Հանրահաշիվ և երկրաչափություն

Վ.Պ.

ԳԱԲՐԻԵԼՅԱՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԵՎ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

ՁԵՌՆԱՐԿ

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ԵՐԵՎԱՆ

-

Տ

11(67Հ) ՈԱ

մք

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՄԱՐԱՆ

Վ. Պ. ԳԱԲՐԻԵԼՅԱՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ.

ԵՎ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ՁԵՌՆԱՐԿ

ԵՐԵՎԱՆ

ԵՊՀ ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ

512:

ԳՄԴ

22.144

Գ

514 (07) 22.151

ց7 ԵՊՀ

է երաշխավորել Հրատարակության

ն կիրառական մաԻնֆորմատիկայի թեմատիկայի ֆակուլտետիխորհուրդը:

ԳԱԲՐԻԵԼՅԱՆ

Գ

Վ. Պ.

Հանրահաշիվն երկրաչափություն: ՈւսումնամեթոդաՎ.Պ. կան ձեռնարկ/ Գաբրիելյան: ԵՊՀ.

Եր., ԵՊՀ

2011. հրատ., էջ: -

--

Ուսումնամեթոդական ձեռնարկնընդգրկումէ ԵՊՀ ն Ինֆորմատիկայի կիրառական մաթեմատիկայի ֆակուլտետի ուսումնականձրագրովհաստատված«Հանրահաշիվ ն երկրաչափություն» դասընթացիամբողջնյութը: ն կիրառաՆախատեսվածէ ԵՊՀ Ինֆորմատիկայի կանմաթեմատիկայի ֆակուլտետի ուսանողներիհամար:

ո

Գրադարան

Լ 12 ` ՏՍՍ189069 ՀՏ 1ՏՅՎ

978-5-8084-1490-7

ԳՄԴ

.512:514(07

22.14--22.151ց7

Օ ԵՊՀ հրատարակչություն, Փ Գաբրիելյան Վ.Պ. 2011

ՆԱԽԱԲԱՆ

ձեռնարկըգրվածէ Երնանիպետական Ուսումնամեթոդական ն կիրառական մաթեմատիկայի համալսարանիինֆորմատիկայի ն երկրաչափություն» դասընթացի՝ «Հանրահաշիվ ֆակուլտետում՝ վրա ն հիման դասախոսությունների կարդացած հեղինակի ուսումնականծրագրովնախաընդգրկումէ նշված դասընթացի տեսվածամբողջնյութը: «ՀանրաՁեռնարկը բաղկացածէ երկու բաժնից: Առաջին` դասընթացիառաջին հաշիվ», բաժիննընդգրկումէ հանրահաշիվ կոմպլեքսթվեր, թվեր, ամբողջ թեմաները կուրսում կարդացվող ն որոնք հիմք են որոշիչներ, մատրիցներ բազմանդամներ, մի շարք առարկաների դասավանդվող հետագայում հանդիսանալու համար:

բաժիննընդգրկումէ Երկրորդ«Երկարաչափություն»,

հատկացված առաջինկուրսում անալիտիկերկարաչափությանը նյութը, որն անհրաժեշտ ժամերինհամապատասխան լսարանային անալիզ» է զուգահեռաբար ուսումնասիրվող«Մաթեմատիկական համար: դասընթացի է հայտնում ԵՊՀ դիսկրետ Հեղինակը շնորհակալություն ն տեսականինֆորմատիկայի ամբիոնիաշխատամաթեմատիկայի ն նյութի բովանդակության կիցներին`ձեռնարկումներկայացված շարադրմանեղանակի հետ կապված հարցերում օգտակար ն դիտողությունների համար: առաջարկությունների

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ՆՇԱՆԱԿՈՒՄՆԵՐ

բնականթվերիբազմություն ամբողջթվերիբազմություն Գ ռացիռնալթվերիբազմություն ԽՃ իրականթվերիբազմություն Շ կոմպլեքսթվերիբազմություն Փ հդատարկբազմութուն է 4 բազմությանը Ճտարրը պատկանում 4Ջ8է 8 բազմության Ճբազմությունըհանդիսանում ենթաբազմություն 42«8 4ն 8 բազմությունների դեկարտյան արտադրյալ ճ:Ե թիվը բաժանվումէ Ե թվիվրա ռ|Ե թիվըբաժանումէ Ե թիվը ՃԵ ճթիվը չի բաժանումԵ թիվը (64,5) գն ծ թվերիամենամեծ ընդհանուր բաժանարար կամզն է վեկտորների սկալյարարտադրյալ Բ,5|- գն ծ թվերիամենափոքը ընդհանուրբազմապատիկ կամգն 5 վեկտորների վեկտորական արտագրյալ զ Հ Ե(ոօմ դ) են ըստ մոդուլ թվի ՃնԾթվերը համեմատելի ռ թվի իրարիցտարբերբոլոր բաժանարարների քանակ օ(տ) ոռթվիիրարիցտարբերբոլոր բաժանարարների գումար Փո) էյլերի ֆունկցիա խտ) Մյոբիուսիֆունկցիա Ք թվայինբազմության Ք: տարրերովբոլոր բազմանդամների բազմություն Խք»ո (է »« դ)-չափանիբոլոր թվայինբազմության տարրերով մատրիցների բազմություն 469(/09) 7(5) բազմանդամի աստիճան 4 մատրիցի տրանսպոնացված մատրից ի4| 4 բազմության հզորությունկամ4 մատրիցիորոշիչ |օ| Ճ՛ թվի բացարձակ արժեք,գ կոմպլեքսթվի (վեկտորի)մոդուլ Խ

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

ԱՌԱՋԻՆ

ԲԱԺԻՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԳԼՈՒԽ

ԱՄԲՈՂՋ

ԲԱԺԱՆՈՒՄ

ԲԱԺԱՆՄԱՆ

ԹՎԵՐ ԵՎ

ՄՆԱՑՈՐԴՈՎ

ԹԵՌՐԵՄԸ

Եթե ճ ամբողջթիվը կարելի է ներկայացնել Ճ--Եր տեսքով, որտեղ 0: ծ,ի 62, ապա ասում են, որ Ե թիվը հանդիսանում է գ թվի բաժանարար,կամ ծ թիվը բաժանումէ գ թիվը (կամ էլ 4 թիվըբաժանվումէ Ե թվի վրա,կամ 4 թիվը պատիկ է Ե թվին): Մաթեմատիկական սիմվոլներովտրվածսահմանումն արտա4: հայտվում է այսպես՝ Ե (ռ թիվը բաժանվումէ Ե թվի վրա) կամ Ե |ճ(Ե թիվը բաժանումէ ճ թիվը): Եթե Ե թիվը չի բաժանումճ թիվը, ապա այդ փաստընշանակվում է ծ Է գ տեսքով: 1.1.

Սահմանում:

Վարժություն: 1) Եթե ճ թիվը պատիկէ ու թվին ն ո թիվը պատիկէ Ե թվին, ապա գ թիվըպատիկէ Ծ թվին: ՀՏ 2) ԵթնԻԼԻ: ԷԺո»քէԷզՀ:տեսքի հավասարությունում բոլոր անդամներինկատմամբ, բացիորնէ մեկից,հայտնիէ, որ են ծ նրանք պատիկ թվին, ապա այդ միակ անդամը նույնպես պատիկէ Ե թվին: 1.2.

Թեռրեմ (մնացորդովբաժանմանթեորեմը): Ցանկացածզ Է ամբողջթիվ ծ դրականամբողջթվի միջոցովներկայացվում 1.3.

ՃՀեզՎՆԽ,

ՕՀԻՀԵ,

տեսքով,որտեղզ,7 6 2, ն այդ ներկայացումըմիակնէ: գ հավասար՝ թիվըչգերազանցողԵ Ապացույց: ՎերցնելովԵզ-ն պատիկին կստանանք ճ թվի մեկ այդպիսի թվի ամենամեծ եզչ Հ լ, 0 Հոլ ՀԵ, կըսներկայացում:Ենթադրելովնան, որ ճ Հ

տանանք 0 »- Ե(զ- զ) Է (՛ - ու), որտեղիցհետնում է (1.2 վարժություն), որ (--- ոլ) պատիկէ 5 թվին: Վերջինս հնարավորէ միայն, 0, քանի որ|ո -- ոլ| Հ Ե: Ուստի ո ոլ, ռրից հետնում է երբ 7 - ոլ Հ

-

ռ հավասարությունը: 0ՀՀԵ, Մնացորդով բաժանման թեռրեմում ռ-ծզԻ:, Ե թիվը՝ է ռ թիվը կոչվում ներկայացմանմեջ բաժանելի, ո զ թիվբ՝ (ոչ լրիվ) քանորդ,իսկ թիվըմեացորդ: բաժանարար,

նան զ

Հ

զլ

Հետնանք: Յուրաքանչյուրզ ն Ե (Ե » 1) դրականամբողջ թվերի համար գոյություն ունեն միարժեքորենորոշվող այնպիսի 1.4.

Շ0, Շ1,

ճ

ամբողջթվեր,որ զ

ռրտեղ 0Հ

Վ«յ. Ե ՇրեԿ

Հ

լ ՀԾ,(Հ

օյ

0,1...Խն

բ --Վ

ԵՀ

6,

«0:

է, թեռրեմից Մնացորդով Ապացույց: բաժանման եզլ Հ Շց, որտեղ 0ՀօՀԵնզյլ» Տ զ: Եթեզլ Ե, եզշ նորից մնացորդովբաժանմանթեռրեմի համաձայն՝

հետնում Հ

Հ

Հ

զ

ն զչՀզլ: Եթե զչՀԵ, որտեղ 0 Հ«լՀԵ ստանում ենք նշվածեղանակով,

ապա,

Հ

որ

ապա Է Ը,

շարունակելով

»զշթ»""

զ

որն անվերջ դրականամբողջթվերինվազողհաջորդականությունը, լինել չի կարող: Այսինքնգոյություն կունենա այնպիսի հ համար, զ Հ Ե, իսկ զո-: Հ Ե: Այսպիսովհանգումենք հետնյալ որի դեպքում՝

համակարգին՝

ճ

»

զւ Գ.-շ զ.-1

-

Հ

Հ

զ.

եզլ Դ Եզշ Հ

Ըց, 6..

Եզա-1Դ Շբ-շ, Եզ Է Շ-Ն ե:0ՀԸլ:

Հետնաբարզ, «0, ռրովհետնհակառակդեպքումկունենայինք -Ֆ զու հակասությունը:Այժմ գրված համակարգիցարՇ.-1 որ տաջսելովզ., զո-1, ..,զւ բնականթվերը կստանանք,

ՇրեւԴ «151

ԱՀ

որտեղ

Հ ճլ Հ

է,

Հ

0.1...,է,ն

Ի:

«0:

"ԴԷ

Շե

Գ Ըց,

է ապացուցելվերլուծության6լ գործակիցների միակութնան ունենք Դիցուք հետնյալ յունը: վերլուծությունը. Մնում

ՎԼզՀ

զեր

Է

1Ե'-1նաեւ, Նն)

զ.

ն ձչ»0: որտեղ 0 Հճ.ՀԵԼՀ0,.1..,Խ, կունենանք երկրորդվերլուծություններից

ՃՀԵւԴՀ ԵՀ ապա հավասարությունները,

Ճճ

ց

-

Ե Ճ-Ըց

Վօ,

Քանի

որ

առաջին ն

ց, մզ,

»:

4օ: Այնուհետն

Ես ԴԸ,

ՀԵՆՀ

Ե

Է

4.,

լ, ն այսպեսշարունակ:Ի վերջո ստանում ենք 6լ ուստի 6. զյ հավասարությունըբոլոր 1 0,1,..,: արժեքներիհամար: Ապա. ցույցնավարտվածէ: զ» ՇեԵՒ Հետնանքում ստացված - Ը-1Ե-1-...Վ լեւ եր ներկայացումըկոչվում է 4 բնական թվի ներկայացումծ-ական համակարգումն համառոտ գրվում է -

Հ

Հ

(Ըյ.Շյ-1 Ը1Ը0)ը

ԼզՀ

տեսքով,որտեղ Ըց, Ըլ,...,Շ։ թվերը կոչվում են այդ ներկայացման 4` իսկ ներկայացման երկարություն: գործակիցներ, է Օրինակ:2-ականհամակարգում43 թիվըներկայացվում հետնյալկերպ. 1.5.

(101011),

Հ

1:25:40:2:Ի1:2:Հ0-2:-1-2Հ1 որովհետն 43 ականհամակարգում՝ -

որովհետն

--

Հ

(1121)»,

1:33 1-:32-2:3Հ1:

իսկ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ

81.2. ԹՎԵՐԻ ԱՄԵՆԱՄԵԾ

ԲԱԺԱՆԱՐԱՐ:

ԷՎԿԼԻԴԵՍԻ ԱԼԳՈՐԻԹՄԸ

ամբողջթվերիմիայնդրակդիտարկենք Այս գլխումայսուհետն

ամբողջ թիվ, որը միաժամաԿամայական կան բաժանարարները: է նակ բաժանումէ 4 ն 3 ամբողջթվերը,կոչվում նրանցընդհանուր ամենամեծըկոչվում է Ընդհանուրբաժանարարներից բաժանարար: է ն ճ ն ծ թվերի ամենամեծ ընդհանուրբաժանարար նշանակվում է (4,3) գրությամբ:Նման եղանակովսահմանվում վերջավորթվով ցանկացած41, 6շ, Ճո ամբողջ թվերի«1,(ռլ, ճշ, ...,ո)զ ն ամենամեծ Ե թվերը ապա ընդհանուրբաժանարարը:Եթե (ճ,ծե) պարզ թվեր: կոչվումեն փոխադարձաբար որոշելու ամենամեծ ընդհանուրբաժանարարն թվերի Երկու է: եղանակներիցմեկն այսպես կոչված Էվկլիդեսի ալգորիթմն ամենամեծ 4 ն Ե (62 -- Ե »« 0) թվերի Դիցուք անհրաժեշտէ որոշել Դրա համարքննարկենքերկուդեպք. ընդհանուրբաժանարարը:

8) Ե|զ. Ե) ԵԷճ:

ՀԵ: Երկրորդ Առաջին դեպքում 64:35, հետնապես (ճ,5) զ, իսկ Ծ թվի վրա,քանորդընշանակենք դեպքում4 թիվըբաժանենք մնացորդը 7. ՕՀՐՀեԵ: գ»եզ47, հետնում է, որ Ճ ն Ֆ թվերի Այս հավասարությունից

միաժամանակ ընդհանու բաժանարար ընդհանուր յուրաքանչյուր (0, ն բաժանարար է Ե թվերիհամար, մասնավորապես 3) (է, ո): Հ

Ճիշտ նույն ձնով, եթե ծ

ի ու,

ոզլ

--

0 Հլ

(Ե,7)Հ

(ճ,Ե)-

0,

ՀԻ,

ապա

Իլ):

Գրենքհետնյալհավասարությունները. 0ՀՐՀե,

Օ-եզէ7,

Ե Հոզ ո

Իլ Հ

Տ

ո-1

»

ոլզշ

Հ

Հ

Իշզ:

Էոլ,

ԷԻշ, 0ՀչՀու Դ 83. 0

Դ Ւոււ,

Ւռզում Իռ

.

0ՀուՀԻ

Հ

Ճո

0 Տ Իուլ

Իոչ1Գուշ`

(1.1)

ՀՒ» Հ

Իո

Այս հավասարությունների թիվը վերջավոր է.

դա

հետնում

նրանից, որ է, 7,ոլ,ոշ,... հաջորդականությունընվազողէ, իսկ դամները՝ դրական:Այսպիսով՝ (ճ, Ե)

Այստեղից

ճ

հավասարԷ

ն

(Ե,»)-

Հ

Ե

(0, Իւ)

ԽԻալ)-

ՀՀ

է ան-

ԻռՀ1:

ընդհանուր բաժանարարը Էվկլիդեսիալգորիթմում վերջին` զրոյիցտարբերՒոչւ թվերի

ամենամեծ

մնացորդին: Այժմ (11)

հավասարումներիցարտաքսելովբոլոր մնացորդները, բացի վերջին ոչ զրոյական 7ոչլ մնացորդից,կստանանք -Է

ճ7

Ե)

Հ

տեսքի հավասարություն,որտեղ Ճ նույնն է Հ

ճ2

Ե)

Հ

Իր.

ամբողջթվեր են, կամ որ

ն 7

(ճէ)

տեսքիհավասարություն:Վերջինս նշանակումէ, ռր ճ ն Ե թվերի ու նրանց (ճ, ծ) ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարիմիջն գոյություն ունի գծային կախվածություն:Եթե (զ, Ե) 1, ապա -

"

ճա

ՀԵ)

«1:

Այստեղիցհետնում է, որ 65 Է Ե» ամբողջթվերովլուծում միշտունի:

Հ

անորոշհավասարումն

Հետնանք: Որպեսզի 4 ն ՖԽ ամբողջ թվերը լինեն է ն բավարար,որ գոյություն փոխադարձաբար պարզ, անհարաժեշտ ունենան այնպիսի2 ՛ն 7 ամբողջթվեր,որ 42 Գ Ե) 1: 1.6.

»

ծ: Ե, ապա: Թեռրեմ: Եթե (ճ, Ե) 1նճ0: ունեն 1, ապա գոյություն Ապացույց: Եթե (ճ, ե) այնպիսիոն 1: Այս հավասարության ամբողջթվեր, որ 6: Հ Ե) երկու կողմը « բազմապատկելով թվով կստանանք հավասա- ՖՇ) րությունը, որից հետնում է, որ եթե 46: ծ, ապա անհրաժեշտէ ռր Ը դ թիվըբաժանվիԵ թվի վրա (1.2 վարժություն): 1.7.

-

-

Հ

-

Դրական ամբողջթ թիվը կոչվում է պարզ. 1 ն ունի ճիշտ երկու դրականբաժանարար՝ ք (1 թիվը պարզ չէ): Հակառակդեպքումթ թիվը կոչվում էբաղադրյալ: 1.8.

եթե նա

Սահմանում:

է ք պարզ թվի Թեռրեմ: Եթե գծ արտադրյալը բաժանվում է գ ն ծ թվերիցառնվազն մեկը պետք բաժանվիթ պարզ վրա, ապա թվի վրա: Ապացույց: Ենթադրենքթ|ճ: Այդ դեպքումթեռրեմը ճիշտ է: Դիցուք ք է զ: Ալդ դեպքում,քանիոր թ թիվը պարզ է, ապա (4,ք)է ք 1: Հետնապես,նախորդթեռրեմիհամաձայն,ծ թիվը բաժանվում ռ թվի վրա: 1.9.

Հետնանք: Եթե ճլճշ`:: 4ռ արտադրյալը բաժանվումէ ք ..,Գո թվերիցառեվազնմեկը պետք է պարզ թվի վրա, ապա լ, բաժանվիք պարզ թվի վրա: Կամայականամբողջթիվ, որը պատիկէ վերջավորքանակութկոչվում յամբ տրվածոչ զրոյականամբողջթվերիցյուրաքանչյուրին, Ամենափոքրդրականընդհաէ նրանց ընդհանուրբազմապատիկ: կոչվում է տրվածթվերի ամենափոքրընդհանուր բազմապատիկը ունեն գէ Պարզ է, ռր 4 թվի բազմապատիկներն նուր բազմապատիկ: տեսքը,որտեղ է 6 2: գ ն ծ թվերիամենափոքրընդհանուրբազմապատիկնընդունվածէ նշանակել|զ,Ե) տեսքով: 1.10.

62,

ն Ֆ

Թեորեմ: Կամայականռ

1.11.

համար

(ճ, Ե): ճ,Ե|

Հ

դրականամբողջ թվերի

ճե:

հանդիսանումէ ռ ն Ե թվերի որնէ գե, Այդ դեպքում կարող ենք գրել 8( ընդհանուրբազմապատիկ: 3: : 5 կամ գէ /1 նան ինչպես : լմ ն Ե Եւմ, որտեղ Ենթադրենք(ճ, Ե) 4: Այդ դեպքումճ Ն կստանանք, (գլ, ել) որ Ապացույց: Դիցուք Լ

-

Հ

--

-

Հ

Ուստի է

Ել (քանիոր (օլ,Ել)

Հ

աջ

ԽՀ:

-

ն

1), բայց Ել

7-6 «զի

Հ

2,հետնապես,

Յէ

ն հանդիսանումէ գ ն 0 թվերի որնէ ընդհանուրբազմապատիկ է «1: է, որ Այսպիսով որպեսզիայն լինի ամենափոքրը,անհրաժեշտ ռ 4, հետնաբար(0, Ե): |ճ,Է| 453: (,,Ե|բայց (Ճ, 3) իք

ԷՉ չ

Հ

Հ

ԹԵՈՐԵՄԸ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

Տ 1.3. ԹՎԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ

հիմնականթեորեմը) ՆՄեկից Թեռրեմ (թվաբանության ռ ամբողջթիվ կա՛մ պարզ է, կա՛մվերլուծվում է յուրաքանչյուր Ընդ որում այդ վերլուծությունը,արտադպարզ թվերի արտադրյալի: րիչների տեղափոխելիությանճշտությամբ, որոշվում է միարժեքորեն: Ապացույց: Սկզբում, ինդուկցիայիեղանակով,ցույց տանքվեր2, ապա ոռ պարզ թիվ է: լուծությանգոյությունը:Երբ ո Ենթադրենք մեծ ռդո»շնո յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կամ փոքր ն մեկից թվից ն պարզ է, կա՛մվերլուծվում է պարզ թվերի արտադրյալի, նույն ռ դ է, ապա պնդումնապացուցենք թվի համար: Եթե պարզ թիվ պնդումնապացուցվածէ: Դիցուք ռ թիվը պարզ չէ (քանի որ ո Հ 2, է): Այդ դեպքում գոյություն կունենան այն բաղադրյալ ապա Հ ռ մեկիցմեծ դրականամբողջթվեր, ռր այնպիսիոլ, ոչ 1. 12.

մեծ

-

ՀՈլոշ:

ո

ոլն Համաձայն դչ ամբողջ ենթադրության, ինդուկցիայի

թվերիցյուրաքանչյուրըկամ թվերիարտադրյալ.

պարզ

ն

որտեղ թյ,քշ,..,թ. Հետնաբար Պ

ամբողջ թվերը

զազշ,..,զ

Պլոչշ

Հ

ՏՀ-Ն

Վո

զզշ

Հ

Հ

Է պարզ հանդիսանում

հեՀՆ

թ.

ու-թյթշ: Ոշ

է, կամ

բւքշ-' քւզզշ

պարզ

են:

`:

է: գոյությանմասն ապացուցված տ թվի համար գոյությունունի երկու տարբեր վերԵնթադրենք լուծություն.

ն

ո

Այդդեպքումթլթչ

թե

ն

քլքչ:::ք.

-

Հ

զւզշ--: բշ

:':թ.

զո

զզշ

ոՀ

"զ:

որիցհետնում

զզ2շ

"'

է

"զ,

հավասարությունը:Համաձայն1.10. հետնանքի,զ, զշ, ...,զչ թվերից Այդ գոնե մեկը պետք է բաժանվիթլ թվի վրա: Դիցուք զլ:թ.:

թյ. որովհետն զ.,թլ թվերը պարզ են: Հետնաբար դեպքում զ ն այդպես շարունակ մինչն, ստանում ենք, որ քշ:::թյ զշ:::զչ։ ձախ,կրճատվեն վերջապես,հավասարությանմի կողմում, օրինակ՝ է կրճատվեն պետք Սակայն միաժամանակ բոլոր արտադրիչները: նան կողմի բոլոր արտադրիչները,քանի որ 1Հզ,-զչ աջ թվերի հավասարությունը հնարավոր չէ մեկից մեծ զո,..,զչ է: ապացուցված Թեռրեմն դեպքում: մեջ կարողեն Հաջորդիվնշենք, ռր թյ,թշ,...,ք արտադրիչների ն (իրար հավասարները), այդ դեպքում ոռ թվի լինել միատեսակները վերլուծությանհամար կստանանքհետնյալտեսքը. -

Հ

ոշ

քոթոթ»

թվի կանոնական վերլուծությունը կոչվում է ռ վերլուծություն: Դիտարկենքբնական թվերի 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... հաջորդականությունը:Այստեղ 2,3,5,7,... թվերը պարզ են: Հեշտ է համոզվել, թիվ, երկրորդիմեջ՝ որ առաջինտասնյակիմեջ կա չորս հատ պարզ նս չորս պարզ թիվ, երրորդ տասնյակիմեջ՝ միայն երկու պարզ թիվ` 23 ն 29: Հարց է առաջանում, թե բնական թվերի հաջորդականությանմեջ պարզ թվերնինչպես են բաշխված:Մա հետաքրքիր շատ բարդ հարց է: Կան բազմաթիվդժվար ն բայց միաժամանակ կապվածպարզ թվերիբաշխմանհետ: դեռչլուծվածպրոբլեմներ՝ Այս

մ

1.13.

է:

Թեռրեմ (Էվկլիդես) Պարզ թվերի բազմություննանվերջ

Ապացույց: Դիցուքբոլոր թյ, թշ, ..,քո բնականթվերը պարզ են: թիվը: Այն չի Կազմենք մեկից մեծ հետնյալ ՔՀ-քլքթշ:քո-ԷՒ1 ն (1.2. քշ,...,քո վրա վարժություն): թվերից ոչ մեկի բաժանվում քլ, Թ է է, քւ, ...,քո պարզ թշ, ապա այն տարբեր Այդ դեպքում,եթե պարզ է, ապա նրա կանոնական թվերից, իսկ եթե բաղադրյալ վերլուծությանմեջ մասնակցողպարզ արտադրիչներըտարբերեն ք.թշ,...քո պարզ թվերից: Այսպիսով. բացի մեր վերցրած ք., թշ,...,քո արզ թվերից,գոյություն ունեն ուրիշ պարզ թվեր նս: ռ Թեռրեմնապացուցվածէ:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

8 1.4. ԹՎԱՅԻՆ

Թվերի տեսությանմեջ հաճախեն հանդիպումայնպիսիֆունկցիաներ,որոնցարգումենտնամբողջթիվ է: Այդպիսիֆունկցիաներն ընդունվածէ անվանելթվային: թվերը պարզ են: Դիցուք ո քլշքշ՛ ---թք',որտեղ թլ,քշ,..,քւ ունի հետնյալ Հասկանալիէ, որ ռ թվի յուրաքանչյուր ԲԱ ն Հ Հ (Հ12,..,հ: Բլ «լ Կազմենք տեսքը, որտեղ քճւքքշ ...քն" Հ

ի,

արտադր)

հետնյալ

ալը.

(14 թյ Ժ ք1Ի---Հթ )(1Հ

"` Նկատենք, որ

թշ

փթէՀ-

թ::)։ ապա եթե բացենքարտադրյալիփակագծերը, ք3 Հ-իթշ)

(1Իքւ

ստացվածգումարի յուրաքանչյուրգումարելիկհանդիսանադ թվի ընդ որում դրանցովէլ կսպառվենդ թվի բոլոր բաժաբաժանարար, պարզեցնենարարները:Հեշտ է համոզվել, որ նշված արտադրյալը լուց հետո գումարելիներիթիվը կլինի (ռլ

Հ

1)(ռշչ

Հ

1):::(օւ

Է

17):

Այսպիսով, տ թվի իրարից տարբեր բոլոր քանակըտրվում է (դ)

(ալ

Հ

Հ

Է

1)(շշ

Դ

բաժանարարների -

(«ԷՍ

1):

բանաձնով,որտեղ դ թլշթշ" քլ": Հաջորդիվ,եթե ո թլ՛թշ՛ "քլ" թվի բոլոր բաժանարարների համաձայն. գումարընշանակենքԺ(դ), ապա վերը շարադրվածի օո)»

(14թթ

Հ

Էք:

)(1Իթ:ԷԹ:

Փո -11 քԹ-1

1.14.

թչ-1

ՒԷթ)-1ՀթՒքՒ 1 .ի՞Ծ.-

Իթ)»

-

Սահմանում:

1) բնական թվի բոլոր բաժանարարները,բացի իրենից, կոչվում են տ թվի Ճշգրիտ(սեփական)բաժանարարներ: 2) ռ բնականթիվը կոչվում է կատարյալ,եթե այն հավասարէ գումարին: իր ճշգրիտբաժանարարների Այսպիսով,Դ թվի կատարյալլինելու պայմանըհետնյալնէ. ռ

ԺՈո)-դ

-դ

կամ (դ)

-

2ռ։

ՀԱ:

Թեդրեմ (ժվկլիդես): Եթե (25»-1) թիվը պարզ է ն ռ 25-1(25 1), ապա դ թիվը կատարյալէ: 2» 1, ռրտեղ զ թիվը պարզ է: Այդ Ապացույց: Նշանակենքզ 25-31 ո ն, դեպքում : զ հետնաբար, 1.15.

Հ

-

-

--

--

օո)

Ունենք զ

Հ 1

Հ

-Յ-:.Փ::կամ օը) 25:

Ժ(ո) -

-

0»-

1-8:

Ուստի (25

-

1)25

2-2»-1(2» -1)

»

«շո

թիվը կատարյալէ: Նկատենք,որ (25 1) թվի պարզ լինելու համարանհրաժեշտէ, ռր թ թիվը լինի պարզ (սակայն դա բավարարպայման չէ): Երբ 25-1(25 1) թիվը համապատասխանաբա թ -2,3,5,7, ապա դ ընդունումէ 6, 28, 496, 8128 արժեքները,որոնքկատարյալթվեր են: Կատարյալ են նան 216(217--1) ն 2126(277-1) թվերը: 2» -1 տեսքի պարզ թվերը կոչվում են մերսենյանթվեր (Մերսենը 17-րդ դարի ֆրանսիացիմաթեմատիկոսէ): Էյլերե ապացուցելէ, ռր բոլոր կատարյալ թվերն ունեն այն տեսքը, որը ցույց է տվել զույգ Էվկլիդեսը:Մինչն հիմա հայտնիչէ, թե՝ ՛ վերջավորեն, թե անվերջ. կատարյալթվերը ՛ գոյությունունե ն արդյոք կենտկատարյալթվեր: Թվերի տեսության ն ընդհանրապեսմաթեմատիկայիմեջ կարնորդերէ կատարումայսպեսկոչվածԷյլերի ֆունկցիան:

ն

դ

--

Հ

--

Դիցուքռ բնականթիվ է: ռ թվիցփոքրնռ պարզ դրականթվերիքանակըկոչվումէ փոխադարձաբար 1: Էյլերի ֆունկցիան նշանակվումՓ(ո): Համարվումէ, ռր Փ(1) 1.16.

Սահմանում:

թվի հետ

զե ապա ոռ թվից փոքը ն ռո թվի հետ մ Թեռրեմ: Եթե ո ընդհանուր բաժանարարունեցող թվերի քանակը հավասարէ Փ(ք։ ն (Խո)-Ճճ Ադ դեպքում Ապացույց Դիցու. 1ՀտՀո Հ 4լ տ ձկ: Ուստի ձլլ բացի այլ, (լ0Հ-1 կամ 1ՀռոՀԼՆ Ակնհայտ է, ռր քանի հատ կլ ունենանք վերը նշված երկու պայմանինբավարարող,այնքանէլ ու կունենանք,բայց ըստ Էյլերի ֆունկցիայի սահմանման լյ կունենանք ճիշտ Փ(0 հատ 1. 17.

Հ

ամենամեծ

-

Վ

(1ՀեՀԼնմ,0»-1)

"

1. 18.

Թեռրեմ (Գաուս):ֆլւՓ()

Հռ:

Դիտողություն: օգտագործվածէ սովորականիմաստով՝որպեսգումարիկրճատնշանակում,իսկ 1 |ռցույց է տալիս,որ գումարը տարածվումէ ռ թվի բոլոր դրական բաժանարարների վրա: Ապացույց: Հաջորդաբարդուրս գրենքռ թվի բոլոր բաժանարարները. ե տառն

1, Վլ,Վշ,

ձ..

3:

ա

են. Դիցուք ո թվի լրացուցիչբաժանարարներն Դ,

ձլլլ այսինքն`

էւ, Լշ,..., է,

...7

1,

Այնուհետն մեկից մինչն դ թվերը բաժանենք խմբերի.առաջինխմբում վերցնենքայն թվերը, որոնք ռ թվի հետ ունեն 1 ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն այդ խումբը նշանակենք (1), երկրորդ խմբում այն թվերն են, որոնք ո թվի հետ ունեն մլ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն այդ խումբը նշանակենք(լ), ն վերջապես(մ) նշանակենքայն խումբը, որի թվերը ռ թվի հետ ունեն ձյ ամենամեծ ընդհանուրբաժանարար:Այդպիսով կստանանք Հ

ո:

՝

(1), (41), (4չ),..,(4ժ,...()

խմբերը,ընդ որում 1, 2,...,ռ թվերիցյուրաքանչյուրը կմտնիմիայն մեկ խմբի մեջ: Համաձայն 1.17 թեռրեմի, նշված խմբերում թվերի Փ(կ) Ի: Է Փճ): .Փ() է ՓԱ.) Ժ ՓԸ) ՒԷ քանակը կլիի Այսպիսով, ՓՈ)

Հ

ՓԱ.)

Հ

Փ(ե)Հ

«Հ

կամ

ՓԻ:

շ.«0-»

ԷՓ1)-ո

լո

ավարտվածէ: Ապացույցն

ո

1, ապա ՓՕռ: ո) - Փ(ու) : Փ(ո): Թեռրեմ: Եթե (ո, ո) ինդուկցիայիեղաԱպացույցը կատարենքմաթեմատիկական նակով:Ենթադրենքթեռրեմը ճիշտ է շռո-ից փոքրթվերիհամար ն ապացուցենք,որ այնճիշտ կլինի նան յող համար: վրայով Դիցուք Լ անցնում Է ու թվի ճշգրիտ բաժանարարների (եթե 2: հաջորդաբարընդունում է Խլ,հշ,հյ,.. արժեքներ,ապա 1. 19.

-

է ել, անցնում

եշ, հչ,... հաջորդականության վրայով), վրայով: Այդ դեպքում ու թվի ճշգրիտ բաժանարարների ստացվում են տ ն | թվերի միջոցով,իսկ ո թվի բաժանարարները Ժ ռ ն թվերի միջոցով: Հեշտ է նկատել, որ տտ թվի թվինը կստացվեն7ւո, ում, ոԼ, ԼՎ թվերի միջոցով: բաժանարարները ՀամաձայնԳաուսի թեորեմի,կունենանք,ռր ասում

իսկ 4`

են, որ

չ

տ

Փ(ւ)Է)Փ(Ս,

(1.2)

Փ(ո՛) ՀՖՓ(մ), Փ(ոմ) Էչ. Փ(ոն

(13)

տ

-

ռ տո

-

է)

Փոռ)

-

2, ՓԱմ):

է

(14)

Հաշվի առնելով, որ տ-ից փոքր թվերի համար թեռրեմը ապա (14) համարվում է ճշմարիտ ն (զ)-(ՕՀԱճմ:ՀՆ կստանանք. հավասարությունից ուռ

-

Փ(ոո)

Հ

է Փ0նո)Փ(4)Գ 2 Փ()Փ()

Հ

չ.Փ(0Փ()

կամ դռ

-

Փ(ոո)

Փնո)2Փ(4)

Հ

(1.2) ն (13) Բազմապատկելով Հ

ՓՈռ)Փ()

փ

Փ0նո)չ.Փ(4)

Համեմատելով(1.5)ն (1.6)

Փ(ո)չՓ(0

Հ

չՓԱ)չՓ(4):

հավասարություններիաջ

մասերը կստանանք. ուռ

Հ

Հ

Փո).

Փ()

Հ

415) ն

2. Փ(02.Փ(4):

ձախ 46)

կստանանք,որ հավասարությունները՝

Փ0ւ:ո)

-

Փ(ո): Փ(ո),

. այնինչ պետքէր ապացուցել: Պարզ է, որ Փ(թ) ք 1, եթե ք թիվը պարզ է: Այժմ հաշվենք ք", որտեղ ք թիվը պարզ է: Դրա համար Փ(ռ) արժեքը, երբ ո անհրաժեշտ է 1, 2,...,ք" թվերից(ընդամենըք՞ հատ) անջատելայն թվերը, որոնք փոխադարձաբարպարզ չեն ք" թվի հետ: Դրանք հետնյալթվերնեն. Հ

-

Հ

1:թ,2:թ,..,քո1:ք, որոնցթիվը հավասար է ք՞՞1:Այսպիսով,

ՓՓջ")Հք"-քո

ք"

(չ

-

թ)

Թեռրեմ: Եթե ռ ք«1ք22-.-քե, ապա

1.20.

«Թ-ռն-Ջն-Ջ-ն-Ջ Ապացույց: Փ(ո)

-

Փ(թւթշ":-թ.)

Հ

Փ(թ:)Փ(թշ"):-: Փ(թ.-)-

Ծւ

քշ

ԿԻն-քթոն-«ԲԸ-ք( Բ: Բշ ու

-ո(1-2)(1-շ «1-ի

.

Էյլերի ֆունկցիայիվերը շարադրվածհատկություններըկարելի

է ապացուցելտարբերմեթոդներով:Մեր կողմիցբերվածապացույց-

ները պատկանումեն Դ. Ա. Գրավեին: Բնական թվի կանոնական վերլուծության հետ սերտորեն կապված է այսպես կոչված թ: | -» 2 Մյոբիուսի ֆունկցիան, որը սահմանվումէ հետնյալկերպ. ո-1Լ ((ո)ՀԼերբ »

.

սո) զույգ

.

Հ(-Ֆ",

քւ, որտեղքլ թվերն զույգ երբ ոՀ թւթչ--: իրարիցտարբերպարզ թվերեն.

ս(Ո)Հ0, երբ տ թիվը բաժանվումէ որնէ քառակուսուվրա:

ք

պարզ

առ

թվի

1, ապա բնո: ո) հն): բ(ո): Թեռրեմ: Եթե (ու ո) 1 կամ ռ Ն ապա թեռրեմնակնհայտոԱպացույց: Եթե ու Ն ապա հնարավոր են րեն ճիշտ է: Եթե յռ «1, ռ» 1 ն (Նո) հետնյալերկու տարբերակները. ն հխնտոյ)Հ20 8) սնո-0 ուտի կամ րխտ)20 ինո: ո) ինո): հո). ն ն է) սնոյ«0 նսԹո)»0, "զ, այսինքն տՀզզչառ դ թչ, որտեղ զլ (ն քյ) պարզ թվերը զույգ թլթչ-": զույգ տարբեր «1: են ն խնո) (1): (ոռ) Հետնապես քանի որ զյ2թյ ն .քհ(նտ:ո)Հր(ոյ-րտ)։ ստ) հնտ-ո)Հ(ԼՖՒ . է: Թեռրեմնապացուցված 1.21.

Հ

Հ

Հ

Հ

Հ

|

`

-

-

Տ 1.5. ԲԱՂԴԱՏՈՒՄՆԵՐ:

ՉԻՆԱԿԱՆ

ՄՆԱՑՔՆԵՐԻ

ՄԱՍԻՆ

ԹԵՌՐԵՄԸ

Եթե զ ն Ե ամբողջ թվերի ճ- 3 տարբերությունը բաժանվումէ ռ բնականթվի վրա, ապա ասում են, որ գն Ե թվերը բաղդատելի(համեմատելի)են ըստ մոդուլ ռ ն գրում են ՀԵՀԱռ ն զ Հ Ե(տօմ ո): Վերջինս համարժեք է «-Ե-իռ որտեղէ Ը 2: հավասարություններին, . թիվը ո թվի վրա բաժանելիս ստացվումէ մնացոր Դիցուք՝ զ 4-Դէ է, ՛(ոօձ ո), այսինքն՝ կամ, որ նույնն Այդ դեպքում տ թվի վրա բաժանելիս թիվը ն իր Ի մնացորդը,որը ստացվում է ոտ: Հաճախ Ւ են հետ մնացորդը մոդուլ բաղդատելի ըստ իրար 4 թվիմնացք։ է կոչվում 1.22.

Սահմանում:

Հ

Հատկություն: գ(ոօմ ո) (ռեֆյեքսիվություն): 1) 2) ՇթեճՅՀ Ե(ոօձ ո), ապաե Հ ճ(ռժվ ռ) (սիմետրիկություն): Հ «(ոօմ ո) ն ԵՀ«(ոօմոտ), 3) Շթն զ5Ե(ոօմո) ապա (տրանզիտիվություն): ն ՇՏԳ(:ոօգո), ճԷօՀԵՀ 2) Եթե ճՅԵ(ոօգո) ապա 1. 23.

4»

Վ(ոօ4 7): 5) ԵթեզՅ Ե(ոօգռ), ապա ԳՈ Հ Եռ(տօմ ո), որտեղտ 6 2: 6) Եթեզ» Ե(ոօզ ո) նօ Հ զ(ոօմ ո), ապա Գ6 Յ ԵՎ(ոօՎ ռ)։

Այս հատկության հիման վրա կարող ենք պնդել, որ եթե զ" Հ Ե"(ոօմդ): ապա Իսկապես, Ճ Հ Ե(ոծմ դ) ռ ն անդամ առ բաղդատումը գրելով անգամ անդամ Հ: Օ" Ե"(ոօմ ո): բազմապատկելով, կստանանք՝ Ն ապաճզՀ ե(ոօձգ): 2) Եթեճո Հ Ետ(ացձ ո) ն (ոո) Հ Հ 8) Եթեճո Եո(ոօմ ոռ), ապազ Ե(ոօմ ո): 9) ՇթեզՀե(ոօզո)նո:ղլ, ապագՀ Ե(ոօմ ու): 10) Եթեճ ԵՅ «(ոօմ դ), ապա ճ Հ ԵՀ Ը(ոօմ դ): 11) Եթե ու,ոչ,..,ու թվերը զույգ առ զույց փոխադարձաբա Յ Ե(ոօմ ն ճ Հ Ե(ոօզ ոլ),ճ են 4 5 Ծ(ոօմ դյ), ռչ), պարզ ապա Յ Ճ Ե(ոօմձոլոշ ոլ): 2 դեպքում:Ընդհանուր Այս հատկությունըկապացուցենքհ նման է եղանակով: Դիցուք դեպքում ապացույցը կատարվում ԳՀԵ(ոօմռ),

Հ

-

ոլ18

"ք: ք11թշ:

ն

ո-»-

զուզեշզր

Ը

համապատասխանաբա

հանդիսանումեն ոլ ն ռչ թվերի կանոնականվերլուծությունները, որտեղքլ -- զյ, երբ1ՀԼՀՏն1Հյ/ՀԵռրովհետն (դլ, ոչ) 1: Եվ զ Ե թվի կանոնական քանի որ (4-է):ոլն(4-էե):ոշ, ուստի վերլուծությունըկունենահետնյալտեսքը. -

2822 քզմզշ

զ-ԵՀ-Հ

որտեղճլ (ռ-

Ե):

Հ Օլ ն

ոլոշ

ւ

զ:

11722րըն,

թյ Հ«յ երբ1Հ12...,5նյ/Հ1Ն2,..,Է

կամ

զ

Հետնաբար

Ե(ոօմ ուռշ):

Յ

ռ

ճո" ի Շղ-գ:" Գ «4 «լի օօ Թեռրեմ: Եթե /(2 4 Հ Ենոօմ տ), ն է ապա ամբողջ գործակիցներովբազմանդամ Մ(ծ)(ոօմ տ): /(ճ) Ապացույց: Եթե ճ Հ Ե(ոօմ տ), ապա ճ' Հ ԵՒ(ոօձտ), որտեղ ռւ-0,12,..,ռ Աս վերջին բաղդատման երկու կողմերը կստանանքրճ" Հ չե" (ոօձու), գործակցով, բազմապատկենք հ -0,Ն2,..,1, կամ 1.24.

Հ

-

ՇԱ"

Շղե"

Յ

10"-1 Շող

Հօր

գե"

9...

(ոօմ 11):

Գումարելով ստացված բաղդատումներիհամապատասխան մասերը՝ կունենանք. . ՇԱ"

Շղ-գ0"-1Դ

Հ

"Դի

ԷՕ

ՏՀՏ

ՇԽԵ՝ Հ Ըղ-18՞՞՛ ի

--.Վ

ՇլԵ

Օօ(ոօ4 ո)

/(ե)(ոօմ ու): կամ /(ճ) համակարգում Թվարկությանտասնորդական

-

»

(10)

Հ

«ո10"

Հ

Շղ-լ10"՞1Գ

:.-Գ

Գ օօ

բազմանդամը կարելի է դիտարկել որպես ՇողՇո-, 6160 թվանշաններն ունեցող թիվ (1.44 հետնանք):: Քանի որ 1(նոօ43,9, ըստ ապացուցված թեռրեմի, ապա, (10) /(1)(ոօ43,9) կամոր նույննէ »

Շո10" Հ

Շո.լ10"-1Հ

::-Ի

Շլ10

Հ օօ

ՏԻ

Օլ

"ԴԻ

Օլ Վ

Օ(ոօմ3,9):

Այսպիսով,որպեսզիթիվը բաժանվի3 կամ 9 վրա, անհարաժեշտ է ն բավարար,ռր նրա թվանշաններիգումարը բաժանվի3

կամ /(10)

Յ

վրա: Ճիշտ այդպես էլ, քանի որ /(-1)(ոօ4 11), բայց

(-1)

--10ոօմ 11), ապա

(-1)"Շլ:

Շշ -64ի--Դ

50-Ի

Հ

Հետնաբար,որպեսզի (ճոճո-լ""' Ը160)46 թիվը բաժանվի11 վրա, Դ (-2"Շղ անհարաժեշտէ ն բավարար,որ «ց - լ 4 Շշ- օգ: թիվը բաժանվի վրա:

1, ապա (ճե, ո) 1: Եթե (6,ու) 1ն (Խ,ո) 1 ն (Խտ) Ապացույց: Քանի որ (4, ու) 1, ապա գոյություն ունեն այնպիսիՀյ,»լ ն 72չ,»չ ամբողջ թվեր, որ զոլ Է տչլ1ն է 1: Ե:.շ ոչ Բազմապատկելով վերջիներկու հավասարություն ները՝ստանում ենք 1. 25.

Լեմմա:

Հ

-

Հ

Հ

Հ

-

ՃԵ(ուճչ)

Ի

ո(ճու)շ

Հ

Եշ)

Է

Պւ)շ)

Համաձայն1.6. հետնանքի, վերջինսնշանակումէ, 1.26.

Վ

Թեռրեմ (Էյլեր):Եթե (զ, ո)

-

որ

1, ապա զ»0»

1:

(ճէ, ո)

«1:

ո

1004 ո): Ապացույց: Դիցուք Պլ, 4շ,..., Ճջնո) հանդիսանումեն ու թվից փոքր ն նրա հետ փոխադարձաբար պարզ դրական թվեր, ն (ճոռ) «1: Ենթադրենք ճճլ, «ճշ, «Աճջ թվերի ամենափոքր դրական մնացքներն են (այսինք՝այն մնացորդները,որոնք ստացվումեն այդ թվերըտ մոդուլի վրա բաժանելուց) Ե., ծ.,...., Ե-ճո) թվերը:Այդ դեպքում ՃԱւլ

Տ

Գ4շ

Հ

ԳՅծնո)

Եւ Եշ

Օդօմ ո):

..

Յ

»

ծ՞ծ(ո)

Բազմապատկելով բաղդատումների համապատասխան մասերը՝ կստանանք, որ 42)

գգգշջրոյ)

Մակայն, 1.25

Յ

Ելեչ

Եթ)

ու): ՕՊՕՎ

լեմմայի համաձայն,ճգլ, ճճշ, թվերը ...,.ԱԳջոո) փոխադարձաբար պարզ են տ թվի հետ, ուրեմն ըստ մոդուլ 7ռ նրանց մնացքները ել,Եշ,..,Եջտ) թվերը, նույնպեսփոխադար ձաբար պարզ են տ. թվի հետ ն իրարից տարբեր են (եթե

ճ4յ(տօմ տ),

Յ

Գգլ

գլ

ապա

Հ

ճյ0ոօմ71)»ճլՀճյ):

Քանի

որ

ճջնո) բոլոր այն դրականթվերն են, ռրոնքփոքր են ոչ թվից են նրա հետ, ուրեմն ն փոխադարձաբար պարզ ճլ, ճշ, ՃՓնո) ն թվերը Ել,Եչ,..,Եջրո) թվերը նույն թվերն են, միայն տարբեր Գլ, ճշ,

դասավորությամբ:Այսպիսով, ճլճշ::: շնո) տ թվի դրանից ճլ6շ -:: ճջըո) արտադրյալը 5: ԳԺ6» 1(ուօ4 ու): պարզ է: Հետնաբար 1.27. ն

(ճ,ք)

-

Ելեշ::Եջճո): Բացի

Հ

հետ

փոխադարձաբար .

Հիտնանք (Ֆերմայի փոքրթեորեմը):Եթե ք թիվը պարզ է 1, ապա 0»-1 Յ 10ո04քթ):

ու) բաղդատումնունենա Որպեսզի 6» 1(ուօմ ն է 1, որտեղ զ 6 2: (4, 4) լուծում, անհրաժեշտ բավարար,որ Հ ճ: է 1(օ4 1) բաղդատԱպացույց: Եթե ոց հանդիսանում 6 Հ» ման դ)ց,Ֆց լուծում, ապա ճաց Յ 1(ո041դ) Հ» 629 . 1«5» (1,տ) 1 (համաձայն2.26 լեմմայի): ճց ԷՀՎ(-3օ) 1.28.

Լեմմա:

-

Հ

-

Հ

Հ

Թեռրեմ (Մնացքների մասին չինական թեռրեմը): Եթե ուղբնականթվերը զույգ առ զույգ փոխադարձաեն, Ճղ ամբողջթվերի համար ապա ցանկացածգլ, ճշ, բար պարզ հետնյալ բաղդատումների 1.29.

ոռ

Հ 2

նտլ,տշ,...,

Տ

Հ

Հ

զլ(ոօմ յոլ) ռշ(ոօ41ոշ) Շղ(ոօմ յ)

համակարգնունի լուծում: Ընդ որում, եթե չաց նշված համակարգի ուդ), ապա լ նս կլինի նշված որնէ լուծում է ն Ճլ Հ Ճօ(ոօմ ուլոշ համակարգիլուծում: Եվ հակառակը,եթե ց ն 7լ նշվածհամակարգի երկու լուծումներ են, ապա ց Հ 1նոօ4 ուլուշ -.-ուլ), այսինքն՝ ուղ մոդուլի: ուլոնշ լուծումն որոշվում է միարժեքորենըստ յո Ապացույց:Նախ հաստատենքլուծման գոյությունը: ՆշանակեԼՀ 1Ն2,.., ո, կստանանք(էլ, ուլ) 1, լով՝հլ ոլ --"ոլ լոլչլ "ու 1. Հետնաբար,համաձայն երբ 1ՀԼՀյ/Հո: քանի որ (ու, ույ) 1.28. լեմմայի, քլոլ Հ 10տօ47ոլ) բաղդատումըկունենա լուծում, հլ2: Հ Գլ(ոօ4 լ), որտեղ ռրտեղիցհլոլճլ Հ ճլ(ոօձ ուլ), այսինքն՝ Հ 0(ոօմ դոյ) ո: է նան, է 1,2,..., 2լ ելզլ, որ էյշյ Պարզ (երբ 1 Հ յ),

-

Հ

Հ

-

Հ

Հ

որովհետն Խյ բաժանվումԷ ոլ վրա, երբ 1 յ: Հետնաբարյուրաքանչյուր | 1,2,..., դ արժեքիհամարկունենանք. Հ

հւ21

լ :

այսինքն՝ հլոլ

'

Լ.

ճլ(ոօմ ադ)

Քոշդ ամբողջ թիվը կլինի տրված

ԺԷ

Է"

"Ի Լ

0(ոօգ ուլ):

50ՀԻ--ՀՕՀզլԻ0Հ--ի `

վ

Դ

:'

Է 1ւ2լ Դ Խ1211 Խլ-171-1

Ի :'-Է

| '

Դ

համակարգիլուծում, որովհետն 1ւ21

լ

Էշ2շ

Քշշչ

Հ

Հ

Է

միակությանըվերաբերողմասն ակնհայտէ: Իրոք, եթե 5օ նշված համակարգիորնէ լուծում է ն ալ Հ :Ճօ(ոօձ ոլուշ :-: ույ), Հ ՃցԸոօմյու), է» 1,2,..,ո, ն տրանզիապա լ կունենանք տիվությանհատկության Լուծման

բաղղատումն համաձայն

Ճլ

Իսկ եթե

»օ

ն

զլ(աօձ ուլ),

Լ

Հ

1Ն2...,ռ

7» նշված համակարգիերկու

լուծումներ են,

քանի որ 7ոլ,ղշ, ..., ուղ 2) բնականթվերը զույգ զույգ փոխադարձաբար պարզ են, (11) հատկության, ապա, ըստ բաղդատումների

ապա (դ Հ

0-1

-

7լ

Հ

0(Նոօգ ոլ),

Հ

ն

Ն2,..,ռ,

առ

0(ոօ4

լոն

շ::: ուլ) կամց

է: Ապացույցնավարտված

|

Յ

»ւ(նոօմ ուլն :

շ

ուղ): "

ԳԼՈՒԽ

ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ԹՎԵՐ

Մաթեմատիկայիպատմությանընթացքումմի քանի անգամ տեղի է ունեցել թվի հասկացությանընդլայնում:Բնականթվերից մինչնիրականթվերնայդ պրոցեսըկարելիէ պատկերել

ԱԽՇԵՇԳՇՔՑ

շղթայի միջոցով, որտեղ Ջ, 2, Գ. Ք համապատասխանաբար հանդիսանումեն բնական,ամբողջ, ռացիոնալն իրական թվերի բազմությունները: Այդ ընթացքումթվայինհամակարգերիյուրաքանչյուրհերթականընդլայնումհանգեցնումէր թվերի նոր համակարգի,որը պահպանում էր նախորդ համակարգիբոլոր հիմնական հատկություօժտվածէր մի շարք նոր օգտակարհատկունները ն միաժամանակ թյուններով:Այսպեսօրինակ,անցումըԽՍբնականթվերից 2 ամբողջ թվերին թույլ տվեց ներմուծել հանման գործողությունը,անցումը 2 բաժանմանգործողությունը: ամբողջթվերից Փ ռացիոնալթվերին` Բ համակարգում դրական թվերից կարելի է Իրական թվերի ցանկացածաստիճանիարմատհանել, այն ժամանակ,երբ Օ համաիմաստչունի: Սակայն կարգումնույնիսկ 2 արտահայտությունն Ք իրականթվերի բազմությունումայնպիսիպարզ հանրահաշվականհավասարում, ինչպիսին 22 Հ 1 0 հավասարումն է, անլուխնդիրներբերվում են ծելի է: Եվ քանի որ շատ մաթեմատիկական ուստի պահանջվում հավասարումների, տարբերհանրահաշվական է կառուցելթվերի նոր համակարգ,որը կպարունակիցանկացած այդպիսիհավասարմանլուծում: իրականթվերի Ճ բազմությանմի Այս գլխում կդիտարկենք այդպիսիընդլայնում կոմպլեքսթվերի Ը բազմությունը,որը լուծում է առաջադրված խնդիրը: -

8 2.1. ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ԹՎԵՐԻ ԲԱՋՄՈՒԹՅԱՆ

ԿԱՌՈՒՑՈՒՄԸ

Սկսենք այնպիսիխնդրից,որը, առաջինհայացքից,թվում է ավելի նեղ (սահմանափակ),քան վերնում ձնակերպվածխնդիրը: Դիցուք պահանջվում է կառուցել Շ բազմություն. որը 2:2:4-1»-0 1 բազմության ընդլայնումն կպարունակի կհանդիսանա լուծումը: հավասարման են Նշենք, ռր, Ա բազմությանտարրերի(որոնք դիտարկվում տարրեր)գումարումըն բազմապատկու որպես Ը բազմության ն պետքէ համընկնենիրականթվերիգումարման բազմապատկման հետ:

արտադրյալը, այսինքն ՈրպեսԸ նշանակենք 8 շ»« Ք դեկարտյան զույգերիբազմությունը իրականթվերիբոլոր կարգավորված Ը ((ճ.ե)|ճ,Ե 6 Թ):

բազմությանվրա սահմանենք գումարման ն գործողությունները հանրահաշվական պատկման Ը

(ճլ, ել)

եք(ճշ,Եշ)

(ռլ, Եւ)(ճշ, Եշ)

Հ

(գլ

(462

-

Դ 6շ,

ել

Եւեչ, մեշ

Է

Է

եշ),

Ելճշ):

բազմա-

(2.1) (2.2)

օժտված են այն բոլոր գործողություններն համահիմնական հատկություններով. որոնցով օծտված են ռացիռնալկամ իրական թվերի գործողությունները պատասխան նրանք երկուսն էլ կոմուտատիվ են ն համակարգերում. զուգորդական(ասոցիատիվ),կապվածեն բաշխականօրենքովն

Ցույց տանք,

ռր

այդ

նրանցհամար գոյություն

ունեն

հակադարձգործողություն

(բացիզրոյիվրաբաժանելուց): բաժանում Գումարման կոմուտատիվություն ն ասոցիատիվությունն ակնհայտեն (հետնում են իրականթվերի գումարմանհամապատասխան հատկություններից),քանի որ գույգերի գումարման դեպքում առանձին-առանձինգումարվում են համապատասխան Նմանապես, հիմնվելով իրականթվերի արտակոորդինատները: գործողությանկոմուտատիվությանն ասոցիատիվության դըրյալ վրա, կարելիէ հիմնավորել Շ բազմությանտարրերիբազմապատՇ բազմություն ասոցիատիվությունը: կման կոմուտատիվությունը

հանում

ն

նում

գումարման միավոր տարրի դերը կատարում է (0,0) իսկ ըստ բազմապատկման միավոր տարրի դերը`(1,0) Բաշխական կանոնի ստույգությունն ապացուցել ինքն-

ըստ

զույգը,

զույգը:

ուրույն: հետ կապված Այժմ դիտարկենքհակադարձգործողությունների հարցը: Եթե տրված են (օլ,Ել) ն (ճշ,5շ) զույգերը, ապա նրանց տարբերությունըկհանդիսանաայն (2,377) զույգը, ռրը բավարարումէ Դ (ճշ,Եշ) (ճլ,Ել) հավասարությանը: Ուստի, ըստ (2.1) հավասարության, Հ

(2,3)

Հ

(ճլ.Եւ)

(ճշ,Եշ)

-

(ճլ

Հ

-

0շ,Ել

-

Եշ)

տարբերություննորոշված է միարժեքորեն:Մասնավորապես, (ճ, Ե) զույգինհակադիր է (--6,--Ե) զույգը: Հաջորդիվ, ենթադրենք տրված են (ճլ,ել) ն (ճշ,Եշ) զույգերը, »0: ընդ որում (ճշ, Եշ)»: (0,0), այսինքն 62 Ե Այղ դեպքում տրված զույգերի քանորդ կհանդիսանաայն (2,») զույգը, որը (4շ,Եշ)Թ.») (ճլ,Ել) բավարարում է հավասարությանը: Հետնաբար,ըստ (2.2) հավասարության, ն այդ

Հ

Ե ճշ

- Եշ7»Հճլ ԷՊճշ7

Տ ել`

ստանում նշվածհամակարգը`

Լոտելով

`

ելեչ

Հ

թ Այսպիսով, երբ ունի ն

(ճշ,Եշ)Հ

(0,0), (98462

.

(6, Ե) Մասնավորապես, զույգը:

ճլեչ աու ժթ

'

ապա

որոշվում է միարժեքորեն. (ճել) (ճշ, Եշ)

՝

ենք, որ

քանորդը գոյություն

Եւեչ Ելճշ-

«2-2 »-

աա

'

ճլեչ

02-Իէչ

(0,0) զույգինհակադարձէ

(255:ա)

ԿառուցվածԸ բազմությունըկոչվում է կոմպլեքսթվերի բազմություն: Համոզվենք,որ կառուցվածբազմությունըբավարարումէ դիտարկվողխնդրումնշվածբոլոր պայմաններին:

Նախ ն առաջ ցույց տանք, որ կոմպլեքսթվերի բազմությունը հանդիսանում է իրական թվերի բազմությանընդլայնում: Այդ նպատակովդիտարկենք (6,0) տեսքի զույգերը: Յուրաքանչյո Ճ իրականթիվը՝ստանում (ճ,0) զույգի համապատասխանեցնելով դիտարկվող (6,0) ենք փոխմիարժեքհամապատասխանություն տեսքի բոլոր զույգերի բազմությանն Ջ բազմությանմիջն: Այդ (2.1)

ըստ բազմապատկելով

զույգերը գումարելով ն

ն

(22)

ստանում ենք, որ բանաձների՝ (.,0) Գ(9,0) Հ(ճԻՀԵ,0Հ0)Հ(ՕԻէԵ,0),

(ճ,0)(Ե,0)

(ճե.0),

(ճ-Ե-0:0,օ:0Հ0-Ւ)Հ

Հ

այսինքն` (ճ, 0) տեսքիզույգերըգումարվումն բազմապատկվում իրականթվերը: Դա մեզ այնպես,ինչպեսնրանցհամապատասխան գ իրական թվի հետ ն, է տալիս (6,0) զույգը նույնացնել թույլ 4: հետագայում,ամենուրեք(գ, 0) զույգի փոխարենպարզապեսգրել հա0 ն (1,0) -1: (0, 0) Արդյունքում,կարելի է Մասնավորապես Ը Ք է մարել, որ հանդիսանում բազմությանենթաբազմություն: Վերջապես ցույց տանք, որ Ը բազմությունըպարունակումէ 0 հավասարման 32 Հ 1 լուծումը:Իսկապես,երբ (0, 1) զույգը բարձրացնումենք քառակուսի,ապա ստանում ենք 1 իրականթիվը. են

Հ

-

-

(0,1)7

(0,1)(0,1)

»

Հ

(0:0-1:10:141:0)Հ(ՂՆ0):Հ-1։

(0, 1) զույգը նշանակելմ տառովն անվանել Պայմանավորվենք կեղծմիավոր: խեդիրըստակզբում ձեակերպված Այսպիսով,պարագրաֆի լուծում: ցավամբողջական Այժմ ցույց տանք,որ

(40)

ն1»(01)

նույնացումներիդեպքում, (6,5) կոմպլեքս թիվը կարելի է գրել զ Հ ԵԼ տեսքով, որտեղ գումարին արտադրյալի տակ հասկացվում են կոմպլեքս թվերի բազմությանհամապատասխան հանրահաշԻսկապեպ վականգործողությունները: ԵԼ

որտեղիցէլ

Հ

(Ֆ,0)(0,1)-(Ե-0-0:1ՆԵ-1-0:0)Հ(0.Ե), (ճ, Ե)

Հ

(ճ,0)Հ

(0,9)

Հ

ճՀ՝ԵԼ

հետագայում:Յուրաքանայս գրառումըկօգտածործենք Հատկապես Էմիարժեքորեն: 4 ի ԵԼ տարը տեսքով ներկայացվում այդ չյուր ՇՀ փ Եցլ նան գց ռրտեղ ճց,5ց 6 1: Այդ Իսկապես,ենթադրենք դեպքում Հ

,

գ-ԻԵԼՀ-ճ0-

ԵԼ»

(Ե-Եց)Լ- 6-6:

որը հնարավորչէ: դեպքում նան 4-0:

6.) ՃՆ

մ-(ԵԵ: իսկ այդ Նշանակում է Ե-Եջց-0, Ե: -ճնեց Հետնաբար «ց

Եթե Ե

--

Եց »: 0,

ապա

(ճց--

Հ

ապա Պճ թիվը կոմպլեքսթիվը գրվում է 4 Հ ԵԼ «տեսքով, զ ԵԼ մաս: ծ մաս, թիվը՝նրա կեղծ իսկ կոչվում է թվի իրական ն տեսքով գրված կոմպլեքս թվերի գումարումը բազմապատկումը է կատարվում (ճլ Դ ճշ) Է (Ել Դ Եշ)Լ (ռլ Դ շն) Դ (ճշ Դ Լ) (ճլճշ- եւլեչ) Ժ (ճլեշ Ժ Եւօչ)1 (ռլ Է ԵւՕ(ոչ Ժ ԵՍ

Երբ

-

Հ

հակադիր թիվը գտնվումէ իսկ հակադարձը՝ բանաձնով,

բանաձներինհամաձայն, -(Ճ

ԵԼ)

Գ

Հ

(63

(-ե)Լ

ԵԴ՛-

(4-

ռրրիա-ք:

0: կարիք չկա հիշել: Այն բանաձնով,որտեղ 675» Վերջինս Ի Ե-Լ ( . է թիվը բազմապատբերել` կարելի հեշտությամբդուրս թվով. կելով (ճ ԵՕ-՛(ռ - Ե՝ »

-

(14 ԵՍ-1

Հ

(«4

ԵՌ (ւ-

ԵՕ«-

ԵՍ

Հ

(6-

ԵՍ(«Հ

Հ(ՅՎԵ) ՅԱ-ԵՈՀ-Լ.Օ-ԵՈՀ--Ը-Հ-ՇԵ-ը(«-ծ0Հշ-ք«-Ե0-ռլր-ագքն

ԵՍ) («-ԵՍ-

(114

|

ը

թվին համալուծ թիվ ն "ա- ԵԼ) թիվը կոչվում է 2-4ԻԵել նշանակվումէ 2 գրությամբ:Ակնհայտէ, որ 2 թվին համալուծ թիվը կլինի 2 թիվը, այսինքն կարելիէ խոսել2 ն 2 համալուծ թվերիզույգի 2, ապա 2 6 թ, ն հակառակը: մասին:Պարզ է, ռր եթե 2 Հ

Հատկություն: Համալուծ կոմպլեքս թվերի գումարը ն հանդիսանումեն իրականթվեր: 2) Ցանկացածշ2լ ն շշ կոմպլեքսթվերի համար 2.1.

1)

»27:Է2շ

ն

արտադրյալը

2լ22շՀ-2.լ-2շ:

82.2. ՎՈՄՊԼԵՔՄՍ ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆ:

ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ԹՎԵՐԻ ՀԵՏ ԿԱՏԱՐՎՈՂ

ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՄԵԿՆԱԲԱՆՈՒՄԸ

.

Հարթությանվրա ընտրենքուղղանկյուն դեկարտյանկոորդին 7 օրդինատների 7 աբսցիսների առանցքնե նատայինհամակարգ՝ կետի համապատասխա հարթության Դրանով րով: յուրաքանչյուր նությանմեջ է դրվում թվերի (ճ, Ե) զույգը կազմվածնրա զ ն ծ կոռր(ռ,ե) զույգի, որտեղ դինատներից:Եվ հակառակը,յուրաքանչյուր է հարթության՝ ճ, Ե 6 Ք, համապատասխանում լիովինռրոշվածմեկ կետ: Մյուս կողմից,յուրաքանչյուրգ Հ ԵԼ կոմպլեքսթիվ կարելիէ դիզույգ, ն հակառակը:Արդյունքում տարկելորպես(զ, Ե) կարգավորված կոմպլեքս ստացվում է փոխմիարժեքհամապատասխանություն ն Շ որը բազմության միջն, հարթությանկետերի թվերի բազմության ճ ՀԵԼ Է կոմպլեքս թիվ նույնացնելհարթույլ տալիս ցանկացած համակար թությանայն կետիհետ, որն ընտրվածկոորդինատային (նկար 2.1): Կոմպլեքսհարթությունն գում ունի (4, 53)կորդինատները այն հարթությունն է, որի կետերը մենք դիտարկում ենք որպես կոմպլեքսթվեր: Ընդ որում աբսցիսներիառանցքըկազմվածէ իրաառանց կետերից,իսկ օրդինատների կանթվերինհամապատասխան կետերից: Աբսցիսներ համապատասխան թվերին քր՝ զուտ կեղծ առանցքըկոչվում է իրականառանցք,իսկ օրդինատների առանց կեղծառանցք: կետը»պր Հետագայում«2 կոմպլեքսթվինհամապատասխան «2 կետը» արտահայտո տահայտությանփոխարենկօգտագործենք թյունը: (ւ

2»-2Ի

Ֆ

Նկ. 2.1:

զ

ել

»,

Քանի որ հարթության կետերն,ի տարբերությունուղղի կետերի, չունեն բնականհերթականություն,ուստի կոմպլեքսթվերի հակորցնում են իրենցիմասմար «մեծ» ն «փոքր»հասկացությունները տը: Հետնաբարկոմպլեքսթվերը չի կարելիհամեմատել:

բազմությաննույնացումըկոմպլեքսհարթությանհետ թույլ է տալիս երկրաչափորենմեկնաբանելկոմպլեքսթվերի հետ կատարվող հիմնականգործողությունները`գումարումը ն բազմապատն 2չ-62ՒԵչ: Այդ դեպքում կումը: Դիցուք 2լՀճ6ւԻԵլէ (ոլ Գ 62) (Ել Հ Եչ)Լ: Դիտարկենքէլ, էչ ն է վեկտորները՝ 7: Ի 7շ պատկերվածուղղորդված հատվածներով, որոնց սկզբնակետը հանդիսանումէ կոորդինատներիսկզբնակետը,իսկ ծայրակետերը՝ (գլ, Ել), (ճշ,Եշ), (ճլ Է ճչ,Ել Է Եշ) կոռըհամապատասխանաբար դինատներովկետերը (նկար 2.2): Այդ դեպքում պարզ է, որ է էլ ի էջ, այսինքն՝ կոմպլեքսթվերի գումարումըերկրաչափորեն կատարվումէ վեկտորներիգումարմանկանոնիհամաձայն(զուգահեռագծիկանոն): երկրաչափական Կոմպլեքս թվերի բազմապատկման իմաստը հետո, երբ նրանցհամարմտցնենք պարզ կդառնամիայն այն բանից տեսքը: նոր գրառմանձն՝ կոմպլեքսթվերի եռանկյունաչափական կետը լիովին որոշվում է Կոմպլեքս հարթության 2-4ՀեԼ ինչպես (.,Ֆ) դեկարտյանկոոր փ դինատներով,այնպես էլ բնեռային կռռրդինատներով7̀ կետից շ»54ՎԻել մինչն կոռրդինատներիսկզբնան Տ կենտն եղած հեռավորությունը Ե աբսցիսներիառանցքի դրական ուղղության ու կոռրդինատների Փ դեպի 2 կետը տասկզբնակետից » ճ ՛ նող ուղղութան կազմած Փ ժ| 2.3): (նկար անկյունը 6.23: թիվը կոչվում է 7 կոմպլեքս թվի մոդուլ ն նշանակվումէ |2|գրությամբ:Ակնհայտէ, որ |2|Հ 0, դեպքում: Փ անկյունը կոչվում է ընդ որում |շ|»0 միայն 2»0 ն է ոք շ գրությամբ:Միակ նշանակվում կոմպլեքսթվի արգումենտ կոմպլեքսթիվը, որի համարարգումենտնորոշվածչէ, դա 0 թիվն է: հավասարությամբ: Սակայն այդ թիվը տրվում է |շլ-0 Շ

Հ

Հ

ՆՐ

Հետագայում,հարմար է համարել, ռր 0 թվի արգումենտըկարող է լինել ցանկացած իրական թիվ: Զրոյից տարբեր ցանկացած կոմպլեքս, թվի արգումենտ կարող է ընդունել անվերջ շատ արժեքներ,որոնք մեկը մյուսից տարբերվում են 27 թվի ամբողջ պատիկներով,ն կարող են լինել ինչպես դրական, այնպեսէլ ընդ որում դրականանկյունները հաշվվում են ժամ բացասական, սլաքինհակառակուղղությամբ: Կոմպլեքս թվի արգումենտըհանդիսանում է իրական թվի նշանի բնականընդհանրացումը:Իսկապես,դրականիրականթվի 7: թվի արգումենտը՝ արգումենտըհավասարէ 0, իսկ բացասական Իրական առանցքի վրա կոորդինատներիսկզբնակետից դուրս է գալիս միայն երկու ուղղություն ն նրանցկարելի է տարբերել(Հ) ն (-) նշաններով,մինչդեռկոմպլեքսհարթությանվրաՕ կետիցդուրս եկող ուղղություններնշատ են ն տարբերվումեն արդենանկյունով, ռրը նրանք կազմում են իրական առանցքիդրական ուղղության հետ:

Այդ դեպքում 2.3 նկարից պարզ է, Դիցուք 2-ՀԵլ կոմպլեքսթվիմոդուլն որոշվումէ ՎՕՀԵՀ

|»

բանաձնով, իսկ 2

»: 0

թվի արգումենտը՝

-, ՏոՓ» Այստեղից հավասարություններից: ՊՀ

ԵԼՀ

(2.3)

օօ.»

որ

0 օօՏՓ)Հ (ԻՋո)ԼՀ

`

»(օՏՓ-ԴՎ1ԼՏ8ո):

շ կոմպլեքսթիվկարելիէ ներկայացնել Այսպիսով,ցանկացած

Ի(օտՓ

7»

Վ

Լ(Ջո)

|2|ն Փ Հ որ 2: եթե 2-26ՃՀ-ԵԼ

տեսքով,որտեղ կոմպլեքս, թիվը գրված է Հակառակը, 2: Իօ(ԸօՏՓց -1Լտոց) տեսքով,որտեղ ոց, Փօ 6 Ք ն ց Հ0, ապա. |շ|ն Փց Յք2: 7ց 0, ապա այս պնդումն Այն դեպքում, երբ ոց 0, այսինքն` է: է կարելի համարել,որ 7ց « 0: Այդ դեպքում ակնհայտ Հետնաբար «օՏ 0 հավասարությունները, Գն Փց Իցտոց որտեղից ունենք ց ԵՀ ճշ ն, |2|: (2.3) ց ց համաձայն, բանաձնի Իսկ (24). էլ

Հ

Հ

Հ

-

Հ

-

Հ

-

Հ

ստանում ենք, ռր 6օՏ Փ «օՏ Փց ն Տո Տլո Փց: Սակայն բանաձնից Է Հ 27, 2, այսինքն՝ Փ Փօ այդ դեպքումՓց 2Ւք2: 2 կոմպլեքսթվի 2 7(օօ5 Փ Հ էՏլո զ) գրառումըկոչվում է նրա տեսք: եռանկյունաչափական Դիցուք 2լ ն 2չ կոմպլեքս թվերը տրված են եռանկյունաչափականտեսքով. Հ

Հ

--

Հ

Իլ(օօՏՓյ

Հ

Այդ դեպքում -

7լոշլ(օօՏ Փլ

Փյ Հ»|Րլ(Ըօ05

ն

(Տոլ)

Ժ

շշ

Հ

Իշ(օօ5Փշ Հ ԼՏոՓշ):

Փւ))-շչ(«օ5 Փշ Հ ԼՏոշ))Փշ) Հ Լ(«օՏ Փլ Տո Փշ Հ Տ1ո Փլ օօ5Փ2))Հ ոլոչլօօ5(Փլ Գ Փշ) Է Լպո(Փլ Հ Փշ)|

Փշ

Հ

--

ի ԼՏո

Տ1ո Փլ Տո

Մենք ստացանք212 արտադրյալիգրառումն եռանկյունաչափականտեսքով. Իլոշ(665(Փլ Է Փշ) Ժ Լտո(Փլ Դ Փշ)): Այսպիսովճշմարիտէ հետնյալը. Հ

Թեռրեմ: Երկու 2լ ն շչ կոմպլեքսթվերի բազմապատկեն, իսկ արգուդեպքումնրանցմոդուլները բազմապատկվում մենտները՝ գումարվում. 2.2.

ման

712շ|

Հ

|շշլ, Հոր (շշ)

լէ:

ոք 2. Հ ոք շշ:

Հ

Քանի որ կոմպլեքսթվի ն՛ մոդուլը, ն՛ արգումենտնունեն երկրաչափականմեկնաբանություն, Է ապա թեռրեմը հասկանալի է ջ 2-2 դարձնում`կոմպլեքս հարթության կետերիբազմապատկման երկրաչափականիմաստը: Փ Դիցուք 2 ն 7 հանդիսանումեն համալուծ կոմպլեքս թվեր: Եթ զ օ|Հ» Գ2ՀՃՀփԵԼՆ ապա 2 ԵրկրաԵԼ ՛ չափորեն2 ն 7 հանդիսանումեն իրական առանցքինկատմամբհամաչափ -Ե 2-ճ-Ել կետեր (նկար 2.4): Այստեղիցստա2.4: Եկ. նում ենք

)

թ

|շլ

ն

պարզ

էԼ

ոջշՀ-ուցշ

հավասարությունները:

զրոյական փորձենք գտնել ցանկացած ոչ 2-1 կոմպլեքսթվի Ի(6օ05Փ Հ ԼՋոծֆ) կոմպլեքսթվին հակադարձ տեսքը: Ը բազմության ցանկացածոչ եռանկյունաչափական Շ 72.,2շ տարրերիհամար ունենք, որ զրոյական 2լ11 2-7: (ու: 22) Այժմ

-

Հ

Հետնաբար

21Հ21.(9"-2-Հ0":02-7:2Հ-0:9':2-

Հ

Թ (օօՏՓ

Փ ՈՉ(2052

Հ

Վ

Հ

1Տլոթ): 7(օօ5Փ ԼՏ Փ))-' -(օօ5 Փ 15լոՓ) Տլոշ Փ))-՛ -(օօ5Փ Լո) - Ի՞2 (605 Ք -1տոՓ) Ի Բ՞1(6օՏ(-Փ) ԼպՋո(-Փ)): -

-

-

-

Հ

Այսպիսով,2-1 7՞1(օօ5(-Փ) Ի Լ51ո(-Փ)): թույլ են տալիս պնդել, որ գոյություն Ստացվածարդյունքները հետ կատարվողգործողուունի սերտ կապ`կոմպլեքս թվերի ն ձնափոխու թյունների հարթությանհիմնականերկրաչափական թյունների (զուգահեռ տեղաշարժեր, պտույտներ, ուղիղների ն այլն)միջն: համաչափություններ նկատմամբ Շ թիվ: Դիցուք կոմպլեքս հարթության Ֆիքսենք որնէ 2 կաԸ ձնափոխությունը տեղի է ունենում ֆլ(2)«2Ի20 Փլ:Ընոնով բոլոր 2 6 Շ թվերի համար: Քանի որ կոմպլեքսհարթության համակետերը գումարվումեն վեկտորներիգումարմանկանոնի հանդիսանումէ ենք, որ ֆլ ձնափոխությունը ձայն, եզրակացնում 29 վեկտորով: հարթությանզուգահեռտեղաշարժ 605 Փց Է ԼՏ(ո Փց: «1, |29| այսինքն` ո ր Այժմ ենթադրենք, 22ց կանոնովտրվող Այդ դեպքումբոլոր 2 6 Շ թվերիհամար փշ (2) է 8-ք 20 անկյունով Փց Ը ձնափոխությունը հանդիսանում ֆշ: Ը Իսկապես, եթե Օ հարթության պտույտ: կետի շուրջը Հ Փօ) Հ ԼՏո(ջ է Փօ)): Գ 7(օօՏ(Փ 22ց (605 Փ ԼՋոՓ), ապա Պարզվում է, որ ցանկացած2 կետի շուրջը Փց անկյունով հարթությանՓ պտույտը կարելի է ստանալ 02. վեկտորովփֆլ Օ զուգահեռտեղաշարժին նույն Փօ անկյունով կետի շուրջը ֆշ 2.5 պտույտիմիջոցով: Իսկապես, նկարիցերնում է, որ ցանկացած Հ

»"

Հ

Հ

-»

Հ

Հ

Շհամար

ֆ(7-

ՓւՓշփւ (2

-

«(2

ֆլֆչա-2:)-Փւ(ա-

21)20 4

2լ.

21)20)-

որտեղ20

-»

Փց Հ էՏո

Շ0Տ

Փց:

-

2 կանոնովտըրՎերջապես,բոլոր 2 6 Շ թվերիհամարֆչ(2) Ը ձնափոխությունը հանդիսանումէ իրականառանցքի վող ֆ:: Շ հարթությանարտացոլում(համաչափություն): նկատմամբ Հ

-»

8 2.3.

ԱՐՄԱՏՆԵՐ

ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ԹՎԵՐԻՑ

նկատմամբունի Ցույց տանք,ռր Շ բազմությունըՔ բազմության առավելություն.կամայականկոմպլեքսթվից կարելի է ցանկացած աստիճանիարմատհանել: տեսքով, Եթե 7 կոմպլեքսթիվը տրվածէ եռանկյունաչափական Դ-րդ աստիճան. ապա ավելիհեշտ է այն բարձրացնել ը-(6օՏՓ

Հ 1Տլո

Փ)"

Հ

ո՞(օ«օ5ՊՓՀ 1ՏոռՓ):

Այս բանաձնըկոչվում է Մուավրի բանաձն, որը հանդիսանումէ եռանկյունաչափականտեսքով ներկայացվածկոմպլեքս թվերի ուղղակի հետնանք: Մուավրի բանաձնըթույլ է բազմապատկման տալիսլուծել կոմպլեքսթվերիցարմատներիհանման խնդիրը: 7(-օ5 Փ - Լ51ո ) հանդիսանումէ կամայականկոմԴիցուք 2 հավասապլեքս թիվ. իսկ ռ՝ բնականթիվ: Այդ դեպքում 2-20 0, ապա է 2ց" հավասարությանը: Եթե րությունը համարժեք »: 0: 0: Ուստի կարելի է ենթադրել,որ պարզ է, ռր 2ց »

-

-

-:

Այս պահինդեռ չգիտենք, գոյություն ունի արդյոք գոնե մեկ Ենթադրենք, որ այդպիսի այնպիսի 2ց66Շ թիվ, որ 2": Հ Լ51ո Փց) թիվգոյությունունի,այսինքն՝ 70(605Փց

թե

Հ

1-օ(6օՏՓց

ԼՏ1ոՓօ))" 7(օօ5 Փ Հ ԼՏոՓ) կամ Հ Լ51ո դՓց) 7(օօՏ Փ Հ (5ոՓ):

Ի

7օ"(Շ0ՏՓց

Հ

Հ

արդյունքների, Այստեղից,համաձայննախորդպարագրաֆի ոցց-ՓՀշողԽ

ն

ոօ"

Հետնաբար Ից

-

ՎԻ ն

Փխ

62:

61:

Քանի որ 7 հանդիսանումէ դրականիրականթիվ, ապա Հ/- արժեքը որոշվողդրականիրականթիվ է: միարժեքորեն Այսպիսով, եթե 20 թիվ գոյություն ունի, ապա այն պետք է ունենա

հետնյալ

շց

ՊԻ

շու Բոր (00555 Է ԼՏ

(2.5)

ամբողջարժեք: տեսքը,որտեղհ ընդունումէ կամայական ենք, որ 2-2 համոզվում Օգտվելով Մուավրի բանաձնից՝ է 6 7 համար: Այնպեսոր (2.5) բանաձնըճշգրիտտալիս ցանկացած 2 թվից, երբ Խ ընդունումէ բոլոր է բոլոր ռ-աստիճանի արմատները ամբողջարժեքները: վերագրելովտարբերարժեքնե Սակայն Ս փոփոխականին ենք տարբեր արմատներ: Իսկապես, միշտ չէ, որ ստանում համաձայն մնացորդով բաժանման թեռրեմի, կարելի է գրել խ Այդ դեպքում ոզ 4 Եռրտեղ0 Հ է Հոռ-1։ -

ՓՀշու ՞դղ

ՓՀշու ՓՀԻշո(ոզԻչՅ աու

ռ

Դ

2ոզ,

դեպքում այսինքնա̀րգումենտի արժեքը տրված հ արժեքի ԽՀ է թվին դեպքում` տարբերվում արգումենտի արժեքից է Դա է, (2.5) բանաձնում կարելի է որ նշանակում պատիկ թվով: ԽՍ 0,1,..,ռ-1 արժեքներով:Միննույն միայն սահմանափակվել կ դեպքումստացարժեքների այդպիսի փոփոխականի ժամանակ

վում են տարբեր արմատներ, քանի որ նրանց արգումենտների բացարձակարժեքովփոքրէ 27 մեծությունից: տարբերությունը Այսպիսովճշմարիտէ հետնյալը. Ի(օօՏՓ Վ1Տո) կոմպլեքս թվից ո-աստիԹեորեմ: 2 ճանի արմատիհանումը միշտ հնարավոր է ն 2 »: 0 դեպքումտալիս է ռ տարբերարժեքներ,որոնք գտնվումեն զրո կենտրոնովն Հ շառավղովշրջանագծի վրա ն բաժանումեն այն ռ հավասար մասերի. 2.3.

Հ

Ր

"2-

»),հ-0,1,..,Ղ-1 («տ5: (ՏՈՑ: փ

Դիտողություն:Կոմպլեքս թվից ռ-աստիճանիարմատի հատեսքն օգտագործելու, նումը, առանց նրա եռանկյունաչափական հետ: մեծ Բացառությունէ կազմում դժվարությունների կապվածէ ո-2 տեսքով դեպքը: Հարկավոր է նկատի ունենալ, որ «ՎԵԼ տեսքը եռանկյունաչափական գտնելու թվի գրված կոմպլեքս Դա խնդիրն ունի ճշգրիտ լուծում միայն եզակի դեպքերում: ն բացատրվումէ նրանով, որ ըստ տրված Տո Փ օօ5Փ արժեքների դժվարէ որոշել Փ արգումենտիճշգրիտարժեքը:Ուստի կոմպլեքս թվերից քառակուսի արմատներ գտնելու ստորն ներկայացված նշանակություն: եղանակնունի գործնական ՃԻ ԵԼ»: 0նզցՀ եց թիվը հանդիսանումէ 2 թվի՝ Դիցուք 2 ՀԻԵն մեկը: Այդ դեպքում (ճց Ւ Ե՞Ս քառակուսիարմատներից .

-

որտեղից

ւ

ա-էջշ-ճ,

լ

Օ.6)

թ:

|

Եթե ստացված համակարգի յուրաքանչյուր հավասարություն իրար,ապա կստանանք,որ քառակուսին գումարենք բարձրացնենք

(6

-

Հ 4գ02Եօ- (ճօշԷ Ե:՞)՛ Եռ2)Հ

Հ

օ21Հ էշ

կամ

Օօ

է

Եօշ ՀվճշՀեո: -

Նշանն ընտրվածէ դրական,քանի որ ճգ ն եց թվերն իրականեն ն, ձախ կողմը դրական է: Այսայդ պատճառով,հավասարության պիսովունենք

(02

Օօ-

Ել գ Հ«/ճ2Էշ

Հ Ե

ենք

համակարգը,որտեղիցստանում

ՀՀո ԼԵՐ: Եօ՞ Գշ

«Էի(ոՀո-եռ Մութը ոթ) մթ) ո

լ ամ

ի(-օ«.

Եւ»

:

Ստացված արժեքները չի կարելի խմբավորել կամայական եղանակով,քանի որ, համաձայն (2.6) համակարգիերկրորդհավասարության, գցեց արտադրյալինշանը պետք է համընկնի 5 թվի նշանի հետ: Դա տալիս է զգ Եօէ տեսքիերկու թիվ, որոնք իրարից տարբերվում են նշանով: Քանի որ արդեն գիտենք, որ ոՀԵԼ ունի ճիշտ երկու արժեք, ապա գտնվածերկու արտահայտությունն կոմպլեքսթվերը հանդիսանումեն որոնելի արմատները: Իրենիցառանձնակիհետքրքրությունէ ներկայացնումմեկ թվի է հետնյալ դ-աստիձանիարմատներիդեպքը,որը պայմանավորված փաստով.

Թեռրեմ: Գոյություն ունի մեկից ռ-աստիճանիառնվազն մեկ արմատ այնպիսին,ռր նրա 80,Ք1,..., "1 աստիճանները զույգ առ զույգ տարբեր են ն ապառումեն մեկից դ-աստիճանի բոլոր 2.4.

արմատները:

Ապացույց Քանի որ 1 «օ50ՀՎ1Ատո0ց, ապա համաձայն 2.3 թեռրեմի,մեկից ԴՊ-աստիճանի բոլոր արմատներըտրվում են Հ

Տ.-

ե -0,1..,ո-1, Վ 151 (6055 Հո»),

Մուավրիբանաձնիցհետնում բանաձնով: Տ

ՕՏ

ո

է, ռր

4 ԼՏոր» `

Քլ

1 համար: . որիցէլ կունենանք8" չց բոլոր ք 0,1,..., դ Վերջին թեռրեմում նկարագրվածմեկից ռ-աստիճանի ճ արմատըկոչվում է մեկիցռ-աստիճանինախնական արմատ: Հետնյալ թեռրեմը թույլ է տալիս գտնել մեկից ո-աստիճանի նախնական արմատները: »

Հ

-

Թեռրեմ: Եթե Տ հանդիսանումէ մեկիցԴ-աստիճանինախնականարմատ, ապա Տ: թիվը կլինի մեկից դ-աստիճանինախնականարմատայն ն միայն այն դեպքում,երբ Խն դ թվերը փոխա1: (մ, ո) պարզ են, այսինքն՝ դարձաբար Ապացույց: Դիցուք 8. հանդիսանում Է մեկից ռ-աստիճանի 1: Ենթադրենքհակաարմատ:Ցույց տանք, որ (մ, ո) նախնական է ռ » 1: զել, ձուն Այդ դեպքում ռակը՝Օո) 2.5.

-

Հ

»-

-

(2):

-

-

Տեոլ Տեւձճու քեւո

-

-

-

(8")ո

--

1:

թվերի Քանի որ ոլ Հ ռն (չ")" 1, ապա (6)",(5»յ-,..,(8ո"՞՛ է, ռր նրանքչեն սպամեջ կան կրկնողություններ,որը նշանակում ռում մեկիցո-աստիճանիբոլոր դ արմատները:Վերջինսհակասում է Ք թվի՝մեկիցդ-աստիճանինախնականարմատլինելուն: 1: Ապացուցենք, որ այդ դեպքումՔ8ճ Հակառակը,դիցուք (1, ո) է թիվը ռ-աստիճանինախնականարմատ մեկից: Ենթադրենք,որ -

-

(5")",..,(Բ)""թվերի մեջ պետք այդպեսչէ: Այդ դեպքում (2")", է կրկնողություններ որտեղ0 ՀՏ ՀԼՀ լինեն, օրինակ,(8:)՝ (85),

դա

-

Փ-Ց յ Վերջինհավասարությունըկարելիէ գրել (5: է Խ(է ) թիվը պետք բաժանվիռ տեսքով:Մակայն այդ դեպքում մնացորդով բաժանման թեռրեմի, վրա: Իսկապես, ըստ Հ Խ(է Տ) ոզ՝ Ի որտեղ 0 Ի Հ ո 1: Հետնաբար դ

-

1:

Հ

--

-

Հ

-

ՔԵՑ-9

Հ.

բո"

Հ

(8")48

Հ

ր",

1: ԹեռրեմիպայմանիհամաձայնՔ 1, ապա Տ" քանիոր Տ'0-» 1: հանդիսանումէ դ-աստիճանինախնականարմատմեկից ն Տ' Դա նշանակում է, որ Ի 0, այսինքնԽ(է 5) թիվը բաժանվումէ դ 1: Ուստի (է Տ) թիվն է բաժանվումտ վրա, որը վրա: Բայց (ե, ո) ո Հ է Հ Դ պայմանիհամաձայն: հնարավորչէ 2.5 թեռրեմի,մեկից Դ-աստիճանինախնական Այսպիսով,ըստ արմատներիքանակը հավասար է ռ թվից փոքրըն ռ թվի հետ պարզ դրականամբողջ թվերի քանակին, որը փոխադարձաբար հավասարէ Փ(դ) արժեքին(Էյլերի ֆունկցիա):

ն

Հ

Հ

--

-

Հ

-

-

-

ԳԼՈՒԽ

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐ

83.1.

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐ:

ՀԵՏ

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ

Դիցուք Թ հանդիսանում է 2, Գ, Ք, Ը թվայինբազմություններից որնէ մեկը: Այդ դեպքում Թ բազմության տարրերովբազմանդամ կոչվում է ո

70.)

Հ

-ԷԳլա Գ:

Ի

ր"

-

Ֆո Բ

տեսքիարտահայտությունը, որտեղդ՝ ոչ բացասականամբողջթիվ է, Օլ գործակիցները Հ Հ (0 ո)՝ Ք բազմությանտարրերեն, իսկ 2` որնէ սիմվոլ է, որը չի պատկանումԹ բազմությանըն կոչվում է կամ անհայտՔ բազմության փոփոխական վրա: Այն դեպքերում,երբ կոնտեքստիցպարզ է, թե որ փոփոխականը նկատիունենք, /(5) բազմանդամինշանակմանհամարկօգտագործենք/ սիմվոլը:Հարմարության համարկհամարենք,որ գլո 0, պարտադիրչէ գրի առնել:Մասնավորապես, անդամը,երբ զլ վերնումգրված/ (4) բազմանդամը կարելիէ գրել --

(5)

Հ

40՝

17:

Գր" Վ 0-2"14..Վ0-չ"Ի

"ի

համարժեք տեսքով, որտեղ հօ Ադ իսկ պատճառով թ ն համեբազմությանտարրերովերկու` /(») ց(5) բազմանդամների մատությանդեպքում կարելի է ենթադրել,որ նրանք երկուսն էլ պարունակում են »«փոփոխականիմիննույն աստիճանները: Այսպիսով,Ք բազմությանտարրերով

703 - Ֆոգճլ»

ն

ց09»

փոգել»

բազմանդամները համարվում են հավասար այն Ել բոլոր1 0,1,2,...,ռ դեպքում,երբգլ համար: Հ

Հ

ն

ՏՐ

միայն այն

:

գումար ն արտադրյալ Այժմ սահմանենք բազմանդամների Թ Ֆլ-ց «լ ա գործողությունները: բազմությանտարրերով/(2) | գումարըսահմանվումէ ֆոցել բազմանդամների ց(2) Հ

ն

Հ

ռ

760960 Հ (ուժ եցա

զլշ

հավասարությամբ, իսկ/ («ֆոր արտադրյալը դամների

ն

ց(2)

Հ

ֆյցեյ») բազման-

ՊՀոռո

769-809 Հ3գ» էօ

որտեղ հավասարությամբ, ճլ

ՇՏ (Է-ն

ել եջ ճցել Է ճե -1 "Ի

ճե-1ԵւլԷ ճլ.Եց:

0ՏԼՏու

05)5դ

բազմուբազմության տարրերով բոլոր բազմանդամների թյունը նշանակենքՔ|չ): Բազմանդամը,որի բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի, կանվանենք զրոյական բազմանդամ ն կնշանակենքՕ(2) կամ 0 սիմվոլներով:Համատեքստիցմիշտ պարզ կլինի,թե 0 սիմվոլը նշանակումէ Ք բազմությանզրոյականտարրը, թե՝Օ(») զրոյականբազմանդամը: գումար գործողությունըտեղափոխելի(կոԲազմանդամների ն (ասոցիատիվ), այսինքն՝ մուտատիվ)է զուգորդական ք

(8

Հ

ց(»

Հ

ց62)Հ709 ն

ւ

(96) Էհ(9)

-

(00

909)

ԻԹ):

անմիջապեսհետնում է Թ բազմությանտարրերիգումար հատկություններից,քանի որ գործողությանհամապատասխան յուրաքանչյուրաստիճանիդեպքումգործակիցները փոփոխականի են առանձին-առանձին: գումարվում գործողության բազմապատկում Բազմանդամների Դա

`

ա

Ւ):

ց02)

Հ

90):70օ0

կոմուտատիվությունըհետնում է Ք բազմությանտարրերիբազմապատկման կոմուտատիվությունիցն այն փաստից,ռր բազմանդամներիբազմապատկմանսահմանման մեջ /(») ն ց(5) արտադրիչների գործակիցներնօգտագործվումեն հավասարապես: Բազմապատկման 909հԹ))

Հ

Մ6390))հ09

ասոցիատիվությունն ապացուցվումէ հետնյալկերպ.եթե

ճգ

Հ

ԴԳլ

ՊոՃ՞,

9(2ՀԵցՀելաՀ:-ԴՀ

հ(Թ)ՀօՕ0ԳՀՃՀՋ"Վ

գղ Հ 0,

եւր", Ե,

Շն

-:

0,

20,

փոփոխականի1-րդ, 1 0,1....,դ ԷՏ Հ է, աստիճանիգործակիցըԼ/(«)ց(5))հ(ա) բազմանդամումկհանդիսանա ապա

2Ճ

Հ

5 »

Իո»

ճւ

Ել

»

|ճղ-

ՆԵՀԵյ

թիվը,իսկ /(2)Լց(2)հ(2))

2."

ԷՀյ-Է

յ

ԽՀԱՀտ»ՀԼ

ԵլԸու

արտադրյալում` երանհավասար ելճո|» Թո»)

Օլ

ԵլԸո

ԽՀՀ»

թիվը:Վերջապես,բազմանդամների Մ03

Հ

ց063)հ()

բաշխականկանոնըհետնում

»

(ռլ

ՒՀԸԼ

Հ

/09հ03

Հ

ց02)հն)

Է

Է ել)6լՀ

ճե ճէ

Բ:ՐԼ

Եւ լ

ԷԷ

քանի որ այդ հավասարությանձախ մասը հավասարությունից, հանդիսանում է 2 գործակիցըԼ7/(5)Հ ց())հ0 ա)բազմանդամում, իսկ աջ մասըփ̀ոփոխականինույն (՛րդ աստիճանիգործակիցը

(հ)

Է

3.1.

ց(.)հ(

2) բազմանդամում:

Սահմանում:

գրչ" Դիցուք Մ(2) գց ի 412 Հ-ի Ֆոցզլա հանդիսանում բազմությանտարրերով ոչ զրոյական բազմանդամ: Ուրեմն կարելի է ենթադրել,որ ճդ »: 0: Այդ դեպքում ճղ է Ք

Հ

Հ

ավագգործակից,40՝նրա հաստատուն կոչվումէ /(2») բազմանդամի դ՝ կամ ազատ անդամ,իսկ նրա աստիճան(վերջինսնշանակվումէ դ» գրությամբ): Հարմարութան համար մ6օջ(/0))- օՓ/) Բազմանդամները,որոնց որ 4օջ(0(2)) մ6ջ(0) կհամարենք, են հաստատուն Հ 0, բազմանդամներկամ կոչվում աստիճանները բազմանդամի ավագ գործակիցը հաստատուններ: Եթե /(2) կոչվում է հորմավորված: հավասարէ 1, ապա /(5) բազմանդամը Հ

3.2.

-

Հատկություն:Դիցուք/ (2), ց(»)

գ68(7(49- 9(8))

Հ

տո»

5Լ.|։ Այդ դեպքում

(468(Մ6),469(908)),

469(/02909) 469769) Հ 468(96Թ): Հ

ո. Ապացույցը կատարելինքնուրույն: Դիցուք /(25), ց(2) 6 Բլ:|: Այդ դեպքում ընդունված է ասել, որ ց( 2 բազմանդամըբաժանում է /(ճ) բազմանդամը (կամ /(2) վրա), եթե գոյություն բաժանվումէ ց(2) բազմանդամի բազմանդամը ց02)հն): Այդ ունի այնպիսի հ(2) 6 Ք|չ) բազմանդամ,որ /(5) ասում են նան, /(2) ց(5) բազմանդամի հանդիսանում որ դեպքում է է բաժանարար,իսկ /(«) պատիկ ց(») բազմանդամին:Իսկ եթե 6 լո) հ(.) տարբերությունը 909, հ: բազմանդամներից(2) վրա, ապա այդ փաստնընդունված բաժանվումէ /(5) բազմանդամի է գրելց(») Հ հ(չ)(ուօձ/(2)) տեսքով: Նկատենք, որ Ք|ալ բազմության բազմանդամներիբազմապատկման դեպքում միավոր տարրի դերը կատարում է 1 հաստատուն բազմանդամը: Մյուս կողմից /(«) բազմանդամի գոյությունունի, համարհակադարձ/1(5) բազմանդամ -

-

/(2:/(Թ0-/Ր-06):Մ0)Հ-Ն

(3.1)

այն ն միայն այն դեպքում,երբ/(5) հանդիսանումէ հաստատուն ոչ է զրոյից զրոյական բազմանդամ:Իրոք, եթե /(5) հանդիսանում գ տարբեր տարրը, ապա նրա համար հակադարձբազմանդամ ապա հանդիսանում Է 4-1 տարրը: Իսկ եթե մօջ(/(2))-ոՀ1. Ւ) բազմանդամիգոյությանդեպքում (3.1) հավասարման ձախ մասի աստիճանըկլիներ Հ Դ, իսկ աջ մասում գտնվումէ զրոյական է, որ բազմանդամների Այստեղից աստիճանիբազմանդամ:

հետնում

բաժանումը,գռյութհակադարձ գործողությունը` բազմապատկման

յուն չունի: Ինչպես ամբողջ թվերի բազմությունում,այնպես էլ բազմանդամների Թլչ| բազմությունումտեղի ունի մնացորդովբաժանում երբ Թ ամենուրեքհանդիսանումէ Օ, 8, Շ թվայինբազմություններից որնէ մեկը:

Թեռրեմ (Մնացորդովբաժանմանթեորեմը) Դիցուք Այդ դեպքում բազմանդամ: Քլո| հանդիսանումէ ոչ զրոյական ց(2) ունեն գոյություն հ ամար թլչ) բազմանդամի յուրաքանչյուր/(5) ՔԱ.) բազմանդամներ որոշվող այնպիսիզ(2),7(2) միարժեքորեն 3.3.

որ

/(2.)

(3.2)

զ0)ց62) Է707,

-

որտեղմօք(-(2))Հ ձօ(9(2)) կամ09 բազմանդամների Ապացույց: Նախ ապացուցենքզ(2) ն (7 0, ապա (3.2) հավասարությունը տեղի ունի գոյությունը:Եթե /(5) ո, 60. / (5) ճ69(/(23) ո ր դեպքում:Համարենք, զ(2) ն գ6Ք(9(2)) 5, այնպեսոր Հ

0:

-

Հ

»

»

Հ

(2) 9(2)

0օԴ գ12Դ''Ժ ԳոՃ"»Գր» 0,

Հ

-

եց Դ-Ել

''

«Է

Եչ35,եչ 21

0: Եթե նան Կիրառենքինդուկցիաըստ դ թվի: Դիցուք ո ու (2) կարող ենք Տ եց, ն որպես զ(5) 0, ապա /(2) ճց, ց(5) » 0: 0, ապա (3.2) հավաԻսկ եթե ճօծց՞" (2) վերցնելզ(2) 0, (2) /(2) դեպքում: սարությունըճշմարիտէ զ(չ) ռ » 0 ն թեռրեմիպնդումը տեղի ունի բոլոր ենթադրենք Այժմ համար, որոնց աստիճանըփոքր է ո թվից: Ւ(5) բազմանդամների ն Եթե ո ՀՏ, ապա այդ դեպքում կարող ենք վերցնել զ2-0 դեպքը Ակնհայտ է, որ (0/0: Դիտարկենք Հտ (աւե,."Հ)ց( 5) բազմանդամիավագ գործակիցըհամընկնումէ հետ: Այդ իսկ պատճառով ավագգործակցի (5) բազմանդամի -

Հ

Հ

-

,

»

Հ

ՄԸ

-

(ճե, "ց

Հ

/հ09

բազմանդամի տարբերութան աստիճանն՝ փոք, է /Թ) /լ() բազմանդամի աստիճանից Հետնաբար օջ(/())»ռ որի ենթադրությունը, կարողենք կիրառելինդուկցիայի նկատմամբ

`

համաձայն կգտնվենայնպիսիզւ(2),ու(5)

Թ|»|)բազմանդամներ,

որ

խճ) ն

Հ

զ՛00909

Հ 46օ9(ոլ03) 46ջ(ց03)կամ ու(»

Հ

Է

0:

Հ

ու)

Ուստի

(ճե,ո"՞")ց094 /ւ07 (օրէ, 12"՞»զւ09)907 Վ

Հ

զ(2) այսինքն՝

2"՞"Գ զլ00

Հուն,

ն7(3 ու2): Պարզէ նան, որ մասն Ելա): Թեորեմի գոյության զ(59),(2) ապացուցվածէ: Այժմ ապացուցենքզ(2) ն 7(5) բազմանդամների միակությունը: Դիցուք/(5) բազմանդամըներկայացվումէ նան ճրծ,

(2)

Հ

տեսքով,որտեղ46ջ(ոլ(»))Հ ունենք, որ

(զ)

-

զւ2)962

ուն9

4օբ(ց(ո))կամ ու(9

գ0))ց6)

ուն

Հ

-

Հ

0:

Այդ դեպքում

"(ժ։

Այս հավասարության աջ մասի աստիճանըփոքր է ց(ա) բազմանդամիաստիճանից:Մյուս կողմից, եթե զ(չ) զլ(2) թ. 0, ապա հավասարության ձախմասի աստիճանըմեծ կամ հավասարէ ց(») բազմանդամիաստիճանից:Այդ իսկ պատճառովզ(2) զ) ու(9), ինչ ն պահանջվումէր զգ03 ն, հետնաբար,7(չ) կամզ09 -

-

Հ

Հ

ապացուցել:Թեորեմիապացույցնամբողջությամբավարտվածէ:

ո.

Վերջինթեռրեմումզ(5) բազմանդամը կոչվում է՝ /(5) բազմանդամը ց(2) բազմանդամիվրա բաժանելուցստացվածքանորդ,իսկ ԻՕՕ՝այդ բաժանմանմնացորդ: Ֆիքսված/(») ն ց(5) բազմանդամների համարմնացորդովբաժանումըկատարվումէ 3.3 թեռրեմի ապացույցինհամապատասխան: Միակ տարբերություննայն է, որ ինդուկցիայիենթադրությունը փոխարինվումէ /(5) բազմանդամից/լ(5) բազմանդամին՝ անցմանվերջավորթվով կրկնություններին: ինդուկցիայի Նշենք բազմանդամների բաժանելիությանմի քանի հիմնական հատկություններ,որոնք հետագայումկունենանբազմաթիվկիրառություններ: Հատկություններիմեջ նշվող բոլոր բազմանդամները պատկանումեն Քլչ) բազմությանը,երբ Թ հանդիսանումէ Գ, 8, Ը թվայինբազմություններից որնէ մեկը:

Հատկություն: վրա, իսկ ց(») բաժանվումէ՝ բաժանվումէ ց) է հՕՑ վրա: հ(») վրա, ապա (5) բաժանվում ն բաժանվումեն հնչ) վրա, ց02) բազմանդամները 2) Եթե0) նույնպեսբաժանվումեն ապա նրանցգումարը ն տարբերությունը հ(2) վրա: ց(2) բազ3) Եթե) բաժանվումէ հ(5) վրա,ապա ցանկացած է հ(2) վրա: մանդամիհամար| (5)ց00) արտադրյալը բաժանվում յուրաքանչյուրը բազմանդամներից 2 Եթեր (2,յ/26)...,./հ. վրա, ապա իւԹ2)9:09 Է /2039209 ՒԺ բաժանվում է հ) ի. )9.0) բազմանդամընույնպեսբաժանվումէ հ(չ) վրա, որտեղ են: բազմանդամներ 9:02, 92(9,... 9.0) կամայական բազմանդամ բաժանվում է զրո 5) Յուրաքանչյուն |(0 վրա: բազմանդամը ոչ զրոյական աստիճանիցանկացած 3.4.

1) Շթե (2)

օլո՛/09): բաժանվումէ ց(5) վրա, ապա |(2) բաժանվումէ

ԵթեռճՔնգ»0,ապա/() 6) Եթե /(.)

ճց(») վրա,որտեղզ Ին Ըստ պայմանի/ (2)

-

40:

»

ց(5)հ(5), որտեղիցէլ Հ

ոց(ժյլ՞՛հ6)):

տեսքի բազմանդամներըն միայն Սիայն ճ/00, 4»0, որոնց (5) բազմանդամի բաժանարարներ, նրանքեն հանդիսանում է աստիճանըհավասար մօե(Մ(2)): է 67(29 (4) բաժանվում 6-67), այսինքն՝ Իսկապես,/(») վրա: Մյուս կողմից, եթե /(ո) բաժանվումէ ց(5) վրա, ընդ որում ց(5) վրա բաժանե4օջ(9(2)) 46Ք(703),ապա /(5) բազմանդամը է քանորդիաստիճանըպետք հավասարլինի զրոյի,այլիս ստացված /(2) Եց(2),Ե6Բնք » 0,որտեղիցց(2») Ե՞՛/(2): սինքն՝ ն ց2) Ց) Որպեսզի (6) բազմանդամներըմիաժամանակ բաժանվենմիմյանցվրա, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ ց00

Հ

Հ

-

-

-

օ/(22),Շ6Բնօ»0:

|

Ապացույցըհետնում է նախորդհատկությունից: «Ք ն 4/0, նգ:»0, մեկի 9) Երկու Ւ) բազմանդամներից բաժանարարմյուսի համար նույնպեսհանդիսանումէ կամայական

բաժանարար:

Ապացույցըհետնում է (8)

ն

(1) հատկություններից:

`

.

83.2.

ԲԱՋՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ

ԱՄԵՆԱՄԵԾ

ԲԱԺԱՆԱՐԱՐ

ց( ընդհանուրբաժանարար,եթե այն բաժանարարէ բազմանդամների նրանցիցյուրաքանչյուրիհամար: բաժանվումէ Թ բազմության Քանի որ ցանկացածբազմանդամ կամայականոչ զրոյականտարրի վրա, ապա /(չ) ն ց(5) բազմանդամների ընդհանուր բաժանարարներիմեջ կլինեն զրո Եթե /(2) ն ց(5) բազմաստիճանի(հաստատուն) բազմանդամներ: ապա նրանք անդամներըչունեն ուրիշ ընդհանուրբաժանարարներ, 3.5.

Սահմանում:

զ(5) բազմանդամըկոչվում է /(»)

ն

պարզ բազմանդամներ: կոչվումեն փոխադարձաբար նան, որ համաձայն 3.4. (6) հատկության, եթե Ճ(2) Նշենք ընդհանուրբաժանահանդիսանում է /(2) ն ց(5) բազմանդամների գ6Ք ն 4»0, է 44(5), տեսքիցանկացած րար, ապա այդպիսին բազմանդամ: Նկատի ունենալով ամբողջ թվերի դեպքը՝բնական կլիներ ամենամեծ ընդհանուրբաժանարարըսահերկու բազմանդամների մանել որպես նրանց ամենամեծ աստիճանի ընդհանուր բաժանարար: Սակայն այդ դեպքում հարց է առաջանում,թե այդպիսի շատ չեն լինի, քանի որ երկու բազմանդամների բաժանարարները աստիճաններիհավասարությունըդեռ չի նշանակում, որ նրանք տարբերվումեն միայն Ք բազմությանոչ զրոյականարտադրիչով: Ամբողջ թվերի համար ապացուցվելէ, որ երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըբաժանվում է նրանց վրա: Դա բնականէ դարձնում ցանկացած ընդհանուրբաժանարարի հետնյալը. 3.6.

Սահմանում:

/(ո) Երկու՝միաժամանակոչ զրոյական

ն

ամենամեծ ընդհանուրբաժանարար կոչվում 9(2) բազմանդամների է նրանցայն նռրմավորված որը բաժանընդհանուրբաժանարարը, ընդհանուրբաժանարարի ցանկացած վում է այդ բազմանդամների ամենամեծ ընդհանուրբաժանավրա: /(») ն ց(5) բազմանդամների բարը նշանակենք(/(2), ց(2)) կամ (/, ց) գրությամբ:

Դիտարկենքերկու բազմանդամներիամենամեծ ընդհանուր բաժանարարիգոյությանհարցը: Թվերի դեպքում երկու ամբողջ որոշվում Է Էվկլիդեսի թվերի ամենամեծ ընդհանուրբաժանարարն է բաժանմանթեռրեմնացորդով ալգորիթմիմիջոցով,որը հիմնվում համարնույնպես ապացուցմի վրա: Եվ քանի որ բազմանդամների նման է Էվկլիդեսի ալգորիթմը կարելի է դիտարապա թեռրեմ, ված նան Թլւ| բազմությունում: կել 9(22)զ0: Դ Ի), ապա /(2), ց(5) բազմց(2),7-(5) բազմանդամների ընդհանուրբաժանարար(905,-0)): ներըհամընկնումեն: Մասնավորապես(7/0),909) է Վ(չ) /(5), (5) բազմանհանդիսանում Դիցուք Ապացույց: 4(2)/102, դամներիընդհանուրբաժանարար:Այդ դեպքում/(.) (0զ(9ի 403170) 960: 4629:03 ն 70) Հ7/Օ3 96)զ03 ն, հետնաբար,հանայսինքն 4(2) բաժանումէ 7(5) բազմանդամը ընդհանուր բաժանարար: դիսանում է ց(5),7(2) բազմանդամների ընդհանուրբացանկացած Նմանապեսց(2), (5) բազմանդամների ժանարարհանդիսանումԷ/(2), ց(") բազմանդամներիընդհանուր 3.7.

Լեմմա: Եթե /(5)

»

անդամներին

Հ

-

-

-

-

բաժանարար:

պ

են: Եթե ց(.) Դիցուք/ (2) ն ց(2) ոչ զրոյականբազմանդամներ «1905, որապա (/ (2,902) բաժանումէ /(չ) բազմանդամը, է ց(2) ա վագ Այժմ բազմանդամի գործակիցը: տեղ հանդիսանում ենթադրենք,որ ց(2) բազմանդամը չի բաժանում/ (2) բազմանդամը: համար Էվկլիդեսիալգորիթմըհետնյալն է: ԲաԲազմանդամների ց(2) բազմանդամի ժանելով /(5) բազմանդամը վրա՝ստանում ենք 5) 7լ( ոչ զրոյականմնացորդ:Այնուհետն ց(2) բազմանդամը ինչ-որ բաժանելովոլ(ո) վրա`ստանում ենք ինչ-որ Ւչ0) մնացորդ, ն այսպեսշարունակ:Քանի որ մնացորդներիաստիճաններնանընդհատ նվազումեն, ապա այդ հաջորդական բաժանումներիշարքում է պետք հասնենքայնպիսիտեղի, ռրտեղ բաժանումիցստացված մնացորդըզրոյականէ, այդ իսկ պատճառով,բաժանմանպրոցեսը կկանգնի:Այդ պրոցեսիվերջին ոչ զրոյականոյ(չ) մնացորդը,բազմապատկած7(«) բազմանդամիավագ գործակցով,հենց կհանդիսանա/(չ) ն ց(ո) բազմանդամներիամենամեծ ընդհանուրբաժանարարը: Հ

Ապացույցիհամար վերը նկարագրվածպրոցեսըեերկայացնեեքհետնյալ /62 ոլ(2)

Հ

Հ

Հ

ան

902գ.62 ուն)զչ02 7չ(:)զ903 աջ

կա

Գ

Գ Ժ

սա

ուժ,

ոչ03, 102), (3.3)

սա

որ-209 յ-10)գ.09 :)զուն9 ո,-1(2) Հ

65,

Հ

հավասարություններիշղթայով: Վերջին հավասարությունըցույց է բաժանատալիս, որ Իյ(«) հանդիսանումէ Իր.(5) բազմանդամի Օ հանդիհետնում է 010), որտեղ րար, ռրից (ոլ.(5,809) սանում է 7(Ճ) բազմանդամիավագգործակիցը: Վերնիցներքնդիտարկելով(3.3) հավասարությունները՝ ըստ 3.7 լեմմայի եզրակացնում ենք, ռր Հ

63,809)

(908,ու03) (-լ(),ու03)

Հ

-

Հ

Հօ

(.0Թ,ոչ09)

Հ-"-.

7:0):

փոխադարձաբար Ակեհայտէ, ռր /(5) ն ց(») բազմանդամները են ն (2), պարզ այն միայնայնդեպքում,երբ (/ ց(2)) 1: Հ

Օրինակ: Դիցուք ՔԳ, Գտնել(Մ, 909): 3.8.

/2)-:3-1նցԹ-:2ՅՀ1

23-1-(Թ241աէ-ԸԷՇ-1),

22-11» (-«-1)(-21)Հ2, Վերջինոչ զրոյականմնացորդըտվյալԷվկլիդեսիալգորիթմում բազմանդամին, հետնաբար հավասար է 2 հաստատուն ն (6-1,5241-Ն ց00 բազմանդամները ախսին՝/2) են: պարզ փոխադարձաբար ամբողջ Դետողություն: Էվկլիդեսի ալգորիթմըկիրառելով նկատմամբմենք,ընդհանրապես բազմանդամների գործակիցներով ասած, տրված բազմանդամները կդիտարկենքորպես ռացիոնալ ն կկատարենք բազմանդամներ գործողությունները գործակիցներով

հետ, որոնց գործակիցներըռացիոնալ թվեր են: բազմանդամների Սովորաբար դա հանգեցնումէ մեծ հաշվարկների:Եվ ռրպեսզի Էվկլիդեսի ալգորիթմում խուսափենք կոտորակային գործակիցներից, կարելի է ցանկացածբաժանելիբազմապատկելկամ բաժանարարըկրճատել կամայականոչ զրոյականթվով: Այդ գործողությունները կարելիէ կատարելոչ միայն ինչ-որ հաջորդականբաժանում սկսելուց, այլ նան հենց այդ բաժանման պրոցեսիընթացքում: Հասկանալիէ, որ դա կհանգեցնիքանորդի«ռղավաղման»,սակայն մեզ հետաքրքրողմնացորդներըձեռք կբերեն միայն ոչ զրոյական հաստատուն արտադրիչ,որը, ինչպեսգիտենք,ամենամեծ ընդհադեպքումթույլատրվումէ: նուր բաժանարարի փնտրման

Դիցուք /(2)»:2Ի323-:-4.-3.ն - 3: Գտնել(/00, 903): Բաժանենք /(ա) բազմանդամը ց0(0 բազմանդամի վրա՝ 3-ով: բազմապատկելով նախապես/(«2) բազմանդամը 3.9.

9(2)

Հ

Օրինակ: Հ

Հ 2»

32: Վ 973 -- 127 - 9| 323 -3շ 321 Հ 1023Հ 2:71 2-1 --):3-- Տ: --9.-9

|

1022-Է2»-3

Է

ենք (-3)-ով) (բազմապատկում

-Է

Հ 272

Հ 27

1042-Ի 2:-3

Վ 257

Հ 30

Այսպիսով, առաջին մնացորդը, 5-ով կրճատելուց հետո, կլինի Տ5Վ 6: Նրա վրա բաժանումենք ց(2) բազմանդամը:

ու(8) «224

32: Հ 1022Ի25-3| 313 է 1527 Հ 182 -Տչ2 -Տյ-

-

--

16,-3 252. --30 92 Է 27

«1Է52Հ6 3:-5 ՛

կլինի Երկրորդ մնացորդը, 9-ռվ կրճատելուց հետո, «3: Դ 2), ոչ) ոշ(2) ապա ԴչԹ) կլինի այն Քանի որ ու(ո) բաժանվումէ նախորդ վերջինմնացորդը,որի վրա ամբողջությամբ մնացորդը:Հետնաբար(/(2), ց(2)) «3: ԱմբողջթվերիուսումնասիրությանժամանակԷվկլիդեսիալգոբիթմից որպես հետնանք ստացանք, որ եթե 4 (ճ,ծ), ապա մ-.ճա-ե), որտեղ 7,» 62 ն 42-Ի Ե» 0: Այս փաստը կիրառվեց մի շարք թեռրեմներիապացուցմանժամանակ:Նման պնդումտեղի ունի նան Քլչ) բազմությանհամար, ընդ ռրում այստեղ նրա դերը նույնպեսշատ կարնորէ: Հ

Հ

Հ

Թեորեմ: Դիցուք /1(9,/2(2) 6 Բ|ւ) բազմանդամներից առնվազնմեկն ոչ զրոյականէ ն 4(2) (/105,7202):Այդ դեպքում 6 Բլ.) բազմանդամներ, (2), ցշ(5) որ գոյությունունեն այնպիսի ց. 3.10.

Հ

Հ

/1009:09

Դ

/2629209:

Ապացույց-Նշանակենք ռ

ՀՄ.(Թու)

/2()հչ09|հւ(8,հչ(9

Հ

Բլ):

Պարզէ, որ 0 « (0(2)): Դիցուք հ(») հանդիսանումէ թ բազմության որնէ մեկը, ամենափոքրաստիճանիոչ զրոյականբազմանդամներից Ե՛'ո(»): Այդ իսկ 3` նրա ավագ գործակիցը:Նշանակենք ց(2) դեպքում ց(ա) բազմանդամըհանդիսանում է թ բազմության աստիճանիոչ զրոյականնորմավորվածբազմանդամ: ամենափոքրը է Ծ բազմությունից: Ենթադրենք/(») կամայականբազմանդամ ունեն միարժեքորեն Այդ դեպքում, ըստ 3.3 թեռրեմի, գոյություն (2) Քլչ) զ(2), որ բազմանդամներ, որոշվողայնպիսի Հ

(5)

որտեղ46ջ(-(2)) Հ

Հ

զ00909 709,

46ջ(ց(2))կամ

0:

Հ

Քանի որ /(2),909

Ծ,

ապա

:Խ(9,հչժ . հլ(թ,հչ(9

/(8: հ 0ջհւ0օ /չ(9հչ(9, 900-ՌԽՕՀ/՝Չհչա, Հ

Բլ) Բեյ:

Հետնաբար (5) -

՛(2)ւ09

-

Հ

/00-զ00900-

հւ00զ09)

Հ

/չ(0ԼԽ09

-

հչ2յզ63) `

0: սահմանման 7(2) Համաձայնց(2) բազմանդամի Թ է Ուստի /(չ) բաժանվում ց(") բազմանդամիվրա, այսինքն` են ց(2) բազմանբազմության բոլոր բազմանդամներըպատիկ Հետեն /շ(5) /լ() բազմանդամները: դամին, մասնավորապես ն է /շ(5) բազմանդամների ընդհավաբարց(«) հանդիսանում /լ(2) /16)հլւ(ա Ժ 200խչ(5) նուր բաժանարար:Մյուս կողմից, ց(8) բաժանվումԷ հավասարությունիցհետնում է, ռր ց(.) բազմանդամը ն ընդհանուրբաժանարա/ւ08 /2(2) բազմանդամների ցանկացած ռր ց(5) բազմանրի վրա: Վերջապես,հաշվի առնելովայն դամընորմավորվածէ, ստանում ենք

ն

(60:

Հ

Հ

փաստը,

-

(105,729)

Վերցնելովցւ(5)

Հ

հլ)

ն

ն Հ

Հ

հ (9

Հ

ցչ02)

հչ ()՝

Հ

/1098:09

Գ

Հ

/209հչ09։ ենք, որ

ստանում

/2099209

է: թեռրեմնապացուցված

"

պարզությանհայտանիշ): ԴիԹեռրեմ (Փոխադարձաբար Բ|:|: Այդ դեպքում /(ո) ն ց0 բազմանդամները ցուք /(2), ց(2) պարզ են այն ն միայն այն դեպքում, երբ գոյուփոխադարձաբար որ թյուն ունեն այնպիսիՓ(2), ֆ(2) 6 Բլ) բազմանդամներ, 3.11.

/600Փ09

Հ

90909

ց(52)բազմանդամները փոխադարձաբար 1, ն պահանջվողՓ(չ) ն ֆ(չ) բազմանդամներիգոյությունը հետնում է 3.10 թեռրեմից:Իսկ եթե տեղի 1 հավասարությունը,ապա /(2) ն 90) ունի /00Փ09 Հ ց()փֆ07 բազմանդամներիցանկացածընդհանուր բաժանարարպետք է բաժանի 1 հաստատուն բազմանդամը,ուստի նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարնունի զրոյականաստիճան:Դա նշանափոխադարձաբար պարզ են: կում է, որ /(5) ն ց(2) բազմանդամները Ապացույց:Եթե / (5)

պարզ

են, ապա

ն

(/(03,909) Հ

Հ

ռ

/(ա)ց(5) արտադրյալը Թեռրեմ: Եթե բազմանդամների ն Ն ապա ց(2) է վրա (/(8,հ(2)) բաժանվում Խ(:) բազմանդամի վրա: բաժանվումէ Խ(2) բազմանդամի Ապացույց: Քանի որ (/(5), հ0Չ) Ն ապա, ըստ 3.11 թեորեմի, տեղի ունի /(5)Փ(5) Գ հ()ֆ( 2) 1 հավասարությունը, ինչ-որ 3.12.

Հ

Հ

-

համար:Վերջինիսաջ ֆ(8) բազմանդամների ց(2) բազմանդամով. բազմապատկենք

Փ(2)

ն

հո)լԵ03903))Հ

Փ(ԹՄ 629031

ն

ձախմասերը

909:

պայմանի/(5)ց(5) արտադրյալը բաժանվումէ հ(2) բազմհետնում է, որ անդամիվրա, ուստի վերջին հավասարությունից . վրա: ց(5) բաժանվումէ Խ(5) բազմանդամի Ըստ

83.3. ԱՆՎԵՐԱԾԵԼԻ

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐ

բազմությանտարրերով/(5) բազմանկամ Ք բազմութանվերածելիԲլ») բազմությունում ց02)հն) հավասարությունից, (00) Հ1ն70Թ) յան վրա, եթե մօջ(7 հետնում է, որ 9(5),հ(,) 6 ԲԼ, բազմանդամնեհ() ց(5, որտեղ է: հաստատուն բազմանդամ րիցմեկը թ|ճ|բազմությունում կատարում Անվերաձելիբազմանդամները են նույն դերը,ինչ պարզ թվերը՝ ամբողջթվերիբազմությունում: որն անվերաԴրականաստիճանի/(2) 6 Բլ») բազմանդամը, թ է Ք բազմանդամ վերածելի բազմությանվրա, կոչվում ծելի չէ բազմությանվրա: կամ վերածելիլինելն Էապես անվերածելի Տրվածբազմանդամի վրա է այն դիտարկվում: Է բազմության կախված նրանից, թե որ 6 Գլ) --2 անվերածելիէ Գ ռացիոնալ բազմանդամն Օրինակ, Ք իրականթվերի թվերի բազմությանվրա, սակայն վերածելիէ /2): վրա, քանիոր 2-2-(Ր2Ր-:Հ2ՇՀ բազմության Ք վրա անվերածելիբազմանդամների Այժմ նշենք բազմության մի քանի 3.13.

Սահմանում:

թ

դամըկոչվում է

Հ

3. 14.

Հատկություն:

յուրաքանչյուրբազմանդամանվերա1) Առաջին աստիճանի

ծելի է: ձ598Մ09)-1 ն 7/0) ց(Թհնշ, որտեղ Եթե /(065լա, ն Բեմ 906, հ09 468(90»)Հ 1.468(հ63)Հ 1, ապա /(4) բազմ2: Ուստի անդամի ներկայացման աջ մասի աստիճանը Հ 0: ձօջ(909) կամ 469(հ09) Հ

Հ

-

է Ք բազմության Թի) բազմանդամնանվերածելի նան է վրա,ապա այդպիսին ճ/(5) բազմանդամը, որտեղ0 »: ճ 6 Ի: ն /03 Դիցուք 46ջ(/(:)) Հ ց0Չհ03, որտեղ 4օր(ց05:)) 0 կամ մ6ջ(հ(չ3) 0: Հետնաբար4/0: |գց(»2))Խ0) ց0յլահԹՕ)), ն Հ 4օջ(ճ/(5)) զօջ(ճց(5)) կամ 4օք(օհն»)) 0: 3) Եթեց0) 6 Բլո|բազմանդամնանվերածելի է Թ բազմության վրա, ապա ցանկացած(2) 6 Թլ(ա|բազմանդամի համար կամ Մ62,909) 1 կամց03 բաժանում (0 բազմանդամը: Դիցուք(05,902) զ(5): Քանի որ Վ(ա) բաժանումէ 802, ապա ց(2) բազմանդամի անվերածելիլինելուց հետնում է, որ կա մ ճց0), որտեղ 0266թ: զօջ(400)20, կամ (87 Առաջին դեպքում 4(2-1, իսկ երկրորդ դեպքում ց(.) բազմանդամը բաժանումէ /(2) բազմանդամը: 2) Շթե բազմանդամների /()ց(2 արտադրյալը բաժանվումէ հ.) անվերածելիբազմանդամիվրա, ապա արտադրիչներիցառնվազնմեկըբաժանվումէ հ(2) վրա: Եթե /(«) չի բաժանվում հ(չ) վրա, ապա, համաձայն (3) հատկության,(/(9, հ(»)) 1: Այդ դեպքում5.13 թեռրեմիցհետնում է, որ ց(2) բաժանվումէ հ(չ) վրա: 5) Եթե բազմանդամների իւ09/26)-/.00 .9արտադրյալը բաժանվում է հ( անվերածելի բազմանդամի վրա, ապա արտադրիչներից առնվազնմեկըբաժանվումէ հ(5) վրա: Ապացույցըկատարվում է ինդուկցիայի եղանակով ըստ Է ռ հիմնվելով(4) հատկությանվրա:

2) Եթե/(5)

-

»

-

Հ

Հ

-

Հ

է

-

5:

-

Հ

Թեռրեմ: Դիցուք՝ տիճանիյուրաքանչյուր/ (5) յացվել 3. 15.

Հ

0): Այդ դեպքումդրականաս(գ, ԲԼ(ւ) բազմանդամ կարող է ներկա-

օր62-09-62

(34)

արտադրյալիտեսքով.որտեղ4 6 Ք հանդիսանումէ /(5) բազմանդամի ավագ գործակիցը,/109,7/208,.../.00` իրարից տարբեր են Թ|չ) բազմությունից, անվերածելինորմավորված բազմանդամներ են: իսկ ճղ,ճշ,..,Օա`բնական թվեր Ավելին, այդ ներկայացումը միակն է արտադրիչներիդասավորվածության կարգիճշտությամբ: Ապացույց: Դիցուք ձօջ(/0)) ո Հ 1: Կիրառենք ինդուկցիա 1, ապա, համաձայն3.14 (1) հատկութըստ դ: Երբ ձօջ(Մ(5)) ո Հ

Հ

Հ

յան, /(«) բազմանդամնանվերածելի է Ք բազմությանվրա ն է: օլո՛՞1/(5)) պահանջվողներկայացումն տ » 1 ն թեռրեմը տեղի ունի դ թվից փոքր Այժմ ենթադրենք Քլչ| համար աստիճան բոլոր բազմանդամների դրական ունեցող է բազմութբազմությունից:Եթե /(5) բազմանդամնանվերածելի օլո՞1/03)| յան վրա ն գ՝ նրա ավագ գործակիցնէ, ապա /(5) հանդիսանում է պահանջվող ներկայացումը,քանի որ «՛1/ 0) անվերածելինորմավորվածբազմանդամԷ || բազմությունից:Դիցուք /(5) վերածելիբազմանդամ է ն թույլ է տալիս / (2) ց()հ09 ՕՔլայյ ն 1 Հ ձօջ(ց0)) Հո, ներկայացումը, որտեղ ց(Թ,հ() 1 Հ զ6ջ(եՕ3)Հ ո: Համաձայնինդուկցիայիենթադրության, ց(2) ն ն, է (3.4) հ(») բազմանդամները տեսքով հետեկարելի ներկայացնել նան /(5) բազմանդամը: վաբար,այդ տեսքովկարելի է ներկայացնել Ներկայացմանմիակությանապացույցիհամար ենթադրենք,որ (5) բազմանդամն ունի (3.4) տեսքիերկու ներկայացում. Հ

Հ

Հ

Հ

օ/509/503::/1:02

Հ

Եցու09ց2:0)--:ց10):(35)

ենք «Հ թ: Ավագ գռրծակիցների համեմատությունիցստանում Հաջորդիվ, /1(5) 6 ԲլԼոյ անվերածելիբազմանդամըբաժանում է (35) հավասարության աջ մասը, ուստի 3.14 (5) հատկությունից հետնում է, ռր այն բաժանում է ց(2), 1,2,...,5, բազմանդամնեցլ(2): Սակայն ցլ(") բազմանդամընույնրից մեկը, ենթադրենք օ/ւ0), պեսանվերածելիէ Քլշ) բազմությունում,այնպեսոր ցւ(5) ն Ը հաստատուն է: ց.0) որտեղ բազմանդամ Քանի որ /2) ցւ(2): Այսպիսով, բազմանդամներն նորմավորվածեն, ապա /(5) (3.5) հավասարությունումկարողենք կրճատել/ւ(5) ն ցլ(5) բազմանդամներըն ստացվածհավասարությաննկատմամբ կիրառել նույն մեթոդը: Վերջավոր թվով այդպիսի քայլերից հետո կհամոզվենք, որ (3.5) հավասարությանաջ ն ձախմասերըհամընկնում են արտադրիչներիկարգի ճշտությամբ:Թեռրեմն ապացուցվածէ ամ1»

Հ

-

բողջությամբ:

.

Ծլ») բազմանդամի(3.4) ներկայաԴրականաստիճանի/(») կանոնականվերլուծություն: ցումըկոչվում է /(5) բազմանդամի

Առանցապացույցինշենքհետնյալկարնորփաստը.

Թեռրեմ (Մնացքների մասին չինական թեռրեմ) Եթե 6 Ք(| /ԹՖ)/2Թ2),..,./.6) բազմանդամները զույգ առ են. ապա ցանկացած պարզ զուգ փոխադարձաբար Բո) բազմանդամներիհամար գոյություն հԽւ(2),հշ0),..,հղ0) որ ց(2) Հ հլ(ո)(ոօմ/:(»)), ունի այնպիսից(5) 6 ՔԼ(.| բազմանդամ, 3.16.

ն

ոչ-2

ԼՀ

Ն2,..,ոռ:

83.4.

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ

ԱՐՄԱՏՆԵՐ

Դիցուք /(5) 6 Լա): Այդ դեպքում /(«) բազմանդամում5 փոխարինումը3 բազմությանկամայականտարրով փոփոխականի այդ բազմանդամըվերածում է Թ բազմության որոշակի տարրի: ն Ե6Ի, 6 Բի) :::Դ ճմ" գց Վ Գլ Ավելի ճշգրիտ, եթե /(2) ստանում ծ ենք փոխարինելով տարրով, ապա, « փոփոխականը Հ

(95)

60ՀԻՅլեՀ:-Հ

ճղե՞

Ք

ծ: արժեք,երբ 2 Այդ տարըը կոչվում է /(ո,) բազմանդամի Եթե Քլշ| բազմությունում տեղի ունի ինչ-որ բազմանդամային փոխարինելով հավասարություն, ապա, նրանում Ճ փոփոխականը ստանում Ե ենք հավասարուֆիքսված տարրով, ցանկացած Թ սկզբունք): թյուն բազմությունում(տեղադրման --

տարրը:

Ե բազմությանԵ տարրը կոչվում է /(5) 6 3.17. Սահմանում: թլ»| բազմանդամիարմատ(կամզրո), եթե /(Ե) հաստատում է բազմանդամների Հետնյալ թեռրեմը՝ Ձկկապ միջն: արմատներին բաժանելիության -

Թեռրեմ (Բեզու): Թ բազմությանԵ տարրը հանդիսանումէ Բ|:|) բազմանդամի 7(2 արմատ այն ն միայն այն դեպքում, երբ (. - Ե) բազմանդամըբաժանումէ /(«) բազմանդամը: Ապացույց:Կիրառելովմնացորդովբաժանմանթեռրեմը՝ է լի գրել 2- եզա) Հօ (22 3.18.

կպրե

որտեղ զ(2) 6 Իլ) ն տեղադրելով ՖԵ

փոխարեն Այնուհետն« փոփոխականի /(5:-օ Ուստի տարր կստանանք

6 6

Թ:

է /(,0-Զ-եԵյզաՀ7/(9): Աս հավասարությունից հետնում ռ թեռրեմիապացույցը: Առաջին աստիճանի բազմանդամներըհաճախ կոչվում են գծայինբազմանդամներ:Բեզուի թեռրեմը ցույց Է տալիս, որ / (5) բազմանդամիարմատների ռրոնումը համարժեք է նրա գծային բաժանարարների եորմավորված որոնմանը:

բազմությանԵ տարրը կոչվում է / (5) 6 թլա| բազմանդամիԽ-պատիկ արմատ (.» 1), եթե /(չ) բազմանդամըբաժանվում է (2 - Ե)" վրա, բայց չի բաժանվում(2 Ե)ո"1 Խ 1, ապա վրա: թիվը կոչվում է Ե. արմատիպատիկություն:Երբ կ ե արմատըկոչվում է պարզ արմատ: Սահմանում:

3.19.

Ք

-

Հ

Թեռրեմ: Դիցուք /(5) 6 5լչ) ն 4659(/03)ՀոՀ1 Ադ դեպքում, եթե Ել,Եշ,..,5ո 69 տարրերը հանդիսանում են / (0) բազմանդամիիրարից տարբեր արմատներ համապատասխանաբար հլ, էշ,..., ոո պատիկություններով,ապա /(2) բաժանվումէ ճա-ելճԵշյռ-..Թ--Եղդ)"" արտադրյալի վրա: Հետնաբար ի Խղ Հոն/(չ) հլ ի Բշ բազմանդամըկարող է ունենալ ոչ ավել քան Դ հատ իրարիցտարբերարմատներՔ բազմությունում: Առյացույց: Համաձայն 3.14 (1) հատկության, յուրաքանչյուր բազմանդամանվերածելիէ Ք բազմության (» Ել). Ն2,..,յԲ, 3.20.

Հ

-

եյ)

վրա, այնպես որ («բազմանդամնռրպես արտադրիչ է (25) / մասնակցում բազմանդամիկանոնականվերլուծությանմեջ: Այսպիսով, այդ կանոնականվերլուծության մեջ մասնակցում է ն, հետնաբար, այն (2.- Ել)ո(2- Եշ)». Եդ)" արտադրյալը, հանդիսանումէ /(չ.) բազմանդամիբաժանարար:Համեմատելով ստանում ն, ենք որ ԽլէնչԺԷ-"ԻԳԽղՑո, աստիճանները Հռ Էնդ հետնաբար, ոՀելէիչՒ: անհավասարություններն ռ ապացուցումեն թեռրեմիվերջինպնդումը: -

"

Թեռրեմ: Որպեսզի 2 կամ 3 աստիճանի/(2) 6 թլո) բազմանդամըլինի անվերածելիԹ բազմությանվրա, անհրաժեշտԷ ն բավարար,որ այն չունենաարմատներՔ բազմությունում: է անվերածելի Ապացույց: Անհրաժեշտություն, հետնում ն բազմանդամիսահմանումից Բեզուիթեռրեմից։Մյուս կողմից,եթե Ւ բազմանդամըչունի արմատներ Թ բազմությունում, բայց վերաձեի է Ք բազմութան վրա, ապա այն կարելի է գրել 3.21.

|

ց00հ6) տեսքով,որտեղց(5), հ(2) Հ Բլու)ն 1 Հ 46Ք(9(2) Հ Հ 3, որՀ 4օջ("03) մ60(/705)) ձօջ(հ())։ Մակայն 2 Հ մ6օք(ց(2)) «ԻԵ, է, «1: որ ց) Վերջինս նշանակում տեղից 4օջ(ց(8)) որտեղ0 »: ճ, 3 6 թ: Բայց այդ դեպքում(-ԵՕ՞1) ` Թ տարրը հանդիսանում է ց(ո) բազմանդամի արմատ,ուստի նան /(2) բազմանռ դամիարմատ,որը հակասումէ ենթադրությանը:

ՄԸ)»

-

Հ

Հանրահաշվիհիմնականթեորեմը(Գաուս): Դրականասյուրաքանչյուր բազմանդամ կոմպլեքս գործակիցներով ունի առնվազնմեկ արմատ,ընդհանուրդեպքումկոմպլեքսարմատ: 3.22.

`

տիճանի ն

ԳԼՈՒԽ

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐ

8 4.1.

ԵՎ ՌՐՈՇԻՉՆԵՐ

ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՏԵՂԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ

Դիցուք հ հանդիսանում է ինչ-որ վերջավոր բազմություն՝ կազմվածռ հատ տարրերից:Այդ տարրերըկարող են համարակալվել 1,2,...,ռ բնականթվերի միջոցով, ն քանի որ մեզ հետաքրքրող հարցերում8( բազմությանտարրերիանհատականհատկություն։ ներն ոչ մի դեր չեն խաղալու, ապա մենք պարզապեսկհամարենք, են ...,ռ // 1,2, թվերը: որ բազմությանտարրերհանդիսանում հենց

բնականթվերի՝որոշակի կարգով կոչվում է ռ թվերի (սիմվոլների) կամայականդասավորվածություն տեղափոխություն: 4.1.

Սահմանում:

1,2,

...,ո

Թեռրեմ: դ թվերի իրարիցտարբերտեղափոխությունների 12:.:դ: քանակըհավասարէ Դէ որտեղ7 դ ընդԱպացույց: Իսկապես, սիմվոլների տեղափոխության հանուր տեսքը հետնյալն է. Լլ, քշ, ..., էւ որտեղ յուրաքանչյուր (չ 1ՀՏՀՊ, թվերիցորնէ մեկը, ընդ որում հանդիսանում է1,2,...,ռ այդ թվերիցոչ մեկն երկու անգամչի հանդիպում:Որպես (լ կարելի ն այդ ընտրությունըտալիս է վերցնել 1,2,...,ռ թվերիցցանկացածը, է ռ հատ իրարից տարբեր հնարավորություն:Եթե էլ ընտրվածէ, թվերից մեկը ապա որպես (չ կարելի է վերցնել մնացած (ո--1) ն (լ մչ սիմվոլներն ընտրելու իրարից տարբեր միայն, այսինքն՝ եղանակներիքանակըհավասար է դ(ռ 1), ն այսպես շարունակ մինչն էլ սիմվոլի ընտրությունը,որն որոշվում է միարժեքորեն տ ինչ-որ երկու մեջ տեղերով Եթե որնէ տեղափոխության փոխենք սիմվոլ (պարտադիրչէ կողք-կողքիկանգնած),իսկ մնացածբոլոր սիմվոլները թողնենք իրենց տեղերում, ապա ակնհայտ է, որ այդպիսիձնաՏեղափոխության կստանանքնոր տեղափոխություն: է փոխությունըկոչվում տրանսպոզիցիա: 4.2.

Հ

,

,

-

ւ

:

կաԹեորեմ:ո սիմվոլներիբոլոր ո| տեղափոխությունները որ յուրաքանչյուր այնպիսիհերթականությամբ, րելի է դասավորել միջոցով, նախորդիցստացվումէ մեկ տրանսպոզիցիայի հաջորդը` է ընդորում սկսել կարելի կամայականտեղափոխությունից: 2 դեպքում.եթե պաԱպացույց: Այս թեռրեմը Ճշմարիտէ դ ապա փնտրվողդասահանջվում է սկսել 1,2 տեղափոխությունից, 2,1: 1,2: Իսկ եթե պետք է սկսել 2,1 վորվածությունը կլինի կլինի 2, 1: 1,2: ապա դասավորվածությունը տեղափոխությունից, դեպքում, ն այն Այժմ ենթադրենքթեռրեմը ճիշտ է (դ-1) դ համար:Դիցուքպետքէ սկսել ապացուցենք 4.3.

Հ

ն,

է... եւ ",

Դիտարկենք սիմվոլներիբոլոր տեղափոխությունից: է

(4.1)

այն տեղափոխությունները,որոնց առաջին տեղում գտնվում (լ սիմվոլը: ն քանակը հավասար է (դ-1) Այդպիսի տեղափոխությունների նրանցկարելի է կարգավորելթեորեմի պահանջներինհամապատասխան,քանի որ դա իրականումհանգեցվումէ (ո - 1) սիմվոլորը, ըստ ինկարգավորմանը, ների բոլոր տեղափոխությունների դուկցիայիենթադրության,կարելի է սկսել կամայականտեղափոխությունից։ Այդպիսի ճանապարհով ստացված ռտ սիմվոլների վերջինում կատարում ենք (լ սիմվոլի տեղափոխություններից մշ կամայականմեկ ուրիշ սիմվոլի հետ, օրինակ` տրանսպոզիցիա հետ, ն, սկսելով նոր ստացվածտեղափոխությունից, հարկ եղած որոնց ձնով կարգավորումենք բոլոր այն տեղափոխությունները, ն է առաջինտեղում գտնվում էշ սիմվոլը, այսպեսշարունակ: Ակեհայտ է, որ այս եղանակովկարելիէ դասավորելո սիմվոլներիբոլոր « դ/| տեղափոխությունները: ո

4.4.

ոռ սիմվոլներիկամայական տեղափոխությունից Հետնանք:

կարելի է անցնել նույն սիմվոլներիցկազմըվածցանկացածմեկ միջոցով: մի քանիտրանսպոզիցիաների ուրիշ տեղափոխության

Տրված տեղափոխությանմեջ 1 ն յ թվերը կազմում են ինվերսիա,եթե 1 Հ յ ն է թիվն այդ տեղափոխությունում 7 թվից առաջ է կանգնած:Տեղափոխությունըկոչվում է զույգ, եթե նրա սիմվոլները կազմում են զույգ թվով ինվերսիաներ,հակառակ կոչվում է կենտ: դեպքումտեղափոխությունը 4.5.

Սահմանում:

Քանի որ 1,2,...,ռ տեղափոխությանինվերսիաներիքանակը հավասար էզրոյի, ապա այդ տեղափոխությունըզույգ է:

փոխումէ տեղափոԹեորեմ: Ցանկացածտրանսպոզիցիա խությանզույգությունը: Ապացույց: Սկզբում դիտարկենքայն դեպքը, երբ տեղափոխ1 յ սիմվոլներըկանգնածեն կողք-կոդքի, վող (տրանսպոնացվող) ունի այսինքնտեղափոխությունն 4.6.

՛ն

անյ,

տեսքը, որտեղ բազմակետերըփոխարինումեն այն սիմվոլներին, որոնք տրանսպոզիցիայիդեպքում մնում են իրենց տեղերում: հետո կունենանք Տրանսպոզիցիայից այ ե..

տեղափոխությունը:Հասկանալիէ, ռր երկու տեղափոխություններում էլ եյ սիմվոլներիցյուրաքանչյուրը չտեղափոխվող(չտրանսպոնացվող)սիմվոլներիհետ կազմում են միննույն ինվերսիաները: Այնուհետն,եթե (ն յ սիմվոլներնառաջ ինվերսիաչէին կազմում, առաջանումէ մեկ նոր ինվերսիա, ապա նոր տեղափոխությունում ինվերսիաներիքանակն ավելանում է մեկով, իսկ եթե այսինքն` նրանքառաջ կազմումէին ինվերսիա,ապա այժմ այն վերանումէ, այսինքնի̀նվերսիաներիքանակը փոքրանում է մեկով: Երկու դեպքումէլ տեղափոխությանզույգությունըփոխվումէ: սիմվոլների միջն Արդ ենթադրենք,որ է ն ) տրանսպոնացվող 5 հատ սիմվոլ, Տ » 0, այսինքն՝ է ունի տեղափոխությունն գտնվում անել, հ.,...ե..),..

442)

կարելի է ստանալ տեսքը: 1 ն / սիմվոլների տրանսպոզիցիան հատ տրանսպոզիցիաների հաջորհարնան սիմվոլների 254-1 է` հաջորդական սիմվոլի Այն դական կատարմանարդյունքում: տեղափոխությունըհլ,եհչ...,Խ. սիմվոլներիհետ (տ տրանսպոզիցիա), այնուհետն է ն յ սիմվոլների տեղափոխություն(մեկ տրանսպոզիցիա)ն, վերջապես,յ սիմվոլի հաջորդականտեղատես. փոխությունըել, էշ,..., չ սիմվոլներիհետ (5 տրանսպոզիցիա, աղյուսակը):

կ կ Խել| հ

Այսպիսով, կենտ թվով անգամ փոխեցինքսկզբնականտեղափոխությանզույգությունը,ուստի (4.2) ն ւա

իլ, եշ,..., հ, Ն...

ունեն հակառակզույգություններ: տեղափոխություններն

.

Հետնանք: Երբ ո Հ 2, ապա դ սիմվոլներիզույգ տեղափոխությունների քանակը հավասար է կենտ տեղափոխությունների քանակինն հավասարէ - : Ապացույց: Իսկապես,համաձայն4.3. թեռրեմի,կարգավորենք Դ սիմվոլների բոլոր տեղափոխություններն այնպես, որ յուրաքանչյուր հաջորդնիր նախորդիցստացվումէ մեկ տրանսպոզիցիայով: Հարնան տեղափռոխությունները կունենան հակառակզույգություններ, այսինքն՝ տեղափոխություններըդասավորվածեն այնպես,որ զույգերը ն կենտերը հաջորդում են իրար: Այժմ մեր պնդումը " հետնում է այն բանից,որ ռ Հ 2 դեպքումո| թիվը զույգ է: 4.7.

Այժմ սահմանենք մի նոր հասկացություն,այն է՝ ռ-րդ աստիճանի տեղադրության հասկացությունը:

Առաջինո բնականթվերի բազմությանկաինքն իր վրա կոչվում է մայականփոխմիարժեքարտապատկերում տեղադրություն: դ-րդ աստիճանի Յուրաքանչյուր 4 տեղադրություն կարելի է գրել երկու մեկը մյուսի տակգրված. տեղափոխություններիմիջոցով՝ 4.8.

Սահմանում:

նռն

(Գոլ ճշ"

ճե

)

4:3)

որտեղ ճլ հանդիսանում է այն թիվը, ռրին 4 տեղադրությունում անցնումէ 1 թիվը, 1 1,2,..., դ: 4 տեղադրություննունի (4.3) տեսքիիրարիցտարբերգրելաՀ

ձներ: Այսպես օրինակ, նան

35142

Հ 234 1)տեղադրությունըկարելի է

գրել

հետնյալերեքտեսքով.

21538 (15243 25143) 412345 13254)' ՝32145/' տեղադրությանմեկ գրելաձնիցմեկ ուրիշին կարելի է անցնել սյուներիմի քանիտրանսպոզիցիաների միջոցով:Այդ դեպքումկաէ (4.3) որի վերնի (կամներստանալ տեսքիայնպիսի գրառում, րելի ռ է քնի) տողում գրված սիմվոլներինախապեստրվածկամայականտեղափոխություն:Մասնավորապես,Դ-րդ աստիճանիցանկացածտեղադրությունկարելիգրել

|

ՂԱիվխի Կոդ ճլ ճշ

(44)

Է:

տեսքով,այսինքն՝ վերնի տողում թվերի բնականդասավորվածությամբ:Այդպիսիգրելաձնի դեպքումիրարիցտարբերտեղադրություններ միմյանցիցտարբերվումեն ներքնի տողում գրվածտեղափոխություններով:Ուստի ճշմարիտէ հետնյալը. Թեորեմ: ո-րդ աստիճանիտեղադրություններիքանակը հավասար է դ սիմվոլների տեղափոխություններիքանակին, այսինքն` հավասար է ո): ո-րդ աստիճանի բոլոր տեղադրություններիբազմությունն ընդունվածէ նշանակելՏչ-ով: օրինակհանդիսանումէ ո-րդ աստիճանիտեղադրության 4.9.

ո-(12-ռ) նույնական տեղադրությունը,որի բոլոր սիմվոլներըմնում են իրենց տեղերում: վերնի ն ներքեի տողերը կաՆկատենք,որ Ճ տեղադրության են տարում տարբերդերեր.տեղափոխելովերանց, ընդհանրապես ենք ուրիշ տեղադրություն: (4.3) տեսքիկամայական գրելաձն: Դիտարկենք4 տեղադրության ն Այդ գրելաձնիվերնի ներքնիտեղափոխությունների զույգություննե-

ասած, ստանում

|

կա՛մհամընկնումեն, կա՛մ՝

Իսկապես,ինչպեսգիտենք,4 տեղադրությանմեկ ուրիշ գրելաձնինանցումըկարելիէ իրականացնե վերնի ն ներքնիտողերումկատարելովիրար համապատասխա մեկ Սակայնկատարելով տրանսպոզիցիաներ: մի քանիհաջորդական ն (4.3) գրելաձնիվերնիտողում համապատասխ տրանսպոզիցիա փոմիաժամանակ ներքնիտողում` մեկ տրանսպոզիցիա տարրերի ն, հետնաբար, զույգությունը խում ենք երկու տեղափոխությունների նույնությունըկամհակադրուենք այդ զույգությունների պահպանում 4 տեղադրության հետնում է, բոլոր գրելաձների որ թյունը:Այստեղից ն զույգությունները տեղափոխությունների վերնի ներքնի դեպքում ՂՐ են, դեպքում տեղադրությունը կա՛մհամընկնում կա ոչ: Առաջին նույկենտ: Մասնավորապես կոչվում է զույգ, երկրորդ դեպքում` զույգ: կլինի նականտեղադրությունը վերնի գրված Եթե 4 տեղադրությունը է (4.4) տեսքով,այսինքն՝ ապա զուգ տեղափոխությունը, Աողում գտնվում է 1,2,..,ռ կորոշվի ներքնի տողում գտնվող տեղադրության զույգությամբ:Ուստի ճշմարիտ է ճռ «1, 62, տեղափոխության րը

ոչ:

զույգությունը

հետնյալը.

քաԹեորեմ:ո-րդ աստիճանիզույգ տեղադրությունների ն հավասար է քանակին նակըհավասար կենտտեղադրությունների 4.10.

էո:

զույգությունըկարելի Հեշտ է համոզվել,որ տեղադրությունների կոչվում Է զույգ տեղադրությունը տողերի ընդհանուր (կենտ),եթե նրա կամայականգրելաձնիերկու քանակըզույգ (կենտ)թիվ է: ինվերսիաների է տալ տեղադրությունների զույՀաջորդիվնպատակահարմար սահմանպատակով սահմանումներ: Այդ համարժեք գության այլ գործողությունը:Պ-րդ բազմապատկում նենք տեղադրությունների աստիճանի տեղադրությունը,ինչպես գիտենք, հանդիսանումէ ինքն իր արտապատկերում (1,2, ..,ռ) բազմությանփոխմիարժեք հաջորփոխմիարժեք վրա: Երկու այդպիսի ռ ) (1, հանդիսանում դականկատարումնակնհայտորեն է 2,..., բազինքն իր մության փոխմիարժեքարտապատկերում հաջորդականկատաո-րդ աստիճանիերկու տեղադրությունների է րումը հանգեցնում լիովին որոշված դ-րդ աստիճանիերրորդ

է սահմանել նան հետնյալ ձնով. 4

`

արտապատկե `

"այսին վրա,

տեղադրության,որը կոչվում է տրվածտեղադրություններիցառաջինիարտադրյալ երկրորդիհետ: Ուստի տեղադրություններիբազմապատկումգործողությունըհանրահաշվականէ դ-րդ աստիճանի Տղ բազմությանվրա: բոլոր տեղադրությունների

Օրինակ:

«11. `

դեպքում

Այդ Դիցուք 4-(44152)Կ5-(135շյի (12345

`

(12345.

Ք-Ո12345 (123451. 4-:8-(14152):0352962143) (123451.

լ

կարելի է միայննույն աստիճանիտեղադրութԲազմապատվկել

յունները:

Հատկություն: Եթե ո Հ 3, ապա դ-րդ աստիճանիտեղադրություննեի բազմապատկում գործողությունն տեղափոխելի (կոմուտատիվ)չէ: Ապացույց: Իսկապես,4.11. օրինակումդիտարկված4 ն 8 տեհամար ղադրությունների 4.12.

ՀՑ: թ.4-(123452335 (12335: 31245 135242

այսինքն՝

34152

-

լ

Այդպիսիօրինակներկարելի է բերել բոլոր համար, չնայած տեղադրությունների ինչ-որ զույգերիհամար կարող է կատարվել: տեղափոխելիության օրենքըպատահաբար 4-8»:8-4:

դ

Հ 3

4.13. գորՀատկություն:Տեղադրություններիբազմապատկում ծողությունը զուգորդական (ասոցիատիվ) է, այսինքնկ̀արելի է խոսել ո-րդ աստիճանի վերջավորթվով տեղադրություններիարտադրյալիմասին՝վերցվածորոշակիկարգով: Ապացույց:Իսկապես,դիցուքունենք 4,8. դեղադրությունները, ն ենթադրենք(լ սիմվոլը 4 տեղադրությունումանցնում է էչ սիմվոլին, (չ սիմվոլը Ք տեղադրությունումանցնում է էչ սիմվոլին, իսկ վերջինսԸ տեղադրությունումանցնումէ էչ սիմվոլին:Այդ դեպքում կ սիմվոլը 48 տեղադրությունումանցնում է էչ սիմվոլին, իսկ մշ ՔԸ սիմվոլը տեղադրությունումանցնումէ էչ սիմվոլին: Այդ պատճառով էլ սիմվոլն ինչպես (48) տեղադրությունում, այնպես էլ 4(80) Կ անցնումէ էչ սիմվոլին:

|

,

արոթւնում -( աճ:

2.

Օշ:

ի

Ձ1 6շ

1818,

-(ԲԻ - Ք2)6 ..

Ի)

: ' .

«օօ

(8-Ի):

ո1

Գշ

(ոռ-)- (աչ)

ո) (ջ:

(12:22

(492

Ւշ

`

ԶԳ

»)

՞

(.,12-ի Դշ

ֆո)՝

"

Ակնհայտ է, որ ցանկացած4 տեղադրությանարտադրյալը Ք նույնական տեղադրությանհետ, ինչպես նան Ք տեղադրության հետ հավասար4. 4 տեղադրության արտադրյալը է 4-Ե-իճՀ4Ճ

գործողությունն բազմապատկում Հետնաբարտեղադրությունների օժտվածէ միավորտարրով: Այնուհետն, եթե միննույն աստիճանի4 ն Ց տեղադրություններիհամար ճ4:8Հ-8.41ՀԵ

տեղադրությունըկոչվում է Ք (4) տեղադրության ՑՅ 45) հակադարձ տեղադրությունն նշանակվումէ 458գրությամբ:Հեշտ է նկատել,որ ապա

(8)

4Հ

12.ռՊԴ

եշ:

ո)

է հակադարձտեղադրությունհանդիսանում տեղադրության

Լ

«(Լջ ճ:

02:

ո)

«

ստացվումէ նրա տողերի որը 4 տեղադրությունից տեղադրությունը, տեղափոխությամբ: որոնք ստացվում Այժմ դիտարկենքայն տեղադրությունները, են Ք նույնական տեղադրությունից՝ նրա ներքնի տողում կատակենտեն, Այդպիսիտեղադրությունները րելով մեկ տրանսպոզիցիա: ունեն ն նրանքկոչվում են տրանսպոզիցիաներ

արոր

Գ5)

տեսքը,որտեղիրենցտեղերումմնացողսիմվոլներըփոխարինված են բազմակետերով: նշանակենք(1,յ): ԿամաԱյդ տրանսպոզիցիան յական տեղադրության(4.4) գրառմաններքնիտողի ճ., Օյ սիմվոլկիրառումըհամարժեքէ՝ 4 տեների նկատմամբտրանսպոզիցիայի աջիցբազմապատկմանը ղադրության ն(լ, այ)տրանսպոզիցիայի

|

(ո,

ճյ)

Ն

-

(ո 1:

ար)

լ

ոյ Ը Օյ ղղ

Օյ

ա.

|

..

ղ

մա

«յ

ՅՆ

3) (ա... Օյ -

1։::

ոյ "զել

ուի

...Ղ

լ

կարելի է Հայտնիէ, ռր ռ սիմվոլներիբոլոր տեղափոխությունները 1,2,..,ռ տեղափոխութստանալ նրանցիցորնէ մեկից, օրինակ հաջորդականկատարմանարդյունյունից, տրանսպոզիցիաների (4.5) տեսքիտեղադրությունների հաջորդականբազքում, այսինքն՝ է մապատկման արդյունքում:Ուստի կարելի պնդել(բացթողնելովԷ արտադրիչը),որ տեղիունի հետնյալը. է Թեռրեմ: Յուրաքանչյուրտեղադրություններկայացվում արտադյալիտեսքով: վերջավորթվովտրանսպոզիցիաների 4.14.

4.15.Օրինակ:

(12325)02)(15)04) Հ

-

1490404504)03):

մի տեղադրությունկարելիէ տարբերեղանակներովվերարտադրյալի.օրինակմիշտ կարելի է լուծել տրանսպոզիցիաների ավելացնել(յ), 0, երկու միանման արտադրիչները,որոնց արտադրյալը հավասարէ 5 միավոր տեղադրությանը:Տեղադրության զույգության որոշման նոր եղանակըհիմնված է հետնյալ թեորեմի վրա: Ամեն

տեղադրուարտադրյալի՝ Թեռրեմ: Տրանսպոզիցիաների թյան բոլոր վերլուծություններիդեպքում այդ տրանսպոզիցիաների . թվի զույգությունը կլինի նույնը, ընդ ռրում այն համընկնում է տեղադրության զույգությանհետ: եթե ցույց տանք, Ապացույց: Այս թեռրեմըկլինի ապացուցված, հանդիսաոր կամայական ք տրանսպոզիցիաների արտադրյալը նում է մի տեղադրություն,որի զույգությունըհամընկնում է Ս թվի 1, ապա պնդումը ճշմարիտէ,քանի որ զույգության հետ: Երբ հ հանդիսանում է կենտ տեղադրություն:Ենթադտրանսպոզիցիան րենք պնդումը տեղի ունի (6-1) արտադրիչներիդեպքում: Այդ դեպքումէ արտադրիչների համարնրա ճշմարիտլինելը հետնում է նրանից,ռր (1: 1) ն ք թվերնունեն հակառակզույգություններ,իսկ տվյալ դեպքումառաջին (/- 1) տրանսպոզիցիատեղադրության, համարտրանսպոզիցիայով ներիարտադրյալի,բազմապատկումը 4.16.

-

--

ժեք է տեղադրության ներքնի տողում այդ տրանսպոզիցիայի " կատարմանը, այսինքն՝ փոխում է նրա զույգությունը: է Տեղադրությունների գրառմանհարմար եղանակ հանդիսանում նրանցվերլուծությունը ցիկլերի, ռրը թույլ է տալիս հեշտությամբ որոշել այդ տեղադրությունների զույգությունը: Որնէ ռ-րդ աստիճանիտեղադրությունկարող է 1, 2,...,ռ սիմվոլներիցմի քանիսը թողնելիրենցտեղերում,իսկ մնացածներն՝ իրականումտեղաշարժել: ո-րդ աստիճանիցիկլ (կամպարզապեսցիկլ) կոչվում է

Ը: «թո

ճլ ճշ 03

ճշ ճ36:գ

:"

'"

ճո-1 ճող

եղ ա

այ) ԲԻ"

տեսքի տեղադրությունը(իրենց տեղերում մնացող սիմվոլները փոխարինված են աստղանիշերով), որը հաճախ գրում են (Ալճշն63':: ճո-1 ճող)տեսքով,իսկ ո կոչվում է ցիկլի երկարություն: Յուրաքանչյուրտրանսպոզիցիահանդիսանումէ երկու երկարությամբ ցիկլ: ո-րդ աստիճանիերկու ցիկլեր կոչվում են անկախ, եթե նրանք չունեն ընդհանուր` իրականում տեղաշարժվողսիմվոլներ (.ւ, Օշ, ոռ սիմվոլներըհանդիսանումեն (ճւ 6շ ճո) ցիկլիիրաէ կանումտեղաշարժվողսիմվոլներ):Հեշտ համոզվել,որ ցանկացած է: երկու անկախցիկլերիարտադյալը տեղափոխելի

Թեռրեմ: Յուրաքանչյուրտեղադրությունկարելիէ միակ ձնովվերլուծելզույգ առ գույզ անկախցիկլերիարտադրյալի: է հետնԱպացույց:Փաստացիվերլուծություննիրականացվում յալ կերպ.սկսում ենք ցանկացած իրականումտեղաշարժվողսիմվոլից ն նրանիցհետո դուրս ենք գրում այն սիմվոլները,որոնց այդ սիմվոլն անցնումէ տեղադրությանկրկնություններիդեպքում,մինհեչն սկզբնական սիմվոլին վերադառնալը: Այդ ցիկլի «փակումից» տո սկսում ենք մնացածիրականումտեղաշարժվողսիմվոլներից ստանում ենք երկրորդցիկլը ն այսպեսշարունակ: կամայականից, Պարզ է, ռր ցիկլերիդասավորվածության կարգիճշտությամբնշված " վերլուծությունըմիակնէ: 4.17.

`

4.18.

Օրինակ:

02325) 17054: Ե) (12345528 3) 156)(38)(47): )

-

287614

-

ն Տ հանդիԴիցուք տրվածէ դ-րդ աստիճանիտեղադրություն, սանում է նրա վերլուծությունումանկախցիկլերի քանակը՝ գումամնացող սիմվոլների տեղերում րած այդ տեղադրությունումիրենց քանակը: Այդ դեպքում (դ - Տ) տարբերությունըկոչվում է այդ տեղադրությանդեկրեմենտ:Ակնհայտէ, որ դեկրեմենտըհավասար է իրականումտեղաշարժվողսիմվոլներին տեղադրությանվերլուԻսկապես ծության մեջ մտնող անկախ ցիկլերի տարբերությանը: է է, իրականումտեղաշարժվողսիմեթե անկախ ցիկլերիքանակը վոլների քանակը 1 է, իսկ տեղում մնացողսիմվոլներիքանակը Պ, դ -- Տ ապառ«1ԻՎ:տնջչ»-ԱեՀԻՈ,ն, հետնաբար, Է: Հ1-

Թեռրեմ: Տեղադրությանզույգությունըհամընկնումէ այդ դեկրեմենտիզույգությանհետ: տեղադրության Ապացույց: Իսկապես,հ երկարությամբյուրաքանչյուր ցիկլ արտադրյալի կարելի է ներկայացնել(/-- 1) տրանսպոզիցիաների միջոցովհետնյալձնով. 4.19.

(ճլճշ:-:

ճե)

Հ

(6լռ2)(665):::(«16):

Ենթադրենքունենք 4 տեղադրությանվերլուծություննանկախ ցիկլերի: Եթե այդ վերլուծության յուրաքանչյուր ցիկլ նշված եղաարտադրյալով,ապա նակով ներկայացնենքտրանսպոզիցիաների կստանանք տեղադրությաններկայացումըտրանսպոզիցիաների քանակը արտադրյալով:Ակնհայտ է, որ այդ տրանսպոզիցիաների կլինի հավասար4 տեղադրությանիրականումտեղաշարժվողսիմվոլների ն երա վերլուծությանմեջ մտնող անկախցիկլերի տարբերությանը, որը հավասար է դեկրեմենտին:Ուստի տարբերության ռ զույգություննորոշվում է դեկրեմենտիզույգությամբ: 8 4.2.

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐ։

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ

ՀԵՏ

Դիցուք ոք հանդիսանումէ որնէ բազմություն,իսկ Ք տարրերիցկազմված կանթվեր:81 բազմության Օլլ

ճշ

Ճշւ

շշ

Գեւ

իշ

ոռ

`

ճշռ

..

ճո

|

ն

ռ՝ բնա-

(4.6)

ուղղանկյունաղյուսակըկոչվում է մատրիցա1/ բազմությանվրա մատրից(ա),եթե համատեքստիցպարզ է, թե որ կամ պարզապես են մատրիցանկազմողտարրերը: բազմությանն պատկանում են երկու Մատրիցիտարրերըհամարակալվում ինդեքսներ սյան Առաջինինդեքսըցույց է տալիստողիհամարը,իսկ երկրորդը՝ հատման է տարրը: դիտարկվող գտնվում տեղում համարը, որոնց Այսպիսով,(4.6) մատրիցի«լյ տարրը գտնվումէ 1-րդ տողում ն յ-րդ սյունում: Եթե մատրիցանունի Խ հատ տող ն ռ հատ սյուն, ապա այն կոչվում է (ք դ)-չափանի մատրիցա: Եթե մատրիցի տողերի քանակը հավասար է նրա սյուների քանակինն հավասար է դ, ապա մատրիցանկոչվում է ռ-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա, հակառակ դեպքումո̀ւղղանկյուն մատրիցա: (12 ո)-չափանի մատրիցանկոչվումէ դ-չափանիվեկտոր-տող,իսկ (դ « 1)-չափանի դ-չափանիվեկտոր-սյուն: մատրիցան՝ Վերնում բերված (4.6) մատրիցինշանակմանհամար օգտագործվումէ նան (ու)առ գրառումը:Այդ դեպքում/(/ բազմությանվրա սահմանված4 (այ), նՔՀ (50), մատրիցներիհավասարութՀ

1,2,..,հ: բոլոր է ո-զնզլյ»եյլ յունը նշանակումէ, որք, ն Ց մատրիցներիչափերընույն են համար, այսինքն` յ) 12,..,ռ ն նրանց՝ միննույն տեղերումգտնվողտարրերըհավասարեն: Խ/ բազմությանվրա սահմանված(1: չ« դ)-չափանիբոլոր մատՈրպես կանոն իբրն 71 րիցներիբազմությունընշանակենքԼո: է բազմությունվերցվում որոշակի հանրահաշվականկառուցվածք որ հ հանդիՈւստի ամենուրեք ունեցող կհամարենք, բ ազմություն: ՛մ սանում է կա՛մՓ ռացիոնալ,կա՛մՑ իրական,կա էլ Ը կոմպլեքս որնէ մեկը: թվայինբազմություններից 4.20. Սահմանում: Եթե 4 ույ), ն8- |Խյ),,,մատրիցները գումար ապա այդ մատրիցների պատկանումեն Դ(,.ո բազմությանը, Շ հլ» Ը է մատրիցան,որտեղճլյ Գւյ եւյ բոլոր կոչվում (6), .՛ 2. ,Ղ համար: Այդ դեպքում կգրենք Ը 44 8: ԼՀՆ2,..,ԽյՀՆ գումարումը հանգեցվում է նրանց՝ միննույն տեղերումգտնվողտարրերիգումարմանը: Հ

-

--

Հ

Հ

մատրիցների Այսպիսով,

Հուգո Հի : | յ |

/325

/213Յ.

|301նխ|վւ շ

02)

|4

որտեղմատրիցներըկազմվածեն իրականթվերից: Միայն զրոներից կազմված(2 դ)-չափանի մատրիցանկոչվում է զրոյականն նշանակվումէ Օ: Նշենք մատրիցներիգումարման մի քանիակնհայտ Հատկություն: Դիցուք4. 8, Ը 6 հլ,»ո: Այդ դեպքում. 4` 8)ՀԸ (զուգորդականություն), (տեղափոխելիություն), որտեղ Օ զրոյական մատրիցն է (ըստ գումարմանմիավորիգոյություն). 4) Ցանկացած464 դ մատրիցի համար գոյություն ունի այնպիսի8 6 հո մատրիցա, որճ-Է8Հ-84Հ4ՀՕ: Ընդորում, եթե 4| 1.2,..., հ: ապարՀորտեղ բոլոր եւյ -ճ (6յ),..' (Եւ). 4.22.

1) 44:(9ՀՕՀ( 2 448Հ8-ՀՃ

34ԺՕՀՕ-ՃՀՃ,

Հ

)ՀՆ2....,

ո

դեպքում

յՀ

(Ե...

Ն2...,

4.24.

քում.

համար(ըստ գումարմանհակադարձիգոյություն):

Սահմանում:

4.23.

Դիցուք

ն 4Հ-

(6)...

տարրի մատրիցի արտադրյալ ոլո մատրիցան, որտեղ ելյ 44.յ բոլոր ն 14 տեսքով: են համար, գրում ն

ո

Հ

Հ

Արտ: Այդ

կոչվում է Հ

1,2,...,

Է:

-

Հատկություն: Դիցուք 4, խ

6 1

ն 86

Այդ դեպ-

Ո»:

1) 1.44 2). (1րյ4 40.4) 3 ԱՀ 0441-Ի րձ 4) 4(4- ԹՀ 44Հ48: Հ

հետնում են մատրիցնեՆշվածհատկությունների ապացույցները րի գումարն մատրիցները թվովբազմապատկման գործողությունների ն 7/ թվայինբազմության սահմանումներից հատկություններից: Դիցուք4 (ոյ),Բ«դ 6ՇրաղնտՀվլպ) ՂՏ 41ո»«5: Այդ դեպքում 4 ն Ց մատրիցներիարտադրյալ կոչվում է Ը 6 Խչ մատրիցան,որտեղ Հ(օյ),.,

4.25.

Սահմանում:

Հ

ռ

Շյ»-

Գլլ

Ելյ

Հ

ճլԵլյ

Է

ճեչյ

Ի

Օուերյ

բոլոր 1 Հ

1,2,...,

է: յ

Հ

1,2,...,5

համար,ն գրում են

Ը

--

տեսքով:

0) երե 4-|6ւչռաստ-|.

Օրինակ:

4.26.

Բ..շ,

ապա 48

»-

(բ)

սակայն84 մատրիցանորոշվածչէ:

4-(լ 1)օ:չ է Ցան Ց

Օրինակ: Դիցուք

4.27.

Յ

Ցշ,շ: Այդ դեպքում48

-

ն

օ-0 1)6

Այս վերջինօրինակըցույց է տալիս,ռր գոյություն ունեն 4ն 8 այսինքնմատրիցների մատրիցներ, որոնց համար 4Ք»:84, (կոմուտատիվ)չէ: գործողությունըտեղափոռխելի բազմապատկում Նկատենքռր, Ո,չո բազմությանվրա մատրիցներիգումարում ն բազմապատկում գործողությունները հանդիսանում են հանրահաշվականգործողություններ:

Հատկություն:

4.28.

ՇՏ: հրո, 6» մատրիցների (48)Ը. այսինքն` մատրիցներիբազմապատկում համար 4(8Ը) է: (ասոցիատիվ) գռրծողությունըզուգորդական 46: 2) Կամայական մատրիցի համար 4 ՀԵՂ-Ճ' է Խոն ռրտեղ 1) Ցանկացած46 Հ

.-

բ1 :

9..

(միավորմատրիցա):

-'

3) Ցանկացած4/8Քախ րո

ն

ճամար

ԸՉՓՔ`ՇԱԽՈ»չ մատրիցների

ն Բ(0ՀԻՔ)

(448)Ը-«4ՕՀՅԸ Բ0- Իր: 8 6 Խո, ն ցանկացած 6 հրու 4) Ցանկացած մատրիցների ն Մ տարրիհամար (44)8 40418): 4(48) 5) Կամայական 4 6 Խո մատրիցիհամար 40-04-06իր,ը: Հ

4 6

-

Հ

հավասարությունիցչի հետնում, Սակայն480 8 «0: Իսկապես, |

2 90 0-0 Ժ

որ 4-0

կամ

Ապացույց: 1) Դիցուք4 48-ՍՀ

(48)Ը-5»-

(Եզ), ՇՀ (ալն (ոյ),..ՔԸՀՄ7» այոր Ն:),.. 48Օ0»1»կլդ կու

(6յ),,,' 8

Հ

Հ

,

Աենք պետք է տպացուցենք,որ 4(8Ը) Ունենք, որ Աջ

ծզ-լ «ելը,

Հ

ն, հետնաբար,համաձայնՏ

5յ

6յյ Ֆջ-ւ աթ

Հ

եյ

ֆուլ Գզեյ

Հ

ՄԸ

-

Ծզյ

ն7

հավասարությունների,

Հ

թյ: Ֆթ-ւՖգ-1ճպեցթ

Ֆո-16ս(Ֆջ-Եզբ6թյ) Ֆզ-16-1 ճզԵգթՇթյբ Հ

-

Տլ նյ բոլոր 1 այսինքն՝ 4Հ 2) Դիցուք (ո)...

հ: )

Ն2,..,

Հ

Հ

Հ

(Ե).

Է-

1.2,..,

ԸլյՅ Հ-ւ

Հ

յ

1,2,..,ո:

պեսապացուցվումէ Բ4 3) Ենթադրենք4 -

ՍՀ(այ,,' 4ԸՀՄՀ

դեպքում (ե), առ յ-

» Կզճց 5 զ»1

Դ

-

Եւյ

(ս)... Քանիոր

Հ

--

զլյԵյյ ճ.յ» Հ

համար, այսինքն` հավասարությունը:

(ույ), թմ,

։

-

8Ը-ԽՀ

Է

երբ1Հ1:)ՀԽ

0,

Հ

1,2,..,ռ

Հ

ո

ճա

համար:

ո

ն48-

հանդիսանումէ միավորմատրիցա,ապա ելյ ն եյ,Է-2 1. երբ)եշ21,2, Ն, ն բոլոր

7:

եթ-ւ եզըՇթյ'

-

օյյ Գզեցթ) Խրո(Խգ-1

Հ

Տ այսինքն`

(48)Ը,

Հ

5յ),, ՇՀ,»

թմ.

,

-

4:

Նմանա4Ի8Հ

Ի

8)Ը-17»Հ

:

»««փես)օա-Ֆ(6գ6ա Դ

օա)

ԻՇ

ԵՆ զ»1

զ»1

Հ

Ծլյ

Դ

-

ԾԽլյ

զՀ1

Է: յ «12,..,5 համար: Այս հավասարությունների է, (4-Ի 8)Ը- 4ԸՀ ՔԸ Նման եղանակով շղթան նշանակում որ Հ Թռ հավասարությունը: Հ Թ) 60 ապացուցվումէ 3(Օ բոլոր 1»

1,2,...,

-

4) Դիցուք 46

Մ)121-1

8,

4--(այ,.. 8-Սյ),,չ ն

4(418)-Ն»

թւ).:

Հ-ՍՀԱՆյվ,,չ

Այդ .դեպքում

1048) Սայ),

Աճ),

ճ4-

Դ

ձայ

ռ

ո

Ղ

» Գզեւյ- 2 4(գե.) - Ֆո) զ-1 զ«1 զ-1

(-1Ն2,..,հ:

բոլոր

ԱԵ,).:ն, հետնաբար,

ճ48-

Եյ-

» զա (1Եյ) զ21

7-«Ն2,...5 համար: Ուստի ճշմարիտ են 4(48) հավասարությունները:

4(48) (14)8 5) Այս հատկությանապացույցը Հ

Հ

հետնում է մատրիցների բազմապատկումգործողությանսահմանումիցն այն բանից,որ զրոյական պ է: մատրիցիբոլոր տարրերըզրոներեն: Ապացույցնավարտված

Հաջորդիվ դիտարկենք 4»- (օյ). Շատ մատրիցան: Այդ մատրիցի 41լլ, 62, ..,ճոռ տարրերը կազմում են նհրագլխավոր անկյունագիծը: Եթե 4 մատրիցիոչ անկյունագծային բոլոր տարրերը են, զրոյական այսինքն՝Օյյ-0, երբ Լյ, ապա Մ կոչվում է անկյունագծային մատրիցան նշանակվումէ

Հ

Վռքլուլ, 422,

ճոռ)

ճոռ, ապա ճ կոչվում է ճշշ տեսքով: Եթե, բացի այդ, լլ Բ սկալյարմատրիցա:Այսպես միավոր մատրիցանհանդիսանումէ Կկալյար մատրիցա:Ակնհայտ է, որ Պ-րդ կարգի յուրաքանչյուր սկալյարմատրիցակարելի է գրել 4Ք տեսքով,ինչ-որ 4 ` տ համար: Դիտարկենքմատրիցներիհետ կատարվողնս մեկ գործողություն`շրջման (տրանսպոռնացման) գործողությունը: Այդ գործողությունն ամեն մի 4 6 /ր,չռ մատրիցինհամապատասխանության մեջ է դնում նոր 47 6 հւ, մատրիցա,որը ստացվում է 4 մատրիցի նրա տողերըդարձնելովնույն համարներովսյուներ: 4՛ մատրիցան կոչվում է 4 մատրիցիշրջված (տրանսպոնացված)մատրիցա:Այսպիսով,եթե Հ

Վւ

Հ

Հ

""

1ռ

62: ճշշ .. ճո

4ւ

ՀՃԼ

ճՃ6շ

|

ճրդ

..

ապա ճ11

412612 ճլտռ

621"

ճո

..

ԶՃշդ

ճոչ

ճրդ

|.

Դիցուք բոլոր(

(67)... ն

1,2,...,Ռ։ յ

Հ

Հ

(յւ:

4»

Այդ դեպքում լյ

--

Գյո

է համար:

1.2,...,

Հատկություն: ն Ք այնպիսի մատրիցներ են, որ որոշված է 48 արտադրյալը, ապա որոշված է նան 8 47 արտադրյալը ն տեղիունի 4. 29.

1) Շթեճ

(18)7

Հ

հավասարությունը: 2) Շթեճ ն 8 հանդիսանումեն միննույն չափի մատրիցներ, ապա

(4

Կամայական46» տարրիհամար

8)7 Հ 47

Հ

ք՞։

մատրիցի (սօ

ն

կամայական 463

«147

Առյացույց:Սահմանափակվենք միայն (1) հատկությանապացույցով,քանի որ (2) ն (3) հատկություններիապացույցներըտրին որոշված է 48 արտադրյալը, վիալ են: Եթե 4 6 ոլո ապա 86 4/5: 4764(.2աԷն 87644522 Ուստի արտադրյալը նույնպես որոշվածէ: Այժմ ստուգենք(18)" Հ 8747 հավասարությունը:Նախ ն առաջ նկատենք,որ (48)7 ն 8747 մատրիցներնունեն միննույն 8(5 «Խ)-չափը: Դիցուք 4(ո), (Եւ)...,(2-Ը»-Հ

4:- (ւ):

Հար(Ես)... (48)7 (ա), 8 ո- (4).,յ:Ը/),. 1,2,..,5: ապացուցել, որ «լյ ձլյյ բոլոր յՀ 12,..,8

-

կավոր է համար:Իսկապես,

4ձյ-

5`եոՕզ-1

1»1Ն2,..,5

Հ

-

9 -չ Եզճգ Հ

յգ

Ել:

Հ

օւ

Հ

յ

/ՀՆ2,..,Խ համար: Ապացուցն ավարտ" վածԷ: Մատրիցներիտեսությունում կարնոր դեր են խաղում այն մատրիցները,որոնք փոփոխության չեն ենթարկվում շրջման (տրանսպոնացման) դեպքում: Այդպիսի մատրիցներինանվանում են սիմետրիկմատրիցներ: Եթե 4 |ոլյ)Բաղ հանդիսանումէ սիմետբոլոր

»

րիկ մատրիցա,ապա 47 4, ինչը նշանակումէ, որ Ս ռ ն 4 հանդիսանումէ Պլյ ճյ պայմանովքառակուսիմատրիցա:Հակառակը, այդպիսիպայմանովյուրաքանչյուրքառակուսիմատրիցսիմետրիկ Հ

-

է:

Տ 4.3.

ՈՐՈՇԻՉՆԵՐ:

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ՈՐՈՇԻՉՆԵՐԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

11 բազմության վրատրված Դիտարկենք

լ» Գլ.

"|

ճոռ

612"

«2 Պու Ճոշ ». Ճոռ

(47)

քառակուսիմատրիցը: Կազմենքայդ մատրիցիանդամներիբոլոր հնարավոր այնպիսի արտադրյալները,ռրոնք պարունակում են ճիշտ ռ հատ անդամ ն այդ անդամները գտնվում են մատրիցի տարբերտողերումն տարբերսյուներում, այսինքն՝ (4.8) ճ2ռչ Գոռդ տեսքիարտադրյալները,ռրտեղՊլ,ճշ, ..., ճո ինդեքսներըկազմում Գոլ

1,2,...,Ղ թվերի որնէ տեղափոխություն:Այդպիսի արտադըրյալների քանակըհավասարէ ո սիմվոլների իրարիցտարբերտեղափոխություններիքանակին,այսինքն հավասարէ դէ: Նկատենք,որ (4.8) արտադրյալինկարելի է համապատասխանության մեջ դնել նրա ինդեքսներիցկազմվածդ-րդ աստիճանի են

«-

(ուա

12.-ռ

)

(45)

տեղադրությունն ն հակառակը. (49) տեսքի յուրաքանչյուր տեղադրության միարժեքորենհամապատասխանում է (4.8) տեսքի արտադրյալ: |

Այսուհետն կդիտարկենքմիայն կամայականԴ/ բազմության վրատրվածքառակուսիմատրիցներըն նրանցորոշիչները: 4.30.

պատասխանՈ-րդ

կարգիքառակուսիմատրիցինհամակարգիորոշիչ (դետերմինանտ)կոչվում է դ հատ

Սահմանում:

ո-րդ

անդամներիհանրահաշվական գումարկ̀ազմվածհետնյալ կերպ. գումարիանդամներհանդիսանումեն մատրիցիտարբերտողերում ն տարբերսյուներում գտնվող դ հատ տարրերիբոլոր հնարավոր արտադրյալները,ընդ որում, անդամը հանդես է գալիս դրական նշանով,եթե նրա ինդեքսներըկազմում են զույգ տեղադրություն,ն բացասական նշանով՝ հակառակ դեպքում: Ճ

նան

մատրիցիորոշիչը նշանակվում է |4|տեսքով:Ընդունվածեն

|ուկ,,.

46:(4),

Ալ

աշ

ճշւ

ճո

ճշռ

..

Գու Գոշ». ճոռ

նշանակումները:Այս նշանակումներիցվերջինի գործածության դեպքումմատրիցիտարրերը,տողերը ն սյուները համապատասխանաբար կոչվում են նան նրա որոշիչի տարրեր,տողեր ն սյուներ: Այժմ կնշենք ռ-րդ կարգի որոշիչների մի քանի պարզագույն հատկություններ,որոնք գլխավորապեսվերաբերում են հետնյալ երկու հարցերից մեկին. մի կողմից մեզ կհետաքրքրենորոշիչի զրոյին հավասար լինելու պայմանները, մյուս կողմից կնշենք մատրիցիորոշակի ձնափոխություններ,որոնք չեն փոխում նրա որոշիչըկամէլ նրանենթարկումեն չեչին փոփոխությունների: է, որ եթե Ռրոշիչի սահմանումից անմիջապես հետնում ընդունենք Տցո(«)

Հ

1, եթեՕ զույգ տեղադրությունէ

վ-1,

եթե« կենտտեղադրությունէ

նշանակումը, ապա կամայական մարկունենանք,որ

ժ6է0Ծ

-

`

(6)...

-

հրու մատրիցիհա-

Տցո(ա) լոլճոող "Շոու: -

ճ6Տդ

Վերջինսկանվանենք46Է(4) որոշիչի հիմնականվերլուծություն: Պնդում (Հատկություն 1): Կամայական4 քառակուսի մատրիցի ն նրա շրջված (տրանսպոնացված)Ճ՛ մատրիցի որոշիչներնիրարհավասարեն, այսինքն՝ 4.31.

Վ6:(4)

Հ

46:(17):

Ապացույց: Դիտարկենք46:(4) ծության

որոշիչի հիմնական վերլու-

Գու Մ2օշ`` ոռը

գումարելին:Նրա նշանը, ռրոշիչի հիմնականվերլուծությանմեջ, որոշվումԷ «Հ

-

(

12.

ռլ Ճշ .»»

ո)

ճոռ

տեղադրությանզույգությամբ:Այդ նույն գումարելինմասնակցումէ նան 46-է(47) որոշիչի հիմնականվերլուծության մեջ, քանի որ նրա արտադրիչները46է(4՞) որոշիչում մնում են տարբերտողերում ն տարբերսյուներում,իսկ նրա նշաննորոշվում է

գ-1»(51062՝ 12.

շո) դ

տեղադրությանզույգությամբ: Բայց . ն 6-7 տեղադրություններն ունեն նույն զույգությունը:Հետնապես գ14յ ճ2«չ ոս, գումարելին 46:(4) ն զ6:(47) որոշիչներումկունենանույն նշանը:Ուրեմն նշված են: « որոշիչներնիրարհավասար հետնում է, որ որոշիչի տողերինվեԱռաջին հատկությունից րաբերողցանկացածպնդում ճշմարիտէ նան նրա սյուներիհամար ն հակառակը, այսինքն՝ որոշիչում (ի տարբերությունմատրիցի)տոն են: ղերը սյուներըհավասարազոր (իրավահավասար) 4.32. Պնդում (Հատկություն2): Եթե որոշիչը պարունակումէ զրոյականտող (սյուն), ապա այն հավասար է զրոյի: Ապացույց:Իսկապես,դիցուքորոշիչի 1-րդտողի բոլոր տարրեըը հավասարեն զրոյի: Որոշիչի հիմնականվերլուծության յուրաքանչյուրանդամպետքէ պարունակիմեկ տարը 1-րդ տողից,ուստի որոշիչի բոլոր անդամները,ինչպեսնան որոշիչըհավասարեն զրո""՝

յի:

"

3): Մատրիցիերկու տողերի(սյուՊնդում (Հատկություն ների) դիրքափոխությունից ստացվածմատրիցիորոշիչը հավասար է տրվածմատրիցիորոշիչի հակադիրին,այսինքս որոշիչի տողերի (սյուների)տեղափոխությունից նրանշանը փոխվումէ.

4.33.

ճւ

ւ

ճյ1

ճյ2

61:

Ձււ

ճտ

ճյլ

ճո

ճւ

""

Գու Գոշ

Մու Ճոշ

Գա|)

""

ճառ

""

4/

`"

ճո

""

Ճո

՛"

(ոյ),

մատրիցի1-րդ ն յ)-րդ տողերի տեղափոխությունից ստացվել է Ք մատրիցը:Դիտարկենք 46Է(4) որոշիչիհիմնականվերլուծությանորնէ Առյացույց: Դիցուք 4

Օոլ

Հ

Գլոլ ճյօյ

ԱՃ .ււ

գումարելի:Նրա նշաննորոշվում է ՕՀ

Ն

են 1::-

յ

Լ Օլ

ա.

ճյ

ո) Պ

մաստեղադրությանզույգությամբ: Սակայն նշված արտադրյալը նակցումէ նան 46Է(8) ռրոշիչիհիմնականվերլուծությանմեջ: Բայց այդ մասնակցություններիմիջն կա երկու տարբերություն. գլօլ տարրը գտնվումէ Թ մատրիցի)-րդ տողի ճ.-րդ տեղում, իսկ ճյշյ տարրը գտնվումէ 8 մատրիցի1-րդտողի ճյ-րդ տեղում:Հետնաբար ձ6է(8) ռրոշիչիհիմնականվերլուծությանմեջ

Ճլոլ ... լոլ

Գյօյ ճու

անդամինշանը կորոշվի բ

Ն ՞

(..-Օյ 1---

ա:

ճլ

ո.

ոյ Դ

տեղադրությանզույգությամբ:Սակայն « ն Թ տեղադրություններն ունեն տարբերզույգություններ: Հետնապեսլօլ ճել": ճյօյ՞՝ Վո« արտադրյալը ն, ուրեմն, 46:(4) որոշիչի հիմնականվերլուծության յուրաքանչյուրգումարելի46է(8) որոշիչի հիմնականվերլուծության համապատասխան գումարելուց տարբերվումէ միայն նշանով: Սա « է, էլ նշանակում ռր 46է(4) --46Է(8):

Հ

Պեդում(Հատկություն4): Եթե մատրիցըպարունակումԷ երկու միատեսակտող (սյուն), ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի,այսինքն 4.34.

ԱԱ «Ա ՀՐ «ո ճշ

ճւ

Ք

Ը

ճոռ

Է

|»6:

:

ճո ՊԱ ճը." -" Գոռ ու ճոշ Աղացույց: Դիցուք 4

(այ),

Հ

մատրիցնունի երկու միատե-

մատրիցիհենց այդ տողերը: Այդ դեպքում, սակ տող: Տեղափոխենք համաձայն նախորդ հատկության, որոշիչը կփոխի նշանը: Մյուս կողմից, քանի որ դիրքափոխվածտողերը միատեսակեն, ապա ստացվածմատրիցը, հետնապես նան նրա դիրքափոխությունից որոշիչը չեն փոխվի:Այսինքնտ̀րվածմատրիցիորոշիչը մի թիվ է, " է: որը հավասարէ իրենհակադիրթվին:Ուրեմն այն զրո Եթե մատրիցի որնէ տողի Պեդում (Հատկություն 5) որնէ Բ տարրով / բազ(սյան) բոլոր տարրերըբազմապատկենք մությունից, ապա ստացվածմատրիցի որոշիչը հավասարկլինի 4.35.

տրվածմատրիցիորոշիչին

Խուլ

հճշ

"`

ճշ

ճու

""

Ապացույց: Դիցուք

Հ

Ք

այսինքն` տարրիարտադրյալին, ճոռ

ճ11

Խութի

Ան

ճշ

Ճո

Գու

ճոշ

(գյ),,,

ճգ

`"

ճո:

ճտ

"`

մատրիցի 1-րդ

տողը

բազմա-

պատկելենք հ տարրովն ստացել8 մատրիցը:Այդ դեպքում 46է(8)

-

5ցո(ճ) Գնուլճ2ոչ

"`

(էգլոլ)"":Գոու

Հ

ՃՇՏդ ա

365,Տցո(ճ):

Գուն2օչ

ալ`

ռող

՞ճ

Խ:

46:(4):

ռ

Պնդում(Հատկություն6): Եթե մատրիցըպարունակումէ պատիկտողեր (սյուներ), ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի, 4.36.

այսինքն՝

Գ

ւղ հոլլ

ճ2

ճոռ

`"

Խճլչ

ճու

ճոռ

ոշ

Խճ

արձ

է նախորդերկու հատկություններից:

Ապացույցըհետնում

Պնդում(Հատկություն7): Եթե մատրիցիԼ-րդ տողի(սյան) յուրաքանչյուրտարր երկու գումարելիներիգումար է, ապա նրա որոշիչը հավասար է երկու մատրիցներիորոշիչների գումարին, որոնցից առաջինի 4-րդ տողում (սյունում) գտնվում են տրված գումարելիները,իսկ երկրորդ մատրիցի1-րդ տողի (սյան) առաջին մատրիցի 1-րդ տողի տրված (սյունում) մատրիցի 14-րդտողում երկրորդ գումարելիները,իսկ այդ մատրիցներիմնացածտո(սպան) ղերը (սյուները) համընկնում են տրված մատրիցի համապատասխանտողերի(սյուների)հետ, այսինքն՝ 4.37.

61.

«լւ

64:

01:412 ` 01»

611ճշ "ճո

61»

:

`

Էօե- «ճեն «ի«ե«ճե «ե«ե.«օէ հոնի

ռու

Է

-

ճո2

Ճոռ

""

«ւ 6,

ե

։

Գերճոճո»Վոր

Ապացույց: Այս վերջին հավասարությանձախ մասը նշանազ՛ ն կենք4, իսկ աջ մասի գումարելիներըհամապատասխանաբար՝ գ": Այդ դեպքում,ըստ սահմանման մ-

»՝

Տցո(6)

ճՇՏո

-

'

`" (Ճո

Պլոլ02ող

5 Տ9ո(63)' լու62ոչճայ"`Պրո, »՝ ՕՇՏղ "'

Է

(ւլ) ""'Յոս,

Հ

Տցո(6) Պլուճշօչ -"՝ Գել`՝ Ճոռ,, :

ճ6Տղ

»-ճ/Գ

Ժ

զ":

.

Կասենք, որ մատրիցի(1-րդտողը (սյունը) հանդիսանումէ մնաեթե գոյություն ունեն ցած տողերի(սյուների)գծայինկոմբինացիա, տարրեր 1 բազմությունից, որ այնպիսի հ.,..,Խ.ելւ...,ճւ. յուրաքանչյուր յ-րդ տող (սյուն) բազմապատկելովհյ տարրով ժՀ-1..,1-1Ն1ՀԻ1...,ո), բոլոր այնուհետնգումարելովստացված (սյուների համապատասխանտարրերըա̀րդյունքում

տողերի

կստանանքմատրիցի 1-րդ տողը (սյունը): Նշված եյ,..,հլ հաւ ..,հո տարրերըկոչվում են գծային կոմբինացիայիգործակիցներ: Հնարավորէ, որ այդ գործակիցներից մի քանիսըլինեն զրոյական: Դա նշանակումէ, որ իրականում1-րդ տողը (սյունը) հանդիսանում է մատրիցիմնացածոչ բոլոր տողերի (սյուների) գծային կոմբինացիա: Մասնավորապես, եթե Խյ տարրերիցմիայն մեկն է ոչ ստանում զրոյական,ապա ենք պատիկ տողերի (սյուների) դեպքը: Վերջապես,եթե մատրիցիտողը (սյունը) կազմվածէ միայն զրոներից, ապա այն միշտ հանդիսանումէ մնացածտողերի (սյուների) գծայինկոմբինացիան. բոլոր գործակիցները հավասարեն գրոյի: 4.38. Դնդում (Հատկություն8): Եթե մատրիցիորնէ տող (սյուն) 8/ բազմության բազմապատկենք ցանկացածտարրովն գումարենք մեկ այլ տողի (սյան), ապա ստացվածմատրիցիորոշիչըհավասար կլինիտրվածմատրիցի որոշիչին,այսինքն`

Գա:

Օր

Հո

«ո

""

` հոյւճռ էԽճյշ«Գր,Իհյ, ճւ ռո . ո. Հ ո: «Կ |խո ո «ր օո օշ2 - գա| խո ա-

Առյացույց:Բավականէ օգտվել(7)

ն

. (6) հատկություններից:

4.39.

Պնդում (Հատկություն9): Եթե մատրիցիորնէ տողին (սյանը) գումարենք նրա այլ տողերի (սյուների) գծային կոմբինացիա,ապա ստացվածմատրիցիորոշիչը հավասարկլինի տրված մատրիցիորոշիչին: հետնում է (8) հատկությունից: " Ապացույցը 4.40.

Պնդում (Հատկություն 10): Եթե մատրիցիորնէ տող (սյուն) հանդիսանումէ մնացածտողերի (սյուների)գծայինկոմբինացիա,ապա երաորոշիչըհավասար է զրոյի: Ապացույց: Դիցուք մատրիցի(-րդ տողը հանդիսանումէ ուրիշ 5 ՂՀՏՀո-1) տողերի գծային կոմբինացիա:Այդ դեպքում 4-րդ տողի յուրաքանչյուրտարր հանդիսանումէ Տ տարրերիգումար ն, ստանում ենք, բր տրված հետնաբար, կիրառելով(7) հատկությունը՝

մատրիցի որոշիչը հավասար է 5 թվով որոշիչների գումարին, որոնցիցյուրաքանչյուրում 1-րդ տողը պատիկ է մնացածտողերից մեկին: Համաձայն(6) հատկության,բոլոր այդ որոշիչները հավասար են զրոյի: Դա նշանակում է, ռր տրված մատրիցի որոշիչը ռ նույնպեսհավասար է զրոյի: Տ 4.4.

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ

ԵՎ ՆՐԱՆՑ

ՄԻՆՈՐՆԵՐ

ԼՐԱՑՌԻՄՆԵՐԸ

Դիցուք Վ հանդիսանում է ռ-րդ (դ » 1) կարգիորոշիչն1Հ. Հ Այդ որոշիչում ընտրենք ք հատ տող ն հ հատ սյուն ն յՆԽ)շ,..,յ, համարներով: համապատասխանաբար(յ,1չ,..,ե. ն հատման տեղերումգտնվողտարրերը Ընտրվածտողերի սյուների են Խ-րդ կարգի քառակուսի մատրից: Այդ մատրիցի կազմում որոշիչը կոչվում է մ որոշիչի 1-րդ կարգի մինոր: Վերջինս նշանակենք ՊՐ տառով: Հաճախակի ասում են, որ ՊՐ մինորը գտնվումԷ զ որոշիչի (լ, 1չ, կ. համարներովտողերում ն/1,)շ, ...,յո համարներովսյուներում: Այնուհետն, Վ որոշիչի այն տարրերը,որոնքչեն գտնվումնշված տողերում ն սյուներում, իրենց հերթին կազմում են (ո 0-րդ կարգիքառակուսիմատրից: Սյդ մատրիցիորոշիչը կոչվում է 7( մինորիլրացուցիչ մինոր ն նշանակվում է ՃԸ" սիմվոլով:Կարելի է ասել, ռր ՊՐ" լրացուցիչմինորը ստացվումէ 4 որոշիչում ջնջելով համարներով սյուէ,ե,...,կ. համարներով տողերը ն /ւ,)շ,...,/, ները: Եթե ՊՐ մինորըգտնվում Է էլ, է, նկ.համարներովտողերումն )ւ.)շ....,յ. համարներովսյուներում, ապա 7Ր մինորի հանրահաշվականլրացում կոչվում է նրա ՊԸ" լրացուցիչ մինորըվերցված (-1): նշանով, որտեղ Տ2ԱՀ-ԳՎԱԵՒՍ/ւ Է" Էյչ: Այս սահմա(-1):7(՝ հանդիսանումէ ՃԸ մինորի նումիցհետնում է, որ եթե 4 հանրահաշվական լրացումը, ապա նրա անդամ կհանդիսանաՐ" (--1): թվով: բազմապատկած լրացուցիչմինորիցանկացածանդամ՝ ո-1:

-

՝

-

Դիցուք Վ հանդիսանումէ դ-րդ (ո » 1) կարգի որոշիչ, ՊԸ երա որնէ է-րդ կարգիմինոր,իսկ 4 հանդիսանումէ 7Ր մինորի հանրահաշվականլրացումը: Այդ դեպքում ՊՐ մինորի 4.41.

Լեմմա:

լրացմանցանկացած ցանկացածանդամի ն 4 հանրահաշվական է անդամիարտադրյալը հանդիսանում ռրոշիչիորոշակիանդամ: մ Ապացույցըսկսենք այն դեպքից,երբ ՊԸ մինորը գտնվումէ որոշիչիվերնիձախանկյունում.

Գ11 զ-

ճեՀ1

Գ:

:

ճու

ԳրՀ11 :

:

:

ճու

Մա

ճան

""

ճիռ

՛"

ճեւԼոի

Մ

աո1

ՖԸ

ե

|Լ

ճն

""

:

ՕՆԵՀ1

ճա

"`

ճո

""

Ը:

։

:

Օոռռ

Հի

1,2,..,. այսինքն՝ 7("

դեպքում անկյունում ն, ապա 4

Հ

համարներով տողերում ն պուներում: Այդ լրացուցիչ մինորը կգտնվի 4 որոշիչի ներքնի աջ Խ-2-1՝Ի-:Ւ 53, քանի որ Տ»214Վ-..ԻԽԵՀ1Հ-:-Է

(-1)՝7Ր՝

Հ

ՖԸ՝։

մինորի կամայական (-1) 61ոլ62օչ "'՝Ճեռւ է անդամ,որտեղ1 հանդիսանում Դիտարկենք ՊԼ

12-ի) ճլ ճշ:

ճլ

տեղադրությանինվերսիաներիքանակը: Ենթադրենք նան, որ լրացուցիչ հանդիսանում է Պլ (-1)" 018. ԵՀ2Ք.չշ `" Վոքո մինորիորնէ անդամ,որտեղդ տառովնշանակվածէ

(12-63 Բել Բոշ ""

Բո

7( ինվերսիաներիքանակը: Բազմապատկելով տեղադրության ստանում ՖԸ ենք մ որոշիչի մինորներինշված անդամները` տարրերի

(-1) Բ"զոլ

ճ2օշ

եւ

ն ոռ

Գեւ ՄԱՒՆՔ Մ142841``` Լոքո

որոշիչի տարբեր տողերում ն որոնք ենք Ճ որոշիչի հիմնական սյուներում, այսինքն ստանում անդամ,որովհետնայդ անդամինշաննորոշվումէ վերլուծության գտնվում են

արտադրյալը,

(ւ

Ս Եւ121-2:..«

2.

Գլ ճշ

Օէ

Բու

Բոշ

--

լ

Բո

տեղադրության զույգությամբ,։ որըՑ հավասար է 1Լշուչ թվի զույգությանը,քանի ռր ոչ մի (ռ.թյ) զույգ ինվերսիաչի կազմում. Հո: Սրանովավարտվեցլեմմայի մասնա1ՀոՀենիՒ1Հբյ վորդեպքիապացույցը: Այժմ անդրադառնանքընդհանուր դեպքին, երբ ՊՐ մինորը գտնվում է (լ, 1շ,..., լ, համարներովտողերում ն )/լ,)շ, ...,)չ համարսյուներում,ընդորում ներով

նՀԵՀ:""ՀԿեԿ

նյլ

Հյ/)շՀ:'"Հյիւ

Այս դեպքը կարելի է հանգեցնելվերը դիտարկվածդեպքին օգտվելով4.33 պնդմանապացույցիընթացքումստացվածփաստից, որի համաձայն, եթե Վ որոշիչում տեղերով փոխենք երկու տող (սյուն), ապա կստացվի նոր որոշիչ, որի յուրաքանչյուր անդամ

վերցվածհակառակնշանով: հավասար է մ որոշիչի որնէ անդամի՝ Ապացույցիհիմնականգաղափարըկայանումէ նրանում, որ 4 որոշիչումսկզբում փոխելովտողերիտեղերը,իսկ հետո սյուներիտեղերը՝ստանալնոր Ճ որոշիչ, ռրի վերնիձախանկյունումգտնվումէ Լ մինորը, իսկ նբա լրացուցիչ 76" մինորը գտնվում է 4 որոշիչի ներքնիաջ անկյունում:Դրանկարելիէ հասնելհետնյալկերպ: (էլ 1)-րդ Հաջորդաբարմորոշիչի 1լ-րդ տողը դիրքափոխենք հետ ն հետո հետ, (էլ 2)-րդ տողի այսպես շարունակ դրանից տողի մինչն (լ-րդ տողը չգրավի առաջին տողի տեղը: Պահանջվում է Նմանապես (շչ-րդ կատարելընդամենը (էլ 1) դիրքափոխություն: 2) ((չ տեղը կատարելով տողը կտեղափոխենքերկրորդ տողի ն դիրքափոխություն, այսպես շարունակ: Վերջապես (յ-րդ տողը հետո կգրավի կ-րդ տողի տեղը: (կ.- 0 ղիրքափոխություններից Այս ամենիհամարկպահանջվիընդհամենը -

--

-

-

(լ-1Հ

(2-2):

Ժ:-Է4:--Թ-(ԱՀՎԱԵՀԷա)-ԱՀ2Հ:-Էե)

դիրքափոխություն: Նմանապես,հաջորդաբարփոխելովորոշիչի հարնանսյուների նրան, ռր /լ-րդ սյունը կզբաղեցնիառաջինսյան տեղերը, կհասնենք /:-րդ սյունը՝ )շ-րդ սյունը՝երկրորդսյան տեղը,ն, վերջապես, Խ-րդսյանտեղը:Դրահամար կպահանջվիսյուներըտեղափոխել

բեղը

0.-2Հ0չ-2)4:Է-ԹՀԱՀ/չԳ-Ւ/)-ԱՀ2ՀՀ:

անգամ:

"Ւ

Ռրոնելի Ճ որոշիչը ստացվումէ տողերին սյուների

մ

որոշիչից երա հարնան

(ւճ8նՀԻ:ՎԱՍՊՀՍԵ-ԻԷԻյ)-2142Հ..ԻԹՏՏ-2(1Հ24-..ՀԹ

հատ

տեղափոխությունների միջոցով,որտեղ

5-2(ղԻեՀ-«ՎԱՀՕՍՊՀԵՅՀ:"Ի)ժ:

Քանի որ անգամ մենք դիրքափոխելենք միայն հարնան տողերը ն պուները, ապա 4 որոշիչում 7ք" մինորը պարունակող մնում է տողերի ն պուների փոխադարձդասավորվածությունը ՖԼ ուստի որոշիչում որպես անփոփոխ, մինորիլրացուցիչմինոր մնում է 7ճ' մինորը, որը գտնվում է արդեն 4 որոշիչի ներքնի աջ անկյունում:Հետնաբարմ որոշիչի ցանկացած անդամհավասարէ մ որոշիչի որնէ անդամի` բազմապատկած(--1)5-214:24--ՀԾ (-1): թվով: Այժմ ենթադրենք,որ / հանդիսանումէ 7ք մինորիորնէ անդամ, իսկ /` նրա Ր" լրացուցիչ մինորի որնէ անդամ: Համաձայն սահմանման, (-1)"/" հանդիսանումէ ՊՐ մինորի 4 հանրահաշվականլրացմանանդամ:Ունենք, որ ամեն

-

Ւ: 1)'/"

«

Մ'"7/:Բ։

Քանի որ մինորը գտնվում է Մ որոշիչի վերնի ձախ անկյունում,իսկ նրա ՖՐ' լրացուցիչմինորը՝ ներքնիաջ անկյունում, ապա /:/" հանդիսանումէ Մ որոշիչի անդամ:Բայց այդ դեպքում (-13:/: /" արտահայտությունըպետք է հանդիսանաՃ որոշիչի " անդամ:Լեմմայի ապացույցնավարտվածէ: է լեմման Ապացուցված թույլ տալիսստանալհետնյալկարնոր արդյունքը. ՖՐ

4.42. Թեռրեմ(Լապլաս): Դիցուքո-րդ կարգի4 որոշիչում կամայական ձնով ընտրված են հ հատ տող (կամ հ հատ սյուն), 1ՀԵՀո-1 Այդ դեպքումընտրվածտողերում (սյուներում)գտեըվող բոլոր հ-րդ կարգի մինորների ն նրանց հանրահաշվական լրացումներիարտադրյալներիգումարըհավասար է 4 որոշիչին: Վ են Ապացույց:Դիցուք որոշիչում ընտրված (լ, էշ, ը, համարներով տողերը:Հայտնի է (տես. 4.41 լեմմա), որ նշված տողերում

..

»

ՖՐ մինորի ն նրա հանրահաշվագտնվողԽ-րդ կարգի ցանկացած կանլրացմանարտադրյալը բաղկացածէ Վ որոշիչի ինչ-որ քանավերցվածնույն նշանով, ռրով նրանք հանկությամբանդամներից՝ դես են գալիս Ճ որոշիչում: Հետնաբար,թեռրեմը կլինի ապացուցված, եթե ցույց տանք, որ ստիպելով ՊՐ անցնի նշված տողերում գտնվողԽ-րդկարգիբոլոր մինորներիվրայով,արդյունքում կստանանք որոշիչի բոլոր անդամները,ընդ որում նրանցիցոչ մեկը չի կրկնվում: Դիցուք

Գոլ 62օչ

հանդիսանումէ

Մ

(4.10)

Գոռ

"`

որոշիչի որնէ անդամ: Առանձնացնենքայդ

էլ, նշ,...,կ. համարներովտողերումգտնվողտարրերի անդամի՝

ՕլլօլլՕշոլշ ՀԲ

(4.1 1)

Գբ

որի արտադրիչներըգտնվում են իրարից տարբեր Օյլ Գեշ ճա համարներովսյուներում: Այդ սյուների համարները միարժեքորենորոշվում են Ճլոլճշօչ `" Ճո, անդամովն (յ, նշ..., էյ համարներով տողերի ն համարներիտողերով: Եթե (լ, Լ,..,կ. հատման տեղերում գտնվող համարներովսյուների Օլ ճշ :.,ճյ. 7(, ապա մինորը նշանակենք տարրերիցկազմված 8-րդ կարգի Ֆ/ (4.11) արտադրյալը կհանդիսանա մինորիորոշակիանդամ,իսկ (4.11) արտադրյալում (4.10) անդամի՝ չմասնակցողբոլոր տարրերի ՖԼ լրացուցիչ մինորի անդամ: մինորի արտադրյալը կհանդիսանա Վ Այսպիսով, որոշիչի յուրաքանչյուրանդամ հանդիսանում Է ընտրրված տողերում գտնվող,լիովին որոշված Խ-րդ կարգի մինորի որոշակի անդամի ն նրա լրացուցիչ մինորի որոշակի անդամի արտադրյալ: Եթե այդ արտադրյալումլրացուցիչ մինորի անդամը լրացմաննրանհամապատասխան հանրահաշվական փոխարինենք անդամով,ապա կստանանք4 որոշիչի անդամ նույն նշանով,որով նա մասնակցումէ այդ որոշիչում: Սրանով ավարտվումէ թեռրեմի կիրառելի չնչին փոփոխություններով, ապացույցը (այս ապացույցը, . է նան սյուներիդեպքիհամար): հ դեպքում: Լապլասի թեռրեմը հաճախակիկիրառվումէ հանրահաշվական տարրի որոշիչի Պայմանավորվենք լյ լրացումը նշանակել 4.յ սիմվոլով: Այդ դեպքում 4.յ (-1) ԸՐյ, արտադրյալը,

-

Հ

որտեղ (ռ- 1)-րդ կարգի (յ որոշիչը ստացվումէ մ որոշիչից ն ջնջելով նրա մ-րդ տողը յ-րդ սյունը: Ֆիքսելով 4 որոշիչում Էրդ տողըստանում ենք

Հ

ճղճյ

02240 "Դ

ճաւճես

մ որոշիչի վերլուծությունն այսինքն՝ ըստ

(-րդ տողի տարրերի: ենք 4 ռրոշիչի վերլուծություննըստ յ-րդ

Նմանապեսստանում սյանտարրերի.

ճյ41յ Դ ճշյ42յԻԺ

զ-

ՊոՃոյ՝

Ախ վերլուծությունները թույլ են տալիս ո-րդ կարգիորոշիչի հաշվումը հանգեցնել(1)-րդ կարգի որոշիչների հաշվմանը: Հատկապես հարմարէ որոշիչը վերլուծել ըստ տողի (սյան) տարրերի,եթեայնպարունակումէ շատ զրոներ: Վերջին դիտողությունը հուշում է որոշիչների հաշվման հետնյալ եղանակը. կիրառելով որոշիչների հատկություններ հասնել նրան, որ որոշիչի որնէ տողում (սյունում) ինչքան հնարավորէ շատ զրոներ ստացվեն,ն միայն դրանիցհետո որոշիչը վերլուծելըստ այդ տողի(սյան): 4.43.

Օռինակ: Եթե որոշիչիգլխավորանկյունագծի մի կողմում գտնվողբոլոր տարրերըզրոյականեն, ապա այդ որոշիչըհավասարէ գլխավորանկյունագծի վրագտնվողբոլոր տարրերիարտադրյալին: Երկրորդ կարգի որոշիչի համար այս պնդումը ճշմարիտ է: Ենթադրենքպնդումըճիշտ է(դ 1)-րդ կարգիորոշիչներիհամար, են վերընշվածպայմաններին, ն դիտարկենքոդրոնք բավարարում րդ կարգի --

67չ

Գլ

Վ»|

""

ճշ

-"

08գ

03դ

"'

ճո

..

որոշիչը: Վերլուծելովայն ըստ առաջինսյան՝կստանանք. ճ2շչ

ՎՀ

ուլ

ճշռ

655-" «3»

.«- ճո

Սակայնհավասարությանաջ մասում գտնվողորոշիչի նկատմամբ ստանում ենք, որ այն կիրառելովինդուկցիայի ենթադրությունը` է ճշ033"Պող արտադրյալին,ուստի հավասար 4. 44.

«11022033

Հ

Գող:

Օրինակ:Վանդերմոնդի որոշիչ կոչվում է հետնյալտեսքի

1...

ճւ

6չ

02 02 042

զ-|

ճղ

'"

..

ԵՂԱՒաՆ. զո կարգիորոշիչը: Ցույցտանք,որ կամայականԴ Հ 2 համար Վանդերմոնդիորոշիչը հավասար է բոլոր հնարավոր (գլ- ճյ), ո, տարբերությունների 1Հ7 ՀԼՏ արտադրյալին:Իսկապես,1 2 դեպքումունենք 2 Հ ո-րդ

Գլ

ճշ

4շ-ճլ:

Տ

կարգի Ենթադրենք մեր պնդումը տեղի ունի (տ -1)-րդ Վանդերմոնդիորոշիչներիհամար:Ձնափոխենք որոշիչը հետնյալ յուրաքանչյուր տողից, սկսած վերջինից, հանենք կերպ.որոշիչի նախորդտողը բազմապատկածճլ տարրով: Արդյունքումկստանանք

4-|

զշ

02(

-

լ

Ճգ

02-01)

-

Պլ

«(03 -ճ)

""

(6չ -ճ1)65(.:-01)

ճւ

-

Ճո(ճո

Օլ -

6.)

Ճո՞՞(ճղ- 0)

որոշիչը:Վերջինսվերլուծելովըստ առաջինսյան՝ստանում ենք. ճշ

-

ճ: -ճլ

ճլ

ճ3(ո3-լ)

շ(ճշ-ճ)

զ-

2(գշ-

լ)

ճւ-ճլ

ճ3-7(ռյ ճլ) -

Հո -"

որոշիչը, որից հետո բոլոր սյուներից դուրս արտադրիչը՝ կունենանք,որ

ճո(ճո-լ) ճո(ճղ-

1)

հանելով ընդհանուր

(ոչ-ա)(ո»«)-«(ւ-օ|

ԵՍ

..

զ

բ

255:

գո-2զ:

զո-2

..

է աջ մասիորոշիչը հանդիսանում Ստացվածհավասարության կ իրառելով որոշիչ,որի նկատմամբ (դ 1)-րդ կարգիՎանդերմոնդի ստանում ենք, որ ենթադրությունըվերջնականապես ինդուկցիայի -

01)(63

(ճչ-

-

|| Է7

15/ՀԼՏո

Տ 4.5.

(գ. գյ) -

2ՀյՀԼԱՏռ -

Գյ):

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԻ

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ

ՔԱՌԱԿՈՒՍԻ

ՈՐՈՇԻՉԸ

|

6.)՝

61) "::(6ղ-

-

ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ

ՄԱՏՐԻՑ

Լապլասի թեորեմըթույլ է տալիս ապացուցելֆունդամենտալ մաորոշիչներիբազմապատկման կարնորությունունեցող փաստ՝ սին թեռրեմը: 4.45. Թեորեմ: Երկու քառակուսիմատրիցներիարտադրյալի է այդ մատրիցների որոշիչներիարտադրյալին որոշիչը հավասար Ոռ, ապա այսինքն եթե 4,8 (թլ

-

է1լ- Թի

2ո-րդ կարգիօժանդակ Ապացույց: Դիտարկենք

«-Լո, Բ

(4.12) են

հանդիսանում որոշիչը,որտեղՕղ ն Ք, համապատասխանաբար ն այդ որոշիչում Նշենք մատրիցներ: միավոր ո-րդ կարգիզրոյական տ հատ տողերըն օգտվենք Այդ դեպքում Լապլասիթեորեմից: առաջին

կվ

126Ի»-

|լ

Հ

եզլ-|Թի

Մյուս կողմից,(4.12) որոշիչը կարելիէ բերել «|

օօ

ք| Ը

(4:13)

տեսքի,որտեղ Ը 4Ք, օգտվելովորռշիչների(8) հատկությունից: Լապլասիթեռրեմը(4.13) որոշիչի առաջինդ տողերի Կիրառելով որ կստանանք, նկատմամբ՝ -

Հո)Հ(1414742Հ--ՎՈոՀո) մ»- | (-1)(32-:այտ |(-(-1)»6"Դ |լ -|գ-ԸՑ"Կ»:5-(-1)" ,

-

-

Հ

ՀամեմատելովստացվածՄ |4|:|| ն 4Հ |Ը|Հ |4Թ|հավաստանում ենք որոնելի|4Թ8| |4|: |8| հավասասարությունները՝ րությունը: թեռրեմիապացույցը, մնում է ցույց տալ, Որպեսզիավարտենք որ (4.12) որոշիչը բերվում է (4.13) տեսքի որոշիչին: Դիցուք 4(ոյ),' 5- (Ե )ո Ը» (յ)որ' ընդ որում 6.յ- 2ր-166 հյ. երբՆ) 1,2,.., ո: Դուրս գրենք(4.12) որոշիչըբացահայտ »

Հ

Հ

ճշլ

(շշ

Պու

ոշ"

ճ11

ճ1դ

ճշո

Գոռ

տեսքով: Այս որոշիչը ձնափոխենքայնպես, որ Ճլյյ տարրերի նրաառաջինտողին Այդ նպատակով տեղերումհայտնվենզրոներ: Հ լլ տարրով,հետո բազմապատկած գումարենք (ո 13-րդ ն այսգլշ տարրով գումարենք (ո Հ 2)-րդ տողը բազմապատկած պես շարունակ,ամենավերջումգումարենք2ո-րդ տողը բազմապատկածճլղ տարրով:Ստացվածորոշիչումառաջինտողի առաջին ո տարրերըկլինենզրոներ,իսկ մնացածդ տարրերըկլինեն այսպիսին.

տողը`

61:

Հ

ճ11Ե1լՀ շեշ

Հ

Շ1ո

Հ

Է ""Դ

Գմլելշ

Հ

շեշ

Գլլելո

Է

01շեշըԳ

Դ

ճւոծոլ, 01ռծրշ, ճլոծրը:

Նմանապեսզրոներստացվումեն որոշիչի 2-րդ, Դ-րդ տողերում, ընդ որում այդ տողերի վերջին ռ տարրերը հանդիսանումեն Ը մատրիցիհամապատասխան տարրերը:Արդյունքում(4.12) ռրոշիչը . է ձնափոխվում իրենհավասար(4.13) որոշիչի:

Սահմանում:

Քառակուսիմատրիցըկոչվումէ վերածելի, եթե նրա որոշիչը հավասարէ զրոյի, ն անվերածելի հակառակ դեպքում: 4.46.

Հետնանք: Քառակուսիմատրիցների արտադրյալը, ցիցգռնեմեկը վերածելիէ, կլինիվերածելիմատրից: 4.47.

որոն-

Հետնանք:Կամայականերկու քառակուսիանվերածելի է անվերածելի մատրիցների արտադրյալը հանդիսանում մատրից: 4.49. Սահմանում: Հ ուղ Դիցուք 4,8 որտեղ Ք միավոր մատրիցնէ: Այդ դեպքումՑ 6 Ք,,դ մատրիցը կոչվումէ 4 մատրիցին ունեն հակադարձ մատրից,եթետեղի 4.48.

,

48-84Հի

4 մատրիցին հավասարությունները: մատրիցնընդունհակադարձ 4-1 վածէ նշանակել սիմվոլով:

Թեորեմ: Եթե տրված4 մատրիցի համարգոյությունունի հակադարձ մատրից,ապա այնորոշվածէ միարժեքորեն: Ապացույց: Դիցուք Ց8լ ն 8չ հանդիսանումեն 4 մատրիցին հակադարձ մատրիցներ: Ցույցտանք,որ Թլ 8շ: Իսկապես, 4.50.

-

8լ

Հ

լե

Հ

8(48շ)

Հ

(84)8չ

Հ

Բծչ

Հ

8չ:

.

Թեռրեմ: 46 հտ մատրիցնունի հակադարձմատրից 4 մատրիցն այն միայն այն դեպքում, երբ |4|»:0, այսինքն՝ է: անվերածելի Ապացույց: Անհրաժեշտություն: Դիցուք4-1 հանդիսանումէ 4 ն, մատրիցի հակադարձ մատրից: Այդ դեպքում 4:41ՀՔ կիրառելով 4.45 թեորեմը, ստանում ենք |4|: |4-1|Հ|Ք| կամ ե4| |4-"| 1: Հետնաբար է: |4|»: 0՛ն 4 մատրիցն անվերածելի 4» 0, այսինքն մատրիցն Բավարարություն: Դիցուք ի4|Հ մատանվերածելիէ: Ցույց տանք,որ 4 մատրիցնունի հակադարձ րից: Կարելի է նշել 4-1 մատրիցիբացահայտ տեսքը՝ արտահայտված4 մատրիցի տարրերով, այսինքն,եթե4 (ող ապա 4.51. ն

:

Հ

-

411 21

41: 422

41»զ-1.

Ճո

Ճո

""

Ճշռ

Ճոշ

Հ":

4.14)

,

ճոռ

մատրիցիճլյյ տարրի հանրահաշորտեղ 4լյ վականլրացումը: ստացվումէ հետնյալկերպ: Այս (4.14) մատրիցը4 մատրիցից Սկզբումյուրաքանչյուրզլյ տարրիփոխարենգրվումէ նրահանրահաշվական լրացումը, այնուհետն ստացվածմատրիցը շրջվում ն բազմապատկվում է 4 իձ| մեծությանհա(տրանսպոնացվում) կադարձմեծությունով: (մյուս՝ Ստուգենք,որ տեղի ունի 4-14» 5 հավասարությունը նման 44-1 բ հավասարությունը է եղանակով):Ուստուգվում

հանդիսանումէ 4

Հ

Հ

նենք,ռր

Ւ"

աայ... Գոլ

ճո

""

ճոռ

"

Ճո

""

Այդ դեպքում4 ճլյ4.յ Է ճշյճ2յԷ է Գոյճոյհանդիսանումէ 4 որոշիչի վերլուծությունն ըստ )-րդ սյան: Եթեել, Եշ,...,5ղ կամա// են ապա դիտարկենք բազմությունից, յականթվեր 6: Ա. հլ Հ

""

""

ԲԲ

կր

Եղ

ճոռ է միայն յ-րդ տարբերվում ռրոշիչից օժանդակորոշիչը, սյունով:Վերլուծենքնրանըստ այդ սյան. ԵղՃ.յ: զյ Եւ41)Է Եշ42յ"Ի ճն

ը

:Մ

որը

որ Ճյ որոշիչումծլ տարրի Այստեղմենք օգտվելենք այն փաստից, լրացումըհամընկնումէ 4 որոշիչում Պլ, տարրի հանրահաշվական լրացմանհետ, որտեղէ 1, 2,...,ռ: հանրահաշվական եղ գԳդիւ Հ ք Հ Ղ), այԵւ Ալի Եշ շք... Աժմ ենթարենք սինքնՎ̀յ ռրոշիչի/-րդ սյունը համընկնումէ 4 որոշիչիԽ-րդսյան հետ: Եթե հ »: յ, ապա զյ որոշիչը պարունակում է երկու միանման Է սյուն ն, հետնաբար,հավասար է զրոյի:Իսկ եթե յ, ապա զյ 4: »:

Հ

Տ

Տ

Հ

Հ

Այսպիսովտեղիունի

Պ141

ճ2:42յ Է

Է

ճուճոյ

-

ձեթեր»յ

2 երե 12)

(էյ), : Այդ դեպքում Է Ի" 4-14ուճոյ մ-142լճ2յ էլյ -: 4-141:6.) 1, եթե), Է -մ ճշյ42.Ի "" "ԴԳոյՃու)ն եթե լ»): (ույ4ա

Դիցուք4-14 բանաձնը:

Հ

-զ-1

-

..

. Ք: Թեռրեմնապացուցված է: նշանակումէ, որ 4-14 մատ4.52. Թէորեմ: Եթե 4 ն 8 միննույն կարգիանվերածելի րիցներեն, ապա նրանց48 արտադրյալը նույնպեսանվերածելի մատրիցԷն

Դա

(48-18-14:

Ազլացույց:Այն, որ 48 արտադրյալնանվերածելիմատրիցէ հետնում է 4.45 թեորեմից: Մյուս կողմից

(8)(8-:4-:)

Հ

Հ(4(88-:))4((48)8-")4-' -

(4-:

Հ

44-85

ն

(8-:4-:)089Հ(Թ-4-)4)8-(Թ(4-4))5-(88յ8-8:8- բ:

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ

Տ 4.6.

ՌԱՆԳ

// բազմության վրատրված Դիտարկենք

`

6:

Հ

6շ

Հ

Շո

(ճւ. (ճշ,

61ո),

04շ,..., ճշշ,

Օոշ, (ճում,

ճշ),

ու)

Կամայականել, էշ,..., մո ո-չափանիվեկտոր-տողերը: րերիհամար հլ6լ -

(էլօլւ

Հ

Խշճչյ

:'"Դ

Է

Էշ6շ Ի" Սոոծոռ հոճու հլճշ Է հշճշշ

Խւ01ոհշճշո

ճ 8

տար-

-

Է ''Ժ

Խոճոտ)

-'

Դ

Խոր,

«»

ո-չափանիվեկտոր-տողը կոչվում է գծայինկոմբինացիա, իսկ հհշ,..,հռ ցիայիգործակիցներ: 4.53.

Սահմանում:

6, 62,

Շո

6լ,

6շ,...,6ու վեկտոր-տողերի թվերը գծային կռմբինա-

վեկտոր-տողերը կոչվում են գըԴ քողծոլ 0 հավասարությու-

ծորենանկախ,եթե հլծլ Հ էհչծշ ::: Սղ 0: նիցհետնում է, ռր հլ հշ Այսինքն գծորեն անկախ վեկտոր-տողերի գծայինկոմբինացիանկարողէ լինել զրոյականայն ն միայնայնդեպքում,երբբոլոր գործակիցները զրոյականեն: Մյուս դեպքում, երբ գտնվենայնպիսիհ, քշ,.., Խո6 1 տար0, րեր, ոչ բոլորը զրոյական,որ Խլ6լ Է 8չճշ Հ :::Ժ ղծ ապա ու վեկտոր-տողերը 61, 62, կոչվումեն գծորենկախված: Նկատենք,որ զրոյականվեկտոր-տողպարունակող61,6շ,... ծո վեկտոր-տողերը գծորենկախվածեն: Յուրաքանչյուրոչ զրոյականվեկտոր-տողգծորենանկախէ: Վերջավորթվով գծորենանն ոչ մեկը չի արտահայտվումմնացած կախ վեկտոր-տողերից ն վեկտոր-տողերիոչ մի գծայինկոմբինացիայով: ն գծորենկախվածության Գծորեն անկախության հասկացություններընմանապեսկարելիէ սահմանելնան վերջավորթվով միննույնչափիվեկտոր-սյուների համար: 1/1 բազմության Այժմդիտարկենք վրատրված »

Հ

Հ

Հ

:-

Հ

ճշւ

նշ2

..

ճառ

ճ

յշ

..

'՝

ճշդ Ճճջռ

մատրիցը, որն ունի Տ հատ տող ն ռ հատ սյուն, ընդ որում Տն դ թվերն որնէ կերպ կապվածչեն իրար հետ: 4 մատրիցիտողերը կարելի է դիտարկել որպես ո-չափանի վեկտոր- իսկ տողեր, սյուները՝ որպեսՏ- չափանիվեկտոր-սյուներ, այսինքն՝

(ճւ,

ճլշ,

ճլո),

Լ»Ն2,..,Տ,

ճւյ

դՀ|

զ

Մ |յ-17,.,ո:

ճյյ

դեպքումընդհանրացնենք մինորի Ուղղանկյունմատրիցների հասկացությունը:4 մատրիցումընտրենքկամայականԽ տող ն կամայականէ սյուն, կ Հ տլո(տ,ռ): Ընտրվածտողերի ն սյուների հատման տեղերումգտնվող տարրերը կազմում են Խ-րդ կարգի քառակուսիմատրից, որի որոշիչը կոչվում է 4 մատրիցիԽ-րդ կարգի մինոր: Այնուհետն մեզ կհետաքրքրեն4 մատրիցի ոչ զրոյական մինորների կարգերը, հատկապես այդ կարգերից ամենամեծը,որի փնտրմանդեպքում օգտակարէ հաշվի առնել հետնյալ դիտողությունը.եթե 4 մատրիցի Խ-րդ կարգի բոլոր մինորներըհավասարեն զրոյի, ապա ավելի բարձրկարգիբոլոր մինորներընույնպես հավասար են զրոյի: Իսկապես,համաձայն ուո(տ,ռ)) ցանԼապլասի թեռրեմի,(ե Հ յ)-րդ կարգի (է Հ.-յՀ հ տողերի՝ կացածմինոր վերլուծելովըստ կամայական այդ մինորը կներկայացնենք որպեսԽ-րդկարգիմինորներին նրանց/-րդ կարգի հանրահաշվական գումար, ն դրալրացումներիարտադրյալների նով ցույց կտանք,որ այնհավասար է զրոյի:

Մատրիցիոչ զրոյական մինորներիամենամատրիցիռանգ: Ջրոյականմատրիցի ռանգըհամարվումէ հավասարզրոյի: 4.54.

մեծ

Սահմանում:

կարգը կոչվում Է այդ

Թեորեմ:Մատրիցիռանգըհավասարէ նիա առավելագույնթվովգծորենանկախսյուներիքանակին: Ապացույց:Դիցուք 4 մատրիցիոչ զրոյականմինորներիամենամեծ կարգըհավասար է 7, այսինքն մատրիցիռանգըհավասարէ Ի: որ Առանցընդհանրությունը խախտելու՝ ենթադրենք, 4.55.

ք

:

4Հ-

ճու

ճ-11 ճ1

ՀՐ

ճլ։

ճո

ճԼՀ1

Ճրով1

ԾՎ

ՃՀՆՀԼ

ճ

աալ

61դ

"`

։

է

"`

:"

։

ճոռ

ՃՀՎՆո ճո

մատրիցիվերնիձախանկյունումգտնվող7-րդ կարգիԾ մինորնոչ զրոյականէ, ք» 0: Այդ դեպքում4 մատրիցիառաջին7 սյուները կլինեն գծորենանկախ.եթե նրանքլինեինգծորենկախված,ապա, քանի ռր վեկտոր-սյուներիգումարմանդեպքումգումարվումեն նրանց համապատասխան բաղադրիչները,Ծ մինորի սյուները

նույնպեսկլինեինգծորենկախված,ուստի Ծ մինորըկլիներ զրոյական: Այժմ ապացուցենք,որ 4 մատրիցիյուրաքանչյուր1-րդ սյուն, 7 ՀԼՏ ո, հանդիսանում է առաջինր սյուներիզծայինկոմբինացիա: Հ Հ 1, Տ, համարկառուցենք Ցանկացած Օ՛ Ի 1)-րդ կարգի Գ1 ձ

`

-

ճլ

"7"

:

՛

վող ճւ

:

։

ճո ճո

2"

գղ ճյ

օժանդակորոշիչը, որը ստացվումէ 0 մինռրի«եզրապատումով»՝ ն մատրիցի1-րդ սյան 1-րդ տողի համապատասխան տարրերով: Կամայական1, 1ՀԼՀՏ, համարձլ 0: Իրոք, եթե 1 » 7, ապա ձլ հանդիսանումէ 4 մատրիցի(՛ Հ 1)-րդ կարգիմինոր ն, հետնաբար, համաձայն7 թվի ընտրության,այնհավասար է զրոյի:Իսկեթե 1 Հ 7, ապա ճձ. չի հանդիսանում մատրիցիմինոր, քանի որ չի կարող ստացվելնրա որոշակի տողերին սյուներիհեռացումով:Սակայն այդ դեպքում Ճյ որոշիչը պարունակումէ երկու միանմանտող ն, հետնաբար, նորիցհավասար է զրոյի: Դիտարկենքձ. որոշիչի վերջին տողի տարրերիհանրահաշվականլրացումները:Ակնհայտէ, որ գյ, տարրիհանրահաշվական լրացումըհանդիսանումէ Ծ մինորը:Իսկ եթե 1 Հյ Հ», ապա ձլ որոշիչումճլյ տարրիհանրահաշվական լրացումըհանդիսանումէ

1)

4յ«

:2Մ

Գլ

1-1

""

:

Գլ

Ճյ-1

"`

""

:

ճղլ

ճ

լ

ԵԵ:

ԾյՀ1

'

թիվը,որը կախվածչէ ( արժեքիցն, այդ պատճառով, է նշանակված 4): Այսպիսով,ձլ որոշիչըվերլուծելովըստ նրավերջինտողին այդ վերլուծությունը հավասարեցնելով զրոյի, քանի որ ձլ--0, կըստանանք. ճոճ

-

ճլշ42շԴ:

որտեղիցէլ, հաշվիառնելովԾ լ

Հ

(-Ք՛14ւ)օ:լ

Գ

չ» 0

"ԺԷճ-1-

-

ճւ)

0,

պայմանը,

(-Ք-14չ)գլշ

Է :.-Ի

ԷՋ

)զլ,:

Վերջինհավասարությունը ճշմարիտէ բոլոր 1: 1,2,..,5 արժեքներիդեպքում,իսկ քանիոր նրա գործակիցները կախվածչեն լ ստանում արժեքից,ապա ենք, որ մատրիցիամբողջ1-րդ սյունը հանդիսանումէ նրա առաջին7 սյուներիգումար` վերցվածհամա-0-14լ,-0-14շ,...,-0՞14, պատասխանաբար գործակիցներով: Այսպիսով,4 մատրիցիսյուներիհամակարգումգտնվեցառավելագույնթվովգծորենանկախսյուներիենթահամակարգ՝ բաղկա. է : ցած7 թվովսյուներից:Թեռրեմիապացույցն ավարտված

Հետնանք:Մատրիցիառավելագույն թվովգծռրենանկախ տողերի քանակըհավասարէ նրա առավելագույնթվով գծորեն անկախսյուների քանակին,այսինքն` հավասարէ այդ մատրիցի ռանգին: 4.56.

Ապացույցիհամարշրջենք(տրանսպոնացնենք) տրվածմատրիցը: Շրջմանդեպքումմատրիցիոչ զրոյականմինռրներիամենամեծ կարգը փոփոխության չի ենթարկվում,քանի որ շրջումը չի փոխում որոշիչը, իսկ սկզբնականմատրիցիցանկացածմինորի է շրջվածմատրիցի շրջումից ստացվածմինորըհանդիսանում մին հետնում է, ռր շրջված մատրիցի նոր, հակառակը:Այստեղից ռանգըհավասարէ սկզբնականմատրիցիռանգին,ինչպես նան հավասարէ նոր մատրիցիառավելագույնթվով գծորենանկախ սյուներիքանակին,այսինքն` սկզբնական մատրիցիառավելագույն " թվովգծորենանկախտողերիքանակին: 4.57.

Հետնանք: ո-րդ կարգիորոշիչըհավասարէզրոյի այն ն միայն այն դեպքում,երբ նրա տողերի(սյուների)միջն գոյություն ունիգծայինկախվածություն: Ապացույց: Այս պնդմանմի կողմնապացուցված է (տես. 4.40 Այժմ ենթադրենք տրվածէ ռ-րդ կարգիզրոյականորոշիչ, պնդում): այսինքն՝ տրվածէ ռ-րդ կարգիքառակուսիմատրից,ռրիառավելագույն կարգունեցողմիակ մինորըհավասար է զրոյի:Այստեղիցհետնում է, որ այդ մատրիցի ոչ զրոյական մինորներիառավելագույն կարգըփոքրէ ո թվից, այսինքն՝ մատրիցիռանգըփոքր է ռ թվից, ուստի այդ պատճառով, վերնապացուցվածի համաձայն,այդ մատեն: " բիցիտողերը(սյուները)գծորենկախված :

ԵՐԿՐՈՐԴ

ԲԱԺԻՆ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒՅՈՒՆ

ԳԼՈՒԽ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐՆ

ՈՒՂՂԻ ԵՎ

ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ

ՎՐԱ

Կոռրդինատներըկազմում են անալիտիկ երկրաչափության մեթոդի հիմքը: Այս գլխում դիտարկվում են կռորդինատների մեթոդիհիմնականդրույթները:

8 5.1.

ՎՌՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐՆ

ԹՎԱՅԻՆ

ՈԻՂՂԻ ՎՐԱ ԵՎ

ԱՌԱՆՑՔ

Դիտարկենքկամայականուղիղ: Այն ունի երկու հակադիր ուղղություն: Ըստ ցանկության,նրանցիցմեկն անվանենքդրական, իսկհակառակուղղությունը` բացասական: Ուղիղը, որի վրա «նշված»է դրականուղղությունը, կոչվում է առանցք: Գծագրերումառանցքիդրական ուղղությունը նշվում է Կլաքով: Դիցուք տրվածէ որնէ առանցքն, բացիայդ, նշված է մասշտաբայինհատված,ռրի միջոցովհնարավորէ չափել ցանկացածհատվածի երկարությունը:Տրվածառանցքիվրա ընտրենքկամայական երկուկետն նրանքնշենք4 ն Ք տառերով:

հատվածը 4 ն Ց կետերովսահմանափակված կոչվումէ ուղղորդվածհատված,եթեհայտնիէ, թե այդ կետերիցորն է համարվումհատվածիսկիզբն որը՝վերջ: Հատվածիուղղությունը համարվումէ՝ սկզբիցմինչն վերջ ձգվող ուղղությունը: Եթե հատվածիսկիզբըհանդիսանումէ 4 կետը,ապա ուղղորդվածհատվաձը 5. 1. Սահմաձում:

նշանակում են 48 գրությամբ,իսկ եթե սկիզբն է գրությամբ:

կետը8̀4

կոչվումէ Առանցքի48 հատվածի մեծություն մի թիվ, որը հավասար է նրա երկարությանըվերցվածդրական նշանով, եթե այդ հատվածիուղղությունըհամընկնում է առանցքի նշանով,եթե այդ դրականուղղությանհետ, ն վերցվածբացասական է ուղբացասական առանցքի հատվածիուղղությունըհամընկնում գրութհետ: հատվածի մեծությունը կնշանակենք ղության կոչյամբ: Երբ 4 ն 8 կետերըհամընկնումեն, ապա 48 հատվածը է զրոյի: հավասար մեծությունը է որ նրա վում զրոյական,քանի Ջրոյականհատվածիուղղությունըհամարվումէ կամայական: 5.2.

Սահմանում:

Թեորեմ: Մասշտաբայինմիավորով օժտված առանցքի ցանկացածերեք 4,8,Ը կետերի համար տեղի ունի հետնյալ առնչությունը. 5.3.

Հ ՔԸ

(5.1)

4Ը:

հիմնականնույնություն: Այս առնչությունըկանվանենք Ապացույց: Եթե բոլոր երեք՝4,8,Ը կետերը տարբերեն, ապա կարող է առանցքիվրա նրանց փոխադարձդասավորվածությունը լինել այնպես,ինչպեսնշվածէ ստորն. »

Ը

Փ-Վ»

»

Ը

Ի :

՞

՞

՞

`»

՞

ՓԺ-

»

ՇԸ

ՓԸ

օ-

.

»

1լ »

»:3

թ» 4 առո»

Ծ

«3»

Նկ.5.1:

Բացիայդ հնարավորեն դեպքեր,երբ 4, 8, Ը կետերիցերկուսը կամ բոլոր երեք կետերըհամընկնումեն: Առաջինդեպքում(նկար 5.1), համաձայն(5.1) հավասարությա հատվածիերկարությունըհավասար է մասերի երկարություննե գումարին,ն, հետնաբար,այն ճշմարիտէ: Հաջորդդասավորվածո հավասարությունը,ռրից թյան դեպքում ունեն` 4-Ի 45 -ԸՑ

հետնում

է 48

48-ՔԸՀ 4ԸՇ: Նմանապեսմնացած դասավորվածությունների դեպքում: Այժմ ենթադրենք,որ 4 ն Ց կետերը համընկնում են: Այդ դեպքում 48-ՏԸ-41-4ԸՀ-0-40-ՃԸ Մնացած դեպքերը « ստուգելինքնուրույն: Դիցուք տրվածէ կամայական4 ուղիղ: Որպես գծայինմիավոր ընտրենքորնէ հատված, ճ ուղղի վրա նշանակենքդրական ուղղություն (դրով այն կդառնաառանցք)ն նշենք որնէ Օ կետ: Որից հետո պայմանավորվենք ճ առանցքիցանկացածհ կետի կոռրդինատ անվանելՕո/ հատվածի մեծությունը: Օ կետը կոչվում է կոռրդինատներիսկզբնակետ ն նրա կռորդինատըհավասար է զրոյի: Վամայականկետի կոռրդինատըսովորաբարնշանակում են Ճ տառով, իսկ եթե « հանդիսանումէ հ կոորդինատը,ապա այն են նան 8/(2) գրությամբ:Հակառակը,կամայական2 նշանակում (իրական) թվի համար առանցքի վրա կգտնվի միարժեքորեն որոշված հք կետ, որի կոորդինատըչ թիվն է: Այդպիսիառանցքը կոչվում է թվայինառանցք: Հաջորդիվ կապացուցենքպարզ, սակայն շատ կարնոր երկու օժթեռրեմ:Նրանք վերաբերումեն կոորդինատայինհամակարգով տրվածառանցքին: -

ԸՑ Հ--Ը(4

»

Թեորեմ: Թվային առանցքի ցանկացածերկու`ոլ(ոլ) Խչ(5չ) կետերիհամարտեղիունի հետնյալհավասարությունը. 5.4.

հՈւթքչ

Ճշ-

Հ

ն

(5.2)

լ:

Առլուցույց:Համաձայն(5.1) հիմնականնույնության,ունենք, որ Օլ

հլւլձքշ

Է

Հ

Օհն,

որտեղիցէլ

ո/ւ(շ

-

ՕԻԼշ

-

Օհ:

ՍակայնՕրշչ չշ Օլ «լ, հետնաբար,ձրլհ1շ 7շ- լ, այն " ինչպահանջվումէր ապացուցել: Այս թեորեմիէությունը հետնյալնէ. ռրպեսզիստանանքառանցըքիհատվածիմեծությունը,հարկավորէ նրածայրակետիկռորդինատիցհանել սկզբնակետիկռորդինատը:(Տես. նկար 5.2 ն 5.3: 5.3 նկարումհարկավորէ հաշվի առնել, ռր «լ կռռորդինատը բացասականէ:) Հ

ն

Հ

Հ

ԳՀՑ"ՀԾ

ւ

հւ

ՀՀԱ"ՀԵպոր

Ր»

Ճշ

ռւ

Նկ. 53:

Նկ. 5.2:

Թէորեմ: Եթե հՈլ(ա) ն 1շ(ոշ) հանդիսանումեն թվային է, առանցքիկամայականկետերն մ՝ նրանցմիջն հեռավորությունն խշ-լ| ապա Վ :լ: Մյուս կող«շ Ապացույց: Ըստ նախորդթեորեմիՌքլհքշ է Պ/ւտնշ ն հանղիսանում մից ոքլ ոքշկետերիմիջն հեռավորությունը մ իչշ Հլ|: Թեռրեմն հատվածիմեծությանմոդուլը: Հետնաբար " ապացուցվածէ: 5.5.

Հ

Հ

-

Հ

-

Շ(-8), օ(2) կետերը: Օրինակ: Տրված են 4(5), 8(-1), հատվածներիմեծությունները: Գտնել48, ԸԾ ն Լուծում: Համաձայն5.4. թեռրեմի,ունենք, որ 5.6.

48--1-5»Հ-6, 5.7.

յունը:

Օրինակ:Գտնել4(3)

Լուծում:

Տ 5.2.

ն

կետերիմիջն հեռավորութ-

Ց(-2)

Համաձայն5.5. թեռրեմի

մ»ՈԻՂՂԱՆԿՅՈՒԻՆ

ՀԱՄԱԿԱՐԳ:

0Ք--1-2Հ-3:

(8-10,

ԸՕ-2-

ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ

ԲԵՎԵՌԱՅԻՆ

|-2

--

3|

Հ»

Է-5|

Հ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ

Հարթության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատներիհամակարգը սահմանվում է` երկարությունների մեջ՝ չափման համար գծայինմիավորի ն երկու (տարածության տրմանմիջոցով:Վերջիններս առանցքների երեք) փոխուղղահայաց եշված է, թե նրանցից համարակալվածեն որնէ կարգով,այսինքն ն է որն համարվումառաջինը որը՝երկրորդը: Առանցքներիհատման կետը կոչվումէ կոորդինատներիսկզբնակետ,իսկ իրենք՝ կոորդինատայինառանցքներ,ընդ որում նրանցից առանցըքները` առաջինը կոչվում է նան աբսցիսներիառանցք, իսկ երկրորդը առանցք: օրդինատների սկզբնակետընշանակենքՕ տառով, աբսցիսԿոորդինատների 07 տառերովն օրդինատների Օ) տառեառանցքը՝ ների առանցքը՝ 5.8.

Սահմանում:

րով: Դիցուք հՐ հարթության կամայականկետ է: ոք կետը պրոյեկտենք կոռրդինատայինառանցքներիվրա, այսինքն ք կետից տանենքուղղահայացներՕՀ ն Օ)7 առանցքներիվրա ն այդ ուղղահայացներիհիմքերընշանակենք8, ն 71, (նկար5.4): Տրվածհամակարգումհ/ կետիկռորդինատներկոչվում են

-

01,

ն»

Օր,

թվերը, որտեղ Օ(, նշանակում է աբսցիսներիառանցքիՕ1ք,հատվածիմեծությունը, օրդինատներիառանցքիՕր, իսկ Օլ, հատվածի մեծությունը: 3 կետի աբսցիս Նկ. 5.4: կամառաջինկռորդինատկոչվում է չ թիվը, 7 թիվը: Որպեսզի իսկ // կետիօրդինատկամ երկրորդկռորդինատ՝ ն Լ « օրդինատ,օգտվում են կարձնշվի, որ կետնունի աբսցիս (5,3) գրառումից: այսպեսկոչվածբնեռային Այժմ կնկարագրենք կոորդինատների համակարգը:Այն շատ հարմարէ ն հաճախակիէ գործածվում: `

Կոորդինատներիբնեռային համակարգը սահմանվումէ որնէ Օ կետի,որը կոչվում է բնեռ, այդ կետիցդուրս եկող Օ4 ճառագայթի,որը կոչվում է բնեռայինառանցք,ն երկարության չափմանհամար մասշտաբիտրման միջոցով:Բացի այդ, բնեռայինհամակարգիտրման դեպքում, անպայմանպետք է նշվի, թե Օ կետիշուրջն ինչպիսի պտույտներնեն համարվում դրական: Սովորաբար դրական համարվում են այն պտույտները, որոնք են «Ժամ սլաքին հակառակ» ուղղությամբ: կատարվում Դիցուք տրվածեն բնեռը ն բնեռայինառանցքը(նկար 5.5): Դիտարկենքկամայական1/ կետ,ն նրա ու Օ կետիմիջն հեռավորութԹ յունն Օ-նշանակենեք սիմվոլով " (Ք |Օող), իսկ 0 սիմվոլովայն Ք անկյունը,որով հարկավորէ պըտՕտ Օ4 տել ճառագայթը մինչն համընկնլկլը Օ ճառագաթի հետ 0 անկյունը կհաս(0Եկ. 5.5: «4081): կանանք այնպես, ինչպես այն ընդունվածէ եռանկյունաչափությունում, այսինքն՝ նշանին Հ2ոդ տեսքիգումարելիիճշտությամբ: 5.9.

Սահմանում:

Խք կետիբնեռայինկոորդինատներ (տրվածհամակարգինկատ-

է առաջին մամբ) կոչվում են թ ն 6 թվերը:Ընդ որում ք թիվը կոչվում երկրորդ թիվը կոորդինատ կամ բեեռային շառավիղ, իսկ կետի բնեռային կոորդինատկամ բնեռայինանկյուն: Նշենք, որ ԽՃ է որոշակի մեկը, անկյանհնարավորարժեքներիցառանձնացվում հենցայն, ռրը բավարարումէ -ոՀՅՀՊ ն այն կոչվումէ գլխավոր: անհավասարություններին,

-

Դիտողություն:Եթե հ կետը համընկնումէ Օ կետիհետ, ապա |ՕԽլ| 0: Ուրեմն բնեռի առաջին կոորդինատըհավասար է իսկ երկրորդ կռռրդինատնակնհայտորենչունի որոշակի Հ

գրուի: արժեք:

որ բնեռայինհամակարգիբնեռըհամընկնում Այժմ ենթադրենք, է ուղղանկյունդեկարտյանկռորդինատային համակարգի սկըզբնակետի հետ, իսկ բնեռայինառանցքը՝ աբսցիսների դրական կիսաառանցքիհետ (նկար 5.6): Բացի այդ, բնեռայինանկյան որոշմանդեպքում,դրականկհաայն ուղղումարենք ապտույտներն թյամբ,որով հարկավորէ պտտել 02 որպեսզիայն դրականկիսաառանցքը, կարճագույն ուղիով համընկնի 07 հետ: դրականկիսաառանցքի հ կետ, հանդիսանում է հարթության կամայական Դիցուք 0)՝ (բ, բնեռային իսկ կռորդինատները, (.,))՝ այդ կետիդեկարտյան Օ բնեռիշուրջը գծենքՔ շառավղովշրջանագիծն կոորդինատները: շրջանագիծ,իսկ 02 այնկղիտարկենքորպեսեռանկյունաչափական ո կետից տանենք որպես սկզբնական տրամագիծ: առանցքը` ն 0. ն նրանց հիմքերը վրա 0» առանցքների ուղղահայացներ ն նշանակենքք, հ, Պարզ է, որ այդ համապատասխանաբար դեպքումստանում ենք

Օհ.

Օիլ,

|08Ո «օՏ6,

Հ

Հ

|ՕԽղՏոծ

հավասարությունները:Եվ քանի որ |0հլ| ապա ստանում ենք

քՇօՏՑ,7

Հ

բ,

ՕէԼ,

-

«ն

ՕՀ),

ԲՏոծ

Հ

(5.3)

արտահայտումեն որոնքդեկարտյանկռռրդինատներն բանաձները, բնեռային կոռրդինատներով:Հակառակ բանաձները կարելի է ստանալայդ բանաձներից կամ անմիջականորեն.

Է

Ք»Հվյ-Հ)7

ռոց-

շ:

(54)

Սակայն նկատենք,որ էռո ծ -ք բանաձնըբնեռայինանկյան գլխավորարժեքնորոշում է ոչ լիարժեք.հարկավորէ նան իմանալ, թե 6 մեծությունըդրականէ, թե բացասական:

Տ 5.3. ՀԱՏՎԱԾԻ

ՊՐՈՅՑԵԿՑԻԱ:

ԵՐԿՈՒ

ԿԵՏԵՐԻ

ՄԻՋԵՎ

ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

Այսուհետն, ինչ-որ հարցերիքննարկմանժամանակկհամարենք, ռր տրված է կոորդինատների որնէ համակարգ:Եթե ասելու ենք,որ տրվածեն ինչ-որ կետեր,ապա դա կնշանակի,որ հայտնիեն նրանց կոռրդինատները:Եվ եթե որնէ խնդրում պահանջվում է գտնել անհայտ կետեր, ապա խնդիրը կհամարվի լուծված, երբ հաշվվեննրանցկոորդինատները: Դիցուքտրվածեն ս առանցքըն հքշ որնէ 78, հատված(նկար 5.7): հ(լ ն հմշ կետերից իջեցնենքուղղահա' ոլ : ա ն յացներ առանցքի վրա նրանց հիմքերը համապատասխանաբար --ֆմ Բշ Բյ նշանակենքԹլ ն Բշ: Այդ դեպքում Նե, 57: Ա58. ՔԹւթշ հատվածիմեծությունը կոչվում է տրված 8(ւձքչ հատվածիպրոյեկցիաս առանցքիվրա, որը գրի է առնվումհետնյալհավասարությանտեսքով.

'

թլբշ: պր,հուհըչ -

Համաձայնայս սահմանման, հատվածիպրոյեկցիանառանցքի վրահանդիսանումէ թիվ: Այն կարողէ լինել դրական,բացասական

հատվածի որ ցանկացած կամ զրոյինհավասար:Պայմանավորվենք, մեծատառ Օ» 4, իսկ պրոյեկպրոյեկցիան առանցքիվրա նշանակել ցիանՕ» առանցքիվրա՝մեծատառ Մ: շ(աշ,Ֆշ) կետերի Թեռրեմ: Կամայականհլլ(ալ,»:) ն 81 հատվածի պրոյեկցիաները կոորդինատային համար ոշ առանցքներիվրատրվումեն 5.10.

Ճ»-:- ՅԾ,Ւ»-3:-3. բանաձներով:

Ապացույց: լլ ն Ճշ կետերիցիջեցնենքուղղահայացներՕշ նշանաառանցքիվրա ն նրանցհիմքերը համապատասխանաբար կենք Բլ ն Բշ (նկար5.8): Պարզ է, որ Թլ ն Բշ կետերը Օ: առանցքի վրա համապատասխանաբարունեն ոլ ն Ճչ կոռրդինատները: չ--:լ: Մյուս կողմից Այստեղից էլ. ըստ 5.4. թեռրեմի, ՔլԹշ Ճ: Հետնաբար4: լ: ճշՆմանապես ապացուցվում է թյթչ Թեորեմնապացուցվածէ: 0լ0շ շլ հավասարությունը: Հ

Հ

-

Հ

5.11.

Թեռրեմ:Կամայականմլ («ւ 1)

համարնրանցմիջն 4

ն լշ

հեռավորություննորոշվում է

մ4ՀՎչ-ՅԾ) բանաձնով:

Է

(52,52) կետերի

Օ-357-

Ապացույց: Պահպանելովնախորդ թեռրեմի նշանակումնե բացիայդ, // տառովնշանակենքո/ւՕլ ն 1չթշ ուղիղներիհատման կետը(նկար 5.8): Քանի որ /(լ 1չՄ եռանկյուննուղղանկյունէ, ապա ըստ

Պյութագորասիթեռրեմի

ուշ

զ»

Դ

Խի:

Մյուս կողմից, ակնհայտէ, որ Ում ն (չմ էջերի երկարութառանցքներիվրա 8քլհ/շ յուններըհամընկնում են կոորդինատային հետ: ն Ուրեմն մեծությունների հատվածի պրոյեկցիաների մ ՀՍՀ: Այստեղիցէլ, ըստ նախորդթեորեմի,գտնումենք, ռր (ոշ

-

Հ

Օշ -3ո):

ռ է: Թեռրեմնապացուցված 21.81 հատվածը:Այդ հատվածիքլ սկրզբԿրկին դիտարկենք Օչ ուղղված առանցքինզուգահեռս ճառագայթը՝ նակետիցտանենք 0: առանցքի դրականուղղությամբ(նկար 5.9): Անկյունը,որով հարկավոր Է պտտել ս ճառագայթը,որպեսզիայն ուղղվի ըստ 1/ւդքշ հատվածի,նշանակենքՑ տառով: Այդ անկյունը կհասկանանքորանկյուն (նշանին Է2ռռ տեսքիգումապեսեռանկյունաչափական հատվածիբներելիի ճշտությամբ):0 անկյունը կանվանենքքլ առանցքներինկատմամբ: ռային անկյունտ̀րվածկռորդինատային Ակնհայտէ, ռր 0 իրենիցներկայացնումէ ոչ այլ ինչ, քան 8/չ կետի որի բնեռ հանդիբնեռայինանկյուն այն բնեռայինհամակարգում, ս սանում է ոք կետը,իսկ բնեռայինառանցք՝ ճառագայթը:Այդ նույն համակարգումհլ ոքչ հատվածի4 երկարությունըհանդես է գալիս որպեսՑքչ կետիբնեռայինշառավիղ:

Նկ. 5.9:

Այժմ ոք կետը համարենքռրպեսնոր դեկարտյանհամակարգի ուղղված են այնպես,ինչպես տրված սկզբնակետ,որի առանցքներն սկզբնականդեկարտյանհամակարգիառանցքները(5.9 նկարում

նոր առանցքներըպատկերվածեն կետագծով):Ճրլո1շհատվածի առահամապատասխան հին ն նորհամակարգերի պրոյեկցիաները նՖ ն Մ: Այդ թվերը եցըքներիվրա նույնն են, ռրոնք եշանակենք հանդիսանումեն //չ կետի կոորդինատներընոր համակարգում: Նրանց նկատմամբ կիրառելով բնեռայինկոորդինատներիմիջն ստանում կապիբանաձները՝

ենք

Հ

Հ

զՇօՏ0,7

ՎՏլոծ

բանաձները,ռրոնք կամայականհատվածիպրոյեկցիաներըկոռրեն հատվածիերկադինատայինառանցքներիվրա արտահայտում ն րության բնեռայինանկյանմիջոցով: Վերջինբանաձներից ն 5.10. թեռրեմիցունենք, որ 7շ

--

Ֆլ

-

ՎօօտՏ 0,2

-

լ

«

ՎՏած

կամ «05

0 ՀՀՇ, ձ

Տլոց

«7-7.

«2-3:

աո

52-71

Դիցուք ս հանդիսանումէ որնէ առանցք,իսկ Փ՝ճղլոքշ հատվածի հենման (թեքության) անկյունն է այդ առանցքին,այսինքնայն անկյունը, որով հարկավոր է պտտել ս առանցքը,որպեսզի նրա ուղղությունը համընկնի ղոչ հատվածի ուղղության հետ: Այդ դեպքումՃշմարիտէ հետնյալբանաձնը.

պրմմ

ՎՇօՏ Փ,

որտեղ Վ հանդիսանում է Խղոք հատվածիերկարությունը: Այդ բանաձննապացուցելուանհրաժեշտությունչկա, քանի որ այն, ըստ Վ ՇօՏ 0 բանաձնից: էության, չի տարբերվումվերնում ստացված4 Նկատենքմիայն, որ անկյաննշանը չի ազդումնրա կոսինուսիվրա: Վշօտք բանաձնում Փ անկյունը կարելի է Ուստի պրհւ հասկանալ տարրական երկրաչափության իմաստով (առանց՝ նշանըն0-ից մինչն 180" սահմաններըհաշվիառնելու): Եթե Փ անկյունը սուր է, ապա ՇօՏ Փ ն հատվածիպրոյեկցիան դրականեն (նկար 5.10), իսկ եթե Փ անկյունըբութ է, ապա ՇօՏՓ ն հատվածիպրոյեկցիանբացասականեն (նկար 5.11): Ինչպես նան, հավասար եթե Փ անկյուննուղիղ է, ապա պրոյեկցիան է զրոյի: -

-

ոչ

'

առ

' '

'

-շ5 -Վթյ ոլր,եի նն

Բշ

'

: '

'

։

'

է

վթ.

եր

`-

Ն

թՀզրոու՛՛թլ

ս

Նկ. Տ.10:

ՇՓ»ս

Նկ. 5.11:

Այսպիսով,ճշմարիտէ հետնյալը.

5. 12.

Թեռրեմ: Հատվածիպրոյեկցիանցանկացածառանցքի վրա հավասար է նրա երկարությանը բազմապատկած այդ առանցքինհենման անկյանկոսինուսով: Տ 5.4.

ՈԻՂՂԱՆԿՅՈՒԻՆ

ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ

ՁԵՎԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆ

ԶՈՒԳԱՀԵՌ

ՏԵՂԱՇԱՐԺԻ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ

ԱՌԱՆՑՔՆԵՐԻ

ԵՎ ՊՏՈՒՅՏԻ

ԴԵՊՔՈՒՄ

Սկզբումմենք դուրս կբերենքուղղանկյունդեկարտյանկոորդինատներիձնափոխությանբանաձներնառանցքներիզուգահեռտեղաշարժիդեպքում, այսինքն դեկարտյանկռորդինատներիհամակարգիայնպիսիձնափոխությանդեպքում,երբ փոխվումէ կռորդինատներիսկզբնակետիդիրքը, իսկ առանցքների ուղղություններըն մասշտաբըմնում են անփոփոխ: Դիցուք 0» ն 0»՝ հին, իսկ Օ՛՛ ն 0'»՛` նոր կոորդինատային առանցքներնեն (նկար 5.12): Նոր առանցքներիդիրքը հին համակարգինկատմամբորոշվում է հին կռռրդինատներով նոր Օ՛(ճ, ծ) սկզբնակետիտրմամբ: գ թիվը հանդիսանում է Օմ առանցքի ուղղությամբտեղաշարժիմեծությունը,իսկ ԵԾթիվը՝Օ» առանցքի ուղղությամբտեղաշարժիմեծությունը:Հարթությանկամայականհ/ կետ հին առանցքների նկատմամբ ունի ինչոր (2,7) կռորդինատներ:Այդ նույն կետը նոր առանցքների նկատմամբունի այլ 0,3) կոռրդինատներ:Մեր նպատակն է ստանալ բանաձներ, դրոնք2,7» արտահայտումեն 4՛,77'միջոցով,կամհակառակը: 0' կետըպրոյեկտենքՕչ առանցքիվրա,իսկ // կետը՝Օշ ն Օ՛7՛ ն առանցքների վրա համապատասխանաբար պրոյեկցիաները նշա107

նակենքՕ0., ոք, ն ոչ: Ակնհայտ է, որ Օ» առանցքիվրա0-հԼ, առանցքի վրա 0, հատվածի մեծությունը հավասար է Օ/ 0«8Ր, 0՛Խք,չ։ՍակայնՕ'հՈ, 7՛ հատվածիմեծությանը,այսինքն՝ 2: Համաձայն «ն Օք, 2': Բացի այդ 00, ն, հետնաբար,ՕԻԼ, 0281,, որտեղից 00, հիմնականնույնության(5.3. թեորեմ)Օք, Նմանա2 Վ. ստանում ենք, որ«էլ, ըստ նախորդ նշումների, պես, 0» ն 0'7՛ առանցքներիվրա պրոյեկտմանմիջոցով, կստաՀ Ե: Այսպիսով, նանք, որ 7 5 Հ

Հ

Հ

Հ

Հ

-

22:

նան

ԳՆ

3)»-»4Ե

են: Դրանքկարելիէգրել Սրանքէլ հենց փնտրվողբանաձներն »22-4ն 7Հ»-է հետնյալտեսքով.

Նկ. 5.12:

կռորդինաԱյժմ մենք դուրս կբերենքուղղանկյունդեկարտյան դեպպտույտի տների ձնափոխությանբանաձներնառանցքների համաքում, այսինքն ուղղանկյունդեկարտյանկոորդինատների էլ դեպքում,երբերկու առանցքներն կարգիայնպիսիփոփոխության ն են կոռրդիիսկ կողմը, պտտվում միննույնանկյունով միննույն ՛նատներիսկզբնակետըն մասշտաբը մնում են անփոփոխ: Դիցուք 0» ն 0» հին, իսկ Օշ ն 07 նոր կռորդինատային առանցքներնեն (նկար 5.13): Նոր առանցքներիդիրքը հին համակարգի նկատմամբորոշվում է պտույտիանկյան տրմանմիջոցով, նոթերի հետ: Այդանկյունը որը համատեղումէ հին առանցքները

նշանակենքռօ տառով ն այն կհասկանանքորպես եռանկյունաանկյուն: չափական

3»

Նկ. 5.13:

նկատմամբ Հարթությանկամայական1// կետհին առանցքների իսկ նոր առանցքներինկատունի ինչ-որ (2,») կռռորդինատներ, 01,5», մամբ`այլ (ո՛,»՛) կոորդինատներ:այսինքնՕ̀լ, ««, է 2. Օր, Հ)" Մեր նպատակն ստանալբանաձներ,որոնք 2, արտահայտումեն 2՛,7՛ միջոցով,կամհակառակը: 02. բնեռայինառանցքովն Օ բնեռով համակարգում/( կետի բնեռային կռորդինատներընշանակենք(ք,0), իսկ Օչ՛ բնեռային (ք, 0'): Բոլոր դեպքերում առանցքովն Օ բնեռով համակարգում` ճ: Մյուս կողմից, ըստ դեկարտ0 Գ է, |ՕՒ/: Ք Ակնհայտ որ կապիբանաձների,ունենք, որ յան ն բնեռայինկռորդինատների Հ

Հ

Հ

«-քՔ«Շ0Տ0.

3)»բՏոծ։

Նմանապես 2՛

ՔՇ0ՏՑ', )'

Հ

Այսպիսով, ք«օօՏ 0

թճօՏ(է'

Հ

Թ«ՕՏ 0՛ 6օՏ 4--

-

Հ

Հ

ՔՏ1ոծ --

-

թՏնո(ծ'

0' Տո թօօ0Տ

«

6)

Հ

ՔՏ1ոժ':

Ք(ՇօՏ 6'

քՏ1ո0'

Տո

զ

ՕօՏ

ճ.)

ի

քՏլո0'

«ՕՏ

ճ

»

ք(«օՏ 6' Տո

Հ

-

Հ

Հ

--

Տո

«0ՏՊ զ

Հ Տո

Ճ Տոճ

0' Տո)

-

-5՛Տոճ,

Ի)'

Ը0Տ

օօՏ

«)

ճ:

Հ

Վերջապես, Տոճ, օՕ06ՏՃ-)

5-7

Տո

Ֆ»

ճ Ի):

«օ0Տ6:

են: Հակառակբանաձները միՍրանք էլ որոնելի բանաձներն օգնությամբ. անգամիցկարելի է ստանալ հետնյալ դատողության Օ անկյան Է համակարգի հին ստացվում եթե նոր համակարգը -օ պտույտով,ապա հին համակարգըստացվումէ նոր համակարգի վերջին հավասարութանկյան պտույտով:Այդ իսկ պատճառով ու նոր կոորդինատն է հին փոխել տեղերով յուններումկարելի Վատա-ռ « միաժամանակ անկյունը փոխարինելով անկյունով: ստանում ենք րելով այդ ձնափոխությունները՝

»

բանաձները:

Հ

»

00Տճ

-ՃՏՈոմ

ԷՖՏՋոմ,

Վ60Տ4,

ԳԼՈՒԽ

ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ

Տ6.1. ՎԵԿՏՈՐԻ

ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Նախորդ գլխում սահմանվեցուղղորդվածհատվածիհասկացությունը:Յուրաքանչյուրուղղորդվածհատված, բացի երկարությունից, ունի նան որոշակի ուղղվածություն (հատվածի սկզբնակետիցդեպի ծայրակետըձգվողուղղությունը): տարբերզուգահեռուղիղներիվրա Դիտարկենքերկու իրարից ն ԸՕ Տանենք 4 ուղղորդվածհատվածները: գտնվողոչ զրոյական ն 0 կետեն Ը կետերովանցնող զ հարթություն, որը չի անցնում րով: Այդ հարթությանըչպատկանողտարածությանբոլոր կետերի բազմությունըզ հարթությունըբաժանումէ երկու ենթատարածութԵթե Ք ն Օ կետերնընկած են յունների (կիսատարածությունների): միննույն կիսատարածությունում,ապա ասում են, որ 48 ն (5 ուղղորդված հատվածներ, միանման են ուղղված: Հակառակ դեպքում48 ն ԸԾ ուղղորդված հատվածներըկոչվում են հակադիր ուղղված: Այժմ ենթադրենք,որ 48 ն ԵՔ ուղղորդվածհատվածները գտնվում են մեկ ուղղի վրա: Այդ դեպքում ասում են, որ այդ հատվածները ուղղված են միանման,եթե գոյություն ունի այնպիսի ՇԾ ուղղորդված հատված, որը միանման է ուղղված 48 ն ՔՔ հատվածներից յուրաքանչյուրիհետ: Հակառակդեպքում 48 ն ԷԲ հատվածներըկոչվում են հակադիր ուղղված: Ինչպես արդեն գիտենք, զրոյական հատվածը միանմանէ ուղղված ցանկացած հետ: հատվածի Երկու 48 ն ԸԾ ուղղորդված հատվածներկոչվում են համարժեքն այդ փաստըգրվումէ 48--ԸԾ տեսքով,եթե նրանքունեն միննույն երկարությունըն միանմանեն ուղղված:Հեշտ է համոզվել, որ ուղղորդվածհատվածներիհամարժեքությունըռեֆլեքսիվէ, սիմետրիկ է ն տրանզիտիվ,ուստի հանդիսանումէ համարժեքության հարաբերություն բոլոր ուղղորդվածհատվածներիբազմությանվրա: Դա նշանակումէ, որ բոլոր ուղղորդված բազմությունը հատվածների

տրոհվում է զույգ ներիդասերի:

զույգ

առ

իրար համարժեքհատվածչհատվող`

Իրար համարժեքուղղորդվածհատվածների կոչվում է վեկտոր: Այդպիսիդասի,այսինքն վեկտորի,տրմանհամար բավականէ նշել այդ դասի ինչ-որ ուղղորդվածհատված:Մյուս կողմից,ցանկա48 ցած18 ուղղորդվածհատված նշում է լիովին որոշված վեկտոր՝ հատվածինհամարժեքհատվածներիդասը, որը կնշանակենք48 գրությամբ` ինչպես այդ դասն որոշող ուղղորդվածհատված: Այդ նույն վեկտորն որոշվում է ցանկացածԸԾ-.18 ուղղորդվածհատվածով: 6.1.

Սահմանում:

դասը

|

Վեկտորներըկոչվում են հավասար, եթե միննույն ուղղորդվածհատվածներից: Սահմանումիցանմիջապեսհետնում է, որ 48 ն ԷԾ վեկտորներիհավասարությունըհամարժեքէ 48-.ԸԾ պայմանին: լատինական Վեկտորներինշանակմանհամար կօգտագործենք ն այբուբենիմուգ փոքրատառերը ուղղորդվածհատվածներինշանակումները: Զրոյականվեկտորը (բոլոր զրոյականհատվածների դասը) կնշանակենքօ տառով: Գծագրիվրա վեկտորըմիշտ կպատկերենքսլաքի տեսքով: Դիցուք տրվածեն 4 վեկտորըն 4 կետը:Ակնհայտէ, որ գոյություն ունի ճիշտմեկ այնպիսի8 կետ,որ 6.2.

Սահմանում:

նրանքկազմվածեն

զ

Հ

48:

Ուղղորդված48 հատվածիկառուցմանգործողությունը,որի 48 հավասարությունը,կանվանենք4 կետից համարտեղիունի զ 4 վեկտորիտեղադրում: -

Տրված ճՃ վեկտորի երկարություն (մոդուլ) կոչվում է ռ վեկտորըծնողուղղորդվածհատվածներիցցանկացածի երկարությունըն նշանակվումէ |զ|տեսքով: Դիցուքտրվածեն զ ն 3Ֆ վեկտորները:Այդ երկու վեկտորները տեղադրենքինչ-որ մեկ Օ կետից (կառուցենքայնպիսի04 ն 08 օն08 - Ե): Այդ դեպքում գ ն Ե ուղղորդվածհատվածներ,որ 04 վեկտորներիկազմած անկյուն կանվանենք04 ն Օ8 ուղղորդված հատվածներիմիջն ընկածանկյանմեծությունը: Ակնհայտէ, որ գ ն 6.3.

Սահմանում:

Հ

Ե

վեկտորներիկազմածանկյունը կախվածչէ

յունից:

Օ

կետի ընտրութ-

Ս

Ուղղորդված48 հատվածըկոչվում է զուգահեռորնէ ուղղու (հարթությանը),եթե ուղիղը,որի վրա նա գտնվումէ, զուգահեռէ այդ ուղղուն (հարթությանը):Ջրոյական հատվածը, ըստ սահմանման, զուգահեռէ ցանկացածուղղու (հարթությանը):Տրված զլ, ճշ,...,ճռ վեկտորներըկոչվում են կոլինեար (կոմպլանար),եթե նրանցծնող ուղղորդված հատվածներըզուգահեռ են որնէ ուղղու (հարթությանը): նան այլ կերպ:Դիցուք տրվածէ 48 Վեկտորներըմեկնաբանենք վեկտորը (48 հատվածին համարժեք ուղղորդված հատվածների որը նրա դասը): Դիտարկենքտարածությանմեկ ձնափռոխություն, կամայական Ը կետ արտապատկերումէ այնպիսի Ծ կետի, որ Շր-48: Այդպիսի ձնափոխությունըկոչվում է զուգահեռ տեղաշարժ: Այդպես ստեղծվում է փոխմիարժեքհամապատասխանություն բոլոր վեկտորներիբազմությանն բոլոր զուգահեռտեղաշարժերի բազմությանմիջն: Վերջինիսհամաձայնզուգահեռտեղաշարժերընույնպեսկոչվում են վեկտորներ: Եթե տարածությանմեջ ֆիքսված է որնէ ս հարթություն ն դիտարկվում են միայն այդ հարթությանը պատկանողկետերը, ապա վեկտորի տակ հասկացվումէ ո հարթությանըպատկանող համարժեքուղղորդվածհատվածներիդասը: Նմանապեսմտցվումէ ուղղի վրա վեկտորներիհասկացությունը: Դիտողություն:Գրականությանմեջ ուղղորդվածհատվածները կոչվում են կապակցվածվեկտորներկամ պարզապեսվեկտորներ: Այդ դեպքումվեկտորը,մեր իմաստով,կոչվում է ազատ վեկտոր: Դիցուքտրվածեն որնէ 48 վեկտորն կամայականս առանցք:4 ն Ք կետերիցիջեցնենքուղղահայացներ ս առանցքիվրա ն նրանց ն 8: հիմքերը նշանակենք4, Այդ դեպքում 4սքս ուղղորդված ս հատվածի4,8, մեծությունը առանցքիվրա հանդիսանումէ 48 վեկտորիպրոյեկցիանս առանցքիվրա.

պր,Պ8 /ս8ս: Հ

48 վեկտորի պրոյեկցիայիկառուցումը ս

առանցքիվրա պատկետերիցտարվածեն «ն 8 են որոնք ուղղահայաց ս առանցքին:Այդ հարթուհարթությունները,

կերվածէ 6.1

նկարում, որտեղ 4

ն Ց

թյունների հատումը ս առանցքիհետ որոշում է 4 ն 8ս կետերը (քանի որ « ն 8 հարթություններնուղղահայացեն ս առանցքին, են այդ առանցապա 44, ն 88, ուղիղները նույնպեսուղղահայաց քին):

Նկ. 6.1:

ՏարածությունումընտրենքկամայականՏ կետ ն այդ կերից տանենք երկու ճառագայթ. մեկը 48 վեկտորի ուղղությամբ, իսկ մյուսը`ս առանցքիուղղությամբ (նկար 6.1): Այդ ճառագայթներո ս կազմվածՓ անկյունը կոչվում է 48 վեկտորիհենման անկյուն առանցքին:Ակնհայտ է, որ Փ անկյան կառուցմանհամար Տ կետի ընտրություննէական չէ: Ակնհայտ է նան այն, որ եթե ս առանցքը մեկ ուրիշ առանցքով,որն ունի նույն ուղղությունը, փոխարինենք ս առանցքին համաուղղվածն 4 ապա Փ անկյունըկմնա անփոփոխ: կետով անցնող առանցքընշանակենք տառով: Համաձայնվերն ասվածի,18 վեկտորիհենման անկյունը 7» առանցքինհավասար է հատում է Փ։ Դիցուք Ը հանդիսանումէ այն կետը, որտեղ7 առանցքը Բ հարթությունը: Հետնաբար 4Շ հանդիսանում է 428 վեկտորի պրոյեկցիան7» առանցքի վրա: Քանի որ ա ն 7 առանցքները զուգահեռեն ն միանմանուղղված,ապա զ ն 8 հարթություններով սահմանափակվածնրանց հատվածներնունեն միննույն մեծությունը. 4սՔս 4Ը: Հետնաբար -

պր18

-

պր,Պ8։

Մյուս կողմից,քանի որ 48 վեկտորըն

նույնհարթությունում,ապա

պր,Պ8 -

|1Թ|օտ

«4.

Փ։

առանցքըգտնվումեն

Համադրելովվերջին երկու ենք,որ

պր,Պ5 Հ-

ստանում հավասարությունները՝

|48|«օտ

Փ։

Եթե 48 վեկտորընշանակենքգ տառով,ապա կունենանք,որ պրգ»- |ճ|«օՏ

Փ:

առանցքիվրա հավասար Թեորեմ: Վեկտորիպրոյեկցիան է նրա մոդուլին այդ առանցքինվեկտորիհենման բազմապատկած անկյանկռսինուսով: Դիտարկենքերկու հավասար4.8 ն 4չ8չ վեկտորներըն որնէ ս առանցք: Քանի որ հավասար վեկտորներնունեն հավասար մոդուլներ ն ա առանցքինհենման հավասար անկյուններ,ապա ստանում ենք, որ 6.4.

ար418:

-

պր425շ,

հավասար վեկտորներըմիննույն առանցքիվրա այսինքն`

ունեն

հավասարպրոյեկցիաներ: Տ 6.2.

ՎԵԿՏՈՐԻ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ

ՊՐՈՅԵԿՑԻԱՆԵՐԸ

ԱՌԱՆՑՔՆԵՐԻ

ՎՐԱ

տրվածէ Օ2 ուղղանկյուն Ենթադրենք,որ տարածությունում հ ամակարգը: կ ոորդինատային դեկարտյան Դիտարկենքկամայականգ վեկտոր:Դիցուք 7 նշանակումէ գ վրա, Է` այդ վեկտորիպրոյեկվեկտորիպրոյեկցիանՕչ։ առանցքի ցիանՕ) առանցքիվրա ն 2 նրա պրոյեկցիան02 առանցքիվրա: գ վեկտորինհավասարյուՀամաձայն նախորդպարագրաֆի, առանցքներիվրա ունի նույն րաքանչյուր վեկտորկոորդինատային Ճ..2 պրոյեկցիաները: առանցքների Հակառակը,եթե որնէ Ե վեկտորկոորդինատային 6: Որպեսզիհամոզվենք ծ 2.5,7 ապա վրա ունի պրոյեկցիաները, սկզբնադրանում, գ ն 3 վեկտորներըտեղադրենքկռորդինատների կետում,ն այդպիսիտեղադրմանդեպքումայդ վեկտորներիծայրանշանակենք 4 ն Ց տառերով: կետերը համապատասխանաբար ունեն օ ն Ե միննույն Ճ պրոյեկցիանՕ« վեկտորներն Քանի որ Հ

առանցքիվրա, ապա պարզ է, որ 4 ն Թ կետերըպետք է գտնվեն միննույն հարթությունում, որն ուղղահայաց է Օչ առանցքին,ն հատկապեսայն հարթությունում,որը Օ" առանցքիվրա հատում է 7 մեծությամբ հատված` հաշված կոորդինատներիսկզբնակետից: Նույն պատճառով4 ն Ց կետերըպետքէ գտնվենմիննույն հարթությունում, որն ուղղահայացէ Օ) առանցքինն որը Օ7 առանցքիվրա հատում է 7 մեծությամբհատված,ինչպես նան միննույն հարթությունում, որն ուղղահայաց է Օշ առանցքինն այդ առանցքիվրա հատում է 2 մեծությամբ հատված:Սակայն այդ դեպքում 4ն կետերնանպայմանհամընկնում են, քանի որ նշված երեք հարթություններըհատվումեն ճիշտ մեկ կետում:Հետնաբար Ե-08-04Հ-64:

առանցքների Այն, ինչ ասվեց, նշանակումէ, ռր կոորդինատային վրա վեկտորի նախապեստրվածպրոյեկցիաներըլիովին որոշում են նրան որպես ազատ վեկտորտ̀արածությունումդիրքի ճշտությամբ: Այդ իսկ պատճառովզ վեկտորի4.7. պրոյեկցիաներնանվանում են նրա (դեկարտյան)կռորդինատներ: Հետագայում,ցանկանալովասել, ռր 4 վեկտորնունի 2.7.2 կգրենք կոորդինատները, ՆԻ

21ԴԹ2ի

հավասարությանաջ մասը դիտարկելովորպես վեկտորի եշանակմաննոր եղանակ:

այդ

Նկ. 6.2:

Թեռրեմ: Կամայական4(2.,71,21) ն 8(2շ,»2,22) կետերի որոշվում են համար48 վեկտորիկոորդինատներն 6.5.

Ճ-տչ-Հյ,

25-22-21

ՄՀՖչ-37»ւ

բանաձներով:

Ապացույց:4 ն 8 կետերիցիջեցնենքուղղահայացներՕճ առանցքիվրա ն նրանցհիմքերընշանակենք4, ն Ց, (տես. նկար 6.2, որտեղ,պարզությանհամար, 4 ն Ք կետերիցտարվածեն Օշ առանցքին ուղղահայացհարթություններ):4, ն 8, կետերը Օ: առանցքի ունեն ալ ն 2շ կռռրդինատները:Այսվրա համապատասխանաբար

տեղից էլ, ըստ հետնաբար,

5.4.

թեռրեմի,4,8,

-

Ճշ

--

"լ:

Սակայն 4,8,

-

Ճ ն,

ՃՀղշ-Ճւ

Նմանապեսստացվում են

Մ»

2 Հ2շ-2լ

շչ-»լ,

յունները:

հավասարութռ

Այսպիսով, որպեսզի ստանանք վեկտորի կոռրդինատները, հանել սկզբնահարկավորէ նրա ծայրակետիկոորդինատներից կետիհամապատասխան կոռրդինատները: Դիցուք Ճք(2,,2) հանդիսանում է տարածությանկամայական 01/7 վեկտորը, որի սկզբնակետըկոռրդինակետ: Այդ դեպքում7 ո կետը, կոչվում է այդ տների սկզբնակետն է, իսկ ծայրակետը՝ կետիշառավիղ-վեկտոր։ Հաշվելով 0/7 վեկտորի կոորդինատներնըստ 6.5..թեռրեմի՝ ստանում ենք, որ Հ

142:

շ-7

Ֆ-Ֆ»

կետի կռռրդինատներըն երա Օ// շառավիղ-վեկտորի կռռրդինատներն նույնն են: (77,2) վեկտոր: ՊարզուԴիցուք տրված է կամայականզ է կռորդինատթյան համարենթադրենք,որ Ճ վեկտորըտեղադրված գ ներիսկզբնակետում: վեկտորի ծայրակետիցտանենք հարթություններ, որոնք ուղղահայացեն կռորդինատայինառանցքներին: այսինքն ո

Հ

կետերը կոռրդինատային Այդ հարթությունների հատման հետ նշանակենք4,, 4), 4չ: համապատասխանաբար առանցքների Այդ հարթությունները կռորդինատայինհարթությունների հետ որի համար04 միասինկազմումեն ուղղանկյունզուգահեռանիստ, հատվածնանկյունագիծէ (նկար 6.3):

զ չ

1, 4.

ֆ

Հետնաբար

:

Նկ. 63:

04,

Հ.

04.

Հ

2:

Ուստի ստանում

ՈՒՂՂՈՐԴՈՂ

Հ

04,

Հ

Սակայն |04| ենք, որ

ԿՈՄԻՆՈՒՍՆԵՐ:

Հ

04,7:Հ 04, |օգ|,04, -4,

52 Վ-22։

կամ |գլ- 352

ոշ--/247-27

Տ 6.3.

Տարրականերկրաչափությունից հայտնիէ, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստիանկքառայունագծիերկարության է կուսին հավասար նրա կից կողմերի երկարությունների քառակուսիների գումարին:

ԵՐԿՈՒ

ԿԵՏԵՐԻ

ՄԻՋԵՎ ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

առանցքներիհետ կազվեկտորը կոռրդինատային մում է ճ, Բ, 77 անկյուններ:Այդ դեպքում«ՕՏ ճ, 6օՏ 8, Շ0Տ 7 մեծությունները կոչվում են ռ վեկտորիուղղորդող կոսինուսներ:Նրանք որ, տրվածլինելով նախապես այդպեսեն կոչվումայն պատճառով, են ուղղությունները: որոշում վեկտորի Եթե, բացիուղղորդող կոսինուսներից,տրվածէ նան վեկտորի մոդուլը, ապա դրանովվեկտորնորոշված է միարժեքորեն(որպես կարելիէ ազատ վեկտոր):Այդ դեպքումվեկտորիկոորդինատները հաշվել Դիցուք

ռ

Ճ

»|ո|

«օՏ.,

Հ

|ռ|օօՏթ, 2

Հ

|ճ|օօՏ7

բանաձներով,որոնք տեղի ունեն համաձայնռ վեկտորիպրոյեկցիայիբանաձների՝ համապատասխան կոռրդինատայինառանցքներիվրա: Թեորեմ: Ցանկացածգ վեկտորիհամար նրա |ռ|մոդուլը, Թ, «0537 ուղղորդող կոսինուսներըն 2,7,2 կոորդինատներըկապվածեն 6.6.

Շ0Տ

Ճ,

Ը0Տ

|ով|օօՏճ,7

Հ

ը

առնչություններով: հետնում է, Թեռորեմից

|զ|«օՏ),

Հ

ոՒոչ2:

Հ

ռր

Շ0Տ Ք 12--Ի2-:-22'Բ

«օՏճ-

|զ|օօՏբ, 2

Հ

Հ

՛ ՍՌՀԵ.22' թ Ը0Տ

--

Հար

ՍԶ-ՀՀՀՀ

Այստեղ արմատներըհասկացվումեն որպես թվաբանականարմատներ:Վերջինհավասարություններից յուրաքանչյուրըբարձրացստանում նելովքառակուսին գումարելովիրար՝ ենք, որ ՇՕՏՉճ

Հ

ԸՕՏ2Բ

Հ

0527»

1:

Դիցուք տարածությանմեջ տրված են կամայական երկու՝ հւ ,Ֆ..21) ն 812(22,»2շ,2շ)կետեր ն պահանջվումէ գտնել նրանց մեջն4 հեռավորությունը: Որոնելի լուծումն անմիջապեսստացվում Է6.5. ն 6.6. թեռրեմներիարդյունքներից:Իսկապես,ունենք, որ ԽՈւնքչ (Մշ Հ

ն 4

հանդիսանումէ մ

Հլ

-

22-22

-

2)

հքշ վեկտորիմոդուլը: Հետնաբար

ՎՇշ-»)24

Օշ-37)

Է

6չ-

ույ:

Վերջինսհանդիսանումէ հենցխնդրիորոնելիլուծումը:

Տ 6.4. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄ

ԵՎ

ԹՎՈՎ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄ

Դիցուք տրվածեն երկու`գ ն Ե վեկտորները:Ընտրենքորնէ կետ ն նրանիցտեղադրենք4 վեկտորը, այսինքն կառուցենքայնզ: Այնուհետն4 կետից պիսի Ծ4 ուղղորդված հատված, որ 04 տեղադրենքԾ վեկտորը, այսինքնկառուցենքայնպիսի 48 ուղղորԵ 6.4): (նկար դվածհատված,որ Հ

--

Նկ. 6.5:

Նկ. 6.4: 6.7.

ՕԹ ուղղորդվածհատվածովորոշվող վեկ-

Սահմանում:

տորը կոչվում է գ ն Ակնհայտ է, որ

վեկտորներիգումարն նշանակվում Ծէ է4

Հ 53:

կետի ընտրութգումարը կախվածչէ կոչվում է եղանակը նշված կառուցման վեկտորի յունից: կանոն: եռանկյան(եզրափակման) Դիցուք 4 ն ծՖ՝ոչ կոլինեար վեկտորներեն: Այդ երկու վեկտորները տեղադրենքմեկ Օ կետից (նկար 6.5), այսինքն գտնենքայնպիսի 4 ն 8 կետեր,որ 04 օն 08- ծ: Երեք՝0, 4 ն Ք կետերով ռրոշվող հարթությանմեջ 04 ն Օ8 կողմերիվրա կառուցենք0486 զ ն 46 ծ, ապա Քանի որ ՏԸ զուգահեռագիծը:

Օ

Գ ծ

«ՀԵ

-

Հ

ՕՇՀԳ4ՎԵՀԵԴՀ

-

«6:

Այսպիսով,մենք ստացանքերկու ոչ կոլինեարվեկտորներիգումարման նոր կանոն՝ կանոնը: զուգահեռագծի ցույց է տալիս, որ երկու հավասարությունը վերջին Ստացված չէ գումարելիների կախված ոչ կոլինեար վեկտորների գումարը նան է կոլինեարվեկտորների կարգից:Այդ հատկությունըճշմարիտ համար: Այն հեշտությամբ ստացվում է վեկտորներիգումարման եռանկյանկանոնիցինչպես համաուղղված(նկար 6.6), այնպես էլ դեպքում: հակառակուղղված(նկար 6.7) վեկտորների

եր

`.

` -

227 Ե

-

՛

-՛

աա եր

-՛

»

-

լա

-՛ `

եռ

զ

զ՛

»

ՆՍրա

ԵՀ

՛

.՛

Հ Ե

'

:

չե - 4

Ե

----լ----Ֆ

ե

լ '

.՛

'

,

.՛

.7 ՛

Նկ. 6.7:

Նկ. 6.6:

Այսպիսովճշմարիտ է հետնյալը. տեղաՀատկություն:Վեկտորներիգումարգործողությունը է: փոխելի(կոմուտատիվ) Դիցուք տրված են 4, Ե, 6 վեկտորները:ԿամայականՕ կետից տեղադրենքզ վեկտորը(նկար6.8), այսինքնկառուցենքայնպիսի4 Ե: 4: Այնուհետնկառուցենք այնպիսի8 կետ, որ 48 կետ,որ 04 ՕՔ «գէ: սահմանման Ըստ վեկտորների գումարի Այժմ այդ վեկտորինգումարենքՇ վեկտորը:Դրա համարկառուցենքայնպիսի ճ։ Ը կետ,որ 9Ը Այդ դեպքումունենք, որ 6.8.

-

Հ

Հ

ՕԸՇ» (ԳՀ ե)-Շ։

Մյուս կողմից,4Ը

-

Ե Հ Շն,

հետնաբար,

ՕԸ»ՀԳՎ (ԵՀ ծ):

ստանում ենք, որ Համադրելովվերջիներկու հավասարությունները՝

ճ-Հ(ԵՀ-ԸՕՀ

(ԱԻ է)Հ6:

Այսպիսով ապացուցեցինքվեկտորների գումարման հատկություն.

նս

մեկ

զուՀատկություն:Վեկտորներիգումար գործողությունը է: գորդական(ասոցիատիվ) 6.9.

Ե

չՀՀՅ օ

(44ե)Հ6

Ճ

Հ

(ԵՀ

Նկ. 68:

ծ)

ք

Ը

ենտ օ

Ր

Նկ, 69:

Նշենք, որ զրոյականօ վեկտորը վեկտորներիգումար գործողությանհամար կատարումէ միավոր տարրիդերը. կամայականզ վեկտորիհամար

ԻԺ0Հ0ԻՎՃՀՃ:

Դիցուք գ հանդիսանումէ կամայականվեկտոր:Կառուցենքզ վեկտորն որոշող որնէ ուղղորդված48 հատված:84 հատվածով որոշվող վեկտորըկոչվում է ռ վեկտորինհակադիրվեկտոր ն նշանակվում է -ճ: Ակնհայտէ, որ -Ճ վեկտորըհանդիսանումէ զ տարվեկտորներիգումար գործողությաննկատրին մամբ,այսինքն

հակադիր տարր`

ճ-(-0)Հ(-0)ԷէՊՃ-6 ճ (-ե) Այժմ կարելիէ սահմանել 4 ն Ե վեկտորների են տարբերությունը:Եթե գ ն Ֆ վեկտորներըտեղադրված մեկ Օ կետից, այսինքն որոշված են այսպիսի 4 ն Ց կետեր, որՕ04- գն ՕՔ Ե(նկար 6.9), ապա զ - Ե 84: -

Հ

Հ

Իրական4 թվի ն գ վեկտորիարտադրյալ կոչվումէ այնվեկտորը,ռրը նշանակվումէ 44 ն որոշվում է հետնյալ պայմաններով. 8) 44 վեկտորիերկարությունըհավասար է |1||ճ|,այսինքն4 արժեքին գ վեկտորիերկարությանարտադրյալին: թվի բացարձակ Ե) 4ն4գ վեկտորներնունեն միննույնուղղությունը,եթե 14 » 0, ն ուղղվածեն հակառակ,եթե 4 Հ 0: հիմնականհատկութՆշենք վեկտորիթվով բազմապատկման յունները: 6.10.

Սահմանում:

6.11.

Հատկություն:Կամայական14,խսիրականթվերին կամավեկտորներիհամար.

յական4, 0

1 1:6Հ6: 2) (-1):4Հ

-ճ:

Արտադրյալի այս երկու հատկություններն անմիջապես են 6.11 սահմանումից:

հետնում

3)

4(առ) Աա)ճ: Հ

Վերջին հավասարությանձախ մասում գտնվող վեկտորի երկարությունըհավասար է |1||ազ| ի|լա||ճ|:Այդ թվին է հավասար նան աջ մասում գտնվողվեկտորի երկարութՀ

«. `

հավասարության յունը: Եթե |զլլո||ռ|Հ 0, ապա դիտարկվող երկու կողմերում գտնվող վեկտորներիուղղությունները նույնպեսհամընկնումեն: Այդ վեկտորներըհամաուղղված են գ վեկտորիուղղության հետ, 4 ն ս թվերն ունեն նույն եթե նշանը, ն ուղղված են վեկտորիուղղությանըհակառակ,

ճՃ/ՃՀ0: 1(4 4ե)

Հ/ճ-Հ15:

Հավասարություննակնհայտ է հետնյալ դեպքերում. ա) ծ Հօ: Հետագա դիտակման 1-0:բ)4Հ-եգգՀօկամ այս դեպքերը: ժամանակբացառենք գ, Ե վեկտորներըկոլինեար չեն: Ընտրենք Դիցուք 1»0ն կամայականՕ կետ ն կառուցենքայնպիսի4 ն 8 կետեր,որ

«ՀԵ (նկար 6.10): հետնաբար,08 Ց՛ ն կետերը, որոնց համար Հաջորդիվ գտնենք այն 4գն0Թ Շ47 14(ՃԳ Ե): Ստացված048 ն 04՛8՛ եռանկյունները նման են, քանի որ երանք ունեն ընդհանուրանկեն: յուն ն այդ անկյունը կազմող կողմերըհամեմատական ն հետնում |1|/18|: է, որ |48՛| Բացի այդ Այստեղից Ճթ վեկտորներնունեն միննույն ուղղությունը: Ուստի 4Ե: Համադրելովստացվածվեկտորական հավասաչորրորդ հատկությունը: կստանանք րությունները՝

Օ4-օն248-Են,

-

Հ

-

Հ

-

օ

21 «"

Նե. 6110:

աաթ-

'

Նկ. 6.11:

կոլինեարեն: Այժմ ենթադրենք1» 0, իսկ 4 ն 5 վեկտորները ԸնտրենքկամայականՕ կետ ն կառուցենք ն 8 կետերն 48» Ֆ (նկար 6.11): Ֆիքսենք որնէ Տ այնպես, որ 04-գն 54 ն Օ48 ուղղու վրա, ն կառուցենք50, կետ,որն ընկածչէ ՏՑ ճառագայթները:50 ճառագայթի վրա գտնենքայնպիսի Օ՛ կետ, որ |50'| է||50|, ն այդ կետիցտանենքՕՑ ուղղին զուգահեռ ս ուղիղբ: Դիցուք ս ուղիղը 54 ճառագայթը Հ

հատում

է /4՛

8' կետում: Մենք կետում,իսկ ՏԾ ճառագայթը՝ հետնյալ զույգերը. եռանկյունների

ստացանքնման

ձ085-4Ճ0՛8/5:

ձ485-ձճ4/85,

ձ045-ձ0՛45.

Այստեղիցունենք, որ Մ

Հ1ճ,

15,

Հ

Հ

1(:4

Ե):

հատկություննակնհայտ է: Երբ 4 Հ 0, կատարվում է հատկության ապացույցը չորրորդ եղանակովն հանձնարարվումէ ընթերցողին: Այժմ

չորրորդ

5) ԱՀ)

Հ404Հ

ապա նման

թն:

ակնհայտ է, եթե. այ ՃՀօ,բ)41ԷաՀ-0: Հավասարությունն ս թվերից առնվազնմեկը զրոյականէ: Հետազա գ'1ն այս դեպքերը: դիտարկմանժամանակբացառենք ունեն ն ս նույն նշանը: Ակնհայտ է, որ Դիցուք թվերն ն ձախ մասերումգտնվող հինգերորդհավասարությանաջ վեկտորներնունեն միննույն ուղղությունը: Ցույց տանք, որ նույնպեսնույնն են. երկարությունները վեկտորների իճ

Հ

սզ|

Հ

Աճ

առ|

Հ

(ԱԱՀ աքլոլ Հռ

Հ

Հ

Այլոէ Հ ալոլ

ոկօլ»

Հ

աի

»

|, Եթե 4 ն ր թվերը տարբերնշանի են ն, օրինակ,ել ապաշմրն -ր թվերն ունեն նույն նշանը, ն, ըստ արդեն

ապացուցվածի,

ԱՀարԻԳԹօՀԱՀա-

«146,

հինգերրորդհատկությանը:

ինչը համարժեքէ

`

.

Մաթեմատիկական ինդուկցիայի եղանակով ներմուծենք վեկտորներիգումարի վերջավոր թվով կամայական41, 4շ,..,ճռ 2, ապա զլ ն գշ վեկտորներիգումարն հասկացությունը:Երբ ռ համաձայն, իսկ դ»2 դեպքում որոշվում է 67. սահմանման Գլ, ճշ, ճո-1 Վդ վեկտորների գումարնորոշվում է -

ճ:

փ "Դ

հավասարությամբ:

Օո-:

փճղ Հ

(618:

ի6-1) ՒՅո

Նույն` ինդուկցիայիեղանակով,6.11.

(4) ն 6.11.(5) հատկութ-

գումարեյուններըկարելի է տարածելվերջավորթվովկամայական լիներիվրա,այսինքնապացուցել 4(ճլ (ե

օր) ո)6

Հ ճշ Դ: Է

Դ

47 Ի:

46չ 6014:

44լ

Հ

Հ

Ւ

Է

46ղ.

ի

հավասարությունները:

ՊՐՈՅԵԿՑԻԱՆԵՐԻ

Տ 6.5. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԿԱՊՎԱԾ

ՀԵՏ

ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ

Թեռրեմ: Երկու վեկտորներիգումարի պրոյեկցիանհագումարին(նույն վասարէ գումարելի վեկտորներիպրոյեկցիաների վրա). առանցքի 6.12.

յր,(4 ԻԵ)»

պր ոի

ճլրւն:

Նձ. 612:

վեկտորները:Ընտրենք ճ, կետերնայնպես,որ 04 Օ. գՀԵ 4, 5 48-Են, (նկար 6.12): Բոլոր հետնաբար,08 կետերըպրոյեկտենքա առանցքիվրա՝զուգահեռ« հարթությանը, ն նշանակենքՕ՛, 4՛, նրանցպրոյեկցիաներըհամապատասխանաբար 8՛: Այդ դեպքումստանում ենք, որ Առացույց: Դիցուք տրված եե

կամայականՕ

կետ ն

ե Ֆ

կառուցենք4 ն Ք

04:

Հ

Մյուս կողմիքանի որ.

Ց Է

պրո Ֆ

-

ն

-

2/7»

ԽԻ

որ Ծ8, ունենք,

Ե)

պրւ(ճՀ

պր,08

0'է'։

-

-

Համաձայն5.3. թեռրեմի,ս առանցքիվրա Օ', 4', դեպքումտեղիունի յականդասավորվածության 0՛8'

Հ

պրլգ

Հ

կետերիկամա-

4:8'

հիմնականնույնությունը,որիցհետնում

պրւ(ճՀ Ե)

Ց'

է, որ

պրե:

է

է: Թեռրեմնապացուցված

.

դեպքումնրա Թեռրեմ:Վեկտորըթվով բազմապատկման է այդ նույն պրոյեկցիանորնէ առանցքիվրա բազմապատկվում թվով. 6.13.

պր,(14)«պրն:

ս Ապացույց: Դիցուք4: 0ն 4» օ(հ. դ. պնդումնակնհայտէ): առանցքիվրա որնէ Օ կետից տեղադրենքգ ն 22 վեկտորներ (նկար 6.14 ), համաուղղված(նկար 6.13) ն հակառակուղղված 04-6.08-Հ1ոճ: այսինքնգտնենքայնպիսի4 ն Ց կետեր,որ

իլ,

Լ

թ

Ճ

2-17 `

՞

Նկ. 6:13:

Նե. 6.14:

կետերըս առանցքիվրա պրոյեկտելով4' ն 8' կետերի՝ Հետնաբար կստանանքերկու՝044/ ն Օ88' նման եռանկյունները: Ճն

պր,Աա) -

08'

-

1-04'

-

պրո

. է: թեռրեմնապացուցված է վերջավորթվով վեկտորՃո) հանդիսանում Դիցուք (6լ, ճշ, -,4ո ների համակարգ(պարտադիրչէ իրարիցտարբեր),իսկ 4.,42, են: Այդ դեպքում իրականթվեր կամայական

ն

4լ6գ

Ի

:::Դ 4շչճշԴ

4ղճռ

վեկտորներիգծայինկոմբինացիա, վեկտորըկոչվում է ճլ, ճշ, ...,Գո գործակիցներ: կոմբինացիայի գծային իսկ 1,,12,..,4ո թվերը՝ այդ

Ապացուցված6.12.

պր,(464Ժ

4շ62

թեռրեմներիցհետնում

ն 6.13.

4ո6ո)

Ւ :::Ի

Հ

4ւպրլզ14չպրյճշ

է

Ւ -"--Ւ

4ռպրյճո

հավասարությունը,այսինքն վեկտորների գծային կոմբինացիայի պրոյեկցիայիմեծությունը հավասար է այդ վեկտորներիպրոյեկգծային կոմբիցիաներիմեծությունների միննույն գործակիցներով նացիային: Քանի որ տարածությունումկամայականվեկտորտրվում է իր որնէ ուղղանկյուն դեկարտյանհամակարգում կռորդինատներով (այդ վեկտորի պրոյեկցիաներովկռռրդինատայինառանցքների (4,,7.,24), Ե (եե, ե, 2) վեկտորների վրա), ապա ցանկացած4 ն ցանկացած4 իրականթվի համար, համաձայն նախորդ երկու թեռրեմների,ունենք, որ Հ

--

զԵ-(ՍԿ

ԷՆԴ -

7.22)

(Ա1ի,,12գի

կամ Օն,

Ամ, Ւ, 2.) Ա, է Ճէ,Էշ (Ա17.12.): 101, 5.. 2.)

Ւ.,2.) Է

-

Է

7չ,2.

Է

2:),

Հ

բերել երկու ամենից հեշտությամբ կարելի դուրս են կոլինեար իրենց կռորդինատներով) (որոնք տրված վեկտորների լինելու պայմանը: ճ ն Ե վեկտորները, (Կ, 3ղ.2գ) ն Ե Ա,3.2թ): Դիցուք զ եթեզ »- օ, կոլինեար են այն ն միայն այն դեպքում, երբ նրանցից 44: ծ մեկը՝մյուսից ստացվումէ որնէ 4 թվով բազմապատկելով. հավասարությունըհամարժեքէ երեք թվային Վերջինվեկտորական Այս

-

Հ

»

հավասարությունների. ր

11»

Իջ

Տ

472» 25

12գ:

Իսկ վերջիններսնշանակումեն, որ 5 վեկտորիկռորդինատՀետնաբար ներըհամեմատականեն զ վեկտորիկոորդինատներին: Ե Օէ, 3.2) վեկտորներըկոլինեար են այն ն զ-(՛,Ֆո2ս)ն համեմատական միայն այն դեպքում, երբ նրանց կռորդինատները Հ

են.

Տ 6.6. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄՆ

ԸՍՏ ԲԱՂԱԴՐԻՉՆԵՐԻ

Տարածությանմեջ դիտարկենքՕ«)2 ուղղանկյունդեկարտյան համակարգը:Այդ համակարգիհետ միասինկդիկոորդինատային Լ նան եռյակը,որոնքորոշվում են հետնյ, Մ վեկտորների տարկենք յալ պայմաններով. գտնվումեն 1) Նյ, Խ վեկտորներըհամապատասխանաբար 02, 0), 02 առանցքներիվրա:

վեկտորներիցյուրաքանչյուրիուղղությունը համառանցքիդրական ուղղութընկնումէ համապատասխան

2.Ն),

.

յան հետ:

Էյ ԽՀ

վեկտորները միավոր վեկտորներ են,

Ք

| 1» ալ-1։

այսինքն՝

կամայականճ վեկտոր,ռրի սկիզբըհամընկնումէ Դիտարկենք հետ: գ վեկտորիծայրակետընշանասկզբնակետի կոորդինատների կենք 4 տառով: 4 կետից տանենք Օ2 առանցքինզուգահեռուղիղ: Այն 027 հարթությունըհատում է Ք կետում: Այնուհետն Ց կետից տանենքՕ7 ն Օ« առանցքներին զուգահեռ երկու ուղիղ: Համա4 նրանցից պատասխանաբար 0: հատում է առանցառաջինը Օ7 առանցքը: ջթիսկ երկրորդը համահատման կետերը Այդ Մ 41, նշանակենք պատասխանաբար ն 4, 4: Վերջապես,4 կետից . Նէ. 6.15: տանենք ՕՑ ուղղին զուգահեռ ուղիղ: Այն 02 առանցքըհատում է 4, կետում(նկար 6.15): կանոնի(կիրառելի0844, Համաձայնվեկտորներիգումարման Նույն զուզահեռազծի նկատմամբ), ունենք, որ «-08Հ04,: նկատմամբ, ստանում զուգահեռագծի կանոնը,կիրառելովՕ4,84, ենք, որ 08 04, Հ 04,: Վերջին երկու հավասարություններից Մ

`

-

ստանում

ենք, որ

ո-

77-01,

04.

Քանի որ 04, ն | վեկտորները գտնվումեն միննույնուղղի վրա, ապա նրանք կոլինեար են ն, հետնաբար, 04, Հռ :1, որնէ օ թվի համար: Նմանապես04, -Մ:յ ն 04,-7-ն (615 նկարը համաէ պատասխանում այն դեպքին,երբ ճ, /,)՛ թվերը դրական են): Այս ստանում ենք,որ ամենըհաշվիառնելով

ՀՃԱԸՎԻՑ:)Հ7՝Ք:

Այսպիսով,մենք ցույց տվեցինք,որ տարածությանցանկացած վեկտորիսկապեսկարող ներկայացվել 1, յ, ։ վեկտորների գծային կոմբինացիայի է, յ, Բ եռյակըկոչվում միջոցով:Ուստի վեկտորների է կռորդինատային բազիս: Ճ վեկտորի ներկայացումը «-04ԻԹ-/Է7-Խ գծային կոմբինացիայիտեսքովկոչվում է գ վեկտորիվերլուծությունըստ է յ, Է բազիսի, իսկ «մ Բ), /Խ վեկտորներըկոչվում են վեկտորի բաղադրիչներ ըստ (, յ, Է բազիսի,քանիոր նրանցհանրագումարում ստացվումէ ճ վեկտորը: Այժմ փորձենքբացատրելոՀ «-1ԻԹ:)Ի):ն ներկայացման ճ,8,7 գործակիցների երկրաչափականիմաստը: Քանի որ 04, «Լն Ը միավորվեկտորէ, ապա զ թիվը հանդիսանում է 04, հատվածի հարաբերությունն»չափման միավորի նկատմամբ՝ վերցվածհամապատասխան նշանով: Այլ կերպ ասած՝ զ հանդիսանում է մեծությունըՕ, առանցքիվրա, այսինքն՝ 04,հատվածի 04:: Սակայն04, այլ բանչէ, ինչ գ 04 վեկտորիպրոյեկցիան 05: առանցքի վրա: Հետնաբար

է

Հ

Հ

-

ճ

Նմանապեսբ պես

-

Հ

պրչ4-7

պր,,4-2Ը ն7/

Հ

պր,

4-2:

Այս պարագրաֆումստացվածարդյունքներնանփոփենքոր-

6. 14.

ըստ մ, յ, հ

գ Թեռրեմ:Վամայական վեկտորմիշտկարելիէ վերլուծել բազիսի,այսինքններկայացնել

գ-711ՀԻ-)42-:

տեսքով.որտեղ այդ վերլուծության գործակիցներըռ վեկտորով Ճ որոշվում են միարժեքորենհանդիսանալով վեկտորի պրոյեկցիաներկոռրդինատային առանցքներիվրա (ւ վեկտորիկոռրդինատներ):

ԳԼՈՒԽ

ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ՎԵԿՏՈՐԱԿԱՆ

Տ 7.1.

ՍԿԱԼՅԱՐ,

ԱՐՏԴԱՐՅԱԼՆԵՐ

ԵՎ ԽԱՌՆ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ

ՄԿԱԼՅԱՐ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԵՎՆՐԱ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

սկալյարարտադրյալ կոչԵրկու վեկտորների մոդուլվեկտորների է 4 ն 5 ն ների նրանցովկազմվածանկյանկոսինուսիարտադրյալին: սկալյարարտադրյալը նշանակվում վեկտորների է (զ, Ե): 4 ն 5 վեկտորների է կազմածանկյունը, Փ հանդիսանում Եթե է ապա ((Պ,3) սկալյարարտադրյալը կարելի ներկայացնել 7.1.

Սահմանում:

վում է այն իրականթիվը, որը հավասարայդ

(4, Ե)

,

Փ

|գ||Ե| օօ

Հ

բանաձնով: Հետագայիհամար կարնոր է նկատել,որ |Ե|օտ «օՏ |Ց| Փ պրչճ (տես. 8 6.1.), հետնաբար

Փ պրյե ն --

Հ

(6,5)

|ռլպրյեն

-

(ճ, ե)

Հ

|Ելպրյճ:

Այժմ նշենք վեկտորներիսկալյար արտադրյալիհիմնական հատկությունները: հանրահաշվական Հատկություն:Կամայականզ, Ե, 6 վեկտորներին կամայական4 իրականթվիհամար 7.2.

(Խճ): 1) (,է) 2) ճ, Ե) 40. Ե): 3 (ճեԵ-ԾՕՀ(աեե)Հ Հ

Հ

(ճ.օ։:

Ապացույց:Ըստ սահմանման (6,Ե)

Հ

|գ|Ել «օտ

ն (ե,օ)

Փ

Հ

օօՏ |Ե||ճ|

Փ:

ն առաջին Մյուս կողմից |գ|լԵ| |ե||ճ|:Հետնաբար(4,5) (Խճ) հատկություննապացուցվածէ: Ինչ վերաբերումէ երկրորդ հատկությանը,ապա ունենք, որ Հ

Օօ, ծ)

Հ

|ելպու(մո)։

Մյուս կողմից,համաձայն6.13. թեռրեմի,պրչ(14) 4պրչզ:Ուստի Հ

(ո, ե)

|ելպրչ(6) |ենպրչօ

Հ

Հ

Հ

Երրորդ հատկությանապացույցը (ՃԵ:

(ԵՀ Հ

»:

հետնում

(Ե |ո|պր,

6)

ներկայացումիցն պր,(ԾՀ 6) (6.12. թեռրեմ):Այսպես

4(Ելպրչգ)4(6, Ե):

Հ

է

օ)

պրե Հ պրյԸ հավասարությունից Հ |Ա(պրյե պրլօ)-

»|օպր,(ԵՀօ-(ՃԵՀօ)Հ |օլպր,եՀ |ո|պր,« Հ (6,ե)

Հ

(6, օ):

.

Ընդհանրացնելովսկալյար արտադրյալի նշված հատկութ-

յունները՝ կարելի է պնդել, որ կամայականճլ,

ճշ, ...,6,,

վեկտորներին

-

Եղ

իրականթվերի

կամայականճլ,6.,...,ռուքոք,,.«,Քու համարտեղիունի

(Էլ «ւ6.,ՖՄ-ւյել)

Ել, Եշ,

Ֆու Ֆու ւնյ(ճւ.Եյ)

(7.1)

հավասարությունը,ռրի ապացույցը հանձնարարվումէ ընթերցողին: Հաջորդիվնշենքսկալյարարտադրյալիմի շարք կարնորերկըրաչափականհատկությունները: Հատկություն:Եթե ոչ զրոյականզ ն ԵԽվեկտորներըկազմում են սուր (բութ) անկյուն, ապա (ճ,ծ) սկալյար արտադրյալը դրական(բացասական)է: Ապացույց:Իսկապես, եթե Փ անկյունը սուր (բութ) է, ապա «0Տ Փ » 0 («օՏՓ Հ 0): Հետնաբար 7.3.

(ճ, 3)

Հ

|ճ||Ե| «օտՓ

»

((/,Ֆ

»

|ռ|լԵլօօՏ Փ Հ

0):

ռո

Հատկություն:Որպեսզի4 ն Ե վեկտորներըլինեն փոխուղղահայաց,անհրաժեշտէ ն բավարար,որ նրանցսկալյարարտադը0: (ճ, 5) րյալը լինի զրոյական,այսինքն՝ են, ապա Ապացույց: Եթե ճ ն Ե վեկտորները փոխուղղահայաց «օՏ 0: 0: Հետնաբար Ե) |ճ|լԵ| Փ Փ (4, շն «ՕՏ Դիցուք այժմ (4, Ե) 0: Եթե ճ ն Ե վեկտորներիցմեկը զրոյական է, ապա նրան կարելի է համարել ուղղահայացմյուսին, քանի 7.4.

-

-

»-

--

Հ

Հ

զրոյական վեկտորն ուղղված է կամայականորեն:Իսկ եթե ոչ մեկը զրոյականչէ, ապա վեկտորներից որ

(ճ,Ե)

Հ

|գ||Ե| «օտՓ

Փ

0, այսինքն՝ Փ հավասարությունիցհետնում է, որ Շ0Տ 2,ինչն ճ ն ե են: էլ նշանակումէ, ռր վեկտորներըփոխուղղահայաց Հաջորդթեռրեմը հնարավորությունէ ընձեռում հաշվել երկու վեկտորներիսկալյարարտադրյալը՝ իմանալովնրանցկոռրդինատ-

ները:

7.5.

--

-

'

Թեռրեմ: Եթե գ

ն Ե

վեկտորները տրվածեն իրենց

4-(ՍաՖա2ճգ,

ԵՀ

ՍԿ.7ե.2է)

ապա նրանցսկալյարարտադրյալն կոռրդինատներով, որոշվում է

(Ե)

14է

Հ

Դ

Էշի

ի

բանաձնով: Ապացույց: Հեշտ է համոզվել,որ եյ, Բ բազիսային վեկտորների համարտեղիունեն հետնյալհավասարությունները.

Այժմ Օն Ճ-

ծ

ճե«0«Ն

(ճր»0,

(ՆԽ)»-0,

Ս,0Հ0. 00.050,

Օ7ՀՆ Ռ»-0,

ՍԹՀ0, (ԽՋ»-1

վեկտորներըվերլուծենքըստ

մզ

(ք.յ, ։

բազիսի.

ԵՀ1.-Լ(ԻԳՖջ:)Հ

ԱՒԷՖ.:)Է2գօ-Խ

2` Ի:

ն բազիսային Այնուհետն, օգտվելով(7.1) հավասարությունից վեկտորների սկալյար արտադրյալներիհավասարություններից, կարողենքգրել,որ

(ճ,ե)

Հ

Հ

(ե0

Հ

ՄԵ(եյ/)

Հ

ՀԻ,2»0, Խ) Հ 222450. 0 «թ

Այնպես,որ (ճ, 3)

Հ

Հն

ի Գ

Էլիչ

ՃՆ Հ

Հ

217500)

Իէ

ի

Է

2042թ:

460.0 Հ

2.20.

Հ

770.7

Բ)»

2.7թ: ռ

87.2. ՎԵԿՏՈՐԱԿԱՆ

ՆՐԱ

ՀԻՄՆԱՎԱՆ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ

ԵՎ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Դիցուք տարածությանմեջ ընտրվածէ ուղղանկյուն դեկարայանկռորդինատայինորնէ համակարգ: 7.6.

Սահմանում:

Տրված ճ

ն Ե

վեկտորներիվեկտորականարԵ) գրութ-

տադրյալ կոչվում է այն վեկտորը, որը նշանակվում է (գ, ն յամբ որոշվում է հետնյալերեքպայմաններով.

1) (ռ,Ե5)վեկտորի մոդովը հավասար է |ճ||Ե| ՏլոՓ,

որտեղ Փ վեկտորներիկազմածանկյունը: 2) |ռ,Ե|վեկտորնուղղահայացէ ճ ն Ե վեկտորներից յուրաքանչյուրին: 3) Լ Ե| վեկտորըգ ն Ե վեկտորներինկատմամբուղղված է այնպես, ինչպես ուղղված է 02 կոորդինատայինառանցքը 02: ն Օ» կոռրդինատային առանցքների նկատմամբ: Սահմանման երրորդ պայմաննավելի հստակեցնենք:Այսպես, եթե բոլոր երեք գ, Ե ն |ճ,Ե|վեկտորներըսկիզբ են առնում մեկ կետից, ապա |ճ,ծ| վեկտորըպետք է ուղղված լինի այնպես, որ նրա ծայրակետիցդիտելուց` գ վեկտորի կարճագույնպտույտը դեպի Ե վեկտորըկատարվիհենց այն կողմ, ռր կողմ նախատեսվումէ իրակարճագույն պտույտը դեպի կանացնելՕճ դրականկիսաառանցքի 0)» դրական կիսաառանցքը, եթե դիտենք02 դրականկիսաառանցքիորնէ կետից: Որոշակիության համար ենթադրենք, որ կոռրդինատների ընտրվածհամակարգում ՕՃ դրականկիսաառանցքիկարճագույն պտույտը դեպի Օ» դրականկիսաառանցքնիրականացվումէ ժամ սլաքին հակառակուղղությամբ,երբդիտումենք Օշ դրականկիսաառանցքի որնէ կետից: Կռորդինատներիայդպիսի համակարգը աջ համակարգը կարելի կոչվում է աջ համակարգ:Կոռրդինատների է բնութագրելնան հետնյակկերպ. այդ համակարգիՕշ առանցքի ուղղությունը ցույց է տալիս աջ ձեռքի միջնամատը,Օչ առանցքի մեծ մատը, իսկ Օ» առանցքիուղղությունը ցուցաուղղությունը` մատը: Եթե 02, 0, Օշ առանցքներիուղղությունները համապատասխանաբար համընկնումեն ձախձեռքիմեծ մատի,ցուցամատի ն միջնամատիհետ, ապա այդպիսիհամակարգըկոչվում է ձախ համակարգ: հանդիսանումէ

գ

ն ծ

Աջ կոորդինատայինհամակարգիընտրությանը համապաէ որոշակի ուղղություն: Այն է, եթե 4, Ե ն (4,9) վեկտորներըբերվածեն մեկ կետի, ապա |ճ, Ե|վեկտորըպետքէ ուղղվածլինի այնպես,որ նրա ծայրակետիցՃ վեկտորիկարճագույնպտույտը դեպի Ծ վեկտորը (այսինքնառաջինարտադրիչիցդեպիերկրորդը)իրականացվիժամ սլաքինհակառակուղղությամբ(նկար7.1): Առաջինհերթին նշենք վեկտորական արտադրյալի կարնոր երկրաչափական հատկությունները:

|գ,| վեկտորականարտադրյալինտրվում տասխան՝

Հատկություն: Որպեսզի |գ,ե| լինի զրոյավեկտորականարտադրյալը ն է կան,անհրաժեշտ բավարար,որ գն Եջ լինեն կոլինեար: վեկտորները Ապացույց Դիցուք |Լճ,5|օ: Այդ 7.7.

|լԸ,||

|ճ||Ել| Տո Փ

Հ

0:

Հ

վեկտորներիցոչ մեկը զրոյականչէ, ապա ստանում ենք, » 0: Հետնաբարզ ն Ծ վեկտորներըկոլինեարեն: Իսկ եթե զ որ Տո Փ ն Ե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է, ապա կարող ենք ն ծ

Եթե զ

համարել,որ այն կոլինեարէ մյուս վեկտորին,քանի որ զրոյական վեկտորիուղղությունըկարող է լինել կամայական: Այժմ, եթե գ ն Ե վեկտորներըկոլինեար են, ապա նրանցկազմած Փ անկյունը կա՛մհավասար0" (այն դեպքում, երբ գ ն 5 վեկտորներըհամաուղղվածեն), կա՛մհավասարէ 180" (այն դեպքում, երբ ճ ն Ե վեկտորներնուղղված են հակառակ):Երկու դեպքումէլ 0: Հետնաբար, |լզ,ե)| |ռ||Ե| ՏԼոՓ Տո Փ 0, այսինքն |զ,Ե) վեկտորի մոդուլը հավասարէ զրոյի, ինչն էլ նշանակում է, որ |ճ,Ե) " վեկտորըզրոյականէ: »-

Հ

-

Հատկություն:Եթե զ ն ծ վեկտորներըբերվածեն մեկ կետի, ապա |զ,ծ|վեկտորականարտադրյալիմոդուլը հավասարէ զն Ե վեկտորներիվրակառուցվածզուգահեռագծիմակերեսին: Ապացույց: Ճ ն Ե վեկտորներիվրա կառուցվածզուգահեռագծի մակերեսընշանակենք Տ տառով:Տարրականերկրաչափությունից հայտնի է, որ զուգահեռագծիմակերեսը հավասար է նրա կից 7.8.

կողմերի ն նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին: Տլո Փ Տ ն, հետնաբար, Այստեղիցէլ |գ||Ե| Հ

|լ,,Ե||5, ռ էր ապացուցել: ինչ ն պահանջվում Վերջին հատկությանհիման վրա վեկտորականարտադրյալը կարելիէ ներկայացնել

(ճ, ծ)

(7.2)

«56

բանաձնով, որտեղ - վեկտորն որոշվում է հետնյալ երեք պայմաններով. 1) 6 վեկտորիմոդուլը հավասար է մեկի: 2) 6 վեկտորն ուղղահայաց է Ճ ն Ե վեկտորներիցյուրաքանչյուրին: 3) օ վեկտորնուղղված է աջ ձեռքիմիջնամատի ուղղությամբ,Ճ մեծ է մատիուղղությամբ,իսկ Ե վեկտորնուղղված աջ ձեռքի ուղղությամբ (ենթադրվում աջ ձեռքի ցուցամատի վեկտորը՝ է, որ ճ, ծ ն - վեկտորներըբերվածեն մեկ կետի): Որպեսզիապացուցենք(7.2) բանաձնը,համեմատենք|, 3|ն 6 վեկտորներնորոշող պայմանները:Այդ համեմատությունիցհեշտ է եզրակացնել,որ |ռ,Ե|ն 6 վեկտորներըկոլինեար են ն ունեն միննույն ուղղությունը: Հետնաբար|ճ,ծ) վեկտորըկարելի է ստանալ 6 բազմապատկելովայն որնէ դրական թվով: Այդ թիվը վեկտորից` հավասար է |ճ,ծ) վեկտորի մոդուլի հարաբերությանը6 վեկտորի մոդուլին, ն քանի ռը |6| 1, ապա այն պարզապեսհավասար է 56: 5 թվին:Այսպիսով,(զ, հ) լռ, 3| վեկտորիմոդուլին, այսինքն՝ Արդ նշենք վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկությունները: -

Հ

Հատկություն: Կամայական(զ, Ե, Շ վեկտորներին կամայական իրականթվի համար ճշմարիտ են հետնյալ հավասարությունները. ) |ո,ծ| -լե,ճի 2) (14, է| 4լռ, Ե): 1լռ, Ե): 3) Լ.,4Ե| 4) |ռ,ԵՀ«յՀ|լվեԵյՀ |ուճ| գէ: 5 |ԵՒ՝Շ«)1Հ|Խ6)Հ|« 7.9.

Հ

Հ

Հ

Ապացույց:(1) Եթե զ ն Ե վեկտորներըկոլինեարեն, ապա |6,ծ) --ԼԵ,օ) ն |Ֆ,օ|վեկտորներըզրոյականեն ն, հետնաբար,|գ,Ե) զ ն 5 վեկտորոր ենթադրենք, Այժմ տեղիունի: հավասարությունը արտադրյալիսահները կոլինեարչեն: Այդ դեպքումվեկտորական հետնում է, ռր |ճ,Ե) |5,օ| մանման առաջիներկու պայմաններից ն վեկտորներըկոլինեարեն ն ունեն միննույն մոդուլը: Այսպիսով, կա՛մ|ռ.Ե| ԼԵ,ճ|, կա՛մէլ |ռ,Ե| -ԼԵ,օ): Մնում է պարզել,թե այդ տեղիունի: Այդ որ մեկն իրականում երկու հնարավորություններից |6,ծ| է ուղղուվեկտորի որ Քանի հարցը լուծում երրորդպայմանը: Ֆ ո վեկտորիցդեպի վեկտորը թյունն որոշելիս դիտարկվումէ ժամ հակառակուղղությամբ,իսկ պաքին պտույտը՝ կարճագույն ծ (5,ո) վեկտորիդեպքում`վեկտորիցդեպիօ վեկտորըկարճագույն ապա լռ, Ե| պտույտը նույնպեսժամ սլաքինհակառակուղղությամբ, են ն, ն |Ֆ,ճ|վեկտորներն հետնապես, ուղղված հակառակ -

Հ

-

լ, ե)

»

-(Ե,4|:

վեկտորներըկոլիակնհայտորեն նեար են, ապա |1ո,Ե) 4|:, | հավասարությունն ն 7.» 6, վեկտորներըկոլինեար որ տեղիունի: Այժմ ենթադրենք, հավասար 3) մոդուլը վեկտորի չեն: Այդ դեպքում է |օ||Ե| Տո Փ, է: լռ, է| Ե Հետնաբար վեկտորներիկազմածանկյունը Փ ռրտեղ4, վեկտորիմոդուլը հավասարէ 4լգ|լելՏլոՓ: Մյուս դեպքում|1«,է| վեկտորիմոդուլը հավասար է 7|ռ||Ե|5Լո փ, որտեղփ հանդիսան էշանծ կազմածանկյունը:Սակայն կամփ» Փ(երբ վեկտորների Երկու դեպքում էլ 1»0) ՓՀՈ-Փ (երբ 1Հ0): կամ կ է, Տո )| լո, Ե)|: |(14, Փ։ Այստեղից Տլո՛փ էլ հետնում ռր սահմանման երկրորդ արտադրյալի Համաձայնվեկտորական են գ ն ն. ն' 4լ4, ծ) ուղղահայաց վեկտորն պայմանի |16,Ե|վեկտորը, ն ծ) Ե վեկտորներից Ուստի |74,Ե) 4(6, վեկտորյուրաքանչյուրին: են: ներըկոլինեար Քանի որ |(16,Ե)| Ալո, Ե) ն Աճ, Ե), 4Լ.,Ե| վեկտորներըկոլինեար են, ապա |1գ,ե) 4(.,Եյ կամ (16, 31- -շլռ Ել: Որպեսզի որ մեկն իրակապարզենք,թե այդ երկու հնարավորություններից նում դիտարկենք4»0ն41Հ0 տեղի ունի, առանձին-առանձին դեպքերը: (Օ) Նկատենք,որ եթե 4

--

կամ եթե ռ

ն Ե

Հ

Հ

»

Հ

Հ

Դիցուք 4 » 0: Այդ ժամանակ44 ն ճ վեկտորներիուղղությունն ները համընկնումեն ն, ըստ աջ համակարգիկանոնի,|16,Ե) |ճ,Ե) Հ 0, 4լ., Ե| են վեկտորներըմիանման ուղղված: Մյուս կողմից,երբ ն |ռ,ծ3|վեկտորներնունեն նույն ուղղությունը, այսինքն1»0 դեպքում|46,Ե) 4|ճ,Ե|: Եթե 4 Հ 0, ապա 4զ ն զ վեկտորներնուղղված են հակառակ: Այդ դեպքում, ըստ աջ համակարգիկանոնի, (16, ե) վեկտորնուղղված է |ճ,ե) վեկտորինհակառակ:Մյուս կողմից, երբ 7 Հ 0, 4լճ, | վեկտորընույնպեսուղղված էն |գ,ծ) վեկտորին նս Հ 7լռ, Ե) վեկտորԵ) 2լռ, 0) (4 հակառակ:Ոստի այս դեպքում են ներն ուղղված միանմանն, հետնաբար,|14,Ե) 4լռ, Ե): (3) Երրորդ հատկության ապացույցնանմիջապեսհետնում է առաջինն երկրորդհատկություններից. Հ

Հ

լռ, 4ե| (4) Եթե

.-օ,

-ԹՌԵ,զ|

Հ

ապա

-4Լէ, 4)

Հ

չորրորդ

Հաջորդիվենթադրենք,որ

Հ

4|6, Է|:

հատկություննակնհայտորեն

4 »- օ: տեղիունի: Սկզբում դիտարկենքմի մասնավոր դեպք, երբ առաջին վեկեն առաջիտորը միավորվեկտորէ, իսկ մյուս երկուսնուղղահայաց օ բերենքմեկ ընդհանուր նին: Բոլոր երեք վեկտորները 1Առակետի: ն ՕՇ վեկՕ8 69: Մյուս երկու՝ ջին (միավոր) վեկտորը նշանակենք 0Ծ վեկտորը` են ճօ վեկտորին, նրանց գուուղղահայաց տորներն ու ՕՇ Հ ՕԾ 7.2): է. (նկար մարն -

Մտցնենքհետնյալնշանակումները. ԾԹ:

-

|ո,,Ծ8| ԾՇ

»

.0Շ.

6Ծ'

Հ

|ճ,0Ծ)

-

|ոօ,Ծ8Ժ 0Շ)

սահմանման Համաձայնվեկտորական արտադրյալի պայմանների, ունենք,որ

2) |0Ք"լ |լ.,,0Ք/| |ճ9||ԾԹ|51ո 08" ւ 08' Լ 08: Ե) ց, Հ

Հ

Հ

առաջիներկու

|Շ6լ:

Այստեղիցհետնում է, որ 08: վեկտորըկարելի է ստանալ՝ վեկտորըպտտելովռօ վեկտորիշուրջը 90" անկյունով:Բացի այդ, համաձայն երրորդ պայմանի, եթե դիտենք ռց վեկտորի ծայրակետից,ապա այդ պտույտը կիրականցվիժամ սլաքին հակառակ

ուղղությամբ: ննույն ճօ վեկտորի Նմանապես, ն ուղղությամբ շուրջը 90" ՕՇ ն Օք վեկտորները` պտտելով կստանանքԾԸ: ն 90"անկյունով Օք:

վեկտորները:Այսպիսով, Օ8"Ծ'Ը' պատկերը ստացվում է Օ8"Ծ"Ը՝ զուգահեռագծի որնէ պտույտով: Հետնաբար պատէ ն ՕԾ՛ ՕՔ" -- ՕԸ կամ կերը զուգահեռագիծ Օ8ԾԸ

(ճ.,0Ծ) Հ |ճց,68)Հ |ճ.,0Շ)

03)

Վերջինսհենց ապացուցվողհավասարությունն է մասնավորդեպքում: զ է կամայականվեկտռր,որն ուղԴիցուք այժմ | հանդիսանում ՕՔ ն ԾԸ ղահայացէ վեկտորներին: Միավորվեկտորը,որնուղղված Է այնպես, ինչպես ճռ վեկտորը, նշանակենք ճց։ Այդ դեպքում |զ|զց:Ստացված(7.3) հավասարության երկու կողմը բազմառ պատկելով|| թվով ն |օ|գցվեկտորըփոխարինելով վեկտորով՝ կստանանք,որ

Հ

ո,6Ծ)

--՛7/ .-5

Նկ.73:

Հ

|օ,08) 4 |ո,6Օ:

04)

Վերջապեսդիտարկենքայն դեպքը,երբ Շ վեկտորները կամայական են: Ենթադրենք նրանք բերված են մեկ ընդհանուրՕ սկզբնակետի:Ֆ, 6 նծ-« վեկտորներիծայրակետերիցտանենք գ վեկտորինզուգահեռ ուղիղներ: Այնուհետն Օ կետից տանենք հարթություն, որն ուղղահայացէ այդ ուղիղներին ն նրանք 4,

ՖԽ,

հատում է

8, Շն համապատասխանաբար

կետերում(նկար7.3):

ք

Դիտարկենք|Լճ,Ե|ն |ռ,08| վեկտորականարտադրյալները: Հեշտ է համոզվել, որ նրանք ներկայացնումեն միննույն վեկտորը: Իսկապես,առաջին,նրանցմոդուլներըհավասարեն, քանիորզն Ե վեկտորներիվրա կառուցվածզուգահեռագծի մակերեսըհավասար Է ռ ն 08 վեկտորներիվրա կառուցվածուղղանկյան մակերեսին: Երկրորդ, Լճ,ծ| ն |,08| վեկտորները կոլինեար են, քանի որ երկուսնէլ ուղղահայացեն միննույնհարթությանը(հենցայն, որում գտնվում են 4, Ե ն ՕԹ վեկտորները):Վերջապես,ըստ աջ ձեռքի (համակարգի)կանոնի, |ճ,Ե) ն |տ,08) վեկտորներնուղղված են միննույն կողմը: Ուստի|ճ,08) |6,5|: Նմանապես, |ո,ՕՇ)Հ |ճ,«| ն (7.4) հավասան |ռ,ՕԾ| |ճ,Ե- |: Այս հավասարություններից րությունիցստանում ենք, որ Հ

Հ

ո,

ԵՀ

«յՀ |ճէլ-չ

|2,«)

ինչ ն պահանջվումէր ապացուցել: հետնում է (5) Հինգերորդհատկությանապացույցնանմիջապես ն առաջին չորրորդ հատկություններից. Ֆ-Հ-`Շճ)Հ-լ.,ԵՀճ«)Հ-լճԵլ-|ո,«)Հ

Խ'ճ)Հլ«,6)|

.

Ընդհանրացնելովվեկտորականարտադրյալի նշված հատկություններըկարելի է պնդել, որ կամայական ճլ,ճշ...,6,, Եւ,Եշ,..,Եռ վեկտորներին կամայական«լ, ճշ, ճո, 81,82շ,...,Բոռ իրականթվերիհամարտեղիունի

յեյ|

(2-1 4.4...

-

Ֆու Ֆու ճւծյ|ու Եյ|

(7.5)

հավասարությունը,որի ապացույցը հանձնարարվումէ ընթերցողին: Հաջորդթեռրեմըհնարավորությունէ ընձեռում հաշվել երկու իմանալովնրանցկռորվեկտորներիվեկտորականարտադրյալը

դինատները: 7.10.

Թեռրեմ: Եթե ճ

ն Ե

4ՃՀ 2,

տրվածեն իրենց վեկտորները

Է.2:),

ԵՀ

ՕՌ, դ 2)

արտադրյալնորոշապա երանց վեկտորական կոորդինատներով, վում է

է" 2ի-ի,

(ո,Ե)-

բանաձնով: Ապացույց:Նախապեսկազմենքբազիսայինվեկտորներիվեկտորականբազմապատկման աղյուսակը: Համաձայն7.7. հատկութօ։ Այժմ յան, |էՍ օ, |),)) օ, (., է) դիտարկենք|եյ| վեկտորական արտադրյալը: |, յ) վեկտորիմոդուլը հավասար է 1 ն յ վեկտորների վրա կառուցվաձզուգահեռագծիմակերեսին(7.8. հատկություն): Այդ զուգահեռագիծն իրենիցներկայացնումէ միավորկողմով քառակուսի:Ուստի նրա մակերեսը հավասարէ մեկի: Այսպիսով, (եյ) վեկտորըհանդիսանումէ միավոր վեկտոր:Հաշվիառնելովայն փաստը, ռր |1,յ|վեկտորն ուղղահայացէ 1 ն / վեկտորներինն ուղղված է ըստ աջ ձեռքիկանոնի,ապա հեշտ է հասկանալ,որ այն համընկնում է բազիսայինկ վեկտորի հետ, այսինքն՝ |եյյ-է Նմանապես կհամոզվենք, որ |յ,հյ)-1ն (|Եղ-): Այնուհետն, օգտըվելով7.9. (1) հատկությունից,ստանում ենք, որ |/,1)Հ -ե, -Լն լել 1.,)) -)։ Այսպիսով,որոնելիաղյուսակըհետնյալնէ. Հ

Հ

Հ

Հ

Հ

Լ. Ս

Տ

եյ)

ծ,

ՄՍԱՀ-ե

ՍՀ-օ. Լ աւրՀ-Ե

ԽԱ, Հաջորդիվ,գ զ»

ն

ն 5

մգ'1Ի

Ի

»խԽ

Մել

ք

-ի

ՍԽյՀԵ ՆՋ»ծ6

վեկտորները վերլուծելովըստ 'Հ2.-Խ

(. յ, Ս

բազիսի.

ԵՀՄՀԽ.-ԼԻ::)է2::Խ

ստանում ենք, որ օգտվելով(7.5) հավասարությունից, 1, Ե| 2: 724): Լ Օե2թ 4544): (Է -1ջիշ):Է Հ

-

թեյ-ի՞"

-

ի,

7,

71-ի"

-

կամ նո

7ի

Ր

ԻՒ

(76)

Վերջին բանաձնըհանդիսանում է |գ, Ե) վեկտորիվերլուծությունն ըստ է յ, հ բազիսի,որի գործակիցները հենց |ճ,Ե) վեկտորի են: « կոորդինատներն Նկատենք,ռր (7.6) հավասարությունը կարելիէ գրել նան

ւ

(6,Ե|-

1.

յ հւ

Ք

տեսքով: Իսկապես,եթե այդ որոշիչը վերլուծենքըստ առաջիետողի, ապա կստանանք(7.6) հավասարությանաջ մասը:

8 7.3.

ԵՐԵՔ

ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ԽԱՌՆ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼ

Դիցուքտրվածեն ինչ-որ 6, 5 ն Ը վեկտորներ:Մկզբումորոշենք (ռ,ծ5Ե) վեկտորական արտադրյալը, որից հետո ստացված |, ե| Շ վեկտորի հետ: Դրանով վեկտորը սկալյար բազմապատկենք կորոշենք (լ4, Ե|,«) թիվը, որը կոչվում է 4,5, վեկտորներիխառն արտադրյալ:

Երեք վեկտորներկոչվում են կոմպլանար, եթե նրանք գտնվում են միննույն հարթությունում կամ զուգահեռ հարթություններում: Մասնավորապես,կոմպլանար վեկտորները գտնվում են միննույն հարթությունում, եթե նրանք ունեն մեկ ընդհանուրսկիզբ: Եթե տրվածերեք վեկտորներիհամար ասվածէ, թե նրանցից է որն համարվումառաջինը,որը՝երկրորդը,ն որը՝երրորդը,ապա ընդունված է անվանելկարգավորվեկտորներիայդպիսիեռյակն ճ,Ե,Ը եռյակ): Եթե տրված է վեկտորների ված եռյակ (պարզապես` Ե՝ է ապա վեկտորըհամարվում առաջինը, երկրորդը,իսկ եռյակը, Ը երրորդը: վեկտորներիեռյակը կոչվում է աջ, եթե նրա Ոչ կոմպլանար երրորդ վեկտորն առաջիներկու վեկտորներիհարթությաննկատմամբգտնվումէ այն կողմում,որ կողմում որ գտնվումէ աջ ձեռքի միջնամատը,որի մեծ մատն ուղղված է ըստ եռյակի առաջինվեկըստ երկրորդ վեկտորի: Ոչ կռմպլանար տորի, իսկ ցուցամատը՝ վեկտորներիեռյակը կոչվում է ձախ,եթե մեկ ընդհանուրսկզբնակարգավորվածեն այն հերթականութկետով նրա բաղադրիչները է ձախձեռքիմեծ յամբ, որ առաջինվեկտորըհամապատասխանում ցուցամատին,իսկ երրորդ մատին, երկրորդ վեկտորը` վեկտորը՝ միջնամատին:Կոմպլանարվեկտորներիեռյակն ոչ աջ է, ո՛չ էլ ձախ: 7.11.

Սահմանում:

առավելտեսանելիեղանակ: Նշենք եռյակներիտարբերակման եռյակի ռր մենք գտնվումենք տրվածվեկտորների Պատկերացնենք, առաջին անցումն դեպքում,եթե մարմնականանկյաններսում: Այդ երկրորդիցերրորդինն, վերջավեկտորիցերկրորդին,այնուհետն` պես, երրորդիցառաջինինիրականցվումէ ժամ սլաքին հակառակ ուղղությամբ, ապա տրված եռյակն աջ է, իսկ եթե ժամ պաքին հակառակ ուղղությամբ, ապա այն ձախ եռյակ է: Այսպես, եթե տրված են ոչ կոմպլանար 4,ծ,Ը վեկտորները, ապա նրանցից կարելի է կազմել (համարակալելովբոլոր հնարավորեղանակներով) վեցհատ իրարիցտարբերեռյակ. ճ,Ե,Ը։

թ:

Ե.«-Շճ:

ե,ճ,ճ:

Շե,ճ։

ՇԵ.

նշված տարբերակմանեղանակիկարելի է համոզվել, որ ճ: Ը, ճ,Ե եռյակներնաջ են (նկար 7.4), իսկ մնացածները՝ ձախ(նկար 7.5): Ըստ

զ,

Ե, Ը: Ե, Ը,

Շ

Շ

Ե

Նկ 7.5:

ՆԱ7.4:

է խառնարտադըրՀետնյալ կարնորթեռրեմնարտահայտում իմաստը: յալի երկրաչափական

Թեորեմ: (լճ, Ե), 0 խառնարտադրյալը հավասար է 6, ծ,6 վերցված ծավալին՝ վեկտորներիվրա կառուցվածզուգահեռանիստի նշանով, դրականնշանով, եթեճ, ծ, ՝ եռյակնաջ է, ն բացասական են, զ, 3, է: կոմպլանար վեկտորները եթե այդ եռյակըձախ Իսկ եթե 0: ապա (լզ,Ե), 6) Ապացույց: Սկզբումենթադրենք,որ 4 ն Ե վեկտորներըկոլինեար չեն: Դիցուք 6 վեկտորըսահմանվում է այնպես,ինչպես 7.8. հատկությանապացույցիընթացքում,ն ճ,5ծ վեկտորներիվրա կառուցված զուգահեռագծիմակերեսըհավասար է 5: Այդ դեպքում ունենք,ռր |զ, Ե| 56: Այստեղիցէլ 7.12.

Հ

Հ

(16,Ե),6)

Հ

(56,6)

Հ

5(6,Թ

Հ

5|6լպր,օ Տպրլճ։ Հ

Սակայն, ոյր,6 Գհ, որտեղհ հանդիսանումէ զ, 5, վեկտորների վրա կառուցվածզուգահեռաեիստի բարձրություննայն պայմանով,որ հիմքըհամարվումէ ճ, ծ վեկտռրներիվրա կառուցվածզու(նկար 7.6): գահեռագիծը Ջուգահեռանիստի ծավալը զ Նկ. 7.6: նշանակելով Մ տառով ն հաշվի ստանում ենք, որ առնելովՄ Տհ հավասարությունը՝ Ա6,Ե|յ2)» Մ: (7.7) է որոշել, թե ո՛րդեպքում է նշանը դրականն Այժմ հարկավոր որ դեպքում է բացասական:Այդ նպատակով նկատենք, որ պր, Հհ, եթե Շ ն 6 վեկտորները,4 ն Ե վեկտորներիհարթության զ, ծ, Շն 4, 3, 6 եռյակգտնվումեն մի կողմում, այսինքն՝ նկատմանբ, ն --հ, եթե Շ ն 6 վեկտորներն ունեն նույն օրիենտացիան, ոյր,Ը են ճ ն Ե վեկտորներիհարթության տարբերկողմեները գտնվում ճ, Ե, Շ ն 4,5, օ եռյակներնունեն տարբերօրիենտարում, այսինքն՝ սահմանման, 6, 3,6 եռյակն աջ է: վեկտորի ցիա: Սակայն, ըստ է Հետնաբար(7.7) բանաձնումվերցվում դրականնշանը, եթե ճ, է, Ը 6, 3, Շ եռյակնձախէ: Իսկ եթե Հ նշանը՝ եռյակնաջ է, ն բացասական ռ ն Ե վեկտորների է հարթությունում,այսինքն` վեկտորըգտնվում են, Ե, ճ, Ըվեկտորներըկոմպլանար ապա ցզյր,Ը 0 ն, հետնաբար, 0: (ճ.Ե|,օ) Մնաց դիտարկելկոլինեար գ ն Ե վեկտորներիդեպքը: Այդ ժամանակ|, Ե) 0, ինչը նշանակումէ, ռը (լզ, Ե|,6) 0, որը նույնէ թեորեմիձնակերպմանը, քանիռր եթե պես համապատասխանում Գն վեկտորներըկոլինեարեն, ապա 4, ծ, 6 վեկտորներըկոմպլա. է: նարեն: Թեռրեմնապացուցված Հ

»-

Հ

Հ

Հ

Հ

Հ

Հ

Հատկություն: Կամայական4,5,Ը վեկտորներիհամար տեղիունի հետնյալհավասարությունը. 7.13.

(1,3)

օ

Հ

(օ.15,«ը։

7.2. (1) հատկության Ապացույց:Ըստ սկալյարարտադրյալի

(6.15,«թ

Հ

(5.«եօ),

իսկ ըստ նախորդթեռրեմի

(6, ե),6)

12 Ը)Ն3)

ն

ՀԵՆ

-:

ԴՄ:

Քանի որ ճ,է,ԸՇն Ե,6,Գ եռյակներնունեն նույն օրիենտացիան, ապա վերջին հավասարությունների աջ մասերում հարկավորէ ընտրել միննույննշանը:Հետնաբար (16,Ե), 6)

(Ե,«,6)

Հ

(2.1ե,օթ։

Հ

ռ

Թեռրեմ:Եթե գ, Ե, Ը վեկտորներըտրվածեն

7.14.

ՂԼզՀ

2.)

(1.

Ե

(էչ, Իւ, 25),

Ը

ԷՉ (է., Թ 23

կռորդինատներով, ապա (լճ, Ե), 6) խառնարտադրյալը տրվում է (ճ,Ե,օ)Հ|1»

բանաձնով: Ապացույց:Ըստ

7.10.

ա-ի

մ.

ՖԽ. 27, 7ջ 75 Է. 2.

4.

թեռրեմի հ,

չի-ի

2.

լխ

ոի Ի

Ագ

« սկալյարբազմապատկելով (1., Մ.,2չ) վեկտորիհետ 7.5. ստանում վելով թեռրեմից՝ ենք, որ

որը

Հ

Էշ (6,Ե|,օ)-՞ Մ --

2գ 1. 2.

-

է: Թեորեմնապացուցված

4. Ո

2. Ւ.

24. Էշ

Ն

Մ"

2: -- Ճե Մթ 1. -

ն օգտ-

ՖԽ. "

2՞

Ւջ Ւ.

2. "

ի .

ԳԼՈՒԽ

ՈՒՂԻՂՆԵՐ

ԵՎ ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Ուղիղե ն հարթությունըհանդիսանումեն առաջին կարգի միակ պատկերները, այսինքնպատկերներ, որոնք ուղղանկյունդեկարտյան կոորդինատային համակարգում տրվում են առաջին աստիճանիհանրահաշվական հավասարումներով. Ճ:-8»ՇՀ0:

(8.1)

42-8,:»-Շշ-Հ0Հ0:

(8.2)

որտեղ 4,8, հանդիսանում են ինչ-որ ֆիքսված իրական թվեր 47 Հ 82: 0, 42Ի842ՀԸ7»0 (համապատասխանաբար պայմաններով),որոնք կոչվում են նշվածհավասարումների գործակիցներ: Այս գլխում դիտարկվումեն հարթությունումն տարածությունում առաջին կարգի պատկերներիհետ կապված հիմնական խնդիրները:Հարթությունում ն տարածությունում առաջին կարգի պատկերներըհամապատասխանաբար կոչվում են առաջինկարգի կորերն մակերնույթներ:

88.1. ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆՆ

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹ:

ԱՌԱՋԻՆ

ՈՐՊԵՍ

ԱՌԱՋԻՆ

ՈՒՂԻՂՆ ԿԱՐԳԻ

ԿԱՐԳԻ

ՈՐՊԵՄ

ԿՌՐ

հաԹեռթեմ: Ուղղանկյուն դեկարտյանկռորդինատային մակարգումյուրաքանչյուրհարթությունորոշվում է առաջինկարգի հավասարումով:Հակառակը,ուղղանկյունդեկարտյանկռորդինատայինհամակարգումյուրաքանչյուրառաջինկարգիհավասարում որոշում է հարթություն: Ապացույց: Դիցուք տրվածէ 0:72 ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգը:Դիտարկենք կամայական«ս հարն թություե ցույց տանք, որ այդ հարթություննորոշվում է առաջին կարգիհավասարումով (նկար8.1): 8.1.

են:

Այդ հարթությունումընտրենքորնէ հ/:(5օ,70,20) կետն այդ կետից տեղադրենքոչ զրոյական

ռ-«ԱՆՑ,Օ

վեկտորը, որն ուղղահայացէ զ հարթությանը: Այդ դեպքում կամայական 1(5,5,2) կետ գտնվում է « հարթությունում այն ն միայն Նկ. 8.1: այն դեպքում, երբ ո ն ԽԵ վեկտորներըփոխուղղահայաց Վերջինպայմանըհամարժեքէ 40:

Հգ) Է 8Օ -)օԻՇա-

-

2-0

2գ) (7.4. հավասարությանը,որտեղ հ/օիք («- Ճօ,7- օ,7կություն ն 7.5. թեռրեմ): Համարելով,որ -420-8)»0-629-Ծ, ստանում ենք Հ

Ժ8:»ԷԸ-0-0

(83) հատ-

(8.2)

հավասարումը, որն էլ հանդիսանում է զ հարթության որոնելի հավասարումը,քանի որ նրան 1 կետի 27,2 կոորդինատները բավարարումեն այն ն միայնայնդեպքում,երբ 31 կետըգտնվումէ զ հարթությունում: Ուստի զ հարթությունն իսկապես որոշվում է առաջինկարգի(8.2) հավասարումով: Այժմ ապացուցենքթեռրեմի երկրորդմասը: Դիցուք տրվածէ (8.2) հավասարումը,ն Ճ/ց կետի 20,70,20 կռորդինատները բավարարում են այդ հավասարմանը:Այդ դեպքումտեղիունի 4258»

ԷԸ2:2ԺէԾթ»0

թվաբանականնույեությունը: Այժմ (8.2) հավասարումիցհանենք ստացվածնույնությունը,որի արդյունքումկստանանք

-

0) -ԷՑ(-3)օ)ԷՇա-20»5-0

(8.3)

հավասարումը,որը, ըստ նախորդի,հանդիսանումէ հ/օ(»ց,70, 20) կետով անցնող հարթության (որին ուղղահայացէ ոՀ ԿՆհ,Օ վեկտորը)հավասարումը:Մակայն(8.2) հավասարումը համարժեքէ (8.3) հավասարմանը, քանիոր նրանցիցմեկը՝ մյուսիցստացվումէ

-ԷՑ): ԷշցՒթ»-0

նույնությունըհանելով կամ գումարելով:Հետնաբար(8.2) հավասարումը հանդիսանումէ այդ նույն հարթությանհավասարումը: Թեորեմնապացուցվածէ: " Այսպիսով, կարող ենք պնդել,որ յուրաքանչյուր հարթություն հանդիսանում Է առաջին կարգի մակերնույթ,ն յուրաքանչյուր առաջինկարգիմակերեույթհանդիսանում է հարթություն: Սահմանում:

8.2.

Յուրաքանչյուրոչ զրոյականվեկտոր,որն ուղղահայացէ որնէ հարթությանը,կոչվում է այդ հարթությաննորմալ վեկտոր: Օգտագործելով այս սահմանումը՝ կարելիէ ասել,որ 4022: - 5980-)օ)ԷՇ-շցշ»0

հավասարումըհանդիսանումէ այն հարթությանհավասարումը, որն անցնում է հ1օ(ց,70,20) կետով ն ունի ռ (4,8,Ը) նորմալ վեկտոր, իսկ (8.2) տեսքի հավասարումը կոչվում է հարթության ընդհանուրհավասարում: »

8.3.

Թեռրեմ:Որպեսզի

ճլ5

Ի

8լ)

ի

Օլ Ըլ2ԴԳ

Է 8շ»

»0գն

ի

Ըշշ

Հ

օչ

հավասարումներով որոշվողհարթությունները համընկնեն,անհրաժեշտ է ն բավարար,ռր այդ հավասարումների գործակիցները լինեն Հ 0 իրահամեմատական, այսինքն` գոյություն ունենա այնպիսի կանթիվ, որ

4142,

ե

48, Ըլ Էք ՎԸշ,Սլ

Տ

4Թչ:

Ապացույց:Իսկապես,եթե հարթությունները համընկնումեն,

8շ,

ն ոշ Հ (1, ապա ոլ - (4,8.,Ըլ) Ըչ) վեկտորներնուղղահայաց են միննույն հարթությանը,հետնաբար,մեկ են:

մեկու կոլինեար են Սակայնայդ դեպքում4, 8., Ը թվերըհամեմատական 42շ, 5շ, Ըշ » (տես. թվերին 8 6.5.), այսինքն՝ գոյություն ունի իրականթիվ այնպիսին,որ ճլ

4142,

48շ, Շլ

4Ըշ:

Դիցուք Խ1օ(20,50,20)հանդիսանումէ հարթությանկամայական կետ:Այդդեպքումտեղիունեն 446-870

-

Շ120Է Ռլ 0,

Հ Թշ»օ Շշտց 0չ- 0 Ժ

թվային հավասարությունները: Նրանցից երկրորդը բազմապատկենք 4 թվով ն հանենքառաջինից: Արդյունքումկստանանք, որ ք.

20,

-

-

կամ քլ

10չ:

»

44չ, 8լ Հետնաբար4 48չ, Ըլ 146չ, Սլ Շշ, Ծշ թվերիցոչ մեկըզրոյականչէ, ապա -

Հ

ո

Հ

Շ

8,

1405չշ: Եթե 4., 8շ,

Հ

5. նչ

`

Թեռրեմիբավարարությունն ապացուցելինքնուրույն: 8.4.

ռ

Վարժություն:Ապացուցել,որպեսզի

44:48»

ն

ՇշԻ0լՀ-0

4շ:Հ

8շ) Է Ըչչ-Է

հավասարումներով որոշվողհարթությունները չհամընկնենն լինեն ն Է զուգահեռ, անհրաժեշտ բավարար,որ գոյություն ունենա այնպիսի4 2: 0 իրականթիվ, որ 8.5.

Հ

442, 8լ

Հ

48չ, Ըլ

Հ

1Ը6շ,0լ

Հ

40չ:

Վարժություն:Ապացուցել,որպեսզի Է

8.7

է Ը 7-ԷԾւ-0

ն

4չ:Հ

8շ)

4 Ըշ2-

քչ-0

հավասարումներով որոշվող հարթությունները լինենփոխուղղաէ ն բավարար, հայաց,անհրաժեշտ որ տեղիունենա 4142 Է 8լ8չ

Է

ԸլԸչ

հավասարությունը: Այժմ դիտարկենքերկու փոփոխականներից կախված առաջին կարգիհանրահաշվական հավասարումը:

Թեռրեմ։Հարթությանմեջ տրվածուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգումյուրաքանչյուրուղիղ որոշվում է. առաջինկարգի 8.6.

4:Է8:»-Ը»-0

(8.1)

հավասարումով: Հակառակը,հարթությանմեջ տրվածուղղանկյուն դեկարտյանկոռրդինատային համակարգում(8.1) տեսքի յուրաքանչյուրառաջինկարգիհավասարում որոշումէ որնէ ուղիղ:

Ապացույցը կատարվումէ 8.1. թեռրեմիապացույցինմանությամբ: Տարբերությունը կայանում Է նրանում, որ 057 ուղղանկյունդեկարտյանկոորդինատային համակարգումդիտարկվում է կամայական 7 ուղիղ, նրա վրա ընտրվում է Ֆ. կամայական/0(5ց,7օ) կետ ն ս այդ կետից տեղադրվումէ ոչ 8.2: Նկ. զրոյականոռ (4, 8) վեկտորը, որնուղղահայացէ 5 ուղղին (նկար8.2): Այդ դեպքումկամայական8/(2, 37)կետպատկանումէ 7 ուղղին ն փոխուղղաայն միայն այն դեպքում, երբ ո ն էօ վեկտորները են: է Վերջին պայմանըհամարժեք հայաց

-Հ-

ծ|

»-

Ճա -աշ)ԷՒՔԹ-)»օ»-0

որտեղհ1օհք (» 2,7 հավասարությանը, ն 7.5. թեռրեմ):Համարելով,որ --42օ 8)ց -

(8.4)

-

-

--

Հ

30) (7.4. հատկություն ենք

Ը, ստանում

4:248,»4Շ-0

(8.1)

հավասարումը,որն էլ հանդիսանումէ 7 ուղղի որոնելի հավասարումը, քանի որ նրան 8/ կետի2,7 կորդինատներըբավարարումեն այն ն միայն այն դեպքում, երբ // կետը գտնվում է 7 ուղղի վրա: ՀետնապեսԾ ուղիղն իսկապեսորոշվում է առաջինկարգի (8.1) հավասարումով: Դիցուք այժմ տրվածէ (8.1) հավասարումը,ն 8/ց կետի2օ,)օ են այդ հավասարմանը, ինչն էլ նշաբավարարում կոռրդինատները նակումէ, որ տեղիունի -Շ-0

428»

նույնությունը,որն էլ հանելով (8.1) թվաբանական արդյունքումստանում ենք 4052 «Է -

Ք

հավասարումից՝

-)օ)-0

(8.4)

հավասարումը:Վերջինս, ըստ նախորդ մասի, հանդիսանում է (4,8) ԽԸ..,)օ) կետով անցեող ուղղի (որին ուղղահայացէ ո ն (84) (8.1) հավասարումվեկտորը)հավասարումը:Եվ, վերջապես -

ների համարժեքությունիցհետնում է, որ (8.1) հավասարումըհանէ. դիսանումէ այդ ուղղի հավասարումը:Թեռրեմնապացուցված Այսպիսով, կարող ենք պնդել, որ յուրաքանչյուրուղիղ հանդիսանում է առաջինկարգիկոր, ն յուրաքանչյուրառաջինկարգիկոր հանդիսանումէ ուղիղ: 8.7.

Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր, որն

Սահմանում:

ուղղահայացէ տրվածուղղին,կոչվում է այդ ուղղի նորմալվեկտոր: Օգտագործելով այս

սահմանումը՝ կարելի է ասել, որ

-օ)Ի8Օ-7գ)-0 402.

հավասարումըհանդիսանումէ այն ուղղի հավասարումը,որն անցնում է /10(50,օ) կետով ունի ո (4, 8) նորմալվեկտոր,իսկ (8.1) ն տեսքի հավասարումըհավասարումըկոչվում է ուղղի ընդհանուր հավասարում: »

Տրված ճլ: Թեռրեմ:

Դ-Ը :»-0ն 4չ2 Է Թշ) Է Ըշ -0 հավասարումներով որոշվողուղիղներըհամընկնումեն այն ն միայն այն դեպքում, երբ այդ հավասարումներիգործակիցներըհամեմատականեն, այսինքն՝ գոյությունունի այնպիսի14»- 0 իրականթիվ, 8.8.

Դ

լ)

որ

Թ 4142,

418, Ը

եշ

4Ըշ:

Ապացույց:Եթե ուղիղներըհամընկնումեն, ապա դլ (4,8) են 4շ,8չ) վեկտորներն ուղղահայաց միննույն ուղղին, հետնաբար,նրանքկոլինեարվեկտորներեն: Մակայնայդ դեպքում են 42, Ցշ թվերին (տես. 8 6.5.), այսին4. 8լ թվերը համեմատական 4: քըն՝գոյությունունի իրականթիվ այնպիսին,որ -

ն ոշ

Հ

ճլ ՅՅ4142,

-

48շ:

ԴիցուքհՈօ(2օ,)օ) հանդիսանումէ ուղղի կամայական կետ: Այդ դեպքումտեղիունեն Ճգ

Դ

8.70

Է 8270 42350

Դ Դ

Շլ "0, Ըշ -0

թվային հավասարությունները: Նրանցիցերկրորդը բազմապատկենք4 թվով ն հանենքառաջինից:Արդյունքումկստանանք,որ

4.

Ըլ -.4Ըշ 44շ, 8 Հետնաբար4 չէ, ապա մեկը զրոյական

1Ըշ։

կամ Ը.

48շ, Ըլ

Հ

-

Հ

8շ, Շչ թվերից ոչ 46: Եթե 42շ,

Հ

Թեռրեմիերկրորդմասն ապացուցելինքնուրույն:

ո

Վարժություն:Ապացուցել,որ

8.9.

Ճլա-Է8»

Ըւ»0 ն

4շ:Հ Բշ):ԷԸչՀ0

որոշվող ուղիղներըչեն համընկնումն զուգահավասարումներով հեռ են այն ն միայնայն դեպքում,երբ գոյությունունի այնպիսի4 «0 իրականթիվ,որ 4լ 8.10.

մշ,

Հ

8լ

Հ

45չշ, Ըլ

»

4Ըշ:

Վարժություն:Ապացուցել,որ

3 8լ) Հ Ըլ

Հ«0նճշ-

Բշ) Հ

Ըչ-0

են այն ն որոշվող ուղիղներըփոխուղղահայաց հավասարումներով միայնայն դեպքում,երբտեղիունի

ճ4լ42Ի8:8չ-0

հավասարությունը:

88.2. ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ ՈՒՂՂԻ

«ՀԱՏՎԱՍՆԵՐՈՎ»

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ

Դիցուքտրվածէ հարթության Ճա

-87ԷՇշ-է0Հ-0

ոչ մեկը հավասարումնայն պայմանով,որ 4, Ք, Ը, ք գործակիցներից տեսէ բերելհատուկ կարելի զրոյականչէ: Այդպիսիհավասարումը մի քի, որը հարմար է օգտագործելանալիտիկերկրաչափության շարք խնդիրներում: հավաՏրվածհավասարմանք ազատ անդամըտեղափոխենք մաս ն, այնուհետն,ստացվածհավասարմաներկու սարման աջ

մասն

էլ բաժանենք թ վրա: Այդ ամենիարդյունքումկստանանք -

8,

ճՃ2

(7

Հթ-թ"-թ-7 հավասարումը,որը կարելիէ գրել նան հետնյալտեսքով.

2:

2.

չ5'-ջը" Ք. Ը

թ

Կատարելով. տ-2

--քթ»-85

Հ-թ ստանում "նշանակումները՝

բ»-ջ

Ը

ենք լ»...

(8.5)

ՀԻԷջՒՀ

տեսքիհավասարումը,որը կոչվում է հարթության«հատվածներով» հավասարում:Այստեղճ, Ե, Ըթվերն ունեն շատ պարզ երկրաչափամեծուկան իմաստ.ճ, 3, Շ թվերը հանդիսանումեն այն հատվածների են կոորդինատային հետ թյունները,որոնք առաջանում առանցքների հարթության հատման արդյունքում (հաշված կոռրդինատների սկզբնակետից): Ռրպեսզիհամոզվենքդրանում,գտնենքհարթության հատման կետերըկորդինատային առանցքներիհետ: Օ:չ առանցքի հետ հարթությանհատման կետնորոշվում է այդ հարթության 2»

թր

հավասարումից լրացուցիչ7 հետնում հատում

»:

0,2

պայմանների դեպքում,ռրից

4: է, որ 2 Այնպես ռր, հարթությունը 0" առանցքիվրա է Ճռ մեծությամբհատված:Նմանապես ցույց է տրվում, որ Հ

հարթությունը07 ն 02 առանցքներիվրա համապատասխանաբա է ծ ն 6 մեծություններովհատվածներ: Այժմ դիտարկենք երկուփոփոխականներով առաջինկարգի

հատում

4:48»-Ը»0

որտեղ4, 8, հավասարումը,

գործակիցներից ոչ մեկըզրոյականչէ: 0 դեպքում) Այդ դեպքում նմանապես(ինչպես42 Է 8) Հ Ըշ Է ք կստանանք Հ

5»

(8.6)

-Տ,

-:

Ե-Այն կոչվում է ուղղի տեսքի հավասարումը,որտեղ4 հավասարում,որում Ճ ն ծ թվերըհանդիսանումեն «հատվածներով» այն հատվածներիմեծությունները,որոնք առաջանում են (8.6) հաՕն 0» վասարումովորոշվող ուղղի ն, համապատասխանաբար, առանցքներիհատումից: -

88.3. ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ ՈԻՂՂԻ ՆՈՐՄԱԼ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ

հանդիսանումէ ուղղանկյունդեկարտյանկոորԴիցուք Օշ ն դ՝ որնէհարթություն(նկար8.3): Օ կետից հ ամակարգ դինատային տ տանենք հարթությաննուղղահայաց 7 ուղիղը, որն այդ հարթությունը հատում է 7 կե7 տում: ուղղի վրա մտցնենք դրականուղղություն,որը համընկնում է Օ// վեկտորիուղղության հետ: Դիցուք 6 հանդիսաՖ նում է միավոր վեկտոր, որի ուղղությունը նույնպես համընկնում է ՕԽ վեկտորիուղղուՆկ. 83: տ հետ: հարթությունն Եթե թյան ապա որպես 5 ուղղի սկզբնակետով, անցնում է կռռորդինատների դրականուղղություն կարելի է ընտրել երկու հնարավորուղղություններիցկամայականը: Անկյունները,որոնքկազմումէ 6 միավորվեկտորը02, 05, 02 նշանակենքճ, Բ, )՛: Այդ առանցքներիհետ համապատասխանաբար անկյուններիՇՕՏ Ճ, «0ՏԹ, «օ57 մեծությունները,ինչպես գիտենք, կոչվում են 6 վեկտորի ուղղորդող կոսինուսներ:Եվ քանի որ 6 վեկտորըմիավոր է (տես. 8 6.3.), ապա Շ

«(ՕՕՏԱ,ԸՕՏՑ,ԸՇ0Տի)ն 0522

Հ

թԷ Շ052

60517-1:

ԾՈ վեկտորիերկարությունը ք հաննշանակենքք տառով,այսինքն՝

դիսանումէ

Օ

կետիհեռավորությունըո հարթությունից:

ԴիցուքԽ/(2,»,2) կետը հանդիսանումէ տ հարթությանկամայական կետ: Այդ դեպքում պր,Օ71» պր,ՕՆ պր,081:-ՕԽ-ք, քանի որ ՕՄ վեկտորիուղղությունը համընկնումէ 6 վեկտորին ջ առանցքիուղղություններիհետ: Հետնաբար Ք»-

(ՕԽ6) |»|պր,017

պր,

--

0Մ-

««0Տ4ՎՖօօՏր

Հ

Հ 26օՏ7:

Վերջիեսկարելիէ գրել նան

2ՃԸ0Տ2-7ՕՕՏԷ2057-թ-0

0.7)

տեսքով: Այդ հավասարմանըբավարարումեն միայն ու միայն տ հարթությանը պատկանողք կետի 2,),2 կորդինատները,ուստի (8.7) հավասարումըհանդիսանումէ ո հարթություննորոշող հավասարում,որն էլ կոչվում է այդ հարթությաննորմալհավասարում: Դիցուքայժմտրվածեն հարթության 4:7-Է87»ԷՇշՀ0-0

ընդհանուրհավասարումըն 2ՃՇ0ՏՃՀԸՇ0ՏԹՀ262057-Թ-0

եռրմալ հավասարումը:Քանի որ այդ երկու հավասարումներն որոշում են միննույն հարթությունը,ապա գոյությունունի այնպիսի 4» Օիրականթիվ (ըստ 8.3. թեռրեմի),որ «ՕՏՃ»/4,

օ05Թ-18,

ստանում Առաջիներեք առնչություններից

42(42Հ 87

Հ

Ը1)

«050

Հ

17Ը, --թք » 48:

ենք, որ

0517թՀ «05717»1

-Հ

կամ

Լ

որոց»

որտեղ4 թիվըվերցվումէ դրականնշանով,եթե Ծ Հ 0, ն վերցվումէ 40 առնչություբացասականնշանով, եթե ք » 0 (հետնում է --ք -Է Ըշ Հ 8) նից): Ուստի տրված ընդհանուրհավասարումը կարելի է բերել նորմալ տեսքի բազմապատկելով այն 4 թվով վերցվածհամապատասխան նշանով. »:

Հ

«-

ՖՎ42--87402

Ւ

ը

ՖՎ//2Հ82-2 ֆ/424-82-Ը2 -- Հվ-«822

Ն

կոռորդինատաԱրդ դիտարկենքՕՀ» ուղղանկյունդեկարտյան սկըզբնային համակարգըն ա ուղիղը (նկար 8.4): Կոորդինատների ս տանենք ուղղին ուղղահայաց որն ուղիղը, ուղիղը հակետից աս տում է ԽՄ կետում: 7 ուղղի 3), Ե դրականուղղությունը համարենք ՕՄ վեկտորիուղղությունը (եթե՛Օ»-փՊ, ապա որպես դրական ուղղություն համա-» րենք երկու հնարավորուղղու2 թյուններից կամայականը): Նկ. 8.4: Այսպիսով, 7 հանդիսանումէ Օ7 ն դրականկիսաառանցքների կազմածանկյունը առանցք: ք: նշանակենքճ, իսկ ՕՄ վեկտորիերկարությունը՝ Դիցուք 6 հանդիսանումէ միավոր վեկտոր, որի ուղղությունը համընկնում է » առանցքի դրական ուղղության հետ: Ուստի (600Տճ,Տ1ո 6): Տրված ս ուղղի վրա ընտրենքորնէ /(2, 7) կետ: Այդ դեպքումպարզ է, որ

օ|

ՀՀ

Հ

պր,081-պր,081ն պր,08/Հթ: Հետնաբար Ք

-

|օ|պր,01/1 պր,ՕԷՐՀ (Օ8Լ6) Հ

Հ

Տոռ

«օօ.

կամ

Ճ«ՏՏ2ՎտպՎոզ-քՀ0։

6.8)

Ստացվածվերջին հավասարմանըբավարարումեն միայն ու ուստի միայն ս ուղղին պատկանող8( կետի2,7 կոորդինատները, ս ուղիղն որոշող է հավասարում, (8.8) հավասարումըհանդիսանում որն էլ կոչվում է այդ ուղղի նորմալհավասարում: հավասարումիցնորմալ Ուղղի ընդհանուր 42- 8,-ԷՇ-0 է այն բազմապատկելով ստանալ հավասարումըկարելի 4-Դ

տոթ:

թվովվ̀երցվածդրականնշանով,եթե Ը կաննշանով,եթե Ը Հ 0:

Հ

0, ն

վերցվածբացասա-

Տ 8.4. ՈՒՂՂԻ

ԵՎ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐՈՎ

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ

Դիցուք տրված է որնէ ուղիղ: Այդ դեպքում յուրաքանչյուր ոչ զրոյականվեկտոր,որը գտնվումէ տրվածուղղի վրակամ զուգահեռ է նրան,կոչվում է այդ ուղղի ուղղորդող վեկտոր: որնէ հաՖիքսենք ուղղանկյունդեկարտյանկոորդինատային ճ է (1 ու ո) հանդիսանում ուղղի ուղղորդող վեկմակարգ:Եթե տոր, իսկ 8/0(50,370,20)կետը այդ ուղղի որնէ կետ, ապա տարածության կամայական8/(2,»,2) կետ պատկանումէ 7 ուղղին այն ն 20) վեկտորմիայն այն դեպքում,երբ զ ն 15/1 - (5 - «օ,7-30,2ները կոլինեարեն: Վերջինպայմանըհամարժեքէ նրան, որ գոյություն ունի այնպիսիէ իրականթիվ, որ -

ց»

-

1Ե

Պէ

7-7)

2-20

ու

-

կամ 25-ԻՆ

ՊՆ

»ՀՖ0Ւ

7»

շց

Է

(8.9)

Պէ:

կոչվում են ուղղի պարամետրերով Վերջին հավասարումները (Նուռ) հավասարումներ,որն անցնում է հ/ց(20,70,20) կետով՝ վեկտորիուղղությամբ: Եթե Լ7ո,ռ թվերից յուրաքանչյուրնոչ զրոյականէ, ապա (8.9) համարժեքեն հետնյալ երեքհավասարումներին. հավասարումները -

ւլ

Պտ

ե)

Դ

Ա

է

որոնքգրենք 2-20...

Արա

»-70

--

2-20

(8:10)

հավասատեսքով: Վերջիններսկոչվում են ուղղի կանոնական գ (1 դ, ո) է //0(250,»0,20) զուգահեռ կետով՝ րումներ,որն անցնում վեկտորին: Հ

ԳԼՈՒԽ

ԵՐԿՐՈՐԴ

ԿԱՐԳԻ

ՀԱՐԹ ՊԱՏԿԵՐՆԵՐ

89.1. ԷԼԻՊՍ Դիցուք հարթությանվրա տրված են Բլ ն Բշ կետերը,որոնք կոչվում են ֆռնուսներ,ն նրանցմիջն հեռավորությունըհավասարէ 26: Տրվածէ նան 4 թիվը, որը բավարարումէ ՇՀզ

(9.1)

անհավասարությանը: Էլիպս է կոչվում հարթությանկետերիցկազմըված այն երկրաչափականպատկերը,որի յուրաքանչյուր կետի հեռավորություններիգումարըԲլ ն Բշ ֆոկուսներիցհավասար է 24: Եթե (9.1) պայմանը տեղի չունի, ապա դիտարկվողկետերի բազմությունըկա՛մհանդիսանումէ ֆոկուսներիմիջն ընկածհատվածը,կա՛մչի պարունակումոչ մի կետ: Էլիպսիսահմանումիցանմիջապեսհետնում է նրակառուցման թելի ծայհետնյալեղանակը.եթե 24 երկարությամբոչ առաձգական ն ն Բլ Բչ կետերում թելը ձգենքմատիտիսուր րերն ամրացնենք մասով,ապա այն շարժմանենթացքումկգծի Բլ ն Բշ ֆոկուսներով կետի հեէլիպս,որի կամայական 3մձ ռավորություններիգումարը ֆոկուսներիցհավասարէ 24: Կաէ՛լ կատարելով այդ կառուցումը` Ի րելի է տեսանելիորենհամոզվել, ` որ էլիպսն իրենիցներկայացնում ւ Բշ է (ձվաձն տեսքի) ուռուցիկ փակ գիծ, որը սիմետրիկէ ԲլԲշ հատՆկ. 91: վածի (ուղղի) ն այդ հատվածի նկատմամբ(նկար9.1): միջնուղղահայացի Կազմենք էլիպսի հավասարումը:Այդ նպատակովընտրենք համակարգնայն02 ուղղանկյունդեկարտյանկոորդինատային 9.1.

Սահմանում:

--2

ունենա ԲլԲշ պես, որ Օտ առանցքնանցնիԲլ ն Բշ ֆոկուսներովն համՕ հատվածիուղղությունը,իսկ կոորդինատների սկզբնակետը հետ (նկար 9.1): Այդ դեպքում ընկնի ԲլԲշչ հատվածիմիջնակետի 0) Բւ(-Օ0)նքչԹ« Դիցուք 3/(2,») կետըհանդիսանումէ էլիպսիկամայականկետ: /ք կետի հեռավորությունները Բլ ն Բշ ֆոկուսներից(ֆոկուսային նշանակենքոլ ն ոշ, այսհամապատասխանաբար շառավիղները), ոշ: Այդ դեպքում, ըստ 5.11. թեռրեմի, ինքն՝Բլոք- ոլ ն Բշ ունենք, որ Հ

-ոլՀՎԱՀԻԹՀԻ.,

բւլմ ն, ըստ

-ոչ-Վա-Ժ837",

չմ

էլիպսիսահմանման՝

ԺԷ Բչիք ոլ

Բ

4 Իշ

Հ

-

(9.2)

264:

Հետնաբար

Վ6.2-ՕԺՕՀ3:

(ՇԻ 024314

(9.3)

20:

Հ

Վերջինսհանդիսանումէ էլիպսիհավասարումընշվածկռորդինատայինհամակարգում,քանիոր նրանբավարարումեն էլիպսի բոլոր ն միայնայդ կետերի: կետերիկոորդինատները Ձնափոխենք(9.3) հավասարումը:Այդ նպատակով(9.3) հավասարման ձախ մասի երկրորդ գումարելինտեղափոխենքաջ մաս, որից հետո ստացվածհավասարմաներկու մասն էլ բարձրացնենք նման անդամների միացում. քառակուսին կատարենք

ա«ՀՕՀԻ)2-520«-Վ2Ճա-01Հ)2 01432 «4գ2-4գվ2-Օ1Է72Ւ2ա-Ժ1ՀԻ3)7

» Հ.

Հ

-4գվռ-Օ2Հ)2

Վերջին հավասարմաներկու մասն

կունենանք,որ

--

20265 ».

Հ

6263 Հ

(04-02)

օ«վ.Շ-02ՀԻ)2»-02-օչ:

»

էլ բարձրացնելով քառակուսի

գ1)7 Վ

Հ:

զ

.- 20265

»

62(62 61):

Գ

-

Ներմուծենք նոր Ե»-ՎՕ2-62

ապա 42

--

մեծությունը: Քանի որ գ»6, օշ»0նծմեծությունն իրականթիվ է: Հետնաբար Ե

Հ

գ2- ՇՀ,

"ՑԹ4)

ն

կարողենքգրել, որ

4277» Հէ

ԵՀ.:2 Հ

կամ

Հ:Ե-1

(55)

ցույց տվեցինք, որ էլիպսի ցանկացածկետի կորդինատներըբավարարումեն (9.5) հավասարմանը: Այժմ ցույց տանք հակառակը.կամայական (2,7) կետ, որը բավարարում է (9.5) հավասարմանը,պատկանումէ էլիպսին, այսինքն բավարարումէ ստանում (9.3) առնչությանը:Վերջին՝ (9.5) հավասարումից ենք, որ

Մենք

ն-Ջ)

1»

Է

Օգտագործելովայս առնչությունըն ԵՀ գտնումենք, որ

-

Քանի որ,

էջ

ըստ

--

խառաչջոտ|2-)) բչռի

Է20.Ի0:-

-

(9.5) հավասարման,|չ| Հ գն

Բւհ/

64 հավասարությունը՝

Ե2

«վԱՅթոթ-

ուշու

-

ոլ

ՀԳՎՏո:

Հճ,

ապա

(9.6)

Նմանապեսկարելիէ ստանալ Բշ

բչ-0-

-:

(9.7)

ստաբանաձնը:Գումարելովվերջիներկու հավասարությունները՝ նում ենք (9.2) կամ (9.3) հավասարությունները: Այսպիսով, (9.5) առնչությունը հանդիսանումէ էլիպսի հավասարում, որը կոչվում է Էլիպսիկանոնականհավասարում:Այն երկրորդ աստիճանիհավասարումէ, ուստի էլիպսը հանդիսանումէ երկրորդկարգիկոր:

Ելնելով Էլիպսիկանոնական հավասարումից՝ ուսումնասիրենք էլիպսի գծապատկերը: Էլիպսի ) սահկետերիկռռրդինատները մանափակվածեն խ|Հգ ն : (ՀԵ անհավասարությունԵ ներով: Դա նշանակում է, որ

)

էլիպսը սահմանափակ պատ-

Օ`

ի, լ

Ծո

զ--"

|

է

կեր է, որը դուրս չի գալիս 9.2 նկարում պատկերվածուղղ4 անկյանսահմաններից: Հաջորդիվ նկատենք, որ Նկ. 9.2: են (9.5) հավասարմանմեջ մասնակցում կռորդինատների միայն զույգ աստիճանները: Այդ պատճառովամեն մի (2,7) կետի հետ միասին էլիպսը պարունակում է նան ո(-:,)), ՇԸ, -3), հ11(-5, -ջ) կետերը:Իսկդա նշանակումէ, որ էլիպսըմի պատկերէ, է Օչ» Օ» որը սիմետիկ առանցքնեի նկատմամբ ն կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ: Ուստի էլիպսի գծապատկերի ուսումնասիրման համարբավարարէ այն դիտարկել միայն կռորդինատային առաջին քառորդում, իսկ մյուս քառորդներում նրա կառուցումն որոշվում է ըստ սիմետրիայի:Առաջին քառորդիհամարկանոնական հավասարումիցստանում ենք, որ

-ռ-», մեծանում է զրոյիցմինչն 4, այդ ժամաԵրբ « փոփոխականը նակ 7» փռփոխականընվազում է Ե-ից մինչն զրո, ն այդ դեպքում

«վո-յ2

ֆունկցիայիգրաֆիկըկունենա 9.3 նկարում պատկերվածտեսքը: »-

7. /

ե

ՐՀ Նկ. 9.3

Հիթ» 8լ

9.4: Նկ.

կառուցելովմնացածերեք քառորդներիգրաֆիկսիմետրիայի ները կստանանքամբողջէլիպսր(նկար 9.4): Էլիպսի սիմետրիայի առանցքները(0» ն Օ,» առանցքները) պարզապեսկոչվում են նրա առանցքներ,իսկ նրա սիմետրիայիՕ կենտրոնը` էլիպսի կենտրոն:Էլիպսի կիսաառանցքներկոչվում են ն Օ8չ հատվածները,ինչպես նան նրանց ճ ն 3 երկարութՕ04չ յունները: Մեր ենթադրություններիհամաձայն,երբ էլիպսի ֆոկուսները գտնվումեն Օ2 առանցքիվրա, (9.4) առնչությունիցհետնում է, որ գ » Ե: Այդ դեպքում գ կոչվում է մեծ կիսաառանցք, իսկ Ե՝ փոքը կիսաառանցք:Մակայն (9.5) հավասարումը կարելի է դիտարկել Դա կլինի այնէլիպսի հավասարումը, նան ճ Հ ծ պայմանիդեպքում: են Օ7 առանցքիվրա ն մեծ կիսաառանցքը ռրի ֆոկուսներըգտնվում Ե: է հավասար Ի վերջո (9.5) հավասարումը դիտարկեն, գ-Ֆ պայմանի համար:Այդ դեպքումայնկարելի է գրել Ըստ

ոշ)»

զշ

տեսքով, որը հանդիսանումէ զ շառավղովն Օ կենտրոնովշրջանագծի հավասարումը: Հետագայում շրջանագիծը կդիտարկենք որպես հավասար կիսաառանցքներովէլիպս, որի ֆոկուսները համընկնումեն շրջանագծիկենտրոնիհետ: 9.2.

կոչվում է էքսցենտրիսիտետ

Էլիպսի

Սահմանում:

գ

հարաբերությունը: յուրաքանչյուր էլիպսի Քանի որ Շ Հգ, ապա 8 Հ1, այսինքն՝ չ»0: է համար«ժն էքսցենտրիսիտետ փոքր մեկից:Շրջանագծի Եշ: Ուստի Մյուս կողմից Հ

--

էլ որտեղից

Հխ-Ե ճ

ն

51-35: Լ)

բնութագրումէ Այստեղիցհետնում է, որ Տ էքսցենտրիսիտետը մոտ Ք է զրոյին, այնքանշատ էլիպսը նման է էլիպսի ձնը. ինչքան Տ այնձգվումէ: շրջանագծի,իսկ մեծացմանդեպքում՝

ֆոկուհասկացությունը էքսցենտրիսիտետի Օգտագործելով ստանում ենք ն համար ոշ ոլ շառավիղների սային էլմ

82,

Իլ

Բշ

-»չՀ

6-82

բանաձները:

ՀԻՊԵՐԲՈԼ

Տ 9.2.

Դիցուք հարթությանվրա տրված են Բլ ն Բշ կետերը, որոնք կոչվում են ֆոկուսներ, որոնց միջն հեռավորությունըհավասար է է 26: Տրվածէ նան գ թիվը,որը բավարարում

0ՕՀՃՇՀճԸ

անհավասարություններին: Հիպերբոլ է կոչվում հարթության կետերից պատկերը,որի յուրաքանչյուրկետի կազմվածայն երկրաչափական տարբերությանբացարձակարժեքը Բլն Քշ հեռավորությունների ֆոկուսներիցհավասար է 26: 0 դեպքումհանդիսանումէ ուղիղ, Նշված բազմությունը գ Ը դեպքում՝ զ դատարկ երկու ճառագայթներ,իսկ 4». 6 դեպքում՝ բազմություն: Կազմենքհիպերբոլիհավասարումը:Այդ նպատակովընտրենք կոորդինատայինհամակարգն 0» ուղղանկյուն Օդեկարտյան այնպես,որ Օչ առանցքնանցնի Քլ ն Բշ ֆոկուսներովն ունենա Օ սկզբնակետը ԲլԲշ հատվածիուղղությունը,իսկ կոորդինատների հետ: Այդ դեպքումԲ.(-ճ,0) համընկնիԲլԲշ հատվածիմիջնակետի Սահմանում:

9.3.

-

նք

(-Շ

,

0):

կետը հանդիսանումէ հիպերբոլիկամայական Դիցուք ((5,) հք կետ: կետիհեռավորություններըԲլ ն Բշ ֆոկուսներից(ֆոկուսանշանակենք լ ն ոշ, յին շառավիղները),համապատասխանաբար ոշ: Այդ դեպքում, ըստ 5.11. թեռրեմի, Բլո/ ոլ ն Բշճ/ այսինքն` ունենք, որ Հ

Բ

Հ

Հ

ոլ »Վ(Հ02:Ի77,

ն, ըստ հիպերբոլիսահմանման՝

Բշ

»րչՎԱ-ՕՀ32,

-

Թ.

չող

"լ

Հ

Իշ|

Հ

-

կամ ում/

-

Բշ

Իլ

Հ

-

Իշ

(9.8)

26:

Հ

Հետնաբար

ՎճՇՀԺՀՀ3)2-/ռա- ՕՀ-Ի)

(9.9)

Հ2զ։

Հ

Վերջինս հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումընշված համակարգում,քանի որ նրան բավարարումեն կոորդինատային հիպերբոլի բոլոր կետերիկոորդինատներըն միայն այդ կետերի: Պարզեցնենքայն: Այդ նպատակով(9.9) հավասարմանձախ մասի երկրորդ արմատըտեղափոխենքաջ մաս, ռրից հետո ստացված հավասարմաներկու մասն էլ բարձրացնենքքառակուսին կատարենք նման անդամներիմիացում.

ՎաՀՕ24):2-ՎԱա-Ժ2-)2Է2գ » ».

ՕԻՅԻՅ»Զ-ԹՀԻ

402 է

465»

44/2.--02-Ի)

Ի 40

442-437

փոն -6-Ի):

ա-«1Հ

»

Վերջին հավասարմաներկու մասն էլ բարձրացնելովքառակուսի՝ կունենանք,որ Ը

--

՞.

6"

Հ

Հ

20767

--

Հ

07162Հ

04)

(02 գշ)ր2 զ13)2 գՀ(62 գշ): -

-

-

-

Ներմուծենք նոր Ե ՎՇ2- 42 մեծությունը: Քանի որ 6», ապա 62 42 » 0 ն ծմեծություննիրականթիվ է: Հետնաբար Հ

--

եշ ն

-

գ,

-

(9.10)

կարողենք գրել,որ Ե:

--

զ2)2 կամ 2ճ

7.

-շ-՞է

-

1ի "

(9.11)

հետնում Սրանովմենք ցույց տվեցինք,որ (9.9) հավասարումից է (9.11) հավասարումը,այսինքնհիպերբոլիցանկացած կետիկոոր163

դինատներըբավարարումեն (9.11) հավասարմանը:Ցույց տանք կետը բավարարումԷ (9.11) հակառակ կողմը: Դիցուք 3(«,») Այդ դեպքում հավասարմանը:

»-ԻԼ-մ)

այս առնչությունը Օգտագործելով ն ԵՀ գտնումենք, որ

--

-

գ

հավասարությու :

թրագջչնո-6 թշ

հաչո-վ(1933--

|է) էոչս| |քունաւաւ

«

«Հ

զ

զ

-

գ

Նմանապեսկարելիէ ստանալ,որ

Է»- գի:

Բշ

Իշ

Հ

|| Հն», Քանի որ, ըստ (9.11) հավասարման, համար կունենանք,որ Բւմ ՞

ապա«Հճ

«Հափզ,Բշ -5»- գ:

Հետնաբար Իսկ 2

Հ

-ճ

համար՝ Բ»

Բր

Իշի

-

Հ

24:

Բշ

-

-Տ»Հ

6:

Հետնաբար ու

-

Բշ

--2գ:

կեԱյսպիսով,(9.11) հավասարմանըբավարարողցանկացած նան են (9.8) հավասարմանը ն, բավարարում տի կռորդինատները (9.9) ո ր է, տվեցինք, ցույց (9.9) Սրանով հավասարմանը: նշանակում ն (9.11) հավասարումները համարժեքեն ն, հետնաբար,(9.11) հավասարումնորոշում է հիպերբոլ:Այն կոչվումէ հիպերբոլիկանոնականհավասարում,որը հանդիսանումէ երկրորդաստիճանիհավաէ երկրորդկարգիկոր: սարում,ուստիհիպերբոլըհանդիսանում

հետնում է, ռը || Հ գ: Հիպերբոլիկանոնականհավասարումից է, նշանակում որ ողջ հիպերբոլը գտնվում է «--գն«»գ ուղիղներով սահմանափակվածշերտից դուրս: Քանի որ (9.11) հավասարմանմեջ մասնակցումեն կոորդինատներիմիայն զույգ աստիճանները,ապա հիպերբոլը սիմետրիկ է կոռրդինատների սկզբնակետին կոռրդինատայինառանցքներիցյուրաքանչյուրի նկատմամբ:Այդ իսկ պատճառովբավարարէ հիպերբոլիգրաֆիկը քառորդներից մեկում, օրինակառաջինում. գտնելկռորդինատային մնացած քառորդներում հիպերբոլը կառուցվում է համաձայն սիմետրիայի:Առաջինքառորդիհամարունենք, որ Դա

Հ

Ե

:Հ6:

2,

-

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը,սկսած 4(ճ,0) կետից, անսահմանորեն շարժվում է աջ ն վերն (նկար 9.5): Ցույց տանք,որ այդ դեպքումայն է

է մոտենում ինչքանհնարավեռր

-»-չ

զ

ուղղին:

Հ-թշ

Ճ

Նկ. 95:

Բշ

Ճ

Նկ. 9.6:

-

Դիտարկվող» 2:77 5, Հ «, ֆունկցիայիգրաֆիկիկամայական Լ կետից տանենք Օ7 առանցքինզուգահեռուղիղ, որը 72: ուղիղը հատում է հ/ կետում: Բացիայդ 8 կետիցայդ ուղղի վրա իջեցնենք71Ք ուղղահայացը:Այդ դեպքում Հ

Խի

Ե

«Ֆ-»

Հֆ-.ՖՀ-

Քանի որ,

//թ

Հ

ԼՄ,

-

Վ2-6Հզշվաաա ) ապա էո...

ճե

ՀՀԱ--Թ

աաա

1թ

Հ

»

հ

մր

խի

0:

0:

Այսպիսով,երբ առաջինքառորդումգտնվող(9.11) հիպերբոլի փոփոխականոլ կետը ձգտում Է անվերջության,ապա այդ կետի հեռավորությունըՒ :: ուղղից ձգտում է զրոյի: Դրան համապա-

մոտասխանընդունվածէ ասել, որ հիպերբոլնասիմպտոտիկորեն տենում է 7 27:ուղղին, իսկ այդ ուղիղն անվանում են հիպերբոլի ասիմպտոտ:Ակնհայտէ, ռր (9.11) հիպերբոլնունի երկու ասիմպՀ

տոտ.

5՞շԸ,

,

»ա-Տր

Կառուցենք(9.11) հիպերբոլիգրաֆիկըամբողջությամբ:Մկըզբումկառուցումենք հիպերբոլիայսպեսկոչվածհիմնականուղղանսկզբնակետի կյունը, ռրի կենտրոնըհամընկնումէ կոորդինատների հետ, իսկ կողմերը հավասար են 24 ն 252 ու համապատասխաՈւղիղները,որոնց վրա նաբարզուգահեռեն ՕՃ ն Օ7 առանցքներին: են հիպերեն հ անդիսանում անկյունագծերը, ուղղանկյան գտնվում հետո ենք հիպերբոլի կառուցում Դրանից բոլի ասիմպտոտները: գրաֆիկը(նկար 9.6): Նշենք, որ հիպերբոլը երկու առանձին ճյուղերից կազմված համապապատկերէ. (9.8) հավասարությանաջ մասի «Հ» նշանը է նշանըձ̀ախ ճյուղին: տասխանում նրա աջ ճյուղին, իսկ Հիպերբոլի սիմետրիայի կենտրոնը կոչվում է նրա կենտրոն: Սիմետրիայիառանցքներըկոչվում են հիպերբոլիառանցքներ,ընդ որում, հիպերբոլը երկու կետերում հատող առանցքը կոչվում է կեղծ: Հիպերբոլիգագաթներկոչվում են իրական, իսկերկրորդը` հիպերբոլի իրական առանցքիհետ հատման 4լ ն Ճշ կետերը: կոչվում են զ ն ծ մեծությունները:Եթե Հիպերբոլիկիսատառանցքներ Ճ Ե, ապա հիպերբոլըկոչվում է հավասարակողմ: նան Դիտարկենք

Հ

Ցե.

հավասարումը:Ակնհայտէ, որ այն նս որոշում է հիպերբոլ,որի ֆոկուսները գտնվում են Օ» առանցքիվրա, իսկ հիմնականուղղանհամընկնումեն համապատասխանաբար կյունը ն ասիմպտոտները հետ: ն (9.11) հիպերբոլիհիմնականուղղանկյան ասիմպտոտների

9.4.

Սահմանում:

Հիպերբոլիէքսցենտրիսիտետ կոչվում է Ե2

ՀՐ)

ՀԶՀ

հարաբերությունը: Ցանկացածհիպերբոլիհամար8 » 1: Էքսցենտրիսիտետը բնութագրում է հիպերբոլիհիմնականուղղանկյան ձնը ն, հետնաբար, հենց հիպերբոլի ձնը. ինչքան 6 փոքր է, այնքան շատ է ձգված հիմնականուղղանկյունը,իսկ նրա ետնիցնան հիպերբոլը՝ իրական առանցքի Օգտագործելովէքսցենտրիսիտետի հասկացությունը ֆոկուսայինլ նշ շառավիղներիհամարստանում ենք

երկայնքով: Իլ-Հ8ԷճՆ

բանաձներնաջ ձյուղիհամար(չ Իլ

7-:8:-4

4), ն

Հ

-ԹԵՎԻՑ),

բանաձներնձախճյուղի համար (2

Իշ» Հ

-(-6)

4):

Տ 9.3. ԷԼԻՊՍԻ ԵՎ ՀԻՊԵՐԲՈԼԻ

ԴԻՐԵԿՏՐԻՍՆԵՐԸ

համաԴիցուքՕ27 ուղղանկյունդեկարտյանկոորդինատային կարգում

)2

թ՞1

|

հավասարումնորոշում է էլիպս,որի համար4 .--ՀԼ

Հ

ծ, Եշ

օ1-622ն

Երկուուղիղներ,որոնքուղղահայացեն Էլիպսի կենտրոնինկատմամբսիմետրիկորենգտնվում են հեռավորության վրա, կոչվում են էլիպսիդիրեկտրիսներ: համակարգումէլիպսի դիրեկտրիսՏրված կռռրդինատային ունեն հետնյալտեսքը. ների հավասարումներն 9.5.

մեծ

Սահմանում:

առանցքինն

.--Տ

ն

«ՎՏ:

Նրանցից առաջինըպայմանավորվենք անվանելձախ, իսկ երկ-

բորդը

աջ:

Քանի որ էլիպսիհամարՔ

1, ապա

զ

Այստեղիցհետնում է, որ աջ դիրեկտրիսըգտնվում է էլիպսի աջ գագաթի աջ կողմում: Նմանապեսձախ դիրեկտրիսըգտնվում է էլիպսի ձախ կողմում (նկար9.7): Հ

2»

22:4--վՎ

Հ

աթի

|

Ի

ճշ

հավասարումով որոշվող ւՀ -ցՏ

9.6.

ն

25621

Տ»:

ԱՅՏՎ Հ«»

Նկ. 9.8:

Այժմ դիտարկենք

թշ

Է

Նկ. 9.7:

գ:

հիպերբոլը, որի

համար «»Ֆ,

Սահմանում:

Երկու ուղիղներ,որոնք ուղղահայացեն հին կենտրոնինկատմամբ պերբոլի իրական սիմետրիառանցքին կորեն գտնվում ենչ հեռավորության վրա, կոչվում են հիպերբոլի դիրեկտրիսներ: Տրված կոորդինատայինհամակարգումհիպերբոլիդիրեկտրիսներիհավասարումներն հետնյալ -

ունեն ն

ա»

տեսքը.

Էչ -:

երանցից անվանել ձախ, իսկ առաջինն Պայմանավորվենք

երկրորդը` աջ:

-Հզ: ԱյստեղիցհեՔանի որ հիպերբոլիհամար8 » 1, ապա տնում է, որ աջ դիրեկտրիսը գտնվումէ կենտրոնին աջ գագաթիմիջն: Նմանապեսձախդիրեկտրիսը գտնվումէ հիպերբոլի ն ձախգագաթի կենտրոնի միջն (նկար9.8):

հիպերբոլի

Թեորեմ: Դիգուք Ւ հանդիսանումէ էլիպսի (հիպերբոլի) որնէ կետիհեռավորությունըֆոկուսից, իսկ մ՝ այդ կետի հեռավորությունը նշված ֆոկուսին համապատասխանդիրեկտրիսից:Այդ մեծություն է, որը դեպքում- հարաբերությունըհաստատուն 9.7.

այսինքն՝ հավասար է էլիպսի (հիպերբոլի)էքսցենտրիսիտետին, Ի

«ծք զ

(ֆոկուսը ն դիրեկտրիսըհամարվում են իրար համապատասխան, եթե նրանքկենտրոնինկատմամբգտնվումեն մի կողմում): Ապացույց: Էլիպսի դեպք:Որոշակիությանհամար ենթադրենք, Դիցուք ռր խոսքը վերաբերումէ աջ ֆոկուսին ն աջ դիրեկտրիսին: 2/1(.,)») հանդիսանում է էլիպսի կամայականկետ (նկար 9.7): 7 է արտահայտվում կետիհեռավորություննաջ դիրեկտրիսից գ

մ»---Ն

հավասարությամբ,իսկ տրվումէ

//

կետի հեռավորություննաջ ֆոկուսից Ւ-զ-ճ5

բանաձնով(տես.8 9.1.): Հետնաբար Ի

(1-

Ճ-ՏՃՆ

Տ:ա)ք

«աաոաաաաաակապաաաթ պոռջ պած աըաապատատաապատատաաաա տատ վիչ

դեպքումկունենանք,որ Ձախֆոկուսին ձախդիրեկտրիսի

գ-2Ի5

..

ԻԳԻԹ

ն, հետնաբար, Ւ

ԳՀ-Տ

Սորա

(ճ-Հքմ)ճ

Աո աաա արթ -)

.

ճիպերբոլիդեպք: Այս դեպքում նս որոշակիությանհամար ենթադրենք,որ խոսքըվերաբերումաջ ֆոկուսինն աջ դիրեկտրիսին (նկար 9.7): Հարկավորէ դիտարկելերկու դեպք. Առաջին:հլ կետը գտնվումէ հիպերբոլիաջ մասում: Այդ դեպէ արտահայտվում աջ դիրեկտրիսից քում հ կետիհեռավորությունն

զ-»-5 հավասարությամբ,իսկ տրվումէ

Հ

կետի հեռավորություննաջ ֆոկուսից

ոք

ՒՀՏՃՆ-ճ

(տես. 8 9.2.): Հետնաբար բանաձնով ՐԱ

աա.ԱԱաաա

Երկրորդ: էք կետը գտնվում է հիպերբոլի ձախ մասում: Այդ ղեպքում ոք կետի հեռավորություննաջ դիրեկտրիսիցարտահայտրվումէ մ-ԱԱՀ-

ձ

ք

Բայց քանի որ | կետը գտնվումէ հիպերբոլի հավասարությամբ: ձախ մասում, ապա չ մեծությունը բացասականէ, հետնաբար, քլ

-ան

զ

զՀ-ՃՀ-

Տ

աջ ֆոկուսիցտրվումէ Մյուս կողմից8 կետիհեռավորությունն

"--(-4)

բանաձնով(տես. 8 9.2.): Հետնաբար Ի

զ

-(Ր-0)

Ը-87

Հ

6)8

--ռ----ջ- Թ»(-8չ Հ զ) -:45 Ն

Ս -

ք:

" է: Թեռրեմնապացուցված սահմն Նախորդ թեռրեմըթույլ է տալիս էլիպսը հիպերբոլը անել մեկ այլ եղանակով,որը համարժեքէ նախորդսահմանումներին:

Էլիպս (հիպերբոլ)է կոչվումհարթությանկեպատկերը,որի յուրաքանտերից կազմված այն երկրաչափական կետի համար`տրված կետից (ֆոկուսից) հեռավորության չուր 9.8.

Սահմանում:

հարաբերությունըտրված ուղղից (դիրեկտրիսից)հեռավորության վրա հանդիսանում է 8 Հ 1 (» » 1) հաստատուն մեծություն: Այս սահմանումիցհետո բնականէ դառնում հետնյալհարցադրումը. ի՞նչէ իրենից ներկայացնումհարթությանկետերիցկազմված այն բազմությունը,որի յուրաքանչյուրկետի համարտ̀րված կետի հեռավորությանհարաբերությունըտրված ուղղից հեռավո1 կամ 7 մ): Պարզվումէ, որ րությանվրա հավասարէ մեկի (չ այդ բազմությունըհանդիսանումէ երկրորդկարգիկոր,որը կոչվում Հ

Հ

է պարաբոլ։

Տ 9.4. ՊԱՐԱԲՈԼ

Դիցուքհարթությանվրատրվածեն անցնումայդ կետով:

Ք

կետըն

ուղիղը, որը չի

Սահմանում:

Պարաբոլ է կոչվում հարթության կետերից կազմվածայն երկրաչափականպատկերը,որի յուրաքանչյուր կետ հավասարաչափէ հեռացվածՔ կետիցն 5 ուղղից: Բ կետըկոչվում է պարաբոլիֆոկուս,իսկ 5 ուղիղըպարաբոլիդիրեկտրիս: Պարաբոլը,ինչպեսէլիպսըն հիպերբոլը,որոշվումէ 9.7. թեռրե1 դեպքում,այսինքն մով Տ 9.9.

»:

Ւե

(9.12)

հանդիսանումեն պարաբոլի որտեղ7» ն Վ համապատասխանաբար ֆոկուսիցն դիրեկտրիսից: կամայականկետիհեռավորությունները Կազմենք պարաբոլի հավասարումը:Օա ուղղանկյուն դեհամակարգնընտրենքհետնյալ կերպ կարտյանկռորդինատային 9.9): (նկար Բ կետից7 դիրեկտրիսին տանենք ուղղահայացուղիղ, որը 7 ուղիղը հատում է մ կետում: Որպես 0" առանցք վերցնենքայդ ուղղահայացը,որի դրական ուղղությունը համընկնում է ՍՔ հատվածիուղղության հետ, իսկ կոռրՆկ. 9.9: դինատների սկզբնակետըհամարենք ՃԲ հատվածիմիջնակետը:Եթե Բ կետիհեռավորությունըդիրեկտ171

բիսից հավասարէ

ք, ապա

բ

կունենահետնյալտեսքը.

(9)

դիրեկտրիսիհավասարումը

ն

«2 պատած

Դիցուք 1/(2,») հանդիսանումէ պարաբոլիկամայականկետ: Այդ կետից տանենք Օչ առանցքին զուգահեռ ուղիղ, որը 0» հատում է Լն առանցքըն 5 դիրեկտրիսըհամապատասխանաբար կետերում:Ունենք, որ ՛-

-

ը

Ք) Հ)»,

աֆ

--

Ե

մ-հԽԱՀՈԼՀԼԻՀ-ՏՀ»:

-

հավասարմանմեջ՝

Այդ արժեքները տեղադրելով (9.12) ենք.

ստանում

|

-

հավասարումը, որը հանդիսանումէ պարաբոլի հավասարումը: Նրա երկու մասն էլ բարձրացնենք քառակուսի. ք12

(--շ)

Է»

Ն

Այստեղիցէլ առանում ենք

-

12.

(«-շ) ք

շթ:

:

(9.14)

հավասարումը:Հեշտ է համոզվել,որ (9.13) ն (9.14) հավասարումները համարժեքեն: Վերջին հավասարումըկոչվում է պարաբոլի կանոնական հավասարում:Այն երկրորդաստիճանիհավասարում է, ուստիպարաբոլը երկրորդկարգիկոր է: Պարաբոլիկանոնականհավասարումից պարզ է դառնում,որ 2 փոփոխականը կարողէ ընդունելմիայնոչ բացասականարժեքներ: Հետնաբար, նկարիվրա ողջ պարաբոլը գտնվումէ Օ» առանցքիմի կողմում (աջից,եթե 0: առանցքիդրականուղղությունըշարժվումէ ձախիցդեպի աջ): Քանի ռր (9.14) հավասարումը7. կռորդինատը պարունակումէ միայնզույգ աստիճանում,ապա պարաբոլը սիմետրիկ է Օ» առանցքինկատմամբ,ն երա ձնի պարզաբանմանհամար բավականէ դիտարկելմիայն առաջինկռրդինատային քառորդը: ն » Այդ քառորդում Վ2ք». երբ փոփոխականը անսահմանորեն --

աճում է նան 7 է, ապա նրան զուգահեռ անսահմանորեն սկրզբՊարաբոլըսկիզբէ առնում կոռրդինատների փոփոխականը:

աճում

գնում է աջ ն վերն:Չորրորդքառորդում նակետիցն անսահմանորեն է առաջինքառորդիհետ: պարաբոլը կառուցվում ըստ սիմետրիայի՝ Պարաբոլի սիմետրիայի առանցքը պարզապես կոչվում է պարաբոլիառանցք: Պարաբոլին նրա առանցքիհատման կետը կոչվում է պարաբոլիգագաթ: Տ 9.5.

ԵՐԿՐՈՐԴ

ԿԱՐԳԻ

ԿՌՐԵՐ

հետնյալ Դիտարկենք

Վ

28.7

ՀԷ

Ը)

Հ 2որ

Հ

28)

Հ Բ

-

0,

(9.15)

հավասարումը,որտեղ 4,8,Ը գործակիցներիցառնվազնմեկն ոչ ուղղանկյուն զրոյական է: Ո հարթության վրա ընտրենք Օշ համակարգը: կոորդինատային դեկարտյան որոնքկարող հարթությանպատկերները, կոչվում են երկրորդ տրվել (9.15) տեսքի հավասարումներով, կարգիկորեր: 9.10.

Սահմանում:

Ա

են

Ինչպես նշել ենք վերնում, այդպիսիկորեր հանդիսանումեն էլիպսը,հիպերբոլըն պարաբոլը։ Օրինակ,եթե (9.15) հավասարման 1/02,8»-0,ՇՀ1/8.,0»-ՔՀ0ԲՀ-1Ն ապա մեջ վերցնենք4 կստանանքէլիպսի կանոնականհավասարումը:Գտնենք երկրորդ կարգիբոլոր կորերը: համակարգիհետ մեկտեղ,որը կանվա0:37 կռորդինատային նս մեկ (նոր) Օլ»լ ուղղանկյուն նենքհին համակարգ,կդիտարկենք 2,» կռորդինատհ ամակարգը:Հին դեկարտյանկոորդինատային են արտահայտվում կռորդինատներով ներընոը ալ, Հ

Ե

լօ0Տ0-ջլապոմ

Հ Հ:

մլ ՏՏոճ

4 լ

0ՏԶ

(9:16)

տեղադրելով (տես. 8 5.4.): Այդ արտահայտությունները բանաձներով « ն մասում փո7 փոփոխականների (9.15) հավասարմանձախ ստանում ենք խարեն՝

4151Է 281

20լուԷ28լ»14Բ-20

(0917

կոորդինատային տեսքի հավասարումը:Այս հավասարումըՕլ, է (9.15) հավասարումը համակարգումորոշում նույն պատկերը,ինչ համակարգում: 02 կոորդինատային նոր համակարգի հարմար կոորդինատների փորձենք Այժմ (9.15) Դիցուք այդ հավասարումը: ընտրմանհաշվին պարզեցնել 0: 8» Ցույց տանք, որ կռորդինատների(9.16) հավասարմանմեջ ձնափոխությունըկարելիէ այնպեսընտրել,որ (9.17) հավասարման 0 հավասարությունը: մեջ տեղիունենա Թլ Իսկապես,քանի որ --

Ճգ Թլ

ապա Թլ

--

45լոշ

«

զ

2Թ851ո ռ«օՏճ -

Հ

(Ը- 42)

Հ

Ըլ

46057 6

Հ

--

Տ(«օՏ-

Հ

ռ օօՏճ

Տո.

«օՏ

ՎՀ

Տո

--ՏԼոՀ Ը«օՏ2

ճ,

գ), 6,

պայմանըկգրվի

շ(Շ-

860520

կամ Շօ0Է26

`

-Ձ

-շջ-

(9.18)

առանցքներըպտտել ճ տեսքով: Բավական է կոռրդինատային անկյունով, ռրը բավարարում է (918) պայմանին, ն (917) արտադրյալը: հավասարմանմեջկբացակայիկռորդինատների Հետնաբարդիտարկենք

հավասարումը: Դիցուք 4. »:

0 ն

Է

Ըլ

Ը132Հ 20լոլ Հ 0:

Գ

բ

ու:

Նշանակենք

5:17 2)

«(Հ

ոշչթ.

21.Ղ.ց:

2) ՀԲ-21-1-0:

ւ21.51

Բլ«-ԲՀՀՀ 1

ն

Հ

(0.20)

կատարենք կռորղինատային

զուգահեռտեղաշարժհամաձայն առանցքների

(9.19)

(9.19) հավասարումը. Ձնափոխենք

Ս) 4.(

2Բլլ4Բ-0

-

ք

ճւ

--

ն

ա»

«1

կռորդինատներով) հավասարումը

բանաձների:Այդ դեպքում (1, կընդունի

4122 Հ լի» տեսքը: Դիցուք 4լ»0, 47 ն Բ/6լ Բ./4լկարելիէ գրել

Տ

հլ

(5.21)

Ըլ»0, Բլ»0: Այդ դեպքում, կատարելով Ե՛ նշանակումները, (9.21) հավասարումը

Հ

աթ

)2

է: տեսքով:Ինչպեսգիտենքայն էլիպսիկանռնական հավասարումն ԸՇլ»0, Բլ Հ0, ապա, Եթե (9.21) հավասարմանմեջ 4լ»0, նշանակելով -- Բլ/4լ 62 ն- Բւ/Ըլ ԵՀ, կգանք Հ.

Հ

աշ

:

)2

աթ--

(9.15) հավաԱյն չունիլուծում,հետնաբար, տեսքիհավասարմանը: սարումըտվյալդեպքումորոշում է դատարկբազմություն: ԸՇլՀ0, Բլ»0: Դիցուք (9.21) հավասարմանմեջ 4լ»0. ԵՀ գ7 ն ստանում Բլ/Ըլ նշանակումները՝ ԿատարելովՔ. //4լ ենք Հ

Հ

-

7»

ռագ ի զ2

տեսքիհավասարումը, որնորոշում է հիպերբոլ: Հետնյալ

ճՃ4Հ0ՇՀ0ՀԲլ»0

4 ՀՕԸլ»0Հիլ»0:

141117

141)

դեպքերընոր արդյունքներ չեն տալիս: մեջ 4յ » Այժմ ենթադրենք,ռր (9.21) հավասարման Բչ «0: Այդդեպքումայդ հավասարումը կարելիէ բերել

0, Շլ ՀՕ,

հավասարումներովտրվող ուղիղների զույգը, որոնք հատվում են սկզբնակետում: կոորդինատների 0, ապա մեջ 4լ Հ 0, Ըլ » 0, Բլ Իսկ եթե (9.21) հավասարման այն ընդունումէ Հ

2-Վ

տեսքը, որին բավարարումեն միայն համակարգիսկզբնակետի դեպքում ստանում ենք կոռրդինատները:4լ Հ0, Ըլ Հ0, Բլ«0 նույն արդյունքը: ն ենթադրենք, (9.19) հավասարմանը որ 4լ »- 0, Վերադառնանք Ըլ «0, հլ » 0: Այդ հավասարումըներկայացնենք

4.(4Հշո) շու(».: շբ-)-օ շ-ր

տեսքով,իսկ այնուհետն

Ե5: 4( Լար

փ2ու(»::--ւո շթ,

շղ)

5:

առանցքներիզուգահեռտետեսքով:Կատարենքկոռրդինատային ղաշարժհամաձայն Հավա

ՃՀուհյը

Հ)

Բ..51. շք 241ել

Արդյունքումկստանանք բանաձների:

ճլ77

Գ

2Իլի 0

(9.22)

ապա. համարելով տեսքի հավասարումը: Եթե լել Հ0, ստանում 2քթ, այսինքնպարաբոլիհավասաք -եւ/4լ, ենք ապա (922) հավասարումը կընդունի րումը: Իսկ եթե 4լոլ»0, 2: -2քՄ տեսքը,որը նույպեսորոշում է պարաբոլ: -

Հ

Հ

5.

Հ

Այժմ ենթադրենք,ռր (9.19) հավասարման մեջ 4. «0, 0: Այդ դեպքումայն կարելիէ արտագրել

թլ17

ճաք)

Ըլ

-

0,

օ1

ԷԲ-ո-0

տեսքով, ն, կատարելովկռորդինատային առանցքներիզուգահեռ տեղաշարժըստ

2Հ-ալժյի7-Տ7յլ բանաձների,այն կբերենք

-Բլ-0

(9.23)

տեսքի,որտեղԲլ Ք//լ21/42: Եթե Բլ Հ 0, ապա (9.23) հավասարումնընդունումէ -

42-02-0

տեսքը ն որոշում է մի պատկեր,որը կազմվածէ զուգահեռուղիղների զույգից: Իսկ եթե (9.23) հավասարմանմեջ Բլ » 0, ապա այդ հավասարմանը չեն բավարարումհարթությանոչ մի կետիկռորդինատները,ուստի ստանում ենք դատարկբազմություն:Վերջապես, 0 տեսքը,որն որոշում է 0, ապա հավասարումնունի 2՛ եթե Բլ 03 առանցքը: Մնաց դիտարկել այն դեպքը, երբ (9.19) հավասարմանմեջ 4: ՀԸլ 0: Սակայն այս տարբերակըհնարավորչէ: Իսկապես ենթադրենք,որ (9.17) հավասարմանմեջ 4. յլ Ըլ 0, այսինքն -

-

,

Հ

-

4605:

Վ

«0 ԹՏոշաՀԸտպոււ

860520 -5451ո20:4

ՃՏոՀ

զ

-

Հ

ՔՏլոշռ

2ՇՏո2գ-0

ԸՇ05:2

:

(9.24)

4, 5, (9.24) համակարգը Դիտարկենքգծայինհավասարումների անհայտներինկատմամբ:Հեշտ է համոզվել,որ այդ համակարգի որոշիչը հավասար է մեկի: Ուստի համակարգն ունի միակ 4-8ՀԸՇՀժլոժտումը, որը հնարավորչէ: Ստացվածարդյունքները թեռրեմիտեսքով: ձնակերպենք Շ

Թեռրեմ: Յուրաքանչյուրերկրորդկարգիկոր հանդիսաէլիպս, հիպերբոլ, հատվող ուղիղների զույգ, զուգահեռ ուղիղներիզույգ, ուղիղ, կետ կամէլ դատարկբազմություն: 9.11.

նում

է

8 9.6.

ԵՐՎՐՈՐԴ

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

ԿԱՐԳԻ

Դիտարկենքերկրորդաստիճանի

Հ

Հ

Է 262

Ըշշ -Է

Է

20.)

Է 2Բ»շ

Է 282:2-ՆԼ-0

Է `

(9.25)

փոփոխականների նկատմամբ:Ենթադրվում առնվազնմեկը զրոյական չէ: գործակիցներից Ընտրենք որնէ Օշ ուղղանկյուն դեկարտյանկռռրդինատային համակարգ: հավասարումըՀ,

»,

«

է, որ 4,8,Ը,0,8,Բ

Սահմանում:

Երկրորդ կարգիմակերնույթկոչվում է այն է պատկերը,որը կարող տրվել (9.25) տեսքիհավասարման միջոցով: 9.12.

9.13. Թեռրեմ: Դիցուք Փ հանդիսանումԷ երկրորդկարգիմաՓՈՌ: կերնույթ,Ո՝ հարթություն ն Փլ Այդ ղեպքումհնարավորեն միայնհետնյալտարբերակները.

ՓլՀՈ: է երկրորդկարգիկոր ։ Փլ հանդիսանում Փլ հանդիսանումէ ուղիղ: Փ-ծ Ապացույց:Դիցուք Փ պատկերը072 ուղղանկյունկռռրդինատայինհամակարգումտրվում Է (9.25) տեսքիհավասարմանմիջոհամացով: Ընտրենքնոր Օլ»:2: ուղղանկյունկոորդինատային կարգայնպես,որ Օլոլ»լ կոորդինատային հարթությունըհամընկնի 1) 2) 3)

հարթության հետ: Նոր կոռրդինատայինհամակարգում Ո հարթությունըտրվումէ Ո

2-0

(9.26)

հավասարումով: Որպեսզիստանանք Փ պատկերիհավասարումը

կոորդինատայինհամակարգում, (9.25) հավասարման ձախ մասում տեղադրենք2.,»,7 կոորդինատների ներկայացումները Օլու7:2.

(տես. 8 54): նոր Հլ,7.,2 կռորդինատներով արդյունքումկունենանք Թ.) 4լշ2 ԴԷ

Ը72 Է 2031

Դ

Է26ւ:1

՝

27:

Դ 2րալ2լ - 28Բ17ւ7ւ

Է

Այղ տեղադրման

2ո2:

(9.27)

ւԼլ50

Հ

հավասարումը:Իսկ որպեսզի ստանանք Փլ-ՓՈՌ պատկերի հավասարումըՕլոլջւ կոորդինատներիհամակարգում, (9.26) (9.27) հավասարման հավասարումըտեղադրենք մեջ.

4:23 Է Թ.)

Դ

20171

26:

Ի

Եթե ճ:28ւ-0լՀ6լ-լՀելՀ06

287:

ապա

Է

ել

0:

(9.28)

Փյ-«Ա Եթե 4լ»-

8լՀ-Օլ-6լ-փլՀ0ննլ»0, ապա (9.28) հավասարումնորո0, սակայն6լ ն շում է դատարկբազմություն:Եթե /4լ 8լ Ծլ Ալ թվերից գոնե մեկը զրոյականչէ, ապա (9.28) հավասարումն որոշում է ուղիղ: Վերջապես,եթե 4.,8:,0լ թվերիցառնվազնմեկն ոչ զրոյականէ, ապա (9.28) հավասարումն որոշում է երկրորդկար" գիկոր: -

-

Հ

Սահմանում: Էլիպսիդ կոչվում է այն մակերնույթը,որն ուղղանկյունկոորդինատային տրվումէ

9.14.

Գու :7:.. » Էջ

«Ե:ինն կամայականդրականթվեր

հավասարումով, որտեղ 9.15.

Սահմանում:

վույթը, որն Օշ տըրվումէ

են:

Երկրորդկարգիկոն կոչվումէ այնմակերեուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում վ». Ւ -ջ»0

«Եթվերըկամայականդրականթվեր

հավասարումով, որտեղ

են:

Սահմանում:

Միախոռոչհիպերբոլոիդկոչվում է այն մակերնույթը,որն 0272 ուղղանկյունկոորդինատային համակարգում տրվումէ 9.16.

դրականթվերեն: որտեղ6,3,6 թվերըկամայական հավասարումով, Երկխոռոչ հիպերբոլոիդկոչվում է այն մահամակարգում կերնույթը, որն 0272 ուղղանկյունկռորդինատային տրվումէ 9.17.

Սահմանում:

տո` դրականթվեր են: որտեղ6,5, թվերըկամայական հավասարումով, Սահմանում: 9.18. Էլիպտականպարաբոլոիդկոչվում է այն համակարմակերնույթը,որն 0272 ուղղանկյուն կոորդինատային գում տրվումէ ու» --ֆ--»-2ջ զ

թ

դրականթվերեն: որտեղք,զ թվերըկամայական հավասարումով, պարաբոլոիդկոչվում է այն Հիպերբոլական համակարմակերնույթը,որն 0252 ուղղանկյուն կռռրդինատային է գում տրվում 9.19.

Սահմանում:

-

Ք

.-

զ

դրականթվեր են: որտեղք,զ թվերըկամայական հավասարումով, Ջույգ առ զույգ իրար զուգահեռուղիղներից կազմված բազմությունըկոչվում է գլանաձնմակերնույթ,իսկ այդ ուղիղներըկոչվում են գլանաձնմակերեույթիծնիչներ: երկրորդաստիճանի Դիտարկենք 9.20.

Սանմանում:

472Հ 28:27ՎԸ 205428

Ժ-0

հավասարումը,որը չի պարունակում2 ընթացիկկռռրդինատը:Այդ ձախմասընշանակենքՇ(7,»): Հետնաբար հավասարման 6(5,3)

Հ

0:

(9.29)

ռր (9.29) տեսքի հավասարումը0272 ուղղանԱյժմ ապացուցենք, համակարգումորոշում Է գլանաձնմակեկյուն կոորդինատային րնույթ, ռրի ծնիչներըզուգահեռեն Օշ առանցքին:

տառով նշանակենքայն մակերնույթը,որն որոշվում է Շ(,)-:0 տեսքի որնէ հավասարումով:Դիցուք /օ(2օ,50,20) է 5 մակերնույթին պատկանող կամայական կետ:Այդ հանդիսանում 0 հավասարդեպքում2ց,70,2ցօ թվերը բավարարումեն 6(2,») մանը: Մյուս կողմից այդ հավասարմանըբավարարումեն նան 20.50,2 թվերը, որտեղ 7 կամայականթիվ է, քանի որ 6(2,7) Հետնաբար կախվածչէ 2 փոփոխականից: արտահայտությունը 7 համար 8/(2:0,)0,2) կետը պատկանում է 5 մակեցանկացած Տ է, մակերնույթումամբողջութընույթին:Իսկ դա նշանակում ռր յամբընկածէ այնուղիղը, որնանցնումէ //ց կետովն զուգահեռէ Օ2 առանցքին:Այսպիսով,Տ մակերնույթըկազմվածէ Օշ առանցքին այն հանդիսանումէ գլանաձնմազուգահեռուղիղներից,այսինքն` կերնույթ: Տ

-

գլան կոչվում է այն մակերեԷլիպտական համակարգում վույթը, որն Օ02»շ ուղղանկյունկոորդինատային տրվումէ 9.21.

Սահմանում:

Է

5-1

հավասարումով: 9.22.

գլանկոչվումէ այն մակերե Հիպերբոլական համակարգում ուղղանկյուն կռորդինատային

Սահմանում:

վույթը, որն Օշ տրվումէ

2»

աթ հավասարումով: գլանկոչվումէ այնմակերեՊարաբոլական համակարգում վույթը, որն 0272 ուղղանկյունկոորդինատային տրվումէ :2-2քթ) 9.23.

Սահմանում:

հավասարումով:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1.

քյքօա

1975, 432 2.

4.

11. ԽԼ, քաաօոքռրօ»

7.

աոիթ»,

Շնօքոաուտ448Վ

ճձ.

ԽԼօՇաՑո-ՆՆա6թա:

ոց

մատո 5., էրւոօքքուտօքԼ,

1ոօքյալ

աշոք., ԵԼ,

Յաոո.,

հԼ., ք,

շոշա

1988, 430

ոճ,

ՍԱՒԱ/ԼԾ, 2003,

1979, 512

ԷԼ 8.. Խփաուօտ

մքոշաոքքը

Խուոօրգոօտ

ԷԼ

8., Ղոաւօուզ

.

-.

7ողոամացմ

Խ

6.

ՐշՕոոոքյու, 28470ԱՐՎ6ԸԾ0)է

Շ, 111.

8. Լ,

Փորօուօ Ճ. Շ.,

ԻՅՕրւօոքյւտ-- ՎՅՇՆ» 1, Խնւ., Ճուտ, Կ6Ըաճք

Օ. ԱՄՇօքճառաք

էԼ,

Յաղոամ

Շ16ք.

-

1օու 1,

10ուա,

ԻԼ., ԷԼ ուր, 1967, 576 72օքյու ո/աղթյու, Ճոշագոյյքօտ11. Շ., ճքը ոու ածեց 1օօխոքյու

760ող6ղքյու, 31-6 ոյղ.,

ՒԼ.

«ՃԸՇ,

8 2-:

ԼուոխուծքՓ. .,

Ճառ 10.

Էմ

-.

ՈօՇ0686. 13-06 Շ16քճօ1. 83ղ., ԽԼ, ՓԱՅԽՆՆ111111, 2006, 240 9.

Էնչոո,

ԸՆօք., ԽԼ,

Ը: 111...

ՃճոճծքուԽԼ, Էչ,

8.

ոՅղ.,

2003, 176

«Ոքօօտուճ ուշ», 1970, 128 6. 8. 8., (աօՐ0Կոճաճւ 3-6 33ղ, ՆԱքոշօղօջ

Ո6ք. « 6.

ՕՇաօոր 760քոու ԱՐԸ6,

81 28018Վ6Շ:նտ

ԽողքճուշօտԼ.

5.

ճոոճճքու11-66

տուշուճյ

6.

«Ք6ո7 ճյոտ 3.

ք

ձ. Լ.,

ՇԱՆ.

չաքճեաոու

ոօ

ՄՎՇԾԷ. Շ-.

«Նյշծքճ

2001, 400

-.

ճոր

օ0Խ0Ք

«ՄՈ», Ս3ՅոոոճղԵՇ180

2003, 336

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՆԱԽԱԲԱՆ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԱՌԱՋԻՆ

Յ

ՆՇԱՆԱԿՈՒՄՆԵՐ

ԲԱԺԻՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

Գլուխ 1. ԱՄԲՈՂՋ

1.1. ԲԱԺԱՆՈՒՄ

ԹՎԵՐ

ԵՎ ՄՆԱՑՈՐԴՈՎ

1.2. ԹՎԵՐԻ ԱՄԵՆԱՄԵԾ

ԷՎԿԼԻԴԵՍԻ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԹԵՈՐԵՄԸ

ՄՆԱՑՔՆԵՐԻ

ՄԱՍԻՆ

2.1. ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ԹՎԵՐ

ԹՎԵՐԻ ԲԱՋՄՈՒԹՅԱՆ

2.2. ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆ:

ԹԵՈՐԵՄԸ.........................

ՉԻՆԱԿԱՆ

Գլուխ3. ԲԱՋՄԱՆԴԱՍՆԵՐ

3.1. ԲԱՋՄԱՆԴԱՄՆԵՐ:

3.2. ԲԱՋՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ

3.3. ԱՆՎԵՐԱԾԵԼԻ

ԿԱՌՈՒՑՈՒՄԸ.............................................

ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ՄԵԿՆԱԲԱՆՈՒՄԸ.......................

ակնար

.

ԱՄԵՆԱՄԵԾ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ

ԲԱԺԱՆԱՐԱՐ

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐ

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐ

ԱՐՄԱՏՆԵՐ

ԵՎ ՌՐՈՇԻՉՆԵՐ

ԵՎ ՏԵՂԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵԾՐ.

4.1. ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՑՅՈՒՆՆԵՐ

4.2. ՄԱՏՐԻՑՆԵՐ:

ԳՈՐԾՈՂՌՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

4.3. ՈՐՈՇԻՉՆԵՐ:

ՈՐՈՇԻՉՆԵՐԻ

ԵՎ ՆՐԱՆՑ

4.5. ՔԱՌԱԿՈՒՄԻ

ՀԱԿԱԴԱՐՁ

.28

ԹՎԵՐԻՑ

ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ

ՀԵՏ.

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

3.4. ԲԱՋՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ

4.4. ՄԻՆՈՐՆԵՐ

ԹՎԵՐԻ ՀԵՏ ԿԱՏԱՐՎՈՂ

ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ

ԿՈՄՊԼԵՔՍ

2.3. ԱՐՄԱՏՆԵՐ

անաւա

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ...

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ

ՀԵՏ.

ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

կանասոարանը

Վա

ԷԼՐԱՑՈՒՄՆԵԸԸ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԻ

ՈՐՈՇԻՉԸ

,աա,.

ուա

Վա

ԵՎ

ՄԱՏՐԻՑ

ՌԱՆԳ

4.6. ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ

ԵՐԿՐՈՐԴ

ԲԱԺԻՆ

.

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

Գլուխ5.

ԿՈՄՊԼԵՔՍ

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Գլուխ4.

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

1.5. ԲԱՂԴԱՏՈՒՄՆԵՐ։

Գլուխ2.

ԲԱԺԱՆԱՐԱՐ:

ԱԼԳՈՐԻԹՄԸ

1.3. ԹՎԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ

1.4. ԹՎԱՅԻՆ

ԹԵՈՐԵՄԸ

ԲԱԺԱՆՄԱՆ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐՆ

5.1. ԿՂՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐՆ

5.2. ՈԻՂՂԱՆԿՅՈՒՆ

ԲԵՎԵՌԱՅԻՆ

5.3. ՀԱՏՎԱԾԻ

ԱՌԱՆՑՔՆԵՐԻ

ՈՒՂՂԻ ԵՎ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ

ՎՐԱ

ՈՒՂՂԻ ՎՐԱ ԵՎ ԹՎԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔ...

ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ

ՀԱՄԱԿԱՐԳ:

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ...

ՊՐՈՅԵԿՑԻԱ:

5.4. ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ

ԵՐԿՈՒ

ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ

ՋՈՒԳԱՀԵՌ

աաա նատ աանաանաաա

ԿԵՏԵՐԻ

ՄԻՋԵՎ

ՁԵՎԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆ

ԵՎ ՊՏՈՒՅՏԻ ԴԵՊՔՈՒՄ.................

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ

ՏԵՂԱՇԱՐԺԻ

ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

աաա

Գլուխ6. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ

6.1. ՎԵԿՏՈՐԻ

ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

62. ՎԵԿՏՈՐԻ

ՊՐՈՑԵԿՑԻԱՆԵՐԸ

63. ՈԻՂՂՈՐԴՈՂ

ԿԵՏԵՐԻ

ԳՈՒՄԱՐՈՒՄ

65. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄՆ

66. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ՄԻՋԵՎ

անեաջաաջուաաաաաաակաաաաաաատաաարանա

ԵՎ ԹՎՈՎ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄ

ՊՐՈՑԵԿՑԻԱՆԵՐԻ

ՀԵՏ ԿԱՊՎԱԾ

64. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԵՐԿՈՒ

ԿՈՍԻՆՈՒՍՆԵՐ։

ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ...

ԱՌԱՆՑՔՆԵՐԻ

ՎՐՍ........

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ

ատա

ԸՍՏ ԲԱՂԱԴՐԻՉՆԵՐԻ...................

Գլուխ7. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ՍԿԱԼՅԱՐ, ՎԵԿՏՈՐԱԿԱՆ

եւն

ԱՐՏԱԴԸՐՑԱԼՆԾՐ...............

ԵՎԽԱՌՆ

7.1. ՍԿԱԼՅԱՐ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ ԵՎՆՐԱ ՀԻՄՆԱԿԱՆ

7.2. ՎԵԿՏՈՐԱԿԱՆ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ ԵՎ ՆՐԱ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

7.3. ԵՐԵՔ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ..

ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ

ԽԱՌՆ

ԱՐՏԱԴՐՅԱԼ

8. ՈԻՂԻՂՆԵՐ

Գլուխ

ԵՎՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ...

81. ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆՆ

ՈՒՂԻՂՆ

ԱՌԱՋԻՆ

ՈՐՊԵՍ

ՈՐՊԵՍ

ԱՌԱՋԻՆ

ԿԱՐԳԻ

ջա

8.3. ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ ՈՒՂՂԻ ՆՈՐՄԱԼ

ԵՐԿՐՈՐԴ

եասաաաաջապ

ՏՐ...

ԵՎ ՈՒՂՂԻ «ՀԱՏՎԱԾՆԵՐՈՎ»

8.4. ՈԻՂՂԻ ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ

աաա

ԿԱՐԳԻ

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹ:

8.2. ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ

Գլուխ9.

«130

աւա»

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.Ձ........... 130

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ..

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ.

ԵՎ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐՈՎ

ԿԱՐԳԻ ՀԱՐԹ ՊԱՏԿԵՐՆԵՐ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ

..

9.1. ԷԼԻՂՄ

9.2. ՀԻՊԵՐԲՈԼ

9.3. ԷԼԻՂՍԻ

ԵՎ ՀԻՊԵՐԲՈԼԻ

ԴԻՐԵԿՏՐԻՍՆԵՐԸ

9.4. ՊԱՐԱԲՈԼ..........

9.5. ԵՐԿՐՈՐԴ

ԿԱՐԳԻ

ԿՈՐԵՐ...........

9.6. ԵՐԿՐՈՐԴ

ԿԱՐԳԻ

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

ՎԼ

ԼԼ...նում նամամամանակ աաա,

ՎԱՐՈՒԺԱՆ

ՊԱՐՏԻԶՈՒՆՈՒ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԳԱԲՐԻԵԼՅԱՆ

ԵՎ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԳԱՆ

ձեավորող Համակարգչային

ՁԵՌՆԱՐԿ

Վ.Պ. ԳԱԲՐԻԵԼՅԱՆ

Ստորագրվածէ տպագրության25.07.2011 թ.: Չափսը՝ 60::847/ 5 : Թուղթը՝ օֆսեթ:Հրատ.9.3 մամուլ, տպագը. 11.75 մամուլ» 10.9 պայմ.մամուլի: Տպաքանակ՝150: Պատվեր՝151:

ԵՊՀ

Երնան,Ալ. Մանուկյան հրատարակչություն, 1:

Երնանիպետականհամալսարանի օպերատիվպոլիգրաֆիայիստորաբաժանում Երնան,Ալ. Մանուկյան1: