Բարձրագույն մաթեմատիկա

ՀՀ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ԱԶԳԱՅԻՆ ԱԳՐԱՐԱՅԻՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՏԵՍԱԿԱՆ

ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ԱՄԲԻՈՆ

Լ.Ե. ԴԱՆԻԵԼՅԱՆ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՁԵՌՆԱՐԿ

ԵՐԵՎԱՆ ՀԱԱՀ

ՀՏԴ 51(07) ԳՄԴ 22.1ց7 Դ 171

Հաստատված է Հայաստանի ազգային ագրարային համալսարանի գիտական խորհրդի կողմից Գրախոսներ՝

Երնանի պետական տնտեսագիտական համալսարանի արձրագույն մաթեմատիկայի ամ իոնի վարիչ ֆիզմաթ. գիտ. թեկնածու, դոցենտ Ա.Ն. Հայրապետյան ԵՊՀ կիրառական մաթեմատիկայի ն ինֆորմատիկայի ֆակուլտետի թվային անալիզի ամ իոնի դոցենտ Յ.Գ. Դադայան

Խմ ագիր՝

Դ 171

Ց.Վ. Պողոսյան

ԴԱՆԻԵԼՅԱՆ Լ.Ե.

Բարձրագույն մաթեմատիկա: Ուսումնական ձեռնարկ. - Եր.: ՀԱԱՀ, 2016. – 188 էջ: Ուսումնական ձեռնարկը նախատեսված է Հայաստանի ազգային ագրարային համալսարանի ակալավրիատի ուսանողների համար: ՀՏԴ 51(07) ԳՄԴ 22.1ց7

ԼՏ8N 978-9939-54-956-9

Օ Լ.Ե. Դանիելյան, 2016 Օ Հայաստանի ազգային ագրարային համալսարան, 2016

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Սույն ձեռնարկը նախատեսված է Հայաստանի ազգային ագրարային համալսարանի առկա ն հեռակա ուսուցման ուսանողների համար: Այն կազմվել է գործող ծրագրերին համապատասխան: Առաջին հրատարակության համեմատ ավելացվել է նոր գլուխ գծային հանրահաշվի տարրերից, նան ընդլայնվել են այլ աժիններ: Ձեռնարկում մատչելի ձնով շարադրված են արձրագույն մաթեմատիկայի հիմնական մեթոդները, առանձին դեպքերում ցուցադրված են գյուղատնտեսական արտադրության նագավառի օրինակներ: Որոշ աժիններում տրված են տիպական խնդիրներ ու վարժություններ: Յուրաքանչյուր գլխից հետո կան խնդիրներ ն վարժություններ ինքնուրույն աշխատանքի համար:

ԱՆԱԼԻՏԻԿ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆԸ

ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ

Անալիտիկ կամ վերլուծական երկրաչափությունը ուսումնասիրում է երկրաչափական պատկերների հատկությունները հանրահաշվի մեթոդներով, անաձների միջոցով: Ուսումնասիրման հիմնական մեթոդը կոորդինատական մեթոդն է:

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴԸ ՈՒՂՂԻ ՎՐԱ,

ԹՎԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔ

Վերցնենք մի կամայական ուղիղ: Այն ունի երկու հակադիր ուղղություններ: Ըստ ցանկության, ընտրենք դրանցից մեկը ն անվանենք դրական ուղղություն: Այն ուղիղը, որի վրա նշված է դրական ուղղությունը, կոչվում է առանցք: Գծագրում այն նշում են սլաքով ն նշանակում մեկ տառով` 2,7,2,է,...:

ո Օ

Խ

Գծ. 1.

Եթե առանցքի վրա նշված է նան հաշվարկի սկզ նակետը, որն ընդունված է նշանակել Օ տառով ն չափման միավոր (մասշտա ), ապա այդ առանցքը կոչվում է թվային առանցք (գծ.1): Նշենք մեթոդը, որի օգնությամ առանցքի վրա վերցրած յուրաքանչյուր կետ նորոշվում է որնիցե մի թվով, ըստ որի էլ առանցքը կոչվում է թվային առանցք: Իրոք՝ 2 առանցքի վրա վերցնենք մի Խ կետ ն չափման միավորի օգնությամ չափենք ՕԽ հատվածի երկարությունը: Արդյունքում կստանանք մի թիվ, որը կոչվում է Խ կետի կոորդինատ ն գրվում է Խ(2) տեսքով: Օ կետի կոորդինատը հավասար է զրոյի: Կոորդինատ ունենալու արդյունքում կետի դիրքը առանցքի վրա դառնում է որոշակի: Այսպիսով, կարող ենք

ասել, որ թվային առանցքի կետերի ազմության ն իրական թվերի ազմության միջն գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն: Հաշվենք երկու կետերի միջն եղած հեռավորությունը թվային առանցքի վրա: Դիցուք, տրված են Խ1(21) ն Խ2(22) կետերը ն պահանջվում է հաշվել դրանց միջն եղած d հեռավորությունը: Նշենք կետերը առանցքի վրա (գծ.2):

x1 Օ

d Խ1 Գծ.2

Խ2

x

x2

Գծ.2-ից երնում է, որ d  Խ 1Խ 2  ՕԽ 2  ՕԽ1  x 2  x 1 : Այսպիսով, հայտնի կոորդինատներով երկու կետերի հեռավորությունը առանցքի վրա հաշվվում է (1) d  x 2  x1 անաձնով:

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգը հարթության վրա Եթե նշված է մի մեթոդ, որի օգնությամ կարելի է որոշել կետի դիրքը հարթության վրա, ապա ասում են, որ հարթության վրա մտցված է կոորդինատական համակարգ: Դիտարկենք պարզագույն ն ամենակիրառելի կոորդինատական համակարգը, որը կոչվում է ուղղանկյուն դեկարտյան: Դիցուք, հարթության վրա տրված են երկու փոխուղղահայաց առանցքներ (Օ2 ն Օ7) ն չափման միավորը (մասշտա ը): Այս դեպքում ասում են, որ տրված են ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ: Առանցքների հատման կետը կոչվում է կոորդինատների սկզ նակետ, իսկ առանցքները՝ կոորդինատական առանցքներ (Օ2-ը ա սցիսների առանցք, Օ7-ը օրդինատների առանցք):

Ենթադրենք, հարթության վրա մտցված է կոորդինատական համակարգ ն տրված է մի Խ կետ (գծ.3): Պրոյեկտենք Խ կետը կոորդինատական առանցքների վրա ն պրոյեկցիաները համապատասխանա ար նշանակենք Խ2 ն Խ7: Չափելով ՕԽ2 ն ՕԽ7 հատվածների մեծությունները՝ կստանանք՝ ՕԽ2-2,ՕԽ7-7: Այսինքն՝ հարթության վրա y տրված կետին համապատասխանում է մի զույգ թիվ (2,7), որը կոչվում է նրա կոորդինատներ: 2-ը Խy Խ կոչվում է առաջին կոորդինատ կամ ա սցիս, իսկ 7-ը՝ երկրորդ կոորդինատ կամ օրդինատ ն գրվում է հետնյալ կերպ՝ Խ(2,7): x Օ Խx Հակառակ պնդումը նույնպես ճիշտ է, այսինքն տրված ամեն մի զույգ Գծ.3. իրական թվին հարթության վրա համապատասխանում է մի որոշակի կետ: Այս թվերի (կոորդինատների) միջոցով հարթության վրա կառուցվում է կետը: Դիտարկենք անալիտիկ երկրաչափության մի քանի պարզագույն խնդիրներ հարթության վրա:

Երկու կետերի միջն եղած հեռավորությունը Դիցուք, հարթության վրա տրված է երկու կետ՝ Խ1(21,71) ն Խ2(22,72) ն պահանջվում է հաշվել դրանց միջն եղած d հեռավորությունը: Կառուցենք կետերը՝ հարթության վրա նախօրոք վերցնելով կոորդինատական համակարգ: Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի, Խ1 ԻԽ 2 -ից (գծ.4) կարող ենք գրել՝

Խ1Խ 2

 Խ1 Ի  ԻԽ 2

y Խ1

Օ

Խ2

d

Ի Օ

թ

x

Գծ.4.

Քանի որ

Խ 1Խ 2  d, Խ1 Ի  թՕ  x 2  x 1 ,

ԻԽ 2  ՕԽ 2  ՕԻ  ՕԽ 2  թԽ1  y 2  y1, ապա d 2  x 2  x 1   y 2  y1  , որտեղից

d

x 2  x1 2  y 2  y1 2

(2) Օրինակ.- Հաշվել Խ1 (-2,3) ն Խ2(1,-2) կետերի հեռավորությունը: Լուծում.- Համաձայն անաձնի

d

1  22   2  32

 9  25  34 :

Հատվածի աժանումը տրված հարա երությամ Դիցուք, հարթության վրա տրված է երկու կետ՝ Խ1(21,71) ն Խ2(22,72): Խ1Խ2 հատվածի վրա վերցնենք մի Խ(2,7) կետ: Խ1Խ հարա երությունը նշանակում են  տառով ն ԽԽ 2 աժանում է  ասում, որ Խ կետը Խ1Խ2 հատվածը հարա երությամ : Ենթադրենք, -ն տրված է, Խ1 ն Խ2 կետերի կոորդինատները հայտնի են, որոշենք Խ աժանման կետի կոորդինատները: Խ1, Խ ն Խ2 կետերը պրոյեկտենք Օ2 առանցքի վրա ն դրանց պրոյեկցիաները համապատասխանա ար նշանակենք P1, P ն P2 (գծ.5):

y

Խ2 Խ1

թ1

Խ

թ

թ2

x

Գծ.5.

Համաձայն տարրական երկրաչափության զուգահեռ ուղիղների միջն եղած հատվածների համեմատականության մասին թեորեմի, կարող ենք գրել (Թալեսի թեորեմը).

թ1թ Խ1Խ   , թթ2 ԽԽ 2

(3)

այց P1P- 2-21: PP2- 22-2 Տեղադրելով այս արժեքները (3) հավասարության մեջ՝ կստանանք.

x  x1  x2  x Լուծելով այս հավասարությունը 2 անհայտի նկատմամ ՝ կստանանք

x

x 1  x 2 1 

Խ1, Խ ն Խ2 կետերը պրոյեկտելով Օ7 առանցքի վրա ն վարվելով նման ձնով՝ 7 անհայտի համար կստանանք՝

y

y1   y 2 1 

Այսպիսով, աժանման կետի կոորդինատները որոշվում են հետնյալ անաձներով.

x 1  x 2  x  1     y  y1  y 2  1 

(4)

Մասնավոր դեպքում, եթե Խ կետը գտնվում է հատվածի միջնակետում, ապա  

Խ 1Խ  1 ն (4) անաձներից հատվաԽԽ 2

ծի միջնակետի կոորդինատների որոշման համար կստանանք.

x1  x 2  x    y  y1  y 2 

(5)

Օրինակ.- Տրված է Ճ8Շ եռանկյան գագաթի կոորդինատները՝ Ճ(2, 1), 8(-2, 4), Շ(6, 2): Պահանջվում է գտնել ՃԾ միջնագծի

երկարությունը:

Ծ Շ

Ճ Գծ.6.

Լուծում.- Կատարենք պայմանական գծագիրը ն նախապես որոշենք Ծ միջնակետի կոորդինատները: Համաձայն (5) նաձների

xB  xc  2  6  2 y  yc 4  2 yD  B  3

xD 

ա-

Ուրեմն Ծ կետի կոորդինատներն են (2, 3): Գտնենք ՃԾ միջնագծի երկարությունը համաձայն (2) անաձնի.

ՃD 

2  22  3  12

 04  2

ՈՒՂԻՂ ԳԻԾԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ

Ենթադրենք, հարթության վրա տրված է ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգ ն մի ուղիղ գիծ, որը Օ2 առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է  անկյուն Փ  90 0 ) :  անկյունը կոչվում է ուղղի թեքման անկյուն, իսկ նրա տանգենսը՝ ուղիղի անկյունային գործակից ն նշանակվում է է տառով: էջէ (6) Անկյունային գործակիցը ուղղի ուղղության կարնորագույն նորոշիչն է ն մշտապես օգտագործվում է անալիտիկ երկրաչափության ն նրա կիրառությունների մեջ:

մ M2 մ2 - մ1 M1  o

x1

 x 2 - x1

x2

x

Գ..7 .

Դիտարկենք մի ուղիղ ն նրա վրա վերցնենք երկու կետ. Խ1(21,71) ն Խ2(22,72) (գծ.7): Որոշենք ուղղի անկյունային գործակիցը.

k  tg 

y 2  y1 x 2  x1

(7)

Սա ուղղի անկյունային գործակցի որոշման անաձնն է նրա երկու կետերի միջոցով:

Ուղղի հավասարումը անկյունային գործակցով Դիցուք, տրված է մի ուղիղ, որի անկյունային գործակիցը հավասար է է ն օրդինատների առանցքից կտրում է Ե երկարության հատված (գծ.8): Ուղղի վրա վերցնենք մի Խ(2,7) ընթացիկ կետ: Գծագրից երնում է, որ որտեղ էլ որ գտնվի Խ կետը ուղիղի վրա, միշտ կարելի է գրել

մ

M

մ-b B  b O

 x

x Գ..8.

yԵ  tg  k , x որտեղից՝ 7 - Ե - է2,7 - է2 + Ե (8) Այսպիսով, յուրաքանչյուր ուղիղ, որն ունի է անկյունային գործակից ն Օ7 առանցքից կտրում է Ե երկարության հատված, նութագրվում է (8) հավասարումով: Հակառակն էլ ճիշտ է. (8) տեսքի ամեն մի հավասարում հարթության վրա պատկերում է ուղիղ գիծ:

(8) հավասարումը կոչվում է ուղղի հավասարում անկյունային գործակցով: Եթե Ե-0, ապա ուղիղը կանցնի կոորդինատական սկզ նակետով, որի հավասարումն էլ կլինի՝ 7-է2:

Տրված մեկ կետով անցնող ն տրված անկյունային գործակիցը ունեցող ուղղի հավասարումը Շատ դեպքերում անհրաժեշտ է լինում կազմել տրված Խ1(21,71) կետով անցնող ն է անկյունային գործակից ունեցող ուղղի հավասարումը: Եթե ուղղի վրա վերցնենք մի Խ(2,7) ընթացիկ կետ, ապա (7) անաձնի համաձայն կարող ենք գրել.

k

y  y1 կամ x  x1

y  y1  k Փ x  x1 )

(9)

Սա որոնելի ուղղի հավասարումն է: Օգտագործելով (9) հավասարումը՝ կարելի է կազմել Խ1(21,71) ն Խ2(22,72) տրված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը: (7)

անաձնի համաձայն k 

y 2  y1 : Տեղադրելով այս x 2  x1

արժեքը (9) հավասարման մեջ՝ կստանանք.

y  y1 

y 2  y1 x  x 1  x 2  x1

Այս հավասարումն ընդունված է գրել հետնյալ տեսքով.

x  x1 y  y1  x 2  x 1 y 2  y1

(10)

Ուղիղ գիծը որպես առաջին կարգի գիծ: Ուղղի ընդհանուր հավասարումը Ապացուցենք հետնյալ սկզ ունքային թեորեմը:

Թեորեմ.- Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում ամեն մի ուղիղ որոշվում է առաջին աստիճանի հավասարումով ն հակառակը՝ ամեն մի առաջին աստիճանի հավասարում հարթության վրա պատկերում է մի ուղիղ:

Ապացույց.-Նախ ապացուցենք թեորեմի առաջին մասը: Ենթադրենք, տրված է մի կամայական ուղիղ: Եթե այն ուղղահայաց չէ Օ2 առանցքին, ապա արդեն հայտնի է, որ նութագրվում է 7-է2+Ե առաջին աստիճանի հավասարումով: Իսկ եթե այն ուղղահայաց է Օ2 առանցքին, ապա նրա ոլոր կետերը նութագրվում են 2-8 հավասարումով, որտեղ 8-ն ուղղի Օ2 առանցքից կտրած հատվածն է: Այս հավասարումը նույնպես առաջին աստիճանի հավասարում է: Թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է: Ապացուցենք հակառակ պնդումը: Ենթադրենք, տրված է առաջին աստիճանի հավասարում. Ճ2 + 87 + Շ - 0 (11) Ճ, 8, Շ գործակիցների կամայական արժեքներով: Ճ ն 8 գործակիցներից որնէ մեկը հավասար չէ 0-ի: Եթե 80, ապա տրված հավասարումը կարելի է գրել հետնյալ տեսքով՝

Ճ C x : B B Ճ C Նշանակելով   k ,   Ե ՝ կստանանք 7-է2+Ե, որն B B y

ինչպես արդեն հայտնի է, հարթության վրա պատկերում է ուղիղ գիծ, որը 07 առանցքից կտրում է Ե հատված ն ունի է անկյունային գործակից: Այսպիսով ամեն մի առաջին աստիճանի հավասարում պատկերում է ուղիղ գիծ, ուստի ուղիղ գիծը կոչվում է նան առաջին կարգի գիծ: Ճ2 + 87 + Շ - 0 հավասարումը կոչվում է ուղղի ընդհանուր հավասարում (որպես առաջին աստիճանի ընդհանուր հավասարում):

Ուղղի ընդհանուր հավասարման հետազոտումը: Ուղղի հավասարումը «հատվածներով» Հետազոտել ուղղի ընդհանուր հավասարումը՝ նշանակում է պարզել, թե Ճ, 8, Շ գործակիցների արժեքներից կախված ուղիղը ինչպիսի դիրք է գրավում հարթության վրա:_ Դիտարկենք հետնյալ դեպքերը.

1. Շ - 0, հավասարումը կընդունի Ճ2 + 87 - 0 տեսքը, որտեղից y  

Ճ Ճ  x  kx  k    . B B 

Սա

կոորդինատական

սկզ նակետով անցնող ուղիղն է: Դրանում կարելի է համոզվել նան՝ տեղադրելով հավասարման մեջ 2-0, 7-0 կոորդինատները: 2. 8-0, Ճ0, հավասարումը կընդունի Ճ2+Շ-0 տեսքը, որտեղից x  

C a Ճ

C   a    : Իսկ սա Օ2 առանցքին Ճ 

ուղղահայաց կամ 07-ին զուգահեռ ուղղի հավասարումն է: Մասնավոր դեպքում, եթե 8-0, ապա ուղիղը կհամընկնի Օ7 առանցքի հետ ն այդ առանցքի հավասարումը կլինի 2-0: 3. Ճ-0, 80, հավասարումը կդառնա 87+Շ-0

y

C  Ե: B

Սա մի ուղղի հավասարում է, որի ոլոր կետերը հավասարապես են հեռացված Օ2 առանցքից, այսինքն Օ2 առանցքին զուգահեռ ուղղի հավասարումն է: Մասնավոր դեպքում, եթե Ե-0, ապա ուղիղը կհամնկնի Օ2 առանցքի հետ ն նրա հավասարումը կլինի 7-0: Հիմա ենթադրենք, տրված է Ճ2 + 87 + Շ - 0 հավասարումը ն Ճ, 8, Շ գործակիցներից ոչ մեկը հավասար չէ զրոյի: Այս դեպքում հավասարումը կարելի է երել մի հատուկ տեսքի, որը նպատակահարմար է անալիտիկ երկաչափության մի շարք խնդիրներում: Ենթադրենք, ու7 ղիղը կոորդինատաN կան առանցքներից համապատասխանա ար կտրում է 8 ն Ե Ե հատվածներ: Պահանջվում է կազմել այդ ուղղի հավասարումը (գծ.9): ՈրոնեԽ լի ուղղի հավասա8 րումը գրենք ընդհանուր տեսքով Գծ.9

Ճ2+87+Շ-0, որտեղից կստանանք՝ Ճ2+87- – Շ

Ճx By  1 C C x y   1: C C   B Ճ C C   a ,   Ե ՝ կունենանք Ճ B x y   1: a Ե 

Նշանակելով

(12)

Սա կոչվում է ուղղի հավասարում «հատվածներով»:

Երկու ուղիղների կազմած անկյունը: Ուղիղների ուղղահայացության ն զուգահեռության պայմանները Անալիտիկ երկրաչափության հիմնական խնդիրներից մեկը երկու ուղիղների կազմած անկյան որոշումն է: Այժմ դուրս

(ԼԼ )

(Լ )



 1

2

Գծ.10

երենք մի անաձն, որի միջոցով կարելի է հաշվել երկու ուղիղ15

ների կազմած անկյունը, եթե հայտնի են դրանց անկյունային գործակիցները: Դիտարկենք երկու ուղիղներ (Լ) ն (ԼԼ), որոնք կազմում են  անկյուն. (գծ.10.) Ենթադրենք, այդ ուղիղների անկյունային գործակիցներն են է1 ն է2: Գծագրից կարող ենք գրել  2  1   (եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ կից ներքին անկյունների գումարին): Որտեղից    2  1 , իսկ tg  tg  2  1   Բայց

tg 2  tg1 1  tg1  tg 2

tg1  k 1 , tg 2  k 2 , հետնա ար k  k1 tg  2 1  k1k 2

(13)

Դիտարկենք մասնավոր դեպքեր. 1) ենթադրենք, ուղիղները զուգահեռ են: Այդ դեպքում  - 0 ն tg 

k 2  k1  0: 1  k 1k 2

Որտեղից հետնում է, որ k 2  k 1  0 կամ k 1  k 2 : Այսպիսով, եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա նրանց անկյունային գործակիցները հավասար են: 2) ենթադրենք ուղիղները ուղղահայաց են: Այդ դեպքում

 ն tg   : Սա էլ նշանակում է (13) անաձնի հայտա2 րարը պետք է հավասարվի զրոյի. 1  k 1k 2  0 կամ k 1k 2  1 : 

Այսինքն, եթե ուղիղները ուղղահայաց են, ապա նրանց անկյունային գործակիցների արտադրյալը հավասար է -1:

ՈՒՂՂԻ ՆՈՐՄԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Ենթադրենք հարթության վրա ընտրված ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում տրված է մի ուղիղ գիծ: Կոորդինատական սկզ նակետից տանենք տրված ուղղին ուղղահայաց մի ո ճառագայթ ն դրան անվանենք ուղղի նորմալ:

y

ո

թ

Խ 

p 





x

Օ Գծ.11

Նորմալի հատման կետը ուղղի հետ նշանակենք P (գծ.11 ): -ով նշանակենք նորմալի կազմած անկյունը ՕՃ առանցքի հետ, իսկ ք-ով Օթ հատվածի երկարությունը: Ենթադրենք  ն ք պարամետրերը հայտնի են, ստանանք տրված ուղղի հավասարումը: Այդ նպատակով ուղղի վրա վերցնենք Խ(2:7) ընթացիկ կետ ն կազմենք ՕԽ վեկտորի պրոյեկցիան նորմալի ուղղության վրա: Ակնհայտ է, որ ՕԽ  p ; (14)

պր

ո

Գտնենք ՕԽ հատվածի պրոյեկցիան նորմալի վրա Խ կետի (2:7) կոորդինատների միջոցով, նշանակելով М կետի նեռային կոորդինատները Փ; )

պր

ո

ՕԽ   c0s    c0sՓ  )  Փc0s  c0s   siո  siո ) ,

 c0s   x , հետնա ար պր ՕԽ  x c0s   y siո  :(15) ո  siո   y

այց 

Համեմատելով (14) ն (15) հավասարությունները կարող ենք գրել` 2cօs+7siո-ք, կամ 2cօs+7siո-ք-0 : (16)

Ստացանք 2 ն 7 փոփոխականների նկատմամ առաջին կարգի հավասարում, որին անվանում են ուղղի նորմալ հավասարում:

ԿԵՏԻ ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ՏՐՎԱԾ ՈՒՂՂԻՑ

Ենթադրենք հարթության վրա տրված է ուղիղ գիծ իր նորմալ հավասարումով` 2cօs+7siո-ք-0 ն դրանից դուրս գտնվող մի Խ 0 Փ x 0 ; y 0 ) կետ: Պահանջվում է գտնել տրված կետի հեռավորությունը տրված ուղղից: Նշանակենք այդ հեռավորությունը d տառով: y

ո Օ Խ0

թ d

p 

x Օ Գծ. 12

Պայմանավորվենք Խ0 կետի շեղում տված ուղղից անվանել նրա հեռավորությունը այդ ուղղից պլյուս նշանով, եթե կետն ու կոորդինատական սկզ նակետը գտնվում են ուղղի տար եր կետերում (ինչպես նշված է գծագրում) ն մինուս նշանով, եթե կետը ն կոորդինատական սկզ նակետը գտնվում են ուղղի միննույն կողմը: Կետի շեղումը ուղղից նշանակելով  տառով, կարող ենք գրել`   d , հետնա ար d   : Կետի շեղումը ուղղից հաշվելու համար կազմենք ՕԽ 0 հատվածի պրոյեկցիան նորմալի ուղղության վրա: Մի կողմից

պր ՕԽ ո

 ՕՕ  Օթ  թՕ  p   , մյուս կողմից համաձայն

(15) անաձնի

պր

ո

ՕԽ 0  x 0 c0s   y 0 siո  :

Այս երկու հավասարությունների ձախ մասը նույնն են, հետնա ար աջ մասերը նույնպես կլինեն հավասար` x 0 c0s   y 0 siո   p   , որտեղից   x 0 c0s   y 0 siո   p ,

d  x 0 c0s   y 0 siո   p : Այսպիսով, որպեսզի որոշել տրված կետի հեռավորությունը տրված ուղղից, պետք է ուղղի նորմալ հավասարման ձախ մասի մեջ 2 ն 7 փոփոխականների փոխարեն տեղադրել տրված Խ0 կետի կոորդինատները ն վերցնել ացարձակ արժեքով:

ՈՒՂՂԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ ԲԵՐՈՒՄԸ

ՆՈՐՄԱԼ ՏԵՍՔԻ

Ենթադրենք տրված է ուղղի հավասարումը ընդհանուր տեսքով` Ճ2+87+Շ-0 (17) ն պահանջվում է այն երել x c0s   y siո   p  0 (18) նորմալ տեսքի: Այդ նպատակով (17) հավասարման երկու կողմը ազմապատկենք  ազմապատկիչով` Ճ2+87+Շ-0 (19): Ենթադրենք (19) հավասարումը արդեն նորմալ տեսքի է ն պարզենք թե ինչպիսինը պետք է լինի  ազմապատկիչը: Համեմատելով (19) ն (18) հավասարումները, նկատում ենք

Ճ  c0s   B  siո  C  p 

(20):

(20) համակարգի առաջին երկու հավասարումները արձրացնենք քառակուսի ն գումարենք, կստանանք

 2 ՓՃ 2  B 2 )  1 , որտեղից  

 Ճ 2  B2

:

Որպեսզի կոնկրետ հավասարման համար որոշենք  ազմապատկիչի նշանը, օգտվենք (20) համակարգի երրորդ հավասարությունից` Շ--ք: Այստեղից հետնում է, որ -ն ն Շ-ն պետք է ունենան հակադիր նշաններ: -ն կոչվում է նորմալացնող ազմապատկիչ: Այպիսով (17) հավասարման նորմալացված տեսքը կլինի`



Ճ Ճ 2  B2

x

B Ճ 2  B2

y

C Ճ 2  B2

0

(21):

Ակնհայտ է, որ տված Խ0(20,70) կետի հեռավորությունը Ճ2+87+Շ-0 տեսքով տրված ուղղից գտնելու համար, նախապես ընդհանուր հավասարումը պետք է երել նորմալ տեսքի ն օգտվել վերը նշված կանոնից`

d

Ճx 0  By 0  C Ճ 2  B2

:

Օրինակ.-Գտնել Խ0(3,-2) կետի հեռավորությունը 22-47+5-0 ուղղից: Հաշվում ենք  ազմապատկիչը`

2 2  Փ4) 2



 : 4  16

x y  0: Փ2)  3  4Փ2)  5  6  8  5 3 d    :

Նորմալացված տեսքը կլինի` 

ԵՐԿՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ԳԾԵՐ

Այն գծերը, որոնք նութագրվում են երկրորդ աստիճանի հավասարումներով, կոչվում են երկրորդ կարգի գծեր: Երկրորդ կարգի հավասարման ընդհանուր տեսքը հետնյալն է՝ Ճx 2  Bxy  Cy 2  Dx  Էy  F  0 , որտեղ А, B, C գործակիցները միաժամանակ 0:

Հետնա ար, սա երկրորդ կարգի գծերի ընդհանուր հավասարումն է: Դիտարկենք պարզագույն երկրորդ կարգի գծերը: Դրանք են՝ շրջանագիծը, էլիպսը, հիպեր ոլը ն պարա ոլը: Համառոտակի ներկայացնենք այս գծերն առանձին-առանձին:

ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ

Հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնք հավասարապես են հեռացված տրված մի կետից, որը կոչվում է կենտրոն, կոչվում է շրջանագիծ: Հարթության վրա մտցնենք ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ ն շրջանագծի կենտրոնը նշանակենք Շ(8:Ե)-ով: Շրջանագծի վրա վերցնենք Խ(2,7) ընթացիկ կետ (գծ.13): Որտեղ էլ որ գտնվի Խ կետը շրջանագծի վրա, ըստ սահմանման, ՇԽ հեռավորությունը մնում է հաստատուն: Այդ հաստատունը ընդունված է նշանակել R տառով ն անվանել շրջանագծի շառավիղ: Հաշվենք ՇԽ-ը որպես երկու կետերի հեռավորություն ն հավասարեցնենք R-ի:

R

Խ

Շ

Գծ.13

x  a 2  y  Ե 2  x  a 2   y  Ե 2  R 2

CԽ  կամ

(22)

Այս հավասարումը կոչվում է շրջանագծի կանոնական հավասարում: Մասնավոր դեպքում, եթե շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատական սկզ նակետում, ապա 8-Ե-0 ն շրջանագծի հավասարումը ընդունում է հետնյալ տեսքը.

x 2  y2  R 2 : Բացելով (22) հավասարման փակագծերը՝ կստանանք՝

x 2  y 2  2ax  2Եy  a 2  Ե 2  R 2  0 Համեմատելով այս հավասարումը երկրորդ կարգի գծերի ընդհանուր հավասարման հետ՝ նկատում ենք, որ 1) Ճ-Շ 2) 8-Օ: Այսպիսով, կարող ենք ասել, որ եթե երկրորդ կարգի ընդհանուր հավասարման մեջ 22 ն 72 գործակիցները հավասար են ն 27 արտադրյալով անդամը ացակայում է, ապա այդ հավասարումը պատկերում է շրջանագիծ ն այն երելով կանոնական տեսքի, միաժամանակ կարելի է որոշել շրջանագծի կենտրոնը ն շառավիղը:

Օրինակ.- Դիցուք, տրված է x 2  y 2  6 x  4 y  3  0 հավասարումը: Համեմատելով ընդհանուր հավասարման հետ, նկատում ենք, որ Ճ -Շ -1 ն 8-0: Ուրեմն դա շրջանագծի հավասարումն է: Շրջանագծի կենտրոնը ն շառավիղը գտնելու համար ավական է այն երել կանոնիկ տեսքի: Որպեսզի ընդհանուր տեսքով տրված շրջանագծի հավասարումը երվի կանոնական տեսքի, անհրաժեշտ է խմ ավորել անդամները ն անջատել լրիվ քառակուսի.

x

 



 6x  y 2  4 y  3  0

x  32  y  22  9  4  3  0 x  32  y  22  16 :

կամ Սա արդեն շրջանագծի հավասարումն է՝ գրված կանոնական տեսքով, որտեղից երնում է, որ կենտրոնը Շ(3:-2) կետն է, իսկ շառավիղը՝ R-4:

ԷԼԻՊՍ Սահմանում.- Էլիպս կոչվում է այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը կիզակետեր կոչվող տրված երկու կետերից հաստատուն մեծություն է: Վերցնենք կոորդինատական համակարգը ն նշենք էլիպսի կիզակետերը, որոնք ընդունված է նշանակել F1 ն F2 տառերով: Այդ կետերը տեղադրենք 02 առանցքի վրա, այնպես, որ կոորդինատական սկզ նակետը գտնվի դրանց մեջտեղում (գծ.14): F1F2–ը նշանակում են 2c-ով ն անվանում միջկիզակետային հեռավորություն: Հետնա ար, ընտրված համակարգում կիզակետերի կոորդինատները կլինեն՝ F1(c,0), F2(-c,0): Հարթության վրա վերցնենք էլիպսի մի կամայական ընթացիկ կետ՝ Խ(2,7) ն այն միացնենք կիզակետերի հետ: Նշանակում ենք F1Խ-r1 ն F2Խ-r2 ն անվանում էլիպսի կիզակետային շառավիղներ: Ըստ էլիպսի սահմանման, որտեղ էլ որ գտնվի Խ կետը էլիպսի վրա, կիզակետային շառավիղների գումարը միշտ մնում է հաստատուն, որն ընդունված է նշանակել 28-ով: Այսինքն՝

r1  r2  2a 2a  2c, a  c

Խ(2,7) r2 F2

r1 F1

Գծ.14

Հաշվենք r1-ը ն r2-ը որպես երկու կետերի միջն եղած հեռավորություն ն տեղադրենք այս հավասարության մեջ.

r1  F1Խ  x  c   y 2

r2  F2 Խ 

x  c2  y 2

x  c 2  y 2  x  c 2  y 2

 2a :

Սա կլինի էլիպսի հավասարումը: Բերենք այն ռացիոնալ (կանոնական) տեսքի. այդ նպատակով ձախ մասի անդամներից մեկը տեղափոխենք աջ մաս ն ստացված հավասարության երկու կողմը արձրացնենք քառակուսի՝

 x  c 2  y 2    2a     x  2cx  c  y 

x  c 2  y 2 



x  c 2  y 2  x 2  2cx  c 2  y 2 կամ a x  c   y 2  cx  a 2 :

 4a 2  4a

Կրկին հավասարման երկու կողմը արձրացնենք քառակուսի ն, նշանակելով՝ 82- c2 - Ե2, կստանանք Ե222 + 8272 - 82Ե2: Բաժանելով այս հավասարության երկու կողմը 82Ե2 վրա, կունենանք.

x 2 y2   1: a 2 Ե2

(23)

Այս հավասարումը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում: Ինչպես տեսնում ենք, (23) հավասարումը երկրորդ կարգի հավասարում է: Ուրեմն էլիպսը նույնպես երկրորդ կարգի գիծ է: Այժմ հետազոտենք էլիպսի ձնը ն կառուցենք այն: 1. Էլիպսի հավասարման մեջ 2 ն 7 ընթացիկ կոորդինատները մտնում են զույգ աստիճաններով: Այս հանրահաշվական առանձնահատկությունը երում է կարնոր երկրաչափական եզրահանգման. էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատական առանցք24

ների նկատմամ : Իրոք՝ ցանկացած (2, 7) կոորդինատներով կետերը ավարարում են էլիպսի հավասարմանը: 2. Գտնենք էլիպսի հատման կետերը կոորդինատական առանցքների հետ: Եթե (23) հավասարման մեջ տեղադրենք 7-0, ապա կստանանք՝

x2  1 x2  a2 a

x  a :

Հետնա ար, էլիպսն ա սցիսների առանցքի հետ հատվում է երկու կետերում՝ Ճ1(8,0) ն Ճ2(-8,0): Նման ձնով, եթե (23) հավասարման մեջ տեղադրենք 2-0, կստանանք՝

y2  1 y2  Ե2 Ե

y  Ե :

Հետնա ար, էլիպսը օրդինատների առանցքի հետ նույնպես հատվում է երկու կետերում՝ 81(0: Ե) ն 82(0: -Ե): Ճ1, Ճ2, 81, 82 կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ: Ճ1Ճ2-28 ն 8182-2Ե կոչվում են էլիպսի առանցքներ՝ 28-ն մեծ առանցքն է, 2Ե-ն՝ փոքր առանցքը: Համապատասխանա ար 8-ն ն Ե-ն կոչվում են էլիպսի կիսաառանցքներ: 3. Եթե (23) հավասարումը լուծենք 7–ի նկատմամ , ապա կստանանք՝

y

Ե 2 a  x2 : a

Այս ֆունկցիայի գոյության տիրույթն է x  Վ ն առաջին քառորդի համար, եր 2-0, ապա 7-Ե ն եր 28, ապա 7-ը, նվազելով, ձգտում է 0-ի: Քանի որ, ըստ առաջին կետի, էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատական առանցքների նկատմամ , ապա ավական է նրա պատկերը կառուցել առաջին քառորդում ն սիմետրիկ ձնով շարունակել մյուս քառորդներում: Այս ոլոր ուսումնասիրությունների հիման վրա կառուցենք էլիպսը (գծ.15):

Էլիպսի էքսցենտրիսիտետն ու դիրեկտրիսները c հարա երությունը ընդունված է նշանակել  տառով ն a անվանել էլիպսի էքսցենտրիսիտետ՝



x

a 

c : Վ

(24)

r2

Ճ2

x d1

Խ Ե

F2

a 

r1 Ճ1

F1

Վ 

Վ  Գծ. 15

Քանի որ F1F2  F1Խ + F2Խ, այսինքն՝ 2c  28, ուստի c8: Հետնա ար, էլիպսի էքսցենտրիսիտետը՝ 1: Արտահայտենք էքսցենտրիսիտետը էլիպսի կիսաառանցքների միջոցով:

c  Վ 2  Ե 2 , հետնա ար

a 2  Ե2 Ե  1   : a a Այս անաձնից հետնում է, որ ինչքան -ը փոքր է, այնքան Ե-ն մոտ է գտնվում 8-ին ն հակառակը՝ ինչքան -ը մեծանում է, այնքան Ե-ն ավելի է փոքրանում 8-ից: c   a

Այս ամենը վկայում է այն մասին, որ էքսցենտրիսիտետը նորոշում է էլիպսի ձգվածության կամ սեղմվածության աստիճանը:

x

a 

ուղիղները կոչվում են էլիպսի դիրեկտրիսներ:

Քանի որ   1, ապա

Վ  Վ : Հետնա ար, դիրեկտրիսները 

ա սցիսների առանցքին ուղղահայաց ն էլիպսի գագաթներից դուրս գտնվող ուղիղներ են (գծ.15):

Ռացիոնալ անաձներ էլիպսի կիզակետային շառավիղների համար Ըստ էլիպսի սահմանման, r1+r2-28, կանոնական հավասարման դուրս երման ընթացքից հայտնի է, որ

a

x  c 2  y 2

 cx  a 2 ,այսինքն x  c2  y 2  c x  a  a  x r2  a  x a Սահմանումից լ1  2Վ  լ2  2Վ  Վ  x  Վ  x 2

Այսպիսով, էլիպսի կիզակետային շառավիղների համար ստացվում են հետնյալ ռացիոնալ անաձները՝

r1  a  x  r2  a  x

(25)

Առանց ապացույցի երենք հետնյալ թեորեմը`. էլիպսի ցանկացած կետի` կիզակետից ն համապատասխան դիրեկտրիսից ունեցած հեռավորությունների հարա երությունը հաստատուն է ն հավասար է նրա էքսցենտրիսիտետին՝

r  d

(26)

ՀԻՊԵՐԲՈԼ

Սահմանում.- Հիպեր ոլ կոչվում է այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տար երությունը կիզակետեր կոչվող տրված երկու կետերից հաստատուն մեծություն է: Հիպեր ոլի կիզակետերը ընդունված է նշանակել F1 ն F2 տառերով,

իսկ դրանց միջն եղած հեռավորությունը՝ 2c: Հիպեր ոլի կամայական Խ ընթացիկ կետի հեռավորությունները կիզակետերից նշանակում են r1-F1Խ ն r2-F2Խ ն անվանում կիզակետային շառավիղներ: Ակնհայտ է, որ այդ շառավիղների տար երությունը ացարձակ մեծությամ , որն ընդունված է նշանակել 28, փոքր է միջկիզակետային հեռավորությունից: Այսինքն՝ 28Հ2c (8Հc): Եթե կոորդինատական համակարգը ն կիզակետերը ընտրենք այնպես, ինչպես էլիպսի դեպքում, ապա, ըստ սահմանման, կարող ենք գրել, որ (27) r1-r2- 28 Խ ընթացիկ կետի կոորդինատները նշանակենք (2,7), կիզակետերի կոորդինատները ընտրված համակարգում կլինեն (c, 0) ն (-c, 0): Հաշվենք r1 ն r2 հատվածների երկարությունները ն տեղադրենք (27) հավասարության մեջ.

