիսանում է ձախ 4 մոդուլ աջ 4 մոդուլ: Այդ դեպքում դրվում է նա (ax)b - a(xb)

(a, b ∈ 4, x ∈ Ճ)

պայմանը: Օրինակ, 4-ն կլինի 4 բիմոդուլ:

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

§ 2.6. Կիրա ություններ ոջ կոմուտատիվ հանրահաշիվ-

ներում

Սահմանում 2.6.1: Դիցուք 5 -ը 4 բանախյան հանրահաշվի ենթաբազմություն է:

Γ(5) - {x ∈ 4 : x5 - 5x (∀5 ∈ 5)}

բազմությունը կոչվում է 5 -ի կոմուտանտ (ցենտրալիզատոր): Սահմանում 2.6.2: Կասենք 5 ⊂ 4 բազմությունը կոմուտատիվ է, եթե ∀x, y ∈ 5 համար xy - yx: Լեմմա 2.6.1 (կոմուտանտի հատկությունները): Դիցուք 5 ⊂ 4 կամայական ենթաբազմություն է: Այդ դեպքում՝ 1) Γ(5)-ր 4-ում միավորով ակ ենթահանրահաշիվ է, 2) 5 ⊂ Γ(Γ(5)), 3) եթե 5 ⊂ 7 , ապա Γ(5) ⊃ Γ(7 ), 4) եթե 5 -ր կոմուտատիվ է, ապա կոմուտատիվ է նա Γ(Γ(5))-ր: Ապացույց: 1) Դիցուք x, y ∈ Γ(5), իսկ 5 ∈ 5 : Ունենք x5 - 5x, y5 - 5y , ուստի ակնհայտորեն (λx)5 - 5(λx),

(x + y)5 - 5(x + y),

(xy)5 - 5(xy),

, հետ աբար, Γ(5)-ը 4-ի ենթահանրահաշիվ է: Ակնհայտորեն՝ Քանի որ 4-ում բազմապատկման գոր ողությունն անընդհատ է, ուստի Γ(5)-ը ակ է: 2) Դիցուք 5 ∈ 5 : Այդ դեպքում ∀x ∈ Γ(5) համար x5 - 5x, ինչը նշանակում է, որ 5 ∈ Γ(Γ(5)): 3)-ը ակնհայտ է: 4) Նկատենք, որ եթե որ է E ⊂ 4 համար Γ(E) ⊂ E , ապա Γ(E)-ն կոմուտատիվ է, ինչը բխում է Γ(E)-ի սահմանումից: Դիցուք 5 -ը կոմուտատիվ է: Այդ դեպքում 5 ⊂ Γ(5) ըստ 3)-ի 6 ∈ Γ(5):

Γ (Γ(5)) ⊂ Γ(5),

իսկ այստեղից, վերն ասվա ի հիման վրա, ստանում ենք Γ (Γ(5))-ի կոմուտատիվությունը: Լեմման ապացուցվա է:

8 2.6. Կիրա ություններ ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվներում

Թեորեմ 2.6.1: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, 5 ⊂ 4

կոմուտատիվ բազմություն է, 8 - Γ(Γ(5)): Այդ դեպքում 8 -ն կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, 5 ⊂ 8 ∀x ∈ 8 համար σB (x) - σA (x) : (2.6.1) Ապացույց: Լեմմա 2.6.1-ից բխում է, որ 8-ն կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է 5 ⊂ 8 : Թեորեմի պնդումը համարժեք է 8 −1 - 4−1 1 8

(2.6.2)

հավասարությանը: Իսկապես, դիցուք ∀x ∈ 8 համար տեղի ունի (2.6.1)-ը: Եթե b ∈ 8 −1 , ապա 0 6∈ σB (b) (2.6.1)-ից կբխի, որ 0 6∈ σA (b), կամ որ նույնն է՝ b ∈ 4−1 : Քանի որ 8 −1 ⊂ 8 , ուստի b ∈ 8 հետ աբար b ∈ 4−1 1 8 : Այսպիսով, 8 −1 ⊂ 4−1 1 8 (սա պարզ էր նա 4−1 , 8 −1 -ի սահմանումներից): Մյուս կողմից նկատենք, որ 4−1 1 8 ⊂ 8 −1 : Իրոք, դիցուք b ∈ 4−1 1 8 : Այդ դեպքում 0 6∈ σA (b) (2.6.1) պայմանից կբխի, որ 0 6∈ σB (b), ուստի b ∈ 8 −1 : Հետ աբար տեղի ունի (2.6.2)-ը: Հակա ակը, եթե (2.6.2)-ը տեղի ունի, ապա որ է x ∈ 8, λ ∈ C համար λ6 − x 6∈ 8 −1 պայմանը համարժեք է λ6 − x 6∈ 4−1 1 8

պայմանին, ինչը x ∈ 8 շնորհիվ համարժեք է λ6 − x 6∈ 4−1 պայմանին: Հետ աբար տեղի ունի (2.6.1)-ը: Ցույց տանք (2.6.2)-ը: Ակնհայտորեն միշտ տեղի ունի 8 −1 ⊂ 4−1 1 8

ներդրումը, ցույց տանք, որ նա 4−1 1 8 ⊂ 8 −1 :

Դիցուք x ∈ 4−1 1 8 : Քանի որ x ∈ 8 , ուստի xy - yx

(∀y ∈ Γ(5)) :

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Այստեղից կբխի, որ yx−1 - x−1 y

(∀y ∈ Γ(5)),

այսինքն՝ x−1 ∈ 8 : Սա էլ նշանակում է, որ x ∈ 8 −1 : Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 2.6.2: Դիցուք 4-ն բանախյան հանրահաշիվ է, x, y ∈ 4 xy - yx: Այդ դեպքում՝ σ(x + y) ⊂ σ(x) + σ(y)

σ(xy) ⊂ σ(x)σ(y) :

Ապացույց: Նշանակենք 5 - {x, y}, 8 - Γ(Γ(5)): Ըստ պայմանի՝ 5 -ը

կոմուտատիվ է, ուստի 2.6.1 լեմմայի համաձայն 8 -ն կլինի կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ: Ունենք x + y, xy ∈ 8 : Ըստ նախորդ թեորեմի՝ բավական է ցույց տալ, որ σB (x + y) ⊂ σB (x) + σB (y),

σB (xy) ⊂ σB (x)σB (y) :

Քանի որ 8 հանրահաշիվը կոմուտատիվ է, ուստի ցանկացա 2 ∈ 8 էլեմենտի σB (2) սպեկտրը համընկնում է 2̂ Գելֆանդի ձ ա ոխության ընդունա արժեքների բազմության (պատկերի) հետ: Ուստի թեորեմի պնդումը բխում է (x + y)ˆ - x̂ + ŷ,

(xy)ˆ - x̂ŷ

հավասարություններից: Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 2.6.3: Դիցուք 4-ն ինվոլյուտիվ հանրահաշիվ է: x ∈ 4 ∗ ∗ էլեմենտը կոչվում է նորմալ, եթե xx - x x: 5 ⊂ 4 բազմությունը կոչվում է նորմալ, եթե 5 -ը կոմուտատիվ է ∀x ∈ 5 համար x∗ ∈ 5 : Օգտվելով Ցորնի լեմմայից՝ հեշտությամբ համոզվում ենք, որ ամեն մի նորմալ ենթաբազմություն պարունակվում է մի ինչ-որ մաքսիմալ նորմալ ենթաբազմության մեջ: Թեորեմ 2.6.3: Դիցուք 4-ն ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ 8 ⊂ 4 մաքսիմալ նորմալ ենթաբազմություն է: Այդ

8 2.6. Կիրա ություններ ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվներում

դեպքում՝ 1) 8 -ն 4-ում միավորով ակ կոմուտատիվ ենթահանրահաշիվ է, 2) σB (x) - σA (x) (∀x ∈ 8): Ապացույց: Նախ ապացուցենք 8-ին պատկանելու հետ յալ հայտանիշը. եթե x ∈ 4 նորմալ է ցանկացա y ∈ 8 համար xy - yx, ապա x ∈ 8 : Իրոք, դիցուք x ∈ 4 էլեմենտը բավարարում է վերը նշվա

պայմաններին: Քանի որ ∀y ∈ 8 ⇒ y∗ ∈ 8 , ուստի xy ∗ - y ∗ x

որտեղից՝

(∀y ∈ 8)

(xy ∗ )∗ - (y ∗ x)∗ yx∗ - x∗ y

(∀y ∈ 8),

(∀y ∈ 8) :

Հետ աբար 8 ∪ {x, x∗ } բազմությունը կլինի նորմալ: Քանի որ 8 -ն մաքսիմալ է, ուստի 8 - 8 ∪ {x, x∗ }, հետ աբար x ∈ 8 : Եթե գտվենք նշվա հայտանիշից, ապա պարզ կդա նա, որ ∀x, y ∈ 8 ∀λ ∈ C համար x + y, xy, λx ∈ 8 6 ∈ 8 (չէ՞ որ 6 - 6∗ ): Ուստի 8 -ն միավորով կոմուտատիվ հանրահաշիվ է: Այժմ ցույց տանք, որ 8 -ն ակ է՝ 8 ⊂ 8 : Իրոք, դիցուք x ∈ 8 {xn }∞ 1 ⊂ 8 , xn → x: xn y - yxn

(y ∈ 8)

հավասարությունից արտադրյալի անընդհատությունից կբխի, որ xy - yx

(y ∈ 8) :

Քանի որ ∀y ∈ 8 համար y∗ ∈ 8 , ուստի նա նանք

xy ∗ - y ∗ x,

x∗ y - (y ∗ x)∗ - (xy ∗ )∗ - yx∗ :

Մասնավորապես (վերցնելով y - xn ) կստանանք x∗ xn - xn x∗

(ո - 1, 2, . . .),

կունե-

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

որտեղից արտադրյալի անընդհատությունից կբխի, որ x∗ x - xx∗ : Հետ աբար, վերը 8 -ին պատկանալու համար մեր ապացուցվա

հայտանիշից կբխի, որ x ∈ 8 : 2) Ինչպես 2.6.1 թեորեմի ապացույցի ընթացքում տեսանք, σB (x) - σA (x)

(∀x ∈ 8)

(2.6.3)

պնդումը համարժեք է 8 −1 - 4−1 1 8

հավասարությանը: Քանի որ միշտ 8 −1 ⊂ 4−1 1 8 , ուստի (2.6.3)-ը համարժեք է 4−1 1 8 ⊂ 8 −1 (2.6.4) ա նչությանը: Ցույց տանք (2.6.4)-ը: Դիցուք x ∈ 4−1 1 8 : Քանի որ x ∈ 8 , ուստի x-ը նորմալ է, հետ աբար x−1 -ը ս նորմալ է: Քանի որ xy - yx

ուստի

(∀y ∈ 8),

x−1 y - yx−1

(∀y ∈ 8)

վերը 8 -ին պատկանելու համար մեր ապացուցա հայտանիշից կբխի, որ x−1 ∈ 8 , հետ աբար x ∈ 8 −1 : Թեորեմն ապացուցվա է: § 2.7. Կիրա ություններ 8 ∗ - հանրահաշիվներում

Սահմանում 2.7.1: Դիցուք 4-ն ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ x ∈ 4: Կասենք (ինվոլյուցիայի նկատմամբ) x > 0, եթե x - x∗ σ(x) ⊂ |0, ∞): Թեորեմ 2.7.1: Դիցուք 4-ն 8∗ հանրահաշիվ է: Այդ դեպքում՝ 1) սիմետրիկ էլեմենտներն ունեն իրական սպեկտր, 2) եթե x ∈ 4 էլեմենտր նորմալ է, ապա ρ(x) - kxk, 3) եթե y ∈ 4, ապա ρ(yy∗ ) - kyk2 ,

8 2... Կիրա ություններ 8 ∗ - հանրահաշիվներում

4) եթե ս, v > 0, ապա ս + v > 0 (ս, v ∈ 4), 5) եթե y ∈ 4, ապա yy∗ > 0, 6) եթե y ∈ 4, ապա 6 + yy∗ ∈ 4−1 : Ապացույց: Ցանկացա x ∈ 4 նորմալ էլեմենտ պարունակվում է մի ինչ-որ 8 ⊂ 4 մաքսիմալ նորմալ բազմության մեջ: Այդ դեպքում 8 -ն կոմուտատիվ 8 ∗ -հանրահաշիվ է հետ աբար Գելֆանդի ձ ա ոխությունը, համաձայն Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի, 8 -ն իզոմորֆ-իզոմետրիկ կերպով արտապատկերում է 8̂ - Շ(MB ) հանրահաշվի վրա: Ինչպես գիտենք՝ σB (2) - 2̂(MB )

Բայց քանի որ σA (2) - σB (2)

(2 ∈ 8) :

(2.7.1)

8 -ն

մաքսիմալ նորմալ բազմություն է, ուստի հետ աբար՝ σA (2) - 2̂(MB )

(2 ∈ 8) :

(2.7.2)

1) Եթե x - x∗ , ապա ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի՝ x̂-ը MB -ի վրա իրական արժեքանի ֆունկցիա է, (2.7.2)-ից կբխի, որ σ(x) - σA (x) ⊂ R :

2) Եթե x-ը նորմալ է, ապա (2.7.2)-ից բխում է, որ ρ(x) Քանի որ 8 -ն 8̂ -ը իզոմետրիկորեն իզոմորֆ են, ուստի

kx̂k∞ :

kx̂k∞ - kxk,

հետ աբար՝ ρ(x) - kxk: 3) Եթե y ∈ 4, ապա x կբխի, որ

- yy ∗

էլեմենտը սիմետրիկ է,

2)-ից

ρ(yy ∗ ) - kyy ∗ k - kyk2

(վերջին քայլը բխում է նրանից, որ 4-ն 8 ∗ -հանրահաշիվ է): 4) Դիցուք ս, v ∈ 4 ս, v > 0: Նշանակենք α - kսk, β - kvk, ա - ս + v , γ - α + β : Այդ դեպքում σ(ս) ⊂ |0, α|: Նկատենք, որ σ(α6 − ս) ⊂ |0, α| :

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

Իրոք, λ6 − (α6 − ս) - − |(α − λ)6 − ս| ,

քանի որ σ(ս) ⊂ |0, α|, ուստի α − λ 6∈ |0, α| λ6 − (α6 − ս) ∈ 4−1 հետ աբար՝

դեպքում

σ(α6 − ս) ⊂ {λ : α − λ ∈ |0, α|} - |0, α| :

Այստեղից կբխի, որ ρ(α6 − ս) 6 α,

գտվելով 2)-ից բխող կստանանք

ρ(α6 − ս) - kα6 − սk

ա նչությունից՝

kα6 − սk 6 α :

Ճիշտ նույն ձ ով ցույց կտանք, որ kβ6 − vk 6 β :

Հետ աբար kγ6 − աk 6 kα6 − սk + kβ6 − vk 6 α + β - γ, kγ6 − աk 6 γ :

(2.7.3)

Քանի որ ա - ա∗ , ուստի 1)-ից բխում է, որ σ(γ6 − ա) ⊂ R

(չէ՞ որ կունենանք (γ6 − ա)∗ - γ6 − ա): (2.7.3)-ից կբխի, որ σ(γ6 − ա) ⊂ |−γ, γ| :

(2.7.4)

Բայց սպեկտրների արտապատկերման մասին թեորեմից բխում է, որ σ(ա) - γ − σ(γ6 − ա),

ուստի (2.7.4)-ից կստանանք σ(ա) ⊂ |0, 2γ|, հետ աբար՝ ա > 0: 5) Նշանակենք x - yy∗ : Այդ դեպքում x∗ - x: Դիցուք 8 -ն նույնն է, ինչ-որ ապացույցի սկզբում էր: Այդ դեպքում, ինչպես

8 2... Կիրա ություններ 8 ∗ - հանրահաշիվներում

1)-ն ապացուցելիս տեսանք, x̂-ը MB -ի վրա իրական ֆունկցիա է: (2.7.2)-ի շնորհիվ մեզ մնում է ցույց տալ, որ MB -ի վրա x̂ > 0: Քանի որ 8̂ - Շ(MB ), ուստի ∃2 ∈ 8 , որ 2̂ - |x̂| − x̂ :

(2.7.5)

Այդ դեպքում 2̂ -ը կլինի իրական, ուստի ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի՝ 2 - 2 ∗ : Նշանակենք ա - 2y ա-ն ներկայացնենք ա - ս + iv

տեսքով, որտեղ ս, v սիմետրիկ են: Այդ դեպքում աա∗ - 2yy ∗ 2 ∗ - 2x2 - 2 2 x

(2.7.6)

(գտվեցինք նրանից, որ 2, x ∈ 8 շնորհիվ 2x - x2 ), հետ աբար ա∗ ա - (ս − iv)(ս + iv) - 2ս2 + 2v 2 − (ս + iv)(ս − iv) - 2ս2 + 2v 2 − աա∗ - 2ս2 + 2v 2 − 2 2 x :

(2.7.7)

Քանի որ ս - ս∗ , ուստի σ(ս) ⊂ R: Այստեղից սպեկտրների արտապատկերման թեորեմից կբխի, որ ս2 > 0: Ճիշտ նույն ձ ով ցույց կտանք, որ v2 > 0: (2.7.5)-ից պարզ է, որ MB -ի վրա 2̂ 2 x̂ 6 0: Իրոք, քանի որ x̂-ը իրական է, ուստի ( 2̂ 2 x̂ - (|x̂| − x̂)2 x̂ - |x̂|2 − 2 |x̂| x̂ + x̂2 x̂ ) - 2x̂2 − 2 |x̂| x̂ x̂ - 2x̂2 (x̂ − |x̂|) 6 0 :

Այստեղից, 2 2 x ∈ 8 պայմանից (2.7.2)-ից կբխի, որ −2 2 x > 0: Հետ աբար (2.7.7)-ից 4) պնդումից կբխի, որ ա∗ ա > 0: Ըստ 1.8.3 լեմմայի՝ σ(ab) \ {0} - σ(ba) \ {0},

ուստի

σ(աա∗ ) ⊂ σ(ա∗ ա) ∪ {0},

Գլուխ 2. Կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվներ

որտեղից աա∗ > 0 ա նչությունից կբխի, որ աա∗ > 0: (2.7.6)-ից (2.7.1)-ից կբխի, որ 2̂ 2 x̂ > 0: Բայց քիչ ա աջ տեսանք, որ նա 2̂ x̂ 6 0, ուստի 2̂ 2 x̂ - 0: Ինչպես վերը տեսանք՝ 2̂ 2 x̂ - 2x̂2 (x̂ − |x̂|), ուստի MB -ի վրա 2x̂2 (x̂ − |x̂|) - 0 : (2.7.8) Հետ աբար MB -ի վրա x̂ - |x̂| (2.7.9) ((2.7.8)-ից բխում է, որ MB -ի յուրաքանչյուր կետում 2x̂2 կամ x̂ − |x̂| արտադրիչներից գոնե մեկը 0 է, սակայն պարզ է, որ եթե որ է կետում 0 է դա նում ա աջին արտադրիչը, ապա երկրորդը ս այդ կետում կդա նա 0): (2.7.9)-ից կբխի, որ x̂ > 0, որտեղից (2.7.2)-ից կստանանք σ(x) ⊂ |0, +∞): 6) Ունենք σ (6 + yy ∗ ) - 1 + σ (yy ∗ ) :

Ըստ 5)-ի՝ σ (yy∗ ) ⊂ |0, +∞), ուստի σ (6 + yy∗ ) ⊂ |1, +∞), հետ աբար՝ 0 6∈ σ (6 + yy∗ ): Սա էլ հենց նշանակում է, որ 6 + yy ∗ ∈ 4−1 : Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 2.7.2: Դիցուք 4-ն 8∗-հանրահաշիվ է, իսկ 8 ⊂ 4 այնպիսի ակ ենթահանրահաշիվ է, որ 6 ∈ 8 , ∀x ∈ 8 համար x∗ ∈ 8 : Այդ դեպքում σA (x) - σB (x)

(∀x ∈ 8) :

Ապացույց: Ինչպես 2.6.3 թեորեմի 2) կետի ապացույցի ընթացքում նշվեց, բավական է ցույց տալ, որ

4−1 1 8 ⊂ 8 −1 :

Ցույց տանք վերջինս: Դիցուք x ∈ 4−1 18 : Այդ դեպքում կունենանք նա , որ x∗ ∈ 4−1 1 8 հետ աբար՝ xx∗ ∈ 4−1 1 8 :

8 2... Կիրա ություններ 8 ∗ - հանրահաշիվներում

Ըստ նախորդ թեորեմի՝ σA (xx∗ ) ⊂ (0, ∞): Ուստի σA (xx∗ )-ի լրացումը C-ում կլինի կապակցվա 1.8.4 հետ անքից կբխի, որ σB (xx∗ ) - σA (xx∗ ): Ստացվեց, որ σB (xx∗ ) ⊂ (0, ∞), հետ աբար 0 6∈ σB (xx∗ ), ինչը նշանակում է, որ xx∗ ∈ 8 −1 : Ունենք x−1 - x∗ (x∗ )−1 x−1 - x∗ (xx∗ )−1 ,

ուստի կստանանք x−1 ∈ 8 , հետ աբար՝ x ∈ 8 −1 : Թեորեմն ապացուցվա է:

Գլուխ 3

Գ ԱՅԻՆ SԱՀՄԱՆԱԱԿ PԵՐԱՏՈՐՆԵՐ

ՀԻLԲԵՐՏՅԱՆ ՏԱՐԱ ՈՒՅՈՒՆՈՒՄ

§ 3.1. Նախնական տեեկություններ

Թեորեմ 3.1.1: Դիցուք {xn}-ր H հիլբերտյան տարա ությունում

վեկտորների զույգ ա զույգ րթոգոնալ հաջորդականություն է: Այդ դեպքում հետ յալ երեք պնդումներն իրար համարժեք են՝ 1)

∞ X

շարքր H -ի նորմով զուգամետ է,

n-1

2) ∀y ∈ H համար 3)

∞ X

(xn , y)

շարքր զուգամետ է,

n-1

kxn k Հ ∞:

n-1

Ապացույցը տանենք 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1) սխեմայով:

1) ⇒ 2) Սա անմիջապես բխում է սկալյար արտադրյալի անընդհատությունից: 2) ⇒ 3) Սահմանենք Λn ∈ H ∗ ֆունկցիոնալները Λn y -

n X

(y, x4 )

(y ∈ H, ո - 1, 2, . . .)

4-1

բանաձ երով: 2) պայմանից բխում է, որ ∀y ∈ H համար {Λn y} թվային հաջորդականությունը զուգամետ է հետ աբար սահմանա ակ է: Ըստ Բանախ- տեյնհաուսի թեորեմի՝ {kΛn k}∞ n-1 ! հաջորդականությունը սահմանա ակ է: Բայց

Λn y -

n X 4-1

ուստի kΛn k -

n X

" x4 -

4-1

n X 4-1

kx4 k2

8 8.1. Նախնական տելեկություններ

հետ աբար,

∞ X

kx4 k2 Հ ∞ :

4-1

3) ⇒ 1) Ունենք nոm X

x4 −

4-1

n X

4-1 nոm X

nոm X

ուստի

4-nո1

nոm X

(x4 , xk ) -

4-nո1 k-nո1 n X

nոm X

x4 ,

4-nո1 nոm X 4-nո1

kx4 k2 ⇒ 0, n→∞

nոm X

! xk

k-nո1

7∈N

հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է հետ աբար՝

4-1

զուգամետ է: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.1.2: Եթե H -ր կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ություն է , DT - H 7 : DT → H գ ային պերատորն այնպիսին է, որ (7 x, x) - 0

ապա 7

- 0:

Ապացույց: ∀x, y ∈ DT

α∈C

(x ∈ DT ),

համար ունենք

(7 (x + αy), x + αy) - 0, (7 x, x) + α(7 x, y) + α(7 y, x) + |α|2 (7 y, y) - 0,

որը, գտվելով (7 x, x) - (7 y, y) - 0

հավասարությունից, կարող ենք գրել α(7 x, y) + α(7 y, x) - 0 Այսուհետ մենք կդիտարկենք միայն կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ությունները:

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

պարզեցվա տեսքով: Վերցնելով α - 1 (

α - i,

կունենանք

(7 x, y) + (7 y, x) - 0, − (7 x, y) + (7 y, x) - 0,

որտեղից կստանանք (7 x, y) - 0

(∀x, y ∈ DT ) :

Սկալյար արտադրյալի անընդհատությունից կբխի, որ (7 x, y) - 0

DT - H

պայմանից

(∀x ∈ DT , ∀y ∈ H) :

Այստեղ ֆիքսելով x-ը վերցնելով y - 7 x, կստանանք 7 x - 0 (∀x ∈ DT ): Ուստի 7 - 0: Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 3.1.1 (Միակության թեորեմ): Եթե H կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ության վրա որոշվա 5 7 գ ային պերատորներն այնպիսին են, որ (5x, x) - (7 x, x)

(x ∈ H),

ապա 5 - 7 :

Ապացուցելու համար նախորդ թեորեմը կկիրա ենք 5 − 7 պերատորի վրա: I

7 ∈ 8L(H)

համար կնշանակենք

էer(7 ) - {x ∈ H : 7 x - 0},

Iո(7 ) - 7 (H) :

Լեմմա 3.1.1: ∀7 ∈ 8L(H) համար էer(7 ∗ ) - |Iո(7 )|⊥

էer(7 ) - |Iո(7 ∗ )|⊥ :

Ապացույց: Հետ յալ չորս պնդումներից յուրաքանչյուրն ակնհայտորեն համարժեք է իր հաջորդին (կամ) նախորդին. 7 ∗ y - 0,

8 8.1. Նախնական տելեկություններ

(x, 7 ∗ y) - 0

(∀x ∈ H),

(7 x, y) - 0

(∀x ∈ H) ,

y ∈ |Iո(7 )|⊥ :

Հետ աբար՝

էer(7 ∗ ) - |Iո(7 )|⊥ :

Քանի որ 7 ∗∗ - 7 , ուստի թեորեմի երկրորդ պնդումը բխում է ա աջինից, եթե նրանում 7 -ն ոխարինենք 7 ∗ -ով: Լեմման ապացուցվա է: Սահմանում 3.1.1: 7 ∈ 8L(H) պերատորը կոչվում է՝ ա) նորմալ, եթե 7 7 ∗ - 7 ∗ 7 , բ) ինքնահամալու (կամ հերմիտյան, սիմետրիկ), եթե 7 ∗ - 7 , գ) ունիտար, եթե 7 ∗ 7 - I - 7 7 ∗ , որտեղ I -ն նույնական արտապատկերումն է H տարա ությունում, դ) պրոյեկտոր, եթե 7 2 - 7 : Պարզ է, որ ինքնահամալու ունիտար պերատորները նորմալ են: Թեորեմ 3.1.3: Դիցուք 7 ∈ 8L(H): Այդ դեպքում՝ 1) 7 -ն նորմալ է այն միայն այն դեպքում, երբ k7 xk - k7 ∗ xk

(∀x ∈ H) :

2) Եթե

7 պերատորր նորմալ է, ապա էer(7 ) - էer(7 ∗ ) - |Iո(7 )|⊥ : 3) Եթե 7 -ն նորմալ է, որ է x ∈ H ու α ∈ C համար 7 x - αx, ապա 7 ∗ x - αx: 4) Եթե 7 պերատորր նորմալ է, իսկ α-ն β -ն 7 պերատորի՝

իրարից տարբեր սե ական արժեքներ են, ապա դրանց համապատասխան սե ական ենթատարա ություններր րթոգոնալ են: Ապացույց: 1)-ն անմիջապես բխում է k7 xk2 - (7 x, 7 x) - (7 ∗ 7 x, x)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . . k7 ∗ xk2 - (7 ∗ x, 7 ∗ x) - (7 7 ∗ x, x)

հավասարություններից 3.1.1 հետ անքից: 2) պնդումը բխում է 1) պնդումից 3.1.1 լեմմայից: 3) Եթե 7 -ն նորմալ է, ապա 7 −αI պերատորը ս նորմալ է, ուստի 2)-ից կբխի, որ էer(7 − αI) - էer (7 ∗ − αI) ,

