Բարձրագույն մաթեմատիկա

вڲêî²ÜÆ ²¼¶²ÚÆÜ ²¶ð²ð²ÚÆÜ Ð²Ø²Èê²ð²Ü è.Ø. вðàôÂÚàôÜÚ²Ü, Ð.Ê. ʲâ²îðÚ²Ü

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Ðî¸ 51(075.8) ¶Ø¸ 22.11 y73 Ð 422 гëï³ïí³Í ¿ г۳ëï³ÝÇ ³½·³ÛÇÝ ³·ñ³ñ³ÛÇÝ Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÇ ·Çï³Ï³Ý ËáñÑñ¹Ç ÏáÕÙÇó

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Ð 422

ý.Ù.·.¹., åñáý»ëáñ ²É.ʳã³ïñÛ³Ý Ù.·.Ã., ¹áó»Ýï è.²é³ù»ÉÛ³Ý ý.Ù.·.¹., åñáý»ëáñ ².ʳã³ïñÛ³Ý ý.Ù.·.Ã., ¹áó»Ýï ê.гÙ³ñÓáõÙÛ³Ý ý.Ù.·.Ã., ¹áó»Ýï ².гÛñ³å»ïÛ³Ý

è.Ø. вðàôÂÚàôÜÚ²Ü ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇϳ / è.Ø.гñáõÃÛáõÝÛ³Ý, Ð.Ê.ʳã³ïñÛ³Ý.-ºñ.: в²Ð, 2013. - 96 ¿ç: Ò»éݳñÏÁ ݳ˳ï»ëí³Í ¿ ³Ï³É³íñdzïÇ ³·ñ³ñ³ÛÇÝ, ׳ñï³ñ³·Çï³Ï³Ý, ï»ËÝáÉá·Ç³Ï³Ý ¨ ïÝï»ë³·Çï³Ï³Ý Ù³ëݳ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»é³Ï³ áõëáõóÙ³Ý I ÏáõñëÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ û·ï³Ï³ñ ÉÇÝ»É Ý³¨ ³Û¹ ËÙ»ñáõÙ ¹³ë³í³Ý¹áÕ ¹³ë³ËáëÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Ðî¸ 51(075.8) ¶Ø¸ 22.11 y73 ISBN 978-9939-54-614-8

¡ гñáõÃÛáõÝÛ³Ý è.Ø., ʳã³ïñÛ³Ý Ð.Ê., 2013 ¡ г۳ëï³ÝÇ ³½·³ÛÇÝ ³·ñ³ñ³ÛÇÝ Ñ³Ù³Éë³ñ³Ý, 2013

Ü»ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÁ Ý»ñϳÛáõÙë ɳÛÝ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ »Ý ëï³ó»É ·ÇïáõÃÛ³Ý, ï»ËÝÇϳÛÇ ¨ ïÝï»ëáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³ï³ñ»ñ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï: ²Û¹ Ù»Ãá¹Ý»ñÇ Ý߳ݳÏáõÃÛáõÝÁ ¿³å»ë ³×»É ¿ ÅáÕáíñ¹³Ï³Ý ïÝï»ëáõÃÛ³Ý áÉáñ ݳ·³í³éÝ»ñáõÙ` ѳßíáճϳÝ

ï»ËÝÇϳÛÇ

½³Ý·í³Í³ÛÇÝ ÏÇñ³éáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ: ´áõÑáõ٠ٳûٳïÇϳÛÇ ¹³ë³í³Ý¹Ù³Ý Ýå³ï³ÏÁ ϳ۳ÝáõÙ ¿. 1 .гٳ·Çï³Ï³Ý, ѳٳ׳ñï³ñ³·Çï³Ï³Ý ×ÛáõÕ»ñÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ áõë³ÝáÕÝ»ñÇÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ³å³ñ³ïÇ Ñ»ï ͳÝáóóÙ³Ý, 2 .îÝï»ë³·Çï³Ï³Ý ¨ Ù³ëݳ·Çï³Ï³Ý, ·áñÍÝ³Ï³Ý ¨ ï»ë³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ùáï ٳûٳïÇϳÛÇ ¨ Ýñ³ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, áõëáõÙÝ³Ï³Ý ·ñ³Ï³ÝáõÃáõÝÝ ÇÝùÝáõñáõÛÝ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý, 3 .îñ³Ù³³Ý³Ï³Ý Ùï³ÍáÕáõÃÛ³Ý ½³ñ·³óÙ³Ý, ÇÝãå»ë ݳ¨

ٳûٳïÇϳÛÇ

ÏáõÉïáõñ³ÛÇ,

ٳûٳïÇϳϳÝ

ѻﳽáïáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ÑݳñùÝ»ñÇ Ùß³ÏÙ³Ý, ׳ñï³ñ³·Çï³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý É»½íÇ ÷á˳¹ñÙ³Ý, ³Û¹ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ѳßíáÕ³Ï³Ý ï»ËÝÇϳÛÇ û·ï³·áñÍÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ٳϳñ¹³ÏÇ ³ñÓñ³óÙ³Ý Ù»ç: ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ ÁݹѳÝáõñ ¹³ëÁÝóóÁ, áñÝ áõëáõÙݳëÇñíáõÙ ¿ ׳ñï³ñ³·Çï³Ï³Ý, ï»ËÝáÉá·Ç³Ï³Ý, ïÝï»ë³·Çï³Ï³Ý, ³·ñáÝáÙÇ³Ï³Ý ¨ ³Ý³ëݳáõÅ³Ï³Ý Ù³ëݳ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»é³Ï³ áõëáõóÙ³Ý áõë³ÝáÕÝ»ñÇ ÏáÕÙÇó, ³Õϳó³Í ¿` ³Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ, ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³Éǽ, ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ, ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ ¨

ٳûٳïÇϳϳÝ

íÇ׳ϳ·ñáõÃÛáõÝ ³é³ñϳݻñÇó: àõëáõÙÝ³Ï³Ý ÝÛáõÃÇ ³ßËáõÙÝ Áëï ÏÇë³ÙÛ³ÏÝ»ñÇ Ï³ñáÕ ¿ ÷á÷áËáõÃÛáõÝ Ïñ»É ϳËí³Í Ù³ëݳ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: àõë³ÝáÕÇ ³ß˳ï³ÝùÁ áõëáõÙÝ³Ï³Ý ÝÛáõÃÇ íñ³ ³Õϳó³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ï³ññ»ñÇó` ³) ÝÛáõÃÇ áõëáõÙݳëÇñáõÙ ¹³ë³·ñù»ñáí, ) ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙ, ·) ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ Ï³ï³ñáõÙ: êáõÛÝ Ó»éݳñÏáõÙ ³ñÓñ³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ ³ÙáÕç ¹³ëÁÝóóÁ ïñáÑí³Í ¿ ³ÅÇÝÝ»ñÇ, ÇëÏ ³ÅÇÝÝ»ñÁ` ѳٳå³-

ï³ëË³Ý Ã»Ù³Ý»ñÇ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûٳÛÇ ëϽáõÙ ïñíáõÙ »Ý ¹³ë³·ñù»ñÇ ³ÛÝ ·ÉáõËÝ»ñÝ áõ å³ñ³·ñ³ýÝ»ñÁ, áñáÝù áõë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ ϳñ¹³, ÇÝãå»ë ݳ¨ ËݹÇñÝ»ñÁ, áñáÝù ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É: Ò»éݳñÏÝ Áݹ·ñÏáõÙ ¿ ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ: ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý Ù»Ãá¹ÇÏ³Ý Ñ»é³Ï³ áõëáõóÙ³Ý áõë³ÝáÕÝ»ñÇ ÏáÕÙÇó лé³Ï³ ³ÅÝÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ áõëáõóÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ó¨Á ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ áõëáõÙÝ³Ï³Ý ÝÛáõÃÇ íñ³ ÇÝùÝáõñáõÛÝ ³ß˳ï³ÝùÁ: лé³Ï³ áõëáõóÙ³Ý áõë³ÝáÕÝ»ñÇÝ û·Ý»Éáõ ѳٳñ áõÑÁ ϳ½Ù³Ï»ñåáõÙ  ¹³ë³ËáëáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝûñóáõÙ ¨ ·áñÍÝ³Ï³Ý å³ñ³åÙáõÝùÝ»ñ: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó, áõë³ÝáÕÁ ϳñáÕ ¿ ¹ÇÙ»É ¹³ë³ËáëÇÝ ·ñ³íáñ ³ß˳ï³ÝùÇÝ í»ñ³»ñáÕ Ñ³ñó»ñáí: àõë³ÝáÕÇÝ óáõóáõÙÝ»ñ ïñíáõÙ »Ý ݳ¨ ·ñ³íáñ ³ß˳ï³ÝùÇ ëïáõ·Ù³Ý ųٳݳÏ` ·ñ³ËáëáõÃÛ³Ý ÁÝóóùáõÙ: ê³Ï³ÛÝ áõë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ ÑÇßÇ, áñ ÙdzÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·í³Í, ÇÝùÝáõñáõÛÝ ¨ Ñ³Ù³é ³ß˳ï³ÝùÇ ¹»åùáõÙ áõÑÇ û·ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ³ñ¹Ûáõݳí»ï: ¸³ë³·ñùÇ ÁÝûñó³ÝáõÃÛáõÝÁ

1 . àõëáõÙݳëÇñ»Éáí ÝÛáõÃÝ Áëï ¹³ë³·ñùÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ³ÝóÝ»É Ñ³çáñ¹ ѳñóÇÝ` ÙdzÛÝ Ý³Ëáñ¹Ç ×Çßï ÁÝϳɻÉáõó Ñ»ïá, ÃÕÃÇ íñ³ ϳï³ñ»Éáí áÉáñ ѳßí³ñÏÝ»ñÁ (³Û¹ ÃíáõÙ ¨ Ýñ³Ýù, áñáÝù Çñ»Ýó å³ñ½áõÃÛ³Ý å³ï׳éáí ¹³ë³·ñùáõÙ ³ó »Ý ÃáÕÝí³Í), í»ñ³ñï³¹ñ»Éáí ¹³ë³·ñùáõÙ »Õ³Í ·Í³·ñ»ñÁ: 2 . гïáõÏ áõß³¹ñáõÃÛáõÝ å»ïù ¿ ¹³ñÓÝ»É ¹³ëÁÝóóÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇ íñ³, áñáÝù ³ñï³óáÉáõÙ »Ý Çñ³Ï³Ý ûÛ»ÏïÝ»ñÇ ¨ ·áñÍÁÝóóÝ»ñÇ ù³Ý³Ï³Ï³Ý ÏáÕÙÁ ϳ٠ï³ñ³Í³Ï³Ý ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²é³Ýó ¹ñ³ ³ÝÑݳñ ¿ ٳûٳïÇϳÛÇ ³ñ¹Ûáõݳí»ï áõëáõÙݳëÇñáõÃÛáõÝÁ: àõë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ Ù³Ýñ³ÏñÏÇï í»ñÉáõÍÇ ³ÛÝ ûñÇݳÏÝ»ñÁ, áñáÝù å³ñ½³³ÝáõÙ »Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ ¨ ϳñáճݳ ÇÝùÝáõñáõÛÝ Ï³éáõó»É ÝٳݳïÇå ûñÇݳÏÝ»ñ: 3 . ²ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÑÇß»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûáñ»Ù ³Õϳó³Í ¿ ³é³ç³¹ñáõÃÛáõÝÇó ¨ åݹáõÙÇó: ´áÉáñ ³é³ç³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³Ýå³ÛÙ³Ý å»ïù ¿ û·ï³·áñÍí»Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ù»ç: ä»ïù ¿ Ñëï³Ï å³ïÏ»ñ³óÝ»É, û ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ³å³óáõóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï áñ Ù³ëáõÙ »Ý û·ï³·áñÍí»É: ú·ï³Ï³ñ ¿ ϳ½Ù»É ³ñ¹

ûáñ»ÙÝ»ñÇ ³å³óáõóáõÙÝ»ñÇ ë˻ٳݻñÁ: Þ³ï ûáñ»ÙÝ»ñÇ ×Çßï ÁÝϳÉÙ³ÝÁ û·ÝáõÙ ¿ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ûÛ»ÏïÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ ûñÇݳÏÝ»ñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý, ÇÝãå»ë ݳ¨ ûÅïí³Í ã»Ý, Ýßí³Í ûáñ»ÙÇ ³é³ç³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ¨ åݹáõÙÝ»ñáõÙ ³éϳ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí: 4 . ¸³ë³·ñùÇ ÝÛáõÃÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï û·ï³Ï³ñ ¿ ³ÛÝ ÏáÝëå»Ïï³íáñ»É, áñï»Õ ËáñÑáõñ¹ ¿ ïñíáõÙ ¹áõñë ·ñ»É ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ, ûáñ»ÙÝ»ñÇ Ó¨³Ï»ñåáõÙÝ»ñÁ, ³Ý³Ó¨»ñÁ, ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ¨ ³ÛÉÝ: ÎáÝëå»ÏïÇ Éáõë³ÝóùÝ»ñáõÙ å»ïù ¿ Ýß»É Ñ³ñó»ñÁ, áñáÝù ³é³ÝÓݳóíáõÙ ¿ áõë³ÝáÕÇ ÏáÕÙÇó ¹³ë³ËáëÇó ËáñÑñ¹³ïíáõÃÛáõÝ ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ: 5 .àõë³ÝáÕÇ ³ß˳ï³ÝùÇ ·ñ³íáñ Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ ³ó³éÇÏ Ï³ñ¨áñ Ý߳ݳÏáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ¶ñ³éáõÙÝ»ñÁ å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý Ù³ùáõñ, ËݳÙùáí ¨ ¹³ë³íáñí³Í áñáß³ÏÇ Ï³ñ·áí: àõëáõÙݳëÇñíáÕ ÝÛáõÃÇ ³ñï³ùÇÝ É³í Ó¨³íáñáõÙÁ, áõë³ÝáÕÇÝ Ïëáíáñ»óÝÇ áã ÙdzÛÝ ³ß˳ï³ÝùÇ Ù»ç ³ÝÑñ³Å»ßï ϳñ·ÇÝ, ³Ûɨ ÃáõÛÉ Ïï³ Ýñ³Ý Ëáõë³÷»É ³½Ù³ÃÇí ë˳ÉÝ»ñÇó, áñáÝù ³é³ç³ÝáõÙ »Ý ³Ý÷áõÛÃ, ³ÝϳÝáÝ ·ñ³éáõÙÝ»ñÇó: 6 .лï¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ëï³óíáõÙ »Ý ³Ý³Ó¨»ñÇ ï»ëùáí, ËáñÑáõñ¹ ¿ ïñíáõÙ ÏáÝëå»ÏïáõÙ Áݹ·Í»É ϳ٠ßñç³·Í»É, áñå»ë½Ç í»ñÁÝûñóáõÙÝ»ñÇ Å³Ù³Ý³Ï Ýñ³Ýù ³é³ÝÓÝ³Ý³Ý ¨ ɳí ïå³íáñí»Ý: ÊݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ

1 .¸³ë³·ñùÇ ÁÝûñóáõÙÁ å»ïù ¿ áõÕ»ÏóíÇ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñáí, áñÇ Ñ³Ù³ñ ËáñÑáõñ¹ ¿ ïñíáõ٠ѳïϳóÝ»É ³é³ÝÓÇÝ ï»ïñ: 2 .ÊݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Å³Ù³Ý³Ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÑÇÙݳíáñ»É ÉáõÍÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÷áõÉÁ, »ÉÝ»Éáí ¹³ëÁÝóóÇ ï»ë³Ï³Ý ¹ñáõÛÃÝ»ñÇó: ºÃ» áõë³ÝáÕÁ ï»ëÝáõÙ ¿ ËݹñÇ ÉáõÍÙ³Ý ÙÇ ù³ÝÇ »Õ³Ý³Ï, ³å³ ݳ å»ïù ¿ ѳٻٳïÇ ¹ñ³Ýù ¨ ÁÝïñÇ ³Ù»Ý³Ñ³ñÙ³ñÁ: ú·ï³Ï³ñ ¿ ÙÇÝ㨠ѳßíáõÙÝ»ñÁ ëÏë»ÉÁ ϳ½Ù»É ËݹñÇ ÉáõÍÙ³Ý åɳÝÁ: 3 .ÊݹÇñÝ»ñÇ ¨ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ß³ñ³¹ñ»É Ù³Ýñ³Ù³ëÝ, Áݹ áñáõÙ ËáñÑáõñ¹ ¿ ïñíáõÙ ûųݹ³Ï ѳßíáõÙÝ»ñÝ ³é³ÝÓݳóÝ»É ÑÇÙݳϳÝÝ»ñÇó: êË³É ·ñ³éáõÙÝ»ñÁ å»ïù ¿ ãçÝç»É, ãÉÕá½»É, ³ÛÉ íñ³Ý ·ÇÍ ù³ß»É: ¶Í³·ñ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É Ó»éùáí, ³Ûó ËݳÙùáí ¨ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳Ý: ºÃ» ·Í³·ÇñÁ å³Ñ³ÝçáõÙ ¿ ѳïáõÏ

Ù³Ýñ³ÏñÏÇï ϳï³ñáõÙ, ûñÇݳÏ, »Ã» ³ÝÑñ³Å»ßï ¿, ѳßíáõÙÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ëï³óí³Í ÉáõÍáõÙÁ ëïáõ·»É ·ñ³ýÇÏáñ»Ý, ³å³ å»ïù ¿ û·ïí»É ù³ÝáÝÇó, ÷á˳¹ñÇãÇó ¨ Ýß»É Ù³ëßï³Á: 4 .Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙ å»ïù ¿ ѳëóíÇ ÙÇÝ㨠í»ñçÝ³Ï³Ý å³ï³ë˳ÝÁ, áñÁ å³Ñ³ÝçáõÙ ¿ å³ÛÙ³ÝÁ, ¨ Ñݳñ³íáñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ³ñï³ÍíÇ ËݹñÇ ÉáõÍÙ³ÝÁ í»ñ³»ñáÕ ³Ý³Ó¨Á ÁݹѳÝáõñ ï»ëùáí: лﳷ³ÛáõÙ, ëï³óí³Í ³Ý³Ó¨Ç Ù»ç å»ïù ¿ ï»Õ³¹ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (»Ã» ³Û¹åÇëÇù ϳÝ): 5 .êï³óí³Í å³ï³ë˳ÝÁ å»ïù ¿ ëïáõ·»É ³ÛÝ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí, áñáÝù ËáõÙ »Ý ïñí³Í ËݹñÇ ¿áõÃÛáõÝÇó: ºÃ», ûñÇݳÏ, ÉáõÍí»É ¿ áñáß³ÏÇ ýǽÇÏ³Ï³Ý Ï³Ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý áí³Ý¹³ÏáõÃÛ³Ý ËݹÇñ, ³å³ û·ï³Ï³ñ ¿, ݳË, ëïáõ·»É ëï³óí³Í å³ï³ë˳ÝÇ ã³÷Á: ú·ï³Ï³ñ ¿ ݳ¨, »Ã» Ñݳñ³íáñ ¿, ËݹÇñÁ ÉáõÍ»É ï³ñ»ñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí ¨ ѳٻٳï»É ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ: 6 .àñáß³ÏÇ ¹³ëÇ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ å»ïù ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É ³ÛÝù³Ý, ÙÇÝ㨠¹ñ³Ýó ÉáõÍ»Éáõ ÑݳñùÝ»ñÇÝ Ñëï³Ï ïÇñ³å»ïáõÙÁ: ÊáñÑñ¹³ïíáõÃÛáõÝ (ÏáÝëáõÉï³ódz)

1 .ºÃ» ï»ë³Ï³Ý ÝÛáõÃÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý Ï³Ù ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï áõë³ÝáÕÇ Ùáï ³é³ç³ÝáõÙ »Ý ѳñó»ñ, áñáÝó å³ñ½³³ÝáõÙÁ ÇÝùÝáõñáõÛÝ ãÇ ëï³óíáõÙ (ï»ñÙÇÝÝ»ñÇ ³ÝѳëϳݳÉÇáõÃÛáõÝ, ûáñ»ÙÝ»ñÇ Ó¨³Ï»ñåáõÙÝ»ñ, ³é³ÝÓÇÝ ËݹÇñÝ»ñ ¨ ³ÛÉÝ), ݳ ϳñáÕ ¿ ¹ÇÙ»É ¹³ë³ËáëÇÝ` Ýñ³ÝÇó ·ñ³íáñ ϳ٠³Ý³íáñ ËáñÑñ¹³ïíáõÃÛáõÝ ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ: 2 .Æñ ѳñóáõÙÝ»ñáõÙ áõë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ Ñëï³Ï ÝßÇ, ³éϳ ¹Åí³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝáõÛÃÁ: ºÃ» ݳ ãÇ Ï³ñáÕ³ó»É ѳëÏ³Ý³É ï»ë³Ï³Ý ³ó³ïñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ٠ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ, ϳ٠¿É ³Ý³Ó¨Ç ³ñï³ÍáõÙÁ ¹³ë³·ñùáí, ³å³ å»ïù ¿ ÝßÇ ¹Åí³ñáõÃÛáõÝ Ñ³ñáõó³Í ³éϳ ѳñóÁ: ºÃ» áõë³ÝáÕÁ ¹Åí³ñ³ÝáõÙ ¿ ËݹÇñ ÉáõÍ»Éáõ ųٳݳÏ, ³å³ å»ïù ¿ ÝßÇ ³Û¹ ¹Åí³ñáõÃÛ³Ý ÝáõÛÃÁ, »ñÇ ³é³ç³ñÏíáÕ ÉáõÍÙ³Ý åɳÝÁ: êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñ

1 .سûٳïÇϳÛÇ ÁݹѳÝáõñ ¹³ëÁÝóóÇ áõëáõÙݳëÇñáõÃÛ³Ý ÁÝóóùáõÙ áõë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ ϳï³ñÇ ÙÇ ß³ñù ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñ, áñáÝó ·É˳íáñ Ýå³ï³ÏÁ áõë³ÝáÕÇÝ ¹³ëÁÝóóÇ