լ1 

x  c 2  7 2

լ2 

x  c 2  7 2

(27) հավասարությունից կունենանք.

x  c2  7 2  x  c2  7 2   2Վ :

(28)

Սա կլինի հիպեր ոլի հավասարումը: Պարզեցնելով այս հավասարումը ն նշանակելով Ե2- c2–82` կունենանք

x 2 y2   1: a 2 Ե2

(29)

Այս հավասարումը կոչվում է հիպեր ոլի կանոնական հավասարում: Հետազոտենք հիպեր ոլի հավասարումը ն կառուցենք այն: 1. Հիպեր ոլի կանոնական հավասարման մեջ 2 ն 7 փոփոխականները մտնում են քառակուսի աստիճանով: Սա նշանակում է, որ հիպեր ոլը սիմետրիկ է կոորդինատական առանցքների նկատմամ : 2. Գտնենք հիպեր ոլի հատման կետերը կոորդինատական առանցքների հետ: Այդ նպատակով (29) հավասարման մեջ տեղադրենք 7-0 ն 2-0 ու գտնենք հատման կետերը համապատասխանա ար 02 ն 07 առանցքների հետ.

y  0,

x2  1, x 2  a 2 , x  a : a2

Ուրեմն հիպեր ոլը ա սցիսների առանցքի հետ հատվում է երկու կետերում՝ Ճ1(8,0) ն Ճ2(-8,0):

y2  1, y 2   Ե 2 , y    Ե 2   Եi , Ե որտեղ i   1 ն կոչվում է կեղծ միավոր: x  0, 

Սա նշանակում է, որ հիպեր ոլը օրդինատների առանցքի հետ իրական կետերում չի հատվում: Այստեղից էլ հետնում է, որ հիպեր ոլը աղկացած է երկու թնից՝ աջ թն, որը գտնվում է աջ կիսահարթության մեջ (2 » 0) ն ձախ թն, որը գտնվում է ձախ կիսահարթության մեջ (2 Հ 0): Ճ1 ն Ճ2 կետերը կոչվում են հիպեր ոլի գագաթներ, Ճ1Ճ2-28 կոչվում է հիպեր ոլի իրական առանցք: 3. (29) հավասարումը լուծենք 7–ի նկատմամ ՝

y

Ե x2  a2 : a

(30)

Այս ֆունկցիան գոյություն ունի ոլոր այն 2-երի համար, որոնք ավարարում են x 2  a 2  0 անհավասարությանը, կամ x  Վ : Այսինքն, աջ թնը դասավորված է 28 կիսահարթությու-

r2 F2

Խ

r1 F1

Գծ.16

նում, իսկ ձախ թնը 2-8 կիսահարթությունում: Եթե դիտարկենք միայն առաջին քառորդը, ապա (30) հավասարումից հետնում է, որ 2, 7: Ստացված արդյունքների հիման վրա կառուցենք հիպեր ոլը առաջին քառորդում ն այն սիմետրիկ ձնով շարունակենք մյուս քառորդներում նույնպես (գծ.16):

Հիպեր ոլի էքսցենտրիսիտետն ու դիրեկտրիսները c հարա երությունը նշանակում են  տառով ն անվանում Վ c հիպեր ոլի էքսցենտրիսիտետ՝   : Քանի որ հիպեր ոլի հաՎ մար c  Վ , ապա   1 : Վ ուղիղները կոչվում են հիպեր ոլի դիրեկտրիսx  Վ ներ: Քանի որ 1, ապա  Վ : Հետնա ար, հիպեր ոլի դի րեկտրիսները Օ2 առանցքին ուղղահայաց ն գագաթներից ներս ընկած ուղիղներ են:

ՀԻՊԵՐԲՈԼԻ ԱՍԻՄՊՏՈՏՆԵՐԸ

Նախ սահմանենք թե որն է կոչվում տրված ֆունկցիայի ասիմպտոտ: Սահմանում.- Տրված  ուղիղը կոչվում է Լ կորի ասիմպտոտ, եթե կորի վրայով կետի անվերջորեն հեռանալու ժամանակ նրանց միջն եղած հեռավորությունը ձգտում է զրոյի (գծ.17): N (2,7)

P

Խ (2,7)

 Լ

Գծ.17

Ըստ սահմանման, liո Խթ  0 : x 

ԽթԻ -ից ԽP-ԽN cօs: Քանի որ cօs  1, ապա ԽP0, ԽN-ը նույնպես կձգտի զրոյի: Այսինքն, liո ԽԻ  0 : x 

Բայց ԽN-Մ-7, հետնա ար, ասիմպտոտի սահմանումը վերջնական տեսքով մաթեմատիկորեն կգրվի հետնյալ կերպ.

ոiո (Մ-7)-0

(31)

x 

Այժմ

Y

ցույց

տանք,

որ

Ե Y x a

ուղիղները

Ե 2 x  a 2 հիպեր ոլի ասիմպտոտներն են : Իրոք՝ a Ե Ե 2  liո ՓY  y)  liո  a x  a x  a    x  x   a Ե Ե  liո x  x 2  a 2  liո 0: a x  a x  x  x 2  a 2





Գծենք հիպեր ոլը իր ասիմպտոտներով ն դիրեկտրիսաներով հանդերձ (գծ.18) Ե y  7-Ե/Վ-x x a

a x xՎ/ 

xՎ/ x-

a

7Ե/Վ-x y



Ք1 Օ Վ/

Գծ.18

x

Ե a

x

Ելնելով հիպեր ոլի սահմանումից կարելի է ստանալ ռացիոնալ անաձներ հիպեր ոլի կիզակետային շառավիղների համար: Դրանք կունենան հետնյալ տեսքը.

լ1  լ2 լ1  լ2

 Վ  x  Վ  x աջ թնի համար  Վ  x  Վ  x ձախ թնի համար:

Ինչպես, որ էլիպսի դեպքում էր, հիպեր ոլի ոլոր կետերն էլ ավարարում են (26) հավասարմանը: Դա կարելի է ապացուցել անմիջական տեղադրման միջոցով:

ՊԱՐԱԲՈԼ Սահմանում.- Պարա ոլ կոչվում է այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունները կիզակետ կոչվող տրված մի կետից ն դիրեկտրիս կոչվող տրված մի ուղղից հավասար են միմյանց: Պարա ոլի կիզակետը նշանակենք F տառով, իսկ դիրեկտրիսը՝ ջ տառով: Կիզակետի ն դիրեկտրիսի միջն հեռավորությունը ընդունված է նշանակել ք տառով ն անվանել պարա ոլի պարամետր: g Q

զ

Խ լ

Օ

x

F

Գծ.19

Հարթության վրա մտցնենք ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգ. այնպես, որ օ2 առանցքը անցնի կիզակետով ն ուղղահայաց լինի դիրեկտրիսին (ուղղված դիրեկտրիսից դեպի կիզակետ): Կոորդինատական սկզ նակետը տեղադրենք կիզակետի ն դիրեկտրիսի մեջտեղում (գծ.19): Ընտրված համակարգում կիզակետի կոորդինատները

p 2

 

կլինեն  , 0  , իսկ դիրեկտրիսի հավասարումը՝ x  

p :

Արտածենք պարա ոլի հավասարումը ընտրված համակարգում: Հարթության վրա վերցնենք մի Խ(2,7) ընթացիկ կետ նշանակենք դրա հեռավորությունը կիզակետից r-ով (r -FԽ), իսկ դիրեկտրիսից՝ d-ով (d-ԽՕ): Ըստ սահմանման, r - d: (32) Պարա ոլի հավասարումը վերջնական տեսքով ստանալու նպատակով, հաշվենք r-ը ն d-ն ու տեղադրենք (32) հավասարման մեջ:

p  r   x    y2 2  Հետնա ար.

dx

p :

p p  x    y  x  : 2  Բերենք այս հավասարումը պարզ տեսքի. այդ նպատակով երկու կողմը արձրացնենք քառակուսի.

p p   x    y  x   2 2  

p2 p2  y 2  x 2  px  y  2px : (33) կամ Սա կլինի պարա ոլի կանոնական հավասարումը: Այժմ հետազոտենք պարա ոլի տեսքը ն կառուցենք այն: x 2  px 

1. (33) հավասարումից հետնում է, որ պարա ոլը սիմետրիկ է 02 առանցքի նկատմամ , քանի որ նրան ավարարում են ոլոր (2, 7) կետերի կոորդինատները: 2. Եր 2-0, ապա 7-0, այսինքն պարա ոլը անցնում է կոորդինատական սկզ նակետով: 3.Եթե ք » 0, ապա 2  0, այսինքն այս դեպքում պարա ոլը դասավորված է աջ կիսահարթության մեջ: Իսկ եթե քՀ 0, ապա 2  0, դա նշանակում է, որ պարա ոլը դասավորված է ձախ կիսահարթության մեջ: 4. (33) հավասարումից երնում է նան, որ 2, 7: Այժմ կառուցենք պարա ոլը (գծ.19). Եթե պարա ոլի կիզակետը տեղադրենք 07 առանցքի վրա ն օգտվելով սահմանումից դուրս երենք հավասարումը, ապա կստանանք. x 2  2py (34) Սա մի պարա ոլ է, որը սիմետրիկ է 07 առանցքի նկատմամ ն որի գագաթը նույնպես գտնվում է կոորդինատական սկզ նակետում: Ընդ որում, եթե ք » 0, ապա 7 0 ն պարա ոլը դասավորված է վերին կիսահարթության մեջ, իսկ եթե քՀ 0, ապա 70 ն պարա ոլը գտնվում է ստորին կիսահարթության մեջ: Դպրոցական ծրագրից հայտնի է այս պարա ոլը: Իրոք 1 2 (34)-ից y  x : 2p  a , կստանանք 7-822: Կամ եթե նշանակենք 2p Քանի որ, ըստ պարա ոլի սահմանման r - d, ապա կարող ենք գրել

լ  1 : Այստեղից նական է ենթադրել, որ պարա ոլի զ

էքսցենտրիսիտետը՝ -1: Այսպիսով՝ էլիպսը, հիպեր ոլը ն պարա ոլը նութագրվում են մի ընդհանուր տեսքի հավասարումով`

r  : d

Եթե Հ1, ապա այս հավասարումը պատկերում է էլիպս, եթե »1՝ հիպեր ոլ, իսկ եթե -1, ապա այդ հավասարումը պատկերում է պարա ոլ:

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ՏԱՐՐԵՐԸ

ԵՐԿՐՈՐԴ ԵՎ ԵՐՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ՈՐՈՇԻՉՆԵՐ

(ԴԵՏԵՐՄԻՆԱՆՏՆԵՐ) ԵՎ ԴՐԱՆՑ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ



a 11

a 12

a 21

a 22

 a 11a 22  a 21a 12 արտահայտությունը կոչ-

վում է երկրորդ կարգի որոշիչ, իսկ a 11 , a 12 , a 21 , a 22 թվերը` որոշիչի էլեմենտներ կամ տարրեր: Որոշիչի վերնի ձախ անկյունից ներքնի աջ անկյուն տարվող անկյունագիծը կոչվում է գլխավոր անկյունագիծ, իսկ ներքնի ձախ անկյունից վերնի աջ անկյուն տարվողը՝ երկրորդական: Փաստորեն՝ երկրորդ կարգի որոշիչը հավասար է գլխավոր անկյունագծի վրա գտնվող էլեմենտների արտադրյալից հանած երկրորդական անկյունագծի վրա գտնվող էլեմենտների արտադրյալը: Երկրորդ կարգի որոշիչը աղկացած է երկու տողից ն երկու սյունից: Էլեմենտների ինդեքսներից առաջինը ցույց է տալիս տողի համարը, իսկ երկրորդը` սյան համարը: Օրինակ. - a 21 -ը նշանակում է երկրորդ տողի ն առաջին սյան էլեմենտ: Եթե որոշիչի տողերը փոխարինենք համապատասխան սյուներով, ապա որոշիչի արժեքը չի փոխվի:

a 11

a 12

a 21

a 22



a 11

a 21

a 12

a 22

,

այսինքն՝ տողերը ն սյուները հավասարազոր են: Եթե որոշիչի երկու հաջորդական տողերի տեղերը փոխենք, ապա դրանից կփոխվի որոշիչի նշանը`

a 11

a 12

a 21

a 22



a 12

a 11

a 22

a 21

:

Հետնյալ արտահայտությունը կոչվում է երրորդ կարգի որոշիչ.

a 11

a 12

a 13

a 21 a 31

a 22 a 32

a 23  a 33

a 11a 22 a 33  a 21a 32 a 13  a 12 a 23 a 31  a 13 a 22 a 31   a 21a 12 a 33  a 32 a 23 a 11 :

Գրված հաշվման անաձնը ստացվում է հետնյալ սխեմայով. ա)

)

Այստեղ ա)-ն դրական անդամների համար է (ըստ գլխավոր անկյունագծի), )-ն երեք ացասական անդամների (ըստ երկրորդական անկյունագծի): Որոշիչների հաշվման այս մեթոդն անվանում են «եռանկյունիների» մեթոդ: Օրինակ. - Հաշվել երրորդ կարգի որոշիչը`

1 1 2  2

1  9  20  4  24  6  5  50 :

Գոյություն ունի նան երրորդ կարգի որոշիչի հաշվման զուգահեռ ուղիղների մեթոդը, ըստ որի՝ տրված որոշիչին կցագրում են առաջին երկու սյուները, տանում գլխավոր ն երկրորդական անկյունագծերն ու դրանց զուգահեռ ուղիղները, որոնք հատում են երեքական էլեմենտներ: Գլխավոր անկյունագծի ն դրան զուգահեռ ուղիղների վրա գտնվող էլեմենտների արտադրյալների գումարից ստացվում են դրական անդամները, իսկ երկրորդական անկյունագծի ն դրան զուգահեռ ուղիղների վրա գտնվող էլեմենտների արտադրյալից՝ ացասական անդամները:

а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33

а11 а12 а21 а22 - а11 а22 а33+ а21 а32 а13+ а12 а23 а31а31 а32 - а13 а22 а31- а21 а12 а33- а32 а23 а11: Համեմատելով այս արտահայտության աջ մասը վերը նշված անաձնի աջ մասի հետ՝ նկատում ենք, որ դրանք նույնն են: Օրինակ. - Հաշվել երրորդ կարգի որոշիչը` 1 1 2 1 1   2 3 1 2 3  9  4  20  24  5  6  2 :

4 5 34 5 Մանրամասն ներկայացնենք երրորդ կարգի որոշիչների հատկությունները: 1. Եթե որոշիչի տողերը փոխարինենք համապատասխան սյուներով, ապա որոշիչի արժեքը չի փոխվի (տողերի ն սյուների հավասարազորության հատկություն):

a 11

a 12

a 13

a 11

a 21

a 31

a 21

a 22

a 23  a 12

a 22

a 32 :

a 31

a 32

a 33

a 23

a 33

a 13

Այս հատկության հիման վրա հաջորդ ոլոր հատկությունները հավասարապես վերա երում են ինչպես տողերին, այնպես էլ սյուներին: 2. Եթե որոշիչի երկու հաջորդական տողերի կամ սյուների տեղերը փոխենք, ապա որոշիչի նշանը կփոխվի:

a 11

a 12

a 13

a 21

a 22

a 23

a 21 a 31

a 22 a 32

a 23   a 11 a 33 a 31

a 12 a 32

a 13 : a 33

3. Եթե որոշիչն ունի երկու նույնական տող կամ սյուն, ապա արժեքը հավասար է 0-ի:

a 11

a 11

a 13

a 21 a 31

a 21 a 31

a 23  0 a 33

4. Եթե որոշիչի որնէ տողի կամ սյան էլեմենտները 0-ներ են, ապա որոշիչի արժեքը հավասար է 0-ի: 5. Եթե որոշիչի որնէ տողում կամ սյունում կա ընդհանուր ազմապատկիչ, ապա այն կարելի է դուրս երել որոշիչից:

ka 11

a 12

a 13

a 11

a 12

a 13

ka 21

a 22

a 23  k a 21

a 22

a 23 :

ka 31

a 32

a 33

a 32

a 33

a 31

6. Եթե որոշիչի որնէ տողի կամ սյան էլեմենտները ներկայացված են երկու թվերի գումարի տեսքով, ապա այդ որոշիչը հավասար է երկու այնպիսի որոշիչների գումարի, որոնցից առաջինի համար տվյալ տողի սյան էլեմենտներն առաջին գումարելիներն են, իսկ երկրորդի համար` երկրորդ գումարելիները:

  a 11  a 11  a 21  a 21 a 31  a 31

a 12

a 13

a 22 a 32

a 23 a 33

 a 12 a 11  a 21 a 22 a 31 a 32

a 13 a 23 a 33

 a 12 a 11  a 22  a 21 a 31 a 32

a 13 a 23 a 33

7. Եթե որոշիչի որնէ տողի կամ սյան էլեմենտներին գումարենք դրան զուգահեռ տողի կամ սյան էլեմենտները՝ նախապես ազմապատկելով ինչ-որ ազմապատկիչով, ապա դրանից որոշիչի արժեքը չի փոխվի:

a 11

a 12

a 13

a 11  ka 12

a 12

a 13

a 21 a 31

a 22 a 32

a 23  a 21  ka 22 a 33 a 31  ka 32

a 22 a 32

a 23 : a 33

Ըստ նախորդ հատկության՝

a 11  ka 12

a 12

a 13

a 11

a 12

a 13

ka 12

a 12

a 13

a 21  ka 22 a 31  ka 32

a 22 a 32

a 23  a 21 a 33 a 31

a 22 a 32

a 23  ka 22 a 33 ka 32

a 22 a 32

a 23 a 33

ka 12

a 12

a 13

a 12

a 12

a 13

ka 22 ka 32

a 22 a 32

a 23  k a 22 a 33 a 32

a 22 a 32

a 23  0 : a 33

Ստացվեց այն, ինչ պետք էր ապացուցել: Մինչ հաջորդ հատկություններին անցնելը՝ ծանոթանանք գծային հանրահաշվի երկու կարնոր գաղափարների հետ: Դրանք են` մինոր ն հանրահաշվական լրացում:

a 11

a 12

a 13

Դիցուք տրված է a 21

a 22 a 32

a 23 որոշիչը: Եթե ջնջենք a 33

a 32

որոշիչի մի տող ն մի սյուն, ապա դրանից կմնա նոր որոշիչ (կարգով մեկը պակաս), որն անվանում են մինոր ն նշանակում Խ iՈ , i  1,2,3 , Ո  1,2,3 : Ջնջելով տար եր տողեր ն տար եր սյուներ՝ կստանանք տար եր մինորներ: Օրինակ, եթե ջնջենք որոշիչի առաջին տողը ն առաջին սյունը, կստանանք՝

Խ11 

a 22 a 32

a 23 a 11 , Խ 23  a 33 a 31

a 12 ն այլն: a 32

Առավել կարնոր է հանրահաշվական լրացման գաղափարը: 8iյ էլեմենտի հանրահաշվական լրացում կոչվում է այդ էլեմենտը պարունակող տողը ն սյունը ջնջելուց առաջացած մինորը՝ ազմապատկած (-1)i+յ –ով: Այն նշանակում են Ճiյ, i, Ո  1,2,3 : Այնպես որ Ճ iՈ  Փ1) i  Ո Խ iՈ :

Օրինակ. - Ճ11-Խ11, Ճ23- -Խ23:

8. Յուրաքանչյուր որոշիչ հավասար է իր որնէ սյան կամ տողի էլեմենտների ն դրանց համապատասխան հանրահաշվական լրացումների արտադրյալների գումարին, այսինքն`   a 11Ճ11  a 12 Ճ12  a 13 Ճ13 , կամ

  a 11Ճ11  a 21Ճ 21  a 31Ճ 31 ն այլն: Այս անաձներն անվանում են որոշիչի վերլուծություններ ըստ դրանց որնէ շարքի էլեմենտների: Վերոնշյալ անաձներից առաջինը վերլուծությունն է ըստ առաջին տողի էլեմենտների, իսկ երկրորդը` ըստ առաջին սյան էլեմենտների: Այս անաձնե39

րի միջոցով հաշվում են ոչ միայն երրորդ կարգի որոշիչները, այլ նան չորրորդ ն ավելի արձր կարգի որոշիչները: Ավելի արձր կարգի որոշիչները հաշվելու համար նպատակահարմար է, օգտվելով որոշիչի յոթերորդ հատկությունից, որնէ տողի կամ սյան էլեմենտներից հնարավորինս ստանալ զրոներ ն հետո վերլուծել ըստ այդ տողի կամ սյան էլեմենտների: 9. Որոշիչի որնէ տողի կամ սյան էլեմենտների ն դրանց զուգահեռ տողի կամ սյան էլեմենտների հանրահաշվական լրացումների արտադրյալների գումարը հավասար է 0-ի.   a 11Ճ 21  a 12 Ճ 22  a 13 Ճ 23  0 , որովհետն այս դեպքում ստացվում են որոշիչներ, որոնց երկու տողերը կամ սյուները նույնն են:

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ

ԼՈՒԾՈՒՄԸ: ԿՐԱՄԵՐԻ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

Որոշիչներն ունեն կարնոր կիրառություններ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ժամանակ: Դիտարկենք երեք անհայտներով երեք գծային հավասարումների համակարգը`

a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3  Ե1  a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3  Ե 2 : a x  a x  a x  Ե 32 2 33 3  31 1 Անհայտների գործակիցներից կազմված որոշիչն անվանենք համակարգի հիմնական որոշիչ ն նշանակենք

a 11

a 12

a 13

  a 21

a 22

a 23 :

a 31

a 32

a 33

21 անհայտը գտնելու համար համակարգի հավասարումները համապատասխանա ար ազմապատկենք առաջին սյան էլեմենտների հանրահաշվական լրացումներով ն գումարենք: Կստանանք՝

Փa11Ճ 21  a 21Ճ 21  a 31Ճ 31 ) x1  Փa12 Ճ11  a 22 Ճ 21  a 32 Ճ 31 ) x 2   Փa13Ճ11  a 23Ճ 21  a 33Ճ 31 ) x 3  Ե1Ճ11  Ե 2 Ճ 21  Ե3Ճ 31 , որտեղից   x 1  Ե1Ճ11  Ե 2 Ճ 21  Ե 3 Ճ 31 : 22 անհայտը գտնելու համար համակարգի հավասարումները համապատասխանա ար ազմապատկենք որոշիչի երկրորդ սյան հանրահաշվական լրացումներով ն գումարենք: Կստանանք՝   x 2  Ե1Ճ12  Ե 2 Ճ 22  Ե 3 Ճ 32 : 23 անհայտը գտնելու համար համակարգի հավասարումները համապատասխանա ար ազմապատկենք որոշիչի երրորդ սյան հանրահաշվական լրացումներով ն գումարենք: Կստանանք՝   x 3  Ե1Ճ13  Ե 2 Ճ 23  Ե 3 Ճ 33 : Այսպիսով, անհայտների որոշման համար ունենք հետնյալ հավասարությունները.

  x 1  Ե1Ճ11  Ե 2 Ճ 21  Ե 3 Ճ 31    x 1  Ե1Ճ12  Ե 2 Ճ 22  Ե 3 Ճ 32 :   x  Ե Ճ  Ե Ճ  Ե Ճ 1 13 3 33  Դժվար չէ նկատել, որ այս հավասարությունների աջ մասերը երրորդ կարգի որոշիչներ են, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ համակարգի հիմնական որոշիչից` առաջին դեպքում առաջին սյունը փոխարինելով ազատ անդամների սյունով, երկրորդ դեպքում երկրորդ սյունը փոխարինելով ազատ անդամների սյունով, երրորդ դեպքում երրորդ սյունը փոխարինելով ազատ անդամների սյունով: Այսինքն`

Ե1

a 12

a 13

Ե1Ճ11  Ե 2 Ճ 21  Ե 3 Ճ 31  Ե 2 Ե3

a 22 a 32

a 23  1 : a 33

a 11

Ե1

a 13

Ե1Ճ12  Ե 2 Ճ 22  Ե 3 Ճ 32  a 21 a 31

Ե2 Ե3

a 23   2 : a 33

a 11

a 12

Ե1

Ե1Ճ13  Ե 2 Ճ 23  Ե 3 Ճ 33  a 21 a 31

a 22 a 32

Ե2  3 : Ե3

1 ,  2 ,  3 որոշիչներն անվանում են համակարգի օժանդակ որոշիչներ:

  x 1   1  Ստացանք   x 2   2 ,   x    այստեղից որոշենք 21, 22, 23 անհայտները:

1  x 1    2  x 2    3  x 3   

անաձներն անվանում են Կրամերի անաձներ:

Այսպիսով, գծային հավասարումների համակարգը Կրամերի անաձներով լուծելու համար պետք է հաշվել , 1 ,  2 ,  3 որոշիչները ն տեղադրել անաձների մեջ: Լուծումները հետազոտելու համար դիտարկենք հետնյալ դեպքերը. 1) ենթադրենք՝   0 , այս դեպքում Կրամերի անաձներից հետնում է, որ համակարգն ունի մեկ լուծում. 2) ենթադրենք՝   0 , այց օժանդակ որոշիչներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի, այս դեպքում Կրամերի անաձներից հետնում է, որ համակարգը լուծում չունի. 3) ենթադրենք՝   0 , ն օժանդակ որոշիչները նույնպես հավասար են զրոյի, այս դեպքում համակարգն ունի անթիվ լուծումներ: Եթե Ե1  Ե 2  Ե 3  0 , համակարգը կոչվում է համասեռ հավասարումների համակարգ: Եթե համակարգի հիմնական որոշիչը`   0 , ապա համակարգի լուծումները կլինեն զրոյա42

կան, քանի որ այս դեպքում 1   2   3  0 : Որպեսզի համասեռ համակարգն ունենա ոչ զրոյական լուծում, Կրամերի անաձներից հետնում է, որ հիմնական որոշիչը պետք է հավասար լինի զրոյի Փ  0) : Օրինակ. - Կրամերի անաձներով լուծել հավասարումների հետնյալ համակարգը:

2 x 1  3x 2  x 3  1  : x 1  x 2  x 3  6 3x  x  2 x  1  1 Հաշվենք , 1 ,  2 ,  3 որոշիչները. 2 3  1

1  4  1  9  3  6  2  23 , 2

1  3 1  6 1

2 1

1  2  6  3  1  36  1  23 , 2

2  1 6 1  24  1  3  18  2  2  46 , 3 1  2 2  3 1 3  1

6  2  1  54  3  3  12  69 :

1

Ուրեմն`

x3 

x1 

1   1 ,   23

 3  69   3 : Պատ.` (1, 2, 3):   23

x2 

 2  46   2,   23

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐ ԵՎ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԴՐԱՆՑ

ՆԿԱՏՄԱՄԲ

Թվերի նշված աղյուսակը կոչվում է մատրից, իսկ այդ թվերը` մատրիցի էլեմենտներ կամ տարրեր:

 a 11   a 21  ...  a  ո1

... a 1ո   ... a 2 ո  : ... ...   ... a ոո 

a 12 a 22 a ո2

Սա ոո չափի մատրից է: Եթե մատրիցի տողերի թիվը հավասար է սյուների թվին` ո-ո, ապա այն կոչվում է քառակուսային մատրից, իսկ եթե ոո՝ ուղղանկյուն մատրից: Գոյություն ունեն նան տողային ն սյունային մատրիցներ: Այն մատրիցը, որը աղկացած է միայն մեկ տողից, կոչվում է տողային մատրից` Փa1 , a 2 , ... a ո ) , իսկ այն մատրիցը, որը աղկացած միայն

 Ե1    մեկ սյունից, կոչվում է սյունային մատրից`  Ե 2  : Ե   3 Ընդունված է մատրիցները նշանակել մեծատառերով` Ճ, 8, Շ, Ճ, Մ, ... կամ Փa iՈ ) , որտեղ i  1,2,3,..., ո : Ո  1,2,3,..., ո : Մանրամասն ուսումնասիրենք քառակուսային մատրիցները ն որպես օրինակ դիտարկենք երրորդ կարգի քառակուսային մատրիցը`

 a 11  Ճ   a 21 a  31

a 12 a 22 a 32

a 13   a 23  : a 33 

Ամեն մի քառակուսային մատրից ունի իր որոշիչը, որն ընդունված է նշանակել՝

a 11

a 12

a 13

Ճ  a 21 a 31

a 22 a 32

a 23  det Ճ : a 33

Այն քառակուսային մատրիցը, որի որոշիչը հավասար է զրոյի ՓՃ  0) , կոչվում է եզակի մատրից, իսկ եթե Ճ  0 , ապա այն կոչվում է ոչ եզակի մատրից: Ճ մատրիցի՝ զրոյից տար եր մինորի ամենա արձր կարգը կոչվում է այդ մատրիցի ռանգ ն նշանակվում r8ոջՃ: Եթե մատրիցի տողերը փոխարինենք համապատասխան սյուներով, ապա կստանանք նոր մատրից, որն անվանում են տրանսպոնացված մատրից ն նշանակում Ճ/:

 a 11  Ճ   a 12 a  13

a 21

a 22 a 23

a 31   a 32  : a 33 

Եթե մատրիցի ոլոր էլեմենտները զրոներ են, ապա այն կոչվում է զրոյական մատրից, իսկ եթե մատրիցի ոլոր էլեմենտները զրոներ են ( ացի անկյունագծի վրա դասավորված էլեմենտներից), ապա այն կոչվում է անկյունագծային մատրից`

 a 11   0  0 

a 22

0   0 : a 33 

Այն անկյունագծային մատրիցը, որի անկյունագծի էլեմենտները հավասար են մեկի, կոչվում է միավոր մատրից ն նշանակվում Է տառով`

1 0 0   Է   0 1 0 : 0 0 1   Տրանսպոնացված մատրիցի էլեմենտների հանրահաշվական լրացումներից կազմված մատրիցը կոչվում է կցված մատրից ն նշանակվում Ճ*:

 Ճ11 Ճ 21 Ճ 31    Ճ   Ճ12 Ճ 22 Ճ 32  : Ճ   13 Ճ 23 Ճ 33  Լ. Երկու մատրիցների գումարումը *

Դիցուք տրված են Ճ ն 8 մատրիցները.

 a 11  Ճ   a 21 a  31

a 12 a 22 a 32

a 13   Ե11   a 23  , B   Ե 21 Ե a 33   31

Ե12 Ե 22 Ե 32

Ե13   Ե 23  : Ե 33 

Այս մատրիցների գումար մատրիցը կազմելու համար ավական է դրանց համապատասխան էլեմենտները գումարել՝

 a 11  Ե11 a 11  Ե11 a 11  Ե11    Ճ  B   a 11  Ե11 a 11  Ե11 a 11  Ե11  : a  Ե a 11  Ե11 a 11  Ե11   11 ԼԼ. Մատրիցի ազմապատկումը է ազմապատկիչով Ճ մատրիցը ինչ-որ k ազմապատկիչով ազմապատկելու համար պետք է դրա ոլոր էլեմենտները ազմապատկել այդ թվով`

 ka 11  kՃ   ka 21  ka  31 ԼԼԼ. Երկու մատրիցների

ka 13   ka 22 ka 23  : ka 32 ka 33  ազմապատկումը ka 12

Երկու մատրիցներ կարելի է ազմապատկել, եթե առաջին մատրիցի սյուների քանակը հավասար է երկրորդ մատրիցի տողերի քանակին:

 a 11  Ճ   a 21 a  31

a 12 a 22 a 32

a 13   Ե11   a 23  , B   Ե 21 Ե a 33   31

Ե12 Ե 22 Ե 32

Ե13   Ե 23  : Ե 33 

Նշանակենք Շ-Ճ8, C iՈ 

a k 1

ik

Ե kՈ : Փi  1,2,3, Ո  1,2,3) ,

այսինքն՝  a11Ե11a12Ե21a13Ե31 a11Ե12 a12Ե22 a13Ե32 a11Ե13a12Ե23a13Ե33    ՃBa21Ե11a22Ե21a23Ե31 a21Ե12 a22Ե22 a23Ե32 a21Ե13a22Ե23a23Ե33 a Ե a Ե a Ե a Ե a Ե a Ե a Ե a Ե a Ե   31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33

1 0 0  0 1 0  0 1 0       Օրինակ.- Ճ   0 2 1  , B   2 0 1  , ՃB   5 0 3  ,  3 0 0 1 0 1  0 3 0       0 2 1   BՃ   5 0 0  :  4 0 0   Բազմապատկման կանոնից ն այս օրինակից գալիս ենք այն եզրակացության, որ ընդհանուր դեպքում մատրիցները ազմապատկելիս տեղափոխման օրենքը չի գործում: Ճ88Ճ: Բացառություն է կազմում միավոր մատրիցով ազմապատկելը` ՃԷ-ԷՃ-Ճ, այսինքն` Է-ն մատրիցների տեսության մեջ կատարում է 1-ի դերը:

ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՄԱՏՐԻՑ ԵՎ ԴՐԱ ԳՏՆԵԼԸ

Սահմանում. - Տրված Ճ մատրիցի հակադարձ կոչվում է այն մատրիցը, որը ազմապատկելով Ճ մատրիցով՝ ինչպես ձախից, այնպես էլ աջից ստացվում է միավոր մատրից: Ճ հակադարձը ընդունված է նշանակել Ճ-1, այնպես որ ըստ սահմանման՝ ՃՃ-1-Ճ-1Ճ-Է: Ապացուցենք, որ եթե Ճ մատրիցի որոշիչը հավասար չէ զրոյի Ճ  0  , ապա Ճ 1 

1 * Ճ : Եթե Ճ  0 , ապա այդ Ճ

մատրիցը հակադարձ չունի:

Կազմենք ՃՃ-1 մատրիցը. եթե այս արտադրյալը տվեց միավոր մատրից, ուրեմն վերոնշյալ անաձնն ապացուցված է:  a11 a12   a 21 a 22 a  31 a 32

 Ճ11  a13    Ճ12 a 23   a 33  Ճ13   

Ճ 21  Ճ 22  Ճ 23 

 a11Ճ11  a12Ճ12  a13Ճ13    a Ճ  a Ճ  a 23Ճ13   21 11 22 12  a Ճ a Ճ a Ճ 31 11 32 12 33 13   

Ճ31     Ճ32      Ճ33    a11Ճ 21  a12Ճ 22  a13Ճ 23  a 21Ճ 21  a 22Ճ 22  a 23Ճ 23  a 31Ճ 21  a 32Ճ 22  a 33Ճ 23 

a11Ճ31  a12Ճ32  a13Ճ33     a 21Ճ31  a 22 Ճ32  a 23Ճ33    a 31Ճ31  a 32 Ճ32  a 33Ճ33    

1 0 0    0 1 0  Է : 0 0 1  

a11Ճ11  a12Ճ12  a13Ճ13  a Ճ a Ճ a Ճ    1 , 11 11 12 12 13 13   1 ,     a11Ճ11  a12 Ճ12  a13Ճ13    1 , մնացած էլեմենտների համարիչները  

Քանի որ

հավասար են զրոյի: Այսպիսով, մատրիցի հակադարձը գտնելու համար անհրաժեշտ է՝ ա) հաշվել Ճ -ն, եթե А  0 , ) հաշվել տրված մատրիցի էլեմենտների հանրահաշվական լրացումները ՓՃ11 , Ճ12, ...) , գ) կազմել Ճ * կցված մատրիցը, դ) ստացված արդյունքները տեղադրել Ճ 1 

1 * Ճ աՃ

նաձնի մեջ:

 1 2 1   Օրինակ.- Գտնել Ճ   2 1 1 մատրիցի հակադարձը:  1 3 1  

1 2 1 1. Ճ  2 1 1  1  6  2  1  4  3  1 : 1 3 1 2. Ճ11--2, Ճ21-1, Ճ31-1, Ճ12--1, Ճ22-0, Ճ32-1, Ճ13-5, Ճ23--1, Ճ33--3: 1   2 1   * 3. Ճ    1 0 1 :  5  1  3  

1  1   2 1  2 1     1 * 4. Ճ  1 : Ճ  1   1 0 1    1 0 Ճ  5  1  3  5  1  3     1

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ ԳՐԱՌՈՒՄԸ ԵՎ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՄԱՏՐԻՑԻ ՕԳՆՈՒԹՅԱՄԲ

Որպես օրինակ վերցնենք երեք անհայտով երեք գծային հավասարումների համակարգը՝

a11x1  a12 x 2  a13 x 3  Ե1  a 21x1  a 22 x 2  a 23 x 3  Ե 2 : a x  a x  a x  Ե  31 1 32 2 33 3 3  a 11 a 12 a 13   x1   Ե1        Եթե նշանակենք Ճ   a 21 a 22 a 23  , X   x 2  , B   Ե 2  , a  x  Ե   31 a 32 a 33   3  3 ապա տրված համակարգը կարելի է գրել հետնյալ մատրիցային հավասարման տեսքով` ՃՃ-8: Այս մատրիցային հավասարումը լուծելու համար երկու կողմը ձախից ազմապատկենք Ճ-1 հակադարձ մատրիցով, կստանանք Ճ-1ՃՃ- Ճ-18, Ճ-1Ճ-Է, ԷX- Ճ-1B, ԷX-X, հետնաար՝ Ճ- Ճ-18: Նախապես որոշելով Ճ-1 հակադարձ մատրիցը ն

այն

 x1    ազմապատկելով 8 մատրիցով՝ կստանանք X   x 2  x   3

մատրիցը, այսինքն` տրված համակարգի լուծումը:

Օրինակ. - Հակադարձ մատրիցի օգնությամ լուծել գծային հավասարումների հետնյալ համակարգը.

3x 1  2 x 2  x 3  0  2 x 1  x 2  x 3  1 :  x  3x  x  2  1  1 2 1  x1  0       Նշանակենք Ճ   2 1 1 , X   x 2  , B   1  ,  1 3 1 x   2    3   կստանանք ՃՃ-8, որի լուծումն է Ճ-Ճ-18,

1   2 1 1  0   3   2 1        Ճ   1 0 1  , X    1 0 1  1     2  :  5  1  3  5  1  3  2    7         1

Պատ.` 21-3, 21--2, 21--7:

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ

ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՆՀԱՅՏՆԵՐԻ ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆ

ԱՐՏԱՔՍՄԱՆ ՄԵԹՈԴ ԿԱՄ ԳԱՈՒՍԻ ՄԵԹՈԴ

Դիցուք տրված է գծային հավասարումների համակարգ`

a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3  Ե1  a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3  Ե 2 : a x  a x  a x  Ե 32 2 33 3  31 1

Գաուսի մեթոդը աղկացած է երկու քայլից` ուղիղ քայլ ն հակադարձ քայլ: Ըստ այս մեթոդի՝ արտաքսում ենք 21 անհայտը համակարգի ոլոր հավասարումներից՝ ացի առաջինից: Դրա համար ավական է համակարգի երկրորդ ն երրորդ հավասարումների երկու կողմերը ազմապատկել ինչ-որ ազմապատկիչով՝ հավասարեցնելով 21 անհայտի գործակիցը առաջին հավասարման 21 անհայտի գործակցին, առաջին հավասարումից հերթով հանել նոր ստացված հավասարումները: Կստանանք՝

a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3  Ե1  a 22 x 2  a 23 x 3  Ե2 :   a 32 x 2  a 33 x 3  Ե3  Նույն կերպ արտաքսենք 22 անհայտը այս համակարգի ոլոր հավասարումներից ( ացի առաջին երկուսից): Կստանանք՝

a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3  Ե1  a 22 x 2  a 23 x 3  Ե2 :   a 33 x 3  Ե3  Գաուսի մեթոդի ուղիղ քայլն ավարտվեց: Այժմ վերջին համակարգի վերջին հավասարումից որոշենք 23 անհայտը` x 3 

Ե3 : a 3

Տեղադրելով 23-ի այս արժեքը երկրորդ հավասարման մեջ՝ որոշենք 22 անհայտը: Արդեն 22-ի ն 23-ի հայտնի արժեքները տեղադրելով համակարգի առաջին հավասարման մեջ՝ կորոշենք 21 անհայտը: Սա էլ Գաուսի մեթոդի հակադարձ քայլն է: Գործնականում համակարգը Գաուսի մեթոդով լուծելու համար կարելի է դուս գրել անհայտների գործակիցներից կազմված ընդլայնված մատրիցը ն նույնական ձնափոխություններով զրոներ դարձնել գլխավոր անկյունագծից ներքն դասավորված էլեմենտները, ինչից հետո կիրառել հակադարձ քայլը:

 a 11   a 21 a  31

a 12 a 22 a 32

a 13  Ե1  a 11   a 23  Ե 2       0  0 a 33  Ե 3 

a 12 a 22

a 13  Ե1  a 22  Ե2 : а 33  Ե2

Օրինակ.- Գաուսի մեթոդով լուծել համակարգը՝ x 1  2 x 2  x 3  4  3x 1  5x 2  3x 3  1 : 2 x  7 x  x  8  1 Անհայտների գործակիցներից կազմենք ընդլայնված մատրիցը՝ 1 4 1  4 1  4 1 2 1 2 1 2        3  5 3  1   0  11 0   11   0  11 0   11 :  2 7  1 8  0 3  3 0  0 0  3  3       Ստորին տողից -323--3, 23-1, երկրորդ տողից -1122--11, 22-1 ն առաջին տողից 21+21+11-4, 21-1: Պատ.` (1:1:1):

ՍԱՀՄԱՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Մաթեմատիկական մեծության գաղափարը Մաթեմատիկայում «մեծություն» անվան տակ հասկացվում է այն ամենը, ինչը ենթակա է չափման: Այստեղ հարկ է նշել, որ մեծության ֆիզիկական էությունը մեզ համար նշանակություն չունի: Այդ իսկ պատճառով մաթեմատիկայի ոլոր եզրակացություններն օժտված են ընդհանրությամ , դրանք կիրառելի են ոլոր մեծությունների նկատմամ ընդհանրապես: Նման տիպի մեծությունները կոչվում են մաթեմատիկական մեծություններ: Մեծության չափման արդյունքը արտահայտվում է թվով, որը կոչվում է նրա թվային արժեք: Մաթեմատիկական մեծությունները լինում են հաստատուն ն փոփոխական: Հաստատուն մեծություն կոչվում է այն մեծությունը, որն ընդունում է միննույն թվային արժեքը: Օրինակ՝ հավասարաչափ ուղղագիծ շարժման արագությունը հաստատուն մեծություն է:

Փոփոխական մեծություն կոչվում է այն մեծությունը, որն ընդունում է տար եր թվային արժեքներ: Օրինակ՝ որոշակի զանգվածի գազի ճնշումն ու ծավալը փոփոխական մեծություններ են: Հաստատուն մեծություններն ընդունված է նշանակել 8, Ե, c, . . . , , , . . . տառերով, իսկ փոփոխական մեծությունները 2,7,2, . . . ,,. . .տառերով:

Փոփոխական մեծության ն հաջորդականության սահմանը Սահմանում. – 8 հաստատուն թիվը կոչվում է 2 փոփոխական մեծության սահման, եթե սկսած ինչ-որ մի արժեքից 2-8 կամ 8-2 տար երության ացարձակ արժեքը դառնում է ն միշտ մնում փոքր, քան ցանկացած, նախապես վերցրած, ավականաչափ փոքր »0 թիվը: Այսինքն, եթե |2-8|Հ : Եթե 8-ն 2-ի սահմանն է,ապա գրում են, որ liո2-8 կամ 28 (սահման 2 հավասար է 8, լիմենս 2 հավասար է 8, 2 ձգտում է 8): Պարզ է, որ հաստատուն մեծության սահմանը հավասար կլինի հենց իրեն: Եթե x փոփոխական մեծության արժեքները համարակալված են ն դասավորված որոշակի կարգով, ապա այդպիսի փոփոխական մեծությանը անվանում են կարգավորված փոփոխական մեծություն կամ հաջորդականություն ն նշանակում են xո-ով, որտեղ ո-ը փոփոխական մեծության արժեքի համարն է: ո-ին տալով տար եր արժեքներ` ո1,2,3,...N, N+1, ... , կստանանք x1, x2, x3, ... , xո ... հաջորդականությունը: Հաջորդականությունը ընդունված է նշանակել x ո  ձնով: Սահմանում.- a հաստատուն թիվը կոչվում է x ո  հաջորդակա-

նության սահման, եթե ցանկացած նախապես տրված, ավականաչափ փոքր 0 թվի համար կարելի է նշել մի այնպիսի ո-N համար, որ x ո  a   , հենց որ ոԻ-ից: Եթե 8 թիվը հանդիսանում է xո հաջորդականության սահմանը, ապա այդ գրում են հետնյալ ձնով` liո x ո  a : ո 

Օրինակ.- 2ո փոփոխական մեծության սահմանը, որը ո-ի անսահման մեծացման հետ միասին ընդունում է հաջորդա ար 21-0,9: 22-0,99: 23-0,999:…,հավասար է 1: Իրոք, ո-1-2ո տար երությունը հաջորդա ար ընդունում է հետնյալ արժեքները: 1 -1-0,9-0,1: 2-1-0,99-0,01: 3-1-0,999-0,001… ն ակնհայտ է, որ սկսած մի արժեքից այդ տար երությունը դառնում է ավելի փոքր, քան ցանկացած նախապես վերցրած, ավականաչափ փոքր »0 թիվը:

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆԸ

Սահմանում.- 7 փոփոխականը 2 փոփոխականի ֆունկցիան է, եթե 2-ի յուրաքանչյուր արժեքին հանապատասխանում է 7-ի որոշակի արժեք: 2-ի այն արժեքների ազմությունը, որոնց համար գոյություն ունի 7-ի որոշակի արժեք, կոչվում է ֆունկցիայի գոյության կամ որոշման տիրույթ: Եթե 2-ի մեկ արժեքին համապատասխանում է 7-ի միայն մեկ արժեք, ապա ֆունկցիան կոչվում է միարժեք ֆունկցիա: 2 փոփոխականը կոչվում է անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ 7 փոփոխականը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիա: Մեզ շրջապատող իրականության մեջ կարելի է նշել ազմաթիվ ֆունկցիոնալ կախման օրինակներ՝ օդի ջերմաստիճանի կախումը ժամանակից, շրջանագծի մակերեսի կախումը շառավղից ն այլն: Ընդհանուր դեպքում ֆունկցիան նշանակում են 7-1(2) տեսքով, որտեղ 1-ը կոչվում է ֆունկցիայի սիմվոլ ն ցույց է տալիս, թե արգումենտի (2) նկատմամ ինչպիսի մաթեմատիկական գործողություններ պետք է կատարել, որպեսզի ստացվի ֆունկցիայի (7) արժեքը: Բերենք մի քանի օրինակներ՝

y  x 2 , y  siո x, y 

x 1 ն այլն: 2x  5

Ֆունկցիան կարելի է տալ երեք եղանակով.

1. Վերլուծական, այսինքն 7-1(2) տեսքով ( անաձնի օգնությամ ): 2. Աղյուսակի տեսքով: 3. Գրաֆիկական: Քանի որ ֆունկցիաների տարրական տեսությունը մեզ հայտնի է մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրից ուստի միանգամից անցնենք ֆունկցիայի սահմանի ձնակերպմանը: Սահմանում. - Ե թիվը կոչվում է 7-1(2) ֆունկցիայի սահման 2-ը 8-ին ձգտելիս՝ եթե 2-ի 8-ին ավականաչափ մոտ գտնվող արժեքներին համապատասխանում են 7-ի Ե-ին շատ մոտ գտնվող արժեքներ: Այսինքն, եթե ցանկացած, նախապես տրված, ավականաչափ փոքր 0 թվի համար կարելի է նշել այնպիսի ավականաչափ փոքր 0 թիվ, որ 1(2)-Ե, հենց որ 2-8: Եթե Ե-ն 1(2)-ի սահմանն է, ապա դա գրում ենք  iո f x   Ե ու կարդում՝ սահման 1(2) հավասար է Ե-ի: x a

Երկրաչափորեն ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կարելի է մեկնա անել գծագիր 20-ի օգնությամ : Գծագրից հետնում է, որ եթե Ե թիվը 1(2)-ի սահմանն է 2-ը 8-ին ձգտելիս, ապա դա երկրաչափորեն նշանակում է, որ 8 կետի  շրջակայքից վերցրած ամեն մի 2-ին պետք է համապատասխանեն 7-ի այնպիսի արժեքներ, որոնք ընկած են Ե կետի  շրջակայքում: 71Րx)

Ե+  Ե

1Րx) Ե

Ե-

1Րx)

Օ

x Վ-

x Վ

Գծ. 20

Վ+ 

Անվերջ փոքր ն անվերջ մեծ մեծություններ, անվերջ փոքրերի հատկությունները ն համեմատումը Սահմանում 1.- -ն կոչվում է անվերջ փոքր մեծություն, եթե այն ացարձակ արժեքով փոքր է, քան ցանկացած, նախապես տրված, ավականաչափ փոքր 0 թիվը: Այսինքն, եթե : Այստեղից հետնում է, որ 0: Եվ կարող ենք ասել, որ զրոյի ձգտող մեծությունը կոչվում է անվերջ փոքր մեծություն: Սահմանում 2.- Z-ը կոչվում է անվերջ մեծ մեծության, եթե այն ացարձակ արժեքով մեծ է, քան ցանկացած, նախապես տրված, ավականաչափ մեծ Խ0 թիվը: Այսինքն, եթե ZԽ: Այստեղից էլ հետնում է, որ Z: Եվ կարող ենք ասել, որ անսահմանության ձգտող մեծությունը կոչվում է անվերջ մեծ մեծություն:

Հատկությունները.

1. Անվերջ փոքր մեծության հակադարձը անվերջ մեծ մեծություն է ն հակառակը՝ անվերջ մեծ մեծության հակադարձը անվերջ փոքր մեծություն է:Այսինքն, եթե 0, ապա

  ն հակառակը՝ եթե Z, ապա  0 :  Z

2. Վերջավոր թվով անվերջ փոքրերի գումարը անվերջ փոքր մեծություն է: 3. Անվերջ փոքր մեծության ն հաստատուն մեծության արտադրյալը անվերջ փոքր մեծություն է: 4. Անվերջ փոքր մեծության ն վերջավոր մեծության հարաերությունը անվերջ փոքր մեծություն է: Համեմատումը .- Համեմատել երկու անվերջ փոքր մեծություններ նշանակում է ուսումնասիրել դրանց հարա երության սահմանը: Դիտարկենք հետնյալ դեպքերը՝ 1. Եթե iո

  Ճ  0 , ապա  -ն ն -ն կոչվում են միննույն 

կարգի անվերջ փոքր մեծություններ:

2. Եթե iո

  0 , ապա  -ն կոչվում է ավելի արձր կարգի 

անվերջ փոքր մեծություն, քան -ն: 3. Եթե iո

  1 , ապա  -ն ն -ն կոչվում են համարժեք 

անվերջ փոքր մեծություններ:

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ ՍԱՀՄԱՆՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

ԹԵՈՐԵՄ 1. Սահմանների տեսության ֆունդամենտալ թեորեմը. Եթե a հաստատունը 2 փոփոխականի սահմանն է, այսինքն liո x  a , ապա այն կարելի է ներկայացնել իր սահմանի ն մի անվերջ փոքր մեծության գումարի տեսքով՝ x  a  , որտեղ 0: Եվ հակառակը՝ եթե փոփոխականը ներկայացված է ինչոր մի 8 հաստատունի ն մի  անվերջ փոքր մեծության գումարի տեսքով՝ x  a  , ապա այդ հաստատուն գումարելին x փոփոխականի սահմանն է՝ liո x  a ԹԵՈՐԵՄ 2. Վերջավոր թվով ֆունկցիանների (փոփոխականների) հանրահաշվական գումարի սահմանը հավասար է առանձին գումարելինների սահմանների հանրահաշվական գումարին: liո[ս  v  w  ...]  liո ս  liո v  liո w  ... : ԹԵՈՐԵՄ 3. Արտադրյալի սահմանը հավասար է առանձին արտադրիչների սահմանների արտադրյալին liոս  v   liո ս  liո v : Հետնանք.- Հաստատուն ազմապատկիչը կարելի է դուրս հանել սահմանի նշանի տակից. liոcս   c liո ս ԹԵՈՐԵՄ 4. Կոտորակի սահմանը հավասար է համարիչի ն հայտարարի սահմանների քանորդին:

liո

ս liո ս :  v liո v

ԹԵՈՐԵՄ 5. Եթե փոփոխականը կամ ֆունկցիան սահմանափակված է երկու այլ փոփոխականներով կամ ֆունկցիաներով,

որոնք ունեն ընդհանուր սահման, ապա այդ փոփոխականը (ֆունկցիան) ձգտում է նույն սահմանին: Թող 1 2   2   ջ 2  ն liո f x   liո gx   Ե, այդ

դեպքում liո 2   Ե : ԹԵՈՐԵՄ 6. Անվերջ փոքր աղեղի սինուսի ն այդ աղեղի հարա երության սահմանը, արտահայտված ռադիաներով siո  հավասար է մեկի, այսինքն՝ liո -1:  0  Այս անաձնը կոչվում է առաջին նշանավոր սահման: Տանք այս թեորեմի ապացույցը: Ապացույց.- Քանի որ  աղեղը ձգտում է զրոյի, ապա կարելի է վերցնել 0   

 (գծ. 21):

B

Շ

 Օ

R

D

A

Գծ.21

Վերցնենք R շառավղով շրջագիծ ն  կենտրոնական անկյունը: Գծագրից ակնհայտ է, անկյան վրա կառուցված ՕBՃ , սեկտոր Օ8Ճ, ՕCՃ երկրաչափական պատկերների մակերեսները ավարարում են ՏՕՃB  Տë»ÏOAB  ՏՕՃC անհավասարությանը: Հաշվենք այս պատկերների մակերեսները, օգտվելով տարրական երկրաչափության անաձներից R2 ՏՕՃB  siո 

1   ՃB R  R 2 R2

Տ ՕՃC  R  Rtg 

tg : Տեղադրենք այս արժեքները վերոհիշյալ անհավասարության մեջ: Տ սեկ.ՕՃB 

R2 R2 R2 siո    tg

Կստանանք կրճատելով

R2 -ով siո     tg :

Բաժանելով siո  -ի վրա՝ կունենաք 1  կամ 1 

siո   c0s  : 

Անցնենք սահմանի, եր

  0 1  liո

 0

կամ,

  siո  c0s 

siո   liո c0s   0 

Քանի որ liո c0s  -1, ապա 5-րդ թեորեմի համաձայն, կարող  0

ենք գրել, որ

siո   1 , այն, ինչ պահանջվում էր  0  liո

ապացուցել: ո

1  ԹԵՈՐԵՄ 7. 1   արտահայտությունը, եր ո 

ո-ը անվեր-

ջորեն աճում է, ձգտում է մի սահմանի, որը սահմանափակված է 2 ն 3 թվերի արանքում: ո

1  2  1    3 : ո 

 ո 

Այդ սահմանը կոչվում է e թիվ: Այսպիսով՝ liո 1  Այդ թվի մոտավոր արժեքն է՝ e  2,71828...

ո

1  e : ո

Եթե լոգարիթմի հիմքը e թիվն է, ապա այդպիսի լոգարիթմները կոչվում են նական լոգարիթմներ ն նշանակվում են հետնյալ ձնով. lո x  l0g e x :

Սահմանների հաշվման օրինակներ. siո 5x 5  siո 5x siո 5x  liո  5 liո  5 1  5 : x 0 x 0 x 0 5 x x 5x x x 2 siո 2 2 siո 2 1  c0s x 2  liո 2 1:  liո 2. liո x 0 x 0 x 0 x x x 4

1.

liո

x

 x 1 x 1   x 1   x    liո  liո1   1  liո 1      x  x  1 x  x    x 1     x  1  3. x

x  liո x 1

 e x 

x

 e 1  : e

Անորոշություններ ն դրանց ացման տարրական եղանակները Գոյություն ունեն յոթ տիպի անորոշություններ՝ 1. Եթե 1(2) ն (2) ֆունկցիաները միաժամանակ ձգտում են զրոյի (1(2)0, (2)0), ապա դրանց րությունը տալիս է

f x  հարա եx 

տիպի անորոշություն:

2. Եթե 1(2) ն (2) ֆունկցիաները միաժամանակ ձգտում են անսահմանության (1(2), (2)), ապա դրանց

 f x  հարա երությունը տալիս է տիպի անորոշուx  

թյուն:

3. Եթե 1(2)0, իսկ (2), ապա դրանց 1(2)(2) արտադրյալը տալիս է 0   տիպի անորոշություն: 4. Եթե 1(2), (2), ապա դրանց 1(2) - (2) տար երությունը տալիս է - տիպի անորոշություն: 5. Եթե 1(2)-ը ն (2)-ը միաժամանակ ձգտում են զրոյի, ապա (1(2))(2) արտահայտությունը տալիս է 00 տիպի անորոշություն: 6. Եթե 1(2), (2)0, ապա (1(2))(2)-ը տալիս է 0 տիպի անորոշության: 7. Եթե 1(2)1, (2) , ապա (1(2))(2) արտահայտությունը տալիս է 1 տիպի անորոշություն:

Անորոշությունների ացման օրինակներ 1.

iո x 2

x 2  5x  6 x2

Անմիջական

սահմանային

անցում

կատարելով՝

ստացվում է տիպի անորոշություն: Անորոշությունը ացելու համար ավական է համարիչը վերլուծել արտադրիչների ն կրճատել.

x  2x  3  iոx  3  1 x 2  5x  6 iո  iո x 2 x  x 2 x2 x2 x 3  3x 2  1 : 2. iո x  2 x 3  x  7  Սա տալիս է տիպի անորոշություն: Նման դեպքերում 

անորոշությունը ացելու համար ավական է կոտորակի համարիչը ն հայտարարը անդամ առ անդամ աժանել 2-ի ամենա արձր ցուցիչով անդամի վրա:

3 1 1  2 x 3  3x 2  1 x x 1 Կստանանք՝ iո  iո x  2 x  x  7 x  2 2  3 x x Կատարելով սահմանային անցում՝ կստանանք : Հաջորդ տիպի անորոշություների ացումը կատարելու համար դրանք նույնական ձնափոխությունների միջոցով նախապես երվում են նախորդ տիպերից որնիցե մեկին ն շարունակում արդեն հայտնի մեթոդով: Անորոշությունների ացումն ունի հիմնականում գործնական նույթ ն այն մշակվում է գերազանցապես գործնական պարապունքների ժամանակ:

Վարժություններ՝

siո x  siո a ; x a xa

siո ax : x0 siո Եx

2. liո

1. liո

x

1   3. liո 1   ; x  kx 

4. liո

x 1

x 2  3x  2

x 1

;

5. liո 2 4

2 2 24

ԱԾԱՆՑՅԱԼ ԵՎ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

Ածանցյալի էությունը պարզելու համար դիտարկենք մի խնդիր: Արագության խնդիր.- Ենթադրենք, Խ նյութական կետը կատարում է ուղղագիծ անհավասարաչափ շարժում: Դիցուք այն շարժվում է Խ0 դիրքից ն ժամանակի է պահին անցել է Խ0Խ-Տ ճանապարհ: Պարզ, է որ կետի անցած ճանապարհը կլինի ժամանակի ֆունկցիա ն եթե տրված է Տ-ի ն է-ի ֆունկցիոնալ կախումը՝ Տ-1(է),ապա ասում են, որ տված է շարժման օրենքը:

Խ0

Խ1

Խ Տ Գծ.22

Ենթադրենք, է+է ժամանակամիջոցում կետը անցել է ՕԽ1-Տ+Տ ճանապարհ: է ժամանակամիջոցին կհամապատասխանի Տ ճանապարհը:

Տ հարա երությունը տալիս է է ժամանակամիջոցում է

մարմնի շարժման միջին արագությունը, որը նշանակում են v միջ -ով:

v միջ 

Տ : t

Եթե մարմինը շարժվում է անհավասարաչափ, ապա միջին արագությունը փոփոխվում է կախված է-ից: Ուստի

Տ t

հարա երությունը լրիվ չի նորոշում շարժումը: Ուստի մտցնենք t մոմենտում շարժման ակնթարթային արագության գաղափարը: Անհավասարաչափ շարժման արագություն տվյալ պահին կամ ակնթարթային արագություն կոչվում է միջին արագության սահմանը, եր է0: Եթե ակնթարթային արագությունը նշանակենք v -ով, ապա ըստ սահմանման

Տ : t 0 t 0 t Եթե շարժման օրենքը տրված է Տ  f t  անաձնով, ապա f t  t   f t  Տ-1(է+է) –1(է) ն v  liո :  t 0 t v  liո v միջ  liո

Որպես օրինակ դիտարկենք ազատ ընկնող մարմնի շարժումը: Հայտնի է, որ այդ շարժումը տեղի է ունենում g հաստա-

տուն արագացմամ , հետնյալ օրենքով՝ Տ 

1 2 gt , որտեղ Տ -ը

անցած ճանապարհն է, t -ն ժամանակը: Այս դեպքում միջին արագությունը կլինի

v միջ

gt  t   gt 2 Տ 2    g2t  t  t t

Անցնենք

սահմանի,

եր

է0:

Կստանանք՝

Տ v  liո  liո g2t  t   gt : Այսինքն` v-ջէ: Այսպիսով,  t 0 t  t 0 2 ազատ անկման ժամանակ մարմնի ակնթարթային արագությունը որոշվում է v-ջէ անաձնով:

Ածանցյալի սահմանումը Քանի որ նման ձնով կարելի է լուծել ազմաթիվ խնդիրներ, ուստի հարցը դիտարկենք ընդհանուր դրվածքով: Ենթադրենք, ունենք մի 7-1(2) ֆունկցիա, որը որոշված ու անընդհատ է |8:Ե| միջակայքում: Արգումենտին տանք 2 աճ ն հաշվենք ֆունկցիայի աճած արժեքը՝ 7+7-1(2+2): Ֆունկցիայի աճած արժեքից հանենք սկզ նական արժեքը ն որոշենք նրա 7 աճը՝

 y  y  f x  x    f x  y : y  f x  x   f x 

Կազմենք ֆունկցիայի աճի ն արգումենտի աճի հարա երությունը.

7 1 2  2   1 2   : 2 2 Այն ցույց է տալիս y ֆունկցիայի փոփոխման միջին արագությունը x արգումենտի փոփոխման համեմատությամ , եր վերջինս փոփոխվել է x արժեքից մինչն x  x արժեքը:

Վերը ստացած հավասարության մեջ անցնենք սահմանի,

y f x  x   f x   liո : x 0 x x  0 x

եր x  0 : liո

Սահմանում.- ֆունկցիայի աճի ն արգումենտի աճի հարաերության սահմանը, եր վերջինս ձգտում է զրոյի, կոչվում է այդ ֆունկցիայի ածանցյալ ն նշանակվում է հետնյալ ձնով՝ 7-1 (2) կամ

dy df x  կամ 72:  dx dx

Այսպիսով, ըստ սահմանման,

yx  liո

x 0

y f x  x   f x  dy  liո  :  x  x x dx

Վերադառնանք դիտարկված խնդրին: Ապացուցվել է, որ ուղղագիծ անհավասարաչափ շարժման ակնթարթային

Տ : Նկատի ունենալով ածանցյալի t 0 t dՏ սահմանումը՝ կարող ենք գրել, որ՝ v   f t  , այսինքն՝ dt արագությունը՝ v  liո

ակնթարթային արագությունը հավասար է ճանապարհի ածանցյալին ըստ ժամանակի: Սա է հենց ածանցյալի մեխանիկական իմաստը: Իսկ ընդհանրապես ֆունկցիայի ածանցյալը նորոշում է այդ ֆունկցիայի փոփոխման արագությունը՝ կախված արգումենտի փոփոխությունից: y  f x  ֆունկցիայի ածանցյալը կարդում են հետնյալ կերպ. «իգրեկ շտրիխ» կամ «դե իգրեկ ըստ դե իքսի» y 

dy : dx

Ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու գործողութլունը կոչվում է ածանցման կամ դիֆերենցման գործողություն: Այն ֆունկցիան, որն ունի ածանցյալ որնէ x  կետում, կոչվում է ածանցելի կամ դիֆերենցելի այդ կետում: Եթե ֆունկցիան դիֆերենցելի է միջակայքի ոլոր կետերում, ապա այն կոչվում է դիֆերենցելի միջակայքում:

Ֆունկցիայի ածանցյալի հաշվման ընդհանուր կանոնը Այդ կանոնը անմիջականորեն խում է ածանցյալի սահմանումից: Այն կարելի է ձնակերպել հետնյալ կերպ. 1-ին քայլ. x անկախ փոփոխականին տալիս են x կամայական աճ ն հաշվում y ֆունկցիայի աճած արժեքը՝

y  y  f x  x  :

2-րդ քայլ. ֆունկցիայի աճած արժեքից հանում ենք նրա սկզ նական արժեքը ն հաշվում ֆունկցիայի y աճը՝

y  f x  x   f x  :

3-րդ քայլ. կազմում ենք ֆունկցիայի աճի ն արգումենտի աճի հարա երությունը՝

y f x  x   f x   : x x

4-րդ քայլ. ստացված հավասարության մեջ անցնում ենք սահմանի, եր x  0 :

y f x  x   f x   liո : x 0 x x 0 x liո

Եթե այս սահմանը գոյություն ունի, հենց դա էլ կլինի ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y   f x  :

Օրինակ.- Հաշվել y  x 2 ֆունկցիայի ածանցյալը: Օգտվենք ընդհանուր կանոնից. 1. y  y  x  x   x 2  2 x  x  x  2.

y  x 2  2 x  x  x   x 2  2 x  x  x 

y 2 x  x  x 2  2 x  x  x x y 4. y  liո  liո 2 x  x   2 x , y   2 x :  x  0 x x  0 Եթե պահանջվի հաշվել տրված ֆունկցիայի ածանցյալը տրված կետում՝ ասենք, y  x 2 ֆունկցիայի ածանցյալը x  3 կետում, ապա ածանցյալի մեջ 2-ի փոխարեն տեղադրում ենք 3, y x 3  2x   2  3  6 : 3.

x 3

Ածանցյալի երկրաչափական մեկնա անությունը: Կորի շոշափողի հավասարումը Դիցուք, տրված է մի Լ կոր, որի հավասարումն է՝ 7-1(2) ն նրա վրա մի Խ0(20,70) կետ: 20-ին տանք 2 աճ ն 20+2 կետով տանենք օ7 առանցքին զուգահեռ ուղիղ՝ մինչն գրաֆիկի հետ հատման Խ կետը (գծ.23): Խ0 կետով տանենք կորի Խ0Խ հատողը ն Խ0/ շոշափողը: Ենթադրենք 20: Այդ դեպքում Խ կետը, շարժվելով կորի վրայով, կձգտի Խ0 կետին: Հետնա ար, Խ0Խ հատողը, պտտվելով Խ0 կետի շուրջը, կձգտի գրավել Խ0/ շոշափողի դիրքը ն  անկյունը կձգտի ին: Այսինքն՝  ն էջէջ: Մյուս կողմից, Խ0CԽ-ից կարող ենք գրել՝

7  էջ ն 2

այս հավասարության մեջ անցնելով սահմանի, եր

7 կստանանք՝ liո  liո էջ  էջ կամ 7   էջ : 2 0 2 2 0

x0,

Բայց էջ -ն շոշափողի անկյունային գործակիցն է, որը ընդունված է նշանակել է -ով: Ուրեմն՝ 7   է : T

Խ  7

Խ0 x

Շ 71Րx)

 Օ

x0

Գ..23

x0+x 

x

Այսինքն՝ ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում հավասար է կորին այդ կետում տարած շոշոփողի անկյունային գործակցին: Դրանում է հենց ածանցյալի երկրաչափական իմաստը: Այժմ կազմենք կորի տրված Խ0(20,70) կետով անցնող շոշափողի հավասարումը: Հայտնի է, որ տրված կետով անցնող ուղղի հավասարումն ունի հետնյալ տեսքը՝ 7  7 0  է 2  2 0  , որտեղ՝ է-ն անկյունային գործակիցն է: Ածանցյալի երկրաչափական իմաստից k  y x  x  f x 0  : Հետնա ար

շոշափողի հավասարումը կլինի՝ y  y 0  f x 0 x  x 0  :

Ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը Մեզ արդեն հայտնի է, որ ֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցելի տրված կետում, եթե այդ կետում ունի ածանցյալ: Հիմա ապացուցենք մի թեորեմ, որը կապ է հաստատում ֆունկցիայի դիֆերենցելիության ն անընդհատության միջն: Թեորեմ.- Եթե 7-1(2) ֆունկցիան դիֆերենցելի է 2-20 կետում, ապա այդ կետում այն անընդհատ է: Ապացույց.- Ըստ պայմանի, ֆունկցիան դիֆերենցելի է 20

y : x 0 x

կետում: Դա նշանակում է, որ գոյություն ունի f x 0   iո

Ըստ սահմանների տեսության ֆունդամենտալ թեորեմի կարող են գրել՝

y  f x 0    , որտեղ   0 կամ, y  f x 0 x  x : x

Ստացվեց մի կարնոր անաձն, որը ֆունկցիայի վերջավոր աճը արտահայտում է նրա ածանցյալի միջոցով: Քանի որ f x 0  -ն որոշակի թիվ է ն  0, ապա ստացված այս անաձնից հետնում է, որ եր 2 0, նան 7 0, այսինքն՝ ֆունկցիան անընդհատ է: Հակադարձը, սակայն, ճիշտ չէ. ֆունկցիան կարող է տվյալ կետում լինել անընդհատ, այց ածանցյալ չունենալ:

Որպես օրինակ դիտարկենք y  1  3 x 2 ֆունկցիան, գրաֆիկը պատկերված է գծ. 24-ում:

որի

y x

O

Գծ.24

Այս ֆունկցիան անընդհատ է -1:1 հատվածի ոլոր կետերում,

այց նրա ածանցյալը

y  

33 x

, 2-0 կետում

գոյություն չունի:

ԱԾԱՆՑՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԿԱՆՈՆՆԵՐԸ

1. Հաստատունի ածանցյալը. Դիցուք, 7-Շ, որտեղ Շ-ն հաստատուն է: Այդ դեպքում ցանկացած զրոյից տար եր 2-ի համար 7-0 ն

y  0 : Այսպիսով, հաստատունի ածանցյալը հավաx 0 x սար է զրոյի : C  0 : 2. 7-2 y   iո

Այս դեպքում նան իրար հավասար կլինեն նրանց աճերը՝

7-2 ն

y  1 , որի սահմանը նույնպես կլինի 1, այսինքն 7-1: x

Այս դեպքում ասում են, որ յուրաքանչյուր փոփոխականի ածանցյալն ըստ նույն փոփոխականի հավասար է 1-ի:

3. Գումարի ածանցյալը Դիցուք, ունենք y  ս  v , որտեղ ս  ս x  -ը v  vx  -ը դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են: Այս դեպքում՝

ն

y  y  ս  ս  v  v , իսկ y  ս  v y ս v :   x x x y  ս v  y   iո  iո     ս   v : x 0 x x 0 x x    Այսինքն՝ ս  v   ս   v  :

ն

Գումարի ածանցյալը հավասար է առանձին գումարելիների ածանցյալների գումարին:

4. Արտադրյալի ածանցյալը Դիցուք, տրված է y  ս  v , որտեղ ս-ս(2)-ը ն v-v(2)-ը

դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են: Օգտվելով ածանցյալի որոշման ընդհանուր կանոնից՝ կարող ենք գրել.

y  y  ս  ս v  v   սv  ս v  v ս  ս v  y  ս   v  v   ս  ս v  y ս v ս  v ս  v x x x x y ս v ս y   iո  v iո  ս iո  iո  v x 0 x x 0 x x  0 x x  0 x