որտեղից էլ կբխի 3)-ը: 4) Դիցուք 7 x - αx, 7 y - βy, գտվելով 3)-ից, կունենանք ) α(x, y) - (αx, y) - (7 x, y) - (x, 7 ∗ y) - x, βy - β(x, y), (α − β)(x, y) - 0,

քանի որ α 6- β , ուստի x ⊥ y: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.1.4: Եթե Ծ ∈ 8L(H), ապա հետ յալ երեք պայմաններր համարժեք են՝ 1) Ծ -ն ունիտար պերատոր է, 2) Iո(Ծ ) - H (Ծ x, Ծ y) - (x, y) (∀x, y ∈ H), 3) Iո(Ծ ) - H kԾ xk - kxk (∀x ∈ H): Ապացույցը տանենք 1)∗⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1) սխեմայով: 1) ⇒ 2): Քանի որ Ծ Ծ - I , ուստի Iո(Ծ ) - H : Ունենք նա , որ Ծ ∗ Ծ - I , ուստի (Ծ x, Ծ y) - (x, Ծ ∗ Ծ y) - (x, y) :

2) ⇒ 3): Սա ակնհայտ է: 3) ⇒ 1): ∀x ∈ H համար (Ծ ∗ Ծ x, x) - (Ծ x, Ծ x) - kԾ xk2 - kxk2 - (x, x),

ուստի 3.1.1 հետ անքից կբխի, որ Ծ ∗ Ծ - I : Բայց 3)-ից բխում է, որ Ծ -ն 8L(H) բանախյան հանրահաշվի հակադարձելի էլեմենտ

8 8.1. Նախնական տելեկություններ

է՝

Ծ −1 Ծ - Ծ Ծ −1 - I , ուստի Ծ ∗ Ծ - I Ծ ∗ - Ծ −1 հետ աբար՝

ա նչությունից կբխի, որ

Ծ ∗Ծ - Ծ Ծ ∗ - I :

Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.1.5: Դիցուք P ∈ 8L(H) պրոյեկտոր է: Այդ դեպքում հետ յալ չորս պնդումներն իրար համարժեք են՝ 1) P -ն ինքնահամալու է: 2) P -ն նորմալ է: 3) Iո(P ) - |էer(P )|⊥ , 7 4) (P x, x) - kP xk2 (∀x ∈ H): Ապացույցը կատարենք 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) ⇒ 1) սխեմայով: 1) ⇒ 2) պնդումն ակնհայտ է: 2) ⇒ 3): 3.1.3 թեորեմի 2-րդ պնդումից կբխի, որ էer(P ) - |Iո(P )|⊥ :

Քանի որ P -ն պրոյեկտոր է, ուստի Iո(P ) - էer(I − հետ աբար Iո(P )-ն ակ է: Ուստի Iո(P ) - |էer(P )|⊥ : 3) ⇒ 4): Վերցնենք կամայական x ∈ H վեկտոր ներկայացնենք

P ),

այն

x-y+2

տեսքով, որտեղ 2 ∈ Iո(P ), y ∈ էer(P ): Կունենանք 2 - P հ, որտեղ հ ∈ H : Հետ աբար P 2 - P 2հ - P հ - 2 :

Քանի որ 2 ⊥ y, ուստի P y - 0 պայմանից կբխի, որ kP xk2 - (P x, P x) - (P y + P 2, P y + P 2) - (P 2, P 2) - (P 2, 2) - (P (x − y), x − y) - (P x − P y, x − y) - (P x, x) − (P x, y) 7

Im(P ) - [ker(P )]⊥

թոպրոյեկտոր է:

պայմանի հետ կապվա հաճախ ասում են, որ P -ն ր-

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . . - (P x, x) − (P y + P 2, y) - (P x, x) − (2, y) - (P x, x) :

4) ⇒ 1): ∀x ∈ H համար (P ∗ x, x) - (x, P ∗ x) - (P x, x) - kP xk2 - kP xk2 - (P x, x),

ուստի 3.1.1 հետ անքից կբխի, որ P ∗ - P : Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.1.6: Դիցուք 5, 7 ∈ 8L(H), րնդ որում 5 -ր ինքնահամալու է: Այդ դեպքում որպեսզի 57 - 0, անհրաժեշտ է բավարար, որ Iո(5) ⊥ Iո(7 ) :

Ապացույցը բխում է (5x, 7 y) - (x, 57 y) հավասարությունից: Թեորեմն ապացուցվա է:

Դիցուք Ճ -ը բանախյան տարա ություն է, 5(Ճ)-ը Ճ -ի միավոր սֆերան է, իսկ 7 - {Ծ } իզոմետրիկ պերատորների խումբ է: Kասենք 7 -ը գոր ում է տրանզիտիվ 5(Ճ)-ի վրա, եթե ∀x, y ∈ 5(Ճ) համար ∃Ծ ∈ 7 , որ Ծ x - y : Հայտնի է (տես՝ [13]), որ եթե Ճ -ը վերջավոր չա անի է գոյություն ունի 5(Ճ)-ի վրա տրանզիտիվ գոր ող 7 իզոմետրիկ պերատորների խումբ, ապա Ճ -ը հիլբերտյան տարա ություն է (սա ոչ տրիվիալ, նուրբ արդյունք է): Հարցը կայանում է նրանում, թե արդյո?ք անվերջ չա անի դեպքում ս սա իտ է (պատասխանը հայտնի չէ): I

Xndir:

§ 3.2. Թեորեմ տեա ոխելիության մասին

Այս ենթավերնագրի տակ ս կհամարենք, որ H -ը կոմպլեքս հիլբերտյան տարա ություն է: Թեորեմ 3.2.1 (Fուգլիդ-Պուտնամ- ոzենբլյում): Դիցուք M, N, 7 ∈ 8L(H), րնդ որում M N պերատորներր նորմալ են: Այդ դեպքում, եթե M 7 - 7 N, (3.2.1) ապա M ∗7 - 7 N ∗ : (3.2.2)

8 8.2. Թեորեմ տելա ոխելիության մասին

Ապացույց:

Վերցնենք Մ

Դիցուք -5−

5 ∈ 8L(H)

5∗

դիտարկենք

կամայական պերատոր է:

∞ X 1 n Մ Օ - exp(Մ ) ո:

(3.2.3)

n-0

պերատորը: Այդ դեպքում Մ ∗ - −Մ , հետ աբար՝ Օ∗ - exp(Մ ∗ ) - exp(−Մ ) - Օ−1 :

(3.2.4)

Հետ աբար, Օ-ն ունիտար է: Այսպիսով՝ kexp(5 − 5 ∗ )k - 1

(∀5 ∈ 8L(H)) :

(3.2.5)

(3.2.1)-ից ըստ k-ի ինդուկցիայով կստանանք, որ M k7 - 7 N k

(k - 1, 2, 3, . . .) :

Հետ աբար exp(M )7 - 7 exp(N ),

կամ՝

(3.2.6)

(3.2.7) exp (N − N ∗ ): Քանի որ

7 - exp(−M )7 exp(N ) :

Նշանակենք Ծ1 - exp (M ∗ − M ), M -ը N -ը նորմալ են, ուստի

Ծ2 -

exp (M ∗ ) exp(−M ) - exp (M ∗ − M ) , exp (N ) exp(−N ∗ ) - exp (N − N ∗ ) ,

որտեղից (3.2.7)-ից կունենանք exp (M ∗ ) 7 exp (−N ∗ ) - Ծ1 7 Ծ2 :

(3.2.5)-ից բխում է, որ կստանանք

kԾ1 k - kԾ2 k - 1,

որտեղից

kexp(M ∗ )7 exp (−N ∗ )k 6 k7 k

(3.2.8) (3.2.8)-ից (3.2.9)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

անհավասարությունը: Նշանակենք / (λ) - exp (λM ∗ ) 7 exp (−λN ∗ )

(λ ∈ C)

(սա հիշեցնում է § 1.8-ում ապացուցվա ՝ Լեպաժի թեորեմում դիտարկվա ժանդակ ֆունկցիան): M N պերատորների հետ մեկտեղ λM λN պերատորները ս նորմալ են, ու բավարարում են ) ) λM 7 - 7 λN

պայմանին, ուստի (3.2.9)-ում M -ը համապատասխանաբար λM -ով կստանանք, որ

N -ը կարելի λN -ով,

է ոխարինել արդյունքում

(3.2.10) Բայց / -ը C-ում՝ ամբողջ (ուժեղ անալիտիկ) 8L(H) արժեքանի ֆունկցիա է, ուստի (3.2.10)-ից Լիուվիլի թեորեմից կբխի, որ / -ը հաստատուն է՝ k/ (λ)k 6 k7 k

/ (λ) - / (0)

Հետ աբար

/ 0 (λ) - 0

(∀λ ∈ C) :

(∀λ ∈ C) : (∀λ ∈ C) :

(3.2.11)

Բայց հեշտ է տեսնել, որ / 0 (λ) - exp (λM ∗ ) (M ∗ 7 − 7 N ∗ ) exp (−λN ∗ ) ,

ուստի (3.2.11)-ում վերցնելով λ - 0, կստանանք M ∗ 7 − 7 N ∗ - 0,

որտեղից էլ կստացվի (3.2.2)-ը: Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 3.2.1: Վերանայելով 3.2.1 թեորեմի ապացույցը՝ նկատում ենք, որ այդ ապացույցում գտագոր վում են 8L(H)-ի միայն այն հատկությունները, որոնք նշանակում են, որ այն 8 ∗ -հանրահաշիվ է: Ուստի 3.2.1 թեորեմի ապացույցը կարելի է

8 8.8. Միավորի վերլու ությունը

բա ացիորեն անցկացնել 8 ∗ -հանրահաշիվների համար: Այս հանգամանքը, սակայն, ըստ էության չի բերում 3.2.1 թեորեմի ընդհանրացման, քանի որ, ինչպես մենք հետագայում կտեսնենք, ցանկացա 8 ∗ -հանրահաշիվ կարելի է ինվոլյուցիան պահպանող իզոմետրիկական իզոմորֆիզմի (∗ - իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ) միջոցով արտապատկերել մի ինչ-որ H հիլբերտյան տարա ության վրա որոշվա 8L(H) գ ային սահմանա ակ պերատորների հանրահաշվի ինչ-որ ակ ենթահանրահաշվի վրա: Նշենք, որ 3.2.1 թեորեմն ունի ընդհանրացում կամայական կոմպլեքս բանախյան հանրահաշիվների համար: I § 3.3. Միավորի վերլու ությունը

Սահմանում 3.3.1: Դիցուք Ω-ն ինչ-որ բազմություն է, Ω

իսկ M-ը Ω-ի ենթաբազմությունների ընտանիք է՝ M ⊂ 2 : M-ը կոչվում է σ-հանրահաշիվ, եթե տեղի ունեն հետ յալ 3 պայմանները. 1) Ω ∈ M, 2) եթե ա ∈ M, ապա Ω \ ա ∈ M, 3) եթե {ա4 }∞ 4-1 ⊂ M, ապա

∞ Ս

ա4 ∈ M :

4-1

Եթե M-ը σ-հանրահաշիվ է, ապա (Ω, M) զույգը կոչվում է չա ելի տարա ություն: Սահմանում 3.3.2: Դիցուք (Ω, M)-ը չա ելի տարա ություն է, Ճ -ը բանախյան տարա ություն է, իսկ 7 : M −→ Ճ : 7-ը կոչվում է Ճ արժեքանի (վեկտորական) չա ՝ M-ի վրա, եթե այն M-ի վրա σ-ադիտիվ է, այսինքն՝ ∀{աn }∞ n-1 ⊂ M հաշվելի թվով զույգ ա զույգ չհատվող բազմությունների համար

∞ X

n-1

նորմով զուգամիտում է 7

∞ Ս

! աn

վեկտորին՝

n-1

∞ Ս n-1

! աn

∞ X n-1

7(աn ) :

7(աn ) շարքը Ճ -ի

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Հիշենք, որ եթե քիչ ա աջ տրվա սահմանման մեջ ամենուրեք Ճ -ը

ոխարինենք |0, ∞|-ով, ապա ստացվում է ոչ բացասական չա ի սահմանումը:8 Սահմանում 3.3.3: Դիցուք (Ω, M)-ը չա ելի տարա ություն է, իսկ H -ը հիլբերտյան տարա ություն է: Այդ դեպքում E : M −→ 8L(H) արտապատկերումը կոչվում է (M-ի վրա) միավորի վերլու ություն, եթե այն բավարարում է հետ յալ պայմաններին՝ 1) E(Ø) - 0, E(Ω) - I , 2) ∀ա ∈ M համար E(ա)-ն րթոպրոյեկտոր է, 3) E (ա0 1 ա00 ) - E (ա0 ) E (ա00 ) (∀ա0 , ա00 ∈ M), 4) եթե ա0 1 ա00 - Ø, ապա E (ա0 ∪ ա00 ) - E (ա0 ) + E (ա00 ), 5) ∀x, y ∈ H համար Ex,y (ա) - (E(ա)x, y)

բանաձ ով որոշվող ֆունկցիան հանդիսանում է կոմպլեքս չա ՝ M-ի վրա: Դիցուք Ճ -ը կոմպակտ կամ լոկալ կոմպակտ հաուսդորֆյան տարա ություն է: Ինչպես գիտենք, 5(Ճ) բորելյան բազմությունների դասը սահմանվում է որպես բաց բազմությունները պարունակող մինիմալ σ-հանրահաշիվ (կամ որ նույնն է՝ կոմպակտ բազմությունները պարունակող մինիմալ σ-հանրահաշիվ): 5(Ճ)-ի վրա տրվա չա երը կոչվում են բորելյան չա եր: Դիցուք 7 : 5(Ճ) → C կոմպլեքս բորելյան չա է: |7| : 5(Ճ) → |0, ∞) չա ը սահմանենք |7|(E) - Տսp

∞ X

|7 (E4 )|

4-1

բանաձ ով, որտեղ ճշգրիտ վերին եզրը վերցվում է ըստ բոլոր հնարավոր {E4 }∞ 4-1 ⊂ 5(Ճ) զույգ ա զույգ չհատվող հաշվելի ընտանիքների, որոնց համար ∞ Ս

E4 - E :

4-1

ա ի տեսության հետ կապվա տես |12), |19), |22), |28) գրքերը:

8 8.8. Միավորի վերլու ությունը

Ապացուցվում է, որ |7|-ը 5(Ճ)-ի վրա ոչ բացասական վերջավոր չա է: Այն կոչվում է 7 չա ի լրիվ վարիացիա: Երբեմն լրիվ վարիացիա են անվանում նա |7|(Ճ)

վերջավոր թիվը (հեշտ է տեսնել, որ |7|(Ճ) > |7(Ճ)|, սակայն պարտադիր չէ, որ |7|(Ճ) - |7(Ճ)|): µ : 5(Ճ) → |0, ∞) չա ը կոչվում է եգուլյար, եթե այն բավարարում է հետ յալ երկու պայմաններին. 1) ∀E ∈ 5(Ճ) համար µ(E) - iոf{µ(Մ ) : E ⊂ Մ, Մ − բաց է},

2) ∀E ∈ 5(Ճ) համար µ(E) - Տսp{µ(K) : K ⊂ E, K − ն

կոմպակտ է} :

7 : 5(Ճ) → C կոմպլեքս չա ը կոչվում է եգուլյար, եթե եգուլյար է նրա |7| լրիվ վարիացիան: Այժմ դիցուք 3.3.3 սահմանման մեջ M - 5(Ճ) : Այդ դեպքում 3.3.3 սահմանման 5) պայմանի մեջ սովորաբար ավելացնում են այն պահանջը, որ ∀x, y ∈ H համար Ex,y -ը լինի եգուլյար բորելյան չա : Բերենք 3.3.3 սահմանման 1)-5) պայմաններից բխող որոշ պարզ հետ անքներ: Քանի որ E(ա) պերատորներից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է րթոպրոյեկտոր, ուստի Ex,x (ա) - (E(ա)x, x) - kE(ա)xk2

(x ∈ H) :

Հետ աբար Ex,x ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրը կլինի M-ի վրա ոչ բացասական չա նրա լրիվ վարիացիան հավասար կլինի՝ kEx,x k - Ex,x (Ω) - kxk2 :

3)-րդ պայմանից բխում է, որ ցանկացա երկու պրոյեկտորներ տեղա ոխելի են:

E(ա)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

1) 3) պայմաններից բխում է, որ ա0 1ա00 - Ø դեպքում E(ա0 ) E(ա00 ) պերատորների պատկերները րթոգոնալ են: 4) պայմանի համաձայն E ֆունկցիան վերջավոր ադիտիվ է: Հարց է ագում՝ կլինի՞ արդյոք E ֆունկցիան հաշվելի ադիտիվ, այսինքն՝ ∞ X

(3.3.1)

E (աn )

n-1

շարքը կզուգամիտի E(ա)-ին ըստ 8L(H)-ի նորմի, եթե ա-ն հանդիսանում է աn ∈ M հաշվելի թվով զույգ ա զույգ չհատվող բազմությունների միավորում: Նշանակենք 5n -

∞ X

E (աk ) :

k-1

Ունենք 5nոm − 5n -

nոm X

E (աk ) :

k-nո1

Քանի որ E(աk )-երը զույգ ա զույգ րթոգոնալ րթոպրոյեկտորներ են, ուստի (5nոm − 5n )-ը կլինի րթոպրոյեկտոր: Հետ աբար k5nոm − 5n k - 0

կամ k5nոm − 5n k - 1 :

Ուստի (3.3.1) շարքի մասնակի գումարները կկազմեն 8L(H)-ում ֆունդամենտալ հաջորդականություն այն միայն այն դեպքում, երբ ∃N բնական թիվ, որ 5n - 5N

(ո > N ) : 9

Ուսումնասիրությունից հանելով այդպիսի տրիվյալ դեպքերը, կունենանք, որ E ֆունկցիան երբեք նշվա իմաստով σ-ադիտիվ չի լինում: Սա նշանակում է, որ սկսա որոշ համարից (3.3.1) շարքի անդամները դա նում են 0-ական: Դա բխում է նա E(wn ) → 0 զուգամիտության անհրաժեշտ պայմանից նրանից, որ E(wn )-ը րթոպրոյեկտոր է:

8 8.8. Միավորի վերլու ությունը

Լեմմա 3.3.1: Եթե E : M → 8L(H) միավորի վերլու ություն է x ∈ H,

ապա

ա Է−→ E(ա)x

ֆունկցիան հանդիսանում է M-ի վրա σ-ադիտիվ H արժեքանի չա : Ապացույց: Դիցուք աn ∈ M (ո - 1, 2, . . .) զույգ ա զույգ չեն հատվում ա-

∞ Ս

աn :

n-1

Այդ դեպքում կունենանք Iո |E(աn )| ⊥ Iո |E(աm )|

(ո 6- 7),

ուստի E(աn )x ⊥ E(աm )x

(ո 6- 7) :

Ըստ միավորի վերլու ության սահմանման 5) պայմանի՝ ∞ X

(E(աn )x, y) - (E(ա)x, y)

(∀x, y ∈ H),

n-1

քանի որ {E(աn )}∞ n-1 -ը րթոգոնալ համակարգ է, ուստի 3.1.1 թեորեմից կբխի, որ H -ի նորմով՝ ∞ X

E(աn )x - E(ա)x :

n-1

Լեմման ապացուցվա է: Լեմմա 3.3.2: Դիցուք E : M → 8L(H) միավորի վերլու ություն է: Այդ դեպքում եթե աn ∈ M, E(աn ) - 0 (ո - 1, 2, . . .) ∞ Ս աաn , ապա E(ա) - 0: n-1

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Ապացույց: Քանի որ E(աn) - 0, ուստի Ex,x(աn) - 0, ∀x ∈ H

համար: Քանի որ Ex,x չա երից յուրաքանչյուրը σ-ադիտիվ է, ուստի Ex,x (ա) - 0, ∀x ∈ H : Բայց kE(ա)xk2 - Ex,x (ա),

ուստի E(ա)x - 0,

∀x ∈ H

հետ աբար E(ա) - 0: Լեմման ապացուցվա է: Այժմ դիցուք (Ω, M, µ)-ն չա ով տարա ություն է (µ-ն M-ի վրա σ -ադիտիվ ոչ բացասական չա է): / : Ω → C ֆունկցիան կոչվում է էապես սահմանա ակ (µ-ի նկատմամբ), եթե ∃N ∈ M, այնպես, որ µ(N ) - 0 / -ը Ω \ N -ի վրա սահմանա ակ է: Այդ դեպքում iոf

Տսp |/ (5)|

N ∈ M «∈Ω\N µ(N )-0

մե ությունը կոչվում է նակվում է

|/ (·)|-ի

էապես ճշգրիտ վերին եզր

նշա-

vrai Տսp |/ (5)| µ «∈Ω

կամ Տսp 655|/ (5)|

սիմվոլով: եթե / -ը էապես սահմանա ակ չէ, համարում են, որ vrai Տսp |/ (5)| - ∞ : µ «∈Ω

L∞ (Ω)-ով կնանակենք բոլոր չա ելի էապես սահմանա ակ ֆունկ-

ցիաների դասը (հաճախ էապես սահմանա ակության սահմանման մեջ մտցվում է ֆունկցիայի չա ելիության պահանջը): L∞ (Ω)-ն k/ k∞ - vrai Տսp |/ (5)| µ «∈Ω

8 8.8. Միավորի վերլու ությունը

նորմի նկատմամբ հանդիսանում է կոմուտատիվ 8 ∗ -հանրահաշիվ (միավորը / (5) ≡ 1 ֆունկցիան է): Ուստի ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի՝ ) ∞ (Ω) - Շ M ∞ L\ L (Ω) :

Այս արդյունքը պարզաբանում է նա , թե ինչու անընդհատ ֆունկցիաների տարա ությունում նորմը հաճախ գրում են k·k∞ սիմվոլով: Նկատենք, որ եթե / : Ω → C ֆունկցիան չա ելի է գոյություն ունի այնպիսի r ∈ |1, ∞) թիվ, որ  1 Ի Z Դ k/ kԴ -  |/ | dµ Հ ∞, Ω

ապա k/ kp −−−→ k/ k∞ : p→∞

Իրոք, եթե 0 Հ k/ k∞ Հ α, ապա ք » r համար 1

 Z k/ kp - 

p−Դ

|/ | · |/ |

p−Ի

−→ k/ k∞ Հ α, dµ 6 k/ k∞p · k/ kԴp p→∞

Ω

ուստի բավականաչա մե ք-երի համար k/ kp Հ α: Մյուս կողմից, եթե k/ k∞ » β , ապա ∃Ω1 ⊂ Ω դրական չա ի բազմություն, որ |/ (x)|»β1 »β (x ∈ Ω1 ), ուստի 1

 Z k/ kp > 

|/ | dµ > β1 |µ (Ω1 )| p ,

Ω1

հետ աբար, բավականաչա մե ք-երի համար k/ kp » β : Ապացուցվա պնդումը պարզ է դարձնում L∞ (Ω) նշանակումները:

k/ k∞

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

§ 3.4. L∞ (E) հանրահաշիվը

Դիցուք (Ω, M)-ը չա ելի տարա ություն է, H -ը հիլբերտյան տարա ություն է, E : M → 8L(H) միավորի վերլու ություն է: C-ի սեպարաբելության շնորհիվ գոյություն ունի բաց շրջանների {D4 }∞ 4-1 հաշվելի ընտանիք, որը հանդիսանում է C-ի բազա: Դիցուք ) / : Ω → C չա ելի ֆունկցիա է: Մ -ով նշանակենք E / −1 (D4 ) - 0 պայմանին բավարարող բոլոր) D4 շրջանների միավորումը: 3.3.2 լեմմայից կբխի, որ E / −1 (Մ ) - 0: Հեշտ է տեսնել, որ Մ -ն այդ հատկությամբ ժտվա ամենալայն բաց բազմությունն է: C \ Մ բազմությունը կոչվում է / -ի էական արժեքների բազմություն: C \ Մ -ն այն ամենա ոքր ակ բազմությունն է, որը պարունակում է / (ք) արժեքները համարյա բոլոր ք ∈ Ω համար: Վերջինս նշանակում է, որ / −1 (Մ ) - {ք ∈ Ω : / (ք) 6∈ C \ Մ } ⊂ ա,

որտեղ ա ∈ M E(ա) - 0: Կասենք, որ / ֆունկցիան էապես սահմանա ակ է, եթե նրա էական արժեքների բազմությունը սահմանա ակ է ( հետ աբար՝ կոմպակտ է): Այդ դեպքում k/ k∞ - Տսp {|λ| : λ ∈ C \ Մ } - ոոx {|λ| : λ ∈ C \ Մ }

մե ությունը կոչվում է / -ի էապես վերին եզր: Դիցուք 8 -ն բոլոր / : Ω → C սահմանա ակ չա ելի ֆունկցիաների հանրահաշիվն է՝ k/ k - Տսp {|/ (ք)| : ք ∈ Ω}

նորմով: Այդ դեպքում ակնհայտ է, որ 8 -ն հանդիսանում է բանախյան հանրահաշիվ, N - {/ ∈ 8 : k/ k∞ - 0}

բազմությունը 8 -ի իդեալ է, ընդ որում այդ իդեալը (համաձայն 3.3.2 լեմմայի) ակ է: Հետ աբար 8/N ֆակտոր-հանրահաշիվը հանդիսանում է բանախյան հանրահաշիվ: Այն սովորաբար նշանակվում է L∞ (E)-ով:

8 8./. L∞ (E) հանրահաշիվը

|/ | - / + N էլեմենտի (հարակից դասի) նորմը L∞ (E)-ում հավասար է k/ k∞ , իսկ σ (|/ |) սպեկտրը համընկնում է / ֆունկցիայի

էական արժեքների բազմության հետ: Նշանակումներում մենք չենք տարբերի / ֆունկցիան այն պարունակող |/ | դասը՝ ինչպես դա ընդունվա է ֆունկցիաների տեսությունում: Սահմանում 3.4.1: 5 : Ω → C ֆունկցիան կոչվում է պարզ10, եթե նրա ընդունա արժեքների բազմությունը վերջավոր է: Դիցուք 5 պարզ ֆունկցիան ընդունում է ա1 , ա2 , . . . , աn արժեքները (ա4 6- աj , i 6- j ): Այդ դեպքում 5-ը կգրվի 5(x) -

n X

ա4 χAi (x)

4-1

տեսքով, որտեղ 44 - 5−1 ({ա4 }): Պարզ է, որ 44 1 4j - Ø, i 6- j 5-ը կլինի չա ելի այն միայն այն դեպքում, երբ չա ելի են բոլոր 44 բազմությունները: Լեմմա 3.4.1: Pարզ ֆունկցիաներր ամենուրեք խիտ են L∞ (E)-ում: Ապացույց: Դիցուք / ∈ L∞(E) K -ն / -ի էական արժեքների բազմությունն է: Վերցնենք ∀ո ∈ N բնական թիվ C հարթության վրա դիտարկենք n կողով քա ակուսային ցանցը: Նշանակենք

7+1 k k+1 ոe Հ , Iո Հ : 2n 2n 2n 2n (7, k - 0, ±1, ±2, . . .) n o Նշանակենք In - (7, k) : ∆(n) K : Քանի որ K -ն կոմmk պակտ է, ուստի In -ը վերջավոր բազմություն է: ∀(7, k) ∈ In զույգի (n)

∆mk -

2∈C:

համար ընտրենք մեկական

(n)

ξmk ∈ ∆mk 1 K

Երբեմն պարզ անվանում են նա այն ֆունկցիաներին, որոնց ընդունա

արժեքների բազմությունը հաշվելի է, իսկ միայն վերջավոր թվով արժեքներ ընդունող ֆունկցիաներին անվանում են աստիճանաձ :

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

կետ սահմանենք (n)

5n (x) -

ξmk χA(nն (x): mk

(m,k)∈1n

−1 ∆(n) 1 K : Ակնհայտ է, որ 5 -ը պարզ ֆունկորտեղ 4(n) n mk mk - / Ս (n) −1 ∞ ցիա է: Պարզ է, որ 5n ∈ L (E): Քանի որ / (K) 4mk ,

