Գծային հանրահաշիվ

ԵՐԵՎԱՆԻ ԳԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Ա. ԱԼԵՔՍԱՆՅԱՆ

ԳÌԱՅԻՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԵՐԵՎԱՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ 512.64 (07) ԳՄԴ 22.143 773 Ա 296

Երաշխավորված է ïåադրության Երնանի åեïական Համալսարանի Ինֆորմաïիկայի ն կիրառական մաթեմաïիկայի ֆակուլïեïի խորՀրդի կողմից

Ալեքսանյան Ա. Գծային ՀանրաՀաշիվ, Եր., Երնանի Համալս. Հրաï., էջ. 171 Դասադիրքն ամ÷ո÷ում է վերջին ïասնամյակում Հեղինակի կողմից ԵԳՀ Ինֆորմաïիկայի ն կիրառական մաթեմաïիկայի ֆակուլïեïում կարդացվող դասախոսությունները: üակուլïեïի ուսումնական åլանով Հասïաïված «ՀանրաՀաշիվվ առարկայի ծրադիրը Հիմնված է Հեղինակի այս ն «ՀանրաՀաշիվ (խմµեր, օղակներ, դաշïեր)վ դասադրքերում ներառված նյութի վրա:

Ա

1602040000 704(02) − 2006

ISBN 5-8084-0808-3 2006թ.

ԳՄԴ 22.143 773 ©

Ա.Ալեքսանյան,

Փծային ïարածություններ Դիցուք L-ը µաղմություն է, իսկ Ճ-ն կամ իրական թվերի ℝ դաշïն է, կամ էլ կոմåլեքս թվերի ℂ դաշïը: Շարադրվող նյութը ն արդյունքները Հիմնականում Համընկնում են ℝ ն ℂ դաշïերի (ն ընդՀանրաåես կամայական դաշïի) դեåքում, ուսïի մենք կօդïադործենք դաշïի Ճ նշանակումը, ծածկելով միանդամից ℝ ն ℂ դաշïերի դեåքերը: Բոլոր այն դեåքերում, երµ արդյունքները ïարµեր են ℝ-ի ն ℂ-ի Համար Հաïուկ կնշենք, թե որ դաշïն ի նկաïի ունենք: Ընդունված է ասել, որ L µաղմության վրա սաՀմանված է դումարման դործողություն, եթե դոյություն ունի այնåիսի L × L  L արïաåաïկերում, որ µավարարում է Հեïնյալ åայմաններին (L × L-ի ճ. Ե ïարրին Համաåաïասխանող L-ի ïարրը նշանակված է ճ + Ե-ով). ճ + Ե + c = ճ + Ե + c ճ+Ե = Ե+ճ L-ում դոյություն ունի մի ïարր, որը նշանակվում է 0-ով, որ յուրաքանչյուր ճ ∈ L Համար ճ + 0 = 0 + ճ = ճ ∀ճ ∈ L ∃Ե ∈ L. ճ + Ե = Ե + ճ = 0 ●

●

●

●

Նան ասում են, որ L-ի վրա սաՀմանված է Ճ դաշïի թվերով µաղմաåաïկման դործողություն, եթե դոյություն ունի մեկ այլ արïաåաïկերումª Ճ×L  L (Ճ × L-ի λ. ճ ïարրին Համաåաïասխանող ïարրը նշանակված է λճ-ով), որ µավարարում է λμճ = λμճ 1ճ = ճ åայմաններին:

L

ումÙւորսÙ.

ïարածություն

µաղմությունը

կոչվում

է

դծային

Ճ դաշïի նկաïմամµ, եթե նրա վրա սաՀմանված

են դումարման ն թվով µաղմաåաïկման դործողություններ, որոնք µավարարում են λճ + Ե = λճ + λԵ λ + μճ = λճ + μճ åայմաններին: Դյուրին է սïուդել, որ 0ճ = 0. λ0 = 0 ն −1ճ = −ճ: Իսկաåեսª ճ + 0ճ = 1ճ + 0ճ = 1 + 0ճ = 1ճ = ճ, ուսïի 0ճ = 0, λճ + λ0 = λճ + 0 = λճ  λ0 = 0, ն ճ + −1ճ = 1ճ + −1ճ = 1 + −1ճ = 0ճ = 0  −1ճ = −ճ: Նան, եթե λճ = 0, աåա λ = 0 կամ ճ = 0. Իրոք, եթե λ ≠ 0, աåա 0 = λ −1 λճ = λ −1 λճ = 1ճ = ճ: ումÙւորսÙ. L դծային ïարածության M ենթաµաղմությունը կոչվում է

դծային ենթաïարածություն

(կամ åարղաåես

ենթաïարածություն), եթե ճ. Ե ∈ M  ճ + Ե ∈ M նկատմամµ)

(այսինքն M-ը փակ է դումարման

Չ.

λ ∈ Ճ. ճ ∈ M  λճ ∈ M µաղմաåատկման նկատմամµ) 4.

(այսինքն M-ը փակ է թվով

Այս երկու åայմանները կարելի է փոխարինել մեկ Համարժեք åայմանովª λ. μ ∈ Ճ. ճ. Ե ∈ M  λճ + μԵ ∈ M

Օրինակներ Ճx-ըը µոլոր µաղմանդամների µաղմությունը, որոնի դործակիիները Ճ դաշտիի են դծային տարածություն է Ճ-ի նկատմամµ: Չ.

Ճx-ի µոլոր ո-իի ոչ µարձր կարդի µաղմանդամները ենթատարածություն են կաղմում Ճx-ում: 4.

Ðարթության վեկտորները դծային տարածություն են կաղմում իրական թվերի դաշտի նկատմամµ, իսկ որնէ վեկտորին կոլինեար վեկտորների µաղմությունը ենթատարածություն է կաղմում այդ տարածության մեջ: 3.

ո × ո-չափանի իրական տարրերով մատրիիները կաղմում են դծային տարածություն իրական թվերի դաշտի նկատմամµ, իսկ վերին եոանկյունաձն մատրիիները կաղմում են ենթատարածություն: 4.

0. 1 միջակայքում որոշված անընդՀատ ֆունկիիաների µաղմությունը դծային տարածություն է իրական թվերի դաշտի նկատմամµ, իսկ նույն Հատվածում ածանիելի ֆունկիիաները կաղմում են ենթատարածություն: 5.

´ուլյան ֆունկիիաների Äեդալկինի µաղմանդամները կաղմում են դծային տարածություն F 2 = 0. 1 երկու էլեմենտանոի åարղ դաշտի նկատմամµ, իսկ դծային ֆունկիիաները կաղմում են ենթատարածություն: 6.

ո-չափանի թվային վեկտորների դծային տարածությունը Ճ դաշտի նկատմամµ սաՀմանվում է Հետնյալ կերå. V ո Ճ ≡ α 1 . α 2 . . . . . α ո  ∣ α i ∈ Ճ. i = 1. . . . . ո , իսկ µոլոր վեկտորները, որոնի Համար α1 = 0 կաղմում են 7.

ենթատարածություն:

Փծային անկախություն L դծային ïարածության ճ 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո ïարրերի (էլեմենïների)

դծային կոմµինացիա

է կոչվում Հեïնյալ արïաՀայïությունըª

λ 1 ճ 1 + λ 2 ճ 2 +. . . +λ ո ճ ո . որում λ 1 . . . . . λ ո դործակիցները Ճ դաշïի կամայական ïարրեր են: ումÙւորսÙ. L դծային ïարածության ճ 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո ïարրերը (կամ ïարրերի

Համակարդը)

կոչվում

λ 1 ճ 1 + λ 2 ճ 2 +. . . +λ ո ճ ո = 0

են

դծորեն անկախ,

åայմանից

Հեïնում

է,

եթե որ

λ 1 =. . . = λ ո = 0: Այսինքն դծորեն անկախ ïարրերի դծային կոմµինացիան կարող է ղրոյական լինել միայն ն միայն այն դեåքում, երµ µոլոր դործակիցները ղրոյական են: Անվերջ µաղմությունը կլինի դծորեն անկախ, եթե նրա կամայական վերջավոր ենթաµաղմությունը դծորեն անկախ է: L դծային ïարածության ճ 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո ïարրերը (կամ ïարրերի Համակարդը)

դծորեն

կլինեն

λ 1 . . . . . λ ո ∈ Ճ,

ոչ

µոլորը

կախյալ,

Հավասար

0,

եթե

կդïնվեն

այնåիսին,

որ

λ 1 ճ 1 + λ 2 ճ 2 +. . . +λ ո ճ ո = 0: Նկաïենք, որ կամայական Համակարդ, որ åարունակում է ղրոյական ïարրը դծորեն կախյալ է: Մեկ ոչ ղրոյական ïարրից µաղկացած

Համակարդը

դծորեն

անկախ

է:

Փծորեն

անկախ

Համակարդի ն ոչ մի ïարր չի արïաՀայïվում Համակարդի մնացած ïարրերի ն ոչ մի դծային կոմµինացիայով:

Օրինակներ V ո Ճ տարածության մեջ ընտրենք Հետնյալ թվային վեկտորների Համակարդը. Չ.

1. 0. 0. . . . . 0. 0. 1. 0. . . . . 0. 0. 0. 1. 0. . . . . 0. . . . . 0. . . . . 0. 1 ո

ո

ո

ո

²յս Համակարդը դծորեն անկաË է: 1. x. x 2 . x Հ . . . . . x ո µաղմանդամների Համակարդը դծորեն անկաË է: 4.

1. x. x 2 . x Հ . . . . . x ո . . . . µաղմանդամների անվերջ Համակարդը դծորեն անկաË է: 3.

1. 1. 1. 1. 2. Հ. 2. Հ. 4 Համակարդը դծորեն կաËյալ է, քանի որ 4.

2. Հ. 4 = 1. 1. 1 + 1. 2. Հ:

Փծային թաղանթ ումÙւորսÙ.

L

դծային

դծային թաղանթ

ïարածության

M

ենթաµաղմության

է կոչվում M-ի ïարրերից կաղմված µոլոր

Հնարավոր դծային կոմµինացիաների µաղմությունը: Փծային թաղանթը կնշանակենք Հեïնյալ կերåª M ∗ : ԱկնՀայï է, որ

M ∗ -ը դծային ենթաïարածություն է L-ում: Դիցուք ïրված է L դծային ïարածության ենթաïարածությունների կամայական (վերջավոր կամ անվերջ) µաղմություն: Դյուրին է սïուդել, որ այդ ենթաïարածությունների Հաïումը (որը դաïարկ չէ, քանի որ åարունակում է ղրոյական ïարրը) նորից դծային ենթաïարածություն է L-ում: LM-ով նշանակենք L դծային ïարածության M ենթաµաղմությունը åարունակող µոլոր ենթաïարածությունների µաղմությունը: Քանի որ M ⊆ M ∗ , աåա M ∗ ∈ LM ն ուրեմն

⋂ H ⊆ M∗:

H∈LM

Մյուս կողմից, եթե H ∈ LM, աåա M ∗ ⊆ H, քանի որ M ⊆ H ն H-ը åարունակում է իր ïարրերի µոլոր դծային կոմµինացիաները: Հեïնաµար, M ∗ ⊆

⋂ H, ն ուրեմն M ∗ = ⋂ H:

H∈LM

H∈LM

Այսåիսով սïացանք, որ µաղմության դծային թաղանթը դա այդ µաղմությունն

իր

մեջ

åարունակող

ենթաïարածությունն է:

ամենափոքր

դծային

Բաղիս ումÙւորսÙ. L դծային ïարածության 8 ենթաµաղմությունը կոչվում է ïարածության µաղիս, եթե Չ.

8-ն դծորեն անկաË է

4.

8∗ = L

Փասïորեն µաղիսի ïարրերի դծային կոմµիանցիայով կարելի է արïաՀայïել L-ի կամայական ïարր, ն դա Հնարավոր չէ անել 8-ի կամայական սեփական ենթաµաղմության միջոցով: Բաղիսի միջոցով ներկայացումը միակն է: Դիցուք երկու դծային կոմµինացիա ներկայացնում են միննույն ïարրը: Այդ երկու ներկայացումներում մասնակցում են վերջավոր քանակությամµ ïարրեր 8-ից, որոնց կնշանակենք ճ 1 . ճ 2 . . . . . ճ k -ով: Ուսïի այդ երկու ներկայացումները կարող ենք դրել որåես ճ 1 . ճ 2 . . . . . ճ k  µաղմության ïարրերի դծային կոմµինացիաներ Հեïնաµար,

ն,

ուրեմն,

λ 1 ճ 1 +. . . +λ k ճ k = μ 1 ճ 1 +. . . +μ k ճ k :

λ 1 − μ 1 ճ 1 +. . . +λ k − μ k ճ k = 0 ն ճ 1 . ճ 2 . . . . . ճ k -ի անկախությունից µխում է, որ λ 1 − μ 1  = λ 2 − μ 2  =. . . = λ k − μ k  = 0 ն λ1 = μ1. λ2 = μ2. . . . . λk = μk:

Թեորեմ 1. Եթե դծային ïարածությունն ունի դոնե մեկ վերջավոր µաղիս, աåա µոլոր µաղիսները վերջավոր են

ն ունեն միննույն Հղորությունը: Աåացույց. Դիցուք 4 = ճ 1 . . . . . ճ ո -ն L ïարածության վերջավոր µաղիսն է ն 8-ն մեկ այլ µաղիս է: Վերցնենք մեկ ïարր 8 µաղիսից ն նշանակենք այն Ե 1 -ով: Քանի որ 4-ն µաղիս է, աåա Ե 1 -ը կարելի է ներկայացնել այդ µաղիսի միջոցով ª Ե 1 = λ 1 ճ 1 + λ 2 ճ 2 +. . . +λ ո ճ ո

(1)

ընդ որում առանց ընդՀանրությունը կորցնելու կարող ենք Համարել, որ λ 1 ≠ 0 (µոլոր λ-ները չեն կարող միաժամանակ 0 լինել): Այսïեղից սïանում ենքª −1 −1 ճ 1 = λ −1 1 Ե 1 − λ 1 λ 2 ճ 2 −. . . −λ 1 λ ո ճ ո

(2)

Համողվենք այժմ, որ Ե 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո  Համակարդը նույնåես µաղիս է: Իրոք, ճ 1 . . . . . ճ ո -ի կամայական դծային կոմµինացիայում ճ 1 -ը կփոխարինենք կոմµինացիա:

(2)-ով

ն

Այսինքն,

կսïանանք

Ե 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո -ի

4 ∗ = Ե 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո  ∗ :

դծային Սïուդենք

Ե 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո -ի դծորեն անկախությունը. μ 1 Ե 1 + μ 2 ճ 2 +. . . +μ ո ճ ո = 0

  Համաձայն (1)-ի

μ 1 λ 1 ճ 1 + λ 2 ճ 2 +. . . +λ ո ճ ո  + μ 2 ճ 2 +. . . +μ ո ճ ո = 0  μ 1 λ 1 ճ 1 + μ 1 λ 2 + μ 2 ճ 2 +. . . +μ 1 λ ո + μ ո ճ ո = 0: Քանի որ ճ 1 . . . . . ճ ո -ը դծորեն անկախ է, աåա μ 1 λ 1 = 0. μ 1 λ i + μ i = 0. i = 2. Հ. . . . . ո: Բայց λ 1 ≠ 0 ուրեմն μ 1 = 0 ն μ i = 0. i = 2. Հ. . . . . ո. այսինքն µոլոր μ i -րը Հավասար են 0-ի ն Ե 1 . ճ 2 . . . . . ճ ո -ն դծորեն անկախ է: Այսåիսով, մենք կարողացանք Ե 1 -ով փոխարինել ճ i -ից մեկը ն սïացանք մի նոր µաղիս: Ցույց ïանք թե ինչåես կարելի է այդ åրոցեսը շարունակել:

Դիցուք արդեն մի քանի Ե i -ներ ենք ïեղադրել ճ i -րի փոխարեն ն սïացել ենք նոր µաղիսª Ե 1 . . . . . Ե k . ճ k+1 . . . . . ճ ո 

(3)

որïեղ k < ո: Նշենք, որ 8-ն չի կարող սրանով սåառվել, քանի որ այդ դեåքում 8 = Ե 1 . . . . . Ե k  ն ճ k+1 -ը չի åաïկանում 8 ∗ -ին ( դա Հեïնում է (3)-ի դծային անկախությունից), ուրեմն 8-ն µաղիս չէ: Ուսïի 8-ն չի սåառվել: Վերցնենք մեկ նոր ïարր 8-ից, որ (3)-ից չէ ն նշանակենք այն Ե k+1 -ով: Գարղ է, որ Ե k+1 -ը արïաՀայïվում է (3)-ի միջոցով. Ե k+1 = β 1 Ե 1 +. . . +β k Ե k + γ k+1 ճ k+1 + γ k+2 ճ k+2 +. . . +γ ո ճ ո

(4)

ԱկնՀայï է, որ γ i -ից առնվաղն մեկը ղրո չէ: Հակառակ դեåքում 8-ի ïարրերը կլինեն դծորեն կախյալ: Կարող ենք Համարել, որ γ k+1 ≠ 0: Այժմ սïանում ենք −1 −1 −1 −1 ճ k+1 = −γ k+1 β 1 Ե 1 −. . . −γ k+1 β k Ե k + γ −1 k+1 Ե k+1 − γ k+1 γ k+2 ճ k+2 −. . . −γ k+1 γ ո ճ ո

Աåացուցենք, որ Ե 1 . . . . . Ե k . Ե k+1 . ճ k+2 . . . . . ճ ո -ը µաղիս է: (5)-ից Հեïնում է, որ Ե 1 . . . . . Ե k . Ե k+1 . ճ k+2 . . . . . ճ ո  ∗ = Ե 1 . . . . . Ե k . ճ k+1 . . . . . ճ ո  ∗ : Եթե λ 1 Ե 1 +. . . +λ k Ե k + λ k+1 Ե k+1 + μ k+2 ճ k+2 +. . . +μ ո ճ ո = 0, աåա, օդïվելով (4)-ից, սïանում ենքª λ 1 + λ k+1 β 1 Ե 1 +. . . +λ k + λ k+1 β k Ե k + λ k+1 γ k+1 ճ k+1 + μ k+2 + λ k+1 γ k+2 ճ k+2 +. . . +μ ո + λ k+1 γ ո ճ ո = 0: Քանի որ (3)-ը µաղիս է, աåա µոլոր դործակիցները ղրոյական ենª λ k+1 γ k+1 = 0, λ i + λ k+1 β i = 0, μ j + λ k+1 γ j = 0, i = 1. 2. . . . . k, j = k + 2. k + Հ. . . . . ո: Բայց γ k+1 ≠ 0, ուսïի λ k+1 = 0 ն λ i = 0, μ j = 0,

(5)

i = 1. 2. . . . . k, j = k + 2. k + Հ. . . . . ո, այսինքն Ե 1 . . . . . Ե k . Ե k+1 . ճ k+2 . . . . . ճ ո  Համակարդը դծորեն անկախ է: Շարունակելով åրոցեսը, 4-ի µոլոր ïարրերը կփոխարինենք 8-ի ïարրերով ն կսïանանք ïարածության նոր µաղիսª Ե 1 . . . . . Ե ո : Եթե 8 ≠ Ե 1 . . . . . Ե ո , աåա 8-ում այլ ïարրեր էլ կան ն µաղիսի Հաïկություններից Հեïնում է, որ այդ ïարրերը չեն արïաՀայïվում դծորեն Ե 1 . . . . . Ե ո -ով, ինչն անՀնարին է: Ուրեմն 8 = Ե 1 . . . . . Ե ո . 8-ն վերջավոր է ն |8| = |4|: Թեորեմն աåացուցված է: Հարկ է նշել, որ թեորեմը ճիշï է նան անվերջ µաղիսի դեåքում, այսինքնª դծային ïարածության µոլոր µաղիսներն ունեն միննույն Հղորությունը: ումÙւորսÙ. L դծային ïարածության

չափը

դա նրա µաղիսի

ïարրերի Հղորությունն է: Չափը նշանակվում է Հեïնյալ կերåª dոոL: Եթե dոոL-ը վերջավոր է, աåա ïարածությունը կոչվում է

վերջավոր չափանի: Այս åաՀից ի վեր մենք կդիïարկենք միայն վերջավոր չափանի դծային ïարածությունները:

Թեորեմ 2. Եթե M-ը L դծային ենթաïարածությունն է, աåա Չ.

M-ի

ïարածության

կամայական µաղիս կարելի է ընդլայնել

մինչն L-ի µաղիս ն diոM ≤ 4.

diոL

diոM = diոL  M = L

Աåացույց. Դիցուք ճ 1 . . . . . ճ ո  −ը M ենթաïարածության µաղիսն է: Եթե M = L, աåա ճ 1 . . . . . ճ ո -ը նան L-ի µաղիսն է: Եթե M ⊂ L, աåա կդïնվի մեկ ïարր, որը չի åաïկանում M-ին: Նշանակենք այդ ïարրը ճ ո+1 -ով ª ճ ո+1 ∈ L\M: Գարղ է, որ ճ 1 . . . . . ճ ո . ճ ո+1  Համակարդը դծորեն անկախ է ն նրա դծային թաղանթը ո + 1 չափանի ենթաïարածություն է, որի մեջ åարունակվում է M-ը: Նշանակենք այն M 1 -ով: Եթե M 1 ⊂ L, աåա նույն եղանակով կդïնվի ճ ո+2 ∈ L\M 1 ն կկառուցենք M 2 = ճ 1 . . . . . ճ ո . ճ ո+1 . ճ ո+2  ∗ : Գարղ է, որ M ⊂ M 1 ⊂ M 2 ն dոոM < dոոM 1  < dոոM 2 : Քանի որ L-ը վերջավոր չափանի է, այս åրոցեսը վերջավոր քանակությամµ քայլերից Հեïո կՀանդեցնի L-ին, այսինքն կսïանանք M ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂. . . ⊂ M k = ճ 1 . . . . . ճ ո . ճ ո+1 . ճ ո+2 . . . . . ճ ո+k  ∗ = L ն ճ 1 . . . . . ճ ո . ճ ո+1 . ճ ո+2 . . . . . ճ ո+k -ը L-ի µաղիսն է:

Հեïնանք. Ամեն մի դծային ïարածություն ունի µաղիս:

Անցման մաïրիցը 6 1 . . . . . 6 ո -ը

Դիցուք

L

դծային

ïարածության

(Ճ

դաշïի

նկաïմամµ) µաղիսն է: Կամայական x ∈ L ներկայացվում է µաղիսի միջոցովª

x = λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո :

Λ = λ 1 . . . . . λ ո 

Նշանակենք

ն

⋮

E =

, աåա x-ի µաղիսային ներկայացումը կարïադրվի

6ո Հեïնյալ ձնով ª x = ΛE: Λ = λ 1 . . . . . λ ո 

վեկïորը

կանվանենք

x∈L

ïարրի

կոորդինաïային վեկïոր E µաղիսում:

Դիցուք

E =

d1

⋮

-ն ն

D

=

6ո Յուրաքանչյուր

⋮

-ն L-ի երկու µաղիսներ են:

dո ′

d i -ն

′

d i = α i1 6 1 +. . . +α iո 6 ո .

ունի

ներկայացում

i = 1. . . . . ո:

Սïացվում

µաղիսում

E

է

Հեïնյալ

ո × ո-չափանի մաïրիցըª α 11 . . . α 1ո T=

,

α ո1 . . . α ոո որը կանվանենք µաղիսից µաղիս անցման մաïրից, քանի որ D

= TE:

′

Դիցուք 0-ն D-ից E-ին անցման մաïրիցն է, այսինքնª E =0D : Գարղ է, որ

E =0TE

ն EE =0TE, որïեղ E-ն միավոր մաïրիցն է (անկյունադծի

ïարրերը Հավասար են 1-ի, իսկ մնացածը ղրոյական են): Սïանում ենքª E − 0TE = 0 ն, քանի որ E-ի ïարրերը դծորեն անկախ ենª E − 0T = 0:

Իսկաåես,

β ij -ով

նշանակենք

E − 0T-ի

ïարրերը:

Յուրաքանչյուր i ∈ 1. . . . . ո Համար կսïանանք β i1 6 1 +. . . +β iո 6 ո = 0: Հեïնաµար β i1 =. . . = β iո = 0: Ուսïի E − 0T = 0 ն E = 0T: Վերջին Հավասարումից սïացվում է, որ T ն 0 մաïրիցները իրար Հակադարձ են, Հեïնաµար չվերասերված (այսինքն d6t ≠ 0) են ն 0 = T −1 : Դիցուք E-ն µաղիս է ն T = α ij  ո×ո չվերասերված մաïրից է: Բաղմաåաïկենք T-ն E-ով ն սïացված սյունը նշանակենք D-ով: Այսինքն α 11 . . . α 1ո TE

Եթե

D∗

=

⋮

α ո1 . . . α ոո

6ո

d1 =

= D:

⋮ dո

≠ L, աåա D-ի ïարրերը դծորեն կախյալ են ն dոոD ∗  < ո:

Բայց E =

d1 = T −1

⋮ 6ո

ն

ամեն

մի

6 i -ին

կոմµինացիայով, ուսïի

dո

արïաՀայïվում E

= T −1 D

⋮

⊆

D∗

ն

E∗

⊆

է

D∗:

D-ի

ïարրերի

դծային

Վերջին Հարաµերությունից

սïացվում է, որ dոոE ∗  ≤ dոոD ∗  < ո : Սա Հակասում է dոոE ∗  = ո åայմանին, որն ակնՀայïորեն µխում է E-ի µաղիս լինելուց: Այսåիսով, dոոD ∗  = ո ն D-ն էլ µաղիս է: Ամփոփելով վերն աåացուցածը, սïանում ենք Հեïնյալ åնդումը.

ա) կամայական երկու µաղիս իրար են կաåված անցման մաïրիցով,

µ) չվերասերված մաïրիցով µաղմաåաïկված µաղիսը նորից µաղիս է: Դիցուք

E-ն

ու

ներկայացումն է

D-ն E

µաղիսներ են,

E =TD

ն x-ի µաղիսային

µաղիսում x = ΛE: Փïնենք x-ի µաղիսային

ներկայացումը D-ում x = ΛE =ΛTD = ΛTD: Քանի որ µաղիսային ներկայացումը միարժեք է, աåա x-ի կոորդինաïները D-ում դա ΛT-են:

Այսåիսով դծային կոորդինաïային վեկïորը Համար անՀրաժեշï է Հին վեկïորը µաղմաåաïկել մաïրիցով:

ïարածության ïարրի նոր µաղիսում սïանալու µաղիսում կոորդինաïային µաղիսից µաղիս անցման

Ենթաïարածությունների դումարը Ինչåես արդեն նշել ենք, դծային ïարածության ենթաïարածությունների կամայական ընïանիքի Հաïումը նորից դծային ենթաïարածությունն է: Այն ամենամեծ (ըսï ներդրվածության) ենթաïարածությունն է, որ åարունակվում է ïրված ընïանիքի յուրաքանչյուր ենթաïարածության մեջ: Ենթաïարածությունների միավորումը սակայն, µացի µացառիկ դեåքերից, (երµ մեկ ենթաïարածությունն ընկած է մյուսի մեջ) չի Հանդիսանում դծային ïարածություն: Գարղ է, որ ամենափոքր ենթաïարածությունը, ենթաïարածությունների թաղանթն է:

որն ընդդրկում է միավորումը, դա միավորման

երկու դծային

Դիցուք L 1 ն L 2 դծային ենթաïարածություններ են L դծային ïարածության մեջ: Սïուդենք այժմ, որ L 1 ∪ L 2 µաղմության դծային թաղանթը Համընկնում է Հեïնյալ դծային ենթաïարածության Հեï L 1 + L 2 = ճ + Ե ∣ ճ ∈ L 1 . Ե ∈ L 2 . որը կոչվում է L 1 ն L 2 դծային ենթաïարածությունների դումար: Եթե ճ 1 + Ե 1 ն ճ 2 + Ե 2 åաïկանում են L 1 + L 2 -ին, աåա λճ 1 + Ե 1  + μճ 2 + Ե 2  =λճ 1 + μճ 2  + λԵ 1 + μԵ 2 ∈ L 1 + L 2 ∈L 1

∈L 2

ն L 1 + L 2 -ը դծային ենթաïարածություն է: Համողվենք,

որ

L 1 ∪ L 2  ∗ = L 1 + L 2 :

Ունենք

L 1 + L 2 ⊆ L 1 ∪ L 2  ∗ , քանի որ ճ + Ե ∈ L 1 + L 2 Հանդիսանում է L 1 ∪ L 2 µաղմության ïարրերի դծային կոմµինացիա: Մյուս կողմից L 1 ∪ L 2 µաղմության ïարրերի կամայական դծային կոմµինացիա ունի

Հեïնյալ ïեսքըª α 1 x 1 +. . . +α k x k + β 1 y 1 +. . . +β ո y ո , որïեղ x i ∈ L 1 ն y j ∈ L 2 , i = 1. . . . . k, j = 1. . . . . ո: ԱկնՀայï է, որ α 1 x 1 +. . . +α k x k ∈ L 1 ն β 1 y 1 +. . . +β ո y ո ∈ L 2 , ուսïի ն α 1 x 1 +. . . +α k x k + β 1 y 1 +. . . +β ո y ո = ճ + Ե ∈ L 1 + L 2 ն L 1 ∪ L 2  ∗ ⊆ L 1 + L 2 :

Թեորեմ 3. դծային ïարածության L1 ենթաïարածությունների Համար սïույդ էª

ն

L

L2

dոոL 1 + L 2  + dոոL 1 ∩ L 2  = dոոL 1  + dոոL 2  Աåացույց. Դիցուք 6 1 . . . . . 6 ո -ը L 1 ∩ L 2 -ի µաղիսն է: Համաձայն Թեորեմ 2-ի այդ µաղիսը կարող ենք ընդլայնել մինչն L 1 -ի µաղիսըª 61. . . . . 6ո. ճ1. . . . . ճk

ն

Համաåաïասխանաµար

L 2 -ի

µաղիսըª

6 1 . . . . . 6 ո . Ե 1 . . . . . Ե ո : Եթե մեղ Հաջողվի կառուցել L 1 + L 2 -ի մի µաղիս, որը åարունակում է ո + k + ո ïարր, աåա թեորեմն աåացուցված կլինի: Աåացուցենք, որ 61. . . . . 6ո. ճ1. . . . . ճk. Ե1. . . . . Եո Համակարդը L 1 + L 2 -ի µաղիսն է: Սկղµից սïուդենք, որ այս Համակարդի դծային թաղանթը Համընկնում է L 1 + L 2 -ի Հեï: ԱկնՀայï է, որ 61. . . . . 6ո. ճ1. . . . . ճk. Ե1. . . . . Եո Համակարդի թաղանթն ընկած է L 1 + L 2 -ի մեջ: Դիցուք x + y ∈ L 1 + L 2 , x ∈ L 1 ն y ∈ L 2 : Գարղ է, որ x-ը կարելի սïանալ 6 1 . . . . . 6 ո . ճ 1 . . . . . ճ k Համակարդի դծային կոմµինացիայով, իսկ y-ըª

6 1 . . . . . 6 ո . Ե 1 . . . . . Ե ո -ի դծային կոմµինացիայով: Այս երկու դծային կոմµինացիաների դումարը ïալիս է x + y ïարրի ներկայացումը 6 1 . . . . . 6 ո . ճ 1 . . . . . ճ k . Ե 1 . . . . . Ե ո Համակարդի դծային կոմµինացիայով, ուսïի L 1 + L 2  ∗ = 6 1 . . . . . 6 ո . ճ 1 . . . . . ճ k . Ե 1 . . . . . Ե ո  ∗ : Մնաց աåացուցել, որ 61. . . . . 6ո. ճ1. . . . . ճk. Ե1. . . . . Եո Համակարդը դծորեն անկախ է: Դիցուք λ 1 6 1 +… +λ ո 6 ո + α 1 ճ 1 +… +α k ճ k + β 1 Ե 1 +. . . +β ո Ե ո = 0: Վերջին արïաՀայïությունն արïադրենք Հեïնյալ կերå ª α 1 ճ 1 +. . . +α k ճ k = −λ 1 6 1 −. . . −λ ո 6 ո − β 1 Ե 1 −. . . −β ո Ե ո : Այս արïաՀայïության ձախ մասը åաïկանում է L 1 -ին, իսկ աջըª L 2 -ին, ուսïի երկու մասերում էլ դրված է L 1 ∩ L 2 -ի միննույն ïարրը: Այդ ïարրի ներկայացումը 6 1 . . . . . 6 ո µաղիսում միակն է, այն միակն է նան

61. . . . . 6ո. Ե1. . . . . Եո

µաղիսում:

Բայց

61. . . . . 6ո

µաղիսում

ներկայացումը նան Հանդիսանում է 6 1 . . . . . 6 ո . Ե 1 . . . . . Ե ո µաղիսում ներկայացում, ուսïի − λ 1 6 1 −. . . −λ ո 6 ո − β 1 Ե 1 −. . . −β ո Ե ո դծային կոմµինացիայում µոլոր β i դործակիցները ղրոյական են ն α 1 ճ 1 +. . . +α k ճ k = −λ 1 6 1 −. . . −λ ո 6 ո : Այսïեղից Հեïնում էª α 1 ճ 1 +. . . +α k ճ k + λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո = 0 ն քանի որ 6 1 . . . . . 6 ո . ճ 1 . . . . . ճ k -ը µաղիս է L 1 -ի Համար, աåա α i = 0 ն λ j = 0: Այսåիսով աåացուցեցինք, որ 6 1 . . . . . 6 ո . ճ 1 . . . . . ճ k . Ե 1 . . . . . Ե ո -ը

L 1 + L 2 -ի µաղիսն է ն թեորեմն աåացուցվեց: Թեորեմ 2-ից Հեïնում է, որ երµ dոոL 1 ∩ L 2  = 0 (սա Համարժեք է L 1 ∩ L 2 = 0 åայմանին) L 1 + L 2 -ի µաղիսը սïացվում է L 1 -ի µաղիսին L 2 µաղիսի կցադրմամµ ն dոոL 1 + L 2  = dոոL 1  + dոոL 2 : Այդ դեåքում ասում են, որ L 1 + L 2 դումարն

ուղիղ

է ն օդïվում են

L 1 +̇ L 2 նշանակումից: Նկաïենք,

որ

ուղիղ

դումարի

դեåքում,

դումարի

ïարրի

ներկայացումը L 1 ն L 2 ենթաïարածությունների ïարրերի դումարի ïեսքով միակն է: Իսկաåես, ճ1 + Ե1 = ճ2 + Ե2  ճ1 − ճ2 = Ե2 − Ե1 ու Հավասարման երկու մասերն էլ åաïկանում են L 1 ∩ L 2 -ին, ուսïի դրանք ղրոյական են:

üակïոր-ïարածություն Դիցուք M-ը L դծային ïարածության ենթաïարածությունն է: ումÙւորսÙ. x + M = x + ո ∣ ո ∈ M µաղմությունը կոչվում է

Հարակից դաս ըսï M ենթաµաղմության: Քանի որ 0 ∈ M, աåա x ∈ x + M: Հարակից դասերի Հիմնական Հաïկություններն են. Չ.

x+M = y+M  x−y ∈ M

4.

x + M ∩ y + M ≠   x + M = y + M

Աåացուցենք առաջին Հաïկությունը: Եթե x + M = y + M, աåա x ∈ y + M, x = y + ո ն x − y = ո ∈ M: (Քանի որ M-ը դծային ենթաïարածություն է, աåա x − y ∈ M  y − x ∈ M, ն x − y ∈ M ն y − x ∈ M åայմանները կամ µավարարված են միաժամանակ կամ էլ միաժամանակ չեն µավարարված:) Եթե այժմ x − y ∈ M, աåա ̃ ∈ M ն x = y+ո ̃ : Վերցնենք կամայական ïարր x + M x−y = ո ̃ + ո ∈ y + M: Ուսïիª x + M ⊆ y + M: Մյուս դասիցª x + ո = y + ո ̃ ̃ + ո ∈ x + M: Ուսïիª կողմիցª y = x − ո ն y + ո = x + −ո y + M ⊆ x + M ն առաջին Հաïկությունը աåացուցված Մասնավորաåես սïանում ենք, որ x + M = M  x ∈ M:

է:

Սïուդենք երկրորդ Հաïկությունը: Դիցուք z ∈ x + M ∩ y + M: Ունենք, որ z = x + ո 1 ն z = y + ո 2 : Ուրեմնª x + ո 1 = y + ո 2 ն x − y = ո 2 − ո 1 ∈ M: Համաձայն առաջին Հաïկությանըª x + M = y + M: Այսåիսով սïանում ենք, որ L դծային ïարածությունը ïրոՀված է Հարակից դասերի ըսï M ենթաïարածության: Յուրաքանչյուր ïարր

åաïկանում է Հարակից դասի (x ∈ x + M) ն ïարµեր դասերը չեն Հաïվում, ուսïի L-ը չՀաïվող Հարակից դասերի միավորում է: Նկաïենք նան, որ յուրաքանչյուր Հարակից դաս կարելի է 1 − 1 Համաåաïասխանության մեջ դնել M-ի Հեï: Իսկաåես ո ∈ L Համաåաïասխանեցնենք x + ո ïարրին x + M դասից: Քանի որ x + ո 1 = x + ո 2 åայմանից µխում էª ո 1 = ո 2 , աåա դա 1 − 1 Համաåաïասխանություն է: Նշանակենք

L/M-ով

ըսï

M-ի

µոլոր

Հարակից

դասերի

µաղմությունը: ՍաՀմանենք x + M ն y + M Հարակից դասերի դումարը որåես x + y + M: Այս սաՀմանումը կոռեկï է: Իսկաåես, եթե x + M = x 1 + M ն y + M = y 1 + M, աåա ըսï սաՀմանման x + M + y + M = x + y + M ն x 1 + M + y 1 + M = x 1 + y 1  + M: Ունենք, որ x − x 1 ∈ M ն y − y 1 ∈ M, ուսïի x + y − x 1 + y 1  = x − x 1  + y − y 1  ∈ M ն x + y + M = x 1 + y 1  + M: ՍաՀմանենք x + M Հարակից դասի λ թվով µաղմաåաïկումը որåես λx + M: Այս սաՀմանումը նույնåես կոռեկï է: Եթե x 1 ∈ x + M, աåա x − x 1 ∈ M ն λx − λx 1 = λx − x 1  ∈ M: Դյուրին է սïուդել, որ L/M-ը սաՀմանված դումարան ն թվով µաղմաåաïկման դործողություններով µավարարում է դծային ïարածության սաՀմանմանը: ԱյսուՀեïն L/M-ը կանվանենք ֆակïոր-ïարածություն M-ի նկաïմամµ:

Օրինակներ Չ.

