ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐ (ԹՎԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ)

Վ.Խ. ՆԱՎՈՅԱՆ, Ք.Վ. ՕԹԱՐՅԱՆ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐ

(ԹՎԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ)

ԵՊՀ հրատարակչություն ԵՐԵՎԱՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ԻՋԵՎԱՆԻ ՄԱՍՆԱ ՅՈՒ

ՎԱՐԱԶԴԱՏ ԽԱԺԱԿԻ ՆԱՎՈՅԱՆ,

ՔՆԱՐ ՎԼԱԴԻՄԻՐԻ ՕԹԱՐՅԱՆ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐ

(ԹՎԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՁԵՌՆԱՐԿ)

ԵՐԵՎԱՆ ԵՊՀ հրատարակչություն

Դ Դ Հրատարակության չ »րաշխավոր»լ ՏՁՀ Իջնանի մասնաճյու0ի գիտական խորհուրդը Գրախոս

7իզմաթ. գիտ. դոկտոր,

¾

Բարձրագույն մաթ»մատիկայի լաբորատոր աշխատանքն»ր (թվային մ»թոդն»ր): Տր.: ՏՁՀ հրատ., 2010 թ., 70 չջ:

րո7»սոր Յու.Ռ. ՀԱԿՈԲՅԱՆ

Ուսումնական ձ»ռնարկը նվիրված չ «Ճվային մ»թոդն»ր» առարկայի լաբորատոր աշխատանքն»րին: Ձ»ռնարկի | ն || մաս»րում դիտարկվում »ն հիմնական թվային մ»թոդն»րը ն նկարագրվում չ որոշ մաթ»մատիկական խնդիրն»րի լուծումը նրանց միջոցով: ||| մասում բ»րվում »ն Շ լ»զվով գրված համա ատասխան լաբորատոր աշխատանքն»րի ամ-ո- ծրագր»րը: Յուրաքանչյուր աշխատանքից հ»տո զ»տ»0ված »ն առաջադրանքն»ր ինքնուրույն աշխատանքի համար: Ձ»ռնարկը նախատ»սված չ բուհ»րի բնագիտական 7ակուլտ»տն»րի ուսանո0ն»րի համար: 2յն կարո0 չ օգտակար լին»լ մագիստրանտն»րին ն աս իրանտն»րին,որոնք իր»նց հ»տազոտությունն»րում առնչվում »ն թվային մ»թոդն»րի հ»տ:

ՆԱԽԱԲԱՆ 1իրառական խնդիրն»րի մ»ծ մասը (ինժ»ն»րական, տնտ»սագիտական, կ»նսաբանական ն այլն), որոնց արդյունքն»րը »տք չ ստացվ»ն թվային տ»սքով, բ»րվում »ն մաթ»մատիկական խնդիրն»րի, որոնք չլ իր»նց հ»րթին լուծվում »ն տարբ»ր հաշվո0ական մ»թոդն»րով: Ուսումնական ձ»ռնարկում դիտարկվում »ն հիմնական թվային մ»թոդն»րը ն նրանց միջոցով տրվում չ որոշ մաթ»մատիկական խնդիրն»րի լուծումը: Ձ»ռնարկը կազմված չ 3 մասից: Ձ»ռնարկի | մասում ընդգրկված »ն 8 լաբորատոր աշխատանքն»ր՝ նվիրված թվային անալիզի ավանդական հարց»րին. 7ունկցիայի մոտավոր արժ»քն»րի հաշվումը, գծային հավասարումն»րի համակարգ»րի մոտավոր լուծումը Գաուս-Ժորդանի մ»թոդով, ոչ գծային հավասարումն»րի մոտավոր լուծումը, -ագրանժի ինտ»ր ոլացիոն բանաձնը, Սյուտոնի ինտ»ր ոլացիոն բանաձն»րը, թվային ածանցում, »րկու -ո-ոխականի 7ունկցիայի ինտ»ր ոլացիան, ինտ»գրալն»րի մոտավոր հաշվումը 6իմ սոնի բանաձնով: Ձ»ռնարկի || մասում ընդգրկված »ն լաբորատոր աշխատանքն»ր՝ նվիրված դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի լուծման թվային մ»թոդն»րին. դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի լուծման անալիտիկ մ»թոդն»րը, 3յլ»րի մ»թոդը, 3յլ»րի մոդի7իկացված մ»թոդը: Ձ»ռնարկի ||| մասում բ»րված »ն Շ լ»զվով գրված համա ատասխան լաբորատոր աշխատանքն»րի ամ-ո- ծրագր»րը: Յուրաքանչյուր լաբորատոր աշխատանքից հ»տո բ»րվում չ լուծված տի ային օրինակ ն տրվում առաջադրանքն»ր ինքնուրույն աշխատանքի համար (20-ական տարբ»րակն»ր) : Ձ»ռնարկը նախատ»սված չ բուհ»րի բնագիտական 7ակուլտ»տն»րի ուսանո0ն»րի համար: 2յն կարո0 չ օգտակար լին»լ նան մագիստրանտն»րին ն աս իրանտն»րին: Ինչ »ս »րնում չ ձ»ռնարկի վ»րջում բ»րված գրականության ցանկից, թվային մ»թոդն»րից մինչ այժմ հայ»ր»ն հրատարակված »ն ընդամ»նը մ»կ դասագիրք ն մ»կ բրոշյուր: 2յս առումով նույն »ս հուսով »նք, որ սույն ձ»ռնարկի լույս ընծայումը ավ»լորդ չի ընկալվի: Ձ»ռնարկի մասնագիտական խմբագրումն իրականացր»լ ու »րրորդ մասի ծրագր»րը կազմ»լ չ օ.1. Օթարյանը: Բոլոր դիտո0ությունն»րը ն ցանկությունն»րն՝ ուսումնական ձ»ռնարկի հ»տագա կատար»լագործման համար շնորհակալությամբ կընդունվ»ն հ»0ինակն»րի կո0մից:

ԹՎԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐՈՎ ԽՆԴՐԻ

ԼՈՒԾՄԱՆ ՓՈՒԼԵՐԸ

Ճվային մ»թոդն»րով խնդրի լուծման -ուլ»րն »ն. 1. Խնդրի դրվածքըը բովանդակային ձնակ»ր ումը ն առաջադրվո0 ահանջն»րը: 2. Խնդրի մաթեմատիկական մոդելը ը խնդրի դրվածքի մաթ»մատիկական նկարագրությունը:Որոշ դ» ք»րում առաջանում չ խնդրի դրվածքի ճշգրտման,գլխավոր որոշիչ -աստ»րի առանձնացման, արդյունքի վրա քիչ ազդ»ցություն ուն»ցո0 այմանն»րի անտ»սման անհրաժ»շտություն: Յ. Չաշվո ական մեթոդի ընտրությունը : 2յն կարնոր չ կիրառական խնդիրն»ր լուծ»լու համար,քանի որ չականոր»ն ազդում չ արդյունքի վրա: Ընդ որում նույն հաշվո0ական մ»թոդը կար»լի չ օգտագործ»լ տարբ»ր կիրառական խնդիրն»րի լուծման համար, ն միաժամանակ նույն խնդիրը հնարավոր չ լուծ»լ տարբ»ր հաշվո0ական մ»թոդն»րով: Սշ»նք որ, մ»թոդի ընտրությունը մասնակիոր»ն կախված չ նան մուտքային տվյալն»րից: 4. Մեթոդի ալգորիթմըը գործո0ությունն»րի կատարման քայլ»րի ճշգրիտ հաջորդականությունը: 2լգորիթմը կար»լի չ ն»րկայացն»լ լ»զվաբանաձնային տ»սքով:

 

Որ »ս օրինակ դիտարկ»նք տրված x x 

π  արգում»նտի համար 2

sin x արժ»քը հաշվ»լու ալգորիթմը: Ինչ »ս հայտնի չ sin x 7ունկցիան կար»լի չ ն»րկայացն»լ աստիճանային շարքի տ»սքով.

sin x  x 

x3 x 2n1 n1  ...   1  ... 2n  1! 3!

2նհրաժ»շտ չ սահմանա-ակվ»լ վ»րջավոր թվով գումար»լին»րով, որոնց գումարը կլինի sin x 7ունկցիայի մոտավոր արժ»քը: Ընդ որում, սխալանքը -ոքր կլինի ցանկացած   0 թվից, »թ» շարքի անտ»սված առաջին անդամի մոդուլը -ոքր լինի  -ից:

Մեթոդի ալգորիթմը: արքի հաջորդական անդամն»րի հաշվումը, նրանց գումարումը կատար»նք ռ»կուր»նտ (անդրադարձ) բանաձնով.

u1  x , un  un1

x2 n  2,3,...; 2n  22n  1

s1  x , sn  sn1  un n  2,3,... :

2լգորիթմի լ»զվաբանաձնային նկարագրությունը.

Սկիզբ u1  x , s1  x , n  1;

Կրկնության սկիզբ n  n 1

յաշվել un  un1

x ; 2n  22n  1

յաշվել sn  sn1  un , եթե un  ; ապա կրկնության ավարտ sin x  sn ; 5. 6.

Վերջ: ՉՄ-ի մի ոցով ալգորիթմի իրականացում: տացված արդյունքների անալիզ:

ՄԱՍ |

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 1

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՀԱՇՎՈՒՄԸ

Դիցուք տրված չ y  f x  7ունկցիան a, b հատվածում:

հ»նք a, b հատվածը n հավասար մաս»րի

րո-

x k  a  kh , k  0,1,...n :

2յստ»0 h  b  a : Ձահանջվում չ հաշվ»լ y  f x  7ունկցիայի արn ժ»քն»րը a, b հատվածի h քայլով տրոհման կ»տ»րում ն ծայրակ»տ»րում:

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

1. Հաշվ»լ y  f x  7ունկցիայի արժ»քն»րը

a, b

քայլով տրոհման կ»տ»րում ն ծայրակ»տ»րում: 2. 1առուց»լ 7ունկցիայի գրա7իկը:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

Սկիզբ Ներմուծել n , a , b մեծությունները: x  a; k  0; յաշվել.

ba ; n Ընդհանուր քայլ կրկնության սկիզբ h

x  a  kh; y  f x 

k  k 1

եթե k  n , ապա կրկնության ավարտ: վերջ:

հատվածի h

ՕՐԻՆԱԿ Հաշվ»լ f(x)  0.382 x  x 7ունկցիայի արժ»քն»րը 1,3;5,3 հատ0.4385x  5 վածում h քայլով:

ԼՈՒԾՈՒՄ Տթ» n  10, ա ա h  0,4 :

րոհ»նք 1,3;5,3 հատվածը n հավասար մաս»րի: Հաշվ»նք 7ունկցիայի արժ»քն»րը տրոհման կ»տ»րում ու 1,3;5,3 հատվածի ծայրակ»տ»րում: Հաշվարկի հաջորդական արդյունքն»րը բ»րված »ն ա0յուսակում: լ լ լ

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

3,3

3,7

4,1

4,5

4,9

5,3

0,32 0,41 0,52 0,65 0,78

0,92

1,08

1,24 1,41 1,59

1,77

0.382 x 2  x 7ունկցիայի մոտավոր գրա0.4385 x  5 7իկը՝ սահուն միացն»լով համա ատասխան կ»տ»րը: 2յժմ կառուց»նք y 

1.8 1.6 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2

Ե

ԱԿԱ ՈՒ

ՈՒՆ. Աունկցիան մոնոտոն աճում չ 1,3;5,3 մի-

ջակայքում:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

Ւ

( )

x

x



0 .3 x

1 

2 x

2e x 2  x cos

x

1  4 x sin

x

x

e 1  x

e

2 x

 x

1

( e  x ) s in (

x

3  2 x tg

x

 3 cos

( 4  7 x ) s in ( x2

x

sh

ch

x

 3 x 

1  x )

e (13xx )

1 

x 2 

  chx 



e

1  2 x

3 x

x

sin

 5 cos

arccos e 

3x

3 x  x

x

e



2 x



1 

x

 2  x  shx 

x

x  1 )

2  3x ln( 1  3x 2 )

Յ

Ե

հ

1,1

3,1

0,2

2.05

3.05

0.1

1.6

0.16

0.1

0.1

0.8

0.07

1.4

2.4

0.1

0.25

2.25

0.2

1.8

2.8

0.1

0.1

0.9

0.08

-0.1

0.9

0.1

2.5

0.15

0.7

0.2

1.7

0.17

1.2

0.12

0.5

1.5

0.1

-0.2

0.8

0.1

0.2

0.5

1.5

0.1

0.2

0.5

0.03

1  3x

0 , 25

1 

x

e

x

 e e



  

 x

 x

  

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 2

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ

ՄՈՏԱՎՈՐ ԼՈՒԾՈՒՄԸ ԳԱՈՒՍ ԺՈՐԴԱՆԻ ՄԵԹՈԴՈՎ

Գծային հավասարումն»րի n -րդ կարգի համակարգը ընդհանուր դ» քում ունի հ»տնյալ տ»սքը.

  a11 x1  a12 x 2  ...  aij x j  ...  a1n x n  h1 ,  ..............................................................  a x  a x  ...  a x  ...  a x  h , , ij j in n i  i1 1 i 2 2 an1 x1  an 2 x 2  ...  anj x j  ...  ann x n  hn , կամ՝

n

 aij x j  hi j 1

(1)

i  1,n :

n անհայտն»րից n գծային հավասարումն»րի (1) համակարգը լուծ»լու համար, որի որոշիչը զրո չչ ,կար»լի չ կիրառ»լ այս »ս կոչված ժորդանյան արտաքսումն»րը: Դիցուք տրված չ x1 ,..., x j ,..., x n n անկախ -ո-ոխականն»րով y1 ,..., y j ,..., y m m գծային ձն»րի հ»տնյալ համակարգը.

y i  a i 1 x 1  a i 2 x 2  ...  a ij x j  ...  a in x n

( i  1, n )

(2)

(2) համակարգը կար»լի չ գր»լ ա0յուսակի տ»սքով. x1 x 2 ........ x s ........ x n

Դիցուք

y1 

a11

a12

... a1s ... ...

yr 

ar1

ar 2

... ars

... a yrn

y m  am1

am 2

... amr

a1n (3)

... amn

ահանջվում չ (3) համակարգի r -րդ հավասարումից

գտն»լ xs -ո-ոխականը, իսկ այնուհ»տն տ»0ադր»լ ստացված արտահայտությունը համակարգի մնացած բոլոր հավասարումն»րի մ»ջ:

(3) համակարգի այդ իսի ձնա-ոխությունը կոչվում չ ars լուծո0 տարրով ժորդանյան արտաքսման քայլ: 2յդ ձնա-ոխությունը հարմար չ կատար»լ, օգտվ»լով (3) ա0յուսակից, որն չլ իր հ»րթին ձնա-ոխվում չ մ»կ ուրիշ ա0յուսակի հ»տնյալ կանոնով. 1. -ուծո0 տարրը -ոխարինվում չ 1-ով (լուծո0 սյունակի վ»րնում գրվում չ y r իսկ լուծո0 տո0ի մոտ x s ): 2.