(

(n) 4mk

(m,k)∈1n

-երը չեն հատվում, ուստի X

) x ∈ / −1 (K) ,

χA(nն (x) - 1 mk

(m,k)∈1n

հետ աբար (

|/ (x) − 5n (x)| -

(n) / (x) − ξmk χA(nն (x) 6 mk

(m,k)∈1n

(n)

/ (x) − ξmk · χA(nն (x) : mk

(m,k)∈1n

(n) (n) Նկատենք, որ x ∈ 4(n) mk դեպքում / (x), ξmk ∈ ∆mk , ուստի (n) (n) / (x) − ξmk -ը չի գերազանցում ∆mk -ի անկյունագ ի երկարությու-

√

նից, որը հավասար է

: Հետ աբար √

/ (x) −

(n) ξmk

· χA(nն (x) 6

χA(nն (x) mk

(

(n) x ∈ 4mk :

Այս գնահատականը ճիշտ է նա x 6∈ 4(n) mk դեպքում, քանի որ այդպիսի x-երի համար անհավասարության երկու կողմն էլ դա նում են զրո: Հետ աբար √ |/ (x) − 5n (x)| 6

√ X (m,k)∈1n

χA(nն mk

, 2n

8 8./. L∞ (E) հանրահաշիվը

√ |/ (x) − 5n (x)| 6

որտեղից կբխի, որ

) x ∈ / −1 (K) , √

Տսp x∈f −1 (K)

|/ (x) − 5n (x)| 6

Այստեղից, հաշվի ա նելով, որ 5n (x) - 0 (x 6∈ / −1 (K)), ստանում ենք √ k/ − 5n k∞ 6 Տսp |/ (x) − 5n (x)| 6 f −1 (K)

−→ 0,

n→∞

L∞ (5)

որտեղից էլ կբխի, որ 5n −n→∞ −−−→ / : Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 3.4.1: Ցանկացա E միավորի տրոհման համար Z (Ψ(/ )x, y) -

/ dEx,y

(/ ∈ L∞ (E), x, y ∈ H)

(3.4.1)

Ω

բանաձ ով որոշվում է Ψ : L∞ (E) → 4 իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ L∞ (E)-ի 8L(H)-ի որոշակի 4 ակ նորմալ ենթահանրահաշվի միջ : Այդ Ψ իզոմորֆիզմր բավարարում է ) Ψ / - Ψ(/ )∗

kΨ(/ )xk -

|/ |2 dEx,x

(/ ∈ L∞ (E))

(x ∈ H, / ∈ L∞ (E))

(3.4.2) (3.4.3)

Ω

պայմաններին: Բացի դրանից, Օ ∈ 8L(H) պերատորր բոլոր E(ա) պերատորների հետ տեղա ոխելի կլինի այն միայն այն դեպքում, երբ Օ-ն տեղա ոխելի է բոլոր Ψ(/ ) պերատորների հետ:

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Դիտողություն 3.4.1: (3.4.1) բանաձ

ը հաճախ գրում են

Z Ψ(/ ) -

(3.4.4)

/ dE Ω

տեսքով: I

Ապացույց:

Դիտարկենք Ω-ի կամայական հում ա4 ∈ M բազմությունների: Դիցուք

n X

{ա1 , ա2 , . . . , աn }

տրո-

α4 χՕi

4-1

պարզ ֆունկցիա է: Ψ(5) ∈ 8L(H) պերատորը սահմանենք Ψ(5) -

n X

α4 E(ա4 )

(3.4.5)

4-1

բանաձ ով: Քանի որ E(ա4 ) պերատորներից յուրաքանչյուրը ինքնահամալու է, ուստի Ψ(5)∗ -

n X

α4 E(ա4 ) - Ψ (5) :

(3.4.6)

4-1

Եթե է-

0 }-ը {ա10 , ա20 , . . . , աm

m X

β4 χՕj0 ,

նույն տիպի մեկ այլ տրոհում է,

ապա

j-1

Ψ(5)Ψ(է) -

X 4,j

) X ) α4 βj E(ա4 )E աj0 α4 βj E ա4 1 աj0 : 4,j

Քանի որ 5է -ն պարզ ֆունկցիա է, որը ա4 1 աj0 -ի վրա ընդունում է α4 βj արժեքը, ուստի այստեղից բխում է, որ Ψ(5)Ψ(է) - Ψ(5է) :

(3.4.7)

8 8./. L∞ (E) հանրահաշիվը

Հեշտ է նա տեսնել, որ (3.4.8)

Ψ(α5 + βէ) - αΨ(5) + βΨ(է) :

Եթե x, y ∈ H , ապա (3.4.5) բանաձ ի համաձայն՝ (Ψ(5)x, y) -

n X

α4 (E(ա4 )x, y) -

4-1

n X

Z α4 Ex,y (ա4 ) -

5 dEx,y :

4-1

(3.4.9)

Ω

(3.4.6) (3.4.7) բանաձ երից բխում է, որ ) Ψ(5)∗ Ψ(5) - Ψ (5) Ψ(5) - Ψ (55) - Ψ |5|2 :

(3.4.10)

Հետ աբար (3.4.9)-ից կբխի, որ kΨ(5)xk2 - (Ψ(5)∗ Ψ(5)x, x) - Ψ |5|

)

) x, x -

|5|2 dEx,x :

(3.4.11)

Ω

Այստեղից, հաշվի ա նելով, որ Ex,x (Ω) - kxk2 , ստանում ենք kΨ(5)xk 6 k5k∞ · kxk :

(3.4.12)

Մյուս կողմից, քանի որ E(ա4 ) պրոյեկտորների պատկերներն իրար րթոգոնալ են, ուստի x ∈ Iո (E(աj )) համար կունենանք Ψ(5)x - αj E(աj )x - αj x :

Եթե j -ն ընտրենք այնպես, որ (3.4.13)-ից կստանանք, որ

|αj | - k5k∞ ,

kΨ(5)xk - k5k∞ :

(3.4.13) ապա (3.4.12)-ից (3.4.14)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Այժմ դիցուք / ∈ L∞ (E): Ըստ նախորդ լեմմայի՝ ∃ {5k }∞ 1 պարզ ∞ չա ելի ֆունկցիաների հաջորդականություն, որը L (E)-ի նորմով զուգամիտում է / -ին: Համաձայն (3.4.14) ա նչության, {Ψ(5k )}-ն կլինի 8L(H)-ում ֆունդամենտալ հաջորդականություն, ուստի այն կզուգամիտի որոշակի պերատորի, որն էլ մենք կնշանակենք Ψ(/ )-ով: Հեշտ է տեսնել, որ Ψ(/ )-ը կախվա չէ {5k } հաջորդականության ընտրությունից: (3.4.14)-ից ակնհայտորեն ստացվում է ավելի ընդհանուր՝ kΨ(/ )k - k/ k∞ (/ ∈ L∞ (E)) (3.4.15) բանաձ ը: (3.4.9)-ում 5-ը ոխարինելով 5k -ով անցնելով սահմանի, երբ k → ∞ ու գտվելով Ex,y չա ի վերջավոր լինելուց՝ կստանանք (3.4.1)-ը: (3.4.2) (3.4.3) բանաձ երը բխում են (3.4.6)-ից (3.4.11)-ից: /, ց ∈ L∞ (E) ֆունկցիաները մոտարկելով 5 է պարզ ֆունկցիաներով՝ նկատում ենք, որ (3.4.7) (3.4.8) բանաձ երը ուժի մեջ են մնում դրանց մեջ 5 է պարզ ֆունկցիաները / ց կամայական չա ելի սահմանա ակ ֆունկցիաներով ոխարինելիս: Նշանակենք 4 - Ψ (L∞ (E)): Այդ դեպքում Ψ-ն կլինի իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ L∞ (E)-ի 4-ի միջ : Քանի որ L∞ (E)-ն լրիվ է, ուստի 4-ն կլինի ակ 8L(H)-ում: Որ 4-ն կլինի նորմալ, բխում է (3.4.2)-ից (3.4.7)-ից: Վերջապես, եթե Օ-ն տեղա ոխելի է բոլոր E(ա) պերատորների հետ, ապա այն տեղա ոխելի կլինի բոլոր Ψ(5) պերատորների հետ, որտեղ 5-ը պարզ ֆունկցիա է, վերը կիրա վա մոտարկման պրոցեսը ցույց է տալիս, որ Օ-ն տեղա ոխելի է 4 հանրահաշվի ցանկացա էլեմենտի հետ (հակա ակն ակնհայտ է, քանի որ E(ա) ∈ 4): Թեորեմն ապացուցվա է: § 3.5. Սպեկտրալ թեորեմը

Սպեկտրալ թեորեմի հիմանական պնդումը կայանում է նրանում, որ հիլբերտյան տարա ությունում գոր ող ցանկացա 7 սահմանա ակ նորմալ պերատոր (ինչ-որ կանոնական ձ ով) նում

8 8.5. Սպեկտրալ թեորեմը

է նրա σ(7 ) սպեկտրի բորելյան ենթաբազմությունների վրա E միավորի վերլու ություն որ 7 պերատորը E -ի միջոցով կարելի է վերականգնել նախորդ ենթավերնագրում նկարագրվա տիպի ինտեգրման պրոցեսով: Նորմալ պերատորների տեսության արդյունքների մե ամասնությունը հիմնվա է այդ աստի վրա: Հավանաբար, ավելորդ չէ նշել, որ խոսելով 7 պերատորի σ(7 ) սպեկտրի մասին՝ մենք միշտ նկատի ունենք ամբողջ 8L(H) հանրահաշիվը: Այլ կերպ ասա , λ ∈ σ(7 ) նշանակում է, որ 7 − λI պերատորը չունի հակադարձ 8L(H)-ում: Դրա հետ մեկտեղ մենք գոր կունենանք նա 8L(H) հանրահաշվի այնպիսի 4 ակ ենթահանրահաշիվների հետ, որոնք ժտվա են հետ յալ լրացուցիչ հատկությամբ. I ∈ 4, 5 ∈ 4 ⇒ 5 ∗ ∈ 4 (այդպիսի հանրահաշիվներին երբեմն անվանում են ∗-հանրահաշիվներ): Քանի որ 8L(H)-ը 8 ∗ -հանրահաշիվ է, ուստի այդպիսի իրավիճակում ∀7 ∈ 4 պերատորի համար σ(7 ) - σA (7 ) (տես թեորեմ 2.7.2-ը): Այսպիսով, 7 պերատորն ունի նույն սպեկտրը 8L(H)-ի բոլոր ∗-հանրահաշիվներում, որոնք պարունակում են այդ պերատորը: Սպեկտրալ թեորեմը (թեորեմ 3.5.3, տես՝ վարը) մենք կստանանք որպես հետ յալ արդյունքի մասնավոր դեպք: Այս արդյունքում խոսքը գնում է ոչ թե ա անձին պերատորի, այլ նորմալ պերատորների հանրահաշվի մասին: Թեորեմ 3.5.1: Դիցուք 4-ն 8L(H)-ի ինչ-որ ակ նորմալ ենթահանրահաշիվ է, որր պարունակում է I միավոր պերատորր, իսկ MA -ն 4 հանրահաշվի մաքսիմալ իդեալների տարա ությունն է: Այդ դեպքում ճիշտ են հետ յալ պնդումներր՝ ա) MA տարա ության բորելյան ենթաբազմությունների վրա գոյություն ունի միակ E միավորի վերլու ություն, որ Z

7̂ dE

(∀7 ∈ 4),

(3.5.1)

MՆ

որտեղ 7̂ -ր

պերատորի Գելֆանդի ձ ա ոխությունն է՝

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

հանրահաշվի նկատմամբ: (3.5.1)-ի տակ հասկացվում է, որ Z 7̂ dEx,y

(7 x, y) -

(x, y ∈ H, 7 ∈ 4),

(3.5.2)

MՆ

բ) ∀ա ⊂ MA ոչ դատարկ բաց բազմության համար E(ա) 6- 0, գ) 5 ∈ 8L(H) պերատորր այն միայն այն դեպքում կլինի տեղա ոխելի 4-ի բոլոր 7 պերատորների հետ, երբ այն տեղա ոխելի է ցանկացա E(ա) պրոյեկտորի հետ: Ապացույց: Քանի որ 8L(H)-ը 8∗-հանրահաշիվ է, ուստի տրվա

4 հանրահաշիվը կլինի կոմուտատիվ 8 ∗ -հանրահաշիվ: Այստեղից, ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի 2.3.5 թեորեմի, բխում է, որ 7 Է→ 7̂ արտապատկերումը հանդիսանում է իզոմետրիկական ∗-իզոմորֆիզմ 4-ի Շ(MA )-ի միջ : Դա բերում է E միավորի վերլու ության միակության թա անցիկ ապացույցի: Ենթադրենք, թե E -ն բավարարում է (3.5.2) պայմանին: Քանի որ 7̂ -ը սպա ում է ամբողջ Շ(MA ) տարա ությունը, ուստի Ex,y կոմպլեքս բորելյան չա երի եգուլյարությունից բխում է, որ Ex,y չա երը միարժեքորեն որոշվում են (3.5.2) պայմանով: Ավելի խիստ լինելու համար նշենք, որ այս ասվա ը հանդիսանում է հաուսդորֆյան կոմպակտի վրա որոշվա բոլոր անընդհատ ֆունկցիաների տարա ությունում գ ային սահմանա ակ ֆունկցիոնալի ընդհանուր տեսքի մասին իսի թեորեմի միակության մասի հետ անք (տես՝ |28|, թեորեմ 6.19): Քանի որ ըստ սահմանման՝ (E(ա)x, y) - Ex,y (ա),

(3.5.3)

ուստի E(ա) պրոյեկտորներից յուրաքանչյուրը նույնպես միարժեքորեն որոշվում է (3.5.2) պայմանով: Բերվա միակության ապացույցը հուշում է E -ի գոյության այսպիսի ապացույց: Եթե x, y ∈ H , ապա ըստ Գելֆալդ-Նայմարկի թեորեմի՝ 7̂ Է−→ (7 x, y) (3.5.4)

8 8.5. Սպեկտրալ թեորեմը

արտապատկերումը Շ(MA )-ում գ ային սահմանա ակ ֆունկցիոնալ է, ընդ որում k7̂ k∞ - k7 k հավասարությունից բխում է, որ այդ ֆունկցիոնալի նորմը չի գերազանցում kxk · kyk-ը: Ըստ իսի թեորեմի (որի մասին վերը խոսվեց) MA -ի վրա գոյություն ունի միակ µx,y եգուլյար կոմպլեքս բորելյան չա , որ Z (7 x, y) -

7̂ dµx,y

(x, y ∈ H, 7 ∈ 4) :

(3.5.5)

MՆ

Ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի՝ (7 ∗ )ˆ - 7̂ : Ուստի եթե 7̂ ֆունկցիան իրական է, ապա 7 -ն ինքնահամալու է: Այդ դեպքում (7 x, y) (7 y, x) թվերը իրար համալու կոմպլեքս թվեր են, ուստի Z 7̂ dµy,x ,

(7 x, y) - (7 y, x) MՆ

որտեղից (3.5.5)-ից կբխի, որ Z

Z 7̂ dµx,y -

MՆ

7̂ dµy,x , MՆ

եթե 7̂ -ը իրական է: Ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի՝ 7̂ -ը սպա ում է ամբողջ Շ(MA )-ն, երբ 7 -ն սպա ում է 4-ն: Ուստի վերը գրվա հավասարությունից կբխի, որ ∀/ ∈ Շ(MA ) իրական ֆունկցիայի համար Z Z / dµy,x :

/ dµx,y MՆ

MՆ

Այստեղից կբխի, որ ∀/ ∈ Շ(MA ) համար Z

Z / dµy,x ,

/ dµx,y MՆ

որտեղից

MՆ

իսի թեորեմում միակությունից կբխի, որ µx,y - µy,x

(x, y ∈ H) :

(3.5.6)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Ֆիքսա 7 ∈ 4 համար (3.5.5)-ի ձախ մասը հանդիսանում է ըստ x-ի գ ային ըստ y -ի՝ համալու գ ային ֆունկցիոնալ: Այստեղից իսի թեորեմի միակության պնդումից կբխի, որ ∀ա ⊂ MA բորելյան բազմության համար (x, y) Է→ µx,y (ա) արտապատկերումը կլինի ըստ x-ի գ ային ըստ y-ի՝ համալու գ ային: Իրոք, (3.5.5)-ից բխում է, որ ∀x1 , x2 ∈ H ∀α1 , α2 ∈ C համար Z

Z 7̂ dµα1 x1 ոα2 x2 ,y -

MՆ

7̂ d (α1 µx1 ,y + α2 µx2 ,y )

(7 ∈ 4),

MՆ

քանի որ 7̂ -ը ապա ում է Շ(MA )-ն, ուստի իսի թեորեմի միակության պնդումից կբխի, որ µα1 x1 ոα2 x2 ,y - α1 µx1 ,y + α2 µx2 ,y :

Նույն ձ ով ցույց կտանք, որ µx,β1 y1 ոβ2 y2 - β 1 µx,y1 + β 2 µx,y2 :

Քանի որ x, y ∈ H համար 7̂ Է→ (7 x, y) ֆունկցիոնալի նորմը մի կողմից չի գերազանցում, ինչպես վերը տեսանք, kxk · kyk-ը, մյուս կողմից, ըստ իսի թեորեմի, հավասար է kµx,y k, ուստի kµx,y k 6 kxk · kyk,

որտեղից էլ կբխի, որ կամայական բորելյան ֆունկցիայի համար

/ : MA → C

սահմանա ակ

(3.5.7)

/ dµx,y MՆ

ինտեգրալը ս կհանդիսանա H -ում սահմանա ակ կիսագ ային ձ , ուստի ըստ 2.3.1 լեմմայի՝ գոյություն ունի միակ Φ(/ ) ∈ 8L(H), որ Z (Φ(/ )x, y) -

/ dµx,y MՆ

(x, y ∈ H) :

(3.5.8)

8 8.5. Սպեկտրալ թեորեմը

(3.5.5), (3.5.8) ա նչություններից բխում է, որ ( Φ 7̂ - 7

(3.5.9)

(7 ∈ 4) :

Հետ աբար Φ արտապատկերումը հանդիսանում է Շ(MA )-ն 4-ի վրա արտապատկերող 7̂ Է→ 7 արտապատկերման ընդլայնում: Եթե / ֆունկցիան իրական է, ապա (3.5.6)-ից կբխի, որ (x, y ∈ H),

(Φ(/ )x, y) - (Φ(/ )y, x) - (x, Φ(/ )y)

ինչը նշանակում է, որ Φ(/ ) պերատորն ինքնահամալու է: Այժմ մենք ցույց կտանք, որ ցանկացա / , ց սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիաների համար տեղի ունի (3.5.10)

Φ(/ ց) - Φ(/ )Φ(ց)

հավասարությունը: Եթե 5, 7 ∈ 4, ապա (57 )ˆ - 5̂ 7̂ , (3.5.5)-ից կբխի, որ Z

Z 5̂ 7̂ dµx,y - (57 x, y) -

MՆ

5̂ dµT x,y :

(3.5.11)

MՆ

Քանի որ 4̂ - Շ(MA ), ուստի այստեղից բխում է, որ 7̂ dµx,y - dµT x,y

(∀x, y ∈ H, ∀7 ∈ 4) :

(3.5.12)

Հետ աբար (3.5.11)-ում ինտեգրալները հավասար կմնան նա

ոխարինելիս: Ուստի

/ -ով Z

Z / 7̂ dµx,y -

MՆ

5̂ -ը

/ dµT x,y - (Φ(/ )7 x, y) MՆ

Z - (7 x, 2) -

7̂ dµx,z , MՆ

(3.5.13)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

որտեղ 2 - Φ(/ )∗ y: Վերը կատարվա ին նման դատողությունները ցույց են տալիս, որ (3.5.13)-ում ա աջին վերջին ինտեգրալները կմնան հավասար, եթե 7̂ -ը ոխարինվի ց-ով: Հետ աբար՝ Z (Φ(/ ց)x, y) MՆ

Z / ց dµx,y -

ց dµx,z -

MՆ

- (Φ(ց)x, 2) - (Φ(/ )Φ(ց)x, y) ,

(3.5.14)

սրանով իսկ (3.5.10)-ն ապացուցվա է: Այժմ մենք պատրաստ ենք սահմանել E -ն: Եթե ա ⊂ MA կամայական բորելյան բազմություն է, ապա կսահմանենք E(ա) - Φ(χՕ ): (3.5.10) բանաձ ի համաձայն՝ E (ա 1 ա0 ) - E(ա)E(ա0 ): Սա ա - ա0 դեպքում նշանակում է, որ E(ա)-ն պրոյեկտոր է: Քանի որ իրական / -երի համար Φ(/ )-ը ինքնահամալու է, ուստի բոլոր E(ա) պրոյեկտորները կլինեն ինքնահամալու : Պարզ է, որ E(Ø) - Φ(0) - 0: E(MA ) - I հավասարությունը բխում է (3.5.9)-ից: (3.5.8)-ում վերցնելով / - χՕ , կստանանք, որ (E(ա)x, y) - µx,y (ա),

(3.5.15)

որտեղից կստացվի, որ E ֆունկցիան վերջավոր ադիտիվ է: Այսպիսով, E -ն միավորի վերլու ություն է: Քանի որ (3.5.2) բանաձ ը բխում է (3.5.5)-ից (3.5.15)-ից, ուստի ա) պնդման ապացույցն ավարտվա է: Այժմ ենթադրենք, թե ա ⊂ MA բաց բազմություն է E(ա) - 0: Եթե 7 ∈ 4 7̂ ֆունկցիայի կրիչը ընկա է ա-ի մեջ, ապա (3.5.1)-ից կբխի, որ 7 - 0: Հետ աբար 7̂ - 0: Բայց 4̂ - Շ(MA ), ուստի ըստ Ուրիսոնի լեմմայի՝ ա - Ø: Սրանով իսկ բ) պնդումը ս ապացուցվա է: գ) պնդումն ապացուցելու համար ընտրենք կամայական 5 ∈ 8L(H); x, y ∈ H նշանակենք 2 - 5 ∗ y: Այդ դեպքում ∀7 ∈ 4 պերատորի ∀ա ⊂ MA բորելյան բազմության համար կստանանք. Z (57 x, y) - (7 x, 2) 7̂ dEx,z , (3.5.16) MՆ

8 8.5. Սպեկտրալ թեորեմը

Z (7 5x, y) -

7̂ dESx,y ,

(3.5.17)

MՆ

(5E(ա)x, y) - (E(ա)x, 2) - Ex,z (ա), (E(ա)5x, y) - ESx,y (ա) :

Եթե 57 - 7 5 (∀7 ∈ 4), ապա (3.5.16), (3.5.17)-ից րեմի միակության մասից կբխի, որ Ex,z - ESx,y

(3.5.18) (3.5.19) իսի թեո-

(∀x, y ∈ H),

որտեղից (3.5.18), (3.5.19)-ից կբխի, որ ցանկացա ա ⊂ MA բորելյան բազմության համար 5E(ա) - E(ա)5 : Եթե ∀ա ⊂ MA բորելյան բազմության համար 5E(ա) - E(ա)5 , ապա (3.5.18), (3.5.19)-ից կբխի, որ Ex,z - ESx,y

(∀x, y ∈ H),

որտեղից (3.5.16), (3.5.17)-ից կբխի, որ 57 - 7 5 (∀7 ∈ 4): Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.5.2: Դիցուք 4-ն կոմուտատիվ 8∗-հանրահաշիվ է, որր պարունակում է այնպիսի x էլեմենտ, որ x-ից x∗ -ից երկու

ո ոխականի բազմանդամներն ամենուրեք խիտ են 4-ում: Այդ դեպքում (Ψ/ )ˆ - / ◦ x̂ (3.5.20) բանաձ ով որոշվում է Ψ իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ Շ(σ(x)) 4 հանրահաշիվների միջ , րնդ որում Ψ/ - (Ψ/ )∗

(/ ∈ Շ(σ(x))) :

(3.5.21)

Բացի այդ, եթե / (λ) - λ (λ ∈ σ(x)), ապա Ψ/ - x: Ապացույց: x̂-ը MA-ի վրա անընդհատ ֆունկցիա է նրա պատկերը σ(x)-ն է: Ցույց տանք, որ x̂ : MA → σ(x) հոմեոմորֆիզմ է: Իրոք, դիցուք ϕ1 , ϕ2 ∈ MA x̂(ϕ1 ) - x̂(ϕ2 ), այսինքն՝ ϕ1 (x) - ϕ2 (x): Այստեղից Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմից կբխի,

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

որ ϕ1 (x∗ ) - ϕ2 (x∗ ): Քանի որ ϕ1 , ϕ2 -ը հոմոմորֆիզմներ են, ուստի վերը ստացվա ից կբխի, որ կամայական P (x, x∗ ) բազմանդամի համար ϕ1 (P (x, x∗ )) - ϕ2 (P (x, x∗ )) :

Քանի որ P (x, x∗ ) բազմանդամները ամենուրեք խիտ են 4-ում, իսկ ϕ1 , ϕ2 -ն անընդհատ են, ուստի կստանանք, որ ϕ1 (y) - ϕ2 (y)

(∀y ∈ 4)

հետ աբար՝ ϕ1 - ϕ2 : Ստացվա ը ցույց x̂ : MA → σ(x) արտապատկերումը ոխմիարժեք

է տալիս, որ (հակադարձելի) է: Քանի որ կոմպակտի վրա անընդհատ հակադարձելի ֆունկցիայի հակադաձը ս անընդհատ է, ուստի x̂ : MA → σ(x) կլինի հոմեոմորֆիզմ: Հետ աբար / Է→ / ◦ x̂ արտապատկերումը կհաստատի իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ Շ(σ(x))-ի Շ(MA )-ի միջ , որը պահպանում է կոմպլեքս համալու ությունը: Հետ աբար ∀/ ∈ Շ(σ(x)) համար, ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի, գոյություն ունի միակ y ∈ 4 էլեմենտ, որ / ◦ x̂ - ŷ: Այդ y -ը կնշանակենք Ψ/ -ով: Պարզ է, որ kΨ/ k - k/ k∞ : (3.5.21)-ը բխում է Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմից: Եթե / (λ) - λ, ապա / ◦ x̂ - x̂, (3.5.20)-ից կստացվի, որ Ψ/ - x: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.5.3: Եթե N ∈ 8L(H) նորմալ պերատոր է, ապա N պերատորի σ(N ) սպեկտրի բորելյան ենթաբազմությունների վրա գոյություն ունի միակ E միավորի վերլու ություն, որ Z N-

λ dE(λ) :

(3.5.22)

σ(N )

Բացի դրանից, 5 ∈ 8L(H) պերատորր այն միայն այն դեպքում կլինի տեղա ոխելի N -ի հետ, երբ այն տեղա ոխելի է ցանկացա E(ա) պրոյեկտորի հետ:

8 8.5. Սպեկտրալ թեորեմը

Ապացույց: 4-ով նշանակենք 8L(H)-ի այն∗ մինիմալ ակ ենթա-

հանրահաշիվը, որը պարունակում է I , N , N պերատորները: Հեշտ է տեսնել, որ 4-ն իրենից ներկայացնում է N -ից N ∗ -ից բոլոր հնարավոր ք(N, N ∗ ) -

n X

αmk N m (N ∗ )k

(3.5.23)

m,k-0

երկու ո ոխականի բազմանդամների դասի ակումը: Հետ աբար 4-ն կլինի 8L(H)-ի նորմալ ենթահանրահաշիվ նրա համար կիրա ելի է թեորեմ 3.5.1-ը, համաձայն որի MA -ի բորելյան բազմությունների վրա գոյություն ունի միակ E միավորի վերլու ություն, որ Z ՕՕ̂ dE (∀Օ ∈ 4) : (3.5.24) MՆ

Օգտվելով նախորդ թեորեմից՝ 4 հանրահաշվի MA մաքսիմալ իդեալների տարա ությունը նույնացնենք σ(N )-ի հետ: Այդ դեպքում N̂ -ը կնույնացվի / (λ) ≡ λ ֆունկցիայի հետ, (3.5.1)-ից բխող Z N-

N̂ dE MՆ

հավասարությունը կգրվի Z N-

λ dE(λ) σ(N )

տեսքով: Սրանով իսկ E(λ)-ի գոյությունը հիմնավորվեց: Այժմ ցույց տանք նրա միակությունը: 3.4.1 թեորեմից բխում է, որ եթե տեղի ունի (3.5.22)-ը, ապա կամայական ք(x, y) երկու ո ոխականի բազմանդամի համար ∗

ք(N, N ) σ(N )

) ք λ, λ dE(λ) :

(3.5.25)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Բայց ըստ Ստոն-Վայերշտրասի թեորեմի՝ ք λ, λ բազմանդամներն ամենուրեք խիտ են Շ(σ(N ))-ում: Հետ աբար ∀/ ∈ Շ(σ(N )) ֆունկցիայի համար Z )

/ (λ) dE(λ) σ(N )

ինտեգրալը միարժեքորեն որոշվում է ք(N, N ∗ ) տեսքի բազմանդամների միջոցով (հանդիսանում է նրանց սահման), ուստի այդ ինտեգրալը միարժեքորեն որոշվում է N -ի միջոցով: Օգտվելով իսի թեորեմում միակությունից՝ նմանատիպ ձ ով, ինչպես 3.5.1 թեորեմի ապացույցում, ցույց կտանք, որ E -ն միարժեքորեն որոշվում է N -ի միջոցով: Եթե 5N - N 5 , ապա ըստ 3.2.1 թեորեմի՝ 5N ∗ - N ∗ 5 : Հետ աբար 5 -ը տեղա ոխելի է ∀Օ ∈ 4 պերատորի հետ, ուստի ըստ 3.5.1 թեորեմի՝ 5 -ը տեղա ոխելի է յուրաքանչյուր E(ա) պերատորի հետ, որտեղ ա-ն σ(N )-ի բորելյան ենթաբազմություն է: Հակա ակը, եթե 5 -ը ∀ա ∈ σ(N ) բորելյան բազմության համար տեղա ոխելի է E(ա)-ի հետ, ապա ըստ 3.5.1 թեորեմի՝ 5 -ը կլինի տեղա ոխելի 4-ի բոլոր պերատորների , մասնավորապես, նա N -ի հետ: Թեորեմն ապացուցվա է: § 3.6. Ֆունկցիոնալ հաշիվ նորմալ պերատորների համար

Դիցուք H -ը հիլբերտյան տարա ություն է, N ∈ 8L(H) նորմալ պերատոր է, իսկ E -ն նրա սպեկտրալ վերլու ությունն է: Դիցուք / : σ(N ) → C սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիա է: Այդ դեպքում Z Ψ(/ ) -

/ dE

(3.6.1)

σ(N )

պերատորն ընդունվա է նշանակել / (N )-ով: Օգտագոր ելով այդ նշանակումը՝ մի պերատորի դեպքի համար 3.4.1, 3.5.1, 3.5.3 թեորեմների տվա ը կարելի է ձ ակերպել այսպես.