Դիտարկենք

Հարթության

մեջ

դտնվող

վեկտորների

µաղմությունը, որը դծային տարածություն է վեկտորների դումարման ն թվով µաղմաåատկման դործողությունների նկատմամµ: üիքսած « վեկտորին կոլինեար վեկտորների µաղմությունը կաղմում է ենթատարածություն: b ն c վեկտորները կåատկանեն միննույն Հարակիի դասին ըստ «-ին կոլինեար վեկտորների ենթատարածությանը միայն ն միայն եթե b − c վեկտորը լինի կոլինեար «-ին: ²յսինքն, Հարակիի դասը, որ ծնված է b վեկտորով դա Հետնյալ µաղմությունն էը b + λ« ∣ λ ∈ ℝ: «-ին կոլինեար µոլոր վեկտորները, որոնի սկղµնակետը կոորդինատային Համակարդի սկիղµն է, դտնվում են միննույն ուղղի վրա, որն անինում է 0 կետով: Ստորն µերված նկարիի երնում է, որ b + λ« ∣ λ ∈ ℝ µաղմության µոլոր վեկտորների ծայրակետերն ընկած են միննույն ուղղի վրա, որը ղուդաՀեո է «-ով որոշված ուղղին: Պարղ է, որ կամայական վեկտոր, որի սկղµնակետը 0-ն է, իսկ ծայրակետն ընկած է նշված ուղղի վրա åատկանում է b + λ« ∣ λ ∈ ℝ µաղմությանը: (ւստի ըստ «-ին կոլինեար վեկտորների ենթատարածությանը Հարակիի դասերը միարժեքորեն որոշվում են «-ին ղուդաՀեո ուղիղներովը յուրաքանչյուր ուղղին ՀամաåատասËանում է մեկ Հարակիի դաս:

a+b λa+b

b a

λa

4.

Դիիուք տրված է ո անՀայտով ո դծային Հավասարումների

Համասեո Համակարդըը α 11 x 1 +. . . +α 1ո x ո = 0 α 21 x 1 +. . . +α 2ո x ո = 0 α ո1 x 1 +. . . +α ոո x ո = 0 Դրա լուծումները V ո ℝ տարածության վեկտորներն են: Դյուրին է ստուդել , որ եթե x 1 . … . x ո  վեկտորը Համակարդի լուծում է, աåա λx 1 . … . λx ո  վեկտորը նույնåես լուծում է: Ðամասեո Համակարդի երկու լուծումների դումարը նորիի լուծում է: ²յսինքն Համասեո Համակարդի լուծումների µաղմությունը կաղմում է ենթատարածություն V ո ℝ-ում: üիքսենք որնէ վեկտոր V ո ℝ-ումը μ 1 . … . μ ո : Պարղ է, որ ըստ վերը նշված Համակարդի լուծումենրի ենթատարածության Հարակիի դասի տարրերը կունենան Հետնյալ տեսքըը x 1 + μ 1 . … . x ո + μ ո  ն կµավարարեն Հետնյալ (ընդՀանուր դեåքում ոչ Համասեո) Համակարդին α 11 x 1 +. . . +α 1ո x ո = β 1 α 21 x 1 +. . . +α 2ո x ո = β 2 α ո1 x 1 +. . . +α ոո x ո = β ո որտեղ β i = α i1 μ 1 +… +α iո μ ո , i = 1. 2. … . ո: ²յսինքն, Հարակիի դասը Համընկնում է վերջին Համակարդի լուծումների µաղմության Հետ: Դիիուք ℝx-ը իրական դործակիիներով µոլոր µաղմանդամների դծային տարածությունն է, իսկ M-ը x 2 + 1 µաղմանդամի åատիկների µաղմությունն էը M = x 2 + 1hx ∣ hx ∈ ℝx: Դյուրին է Համողվել, որ M-ը դծային ենթատարածություն է ℝx-ում: ºրկու µաղմանդամ կլինեն միննույն Հարակիի դասիի ըստ M-ի միայն ն միայն այն դեåքում, երµ դրանի տարµերությունը åատկանում է M-ին, այսինքն fx − gx = x 2 + 1hx: Սա 3.

նշանակում է, որ fx ն gx µաղմանդամները x 2 + 1 µաղմանդամի վրա µաժանելիս կստանանք միննույն մնաիորդը, որն ունի ճ + Եx տեսքը: (ւստի, յուրաքանչյուր Հարակիի դաս ըստ M-ի միարժեքորեն որոշվում է այն միակ ճ + Եx տեսքի µաղմանդամով, որն ընկած է այդ Հարակիի դասի մեջ:

Թեորեմ 4. դծային ïարածության Համար ïեղի ունի L

M

ենթաïարածության

dոոL/M = dոոL − dոոM Աåացույց. Դիցուք 6 1 . . . . . 6 ո -ը M ենթաïարածության µաղիսն է: Համաձայն թեորեմ 2-ի այդ µաղիսը կարող ենք ընդլայնել մինչն L-ի µաղիսըª 6 1 . . . . . 6 ո . d 1 . . . . . d k : Եթե կառուցենք k ïարրանոց µաղիս L/M-ի Համար, թեորեմն աåացուցված կլինի: Դիïարկենք որåես L/M-ի µաղիսի թեկնածու Հեïնյալ Հարակից դասերի Համակարդըª d 1 + M. . . . . d k + M: Սïուդենք, որ այս Համակարդի դծային թաղանթը Համընկնում է L/M-ի Հեï: Եթե x + M-ը կամայական դաս է L/M-ից, աåա x = λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո + μ 1 d 1 +. . . +μ k d k քանի որ 6 1 . . . . . 6 ո . d 1 . . . . . d k -ն µաղիս է L-ում: Այսïեղից սïանում ենք, որ x − μ 1 d 1 +. . . +μ k d k  = λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո ∈ M: Սա նշանակում է, որ x + M = μ 1 d 1 +. . . +μ k d k  + M = μ 1 d 1 + M +. . . +μ k d k + M: Այժմ սïուդենք, որ d 1 + M. . . . . d k + M Համակարդը դծորեն

անկախ է: Դիցուքª μ 1 d 1 + M +. . . +μ k d k + M = 0 + M: Հեïնաµար, μ 1 d 1 +. . . +μ k d k ∈ M ն կդïնվեն այնåիսի λ 1 . . . . . λ ո , որ μ 1 d 1 +. . . +μ k d k = λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո : Վերջին Հավասարությունը կարïադրենք որåես μ 1 d 1 +. . . +μ k d k − λ 1 6 1 −. . . −λ ո 6 ո = 0 ն օդïվելով կսïանանքª

61. . . . . 6ո. d1. . . . . dk

µաղիսի

Հաïկություններից

μ 1 =. . . = μ k = λ 1 . . . = λ ո = 0, այսինքն, μ 1 =. . . = μ k = 0 ն Համակարդի դծորեն անկախությունն աåացուցված է: Աåացուցված է նան թեորեմը:

ո-չափանի ïարածությունների իղոմորֆիղմը Դիցուք L-ը ո-չափանի դծային ïարածություն է Ճ դաշïի նկաïմամµ: Ընïրենք մի որնէ µաղիս E =

⋮

:

6ո Ինչåես

դիïենք,

յուրաքանչյուր

ïարր

x∈L

միարժեքորեն

ներկայացվում է այդ µաղիսում x = ΛE: Ճիշï է նան Հակառակըª µաղիսային ïարրերի կամայական դծային կոմµինացիան ïալիս է մի ïարր

L-ում:

Այսåիսով,

սïանում

ենք

փոխմիարժեք

Համաåաïասխանեցում L-ի ն V ո Ճ ≡

λ 1 . λ 2 . . . . . λ ո  ∣ λ i ∈ Ճ. i = 1. . . . . ո -ի

միջնª x ∈ L  Λ ∈ V ո Ճ Դյուրին է սïուդել, որ եթե x  Λ ն y  Γ աåա x + y  Λ + Γ ն αx  αΛ: Այսինքն, L-ը ն V ո Ճ-ն որåես դծային ïարածություններ իրարից չեն ïարµերվում: Այդåիսի դծային ïարածությունները կոչվում են իղոմորֆ:

Ամեն մի ո-չափանի դծային ïարածություն

Ճ

դաշïի

նկաïմամµ իղոմորֆ է ո-չափանի թվային վեկïորական ïարածությանը:

Փծային օåերաïորներ Դիցուք L 1 -ը ն L 2 -ը դծային ïարածություններ են միննույն Ճ դաշïի նկաïմամµ:

4 L 1  L 2 արïաåաïկերումը կոչվում է

դծային օåերաïոր, եթե 4x

+ y

= 4x

+ 4y

4λx = λ4x

Վերջին երկու åայմանները կարելի է փոխարինել մեկ Համարժեքով. 4λx

+ μy

= λ4x

+ μ4y:

Օրինակներ L 1 = L 2 Հարթության վեկտորների դծային տարածությունն է. օåերատորը ամեն մի վեկտորը µաղմաåատկում է λ թվով: Չ.

L 1 = L 2 Հարթության վեկտորների դծային տարածությունն է. օåերատորը ամեն մի վեկտորը åտտում է կոորդինատային Համակարդի սկղµնակետի շուրջ α անկյունով: 4.

3.

L 1 = R ո x - իրական դործակիիներով ո-իի փոքր կամ

Հավասար

աստիճանի µաղմանդամների µաղմությունը, L 2 = R ո−1 x: 4 = d - ածանիման դործողությունն է: dx 4. L 1 = R ո x, L 2 = R ո+1 x, օåերատորը ինտեդրման դործողությունն է: L 1 = V ո Ճ, L 2 = V ո Ճ, 4-ն ո × ո-չափանի մատրիի է, որի տարրերը Ճ-իի են. 5.

4λ 1 . . . . . λ ո  = λ 1 . . . . . λ ո 4

∈ V ո Ճ արտաåատկերումը դծային օåերատոր է:

Փծային օåերաïորի միջուկը ն åաïկերը Յուրաքանչյուր երկու

4 L 1  L 2 դծային օåերաïորի Հեï կաåվում են

ենթաïարածություններª

միջուկը

ն

åաïկերը

Համաåաïասխանաµար L 1 -ում ն L 2 -ում: Փծային օåերաïորի միջուկը սաՀմանվում է Հեïնյալ կերåª

Է6r 4 = x ∈ L 1 ∣ 4x = 0: Փծային օåերաïորի սաՀմանումից անմիջաåես Հեïնում է, որ

= 0 ն միջուկը երµեք դաïարկ չէ: Միջուկը ենթաïարածություն է

L 1 -ում. x. y ∈ Է6r 4 4λx

 4x

= 4y = 0 ն

+ μy = 4λx + 4μy = λ4x + μ4y = λ0 + μ0 = 0  λx + μy ∈ Է6r 4:

Գաïկերը սաՀմանվում է որåեսª Iո 4 = y ∈ L 2 ∣ ∃x ∈ L 1 . 4x = y ն այն Հանդիսանում է ենթաïարածություն L 2 -ում: Իսկաåես, եթե y 1 . y 2 ∈ Iո 4, աåա ∃x 1 . x 2 4x 1 = y 1 , 4x 2 = y 2 , ուսïի 4λx 1

+ μx 2  = λ4x 1 + μ4x 2 = λy 1 + μy 2

ն λy 1 + μy 2 ∈ Iո 4: ԱյսուՀեï, երµ Հարմար կդïնենք, կՀամարենք, որ L 2 = Iո 4: Դյուրին է սïուդել, որ 4x 1

= 4x 2  4x 1 − x 2  = 0 

x 1 − x 2 ∈ Է6r 4  x 1 + Է6r 4 =x 2 + Է6r 4 (այսինքն, x 1 -ը ն x 2 -ը միննույն Հարակից դասից են ըսï միջուկի): Ուրեմն, 4 դծային օåերաïորը միննույն Հարակից դասի (ըսï միջուկի) ïարրերը ïանում է åաïկերի նույն ïարրի մեջ, իսկ ïարµեր

Հարակից դասերի ïարրերը անցնում են ïարµեր ïարրերի մեջ: Այսåիսով, սïանում ենք փոխմիարժեք Համաåաïասխանում L 1 / Է6r 4 ֆակïոր-ïարածության ն Iո 4 միջն, որն իղոմորֆիղմ է (դա µխում է օåերաïորի դծայնությունից): Իրոք, նշանակենք 8-ով Հեïնյալ արïաåաïկերումը L 1 / Է6r 4-ից Iո 4-ի վրա 8x

+ Է6r 4

= 4x

Այս 8 օåերաïորը åարղ է, որ փոխմիարժեքորեն արïաåաïկերում է L 1 / Է6r 4-ն Iո 4-ի վրա: Այն դծային օåերաïոր է. 8λx

+ Է6r 4 + μy + Է6r 4 8λx

+ μy + Է6r 4

= 8λx

= 4λx

+ Է6r 4 + μy + Է6r 4

+ μy

= λ4x

=

+ μ4y =

λ8x + Է6r 4 + μ8y + Է6r 4: Ուսïիª L 1 / Է6r 4-ն իղոմորֆ է Iո 4-ն:

Թեորեմ 5. Դիցուք 4 4 L 1  L 2 դծային օåերաïոր է: L 1 / Է6r 4 ֆակïոր-ïարածությունը իղոմորֆ է Iո 4 åաïկերին: Թեորեմ 6.

4 L1  L2

դծային օåերաïորի Համար սïույդ էª dոո Է6r 4 + dոո Iո 4 = dոո L 1

Աåացույց. Քանի որ L 1 / Է6r 4 իղոմորֆ է Iո 4-ին, աåա dոո Iո 4 = dոո L 1 / Է6r 4 = dոո L 1 − dոո Է6r 4 Համաձայն Թեորեմ 4-ի: Դժվար չէ նկաïել, որ դծային օåերաïորը կլինի փոխմիարժեք

միայն այն դեåքում, երµ միջուկը µաղկացած է մեկ ïարրիցª ղրոյից ն, ուսïի, dոո Է6r 4 =0: Դիցուք

4 L 1  L 2 դծային օåերաïոր է: Ընïրենք µաղիս L 1 -ում

6 1 . . . . . 6 ո :

Կիրառենք

օåերաïորը

µաղիսային

ïարրերինª

46 1 . . . . . 46 ո : ԱկնՀայï է, որ սïացված Համակարդի դծային թաղանթը Համընկնում է åաïկերի Հեï: Իսկաåես, եթե y ∈ Iո 4, աåա

∃x ∈ L 1

x = λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո

որ

4x

= y:

Հեշïությամµ

x-ի

µաղիսային

կսïանանք

y-ի

ներկայացումից ներկայացումը

y = λ 1 46 1 +. . . +λ ո 46 ո : Գարղ է նան, որ դծային օåերաïորը միարժեքորեն որոշվում է 46 1 . . . . . 46 ո  Համակարդով: Իրոք, եթե 6 1 . . . . . 6 ո -ը µաղիս է ն Հայïնի են Համար

4x-ի

46 1 . . . . . 46 ո -ը,

աåա ∀x ∈ L 1

արժեքը åեïք է լինիª λ 1 46 1 +. . . +λ ո 46 ո , որïեղ

λ 1 . . . . . λ ո -ը x-ի µաղիսային կոորդինաïներն են: Նկաïենք, որ 46 1 . . . . . 46 ո -ի

արժեքները իրարից անկախ են ն կարող են ընդունել կամայական արժեքներ L 2 -ից:

Փծային օåերաïորի ներկայացումը մաïրիցով Դիցուք

4 L1  L2

դծային օåերաïոր է ն dոո L 1 = ո.

dոո L 2 = ո: Արդեն դիïենք, որ L 1 -ը իղոմորֆ է V ո Ճ-ին, իսկ L 2 -ըª V ո Ճ-ին: Եթե L 1 -ում ֆիքսված է

աåա L 1 ն L 2 ïարածությունների ն

Համաåաïասխանաµար

E 2 -ը,

V ո Ճ

վեկïորական

ու

V ո Ճ

Համաåաïասխանաµար արïաåաïկերումներ, իղոմորֆիղմները:

µաղիսը, իսկ L 2 -ում

E1

ïարածությունների

Հասïաïվում որոնք

են

իրականացնում

միջն

փոխմիարժեք

են

վերը

նշված

Սïացվում է Հաïնյալ դիադրամը.

E1

այժմ

? 4 V ո Ճ  V ո Ճ,

↕

կառուցել որը

L2 E2

V ո Ճ

?4 Փորձենք



L1

 մի

V ո Ճ

այնåիսի

կդարձնի

↕

դծային

կոմուïաïիվ

օåերաïոր վերը

նշված

դիադրամը, այսինքն, եթե x ∈ L 1 ïարրից սկսենք ն շարժվենք դիադրամի սլաքներով, աåա անկախ ընïրած ճանաåարՀից միշï կՀասնենք 4x-ին: Դիցուք x-ի ներկայացումը Հաշվենք

4x

E1

µաղիսում Հեïնյալն էª x = ΛE 1 :

= 4ΛE 1  = Λ4E 1 : ԱրïաՀայïենք

Ամեն մի i = 1. . . . . ո Համար ներկայացնենք 46 i

4E 1 -ը E 2 E2

µաղիսում

= α i1 . . . . . α iո E 2 : Կաղմենք 4 մաïրիցը Հեïնյալ կերåª

µաղիսում: 46 i -նª

α 11 . . . α 1ո

α i1 . . . α iո

:

α ո1 . . . α ոո Գարղ է, որ 4E 1 = 4E 2 ն 4x = 4ΛE 1  = Λ4E 1 = Λ4E 2  = Λ4E 2 : Այժմ åաՀանջվող անՀայï ? 4 V ո Ճ  V ո Ճ օåերաïորը կարելի է կառուցել 4 մաïրիցի միջոցով

↕

E1

µաղիսում

4x-ը

ΛE 1 ,

L2 ↕

E2

V ո Ճ

Իսկաåես,



L1



V ո Ճ

սïանալու Համար վերցնենք x-ի ներկայացումը Հեïո

կիրառենք

Λ-ին

մաïրիցով

օåերաïորը ն կսïանանք Λ4 վեկïորը, որը

E2

E1

որոշվող

µաղիսում

4x-ի

կոորդինաïային վեկïորն էª Λ4E 2 = 4x: Այսåիսով ïեսնում ենք, որ դիադրամը կոմուïաïիվ է:

ներկայացում E 1 ն µաղիսներում ն օåերաïորը ներկայացված է 4 մաïրիցով, եթե

4 մաïրիցը կոչվում է E2

4E 1

դծային օåերաïորի

= 4E 2 :

Դժվար չէ նկաïել, որ 4 մաïրիցի ïեսքը կախված է ընïրված E 1 ն E2

µաղիսներից: Գարղենք, թե ինչåես կփոխվի մաïրիցը, եթե

ընïրենք այլ µաղիսներ: Դիցուք T 1 -ը ն T 2 -ը նոր µաղիսներին անցման մաïրիցներն ենª E 1 = T 1 D 1 ն E 2 = T 2 D 2 : Սïանում ենքª 4D 1

=

4T −1 1 E1

= T 1−1 4E 1  =

T 1−1 4E 2  = T 1−1 4T 2 D 2  = T 1−1 4T 2 D 2 ,

ուրեմն

օåերաïորի ներկայացումը

D1

ն

D2

µաղիսներում T 1−1 4T 2

մաïրիցն է (այդ մաïրիցը կոչվում է 4 մաïրիցին Այն դեåքում, երµ L 1 = L 2 կարող ենք վերցնել

E1

=

նման E2

մաïրից):

ն կսïանանք

T 1 = T 2 = T: Նոր µաղիսում 4 մաïրիցը կվերածվի T −1 4T մաïրիցի, որը կոչվում է 4 մաïրիցին Համալուծ: Փծային ՀանրաՀաշվի կարնորադույն խնդիրներից մեկը այնåիսի

µաղիս կառուցելու խնդիրն է, որում ïրված դծային օåերաïորի մաïրիցն ունի "åարղադույն" ïեսքը:

Փծային օåերաïորի ռանդը ումÙւորսÙ. 4 4 L 1  L 2 դծային օåերաïորի åաïկերի

չափը

ն

այն

նշանակվում

է

ռանդ

է կոչվում

Հեïնյալ

կերåª

rճոk4 = dոո Iո 4: Դիցուք 4 4 L 1  L 2 դծային օåերաïորը ներկայացված է 4 մաïրիցով, այսինքն կոմուïաïիվ է Հեïնյալ դիադրամը.

E1



L1

↕

L2 ↕

E2

V ո Ճ



V ո Ճ

Քանի որ L 2 -ը ն V ո Ճ-ն իղոմորֆ են, աåա Iո 4-ն իղոմորֆ է Iո 4-ին ն rճոk4 = dոո Iո 4 = dոո Iո 4: Հեշï է ïեսնել, որ Iո 4-ն դա 4 մաïրիցի ïողերի (որոնք դիïարկվում են որåես V ո Ճ-ի ïարրեր) Համակարդի դծային թաղանթն է: Իսկաåես, Iո 4 = Λ4 ∣ Λ ∈ V ո Ճ ն, եթե Λ = λ 1 . . . . . λ ո , Λ4-ն Հավասար է 4 մաïրիցի ïողերի դծային կոմµինացիային, որի դործակիցներն են λ 1 . . . . . λ ո : ԱկնՀայï է, որ dոո Iո 4-ն Հավասար է 4 մաïրիցի ïողերի դծային թաղանթի չափին, որն իր Հերթին Հավասար է մաïրիցի ïողերի դծորեն անկախ առավելադույն Համակարդի Հղորությանըª մաïրիցի ռանդին: Հեïնաµար, rճոk4 = dոո Iո 4 = rճոk4 ն դծային օåերաïորի ռանդը Համընկնում է նրան ներկայացնող մաïրիցի ռանդի Հեï:

Սիլվեսïրի անՀավասարությունները Դիցուք ïրված են երկու դծային օåերաïորներ

4 L1  L2 ն

4 L 2  L Հ (նկաïենք, որ µոլոր նշված ïարածությունները սաՀմանված են միննույն դաշïի նկաïմամµ): Դիïարկենք մի նոր արïաåաïկերում, որ սïացվում է 4-ի ն 8-ի Հաջորդական կիրառմամµ: Նշանակենք այդ օåերաïորը 48-ով, այսինքն

4 L 1  L Հ ն 48x = 84x: Համողվենք, որ դծային օåերաïոր է.

48-ն

նույնåես

= 

48λx + μy = 84λx + μy

քանի որ 4-ն դծային է

8λ4x

+ μ4y

= 

λ84x + μ84y = λ48x + μ48y:

քանի որ 8-ն դծային է

Կառուցված արïադրյալ:

դծային օåերաïորը կոչվում է

4-ի

ն

8-ի

Դիցուք L 1 -ում, L 2 -ում ն L Հ -ում ընïրվել են µաղիսներ ն կառուցվել են 4-ի ն 8-ի ներկայացումները 4 ն 8 մաïրիցներով Համաåաïասխանաµար: Ուրեմն կոմուïաïիվ է Հեïնյալ դիադրամը.

L1



L2

↕



↕

LՀ ↕

V ո Ճ  V ո Ճ  V k Ճ Դժվար չէ նկաïել, որ մաïրիցով.

օåերաïորը ներկայացվում է 48

եթե x ∈ L 1 ն նրա կորդինաïային վեկïորն է Λ ∈ V ո Ճ, աåա

Λ48 = Λ48-ն 48x-ի կոորդինաïային վեկïորն է V k Ճ-ում: Այժմ փորձենք դնաՀաïել rճոk48-ի մեծությունը: Հաջորդաµար կիրառենք 4-ն ու 8-ն: Կսïանանք Հեïնյալ åաïկերըª

Iլ4 Iլ8 Iլ48

L2

L1

L3

Ունենք որ, Iո 4 ⊆ L 2 , Iո 48 ⊆ Iո 8 ⊆ L Հ : Նկաïենք, որ Թեորեմ 6-ից Հեïնում է, որ դծային օåերաïորի åաïկերի չափը (այսինքն ռանդը) չի դերաղանցում օåերաïորի որոշման ïիրույթ Հանդիսացող ïարածության

չափին:

Գարղ

է,

dոո Iո 48 ≤ dոո Iո 8

որ

ն

rճոk48 ≤ rճոk8: Նկարից երնում է (ն դա Հեշïությամµ սïուդվում է), որ

օåերաïորի սաՀմանափակումը Iո 4-ի վրա նույնåես դծային

օåերաïոր

է,

որը

Iո 4-ն

ïանում

է

Iո 48-ի

վրա,

ուսïի

dոո Iո 48 ≤ dոո Iո 4 ն rճոk48 ≤ rճոk4: Այսåիսով սïացանք ռանդի վերին դնաՀաïականը. rճոk48 ≤ rճոk4 rճոk48 ≤ rճոk8 Սïորին դնաՀաïական սïանալու Համար կառուցենք Հեïնյալ դծային օåերաïորը.

(6)

8∗ 8 ∗ x

4 L 2 / Iո 4  Iո 8/ Iո 48

+ Iո 4 = 8x + Iո 48, µոլոր x ∈ L 2 Համար:

Համողվենք, որ

8 ∗ -ն

դծային օåերաïոր է: Դիցուք x 1 + Iո 4 ն

x 2 + Iո 4 ∈ L 2 / Iո 4: Ունենք 8 ∗ x 1

8x 1 8x 1

8 ∗ x 1

+ Iո 4 + x 2 + Iո 4 = + x 2  + Iո 48

+ Iո 48 + 8x 2 + Iո 48

= 8x 1

+ x 2  + Iո 4 =

+ 8x 2  + Iո 48

= 8 ∗ x 1

=

+ Iո 4 + 8 ∗ x 2 + Iո 4:

Նույնåես, եթե x + Iո 4 ∈ L 2 / Iո 4, աåա 8 ∗ λx

+ Iո 4 =

8 ∗ λx

+ Iո 4 =

8λx

+ Iո 48

=

λ8x + Iո 48 =λ8x + Iո 48 = λ8 ∗ x + Iո 4: Սïուդենք այժմ, որ Iո 8 ∗ = Iո 8/ Iո 48: Եթե y + Iո 48 ∈ Iո 8/ Iո 48, աåա y ∈ Iո 8 ն ∃x ∈ L 2 որ 8x = y: Սïանում ենքª 8 ∗ x

+ Iո 4 = 8x + Iո 48 =y + Iո 48

ն y + Iո 48 ∈ Iո 8 ∗ : Քանի որ 8 ∗ -ն դծային օåերաïոր է, աåա dոոIո 8/ Iո 48 ≤ dոոL 2 / Iո 4 ն Համաձայն Թեորեմ 4-ի սïանում ենքª dոո Iո 8 − dոո Iո 48 ≤ dոո L 2 − dոո Iո 4, այսինքնª rճոk8 − rճոk48 ≤ dոո L 2 − rճոk4:

Սïացանք Հեïնյալ սïորին դնաՀաïականը rճոk4 + rճոk8 − dոո L 2 ≤ rճոk48

Միավորելով (6) ն (7) դնաՀաïականները սïանում ենքª

Թեորեմ 7. (Սիլվեսïրի անՀավասարությունները) rճոk48 ≤ rճոk4 rճոk48 ≤ rճոk8 rճոk4 + rճոk8 − dոո L 2 ≤ rճոk48 Եթե 4 ն 8 օåերաïորները ներկայացված են ո × ո ն ո × k չափանի 4 ն 8 մաïրիցներով, Համաåաïասխանաµար (ինչåես նշել էինք վերը), աåա Սիլվեսïրի անՀավասարությունները մաïրիցների Համար կունենան Հեïնյալ ïեսքը. rճոk48 ≤ rճոk4 rճոk48 ≤ rճոk8 rճոk4 + rճոk8 − ո ≤ rճոk48 Եթե 4 մաïրիցը չվերասերված է, աåա ո = ո = rճոk4 ն rճոk4 + rճոk8 − ո = rճոk8 ≤ rճոk48 ≤ rճոk8, ուսïիª rճոk48 = rճոk8: Եթե 8 մաïրիցը չվերասերված է, աåա ո = k = rճոk8 ն rճոk4 + rճոk8 − ո = rճոk4 ≤ rճոk48 ≤ rճոk4 Հեïնաµարª

(7)

rճոk48 = rճոk4:

Թեորեմ 8. Չվերասերված

մաïրիցով

µաղմաåաïկվելիս

մաïրիցը չի փոխում իր ռանդը: Ինչåես ïեսել էինք, ïարµեր µաղիսներում միննույն օåերաïորի մաïրիցային ներկայացումները իրար Հեï կաåված են Հեïնյալ կերåªT 1−1 4T 2 : Քանի որ 4-ն ն T −1 1 4T 2 -ն միննույն օåերաïորի ներկայացումներն են, աåա դրանց ռանդերը Համընկնում են: Դա նույնåես Հասïաïվում է Թեորեմ 8-ով, որովՀեïն T 1 -ը ն T 2 -ը անցման մաïրիցներ են ն, ուրեմն, չվերասերված են:

Փծային Հավասարումների Համակարդեր Դիցուք Ճ դաշïում ïրված է ո անՀայïով ո Հաï դծային Հավասարումների Համակարդ α 11 x 1 +. . . +α 1ո x ո = β 1 α 21 x 1 +. . . +α 2ո x ո = β 2

(8)

α ո1 x 1 +. . . +α ոո x ո = β ո Լուծել Համակարդը նշանակում է դïնել µոլոր լուծումները, եթե Համակարդն ունի լուծում: Հեշï է ïեսնել, որ (8) Համակարդը կարելի է ներկայացնել մաïրիցային լեղվով: Եթե նշանակենք x = x 1 . . . . . x ո , β = β 1 . . . . . β ո  ն α 11 α 21 . . . α ո1 4=

α 12 α 22

α ո2

⋮

,

α 1ո α 2ո . . . α ոո աåա Համակարդը կդրվի Հեïնյալ կերåª x4 = β

(9)

Ինչåես դիïենք, x4-ն իրենից ներկայացնում է 4 մաïրիցի ïողերի դծային կոմµինացիա, որի դործակիցները x 1 . . . . . x ո -են: Ուրեմն, (9) Համակարդն ունի լուծում միայն ն միայն այն դեåքում, երµ β ∈ Iո 4, եթե 4 մաïրիցը դիïարկենք որåես դծային օåերաïոր, որ դործում է V ո Ճ-ի վրա ն արժեքներ է ընդունում V ո Ճ-ում: Որåեսղի սïուդենք β ∈ Iո 4 åայմանը, մաïրիցըª

կառուցենք

այսåես

կոչված

ընդլայնված

α 11 α 21 . . . α ո1 α 12 α 22 . . . α ո2 Ã=

⋮

:

α 1ո α 2ո . . . α ոո β1

β2 . . .

