Գծային ծրագրավորման մեթոդներ

ՀՀ

ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ

ՀԱՅԿԱԿԱՆ

ԳՅՈՒՂԱՏՆՏԵՍԱԿԱՆ

Ա.Խ.

ԳԾԱՅԻՆ

ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ

ԱԿԱԴԵՄԻԱ

ԴԱՆԻԵԼՅԱՆ

ԾՐԱԳՐԱՎՈՐՄԱՆ

ՄԵԹՈԴՆԵՐ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ

ԵՐԵՎԱՆ

ՁԵՌՆԱՐԿ

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ 51(07) ԳՄԴ 22.1 773 Դ 171

Ներածություն

արժանացել Ուսումնական ձեռնարկը հավանության խորհրդի մեթոդական ֆակուլտետի ՀԳԱ-ի տնտեսագիտական ն ուսումնամեթո2) ՀԳԱ-ի (25.12.2002թ., արձանագրություն կից խմբագրականկոլեգիայիկողմից դականհանձնաժողովին 2): (8.09. 2003 թ. արձանագրություն է

Գլուխ

1.

Լ.Լ...

ւու,

Գծային հանրահաշվի

որոշ

տարրեր ԿԿԿԿԿԿՅՈԱՈԱԱՈ:ՈԱԱՈԿՈ:Կ:ւ:ԿԿո։։:

ՏԼ. Երկրորդն երրորդկարգիդեանրմինանաներ 82. որդ կարգիդետերմինանաներ «ԱՎԿԱՎԱԱՑՅՎՒԳԱՎՎՎԱՅԱԱԱՈԳԱԿԱՎԱԱԱՅՎՈՎԱԳԿՎԱՎ Կ ՈԿ ԿՈ,»Ո, ԱՆԱՆԱՍ

ԱԼԱՆ

ԱԱ

11)

ԴԴ

83. Մատրիցներ............................

84. Գործողություններմատրիցներիհետ ԳԱԱԳԿԱԱՎԱՈՈՈԱՎԱԿԿԱԿԱԳՎՎՈ ԱԿ ԿԿԿՎԿԱ ԿՈՈ ԿՈ։,«սո. 85. Հասկացություններո-չափանի տարածությանմեջ 86. ո -չափանիվեկտորներ Դ.

ն

ԱԱ

խմբագիր՝Բ.Հ. Շահնազարյան Մասնագիտական Խմբագիր՝Ռ.Ա. Հայրապետյան

87. Վեկտորներիզծային կախվածությունը 88. Ուռուցիկ բազմություններ

ՎԳՈՅՎՈՈԱ

Ա44ԱԿԿԿՅԱԱ

ԱԿԱ ԿՈՈ նՈՈ,, Վ

ՔԱԳՎ

ԱԿ

Գլուխ 2. Գծային ծրագրավորմանխնդիրը

եո.

ո

ոա

404944:

.......»:ԿԴ.

89. Գծային ծրագրավորմանընդհանուրխնդիրըԻԱ9ՈՅԱՅ

ՑՎԿԱՅԱՅ ԿՎԱԱԿՒԿԿ,ԱԿՈՈ:

Տ10. Գծային ծրագրավորմանըբերվողխճդիր- օրինակներ

ԼԱԱԱԱԱԼԱ

811. Գծային ծրագրավորմանխնդիրների հատկությունները Գլուխ 3. Գծային ծրագրավորմանխնդրի երկրաչափական ԱՎԱ

ԱԼԱՆ

ԴանիելյանԱ.Խ. ձեռնարկ: Եր. 136 էջ.

Ոաումնական մեթոդներ: Գծային ծրագրավորման ակադեմիա, 2003, Հայկական գյուղատնտեսական

մեկնաբանումը

812. Երկու փոփոխականներով գծային անհավասարումների

Ձեռնարկում հանգամանորենշարադրվածեն գծային ծրագրավորման խնդիրներիլուծման մեթոդները,բերված են օրինակներն տրված են մահիմնավորումներ: թեմատիկական ն է տնտեսագիտական, ճարտարագիտական Ձեռնարկը ճախատեսված համար: ուսանողների մասճագիւոությունների տեխնոլոգիական

համակարգերիլուծումը.............. 813. Գծային ծրագրավորմանխնդրի լուծումը հարթության Տ14. Գծային ծրագրավորման խնդրի լուծումը եռաչափն ոչափանի տաքածություններիմեջ ՔԱՎՎՎԱՎԱԱԿ

ՎԱՅԱՎԱԿՎԱԿ

ՎԱ ՈՒՑԿ ԱՎ

Գլուխ 4. Ժորդանյանարտաքսումներ

«99:00

ԿԿ

21990

ԿՅ

Տ15. Սովորականժորդանյանարտաքսումներ ԿԱՅԱ

1802010000 . 0173 1602010000 (07 .-2003

99930-964-7-4

ՒԿ

ԿԱԿ

ԳՄԴ 22.1737

ՈԿԿԿսս..Դ,.

0412912041100

2:4

Ի 4 ուս.

ԱԱԱԿԱՌԱՈ

ԱՎ

ԱՈւԿ ՈՂԿ

Դ.Դ ՈՈ

ՄՈ

Ո

Կգ

Տ16. Ժորդանյան արտաքսումներըաղյուսակայինտեսքով Կոո, ս. 817. Ժորդանյան վերափոխվածարտաքսումներԱԱՆԱԼԱԱԱԱԱԱԼԱԱԼԱԱԱՆ1ԼԱ11111Ն 818. Ժորդանյանարտաքսումներիկիրառությունները ԱՆԱԱԱԼՆԱԼԱԼԱՆԸ ԳԳԿՈԱԱ

Դ

ՏՔԻ

ՑԿ

ԱՈ

ԱԿ

ԱԼ

ԴանիելյանԱ.Խ. Շ Հայկականգյուղատնտեսական ակադեմիա

Ծ

Գլուխ 5. Միմպլեքսմեթոդ

Տ19. Միմպլեքսմեթողիէությունը ԽՎՎՎԱԿԱՎԱԿԱԱԱՈՒ ԿԱՎ

ԱԳՈՒԱԱՑՎՈՑՈ

ՑԱԿ

ՎՎՎԱԿԱԱԳԱ

ԿՈԿՈՈ ԿԱԿԱՈ

ԱՈ

Ո ,:Ղ

Ներածություն

ՈՎ ԿՎԱԿՈՒԿ ՄՈՒԿ: 75 Տ20. Միմպլեքսմնթոդըընդհանուրտեսքով ԱՎՋԱԿՎԱԿԿԿԱԿԱԱԱՎԱԱԱՅՎՈՎ 821. Սիմպլեքս աղյուսակներ աթայարրր աեր»79 ՑԱՎՈՎ

Լունա

822. Սկգբնականհենքի (բազիսի) գտնել 823. Սիմպլեքս մեթոդըԺորդանիվերափոխված ձնափոխություններով

աասարրարոթթթ

ո

Այս

եար,

Գլուխ

6.

Գծային ծրագրավորմաներկակիության տեսություն

նպատակ ենք գրքույկով

դրել տարրական գիտելիքներ հածրագրավորմանհայտնի որոշ |սնդիրների

ղորդելընթերցողին, զծային

ն

նրանց լուծման մեթոդներիվերաբերյալ:

Գծային ծրագրավորումըկիրառականմաթեմատիկայիբաժիններից մեկն է, որմ ուսումնասիրում է օպաիմալացմանլսնղիրների-որոշա524. Գծային ծրագրավորմանփոխադարձերկակի ն մշակում դրանց տեսակի տեսակների խնդիրներիձնակերպումը ու լուծման արդյունավետ մեթոդները:Այն մշակում է կան հիմունքներն երկանին կազմելու ՝ 25. Գծային ծրազրավորմա որոնման, որոշզծային ֆունկցիայի օպտիմալ արժեքների մնթողներ ման համար: Դա կատարվում է ելնելով ալգորիթմի լինելու Հ Ց ծրագրավորման ՆՆ փոխադար 826. Պոդումներ Պնդումներ գծային գծային անհրաժեշտ ն բավարար պայմանից ե իրականացվում Լ վերջավոր նրկակիխնդիրներիճկատմամբ կամ անհավասարումների համակարգերիհաթվով հավասարումննըի 827. Գծային, համասեռ, փոխադարձաբարերկակի մար: հավասարումներիհամակարգեր աաաաաաաաաարաաթ Սովորարար,տնտեսության օպտիմալ պլաճավորման,կառավար111 ման, ինչպես նան ժողովրդական տնտեսությանըվերաբերող մի շարք Տ28. Երկակիությանթեորեմիապացույցը. բերվում Այղպիսի խնդիրներ ծրագրավորման: խնդիրներ ունեն ենգծային Տ29. ԳԾային ծրագրավորմաներկակիխնդիրներիտճանսագիտական բազմաթիվլուծումներ, որոնցից էլ անհրաժեշտ է ընդհանրապես իմամը. աաաաաա նաթ ընտրելլավագույնը: Գլուխ 7. Տրանսպորտայինխնդրի լուծումը Գրքույկը: բաղկացած է յոթ զլուխներից: ն չորրորդ գլուխներում բերված են գծային հանրահաշվի Առաջին լուծման 830. Տրանսպորտայինխնդըի ալզորիթմի (որոնց միջոցովներկայացվում ն հիմնավորմի շարք գաղափարներ, նճն ն 31. Տ31. Տրաճսպորաայինխնդրումհենքի փոփոխականների են գծայ որոշ հարցեր): վում ծ րագրավորման զծային քանակը աաա նա նակաարըթ Երկրորդ գլուխը նվիրված է գծային ծրագրավորման ընդհանու ՈՒ ԸԴ 832. Սկզբնականհենքի գանելը ե բերված 833. Տեղափոխումներիմատրիցիմեջ շղթա հասկացությունը են գծային Մնացած չորս գլուխներում հիմնականում բնրված լուծման 834. Բաշխականմեթյդ խնդիրների մեթոդները:Հատկապեսմանրածրազրավորման են սիմպլեքսն պոտենցիալներիմեթողներովլսնդիրմասն շարադրված 835. Պոտենցիալներիմեթլռդ Լ.Լ... ների լուծման ալգորիթմները: Տրված են գծային ծրազրավորման 836. Բազիսայինմի լուծումից անցումըմյումիճ ձնակերպումըն նրանցկազմման եղանակմերը: երկակիխնդիրների Գրքույկը նախատեսված Լ բուհական համակարգի ինչպես նեդ մասնագտական,այնպես էլ տնտեսագիտականոլորաի գիտական աշխատողներին ուսանողներիհամար: ո

ո

Ա Ան անները

թ

մա

Աաատման աանավեը

աապասայակկաաապըը

ոա

վերջավոր

ապաս

:

աարախարապադարըը

Աոա

Աոա

աաաասանաաաանաառն

Աո

նմանն

ն

աակ

՝

աակակաականաակննաանոնան

աաա»

լ

ւու

|

`

ա.

աւա

թ անավո խնղրի ն ոպմածը րնակներ:

ակակաեակկաակաաանվաա

աաա

ւական

Լե...

ւ.

ո

աաա

աա

կդաաաաապասաաաատ

Լանան

նասաաաաա,

Գլուխ

Գծային հանրահաշվիորոշ տարրեր

1.

մակարգումկազմումեն հետնյալ աղյուսակը

81. Երկրորդ ն երրորդ կարգիդետերմինանտներ

Ինչպես հայտնի է գծային հանրահաշվի տեսությունից, երկրորդ կարգիդնտերմինանտիգաղափարըկապված է երկուանհայտովերկու հավասարումննրի համակարգիլուծման հետ: Տրված է հետնյալ համա-

կարգը

Ճ»գլեչ

-ճշ

ճն

1՞Դ

ԷԵ,Հ-Ը Ի

ճշել

(Ե. 9), ք

ե0չ

Ց)

կամերկրորդկարգիդետերմինանտ, որը նշանակումենքհետնյալտես-

ԵչտշՀԸչ

իսկ երկրորդիերկու մասը` ԼՐ

ծլ -ով

(ջ, յ) Է

Ճ»-

այնուհետն

(ճլծ: Գչելիզճլե: չել ւ

-

ապա պո

-

Հ

Նույն ձնով արտաքսելով Ճլ-ը կստանանք

(ուծ, ճչել)», -

-

Եթե(ոլթ, չել -

թվերը՝

) --

0,

Շլե. Ըչել զե, ճչել

ապա

-

--

Նկատենք, որ մլ

ն 7

`

ճլօչ

-

(1-ի լուծումը կհանդիսանահետնյալ

8լՇշ

-

(2) Օ)բ

Գլ

ե Սյ

ռ. 2

Ֆի Հ

բանաձնե րը

626.

6չԸլ

ճլեչ շել

օ)

-

փոփոխականներիգործակիցները(1)

հա-

ճ. '

Ե|

6,

Եշ

(4)

Եթե նշանակենք

գումարելովստացված հավասարումները՝կստանանք.

ել

Գշ

երկրորդ կարգի քառակուսի Օ0մատրից,իսկ արտահայտությունըայղ մատրիցի ղետերմինանտ

(1)

Նրա լուծումը կարելի է ստանալ տարբեր եղանակներով,որոնցից մեկը փոփոխականների արտաքսմանեղանակն է, որով ն կատարենք լուծումը: Բազմապատակենք (1)-ի առաջին հավասարման երկու մասը

ւ-

է

ե

քով՝

.

Ե.-ով

կոչվում

որը

ձ

ւ5

Շ

ե ծլ

Ը.2.

./4

Ճ6չ-

Գ .. 2

Շի

կգրվեն`

Ճո

-շ-

,

7Հ-

Ճ.,

-

Տ)

տեսքովն կոչվում են Կրամերիբանաձներ: Կախված դերմինճանտի արժեքներից, (1) համակարգը կարող է ունեճալտարբերլուծումներ. Լ Եթե Ճ 0, ապա համակարգըունի միակ լուծում. Լ. Եթե Ճ «0, ապա հնարավորէ երկու դեպք. ա) Եթե /Ճլ 0,/Ճշ

0 (համարիչ դետերմինանտները միաժա-

մանակ 0 կամ » 03),ապա համակարգնունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ: բ) Եթե /Ճլ 0, /Ճ.շ «0, ապա համակարգըլուծում չունի:

Երրորդկարգի դետերմինանտը ստացվում է երրորդ կարգի քառակուսիմատրիցից, ճ ճշ

Խ Ե. ե.

զ

(6

Ըշ

ե

տչ

նշ Շչ|Հճլեչըլ- ճշելըլ եյ օյ

6:

Հոլլ

ճլ

ճյելՇչ ՕդԵչճլ ճշել: -

-

-

Օլելըչ (7)

-Չ

-3Դ

0-3-Ը3)-1-Ը2).Ը1»-15-12-40-2»-69 82.

ո

-րդ

կարգի դետերմինանաներ

նե երրորդ` կարգի դետերմինանանճերի երկրոդ ենք տալ 7-րդ կարգի սահմանումից, կարոդ նույնօրինաչափությամբ դետերմինանտհասկացությունը,որը ունի թվով տողերնսյուներ:

Ելնեով

ճոոշ

հո

-րղ

(4)

կարգի ղետերմինանտիվերածումը

յ,

Եթե 24 դետերմինանտիմեջ ջնջենք -րղ ապա

արտահայտությունները

կստանանք

ն

7-րդ սյունը,

(ո, 1)-րդկարգիդետերմինանտ,որին անվանում են

Ճ/ ը:

(4,) հավասաը է Մ.) բազմապատկածԷ ը)"-ով, որտեղ

հանրահաշվականլրացումը

համապատասխանմինորը 1-նն

տողը

-

4, տարրի մինոր ն նշաճակումեն

շ- 2)2:3.Ը4)-4.5. 1:5.Ը3)--0-

-Հ

. ա)

ճ.

"Բ

կոչվում են ճ,, տարրերիհանրահաշվականլրացումներ:

ՈրնեԼտարրի

շ

ճջ

7-րդ տողի տարրերի: Ռանաձնում

ըսա

Զիտողություն:Մատրիցիկամ դետերմինանտի մեջ մտնողտառերը են կոչվում նրա տարրեր (էլեմենտներ): Օրինակ: Հաշվել դետերմինանտիարժեքը.

Պլ

ճյլ

"ր

3641-Ի" Յոն,

Այխ բանաձնը տալիս է Հ

ճշ

Դետերմինանաիարժեքըկարելի է հաշվել հետնյալ բանաձնով,

Երրորդկարգի դետերմինանտկոչվում է հետնյալթիվը. ճ

ճ

7-ն Օյ ի տողի նսյան համարներնեն:

4ՀԸՌ"ո,

|

Թվենք մի քանի հատկություններ: Հատկություն 1: Եթե դետերմինանտիորեէ տողի (սյան) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի ապա դետերմինանաըրհավասար է

զրոյի:

2: Դետերմինանտիերկուտողեր (խյուներ) Հատկություն տեղա-

փոխվելիս այն կրազմապատկվի --

1 -ռվ։

Հատկություն նքե ղետերմինանտը պարունակամ է երկու միննույն տարըերից կազմված առղեր (սյունեը), ապա նրա արժեքը 3:

հավասար էզրոյի: Հատկություն 4: Եթե ղետերմինանաիցանկացածտող (սյուն) ունի ընդհանուրբազմապատկիչ,ապա այն կարելիէ դետերմինանտինշանի տակից դուրս բերել: Հատկություն 5: Եթե ղետերմինանտիորնէ տողի (սյաճ) տարրերը կազմված են երկու գումարելիներից,ապա այդ դետերմինանտըկարելի է ներկայացնելերկու դետերմինանտների գումարիտեսքով այնպես, որ երկու դետերմինանտններումէլ բոլոր տարրերը լինեն ճույնը, բացառությամբ այն տողի (սյան), որտեղ զտնվում է գումարը: Առաջին աղետերմինանտինշված տողում (սյունում) գրվում է զումարելիներից ռաջինը,իսկ երկրորդում՝երկրորդը: ճ: Դետերմինանտի արժեքը չի փոխվում, եթե նրա Հատկություն ավելացնենք որեէ տողի (սյան) տարրերին համապատասխանաբար մեկ այլ տողի (սյան) տարրեր՝նախօրոք որնէ թվով բազմապատկելով: Հատկություն 7: Դետերմինանտի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա տողերըփոխարինենքսյուներով: Հատկությունծ: Եթն դետերմինանտիտողի (սյան) տարրերը համապատասխանաբարբազմապատկենքնրա մեկ այլ տողի (սյան) տարրերի հանրահաշվական լրացումներով ն վերցնենք նրանց գումարը, ապա այն հավասարկլինի զրոյի: Օրինակ:Հաշվել չորրորդ կարգի դետերմինանտի արժեքը:

Ճ-

Հ

գշլ42լ 3 62:42չ 544:

4.Ը1)2-10

Ի

6.2

0»

(543-20- 24)Է-3. ն8-4-18-30-Վ16(18

-2.

8) (6Է27-

30)5-115

10)-

83. Մատրիցներ Մատրիցըցանկացած աղյուսակ է, որի տարրերըդասավորվածեն ն սյուներով: է լինելքառակուսի կամ ուղղանկյուն: Այն կարոդ 7: ն Կամայական մատրիցը, որն ունի թվով տողեր ո թվով սյուներ, ունի հետնյալ տեսքը,

տողերով

Ճլ

ճշ

2 2

458275.

ՅՐ:

ոի

«ՐՈՐ

Մ

ճու

ճյ

Ճշ

"|

ճոր

նրատարրերնեն:

4. Հ(Ալ»ճա-"54այ

Արտահայտենք Ճ-ն ըստ երկրորդտողի տարրերի ն նրանց հանրահաշվական լրացումներիմիջոցով: Ճ

"-3

Մատրիցիցանկացածտող կարելի է դիտել որպես 7) -չափանի վեկտոր.

-ձ.

2Հ«Ը2)Ը1

-

ՀԼԸ5:-3

որտեղ ճ.

451Լ1-2

Է

ճշ

3.Ը ) 2-2.3

Հ

2-Ի

Ս

4Ճ.-

(6, 4ո25""", ճ,,)

Բերենք որոշ հասկացություններմատրիցներիմասին: Մատրիցի ռանգը ճրա գծորեն անկախ տողերի քանակն է, այն համընկնում է վեկտորներիհամակարգիռանգի հետ: լ

Մատրիցիճկատմամբկարելիէ կատարելէլեմենտար(տարրական) ձնափռխություններ, ռրով ճա կմնաինքն իրենհամարժեք: են համարվում. Էլեմենտարձնափոխություններ ա) զրոյականտողի ջնջում (հեռացում) բ) երկու կամայականտողերիտեղափռխում գ) երկու կամայականսյուներիտեղափոխում, դ) որնէ տողի տարրերին կարելի է ավելացնել մեկ այլ տողի համապատասխան տարրեր` նախօրոք դրանք բագմապատկելով ցանկացածթվով: Թեռրեմ: Էլեմենտարձեափոխություններից մատրիցիռանգըչի փոխվում(ապացույցըչենք բերի): Եթե մատրիցիտողերը փոխարինենք սյուներով, ապա կստանանք ճախորդիտրանսպոնացվածը:

Գլ

ճշ

Ճշ

Գ

Գլ,

1...

..

աթո

ԱՎԻ

ԿԿՎԻ

..

Կսն

Այն մատրիցը,որի բոլոր տարրերը զրոներեն, կոչվում է զրոյական: Երկու մատրիցներհավասար են, եթե նրանց համապատասխան բոլոր տարրերընույնն են:

4»4-8-Հ-

տարրերը կազմում են

ն Ց

Օրինակ:Գտնել 4

Գո

մն

գլխավորանկյունագիծը: Այն քառակուսիմատրիցը,որի գլխավոր անկյունագծի տարրերը մեկ են, իսկ մնացածը զրոներ, անվանում են միավոր: Միավոր մատրիցննշանակումեն 27 տառով:

(4- 8)--Շ-4Հ

Ապ

ԿԱՐ

Քառակուսի մատրիցի Օլ, Ճ2շշ»"'8,,.

248-8:4

ճոչ

Ժշո

ն այլ 0: Մատրիցներըկարելիէ գումարել,հանել, բազմապատկել Երկու մատրիցներկարելի է գումարել(հաճել) միայն այն դեպքում, եթե նրանքունեն միննույն թվով տողեր ն միննույն թվով սյուներ: Երկու մատրիցներգումարելիս (հանելիս) անհրաժեշտ է ճրանց համապատասխան տարրերը գումարել (հաճել): Մատրիցների գումարման ն.ասոցիատիվ համար գործումեն կոմուտատիվ(տեղափոխելիության) օրենքները: (զուգորդման)

Ժող

""

ՈԱԿՎՎՈ

84. Գործողություններմատրիցներիհետ

(8 -Շ )-

մատրիցներիգումարըն տարբերությունը:

3:41

(4 ԷՇ )

,

,

4-989Հ-

լ

-Տ

Երկու մատրիցներկարելի է բազմապատկելմիայն այն դեպքում, եթեառաջինմատրիցիսյուների քանակըհավասարէ երկրորդիտողերի քանակին: Արտադրյալ մատրիցըկունենա այնքան տող, որքան առաջիճը ն այնքան սյուն, ռրքաներկրորդը:Արտաղրյալմատրիցի1-րդտողի յ -րդ սյան տարրը ստացվումէ առաջինարտադրիչմատրիցի 1-րդ տողի տարրերը բազմապատկելովերկրորդմատրիցի /

-րդ

սյան

հա-

տարրերով ն վերցնելով նրանց հանրահաշվական մապատասխան գումարը:

տեԵրկու մատրիցներիհամար գոյությունչունի բազմապատկման ղափոխելիությանօրենքը:

4.բ»ը.14

Զուգորդմանն բաշխականօրենքները ինչպես թվերի նկատմամբ, ,

են: իրավացի

(48): 46) (4: ԹԸ» 4ՇԻ8Ը -

Օրինակ:Բազմապատկենք4

ն Ց

4-12

018Հ13

շ

4` -ով,ապա՝ մատրիցն

ի հակադարձ

4:44

Մատրիցը որնէ թվով բազմապատկել, նշանակում է նրա տարընըըբազմապատկելայդ նույն թվով:

-

բոլոր

..

ճող

ԴՈԴԻ"

:

44,

ոլ

46,

Եթե որնէ մատրից ձախից կամ աջից բազմապատկենքմիավոր մատրիցով,ապա այն կմնա անփոփոխ:

Օրինակ:

Գլ"

Ի

ճշ

Հոլլ

404,

:4-Ք

ԻԻ

ԱՃ:

ճշ

ճախ

Է"

ճշրն,

Է

Իճոալ

Տ

Ել

Հ

Եչ

1)

ԴՄԻԻԿԿԿԿԿԿԿԿԿՎԿԱԿԳԿԿՈԿՈԿԿՈԿԴԻՒԸ:

9.ՈՆՍՆՍՆՍ,2Ձ``.,`՝ՈՈՒԼՈՒՈղլՐՈՐՈՒՐՑ,զ(զՁԼՆԱՈ(ՎզՁՎԱԼՎԼՎՁԶՁՉ«զՁՋ

ճ ոլ

7),

հնանյալ համակարգը:

ճյ

96.6

Հ

Ելնելով հակադարձ մատրիցի գաղափարից, բերենք ճրա կիրառությունը՝ հավասարումների համակարգըլուծելիս: Տրված է գծայինհավասարման

Եթե

Գլ

կառուցել այնպիսի մատրից, որը ձախից կամ աջից ապա կարելի արված մատրիցովբազմապատկելիսստացվի միավոր մատրից: Այդ մատրիցնսկզբնականիհամար կլինի հակաղարձ: Եքե նշանակենք .,4-

3.7Հ0-0Հ2-2

Մ"

է

2.7-Հ1.0-0-2|Հ|11

1.4:0.:342-5

Եքենքառակուսիմատրիցիռանգըհավասար է նրա կարգին (չ

3.7-6:0-ՀԻ4.2

4:8Հ|2.4-13Հ:0-5

Ին զ

3.4-6:344.5

ի ւէ

մատրիցները:

կամ

Գ

ճշ

ճշ

ճշ

ճո

ճշ

Է

ճշ

"Ւ

""

Պլ

ճր

ճշր

զ

Հել

Լ

ի,

ո

"

ե, ե, Ն) ՞

Այս դեպթում (1)-ը կգրվի մատրիցային հավասարմանմիջոցով,

հետնյալտեսքով` Վ0

5Վ023լ 1 0|Հ

|

Բազմապատկենքձախից (2)-ի երկու մասերը 4

հակադարձով:

4::4:2»54

(2) մատրիցի

տանը որ 1 .-

Բ. իսկ Բ:

՞-

Ն. |

3» ,

Նբն համարենք 18-Ը. կսսւանանը: կսսւանանը

արդյունքում սրդյունքում

լ

Ֆչ

Հ

,

Ը

որանը Ը-ն

սյաս

Այստեղ

կամ Նշ ՀԸ. .......կ.«.«

սրը ն

Լ

թվերով:

իվերի

-չափանի տարածությանմեջ կետր արվում Է Հ,»

Կեար կուրվավորված |սմբով,սրոնթ կոչվում են կետի կոռլաղինատներ: անսքով: մշանակում են ՖՈ.)

«ափանի

ՄՐ... `

ղիասնումնն

աապրածության մեջ՝՞ ուղի

Ն) Մ

փոփոխականիփոփոխմանտիրույթն է

ն/ք»

Մա

Ւ

6(-.ա):

զրծ

կովամ

ապա

նրանցկոռրդի-

արժեքների տեղադրմամբ:

-չափանի տարածության կապված է մեկ այլ հիպերհարթություն հասկացությունը:Այն հարթությանընդհանրացվածհասկացություն է: «Հիպեր» նախածանցըայստեղ ունի որոշակի իմաստ: Քանի որ 7-չափանի տարածությանմեջ հնարավորեն տարբերտիպի «ճարթություններ»՝միաչափ«հարթություն» (ուղիղ գիծ), երկչափ «հարթություն» ն այլն, վերչապես լ

0-1) «հարթությունը»: (.- )-չափանի

չափանի «հարթությունը»դ -չափանիտարածությանմեջ անվանումեն

«ձիպերհարթությում»: Սահմանում:

կոչվում

է

ՃԱ

դ-չափանի տարածությանմեջ հիպերհարթություն կետերի համախումբը, որոնց կոռորդի-

""ռյ)

նատները բավարարում են

սարմանը

Լ

առաջին աստիճանի հետնյալ հավա-

Ալա Իճշճ

կնտերի բազմությունը, որոնց կոռրլինաաները համն-

պարամետրիցկալսված գծային ֆունկցիաներ.

Ճշ,

հետ

դ

աիկ անալի Լ երկու երկրաչափաթրոմից, հարբության վրա կետր բնորոշվամ բվներով.իսկ նռաչափ տարածության մեջ` երեթ թվերով: Այղ նույն օրինաչափությամբ71-չավոսմիաարածությանմեջ կեար կրնորոշվի

ո

|

կստացվեն (1)-ից սատմճերը

85. Հասկացություններ/ -չափանի տարածության մեջ

ո

(7

ԱՒ,

հատվածի ծայրակետերըճշանակենք 4Ճ՛լն

կլինի Ո) համակարգիլուծումը:

Ինչպես հայանի

6.է ծ,

երկու Եթե / պարամետրիփոփոխմանտիրույթըսահմանափակենք հավասարումըկպատկերիուղղի եզրերից,ապա (1) պարամետրական հատված կամ ուղղակի հատված: Հատվածի համար՝ (6 լ,ճ|։ Եթե

ՀԸ

ՀԸ

Հ

մատրից է. ապա

ԷԸ

Ա)

գլմ3 ել

կստանանք`

որտեղ ճլ.64.,"'",6

Ի"'Գգյոլ

ծ

գործակիցներիցգոնե մեկըտարբերէ զրոյից: ի

86. 71-չափանիվեկտորներ

Վեկտորականմնծությունը ղա ցանկացած մեծություն է, որը ունի ուղղություն: /7/ -չափանի տարածության մեջ վեկտորը,ինչպես կետը, բնորոշվում է Դ թվերի կարգավորված խմբով: 7/ -չափանի վնեկառրը նշանակում են հեանյալ տեսքերիցմեկով.

--

(ոյր)

Ճ

որտեղ

մլ :53,

Է՛

Եշ":

թվեը

ո.) համարվւմ

են

վեկտորի

կոորդինատներ:

:55.) ն (ջոջ, ) կետերը,ապա նրանցով որոշվում է յ վեկառորը՝հետնյալ կոռր-

Եթե տրված նն Հպ

ասում

նենք, որ

ղինատներով.

վեկտորիմոդուլըորոշվում է

իվ րանաձեռվ: --

|շշ - 2: զալ

Երկրաչափականերկու վեկտորներհավասար են, եթե հավասար նրանց մոդուլները,իսկ ուղղություններըհամընկնում են: Վեկտորների հավասարությունը բխում է նան նրանց համապատասխան կոորդինատներիհավասարությունից:Այդ հատկությունըօգտագործվում է 7 -չափանի վեկտորներիհավասարությունըսահմանելիս: ո-չափանի երկու վեկաորներ հավասար են, եթե հավասար են նրանցհամանուն կոռրդինատները: Հարբության վրա երկրաչափականերկու վեկտորների զումարը (գծ. 1) ն տարբերությունը(գծ. 2) ներկայացված է զուզահեռագծի կանոնով: են

կամ

-

րածությանմեջ 77 Արո)

1:

կետը կոչվում է 477 վեկտորի սկզբնակետ, իսկ 3 -ը՝ վերջգակեա: Այսպիսով, վեկտորիկոորդինատներըհավասար են նրա վերջճակետի ն սկզբնակետիկոորդինատներիաարբերությանը: Եթե վեկտորի բոլոր կոորղինատճները զրոննը նն, ապա այն կկոչվի զրոյական ն կհամընկնի կոռրղինատների սկզբնակետի հնտ (մոդուլը հավասար է զրոյի, ուղղությունչունի): Եթն վեկտորի սկզրնակետը համընկնում է կոորդինատներիսկզըճակետիհնա, ապա այդպիսի վեկտորը կոչվում է վերջնակետիշառավիղ վեկտորը: Շառավիղ վեկտորիկոորդինատներըհամընկնումեն վեկաորի վերջնակետիկոորդինատներիհետ: Ցանկացած երկրաչավական վեկտոր բնութագրվում Լ մողուլով ն ուղղությունով: Եթե հայանի Լ վեկտորի կոորղինատները,ապա միարժեք կերպովորոշվում է նրա մողուը ն ուղղությունը: 77 չափանի տաՃ

մոդովը

ՀՕ, ապա

կփոքրանա4 անգամ): Եթե

վեկտորի մոդուլը

4. անգամ, իսկ ուղղությունը կդառնա հակառակը:

կմեծանա -

-

--

-

--

Վեկտորներինկատմամբ գծային գործողություններըկատարելիս, անհրաժեշտէ նկատիունենալ հետնյալ հատկությունները. ա) տեղափոխելիության՝

.-

227-277

ն

27-32,

բ) զուգորդման՝ լ

-

-՛

-

լ

4.