Ûáõñ³óÙ³Ý Ù»ç û·ÝáõÃÛáõÝ óáõó³»ñ»ÉÝ ¿: ²Û¹ ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ ·ñ³ËáëáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áõë³ÝáÕÇÝ ÃáõÛÉ »Ý ï³ÉÇë ¹³ï»Éáõ Çñ ÏáÕÙÇó ѳٳå³ï³ëË³Ý ³ÅÝÇ Ûáõñ³óÙ³Ý ³ëïÇ׳ÝÇ Ù³ëÇÝ, óáõÛó »Ý ï³ÉÇë Ýñ³ Ùáï »Õ³Í ³ó»ñÁ, û·ÝáõÙ »Ý Ó¨³íáñ»Éáõ ¹³ë³ËáëÇ Ñ»ï ËáñÑñ¹³ïíáõÃÛ³Ý Ñ³ñó»ñÁ: 2 .ØÇÝã ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»ÉÁ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ݳ˳å»ë ÉáõÍ»É ïíÛ³É ÝÛáõÃÇÝ í»ñ³»ñáÕ ³í³Ï³Ý³ã³÷ ËݹÇñÝ»ñ: öáñÓÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ ³Ûë å³Ñ³ÝçÇ ãϳï³ñáõÙÁ Ñ³×³Ë å³ï×³é ¿ ѳݹÇë³ÝáõÙ ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÇ ³Ûë ϳ٠ËݹÇñÁ ÉáõÍ»É ãϳñáճݳÉáõÝ: 3 .êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÁ å»ïù ¿ ϳï³ñí»Ý ÇÝùÝáõñáõÛÝ: àñå»ë ûñ»Ýù, ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ áã ÇÝùÝáõñáõÛÝ Ï³ï³ñáõÙÁ áõë³ÝáÕÇÝ ½ñÏáõÙ ¿ ïíÛ³É ÝÛáõÃÁ Ûáõñ³óÝ»Éáõ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÇó ¨ ³ñ¹ÛáõÝùáõ٠ݳ ϳñáÕ ¿ ³Ý³íáñ ùÝÝáõÃÛ³ÝÁ Ý»ñÏ³Û³Ý³É ³Ýå³ïñ³ëï: 4. ¶ñ³ùÝÝí³Í ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÁ áÉáñ áõÕÕáõÙÝ»ñáí ¨ Éñ³óáõÙÝ»ñáí å»ïù ¿ å³Ñå³Ý»É: ØÇÝã ¹³ë³ËáëÇ ÏáÕÙÇó ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÇ ¹ñ³Ï³Ý §ëïáõ·í³Í ¿¦ ·Ý³Ñ³ï³Ï³Ý ëï³Ý³ÉÁ, áõë³ÝáÕÁ ³Û¹ ³é³ñϳÛÇó ùÝÝáõÃÛ³Ý ãÇ ÃáõÛɳïñíáõÙ: ¸³ë³ËáëáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ·áñÍÝ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñ øÝݳßñç³ÝáõÙ Ñ»é³Ï³ áõëáõóÙ³Ý áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ϳ½Ù³Ï»ñåíáõÙ »Ý ¹³ë³ËáëáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ·áñÍÝ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñ: ¸ñ³Ýù ÑÇÙݳϳÝáõÙ ÏñáõÙ »Ý ³ÏݳñϳÛÇÝ ÝáõÛÃ: ¸ñ³Ýó Ýå³ï³ÏÁ ¹³ëÁÝóóÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ÅÝÇ ÁݹѳÝáõñ ϳéáõóí³ÍùÇ áõñí³·Í»ÉÝ ¿, ϳñ¨áñ³·áõÛÝ ÷³ëï»ñÇ Áݹ·ÍáõÙÁ, ·É˳íáñ ·áñÍÝ³Ï³Ý ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ý³Ë³ÝßáõÙÁ: Ðݳñ³íáñ ¿ ݳ¨ Íñ³·ñÇ ³é³ÝÓÇÝ Ñ³ñó»ñÇ ùÝݳñÏáõÙ, áñáÝù ³ó³Ï³ÛáõÙ »Ý ϳ٠áã ³ÛÝù³Ý ÉñÇíáõÃÛ³Ù »Ý ïñí³Í ³é³ç³ñÏíáÕ Ó»éݳñÏÝ»ñáõÙ:

I ´³ÅÇÝ ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí »ٳ 1 . Îááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ¸³ë³·Çñù`

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Ù³ë

ѳٳϳñ·:

7 , ·ÉáõË 7

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¢¢ 1 - 4 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ

1, 3, 8, 11 , ¢ 5 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 15, 18 , ¢ 6 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 22, 23, 26, 27, 28, ¢¢ 7 - 9 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 12, 33, ¢ 10 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 30 - 32 , ¢ 11 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 36 - 37 :

òáõóáõÙÝ»ñ ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·ÇÍ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ áñå»ë Ï»ï»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý áñáß³ÏÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ù: ²Ûëå»ë, ûñÇݳÏ, ßñç³Ý³·ÇÍÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý ÇÝã-áñ Ï»ïÇó, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝ: ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Çï³ñÏíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñÁ` 1 ) ϳ½Ù»É ïñí³Í ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, 2 ) ϳéáõó»É (ϳ٠ѻﳽáï»É) ·ÇÍÁ Ýñ³ ѳí³ë³ñÙ³Ý ÙÇçáóáí: ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, áñå»ë ûñ»Ýù, ϳï³ñíáõÙ »Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ѻ勉³ñ, ÝϳñÝ»ñÁ ¨ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ϳéáõóáõÙÝ»ñÝ ³Ûëï»Õ áõÝ»Ý »ñÏñáñ¹³Ï³Ý ¹»ñ: Üϳï»Ýù, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý ·Í»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ϳ½Ù»Éáõ ¨ ïñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ·Í»ñÇ Ï³éáõóÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñ: àñå»ë ûñÇݳÏÝ»ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù ·Í»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ϳ½Ù»Éáõ ¨ ѳٳå³ï³ëË³Ý ·Í³å³ïÏ»ñÝ»ñÁ ϳéáõó»Éáõ Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÝ»ñÁ. ÊݹÇñ 1 : γ½Ù»É 7 ß³é³íÕáí ¨ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ëϽݳϻïÁ áñå»ë Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÁ: ÈáõÍáõÙ: ÂáÕ M ( x, y ( -Á ïñí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ÇëÏ t -Ý ՕM ß³é³íÕáí ¨ Օx ³ÝÏÛáõÝÁ, ѳßí³Í ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ù (ÝÏ. 1 )

³é³Ýóùáí ϳ½Ùí³Í ß³ñÅÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï

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¸Åí³ñ ã¿ ï»ëÝ»É, áñ

7 cos t ,

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ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ Çñ»ÝóÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý ¹Çï³ñÏíáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÁ: Æëϳå»ë,

(1( -Çó

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Ïëï³Ý³Ýù x  y 7 , ÇÝãÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ . 1 ѳí³ë³ñáõÙÁ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí: Օ Ï»ïÇó 4 -Ç áõÕÕáõÃÛ³Ù ÊݹÇñ 2 : Օ4 ׳鳷³ÛÃÇ ß³ñÅíáõÙ ¿ M Ï»ïÁ v ѳëï³ïáõÝ ·Í³ÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ù: Օ4 ׳鳷³ÛÃÁ åïïíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ù Z ѳëï³ïáõÝ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ù (ÝÏ. 2 ): ¨»é³ÛÇÝ Î³½Ù»É M Ï»ïÇ ·Í³Í ѳñà ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí: ÈáõÍáõÙ: àñáß»Ýù M ß³ñÅíáÕ Ï»ïÇ ¹ÇñùÁ Ýñ³ ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí: àñå»ë ¨»é í»ñóÝ»Ýù Օ Ï»ïÁ, ÇëÏ ¨»é³ÛÇÝ ³é³Ýóù` Օ4 ׳鳷³ÛÃÇ ëϽÝ³Ï³Ý ¹ÇñùÁ: ¸Çóáõù t ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ Օ4 ׳鳷³ÛÃÁ åïïí»É ¿ M ³ÝÏÛáõÝáí, ³Û¹ ¹»åùáõÙ Ýñ³ åïïÙ³Ý ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ

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³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Z

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²Û¹ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ M Ï»ïÁ ׳鳷³ÛÃáí ϳÝóÝÇ 7 Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ Օ ¨»éÇó, Ýñ³ ·Í³ÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ v : t 7 ¨ Z Ãí»ñÁ M ß³ñÅíáÕ Ï»ïÇ ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý: ø³ÝÇ áñ v -Ý ¨ Z -Ý Áëï å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, ѳëï³ïáõÝ v ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Ýñ³Ýó ѳñ³»ñáõÃÛáõÝÁ` a:

Z

î»Õ³¹ñ»Éáí ³Û¹ ³Ý³Ó¨Ç Ù»ç ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ï·ïÝ»Ýù

7 M : t t

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Ø»Ýù ëï³ó³Ýù ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ²ñùÇÙ»¹Ç å³ñáõñ³·ÇÍ: ²ñÅ» Ýß»É, áñ ²ñùÇÙ»¹Ç å³ñáõñ³·ÇÍÁ ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí áõÝÇ ³ÝÑ³Ù»Ù³ï ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëù, ù³Ý ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí:

»ٳ 2 . àõÕÇÕ ·ÇÍ

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¸³ë³·Çñù` 1 Ù³ë

7 , ·ÉáõË 777 ¢¢ 1 - 13 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 1 - 8 ,

10 , 13 - 19, 21, 24, 27, ¢¢ 14 - 17 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 30, 33, 35, 42, 49 - 53, 58 - 61: òáõóáõÙÝ»ñ ¸³ë³·ñùáõÙ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áõÕÇÕ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí áñáßíáõÙ ¿ x -Ç ¨ y -Ç ÝϳïÙ³Ù ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ѳí³ë³ñáõÙáí ¨ ѳϳé³ÏÁ` x -Ç ¨ y -Ç ÝϳïÙ³Ù ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ѳí³ë³ñáõÙÁ áñáßáõÙ ¿ ÇÝã-áñ áõÕÇÕ: ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿

4x  By  Շ

áõÕÇÕÁ ¨ M 1 ( x1 , y1 ( Ï»ïÁ: ä³ñ½ ¿, áñ 4x1  By1  Շ

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0 , »Ã» M 1 -Á

·ïÝíáõÙ ¿ (1( áõÕÕÇ íñ³ ¨ 4x1  By1  Շ z 0 ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ: `

òáõÛó ï³Ýù, áñ (1( áõÕÇÕÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ³Å³ÝáõÙ ¿ 2 ÏÇë³Ñ³ñ-

ÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, áñáÝóÇó Ù»ÏÁ Ýáõó·ñíáõÙ ¿ Ýñ³Ýáí, áñ Ýñ³ áÉáñ Ï»ï»ñÇ

ѳٳñ

4x  By  Շ ! 0 , ÇëÏ ÙÛáõëÁ Ýñ³Ýáí, áñ `

4x  By  Շ  0 : ¸Çóáõù M 1 ( x1 , y1 ( ¨ M 2 ( x 2 , y 2 ( »ñÏáõ Ï»ï»ñ »Ý, áñáÝù ã»Ý ·ïÝíáõÙ (1( áõÕÕÇ íñ³: M 1 M 2 ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (³óÇ M 2 Ï»ïÇó) ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É`

x

x1  4 x2 , y 1 4

y1  4 y2 , 0 d 4  օ ï»ëùáí: 1 4

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1 4

t , 0  t d 1, ³Ûë ¹»åùáõÙ

1- t , x tx1  (1 - t ( x2 , y ty1  (1 - t ( y2 t ²ÛëåÇëáí, M 1 M 2 ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í M ( x, y ( Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ

ծ

4>tx1  (1 - t (x2 |  B>ty1  (1 - t ( y 2 |  Շ  (Շt - Շt ( t ( 4x1  By1  Շ (  (1 - t (( 4x 2  By 2  Շ ( tծ 1  (1 - t (ծ 2 , áñï»Õ ծ 1 4x1  By1  Շ , ծ 2 4x 2  By 2  Շ : ºÃ» ծ 1 -Á ¨ ծ 2 -Á ÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý, ³å³ ծ -Ý ¨ë M 1 M 2

= 4x  By  Շ

ѳïí³ÍÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ Ïáõݻݳ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, ÇëÏ ¹³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ M 1 M 2 ѳïí³ÍÁ ãÇ Ñ³ïíáõÙ

(1(

áõÕÕÇ Ñ»ï,

¨, ѻ勉³ñ, M 1 ¨ M 2 Ï»ï»ñÁ ÁÝÏ³Í »Ý ³Û¹ áõÕÕÇ ÙǨÝáõÛÝ ÏáÕÙáõÙ: ºÃ» ծ 1 -Á ¨ ծ 2 -Á ï³ñ»ñ Ýß³ÝÝ»ñ áõÝ»Ý, ³å³ ծ tծ 1  (1 - t (ծ 2 ýáõÝÏóÇ³Ý Ýß³ÝÇ

ծ

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ѳïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï³ñ»ñ

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t 0ծ 1  (1 - t 0 (ծ 2

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0 , ³ÛëÇÝùÝ, M 1 M 2 ѳïí³ÍÁ ѳïáõÙ ¿ (1(

áõÕÇÕÁ, ÇëÏ M 1 ¨ M 2 Ï»ï»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý ³Û¹ áõÕÕÇ ï³ñ»ñ ÏáÕÙ»ñáõÙ: ²ÛëåÇëáí,

ծ = 4x  By  Շ

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ

(1(

áõÕÕáí áñáßíáÕ ÙÇ ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÇ Ñ³Ù³ñ` ³ó³ë³Ï³Ý: ²Û¹ ѳݷ³Ù³ÝùÁ ѳñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»Éáõ ųٳݳÏ: ÊݹÇñ: ºé³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ ïñí³Í »Ý x - 2 y - 6 0,

3x - y  6 0 ¨ 7 x  4 y - 24 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí: γ½Ù»É 7 x  4 y - 24 0 ÏáÕÙÇ ¹ÇÙ³óÝ ÁÝÏ³Í Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç ѳí³ë³ñáõÙÁ (ÝÏ. 3 )

ÈáõÍáõÙ:

3x - 2 y - 6 0 ® ¯7x  4 y - 24 0 33 x - y  6 0 ® ¯7 x  4 y - 24 0 ÜÏ. 3

M (~ x, ~

y )-Á ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ÁÝϳÍ

»é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ 3x - y + 6 0 x-~ y6!0 , áõÕÕÇ ³ÛÝ ÏáÕÙáõÙ, áñï»Õ 4 Ï»ïÝ ¿, ¨, ѻ勉³ñ, 3~ áõëïÇ ³ÛÝ ÁÝÏ³Í ¿ x - 2 y - 6 0 áõÕÕÇ ³ÛÝ ÏáÕÙáõÙ, áñï»Õ ¨ B Ï»ïÝ ¿, ѻ勉³ñ, x - 2 y - 6  0 : ²ÛëåÇëáí, M ( ~ x, ~ y ) Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠»é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ »Õ³Í 4 1 ¨ 4 2 Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÂáÕ

áñáßíáõÙ »Ý

~ 3~ x-~ y 6 x - 2~ y -6 , ³Ý³Ó¨»ñáí: 42 5 ø³ÝÇ áñ M ( ~ x, ~ y )-Á ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç Ï»ï ¿, ³å³ 4 1

³Ûëï»ÕÇó Ï·ïÝ»Ýù ÏÇëáñ¹Ç ѳí³ë³ñáõÙÁ`

(3  2)~ x - (1  2 2) ~ y - 6( 2 - 1) 0

ϳ٠¿É, ù³ÝÇ áñ M -Á ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, í»ñçݳϳݳå»ë, Ïëï³Ý³Ýù

(3  2 ) x - (1  2 2 ) y - 6( 2 - 1)

»ٳ 3 . II ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý ï»ëáõÃÛáõÝÁ

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7 ·ÉáõË 7) , ¢¢ 1 - 2 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 1,3, 4, ¢ 3 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 18 (³,,·), 19 (·ïÝ»É ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ýáÏáõëÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ), ¢4 , ¸³ë³·Çñù` 1 , Ù³ë

51 (³,,»,½), í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ (·ïÝ»É ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ýáÏáõëÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ), 62, 70, ¢ 5 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ

75, 77, ¢ 8 (ÙÇÝ㨠( 9 ) ³Ý³Ó¨Á Ý»ñ³éÛ³É), í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 18 (¹,»,½), 19 (·ïÝ»É ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ), ¢ 9 (ÙÇÝ㨠( 11 ) ³Ý³Ó¨Á Ý»ñ³éÛ³É), í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 51 (·,¹), 52 (·ïÝ»É ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ), ¢ 7, 16 : òáõóáõÙÝ»ñ ¾ÉÇåë ¾ÉÇåë ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý ïñí³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇó (ýáÏáõëÝ»ñÇó) ѳëï³ïáõÝ ¿: ¾ÉÇåëÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï»ëùÝ ¿ª

x2 y2  a2 Ե2

1 (Ե 2

a 2 - Շ 2 , a ! Ե( :

²Ûë ¹»åùáõÙ ¿ÉÇåëÇ ýáÏáõëÝ»ñÝ »Ýª F1 (- Շ,0 ( ¨ F2 (Շ,0 ( (ÝÏ. 4 ): Îááñ¹Çݳï³Ï³Ý Օ ëϽݳϻïÁ ¿ÉÇåëÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÝ ¿, ÇëÏ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÁ` ¿ÉÇåëÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÁ:

41 (- a,0 (, 42 (a,0 (, B1 (- Ե,0 (, B2 (Ե,0 ( Ï»ï»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ ·³·³ÃÝ»ñ, ÇëÏ a Օ42 Ե ՕB2 ¨ ѳïí³ÍÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñ:

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36 ¿ÉÇåëÇ ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñÁ, ÊݹÇñ 1 : ¶ïÝ»É 9 x  4 y ýáÏáõëÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ¨ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ: ÈáõÍáõÙ: гí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ ³Å³Ý»Éáí 36 -Ç, ¿ÉÇåëÇ

x2 y2  1 : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ¿ÉÇåëÇ Ù»Í ÏÇë³³é³ÝóùÁ` Ե 3 , ÇëÏ ÷áùñ ÏÇë³³é³ÝóùÁ` a 2 : Àݹ áñáõÙ, ¿ÉÇåëÇ Ù»Í ÏÇë³³é³ÝóùÝ ÁÝϳÍ

ѳí³ë³ñáõÙÁ Ï»ñíÇ

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5 : л勉³ñ, ýáÏáõëÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý

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x2 y 2 a 2 Ե2

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Áݹ áñáõÙ, Օx ³é³ÝóùÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ÑÇå»ñáÉÇ ýáÏáõëÝ»ñáí, ÇëÏ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽݳϻïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ F1 F2 ѳïí³ÍÇ

ÙÇçݳϻïáõÙ: F1 (- Շ,0 ( ¨ F2 (Շ,0 ( Ï»ï»ñÁ Ýñ³ ýáÏáõëÝ»ñÝ »Ý:

ÐÇå»ñáÉÁ Օx ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ѳïíáõÙ ¿ 41 (- a,0 ( ¨ 42 (a,0 ( Ï»ï»ñáõÙ, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý Ýñ³ Çñ³Ï³Ý ·³·³ÃÝ»ñ, ÇëÏ a

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ÏáãíáõÙ »Ý ÑÇå»ñáÉÇ Ï»ÕÍ ·³·³ÃÝ»ñ, ÇëÏ Ե

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Á` ÑÇå»ñáÉÇ Çñ³Ï³Ý ÏÇë³³é³Ýóù: B1 (0,-Ե ( ¨ B2 (0, Ե ( Ï»ï»ñÁ

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ÑÇå»ñáÉÇ ·³·³ÃÝ»ñÝ ýáÏáõëÝ»ñÁ`

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x2 y2 ÊݹÇñ: γéáõó»É

1 ÑÇå»ñáÉÇ ·ñ³ýÇÏÁ, áñáß»É

Ýñ³ ýáÏáõëÝ»ñÁ, ·³·³ÃÝ»ñÁ, ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ, ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ:

ÈáõÍáõÙ: îñí³Í ÑÇå»ñáÉÇ ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñÝ »Ý

a 2, Ե 3 (ÝÏ. 6 ), ѻ勉³ñ, Ýñ³ ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý 41 (- 2,0 ( , 42 (2,0 ( , B1 (0,-3( , B2 (0,3( : Üñ³Ýó ÙÇçáóáí ϳéáõó»Ýù

ÑÇÙݳϳÝ

áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ: Üñ³ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñáí ³ÝóÝáÕ y r x áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ÑÇå»ñáÉÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ: ¶Í»Ýù ¹ñ³Ýù: àñÇó Ñ»ïá 41 ¨ 42 ·³·³ÃÝ»ñáí ï³Ý»Ýù ÑÇå»ñáÉÇ ×ÛáõÕ»ñÁ Ùáï»óÝ»Éáí ¹ñ³Ýù ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇÝ:

a 2  Ե 2 ³Ý³Ó¨Çó ·ïÝ»Ýù Շ -Ç Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ`

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F2 13 ,0 , ÇëÏ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ` Տ

ä³ñ³áÉ ä³ñ³áÉÁ ¹³ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÝ ¿, áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý ïñí³Í Ï»ïÇó (ýáÏáõëÇó) ¨ ïñí³Í áõÕÕÇó (¹Çñ»ÏïñÇëÇó), áñÁ ãÇ ³ÝóÝáõÙ ýáÏáõëáí, ¨ áñáÝù ÁÝÏ³Í »Ý ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç: ä³ñ³áÉÇ

ϳÝáݳϳÝ

ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ

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2 թx( թ ! 0( ï»ëùÁ, áñï»Õ թ -Ý ýáÏáõëÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ¿

¹Çñ»ÏïñÇëÇó: Àݹ áñáõÙ, Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳٳϳñ·Ý ÁÝïñí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ Օx ³é³ÝóùÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ¹Çñ»ÏïñÇëÇÝ, ÇëÏ Ýñ³ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ¹Çñ»ÏïñÇëÇó ¹»åÇ ýáÏáõë áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: úñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ ¹Çñ»ÏïñÇëÇÝ ¨ ³ÝóÝáõÙ ¿ ¹Çñ»ÏïñÇëÇ ¨ ýáÏáõëÇ ÙÇçݳϻïáí, áñï»ÕÇó ¹Çñ»ÏïñÇëÇ

ѳí³ë³ñáõÙÝ

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ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ å³ñ³áÉÇ ·³·³ÃÁ, ÇëÏ ³ëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ Ýñ³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ ¿: ä³ñ³áÉÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ`