Քանի որ 2 0, v-ն նույնպես ձգտում է զրոյի, ուստի այս արտահայտության վերջին գումարելին կձգտի զրոյի ն մենք



կունենանք 7-սv+vս կամ ս  v   ս v  v ս : Հետնանք.- Հաստատունը կարելի է դուրս հանել ածանցյալի նշանից: Այսինքն՝

c  ս   cս  :

Իրոք, նախորդ

անաձնի



համաձայն՝ c  ս   cս  cս   0  ս  cս   cս  : 5. Կոտորակի ածանցյալը Ածանցյալի հաշվման չորս քայլերի օգնությամ կարելի է ստանալ, որ եթե y 

y 

ս , v

որտեղ ս-ս(2)

ն v-v(2), ապա

ս v  vս , այսինքն՝ կոտորակի ածանցյալը հավասար է մի v2

կոտորակի, որի հայտարարում գրվում է տրված կոտորակի հայտարարի քառակուսին, իսկ համարիչում՝ համարիչի ածանցյալ անգամ հայտարար հանած հայտարարի ածանցյալ անգամ համարիչ:

6. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը Դիցուք, տրված է y  Fս  դիֆերենցելի ֆունկցիան, որտեղ ս -ն իր հերթին x փոփոխականի դիֆերենցելի ֆունկցիան է՝ ս   x  : Այդ դեպքում y -ը x -ի արդ ֆունկցիան է կամ ֆունկցիայի ֆունկցիան ՝ y  Fx  , իսկ ս -ն կոչվում է միջանկյալ արգումենտ: Պահանջվում է որոշել y x : y հարա երությունը կարող ենք ներկայացնել հետնյալ x y y ս տեսքով՝ ն անցնելով սահմանի, եր x  0 ու   x ս x նկատի ունենալով, որ x  0 , ս -ն նույնպես ձգտում է զրոյի, կունենանք՝

y y ս  liո  liո . y x  y ս  ս x կամ, եթե y  Fս  , x 0 x ս 0 ս x 0 x ապա y   F ս   ս  7. Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը Եթե մեզ տրված է y  f x  ֆունկցիան, ապա լուծելով այս հավասարությունը x -ի նկատմամ , այսինքն y -ը դիտարկելով որպես անկախ փոփոխական, իսկ x -ը՝ կախյալ, կունենանք՝ x   y  : liո

Այս ֆունկցիան կոչվում է տրված ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա: Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է հաշվել հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ուղիղ ֆունկցիայի ածանցյալի միջոցով: Ֆունկցիաների անընդհատության շնորհիվ, եր x  0 , նան y  0

x :  y y x

Այս հավասարության մեջ անցնելով սահմանի ն նկատի ունենալով վերը նշվածը` կունենանք

x  y 0 y liո

կամ x y  : y y x liո

x  0

x

71Րx) 

Խ

 x

Օ Գծ.25

Այսինքն՝ հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է ուղիղ ֆունկցիայի ածանցյալի հակադարձ մեծությանը: Այս արդյունքը կարելի է ստանալ նան երկրաչափորեն: Իրոք՝ ածանցյալի երկրաչափական իմաստից y x  tg , իսկ

    , ապա tg  tg     2   ctg  : Այսինքն՝ x y  tg yx x y  tg : Բայց քանի որ  

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները Ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումից ն վերոհիշյալ կանոնների օգնությամ կարելի է հաշվել ոլոր հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները:

1. Աստիճանային ֆունկցիայի ածանցյալը: Եթե y  x ո , որտեղ ո -ը կամայական հաստատուն թիվ է, ապա՝ y   ոx ո 1 : Իսկ y  ս ո արդ աստիճանային ֆունկցիայի դեպքում, համաձայն արդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնի՝

y   ոս ո 1  ս  :

2. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալը , իսկ x y  lո ս արդ լոգարիթմական ֆունկցիայի դեպքում y    ս  : ս Եթե տրված է y  lո x ֆունկցիան, ապա y  

3. Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը Եթե y  a x , ապա y   a x lո a , իսկ եթե y  a ս , ապա

y   a ս lո a  ս  : 4. Մասնավոր դեպքում, եթե ունենանք y  e x , ապա

y   e x lո e  e x , քանի որ lո e  1 : Իսկ եթե y  e ս , ապա y   e ս  ս 

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները 5. Դիցուք, տրված է y  siո x ֆունկցիան: Որպես օրինակ, չորս քայլերի օգնությամ հաշվենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.

y  y  siոx  x 

x  x  , y  siոx  x   siո x  2 c0s x    siո 2  

x  x  x 2 c0s x   siո siո y x  2    2 ,   2 c0s x   x x  x   x siո y x   2  c0s x : y   liո  liո c0s x    x x 0 x x  0    Այսպիսով՝ siո x   c0s x , իսկ արդ ֆունկցիայի ածանց-



ման կանոնի համաձայն՝ siո ս   c0s ս  ս  6. Նման ձնով կարելի է հաշվել y  c0s x ֆունկցիայի ածանցյալը: Ստացվում է, որ՝ y    siո x , իսկ եթե y  c0s ս , ապա y    siո ս  ս  7. y  tgx Սա կարելի է ներկայացնել որպես siո x -ի ն c0s x -ի հարա երություն ն օգտվել կոտորակի ածանցման կանոնից:

siո x Իրոք՝ tgx  ն c0s x tgս   12  ս  : c0s ս

c0s 2 x  siո 2 x  tgx    , իսկ c0s x c0s 2 x

c0s x , ապա՝ siո x y    2 , իսկ եթե y  ctgս, ապա y    2  ս  : siո x siո ս 8. Նման ձնով, եթե տրված է y  ctgx 

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները 9. Եթե y  arcsiո x, ապա x  siո y ն հակադարձ ֆունկցիայի ածանցման կանոնի համաձայն կանող ենք գրել՝

y x 

   : Նման ձնով, եթե x y c0s y 1  siո y 1 x2

y  arcsiո ս , ապա y  

1 ս

 ս :

10. y  arcc0s x ,

x  c0s y , y x     x y siո y 1  c0s y 1 x2 եթե y  arcc0s ս , ապա y     ս : 1  ս2

: Նման ձնով,

11. y  arctgx,  x  tgy,

:  c0s 2 y   x y 1  tg y 1  x 2 y  arctgս , ապա y    ս : 1  ս2

y x 

Նման

ձնով,

եթե

12. y  arcctgx,  x  ctgy

  siո 2 y    : x y 1  ctg y 1 x2  ս : Նման ձնով, եթե y  arcctgս , ապա y    1  ս2 y x 

Ածանցման կանոնների ն անաձների աղյուսակ Այսպիսով, մենք ստացանք ածանցման հետնյալ կանոններն ու անաձները՝ 1. c   0 2. x   1 3. 4. 5.

ս  v   ս   v  ս  v   ս v  սv  c  ս   c  ս 

  ս  ս v  v ս 6.    v v2 7. y  Fս , y   F ս   ս  8. yx  xy 9.

10.

11.

12.

13.

 x ո   ոx ո 1    ս ո   ոս ո 1  ս    1 lո x   x  lո ս   1  ս  ս   x   a x lո a a   a ս   a ս lո a  ս   x  x e e   e ս   e ս  ս  siո x   c0s x  siո ս   c0s ս  ս 

   

   

   

c0s x    siո x 14.  c0s ս    siո ս  ս 

  tgx   c0s 2 x 15.  tgս   1  ս   c0s 2 ս  Փctgx )   siո 2 x 16.  Փctgս )   1  ս   siո 2 ս   arcsiո x   1 x2  17.  arcsiո ս    ս  1 ս    arcc0s x    1 x2  18.  arcc0s ս     ս  1 ս    arctgx   1 x2 19.  arctgս   1  ս   1  ս2

  arcctgx    1 x2 20.  arcctgս    1  ս   1  ս2 Օրինակներ. 1. y  lո siո x , y  

  siո x    c0s x  ctgx : siո x siո x

2. y  x 2  x 2 / 3 ,

y 

2  13 x  1/ 3  3 : 3 x 3x

y  arctg3x 2 ,  6x y   3x 2  : 1  9x 1  9x 4

3.

 

4.

y  5x ,

 y   5 x lո 5x 3   5 x lո 5  3x 2  3x 2  5 x lո 5 :

y  x x  x 3/ 2 , y  x 1 / 2  x:

5.

3  y   3x 2  2   x 2  2   3x 2  2   2x  6x x 2  2  :

6.



y  x2  2 ,

7. y  siո

x ,

 xx x1 1 x  y  c0s    c0s  c0s : 22 22 2 8. y  c0s 2 3x ,

  y   2 c0s 3x c0s 3x   2 c0s 3x  siո 3x 3x    6 c0s 3x siո 3x  3 siո 6 x :

Վարժություններ Հաշվել տրված ֆունկցիաների ածանցյալները 1. y 

x 1 x 1

2. y  tg2x

3. y  c0s x 2

4. y  lո c0s x

5. y  lո x

6. y  e siո 2 x

7. y  e  x siո x

8. y 

9. y  3arctgx

10. y 

5x  3

x  3x  2 arcsiո x 1 x2

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի սահմանումը Ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումից հայտնի է, որ եթե

y  f x  ֆունկցիան դիֆերենցելի է a , Ե հատվածում, ապա նրա ածանցյալը այդ հատվածի որնէ x կետում որոշվում է y հետնյալ հավասարությամ ` liո  f x  : x 0 x Այստեղից

սահմանների

տեսության

ֆունդամենտալ

y 0,  f x    , որտեղ թեորեմի համաձայն՝ x եր x  0 : Բազմապատկենք x -ով՝ y  f x x  x Քանի որ ընդհանուր դեպքում f x   0 , ապա ֆունկցիայի y աճը ներկայացվում է երկու գումարելիների գումարի տեսքով, որոնցից առաջինը գծային է x -ի նկատմամ , իսկ երկրորդը ավելի արձր կարգի անվերջ փոքր մեծություն է:

f x x գումարելին կոչվում է ֆունկցիայի աճի գլխավոր մաս:

Սահմանում.-Ֆունկցիայի աճի գլխավոր մասը կոչվում է այդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալ ն նշանակվում է հետնյալ ձնով՝ dy կամ df x  :

Հետնա ար, ըստ սահմանման,

y  f x  ֆունկցիայի

դիֆերենցիալը հավասար է՝ dy  f x x : Հեշտությամ ապացուցվում է, որ անկախ փոփոխականի աճը հավասար է նրա դիֆերենցիալին, այսինքն՝ x  dx : Հաշվի առնելով այս հավասարությունը՝ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի որոշման համար ստանում ենք հետնյալ հավասարությունը. dy  f x dx; Այսպիսով՝ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է նրա ածանցյալի ն արգումենտի դիֆերենցիալի արտադրյալին: Այս կանոնն էլ հենց ֆունկցիայի դիֆերենցիալի հաշվման կանոնն է, որից հետնում է, որ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի որոշման խնդիրը հավասարազոր է նրա ածանցյալի որոշման խնդրին: Դա է պատճառը, որ ածանցյալներին վերա երող շատ թեորեմներ ն անաձներ պահպանում են իրենց ուժը նան դիֆերենցիալների համար:

Օրինակ.

d ս  v   dս  dv d ս  v   սdv  vdս

ն այլն:

Բարձր կարգի ածանցյալներ ն դիֆերենցիալներ Ենթադրենք, y  f x  ֆունկցիան դիֆերենցելի է a : Ե

հատվածում: Նրա f x  ածանցյալը, ընդհանրապես, նույնպես x -ի ֆունկցիա է: Դիֆերենցելով այս նոր ֆունկցիան՝ կստանանք տրված ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալը: Առաջին կարգի ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է տրված ֆունկցիայի երկրորդ կաիգի ածանցյալ ն նշանակվում է հետնյալ ձնով՝ y  կամ f x 

y   y   f x  : Այսպես, օրինակ, եթե y  x 3 , ապա y   3x 2 , y   6x : Ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է նրա երրորդ կարգի ածանցյալ ն նշանակվում է y  կամ f x  սիմվոլով:

ո -րդ կարգի ածանցյալը նշանակվում է  y ո  կամ f ո  x  ձնով ն հավասար է y ո  y ո 1 : Օրինակ.-Տրված է y  siո x ֆունկցիան: Հաշվել նրա մի քանի Ընդհանրապես





կարգի ածանցյալներ.

y  siո x y   c0s x y   siո x y    c0s x y IV   siո x y V   c0s x y 6    siո x

Ֆունկցիայի արձր կարգի դիֆերենցիալները սահմանվում են նման եղանակով ն նշանակվում հետնյալ ձներով.

 d 2 y  ddy   f x dx  dx  f x dx 2 d 3 y  d d 2 y   f x dx 3 d 4 y  d d 3 y  f IV x dx 4

 

ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐԻ ՄԻ ՔԱՆԻ ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

1.ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԱՃՄԱՆ ն ՆՎԱԶՄԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐԸ

Թեորեմ.- Եթե |8,Ե| հատվածում դիֆերենցելի f x  ֆունկցիան աճում է, ապա նրա ածանցյալը այդ հատվածում ոչ f x  ացասական մեծություն է, այսինքն՝ f x   0 : Եթե ֆունկցիան անընդհատ է |8,Ե| հատվածում ն ն դիֆերենցելի (8:Ե) միջակայքում, ընդ որում f x   0 , ապա այդ ֆունկցիան աճում է |8,Ե| հատվածում:



 Օ

ա)

x

Օ

)

x

Գծ.26

Նման թեորեմ գոյություն ունի նան |8,Ե| հատվածում նվազող ֆունկցիայի համար: Տանք այս թեորեմների երկրաչափական մեկնա անությունը. Ձնակերպված թեորեմը արտահայտում է հետնյալ երկրաչափական փաստը: Եթե f x  ֆունկցիան աճում է, ապա նրա յուրաքանչյուր կետում տարված շոշոփողը այդ հատվածում 0x առանցքի հետ կազմում է  սուր անկյուն կամ առանձին կետերում հորիզոնական է: Քանի որ սուր անկյան տանգենսը ոչ ացասական է, այսինքն tg   0 , f x   tg   0 (գծ.26,ա), ապա թեորեմի իմաստը պարզ է: Եթե f x  ֆունկցիան նվազում է, ապա շոշափողի թեքման անկյունը ութ է կամ առանձին կետերում շոշափողը հորիզոնական է, որի տանգեսը ոչ դրական մեծություն է՝

f x   tg   0 (գծ.26, ): Այսպիսով, այս թեորեմը հնարավորություն է տալիս դատելու ֆունկցիայի աճման ն նվազման միջակայքերի մասին ածանցյալի նշանի միջոցով:

2. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՄԱՔՍԻՄՈՒՄԸ ԵՎ ՄԻՆԻՄՈՒՄԸ

Եթե f x  ֆունկցիան ամենուրեք մոնոտոն աճող կամ մոնոտոն նվազող չէ, ապա արգումենտի որոշ արժեքների դեպքում այն իր ընթացքը փոխում է, աճումից անցնելով նվազման կամ, ընդհակառակը, նվազումից անցնելով աճման: Նման տիպի ֆունկցիայի գրաֆիկը կարող է, օրինակի համար, ունենալ հետնյալ տեսքը՝

71Րx)

Օ

xx11

xx22

xx33

xx44

x

Գծ.27

Սահմանում Լ.- f x  ֆունկցիայի արժեքը x  x 1 կետում կոչվում է մաքսիմում ոax  , եթե այն մեծ է իրեն անմիջականորեն հարնան ոլոր արժեքներից: Այլ կերպ ասած՝ f x  ֆունկցիան ունի մաքսիմում x  x 1 կետում, եթե f x 1  x   f x 1  , որտեղ x -ը ցանկացած ավականաչափ փոքր (դրական կամ ացասական) մեծություն է: Սահմանում ԼԼ.- f x  ֆունկցիան ունի մինիմում ոiո  x  x 2

կետում, եթե f x 2  x   f x 2  որտեղ x -ը ցանկացած ավականաչափ փոքր /դրական կամ ացասական/ մեծություն է:

Օրինակ. երված գծագրում x  x 1 ն x  x 3 կետերը մաքսիմումի կետեր են, իսկ x  x 2 ն x  x 4 կետերը՝ մինիմումի կետեր: Ֆունկցիայի մաքսիմումի ն մինիմումի կետերը միասին կոչվում են էքստրեմումի կետեր: Այժմ տեսնենք, թե ածանցյալների օգնությամ ինչպես կարելի է գտնել ֆունկցիայի էքստրեմումի կետերը: Թեորեմ Լ.- (էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտ պայմանը).Եթե f x  դիֆերենցելի ֆունկցիան x  x 1 կետում ունի մաքսիմում կամ մինիմում, ապա նրա ածանցյալը այդ կետում կամ դառնում է զրո` f x   0, կամ գոյություն չունի: Տանք այս թեորեմի երկրաչափական ապացույցը.

Խ1

Խ3

Խ2 Օ

x1

x2

x

Օ

x3

x

Գծ.28

Գծագրից երնում է, որ x  x 1 ն x  x 3 կետերը համապատասխան ֆունկցիաների մաքսիմումի կետեր են, իսկ x  x 2 մինիմումի կետ է: Խ 1 ն Խ 2 էքստրեմումի կետերում կորին տարված շոշափողները զուգահեռ են 0x առանցքին, հետնա ար դրանց անկյունային գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն f x   0 : Խ 3 կետը ոax -ի կետ է, այց այնտեղ ֆունկցիայի ածանցյալ գոյություն չունի: Ցույց տանք, որ ապացուցված հայտանիշը անհրաժեշտ է, այց ոչ ավարար, այսինքն այն անից, որ ածանցյալը տրված

կետում դառնում է զրո կամ գոյություն չունի, դեռնս չի հետնում, որ այդ կետը էքստրեմումի կետ է: Այսպես, օրինակ, y  x 3 ֆունկցիան ունի y   3x 2 ածանցյալ, որը դառնում է զրո x  0 կետում: Բայց x  0 կետը եր եք էքստրեմումի կետը չէ (գծ.29): 7x3

Օ

x

Գծ.29

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթի այն ներքին կետերում, որտեղ ածանցյալը դառնում է զրո կամ գոյություն չունի, կոչվում են կրիտիկական արժեքներ կամ կրիտիկական կետեր: Որպեզի պարզենք, թե կրիտիկական կետերից որոնք են էքստրեմումի կետեր, ապացուցենք էքստրեմումի գոյության ավարարության հայտանիշները: Առաջին ավարարության հայտանիշ.- Եթե ֆունկցիայի    f x ածանցյալը x -ը x  -ի վրայով անցնելիս փոխում է իր նշանը + -ից - -ի, ապա x  կետը

ոax -ի կետն է, իսկ եթե

f x  -ը x -ը x  -ի վրայով անցնելիս փոխում է իր նշանը - -ից + ի, ապա այդ կետը ֆունկցիայի ոiո -ի կետն է:

Իրոք, եթե x  x  , f x   0 , իսկ x  x  , f x   0 , դա նշանակում է, որ ձախից կորը մոնոտոն աճում է, իսկ աջից՝ մոնոտոն նվազում: Սա էլ նշանակում է, որ x  x  ոax -ի կետ է: Նման դատողություն կարելի է կատարել նան ոiո կետի նկատմամ (գծ.30):

y 



+

x

x

x0 Գծ.30

Երկրորդ ավարարության հայտանիշը .- Դիցուք, x  x 1 կետում f x   0 : Բացի այդ, x  x 1 կետի ինչ-որ շրջակայքում f x  -ը գոյություն ունի ն անընդհատ է: Այդ դեպքում առկա է հետնյալ թեորեմը:

Թեորեմ.- Թող f x   0, այդ դեպքում x  x 1 կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում, եթե f  x 1  0 ն մինիմում, եթե

 

f x 1   0 :

¾ՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆԸ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ

ԺԱՄԱՆԱԿ Խնդիր 1.- Հրանոթից v  սկզ նական արագությամ թռչող արկի R  ՕՃ թռիչքի հեռավորությունը որոշվում է հետնյալ ա-

v 2 siո 2 նաձնով՝ R  , որտեղ  հրանոթի թեքման անկյունն է g հորիզոնի նկատմամ : Որոշել  անկյան այն արժեքը, որի դեպքում R հեռավորությունը կլինի ամենամեծը (գծ.31):

 Օ

R

A

x

Գծ.31

Լուծում.- R մեծությունը  -ի ֆունկցիան է: Որոշենք այդ ֆունկցիայի

ոax -ը, եր

 0 :

dR 2 v 2 c0s 2 ,  d g

2 v 2 c0s 2  0 , որտեղից g c0s 2  0, 2 

  ,  :

Երկրորդ հետազոտենք  

d2R d 2





ավարարության

թեորեմի

օգնությամ

կրիտիկական արժեքը:

4 v 2 siո 2 : g

Հետնա ար,  



 d2R  4v 2  2      0: g  d    

-ում R ֆունկցիան ունի մաքսիմում

v 2 : R ֆունկցիայի արժեքները միջակայքի ծայրաg կետերում հավասար են. R  0  0 ն R  0: R ոax 



Այսպիսով, որոշված մաքսիմումը որոնելի մեծագույն արժեքն է: Խնդիր 2.- Մարմինը շարժվում է v   t 3  48t  1 սմ/վրկ արագությամ : Գտնել շարժման այն ամենամեծ ն ամենափոքր արագությունը, որն ի հայտ է գալիս առաջին 5 վայրկյանի ընթացքում: Լուծում.- Գտնենք v    3 t 2  48 ածանցյալը ն t  4 կրիտիկական կետերը: Ուրեմն, |0,5| հատվածի ներսում կա միայն մեկ կրիտիկական t  4 կետ: Տեսնենք այս կետը ոax -ի կետ է, թե ոiո -ի: v  t 4  0 , v  t 4  0 Առաջին կարգի ածանցյալը փոխում է նշանը +-ից – -ի: Հետնա ար t  4 կետում արագության ֆունկցիան ունի ոax արժեք՝ v ոax  129 : Հաշվենք ֆունկցիայի արժեքները միջակայքի ծայրակետերում. v / 0 /  1; v / 5 /  116 : Հետնա ար, արագության առավելագույն արժեքը t  4 պահին ունեցած v  129 արժեքն է, իսկ նվազագույն արժեքը՝ t  0 մոմենտում ունեցած v  1 արժեքը: Մենք դիտարկեցինք ընդամենը երկու խնդիր, այց էքստրեմումների տեսությունն ունի ազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայի, տեխնիկայի, գյուղատնտեսության, տնտեսագիտության ն այլ նագավառների խնդիրներում:

ԱՆՈՐՈՇ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

Նախնական ֆունկցիա: Անորոշ ինտեգրալ Մաթեմատիկական անալիզի տեսական ն կիրառական շատ հարցերում հարկ է լինում լուծել դիֆերենցման խնդրին հակադարձ խնդիր, այսիքն՝ ֆունկցիայի տրված F2   1 2  ածանցյալով կամ, որ միննույնն է, տրված dFx   f x dx

դիֆերենցիալով, որոշել սկզ նական կամ, այսպես կոչված, Fx  նախնական ֆունկցիան: Սահմանում.- Այն y  Fx  ֆունկցիան, որի ածանցյալը հա-

վասար է տրված y  f x  ֆունկցիային, այսինքն F x   f x  , կոչվում է նախնական ֆունկցիա: Ապացուցված է, որ ամեն մի անընդհատ f x  ֆունկցիա անպայմանորեն ունի նախնական ֆունկցիա: Այսպես, օրինակ -

x4

ֆունկցիան 23-ի նախնական ֆունկցիան է, որովհետն

  x4  1 3    4 x  x 3 , siո2-ը նախնական ֆունկցիա է cօs2-ի  4  4 համար ն այլն: Ցույց տանք, որ յուրաքանչյուր տրված ֆունկցիա ունի անթիվ ազմությամ նախնական ֆունկցիաներ, որոնք տար երվում են իրարից հաստատուն գումարելիով: Իրոք, եթե Fx  -ը f x  -ի նախնական ֆունկցիան է, ապա ամեն մի y  Fx   C ֆունկցիա, որտեղ Շ-ն կամայական հաստատուն գումարելի է, նույնպես նախնական ֆունկցիա է. Fx   C  Fx   C  Fx   f x  : Ենթադրենք, Fx  -ը ն  x  -ը տրված f x  ֆունկցիայի երկու նախնական ֆունկցիաներն են (8,Ե) միջակայքում: Ցույց տանք, որ դրանց տար երությունը հաստատուն մեծություն է: Ըստ պայմանի F x   f x  ն  x   f x  :



Կազմենք Fx    x   F x    x   f x   f x   0; Հետնա ար, Fx   x   C , այսինքն՝ Fx   x   C

Պնդումն ապացուցված է: Սահմանում.- Տրված f x  ֆունկցիայի ոլոր նախնական ֆունկցիաների ազմությունը կոչվում է այդ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ ն նշանակվում է հետնյալ ձնով՝  f x dx :

Այսպիսով, ըստ սահմանման՝  f x dx  Fx   C , որտեղ

F x   f x  : f x  -ը կոչվում է ենթաինտեգրալային ֆունկցիա, f x dx ը ենթաինտեգրալային արտահայտություն, x -ը ինտեգրման փոփոխական: Նախնական ֆունկցիան որոշելու գործողությունը կոչվում է ինտեգրման գործողություն: x4 dx Օրինակ.-  x 3dx   C  c0s xdx  siո x  C  lո x  C x ն այլն:



Անորոշ ինտեգրալի հիմնական հատկությունները Լ. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ենթաինտեգրալային ֆունկցիային, այսինքն՝

 f x dx   f x  : Իրոք  f x dx   Fx   c  Fx   f x  :

ԼԼ. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ենթաինտեգրալային արտահայտությանը՝

d  f x dx  f x dx





Իրոք՝ d  f x dx   f x dx dx  f x dx ԼԼԼ.- Հաստատուն ազմապատկիչը կարելի է դուրս հանել ինտեգրալի նշանից  Cf x dx  C  f x dx : ԼՄ.- Երկու ն ավելի ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի անորոշ ինտեգրալը հավասար է առանձին գումարելիների ինտեգրալների գումարին

f x   x dx   f x dx   x dx :

Մ.- Անորոշ ինտեգրալի ձնի անփոփոխելիության հատկությունը.  f x dx   f t dt   f ս dս  .....

Անորոշ ինտեգրալի երկրաչափական մեկնա անությունը Գիտենք, որ

 f x dx  Fx   C :

y  Fx   C ֆունկցիան

Շ-ի տար եր արժեքներին համապատասխան հարթության վրա կունենա տար եր գրաֆիկներ, այսինքն՝ այդ ֆունկցիային հարթության վրա կհամապատասխանի մեկ պարամետրանի կորերի ընտանիք: Նախնական ֆունկցիայի գրաֆիկին անվանենք ինտեգրալային կոր: Այսպիսով, եթե F x   f x  , ապա y  Fx  -ի գրաֆիկը ինտեգրալային կոր է: Անորոշ ինտեգրալը երկրաչափորեն ոլոր ինտեգրալային կորերի ընտանիքն է (գծ.32): 7ՔՐx)+ Շ4

7ՔՐx)+ Շ2 7ՔՐx)+ Շ1 7ՔՐx) 7ՔՐx)+ Շ3

Օ

x

Գծ.32

Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ Դիֆերենցիալ հաշվում մենք ստացել ենք հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները, նշել ենք գումարի,արտադրյալի, քանորդի, արդ ֆունկցիայի ածանցման կա91

նոնները: Այդ կանոնները մեզ հնարավորություն են տվել որոշելու ոլոր տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները: Նախնական ֆունկցիաների որոշման համար այդպիսի պարզ ն ունիվերսալ կանոններ գոյություն չունեն: Ֆունկցիաների ինտեգրումը հանգում է տար եր մեթոդների օգտագործման, որոնց օգնությամ հնարավոր է լինում հասնել նպատակին: Ինտեգրումը հեշտացնելու համար կազմվում են հիմնական ինտեգրալների աղյուսակներ, որոնք ստացվում են դիֆերենցման հիմնական անաձներից: Բերենք այդ աղյուսակը. x ո 1 ո  1 Լ. x ո dx  C ո 1 Մասնավոր դեպքում, եր ո  0 dx  x  C





ԼԼ. ԼԼԼ. ԼՄ. Մ.

dx

 x  lո x  C  siոxdx   c0s x  C  c0s xdx  siո x  C



dx  tgx  C c0s 2 x dx  ctgx  C siո 2 x

ՄԼ.



ՄԼԼ.

1 x

ՄԼԼԼ.



ԼՃ.



a x dx 

Ճ.



e x dx  e x  C

dx

 arctgx  C

dx 1 x2

 arcsiո x  C ax C lո a

ՃԼ. ՃԼԼ.

 

tgxdx   lո c0s x  C ctgxdx  lո siո x  C

dx

ՃԼԼԼ.



ՃԼՄ.



ՃՄ.

 siո x  lո tg 2  C

ՃՄԼ.

 c0s x  lո tg 2  4   C

x a

 lո x  x 2  a 2  C

dx 1 xa lո    C 2a  x  a  x a

dx

x

dx

x



Ինտեգրման արդյունքները կարելի է ստուգել դիֆերենցման միջոցով:

Ինտեգրման հիմնական եղանակները Գոյություն ունի ինտեգրման երեք հիմնական եղանակ, որոնց օգնությամ կարելի է ավելի արդ արտահայտությունները ձնափոխել ն նմանեցնել հիմնական անաձներին: Լ.Գումարելիների վերլուծման եղանակ.- Տրված f x  ֆունկցիան, որն անհնար է անմիջապես ինտեգրել, հաճախ հնարավոր է լինում վերածել մի քանի ֆունկցիաների գումարի, որոնցից յուրաքանչյուրը հեշտությամ ինտեգրվում է: Բերենք օրինակներ.

1 2 x 3  4x  2 1 1 2  2x dx    2 x  2  x dx  2  x dx  2 dx  dx 1 x 3 x3    2x  lո x  c   2x  lո x  c; x 2 3





2.

dx c0s 2 x  siո 2 x dx dx   c0s 2 x  siո 2 x  c0s 2 x  siո 2 x dx   siո 2 x   c0s 2 x 

 ctgx  tgx  c;

ԼԼ. Փոփոխականի փոխարինման եղանակ.- Շատ դեպքերում,

 f x dx

ինտեգրալի մեջ x փոփոխականի փոխարեն

մտցնելով նոր t փոփոխական տրված ինտեգրալը հնարավոր է դառնում երել մի նոր ինտեգրալի, որը կամ պարունակվում է հիմնական ինտեգրալների աղյուսակում, կամ հեշտությամ երվում է նրանց: Ինտեգրման այս մեթոդը կոչվում է փոփոխականի փոխարինման մեթոդ: x փոփոխականի փոխարեն մտցնենք մի t փոփոխական, որը x -ի հետ կապված է x  t  առնչութ-

յամ : t  -ն անընդհատ ֆունկցիա է,որն ունի  t  անընդհատ

ածանցյալ: Այդ դեպքում dx   t dt ն մենք կունենանք.

 f x dx   f t t dt :

Այս անաձնը կոչվում է փոփոխականի փոխարինման անաձն: Դրա ճշմարտացիությունն ապացուցելու համար ավական է նրա երկու կողմը դիֆերենցել:

Օրինակներ.- 1.



dx

a x

, նշանակենք x  at; dx  adt

Օգտագործելով վերը նշված անաձնը՝ կստանանք. dx adt adt dt     arcsiո t  C a2  x2 a2  a2t2 a 1 t 2 1 t 2 Վերադառնալով հին փոփոխականին՝ կունենանք.





dx



a2  x2



 arcsiո 2.





x x  C , քանի որ նշանակումից t  : a a

1  x 2 xdx :

Տեղադրենք 1+ x 2  t , dt  2 xdx , որտեղից xdx 

1 1/ 3 1 t4/3 x xdx t dt t dt       C   2 2 2 4/3 4/3  t 4 / 3  C  1  x 2   C :

dt

ԼԼԼ. Մասերով ինտեգրման եղանակ.- Եթե ս  ս x  ն v  v x  -ը դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են, ապա դրանց արտադրյալի համար ունենք՝ dս  v   սdv  vdս , որն ինտեգրելով, կստանանք՝ սv 

 սdv   vdս;

Եթե այս երկու ինտեգրալներից մեկը կարողանանք հաշվել, մյուսը կգտնենք հենց այդ հավասարությունից՝

 սdv  սv   vdս : Այս անաձնը կոչվում է մասերով ինտեգրման անաձն: Տրված ինտեգրալի նկատմամ այս անաձնը կիրառելու համար պետք է կարողանալ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը տրոհել երկու արտադրիչների, որոնցից մեկը նշանակել ս -ով, մյուսը dv -ով: Տրոհման համար, ընդհանուր կանոն գոյություն չունի, ուղղակի պետք է հաշվի առնել, որ dv  v x dx արտահայտությունը պետք է կարողանալ ինտեգրել այնպես, որպեսզի ստացվի v -ն: Բերենք երկու օրինակ. 1.

 x siո xdx

Ենթադրենք ս  x ,

v   c0s x



dv  siո xdx , այստեղից dս  dx :

Կիրառելով մասերով ինտեգրման անաձնը կստանանք՝ x siո xdx   x c0s x  c0s xdx   x c0s x  siո x  C :



2.



x  1e 2 x dx

ս  x  1: dv  e 2 x dx , dս  dx : v   e 2 x dx   e 2 x d 2x   e 2 x Նշանակենք

 x  1e

2x

dx 

որտեղից

x  1e 2 x  1 e 2 x dx  1 x  1e 2 x  1 e 2 x  C



ՈՐՈՇՅԱԼ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

Դիտարկենք մի խնդիր, որի լուծումը հանգում է որոշյալ ինտեգրալի գաղափարին: Հաշվենք կորագիծ սեղանի մակերեսը: 71Րx) A B

Օ

Վ

x1

x2....... xi-1

i

i

xi.......

xո-1 Ե

x

Գծ.33

Սահմանում.- Կորագիծ սեղան կամ սեղանակերպ կոչվում է այն հարթ պատկերը, որը սահմանափակված է y  f x  կորի աղեղով, ՕX առանցքով ն x  a , x  Ե ուղիղներով (գծ.33): Ուստի պետք է հաշվել ՃaԵB պատկերի մակերեսը՝ Տ8Ե Հաշվումների պարզեցման նպատակով ընդունենք a  Ե , f x   0 ն անընդհատ |8,Ե| միջակայքում: |8,Ե| հատվածը ո-1 կամայական կետերի միջոցով տրոհենք մասերի՝ a  x   x 1  x 2  ...  x i  x i 1  ...  x ո 1  x ո  Ե : Այս կետերը |8,Ե| հատվածը կտրոհեն ո տարրական մասերի. |20,21|, |21,22|, . . . , |2i-1,2i|,. . ., |2ո-1,2ո|, Տրոհման կետերից տանելով 0y առանցքին զուգահեռ ուղիղներ՝ տրված կորագիծ սեղանը կ աժանենք ո տարրական կորագիծ սեղանների: Նշանակենք այդ սեղանների մակերեսները համապատասխանա ար Տ1 , Տ 2 ,...., Տ i ,...., Տ ո : Պարզ

է, որ Տ aԵ  Տ1  Տ 2  ....  Տ i  ....  Տ ո կամ ավելի կարճ ձնով

Տ aԵ 

ո

 Տ

i

, որտեղ

 (սիգմա) գումարի նշանն է:

i 1

Սակայն այս տարրական կորագիծ սեղանների մակերեսները հաշվելը նույնքան դժվար է, որքան մեծ սեղանակեպի մակերեսի հաշվումը: Ուստի վարվենք հետնյալ կերպ. յուրաքանչյուր տարրական x i 1 ; x i  հատվածում վերցնենք մի կա-

 i x i 1   i  x i  կետ ն հաշվենք ֆունկցիայի արժեքները այդ կետերում, այսինքն՝ կառուցենք f  i  օրդիմայական

նատները: Այնուհետն յուրաքանչյուր տարրական կորագիծ սեղան մոտավորապես փոխարինենք x i 1; x i i  1,2,..., ո  հիմք ունե-





ցող ուղղանկյուններով, որոնց արձրությունները հավասար են f  i  i  1,2,3,...ո  (գծ.33): Նշանակենք ուղղանկյունների

x i  x i 1  x i i  1,2,...ո  : Այդ դեպքում մակերեսները

հավասար

կլինեն

f  i x i i  1,2,...., ո , իսկ Տ i  f  i x i : Տրված կորագիծ

սեղանի մակերեսը մոտավորապես հավասար կլինի գծ.33 ստացված աստիճանաձն պատկերի մակերեսին՝ ս

ՏaԵ   f  i x i : i 1

Պարզ է, որ եթե x i -ից մեծագույնը սկսի նվազել, ապա այս գումարը ավելի ճիշտ կարտահայտի սեղանակերպի մակերեսը: Ուստի նական է, որ գրենք

ՏaԵ 

ո

 f  x

liո

ոax x i 0 i 1 ո 

i

i

Այսպիսով, կորագիծ սեղանի մակերեսի հաշվումը երվեց այս տիպի գումարի սահմանի հաշվման ն խնդիրը փաստորեն լուծված է: Նման մոտեցումով կարելի է լուծել ազմապիսի խնդիրներ:

Որոշյալ ինտեգրալի սահմանումը Այժմ ուշադրություն չդարձնենք կոնկրետ խնդրի ովանդակության վրա, ն հարցը դիտարկենք ընդհանուր տեսքով: Դիցուք, f x  ֆունկցիան որոշված ն սահմանափակ է |8,Ե| միջակայքում: Միջակայքում վերցնենք ո  1 հատ կամայական թվեր՝ a  x 0  x 1  x 2  ....  x i 1  x i  ...  x ո 1  x ո  Ե , որոնք միջակայքը տրոհում են ո մասերի: Յուրաքանչյուր x i 1 ; x i  միջակայքում վերցնենք մի  i կամայական կետ՝ x i 1   i  x i ն այնտեղ հաշվենք f x 

ֆունկցիայի արժեքը՝ f  i  i  1,2,...., ո  : Ֆունկցիայի այդ արժեքները ազմապատկենք համապատասխան x i միջակայքերի երկարությամ ՝ f  i x i ն ստացված ոլոր արտադրյալները գումարենք՝

f  i x 1  f  2 x 2  ....  f  ո x ո 

ո

 f  x : i

i

i 1

Այս գումարը կոչվում է f x  ֆունկցիայի ինտեգրալային գումար |8,Ե|միջակայքում: Քանի որ |8,Ե| միջակայքի տրոհումը ն յուրաքանչյուր փոքր միջակայքում  i կետերի ընտրությունը կատարվում է կամայական եղանակով, ուստի տրված f x 

ֆունկցիայի ն a : Ե միջակայքի համար միննույն ո -ի դեպքում կարելի է ազմաթիվ ինտեգրալային գումարներ կազմել: ո -ը անվերջորեն մեծացնենք այնպես, որ ոլոր փոքր միջակայքերի x i երկարությունները անվերջորեն փոքրանան. հնարավոր է երկու դեպք՝ ա) տար եր եղանակներով կազմված ինտեգրալային գումարները ձգտեն տար եր սահմանների կամ վերջավոր սահման չունենան ) ոլոր հնարավոր եղանակներով կազմված ինտեգրալային գումարները ձգտեն միննույն վերջավոր սահմանին: Երկրորդ դեպքում ասում են, որ f x  ֆունկցիան ինտեգրելի է |8,Ե| միջակայքում, իսկ ինտեգրալային գումարի սահ98

մանը կոչվում է f x  ֆունկցիայի որոշյալ ինտեգրալ |8:Ե| միջաԵ

կայքում ն նշանակվում այսպես՝

 f x dx : a

Առաջին դեպքում ասում են, որ f x  ֆունկցիայի որոշյալ ինտեգրալը |8:Ե| միջակայքում գոյություն չունի: Այսպիսով, ըստ սահմանման՝ Ե

 f x dx  a

liո

ո

 f ξ Δx

ո  ոax Δx i  0 i 1

i

i

f x  ֆունկցիան կոչվում է ենթաինտեգրալային, x -ը՝ ինտեգրման փոփոխական, իսկ a -ն ն Ե -ն՝ համապատասխանա ար որոշյալ ինտեգրալի ստորին ն վերին սահմաններ: Յուրաքանչյուր f x  ֆունկցիայի համար տրված a ն Ե սահմանների դեպքում որոշյալ ինտեգրալը որոշակի թիվ է: Որոշյալ ինտեգրալի արժեքը կախված է ենթաինտեգրալային ֆունկցիայից ն ինտեգրման սահմաններից: Անդրադառնանք վերը դիտարկված խնդրին: Համեմատելով կորագիծ սեղանի Տ8Ե մակերեսի համար ստացված արժեքը որոշյալ ինտեքրալի սահմանման հետ՝ նկատում ենք, Ե

որ՝ Տ  f x dx :

 a

Սա է որոշյալ ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը: Որոշյալ ինտեգրալի սահմանման հետ կապված հարց է առաջանում, թե ինչպիսի պայմանների առկայության դեպքում գոյություն ունի ինտեգրալային գումարի սահմանը, այսինքն որոշյալ ինտեգրալը: Դրա պատասխանը տալիս է որոշյալ ինտեգրալի գոյության թեորեմը, որը ներկայացվում է առանց ապացուցման: Թեորեմ._Փակ միջակայքում յուրաքանչյուր անընդհատ ֆունկցիա այդ միջակայքում ինտեգրելի է, այսինքն գոյություն ունի նրա որոշյալ ինտեգրալը: Այսպիսով, որպեսզի ֆունկցիան լինի ինտեգրելի ավական է, որ այն լինի անընդհատ փակ միջակայքում: Բայց որոշ99

յալ ինտեգրալը կարող է գոյություն ունենալ նան որոշ խզվող ֆունկցիաների համար: Օրինակ, ապացուցվում է, որ փակ միջակայքում սահմանափակ ն վերջավոր խզման կետեր ունեցող յուրաքանչյուր ֆունկցիայի համար որոշյալ ինտեգրալը գոյություն ունի:

Որոշյալ ինտեգրալի հատկությունները Ներկայացնենք որոշյալ ինտեգրալի մի քանի հատկություններ, որոնք ստացվում են հիմնականում նրա սահմանումից, Ե

ըստ որի f x dx  liո



ո 

a

ո

 f ξi Δx i 1

Ե

a

a

Ե

i

 f x dx   f x dx ,

1.