-ուծո0 սյունակի ( s -րդ) մնացած տարր»րը մնում »ն ան-ո-ոխ:

3. -ուծո0 տո0ի ( r -րդ) մնացած տարր»րը -ոխում »ն միայն իր»նց նշանը: 4. -ուծո0 սյունակին կամ տո0ին չ ատկանո0 տարր»րը հաշվվում »ն հ»տնյալ բանաձնով. bij  ars aij  arj ais i  r , j  s  , կամ հ»տնյալ սխ»մայով 5. Սոր ա0յուսակի բոլոր տարր»րը բաժանվում »ն ars լուծվո0 տարրի վրա(ստորն դա նշված չ ամբո0ջ ա0յուսակի սիմվոլիկ բաժանումով ars -ի վրա)

- a is

a ij

y1  xs  ym 

a rj

 a rs

x1

x 2 ...

y r ...

b11

b12

... a1s ... ...

 ar1  ar 2 ... ... ... bm1

bm2

xn

b1n

...  arrn ... ....

... ams ...

bmn

: ars

(4)

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

Գտն»լ գծային հավասարումն»րի համակարգի լուծումը ԳաուսԺորդանի մ»թոդով կամ համոզվ»լ նրա անհամատ»0»լիության մ»ջ:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

Սկիզբ րենք (1) համակարգը հետնյալ տեսքով. ն ներկայացնենք այն աղյուսակով: ..

 .. 

..

..



x1 x 2 a 11 a 12 a i1 a i 2

.. ..

a n1 a n 2

..

.. ..

.. ..

..

xn a1n a in

 h1 ..  hi

a nn

 hn

.. ..

(5)

..

Ընդհանուր մաս Կրկնության սկիզբ Աղյուսակում ընտրենք ազատ անդամների սյունակում չգտնվող որնէ զրոյից տարբեր լուծող տարր,(եթե հնարավոր է, ապա հարմար է որպես լուծող տարր վերցնել 1-ի հավասար տարր): Կատարենք ընտրված լուծող տարրով ժորդանյան արտաքսման քայլ: Արդյունքում կստանանք աղյուսակ,որի ձախ մասում կհայտնվի մի որոշ x j , իսկ սյունակի վերնում` 0: նջում ենք այդ սյունակը (այսինքն նախկին լուծող սյունակը): Կրկնում ենք 2 գործողությունը այնքան անգամ, մինչն որ բոլոր x j -երը հայտնվեն աղյուսակի ձախ մասում, այսինքն մինչն ստանանք հետնյալ աղյուսակը. x 1  b1 x 2  b2 .......... .. x n  bn

Կրկնության ավարտ: Որից էլ ստանում ենք լուծումը` x1  b1 , x 2  b2 ,...., x n  bn : Վերջ:

ՕՐԻՆԱԿ

Գտն»լ

 2 x1  2 x 2  x 3  x 4  4  0,   4 x1  3x 2  x 3  2 x 4  6  0,  8 x1  5 x 2  3x 3  4 x 4  12  0,  3x1  3x 2  2 x 3  2 x 4  6  0 հավասարումն»րի համակարգի լուծումը Գաուս-Ժորդանի մ»թոդով:

ԼՈԼԾՈԼՄ.

1. Գր»նք տրված համակարգը հ»տնյալ տ»սքով.

x1

x2

x3

x4

0 0

1 1

4 6

0 0

5 3 3 2

4  12 2 6

1ատար»լով a14  1 լուծո0 տարրով ժորդանյան արտաքսման մ»կ քայլ ն այնուհ»տն ջնջ»լով 0 դարձած չորրորդ սյունակը կստանանք.

x1 x 2 x3 1 x4   2  2 1 4 0 0 0

1

1 2

0 3 1 1

1 4 0 2

2. Հաջորդ քայլը կկատար»նք լուծո0 »րկրորդ տո0ի ն »րրորդ սյունակի հ»տ: Տրրորդ սյունակը ջնջ»լուց հ»տո կստանանք.

x1 x4   2 x3  0 0

x2

1 1 2

0 2 1 1

3. Տրրորդ քայլը կատարված լուծո0 չորրորդ տո0ի ն »րկրորդ

սյունակի հ»տ, բ»րում չ հ»տյալ ա0յուսակին. x1

x4   1 x3   1

0 2 2 x2   1 4.

որրորդ քայլից հ»տո վ»րջնականա »ս գտնում »նք.

x4  1 x3   1 x1  x2 

որտ»0ից՝ x1 =1, x2 =1, x3 = -1, x4 = -1: Դիտողություն. »թ» համակարգի որոշիչը հավասար չ զրոյի (այսինքն համակարգը կամ անհամատ»0»լի չ կամ ունի անթիվ բազմությամբ լուծումն»ր, ինչը արզվում չ լուծման ընթացքում), ա ա հաշվարկն»րի արդյունքում կստացվի մի իրավիճակ, »րբ որոշ xj-»ր կմնան (5) ա0յուսակի վ»րնում,իսկ ձախ մասում՝ զրոն»ր ն հնարավոր չի լինի ընտր»լ լուծո0 տարր,քանի որ բոլոր տարր»րը զրոյական տո0»րում զրոն»ր »ն: Տթ» այդ դ» քում տո0»րի ազատ անդամն»րն չլ »ն հավասար զրոյի, ա ա համակարգը ունի անթիվ բազմությամբ լուծումն»ր: Հակառակ դ» քում համակարգը լուծում չունի: Սշ»նք, որ նկարագրված մ»թոդը կար»լի չ կիրառ»լ նան ու00անկյունաձն համակարգ»րի(հավասարումն»րի թիվը հավասար չչ անհայտն»րի թվին) լուծման համար:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

N

A

2 -1 0 1 2 3 1 3 3 4 -1 2 1 3 1 1

1 2 3 -1 -1 -2 -1 -1 2 2 3 1

-6 3 2 15 -4 9 2 -6

-2 -1 -4 -2 1 0 -5 1

20 14 1

4 17

1 1 1 1 19 0 1 1 1 1 2 3 0 0 1 2 3

-1 20

-1 3 -1 1 2 0 1 -3

16 5

H

1 1 -6 4 3 -1 -6 -4 2 3 9 2 3 2 3 8

A

N

3 11 5 1 5 2 1 3 2 1 3 4

H

N

A

H

4 8 -6 2 2 -2 18 2

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ Յ

ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈԻՄՆԵՐԻ ՄՈՏԱՎՈՐ ԼՈԻԾՈՒՄԸ

Ոչ գծային հավասարման որնչ արմատի ճշգրիտ արժ»քը գտն»լը հնարավոր չ միայն որոշ մասնավոր դ» ք»րում, ընդ որում նույնիսկ այդ դ» ք»րում արմատն»րի որոշման բանաձն»րը սովորաբար լինում »ն բավականին ծավալուն (օրինակ, »րրորդ ն չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումն»րի արմատն»րի բանաձն»րը) ն նրանցից օգտվ»լը կա ված չ լինում դժվարությունն»րի հ»տ: 2յդ ատճառով, հավասարումն»ր լուծ»լիս լայնոր»ն օգտագործվում »ն մոտավոր մ»թոդն»ր, որոնք թույլ »ն տալիս ստանալ մոտավոր լուծումը ահանջվո0 ճշտությամբ: Դիցուք տրված չ f(x)=0 հավասարումը,որտ»0 f(x) 7ունկցիան որոշված չ ն անընդհատ ինչ-որ հատվածում ն այնտ»0 նրա առաջին ն »րկրորդ կարգի ածանցյալն»րը անընդհատ »ն: րված հավասարման արմատն»րը y=f(x) 7ունկցիայի զրոն»րն »ն ն »րկրաչա-որ»ն հանդիսանում »ն նրա գրա7իկի ն Ox առանցքի հատման կ»տ»րը: Դիտարկ»նք f(x)=0 հավասարման իրական արմատն»րի ցանկացած տրված ճշտությամբ մոտավոր արժ»քն»րի որոնման խնդիրը: Բնդրի լուծումը բա0կացած չ 2 -ուլից. 1) արմատի առանձնացումը,այսինքն y=f(x) 7ունկցիայի որոշման տիրույթին ատկանո0 այն իսի a,b հատվածի որոշումը, որտ»0 գտնվում չ f(x)=0 հավասարման մ»կ ն միայն մ»կ արմատ: 2) 2րմատի արժ»քի հաշվումը տրված ճշտությամբ: 2րմատի առանձնացումը կար»լի չ կատար»լ ինչ »ս անալիտիկոր»ն, այն »ս չլ գրա7իկոր»ն: Որ »սզի a,b հատվածում f(x)=0 հավասարումն ուն»նա մ»կ արմատ բավարար »ն հ»տնյալ »րկու այմանն»րը. ա) հատվածի ծայրակ»տ»րում 7ունկցիան ունի տարբ»ր նշանն»ր, այսինքն f(a)f(b)<0, բ) 7ունկցիան մոնոտոն չ, այսինքն նրա ածանցյալը՝ f (x ) -ը նշանը չի -ոխում այդ հատվածում: 2րմատը հաշվ»լու համար կիրառ»նք համակցական մ»թոդը, որն ըստ չության լար»րի ն շոշա-ո0ն»րի մ»թոդն»րի միավորումն չ: Սշ»նք, որ լար»րի մ»թոդով հաշվարկվո0 cn մոտավորությունն»րը

ձգտում »ն x0 արմատին կորի գոգավորության կո0մից, իսկ շոշա-ո0ն»րի մ»թոդով հաշվարկվո0 dn մոտավորությունն»րը՝ կորի ուռուցիկության կո0մից (տ»ս նկ. 1): Ընդ որում յուրաքանչյուր մոտավորության համար ուն»նք.

cn<x0<dn »թ» f (x)f (x)  0, dn<x0<cn, »թ» f (x)f (x)  0 :

Նկ. 1

Հ»տնաբար,համակց»լով այդ 2 մ»թոդն»րը ն հաջորդաբար որոշ»լով cn ն dn թվ»րը, յուրաքանչյուր քայլում »րկու կո0մից ն»0ացնում »նք հատվածը, որի ն»րսում գտնվում չ x0 արմատը: Գործընթացն ընդհատում »նք, »րբ

d n - cn

, որտ»0 -ը մոտարկման

տրված ճշտությունն չ: Որ »ս արմատի մոտավոր արժ»ք սովորաբար վ»րցնում »ն հատվածի միջնակ»տը, այսինքն x ո(cn+dn )/2, այն»ս որ x0- x   dn-cn  :

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

1. 2ռանձնացն»լ f(x)=0 հավասարման արմատը գրա7իկական »0անակով: 2. Հաշվ»լ համակցական մ»թոդով որոն»լի արմատը  =10 ճշտությամբ:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

Դիցուք a,b հատվածում f(x)=0 հավասարման արմատն առանձնացված չ : 6կիզբ n=1: Որոշել f (x)f (x) արտահայտության նշանը a,b հատվածում

եթե f (x)f (x)  0 , ապա c0=a, d0=b :   0 , ապա d0=a, c0=b : եթե f (x)f (x)

[cn-1,d n-1]-ը կամ [dn-1,cn-1]-ը (n-1)-րդ հատվածն է: յաշվել f(cn-1),f(dn-1),f ‘(dn-1) ն cn, dn թվերը կրկնության սկիզբ f ( c )( d  c ) f( ) cn  cn1  f ( n1 ) nf1( n)1 ; d n  d n1  f ' (d n1 ) : d n1 cn1 d n1 Եթե |cn-dn|   , ապա n=n+1 ն անցում կրկնությանը, Եթե |cn-dn|<  , ապա կրկնության ավարտ: c  dn xո n 1»րջ: ՕՐԻՆԱԿ

 0 հավասարման արմատի մոտավոր արժ»քը x   10 4 ճշտությամբ: Ուն»նք f ( x )  2 ln x  : x տ»սքով: 1աf ( x )  0 հավասարումը ն»րկայացն»նք 2 ln x  x ռուց»նք y  2 ln x ն y  7ունկցիան»րի գրա7իկն»րը (տ»ս նկ. 2): x Դժվար չչ նկատ»լ,որ տրված հավասարումն ունի միայն մ»կ արմատ, որը ատկանում չ 1,2 հատվածին: Իրոք. ա) f(1)=2ln1-1=-1<0, Գտն»լ 2 ln x 

f(2)=2ln2-0.5  0,8863>0, f(1)f(2)< 0

2 1  2 >0, »րբ x[1,2] f (x)=- 2  3 : x x x x  f (x)   0 , d0=a=1, c0=b=2 : f (x) բ) f (x)=

Հ»տնաբար

2լգորիթմի մնացած քայլ»րում ստացված արդյունքն»րը բ»րված »ն ա0յուսակ 1-ում: 2լգորիթը ավարտվում չ »րրորդ քայլից հ»տո, քանի որ

d3  c3  0.2 10 5   ն արմատի ստացված մոտավոր արժ»քն չ՝ x=1,42153:

Աղյուսակ 1

n

cn

dn

f(cn)

1.53014 1.42577 1.42154

1.33333 1.41800 1.42152

0.88629 0.19718 0.00805

f(dn) -0.17464 -0.00671

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

1.

x 2  2 x  ln x  0

2.

x 2  2 lg x  2   0

3.

x 4  6 x  12 x  8  0

4.