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ÈáõÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ Ýßí³Í å³ñ³áÉÁ ѳٳã³÷ ¿ Օy ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù, ¨ áõÝÇ ³ó³ë³Ï³Ý ûñ¹Çݳï, ѻ勉³ñ ݳ Ïáõݻݳ ÝÏ. 7 áõÙ ïñí³Í ï»ëùÁ: î»Õ³¹ñ»Éáí Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ

-2 թy ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù թ : л勉³ñ, x2

÷ÝïñíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ

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III ϳñ·Ç áñáßÇãÇ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿`

h³ßíÙ³Ý ³Ý³Ó¨Á, ѳٳӳÛÝ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý,

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a23 a  a13 21 a33 a31

a22 a32

III ϳñ·Ç áñáßÇãÝ»ñÁ ѳßí»Éáõ ѳٳñ ѳñÙ³ñ ¿ û·ïí»É ê³ñÛáõëÇ Ï³ÝáÝÇó, áñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ å³ïÏ»ñ»É ³Ûëå»ë`

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a3 5 ( a  3(( a - 3( - 5 ( -1( a 2 - 4 -1 a - 3 л勉³ñ, ' 0 , »ñ a r2 : ÊݹÇñ 2 : гßí»É ì³Ý¹»ñÙáÝ¹Ç áñáßÇãÁ` '

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ÈáõÍáõÙ: ú·ïí»Éáí áñáßÇãÝ»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, I ëÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ѳݻÝù II ëÛ³Ý ï³ññ»ñÇó ¨ ·ñ»Ýù II ëÛ³Ý ÷á˳ñ»Ý, I ëÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ѳݻÝù III ëÛ³Ý ï³ññ»ñÇó ¨ ·ñ»Ýù III-Ç ÷á˳ñ»Ý, Ïëï³Ý³Ýù`

1 1 1 y-x 2-x x y 2 x y-x 2-x y - x 22 - x2 x y x x x y 2 ( y - x ( 2 2 - x 2 - y 2 - x 2 (2 - x ( ( y - x ((2 - x ((2  x - y - x ( ( y - x ((2 - x ((2 - y ( :

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гßíáõÙÝ»ñ ϳï³ñ»Éáõ Å³Ù³Ý³Ï û·ïí»É »Ýù áñáßÇãÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÇó Áëï I ïáÕÇ: ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ì³Ý¹»ñÙáÝ¹Ç áñáßÇãÁ 0 Ϲ³éݳ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñ x, y, 2 Ãí»ñÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý, ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿, áñáßÇãÇ áñ¨¿ 2 ëÛáõÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý: »ٳ 5. Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ì»Ïïáñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñÁ

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¸³ë³·Çñù` 1 Ù³ë 2 , ·ÉáõË 7 , ¢ 1 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 1 - 3 ,

5 - 7, 9, 11 , ¢¢ 3, 4 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 13, 14, 18, 23, 25 , ·ÉáõË II, ¢¢ 1 - 6 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 4 - 6 , ¢¢ 7 - 10 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 7 - 9, 13 , ¢¢ 11 - 13 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 18, 19 , ¢¢ 14, 15 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 22, 24 - 27, 29, 30 : ¢2,

í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ

òáõóáõÙÝ»ñ í»ÏïáñÁ, Ý»ñϳ۳óí³Í 2 = 41 e1 + 4 2 e2 + 43 e3 ï»ëùáí,

áñï»Õ e1 , e2 , e3 -Á ï³ñ»ñ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ÇëÏ 41 , 42 , 43 -Á` Ãí»ñ, ÏáãíáõÙ ¿, e1 , e2 , e3 í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódz: e1 , e2 , e3 í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ·Íáñ»Ý ϳËí³Í, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 41 , 42 , 43 ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï áã áÉáñÁ ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ Ãí»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ

(1( 41 e1 + 4 2 e2 + 43 e3 0 ºÃ» ³Û¹åÇëÇ 41 , 42 , 43 Ãí»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý, ³å³ e1 , e2 ,

e3 í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ·Íáñ»Ý ³ÝϳË: Üϳï»Ýù, áñ »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ Å³Ù³Ý³Ï, »ñ Ýñ³Ýù ѳٳ·ÇÍ »Ý, »ñ»ù í»ÏïáñÝ»ñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ

³ÛÝ Å³Ù³Ý³Ï, »ñ Ýñ³Ýù ѳٳѳñà »Ý: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ãáñë í»ÏïáñÝ»ñ (¨ ³í»É) ÙÇßï ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý: л勉³ñ, ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ ÃÇíÁ ³Ù»Ý³ß³ïÁ ѳí³ë³ñ ¿ 3 -Ç, ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³` 2 -Ç, áõÕÕÇ íñ³` 1 -Ç: ¶Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ÙÇçáóáí ·Íáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»Ïïáñ, ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½Çë: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½Çë ϳ½ÙáÕ í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³½Çë³ÛÇÝ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ ³é³í»É³·áõÛÝ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷: àõÕÇÕ ·ÇÍÁ, ëáíáñ³³ñ, ÏáãáõÙ »Ý Ùdzã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ` )1 : àñ¨¿ áõÕÕÇ íñ³ ·ïÝíáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ ³½ÇëÁ ³Õϳó³Í ¿ Ù»Ï í»ÏïáñÇó: гñÃáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ` )2 : гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ³½Çë ϳ½ÙáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ ÃÇíÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2 -Ç: êáíáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ³Ýí³ÝáõÙ »Ýù »é³ã³÷` )3 , Ýñ³ ³½ÇëÁ

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2 í»ÏïáñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ e1 , e2 , e3 ³½ÇëáõÙ: x1 , x2 , x3 ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ (2( í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏáãíáõÙ »Ý 2 í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ ³Û¹ ³½ÇëáõÙ: ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý

öáËáõÕճѳ۳ó Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ³½ÇëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í: ÊݹÇñ: ä³ñ½»É Ñ»ï¨Û³É í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ` a 3 i +5 j , b i - j +2 k , c 5 i +3 j +4 k ÈáõÍáõÙ: гٳӳÛÝ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý a , b ¨ ն í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ·Íáñ»Ý ϳËí³Í, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï áã áÉáñÁ ½ñáÛÇÝ Ñ³í³ë³ñ 41 , 42 , 43 Ãí»ñ ³ÛÝåÇëÇù, áñ ì»ñóÝ»Éáí

41 e1 + 4 2 e2 + 43 e3 0 41 = 1 , 42 2 , 43 - 1 Ïëï³Ý³Ýù

a + 2 b -cc 0 , ³ÛëÇÝùÝ a , b ¨ c í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý ¨, ѻ勉³ñ, ѳٳѳñà »Ý: »ٳ 6 . ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç

777 , 8 1 , >5| ·ÉáõË 77 , 8 1 , 2.1.1 - 2.1.10 , 2.1.17 - 2.1.22 , 8 2 , 2.2.1 - 2.2.10 , 2.2.20 - 2.2.30 , 2.2.37 - 2.2.41 : Ò»éݳñÏ`

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ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙ: Կ { 4, B, Շ } í»ÏïáñÁ, áñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý x, y, 2

÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ, áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ (1( ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ÝáñÙ³É: ºÃ» ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç 4, B, Շ , D áÉáñ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ 0 -Çó ï³ñ»ñ »Ý, ³å³ (1( ѳí³ë³ñáõÙÁ »ñíáõÙ ¿`

x y 2 + + a Ե Շ

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ï»ëùÇ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõ٠ѳïí³ÍÝ»ñáí: ²Ûëï»Õ a, Ե, Շ -Ý ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý, áñáÝù ѳïáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñÇó (ÝÏ. 8 ): гñÃáõÃÛ³Ý ÝáñÙ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ: λïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó

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ѳí³ë³ñáõÙÁ (1( -Çó

ï³ñ»ñíáõÙ ¿ Ýñ³Ýáí, áñ Ýñ³ÝáõÙ x , y , 2 -Ç ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý n {cos D ,cos E ,cos - } Ùdzíáñ í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, áñÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ ³½³ï ³Ý¹³ÙÁ ³ó³ë³Ï³Ý ¿: (1( ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙÁ »ñíáõÙ ¿ ÝáñÙ³É ï»ëùÇ, »Ã» ³ÛÝ ³½Ù³å³ïÏ»Ýù ÝáñÙ³íáñáÕ ³½Ù³å³ïÏãáíª

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42  B 2  Շ 2

( 4(

³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÇÝ

Áݹ áñáõÙ Ýß³ÝÁ í»ñóíáõÙ ¿ D ³½³ï ѳϳé³Ï: M 1 Ï»ïÇ ծ ß»Õáõ٠ѳñÃáõÃÛáõÝÇó ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ 4 Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó, í»ñóí³Í ¹ñ³Ï³Ý Ýß³Ýáí, »Ã» M 1 -Á ¨ Օ -Ý ÁÝÏ³Í »Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý ï³ñ»ñ ÏáÕÙ»ñáõÙ, ¨ ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ýáí, »Ã» M 1 -Á ¨ Օ -Ý ÁÝÏ³Í »Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ ÏáÕÙáõÙ: M 1 ( x1 , y1 , 21 ( Ï»ïÇ ß»ÕáõÙÁ (3( ѳñÃáõÃÛáõÝÇó áñáßíáõÙ ¿

x1 cos D + y1 cos E + 21 cos - - թ

ծ

(5(

³Ý³Ó¨áí: л勉³ñ, Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ, å»ïù ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ »ñ»É ÝáñÙ³É ï»ëùÇ ¨ Ýñ³ Ó³Ë Ù³ëáõÙ x, y, 2 -Ç ÷á˳ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»É M 1 -Ç Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù

ծ

-Ý, ÇëÏ 4

ծ

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ÊݹÇñ 1 :

Օx ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ïÝ»É Ï»ï, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ 2 x  y - 2 2  4 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÇó 4 Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³: ÈáõÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Օx -Ç íñ³, Ýñ³ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ( x,0,0 ( ï»ëùÁ: гñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ »ñ»Ýù ÝáñÙ³É ï»ëùÇ

-

x y  2 3

x - 0+ 0 - x - , ³Ûó 4 ծ , ³ÛëÇÝùÝ ծ r ,ѻ勉³ñ, - x r , áñï»ÕÇó ¿É x1 - , x 2 - : ÊݹñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ ³í³ñ³ñáõÙ § · § 3 · »Ý »ñÏáõ` M 1 ¨ - ,0,0 ¸ ¨ M 2 ¨ - ,0,0 ¸ Ï»ï»ñÁ: 2 2 ¹ 2 2 ¹ ÊݹÇñ: òáõÛó ï³É, áñ x - y - 2 - 10 0; 4 x  112  43 0 ¨ 7 x - 5 y - 31 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÙÇ³Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ïÁ:

ծ

-

¶ïÝ»É ³ÛÝ: ÈáõÍáõÙ: ÝáñÙ³ÉÝ»ñÁ

¶ñ»Ýù

³Û¹

ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí`

Կ1 ^1,-1,-1`,

Կ 3 ^7,-5,0` ¨ ѳßí»Ýù Ýñ³Ýó ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ`

Կ1 , Կ 2 , Կ 3

Կ 2 ^4,0,11` ,

1 -1 -1

Կ1 Կ 2 Կ 3 = 4

0 11

-2 z 0

7 -5 0 ø³ÝÇ áñ Կ1 Կ 2 Կ 3 z 0, ³å³ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý ÙÇ Ï»ïáõÙ: àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù ³Û¹ Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ÉáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Á.

x - y - 2 10 4 x  112 -43 7 x - 5 y 31 ÎÇñ³é»Éáí Îñ³Ù»ñÇ Ï³ÝáÝÁ ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç ѳٳñ Ïëï³Ý³Ýù.

'

-2, ' x

y

-6, ' y

-2, 2

²ÛëåÇëáí,

P ( 3, -2, -5 ( :

4, ' 2

³Û¹

10,

ѻ勉³ñ,

x

3,

Ï»ïÝ

¿

- 5: ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

ÁݹѳÝáõñ

гñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ϳ½Ù»Éáõ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñÁ ÊݹÇñ 1 : ¶ïÝ»É Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ Կ ^4, B, Շ` ïñí³Í M 0 ( x 0 , y 0 , 2 0 ( Ï»ïáí ¨ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ í»ÏïáñÇÝ: ÈáõÍáõÙ: ¸Çóáõù M ( x, y , 2 ( -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï

M 0 M ^ x - x0 , y - y0 , 2 - 2o `

¿: Àëï å³ÛÙ³ÝÇ áõÕճѳ۳ó

Կ

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í»ÏïáñÇÝ,

ѻ勉³ñ,

í»ÏïáñÝ

¹ñ³Ýó

³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³ÛëÇÝùÝ` Կ M 0 M

0 : ¶ñ»Éáí ³Û¹

å³ÛÙ³ÝÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí` Ïëï³Ý³Ýù.

4( x - x0 (  B( y - y 0 (  Շ ( 2 - 2 o (

ëϳÉÛ³ñ

(6(

áñÁ ÷ÝïñíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿: ÊݹÇñ 2 : ¶ïÝ»É Ñ³ÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ M 0 ( x0 , y 0 , 2 0 ( Ï»ïáí ¨ ½áõ·³Ñ»é ¿ ïñí³Í »ñÏáõ áã ïñí³Í

(

(

(

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ѳٳ·ÇÍ a a x , a y , a 2 ¨ b Եx , Ե y , Ե2 í»ÏïáñÝ»ñÇÝ:

ÈáõÍáõÙ: ì»ñóÝ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M ( x, y , 2 ( Ï»ï:

M0 M ^x - x0, y - y0 , 2 - 2o ` , a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³Ñ³ñÃ, ù³ÝÇ áñ Ýñ³Ýù ÁÝÏ³Í »Ý ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³, h»ï¨³³ñ, Ýñ³Ýó ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ÏÉÇÝÇ ½ñáÛÇ`

M 0M a b

0 : ¶ñ»Ýù ³Û¹ ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí x - x0

y - y0

2 - 20

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ay

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Ե2

(7(

´³ó»Éáí áñáßÇãÁ Ïëï³Ý³Ýù ÷ÝïñíáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ: ÊݹÇñ 3 :¶ïÝ»É Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ , áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿

M 1 ( x1 , y1 , 21 ( ¨

·³Ñ»é ¿ a

^a , a x

M 2 ( x 2 , y 2 , 2 2 ( ïñí³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñáí

y

¨ ½áõ-

, a 2 ` í»ÏïáñÇÝ ( M 1M 2 -Á ¨ a -Ý Ñ³Ù³·ÇÍ ã»Ý):

ÈáõÍáõÙ: ÂáÕ M ( x, y , 2 ( - Á ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿:

²Û¹ ¹»åùáõÙ

a ^a x , a y , a 2 `

M1M ^x - x1, y - y1 , 2 - 21`,

M2M^x - x2 , y - y2 , 2 - 22 ` ¨

í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³Ñ³ñÃ: ²Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ

˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ»óÝ»Éáí 0 -Ç Ïëï³Ý³Ýù

x - x1

y - y1

2 - 21

x - x2

y - y2

2 - 22

ax

ay

(8(

a2

áñÁ ÷ÝïñíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿: ÊݹÇñ 4 : ¶ïÝ»É Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ïñí³Í M 1 ( x1 , y1 , 21 ( , M 2 ( x 2 , y 2 , 2 2 ( ¨ M 3 ( x3 , y 3 , 2 3 ( »ñ»ù Ï»ï»ñáí: ÈáõÍáõÙ: ì»ñóÝ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïÁ, ¨ M 1 -Á ÙdzóÝ»Ýù

M ( x, y , 2 (

M 1 , M 2 ¨ M 3 Ï»ï»ñÇ Ñ»ï, Ïëï³Ý³Ýù

»ñ»ù ѳٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñ, áñáÝó ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ

ÏÉÇÝÇ 0 -Ç:

x - x1

y - y1

2 - 21

x - x2

y - y2

2 - 22

x - x3

y - y3

2 - 23

(9(

êï³óí³Í (9 ( ѳí³ë³ñáõÙÁ ÷ÝïñíáÕÝ ¿: ºñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷á˳¹³ñÓ ¹Çñù»ñÁ ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí:

Çñ»Ýó

ϳÝáݳϳÝ

2 - Շ1 x - a2 y - Ե2 2 - Շ2 (10( , n2 թ2 թ1 m2 ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ ³ÝóÝáõÙ »Ý M 1 (a1 , Ե1 , Շ1 ( ¨ M 2 (a 2 , Ե2 , Շ2 ( Ï»ï»ñáí ¨ áõÝ»Ý, ѳٳå³ï³ë˳ݳ³ñ, Տ1 ^m1 , n1 , թ1` ¨ Տ2 ^m 2 , n 2 , թ 2 ` x - a1 m1

y - Ե1 n1

áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ: ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ѳßíáõÙ »Ý cos M

51 5 2

m1m2  n1n2  թ1 թ2

51 5 2

m1  n1  թ1 . m2  n2  թ 2

(11(

³Ý³Ó¨áí: (11( -Çó Ñ»ï¨áõÙ »Ý ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ áõÕճѳ۳óáõÃÛ³Ý`

Տ1 Տ2

0 , ϳÙ

m1m2  n1n2  թ1 թ2 ¨ ½áõ·³Ñ»éáõÃÛ³Ý`

(12(

m1 m2

թ1 թ2

n1 n2

(13(

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ: Ðݳñ³íáñ »Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷á˳¹³ñÓ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ý ¹»åù (ÝÏ. 10 )

I. àõÕÇÕÝ»ñÁ

ѳÙÁÝÏÝáõÙ

a 2 - a1 Ե2 - Ե1 Շ 2 - Շ1 m1 n1 թ1

Տ1

M2

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Տ1

Տ2

Տ2 M2

M1 M2

M1

M 1M 2 || Տ1 ,

»Ý`

M2

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Տ2 M1

. 10

1V

II . àõÕÇÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý. m1 m2

Տ1 , ³Ûó Տ2 || Տ1 , ³ÛëÇÝùÝ

M 1M 2

n1 n2

թ1 թ2

III . àõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý Տ1 Տ2 , ³Ûó M 1M 2 , Տ1 , Տ2 í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý, ³ÛëÇÝùÝ a2 - a1 Ե2 - Ե1 Շ2 - Շ1

D

m1

n1

թ1

m2

n2

թ2

(14 (

IV . àõÕÇÕÝ»ñÁ ˳ãíáõÙ »Ý M 1M 2 , Տ1 , Տ 2 ѳٳѳñà ã»Ý, ³ÛëÇÝùÝ D z 0 àõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý í»ñ³»ñÛ³É ÑÇÙÝ³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñÁ. 1 . àõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ÷á˳¹³ñÓ ¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÁ: ºÝó¹ñ»Ýù ïñí³Í »Ý

x-a m

y -Ե n

2 -Շ թ

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4x  By  Շ2  D

(16(

ѳñÃáõÃÛáõÝÁ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý áõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í Ս ³ÝÏÛáõÝÁ ¹³ áõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýñ³ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ï³½Ù³Í ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÝ ¿: ²Û¹ ³ÝÏÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ý³Ó¨Çó` sinՍ

4m  Bn  Շթ

N5 Nր5

42  B 2  Շ 2 . m  n

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Ս p M4 . 11 àõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ñ»éáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ ¿` ³ÛëÇÝùÝ`

4m  Bn  Շթ

Կ Տ=0 ,

(18(

àõÕճѳ۳óáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ` Կ || Տ ³ÛëÇÝùÝ`

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(19 (

àõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³ïÙ³Ý áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ »ñáõÙ

»Ýù å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùÇ` Շ  թt , áñÇó Ñ»ïá ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ

Ե  nt , 2 ï»Õ³¹ñáõÙ »Ýù (16 ( -áõÙ ¨ ·ïÝáõÙ t å³ñ³Ù»ïñÇ ³ñÅ»ùÁ, áñÁ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ P ѳïÙ³Ý Ï»ïÇÝ: ºÃ» ³Û¹ ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Å³Ù³Ý³Ï (16 ( ѳí³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý ¿ í»ñ³ÍíáõÙ, ³å³ (15( áõÕÇÕÁ ·ïÝíáõÙ ¿ (16 ( ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³, ¹³ ï»ÕÇ áõÝÇ, »ñ Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ (16 ( ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç: 4m  Bn  Շթ 0 (ѳñÃáõÃÛ³Ý ¨ áõÕÕÇ ½áõ·³Ñ»éáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ) ¨ 4a  BԵ  ՇՇ  D 0 : x

a  mt , y

P Ï»ïÁ Ï·ïÝ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

îñí³Í áõÕÕáí ¨ Ýñ³ÝÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ M 0 (x0 , y 0 , 2 0 ( Ï»ïÁ ¨ ÂáÕ ïñí³Í »Ý

x-a m

2-Շ թ

y -Ե n

áõÕÇÕÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É ¹ñ³Ýóáí

³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ: àõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áõÕÇÕÁ áñáßíáõÙ ¿ P (a, Ե, Շ ( Ï»ïáí ¨ S ^m, n, թ` áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñáí (ÝÏ.

12 ):

ÂáÕ M ( x, y , 2 ( Ï»ïÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ÁÝóóÇÏ Ï»ï ¿:

M 0 M ( x - x0 , y - y0 , 2 - 20 ( ,

M

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M 0 P ^a - x0 , Ե - yo , Շ - 20 `

M0

¨ S ^m, n, թ` í»ÏïáñÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç

¨, ѻ勉³ñ, Ýñ³Ýó ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0 -Ç:

ÜÏ. 12 x - x0

y - y0

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թ

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( 20 (

¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ, Ù³ïñÇóÝ»ñ ¨ ·Í³ÛÇÝ Â»Ù³ 7 . ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ¸³ë³·Çñù`

>3| ·ÉáõË 2 ,

88 1 , 2 í³ñÅáõÃÛáõÝ 1 , 8 3 , í³ñÅáõÃÛáõÝ

2,3 : ¶ÉáõË 3 , 8 6 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 5, 6 òáõóáõÙÝ»ñ I. ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ Ù³ïñÇóÝ»ñ ÂáÕ )3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 2 í»ÏïáñÇÝ ÇÝã-áñ ûñ»Ýùáí ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý

Ù»ç

¿

¹ñí³Í

í»ÏïáñÁ

³Û¹

ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó, ³ÛëÇÝùÝ ïñí³Í ¿ 7 Ճ ( 2 ) í»Ïïáñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÝ:

2 í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»ÝïÇ

ºÃ» )3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñí³Í ¿ 7

Ճ ( 2 ) ýáõÝÏódzÝ, ³å³

³ëáõÙ »Ý, áñ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñí³Í ¿ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Àݹ áñáõÙ 7 í»ÏïáñÁ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý 2 í»ÏïáñÇ

Ճ å³Ûٳݳ-ÝÁß³ÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ í»ÏïáñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Ճ

å³ïÏ»ñ ¨ ·ñáõÙ »Ý

Ճ ( 2 ) ϳ٠7

Ճ 2 , áñï»Õ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ, »Ã» ³í³ñ³ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÁ.