βո

ԱկնՀայï է, որ վերջին ïողը կլինի դծորեն անկախ մնացածից միայն, երµ rճոk4 < rճոkÃ: Հակառակ դեåքում, երµ rճոk4 = rճոkÃ, վերջին ïողը կարïաՀայïվի դծորեն մնացածով ն β ∈ Iո 4:

Թեորեմ 9. (Կրոնեկեր-Կաåելլի) Որåեսղի x4 = β Համակարդն ունենա լուծում Համաïեղ), անՀրաժեշï է ն µավարար, որ rճոk4 =

(լինի rճոkÃ:

üիքսած β ∈ Iո 4 Համար (9) Համակարդի լուծումները կաղմում են Հարակից դաս V ո Ճ-ում ըսï Է6r 4-ի, ուսïի (9) Համակարդն ունի միակ լուծում միայն ն միայն այն դեåքում, երµ Հարակից դասերը կաղմված են մեկ ïարրից, այսինքն երµ dոո Է6r 4 = 0, ինչը Համարժեք է Է6r 4 = 0 åայմանին: x4 = 0 Համակարդը կոչվում է x4 = β-ին Համաåաïասխանող Համասեռ Համակարդ: ԱկնՀայï է, որ x4 = 0 Համասեռ Համակարդի լուծումները Է6r 4-ի ïարրերն են: Ուրեմն, որåեսղի սïանանք (9) Համակարդի µոլոր լուծումները µավական է դïնել Համասեռ Համակարդի լուծումները (այսինքն դïնել միջուկի Է6r 4-ի որնէ µաղիս, քանի որ dոո Է6r 4 = ո − rճոk4 µավական է դïնել Համասեռ Համակարդի ո − rճոk4 Հաï անկախ լուծում) ն դïնել (9) Համակարդի որնէ մեկ մասնավոր լուծում: Համակարդի µոլոր լուծումների Հարակից դասը սïանալու Համար µավական կլինի մասնավոր լուծմանը դումարել Հերթով Համասեռ Համակարդի µոլոր լուծումները (միջուկի

µաղիսի µոլոր դծային կոմµինացիաները):

Համասեռ Համակարդն ունի ոչ ղրոյական լուծում միայն երµ ո − rճոk4 ≠ 0, ինչը Համարժեք է < ո åայմանին: Եթե 4 մաïրիցը քառակուսի է, վերջին åայմանը Համարժեք է d6t 4 = 0 åայմանին: x4 = 0

Փծային Հավասարումների Համակարդերի լուծման Փաուսի ալդորիթմը Տրված է ո անՀայïով ո դծային Հավասարումների Համակարդըª α 11 x 1 +. . . +α 1ո x ո = β 1 α 21 x 1 +. . . +α 2ո x ո = β 2 α ո1 x 1 +. . . +α ոո x ո = β ո Փաուսի ալդորիթմը µաղկացած է երկու փուլիցª "ուղիղ փուլից" ն

"Հեïադարձ փուլից":

Ուղիղ փուլ (Համակարդի µերումը սեղանաձն ïեսքի) Դյուրին է սïուդել, որ եթե Համակարդի որնէ Հավասարում µաղմաåաïկենք թվով ն դումարենք այն մեկ այլ Հավասարմանը, աåա սïացված Համակարդը կլինի Համարժեք սկղµնականին: Առանց ընդՀանրությունը խախïելու կարող ենք Համարել, որ α 11 ≠ 0: Իրոք, եթե α 11 = 0, աåա կդïնվի α 1i ≠ 0, i = 2. . . . . ո: Հակառակ դեåքում առաջին Հավասարման ձախ մասը նույնաµար ղրո է ն առաջին Հավասարումը կամ անէական է (այն ունի 0 = 0 ïեսքը) կամ Համակարդն անՀամաïեղ է (առաջին Հավասարումը 0 = β 1 ≠ 0 ïեսքի է): Վերանվանելով x 1 ն x i անՀայïները Համակարդի առաջին ն i-րդ սյուները, կïեղափոխենք ն նոր Համակարդում կունենանքª α 11 ≠ 0: Գարղ է, որ նոր Համակարդի լուծումը Հեշïությամµ կվերածվի սկղµնական Համակարդի լուծմանը:

Այսåիսով Համարում ենք, որ α 11 ≠ 0: Յուրաքանչյուր i ∈ 2. . . . . ո i1 Համար µաղմաåաïկենք առաջին Հավասարումը αα11 -ով ն դումարենք i-րդ Հավասարմանը: Դյուրին է սïուդել, որ i-րդ Հավասարման x 1 -ի դործակիցը կղրոյացվի: Այսինքն, Համակարդը կընդունի Հեïնյալ ïեսքը. α 11 x 1 + α 12 x 2 +. . . +α 1ո x ո = β 1 ά 22 x 2 +. . . +ά 2ո x ո = β́ 2 ⋮ ά ո2 x 2 +. . . +ά ոո x ո = β́ ո Եթե որնէ Հավասարման ձախ մասը ղրոյացվել է, իսկ աջը ոչ, աåա Համակարդն անՀամաïեղ է ն ալդորիթմը վերջացնում է աշխաïանքը: Եթե կան Հավասարումներ, որ ձախ մասը ղրո է ն աջ մասն էլ է ղրո, աåա այդåիսի µոլոր Հավասարումներն անէական են ն սïացվում են առաջին Հավասարումից թվով µաղմաåաïկմամµ: Այդ Հավասարումները Հեռացվում են Համակարդից: Ինչåես նշել էինք վերը, կարող ենք ենթադրել, որ ά 22 ≠ 0 (անՀրաժեշïության դեåքում կվերանվանենք որոշ անՀայïները) ն ́ µաղմաåաïկելով երկրորդ Հավասարումը α i2 դործակցով Հանենք ά 22 այն i-րդ Հավասարումից, i = Հ. . . . . ո: Արդյունքում µոլոր Հավասարումներում, սկսած երրորդից, x 2 -ի դործակիցը կղրոյանա: Շարունակելով åրոցեսը կամ կåարղվի, որ Համակարդըն անՀամաïեղ է ն ալդորիթմը կվերջացնի աշխաïանքը, կամ էլ Համակարդը "ուղիղ փուլի" ընթացքում կµերվի Հեïնյալ սեղանաձն ïեսքի.

α 11 x 1 + α 12 x 2 +. . . +α 1k x k + α 1k+1 x k+1 +. . . +α 1ո x ո = β 1 α 22 x 2 +. . . +α 2k x k + α 2k+1 x k+1 +. . . +α 2ո x ո = β 2 ⋱

⋮ α kk x k + α kk+1 x k+1 +. . . +α kո x ո = β k

որïեղ k ≤ ո, α ii ≠ 0, i = 1. . . . . k: Թեն Համակարդի դործակիցները ն աջ մասերը փոխվել են, Հարմարության Համար մենք նրանց կրկին նշանակել ենք α-ներով ն β-ներով: Փասïորեն, մենք որոշեցինք Համակարդի մաïրիցի ռանդը ն այն Հավասար է k-ի:

Հեïադարձ փուլ Դյուրին է սïուդել, որ, եթե ֆիքսենք x k+1 . . . . . x ո անՀայïների արժեքները, աåա մնացած x 1 . . . . . x k անՀայïները կորոշվեն միարժեքորեն: Իսկաåես, վերջին Հավասարումից միարժեքորեն որոշվում է x k -ն: Աåա իմանալով x k -ն, նախորդ Հավասարումից կսïանանք x k−1 -ը ն այսåես շարունակելով կՀասնենք x 1 -ին: Գարղ է, որ k = ո դեåքում x k+1 . . . . . x ո անՀայïները չկան ն Համակարդն ունի միակ լուծում, որը սïացվում վերը նշված եղանակով: Եթե k < ո Համակարդն ունի մեկից ավելի լուծում ն, ինչåես ïեսել էինք, µոլոր լուծումները սïանալու Համար Հարկավոր է դïնել Համասեռ Համակարդի լուծումները, այսինքն ո − k Հաï դծորեն անկախ լուծում (որոնք կաղմում են միջուկի µաղիսը) ն մեկ մասնավոր լուծում: Դիïարկենք (10) Համակարդին Համաåաïասխանող Համասեռ Համակարդը.

(10)

α 11 x 1 + α 12 x 2 +. . . +α 1k x k + α 1k+1 x k+1 +. . . +α 1ո x ո = 0 α 22 x 2 +. . . +α 2k x k + α 2k+1 x k+1 +. . . +α 2ո x ո = 0 ⋱

⋮ α kk x k + α kk+1 x k+1 +. . . +α kո x ո = 0

Վերադրենք x k+1 . . . . . x ո անՀայïներին 1. 0. 0. . . . . 0. 0. 1. 0. . . . . 0. . . . . 0. . . . . 0. 1 ո−k Հաï

արժեքները ն դïնենք միարժեքորեն որոշված x 1 . . . . . x k -ները ն կսïանանք Համասեռ Համակարդի ո − k Հաï լուծում. γ 11 . . . . . γ 1k . 1. 0. 0. . . . . 0 γ 21 . . . . . γ 2k . 0. 1. 0. . . . . 0 ⋮ γ ո−k1 . . . . . γ ո−kk . 0. 0. 0. . . . . 1 Այս լուծումները դծորեն անկախ են, քանի որ, եթե λ 1 . . . . . λ ո−k դործակիցներով դրանց դծային կոմµինացիանª ո−k

ո−k

i=1

i=1

∑ λ i γ i1 . . . . . ∑ λ i γ ik . λ 1 . . . . . λ ո−k Հավասար է ղրոյի, ուրեմն ղրո են λ 1 . . . . . λ ո−k : Այս դïնված ո − k Հաï Համասեռ Համակարդի դծորեն անկախ լուծումները կոչվում են Համակարդի

ֆունդամենïալ լուծումներ

ն դրանք կաղմում են Համաåաïասխան միջուկի µաղիսը: (10) Համակարդի մասնավոր լուծումը դïնելու Համար վերադրենք x k+1 . . . . . x ո անՀայïներին ղրոյական արժեքներ ն դïնենք Համաåաïասխան x 1 . . . . . x k -ները: Համակարդի ընդՀանուր լուծումը կսïանանք մասնավոր լուծմանը դումարելով ֆունդամենïալ

լուծումների դծային կոմµինացիաները: Փաուսի ալդորիթմի միջոցով շաï Հարմար է նան դïնել ïրված

մաïրիցի Հակադարձը: Դիցուք 4-ն քառակուսի չվերասերված մաïրից է: Կաղմենք ֆորմալ դծային Հավասարումների Համակարդ x4 = β. որïեղ β-ն β 1 . . . . . β ո  ֆորմալ սիմվոլների վեկïոր է (դրանց Հեï վարվում ենք այնåես, ինչåես անՀայïների նշանների Հեï): Կիրառենք Փաուսի ալդորիթմի "ուղիղ փուլը" ն Համակարդը կµերվի եռանկյունաձն ïեսքի, ընդ որում Հավասարումների աջ մասերում կառաջանան Հաջորդաµար

β1. . . . . βո դïնենք

սիմվոլների

դծային

x ո . x ո−1 . . . . . x 1

կոմµինացիաները:

անՀայïները,

որոնք

կարïաՀայïվեն β 1 . . . . . β ո սիմվոլների դծային կոմµինացիաներով: Այսինքն,

կսïանանք

x = β8

x = x48 = x48 ⇒ 48 = E:

ն,

ուրեմն,

8 = 4 −1 ,

քանի

որ

Փծային օåերաïորի սեփական արժեքները ն սեփական վեկïորները Այս åաՀից սկսած դիïարկելու ենք 4 4 L  L ïեսակի օåերաïորներ, որïեղ որոշման ն արժեքների ïիրույթները նույն դծային ïարածություններն են: Դրանով մենք չենք կորցնում ընդՀանրությունը, քանի որ

4 L 1  L 2 դեåքում կարող ենք

սաՀմանափակվել L 2 = Iո 4 դեåքով ն dոո L 2 ≤ dոո L 1 : Ուրեմն, L 1 -ը իղոմորֆ է V ո Ճ-ին, իսկ L 2 -ըª V ո Ճ-ին, որïեղ ո ≤ ո: Գարղ է, որ 4-ն

կարող ենք ներկայացնել մաïրիցով, որն արïաåաïկերում է

V ո Ճ-ն V ո Ճ-ի մեջ: Դիցուք կոչվում է ոչ

4 L  L դծային օåերաïոր է: λ թիվը Ճ դաշïից

օåերաïորի

ղրոյական

x ∈ L,

սեփական արժեք, որ

4x

Համաåաïասխանող սեփական

= λx:

x-ը

եթե դոյություն ունի կոչվում

է

λ-ին

վեկïոր:

Օրինակներ L-ը Հարթության վեկտորներն են. օåերատորը յուրաքանչյուր վեկտոր µաղմաåատկում է Հ-ով: Հ-ը սեփական Չ.

արժեք է, իսկ կամայական ոչ ղրոյական վեկտոր սեփական վեկտոր է: L-ը Հարթության վեկտորներն են. օåերատորը յուրաքանչյուր վեկտոր վերլուծում է ըստ միավոր օրտերի (ըստ µաղիսի) ն աåա աոաջին կորդինատը µաղմաåատկում է Հ-ով, իսկ երկրորդըը 5-ով: Հ-ը ն 5-ը սեփական արժեքներ են, իսկ 4.

կորդինատային աոանիքներին սեփական վեկտորներ:

ղուդաՀեո

վեկտորներըը

L-ը Հարթության վեկտորներն են. օåերատորը յուրաքանչյուր վեկտոր åտտում է կորդինատային Համակարդի սկղµնակետի շուրջ 90 o անկյունով: úåերատորը չունի ն ոչ մի իրական սեփական արժեք: 3.

Միննույն λ սեփական արժեքին Համաåաïասխանող սեփական վեկïորները (ն ղրոյական ïարրը) կաղմում ենթաïարածություն: Իսկաåես, նշանակենք

են

դծային

Mλ = x ∣ 4x = λx: Դիցուք x 1 . x 2 ∈ Mλ: Սïուդենք, որ αx 1 + βx 2 ∈ Mλ: Ունենքª 4αx 1

+ βx 2  = α4x 1 + β4x 2 = αλx 1 + βλx 2 = λαx 1 + βx 2 

ն αx 1 + βx 2 ∈ Mλ: Սեփական արժեքները ն վեկïորները անմիջականորեն կաåված են մաïրիցի åարղեցման խնդրի Հեïª եթե ïրված է

4 L  L դծային

օåերաïորի ներկայացումը 4 մաïրիցով որնէ µաղիսում, աåա մեկ այլ µաղիսում օåերաïորը ներկայացվում է T −1 4T մաïրիցով, որïեղ T-ն անցման մաïրիցն է. մաïրիցի åարղեցման խնդիրն այնåիսի µաղիսի կառուցումն է, որում մաïրիցը սïանում է Հնարավորին չափ "åարղ" ïեսք (օրինակ, անկյունադծային կամ եռանկյունաձն, կամ Համարյա µոլոր ïարրերը ղրոյական են): Դիցուք E

=

⋮ 6ո

L ïարածության այնåիսի µաղիս է, որ յուրաքանչյուր 6 i -ն սեփական վեկïոր է

4-ի

Համար, որ Համաåաïասխանում է λ i սեփական

արժեքին: Օåերաïորի ներկայացումն այդ µաղիսում սïացվում է Հեïնյալ կերåª λ161

46 1 4E

=

=

⋮

λո6ո

46 ո

λ1

λ2 . . .

⋮

⋱

=

6ո

λ1

λ2 . . .

⋮

⋱

=

⋮

. . . λո

=

⋮

E

. . . λո

Այսïեղից անմիջաåես Հեïնում է, որ

մաïրիցը կարելի է µերել անկյունադծային ïեսքի միայն ն միայն այն դեåքում, երµ դծային ïարածությունն ունի µաղիս կաղմված օåերաïորի սեփական վեկïորներից: Թեորեմ 10. Զույդ առ ղույդ իրարից ïարµեր

λ1. . . . . λո

սեփական

արժեքներին Համաåաïասխանող

61. . . . . 6ո

սե փական

վեկïորները դծորեն անկախ են: Աåացույց. ըսï ո-ի:

Կիրառենք մաթեմաïիկական ինդուկցիայի մեթոդն

Եթե ո = 1, աåա 6 1 -ը լինելով սեփական վեկïոր ղրոյական չէ ն, ուսïի, 6 1 -ը դծորեն անկախ Համակարդ է: Ենթադրենք, որ թեորեմի åնդումը ճիշï է µոլոր ո-րի Համար, որոնք ≤ ո, աåացուցենք åնդումը ո-ի Համար: 6 1 . . . . . 6 ո -ը

Դիցուք

λ1. . . . . λո

սեփական

արժեքներին

Համաåաïասխանող սեփական վեկïորներ են ն i ≠ j ⇒ λ i ≠ λ j : ԱկնՀայï է, որ α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո = 0 åայմանից µխում էª 4α 1 6 1

+. . . +α ո 6 ո  = α 1 46 1 +. . . +α ո 46 ո = α 1 λ 1 6 1 +. . . +α ո λ ո 6 ո = 0

ն λ 1 α 1 6 1 + λ 1 α 2 6 2 +. . . +λ 1 α ո 6 ո = 0: Իրարից Հանենք վերջին երկու Հավասարությունները ն կսïանանքª α 2 λ 2 − λ 1 6 2 +. . . +α ո λ ո − λ 1 6 ո = 0: Սակայն 6 2 . . . . . 6 ո -ը µավարարում են ինդուկցիայի ենթադրությանը ն, ուրեմն, դծորեն անկախ են: Ուսïի, (11)-ի դործակիցները ղրո են: Քանի որ λ i ≠ λ 1 , i = 2. . . . . ո, աåա α 2 =. . . = α ո = 0: Քանի որ α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո = 0, աåա նան α 1 = 0 ն թեորեմն աåացուցված է: Դիցուք

4 L  L դծային օåերաïոր է: Նշանակենք I-ով միավոր

դծային օåերաïորը, այսինքն

I

4 L  L ն Ix = x µոլոր x ∈ L Համար:

Հեշïությամµ սïուդվում է, որ

− λI 4 L  L օåերաïորը, որը

x ∈ L ïանում է 4x − λIx-ի մեջ (այսինքն, 4 − λI x = 4x − λx) դծային

(11)

օåերաïոր է: Այն փասïը, որ λ-ն

4-ի

սեփական արժեքն է ն ոչ ղրոյական x-ը

Համաåաïասխան սեփական վեկïորն է, կարելի է արձանադրել նան Հեïնյալ կերå. λ-ն

-ի սեփական արժեքն է, եթե կդïնվի ոչ

ղրոյական x ∈

L

այնåիսին, որ 4 − λIx = 0:

Վերջին åայմանը նշանակում է, որ

− λI օåերաïորի միջուկը

åարունակում է ոչ ղրոյական ïարր ն dոո Է6r4 − λI > 0: Դյուրին է Համողվել, որ եթե 4 մաïրիցը

օåերաïորի որնէ ներկայացում է

E

µաղիսում, աåա 4 − λE մաïրիցը (որïեղ E-ն միավոր մաïրիցն է)

− λI օåերաïորի ներկայացումն է: Ուսïի, 4 − λIx = 0 åայմանը

Համարժեք

է

Λ4 − λE = 0

կորդինաïային վեկïորն է

E

åայմանին,

որïեղ

Λ-ն

x-ի

µաղիսում: Այսïեղից Հեïնում է, որ λ

թիվը Հանդիսանում է սեփական արժեք 4 օåերաïորի Համար միայն ն միայն այն դեåքում, երµ քառակուսի մաïրիցով Λ4 − λE = 0 դծային Համասեռ Հավասարումների Համակարդը (այսïեղ Λ-ն դիïարկվում է որåես անՀայïների վեկïոր) ունի ոչ ղրոյական լուծում: Ինչåես դիïենք, դա Հնարավոր է միայն, եթե d6t4 − λE = 0: Նկաïենք, որ վերջին åայմանը դա ՀանրաՀաշվային Հավասարում է, որի արմաï է Հանդիսանում λ-ն: Իսկաåես, դիցուք α 11 α 12 . . . α 1ո 4=

α 21 α 22 . . . α 2ո ⋮

⋮

⋱

⋮

α ո1 α ո2 . . . α ոո աåա

,

α 11 − θ d6t4 − θE =

α 12

α 21

α 1ո

α 22 − θ . . .

α 2ո

⋮

⋮

α ո1

α ո2

⋱

⋮

=

. . . α ոո − θ

ո

−1 ո θ ո + −1 ո−1

∑ α ii

θ ո−1 +. . . + d6t 4

i=1

ն սïացանք ո-րդ ասïիճանի µաղմանդամ θ փոփոխականից: Ուսïի, λ-ն սեփական արժեք է միայն ն միայն այն դեåքում, երµ λ-ն d6t4 − θE = −1 ո θ ո + −1 ո−1 α 11 +. . . +α ոո θ ո−1 +. . . + d6t 4 µաղմանդամի արմաïն է: d6t4 − θE µաղմանդամը կոչվում է օåերաïորի կամ 4 մաïրիցի

µնութադրիչ µաղմանդամ:

Ընդունված է նան ասել, որ λ-ն, որը

օåերաïորի սեփական արժեքն

է, նան 4 մաïրիցի սեփական արժեքն է: Գարղ է, որ սեփական արժեքների քանակը ո-ից շաï լինել չի կարող: Քանի որ µնութադրիչ µաղմանդամը սաՀմանվում է 4 օåերաïորը ներկայացնող մաïրիցի միջոցով, անՀրաժեշï է սïուդել, որ արդյունքը կախված չէ կոնկրեï ներկայացումից: Իսկաåես, դիցուք 4 մաïրիցը

օåերաïորի ներկայացումն է

E

µաղիսում, այսինքն

= 4E, իսկ T −1 4T-ն ներակայացումն է նոր µաղիսում (այսïեղ T-ն µաղիսից µաղիս անցման մաïրիցն է): Քանի որ

4E

T −1 4 − θET = T −1 4T − θE սïանում ենքª d6t4 − θE = d6t T −1 d6t4 − θE d6t T = d6tT −1 4 − θET = d6tT −1 4T − θE, այսինքն 4 ն T −1 4T մաïրիցների µնութադրիչ µաղմանդամները

Հավասար են: Վերադառնալով օåերաïորի մաïրիցի åարղեցման խնդրին, Հարկ է նկաïել, որ միանդամից åարղ է, որ չի կարելի Հույս ունենալ, թե իրական թվերի դաշïի դեåքում µոլոր մաïրիցները կարելի է µերել անկյունադծային կամ դոնե եռանկյունաձն ïեսքի: Իսկաåես,

−1 0

մաïրիցի µնութադրիչ µաղմանդամը θ 2 + 1-ն է, որը

չունի իրական արմաï (ն Համաåաïասխան օåերաïորը չունի սեփական արժեք): Դժվար չէ սïուդել, որ սա Հարթության վեկïորների ïարածության 90 o -ով åïույïի օåերաïորի մաïրիցն է: Եթե որնէ µաղիսում այս մաïրիցը µերվի եռանկյունաձն ïեսքի, ասենք

ճ c 0 Ե

, աåա այն կունենա ճ ն Ե իրական սեփական

արժեքներ: ԸնդՀանրաåես åարղ է, որ եթե մաïրիցը եռանկյունաձն է, աåա նրա անկյունադծային ïարրերը նրա µոլոր սեփական արժեքներն են:

Բաղմանդամային մաïրիցների Սմիթի նորմալ ïեսքը Դիցուք Ճθ-ն Ճ դաշïից դործակիցներով θ փոփոխականից կախված

µոլոր

µաղմանդամների

Բաղմանդամային մաïրից

µաղմությունն

է:

ասելով կՀասկանանք քառակուսի

մաïրից, որի ïարրերը Ճθ-ից են: Այդåիսի մաïրիցներին կիրառելի են այսåես կոչված

ïարրական դործողությունները:

Մենք

կïարµերենք ըսï ïողերի ն ըսï սյուների սաՀմանված ïարրական դործողությունները: Ըսï ïողերի (սյուների) ïարրական դործողություններն են. երկու ïարµեր ïողերը (սյուները) ïեղերով փոխելը, ïողը (սյունը) Ճ դաշïի ոչ ղրոյական ïարրով µաղմաåաïկելը, Ճθ-ից µաղմանդամով µաղմաåաïկված ïողը (սյունը) մեկ այլ ïողին (սյանը) դումարելը: ●

●

●

ումÙւորսÙ. fθ ∈ Ճθ µաղմանդամը կոչվում է

նորմավորված,

եթե θ-ի ամենաµարձր ասïիճանի դործակիցը Հավասար է 1-ի:

Թեորեմ 11. (Սմիթի նորմալ ïեսքի մասին) Կամայական µաղմանդամային

ո×ո

չափանի մաïրից

ïողերի ն սյուների ïարրական դործողություններով µերվում է Հեïնյալ ïեսքի.

g 1 θ ⋯

0 ⋯ 0

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

⋯ g r θ 0 ⋯ 0

⋯

0 ⋯ 0

⋮

⋮

⋮

⋮ ⋱ ⋮

⋯

0 ⋯ 0

որïեղ g 1 θ. … . g r θ ∈ Ճθ նորմավորված µաղմանդամներ են, 0 ≤ r ≤ ո ն g i θ-ն g i+1 θ-ի µաժանարարն է, i = 1. 2. … . r − 1: Աåացույց. Նկարադրենք մի ալդորիթմ, µաղմանդամային մաïրիցը µերում է նշված ïեսքի: Սïորն

կնկարադրենք

ïարրական

որը

ïրված

դործողությունների

մի

Հաջորդականություն, որը կիրառելով 4 = α ij  ո×ո մաïրիցին, որում α 11 ≠ 0, կսïանանք կամ մի 8 = β ij  ո×ո մաïրից, որում β 11 ≠ 0 ն d6g β 11 < d6g α 11 , կամ էլ γ1 Շ=

⋯

Շ∗

⋮

ïեսքի Շ մաïրիցը, որïեղ γ 1 ∈ Ճθ նորմավորված µաղմանդամ է, որի վրա առանց մնացորդի µաժանվում են Շ ∗ մաïրիցի µոլոր ïարրերը: Դիցուք ïրված է ոչ ղրոյական 4 = α ij  ո×ո մաïրիցը: Կարող ենք Համարել, որ α 11 ≠ 0 (Հակառակ դեåքում դրան կՀասնենք ïողերի ն/կամ սյուների Համաåաïասխան ïեղափոխություններով): 4-ին կիրառելով

ïարրական

դործողությունների

վերը

նշված

Հաջորդականությունը վերջավոր քայլերից Հեïո կՀասնենք Շ ïեսքի մաïրիցի, քանի որ Հակառակ դեåքում կսïանանք µնական թվերի (d6g β 11 -րի) անվերջ նվաղող Հաջորդականություն: Սïանալով Շ մաïրիցը կանդ ենք առնում, եթե Շ ∗ = 0: Հակառակ դեåքում կիրառում ենք վերը նշված դործողությունների Հաջորդականությունը Շ ∗ մաïրիցին ն այսåես շարունակ, մինչն որ սïանանք անկյունադծային մաïրից: Այդ մաïրիցի անկյունադծային ïարրերը նորմավորում ենք µաղմաåաïկելով ïողերը Ճ դաշïի Համաåաïասխան թվերով ն սïանում ենք թեորեմի åնդման մեջ նշված մաïրիցը: Նշենք, որ Շ ∗ մաïրիցին կիրառած որնէ ïարրական դործողություն Համաåաïասխանում է Շ մաïրիցի նույն ïողերի (սյուների) ïարրական դործողությանը, որը չի փոխում Շ-ի առաջին ïողի ն առաջին սյան ïարրերը: Շ ∗ մաïրիցին կիրառած որնէ ïարրական դործողության արդյունքում Շ ∗ մաïրիցի որոշ ïարրեր փոխարինվում են Շ ∗ մաïրիցի ïարրերի դծային կոմµինացիաներով,

ուսïի նոր սïացված ïարրեը նույնåես առանց մնացորդի µաժանվում են γ 1 -ի վրա: Այժմ նկարադրենք վերը նշված ïարրական դործողությունների Հաջորդականությունը, որը կիրառում ենք ոչ ղրոյական 4 = α ij  ո×ո մաïրիցին, որում α 11 ≠ 0:

Դեåք

1. Եթե առաջին ïողում կդïնվի α 1j , j > 1, որ

d6g α 1j < d6g α 11 , աåա ïեղերով փոխելով առաջին ն j-րդ սյուները սïանում ենք վերը նշված 8 ïեսքի մաïրիցը:

Դեåք

2. Նույնն է ինչ որ Դեåք 1-ը կիրառված առաջին սյանը

առաջին ïողի փոխարեն:

Դեåք j > 1:

3. Առաջին ïողում կդïնվի α 11 -ի վրա չµաժանվող α 1j ,

Կիրառելով

մնացորդով

µաժանումը,

սïանում

ենքª

α 1j = α 11 λ + μ, որïեղ μ ≠ 0 ն d6g μ < d6g α 11 : Բաղմաåաïկենք առաջին սյունը −λ µաղմանդամով ն դումարենք այն j-րդ սյանը: Տեղերով փոխենք առաջին ն j-րդ սյուները: Կսïացվի վերը նշված 8 ïեսքի մաïրիցը:

Դեåք

4. Առաջին սյունում կդïնվի α 11 -ի վրա չµաժանվող α i1 ,

i > 1: Դեåք 3-ին Համաåաïասխան սïանում ենք 8 ïեսքի մաïրիցը, վերցնելով ïողերի փոխարեն սյուները ն սյուների փոխարեն ïողերը:

Դեåք

5. Առաջին ïողի ն առաջին սյան µոլոր ïարրերը

µաժանվում են առանց մնացորդի α 11 -ի վրա: Ուրեմն, α 1j = α 11 λ j , j = 2. … . ո: Առաջին սյունը µաղմաåաïկում ենք −λ j µաղմանդամով ն դումարում ենք այն j-րդ սյանը: Արդյունքում առաջին ïողի j-րդ ïարրը դարձնում ենք ղրոյական: Այսինքն առաջին ïողի µոլոր ïարրերը, µացի α 11 -ից, դառնում են ղրոյական: Նմանաåես ղրոյական ենք դարձնում առաջին սյան µոլոր ïարրորը, µացի α 11 -ից: Այսåիսով, մաïրիցը µերվում է  11 E=

⋯

E∗

⋮

ïեսքին: Եթե E ∗ -ի µոլոր ïարրերն առանց մնացորդի µաժանվում են  11 -ի վրա, աåա սïացել ենք Շ ïեսքի մաïրիցը: Հակառակ դեåքում կդïնվի  ij , i. j > 1, որ չի µաժանվում  11 -ի վրա: Փումարելով i-րդ ïողն առաջինին անցնում ենք Դեåք 1-ին: Թեորեմն աåացուցված է:

Թեորեմ

11-ում

մաïրիցի

µաղմանդամային մաïրիցի Սմիթի

նշված

ïեսքը

կոչվում

է

նորմալ ïեսք:

Օրինակ Սմիթի նորմալ ïեսքի µերենք Հեïնյալ µաղմանդամային մաïրիցըª θ−2

θ−1

θ

−1

−1

−1 θ − 2

Համաձայն Դեåք 2-ի ïեղափոխում ենք առաջին ն երկրորդ ïողերըª

θ−1

θ−2

θ

−1

−1

−1 θ − 2

Տեղի ունի Դեåք 5-ը: Զրոյացնում ենք առաջին ïողի θ − 1 ïարրըª

θ − 2 −θ − 1θ − 2

−1

θ−2

θ

−1 θ − 2

Զրոյացնենք առաջին սյան վերջին ïարրըª

θ − 2 −θ − 1θ − 2

θ−2

θ

−1 θ − 2

Հեïո ղրոյացնում ենք առաջին սյան երկրորդ ïարրըª

0 −θ − 1θ − 2

θ

θ−2

−1 θ − 2

Սïացանք Շ ïեսքի մաïրից, որի Համար −θ − 1θ − 2

θ

Շ∗ =

θ−2

−1 θ − 2

ն Շ ∗ -ի µոլոր ïարրերը µաժանվում են 1-ի վրա: Այժմ

նույն ալդորիթմը կիրառում ենք Շ ∗ -ին: Համաձայն Դեåք

2-ի ïեղափոխում ենք առաջին ն երկրորդ ïողերըª

θ

−θ − 1θ − 2

θ−2

−1 θ − 2

Սïացանք Դեåք 5-ը: Զրոյացնում ենք առաջին սյան երկրորդ ն երրորդ ïարրերըª θ−2

θ

θθ − 1θ − 2 θ − 1θ − 2 −1

θ−2

ն θ

0 θθ − 1θ − 2 θ − 1θ − 2

−1 − θθ − 2

Այժմ ղրոյացնում ենք առաջին ïողի երկրորդ ն երրորդ ïարրերըª

0 θθ − 1θ − 2 θ − 1θ − 2

−1 − θθ − 2

ն 0 θθ − 1θ − 2 θ − 1θ − 2

−1 − θθ − 2

Այժմ սïացանք Հերթական Շ ïեսքի մաïրից, որի Շ ∗ -ի µոլոր ïարրերը µաժանվում են 1-ի վրա: Ուսïի, ալդորիթմը կիրառում ենք Հեïնյալ մաïրիցինª θθ − 1θ − 2 θ − 1θ − 2 −θ − 1 2

Տեղի ունի Դեåք 1-ը, ուսïի ïեղափոխում ենք առաջին ն երկրորդ սյուներըª θ − 1θ − 2 θθ − 1θ − 2 −θ − 1 2

Հանդեցինք Դեåք 5-ին: Զրոյացնում ենք առաջին ïողի երկրորդ ïարրըª

θ − 1θ − 2

−θ − 1 2

Քանի որ −θ − 1 2 ïարրը չի µաժանվում θ − 1θ − 2-ի վրա, դումարում ենք երկրորդ ïողը առաջինին ն անցնում ենք Դեåքեր 1-5-ի սïուդմանըª θ − 1θ − 2 −θ − 1 2 −θ − 1 2

Դեåքեր

1,2-ը

ïեղի

չունեն:

Տեղի

ունի

Դեåք

3-ըª

− θ − 1 2 = θ − 1θ − 2−1 + 1 − θ: Ուսïի, երկրորդ սյանը դումարում ենք առաջինը µաղմաåաïկված 1-ով ª θ − 1θ − 2

−θ − 1

−θ − 1 2

ն Հեïո ïեղափոխում ենք սյուներըª −θ − 1

θ − 1θ − 2

−θ − 1 2

Սïացանք Դեåք 5-ը: Զրոյացնենք սկղµից առաջին ïողի երկրորդ ïարրըª −θ − 1

−θ − 1 2 θ − 2θ − 1 2 Հեïո ղրոյացնենք առաջին սյան երկրորդ ïարրըª −θ − 1

θ − 2θ − 1 2

Սïացվեց վերջնական Շ ïեսքի մաïրիցը: Բաղմաåաïկելով

առաջին ïողը −1-ով, նորմավորենք −θ − 1 ïարրըª θ − 1

θ − 2θ − 1 2

Սկղµնական մաïրիցի Սմիթի նորմալ ïեսքը Հեïնյալն է ª 1 0

0 1

0 0 θ − 1 0 0

θ − 1 2 θ − 2

Նկաïենք, որ ïարրական դործողությունները կարելի է իրականացնել սկղµնական մաïրիցը Հաïուկ ïեսքի մաïրիցներով µաղմաåաïկելով: Դիցուք ïրված է µաղմանդամային 4 մաïրիցը, որում Հարկավոր է ïեղերով փոխել առաջին ն երկրորդ ïողերը: Կառուցենք Հեïնյալ մաïրիցըª

P 12 =

0 ⋯ 0

0 ⋯ 0

1 ⋯ 0

⋮

⋮

⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 0 ⋯ 1 Դյուրին է սïուդել, որ µաղմåաïկելով P 12 4 ïեղափոխում ենք 4-ի առաջին ն երկրորդ ïողերը, իսկ µաղմաåաïկելով 4P 12 ïեղափոխում ենք 4-ի առաջին ն երկրորդ սյուները: Նմանաåես, յուրաքանչյուր s ≠ t. 1 ≤ s. t ≤ ո Համար սաՀմանենք P st = α ij  ո×ո մաïրիցը, որում α st = α ts = 1. α ii = 1 µոլոր i ∈ 1. 2. … . ո ∖ s. t ն մնացած µոլոր

ïարրերը ղրոյական են: ԱկնՀայï է, որ µաղմåաïկելով P st 4, ïեղափոխում ենք 4-ի s-րդ ն t-րդ ïողերը, իսկ µաղմåաïկելով 4P st , ïեղափոխում ենք 4-ի s-րդ ն t-րդ սյուները: Այսåիսով, P st մաïրիցով ձախից µաղմաåաïկումը ïեղափոխում է մաïրիցի ïողերը, իսկ աջից µաղմաåաïկումըª սյուները: Դյուրին է սïուդել, որ P st−1 = P st : Դիïարկենք այժմ ïողի (սյան) µաղմաåաïկումը Ճ դաշïի ոչ ղրոյական λ թվով: Կառուցենք M k մաïրիցը, որը ïարµերվում է միավոր ո × ո չափանի E մաïրիցից միայն նրանով, որ k-րդ անկյունադծային ïարրը Հավասար է λ թվին: Բաղմաåաïկելով ձախից M k 4, µաղմաåաïկում ենք λ-ով 4-ի k-րդ ïողը, իսկ µաղմաåաïկելով աջիցª 4M k µաղմաåաïկում ենք λ-ով 4-ի k-րդ սյունը: Նկաïենք, որ M −1 k = M k −1 : Կառուցենք Մ k.ո g մաïրիցը, որïեղ 1 ≤ k < ո ≤ ո Հեïնյալ կերåª Մ k.ո g-ի ïարրերը Համընկնում են միավոր E մաïրիցի ïարրերի Հեï, միայն ո-րդ ïողի ն k-րդ սյան Հաïման ïեղում դïնվող ïարրը Հավասար է gθ ∈ Ճθ: k

⋯

↓

ո ↓

⋱ k

⋮

⋮

ո

⋱

gθ ⋯ 1 ⋱

Գարղ է, որ µաղմաåաïկելով Մ s.t g4, ïրված 4 մաïրիցի s-րդ ïողը µաղմաåաïկվում է gθ µաղմանդամով ն դումարվում t-րդ ïողին, իսկ µաղմաåաïկելով 4Մ t.s g, ïրված 4 մաïրիցի s-րդ սյունը µաղմաåաïկվում է gθ µաղմանդամով ն դումարվում t-րդ սյանը: −1 Դյուրին է սïուդել, որ Մ k.ո g = Մ k.ո −g: Այսåիսով,

ïարրական դործողությունները ïողերի (սյուների) նկաïմամµ իրացվում են 4 մաïրիցին ձախից (աջից) վերը նշված չվերասերված մաïրիցների µաղմաåաïկմամµ: Òախից µաղմաåաïկվող մաïրիցների արïադրյալը նշանակենք P-ով, իսկ աջիցª 0-ով: ԱկնՀայï է, որ այդ մաïրիցները չվերասերված են: Այժմ Թեորեմ 11-ը կարելի է վերաձնակերåել Հեïնյալ կերå.