8 8.6. Փունկցիոնալ հաշիվ նորմալ պերատորների համար

Թեորեմ 3.6.1: /

Է → / (N ) արտապատկերումր հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ σ(N )-ի վրա որոշվա բոլոր սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիաների հանրահաշվից 8L(H) հանրահաշվի մեջ: Այդ արտապատկերումր / (λ) - 1 ֆունկցիան տանում է I միավոր պերատորին, / (λ) - λ ֆունկցիան տանում է N

պերատորին բավարարում է

/ (N ) - / (N )∗ ,

(3.6.2)

k/ (N )k 6 Տսp {|/ (λ)| : λ ∈ σ(N )}

(3.6.3)

պայմաններին: Ընդ որում՝ 1) եթե / ∈ Շ(σ(N )), ապա (3.6.3)-ում տեղի ունի հավասարություն, 2) եթե /n ⇒ / , x ∈ σ(N ), ապա k/n (N ) − / (N )k −n→∞ −−→ 0, 3) եթե 5 ∈ 8L(H) 5N - N 5 , ապա ցանկացա / սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիայի համար 5/ (N ) - / (N )5 , 4) / (N ) պերատորր պատկանում է 8L(H)-ում E(ա) պրոյեկտորների դասի գ ային թաղանթի ակմանր, 5) եթե 5 ∈ 8L(H) ցանկացա ա ⊂ σ(N ) բորելյան բազմության համար 5E(ա) - E(ա)5 , ապա 5N - N 5 : Ապացույց: 3.4.1, 3.5.1, 3.5.3 թեորեմներից բխում է, որ ապացուցման կարիք ունեն միայն (3.6.3) ա նչությունը 1), 2), 4) պնդումները: (3.6.3)-ն ապացուցելու համար գտվենք Z

|/ |2 dEx,x

k/ (N )xk σ(N )

հավասարությունից (տես՝ (3.4.3)-ը): Այս հավասարությունից կբխի, որ

k/ (N )xk 6 Տսp |/ (λ)| ·

dEx,x -

λ∈σ(N ) σ(N )

- Տսp |/ (λ)|2 · Ex,x ((σ(N ))), λ∈σ(N )

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

քանի որ Ex,x (σ(N )) կստանանք

- (E(σ(N ))x, x) - (x, x) - kxk2 ,

ուստի

k/ (N )xk2 6 Տսp |/ (λ)|2 · kxk2 , λ∈σ(N )

որտեղից՝ k/ (N )xk 6 Տսp |/ (λ)| · kxk

(x ∈ H) :

λ∈σ(N )

Այստեղից էլ բխում է (3.6.3)-ը: 1)-ն ապացուցելու համար գտվենք (3.4.15) ա նչությունից (ինչը նշանակում է, որ Ψ : L∞ (E) → 8L(H) արտապատկերումը իզոմետրիկ է), համաձայն որի՝ k/ (N )k - k/ kL∞ (5) :

Մնում է ցույց տալ, որ k/ kL∞ (5) - k/ kԽ(σ(N )) - Տսp {|/ (λ)| : λ ∈ σ(N )} : K -ով նշանակենք / -ի էական կենք Մ - C \ K : Ունենք

արժեքների բազմությունը: Նշանա-

k/ kL∞ (5) - Տսp |λ| : λ∈K

Ցույց տանք, որ K - / (σ(N )): Ակնհայտ է, որ K ⊂ / (σ(N )): Ցույց տանք, որ նա / (σ(N )) ⊂ K : Սա նշանակում է, որ / (σ(N )) 1 Մ - Ø

կամ որ նույնն է՝

(3.6.4) Ցույց տանք (3.6.4)-ը: Քանի որ / ∈ Շ(σ(N )) Մ -ն բաց է, )ուստի / −1 (Մ )-ն ս կլինի բաց: Ըստ Մ -ի սահմանման՝ E / −1 (Մ ) - 0: Քանի որ ∀ա ⊂ σ(N ) ոչ դատարկ բաց բազմության համար E(ա) 6- 0, ուստի այստեղից կբխի (3.6.4)-ը: Սրանով իսկ 1)-ը / −1 (Մ ) - Ø :

8 8.6. Փունկցիոնալ հաշիվ նորմալ պերատորների համար

հիմնավորվեց: 2)-ը բխում է (3.6.3)-ից, քանի որ կունենանք k/n (N ) − / (N )k 6 Տսp |/n (λ) − / (λ)| −−−→ 0 : n→∞

λ∈σ(N )

4)-ը բխում է / (N )-ի սահմանումից (տես՝ 3.4.1 թեորեմի ապացույցը): Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.6.2: Եթե N ∈ 8L(H) պերատորր նորմալ է, ապա kN k - Տսp {|(N x, x)| : x ∈ H, kxk 6 1} :

Ապացույց: Քանի որ kxk 6 1 համար

|(N x, x)| 6 kN xk · kxk 6 kN k · kxk 6 kN k,

ուստի բավական է ցույց տալ, որ

∀ε » 0

համար

∃x0 ∈ H ,

որ

kx0 k - 1 |(N x0 , x0 )| > kN k − ε :

Դիցուք 4-ն 3.5.3 թեորեմի ապացույցի ժամանակ դիտարկվա

հանրահաշիվն է, N̂ -ը N -ի Գելֆանդի ձ ա ոխությունն է (4-ի նկատմամբ): Ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմի՝ kN k - kN̂ k∞ - ρ(N ): Դիցուք λ0 ∈ σ(N ) այսպիսին է, որ |λ0 | - ρ(N ): Այդ դեպքում կունենանք |λ0 | - kN k: Նշանակենք ա - {λ ∈ σ(N ) : |λ − λ0 | Հ ε} - σ(N ) 1 D(λ0 , ε) :

Այդ դեպքում ա ⊂ σ(N ) կլինի ոչ դատարկ բաց σ(N )-ում, ուստի N պերատորի E սպեկտրալ վերլու ության համար կունենանք E(ա) 6- 0: Հետ աբար ∃xo ∈ H , որ kx0 k - 1 E(ա)x0 - x0 : Դիցուք / (λ) -

λ − λ0 , λ ∈ ա, 0, λ ∈ σ(N ) \ ա :

Այդ դեպքում ակնհայտորեն / (N ) - (N − λ0 I)E(ա),

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

ուստի / (N )x0 - N x0 − λ0 x0

կունենանք |(N x0 , x0 ) − λ0 | - |(N x0 , x0 ) − λ0 (x0 , x0 )| - |(/ (N )x0 , x0 )| 6 k/ (N )k 6 ε,

քանի որ |/ (λ)| կունենանք

Հ ε (λ ∈ σ(N )):

Քանի որ

|λ0 | - kN k,

ուստի

|(N x0 , x0 )| - |(N x0 , x0 ) − λ0 − (−λ0 )| > > |(N x0 , x0 )−λ0 |−|−λ0 | > |−λ0 |−|(N x0 , x0 ) − λ0 | > kN k−ε :

Թեորեմն ապացուցվա է:

Թեորեմ 3.6.3: N ∈ 8L(H) նորմալ պերատորր հանդիսանում է՝ ա) ինքնահամալու այն միայն այն դեպքում, երբ σ(N )-ն րնկա է իրական ա անցքի վրա, բ) ունիտար այն միայն այն դեպքում, երբ σ(N )-ն րնկա է միավոր շրջանագ ի վրա: Ապացույց: Դիցուք 4-ն N̂ -ը նույնն են, ինչ որ 3.5.3 թեորեմի ապացույցի մեջ: Այդ դեպքում λ ∈ σ(N ) համար կունենանք միայն այն N̂ (λ) - λ (N ∗ )ˆ(λ) - λ: Ուստի N - N ∗ այն դեպքում, երբ λ-λ NN∗ - I

(∀λ ∈ σ(N )),

այն միայն այն դեպքում, երբ λλ - 1

Թեորեմն ապացուցվա է:

(∀λ ∈ σ(N )) :

8 8... Ինվարիանտ ենթատարա ություններ

§ 3.7. Ինվարիանտ ենթատարա ություններ

Սահմանում 3.7.1: H հիլբերտյան (բանախյան) տարա ության M

ակ ենթատարա ությունը կոչվում է ինվարիանտ պերատորների ընտանիքի համար, եթե 7 (M ) ⊂ M

Σ ⊂ 8L(H)

(∀7 ∈ Σ) :

Օրինակ, 7 պերատորի ամեն մի սե ական ենթատարա ություն ինվարիանտ է նրա համար: Դիցուք diո H Հ ∞, իսկ N ∈ 8L(H) նորմալ պերատոր է: Այդ դեպքում, ինչպես հայտնի է հանրահաշվից, σ(N )-ն վերջավոր է նրա կետերը N -ի սե ական արժեքներն են: Դիցուք σ(N ) - {λ1 , λ2 , . . . , λn }: Այդ դեպքում կունենանք χ{λ1 } (λ) + χ{λ2 } (λ) + · · · + χ{λn } (λ) - 1

(∀λ ∈ σ(N )) :

(3.7.1)

Ըստ 3.6.1 թեորեմի՝ / Է→ / (N ) արտապատկերման ժամանակ / (λ) ≡ 1 ֆունկցիային համապատասխանում է I միավոր պերատորը, ուստի կստանանք χ{λ1 } (N ) + χ{λ2 } (N ) + · · · + χ{λn } (N ) - I :

Նշանակենք E4 - χ{λi } (N ) χ{λi } (λ)χ{λj } (λ) -

(1 6 i 6 ո):

Քանի որ

χ{λi } (λ), i - j 0, i6 j

ուստի

E4 Ej -

(λ ∈ σ(N )),

E4 , i - j, 0, i 6 j:

Քանի որ χ{λi } (λ) ֆունկցիաները իրական են, ուստի E4 պերատորները ինքնահամալու են: Հետ աբար E4 պերատորները հանդիսանում են զույգ ա զույգ րթոգոնալ պրոյեկտման պերատորներ: Նշանակենք M4 - E4 (H)

(1 6 i 6 ո) :

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Քանի որ E1 + E2 + · · · + En - I , ուստի (3.7.2)

M1 ⊕ M2 ⊕ · · · ⊕ M n - H :

Դիցուք համար

/ (λ) ≡ λ (λ ∈ σ(N )):

(3.7.1)-ից կբխի, որ

(λ ∈ σ(N ))

/ (λ) - λχ{λ1 } (λ) + λχ{λ2 } (λ) + · · · + λχ{λn } (λ) :

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին հավասարությունը կարելի է գրել նա / (λ) - λ1 χ{λ1 } (λ) + λ2 χ{λ2 } (λ) + · · · + λn χ{λn } (λ)

տեսքով: Այստեղից կբխի, որ / (N ) - λ1 χ{λ1 } (N ) + λ2 χ{λ2 } (N ) + · · · + λn χ{λn } (N ),

հաշվի ա նելով, որ (3.6.1 թեորեմի շնորհիվ) / (N ) - N , կունենանք, որ N - λ1 E1 + λ2 E2 + · · · + λn En :

Այստեղից կբխի, որ E4 -ն λ4 սե ական արժեքին համապատասխան սե ական ենթատարա ության վրա րթոգոնալ պրոյեկտման պերատորն է, իսկ M4 -ն λ4 -ին համապատասխան սե ական ենթատարա ությունն է: Հետ աբար (3.7.2)-ը ցույց է տալիս, որ H -ը ներկայացվում է N պերատորի սե ական ենթատարա ությունների ուղիղ գումարի տեսքով: Սակայն diո H - ∞ դեպքում N պերատորը կարող է սե ական արժեքներ չունենալ: Ցույց տանք, որ չնայա դրան՝ ցանկացա նորմալ պերատոր ունի ոչ տրիվիալ (այսինքն՝ {0}-ից H -ից տարբեր) ինվարիանտ ենթատարա ություն: Մենք ցույց կտանք ավելին, որ (ոչ տրիվիալ) ինվարիանտ ենթատարա ություն գոյություն ունի նա 3.5.3 թեորեմի ապացույցում դիտարկվա 4 նորմալ հանրահաշվի համար: Իրոք, եթե MA -ն բաղկացա է մի կետից, ապա 4 հանրահաշիվը բաղկացա կլինի միավոր պերատորի պատիկներից, ուստի այս դեպքում H -ի ցանկացա ենթատարա ություն կլինի ինվարիանտ 4-ի համար: Այժմ դիցուք MA -ն պարունակում է 1-ից

8 8... Ինվարիանտ ենթատարա ություններ

ավելի թվով կետեր: Այդ դեպքում MA -ն ակնհայտորեն կարելի է ներկայացնել MA - ա ∪ ա0 տեսքով, որտեղ ա-ն ա0 -ը ոչ դատարկ չհատվող բորելյան բազմություններ են (րինակ, որպես ա կարելի է վերցնել 1 կետից բաղկացա բազմություն): Դիցուք M -ը M 0 -ը համապատասխանաբար E(ա) E(ա0 ) պերատորների պատկերներն են: Քանի որ 7 E(ա) - E(ա)7

(∀7 ∈ 4),

ուստի x ∈ M համար կունենանք 7 x - 7 E(ա)x - E(ա)7 x,

հետ աբար՝ 7 x ∈ M : Նույնը ճիշտ է նա M 0 -ի համար: Հետ աբար M -ը M 0 -ը 4-ի համար ինվարիանտ ենթատարա ություններ են: Բացի այդ, M 0 - M ⊥ H - M ⊕ M0 :

(3.7.3)

Իրոք, M 0 - M ⊥ հավասարությունը բխում է E(ա)E(ա0 ) - E(ա 1 ա0 ) - E(Ø) - 0, E(ա) + E(ա0 ) - E(ա ∪ ա0 ) - E(MA ) - I

հավասարություններից: ա-ն ա0 -ը կարելի է ընտրել այնպես, որ M 6- {0},

M 0 6- {0}

(3.7.4)

Իրոք, քանի որ MA տարա ությունը պարունակում է գոնե երկու՝ ϕ ψ իրարից տարբեր կետեր քանի որ MA -ն հաուսդորֆյան է, ուստի ϕ ψ կետերը ունեն չհատվող շրջակայքեր: Հետ աբար MA -ում գոյություն ունեն Ծ Մ ոչ դատարկ բաց չհատվող բազմություններ: Եթե վերցնենք ա - Ծ , ապա կունենանք, որ ա0 - MA \ ա ⊃ Մ : Քանի որ ա-ն բաց է, ուստի E(ա) 6- 0: Նույն պատճա ով նա E(Մ ) 6- 0, ուստի E(ա0 ) - E(Մ ) + E(ա0 \ Մ ) 6- 0 :

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Ստացվեց, որ E(ա) 6- 0,

E(ա0 ) 6- 0,

ուստի (3.7.4)-ը տեղի ունի: (3.7.3)-ից (3.7.4)-ից կբխի, որ նա M 6- H,

(3.7.5)

M 0 6- H :

Այսպիսով, M -ը M 0 -ը կլինեն ոչ տրիվիալ ինվարիանտ ենթատարա ություններ 4-ի համար: Նմանապիտ դատողություններով կստանանք, որ MA տարա ության տրոհումը վերջավոր կամ հաշվելի թվով ոչ դատարկ չհատվող բորելյան բազմությունների նում է H տարա ության վերլու ության իրար րթոգոնալ վերջավոր կամ հաշվելի թվով ենթատարա ությունների ուղիղ գումարի, ընդ որում այդ ենթատարա ություններից յուրաքանչյուրը ինվարիանտ է 4-ի համար: Մինչ այժմ պարզ չէ, թե արդյո՞ք ամեն մի 7 ∈ 8L(H) պերատոր ունի ոչ տրիվիալ ինվարիանտ ենթատարա ություն H անվերջ չա անի սեպարաբել հիլբերտյան տարա ությունում: § 3.8. Նորմալ պերատորների սե ական արեքները

Թեորեմ 3.8.1: Դիցուք E -ն N

նորմալ պերատորի սպեկտրալ վերլու ությունն է: Այդ դեպքում եթե / ∈ Շ(σ(N )) ա0 - / −1 (0), ապա ∈ 8L(H)

էer(/ (N )) - Iո(E(ա0 )) :

(3.8.1)

Ապացույց: Դիցուք ց(λ) -

1, λ ∈ ա0 , 0, λ ∈ σ(N ) \ ա0 :

Այդ դեպքում

/ ց - 0, հետ աբար՝ / (N )ց(N ) - 0: ց(N ) - E(ա0 ) (տես՝ 3.5.1 թեորեմի ապացույցը), ուստի

կբխի, որ

Iո(E(ա0 )) ⊂ էer(/ (N )) :

Քանի որ այստեղից (3.8.2)

8 8.6. Նորմալ պերատորների սե ական արժեքները

Ցույց տանք, որ տեղի ունի նա հակա ակ ներդրումը: Նշանակենք ա̃ - σ(N ) \ ա0 : ա̃-ը ներկայացնենք ա̃ -

∞ Ս

աn

(3.8.3)

n-1

միավորման տեսքով, որտեղ աn -երը զույգ ա զույգ չհատվող բորելյան բազմություններ են, որոնք գտնվում են ա0 -ից դրական հե ավորության վրա: Դրա համար նախ նկատենք, որ ա̃ - σ(N ) \ ա0 - σ(N ) \ / −1 (0) - / −1 (C \ {0}) ,

քանի որ / -ն անընդհատ է, իսկ C \ {0}-ն բաց է, ուստի այստեղից կբխի, որ ա̃-ը բաց է σ(N )-ում: Հետ աբար ρ(x, ա0 ) » 0 (∀x ∈ ա̃) : (3.8.4) Վերցնենք ա1 - {x ∈ ա̃ : ρ(x, ա0 ) > 1} , ա2 - x ∈ ա̃ : 6 ρ(x, ա0 ) Հ 1 , , ա3 - x ∈ ա̃ : 6 ρ(x, ա0 ) Հ աn - x ∈ ա̃ : 6 ρ(x, ա0 ) Հ (ո > 2), ո ո−1

Այդ դեպքում (3.8.4)-ից կբխի, որ (3.8.3)-ը տեղի ունի: Ակնհայտ է, որ աn -երը զույգ ա զույգ չեն հատվում: Մնում է համոզվել, որ աn -երը բորելյան բազմություններ են: ϕ(x) - ρ(x, ա0 ) ֆունկցիան անընդհատ է σ(N )-ի վրա: Հետ աբար այն կլինի բորելյան ֆունկցիա: Այստեղից կբխի, որ իրական ա անցքի ամեն մի բորելյան բազմության նախապատկերը σ(N )-ում բորելյան բազմություն է: Մասնավորապես, {x ∈ σ (N ) : ρ (x, ա0 ) > 1} - ϕ−1 (|1, ∞)) ,

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

x ∈ σ (N ) :

) 6 ρ (x, ա0 ) Հ - ϕ−1 , ո ո−1 ո ո−1 (ո - 2, 3, . . .)

բազմությունները կհանդիսանան σ(N )-ում բորելյան բազմություններ: Քանի որ ա̃ ⊂ σ(N ) ս բորելյան է (ավելին, ա̃-ը բաց է), ուստի ω1 - ա̃ 1 ϕ−1 (|1, ∞)) , ) −1 , ω2 - ա̃ 1 ϕ ո ո−1

հավասարություններից կբխի, որ բազմություններ են: Ակնհայտ է, որ ρ(աn , ա0 ) » 0

(ո > 2)

աn -երը

σ(N )-ում

բորելյան (3.8.5)

(ո - 1, 2, . . .) :

Սահմանենք /n (λ) -

  

, λ ∈ աn / (λ)

  0,

(ո - 1, 2, . . .)

(3.8.6)

λ ∈ σ(N ) \ աn :

(3.8.5)-ի շնորհիվ / (λ) 6- 0

ուստի

/ (λ)

(λ ∈ աn ),

ֆունկցիան կլինի որոշվա

անընդհատ

աn -ի

վրա:

Քանի որ աn -ը կոմպակտ է, ուստի ֆունկցիան կլինի սահմա/ (λ) նա ակ աn -ի վրա: Հետ աբար (3.8.6)-ից կբխի, որ /n -երը սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիաներ են σ(N )-ի վրա: Քանի որ /n (x)/ (λ) - χՕn (λ)

(ո - 1, 2, . . .),

8 8.6. Նորմալ պերատորների սե ական արժեքները

ուստի /n (N )/ (N ) - E(աn )

Դիցուք x ∈ էer(/ (N )), այսինքն՝ (3.8.7)-ից կբխի, որ E(աn )x - 0 ա Է→ E(ա)x E(ա̃)x - 0: Բայց

ֆունկցիայի

(3.8.7) 0: Այդ դեպքում

(ո - 1, 2, . . .) : / (N )x -

(ո - 1, 2, . . .), σ -ադիտիվությունից

կբխի, որ

E (ա̃) + E(ա0 ) - E (ա̃ ∪ ա0 ) - E(σ(N )) - I,

ուստի կունենանք՝ E(ա0 )x - x :

Վերջինս էլ նշանակում է, որ x ∈ Iո (E (ա0 )): Այսպիսով, ապացուցվեց, որ (3.8.8)

էer(/ (N )) ⊂ Iո(E(ա0 )) :

(3.8.2)-ից (3.8.8)-ից կբխի (3.8.1)-ը: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.8.2: Դիցուք E -ն N ∈ 8L(H) նորմալ պերատորի սպեկտրալ վերլությունն է, λ0 ∈ σ(N ) E0 - E ({λ0 }): Այդ դեպքում՝ 1) էer(N − λ0 I) - Iո(E0 ), 2) λ0 -ն հանդիսանում է N պերատորի սե ական արժեք այն միայն այն դեպքում, երբ E0 6- 0, 3) σ(N ) սպեկտրի ցանկացա մեկուսացվա կետ հանդիսանում է N պերատորի սե ական արժեք, 4) եթե σ(N ) բազմությունր վերջավոր է կամ հաշվելի՝ σ(N ) - {λ1 , λ2 , λ3 , . . .}, ապա ∀x ∈ H վեկտոր միարժեքորեն ներկայացվում է ∞ X xx4 (3.8.9) 4-1

տեսքով, որտեղ N x4 - λ4 x4 : Ընդ որում x4 ⊥ xj

(i 6- j):

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Ապացույց: 1)-ը ապացուցելու համար նախորդ թեորեմում կվերց-

նենք / (λ) - λ − λ0 : 2)-ը անմիջապես բխում է 1)-ից: 3)-ը ապացուցելու համար նկատենք, որ եթե λ0 -ն σ(N )-ի մեկուսացվա կետ է, ապա {λ0 }-ն կլինի բաց σ(N )-ում հետ աբար՝ E ({λ0 }) 6- 0: Ուստի 2)-ից կբխի, որ λ0 -ն N -ի սե ական արժեք է: 4) Նշանակենք E4 - E ({λ4 }) (i - 1, 2, 3, . . .): i 6- j դեպքում ունենք E4 Ej - E ({λ4 }) E ({λj }) - E ({λ4 } 1 {λj }) - E(Ø) - 0,

որտեղից բխում է, որ i 6- j դեպքում Iո(E4 ) ⊥ Iո(Ej ): Քանի որ ա Է→ E(ա)x արտապատկերումը σ -ադիտիվ է, ուստի ∞ X 4-1

E4 x -

∞ X

E ({λ4 }) x - E(σ(N ))x - x

(x ∈ H) :

4-1

Նշանակենք x4 - E4 x: 1)-ից բխում է, որ E4 -ն λ4 սե ական արժեքին համապատասխան սե ական ենթատարա ության վրա րթոգոնալ պրոյեկտման պերատորն է, ուստի N x4 - λ4 x4 : Այժմ ցույց տանք (3.8.9) ներկայացման միակությունը: Իրոք, դիցուք x-

∞ X

x4 ,

4-1

որտեղ N x4 - λ4 x4 : Այդ դեպքում կունենանք Ej x - Ej

∞ X 4-1

Քանի որ

Ej x4 -

! x4

∞ X

Ej x4 :

4-1

xj , i - j 0, i 6 j,

ուստի կստանանք xj - Ej x

(j - 1, 2, . . .),

8 8.6. Նորմալ պերատորների սե ական արժեքները

որտեղից էլ բխում է, որ xj -երը միարժեքորեն որոշվում են x-ի միջոցով: Թեորեմն ապացուցվա է: Hետ անq 3.8.1: Եթե N ∈ 8L(H) նորմալ պերատորի սպեկտրրր վերջավոր է կամ հաշվելի, ապա N -ի սե ական վեկտորներից կարելի է կազմել H տարա ության րթոնորմավորվա բազիս: Ապացույց: Դիցուք σ(N ) - {λ1, λ2, λ3, . . .}: ∀ո ∈ N համար էer(N − λn I)-ի համար ընտրենք {6n4 }4∈1n րթոնորմավորվա

բազիս: Նշանակենք M - {6n4 : ո ∈ N, i ∈ In } :

Նախորդ թեորեմի 4) կետից բխում է, որ M վեկտորական համակարգի գ ային թաղանթն ամենուրեք խիտ է H -ում: Հետ աբար M -ը կլինի H -ի րթոնորմավորվա բազիս: Հետ անքն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.8.3: Որպեսզի N ∈ 8L(H) նորմալ պերատորր լինի կոմպակտ, անհրաժեշտ է բավարար, որ տեղի ունենան հետ յալ երկու պայմաններր՝ ա) σ(N )-ր չունի ոչ 0-ական կուտակման կետ, բ) եթե λ 6- 0, ապա diո էer(N − λI) Հ ∞: Ապացույց: Անհրաժեշտությունը կապվա չէ նորմալության հետ. եթե N ∈ 8L(H) կամայական կոմպակտ պերատոր է, ապա ա), բ) պնդումները տեղի ունեն: Բավարարություն: ա)-ի շնորհիվ N պերատորի σ(N ) սպեկտրի ոչ 0-ական կետերը կարելի է գրել λ1 , λ2 , . . . , λn , . . .