2 x  2x 2  3  0

5.

x 3  2 x  13  0

6.

x 2  arctagx  0.5  0

7.

xe 2 x  2 x  0

8.

ctg 0.8 x  2 x 2  0

9.

x 5  5x  1  0

10. x 5  18 x 3  34  0 11. x  2  e x  0

12. 2 xe x  5  0 13. x 3  2 x 2  11  0

14. 2e  x  3x  4  0 15. x 2  1  cos 1.2 x  0 16. 2 x  3 sin 2 x  1  0

17. x  0.5  sin x  0

18. x 3  3x 2  6 x  1  0 19. x 3  2 cos x  0 20. tg 0.8 x  x  2  0

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 4

ԼԱԳՐԱՆԺԻ ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑԻՈՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Ինտ»ր ոլացիան 7ունկցիայի միջանկյալ արժ»քն»րի որոշումն չ ըստ նրա տրված մի շարք արժ»քն»րի: Դիցուք a,b հատվածի x0,x1,….,xn կ»տ»րում հայտնի »ն որնչ f(x) 7ունկցիայի արժ»քն»րը՝ y0=f(x0),y1= f(x1),...., yn= f(xn): Ձահանջվում չ որոշ»լ f(x) 7ունկցիայի արժ»քը տրված կ»տ»րի հ»տ չհամընկնո0 x  a,b կ»տում: 2վ»լի ստույգ, f(x) 7ունկցիայի ինտ»ր ոլացման խնդրում ահանջվում չ կառուց»լ որոշակի դասի ատկանո0 F(x) 7ունկցիա, որը տրված xi կ»տ»րում ընդունում չ նույն yiոf(xi) արժ»քն»րը, ինչ որ ն f(x) 7ունկցիան.F(xi) ո yi (i=0,1,....,n): 2յդ դ» քում, x  a,b կ»տում համարում »ն f(x)F(x): x0,x1,….,xn կ»տ»րը կոչվում »ն ինտ»ր ոլացիոն հանգույցն»ր, իսկ F(x) 7ունկցիան՝ ինտ»ր ոլացնո0 7ունկցիա: 6ովորաբար ինտ»ր ոլացիոն 7ունկցիան -նտրում »ն Ln(x)՝n-ը չգ»րազանցո0 աստիճանի բազմանդամն»րի մ»ջ, որոնք բավարարում »ն Ln(x0)=y0=f(x0),Ln(x1)=y1=f(x1),...,Ln(xn)=yn=f(xn) (1) այմանն»րին: Գոյություն ունի միայն մ»կ՝ n-ը չգ»րազանցո0 աստիճանի Ln(x) բազմանդամ,որը բավարարում չ բոլոր (1) այմանն»րին:(1) այմանն»րով որոշվո0 Ln(x) բազմանդամը կոչվում չ ինտ»րոլացիոն բազմանդամ (f(x)-ի համար), իսկ նրա կառուցման բանաձն»րը իտ»ր ոլացիոն բանաձն»ր: y=f(x) 7ունկցիայի -ոխարինումը իր ինտ»ր ոլացիոն բազմանդամով f(x)  Ln(x),x  [a,b] (2) կոչվում չ 7ունկցիայի իտ»ր ոլացիա (հանրահաշվական): Իտ»ր ոլացիայի »րկրաչա-ական իմաստը՝ y=f(x) կորի -ոխարինումն չ y=Ln(x) արաբոլով (ո-րդ կարգի),որն անցնում չ տրված (x0; y0), (x1; y1),....., (xn; yn) կ»տ»րով: 1»րը բ»րված (2) բանաձնը համարվում չ իտ»ր ոլացիոն, »թ» x x0;xn , այսինքն կ»տը գտնվում չ ինտ»ր ոլացիոն հանգույցն»րի

միջն, իսկ »թ» x x0;xn , այսինքն կ»տը գտնվում չ հատվածից դուրս, ա ա (2) բանաձնը անվանում »ն չքստրա ոլացիոն: Դիցուք տրված »ն x0,x1,….,xn իրարից տարբ»ր կ»տ»րը Յ,Ե հատվածում ն y=f(x) 7ունկցիայի արժ»քն»րը այդ կ»տ»րում. y0= f(x0), y1= f(x1),...., yn= f(xn ): Որոշակիության համար »նթադր»նք, որ x0<x1<….<xn: 1առուց»նք n-րդ աստիճանի Ln(x) բազմանդամը, որը տրված n+1 իտ»րոլացիոն հանգույցն»րում ընդունում չ նույն արժ»քն»րը, ինչ որ ն տրված 7ունկցիան, այսինքն Ln(xi) = yi, i= 0,1,2,…..,n (3) Դրա համար նախօրոք կառուց»նք n-րդ աստիճանի օժանդակ բազմանդամն»ր i  P n x  

x  x 0 ( x  x1 )...x  x i 1 x  x i 1 ...( x  x n ) x i  x 0 ( x i  x1 )...x i  x i 1 x i  x i 1 ...( x i  x n )

i  0 ,1,2 ,..., n

(4)

Դժվար չչ համոզվ»լ, որ Pni  x  բազմանդամը x  x k , k  i դ» քում վ»րածվում չ 0-ի, քանի որ համարիչում արտադրիչն»րից մ»կը կլինի x k  x k   0 , իսկ x  x i դ» քում բազմանդամը հվասար չ 1-ի, այսինքն

0,»Г»k  i , Pni  x k    1,»Г»k  i :

(5)

2յժմ ·ր»նք Ln(x) բազմանդամը հ»տնյալ տ»սքով. Ln(x)=

n

 Pni ( x i 0

0    1   n    ) yi = P n x y 0  P n x y1  ...  P n x y n =

( x  x1 )...( x  x n ) ( x  x 0 )( x  x 2 )...( x  x n ) y0  y1  ...  = ( x 0  x1 )...( x 0  x n ) ( x1  x 0 )( x1  x 2 )...( x1  x n ) ( x  x 0 )...( x  x n1 ) (6) yn : ( x n  x 0 )...( x n  x n1 ) Ln(x)-ը n-րդ աստիճանի բազմանդամ չ, որը բավարարում չ (3) åայմանն»րին ն այդåիսով տրված ինտ»րåոլյացիոն խնդրի լուծումն չ: Ln(x) բազմանդամը կոչվում չ -ա·րանժի իտ»րåոլացիոն 

բազմանդամ, Իսկ Pni  x  բազմանդամն»րը -ա·րանժի ·ործակիցն»ր: 1ատար»նք հ»տնյալ նշանակումը.

n1 x   ( x  x 0 )( x  x1 )...( x  x n ) :

1արո0 »նք ·ր»լ. n

ω n 1 ( x ) (7) ( x  x i )ω' n 1 ( x i ) i 0 (7) բանաձնը »րբ»մն անվանում »ն -ա·րանժի իտ»րåոլացիոն բանաձն: Դիտարկ»նք (7) բանաձնի մասնավոր դ»åք»րը. 1) n=1,այսինքն ուն»նք ինտ»րåոլյացիայի 2 հան·ույց՝ x0,x1: 2յս դ»åքում Ln ( x )  ∑ y i

x L1( x ) P1 x  y 0  P11 x  y1  x 0 

x x0 x1 y0  y1 x1 x1 x 0

(8)

L1(x)-ը առաջին աստիճանի -ա·րանժի ինտ»րåոլացիոն բազմանդամն չ: 2) n=2, այսինքն ուն»նք ինտ»րåոլացիայի 3 հան·ույց՝ x0,x1,x2: 2յս դ»åքում. L2 x   P20  x y 0  P21 x y1  P22  x y 2 

( x  x1 )( x  x2 )  y0  ( x0  x1 )( x0  x2 )

( x  x0 )( x  x2 ) ( x  x0 )( x  x1 )  y1   y2 ( x1  x0 )( x1  x2 ) ( x2  x0 )( x2  x1 )

(9)

L2 x -ը -րդ աստի անի Լագրան ի ինտեր ոլացիոն ազման-

դամն : Աունկցիայի -ոխարինումը L2(x)-ով կոչվում չ քառակուսային ինտ»րåոլացիա: 2յժմ անդրադառնանք (2) մոտավոր բանաձնի սխալանքի ·նահատականի հարցին: Ձարզ չ, որ ինտ»րåոլացիայի հան·ույցն»րից տարբ»ր ցանկացած x կ»տում, f(x) 7ունկցիան տարբ»րվում չ Ln(x)-ից : Սշանակ»նք Rn(x)= f(x) - Ln(x): Rn(x) 7ունկցիան կոչվում չ ինտ»րåոլացիայի մնացորդային անդամ կամ -ա·րանժի ինտ»րåոլիացիոն բանաձնի մնացորդային անդամ: 2յն որոշում չ ինտ»րåոլացիայի սխալանքը x կ»տում: Տթ» f(x)ը n+1 ան·ամ դի7»ր»նց»լի 7ունկցիա չ x0, x1...xn ն x կ»տ»րը åարունակո0 [a,b] հատվածում, աåա Rnx≤Mn1

xx0xx1...xxn կամ R x   M n1 n1x  n n  1! n1!

(10)

որտ»0 M n1  max f n1 x  a x  b

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

1. 1առուց»լ -ա·րանժի ինտ»րåոլացիոն բազմանդամը: 2. Գտն»լ -ա·րանժի ինտ»րåոլացիոն բազմանդամի արժ»քն»րը լրացուցիչ 5 կ»տ»րում: 3. 1առուց»լ 7ունկցիայի մոտավոր ·րա7իկը ստացված 10 կ»տ»րի օ·նությամբ:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

6կիզբ

 yi 





Ներմուծել -ի արժեքը, x i  i  1, n հանգույցները ն ֆունկցիայի

i  1,n արժեքները

Ընդհանուր քայլ յաշվել գործակիցները յաշվել Ln x  արժեքները 2 կետում: 1»րջ ՕՐԻՆԱԿ

1առուց»լ f x  7ունկցիայի համար -ա·րանժի ինտ»րåոլացիոն բազմանդամը ինտ»րåոլացիայի x0=1, x1=2, x2=3 հան·ույցն»րով: Ինտ»րåոլացիայի սխալանքը ·նահատ»լ, »րբ x=2.5: ԼՈՒԾՈՒՄ. Øուտքային տվյալն»րը բ»րված »ն ա0յուսակում

xi yi

1.260

1.442

օանի որ n=2, աåա ինտ»րåոլյացիոն բազմանդամը ն»րկայացվում չ հ»տնյալ բանաձնով (տ»ս (6)) L2 ( x )  L2x 

( x  x1 )( x  x2 ) ( x  x1 )( x  x2 ) ( x  x1 )( x  x1 ) y0  y1  y2 , ( x0  x1 )( x0  x2 ) ( x1  x0 )( x1  x2 ) ( x2  x0 )( x2  x1 )

( x 2)(x 3) ( x 1)(x 3) ( x 1)(x 2) .1 .1.260 .1.442 0.039x2 0.377x 0.662:

6խալանքը ·նահատվում չ հ»տնյալ բանաձնով. Rn x   M n 1

x  x0 x  x1 ...x  xn  , n  1!

x  x0 x  x1 x  x 2  որտ»0 M n1  max f n1 x  , R2 x   M 3 , որտ»0 a x  b 3! M 3  max f ''' x  1 x 3

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

N N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 N15 N16 N17 N18 N19 N20

x xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi

0,11 0,1098 0,15 0,1489 0,05 1,0513 0,1 0,904 0,2 1,0201 0,2 0,2013 0,25 0,2449 0,01 1,5747 -2,5 5,25 -6,5 -37,25 -4,5 10,25 -7,5 -16,25 4,55 -2,5 36,06 3,55 -1,5 0,2 0,20 0,25 0,26

0,3 0,2955 0,2 0,1974 1,6094 0,3 1,3499 0,2 0,8187 0,25 1,0314 0,5 0,5211 0,4 0,3799 0,1 1,6124 -6,4 -7,56 5,42 0,5 -1,8 7,5 1,6094 4,42 0,5 -2,8 7,1 0,4 0,52 0,36 0,42

0,55 0,5229 0,4 0,3805 3,2189 0,4 1,4918 0,5 0,6065 0,4 1,0811 0,7 0,7586 0,8 0,664 0,2 1,6596 -3,5 -7,25 -3,5 4,25 -4,3 2,31 7,5 2,75 -0,5 -2,9 3,2189 6,5 2,7 -0,5 -2,4 0,6 0,75 0,75 0,91

0,75 0,6816 0,8 0,6747 4,4427 0,9 2,4596 0,75 0,4724 0,9 1,4331 0,95 1,0995 0,9 0,7163 0,45 1,8139 3,5 11,25 -1,5 -1,75 -1,4 1,44 8,25 1,44 4,4427 7,25 1,46 0,95 1,23 0,83 0,74

0,9 0,7833 0,85 0,7045 4,6052 0,95 2,5857 0,8 0,4493 0,99 1,5314 1,1752 0,95 0,7398 0,5 1,8541 4,2 16,64 0,7 4,51 0,6 0,56 -0,5 -2,25 9,34 -2,48 0,8 -2,6 4,6052 9,34 -2,4 1,5 -2,3 1,5 1,75 0,95 0,98

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 5

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑԻՈՆ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

Դիցուք ինտ»րåոլացիայի հան·ույցն»րը հավասարահ»ռ »ն h քայլով, այսինքն՝ x i  x 0  ih , i  0, n , ն հայտնի »ն y  f ( x ) 7ունկցիայի

արժ»քն»րը

այդ

հան·ույցն»րում՝

y i  f ( x i ),i  0, n :

y i  y i 1  y i ,i  0, n  1 տարբ»րությունն»րը կոչվում »ն առաջին կար·ի վ»րջավոր տարբ»րությունն»ր: Ընդանրաå»ս, k-րդ կար·ի վ»րջավոր տարբ»րությունն»րը որոշվում »ն (k-1)-րդ կար·ի տարբ»րությունն»րի միջոցով հ»տնյալ բանաձն»րով.

k y i  k 1 y i 1  k 1 y i , ( k  1, n ,0 y  y )

(1)

(1) բանաձն»րը անդրադարձ (ռ»կուր»նտ) բնույթի »ն: 6ակայն վ»րջավոր տարբ»րությունն»րը կար»լի չ արտահայտ»լ նան անմիջականոր»ն 7ունկցիայի արժ»քն»րի միջոցով՝ k yi 

k m   1 C km yi  k m , որտ»0

m0

C km 

k ( k  1 )...( k  m  1 ) m!

բինոմիալ ·ործակիցն»րն »ն: Դիտարկ»նք n-րդ աստիճանի հ»տնյալ բազմանդամը.

Ln ( x )  q0  q1 x  x 0   ...  qk x  x 0 ...x  x k 1   ...  qn x  x 0 ...x  x n 1  :

Որå»սզի տ»0ի ուն»նան





Ln ( x i )  y i  f x i  i  0, n åայմանն»րը å»տք չ qk ·ործակիցն»րը ընտր»լ հ»տնյալ ձնով.

qk 





Δ k y0 k  0, n , k! h k

Ln( x )  y0 

n



k 1

այսինքն՝

k y0  x  x 0  ...  x  x k!hk

k 1

:

(2)

2յս բանաձնը կոչվում չ Սյուտոնի առաջին ինտ»րåոլացիոն բանաձն: Ս»րմուծ»լով նոր t  x  x 0 -ո-ոխական h կար»լի չ ·ր»լ հ»տնյալ տ»սքով`

(2) բանաձնը

k y 0 t t  1...t  k  1 : k 1 k ! n

Ln ( x )  Ln ( x 0  th )  y 0  

(2)

(2) կամ (2) բանաձնը »րբ»մն անվանում »ն ինտ»րåոլացիոն բանաձն դ»åի առաջ ինտ»րåոլացիայի համար,քանի որ այն կառուցվում չ 7ունկցիայի արժ»քի ն նրա տարբ»րությունն»րի միջոցով սկզբնական x0 ինտ»րåոլացիոն հան·ույցում: 2յն սովորաբար կիրառում »ն x0 կ»տին մոտ x կ»տ»րում ինտ»րåոլացիայի համար (ինտ»րåոլացիայի սխալանքը նվազ»ցն»լու նåատակով): Տթ» å»տք չ ինտ»րåոլացն»լ xn ինտ»րåոլացիոն հան·ույցին մոտ x կ»տ»րում, աåա ·»րադաս»լի չ օ·տվ»լ այսå»ս կոչված դ»åի »տ ինտ»րåոլացն»լու բանաձնից.

k y nk x  x n ...x  x nk 1  : k k 1 k ! h n

Ln ( x )  y n  

(3)

6ա Սյուտոնի »րկրորդ ինտ»րåոլացիոն բանաձնն չ: Ս»րմուծ»լով նոր t  x  x n -ո-ոխական, (3) բանաձնը կար»լի h չ ·ր»լ հ»տնյալ տ»սքով.

k y nk t t  1...t  k  1 : k! k 1 n

Ln ( x )  Ln x n  th   y n  

(3)

Սյուտոնի բանաձն»րի մնացորդային անդամն»րը կար»լի չ ·նահատ»լ այնå»ս, ինչå»ս -ա·րանժի բանաձնի մնացորդային անդամը: Հաշվի առն»լով,որ ինտ»րåոլացիոն հան·ույցն»րը հավասարահ»ռ »ն (2)° ն (3)° բանաձն»րի համար համաåատասխանաբար կստանանք հ»տնյալ ·նահատականն»րը.