Հ

2-:2-2-Թ-7Ի2- 2: ի7 24(22-Հն )-252

» ճւ

գ) բաշխական՝

»

20-22-77,

գծ.2

2ն:22-22-

Տարածելով այս հատկությունը ո -չափանի վեկտորների վրա՝ կստանանքհետնյալ սահմանումը. 7 -չափանի երկու վեկտորների գումարը մի երրորդ վեկտոր է, որի կոորդինատներըստացվում են գումաբելի վեկտորներիհամապատասխան կոորդինատներիգումարից:

ԵթեՀԸ

12»,

2:Ի-նլ

ՒՐ)», 3),

2-7»նլյ

-

ջլ,4Ճշ-Է Ֆշչ""57, Ֆղ»1չ-

Ֆշ»"""եր

Իջ)

ուղղությունը կմեծանա 4

թշ

նոր՝7 -վեկտորը։

(եղեռն):

Կախված /4-ի արժեքից, բազմապատկելիս վեկտորի մոդովը

տ»,

վեկտորներիխումբ: Բազմապատկենքայդ վեկտորներըհամաթվերով ն կազմենք կամայական լյ,ճՃ 25 Ճղ պատասխանաբար

նշանակում

7»

ն

Սու

22-Ի»

Այս ձեով կազմված ցանկացած վեկտորը կոչվում է տրված

մոր»

վեկտորների զծային կոմբինացիա, իսկ

թվերը՝

ճՃլչ5.,...Ճ,, այդգծային կոմբինացիայիգործակիցներ: Օրինակ. Տրված

փոփոխվել:Եթե 4» 0, ապա վեկտորի մոդուլը անգամ, իսկ ուղղությունը կպահպանվի (եթե 0Հ4 Հյ,

կարող են

Ենթադրենք ո-չափանի տարածության մեջ ունենք

ապա

Ինչպես երեում է, հ-չափանի վեկտորների գումարը ն տարբերությունը նույնպես ք -չափանի վեկառր է: Վեկտորների գումարը ն տարբերությունըկարելի է տարածել ցանկացած թվով վեկտորներիվրա: Վեկտորը կարելի է բազմապատկել ցանկացած թվով, որը է բազմապատկել նրա յուրաքանչյուրն կոռրդինատ. 2.-

87. Վեկտորի գծային կախվածությունը

Ւ

են

2Ո(.4,2,9),220,0,-Ն4)6 226,143)

վեկտորները:Գտնել նրանց գծային կոմբինացիան 427-272 տեսքով:

ձո

Է

դ

0,168,0),

Ճղ:նռչոո

6.0.2.-8),

-Ը

Ն

-2Ճ:

Ասում

2 ՀԸ,Լ4.-3):

ՉԱ»2-(01714,-18։

գծային կոմբինացիան, ապա

ասում

ննք,

որ

վեկտորների

-

--

Ճ-ը

Ճ24227դ4ո

Օրինակ: Տրված է հետնյալ երեք վնեկառրնճերի համակարգը: հենքում վեկտորներիքանակը: Պարզել

րածություն: Այժմ տանք վեկտորների համակարզի գծորեն կախվածության

ՃՈ, 42,-:"

որ

427»վնեկաորներըզծորեն

կախված են, կամ նրանք կազմումեն գծորենկախված համակարզ,նթն նրանցից որնէ մեկր արտահայտվում է մնացածներից գծորեն: Հա-

կառակ դեպքում, ասում ենք, որ նրանք գծորեն անկախ են, կամ կազմում նն գծորեն աճկա|սհամակարգ: Օրինակ.Հնտնյալ վեկտորներիհամակարգը՝ -

Հ

3.

լո

ծորեն կախված 1, քանիոր զծորեն

-

Թ..-2)

Ը 2.14) Է 13.6)

4 -ՄՀՈ

Հ24:1»:

Ներմուծենք վեկտորների բազիս (հենք)

ները:

ն

ռանգ հասկացություն-

Ենթաղրենթ, տրված են 7չ վեկաորների հետնյալ համակարգը, ռրոնքունեն միննույն չափողականությունը:

Ճո

2.42»

Առանձնացնենք այդ վեկաոռրներից 7-ը.

(1)

Ը..-2.4)

1.Հ

վեկտորներովարաահայավում է գծորեն: Բոլոր 7 -չափաճնիվեկտորներիբազմությունը,որոնց համար սահմանված են զումարման, հանման ն վեկտորների բազմապատկումը թվով գործողությունները, կոչվում է 2 -չափանի վեկտորական տաա-

հասկացությունը: Ասենը,

(1)

կալված ննքահամակարգի:

Ն

Ծջե 24՛ վեկտորը հանդիսանում է Ճ 12/2:

(2) ենքարամակարզըհանդիսանում

որ

համա-

հենք, եթե (2) վեկտորները գծորեն անկախ են, իսկ ()) համակարգի վեկտոր հանդիսանում է նրանց գծային յուրաքանչյար այ Հասկաճալի է, որ նքն (2) ննբահամակարգինավելացկոմբինացիան: նենք (1) համակարգի որնէ վեկտոր, ապա այն կվերածվի գծորեն

Գումարելով ստացված երնք վեկտորներըկստանանք.

ՄԱՆ

(2) Է

կարգիհամար առավելագույն գծորնն անկախ ենթահամակարզ,կամ

|

:

ենթ,

ճն

ՅՐ» (0շ -

--

1։

-

Ո

(0.4,-2.6)

Վեկտորների այս համակարզում են

-13)

ն

Ճ. վնկառրներըկազմում

հննք, թանի որ նրանց կոորդինատներըհամեմատական չնն: Հեշսւ է

տեսնել, որ Ճյ

09:41:24:

վեկաորճերից): 24:

ն

(23-ր

գծորեն կախված է 2:

ն 7:

4/3 վեկտորներընույնպես կազմում են հննք (կո-

որդինասները համեմատականչեն): Հետնաբար հենք կազմում են --

-

ՃշնՃտ,

-

2. զույգերը:

դմ,

Հնենթումվեկտորների քանակը հավասար է ՏՐ

երկուսի:

Այս օրինակից հետնում Լ, որ վեկտորներիհամակարգումկարող են լինել տարբեր հենքեր, սակայն հենքերում վեկտորների քանակը պետք է լինի նույնը: Գոյություն ունի թեորեմ, որբը հաստատում Լ այդ դատողությունը: Թեռրեմ: Միննույն վեկտորականհամակարգի երկու տարբընըհենքեր պարունակումեն միննույն թվով վեկտորներ(ապացույցը անս ...): Սահմանում: Վեկառրակամ համակարգի դանգ կոչվում է համակարգիցանկացած հենքի վեկտորների քանակը: Այլ խոսրով, ռանգը հավասար Լ հենքում վեկտորճերիքանակին: համակարգի

ՏՈ

88. Ուռուցիկ բազմություններ անաՄինչ ուռուցիկ բազմության սահմանումը անցնելը, բերենք հայտնիմի բանաձն, որը արտահայտումէ լիտիկ երկրաչափությունից ճո:4շ հատվածիկամայական 24 կետի շառավիղ վեկտորը ճրա

որտեղ՝5

միջոցով(գծ. 3): շառավիղ վեկտորների ծայրակետերի -

1-4

աճի 0-ից մինչն անվերջ, ապա

գրո:

ներկայացվում է

տորը

:

-

Նկատենք ճան,

որ

:

դ

ՀԱԱ

ծը . հատվածը

(1)-ը ներկայացնումէ 21,4 -

հահա

որոշող բանաձն: րաբերությամբբաժանող Ճ կետի կոռրդինատները

Նշված

բանաձնում2-

Եթե 7

Բշ

կետը համընկնում է

ն

4-0,

ապա

կատարենք տ

2-1 ռւ

կամ

Ճ

Վ Հ-Ը---ՍԱԼՀ

1-ՀՇ

1`

ԹԺՑՄՎՀ

-

Լ ՖՓշ»5----1՝|1----

պայմաններից

է ուռուցիկ, եթե

հետնում

է,

որ

ի

բո-

եթե

2 64,

Երկրաչափորենայդ նշանակումէ, որ որեէ բազմությանըպատկանող կամայական երկու կետերը միացնողհատվածի բոլոր կետերը նույնպեսպատկանում են այդ բազմությանը: Երկրաչափականպատկերներիտեսքով բերենք ուռուցիկ ն ոչ ուռուցիկ բազմություններիօրինակներ:

Ը--Ձ

իսկ եթե Ճ2-ր

օօ: ձգտումէ համընկնելՃշ-ի հետ, ապա 4 -» է, որ (1) բանաձնըիրավացիէ նան 7 -չափանիտաԱպացուցվում համար: րածության հաԸնդունելով,որ (1)-ը իրավացիէ 7)-չափանիտարածության մար, որոշձնափռխություններ,

Օ0ՀՏՀԼ

0.) միջակայքում:

փոփոխվումէ

21-ի հետ,

Ն

վեկ-

7Հ2ղ,

ապա`

բազմությունըկոչվում

-

1-ից զրո

ԻԼ-Տ)27: «4:

աճ»

լ

5-1,

է

գ03՝

ո

շ

Ֆչօ4

լ

-

Եթե

5 -ը ստանում

0յապա՝47 ՀՃ.շ։ Սահմանում:

:

Օ) բանաձնով,ուր

հնարավոր արժեքները

լոր

5 -ը կնվազի 1-ից մինչե

Այսպիսով2/,, Մշհատվածի ցանկացած 247 կետիշառավիղ

7:

:.

2)

,

լ

-

Եթե 4-ն

-

ն -Ց 4»

ա)

բ)

գ)

ե)

զ)

գծ. 4

Բերված բազմություններիցուռուցիկ են ա), բ), զ) Ուռուցիկբազմություններիօրինակներեն հանդիսանում հատվածը, ուղիղ գիծը, շրջանը, հիպերհարթությունը,փակ կիսատարածությունը, բաց տարածությունը, գունդը: Բերված բազմություններիօրինակները բոլորն էլ ենթակա են ապացույցի, սակայն մենք բերենք միայն ապացույց հիպերհարթության համար: Ուռենք հիպերհարթությանհավանարումը՝ Ալո Ինչո

0)

գյոփԵՀ0

ԷՐ"

տարածությունըբաժանում է

տեսքով, որը Դ-չափանի որոճցիցմեկիհամարգոյություն ունի՝ զ»

Իո

երկու մասերի,

(4)

Ի0յը, ՀԵ»0

Գ

իսկ մյուսի համար՝ զլել

Է

Է'''Ի

ճշ

ՅՅ

(5)

ԻԵՏՕ

պայմանները: Հիպերհարթությունով 7-չափանի տարածությունըբաժանվումէ երկումասերի.աճվանենքդրանքկիսատարածություններ: Ցույց տանք, որ կիսատարածությունըհանդիսանում է ուռուցիկ բազմություն(հիպերհարթությանհամարկապացուցվինման ձնով):

ռո) նշ րոդ»)

ԵնթադրենքՀլ նում են տը, որը

պատկակետերը

(4)կիսատարածությանը:Ապացուցենք,որ ցանկացած27 կեէ այդ պատկանումէ Դ. Ճ՛չ հատվածին,ճույճպես պատկաճում

կիսատարածությանը: 4, Օգտվելով (2)-ից տեսքով՝

տնյալ

կետի կոորդինատներըներկայացնենքհե-

հ»- ՏՐ Էն-Տիք

Հ

ԱԼԱՆ

2 «Տ Տեղադրենք (6)-ը խմբավորումներ:

(4-ի

(6)

Ա111111111111)

ՀՈ-ՏիՆ, ձախ մասում

-

( ՏԵ (ոռԴՀՈՏԸ,21024"

ն

կատարենք

լ

Է:ւ

Փոխարինելով խարինելով Ծ-

կատաճանք՝

է( մն, Պ,

ՏՖԻ(-

Քանի

որ

,

նե

"

(

Փո"Դ

02. ֆԵՀ0: ող

է

բացասական (հիշենք,

5 |Լ,

»

)- ծ

ձավարժեք ե համաղժե

Տ)

կետերը պատկանում

-Էճշմ

Հետն

Հ

որ

-

4.26,Իջ

-Տյոլ ր Ւ6747շ"Դ

"

ծությանը,ուստի` 4.21 ,»

-

Ա-ԺՏԵ

«ԵԻԸ-Տ)լւմը «ոը

Տլ21-ոլ4: Հ«-Հօը :

(

'

-

մ արտահայտությամը, :

են

փԵՀՕ ն 0յ42:

Է"

,

«գյ

ՀԵլՕ)

(4) կիսատարա-

«18 Իզ:

-

(7) արտահայտությունըճույնպես ոչ աբար

ՏՀ0ՆՍՈ-5)Հ0::

Այսպիսով 4 կետը նույնպես պատկանում է (4) կիսատարածությանը: Թեռրեմ 7: Եթե 4-ն ն 8-ն ուռուցիկ բազմություններ են, ապա նրանցհատումը՝ (4 Դ 8 ) նույնպեսուռուցիկբազմությունէ: Ապացույց:Ցույց տանք, որ

Ենթադրենք Ճղ

(4 ԴՊ9) -ն

ուռուցիկ բազմություն է:

ՊՃ. կետեր, պատկանում

ն

են

բազմությանը,այդ նշանակումէ, որ նրանք պատկանում են Ց ե Ց-ծ բազմություններին: Բայց քանի որ 4-6

երբ ր 0 ՀՏ

ՀԼ Ր

Հետնաբար բար

Այսինքն 2Ճղն ՊՃ,կետերի հետ միասին

Ւ

(4- 5) ճան

ն

ուռուցի

Ի(Ո-Տ)ՄչՇ4ն Տ ՀԱ- ՏՄ68,

577.--(1Լ--(5), իե «(4--Հ«Ա:Ց) ՀԼ: 0«841 երր 0Հ.5 Թ),երբ

բազմություններեն, ապա 82

պատկանում նան

ՏԵՀԱ-Տ

ԱԼԱՆ

4.

-ը, 1- Տ5)5.

(4-8)

երբ 0Հ5

Հ1:

բազմությանն է

(4-8)

Ուստի՝ բազմությունըուռուցիկ է: Թեռրեմ 2: Գծային հավասարումներին անհավասարումների համակարգի լուծումների բազմություննուռուցիկ փակ բազմություն է:

որոշ

7 (որր)

խնդիրը Գծային ծրագրավորման

2.

Գլուխ

վոր

ընդհանուր ծրագրավորման ընդհ ծրագր

89. Գծյին

ր

երբեմնգծային

խն խնդիրը

հավասարումների ֆունկցիա, ն ար գծային Գրա ռանակաաթի ՀԻՆպահան աանպայման: |

գծային

անհա

տատա

կան լինելու

Մորթե

Ը

ՇԽ

Էր

Իո ճլ1Ճ1 Աղ ԱԱ

Ւ

ճշշ42

Ի

մ)

ՇԽ»

ԷՒ

ճդԽ(ՀՏ),

ՀԱն Հ.Հ),

(7

իննին

"ԺՍ,ոՃը

Է

ճ.Կ ճոչ

(.,չ,5ֆ,

Ս 12)

..-0 ամ

-Ֆ-« ո

օժ թ» ՛

Տ ոյյյ( 528), -

( Էրի -

որտեղ

2,2 0,

ն -- բո),եկ ըր, ճչ ( ՀՆոոյ

Շ

Հ

էո) հաստատուն

յդ

թվեր են:

արժեքների այնպիսի Պահանջվում է գտնել փոփոխականների ֆունկցիայինհաղորդեն Փատնոոսու բազմություն,որոնք01) զծային (ե արժեք բավարարեռ կամ մաքսիմում) (մինիմում (այնուհետն ԳԾԽ) խնդիր ծրագրավորման է (7-0) կոչվում գծային ընդհանուրտեսքով:

ն

համակար փակումների

երեր

պայնան: :

Կախված ԳԾԽ-ների ղրվածքից, կարող է դրվել պայման ճպաԻնչ տակայինֆունկցիայիմինիմում կամ մաքսիմում արժեքը որոշելու: վերաբերումէ սահմանափակումներ համակարգին, նրա յուրաքանչյուր առնչություն կարող է տրվել Հ, Հ կամ Հ հարաբերակտեսքով,իսկ (3) պայմանը՝ կամ 2, կամ Հ, կամ նրա նցից ցությունների ոչ մեկը: հաԼուծել այս խնդիրընշանակումէ գտնել սահմանափակումների ոչ

ՀԸ

բացասական լուծումը՝

03-ին:

Ճ:85 ո,

որը

նպատա-

կայինֆունկցիայինհւսղորդիօ«1 արժեք (մինիմումկամ մաքսիմում): է լուծում, որր բավարարում 1 «Ամեն միոչ ԳԾԽ-ի սահմանափակումներիհամակարգին, կոչվում է. թույլատրելի լուծում(հաճախ ճան՝ խնդրիպլան): Մահմանում 2: Այն թույլատրելի լուծումը (պլանը), որը ճպատակային ֆունկցիային հաղորդում է օ«Է արժեք, կոչվում Է օպսւիմալ լուծում (օպտիմալպլան): Այսպիսով, ըստ ներմուծած տերմինաբանության,լուծել ԳԾԽ-ր կնշանակիպլաններիբազմություններիցընտրել օպտիմալ պլանը: Քանի որ ԳԾԽ-ներում անհրաժեշտ է գանել նպատակային ֆունկցիայիէքստրեմալարժեքները,ուստի հարց է առաջանում արդհնարավոր չէ լուծումըփնտրելդիֆերենցիալհաշվի հայտնի մնթոդրով: Մակայն, ինչպես հայտնի Լէ մաթեմատիկականանալիզի դասընթացից,մի բանի փոփոխականներից ճերըգտնելուհամար, նրա մասճականածանցիալներըմիաժամանակ հավասարեցնումեն զրոյի Մինչղնռ ԳԾԽ-ներում ճպատակային ֆունկցիանգծային է ն ճրա մասնական ածանցիալներըհավասարվում են Հլե""Ճ. փոփոխականներիգործակիցներին,որոնք հաստա-

Սահմանում

բացասական

'

Հ

ՐԸ

:

'

մակարգիայն (3)

Լ

/

համաձն, (2) առնչությունը՝ սահմանափակումների

ՏՈՎ

-.-.Հ

Աի

խնդրի ճպատակայինֆունկցիա,

են

փոփոխականներիոչ բացասական լինելու պայման: (3)-ը նույնպես կարելի է համարել սահմաւնաառմամբ Ընդհանուր իմ ար, գի միմաս, սակայն այղ պայմանըընդհանուր է ԳոեւԱոհիառադ ահան իարուաաուտանեի

կարգ, իսկ (3-ը

որման ընդհանուրխնդիրը կարելի է ձնակերպել `

անվանում

ոն

տուն

Գ

էքստրեմա կոմայի արժե

թվեր են

ն

միաժամանակզրո չեն կարող լինել: Բացի դրանից, դի29

հաշվի մեթոդները

թյուն են տալիս որոշելու ֆերենցիալ հնարավորու ֆունկցիայիմիայն այն էքսաւրեմալկետերը, որոնք ընկած են որոշման տիրույթիներսում, այլ ոչ թե եզրում: Մինչդեռ նպատակային ֆունկցիայի գծային լինելը թելադրումէ, որ նրա էքստրեմալ արժեքները ստացվում են միայն որոշման (լուծման) տիրույթի եզրային կետնրում: Հետնաբար, ԳԾԽ-ների լուծմանն հետազոտմանհամար դիֆերենցիալ հաշվի մեթողները պիտանի չեն, ուստի պետքէ փնտրելորակապեսնոր որը ն կշարադրննքհետագանյութերում: մեթոդներ, Այժմ բերենքԳԾԽ-ների գրառման այլ տեսքեր: ա) Մատրիցայինգրառում

7-Ը8-Ծ5:2ա 2720,

ՇՀ(Ը,Ըլչ"Շ.)

մատրից է, իսկ 8-ն

տող

մատրիցներնն.

Վ-

զ1

ի

ճւ

ճջ

ա

Զո

նաշ

Պ,,2

ե

ց լո

ա.

ճշ

"`

նամ

մա

ճո

"Ն

-

Ե,

է|

ն

:

Ճ-ը սյուն

լ

Ճշ

:

5,

--

520, ՆՍՏ

որսյեղ Ը դ

Հ-

ՇԼլՇոնճլի

չափանի

-

ՃՀ-

-լ.

վեկտորներեն, իսկ 4 -ն

ռ)8

-

:4լ,.42,:':,4,։

ուր

տե-

Տրված է յուրաքանչյուր 4, առաքմանկետումբեռների

Գ,(Հնա)ծավալը ն

(միատեսակ)բեռներ, ն

յուրաքանչյուր

Ց,

սպառմանկետեր՝

Մ-1ո)պա-

սպառողի` ծ,

հանջարկը: Ընդունենքպայման, որ առաքող կետերումբեռների գումարայինքանակճերըհավասար են: Այս պայմանը կոչվում է տրանսպորտային խնդրի փակ լինելու պայման, ռրը գրվում է հետնյալ

տեսքով.

ն սպառող

Ի"

Խնդրում հայտնի է

առաքող

Ճ«Ը,Հ, Հ)8

կետեր`

8.8.,-::,8,:

պորտային 6: --

առաքող

համասեռ

4.

7-65-56մ

ու

ղավորվածեն

ճլ

գրառում. բ) Վեկտորական

4:

Մինչ գծային ծրագրավորմանընդհանուր խնդրի ձնեակերպումը՝ բերենքմի քանի տիպային խնդիրներիօրիճակներ: /. Տրանսպորտային խնդիր: Գոյություն ունեն այս խնդրիտարբեր ձնակերպումներ, որոնք տարբերվումեն իրարիցդրված պայմաններով: ճան Կան այլ խնդիրներ,որոնք կապ չունեն տրանսպորտայինփոխադրումներիհետ, սակայն պատկանում են տրանսպորտային տիպի դասին: Դասականտրանսպորտայինխնդրիձնակերպումը խնդիրների է: հետնյալն

Ենթադրենքունենք

Ը,Հ, Հ)8

որտեղ

Տ10. Գծային ծրագրավորմանը բերվողխնդիր-օրինակներ

ն Հ

Նոյ

կետից մինչն

"գյ նան

ՀԵլՀԵլԻ"Իե,

1)

միավոր բեռի տեղափոխման տրանս-

«Նոյծախսերը ցանկացած 4, ( ՀՆ սպառողը: Հասկանալի է, 8, (7 Հեռ)

որ

տրանսպորտային ծախսերիայդ գաղափարըոչ միշտ է արտահայտում իր անմիջական տնտեսագիտական իմաստը: Սակայն այստեղ այդ է ծախսերը կարելի դիտել որպես պայմանականհասկացություն,որը խնդիրներումկարող է լինել տարբեր ցուցանիշ` ինքնարժեք, ավորություն,ժամանակ,վառելիքի ծախսն այլն: Սովորաբարայդ ծախսերը տրվում են հետնյալ տեսքով. մատրիցի

հերրեր

Ք(Ե..ծ,:-"եւ)

նույն մատրիցն է, ինչ վերեվում:

3լ

Շ,-

Գ.

«2

Շշլ

Շշ

Շ1

ՊՇո

"Բ

Շ,,2

Տ

|

Պահանջվում է կազմակերպել բեռներիտեղափոխումնայնպես, որ կետերից բեռներըլրիվ տեղափոխվեն,սպառողները ստամճան պահանջված քանակությամբ բեռները ն որ տեղափոխումների համար. կատարած տրանսպորտայինգումարայինծախսըլինի նվազագույն: ՏՏՏ5665ՌԶԹռող ՝`5ՏՋհՁ` 5 5 8ՈՌ Այժմ, ելնելով խնդրի պայմաններից, տանք նրա մաթեմատիկական ձնակերպումը, որը նշանակում է նան տալ տրանսպորտային խնդրի

առաքող

տնտեսա-մաթեմատիկական մոդելը: Այդ ճպատակով նշանակենք կետից 8

,

նպառողը

տեղափոխվողբեռի քանակը 4 Կխ

.ՀԿԽշ

Ճո

Ճոոշ

Ճ. ՁՊ

4,

1-1

0,2

թ

ուռ

(7

"Այն պայմանը, որ բեռները առաքող կետերիցպետք է լրիվ տեղափոխվեն, արտահայտվում է հետնյալ գծային հավասարումների միջո-

ցով.

Կլի չիր Ւ

2շլ օօ

.00

ճոչ

6.0

շշ

ԻՃ

գլ

Ւ''"ԴՄՃշլ Հճշ

96.0Փ00գգոօ20Փօ9օ666Փ«9:4

Դող ՅՅդ

կամ

՞-

Ւ

"ՒՆ

ոշ

Տ

ե,

։խուԱԱԱաԱԿԱԱԿԿԿան

երո Իշ

Է՞՞

ՒՑող

Հ

Ծր

2,

ոռ

Ֆ՝`՝

ելշ ժշ

ՀԵլ

Իլ

Օ4

Քանի որ, ըստ խնդրիբնույթի, փոփոխականմեծություններըոչ բաասական թվեր ենճ (նրանք արտահայտում են տեղափոխվող բեռների հւսվալներըառաքման կետերիցդեպի սպառողները),ապա`

Ենթադրելով, որ տեղափոխումներիհամար կատարվող ծախսը ուղիղ համեմատականէ տեղափոխվողբեռի քանակությանը, կարող ենք հաշվել ընդհանուրգումարային ծախսերը հետնյալ տեսքով. "-

Ի"

2.ՀԵ,ՄՀՆո

Մ "

Նո

Մ

Դ

ել Իշ

ո

Ճշ

"Բ"

(3)

կամ

շ

Ճո

Ո

«օԱ-Ն»կ

Հաջորդ պայմանը, որ սպառմանկետերում յուրաքանչյուր սպառոի պահանջարկըպետք է բավարարվի, կգրվի 71 գծային հավասարումերի տեսքով

Շ ոռ

Մ

ոյ

2Հ

0նՀՆ7ո:7- Լ»):

(3) ն (4-ը խնդրի սահմանափակումներիհամակարգն է, իսկ 8՝-ը' մպատակայինֆունկցիան է (երբեմն անվանում են գծային ձն): Մաթեմատիկորենլուծել այս խնդիրը նշանակում է գտնել սահմափսփակումներիհամակարգիայն ոչ բացասականլուծումը, որը ճպատակային ֆունկցիային կհասցնի մինիմում արժեքի: Խնդրի մաթեմատիկական մոդելը կլինի (1)- (5)-ը ներկայացնող գծային ծրագրավորխնդիրը: |ման 2. Ռեսուրսների օպտիմալօգտագործմանխնդիրը: Ննթադրենքորնէ տնտեսությունցանկանում է կազմակերպելԴ արտադրատեսակներիարտադրություն, իր տրամադրությանտակ եղած "ւ տեսակի սահմանափակծավալի ռեսուրսներով: Թող 1-րդռեսուրսի

Լ

առկա քանակը տնտեսությունումլինի

լ բո) Խնդրում հայտնի է

ծ,

-

յուրաքանչյուր 7 էրդարտադրատեսակիմեկ միավորի արտադրության

է

վրա կատարվող 1-րդ ռեսուրսի ծախսը` 6, ճան

)

-րդ

Հ

ՍԽ:

Հ

եո),ինչպես

պատրաստի արտադրանքիմեկ միավորի իրացումիցստաց-

6,Ս 1ո) (կարող է լինել նան

ված շահույթը

..

:

.

ցուցանիշ):

--

տնտեսազիտականայլ

Պահանջվում է պլանավորել արտադրությունն այնպես (այսինքն յուրաքանչյուր արտադրատեսակից որքան արտադրել), որպեսզի.ռեսուրսների տրված պաշարների օգտագործման դեպքում ստացված գումարային շահույթը լինի առավելագույնը: Խնդրի մաթեմատիկական անսքը ստանալու համար կատարենք

ճշանակումներ: Եթե 7 տադրվելիք քանակը,

7-ովնշանակենք 7 -րդ արտադրատեսակիցարգումարային շահույթը կլինի`

ապա

Հ5"Ը,4,-՞ոու

,

)51

(6)

համակարգը,ելնելով ռեսուրսների սահմանափակումմերի Կազմենք

սահմաճավակ լինելու պայմանից. Օլե

Է

Է":

զե,

Տել

ՏԵ, (7)

ԱԱԿԱԿԱՅԱԳԱԱԱԱԿՎԱԿԱԱԱԱԿԱԱԱԱԿԱԱԿ

ԱԿԱԴ շել ՞

Է

Է՞ "Ի

ճոչ ՞

վ:

Օրինակ, եթե զրենք «

-.

տեսքի սահմանափակում,

ճն,

Կ

ապա

դա

կլեշանակի,որ երրորդ արտադրատեսակից պետք է արտադրել ոչ պաչ

կաս բան . քանակությամբ: Ր 7. Կնրային ռացիոնի |սնդիրը: Ենթադրենք տնտեսությունն աճատուններին կերակրելու համար հատկացնում է դ կերատեսակներ, սրոնթ պարունակում են 7չ տեսակի սննդանյութեր: Հայտնի է, որ յու7միավորը մսքանչյուր կի մեկմեկ կեր միավորը7-րդ 1-րդսննդանյու սննդանյութից պ աբաքանչյուր յ -րդ երատեսակի րաճակում է

եռ)քանակությամբ: Որպեսզի պահպանվի

ծ, ( ՆորյՀ

անասուններիմթերատվությունը, անհրաժեշտ ընթացքում /-րդ սննդանյութից տրվի

Հ

է

վոր Լ սահմանավակում լինի արտադրատեսակներիքանակի վերաբեր-

ոչ

է

կերերի միջոցով օրվա

պակաս, քան

կությ յ ռանակություն: Խնղրում հայտնի է նան.աճնասնակերերիՇ

Ժ.լ

-

Խո

ն Հեդ)գները (եթե Ս

կերը գնովի է) կամ ինքնարժեքը (եթե կերը արտադրվում է

սաթյունում::

տնտե-

'Ղահանջվում է կազմակերպել անասունների կերակրումը այնպես որ կերատեսակից, օրվա ընթացքում, որքան տրվի անա(այսինքն սուններին),որպեսզի ապահովվի նրանց մթերատվությունը ն որ օրվա հախսըլինի նվազագույնը: Խնդրի մաթեմատիկականգրառումը (մոդելը) կազմելու համար |

ճն

Ւ

-Ւ"'"Դճող, ՏԵ,

ճաշ

Աշանակննք ,-ով

կամ ո

0:

2,

ե.(- Նոյ) Ն

չ00-Նո| `

(8)

(Փ-(9-ը կազմում են խնդրի մաթեմատիկականմոդելը, որը իրենից ճերկայացնում է զծային ծրագրավորման խնդիր: Դիտողություն: Բացի (7) սահմանափակումներից,հնարավոր է, որ խնդրում առանձին ռեսուրսներիօգտագործմանվերաբերյալ լինեն լրացուցիչ սահմանափակումներ: Օրինակ` ռեսուրսի սահմանափակում ճերքնից, որը կրացառի տվյալ ռեսուրսի թերի օգտագործումը: Հնարա34

-րդ

կերատեսակի այն քանակը, որը պեսւք է տրվի

աճասունճերինմեկ օրվա ընթացքում մեկ գլխի հաշվով: արզ է, որ օրվա գումարային ծախսը կլինի՝

--

Հ

/

-Հյյ-»ոռ

6)

Սահմանափակումների համակարգը կազմենք, ելնելով այն պայանից, որ օրվա ընթացքում 1-րդ սննդանյութերից անասուններին պլնաթէ տրվի ոչ պակաս, քան

Ժ, քանակությամբ:

Ել

Ժելշոչ

Ե

եյ

Գեւ.