(1( Ճ ( 41 21 + 4 2 22 ) 41 Ճ ( 21 )+ 4 2 Ճ ( 22 ) áñï»Õ 21 -Á ¨ 22 -Á ¹Çï³ñÏíáÕ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ÇëÏ

41 , 42 -Á` ϳٳ۳ϳÝ

Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ: ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ 1 . E Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ )2 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 2 í»ÏïáñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ÝáõÙ ÇÝùÝ Çñ»Ý, ·Í³ÛÇÝ ¿: êïáõ·»Ýù ¹³: Àëï å³ÛÙ³ÝÇ. E2 2 E( 41 21 + 4 2 22 ) 41 21 + 4 2 2 2 41 E( 21 )+ 4 2 E( 22 ) áñï»ÕÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ (1( -Á ï»ÕÇ áõÝÇ: E ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ùdzíáñ ϳ٠ÝáõÛݳϳÝ: 2 . Ճ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 2  )2 Ó·áõÙ ¿ k

³Ý·³Ù ( k -Ý 0 -Çó ï³ñ»ñ ó³Ýϳó³Í ÃÇí ¿) ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇ Ճ2 k2 áõÝ»Ýù

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41 71

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2 41 21 + 4 2 22 í»ÏïáñÇ íñ³ Ïëï³Ý³Ýù Ճ ( 41 21 + 4 2 22 ) k ( 41 21 + 4 2 22 ) 41 ( k 21 )+ 42 ( k 22 ) 41 Ճ ( 21 )+ 42 Ճ ( 22 ) áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ( 1 ) å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ: 3 . Թ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ïñí³Í ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 2 í»Ïïáñ åïïáõÙ ¿ áñ¨¿ Օ Ï»ïÇ ßáõñçÁ ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ù ¨ ÝáõÛÝ D ³ÝÏÛáõÝáí ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ åïïÙ³Ý Ճ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Æëϳå»ë, ÃáÕ

ÏÇñ³é»Éáí

Թ 2 , áñï»Õ 7 í»ÏïáñÁ ëï³óíáõÙ ¿ 2 í»ÏïáñÁ ïñí³Í D ³ÝÏÛáõÝáí åïï»Éáí (ÝÏ. 13 ): ÜϳñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ (1( å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ: л勉³ñ, Թ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ¿: ¶Í³ÛÇÝ

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a12 e1 + a 22 e2 + a32 e3

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Է 3 a13 e1 + a 23 e2 + a33 e3 ²Ûëï»Õ Է1 , Է 2 , Է 3 í»ÏïáñÝ»ñÁ Çñ»ÝóÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý e1 , e2 , e3 í»ÏïáñÝ»ñÇ å³ïÏ»ñÝ»ñÁ ³ñï³Ñ³Ûïí³Í e1 , e2 , e3 ³½Çëáí: òáõÛó ï³Ýù,

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x1 e1 + x 2 e2 + x3 e3

³Û¹ ¹»åùáõÙ 7 Ճ ( 2 ) Ճ ( x1 e1 + x 2 e2 + x3 e3 )= x1 Ճ ( e1 )+ x 2 Ճ ( e2 )+ x3 Ճ ( e3 )

(2( Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ ËÙ³íáñ»Éáí ÝÙ³Ý ú·ïí»Éáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù

7 x1 ( a11 e1 + a 21 e2 + a31 e3 )+ x 2 ( a12 e1 + a 22 e2 + a 23 e3 )+ x3 ( a13 e1 + a 23 e2 + a33 e3 ) (a11 x1  a12 x 2  a13 x3 ( e1 + (a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3 (

e2 + (a31 x1  a32 x 2  a33 x3 ( e3 : Ü߳ݳϻÉáí 7 í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ e1 , e2 , e3 ³½ÇëáõÙ y1 , y 2 , y 3 –áí Ïëï³Ý³Ýù ) 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ó³Ýϳó³Í í»ÏïáñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ`

a11 x1  a12 x2  a13 x3 a21 x1  a22 x2  a23 x3 a31 x1  a32 x2  a33 x3

y1 y2

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(3(

³Ý³Ó¨»ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í 2 í»ÏïáñÇ å³ïÏ»ñÇ

Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ

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áñáßíáõÙ

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§ a11 ¨ 4 ¨ a21 ¨a 2 31

a12 a22 a32

a13 · ¸ a23 ¸ a33 ¸¹

·Í³ÛÇÝ ³½ÇëáõÙ ³ç

Ù³ëÇ

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4 –Ý ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í ³½ÇëáõÙ Ճ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇó: 4 Ù³ïñÇóÁ Ñ³×³Ë ·ñáõÙ »Ý ³Ûëå»ë. 4 aij , áñï»Õ i, j 1, 2, 3 :

( (

γñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý (4 ( ï»ëùÇ Ù³ïñÇó ïñí³Í ³½ÇëáõÙ ï³ÉÇë ¿ ÇÝã-áñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: л勉³ñ, ) 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áñÍáÕ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¨

3 -ñ¹ ϳñ·Ç ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÙÇç¨ ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ: Üϳï»Ýù ݳ¨, áñ ) 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³ÝÁ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ

Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: ä³ñ½»Ýù, ÇÝã ï»ëù áõÝ»Ý ¹Çï³ñÏ³Í ûñÇݳÏÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ: Է ( 2 )= 2 : Է ( 2 ) ¨ 2 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ 1. e1 , e2 , e3 ³½Çëáõ٠ϳåí³Í »Ý ó³Ýϳó³Í

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ѳñ³»ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí:

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ѳñ³»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·ñ»Éáí (3( ³Ý³Ó¨Ç ï»ëùáí, Ïëï³Ý³Ýù`

y1 1x1  0 x 2  0 x3 y 2 0 x1  1x 2  0 x3 y 3 0 x1  0 x 2  1x3 ,

áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ïáõݻݳ

E ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý 7 Ù³ïñÇóÁ

§1 0 0· ¨ ¸ ¨0 1 0¸ ¨0 0 1¸ ¹

ï»ëùÁ: Է Ùdzíáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý 7 Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ùdzíáñ Ù³ïñÇó: 2. Ճ ( 2 ) k 2 : Ճ ( 2 ) ¨ 2 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ e1 , e2 ,

e3 y3

Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³½Çëáõ٠ϳåí³Í »Ý

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kx1 ,

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ѳñ³»ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí:²Û¹ ѳñ³»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

kx 2 , ·ñ»Éáí

(3( ³Ý³Ó¨»ñÇ ï»ëùáí` Ïëï³Ý³Ýù §k ¨ 4 ¨0 ¨0 3. ÂáÕ Թ -Ý ÇÝã-áñ 7

0 0· ¸ k 0¸ 0 k ¸¹

Ù³ïñÇóÁ:

ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ( )2 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) ·Í³ÛÇÝ

åïïÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿: 7 ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç í»ñóÝ»Ýù i , j ûñÃáÝáñÙ³É ³½ÇëÁ ¨ ÙïóÝ»Ýù ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (ÝÏ. 14 ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ 2 í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ - cos M , x 2 - sin M ï»ëùáí, áñï»Õ - -Ý ¨ M -Ý 2 Ï·ñí»Ý x1 í»ÏïáñÇ ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý:

ø³ÝÇ áñ 7

Թ ( 2 ) í»ÏïáñÁ ëï³óíáõÙ ¿ Օ Ï»ïÇ ßáõñçÁ 2 ³ÝÏÛáõÝáí åïïáõÙÇó (ï»ë ÝÏ. 14 ), ³å³ Ýñ³

í»ÏïáñÇ D Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Ï·ñí»Ý y1 - cos( M + D )

- sin( M + D )

y2 ï»ëùáí:

- (cos D cos M -sin D sin M ) - (sin M cos D +cos M sin D )

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D

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.14 ´³ó»Éáí

÷³Ï³·Í»ñÁ

¨

ï»Õ³¹ñ»Éáí

- cos M

¨

- sin M -Ç

÷á˳ñ»Ý, ѳٳå³ï³ë˳ݳ³ñ, x1 ¨ x 2 , Ïëï³Ý³Ýù í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ³Ý³Ó¨»ñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ y1 x1 cos D - x 2 sin D ,

x1 sin D  x 2 cos D áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ B Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ )2 y2

ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ûñÃáÝáñÙ³É ³½ÇëáõÙ ÏÉÇÝÇ`

§ cos D - sin D · B ¨ ¸ 2 sin D cos D ¹

Ù³ïñÇóÁ:

¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ»ï ÂáÕ Ճ -Ý ¨ Թ -Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, áñáÝù

Ճ ¨ Թ ·Í³ÛÇÝ

·áñÍáõÙ »Ý ) 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç: Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳñíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ, »Ã» Ճ 2 ւ 2  )3 : ÂáÕ

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Թ 2,

i, j 1,2,3 ) Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý, áñáÝù

ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ »Ý Ճ ¨ Թ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ) 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý

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³Ý³Ó¨»ñÇó Ïëï³Ý³Ýù. a1 j e1 + a 2 j e2 + a3 j e3 Ճ e j

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Ե1 j e1 + Ե2 j e2 + Ե3 j e3

1, 2,3( : ø³ÝÇ áñ e1 , e3 , e3 í»ÏïáñÝ»ñÁ ³½Çë »Ý Ï³½ÙáõÙ,

³å³ »ñÏáõ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ

ѳí³ë³ñ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý (5( ÏÉÇÝ»Ý Çñ³ñ ѳí³ë³ñ, ³ÛëÇÝùÝ

ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç aij

Եij :

²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ѳí³ë³ñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ïñí³Í ³½ÇëáõÙ áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ Ù³ïñÇóÝ»ñ

aij

Եij (i, j

1,2,3(

²ÏÝѳÛï ¿ , áñ ³ñ¹³ñ³óÇ ¿ ¨ ѳϳé³Ï åݹáõÙÁ: ÂáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 2 ^x1 , x 2 , x3 ` í»ÏïáñÁ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý

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Թ

ÙÇçáóáí ÷á˳ϻñåíáõÙ ¿ ^y1 , y 2 , y3 ` í»ÏïáñÇ, ÇëÏ 7 í»ÏïáñÁ Ճ

·Í³ÛÇÝ ÇÝã-áñ ·Í³ÛÇÝ

Ճ 7 2 ^21 , 2 2 , 2 3 ` í»ÏïáñÇÝ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ւ 2 í»Ïïáñ ÇÝã-áñ Շ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí ÷á˳ÝóíáõÙ ¿ 2 í»ÏïáñÇÝ: ²ÛëåÇëÇ C Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í »ñÏáõ Ճ ¨ Թ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É` Շ 2 Ճ ( Թ 2 ): 2 í»ÏïáñÇ ÝϳïÙ³Ù Շ Ճ Թ ³ñï³¹ñÛ³É Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÏÇñ³éáõÙÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ëϽÇó 2 í»ÏïáñÇ ÝϳïÙ³Ù ÏÇñ³éíáõÙ ¿ Թ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÇó Ñ»ïá Ýáñ í»ÏïáñÇ ÝϳïÙ³Ù ÏÇñ³éíáõÙ ¿ Ճ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ: лßï ¿ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí ÷á˳ÝóíáõÙ ¿

ï»ëÝ»É, áñ »ñÏáõ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Շ Ճ ( Թ 2 )-Á ¨ë ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ` Շ ( 41 21 + 4 2 22 ) Ճ [ Թ ( 41 21 + 42 22 )] Ճ ( 41 Թ 21 + 4 2 Թ 22 )

41 Ճ ( Թ 21 )+ 42 Ճ ( Թ 22 ) 41 Շ 21 + 42 Շ 22 Շ

4B ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Շ

(Շ ( Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ij

B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: γñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ § Շ11 Շ12 Շ13 · ¨ ¸ Շ ¨ Շ21 Շ22 Շ23 ¸ ¨Շ ¸ 2 31 Շ32 Շ33 ¹

4 ¨

Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ, áñÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ Շ 4B ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ, Շij ï³ññ»ñÁ ѳßííáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝáí.

ai1Ե1 j  ai 2Ե2 j  ai 3Ե3 j ; i, j 1, 2,3 : ²ÛëåÇëáí C Ù³ïñÇóÇ i -ñ¹ ïáÕÇ ¨ j -ñ¹ ëÛ³Ý Ñ³ïÙ³Ý ï³ññÁ ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ (i, j 1,2,3( å»ïù ¿ ³½Ù³å³ïÏ»É 4 Ù³ïñÇóÇ i -ñ¹ ïáÕÇ ¨ B Ù³ïñÇóÇ j -ñ¹ ëÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Շij

ï³ññ»ñÁ ¨ ëï³óí³Í ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ·áõÙ³ñ»É: ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·ñáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ó¨Á Ø»Ýù ³ñ¹»Ý ëï³ó»É »Ýù

a11 x1  a12 x 2  a13 x3 y 2 a21 x1  a22 x2  a23 x3 y 3 a31 x1  a32 x2  a33 x3 ³Ý³Ó¨»ñÁ, áñáÝù áñáßáõÙ »Ý ) 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í 2 y1

í»ÏïáñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ: 6 -ñ¹ ûٳÛÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ëï³ó»É »Ýù, áñ 먻éí³Í (ýÇùë³Í) ³½ÇëáõÙ í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ·ñ»Ýù í»Ïïáñ-ëÛáõÝÛ³ÏÝ»ñÇ ï»ëùáí: 2 í»ÏïáñÇÝ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ïѳٳå³ï³ë˳ݻóíÇ 2 -Ç Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í X í»Ïïáñ-ëÛáõÝÛ³ÏÁ ¹Çï³ñÏíáÕ ³½ÇëáõÙ: ØïóÝ»Éáí

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§ y1 · ¨ ¸ ¨ y2 ¸ ¨y ¸ 2 3¹

§ a11 ¨ 4 ¨ a21 ¨a 2 31

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4X

a12 a22 a32

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ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ

(3 ( '

4 2 ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³ÝÁ

ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 7 Ïѳٳå³ï³ë˳ÝÇ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ` Y 4X Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ¨ ѳϳé³ÏÁ, í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³ÝÁ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ,

¹ñ³ ѳٳñ ¿É í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÷á˳ñ»Ý, ëáíáñ³³ñ, ¹Çï³ñÏáõÙ »Ý Ýñ³Ýó Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ: îñí³Í »Ý »ñÏáõ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÊݹÇñ 1 : Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ

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y1 y2 y3

~ x1  4 ~ x 2  3~ x3 ~ ~ ~ 5 x1 - x 2 - x3 3~ x1  6 ~ x2  7 ~ x3

ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ y1 , y 2 , y 3 -Á ϳñï³Ñ³ÛïÇ

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x1 , x 2 , x3 -Ç

ÙÇçáóáí: ÈáõÍáõÙ: Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ Ý߳ݳϻÝù 4 -áí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` B -áí.

2,

§ 2 -1 5 · ¨ ¸ 4 ¨ 1 4 -1 ¸ ¨ 3 -5 2 ¸ ¹ ~ x ¨ 7

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§1 4 3 · ¨ ¸ ¨ 5 -1 -1¸ ¨3 6 7 ¸ ¹

í»ÏïáñÝ»ñÇ

ëÛáõÝÛ³ÏÝ»ñÁ

~ ѳٳå³ï³ë˳ݳ³ñ X , X , Y –áí, ³ÛëÇÝùÝ § xռ1 · § x1 · § y1 · ~ ¨ռ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ X ¨ x2 ¸ , Y ¨ y2 ¸ : X ¨ x2 ¸ , ¨ռ ¸ ¨x ¸ ¨y ¸ ¨ x3 ¸ 2 3¹ 2 3¹ 2 ¹

Ý߳ݳϻÝù

²Û¹ ¹»åùáõÙ ïñí³Í Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ

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Ù³ïñÇó³ÛÇÝ »Õ³Ý³Ïáí Ï·ñí»Ý ³Ûëå»ë` X = 4 X , Y = BX , ÇëÏ ¹ñ³Ýó ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ` x Ճ2 , հ Bx :

êï³óí³Í ³Ý³Ó¨»ñÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÙ »Ý ³ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ Ճ ·Í³ÛÇÝ x -ÇÝ, ÇëÏ ~ x í»ÏïáñÁ Թ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ 2 í»ÏïáñÁ ï³ÝáõÙ ¿ ~ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ù »ñíáõÙ ¿ 7 í»ÏïáñÇÝ: 2 í»ÏïáñÁ 7 í»ÏïáñÇÝ Ó¨³÷áËáÕ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Ï·ñíÇ 7 B ( 4x ( ϳ٠7 B4 2 ï»ëùáí, ÇëÏ Ýñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ `

Y

B4 X ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí B ¨ 4 Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ïëï³Ý³Ýù 7· §1 4 3 · § 2 -1 5 · §15 ¸ ¨ ¨ ¸¨ ¸ B4 ¨ 5 -1 -1¸ ¨1 4 -1 ¸ = ¨ 6 - 4 24 ¸ ¨ 3 6 7 ¸ ¨ 3 -5 2 ¸ ¨ 33 -14 23 ¸ ¹ 2 ¹2 ¹ î»Õ³¹ñ»Éáí ëï³óí³Í B4 Ù³ïñÇóÁ (7 ( -áõÙ ÏáõݻݳÝù` 7 · § x1 · § y1 · §15 ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ - 4 24 ¸ ¨ x2 ¸ Ÿ ¨ y2 ¸ ¨ 6 ¨ y ¸ ¨ 33 -14 23 ¸ ¨ x ¸ ¹2 3¹ 2 3¹ 2 y1 15 x1  0 x 2  7 x3 y 2 6 x1 - 4 x 2  24 x3 y 3 33 x1 - 14 x 2  23x3 ²ÛÝ ÇÝã å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ñ: 2: îñí³Í ÊݹÇñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ`

y1 y2 y3

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Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ

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·Í³ÛÇÝ

3x1 - x 2 - x3 , 2 x1  x 2  2 x3 , x1  3x 2 - 2 x3

ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É Ñ³Ï³¹³ñÓ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ: ÈáõÍáõÙ: îñí³Í ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ·ñ»Ýù Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí

Y

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4X

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§ 3 -1 -1 · ¨ ¸ 2¸, X 4 ¨2 1 ¨1 3 -2 ¸ ¹ гßí»Ýù

§ x1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ , ¨x ¸ 2 3¹

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§ y1 · ¨ ¸ ¨ y2 ¸ ¨y ¸ 2 3¹

3 -1 -1 det 4 '

1 2 3 -2

-35,

ù³ÝÇ áñ ' z 0 , ³å³ 4 Ù³ïñÇóÁ Ïáõݻݳ ѳϳ¹³ñÓ Ù³ïñÇó`

§ 411 421 ¨ ' ' ¨ ¨ 412 422 ¨ ' ' ¨ ¨ 413 423 ¨ ' '

4-1

' ' '

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

áñï»Õ 4ij -Ý aij ï³ññÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ ¿: гßí»Ýù Ù»ñ Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÁ:

1 2 -1 -1 -8, 421 -5, 431 3 -2 3 -2 2 2 3 -1 6, -5, 432 1 -2 1 -2 2 1 3 -1 5, 423 -10, 433 1 3 1 3

-1 -1 -1, 3 -1 -8, 2 2 3 -1 5: 2 1

²ÛëåÇëáí`

4-1

(8( -Ç

§ 8 ¨ 35 ¨ ¨- 6 ¨ 35 ¨ ¨- 1 ¨ 2 7

»ñÏáõ Ù³ëÁ

Ïëï³Ý³Ýù. 4 Y

1 · 35 ¸ ¸ 8 ¸ 35 ¸ ¸ 1 ¸ - ¸ 7 ¹

Ó³Ë ÏáÕÙÇó ³½Ù³å³ïÏ»Éáí

-áí

4 4X : гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 4 4 7 , áñï»Õ 7 -Ý Ùdzíáñ Ù³ïñÇó ¿, ÏáõݻݳÝù.

4 -1Y

X , ϳ٠X

î»Õ³¹ñ»Éáí 4

4 -1Y

-Á (9 ( -áõÙ` Ïëï³Ý³Ýù

(9(

1 1 · § 8 ¨ 35 7 35 ¸ § y · ¨ ¸ 1 ¨- 6 1 8 ¸ ¨ y ¸ ¨ 35 7 35 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ¸ ¨2 y3 ¸¹ ¨- 1 2 - 1 ¸ ¨ ¸ 7 ¹ 2 7 7

§ x1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨x ¸ 2 3¹ áñï»ÕÇóª

x1 x2

x3

y1 + y 2 + y3 y1 + y 2 + y3 - y1 + y 2 - y 3

ÇÝãÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ñ: ØÇÝáñÝ»ñ ¨ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ÂáÕ ïñí³Í ¿

§ a11 ա a1n · ¨ ¸ Ù³ïñÇóÁ: 4 ¨    ¸ ¨a ¸ 2 m1  amn ¹ îñí³Í Ù³ïñÇóÇ k -ñ¹ ϳñ·Ç ÙÇÝáñ ¿ ÏáãíáõÙ k -ñ¹ ϳñ·Ç ù³é³ÏáõëÇ áñáßÇãÁ ( k  m, k  n ( , áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ ïñí³Í Ù³ïñÇóÇ ÇÝã-áñ ïáÕ»ñ ¨ ëÛáõÝ»ñ çÝç»Éáí: ²Ûëå»ë.