այսինքն՝ որոշյալ ինտեգրալի սահմանները տեղափոխելիս՝ փոխվում է միայն ինտեգրալի նշանը: a

2.

 f x dx  0 , a

այսինքն՝ հավասար ստորին ն վերին սահմաններ ունեցող որոշյալ ինտեգրալը հավասար է զրոյի: 3.

Ե

Ե

a

a

 Ճf x dx  Ճ f x dx ,

այսինքն՝ հաստատուն ազմապատկիչը կարելի է դուրս երել որոշյալ ինտեգրալի նշանի տակից: 4.

Ե

Ե

Ե

a

a

a

 f x   x dx   f x dx   x dx ,

այսինքն՝ ֆունկցիաների գումարի որոշյալ ինտեգրալը հավասար է առանձին գումարելիների որոշյալ ինտեգրալների գումարին:

Ե

5.

6.

 dx  Ե  a : a Ե

c

Ե

a

a

c

 f x dx   f x dx   f x dx ,

ընդ որում, սա հավաստի է 8, Ե, c թվերի ցանկացած դասավորության դեպքում: 7. Եթե |8,Ե| միջակայքում f x   0 ն a  Ե, ապա՝ Ե

 f x dx  0 : a

8. Եթե f x  ն x  ֆունկցիաները |8:Ե| միջակայքում

ինտեգրելի են ն f x   x , ապա

Ե

Ե

a

a

 f x dx   x dx :

9. Եթե |8,Ե| միջակայքում ո  f x   Խ ն ո ն Խ ֆունկցիայի փոքրագույն ն մեծագույն արժեքներն են, a  Ե, Ե

ապա՝ ոԵ  a  

 f x dx  ԽԵ  a  : a

10. Եթե 1(2) –ը անընդհատ է |8:Ե| միջակայքում, ապա այդ միջակայքում գոյություն ունի առնվազն մի c կետ, որ Ե

 f x dx  f cԵ  a  ,

a c Ե:

a

Այս հատկությունը ապացուցվում է որպես առանձին թեորեմ ն կոչվում է միջին արժեքի թեորեմ:

Որոշյալ ինտեգրալը որպես վերին սահմանի ֆունկցիա Որոշյալ ինտեգրալի սահմանումից արդեն գիտենք, որ նրա թվային արժեքը կախված է ենթաինտեգրալային ֆունկցիայից, ինտեգրման սահմաններից ն կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից, ուստի կարելի է ինտեգրման փոփոխականը նշանակել ցանկացած տառով ն ինտեգրալի արժեքը չի փոխվի՝ Ե

Ե

Ե

a

a

a

 f x dx   f t dt   f z dz  . . . : Սակայն, եթե փոխենք ինտեգրալի սահմանները, ապա նրա արժեքը, ընդհանրապես, կփոխվի: Վերին Ե սահմանի փոխարեն վերցնենք մի x փոփոխական, իսկ ինտեգրման փոփոխականը նշանակենք t -ով: Այդ դեպքում, եթե x փոփոխվի, x

ապա

 f t dt -ի

արժեքը

դրանից

կախված

կփոփոխվի,

a

այսինքն՝ ինտեգրալը կհանդիսանա իր վերին ֆունկցիա: Նշանակենք այդ ֆունկցիան  x  -ով:

սահմանի

x

 x  

 f t dt : a

Այս ֆունկցիան օժտված է հետնյալ երկու կարնոր հատկությամ ՝ 1) եթե f x  ֆունկցիան ինտեգրելի է |8,Ե| միջակայքում, ապա  x  -ը անընդհատ է այդ միջակայքում:

2) եթե f x  -ը անընդհատ է |8,Ե| միջակայքում, ապա

 x  -ն այդ նույն միջակայքում ունի ածանցյալ, որը հավասար է f x  -ի՝  x   f x  :

x -ին

Ապացույց.-

x

տանք

աճ,

x  x

x

x  x

a

a

x

այդ

դեպքում

 f t dt   f t dt   f t dt :

 x  x  

 x  ֆունկցիայի աճը կլինի՝ x

 x    x  x    x  

x  x

x

x

a

 f t dt   f t dt   f t dt : a x  x

 

 f t dt : x

Այս հավասարությունից անմիջապես հետնում է, որ եթե x  0 ապա  նույնպես կձգտի զրոյի: Դա նշանակում է, որ  x  ֆունկցիան անընդհատ է: Առաջին հատկությունը ապացուցված է: Վերջին հավասարության աջ մասի նկատմամ կիրառենք միջին արժեքի թեորեմը. x  x

 

 f t dt  f c x   x  x   f c x ,

որտեղ

x

x  c  x  x :

Կազմենք  x  ֆունկցիայի աճի ն արգումենտի աճի հարա երությունը ն անցնենք սահմանի,եր վերջինս ձգտում է զրոյի.

 f c x   f c  : x x

  liո f c  , այց եր x  0 , ապա c  x , x  0 x x 0 հետնա ար liո f c   liո f c  ն ֆունկցիայի անընդհատութ x   liո

x 0

c x

յան հետնանքով liո f c   f x  : c x

Այսպիսով,  x   f x  , ն երկրորդ հատկությունը նույնպես ապացուցված է:

Որոշյալ ինտեգրալի հաշվումը: Նյուտոն-Լայ նիցի անաձնը

  x   Մենք ապացուցեցինք, որ  f t dt   f x  , այսինքն՝    a



x



 x   f t dt -ն f x  ֆունկցիայի նախնական ֆունկցիան է: a

Այժմ ապացուցենք մի այսպիսի թեորեմ: Եթե Fx  -ը f x  անընդհատ ֆունկցիայի ինչ-որ մի նախնական ֆունկցիա է, ապա առկա է հետնյալ անաձնը՝ Ե

 f x dx  FԵ  Fa  : a

Այս անաձնը կոչվում է Նյուտոն-Լայ նիցի անաձն: Ապացույց.- Ենթադրենք, Fx   ը f x  -ի որնէ նախնական x

ֆունկցիա է: Գիտենք, որ

 f t dt

նույնպես հանդիսանում է

a

f x  -ի նախնական ֆունկցիա: Բայց միննույն ֆունկցիայի երկու նախնական ֆունկցիաները տար երվում են միայն հաստատուն գումարելիով: Հետնա ար, կարող ենք գրել. x

 f t dt  Fx   C a

Շ հաստատունի որոշման համար այս հավասարության մեջ տեղադրենք x  a , այդ դեպքում

a

 f t dt  Fa   C

C   Fa  :

Օ  Fa   C , որտեղից

կամ

a

x

Հետնա ար,

 f t dt  Fx   Fa  : a

Տեղադրելով այս հավասարության մեջ x  Ե ՝ կստանանք Նյուտոն-Լայ նիցի անաձնը՝ Ե

 f x dx  FԵ  Fa  : a

Եթե նշանակենք FԵ   Fa   FՓ x ) a , ապա որոշյալ ինԵ

տեգրալի հաշվման անաձնը կարելի է գրել այսպես՝ Ե

 f x dx  Fx 

Ե a

 FԵ   Fa  :

a

Օրինակներ.- 1.  x 3 dx 

x4



0  4







2. siո xdx   c0s x  1  1  2 :



3. e x dx  e x  e  1 :

Վարժություններ 

1.



4.

x

xdx 1 x

dx  a2

2.

 siո xdx

3.

 xe dx

6.

x



5.

dx 1 x2

 2x  3 dx

Որոշյալ ինտեգրալի կիրառությունները Որոշյալ ինտեգրալը սահմանեցինք որպես ինտեգրալային գումարի սահման: Որպես այդպիսին, այն ազմապիսի կիրառություններ ունի երկրաչափությունում, մեխանիկայում, ֆիզիկայում, քիմիայում, կենսա անության մեջ, էկոնոմիկայում, տեխնիկական գիտություններում ն այլուր: Այժմ դիտարկենք մի քանի կիրառություններ.

1. Հարթ պատկերի մակերեսի հաշվումը Որոշյալ ինտեգրալի երկրաչափական իմաստից հայտնի է, որ կորագիծ սեղանի մակերեսը կարելի է հաշվել հետնյալ ինտեգրալով՝ Տ 

Ե

Ե

a

a

 f x dx կամ ավելի կարճ՝ Տ   ydx

Որոշյալ ինտեգրալի միջոցով այլ պատկերների մակերեսներ հաշվելու ժամանակ որպես պարզագույն պատկեր դիտվում է կորագիծ սեղանը: Դիցուք պահանջվում է հաշվել գծ.34-ում ներկայացված Ե

պատկերի մակերեսը. Տ1 

Ե

 f x dx , իսկ Տ   f x dx :

a

a

y Ճ

Օ

a

y-fՓx )

B

S1 S2 Գծ.34

Ե

x

Այսպիսով, երկու դեպքում էլ, եր f x  -ը հաստատուն նշանի ֆունկցիա է, կորագիծ սեղանի մակերեսը կարելի է Ե

հաշվել Տ  f x dx



անաձնով: Իսկ եթե f x  կորը հատում է

a

0x առանցքը (գծ.35), ապա սեղանի հիմքը պետք է աժանել մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրում f x  -ը պահպանում է հաստատուն նշան, ն վարվել այնպես, ինչպես նախորդ դեպքում: c

Տ

Ե

 f x dx   f x dx a

:

c

y y-fՓx) +

a

Ե

c

x

–

Գծ.35

Մակերեսի հաշվման անաձնը կարելի է օգտագործել նան այն դեպքում, եր տրված հարթ պատկերը սահմանափակված է երկու տար եր կորերով կամ մի փակ կորով: Դիցուք, պահանջվում է հաշվել այն պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է y  f1 x  , y  f 2 x  կորերով ն x  a ու x  Ե ուղիղներով /գծ.36/:

y

y=f2(x) S

y=f1(x)

a

b

x

Գծ.36

Տրված պատկերի մակերեսը կարող ենք ներկայացնել որպես երկու կորագիծ սեղանների մակերեսների տար երություն. Ե

Ե





Տ  f 2 x dx  f1 x dx : a

a

Օրինակ.- 1. Հաշվել այն պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է y  x ն y  x 2 կորերով /գծ.37/: Լուծում. - Գտնենք տրված երկու կորերի հատման կետերը: Այդ նպատակով լուծենք դրանց հավասարումները համատեղ. x  x 2 , x  x 4 , x 1  x 3  0 , որտեղից x 1  0 , x 2  1





y-x2

y

y- x

Գծ.37

y

x -a

Գծ.38

Հետնա ար՝ Տ 



x dx   x 2 dx 

2 32 1 x 3 1 2 1 1  .  x  3 0 3 3 3

Օրինակ.- 2 Հաշվել էլիպսի մակերեսը (գծ.38):

x 2 y2 Լուծում. - Էլիպսի հավասարումն է 2  2  1 , որտեղից a Ե Ե 2 y a  x2 a Ե



Տ  ydx  2 a



a

a

2Ե Ե 2 a  x 2 dx  a 2  x 2 dx  a a a a





2Ե  x 2 a2 x a  a  x 2  arcsiո   aԵ : a 2 a  a Մասնավոր դեպքում, եր a  Ե կստանանք 8 շառավիղով

շրջանի մակերեսը՝ Տ շրջ  a 2 :

2. Մարմնի ծավալի հաշվումը Դիցուք, տրված է մի / մարմին: Ենթադրենք, մեզ հայտնի են այդ մարմնի 0x առանցքին ուղղահայաց հատույթների մակերեսները: Պարզ է, որ x -ի փոփոխման հետ, ընդհանուր դեպքում, կփոփոխվի հատույթի մակերեսը: Այնպես որ հատույթի

մակերեսը x -ի ֆունկցիան է: Նշանակենք այդ ֆունկցիան Տx  ով: Ենթադրենք նան, որ x -ը փոփոխվում է a -ից մինչն Եa  x  Ե  ն հաշվենք այն ծավալը, որը ահմանափակված է x  a ն x  Ե հարթությունների միջն: Այդ նպատակով |8:Ե| ո մասերի միջակայքը տրոհենք a  x 0  x 1  x 2  ...  x i1  x i  ...  x ո  Ե ն աժանման կետերով տանենք 0x առանցքին ուղղահայաց հարթություններ: Այդ հարթությունները կտրոհեն տրված մարմինը ո տարրական շերտերի (գծ.39):

ՏՓci)

a x1

x

c

x2

xi

xi-1

xn-1 b

xi Գծ.39

Յուրաքանչյուր տարրական հատվածում վերցնենք մի կամայական c i միջանկյալ կետ.

i  1,2,3,...., ո  x i 1  c i  x i ci կետով տանենք 0x առանցքին ուղղահայաց հատույթ: Նրա մակերեսը, որն ընդգծված է գծագրում, կլինի Տc i  : Յուրաքանչյուր տարրական շերտ մոտավորապես փոխարինենք մի ուղիղ գլանով, որի արձրությունն է x i  x i  x i 1

i  1,2,3,..., ո  , իսկ հիմքը Տc i  -ն է: Այդ եղանակով ամ ողջ մարմինը կփոխարինվի մի աստիճանաձն պատկերով, որը աղկացած է ո տարրական գլաններից: Էլեմենտար գլանի ծավալը նշանակենք v i -ով, իսկ աստիճանաձն մարմնի ծավալը՝ Vո -ով:

v i  Տc i   x i Vո 

ո



i  1,2,3,...., ո  , իսկ

v i 

i 1

ո

 Տc   x i

i

:

i 1

1 մարմնի V ծավալը հավասար կլինի Vո -ի սահմանին, եր ոax x i  0 կամ ո   , այսինքն՝

V  liո Vո  liո

ո

 ՏC x :

ո  ո  ոax x i 0 ոax x i 0 i 1

ո

Բայց

ՏC x -ը i

i

i

Տx  ֆունկցիայի ինտեգրալային

i 1

գումարն է: Հետնա ար, նրա սահմանը, եր ոax x i  0 , կտա որոշյալ ինտեգրալ ն կարող ենք գրել՝ Ե



V  Տx dx : a

Սա զուգահեռ հատույթների մակերեսների միջոցով մարմնի ծավալի հաշվման անաձնն է: Օրինակ, հաշվենք այն պատկերի ծավալը, որը սահմանա-

x 2 y2 z2    1 էլիպսոիդով: a 2 Ե2 c2 Լուծում.- Էլիպսոիդը հատելով x  հ հարթությամ ՝ կստանանք y2 z2 y2 z2 հ2 կամ   1, այսինքն    Ե2 c2 a2 հ2  հ2  2 2 Ե 1  2  c 1  2   a   a 

փակված է

հ2 մի էլիպս, որի կիսառանցքներն են՝ Ե 1  2 a

հ2 ն c 1 2 a

(գծ.40):

z

-a

·y

a

x

հ

Գծ.40

Քանի որ էլիպսի մակերեսը հավասար է  թվի ն կիսաառանցքների արտադրյալին, ուստի կարող ենք գրել, որ

 հ2 Տհ   Եc1  2  a

 :  

Հետնա ար, վերը ստացված ծավալի անաձնի մեջ x -ը փոխարինելով հ -ով, կունենանք՝

  հ3  a dհ  Եc հ  2   aԵc : 3a  a 3   Մասնավոր դեպքում, եր a  Ե  c  R , մենք կստանանք

a a  հ2 V   Տհ dհ   Եc1  2  a a a

R շառավիղով գնդի ծավալը, որը հավասար կլինի

R 3 :

ՊՏՏՄԱՆ ՄԱՐՄՆԻ ԾԱՎԱԼԸ

Դիցուք, կորագիծ սեղանի հիմքը 0x կամ 0y առանցքի ինչ-որ հատվածն է ն 1 մարմինը ստացվում է այդ կորագիծ սեղանի պտտումից իր հիմքի շուրջը (գծ.41):

y d

x-Փy) y

y-fՓx)

x

y

c

Ե a

x

x

Գծ.41

Առաջին դեպքում պտտման առանցքին ուղղահայաց հատույթները Տx   y 2 փոփոխական մակերեսներով

շրջաններ են, որտեղ y  f x  a  x  Ե : Երկրորդ դեպքում`

Տy   x 2 մակերեսով շրջաններ, որտեղ x  y  ն c  y  d :

Այդ դեպքում պտտման / մարմնի ծավալը, համաձայն ծավալի Ե



V  Տx dx

հաշվման

ընդհանուր

անաձնի,

կլինի`

a

Ե

Ե

Vպտ  π  y dx  π  f x  dx, եր պտտումը տեղի է ունենում

a

a

d

d

c

c

0x առանցքի շուրջը, ն Vպտ  π  x 2 dy  π  y  dy, եր

պտտումը տեղի է ունենում 0y առանցքի շուրջը:

Օրինակ.- Հաշվել այն մարմնի ծավալը, որը ստացվում է y 2  x պարա ոլի |0:1| հատվածում ընկած աղեղի պտտումից 0x առանցքի շուրջը (գծ.42):

y y2-x x

Գծ.42

Լուծում.- Våï

x2 1     y dx   xdx    : 2 0 2

3. Փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքի հաշվումը Դիցուք, Խ նյութական կետը F ուժի ազդեցությամ ուղղագիծ շարժվում է B կետից մինչն Շ կետը (գծ.43):

B

Խ0

թi

Խ1 Խ2

Խi-1 Խi-1 Գծ.43

C Խո-1 Խո

x

Պարզության համար ենթադրենք, որ ուժի ուղղությունը համընկնում է շարժման ուղղության հետ: Պահանջվում է հաշվել ուժի կատարած աշխատանքը: Ֆիզիկայից հայտնի է, որ հաստատուն ուժի կատարած աշխատանքը հավասար է այդ ուժի չափի ն անցած ճանապարհի երկարության արտադրյալին՝ Ճ  F  BC : Այժմ ենթադրենք, թե F ուժը փոփոխական է: Խ կետի հեռավորությունը սկզ նական 0 կետից նշանակենք Տ-ով: Պարզ է, որ F ուժի չափը կլինի Տ ճանապարհի ֆունկցիա՝ F  F Տ : Այս դեպքում նախորդ անաձնով աշխատանքը հաշվել չենք կարող, քանի որ չենք կարող իմանալ, թե անցած ճանապարհը փոփոխական ուժի ո՞ր արժեքով պիտի ազմապատկել: Այս խնդիրը լուծելու համար վարվենք հետնյալ կերպ. 8Շ ճանապարհը կամայական եղանակով տրոհենք ո մասերի: Տրոհման կետերը թող լինեն՝ Խ 0 , Խ 1 , Խ 2 ,..., Խ i1 , Խ i ,..., Խ ո 1 , Խ ո : Նշանակենք Խ i 1 Խ i  Տ i : Յուրաքանչյուր հատվածում

վերցնենք մի միջանկյալ թՏi , i  1,2,3,..., ո  կետ ն հաշվենք

ուժի արժեքները այդ կետերում՝ FՏi  : Ենթադրենք, յուրաքանչյուր տարրական հատվածում ուժը մոտավորապես պահպանում է հաստատուն արժեք՝ հավասար FՏi  : Արդյունքում կստացվի,որ F ուժը 8Շ տեղամասում փոփոխվում է թռիչքաձն: Եթե i -րդ հատվածում ուժի կատարած աշխատանքը նշանակենք Ճ i ,ապա կարող ենք գրել՝

Ճ i  FՏi   Տ i :

Իսկ, եթե թռիչքաձն փոփոխվող ուժի կատարած աշխատանքը 8Շ տեղամասում նշանակենք Ճ ո , ապա ո

ո

i 1

i 1

Ճ ո   Ճ i   FՏi   Տi : Եթե Տi հատվածների մաքսիմալ երկարությունը անսահմանորեն փոքրացնենք, ապա FՏi  -ը կձգտի F ուժի կատարած Ճ աշխատանքին: Այսինքն՝

Ճ

liո

ո  ոax Տi 0

Ճո 

ո

 FՏ Տ :

liո

ո  ոax Տi 0 i 1

ո

Սակայն

 FՏ Տ -ն i

i

i

FՏ

i

ֆունկցիայի

ո -րդ

i 1

ինտեգրալային գումարն է: Հետնա ար, նրա սահմանը կտա c

որոշյալ ինտեգրալ ն կարող ենք գրել՝ Ճ 

 FՏdՏ

որտեղ

Ե

Ե  ՕB, c  ՕC :

Վարժություններ 1. Հաշվել այն պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է 7- 22 +1 պարա ոլով ն 2-7-3 ուղղով: 2. Հաշվել 7-22 ն 2- 72 պարա ոլներով սահմանափակված պատկերի մակերեսը: 3. Հաշվել 7- 22, 7-2 ն 2-0 գծերով սահմանափակված պատկերի մակերեսը: 4. Հաշվել այն պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է 7- 22-22 կորով ն օ2 առանցքով: 5. Որոշել 7 - lո 2, 2 - e ն 7 - 0 գծերով սահմանափակված պատկերի մակերեսը : 6. Հաշվել այն մարմնի ծավալը , որը առաջանում է 7-22-22 ն 7-0 գծերով սահմանափակված պատկերը օ2 առանցքի շուրջը պտտելիս: 7. Հաշվել 7-22 ն 7-22 գծերով սահմանափակված պատկերը օ2 առանցքի շուրջը պտտելու արդյունքում առաջացած մարմնի ծավալը: x 2 y2 8. Հաշվել 2  2  1 էլիպսի օ2 առանցքի շուրջը պտտելուց a Ե առաջացած մարմնի ծավալը (պտտման էլիպսոիդ): 9. Գտնել 7-22 ն 7-4 գծերով սահմանափակված պատկերը 2-2 ուղղի շուրջը պտտելուց առաջացած մարմնի ծավալը:

10. Որոշել 7-23, 2-0 ն 7-8 գծերով սահմանափակված պատկերը օ7 առանցքի շուրջը պտտելուց առաջացած մարմնի ծավալը:

ԹՎԱՅԻՆ ՇԱՐՔԵՐ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ

Ենթադրենք, տրված է անվերջ թվային հաջորդականություն ս1, ս2, ս3,....., սո ,...: Այս հաջորդականության անդամներից կազմենք մի այսպիսի անվերջ գումար՝ ս1+ ս2 +ս3+....+ սո+...: (1) (1) գումարը կոչվում է թվային շարք : (1) շարքը կարճ կարելի է գրել նան հետնյալ տեսքով՝ 



 ո 1

ս ո կամ

եր եմն

 ս , ս ո 0

ո

 ս1  ս 2  ...  ս ո  ... շարքի

համար): (1) շարքում ս1, ս2, ս3,....., սո ,....թվերը կոչվում են շարքի անդամներ: Ընդ որում ս1 -ը շարքի առաջին անդամն է, սո-ը՝ ո-րդ անդամը: Հարկ է նշել, որ ոչ մի դեպքում շարքի վերջին անդամ գոյություն չունի: (1) շարքի համար կազմենք Տ1, Տ2, Տ3,... Տո,... գումարներ, որոնք որոշվում են հետնյալ ձնով՝ Տ1 - ս1 Տ2 - ս1+ս2 Տ3 - ս1+ս2+ս3 --------------------------------Տո - ս1+ս2+...+սո Այս գումարները կոչվում են (1) շարքի մասնակի գումարներ, մասնավորապես Տո- ը կոչվում է ո-րդ մասնակի գումար: Սահմանում. - Եթե մասնակի գումարների հաջորդականության սահմանը ո գոյություն ունի ն հավասար է վերջավոր թվի, այսինքն՝ liո Տո-Տ (2) ո 

ապա (1) շարքը կոչվում է զուգամետ ն Տ թիվը կոչվում է նրա գումար: Իսկ եթե այդ սահմանը հավասար է անվերջության կամ գոյություն չունի, ապա շարքը կոչվում է տարամետ ն գումարի մասին խոսելն անիմաստ է: Դիտարկենք երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներից կազմված շարքը՝ Ե1+ Ե1զ+ Ե1զ2+ . . . + Ե1զո-1+ Ե1զո+. . .: Հանրահաշվի դասընթացից հայտնի է, որ սրա ո-րդ մասնակի գումարը՝ Տ ո 





b1 1  զ ո զ  1 : 1 զ

Հաշվենք այս մասնակի գումարի սահմանը, եր

Ե1 1  զ ո  1 զ

liո Տո  liո ո 

ո



Ե1 , 1 զ

եթե

զ  1,

որովհետն

ո. այս

դեպքում liո զ ո -0: ո 

Հետնա ար, շարքը այս դեպքում, համաձայն սահմանման ո ն զուգամիտում է: Իսկ եթե զ  1 , ապա զո  , եր շարքը կլինի տարամետ: Շարքը տարամետ է նան այն դեպքում, եր զ  1, որովհետն Տո-8+8+...+8-ո8 ն iո Տ ո  iո ո8   : ո 

ո 

Այսպիսով` երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներից կազմված շարքը զուգամիտում է միայն ն միայն այն դեպքում, եր նրա հայտարարը՝ զ  1: Իսկ եր զ  1 , ապա շարքը տարամիտում է: 

Օրինակ.-  ո 0

որովհետն

1 1  1   2  3  ....  ո  ... շարքը զուգամետ է, 2ո 2 2 երկրաչափական պրոգրեսիայի շարք է՝ զ 

հայտարարով:

ՇԱՐՔԻ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ ԱՆՀՐԱԺԵՇՏՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ ՏԱՐԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՎԱՐԱՐՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՅՏԱՆԻՇԸ

Շարքի գումարի հաշվումը հաճախ կապվում է արդությունների հետ: Ուստի, այն հարցը, թե շարքը զուգամիտում է, թե տարամիտում, ունի կարնոր նշանակություն: Այս հարցին պատասխանելու համար մաթեմատիկայում ապացուցվում են հայտանիշներ, որոնց օգնությամ , չօգտվելով, զուգամիտության անմիջական սահմանումից պարզա անվում է շարքի զուգամիտության հարցը: Թեորեմ.- (Շարքի զուգամիտության անհրաժեշտության հայ

տանիշը): Եթե

ս ո 1

ո

շարքը զուգամիտում է, ապա նրա սո ընդ-

հանուր անդամը ձգտում է 0-ի, ո - ը  ձգտելիս, այսինքն liո ս ո  0 : ո 

Ապացույց.- Դիտարկենք Տո 1  ս 1  ս 2  ...  ս ո 1 ն Տ ո  ս 1  ս 2  ...  ս ո մասնակի գումարները: Քանի որ ըստ Տ ո 1  Տ ն liո Տո  Տ : պայմանի շարքը զուգամիտում է, ապա՝ liո ո  ո 

Տ ո  Տ ո1   Տ  Տ  0 : ս ո  liո Բայց ս ո  Տ ո  Տ ո 1 , liո ո  ո 

Այն ինչ պահանջվում էր ապացուցել: Ապացուցված թեորեմից անմիջապես հետնում է շարքի տարամիտության ավարարության հայտանիշը՝ եթե շարքի սո ընդհանուր անդամը չի ձգտում զրոյի, ո-ը  ձգտելիս, ապա շարքը տարամիտում է : Իրոք, եթե շարքը զուգամիտում է, ապա սո0, ո-ը  ձգտելիս, այց ըստ պայմանի սո – ը չի ձգտում 0-ի, եր ո: Օրինակ – Հետազոտել հետնյալ շարքի զուգամիտությունը

ո    ...   ... 101 201 301 100ո  1

ո  0 ո  ո  100 ո  1 Հետնա ար, շարքը տարամետ է:

Լուծում.- liո ս ո  liո

Եթե շարքի զուգամիտությունից հետնում է, որ liո ս ո  0 ո 

ապա հակառակ պնդումը միշտ չէ, որ ճիշտ է: Այսինքն՝ շարքի ընդհանուր անդամը ո   կարող է ձգտել զրոյի, այց շարքը զուգամետ չլինել: Որպես օրինակ դիտարկենք այսպես կոչված հարմոնիկ շարքը՝  1 1 1  ո  1  2  3  4  ...  ո  ... : ո 1 Ցույց տանք, որ այս շարքը տարամետ է, չնայած, որ liո ս ո  liո  0 ո  ո  ո Իրոք՝ հարմոնիկ շարքը գրենք մի քիչ մանրամասնորեն 1 1 1 1 1 1 1 1 1          ...    ...   ... : 2  3  4  5  6  7 8  9 16    17

Փակագծերի մեջ վերցված անդամներից յուրաքանչյուրը փոխարինենք այդ խմ ի վերջին անդամով: Այդպիսով, մենք կփոքրացնենք շարքի մասնակի գումարը ն կունենանք 1 1 1 1 1 1 1 1 1          ...    ...   ... 2  4  4  8  8 8 8 16 16  32  

1 1 1 կամ 1     ... : 2 2 2 Այս նոր շարքի ո-րդ մասնակի գումարը, որն ավելի փոքր է, քան տրված հարմոնիկ շարքի մասնակի գումարը, կունենա

ո ն ո-ը անվերջության ձգտելու դեպ2 քում , Տո-ը նույնպես կձգտի  : Հետնա ար, հարմոնիկ շարքի որդ մասնակի գումարը նույնպես կձգտի  : Այսինքն հարմոնիկ հետնյալ տեսքը՝ Տո-1+

շարքը տարամետ է: Մնում է նշել, որ հարմոնիկ շարքը կարնոր նշանակություն ունի շարքերի տարամիտությունն ուսումնասիրելու ժամանակ:

ԴՐԱÎԱՆ ԱՆԴԱՄՆԵՐՈՈ ՇԱՐՔԵՐԻ

¼ՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ ´ԱՈԱՐԱՐՈՒԹՅԱՆ

ÐԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐÀ

1.Զուգամիտության համեմատության հայտանիշը Ենթադրենք, ունենք երկու դրական անդամներով շարքեր ս1+ս2+...+սո+... (1) v1+v2+...+vո+... (2) Սրանց համար առկա է հետնյալ պնդումը: Թեորեմ.-Եթե (1) շարքի անդամները չեն գերազանցում (2) շարքի համապատասխան անդամներին, այսինքն սո  vո (3) ն (2) շարքը զուգամետ է, ապա զուգամետ է նան (1) շարքը: Իսկ եթե (1) շարքը տարամետ է, ապա (2) շարքը նույնպես տարամետ է: Ապացույց.-Նշանակենք (1) շարքի մասնակի գումարը Տո, իսկ (2) շարքի մասնակի գումարը ո ո

ո

i 1

i 1

Տո-  ս i : ո-  v i (3) պայմանից հետնում է, որ Տո  ո : (4) Քանի որ (2) շարքը զուգամետ է, ապա liո  ո   ն այն ո 

պայմանից, որ (1) ն (2) շարքերը դրական անդամներով են, հետնում է, որ ո Հ ն (4) անհավասարության համաձայն ՏՀ: Այսպիսով, մենք ցույց տվեցինք, որ Տո մասնակի գումարները սահմանափակված են վերնից: Քանի որ ո-ի աճման հետ միասին Տո մասնակի գումարը մոնոտոն աճում է, ապա այն ունի սահման lհm S n  S , ընդ որում պարզ է, որ Տ ն թեորեմի n  առաջին մասն ապացուցված է: Հիմա անցնենք թեորեմի երկրորդ մասի ապացուցմանը: Ըստ թեորեմի պայմանի, (1) շարքը տարամետ է: Դա նշանակում է, որ lհm S n   կամ գոյություն չունի: Քանի որ ո մասn  նակի գումարների հաջորդականությունը մոնոտոն աճող է, ապա, ըստ (4) անհավասարության, ո-ի անվերջորեն աճման հետ միասին ո-ը առավել նս կձգտի : Դա նշանակում է, որ (2) շարքը նույնպես տարամետ է:

Օրինակներ. – Համեմատության հայտանիշի օգնությամ հետազոտել հետնյալ շարքերի զուգամիտությունը 1.



ո 1

2.

   ... 2 2 33 4 4  1   .. n

ո 

 n 1

ո

 1

Առաջին շարքը համեմատենք



2 ո 1

ո

1

   ... 22 23 24

զուգամետ երկրաչափական պրոգրեսիայի շարքի հետ: Նկատի ունենալով, որ

 ո , ըստ համեմատության թեորեմի այս ո ո

շարքը կլինի զուգամետ: Երկրորդ շարքը համեմատենք հարմոնիկ շարքի հետ.  : n n

Նկատի ունենալով այս անհավասարությունը, ըստ համեմատության հայտանիշի,տրված շարքը նույնպես կլինի տարամետ:

Վարժություններ Համեմատության հայտանիշի օգնությամ հետազոտել հետնյալ դրական անդամներով շարքերի զուգամիտությունը:

  ...   ...  ո 2 ո 3 ո Փո  1) 1 1 1 2.    ... 2 4 6      3. siո  siո  ...  siո 2ո

1.