Հ""Հեւ

Ե," ԷՖ,շտշ

"ր:

Հ4լ

2ո

ո

Իէ,

Հժ. -

(10)

բացասականլինելու պայմանի առկայությամբ: տեսքո ո հետնյալ գծային Այսինքն, կանոնական կ թով կկոչվի հետնյալ գծային իավորմանխնդիրը.

-

ծրազծրագ

». չո եէ- նով

4,

ՇՆ»

Փե

-

կամ

Հո» 4.0-Նո)

Փոփոխականների ոչ

լինելու պայմանը բխում :շրացասական

նից, որ անասուններին տրվելիք կերերի քանակը կարող լինել:

Ն-նո

է

նրա-

Ն.) բացասական չի

կամ՝

այ/-(

7՞

թ

45.

44Հ8

Ս

».չ0

».Հ0Մ-նո)

4-0

(1)

անք

27-»

ԳԵ

հիկ, եթե սահմանափակումներիհամակարգի բոլոր առնչությունները գծային ծրագրավորմանխնդիրը: Գրված են միննճույնիմաստի (Հ կամ Հ) անհավասարությունների Դիտողություն Հնարավոր է (10) սահմանափակումներիհամակարգում օգտագործվենայլ սահմանափակումներ:Օրինակ՝անասունփոփոխականներից է ոչ բացասական լինելու պայնանը: ներին օրվա ընթացքում տրվելիք սննդանյութերիքանակի վերաբերյալ| Այսինքն, գծային տեսքը կլինի. սահմանափակումվերնից, ինչպես ճան օրվա ընթացքումանասունների խնդրի սահմանակերաբաժնում առանձին կերերի քանակի վերաբերյալ էք. Ք 75-5 փակում` վերնից, ներքնից կամ երկուսը միասին: Օրիճակ, եթե ունենք

երոիղրո

պատանջվում

սիմետրիկ ծրագրավորման

». ».. ՀԵՆ-

:

չչ ՀԵ տիպի սահմանափակում, ապա դա կնշանակի, որ 5-րդ կերա-

Ս

2,Տ

տեսակըկերաբաժնումպետք է լիճի ոչ պակաս քամ ծ միավոր: Վերը նշված երեք խնդիրների ն նմանատիպ այլ խնդիրների լուծման մեթոդներըկտրվեն հետագա գլուխներում:

|

կանո-

Գծային ծրագրավորմանխնդիրը կոչվում է համակարգի բոլոր առնչություննական, եթե սահմանուփակումնճերի են ները գրված հավասարություններիտեսքով` փոփոխականների Սահմանում

1:

ոչ

օն-| ո) --

«.Հ

կամ՝

811. Գծային ծրագրավորմանխնդրի հատկությունները

եո

-

ա) /-ՇՕԼ-»աւր) 44ՏՀՏ8 Ֆ»0

/-

42ՀՏ -

Արա «ԷՅլդեգ Ի"

Նախորդ երեք խնդիր-օրինակներիցերնում է, որ նրանք, չնայած ըստ բովանդակության,տարաբնույթ են, սակայն այնուամենայնիվ ունեն որոշակի ընդհանրություններ: Առաջին հերթին նրանց ընդհանբությունը կայաճում է ճրանում, որ երեք խնդիրներումէլ պահանջվում է

գտնել լավագույն տարբերակը: Այսպես, տրանսպորտային խնդրում՝ տեղափոխումներիլավագույն պլանը, ռեսուրսների խնդրում` առավելագույն եկամտաբեր արտադրության կազմակերպումը,ռացիոնի խնդրում՝աճասունների կերակրմանլավագույնռացիոնիկազմումը,որի դեպքում օրվա ծախսը կլինի ճվազագույնը: Եթե այդ խնդիրներըդիտենք զուտ մաթեմատիկականտեսանկյունից, ապա կտեսնենք,որ յուրաքանչյուր խնդրում պահանջվում է փնտրել 7 -փոփոխականներիարժեքների համախումբայնպես, որ. ա) ինչ-որ գծային ֆունկցիա ստանա մինիմում (մաքսիմում)արժեք,` բ) բավարարեն գծային հավասարումների (անհավասարումների) համակարգի,

գ) այդ արժեքներըլինեն ոչ բացասական: Նկատենք, որ այդ խնդիրներում սահմանափակումներիհամակարգը ունի կանոնականկամ սիմետրիկտեսք: Ցույց տանք, որ կարելի է նրանց մի տեսքից մյուսին անցնել պարզ ձնափոխությունների միջոցով: Ենթադրենք, գծային ծրագրավորման խնդրի սահմաճափակումների համակարգը տրված է այնպես, ինչպես ռեսուրսների օպտիմալ օգտագործմանխնդրում. Օլլել

Է

Գշլել

Է

ճլշ7-Է"'"Ի6ճԽՏել ՍշգոնջԷ" "ԻԺ Են

ԳոԼԿ-ԷՃոշնչ""'-Է

ճող

"57

2գռ

Ճշ

ճշ

Ճոո-եո հեՀ բու -- ե,

ճ/ոշ.շ28-Ի

Նթե գծային ծրագրավորման խնդրի սահմանափակումների համակարգըտրված է Հ տեսքով, ինչպես ռացիոնի խնդրում, ապա գումարում ենք համակարգի յուրալրացուցիչ փոփոխականները քանչյուրսահմանափակմանձախ մասերին՝ բացասական նշանով: Օրինակ:Տրված է հետնյալ համակարգը.

Ի5ոչՀ-4

Է32չՀ6

լ

Է

ներմուծելուցհետո

Լրացուցիչ փոփոխականները՝չ,7չչ7չ

կսսանանք՝ մլ

Ի

5-7

Է

5,

Գ325չ-4:

4,չ-2չ

իրենԻ՞ ներկայացնում է կանոնականտեսքով գծային ծրագրահամակարգ: խնղդ,.,.սահմանափակումների վորման լուծեն հակառակ խնդիրը: ՍՄահմաճնճափակումների Այյմ համակարգը կանոնականտեսքիցբերենքսիմետրիկտեսքի: որը

Գլ

ՏԵ

ճշ ան

-Է'":Ի

ճշ: Հ

Գ'""Ի

ճշ

111112111

ճե Ճշ»

ն

:

ՀԵլ Եչ

Ա1Ա11111111111Ն

ճամ Զոլմ Էճարեր"Է՞""ԺԻ

որոնք գումարելովտրվածհամա-

կարգի ձախ մասերին,վերածում ենք դրանց հավասարումների,որը պետք էր ցույց տալ:

Ցու

Ւ

Է'""

շեշ

ՀԱ Եշ

ո՝1

Սնթադրենք գծային ծրագրավորման խնդրի սահմանափահամակարգըտրված է կանոնականտեսքով. կումների

Սիմետրրկ տեսքով տրված սահմանափակումներ: այս համակարգը կանոնականտեսքի բերելու համար ներմուծումենք լրացուցիչ փոփոխականներ՝2,,լ,7,.2»"

Է

42:

Ժո Իճլան,

«Ծա

Այս համակարգըանհավասարումների (սիմետրիկ) տեսքի բերելու համար լուծենք այն որնէ մեթոդով (օրինակ, փոփոխականների

հաջորդաբար արտաքսման): Հասկանալի է, որ որոշ թվով քայլերից հետո կհամոզվենք համակարգի կամ անհամատեղելիությանմեջ, կամ էլ կլուծենք այն, ինչ որ թվով փոփոխականներինկատմամբ(օրինակ,

322»:

Այստե

համակարգի

տրված

Ւր

(12)

փոփոխականների գործակիցներիցկազմվածմատրիցիռանգնէ:

ճլ,ՀԱՃ:

-

ՍԿ Հ

լ

գլո», ել Ի

գը' շորն Էէ' 02

ոԷ

զ.

(3)

ԿԱ

աը

.որ

ճ2,.17-1

Դ

ԱԱԱԱԿԱԱ ԱԱԿ

ՎԱՑԱԱՎԱՎԱԱՂԱԱԼԱԱԱԱ

նս

ՔԱՎ

Քանի

Ի"

ցո

Վ.

Հ0,չշ Հ0,'::,7.

Հ0

"ԳՅ

ոԾւ

Ի՛Ր

ականա

կան

ԳԱՆԻ Ստանում

ենք

Իճոր,Էծչ Հ0 կենս ականանակասն

(4

գծային

չայ

լուծում: Այդ

ոչ բացասական արժեքները, 5.9:55 Ն ԱԱ ՄԱԱԱՆ ֆվերիի համախումբը

դեպքում, (13)-ից գտնելով

հանդիսանում է (12) սկզբնական համակարգի լուծումը: Այժմ ցույց տանք հակառակը: Իրոք` ինչպիսին էլ որ լինի (12) համակարգի

ոլ5

. 5

"`

3.

(14-ի լուծումը: Նկատենք ճան,

լուծումը, 2,չլ».-:»4, որ

Այսպիսով գծային ծրագրավորմանխնդիրներում նշանակություն յանի, թե սահմանափակումների համակարգըինչ տեսքով է տրված ն մպատակայինֆունկցիայիցինչ է պահանջվում գտնել: Բերենք օրինակ: Գծային ծրագրավորման խնդիրը տրված է հնտնյալտեսքով

7 ՀՏալ-Է4:չ

-լ

Իլ

2: -3չ

-Էլ

-5.42-0

3: ել

Իլ

թվերիհամախումբըկլինի

գծային ծրագրավորման խնդիրներում

Իոլ-»

ոու

-2»: -3։լ-25-1-0

Ի

Գ4չշ Էլ

-2ալ -122., Է10-0 ւ

Էն, Հ0 ճոմո

Հ

--

ԻելՀ0

Ենթադրենք,գտել ենք (14) համակարգիմի որնէ

որ

/

ոչ

հավասարումներիհամակարգ: Այսպիսով, կանոնական տեսքով տրված գծային ծրագրավորմանխնդրիհամակարգըբերվեց սիմետրիկտեսքի: Մնում է ցույց տալ, որ (12) ն 14) համակարգերըհամարժեք են:

կստանանք,

ոշ

(ըստ գծային ծրագրավորման

փոփոխականներից` Ճ,լ»"'"չ2ղ»՛

դ-՛

-ոլո(-Դ պարզ ձնափոխությամբ,որը նշանակում Է մը խնդրից մյուսին կարելի անցնել /՞-ը փոխարինելով յ"-ով: է անցնել

ԳԵ:

խնդրի պայմանի), ուստի (13) համակարգի ձախ մասերի լինելը: բացասակամլինելուց հետնում է աջ մասերի ոչ բացասակաամ Հճ

պահանջվում է գտնել ճպատակային ֆունկցիայի մինիմում կամ մաքսիմում արժեքը: Հեշտ է տեսնել, որ մի տեսքից մյուսին կարելի է

Հ0Ր15)

Բերենք այս խնդիրնիրեն համարժեք խնդրի այնպես, որ սահմանափակումներիհամակարգը լինի անհավասարումներիտեսքով: ն 11 հավասարումներիցարտաքսենք Այդ նպատակովհամակարգիՈԱ է առաջին հավասարումիցորոշենք 7-ը ն նրա ե-ը (դա նճշաճակում արժնքըտեղադրենքԱ

ն ԱԼ

հավասարումներիմեջ): Որից հետո Լն 17 1ն ո հավասահավասարումերից արտաքսենք -ը: Այնուհետ րումներից`7-ը:

Կստանանք՝

-2նլ

Լ

-92,

-»

ոչ

Հ10Լյլ -102»շ Հ95ալ-932,-1 22լ -- 2251

-

Հ

0ն 15) -

Այնուհետն,ի նկատիունենալովփոփոխականճերի ոչ բացասական լինելուպայմանը,սկզբնական խնդիրըկգրենք հետնյալ տեսքով.

7-2նյ

-9»շ-» ոճչ

101 -1022.չ 2-0 95 -93:չ-1Հ0 2Հ2ել-227 ո"

-Է15:0

-Օ»չՀ0

Գլուխ 3. Գծային ծրագրավորման խնդրի երկրաչափական մեկնաբանումը Գծային ծրագրավորմանպարզագույն խնդիրները,որոնք պարունակումեն մեկ կամ երկու փոփոխականներ,կարելի է լուծել երկրալափական եղանակով: Չնայած այդ տիպի խնդիրները գործնական չեն կարող ունենալ, սակայն ճրանց ուսումնասիրումը նշանակություն կարնորէ գծային ծրագրավորմանխնդրի որոշ հատկություններ բացաինչպես նան երկրաչափորենլուծման մեթոդները հայտելիս, ընկալելիս: 812. Երկու փոփոխականներովգծային

համակարգերիլուծումը

անհավասարումների

Ենթադրենքտրված է երկու փոփոխականներովզծայինանհավամարումներիհետնյալ համակարգը.

ճլ7-Էել»--6լՀ0

ճչմ-ԷԵ,»-ԷՇչՀ0 Ցո

էո, -ՒՇո

4)

Հ0

Որպեսզիկարողանանքցույց տալ, թե ինչ է իրենիցճերկայացնում մեջ մտնող որնէ լուծումը, նախ ստանանք նրա (Թի անհավասարությանլուծում: (1)-ի մեջ մտնող յուրաքանչյուրանհակարելի է ներկայացնելհետնյալ տեսքով. վասարում

ճա-ԷՒԵչ-ԷՇՀ0

(2

Այստեղհարցէ դրվում պարզել, թե ինչ տիրույթ է իրենից ճերկայացնում (չ,չ) կետե-

րի այն բազմությունը, որոնք բավարարում են (2)-ին: Այդհարցին հապատասխանելու մար դիտարկենք /-

գիծը, որը որոշվում է

Ե»--Շ

45-Ի

Հ.

0 հավասարումով:

հայտնի է, հարթության վրա պատկերվումէ ուղիղ հարթությունը բաժանումէ երկու կիսահարթություն-

Այն, ինչպես գծի տեսքով, որը ների (գծ.5), որոնցից մեկի համար տեղի ուն

ճ:5ԻԵչ-Է6ՇՀ0,իսկ

(վեճ) կողմերում: ա) դեպքում (2)-ի լուծումը կլինի Մ ուղղից աջ կետերիբազմությունը, իսկ (բ) դեպքում՝ ձախ: կիսահարթության է կիսաԱյսպիսով,(2) անճհավասարությունը համապատասխանում կետերի բազմություն: իարբության

մյուսի` ճ42--ծ»-Է-ՇՀ0 անհավասարումը: 7, գիծը կարող է պատկանել

Ի:

Օրինակ: Գտնել հետնյալ անհավասարմանը Սու

-

կիսահարթություններից յուրաքանչյուրին: Գործնականում, որպեսզի պարզենք, հատկապես որ կիսահարթությաննէ պատկանում(2) անհավասարումը,քննաիկենքերկու դեպք: լ. Ե»«:0: Այս դեպ7

լք զխարո

՛

Չ ջ

Բ

զ

.

ջ զ

`

բ) ԵՀՕ

վեր հարթությանկետերի բազմությունը: 2. Ե- 0: Այս դեպքում (2)-ը բերվում է.

զ

:

2ՀՀ7

ԵՒ:

նրան համապատասխան կիսահարթությունը ընկած կլինի ուղղից վերն

-- ՊՐ" :

(գծ.7): Այժմ

տեսք, եթե

Քանի որ երկրորդ ու դեպքում 4:-ՇՀ0 ղիղը ուղղահայաց է աբսցիսների առանցքին, ուստի կիսահարթությունները կլինեն / ուղղից աջ են ձախ

լ

բար

ՀՕ:

,

իրեն համարժեք '

ՏՐ

եթեռչ»-0ն տեսքի,

բ) «Հհ

:

-Գօ.

վն արեն

է

դեպքում՝

(ա) դեպքում (2) անհավասարման լուծումը լինում է / գծից վերն, իսկ (բ) դեպքում` ներքեն ընկած կիսա-

ա) «Հո

Է

թությունը:

դեպքում (2, աճհա-՛ վասարումը բերվում է »ՀԾ.Հժ տեսքի,իսկ

Ջ

'

շ

ւ

(1-ի

լուծումը ստանալուհամար նույն կոորդինատական համակարգում կառուցում ենք նրա յուրաքանչյուր անհավասարմանկիսահարթությունը ն գտնում նըրանց հատումը: Հեշտ է տեսնե որ վերջավոր թվով կիսահարթությունների հատումը իրենից ներկայացնում է ինչ որ բազմանկյուն: Գծագիր

8-ում

ցույց

է տրված հնարավորտարբերակներիցմեկը, ուր

ընգծվածէ

լուծման 4/ տիրույթը: Ճ/ տիրույթը կոչվում է (1) համակարգերիլուծումներիտիրույթ:

Անմիջապես ճկատենք, որ լուծումների տիրույթը միշտ չէ, ո փակ Այն կարող է լինել բաց (գծ.9) ն դատարկ (գծ.10): Քանի որ (1) համակարգի լուծումների տիրույթը բազմանկյունաձե Լ, ուստի նրան (121) անվանում են նան լուծումների բազմություն: Նկատենք նան, որ (1) համակարգի լուծումների / տիրույթըիրենից ճերկայացնում է ուռուցիկ բազմանկյուն: այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց կոռրդիճատները բավարարումեն (1) համակարգի բոլոր անհավասարումներին,կամ լուծումների տիրույթին, հանղիսանում է Ճ( ուռուցիկ բազմանկյունտիրույթ: Այն ստացվում է (1)-ի բոլոր 6անհավասարումնմերին համապատասխանող կիսահարթություններիհատումից: օ Նույն օրինաչափությամբ, եթե համակարգըգրենք երեք փոփոխականներին վերջաԴ պե փոփոխականների համար, ապա գծ.10 համակարգի լուծումը եռաչափտարածության մեջ կներկայացնի ուռուցիկ բազմանիստ, իսկ ո- չափանի տարածության մեջ` ո- չափանի ուռուցիկ բազմանիստ, որոնք0ույնպես կարող են լինել բաց, փակ կամ դատարկ:

Այսպիսով,

«շ

«Հէ

813. Գծային ծրագրավորմանխնդրի լուծումը հարթությանվրա Տրված է գծային ծրագրավորմանխնդիրըհետնյալ տեսքով.Գտնել

Մ-զաԻօշչ»-»տա(ուո) ,

հետնյալ պայմաններով.

(1)

Գլ:

ՁՁզՁզ'։

`:

4շմ-ԷԵ»-ԷՃչՀ

2.

ճո:

.

Էծ» -ԷմլՀ0

Ե,Ֆ-Մ,

2Հ0,»Հ0

Հ0

3)

:

Այս խնդրիլուծումը ստանալու համար կոռրդինատականհարթության վրա կառուցում ենք (2) համակարգի լուծումների բազմանկյունը: Եթե ի նկատի ունենանք նան (3) պայմանը, ապա լուծումների բազմանկՕՀՇ՝ՀՇ` Հ... յունը կստացվի կոորդինատական առաջին քառորդում: Տրված խնդրի լուծումը հանգում է հետնյալին. լուծումների -Ս բազմանկյունի: գտնել Ի-օ՝ Ց, այնպիսի կետ, որի կոռրՕ դինատները տեղադրելով Է« գծային ձնի ֆունկցիայի մեջ, ստացվի նրա մաք--0 սիմում կամ մինիմում արժեքը: Այժմ պարզենք (1) նպատակային ֆունկցիայի գծ.11 երկրաչափական իմաստը: Այդ նպատակովնախ ֆունկցիան հավասարեցնենք զրոյի (կարելի է հավասարեցնելցանկացածթվի): ՆՈՎ

ՀՀ.|

ՀՀ

ՀՀ

|

Հ

ի

7-0

կամ ԱԼԸ ԻՇ

ՀԿ:ՆԸ0:

Գ)

Ստացված առաջին աստիճանի հավասարումը (4) հարթության պատկերվումէ ուղիղ գծի տեսքով, որը անցնում է կոորդինատների

վրա ն ուղղահայաց սկզբնակետով

է

7/ չՇ ԽԸ. 6)

վեկտորին (գծ.11): Այնու47

հետն

ֆունկցիային տալով տարբեր արժեքներ (/աճ,/«6.,':),

ամբողջ կիսահարթություն,ռրի սահմանն է

Հ

ցիայի արժեքները: Այդ կետերի կոորդինատները կըգտնվեն, եթե լուծենք այն ուղիղների հավասարումներով կազմված համակարգը, որոնց հատումից ստացվել է տվյալ կետը:

/ »:0 գիծը:

Եթե ֆունկցիայի արժեքը փոքրացնենք0-ից մինչն -՛օօ, ապա մակարդակի գծերը «կշարժվեն» հակառակուղղությամք՝ հարթության երկրորդ կեսը: Արդյունքում կարող ենք ասել, որ եթե ֆունկցիայի արժեքըփոփոխվումէ Հ -օ-ից մինչնօօ,ապա մակարդակի գծերը «զցմումեն» ամբողջ հարթությունը: 7 0 Տեղաշարժելով գիծը

«ցնելով»

դեպի լուծումների քազմանկյունը, մակարդակիգծերից կգտնենքայն երկուսը,որոնք 4( տիրույթը ընդգրկում են իրենց միջե ն լուծումների. ունեն բազմության: հետ "առվազն մեկ կետ (գծ.12): Այդ գծերը, որոնք անցնում են 4 ն Ց կետերով,լուծումգծ.12 ճերի բազմանկյան համար, կոչվում են հենման գծեր: Պարզ է, որ հենման գծերը 1/ տիրույթի հետ ունեն մեկ ընդհանուր կետ: Հենման գծերից այն, որը առաջինն է հանդիպում 1/ տիրույթի հետ, հա-

Օրինակ 1: Գտնել Բ-0

գծ.13

' .

՛

օժ,

ՓՕ

2»210

12:24:

Փ

ՖՀ4

Փ

Խնդիրը լուծելու համար, նախ գտնենք լուծումների բազմանկյունը, որի համար կառուցենք յուրաքանչյուր սահմանափակման կիսահարթություն, (գծ. 14): Ինչպես ե7 րնում է գծագրից,հենման գըծերը անցնում են

4նՇԾկե-

տերով, ընդ որում 4 կետում 7 ֆունկցիան

տով անցնող գիծը), իսկ վերջինը՝ մաքսիմում արժեքին(8 կետովամցնող գիծ): Սակայն հնարավոր է այնպիսի դեպք, երբ հենման գծերից մեկը (կամ երկուսն էլ) համընկնի լուծումների բազմանկյանկողմերից որնէ մեկի հետ (գծ.13): Այս դեպքում այդ հատվածի(8Շ) քոլոր կետերի համար / ֆունկցիան կստանա մինճույն մաքսիմումարժեքը:

|

7 -225-Է3) 5

եթե Տ.

|

մապատասխանումէ Ր ֆունկցիայի մինիմումարժեքին (գծ.12 ,/4 կե-

Նպատակային ֆունկցիայի օպտիմալ արժեքներըգտմելու համար անհրաժեշտ է որոշել 4 ն Ց կետերի կոորդինատները(12) ն ճրանց

Ր ֆունկ-

համար հաշվել

ենք զուգահեռ գծերի ընտանիք, որոնք կոչվում են ճպատակային ֆունկցիայի մակարդակի ուղիղ գծեր: Մեծացնելով ֆունկցիայի արժեքը 0-ից մինչն օօ, մակարդակի գծերը «զցմում»են մի

ստանում

կընդունի մինիիսկ Ը կետում` մաքսիմում արժեք: մում,

4 կետը

ջաել ՆՓ

գծ.14

ի

առա-

է

Փ

ուղիղներ հատումից,

հետնաբար նրա կոորդինատներըգտնելու համար պետք է լուծել հավասարումներիցկազմված համակարգը.

ՏՒ2»-10 -5Ւ2»

Ճ-Տ1Ֆ Լուծելով այն, կստանանք..1ՀՆԽջՀ-:

Հետնաբար` /,,

-7յ2:1Ւ3:-Հ9-:

պատասխանում

այդ

յ

է

ֆունկցիայի մինիմում արժեքին: Քանի

բաց է, ուստի այս դեպքում ֆունկցիայի մաքսիմում արժեք գոյություն չունի (անվերջ մեծ է): Ինչպես նախորդ օրինակում, նույն ձնով գտնում են, Ց կետի կոռրդինատներըն նրա համար հաշվում ֆունկցիայի մինիմում արժեքը:

րույթը

ի

2Է-3,7Հ6

,

Ֆ-4

Մու

ւ-45-4:7

:

/Հ5:2»564,

ՀՀ "

/7 ճշ 1ՀՀ /7 օՒՀԱ

-

գծ.15

ի

/2

7Հլ

Հ

6Հօ

Ճ

Մ

չ41Ջ

235»Հ6

Փ

2:-3»Հ6|

Փ

Ճ. Կառուցենք լուծման տիրույթը (1/. գծ. 15) ն գտնենք հեն-

գծերը: Ինչպես երնում է գծագրից, լուծման տիրույթը բաց է, իսկ հենման գիծը, որն անցնումէ ման

Ք

կետով, համա-

Դ

-

Ելնելով հարթության վրա գծային ծրագրավորման խնդրի լուծումից, օրինաչափորեն կառուցում ենք եռաչափ ն 7-չափանի տարածություններիմեջ նրանց լուծումը: Նռաչափ տարածության մեջ գծային ծրագրավորմանխնդիրը ունի հետնյալ տեսքը.

եթե

/

5լ1-

չափանի տարածությունների մեջ

Գտնել Զ,

814. Գծային ծրագրավորման խնդրի լուծումը եռաչափ ն :

Օրինակ 2:

7,

Ր

Ժ02:43:4Հ20:

Հ

չՃ2Զ»-Չ3

6. ոո -Ս5»-281120

Շ. կետը առաջացելէ Փ ն Փ ուղիղների հատումից, ուստի՝

-1Է2»Հ4

'

4.-»-

շ

տի-

որ

Է

Գլ"

Ի

ճշլմլ

Հ

ԸՇշեչԷ Շ-»օԺ.,

ՒելՀ0

զլչ:շ-Է գլ ճշչեշ

Է

մ)

ԷեչՀ0

ճշ

,

Ճոլժլ լ

է

ճոշժշ

Է

Հ0,2, Հ0,"

ճոտժ Հ0:

Ի

Շո

Օ)

-

3)

Պահանջվում է գտնել (2) սահմանափակումներիհամակարգի այն բացասական լուծումը, որը (1) նպատակայինֆունկցիային կհասցնի օպտիմալ (մինիմումկամ մաքսիմում ) արժեքի: Այդ նպատակով երկրաչափորեն կառուցում ենք (2) համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարմանը համապատասխանող կիսստարածությունը: Որից հետո գտնում ենք այդ կիսատարածությունների հաոչ

տումը` նկատի ունենալով (3) պայմանները: Կիսատարածությունների հատումը, եթե այն փակ է, կներկայացնի ուռուցիկ բազմանիստ: Այնուհետ. հարթությունները, նախօրոք գտնում ենք հենման կառուցելով

/-Օ

հարթությունը

ն

տեղաշարժելով այն ինքն իրեն

զուգահեռ: Հենման հարթություններին համապատասխանող ֆունկցիայի արժեքները կլինեն նըրաօպտիմալ արժեքները: Եթե հենման հարթությունը շոշափում է բազմանիստիկողը կամ ճիստը, ապա այդ կողի կամ նիստի բոլոր կետերում / ֆունկցիան կընդունի միննույն

ֆունկցիայի օպտիմալ արժեքներին:

Հիշենք, որ

դ

չափանի տարածություն մեջ կետը Հզ,չշ,"":,7.,

րի կարգավորվածխումբն է, Սահմանում:

որը

գրվում է

ամեն

26.:2շ»" »:.)տեսքով:

կետը կոչվում է 7-չափանի տարածություն մեջ

1/1 ուռուցիկ բազմանիստի գագաթ,

րույթին, բայց

թվե-

մի հատված,

եթե այն պատկանում է 4/ որը

ամբողջովինընկած չէ 4/ տիրույթում:

պարունակում է

տի-

կետը,

օպտիմալարժեքը: դ -չափանի տարածությունների մեջ գծայինծրագրավորմանխնդիրը կարելի է գրել հետնյալ տեսքով: Տրված է նպատակայինֆունկցիան,սահմանափակումներիհամակարգը ն փոփոխականներիոչ բացասականլինելու պայմանները՝

ԷՇ

ՀՇ

Է

Օլ

Էլ:

-Է'""Ւ գլ

ճշ

Է

Է"

...2

ճու

աց

ճշշխշ

«02.

«64044999

Է

ճշ"

(4)

7. ՒԵլ Հ0

Ւճշլխլ 04496

,

"ՒՇՆ

ՒԵչՀ0

999994օօ»

»Հ0,-0ռ)։

.«

ՒԵ,

ՒճոՃ,

6)

Հ0

(Ց

Գտնել սահմանափակումներիհամակարգի այն ոչ բացասական լուծումը, որը ֆունկցիային հասցնի օպտիմալարժեքի: Եթե (5)-ի որնէ անհավասարում դարձնենք հավասարում,ապա այն իրենից կներկայացնի հիպերհարթություն, որը 7 -չափանի տարածությունը կբաժանի երկու հիպերկիսատարածությունների: Այդ հիպերկիսատարածություններիցմեկը կհանդիսանա (5)-ի մեջ մտնող որնէ անհավասարմանլուծումը: 7 -չափանի տարածություն մեջ կառուցելով (որը միայն պետք է պատկերացնենք)(5)-ի բոլոր հիպեր- կիսատարածությունները, կգտնեն, նան նըրանց հատումը: Այն իրենից կներկայացնի ուռուցիկ հիպերբազմանիստ (եթե այն փակ է): Այնուհետն, կառուցելով /-0 հիպերհարթությունը,կգտնենք հենման

հիպերհարթությունները,որոնք կհամապատասխանեննպատակային

Գլուխ

անհրաժեշտէ,

Ժորդանյան արտաքսումներ

4.

հավասար չլինի գործակիցը

2,-ի

որ

Աստամանք՝

815. Սովորական ժորդանյան արտաքսումներ

,,

|

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրների լուծման մեթոդճերի հիմքում հիմնականում ընկած է ժորդանյան արտաքսումներիմեթոդը, որի էությունը բացատրելու համար քննարկենք գծային համասեռ ֆունկցիաների (գծային ձների) հետնյալ համակարգը.

լ

Ա»ՁլՃլ թրՁ272 --

-

ՈԱ Ֆշ

Իմոն

Ն

"Ւ0շշՆշ

շլել

Հ

ԵԷՑՆ

«ԻԱ

ո

-Է'""Դ

Օշ

ԻՐ

'

ո

ոջ

«

իճ,

» ոշ

0լ

0)

2-ի արժեքը (1)-ի մնացած

(ո-1)հավա-

կարումներիմեջ: Տեղադրումը կատարենք միայն մի հավասարման 7-րդ) համար. |քիինակ

ց

"ԴՅԱ

ՃՒ"

ոյ)

ՀԵՑ

լ

ՑաՎԾ5Վ՞Ւ Ֆո ոա

ոշ":

Գլ

Ւ

Ւ Ց

Ւ"

շշ

Հճ յ

0):

'""0.-17.-1«ԵՖ, 55Ձ/:4175-1

-

Տեղադրենք (2)ից

զրոյի (4,

Բ

ԳԱՆ»

Ազատվելով փակագծերից կստաճանք՝ խմբավորում

Դ".