վերջավոր կամ անվերջ հաջորդականության տեսքով, ընդ որում կարելի է համարել, որ |λ1 | > |λ2 | > · · · > |λn | > · · ·

λn → 0

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

(եթե սպեկտրը հաշվելի է): Սահմանենք /n (λ) -

λ, λ - λ4 (1 6 i 6 ո), 0, λ ∈ σ(N ) \ {λ1 , λ2 , . . . , λn } :

Նշանակենք E4 - E ({λ4 }) (i - 1, 2, . . .): բ) պայմանից նախորդ թեորեմի 1) կետից բխում է, որ diո Iո(E4 ) Հ ∞ (i - 1, 2, . . .), որտեղից կբխի, որ E4 -ն կոմպակտ է: Ունենք /n (λ) -

n X

λ4 χ {λ4 } (λ),

4-1

ուստի /n (N ) -

n X

λ4 χ {λ4 } (N ) -

4-1

n X

λ4 E4 ,

4-1

որտեղից կբխի, որ /n (N ) պերատորները կոմպակտ են: Եթե σ(N )-ն անվերջ է, ապա |λ − /n (λ)| 6 |λnո1 |

(λ ∈ σ(N ))

գնահատականից կբխի, որ kN − /n (N )k 6 |λnո1 | −−−→ 0 n→∞

ուստի N -ը կհանդիսանա /n (N ) կոմպակտ պերատորների հաջորդականության սահման ըստ 8L(H)-ի նորմի հետ աբար N -ը կլինի կոմպակտ: Եթե σ(N )-ը վերջավոր է, ապա ∃ո ∈ N, որ /n (λ) ≡ λ

կունենանք /n (N ) - N , որտեղից կբխի, որ N -ը կոմպակտ է: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 3.8.4: Դիցուք N ∈ 8L(H) կոմպակտ նորմալ պերատոր է: Այդ դեպքում՝

8 8.6. Նորմալ պերատորների սե ական արժեքները

ա) գոյություն ունի N պերատորի այնպիսի λ սե ական արժեք, որ |λ| - kN k, բ) եթե 0 ∈ σ(N ), / ∈ Շ(σ(N )) / (0) - 0, ապա / (N ) պերատորր կոմպակտ է: 11 Ապացույց: ա) Ինչպես գիտենք (տես՝ 2.7.1 թեորեմը), ρ(N ) - kN k, ուստի ∃λ ∈ σ(N ), որ |λ| - kN k: Եթե kN k » 0, ապա ըստ 3.8.3 թեորեմի λ-ն կլինի σ(N )-ի մեկուսացվա կետ, ուստի ըստ 3.8.2 թեորեմի 3) կետի՝ λ-ն կլինի N -ի սե ական արժեք (այստեղ կարելի էր չգտվել 3.8.2 3.8.3 թեորեմներից, այլ գտվել նրանից, որ կոմպակտ պերատորի սպեկտրի ոչ 0-ական կետերը սե ական արժեքներ են): Եթե kN k - 0, ապա ա) պնդումն ակնհայտ է: բ) Քանի որ σ(N )-ը վերջավոր է կամ հաշվելի, ուստի C \ σ(N ) լրացումը կլինի կապակցվա C-ում: Հետ աբար, ըստ Մերգելյանի թեորեմի՝ գոյություն ունի {ցn (2)}∞ n-1 բազմանդամների հաջորդականություն, որը σ(N )-ի վրա հավասարաչա ձգտում է / -ին: Կունենանք ցn (0) −n→∞ −−→ / (0) - 0, ուստի քn (2) - ցn (2) − ցn (0) հաջորդականությունը ս σ(N )-ի վրա հավասարաչա կձգտի / -ին, ընդ որում քn (0) - 0 (ո - 1, 2, . . .): Ֆիքսենք ո ∈ N: Դիցուք քn (2) - a0 2 m + a1 2 m−1 + · · · + am−1 2

(քn (0) - 0 պայմանից բխում է, որ ազատ անդամը 0 է): Այդ դեպքում կունենանք քn (N ) - a0 N m + a1 N m−1 + · · · + am−1 N,

որտեղից կբխի, որ քn (N )-ը կոմպակտ է: Քանի որ քn (2) ⇒ / (2), x→∞ 2 ∈ σ(N ), ուստի BL(H)

քn (N ) −−−−→ / (N ), 12 n→∞

Եթե 0 6∈ σ(N ), ապա ∃N −1 ∈ ո((H), որտեղից N -ի կոմպակտությունից կբխի, որ I - N N −1 միավոր պերատորը կոմպակտ է հետ աբար Վim H < ∞: Oւստի այդ դեպքում ∀/ ∈ C(σ(N )) համար / (N )-ը կոմպակտ է: Nշենք, որ վերջավոր սպեկտրի դեպքում որպես pn (ո) կարելի է վերցնել / -ի Lագրանժի ինտերպոլյացիոն բազմանդամը. այդ դեպքում պարզապես կունենանք pn (ո) - / (ո) (ո ∈ σ(N )) , հետ աբար՝ pn (N ) - / (N ):

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

որտեղից կբխի, որ / (N )-ը կոմպակտ է: Թեորեմն ապացուցվա է: Լրացում: Եթե N -ր H անվերջ չա անի հիլբերտյան տարա ությունում կոմպակտ նորմալ պերատոր է, / ∈ Շ(σ(N )) / (N ) պերատորր կոմպակտ է, ապա / (0) - 0: Ապացույց: Քանի որ H -ը անվերջ չա անի է, N -ը կոմպակտ է, ուստի 0 ∈ σ(N ): σ(N )-ի վրա դիտարկենք ց(λ) - / (λ) − / (0) ֆունկցիան: Կունենանք ց ∈ Շ(σ(N )) ց(0) - 0, ուստի ըստ նախորդ թեորեմի բ) կետի՝ ց(N ) - / (N ) − / (0)I պերատորը կոմպակտ է: Քանի որ / (N )-ը ս կոմպակտ է, ուստի կոմպակտ կլինի նա / (0)I - / (N ) − ց(N )

պերատորը: Քանի որ / (0) - 0: I

diո H - ∞,

§ 3.9. Դրական պերատորներ

ուստի այստեղից կբխի, որ

քա ակուսի արմատներ

Թեորեմ 3.9.1: Դիցուք 7 ∈ 8L(H): Այդ դեպքում հետ

յալ երկու պայմաններն իրար համարժեք են՝ 1) (7 x, x) > 0 (x ∈ H), 2) 7 - 7 ∗ σ(7 ) ⊂ |0, ∞): Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ 1) ⇒ ∗2): Քանի որ (7 x, x) > 0, ուստի (7 x, x) - (7 x, x) - (x, 7 x) - (7 x, x): Ստացվեց, որ (7 x, x) - (7 ∗ x, x)

(x ∈ H),

ուստի ըստ միակության թեորեմի (տես՝ 3.1.1 հետ անքը), կունենանք 7 - 7 ∗ : σ(7 ) ⊂ |0, ∞) ներդրումը ցույց տալու համար ապացուցենք, որ ∀λ » 0 թվի համար −λ 6∈ σ(7 ), որտեղից կբխի (կգտվենք 3.6.3 թեորեմի ա) կետից), որ σ(7 ) ⊂ |0, ∞): Իրոք, ∀x ∈ H համար 1)-ից բխում է, որ λ kxk2 - λ(x, x) 6 λ(x, x) + (7 x, x) - ((7 + λI)x, x) 6 k(7 + λI)xk · kxk ,

8 8... Դրական պերատորներ

քա ակուսի արմատներ

k(7 + λI)xk · kxk > λkxk2 ,

որը x 6- 0 դեպքում կրճատելով kxk-ով՝ կստանանք k(7 + λI)xk > λkxk :

(3.9.1)

Վերջինս ճիշտ է նա x - 0 համար: (3.9.1)-ից բխում է, որ −λ թիվը 7 պերատորի համար եգուլյար տիպի կետ է, իսկ քանի որ ինքնահամալու պերատորի համար եգուլյար տիպի կետերը համընկնում են եգուլյար կետերի հետ, ուստի −λ-ն կլինի 7 -ի եգուլյար կետ՝ −λ 6∈ σ(7 ): −λ 6∈ σ(7 ) ա նչությունը կարելի է հիմնավորել նա հետ յալ կերպ (այդ հիմնավորումը ըստ էության կրկնում է այն աստի ապացույցի դատողությունները, համաձայն որի ինքնահամալու պերատորի համար եգուլյար տիպի կետերը համընկնում են կետերի հետ): Ինչպես գիտենք (տես՝ 3.1.1 լեմման), |Iո(7 + λI)|⊥ - էer (7 + λI)∗ ,

քանի որ ուստի

(7 + λI)∗ - 7 ∗ + λI - 7 + λI, |Iո(7 + λI)|⊥ - էer (7 + λI) :

Բայց (3.9.1)-ից բխում է, որ էer (7 + λI) - {0}, ուստի կունենանք |Iո(7 + λI)|⊥ - {0} հետ աբար՝ Iո(7 + λI) - H :

(3.9.2)

Ցույց տանք, որ

(3.9.3) Դրա համար, շնորհիվ (3.9.2)-ի, բավական է ցույց տալ, որ Iո(7 + λI)-ն ակ է՝ Iո(7 + λI) - H :

Iո(7 + λI) ⊂ Iո(7 + λI) :

(3.9.4)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Վերցնենք ∀y ∈ Iո(7 + λI): Այդ դեպքում ∃{xn }∞ n-1 հաջորդականություն, որ Iո(7 + λI)xn −−−→ y : (3.9.5) n→∞ (3.9.1)-ից կբխի, որ k(7 + λI)xn − (7 + λI)xm k , λ xn -ը ֆունդամենտալ է: Քանի որ H -ը

kxn − xm k 6

որտեղից բխում է, որ ուստի

լրիվ է,

(3.9.6) պերատորի անընդհատությունից

∃ liո xn - x : n→∞

(3.9.5)-ից (3.9.6)-ից 7 + λI (կամ՝ ակությունից) կբխի, որ

y - liո (7 + λI)xn - (7 + λI)x, n→∞

հետ աբար y ∈ Iո(7 + λI): (3.9.1)-ից (3.9.3)-ից բխում է, որ ∃(7 +λI)−1 ∈ 8L(H), ուստի −λ 6∈ σ(7 ): Այժմ ցույց տանք, որ 2) ⇒ 1): Դիցուք E -ն 7 պերատորի սպեկտրալ վերլու ությունն է: Այդ դեպքում Z (7 x, x) λ dEx,x (λ) (x ∈ H) : (3.9.7) σ(T )

Քանի որ Ex,x չա երից յուրաքանչյուրը դրական է մար λ > 0, ուստի (3.9.7)-ից կբխի, որ (7 x, x) > 0

λ ∈ σ(7 )

հա-

(x ∈ H) :

Թեորեմն ապացուցվա է:

Թեորեմ 3.9.2: ∀7 ∈ 8L(H) ոչ բացասական պերատորի հա-

մար գոյություն ունի միակ 5 ∈ 8L(H) ոչ բացասական պերատոր, որ 5 2 - 7 : Ընդ որում, եթե 7 -ն հակադարձելի է, ապա հակադարձելի է նա 5 -ր: 13

Հակադարձելիությունը կարելի է հասկանալ թե՛ սովորական իմաստով, թե՛ իմաստով:

ո((H)-ի

8 8... Դրական պերատորներ

քա ակուսի արմատներ

Ապացույց: Դիցուք 4 ⊂ 8L(H) որ

է ակ նորմալ ենթահանրահաշիվ է, որը պարունակում է I -ն 7 -ն: Ըստ Գելֆանդ-Նայմարկի 2.3.5 թեորեմի՝ 4̂ - Շ(MA ): Քանի որ 7 > 0, ուստի (ըստ նախորդ թեորեմի) σ(7 ) ⊂ |0, ∞) քանի որ σ(7 ) - 7̂ (MA ), ուստի 7̂ > 0: Բայց ցանկացա ոչ բացասական անընդհատ ֆունկցիա ունի միակ ոչ բացասական անընդհատ արմատ: Հետ աբար գոյություն ունի միակ 5 ∈ 4, որ 5 2 - 7 5̂ > 0: Իսկ 5̂ > 0 պայմանը համարժեք է 5 > 0 պայմանին: Այժմ դիցուք 40 -ն դիտարկվա 4 հանրահաշիվներից ոքրագույնն է. 40 -ն իրենից կներկայացնի 7 -ից բազմանդամների դասի

ակումը: Այդ դեպքում ըստ վերն ասվա ի, ∃50 ∈ 40 , որ 502 - 7 50 > 0: Դիցուք 5 ∈ 8L(H) ս այնպիսին է, որ 5 2 - 7 5 > 0: Ցույց տանք, որ 5 - 50 : 4-ով նշանակենք I -ով 5 -ով

նվա մինիմալ ակ ենթահանրահաշիվը: Քանի որ 7 - 5 2 , ուստի 7 ∈ 4: Հետ աբար 40 ⊂ 4, ուստի 50 ∈ 4: Բայց 4-ն նորմալ ենթահանրահաշիվ է, ուստի՝ ըստ վերն ասվա ի 7 -ն 4-ում ունի միակ ոչ բացասական արմատ: Հետ աբար 5 - 50 : Այժմ դիցուք 7 -ն հակադարձելի է 8L(H)-ում: Ցույց տանք, որ այդ դեպքում 5 -ը ս կլինի հակադարձելի 8L(H)-ում, ընդ որում 5 −1 - 7 −1 5 :

Քանի որ 7 −1 5 ∈ 8L(H), ուստի մնում է նկատել, որ ) 7 −1 5 5 - 57 −1 5 - I :

Քանի որ 7 5 - 7 5 , ուստի 7 −1 5 - 57 −1 հետ աբար 57 −1 5 - 7 −1 5 2 - 7 −1 7 - I :

Թեորեմն ապացուցվա է:

Թեորեմ 3.9.3: ∀7 P ∈ 8L(H)

∈ 8L(H) համար գոյություն ունի միակ ոչ բացասական պերատոր, որ kP xk - k7 xk

(x ∈ H) :

Այդ պերատորր 7 ∗ 7 -ի ոչ բացասական քա ակուսի արմատն է:

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ (7 ∗ 7 x, x) - (7 x, 7 x) - k7 xk2 > 0

ուստի 7 ∗ 7 > 0: Եթե P ∈ 8L(H)

P - P ∗,

(x ∈ H),

(3.9.8)

ապա

) P 2 x, x - (P x, P x) - kP xk2

(3.9.8)-ից (3.9.9)-ից բխում է, որ հավասարությունը համարժեք է ) P 2 x, x - (7 ∗ 7 x, x)

(x ∈ H) :

(3.9.9)

kP xk - k7 xk (x ∈ H)

(x ∈ H)

հավասարությանը, որն էլ, ըստ միակության թեորեմի, համարժեք է P 2 - 7 ∗ 7 հավասարությանը: Թեորեմն ապացուցվա է: Այն աստը, որ ∀λ ∈ C թիվ ներկայացվում է λ - α|λ| տեսքով, որտեղ |α| - 1, բերում է 7 ∈ 8L(H) պերատորը 7 - Ծ P տեսքով ներկայացնելու խնդրին, որտեղ Ծ -ն ունիտար պերատոր է P > 0: Եթե այդպիսի ֆակտորիզացիան հնարավոր է, ապա մենք Ծ P -ն կանվանենք 7 պերատորի բ ե ային ներկայացում: Քանի որ ունիտար պերատորը իզոմետրիկ է, ուստի բ ե ային ներկայացման մեջ P արտադրիչը, ինչպես ցույց է տալիս 3.9.3 թեորեմը, միարժեքորեն որոշվում է 7 -ի միջոցով: Թեորեմ 3.9.4: Դիցուք 7 ∈ 8L(H): Այդ դեպքում՝ ա) եթե 7 -ն հակադարձելի է 8L(H)-ում, ապա այն ունի միակ 7 - Ծ P բ ե ային ներկայացում, բ) եթե 7 -ն նորմալ է, ապա այն ունի այնպիսի 7 - Ծ P բ ե ային ներկայացում, որտեղ Ծ , P , 7 պերատորներր տեղա ոխելի են մեկր մյուսի հետ: Ապացույց: ա) Եթե 7 -ն 8L(H)-ում ∗ հակադարձելի է, ապա ∗ 8L(H)-ում հակադարձելի կլինեն նա 7 7 7 պերատորները, ուստի ըստ 3.9.2 թեորեմի՝ 7 ∗ 7 պերատորի P ոչ բացասական քա ակուսի արմատը ս կլինի հակադարձելի 8L(H)-ում: Վերցնենք

8 8... Դրական պերատորներ

Ծ - 7 P −1 :

կունենանք

քա ակուսի արմատներ

Այդ դեպքում Ծ -ն կլինի հակադարձելի 8L(H)-ում Ծ ∗ Ծ - P −1 7 ∗ 7 P −1 - P −1 P 2 P −1 - I,

ուստի Ծ -ն ունիտար պերատոր է 7 - Ծ P : Քանի որ P -ն հակադարձելի է, ուստի 7 - Ծ P ներկայացումը միակն է (եթե 7 - Ծ P , ապա Ծ - 7 P −1 ): բ) Նշանակենք ք(λ) - |λ|,   λ , λ 6- 0, ս(λ) |λ|  1, λ - 0 :

Այդ դեպքում ք(λ), ս(λ)-ն կլինեն σ(7 )-ի վրա սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիաներ: Դիցուք P - ք(7 ) Ծ - ս(7 ): Քանի որ ք > 0, ուստի P > 0: Քանի որ սս - սս - 1, ուստի Ծ Ծ ∗ - Ծ ∗ Ծ - I : Քանի որ λ - ս(λ)ք(λ), ուստի 7 - Ծ P : 7 , Ծ , P պերատորների տեղա ոխելիությունը բխում է λ, ս(λ), ք(λ) ֆունկցիաների տեղա ոխելիությունից: Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 3.9.1: Կամայական 7 ∈ 8L(H) պերատոր պարտավոր չէ ունենալ բ ե ային ներկայացում: Վարը մենք կբերենք պերատորի րինակ, որը չունի բ ե ային ներկայացում: Սակայն եթե P -ն 7 ∗ 7 -ից ոչ բացասական քա ակուսի արմատ է, ապա kP xk - k7 xk

(x ∈ H),

Մ Px - 7x

բանաձ ով որոշվում է Մ իզոմետրիա Iո(P )-ից Iո(7 )-ի վրա՝ kՄ yk - kyk Մ -ն

(y ∈ Iո(P )) :

անընդհատորեն միակ ձ ով շարունակվում է Iո(P )-ի վրա արդյունքում կստանանք իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ Iո(P )-ի

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Iո(7 )-ի

միջ : Եթե նա գոյություն ունի Մ1 իզոմետրիկական իզոմորֆիզմ |Iո(P )|⊥ |Iո(7 )|⊥ ենթատարա ությունների միջ , ապա 2 - x + y (x ∈ Iո(P ), y ∈ |Iո(P )|⊥ ) համար սահմանելով Ծ 2 - Մ x + Մ1 y,

կստանանք, որ Ծ -ն Մ -ի շարունակություն է որում

Ծ -ն

ունիտար է, ընդ

7 - Ծ P,

այսինքն 7 -ն թույլ է տալիս բ ե ային ներկայացում: Այդպիսի պերատոր գոյություն ունի այն միայն այն դեպքում, երբ diո|Iո(P )|⊥ - diո|Iո(7 )|⊥ :

Մ1

(3.9.10)

Սակայն, չնայա , որ Iո(P ) Iո(7 ) ենթատարա ությունների իզոմորֆ-իզոմետրիկ լինելու պատճա ով diո Iո(P ) - diո Iո(7 ),

(3.9.11)

կարող է պատահել, որ (3.9.10)-ը տեղի չունենա: Նկատենք, որ diո H Հ ∞ դեպքում Iո(P ) ⊕ |Iո(P )|⊥ - H Iո(7 ) ⊕ |Iո(7 )|⊥ - H

ա նչություններից կբխի, որ diո|Iո(P )|⊥ - diո H − diո Iո(P ), diո|Iո(7 )|⊥ - diո H − diո Iո(7 ),

որտեղից (3.9.11)-ից կբխի (3.9.10)-ը: Հետ աբար diո H Հ ∞ դեպքում ∀7 ∈ 8L(H) պերատոր թույլ է տալիս բ ե ային ներկայացում: Սակայն ընդհանուր դեպքում պարտադիր չէ, որ diո H Հ ∞: (3.9.10)-ը տեղի կունենա, մասնավորապես, այն դեպքում, երբ |Iո(P )|⊥ - |Iո(7 )|⊥ :

(3.9.12)

8 8... Դրական պերատորներ

քա ակուսի արմատներ

Համոզվենք, որ (3.9.12)-ը համարժեք է (3.9.13)

էer (7 ∗ 7 ) - էer (7 7 ∗ )

հավասարությանը: Դրա համար նկատենք, որ հետ յալ ա նչություններից յուրաքանչյուրը համարժեք է իր հաջորդին (նախորդին). y ∈ |Iո(P )|⊥ , (P x, y) - 0

(∀x ∈ H),

(x, P y) - 0

(∀x ∈ H),

(3.9.14) (3.9.15)

P y - 0, 7 y - 0, 7 ∗ 7 y - 0, 14

, մյուս կողմից, հետ յալ ա նչություններից յուրաքանչյուրը համարժեք է իր հաջորդին (նախորդին). y ∈ |Iո(7 )|⊥ , (7 x, y) - 0

(∀x ∈ H),

(x, 7 ∗ y) - 0

(∀x ∈ H),

7 ∗ y - 0, 7 7 ∗y - 0 :

Մասնավորապես, եթե 7 պերատորը նորմալ է, ապա (3.9.13)-ը տեղի ունի: Վերադա նալով ընդհանուր դեպքին՝ նկատենք, որ եթե սահմանենք ( Մy -0

y ∈ |Iո(7 )|⊥

(3.9.14)-ի (3.9.15)-ի համարժեքությունը բխում է հավասարությունից:

kP |k

kT |k

Մ -ն

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

շարունակենք ամբողջ H -ի վրա, ապա կստանանք 7 -ՄP

ներկայացում: Այստեղ Մ -ն ունիտար չէ, այլ այսպես կոչվա ՝ մասնակի իզոմետրիկ պերատոր է: Այսպիսով, ստացվեց, որ ∀7 ∈ 8L(H) պերատոր թույլ է տալիս 7 - Մ P ֆակտորիզացիա, որտեղ P -ն ոչ բացասական պերատոր է, իսկ Մ -ն մասնակի իզոմետրիկ պերատոր է: Այժմ բերենք սահմանա ակ պերատորների րինակներ, որոնք թույլ չեն տալիս բ ե ային ներկայացում: Դիցուք H - `2 , որտեղ `2 - L2 (Zո ): Սահմանենք (5R / ) (ո) -

0, ո - 0, / (ո − 1), ո > 1,

(5L / ) (ո) - / (ո + 1)

(ո > 0) :

Այդ դեպքում հեշտ է տեսնել, որ ∗ 5R - 5L ,

5L∗ - 5R :

Հեշտ է նա տեսնել, որ (5R 5L / ) (ո) -

0, ո-0 : / (ո), ո > 1

5L 5R - I :

(3.9.16) (3.9.17)

Նշանակենք P1 - 5R 5L ,

P2 - 5L 5R - I :

Այդ դեպքում կունենանք P12 - 5L∗ 5L ,

∗ P22 - 5R 5R :

Ցույց տանք, որ 5L 5R պերատորները թույլ չեն տալիս բ ե ային ներկայացում: Իրոք, եթե ենթադրենք, թե 5L -ը թույլ է տալիս 5L - Ծ P

8 8... Դրական պերատորներ

բ ե ային ներկայացում, որտեղ Ծ -ն ունիտար է կունենանք k5L xk - kP xk

3.9.3 թեորեմից կբխի, որ P

քա ակուսի արմատներ

- P1 :

P > 0,

ապա

(x ∈ H),

Ուստի կունենանք

5L - Ծ 5L∗ 5L , 5L / - Ծ 5L∗ 5L /

) ∀/ ∈ `2 ,

քանի որ 5L (`2 ) - `2 , ուստի կստանանք, որ Ծ 5L∗ - I, 5L∗ - Ծ −1 - Ծ ∗ , 5L - Ծ,

ինչը ցույց է տալիս, որ 5L -ն ունիտար է, իսկ դա հակասում է (3.9.16)-ին: Այժմ ենթադրենք, թե 5R -ն է թույլ տալիս 5R - Ծ P

բ ե ային ներկայացում, որտեղ Ծ -ն ունիտար է դեպքում նորից կունենանք P - P2 , ուստի

P > 0:

Այդ

5R - Ծ :

Ստացվեց, որ 5R -ը ունիտար է, ինչը հակասում է (3.9.16)-ին: I Թեորեմ 3.9.5: Դիցուք M, N, 7 ∈ 8L(H), րնդ որում M -ր N -ր նորմալ են, իսկ 7 -ն հակադարձելի է 8L(H)-ում: Դիցուք M - 7 N 7 −1 :

Այդ դեպքում եթե 7 յացումն է, ապա

- Ծ P -ն 7

(3.9.18)

պերատորի բ ե ային ներկա-

M - Ծ N Ծ −1 :

(3.9.19)

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Ապացույց: (3.9.18) պայմանը կարելի է գրել M 7 - 7 N տեսքով: Այստեղից Ֆուգլիդ-Պուտնամ- ոզենբլյումի թեորեմից բխում է, որ M ∗ 7 - 7 N ∗ : Հետ աբար 7 ∗ M - (M ∗ 7 )∗ - (7 N ∗ )∗ - N 7 ∗ ,

ուստի, քանի որ P 2 - 7 ∗ 7 , կունենանք N P 2 - N 7 ∗7 - 7 ∗M 7 - 7 ∗7 N - P 2N : )) Այստեղից կբխի, որ ∀/ ∈ Շ σ P համար N -ը տեղա ոխելի ) ) է / P -ու հետ: √Քանի որ P > 0)) , ուստի σ P 2 ⊂ |0, ∞): Վերցնենք / (λ) - λ > 0 λ ∈ σ )P 2 , այդ դեպքում կունենանք / 2 (λ) - λ հետ աբար / 2 P 2 - P 2 : Քանի որ P)2 -ու ոչ բացասական քա ակուսի արմատը միակն է, ուստի / P 2 - P : ) ) Հետ աբար N / P 2 - / P 2 N հավասարությունից կբխի, որ N P - P N : Ուստի (3.9.18)-ից կբխի, որ M - (Ծ P )N (Ծ P )−1 - Ծ P N P −1 Ծ −1 - Ծ N P P −1 Ծ −1 - Ծ N Ծ −1 :

Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 3.9.2: (3.9.18) ա նչությամբ կապվա M N պերատորները կոչվում են նման: Եթե Ծ -ն ունիտար պերատոր է տեղի ունի (3.9.19)-ը, ապա M N պերատորները կոչվում են ունիտար համարժեք (իզոմորֆ): Այսպիսով, նախորդ թեորեմը ցույց է տալիս, որ եթե նորմալ պերատորներն իրար նման են, ապա դրանք ունիտար համարժեք են: I § 3.10. Հակադարձելի պերատորների խումբը