4.



ո ո 1

 4ո  5

5.





ո  2ո π π π  ... 6. էջ  էջ  ...  էջ 4ո 1 1 7.   ...  2  ... ո  2ո 2 5 1 1 8.   ...   ... 2 5 3ո  1 ո 1

Առանց ապացույցի հայտանիշներ նս:

երենք

ավարարության մի քանի

2.Դալամ երի հայտանիշը

Թեորեմ.- Դիցուք, դրական անդամներով u1  u 2  ...  u n  ...

շարքի (ո+1)–րդ ն ո-րդ անդամների հարա երությունը ո-ը,  u ձգտելիս, ձգտում է  վերջավոր սահմանին, այսինքն lհm n1   , n 

un

այդ դեպքում՝ 1. եթե  Հ 1, ապա շարքը զուգամետ է, 2. Եթե  »1, ապա շարքը տարամետ է, 3. եթե  -1, ապա շարքի զուգամիտության հարցը մնում է անորոշ, անհրաժեշտ է լրացուցիչ պայման: Սա նշանակում է, որ եր  -1, ապա շարքը կարող է լինել ինչպես զուգամետ, այնպես էլ տարամետ: Նման դեպքում հարցի վերջնական լուծումը պահանջում է լրացուցիչ հետազոտություններ:

Օրինակներ 1.



 ո!  1  2!  3!  4!  ...  ո!  ... ո 1

սո   ո! 1  2  3    ո ս ո 1    ( ո  1)! 1  2  3    ոո  1 ո!ո  1 ս ո 1 ո! liո  liո  liո  0 1: ո  ո  ո  սո ո!ո  1 ո 1

հետնա ար, տրված շարքը զուգամետ է:

2.

ո

սո 

ո : ո 1



ո

 ո  1  2  3  4  ...  ո  1  ... ո 1

ս ո 1 

ո 1 ո2

ս ո 1 ո  1  liո ո  2ո  1  liո  liո ո ո    սո ո ո  2 ո  ո 2  2ո

liո ո 

2 1  ո ո2 1: 1 ո

1

Ուրեմն Դալամ երի հայտանիշի օգնությամ այս շարքի զուգամիտության մասին հետնություն անել չի կարելի, այց, օգտվելով զուգամիտության անմիջական սահմանումից, կարելի է ցույց տալ, որ շարքը զուգամետ է: Իրոք   ոո  1 ո ո  1 ն Տո մասնակի գումարը կարելի է ներկայացնել 1 1 1 1 1 1 տեսքով: Տ ո  1       ....  ո 1 ո 1 2 2 3 3 4 1   ոiո Տ ո  ոiո1    1 2 Ուրեմն շարքը զուգամետ է: ո  ո  ո  1   2ո 2 2 2 23 2ո 4.      ...   ... ո ո 1 ո ս ո  2  1: ոiո ո 1  ոiո 2  ո  ս ո  ո 1 ո Հետնա ար, շարքը տարամետ է:

Թեորեմ.- Դիցուք,

3.Կոշիի հայտանիշը ս 1  ս 2  ...  ս ո  ... ոչ

ներով շարքի համար

ո

ացասական անդամ-

ս ո մեծությունը, եր ո ունի վերջա-

վոր  սահման, այսինքն ոiո ո ս ո   , այդ դեպքում՝ ո 

1. 2. 3.

Եթե  Հ 1, շարքը զուգամետ է, Եթե  »1, շարքը տարամետ է, Եթե  -1, ապա շարքի զուգամիտության հարցը մնում է անորոշ: Այն լուծելու համար անհրաժեշտ են լրացուցիչ հետազոտություններ:

 1  2  3  4  ...  ո  ... ո ո 1 ո ո 

Օրինակներ 1. 

 ոiո  0  1 : ո ո  ո  ո  ո ո Հետնա ար Կոշիի հայտանիշի համաձայն, շարքը զուգամետ է: ո ո  3 5  2ո  1  7  2ո  1       2.           ... ո  1 2 ո 1  3  ո    ոiո ո ս ո  ոiո ո

ո

2ո  1  2ո  1    liո ս ո  liո   liո  2 1  ո  ո  ո  ո  ո  ո

ո

Ուրեմն շարքը տարամետ է: Ընդհանրապես ցույց է տրվում, որ եթե Դալամ երի կամ Կոշիի հայտանիշներից մեկը զուգամիտության հարցը թողնում է անորոշ, ապա մյուսը նույնպես թողնում է անորոշ, ն այն կիրառելը անիմաստ է: 4.Կոշիի ինտեգրալային հայտանիշը Թեորեմ- Ենթադրենք, ս 1  ս 2  ...  ս ո  ... դրական անդամներով շարքի

անդամները մոնոտոն նվազում են, այսինքն՝ ս1  ս 2  ս 3 ... , liո ս ո  0 ն դիցուք 7-1(2) այնպիսի մոնոտոն ո 

նվազող անընդհատ ֆունկցիա է, որ 1(1)- ս1, 1(2)- ս2, ... , 1(ո)-սո: Այդ դեպքում՝ 

1) Եթե

 f Փx)dx անիսկական

ինտեգրալը զուգամետ է, ապա

տրված շարքը նույնպես զուգամետ է. 2) Եթե այս ինտեգրալը տարամետ է, ապա շարքը տարամետ է: 

Օրինակ .– Ցույց տանք, որ

ո ո 1

p

շարքը զուգամետ է, եր ք»1 ն

p  1 : Դալամ երի հայտանիշը այս շարքի զուգամիտության հարցը թողնում է անորոշ   1 : Կիրառենք Կոշիի ինտեգրալային հայտանիշը՝ տեղադրելով f x   p : Այս x

տարամետ է, եր

ֆունկցիան ավարարում է թեորեմի ոլոր պայմաններին:

 1 1 ք Ե Ե Ե1ք  1, եր p  1   d2 d2 1 ք  iո 1  ք 1 2 ք  Եiո ք Ե    1 2 ո2 Ե  ոԵ, եր ք  1 :  



, անիսկական ինտեգրալը զուգամետ է ն  ք հետնա ար, շարքը նույնպես կլինի զուգամետ: Եթե ք  1 , ապա Եթե ք»1,



d2

2

d2

2



ք

ինտեգրալը հավասար է անվերջության, հետնա ար,

ք

շարքը տարամետ է: 

ո

Այսպիսով,

ո 1

ք

շարքը զուգամետ է, եթե ք»1 ն տա-

րամետ է, եթե ք  1 : Այս կարնոր արդյունքը հաճախ կօգտագործվի կոնկրետ թվային շարքերի զուգամիտությունն ուսումնասիրելու ժամանակ: Այսպես օրինակ՝ 

ո ո 1

 1

 2  2  ...  2  ... շարքը զուգամետ է, ո

որովհետն ք-2»1: 

 ո 1

ո

 1

հետն ք 



 ... 

ո

 ... շարքը տարամետ է, որով-

 1:

ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ

Մինչ այժմ մենք ուսումնասիրում էինք մեկ փոփոխականից կախված ֆունկցիաններ: Բայց պրակտիկայում շատ հաճախ հանդիպում են այնպիսի դեպքեր, եր դիտարկվող մեծության (ֆունկցիայի) փոփոխությունը կախված է լինում ոչ թե մեկ, այլ մի քանի մեծությունների (արգումենտների) փոփոխություններից:

Օրինակ 1. Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա չափումների արտադրյալին`

Տ

y

Տ-xy x Գծ. 44

Այստեղ ուղղանկյան մակերեսը կարելի է համարել երկու փոփոխականների ֆունկցիա: Տ(2,7)-27 Օրինակ 2. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ծավալը հավասար է նրա չափումների արտադրյալին:

z

Vx7z

x

Գծ. 45

Այստեղ զուգահեռանիստի ծավալը երեք փոփոխականների ֆունկցիա է: Մ(2,7,2)-272 Օրինակ 3. Ջոուլ - Լենցի օրենքը արտահայտում է անջատվող ջերմության քանակի կախվածությունը հոսանքի ուժից, հաղորդալարի դիմադրությունից ն ժամանակից Օ-0,24Լ2Rէ: Այստեղ Օ-ն նույնպես երեք փոփոխականների ֆունկցիա է: Այնուհետն տանք մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ն վերջինիս որոշման տիրույթի սահմանումը: Սահմանում 1 .Եթե 2, 7, 2, ..., է փոփոխականների արժեքների յուրաքանչյուր ազմությանը համապատասխանում է ս փոփոխականի որոշակի արժեք, ասում են, որ ս –ն 2, 7, 2, ..., է

փոփոխականների ֆունկցիա է ն այդ կապակցությունը ընդհանուր ձնով գրում են հետնյալ կերպ՝

ս-1(2, 7, 2, ..., է): Սահմանում 2. 2, 7, 2, ..., է փոփոխականների արժեքների այն ազմությունը, որի համար գոյություն ունեն ս-ի որոշակի արժեքներ, կոչվում է ֆունկցիայի որոշման տիրույթ ն նշանակվում է Ծ տառով: Մասնավորապես, մանրամասն ուսումնասիրենք երկու փոփոխականների ֆունկցիաները: 2 փոփոխականը կոչվում է 2 ն 7 փոփոխականների ֆունկցիա, եթե (2,7) արժեքների յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է 2-ի որոշակի արժեք: (2,7) արժեքների զույգերի այդ ազմությունը կոչվում է 2 ֆունկցիայի որոշման կամ գոյության տիրույթ: 2-1(2,7) երկու փոփոխականի ֆունկցիայի որոշման տիրույթը հարթության կետերի ազմություն է: Մասնավոր դեպքում այն կարող է լինել ամ ողջ հարթությունը: Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը սահմանափակող գիծը կոչվում է եզրագիծ: Տիրույթի եզրագծին չպատկանող կետերը կոչվում են ներքին կետեր: Այն տիրույթը, որը աղկացած է միայն ներքին կետերից, կոչվում է աց տիրույթ: Եթե տիրույթին են պատկանում նան եզրագծի կետերը, այն կոչվում է փակ տիրույթ:

Այսå»ս ûñÇÝակ .

1. 2- 22+72 ֆունկցիան որոշված է (2,7)-ի ցանկացած զույգի համար: Ուրեմն նրա տիրույթը ամ ողջ 2օ7 հարթությունն է . 2. z  ֆունկցիան որոշված է ամենուրեք, ացի 7-2-0 կամ 7x 7-2 ուղղի կետերից. 3. 2   4  2 2  7 2 ֆունկցիան որոշված է միայն 2 ն 7 փոփոխականների այն արժեքների համար, որոնք ավարարում են x 2  7 2  4 անհավասարությունը: Այսինքն՝ 2 ֆունկցիայի որոշման տիրույթը R-2 շառավիղով շրջան է, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատական սկզ նակետում ներառյալ նան x 2  7 2  4 շրջանագծի կետերը (գծ.46):

z

y

x

Գծ.46

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՄԵԿՆԱԲԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ

Դիտարկենք 2-1(2,7) ֆունկցիան: Սա ֆունկցիայի ացահայտ տեսքն է, իսկ ան ացահայտ տեսքը հետնյալն է F(2:7:2)-0: z Խ

z

Օ x x

D

թ P

Գ.. 47

Ենթադրենք, տրված ֆունկցիան որոշված է Ծ տիրույթում: Ծ տիրույթի յուրաքանչյուր P(2,7) կետին կհամապատասխանի մի 2, որը ավարարում է 2-1(2,7) հավասարմանը: Արդյունքում տարածության մեջ կստանանք Խ(2, 7, 1 (2, 7)) կետերի երկրաչափական տեղ, որն, ինչպես հայտնի է անալիտիկ երկրաչափությունից, իրենից ներկայացնում է մի մակերնույթ (գծ. 47): Այսպիսով, ամեն մի երկու փոփոխականների ֆունկցիային տարածության մեջ համապատասխանում է մի մակերնույթ, որը կոչվում է նրա գրաֆիկ:

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՍԱՀՄԱՆՆ ՈՒ ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆԸ

Նախ ծանոթանանք մի կարնոր հասկացության հետ: Խ0(20, 70) կետի r- շրջակայք կոչվում է ոլոր այն (2,7) կետերի ազմությունը, որոնք ավարարում են

2  2 0 2  7  7 0 2  r

անհավասարությանը, այսինքն՝ այն

կետերի ազմությունը, որոնք գտնվում են Խ0(20, 70) կենտրոնով r շառավիղով շրջանի ներսում (գծ. 48):

Խ0

լ

Խ

D

x Օ

Գծ. 48

Ենթադրենք, տրված է 2-1(2,7) ֆունկցիան, որը որոշված է 2օ7 հարթության Ծ տիրույթում: Դիտարկենք Ծ տիրույթի մի որոշակի Խ0(20, 70) կետ:

Սահմանում. - Խ(2,7) կետը Խ0(20, 70) կետին ձգտելու ժամանակ

Ճ թիվը կոչվում է 1(2,7) ֆունկցիայի սահման, եթե յուրաքանչյուր  թվի համար կարելի է նշել այնպիսի r թիվ, որ տեղի ունենա 1(2,7)-Ճ անհավասարությունը, հենց որ տեղի է ունենում Խ 0 Խ  r անհավասարությունը: Եթե Ճ թիվը 1(2,7) –ի սահմանն է Խ(2,7)-ը Խ0(20, 70)-ին ձգտելիս, ապա այդ գրում են այսպես՝ iո 1 2, 7   1 2 0 , 7 0  : Ընդ որում Խ(2,7) կետը Խ Խ 0

ձգտում է Խ0(20, 70)-ին կամայական եղանակով, միշտ մնալով ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներսում: Այսպիսով, որպեսզի 1(2,7) ֆունկցիան լինի անընդհատ Խ0(20,70) կետում, անհրաժեշտ է, որ տեղի ունենան հետնյալ պայմանները՝ 1. 1(2,7)-ը որոշված լինի Խ0(20, 70) կետի շրջակայքում, 2. 1(2,7)-ը պետք է ունենա սահման Խ(2,7)-ը Խ0(20, 70)-ին ձգտելիս, 3. այդ սահմանը պետք է հավասար լինի 1(2,7)-ի արժեքին Խ0(20, 70) կետում: Եթե 1(2,7) ֆունկցիան անընդհատ է Ծ տիրույթի ոլոր կետերում, ապա նա կոչվում է անընդհատ այդ տիրույթում:

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ՄԱՍՆԱԿԻ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐՆ ՈՒ ՄԱՍՆԱԿԻ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼՆԵՐԸ

Դիտարկենք 2-1(2,7) ֆունկցիան, որը որոշված ն անընդհատ է Ծ տիրույթում: 2 ֆունկցիայի մասնակի աճ կոչվում է այն աճը, որը նա ստանում է արգումենտներից որնէ մեկին աճ տալու ժամանակ. 22-1(2+2,7) – 1(2,7) 72-1(2,7+7) – 1(2,7) Սահմանում.- 2-1(2,7) ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը, ըստ որնէ մի արգումենտի, կոչվում է նրա համապատասխան մասնակի աճի ն այդ արգումենտի աճի հարա երության սահմանը, եր վերջինս ձգտում է զրոյի: Առաջին կարգի մասնակի ածանցյալների համար ընդունված է կատարել հետնյալ նշանակումները՝

z f x, y   f x x , y   x x : z f x , y   z y   f y x , y  y y Այնպես որ, ըստ սահմանման, կարող ենք գրել՝ z x 

1 (2  2, 7 )  1 2, 7  2  2  iո 2  iո 2 20 2 20 2

yz f Փ x , y  y)  f x, y  z  iո :  iո y y y0 y y0 Սահմանումից հետնում է, որ մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները ըստ որնէ մի փոփոխականի հաշվելիս պետք է մյուս փոփոխականները դիտարկել որպես հաստատուններ: Այդ պատճառով էլ ֆունկցիայի ածանցման կանոնները մնում են նույնը ինչ-որ մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում, միայն ամեն անգամ պետք է հաշվի առնել թե կոնկրետ ըստ ո՞ր փոփոխականի է ածանցվում ֆունկցիան: z z  2 x siո y,  x 2 c0s y Օրինակներ .-1. z  x 2 siո y, x y 2. z  x 3  3x 2 y 3  6 y,

z z  3x 2  6xy 3 ,  9x 2 y 2  6 x y

z z  yx y 1 ,  x yոx : x y Ամեն մի մասնակի ածանցյալ (եթե այն դիֆերենցելի է) կարելի է իր հերթին ածանցել ըստ յուրաքանչյուր արգումենտի: Առաջին կարգի մասնակի ածանցյալների մասնակի ածանցյալները կոչվում են երկրորդ կարգի ածանցյալներ ն նշանակվում են հետնյալ կերպ.  2 z   z     x 2 x  x  3. z  x y ,

2z   z     xy y  x 

2z   z     yx x  y   2 z   z     y 2 y  y  Նման ձնով հաշվում են երկու փոփոխոկաններով ֆունկցիայի երրորդ ն ավելի արձր կարգի մասնակի ածանց 2 z  2 z  3z  3z յալները: Նշենք, որ , , , ,... կոչվում են xy yx xy 2 y 2 x խառը մասնակի ածանցյալներ: Առանց ապացուցելու երենք մի քանի փոփոխականներով ֆունկցիայի խառը ածանցյալների մասին թեորեմը. Թեորեմ.- Ցանկացած կարգի խառն ածանցյալների արժեքները կախված չեն ածանցման հերթականությունից, այսինքն՝ 2z 2z 3z 3z  3z   ,  : xy yx xy 2 yxy y 2 x



Օրինակ.–Տրված է z  ո x 2  y 2



ֆունկցիան: Ցույց տալ, որ նրա երկրորդ կարգի խառը ածանցյալները հավասար են. 2y z z 2x  2  2 , x x  y y x  y 2

 4 xy  4xy 2z 2z  2  2 , : 2 2 xy Փ x  y ) yx Փ x  y 2 ) 2 Անցնենք մասնակի դիֆերենցիալներին: Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալների գաղափարը սահմանվում է այնպես, ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալը: Եթե մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալը սահմանվում է որպես նրա աճի գլխավոր մաս, ապա մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալը, ըստ որնէ մի փոփոխականի, սահմանվում է որպես ըստ այդ փոփոխականի մասնակի աճի գլխավոր մաս:

Իրոք, քանի որ

2  2  iո 2 , ապա ըստ սահմանների 2 0 2 2

տեսության հիմնարար թեորեմի, կարելի է գրել՝ որտեղ

-ն

անվերջ

փոքր

մեծություն

 x z z  x x է: Այստեղից

z x  x : x Այս արտահայտության մի մասում գրված է երկու անհամարժեք անվերջ փոքր մեծությունների գումար, որովհետն z 2-ը ավելի արձր կարգի անվերջ փոքր է, քան x : x xz 

Սահմանում.-

2 2 գումարելին կոչվում է 2 ֆունկցիայի մասնա2

կի աճի գլխավոր մաս կամ մասնակի դիֆերենցիալ ըստ 2 արz z x  dx : գումենտի ն նշանակվում է հետնյալ ձնով d x z  x x z z Նման ձնով d y z  y  dy : y y Այսպիսով, ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալը, ըստ որնէ մի փոփոխականի, հավասար է նրա մասնակի ածանցյալի ն այդ փոփոխականի դիֆերենցիալի արտադրյալին: Օրինակ.- z  ո x 2  y 2 : Գտնել այս ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալները. z 2x 2x z dx , d y z  dy  2 dy : dxz  dx  2 y x x y x  y2





ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԼՐԻՎ ԱՃԸ ԵՎ ԼՐԻՎ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼԸ

2  1 2, 7  ֆունկցիայի լրիվ աճ կոչվում է այն աճը, որը նա ստանում է ոլոր արգումենտների փոփոխման հետնանքով. 2-1(2+2,7+7)-1(2, 7): Նշենք որ ընդհանուր դեպքում ֆունկցիայի լրիվ աճը հավասար չէ նրա մասնակի աճերի գումարին. 222+72:

Եթե 2-1(2,7) ֆունկցիան ունի անընդհատ մասնակի ածանցյալներ, ապա կարելի է ցույց տալ, որ նրա լրիվ աճի z z x  y տեսքը: գլխավոր մասը, ունի x y Սահմանում.- Լրիվ աճի գլխավոր մասը կոչվում է լրիվ դիֆերենցիալ ն նշանակվում d2: Այնպես որ, ըստ սահմանման

dz 

z z z z x  y  dx  dy : x y x y

z z dx ն dy մասնակի դիֆերենցիալներ են, x y կարող ենք գրել՝ d2-d22+d72: Այն ֆունկցիան, որն ունի լրիվ դիֆերենցիալ, կոչվում է դիֆերենցելի: Տրված կետում ֆունկցիայի անընդհատ մասնակի ածանցյալների գոյությունը դիֆերենցելիության ավարար պայման է: Քանի որ

ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԸ

Սահմանում 1.- Ասում են, որ Խ1(21,71) կետը 2-1(2, 7) ֆունկ-

ցիայի մաքսիմումի կետ է, եթե այդ կետի շրջակայքից վերցրած ցանկացած Խ(2,7) կետի համար առկա է 1(21,71)»1(2,7) անհավասարությունը: z

Օ

x1 Խ1 xx2

x

Խ2

Գծ. 49

Սահմանում 2.- Ասում են նան, որ Խ2(22, 72) կետը 2-1(2, 7)

ֆունկցիայի մինիմումի կետն է, եթե այդ կետի շրջակայքից վերցրած յուրաքանչյուր Խ(2, 7) կետի համար 1(22, 72)Հ1(2, 7): Ֆունկցիայի մաքսիմումները ն մինիմումները միասին կոչվում են էքստրեմումներ (գծ. 49): Ֆունկցիայի արժեքները էքստրեմումի կետերում կոչվում են էքստրեմումներ: Դիցուք, ունենք 2-1(2, 7) դիֆերենցելի ֆունկցիան: Ստանանք այն անհրաժեշտ պայմանները, որոնց դեպքում այն Խ0(20,70) կետում հասնում է էքստրեմումի: Թեորեմ.- (Էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտ պայմանները): Եթե 2-1(2, 7) ֆունկցիան Խ0(20, 70) կետում ունի էքստրեմում, ապա նրա մասնակի ածանցյալներն այդ կետում հավասար են զրոյի կամ գոյություն չունեն՝  2   2    2 2  0,   2 2  0 :  2  7 7  7  7 7 Ապացույց.- Ենթադրենք, 2-1(2, 7) ֆունկցիան Խ0(20, 70) կետում ունի էքստրեմում: 7 փոփոխականին տանք մի որոշակի 7-70 արժեք: Որպեսզի 1(2, 70) –ն, որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, ունենա էքստրեմում, 2-20 կետում, անհրաժեշտ է, որ նրա ածանցյալը հավասար լինի զրոյի կամ գոյություն չունենա,  2  այսինքն   22  0 :  2  77 Նման ձնով, եթե 2 փոփոխականին տանք որոշակի 2-20 արժեք, կստանանք 1(20, 7) մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, որը  2  7-70 կետում ունի էքստրեմում: Նշանակում է   22  0 կամ  7  77 գոյություն չունի: Ստացանք այն, ինչ պահանջվում էր ապացուցել: Այն կետերը, որոնցում 2-1(2, 7) ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները դառնում են զրո կամ գոյություն չունեն, կոչվում են կրիտիկական կամ ստացիոնար կետեր: Այսպիսով, տրված 2-1(2, 7) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը գտնելու նպատակով պետք է հավասարեցնել զրոյի նրա առա0

ջին կարգի մասնակի ածանցյալները

2 2  0,  0 ն լուծել 2 7

ստացված երկու անհայտով երկու հավասարումների համակարգը:

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄԻ ԳՈՅՈՒԹՅԱՆ ԲԱՎԱՐԱՐՈՒԹՅԱՆ

ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԸ

Ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համար, էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտության պայմանը ավարար չէ, այսինքն՝ եթե որնէ մի կետում առկա են անհրաժեշտության պայմանները դա դեռ չի նշանակում, որ այդ կետերը էքստրեմումի կետ են: Մի քանի փոփոխականներով ֆունկցիայի էքստրեմումի գոյության ավարարության պայմանները շատ ավելի արդ են, քան մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համար: Այդ պատճառով առանց ապացույցի երենք այդ պայմանները երկու փոփոխականներով ֆունկցիայի համար: Դիցուք Խ0(20, 70), կետում 2-1(2,7) ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այսինքն

 z   z     0 ն    0 :  x  Խ0  y  Խ 0 Խ0(20, 70) կետում հաշվենք ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները ն նշանակենք՝

  2z    2z    2z   , C   2  : Ճ   2  , B    x  Խ 0  xy  Խ 0  y  Խ 0 Այդ դեպքում՝ 1. եթե ՃՇ-82»0, ապա 2- 1(2, 7) ֆունկցիան Խ0(20, 70) կետում ունի էքստրեմում, ընդ որում՝ մաքսիմում, եր ՃՀ0 ն մինիմում, եր Ճ»0, 2. եթե ՃՇ-82Հ0, ապա 2- 1(2, 7) ֆունկցիան Խ0(20, 70) կետում էքստրեմում չունի, 3. եթե ՃՇ-82-0, ապա ֆունկցիայի էքստրեմումի հարցը մնում է աց ն պահանջվում է լրացուցիչ հետազոտություն: Օրինակ.- Գտնել 2-22-227+272-42+67+10 ֆունկցիայի էքստրեմալ արժեքները: Èáõ.áõÙ.- Գտնենք կրիտիկական կետերը՝

z z  2x  2 y  4,  2 x  4 y  6, x y 2 x  2 y  4  0 :   2 x  4 y  6  0 Լուծելով այս համակարգը՝ կստանանք 2-1 ն 7- -1: Հետնա ար, (1, -1) կետը կրիտիկական կետ է: Հաշվենք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալների արժեքները այդ կետում: 22 22 22  , :  4: ,   7 2 27 2 2 ՈՒրեմն՝ Ճ -2, 8 - -2, Շ- 4, ՃՇ-82-2 4- (-2)2-4»0: Հետնա ար, (1, -1) կետը էքստրեմումի կետ է: Քանի որ Ճ-2»0, ուրեմն այդ կետը մինիմումի կետ է ն Zոiո-12-21 (-1)+2(-1)2-41+6(-1)+10-5

ՆՎԱԶԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ՄԵԹՈԴԸ

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի էքստրեմումի գործնական կիրառություններից մեկն է նվազագույն քառակուսիների մեթոդը: Ենթադրենք, ինչ-որ փորձի կամ դիտումների միջոցով ստացվում է 2 ն 7 փոփոխականների միջն եղած կապակցությունը աղյուսակի տեսքով ն պահանջվում է ֆունկցիոնալ կախման աղյուսակային տեսքից անցնել անալիտիկ ( անաձնային) տեսքի, ընդ որում, եթե դա հնարավոր չէ կատարել ճշգրիտ, ապա աշխատում են կատարել մոտավորապես: Աղյուսակ 1

2ո

7ո

Դիցուք, Խ1(21, 71), Խ2(22, 72), ..., Խո(2ո, 7ո) կետերը մոտավորապես դասավորված են մեկ ուղղի վրա: Դա նշանակում է որ 2 ն 7 փոփոխականների միջն եղած կապակցությունը մոտ է գծայինին՝ Մ-82+Ե:

8 ն Ե անհայտ պարամետրերը ընտրենք այնպես, որպեսզի Մ-82+Ե ուղիղը որքան հնարավոր է մոտ անցնի ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում կառուցված Խ1, Խ2, Խ3,..., Խո կետերին: 2i կետում (Մi-7i) տար երությանը անվանենք շեղում, որտեղ Մi-82i+Ե, իսկ 7i-ն ֆունկցիայի փորձից ստացված արժեքն է, որը համապատասխանում է նույն 2i կետին: Նվազագույն քառակուսինների մեթոդի էությունը հետնյալն է. Մ-82+Ե որոնելի ուղիղը ընտրել այնպես, որպեսզի (Մi-7i) շեղումների քառակուսիների գումարը լինի փոքրագույնը: Այսպիսով, 8 ն Ե անհայտ պարամետրերը որոշվում են՝ ո

ո

i 1

i 1

 (Մi  7 i ) 2   (82 i  Ե  7 i ) 2  ոiո պայմանից: Քանի որ 2i ն 7i հաստատուն մեծություններ են (փորձի արդյունքներ), ապա վերը նշված գումարը 8 ն Ե պարամետրերի ֆունկցիա է. ո

 (82 i 1

i

 Ե  7 i ) 2   8, Ե  :

8-ն ն Ե-ն որոշելու հանար օգտվենք երկու փոփոխականների ֆունկցիայի էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտ պայմաններից: Գտնենք  8, Ե  ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներն ըստ 8 ն Ե պարամետրերի ն հավասարեցնենք զրոյի. ո    2 82 i  Ե  7 i 2 i  0 8  i 1  ո   2 82 i  Ե  7 i   0   Ե i 1

Հետնա ար, 8 ն Ե պարամետրերը, որոնց համար տեղի է ունենում լավագույն մոտարկում (վերը նշված իմաստով), կարելի է որոշել ստացված համակարգից: Այս հանակարգը կարելի է գրել հետնյալ տեսքով.

ո ո  ո 2 Ե 2i7i     i   i  i 1 i 1 i 1 :  ո ո 8 2  Եո  7  i i   i 1 i 1

8 ն Ե մեծությունների որոշման համար մենք ստացանք երկու անհայտով երկու գծային հավասարումների համակարգ, որը կոչվում է հավասարումների նորմալ համակարգ: Որոշելով 8-ն ն Ե-ն՝ կարելի է ցույց տալ, որ  8, Ե  -ն այդ արժեքների համար հասնում է մինիմումի: Տեղադրելով 8-ի ն Ե-ի արժեքները Մ-82+Ե հավասարման մեջ մենք կստանանք այն գծային ֆունկցիան, որը լավագույն ձնով է արտահայտում փորձի կամ դիտումների միջոցով ստացված 2 ն 7 փոփոխականների միջն եղած կապը: Եթե փորձի արդյունքներն այնպիսին են, որ ստացված Խ1, Խ2, Խ3,..., Խո կետերը կառուցելիս նկատում ենք, դրանց մոտավոր դասավորվածությունը քառակուսային պարա ոլի վրա, ապա 2 ն 7 փոփոխականների միջն եղած մոտավոր կախվածությունը կարելի է փնտրել Մ-822+Ե2+c տեսքով: 8, Ե ն c գործակիցները գտնելու համար, այս դեպքում պետք է որոշել  Մi  7 i   82 i2  Ե2 i  c  7 i   Φ8, Ե, c ֆունկցիայի ո

ո

i 1

i 1

մինիմումը:

 8, Ե, c  երեք փոփոխականների ֆունկցիայի մինիմումի

որոշման խնդիրը հանգում է երեք անհայտով երեք գծային հավասարումների համակարգի լուծման. 8 ո 2 4  Ե ո 2 3  c ո 2 2  ո 2 2 7    i i i i i   i 1 i 1 i 1 i 1  ո ո ո ո 8  2 i  Ե 2 i  c 2 i   2 i 7 i i 1 i 1 i 1  iո1 ո ո 8 2 2  Ե 2  cո  7   i i i   i 1 i 1 i 1 որտեղից հաշվում են 8, Ե ն c պարամետրերի արժեքները:

Օրինակ 1.

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդով ստանալ գծային կապ խոճկորների կենդանի քաշի ն հասակի միջն: Փորձնական տվյալները երված են հետնյալ աղյուսակում՝ Աղյուսակ 2.

Հասակը, շա աթներով Կենդանի քաշը, կգ

1,3 2,5 3,9 5,2 5,3 7,5 9,0 10,8 13,1

Լուծում.- Խոճկորների հասակը նշանակենք 2, իսկ կենդանի քաշը՝ 7: Դիտարկելով այս թվերը որպես հարթության կետերի կոորդինատներ՝ կառուցենք այդ կետերը (գծ. 50): Նկատում ենք, որ կառուցված կետերը մոտավորապես դասավորված են մեկ ուղղի վրա, որը մեզ հնարավորություն է տալիս ենթադրելու, որ 2 ն 7 փոփոխականները կապված են գծային օրենքով՝ Մ-82+Ե: 8 ն Ե պարամետրերի որոշման համար օգտվենք նվազագույն քառակուսիների մեթոդի նորմալ համակարգից.

x

Գծ. 50

8 ո 2 2  Ե ո 2  ո 2 7   i i i i   i 1 i 1 i 1 : ո ո  2 i  Եո   7 i i 1  i1 Այս հավասարումների մեջ մտնող գործակիցների հաշվման արդյունքները նպատակահարմար է ներկայացնել աղյուսակի տեսքով: Աղյուսակ 3.

N 

2i

7i 1,3 2,5 3,9 5,2 5,3 7,5 9,0 10,8 13,1 58,6

2 i2

2i 7i 2,5 7,8 15,6 21,2 37,5 54,0 75,6 104,8



Հետնա ար նորմալ հավասարումները կունենան հետնյալ տեսքը. 2048  36 Ե  319 :  368  9 Ե  58,6 Լուծելով հավասարումների այս համակարգը, կստանանք՝ 8-1,41, Ե-0,87: Այսպիսով, խոճկորների հասակի (2) ն նրանց կենդանի քաշի (7) միջն եղած որոնելի կապը արտահայտվում է 7-1,412+0,87 անաձնով: Հարթության վրա (գծ. 50) կառուցենք նան այս ուղիղը: Օրինակ 2.- ենթադրենք, փորձի արդյունքները տրված են հետնյալ աղյուսակի տեսքով.

Աղյուսակ 4

1,5

2,1

2,9

6,3

7,9

10,0

13,2

Կառուցելով այս կետերը հարթության վրա, կհամոզվենք, որ դրանք մոտավորապես դասավորված են մի ուղղի վրա: Դա նշանակում է, որ 2 ն 7 փոփոխականների միջն եղած կախվածությունը կարելի է փնտրել գծային ֆունկցիայի տեսքով՝ Մ- 82+Ե: Օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը՝ գտնենք 8 ն Ե անհայտ պարամետրերը: Ինչպես նախորդ օրինակում, դա նպատակահարմար է իրագործել աղյուսակի օգնությամ : Աղյուսակ 5

N 

2i 1,0 1,5 2,1 3,0 7,6

7i 2,9 6,3 7,9 10,0 13,2 40,3

2 i2 9,00 1,00 2,25 4,41 9,00 16,66

2i 7i 0,00 6,36 11,85 21,00 39,60 78,75

2,86 6,28 7,99 10,04 13,12

7 0,04 0,02 0,09 0,04 0,08

Ըստ այս աղյուսակի կազմենք նորմալ հավասարումների համակարգը.