Ցու

ԶոԾո

ա

անդամների

նման

կատարելով

ն

)

՝

092002

940994Փ99020090904Գ4ԳօՓօ6օՓ0699 99000009ԳօՓ6օօօօ0966օ

Ա |

ճումԴ ճոշյշՒ՞"'Ւ

7, Հ

ճող

ճան"Ւ

որտեղ գյ, գործակիցներըհայտնի թվեր են:

Այստեղջն". Նո) փոփոխականներն Թ---

եր

անվանենք հենքային

ան Նո)փոփոխականներն՝ բոա

Մազետայեն) խոլ

`

ա

ւ

ր

ազատ:

Ժորդանյան

ձնափոխություններիիմաստը (1) համակարգից մի ուրիշին անցնելիս ն օրինակաչափությունգտնելն է, երբ հենքային փոփոխականներիցմեկը փոխարինվումէ ազատ փոփոխականներիցորնէ մեկով: Այդ նպատակով(1) համակարգինկատմամբկկատարենքհետնյալ ձնափոխությունը: Վերցնենք (1) համակարգի որնէ հավասարում (որոշակիության համար Է-երորդը).

2»:-Լուծենք

այն

ՃԼՊլ

2.

Դ

4,272

Ի"

ճն,

Ի"

Գոլեր

փոփոխականի նկատմամբ, որի :

ի

"|ճղ-

համար

Զւ

փ-Ը-),Է ճ,:

լ

Ձ.լ

լ

4,.

Գ.Լ

Ճ.չ Ճ,շ

|

6չ-

Գ

6.

ԷԼ -ՀՔ--ՑԻ Զ-

եշ փ'''Ի| Գլ Ր

Գ, «ԲԳԱՑ:Բ

Ճ,-լ

Գ

.

"6, Ճ7,

.

Հ--ճ-

թ.

ր

0)

(3) ճիշտ է (1) համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման համար, բացիո-րդ հավասարումից,որից արդեն օգտվել ենք: Այդ պատճառով 0) ()-ի մեջ 7-ի փոփոխմանտիրույթն է 1» Ն2,:::,7 -ՆՈ ԻՆ:::ու: :

համակարգի բոլոր

հավասարումների մեջ

ստացումըկատարվումէ նույն կործակիցների ստացվելէ (3)-ի մեջ:

Օգտվելով դրանից (3)-ի մեջ

»յ

փոխական

փո

-

ինչ օրինաչափությամբ,

կատարենք յ փոփոխականների

նշանակումներհետնյալ տեսքով՝ գործակիցների Գ, "ը

ԵյՀՅյ-

(7

(43-ը ճիշտ ն բացի (7

գործակիցներինկատմամբ ներկայացնելով իայն փոփոխականների որոշելիս, Ա աղյասակներիմիջոցով հետնյալ կերպ: (1) համակարգի համար

փոփոխականների գործակիցները քանի որ Ժ-րդ հավասարումիցենք որոշել /-րդ`

է բոլոր ՏՏ,

լաղմւմ նենքհետնյալ աղյուսակը (աղ.1), որից հետո ընտրումենք, թե որով ենք փոխարինելու(եթե ջ,-ին՝ չ,-ով, ապա տ փոփոլսականը

փոփոխականը:ն

Այժմ համախմբելով (2) (3)-ը ն հաշվի առնելով (4)-ը, (ը համակարգը կփոխարինեն, փոխադարձաբար համարժեք հետնյալ

համակարգով՝ ելլել Եր

լ

«909

9909.

ոո

-

Աղյուսակ 1.

""ԳԵւՃԽ 1 -ԸՖ,

եււ

ծոր

|

Հճ

ԷԵ,122

Եւ"

"Փե

Է"

Եղոն

Ի-----

լԽ-

Ճ,-. «ՀԵ 4»

Վառ.

ո

«ծխ

Ծո

Ւ

Զո

ԻԵ, «17:

Բ

Ֆ,

լ

Ց»

ճ

Ւ: ծ

Դ-Ց-Ֆ, Էնա

ՒՐ

"ՖԵ,լոր

Ի"

ԸՅ Տ, ճ,

Հո"

Մ"-- ԵՊ. ո

բ

Գլշ

ի

ճշշ

Պլ

ճ.շ

Ու

ճ,շ

աղ

Ճ,ող2

Ա

ՒԷ ան

Է

»

«

թ

հ,

տատա

Ի"' Եոշ3շ "ԷԵ,,-1, «Յու "-յ, ծույ գ

Ի""

Ինոր

(5)

-

.

է

աղ

ճլ-1

լ,

ՆՆ

ճլո

ճշ»-1

Ճշ

Ճշ:41

Ճշ,

ճս

ճող

րլ

Ճ,

ճ.,5ՀԼ

..

Ն

ճ.ոչ41

րը

Բ

Ճո

Ճ,ո

Ճ,ոչ-1

ճոռ

Ալո աղյուսակում7-րդ տողը անվանումենք գլխավոր տող, իսկ Տ լա սյամը՝ գլխավոր սյուն: Նրանց հատման տեղում գտնվող տարրը՝ մ... հզլիոսվոր տարը: -

Ժորդաճյան արտաքսումների

այլը: քայլը

Տ16. Ժորդանյանարտաքսումներըաղյուսակային տեսքով

Բ

մլ

Այսպիսով(1) համակարգիցանցում կատարեցինք(5)-ին այնպես, ազատ ոխարինվե Ճ. Վ քային փոփոխականը հենքային ոփոխական փոխարինվեց որով

"

էլ վերջանում փոփոխական, կ

.

:

,

Ինչպես տեսանք 915-ում, ժորդանյան արտաքսումների մեկ քայլ կատարելուհամար անհրաժեշտ է (1) համակարզի ձախ ն աջ մասի մեկը փոխարինելմյուսով: Փոխարինելիսստանում փոփոխականներից ենք (5) համակարգը,որի գործակիցների հաշվարկըկատարումենք ն 5 -րդ սյունից: բանաձնով,բացի 7-րդ տողից Գործնականումփոփոխականներինշված փոխարինման դեպքում կարիք չկա (5)-ին անցնելիս կատարել 815-ում նշված ձնափոխությունները: Կարելի է այդ ձնափոխություններըկատարել

(Օօ |

ճլ |

».

Ճգ

թ

ռ

Հրթրթթթրրնաաշ լյաաաաել «Անել» ՏԱՅԻ «145.2 զլոատ ք մարիիա աաաավաաաա ոտ «ասան

2շ

հ

6914«2 ՓօգՓոռգ0894օ94օօ9624օ9օ2Գ4290404449962442299ՎՉօԳօօՓ4«24.20ԳՓ4ԳգօՓոգ69օօօ6օ4օ«

«ԱԷ» ոչ--58 ճո յ

0)

մ,

Սղավելով(5)-ից կազմում ենք աղյուսակ 2-ը, նկատիունենալով,որ փոխարինվումէ ., -ով։ Ի, փոխոսականը սատենք, որ (1)լ համակարգից(5)-ին անցնելը համարժեք է աղլասակ1-իցանցմանըաղյուսակ 2-ին: Արմ անսնենք, թե ինչպես է ստացվում աղյուսակ 2-ը: Այդ եպատակովօգտվենք(4) ճշանակումներիցն աղյուսակ 2-ում 7-րդ սպի ն «րդ սյան տարրերիտեսքից: Հեշտ է տեսնել, որ աղյուսակ 2-ը Լ աղյուսակ1-իցհետնյալ քայլերիօգնությամբ՝ կառգրիում աժ զլիսսվորտարրը փոխարինված է իրհակադարձով,են գլխավոր լէ դլասվոր տողի մնացած տարրերը բաժանված

տարրի վրա ն վերցված են հակառակ նշանով, գ) գլխավոր սյան մնացած տարրերը բաժանված տարրի վրա, դ) աղյուսակ 2-ի մնացած տարրերը լրացվում են

Ադյուսակ3.

գլխավ

են

(4 օգտվելով

(Ժորդանյանբանաձնից),որտեղ 1» 7,725: 6շանակումներից

ել

ելշ

»,

Պաղ

ս.

Օլ,

Եւ

մա

Նա

ս

եւ,

Զչ

-2/3

յ

ո

|ՎՅ

ի

»:

Ժորդանյան լատարենք

ել,

լ ջլ

ի

1615 Եռ

ՅԼ

ւ|

Ճո

ծխ

ՖԵ"

2.

..8:ջ

`

.

ոզ ի

ճ

ա

՛ջ

որը

եւոմ

Եոշ

Ե

թր

ր

թն

բը

-4/3յյ Է 5/3» 13»չ Հ2/3յլ-Է5/32շԷՄ3»շ

9113-ի զծային ֆունկցիաների (1) համակարգը ներկայացնենքայլ

կեսքով,

(6ղ):Ըղ)ԷԸ«չ):Ը»չ) ՀԸ «,)-Ը2.)Ւ:::3 (Դ

Ի"

ար

'Ըճ,)-Ըա) յ"

Ե լ

(-Նո)

`

ՖլՀ-

շոլԺե

Ֆշ

Հ4

Ֆլ:

Հոլ Էլ

Պահանջվում է փոխել »չ

ն

-«

".

-գչ,-ձ4 Ս»

Հ

Ն2,::"777

ո:

Այս ղնպքում815-ի (1) համակարգը, որը համարժեք է (1 ջ

մել

"4

00001192

Ըպ)Իժ Ը)"

-ին,

4.Ը»)

4.)

2օ00699620906գօ6Գօ290օԹ62օօ06248999ՓԳ09Փոագո 002090 :Փ406990Փ99օՓ09օօո2օգօօօ

-5չշ-Ւ3

13190940946ա.ա0026246Փ200202 400900 09420409Գ69օ0490492099409օԳօ99420460000Գ446Գ449օ660606օ

"ով

լ, փոփոխականներիտեղերը:

նպատակովկազմենք Ժորդանյան աղյուսակ (աղյուսակ 3), գլխավորտարըը ընդգծվածէ աղյուսակում: 1 բԷ"

ի2

հետնյալ տեսքը. կանոունի

Ենթադրենքտրված է հետնյալ համակարգը Օրինակ:

է

Հ

համար նշանակենք ձարմարության ք

քայլ

817. Ժորդանյան վերափոխվածարտաքսումներ

Հառանի,

ճո.

լայն Ել

ռե

Պ

ճ.

Գ,չլ:

Կո

«-

|

Ճ,» 2.

եոն

Ճ,,

Ճո

Ճո

Եշ

չ-1:5

՛

ւ

արտաքսումների մեկ աղոիական

4-ը, համարժեք աղյուսակ Ֆլ Հ14/3: -32շ -28,

ո

ճ

աղյոսակ3-ի նկատմամբ:Կստանանք համակարգին` կնտնյալ

վ

Տ

2շ

Ֆլ

Աղյուսակ

ԽՆ

ել

Ի

Աղյուսաւկ4.

Այ

ժո"

ժու

ո)-4,..Ըոչ)":

6,

Է 2)

Է:Իժ»,) Տ9

Կազմենք (2) համակարգի համար ժորդանյան աղյուսակ, վերցնելով աղյուսակի վերնի տողում չ,

փոփոխականներըբացասական

նշաններով, ինչպես որ համակարգումեն:

խան սյունում, դ) մնացած տարրերը լրացնում ենք օգտվելով ժորդանյան (4) անաձ 15): բանաձնից (815) Ադյուսակ ճ

փոփոխականը,

Որոշելով (7) համակարգի 7-րդ գծային ձնից չ,

-Ճլ

ինչպես նախորդ պարագրաֆում ն տեղադրելով մնացած զծային ձների ֆունկցիաները կլինեն մեջ կստանանք մի համակարգ, ուր 15»

»ջորնՖ.

Ճլ»2»:"

"74,177. -զ

570ռ: -ջշ

ւան

ան

Նի

։

Մ

Ր

»,

|

-"

լ".

4.շ

աե

Ր

լ

4,

4.շ

4,

4,

ս:

4, --

ս

՛

ւ

4,

4,,

Ն

|

մե

ան

աե

Ր

..

-

լո

.

ան

Վո

4.

մ,,

Ֆո

ն.

.

գ) գլխավորսյան մնացած տարրերըբաժանումենք գլխավորտարրի վրա ն հակառակ նշանով գրում հաջորդաղյուսակի համապատաս60

|Եւղ Եռ12

4.ւ

՞

| ծող

լ

որով անցնող տողը

"1,

ծա

ե,

4.

Խ.

ե...

"Հլ

զ

ւ

4, շ

ա

Ես

..

4.

Զ

ան

՞

տ

4,

լ

՞

Զ

ծո

Արո

ե,

Ե,"

---Ր

զ

՞

ե,

Եւ 1941 լ .ս

՞

ի

սյունը համապատասխանաբարկոչվում են գլխավոր տող ն սյուն: Աղյուսակ 6-ը ստացվում է աղյուսակ 5-ից հետնյալ քայլերի միջոցով. ա) գլխավորտարըը (աղյուսակ 1) փոխարինումենք իր հակադարձով ն գրում աղյուսակ 4-ի համապատասխանտեղում, բ) գլխավորտողի մնացած տարրերըբաժանումենք զլխավորտարրի վրա ն գրում հաջորդ աղյուսակի (աղյուսակ 4) համապատասխան

տողում,

.

ժ,

համակարգին կհամապատասխանի հետնյալ աղյուսակը (աղյուսակ 6): (2) համակարգիցանցումըմյուսի կատարվում Լ այնպես, ինչպես նախորդպարագրաֆում, որը ն թողնումենք ընթերցողին:

4,,-ը գլխավոր տարրն է,

-

ւ1

Այդ

Աղյուսակ (5)-ի

-ղլ

"

մե

ան

ջ|Խ

Աղյուսակ 5. ո

յշ

արգումենտները՝

իսկ

»3ո:

Տ

ռ

ելու Ե,

:.

4. 4,

4.

4.

ա

ծառ

ար.

Ե,»ո

են

Ե,

Օրիճակ: Տրված է հետնյալ համակարգը: Կատարել Ժորդանի վերափոխվածձնափոխություններիմեկ քայլ: լ

Ֆշ

)չ

ՀՅո-2»-Է Հ

Ն

-Զյլ-Է Տե. -Է3:2յ

Հ35չ Ն

Է

Տրված համակարգի համար կազմում ենք ժորդանյան վերափոխված արտաքսումներիառաջին աղյուսակը (աղյուսակ 1): Եթե այդ աղյուսակում ցանկանճում ենք փոխել »,

ն ո.

փոփոխականների տե-

ղերը, ապա նրա երկրորդ տողն ու երրորդ սյունը կկոչվեն գլխավոր, իսկ նրանց հատման տեղում գտնվող տարըը -3-ը՝ գլխավոր: Կիրառելով

աղյուսակ 1-ի նկատմամբ ժորդանյան ձենափոխվածարտաքսումների չորս քայլերը՝ կստանանք աղյուսակ 2-ը: Աղյուսակ2.

Ադյուսուկ 1.

|

-Խ

-2.

-պ

Այժմ ենթադրենք, որ ժորդանյան արտաքսումների 7 քայլերի արդյունքում (7 Հ ւ) հանգել ենք հետնյալ (աղյուսակ 73: աղյուսակին

Կ

|

-42չ

-)չ

Աղյուսակ 7

ջլ ել

)2շ

-2/3

Ճլ

Տ3

11/3

6-43

5.

Ն

ելշ եշ

»,

եւ

Ն

լ

».

Ստացված աղյուսակից, եթե վերականգնենքհամակարգը, ապա խել

են

իր են ց

տ

եղե ղ րը

Ճ. փոփոխականներըփո-

ն

այն կունենա հետնյալ տեսքը, որտեղ ջչ :

Իւ

Հ--յ---ՆչԻ-

147254

5 չ ւ1

2 .-

2:31

Տ

-

լ

3"

ր

դ

Ի

որ"

Շր:լշ

Ֆլ

Շլլ

Ֆ,.շ

Շգ2լ

Ը,ւ22

ո

)շ

ել ե,»

ե

Եւ

ւլ

Շ,լ-

ՇԸ,

ւան

ել,

Ե., ե

Մ

6,

Շ,-

ըր

որ

Եթե հետագա քայլերով 7 փոփոխականներըհնարավոր չէ փոխարինել 2-երով, ապա նշանակում է, որ աղյուսակ 9-ի ներքեի աջ անկյունում ընկած տարրերը պետք է լինեն միայն զրոներ: Սակայն

ջ

Շ,

զրոների առկայությունց էլ հետնում է,

Նախքան ժորդանյան արտաքաւմների կիրառություններինանցճելը, բերենք գծային հանրահաշվից հայտնի թեռրեմըիր ապացույցով: Տո, Ստեյնիցի թեորեմը: Եթե ժորդանյան աղյուսակում, երբ

Հ

Շաւֆլ

Ֆո ՀՇոլյլ

որ

փոփոխականները

,.լ,..,,

փոփոխականներովհետնյալ կերպ՝

818 Ժորդանյան արտաքսումներիկիրառությունները

Ւ

ՇոշՖշ

ՒՇաշՖ2 Ւ"

Ւ"

ՒՇ:

ՒՇո),

ժորդանյան արսաքսումների ռ

հաջորդականքայլերի արդյունքում կարելի է փոխել

(ՀՆԽ)

փո-

փոխականներիտեղերը նույնքան թվով չ, փոփոխականներով: նկատենք որ փոփոխականների տողերի Ապացույց Նախ փոխարինումն անհնար է այն դեպքում, երբ գլխավոր տարրը զրո է (զրոյի վրա չի կարելիբաժանել:

2,

ել,

ան

արտահայտվում են Ֆլ, Ֆշ»...,»,

տողերը գծորեն անկախ են, ապա

ՏԵՐԴ

տ

Դ7

իսկ սա գծային կախում է 7-ների միջն, որը հակասում է թեռրեմի պայմանին: Հետնաբարբոլոր 7-ները կարելի է փոխարինել 2-երով, ինչը պահանջվում էր ապացուցել: Այժմ բերենք ժորդանյան արտաքսումների կիրառությունները՝ օրինակների տեսքով: ա) Մատրիցիռանգիհաշվումը: Մատրիցի ռանգը առվելագույն թվով գծորեն անկախ տողերի :

(սյուների) քանակն է: Օրինակ 1: Տրված է հետնյալ մատրիցը:Պահանջվում է հաշվել նրա

ռանգը:

:

լ

-7-լ

լ

Ինչպես երնում է աղյուսակ 3-ից, հետագա արտաքսումները հնարավոր չեն, քանի որ գլխավորտարըը զրո չի կարող լինել (երկրորդ ն երրորդ տողերի երրորդ ու չորրորդ սյուներում զրոներ են): Հետնաբար տրված մատրիցըունի գծորեն անկախ միայն երկու տողեր: Ուստի ճրա ռանգը հավասար է երկուսի: Մատրիցի մնացած երկու տողերը (երկրորդ ն երրորդ)կախված են առաջինից ու չորորդից հետնյալ կապով`

Կազմենք ժորդանյանաղյուսակ (աղյուսակ 1): Աղյուսակ ԿԽ

»ԼԱ

»

լ,|

Վ

պ

4.

լ

4:

Ֆ

ո"|1

Վ

»:|1 ջ.

|

ՊՃ.

Ձ5

Պլ

-պ25

Պ4

-Տ

Աղյուսակ 3

Ֆլ

Ֆլ

Ճգ

գ

ռ

լ

Դ

».

.

1/2 1/2

5/2

Կազմենք Ժորդանյանսկզբնական աղյուսակ (աղյուսակ 1) ն կատարենք արտաքսումներիմեկ քայլ` ընդունելով որպես գլխավոր տարը :

ոռ

|

2.

Աղյուսակ 1.

Աղյուսակ

5շ

ջ

5.

լը

Պլ

կ

դ

:

Տ

7:

-

Ստացված աղյուսակում (աղ.2) հնարավոր չեն հետագա արտաքսումներ` զրոների առկայության պատճառով: Հետնաբար, մատրիցի ռանգը հավասար է մեկի ն այն ունի մեկականգծորեն անկախ տող ու սյուն: Մնացած երեք տողերը կախված են առաջին փոփոխա|

լ

-

1-ը:

Նկատենք նախ, որ ժորդանյան առաջինաղյուսակից որպես գլխավոր տարը կարելի է վերցնել զրոյից տարբեր ցանկացածթիվ: Այդ նկատի առնելով, որպես գլխավոր տարը վերցնենք աղյուսակ 1-ի առաջին տողի առաջին տարրը: Կատարելով սովորական ժորդանյան արտաքսումների մեկ քայլ, աղյուսակ 1-ի նկատմամբ, կստանանք աղյուսակ 2-ը: Այժմ, որպես գլխավոր տարը, 2-րդ աղյուսակում վերցնենք չորրորդ տողի երկրորդ սյան տարըը ն կատարենք նս մեկ քայլ: Կստաճանք աղյուսակ 3-ը:

»,

ՀՖ-2»յ

2. Աղյուսակ

-

Օրինակ2: Գտնել մատրիցիռանգը:

1.

ՀՅՃ. ՊԿ

Ճ

Հ-2»լ ԷՏ»

Ֆշ

(5)

կանից:

3շ ՀՀ3),ջ: 33»: Հ-2Ֆֆլ,ջլ-4).: 31534 - լ

բ) Գծային հավասարումների համակարգիլուծումը:

Ենթադրենքտրված է գծային հավասարումներիհետնյալ համակարգը: ճլլել Է զլշճշ Է

ճշլ

զե

ել

Հ

Իշոր

ճշշ 42 Է"

ճոշեշ

ոլն

"Ւ

տնաբար

Եչ

Հ

Է" "Իճոա ՀԵ տո`

9-ում Աղյուսակ Ֆ, ն Եյ թվերը հաստատուն

ո

0) տ

Հայտնի է, որ փոփոխականներիարժեքներիայն համակարգը,որը բավարարում է համակարգիբոլոր հավասարումներին,կոչվում է նրա լուծում: Եթե համակարգն ունի գոնե մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է համատեղելի, եթե չունի ոչ մի լուծում, ապա կկոչվի անհամատեղելի: Ժորդանյան արտաքսումներիօգնությամբ (1) համակարգըկարելի է լուծել տարբեր եղանակներով:Բերենք նրանցիցմի քանիսը: Առաջին եղանակ: Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ (1 համակարգում փոփոխականների ն հավասարումների քանակները հավասար են (Հոդ): լլ:

Է

զլշ:շ-Է'

"Է

ճո:

ել

Հ

Է

ՀԵւ

ճղշԽ2-Է"""Դ ճան

որ (2) համակարգի հավասարումներըգծորեն ամկախ Ենթադրենք,

Կազմենք ժորդանյան աղյուսակ (2) համակարգի տվյալներով 8): Քանի որ համակարգի հավասարումներըգծորենանկախ (աղյուսակ են, ապա ժորդանյան արտաքսումներիԴ քայլերի կիրառումովկարելի են:

է

փոխել ազատ անդամներին

չ

Կստանանք աղյուսակ 9-ը:

Ն Էր)փոփոխականներիտեղերը: -

Աղյուսակքտ պ

|.

ճջ

եչ | ճյ

..

Ե, Գ,լ

ոշ

ե

Աղյուսակ 9.

ա

ճո

ՃՍ

շը

ն

ար

| 1,

արժեքները կարելի է հաշվել՝ Ն ր) փոփոխականների -

Հեյլ-ելԻե,չ-ԵչԻ-::ԷԵյ 'Ել Քանի

հե-

որ

տեսքով:

«, փոփոխականներըորոշված

են

միակ ձնով, ուստի

համակարգնունի միակ լուծում: Նկատենք նան, որ աղյուսակ 9-ի տարրերից կազմված մատրիցը հանդիսանում է աղյուսակ 8-ի համապատասխան մատրիցի հակադարձը.

8,

ի

ՍՎ

-

(3)

4.ո

Նկատի ունենալով (3)-ը, կարող ենք ասել, որ այդ մեթոդը հնարավորությունէ տալիս գտնել մատրիցի հակադարձը ն, հետնաբար՝ նան գծային հավասարումների համակարգի լուծումը հակադարձ մատրիցի միջոցով: գծային հավասարումների համակարգը Եթե ներկայացնենք ն բազմապատկելովհավասարմաներկու Ց /44/ մատրիցի տեսքով` |

-

(2 լել

2,

հայտնի թվեր են,

ել

եչ

ե

ծ

Ել.

Եշ

Ե,

Ե,շ

լ

Տ...

..

..

Իո

ե

ծ Ե,

Ե,

մատրիցի հակադարձով

մասերը ձախից

ունենալով,որ 4

(4

-ով),

նան

նկատի

հավասար է միավոր մատրիցին,կստանանք՝

:4:254:8

2547: Բերենք օրինակներ: Օրինակ4: Լուծել հետնյալ համակարգը. Կլ

Է3եշչ-2»

Հ-3

22 Է7:չ-5--1

- եչ Էլ

Հ10

Կազմենք ժորդանյան աղյուսակ ն հաջորդաբարկատարենք ժորդամյան սովորականարտաքսումներ: Կստանաք՝

լ

Աղյուսակ

Աղյուսակ 1.

4.

Ճշ

ի

զ

-)

Աղյուսակ 3.

լ

Ւ

.-Վ

ո"12.

Վերջին լուծումը.

լ

պ

ԵԶ

Ն

մ

1շ

Լ1յ

Աղյուսակ 4.

"|

-ո6

1/6

,||176 29/6

յ

աղյուսակից

ստանում

ենք

լ

"---(3):--:(7)Հ-10-1

-/ՏՆ6

-13/6

-1/6

Ճ---:Ա3---:(7--10Հ-1 Ը3

7)

-

-9ԶալԻ5Տոչ-"-2 -7ալԷ3չչ-յ-14

-շոլԻչչ-:"-2 Կազմենք ժորդանյան սկզբնական աղյուսակ (աղյուսակ 1): Կատարելով հաջորդական արտաքսումներ,կստանանքաղյուսակ 3-ը:

.-16

ԷՔ

Ն

2շ

Ս

-7/5

ճլ

Լ/5

1/5

2/5

2/5

-1/5

Այս աղյուսակում հետագա ձնափոխություններ անհնար է կատարել, քանի որ գլխավոր տարը հնարավոր չէ ընտրել (աղյուսակի համապատասխան տեղում զրոներ են): Եթե վերծանենք վերջին աղյուսակը, կտեսնենք, որ ազատ անդամների համար գոյություն ունի հավասարությանպայմանը

1:14-4

4 Հ-5:24

(1)

2-8:2Հ

|-25

Օրինակ 5: Լուծել հետնյալ համակարգը.

խ

7.

համակարգի եզակի

լ

Աղյուսակ3.

ո--.ՎԸ3--ԸՊ--ՎՅՀ-2 `

Աղյուսակ2.

Աղյուսակ 1.

իսկ Ճչ

ն

:14-2

"պ փոփոխականների համար ունենք հետնյալ հավա-

սարումները ճ-

ՃլՀ-7/5

:232/52շ

1/5»

-

1/5 '14 --12/5 Ւ 2/5

:

-

14/5-

Է

2/5»շ 1/5»շ

Տալով չ,չ փոփոխականինկամայական արժեքներ, լ

ն

Ճ. փոփո-

խականների համար կստանաք որոշակի արժեքներ, որոնք կբավարարեն տրված համակարգին:Այս դեպքում ասում ենք, որ համակարգը համատեղելի է ն անթիվ բազմությամբ լուծումներ ունի, կամ լուծումը անորոշ է:

Օրինակ 6: Լուծել հավասարումներիհամակարգը: Վ

յ

-Է3գՀ3

2,

27. Է3եչ-Է27-7-0

4-5

3: փ:

-յլ

ԷՅ» Էյ

Կազմել ժորդանյան սկզբնական աղյուսակը ն կատարելով սովոբական ժորդանյանարտաքսումներիհաջորդականքայլեր, կստանանք աղյուսակ 3. ՝

Աղյուսակ1. չ

ռլ

ը3

լ

. Զ.

35Լ51-5

ՋՊ

.

չ օվէ|

ԽՏ

2/5

Վ

Հետագաձնափոխությունհնարավոր չէ, քանի որ գլխավոր տարրը կլինի զրո: Եթե վերջին աղյուսակից հաշվենք ազատ անդամը, կտեսնենք, որ այն բերում է հակասության՝

Աղյուսակ2.

"1

2.

գ

Վ

3)|-0

2|17|

Տ

ժո

Է6:-4-0

Աղյուսակ1.

չ.

-11/5 ՃՏ

| |

ո

մ.

՛

|

-

Աղյուսակ4.

. ել

5. Եք

Աղյուսակ3.

Աղյուսակ3.

Տո

Կազմենք ժորդանյան սկզբնական աղյուսակ ն կատարենք ձնափոխություններ, նկատի ունենեխլով,որ մի աղյուսակից մյուսին անցնելիսգլխավոր սյունը բաց ենք թողնում:

Աղյուսակ2.

,

ԽՃ

-Ճչ-Է3:ո-10-0

ո

ել

Վ

Պատասխան՝ 7. -3, մշ

- -1,

2-2:

6»21:33Ի1:5

Հետնաբար,տրված համակարգըլուծում չունի (անհամատեդելիէ): Օրինակ 7: Լուծել հավասարումներիհամակարգը: մլ

-Ճշ-Է32գ

2-ելԷ -լ

ն

Է 2

փՏաշ-Է6

Հ7 -:4

Արտագրենքհամակարգըհետնյալ տեսքով՝

Գլուխ

5.

Սիմպլեքս մեթոդ

պե

Իզ

Ի

Ւճատ

Հայտնի է, որ գծային Ի ո, ՀԵ Ին լլ ՈՒճե», թվով փոփոխականներն սահմանափակումներ:Բնական է, որ այդ(3) մեծ ծավալի հաշվարկների հտ..։Ձ0..`./.,՞՝ՋՈՁՈՁ76Ո7ՈՈ7 է պիսի խնդիրների լուծումը կախված որոնք կատարվումեն ժամանակակիցարագագործհամակարգիչների ».-ե- 6." ուլ ՖոՒՑ Ն», միջոցով: Այն ալգորիթմները,որոնք ընկած են մեքենայականծրագրերի որտեր՝ ըտեղ հիմքում, կարող են օգտակար լինել միայն որոշակի տիպի խնդիրների ել ՀՕ,ԵչՀ0.....Ե, Հ0 (4) համար: Սակայն կան նան ընդհանուր մեթոդներ, որոնք հնարավորություն են տալիս լուծելու ցանկացած գծային ծրազրավորման խնդիր: Այդ մեթոդներիթվին պատկանում է այսպես կոչված սիմպլեքս Ստացված (3) համակարգի ձախ մասի փոփոխականները՝ Ն՛ մեթոդը: Հղ»42»..»4. կոչվում են հենքի (բազիսային),իսկ մնացած փոփոխածրագրավորմանխնդիրներըպարունակում են

մ՛

մեծ

աաա,

:

819. Միմպլեքս մեթոդի գծային Դիտարկենք

լությունը:

Կ

Է"

Էշ

«լյ Ի

ՒՇ

"Ր

Ւ"

ճշ

ճախ

ճշլել ճշչ:չ

-»

աո

ծ

Տ

(1)

ճշղմ,Եշ

Է "Ի

Ւ

ճոշ72-

Ւ"

ճող

Ծ

`

0,ՀՆո) .

Սիմպլեքս մեթոդովաշխատելիս անհրաժեշտ է, որ (2) համակարգը բերվի այնպիսի տեսքի, ուր ինչ-որ ՛ թվով փոփոխականներ(7 Հլ) արտահայտված լինեն մյուսներով այնպես, ռը արտահայտություններում ազատ անդամները լինեն դրական: Որոշակիության համար ենթադրենք, որ այդ փոփոխականները, որոնք արտահայտվում են մյուսներով, սկզբի՝ շլ,շ»:::չ7.

փոփոխականներն են: Կատարելով

նշված ձնափոխություններըկստանանք.

ն

Հ:

Ւ

(5-ի Հ

Շ.շոշ

Ի"

ԻՇԽ,

(5

փոփոխականներինտալով զրո արժեք ն նպատա0), կստանանքհենքի փոփոխականների ազատ

զ

ՀելչչչՀԵ":

ՀԵ/՞Օ

Այդ լուծումը կոչվում է հենքային ն համառոտ Բ

ե,

--

Հ

(3-ի

ԻՇ

Հ

ԱԱ

ճ,ոլել

արժեքնե

կային ֆունկցիայիարժեքները.

(2)

ԼԱԱԱԱՎԱՋԱԱԱԱԱԱԱԱԱԱԱԱԱԱԱՆ

ԱԱԱԱ ՆԱԿԱՆ Ժ

ււ

ՄՀ

(Կլ

փոփոխականների

փոփոխականներով Հ-Լ»Ճո.2»-54ռ:

ազատ

Տ

Հ

ար յտված ծժԴԿԴՊԿ, ահա

կանները` ազատ: Տեղադրելովհենքի (1)-ի մեջ, նպատակային ֆունկցիա

ծրագրավորման խնդիրը, որտեղ սահմափակումներիհամակարգըտրված է հավասարումներիտեսքով.

,

գրվում է՝

7 Շց ԵլչԵշչ:::,Ե,»0,0,:::,0 Հ

տեսքով: Քանի որ ենթադրել ենք (4) պայմանի գոյությունը, ապա լուծումը կլինի թույլատրելի: Գծային ծրագրավորման խնդրի լուծումը սիմպլեքս մեթոդով կատարելիսհանգումենք որոշակիքայլերի հաջորդականության, որոնց էությունը կայանում է նրանում, որ մի բազիսային լուծումից անցում է կատարվում մեկ ուրիշի: Մի բազիսային լուծումից ուրիշի անցնել նշանակում է մեկ կամ մի քանի բազիսային փոփոխականներ փոխարինել նույն քանակությամբազատփոփոխականներով: Մի բազիսային ո այդ

էփնտրելով ից անան կարար որոշակի ազատա սային լուծումից (բազիսից)անցում կատարել մեկ « պես ուրիչ որ պլեքս

մեթ

յությունը

կայանու

անում,

ո

ազի-

նպատակային ֆունկցիայի արժեքը փոքրանա, ծայրահեղ դեպքում չմեծանա (եթե փնտրվում է նպատակայինֆունկցիայի տմո-ը). Ր,

Մ7.: Ակնհայտ

Հ

է, որ մի բազիսից մյուսին անցնելիս (3) համակարգը

կփոփոխվի: Կատարելով թվով քայլեր կհասնենք այն բանին, որ խնդիրը լուծում ունի ն կստանանք այդ լուծումը կամ կհամոզվենք,որ խնդիրըլուծում չունի: .,՛ Օրինակ 1: Ենթադրենք տրված է գծային ծրագրավորմանխնդիր հետե ե տեյալ տեսքով .

7 Հ2»յո

8-2:

ճշ Հ6ո

32,

-»տո

ՒՅՆ, լ

զրո

հենք:

են

ոչ:

Քանի

որ

չ.

(հետնաբարայդ լուծումը

օպ-

մեծացնելիս անհրաժեշտ է հետնել հաարժեքը

տիմալ չէ): Մակայն չչ

այնպես, որ ճլ,27շչ»:2: փոփոխականները մակարգի հավասարումներին չդառնան բացասական:

Նկատենք,

որ

2, արժեքը մեծացնելիս համակարգիառաջին

վասարումից կհետնի, որ չլ-ի արժեքը նույնպես կմեծանա ն բար

վտանգ չկա,

որ

չլ-ը

է

կդառնա բացասական: Երկրորղ հավասա-

տալիս , -ին մեծանալ մինչն 3, իսկ երրորդը՝ մինչն 4: ՝

հա-

հետնա-

,

րումը թույլ

տալիս համակարգի երկրորդհավասարումը,

անհրաժեշտ

րումից որոշել Ճ.-ը

ն

սիմպլեքս ձնափոխութ-

համակարգի երկրորդ հավասա-

է

այն տեղադրել մնացած հավասարումներին

ֆունկցիայի մեջ: Կատարելով նշված ձնափռոխությունները, տրված խնդիրը կբերվի տեսքի. հետնյալ ՝

5,

փոփոխականըֆունկցիայիմեջ մտնում է բացասականգործակցով,ուստի նրա արժեքը զրոյից մեծացնելիս ֆունկցիայի արժեքը կփոքրանա, իհարկե պահապանելովմ. արժեքը

քացա-

մեծացնել

Որպեսզի ավարտենք

արտաքսելով` 2-ը: "յունների մեկ քայլը,

»,

լուծումը օպտիմալ է թե

ծբՍիմինչն Աա 3:

արժեքը

փոփոխականըանհրաժեշտ է բերել հենք, այնտեղից

ազատ

«4-3 -12

Հ

այդ

ուստի Ճ,

է

դա թույլ

ոլ

Համապատասխանաբարբազիսային լուծումը կլինի` (8,6,4,0,9), իսկ 0): ճպատակայինֆունկցիայի արժեքը կլինի հավասար զրոյի ( Այժմ տեսնենք

Քանի որ

-2».

փոձոխականները կազմում

ղ,7,,7.

սական,անհրաժեշտ

7/2» » տո «17-3/22շ-7/22լ Հ3-1/22»չ-1/2»լ

7 Հ-9-3/22.

»Հ0(Հ-ՆՋ Խնդրում

Կրո ը է Ց7չ-ի Ի

6,

«141/2»չ, Է7/2»լ

որի հենքային լուծումը կլինի (17,0,1,073),իսկ 7 «-9:

Այսպիսով հենքայինմի լուծումից անցում կատարեցինքմեկ ուրիշի այնպես, որ նպատակայինֆունկցիայի արժեքը նվազեց: Այժմ, քանի որ չշ

ն Ճ,

փոփոխականներըմտնում

են

ֆունկցիայի

մեջ դրական գործակիցներով, ֆունկցիայի արժեքըայլնս հնարավորչէ փոքրացնել,հետնաբարստացված լուծումը կլինի օպտիմալ: :

ՄորՀ-9, երբ լ 17:5չ

-0:»

Հ

Լլ

«0.

3:

Օրինակ 2:

7-32:

-2չլ

ոլ«2Ի7:-լ :5չ-3»,

7՞՝»

Այստեղ հենքը կազմված է լ

ոյ

0,

ոլո

-»

2»

«1

15-Ն

ն ճշ

սային լուծումը կլինի (2,3,0,0), իսկ

/

փոփոխականներից:Բազի-0:

Այժմ

այլ

բազիսային

լուծմանն անցնելու համար ճկատենք, մեջ լ

որ

նպատակային ֆունկցիայի

Տ20. Միմպլեքս մեթոդը ընդհանուր տեսքով

-ի գործակիցըբացասականէ, հետնաբարկարելիէ նրա արժեքը

զրոյից մեծացնելով ֆունկցիայի արժեքը փոքրացնել (2չ-ի

արժեքը զրոյից մեծացնելիս հետնենք

պահպանելով զրո): Եթե լ-ի

համակարգին,ապա կտեսնենք, որ նրա առաջին հավասարումըթույլ է տալիս .-ին մեծանալու ցանկացած չափով (քանի որ ունի դրական

ձնափոխությունները

'

գործակից), իսկ երկրորդ հավասարումը՝ մինչն 3 (եթե գերազանցի 3-ը, ապա 2շ-ը կդառնաբացասական): Այժմ սիմպլեքսձենափոխությունների մեկ քայլը ավարտելուհամար,

հավասարու համակարգի երկրորդ

մ ից անորաժնշ նհրաժեշտ է

է որոշել րոշնլ

՛

:

3-ը

ը ն նրա ր

տեղադրել ՛-ի ն ֆունկցիայի մեջ: Կատարելով ձնափոխությունները,կստանանք՝ արժեքը

.

Մ7--9-Է3»-8»-» "Հ

5-շ

2,

«3-2

»,

Է Ն

Է2ել

Հ0(7-14 Ս

ոռ

|

համակարգի հավասարումներիմեջ դրականգործակիցներով, իսկ դա նշանակում է, որ չ.,-ի արժեքը մեծացնելիսվտանգ չկա, որ լ է

կդառնանբացասական: փոփոխականները ,

Այսպիսով, ,-/-ի արժեքը կարելի է անվերջ չափով մեծացնել, որով

-օ5): դա

Ստացվում է,

որ

նշանակում է խնդրի աչ

Հլ

2շ

Հեշ

Գույ

6,

-

-

74,

Ծո-7յղլեղ-Ֆ

Գրեյ

Օշ ԳլՊուլ

|

Պտ

(1)

Լայ,

-

ծ, Հ 0,0

ՊՀՀ

ճոՈՎԼՆՐՒԳԼ

ԶՀՇ

ո

փոփոխականի գործակիցըբացասական է, հետնաբար ճրա արժեքը զրոյից մեծացնելիս ֆունկցիայի արժեքը կփոքրաճա: Սակայն չ-ը

ֆունկցիան սահմաճափակ չէ ներքնից, իսկ օպտիմալ լուծում գոյություն չունի:

ո

եշ

որտեղ

ֆունկցիայի արժեքը անվերջ կնվազի (7 -»

-ՉՈՎԳԱԵՎԼԷԻ"-

Հյ

6շըդնը շն

ՎԱԱԿԱԱԱԱԿԱԱԱԳԴԱՎԱԿԱԱԱՑԱԿԱԱԱՎԱԿԱՎԱԿԱԱԳԱԱ

Ինչպես երնում է նպատակային ֆունկցիայից, նրամեջ մտնող չ

ն աչ

այդ

որի բազիսային լուծումըկլինի (5,0,3,0), Ր--9:

մտնում

լ Այժմլ ընդհանուր ինչպես է միմի բազիսային տեսքով Վ ցույց ց տանք, տանք, թեթե ինչպես բազիսայի լուծումից անցում կատարվում մեկ այլ լուծմանը: Նշենք, որ այստեղ մանրամասն չենք բերի այն բոլոր ձնափոխությունները,որոնք կատարեցինք նախորդ երկու օրինակները քննարկելիս: Ընդհանուր առմամբ, այդ կատարվում են նույնատիպ աղյուսակների միջոցով: Սակայն, այստեղ ցույց տանք թե ինչ են դատողության հիման վրա կատարվում աղյուսակային ձնափոխությունները Այդ նպատակով ենթադրենք, որ գծային է հետնյալ տեսքով. ծրագրավորմանխնդիրը տրված

է

արժեքը

"ՐԾ

2),

յ ա.

ՑՆ

Հ0(թՀ-Նո)

-

Ս

-

Լ73): Խնդրում չլ,Ճշչ::",7,

փոփոխականներըհա-

մարվում են բազիսային, իսկ նրան համապատասխան բազիսային լուծումը կլինի՝ ւ

Բ

(ելԵ.,:::,Ե,,0,0,-::.07, 72-77

Ց)

Այժմ, մի բազիսից մյուսին անցնելու համար քննարկենք երկու դեպք: դեպք: Ենթադրենք նպատակային ֆունկցիայի մեջ 74157 Գործակիցները ոչ դրական են: Այս դեպքում այլ շ»""7,. ը լուծման ճանանցնելու ամանն ինաժե ր չկա, քանի լ բազիսային անհրաժեշտություն որ ֆունկցիայի արժեքը կմեծանա: Իրոք, եթե անցում կատարենք այլ բազիսի,ապա .,.լ,-::,2, ազատ փոփոխականներից որնէ մեկը պետք

է

բերենք բազիս, իսկ դա կնշանակի, որ այն կստանա զրոյից մեծ արժեք: Այդ փոփոխականի գործակիցը քանի որ ֆունկցիայի մեջ

:

է, ուստի, ՕՁ: այդ բացասական

արտադրյալը

գումարելով 7՛-ին՝

ֆունկցիայի արժեքը կմեծանա: Հետնաբար,այս դեպքում, ֆունկցիան կստանա իր մինիմում արժեքը, եթե լ

Հ,

-0,

-''"-27Ճ

որը

ր`

կնշանակի,որ (3) բազիսայինլուծումըհանդիսանումէ օպտիմալ: 1՛դեպք:Ենթադրենք,)՛.լ»7742»՝"'»7՛, Գործակիցներիմեջ կա գոնե մեկը, ռրըդրականէ: Որոշակիության համար ընդունենք)՛յ

75 լ ԻՆոլ

Եթե գործակիցներըմեկից ավել են,

նրանցից ամենամեծը ն

համարում 7՛յ (այն ավելի

ապա արագ

»

ընտրում ենք

2,

մեծացնելու միջոցով: Սակայն

յ-ն

կփոքրացնի

մեծացնելիսպետք է հետնել

Զ) համակարգին այնպես, որ բազիսային փոփոխականները բացասականչդառնան:Այդ նպատակովքննարկենքերկու դեպք. ա) Ենթադրենք(2) համակարգիմեջ գլ,»02յ»'''»0 բոլոր,

դրական "են: Այս

կունենանք.

ո

որից

հետնում

է, որ

համար

ճյչ

հա-

չ,

«յ գյ,

Տ

0:

Եթե այդ մինիմում

հարաբերությունըստացվում է մի քանի 1: երի դեպքում, ապա որպես / կարող ենք վերցնել նրանցից ցանկացածը: Կրճատ գրելու համար

ծ նշանակենք

Հ

Պ.

մինչն

ք:

ոյ-ն

Ակնհայտ է,որ թՀ0ն

կարելի է մեծացնել

թ:

Ընդունելով` Խալ

ՀՕՀյ

ՀՅ

Հ

ք,՝խչլ

ն".

Հ

Հ

0,

(4)

կստանանք մնացած փոփոխականներիարժեքները. |

Հեյ -ճլյթ

»տռտՋտտաատ

ՃՀել-ճյքՀ-0

փոփոխականներըչեն կարող

ՏՏԵՑՑՑՕՕՍՑՑՈղՈ՞Ր՝

`

Թ)

աանաանանաան

».-Ե,-ճյք

0): Այս դեպքում նպատակային ֆունկցիան սահմանափակ չի

7յ»

լինի ճերքնից ն հետնաբար նրա օպտիմալ արժեքը գոյություն չունի: Ուստի ասում ենք, որ խնդիրըլուծում չունի: բ) Ենթադրենք «յ :42յ,"""6. Գործակիցներիմեջ` Գյ Հ 0, որտեղ

ն,՛|։Այսդեպքում «յ-ն

ատա1-

կարելի է մեծացնել ոչ ավելի քան

չափով, հակառակ դեպքում յ-ն

ե

-

ՏԸԸ```ՈՈՈ

բացասականդառնալ: Ինչ վերաբերում է նպատակայինֆունկցիայի, ապա նրա արժեքը անվերջ կնվազի յ -ն անվերջ մեծացնելիս(քանի որ

-

դեպքում համար, որոնց

Հել,»Հե,,-.«ՀԵեե`.ւ:ւ

յ,»շ,---,:5.

այն մ -երի

Գործակիցները

դեպքում ցանկացած 2,» 0

ոլ | (5,

բոլոր

կազմում ենք

նները ն ընտրում նրանցիցփոքրը: Որոշակիության համար

0, որտեղ

ազատ փոփոխականների ֆունկցիայի արժեքը): Այժմ, պահպանելով զրոյականարժեքները,բացի 2 -ից, փոքրացնենքֆունկցիայի արժեքը՝ -ն

գործակիցների համար

«յ

բոլոր

-

կդառնա բացասական:Այնուհետն,

Նոր

բազիսը կազմված է

այ,"

ՅՆ.

Ճայ».

փոփոխա-

ն կաններից, իսկ բազիսային լուծումը Բ-ը կլինի (4 (5-ը: Նպատակային ֆունկցիայի արժեքը այդ բազիսային լուծման համար նի` ՄԻ՞ի

7Բ'-7ց-7յքՀՄԲ Նկատենք,

որ

եթե թք-0,

ապա

(6

չնայած բազիսը փոխվում է,

սակայն բազիսային լուծումը ն ճպատակային ֆունկցիայի արժեքը մնում են նույնը: Դա հատուկ դեպք ն կոչվում է վերասերված: է

լը,

Որպեսզի ավարտենք սիմպլեքս ձնափոխություններիմեկ քայհա մնում է (1 հավասարումից որոշել յ ակարգի 7-րդ

փոփոխականըն ճրա արժեքը տեղադրելմնացած հավասարումներին ֆունկցիայի մեջ: Այդ գործողություններըկարելի է կատարել` ելնելով ժորդանյան ձնափոխություններից։ Կատարելով նշված ձնափոխությունները՝(1)-(2) խնդիրըկբերվի այլ տեսքի, որտեղ մ, բազիսային փոփոխականըփոխարինվածէ 2,

ագատ

փոփոխականով:Ստացված

պետքէ

1 ն 11

դեպքերը: ուսումնասիրել խնդրի նկատմամբ նույնպես Ձնափոխությունների այդ շարքը անհրաժեշտ է կատարել այնքան անգամ, քանի դեռ չենք հանգել Էի (որի դեպքումգտնվում է օպտիմալ լուծումը) կամ Ա-ի (ա) դեպքին (խնդիրըլուծում չունի):

821. Սիմպլեքս

Գործնականում,սիմպլեքս մեթոդովխնդիրներլուծելիս, անհրաժեշտություն չկա մի բազիսային լուծումից անցում կատարել մեկ այլ բազիսի այնպես, ինչպես նկարագրվեց նախորդ պարագրաֆում: Ձնափոխությունների այդ շարքը կատարվում է աղյուսակների միջոցով: Տրված (1)-Օ) խնդրի (820) տվյալներով կազմում ենք սիմպլեքսառաջին աղյուսակ: Այնուհետն մի աղյուսակից մյուսին անցնելու միջոցով ստանում ենք խնդրի օպտիմալ լուծումը: Մինչն առաջին աղյուսակի կազմելը՝ ճախ (1)-(2) խնդիրը (820) գրենքհետնյալ տեսքով.

77742041": Ճյ

ել

-7)4

Ր`

"Ի

7/ոՆո

015)

ՒՐ

ճգ

Ի

ԱրՎՈԽՎՈ

Ւ" ՒՅԱՃյ Ւ"

ԳԿԿԱԿԿԿԱԿՎԿԱՎՅԱԿՅԱ

ՎՅԱ ԱԿ ՅՅ ԿԱՅՈ

5-Ի ճՈՎՈԿՎ

ԱԱ

Դ

Ւ

դյ ՒՅՑ

Ւ"

Հ

Ել

է, ՒճոՀՃո Հ

Թթ

ՐՈ

(5

Գրո

Չ2ՈՅԹ2 24842422226922Թ

Կազմենք սիմպլեքս առաջին աղյուսակը:

Հ70

Ի

Բազի- | Ազատ սային | անդամ-| Հլ

փոփոխ. ներ

|Ճ

|Ճ|

"լլ

լճե

ռլ

ել

1|..|0Ա...|

Եշ

ե,

օ|..|1|..|

2,

Ե.

7.

|

ճայ

0|..|0|..|0

|

| ՕԱՀ|

1 | ճա

|0|..|0|..|

|.

ՃԱ.

|ՃԽ զ

|

«յ

|

Լ-|6ռ

|.

6,

77 ԼԱ.|17ր

Առաջին աղյուսակի բազիսային լուծումը կլինի՝

աղյուսակներ

-

Աղյուսակ1

Ի

04: 9..«.««..

Յոն

ՏԵԼ

(2)

Բ1(է,,Եշչ:՝ ՆԵ," ,Ե,,0,0,::-,0), 1բՀ 70 Սիմպլեքս ձեափոխություններիմեկ քայլը ըստ (820)-ի կստարելիս (1)-(2) խնդիրըկբերվի հետնյալ տեսքի (որտեղ. Ն-

Նր" նՃԸՐԱ Ճո

բազիսըփոխարինվումէ չ/,:-,22-/,5յ,2ռյ»""",55-

7-2

172457

:.

,

,

ՖԵլԻԼՃԻԼ

Ւ՞"ԻԵ"

ԴԵԼ":

Հյ

ծր

Ւ"

,

(3)

ՒԵլոՃրչկ

ՒԵ ՅԿ Ի"

ՓԱԿԿԱԿԿԶԱՉԶՅԱԱԱ

Յ:Ո0042262 424449

բազիսով)

"փ

ԵյդոըՏէ

(4)

24222822 90420204 6040 օօ«գօ«««

ՒծոՃ. Ւ"

ԷԵ

ՀԵ,

աղյուսակ:

(3)-(4) խնդրիտվյալներով կազմում ենք նույճատիպ

Աղյուսակ2. Բ

|

Ազատ անդամ- | լ

2.

ներ

Ել

|

|0

Է:

ե

Ե,

ո:

Լե

..

վ

Ե, Ա.

| Ե,

0|..|

|

ան

ան

.

Լ.

.սս

Է...

|ԵՖւ

ւ

|

.

|

վա.

|5,.

ւն

7.

| եո

լ

"|

|

ռ

| ԽՃ Ճո |

ե,

լ

"լ

|.

Ճ,

|ե վ

Դա

Լ.15, Աս

|

բանաձնով՝

-

|

|)7

|

Հ

|

|

ռ

Ե,

Օրինակ 1:

Հ

Հ90-

ՏՈ.

Նկարագրենք այն ալգորիթմը, որով աշխատելիս առաջին աղյուսակից անցում կկատարվի երկրորդին: Այդ անցումը իրակաճացնելու համար նախ նշենք առաջին աղյուսակում գլխավոր տարըը գտնելու

Երկրորդ քայլ:

դրական

Կազմում ենք ազատ անդամների հարաբերությունը:

հարաբերություններիցփոքրը:

Ըստ

820-ի

դա

--

է, որը

ցույց

Ազատ

անդամ. դ

յ 5շ

-ն

է

տալիս գլխավորտողը: Երրորդ քայլ: Նշում ենք գլխավոր տողի ն սյան հատման տեղում գտնվող տարըը ն համարում նրան գլխավոր: Ունենալով գլխավոր տարրը առաջին աղյուսակում, նշենք այն քայլերը, որոնց օգնությամբ կիրականացվի անցում հաջորդ (երկրորդ) աղյուսակին:

սյան տարըն

|

Ի2.

Հ6Ի4յ-չ

ո

«842».

-2».

0,(/-

Ն) Աղյուսակ 1.

բ

զ -րդ

Ս

գլխավոր սյան Ընտրում ենք այդ ի

տողի

-րդ

-3ոչ-»տո

ճշ

Հ

քայլերը:

անդամներին

2.

«4-3

Առաջին քայլ: Առաջին աղյուսակի նպատակայինֆունկցիայի տոճղաղում փնտրում ենք դրական թվերից ամենամեծը(բացի ազատ անդ Ըստ մից): 820-ի դա 7՛,-ն է, որը ցույց կտա գլխավորսյունը:

|

Լուծել գծային-ծրագրավորման հետեյալ խնդիրը.

Բ2(5լ,ծշ.::-.0,-".Ե,..0,0,---,Ե,,---0), Ի...

-

որտեղԵ՛զ-ն թիվ 2-րդ աղյուսակի շ

:

Երկրորդ աղյուսակի բազիսային լուծումը կլինի՝

|

Ճշ)" ճյզ

Ե, ՀԳքզ-

.

|.

Լ Գլխավոր տողի բոլոր անդամները բաժանում ենք գլխավոր տարրի վրա ն գրում հաջորդ աղյուսակի համապատասխան տողում: 1. Լրացնում ենք բազիսային փոփոխականների սյուները: Տվյալ բազիսայինփոփոխականիսյունում իր դիմաց գրվումէ 1, իսկ այդ սյան մնացած վանդակներում՝զրոներ. (քանի որ բազիսային փոփոխականը մտնում է միայն մի սահմանափակման մեջ): ա. Մնացած ազատ վանդակները լրացնում ենք Ժորդանի

"

,

յ

,

բ3

`

.

4.

լ

լ

լ

յ

|

90.

Աղյուսակ 1-ի բազիսային լուծումն է. Բ1(4,68,0,0,

2.

,

7-90:

-

լ

Համաձայննկարագրված ալգորիթմի յ -ի տողում ազատ անդամից (90) բացի, փնտրում ենք դրական թվերից ամենամեծը (3-ը), որը ցույց է տալիս գլխավոր սյունը (չ-ի սյունը): Այնուհետն չ-ի սյունում

`

նում այթվերի մրց ի աղն 9)Նայդ աան ազնտ Աարոն ամապատասխան

թկնր հարաբերություններիցփոքրը՝ 8/2:

ազատ անդամներ

ջ

Այն ցույց է 8/2): Ընտրում ենք այդ տալիս գլխավոր տողը: Սլաքներով աղյուսակում նշված են գլխավոր սյունը ն տողը, որոնց հատման տեղում գտնվում է գլխավոր տարրը: Գլխավոր տարըը ցույց է տալիս, որ բազիսից պետք դուրս մղվի շչ-ը ն

նրա փոխարենբազիս մտնի 2,

ի

ա

որ

/ -ի տողում

աղյուսակ3- 3-իբազիսային լուծումը օպտիմալ է: յո, ։

է

Օրինակ

տեսքով.

2:

7 Հ-3չ. -2:.-»

անդամ. "Կ

լ

2շ

գ

լ

2շ

լ

1/2

2.

Բ

Ազատ անդամ.

1/2 -3/2

ո

Ճշ

Բ2(12,2,0,0,4),

ը,

78:

-

Այնուհետն կրկնում ենք բոլոր այն դատողությունները, որոնք կատարվեցին աղյուսակ 1-ից 2-ին անցնելիս: Գլխավոր տարըը կլինի 1ը, որը շչ-ին բերում է բազիս «յ-ի փոխարեն: Կատարելով

ձնափոխություններիես մեկ քայլ, կստանանքաղյուսակ 3-ը: Աղյուսակ3. Բ

..

|

Ազատ անդամ

|

" լ

չշ

5.

լ

Տ

|

ճշ

4:

ճ.

4:

լ

լ

լ

5/2

3/2

լ

-13/2

2յլ

Ն

)

Հ

լ

տ

Հ

Կազմենք սիմպլեքսաղյուսակ.

Հ. |

տո

2,.Հ0,(/ՀՆ4 յ (Ս

ոլ

Աղյուսակ 2-ի բազիսայինլուծումն է.

ճշ «3-3

. ե

«7 16:

-Հլ

ՀԶ

Աղյուսակ2.

Ազատ

-18, որը

.

Այժմ կազմում ենք աղյուսակ 2-ը, որը լրացնում ենք վերը նշված

ալգորիթմիերեք քայլերով:

-0, ,-12,

-

Գծային ծրագրավորմանխնդիրը տրված է հետնյալ

փոփոխականներից:

ոլ»22,2:

ազատ անդամից բացի դրական անդամ չկա,

ստացվում է այն դեպքում, երբ չ/ -0, 5շ -38, յ

Նոր բազիսը, պարզ է, կազմված է

-ը։

Քանի ուստի

Աղյուսակ 1.

|

Պ

:

2շ

մ.

լ

լ

լ

լ

Հ

Ճ

Ադյուսակ 1-ի համապատասխանրազիսային լուծումն `-

Բ1023,0,0), յ

ր

է.

:

Ս

7-ի տողում դրական թվերից ամենամեծը3-0 է, հետնաբար 2: -ի նյունը կլինի գլխավոր: Այդ սյան միակ դրական թիվը 1-ն է, որով անցնող տողը կլինի գլխավոր,իսկ ինքը՝ կլինի գլխավոր տարը: Հաջորդ բազիսը կազմված կլինի տյ ն չչ փոփոխականներից:Լրացնենք աղյուսակ 2-ը, օգտվելով համապատասխամալգորիթմից:

Աղյուսակ 2.

Ազատ անդամ.

ել

2շ

Հգ

եգ

ճ

լ

լ

գ

լ

Բ |

Աղյուսակ 2-ի բազիսային լուծումն է՝

Բ2(5,0,3,0), 7բ2

7-ի տողում միակ դրական տարըը

-

8-ն

Այս դեպքում

ասում

ենք,

որ

տեսքով՝

խնդրի օպտիմալ լուծում

գոյություն չունի (խնդիրըլուծում չունի): Դիտողություն: Եթե գծային ծրագրավորման խնդրում պահանջվում է գտնել նպատակայինֆունկցիայի մաքսիմում արժեքը, ապա նախքան սիմպլեքս առաջին աղյուսակը լրացնելը, խնդիրը բերում ենք մինիմումը գտնելուն, իսկ այնուհետն լուծումը տանում ճույն ալգորիթմով: Օրինակ: Եթե / 5այ -42շ -» ոճ, ապա -/ՐՀ-ալ Հ47չ-»

Է

Զլշնշ

ԻԴ

4շլել

Է

շշ

Ւ՞""

7 Հօլել

ներմուծում դեպքում

խնդիրը.

Տ

ծո

(2) (3)

ՉՈ:

Շեղ

ճ2լ»լ

42242

Դ

ենք

Է ճա5ո Մո՝Լ ՀԵլ

ԷՒ

Գյլ2լ-է 41222

Ւ

Օշո

Է":

Ճշ

ՔԱԶԱԿԱԱԶԱԱԿԱԶԱԱՎԿԿՅԱԱՎՈՎՎԵՅԿԱՅԿՎՈՅՅՎԻՈ»:»:.

Ւ

ճոլխլ

Հ

Էճոռմո

ճու222 -Ւ՞"'

2,

«լել ԻՇ:

Ճո-1Հել -(ոլլ ուշ ԲԵչ- (ճշ Հոու

-

ե, 2,

ՀՇ

-

Ւ

Ճո

Հ

Եր,

Հ0,(/)"1ոռ)

("լ

Ւ

Ւ"

ճշ

Է

Ւ"

փոփոխականների

շղ)

ճ,ոշշ"ր" ՖԱոծ)

ՀՓ(ՀՆութո) Շշի

ՒՇ

(5)

21.)

Ի

Է՞"՝

«շշ

Է

լրացուցիչ

4)

(6)

ՉԻ

"ՒՇ

համակարգը (4 Լուծելով ճկատմամաք,կստանանք՝

-

Էճոտնո

(0

լրացուցիչ փոփոխականներ ուլ:Ճու2»-" Իո» որոնք գումարելով (1) համակարգի համապաձախ մասերին՝ ստանում ենք հետնյալ տասխան անհավասարումների Այս

աշաԴ

Մինչն այժմ, գծային ծրագրավորմանխնդիրները սիմպլեքս մեթոդով լուծելիս, ենթադրել ենք, որ սահմանափակումների համակարգը տրված է որնէ հենքի նկատմամբ որոշված տեսքով: Գծային ծրագրավորման որոշ խնդիրներում սկզբնական հենքը որոշվում է անմիջականորեն,սակայն ընդհանուր դեպքում անհրաժեշտ է այն փնտրել: Կախված սահմանափակումների համակարգից,սկզբնական հենքի որոշումը կարելի է գտնել տարբեր եղանակներով: Քննարկենք դրանք առանձին առանձին: լ. Ենթադրենք, գծային ծրագրավորման խնդրում սահմանափակումների համակարգը տրված է միայն (Հ) անհավասարումների

":Ի

Է"

Է ճշ

Հ

822. Սկզբնական հենքի (բազիսի) գտնելը

ՀԵշ ճշոժո

-Է'""

ճոշ72

ՀԵյ

յոր

»Հ0(/Հնո)

-9:

է, որի միջոցով գտնվում է

ՕլՃլ

Պոլել

.-

զլխավոր սյունը: Սակայն այդ սյունում դրական տարր չկա, հետնաբալ նշանակում է, որ ճպատակային ֆունկցիան սահմաճափակ չէ ներքնից

(/ոու»-Ջ)

`

-» 1ՈՅՃ

(2) 4) (9)

Այստեղ հենքային

Այսպիսով, ()-Օ)

խճդիրը բերվեց (3-5) խնդրի, որը լուծված է հենքային փոփոխականներինկատմամբ: Հենքային փոփոխականներն 41722»

են Պո1»4ու2»`- »Ճոգո իսկ ազատ

54,

փոփոխականները՝ Այնուհետն (73)-(9) խնդրի համար անհրաժեշտ է կազմել սիմպլեքւ աղյուսակ ն մի աղյուսակից մյուսին անցնելու միջոցով գտնել խնդրի օպտիմալ լուծումը: Օրիճակ: Տրված է գծային ծրագրավորմանխնդիր: Գտնել սկզբնականհենքը: չ

2: 3»,

Պ1»4243

փոփոխականները՝

211.

Ե

Որոշելով 2,525:

Այս

ե

Ֆո

Ֆլ ջշ

շո

ո

ՏՀե,

ճոշիշ ԷՇ

Հել-(ոլլ Եչ (ճշլզ Հ

(10

Հ8-(2յ

ԷՅ.)

ոլ

«6-(ղ

Գ4»շ)

(զ Ժ22.)

Ն ՛

ոու

ենք

Էճշ Ժ ճշշչ

-

242992.622

աե

լ

7Հ 8ո-Ւ32շ -»

ներմուծում

99029900

7Հլ (13-15)

(12)

ՀՈ"

Էշ

"Իան )

Է"

ճշոՃո)

ԷԴ

».20,0-Նո) Շե

-ՉԱԹ

խնդրում հենքային փոփոխականներն են ել»Նշչ"""»25ր.

:

մ

226629 49442246 ո6օօօ999Փ6Փգօ«

5, Հ0,(/ՀՆո),

Է3Հշ-» ոու

7.Հ0,(/77

ՀԵ Ն

օժանդակ փոփոխականներ՝ Ա0)-(12) խնդիրըբերում հետնյալ տեսքի՝

դեպքում

Հ9

փոփոխականները համակարգից,կստանանք՝

2: Հ9-

Ել

ճա

7 ՀՇլելԷՇշչխչ Է"":ԻՇլն, -» ՈՃ

"Հ0Ս-Ն) 7 ՀՅ

"Դ

նո

ճԿԻ4:չԷյ-6 Տո Է2չ-Է

Է"

ճ2.Հ0,(5 /Հ6Մ-)ո)

7 ՀՅՏել Է3շշ -» ոու

Ի:

Դ

ճու

չ0,».Հ0

Աւ

ավակ

Այնունհետնխնդրի լուծումը տարվում է

-ը:

լեշ

ճշ:

ճշլնլ

Տոլ -Է2»չ «9

27:լ 21:

-Է

Գլ"

ՀՏ

լրացուցիչ փոփոխականներ,կստանանք Ներմուծելով

իսկ

սիմալեքս մեթողով (821): 2. Ենթադրենք գծային ծրագրավորման խնդրում սահմամափակումներիհամակարգը տրված է միայն հավասարումներիտեսքով`

ոճ4:56 ո.

են Ն4,1255-Խ, փոփոխականները

(3) (14) 45)

71:22»::»7ո»

իսկ ազատ փոփոխականները՝ Ինչպես հայտնի է, սիմպլեքս մեթոդով աշխատելիս, աճցումէ կատարվում մի հենքային լուծումից մեկ ուրիշին, որի համար անհրաժեշտ է ունենալ ճպատակային ֆունկցիա կախված նոր փովւոխականներից կախված: Այդ նպատակով ներմուծենք, օժամլկակ նպատակային ֆունկցիահետնյալ տեսքով`

ԲՀջլԻջչԻ Տեղադրելով (13)-ից

Բ"-ի մեջ,

-՞տո

Դ»,

ՖլՖշ»-»Ֆ,

(ԱՓ

փոփոխականների արժեքները

կատարելով նման անդամների միացում, ստանում ենք ՞ ֆունկցիայի տեսքը՝ արտահայտված ազատ փոփոխականներով: ն

Բ

(գլ ճշ

Ի

(ելԷեչ::"Վեւ)-

Հ

ճոչ"

ԻԴ

(լլ (Կ

Է":

ճ2չլ Է"

Է ճչ

Է

"ԻՃոլիկԷ

ՒճոիԿո)-»տտ

07)

ե

փոփոխականներիսյուները:

»յ,ջշ,""",»ղ,

ենք մի աղյուսակ, որտեղ հենքային փոփոխականները խնդրի հիմնական փոփոխականներն են, որը ե համապատասխանումէ

սկզբնական

հենքային լուծմանը: Նշենք, որ այդ աղյուսակում ստուգման տողը ե՛ս յունը լրացվում 7 ֆունկցիայիփոփոխականների գործակիցներով:

ձնափոխությունների

բերվում հենքից ն ստանում փոփոխականների արժեքները,

փոփոխականները Քանի որ /,»շ....,»դ

դուրս

հավասար

զրոյի

նն

.ՈՀ

օգնությամբ

են

զրո

ըստ

ա)

ուղ Բ »0:։

Սա

էության,

(որպես հավասար

նշանակում է,

բացասական լուծում, որի համար

որ

Հ0

(հակառակ

ոփոխականներով:

Եթե խնդրի սկզբնական հենքային լուծումը փնտրելիս հանգել ենք (բ) տարբերակին, ապա շարունակում ենք խնդրի լուծումը` որոնելով

նպատակային ֆունկցիայի

սիմպլեքս աղյուսակից

բաց

ոճ

արժեքը: Այդ նպատակով վերջին

ենք թողնում

1"

-ի համապատասխան տողը

Էլ

ԷՀ

օ.( Ս

4)

-

խնդիրըբերելովուո-ի կարողենք գրել.

շ- (ել Իշ

լ-

|

.

:

»չ3

2- (27 4-02: 1

Է2յ)

Է

չունի:

ւոարզքոական ըԱրոր

-շ

7Հ--5ո Ժ10», -7չլ Է3ել -» ոու Ներմուծելով օժանդակ փոփոխականներ ն միաժամանակ ո-ի

դեպքում լյ 1" Հ 0): Սկզբնական (10) համակարգը նույնպես չունի ոչ է, որ ցանկացած մի ոչ բացասական լուծում: Այստեղից հետնում գծային ծրագրավորման խնդիր (10) սահմանափակումներովլուծում -0: բ) ուլի Այս ղեպքում (10) սահմանափակումներով գծային ծրագրավորմանխնդիրն ունի լուծում, որը գտնելու համար, նախ պետք հիմնական արտահայտված իմնակ հենքը,

Է2լ

"Հ

(13) համակարգըչունի ոչ մի ռչ

յ, Հ0,ջշ Հ0...,ջը

-Ճշ

արար Հլ Ի 21չ-Էծյլ

արժեք:

տարբերություններ),ուստի 7" ֆունկցիայի ուռ է հավասարվիզրոյի: Հ0, Քանի որ "20, իսկ տո ուստի հնարավոր Լ երկու

տարբերակ.

Իշ

մլ

Նու)

մեծությունների արժեքը ճույնպես պետք

են

Օրինակ: Տրված է գծային ծրագրավորմանհետնյալ խնդիրը՝

Այժմ, օգտվելով (13)-(17)-ից կազմում ենք սիմպլեքս աղյուսակը, ուր ստուգման տողը ն սյունը լրացնում ենք օգտվելով (16)-ից: Այնուհետն

սիմպլեքս

Ստանում

|

ԷՅ

-

Յոլ)

484ո)

6,Ս-ք 4)5» 0,0 Թ) Ս

Ը

ա»

Մ

-

-7-Ը5Պ

10». -Է3ել)-»:տո Օժանդակ նպատակայինֆունկցիանկունենա հետնյալտեսքը` |

-

ԲՀյ-ՒֆչԻ ո

լ

|

Ֆլ

աւո

Տեղադրելովայստեղ 31572»75 -ի արժեքներըկստանանք՝ `

ՔԲ-9-(

Ի

2, Է18: Է6եյ)-»ոռ

Օգտվելովխնդրի ձենափոխված տեսքից` կազմենքսիմպլեքս |

աղ9լ

յուսակը, ուր ստուգման տողը ն սյունը լրացվում է փոփոխականներիգործակիցների:

|

Մտոգման

»

ս

ն

լ

:

լ

:

բ

'

Աղյուսուկ4.

Ստուգման հոն արգամսյուն

լ

ր

չ

Կատարելով սիմպլեքս ձնափոխությունները, կստաճանք հետնյալ

աղյուսակները՝ Հեն քի

մ

զատ տող

հորերառերՒ՛Մտուգման սյուն

010101լ1լ

լ

7/2

-ք բ

ոԽԵՆ|.» վ՛3

-11/3| 10/3 | 0 |

|

|-7/3| 0

| 0|

|

|-83|

|7/3| 0

-10/3| 14/3 ՀՀ -1/3 43/3|

Սլ ԷԵ

|Ւ

2-3

:

|

ՕՍ

0.

էք

| |

իկը

|

-է Է

1/2

7/2

01010160

Իո |

| | 0|

|

-11/10|

լ

18/1010|10| 81/10|

ր

0|10|

է

աղյուսակ

|

16/18

| -7/10 | | | Ս10 | |14/1016/0

|

|-3Ղ18

ԼԷ14/18|6/18| 10/18

121510)

01016 4-ում

-10/18|-6/18111/18

-

|

լ

Ց1/լ9

-

լ

-

լԼ24/10|լ4/10|

լ

օժանդակ փոփոխականները` ջ 1532»

:

-

|Հ

օժանդակ սյուները՝ փոփոխականների

որտեղ ստուգման

տողը

ե

-Մ7Հ-ԸՏո՝

Ֆլ»Ֆ2շ,33

ստանում

ենք աղյուսակ 5-ը, ենք օգտվելով Ր

սյունը լրացնում

10»

-

-

լ

Է3Յոլյ)-»տո

Ստուգման Մորու «լ սյուն

Հենքի Ազատ փոփոխա-| անդամկաններ ներ 2 ՛

|215/10|-27/10|77/10|

51010|0

ՅԻ.| Ֆշ | 35

-15/10

|01|10

Աղյուսա

|2:|»

5/0

7շչ

ուգմա -

|

|-15/10| 3/10

|

Լ

16Լ10

|11|1ւ:|լ

լավոլալտ

Կ

0|0|1|

-ի

Աղյուսակ3.

Հենքի Ազատ փոփոխա-|անդամ- Մռուզման կաններ ներ

-

|12|1/0

0|110|15/

լ

|42 25:| Կ

ճլ

հենքից բացակայում (դուրս են եկել հենքից), իսկ օժանդակ ֆունկցիան (Բ ) հասել է իր ուռ արժեքին (ուտ Բ -09, նշանակում է, որ սկզբնականհենքային լուծումը զանված է: Այժմ աղյուսակ 4-ից բաց ննք թողնում 7-ի տողը ն

|լ

1/2,

|01)0

են

-

լ

շ

Քան անի որ

Աղյուսակ2.

Ստուզման0

ը

թ

ր

Ազատաան

Հենքի

| 3» | 5

Ի

7/2

:

ֆունկցիայի Աղյուսակ 1.

Ստուգման

Հենքի Ազատ փոփոխա- անդամներ կաններ

| |

7՞

ըստ

Ճ. -

Ճլ

ճ

|

լ

օ

՛

լ

ԼՏԵՄՄՑ(

Օ

7շ

աղյուսակ Ընտրելով

5-ում

գլխավոր տարր

ն

5.

|-

|

ար լ-

215/10

կատարելով անցում

Ներմուծենք լրացուցիչփոփոխականներ

հաջորդ աղյուսակի, կստանանք՝

Հենքի

Ստուգման

Ազատ

աող Ստուգման

փոփոխա- անդամկաններ Ճ

շ

"

,

լներ

3/2 :

,|

7-Էռ լ

`

|

2:

չվ

կ

լ

լ

լ

Խնդրի լուծումն ավարտվում է աղյուսակ 6-ով, քանի որ նպատակային ֆունկցիայի տողում բոլոր տարրերը ոչ դրական են (օպտիմալությանպայմանը բավարարվումէ): Օպտիմալ լուծումը կլինի՝ Հ3/2,29 0,չյ ոլ «0,2 1, իսկ ոչ / -18 Հ

Ենթադրենք, գծային ծրագրավորման խնդրում փակումների համակարգըտրված է միայն (Հ) տեսքով: Այս դեպքում, ներմուծելով լրացուցիչ, 06փոփոխականներ,սահմանափակումների ի համակարգը բերում ենք հավասարումների տեսքի, բայց լրացուցիչ փոփոխականներըայս դ չենք կարող համարել քանի որ տվյալ հենքային լուծումը կլինի ոչ թույլատրելի: Այդ պատճառով սահմանափակումների համակարգը հավասարումների տեսքի բերելուց հետո, խնդրի լուծումը տարվում է այնպես, ինչպես նկարագրվեցերկրորդ դեպքում: Այսպես, ենթադրենք գծային ծրագրավորման խնդիրը տրված է | ե տնյալ տեսքով. սահմանա-

3.

Հք),հենքային, Կաություն առաջին խր

Է

Ճլ

22շ Հ4:

2272-Ի:

Հ

4յ

՛

-Է7շ

՛

3»

-»

Ո:

'

կստանանք՝

ԱՆՏՈՒՆ» չ--6Ի2

Էյ

Էչ

-1Փ)

2.20Օ ՛

ոու:

ՐՅոլ-Ֆ Ի. համարել չենք հենքային Այս դեպքումլրացուցիչփոփոխականները նրանց արժեքները կլինեն բացասական քանի որ կարող,

ՀԳ

(/

Հմ

ՀՕ

--ԽՀ

-

12.5

ոչ

որը

թույլատրելի

լուծում է:

պատճառով սահմանափակումներիհամակարգը հավաէ սարումներիտեսքի բերելուց հետո սկզբնականհենքի որոշումը պետք է երկրորդ ղեպքում: չարունակելայնպես, ինչպես նկարագրվել Այդ

ի

»չ

ԻՏոշ-Է2»:-Տ-(3ղ ախն Է4: 12-02»

ջ

Հ-6-(Օ

ո՞

Էչ

».20(/-15,»,

Հ12

-Ր--(լ

Է»

)

-

-

5)

2)

20-13)

Է72,-32լ)-» ո

Բ-ջԷջչԷ):-5տռ:

13) -

նկատմամբ, Եթե համակարգը լուծենք լրացուցիչփոփոխականների

Հ6

ո, Հ0()-

Է1չ-

7-4

Է2:5:26

32-35:

ԽՀ0(Օ՞Ն6)

`

'1"ե|»

Հ

2Ւ7-272:Հեռ

սյուն -

Է27-Է 4-2

լ

Յ

ՎԱ

Ի52-Է27-ՅԿ-

Աղյուսակ 6ճ.

Դո

Ենթադրենք գծային ծրագրավորմանխնդրում սահմաճափակումների համակարգը տրված է խառը տեսքով: Այս դեպքում 4.

Հ

յուրաքանչյուր սահմանափակման համար վարվում ենք այնպես, ինչպես նկարագրվեց նախորդ երեք դեպքերում: Եթե գծային ծրագրավորման խնդրի համակարգումկա գոնե մեկ սահմանափակում հավասարման (-) կամ մեծ ու հավասար (Հ) տեսքով, ապա սկզբնականհենքի փնտրելը հանգումէ երկրորդդեպքին: Օրինակ 1. Է

Հ30

Տ6ճ

2: -32չ Ւ3ռշ

-աել

Հ0չշ

5լ

ել Հ»

Տ10

42:

7Հ-Ֆայլ

-ճ

-»

«10

Է,

7 Հել

6-7)

Է

Է»5չ-»:Հ12

3: Հ»

Հ10

Հ0(7-13) 7 -5ալյ-32շ -» ուո ո «12-( Գ»,-»:)

7-5» -3ոշ-»ոամ ԻՀջլԷջչ-»ոմո Ջ6

Իոշ-»

Իա

չյ

Հ12

Ի 27չ-Էլ.-: Հ

Հ0()-15)

7-5ոլ-32շ-»

-Հչ) -9-(շչլ 22 10(գլ 22շ Ի3»յ) Է

Հ9-(չլ

Ւ32շ-23) 22-32:

-Հ)

Է52շ Հ243-»:)

Հ0()-15)):Հ001-13) -» ողո

7/»-24-(6չյ -Է6:շ-Է7ց-Ճ/-:":)»ո

ստուգման Դիտողություն:Սիմպլեքս աղյուսակճերը(821) կազմելիս ենք թողել, այն չծանրաբեռնելունպատակով: ենք: Այդ օրինակի6-րդ Սակայն 822-իօրինակումնրանքվերականգնել աղյուսակի միջոցով: ցույց տանք նրանց օգտագործման ձները: Նկատենք, որ նրանցմիջոցովստուգումենք նպատակայինֆունկցիայի տողում թվերի ճշտությունը: ֆունկցիայի տողումազատ անդամը ստացվում է Նպատակային ն համապատասխանազատ անդամների արտաստուգման սյան դրյալների հանրահաշվականգումարից: տողը ն սյունը բաց

4Նլ-Է227շ-Է3ց

չյ

չ-

Վջշ»8-(3լ-

կամ

Օրինակ 2:

Հ»4լ

27 Ն: -9 »յ Հ0()-15) 7 Հ4լ-Է77շ -» ոա

2ՃյԻշ

7564 Է72շ-»ո Հ7-(22լ

»

-

ԻՀ-ջլէԷջշչԻ):-»ո

7-30-(.-Հ4-չ-»:)-»ուս

47 Է27չ-Է3

Հ9

2»

»յ Հ0()-13)

յ

Ֆլ 20

22Ի22:չ-Է:Հ9

2» Է322շ-Է 25,9Հ7

-Մ-(4ելԷ72չ)

ոզ

42»

Է

ոո

Հ8-543:յ-2:ոչէՅ-ա-8

2:23:

Հմշ

ԲՀջ-՞ո

3:

լ

-

Հ6-(»լ-3»:) -10-Ըլ Ի3».)

25 Հ0,

կամ

3:

Հ»

Է47: -» ոճ.

4»: -».,)-»

Վ2այԷ325շԷ227

յ

Հ0(»-15)

7-5»

»բ-30-(Թյ45-73)

ճչ

Է3շ

ո

Է47շ-»ոռ

ոյ

-3մչ Էյ

4»շ

Օրինակ3:

Է47Ճշչ- Հ30

-ել

Հ0

ՔԲՀ:-(6լ

կամ

ուռ

-»

-18--Վ0.2-3-1:5.0

Նպատակային ֆունկցիայի տողի ցանկացած անդամ(բացի ազատ անդամից)ստացվում է ստուգման ն համապատասխանսյան անդամճերի արտադրյալներիհանրահաշվականգումարից հանած ստուգման տողի համապատասխան անդամը: Օրինակ: -43--10:3-3:2Ի5:0-7:

823 ՍիմպլեքսմեթոդըԺորդանի ձնափոխություններով ազատ անդամ,գլխավոր տարըը ընտրելովայդ տողից, ձնափոխումենք վերափոխված այն ոչ բացասականի: "գծային խնդիր ընդհանուր Ենթադրենք Չորրորդ քայլ: Շարունակում ենք մի աղյուսակից մյուսին անցնելը՝ տեսքով. գլխավոր տարրը ընտրելով սիմպլեքս մեթոդի ալգորիթմով մինչն 7 օլյ Է 6շ»շ -Է'""Ի6րծը -3 ո. օպտիմալությանհայտանիշի տեղի ունենալը: 6) Ցույց տանք լուծման ալգորիթմը օրինակի միջոցով: Է Գլլել 01252 Վո.գ ՀԵլ Օրինակ: Լուծել գծային ծրագրավորմանհետնյալ խնդիրը.

ծրագրավորման

աոաջ -

Հ

գլրչր

4225:::

ճշլլ

Է

Կլ2լ

Է 672752 Է

ճշդել

՝

ՏԵշ

`

441151

-

"3

4::1222

ՏԵ,

ղեղ

ՏԵրլ

ՅՐԱոՆդ

"Է

..6Փ0օ6ՓՓ060օ9ՓՓ9օ9օՓ9Գ9Փ0ՓՓՓՓ0օ69Փօ0օօօօօօ

Է": ՑԱԵԼՃլճէշ»շ Հ

ԳԱՃդ

ԳէԷ1121 Դ Գ:ա1272 Ւ: "Դ

Է.. որմճոշ»շ Ի

Է

Հ

:

Օ)

Ել

Հծրչլ Գիրն»

Լ -նո) Ց). ոչ բացասական Լրացուցիչ ՃոԷԼ»ոՀ2:`""ֆեն փոպոլսականներ բերենքհավասարույնճերի տեսքի:Ստացներմուծելով, (2)համակարգը

ված խնդրի համար կազմումենք Ժորդանիվերափոխված աղյուսակ ճպատակայինֆունկցիային առանձին տող: (817)՝ հատկացնելով աղյուսակներիմիջոցովստանում ենք խնդրի հաջորդական: Այճուհետն ներկայացնենք հետնյալ Լուծման հաջորդականությունը լուծումը: քայլերով: Առաջինքայլ: Եթեխնդրումկանազատ նշանի փոփոխականներ, ապա նրանք արտաքսում ենք մի: աղյուսակից մյուսին միջոցով: Երկրորդքայլ: Եթե տողերում կան ապա ՝ Ը1-ով բազմպյլատկելով կբերենք ոչ ազատ անդամներ, . Այնուհետն Ժորդանիվերափոխված ձնափոխությունների միջոցով արտաքսումենք զրոները: է բացասական Երրորդքայլ: Եթե որնէտողը պարունակում .

անցնելու բացասական նշանի |

3լ

Հ16

ԷՀ

-շ

Է

4.լ-Ճշ-Է 22:

4:

Տ23

Է

»յ

որլէ,

զրոյական

22: Ի752-Է329-2

ել

.-0ԻՆԱ

բացասականի:

Տոլ Է3աշչ-«չԷԻ4:4-6-Ծ»ո

Է

5.

Հ-25

Հ0.()-14:

Համակարգի առաջին երկու հավասարումները գրենք զրոյական անհավասարումների համար չորրորդ տեսքով, իսկ երրորդ ու ներմուծենք լրացուցիչ փոփոխականներ:Մաքսիմումի խնդիրըբերենք մինիմումի ն արտագրենքայն հետնյալ տեսքով.

-Մ-6-ալ

-3եշ-Է

-4Ճ-»ոտ

0-3-2լ-75չ-39-Է

գ

0-16-Հալ Էշ -Ճ9- 2: չ -25-Ի4ալ -Հճշ-Է25: -Է6յ Հ

«23-լ

-42: -3Հ«

Կ»0(7-15) Կազմենք Ժորդանիվերափոխվածաղյուսակ

նշանի

Աղյուսաւն1.

Աղյուսակ 3.

Բազիս

``

(հենք)

ոռ

Ազատ

3/2 23/2

:.

Առաջին տողի հենքից արտաքսենք զրոն, որի համար գլխավոր տարր ընտրենք այդ տողից 1-ը ն անցնենք հաջորդ աղյուսակին` կատարելովԺորդանիվերափոխվածձնափոխություններ:

Կստանանք՝

Բազիս (հենք)

2շ

Չ

Դ

-յ

Տ

լ

1.

նչ

լ

ղ

3:19

« :

աղյուսակում

252612

գլխավոր

գտնում

ենթ

11ի

-ի միջոցով ն անցնում հաջորդ աղյուսակի:

43/16

51/16

7/2

Տ

5/2

11/2

-17/2

13/2

մ

յ

-

5/16 -19/16

2.

19/8

2:

135/16

-3/8

-271/16

Ընտրելով գլխավոր զրոյական տողից: ու

25/16

-49/16

տարրը

քայլում

այս

ոլ

|

7/16,

Ադյուսակ 34. յ

:

-1/16

84/16

11/16

-84/16

13/16

ազատվում

անդամներ

Տ:

-

Հ«

7/16 -|/8

Ճ

ենք

երկրորդ

.

1/7

լ

2.

51/7

-19/7

2.

23/7

-5/7

24/7

24/7

ա

20/16 -28/16 -4/8

22/7

Ճ:

ազատ-

Ադյուսուկ5.

| Բազիս | Ազատ հենք)

«

Ճձ

:

ճլ

-1/2

,

)

տարրը

-1/2 11/2

Ազատ անդամներ

-յ

Ճ

`(հենք)

ւՀգ

Այս ւմ

անդամներ

-Պ

Ընտրելով զլխավոր տարըը ճույճ սկզբունքով, վում ենք բացասական ազատ անդամից:

Բազիս

Աղյուսակ2.

Ազատ

3/2

չ

3/2 -7/2

43/2

.

1/2

».

անդամներ

-160/7

-6/7

Քանի որ 5-րդ աղյուսակում նպատակայինֆունկցիայի տողի բոլոր տարրերը (ազատ անդամը չենք հաշվում) ոչ դրական են. ուստի ստացվելէ խնդրիօպտիմալլուծումը:

թ

".Ի

160 երբ 7

Հա

173:

2235.

ՂԵ»Ա

23.

4ՀԱՔաաե

Գլուխ

6.

Գծային ծրագրավորմաներկակիության

տեսություն

լ

:

Մաթեմատիկայի տարբերբաժիններումհանդիպումեն,

`

այսպես կոչված երկակիության թեորեմներ,որոնցից յուրաքանչյուրը թույլատրում է՝ ըստ տրվածտեսության,որոշակի հաստատված օրենքներով, մեկ այլ պնդում այնպես, որ առաջինիիրավացիությունից կառուցել բխում է երկրորդիիրավացիությունը: անմիջապես Գծային ծրագրավորման մեջ նույնպես հանդիպում են երկակիության թեորեմներիհիանալի օրինակներ: Չնայած այն բանին, որ ըստ այդ թեորեմներիխնդիրներիլուծումներըկատարվումեն կրկնակի, այնուամենայնիվ նրանքունեն սկզբունքայինկարնոր հետնաճքներ: '

լ2

վոքԸ

824.

ԳԾ

փոխադարձերկակիխնդիրներիձնակերպումը--՝/

է ԳԾ Ենթադրենք, տրված

կան (նախնական):

Մ»

որնէ խնդիր: Անվանենքայն սկզբնա-

օլո փօշյշ Է..ՀՇրեղ

-»

Տ

Գլլել

Է

ճլշ7շ

-Է:.--Է

լող

Օշլել

Է

62շշ

Է...Դ

ճշղ նդ Տ

ԼԱ.

Է

Օյղ276շՒ

-Ի

»Հ0, Նույն տվյալներովտրված է

Օ)

Հ ե,

որդ

-նո)

մեկ այլ խնդիր. Փ»ելջլ-ԷԵչ»շ..ԷեղՖղ-» տտ է

62132

Գլշ»ղ

Է

ճ22Ֆ2

-Է--« ճոլ)ո

Է

շղ»

Հ

Եա

Ժ...Դ

«ԻՆԱ

Մոդ) Հ

Շլ

Հ Շշ Գո շՖու փ..Ի

Մա

ԱԻ

Ծլ

ԳԾ

ԳլլՖլ

Ա

))

ել

Էշ «Ն.-Ն»

ԱԼԱՆ Ցողլել

ԱՅ5

6)

Շո

(«եռ

»Հ0,

Համեմատելով(1)

Ց

(3) ն (4 - (6) խնդիրները,վսպվատենքհիտնյալ

-

համարենք սկզբնական: Նշենք, որ այդ տեսքով ներկայացված ԳԾ խնդիրներըկոչվում են սիմետրիկ երկակի խճդիրմճեր:

օրինաչափությունները.

(5) սահմանափակումներիհամակարգիփոփոխականներիգործակիցներից կազմված մատրիցը հանդիսանում է (2) համակարգի համապատասխան մատրիցի տրանապոնացվածը(տողերը փոխարինված սյուներով): 1.

22 62--6ոշ

,

(5)

2.

| :

Հա---

Գլ

Ենթադրենք ԳԾ խնդիրըտրված է կամայականտեսքով:

Գլլ 0լ2:.-Գլդ

Գլլ 6218

Վոչ)

Տ 25. ԳԾ խնդրի երկակին կազմելու կանոնները

վ.

| 02162""62ո արաք

Օշր:""Օրդ

.«"666Ձ"Ը6ըըըԷՏ`ՐՐ

փոփոհամակարգը`ո

Ի

4րռ

Գշլյ

Օ2շ2

որտեղ՝ խաղանըերից ոթվով ոսահմանափակումներց, ո () կամ ոփոխականներից

ու

սահմանափակումներից:

Յուրաքանչյուր խնդրում սահմանափակումներիհամակարգի անդամներըմյուս խնդրի նպատակային փոփոխականներիգործակիցներն են: 4. (1) - 0) խճդրում սահմանափակումներիհամակարգը տրված է Հ տեսքով, իսկ ճպատակային ֆունկցիայից պահանջվում է գտնել մաք(6) խնդրում սահմանափակումներիհամակարգը սիմում Հ է տեսքով, իսկ նպատակայինֆունկցիայից` ար-.Ձ`ԸԸՁզվՁՁ,Ձ.Ձ... տրված 3.

ֆունկցիայի

ազատ

արժեքը: |4)

-

-

մինիմում

ժեքը: չչչորս պայմանների առկայության դեպքում կասենք, Վերը նշված

այդ խնդիրները կլինեն փոխադարձ երկակի: Եթե որպես ճախնական խնդիր ընդունենք երկրորդը, ապա առաջինը կլինի ճրա երկակին: Դա հեշտ է տեսնել, եթե նկատի ունենանք հետնյալ պարզ որ

ԳԾ

ձնափոխությունները.

բազմապատկելով (5) համակարգի երկու մասերը -1-ով, այն կբերվի (2-ի տեսքին ն հակառակը` եթե (2-ի երկու մասերը բազմաայն (5)ի տեսքին: Նպատակային պատկենք -1-ով, ապա կբերվի ֆունկցիաներն էլ կարելի է բերել մեկը մյուսին, եթե Փոո-ը ձնափոխենք «Փոռ, տեսքի:

Այսպիսով նշանակություն չունի, թե

այդ

երկու խնդիրներից որը

Ի

ո)

ՈՃ

(5ՏՀԵլ Օշո, (Հ.-.»)է

«Դ

Ո ՀՑ ՊՈփցգՈ։:ֆ

Վ

ճշ

ոՀ.

-»

ճո,

Է

Ո

ՐՐ

Կուկ

տ

Ի..Հ Շր

Շշեշ

Գլ»

` ` `

ճոլ6,26"»ոռց).|Ֆֆ6ՖՏՈՈՈՈ``

համակարգըկազմված է սահմանափակումների

Է

-ճլել

ՏՑ2ՀՀՀՀ

Յորխ,

(2)

|

ՄՂԴ

(ՏՀ)Ե,

2)0...,«(Ճ3)0.

6)

չեն: Արար:ՍԱՆ տվյալներո Արա կայլ գթարի վ, յրրցնենք

|

Դ

նույն

ՓՀելջլ ՒԵչջշ

Է...

Է-.Է

լլ)

Է

02լՖշ

41221

Է

622372՞Ւ՛"«-

եղջ

ոլ), ճոշժո

ՁԻլո

ճ

62ոշ2 Ի..Գճ

ոո

-»

(4)

մո

(Հ,-,Հխ. Հ.-.Հ ՀՀխշ (Հ.

-

5)

Ի,

ԴՇ, Ջ)0,..,.3ոԹ» Ջ)0, (6) կամ նրանց վրա ընդհանրապեսպայմաններդրված չեն: Ինչպես տեսանք (824), սիմետրիկերկակի խնդիրից մեկի միջոցով կարելիէ կազմել նրա երկակին ելնելով չորս օրենքներից: Այժմ նկարագրենքայն օրենքները,երբ ԳԾ խնդիրներըտրված են կամայականտեսքերով: 1. (5) համակարգում յ-րդ նշանը պետք է համընկինի (3)-ի ։յ փոփոխականի վրա դրված անհավասարության նշանի հետ, կամ վերցվում է ճիշտ հավասարություն, եթե պ-ի վրա

անհավասարության

չի

սահմանափակում դրված: 2. Երկակի խճդրի (6) պայմաններում 7, փոփոխականի վրա դրված սահմանափակման անհավասարության ճշանը վերցվում է (2)

համակարգի 1-րդ սահմանափակման նշանին հակառակ: Եթե (2) հաէ հավասարության մակարգի1-րդ սահմանափակումը ապա 7չ փոփոխականի վրա սահմանափակում չի դրվում: ենք, (3)-ի ն (5-ի վրա դրված սահմանաԻնչպես տեսնում են, իսկ (5 ն (7 սահմանափակումների նշանները համընկնում անհավասարություննեիի փակումների նշանները այլ իմաստի են: սիմետրիկչեն ն կախՀետնաբարերկակիխնդիր կազմելու կանոնները են մաքսիմումի,թե մինիմումի պաված այնբանից, թե ուղիղ հանջով է: Բերենքօրինակներ,որոնց միջոցովըճթերցողըկարողէ ավելի լավ յուրացնել երկակիխնդիրկազմելու կանոնները: Օրինակ 1: Կազմել տրված խնդրիերկակին:

գրված

3լ

8»

ԷՏ

Է

-

|

5:

|

առուն

խնդիրը

7-4

|

Փ-6ջլԷ5»շ-Է 0-33-» ուռ, -5ջղ--2)շ -2)55-3 2):

Է

զ

»Հ0ջչՀ

«6 աան

27 -3լ-Է5:20 2.20,

Կազմենքերկակիխնդիրը:

Էգ

-Տյլ 33:

Հ

լ

է կամայական

խնդիրը Երկակի

2ջլ -5)շ

մանկ

| Ճշչ0:7420:

22|

-Ւ3)358

-ֆջլ-2.5--3 Ֆչ-Է3):

Հ:

կամայական է

20:.

չգ

կլինի.

3»լ 2).

զ

.

Հ5

0, շշ20, ԿՏԱԵԻՑ

|..3:20

-»տո

Է»

»չՃ0 7:20

տեսքով. հետնյալ -3»չԷ5:4-5

Օրինակ2: Տրված է ԳԾխ-ը

ԱԱ2

ԷՏոչ-3ո

Սղ -Տոչ-2»-ԷԿՏՀթ

Հլ

Հ5 5): Է535

ալ Ի2:»-5-3

գ "Եր արի ԵԷ

-5ո շոլ

-2ջչԻ

7-2

Ի»չՀ

3.

է, ): «0 20, ջչ կամայական Օրինակ3: Կազմելտրվածխնդրիերկակին: լ

-»ու,

ՃլՀ077Հ0,թՀ0 խնդիրը կլինի՝ Է՛ Երկակի ՓՀ4ջլԷ6ֆշ -» աո

7՞ 4յլ

3.»0

չո

2: 56

«լ Է3

3) 212

ջլ

Տ 26

է, կամայական

շ

ՀՕ, 5 Հ0:

ազ

նկատմամբ

խնդիրների ԳԾ փոխադարձ երկակի Պնդումնկր

ունի լուծում, ապա ը ճրա սկզբնականխնդիրը ունի լուծում ն այդ լուծումները երկակիխնդիրընույնպես նկատմամբ -եջե Թեորեմա:

ԳԾ

ազոգի Եթե երկակի -

իրար

:

Էոշ «Փոմո

խնդրում(8 24, (4)

|

0)

ֆունկցիո

(60) նպատակային

|

:

սահմանապակ չէ ճերքնից (խնդիրը լուծում չունի), ապա սկզբնական լսնդրի (8 24, (1) 0) սահմանափակումներիհամակարգը չունի ոչ մի ոչ բացասականլուծում (խնդիրըլուծում չունի): Թնորեմի ապացույցն ընթերցողին կներկայացնենք8 28-ում: կապը ավելի խորն է, քան ասվել հրակաճում երկակի

|

լւ» Ո41 ՀԱոլ)2:.ԷԷ

ԼԸ

-

հոդիրների

է

է նրանում, որ եթե թնորեմում: Մասնավորապեսայն պրտահայտվում սիմպլեքս մեթոդը կիրառվի մի խնդրի լուծման համար, ապա այն լուծումը: միանշանակկտա ման երկակի խնդրի Նկատենք, որ (1) հարաբերակցությանպարզազույն հնտնանք է է Ր ՐՐենՓ. նպատակային ԷՀՓ անհավասարությունը, որը կապում ֆունկցիաների արժեքները` (1) ն (5) համակարգերի(8 24) ցանկացած ոչ բացասական լուծումների համար: Այս նպատակով իրավացի է

հետեյալ ե

եմմը: լեմմը

լ

Եթե

ջա

(3)

Ի..ՀՇ

ԷՇ

տեսնել անհավասարությունների

Լ

որ

(2)

ձախ մասերը

(3)

ն

զան

/-

Ն

ն

նույն մեծությութները (3) անհավասարություններիձախ Նշանակելով (2) են:

-

Նրանք

.

ուննն

տնսքը

գյա,

ն

ն համար: մասերը Ճ-ով եինկատի ունենալով, որ

ՄՀ-Նո

աջ

(2)-ի

լ

մասը` Թ-ն խտանանք՝

ԽՀՃՀՓ

է: ապագուցված Լեմմից հետնում Դիտողություն:

բոլոր բոլոր

մասր Փօ-ն է, իսկ (37-ի

աջ

կամ 1ՀՓց

Լեմմն

է,

`

Թ ն այսինքն Փօ--1ուոՓ, տիմալլուծմանի:

որ

190-ոոոչւէ,

եթե 19-Փցջ,ապա

են արժեքները համապատասխանում

Փց

՛

օպ-

`

ե 5..7:) վեկտորը (2) համակարզի (Տ 24) մի որնէ վեկտորը (5) համակարգի մի թույլատրելի լուծում է, իսկ (59.»5...,»:.) Լեմմ:

Հեշտ

ճո

01:

լ

ւ

որնէ թույլատրելի լուծում, ապա այդ լուծումների համար տեղի ունի Հ ԽՀՓ անհավասարությունը: | Ապացույց: (2) համակարգի մեջ (8 24) ոլ, 22,..., 'ղ փոփոլխական-

8 27 Գծային, համասեռ

հավասարումներիփոխադարձաբար

երկակի համակարգեր

:

մերի փոխարենտեղադրենք

բ :2շաա)

վեկտորի կոորդինատները, :

այնուհետն բազմապատկենք նույն համակարգիառաջին անհավասարման երկու մասերը ջը-ով,երկրորդը` ջ -ով նայլն. ո-րղը՝

5 -ով,

Ենթաղրենք` տրված են զծային, համասեռ հավասարումներիերինչ կու համակարգեր, որոնք լուծված են ինչ որ հենթի (բազիսի) ճնկատմամբ: Անվաներք ձախ մասերի փովոլխականներինհննքի, իսկ աջ մասերին` ազապ: տ

հետո

|

ԿԽ

Գլ

Նույն

(5 22».

Հ ելը ԻԵ» իշ Ի..Փճողջոյնը Իճլչջ

Հ...

|

կերպ վարվենք (5)

Եղ»

ՕՉ)

) փոփոխականների փոխարեն տեղադրենք (,)5 աջ)

տասխանաբար

մասեր -

Ը.,252 ան) վեկտորի

րելով իրար կստաճանք՝

-

|

ա2

գումաԱյս

-

ճեն

Լար

արան

Է

ԱՆԸ:

Ի...

-

ԱԶԱ ՆԱՆ

ոլ Ե,

(ԱԵՆԸ

աԴ

մախ անա դ" եո ե, Չո ա Ե, 3/4.Ի..Է

ՎԱԼ

համապա-

կոռրդինատներով ն

իջ

Է...

որ Ղքլ

ԱՆՈՂ

Գր ՈՆդ ր

ոլ

այղ համակարգի Բազմապատկենք

երկու

՛

համակարգինկատմամր (8 24):

վեկտորի կոորդինատները: | յուրաքանչյուր անհավասարության

|

ե.

'

ՄԱՍ

Ի

անեմ

Վ.Լ

|

Դ

ոՆէ

Հճ

ճւ

գումարելով ստացված ակհավասարություններիձախ ն աջ մասերը առանձին-առանձին (ի նկատի ունենանք, որ անհավասարությունները բազմապատկումենք ոչ բացասական թվերով) կստանանք` որից

ւն

լ

ԻԵ, Ֆո,

կոչվում համակարզերը

են

Է «-3

Է

ո,

ճմ)

ճո 14,

77, Երա.

ե...

Լա

ԶԸ

2)շ

ծուց,

փոխաղարձ երկակի, եթե նրանք

|

բավարարումեն երկակիությանհետնյալ պայմաններին. 1. Երկու համակարգերնէլ պետք է լուծված լինեն հենքի փոփոխականներինկատմամբ,ընդ որում մի համակարգիհենքի փոփոխականների քանակը հավասար է մյուսի ազատ փոփոխականներիքաճակին: Ակնհայտ է, որ (1) համակարգիհենքի փոփոխականներիքաճակը տ է, ազատ փոփոխականները` ո, իսկ (2, համակարգում հակառակնէ: 2. 1) ն Օ) համակարգերիմիջն պետք է տեղի ունենա փոփոխականների համապատասխամությանպայմանը. ընդ որում մի հեն ոփոխականներին պետք է համապատասխան համակա խանի Ն մյուս Այս պայմանըներկայացվումէ հետնյալ տեսքով.

հաա արգի ազան ւ ոախականնելը րակառանը: ճել Խե«ՅԵ, Ճլ Մե",

ո 3. ունճեճա

Ո)

ն

1 | 11 |

(2) համակարգերի գործակիցների միջն պետք

հետնյալ պայմանը.

Օրինակ: ճ.,,,,

-

-Երպ,

է

տեղի

է

-

է, որ

-ը

փոխարինում ենք չ, -ով,

ապա

անհրաժեշտ

0:

Ճորճ,

Եթե կատարում ենք երկու փոփոխականներիփոխարինում, ապա համապատասխաներկրորդ կարգի դետերմինանտը պետք է լինի զրոյից տարբեր:

-ով,

անհրաժեշտ է,

ապա

հետնյալ

որ

երկրորդ կարզի

լինի զրոյից տարբեր դետերմինանտը

:

-Ցույց տանք,

եթե (1)

որ

ճո

ճե

ո

ո

ուն

-

ԺԶ

ն ա Խ,,փոփոխականների համակարզում

է (Ճ«0), ապա (2) Ճ,, -ով թույլատրելի փոխարինումը համակարգում համապատասխանփոփոխականների նույնպես թույլատրելիէ: հենքի փոփոխականները Իրոք, քանի որ (2-ի մեջ ջչ ն

փոխարինումը 7Ճ,

ու

Ն

Ֆ.,-ով,

տերմինանտըկլինի.

ապա

նրանց համապատասխանդ .-

Ե, ռլ, Եբ ,.4. Ե,,.«:

Գլ»: ՐԾ՝յՎ,

Եթե (1) ն (2) փոխադարձերկակի համակարգերիցորնէ մեկում անցում կատարենք նոր հենքի, իսկ մյուս համակարգում՝ համապատասխան հենք, ապա ստացված նոր համակարգերի փոխադարձերկակիությունը կպահպանվի: Նախ նկատենք, որ եթե (1) համակարգումկատարումենք հենքի մեկ փոփոխականիփոխարինում մեկ ազատ փոփոխականով,ապա համապատասխանգործակիցը պետք է լինի զրոյից տարբեր: Օրինակ: Եթե Ճ.,

՛

ւղ

Համասեռ համակարգերի նկատմամբիրավացիհետնյալ լեմմը: Լեմմ:

Ճ,

ու

փոխարինվումեն

զ '"3գ, 3ՖթլՖր, :3ը,

փոխարինումենք 2,7, -նն գ, փոփոխականները

Օրինակ:Եթե յ

երրորդ պայմանից` որի զրոյից տարբեր լինելը կբխի երկակիության ե

Ե,

ՊԱի

ք,

թ,

-ճ..

"Ր

ճոռ

-ճետ| ճետ|

-

Մոտ ճոռ

Մոտ Ճոն

Այժմ անցնենք լեմմի ապացույցին: ինդուկցիայիմեթոդով: Ապացույցը կատարենք մաթեմատիկական է փոխափոփոխականն մեկ միայն հենքի Սկզբում ենթադրենք, որ րինվում ազատ փոփոխականով:Որոշակիության համար ընդունենք,

ւ ճ.

-ը

ո

.

փոխարինվումէ Ճչյ -ով։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է, 0:

փոխարինումը(2) Համապատասխանփոփոխականճների

համակարգումկլինի բխում է

որ

ծ,,,

Հ

-Օալ

յ Օ

-ին

)

քլ

-ի միջն, "որիհնարավորությունը

պայմանից:

թեորեմիապացույցը 828 Երկակիության

Որպեսզիստանանք(1) համակարգընոր հենքի նկատմամբ,անհրաժեշտ է նրա առաջինհավասարումիցորոշել 2չլ

-ը ն

տեղադրել

է մեջ (ինչպեսդա կատարվել նրա արժեքը մնացած հավասարումների (815), ենք թողնում ընթերցողին): Ժորդանի ձնափոխություններում Նույն ձնով (2) համակարգում կատարվում են համապատասխան

ձնափոխություններ:

Ստացված նոր համակարգերըհամեմատելովն

ստուգելովեկակիության երեք պայմաններ կհամոզվենք, որ նրանք փոխադարձ երկակի են: Սրանով ավարտվում է լեմմի ապացույցը մեկ փոփոխականիփոխարինմանդեպքիհամար Ենթադրենք, որ լեմմնճ ապացուցված է այն դեպքում, երբ կատարվել1 -1 թվով հենքի փոփոխականներիփոխարինում:Ելնելով այդ ենթադրությունից,ապացուցենք,որ լեմմն իրավացիէ նան, երբ է ո թվով փոփոխականներիփոխարինում:Որոհենքում կատարվում

շակիության համար ենթադրենք,

որ

ԵյլՆ., "Ն...

խականներըփոխարինվումեն 2777,,»», ներով,իսկ դրա համար անհրաժեշտէ.

Գեն ճառք1

ան

ան

ազատ

Ց

ւէ

Գէ,ժ-.

ապացույցը:

սահ-

Ո

Ր

Փումո միջոցով:Ն

ճու

-

|

«ճաշ

-ճլու-

Հ

99ԵԷԵՁՁՈՈՈ`Ց`ՁՈ```

Ս

ը

ճոռ

Հ

ճու.

ել

Ւ

-ա--Հ-Հ

,.

ճայ ՖՅՀԵ

,

0,0 ՀՀո

»,Հ

փոփոխական-

աապաս-.-ծ.--

ոն

Ի

ա)

0:

Պ

--

բ

"

աապառ սրտա տոպ պառ սատա պա առ

ճու"

ճոռՖո՞՞Շո

»յՀ0.0-Նոչո

1՛

ֆ

Հ

կնշանակի, որ (1) համակարգումթույլատրելի է (--1) թվով փոխարինում:Եթե կատարենքնս մեկհենքի հենքի փուոոխականճերի փոփոխականիփոխարինում,որի ապացույցը կատարվումէ, ապա կստանանք ՛ թվով փոփոխականներիփոխարինման համար լեմմի Սա

1 ն

Ա

ծ)

-:

՛

Գե. ւ04|

0) խճդիրըԼ իսկ ( () անվանենք փոփոխականներ

հենքի փոփո-

Բայց դրանիցկհետնի, որ (:-1)-րդ կարգի մինորներիցգոսս սսվը զրոյից տարբերէ (հակառակդեպքում դետերմինանտիարժեքը կլինի զրո): Պարզության համար ենթադրենք,որ զրոյից տարբեր մինորը գտնվումէ վերինձախ անկյունում,այսինքն` Գեն ե.ճ

(824): խնդիրը` խնդիրների Ներմուծելովլրացուցիչ համակարգըբերենքհավասարումների մանափակումճերի Եջ Տան տեսքը աժամանկ խնդիրըմիճիմումիցբերենքմաքսիմումի Նախ

Փո

«-եջ-ե)չ-«-

եժ»

այն է, Հիշենք, որ թեռրեմիգլխավորպնդումն ունի լուծումն լուծումունի, ապա 11 խճդիրընույնպես

նամ

Բոռ:

Տ

խնդիրը եթե որ` ճոճ-Փուռ

Փո

համասեռհավասարումների գծային, անքԼ ն,լա խճդիրներին

ՏԱԼԻ

համակարգիտեսք: Այդ նպատակովնպատակային ն ներառելովճոր փոփոխականներ հավասարումների ձնափոխենք, մեջ: համակարգի Տ-Լ տեսքով,ընդգրկենք

ե

Հ

ոլ

ճլշ4շ--«-

Ւ

Գրե

Ելք.

ԶԱՆԱԶԱՆ

Նուռ

ՀՇ

ճո

Հ

ճշ Օջ

-

Եղ

Շեր 04

Իա

ԷԵ

րել

"-

լ

ի

.

Սրանով ապացուցվում է թեորեմի հիմնական պնդումը: Թեորեմի երկրորդ մասի ապացույցը կատարենք հակասող ընդունելության եղանակով: Ենթադրենք, որ 11 խնդրում նպատակային Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան սահմանափակ չէ ներքնից` Փաուոչ-օօ: Փ-ն կարող է ստաճալ ցանկացած Ճ բացասական թվից փոքր արժեք: Ցույց տանք, որ այս դեպքում Լ խնդրի ահմանափակումների համակարգը չունի ոչ մի ոչ բացասական լուծում: Ենթադրենք, որ այնուամենայնիվ այդպիսի լուծում գոյություն ունի՝ աա

---Է------------Ֆու

Հ

ոլ

Ը

«Ի

ճսդՖ, -ԸյՏ

օչ»շ--ար: «Սղ

1"

Ս"5

Հեշտ է ցույց տալ, որ Էն Է՛ համակարգերը, որոնք համարժեքեն Լն Ոխնդիրներին, փոխադարձերկակիեն: Դա երնում է երկակիության երեք պայմաններիստուգումից, որոնցից երկրորդը`փոփոխականների համապատասխանության պայմանը կգրվի հետնյալ տեսքով` «

Զ..

ուլ

ուշ

ո

Է

|

շու...

Փ

շչթոտ

Է

|

տ Մյուս երկու պայմանները ակնհայտ երնում են համեմատելով1՛ Ն 11" համակարգերի համապատասխանգործակիցները Ն փոփոխականների քանակները: ...ուռ

Տ

Քանի որ Է՛ն 11՛ համակարգերըփոխադարձ երկակի են, ուստի նրանքերկակիկմնան մի բազիսից մեկ այլի անցնելիս (ըստ լեմմի): Ինչպես հայտնի է 1 ն 1 խնդիրներըլուծվում են սիմպլեքսմեթոդով, որիէությունն է անցում հաջորդաբարտարբերհենքերի, մինչն ստացածի օպտիմալ լուծումը: Օպտիմալ լուծմանը համապատասխանող ֆունկցիայի արժեքը հավասարվում է իր ազատ անդամին:Քանի որ անդամի դերը տանում են Էի ն Տի գործակիցները,իսկ այդ ակիցները, համաձա )0 լեմմի (827), իրար հավասար են հակառակ տի

ատ

որ. աաա Նոր

7 ոճ.

-

Այս

դեպքում,

ըստ

լեմմի

(826),

նպատակային ֆունկցիաների արժեքների միջն գոյություն ունի 40ՀՓ0 ճշղՖչ-

Փ--Ե»-իելլ

Հ:

-Փ,,ողբկամ

կապը: Ստացվում է,

որ

6յո/Հ Շշ»74..-Է6դ:ք

թիվը պետք է լինի

ոչ

մեծ, քան ցանկացած բացասական թիվ, որը ակնհայտ անհնար է: է, որ Լ խնդրի սահմաԵկանք հակասության, որից էլ հետնում

ճափակումների համակարգը ոչ բացասական լուծումներ չունի:

Գծ

երկակի խնդիրճերի տնտեսագիտական իմաստը

Ինչպես հայտնի է, ԳԾ խնղիրներն ունեն որոշակի տնտեսագիտական իմաստ, կամ այդ խնդիրները ձնավորվում են` ելնելով տնտեսագիտական ինչ-որ հարցեր պարզարանելու իմաստից: Տնճտեսագիտական բացատրություն (մեկնաբանումը) ունեն ճան ԳԾ երկակի խնդիրները: Բերենք ԳԾ խնղիրների երկակին կազմելու ն նրանց տնտեսագիտական իմաստը մեկնաբանելու օրինակներ: Առաջին օրինակ: Կազմել ԳԾռեսուրսների խնդրի (510) երկակին ն տալնրատնտեսագիտականմեկնաբանումը: Հիշենք, որ ռեսուրսների օպտիմալ օգտագործման խնդրում, տնտեսությունը ունի ռեսուրսներ ն ցանկանում է կազմակերպել արտադրություն: Խնդրի մաթեմատիկական գրառումը ունի հետնյալ տեսքը.

ԲթյոլԷթշոշ-...-Է թեր

ոճ

6)

ճոշչ-Փուղ

'

Ժ

լել

ճլշ22

ի...

Օլդ

-Է6շշ72-Է...Դճշյե,

42141

Տ

Ել

Հ

ծ

«ԱԱԱԱԱ ԿԱՑ ԱՑԱՎ ԿԱՂԱԱԱաաա ԱԱ, ԱՎԱ

Գ.Լ

Է

ճոշեշ

ԱԱ

Է...

(2)

ԱԱԱ

Օոդել Հ ծ Ն

Ճ20, 0-ԽՆո,) որտեղ Ք) )-րդ արտադրանքիմիավորիարժեքնէ (կարողլինել է -

ցուցանիշ), Եւ

այլ

ռեսուրսիառկա ծավալնէ, տեխնոլոգիական գործակիցէ, որը ցույց է տալիս )-րղ արտամեկ միավորի վրա կատարվող1-րդռեսուրսի ծախ" դրատեսակի -1-րդ

8յ-

միավոր, որը գնվում է սյ գնով, երկրորդ ռեսուրսի ծախսը` ճշ: միավոր սշ գնով ն այլն, տ-րդ ռեսուրսի ծախսը` ճղլ միավոր սղ գնով: Ռեսուրսների այն քանակը, որը ծախսվում է մեկ միավոր առաջի արտադրատեսակի արտադրության վրա, անհրաժեշտ է, որ տնտեսությունը ՀՅայսդ գնով, որը պետք է լինի ոչ պակաս, քան վաճառի 4,/սյ2շյայ... այդ արտադրատեսակիմեկ միավորի արժեքը՝ թ:: Ստացվում է առաջին սահմանափակումը: ՃԱ (3 742լԱ2...ճողլմո Հթք/ Նույն դատողությամբ, կազմելով հարաբերակցություն մյուս արտադրանքների վերաբերյալ, կստանանք սահմաճափանումմեռի հետնյալ համակարգը.

»

ը

արտադրատեսակի արտադրությանծավալն է: Այս նույն տվյալներովձնակերպենք երկակիխնդիրը: Ենթադրենք, որնէ ձեռնարկություն, արտադրություն

2»յ--րդ

Ձլշնլ

լ

կազմաայն ռեսուրսները,որոնք պատկանում են տնտեսությանը:Այս դեպքում, անհրաժեշտ է. ռեսուրսներիգնման համար սահմանելօպտիմալգներ:

Փ-Եյսյ/ծշսշ...-Բ ծոր -» ուլը (3) Ելնելով երկրորդ պայմանից, կազմենք սահմանափակումների համակարգը,հետնյալ դատողությամբ: Մեկ միավորիառաջին արտադրատեսակի վրա առաջին տեսակի ռեսուրսի ծախսը կազմում է ճլլ

Է

ճոր

62շշաշ Ւ ...Հ ճյյշմ

- 8 թշ -

յլ

Հ

պպապանաաավասաաաասաաանատաաաա

նպատակով,որոշում է գնել բոլոր կերպելու

Նշանակենք 1-րդ ռեսուրսի միավորիգնման գինը ա-ով: Գնման գների սահմանումըպետք է որոշվի հետնյալ պայմաններից. 1. Գնող ձեռնարկությունը ցանկանում է, որ ռեսուրսներիգնման ընդհանուրարժեքը ձգտի նվազագույնի: 2. Վաճառող տնտեսությունը պետք է ստանա յուրաքանչյուր տեսակիռեսուրսիհամար ոչ պակաս, քան այն գումարը,որը կստանար, եթե ինքը այն վերածեր"պատրաստի արտադրանքի:Հակառակդեպքում տնտեսությանը նպատակահարմար չէ ռեսուրսներիվաճառքը: Նկատեք, որ վերը նշված երկու պայմաններն արտահայտում են գնող ն վաճառողտնտեսությունների շահերը: Ռեսուրսներիըճդհանճուր գինը կորոշվի ռեսուրսներիպաշարը (Ե) բազմապատկելով համապատասխան գնման գնով: Ստացվածգումարը կներկայացնիերկակիխնդրի ճպատակային ֆունկցիան:

ՕԴ

ՊԱՂ

-

Ձլդնլ

Քանի

Է

ճշղնշ

Է...

ճրրլնրլ

որ

»

գները բացասական չեն կարող լինել, լ:

(5)

թ,

ուստի

(6) Այսպիսով երկակիխնդիրը ստացանը (3), (5), (6) տեսքով: Ընթերցողըկարող է համոզվել (1) 2)ն 0), 6), (6) խնդիրների փոխադարձերկակի լինելու մեջ, եթն ստուգի երկակիության պայմանսյՀՕ, սշ20....,

Ա-Օ

-

ները:

Երկրորդ օրինակ: Կազմել տիանսպորտային խնդրի երկակին ն ճրա տնտեսագիտականմեկնաբանումը: Ենթադրենք` պարարտանյութ մատակարող որնէ կազմակերպություն ունի երեք առարող ն չորս գյուղացիական համայնքներ, ուր է պարարպետք է կատարի վաճառք: Կազմակերպությանը տանյութի քանակը ըստ առաքող կետերի ն սպառողմճերի նվազագույն պահանջի, ինչպես նան մեկ պարկ պարարտանյութի տեղափոխման ծախսը` յուրաքանչյուր առաքող կետից մինչն ցանկացած սպառողը: Խնդրի տվյալները բերենք աղյուսակի տեսքով: տալ

հայտնի

Աղյուսակ1

`

Առաքող

Գյուղացիական համայկքներ

Լոռաքող կետերը

| Ը

ալ

Ա

Շ-6 Ը-3

կ Բ

Գ

Է Է

սպառողի

պահանջը|

(պարկ)

ՒՇԹՅ Շա-4 Շա-2

Ւ

նյութերի

քովը

Շ-Էլ

|

ՀԵՏ

Օա

ԷԼ

Շա-4

թրք

Շ-3-|

Մ

|

,

կետերում պարարտա-

'

ղա

|

|

Աք

Պահանջվում է կազմակերպելպարարտանյութի տեղափոխումը այնպես, որ տեղափոխումների համար ընդհանուրծախսո լինի նվազագույնը: | Ուղիղ խնդրի մաթեմատիկական կլինի. գիառումը

կատարվող

ԲԶղլտ51ոշ-Թո5:3244:620լ42:43 «54

Ջավա 11." 12." 2շլ

Ի

ոլ

Էդ

13" որո 14

Ւ

Հլլ

Ւ

(7)

ԱԵԱ

23լ ֆ 800:

(Բ

Հլ1000

Էշ

6900,

Էգ

աաա Ենթադրեն |

(9)

աաթաախա.

:

Ենթադրենք, պարարտանյութ

կազմակերպությունը, կեա ՅՆ ԱՐԱ

պարարտանյութ

տարբերությունից

սության համար: գրառումը(մոդելը) կատարելու խնդրի Երկակի պարարհամար նշանակենք 1-րդ կետում պարկ. վաճառման 012,379 3-րդ ա-ով (5123), գնման ն գնմանգներիտարբերությունից ով, իս կետում` յ. վարձը՝ Փ-ով: Կստանանք. ստացվող երաշխավորված « :-Է900 «-1700ս-1100սչ-1400ս7-»ոռա(10) Փ-8004լ-Է1000Խշ-Է1500 սահմանված Նկատենք ճան,որ որպեսզիգնման ն վերավաճառքի )-րդ կետում գները լինեն ըճղունելի,բնական է պահանջել, որ ս գնման գների հ -ճՃ -րդ առաքման կետում վերավաճառքի 1-րդառաքման կետից )-րդ վաճառման տարբերությունըչգերազանցի մեկ պարկ պարարտանյութտեղափոխելու օյ տարիֆային է

գործը պայմանավորվում |

ս

մաթեմատիկական առաքման մեկ տանյութի |գինը վերավաճառման

կետը Աաավանի

ջախ համակարգը՝ ծախսը:

յ

(-15 չ-Այ),

Այժմ ձնակերպենքերկակի ր խնդիրը րը:

։

ձեռնարկության, պայհանձնարարել մեկ այլ տրանսպորտային համար պահանջվողծախմանով, որ տեղափոխումնիրականացնելու համար լիճեն սկզբճականկազմակերպության սերը, ինչ-որ իմաստով, ծանոթանաձեռնարկությունը, ընդունելի: Մինչդեռ,տրանսպորտային է վարձատրման պահանջներին, առաջարկում լով պատվիրատուի հետնյալ կարգը: Գնել առաքման կետերում եղած վաճառմանկետերմւմայն վերավաճառելուպայմանով,այնպես որ ստացված գումարը հավաճառքին գնմանգների տարբերությունից ծառայութանվարձ: տրանսպորտային մարվի առաջանումէ հետնյալ խնդիրը: Այս պա յմաններով ն վաճառքիընդունելիգներ սահմանել, որ ագնման Ինչպիսի՞ կողմից ն, որ վերակազմակերպության ռարկությունչլինի լկզբնական ստացված ընդհանուր վաճառքիու գնմ ն գների տնտեվարձը լինի առավելագույնը՝վերավաճառող տրանսպորտային

է

տրանսպորտային '

123-Ւ 233 Հ15 00

չյ Հ0,

Արենա

Ւ

Էջ

«յշ Էշ

ԱՒԹԸ

ՈԻԿՐ՝

ՀՀ ն

Գ:Ի2

լգ

ի

225 Է-շգ ՏԼ100

2շշ

ել

| 2704-326422շ"

|

-Ալ

Հ6լ»

Ա աեր:Հ Պեր

: ամար

ԱԱ-Ն

ը

գնմա

կար

Տ

(-15:) -Թ) աբանել

(1) ՍԱ

ճան որպես վաճառքի

ւ

Ը"

որտեղ 2--աչ Հաշվի առնելով այդ ձնափոխությունը, ԿՈՒԶՀօյ տեսքով, երկակի խնդրի սահմաճափակումներիհամակարգը գրենք, ելնելով

խնդրի տվյալներից. |

ԷշլՀ2

:ԻշլՀ1

Է22ՀՏ6

լ

5լԻ2Հ3 Խեղճ Ֆշ

Դ22

Հ.0,

9:42

Հ

Հ4

ը

իո

ՖլԻ2չՀ2|

0, 22

։

Վ `

գԻ2:Հ4

0, Հ25Հ0, 0, ԿՀ 2252շՀ0,

0, 452 0, 7.2 0,

(3)

-

ող

ֆողնենք հատվա ջերցողին Է փոխադարձ, երկակի ր

են:

(ԴԺ)

ե

0.02.

Տրանսպորտային խնդիրը (տես 810), ինչպես ճան գծային ծրագ.րավորմանայլ խնդիրները, կարելի է լուծել սիմպլեքս մեթոդով: Սա-

կայն, կախված:տրանսպորտայինխնդրի սահմաճափակումներիհամեթոդը ճպատակահարմակարգիհատուկ կառուցվածքից,սիմպլեքս, է 820-ում: մար չէ կիրառել այն տեսքով, ինչպես Մենք նկարագրվել կբերենքհայտնի մեկ այլ եղանակ,որը սիմպելքս մեթոդի

նն

բերակն է՝

ի

:

Տրանսպորտայինխնդրի լուծումը

7.

830. Տրանսպորտային խնդրի լուծման ալգորիթմը

»:42:Հ5

522352

Գլուխ

ՀՅ

հարմարեցված

հ

հենց ալ

Ադրին:

ինչ-որ. տար-

մեի

Առաջին քայլ: Գտնել սկզբնական որնէ թույլատրելի լուծում` հյու՛ սիս-արնձտյան կամ ամենաքիչծախսումներիմեթոդով. Երկրորդ քայլ: Ստուգել այդ լուծման կամ բաշխականմեթոդով. Ցիալների Երրորդ քայլ: Եթե տվյալ լուծումը օպտիմալ չէ, ապաանցնել մեկ «: «մանա Ս լուծման՝ շղթա (ցիկլ) կազմելու մեթոդով "1-7: այլ ՈՊ" ՀՀո Անցնելերկրորդքայլին

ԱԱ,

Չորրոդ քայլ:

մատից» ՊՈ"

831 Տրանսպորտայինխնդրում հենքի փոփոխականներիքանակը Տրանսպորտային խնդրի լուծման ընթացքում կարնոր նշանաունի հենքում փոիոխականների քանակի սահմանումը: Ապացուցենք,որ տրանսպորտայինխնդրում հենքի փոփոխականաճերի քանակը ՊՒո--1 է, որտեղ տ-ը ն ո-ը համապատասխանաբար ռաքող ն սպառող կետերի քանակն է: Ապացուցմանհամար օգտվենք

ն:վություն

համակարգից. թճզիի արորի տրանսպորտային 1... Ի Ա ԱԱ

«4

,

Ի

`

ԱՅԼ:

|

Ջ

ե

«Վ.

,

Ք

.4ր........-.«վ.88.

-

|

՞

ք

ամար,

ԱԱ.

Ը.

(1)

լ

ԻՃշլ

Ճլշ առան

Ւ

Ի...

Ճշ

ՏԵլ Ճոջ -Եչ Ճո

«ԱԼԵՆ

«Ն»

ԼԸ

ԲՆ

ԻՃ ԻԻ Հեյ (2) համակարգերը կարելիէ լուծել ճրւս ոոՒո-1 փոփոխականների նկատմամբ,որը կհամարվիճան վերը պնդման ապացույցը: Այդ նպատակով համակարգից, բացի առաջին հավաճ) սարումից, որոշենք լ (՛Հ2,տ) փոփոխականները: Կստանանքո-1 հավասարումներից կազմվածհետնյալ համակարգը. մ լո

Ցույց տանք, որ (1)

ն

ժղ գլ -ջ-"""-Ճր (3) (2) համակարգից, բացի առաջինհավասարումից, որոշենքել Այժմ

(էՀ 2,ո) փոփոխականները: Կստանանքհետնյալ համակարգըկազմված ո-1 հավասարումներից. լյ

ՀԵյ -3շյ

-''"-Յղ: (1), (2) համակարգերի ո առաջին հավասարումներից րոշենք ն ցույց տանք, որ նրանք են: ններն Կլ Հճլ ճւ

Հել

-շ-3-"" -3շլ

-

(5 2յյ-ը

Նլլ

ՀԳլ -(եշ

ո

-Ֆ,լլ

-

Ֆոշ)-':"-(,

-

ա

ՀԱԱ)

6.

-եչ

Հեր:

Ֆի ՀԱ:

Հել -(ռչ -»շչ Ջո-Նշ)-"""-(.ը ո՛

ԲԱ

"Հ

ա)»մղ

-0չ-

ն. Ր«ոա-" 7-2 1-2

Վերջին երկու արտահայտությունների աջ մասերիհավասարությունը բխում է նրանցազատ անդամներինույնը լինելուց ն ստացվում է տրանսպորտային խնդրիփակ լինելու պայմանից:

Ինչպես նշվել է խնդրի լուծման ալգորիթմում,սկզբնականթույլատրելի լուծումը կարելի է գտնելհյուսիս-արնմտյան անկյան կամ ամենաքիչ ծախսումներիմեթոդով: Նկարագրենք հյուսիս-արնեմտյանանկյան մեթոդը: Ենթադրենք, տրված են երեք առաքող ն չորս սպառող կետեր: Առաքող՝ /.լ, 4շ, 43 կետերում տեղավորվածեն գլ,0չ,0: բեռներ, իսկ սպառող`՝Ցյ, 8շ, 8», կետերումպահանջվում է՝ Ել, Եշ, Ել, Ել: Տրված է ճան խնդրի փակ լինելու պայմանը` գլ-Է2շ 63 -ծլ Է Եշ Է ել ԷԵլ: Տեղադրենքհայտնի

աղյիոչակում մեծություններըհետնյալ աղլասակում

բ

ր

տե

'

ր.

ԱՐԱՅ

Է

ԱԵԱ»

:

Սպառող 8յ

Թշ

|

Առաք Ճլ

փ

Հ

շշ

Ծո

8 32 Սկզբնականհենքի գտնելը

(5)

Ճո»

Հլ -"-3ոլ (6 Տեղադրենք(4)-ից ոյի արժեքները(5)-ի մեջ, իսկ (3)-ից Հր-ի արժեքները(6)-ի մեջ: ճլյ-ի համար կստացվենհետն յալ 14-ք արտահայտու,

թյունները՝

Այսպիսով, (1) ն (2) համակարգերիառաջին հավասարումներից որոշված արտահայտություններըհամընկնումեն, հետնաբար դրանցից մեկը մյուսի հետնանքն է: Մտացվում է, որ (1) ն (2) համակարգերը կարելի է լուծել (ո-1)Է(ո-1)ՒԷ15ոՒո-1փոփոխականներինկատմամբ, որով ապացուցվումէ սկզբնականպնդումը:

Խ|

զլ-ել Ե,21.161 Իել-գ

42.

Ճ:

Ել

Եշ

Սպառող-

ճերի

պահանջը

Ճշ -Էճլ

Եշ Ել ՈՐՔ

Ել -Եշչ-Էել-0չԷծչել-օչ-ն

Ե3

Առաքման կետերում պաշարը

ճլ

Ճշ

թգ

գ

Աղյուսակիառաջին վանղակը(հյուսիս-արնեմտյան անկյան մեթոդով) լրացնելու համար ընտրում ենք Ճլն ե, թվերիցփոքո-՝ ւ

Յյ

Եթե յլ

Հ

տո(ոլ,ել)

վանդակումգրում ենք Գլ։ իսկ այդ վանդակով անցնող տողի մնացած վանդակներումզ̀ րոներ: Եթե յյ Հծլ, ապա այդ վանդակումգրում ենք Ել, իսկ այդ վանդակով անցնող սյան մնացած վանդակներում` զրոներ: Որոշակիության համար ենթադրենքոլո (ճչ6)ՀԵլ: Սա նշանակում Է, որ ոյՀԽ, ճշ

-

զլ,ապա

այդ

ոո(եշ.

Ճլգ-0:

ենթադրենք

ճյ-ե)-ճլ-Ել:

Սա

կնշանակի, որ

յ

-Խ.,

»յ-0,

Ըյնուհետն, վարվելով նույն ձնով, լրացնում ենք աղյուսակի մնացած վանդակները, բացի վերջինից,նկատիունենալով հետնյալը՝ ճշ Հոո(ջչ -(ոլ -ծլ)ճ)-Ե,Խ-ճ: ։ռ"չ-0

Հ

Ծ-

այս

-(ջ, Ֆե

Էծլ

-ճչշ

-

ստացել: Ցույց տանք, որ 84-ի ի հանջին: պահանջին

գյ),

իսկ 84

թո

|

թ,

մ

ն

ո

-

-

՞

8.

8.

աարի

ՀԻ

մ

ՈՍ

Ճ:

առողնե

պահանջը "

Աղյուսակը լրացնում ենք ելնելով հետնյալ դատողություններից. յյ

Հ

տո(10:30)70:2) -

ոոո(73:20)-

Հա

Հ

ո(Մ40)-

կետում բեռի քանակը մնացել է

ձա

Հ

տմո(/5:25) 13:

առայժմ ոչինչ չի

Ճշ,

-

ուո(30:40)

Հ

20:

սպառողը

Սռաքման կետերում

ը,

Ը

Ճռ

կետում մնացածբեռի քանակը հավասարէ

ծչ Հճ. -(էլ Ինչ Էծլ-ճ,-ճլ): նկատել, որ դա բխում է խնդրի փակ լինելու պայմանից՝ Ճյ ԷճշԻճյՀել Հեչ «Ել Հեչ: Հետնաբարվերջին վանդակումկարելի է գրել Ե4 0:34-Ե4): Այսպիսով` ստացվում է թույլատրելի հենքային (բազիսային)լուծումը, որտեղ »11, :12, 422, 533 ն 534 փոփըխականները կոչվում են հենքի, իսկ մնացածը` 213Հ 214Հ 221- 7245 23 1Հ 232 0 կոչվում են՝ ազատ: Նկատենք,որ հենքի փոփոխականների քանակըբավարարումէ ոդՒո-1 պայմանին (3:4-1)-6: է

Հ30:

տվյալներից, կազմենք աղյուսակ:

ԷՀւթողոնը

փոփոխականին համապատասնող վանդակը առաքող

Հ15,Ե,

ով

Է

Ճ3

Եշ Հ35.5յ

՝

ոլո(ջլ: զ -(է, Ւել-ճլ )-ճ, ա 2 -ֆլ: 2: -0 ոլո(շ.-(.շ զլ -Եչ, -Ել )ճ,)-ծ, ԻԵշԻծլ-ճչ- ո:

Նախքան վերջին ոգ լրացնելը, նկատենք,որ

Հեշտ

Հ

Ելնելով

Գլ-ել թվերից

չ-ճյ

Օրինակ: Ենթադրենք առաքվող կետերում տեղավորված բեռներն 20, սպառողներիպահանջն է համապատասզ, -30, ռչ Հ40, զ

խանաբար՝ Ֆ, -10.

ՀՕ, գլ «0:

4Ճ.շ-իարժեքը գտնելու համար ընտրում ենք Եչ-ի ն փոքրը: Որոշակիության համար

ճ.

են

յց

20: յ

ՀՕյյ

«Սյ

15: 5-0 Հ

-

յյ

շշ, Աղյուսակից երնում է, որ հենքի փոփոխականներնեն 2լճլշ, ն ագ Ճա, Ճա »2-Յ3իսկ ազատ փոփոխականները` Պյ)

Ճշ»

ՀԱյշԸ334-0:

Ամենաքիչ ծախսումների մեթոդով խնդրի սկզբնական լուծումը գտնելիս վարվում ենք նույն ձնով, ինչպես նշվեց վերը, միայն թե սկզբից լրացնում ենք այն վանդակը,որտեղ ծախսը ամենաքիչը է:

8 33 Տեղափոխումների մատրիցի մեջ

շղթա

հասկացությունը

Օրինակ:

Տեղափոխումների մատրիցի մեջ շղթա կոչվում է այն բեկյալը, որի գագաթներնընկած են ճրա տարրերի վրա, իսկ կողմերը, որոնք կոչվում են օղակներ, ընկած են մատրիցի տողերում կամ սյուներում: Ակնհայտ է, որ երկու հարնան օղակները փոխուղղահայաց են, հետնաբար մի կատարվում է պտույտ տվյալ գաօղակից հարնան օղակին ամնցմճելիս գաթի

7 կամ ւ

շուրջը

անկյունով, կախված այն բանից

պտույտը

2:

Յուրաքանչյուր ազատ փոփոխականի համար գոյություն ումի հաշվարկային շղթա, այն էլ միակը: են Հաշվարկային շղթաները ունենում հիմնականում հետնյալ երկրաչափական պատկերներիտեսքերը՝

--յ

|

՛

ԽՃ

|

Լ

Լ,

շուրջը

լ

ոչո-ը

զույգ

է:

հաշվարկային շղթան փակ է, իսկ շրջանցումը անկյունների ընդհանուր կատարվումէ բոլոր գագաթներով,ուստի 2ոն (6-0 ն ամբողջ թիվ է): Մյուս կողմից` գումարը կլինի 2 -ի պատիկ` Քանի

Զո:

կատարվում է

պտույտ

2 անկյունով:

իսկ հակառակ ուղղությամբ`

շ անկյուն:

7Ճ,8,Շ,

ՃՏՇԾԲԻՇՒԷԼ ուղղությամբ ապա Նթե շվրան շրջանցենք է ժամսլաքի,իսկ քն բ.Օ1Լգազարների մոտ շրջանցումըկատարվում բ կետերում`հակառակ ուղղությամբ: քանակը, ուր Նշանակենք տ-ով շղթայի այն գագագթների անկյունով, իսկ ո- ով` բացասական: է պտույտը կատարվում դրական թիվը կլինի ուՒո: Ցույց տանք, որ Պարզ է, որ շղթայի բոլոր գագաթների որ

Այնպես որ`

Ընդունենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ գագաթի շուրջը կատարած

պտույտը 2»

«-

դրական անկյունների գումարը կլինի

Շղթաների գագաթները ընդգծված են: Սահմանում 3: Հաշվարկային շղթայի յուրաքասչյուր գագաթից դուրս է գալիս երկու օղակ: Թեռրեմ 1: Հաշվարկային շղթայի գագաթների քանակը զույգ է: Օպացույց: Նախ նկատենք, որ հաշվարկային շղթան շրջանցելիս, յուրաքանչյուր գագաթի

Օ

|

,

ժամպաքի ուղղությամբ է թե՝ հակառակ: Սահմանում 1: Տեղափոխումների մատրիցի մեջ շղթան կոչվում է հաշվարկային, եթե այն փակ է, ն գագաթներից մեկը ընկած է ազատ, իսկ մնացածը՝ հենքի փոփոխականների վրա (աղյուսակի վանդակ-

ներում): Սահմանում

Ը

Վ

կստանանք/̀-ո-21:

շո «ՏոոնՎերջինը պարզեցնելուց

հետո

նշանակումէ, որ (ո-ո)-ը թիվը, ապա այն կմնա զույգ.

Սա

զույգ

շուիսկ բացասականներինը

-ՈՒ

զույգ

է:

Եթե (ո-ո)-ին գումարենք

2ՈՀՈՒՒո

Այսպիսով` (ո7Ւռ)-ըզույգ է: կամ սյուներով Թեորեմ 2 Հաշվարկային շղթայի տողերով է: (մպացույցը չի բերվում): քանակըզույգ տեղավորվածգագաթների խնդրի տրանսպորտային Ունենալով շղթայի գաղափարըբերենք ստուգմանբաշխականմեթոդը: լուծման օպտիմալության

8 34 Բաշխական մեթոդ

Այս մեթոդի էությունն այն է, որ յուրաքանչյուր ազատ փոփոխականի համար կազմվում է հաշվարկային շղթա: Շղթայի գագաթներում տեղադրվում են ծախսերի մատրիցի տարրերը: Գագաթներին վերագրվում են նշաններ: Այն գագաթը, որը համապատասխանում է ազատ փոփոխականին` համարվում է դրական, մնացած գագաթների նշանները փոխվումեն շրջանցելով շղթայի բոլոր գագաթները:Գագաթների նշանները վերագրվում են ծախսերիմատրիցիտարրերին ն հաշվարկվում նրանց հանրահաշվականգումարը:Այդ գումարըկոչվում է շղթայի

գնահատական:

Եթե բոլոր հաշվարկային շղթաների գնահատականներըոչ բացասական են, ապա տվյալ լուծումը օպտիմալ է: Օպտիմալության այս հայտանիշը ուժի մեջ է եթե լուծվում է մինիմումի խնդիր: Մաքսիմումի խճդիր լուծելիս օպտիմալ լուծում կստացվի, եթե բոլոր հաշվարկային շղթաների գնահատականներըոչ դրական են: Օրինակ:Ենթադրենք տրանսպորտայինխնդրի տվյալներն են` 8լ-

Ել-10

7-4

Եչ-70

81-50

Ե.-20

Առաքող

.

7-8

Ճլ

Ճշ `

Սպառողների

պահանջը 10

Նեոերա

:7

-Տ

Տ ՀՑ» ՀՔ իո:

ի»

րն

լ

Տ.

համար՝

2-ի

3|-

Կ-ի շղթան, որը

64:53-4-0,

Հլ6

ցույց

3--

է

տրվածաղյուսակ 3-ում գծիկներովկլինի

լ

2-346-485-3-3»0,

ՍԷՐոա

22.-ն՝

ՎՈ

Աղյուսակ3

8:

բաշխականմեթոդով ստուգելու Այս լուծման օպտիմալությունը հաշվարկայինշղթաներըն համար կազմենք ազատ փոփոխականների :' հաշվենք նրանց գնահատականները:

Ա

2-7Ի3-5Հ-7Հ0,

2 4է

ետնյալ տեսքը.

Թշ

600:

Խնդրի տվյալները լրացնենք աղյուսակում ն հյուսիս-արնմտյան անկյան եղանակովստանանք որնէ թույլատրելի լուծում: Այն կունենա

Սպառող թյ

`

ելշ-10, լու ծումն է լլ-10, Այս աղյուսակինհամապատասխանող են, 2շշ-20, 25-40, 283530, Ճոշ20, որոնք հենքի փոփոխականներն կլինի ծախսը Ընդհանուր - 22- ա» 33:- 23շ-0՝ ազատ: իսկ՝ 205-

ՀԱԼ

24-ըղ

:'լ:346-4-8

ը

Վինի Ի ի16

3-74Վ3-5Ի4-6»--8Հ0,

31.

ը 232-ը՝

շ|ւ

ԴՎ4

2-5Ի4-6»-5Հ0:

2-29

ուստի կան բացասականգնահատականներ, Քանի որ տվյալ լուծումը օպտիմալչէ:

ցիկլերում

|

հավասարումներից

ան-

թզ-ՕքԻ8.

)

զ-ն ազատ անհայտներիտողերի ն

համարներն սյուների

(2)

ու

Օրինակ:Պոտենցիալների մեթոդով

«ի արավ ւ մոմը ԳԱԾ

ստուգել խնդրի որնէ

ի արոր մաման

Տքզ-Շթգօ՛թգ 3) Եթե (3) արտահայտությամբ որոշվող տարբերությունները ոչ բացասական են, ապա տվյալ լուծումը օպտիմալէ, պայմանով,որ խնդիրը ` վեր երյալ: խ է դրված գտնել նպատակայինֆունկցիայի մաքսիմումարժեքը, ապա օպտիմալության հայտանիշը կբավարարվի, երբ (3) բանաձնովորոշվող տարբերությունները լինեն ոչ դրական:

ն

ն

Երրորդքայլ: Ազատ փոփոխականների համար հաշվել ծախսերի կեղծ ծախսերիտարբերությունը` հետնյալտեսքով.

ա ք-ն

հայտներովգծային հավասարումների համակարգյ̀ն 8յ անհայտների նկատմամբ:Այդպիսի չեն ն ընդհանուր հ ամակարգները փակ՝ դեպքում ունեն անթիվ բազմությամբ լուծումներ: ՌՈրնէլուծում գտելու համար, անհայտներից մեկին տալիս ենք կամայական արժեք: Ընդունված է առաջին անհայտ մեծությանը տալ զրո արժեք (օ.լ-0): Մնացած անհայտների արժեքները կորոշվեն(1)-ից՝ միարժեքորեն: Եռնրորդթայլ: Ունենալով օն Մ մեծությունների արժեքները, ազատ փոփոխականների համար անհրաժեշտ է հաշվել կեղծ ծախսերը`հետնյալտեսքով.

զ

Թթ-օլ,0ՀՆ,7::յ- 1,7-), 6) որտեղ 0: ն Ց մեծությունները ն առաքող սպառող կետերի պայմանական պոտենցիալներն են, իսկ օյ-ն ծախսերիմատրիցի1-րդ տողի ք րդ սյան համապատասխան ամդամմնէ: Քանի որ հենքի փոփոխականների թիվը հավասարէ -ո-1-ի, ուստի (1-ը իրենից կներկայացնիոո ողէո-1

--

ԱՍս Ժեթողը,ինչպես բաշխականը, է տալիս հնարավորություն ստուգելու սկզբնական(կամ ցանկացած) բազիսայինլուծման օպտիմալությունը:Բերենքմեթոդիալգորիթմըառանց ապացույցի: Առաջինթայլ: Յուրաքանչուր բազիսային փոփոխականի համար կազմենքհավասարում հետնյալտեսքով.

Պոտենցիալների մեթոդ

փոփո

ճ3-4

Օշ-2

ՇՀՏՕշ

օ'2լ-Օշ-Է 8.-2-՛7-9

օ

օ13-Օլ-է 8:-0-2-2 «ՀՕ. 8.-ՕՀ(-Լ)Հ

ազատ

8-3

ռը Օ-0

օկ-օ-2-(-153

Հ

Հ

Տ) Տ3շ Ր

ՏԱՀ

Հ

032-603252-7Հ ՅԶՈ

63-օ3լ53-1Լ15

ՕՕ ա»1-1Հ0

Տշ162լ-02:-2-9Հ

-

Շլ3-61456-2

Տ131-

զատ փոփոխականների համար նույ կատարածստուգումներիցստացած շ

որ այս Դիտողություն: Նկատենք,

լուծումը

անի ռր այս տարբերությունն յուններ, ուստի տվյալ օպտի

Ք

՛

8-2: (1)ՇՅԼ-ՕՅ 8լ-47-11 Է` : 03203 8շ-4:3Հ-7 Երրորդ քայլում հաշվենք ծա րությունները՝ազատ փոփոխակ

"`

:

ծախսումները:

Օ3-

Երկրորդքայլում

..

Օլ

ը:

լուծումը:

8յ-7 Ւ ՔշաՒք.-3 Օշ 8չ-5 Օշ բ:-4 Օէ 8:-6

կարգ նրա րԳ ն ստանանք ջորու

օպտիմալ

Ստուգումըկատարենքնախո լատրելի լուծման համար(աղյուսա Առաջինքայլում հենքիփոփո

թույլատրելի լուծման

336 Բազիսային մի լուծումից մյուսի անցումը

կան

գագաթներում գտնվող թվերը կպակասեն10 -ով, իսկ դրական մազաթներինը` կավելանա10-ով: Շ Պբայում այդ

դուրս: Բազոոայիրգծագրից Հաջորդ ստանալուհամար փոխա-

Այժմ պարզենք, թե ինչպես է անցում կատարվում մի լուծումից մեկ այլ լուծման: Քանի որ մի լուծումից մեկ այլ բազիսայի լուծման անցնելու համար ազատ ամհայտներից մեկը պետք է րինել հենքի անհայտով, ուստի առաջինհերթինանհրաժեշտէ պարզ թե որ անհայտը պետք է բերել հենք: Այդ ճպատակով,եթե ենք պոտենցիալներիմեթոդով,ընտրում ենք բացասական յուններից ամենափոքրը: Ըստ նախորդպարագրաֆիդա -8Ն, համապատասխանումէ Ճ:յյ ազատ անհայտին, որը ն պետք բերել

լուծում ը

թվերը գրված

են

մնում է

Ն Աի ԻՐԻ Մ

արա է

թե

աշխատում ենքբաշխակամնմեթոդով,ապա ազատ անհա յտը ընտրում ենք շղթաների բացասական գնահատականներիցամենա-

ԴԻՑ րրպեսգի

օգտվելովաան

պարզենք, թե Ճուի փոխարեն հենքից որ կմղվի, տեղափոխումներիմատրիցից կազմում ենք 3) : ազատ փոփոխականիհաշվարկայինշղթան: Ըստ 834-ի է 23լ, Ճլլ, Կ Ճ:ոլ-ի հաշվարկային շղթան կազմում Ճշ » փոփոխականներից, որը կունենահետնյալ երկրաչափականգծապատ կերի տեսքը: դուրս

ԿԱ Ճշշ,

լ

Ճլլ

Ճլշ

4շշ

Օ

/0

"ո.

10|-

յ.

Ճշ: : 33

"լք

-

տվեցինք

ն ան

օպտիմալության պ

Ընտրում

խա

աԳր" է

Այսպիսով, ցույց

լուծումը օպտիմալչէ

Միաղյուսակից(լուծումից) մեկ ու այնքան,քանի դեռ

Շղթայի գագաթներինվերագրումենք նշաններ ըստ 834: ենք բացասական գագաթներում գտնվող թվերից փոքրը ուո(10,20,30)510: 10-ը համապատասխանումէ լլ այն հենքի խականին,որը պետք է ղուրս գա հենքից ն, հետնաբար, ստա արժեք: Շղթայի մնացած գագաթներումգտնվող թվերը անհրաժեշտ փոփոխել այնպես, որ նրա տողերովկամ սյուներով շարժվելիս «հին» ոմ վերո կերով Ա ա րոն պայմանից, շղթայում թվերը կձնափոխվեն հետնյալ կերպ. բացաս վե.

Աղյուսակ3-ին համ 42210,Ճ23550, 43-10, Ճ3:-20,2:4-20,

սա

7: Դիտողություն Տրանսպո

անցնելիս է, որ բա հնարավոր

գագ փոքրըլինի ոչ միակը:Այս ցասական դեպքումորնէ մե իսկ մն ացածը՝ փոփոխական, հենքի: Որպեսզի առանձնանա արժեքովհենքի փոփո խականը ազատ

փո ոյխականնե

ի

2Դիտողություն Հաշվարկա յին

շղթա

կազմելիս լի Մ

ն

զրո

-ը կարողէ խատելիս (պոտենցիալների այդ մեթոդով աշփոփոխականի համարնույնպեսկազմեք Ստողություն3: Իրական հավասարում) կյանքում հանդիպումեն տրանս-

կան

.

:

Երբ առաքող

դեպքում խնդիրը

Այս ըջը, կամ հակառակը: պահանջը, առաքող: ֆիկտիվ ցում է սպառողների կամ սպ առող ֆիկտիվ պետք է ներմուծել լոտելիս

են

բեռներըհամասեռ չե. են. Երր եղափոխվող տարբեր միջոցները (սպորտային երե Երբ տրամսոյոր ցուցաբեր"Լ լուծելիս,պետք է մ, խնդիրը Այսպիսիդեպքերում, բեռըերբեմն

Ի

աճի որ

միննույն

հնարավոր

մոտեցում, առանձնահատուկ միջոցներով: տային տրանսպոր տարբեր չէ տեղափոխել Ք

Գրականության ցանկ

գերազա քանակը ընդհանուր բեռների կետերում

1.

շ. 3.

4.

Տ.

6. 7.

Հարությունյան Ա. Գ., Սուքիասյան Ս. Ա. Գծային ծրագրավորման մի քանի մեթողներ ն խնդիրներ, Երնան, 1970. 5Մ. Ա Սահակյան, Մ. Դ. Մարգսյան, Ֆ. Ծ. Աարապնտայան, Մաթեմատիկականծրագրավորում, Երնան 1983. Մ. Ա. Սահակյան, Հ. Լ. Սարգսյան, Մ. Դ. Մարգսյան, Ռ. Ն. Տոնոյան Տնտեսության վերլուծության. մաթեմատիկական եղանակներ ԷԿԱԳՄԱՀԲ, Ծրնան 1997. Մելս Սահակյան Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական զործույքնեի հետազոտումը անտեսության եղանակներ, կառավարման խնդիրներում, |լսնդիրներ ն վարժություններ ՀՀԳԱԱ «Գիտություն» հրատարակչությում, Երնան 2001. զամ աա6ՇԽ0օ 8ճքրԱՇռԵ Ք. Շ. ՁՈոճոաճուել աԱքօրքզոլոււքօՏ41ա, 1134. "Ւ այւճ", ԵԼ, 1964. Շ. ճճմաւօ6

ԼՅՇՇ

դքօրքճրաաքօ84ամ 1971. 8.

ճուտ:

9.

ոքուօշա6ոտա ՉՀՅՇՅՅՇաաւԼ

Ք

շՇ

ըքաօշաճոատ,

Պաոճնոօճ

Ե

Խո

32օ6աաատ

1961.

31476812

8ՎՇՇԽՕԻԼ

13ռ.

"

Աոտոճ", ԽԼ,

մԱքօրքճուաքօրոմաած,

րօ

օՇօալտոտա,115. "Լ11քօրքճՇՇ",հ1., 1973.

ՇՇօքողու 38484 ոօ 115ռ. Առան", ի, 1973.

|Օ. /Ճ.

'

811թօ8871նօ,

ԵԼ,

ոքօրքճարււքօտճմմճ,

՛Լ6օքոտւՃ8օտոր868180Շ111

Է. Է,

ԼՕդեոււծնու

ճղտամոօիր,Աքօրքմա-

Ճրռծօոձ ՊՃ. Ս. աոտատուօցծ տ Տեր օ6 5:0110811:6, 913ճ. ԱոՄոՎ",ԽԼ, 1973. 1քօրթձու մթօրձ18116 11. ԽՅաոճքօոավ /Ճ. 8. ԸՕքողաօՃ. 5. Օաատաաոթրելը քռլատոտ

ՅՒՕՏՕՀԱԵւՑ,

115ռ. ճոճ", ԽԼ, 1972.

10.

1.

Ը.

"

"

12.

/. Ե. Թյ6ՀԱԾՅՐԵԼ Ճողճնոօն1 Խճքոճճճթավ Փ. 1. Շճրօրտոաաալ ԽԼ, ՃՆՐՇԾթԻԼ5 աուօնաօրօ ոքօրքճոււմքօ88105լ, 13ր. "ոճ", 1965.

Օ.

13. ՃԱՇ

Օրորներ

քատ,

ԽԼ.1967. 14. լ5.

ԱՇ

11. Փ.

113ճ. ւմն

Ե.

ձ.

ՎԱՅԵ

16.

Ելք ԷՕ

ՃՄքը ԽՅՆՇՅԱԱՂԱՎՇՇՔՕՐՕ

ԱՍՕՀՃՅ", ԽԼաա թ,

"

1975.

ԽԱՂՏԻՒՑՎՆԵՎՇՇՐ:Շ

ԼԱՅ ճտաքյու 1,

2001.

Ճ. Ե.

քռայտոմմ

Տ

՞ՀԵՕԾՀԵՈՑ,

"11քօրքծօօ",

1415.

դքօրքճիրքաւթօՅա:աԾն, |

իոաօրքք

13.

"ՅՅՅՒՅՔ-

ԼՕրայատ

97",

Է, Լ. Յճրոմա 1 81610 ճտոճօմոօօ 115. "ՇՕՏՇՂՇԽՕՇ քռրաօ", Ի/1., 1964

ԼօՕոաոճնո

ՈքօրքնորւմքՕԻՅԱՆԼ,

ԱԶԱՏ

ԽԱՉԱՏՈՒՐԻ

«ՃԱ ԱԵ141

ԴԱՆԻԵԼՅԱՆ

ՃՃՎ417ԹՕՏԱՎ

ԾՐԱԳՐԱՎՈՐՄԱՆ

ԳԾԱՅԻՆ

ԽՈՐՂՕ15Լ քաւլ01Օ

ՍԵԹՈԴՆԵՐ

ՈԲՕՏՃԼԼ

ԱԵՕՐԻՃՆԵՆՈՂ

Ուսումնական ձեռնարկ ւ661.06

ԵՐԵՎԱՆ

|

ԳՐ"

ՀգՍ

| ի հՇՃն

՞յլր

ՍՆ

սի

212.1

ո

Հռաաախ

եչ

ապագա

Ռ0Ը061.6

թր

ԲԹԲՅՃԱ

|

աա

է տպագրության19.11.2003թ.: Թղթի չափսը 602484 /45: 8,5 տպ. մամուլ: 6,8 հրատ. մամուլ

Ստորագրված

Պատվեր283

Տպաքանակ

այկական գյուղատնտեսականակադեմիայիտպարան Տերյան 74