Rn ( x )  Rn x 0  th  

h n1 t( t  1 )...( t  n )

Rn ( x )  Rn x n  th  

h n1 t( t  1 )...( t  n )

( n  1 )! ( n  1 )!

M n1 ,

(4)

M n1 ,

(5)

որտ»0 M n1  max f n1 x  : a x b

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

1. Գտն»լ ·ործակիցն»րը ն կառուց»լ ինտ»րåոլացիոն բազմանդամը Սյուտոնի »րկրորդ ինտ»րåոլացիոն բանաձնով: 2. Ինտ»րåոլացն»լ 7ունկցիան x i  h , i  0,1,2,3 կ»տ»րում, որտ»0 xi կ»տ»րը ինտ»րåոլացիայի հան·ույցն»րն »ն: 3. 1առուց»լ y=f(x) 7ունկցիայի մոտավոր ·րա7իկը տրված 5 ն ստացված 4 կ»տ»րով:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

6կիզբ

Ներմուծել n աստի անը, xn - ը ն h քայլը: Ընդհանուր քայլ:յաշվել yi, yi-1, 2yi-2,...,  k



0 արժեքները:



յաշվել c0  y n , c k   y nk k  1, n գործակիցները: k!

յաշվել Ln(x ) արժեքը 2 կետում: 1»րջ: ՕՐԻՆԱԿ

(x) 7ունկցիայի արժ»քն»րը xi հան·ույցն»րում ( i  0,5 ) ն h=0,1 քայլով հաշվարկված հաջորդական վ»րջավոր տարբ»րությունն»րը բ»րված »ն ա0յուսակում: Գտն»լ  (0,4)-ն ն ·նահատ»լ սխալանքը: ԼՈՒԾՈՒՄ Աղյուսակ 1

i

xi

yi

∆yi

∆ 2y i

∆ 3y i

0,0

0,0000

0,0797

-0,0009

-0.0006

0,1

0,0797

0,0788

-0,0015

-0,0008

0,2

0,1585

0,0773

-0,0023

-0,0006

0,3

0,2358

0,0750

-0,0029

0,4

0,3108

0,0721

0,5

0,3829

1ազմ»նք 3-րդ աստիճանի Սյուտոնի առաջին ինտ»րåոլիացիոն բազմանդամը, ընդուն»լով n=3. L 3 x   y

  y 0t 

L 3  x   0  0 , 0797

2y 2!

t 

t t  1  

0 , 0009 2!

3y 3!

t t  1  

t  t  1  t  2  , t 

0 , 0006 3!

x  x h

,

t  t  1  t  2  :

օանի որ åահանջվում չ հաշվ»լ (0,04)-ը, աåա ընդուն»լով x=0,04, կստանանք՝ t  x  x 0  0,04  0  0,4 : h 0,1 î»0ադր»լով L3(x)-ում t=0,4 կստանանաք.  (0,04)0,0797 0,4+0,00045 0,4 0,6-0,0001 0,4 0,6 1,60,0321: 6խալանքը ·նահատ»նք (4) բանաձնով.

0,4  0,6 1,6  2,6  0,0002  0,5 10 4 4! 2յսåիսով, 7ունկցիայի որոն»լի արժ»քը կլինի՝ (0,04)  0,0321: օանի որ այս ն հաջորդ լաբորատոր աշխատանքն»րի սզբնական տվյալն»րն ընդհանուր »ն, աåա ինքնուրույն աշխատանքի համար առաջադրանքն»րը բ»րված»ն -աբորատոր աշխատանք 6-ում: R3 x  

ԼԱԲԱՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 6

ԹՎԱՅԻՆ ԱԾԱՆՑՈՒՄ

Ճվային ածանցման »ն դիմում,»թ» 7ունկցիան տրված չ ա0յուսակային տ»սքով, ինչå»ս նան անալիտիկոր»ն տրված 7ունկցիայի մոտավոր հաշվման համար,որի անմիջական ածանցումը կաåված չ դժվարությունն»րի հ»տ: 2ծանցյալը ·տն»լու համար իրականացնում »ն f(x) 7ունկցիայի ինտ»րåոլացիան [a;b] հատվածում Ln(x) բազմանդամով ն նրա Ln(x) ածանցյալը ընդունում »ն որå»ս f’(x), այսինքն համարում »ն.

f ' ( x )  Ln ( x ), a  x  b :

(1)

Սման ձնով կար»լի չ վարվ»լ նան բարձր կար·ի ածանցյալն»ր հաշվ»լիս,սակայն å»տք չ նշ»լ, որ ածանցյալի կար·ի աճման հ»տ թվային ածանցման ճշ·րտությունը սովորաբար կտրուկ ընկնում չ: Հավասարահ»ռ հան·ույցն»րով, ա0յուսակով տրված f(x) 7ունկցիայի f(x) ածանցյալը ·տն»լու համար օ·տա·ործում »նք Սյուտոնի բազմանդամը վ»րջավոր տարբ»րությունն»րով (տ»ս լաբորատոր աշխատանք 5), ընդ որում՝ I տիåի բազմանդամը, »թ» x-ը մոտ չ x0-ին, ն II տիåի բազմանդամը, »թ» x-ը մոտ չ xn-ին: Հաշվի առն»լով, որ

x  x 0 ն օ·տվ»լով նախորդ լաբորատոր աշխատանքի (2) բաh նաձնից, կստանանք. t

 2 y 0 3 y 0 1  L' n ( x )  ( Ln ( x 0  th ))'x  Ln  t t x   y 0  2t  1  3t 2  6t  2   , h 2! 3! 









 Ln( x )  ( Ln ( x 0  th ))x  Ln  t t x  2 2 y 0  t  13 y 0   : h Համանմանոր»ն, t  x  x n h բանաձնից կստանանք. Ln ( x )  ( Ln ( x n  th ))x  Ln t t x 

դ»åքում նույն աշխատանքի (3)

 2 y n  2 3 y n 3 1  y n 1  2t  1  3t 2  6t  2  ,  h 2! 3! 



Ln( x )  ( Ln ( x n  th ))x  Ln t .t x  '

(2)







1 2  y n2  t  13 y n3   : h2

Սշ»նք, որ որå»ս x0 կամ xn կար»լի չ վ»րցն»լ ա0յուսակի ցանկացած միջանկյալ հան·ույց, այդ åատճառով սովորաբար ընտրում »ն ար·ում»նտի x-ին ամ»նամոտ ա0յուսակային արժ»քը (»թ» Ln(x) բազմանդամը նախօրոք կազմված չչ): Ճվային ածանցման բանաձն»րը չաå»ս åարզ»ցվում »ն, »թ» ածանցյալը հաշվարկվում չ ինտ»րåոլացիոն հան·ույցում, օրինակ՝ xk կ»տում: 2յդ ժամանակ ընդուն»լով xk-ն որå»ս x0 , կստանանք t=0, իսկ (2) բանաձն»րից կբխի.

Ln x 0  

n 2 y 0 3 y 0 1 n 1  y 0   y 0  ,      1  h n 

Lnx 0  





1 2  y 0  3 y 0   : h2

(3)

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

Սյուտոնի »րկրորդ ինտ»րåոլացիոն բանաձնի օ·նությամբ ·տն»լ L(x) ն L(x) ածանցյալն»րը x 4 , x h կ»տ»րում : 3

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

6կիզբ

Ներմուծել n աստի ան , xn - ը ն h քայլը: t  x  x 0 ; h

Ընդհանուր քայլ յաշվել yi , yi-1, 2 yi-2, i y0 արժեքները:

ՕՐԻՆԱԿը Աունկցիան տրված չ -աբորատոր աշխատանք 5-ի

ա0յուսակ 1-ում: ԼՈՒԾՈՒՄ Ինտ»րåոլացիայի քայլը՝ h=0.1: Օ·տվ»լով 2 բանաձն»րից՝

t L' x4 

x 4  x 0 0 .4  0   4, h 0 .1

x t



3

h

 x0 

h



0.35  0  3 .5 , 0 .1





1 0.0009 2t 1 0.00063t2 6t 2  0.00024t3 18t2 22t 6  0.74, 0.0797 0.1 2! 3! 4! 

  1 0.0009 2t 1 0.00063t2 6t 2  0.00024t3 18t2 22t 6  0.75, L' x h   0.0797 3 . ! 3! 4!    2









  1 L x h    0.0009 6t 1 0.006/ 6  0.0002 12t2 36t  22 / 24  0,06006, 3 .  2 Lx4    0.0009 6t 1 0.006/ 6  0.0002 12t 2  36t  22 / 24  0,3283: 0.01







 



 

յաշվել  1 2 y 3 y0  Ln ( x )  ( Ln ( x0  th ))'x  Ln t tx   y0  2t 1 0  3t 2  6t  2 h 2! 3!   Ln( x )  ( L'n ( x0  th ))x  Ln  t tx  2 2 y0  t 13 y0   : h 1»րջ:









ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

N

B

Y0

Y1

Y2

Y3

Y4

4,4 4,8

-14,7 -0,8

-8,2 -1,7

-5,3 -3,8

-1,4

-7,5 3,1

5,2 5,6

13,4 4,6

21,4 10,2

15,9 8,5

12,1 4,7

2,1

6,4

0,4 -5,6

-1,1 -3,2

0,7 -1,5

-0,5 -4,5

0,3

6,8 7,2

-3,7 14,7

-0,2 21,3

1,5 27,9

4,3 35,5

2,2 28,3

7,6

-1,4 23,7

-7,9 15,6

-2,5 21,6

0,8 17,4

-1,3

8,4 8,8

-1,5 3,4

2,6 10,2

-3,5 7,7

0,4 11,2

1,5 5,6

9,2 9,6

-7,5 3,1

-1,4

-5,3 -3,8

-8,2 -1,7

-14,7 -0,8

10,4

-2,1

12,1 -4,7

15,9 -8,5

21,4 -10,2

13,4 -4,6

1 0.8 11,2

-0,3

0,5 -4,5

-0,7 -1,5

1,1 -3,2

-0,4 -5,6

11,6

2,2 28,3

4,3 35,3

1,5 27,9

-0,2 21,3

-3,7 14,7

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 7

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑԻԱ

Տրկու -ո-ոխականի 7ունկցիայի ինտ»րåոլացիան չաå»ս ավ»լի դժվար չ, քան մ»կ -ո-ոխականի 7ունկցիայի ինտ»րåոլացիան: Դա կաåված չ ոչ միայն նրա հ»տ,որ մի քանի -ո-ոխականն»րի առկայության դ»åքում դատո0ությունն»րը դառնում »ն ավ»լի ծավալուն,այլ նան մի շարք սկզբունքային դժվարությունն»րի առաջացման հ»տ: 6ահմանա-ակվ»նք »րկու -ո-ոխականն»րի դ»åքով: Դիցուք 0xy հարթության վրա տրված »ն n+1 կ»տ»ր`(x0,y0), (x1,y1),..., (xn,yn): öնտր»նք x,y -ո-ոխականն»րի հնարավորինս ցածր աստիճանի L(x,y) բազմանդամ, որն այդ կ»տ»րում ընդունի համաåատասխանաբար z0, z1,...... ,zn արժ»քն»րը: Տթ» որոն»լի բազմանդամը ·ր»նք հ»տնյալ տ»սքով L(x;y)=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2+...+am0xm+am-1,1xm-1y+...+a0mym, աåա տ»0ադր»լով կ»տ»րի տրված կոորդինատն»րը ն հավասար»ցն»լով ձախ մասը համաåատասխան zi արժ»քն»րին կստանանք n+1 ·ծային հանրահաշվական հավասարումն»րի համակար· m  1m  2 հատ a անհայտն»րի նկատմամբ: 1+2+...+(m+1)= ij Ընդհանուր առմամբ այս հավասարումն»րը անկախ »ն: Հ»տնաբար, »թ» L(x;y)-ի վրա լրացուցուցիչ åայմանն»ր m  1m  2 : չդն»նք, աåա n+1= 6ա առաջին սկզբունքային դժվարությունն չ: Ø»նք արդ»ն չ»նք կարո0 լուծ»լ խնդիրը ինտ»րåոլացիոն հան·ույցն»րի կամայական թվի համար: 2յժմ դիտարկ»նք հավասարումն»րի ստացված համակար·ի որոշիչը: Տթ» n=2, աåա m=1 ն որոշիչը ընդունում չ հ»տնյալ տ»սքը. 1 x0 y0

1 x1 1 x2

y1 : y2

2յն կդառնա զրո, »թ»` (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) »ր»ք կ»տ»րը ·տնվ»ն մի ու00ի վրա: 6ա առաջացնում չ »րկրորդ սկզբունքային դժվարությունը. ինտ»րåոլացիայի հան·ույցն»րը չ»ն կարո0 դասավորված լին»լ կամայականոր»ն: Որոշիչի զրո լին»լը ստու·»լը բավական դժվար չ: Տրրորդ սկզբունքային դժվարությունը առաջանում չ մնացորդային անդամն»րը ·նահատ»լիս՝ èոլի թ»որ»մը այս դ»åքում չի ·ործում: 2յս դժվարությունն»րի åատճառով սահմանա-ակվ»նք միայն »րկու -ո-ոխականի 7ունկցիայի ինտ»րåոլացիայի կարնորա·ույն մասնավոր դ»åքով: Որå»ս ինտ»րåոլացիայի հան·ույցն»ր վ»րցն»նք համաåատասխանաբար h ն  քայլ»րով ու00անկյունաձն ցանցի (xi, yj) հան·ույցն»րը, այսինքն xi=x0+ih, i=0,1,…,m, yj=y0+j, j=0,1,…,n: Տնթադր»նք տրված »ն z=f(x,y) 7ունկցիայի արժ»քն»րը այդ հան·ույցն»րում. zij =f(xi,yj), i=0,1,…,m,j=0,1,…,n: 1առուց»նք mn աստիճանի Lmn(x,y) բազմանդամը, որը (x0 , y0 ) , (x1 , y0 ) , , (x m , y0 )  (x0 , y1 ) , (x1 , y1 ) , , (x m , y1 )  ...........................................   (x0 , y n ) , (x1 , y n ) , , (x m , y n ) 

(1)

հան·ույցն»րում ընդունի zij (i=0,1,...,m;j=0 ,1,...n) արժ»քն»րը: Դրա համար ինտրåոլացն»նք մ»ր 7ունկցիան որå»ս մ»կ՝ x -ո-ոխականի 7ունկցիա 7իքսված yj(j =0,1,...,n) արժ»քն»րի համար: Ընդ որում ամ»ն ան·ամ մ»նք օ·տա·ործում »նք (1) ա0յուսակի մ»կ տո0ը: 2յսåիսով, մ»նք կարո0 »նք ·տն»լ f(xi,yj)-ի (j=0,1,...n) մոտավոր արժ»քն»րը: Ուն»նք. m m1 x  Lmj  x    z ij ,  x  x i 0 i ' m 1 x m  որտ»0 m1 x   x  x 0 x  x1 ...x  x m  : Ձարզ չ, որ Lmj  x  բազմանդամը (x0;yj),(x1;yj ),...,(xm,yj) հան·ույցն»րում ընդունում չ համաåատասխանաբար zoj,z1j,...,zmj արժ»քն»րը:

2յժմ ·տնված Lmj  x  արժ»քն»րի օ·նությամբ ինտ»րåոլացն»լով ըստ y-ի ·ըտնում »նք f(x,y)-ը մոտարկո0 ինտ»րåոլացիոն բազմանդամը. n n1  y  : Lmn x ; y    Lmj  x  y  y j ' n1 y j j 0





 

Ինտ»րåոլացիոն հան·ույցն»րում Lmn x ; y  -ը համընկնում չ f(x,y) 7ունկցիայի հ»տ: 2յսåիսի ինտ»րåոլացիան կոչվում չ հաջորդական ինտ»րåոլացիա:

ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՆՊԱՏԱԿԸ

1. 1առուց»լ l x ; y  ինտ»րåոլացիոն բազմանդամը (m=1,n=1): 2. Գտն»լ որոն»լի l=f(x,y) 7ունկցիայի մոտավոր արժ»քն»րը լրացուցիչ »ր»ք կ»տ»րում ն բոլոր կ»տ»րը նշ»լ հարթության վրա:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

6կիզբ

Ներմուծել տրված xi ն y i հանգույցները: Ներմուծել zi արժեքները: Ներմուծել xxi ն yyi լրացուցիչ հանգույցները: Ընդհանուր մաս a[0]=(z[2]-z[0])/ y[i]-y[0]; a[1]=(z[1]-z[0])/ x[i]-x[0]; a[2]=z[0]-a[1]*x[0]-a[0]*y[0]; l[00]=a[2]+a[1]*xx[0]+a[0]*yy[0] ; l[01]=a[2]+a[1]*xx[0]+a[0]*yy[1] ; l[10]=a[2]+a[1]*xx[1]+a[0]*yy[0] ; կամ

Ընդհանուր մաս P=(xx-x[0])/h;h-ը x-ի -ո-ոխման քայլն չ: h=x[1]-x[0]: q=(yy-y[0]/t); t-ն y-ի -ո-ոխման քայլն չ: t=y[1]-y[0]; L=(1-p-q)z[0,0]+pz[10]+qz[01];

1»րջ:

ՕՐԻՆԱԿ

yj

xi 0.1 0.3

a0 

0.2

0.5

1.5 2.45

1.4

z2  z0 z z  4.75 a1  1 0  0.33 y1  y 0 x1  x 0

a2=z0-a1x0-a0y0=1.09 l[00]=a[2]+a[1]*xx[0]+a[0]*yy[0]=1,7045; l[01]=a[2]+a[1]*xx[0]+a[0]*yy[1]=0,9785; l[10]=a[2]+a[1]*xx[1]+a[0]*yy[0]=1,942;

yj

xi 0.15 0.2

0.3

0.4

1.7045 1.942

0.9785

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

N 1 xi

yi 0,2 0,3

xi

yi 0,1 0,2

xi

yi 0,3 0,7

xi

yi 0,2 0,4

xi

yi 0,2 0,4

xi

yi 0,2 0,4

N2

0,1

0,3

2,51 2,4 N4

1,43

0,3

0,7

4,75 5,84 N7

3,65

0,2

0,3

9,54 6,85 N 10

7,45

0,3

0,8

4,75 2,35 N 13

3,45

0,5

0,8

4,75 2,35 N 16

3,45

0,5

0,7

4,75 2,35

3,4

yi

xi

0,1 0,3 xi

yi 0,2 0,5

yi

xi 0,2 0,4

yi

xi 0,5 0,8

yi

xi 0,5 0,8

yi

xi 0,5 0,6

N 19 xi

yi 0,2 0,4

N3

0,2

0,5

1,5 2,45 N5

1,4

0,5

0,7

1,5 1,35 N8

0,48

0,1

0,6

8,56 7,56 N 11

0,4

0,6

xi yi 0,2 0,3

0,1 0,4 xi yi 0,4 0,6

5,74 4,45 4,35 N 14 0,5

0,7

5,74 4,46 4,37 N 17 0,5 5,74 4,3

0,8 4,46

xi 0,1 0,3

xi yi 0,1 0,3

yi

0,4

3,52 1,85 N6

2,72

0,1 5,65 3,75 N9

0,2 4,47

0,2

0,7

6,55 4,48 N 12

3,85

0,2

0,4

1,5 2,4 N 15

1,4

0,2 1,5 2,6 N 18

0,3 1,6

0,2 1,5 2,6

0,4 1,75

xi

yi

yi

0,1

xi 0,1 0,3

N 20

0,3

0,6

4,75 2,35

3,4

yi

xi 0,5 0,7

0,4

0,6

5,64 4,32

4,45

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 8

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐԻ ՄՈՏԱՎՈՐ ՀԱՇՎՈՒՄԸ

ՍԻՄՊՍՈՆԻ ԲԱՆԱՁԵՎՈՎ

b

Դիտարկ»նք

 f ( x )dx

որոշյալ ինտ»·րալը:

a

Տթ» f(x) 7ունկցիայի համար հայտնի չ F(x) նախնականը, աåա կար»լի չ ինտ»·րալը ճշ·րիտ հաշվ»լ Սյուտոն--այբնիցի հիմական բանաձնով: 6ակայն նախնականը 7ունկցիան»րի միայն շատ ն»0 դասի համար չ արտահայտվում տարրական 7ունկցիան»րի միջոցով, ընդ որում հաճախ նրա որոնումը կաåված չ ծավալուն հաշվարկն»րի հ»տ:Բացի դրանից,հնարավոր չ,որ »նթաինտ»·րալային 7ունկցիան տրված լինի ·րա7իկոր»ն կամ ա0յուսակի տ»սքով: 2յդ åատճառով, որոշյալ ինտ»·րալը հաշվ»լու համար, հաճախ անհրաժ»շտ չ լինում դիմ»լ տարբ»ր մոտավոր բանաձն»րի օ·նությանը: Բավականաչադյուրությամբ այդ բանաձն»րը կար»լի չ ստանալ »լն»լով որոշյալ ինտ»·րալի »րկրաչա-ական իմաստից. »թ» f ( x )  0 [a,b]-ում, b

աåա

 f ( x )dx -ը կորա·իծ ս»0անի մակ»ր»սն չ` սահմանա-ակված a

Ox առանցքի [a,b] հատվածով, y=f(x) կորով ն x=a, x=b ու0ի0ն»րով: Øոտավոր հաշվ»լիս՝ կորա·իծ ս»0անը -ոխարինում »ն åատկ»րով՝ սահմանա-ակված նույն [a,b] հատվածով, x=a, x=b ու0ի0ն»րով, վ»րնից` åարաբոլի ա0»0ով, որի մակ»ր»սը հաշվվում չ շատ ավ»լի հ»շտ:2յստ»0ից ստանում »ն մոտավոր բանաձնը,որն օ·տա·ործում »ն միայն այն ժամանակ,»րբ կար»լի չ ·նահատ»լ նրա սխալանքը: 6իմåսոնի բանաձնով՝ որոշյալ ինտ»·րալի մոտավոր հաշվման »0անակը կայանում չ նրանում, որ [x0; x0 +2h] հատվածում y=f(x) կորի ա0»0ը -ոխարինում »ն A(x0;f(x0)), B(x0+h;f(x0+h)), C(x0+2h;f(x0+2h)) կ»տ»րով անցնո0 քառակուսային åարաբոլի ա0»0ով, այսինքն կատարում »ն y=f(x) 7ունկցիայի քառակուսային ինտ»րåոլացիա, ն ըստ Սյուտոնի առաջին ինտ»րåոլացիոն բանաձնի`

L2 x   y 0 

y 0 2 y 0 ( x  x0 )  ( x  x 0 )( x  x1 ) : h 2! h 2

Ձնա-ոխ»նք այս արտահայտությունը (քանի որ x1  x0  h ).

( x  x 0 )( x  x1 )  ( x  x 0 )(( x  x 0 )  h )  ( x  x 0 ) 2  ( x  x 0 )h ն y 0 2 y 0 ( x  x0 )  (( x  x 0 ) 2  ( x  x 0 )h ) : h 2! h 2 2յդ ժամանակ որå»ս կորա·իծ ս»0անի մակ»ր»սի մոտավոր արժ»ք ընդունում »ն [x0; x0 +2h] åարաբոլական ս»0անի մակ»ր»սը, որն ունի նույն [x0; x0 +2h] հիմքը ն վ»րնից սահմանա-ակած չ åարաբոլի ա0»0ով: L2 x   y 0 

x0  2h

x0  2h

y 0 2 y 0 ( x  x0 )  (( x  x 0 ) 2  ( x  x 0 )h )dx  h 2! h 2 x0 x0 h h h  2hy 0  2hy 0  2 y 0  ( 6 y 0  6( y1  y 0 )  ( y 2  2 y1  y 0 ))  ( y 0  4 y1  y 2 ) : S

 L2 ( x )dx   ( y0 

Տթ» նշանակ»նք y0=yս հատվածի սկզբի օրդինատը, y1=yմ հատվածի միջնակ»տի օրդինատը ն y2=yծ հատվածի ծայրակ»տի օրդինատը, աåա åարաբոլական ս»0անի մակ»ր»սի համար կստանանք հ»տնյալ բանաձնը. Sսեղ  h (yս 4yմ yծ), (1) որտ»0 xծ xս 2h (Սկ.1 ): îրոհ»նք [a,b] հատվածը n հավասար մաս»րի, ընդ որում համար»նք, որ n-ը զույ· թիվ չ, այսինքն n=2m: ba ba  2յդ ժամանակ h  : n 2m Դիցուք x0=a1,x1,...,xn=b - տրոհման կ»տ»րն »ն: 2յդ կ»տ»րում տան»նք y0=f(x0), y1=f(x1),...,yn=f(xn) օրդինատն»րը: Øիացն»նք յուրաքանչյուր »ր»ք հարնան օրդինատն»րի ծայր»րը åարաբոլն»րի ա0»0ն»րով, այսինքն [xo;x2],[x2;x4],…,[xn-2;xn] հատվածն»րում -ոխարին»նք կորը åարաբոլն»րի ա0»0ն»րով: 1իրառ»լով այդ հատվածն»րից յուրաքանչյուրում (1) բանաձնը՝ կստանանք. m m1 h S n  ( y 0  y 2 m  4 y 2 k 1  2 y 2 k ) k 1 k 1

( n  2m ) ,

m

h

m 1

f ( x 2 k 1 )  2 ∑ f ( x 2 k )) : a f ( x )dx ≈ Sn  3 ( f ( a )  f ( b )  4∑ k 1 k 1 b

(2)

(2) բանաձնը կոչվում չ åարաբոլն»րի կամ 6իմåսոնի բանաձն: Հաշվո0ական մ»թոդն»րի տ»սությունից հայտնի չ 6իմåսոնի բանաձնի բացարձակ սխալանքի ·նահատականը՝ 

( b  a )5 M 4 h 4 M 4 ( b  a )  , 180n 4

(3),

որտ»0 M 4  max f a x b

IV

( x ) , f ( x ) -ը

»նթինտ»·րալային 7ունկցիան չ, [a,b]-ն ինտ»·րման հատվածն չ, h-ը՝ ինտ»·րման քայլը: 6ակայն (3) բանաձնից օ·տվ»լը հարմար չչ, քանի որ անհրաժ»շտ չ ·նահատ»լ 7ունկցիայի չորրորդ կար·ի ածանցյալը, որը միշտ չչ, որ հ»շտ չ ·տն»լ: Գործնականում, ստացված S(h) մոտավորության ·նահատականի համար կրկնում »ն հաշվարկը նույն (2) բանաձնով, բայց 2h քայլով:



h



S ( h )  S ( 2h )

թիվը ընդունում »ն որå»ս S(h) մոտավորության սխալանք:

(4)

2ÞԲ2î2ՍօԻ ՍՁ2î21Ը b

1. Հաշվ»լ 6իմåսոնի բանաձնով

 f ( x )dx

որոշյալ ինտ»·րալը n=12

a

դ»åքում: 2. 1րկն»լ հաշվարկը,ընդուն»լով` n=6 ն ·տն»լ արդյունքի սխալանքը (4) բանաձնով:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

յայտնի են y=f(x) ֆունկցիան ,ինտեգրման a,b հատվածը : 6կիզբ

Ներմուծել a,b; x0=a; k=1:

ba ba :  n 2m յաշվել y=f(x) ֆունկցիայի արժեքները` v0= f(x0)+ f(xn)= f(a)+ f(b): Կրկնության սկիզբ x2k-1 = x2k-2+h; x2k = x2k-1+h; v1= f(x1)+ f(x3)+ ...+ f(x2k-1); v2= f(x2)+ f(x4)+ ...+ f(x2k-2); k:=k+1; եթե k=m ապա 1րկնության ավարտ: h

b

յաշվել` Sn= h ( v0  4v1  2v 2 )   f(x)dx

a

1»րջ: ՕՐԻՆԱԿ

Հաշվ»լ

1.2

e

x2

dx -ը 6իմåսոնի բանաձնով՝ ընտր»լով n=12:

ԼՈՒԾՈՒՄ 1իրառ»լով ալ·որիթմը հաշվ»նք v0, v1,v2, այնուհ»տն

հաշվ»նք՝ »թ» n=12, աåա h 

b  a 1,2   0,1 ն n

0.1 ( 1,2369278  4  4,0384636  2  3,4057813 )  0,8067448 »թ» n=6, աåա h=0,2 ն S12 

0,2  ( 1,2369278  4  2,0263451  2 1,3794362 )  0,8067454 6տացված արդյունքն»րը բ»րված »ն ա0յուսակ 1-ում. 2յսåիսով, S6 

1.2

e

x 2

dx  S12  0,8067448 ,

իսկ սխալանքը՝

h 

S ( h )  S ( 2h )

 4 10 8 :

Աղյուսակ 1

i

xi

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

y i  e  xi »թ» i=0,12

»թ» i-ն կ»նտ չ

»թ» i-ն զույ· չ

0,9900498 0,9607894 0,9139312 0,8521438 0,7788008 0,6976763 0,6126264 0,5272924 0,4448581 0,3678794 0,2981973 0.2369278



V0 1,23632 8

V1 4,0384636

V2 3,404 813

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ

ՀԱՄԱՐ 0.3



1  x dx



 cos x dx

1.5 

1  0,1 sin 2 xdx



1  sin 2 x dx 8

 sin( x



3 .3



x  x  1dx

2 .1





)dx 12



0.2



1 x

 sin

x dx





3  cos x dx



1.3

3  x 3 dx 15

xe  x dx

sin x  x dx

x2

dx

 0 .3

dx 0.21  x 3

7

e

2

1.4

dx

 ln x 0 .9

e

sin x

dx

1 .4

0 .1

1, 2

0.2

3  cos x dx

dx

 cos x dx

2 .4



 