ծ

1 2 0 1

§1 ¨ 4 ¨0 ¨2 1, '1

1 4· ¸ 1 -1 3 ¸ 5 1 11¸¹ 2 1

0 1 -1 2 5 1

Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ

0, ' 2

1 2 4 0 1 3 2 5 11

áñáßÇãÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý 2 -ñ¹ ¨ 3 -ñ¹ ϳñ·Ç ÙÇÝáñÝ»ñ, ѳٳå³ï³ë˳ݳ³ñ: ծ áñáßÇãÁ ëï³óí»É ¿ 4 Ù³ïñÇóÇ III ¨ IV

ëÛáõÝ»ñÁ ¨ III ïáÕÁ çÝç»Éáí, '1 -Á 4 Ù³ïñÇóÇ IV ëÛáõÝÁ çÝç»Éáí,

' 2 -Á 4 Ù³ïñÇóÇ III ëÛáõÝÁ çÝç»Éáí: سïñÇóÇ é³Ý· ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ Ù»ç ÙïÝáÕ ³Ù»Ý³³ñÓñ ϳñ·Ç ½ñáÛÇó ï³ñ»ñ ÙÇÝáñÇ Ï³ñ·Á: ºÃ» 4 Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ѳí³ë³ñ ¿ 7 -Ç, ³å³ ¹³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ 4 Ù³ïñÇóÇ Ù»ç ϳ 7 ñ¹ ϳñ·Ç áã 0 -³Ï³Ý ÙÇÝáñ ¨ 7 -ñ¹Çó ³ñÓñ ϳñ·Ç ó³Ýϳó³Í ÙÇÝáñ ѳí³ë³ñ ¿ 0 -Ç: 4 Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á Ý߳ݳÏáõÙ »Ý 7 ( 4( : î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ` »Ã» 4 Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ 7 –ñ¹ ϳñ·Ç ½ñáÛÇó ï³ñ»ñ ' 7 ÙÇÝáñ, ÇëÏ 4 Ù³ïñÇóÇ ³Û¹ ÙÇÝáñÁ

»½ñ³·ÍáÕ áÉáñ (7  1( -ñ¹ ϳñ·Ç ÙÇÝáñÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ³å³ ³Û¹ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ѳí³ë³ñ ¿ 7 -Ç: ²Ûë ûáñ»ÙÁ ÑÇÙù ¿ ѳݹÇë³ÝáõÙ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ѳßí»Éáõ

Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÇ Ñ³Ù³ñ:

¶ïÝáõÙ »Ýù áñ¨¿ II ϳñ·Ç áã 0 -³Ï³Ý ÙÇÝáñ: àñÇó Ñ»ïá ѳßíáõÙ »Ýù Ýñ³Ý »½ñ³·ÍáÕ áÉáñ ÙÇÝáñÝ»ñÇ Ï³ñ·»ñÁ, ÙÇÝ㨠ã»Ýù ·ïÝáõÙ Ýñ³Ýó Ù»ç áã 0 -³Ï³ÝÁ: ºÃ» ·ïÝáõÙ »Ýù 0 -Çó ï³ñ»ñ 7 -ñ¹ ϳñ·Ç ' r ÙÇÝáñ, ³å³ ѳßíáõÙ »Ýù ³Û¹ ÙÇÝáñÁ »½ñ³·ÍáÕ (7  1( -ñ¹ ϳñ·Ç ÙÇÝáñÝ»ñÁ: ºÃ» Ýñ³Ýù áÉáñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ³éѳë³ñ³Ï (»ñ, Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ѳí³ë³ñ ¿ 7 -Ç

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§1 2 1 4 · ¨ ¸ ÊݹÇñ 3 . гßí»É 4 ¨ 0 1 -1 3 ¸ Ù³ïñÇóÇ 7 ( 4 ( -Ý: ¨ 2 5 1 11¸ ¹ ÈáõÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ

1 2 1 z 0 ¨ Ýñ³Ý »½ñ³·ÍáÕ III ϳñ·Ç ÙÇÝáñÝ»ñÁ 0 1 1 2 3 1 2 1 0 áõñ»ÙÝ, 7 ( 4( 2 : 0 1 3 0 1 -1 0, 2 5 11 2 5 1 ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ àõë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ ϳñáճݳ ÉáõÍ»É ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ¶³áõëÇ (÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³ñ-

ï³ùëÙ³Ý Ù»Ãá¹) »Õ³Ý³Ïáí, Îñ³Ù»ñÇ ³Ý³Ó¨»ñáí ¨ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí: ¶³áõëÇ »Õ³Ý³Ï ²Ûë »Õ³Ý³ÏÇ ¿áõÃÛáõÝÁ ϳ۳ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝáõÙ, áñ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³ñï³ùëÙ³Ý ÙÇçáóáí ïñí³Í ѳٳϳñ·Á »ñíáõÙ ¿ Ýñ³Ý ѳٳñÅ»ù ³ëïÇ׳ݳӨ (ϳÙ, Ù³ëݳíáñ³å»ë, »é³ÝÏÛáõݳӨ) ѳٳϳñ·Ç: ²ëïÇ׳ݳӨ ѳٳϳñ· ¿ ÏáãíáõÙ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ

a11 x1  a12 x 2  a13 x3    a1n x n a 22 x 2  a 23 x3    a 2 n x n

f1 f2

a kk x k   a kn x n f k ï»ëùÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñï»Õ k d n, aij z 0, i 1,2,  , k :

n , ³å³ ()( ѳٳϳñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ »é³ÝÏÛáõݳӨ: ÊݹÇñ 4 : ¶³áõëÇ »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ºÃ» k

Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Á

° x1  2 x2  2 x3 8 ° ®5 x1 - 3x2  2 x3 5 ° x  3 x  3x 16 ° 1 ¯ ÈáõÍáõÙ: ²ñï³ùë»Éáí x1 -Á 77 ¨ 777 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù ïñí³Í ѳٳϳñ·ÇÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù.

° x1  2 x2  2 x3 8 ° ° x2  8 x3 35 ® ° ° x  x3 8 ° 2 2 ¯

ϳÙ

° x1  2 x2  2 x3 8 ° 11x2  16 x3 70 ® ° 5 x2  2 x3 16 ° ¯

ѳٳϳñ·Á: ì»ñçÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç 777 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ·áõÙ³ñ»Éáí ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç »ñÏñáñ¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ, ݳËûñáù ³ÛÝ

§ 5· ¸ Ãíáí, Ïëï³Ý³Ýù` 2 11 ¹

³½Ù³å³ïÏ»Éáí ¨ -

° x1  2 x2  2 x3 8 ° 11x2  16 x3 70 ® ° 29 x3 87 ° ¯ àñï»ÕÇó` x3 3, x 2 2, x1

1:

¶áñÍݳϳÝáõÙ

·Í³ÛÇÝ

ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ¶³áõëÇ »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï áÉáñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ϳåí³Í ³ÝѳÛïÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³ñï³ùëÙ³Ý Ñ»ï, ѳñÙ³ñ ¿ ÏÇñ³é»É áã û ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ, ³ÛÉ Ýñ³ ÁݹɳÛÝí³Í Ù³ïñÇóÇ íñ³: êï³óíáÕ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù ¨ ÙdzóíáõÙ »Ý ~ Ýß³Ýáí: ÊݹÇñ 5 : ¶³áõëÇ »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á

3 x1 - x2  2 x3 1 ° ®5 x1 - 3 x2  2 x3 5 ° x  3 x  3 x 18 ¯ 1

ÈáõÍáõÙ: ¶ñ»Ýù ïñí³Í ѳٳϳñ·Ç ÁݹɳÛÝí³Í Ù³ïñÇóÁ, áõÕճѳ۳ó ·Íáí ³é³ÝÓݳóÝ»Éáí ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ëÛáõÝÛ³ÏÁ.

§ 1 -1 2 1 · ¨ ¸ ¨ 5 -3 2 5 ¸ ¨ 1 3 3 18 ¸ ¹ ·áõÙ³ñ»Éáí II ¨ III ïáÕ»ñÇÝ I ïáÕÁ ݳËûñáù ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (- 5( ¨ (- 1( Ãí»ñáí, ѳٳå³ï³ë˳ݳ³ñ, Ïëï³Ý³Ýù

§ 1 -1 2 1 · ¨ ¸ ¨ 0 2 -8 0 ¸ ¨ 0 4 1 17 ¸ ¹

ռ

§ 1 -1 2 1 · ¨ ¸ ¨ 0 1 -4 0 ¸ ¨ 0 4 1 17 ¸ ¹

III ïáÕÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí II ïáÕÁ ݳËûñáù ³ÛÝ ³½Ù³å³ïÏ»Éáí

(- 4( -áí Ïëï³Ý³Ýù` § 1 -1 2 1 · ¨ ¸ ¨ 0 1 -4 0 ¸ ռ ¨ 0 0 17 17 ¸ ¹ Îñ³Ù»ñÇ Ï³ÝáÝÁ: ºÃ» n

§ 1 -1 2 1 · ¨ ¸ ¨ 0 1 -4 0 ¸ Ÿ x3 1, x2 4, x1 3 : ¨0 0 1 1¸ ¹ ³ÝѳÛïáí n ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ

ѳٳϳñ·Ç áñáßÇãÁ ½ñá ã¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ, áñÁ ѳßíáõÙ »Ý Îñ³Ù»ñÇ ³Ý³Ó¨»ñáí`

'i , i 1,2, , n '

xi

(11(

áñï»Õ ' -Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í áñáßÇãÝ ¿, ÇëÏ ' i -Ý ' -Çó ëï³óíáÕ áñáßÇãÁ, xi ÷á÷á˳ϳÝÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ÷á˳ñÇÝí³Í ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñáí: ÊݹÇñ 6 : Îñ³Ù»ñÇ ³Ý³Ó¨»ñáí ÉáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á

·Í³ÛÇÝ

3 x1 - x 2  x3 5 ° ®2 x1  x 2  x3 6 °x  x  2x 4 ¯ 1

ÈáõÍáõÙ: ²Û¹ ѳٳϳñ·Ç áñáßÇãÁ`

1 -1 1

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2 1 1

5 z 0:

1 1 2 гßí»Ýù ' j áñáßÇãÝ»ñÁ, áñáÝù ëï³óíáõÙ »Ý ѳٳϳñ·Ç áñáßÇãÇó

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÷á˳ñÇÝ»Éáí ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñáí.

5 -1 1

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4 1 2 áñï»ÕÇó x1

1 -1 5

1 5 1 2 6 1

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2 1 6

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1 1 4 - 1 , x3

'3 '

1:

سïñÇó³ÛÇÝ »Õ³Ý³Ï: ÂáÕ ïñí³Í ¿ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ª

n ³ÝѳÛïáí n ·Í³ÛÇÝ

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(12(

áñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í áñáßÇãÁ ½ñá ã¿: ú·ïí»Éáí »ñÏáõ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó, ѳٳϳñ·Á ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É

4X

F

(13(

ï»ëùáí, áñï»Õ

§ a11 a12 ...a1n · ¨ ¸ ¨ a 21 a 22 ...a 2 n ¸ ¨ ................. ¸ ¨ ¸ ¨ a a ...a ¸ 2 n1 n 2 nn ¹

Ù³ïñÇóÁ ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ù³ïñÇóÝ ¿,

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§ x1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨ ... ¸ - ³ÝѳÛïÝ»ñÇ í»Ïïáñ ëÛáõÝÝ ¿, F ¨ ¸ ¨x ¸ 2 n¹

§ f1 · ¨ ¸ ¨ f2 ¸ ¨ ... ¸ - Áª ³½³ï ¨ ¸ ¨f ¸ 2 n¹

³Ý¹³ÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í í»ÏïáñÁ: (13( ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·

Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí: ø³ÝÇ áñ det 4 z 0 ,

4 –Ý áõÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ Ù³ïñÇóª 4 : (13( -Á Ó³ËÇó ³½Ù³å³ïÏ»Éáí 4 -áí Ïëï³Ý³Ýù (14( 4-1 4X 4-1 F ϳ٠X 4 F , ³ÛëÇÝùÝ (12 ( -Ç ÉáõÍáõÙÁ: ÊݹÇñ 7 : سïñÇó³ÛÇÝ »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É ·Í³ÛÇÝ

ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á

x1 - x 2  x3 6 2 x1  x 2  x3 3 x1  x 2  2 x3 5

ÈáõÍáõÙ: Ü߳ݳϻÝù

§ 1 -1 1 · ¨ ¸ 4 ¨ 2 1 1 ¸, ¨1 1 2 ¸ ¹

X

§ x1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ , F ¨x ¸ 2 3¹

§6· ¨ ¸ ¨3¸ ¨5¸ 2 ¹

²Ûë ¹»åùáõÙ ïñí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ï·ñíÇ

4X

(15(

F

Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÙÇçáóáí:

4 Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ`

1 -1 1 det 4

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1 1 2 л勉³ñ, 4 Ù³ïñÇóÁ ãí»ñ³ë»ñí³Í ¿ ¨ áõÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ`

2· §1 3 ¨5 5 -5¸ ¨ ¸ 3 1 1¸ ¨ ¨ 5 5 5¸ ¨ ¸ ¨1 - 2 3¸ ¨ ¸ 5 5¹ Ù³ïñÇóÁ, áñï»Õ 4ij -Ý aij ï³ññÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ ¿: ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí (15( -Ç »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ 4 -áí Ó³ËÇó Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³ ÉáõÍáõÙÁ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí`

X

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-1 1 -1 1 1, 421 3, 431 1 2 1 1 1 1 1 1 3, 422 1, 432 1 1 2 2 1 1 -1 1 -1 1, 423 -2, 433 1 1 2 1

î»Õ³¹ñ»Éáí 4 Ù³ïñÇóÁ (16 ( ïñí³Í ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÁ`

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ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù

2· §1 3 ¨5 5 -5¸ § x1 · ¨ ¸§6· ¨ ¸ ¨ 3 1 1 ¸¨ ¸ X ¨ x2 ¸ 3 ¨ ¸¨ ¸ ¨ x ¸ ¨ 5 5 5 ¸¨5¸ 2 ¹ 2 3¹ ¨1 - 2 3¸ ¨ ¸ 5 5¹ § 2· 6  3  ¨ - ¸5 1 , ѳݷáõÝáñ»Ý Ï·ïÝ»Ýù x 2 2 5¹

-2, x3

3:

Üϳï»Ýù, áñ Îñ³Ù»ñÇ ³Ý³Ó¨»ñáí ¨ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ »Õ³Ý³Ïáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ëñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ϳñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É ÉáÏ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñ 1) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ѳí³ë³ñ ¿ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ÃíÇÝ, ¨

2) ѳٳϳñ·Ç áñáßÇãÁ z 0 -Ç: ºÃ» ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ˳ËïíáõÙ ¿, ³å³ ³Û¹ »Õ³Ý³ÏÝ»ñÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ã»Ý: »ٳ 8 . ì»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ ¸³ë³·Çñù`

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·ÉáõË 3 , ¢¢ 2, 3 ³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 2, 3 , ¢¢ 5, 7

í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 7, 8 : òáõóáõÙÝ»ñ

5 -ñ¹ ûٳÛÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï å³ñ½»É »Ýù, áñ ïñí³Í

³½ÇëáõÙ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙÇç¨ ³éϳ ¿ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ: ÀݹѳÝñ³óÝ»Ýù ³ñ¹»Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í í»ÏïáñÇ ·³Õ³÷³ñÁ: n ã³÷³ÝÇ 2

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x1 , x2 , , xn Ãí»ñÁ, áñáÝù ϳ½ÙáõÙ »Ý 2 í»ÏïáñÁ

ϳÝí³Ý»Ýù Ýñ³ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ: ì»ÏïáñÁ, áñÇ áÉáñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 0 -Ç ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ է ï»ëùáí:

ê³ÑٳݻÝù n -ã³÷³ÝÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ¹ñ³Ýó Ñ»ï ·Í³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¨ 7 { y1 , y2 , , yn } ºñÏáõ n ã³÷³ÝÇ 2 { x1 , x2 , , xn } í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳñíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ, »Ã» Ýñ³Ýó ѳٳå³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý: ²Û¹ ÷³ëïÁ ·ñ³ÝóíáõÙ ¿ 2 7 ï»ëùáí: ºñÏáõ n -ã³÷³ÝÇ 2 ¨ 7 í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ ϳÝí³Ý»Ýù ³ÛÝ n -ã³÷³ÝÇ 2 í»ÏïáñÁ` 2 2 + 7 , áñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇÝ: 2 í»ÏïáñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 4 Ãíáí ÏáãíáõÙ ¿ 7 4 2 n ã³÷³ÝÇ í»ÏïáñÁ, áñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ëï³óíáõÙ »Ý 2 í»ÏïáñÇ áÉáñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ³½Ù³å³ïÏ»Éáí 4 Ãíáí: ( - 1 ) 2 í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ 2 í»ÏïáñÇ Ñ³Ï³¹Çñ í»Ïïáñ ¨ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý - 2 ï»ëùáí, ³ÛëÇÝùÝ` ( - 1 ) 2 - 2 : ÆÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »Ýù ³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó, »ñÏáõ n ã³÷³ÝÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ·áõÙ³ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ãíáí n ã³÷³ÝÇ í»Ïïáñ ¿: ^x1 , x 2 ,, x n `, 7 ^y1 , y 2 ,, y n `: ²Ûë ¹»åùáõÙ ÂáÕ 2

1 . 2 7 , »Ã» xi y i , áñï»Õ i 1,2,, n 2 . 2 + 7 ^x1  y1 , x 2  y 2 , , x n  y n ` ^4x1 , 4x 2 ,, 4x n ` 3. 4 2 лßï ¿ ëïáõ·»É, áñ n -ã³÷³ÝÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ` 1. 2 + 7 7 + 2

·Í³ÛÇÝ

2 . ( 2 + 7 )+ 2 2 +( 7 + 2 ) 3. 2 +0 2 4 . 2 +(- 2 ) 0 5 . 1. 2 2 6 . ( DE ) 2 D ( E 2 ) 7 . (D  E ) 2 D 2 + E 2 8 . D ( 2 + 7 ) D 2 +D 7

²Ûëï»Õ D -Ý ¨ E -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ 0 -áí Ý߳ݳÏí»É ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÁ:

n ã³÷³ÝÇ áÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, í»ñÁ Ýßí³Í ·Í³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí, ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³³Ý³Ï³Ý ϳ٠í»Ïïáñ³Ï³Ý ( n ã³÷³ÝÇ) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ëáíáñ³³ñ n

Ý߳ݳÏáõÙ »Ý R -áí: X ·Í³ÛÇÝ í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ÏáãíáõÙ 2 , 7 , …  X ï³ññ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (ó³Ýϳó³Í ÝáõÛÃÇ), áñáÝó ѳٳñ áñáßí³Í »Ý ·Í³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ³í³ñ³ñáõÙ »Ý í»ñÁ Ýßí³Í 1 - 8 å³Ñ³ÝçÝ»ñÇÝ (³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ): ²Û¹åÇëÇ ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý X ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñ: Ø»ñ ÏáÕÙÇó Ùïóí³Í ÁݹѳÝáõñ ï»ëùÇ í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ »Ý ·ïÝáõÙ ß³ï ݳ·³í³éÝ»ñáõÙ, Ù³ëݳíáñ³å»ë ïÝï»ë³·Çï³Ï³Ý ѳßí³ñÏÝ»ñáõÙ: úñÇݳÏ. ÃáÕ ÇÝã-áñ Ó»éݳñÏáõÃÛáõÝ ³ñï³¹ñáõÙ ¿ ÙÇ ³ñï³¹ñ³Ýù ³Ý÷á÷áË ï»ËÝáÉá·Ç³Ûáí ¨ û·ï³·áñÍáõÙ ¿ n ÑáõÙù³ÛÇÝ ÝÛáõûñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ »Ã» xk -Ý k -ñ¹ ÑáõÙù³ÛÇÝ ÝÛáõÃÇ ÇÝã-áñ ù³Ý³ÏáõÃÛáõÝ ¿, ã³÷í³Í áñáß³ÏÇ ÙdzíáñÝ»ñáí, ³å³ 2

^x1 , x 2 ,, x n `ï»ëùÇ

í»ÏïáñÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý óáõÛó ï³É Ó»éݳñÏáõÃÛ³Ý ÑáõÙùÇ ûñ³Ï³Ý å³Ñ³Ýç³ñÏÁ, Ó»éݳñÏáõÃÛ³Ý å³Ñ»ëïÝ»ñáõÙ å³ÑíáÕ ÑáõÙùÇ å³ÑáõëïÁ , Ó»éݳñÏáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó ³ñï³¹ñíáÕ ÇÝã-áñ ù³Ý³ÏÇ ³ñï³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ÑáõÙùÇ å³Ñ³Ýç³ñÏÁ, ¨ ³ÛÉÝ: ÜÙ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÁ, ³ÏÝѳÛï ¿, ϳ½ÙáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ØÇ áõñÇß ·Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ïϳ½Ù»Ý a ^a1 , a 2 , , a n ` í»ÏïáñÝ»ñÁ, áñï»Õ ai -Ý k -ñ¹ ÑáõÙù³ÛÇÝ ÝÛáõÃÇ ³ñÅ»ùÝ ¿ (¹ñ³ÙÝ»ñáí), áñÝ û·ï³·áñÍí»É ¿ Ó»éݳñÏáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó ÇÝã-áñ ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñ³ÝùÇ ³ñï³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ¶Í³ÛÇÝ í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý ѳݹÇë³Ýáõ٠ݳ¨. 1 ) ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ )3 »é³ã³÷ í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ,

2 ) ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ í»ÏïáñÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏã³÷ í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ` )2 , 3 ) ÇÝã-áñ áõÕÕÇ íñ³ ·ïÝíáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ,áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ )1 Ùdzã³÷ í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, 4) ýÇùë³Í ïÇåÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

ÂáÕ ïñí³Í »Ý k ѳï 21 , 22 , ... , 2 k í»ÏïáñÝ»ñ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ

4i Ãíáí (i 1,2, , k ( : ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ 42 22 , …, 4k 2 k k Ýáñ í»ÏïáñÝ»ñ: ¶áõÙ³ñ»Éáí

í»Ïïáñ ³½Ù³å³ïÏ»Ýù Ïëï³Ý³Ýù ³Û¹

41 21 ,

k í»ÏïáñÝ»ñÁ Ïëï³Ý³Ýù`

41 21 + 42 22

+…+ 4k

k

¦4

2k

i

2 i í»ÏïáñÁ:

i 1

41 21 + 42 22 +…+ 4k 2 k

21 , 22 ,…, 2 k

í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿

í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódz:

41 , 42 ,…, 4k

ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ

ÏáãíáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódzÛÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñ: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ 7 í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Çñ»ÝóÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý 21 , 22 , ..., 2 k í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ

·Í³ÛÇÝ

ÏáÙÇݳódzÝ:

2i

(i

1, 2, k (

í»ÏïáñÝ»ñÁ, ÏáãíáõÙ »Ý ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÇÝ Ñ³í³ë³ñ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ

ÏáÙÇݳódzÝ`

41 21 + 42 22 +…+ 4k 2 k 0

áñï»Õ áã áÉáñ

4i

(1(

·áñͳÏÇóÝ»ñÝ »Ý ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ:

Üϳï»Ýù, áñ »Ã» 2 i í»ÏïáñÝ»ñÇó áñáß Ù³ëÁ ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý, ³å³ ·Íáñ»Ý ϳËí³Í ÏÉÇÝ»Ý Ý³¨ áÉáñÁ ÙdzëÇÝ, ù³ÝÇ áñ Ùݳó³Í í»ÏïáñÝ»ñÁ (1( ѳñ³»ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ½ñáÛ³Ï³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí:

2 i ( i 1, 2, k ( í»ÏïáñÝ»ñÁ, áñáÝù ·Íáñ»Ý ϳËí³Í ã»Ý, ÏáãíáõÙ

»Ý ·Íáñ»Ý ³ÝϳË: ²ÛÉ ³é»ñáí

2 i ( i 1, 2, k ( í»ÏïáñÝ»ñÁ

ÏáãíáõÙ »Ý ·Íáñ»Ý ³ÝϳË, »Ã» (1( ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñݳñ³íáñ ¿ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñ áÉáñ

4i

·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ:

¶Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódzÛÇ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ϳåÁ` áñå»ë½Ç 21 , 22 , ..., 2 k í»ÏïáñÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ·Íáñ»Ý ϳËí³Í, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ ³í³ñ³ñ, áñ

Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ÉÇÝÇ Ùݳó³ÍÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódzÝ:

ÊݹÇñ

^0, 0,1`

^1, 0, 0` ,

1 : ²å³óáõó»É, áñ 21

^0,1, 0` ,

í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý:

41 21 + 42 22 + 43 23

ÈáõÍáõÙ:

ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ

ѳٳñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³É Ãí³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ`

41 1+ 42 4+ 43 4 4 41 4+ 42 1+ 43 4 4 => 41 41 4+ 42 4+ 43 4 4

43 4,

ÇÝãÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ 21 , 22 , 23 í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Íáñ»Ý ³ÝϳËáõÃÛáõÝÁ:

)3 »é³ã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç 21 ¨ 22 »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Íáñ»Ý ϳËí³ÍáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Ýñ³Ýù ѳٳ·ÇÍ »Ý, ÇëÏ »ñ»ù` 21 , 22 , 23 í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Íáñ»Ý ϳËí³ÍáõÃÛáõÝÁª Ýñ³Ýù ѳٳѳñà »Ý: ì»ÏïáñÝ»ñÇ ·Íáñ»Ý ϳËí³ÍáõÃÛ³Ý í»ñ³»ñÛ³É ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÁ. 21 , »áñ»Ù. »Ã» 71 , հ 2 ,..., 7 k í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý

22 ,..., 2 n í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódzÝ, ³å³ k ! n ¹»åùáõÙ Ýñ³Ýù ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý: ²Û¹ ûáñ»ÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n ã³÷³ÝÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ѳٳËÙáõÃÛáõÝ, ³Õϳó³Í ³í»ÉÇ ù³Ý n í»ÏïáñÝ»ñÇó ·Íáñ»Ý ϳËí³Í »Ý: ²å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³í³Ï³Ý ¿ Ýϳï»É, áñ ó³Ýϳó³Í n ã³÷³ÝÇ 7 í»Ïïáñ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É Ñ»ï¨Û³É n ã³÷³ÝÇ n ѳï í»ÏïáñÝ»ñÇ`

e1

(1, 0, , 0 ( ,

e2

( 0,1, , 0 ( ,  ,

·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódzÛǪ հ

en

( 0, 0, ,1(

e1 y1 + y2 e2 + ...+ yn en ï»ëùáí:

î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½Çë, »Ã» ³ÛÝ ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

1 ) ïíÛ³É Ñ³Ù³ËÙáõÃÛ³Ý áÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý, 2 ) ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ ³Û¹ ѳٳËÙáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙÇݳódzÛÇ ï»ëùáí: ´³½ÇëÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý ѳݹÇë³ÝáõÙ. 1 ) i , j , k í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙáõÃÛáõÝÁ )3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç :

2)

e1

(1, 0, 0 ( ,

e2

( 0,1, 0 ( ,

,

en

( 0, 0,1( í»ÏïáñÝ»ñÇ

ѳٳËÙáõÃÛáõÝÁ R3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç: ÂáÕ e1 , e2 , ..., en í»ÏïáñÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý n ã³÷³ÝÇ

ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½Çë: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í 2 í»Ïïáñ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Áëï ³Û¹ ³½ÇëÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý. 2 x1 e1 + x2 e2 +…+ xn en ²Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý x1 , x2 , , xn ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ ³Û¹ ³½ÇëáõÙ: Üϳï»Ýù, áñ Ãí³³Ý³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÇ

e2 Ñ»ï:

Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ

( 0,1, , 0 ( , ..., ÊݹÇñ

en

ѳÙÁÝÏÝáõÙ

»Ý

n -ã³÷³ÝÇ (1, 0, , 0 ( ,

e1

( 0, 0, ,1( ³½ÇëáõÙ Ýñ³ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ

2 : ²å³óáõó»É, áñ

(1, 0, 0 ( ,

(1,1, 0 ( ,

(1,1,1( í»ÏïáñÝ»ñÁ R3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ϳ½ÙáõÙ »Ý ³½Çë ¨ ·ïÝ»É 7 (1,3,1( í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ ³Û¹ ³½ÇëáõÙ:

ÈáõÍáõÙ: γ½Ù»Ýù 21 , 22 , 23 í»ÏïáñÝ»ñÇ ³Õ³¹ñÇãÝ»ñÇó

ϳ½Ùí³Í Ù³ïñÇó , ÁݹáõÝ»Éáí ¹ñ³Ýù áñå»ë Ýñ³ ëÛáõÝ»ñ.

§1 1 1 · ¨ ¸ ¨0 1 1 ¸ ¨ 0 0 1¸ ¹ ²Û¹ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á áñáß»Éáõ ѳٳñ ѳßí»Ýù áñáßÇãÁ

1 1 1 0 1 1

1z 0

0 0 1 3 ¨ ù³ÝÇ áñ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ѳí³ë³ñ ¿

л勉³ñ, 7 í»ÏïáñÝ»ñÇ ëÛáõÝ»ñÇ ÃíÇÝ` Ýñ³Ýù ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý, ÇëÏ »é³ã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ó³Ýϳó³Í 3 ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñ ϳ½ÙáõÙ »Ý ³½Çë: 2 ) 7 -í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ 21 , 22 , 23 ³½ÇëáõÙ Ý߳ݳϻÉáí

41 , 42 , 43 -áí, Ïëï³Ý³Ýù í»Ïïáñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙª

41 21 + 42 22 + 43 23 ,

áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ.

41 + 42 + 43 3 42 + 43 1 43

ÈáõÍ»Éáí ³Û¹ ѳٳϳñ·Á Ïëï³Ý³Ýù`

43 1 , 42

2,

-2 :

ì»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ Ù³ùëÇÙ³É ÃÇíÁ: ²ñÅ» Ýϳï»É, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷Á ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ýñ³ ³½Çë³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñÇ ÃíÇÝ: ì»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ÏáãíáõÙ ¹Çï³ñÏíáÕ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý L í»ÏïáñÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. 1 ) »Ã» 2  L ¨ 7  L , ³å³ 2 + 7  L

2 ) »Ã» 2  L ¨ 4 Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ 4 2L:

ä³ñ½³·áõÛÝ »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý ѳݹÇë³ÝáõÙ Ñ»Ýó Çñ»Ýù` ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³Õϳó³Í ÙdzÛÝ ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇó: ²í»ÉÇ ÇÙ³ëï³ÉÇó ûñÇÝ³Ï Ïëï³Ý³Ýù, ¹Çï³ñÏ»Éáí

R n -Ç í»ÏïáñÝ»ñÇ ³ÛÝ L ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó, ³ë»Ýù, ³é³çÇÝ

Ïááñ¹ÇݳïÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ºÝóï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½ÇëÁ ¨ ã³÷Á ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ¹ñ³Ýù ë³ÑÙ³Ýí»É »Ý í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: γñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ѳٳë»é ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ

ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳ½ÙáõÙ ¿ R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n - 7 ã³÷³ÝÇ »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, áñï»Õ n -Á ѳٳϳñ·Ç ³ÝѳÛïÝ»ñÇ

ÃÇíÝ ¿, ÇëÏ 7 -Áª ѳٳϳñ·Ç é³Ý·Á:

ÊݹÇñ 3 : ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½ÇëÁ ¨ ã³÷Á` n

3x - 2 y  2 0 ° ® -2 x  4 y - 2 2 0 °3 x - 6 y  3 2 0 ¯

ÈáõÍáõÙ: îñí³Í ѳٳϳñ·Ç é³Ý·Á ѳí³ë³ñ ¿ Ù»ÏÇ (³ÏÝѳÛï ¿), ѻ勉³ñ II ¨ III ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ¹»Ý Ý»ï»Éáí, ÇëÏ ³é³çÇÝÁ ÉáõÍ»Éáí x -Ç ÝϳïÙ³Ù, ÏáõݻݳÝù`

x

2y - 2

²½³ï ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇÝ Ñ»ñÃáí ï³Éáí ï³ññ»ñÇÝ

ѳí³ë³ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù ·Íáñ»Ý ³ÝϳË

( -1, 0,1( í»ÏïáñÝ»ñÁ, áñáÝù ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý: ø³ÝÇ áñ ( n - 7 ( -Á ¹Çï³ñÏíáÕ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñ ¿ c1

( 2,1, 0 ( ,

1 0 áñáßÇãÇ ëÛáõÝ»ñÇ 0 1

c2

2 -Ç (ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷Á), ³å³ c1 ¨ c2 í»ÏïáñÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý ³Û¹ »Ýóï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½Çë: ¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿íÏÉǹ۳Ý, »Ã» Ýñ³ ó³Ýϳó³Í 2 ¨ 7 í»ÏïáñÝ»ñÇ ½áõÛ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóíáõÙ ¿ ÇÝã-áñ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É ¨ ³ÛÝ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ( 2 , 7 ) ï»ëùáí, Áݹ áñáõÙ ³í³ñ³ñíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ (³ùëÇáÙÝ»ñÁ). 1. ( 2 , 7 ) ( 7 , 2 ) 2 . ( 21 + 22 , 7 ) ( 21 , 7 )+( 22 , 7 ) 3 . ( 4 2 , 7 ) 4 ( 2 , 7 ), áñï»Õ 4 -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿ 4 . ( 2 , 2 ) > 0 , »Ã» 2 z 0 ¨ ( 2 , 2 ) 0 , »Ã» 2 0 :

¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ Ý»ñÙáõÍí³Í ã¿ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ, ÏáãíáõÙ ¿ ³ýÇÝ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:

( x, x) ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ 2 í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ (Ùá¹áõÉ) ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ x -áí: ºñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ³í³ñ³ñáõÙ ¿

( x, y ( d

xրy

³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ,

áñÁ

ÏáãíáõÙ

¿

ÎáßÇ-

´áõÝÛ³ÏáíëÏáõ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ: 2 ¨ 7 áã ½ñáÛ³Ï³Ý »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÙïóíáõÙ ¿ ݳ¨ ³ÝÏÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁª cos M

( x, y ( x. y

³Ý³Ó¨áí:

2 ¨ 7 í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ûñÃá·áݳÉ, »Ã» Ýñ³Ýó ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0 -Ç, ³ÛëÇÝùÝ` ( 2 , 7 ) 0 : ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ

¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý {e ei} ³½ÇëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í, »Ã»

1 ) ³ÛÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ ¨ 2 ) ei

1,  i j 4,  i z j ,

(e , e ( i

1 , ³ÛëÇÝùÝ, »Ã»

j

i, j = 1 , 2 ,...,

¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï Ï³ñáÕ ¿ ͳé³Û»É ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù »é³ã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¹»ñÁ Ïϳï³ñÇ ëáíáñ³Ï³Ý ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ùïóí³Í (2,7 )

x y .cos M

³Ý³Ó¨áí:

¸Åí³ñ ã¿ ï»ëÝ»É, áñ i , j, k í»ÏïáñÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý ) 3 »é³ã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í ³½Çë: ÊݹÇñ 4 : ²ñï³Í»É ïñí³Í 2 ^x1 , x 2 ,  , x n ` ¨

^ y1 , y2 , , yn `

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x1 y1 + x2 y2 +...+ xn yn

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a13 · §" · ¸ ¨ ¸ a22 a23 ¸ x ¨m¸ ¨n ¸ a32 a33 ¸¹ 2 ¹ í»ÏïáñÝ»ñáí, ³å³ ( 2 ( ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ Ïѳٳå³ï³ë˳ÝÇ § a11 ¨ 4 ¨ a21 ¨a 2 31

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2 - 4 -1 2 5 -3 - 4 3

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33" - m  2n 0 ° ®5" - 2m  3n 0 ° -" - n 0 ¯

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17 x 2  12 xy  8 y 2

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·áñͳÏóáí, ³ÛëÇÝùÝ ·ñ³ýÇÏÇ թ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï ï»Õ³÷áËíáõÙ ¿ Օx ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕáí Ùáï»Ý³Éáí Օy ³é³ÝóùÇÝ թ ³Ý·³Ù, »ñ թ ! 1 ¨ Ñ»é³ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó ³Ý·³Ùáí, »ñ թ  1 : ºñ թ 1 , ³å³ áÉáñ Ï»ï»ñÁ թ y

f ( x ( ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù

ÙÝáõÙ »Ý ³Ýß³ñÅ, ³ÛëÇÝùÝ ³Û¹ ¹»åùáõÙ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝ³Ï³Ý ¿: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ

y1

f ( x ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ

y

Ó¨³÷áËíáõÙ

¿

f ( թx1 ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ:

թ ! 0 , ³å³ ݳ˳å»ë å»ïù ¿ ¹Çï³ñÏ»É ë»ÕÙÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Օy ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù ·áñͳÏóáí, áñÁ | թ| ºÃ»

Ï÷á˳¹ñÇ y Ñ»ïá

f ( x ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ y1'

f

( թ x ( -Ç, áñÇó '

ϳï³ñ»É

Օy ³é³ÝóùÇ

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ѳٳã³÷ ' ' Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝ` x1 - x1 , y1 y1 Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ: ²Ûë Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï Ó¨³÷áËíáõÙ ¿ y -Ý»ñÇ '

³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù ѳٳã³÷ Ï»ïÇ: y1 ·ñ³ýÇÏÁ Ó¨³÷áËíáõÙ ¿

y1

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ýáõÝÏódzÛÇ

f ( թx1 ( ýáõÝÏódzÛÇ

·ñ³ýÇÏÇÝ, áñÁ ѳٳã³÷ ¿ Օy ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù: Օy ³é³ÝóùÇ ë»ÕÙáõÙÁ ¨ ³Û¹ ÝáõÛÝ ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù ѳٳã³÷ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Ýå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ¿ ϳï³ñ»É ÙdzųٳݳÏ, ³é³Ýó ÙÇç³ÝÏÛ³É ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóÙ³Ý, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿

թ

·áñͳÏóáí ë»ÕÙáõ٠ϳï³ñ»Éáõ ųٳݳÏ:

2 . x2

x1 ,

y2

4y1 ( 4 ! 0 ( Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Օx

³é³ÝóùÇ

ÝϳïÙ³Ù 4 ·áñͳÏóáí ë»ÕÙáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï ï»Õ³÷áËíáõÙ ¿ Օy ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕáí, Ùáï»Ý³Éáí Օx

4  1 , ϳ٠ѻé³ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó 4 ³Ý·³Ù, »Ã» ³Ý·³Ù, »Ã» 4 ! 1 , »ñ 4 1 ³å³ áÉáñ Ï»ï»ñÁ ÙÝáõÙ »Ý ³Ýß³ñÅ, ³é³ÝóùÇÝ

³ÛëÇÝùÝ, áõÝ»Ýù ÝáõÛÝ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: ²Ûë Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ¿ y1

f ( թx1 ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ

f ( թx2 ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: ºÃ» 4  0 , ³å³ 1 ¹»åùÇÝ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Օx ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù ë»ÕÙáõÙÁ Ó¨³÷áËíáõÙ ¿ y2

Éñ³óíáõÙ ¿ ³Û¹ ÝáõÛÝ ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ù ѳٳã³÷áõÃÛ³Ù:

x2 -

3 . x3

m , y3 թ

y2 Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Օx ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ù

½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÙ ¿

m թ

Ù»ÍáõÃÛ³Ù: ºÃ»

ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ϳï³ñíáõÙ ¿

m >0 ª թ

³ó³ë³Ï³Ý

m < 0 , ³å³ թ

Օx ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý, ÇëÏ »Ã»

áõÕÕáõÃÛ³Ù,

Ȗ

m 0,

³å³

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÝáõÛݳϳÝ:

ª § m ·º ýáõÝÏódzÛÇ 4f « թ ¨ x3  ¸ » 4f ( թx3  m ( թ ¹¼ ¬ 2 ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óíáõÙ ¿ y2 f ( թx2 ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó ²ÛëåÇëáí,

y3

ï»Õ³ß³ñÅÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí: 4 . X x3 , Y y3  B Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ¿

Օy ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ù

B Ù»ÍáõÃÛ³Ù: ºñ B ! 0 , ³å³

ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ù, ÇëÏ »ñ B  0 , ³å³ Օy -Ç ³ó³ë³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ù ¿, »ñ B 0 Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝ³Ï³Ý ¿:

4f ( թX  m (  B ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óíáõÙ

²ñ¹ÛáõÝùáõÙ Y ¿

y3

4f ( թx3  m (

ýáõÝÏódzÛÇ

·ñ³ýÇÏÁ

Օy

³é³ÝóùÇ

áõÕÕáõÃÛ³Ù ï»Õ³ß³ñÅáí:

( 3(

¨

( 4(

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë Ù»Ï

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ

X

x2 -

m , Y թ

y2  B ¨ Ù»Ïݳ³Ý»É ³ÛÝ áñå»ë

ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ áõ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ

»Ý

3 m ½ S ®- , B ¾ í»Ïïáñáí: ¯ n ¿

²Ûë

¹»åùáõÙ

Ȗ쇛

ϳéáõóáõÙÝ»ñÁ ÷á˳ñÇÝíáõÙ »Ý Ù»Ïáí: ¸Çï³ñÏí³Í Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É ¨ ³ÛÉ Ï³ñ·áí, ³Ûó å»ïù ¿ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÝϳïÇ áõݻݳÉ, áñ »ñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ëÏëíáõÙ ¿ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó, ¨ áã û ë»ÕÙáõÙÇó, ³å³

ï»Õ³÷áËíáÕ

Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ

³ÛÝ

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( 3(

ÇÝã

¨

( 4(

ϳéáõóáõÙÝ»ñÇ Å³Ù³Ý³Ï ¿ñ: Æëϳå»ë, »Ã» (11( ³Ý³Ó¨»ñÁ ·ñ»Ýù

X

B· § 4¨ y  ¸ 4¹

( x - m( , Y թ

(12 (

ï»ëùáí, ³å³ ϳñ»ÉÇ ¿ ëϽÇó ϳï³ñ»É ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏáñáßíÇ

3 m ½ S ®- , B ¾ í»Ïïáñáí, ³ÛëÇÝùÝ ¯ n ¿

x1

ѻﳷ³ÛáõÙ

x1 , Y թ

ϳï³ñ»É

X

x - m,

y1 4y1

y

B : ÆëÏ

ë»ÕÙáõÙÁ:

î»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ áõ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ ³ÛÅÙ Ïáñáßí»Ý m ¨ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¨ áã û

m ¨ B -áí, ÇÝãå»ë ϳñ թ

( 3(

¨

B

( 4(

Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Å³Ù³Ý³Ï:

ÊݹÇñ 4 : y sin x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÇó ëï³Ý³É

y

-2sin ( 2 x  2 ( ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

ÈáõÍáõÙ: ²Û¹ ϳéáõóáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É Ñ»ï¨Û³É Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ßÕóÛÇ û·ÝáõÃÛ³Ù` y sin x , y1 sin 2 x1 ,

y2

-2sin 2 x2 , y

-2sin 2 ( x  1( : ºñÏñ³ã³÷áñ»Ý ³ÛÝ Ï»ñÇ

Ñ»ï¨Û³É ϳéáõóáõÙÝ»ñÇÝ (ÝÏ. 16 ) 1 ) γéáõó»Ýù y sin x ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Ï ³ÉÇùÁ:

2 ) êÇÝáõëáÇ¹Ç íñ³ í»ñóÝ»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñ ¨ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Ýù Ýñ³Ýó ³ëóÇëÝ»ñÁ ã÷áË»Éáí ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ` x, y1 y : ØdzóÝ»Ýù ³Û¹ Ï»ï»ñÁ ÑáÍ ·Íáí Ïëï³Ý³Ýù y1 sin 2 x1 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: 3 ) Üáñ ëï³óí³Í ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ٻͳóÝ»Ýù 2

x1

³Ý·³Ù, ÇëÏ Ñ»ïá ÷áË»Ýù Ýñ³Ýó Ýß³ÝÝ»ñÁ, ã÷áË»Éáí ³ëóÇëÝ»ñÁ` y2 -2 y1 , x2 x1 : ØdzóÝ»Éáí ³Û¹ Ï»ï»ñÁ ÑáÍ ·Íáí Ïëï³Ý³Ýù

y2

-2sin 2 x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

4 ) 3 )-áõÙ ëï³óí³Í Ï»ï»ñÁ ï»Õ³÷áË»Ýù ³ëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ

áõÕÕáõÃÛ³Ù

x

x2 - 1,

y

Ïëï³Ý³Ýù

ÜÏ. 16 - 1 Ùdzíáñáí (³ÛëÇÝùÝ y2 ): ØdzóÝ»Éáí ëï³óí³Í

y

-2sin 2 ( x  1(

Ùdzíáñ Ó³Ë` Ï»ï»ñÁ ÑáÍ ·Íáí

-2sin ( 2 x  2 (

ýáõÝÏódzÛÇ

·ñ³ýÇÏÁ: ÊݹÇñÁ ÉáõÍí³Í ¿: àõë³ÝáÕÇÝ ËáñÑáõñ¹ ¿ ïñíáõ٠ϳï³ñ»É ϳéáõóáõÙÁ ëÏë»Éáí ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó, ³ÛëÇÝùÝ ÷áË»Éáí í»ñÁ ß³ñ³¹ñí³Í ßÕóÝ`

y

sin x , y1

sin ( x1  2 ( , y2

sin ( 2 x2  2 ( , y

-2sin ( 2 x  2 (

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ßÕóÛáí: »ٳ 2 . üáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ ê³ÑÙ³Ý