Թեորեմ 3.10.1: Բոլոր 7 ∈ 8L(H)−1հակադարձելի (8L(H)-ում)

պերատորների Շ - |8L(H)| խումբր կապակցվա է, յուրաքանչյուր 7 ∈ Շ պերատոր ներկայացվում է երկու էքսպոնենտների արտադրյալի տեսքով: (քսպոնենտի տակ, հասկանալի է, նկատի ունենք exp(5) տեսքի պերատոր, որտեղ 5 ∈ 8L(H)):

8 8.10. Պակադարձելի պերատորների խումբը

Ապացույց:

Դիցուք 7 ∈ Շ 7 - Ծ P -ն նրա բ ե ային ներկայացումն է: Այստեղ Ծ -ն ունիտար է, իսկ P > 0, ընդ որում P -ն հակադարձելի է 8L(H)-ում: Հետ աբար σ(P ) ⊂ (0, ∞), ուստի σ(P )-ի վրա կարող ենք դիտարկել ϕ(λ) - lո λ ֆունկցիան: Կունենանք exp(ϕ(λ)) - λ

(λ ∈ σ(P )),

ուստի նշանակելով 5 - ϕ(P ), կստանանք exp(5) - P :

Քանի որ Ծ -ն ունիտար է, ուստի σ(Ծ )-ն ընկա է միավոր շրջանագ ի վրա: Հետ աբար գոյություն ունի / : σ(Ծ ) → R սահմանա ակ բորելյան ֆունկցիա, որ exp{i / (λ)} - λ

(λ ∈ σ(Ծ )) :

Իսկապես, որպես / (λ) կարելի է վերցնել արգումենտի գլխավոր արժեքը (նկատենք, որ նշվա հատկություններով ժտվա / անընդհատ ֆունկցիա կարող է գոյություն չունենալ): Նշանակենք Օ - / (Ծ ): Այդ դեպքում Օ ∈ 8L(H) ինքնահամալու պերատոր է Ծ - exp(iՕ): Հետ աբար՝ 7 - Ծ P - exp(iՕ) exp(5) :

Այստեղից բխում է, որ համար սահմանենք

խումբը կապակցվա է: Իրոք,

r ∈ |0, 1|

7Դ - exp(irՕ) exp(r5) :

Այդ դեպքում r Է→ 7Դ կլինի անընդհատ արտապատկերում |0, 1|-ից Շ-ի մեջ, ընդ որում 70 - I 71 - 7 : Ստացվեց, որ Շ-ի ցանկացա

7 էլեմենտ կարելի է Շ-ին պատկանող անընդհատ կորով միացնել I միավոր պերատորին: Այստեղից կբխի, որ Շ-ի ցանկացա

երկու էլեմենտներ կարելի է միացնել իրար ամբողջությամբ Շ-ին պատկանող անընդհատ կորով: Հետ աբար Շ-ն կապակցվա է: Թեորեմն ապացուցվա է:

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

Դիտողություն 3.10.1: 1.15.5 թեորեմից բխում է, որ եթե 4-ն−1 վեր-

ջավոր չա անի բանախյան հանրահաշիվ է, ապա ∀a ∈ 4 էլեմենտ ներկայացվում է a - exp(b) տեսքով, որտեղ b ∈ 4 ինչ-որ էլեմենտ է: Ընդհանուր դեպքում պարտադիր չէ, որ 7 ∈ Շ պերատորը հանդիսանա էքսպոնենտ: Հարկ է նշել, որ ամեն մի էքսպոնենտ ժտվա

է քա ակուսի արմատով. exp(5) պերատորի համար ) exp 2 5 պերատորը հանդիսանում է քա ակուսի արմատ: Վարը մենք կտեսնենք, որ պարտադիր չէ 7 ∈ Շ պերատորն ունենա քա ակուսի արմատ: Թեորեմ 3.10.2: Դիցուք D ⊂ C այնպիսի բաց սահմանա ակ բազմություն է, որ (3.10.1)

Ω - α ∈ C : α2 ∈ D

բազմությունր կապակցվա է 0 6∈ D: Դիցուք H -ր այն բոլոր / ∈ H(D) ֆունկցիաների տարա ությունն է, որոնց համար Z

(3.10.2)

|/ |2 d72 Հ ∞

(որտեղ 72 -ր R2 -ում Lեբեգի չա ն է): տադրյալր սահմանենք

H -ում

Z / ց d72

(/, ց) -

սկալյար ար-

(3.10.3)

բանաձ ով: Այդ դեպքում H -ր հիլբերտյան տարա ություն է: M ∈ 8L(H) բազմապատկման պերատորր սահմանենք հետ յալ կերպ. (M / )(2) - 2/ (2)

(/ ∈ H, 2 ∈ D) :

Այդ դեպքում M -ր հակադարձելի է 8L(H)-ում, բայց չունի քա ակուսի արմատ:

8 8.10. Պակադարձելի պերատորների խումբը

Ապացույց:

Պարզ է, որ (3.10.3)-ը սկալյար արտադրյալ է H -ի վրա H -ը L2 (D)-ի ենթատարա ություն է: Դիցուք 2 ∈ D կամայական կետ է: ∆z0 - D (20 : εz0 ) ընտրենք այնքան ոքր, որ D (20 : 2εz0 ) ⊂ D: Ըստ միջին արժեքի թեորեմի՝ ∀/ ∈ H համար ZZ

/ (2) - 2 πεz

(2 ∈ D(2, εz )) ,

/ (է) d72

D(z,εz )

հետ աբար

|/ (2)|2 -

(πε2z )2

(πε2z )2 D(z,εz ) -

πε2z

/ (է) d72 D(z,εz )

12 d72 ·

|/ (է)|2 d72 -

D(z,εz )

|/ |2 d72 6

D(z,εz )

k/ k |/ (2)| 6 √ π εz0

k/ k2 , πε2z

) 2 ∈ D (20 , εz0 ) , / ∈ H :

(3.10.4)

Այժմ դիցուք {/n }∞ n-1 հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է H -ում: (3.10.4)-ից կբխի, որ կամայական 2o ∈ D կետի համար Տսp |/n (2) − /m (2)| 6 z∈∆z0

k/n − /m k √ −−−−−→ 0, n, m→∞ π εz0

ինչը ցույց է տալիս, որ {/n (2)}∞ n-1 հաջորդականությունը 20 կետի ∆z0 շրջակայքում ( ∆z0 -ի ակման վրա) հավասարաչա

զուգամետ է: Ստացվեց, որ {/n (2)}∞ n-1 հաջորդականությունը D -ի յուրաքանչյուր կետի շրջակայքում հավասարաչա զուգամետ է, ուստի այն հավասարաչա զուգամետ կլինի D-ի կոմպակտ ենթաբազմությունների վրա: Հետ աբար, ըստ Վայերշտրասի թեորեմի, / (2) - liո /n (2) (2 ∈ D) (3.10.5) n→∞

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

սահմանային ֆունկցիան պատկանում է H(D)-ին: Մյուս կողմից, H -ում {/n } հաջորդականության ֆունդամենտալությունից բխում է, որ {/n }-ը ֆունդամենտալ է նա L2 (D)-ում, ուստի ∃ϕ ∈ L2 (D), որ /n

(3.10.6)

L2 (D)

−→ ϕ :

n→∞

(3.10.5)-ից (3.10.6)-ից կբխի, որ / - ϕ հ.ա. D-ում (չէ՞ որ L2 նորմով զուգամետ յուրաքանչյուր {/n } հաջորդականություն պարունակում է համարյա ամենուրեք զուգամետ ենթահաջորդականություն, որի / սահմանային ֆունկցիան հանդիսանում է միաժամանակ {/n }-ի սահմանը L2 նորմով): Հետ աբար / ∈ L2 (D) /n

(3.10.7)

L2 (D)

−→ / :

n→∞

Ստացվեց, որ / ∈ H(D) 1 L2 (D) - H , (3.10.7)-ից կբխի, որ H /n −→ / : Սրանով իսկ H -ի լրիվությունն ապացուցվեց: Քանի որ D-ն սահմանա ակ է, ուստի M ∈ 8L(H): Բացի այդ, ֆունկցիան սահմանա ակ է D-ում, ուստի M -ի

) M −1 / (2) - / (2)

(/ ∈ H)

հակադարձը կլինի 8L(H)-ից: Ցույց տանք, որ @Օ ∈ 8L(H), որ Օ2 - M : Ենթադրենք հակա ակը: Ընտրենք որ է α ∈ Ω նշանակենք λ - α2 : Այդ դեպքում λ ∈ D: Նշանակենք Mλ - M − λI,

5 - Օ − αI,

7 - Օ + αI :

(3.10.8)

Այդ դեպքում հեշտ է տեսնել, որ 57 - Mλ - 7 5 :

(3.10.9)

Քանի որ մենք գոր ունենք հոլոմորֆ ֆունկցիաների հետ, (Mλ ց) (2) - (2 − λ)ց(2)

(2 ∈ D, ց ∈ H)

(3.10.10)

8 8.10. Պակադարձելի պերատորների խումբը

բանաձ ը ցույց է տալիս, որ Mλ պերատորը ինեկտիվ է Iո(Mλ ) - {/ ∈ H : / (λ) - 0} :

(3.10.11)

H L Վերը մենք տեսանք, որ /n −→ F նշանակում է, որ /n −→ F /n (2) ⇒ / (2), D-ի ներսում: Ուստի (3.10.11)-ից կբխի, որ Iո(Mλ )-ն H -ում ակ ենթատարա ություն է: Նկատենք նա , որ Iո(Mλ )-ի կոչա ը հավասար է 1-ի՝

diոIm(Mλ ) H - diո H/ Iո(Mλ ) - diո|Iո(Mλ )|⊥ - 1 :

(3.10.12)

Իրոք, ∀/ ∈ H կարելի է գրել / - /1 + /2

տեսքով, որտեղ /1 ∈ Iո(Mλ ), /2 - Շoո5է (կվերցնենք /1 (2) - / (2) − / (λ), /2 (2) - / (λ), ∀2 ∈ D): Mλ -ի ինեկտիվությունից (3.10.9)-ի ա աջին հավասարությունից բխում է, որ 7 -ն ս ինեկտիվ է, իսկ (3.10.9)-ի երկրորդ հավասարությունից բխում է, որ 5 -ը ս ինեկտիվ է: Ունենք Iո(Mλ ) 6- H (չէ՞ որ / (x) ≡ 1 ֆունկցիան H -ից է չի պատկանում Iո(Mλ )-ին), ուստի Mλ -ն 8L(H)-ում հակադարձելի չէ: Այստեղից (3.10.9)-ից կբխի, որ 5 7 պերատորներից գոնե մեկը հակադարձելի չէ 8L(H)-ում: Ցույց տանք, որ 5 , 7 պերատորներից ճիշտ մեկը հակադարձելի է 8L(H)-ում: Այդ նպատակով ենթադրենք, թե 5 -ը հակադարձելի չէ 8L(H)-ում ցույց տանք, որ այդ դեպքում 7 -ն հակադարձելի է 8L(H)-ում: Նախ նկատենք, որ Iո (5)-ը ակ է: Իրոք, եթե H /n ∈ H (ո ∈ N) 5/n −→ ց , ապա (3.10.9)-ի շնորհիվ Mλ /n - 7 (5/n ) → 7 ց , որտեղից Iո (Mλ )-ի ակությունից կբխի, որ գոյություն ունի այնպիսի / ∈ H ֆունկցիա, որ Mλ / - 7 ց :

(3.10.13)

(3.10.9), (3.10.13)-ից կունենանք 7 5/ ինեկտիվությունից կբխի, որ ց - 5/

- 7 ց , որտեղից 7 -ի ∈ Iո (5): Քանի որ 5 -ը

Գլուխ 3. Գ ային սահմանա ակ պերատորներ . . .

ինեկտիվ է հակադարձելի չէ, ուստի Iո(5) 6- H . հակա ակ դեպքում, ըստ հակադարձ պերատորի մասին Բանախի թեորեմի, 5 -ը կլիներ հակադարձելի: Հետ աբար diո |Iո (5)|⊥ > 1 :

(3.10.14)

Mλ - 57 հավասարությունից բխում է, որ Iո(Mλ ) ⊂ Iո(5), ուստի |Iո (5)|⊥ ⊂ |Iո (Mλ )|⊥ , որտեղից (3.10.12), (3.10.14)-ից կբխի, որ |Iո (5)|⊥ - |Iո (Mλ )|⊥ : Հետ աբար Iո(5) - Iո(Mλ ): Ստացվա ը ցույց է տալիս, որ 5 -ը H -ը ոխմիարժեք արտապատկերում է Iո(Mλ )-ի վրա: Բայց մյուս կողմից Mλ - 57 հավասարությունը ցույց է տալիս, որ 5 -ը Iո(7 )-ն է ոխմիարժեք արտապատկերում Iո(Mλ )-ի վրա: Հետ աբար՝ Iո(7 ) - H , որտեղից, 7 -ի ինեկտիվությունից հակադարձ պերատորի մասին Բանախի թեորեմից բխում է, որ 7 -ն հակադարձելի է 8L(H)-ում: Այսպիսով, մենք ցույց տվեցինք, որ ∀α ∈ Ω համար Օ − αI Օ + αI պերատորներից ճիշտ մեկը հակադարձելի է: Նկատենք, որ 0 6∈ D պայմանի շնորհիվ կունենանք, որ 0 6∈ Ω: Դժվար չէ տեսնել,

որ

(3.10.15) Իրոք, եթե α ∈ σ(Օ) 1 Ω, ապա Օ − αI պերատորը 8L(H)-ում հակադարձելի չէ, ուստի Օ + αI պերատորը կլինի 8L(H)-ում հակադարձելի հետ աբար −α 6∈ σ(Օ), մինչդե −α-ն ակնհայտորեն պատկանում է Ω-ին: Քանի որ Ω-ն հանդիսանում է α Է→ α2 անընդհատ արտապատկերման դեպքում D բաց բազմության նախապատկերը, ուստի Ω-ն բաց է: Ցույց տանք, որ σ(Օ) 1 Ω-ն բաց է Ω-ում: Դրա համար վերցնենք ∀α ∈ σ(Օ) 1 Ω ցույց տանք, որ ∃ ε » 0, այնպես, որ D(α, ε) ⊂ σ(Օ) 1 Ω: Իրոք, α ∈ σ(Օ) նշանակում է, որ Օ − αI պերատորը 8L(H)-ում հակադարձելի չէ: Հետ աբար Օ + αI պերատորը կլինի հակադարձելի 8L(H)-ում՝ Օ + αI ∈ Շ: Քանի որ Շ-ն բաց է, ուստի ∃ ε » 0, որ λ ∈ D(α, ε) համար Օ + λI ∈ Շ: Քանի որ Ω-ն բաց է α ∈ Ω, ուստի ε-ը կարելի է ընտրել այնքան

ոքր, որ D(α, ε) ⊂ Ω : (3.10.16) σ(Օ) 1 Ω 6- Ω :

8 8.10. Պակադարձելի պերատորների խումբը

Այդ դեպքում λ ∈ D(α, ε) համար Օ − λI պերատորը չի լինի հակադարձելի (չէ՞ որ այդպիսի λ-ները Ω-ից են նրանց համար Օ + λI ∈ Շ), ինչը նշանակում է, որ D(α, ε) ⊂ σ(Օ): Այստեղից (3.10.16)-ից էլ կբխի, որ D(α, ε) ⊂ σ(Օ) 1 Ω :

Մյուս կողմից, քանի որ σ(Օ)-ն կոմպակտ է, ուստի σ(Օ)1Ω-ն կլինի նա ակ Ω-ում: Այստեղից Ω-ի կապակցվա ությունից կբխի, որ σ(Օ) 1 Ω - Ø կամ σ(Օ) 1 Ω - Ω: Ստացվա ից (3.10.15)-ից կբխի, որ σ(Օ) 1 Ω - Ø, ինչը հակասում է այն բանին, որ ∀α ∈ Ω համար Օ ± αI պերատորներից մեկը հակադարձելի չէ 8L(H)-ում կամ որ նույնն է՝ ±α թվերից մեկը պատկանում է σ(Օ)-ին: Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 3.10.2: Ինչպես ապացույցից տեսանք, H -ի լրիվության վերաբերյալ պնդումը ճիշտ է ∀D ⊂ C բաց բազմության համար: I

∗

Գլուխ 4

- ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐԻ ՆԿԱՐԱԳՐՈՒՅՈՒՆ

§ 4.1. Qա ակուսի արմատներ

Թեորեմ 4.1.1: Դիցուք∗ 4-ն ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահա-

շիվ է, x ∈ 4, x - x σ(x) ⊂ (0, ∞): Այդ դեպքում ∃y ∈ 4, որ y - y ∗ y 2 - x: Ապացույց: Ա անց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք համարել, որ 4-ն կոմուտատիվ հանրահաշիվ է: Իրոք, հակա ակ դեպքում 4-ն կ ոխարինենք x-ը պարունակող ակ նորմալ հանրահաշվով, որի արդյունքում x-ի սպեկտրը չի ոխվի: Դիցուք Ω - C \ (−∞, 0|: Քանի որ Ω-ն միակապ է, ուստի ∃/ ∈ H(Ω), որ / 2 (λ) - λ / (1) - 1: Քանի որ σ(x) ⊂ Ω, ուստի կարող ենք դիտարկել y - /˜(x) (4.1.1)

էլեմենտը: Կունենանք y2 - x: Ցույց տանք, որ y∗ - y: Քանի որ Ω-ն միակապ է, ուստի ըստ ունգեի թեորեմի՝ ∃{Pn }∞ 1 ⊂ H(Ω) բազմանդամների հաջորդականություն, որը Ω-ի ներսում հավասարաչա զուգամիտում է / -ին: Նշանակենք Օn (λ) -

) 1( Pn (λ) + Pn λ :

Քանի որ / λ - / (λ), ուստի Օn -երը ս Ω-ի ներսում հավասարաչա կզուգամիտեն / -ին: Օn -երը իրական գոր ակիցներով բազմանդամներ են, ուստի )

yn - Օn (x)

(ո - 1, 2, . . .)

էլեմենտները կլինեն հերմիտյան, քանի որ x - x∗ : Կունենանք y - liո yn : n→∞

8 /.1. Qա ակուսի արմատներ

Եթե ենթադրենք, թե ինվոլյուցիան անընդհատ է, ապա yn - yn∗ հավասարության մեջ անցնելով սահմանի, երբ ո → ∞, կստանանք y - y ∗ : Ընդհանուր դեպքը բերվում է նշվա ին հետ յալ կերպ: Դիցուք R-ը 4 հանրահաշվի ադիկալն է π : 4 → 4/R կանոնական արտապատկերումն է: 4/R ֆակտոր-հանրահաշվի վրա (π(a))∗ - π(a∗ )

(a ∈ 4)

բանաձ ով որոշվում է կո եկտ սահմանվա ինվոլյուցիա: Եթե a ∈ 4 էլեմենտը հերմիտյան է, ապա π(a)-ն ս կլինի հերմիտյան: Գելֆանդի ձ ա ոխության մասին պնդումը ցույց է տալիս, որ 4/R հանրահաշիվը իզոմորֆ է 4̂-ին հետ աբար, կիսապարզ է: Այստեղից կբխի, որ 4/R-ում ցանկացա ինվոլյուցիա անընդհատ է հետ աբար՝ π(y)-ը հերմիտյան է՝ π(y) - π(y∗ ): Ապացուցվա ը ցույց է տալիս, որ y − y∗ ∈ էer(π) - ոոd(4): y -ը ներկայացնենք y - ս + iv տեսքով, որտեղ ս - ս∗ v - v ∗ : Ունենք y − y∗ - 2iv ∈ R, ուստի v ∈ R: Քանի որ x - y2 , ուստի x - ս2 − v 2 + 2iսv :

(4.1.2)

Դիցուք ϕ ∈ MA կամայական կոմպլեքս հոմոմորֆիզմ է: Քանի որ v ∈ R, ուստի ϕ(v) - 0: Հետ աբար ϕ(x) - |ϕ(ս)|2 :

Ըստ ենթադրության՝ 0 6∈ σ(x): Հետ աբար ϕ(x) 6- 0, ուստի ϕ(ս) 6- 0: Այստեղից ϕ-ի կամայականությունից կբխի, որ ս ∈ 4−1 : Քանի որ x - x∗ , ուստի (4.1.2)-ից կբխի, որ սv - 0 :

Բայց v - ս−1 (սv), ուստի v - 0: Ստացվեց, որ y - ս ս - ս∗ , ուստի y - y∗ : Թեորեմն ապացուցվա է: Դիտողություն 4.1.1: Թեորեմի պայմաններում σ(y) ⊂ (0, ∞): Իրոք, դա բխում է (4.1.1)-ից, σ(x) ⊂ (0, ∞) պայմանից սպեկտրների արտապատկերման թեորեմից: I

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

§ 4.2. Դրական ֆունկցիոնալներ

Դիցուք 4-ն ինվոլյուտիվ բանախյան հանրահաշիվ է, իսկ 40 -ը 4-ի վրա որոշվա բոլոր գ ային ֆունկցիոնալների դասն է (4-ի հանրահաշվական համալու ը): Սահմանում 4.2.1: F ∈ 40 ֆունկցիոնալը կոչվում է դրական (ոչ բացասական), եթե F (xx∗ ) > 0

(∀x ∈ 4) :

Նախ ապացուցենք հետ յալ ժանդակ պնդումը: Լեմմա 4.2.1: Դիցուք L1, L2-ր Ճ բանախյան տարա ության այնպիսի ակ ենթատարա ություններ են, որ Ճ - L1 + L2 : Այդ դեպքում ∃γ » 0 թիվ, այնպես, որ ∀x ∈ Ճ վեկտոր կարելի է ներկայացնել x - x1 + x2 տեսքով, որտեղ x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 kx1 k + kx2 k 6 γ kxk :

Ապացույց: Նշանակենք Y

- L1 × L2 : Y -ում գոր ողությունները սահմանենք կոմպոնենտ ա կոմպոնենտ: (x1 , x2 ) ∈ Y վեկտորի նորմը սահմանենք k(x1 , x2 )k - kx1 k + kx2 k

բանաձ ով: Այդ դեպքում հեշտ է տեսնել, որ Y -ը կդա նա բանախյան տարա ություն: Λ : Y → Ճ պերատորը սահմանենք Λ(x1 , x2 ) - x1 + x2

բանաձ ով: Այդ դեպքում Λ-ն կլինի գ ային անընդհատ պերատոր, որը Y -ն արտապատկերում է Ճ -ի վրա: Ըստ բաց արտապատկերման մասին թեորեմի՝ Λ արտապատկերումը բաց է: Ունենք ) Λ 8(0, 1) ⊃ Λ(8(0, 1)),

քանի որ այնպես որ

0 ∈ Λ(8(0, 1))

ու

Λ(8(0, 1))-ը

Λ(8(0, 1)) ⊃ 8(0, ε) :

բաց է, ուստի

∃ε » 0,

8 /.2. Դրական ֆունկցիոնալներ

Կունենանք

) Λ 8(0, 1) ⊃ 8(0, ε) :

Ուստի

∀x ∈ 8(0, ε) համար ∃(x1 , x2 ) ∈ 8(0, 1) ⊂ Y , x - Λ(x1 , x2 ) - x1 + x2

որ

k(x1 , x2 )k 6 1,

այսինքն՝ kx1 k + kx2 k 6 1 :

Այժմ դիցուք y-

x kxk ε

x ∈ Ճ \ {0} կամայական վեկտոր ∈ 8(0, ε) ⊂ Ճ , ուստի ∃(y1 , y2 ) ∈ Y , որ

է, այդ դեպքում

y - y1 + y2

ky1 k + ky2 k 6 1 : (y1 , y2 ) ∈ Y

նշանակում է, որ y1 ∈ L1 , y2 ∈ L2 : Վերցնելով x1 -

kxk y1 , ε

x2 -

kxk y2 , ε

կունենանք x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 , x - x1 + x2 kx1 k + kx2 k -

kxk (ky1 k + ky2 k) 6 kxk : ε ε

(4.2.1)

Եթե x - 0, ապա վերցնելով x1 - x2 - 0, կունենանք, որ (4.2.1)-ը կրկին տեղի ունի: Մնում է վերցնել γ - 1ε : Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 4.2.1: Դիցուք F -ր դրական ֆունկցիոնալ է: Այդ դեպքում՝ 1) F (x∗ ) - F (x) (∀x ∈ 4), 2) |F (xy∗ )|2 6 F (xx∗ )F (yy∗ ) (∀x, y ∈ 4), 3) |F (x)|2 6 F (6)F (xx∗ ) 6 F (6)2 ρ(xx∗ ) (∀x ∈ 4), 4) եթե x ∈ 4 նորմալ էլեմենտ է, ապա |F (x)| 6 F (6)ρ(x),

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

5) F -ր հանդիսանում է 4-ի վրա գ ային սահմանա ակ ֆունկցիոնալ: Բացի դրանից, եթե 4-ն կոմուտատիվ է, ապա kF k - F (6), եթե 4-ի ինվոլյուցիան բավարարում է kx∗ k 6 β kxk պայմանին, ապա kF k 6 β 2 F (6): Ապացույց: Դիցուք x, y ∈ 4: Նշանակենք ք - F (xx∗ ),

զ - F (yy ∗ ),

r - F (xy ∗ ),

5 - F (yx∗ ) :

(4.2.2)

Քանի որ F |(x + αy) (x∗ + αy∗ )} > 0 (∀α ∈ C), ուստի ք + αr + α5 + |α|2 զ > 0

(α ∈ C) :

(4.2.3)

Այստեղ վերցնելով նախ α - 1 ապա α - i, տեսնում ենք, որ 5 + r i(5 − r) թվերն իրական են: Կունենանք

5+r -5+r i(5 − r) - i(5 − r)

5+r -5+r − (5 − r) - 5 − r

5+r -5+r 5−r -r−5

վերջին երկու ա նչությունները գումարելով՝ կստանանք 5 - r: y - 6 դեպքում այդ ա նչությունը տալիս է 1)-ը: r - 0 դեպքում 2)-ն ակնհայտ է: Դիցուք r 6- 0: (4.2.3)-ում էr վերցնենք α - , որտեղ է ∈ R: Այդ դեպքում կստանանք |r|

ք + 2|r|է + զէ2 > 0

որտեղից կբխի, որ

(է ∈ R),

|r|2 6 քզ :

Սա էլ հենց 2)-ն է: Քանի որ 66∗ - 6, ուստի 3)-ի ա աջին մասը ստացվում է 2)-ում վերցնելով y - 6: 3)-ի երկրորդ մասն ապացուցելու համար վերցնենք որ է է » ρ(xx∗ ) թիվ: Կունենանք σ (է6 − xx∗ ) ⊂ {2 ∈ C : ոe 2 » 0} ,

8 /.2. Դրական ֆունկցիոնալներ

ուստի ըստ 4.1.1 թեորեմի՝ ∃ս ∈ 4, որ ս - ս∗ պատճա ով

ս2 - է6 − xx∗ :

Այդ

էF (6) − F (xx∗ ) - F (ս2 ) - F (սս∗ ) > 0, F (xx∗ ) 6 էF (6)

(∀է » ρ(xx∗ )) ,

որտեղից էլ կբխի, որ F (xx∗ ) 6 F (6)ρ(xx∗ ) :

Սրանով 3)-ը ապացուցվեց: Այժմ դիցուք x-ը նորմալ էլեմենտ է՝ xx∗ - x∗ x: Այդ դեպքում կունենանք σ(xx∗ ) ⊂ σ(x)σ(x∗ ) (տես՝ 2.6.2 թեորեմը), ուստի ρ(xx∗ ) 6 ρ(x)ρ(x∗ ) : որ σ(x∗ ) - σ(x) - λ : λ ∈ σ(x)

Բայց ակնհայտ է, հետ աբար կունենանք

ρ(x∗ ) - ρ(x)