2 ,4

0.8

e



3x2

dx

0.9

7



cos x dx x

ՄԱՍ ||

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍՐՈՒՄՆԵՐԻ

ԼՈՒԾՄԱՆ ԹՎԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

6ովորական դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րը լայն կիրառություն ուն»ն ·իտության »վ տ»խնիկայի տարբ»ր »րնույթն»րի ն åրոց»սն»րի մաթ»մատիկական մոդ»լավորման համար: 2նցո0իկ åրոց»սն»րը ռադիոտ»խնիկայում, քիմիական ռ»ակցիան»րը, տի»զ»րական մարմինն»րի կին»տիկական շարժումը հ»տազոտվում »ն դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի օ·նությամբ: Դի7»ր»նցիալ հավասարման ճշ·րիտ լուծումը ոչ միշտ չ հաջո0վում ստանալ, որի åատճառով åրակտիկայում օ·տա·ործում »ն դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի ինտ»·րման մոտավոր մ»թոդն»րը: 2յս մ»թոդն»րը åայմանականոր»ն բաժանվում »ն 3 տիå»րի` անալիտիկ, թվային ն ·րա7իկական: 2յն հավասարումը, որի մ»ջ մասնակցում »ն x անկախ -ո-ոխականը, y 7ունկցիան x -ից կախված ն նրա y ' , y " ,..., y ( n ) ածանցյալն»րը կոչվում չ n կար·ի դիֆերենցիալ հավասարում: Դի7»ր»նցիալ հավասարման կար·ը որոշվում չ նրա մ»ջ մտնո0 ածանցյալն»րի ամ»նաբարձր կար·ով: F ( x , y , y ' , y " ,..., y ( n ) )  0

¥*¤-ը n կար·ի դի7»ր»նցիալ հավասարման ընդհանուր տ»սքն չ: Տթ» ¥*¤ դի7»ր»նցիալ հավասարումը կար»լի չ լուծ»լ ածանցյալի ամ»նաբարձր կար·ի նկատմամբ, աåա այն կ·րվի հ»տնյալ տ»սքով`

y ( n )  f ( x , y ' ,..., y ( n1 ) ) : 6տացանք n կար·ի դի7»ր»նցիալ հավասարում լուծված y ( n ) ածանցյալի նկատմամբ:

ոշիի

նդիրը

կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների հա-

մար Դիցուք տրված չ y '  f ( x , y )

I կար·ի դի7»ր»նցիալ հավասարումը ն y x 0   y 0

(1) (2)

սկզբնական åայմանը:

1ոշիի խնդիրը հ»տնյալն չ. Գտն»լ (2) åայմանին բավարարո0 (1) հավասարման y=y(x) լուծումը: 2կնհայտ չ, որ միայն այն դ»åքում, »րբ 1ոշիի խնդրի լուծումը ·ոյություն ունի ն միակն չ, իմաստ ունի -նտր»լ նրա մոտավոր ն»րկայացումն»րը: Դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի ընդհնանուր տ»սությունից հայտնի չ, որ »թ» x0y հարթության ինչ որ D տիրույթում f(x;y) f 7ունկցիան անընդհատ չ ն ունի սահմանա-ակ մասնակի dy ածանցյալ,աåա x0 կ»տի շրջակայքում ·ոյություն ունի y=y(x) միակ 7ունկցիան, որը բավարարում չ (2) åայմանին ն հանդիսանում չ (1)-ի լուծումը (1ոշիի թ»որ»մ): Համանմանոր»ն 1ոշիի խնդիրը դրվում չ. ա) y   f ( x , y , y  ) ( 3 ) տ»սքի y( x0 )  y'0 , y( x0 )  y'0 ( 4) սկզբնական åայմանն»րով 2-րդ կար·ի դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի համար: Ձահանջվում չ ·տն»լ y  y( x ) 7ունկցիան, որը հանդիսանում չ (4) սկզբնական åայմանով (3) հավասարման լուծումը;

 dx   f1( t , x , y ), ( 5 ) տ»սքի ն x ( t0 )  x 0 , y ( t0 )  y 0 բ)  dt (6) dy   f2( t, x, y )  dt սկզբնական åայմանն»րով առաջին կար·ի »րկու դի7»ր»նցիալ հավասարումով համակար·ի համար:Ձահանջվում չ ·տն»լ x  x t , y  y( t ) 7ունկցիան»րը, որոնք հանդիսանում »ն (6) սկզբնաåայմանով (5) համակար·ի լուծումը;  dx  dt  f 1 ( t , x , y , z ), ·)  dy  f ( t , x , y , z ),   dt  dz  f ( t , x , y , z )  dt

(7)

տ»սքի ն x ( t0 )  x 0 , y ( t0 )  y 0 , z ( t0 )  z 0 ( 8 ) սկզբնական åայմանն»րով առաջին կար·ի »ր»ք դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի համակար·ի համար: Ձահանջվում չ ·տն»լ x  x t , y  y( t ), z  z( t ) 7ունկցիան»րը, որոնք հանդիսանում »ն (8) սկզբնաåայմանով (7) համակար·ի լուծումը:

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 9

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ

ԱՆԱԼԻՏԻԿ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

1. Աստի անային ար երի մեթոդը Դիտարկ»նք 1ոշիի (1), (2) խնդիրը ն ընդուն»նք, որ -նտրվո0 y=y(x) լուծումը վ»րլուծվում չ Ճ»յլորի շարքի x0 կ»տում. y( x )  y( x0 ) 

y( x0 ) y( x0 ) yn( x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 )2  ( x  x0 )n  1! 2! n!

(9)

(9) բանաձնից »րնում չ, որ y( x ) լուծման համար անհրաժ»շտ չ ·տն»լ 7ունկցիայի արժ»քը ն նրա ածանցյալն»րը x0 կ»տում: Հա-

մաձայն (2) åայմանի y x 0   y 0 : x0 ն y0 տ»0ադր»լով (1) հավասարման աջ մասում, հաշվ»նք y( x0 )  f ( x0, y0 )  y'0 : Դի7»ր»նց»լով (1) հավասարումը ն աջ մասում տ»0ադր»լով ստացված x 0 , y 0 , y' 0 արժ»քն»րը կստանանք.

y ( x 0 ) 

d f ( x,y )  y 0 : x  x0 dx y  y0 y'  y'0

2յնուհ»տն համանմանոր»ն հաշվ»լ y  ն այսå»ս շարունակ: Գտնված y , y , y , տ»0ադր»նք (9)-ում:

Դիտողություն. Տթ» լուծումը -նտրվում չ x 0  x1 , x 2  միջակայ-

քում >0 ճշտությամբ, աåա ·ործընթացը շարունակվում չ այնքան ժամանակ, մինչն որ

y  n  x 0  x  x 0 n   բոլոր x  x1, x 2  համար: n!

ՕՐԻՆԱԿ 1.

Գ

ԵԼ  y  x2  y2 ,

y 0  2

դի7»ր»նցիալ հավասարման լուծման

Ճ»յլորի շարքում առաջին չորս անդամն»րը:

ԼՈՒԾՈՒՄ.

Գր»նք Ճ»յլորի շարքը x 0  0 կ»տում.

y x   y 0 

y 0 y 0 2 y 0 3 x x  x  1! 2! 3!

Հավասարումից ն սկզբնական åայմանից ուն»նք. y 0   0 2  2 2  4 :

Գտն»նք 2-րդ կար·ի ածանցյալը.  y   x 2  y 2 x  2 x  2 yy  ն հաշվ»նք y 0  2  0  2  2   4  16 :





 Գտն»նք 3-րդ կար·ի ածանցյալը. y   2 x  2 yy  x  2  2 y   2 yy  ն հաշվ»նք. y 0   2  2 4   2  2 16  94 :

6տացված արժ»քն»րը տ»0ադր»լով Ճ»յլորի շարքում կստանանք`

y( x )  2  4 x  8x 2 

47 3 x :

2յս մ»թոդը կիրառվում չ նան բարձր կար·ի դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի 1ոշիի խնդրի լուծման համար: 1ոշիի (3), (4) խնդրի լուծման դ»åքում Ճ»յլորի շարքի առաջին »րկու ·ործակիցն»րը հայտնի »ն: Տրրորդը հաշվում »ն y( x0 )  f ( x0 , y0 , y0 )  y0 բանաձնով: Դի7»ր»նց»լով հավասարումը ն տ»0ադր»լով աջ մասում ստացված x 0 , y 0 , y 0 , y' ' 0 ար»քն»րը, կստանանք.

y ( x 0 ) 

d f ( x,y,y)  y 0 : x  x0 dx y  y0 y'  y'0 y   y 0

2. Հաջոդական մտավորությոունների մեթոդը Տթ» ինտ»·ր»նք (1) հավասարման »րկու մաս»րը x0-ից x սահմանում, աåա կստանանք x

x

 y' x dx  y x   y x 0    f x , y x dx ,

x0

կամ

x0

y x   y 0 

x

 f x , y x dx ,

(10)

x0

որտ»0 y 0  y( x 0 ) : (10) հավասարումը համարժ»ք չ (1) հավասարմանը ն կոչվում չ ինտ»·րալ հավասարում: Սրա լուծումը իրականացվում չ հաջորդական մոտավորությունն»րի մ»թոդով: Սախ ընտր»ն»նք y0(x) 7ունկցիան, որը բավարարում չ (2) սկզբնական åայմանին ն անվան»նք զրոյական մոտավորություն: 2յնուհ»տն y0(x) տ»0ադր»նք (10) հավասարման աջ մասում ն ·տն»նք առաջին մոտավորությունը.

y1  y 0 

x

 f x , y 0 x dx :

x0

2ռաջին մոտավորությունը ·տն»լուց հ»տո տ»0ադր»նք այն (10) հավասարման աջ մասում ն անվան»նք »րկրորդ մոտավորություն, ն այսå»ս շարունակ: Ընդհանուր դ»åքում n-րդ մոտավորության համար կստանանք

y n x   y 0 

x

 f x , y n1 x dx :

(11)

x0

Դիտողություն. y ( x 0 ) սկզբնական մոտավորությունը ընտրվում է խնդրի դրվածքի ֆիզիկական վերլուծությունից: Եթե y0(x)-ը նախապես հայտնի չէ ապա կարելի է վերցնել` y0(x)y0: Դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի տ»սությունից հայտնի չ, որ »թ» D տիրույթում, որը åարունակվում չ (x0,y0) կ»տը, f(x,y) 7ունկցիան բավարարում չ 1ոշիի թ»որ»մի åայմանն»րին, աåա x0 կ»տի շրջակայքում y1(x),y2(x),...,yn(x),... 7ունկցիան»րի հաջորդականությունը զու·ամիտում չ: Ընդ որում (10) հավասարման լուծում հանդիսացո0 y(x) 7ունկցիան նրա համար սահման չ: Հ»տնաբար y(x) 7ունկցիան հանդիսանում չ (1); (2) 1ոշիի խնդրի լուծում:

Տրկու հարնան մոտավորությունն»րի տարբ»րությունը ·նահատվում չ այսå»ս. y n ( x )  y n1 ( x ) 

որտ»0 f ( x , y )  M ,

M ( K ( x  x 0 )) n , K n!

f ( x , y )  K D տիրույթում: y

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

1. Դիցուք ուն»նք (1), (2) խնդիրը: Ընտր»նք y 0 ( x ) մոտավորությունը, որը բավարարում չ ¥2¤ åայմանին: Դա կարո0 չ լին»լ y ( x )  y 0 հաստատունը: 2նցն»նք 2-ին 2. Դիցուք որոշված չ yn-1(x) (n-1)-րդ մոտավորությունը: Որոշ»նք n-րդ մոտավորությունը: Դրա համար yn-1(x)-ը տ»0ադր»նք (1) հավասարման աջ մասի, 7ունկցիայի մ»ջ, այսինքն ·տն»նք f ( x , y n1 ( x )) -ը:(11) բանաձնով որոշ»նք n-րդ մոտավորությունը.

yn ( x )  y0 

x

 f x , yn1 x ))dx

x0

3. Գնահատ»նք տարբ»րությունը տարկվո0 կ»տի x0 շրջակայքում

y n ( x )  y n1 ( x )) ն »թ» դի-

y n ( x )  y n1 ( x ))  , աåա ·ործ-

ընթացն ավարտվում չ ն y ( x )  y n ( x ) հանդիսանում չ դի7»ր»նցիալ հավասարման լուծումը, իսկ »թ» y n ( x )  y n1 ( x ))  , աåա կրկն»լ 2 ·ործընթացը: Ընդուն»լով սկզբնական y n ( x ) մոոտավորությունը, որոշ»նք y n1 ( x ) : Օրինակ 2. Գտն»լ y   x 2  y 2 հավասարման լուծման 2 մոտավորությունն»րը, »րբ y(0)=2: ԼՈՒԾՈՒՄ Որå»ս զրոյական մոտավորություն ընդուն»նք y0(x)=2 հաստատունը:



Ձարզ չ, որ նա բավարարում չ սկզբնական åայմանին: Հաշվ»նք y1( x ) առաջին մոտավորությունը: օանի որ f(x,y)=x2-y2 , աåա f ( x , y 0 )  x 2  4 ն (11) բանաձնից (»րբ n=1) կստանանք x

y1 ( x )  2   ( x 2  4 )dx  2  4 x 



x3 :

Հաշվ»նք y2(x) »րկրորդ մոտավորությունը.

 x3  f ( x , y1 x  )  x 2   2  4 x    4  16 x  15 x 2  x 3  x 4  x 6  

ն (11) բանաձնից (»րբ n=2) կստանանք x y 2 ( x )  2   ( 4  16 x  15 x 2  x 3  x 4  x 6 )dx 

x4 8 5 1 7  x  x : 3 15 Համ»մատ»լով (1) ն (2) օրինակն»րի լուծման արդյունքն»րը կտ»սն»նք, որ իտ»րացիայի մ»թոդի 2-րդ մոտավորությունում ստացվում »ն Ճ»յլորի շարքի առաջին 3 անդամն»րը: Իտ»րացիան»րի մ»թոդով հ»տա·ա մոտավորությունն»րը տալիս »ն Ճ»յլորի շարքի հաջորդ ·ործակիցն»րի ճշ·րտում,որը սակայն ունի հաշվո0ական մ»ծ դժվարությունն»ր:  2  4 x  8x 2  5x 3 

Յ. Հաջորդական մոտավորությունների մեթոդը բար ր կար ի դի երեն իա հավասարուների համար Դիտարկ»նք` y=f(x,y,y) (3), y(x0)=y0, y(x0)=y0

(4)