>5| , ¶ÉáõË

7) , ¢ 2, 4.2.1 - 4.2.10 : òáõóáõÙÝ»ñ

γñ¨áñ ¿ ѳëï³ï³·ñ»É, áñ ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁª

liո f ( x ( , x-a

ÉÇáíÇÝ áñáßíáõÙ ¿ x a Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùÇ Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñáí, ³é³Ýó x a Ï»ïÇ: x a Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñáÕ ¿ ¨ áñáßí³Í ãÉÇÝ»É: лÝó ¹ñ³ íñ³ ¿É ÑÇÙí³Í ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ÝáõÛÝ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³ÝÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï, x a Ï»ïÇ ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ ßñç³Ï³ÛùáõÙ, áñÇó x a Ï»ïÁ Ñ»é³óí³Í ¿:

ÊݹÇñ 1 : ¶ïÝ»É liո x -1

2 - x - x2 2 - 3x  x 2

ÈáõÍáõÙ: ²Ûëï»Õ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÏÇñ³é»É ù³Ýáñ¹Ç ë³ÑÙ³ÝÇ í»ñ³»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ, ù³ÝÇ áñ ѳÛï³ñ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ`

(

liո ( 2 - 3 x  x 2 ( 2 - 3 liո x + liո x 2 x -1

x -1

x -1

(

2 - 3 ր1  12

´³Ûó ѳٳñÇãÇ ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ë ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: îñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç ѳٳñÇãÁ ¨ ѳÛï³ñ³ñÁ áõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ

( x - 1(

³ñï³¹ñÇãÁ: ²é³ÝÓݳóÝ»Ýù ³Û¹ ³ñï³¹ñÇãÁ ¨ Ïñ׳ï»Ýù

Ýñ³Ýáí, ѳٳñ»Éáí áñ x z 1

2 - x - x2 2 - 3x  x 2

f ( x(

( 2  x ((1 - x ( ( 2 - x ((1 - x (

2 x 2- x

2 - x - x2 ¨ M ( x( 2 - 3x  x 2

2 x 2- x

ýáõÝÏódzݻñÝ áõÝ»Ý ï³ñ»ñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñ, ûÏáõ½¨ ³Û¹ ï³ñ»ñáõÃÛáõÝÁ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ÉáÏ x Ï»ïáõÙ áñáßí³Í ã¿,

M ( x ( -Á áñáßí³Í ¿ ) :

1 Ï»ïáí ( f ( x ( -Á ³Û¹

“¼ñáÛáí Ïñ׳ï»É ãÇ Ï³ñ»ÉÇ” åÝ¹Ù³Ý ÇÙ³ëïÁ ïíÛ³É ¹»åùáõÙ í»ñ³»ñáõÙ ¿ x 1 Ï»ïÁ å³ñáõݳÏáÕ ïÇñáõÛÃÇÝ: ò³Ýϳó³Í ³ÛÉ ïÇñáõÛÃáõÙ, áñÁ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ x

f ( x( { M ( x( ,

1 Ï»ïÁ`

³ÛëÇÝùÝ, Ïñ׳ïáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿: ÆëÏ ù³ÝÇ áñ liո f ( x ( ÉÇáíÇÝ x-a

áñáßíáõÙ ¿ f ( x ( -Ç í³ñùáí x

Ï»ïÇ, ³å³ liո f ( x ( x -1

a Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ³é³Ýó x

liո M ( x ( : ´³Ûó liո M ( x ( ѳßí»Éáõ x -1

x -1

ѳٳñ ϳñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ù³Ýáñ¹Ç ë³ÑÙ³ÝÇ í»ñ³»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ

liո M ( x ) x -1

л勉³ñ, liո f ( x ( x -1

liո x -1

2  liո x

2 x 2- x

x -1

2 - liո x x -1

2- x- x 2 - 3x  x 2

liո x -1

²Ûë ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÁ ϳñ× Ï·ñíÇ ³Ûëå»ë

a

2 1 2 -1

2  x 2 1 = x -1 x -1 x -1 2 - x 2 -1 ÊݹñÇ ÉáõÍáõÙÁ ³í»ÉÇ ¿ Ñ»ßï³ÝáõÙ, »ñ x - օ : ²Ûë ¹»åùáõÙ, liո

2 - x - x2 2 - 3x  x 2

liո

(2  x)(1 - x) (2 - x)(1 - x)

liո

³ñ¹»Ý å»ïù ã¿ Ëáë»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ §ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïáõÙ¦ (³Û¹åÇëÇÝ ³Ûë ¹»åùáõÙ ãϳ): ÊݹÇñ

2 : ¶ïÝ»É liո ( x  2 x - օ

x -3 )

ÈáõÍáõÙ: ºñ x - օ , x  2 ¨ x - 3 Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ: л勉³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ Ù»Ýù áõÝ»Ýù »ñÏáõ ³Ýí»ñç Ù»Í ¹ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñ»ñáõÃÛáõÝ: ²Û¹åÇëÇ ï³ñ»ñáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ ³é³Ýó Éñ³óáõóÇã ѻﳽáïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áñáß³ÏÇ áãÇÝã ³ë»É Ñݳñ³íáñ ã¿ ( + օ - օ ï»ëùÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ): ¸ñ³ ѳٳñ ݳ˳å»ë Ó¨³÷áË»Ýù ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`

f ( x(

x2 -

x-3

( x  2) - ( x - 3) x  2  x -3

x 2  x-3

²ÛÅÙ, Ýáñ ëï³óí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ñ³ñáõÙ Ù»Ýù áõÝ»Ýù áã û ï³ñ»ñáõÃÛáõÝ, ³ÛÉ »ñÏáõ ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ, áñÝ Çñ Ñ»ñÃÇÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, ѻ勉³ñ, ïñí³Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, ³ÛëÇÝùÝ`

liո ( x  2 -

x - օ

x-3 )

ÊݹÇñ 3 : ¶ïÝ»É liո ( x - օ

x  2  x -3

liո

x - օ

x 6  3x 2  1 -

x 6 - 5 x 2  2 ):

ÈáõÍáõÙ: ÜáñÇó áõÝ»Ýù »ñÏáõ ¹ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñ»ñáõÃÛáõÝ: Ò¨³÷áË»Ýù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`

f ( x(

x 6  3x 2  1 -

³Ýí»ñç Ù»Í ýáõÝÏódzÛÇ

x 6 - 5x 2  2

x 6  3x 2  1 - x 6  5x 2 - 2 x 6  3x 2  1  x 6 - 5 x 2  2

8x 2 - 1

x 6  3x 2  1  x 6 - 5 x 2  2

ê³Ï³ÛÝ ³Ûë ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ³í³ñ³ñ ã¿, ù³ÝÇ áñ ëï³óí»ó »ñÏáõ ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ñ³»ñáõÃÛáõÝ (

օ օ

ï»ëùÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ): Þ³ñáõݳϻÝù Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

³Å³Ý»Éáí

ѳÛï³ñ³ñÁ

¨

8x - 1

x  3x  1  x 6 - 5 x 2  2

x2

ѳٳñÇãÁ

x2 

íñ³

x2

 4  x2 - 2  4 x x x x

²ÛÅÙ Ù»Ýù ѳٳñÇãáõÙ áõÝ»Ýù ë³Ñٳݳ÷³Ï, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñáõÙ ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛáõÝ, ѻ勉³ñ, ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ù»Ýù Ïëï³Ý³Ýù ³Ýí»ñç ÷áùñ Ù»ÍáõÃÛáõÝ: ºí ³Ûëå»ë

liո ( x 6  3 x 2  1 -

x - օ

8liո

x -օ

x 6 - 5x 2  2 )

x2

x  2  4  x2 - 2  4 x x x x

ÊݹÇñ 4 : ¶ïÝ»É liո

x -օ

(

2 x2 - 3 - x2  1

(

ÈáõÍáõÙ: ²Ûëï»Õ ¨ë Ù»Ýù áõÝ»Ýù »ñÏáõ ¹ñ³Ï³Ý ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñ»ñáõÃÛáõÝ: ê³Ï³ÛÝ ³Ûë ¹»åùáõÙ Ýå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳï³ñ»É ³ÛÉ Ï»ñå, ³Ûëå»ë`

f ( x(

2 x2 - 3 - x2  1

3· 1 · § § x 2 ¨ 2 - 2 ¸ - x 2 ¨1  2 ¸ x ¹ 2 x ¹

§ 1 · x ¨¨ 2 - 2 - 1  2 ¸¸ : x x ¹ êï³ó³Ýù x ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ

x2

1

liո ( 2 x 3 - 3 -

x -օ

Ù»ÍáõÃÛ³ÝÁ, áñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ã¿: л勉³ñ, x2

x2 1 )

liո x ( 2 -

x -օ

x2

-

1

) x2

+օ

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ. 4 ËݹñáõÙ »ñí³Í Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ã¿ñ ϳñ»ÉÇ 2 ¨ 3 ËݹÇñÝ»ñáõÙ, ù³ÝÇ áñ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ù»Ýù ÏÇñ³é»É

Ïëï³Ý³ÛÇÝù ³Ýí»ñç Ù»Í Ù»ÍáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ íñ³ ( օ ր 0 ï»ëùÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ): üáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ

>|

Êݹñ³·Çñù 5 , ¶ÉáõË 7) , ¢ 2,

4.2.14 - 4.2.16 :

òáõóáõÙÝ»ñ ²ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ

ÑÇÙݳϳÝ

ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ, áñÁ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ ٳûٳïÇϳϳÝ

³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝóóáõÙ: f ( x ( ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ, áñÁ x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ï»ÕÇ áõÝÇ

liո f ( x (

x- x0

f ( liո x ) x- x0

f ( x0 (

(1(

ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ f ( x ( ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³ÝÇ Ýß³ÝÇ ¨ ýáõÝÏódzÛÇ Ýß³ÝÇ ï»Õ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ÷áË»É: سëݳíáñ³å»ë, ³Û¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ, »ñ ï³ññ³Ï³Ý

ýáõÝÏódz

¿,

ù³ÝÇ

áñ

ï³ññ³Ï³Ý

f ( x ( -Á

ýáõÝÏódzÝ

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïáõÙ (ï»ë

> 2|

¹³ë³·ÇñùÇ ·ÉáõË II ¢ 9 ): ( 1 ) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë ß³ï Ñ»ßï ·ïÝ»É ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ (Ù³ëݳíáñ³å»ë ï³ññ³Ï³Ý) ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ: üáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÇ ·ïÝ»ÉÁ ѳݷáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÇ Ñ³ßí»ÉáõÝ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïáõÙ: ÆëÏ »Ã» f ( x0 ( –Ý áñáßí³Í ã¿, ³å³ (1(

ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ

ÏáñóÝáõÙ ¿ ÇÙ³ëïÁ: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ Ù»Ýù ³ñ¹»Ý ·Çï»Ýù (ï»ë ݳËáñ¹ Ï»ïÁ), ë³ÑÙ³ÝÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ϳñáÕ »Ýù Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ϳï³ñ»É, áñáÝù ÝáõÛÝ³Ï³Ý »Ý x0 -Ç ßñç³Ï³ÛùáõÙ,

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45 3 42

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²Í³ÝóÛ³É

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Êݹñ³·Çñù 5

¢ 3, 4.3.3 - 4.3.75, 4.3.95 - 4.3.100, 4.3.105 - 4.3.106 : ¸Çý»ñ»ÝódzÉ

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Êݹñ³·Çñù 5 ¢ 3, 4.3.108 - 4.3.109 : »ٳ 4 . ¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

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¸³ë³·Çñù 2 ·ÉáõË 7) èáÉÉÇ, ȳ·ñ³ÝÅÇ, Îáßáõ ûáñ»ÙÝ»ñÁ

>|

Êݹñ³·Çñù 5 , ¢ 4, ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ

4.4.4 :

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Êݹñ³·Çñù 5 , ¢ 4,

4.4.5 :

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Êݹñ³·Çñù 5 , ¢ 4,

4.4.6 :

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ýáõÝÏódzÛÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇ ÙÇçáóáí:

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»ÛÉáñÇ ³Ý³Ó¨Á Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë ѳßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ ݳËûñáù ïñí³Í ó³Ýϳó³Í ×ßïáõÃÛ³Ù: ²Û¹ ³Ý»Éáõ ѳٳñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ, áñáÝù åÇïÇ ³å³Ñáí»Ý ïñí³Í ×ßïáõÃÛáõÝÁ ÏáñáßíÇ

( 4(

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³Ýѳí³ë³ñáõÙÇó, áñï»Õ ծ -Ý ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ß»ÕáõÙÝ ¿: ÊݹÇñ 2 : ú·ï³·áñÍ»Éáí »ÛÉáñÇ ³Ý³Ó¨Á ȳ·ñ³ÝÅÇ Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ï»ëùáí, ѳßí»É ×ßïáõÃÛ³Ù: ÈáõÍáõÙ: f ( x (

e0,1 ¨ e0,2 -Á 0, 001

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3 x n1 < ծ ϳ٠(n  1)!

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ѳñÙ³ñ ¿ Ýñ³Ýáí, áñ ѳçáñ¹³³ñ ѳßí»Éáí

·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ`

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u0 u1 u2 u3

1, 000

0,1 1! (0,1) 2 2! (0,1) 3 3!

0,100 0,01 2! 0, 001 0,001 < 2ր3

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1,105 0,1 ²ÛëåÇëáí, Ù»Ýù ·ï³Ýù, áñ e | 1,105 : ²Ûëï»Õ ( 6 ( å³ÛÙ³ÝÁ ³í³ñ³ñíáõÙ ¿, »ñ k n  1 3 ³ÛëÇÝùÝ, »ñ n 2 : гݷáõÝáñ»Ý Ï·ïÝ»Ýù, áñ e 0.2 | 1.221 (³Ûëï»Õ å³Ñ³ÝçíáÕ ×ßïáõÃÛáõÝÁ ëï³óíáõÙ ¿, »ñ n 3 ):

ºñÏñ³ã³÷áñ»Ý »ÛÉáñÇ ³Ý³Ó¨áí ýáõÝÏódzÛÇ Ùáï³ñÏáõÙÁ ³½Ù³Ý¹³Ùáí Ý߳ݳÏáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÷á˳ñÇÝáõ٠ѳٳå³ï³ëË³Ý ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·ñ³ýÇÏáí: سëݳíáñ³å»ë, »ñ

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x Ե ÜÏ. 17

x

n 1 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÷á˳ñÇÝíáõÙ ¿ áõÕÕáí` ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕáí: Üϳï»Ýù, áñ ³Ûëï»Õ »Ýó¹ñíáõÙ ¿, áñ ѳÛïÝÇ »Ý ÝáõÛÝ ëϽÝ³Ï³Ý Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ¨ Ýñ³

³Í³ÝóÛ³ÉÇ

³ñÅ»ùÝ»ñÁ: ºÃ» ѳÛïÝÇ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏáõ Ùáï ³ñÅ»ùÝ»ñ ¨ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ùáï³íáñ ѳßí»É ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, ³å³ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ÇÝï»ñåáɳódzÛÇ Ù»Ãá¹Á: ²ÛÝ Ï³Û³ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ ³Û¹ 4B

ï»Õ³Ù³ëÇ

4B ѳïí³Íáí ÷á˳ñÇÝÙ³Ý Ù»ç, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 4 ( a , f ( a ( ( , B ( Ե, f ( Ե ( ( Ï»ï»ñáí (ÝÏ. 17 ): ²Û¹ áõÕÕÇ

ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

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y -Á` ɳñÇ, Ïëï³Ý³Ýù

f ( x ( ýáõÝÏódzÛÇ

Ùáï³íáñ ѳßíÙ³Ý ³Ý³Ó¨`

f (Ե) - f (a ) ( x - a( (8( Ե-a ÊݹÇñ 3 : ú·ï³·áñÍ»Éáí 2 ËݹñÇ ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï e0,1 ¨ e0,2 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, ѳßí»É e0,14 -Á ·Í³ÛÇÝ ëï³óí³Í f ( x( | f (a( 

ÇÝï»ñåáɳódzÛÇ »Õ³Ý³Ïáí:

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¨ û·ï³·áñÍ»Éáí

ex , a

0,1; Ե 0, 2; x 0,14

e0,1 | 0,105 ¨ e0,2 | 1, 221 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ,

(8(

³Ý³Ó¨Çó Ïëï³Ý³Ýù

e0,14 | 1.105 

1, 221 - 1,105 ( 0,14 - 0,10 ( | 1,151 : 0, 2 - 0,1

Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë ÝáõÛÝ ëϽáõÝùÇ íñ³ ¿ ÑÇÙÝí³Í ³Ûëå»ë Ïáãí³Í áõÕÕáõÙÝ»ñÇ (ѳٻٳï³Ï³Ý Ù³ë»ñÇ) ÏÇñ³éáõÙÁ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ ¨ ³ÛÉ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñáõÙ (ýáõÝÏódzÛÇ ³×Á ѳٳñíáõÙ ¿ ѳٻٳï³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»ÝïÝ»ñÇ ³×ÇÝ): »ٳ 5 . üáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ ¸³ë³·Çñù

> 2|

·ÉáõË ) ,

¢ 1, 2 ,

>5| ¢ 4,

4.4.9 :

> 2| ,

í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 3, 12, 14, 22, 25, 27, 30, ¢ 7 ,í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¢ 8 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ

40, 44, 52, 54 :

¢6 ,

32, 34 ,

»ٳ 6. üáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ï³éáõóáõÙÁ ¸³ë³·Çñù

> 2| , ·ÉáõË )

ÎáñÇ áõéáõóÇÏáõÃÛáõÝÁ ¨ ·á·³íáñáõÃÛáõÝÁ: ²ëÇÙåïáïÝ»ñ: í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 62, 63, 67 - 71 , ¢ 10 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¢9,

73, 75, 76, 78,108,110 : üáõÝÏódzÛÇ Ñ»ï³½áïÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ åɳÝÝ áõ ϳéáõóáõÙÁ ¢ 11 , ¢ 12 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 84,92,95,96,99,103,134 : »ٳ

·ñ³ýÇÏÇ

7 . гí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ùáï³íáñ ÉáõÍáõÙÁ

¸³ë³·Çñù

> 2| ,

·ÉáõË )7 , ¢ 8 ,

í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ

31,32,34 , >5|

¢ 4, 4.4.7 : »ٳ 8 . ÎáñÇ ÏáñáõÃÛáõÝÁ

> |

¸³ë³·Çñù 2 ·ÉáõË )7 гñà ·ÍÇ ÏáñáõÃÛáõÝÁ ¢ 1, 2,3 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 2, 4,5 , ¢ 4,5 ÎáñáõÃÛ³Ý ß³é³íÇÕ, Ï»ÝïñáÝ ¨ ßñç³Ý, ¾íáÉÛáõï³ ¨ ¿íáÉí»Ýï³ ¢ 6 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 10 - 12 , 19, 23, 25, 26, 29, 41 , ¢ 7 (ûáñ»ÙÝ»ñÇ ³å³óáõóáõÙÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ³ó ÃáÕÝ»É) »ٳ 9 .ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñ: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ

> |

¸³ë³·Çñù 2 , ·ÉáõË )77 ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñ: ÎáÙåÉ»ùë ÷á÷á˳ϳÝÇ ÏáÙåÉ»ùë ýáõÝÏódz í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 7 , ¢ 2 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 1 - 4 , ¢1 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 5, 6,10 , ¢ 4,5 : ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ ¢ 6, 7,8 , í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 11,14 - 16 : ÆÝï»ñåáɳóáõÙ ¢ 9 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ 17,18 :

¢3

ÊݹÇñÝ»ñ ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ 1 y 10 ËݹÇñÝ»ñáõÙ ïñíáõÙ »Ý ÇÝã-áñ 4BՇ »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿` ³) ѳßí»É 4B ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, Շ ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ³ñÓñáõÃÛ³Ý ) ϳ½Ù»É ѳí³ë³ñáõÙÁ, ·) ϳ½Ù»É 4B ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, ¹) ѳßí»É B ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 4Շ ÏáÕÙÇó, 4 ·³·³ÃÇ Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç ») ϳ½Ù»É ѳí³ë³ñáõÙÁ, ½) ѳßí»É 4 ³ÝÏÛáõÝÁ:

1 . 4 ( -6; -4 ( , B ( -10, -1( , Շ ( 6,1( : 2 . 4 (12;0 ( , B (18,8 ( , Շ ( 0;5 ( :

3 . 4 ( -2; -6 ( , B ( -6, -3( , Շ (10, -1( :

4 . 4 ( 8; 2 ( , B (14,10 ( , Շ ( -4, 7 ( :

5 . 4 ( 2; -4 ( , B ( -2, -1( , Շ (14,1( : 6 . 4 ( 2; -1( , B ( 8, 7 ( , Շ ( -10, 4 ( : 7 . 4 ( 5; -3( , B (1, 0 ( , Շ (17, 2 ( :

8 . 4 (14; -6 ( , B ( 20, 2 ( , Շ ( 2, -1( : 9 . 4 ( 3; 4 ( , B ( -1, 7 ( , Շ (15,9 ( :

10 . 4 (1; -2 ( , B ( 7, 6 ( , Շ ( -11,3( :

11 . γ½Ù»É ¿ÉÇåëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0.8 -Ç, ÇëÏ Ýñ³ ÇÝã-áñ Ï»ïÇó ïñí³Í ýáÏ³É ß³é³íÇÕÝ»ñÁª 2 -Ç ¨ 3 -Ç: ÀݹáõÝ»Éáí, áñ ¿ÉÇåëÇ Ù»Í ÏÇë³³é³ÝóùÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³ëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï, ÇëÏ Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÁ` Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽݳϻïÇ Ñ»ï: 12 . 9 x 2 - 16 y 2

144 ÑÇå»ñáÉÇ íñ³ ·ïÝ»É ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ,

áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ó³Ë ¨ ³ç ýáÏáõëÝ»ñÇó ѳñ³»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 1: 2 :

13 .

¶ïÝ»É y 2 թx å³ñ³áÉÇ å³ñ³Ù»ïñÁ ¨ ¹Çñ»ÏïñÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ å³ñ³áÉÝ ³ÝóÝáõÙ ¿

x áõÕÕÇ ¨ x 2  y 2 - 6 x

y

14 .

0 ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñáí:

x y  441 216

1 ¿ÉÇåëÇ íñ³ ·ïÝ»É ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝóáõÙ

ýáÏ³É ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áËáõÕճѳ۳ó:

(

15 . ÐÇå»ñáÉÇ ýáÏáõëÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý

(

F1

(

7 ;0

(

¨

F2 - 7 ,0 Ï»ï»ñáõÙ: ÐÇå»ñáÉÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 4(2;0 ( Ï»ïáí: ¶ïÝ»É Ýñ³ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÝ áõ Ýñ³Ýóáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ: 16 . γ½Ù»É ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý 4(2;2) Ï»ïÇó ¨ ³ëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇó: 17 . γ½Ù»É Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝóÇó ³í»ÉÇ Ñ»éáõ ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 4(3;0) Ï»ïÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù ·ïÝíáõÙ, ù³Ý ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇó: 18 . γ½Ù»É Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ ëϽݳϻïÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³»ñáõÃÛáõÝÁ 3 x  16 0 áõÕÕÇó ѳí³ë³ñ ¿ 0,6 -Ç:

19 . γ½Ù»É Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 4(1;0) Ï»ïÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿, ù³Ý B ( -2;0) Ï»ïÇó: 20 . γ½Ù»É ³ÛÝ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ

»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝù ßáß³÷áõÙ »Ý ³ëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ¨ ³ÝóÝáõÙ` 4(0;3) Ï»ïáí:

21 y 30 ËݹÇñÝ»ñáõÙ ïñí³Í »Ý 41 42 43 44 áõñ·Ç ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ í»Ïïáñ³Ï³Ý ÙÇçáóÝ»ñáí ·ïÝ»É` ³) 41 42 ¨ 41 44 ÏáÕ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ,

ѳÝñ³Ñ³ßíÇ

)

41 42 43 ÏáÕÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, ·) 41 43 í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý 41 44 í»ÏïáñÇ íñ³, ¹) áõñ·Ç ͳí³ÉÁ:

21 . 41 ( 3;1; 4 ( ,

22 . 41 ( 3;3;9 ( ,

42 ( -1;6;1( , 42 ( 6;9;1( ,

43 ( -1;1;6 ( ,

43 (1;7;3( ,

44 ( 0; 4; -1( :

44 ( 8;5;8 ( :

23 . 41 ( 3;5; 4 ( ,

42 ( 5;8;3( ,

43 (1;9;9 ( ,

25. 41 ( 9;5;5 ( ,

42 ( -3;7;1( ,

43 ( 5;7;8 ( ,

27 . 41 ( 5;5; 4 ( ,

42 ( 3;8; 4 ( ,

24 . 41 ( 2; 4;3( , 26 . 41 ( 0;7;1( ,

42 ( 7;6;3( ,

43 ( 4;9;3( ,

44 ( 6; 4;8 ( :

44 ( 3;6;7 ( :

44 ( 6;9; 2 ( :

42 ( 4;1;5 ( ,

43 ( 4;6;3( ,

44 ( 3;9;8 ( :

28 . 41 ( 6;1;1( ,

42 ( 4;6;6 ( ,

43 ( 4; 2;0 ( ,

44 (1; 2;6 ( :

30 . 41 ( 6;6; 2 ( ,

42 ( 5; 4;7 ( ,

43 ( 2; 4;7 ( ,

44 ( 7;3;0 ( :

43 ( 3;5;10 ( ,

44 ( 5;8; 2 ( :

29 . 41 ( 7;5;3( , 42 ( 9;4;4( , 43 ( 4;5;7( , 44 ( 7;9;6( :

31 y 40

ÊݹÇñÝ»ñáõÙ ³å³óáõó»É ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳٳï»Õ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ ¨ ÉáõÍ»É ³ÛÝ »ñÏáõ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí` ³) ¶³áõëÇ »Õ³Ý³Ïáí, ) Ù³ïñÇó³ÛÇÝ »Õ³Ý³Ïáí:

31 .

32 .

33 .

34 .

35 .

33 x1  4 x 2  2 x3 8 ° ®2 x1 - 4 x 2 - 3 x3 -1 °x  5x  x 0 ¯ 1 37 x1 - 5 x 2 31 ° ®4 x1  11x 2 -43 °2 x  3 x  4 x ¯ 1 35 x1  8 x 2 - x3 7 ° ®2 x1 - 3 x 2  2 x3 9 ° x  2 x  3x 1 ¯ 1 3 x1  2 x 2  x3 4 ° ®3 x1 - 5 x 2  3 x3 1 °2 x  7 x - x 8 ¯ 1 33 x1  x 2  x3 5 ° ® x1 - 4 x 2 - 2 x3 -3 °- 3 x  5 x  6 x 7 ¯

3 x1  x 2 - x3 1 ° 36 . ®8 x1  3 x 2 - 6 x3 2 °- 4 x - x  3 x ¯ 32 x1 - x 2  5 x3 4 ° 37 . ®5 x1  2 x 2  13 x3 -23 °3 x - x  5 x 0 ¯ 1 3 x1 - 2 x 2  3 x3 6 ° 38 . ®2 x1  3 x 2 - 4 x3 20 °3 x - 2 x - 5 x 6 ¯ 1 3 x1  x 2 - x3 -2 ° 39 . ®4 x1 - 3 x 2  x3 1 °2 x  x - 5 x 1 ¯ 1 34 x1 - 3 x 2  2 x3 9 ° ®2 x1  5 x 2 - 3 x3 14 °5 x  6 x - 2 x 18 ¯ 1 41 y 50 ¶ïÝ»É Ýßí³Í ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, ³é³Ýó û·ïí»Éáõ ÈáåÇï³ÉÇ

ϳÝáÝÇó.

2x 2  x - 3 3x 5 - 4 x 2  1 liո , ) , x -օ 2 x 5  3 x 3 - x x -1 x 2  x - 2 5x  1 - 4 tg 2 4 x ·) liո , ¹) liո , x -3 x - 0 x sin 3 x x-3

41 . ³) liո

x

») liո(7 - 3 x ( 2 x - 4 : x-2

42 .

4 x 3  3x 2 - 1 2 x 2 - 3x - 2 liո , ) , x -օ 2 x 3 - 3 x  1 x-2 x 2 - 3x  2 1 - cos 4 x ·) liո , x -0 x sin 3 x ³)

liո

4  3x - 4 - 3x , 7x ») liո(2 x  3(>ln ( x  2 ( - ln ( x  3(| :

¹) liո x -0

x -օ

43 .

6 x 5 - 3x 2  1 3x 2 - 14 x - 5 liո , ) , x -օ 3 x 5 - 2 x  3 x -5 x 2 - 6 x  5 5x  4 - 3 a7Շtg 3 x ·) liո , ¹) liո , x -1 x -0 4x 2x - 1 - 1 ») liո ( x  3(>ln (2 - 4 x ( - ln (1 - 4 x (| : ³)

liո

x - -օ

44 .

45 .

x 6 - 3x 2 - 2 3x 2 - 10 x  3 , ) , liո x -օ 2 x 6  4 x  5 x -3 x 2 - 2 x - 3 x -2 ·) liո , ¹) liո x sin 2 xՇtg 5 x , x-4 x -0 2x  1 - 3 ³)

liո

»)

liո(3x - 5( x -2 : x-2

x3 - 4x 2  2 2 x 2 - 13 x - 7 liո , ) , x -օ 3 x 3  2 x 2 - x x -7 x 2 - 9 x  14 x-2 ·) liո xՇtg 7 x , ¹) liո , x-2 x -0 4x  1 - 3 ³)

»)

46 .

x2

liո

liո(3 x - 8( x -3 : x -3

x 4 - 3x 2  2 2 x 2 - 5x - 3 ³) liո , ) liո 2 , x -օ 5 x 4 - 3 x - 2 x -3 x - 5 x  6 x -1 - 2 ՒՇcsin 3x ·) liո , ¹) liո , x -5 x -0 5x 2x - 1 - 3 ») liո ( x  5(>ln (2 x - 3( - ln (2 x  3(| : x - օ

47 .

9x5 - 4x 4  2 2 x 2 - 11x  5 liո , ) , x -օ 3 x 5 - 2 x - 1 x -5 x 2 - 7 x  10 1 - cos 5 x 9 x -3 ·) liո , ¹) liո , x -0 x -0 xtg 2 x x x ³)

liո

»)

48 .

x2

liո(2 x - 3( x - 2 : x-2

3x 3 - 4 x  1 2 x 2 - 9 x - 18 , ) , liո x -օ x 3 - 2 x 2 - 1 x -6 x 2 - 7 x  6 3x  10 - 4 ·) liո , ¹) liո sin 5 xՇtg 3 x , x-2 x -0 x-2 ») liո ( x  4 (>ln (2 x  7 ( - ln (2 x - 3(| : ³)

liո

x - օ

49 .

4 x 5 - 3x 2  1 3x 2 - 17 x - 28 , ) , liո x -օ 2 x 5 - 2 x  3 x -7 x 2 - 9 x  14 x-3 5x ·) liո , ¹) liո , x -3 x -0 a7Շtg 6 x 4x - 3 - 3 ³) liո

x

») liո(3 x - 2 ( x -1 : x -1

50 .

9x3 - 4x 2  1 3x 2 - 8 x - 3 , ) , liո x -օ 6 x 3  3 x  2 x -3 x 2 - x - 6 x-7 ·) liո , ¹) liո sin 8 xՇtg 3 x , x -7 x -0 2x  1 - 5 ») liո ( x - 2 (>ln ( x - 1( - ln ( x  1(| : ³)

liո

x - օ

51 y 60 îñí³Í ¿ y f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ x1 ¨ x 2 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿. ³) ä³ñ½»É, ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ û ˽íáÕ x -Ç ³Û¹ »ñÏáõ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ, ) ýáõÝÏódzÛÇ Ë½íáÕ ÉÇÝ»Éáõ ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É Ýñ³ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý

¨ ӳ˳ÏáÕÙÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ,

·) ϳï³ñ»É ë˻ٳïÇÏ ·Í³·ÇñÁ: 51 . f ( x) 52 . f ( x) 53 . f ( x)

x -5 x-2 x-4

; x1

5 , x2

7,

;

x1

2 , x2

3,

; x1

4 , x2

5,

54 .

f ( x)

x -3

;

x -7

x1

3 , x2

6,

55 .

f ( x)

; x1

7 , x2

9,

56 .

f ( x) 16 x - 2 ; x1

2 , x2

6,

; x1

4 , x2

6,

;

x1

6 , x2

8,

; x1

3 , x2

5,

57 . 58 .

f ( x) f ( x)

59 .

f ( x)

x-4

x -6 x -3

8 x - 2 ; x1 2 , x 2 5 : ÎÇñ³é»Éáí y e x ýáõÝÏódzÛÇ

60 . 61 y 70

f ( x)

»ÛÉáñÇ

³Ý³Ó¨Á

ȳ·ñ³ÝÅÇ Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³Ùáí, ѳßí»É 0, 001 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ù

e a -Ç ¨ e Ե -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: àñÇó Ñ»ïá ·Í³ÛÇÝ ÇÝï»ñåáÉÛ³ódzÛÇ x x Ù»Ãá¹áí ѳßí»É e 1 ¨ e 2 -Ç Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: 61 . a 0.51 , Ե 0.54 , x1 0.52 , x 2 0.53 : 62 . a 0.55 , Ե 0.58 , x1 0.56 , x 2 0.57 : 63 . a 0.59 , Ե 0.62 , x1 0.60 , x 2 0.61 : 64 . a 0.63 , Ե 0.66 , x1 0.64 , x 2 0.65 : 65 . a 0.67 , Ե 0.70 , x1 0.68 , x 2 0.69 : 66 . a 0.71 , Ե 0.74 , x1 0.72 , x 2 0.73 : 67 . a 0.75 , Ե 0.78 , x1 0.76 , x 2 0.77 : 68 . a 0.79 , Ե 0.82 , x1 0.80 , x 2 0.81 : 69 . a 0.83 , Ե 0.86 , x1 0.84 , x 2 0.85 : 70 . a 0.87 , Ե 0.90 , x1 0.88 , x 2 0.89 : 71 y 80 ¶ïÝ»É y f (x) ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ >a, Ե | ѳïí³ÍáõÙ: x6 >- 5,5|: 71 . f ( x) , x 2  13

72 . f ( x) 73 . f ( x) 74 . f ( x) 75 . f ( x)

76 . f ( x) 77 . f ( x) 78 . f ( x) 79 . f ( x) 80 . f ( x)

x  cos x , x-3 , x 2  16 x - sin x , x3 , x2  7 x  cos x , x-5 , x 2  11 x - sin x , x-4 , x2  9 x  cos x ,

ªS º «¬ 2 , S »¼ :

>- 5,5|: ª 3S º «¬ 2 ,2S »¼ :

>- 3,7| : ª 3S º «¬- 2 ,-S »¼ :

>- 3,7| : 3 º ª «¬- 2S ,- 2 S »¼ :

>- 4,6|: 3S º ª «¬- 2S ,- 2 »¼ :

81 . ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ å³ïñ³ëï»É í»ñ¨Çó ³ó ) ͳí³Éáí

·É³Ý³ÛÇÝ ³ù, Áݹ áñáõ٠ѳï³ÏÇ ÝÛáõÃÇ ù³é³ÏáõëÇ Ù»ïñÝ ³ñÅ» P1 ¹ñ³Ù, ÇëÏ å³ïÇ íñ³ ·Ý³óáÕ ÝÛáõÃÇÝÁ` P2 ¹ñ³Ù: гï³ÏÇ ß³é³íÕÇ ¨ ³ùÇ ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÇÝãåÇëÇ Ñ³ñ³»ñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ³ùÇ íñ³ ͳËëíáÕ ÝÛáõÃÇ Í³ËëÁ ÏÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: 82 . àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳٳϳñ·áõÙ (1;2 ( Ï»ïáí ï³ñí³Í ¿ áõÕÇÕ, áñÁ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ »é³ÝÏÛáõÝ I ù³éáñ¹áõÙ: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÇó áõÕÕáí Ïïñí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÁ, áñå»ë½Ç ëï³óí³Í »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: 83 . 11 ë٠ɳÛÝáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ÃÇûÕÛ³ ß»ñïÇó å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ å³ïñ³ëï»É í»ñ¨Çó ³ó çñÑáñ¹³Ý, áñÇ É³ÛݳÏÇ Ñ³ïáõÛÃÝ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³ÝÇ Ó¨: æñÑáñ¹³ÝÇ Ñ³ï³ÏÁ å»ïù ¿ áõݻݳ 7 ë٠ɳÛÝáõÃÛáõÝ: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ çñÑáñ¹³ÝÇ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨áõÙ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ ï»Õ³íáñÇ ³Ù»Ý³ß³ï ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ù çáõñ:

84 . àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ñ³Í³ÝÇ É³ÛݳÏÇ Ñ³ïáõÛÃÇ ë»ÕÙÙ³Ý ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ѳٻٳï³Ï³Ý ¿ ³Û¹ ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇÝ: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý 4 ïñ³Ù³·Íáí ·»ñ³ÝÇó å³ïñ³ëïí³Í ѳͳÝÇ Ñ³ïáõÛÃÇ ã³÷ë»ñÁ, áñå»ë½Ç Ýñ³ ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ: 85 . àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ñ³Í³ÝÇ É³ÛݳÏÇ Ñ³ïáõÛÃÇ ÍéÙ³Ý ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ѳٻٳï³Ï³Ý ¿ ³Û¹ ѳïáõÛÃÇ É³ÛÝáõÃÛ³Ý ¨ ³ñÓñáõÃÛ³Ý ù³é³Ïáõëáõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý 4 ïñ³Ù³·Íáí ÏÉáñ ·»ñ³ÝÇó Ïïñí³Í ѳͳÝÇ Ñ³ïáõÛÃÇ ã³÷ë»ñÁ, áñ Ýñ³ ÍéÙ³Ý ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ: 86 . àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳٳϳñ·áõÙ (1;4 ( Ï»ïáí ï³ñí³Í ¿ áõÕÇÕ, áñÁ ѳïíáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï: ¶ñ»É ³ÛÝ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇó Ïïñí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ëï³ÝáõÙ ¿ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù: 87 . ÎïáñÇó å³ïñ³ëïí³Í ) ͳí³É áõÝ»óáÕ íñ³ÝÝ áõÝÇ áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ÏáÝÇ Ó¨: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ ÏáÝÇ ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³»ñáõÃÛáõÝÁ ÑÇÙùÇ ß³é³íÕÇÝ, áñå»ë½Ç íñ³ÝÇ íñ³ ͳËëíÇ ³Ù»Ý³ùÇã ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ù Ïïáñ: 88 . 30 ë٠ɳÛÝáõÃÛ³Ù ÃÇûÕÇ ß»ñïÇó å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ å³ïñ³ëï»É í»ñ¨Çó ³ó çñÑáñ¹³Ý, áñÇ É³ÛݳÏÇ Ñ³ïáõÛÃÝ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³ÝÇ Ó¨: æñÑáñ¹³ÝÇ Ñ³ï³ÏÇ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ å»ïù ¿ ÉÇÝÇ 10 ëÙ: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ çñÑáñ¹³ÝÇ Ñ³ï³ÏÇ ¨ ÏáÕùÇ å³ï»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ ï»Õ³íáñÇ çñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ù³Ý³ÏáõÃÛáõÝ:

89 . àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ñ³Í³ÝÇ É³ÛݳÏÇ Ñ³ïáõÛÃÇ ÍéÙ³Ý ³Õ»ÕÁ

ѳϳ¹³ñÓ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ¿ Ýñ³ ѳïáõÛÃÇ É³ÛÝáõÃÛ³Ý ¨ ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý Ñ³Í³ÝÇ ã³÷ë»ñÁ, áñÁ Ïïñí»É ¿ 4 ïñ³Ù³·Íáí ÏÉáñ ·»ñ³ÝÇó, áñå»ë½Ç ÍéÙ³Ý ³Õ»ÕÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ (³Ù»Ý³ÏáßïÁ): 90 . ¶ïÝ»É ) ͳí³Éáí ·É³ÝÇ ß³é³íÕÇ ¨ ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³»ñáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ Ïáõݻݳ ÷áùñ³·áõÛÝ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃ: 91 y 100 ¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßíÇ Ù»Ãá¹Ý»ñáí ѻﳽáï»É ýáõÝÏódzݻñÁ ¨ ϳéáõó»É Ýñ³Ýó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ, û·ï³·áñÍ»Éáí ѻﳽáïÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ: 91 . ³) y

x , x 1

)

y

ex : x

92 . ³) y 93 . ³) y 94 . ³) y 95 . ³) y 96 . ³) y 97 . ³) y

§ x  1· ¨ ¸ , 2 x -1¹ x

(x - 1(

(x - 1(

2x - 1

)

y

ln(2 x 2  3) :

,

)

y

x 3e - x :

,

)

y

: e -1

)

y

x - ln( x  1) :

)

y

e x2 :

)

y

)

y

x 2 ln x :

)

y

ln

)

y

x - ln x :

x2 , x2 -1 x3 , 2( x  1) 2 x 3  16 , x

x

e

2 x -1

:

98 . ³) y 99 . ³) y 100 . ³) y

§ x  2· ¨ ¸ , 2 x -1 ¹ x3 -1 , 4x 2 , x  x 1

x 1 : x2

òáõóáõÙÝ»ñ

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÁ ϳï³ñ»Éáõ í»ñ³»ñÛ³É àôë³ÝáÕÁ å»ïù ¿ ϳï³ñÇ ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÇ ³ÛÝ ï³ñ»ñ³ÏÁ, áñÁ Ýñ³Ý ѳÝÓݳñ³ñáõÙ ¿ ¹³ë³ËáëÁ: êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÇ Ï³ï³ñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ å³Ñå³Ý»É Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÝ»ñÁ. 1 . ²ß˳ï³ÝùÇ í»ñݳ·ñáõÙ å»ïù ¿ å³ñ½ ·ñí³Í ÉÇÝÇ áõë³ÝáÕÇ ³ÝáõÝ, ³½·³ÝáõÝ, ѳÛñ³ÝáõÝÁ, ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÇ ï³ñ»ñ³ÏÁ ¨ ³ß˳ï³ÝùÇ áõÑ Ý»ñϳ۳óíáÕ Å³ÙÏ»ïÁ: 2 . êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ï»ïñ»ñáõÙ, ¨ áã ûñûñÇ íñ³, ³Ýå³ÛÙ³Ýáñ»Ý ·ñÇãáí (áã ϳñÙÇñ ·áõÛÝáí), Éáõë³ÝóùÝ»ñáíª ¹³ë³ËáëÇ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

3 . êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÇ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ϳï³ñíáõÙ »Ý ¨ ¹³ë³íáñíáõ٠ѳٳñÝ»ñÇ ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí, áñÁ Ýßí³Í ¿ ëïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñáõÙ, ¨ ÙÇÝã ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÁ å»ïù ¿ ÉñÇíáõÃÛ³Ù ·ñíÇ Ýñ³

å³ÛÙ³ÝÁ:

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1 . Æ.Æ. äñÇí³Éáí, “²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ”, ºñ¨³Ý, 1970 2 .Ü. ê.äÇëÏáõÝáí, “¸Çý»ñ»ÝóÇ³É ¨ ÇÝï»·ñ³É ѳßÇí”, Ñ.I, ºñ¨³Ý, 1976 3 .  . . “      ”, . 2006 4 .  . .  . “   ! ""   #   ”, “   ”, . 1965 5 . ².Ê.ʳã³ïñÛ³Ý, Ð.ì. гÙ³ñÓáõÙÛ³Ý “´³ñÓñ³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ ËݹÇñÝ»ñÇ ¨ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÅáÕáí³Íáõ” ºñ¨³Ý, 2000 Èñ³óáõóÇã ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ

1. ê.Î.ä»ïñáëÛ³Ý, “´³ñÓñ³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇϳ”, Ñ.I êï»÷³Ý³Ï»ñï, 2007 2 . $. . , .$.%  #&, $..% , '.(.  , “    ”, ., 2003, . 1 3 . ( ) $.$., & *.., “"   #    “, . “   ”, 1971

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