16,66a  7,6Ե  78,75  7,6a  5Ե  40,3

Լուծելով այս համակարգը կստանանք 8-3,42, Ե-2,86: Հետնա ար, Մ-3,422+2,86-7 : 7 - ֆունկցիայի անաձնային արժեքն է, 7- փորձի արդյունքների շեղումներն են այս անաձնով հաշված արժեքներից:

ՎԱՐԺՈՒԹՅՈԻՆՆԵՐ

1. 2 ն 7 փոփոխականների միջն եղած կախման փորձնական տվյալները ներկայացված են հետնյալ աղյուսակում

ԱÕյáõսակ 6

x y

Ընդունելով, որ այս կապակցությունը մոտովորապես գծային է, նվազագույն քառակուսիների մեթոդով որոշել Y  ax  Ե ֆունկցիայի 8 ն Ե գործակիցները: Պատ.՝ Մ  5,062  19,87 : 2. Կիրառելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը՝ որոշել 7-822+Ե2+c ֆունկցիայի անհայտ գործակիցները, եթե 2 ն 7 փոփոխականների արժեքները տրված են հետնյալ աղյուսակի տեսքով՝ Աղյուսակ 7

x

0,5 0,8

y

1,0 1,9

1,5 4,9

2,0 8,8

2,5 13,5

Պատ.՝ 7-2,5422 –2+ 0,575: 3. Նվազագույն քառակուսիների մեթոդով գտնել հետնյալ աղյուսակում տրված ֆունկցիոնալ կախման անաձնը 7- 82+Ե տեսքով. Աղյուսակ 8

x y

1,0 0,1

1,5 0,4

2,0 0,4

2,5 0,5

3,0 0,9

3,5 0,9

4,0 0,9

Պատ.՝ 7-0,242+ 0,01: 4. ֆունկցիան տրված է աղյուսակի տեսքով. Աղյուսակ 9

x y

66,7

71,0

76,3

80,6

85,7

92,9

99,4 113,6 125,1

Կառուցելով այս կետերը, կարելի է համոզվել, որ նրանք մոտավորապես դասավորված են ուղիղ գծի վրա: Նվազագույն քառակուսիների մեթոդով գտնել այդ գծային ֆունկցիայի տեսքը: Պատ.՝ 7-0,872+ 67,5 :

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԻ ԿԻՐԱՌՈՒԹՅԱՆ ՄԻ ՔԱՆԻ

ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԳՅՈՒՂԱՏՆՏԵՍԱԿԱՆ

ԱՐՏԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆԻՑ

Վերջին ժամանակներս ուռն թափով զարգանում է մաթեմատիկական մեթոդների կիրառությունը էկոնոմիկայում ն մասնավորապես գյուղատնտեսական էկոնոմիկայի խնդիրները լուծելու ժամանակ: Դրանք արդյունավետորեն օգտագործվում են տնտեսության ոլոր նագավառներում, նպաստում հումքի, նյութերի, վառելիքի, միջոցների տնտեսմանը: Դիտարկենք գյուղատնտեսական էկոնոմիկայի մի քանի խնդիրներ,որոնց լուծումը կարելի է տալ էքստրեմումների տեսության օգնությամ : 1. Դիցուք ունենք ո կաթնաապրանքային ֆերմաներ՝ Խi(2i,7i), համապատասխանա ար ոi(i-1,2,…,ո) արտադրանքի քանակություններով: Պահանջվում է անցկացնել մի ճանապարհ այնպես, որ արտադրանքի քանակությունները դեպի այդ ճանապարհը տեղափոխելիս կատարվեն մինիմալ ծախսեր: Որոնելի ճանապարհի (ուղղի) հավասարումը փնտրենք նորմալ տեսքով 2 cօs + 7 siո - ք - 0, որտեղ -ն օ2 առանցքի ն ուղղին ուղղահայաց ուղղի միջն եղած անկյունն է, ք-ն ուղիղի հեռավորությունը սկզ նակետից: Ինչպես հայտնի է, Խi(2i,7i) կետի հեռավորությունը տրված ուղղից որոշվում է հետնյալ անաձնով 2icօs+7isiո-ք: Քանի որ ուղղի դիրքը հարթության վրա նորոշվում է  ն p պարամետրերով, ուստի փոխադրումների վրա կատարված ծախսերը կլինեն համեմատական հետնյալ արտահայտությանը՝ R(,ք) - 1ոi(2icօs + 7isiո - ք) – -2ոi(2icօs + 7isiո – ք), որտեղ 1 համապատասխանում է այն կետերին, որոնք դասավորված են ուղղից վերն, իսկ 2-ը՝ այն կետերին, որոնք դասավորված են ուղղից ներքն: Պետք է  ն p պարամետրերը ընտրել այնպես, որպեսզի

R , p  լինի մինիմալ: Ուստի գրենք երկու փոփոխականի

ֆունկցիայի էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտ պայմանները՝

R  α  1 ոi  x i siոα  yi c0sα  2 ոi  x i siոα  yi c0sα  0  R   ոi   ոi  0   Այս համակարգի առաջին հավասարումից որոշենք tg

K  tg 

 ո y  ո y  ո x  ո x

i

i

i

i

i

i

i

i

:

Համակարգի երկրորդ հավասարումից ունենք ոi  2 ոi :



Նշանակելով Խ  ն

x

c2





ո

ո i 1

i





, իսկ x c , y c1 ,

, y c 2 -ով համապատասխանա ար կետերի առաջին ն

երկրորդ համակարգերի ծանրության կենտրոնների կոորդինատները, կարող ենք գրել,

Խ xc , 2 1 Խ 2 ո i x i  2 x c 2 ,

ոx

i

i



ոy i

ոy

i

i



i



Խ yc 2 1

Խ yc : 2 2

Նկատի ունենալով այս նշանակումները՝ կարող ենք գրել

K  tg 

y c 2  y c1

x c 2  x c1

:

Այս հավասարության աջ մասը երկու համակարգերի ծանրության կենտրոններով անցնող ուղղի անկյունային գործակիցն է: Հետնա ար, որոնելի ուղիղը պետք է ուղղահայաց լինի կետերի առաջին ն երկրորդ համակարգերի ծանրության կենտրոնները միացնող ուղղին ն անցնի այդ հատվածի միջնակետով: 2. Դիցուք տված են ո կաթնաապրանքային ֆերմաներ, որոնք տեղավորված են Խi(2i,7i) կետերում ն որոնք համապատասխանա ար տալիս են ոi(i-1,2,…,ո) արտադրանք, որը ենթակա է փոխադրման:

Պահանջվում է գտնել սպասարկման այն F(2,7) կենտրոնի տեղը, որի համար

R x , y  

ո

ո

i

x  x i  2   y  y i  2

 ոiո :

i 1

R(2,7) ֆունկցիայի էքստրեմումի անհրաժեշտության պայմանները տալիս են 2 ն 7 փոփոխականների նկատմամա հետնյալ հավասարումները. ո  R   x  i 1   ո  R   y  i 1 

ո i x  x i 

x  x i    y  y i  ո i y  y i  x  x i  2   y  y i  2

0  0:

Լուծելով այս համակարգը, կարող ենք գտնել 2 ն 7 փոփոխականները, այսինքն տնտեսական խոշոր կենտրոնի գտնվելու տեղը:

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ

Սահմանում.-Այն հավասարումը, որը կապ է հաստատում x անկախ փոփոխականի, 7-7(2) որոնելի ֆունկցիայի ն նրա yԷ , y" ,..., y ո  ածանցյալների միջն, կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում: Դիֆերենցիալ հավասարումը սիմվոլիկ կերպով գրվում է այսպես. F(2, 7, 7, 7,…7(ո)) - 0 կամ 7(ո)-1- (2, 7, 7, 7,…7(ո-1)), ինչը ստացվում է նախորդից, 7(ո) -ի նկատմամ , լուծելու արդյունքում: Եթե 7-7(2) որոնելի ֆունկցիան մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա է, ապա դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է սովորական: Իսկ եթե որոնելի ֆունկցիան մի քանի անկախ փոփոխականների ֆունկցիա է, ապա դիֆերենցիալ հավասա147

րումը կոչվում է մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարում: Սահմանում.- Դիֆերենցիալ հավասարման կարգ կոչվում է հավասարման մեջ մտնող ածանցյալի ամենա արձր կարգը:

Օրինակ.- yԷxy   հավասարումն առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է: y" kyԷ siո x   հավասարումը երկրորդ կարգի է:

Սահմանում.- Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում կամ ինտեգրալ կոչվում է այն y  yx  ֆունկցիան, որը ն որի ածանցյալները տեղադրելով տված դիֆերենցիալ հավասարման մեջ նրան դարձնում են նույնություն: Օրինակ.- y"y   դիֆերենցիալ հավասարման համար

y  C1 siո x  C 2 c0s x տեսքի ֆունկցիաները լուծումներ են C1 ն C 2 հաստատունների ցանկացած ընտրության դեպքում: Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունն ու դրանց լուծման (ինտեգրման) մեթոդներն ունեն մեծ նշանակություն: Դա ացատրվում է նրանով, որ երկրաչափության, ֆիզիկայի, մեխանիկայի, աստղագիտության, կենսա անության ն այլ կիրառական գիտությունների, շատ խնդիրներ երվում են դիֆերենցիալ հավասարումների: Դիտարկենք մի քանի այդպիսի խնդիրներ:

1. ՌԱԴԻՈՒՄԻ ՌԱԴԻՈԱԿՏԻՎ ՔԱՅՔԱՅՈՒՄԸ

Փորձնական ճանապարհով հաստատված է, որ ռադիոակտիվ քայքայման արագությունը տվյալ պահին համեմատական է չքայքայված նյութի քանակությանը: Ենթադրելով, որ նյութի սկզ նական քանակությունը Խ  Է, որոշենք չքայքայված նյութի Խ քանակության ն t ժամանակի միջն եղած կախումը: Ռադիոակտիվ քայքայման արագությունը հավասար է նյութի Խ քանակության ածանցյալին ըստ ժամանակի, այսինdԽ dԽ քն՝ : Բայց ըստ պայմանի   kԽ , որտեղ է-ն համեմաdt dt տականության գործակիցն է: Մինուս նշանը վերցվում է այն պատճառով, որ է-ի աճման հետ միասին նյութի Խ քանակութ148

յունը նվազում է: Սա առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է որոնելի Խ(է) ֆունկցիայի նկատմամ : Ստացված դիֆերենցիալ հավասարումը կարելի է գրել dԽ  kdt : հետնյալ տեսքով՝ Խ Ինտեգրելով այս հավասարման երկու կողմը՝ կստանանք՝ Խ Խ lոԽ - -էէ + lո Շ կամ lո  kt , որտեղից  e  kt ն C C Խ  Ce  kt : Այստեղ Շ-ն ինտեգրման կամայական հաստատուն է: Քանի որ է - 0 մոմենտում ռադիումի զանգվածը Խ0 էր, ապա Շ-ն պետք է ավարարի Խ   Ce  k0  C առնչությանը: Տեղադրելով Շ-ի արժեքը՝ կստանանք Խ-ի կախումը է-ից վերջնական տեսքով՝ Խ  Խ  e  kt : է գործակիցը որոշվում է փորձնական ճանապարհով: Ռադիումի համար է-0,000436:

2. ՄԱՐՄՆԻ ՍԱՌԵՑՈՒՄԸ ԿԱՄ ՏԱՔԱՑՈՒՄԸ

Նյուտոնի կողմից հաստատված օրենքի համաձայն մարմնի սառեցման արագությունը համեմատական է մարմնի ն շրջակա միջավայրի ջերմաստիճանների տար երությանը: Ենթադրենք, մարմինը տաքացված է մինչն 1 աստիճան, միջավայրի ջերմաստիճանը հաստատուն է ն հավասար 1C 1c  1  : Գտնենք մարմնի փոփոխվող 1 ջերմաստիճանի ն սառեցման t ժամանակի միջն եղած կախումը: Ենթադրենք, ժամանակի t պահին մարմնի ջերմաստիճանը 1 է: Ջերմաստիճանի փոփոխման արագությունը, այսինքն՝

d1 -ն, Նյուտոնի dt

օրենքի համաձայն, համեմատական է /-/c տար երությանը: Հետնա ար,

d1   k 1  1c  : dt

Մինուս նշանը դրված է այն պատճառով, որ ժամանակի աճման հետ միասին մարմնի ջերմաստիճանը նվազում է, այսինքն՝ 1  1 t  ֆունկցիան նվազող ֆունկցիա է: Ստացված

d1  kdt 1  1c

դիֆերենցիալ հավասարումը ներկայացնենքն տեսքով,

որտեղից

lո1  1c   kt  lո C

1  1c  Ce  kt :

ն

Նկատի ունենալով, որ t   պահին 1  1 , կստանանք 1  1c  C , որտեղից C  1  1c : Հետնա ար, մարմնի սառեցման օրենքը, կախված ժամանակից, կունենա հետնյալ վերջնական տեսքը. 1  1c  1  1c e  kt : 3. Կազմել այն կորի հավասարումը, որն անցնում է (-2, 3) կետով ն որի ցանկացած կետով տարված շոշոփողի անկյունային գործակիցը հավասար է այդ նույն կետի ա սցիսին: Լուծում.- Համաձայն ածանցյալի երկրաչափական իմաստի` շոշափողի անկյունային գործակիցը հավասար է

dy : Մյուս կողdx

մից, համաձայն խնդրի պայմանի շոշափողի, անկյունային գործակիցը հավասար է շոշափման կետի ա սցիսին x  : Այսպիսով, ունենք դիֆերենցիալ

y

dy  x , որտեղից dy  xdx : Ինտեգրելով այս dx հավասարման

երկու

կողմը`

կստանանք՝

x  C:

Սա պարա ոլների մի ընտանիք է: Այս ընտանիքից պետք է ընտրել այն պարա ոլը, որն անցնում է տրված (-2, 3) կետով: Այս պայմանից էլ կորոշենք Շ կամայական հաստատունը՝

  2 3

 C , որտեղից Շ-1: Տեղադրելով Շ-ի

արժեքը` վերջնականապես կստանանք y 

x  : 

ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Fx , y, yԷ   կամ yԷ  f x , y  տեսքի հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում: Ինչպես նկատեցինք, վերը լուծված խնդիրները երվեցին առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների ն դրանց լուծումը, որպես կանոն, պարունակում է մեկ ինտեգրման կամայական հաստատուն: Սահմանում..- Այն 7 - 7(2) ֆունկցիան, որը ն որի ածանցյալը տեղադրելով առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման մեջ նրան դարձնում է նույնություն, կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման լուծում: Յուրաքանչյուր 7-1(2,7) դիֆերենցիալ հավասարում ունի անթիվ ազմությամ լուծումներ: Այդ լուծումների ազմությունը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում ն գրվում է այսպես՝ 7-(2,Շ): Կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է լինում գտնել դիֆերենցիալ հավասարման այն լուծումը, որը ավարարում է տրված պայմանին: Այդ պայմանը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման սկզ նական կամ նախնական պայման: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար սկզ նական պայմանը գրվում է հետնյալ տեսքով 7 2 2  7 0 :

Դիֆերենցիալ հավասարման այն լուծումը, որը ստացվում է ընդհանուր լուծումից, եր պահանջվում է, որ այն ավարարի տված սկզ նական պայմանին, կոչվում է մասնակի լուծում: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծմանը հարթության վրա համապատասխանում է մեկպարամետրանի կորերի ընտանիք, որոնք կոչվում են ինտեգրալային կորեր: ԿՈՇԻԻ ԽՆԴԻՐԸ.- Տրված է 7-1(2,7) դիֆերենցիալ հավասարումը: Գտնել այս հավասարման այն լուծումը, որը ավարարում է 7 2 2  7 0 սկզ նական պայմանին: Սա Կոշիի խնդիրն է

առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար:

Ընդհանրապես, տրված հավասարումը միշտ չէ, որ ունի այդպիսի մասնավոր լուծում: Եթե f x , y  ֆունկցիան ն նրա

f y

մասնակի ածանցյալը անընդհատ են x  , y   կետի ինչ-որ շրջակայքում, ապա դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը այդ տիրույթում գոյություն ունի ն միակն է: Կոշու խնդիրը մեկնաանենք երկրաչափորեն (գծ.51):

Խ0

x

Օ

Գծ.51 Հարթության վրա տանենք տրված դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալային կորերը: Լուծել Կոշու խնդիրը երկրաչափորեն նշանակում է ինտեգրալային կորերի ընտանիքից գտնել այն կորը, որն անցնում է հարթության վրա նախապես տրված Խ  x  , y   կետով: Այժմ ծանոթանանք առաջին կարգի պարզագույն դիֆերենցիալ հավասարումների տիպերի ն դրանց լուծման մեթոդների հետ:

ԱՆՋԱՏՎԱԾ ԵՎ ԱՆՋԱՏՎՈՂ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Խ x dx  Իy dy   տիպի հավասարումը կոչվում է անջատված փոփոխականներով հավասարում: Դրա ընդհանուր ինտեգրալը կլինի՝

 Խx dx   Իy dy  C :

Խ  x Ի y dx  Խ  x Ի  y dy   տեսքի հավասարումը կոչվում է անջատվող փոփոխականներով: Այն կարող է երվել անջատված փոփոխականներով հավասարման՝ նրա երկու մասերը Ի y Խ  x  արտահայտության վրա աժանելով.

Խ x Ի  y  Խ  x Ի y  dx   dy   Ի y Խ  x  Ի y Խ  x  Ի y  Խ  x  dx   dy   , որն արդեն անջատված փոփոկամ Խ  x  Ի y 

խականներով հավասարում է: Դիտարկված երեք խնդիրների լուծման ժամանակ ստացված դիֆերենցիալ հավասարումները անջատվող փոփոխականներով հավասարումներ էին:

ՀԱՄԱՍԵՌ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է համասեռ, եթե լուծելով այն y  -ի նկատմամ , աջ մասում ստանում ենք մի արտահայտություն կախված

y հարա երությունից. x

y y  f   : x Այս

տիպի

դիֆերենցիալ

հավասարումները

լուծելու

y  ս տեղադրման միջոցով այն երում են անջատվող համար x փոփոխականներով հավասարման: Իրոք` y  սx , dս dս dx y   ս x  ս , ս x  ս  f ս  , x  f ս   ս ,  dx f ս   ս x

փոփոխականները անջատված են: Գտնելով այս հավասարման ընդհանուր լուծումը ն ս -ն փոխարինելով

y հարա երությամ ՝ կստանանք տրված հավաx

սարման ընդհանուր լուծումը:

ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Սահմանում.- Առաջին կարգի գծային հավասարում կոչվում է այն հավասարումը, որը գծային է անհայտ ֆունկցիայի ն նրա ածանցյալի նկատմամ : Այն ունի y   թx y  Օx  տեսքը,

որտեղ թx  -ը ն Օx  -ը տրված անընդհատ ֆունկցիաներ (կամ հաստատուններ) են: Գծային հավասարման լուծումը որոնենք x -ի երկու ֆունկցիանների արտադրյալի տեսքով՝ y  ս x   vx  որոնցից մեկը կարելի է վերցնել կամայական, իսկ մյուսը կորոշվի տրված դիֆերենցիալ հավասարման հիման վրա՝ y   ս v  v ս Տեղադրելով տված հավասարման մեջ՝ կունենանք՝  ս v  vս  թսv  Օ կամ ս v  ս v   թv   Օ : v ֆունկցիան ընտրենք այնպես, որ v   թv   : Սա v -ի նկատմամ անջատվող փոփոխականներով հավասարում է, որը լուծելով, կստանանք՝



dv dv   թv կամ   թdx , որտեղից lո v   թdx , dx v

 թdx ve  :

Հաշվի առնելով, որ v   թv   հիմնական հավասարությունից ս ֆունկցիայի որոշման համար կմնա հետնյալ հավասարումը՝ ս v  Օ ,

dս Օ x  vx   Օx  կամ dս  dx dx v x 

թdx Օ x  dx  C   Օx e  dx  C vx  թ  x dx  թ  x dx : y  ս x   vx   C   Օx e  dx  e   

ս

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ

Հավանականությունների տեսությունը ծագել է ՃՄԼԼ դարի կեսերին՝ հիմնականում կապված տար եր տեսակի ախտախաղերում հաղթանակի շանսերի հաշվարկի հետ: ՃՄԼԼ-ՃՄԼԼԼ դարերում հավանականությունների տեսությունը զարգացավ աննշան չափով, քանի որ դրա կիրառությունների ոլորտը սահմանափակված էր ոչ մեծ քանակի հարցերի շրջանակներով: ՃԼՃ դարից սկսած մինչն մեր օրերը, հավանականությունների տեսությունը անընդհատ ն ուռն կերպով զարգանում է՝ իր կիրառության ոլորտն ընդգրկելով գիտության, տեխնիկայի, էկոնոմիկայի ազմաթիվ նագավառներ: Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի այն աժինն է, որը զ աղվում է մասսայական համասեռ պատահական երնույթների օրինաչափությունների վերլուծմամ : Մեզ շրջապատող երնույթների ուսումնասիրությունը կապված է փորձերի դիտարկման հետ: Փորձի հնարավոր ելքը պատահական երնույթ է, որին ընդունված է անվանել պատահար կամ պատահույթ: Այսինքն, որոշակի պայմանների առկայության դեպքում, այն ինչը կարող է տեղի ունենալ կամ ոչ, կոչվում է պատահար: Բերենք պատահարների մի քանի օրինակներ: 1. Հրանոթից կրակելիս նշանակետը խոցել կամ չխոցելը պատահար է: 2. Մետաղյա դրամը նետելիս գեր ի կամ թվի հանդես գալը պատահար է: 3. Խաղոսկրը նետելիս՝ 1-ից մինչն 6 որնէ թվի հանդես գալը պատահար է ն այլն: Պատահարները ընդունված է նշանակել Ճ, B, C,... տառերով: Պատահարները լինում են հավաստի, անհնարին, հակադիր, համատեղելի, անհամատեղելի, միակի հնարավոր, հավասարահնարավոր, անկախ ն կախյալ կամ պայմանական: Հավաստի կոչվում է այն պատահարը, որը տվալ փորձարկման ժամանակ անպայմանորեն տեղի է ունենում:

Օրինակ՝ սպիտակ գնդակներով լցված արկղից սպիտակ գնդակ հանելու պատահարը կլինի հավաստի: Հավաստի պատահարը ընդունված է նշանակել Է տառով: Այն պատահարը, որը տվյալ փորձարկման ժամանակ չի կարող հանդես գալ, կոչվում է անհնարին պատահար: Օրինակ՝ երկու խաղոսկրների նետման ժամանակ անհնար է, որ հանդես եկած թվերի տար երությունը հավասար լինի 6-ի: Անհնարին պատահարը նշանակում են U տառով: Պատահարները կոչվում են անհամատեղելի, եթե տվյալ ժամանակի ընթացքում նրանք միաժամանակ չեն կարող հանդես գալ: Պատահարները կազմում են լրիվ խում , եթե յուրաքանչյուր փորձարկման ժամանակ կարող է երնան գալ դրանցից ցանկացածը ն չի կարող երնան գալ ուրիշ որնէ այլ պատահար, որը դրանց հետ համատեղելի չէ: Այդ պատահարներին անվանում են նան միակ հնարավոր պատահարներ: Երկու պատահարներ կոչվում են համատեղելի, եթե դրանցից մեկի հանդես գալը չի ացառում մյուսի հանդես գալուն: Օրինակ՝ եթե կրակում ենք երկու հրացանից, ապա երկուսից էլ միաժամանակ կարող են խոցել նշանակետը: Ճ , Ճ ,...., Ճ ո պատահարները կոչվում են հավասարահնարավոր, եթե չկան ինչ-որ օ յեկտիվ պատճառներ, եր այս կամ այն պատահարը կարող է ավելի հաճախ հանդես գալ, քան մյուսը: Երկու պատահարներ կոչվում են հակադիր, եթե դրանք անհամատեղելի են ն կազմում են լրիվ խում : Այսինքն՝ Ճ պատահարի հակադիր պատահարը դա այն է, որը կայանում է Ճ ի տեղի չունենալու մեջ: Ճ պատահարի հակադիր պատահարը նշանակում են Ճ ով: Դիցուք, Ճ պատահարի արդյունքում խոցում են նշանա

կետը, Ճ պատահարի արդյունքում՝ ոչ: Անկախ կոչվում են այն պատահարները, որոնցից մեկի հանդես գալը կախված չէ մյուսից: Իսկ կախյալ կամ պայմանական կոչվում են այն պատահարները, որոնցից մեկի հանդես դալը կախված է մյուսից:

Այժմ անցնենք կարնորագույն գաղափարի՝ պատահարի հավանականության գաղափարի ուսումնասիրմանը: Ենթադրենք, ունենք Ճ , Ճ ,...., Ճ ո զույգ-զույգ անհամատեղելի, միակ հնարավոր, հավասարահնարավոր պատահարների համախում : Դիցուք, Ճ պատահարը հանդես է գալիս որոշ Ճ i պատահարների հետ միասին: Այն Ճ i պատահարները, որոնց հանդես գալու ժամանակ հանդես է գալիս նան Ճ պատահարը, կոչվում են Ճ պատահարին նպաստող պայմաններ: Դիտարկենք մի այսպիսի օրինակ: Ենթադրենք, սափորի մեջ կա 20 գնդակ, որից 5-ը՝ սպիտակ, 7-ը՝ կարմիր ն 8-ը՝ սն: Ճ պատահարը սափորից գնդակ հանելն է: Այստեղ ընդհանուր ելքերի թիվը հավասար է 20-ի: Սպիտակ գնդակ հանելու պատահարին նպաստող ելքերի թիվը հավասար է 5-ի, կարմիրներինը՝ 7, իսկ սնինը՝ 8: Տրված Ճ պատահարի հանդես գալու հավանականությունը ընդունված է նշանակել թՃ   p , հնարավոր ելքերի ընդհանուր թիվը՝ ո , իսկ նպաստող ելքերի թիվը՝ ո : Այդ դեպքում Ճ պատահարին նպաստող ելքերի թվի ն հավասարահնարավոր պատահարների ելքերի ընդհանուր թվի հարա երությունը կոչվում է Ճ պատահարի հավանականություն: Այնպես որ, ըստ սահմանման՝ թՃ   p 

ո : ո

Սա պատահարի հավանականության դասական սահմանումն է: Վերը դիտարկված օրինակում թ 

թ 

   :  

    , թ  ,   

Նկատենք, որ ցանկացած Ճ պատահարին նպաստող պայմանների ո թիվը ավարարում է ոո անհավասարությանը : Հետնա ար, պատահարի հավանականությունը՝   p   է:

Է հավաստի պատահարի համար ո  ո ն, հետնա ար, թԷ    , իսկ U անհնարին պատահարի համար ո   ն, հետնա ար թU    : Պատահարի հավանականության սահմանումն ավելի պարզ դարձնելու համար դիտարկենք նս մի օրինակ: Դիցուք, նետում ենք խաղոսկրները: Գտնել հավանականությունը այն անի, որ ացված թվերի գումարը կլինի 8: Հավասարահնարավոր ելքերի ընդհանուր թիվը կլինի ո       : Նպաստող ելքերը կլինեն՝ (6, 2), (5, 3), (4, 4), (2, 6), (3, 5) այսինքն` ո   , հետնա ար p 

ո   : ո 

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ

ԹԵՈՐԵՄԸ Ենթադրենք, ունենք երկու անհամատեղելի պատահարներ՝ Ճ ն 8: Այս երկու պատահարների գումար կոչվում է այն C պատահարը, որը այդ պատահարներից գոնե մեկի երնան գալու մեջ է: Երկու անհամատեղելի պատահարների գումարը նշանակում են Շ-Ճ+8 կամ (Ճ կամ 8) տեսքով: Երկու պատահարներից կամ Ճ -ի կամ B -ի տեղի ունենալու, այսինքն՝ դրանց գումարի հավանականությունը նշանակենք թ (կամ Ճ կամ B ) ն հաշվենք այն: Հավաստի է հետնյալ թեորեմը, որը կոչվում է թեորեմ հավանականությունների գումարի մասին: Թեորեմ.- Երկու անհամատեղելի պատահարների գումարի հավանականությունը հավասար է առանձին պատահարների հավանականությունների գումարին, այսինքն՝ P (կամ Ճ կամ B )-P(Ճ)+P(8) :

ո ո , թB   : Քանի որ Ճ ն ո ո B պատահարներն անհամատեղելի են, ապա դեպքերի ո ընդհանուր թվի դեպքում միաժամանակ Ճ ն B պատահարներին նպաստող դեպքերի թիվը հավասար է 0-ի, իսկ կամ Ճ Ապացույց.- Դիցուք, թՃ  

կամ B պատահարի հանդես գալուն նպաստող դեպքերի թիվը հավասար է ո  ո  : Հետնա ար՝ ո  ո 2 ո1 ո 2    թՃ   թB : P (կամ Ճ կամ B )- 1 ո ո ո Այն ինչ պահանջվում էր ապացուցել: Նման ձնով կարելի է թեորեմն ապացուցել ցանկացած թվով գումարելիների համար. P(Ճ1 կամ Ճ2 կամ…. կամ Ճո)-P(Ճ1)+ P(Ճ2)+ …+P(Ճո)

 ո    թՃ i  : i 1  i 1 Այժմ դիտարկենք Ճ ն Ճ հակադիր պատահարները: Թող թՃ   p , իսկ թՃ   զ : 

ո

Ճ 

կամ թ

i

Քանի որ փորձարկման ժամանակ տեղի է ունենում կամ Ճ կամ Ճ , ուստի Ճ  Ճ -ը հավաստի պատահար է: Հետնա ար , թ Ճ  Ճ  թ կամ Ճ կամ Ճ  1 : Գումարման թեորեմի համաձայն`



 



թՃ  Ճ   թՃ   թՃ    այսինքն՝ p  զ   , որտեղից զ    p : Հետնանք.- Եթե Ճ , Ճ , ..., Ճ ո պատահարները կազմում են

լրիվ խում , ապա առկա է հետնյալ հավասարությունը թՃ 1   թՃ 2   ...  թՃ ո   1 :

Ապացույց.- Քանի որ Ճ , Ճ , ..., Ճ ո պատահարները կազմում են լրիվ խում , ուստի դրանցից մեկի հանդես գալը հավաստի պատահար է: Հետնա ար, P(Ճ1 կամ Ճ2 կամ…. կամ Ճո)-1: Ձախ մասը ձնափոխելով գումարման թեորեմի համաձայն կստանանք վերոհիշյալ հավասարությունը` թՃ   թՃ    ...թՃ ո    :

ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ:

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՄԱՆ

ԹԵՈՐԵՄԸ Մենք արդեն գիտենք, որ Ճ ն 8 պատահարները կոչվում են անկախ, եթե Ճ պատահարի հանդես գալու հավանականությունը կախված չէ այն անից, թե 8 պատահարը տեղի է ունեցել կամ տեղի չի ունեցել: Ենթադրենք, սափորի մեջ կա 4 հատ սն ն 6 սպիտակ գնդակներ: Ենթադրենք Ճ պատահարը սափորից սպիտակ գնդակ հանելն է, սափորի մեջ կա ընդամենը 6 հատ սպիտակ գնդակ: Այդ դեպքում

թՃ  

 : Հանած գնդակը նորից գցենք 

սափորը ն թող 8 պատահարը լինի երկրորդ անգամ սափորից սպիտակ գնդակ հանելը: Պարզ է, որ այս դեպքում նույնպես

թB 

 : Ճ ն 8 պատահարները տվյալ դեպքում անկախ պա

տահարներ են: Մի փոքր փոխենք այս խնդրի պայմանը: Նորից ենթադրենք, որ Ճ պատահարը սափորից սպիտակ գնդակ հանելն է թՃ  

 հավանականությամ : Հանված գնդակը 

չվերադարձնենք սափոր, ն թող 8 պատահարը նորից լինի սափորից երկրորդ անգամ սպիտակ գնդակ հանելը: Այս դեպքում թB  ունեցել, ն թB 

 , եթե Ճ պատահարը տեղի չի 

 , եթե Ճ պատահարը տեղի է ունեցել: 

Ինչպես տեսնում ենք, 8 պատահարի հավանականությունը կախված է Ճ պատահարի տեղի ունենալուց կամ տեղի չունենալուց: Նման տիպի պատահարները կոչվում են կախյալ կամ պայմանական պատահարներ: Պայմանական պատահարների հավանականությանն էլ ընդունված է անվանել պայմանական հավանականություն ն նշանակել թՃ B : Կարդացվում է այս160

պես՝ 8 պատահարի հավանականությունը Ճ-ի տեղի ունենալու պայմանով: Այնպես որ նախորդ օրինակից կարող ենք գրել.

թՃ B 

6 2 : թՃ B   : 9 3

Եթե Ճ ն 8 պատահարները լինեն անկախ, ապա պարզ է, որ թՃ B  թB : Թեորեմ.- Ճ ն 8 պատահարների միաժամանակ հանդես գալու (համատեղման) հավանականությունը հավասար է Ճ պատահարի հավանականության ն 8 պատահարի պայմանական հավանականության, արտադրյալին հաշված Ճ պատահարի տեղի ունենալու պայմանով. թՃ ն 8   թՃ   թՃ B : Ապացույց.- Ենթադրենք, հնարավոր ելքերի ո ընդհանուր թվից Ճ պատահարի հանդես գալուն նպաստում են է ելքերը, որից  պայմաններ նպաստում են նան 8 պատահարի հանդես գալուն: Այդ դեպքում Ճ ն 8 պատահարների միաժամանակ հանդես գալուն կնապաստեն  պայմաններ ն կարող ենք գրել

k   , այց թՃ   ; թՃ B  : ո ո k   k k  -ը ներկայացնենք հետնյալ տեսքով.    , ո ո ոk ո k թՃ ն 8   թՃ   թՃ B ն ազմապատկման այսինքն՝ թՃ ն 8 

թեորեմն ապացուցված է: Այս անաձնը կիրառենք 8 ն Ճ արտահայտության նկատմամ . թB ն Ճ   թB  թB Ճ  : Այս երկու անաձների ձախ մասերը հավասար են որպես միննույն հավանականություն, հետնա ար, հավասար են նան աջ մասերը: Ուստի կարող ենք գրել հետնյալ հավասարությունը՝

թՃ   թՃ B  թB  թB Ճ  թՃ   թՃ B Այստեղից՝ թB Ճ   : թB

Մասնավոր դեպքում այս թեորեմը կարելի է կիրառել նան անկախ պատահարների նկատմամ : Եթե Ճ ն 8 պատահարներն անկախ են, ապա թՃ B  թB ն ազմապատկման

թեորեմը կընդունի հետնյալ տեսքը՝ թՃ ն 8   թՃ   թ B :

Այժմ ենթադրենք ունենք Ճ , Ճ  ,..., Ճ ո պատահարների լրիվ խում ն դրանցից առանձին մի 8 պատահար: Պահանջվում է հաշվել այն անի հավանականությունը, որ 8 պատահարը հանդես կգա Ճ i i  ,,..., ո  պատահարներից որնէ մեկի հետ միաժամանակ: Այսինքն՝ հաշվենք թկամ Ճ1 , B կամ Ճ 2 , B կամ...կամ Ճ ո , B : Հավանականությունների գումարման թեորեմի համաձայն կարող ենք գրել

թկամ Ճ 1 , B կամ Ճ 2 , B կամ...կամ Ճ ո , B  թՃ 1 , B  ո

 թՃ 2 , B  ...  թՃ ո , B   թՃ i B : i 1

Բազմապատկման թեորեմի համաձայն ՝ թՃ i , B  թՃ i   թՃi B : Այս արտահայտությունը տեղադրելով նախորդ հավասարության մեջ կստանանք՝ ո

ո

թB    թՃ i , B   թՃ i   թՃi B : i 1

Այս անաձն:

անաձնը

i 1

կոչվում

է

լրիվ հավանականության

ՀԻՊՈԹԵԶՆԵՐԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ : ԲԱՅԵՍԻ

ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Դիտարկենք Ճ , Ճ  ,..., Ճ ո անհամատեղելի պատահարների լրիվ խում ը, որոնց հանդես գալու հավանականություններն են թՃ , թՃ  , ... թՃ ո  : 8 պատահարը կարող է տեղի ունենալ Ճ , Ճ  ,..., Ճ ո պատահարներից որնէ մեկի հետ, որոնք կոչվում են հիպոթեզներ: Լրիվ հավանականությունների անաձնի համաձայն 8 պատահարի հանդես գալու հավանականությունը կլինի

ո

թB   թՃ k   թՃ k B : k 1

Ընդունենք, որ 8 պատահարը տեղի է ունեցել: Այն, որ 8-ն տեղի է ունեցել կփոխի թՃ k  k  ,,..., ո  հավանականությունները: Պահանջվում է որոշել այդ հիպոթեզների իրականացման պայմանական հավանականություններն այն ենթադրությամ , որ 8 պատահարը տեղի է ունեցել, այսինքն՝ որոշել թ´B Ճ k  k  ,,..., ո  հավանականությունները: Բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ կարող ենք գրել թՃ k B  թՃ k   թՃ k B  թB  թB Ճ k  , որտեղից

թB Ճ k  

թՃ k   թՃ k B թB

:

Այս հավասարության մեջ լրիվ հավանականությունների անաձնից տեղադրելով P(8)-ի արժեքը՝ կստանանք

թB Ճ k  

թՃ k   թՃ k B 

ո

 թՃ   թ B i 1

i

k  1,2,...., ո  :

Ճi

Այս անաձնը կոչվում է հիպոթեզների անաձն կամ Բայեսի անաձն:

հավանականության

ՊԱՏԱՀԱՐԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ

ԱՅԼ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ

1. ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՈՒՆ.-Դիցուք,

ունենք մի վերջավոր Ծ տիրույթ, որի մակերեսը հավասար է Տ-ի: Ենթադրենք D տիրույթը պատկանում է Ծ տիրույթին, որի մակերեսը հավասար է Տ1 –ի (գծ.52 ): Դեպի Ծ տիրույթը նետում ենք ինչ-որ նյութական կետ: Գտնել հավանականությունը այն անի, Ծ1 որ նետված կետը կընկնի Ծ1 տիրույթի մեջ: Ծ Սահմանում.-Պատահարի երկրաչափական հավանականություն կոչվում է Ծ1 ն Ծ տիրույթների մակերեսների հարա երությունը: Գծ. 52

Եթե Ծ1 տիրույթը ընկնելու պատահարի հավանականությունը նշանակենք P(Ծ1), ապա ըստ սահմանման, թD  

Տ : Տ

Նկատենք, որ այս սահմանումը չի հակասում հավանականության դասական սահմանմանը: Հավանականությունների գումարման ն ազմապատկման թեորեմները կարելի է նման կարգով ձնակերպել նան երկրաչափական հավանականության համար:

1. ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ ԹԵՈՐԵՄԸ

Դիցուք, ունենք Ծ1 ն Ծ2 տիրույթներ, որոնք ընկած են Ծ տիրույթի մեջ ն իրար հետ չեն հատվում (գծ. 53 ): Պահանջվում է որոշել, այն անի հավանականությունը, որ նետված մարմինը կընկնի կամ Ծ1 կամ Ծ2 տիրույթը: Ծ1 ն Ծ2 տիրույթների չհատվելը համապատասխանում է պատահարների անհամատեղելիության պայմանին:

D1

D2

D P(Ծ1 կամ Ծ2)-P(Ծ1)+P(Ծ2) Գծ.53

2. ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՄԱՆ ԹԵՈՐԵՄԸ

1. Ենթադրենք, Ծ տիրույթին պատկանող Ծ1 ն Ծ2 տիրույթներն ունեն ընդհանուր մաս, այսինքն, հատվում են (գծ.54): Պահանջվում է հաշվել այն անի հավանականությունը, որ նետված կետը կընկնի ն Ծ1 ն Ծ2 տիրույթները, այսինքն` Ծ3 տիրույթը: P(ն Ծ1 ն Ծ2)-P(Ծ3)- թՓD )  թD D  

D1 D3

D2

D Գծ.54

2. Հաճախ հավանականության տեսության տար եր կիրառությունների մեջ նպատակահարմար է լինում օգտվել պատահարի հավանականության այսպես կոչված վիճակագրական սահմանումից: Ենթադրենք, գործ ունենք մեծ թվով փորձարկումների հետ, այսինքն՝ դիցուք ունենք ո թվով փորձարկումներ, որտեղ ո -ը ավականաչափ մեծ թիվ է: Դիցուք, դրանցից ո անգամ հանդես է եկել տվյալ պատահարը: Այդ դեպքում դրանց  

ո ո

հարա երությունը կոչվում է պատահարի հաճախականություն: Շատ թվով փորձերի արդյունքներ դիտելիս եր եմն նկատվում է պատահարի հաճախականության կայունացում, որի շուրջը կատարվում են

ո -ի արժեքների տատանումներ: Կայուն ո

հաճախականությունը նորոշող թիվը հենց կոչվում է պատահարի վիճակագրական հավանականություն: 3. Գոյություն ունի նան պատահարի հավանականության աքսիոմատիկ սահմանում :

ՄԻ ՔԱՆԻ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՄԻԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆԻՑ

Գոյություն ունեն երեք տիպի միացություններ ՝ 1.Կարգավորություններ. 2. Տեղափոխություններ. 3.Զուգորդություններ: ո տարերից ո -ական կազմված կարգավորությունների թիվը նշանակում են Ճ ո ո ն հաշվում հետնյալ անաձնով.

Ճո ո  ո ո  ո   ...ո  ո   :

ո տարրերից կազմված տեղափոխությունների նշանակում են թո -ով ն հաշվում այսպես՝

թիվը

թո        ...ո  ո ! ո տարերից ո -ական կազմված զուգորդությունների թիվը նշանակում են C ո անաձնով` ո -ով, ն հաշվում հետնյալ

Cո ո 

Ճո ոլ ո ո  ո  ...ո  ո   ո   թո        ո ոլո  ո լ

ԿՐԿՆՎՈՂ ԱՆԿԱԽ ՊԱՏԱՀԱՐՆԵՐ

Հավանականության տեսության շատ կիրառությունների մեջ որոշակի տեղ ունեն կրկնվող անկախ պատահարները: Ենթադրենք, կատարվում է ո հատ անկախ կրկնվող փորձարկումներ: Պահանջվում է գտնել այն անի հավանականությունը, որ այդ ո փորձարկումների ժամանակ Ճ պատահարը հանդես կգա ո անգամ ո  ո  : Ճ պատահարի հանդես գալու հավանականությունը մեկ փորձարկման ժամանակ նշանակենք P(Ճ)-ք, իսկ դրա հանդես չգալու հավանականությունը՝ թ Ճ  զ  1  p : Այն անի հավանականությունը, որ ո փորձերից ո անգամ հանդես կգա տրված պատահարը, նշանակենք թոո -ով:

 

Դիտարկենք մասնավոր դեպքեր: Ենթադրենք, ո  , ո   ն հաշվենք P23-ը: Պարզ է, որ Ճ պատահարի կրկնակի հանդես գալը կապված է Ճ պատահարի մեկ անգամ հանդես գալու հետ ն այդպիսի ելք կլինի հետնյալ հնարավոր դեպքերից մեկն ու մեկում. կամ ՃՃՃ , կամ ՃՃՃ , կամ ՃՃՃ : Այս արդ պատահարներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը միննույն թիվն է, որը կարելի է որոշել ազմապատկման թեորեմի օգնությամ . թն Ճ ն Ճ ն Ճ   թն Ճ ն Ճ ն Ճ   թն Ճ ն Ճ նՃ   p 2 զ : Գումարման թեորեմի համաձայն թ ՃՃՃ կամ ՃՃՃ կամ ՃՃՃ  p 2 զ  p 2 զ  p 2 զ  3p 2 զ : Այժմ ենթադրենք ո  , ո   : Այս դեպքում հնարավոր են հետնյալ կոմ ինացիաները.

ՃՃՃ Ճ; ՃՃՃՃ; ՃՃ ՃՃ; Ճ ՃՃՃ; ՃՃՃՃ; ՃՃՃՃ :

Բազմապատկման թեորեմի համաձայն՝ թն Ճ ն Ճ ն Ճ նՃ   թն Ճ ն Ճ ն ՃնՃ   ....  p 2 զ 2 , իսկ գումարման թեորեմից թ ՃՃՃ Ճ կամ ՃՃՃՃ կամ ....  6p 2 զ 2









Բայց 3  Շ : 6  Շ ,

հետնա ար թ23  3p 2 զ  C 23 p 2 զ : թ24  6p 2 զ 2  C 24 p 2 զ 2 Այժմ հաշվենք հավանականությունը այն անի, որ ո կրկնվող փորձերի ժամանակ Ճ պատահարը հանդես կգա ո անգամ որոշակի կարգով, օրինակ՝ հետնյալ սխեմայում ներկայացված կարգով ՃՃ Ճ Ճ Ճ:   ո ո

ո

Այս հավանականությունը հավասար կլինի p ո զ ո  ո : ո տարրից կազմված ոլոր սխեմաների թիվը, որոնց մեջ Ճ պատահարը հանդես է գալիս ո անգամ, այց տար եր դասավորությամ , կլինի Cո Այդ պատճառով, համաձայն հավանաո : կանությունների գումարման թեորեմի կարող ենք գրել

թոո  C ոո p ո զ ո  ո 

ոլ p ո զ ո ո ոլո  ո լ

Այս անաձնը կոչվում է Բեռնուլիի անաձն: Այս անաձնի աջ մասը Նյուտոնի երկանդամի վերլուծության ընդհանուր անդամն է:

p  զ ո

 p ո  C ոո 1 p ո 1զ  C ոո  2 p ո  2 զ 2  C ոո 3 p ո 3 զ 3  ...   C 2ո p 2 զ ո  2  C1ո pզ ո 1  զ ո  1 , քանի որ p  զ  1 : Հետնա ար,

կարող ենք գրել՝

թոո  թո ,ո  թո  ,ո  ...  թ ո  թո  թ ո   , ո

այսինքն՝

թ

ո 0

ոո

1

Սա հետնանք է այն անի, որ համապատասխան պատահարները կազմում են լրիվ խում : ոլ թոո  C ոո p ո զ ո  ո  p ո զ ո  ո հավանականությունների ոլո  ո լ համախում ը կոչվում է հավանականությունների աշխման ինոմական օրենք: Հավանականությունների ախշման ինոմական օրենքը հնարավորություն է տալիս որոշելու Ճ պատահարի հանդես գալու ամենահավանական ելքերի թիվը: Օրինակ.- Դիցուք, հրաձգության ժամանակ նշանակետը խոցելու հավանականությունը հավասար է 0,8: Հաշվել թե, ինչի՞ է հավասար այն անի հավանականությունը, որ 6 անգամ կրակելու արդյունքում 5-ը կխոցի նշանակետը: Այստեղ ո  , ո   : Համաձայն ինոմական աշխման օրենքի.

թ56  C 56 p 5 զ; զ  1  p  1  0.8  0.2 թ56 

: 65 4 0.85  0.2  0.064 1 2  3  4  5

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ԴՐԱ ԲԱՇԽՈՒՄԸ

Հավանականության տեսության մեջ առանցքային են պատահական մեծությունները ն դրանց աշխման օրենքները: Պատահական մեծություններ կոչվում են այն մեծությունները, որոնք, ելնելով փորձի արդյունքներից կարող են ընդունել այս կամ այն պատահական թվային արժեքներ: Եթե պատահական մեծությունը ընդունում է հաջորդական կոնկրետ թվային արժեքներ, որոնց թիվը կարող է լինել ինչպես վերջավոր, այնպես էլ անվերջ ն հայտնի է նան յուրաքանչյուր արժեքի հանդես գալու հավանականությունը, ապա այդպիսի պատահական մեծությունը կոչվում է դիսկրետ պատահական մեծություն: Այն ֆունկցիոնալ կախվածությունը, որը կապ է հաստատում դիսկրետ պատահական մեծության արժեքների ն դրանց համապատասխան հավանականությունների միջն, կոչվում է պատահական մեծության Հավանականությունների աշխման

օրենք:

Դիսկրետ պատահական մեծության ախշման օրենքը նպատակահարմար է տալ աղյուսակի տեսքով

x ք

x1

x2

ք1

ք2

Աղյուսակ 10

xn քn

Այն կարելի է տալ նան անալիտիկորեն p i  f Փ x i ), Փi  1,2,3,..., ո ,...) ն գրաֆիկորեն՝ հավանականությունների աշխման ազմանկյան տեսքով, եր կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգում կառուցվում են x i , p i  կոորդինատներ ունեցող կետերը ն դրանք միացվում են եկյալով (գծ. 55): Այն, որ x պատահական մեծությունը կընդունի x 1 , x 2 ,..., x ո ,... հաջորդականության արժեքներից մեկը, ո

հավաստի պատահար է, ուստի պետք է կատարվի

p i 1

կամ



 p i  1 պայմանը: i 1

i

1

P

pո p2

p1

Օ

x1

x2 x3

. Գծ.55

.

.

xո

x

Գոյություն ունեն նան անընդհատ պատահական մեծություններ: Անընդհատ կոչվում է այն x պատահական մեծությունը, որն ինչ-որ միջակայքում (վերջավոր կամ անվերջ) անընդհատորեն կարող է ընդունել ոլոր արժեքները: Պարզ է, որ այս դեպքում հավանականությունների աշխման օրենքը կլինի x -ի անընդհատ ֆունկցիա: Այդ ֆունկցիան ընդունված է նշանակել FՓ x ) -ով, ն անվանել պատահական մեծության հավանականությունների աշխման ֆունկցիա կամ աշխման ինտեգրալային ֆունկցիա, որը ավարարում է Օ  FՓ x )  1 անհավասարությանը: Դիսկրետ պատահական մեծության օրինակներ կարող են լինել` 1. Խաղոսկրը նետելիս 1-ից մինչն 6 որնէ թվի հանդես գալը, 2. Քննության ժամանակ խմ ում ուսանողների ստացած գերազանց գնահատականների թիվը ն այլն: Իսկ անընդհատ պատահական մեծության օրինակներ կարող են լինել՝ 1. Սկավառակի նետման տեղից մինչն վայրէջքի կետը եղած հեռավորությունը, 2. Հրաձգության ժամանակ գնդակի խոցված տեղի ն նշանակետի միջն եղած հեռավորությունը ն այլն: Անընդհատ պատահական մեծությունների նութագրման համար, ացի FՓ x ) աշխման ինտեգրալային ֆունկցիայից, օգտագործում են նան աշխման դիֆերենցիալային օրենքը՝

կապված հավնականությունների աշխման խտության հետ: Այն x  ֆունկցիան, որը արտահայտում է հավանականությունների աշխման խտությունը, կոչվում է դիֆերենցիալային ֆունկցիա ն հավասար է՝ x   Fx  : Գոյություն ունեն պատահական մեծությունների hավանականությունների աշխման հետնյալ տիպի օրենքներ. 1. Բինոմական աշխման օրենք. Այն օրենքն է, ըստ որի հավանականությունների աշխումը տրվում է Բեռնուլիի անաձնով՝ թոո  C ոո թ ո զ ո  ո : 2. Հավասարաչափ աշխման օրենք: Այն օրենքն է, որի հավանականությունների խտության ֆունկցիան որոշվում է հետնյալ ձնով՝

0, եր -   2  8  1  , եր a  2  Ե x    Ե  a 0, եր Ե  2   3. Հավանականությունների նորմալ աշխման օրենք կամ Լապլասի օրենք: Այս դեպքում խտության x  ֆունկցիան որոշվում է այսպես՝ x  

 2

e



 x a 2 22

:

4. Պուասոնի աշխման օրենք: Այս դեպքում հավանականությունների աշխման օրենքը գրվում է հետնյալ կերպ.

ո  թո  e : ոլ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԹՎԱՅԻՆ

ԲՆՈՒԹԱԳՐԵՐԸ

Պատահական մեծության աշխումը նութագրող կարնոր մեծություններից է նրա մաթեմատիկական սպասումը: Դիցուք, ունենք դիսկրետ պատահական մեծություն՝ տրված իր աշխման օրենքով. Աղյուսակ11

2ո

ք

ք1 ք2 ք3 քո Սահմանում.- Պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասում կոչվում է նրա ոլոր հնարավոր արժեքների ն համապատասխան հավանականությունների արտադրյալների գումարը: 2 պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը ընդունված է նշանակել Խx  -ով կամ ո x -ով, եր եմն՝ x -ով: Այնպես, որ ըստ սահմանման

Խx   x 1p 1  x 2 p 2  ...  x ո p ո 

ո

p x i

i

:

i 1

Ընդ որում այստեղ կարնոր է միշտ հաշվի առնել, որ ո

p

i

 1: Եթե պատահական մեծությունն ընդունում է անվերջ

i 1

թվով արժեքներ, ապա Խx  



 i 1



pi x i ն

p

i

շարքը պետք է

i 1

զուգամիտի 1-ին: Պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումն ունի այդ մեծության միջին արժեքի իմաստ: Ստանանք մաթեմատիկական սպասման ն միջին թվա անականի կապը: Ենթադրենք, թե կատարված են մեծ թվով փորձարկումներ Փ Ի) : Ընդ որում հայտնի է, որ 2 պատահական մեծության x 1 արժեքը հանդես է եկել ո 1 անգամ, x 2 -ը՝ ո 2 անգամ, x k -ն` ո k անգամ:

Այդ դեպքում մենք կարող ենք գրել, որ x մեծության միջին թվա անականը կլինի՝

x 1ո 1  x 2 ո 2  ...  x k ո k ո ո ո  x 1 1  x 2 2  ...  x k k  Ի Ի Ի Ի  x 1p 1  x 2 p 2  ...  x k p k 

k

x p i

i

 Խx 

:

i 1

x պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը կոչվում է այդ մեծության հավանականությունների աշխման կենտրոն: Այս անվանումը մտցված է «ծանրության կենտրոն» անվանման նմանությամ : Եթե Օx առանցքի x 1 , x 2 ,..., x ո ա սցիսներն ունեցող կետերում տեղավորված են p 1 , p 2 ,...p ո զանգվածները, ապա հայտնի է, որ այդ զանգվածների ծանրության կենտրոնի ա սցիսը որոշվում է հետնյալ ո

անաձնով. x c 

x

kpk

k 1 ո

p

: k

k 1

ո

Նկատի ունենալով, որ



p k  1, ապա x c 

k 1

ո

x

kpk

:

k 1

Այս անաձնը տեսքով համընկնում է մաթեմատիկական սպասման անաձնին: Եվ այսպես, հաստատված է, որ զանգվածների ծանրության կենտրոնը ն մաթեմատիկական սպասումը հաշվվում են համանման անաձներով: Այստեղից էլ՝ «հավանականությունների աշխման կենտրոն» անվանումը:

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՍՊԱՍՄԱՆ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

1. Հաստատունի մաթեմատիկական սպասումը հավասար է հենց իրեն՝ ԽC  C : 2. Երկու անկախ պատահական մեծությունների գումարի մաթեմատիկական սպասումը հավասար է առանձին գումարելիների մաթեմատիկական սպասումների գումարին. ԽX  Y   ԽX   ԽY  : 3. Արտադրյալի մաթեմատիկական սպասումը հավասար է արտադրիչների մաթեմատիկական սպասումների արտադրյալին. ԽX  Y   ԽX   ԽY  :

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅԱՆ ԴԻՍՊԵՐՍԻԱՆ

ԵՎ ՄԻՋԻՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՇԵՂՈՒՄԸ

Մաթեմատիկական սպասումը պատահական մեծության նորոշման միայն ավարար պայման է, այց եր եմն հարկ է լինում իմանալ պատահական մեծության առանձին արժեքների շեղումը նրա մաթեմատիկական սպասումից կամ միջին արժեքից: Ուստի անհրաժեշտություն է առաջանում մտցնել պատահական մեծության արժեքների իրենից մաթեմատիկական սպասումից ունեցած շեղման գաղափարը, այսինքն x  x կամ x i  ո x : Սահմանում.- x պատահական մեծության դիսպերսիա կոչվում է այդ պատահական մեծության ն նրա մաթեմատիկական սպասման տար երության քառակուսու մաթեմատիկական սպասումը: Պատահական մեծության դիսպերսիան նշանակում են Dx  կամ  2x : Այնպես

Dx  

որ,

ո

 x

ըստ

սահմանման



Dx   Խ x  x 



կամ

 ո x  p k   2x :

k

k 1

Եթե մաթեմատիկական սպասումը որոշում է x պատահական մեծության հավանականությունների աշխման կենտ174

րոնի դիրքը, ապա դիսպերսիան պատահական մեծության արժեքների՝ իր մաթեմատիկական սպասումից ունեցած ցրման, սփռման թվային նութագիրն է: Դիսպերսիան ունի պատահական մեծության քառակուսու չափականություն: Եր եմն, ցրումը նութագրելու համար, ավելի հարմար է օգտվել այնպիսի մեծությունից, որի չափականությունը համընկնում է պատահական մեծության չափականությանը: Այդպիսի մեծություն է միջին քառակուսային շեղումը: Սահմանում.- Պատահական մեծության միջին քառակուսային շեղում կոչվում է նրա դիսպերսիայի քառակուսի արմատը՝

 x  Dx  

ո

 x

 ոx  pk :

k

k 1

Օրինակ.- x պատահական մեծությունը տրված է հետնյալ աշխման օրենքով: Աղյուսակ 12

x

ք 0,3 0,4 0,3 Որոշել՝ 1) մաթեմատիկական սպասումը, 2) դիսպերսիան, 3) միջին քառակուսային շեղումը:

Լուծում.1. Խx   2  0.3  3  0.4  4  0.3  3

2. Dx   2  3  0,3  3  3  0,4  4  3  0,3  0,6

3.  x 

Dx   0,6  0,77

ԼԱՊԼԱՍԻ ԼՈԿԱԼ ԹԵՈՐԵՄԸ

ո փորձարկումների ժամանակ Ճ պատահարի է անգամ հանդես գալու P հավանականությունը հաշվվում է Բեռնուլիի անաձնով: Սակայն դժվար չէ նկատել, որ եր ո-ը ավականաչափ մեծ թիվ է, ապա Բեռնուլլիի անաձնից օգտվելն առաջացնում է դժվարություններ՝ կապված արդ հաշվարկումների հետ: Հարց է առաջանում` կարելի՞ է հաշվել մեզ հետքրքրող հավանականությունը առանց Բեռնուլլիի անաձնի օգտագործման: Պարզվում է՝ այո:

Լապլասի լոկալ թեորեմը տալիս է մի անաձն, որը հնարավորություն է տալիս մոտավորապես (ցանկացած ճշտությամ ) հաշվել ո փորձարկումների ժամանակ Ճ պատահարի է անգամ հանդես գալու հավանականությունը, եր ո-ը ավականաչափ մեծ թիվ է:

թ

-ի դեպքում այդ անաձնը ստացել է Մուավրը 1730

թ.: 1783 թ. Լապլասն ընդհանրացրել է Մուավրի անաձնը ցանկացած P-ի դեպքում, որը հավասար չէ 0-ի կամ 1-ի: Դրա համար էլ այս թեորեմը եր եմն կոչվում է Մուավր-Լապլասի թեորեմ: Թեորեմ. - Եթե Ճ պատահարի յուրաքանչյուր փորձարկման ժամանակ հանդես գալու P հավանականությունը հաստատուն է ն հավասար չէ 0-ի կամ 1-ի, ապա թո Փ k ) -ն՝ փորձարկումների ժամանակ Ճ պատահարի ուղիղ է անգամ հանդես գալու հավանականությունը, մոտավորապես հավասար է x2

y x

1 2  e  ոpզ 2

Փ x ) ֆունկցիայի արժեքին, եր ոpզ

k  ոp : ոpզ x2

 Գոյություն ունի Փ x )  1 e 2 ֆունկցիայի արժեքների 2 աղյուսակ 2-ի դրական արժեքների դեպքում: Փ x ) -ը զույգ ֆունկցիա է, ուստի այն կարելի է օգտագործել նան 2-ի ացասական արժեքների դեպքում: Փ x ) -ի արժեքների աղյու‐ սակը տեղադրված է ցանկացած դասագրքի կամ խնդրագրքի հավելվածում (հավելված1): Այսպիսով, հավանականությունն այն անի, որ ո փորձարկումների ժամանակ Ճ պատահարը հանդես կգա ուղիղ է

անգամ, մոտավորապես հավասար է որտեղ x  k  ոp : ոpզ

թո Փk ) 

 Փ x ) , ոpզ

զ-1-ք-ն հակադիր պատահարի հավանականությունն է: Այս թեորեմի ապացույցը կապված է դժվարությունների հետ, դրա համար էլ այն ներկայացվում է առանց ապացույցի՝ ցուցադրելով դրա օգտագործումը օրինակների վրա: Օրինակ. – Հաշվել հավանականությունն այն անի, որ Ճ պատահարը 400 փորձարկումների ժամանակ հանդես կգա 80 անգամ, եթե յուրաքանչյուր փորձարկման ժամանակ Ճ պատահարի հանդես գալու հավանականությունը` P-0,2: Լուծում. – Ըստ պայմանի՝ ո-400, է-80, ք-0,2, զ-0,8: Ըստ Լապլասի անաձնի` թ400 Փ80)  Հաշվենք x 

Փ x ) : 400  0,2  0,8

k  ոp 80  400  0,2   0 : Ըստ Փ x ) -ի աղյուսա8 ոpզ

կի՝ Փ0)  0,3989 , հետնա ար թ400 Փ80) 

 0,3989  0,4986 :

ԼԱՊԼԱՍԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼԱՅԻՆ ԹԵՈՐԵՄԸ

Ընդունենք, որ կատարվում են ո փորձարկումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում Ճ պատահարի հանդես գալու հավանականությունը P է (0<P<1): Ինչպես հաշվել հավանականությունն այն անի, որ А-ն ո փորձարկումների ժամանակ հանդես կգա ոչ պակաս k 1 ն ոչ ավելի k 2 անգամ` թո Փk 1 , k 2 ) : Այս հարցին պատասխանում է Լապլասի ինտեգրալային թեորեմը, որը նույնպես տրվում է առանց ապացույցի: Թեորեմ. - Եթե ո փորձարկումների ժամանակ Ճ պատահարի հանդես գալու հավանականությունը` P-ն, հաստատուն է ն հավասար չէ 0-ի կամ 1-ի, ապա թո Փ k 1 , k 2 ) որոշվում է Ե

x2

 թո Փk 1 , k 2 )  e  2 dx 2 a

Ե

k 2  ոp ոpզ

: Քանի որ

e

անաձնով, որտեղ 

x2

a

k 1  ոp ոpզ

,

dx -ը վերջավոր ձնով չի արտա177

հայտվում էլեմենտար ֆունկցիաների միջոցով, ապա օգտվում x

z2

 են հատուկ ֆունկցիայից`  Փ x )  e  2 dz : 2 0

Այս ֆունկ-

ցիան անվանում են Լապլասի ֆունկցիա, որի արժեքների աղյուսակը տրված է հավելվածում: a

x2

Ե

x2

Ե

x2

   թո Փk 1 , k 2 )  e dx  e dx  e    2 dx  2 0 2 0 2 0

a

 e



x2

dx   ՓԵ)   Փa ) :

թո Փk 1 , k 2 )   ՓԵ)   Փa ) , որտեղ a 

k 1  ոp ոpզ

, Ե

k 2  ոp ոpզ

:

Օրինակ. - Հավանականությունն այն անի, որ դետալը տեխնիկական ստուգում (ОТК) չի անցել, հավասար է 0,2-ի: Գտնել հավանականությունն այն անի, որ 400 պատահական ընտրված դետալներից ստուգում չի անցել 70-ից մինչն 100 դետալ: Լուծում. - Ըստ պայմանի ք-0,2, զ-0,8, ո-400, k 1  70 ,

k 2  100 : Լապլասի ինտեգրալային թեորեմի համաձայն թ400 Փ70;100)   ՓԵ)   Փa ) , k  ոp 70  400  0,2  a 1  1,25 , ոpզ 400  0,2  0,8 k  ոp 100  400  0,2  Ե 2  2,5 : ոpզ 400  0,2  0,8 Այսպիսով`

թ400 Փ70;100)   Փ2,5)   Փ1,25)   Փ2,5)   Փ1,25) : Աղյուսակից  Փ2,5)  0,4938 ,  Փ1,25)  0,3944 (հավելված 2), հետնա ար՝

թ400 Փ70;100)  0,4938  0,3944  0,8882 :

Հավելված 1

Փ x ) 

e 2

x2 

ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.3989

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.2420

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.0540

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.0044

Հավելված 2 x

Փx) 

e 2 0

z2 

dz ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ

ФՓx)

ФՓx)

ФՓx)

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41

0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.1554 0.1591

0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83

0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967

0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25

0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 0.3849 0.3869 0.3883 0.3907 0.3925 0.3944

1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67

ФՓx) 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525

Հավելված 2-ի շարունակությունը x

ФՓx)

ФՓx)

ФՓx)

1.68 1.69 1.70 1.71 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87

0.4535 0.4545 0.4554 0.4564 0.4535 0.4545 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693

1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14 2.16 2.18 2.20 2.22

0.4699 0.4706 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 0.4772 0.4783 0.4793 0.4803 0.4812 0.4821 0.4830 0.4838 0.4846 0.4854 0.4861 0.4868

2.24 2.26 2.28 2.30 2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 2.50 2.52 2.54 2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.68 2.70

0.4875 0.4881 0.4887 0.4893 0.4898 0.4904 0.4909 0.4913 0.4918 0.4922 0.4927 0.4931 0.4934 0.4938 0.4941 0.4945 0.4948 0.4951 0.4953 0.4956 0.4959 0.4961 0.4963 0.4965

2.72 2.74 2.76 2.78 2.80 2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.50 5.00

ФՓx) 0.4967 0.4969 0.4971 0.4973 0.4974 0.4976 0.4977 0.4979 0.4980 0.4981 0.4982 0.4984 0.4985 0.4986 0.49865 0.49931 0.49966 0.499841 0.499928 0.499968 0.499997 0.499997

Գրականություն 1. Պիսկունով Ն.Ս.. Դիֆերենցիալ ն ինտեգրալ հաշիվներ. Երնան, «Լույս», 1979: Վ.Վ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի 2. Սաղաթելյան համառոտ դասընթաց.Երնան, «Հայաստան», 1960: 3. Ա. Խ. Խաչատրյան, Հ. Վ. Համ արձումյան, Հ. Հ. Ազիզյան Հավանականությունների տեսություն ն մաթեմատիկական վիճակագրություն. Երնան, ՀԱԱՀ, 2015: 4. Խàքêî8è÷ Ý.Ñ. ՃóքՇ 85Շøåé ìàՂåìàՂèêè Շ ýëåìåíՂàìè Ղåîքèè 8åքîÿՂíîՇՂåé è ìàՂåìàՂè÷åՇêîé ՇՂàՂèՇՂèêè. Խ.1 “Â5Շøàÿ øêîëà ” 1972. 4. Ճóäքÿ8öå8 Â.Ճ., Äåìèäî8è÷ Á.Ï. ՃքàՂêèé êóքՇ 85Շøåé ìàՂåìàՂèêè.Խ.1ÔèçìàՂ1èç, 1962. 5. Ãìóքìàí Â.Բ. Òåîքèÿ 8åքîÿՂíîՇՂåé è ìàՂåìàՂè÷åՇêàÿ ՇՂàՂèՇՂèêà.Խ.1 Â5Շøàÿ øêîëà, 1972.

Բովանդակություն Ներածություն ............................................................................................

ԱՆԱԼԻՏԻԿ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ..........

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴԸ ՈՒՂՂԻ ՎՐԱ, ԹՎԱՅԻՆ

ԱՌԱՆՑՔ.................................................................................................... Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգը հարթության վրա........................................................................................ Երկու կետերի միջն եղած հեռավորությունը........................................... Հատվածի աժանումը տրված հարա երությամ ................................. ՈՒՂԻՂ ԳԻԾԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ.................................................... Ուղղի հավասարումը անկյունային գործակցով..................................... Տրված մեկ կետով անցնող ն տրված անկյունային գործակիցը ունեցող ուղղի հավասարումը.................................................................... Ուղիղ գիծը որպես առաջին կարգի գիծ: Ուղղի ընդհանուր հավասարումը............................................................................................................. Ուղղի ընդհանուր հավասարման հետազոտումը: Ուղղի հավասարումը «հատվածներով»................................................................................... Երկու ուղիղների կազմած անկյունը: Ուղիղների ուղղահայացության ն զուգահեռության պայմանները.............................................................. ՈՒՂՂԻ ՆՈՐՄԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ...................................................... ԿԵՏԻ ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ՏՐՎԱԾ ՈՒՂՂԻՑ................................

ՈՒՂՂԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ ԲԵՐՈՒՄԸ ՆՈՐՄԱԼ

ՏԵՍՔԻ........................................................................................................ ԵՐԿՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ԳԾԵՐ...................................................................... ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ............................................................................................ ԷԼԻՊՍ........................................................................................................ Էլիպսի էքսցենտրիսիտետն ու դիրեկտրիսները..................................... Ռացիոնալ անաձներ էլիպսի կիզակետային շառավիղների համար.................... .................................................................................... ՀԻՊԵՐԲՈԼ................................................................................................ Հիպեր ոլի էքսցենտրիսիտետն ու դիրեկտրիսները .............................. ՀԻՊԵՐԲՈԼԻ ԱՍԻՄՊՏՈՏՆԵՐԸ........................................................... ՊԱՐԱԲՈԼ..................................................................................................

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ՏԱՐՐԵՐԸ

ԵՐԿՐՈՐԴ ԵՎ ԵՐՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ՈՐՈՇԻՉՆԵՐ

(ԴԵՏԵՐՄԻՆԱՆՏՆԵՐ) ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ...........

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ:

ԿՐԱՄԵՐԻ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ.....................................................................

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐ ԵՎ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԴՐԱՆՑ

ՆԿԱՏՄԱՄԲ...............................................................................................

ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՄԱՏՐԻՑ ԵՎ ԴՐԱ ԳՏՆԵԼԸ...........................................

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ ԳՐԱՌՈՒՄԸ ԵՎ ԼՈՒԾՈՒՄԸ ՀԱԿԱԴԱՐՁ

ՄԱՏՐԻՑԻ ՕԳՆՈՒԹՅԱՄԲ...................................................................

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՆՀԱՅՏՆԵՐԻ ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆ ԱՐՏԱՔՍՄԱՆ ՄԵԹՈԴ ԿԱՄ

ԳԱՈՒՍԻ ՄԵԹՈԴ.....................................................................................

ՍԱՀՄԱՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Մաթեմատիկական մեծության գաղափարը........................................... Փոփոխական մեծության ն հաջորդականության սահմանը ................

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆԸ ................................................................... Անվերջ փոքր ն անվերջ մեծ մեծություններ, անվերջ փոքրերի հատկությունները ն համեմատումը.................................................................. ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ ՍԱՀՄԱՆՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ....................... Սահմանների հաշվման օրինակներ...................................................... Անորոշություններ ն դրանց ացման տարրական եղանակները.......... Անորոշությունների ացման օրինակներ................................................ ԱԾԱՆՑՅԱԼ ԵՎ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ........................................................ Ածանցյալի սահմանումը........................................................................... Ֆունկցիայի ածանցյալի հաշվման ընդհանուր կանոնը....................... Ածանցյալի երկրաչափական մեկնա անությունը: Կորի շոշափողի հավասարումը ............................................................................................ Ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը........................................................... Ածանցման հիմնական կանոնները.......................................................... Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները.................... Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները....................... Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները... Ածանցման կանոնների ն անաձների աղյուսակ.................................. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի սահմանումը............................................... Բարձր կարգի ածանցյալներ ն դիֆերենցիալներ.................................

ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐԻ ՄԻ ՔԱՆԻ ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.....................

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ԺԱՄԱՆԱԿ................................................

ԱՆՈՐՈՇ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

Նախնական ֆունկցիա: Անորոշ ինտեգրալ............................................ Անորոշ ինտեգրալի հիմնական հատկությունները............................... Անորոշ ինտեգրալի երկրաչափական մեկնա անությունը................... Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ..................................................... Ինտեգրման հիմնական եղանակները....................................................

ՈՐՈՇՅԱԼ ԻՆՏԵԳՐԱԼ........................................................................... Որոշյալ ինտեգրալի սահմանումը............................................................ Որոշյալ ինտեգրալի հատկությունները................................................... Որոշյալ ինտեգրալը որպես վերին սահմանի ֆունկցիա....................... Որոշյալ ինտեգրալի հաշվումը: Նյուտոն-Լայ նիցի անաձնը............ Որոշյալ ինտեգրալի կիրառությունները.................................................. Հարթ պատկերի մակերեսի հաշվումը ..................................................... Մարմնի ծավալի հաշվումը ...................................................................... ՊՏՏՄԱՆ ՄԱՐՄՆԻ ԾԱՎԱԼԸ................................................................. Փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքի հաշվումը

ԹՎԱՅԻՆ ՇԱՐՔԵՐ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ..........................................................

ՇԱՐՔԻ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ ԱՆՀՐԱԺԵՇՏՈՒԹՅԱՆ ԵՎ

ՏԱՐԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՎԱՐԱՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇԸ ................

ԴՐԱԿԱՆ ԱՆԴԱՄՆԵՐՈՎ ՇԱՐՔԵՐԻ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ

ԲԱՎԱՐԱՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐԸ.............................................. Զուգամիտության համեմատության հայտանիշը................................... Դալամ երի հայտանիշը.......................................................................... Կոշիի հայտանիշը..................................................................................... Կոշիի ինտեգրալային հայտանիշը .........................................................

ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ................................................

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ

ՄԵԿՆԱԲԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ..............................................................

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆՆ ՈՒ

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆԸ.........................................................................

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՄԱՍՆԱԿԻ

ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐՆ ՈՒ ՄԱՍՆԱԿԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼՆԵՐԸ.............

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԼՐԻՎ ԱՃԸ ԵՎ ԼՐԻՎ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼԸ...............

ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԸ................................................................................................

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄԻ

ԳՈՅՈՒԹՅԱՆ ԲԱՎԱՐԱՐՈՒԹՅԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԸ....................... ՆՎԱԶԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ՄԵԹՈԴԸ................................

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԻ ԿԻՐԱՌՈՒԹՅԱՆ ՄԻ ՔԱՆԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

ԳՅՈՒՂԱՏՆՏԵՍԱԿԱՆ ԱՐՏԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆԻՑ...............................

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ........

ՌԱԴԻՈՒՄԻ ՌԱԴԻՈԱԿՏԻՎ ՔԱՅՔԱՅՈՒՄԸ.................................... ՄԱՐՄՆԻ ՍԱՌԵՑՈՒՄԸ ԿԱՄ ՏԱՔԱՑՈՒՄԸ.......................................

ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ..............

ԱՆՋԱՏՎԱԾ ԵՎ ԱՆՋԱՏՎՈՂ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ............................................................................................. ՀԱՄԱՍԵՌ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ........................................................... ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ............................

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ........

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ ԹԵՈՐԵՄԸ ............

ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ:

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՄԱՆ ԹԵՈՐԵՄԸ....

ՀԻՊՈԹԵԶՆԵՐԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ:

ԲԱՅԵՍԻ ԲԱՆԱՁԵՎԸ ............................................................................

ՊԱՏԱՀԱՐԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ԱՅԼ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ ......

ՄԻ ՔԱՆԻ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՄԻԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆԻՑ .................................................................................... ԿՐԿՆՎՈՂ ԱՆԿԱԽ ՊԱՏԱՀԱՐՆԵՐ ..................................................

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ԴՐԱ ԲԱՇԽՈՒՄԸ....................

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԹՎԱՅԻՆ ԲՆՈՒԹԱԳՐԵՐԸ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՍՊԱՍՄԱՆ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ................

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅԱՆ ԴԻՍՊԵՐՍԻԱՆ ԵՎ ՄԻՋԻՆ

ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՇԵՂՈՒՄԸ............................................................... ԼԱՊԼԱՍԻ ԼՈԿԱԼ ԹԵՈՐԵՄԸ............................................................... ԼԱՊԼԱՍԻ ԻՆՏԵԳՐԱՅԱԼԻՆ ԹԵՈՐԵՄԸ.......................................... Հավելված 1................................................................................................. Հավելված 2................................................................................................. Գրականություն .........................................................................................

ԼԵՅՆԱԴ ԵՐՎԱՆԴԻ ԴԱՆԻԵԼՅԱՆ

Բարձրագույն մաթեմատիկա

ՈՒսումնական ձեռնարկ Հայաստանի ազգային ագրարային համալսարանի ուսանողների համար

ËԲÉՒՃÄ ԲÐÂՃՒÄÎÂÈ× ÄՃՒÈԲËßՒ

Â5Շøàÿ ìàՂåìàՂèêà Ó÷åՇíîå ïîՇîՇèå äëÿ ՇՂóäåíՂî8 àքìÿíՇêî1î íàöèîíàëüíî1î à1քàքíî1î óíè8åքՇèՂåՂà (íà àքìÿíՇêîì ÿç5êå)

Ստորագրված է տպագրության 26.01. 2016 թ. Թղթի չափսը 60284 1/16 2,5 տպ. մամուլ Պատվեր 7 Տպաքանակ 200 ՀԱԱՀ տպարան Տերյան փ. 74