1ոշիի խնդիրը: Ինտ»·ր»նք (3) հավասարման 2 մաս»րը x0 -ից x սահմանն»րում` x

x

x0

x0

 y' ' ( x )dx  y' x   y' x0    f ( x , y , y' )dx

կամ y' x   y' 0 

x

 f ( x , y , y' )dx

x0

2յնուհ»տն նս մ»կ ան·ամ ինտ»·ր»լով կստանանք`

x







x

x

x0

x0 x0

 y' ( x )dx  y x   y x 0   x  x 0 y'0     f ( x , y , y' )dx dx

կամ

x x  y x   y 0  x  x 0 y' 0     f ( x , y , y' )dx dx , (12)   x0  x0  որը համարժ»ք չ (4) åայմանով (3) հավասարմանը: Որå»ս զրոյական մոտավորություն վ»րցն»նք y0(x), որը բավարարում չ (4) սկզբնական åայմանին: Տթ» դա հնարավոր չչ, »լն»լով խնդրի դրվածքից, աåա, որå»ս սկզբնական մոտավորություն կար»լի չ վ»րցն»լ (4) åայմանին բավարարո0 ·ծային 7ունկցիա, որը »րկրաչա-որ»ն իր»նից ն»րկայացնում չ (x0,y0) կ»տով անցնո0 ու0ի0 ·իծ ն ունի y0 անկյունային ·ործակից. y0(x)= y0+(x-x0)y0 2åա` y0(x0)=y0: î»0ադր»լով y0(x), y0(x) (12) բանաձնի աջ մասում կստանանք 1-ին մոտավորությունը. x x  y1 x   y 0  x  x 0 y' 0     f ( x , y 0 x , y' 0 x  )dx dx :   x0  x0  2յնուհ»տն տ»0ադր»լով 1-ին մոտավորությունը (12) բանաձնի աջ մասում կստանանք 2-րդ մոտավորությունը. x x  y 2 x   y 0  x  x 0 y' 0     f ( x , y1 x , y'1 x  )dx dx ,   x0  x0  ն այսå»ս շարունակ: x0 կ»տի շրջակայքում,մ»թոդի զու·ամիտությամբ ·ործընթացն ավարտվում չ, »րբ դիտարկվո0 տիրույթում y n x   y n1 x    :   0 մո-

տավորության տրված ճշտությունն չ:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

1.Դիցուք տրված չ 1ոշիի (3), (4)խնդիրը: y 0 x  -ը ընտր»նք որå»ս զրոյական մոտավորություն,որը բավարարում չ 4 սկզբնական åայմանին: y 0 x   y 0  x  x 0 y' 0 : -ուծումը -նտրվում չ ճշտությունն չ: Ընդհանուր քայլ:

x0 ; x0  a

միջակայքում: >0 տրված

2. Դիցուք yn-1(x) մոտավորությունը n-1-րդ լուծումն չ: Գտն»նք yn-1(x) ն f(x,yn-1(x),yn-1(x): Որոշ»նք n-րդ մոտավորությունը x x  y n x   y 0  x  x 0 y' 0     f x , y n1 x , y' n1 x dx dx   x0  x0  բանաձնով: 3. Գնահատ»նք

y n ( x )  y n1 ( x )

տարբ»րությունը

(13)

x0 ; x0  a

հատվածում: 2յն համ»մատ»նք տրված >0-ի հ»տ: Տթ» y n ( x )  y n1 ( x )   , աåա ·ործընթացը ավարտված չ: Տթ»

y n ( x )  y n1 ( x )   աåա կրկն»լ 2 ·ործընթացը, ընդուն»լով մուտքային y n ( x ) ն (13) բանաձնով -նտր»լ y n1 ( x ) :

Դիտողություն. նահատելու համար

y n ( x )  y n1 ( x ))

րությունը կար»լի չ ընտր»լ ինչ որ ստու·ո0 x=b կ»տ հատվածում ն ·նահատ»լ

տարբ»-

x0 ; x0  a

y n ( b )  y n1 ( b )) : Տթ» մոտավորության

բնութա·րից »րնում չ, որ y ( x )  0 , դիտարկվո0 հատվածում, աåա որոն»լի y( x ) 7ունկցիան աճո0 չ ն b  x 0  a :

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

1.

y=xy+ysinx;

y(0)=0, y(0)=1.

2.

y=3y2y-1; y(0)=1, y(0)=0.

3.

y+(1/x)y+y=0;

y(1)=1, y(1)=0.

4.

y=xyy;

y(0)=1, y(0)=1.

y(0)=1, y(0)=1.

6.

y+xy=0;

y(0)=1, y(0)=0.

5. 7. 9.

x

y=xe +2yy; y+ycosx=0;

y(0)=0, y(0)=0.

y=2xy-3y+x ;

y=x y;

y(0)=1, y(0)=1.

10. y=yy-x ;

y(0)=1, y(0)=1.

x

y(0)=1, y(0)=0.

12. y=x y-y’; y(0)=1, y(0)=0.

y(0)=1, y(0)=1.

14. y+xy=0;

11. y=xy-y+e ;

y(0)=1, y(0)=1.

8.

13. y=y+x -y ; 15. y=xy-y+sinx;

y(0)=0, y(0)=1.

y(0)=1, y(0)=0.

16. y+xy-y=0; y(0)=1, y(0)=0.

2x

17. y=xcosx-y -e ;

y(0)=1, y(0)=1.

18. y=(1+x2)y; y(0)=2, y(0)=2.

19. y=x2y+2y-2e-x;

y(0)=1, y(0)=1.

20. y-xy-y=0; y(0)=1, y(0)=0.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 10

էՅԼԵՐԻ ՄԵԹՈԴԸ

Դիտարկ»նք

y'  f x , y 

դի7»ր»նցիալ

y x 0   y 0 սկզբնական åայմանը

թվային լուծումը ·տն»լու համար

հավասարումը

ն

x0 , x0  a հատվածում: Բնդրի x0 , x0  a հատվածը բաժան»նք n

a ; h թիվը կոչվում չ n ինտ»·րման քայլ: Որոն»լի y=y(x) 7ունկցիայի մոտավոր արժ»քն»րը -նտրվում »ն x0,x1=x0+h, x2=x1+h,..., xn=xn-1+h=x0+a կ»տ»րում: 3յլ»րի մ»թոդը հանդիսանում չ դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի լուծման թվային մ»թոդն»րից ամ»նաåարզը: Երկրաչափական իմաստը հ»տնյալն չ. դի7»ր»նցիալ հավասարման y=y(x) ինտ»·րալային կորը (x;y(x)) հատվածում -ոխարինվում չ նրա շոշա-ո0ով: 2յսå»ս x 0 ; x1  հատվածում (նկ.)

հավասար մաս»րի, որոնց »րկարությունը h 

ինտ»·րալային կորին տան»նք շոշա-ո0 M 0 x 0 ; y 0  կ»տից այսինքն y' ( x 0 )  f ( x 0 , y 0 ) անկյունային ·ործակցով ու0ի0, որի հավասարումն

չ y-y0=f(x0,y0)(x-x0): Որոշ»նք այդ ու00ի ն Oy առանցքին զու·ահ»ռ ն x1 կ»տով անցնո0 ու00ի հատման կ»տը` տ»0ադր»լով x=x1 շոշա-ո0ի հավասարման մ»ջ: 1ստանանք y1=y0+f(x0,y0)(x-x0)=y0+ f(x0,y0)h y1-ը x1 կ»տում մոտավոր լուծումն չ: 2յս ·ործընթացը կրկն»նք x1 ; x 2  հատվածում: Ինտ»·րալային կորին տան»նք շոշա-ո0

M1 x1 ; y1  կ»տով անցնո0, որն ունի yx1   f x1 , y1  անկյունային

·ործակիցը, որի հավասարումն չ y  y1  f

y 2 օրդինատը M 2 x 2 ; y 2  կ»տում.

x1 , y1 x  x1  :

Գտն»նք

y2  y1  f x1 , y1 x2  x1   y1  f x1 , y1 h :

y2 թիվը հանդիսանում չ լուծման մոտավոր արժ»քը x2 կ»տում:

2յս ·ործընթացը շարունակ»նք, մինչն որ որոշ»նք yn=yn-1+f(xn-1,yn-1)h, որը Mn(xn,yn) կ»տի օրդինատն չ: yn կհամարվի xn կ»տում մոտավոր լուծման արժ»քը: Øիացն»լով M0,M1,...,Mn կ»տ»րը կստանանք բ»կյալ,որը մոտավոր ն»րկայացնում չ դի7»ր»նցիալ հավասարման ինտ»·րալային կորը ն ընդունված չ այն անվան»լ 3յլ»րի բ»կյալ: Սրա հավասարումը հատվածա·ծային 7ունկցիա չ, որը հանդիսանում չ (1), (2) հավասարումն»րի մոտավոր լուծում [x0;x0+a] հատվածում:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

1. 6կզբնական քայլ. Ս»րմուծ»նք [x0;x0+a] հատվածը մաս»րի a բաժանման n թիվը ն հաշվ»նք h  քայլը: k=0 n 2. Հաշվ»լ f(xk,yk) 7ունկցիան »նթածրա·րով: 3. Ընդհանուր քայլ. 4. 1րկնության սկիզբ. yk+1=yk+f(xk,yk)h; xk+1=xk+h 5. Տթ» k+1=n(xk+1=x0+a), աåա ·ործընթացը ավարտվում չ ն y0,y1,..., yn կ»տ»րը հանդիսանում »ն (1) հավասարման -նտրվո0 լուծման մոտավոր արժ»քն»րը,իսկ »թ» k+1<n(xk+1<x0+a), աåա անցում ընդհանուր քայլին: Որքան -ոքր չ ինտ»·րման h քայլը, այնքան մ»ծ չ ճշ·րտությունը, հ»տնաբար yn մոտավոր լուծման ճշ·րտությունը ·նահատ»լու համար հաշվարկը կրկն»լ 2h քայլով ն բացարձակ սխալանքը հաշվ»լ ( yn )  yn  ŷn , որտ»0 ŷ n -ը xn կ»տում 2h քայլով հավարկված մոտավոր լուծումն չ:

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 11

էՅԼԵՐԻ ՄՈԴԻՖԻԿԱՑՎԱԾ ՄԵԹՈԴԸ

Դիտարկ»նք 1ոշիի (1), (2) խնդրի համար 3յլ»րի մոդի7իկացված մ»թոդը: Բնդրի թվային լուծումը ·տն»լու համար x 0 , x 0  a հատվածում (1) հավասարման ինտ»·րալային կորը -ոխարինվում չ x ; y( x ) կ»տով անցնո0 ու0ի0 ·ծով,բայց անկյունային ·ործակիցը մի -ոքր այլ ձնով չ որոշվում,քան 3յլ»րի մ»թոդում: Բնդրի թվային լուծումը ·տն»լու համար x 0 , x 0  a հատվածը բաժան»նք n հավասար

մաս»րի

a  h   n 

x0,x1=x0+h,x2=x1+h,...,xn=xn-1+h=x0+a

y 0 , y1 ,..., y k

կ»տ»րով ն ·տն»նք y=y(x) 7ունկցիայի

մոտավոր

արժ»քն»րը x0 , x1 ,..., x k կ»տ»րում:

Երկրաչափական իմաստը հ»տնյալն չ. x ; x  h -ոքր հատվածում y=y(x) դի7»ր»նցիալ հավասարման ինտ»·րալային կորը (x;y(x)) հատվածում -ոխարինվում չ նրա շոշա-ո0ով: 2յսå»ս x k ; x k 1  հատվածում (նկ) ինտ»·րալային կորին տան»նք շոշա-ո0 կ»տից որի M k x k ; y k  հավասարումը`

y  y k  f x k , y k x  x k  : Որոշ»նք N k կ»տի կոորդինատն»րը, որը հանդիսանում չ այդ ու00ի ն x  x k 

h ու00ի հատման կ»տը.

x N k  x k  h2  x

k

;

y N k  y k  f ( x k , y k ) h2  y

k

:

2յնուհ»տն ·տն»նք y( x կ»տից

տան»նք

k

k

) f(x

k

,y

k

անկյունային

)  k

ն M k x k ; y k 

·ործակցով

ու0ի0`

y  yk   k ( x  xk ) : Որå»ս y k 1 ընդուն»նք M k 1 կ»տի օրդինատը, որը տարված ու00ի ն x  x k  h ու00ի հատման կ»տն չ.

yk 1  yk   k h ; x k 1  x k  h : 6ա 3յլ»րի մոդի7իկացված մ»թոդի ռ»կուր»նտ ¥անդադարձ¤ բանաձնն չ:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ

îրված չ y'  f x , y  դի7»ր»նցիալ հավասարումը, y x 0   y 0

սկզբնական åայմանը ն x 0 , x 0  a հատվածը: 6կզբնական քայլ. Ս»րմուծ»նք բաժանման n թիվը ն հաշվ»նք h 

x0 , x0  a

հատվածը մաս»րի

a քայլը: k=0 n

2. Ընդհանուր քայլ. 1րկնության սկիզբ. x

y

k

k

 xk 

h

 yk  f ( xk , yk )

h

   k  f  x 1 , y 1   k 2 k 2  x k 1  x k  h y k 1  y k   k h

3. Տթ» x k 1  n աåա կրկն»լ 2 ·ործընթացը x k 1 , y k 1 համար»լ մուտքային: »թ» x k 1  n աåա ·ործընթացը ավարտվում չ:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԻՆՔՆՈՒՐՈՒՅՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ

1.

y=x2+y2;

y(0)=0,

[0;1],

h=0,1:

2.

y'  x y 2  1;

y(0)=1,

[0;0,5],

h=0,05:

3.

y=(y/x)-y2;

y(1)=1,

[1;2],

h=0,1:

4.

ycosy+2x;

y(0)=0,

[0;0,1],

h=0,01:

5.

y=x +y;

y(0)=1,

[0;1],

h=0,1:

6.

y=y-sinx;

y(0)=0,

[0;0,5],

h=0,05:

y(0)=0,

[0;1],

h=0,1:

y(0)=0,5,

[0;1],

h=0,1:

y(0)=0,5,

[0;1],

h=0,1:

y(0)=1,

[0;1],

h=0,1:

y(0)=0,5

[0;1],

h=0,1:

y(1)=1,

[1;5],

h=0,4:

y(0,5)=0,5,

[0,5;3,5], h=0,3:

y(0,1)=0,5,

[0,1;0,6], h=0,05:

y(0)=-1,

[0;1],

h=0,1:

y(0)=0,

[0;1],

h=0,1:

y(1)=1,

[1;2],

h=0,1:

y(0,1)=0,5,

[0,1;1,1], h=0,1:

y(0)=0,1,

[0;1],

h=0,1:

y(0)=0,5,

[0;1],

h=0,1:

7.

y=xy +1;

8.

y=xy +x ;

9.

y=x +xy+y ; 2 2

10. y=x y -1;

11. y=xy -0,1;

12. y=0,1(x +y );

13. y=1/(x +y );

14. y=x +y ; 2 x

15. y=y e -2y;

16. y=x -y ;

17. y=1+x+x -2y ;

18. y=y +x ;

19. y=x+x +y ;

20. y=y -x;