, ուստի

ρ(xx∗ ) 6 ρ(x)2 ,

որտեղից 3)-ից կբխի 4)-ը: Եթե 4 հանրահաշիվը կոմուտատիվ է, ապա 4)-ը տեղի կունենա բոլոր x ∈ 4 համար (բոլոր էլեմենտները կլինեն նորմալ), ուստի |F (x)| 6 F (6)kxk

(∀x ∈ 4),

հետ աբար F -ը սահմանա ակ է ու kF k 6 F (6): Մյուս կողմից kF k - Տսp |F (x)| > |F (6)| - F (6), ուստի kF k - F (6): Եթե kxk-1

kx∗ k 6 βkxk,

ապա 3)-ից կբխի, որ

p p |F (x)| 6 F (6) ρ(xx∗ ) 6 F (6) kxx∗ k 6 p 6 F (6) kxk · kx∗ k 6 F (6)β 2 kxk,

սրանով իսկ 5)-ի հետ կապվա երկու դեպքերի համար նշվա

պնդումները հիմնավորվա են:

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

Մնաց ընդհանուր դեպքում ցույց տալ 5)-ը: 3)-ից բխում է, որ F (6) > 0, ընդ որում F (6) - 0 դեպքում կունենանք F (x) - 0 (∀x ∈ 4): Ուստի բավական է դիտարկել F (6) » 0 դեպքը: Ա անց ընդհանրությունը խախտելու կարելի է ընդունել, որ F (6) - 1 : H -ով նշանակենք 4-ի բոլոր սիմետրիկ էլեմենտների բազմությունը: H -ը iH -ը իրական գ ային տարա ություններ են, ընդ որում, ըստ 2.3.1 պնդման, 4 - H ⊕ iH : 4) պնդումից բխում է, որ H -ի վրա F -ի նեղացումը 1 նորմով գ ային ֆունկցիոնալ է: Ուստի այն նորմը պահպանելով միարժեքորեն շարունակվում է H -ի վրա արդյունքում մենք ստանում ենք ինչ-որ Φ : H → R գ ային իրական ֆունկցիոնալ ( 1)-ի շնորհիվ H -ի վրա F -ը իրական էր), որի նորմը հավասար է 1-ի: Ցույց տանք, որ ) Φ(y) - 0 ∀y ∈ H 1 iH : (4.2.4)

Իրոք, դիցուք y - liո սn - liո(ivn ), որտեղ սn , vn դեպքում ս2n → y2 , vn2 → −y2 3), 4)-ից կբխի, որ

∈ H:

Այդ

) ) |F (սn )|2 6 F ս2n 6 F ս2n + vn2 6 ս2n + vn2 → 0,

ուստի Φ(y) - liո F (սn ) - 0 :

Ըստ 4.2.1 լեմմայի՝ ∃γ » 0 թիվ, այնպես որ ∀x ∈ 4 էլեմենտ ներկայացվում է x - x1 + ix2 տեսքով, որտեղ x1 , x2 ∈ H kx1 k + kx2 k 6 γkxk :

Դիցուք x - ս + iv, որտեղ ս, v ∈ H : Կունենանք՝ x1 − ս, x2 − v ∈ H :

Մյուս կողմից, x - x1 + ix2 - ս + iv,

8 /.8. Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտ. հանրահաշիվներում

ուստի x1 − ս - i(x2 − v),

հետ աբար x1 − ս, x2 − v ∈ iH : (4.2.4)-ից կբխի, որ Φ(x1 − ս) - Φ(x2 − v) - 0,

ուստի Φ(ս) - Φ(x1 ), Φ(v) - Φ(x2 ) հետ աբար՝ F (x) - F (ս + iv) - F (ս) + iF (v) - Φ(x1 ) + iΦ(x2 ), |F (x)| 6 |Φ(x1 )| + |Φ(x2 )| 6 kx1 k + kx2 k 6 γkxk :

Սա էլ ցույց է տալիս, որ F -ն սահմանա ակ է: Թեորեմն ապացուցվա է: § 4.3. Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտատիվ

բանախյան հանրահաշիվներում

Լեմմա 4.3.1 (լեմմա ե յակի մասին): Դիցուք Ճ , Y , 2 -ր գ ային տարա ություններ են, 4 : Ճ → Y 8 : րատորներ են, րնդ որում 8(Ճ) - 2 էer(8) ⊂ էer(4) :

Ճ →2

գ ային պե-

(4.3.1)

Այդ դեպքում՝ 1) ∃Շ : 2 → Y գ ային պերատոր՝ այնպես, որ 4 - Շ8 , 2) եթե Ճ , 2 -ր բանախյան տարա ություններ են, Y -ր գ ային նորմավորվա տարա ություն է, 4, 8 պերատորներր անրնդհատ են, ապա 1) պնդման մեջ որպես Շ կարելի է վերցնել անրնդհատ պերատոր: Ապացույց: 1) Վերցնենք կամայական 2 ∈ 2 էլեմենտ: Ըստ պայմանի՝ ∃x ∈ Ճ , որ 2 - 8x: Սահմանենք Շ2 - 4x :

(4.3.2)

Համոզվենք, որ Շ -ի սահմանումը կո եկտ է, այսինքն՝ (4.3.2)-ի ձախ մասը կախվա չէ x-ի ընտրությունից: Իրոք, եթե նա 2 - 8x1 ,

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

ապա կունենանք 8x - 8x1 , հետ աբար x − x1 ∈ էer(8): Այստեղից (4.3.1)-ից կբխի, որ x − x1 ∈ էer(4), ուստի 4x - 4x1 հետ աբար (4.3.2)-ի աջ մասը կախվա չէ x-ի ընտրությունից: Ակնհայտ է, որ Շ -ն կլինի գ ային Շ8 - 4: 2) Համոզվենք, որ դիտարկվող դեպքում վերը կա ուցվա Շ պերատորը անընդհատ է: Դրա համար վերցնենք ∀Շ ⊂ Y բաց բազմություն ցույց տանք, որ Շ −1 (Շ)-ն բաց է: Ունենք ) Շ −1 (Շ) - 8 4−1 (Շ) : 4-ի

անընդհատության շնորհիվ 4−1 (Շ)-ն բաց է: Այստեղից, 8 -ի անընդհատությունից բաց արտապատկերման թեորեմից կբխի, որ ) 8 4−1 (Շ) -ն ս կլինի բաց: - Y Ճ Շ8 - 4 հավասարությունը հաZ > ճախ գրում են աջից պատկերվա

Z Շ Z դիագրամի տեսքով: ~ Z Լեմման ապացուցվա է: Լեմմա 4.3.2: Եթե µ-ն Ճ -ի վրա այնպիսի կոմպլեքս չա է, որ |µ|(Ճ) - µ(Ճ), ապա µ-ն դրական չա է: Ապացույց: Վերցնենք ∀4 ⊂ Ճ չա ելի բազմություն ցույց տանք, որ µ(4) > 0: Նշանակենք 8 - Ճ \ 4: Կունենանք 4 1 8 - Ø 4 ∪ 8 - Ճ , ուստի µ(4) + µ(8) - µ(Ճ) :

Մյուս կողմից, ըստ չա ի լրիվ վարիացիայի սահմանման, |µ(4)| + |µ(8)| 6 |µ|(Ճ) :

Ուստի µ(Ճ) - |µ|(Ճ) պայմանից կբխի, որ µ(Ճ) - µ(4) + µ(8) 6 |µ(4) + µ(8)| 6 6 |µ(4)| + |µ(8)| 6 |µ|(Ճ) - µ(Ճ),

8 /.8. Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտ. հանրահաշիվներում

հետ աբար՝ µ(4) + µ(8) - |µ(4)| + |µ(8)| :

Նշանակենք 21 - µ(4), 22 - µ(8): Կունենանք (4.3.3)

21 + 22 - |21 | + |22 | :

Այստեղից բխում է, որ

(21 + 22 )-ը իրական է, Iո(21 + 22 ) - Iո 21 + Iո 22 - 0, որտեղից կբխի,

այնպես, որ

21 - a + iՇ,

հետ աբար՝ որ ∃a, b, Շ ∈ R,

22 - b − iՇ :

Կունենանք (a + iՇ) + (b − iՇ) - |a + iՇ| + |b − iՇ|: a + b - |a + iՇ| + |b − iՇ| :

Այստեղից կբխի, որ Շ - 0, քանի որ հակա ակ դեպքում կունենանք a + b 6 |a| + |b| Հ |a + iՇ| + |b − iՇ| - a + b,

ինչը հակասություն է: Հետ աբար 21 , 22 ∈ R: Ցույց տանք, որ 21 > 0: Իրոք, հակա ակ դեպքում կունենանք 21 Հ |21 |, ուստի 21 + 22 Հ |21 | + |22 |,

ինչը կհակասի (4.3.3)-ին: Այսպիսով µ(4) - 21 > 0: Լեմման ապացուցվա է: Թեորեմ 4.3.1: Դիցուք 4 կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշվում կա ինվոլյուցիա, որր բավարարում է ϕ(x∗ ) - ϕ(x)

(x ∈ 4, ϕ ∈ MA )

(4.3.4)

սիմետրիկության պայմանին: K -ով նշանակենք F (6) 6 1 պայմանին բավարարող բոլոր F : 4 → C դրական ֆունկցիոնալների բազմությունր: Դիցուք M -ր MA -ի վրա որոշվա

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

պայմանին բավարարող բոլոր բորելյան չա երի բազմությունն է: Այդ դեպքում µ(MA ) 6 1

դրական

Z F (x) -

(4.3.5)

x̂ dµ MՆ

բանաձ ր հաստատում է ոխմիարժեք համապատասխանություն K -ի M -ի միջ , որի դեպքում մի բազմության գագաթնային կետերին համապատասխանում են մյուս բազմության գագաթնային կետերր: Մասնավորապես, K -ի գագաթնային կետերր մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալներն են (ներա յալ 0-ական ֆունկցիոնալր) միայն դրանք: Ապացույց: (4.3.5)-ից բխում է, որ µ∗ ∈ M 2համար F -ը գ ային ֆունկցիոնալ է: (4.3.4)-ի շնորհիվ (xx )ˆ - |x̂| , ուստի F (xx∗ ) -

|x̂|2 dµ > 0

(∀x ∈ 4) :

MՆ

Հետ աբար F -ը դրական ֆունկցիոնալ է: Ունենք F (6) - µ(MA ) 6 1,

ուստի F ∈ K : Այժմ դիցուք F ∈ K կամայական էլեմենտ է: Ըստ 4.2.1 թեորեմի 4) պնդման, ունենք |F (x)| 6 F (6)ρ(x), (4.3.6) որտեղից կբխի, որ ոոd(4) ⊂ էer(F ): Բայց ինչպես գիտենք, x Է→ x̂ արտապատկերման կորիզը ոոd(4)-ն է, ուստի ըստ 4.3.1 լեմմայի՝ ∃F̂ : 4̂ → C գ ային ֆունկցիոնալ, որ F (x) - F̂ (x̂)

(∀x ∈ 4) :

(4.3.6)-ից կբխի, որ F̂ (x̂) - |F (x)| 6 F (6)ρ(x) - F (6) kx̂k∞

(x ∈ 4),

8 /.8. Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտ. հանրահաշիվներում

ինչը ցույց է տալիս, որ F̂ -ը Շ(MA ) տարա ության 4̂ ենթատարա ությունում սահմանա ակ ֆունկցիոնալ է, որի նորմը չի գերազանցում F (6)-ն: Քանի որ F̂ (6̂) - F (6),

ուստի kF̂ k - F (6): Ըստ Հան-Բանախի թեորեմի՝ F̂ -ը նորմը պահպանելով շարունակվում է ամբողջ Շ(MA )-ի վրա: Ըստ իսի ներկայացման թեորեմի՝ MA -ի վրա գոյություն ունի µ կոմպլեքս բորելյան չա , որ տեղի ունի (4.3.5)-ը, ընդ որում kµk - F (6): Կունենանք Z kµk - F (6) -

6̂ dµ - µ(MA ), MՆ

ուստի 4.3.2 լեմմայից կբխի, որ µ-ն դրական չա է: Քանի որ F (6) 6 1, ուստի µ(MA ) 6 1 հետ աբար µ ∈ M : (4.3.4) պայմանի շնորհիվ 4̂ հանրահաշիվը ցանկացա ֆունկցիայի հետ միասին պարունակում է նրա համալու ը: Հեշտ է տեսնել, որ 4̂-ը պարունակում է հաստատուն ֆունկցիաները բաժանում է MA -ի կետերը: Ըստ Ստոն-Վայերշտրասի թեորեմի՝ 4̂-ը ամենուրեք խիտ է Շ(MA )-ում: Այստեղից իսի ներկայացման թեորեմից կբխի, որ µ չա ը F -ի միջոցով որոշվում է միարժեքորեն: Օգտվելով դրանից, հեշտ է տեսնել, որ F Է→ µ արտապատկերման դեպքում K -ի գագաթնային կետերին համապատասխանում են M -ի գագաթնային կետեր հակա ակը: 0-ական չա ը M -ի համար, ակնհայտորեն, գագաթնային կետ է: Դժվար չէ տեսնել, որ M -ի մյուս գագաթնային կետերը մի կետանոց կրիչով չա երն են, որոնց համար µ(MA ) - 1: Իրոք, պարզ է, որ մի կետանոց կրիչով միավոր չա երը M -ի համար գագաթնային կետեր են: Այժմ դիցուք µ 6- 0 հանդիսանում M -ի գագաթնային կետ: Նախ ցույց տանք, որ µ(MA ) - 1: Ենթադրենք հակա ակը, այդ դեպքում կունենանք 0 Հ µ(MA ) Հ 1, ուստի ∃k » 1 թիվ, որ kµ(MA ) Հ 1 :

Վերցնենք µ1 -

µ, k

µ2 - kµ,

α-

k : k+1

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

Այդ դեպքում կունենանք µ1 6- µ2 µ - αµ1 + (1 − α)µ2 , ընդ որում µ1 , µ2 ∈ M : Այստեղից կբխի, որ µ-ն M -ի համար գագաթնային կետ չէ, ինչը հակասություն է: Ուստի µ(MA ) - 1: Այժմ ցույց տանք, որ µ-ն մի կետանոց չա է: Ենթադրենք հակա ակը: Ցույց տանք, որ եթե Շ1 ⊂ MA µ(Շ1 ) » 0, ապա µ(MA \ Շ1 ) - 0: Իրոք, հակա ակ դեպքում կունենանք, որ ∃Շ1 ⊂ MA , որ µ(Շ1 ) » 0 µ (MA \ Շ1 ) » 0: Նշանակենք Շ2 - MA \ Շ1 Շ ∈ 5(MA ) համար սահմանենք µ1 (Շ) - µ (Շ 1 Շ1 ) ,

µ2 (Շ) - µ (Շ 1 Շ2 ) :

Նշանակենք α - µ(Շ1 ), կունենանք 1 − α - µ(Շ2 ) µ - αµ1 + (1 − α)µ2 :

Պարզ է, որ

µ1 , µ2 ∈ M , ընդ որում µ1 6- µ2 , քանի որ µ1 (Շ1 ) - µ(Շ1 ) » 0 µ2 (Շ1 ) - µ2 (Ø) - 0: Ստացվա ը ցույց է տալիս, որ µ-ն M -ի գագաթնային կետ չէ, ինչը հակասություն է: Այսպիսով, եթե µ(Շ1 ) » 0, ապա µ (MA \ Շ1 ) - 0 հետ աբար՝ µ(Շ1 ) - µ(MA ) − µ(MA \ Շ1 ) - 1: Վերցնենք ∀x ∈ MA կետ: Ըստ մեր ենթադրության՝ {x}-ը չի հանդիսանում µ չա ի կրիչ, հետ աբար µ (MA \ {x}) » 0,

վերն ասվա ից կբխի, որ µ (MA \ {x}) - µ(MA ) - 1, ուստի µ ({x}) - 0

(∀x ∈ MA ) :

Քանի որ µ-ն եգուլյար է, ուստի ∀x ∈ MA համար ∃Մx շրջակայք, որ µ(Մx ) Հ µ ({x}) +

- :

Այստեղից կբխի, որ µ(Մx ) 6- 1, հետ աբար, ըստ վերն ասա ի՝ µ(Մx ) - 0

(∀x ∈ MA ) :

(4.3.7)

8 /.8. Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտ. հանրահաշիվներում

Բայց

MA ⊂

Ս x∈MՆ

Մx ,

∃x1 , x2 , . . . , xn ∈ MA ,

քանի որ

MA -ն

կոմպակտ է, ուստի

որ MA ⊂

n Ս

Մ xi :

4-1

Այստեղից (4.3.7)-ից կբխի, որ 1 - µ(MA ) 6

n X

µ (Մxi ) - 0,

4-1

ինչը հակասություն է: Ասվա ից բխում է, որ K -ի գագաթնային կետերը ունեն (4.3.5) տեսքը, որտեղ µ - 0 կամ µ-ն մի կետանոց կրիչով միավոր չա է: Ա աջին դեպքում կունենանք F - 0: Երկրորդ դեպքում, երբ µ-ն ϕ կրիչով միավոր չա ն է, կունենանք F (x) - ϕ̂

(∀x ∈ 4),

կամ՝ F (x) - ϕ(x) (∀x ∈ 4), այսինքն՝ F -ը մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիոնալ է: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 4.3.2: Դիցուք 4-ն ինվոլյուցիայով կոմուտատիվ բանախյան հանրահաշիվ է, K -ն F (6) 6 1 պայմանին բավարարող բոլոր դրական ֆունկցիոնալների բազմությունն է: Այդ դեպքում F ∈ K համար հետ յալ երեք պնդումներն իրար համարժեք են՝ 1) F (xy) - F (x)F (y) (∀x, y ∈ 4), 2) F (xx∗ ) - F (x)F (x∗ ) (∀x ∈ 4), 3) F -ր K -ի գագաթնային կետ է: Ապացույցը տանենք 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1) սխեմայով: 1) ⇒ 2) ակնհայտ է: 2) ⇒ 3): 2)-ում վերցնելով x - 6, կստանանք F (6) - F (6)2 ,

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

ուստի F (6) - 0 կամ F (6) - 1: F (6) - 0 դեպքում 4.2.1 թեորեմի 3) պնդումից կբխի, որ F - 0, ուստի F -ն ակնհայտորեն կհանդիսանա K -ի գագաթնային կետ: Այժմ դիցուք F (6) - 1: Դիցուք F - αF1 + (1 − α)F2 , որտեղ 0 Հ α Հ 1 F1 , F2 ∈ K : Ցույց տանք, որ F1 - F : Իրոք, ճիշտ նույն ձ ով, ինչպես վերը, կհամոզվենք, որ F1 (6) - F2 (6) - 1: Համոզվենք, որ (4.3.8)

էer(F ) ⊂ էer(F1 ) :

Իրոք, դիցուք x ∈ էer(F ), այսինքն՝ F (x) - 0: Ըստ 4.2.1 թեորեմի 3) կետի՝ αF1 (xx∗ ) 6 α

|F1 (x)|2 6 F1 (6)F1 (xx∗ ) - F1 (xx∗ ) -

(αF1 (xx∗ ) + (1 − α)F2 (xx∗ )) α - F (xx∗ ) - F (x)F (x∗ ) - 0, α α x ∈ էer(F1 ): (4.3.8)-ից

ուստի

(4.3.9)

F (6) - F1 (6) - 1

հավասարությունից կբխի, որ F ցույց տանք, որ

- F1 :

Իրոք, վերցնենք ∀x ∈ 4

(4.3.10) Ունենք x − F (x)6 ∈ էer(F ), ուստի (4.3.8)-ից կբխի, որ x − F (x)6 ∈ էer(F1 ), այսինքն՝ F (x) - F1 (x) :

F1 (x − F (x)6) - 0, F1 (x) − F (x)F1 (6) - 0,

որտեղից (4.3.9)-ից կբխի (4.3.10)-ը: Ստացվեց, որ F - F1 , հետ աբար F -ը նային կետ է:

K -ի

համար գագաթ-

8 /.8. Դրական ֆունկցիոնալներ կոմուտ. հանրահաշիվներում

3) ⇒ 1): Նախ մենք կապացուցենք, որ տեղի ունի 1) պայմանի հետ յալ մասնավոր դեպքը. F (xx∗ y) - F (xx∗ )F (y)

(x, y ∈ 4) :

(4.3.11)

Դիցուք x-ն այնպիսին է, որ kxx∗ k Հ 1: Ըստ 4.1.1 թեորեմի ∃2 ∈ 4, որ 2 - 2 ∗ 2 2 - 6 − xx∗ : Նշանակենք Φ(y) - F (xx∗ y)

(y ∈ 4) :

Այդ դեպքում կունենանք Φ(yy ∗ ) - F (xx∗ yy ∗ ) - F |(xy)(xy)∗ | > 0

(4.3.12)

(F − Φ)(yy ∗ ) - F |(6 − xx∗ ) yy ∗ | ) - F 2 2 yy ∗ - F |(y2)(y2)∗ | > 0 :

(4.3.13)

Քանի որ 0 6 Φ(6) - F (xx∗ ) 6 F (6) kxx∗ k Հ 1,

(4.3.14)

ուստի (4.3.12)-ից (4.3.13)-ից կբխի, որ Φ, F − Φ ∈ K : Եթե Φ(6) - 0, ապա Φ - 0 այդ դեպքում (4.3.11)-ը ակնհայտորեն տեղի ունի: Եթե Φ(6) » 0, ապա (4.3.14)-ից կբխի, որ F - Φ(6) ·

F −Φ Φ + (F − Φ)(6) : Φ(6) F (6) − Φ(6)

Քանի որ F -ը K -ի գագաթնային կետ է, ուստի ստացվա ից կբխի, որ F -

Φ , Φ(6)

Φ - Φ(6)F,

ինչը հենց (4.3.11)-ն է:

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

Սրանով իսկ kxx∗ k Հ 1 դեպքում (4.3.11)-ը հիմնավորվեց: Ընդհանուր դեպքը ակնհայտորեն բերվում է այդ դեպքին (x-ի ոխարեն կդիտարկենք Շx էլեմենտը, որտեղ Շ-ն ընտրվա հաստատուն է): Այժմ դիցուք x, y ∈ 4 կամայական էլեմենտներ են: Ցույց տանք, որ F (xy) - F (x)F (y) :

Վերցնենք որ է ո > 3 բնական թիվ: Նշանակենք 2p 2πi որտեղ ա - 6 n : Համոզվենք, որ

- 6 + ա−p x,

1X p ∗ ա 2p 2p : ո

(4.3.15)

p-1

Ունենք n n ) ) 1X p ∗ 1X p ա 2p 2p ա 6 + ա−p x 6 + ա−p x∗ ո ո p-1

p-1

) 1X p ա 6 + ա−p x (6 + աp x∗ ) ո p-1

 -

1  ո

n X





աp  6 + 

p-1

n X

 ա2p  x∗ +

p-1

 -x+

n X

 x+

p-1

n X





աp  xx∗  -

p-1



  n X աp  (6 + xx∗ ) +  ա2p  x∗ :

p-1

(4.3.16)

p-1

Բայց ∀k ∈ N համար n X p-1

աk

աnk

)

−1 ա−1

( աk (աn )k − 1 ա−1

) ա k 1k − 1 - 0, ա−1

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

ուստի (4.3.16)-ից կբխի (4.3.15)-ը: (4.3.15)-ից (4.3.11)-ից կբխի, որ n

p-1

) 1X p ) 1X p ա F 2p 2p∗ y ա F 2p 2p∗ F (y) F (xy) ո ո 

 n X -F աp 2p 2p∗  F (y) - F (x)F (y) : ո p-1

Թեորեմն ապացուցվա է: § 4.4. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոջ կոմուտատիվ

հանրահաշիվների համար

Թեորեմ 4.4.1: Եթե 4-ն 8∗ հանրահաշիվ է

յություն ունի 4-ի վրա որոշվա այնպիսի ցիոնալ, որ

2 ∈ 4, F

ապա գոդրական ֆունկ-

(4.4.1) Ապացույց: 4Դ -ով նշանակենք 4 հանրահաշվի բոլոր սիմետրիկ էլեմենտների բազմությունը, իսկ P -ով՝ բոլոր ոչ բացասական էլեմենտների բազմությունը: Ինչպես գիտենք (տես՝ 2.7.1 թեորեմը), P -ն հանդիսանում է կոն, այսինքն եթե x, y ∈ P Շ > 0, ապա Շx, x + y ∈ P : Ըստ վերը հիշատակվա թեորեմի, ∀x ∈ 4 համար xx∗ ∈ P : Թեորեմի ապացույցն ավարտելու համար բավական է կա ուցել այնպիսի / : 4Դ → R գ ային ֆունկցիոնալ, որը բավարարի (4.4.1) պայմանին F (6) - 1

/ (x) > 0

F (22 ∗ ) - k2k2 :

(x ∈ P ) :

(4.4.2)

Իրոք, եթե ենթադրենք, թե այդպիսի / ֆունկցիոնալն արդեն կա ուցվա է, ապա ∀x ∈ 4 էլեմենտը ներկայացնելով x - ս + iv տեսքով, որտեղ ս, v ∈ 4Դ , կսահմանենք F (x) - / (ս) + i/ (v) :

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

Հեշտ է տեսնել, որ F (ix) - iF (x), ուստի F : 4 → C գ ային ֆունկցիոնալ է: (4.4.2)-ից կբխի, որ F ֆունկցիոնալը դրական է, ուստի այն կբավարարի թեորեմի պահանջներին: Դիցուք M0 -ն 4Դ -ի այն (իրական) ենթատարա ությունն է, որը

նվա է 6-ով 22 ∗ -ով: M0 -ի վրա /0 ֆունկցիոնալը սահմանենք հետ յալ բանաձ ով. /0 (α6 + β22 ∗ ) - α + β k22 ∗ k

(α, β ∈ R) :

Հեշտ է տեսնել, որ /0 -ն M0 -ի վրա սահմանվա է կո եկտ նույնիսկ այն դեպքում, երբ 6 22 ∗ վեկտորները գ որեն կախյալ են: Իրոք, դիցուք α1 6 + β1 22 ∗ - α2 6 + β2 22 ∗ ,

ցույց տանք, որ α1 + β1 k22 ∗ k - α2 + β2 k22 ∗ k :

Նշանակենք α - α1 − α2 , β - β1 − β2 : Կունենանք α6 + β22 ∗ - 0: Պետք է ցույց տալ, որ α + β k22 ∗ k - 0 :

դեպքում դա ակնհայտ է: Դիցուք α α կունենանք − 6 − 22 ∗ - 0, ոսւտի −

β 6 0, այդ դեպքում ∈ σ(22 ∗ ): Քանի որ β α կբխի, որ − > 0: Հետ աբար β

β - 0

β σ(22 ) ⊂ |0, ∞), ուստի այստեղից α 22 ∗ - − 6 հավասարությունից կբխի, β ∗

որ

α −α -0: α + β k22 ∗ k - α + β − 6 - α + β · β β

Քանի որ

22 ∗ -ը նորմալ էլեմենտ է, ուստի (տես՝ 2.7.1 թեորեմը) - k22 ∗ k հետ աբար՝ k22 ∗ k ∈ σ(22 ∗ ): Այստեղից կբխի, որ α + β k22 ∗ k ∈ σ (α6 + β22 ∗ ): Այլ կերպ ասա , եթե x ∈ M0 , ապա /0 (x) ∈ σ(x), որտեղից կբխի, որ /0 (x) > 0 (x ∈ P 1 M0 ): Պարզ է նա , որ /0 -ն կբավարարի (4.4.1) պայմաններին:

ρ(22 ∗ )

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

Այժմ դիցուք 4Դ -ի M1 (իրական) ենթատարա ության վրա որոշվա /1 գ ային ֆունկցիոնալը հանդիսանում է /0 -ի շարունակություն /1 (x) > 0

Դիցուք y ∈ 4Դ

y 6∈ M1 :

(x ∈ P 1 M1 ) :

Նշանակենք

E 0 - M1 1 (y − P ),

E 00 - M1 1 (y + P ) :

Եթե x0 ∈ E 0 x00 ∈ E 00 , ապա y − x0 ∈ P P -ն կոն է, ուստի այստեղից կբխի, որ

x00 − y ∈ P :

Քանի որ

x00 − x0 - (y − x0 ) + (x00 − y) ∈ P,

հետ աբար՝ /1 (x0 ) 6 /1 (x00 ): Ուստի Տսp /1 (x0 ) 6 00iոf 00 /1 (x00 ),

x0 ∈5 0

x ∈5

հետ աբար ∃Շ ∈ R, որ /1 (x0 ) 6 Շ 6 /1 (x00 )

(∀x0 , x00 ∈ E) :

(4.4.3)

Սահմանենք /2 (x + αy) - /1 (x) + αՇ

(x ∈ M1 , α ∈ R) :

Համոզվենք, որ /2 -ը սահմանվա է կո եկտ: Դիցուք x + α1 y - x + α2 y (x ∈ M1 ; α1 , α2 ∈ R), ցույց տանք, որ /1 (x) + α1 Շ - /1 (x) + α2 Շ: Նշանակենք α - α1 − α2 : Կունենանք αy - 0: Պետք է ցույց տալ, որ αՇ - 0: Իրոք, քանի որ y 6∈ M1 , ուստի y 6- 0 հետ աբար α - 0: Դիցուք x ∈ M1 : Եթե x + y ∈ P , ապա −x ∈ E 0 , ուստի (4.4.3)-ից կբխի, որ /1 (−x) 6 Շ, որտեղից /1 (x) > −Շ: Հետ աբար /2 (x + y) > 0: Այժմ եթե x − y ∈ P , ապա x ∈ E 00 , ուստի (4.4.3)-ից կբխի, որ /1 (x) > Շ հետ աբար /2 (x − y) > Շ − Շ - 0: Դիտարկվա երկու դեպքերից կբխի, որ /2 (ս) > 0

(ս ∈ P 1 M2 ) :

(4.4.4)

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

Իրոք, դիցուք ս - x + αy, որտեղ x ∈ M1 , α ∈ R: α - 0 դեպքում (4.4.4)-ն ակնհայտ է: Դիցուք α 6- 0, այդ դեպքում կունենանք /2 (ս) - /2 (x + αy) - |α|/2

Քանի որ ս ∈ P

P -ն

կոն է, ուստի

α x+ y |α| |α|

α ս - x+ y ∈ P: |α| α |α|

(4.4.5) Քանի

որ x ∈ M1 - ±1, ուստի վերը դիտարկվա երկու դեպքերը α |α| ցույց են տալիս, որ /2

α x+ y |α| |α|

> 0,

որտեղից (4.4.5)-ից կբխի (4.4.4)-ը: Φ-ով նշանակենք այն բոլոր ϕ իրական գ ային ֆունկցիոնալների բազմությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշվա է մի ինչ-որ L ⊂ 4Դ ենթատարա ության վրա (որը տարբեր ϕ-երի համար կարող է լինել տարբեր), հանդիսանում է /0 -ի շարունակություն բավարարում է ϕ(x) > 0

(x ∈ P 1 L)

պայմանին: Φ-ում ներմու ենք մասնակի կարգավորվա ության ա նչություն հետ յալ կերպ՝ կասենք ϕ1 6 ϕ2 , եթե ϕ2 -ը ϕ1 -ի շարունակություն է: Ցույց տանք, որ Φ-ում ցանկացա Φ0 գ որեն կարգավորվա ենթաբազմությունն ունի վերին եզր: Իրոք, L0 -ով նշանակենք Φ0 -ին պատկանող բոլոր հնարավոր ϕ ֆունկցիոնալների Dϕ որոշման տիրույթների միավորումը՝ L0 -

Dϕ :

ϕ∈Φ0

Քանի որ Dϕ որոշման տիրույթները (ϕ ∈ Φ0 համար) կազմում են ըստ ⊂ ա նչության գ որեն կարգավորվա բազմություն, ուստի հեշտ է տեսնել, որ L0 -ն կլինի 4Դ -ի ենթատարա ություն: ϕ0 : L0 → R ֆունկցիոնալը սահմանենք հետ յալ կերպ: Դիցուք

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

կամայական կետ է: Այդ դեպքում Սահմանենք

x ∈ L0

∃ϕ ∈ Φ0 ,

որ

x ∈ Dϕ :

ϕ0 (x) - ϕ(x) :

Հեշտ է տեսնել, որ ϕ0 -ի սահմանումը կո եկտ է, այսինքն ϕ0 (x)-ը կախվա չէ ϕ-ի ընտրությունից: Ուստի ϕ0 -ն կլինի Φ0 -ի վերին եզր: Ըստ Ցորնի լեմմայի՝ Φ-ում կա մաքսիմալ էլեմենտ: Դիցուք / -ը Φ-ի մաքսիմալ էլեմենտ է: Այդ դեպքում Df - 4Դ , քանի որ հակա ակ դեպքում, ըստ վերն ասվա ի, / -ը թույլ կտար շարունակություն ավելի լայն ենթատարա ության վրա: / ֆունկցիոնալը կբավարարի մեր պահանջներին: Թեորեմն ապացուցվա է: Թեորեմ 4.4.2: Եթե 4-ն 8∗-հանրահաշիվ է, ապա ցանկացա

ս ∈ 4 \ {0} էլեմենտի համար գոյություն ունեն այնպիսի Hu հիլբերտյան տարա ություն 7u : 4 → 8L(Hu ) հոմոմորֆիզմ, որ 7u (6) - I , 7u (x∗ ) - 7u (x)∗ (x ∈ 4), (4.4.6) k7u (x)k 6 kxk (x ∈ 4), (4.4.7) k7u (ս)k - kսk: Ապացույց: Ըստ 4.4.1 թեորեմի՝ ∃F : 4 → C դրական ֆունկցիոնալ, այնպես, որ F (6) - 1 F (ս∗ ս) - kսk2 (4.4.8) (4.4.1 թեորեմում կվերցնենք 2 - ս∗ , կգտվենք նրանից, որ 8 ∗ -հանրահաշվում kx∗ k - kxk): Նշանակենք Y - {y ∈ 4 : F (xy) - 0 (∀x ∈ 4)} :

(4.4.9)

Ըստ 4.2.1 թեորեմի, F -ն անընդհատ է, ուստի Y -ը ակ է 4-ում: x ∈ 4 համար կնշանակենք x0 - x + Y :

(4.4.10)

(a0 , b0 ) - F (b∗ a)

(4.4.11)

Մենք պնդում ենք, որ

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

բանաձ ը տալիս է սկալյար արտադրյալի 4/Y -ի վրա: Նախ համոզվենք, որ (a0 , b0 )-ը (4.4.11) բանաձ ով սահմանվա է կո եկտ, այսինքն (4.4.11)-ի-ի աջ մասը կախվա չէ a0 , b0 դասերի a, b ներկայացուցիչների ընտրությունից: Դիցուք a0 - ã+Y , b0 - b̃+Y : Կունենանք a − ã ∈ Y , b − b̃ ∈ Y ( (( ∗ F b̃∗ ã − F (b∗ a) - F b̃ − b ã − F (b∗ (a − ã)) ,

ուստի բավական է ցույց տալ, որ եթե a, b էլեմենտներից գոնե մեկը պատկանում է Y -ին, ապա F (b∗ a) - 0: Եթե a ∈ Y , ապա (4.4.9)-ից անմիջապես կբխի, որ F (b∗ a) - 0: Դիցուք b ∈ Y : Այդ դեպքում (4.4.9)-ց կբխի, որ F (a∗ b) - 0, գտագոր ելով F > 0 պայմանը, կունենանք F (b∗ a) - F ((a∗ b)∗ ) - F (a∗ b) - 0 :

Ակնհայտ է, որ (a0 , b0 )-ը գ ային է ըստ a0 -ի համալու գ ային է ըստ b0 -ի: Բացի այդ, F > 0 պայմանից բխում է, որ (a0 , a0 ) - F (aa∗ ) > 0 :

(4.4.12)

Ունենք նա , որ (a0 , b0 ) - F (b∗ a) - F ((a∗ b)∗ ) - F (a∗ b) - (b0 , a0 ) :

Եթե (a0 , a0 ) - 0, ապա (4.4.12)-ից կբխի, որ F (a∗ a) - 0: Այստեղից 4.4.1 թեորեմից կբխի, որ ∀x ∈ 4 համար |F (xa)| 6 F (xx∗ )F (a∗ a) - 0,

ուստի a ∈ Y հետ աբար a0 - 0: Այսպիսով, 4/Y -ը ka0 k - (F (a∗ a)) 2 նորմով նախահիլբերտյան տարա ություն է: Դիցուք H -ն այդ տարա ության լրիվացումն է: 7 (x) : 4/Y → 4/Y պերատորը սահմանենք հետ յալ կերպ. 7 (x)a0 - (xa)0

(a0 ∈ 4/Y ) :

(4.4.13)

Հեշտ է տեսնել, որ այս սահմանումը կո եկտ է, այսինքն՝ (4.4.13)-ի աջ մասը կախվա չէ a ∈ a0 -ի ներկայացուցչի ընտրությունից: Իրոք,

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

(4.4.9)-ը ցույց է տալիս, որ Y -ը 4-ում ձախ իդեալ է, այսինքն y ∈ Y դեպքում xy ∈ Y (∀x ∈ 4): Ուստի եթե նա a0 - ã + Y , ապա y - a0 − ã ∈ Y

xa − xã - xy

ներկայացումից կբխի, որ xa − xã ∈ Y հետ աբար՝ (xa)0 - (xã)0 : Ակնհայտ է, որ x Է→ 7 (x) արտապատկերումը գ ային է, 7 (x1 )7 (x2 ) - 7 (x1 x2 )

(4.4.14)

(x1 , x2 ∈ 4) :

(4.4.13)-ից բխում է, որ 7 (6)-ն 4/Y -ի վրա միավոր պերատորն է: Ցույց տանք, որ k7 (x)k 6 kxk

(4.4.15)

(x ∈ 4) :

Նախ նկատենք, որ 7 (x)a0

(4.4.16)

) - (xa)0 , (xa)0 - F (a∗ x∗ xa) :

Ֆիքսա a ∈ 4 համար դիտարկենք Շ(x) - F (a∗ xa) ֆունկցիոնալը: Ակնհայտ է, որ Շ > 0, ուստի ըստ 4.2.1 թեորեմի՝ Շ(x∗ x) 6 Շ(6)kxk2 ,

հետ աբար՝ 7 (x)a0

- Շ(x∗ x) 6 F (a∗ a)kxk2 - a0

kxk2 ,

որտեղից կբխի (4.4.15)-ը: Քանի որ (4.4.15)-ի շնորհիվ 7 (x)-ը անընդհատ է 4/Y -ում, իսկ 4/Y -ը ամենուրեք խիտ է H -ում, ուստի 7 (x)-ը անընդհատությունը պահպանելով միարժեքորեն շարունակվում է ամբողջ H -ի վրա: Այդպիսի շարունակումը չի

ոխում 7 (x)-ի նորմը, ուստի (4.4.15)-ը կմնա ուժի մեջ նա 7 (x)-ը շարունակելուց հետո: Քանի որ k60 k2 - F (6∗ 6) - F (6) - 1, ուստի (4.4.8)-ից (4.4.6)-ից կբխի, որ kսk2 - F (ս∗ ս) - 7 (ս)60

6 k7 (ս)k2 · 60

- k7 (ս)k2 ,

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

որտեղից (4.4.15)-ից կբխի, որ k7 (ս)k - kսk :

Ունենք, որ ∀a0 , b0 ∈ 4/Y համար ) ) 7 (x∗ )a0 , b0 - (x∗ a0 ), b0 - F (b∗ x∗ a) - F ((xb)∗ a) ) ) ) - a0 , (xb)0 - a0 , 7 (x)b0 - 7 (x)∗ a0 , b0 ,

ուստի

7 (x∗ )a0 - (7 (x))∗ a0

(∀a0 ∈ 4/Y ) :

Այստեղից, 7 (x∗ ), (7 (x))∗ պերատորների անընդհատությունից 4/Y -ի ամենուրեք խիտ լինելուց կբխի, որ 7 (x∗ )հ - (7 (x))∗ հ

(∀հ ∈ H),

ուստի 7 (x∗ ) - (7 (x))∗ : Վերցնելով Hu - H , 7u - 7 , ակնհայտորեն կստանանք, որ բավարարվում են թեորեմի պահանջները: Թեորեմն ապացուցվա է: Սահմանում 4.4.1: Դիցուք I -ն որ է բազմություն է, իսկ a4 > 0 (i ∈ I): Այդ դեպքում X

a4 -

4∈1

Տսp

10 ⊂ 1 4∈1 |10 | < ∞

a4 -

Տսp

n X

{41 ,42 ,...,4n }⊂1 k-1

a 4k

վերջավոր կամ անվերջ մե ությունը կոչվում է a4 թվերի գումար: 5 Պարզ 5է, որ եթե π : I → I բիեկտիվ արտապատկերում է, ապա a4 aπ(4) : 4∈1 4∈1 5 Կասենք a4 շարքը զուգամետ է, եթե a4 Հ ∞: 4∈1

Լեմմա 4.4.1: Եթե

4∈1

a4 Հ ∞ ,

վերջավոր է կամ հաշվելի:

4∈1

ապա 0-ից տարբեր a4 -երի թիվր

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

Ապացույց: Դիցուք 5 a4 - 4 Հ +∞: Նշանակենք 4∈1

I0 - {i ∈ I : a4 » 0} , In - i ∈ I : a4 » ո

Ունենք I0 -

∞ Ս

(ո - 1, 2, . . .) :

In :

(4.4.17)

n-1

Նկատենք, որ յուրաքանչյուր In վերջավոր է: Իրոք, In -ը չի կարող պարունակել 4ո-ից շատ թվով անդամներ, քանի որ հակա ակ դեպքում կունենայինք

X 4∈1

a4 >

X 4∈1n

a4 >

X1 » 4ո · - 4, ո ո

4∈1n

4 » 4,

ինչը հակասություն է: Ուստի (4.4.17)-ից կբխի, որ I0 -ն վերջավոր է կամ հաշվելի: Լեմման ապացուցվա է: ՍահմանումQ4.4.2: Դիցուք ունենք բազմությունների ինչ-որ {ՃՍ4}4∈1 ընտանիք: Ճ4 -ով կնշանակենք այն բոլոր x - x4 , x : I → Ճ4 4∈1 4∈1 Q ֆունկցիաների բազմությունը, որ x4 ∈ Ճ4 (∀i ∈ I ): Ճ4 -ն կոչվում 4∈1 է Ճ4 բազմությունների դեկարտյան արտադրյալ: Ս Քանի որ x : I → Ճ4 ֆունկցիան որոշվում է իր x4 4∈1 (i ∈ Q I) արժեքներով, ուստի հաճախ խոսելով կամայական x∈ Ճ4 էլեմենտի մասին, x-ի ոխարեն գրում են {x4 }4∈1 : 4∈1 Եթե I - {1, 2, . . . , ո}, ապա, {x4 }4∈1 -ի ոխարեն գրելով (x1 , x2 , . . . , xn ), հանգում ենք վերջավոր թվով բազմությունների դեկարտյան արտադրյալի համար նախկինում մեզ հայտնի սահմանմանը:

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը Q

π4 :

կերպ.

Ճk → Ճ4

k∈1

արտապատկերումը սահմանենք հետ յալ !

π4 ({xk }) - x4 ,

{xk } ∈

Ճk

π4 -ն

կոչվում է Փաստորեն, x ∈ տեսքով:

Ճ Q4 -ի Ճk k

վրա պրոյեկտող արտապատկերում: էլեմենտը կարելի է գրել {πk (x)}k∈1

Սահմանում 4.4.3: Դիցուք ունենք մի

նույն (իրական կամ կոմպլեքս) թվային դաշտի վրա որոշվա հիլբերտյան տարա ությունների մի ինչ-որ {H4 }4∈1 ընտանիք: Նշանակենք ( X

⊕H4 -

4∈1

⊕H4 -ն

x∈

H4 :

kπ4 (x)k Հ ∞

4∈1

) |

կոչվում է H4 տարա ությունների ուղիղ գումար:

Պարզ է, որ ⊕H4 -ն կդա նա գ ային տարա ություն, եթե գու4∈1 մարումը թվով բազմապատկումը սահմանենք

{x4 } + {y4 } - {x4 + y4 } ,

α{x4 } - {αx4 }

բանաձ երով: Բացի այդ, ⊕H4 -ում կարելի է սահմանել սկալյար 4∈1 արտադրյալ հետ յալ կերպ.

({x4 }, {y4 }) -

(4.4.18)

(x4 , y4 ) :

Գրվա շարքը բացարձակ զուգամետ է, քանի որ ըստ վարցի անհավասարության՝ !1

|(x4 , y4 )| 6

kx4 k · ky4 k 6

kx4 k2

ky4 k2

Հ∞

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

(4.4.1 լեմման լիովին հասկանալի է դարձնում այդ շարքի գումարի իմաստը): Հեշտ է տեսնել, որ սկալյար արտադրյալի բոլոր հատ5 կությունները բավարարվում են: Համոզվենք, որ ⊕H4 տարա ու4∈1 թյունը լրիվ է, այսինքն՝ հանդիսանում է հիլբերտյան տարա ություն: (4.4.18)-ը գրենք ! (x, y) -

(π4 (x), π4 (y))

x, y ∈

⊕H4

(4.4.19)

4∈1

համարժեք տեսքով: Այստեղից կբխի, որ !

kxk -

kπ4 (x)k

x∈

Դիցուք {xn } ⊂

⊕H4

(4.4.20)

4∈1

⊕H4 ֆունդամենտալ հաջորդականություն է: Այդ

4∈1

դեպքում (4.4.20)-ից կբխի, որ {π4 (xn )}-ը ս կլինի ֆունդամենտալ (H4 -ում), ուստի H4 -ի լրիվությունից կբխի, որ գոյություն ունի հ4 - liո π4 (xn ) n→∞

(i ∈ I)

սահմանը: Դիցուք x - {հ4 }: Այդ դեպքում հ4 - π4 (x), (4.4.20)-ից կբխի, որ ∀I0 ⊂ I վերջավոր ենթաբազմության համար X

kπ4 (xn ) − π4 (xm )k2 6 kxn − xm k2 :

4∈10

Վերցնենք ∀ε » 0 թիվ

N -ը

ընտրենք այնպես, որ

kxn − xm k Հ ε

(ո, 7 » N ) :

(4.4.21)-ից կբխի, որ X 4∈10

kπ4 (xn ) − π4 (xm )k2 6 ε2

(ո, 7 » N ),

(4.4.21)

Գլուխ 4. 8 ∗ - հանրահաշիվների նկարագրությունը

որտեղ անցնելով սահմանի, երբ 7 → ∞, կստանանք X

kπ4 (xn ) − π4 (x)k2 6 ε2

(ո » N ) :

4∈10

Վերջինս տեղի ունի ∀I0 ⊂ I վերջավոր ենթաբազմության համար, որտեղից կբխի, որ X

kπ4 (xn ) − π4 (x)k2 6 ε2

(ո » N ),

4∈1

kxn − xk 6 ε

(ո » N ),

ինչն էլ ցույց է տալիս, որ xn → x: Թեորեմ 4.4.3 (Գելֆանդ-Նայմարկի ո կոմուտատիվ թեորեմը): Ցանկացա 4 8 ∗ -հանրահաշվի համար գոյություն ունի H հիլբերտյան տարա ություն, այնպես, որ 4-ի 8L(H)-ի մի ինչ-որ ակ ենթահանրահաշվի միջ գոյություն ունի իզոմետրիկական ∗-իզոմորֆիզմ: Ապացույց: Դիցուք H -ը նախորդ թեորեմում կա ուցվա Hu (ս ∈ 4) տարա ությունների ուղիղ գումարն է: Դիցուք 5u ∈ 8L(H) (ս ∈ 4) k5u k 6 M

(ս ∈ 4) :

պերատորը սահմանենք հետ յալ կերպ: համար որպես 5v վերցնենք այն վեկտորը, որի համար 5 : H → H

πu (5v) - 5u πu (v) : որ kπu (5v)k2 Հ

Դժվար չէ ստուգել, u∈A 5 : H → H : Դժվար չէ տեսնել, որ

∞

∀v ∈ H

հետ աբար՝ (4.4.22)

k5k - Տսp k5u k : u∈A

Դիցուք 7u (x)-երը նախորդ թեորեմում կա ուցվա պերատորներն են: Վերը նշվա սխեմայով կա ուցենք այնպիսի 7 (x) ∈ 8L(H) (x ∈ 4) պերատորներ, որ πu (7 (x)v) - 7u (x) (πu (v))

(v ∈ H) :

8 /./. Գելֆանդ-Նայմարկի թեորեմը ոչ կոմուտատիվ . . .

Քանի որ k7u (x)k 6 kxk - k7x (x)k,

ուստի (4.4.22)-ից կբխի, որ k7 (x)k - Տսp k7u (x)k - kxk : u∈A

Նախորդ թեորեմը կիրա ելով Hu տարա ությունների վրա՝ կստանանք, որ x Է→ 7 (x) արտապատկերումը բավարարում է թեորեմի բոլոր պահանջներին: Թեորեմն ապացուցվա է:

Գrաkանուyուն 1. А х и е з е р Н . И . Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 2. А х и е з е р Н . И . , Г л а з м а н И . М . Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Том 1 Харьков: 1977, том 11 - Харьков: 1978. 3. Б у р б а к и Н . Спектральная теория. - М.: Мир, 1972. 4. В л а д и м и р о в В . С . Методы теории функций многих комплексных переменных. - М.: Наука, 1964. 5. Г а м е л и н Т . Равномерные алгебры. - М.: Мир, 1973. 6. Г е л ь ф а н д И . М . , Р а й к о в Д . А . , Ш и л о в Г . Е . Коммутативные нормированные кольца. - М.: Физматгиз, 1960. 7. Г о ф м а н К . Банаховы пространства аналитических функций. - М.: ИЛ, 1963. 8. Д а н ф о р д Н . , Ш в а р ц Д ж . Т . Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962. 9. Д а н ф о р д Н . , Ш в а р ц Д ж . Т . Линейные операторы. Спектральная теория. - М.: Мир, 1966. 10. Д а н ф о р д Н . , Ш в а р ц Д ж . Т . Линейные операторы. Спектральные операторы. - М.: Мир, 1974. 11. Д э й М . М . Нормированные линейные пространства. - М.: ИЛ, 1961. 12. И о с и д а К . Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. 13. Л ю б и ч Ю . И . Теория представлений групп в банаховом пространстве. - Харьков: Виша школа, 1985. 14. Л ю м и с Л . Введение в абстрактный гармонический анализ. - М.: ИЛ, 1956. 15. Н а й м а р к М . А . Нормированные кольца (изд. 2-е). - М.: Наука, 1968. 16. Р и с с Ф . , С е к е ф а л ь в и - H а д ь Б . Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.

Գրականություն 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

Р у д и н У . Функциональный анализ. - М.: Мир, 1976. Ф е л п с Р . Лекции о теоремах Шоке. - М.: Мир, 1968. Х а л м о ш П . Теория меры. - М.: Мир, 1953. Х а л м о ш П . Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970. Х е й м а н У . , К е н н е д и Н . Субгармонические функции. т. 1. - М.: Мир, 1980. Х и л л е Э . , Ф и л л и п с Р . Функциональный анализ и полугруппы. - М.: ИЛ, 1962. Х ь ю и т т Э . , Р о с с К . А . Абстрактный гармонический анализ. т. 1. - М.: Наука, 1975; т. 2 - М.: Мир, 1975. Ш е ф е р X . Топологические векторные пространства. - М.: Мир, 1971. Э д в а р д с Э . Функциональный анализ. - М.: Мир, 1969. Թ r օ w մ e r Ճ . 1ոեrօմսcեiօո եօ Իսոcեiօո Ճl1e6rոճ. - Աew Պօrk: Ն. Ճ. Թeոjոճiո, 1ոc., 1969. Խ i c k ո r ե С . Е . Շeոerոl Theօry օf Թոոոch Ճl1e6rոճ. Priոceեօո: D. vոո Աօճեrոոմ, Ա. J., 1960. Խ ս մ i ո Ն . Խeոl Ճոմ Cօճplex Ճոոlyճiճ. - Աew Պօrk: ԽcՇrոw-Hill, 1987.

ԱՍԱՏՐՅԱՆ ՀԱՅԿ ԱԼԲԵՐՏԻ

ԽԱ ԱՏՐՅԱՆ Ի ԽԱՆ ԳՎԻԴՈՆԻ

ԿԱՐԱԽԱՆՅԱՆ ՄԱՐՏԻՆ ԻՍԱԿԻ

ՔԱՄԱԼՅԱՆ ԱՐՄԵՆ ՀՐԱ ԻԿԻ

ԲԱՆԱԽՅԱՆ ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐ

ԵՎ ՍՊԵԿՏՐԱԼ ՏԵՍՈՒՅՈՒՆ

Ստորագրվա է տպագրության 10.07.2008 թ.: ա սը՝ 60 × 84 1/16: ուղթը՝ ֆսեթ: Հրատ. 13.5 մամուլ, տպագր. 15.8 մամուլ=14.6 պայմ. մամուլի: Tպաքանակ՝ 100: Պատվեր՝ 98:

ԵՊՀ հրատարակչություն Եր ան, Ալ. Մանուկյան 1: Եր անի պետական համալսարանի պերատիվ պոլիգրաֆիայի ստորաբաժանում Եր ան, Ալ. Մանուկյան 1:

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Հ. Ա. ԱՍԱՏՐՅԱՆ, Ի. G. ԽԱ ԱՏՐՅԱՆ,

Մ. Ի. ԿԱՐԱԽԱՆՅԱՆ, Ա. Հ. QԱՄԱԼՅԱՆ

BԱՆԱXՅԱՆ HԱՆRԱHԱ IVՆԵR

ՍPԵKՏRԱL ՏԵՍՈՒՅՈՒՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ՀՐԱՏԱՐԱԿ ՈՒՅՈՒՆ

Հ. Ա. ԱՍԱՏՐՅԱՆ, Ի. Գ. ԽԱ ԱՏՐՅԱՆ,

Մ. Ի. ԿԱՐԱԽԱՆՅԱՆ, Ա. Հ. ՔԱՄԱԼՅԱՆ

ԲՈVԱՆԴԱԿՈՒԹYՈՒՆ

ՆՈՐՄԱՎՈՐՎԱ ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐ

ԿՈՄՈՒՏԱՏԻՎ ԲԱՆԱXՅԱՆ

ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐ

Գ ԱՅԻՆ SԱՀՄԱՆԱԱԿ PԵՐԱՏՈՐՆԵՐ

ՀԻLԲԵՐՏՅԱՆ ՏԱՐԱ ՈՒՅՈՒՆՈՒՄ

- ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐԻ ՆԿԱՐԱԳՐՈՒՅՈՒՆ

ԱՍԱՏՐՅԱՆ ՀԱՅԿ ԱԼԲԵՐՏԻ

ԽԱ ԱՏՐՅԱՆ Ի ԽԱՆ ԳՎԻԴՈՆԻ

ԿԱՐԱԽԱՆՅԱՆ ՄԱՐՏԻՆ ԻՍԱԿԻ

ՔԱՄԱԼՅԱՆ ԱՐՄԵՆ ՀՐԱ ԻԿԻ

ԲԱՆԱԽՅԱՆ ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐ

ԵՎ ՍՊԵԿՏՐԱԼ ՏԵՍՈՒՅՈՒՆ

ՍPԵKՏRԱL ՏԵՍՈՒՅՈՒՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ՀՐԱՏԱՐԱԿ ՈՒՅՈՒՆ

Գ ԱՅԻՆ SԱՀՄԱՆԱԱԿ PԵՐԱՏՈՐՆԵՐ

ՀԻLԲԵՐՏՅԱՆ ՏԱՐԱ ՈՒՅՈՒՆՈՒՄ

- ՀԱՆՐԱՀԱ ԻՎՆԵՐԻ ՆԿԱՐԱԳՐՈՒՅՈՒՆ

ԵՎ ՍՊԵԿՏՐԱԼ ՏԵՍՈՒՅՈՒՆ