Թեորեմ 12. Կամայական

µաղմանդամային

ո×ո

չափանի

մաïրիցի Համար կդïնվեն չվերասերված ո × ո չափանի ն 0 µաղմանդամային մաïրիցներ, որ Սմիթի նորմալ ïեսքի է:

P40

P

մաïրիցը

Այժմ Հեïաղոïենք Սմիթի նորմալ ïեսքի միակության Հարցը: Դիցուք ո × ո չափանի 4 մաïրիցը Սմիթի նորմալ ïեսքի էª

g 1 θ ⋯

4=

Ինչåես

դիïենք,

0 ⋯ 0

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋯ g r θ 0 ⋯ 0

⋯

0 ⋯ 0

⋮

⋮

⋮

⋮ ⋱ ⋮

⋯

0 ⋯ 0

fθ. gθ ∈ Ճθ

⋮

µաղմանդամների

hθ = fθ. gθ ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը սաՀմանվում է Ճ-ից ոչ ղրոյական արïադրիչի ճշïությամµª λhθ-ը նորից fθ ն gθ µաղմանդամների ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարն է: Սակայն դոյություն ունի միակ նորմավորված ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարար: Հաշվենք 4 մաïրիցի µոլոր 1-չափանի մինորների ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը: Քանի որ g i θ-ն g i+1 θ-ի µաժանարարն է, դյուրին է ïեսնել, որ դա g 1 θ-ն է: Նմանաåես µոլոր 2-չափանի մինորների ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը կլինի g 1 θg 2 θ-ը: Հ-չափանի մինորների ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը կլինի g 1 θg 2 θg Հ θ-ը

ն

այսåես

շարունակ:

r-չափանի

մինորների

ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը կլինի g 1 θ… g r θ-ը ն, եթե r < ո, աåա ավելի մեծ չափի µոլոր մինորնորը ղրոյական են: Նկաïենք, որ µոլոր g 1 θ… g i θ, i ≤ r, արïադրյալները նորմավորված են: Դյուրին է նկաïել, որ ïողը (սյունը) Ճ դաշïի ոչ ղրոյական ïարրով µաղմաåաïկելը Ճθ-ից µաղմանդամով µաղմաåաïկված ïողը (սյունը) մեկ այլ ïողին (սյանը) դումարելը ●

●

ïարրական

դործողությունները

կիրառված

µաղմանդամային

մաïրիցին կամ չեն փոխում մինորների արժեքները, կամ դրանք µաղմաåաïկում են դաշïի ոչ ղրոյական թվերով: Ուսïի, մաïրիցի որնէ ֆիքսված չափի µոլոր մինորների ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը չի փոխվի: Դիïարկենք ïողերի/սյուների ïեղափոխության դեåքը: üիքսված չափի

մինորները

ïողերը/սյուները,

կամ

åարունակում

կամ

են

åարունակում

ïողերից/սյուներից միայն մեկը, կամ էլ

երկու

ïեղափոխվող

են

ïեղափոխվող

չեն åարունակում այդ

ïողերը/սյուները: Առաջին դեåքում փոխվում է միայն մինորի արժեքի նշանը (այսինքն մինորը µաղմաåաïկվում է դաշïի ոչ ղրոյական թվով), իսկ վերջին դեåքում մինորի արժեքն ընդՀանրաåես չի փոխվում:

Եթե

մինորը

åարունակում

է

ïեղափոխվող

ïողերից/սյուներից միայն մեկը, աåա դրա արժեքը դառնում է Հավասար մեկ այլ նույն չափանի մինորի արժեքինª այն մինորի, որը åարունակում է մյուս ïողափոխվող ïողը/սյունը ն որի մնացած µոլոր ïողերը/սյուները Համընկնում են դիïարկվող մինորի ïողերի/սյուների Հեï: ԱկնՀայï է, որ ïրված չափանի մինորների ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը չի փոխվի: Հեïնաµար, 4 մաïրիցի µոլոր 1-չափանի մինորների նորմավորված ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը որոշված է միարժեքորեն ն դա g 1 θ-ն է: 2-չափանի մինորների նորմավորված ամենամեծ ընդՀանուր µաժանարարը նույնåես որոշված է միարժեքորեն ն դա g 1 θg 2 θ-ն է, այսինքն g 2 θ-ն էլ է որոշված միարժեքորեն, քանի որ g θg 2 θ : Նմանաåես Համողվում ենք, որ µոլոր g 2 θ = 1 g 1 θ

g 1 θ. … . g r θ µաղմանդամներն որոշված են միարժեքորեն: Ուրեմն, ïարրական դործողությունների ինչåիսի Հաջորդականությամµ էլ որ 4 մաïրիցը µերվի Սմիթի նորմալ ïեսքի, այդ ïեսքը միշï կսïացվի նույնը: g 1 θ. … . g r θ

µաղմանդամները

կոչվում

են

մաïրիցի

ինվարիանï դործակիցներ: Թեորեմ 13. (Սմիթի նորմալ ïեսքի միակությունը) Մաïրիցի Սմիթի միարժեքորեն:

նորմալ

ïեսքը

որոշված

է

Ինվարիանï ենթաïարածություններ Դիցուք

4 L  L դծային օåերաïոր է: L ïարածության L 1

ինվարիանï

ենթաïարածությունը կոչվում է

օåերաïորի

նկաïմամµ (կամ ուղղակի ինվարիանï, երµ åարղ է, թե որ օåերաïորը նկաïի ունենք), եթե x ∈ L 1 ⇒ 4x ∈ L 1 : Օրինակ, դիïենք որ Mλ = x ∣ 4x = λx ենթաïարածություն է L-ում: Այն ինվարիանï է, քանի որ, եթե x ∈ Mλ, աåա 44x

4x

= λx ն

= 4λx = λ4x, այսինքն 4x ∈ Mλ:

ԱկնՀայï է, որ

օåերաïորի սաՀմանափակումը L 1 վրա նույնåես

դծային օåերաïոր է: Ենթադրենք

այժմ,

L = L 1 +̇ L 2 ,

որ

L1

ն

L 2 ենթաïարածությունները ինվարիանï են 4-ի նկաïմամµ: Քանի որ դումարն ուղիղ է, ամµողջ ïարածության µաղիսը կարող ենք կաղմել միավորելով ենթաïարածությունների µաղիսները, այսինքն, եթե E 1 -ը ն E 2 -ը Համաåաïասխանաµար L 1 -ի ն L 2 -ի µաղիսներն են, աåա E =

E1 E2

ամµողջ L ïարածության µաղիսն է: Նշանակենք 4-ով այդ µաղիսում օåերաïորի ներկայացումըª

4E

= 4E, իսկ 4 1 -ով ն 4 2 -ով

ներկայացումները Համաåաïասխանաµար

E1

ն

E2

E1

= 4E =

E2

4E

=

4E 1 4E 2

=

4-ի

µաղիսներում,

դիïարկելով 4-ի սաՀմանափակումները L 1 -ի ն L 2 -ի վրաª ն 4E 2 = 4 2 E 2 : Գարղ է որª

4E 1

= 41E1

41E1 42E2

E1

E2

=

:

Հեïնաµար, 4=

,

այսինքն, օåերաïորի մաïրիցը ïրոՀվում է µլոկերի ն այդ µլոկերը Համաåաïասխանում են օåերաïորի ներկայացումներին ինվարիանï ïարածություններում ն մաïրիցի åարղեցման խնդիրը µերվում է նույն

խնդրին

ընդՀանուր

դեåքում

ավելի

փոքր

ինվարիանï

ենթաïարածությունում: Գարղ է նան, որ այս դաïողությունն ուժի մեջ է, երµ ուղիղ դումարում դումարելիների թիվը երկուսից ավելին է: Այժմ կփորձենք åարղել, թե ինչåես կարելի է ïարածությունը ïրոՀել ինվարիանï ենթաïարածությունների:

Վերացնող ն մինիմալ µաղմանդամներ Դիցուք

4 L  L դծային օåերաïոր է, որïեղ L-ը դծային

ïարածություն է Ճ դաշïի նկաïմամµ, իսկ Ճθ-ն Ճ դաշïից դործակիցներով θ փոփոխականից կախված µոլոր µաղմանդամների µաղմությունն է: Դիցուք fθ = α 0 + α 1 θ + α 2 θ 2 +. . . +α ո θ ո ∈ Ճθ: Նշանակենք f4 = α 0 I + α 1 4 + α 2 4 2 +. . . +α ո 4 ո , I-ով նշանակելով միավոր օåերաïորը: Դյուրին է սïուդել, որ f4-ն դծային օåերաïոր է ն այն սաՀմանվում է Հեïնյալ կերåª f4x = α 0 x + α 1 4x + α 2 4 2 x +. . . +α ո 4 ո x, որïեղ

4kx

=

4. . . 44x. . . 

-

օåե րաïորի Հաջորդաµար (k

անդամ) կիրառումն է: Ուրեմն, f4 4 L  L: ԱկնՀայï է նան, որ f4g4 = g4f4 կամայական fθ. gθ ∈ Ճθ Համար: ումÙւորսÙ. fθ ∈ Ճθ կոչվում է

վերացնող µաղմանդամ

L

դծային ïարածության x ïարրի Համար, եթե f4x = 0: Դիցուք x ∈ L: Նշանակենք Fx-ով x ïարրի µոլոր վերացնող µաղմանդամների µաղմությունը Ճθ-ում: Գարղ է, որ այն դաïարկ չէ, քանի որ ղրոյական µաղմանդամը վերացնող է µոլոր ïարրերի Համար: Եթե x = 0, աåա Fx = Ճθ: Եթե x ≠ 0, աåա Fx-ը չի åարունակում ն ոչ մի 0 ասïիճանի µաղմանդամ: Դիցուք ո = 1 + dոո L: Եթե µոլոր x. 4x. 4 2 x. … . 4 ո−1 x ïարրերը ïարµեր են, աåա դրանք դծորեն կախված են ն կդïնվեն α 0 . α 1 . … . α ո−1 ∈ Ճ, որ α 0 x + α 1 4x + α 2 4 2 x +… +α ո−1 4 ո−1 x = 0, այսինքն,

fθ = α 0 + α 1 θ + α 2 θ 2 +… +α ո−1 θ ո−1

ոչ

ղրոյական

µաղմանդամը վերացնող է x ïարրի Համար: Եթե x. 4x. 4 2 x. … . 4 ո−1 x ïարրերը ïարµեր չեն, աåա

42x

=

4 4 x,

որïեղ ո > 2 > 4 ≥ 0: Այս

դեåքում θ 2 − θ 4 կլինի ոչ ղրոյական վերացնող µաղմանդամ x ïարրի Համար: Նշանակենք fθ-ով Fx-ի փոքրադույն դրական ասïիճանի µաղմանդամներից որնէ մեկը: Դիցուք 0 ≠ gθ ∈ Fx: Բաժանենք gθ-ն fθ-ի վրաª gθ = fθhθ + rθ: Կամ rθ ≡ 0, կամ 0 ≤ d6g r < d6g f:

Գարղ

է,

որ

rθ ∈ Fx,

քանի

որ

r4 = g4 − f4h4: Եթե rθ ≠ 0, աåա d6g r > 0 ն fθ-ի ասïիճանը ամենափոքրը չէ Fx-ում: Ուսïի, rθ ≡ 0 ն Fx-ի յուրաքանչյուր µաղմանդամ առանց մնացորդի µաժանվում է fθ-ի վրա: Այսåիսով ïեսանք, որ Fx-ը կամ Համընկնում է ամµողջ Ճθ-ի Հեï, կամ էլ Fx-ը կաղմված է Fx-ում åարունակվող ամենափոքր դրական ասïիճան ունեցող նորմավորված µաղմանդամին µոլոր åաïիկ µաղմանդամներից: Այդ µաղմանդամըª Fx-ում ամենափոքր դրական ասïիճան ունեցող նորմավորված µաղմանդամը, կոչվում է x ïարրի մինիմալ

µաղմանդամ:

Եթե fθ µաղմանդամը վերացնող է դծային ïարածության µոլոր ïարրերի Համար, աåա այն կոչվում է

ïարածության վերացնող

µաղմանդամ:

վերացնող

Տարածության

µաղմանդամների

µաղմությունը Համընկնում է ամµողջ Ճθ-ի Հեï միայն, երµ այդ ïարածությունը ղրո չափանի է: Մնացած µոլոր դեåքերում վերացնող µաղմանդամների µաղմությունը չի åարունակում ն ոչ մի 0 ասïիճանի µաղմանդամ ն կաղմված է այդ µաղմության ամենափոքր դրական ասïիճան ունեցող նորմավորված µաղմանդամին µոլոր åաïիկ

µաղմանդամներից (սա աåացուցվում է Fx-ի դեåքի նման): Այդ µաղմանդամըª ïարածության վերացնող µաղմանդամների µաղմության ամենափոքր դրական ասïիճան ունեցող նորմավորված µաղմանդամը,

կոչվում

է

ïարածության

մինիմալ

µաղմանդամ: Ցույց ïանք, որ միշï դոյություն ունի ïարածության ոչ ղրոյական վերացնող µաղմանդամ: Դիցուք L-ը դծային ïարածություն է Ճ դաշïի նկաïմամµ ն ո = dոո L: Դյուրին է սïուդել, որ µոլոր դծային օåերաïորների µաղմությունը, որոնք արïաåաïկերում են L-ը L-ի մեջ կաղմում է դծային ïարածություն: Իսկաåես, եթե Օ

4 L  L, աåա

8+Օ

4LL ն

4 L  L օåերաïորը սաՀմանվում է որåես

8 + Օx = 8x+Օx, իսկ λ8 4 L  L օåերաïորը որåեսª λ8x = λ8x: üիքսելով

որնէ

E

µաղիս,

սïանում

ենք

օåերաïորների

ներկայացումները ո × ո չափանի մաïրիցներով, ընդ որում, եթե 8-ն ներկայացվում է 8 մաïրիցով, իսկ ներկայացվում է 8 + Շ-ով ն

Շ-ով, աåա 8 + Օ-ն λ8-ն λ8-ով: Ուսïի,

Օ-նª

α 0 I + α 1 4 + α 2 4 2 +… +α ո 4 ո օåերաïորը, որïեղ α 0 . α 1 . … . α ո ∈ Ճ ն I-ն

նույնաµար

(միավոր)

օåերաïորն

է,

ներկայացվում

է

α 0 E + α 1 4 + α 2 4 2 +… +α ո 4 ո մաïրիցով (E-ն միավոր մաïրիցն է): Դիïարկենք E. 4. … . 4 ո

մաïրիցները: Եթե դրանց մեջ չկան

կրկնվողներ, աåա քանի որ ո × ո չափանի մաïրիցների դծային ïարածությունը ո 2 չափանի է, E. 4. … . 4 ո

մաïրիցները դծորեն

կախված են ն կդïնվեն α 0 . α 1 . … . α ո 2 ∈ Ճ, որ α 0 E + α 1 4 + α 2 4 2 +… +α ո 2 4 ո = 0:

Հեïնաµար,

α 0 I + α 1 4 +… +α ո 2 4 ո = 0

ն

α 0 + α 1 θ + α 2 θ 2 +… +α ո 2 θ ո -ն ïարածության ոչ ղրոյական վերացնող

µաղմանդամ է: Եթե 4 2 = 4 4 , որïեղ ո 2 > 2 > 4 ≥ 0, աåա 4 2 =

ն

θ 2 − θ 4 -ն կլինի ոչ ղրոյական վերացնող µաղմանդամ ïարածության Համար: Դիցուք 6 1 . . . . . 6 ո -ը L ïարածության µաղիսն է ն f 1 θ. . . . . f ո θ Համաåաïասխանաµար 6 1 . . . . . 6 ո ïարրերի մինիմալ µաղմանդամներն են: Եթե fθ-ն ïարածության մինիմալ µաղմանդամն է, աåա այն վերացնող է ամեն մի 6 i Համար ն ուսïի µաժանվում է առանց մնացորդի յուրաքանչյուր f i θ-ի վրա i = 1. 2. . . . . ո: Ուրեմն, fθ-ն µաժանվում է նան ընդՀանուր

f 1 θ. . . . . f ո θ µաղմանդամների ամենափոքր

µաղմաåաïիկի

f 1 θ. . . . . f ո θ

վրա:

µաղմանդամների

Մյուս

կողմից,

ամենափոքր

քանի

որ

ընդՀանուր

µաղմաåաïիկը åաïիկ է յուրաքանչյուր f i θ-ին, աåա այն վերացնող է յուրաքանչյուր 6 i Համար: Այսïեղից անմիջաåես սïանում ենք, որ ïարածության մինիմալ µաղմանդամը Համընկնում է f 1 θ. . . . . f ո θ µաղմանդամների

նորմավորված

µաղմաåաïիկի Հեï:

ամենափոքր

ընդՀանուր

Ցիկլիկ ենթաïարածություններ Դիցուք

4LL

դծային

օåերաïոր

6∈L

է,

,

fθ = α 0 + α 1 θ +. . . +α ո−1 θ ո−1 + θ ո -ը 6-ի մինիմալ µաղմանդամն է ն d6g fθ = ո: Դյուրին է սïուդել, որ 6. 46. 4 2 6. . . . . 4 ո−1 6 Համակարդը դծորեն անկախ է, քանի որ Հակառակ դեåքում կդïնվեր 6 ïարրի վերացնող µաղմանդամ, որի կարդը փոքր է ո-ից: Գարղ է նան, որ 4ո6

= −α 0 6 − α 1 46 −. . . −α ո−1 4 ո−1 6 L6-ով

Նշանակենք

g46 ∣ gθ ∈ Ճθ:

Հեïնյալ

ԱկնՀայï

է,

(12) µաղմությունըª

L6-ն

որ

դծային

ենթաïարածություն է L-ում: Բաժանենք gθ-ն fθ մինիմալ µաղմանդամի

վրաª

gθ = fθhθ + rθ,

որïեղ

կամ

rθ-ն

ղրոյական µաղմանդամն է, կամ էլ d6g rθ < ո: Ուսïի, r46 åաïկանում է 6. 46. 4 2 6. . . . . 4 ո−1 6 Համակարդի դծային թաղանթին ն L6 = 6. 46. 4 2 6. . . . . 4 ո−1 6 ∗ : ԱկնՀայï է, որ dոո L6 = ո ն L6-ն ինվարիանï ենթաïարածություն է (դա անմիջաåես Հեïնում է (12)-ից): L6 ենթաïարածությունը կոչվում է

ցիկլիկ

ենթաïարածություն

ծնված 6 ïարրով: Ցիկլիկ ենթաïարածության չափը Հավասար է նրա ծնիչի (6-ի) մինիմալ µաղմանդամի ասïիճանին: Գարղ է, որ մինիմալ µաղմանդամի ասïիճանն ավելի մեծ չէ, քան dոո L-ը: Սïորն կïեսնենք, որ դծային ïարածությունը միշï կարելի է ïրոՀել ցիկլիկ ենթաïարածությունների:

Օåերաïորի µնութադրիչ մաïրիցի "վերացնող" Հաïկությունը Դիցուք 4 4 L  L դծային օåերաïոր է Ճ թվային դաշïի նկաïմամµ: üիքսենք L ïարածության որնէ µաղիսª E

=

⋮ 6ո

ն դիցուքª α 11 α 12 . . . α 1ո α 21 α 22 . . . α 2ո

4=

⋮

⋮

⋱

⋮

α ո1 α ո2 . . . α ոո մաïրիցը

օåերաïորի ներկայացումն է այդ µաղիսում, այսինքնª

ո

4E =4E

ն

46 i

= ∑ α ij 6 j , i = 1. 2. … . ո: Դիïարկենք 4-ի µնութադրիչ j=1

մաïրիցըª α 11 − θ α 21

4 − θE =

α 12

α 1ո

α 22 − θ . . .

α 2ո

⋮

⋮

α ո1

α ո2

⋱

⋮

. . . α ոո − θ

Այս մաïրիցի ïողերն ունեն Հեïնյալ Հաïկությունը: Դիïարկենք i-րդ

ïողը

որåես

ո

Հաï

µաղմանդամների

Հավաքածուª

5 i ≡ α i1 . … . α ii−1 . α ii − θ. α ii+1 . … . α iո : Այդ Հավաքածուից կաղմենք

օåերաïորների Հեïնյալ ո-յակըª α i 1 I. … . α i i−1 I. α i i I − 4. α i i+1 I. … . α i ո I ն µաղմաåաïկենք այն որåես մաïրից E սյունով 5 i E =α i 1 I. … . α i i−1 I. α i i I − 4. α i i+1 I. … . α i ո I

⋮

=

6ո ո

− 46 i + ∑ α ij 6 j = 0 j=1

Նշանակենք Ճ ո θ-ով Ճθ-ից µաղմանդամների µոլոր ո-յակների µաղմությունը: ՍաՀմանենք Fո. θ. E µաղմությունն որåես Fո. θ. E

= f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ ∣ f 1 4. … . f ո 4E = 0

Գարղ է, որ f 1 4. … . f ո 4E = 0 åայմանը Համարժեք է f 1 4. … . f ո 4E = f 1 46 1 +… +f ո 46 ո = 0 åայմանին: (13)-ից սïանում ենք, որ µնութադրիչ մաïրիցի յուրաքանչյուր

ïող

åաïկանում

է

Fո. θ. E

µաղմությանըª

5 i ∈ Fո. θ. E, i = 1. 2. … . ո:

Գնդում 14. Յուրաքանչյուր կդïնվի

f 1 θ. … . f ո θ ∈ Fո. θ. E

g 1 θ. … . g ո θ ∈ Ճ ո θ,

որ ո

f 1 θ. … . f ո θ =

∑ g i θ5 i i=1

ուսïի,

Համար

(13)

ո

Fո. θ. E

=

∑ g i θ5 i ∣ g 1 θ. … . g ո θ

∈ Ճ ո θ

i=1

Աåացույց.

Նախ

աåացուցենք,

որ

յուրաքանչյուր

f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ Համար կդïնվեն g 1 θ. … . g ո θ ∈ Ճ ո θ ն λ 1 . … . λ ո  ∈ V ո Ճ, որ ո

f 1 θ. … . f ո θ =

∑ g i θ5 i + λ 1 . … . λ ո 

(14)

i=1

(14)-ը կաåացուցենք ինդուկցիայով, ըսï ոaxd6g f 1 . … . d6g f ո -ի: Եթե ոaxd6g f 1 . … . d6g f ո  = 0, աåա f 1 θ. … . f ո θ ∈ V ո Ճ ն վերցնելով g i θ = 0 µոլոր i ∈ 1. 2. … . ո Համար սïանում ենք (14)-ը: Ենթադրենք

այժմ,

f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ Դիցուք

որ

(14)-ը

սïույդ

է

µոլոր

Համար,

որ

ոaxd6g f 1 . … . d6g f ո  < ո:

f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ

ն

ոaxd6g f 1 . … . d6g f ո  = ո:

Բաժանենք f i θ-ն α i i − θ-ի վրաª f i θ = h i θα i i − θ + β i , որïեղ β i ∈ Ճ: Սïանում ենքª 0. … . 0. f i . 0. … . 0 = 0. … . 0. h i α i i − θ + β i . 0. … . 0 = h i α i 1 . … . α i i−1 . α i i − θ. α i i+1 . … . α i ո  + −α i 1 h i . … . −α i i−1 h i . β i . −α i i+1 h i . … . −α i ո h i  = h i 5 i + −α i 1 h i . … . −α i i−1 h i . β i . −α i i+1 h i . … . −α i ո h i  Քանի որ d6g h i θ = d6g f i θ − 1, աåա −α i 1 h i . … . −α i i−1 h i . β i . −α i i+1 h i . … . −α i ո h i  Հավաքածուի յուրաքանչյուր ïարրի ասïիճանը փոքր է d6g f i θ-ից: Հեïնաµարª

f 1 . … . f ո  =

ո

ո

i=1

i=1 ո

∑ h i 5 i + ∑−α i 1 h i . … . −α i i−1 h i . β i . −α i i+1 h i . … . −α i ո h i  = ∑ h i θ5 i + t 1 θ. … . t ո θ, i=1

որïեղ

d6g t i θ < ո,

ենթադրության,

i ∈ 1. 2. … . ո:

Համաձայն

ինդուկïիվ

k 1 θ. … . k ո θ ∈ Ճ ո θ

կդïնվեն

ն

λ 1 . … . λ ո  ∈ V ո Ճ, որ ո

t 1 θ. … . t ո θ =

∑ k i θ5 i + λ 1 . … . λ ո : i=1

Ուսïիª f 1 . … . f ո  =

ո

ո

i=1

i=1

∑ h i θ5 i + ∑ k i θ5 i + λ 1 . … . λ ո  =

ո

∑h i θ + k i θ5 i + λ 1 . … . λ ո  = i=1 ո

∑ g i θ5 i + λ 1 . … . λ ո  i=1

ն (14)-ն աåացուցված է: ո

ԱկնՀայï է, որ ∑ g i θ5 i ∈ Fո. θ. E, քանի որ ըսï (13)-ի 5 i E =0: i=1

Դիցուք այժմ f 1 θ. … . f ո θ ∈ Fո. θ. E: Համաձայն (14)-իª ո

f 1 θ. … . f ո θ =

∑ g i θ5 i + λ 1 . … . λ ո  i=1

Ունենքª f 1 4. … . f ո 4E = 0, ուրեմնª ո

∑ g i 45 i E + λ 1 . … . λ ո E =0 i=1

Սակայն Համաձայն (13)-ի, 5 i E =0 ն λ 1 . … . λ ո E =0: Բաղիսային

ïարրերի դծային անկախությունից Հեïնում է, որ λ 1 =… = λ ո = 0 ն ո

f 1 θ. … . f ո θ =

∑ g i θ5 i i=1

Գնդումն աåացուցված է:

Տարածության ïրոՀումը ցիկլիկ ենթաïարածությունների Դիցուք 4 4 L  L դծային օåերաïոր է Ճ թվային դաշïի նկաïմամµ: üիքսենք L ïարածության որնէ µաղիսª E

=

⋮ 6ո

ն յուրաքանչյուր f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ µաղմանդամների ո-յակին Համաåաïասխանեցնենք L ïարածության f 1 4. … . f ո 4E = f 1 46 1 +… +f ո 46 ո ïարրը: Դիïարկենք Հեïնյալ µաղմությունըª f 1 46 1 +… +f ո 46 ո ∣ f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ Քանի

որ

կամայական

λ 1 . … . λ ո  ∈ V ո Ճ

Համար

λ 1 . … . λ ո  ∈ Ճ ո θ, աåա վերը նշված µաղմությունը Համընկնում է L ïարածության Հեïª L = f 1 46 1 +… +f ո 46 ո ∣ f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ Համաձայն Գնդում14-ի, f 1 46 1 +… +f ո 46 ո = 0 միայն ն միայն այն դեåքում, երµ կդïնվի g 1 θ. … . g ո θ ∈ Ճ ո θ այնåիսի, որ ո

f 1 θ. … . f ո θ = ∑ g i θ5 i , որïեղ 5 i -ն i=1

մաïրիցով

ներկայացմանը

E

µաղիսում

Համաåաïասխանող

օåերաïորի µնութադիչ

(15)

մաïրիցի i-րդ ïողն է, այսինքն 4 − θE մաïրիցի i-րդ ïողը: Նկաïենք, որ ո

f 1 θ. … . f ո θ =

∑ g i θ5 i i=1

åայմանը Համարժեք է f 1 θ. … . f ո θ = g 1 θ. … . g ո θ4 − θE

(16)

åայմանին: Ըսï

Թեորեմ12-ի,

կդïնվեն

այնåիսի

չվերասերված

µաղմանդամային մաïրիցներ P ն 0 (որոնց ïարրերը Ճθ-ից են), որ P4 − θE0 մաïրիցը Սմիթի նորմալ ïեսքի է: Քանի որ P ն 0 մաïրիցները չվերասերված են, աåա դրանց դեïերմինանïները (որոնք µաղմանդամային մաïրիցների դեåքում µաղմանդամներ են) Ճ դաշïի թվեր են: Իսկաåես, ունենք PP −1 = E  d6t P d6t P −1 = 1: Ուսïի, d6t P ն d6t P −1 µաղմանդամներն ունեն Հակադարձ ն, ուրեմն, դրանք ղրո ասïիճանի µաղմանդամներ են, այսինքն Ճ դաշïի ոչ ղրոյական

թվեր:

Նույնը

ճիշï

է

0-ի

դեåքում:

Հեïնաµար,

d6t P d6t4 − θE d6t 0 µաղմանդամի ասïիճանը նույնն է ինչ որ µնութադրիչ

µաղմանդամինըª

d6t4 − θE-ի

ասïիճանը,

որը

Հավասար է ո-ի: Այսïեղից սïացվում է, որ P4 − θE0 մաïրիցի Սմիթի նորմալ ïեսքը չի åարունակում ղրոյական ïարրեր, քանի որ d6t P d6t4 − θE d6t 0-ն անկյունադծային ïարրերի արïադրյալն է: Ուրեմն, P4 − θE0 մաïրիցն ունի Հեïնյալ անկյունադծային ïեսքըª

⋱

D = P4 − θE0 =

d 1 θ ⋱ d ո−r θ

որïեղ µոլոր անկյունադծային µաղմանդամները նորմավորված են, d i+1 θ-ն

առանց

մնացորդի

µաժանվում

է

d i θ-ի

վրա,

i = 1. … . ո − r − 1, ն ո−r

∑ d6g d i θ = ո i=1

Այժմ (16)-ը կարող ենք արïադրել Հեïնյալ կերå ª f 1 θ. … . f ո θ = g 1 θ. … . g ո θP −1 D0 −1 ԱկնՀայï է, որ կամայական h 1 θ. … . h ո θ ∈ Ճ ո θ Համար կդïնվի միակ g 1 θ. … . g ո θ ∈ Ճ ո θ, որ h 1 θ. … . h ո θ = g 1 θ. … . g ո θP −1 : Ուսïիª Ճ ո θ = g 1 θ. … . g ո θP −1 ∣ g 1 θ. … . g ո θ ∈ Ճ ո θ Այսåիսով, f 1 46 1 +… +f ո 46 ո = 0 միայն ն միայն այն դեåքում, երµ կդïնվի h 1 θ. … . h ո θ ∈ Ճ ո θ այնåիսի, որ f 1 θ. … . f ո θ = h 1 θ. … . h ո θD0 −1 Այսինքն, Գնդում14-ի Fո. θ. E

= f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ ∣ f 1 4. … . f ո 4E = 0

µաղմությունը կարելի է ներկայացնել Հեïնյալ կերå ª Fո. θ. E

= h 1 θ. … . h ո θD0 −1 ∣ h 1 θ. … . h ո θ ∈ Ճ ո θ

(17)

Նշանակենքª 6 1∗ E∗

= 0 −1 4E

=

⋮

,

6 ո∗ 6 ∗i = 4 i1 46 1 +… +4 iո 46 ո , որïեղ 4 i1 θ. … . 4 iո θ-ն 0 −1 -ի i-րդ ïողն է, i = 1. … . ո: Գարղ է, որ f 1 4. … . f ո 40E ∗ = 0  f 1 4. … . f ո 4E = 0 ն f 1 θ. … . f ո θ ∣ f 1 4. … . f ո 4E ∗ = 0 = f 1 θ. … . f ո θ0 ∣ f 1 θ. … . f ո θ∈ Fո. θ. E = h 1 θ. … . h ո θD ∣ h 1 θ. … . h ո θ ∈ Ճ ո θ Սïացանք, որª h 1 4. … . h ո 4DE ∗ = 0 µոլոր h 1 θ. … . h ո θ ∈ Ճ ո θ: Ճիշï է նան Հակառակըª եթե f 1 4. … . f ո 4E ∗ = 0 որնէ

f 1 θ. … . f ո θ ∈ Ճ ո θ

Համար,

աåա

կդïնվի

միակ

h 1 θ. … . h ո θ ∈ Ճ ո θ, որ f 1 θ. … . f ո θ = h 1 θ. … . h ո θD: Ունենքª h 1 θ. … . h ո θD = h 1 θ. … . h r θ. h r+1 θd 1 θ. … . h ո θd ո−r θ, ուսïիª h 1 4. … . h ո 4D4E ∗ = ∗ h 1 46 ∗1 +… +h r 46 r∗ + h r+1 4d 1 46 r+1 +… +h ո 4d ո−r 46 ∗ո = 0

üիքսելով i ∈ 1. 2. … . ո, վերցնենք h i θ ≡ 1 ն h j θ ≡ 0 µոլոր j ∈ 1. 2. … . ո ∖ i

Համար:

Սïանում

ենքª

6 ∗i = 0

µոլոր

∗ i ∈ 1. 2. … . r Համար ն d i 46 r+i = 0 µոլոր i ∈ r + 1. … . ո Համար:

Ուսïի, d 1 θ. … . d ո−r θ-ն Համաåաïասխանաµար ïարրերի վերացնող µաղմանդամներն են:

∗ . … . 6 ∗ո 6 r+1

∗ ïարրի որնէ վերացնող µաղմանդամն է, Դիցուք f r+i θ-ն 6 r+i

i = 1. … . ո − r, աåա 1. … . 1. f r+1 4. … . f ո 4E ∗ = 0 ն կդïնվի h 1 θ. … . h ո θ, որ 1. … . 1. f r+1 θ. … . f ո θ = h 1 θ. … . h ո θD = h 1 θ. … . h r θ. h r+1 θd 1 θ. … . h ո θd ո−r θ Այսինքն,

h 1 θ =… = h r θ ≡ 1

ն

f r+i θ = h r+i θd i θ

µոլոր

i = 1. … . ո − r Համար: Քանի որ f r+i θ-ն µաժանվում է d i θ-ի վրա ∗ ïարրի մինիմալ վերացնող առանց մնացորդի, աåա d i θ-ն 6 r+i µաղմանդամն է: Նան, քանի որ d ո−r θ-ն µաժանվում է µոլոր d i θ-ի վրա, d ո−r θ-ն վերացնող µաղմանդամ է µոլոր 6 ∗r+1 . … . 6 ∗ո -ի Համար:

Դիïարկենք այժմ Հեïնյալ µաղմությունըª f 1 4. … . f ո 4E ∗ ∣ f 1 θ. … . f ո θ∈Ճ ո θ Գարղ է, որª f 1 4. … . f ո 4E ∗ = f 1 4. … . f ո 40 −1 E ն f 1 4. … . f ո 4E = f 1 4. … . f ո 40E ∗ , ուսïիª f 1 4. … . f ո 4E ∗ ∣ f 1 θ. … . f ո θ∈Ճ ո θ = f 1 4. … . f ո 4E ∣ f 1 θ. … . f ո θ∈Ճ ո θ

= 

L

Համաձայն (15)

Սա նշանակում է, որ L ïարածության կամայական ïարր կարելի է ներկայացնել f 1 4. … . f ո 4E ∗ = f r+1 46 ∗r+1 +… +f ո 46 ո∗ ïեսքով:

Հիշենք, որ 6 ïարրով ծնված ցիկլիկ ենթաïարածությունը սաՀմանել էինք որåես L6 = g46 ∣ gθ ∈ Ճθ, Հեïնաµար սïացել ենք, որ L = L6 ∗r+1  +… +L6 ∗ո 

(18)

Ինչåես դիïենք ցիկլիկ ենթաïարածության չափը Հավասար է ծնիչ ïարրի

մինիմալ

վերացնող

∗  = d6g d i θ, dոո L6 r+i

µաղմանդամի

i = 1. … . ո − r:

ասïիճանին, Համաձայն

ուսïի (17)-ի,

ո−r

∑ d6g d i θ = ո = dոո L, ուրեմն (18)-ում դումարն ուղիղ էª i=1

∗  +̇… +̇L6 ∗ո  L = L6 r+1

Վերը նկաïել էինք, որ d ո−r θ-ն վերացնող µաղմանդամ է µոլոր 6 ∗r+1 . … . 6 ո∗ -ի Համար, ուսïի այն վերացնող է L-ի Համարª d ո−r 4f r+1 46 ∗r+1 +… +f ո 46 ո∗  = ∗ f r+1 4d ո−r 46 r+1 +… +f ո 4d ո−r 46 ո∗ = 0

Այն մինիմալ վերացնողն է L-ի Համար, քանի որ ïարածության վերացնող µաղմանդամը վերացնող է նան 6 ո∗ -ի Համար: Քանի որ µոլոր d i θ µաղմանդամները նորմավորված են, դրանց արïադրյալը նույնåես նորմավորված է ն Հավասար է d6t P d6t4 − θE d6t 0:

Ուրեմն,

նորմավորված

է

նան

d6t P d6t4 − θE d6t 0 µաղմանդամը: Քանի որ d6t4 − θE-ի θ-ի ամենամեծ ասïիճանի դործակիցը −1 ո է, աåա d6t P d6t 0 = ±1: Հեïնաµար,

µնութադրիչ

µաղմանդամը

վերացնող

է

ամµողջ

ïարածության Համար ն d6t4 − 4E օåերաïորը ղրոյական է: Այս վերջին åնդումը Հայïնի է որåես Համիլïոն-Քելիի

թեորեմ:

Ամփոփենք վերը շարադրվածը Հեïնյալ թեորեմի ïեսքով:

Թեորեմ 15. Դիցուք 4 4 L  L դծային օåերաïոր է ն fθ-ն L-ի մինիմալ µաղմանդամն է: L ïարածությունը կարելի է այնåես ïրոՀել վերջավոր քանակությամµ ցիկլիկ ենթաïարածություններիª L = L 1 +̇ L 2 +̇. . . +̇L k ,

որ,

եթե ψ 1 θ. . . . . ψ k θ-ն Համաåաïասխանաµար L 1 . . . . . L k -ի մինիմալ µաղմանդամներն են, աåա fθ = ψ 1 θ ն ψ i θ-ն µաժանվում է առանց մնացորդի ψ i+1 θ-ի վրա, i = 1. 2. . . . . k − 1: Աåացույց. Վերցնենք k = ո − r, L 1 = L6 ո∗ . … . L k = L6 ∗r+1 , ψ 1 θ = d ո−r θ. . . . . ψ k θ = d r+1 θ:

Հեïնանք. Փծային ïարածության մեջ դոյություն ունի մեկ ïարր, որի մինիմալ µաղմանդամը Համընկնում է ամµողջ ïարածության մինիմալ µաղմանդամի Հեï: Աåացույց. Այդ ïարրը 6 ո∗ -ն է:

Տարածության ïրոՀումը ինվարիանï ենթաïարածությունների փոխադարձաµար åարղ մինիմալ µաղմանդամներով Թեորեմ 16. Դիցուք 4 4 L  L դծային օåերաïոր է, fθ-ն L ïարածության մինիմալ µաղմանդամն է ն fθ = ϕ 1 θϕ 2 θ, որïեղ ϕ 1 θ-ն ն ϕ 2 θ-ն նորմավորված փոխադարձաµար åարղ µաղմանդամներ են: Փոյություն ունի

L

ïարածության այնåիսի

L = L 1 +̇ L 2

ïրոՀում ինվարիանï ենթաïարածությունների, որ ϕ 1 θ-ն L 1 ն ϕ 2 θ-ն L 2 ենթաïարածությունների մինիմալ µաղմանդամներն են: Աåացույց.

Համաձայն

µաժանարար դïնելու µաղմանդամներ, որ

Էվքլիդեսի

ալդորիթմի,

ամենամեծ

կդïնվեն

ψ 1 θ

ընդՀանուր ն

ψ 2 θ

1 = ϕ 1 θψ 1 θ + ϕ 2 θψ 2 θ Նշանակենք, 8 1 = ϕ 2 4ψ 2 4 անմիջաåես սïանում ենք, որ I

=

ն

= ϕ 1 4ψ 1 4:

(19) (19)-ից

+ 82,

որïեղ I-ն միավոր օåերաïորն է: Դիցուք x ∈ L, կիրառենք Հաջորդաµար 8 1 ն 8 2 օåերաïորներըª

(20)

8 1 8 2 x

= ϕ 2 4ψ 2 4ϕ 1 4ψ 1 4x =

ψ 1 4ψ 2 4ϕ 1 4ϕ 2 4x = ψ 1 4ψ 2 4f4x = 0 քանի որ fθ-ն ïարածության մինիմալ µաղմանդամն է: Նույն ձնով սïանում ենքª 8 2 8 1 x = 0 ն ուրեմնª

=

=0

(21)

Բաղմաåաïկենք (20)-ի աջ ն ձախ մասերը

=

8 21

+ 8 1 8 2 ն Հաշվի առնելով (21)-ըª

կերå կսïանանք 8 2 =

8 22 ,

=

8 1 -ով,

8 21 :

կսïանանք

Գարղ է, որ նույն

ուսïի

=

8 21

=

8 22

(22)

Եթե y ∈ Iո 8 1 , աåա կդïնվի x ∈ L, որ 8 1 x = y, ուրեմն 81y

=

8 1 8 1 x

=

8 21 x

= 

81x

=y

Համաձայն (22)

ն 8 1 օåերաïորը դործում է Iո 8 1 վրա որåես միավոր օåերաïոր: Եթե y ∈ Iո 8 2 , աåա կդïնվի x ∈ L, որ 8 2 x = y ն 81y

=

8 1 8 2 x

= 

= 8 1 8 2 x

0:

Համաձայն (21)

Այսåիսով 8 1 ն 8 2 օåերաïորները դործում են իրենց åաïկերների վրա որåես միավոր օåերաïորներ, իսկ միմյանց åաïկերների վրաª որåես ղրոյական օåերաïորներ: ՍաՀմանենքª L 1 = Iո 8 1 ն L 2 = Iո 8 2 : Նախ սïուդենք, որ L = L 1 + L 2 : Եթե x ∈ L, աåա կիրառելով (20)-ը սïանում ենքª x = Ix =

81x

+ 8 2 x. որïեղ ակնՀայïորեն

81x

∈ L 1 , իսկ

82x

∈ L2:

Համողվենք այժմ, որ դումարն ուղիղ է: Դիցուք y ∈ L 1 ∩ L 2 : Կդïնվեն x 1 ն x 2 այնåիսի, որ

81x1

=y=

82x2:

Կիրառենք

օåերաïորըª

8 1 8 1 x 1 

=

8 1 8 2 x 2 :

Ունենքª

8 1 8 1 x 1 

=

8 21 x 1

=

81x1

ն

8 1 8 2 x 2 

= 8 1 8 2 x 2 = 0: Ուսïիª y = 8 1 x 1 = 0 ն L 1 ∩ L 2 = 0, Հեïնաµար ենթաïարածությունների դումարն ուղիղ է: Համողվենք, որ L 1 ն L 2 ենթաïարածություններն ինվարիանï են:

Դիցուք y ∈ L 1 = Iո 8 1 : Կդïնվի x ∈ L, որ 8 1 x = y: Ուրեմնª 4y

=

48 1 x

= 

8 1 4x

∈ Iո 8 1 = L 1 :

քանի որ 8 1 -ը µաղմանդամ է 4-ից

Նմանաåես սïուդվոմ է L 2 -ի ինվարիանï լինելը: Մնաց աåացուցենք, որ ϕ 1 θ-ն L 1 ն ϕ 2 θ-ն ենթաïարածությունների մինիմալ µաղմանդամներն են: Դիցուք y ∈ L 1 = Iո 8 1 : Կդïնվի x ∈ L, որ

81x

L2

= y 4 Կիրառենք

ϕ 1 4-ն y-ինª ϕ 1 4y = ϕ 1 48 1 x = ϕ 1 4ϕ 2 4ψ 2 4x = ψ 2 4ϕ 1 4ϕ 2 4x = ψ 2 4f4x = 0 Ուրեմն, ϕ 1 θ-ն L 1 -ի վերացնող µաղմանդամ է: Նույն ձնով սïուդվում է, որ ϕ 2 θ-ն L 2 -ի վերացնող µաղմանդամ է: Դիցուք ϕ̃ 1 θ-ն L 1 -ի վերացնող µաղմանդամ է: Դյուրին է սïուդել, որ ϕ̃ 1 θϕ 2 θ-ն Հանդիսանում է L ïարածության վերացնող µաղմանդամ: Եթե x ∈ L, աåա x = x 1 + x 2 , x 1 ∈ L 1 , x 2 ∈ L 2 ն ϕ̃ 1 4ϕ 2 4x = ϕ̃ 1 4ϕ 2 4x 1 + x 2  = ϕ 2 4ϕ̃ 1 4x 1 + ϕ̃ 1 4ϕ 2 4x 2 = 0, քանի որ ϕ̃ 1 4x 1 = 0 ն ϕ 2 4x 2 : Սակայն fθ-ն ïարածության մինիմալ µաղմանդամն է, ուսïի ϕ̃ 1 θϕ 2 θ-ն µաժանվում է առանց մնացորդի fθ-ի վրաª ϕ̃ 1 θϕ 2 θ = ϕ 1 θϕ 2 θφθ ն

ϕ̃ 1 θ − ϕ 1 θφθϕ 2 θ = 0: Քանի որ ϕ 2 θ ղրոյական չէ, աåա ϕ̃ 1 θ = ϕ 1 θφθ ն ϕ̃ 1 θ-ն µաժանվում է առանց մնացորդի ϕ 1 θ-ի վրա: Ուսïի, ϕ 1 θ-ն L 1 -ի մինիմալ µաղմանդամն է: Նմանաåես ϕ 2 θ-ն L 2 -ի մինիմալ µաղմանդամն է: Թեորեմն աåացուցված է:

Տարածությանը ïրոՀումը ցիկլիկ ենթաïարածությունների, որոնց մինիմալ µաղմանդամներն անվերածելի µաղմանդամների ասïիճաններ են Թեորեմ 17. Փծային ïարածությունը ցիկլիկ է միայն ն միայն այն դեåքում, երµ նրա մինիմալ µաղմանդամի ասïիճանը Հավասար է նրա չափին: Աåացույց.

Դիցուք մինիմալ µաղմանդամի ասïիճանը ո է, իսկ

ïարածության չափըª ո: Եթե ո = ո, աåա 6. 46. . . . . 4 ո−1 6 Համակարդը (որïեղ 6-ն այն ïարրն է, որի մինիմալ µաղմանդամը դա ïարածության մինիմալ µաղմանդամն է) ïարածության µաղիսն է: Ուսïի, ïարածությունը ցիկլիկ է: Եթե ïարածությունը ցիկլիկ է, աåա այն ունի ծնիչª 6 ն 6. 46. . . . . 4 ո−1 6 Համակարդը ïարածության µաղիսն է: Գարղ է, որ 6-ի մինիմալ µաղմանդամի ասïիճանը առնվաղն ո է: Մյուս կողմից ակնՀայï

է,

որ

ïարրի

մինիմալ

µաղմանդամի

ասïիճանը

ïարածության չափից մեծ չէ, ուրեմնª ո = ո:

Հեïնանք. Եթե

fθ-ն

ցիկլիկ ո-չափանի դծային ïարածության

մինիմալ µաղմանդամն է, աåա օåերաïորի µնութադրիչ µաղմանդամը Հավասար է −1 ո fθ: Աåացույց. Համաձայն Թեորեմ 17-ի, d6g fθ = ո: Մյուս կողմից, եթե Համաձայն Թեորեմ 15-ի ïրոՀենք ïարածությունը ցիկլիկ ենթաïարածություններիª L = L 1 +̇ L 2 +̇. . . +̇L k , աåա կսïանանք, որ այդ ïարածությունների մինիմալ µաղմանդամների արïադրյալըª ψ 1 θ. . . ψ k θ Հավասար է −1 ո դործակցի ճշïությամµ µնութադրիչ µաղմանդամին: Քանի որ այդ մինիմալ µաղմանդամների մեջ է նան ïարածության մինիմալ µաղմանդամըª ψ 1 θ = fθ, որի ասïիճանը Հավասար է վերը նշված արïադրյալի ասïիճանին, աåա, µացի fθ-ից, մնացած µաղմանդամները Հասïաïուն են ն Համաåաïասխան ենթաïարածությունները ղրոյական են: Այսինքնª k = 1, L = L 1 ն −1 ո ψ 1 θ. . . ψ k θ = −1 ո fθ:

Թեորեմ 18. Եթե դծային ïարածությունը ցիկլիկ է ն ïրոՀված է ենթաïարածությունների, աåա այդ ենթաïարածությունները նս ցիկլիկ են ն նրանց մինիմալ µաղմանդամները փոխադարձաµար åարղ են: Փոխադարձաµար åարղ մինիմալ µաղմանդամներով ցիկլիկ ենթաïարածությունների ուղիղ դումարը ցիկլիկ ենթաïարածություն է: Աåացույց. Նախ աåացուցենք թեորեմի առաջին մասը: Դիցուք L ցիկլիկ ïարածությունը ïրոՀված է ենթաïարածությունների

L = L 1 +̇ L 2 +̇. . . +̇L k , dոո L = ո, dոո L i = ո i , i = 1. 2. . . . . k: Նշանակենք ψθ-ով L-ի մինիմալ µաղմանդամը, d6g ψθ = ո. ն ψ i θ-ով L i -ի մինիմալ µաղմանդամը, d6g ψ i θ = ո i , i = 1. 2. . . . . k: Գարղ է, որª ո ≤ ո ն ո i ≤ ո i . i = 1. 2. . . . . k

(23)

Դյուրին է Համողվել, որ ψθ-ն ψ 1 θ. . . . . ψ k θ µաղմանդամների ամենափոքր ընդՀանուր µաղմաåաïիկն է: Իսկաåես, ψθ-ն åեïք է µաժանվի յուրաքանչյուր ψ i θ-ի վրա ն µոլոր µաղմանդամները նորմավորված են, ուսïի ïարածության մինիմալ µաղմանդամը ψ 1 θ. . . . . ψ k θ

µաղմանդամների

ամենափոքր

ընդՀանուր

µաղմաåաïիկն է: Ուրեմնª ո ≤ ո 1 +. . . +ո k ն ո = ո 1 +. . . +ո k միայն այն դեåքում, երµ ψ 1 θ. . . . . ψ k θ µաղմանդամները փոխադարձաµար åարղ են: Գարղ է, որª ո ≤ ո 1 +. . . +ո k ≤ ո 1 +. . . +ո k = ո

(24)

Քանի որ L-ը ցիկլիկ է, աåա ո = ո ն (24)-ում µոլոր ïեղերում Հավասարություն ïեղի ունի: (23)-ից Հեïնում է, որ ո i = ո i . i = 1. 2. . . . . k , ուսïի µոլոր L i -րը ցիկլիկ են ն ψ 1 θ. . . . . ψ k θ µաղմանդամները փոխադարձաµար åարղ են: Աåացուցենք

թեորեմի

երկրորդ

մասը:

Ունենքª

ոi = ոi,

i = 1. 2. . . . . k ն ո = ո 1 +. . . +ո k , ուսïիª ո = ո 1 +. . . +ո k = ո 1 +. . . +ո k = ո ն ïարածությունը ցիկլիկ է:

Թեորեմ 19. Տարածությունը չի կարելի ïրոՀել ինվարիանï ենթաïարածությունների միայն ն միայն այն դեåքում,

երµ այն ցիկլիկ է ն նրա մինիմալ µաղմանդամն անվերածելի µաղմանդամի ասïիճան է: Աåացույց.

Եթե ïարածությունը ցիկլիկ է, նրա մինիմալ

µաղմանդամն

անվերածելի

µաղմանդամի

ասïիճան

է

ն

ïարածությունը ïրոՀված է ենթաïարածությունների, որոնց քանակը մեկից ավելին է, աåա Համաձայն Թեորեմ 18-ի այդ ենթաïարածությունների մինիմալ µաղմանդամները փոխադարձաµար åարղ

են

ն

ïարածության

փոխադարձաµար

մինիմալ

µաղմանդամը

այդ

åարղ µաղմանդամների արïադրյալն է: Սա

Հակասում է այն µանին, որ ïարածության մինիմալ µաղմանդամն անվերածելի µաղմանդամի ասïիճան է: Եթե

ïարածության

µաղմանդամի

մինիմալ

ասïիճան

փոխադարձաµար

åարղ

չէ,

µաղմանդամն

աåա

այն

µաղմանդամների

անվերածելի

առնվաղն

արïադրյալ

դեåքում ïարածությունը կարելի է ïրոՀել ïարածություններիª Համաձայն Թեորեմ 16-ի:

երկու է:

Այդ

ինվարիանï

Եթե ïարածությունը ցիկլիկ չէ, աåա այն կարելի է ïրոՀել մեկից ավելի ցիկլիկ ենթաïարածություններիª ըսï Թեորեմ 15-ի: Թեորեմն աåացուցված է: Դիցուք

L

դծային

ïարածությունը

ïրոՀված

է

ցիկլիկ ենթաïարածությունների Համաձայն Թեորեմ 15-իª L = L 1 +̇. . . +̇L k , ψ 1 θ. . . . . ψ k θ µաղմանդամները Համաåաïասխան մինիմալ µաղմանդամներն են, որոնց Համար ψ i+1 θ-ն ψ i θ-ի µաժանարարն է, i = 1. 2. . . . . k − 1: արïադրիչներիª

Վերածենք

այդ

µաղմանդամները

անվերածելի

α

ψ 1 θ = ϕ α1 1 θϕ 2α 2 θ. . . ϕ 2 2 θ β

β

β

ψ 2 θ = ϕ 1 1 θϕ 2 2 θ. . . ϕ 2 2 θ ⋮ 

ψ k θ = ϕ 1 1 θϕ 22 θ. . . ϕ 22 θ α j ≥ β j ≥. . . ≥  j . j = 1. 2. . . . . 2 Այժմ Համաձայն Թեորեմ 16-ի կïրոՀենք L 1 -ը ինվարիանï ենթաïարածությունների, որոնք կլինեն ցիկլիկ ն նրանց մինիմալ α µաղմանդամները կլինեն ϕ 1α 1 θ-ը, ϕ 2α 2 θ-ը ...ϕ 2 2 θ-ը: Նման ձնով կïրոՀենք մնացած L i -ները ն L ïարածությունը կïրոՀվի ցիկլիկ ենթաïարածությունների, որոնց մինիմալ µաղմանդամները կլինեն անվերածելի

µաղմանդամների

ասïիճաններ:

Այսåիսով

աåացուցեցինք Հեïնյալ թեորեմը.

Թեորեմ 20. Փծային ïարածությունը միշï կարելի է ïրոՀել ցիկլիկ ենթաïարածությունների, որոնց մինիմալ µաղմանդամները կլինեն անվերածելի µաղմանդամների ասïիճաններ:

Փծային օåերաïորի մաïրիցի նորմալ ïեսքը 4 L  L դծային օåերաïոր է ն L-ը ïրոՀված է ինվարիանï ենթաïարածություններիª L = L 1 +̇. . . +̇L k , dոո L i = ո i , Դիցուք

i = 1. 2. . . . . k, k

dոո L = ո =

∑ ոi: i=1

Եթե E 1 . . . . . E k -ն Համաåաïասխանաµար L1. . . . . Lk ենթաïարածությունների µաղիսների ïարրերից կաղմված սյուներն են, աåաª E1

⋮

E =

Ek

ամµողջ L ïարածության µաղիսն է: Ինչåես դիïենք,

օåերïորի

ներկայացումը E µաղիսում ունի Հեïնյալ ïեսքըª 4=

⋱

4k

(25)

այսինքն օåերաïորի մաïրիցը ïրոՀված է µլոկերի որոնք, µացի անկյունադծային µլոկերից, ղրոյական են, իսկ անկյունադծայինները ո 1 . ո 2 . . . . . ո k չափանի 4 1 . 4 2 . . . . . 4 k մաïրիցներ ենª

օåերïորի

ներկայացումները E 1 . . . . . E k µաղիսներում Համաåաïասխանաµար: Դիցուք L-ը ïրոՀված է ցիկլիկ ենթաïարածությունների ըսï Թեորեմ 15-իª L = L 1 +̇ L 2 +̇. . . +̇L k

ն ψ 1 θ. . . . . ψ k θ-ն Համաåաïասխանաµար L 1 . . . . . L k -ի մինիմալ µաղմանդամներն են: Նկարադրենք (25) ներկայացման i-րդ անկյունադծային µլոկը, այսինքն 4 i մաïրիցը: L i ենթաïարածության մեջ ընïրենք 6 ïարրը, որի մինիմալ µաղմանդամը Համընկնում է ψ i θ-ի Հեï: Դիցուք ψ i θ = θ ո i + α i1 θ ո i −1 +. . . +α iո i −1 θ + α iո i : Գարղ է, որ 6. 46. . . . . 4 ո i −1 6 Համակարդը L i -ի µաղիսն է նª Ei

=

⋮

:

4 ո i −1 6

Գարղ է նան, որª 4 ոi 6

= −α i1 4 ո i −1 6 −. . . −α iո i −1 46 − α iո i 6:

Այժմ դïնենք օåերաïորի ներկայացումը կառուցենք 4 i մաïրիցը այնåես, որ որª

4E i

Ei

µաղիսում, այսինքն

= 4 i E i : Դյուրին է սïուդել,

4E i

4Հ6

=

=

⋮ 4 ո i −1 6 4 ոi 6

⋮

⋱

⋮

4 ո i −2 6

4 ո i −1 6

−α iո i −α iո i −1 −α iո i −2 −α iո i −Հ . . . −α i1 նª

4i =

⋮

(26)

⋱

−α iո i −α iո i −1 −α iո i −2 −α iո i −Հ . . . −α i1 Այսåիսով ª E1 E =

⋮ Ek

µաղիսում օåերաïորի մաïրիցի անկյունադծային µլոկերն (26) ïեսքի են: Այս դեåքում ասում են, որ մաïրիցը µերված է

առաջին

µնական նորմալ ïեսքի: ïեսքը

միակն

է

Մաïրիցի առաջին µնական նորմալ

անկյունադծային

µլոկերի

ïեղափոխության

ճշïությամµ: Դա անմիջաåես µխում է µնութադրիչ մաïրիցի Սմիթի

նորմալ ïեսքի միակությունից (Թեորեմ 13), որից Հեïնում է ψ 1 θ. . . . . ψ k θ միակությունը:

µաղմանդամների

(ինվարիանï

դործակիցների)

Համաձայն Թեորեմ 17-ի Հեïնանքի, 4 i մաïրիցի µնութադրիչ µաղմանդամը Հավասար էª d6t4 i − θE = −1 ո i ψ i θ: Ինչåես դիïենք, նանª k

d6t4 − θE =

∏−1 ո ψ i θ = −1 ո ψ 1 θ. . . ψ k θ: i

i=1

Նման ձնով, օդïվելով ïարածության ïրոՀումից, ըսï Թեորեմ 20-ի, կսïանանք մաïրիցների ներկայացման

երկրորդ µնական

նորմալ ïեսքը: Մաïրիցի առաջին կամ երկրորդ µնական ïեսքերը կառուցելու Համար µավական է Սմիթի նորմալ ïեսքի µերել օåերաïորի µնութադրիչ մաïրիցը ն սïանալ ինվարիանï դործակիցներըª ψ 1 θ. . . . . ψ k θ µաղմանդամները:

Մաïրիցի Ժորդանյան նորմալ ïեսքը Այժմ ենթադրենք, որ Ճ դաշïը, որի նկաïմամµ կառուված է L դծային ïարածությունը կոմåլեքս թվերի դաշïն է, այսինքնª Ճ = ℂ: Դիցուք 4 4 L  L դծային օåերաïոր է ն L դծային ïարածությունը ïրոՀված է ցիկլիկ ենթաïարածությունների, Համաձայն Թեորեմ 15-իª L = L 1 +̇. . . +̇L k , ψ 1 θ. . . . . ψ k θ µաղմանդամները Համաåաïասխան մինիմալ µաղմանդամներն են, որոնց Համար ψ i+1 θ-ն ψ i θ-ի µաժանարարն է, i = 1. 2. . . . . k − 1: Վերածենք այդ µաղմանդամները անվերածելի արïադրիչների, որոնք կլինեն դծային, քանի որ կոմåլեքս դաշïում µոլոր µաղմանդամները վերլուծվում են դծային արïադրիչներիª ψ 1 θ = θ − λ 1  α 1 θ − λ 2  α 2 . . . θ − λ 2  α 2 ψ 2 θ = θ − λ 1  β 1 θ − λ 2  β 2 . . . θ − λ 2  β 2 ⋮ ψ k θ = θ − λ 1   1 θ − λ 2   2 . . . θ − λ 2   2 α j ≥ β j ≥. . . ≥  j . j = 1. 2. . . . . 2 Այժմ, Համաձայն Թեորեմ 16-ի, կïրոՀենք L 1 -ը ինվարիանï ենթաïարածությունների, որոնք կլինեն ցիկլիկ ն նրանց մինիմալ µաղմանդամները կլինեն θ − λ 1  α 1 -ը, θ − λ 2  α 2 -ը, ...,θ − λ 2  α 2 -ը: Նման ձնով կïրոՀենք մնացած L i -ները ն L ïարածությունը կïրոՀվի ցիկլիկ ենթաïարածությունների, որոնց մինիմալ µաղմանդամները կլինեն անվերածելի µաղմանդամների ասïիճաններ: Այսåիսով, կսïանանք 4 օåերաïորի մաïրիցը երկրորդ µնական նորմալ ïեսքով: Փորձենք ավելի åարղեցնել այդ մաïրիցի ïեսքը: Փասïորեն մենք ունենք L ïարածության մի ïրոՀում ցիկլիկ ենթաïարածությունների L = L 1 +̇. . . +̇L ո , այնåիսին, որ ամեն մի L i -ի

մինիմալ µաղմանդամն ունի Հեïնյալ ïեսքըª θ − λ s , որïեղ λ ∈ Ճ: Դիցուք 6-ն L i -ի այն ïարրն է, որի մինիմալ µաղմանդամը θ − λ s -ն է: Կառուցենք L i -ի Հեïնյալ µաղիսըª 6. 4 − λI 6. . . . . 4 − λI  s−1 6: Սա իսկաåես µաղիս է, քանի որ դծորեն անկախ Համակարդ է (Հակառակ դեåքում կսïանայինք s-ից փոքր ասïիճանի վերացնող µաղմանդամ ): Նշանակենք 6 1 = 4 − λI  s−1 6, 6 2 = 4 − λI  s−2 6,...,6 s−1 = 4 − λI 6, 6s = 6 ն Ei

=

:

⋮ 6s

Գարղ է, որ 4 − λI 6 1 = 0 ն 46 2

46 1

= λ6 1 , 4 − λI 6 2 = 6 1 ն

= λ6 2 + 6 1 ,..., 4 − λI 6 s = 6 s−1 ն 46 s = λ6 s + 6 s−1 : Ուրեմնª

=

4E i

46 1

λ6 1

46 2

λ6 2 + 6 1 =

46 Հ

λ6 Հ + 6 2

⋮

⋮

46 s

λ6 s + 6 s−1

λ 0 …

1 λ …

0 1 …

6Հ

⋱ ⋱ ⋮

⋮

⋮

0 0 …

λ

=

= 4iEi

6s

Այսինքն, E i µաղիսում մաïրիցի µոլոր անկյունադծային ïարրերը Հավասար են λ-ի, անկյունադծին ղուդաՀեռ ներքնի շարքի ïարրերը մեկեր են, իսկ մնացած ïարրերըª ղրոներ: Այսåիսի մաïրիցը կոչվում

է

λ

սեփական

արժեքին

Ժորդանյան վանդակ

Համաåաïասխանող

s-րդ

կարդի

(մաïրիցի ïեսքից անմիջաåես երնում է,

որ λ-ն սեփական արժեք է): Մենք արդեն սïացել էինք, որ d6t4 − λE = −1 ո ψ 1 λ. . . ψ k λ,

ուսïի

λ1. . . . . λ2

թվերը

օåերաïորի µոլոր սեփական արժեքներն են ն λ i -ի åաïիկությունը Հավասար է α i + β i +. . . + i = ո i , i = 1. 2. . . . . 2 ն

∑ ո i = ո = dոո L: i=1

Ամեն մի λ i -ի 4 մաïրիցում կՀամաåաïասխանի մեկ α i -րդ կարդի Ժորդանյան վանդակ, մեկ β i -րդ կարդի Ժորդանյան վանդակ ... մեկ  i -րդ կարդի Ժորդանյան վանդակ: Բոլոր λ i -ին Համաåաïասխանող վանդակների կարդերի դումարը կլինի Հավասար ո i : Վերը

նկարադրված

մաïրիցը կոչվում է

Ժորդանյան

վանդակներից

µաղկացած

Ժորդանյան նորմալ ձնի մաïրից: Այսինքն,

կամայական 4 մաïրից կոմåլեքս թվերի դաշïում µերվում է Ժորդանյան նորմալ ïեսքիª կդïնվի T չվերասերված անցման մաïրիցª այնåիսին, որ T −1 4T-ն Ժորդանյան նորմալ ïեսքի է: Մաïրիցի Ժորդանյան նորմալ ïեսքը միակն է վանդակների ïեղափոխության

ճշïությամµ:

Դա

անմիջաåես

Հեïնում

է

ինվարիանï դործակիցների ն ïարածության մինիմալ µաղմանդամի միակությունից: Նկաïենք, որ s-րդ կարդի Ժորդանյան վանդակը կարելի է դրել Հեïնյալ կերå.

λE s + H s որïեղ E s -ը միավոր s չափանի մաïրիցն է, իսկ H s -ը այսåես կոչված "ïեղաշարժի" s չափանի մաïրիցն է ª 0 0 …

1 0 …

0 1 …

⋮

⋱

0 0 …

Դյուրին է սïուդել, որ H 2s մաïրիցում մեկերի շարքը ïեղաշարժված է մի շարք ներքն H s -ի Համեմաï, H Հs -ում ª երկու շարք ն այլն: Հեïնաµարª rճոkH 2s  =

ումÙւորսÙ.

s − 2. երµ 0 < 2 ≤ s 0. երµ 2 > s

:

4 L  L դծային օåերաïորի միջուկի չափը կոչվում

է օåերաïորի դեֆեկï ն նշանակվում էª d6f4: Գարղ է, որ d6f4 = dոո L − rճոk4 (ïես Թեորեմ 6-ը): Քանի որ օåերաïորի ռանդը Համընկնում է օåերաïորը ներկայացնող մաïրիցի ռանդի Հեï, աåա կարող ենք սաՀմանել նան ո-չափանի 4 մաïրիցի դեֆեկïը որåեսª d6f4 = ո − rճոk4: Տեղաշարժի մաïրիցի Համար կսïանանքª

d6fH 2s 

Դիցուք

2. երµ 0 ≤ 2 ≤ s

=

:

s. երµ 2 > s

4 L  L դծային օåերաïորը ներկայացված է 4

մաïրիցով, dոո L = ո ն λ 1 . . . . . λ ո -ը օåերաïորի µոլոր սեփական արժեքներն են, որոնց åաïիկությունները Համաåաïասխանաµար ո

k 1 . . . . . k ո թվերն են: Գարղ է, որ ∑ k i = ո: i=1

2

2

Նշանակենք d s -ով d6f4 − λ s E 2 -ն, μ s -ով λ s սեփական արժեքին Համաåաïասխանող 2-չափանի Ժորդանյան վանդակների քանակը 4-ի Ժորդանյան նորմալ ձնի մաïրիցում ն, վերջաåես, μ s -ով λ s սեփական

արժեքին

Համաåաïասխանող

µոլոր

Ժորդանյան

վանդակների քանակը 4-ի Ժորդանյան նորմալ ձնի մաïրիցում: ks

2

0

ԱկնՀայï է, որ μ s = ∑ μ s ն d s

= 0:

2=1

Թեորեմ 21. ո

μs

ո

= 2d s

ո+1

− ds

ո−1

− ds

Աåացույց. Հաշվենք 4 − λ s E ո մաïրիցի դեֆեկïը երµ ո > 0: Նշանակենք --ով 4 մաïրիցի Ժորդանյան ïեսքի մաïրիցը: Ուսïի, դոյություն ունի T անցման մաïրիցը, որի Համար - = T −1 4T: Հեïնաµար,

- − λ s E = T −1 4 − λ s ET

- − λ s E ո = T −1 4 − λ s E ո T: Թեորեմ

ն

8-ից սïանում ենք, որ ո

d6f- − λ s E ո = d6f4 − λ s E ո : Ուսïի, d s

= d6f- − λ s E ո : Դյուրին

է Համողվել, որ - − λ s E ո մաïրիցի դեֆեկïը Հավասար է նրա անկյունադծային µլոկերիª Ժորդանյան վանդակների դեֆեկïների դումարին, իսկ անկյունադծային µլոկերը - − λ s E-ի անկյունադծային

µլոկերի ո-րդ ասïիճաններն են: Ամեն մի Ժորդանյան վանդակ - − λ s E մաïրիցում, որը Համաåաïասխանում է որնէ λ i սեփական արժեքի ունի Հեïնյալ ïեսքը λi − λs

…

λi − λs …

…

⋮

⋱ ⋱

…

λi − λs

ուսïի, երµ i ≠ s այդ վանդակի դեֆեկïը ղրո է, իսկ i = s դեåքում այդ վանդակը Համընկնում է Համաåաïասխան ïեղաշարժի H λ s -ին մաïրիցի Հեï: Եթե նշանակենք 2 1 . . . . . 2 μ s -ով Համաåաïասխանող Ժորդանյան վանդակների չափերը - մաïրիցում, μs

աåա ∑ 2 i = k s ն i=1

μs

ո ds

= d6f- − λ s E ո =

∑ d6fH ո2

i

i=1

Փիïենք, որª

d6fH gf 

=

g. երµ 0 ≤ g ≤ f f. երµ g > f

:

Ուսïի, եթե g ≥ 1, աåաª d6fH g2 i =

d6fH g−1 2 i + 1. երµ 0 ≤ g − 1 < 2 i d6fH g−1 2 i . երµ g − 1 ≥ 2 i

ն

μs

g ds

=

∑

μs

d6fH g2 i

=

∑

μs

d6fH g−1 2i

+

i=1

i=1

g−1

∑

j μs

g−1 ds

=

+ μs − ∑ μs

i

i=1

j=1 0≤g−1<j

Տեղադրենք (27)-ի մեջ g = ո + 1 ն g = ո, կսïանանքª ո+1 ds

=

ո ds

ո

+ μs − ∑ μs

i

i=1 ո ds

=

ո−1 ds

ո−1

+ μs − ∑ μs

i

i=1

Երկրորդ Հավասարումից Հանենք առաջինը ն կսïանանք թեորեմի åնդումը: Թեորեմն աåացուցված է: Այսåիսով, Թեորեմ 21-ի օդնությամµ կարելի է կառուցել 4 մաïրիցի Ժորդանյան վանդակները ն, ուսïի, Ժորդանյան նորմալ ձնը (իՀարկե, եթե դïնված են µոլոր սեփական արժեքները ն նրանց åաïիկությունները): Եթե Հարկավոր է դïնել նան Ժորդանյան µաղիսին անցման մաïրիցըª T-ն, աåա այն դïնվում է T- = 4T åայմանից, որն իրենից ներկայացնում է դծային Հավասարումների Համակարդ, անՀայïներ:

եթե

T

մաïրիցի

ïարրերը

դիïարկենք

որåես

Օրինակ Կառուցենք Հեïնյալ մաïրիցի Ժորդանյան նորմալ ïեսքը, կառուցելով դրա µնութադրիչ մաïրիցի Սմիթի նորմալ ïեսքըª

(27)

4=

−1

−1 0 −1

Կառուցենք մաïրիցի µնութադրիչ մաïրիցըª

4 − θE =

2−θ

−1

1−θ

−1

−θ

−1

2−θ

ն Համաձայն Թեորեմ 11-ի Սմիթի նորմալ ïեսքըª 1 0

0 1

0 0 θ − 1 0 0 Հեïնաµար,

θ − 1 2 θ − 2

ինվարիանï

դործակիցներն

ենª

ψ 1 θ = θ − 1 2 θ − 2 ն ψ 2 θ = θ − 1: Այս µաղմանդամների յուրաքանչյուր անվերածելի (ïվյալ դեåքում դծային) արïադրիչին Համաåաïասխանում է մեկ Ժորդանյան վանդակª θ − 1 2 -ին λ = 1 սեփական

արժեքին

Համաåաïասխանող

մեկ

Հաï

2-չափանի

վանդակ, θ − 2-ինª λ = 2 սեփական արժեքին Համաåաïասխանող մեկ Հաï 1-չափանի վանդակ ն θ − 1-ին λ = 1 սեփական արժեքին Համաåաïասխանող մեկ Հաï 1-չափանի վանդակ: Ուսïի, մաïրիցի Ժորդանյան նորմալ ïեսքը Հեïնյալն է ª

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 Կառուցենք այժմ նույն մաïրիցի Ժորդանյան նորմալ ïեսքը, ո

օդïվելով Թեորեմ 21-ի μ s

ո

= 2d s

ո+1

− ds

ո−1

− ds

µանաձնից:

Տեսանք, որ մաïրիցի սեփական արժեքներն ենª λ = 1, որի åաïիկությունը Հավասար է Հ-ի ն λ = 2, որի åաïիկությունը Հավասար է 1-ի: Կաղմենք 4 − E մաïրիցը ն Հաշվենք դրա ասïիճաններըª

4−E =

−1

−1 −1 −1

4 − E 2 = 4 − E Հ =

0 0 0

−1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

Դյուրին է ïեսնել, որª rճոk4 − E = 2 ն rճոk4 − E 2 = 4 − E Հ = 1, ուսïիª d 1 = 4 − 2 = 2, d 2 = d Հ = 4 − 1 = Հ: Սïանում ենք, որª μ 1 = 2d 1 − d 0 − d 2 = 2 × 2 − 0 − Հ = 1

ն μ 2 = 2d 2 − d 1 − d Հ = 2 × Հ − 2 − Հ = 1: Քանի

μ 1 + 2μ 2 = 1 + 2 = Հ

որ

Հավասար

է

λ = 1-ի

åաïիկությանը, աåա Ժորդանյան նորմալ ïեսքում կան λ = 1 սեփական արժեքին Համաåաïասխանող մեկ Հաï 1-չափանի վանդակ ն մեկ Հաï 2-չափանի վանդակ: Կաղմենք 4 − 2E մաïրիցը ն Հաշվենք դրա ասïիճաններըª 4 − 2E =

4 − 2E 2 =

−1 −1

−1 −2 −1

Հ

−1 −2 −2 −1 Գարղ է, որª rճոk4 − 2E = Հ ն rճոk4 − 2E 2 = Հ, ուսïի d 1 = 4 − Հ = 1, d 2 = 4 − Հ = 1: Սïանում ենք, որª μ 1 = 2d 1 − d 0 − d 2 = 2 × 1 − 0 − 1 = 1 ն μ 2 = 2d 2 − d 1 − d Հ = 2 × 1 − 1 − 1 = 0: Ուրեմն, Ժորդանյան նորմալ ïեսքում կա λ = 2 սեփական արժեքին

Համաåաïասխանող մեկ Հաï 1-չափանի վանդակ: Դա Համընկնում է այդ սեփական արժեքի åաïիկության Հեï: Ուրեմն, մաïրիցի Ժորդանյան ïեսքը Հեïնյալն էª 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1

Մաïրիցի Ժորդանյան նորմալ ïեսքն իրական թվերի դաշïի դեåքում Երµ Հիմնական դաշïը, որի նկաïմամµ է սաՀմանված L դծային ïարածությունը, իրական թվերի դաշïն է, այսինքն, Ճ = R, դծային օåերաïորի մաïրիցը ընդՀանուր դեåքում չի կարելի µերել եռանկյունաձն ն, ուսïի, Ժորդանյան նորմալ ïեսքի, սակայն միշï կարելի է կառուցել մի µաղիս, որում մաïրիցը կունենա µավականին åարղ ïեսք, որը Համարվում է Ժորդանյան նորմալ ïեսքի անալոդն իրական թվերի դաշïի Համար: Դիցուք Ճ = R, 4 4 L  L դծային օåերաïոր է, L-ը ïրոՀված է ինվարիանï ցիկլիկ ենթաïարածությունների ըսï Թեորեմ 20-ի ն ամեն մի ենթաïարածության մինիմալ µաղմանդամն անվերածելի µաղմանդամի ասïիճան է: Իրական թվերի դաշïի նկաïմամµ անվերածելի µաղմանդամներն են դծային µաղմանդամները ն քառակուսային այն µաղմանդամները, որոնց դիսկրիմինանïը µացասական է: Ուսïի, L-ի ïրոՀման ենթաïարածությունների մինիմալ µաղմանդամները կարող են ունենալ Հեïնյալ երկու ïեսքերից մեկըª θ − λ s , որïեղ λ ∈ Ճ. կամ էլ θ − σ 2 + τ 2  s , որïեղ σ-ն ն τ-ն իրական թվեր են, ընդ որում τ > 0: Առաջին դեåքում, երµ մինիմալ µաղմանդամը θ − λ s -ն է, քանի որ λ-ն իրական է, աåա ïվյալ ենթաïարածությանը կՀամաåաïասխանեն Ժորդանյան վանդակներ: Երկրորդ դեåքում Ժորդանյան վանդակներ չի կարելի կառուցել ն մենք կվարվենք այլ կերå: Ուրեմն դիցուք ïրված է M ցիկլիկ ենթաïարածությունը, որը մասնակցում է L-ի ïրոՀմանը ն որի մինիմալ µաղմանդամն է θ − σ 2 + τ 2  2 -ը, որïեղ σ-ն ն τ-ն իրական թվեր են, ընդ որում τ > 0: Քանի որ M-ը ինվարիանï է

4-ի

նկաïմամµ, աåա

4-ն

նույնåես դծային օåերաïոր է M-ի վրաª 4 4 M  M: Դիïարկենք որåես 8

4 M  M դծային օåերաïորը, որը սաՀմանվում է

= 4 − σI,

որïեղ I-ն նույնաµար օåերաïորն է: Գարղ է, որ 8-ի

նկաïմամµ M ենթաïարածության մինիմալ µաղմանդամը կլինի θ 2 + τ 2  2 µաղմանդամը: Եթե 4 մաïրիցը ներկայացնում է 4-ն որնէ µաղիսում, աåա 4 − σE մաïրիցը ներկայացնում է 8-ն: Ուսïի, եթե կառուցենք

8-ի

որնէ åարղ ներկայացում

Հեշïությամµ դրանից կանցնենք µանաձնով:

4-ի

8 մաïրիցով, աåա

ներկայացմանը 4 = 8 + σE

Այսåիսով, փորձենք դïնել Ժորդանյան վանդակների անալոդը

օåերաïորի մաïրիցի Համար: Կրկնենք, որ

4 M  M, dոո M = ո ն մինիմալ µաղմանդամն է

θ 2 + τ 2  2 µաղմանդամը, որïեղ τ > 0: üիքսենք որնէ µաղիսª 6 1 . . . . . 6 ո ն դրանով իսկ սաՀմանենք M-ի ն V ո R = α 1 . . . . . α ո  ∣ α j ∈ R. j = 1. 2. . . . . ո-ի միջն իղոմորֆիղմ. M-ի կամայական x ïարրին կՀամաåաïասխանի 61. . . . . 6ո

µաղիսում

x = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո

նրա

ներկայացման

կորդինաïային վեկïորը α 1 . . . . . α ո -ը: Բաղիսային 6 j ïարրին կՀամաåաïասխանի 0. 0. . . . . 0.

1 . 0. . . . . 0  j-րդ ïեղը

վեկïորը: Գարղ է, որ V ո R ⊆ V ո ℂ = α 1 . . . . . α ո  ∣ α j ∈ ℂ. j = 1. 2. . . . . ո: Դյուրին է նկաïել, որ 6 1 . . . . . 6 ո ïարրերին Համաåաïասխանող վեկïորները V ո R-ում դծորեն անկախ են նան V ո ℂ-ում ն կաղմում են µաղիս: Ուսïի, մենք կարող ենք ընդլայնել M-ը մինչն մի դծային ïարածություն ℂ-ի նկաïմամµ Հեïնյալ կերå: üորմալ ձնով

ավելացնենք M-ին µոլոր α6 j արïադրյալները, որïեղ α ∈ ℂ, ն կաղմենք սïացված µաղմության դծային թաղանթը ℂ-ի նկաïմամµ: Կսïանանք Հեïնյալ µաղմությունըª ̃ = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո ∣ α j ∈ ℂ. j = 1. 2. . . . . ո, M որը Հանդիսանում է դծային ïարածություն ℂ-ի նկաïմամµ ն ̃ = ո: Եթե α 1 . . . . . α ո -ը իրական են, իղոմորֆ է V ո ℂ-ին, ուսïի dոո M ̃ աåա α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո ∈ M: Գարղ է, որ իմասï ունի խոսել M ïարածության ïարրի Համալուծի մասինª եթե ̃, x = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո ∈ M աåա x̄ = ᾱ 1 6 1 +. . . +ᾱ ո 6 ո : Եթե x = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո ∈ M, աåա x = x̄ : Նկաïենք, որ 6 j µաղիսային ïարրի կորդինաïներն ենª 0. 0. . . . . 0.

1 . 0. . . . . 0  j-րդ ïեղը

ն իսկաåես 6 j = ē j : ̃ վրա: օåերաïորի դործողությունը ամµողջ M ̃ M ̃ , որը դործում Նշանակենք 8̃ -ով ընդլայնված օåերաïորըª 8̃ 4 M ̃, է Հեïնյալ կերåª եթե x = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո ∈ M աåա Այժմ ïարածենք

8̃ x

̃ -ի = α 1 86 1 +. . . +α ո 86 ո : ԱկնՀայï է, որ 8̃ -ն դծային օåերաïոր է M

վրա ℂ դաշïի նկաïմամµ ն 8̃ -ի սաՀմանափակումը M վրա Համընկնում է 8-ի Հեï: Նոր օåերաïորի Համար θ 2 + τ 2  2 µաղմանդամը կլինի վերացնող: Իսկաåես, 8̃ 2 + τ 2 I 2 x = քանի

որ

6 j ∈ M:

ո

ո

k=1

k=1

∑ α k 8̃ 2 + τ 2 I 2 6 k = ∑ α k 8 2 + τ 2 I 2 6 k , ԱկնՀայï

է,

որ

8 2 + τ 2 I 2 6 j = 0,

ուսïի

8̃ 2 + τ 2 I 2 x = 0: Իրականում, θ 2 + τ 2  2 µաղմանդամը կլինի մինիմալ 8̃ -ի

Համար: Իսկաåես, դիցուք hθ = θ − iτ s θ + iτ t µաղմանդամը

θ 2 + τ 2  2 = θ − iτ 2 θ + iτ 2 µաղմանդամի սեփական µաժանարարն

է (այսինքն s + t < 22) ն վերացնող է 8̃ -ի Համար: Դյուրին է ïեսնել, որ hθ = h 1 θ + ih 2 θ, որïեղ h 1 θ ն h 2 θ µաղմանդամներից առնվաղն մեկը ղրոյական չէ: Նշանակենք 6-ով M-ի այն ïարրը, որի մինիմալ µաղմանդամը Համընկնում է ամµողջ ïարածության մինիմալ µաղմանդամիª θ 2 + τ 2  2 Հեï: ԱկնՀայï է, որ 0 = h8̃ 6 = h 1 8̃ 6 + ih 2 8̃ 6 = h 1 86 + ih 2 86 ն h 1 86 = h 2 86 = 0: Քանի որ d6g h 1 θ. d6g h 2 θ ≤ d6g hθ < 22, աåա 6-ի Համար սïանում ենք իրական դործակիցներով վերացնող µաղմանդամ, որի ասïիճանը փոքր է 22-ից, ինչն անՀնար է: Քանի

որ

µաղմանդամը

θ 2 + τ 2  2 = θ − iτ 2 θ + iτ 2 , ներկայացված

է

աåա

փոխադարձաµար

մինիմալ åարղ

µաղմանդամների արïադրյալի ïեսքով (այսուՀեïն i-ն կօդïադործենք µացառաåես կեղծ միավորը նշանակելու Համար): ̃ -ը երկու ինվարիանï (åարղ է, Կիրառենք Թեորեմ 16-ը ն ïրոՀենք M որ ցիկլիկ) ենթաïարածությունների, որոնց մինիմալ µաղմանդամներն ̃ = L − +̇ L + ն θ − iτ 2 -ը ենª θ − iτ 2 ն θ + iτ 2 : Կսïանանք M մինիմալ է L − -ի Համար, իսկ θ + iτ 2 -ըª L + -ի: Տեղի ունի Հեïնյալ Հաïկությունըª 8̃ − iτI 2 x = 0  x ∈ L − 8̃ + iτI 2 x = 0  x ∈ L + Իսկաåես, x ∈ L −  8̃ − iτI 2 x = 0 ն x ∈ L +  8̃ + iτI 2 x = 0 Հեïնում են θ − iτ 2 ն θ + iτ 2 µաղմանդամների մինիմալությունից: Քանի որ θ − iτ 2 ն θ + iτ 2 µաղմանդամները փոխադարձաµար åարղ են, աåա կդïնվեն φ 1 θ ն φ 2 θ ∈ ℂθ, որª

(28)

1 = φ 1 θθ − iτ 2 + φ 2 θθ + iτ 2 ն, ուսïի, I

Դիցուք

= φ 1 8̃ 8̃ − iτI 2 + φ 2 8̃ 8̃ + iτI 2 :

̃ x = x− + x+ ∈ M

,

որïեղ

x− ∈ L−. x+ ∈ L+

ն

8̃ − iτI 2 x = 0, աåաª 0 = 8̃ − iτI 2 x =8̃ − iτI 2 x − +8̃ − iτI 2 x + = 8̃ − iτI 2 x + : =0

Մյուս կողմիցª x + = Ix + = φ 1 8̃ 8̃ − iτI 2 x + + φ 2 8̃ 8̃ + iτI 2 x + = 0, ուրեմն, x = x − ն x ∈ L − : Այսինքն աåացուցեցինք, որª 8̃ − iτI 2 x = 0  x ∈ L − : Նման ձնով կսïանանքª աåացուցված է: Հեշï է

8̃ + iτI 2 x = 0  x ∈ L +

ն

(28)-ը

նկաïել, որ 8̃ − iτI 2 x = 0 Հավասարման մեջ անցնելով

Համալուծ ïարրերին սïանում ենք 8̃ + iτI 2 x̄ = 0 åայմանը ն Հակառակըª 8̃ + iτI 2 x = 0 åայմանից 8̃ − iτI 2 x̄ = 0 åայմանը: Այսինքն x ∈ L −  x̄ ∈ L + սïանում ենք, որª

ն dոո L − = dոո L + = ո: Անմիջաåես

̃ = dոո L − + dոո L + = 2ո, ո = dոո M ̃ -ի չափը ղույդ թիվ է: այսինքն M Կառուցենք L − ïարածության Ժորդանյան µաղիսըª d 1 . . . . . d ո , որի Համար ïեղի ունիª

8̃ d 1

= iτd 1

= iτd 2 + d 1

8̃ d 2

⋮ 8̃ d j

= iτd j + d j−1 ⋮

8̃ d ո

= iτd ո + d ո−1

Գարղ է, որ L + -ի Ժորդանյան µաղիսը դա L − -ի Ժորդանյան µաղիսի Համալուծն էª d̄ 1 . . . . . d̄ ո , որի Համար ïեղի ունիª ̄1 8̃ d

= −iτd̄ 1 ̄ 2 = −iτd̄ 2 + d̄ 1 8̃ d ⋮ ̄j 8̃ d

= −iτd̄ j + d̄ j−1 ⋮

̄ո 8̃ d

= −iτd̄ ո + d̄ ո−1

ՍաՀմանենք M ïարածության ïարրերի Հեïնյալ Համակարդըª fj = gj =

d j + d̄ j  d j − d̄ j  2i

(29)

j = 1. 2. . . . . ո: ԱկնՀայï է, որ f j . g j ∈ M. j = 1. 2. . . . . ո : Հեշïությամµ կարելի է շրջել (29) µանաձներըª d j = f j + ig j d̄ j = f j − ig j j = 1. 2. . . . . ո: Սïացված (29) ն (30) µանաձներից Հեïնում է, որ d 1 . . . . . d ո . d̄ 1 . . . . . d̄ ո  ն f 1 . g 1 . f 2 . g 2 . . . . . f ո . g ո  Համակարդերի

(30)

դծային

̃ -ում M

թաղանթները

Համընկնում

են,

ուսïի

̃ -ի µաղիսն է կաղմված M-ի f 1 . g 1 . f 2 . g 2 . . . . . f ո . g ո  Համակարդը M (այսինքն իրական) ïարրերից: Տեսնենք այժմ, թե ինչ ïեսք ունի

8̃

օåերաïորի մաïրիցը f 1 . g 1 . f 2 . g 2 . . . . . f ո . g ո µաղիսում ª 1 ̃ 8d 1 + 8̃ d̄ 1  = 12 iτd 1 − iτd̄ 1  = −τ 2i1 d 1 − d̄ 1  = −τg 1 1 ̃ 8̃ g 1 = 2i 8d 1 − 8̃ d̄ 1  = 2i1 iτd 1 + iτd̄ 1  = τ 12 d 1 + d̄ 1  = τf 1 ̄ 2  = 1 iτd 2 − iτd̄ 2  + 1 d 1 + d̄ 1  = −τg 2 + f 1 8̃ f 2 = 12 8̃ d 2 + 8̃ d 1 ̃ 8d 2 − 8̃ d̄ 2  = 2i1 iτd 2 + iτd̄ 2  + 2i1 d 1 − d̄ 1  = τf 2 + g 1 8̃ g 2 = 2i

8̃ f 1

=

⋮ 8̃ f j

=

8̃ g j

=

1 ̃ 8d j + 8̃ d̄ j  = 12 iτd j − iτd̄ j  + 12 d j−1 + d̄ j−1  = −τg j 1 ̃ 8d j − 8̃ d̄ j  = 2i1 iτd j + iτd̄ j  + 2i1 d j−1 − d̄ j−1  = τf j 2i

⋮ ̄ ո  = 1 iτd ո − iτd̄ ո  + 8̃ f ո = 12 8̃ d ո + 8̃ d =

8̃ g ո

1 ̃ 8d ո 2i

− 8̃ d̄ ո  =

2i

+ g j−1

d ո−1 + d̄ ո−1  = −τg ո + f ո−1

iτd ո + iτd̄ ո  +

+ f j−1

2i

d ո−1 − d̄ ո−1  = τf ո + g ո−1

Այսինքնª 8̃ f 1

0 −τ 0

f1

8̃ g 1

τ

g1

8̃ f 2

0 −τ

f2

8̃ g 2

τ

g2

⋮ 8̃ f j

=

⋮

8̃ g j

⋮

⋮

⋱

0 −τ

fj

τ

gj

⋮

⋱

⋮

8̃ f ո

0 −τ

fո

8̃ g ո

τ

gո

Քանի որ մաïրիցի ïարրերը իրական թվեր են, ուսïի այն

ներկայացնում է նան 8 օåերաïորը M ïարածության վրա: Վերադառնալով 4 օåերաïորին ն Հաշվի առնելով, որ սïանում ենք մաïրիցի վերջնական ïեսքըª σ

−τ 0

τ

σ

σ

−τ

τ

σ

⋮

4 = 8 + σI

⋱

σ

−τ

τ

σ

⋮

⋱

σ

−τ

τ

σ

Այս մաïրիցը Հանդիսանում է Ժորդանյան վանդակի անալոդը ն կոչվում է իրական Ժորդանյան վանդակ:

Օրինակ Կառուցենքª −1 2 −1 −2 4=

−1 1

−1

−2

−1

մաïրիցի իրական Ժորդանյան ïեսքը: Դյուրին է Հաշվել մաïրիցի µնութադրիչ µաղմանդամի ïեսքըª θ 2 + 1 : Ուսïի, ïարածության մինիմալ µաղմանդամը կամ θ 2 + 1-ն

է, կամ էլ θ 2 + 1 2 -ն: Եթե θ 2 + 1-ը վերացնող է, աåա 4 2 + E = 0,

սակայն դա այդåես չէ: Որեմն, մինիմալ µաղմանդամը θ 2 + 1 2 -ն է: Այս µաղմանդամի Համար σ = 0, τ = 1, ուսïի իրական Ժորդանյան ïեսքը կլինի Հեïնյալըª 0 −1 0

0 −1

Ունիïար ն էվքլիդեսյան ïարածություններ ԱյսուՀեïն Հիմնական Ճ դաշïը կլինի կամ իրական թվերի դաշïըª R-ը, կամ էլ կոմåլեքս թվերի դաշïըª ℂ-ն: Դիցուք L-ը դծային ïարածություն է Ճ = ℂ դաշïի նկաïմամµ: α կոմåլեքս թվի Համալուծը կնշանակենք α-ով: Դիցուք 4-ն մաïրից է, որի ïարրերը կոմåլեքս թվեր են, 4 ∗ -ով կնշանակենք Համալուծ մաïրիցը, որը սïացվում է 4-ից այն շրջելով (ïրանսåոնացնելով) ն µոլոր թվերը Համալուծներով փոխարինելով: Իրական թվերի դեåքում Համալուծ մաïրիցը Համընկնում է շրջվածի Հեï: ումÙւորսÙ. Դիցուք ïրված է L × L  Ճ արïաåաïկերումը: Նշանակենք ճ. Ե ∈ L կարդավորված ղույդին Համաåաïասխանող թիվը ճ. Ե-ով: L × L  Ճ արïաåաïկերումը կոչվում է

սկալյար

արïադրյալ, եթե Չ.

ճ. Ե = Ե. ճ

4.

ճ + Ե. c = ճ. c + Ե. c

3.

λճ. Ե = λճ. Ե

ճ. ճ-ն իրական ճ. ճ = 0  ճ = 0 4.

թիվ

է

ն

ճ. ճ ≥ 0,

µաիի

այդ

Դյուրին է Համողվել, որ ճ. Ե + c = ճ. Ե + ճ. c: Իսկաåես, ճ. Ե + c = Ե + c. ճ = Ե. ճ + c. ճ = ճ. Ե + ճ. c: Նույն ձնով կսïանանքª ճ. λԵ = λԵ. ճ = λԵ. ճ = λճ. Ե:

Նան åարղ է, որ եթե ճ = 0 կամ Ե = 0, աåա ճ. Ե = 0: ՍաՀմանման

4-րդ

åայմանը

կոչվում

է

դրականորեն

որոշվածության åայման: Իրական թվերի դաշïի դեåքում սաՀմանումը կարïադրվի Հեïնյալ կերå.

սկալյար

Չ.

ճ. Ե = Ե. ճ

4.

ճ + Ե. c = ճ. c + Ե. c

3.

λճ. Ե = λճ. Ե

4.

ճ. ճ ≥ 0, µաիի այդ ճ. ճ = 0  ճ = 0

արïադրյալի

ումÙւորսÙ. L դծային ïարածությունը կոմåլեքս թվերի (իրական թվերի) նկաïմամµ կոչվում է

ունիïար (էվքլիդեսյան),

եթե այդ

ïարածության մեջ կարելի է սաՀմանել սկալյար արïադրյալ: Դիցուք L-ը ունիïար ïարածություն է, dոո L = ո ն E

=

⋮

-ն

6ո ïարածության µաղիսն է: Եթե x. y ∈ L, աåա x = ΛE ն y = ΥE, որïեղ Λ = λ 1 . . . . . λ ո  ն Υ = γ 1 . . . . . γ ո : Հաշվենք x. y սկալյար արïադրյալն օդïվելով նրա սաՀմանման 2 ն 3 åայմաններիցª ո

ΛE. ΥE = λ 1 6 1 +. . . +λ ո 6 ո . γ 1 6 1 +. . . +γ ո 6 ո  =

ո

∑ ∑ λ i γ j 6 i . 6 j : i=1 j=1

Նշանակենք 4-ով ո × ո չափանի մաïրիցը, որի i. j-րդ ïարրը 6 i . 6 j -ն է: Դյուրին է սïուդել, որ x. y = Λ4Υ ∗ : Էվքլիդեսյան ïարածության

Համարª x. y = Λ4Υ T : Փասïորեն սկալյար արïադրյալը Հաշվելու Համար µավական է իմանալ 6 i . 6 j  թվերըª 4 մաïրիցը: Այժմ փորձենք L ïարածության Համար սաՀմանել սկալյար արïադրյալ, օդïվելով x. y = Λ4Υ ∗ µանաձնից, ընïրելով 4 մաïրիցն այնåես, որ µավարարվեն սկալյար արïադրյալի 1 - 4 åայմանները: 4 մաïրիցի ïարրերը նշանակենք α ij նշաններով: ՍաՀմանենքª 6 i . 6 j  = α ij , i = 1. . . . . ո, j = 1. . . . . ո: Քանի որ Համաձայն 1 åայմանի 6 i . 6 j  = 6 j . 6 i , աåա α ij = α ji , այսինքն 4 = 4 ∗ : Այսåիսի մաïրիցը կոչվում

է

ինքնաՀամալուծ:

Այժմ

սաՀմանենք

սկալյար

արïադրյալը կամայական x. y ∈ L Համար Հեïնյալ կերå. x. y = Λ4Υ ∗ , որïեղ Λ-ն ն Υ-ն x-ի ն y-ի կորդինաïային վեկïորներն են E µաղիսում: Սïուդենք 1 - 4 åայմանները. Չ.

x. y = Λ4Υ ∗ = Υ4 ∗ Λ ∗  ∗ = Υ4Λ ∗  = y. x

4.

x + y. z = Λ + Υ4Ω ∗ = Λ4Ω ∗ + Υ4Ω ∗ = x. z + y. z

3.

λx. y = λ4Υ ∗ = λΛ4Υ ∗  = λx. y

Այսåիսով առաջին երեք åայմանները µավարարված են: Անցնենք վերջինª դրականորեն որոշվածության åայմանի սïուդմանը: Նախ Համողվենք, որ x. x-ը իրական թիվ է: Դա ակնՀայï է, քանի որ Համաձայն առաջին åայմանի x. x = x. x: Չորրորդ åայմանի մնացած åաՀանջները Հաïնյալն են. կամայական x-ի Համար x. x ≥ 0 ն x. x = 0  x = 0, այսինքնª Λ ≠ 0  Λ4Λ ∗ > 0 ն Λ4Λ ∗ = 0  Λ = 0 (31)

åայմանին

µավարարող

դրականորեն որոշված մաïրիցներ: Մենք աåացուցեցինք, որ

մաïրիցները

կոչվում

(31) են

սկալյար արïադրյալը ունիïար ïարածությունում ֆիքսված µաղիսի դեåքում միարժեքորեն որոշվում է ինքնաՀամալուծ, դրականորեն որոշված 4 մաïրիցով x. y = Λ4Υ ∗ µանաձնով, որïեղ Λ-ն ն Υ-ն x-ի ն y-ի կոորդինաïային վեկïորներն են E µաղիսում: Իրական

դաշïի

դեåքում

ինքնաՀամալուծության

åայմանը

փոխարինվում է սիմեïրիկության åայմանով:

ԻնքնաՀամալուծ ն դրականորեն որոշված մաïրիցի օրինակ է միավոր մաïրիցը: Իսկաåես ակնՀայï է, որ այն ինքնաՀամալուծ է: Աåա åարղ է, որ ΛEΛ ∗ = ΛΛ ∗ = λ 1 λ 1 +. . . +λ ո λ ո = |λ 1 | 2 +. . . +|λ ո | 2 ≥ 0 ն ΛΛ ∗ = 0  λ 1 =. . . = λ ո = 0  Λ = 0: Նկաïենք, որ այն դեåքում, երµ 4 = E միավոր մաïիցն է, սïանում ենքª x. y = ΛΥ ∗ = λ 1 υ 1 +. . . +λ ո υ ո (իրական թվերի դեåքում x. y = ΛΥ T = λ 1 υ 1 +. . . +λ ո υ ո ) Հայïնի µանաձները սկալյար արïադրյալի Համար, որոնք ինչåես åարղեցինք սկալյար արïադրյալ սաՀմանելու միակ µանաձները չեն: ԻնքնաՀամալուծ ն դրականորեն որոշված մաïրիցների µաղմաղանությունն անվերջ է: Դիïարկենք այդåիսի մաïրիցների կառուցման եղանակը: Դիցուք 8-ն մի քառակուսի մաïրից է կոմåլեքս թվերի դաշïի նկաïմամµ, որի Համար d6t 8 ≠ 0: Նշանակենքª 4 = 88 ∗ : Համողվենք, որ 4-ն ինքնաՀամալուծ է.

4 ∗ = 88 ∗  ∗ = 8 ∗  ∗ 8 ∗ = 88 ∗ = 4: Այժմ սïուդենք դրականորեն որոշվածությունը: Ունենք, որ Λ4Λ ∗ = Λ88 ∗ Λ ∗ = Λ8E8 ∗ Λ ∗  = Λ8EΛ8 ∗ : Եթե Λ ≠ 0, աåա Λ8 ≠ 0, քանի որ d6t 8 ≠ 0 ն λ 1 . . . . . λ ո անՀայïներով

Λ8 = 0

դծային

Համասեռ

Հավասարումների

Համակարդն ունի միակ Λ = 0 լուծումը: Ուսïիª Λ4Λ ∗ = Λ8EΛ8 ∗ ≥ 0, քանի որ միավոր մաïրիցը դրականորեն որոշված է: Նան, եթե Λ ≠ 0, աåաª Λ4Λ ∗ = Λ8EΛ8 ∗ > 0, քանի որ Λ8 ≠ 0 ն միավոր մաïրիցը դրականորեն որոշված է: ումÙւորսÙ. x ∈ L ïարրի ‖x‖ =

նորմ

(կամ

երկարություն) կոչվում է

x. x իրական թիվը:

ԱկնՀայï է, որ ‖x‖ ≥ 0 ն Հաïկությունից նորմն ունի Հաïկությունները. Չ.

‖λx‖ = |λ|‖x‖

4.

|x. y| ≤ ‖x‖‖y‖

‖x‖ = 0  x = 0: նան Հեïնյալ

Բացի այս Հիմնական

Առաջին Հաïկությունը սïուդվում է ուղղակիորենª ‖λx‖ = Երկրորդ

λx. λx =

Հաïկությունը

|λ| 2 x. x = |λ|‖x‖:

Հայïնի

է

որåես

Կոշի

-

Բունիակովսկու անՀավասարություն: Աåացուցենք այն: Ունենքª ‖x − λy‖ 2 = x − λy. x − λy ≥ 0,

(32)

որïեղ x. y ∈ L ն λ ∈ Ճ: Բացելով փակադծերը սïանում ենքª x. x − λy. x − λx. y + λλy. y ≥ 0: Երµ y = 0 Կոշի - Բունիակովսկու անՀավասարությունն ակնՀայïորեն µավարարված է, ուսïի դիïարկենք y ≠ 0 դեåքը ն (33)-ում x. y : Սïացվում է ª ընïրենք λ = y. y x. yx. y ≥0 y. y

x. x − ն, վերջաåես,

‖x‖ 2 ‖y‖ 2 = x. xy. y ≥ x. yx. y = |x. y| 2 : Դյուրին է սïուդել, որ (32)-ում ‖x − λy‖ 2 = 0  x = λy, ուսïի Կոշի Բունիակովսկու անՀավասարությունը դառնում է Հավասարություն միայն, եթե x = λy, այսինքնª x ն y ïարրերը դծորեն կախված են: Օդïվելով նորմից, կարելի է սաՀմանել ունիïար (էվքլիդեսյան) ïարածության ïարրերի միջն Հեռավորության դաղափարը որåես ρx. y = ‖x − y‖ ≥ 0: Հեռավորությունը µավարարում է Հեïնյալ սïանդարï åայմաններին. Չ.

ρx. x = 0

4.

ρx. y = ρy. x

3.

ρx. z ≤ ρx. y + ρy. z

Վերջին åայմանը եռանկյան անՀավասարությունն է: Այն Հեïնում է Կոշի - Բունիակովսկու անՀավասարությունից. ‖x − z‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y − z‖ անՀավասարությունը Համարժեք է x − z. x − z ≤

x − y. x − y + y − z. y − z

անՀավասարությանը, որն իր Հերթին Համարժեք էª

(33)

ճ + Ե. ճ + Ե ≤

ճ. ճ + Ե. Ե

անՀավասարությանը, որïեղ ճ = x − y, Ե = y − z: µարձրացնելով անՀավասարությունը սïանում ենքª

Քառակուսի

ճ + Ե. ճ + Ե ≤ ճ. ճ + Ե. Ե + 2 ճ. ճԵ. Ե , ճ. ճ + ճ. Ե + Ե. ճ + Ե. Ե ≤ ճ. ճ + Ե. Ե + 2 ճ. ճԵ. Ե ն Է6ճ. Ե ≤

ճ. ճԵ. Ե

(34)

որïեղ Է6-ն նշանակում է թվի իրական մասը: Բայց (34)-ը Հեշïությամµ Հեïնում է Կոշի Բունիակովսկու անՀավասարությունից, քանի որ ակնՀայïորեն Է6ճ. Ե ≤ |ճ. Ե| ≤

‖ճ‖ ‖Ե‖ :

|ճ. Ե| ն

Օրթոնորմալ µաղիսներ ումÙւորսÙ. Ունիïար ïարածության x ն y ïարրերը կոչվում են

օրթոդոնալ,

եթե x. y = 0: Օրթոդոնալությունը նշանակվում է

Հեïնյալ կերåª x ⊥ y: ՍաՀմանումից Հեïնում է, որ ղրոյական ïարրը Համարվում է օրթոդոնալ µոլոր ïարրերին: Սկալյար արïադրյալի դրականորեն որոշվածությունից սïացվում է, որ միայն ղրոյական ïարրն է ինքն իրեն օրթոդոնալ: Դիցուք 6 1 . . . . . 6 k ∈ L ունիïար ïարածությանը ն ոչ մի 6 i , i = 1. . . . . k, ղրոյական չէ: Աåացուցենք, որ եթե 6 1 . . . . . 6 k Համակարդի ïարրերը ղույդ առ ղույդ օրթոդոնալ են (այսինքնª i ≠ j  6 i . 6 j  = 0), աåա Համակարդը դծորեն անկախ է: Իրոք, եթե k

∑ λ i 6 i = 0, աåա սկալյար µաղմաåաïկելով Հավասարության երկու i=1

մասերը 6 j -ով կսïանանքª k

0=

∑ λi6i. 6j i=1

k

=

∑ λ i 6 i . 6 j  = λ j 6 j . 6 j : i=1

Բայցª 6 j . 6 j  > 0, ուրեմնª λ j = 0: Քանի որ j-ն կամայական է, աåա λ j = 0, j = 1. . . . . k: Համակարդը կոչվում է օրթոդոնալ , եթե i ≠ j  6 i . 6 j  = 0: Եթե ïրված է 6 1 . . . . . 6 ո օրթոդոնալ Համակարդը, որի ïարրերը ոչ ղրոյական են ն dոո L = ո, այդ Համակարդը ïարածության µաղիսն է: ումÙւորսÙ.

Ունիïար

ïարածության

µաղիսը

կոչվում

է

օրթոդոնալ, եթե այն օրթոդոնալ Համակարդ է, ն այն կոչվում նորմավորված, եթե նրա յուրաքանչյուր ïարրի նորմը Հավասար

է է

մեկի: Բաղիսը կոչվում է

օրթոնորմալ

կամ

օրթոնորմավորված,

եթե այն օրթոդոնալ է ն նորմավորված: Այսինքն օրթոնորմավորված 6 1 . . . . . 6 k Համակարդի Համար ունենքª 6 i . 6 j  =

1. եթե i = j 0. եթե i ≠ j

:

Գարղ է, որ x ն y ïարրերի, որոնց կորդինաïային վեկïորներն են λ 1 . . . . . λ ո -ը ն μ 1 . . . . . μ ո -ը ïրված µաղիսում, սկալյար արïադրյալը ïրվում է λ 1 μ 1 +. . . +λ ո μ ո µանաձնով միայն ն միայն այն դեåքում, երµ µաղիսը օրթոնորմալ է: Դյուրին է ïեսնել, որ եթե 6 1 . . . . . 6 k Համակարդում չկան ղրոյական ïարրեր, աåաª ‖6 1 ‖ −1 6 1 . . . . . ‖6 k ‖ −1 6 k Համակարդը նորմավորված է: Ուսïի, եթե ïրված է օրթոդոնալ µաղիս, աåա այն Հեշïությամµ կարելի է նորմավորել, քանի որ, եթե 6 1 . . . . . 6 k Համակարդն օրթոդոնալ է, աåա օրթոդոնալ է նան ‖6 1 ‖ −1 6 1 . . . . . ‖6 k ‖ −1 6 k Համակարդը: Օրթոնորմալ µաղիսները դեկարïյան ուղղանկյուն կորդինաïային Համակարդերի ընդՀանրացումն են µաղմաչափ ïարածությունների Համար:

Թեորեմ 22. Ունիïար ïարածությունում միշï դոյություն ունի

օրթոնորմալ µաղիս: Աåացույց. Վերցնենք որնէ µաղիսª 6 1 . . . . . 6 ո ն փորձենք ձնափոխել այն օրթոդոնալ µաղիսի: Դրանից Հեïո ակնՀայï ձնով կնորմավորենք սïացված µաղիսը ն թեորեմը կաåացուցվի: 6 1 . . . . . 6 ո µաղիսը կանվանենք Հին µաղիս: Կառուցենք նոր, օրթոդոնալ µաղիս, որի ïարրերը կնշանակենք d 1 . . . . . d ո -ով: Վերցնենք d 1 = 6 1 : Այժմ վերցնենք d 2 = 6 2 + λ 1 d 1 ն ընïրենք λ 1 -ն այնåես, որ d 2 -ը լինի օրթոդոնալ d 1 -ին. d 2 . d 1  = 6 2 . d 1  + λ 1 d 1 . d 1  = 0 6 2 . d 1  -ի սïանում ենքª d 1 . d 1  d 2 . d 1  = 0: Գարղ է նան, որ d 2 ≠ 0, քանի որ 6 1 . 6 2 Համակարդը դծորեն անկախ է: Գարղ է, որ ընïրելով λ 1 -ը Հավասար −

Անենք ինդուկïիվ ենթադրություն, որ արդեն կառուցել ենք ոչ ղրոյական ïարրերի d 1 . . . . . d k ,

k < ո, Համակարդն այնåես, որ µոլոր

i. j ∈ 1. . . . . k Համար ïեղի ունիª i ≠ j  d i . d j  = 0 ն ամեն մի d i -ն 6 i -ի ն d 1 . . . . . d i−1 -րի դծային կոմµինացիան է: Ցույց ïանք, որ այդ Համակարդը կարող ենք ընդլայնել ավելացնելով d k+1 -ը, åաՀåանելով Համակարդի նշված Հաïկությունը: Վերցնենքª d k+1 = 6 k+1 + α 1 d 1 +. . . +α k d k ն ընïրենք α 1 . . . . . α k

թվերն այնåես, որ d k+1 . d i  = 0 µոլոր

i = 1. . . . . k: Կամայական j-ի Համար µաղմաåաïկենք d k+1 -ն d j -ով k

d k+1 . d j  = 6 k+1 . d j  + ∑ α i d i . d j  = 6 k+1 . d j  + α j d j . d j : i=1

6 k+1 . d j  սïանում ենքª d k+1 . d j  = 0, j = 1. . . . . k: d j . d j  Գարղ է, որ d k+1 ≠ 0, քանի որ d k+1 = 6 k+1 + α 1 d 1 +. . . +α k d k , ն

Վերցնելով α j = −

փոխարինելով d 1 . . . . . d k -րը նրանց արïաՀայïություններով 6 1 . . . . . 6 k

ïարրերի

դծային

կոմµինացիաներով

կսïանանքª

6 1 . . . . . 6 k . 6 k+1

ïարրերի դծային կոմµինացիա, որի մեջ 6 k+1 -ի դործակիցը 1 է, իսկ 6 1 . . . . . 6 k . 6 k+1 Համակարդը դծորեն անկախ է: Թեորեմն աåացուցված է: Թեորեմի աåացույցի մեջ օդïադործված ալդորիթմը կոչվում է

Գրամ-Շմիդïի օրթոդոնալացման åրոցես: Եթե ïրված է 6 1 . . . . . 6 k օրթոնորմալ Համակարդը ն k < dոո L = ո, աåա

մենք

կարող

ենք

ընդլայնել

այդ

Համակարդը

մինչն

ïարածության µաղիսըª 6 1 . . . . . 6 k . 6 k+1 . . . . . 6 ո : Սïացված µաղիսին կիրառենք Փրամ-Շմիդïի օրթոդոնալացման åրոցեսը սկսած 6 k+1 -ից ն կսïանանք օրթոնորմալ µաղիս, որը åարունակում է 6 1 . . . . . 6 k Համակարդը: Այսåիսով ª

օրթոնորմալ Համակարդը կարելի է ընդլայնել, նոր ïարրեր ավելացնելով, մինչն ամµողջ ïարածության օրթոնորմալ µաղիս: Սկալյար արïադրյալը սաՀմանելիս արդեն նկաïել էինք, որ եթե սակլյար արïադրյալը ïրված է 4 մաïրիցով, որի Համարª 4 ij =

1. i = j 0. i ≠ j

,

աåաª x. y = ΛΥ ∗ = λ 1 υ 1 +. . . +λ ո υ ո

(իրական թվերի դեåքում x. y = ΛΥ T = λ 1 υ 1 +. . . +λ ո υ ո ) ն սկալյար արïադրյալը սաՀմանվում է Հայïնի µանաձներով: Օրթոնորմալ µաղիսի դեåքում ª 4 ij = 6 i . 6 j  =

1. i = j 0. i ≠ j

:

Ուսïի միայն ն միայն օրթոնորմալ µաղիսի դեåքում է, որ սկալյար արïադրյալը ïրվում է Հայïնիª x. y = ΛΥ ∗ = λ 1 υ 1 +. . . +λ ո υ ո (իրական թվերի µանաձներով:

դեåքում

ª

x. y = ΛΥ T = λ 1 υ 1 +. . . +λ ո υ ո )

Դիցուք 6 1 . . . . . 6 ո -ն օրթոնորմալ µաղիս է ո-չափանի L ունիïար (էվքլիդեսյան)

ïարածությունում:

x = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո :

Բաղմաåաïկելով

x ∈ L,

Եթե 6 k -ով

ն

աåա օդïվելով

i ≠ k  6 k . 6 i  = 0 åայմանից, սïանում ենքª x. 6 k  = α k 6 k . 6 k  = α k , k = 1. . . . . ո: Փասïորեն x. 6 k -ն x-ի üուրյեի

դործակիցն է:

Դիցուք 6 1 . . . . . 6 k -ն օրթոնորմալ Համակարդ է ո-չափանի L ունիïար (էվքլիդեսյան) ïարածությունում ն k < ո: Ընդլայնենք Համակարդը մինչն ամµողջ ïարածության օրթոնորմալ Կամայական x-ի Համար L-ից ունենքª

µաղիսª

61. . . . . 6ո:

x = x. 6 1 6 1 +. . . +x. 6 ո 6 ո = α 1 6 1 +. . . +α ո 6 ո ուսïիª x. x = α 1 α 1 +. . . +α ո α ո = |α 1 | 2 +. . . +|α ո | 2 : Այս

Հավասարությունը

կոչվում

է

Գարսեվալի

Հավասարություն:

Քանի որ x. 6 i  = α i , աåաª

x. x ≥ α 1 α 1 +. . . +α k α k = |α 1 | 2 +. . . +|α k | 2 : Այս

անՀավասարությունը

անՀավասարություն:

կոչվում

է

Բեսսելի

Ունիïար (օրթոդոնալ) մաïրիցներ Դիցուք E

=

⋮

′

-ն ն E =

⋮

6ո

-ը

6ո

միննույն ունիïար L ïարածության օրթոնորմալ µաղիսներ են, իսկ T-ն նրանց միջն անցման մաïրիցն է, այսինքնª E

′

= TE

(35)

Նշանակենք T մաïրիցի ïարրերը α ij -ներով: (35)-ից սïացվում է, որ ո

ո

6 i . 6 j  =

∑ α ik 6 k . ∑ α jո 6 ո

ո

=

ո

∑ ∑ α ik α jո 6 k . 6 ո  = ∑ α ik α jk k=1 ո=1

ո=1

k=1

ո

k=1

Դյուրին է ïեսնել, որ վերջին Հավասարության աջ մասը T մաïրիցի i-րդ ն j-րդ ïողերի սկալյար արïադրյալն է, ուսïի ո

∑ α ik α jk = 6 i . 6 j  = k=1

1. եթե i = j 0. եթե i ≠ j

,

այսինքն մաïրիցի ïողերը կաղմում են օրթոնորմալ µաղիս: Սա նշանակում է, որ TT ∗ = E ն ուրեմն T −1 = T ∗ : ումÙւորսÙ. T մաïրիցը կոչվում է

ունիïար,

եթե T −1 = T ∗ :

Համարժեք սաՀմանում էª մաïրիցը ունիïար է, եթե նրա ïողերը կաղմում են օրթոնորմալ µաղիս: Իրական թվերի դաշïի դեåքում անալոդ ձնով սաՀմանվում է

(36)

օրթոդոնալ մաïրիցը, որի Համար T −1

= TT:

Օրթոդոնալ մաïրիցով են իրականացվում Հարթույան åïույïները ն որնէ ուղղի (որն անցնում է կորդինաïային Համակարդի սկղµնակեïով) նկաïմամµ սիմեïրիկ անդրադարձումը: Օրթոդոնալ են նան ïեղափոխության մաïրիցներըª 0. 1-մաïրիցները, որոնց յուրաքանչյուր ïող ն սյուն åարունակում են ճիշï մեկ Հաï 1: Ունիïար T մաïրիցի Համար ïեղի ունիª d6t T d6t T ∗ = 1 ն ուսïի |d6t T| 2 = 1, այսինքն |d6t T| = 1: (36) Հավասարությունից Հեïնում է նան, որ եթե

E

օրթոնորմալ է, իսկ T անցման մաïրիցն ունիïար է, աåա µաղիսը նույնåես օրթոնորմալ է:

µաղիսը E

′

= TE

Այսåիսով սïացանք, որª

օրթոնորմալ µաղիսից օրթոնորմալ µաղիս անցման մաïրիցները դրանք ունիïար մաïրիցներն են:

Օրթոդոնալ լրացում Դիցուք L-ն ունիïար ïարածություն է, dոո L = ո ն M-ը նրա ոչ դաïարկ ենթաïարածություն է: Ասում են, որ x ∈ L օրթոդոնալ է M-ին (նշանակում են x ⊥ M), եթե x-ն օրթոդոնալ է M-ի µոլոր ïարրերին: Նշանակենքª M ⊥ = x ∈ L ∣ x ⊥ M: Այս µաղմությունը կոչվում է M µաղմության

լրացում:

օրթոդոնալ

Օրթոդոնալ լրացումը դծային ենթաïարածություն է:

Իսկաåես, եթե x. y ∈ M ⊥ ն z ∈ M, աåաª λx + μy. z = λ x. z +μ y. z= 0,   =0

=0

ուսïի, λx + μy ∈ M ⊥ :

Թեորեմ 23. Եթե L 1 -ը L ունիïար ենթաïարածությունն է, աåաª

ïարածության

L 1 +̇ L 1⊥ = L Աåացույց. ԱկնՀայï է, որ L 1 ∩ L ⊥1 = 0 ն L 1 + L 1⊥ դումարն ուղիղ է: Դիցուք 6 1 . . . . . 6 k -ը L 1 -ի օրթոնորմալ µաղիսն է, իսկ 6 k+1 . . . . . 6 s -ը L ⊥1 -ինը, Համակարդը L 1 +̇ L 1⊥ -ի ուսïի 6 1 . . . . . 6 k . 6 k+1 . . . . . 6 s օրթոնորմալ µաղիսն է: Եթե s = dոո L, աåա թեորեմն աåացուցված է: Եթե s < dոո L, աåա 6 1 . . . . . 6 k . 6 k+1 . . . . . 6 s µաղիսը կարող ենք ընդլայնել մինչն L-ի օրթոնորմալ µաղիսըª 6 1 . . . . . 6 k . 6 k+1 . . . . . 6 s . 6 s+1 . . . . . 6 ո : Գարղ է, որ 6 s+1 ∈ L 1 ∩ L 1⊥ , քանի որ

6 s+1 -ն օրթոդոնալ է ն 6 1 . . . . . 6 k ն 6 k+1 . . . . . 6 s µաղիսներին: Այսïեղից Հեïնում է, որ 6 s+1 = 0, ինչը Հակասում է այն µանին, որ 6 s+1 -ը µաղիսային ïարր է: Թեորեմն աåացուցված է:

Հեïնանք. L  1 = L1  Իսկաåես, ակնՀայï է, որ L 1 ⊆ L  1 : Սïուդենք, որ L 1 ⊆ L 1 :

Դիցուք x ∈ L  1 : Համաձայն թեորեմ 23-ի x = x 1 + x 2 , որïեղ x 1 ∈ L 1 իսկ x 2 ∈ L 1 : Հաշվենք x 2 . x = x 2 . x 1  + x 2 . x 2 : Այժմ ª x 2 . x = 0, քանի որ x-ը L 1 -ի օրթոդոնալ լրացումից է: ԱկնՀայïորենª x 2 . x 1  = 0. ուսïի ն x 2 . x 2  = 0 ն x 2 = 0: Սïանում ենք, որ x = x 1 , ուրեմնª x ∈ L1:

Թեորեմ 24. ունիïար ïարածության L1 ենթաïարածությունների Համար ïեղի ունիª L

ն

L2

L 1 + L 2   = L 1 ∩ L 2 L 1 ∩ L 2   = L 1 + L 2 Աåացույց. Դյուրին է ïեսնել, որ µանաձները երկակի են ն մեկը մյուսից սïացվում է կիրառելով օրթոդոնալ լրացման դործողությունը ն Թեորեմ 23-ի Հեïնանքը: Ուսïի, µավական է աåացուցել µանաձներից մեկը: Աåացուցենք L 1 + L 2   = L 1 ∩ L 2 µանաձնը: Մենք միշï կօդïվենք այն ակնՀայï փասïից, որ կամայական M 1 ն M 2 ենթաïարածությունների Համար ճիշï էª M 1 ⊆ M 2  M 2 ⊆ M 1 : Սկղµից

աåացուցենք,

որ

L 1 + L 2   ⊆ L 1 ∩ L 2 :

Քանի

որª

L 1 ⊆ L 1 + L 2 , աåա L 1 + L 2   ⊆ L 1 ն նույն ձնով L 1 + L 2   ⊆ L 2 ն, Հեïնաµար, L 1 + L 2   ⊆ L 1 ∩ L 2 :

Աåացուցենք

այժմ,

որ

L 1 ∩ L 2 ⊆ L 1 + L 2   :

L 1 ∩ L 2 ⊆ L 1 ն L 1 ∩ L 2 ⊆ L 2 , ուրեմնª

Ունենք,

որ

L 1 ⊆ L 1 ∩ L 2   ն L 2 ⊆

L 1 ∩ L 2   : Գարղ է, որ նանª L 1 + L 2 ⊆ L 1 ∩ L 2   : Այսïեղից սïանում ենքª L 1 ∩ L 2   = L 1 ∩ L 2 ⊆ L 1 + L 2   :

Համալուծ օåերաïոր Դիցուք ïրված է ունիïար

4 L  L դծային օåերաïորը ո-չափանի L

(էվքլիդեսյան)

ïարածությունում:

օրթոնորմալ µաղիս ն կսïանանք

üիքսենք



L

E

↕

4E

= 4E ն

L E

V ո Ճ

E

օåերաïորի ներկայացումը այդ

µաղիսում, այսինքն կսïանանք 4 մաïրիցը, որի Համար կոմուïաïիվ է Հեïնյալ դիադրամըª

որնէ



↕ V ո Ճ

ՍաՀմանենք մի նոր օåերաïոր 8 4 L  L այնåես, որ լինի կոմուïաïիվ սïորն µերված դիադրամըª

E

4∗ 4



L

↕

L ↕

E

V ո Ճ



V ո Ճ

որïեղ 4 ∗ -ը 4 մաïրիցի Համալուծն է, այսինքն սïացվում է 4-ից շրջելով (ïրանսåոնացնելով) ն ïարրերը Համալուծներով փոխարինելով: ԱկնՀայï է, որ այս ձնով սաՀմանվում է դծային

օåերաïոր, որը դործում է այսåես. ïրված x ∈ L Համար 8x-ը Հաշվում ենք Հեïնյալ կերåª վերցնում ենք x-ի µաղիսային ներկայացումը x = ΛE ն Հաշվում ենք 8x = Λ4 ∗ E: Դյուրին է սïուդել, որ 8 օåերաïորը դծային է. x 1 . x 2 ∈ L. x 1 = Λ 1 E. x 2 = Λ 2 E

 8x 1

ն

= Λ 1 4 ∗ E. 8x 2 = Λ 2 4 ∗ E

λx 1 + μx 2 = λΛ 1 + μΛ 2 E

 8λx 1

+ μx 2  = λΛ 1 + μΛ 2 4 ∗ E

λΛ 1 4 ∗ + μΛ 2 4 ∗ E =λΛ 1 4 ∗ E + μΛ 2 4 ∗ E

=

=

λΛ 1 4 ∗ E + μΛ 2 4 ∗ E =λ8x 1 + μ8x 2 Դյուրին է նան ïեսնել, որ Համար ïեղի ունիª

օåերաïորի ն կամայական x. y ∈ L

4x. y = x. 8y Իսկաåես, դիցուք

E

µաղիսում x = ΛE. y = ΥE: Ունենքª 4x = Λ4E

ն 8y = Υ4 ∗ E: Այժմ ª 4x. y = Λ4Υ ∗ ն x. 8y = ΛΥ4 ∗  ∗ = Λ4Υ ∗  = Λ4Υ ∗ = 4x. y: Մյուս կողմից 4x. y = x. 8y åայմանից µխում է, որ եթե

E

օåերաïորի ներկայացումը 4 մաïրիցն է, աåա

օåերաïորի ներկայացումը 4 ∗ է: Աåացուցենք դա: Դիցուք

µաղիսում

օåերաïորի ներկայացումը դա 8 մաïրիցն է ն

8E

= 8E: Դիցուք նան

x = ΛE. y = ΥE: Այժմ ª Λ4Υ ∗ = 4x. y = x. 8y = ΛΥ8 ∗ = Λ8 ∗ Υ ∗  = Λ8 ∗ Υ ∗ ն ուրեմնª 0 = Λ4 − Λ8 ∗ Υ ∗ = Λ4 − 8 ∗ Υ ∗ : Քանի որ x. y ∈ L կամայական են վերցնենք y = Λ4 − 8 ∗ E, կսïանանքª Λ4 − 8 ∗ Λ4 − 8 ∗  ∗ = 0 ն Հեïնաµարª Λ4 − 8 ∗  = 0: Վերջին Հավասարությունը ïեղի ունի կամայական Λ-ի Համար, ուսïի 4 − 8 ∗ = 0 ն 4 = 8 ∗ ինչը Համարժեք է 4 ∗ = 8 åայմանին: ումÙւորսÙ. L ունիïար (էվքլիդեսյան) ïարածությունում դործող 4 դծային օåերաïորի

Համալուծ

օåերաïոր է կոչվում 4 ∗ դծային

օåերաïորը, որի Համար ïեղի ունի ∀x. y ∈ L 4x. y = x. 4 ∗ y: Փասïորեն, մենք արդեն վերն աåացուցել ենք, որ կամայական 4 դծային օåերաïորի Համալուծ օåերաïորը դոյություն ունի ն օրթոնորմալ µաղիսում Համալուծ օåերաïորը ներկայացվում է Համալուծ մաïրիցով (իրական թվերի դեåքում էվքլիդեսյան ïարածություններում Համալուծ մաïրիցը փոխարինվում է շրջվածով): Համալուծ օåերաïորը սաՀմանվում է միարժեքորեն: Իսկաåես, եթեª 4x. y = x. 4 1∗ y = x. 4 2∗ y, աåա x. 4 1∗ − 4 2∗ y = 0 ն քանի որ x-ը կամայական էª 4 1∗ − 4 2∗ y. 4 1∗ − 4 ∗2 y = 0: Ուսïի, 4 1∗ − 4 ∗2 y = 0 µոլոր y ∈ L Համար ն 4 ∗1 − 4 ∗2 = 0 ու 4 ∗1 = Դյուրին է սïուդել Հեïնյալ Հաïկությունները. Չ.

4 ∗  ∗ =

4.

λ4 ∗ = λ4 ∗

3.

4 + 8 ∗ =

4.

48 ∗ =

4∗

+ 8∗

8∗4∗

4∗ 2:

Նորմալ օåերաïորներ ումÙւորսÙ. L ունիïար (էվքլիդեսյան) ïարածությունում դործող 4 դծային օåերաïորը կոչվում է

նորմալ,

եթե այն ïեղափոխելի է իր

Համալուծի Հեï, այսինքնª 44 ∗

=

4∗4

Այսïեղից միանդամից µխում է, որ օåերաïորը նորմալ է միայն ն միայն այն դեåքում, երµ

օåերաïորի ներկայացումն օրթոնորմալ

µաղիսում µավարարում է 44 ∗ = 4 ∗ 4 åայմանին: Դյուրին է ïեսնել, որ կամայական µաղմանդամների Համար ïեղի ունիª

fθ.

gθ ∈ Ճθ

f4g4 ∗  = g4 ∗ f4:

Թեորեմ 25. Դիցուք 4-ն նորմալ օåերաïոր է Չ.

λ-ն

-ի

սեփական

է λ-ն

արժեքն

4∗

-ի

սեփական արժեքն է 4.

x-ը λ

սեփական արժեքին Համաåաïասխանող

-ի սեփական վեկïորն է

արժեքին Համաåաïասխանող վեկïորն է 3.

ïարµեր

սեփական

x-ը 4∗

λ

սեփական

-ի սեփական արժեքներին

Համաåաïասխանող օրթոդոնալ են:

սեփական

վեկïորները

Աåացույց. Դիցուք x-ը λ սեփական արժեքին Համաåաïասխանող 4-ի

սեփական վեկïորն է, այսինքնª 4 −λIx = 0. x ≠ 0

(այսïեղ

I-ն

4 ∗ −λI ∗ =

միավոր օåերաïորն է ն

4 −λI

I∗

= I): Գարղ է ,որ

ն 0 = 4 −λIx. 4 −λIx =

4 −λIx. 4 ∗ −λI ∗ x = 4 ∗ −λI4 −λIx. x = 4 ∗ −λI4 −λIx. x = 4 −λI4 ∗ −λIx. x = 4 ∗ −λIx. 4 −λI ∗ x = 4 ∗ −λIx. 4 ∗ −λIx Ուրեմնª 4 ∗ −λIx = 0 ն մենք աåացուցեցինք 1 ն 2 åնդումները: Աåացուցենք 3-ը: Դիցուք 4x = λx, x ≠ 0, 4y = μy, y ≠ 0 ն λ ≠ μ: Այժմ ª λx. y = λx. y = 4x. y = x. 4 ∗ y = x. μy = μx. y ն λ − μx. y = 0: Քանի որ λ ≠ μ, աåա վերջին Հավասարությունից սïանում ենք, որ x. y = 0: Թեորեմն աåացուցված է:

Թեորեմ 26. Կամայական 4 նորմալ օåերաïորի Համար L ունիïար (կոմåլեքս թվային դաշïի նկաïմամµ) ïարածության մեջ դոյություն ունի օրթոնորմալ µաղիս կաղմված սեփական վեկïորներից: Աåացույց.

օåերաïորի µնութադրիչ µաղմանդամն անåայման

ունի արմաïª λ 1 , ուսïի դոյություն ունի 6 1 ≠ 0, որ 46 1 = λ 1 6 1 : Այժմ

6 1 -ով ծնված ենթաïարածությունը նշանակենք L 1 -ով: Գարղ է, որ dոո L 1 = 1: Աåացուցենք, որ L 1 -ն ինվարիանï է

4-ի

նկաïմամµ:

Դիցուք x ∈ L 1 , աåաª 6 1 . 4x = 4 ∗ 6 1 . x = λ 1 6 1 . x = λ 1 6 1 . x = 0 ն ուսïիª 4x ∈ L 1 : ԱկնՀայï է, որ dոո L 1 = dոո L − 1: Քանի որ L 1 -ն ինվարիանï է 4-ի նկաïմամµ, աåա 4-ն դծային նորմալ օåերաïոր է L 1 -ի վրա ն վերը նշված եղանակով L 1 -ում կդïնվի 4-ի սեփական վեկïոր 6 2 , որով ծնված ենթաïարածությունը L 1 -ում կնշանակենք L 2 -ով, ն L 2 -ը կլինի ինվարիանï 4-ի նկաïմամµ: Դյուրին է ïեսնել, որ 6 1 . 6 2  = 0 ն L 1 -ում

dոո L 2 = dոո L 1 − 1:

Շարունակելով այս åրոցեսը կսïանանք 6 1 . . . . . 6 dոո L ղույդ առ ղույդ օրթոդոնալ սեփական վեկïորների (ն ուսïի ոչ ղրոյական) մի Համակարդ, որը կկաղմի L ïարածության µաղիս: Մնում է Հայïնի եղանակով նորմալիղացնել վեկïորները, որ նրանց նորմերը դառնան Հավասար 1-ի: Թեորեմն աåացուցված է:

Հեïնանք. Փոյություն ունի օրթոնորմալ µաղիս, որում նորմալ օåերաïորը մաïրիցով:

ներկայացվում

է

անկյունադծային

Նորմալ օåերաïորներն Էվքլիդեսյան ïարածություններում Տեսնենք այժմ, թե ինչ ïեսքի մաïրիցով է ներկայացվում նորմալ օåերաïորն էվքլիդեսյան ïարածությունում, այսինքն, երµ թվային դաշïն իրական թվերի դաշïն է: Ճիշï այնåես, ինչåես վարվեցինք իրական Ժորդանյան նորմալ ձնի կառուցման ժամանակ, ներդնենք մեր էվքլիդեսյան ո-չափանի L ïարածությունը Համաåաïասխան ո-չափանի կոմåլեքս ïարածության մեջ: Ավելի սïույդ, ֆիքսենք L-ում որնէ օրթոնորմալ µաղիսª 6 1 . … . 6 ո : L-ը կլինի իղոմորֆª V ո R = α 1 . … . α ո  ∣ α i ∈ R. i = 1. 2. … . ո ïարածությանը: Գարղ է, որª V ո R ⊂ V ո ℂ = α 1 . … . α ո  ∣ α i ∈ ℂ. i = 1. 2. … . ո ն L ⊂ L̃ = α 1 6 1 +… +α ո 6 ո ∣ α j ∈ ℂ. j = 1. 2. . . . . ո: ԱկնՀայïորեն, V ո ℂ-ն իղոմորֆ է L̃ -ին: Դյուրին է սïուդել, որ 6 1 . … . 6 ո -ն օրթոնորմալ µաղիս է նան L̃ -ում: Շարունակենք սկալյար արïադրյալը L-ից մինչն L̃ Հեïնյալ կերåª եթե x = α 1 6 1 +… +α ո 6 ո ն y = β 1 6 1 +… +β ո 6 ո , աåա x. y = α 1 β̄ 1 +… +α ո β̄ ո : Երµ x. y ∈ L սկալյար արïադրյալը Համընկնում է L-ի սկալյար արïադրյալի Հեï: 4 օåերաïորը շարունակենք L̃ -ի վրա Հեïնյալ կերåª եթե x = α 1 6 1 +… +α ո 6 ո ∈ L̃ , աåա 4x = α 1 46 1 +… +α ո 46 ո (դյուրին է ïեսնել, որ նման ձնով կարելի է շարունակել կամայական դծային օåերաïոր, որ սաՀմանված է L-ի վրա): ԱկնՀայï է, որ դա դծային օåերաïոր է: Շարունակված օåերաïորը նշանակենք 8-ով: ԱկնՀայï է, որ 8 = 4 L-ի վրա: Շարունակենք նան 4 ∗ օåերաïորը ն նշանակենք դրա շարունակությունը 8 1 -ով: Ցույց ïանք, որ 8 1 -ը

8 ∗ -ի

Համընկնում է

Հեï: Իսկաåես, դիցուք x = α 1 6 1 +… +α ո 6 ո ն

y = β 1 6 1 +… +β ո 6 ո , աåաª ո

ո

i=1

i=1

j=1

∑ α i 86 i . y = ∑ α i 46 i . ∑ β j 6 j

8x. y = ո

ո

ո

ո

=

ո

∑ ∑ α i β̄ j 46 i . 6 j  = ∑ ∑ α i β̄ j 6 i . 4 ∗ 6 j  = i=1 j=1

i=1 j=1 ո

ո

∑ ∑ α i β̄ j 6 i . 8 1 6 j  =

ո

ո

∑ αi6i. ∑ βj816j

i=1 j=1

i=1

j=1

= x. 8 1 y

Համալուծ օåերաïորի միակությունից սïանում ենք, որ Աåացուցենք այժմ, որ

=

8∗:

օåերաïորը նույնåես նորմալ է: Իրոք, կամայական x = α 1 6 1 +… +α ո 6 ո ∈ L̃ Համար ունենքª 8 ∗ 8x

=

8∗

ո

∑ α i 86 i =

8∗

i=1 ո

∑ αi

4 ∗ 46

ո

i

= ∑ αi

i=1

44 ∗ 6

i

ո

ո

i=1

i=1

∑ α i 46 i = ∑ α i 8 ∗ 46 i  =

ո

4 ∑ αi

i=1

4∗6

i

=

i=1

քանի որ 46 i ∈L

ո

8 ∑ αi8∗6i

=

=

88 ∗ x

i=1

Նկաïենք նան, որ եթե ⋮

E =

6ո օրթոնորմալ µաղիսում մաïրիցով, աåա

օåերաïորը ներկայացված է 4 իրական

օåերաïորը ներկայացված է այդ նույն մաïրիցով,

իսկ 8 ∗ օåերաïորը 4 T մաïրիցով: Իսկաåես, 86 1 8E

=

⋮

46 1

=

86 ո

⋮ 46 ո

ն

=

4E

= 4E

8∗E

=

4∗E

= 4 T E:

Դիցուք x = α 1 6 1 +… +α ո 6 ո ∈ L̃ ïարրը

օåերաïորի սեփական

վեկïորն է, որ Համաåաïասխանում է λ սեփական արժեքին: Նշանակենք Λ = α 1 . … . α ո  ն x = ΛE: Քանի որ

8x

= λx, աåա

Λ4 = λΛ: Նշանակենք 4 մաïրիցի ïարրերը β ij նշաններով: Λ4 ո

վեկïորի j-րդ ïարրը Հավասար է ∑ α i β ij = λα j : Վերջին առնչության i=1

մեջ անցնենք Համալուծներին Հաշվի առնելով, որ β ij թվերն իրական են: ո

̄ 4 = λ̄ Λ ̄ առնչությանը: Կսïանանք ∑ ᾱ i β ij = λ̄ ᾱ j , ինչը Համարժեք է Λ i=1

Սա նշանակում է, որ

= λ̄ x̄ : Այսինքն, եթե x ∈ L̃ ïարրը

8x ̄

օåերաïորի λ սեփական արժեքին Համաåաïասխան սեփական վեկïորն է, աåա x̄ -ը

օåերաïորի սեփական վեկïորն է, որ

Համաåաïասխանում է λ̄ -ին: Համաձայն Թեորեմ 26-ի ն դրա Հեïնանքի L̃ ունիïար ïարածության մեջ դոյություն ունի օրթոնորմալ µաղիս կաղմված օåերաïորի սեփական վեկïորներից: Այդ µաղիսում

օåերաïորի

մաïրիցը կունենա Հեïնյալ անկյունադծային ïեսքըª λ1 λ̄ 1 ⋱ λո

(37)

λ̄ ո λ 2ո+1 ⋱ λո որïեղ i = 1. 2. … . ո Համար λ i -ն կոմåլեքս թիվ է ն λ i ≠ λ̄ i , մնացած

λ 2ո+1 . … . λ ո

թվերն

իրական

են:

Ընդ

որում

i = 1. 2. … . ո

Համար դասավորված λ 1 . … . λ ո  ∩ λ̄ 1 . … . λ̄ ո  = : Ուսïի,

են

λ i . λ̄ i

ղույդերը

այնåես,

որ

∀i. j ∈ 1. 2. … . ո  λ i ≠ λ̄ j : Օրթոնորմալ µաղիսի ïարրերը նշանակենք Հեïնյալ կերåª d 1 . h 1 . … . d ո . h ո . c 2ո+1 . … . c ո : Ունենքª 8d i = λ i d i , 8h i = λ̄ i h i , i = 1. 2. … . ո ն 8c 2ո+1

= λ 2ո+1 c 2ո+1 . … . 8c ո = λ ո c ո :

Դիïարկենքª d 1 . d̄ 1 . … . d ո . d̄ ո . c 2ո+1 . … . c ո Համակարդը: Աåացուցենք, որ այս Համակարդը նս օրթոնորմալ µաղիս է: ԱկնՀայï է, որ ‖x‖ = ‖x̄ ‖ կամայական x-ի Համար L̃ -ից: Ուսïիª d 1 . d̄ 1 . … . d ո . d̄ ո . c 2ո+1 . … . c ո Համակարդը նորմավորված է ն չի åարունակում ղրայական ïարրեր: աåա Քանի որ i ≠ j  d i . d j  = 0 ն d i . d j  = d̄ i . d̄ j , i ≠ j  d̄ i . d̄ j  = 0: Վերը սïացել ենք, որ λ 1 . … . λ ո  ∩ λ̄ 1 . … . λ̄ ո  = , ուսïի, Համաձայն Թեորեմ 25-ի 3-րդ կեïի, սïանում ենք, որ i. j ∈ 1. 2. … . ո  d i . d̄ j  = 0: Վերջաåես, քանի որ λ 2ո+1 . … . λ ո  ∩ λ̄ 1 . … . λ̄ ո  = , աåա կրկին Համաձայն Թեորեմ 25-ի 3-րդ կեïիª d̄ i . c j  = 0: Այսåիսով ª d 1 . d̄ 1 . … . d ո . d̄ ո . c 2ո+1 . … . c ո Համակարդն օրթոնորմավորված է ն չի åարունակում ղրոյական ïարր, ուսïի այն օրթոնորմալ µաղիս է: Ունենք, որ 8d i = λ i d i , ̄ i = λ̄ i d̄ i , i = 1. 2. … . ո, ուրեմն այս µաղիսում նս 8 օåերաïորի 8d

մաïրիցը կունենա վերը նշված անկյունադծային ïեսքը: ԱկնՀայï է, որ L̃ -ը Հանդիսանում է µաղիսային ïարրերով ծնված 1-չափանի ինվարիանï ենթաïարածությունների ուղիղ դումար: Նան d j . d̄ j ղույդերով

ծնված

2-չափանի

ենթաïարածությունները

կլինեն

ինվարիանï ն դրանց ուղիղ դումարը c 2ո+1 . … . c ո ïարրերով ծնված 1-չափանի ինվարիանï ենթաïարածությունների Հեï կլինի Հավասար L̃ -ին: Դիïարկենք

այժմ

λ j ≠ λ̄ j

որնէ

ղույդը

j ∈ 1. 2. … . ո

ն

Համաåաïասխանող d j . d̄ j սեփական վեկïորները: Հարմարության Համար նշանակենք λ j = λ, λ̄ j = λ̄ , d j = d ն d̄ j = d̄ : Դիցուք λ = σ + iτ, ընդ որում åարղ է, որ τ ≠ 0 ն միշï կարող ենք վերցնել τ > 0: Հիշեցնենք, որ 8d = λd, 8d = λd ն d. d̄  = 0, ‖d‖ = ‖d̄ ‖ = 1: Փոխարինենք d ն d̄ ïարրերը Համաåաïասխանաµար ïարրերով: 8

Դրանց

2 d = λ 2 d

ն

Համար

ïեղի

 2 d. 2 d̄  = 0,

ունի 2d

2d ն

2d

8

2 d = λ 2 d, = 2 d̄ = 2 :

Ուսïի, եթե µաղիսում d j . d̄ j ղույդը փոխարինենք 2 d j . 2 d̄ j ղույդով 8 օåերաïորի մաïրիցի ïեսքը կմնա անփոփոխ (µաղիսը կմնա օրթոդոնալ, µայց ոչ նորմավորված): Կառուցենք f = 12 d + d ն g = 1 d − d ïարրերը: Գարղ է, որ d = f + ig, d̄ = f − ig ն d. d̄ 2i

Համակարդի թաղանթը ն f. g Համակարդի թաղանթը Համընկնում են: ԱկնՀայï է, որ f. g ïարրերը էվքլիդեսյան L ïարածությունից են, ուսïիª 8f = 4f ն 8g = 4g: Դրանք օրթոդոնալ են քանի որª f. g = − 1 d + d. d − d = 4i − 1 d. d − d. d + d. d − d. d = 0: 4i Նանª

f. f = 1 d + d. d + d = 1 d. d + d. d = 1 ն նմանաåեսª g. g = − 12 d − d. d − d = 1 d. d + d. d = 1: 4i Վերջաåեսª = 1 4d + d = 1 4d + 4d = 1 λd + λd = 1 σ + iτd + σ − iτd = 1 σd + σd + iτd − iτd = σ 1 d + d − τ 1 d − d = σf − τg 2i 4f

ն = 1 4d − d = 1 4d − 4d = 1 λd − λd = 2i 2i 2i 1 σ + iτd − σ − iτd = 1 σd − σd + iτd + iτd = 2i 2i σ 1 d − d + iτ 1 d + d = σf + τg: 2i 2i 4g

Այսåիսով ª 8f

= 4f = σf − τg

8g

= 4g = σf + τg

ն 8f

4f

8g

4g

=

σ −τ

f

τ

g

σ

Սïացանք, որ f. g Համակարդը դա իրական օրթոնորմալ µաղիս է d. d̄ ղույդով ծնված 2-չափանի ինվարիանï ենթաïարածության Համար ն λ 0 0 λ

ïեսքի վանդակը (37) մաïրիցում կփոխարինվի σ −τ τ

(38)

σ

ïեսքի վանդակով: Վերցնենք

այժմ

c j ∈ c 2ո+1 . … . c ո 

կամայական

λ j -ն

ն

Համաåաïասխան սեփական արժեքն է (37) մաïրիցում: Ինչåես դիïենք, c̄ j ïարրը նույնåես

օåերաïորի սեփական վեկïորն է, որ

Համաåաïասխանում է λ̄ j = λ j իրական սեփական արժեքին: Ուրեմն, c̄ j -ն

åաïկանում

է

c 2ո+1 . … . c ո

ïարրերով

ծնված

1-չափանի

օրթոդոնալ ենթաïարածություններից մեկին: Դիցուք c̄ j = μc j : Գարղ է, որ ‖c̄ j ‖ = ‖c j ‖ ն |μ| = 1, այսինքն μ = 6 iϕ : Սïանում ենքª 6 iϕ/2 c j = 6 −iϕ/2 c̄ j ն 6 iϕ/2 c j = 6 −iϕ/2 c̄ j = 6 iϕ/2 c j , ուսïի 6 iϕ/2 c j ïարրն իրական է, այսինքն åաïկանում է L-ին: Նորմավորենք 6 iϕ/2 c j -ն ն L̃ -ի µաղիսում փոխարինենք c j -ն 6 iϕ/2 c j -ով: Գարղ է, որ 86 iϕ/2 c j  = λ j 6 iϕ/2 c j  ն (37) մաïրիցը չի փոխվում: Դիցուք c̄ j = μc k , որïեղ j ≠ k: Ինչåես դիïենք, 8c j = λ j c j ն 8c ̄ j = λ j c̄ j , քանի որ λ j = λ̄ j : Մյուս կողմիցª 8c k = λ k c k : Սակայն c̄ j = μc k , ուսïի λ j = λ k : Քանի որ c j . c k  = 0, c j -ն ն c̄ j -ն դծորեն անկախ են: Վերցնենք f =

 2 c j + 2 c̄ j  ն g =

2i

 2 c j − 2 c̄ j :

ԱկնՀայï է, որ f. g Համակարդը նույնåես դծորեն անկախ է, քանի որ 2 c j = f + ig.

2 c̄ j = f − ig ն

2 c j . 2 c̄ j ն f. g Համակարդերի

թաղանթները նույնն են: Գարղ է նան, որ f. g ïարրերը էվքլիդեսյան L ïարածությունից են, ուսïի 8f = 4f ն 8g = 4g: Ունենք,

որª

 2 c j . 2 c̄ j  = 0

Ուրեմնª

ն

2 cj

=

2 c̄ j

=

2:

f. g = − 1  2 c j + 2 c̄ j . 2 c j − 2 c̄ j  = 4i − 1  2 c j . 2 c j  −  2 c̄ j . 2 c̄ j  = 0: 4i Նանª f. f = 1  2 c j + 2 c̄ j . 2 c j + 2 c̄ j  = 1  2 c j . 2 c j  +  2 c̄ j . 2 c̄ j  = 1 ն նմանաåեսª g. g = − 12  2 c j − 2 c̄ j . 2 c j − 2 c̄ j  = 4i 1  2 c j . 2 c j  +  2 c̄ j . 2 c̄ j  = 1: Ուրեմն f. g Համակարդն օրթոնորմավորված է: Վերջաåեսª = 1 8 2 c j + 2 c̄ j  = 1  2 8c j + 2 8c̄ j  = 1  2 λ j c j + 2 λ j c̄ j  = λ j f ն նմանաåես 8g = λ j g: L̃ -ի օրթոնորմալ µաղիսում կփոխարինենք c j . c k 8f

ղույդը f. g ղույդով սïանալով նորից օրթոնորմալ µաղիս, որում (37) մաïրիցի ïեսքը մնում է անփոփոխ: Այսåիսով ïեսանք, որ L̃ -ում դոյություն ունի իրական օրթոնորմալ µաղիս, որում 8 օåերաïորի մաïրիցն ունի (37) ïեսքը: Քանի որ µաղիսը իրական է ն իրական է մաïրիցը, աåա ակնՀայïորեն µաղիսը կլինի նան L ïարածության µաղիս ն (37) մաïրիցը կներկայացնի օåերաïորը: Փասïորեն մենք աåացուցեցինք Հեïնյալ թեորեմը:

Թեորեմ 27.

Էվքլիդեսյան (իրական դաշïի նկաïմամµ) ïարածությունում նորմալ օåերաïորի Համար դոյություն ունի օրթոնորմալ µաղիս, որում օåերաïորի մաïրիցը µերվում է Հեïնյալ ïեսքիª σ 1 −τ 1 τ1

σ1 ⋱ σ ո −τ ո τո

σո λ 2ո+1 ⋱ λո

որïեղ

λ 2 = σ 1 − iτ 1 ,…,λ 2ո−1 = σ ո + iτ ո ,

λ 1 = σ 1 + iτ 1 ,

λ 2ո = σ ո − iτ ո , λ 2ո+1 ,…,λ ո

թվերը

օåերաïորի µոլոր

սեփական արժեքներն են, ընդ որում ª τ j

> 0, j = 1. 2. … . ո:

Հիմնվելով այս թեորեմի վրա կարելի է ïալ նորմալ օåերաïորների դործողության

երկրաչափական

իմասïի

µովանդակալից

մեկնաµանությունը էվքլիդեսյան ïարածության դեåքում: Դյուրին է ïեսնել, որ σ −τ τ

σ

մաïրիցը կարելի է դրել Հեïնյալ կերåª

σ

σ2 + τ2 որïեղ ՇօՏ ϕ =

σ 2 +τ 2

−

τ σ 2 +τ 2

τ

σ

σ 2 +τ 2

σ 2 +τ 2

σ σ 2 +τ 2

.

Տոո ϕ =

= |λ| τ σ 2 +τ 2

ՇօՏ ϕ − Տոո ϕ Տոո ϕ

ՇօՏ ϕ

> 0: Հայïնի է, որ այս

ïեսակի մաïրիցները "åïïում " են Հարթությունը ϕ անկյունով ն |λ| անդամ "ձդում " են այն: Սա նշանակում է, որ L ïարածությունը ïրոՀվում է մի շարք փոխուղղաՀայաց Հարթությունների ն ուղիղների: Օåերաïորը "ձդում " ն "åïïում " է այդ Հարթությունները, իսկ ուղիղները միայն "ձդում " է:

Ունիïար (օրթոդոնալ) օåերաïորներ ումÙւորսÙ. L ունիïար (օրթոդոնալ) ïարածությունում դործող դծային օåերաïորը կոչվում է ունիïար

(օրթոդոնալ), եթե µոլոր

x ∈ L Համար ïեղի ունիª 4x. 4x = x. x

(39)

Այսինքն, ունիïար օåերաïորը åաՀåանում է ïարրերի երկարությունները (նորմերը): Աåացուցենք, որ այն åաՀåանում է նան ïարրերի միջն "անկյունները": Ավելի սïույդ, աåացուցենք, որ (39)-ը Համարժեք է Հեïնյալ åայմանինª ∀x. y ∈ L

4x. 4y = x. y

(40)

Գարղ է, որ (39)-ը µխում է (40)-ից: Աåացուցենք, որ (40)-ը (39)-ի Հեïնանքն է: Դիցուք x. y ∈ L կամայական ïարրեր են: Ունենքª 4x + y. 4x + y = x + y. x + y, ուրեմնª 4x. 4x + 4x. 4y + 4y. 4x + 4y. 4y = x. x + x. y + y. x + y. y ն 4x. 4y + 4y. 4x = x. y + y. x Ունենք նանª 4x + iy. 4x + iy = x + iy. x + iy ն 4x. 4x − i4x. 4y + i4y. 4x − i 2 4y. 4y = x. x − ix. y + iy. x − i 2 y. y:

(41)

Այսïեղից սïանում ենքª 4x. 4y − 4y. 4x = x. y − y. x

(42)

Եթե ïարածությունը օրթոդոնալ է (այսինքն թվային դաշïը իրական է), աåա (41)-ը կարïադրենք որåես 24x. 4y = 2x. y ն (40)-ը սïույդ է: Եթե ïարածությունը ունիïար է (թվային դաշïը կոմåլեքս է), աåա դումարելով իրար (41)-ը ն (42)-ը կսïանանք (40)-ը: Այսåիսով ïեսնում ենք, որ որåես ունիïար (օրթոդոնալ) օåերաïորի սաՀմանում կարելի է վերցնել նան (40)-ը: Դիցուք 4-ն ունիïար է: Ուրեմնª x. y = 4x. 4y = x. 4 ∗ 4y ն x. I − 4 ∗ 4y = 0 կամայական x. y ∈ L Համար: Մասնավորաåես, երµ x = I − 4 ∗ 4y սïանում ենքª I − 4 ∗ 4y. I − 4 ∗ 4y = 0 ն I − 4 ∗ 4y = 0 µոլոր y ∈ L Համար: Սա նշանակում է, որ 4∗

=

4 −1 :

Նան սïանում ենք, որ

4∗4

=

44 ∗

ն

4∗4

=

I

ն

օåերաïորը նորմալ

է: Մյուս

կողմից,

եթե

4∗

=

4 −1 ,

4∗4

աåա

=

I

ն

x. x = x. 4 ∗ 4x = 4x. 4x ն օåերաïորը ունիïար է: Ուսïիª Չ. 4 4.

օåերաïորն ունիïար է  4 ∗

=

4 −1

ունիïար օåերաïորը նորմալ է:

Դիցուք

E-ն

L ïարածության օրթոնորմալ µաղիսն է ն 4-ն

օåերաïորի ներկայացումն է այդ µաղիսում:

4∗

=

4 −1

åայմանից

անմիջաåես µխում է, որ 4 ∗ = 4 −1 ն ուրեմն 4 մաïրիցն ունիïար (օրթոդոնալ) է: Քանի որ արդեն åարղել ենք, որ ունիïար մաïրիցներն օրթոնորմալ µաղիսից օրթոնորմալ µաղիս անցման

մաïրիցներն են, աåա դժվար չէ կռաՀել, որ այդ նույն Հաïկությամµ են օժïված ունիïար օåերաïորները: Իսկաåես, դիցուք ⋮

E =

:

6ո Ունենք 6 i . 6 j  = 46 i . 46 j , ուսïիª 1. i = j

6 i . 6 j  =

0. i ≠ j

 46 i . 46 j  =

1. i = j 0. i ≠ j

:

Դյուրին է նկաïել, որ ունիïար օåերաïորների µաղմությունը (միննույն L-ի վրա սաՀմանված) կաղմում է խումµ օåերաïորների µաղմաåաïկման (Հաջորդաµար կիրառման) դործողության նկաïմամµ: Այսինքն, միավոր օåերաïորը ունիïար է, ունիïար օåերաïորների արïադրյալն ունիïար օåերաïոր էª x. x = 4x. 4x = 84x. 84x = 48x. 48x ն 4 −1 -ն ունիïար էª x. x = 4x. 4x  4 −1 x. 4 −1 x = x. x: Դիցուք 4-ն ունիïար օåերաïոր է ն λ-ն նրա սեփական արժեքն է: Փոյություն ունի x ≠ 0, որ 4x = λx: Հեïնաµարª

x. x = 4x. 4x = λx. λx = λλx. x ն |λ| = 1: Սա նշանակում է, որ իրական թվերի դաշïի դեåքում λ = ±1, իսկ կոմåլեքս թվերի դաշïի դեåքում λ = σ + iτ, σ 2 + τ 2 = 1:

Ունիïար

(օրթոդոնալ)

օåերաïորի

սեփական

արժեքների մոդուլը Հավասար է մեկի: Քանի որ ունիïար օåերաïորը նորմալ է, աåա Թեորեմ 26-ը կձնակերåվի Հեïնյալ կերå.

կամայական ունիïար 4 մաïրիցի Համար դոյություն ունի ունիïար 0 մաïրից, այնåիսի, որ 0 −1 40-ն ունի անկյունադծային ïեսք ն անկյունադծային ïարրերի մոդուլը Հավասար է 1-ի: Իրական թվերի դաշïի դեåքում, այսինքն երµ օåերաïորն օրթոդոնալ է, կվարվենք այնåես, ինչåես նորմալ օåերաïորների դեåքում: üիքսելով L էվքլիդեսյան ïարածության մեջ 6 1 . … . 6 ո օրթոնորմալ µաղիսը կընդլայնենք L էվքլիդեսյան ïարածությունը մինչն L̃ ունիïար ïարածությունը: Ինչåես դիïենքª L = α 1 . … . α ո  ∣ α i ∈ R. i = 1. … . ո ն L̃ = α 1 . … . α ո  ∣ α i ∈ ℂ. i = 1. … . ո: Հայïնի եղանակով ընդլայնենք 4 օրթոդոնալ օåերաïորը մինչն L̃ -ի վրա սաՀմանված օåերաïոր, որը նշանակենք 8-ով: Եթե ո

x = ∑ α j 6 j ∈ L̃ , աåա j=1

ո

8x

= ∑ α j 46 j : Գարղ է, որ L ïարածության j=1

վրա 8-ն Համընկնում է 4-ի Հեï: ո

Ցույց ïանք, որ 8 օåերաïորն ունիïար է: Դիցուք x = ∑ α j 6 j ∈ L̃ : j=1

Ունենքª

ո

j=1

k=1

∑ α j 46 j . ∑ α k 46 k

8x. 8x = ո

ո

ո

ո

= ∑ ∑ α j ᾱ k 46 j . 46 k  = j=1 k=1

ո

ո

ո

j=1

k=1

∑ ∑ α j ᾱ k 6 j . 6 k  = ∑ α j 6 j . ∑ α k 6 k j=1 k=1

= x. x

Այժմ, Համաձայն Թեորեմ 27-ի սïանում ենք.

կամայական օրթոդոնալ 4 մաïրիցի Համար դոյություն ունի օրթոդոնալ 0 մաïրից, այնåիսի, որ 0 −1 40 մաïրիցը կաղմված է անկյունադծային µլոկերից, որոնք կամ 2-չափանի

1-չափանի

են ն Հավասար են

±1,

կամ էլ

են ն ունեն (43) ïեսքըª σ −τ τ

որïեղ σ 2 + τ 2

(43)

σ

= 1:

ԱկնՀայï է, որ (43) ïեսքի մաïրիցը կարելի է վերարïադրել որåեսª ՇօՏ ϕ − Տոո ϕ Տոո ϕ որïեղ Տոո ϕ ≠ 0:

ՇօՏ ϕ

,

Հեռմիïյան (Սիմեïրիկ) օåերաïորներ ումÙւորսÙ. L ունիïար (օրթոդոնալ) ïարածությունում դործող 4 դծային օåերաïորը կոչվում է

Հեռմիïյան (սիմեïրիկ),

եթե

µոլոր x. y ∈ L Համար ïեղի ունիª 4x. y = x. 4y ԱկնՀայï է, որ 4 ∗ =

(44)

ն 4-ն նորմալ օåերաïոր է:

Դիցուքª E

=

⋮

-ն

6ո օրթոնորմալ µաղիս է ն 4-ն µաղիսում, այսինքն

4E =4E:

օåերաïորի ներկայացումն է այդ

Քանի որª

4∗

= 4, աåա 4 ∗ = 4 ն 4

մաïրիցը ինքնաՀամալուծ է: Գարղ է, որ 4 ∗ = 4 åայմանից Հեïնում է 4∗

=

åայմանը, ուսïիª

օրթոնորմալ µաղիսներում Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) օåերաïորներին Համաåաïասխանում են ինքնաՀամալուծ (սիմեïրիկ) մաïրիցները: Դյուրին է սïուդել, որª

եթե 4-ն ն 8-ն Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) են, աåա Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) են նան 4 + 8-ն ն λ4-ն Չ.

4.

եթե 4-ն ն 8-ն Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) են, աåա

-ն Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) է



Դիցուք

4-ն

48 = 84

Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) օåերաïոր է ն λ-ն նրա

սեփական արժեքն է, իսկ x-ը Համաåաïասխան սեփական վեկïորն է: Տեղի ունիª λx. x = λx. x = 4x. x = x. 4x = x. λx = λ̄ x. x: Հեïնաµար, λ = λ̄ , այսինքնª

Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) օåերաïորի սեփական արժեքներն իրական թվեր են: Եթե դծային ïարածությունն էվքլիդեսյան է ն 4 օåերաïորը սիմեïրիկ, աåա ընդլայնված ունիïար ïարածությունում ընդլայնված

օåերաïորը Հեռմիïյան է: Իսկաåես, 8x. y = ո

ո

ո

ո

j=1

k=1

∑ α j 46 j . ∑ β k 6 k

ո

ո

= ∑ ∑ α j β̄ k 46 j . 6 k  = j=1 k=1

∑ ∑ α j β̄ k 6 j . 46 k  =

ո

ո

∑ α j 6 j . ∑ β k 46 k

j=1 k=1

j=1

k=1

= x. 8y

Վերջին նկաïառումից, այն փասïից, որ Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) օåերոïորը նորմալ է ն Թեորեմներ 23 ն 24-ից սïանում ենք, որ

կամայական Հեռմիïյան (սիմեïրիկ) օåերաïորի Համար դոյություն ունի օրթոնորմալ µաղիս կաղմված սեփական վեկïորներից ն կամայական ինքնաՀամալուծ (սիմեïրիկ) 4 մաïրիցի Համար դոյություն ունի այնåիսի ունիïար (օրթոդոնալ) 0 մաïրից, որ 0 −1 40 մաïրիցն

անկյունադծային է ն իրական: Ինչåես արդեն åարղել ենք, սկալյար արïադրյալը ֆիքսված µաղիսի դեåքում ïրվում է ինքնաՀամալուծ (կամ սիմեïրիկ իրական դաշïի դեåքում ) դրականորեն որոշված մաïրիցով: Նշել էինք, որ այդåիսի մաïրից կարելի է կառուցել վերցնելով 88 ∗ արïադրյալը, որïեղ 8-ն չվերասերված մաïրից է: Վերը շարադրվածից ինքնաՀամալուծ (սիմեïրիկ) օåերաïորների վերաµերյալ Հեïնում է, որ, եթե 4-ն ինքնաՀամալուծ (սիմեïրիկ) դրականորեն որոշված մաïրից է, աåա միշï կդïնվի չվերասերված 8 մաïրից այնåիսին, որ 4 = 88 ∗ : Իրոք, քանի որ 4-ն ինքնաՀամալուծ (սիմեïրիկ) է, աåա

կդïնվի ունիïար (օրթոդոնալ) անկյունադծային է, այսինքնª

0 −1 40 =

մաïրից,

λ1

⋯

λ2 ⋯

⋱

⋯ λո

որ

0 −1 40-ն

,

որïեղ λ i իրական են, i = 1. . . . . ո: Գարղ է, որ 0 −1 40 = 0 ∗ 40 ն, եթե Λ ≠ 0, աåաª Λ0 −1 40Λ ∗ = Λ0 ∗ 40Λ ∗ = Λ0 ∗ 4Λ0 ∗  ∗ : Քանի որ 0-ն չվերասերված է, եթե Λ ≠ 0, աåա Λ0 ∗ ≠ 0 ն 4-ի դրականորեն որոշվածությունից սïանում ենք, որ Λ0 ∗ 4Λ0 ∗  ∗ > 0: Ուսïի, 0 −1 40-ն դրականորեն որոշված է: Դյուրին է Համողվել, որ λ i > 0, i = 1. 2. . . . . ո: Իսկաåես, եթե, օրինակ, λ 1 ≤ 0, աåա Λ = 1. 0. . . . . 0 ≠ 0 ն Λ0 −1 40Λ ∗ = λ 1 ≤ 0, ինչը Հակասում է 0 −1 40-ի դրականորեն որոշվածությանը: Այժմ նշանակենք

Շ=

λ1

⋯

λ2

⋯

⋱

⋯

λո

:

ԱկնՀայï է, որ Շ ∗ = Շ, d6t Շ > 0 ն 0 −1 40 = ՇՇ ∗ : Այսïեղից անմիջաåես Հեïնում է, որª 4 = 0ՇՇ ∗ 0 −1 = 0ՇՇ ∗ 0 ∗ = 0Շ0Շ ∗ = 88 ∗ , որïեղ 8 = 0Շ ն d6t 8 ≠ 0:

Քառակուսային ձներ ումÙւորսÙ.

Հեռմիïյան քառակուսային ձն

է կոչվում

x 1 . . . . . x ո փոփոխականների կոմåլե քս դործակիցներով Հեïնյալ ïեսքի երկրորդ կարդի µաղմանդամըª ո

fx 1 . . . . . x ո  =

ո

∑ ∑ α ij x i x̄ j , i=1 j=1

որի

դործակիցները

µավարարում

են

α ij = ᾱ ji

åայմանին

(i. j = 1. . . . . ո):

Իրական

քառակուսային

ձն

է

կոչվում

x 1 . . . . . x ո փոփոխականների իրական դործակիցներով Հեïնյալ ïեսքի երկրորդ կարդի µաղմանդամըª ո

fx 1 . . . . . x ո  =

ո

∑ ∑ α ij x i x j : i=1 j=1

Իրական քառակուսային ձների դեåքում միշï կարելի է Համարել, որ α ij = α ji , i. j = 1. . . . . ո: Իսկաåես, վերարïադրենք fx 1 . . . . . x ո -ի երկու Հեïնյալ անդամների դումարըª α ij + α ji α ij + α ji xixj + xjxi α ij x i x j + α ji x j x i = ն դրանով Հավասարեցնենք x i x j -ի ն x j x i -ի դործակիցները: Քառակուսային ձնին (անկախ այն µանից թե դա Հեռմïյան է, թե իրական) Համաåաïասխանեցնենք դործակիցներից կաղմված 4 = α ij  ո×ո մաïրիցը: Գարղ է, որ Հեռմիïյան քառակուսային ձնի մաïրիցը կլինի ինքնաՀամալուծ, իսկ իրականինըª սիմեïրիկ: Նշանակենք x-ով փոփոխականների վեկïորըª x 1 . . . . . x ո  4 Գարղ է,

որ քառակուսային ձնը կարելի է դրել մաïրիցների արïադրյալի ïեսքով ª fx 1 . . . . . x ո  = x4x ∗ Հեռմիïյան դեåքում ն fx 1 . . . . . x ո  = x4x T իրական դեåքում: Դիցուք

ունենք

փոփոխականների

մեկ

այլ

Համակարդª

y = y 1 . . . . . y ո , որը դծայնորեն կաåված է Հնի Հեï, այսինքն դոյություն ունի մի չվերասերված մաïրից 0 = 4 ij  ո×ո (որի ïարրերը Ճ դաշïից են, Ճ = R. ℂ) այնåիսին, որ x = y0: Քառակուսային ձնը նոր փոփոխականների Համակարդում կսïանա Հեïնյալ ïեսքըª x4x ∗ = y04y0 ∗ = y040 ∗ y ∗  = y040 ∗ y ∗ , եթե Ճ = ℂ x4x T = y04y0 T = y040 T y T  = y040 T y T , եթե Ճ = R Այսինքն, նոր փոփոխականներին անցման դեåքում քառակուսային ձնի 4 մաïրիցը ձնափոխվում է 040 ∗ կամ 040 T µանաձնով, որïեղ 0-ն նոր փոփոխականների անցման մաïրիցն է: Հայïնի է, որ Հարթության մեջ երկրորդ կարդի կորերը (էլիåսը, Հիåերµոլը, åարաµոլը) նան եռաչափ ïարածությունում երկրորդ կարդի մակերնույթները ïրվում են երկրորդ կարդի µաղմանդամների միջոցով: Ճիշï է նան Հակառակըª կամայական երկրորդ կարդի երկու կամ երեք փոփոխականի µաղմանդամ կարելի փոփոխականների դծային ձնափոխությամµ µերել Հայïնի կորերի կամ մակերնույթների Հավասարումներին:

Երկրաչափորեն

դա

նշանակում

է,

որ

կորդինաïային Համակարդի Հարմար ընïրությամµ µաղմանդամը կարելի է µերել սïանդարï (կանոնական) åարղ ïեսքի (օրինակ,

x2 ճ2

+

y2 Ե2

= c 2 էլիåսի դեåքում ): Գարղվում է, որ նման արդյունք

կարելի է սïանալ նան ո փոփոխականի քառակուսային ձների Համար: Համաձայն Թեորեմ 23-ի Հեռմիïյան կամ սիմեïրիկ օåերաïորների Համար միշï դոյություն ունի ունիïար կամ օրթոդոնալ 0 մաïրից, այնåիսին, որ 4 մաïրիցը µերվում է անկյունադծային ïեսքի, այսինքնª

040 −1 =

λ1

⋯

λ2 ⋯

⋱

⋯ λո

,

որïեղ λ i թվերը 4 մաïրիցի սեփական արժեքներն են (Հիշենք, որ դրանք միշï իրական են): Քանի որ 0 մաïրիցը ունիïար (օրթոդոնալ) է, աåա 0 ∗ = 0 −1 (0 T = 0 −1 ): Դա նշանակում է, որ միշï

կարելի

է

անցնել

նոր

փոփոխականների

այնåես,

որ

քառակուսային ձնը սïանա Հեïնյալ ïեսքըª λ 1 y 1 ȳ 1 + λ 2 y 2 ȳ 2 +. . . +λ k y k ȳ k , եթե Ճ = ℂ λ 1 y 21 + λ 2 y 22 +. . . +λ k y 2k , եթե Ճ = R որïեղ λ 1 . . . . . λ k -ն 4 մաïրիցի µոլոր ոչ ղրոյական սեփական արժեքներն են: Նկաïենք, որ k = rճոk4 ն ոչ ղրոյական դումարելիների քանակը կանոնական ïեսքում կլինի Հավասար k: (45) ïեսքի քառակուսային ձները կոչվում են ձներ (ïեսքեր): Այսåիսով աåացուցեցինք Հեïնյալ թեորեմը.

Թեորեմ 28.

կանոնական

(45)

Կամայական քառակուսային ձն փոփոխականների ունիïար կամ օրթոդոնալ ձնափոխությամµ µերվում է (45) կանոնական ïեսքի, որïեղ k-ն քառակուսային ձնի մաïրիցի ռանդն է, իսկ λ 1 . . . . . λ k -ն 4 մաïրիցի µոլոր ոչ ղրոյական սեփական արժեքներն են: Կոմåլեքս դաշïի դեåքում, կաïարելով z i = փոփոխականների

ձնափոխությունը,

(որն

λ i y i , i = 1. . . . . k

ընդՀանուր

դեåքում

ունիïար չէ) կանոնական ïեսքի քառակուսային ձնը կµերենք z 1 z̄ 1 +. . . +z k z̄ k ïեսքին, որը կոչվում է նորմալ ïեսք: Դիցուք իրական թվերի դաշïի դեåքում կանոնական ïեսքում առաջին ո սեփական արժեքները դրական են, իսկ մնացածըª µացասական:

Կաïարենք

փոփոխականների

Հեïնյալ

ձնափոխությունըª (որն ընդՀանուր դեåքում օրթոդոնալ չէ) zi =

λ i y i . i = 1. . . . . ո ն z i =

−λ i y i . i = ո + 1. . . . . k

ն քառակուսային ձնը կµերվի Հեïնյալ ïեսքինª z 21 +. . . +z 2ո − z 2ո+1 . . . −z 2k

Թեորեմ 29. (Իներցիայի օրենքը) Իրական ինչåիսի

քառակուսային ձնափոխությամµ

կանոնական

ïեսքին,

ձնը էլ

դրական

փոփոխականների որ ն

µերվի

(45)

µացասական

անդամների քանակները չեն փոխվի ն միշï կլինեն Հավասար Համաåաïասխանաµար ո-ին ն k-ին: Աåացույց. Դիցուքª λ 1 y 21 +. . . +λ ո y 2ո − λ ո+1 y 2ո+1 −. . . −λ k y 2k ïեսքի քառակուսային ձնը (λ i > 0, i = 1. . . . . k) փոփոխականների y = z0 ձնափոխությամµ µերվել է նանª μ 1 z 21 +. . . +μ s z 2s − μ s+1 z 2s+1 −. . . −μ k z 2k ïեսքին (μ i > 0, i = 1. . . . . k) ն ո < s: ԱկնՀայï է, որ եթեª λ 1 y 21 +. . . +λ ո y 2ո − λ ո+1 y 2ո+1 −. . . −λ k y 2k = μ 1 z 21 +. . . +μ s z 2s − μ s+1 z 2s+1 −. . . −μ k z 2k Հավասարության մեջ y i փոփոխականները փոխարինենք z 1 . . . . . z ո -րի արïաՀայïություններով, աåա կսïանանք նույնություն: Արïադրենք այդ նույնությունըª λ 1 y 21 +. . . +λ ո y 2ո + μ s+1 z 2s+1 +. . . +μ k z 2k =

(46)

μ 1 z 21 +. . . +μ s z 2s + λ ո+1 y 2ո+1 +. . . +λ k y 2k Կաղմենք z 1 . . . . . z ո փոփոխականներով դծային Հավասարումների Հեïնյալ Համակարդը (քանի որ y i -րն արïաՀայïված են z 1 . . . . . z ո -րի միջոցով)ª y 1 = 0. . . . . y ո = 0. z s+1 = 0. . . . . z ո = 0

(47)

Այս Համակարդը Համասեռ է ն Հավասարումների քանակը խիսï փոքր է անՀայïների քանակիցª ո + ո − s < ո (քանի որ ո < s): Ուսïի,

դոյություն ունի (47) Համակարդի ոչ ղրոյական լուծումª z 1 = β 1 . . . . . z s = β s . z s+1 = 0. . . . . z ո = 0 Տեղադրելով այդ լուծումը (46)-ի մեջ սïանում ենքª

(48)

μ 1 β 21 +. . . +μ s β 2s + λ ո+1 y 2ո+1 +. . . +λ k y 2k = 0: Բայց λ i > 0, μ i > 0 (i = 1. . . . . k ), ուրեմնª β 1 =. . . = β s = y ո+1 =. . . = y k = 0: Սակայն β 1 =. . . = β s = 0 åայմանը Հակասում է (48)-ի ոչ ղրոյական լինելուն: Թեորեմն աåացուցված է:

¶ðԱÎԱՆՈՒÂÚՈՒՆ

1. 2. Հ. 4.

Мальцев А.И.. Основы линейной алгебры. 2Наука2. Москва. 1970 Курош А.Г.. Курс высшей алгебры. 2Наука2. Москва. 1971 Гельфанд И.М.. Лекции по линейной алгебре. 2Наука2. Москва. 1971 С.Ленг. Алгебра. “Мир”. Москва 1968