ՄԱՍ |||

ԼԵԶՎՈՎ ԳՐՎԱԾ ՀԱՄԱՊԱՏԱՍԽԱՆ ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ

ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԱՄՓՈՓ ԾՐԱԳՐԵՐԸ

1. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՀԱՇՎՈՒՄԸ

0 .382 x 2  x 0 .4385 x  5 հատվածում` h=0.4 քայլով:

Հաշվ»լ

f(x) 

7ունկցիայի արժ»քն»րը [1,3;5,3]

#include<iostream.h> #include<iomanip.h> #include<math.h> double EL (double x) { double y; y=(0.382*pow(x,2)+sqrt(x))/(0.4385*x+5); return(y); } main() { double a=1.3, b=5.3,y=0,h=0.4; for(int i=0; i<=10; i++){ y=EL(a); cout<<a<<" "<<y<<endl; a=a+h; } return(0); }

2. ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ

ՄՈՏԱՎՈՐ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

Գտն»լ 2lnx -

=0 հավասարման արմատի մոտավոր արժ»քը x

  104 ճշտությամբ համակցական մ»թոդով: #include <iostream.h> #include <math.h> const double e=0.0001; double y21,y,y11,y22,y2,x,fa,fb,fc,cn,dn,a,b,c; int n,i; char cc; double c0[100],d0[100] ; double fun(double v) { double g1; g1=(2*log(v)-1/v); return g1; } double ac1(double w) { double h1; h1=(2/w-1/pow(w,2)); return h1; } double ac2( double z) { double h2; h2=(-2/(z*z)-2/pow(z,3)); return h2; } void main(){ cout<<" a=" ;cin>> a; cout<< "b=";cin>>b; x=a; y21=ac1(x);

y2=ac2(x); fa=fun(a); fb=fun(b); c=(a+b)/2; fc=fun(c); if ((fa*fb)>0) cout<<"armat chka"<<endl; else { y11=ac1(c); y22=ac1(c); if ((y11*y22)<0) { c0[0]=a;d0[0]=b; } else { c0[0]=b;d0[0]=a; } n=1; c0[1]=0; d0[1]=0; } do { c0[n]=c0[n-1]-(fun(c0[n-1])*(d0[n-1]-c0[n-1]))/(fun(d0[n-1])fun(c0[n-1])); d0[n]=d0[n-1]-(fun(d0[n-1])/ac1(d0[n-1])); c0[n-1]=c0[n];d0[n-1]=d0[n]; n=n+1; } while (fabs(c0[n-1]-d0[n-1])<e); cout<<"armat="<<(c0[n-1]+d0[n-1])/2 ; }

Յ. ԼԱԳՐԱՆԺԻ ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑԻՈՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ

#include <iostream.h> const int n=5; double x[n]={0.,1.5,3.,4.5,6.}, y[n]={.4,-1.1,.7,-.5,.3}; double P(double xx, int k) { double ham=1, hajt=1; for (int i=0; i<n; i++) { if (i==k) continue; ham *=(xx - x[i]); hajt*=(x[k]-x[i]); } return ham/hajt; } double L(double xx) { double s=0.; for(int k=0; k<n; k++) { s+= y[k] * P(xx,k); } return s; } void main () { int num; double a; cout<<"input number \n"; cin>>num; for (int i=1; i<=num; i++) { cin>>a; cout<<L(a)<<endl; } }

4. ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑԻՈՆ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

#include <iostream.h> #include <math.h> const int m=4; double x0=0, h=.25*8.8, y[m+1]={3.4,10.2,7.7,11.2,5.6}; int fact(int n) { if((n==0)||(n==1)) return 1; return ( n * fact(n-1)); } int zug(int n,int k) { return ( fact(n) / ( fact(k)*fact(n-k) ) ); } double delta(int k) { double dt=0.; for (int j=0; j<=k; j++) dt+=pow(-1,j)*zug(k,j)*y[k-j]; return dt; } double art(double t,int k) { double p=1.; for (int i=0; i<k; i++) p*=(t-i); return p; } double Nuton(double x) { double t=(x-x0)/h; double Nt=y[0]; for (int k=1; k<=m; k++) Nt+=(delta(k) * art(t,k)) / fact(k);

return Nt; } void main () { int num; double x; cout<<"input number of 'x' \n"; cin>>num; for (int q=1; q<=num; q++) { cin>>x; cout<<Nuton(x)<<endl; } }

5. ԹՎԱՅԻՆ ԱԾԱՆՑՈՒՄ

#include<iostream.h> #include<math.h> const int m=6; double y[m]; int fact(int n) { if((n==0)||(n==1)) return 1; return ( n * fact(n-1)); } int zug(int n,int k) { return ( fact(n) / ( fact(k)*fact(n-k) ) ); } double delta(int k) { double dt=0.; for (int j=0; j<=k; j++) dt+=pow(-1,j)*zug(k,j)*y[k-j];

return dt; } double P2(double t,double h) { return ((1/pow(h,2))*(delta(2)-delta(3)+ +delta(4)*(12*t*t-36*t+22))); } double P1(double t,double h) { return ((1/h)*(delta(1) - (delta(2)/fact(2))*(2*t-1)+delta(3)/fact(3)* *(3*t*t-6*t+2)+delta(4)/fact(4)*(4*t*t*t-18*t*t+22*t-6))); } void main() { double x,l,x0,h; int num; cout<<"input x0\n"; cin>>x0; cout<<"input h\n"; cin>>h; cout<<"input y[i]\n"; for(int j=0;j<m;j++) cin>>y[j]; cout<<"keteri qanak"<<endl; cin>>num; for(int i=0;i<num;i++) { cin>>x; l=(x-x0)/h; cout<<"P'="<<1/h<<"("<<delta(1)<<"-"<<delta(2)<< "/2!(2t-1)+"<<delta(3)/fact(3)<<"/3!(3t*t-6t+2)+"<< delta(4)/fact(4)<<"/4!(4t*t*t-18t*t+22t-6))="<<P1(l,h)<<endl; cout<<"P''="<<1/(h*h)<<"("<<delta(2)<<"-"<<delta(3)<< "(t+1)+"<<delta(4)<<"(12tt36t+22))="<<P2(l,h)<<endl; } }

6. ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑԻԱ

#include<iostream.h> #include<iomanip.h> void main () { const int n=2; double x[n],y[n],z[n+1]; double xx,yy; double a[n+1], L; cout<<"input koords\n"; for (int i=0; i<n; i++) cin>>x[i]>>y[i]; cout<<"input function\n"; for (i=0; i<n+1; i++) cin>>z[i]; a[0]=(z[2]-z[0])/(y[1]-y[0]); a[1]=(z[1]-z[0])/(x[1]-x[0]); a[2]=z[0]-a[1]*x[0]-a[0]*y[0]; for (i=0; i<n+1; i++) cout<<a[i]<<"\t"<<a[2]<<"+"<<a[1]<<"*x"<<"+"<<a[0]<<"*y" <<endl; cout<<endl; int num; cout<<"input num of another koords\n"; cin>>num; for (i=0; i<num; i++) { cout<<"input another koords\n"; cin>>xx>>yy; L=a[2]+a[1]*xx+a[0]*yy; cout<<"L="<<setprecision(10)<<L<<endl; } } input koords 0.2 0.1 0.3 input function

2.51 1.43 2.4 -0.366667 0.35+10.8*x+-0.366667*y 10.8 0.35+10.8*x+-0.366667*y 0.35 0.35+10.8*x+-0.366667*y input num of another koords input another koords 0.1 0.3 L=1.32 input another koords 0.1 L=1.43 կամ #include<iostream.h> #include<iomanip.h> void main () { const int n=2; double x[n],y[n],z[n+1]; double xx,yy,p,l,q,h; double L; cout<<"input koords\n"; for (int i=0; i<2; i++){ cin>>x[i];cin>>y[i];} cout<<"input function\n"; for (i=0; i<n+1; i++) cin>>z[i]; cout<<"input another koords\n"; cin>>xx>>yy; h=x[1]-x[0]; l=y[1]-y[0]; p=(xx-x[0])/h; q=(yy-y[0])/l; L=(1-p-q)*z[0]+p*z[1]+q*z[2]; cout<<"L="<<setprecision(10)<<L<<endl; }

7. ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐԻ ՄՈՏԱՎՈՐ ՀԱՇՎՈՒՄԸ

ՍԻՄՊՍՈՆԻ ԲԱՆԱՁԵՎՈՎ

Հաշվ»լ

1.2

e

x 2

dx -ը 6իմåսոնի բանաձնով՝ ընտր»լով n=12:

#include <iostream.h> #include <math.h> double fun(double x) { return(1/exp((x*x))); } main() { double a=0,b=1.2,c,h,x,y,i,s=0;int n=12; h=(b-a)/n; y=fun(a);cout<<"f(a)="<<y<<endl; s+=y; y=fun(1.2);cout<<"f(b)="<<y<<endl; s+=y; c=1;i=1; while(i<n) { x=a+i*h; y=fun(x);cout<<"f(x)"<<i<<"="<<y<<endl; s+=(3+c)*y; c=-c; i++; } s*=h/3; cout<<"s="<<s<<endl; return(0);}

լուծման արդյունքը f(a)=1 f(b)=0.236928 f(x)1=0.99005 f(x)2=0.960789 f(x)3=0.913931

f(x)4=0.852144 f(x)5=0.778801 f(x)6=0.697676 f(x)7=0.612626 f(x)8=0.527292 f(x)9=0.444858 f(x)10=0.367879 f(x)11=0.298197 s=0.806745

8. էՅԼԵՐԻ ՄԵԹՈԴԸ

3յլ»րի մ»թոդով լուծ»լ 1ոշիի խնդիրը. y'  xy ; y 0   1; [0,1]; n=5:

#include<iostream.h> #include<iomanip.h> #include<math.h> double EL (double x, double y) { y=(y*x)/2; return(y); } Void main() { double a=0, b=1,y=1,h=0.2,k=0; cout<<a<<" "<<y<<endl; for(int i=1; i<=5; i++) { y+=h*EL(a,y); a=a+h; cout<<a<<" "<<y<<endl;} } լուծման արդյունքը

t

xk

yk

t

xk

yk

0,2 0,4

1,0 1,0 1,02

0,6 0,8 1,0

1,0608 1,12445 1,2144

9. էՅԼԵՐԻ ՄՈԴԻՖԻԿԱՑՎԱԾ ՄԵԹՈԴԸ

3յլ»րի մոդի7իկացված մ»թոդով լուծ»լ 1ոշիի խնդիրը. y'  xy ; y 0   1; [0,1]; n=5: #include<iostream.h> #include<iomanip.h> #include<math.h> double ELM (double x, double y) { y=(y*x)/2; return(y); } void main() { double a=0, b=1,y=1,h=0.2,k=0; cout<<a<<" "<<y<<endl; for(int i=1; i<=5; i++) { a=a+h/2; y+=h/2*ELM(a,y); a1= ELM(a,y); a=a+h; y+=a1*h; cout<<a<<" "<<y<<endl; } }

լուծման արդյունքը

t

xk

yk

t

xk

yk

1,0

0,6

1,0936

0,2

1,01

0,8

1,1725

0,4

1,04

1,0

1,2822

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Հակոբյան Յու.Ռ. - Ճվային մ»թոդն»ր, մաս I - «2րմ»նիկա», Տրնան-2003, մաս II - Տր.: 1Ø1 - Ձրինտ, 2007: 2. Բոնդարենկո Վ.Ս., Դադայան Յու.Գ, Հակոբյան Յու.Ռ., - Հաշվման մ»թոդն»ր, - I, II մաս»ր - ՏՁՀ հրատ., Տր., 1982, 1984:

3. Бахвалов Н.С. – Численные методы. – М., Наука, 1975. 4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. – Численные методы. – М., Наука, 1987. 5. Березин И.С., Жидков Н.П. – Методы вычислений. – М., Наука, 1966, т. 1, т. 2. 6. Волков Е.А. – Численные методы. – М., Наука, 1987. 7. Демидович Б.П., Марон И.А. – Основы вычислительной математики. – М., Наука, 1970. 8. Дикарев В.А., Кольцов В.П., Мельников А.Ф., Шкляров Л.И. – Вычислительные методы в задачах радиоэлектроники. – Киев, Вища школа, 1989. 9. Калиткин Н.Н. – Численные методы.- М., Наука,1978. 10. Копченова Н.В., Марон И.А. – Вычислительная математика в примерах и задачах. – М., Наука, 1972. 11. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. – Вычислительные методы: В 2т. – М., Наука, 1977. 12. Математический практикум. – Под ред. Положего Г.Н. – М., Физматгиз,1960. 13. Самарский А.А., Гулин А.Б. – Численные методы. – М.: Наука, 1989. 14. Сулима И.М., Гавриленко С.И., Радчик И.А., Юдицкий Я.А. – Основные численные методы и их реализация на микрокалькуляторах. – Киев, Вища школа, 1987. 15. Хэммиг Р.В. – Численные методы. – М.: Наука, 1968.

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Սախաբան ............................................................................................ 3 Ճվային մ»թոդն»րով խնդրի լուծման -ուլ»րը ................................... 4 ՄԱՍ |

Լաբորատոր աշխատանք 1 Աունկցիայի արժ»քն»րի հաշվումը .................................................... 6

Լաբորատոր աշխատանք 2 Գծային հավասարումն»րի համակար·ի մոտավոր լուծումը Գաուս-Ժորդանի մ»թոդով.................................................................... 9

Լաբորատոր աշխատանք 3 Ոչ ·ծային հավասարումն»րի մոտավոր լուծումը ............................ 15

Լաբորատոր աշխատանք 4 -ա·րանժի ինտ»րåոլացիոն բանաձնը ............................................ 19

Լաբորատոր աշխատանք 4 Սյուտոնի ինտ»րåոլացիոն բանաձն»րը .......................................... 24

Լաբորատոր աշխատանք 6 Ճվային ածանցում............................................................................. 28

Լաբորատոր աշխատանք Տրկու -ո-ոխականի 7ունկցիայի ինտ»րåոլացիա ........................ 31

Լաբորատոր աշխատանք 8 Ինտ»·րալն»րի մոտավոր հաշվումը 6իմåսոնի բանաձնով............ 36 ՄԱՍ || Դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի լուծման թվային մ»թոդն»րը ....... 41

Լաբորատոր աշխատանք 3 Դի7»ր»նցիալ հավասարումն»րի լուծման անալիտիկ մ»թոդն»րը ....................................................................... 43

Լաբորատոր աշխատանք 10 3յլ»րի մ»թոդը ..................................................................................... 50

Լաբորատոր աշխատանք 11 3յլ»րի մոդի7իկացված մ»թոդը ......................................................... 52 ՄԱՍ ||| C++ լ»զվով ·րված համաåատասխան լաբորատոր աշխատանքն»րի ամ-ո- ծրա·ր»րը................................................ 55 Գրականություն .................................................................................. 67

Ձատվ»ր 16

îåաքանակ 150

Տրնանի å»տական համալսարանի օå»րատիվ åոլի·րա7իայի ստորաբաժանում Տրնան, 2լ. Øանուկյան 1: