Իրական անալիզի ընտրյալ բաժիններ
- Լեզու:
- Հայերեն
- Առարկա:
- Մաթեմատիկա
- Տարեթիվ:
- 2026
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Իրական անալիզի ընտրովի բաժիններ
ՄԱՐՏԻՆ ԳՐԻԳՈՐՅԱՆ | ԼԵՎՈՆ ԳԱԼՈՅԱՆ | ԱՐԹՈՒՐ ԿՈԲԵԼՅԱՆ
Իրական անալիզի ընտրովի բաժիններ
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517(07) 22.161 7
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., 2015 ., 216
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517(07) 22.161 7
ISBN 978-5-8084-2005-2 ©
, 2015
© © ©
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., 2015
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F
(1.3.1)
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-
B0 ( x,1), B1 ( x,1),...,Bn ( x,1),...
,
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n
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k n
x k (1 x) n k 1 :
(1.3.2) n
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x [0,1]
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k n
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n :
t-
: n
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k k n
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t- ` n
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k k n
k 0
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k C t
k k n
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(1.3.4)
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k C
k 0
k n
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x k (1 x) n k nx(1 x nx) : 1.3.1-
-
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(k nx) C
k 0
k n
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n
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k 0
k 0
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n 2 x 2 Cnk x k (1 x) nk nx(1 x nx) 2n 2 x 2 n 2 x 2 nx(1 x) : k 0
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[0,1]
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-
-
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k x , Bx 0,1,..., n \ Ax : (1.3.5) n
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-
1.3.1, 1.3.2-
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k n
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k
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x k (1 x) n k
k n
x k (1 x) n k
k
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k n
x k (1 x) n k
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k Ax
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k n
x k (1 x) n k
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n
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-
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x k (1 x) n k
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udu (2m 1) cos2 m udu (2m 1) ( I 2 m 2 I 2 m ),
I 2m (1.3.8)
2n 1 I 2 m 2 , m 1,2,... 2n m-
(1.3.8)
` 1,2,..., n 2n 1 2n 1 2n 3 2n 1 2 n 3 2n 5 I 2n I 2n2 I 2n4 I 2n 6 2n 2n 2n 2 2n 2 n 2 2 n 4 (2n 1)!! 2n 1 2n 3 ... ... I 0 , 2 (2n)!! 2n 2n 2 :
f C2 :
1.3.2:
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( 2n)!! ( 2n 1)!! 2
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«
-
2n
ux du ,
n 0,1,... (1.3.9) »:
:
1.3.3 (
-
f C2 :
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x-
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limVn ( x, f ) f ( x) :
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-
` `
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x x
-
x, x
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1.3.1-
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(2n)!! 1 (2n 1)!!
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f ( x 2t ) f ( x 2t ) 2 f ( x) cos
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f ( x 2t ) f ( x 2t ) 2 f ( x) cos
2n
tdt
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tdt
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(1.3.11)
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-
t-
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t-
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f ( x 2t ) f ( x 2t ) 2 f ( x ) f ( x 2t ) f ( x ) f ( x ) f ( x 2t ) , `
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(2n)!! 1 0 cos tdt (2n 1)!! 2n
(1) n
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2n
tdt
:
(1.3.12) ( 2) n
V ( x, f )
-
` /2
Vn( 2 ) ( x, f ) 4 M
(2n)!! 1 (2n)!! cos2 n : (1.3.13) cos2 n tdt 2 M (2n 1)!! / 2 (2n 1)!!
2n 2 2n 2n 2 4 6 (2n)!! 2 4 6 2n ... ... ( 2n 1)!! 1 3 5 2n 1 1 2 4 2n 4 2n 2
lim n q n 0
n
(0 q 1)
(1.3.13)-
n
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n -
,
n
Vn(2) ( x, f ) , n n3 :
(1.3.11), (1.3.12)
,
n
,
,
n -
(1.3.14) (1.3.14)
`
n
Vn ( x, f ) f ( x) : :
1.3.31.3.3:
-
,
,
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cos 2 n t
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Vn ( x, f ) ՛ (1.3.11)
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f ( x 2t ) f ( x 2t ) 2 f ( x ) :
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`
( 2n)!! 1 Vn ( x, f ) ( 2n 1)!!
(2n)!! 1 (2n 1)!! f ( x)
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f ( x 2t ) f ( x 2t ) 2 f ( x) cos
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( 2n)!! 2 ( 2n 1)!!
(2n)!! 2 (2n 1)!!
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P x P x x [ a, b] - :
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x [ a, b] -
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x +
,
r−
x−t
!
φ t dt,
(1.3.17)
,
r-
(1.3.17)-
:
φ t dt
f
x =q
: r-
: r−
,r r−
f
!
+
f
x−t r−
a x−a r−k !
t dt =
x−t +
f
f
r−
f t dt = −
[a,b]-
-
t dt,
f
,
f !
x =φ x : , f(x)x−t
!
φ t dt:
x +
a x−a !
+
t dt = ⋯ f
a x−a r−k !
(1.3.17)-
+f x : ,
, φ x =f
x ,
q
1.3.5-
f
x =
1.3.6:
a x−a r−k !
=
:
f
s!
a
x−a
{qki(x)} , i=1,2,…,
k[a,b] ,
i ∞ g(x) ,
:
g(x)-
k-
-
:
a
: x <x …<x
[a,b]
k+1
q
l x =∏
:
x = q
[a, b]q
x l x ,
q
x
`
g x , g x l x
x
,
g x l x :
g x =
g(x)-
,
:
k1.3.4(1.3.15)
(
):
(1.3.16)
:
, 1.3.6-
, P x =q
` -
b,
,
x +
r−
!
x−t
P
t dt:
[ , ]-
−
,
,
,
1.3.6-
,
∈
−
−
∈ −
,
∈
{Pn(x)}
,
+
+ 1.3.4-
1.3.1-
:
, =
, r-
1.3.6−
{ [a;b]=
n-
`
+
,
−
!
−
: f(x)- [a,b],
,
−
−
!
=
,
−
!
3.1-
−
=
=
!
!
− }
:
-
:
:
−
: −
=
: :
f (x ) (x ) -
1.3.5: (-∞; ∞ -
r-
,
, ,
x
T
φ x :
-
xR -
∞
Tn ( x)
-
n 1
T x
f x
1.3.4: (
-
b
`
V ( f ) ),
(
a
T
)
-
( x)n1
n
n
Tn ( x) S n ( f , x) ck ( f )e , ck ( f ) ikx
k n
f (x ) -
2
f (t )e
ikt
-
dt :
, 3(
( ):
3.6.2.):
, -
y f (x )
, ,
, -
, ,
: ,
1,1 -
,
`
P ( x)
n1
n
,
,
, ,
12 x f ( x) e , x 0 : 0, x0
-
, . :
1.
f t C[0,1] :
,
x-
(0,1)
lim f t n t , x dt f x ,
n
n t , x 2.
n : 1 n t x 2
f t C2 :
( , )
,
x-
lim Pr x, f f x ,
r 10
Pr x, f
3. (
2
1 r2 f t dt 1 2 r cos t x r 2
f t C[0,1] :
) x-
0 r 1 : ,
(0,1)
-
lim Ln ( x, f ) f x , n
Ln x, f 4. (
n
1 (t x) 2 f (t )dt : n
f t C[0,1] :
)
,
[0,1]
-
~ lim Bn ( x, f ) f x , n
n
~ Bn ( x, f ) (n 1) Cnk x k (1 x) n k k 0
k 1 n 1
f (u)du :
k n 1
2.
§2.1.
:
A, B, C, , X ,
`
-
A
: a
a A,
` x X
:
: A 0,1 , A : B {( x, y ); x y 1} 2 : P p x x 2 1 P : Ca , b - a, b
,
-
: 2.1.1: ,
A B: AB A:
,
A B
A A-
B-
B2.1.2:
,
2.1.3:
A-
,
A B,
A
B A B :
B
A B A
,
A B
A
: ,
A B
B-
,
B
:
:
A A B 2.1.4:
, -
:
A B
A, B ,
B
A B B :
A-
2.1.5:
B-
, -
A\ B
A-
,
A \ B { x, x A, x B}
A B AB
B-
:
` AB A \ B B \ A :
:
AB A B \ A B :
,
x A \ B B \ A :
x AB ,
:
x A, x B ,
x A\ B :
x A B \ B A :
x A B \ B A :
x A B , x A B , xB \ A,
AB A B \ A B :
A B \ A B AB :
-
A1 , A2 ,, An
:
,
n
A
-
k
k 1
,
:
n
A
k
-
,
k 1
:
-
:
R2 -
:
x0 y
:
y
I y - Ox :
,
,
R2
Iy :
y( , )
2.1.6:
B
A
-
, `A~
:
A
,
B:
B
A~ B
, ,
:
A B
(
A [0,1], B [0, 2]
A-
, ` -
A~ B.
)
: y 2x
B
,
:
A [ a , b ], B [c, d ] d c y ( x a) c ( a b, c d ) , ba
:
: ,
,
, :
,
,
y tgx
; 2 2 :
;
,
:
:
:
A A ~ A: A~ B, B ~ A: A~ B, B ~ C, A~C: A1 , A2, A3 ... B1 , B2, B3 ...
1. 2. 3. 4.
,
Bn -
`
An ~ Bn , (n 1,2,...) ,
, :
-
An -
,
n-
k 1
k 1
Ak ~ Bk : A, B
2.1.7:
,
,
A
:
| [ a, b] || [c, d ] |
| A|, [a, b]
[c, d ]
:
| (
, 2.1.8:
-
A {1, 2,...99} ,
:
-
| A | =99:
, ) || (, ) | : 2 2 ,
A B ,
1. A ~ B ,
B1 B ,
2. :
A-
, BA-
, A a1 , a2 , , a N -
:
A ~ B1 :
,
A B :
,
-
~ A-
: ,
A , a1 , a2 ,,aN ,a1 , a2 a1 , a2 ...aN : ~ A A:
A
2.1.1:
A: : ~ A 1 1 N C N2 C NN 1 2 N :
. N
-
,
,
:
N
N, : :
~ A-
A-
: B1 ,
-
~ B1 a A : ,
A ~ B1 :
,
~ A~ A,
~ A ~ A :
-
~ A
A : :
a A
«
»,
a-
a (a) :
, «
»
a1 A
,
«
»
«
( a1 ) A , ,
: «
«
»
«
-
»:
»
:
A1 A ,
,
a0 A
(a0 ) A1 :
,
a1 (a 2 ) ,
»
,
A1 -
~ A A ,
:
a2 A
:
-
,
:
a0 -
, 2.1.2. ( .
,
.
», ~ A ~ A :
):
«
A
, «
»
B
-
, , :
:
A ~ B1 , B1 B
( A) B1 , ( B ) A1 : ,
A3 A 2 , B3 B2 ,
B \ B1 ~ A1 \ A2 : , A3 (B2 ), B3 ( A2 ) ,
A \ A 1 ~ B1 \ B2 , :
A1 \ A 2 ~ B2 \ B3 , A4 , A5 , . . .
B1 \ B2 ~ A2 \ A3 :
´B4 , B5 , . . .
, ,
An A n 1 , Bn Bn 1 , n 1, 2, . . . ,
.
A2 ( B1 ), B 2 ( A1 ) :
A2 A 1 , B 2 B1
B ~ A1 , A1 A :
An \ A n1 ~ Bn1 \ Bn2 , Bn \ Bn1 ~ An1 \ An2 , n 1, 2, . . . : (2.1.1)
A ( A A1 ) ( A1 A2 ) ( A2 A3 ) . . . ( An An 1 ) . . . A* , B ( B B1 ) ( B1 B2 ) ( B2 B3 ) . . . ( Bn Bn 1 ) . . . B* ,
A Ak , B Bk : *
*
k 1
k 1
,
*
*
B , ( B \ B1 ), ( B1 \ B2 ), , ( A \ A1 ), ( A1 \ A2 ), ( A2 \ A3 ),. . . ( B2 \ B3 ),. . . : (1)`A
, :
A~ B :
§2.2. 2.2.1:
` N 1,2,3,
,
,
A~ N :
A
, ,
,
A {a1, a2 ,...an ...} :
A~ N , A
,
-
N
:
n
A-
an
:
A
:
N-
:
, -
: 1. :
A a1 , a2 ,an ...
,
B b1 , b2 ,bN
, :
A
:
B -
A B b1 ,b2 ,b N , a1 , a2 , : 1
N
A B
, ,
:
B1 B \ A
,
N 1
A B A B1 :
,
B1 -
:
2. : 3.
-
: 4. :
A {a1 , a 2 , ...} , B b1 , b 2 ,
,
-
,
:
A B {a1, b1, a2 , b2 , a3 , b3 ,...},
) A B :
A B
A B ~ N :
,
A B : B \ A
) :
,
B\ A A B ~ N :
A B A B \ A , :
B\ A-
,
)
5. 6.
: :
:
A1 a11 , a12 , a1n1 , A2 a12 , a22 , an22 , . . .: :
A
)
:
A a , a k
k 1
-
, a1n1 , a12 , a 22 , a n22 . . . a1m , a 2m , a nm2 , . . . , :
)
:
n 1
B1 A1 , B2 A2 \ A1 , B3 A3 \ ( A1 A2 ),..., Bn An \ ( Ak ),... : k 1
Bn
,
1
1
,
B k Ak : k k Bn
, ,
,
: )
,
-
:
7.
: : )
: -
A1 {a11 , a12 , a31...} A2 {a12 , a22 , a32 ...}
A3 {a13 , a23 , a33 ...} , 1- , 2,
S Ak {a11 , a12 , a12 , a31 , a22 , a13 , a14 ,...} : k 1
.
:
)
: n 1
B1 A1 , B2 A2 \ A1 , B3 A3 \ ( A1 A2 ),..., Bn An \ ( Ak ),... , k 1
,
S Bn : n 1
Bn
S1 ,
Bn
S2 S2 -
:
,
S1 -
,
S S1 S2 ,
,
,
S-
,
:
:
: , ,
A1 -
A2 -
:
,
Ak -
-
,
k- :
-
Ak
k-
,
,
R Ak : k 1
R -
:
R -
R -
:
R ~ R :
R R R {0} :
, , :
,
,
,
R-
, :
. :
,
0; 1
,
: 2.2.1:
0; 1
( ):
:
,
`
0;1 x1, x2 , xn : 0; 1 -
-
0;1 0,
1 1 2 2 , ,1 : 3 3 3 3
1 -
,
x1 1 :
x1 -
1 -
2 -
x2 : 3 2 , x3 3
,
2 1 , 2 , n ,
: ,
xk k ,
k 1, 2, ,
1 2 n ,
( n )
x0 n 1-
0, 3n
n :
,
0; 1
,
x0 n
-
0;1 x1, x2 , xn
: ,
0;1 x1, x2 ,xn :
n
: :
0; 1
A
2.2.2: ,
-
c
, :
0; 1
A [ a, b ] c
,
:
,
, B-
A-
, A B :
-
, :
-
B1
B
B1 -
:
A-
,
B-
A-
,
A B :
M
2.2.2:
A
, :
:
M
D
-
M \ D P: M D P , M A P ( D A) : P ~ P, D A ~ D ,
M A~ M : M
2.2.3:
A
-
,
:
:
PM \A M \ A~ M : [a, b] c c
: 2.2.2-
(c , d )
,
( e, f ] ` ( , ) ,
2.2.1: :
a, b | (c, d ) | (d , e] (, ) c : 2.2.4:
c
,
c
:
-
N
S Ek ,
:
Ek
-
k 1
c
[0, 1)
:
0 c0 c1 ... cN 1 cN 1
N
-
[ck , ck 1 ), k 1, 2, .., N , c
Ek ~ [ck 1 , ck ) ,
:
N
[0,1) [ck 1 , ck ) , k 1
S ~ [0,1)
| S | c :
2.2.5:
c
,
c
-
:
:
S Ek , k 1
Ek
c
:
0 c0 c1 ... cn . . .
,
ck 1, k : | S | c : 2.2.6:
c
,
c
-
:
:
: xn , R2
: -
c
2.2.6:
ym
,
m-
n-
-
Rm,n {( x, y ), m x m 1, n y n 1} : ,
,
R2
R
m,n
:
m , n 1
R0, 0 {( x, y ), 0 x 1, 0 y 1} ,
R0,0 c ,
2.2.5-
( x, y) R0,0
:
: -
x [0,1), y [0,1) ,
:
x 0,1 2 3 . . . n . . .,
y 0, 1 2 3 . . . n . . . :
,
m 2n
y-
x-
, -
,
,
( x, y) R0,0
:
[0, 1)
,
z 0,11 2 2 3 3 . . . n n . . . P0 - [0,1) :
-
-
,
R0 , 0
,
P0 [0,1)
: (1) 0, 0
R R0(1,0) R0,0 ,
{(x, 0), 0 x 1} ,
(1) [0,1) ~ R0,0 :
:
2.2.6-
:
E E , I
c
:
R2
I
-
R2
I
x
,
xR1
R1 -
, :
Ix - x I ~ R1 ,
y
-
I -
:
E ~ R2 :
E ~ I ( ) ,
: 2.2.7:
-
c
:
N
:
-
N1 , N2 :
N2 c :
,
,
,
(k1 k2 ... kn ,...) , :
0,1
x 0,12 ...n ... ,
k1, k2 ,..., kn ,...
,
-
kn
,
0- ,
1- :
N2 -
,
0,1 ,
:
N1
:
(k1 k2 ... kn ) :
,
-
x 0,12 ...n ... ,
k1 , k2 ,..., kn 1,
:
-
N1
m T2 k , m 1, 2,..., 2k 1, k 1, 2,... 2
T2
:
N1
, :
:
§2.3.
`
R1 -
:
E R1 : x0
2.3.1: )
, x0 E :
0,
)
x0 , x0 E,
-
E
x0 -
, E
: : 0, 1
: (0,1)
I0
,
: 0, 1
, `
Q0 ,
: 2.3.2: E
, :
: (0,1) , ( a , b ), (0, ), ( , ) :
0, 1
2.3.1: : :
x0 G1 G2 :
G1 -
:
G2 ,
,
x0 - G1 G2 x0 -
:
G1
-
G2
:
-
x0 G1 :
0,
x0 , x0 G1 ,
,
x0 , x0 G1 G2 : x0 G1 G2 ,
2 0 ,
G1 G2
x0 G1 ,
:
1 0 ,
x0 G2 :
x0 1, x0 1 G1 , x0 2 , x0 2 G2 :
,
min 1 , 2
x0 , x0 G1
x0 , x0 G1 G2 :
x 0 , x 0 G 2 ,
`
1. (
),
2.
:
: :
1 1 G k , , k 1, 2, , k k
G 0 , k
k 1
{0}
: 2.3.3: ,
a, b a, b G ,
-
G
a G, b B : ,
:
: 2.3.2:
G
:
G ak , bk , k 1
ak , bk am , bm , k m :
xG : Ix -
:
,
x Ix , 2. I x G, 1.
(a, b)
3. I x -
G-
x :
,
Ix -
G
Ix
I
:
,
G
:
Ix
I
,
-
:
xG -
,
,
:
I
,
-
: ,
:
,
G Ix : I x I
§2.4.
E R1 -
:
2.4.1: x 0
-
E
, : E 0,1 :
,
E
E
: -
E
:
: -
: E 0,1
x0 -
: : ,
2.4.2: E :
: E 0, 1 , ՛ : 2.4.1: x 0
՛
: E ( , )
-
E
,
E-
x1 , x2 ,..., xn ,...
,
,
lim xn x0 : n
: :
E
n
:
xn E ,
x0
,
1 xn xo , x0 n n
x0 -
,
:
, :
x0 : 2.4.3:
E1 E 2 ,
:
:
E1 E2 E 2 E1 E2
-
E1
C E2 ( E1 ) : E2 -
,
E
C (E ) : E 2 - E1
, :
-
, :
E1 -
2.4.2:
A, B
E2 -
-
:
C ( E1 E 2 ) C ( E1 ) C ( E 2 ) , C ( E1 E 2 ) C ( E1 ) C ( E 2 ) : ,
.
E
I , I-
,
-
,
C E C ( E ) , C E C E : I I I I :
E-
2.4.3: ,
,
E ( A, B ) :
,
C (E ) ,
E-
, :
E :
, -
: :
x1 x1
E
,
:
x0 C(E)
o, x0
( x0 , x0 ) C(E) : E x0 C (E )
`
,
:
C (E)
E
, :
E 2 ( A, B ) :
E 2 ( A, B ) -
,
x1 C ( E )
x1 - C (E ) x1 E :
-
E
:
:
,
E :
: 2.4.4: F1 , F2
:
:
C ( F1 F2 ) C ( F1 ) C ( F2 ) : C ( F1 ) , C ( F2 ) , : C ( F1 F2 ) : F1 F2 : , F1 F2
: 2.4.5: , :
I
:
E
:
I
C E C (E ), I
, :
,
E , I
: :
(0,1)
{x} ,
x( 0,1)
{x} ( 0, 1) - ,
,
-
:
§2.5.
y-
x-
-
y ( x, y ) ( y , x ) 0 ( x, y ) 0 x y: x0 E
x
( x, y ) :
x y
:
, , 2.5.1:
-
x0 , E inf x0 x : xE
E1
E2
-
E1 , E2 inf x y : xE , yE2
E1
,
E1 , E 2 0 :
E2
,
E1 -
2.5.1:
E2 -
E1 , E 2 0
: ,
x0
,
, ,
x0 E1 , x0 E2 :
,
E1 , E 2 0 : n
:
xn E1 , yn E2
,
,
xn yn
: n E1
:
xn , n 1,2,... xn , k 1,2,... k
x0 :
-
,
x0 lim xnk , k
x0 lim ynk : k
E1
E2
,
x0 E1 , x0 E2 :
E1
:
:
E-
x0 , E 0 ,
E 0,1 ,
:
E2 :
x0 E : E
:
-
1, E 0 , 1 E :
x0 1 , E1
:
,
E2
,
-
,
,
:
E1 {2, 3, . . . n, . . } , E 2 2 , 3 , . . ., n , . . . : n ,
( E1 , E 2 ) 0 :
,
E R1
, ,
-
: 2.5.2:
E
,
{( , )}
, ,
: E 0, 1
a, b
, ,
a 0, b 1 :
, ,
x , :
xE { , } 1, 2
:
: : 2.5.2: -
E-
E-
,
,
*
-
:
E-
,
:
:
-
:
E, A B A B A, 2 2 , B
:
E A, B :
:
A B E A, 2
A B E , B 2
:
,
,
E1 . E1 E A1 , B1 :
:
-
` E2 E A2 , B2 , : E1 , E2 .
1. , 2. E1 E 2 ,
x0 ,
3.
Ak , Bk
, k 1, 2, :
,
i 1, 2, : -
,
x0 Ak , Bk , k 1, 2, : { Ak } {Bk } x0 xk - , k 1, 2,
EE-
x0 , : [ An , Bn ] , , E[ An , Bn ] [ An , Bn ] ,
, ,
x0 Ei ,
:
x0 [ A, B] ,
Ak xk Bk , x0 - :
,
,
,
x0 E ,
, ,
`
n-
E[ An , Bn ] , ,
:
§2.6.
G-
:
-
G a k , bk : k 1
G2.6.1:
m G
G ( A, B ) :
,
G mG
b
k
ak :
(2.6.1)
k 1
a k , bk
, :
,
,
, :
(2.6.1)
, n
Gn a k , bk A, B : k 1
, n
mGn bk a k B A : k 1
, : 2.6.1:
G1 G 2 ,
G1 -
(1) ,
G2 -
,
m G1 G2 m G1 m G2 :
(2.6.2)
G1 G 2 -
: ,
G1 G 2 k , k 1
k -
(
-
):
k -
G1 G 2 ,
G1
(
G1 -
G2 -
G2
):
mG1 G2 m k : k 1
,
,
m
(1)
k
k 1
m k ( 2) m k ,
(1)
G1 - ,
( 2)
G2 -
-
,
m(G1 ) (1) mk , m(G2 ) ( 2) mk , (2.6.2)
: (2.6.2):
G1 , G2 ,, Gn ...
2.6.2:
,
Gn A, B :
mG1 G2 Gn mG1 mG2 mG3 : (2.6.3) :
G1 G2 Gn
G1 G2 Gn k , k 1
k
:
G1 , G2 ,, Gn ... ,
k :
-
1
2
m G1 G2 Gn m k m k m k , k 1
( n)
Gn
:
-
n
mGn m k , (2.6.3)- : (2.6.3): m G1 m G 2 :
G1 G 2 , G1 G 2 , G1 -
2.6.3: :
G 2 ( a k , bk ) :
-
G2 :
k 1
(n)
,
G G1 (ak , bk )
:
mG1( n ) bn a n :
,
m(G2 ) bk ak , k 1
G1 G1( n ) , k 1
2.6.2-
`
mG1 m G1k bk a k mG 2 : k 1
2.6.4:
G1 -
k 1
G2 -
,
m G1 G2 m G1 m G2 : :
G1 G 2 ( A, B ) :
,
o
(2.6.4)
G1 G 2 -
, ,
[ A0 , B0 ] ( A, B)
B0 A0 B A : G1 [ A0 , B0 ] [ A0 , B0 ]
,
G2 :
0
G10 -
:
G1
G2
-
0
,
G20 -
:
,
B0 A0 m(G10 ) m(G20 ) :
B A m(G10 ) m(G20 ) m(G1 ) m(G2 ) , 0 , B A m(G1 ) m(G2 ), , :
,
(2.6.5)
G1 G 2 ( A, B )
-
,
G1 G2 ( Ak , Bk ) : k 1
G1n , :
G2n - G1 ( Ak , Bk )
(2.6.5)-
Bk Ak m(G ) m(G2k ), k
k 1,2,.... :
m G1 G2 Bk Ak , k 1
mG1 m G1k , m G2 m G2k , k 1
k 1
:
G2 -
G1 -
2.6.5:
G2 -
,
m G1 G2 m(G1 ) m(G1 ) m G1 G2 : G1 -
:
G1
N1
G2 -
, G a , b : N2
a 1 , b 1 k
(2.6.6)
k
k
k 1
k
k 1
G-
:
, ,
:
-
~ ~ G1 G1 \ ak2 , bk2 , k 1, 2,, N 2 , G2 G2 \ ak1 , bk1 , k 1, 2,, N1 :
~ ~ G1 G2
, ,
-
~ G1 -
~ G2 ~ ~ ~ G 2 G 2 G1 G 2 ,
~ ~ ~ G1 G1 G1 G2 ,
~ ~ ~ ~ ~ ~ G G1 \ G1 G2 - , G1'' G 2 \ G1 G 2 '
:
:
-
G1 G2 G11 G21 G1 G2 ,
,
~ ~ ~ ~ m G1 G 2 m G1 m G 2 m G1 G 2 : ~ ~ ~ ~ G1 G2 G1 G2 , m G1 m G1 , m G2 mG2 ,
~ ~ m G1 G2 mG1 G2 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ m G1 mG1 m G1 G2 , m G2 mG2 m G1 G2 , (2.6.6) , G1 G2
:
G1
a , b , G c , d k
k 1
k
k
k
:
k 1
`
mG1
b
k
k 1
a k , mG2 d k c k : k 1
0:
N 1 >0,
b
k
ak ,
,
d k c k ,
k N 2 1
k N1 1
~ G1
N1
N2
k 1
k 1
ak , bk , G 2 ck , dk ,
G~ G~ mG~ mG~ mG~ G~ :
(2.6.7)
m G1 m G1 m G1 ,
~ m G 2 m G 2 m G 2 ,
~ ~ m G1 mG1 m G1
,
G m G m G ,
m ~ ~ G1 G2 ~ G1 G1 \ G1 ,
~ ~ G1 G2 G1 G2 G1 G2 , ~ G 2 G 2 \ G 2 : (2.6.7)- ,
2.6.4-
2.6.2-
~ ~ ~ ~ ~ ~ m G1 G2 mG1 G2 m G1 G2 mG1 mG2 m G1 G2 2 :
~ ~ ~ ~ G1 G 2 G1 G 2 G1 G 2 G1 G 2 , m G1 G 2 m G1 G2 m G1 G 2 2 ,
m G1 m G 2 m G1 G 2 m G1 G 2
~ ~ ~ ~ m G1 m G2 m G1 G2 2 `
:
mG1 mG2 mG1 G2 mG1 G2
m G1 m G 2 m G1 G 2 2 m G1 G 2 2 4 : `
mG1 mG2 mG1 G2 mG1 G2 4 0 :
-
(2.6.6)
mG1 G2 mG1 mG2 mG1 G2 : §2.7.
A, B
, F-
:
-
` F A, B : C ( F ) A, B \ F
A, B
2.7.1: ,
F A, B ,
, 1:
m( F ) 0 :
F A, B
-
F
: -
m F B A m C (F ) : F m F 0 :
(2.7.1) ,
F {a1 , a2 ,..., a N } , C( F ) A, a1 (a1 , a2 ) ... (a N , B) ,
,
(2.7.1)-
m F B A (a1 A) (a2 a1 ) ... ( B aN ) 0 : F a , b , m F b a : , C ( F ) A, a (b, B ) , m(C ( F )) a A B b : 2:
(2.7.1)-
m F B A m C ( F ) B A (a A) ( B b) b a : mF1 F2 mF1 mF2 : 2.7.1: F1 F2 , :
F1 F2 ,
C ( F ) 1 C ( F2 ) A, B
mC ( F1 ) C ( F2 ) mC ( F1 ) mC ( F2 ) mC ( F1 ) C ( F2 ) : (2.7.1)-
B A B A m F1 B A m F2 m C ( F1 F2 ) : B A m C ( F1 F2 ) m ( F1 F2 ) , :
F1 , F2 , , Fn
: ,
m F1 F2 Fn m F1 m Fn :
F1 F2 ( A, B ) , m F1 m F2 : : C ( F1 ) C ( F2 ) , m C ( F1 ) m C ( F2 ) , B A m C ( F1 ) B A m C ( F2 ) , (2.7.1)m F1 m F2 : 2.7.3: , G, F G ( A, B ) , F 2.7.2:
mF mG :
:
,
C ( F ) G ( A, B ) :
-
B A m(C ( F )) m(G ) m(C ( F ) G ) : m (C ( F ) G ) 0 , B A m (C ( F )) m ( F ) , : 2.7.4:
F1 -
F2 -
,
m F1 F2 m F1 m F2 m F1 F2 : :
m C ( F1 ) C ( F2 ) m C ( F1 ) m C ( F2 ) m C ( F1 ) C ( F2 ) , B A m F1 F2 B A m F1 B A m F2 B A m F1 F2 , :
§2.8.
:
:
: :
2.8.1: E A, B
,
0
G
,
)F
,
E G,
F `
) m G m F : ,
E
m E inf m G sup m F : GE
(2.8.1)
F E
,
E-
, -
( A, B ) :
0
,
F,G
F EG, C (G ) C ( E ) C ( F ) ,
,
m G m F : m (C (G )) B A m (G ), m (C ( F )) B A M ( F ) : m(C ( F )) m(C (G )) m(G ) M ( F ) : : (2.8.1)-
1:
C (E ) -
,
m(C ( E )) B A m( E ) : `E
E-
(2.8.2)
(a k , bk ) ,
m E bk ak :
,
k 1
:
EN
E ( ak , bk ) : k 1
: a k , bk
0,
bk a k bk a k
:
2N
N
F [a 'k , b 'k ], G E
F E G,
k 1
N
N
k 1
k 1
m G m( F ) bk ak bk ak :
E-
, N
m( E ) bk ak : k 1
E-
,
E-
GE:
mG bk ak , k 1
0
N
b
k N 1
k
ak
,
:
N
GN ak , bk : k 1
:
F GN
-
, N
k 1
m F bk ak F E G,
:
m (G ) m ( F ) , :
E2:
F-
,
,
: 3:
,
:
E x1 , x 2 , , x n :
:
, G-
2n
-
:
-
:
n 1
2n
mG
:
E, F F E G , mG mF ,
,
xn
: ,
m E 0 :
-
E-
(a, b)
4:
-
,
: ,
-
ba- :
, 5:
, :
[ 0, 1] :
7 8 , 9 9
1 2 , 3 3
1 2 , 9 9
,
,
:
-
:
G0 m(G0 )
:
-
,
1 2 4 . . ., 3 9 27
m(G0 ) 1: P0 [0,1] \ G0 : P0 m( P0 ) 0 :
,
P0
,
-
[ 0,1]
:
-
x [0,1]
:
-
x 0,1 2 . . . n . . . ,
n (0,1, 2) , 0,1, 2
n x P0 ,
:
:
1 1 1 2 x , : 3 3 ,
,
,
1 1: 2 1
,
1 2 7 8 x , , , 9 9 9 9 , `
x P0 -
n 0 ,
2 1
:
x P0 ,
x 0,1 2 . . . n . . .
n 0 ,
-
:
( x) 0, 1 2 . . . n . . . n 1, n 2 :
,
…
, ,
-
-
P0 P0 c : P0
[ 0, 1]
,
G0
:
E1 -
1:
F1 , F2
:
G1 , G 2
,
F1 E1 G1 ,
mG1 mF1
m G2 m F2
,
F2 E 2 G2
,
F F2 F2 , G G 2 G 2 : mG mF :
E1 E 2
,
:
0
:
E2 -
,
:
F E1 E2 G :
,
,
-
m G m G1 m G2 m G1 G2 ,
m F m F1 m F2 m F1 F2 : ,
m G m F m G1 m F1 m G 2 m F2
m G1G2 m F1 F2
E1 E2 2: E1 E 2 , E1 \ E 2 , E1 E 2
: , :
: :
C ( E2 ) C ( E1 E 2 ) :
C ( E1 E 2 ) C ( E1 ) C ( E 2 ) , ,
, ,
C( E1 ),
E1 \ E 2
E1 E 2 E1 E 2
-
: : 3:
E1
E2
` E1 E2 ,
m E1 E2 m E1 m E2 , : 0
:
F1 , F2
:
G1 , G 2
F1 E1 G1 ,
,
F2 E 2 G2 ,
mG1 mF1
,
mG2 mF2
m( F1 ) m( E1 ) m(G1 ) m( F1 ) m( F2 ) m( E2 ) m(G2 ) m( F2 ) F1 F2 E1 E2 G1 G2
,
, :
F1 , F2
,
mF1 mF2 mF1 F2 mE1 E 2 mG1 G2 mG1 mG2 : -
m E1 E 2 m E1 m E 2 :
m E1 E2 m E1 m E2 , ,
,
,
m E1 E2 m E1 m E2 : 4:
`
0
` E1 , E2 ,, En A, B ` Ek E j , k j :
,
-
)
E Ek
,
k 1
)
m E m Ek , k 1!
:
0
:
Fk
:
Gk
,
Fk Ek Gk ,
,
m Gk m Fk
Fk
2k 1
:
,
mE m F B A N
N
k
k 1
N-
k
k 1
,
mF k
k 1
:
m Gk m Fk
2 k 1
, k 1, 2, . . .
m G
,
k
k 1
N
: ,
m G 2 :
k N N
k
F Fk , k 1
N N N N m( F ) m Fk m Fk m Gk k 1 m Gk : 2 k 1 k 1 k 1 k 1
,G
,
Gk : k 1
k 1
k 1
k 1
mG mF mGk mFk mGk
N
m Gk m Gk , 2 k N k 1 : 5:
E1 E 2 -
,
m E2 \ E1 m E2 m E1 : E1 E 2 ,
:
E 2 E1 E 2 \ E1 ,
E1 E 2 \ E1 : m E 2 m E1 m E 2 \ E1 , m E 2 \ E1 m E 2 m E1 : 6: : :
E1 , E2 , , En A, B ,
E Ek : k 1
E
,
A1 E1 ,
: A2 E2 \ E1 ,
A3 E3 \ E 2 E 2 An En \ E2 E2 En1 . . . : Ak
Ak A j , k j ,
)
)
E Ak , k 1
E
:
7:
-
: :
E1 , E2 ,, En A, B
,
E
E
k
:
k 1
C ( E ) C ( Ek ) : k 1
C ( Ek )
,
C (E )
:
:
E
: :
M m :
M m 2c
,
, M m
,
[0, 1] :
M m -
:
,
| M m | 2c :
M m 2 c :
,
,
,
m K 0 :
K-
-
c
, :
c
2 - :
| M (m) | 2c M (m) 2c : 2.8.1:
E1 , E2 ,, En
-
,
) Ek A, B , )
En En1 , n 1, 2,...:
m Ek lim mEk : k 1 n
E0 :
:
k 1
k 1
E Ek Ek 1 \ Ek :
Ek 1 \ Ek , k 1,2,... ,
k 0
k 0
m( E ) mEk 1 \ Ek mEk 1 mEk :
Sn n
Sn m Ek 1 m Ek m( En ), k 0
m( E ) lim mEn : n
E1 , E2 ,, En
2.8.2:
-
,
) E1 A, B , )
E n E n 1, n 1,2, : m E k lim m E k : n k 1
:
C( E1 ) C( E2 ) C( En ) , m C ( Ek ) lim mC ( En ) : n k 1 -
C E k C ( E k ) , m E k B A m C E k , k 1 k 1 k 1 k 1
mC ( En ) B A m( En ) :
E 0,1 ,
x 0, 1
: :
y [0,1]
Ix
,
x y, x y Q : I x [0,1] ,
x 0, 1 -
I 0 - [0,1] ) Ix -
-
:
x-
,
) Ix
, ,
z Ix ,
,
zIy :
z x q1 , z y q 2 ,
Ix
-
q1 -
q2 -
x1 I x : -
:
x1 x q3 ,
q3
:
x1 y q2 q3 q1
,
x1 I y ,
Ix Iy :
Iy Ix ,
,
Ix
-
Ix Iy :
,
:
Ix -
0,1
:
E-
-
: :
,
E k rk E :
E-
,
E k 0, 2 :
:
r0 0, r1 , r2 , ..., rk ,... , -
E
, ,
Ek Em , k m : E-
, :
Ek
-
m( Ek ) , k 0,1, 2, ... :
m (E ) ,
,
-
,
x0 0,1
,
[0,1] Ek :
(2.8.2)
k 1
:
I x0
E
x 0 I x0 ,
,
x2
(2.8.2)
-
x0 E k ,
x0 x2 rk ,
x0 x 2 -
,
:
E
k
k 1
, m E k mE k : k 1 k 1 k 1
E
k
(2.8.3)
0, 2 ,
k 1
m Ek 2 , k 1 ,
(2.8.3)
0:
(2.8.2)-
m Ek 1 , k 1
(2.8.3) :
:
E-
§2.9.
f x
x, f x c
cR
,
:
( f c) :
f x
1:
a, b
: -
E
2.9.1: f x
c-
:
a, b
:
c -
:
0, 1
2:
f
1 : x Q0 , Dx 0 : x I 0
Q0 -
I0 -
0, 1
:
,
[0,1], c 0, ( D c) I 0 , c [0,1), , c 1 : ,
cR
{D c} ,
-
:
f x
2.9.2: E , 1. 2.
` y1 , y 2 , , y N ,
Ek x, f x yk k 1, 2, ..., N : 3: ,
f x
k-
,
: ,
N
E Ek : k 1
y1 y 2 y N :
f
c E n 1 E n 2 E N ,
c yN , f c
,
cR,
f
c
:
,
,
y n c y n 1 : :
c y1 , f c E : f x
, :
: 2.9.1:
m( E ) 0 ,
E
,
:
f
m( E ) 0 ,
:
c
f x - E f A ( x ) f ( x ), x A 2.9.2:
c E , c R
0- :
,
:
f A (x ) - A
fA
,
:
c A f c:
f x
2.9.3: ,
A E,
E
A E-
,
,
f x
: f x -
A
f
E
EE Ek : k
f x ,
f x -
E ,
f Ek x :
f
c f Ek c : k
2.9.3:
f x
E
g x
,
m { x, f ( x ) g ( x )} 0 : f x g (x ) :
E
:
E0 E
,
m(E0 ) 0 ,
:
:
-
,
f x - E g ( x ) f x , g x -
2.9.4: ,
:
A { x, f ( x ) g ( x )}, B E A : , f x : g x , E A B:
:
B
A
B 3.1.3- g x
,
g x
: 3.1.5:
,
f x - E c R1 -
( f c ), ( f c ), ( f c ), ( f c ) : : 1 ( f c) f c , n n 1 ( f c) ,
:
-
( f c) ( f c ) ( f c), ( f c ) E ( f c), ( f c ), E ( f c ) :
2.9.1:
,
( f c ), ( f c ), ( f c ) , f (x ) c R1 :
-
E
-
, ( f c) ( f c ) n n 1 f (x ) ( f c)
c R1 -
( f c) ( f c), ( f c ), ( f c )
, : : -
:
f (x ) - E
2.9.6:
, a2 1) f ( x ) a , 2) af (x ) , 3) | f ( x ) | , 4) f ( x) ,
,
, f ( x)
5)
f ( x) 0 :
f ( x) a ( f a c) ( f c a) :
, :
: af (x )
a 0,
-
a-
c f a , a 0, (af c) f c , a 0 : a | f ( x) |
,
E, c 0, (| f | c) ( f c) ( f c), c 0 :
-
E, c 0, ( f 2 c) (| f | c , c 0 : f 2 ( x)
,
:
f ( x) ( f 0), ( c) ( f 0) ( f ), f c ( f 0) ( f 0) ( f 1 ) c
c 0,
c 0, c 0:
§2.10.
E
2.10.1:
f (x )
g x
( f g ) { x, f ( x ) g ( x )}
,
-
: :
r1 , r2 , r3 ,... ,
( f g ) ( f rk ) ( g rk ) : k 1
: 2.10.1:
f (x ) -
g x - E
: 1) f ( x ) g ( x ) , 2) f ( x ) g ( x ) , 3) f ( x ) g ( x ) ,
-
f ( x) 4) , g ( x)
g ( x) 0 :
cR : : {x, f ( x ) g ( x) c} {x, f ( x ) c g ( x )} , c g (x) , {x, f ( x ) g ( x ) c} : f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) ( g ( x )) : f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( f ( x)) 2 ( g ( x)) 2 ( f ( x) g ( x)) 2 f ( x) , ` g ( x) f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
, -
:
E
2.10.2:
xE
{ f n ( x)}
-
,
lim f n ( x) F ( x) : n
F (x )
:
cR
:
1 Am( k ) f k c , Bm( n ) Am( k ) , k n m
,
( F c)
n , m 1
Bm( n ) Bm( n ) : m 1 n 1
(2.10.1)
x0 ( F c ) , m
,
,
f n ( x0 ) F ( x0 ) , f k ( x0 ) c , m
F ( x0 ) c : F ( x0 ) c : m
, ,
n
k n:
,
,
k n
x0 Am( k ) x0 Bm( n ) ,
,
x0
B
(n) m
:
-
n , m 1
( F c)
,
B
(n) m
:
,
n , m 1
x0
B
(n) m
n-
,
m-
n , m 1
k n
x0 Am( k )
x0 Bm( n ) ,
k n
:
f k ( x0 ) c F ( x0 ) c
x0 ( F c ) :
, m
,
-
: m F ( x0 ) c ,
(2.10.2)
B
(n) m
( F c) :
n , m 1
,
B
(n) m
n , m 1
( F c)
, ,
:
F (x ) -
E n 1 ),
( { f n ( x)}
(
F (x )
,
{x, f n ( x) F ( x)}
m (E ) ,
.
.) ,
,
F (x )
,
:
:
{ f n ( x)}n 1
E
2.10.3:
F (x)
F (x)
:
:
xE : lim f n ( x) F ( x)
,
A-
,
n
E-
B-
,
( B E A ):
` m ( A) m ( E ) , m( B ) 0 :
` F (x )
A B
:
:
m( B ) 0 :
,
E A B
F (x ) -
:
§2.11. 2.11.1:
,
E
n 1
{ f n ( x)}
F (x )
0
,
lim m{x, | f n ( x) F ( x) | } 0 :
n
f n ( x) F ( x) : :
n 1
{ f n ( x)}
-
E
F (x ) F (x ) -
,
f n ( x) F ( x) :
0:
, ,
n0
,
-
| f n ( x) F ( x) |
n n0 ,
,
xE
{x, | f n ( x) F ( x) | }
:
n n0
lim m{x, | f n ( x) F ( x) | } 0 ,
,
n
f n ( x) F ( x) : , , , :
n 1
{ f n ( x)}
.
-
E
, ,
f n ( x) f ( x) ,
f n ( x) g ( x) ,
f ( x ) g ( x ), x E : :
f n ( x) F ( x) , f n ( x) G ( x) :
G ( x) F ( x)
, ,
, ( ),
,
, :
2.11.1:
{ f n ( x)}n 1 F (x )
-
G (x )
,
: :
| f
0
n
G | | f n F | | f n G | , 2 2
m| f G | m | f n F | m | f n G | : 2 2 m | f G | 0 :
f m f G 0 :
1 G | F G | , n n 1
E
2.11.2: n 1
{ f n ( x)} x f n ( x) F ( x) :
-
F (x ) f n ( x) F ( x) :
0-
:
Ek ( ) {x, | f k ( x) F ( x) | } , Rn ( ) Ek ( ) : k n
Rn ( )
`
Rn ( ) ) En ( ) Rn ( ) :
, )
)
R1 ( ) R2 ( ) ... Rk ( ) ... ,
R Rn ( ) : n 1
,
R lim m( Rn ( )) : n
,
x0 E ,
R : x0 R :
,
n
kn
: ,
,
R , x0 Rn ( ) x0 Ek n ( ) ,
,
-
| f k n ( x0 ) F ( x0 ) | : x0 E :
R ,
,
m( R ) 0 :
,
lim m( Rn ( )) 0 : n
Rn ( ) f n ( x) F ( x) : ,
)
, ,
m( Rn ( )) 0 ,
,
-
m( Rn ( )) 0 ,
, :
2.11.5-
:
E
2.11.3:
, n 1
{ f n ( x)} F (x )
:
f n ( x) F ( x) : F (x )
:
E
B-
:
,
F (x ) - :
An (| f n | ), Q B A An :
A (| F | ),
n 1
E0 E
m(Q) 0 :
,
f n ( x) F ( x) : f n ( x) F ( x) E 0
,
m( E0 ) m( E ) : ,
-
,
lim m{x :| f n ( x) F ( x) | , x E0 } 0 : n
E E0 Q
lim m{x :| f n ( x) F ( x ) | , x E0 Q} m{x :| f n ( x ) F ( x) | , x E 0 } :
n
:
2.11.1: `
-
[0,1)
:
,
k-
:
[0,1) -
i 1 i x , [ , ), (k ) k k fi ( x) i 1, 2,..., k : i 1 i 0, x [ , ), k k f1(1) ( x) 1, x [0,1) , 1, x [0, ), f1( 2) ( x) 0, x [ ,1), 1, x [ ,1), f1( 2) ( x) 0, x [0, ), :
g1 ( x) f1(1) ( x), g 2 ( x) f1( 2) ( x), g 3 ( x) f 2( 2) ( x), g 4 ( x) f1(3) ( x), g n ( x) fi ( k ) ( x), n 2k 1 i 1, i 1,...,2k , k :
{gn ( x)}n 1
, :
0-
,
g n ( x) f i ( k ) ( x) ,
| gn | i 1 , i , k
k
- , k
n-
,
:
:
x0 [0,1)
,
i,
k-
,
-
,
i 1 i x0 , , k k {gn ( x)}n 1
f i ( k ) ( x) 1 :
-
1- :
, n 1
{gn ( x)}
,
-
,
: ,
, :
:
2.11.4 (
E
):
n 1
{ f n ( x)}
F (x )
,
`
f n ( x) F ( x) : `
-
f n1 ( x), f n2 ( x),...., f nk ( x),... ,
F (x ) -
:
1 2 3 ... -
:
,
1 2 3 ... -
:
lim m{x :| f n ( x) F ( x) | k } 0, k , n
n1 n2 -
,
,
m {x :| f n1 ( x) F ( x) | 1} 1 : ,
n 2 n1 ,
m {x :| f n2 ( x) F ( x) | 2} 2 : nk -
nk nk 1 ,
,
m {x :| f nk ( x) F ( x) | k } k : E
,
lim f nk ( x) F ( x) :
(2.11.1)
k
,
k i
i 1
Ri {x :| f nk ( x) F ( x) | k }, Q Ri : R1 R1 R1 ... , m( Ri ) m(Q) :
-
m( Ri ) k , k i
m( Ri ) 0 , (2.11.1)E Q x0 E Q : ,
m (Q ) 0 :
, :
x0 Ri0 ,
i0 -
,
x0 {x :| f nk ( x) F ( x) | k }, k i0 , | f nk ( x0 ) F ( x0 ) | k , k i0 :
k 0,
lim f nk ( x0 ) F ( x0 ) ,
k
: 2.11.5 ( n 1
{ f n ( x)}
):
E
,
-
f (x )
:
0 ,
, .
.
E E m( E ) m( E ) ,
E
-
: : 0-
2.11.2-
,
-
Rn ( ) E (| f k f | ) : (2.11.2)
lim mRn ( ) 0,
n
k n
{nk }
(2.11.2),
,
1 1 mRnk k , k 1,2,... : k 2
k0
2
,
k
(2.11.3)
,
k k0
e
1 Rnk : k
k k0
(2.11.3)-
me :
,
mE mE : f (x ) x E x e ,
,
E E \ e
{ f n ( x)}n 1
E
0
:
-
:
1 1 x Rnk , k 1,2,... x E | f j f | , k 1,2,..., j nk : k k E `
| f j ( x) f ( x) |
, i nk , k 1,2,... : k
(2.11.4)
k0 [1 / ] 1 : (2.11.4)-
E
,
| f j ( x) f ( x) | , i nk 0 , nk0 -
E
x- ,
:
:
§2.12. :
-
: (
-
). ,
«
, -
: (
)
X (t )
X (0), X (1 / n), X (2 / n),..., X (n / n) 0 1 n t , ,...., , : n n n
, n k Bn (t , X ) X Cnk t k (1 t ) n k n k 0
:
: (
) :
-
«
»
,
,
,
-
: 2.12.1:
f- E
,
0
:
g
,
,
m( f g ) :
,
Q ( x : | f | ) Ak ( x : | f ( x) | k )
: 0 :
,
-
A1 A2 ... Ak ... ,
Q Ak : k 1
,
2.8.2- ,
k0
,
lim mAk m Ak 0 : k k 1 mAk ,
f ( x), x E \ Ak 0 , g ( x) x E \ Ak0 : 0,
g- E
,
sup | g ( x) | k0 , m( f g ) mAk 0 : xE
:
f- E f ( x0 ) : f - x0
2.12.1:
x0 E ,
,
-
,
x0 - E . x0 - E xn x0 , xn E
,
.
,
f ( xn ) f ( x0 ) :
, 2.12.2:
E
, :
F1 , F2 ,..., Fn -
2.12.1:
n
F F1
:
-
k 1
F1 , F2 ,..., Fn
-
F-
:
x0 F ,
:
x0 Fm , x0 Fj , j m :
xn x0 , xn F :
Fj , j m -
x0 :
,
-
jm
,
xn
Fj
:
xn Fm , n n0 : ( xn ) ( x0 ), n n0 : - F [a, b] 2.12.2:
n0
`
,
,
,
:
1.
C[a, b],
,
: -
[a, b]
-
2. 3.
( x) ( x), x F , max | ( x) | max | ( x) | : x[ a ,b ]
xF
d sup F ,
:
c inf F :
F [c, d ] [ a , b ] : [c, d ] [c, d ] \ F
F [c, d ] ,
, :
: G [c, d ] \ F
-
,
G ( j , j ), j
( j , j )
F
:
x F, ( x), ( ) ( ) j j 0 ( x) ( ) ( x j ), x ( j , j ), j 1,2... : j j j 0 C[c, d ] : 0 G , , :
F 0 ( x0 0) 0 ( x0 ) ( ):
x0 ,
,
:
0 0 ,
x0 –
{xn } {x1 x2 .... xn ...}
-
x0 - : A {n : xn F }, B \ A {n : xn G} :
B x n F , 0 lim 0 ( xn ) 0 ( x0 ) ,
n
,
-
F:
A
,
xn G ,
-
lim 0 ( xn ) 0 ( x0 )
0 -
n
A G
:
G-
B
:
{xn }
,
xn1 -
:
G ( j1 , j1 ) - xn1 -
: ,
j xn xn 1 .... xn
xn3 -
-
2 1
j1 xn2 :
G
n2 -
( j 2 , j 2 ) -
xn3 -
:
j xn xn
3 1
.... xn4 1 j 2 xn4 :
{xnk }k 1
-
{( jk , jk )}k 1 ,
,
( jk , jk ) G, k 1,2,...,
xn2 k jk xn2 k 1 xn2 k 2 ... xn2 k 1 jk , k 1,2,... : ,
k 0:
0 -
, ,
j x0 , j x0 , Gk
k
,
lim 0 ( xl ) 0 ( x0 ),
l n 2 k 1 l n 2 k
0 ,
F-
-
lim 0 ( xl ) 0 ( x0 ),
l n 2 k l n 2 k 1
,
lim 0 ( xk ) 0 ( x0 0) 0 ( x0 ) :
k
,
0 ( x0 0) 0 ( x0 ) ,
,
0 ( x0 0) 0 ( x0 ) 0 ( x0 0) :
0 C[c, d ] :
,
0 ( x), ( x) 0 (c), (d ), 0 C[c, d ] ,
,
-
x [c, d ], x [a, c], x [ d , b] :
:
f - [ a, b]
2.12.2:
:
,
[ a, b]
,
,
m(| f | ) : | f ( x) | K , -
,
| ( x ) | K : :
f-
,
| f ( x ) | K : m
` ,
K /m :
-
`
j j 1 Ej x: K f ( x) K , j m 1,m 2,..., m, m m m 1 K f ( x) K : Em x : m ,
Ei E j 0, i j,
m
E
Fj E j
j
j
[ a, b] :
j m 1
,
-
,
mF j mE j
F
2m
j m 1,...., m ,
,
m
F :
,
` ( x)
j K , x Fj , m
j m 1,..., m :
`
F-
j
mF b a :
j m 1
2.12.1-
2.12.2-
[ a, b]
: -
C[ a , b ]
, ` ( x ) ( x ),
| ( x) | K :
x F ,
`
m (| f | ) b a m(| f | ) b a m (| f | ) :
C[ a , b ]
:
f-
,
,
2.12.1-
g
,
,
,
m( f g ) / 2,
(2.12.1)
g
0 C[a, b] m(| g 0 | ) / 2 :
,
, (2.12.2)
,
E (| f 0 | ) E (| g 0 | ) E ( g f ) (2.12.1), (2.12.2)
: :
2.12.3: [ a , b]
,
f
{n ( x)}n 1
[ a, b] ,
f
:
-
:
n
2.12.2-
{n ( x)}
n 1
,
-
,
1 1 m | n ( x) f ( x) | : n n , n0 [1 / ] 1 :
0
(2.12.3)
,
1 (| n ( x) f ( x) | ) | n ( x) f ( x) | , n n0 , n (2.12.3)` m| n ( x) f ( x) | , n lim m(| n ( x) f ( x) | ) 0 :
:
n
: ): [ a , b]
2.12.4 (
,
f
{n ( x)}n 1
[ a, b] ,
f
:
: 2.12.5 (
f-
):
[ a, b]
,
:
-
[ a, b] ,
,
m( f ) ,
–
,
4.1.4-
[ a, b]
| f ( x ) | K , | ( x ) | K : :
{n ( x)}
-
f
, :
,
,
[ a, b]
e
,
. me b a , . e
:
,
f
e
,
Ce :
-
: : ): [ a , b]
2.12.6 (
,
f ,
,
[ a, b]
§2.13.
:
, :
[ a, b] {xn } {a x0 x1 ... xn b}
f (x )
: :
[ xk , xk 1 ]
xk
-
` n 1
f ( x k )( xk 1 xk ), k 0
,
:
max( xk 1 xk ) xk
, ,
-
f (x) -
:
,
,
,
-
b
( R ) f ( x) dx : a
,
f (x )
[ a, b]
,
:
[ a, b]
,
,
-
: ,
,
, : : : , :
-
, :
, :
, , :
f (x )
-
E ,
A f ( x) B :
[ A, B ]
(2.13.1) `
A y0 y1 ... yn B :
[ yk , yk 1 )
-
ek {x, yk f ( x) yk 1}, k 0,1,..., n 1 : ` 1. 2.
, ,
3. E
n 1
e
:
k
k 0
n 1
e
4. m( E )
k 0
k
: n 1
n 1
k 0
k 0
s yk m(ek ), S yk 1m(ek ) :
max( yk 1 yk ) ,
0 S s m( E ) :
2.13.1: ,
:
A y0 y1 ... yn B
: , ,
(2.13.2)
s0 -
-
y
:
y ( yi , yi 1 ) :
-
s1 :
yi m(ei )
,
yi m(ei ) ym(ei ) (1)
( 2)
ei {x, yi f ( x) y}, ei (1)
( 2)
,
,
{x, y f ( x) yi 1}, :
yi m(ei ) yi m(ei ei ) yi m(ei ) yi m(ei ) yi m(ei ) ym(ei ), (1)
( 2)
(1)
( 2)
s0 s1 :
(1)
( 2)
,
-
: :
, ,
:
R1 R 2 - [ A, B ] : s1 - , S1 -
2.13.2:
R2 -
:
-
R1 s2 - , S 2 s1 S 2 :
:
R R1 R2
:
s- ,
R
S-
`
:
-
:
-
`
s1 s S S 2 : :
S0
S0 - : {s} -
U-
:
U sup{s} :
-
,
-
,
-
{s}
,
U S0 : S0 ,
-
:
V inf{S } :
s U V S :
0 S s m( E ) ,
(2.13.2)-
-
0 V U m( E ) : 2.13.1:
U-
U V : V-
,
E
f (x )
( L) f ( x) dx : E
f ( x)dx , E
: ,
:
0,
2.13.1:
f (x )
`
f ( x)dx : E
-
s f ( x)dx S , S s m( E ) : E
:
A B A-
,
B-
:
,
A f ( x ) B , A f ( x ) B1 , [ A, B ] B1 B : A y0 y1 ... yn B , ,
B1 -
ek , k m ,
,
B1 y m :
m(ek ) 0, k m : n 1
m 1
k 0
k 0
s yk m(ek ) yk m(ek ) s* , *
s ,
I I
*
,
0, II* [ A, B ]
, :
[ A, B1 ]
A-
[ A, B1 ]
:
:
-
§2.14.
f (x ) -
2.14.1:
E
,
a f ( x) b :
am( E ) f ( x)dx bm( E ) :
(2.14.1)
E
:
a y0 y1 ... yn b -
: n 1
n 1
n 1
k 0
k 0
k 0
:
a m(ek ) yk m(ek ) b m(ek ), a m( E ) s b m( E ) : (2.14.1)- :
f (x) -
1:
E
,
a f ( x) b :
(2.14.1)- :
m-
,
a
f ( x) b : m m
1 1 a m( E ) f ( x)dx b m( E ) : n n E , nE 2: f (x ) -
(2.14.1)- : ,
f ( x) c ,
f ( x)dx c m( E ) : E
3:
f (x ) -
(
) ,
f ( x)dx 0 f ( x)dx 0 f x dx 0 : E
E
E
m( E ) 0
4:
f (x ) ,
f ( x)dx : E
f (x )
2.14.2:
E
E
,
-
E Ek : k
f ( x)dx f ( x)dx : k Ek
E
: :
,
E1 E 2 ,
E E1 E2 ,
,
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx : E
E1
A f ( x) B
E2
A y0 y1 ... yn B -
:
ek {x : yk f ( x) yk 1 , x E},
ek(1) {x : yk f ( x) yk 1, x E1}, ek( 2) {x : yk f ( x) yk 1 , x E2}, :
,
ek e e , e ek( 2) , m(ek ) m(ek(1) ) m(ek( 2) ), (1) k
( 2) k
(1) k
(2.14.2)
n 1
n 1
y m ( e ) y m( e k
k 0
k
(1) k
k
k 0
n 1
) yk m(ek( 2 ) ) : k 0
-
E
,
E1 -
E2 - :
,
(2.14.2)
0,
: (2.14.2)
-
: : (
,
2.8.1)
m( E ) m( Ek ) : k 0
E E E1 E2 ... EN RN , RN EN 1 EN 2 ... : (2.14.2) E , E1 , E2 ,..., EN , RN (
)
E
N
f ( x)dx f ( x)dx k 1 E k
(
Am( RN )
f ( x)dx :
RN
2.14.1)
f ( x)dx Bm( R
N
):
RN
N ,
m( RN ) 0 ,
f ( x)dx 0 :
RN
E
f ( x)dx f ( x)dx : k 1 E k
:
f ( x) 0
1:
,
f ( x)dx 0 : E
E1 { x : f ( x ) 0}, E 2 E \ E1 , m ( E2 ) 0 ,
:
E E1 E2 ,
(
2.14.2)
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx : E
E1
(2.14.1)- 2-
E2
f ( x)dx f ( x)dx 0 :
E1
E2
f ( x)dx 0 : E
2:
E
f1 ( x )
f 2 ( x)
-
,
f ( x)dx f
E
( x)dx :
E
1:
a, b
b
D( x)dx 0 : a
f (x ) -
2:
y1 , y2 ,..., yN
:
Ek {x : f ( x) yk } ,
E
,
N
f ( x )dx yk m( Ek ) :
E E1 E2 ... EN ,
k 1
-
E
N
N
f ( x)dx f ( x)dx yk m( Ek ) : k 1 E k
k 1
f (x ) -
3:
,
y1 , y2 ,..., y N ,... , Ek {x : f ( x) yk } ,
f ( x ) dx yk m ( Ek ) : k 1
E
:
f (x )
2.14.3:
F (x )
,
E
:
( f ( x) F ( x))dx f ( x)dx F ( x)dx : E
E
a f ( x ) b , A F ( x) B :
:
(2.14.3)
E
-
a y0 y1 ... yn b, ek {x : yk f ( x) yk 1}, A Y0 Y1 ... YN B, Ek {x : Yk F ( x) Yk 1},
Ti , k Ei ek , (i 0,1,..., N 1; k 0,1,..., n 1) :
ek e j , Ek E j , k j, E Ti , k
,
Ti ,k
i,k
:
( f ( x) F ( x))dx ( f ( x) F ( x))dx : i , k Ti ,k
E
x Ti , k ,
,
Yi yk F ( x) f ( x) Yi 1 yk 1 , (
(Yi yk ) m(Ti , k )
2.14.1)
( F ( x) f ( x))dx (Y
i 1
yk 1 ) m(Ti , k ) : (2.14.4)
Ti , k
n 1
N 1
i 0
k 0
ek Ti , k , Ei Ti , k ,
iN 1
N 1
N 1
i 0
i 0 Ti ,k
i 0
yk m(ek ) Yi m(Ti , k ) ( F ( x ) f ( x ))dx yk 1m(ek ) Yi 1m(Ti , k ),
k - (2.14.4) n 1
N 1
y m(e ) Y m(T k 0
k
k
i
i 0
i,k
n 1
N 1
k 0
i 0
) ( F ( x ) f ( x))dx yk 1m(ek ) Yi 1m(Ti , k ) : E
,
0,
(2.14.3)
-
: ` f (x )
2.14.4:
E
,
,
c-
:
cf ( x)dx c f ( x)dx : E
c 0 , (2.14.5)-
:
,
c 0:
(2.14.5)
E
: `
A y0 y1 ... yn B ,
ek {x : yk f ( x) yk 1}, k 0,1,..., n 1 : n 1
cf ( x)dx f ( x)dx : k 0 ek
E
cyk cf ( x) cyk 1 ,
ek
cyk m(ek ) cf ( x)dx cyk 1m(ek ), k 0,1,..., n 1 : ek
cs cf ( x)dx cS , E
-
S-
s-
:
0,
c 0:
,
c 0:
, -
0 [cf ( x) (c) f ( x)]dx cf ( x)dx (c) f ( x)dx, E
E
E
:
f (x )
1:
E
F (x )
,
,
( f ( x) F ( x))dx f ( x)dx F ( x)dx : E
E
f (x )
2:
E
E
F (x )
,
f ( x) F ( x) ,
:
f ( x)dx F ( x)dx : E
E
,
F ( x)dx f ( x)dx ( F ( x) f ( x))dx 0, E
E
E
F ( x) f ( x) 0 :
f (x)
2.14.5:
E
:
| f ( x)dx | | f ( x) | dx : E
E
:
E1 { x, f ( x ) 0},
| f ( x)dx | E
E 2 { x, f ( x ) 0} :
f ( x)dx f ( x)dx | f ( x) | dx | f ( x) | dx,
E1
E2
E1
E2
| f ( x) | dx | f ( x) | dx | f ( x) | dx : E
E1
E2
| a b | a b, a 0, b 0, :
§2.15. ,
f n (x)
[ a, b] f (x ) b
,
b
lim f n ( x)dx f ( x)dx :
n
a
f n (x)
:
a
(2.15.1)
,
L (x ) , :
f n (x)
lim f n ( x)dx lim f ( x)dx : n
n
n1
f
n
, :
x {0} [ ,1], n , x 2n 1 1 x [0, ] [ , ], 2n n 2n 1 1 [0, ] [ , ] 2n 2n n 0;1
x [0,1], f n ( x) 0 :
,
,
(2.15.1)
f (x ) -
0, f n ( x) 2n, L( x),
-
( x) dx 2n
1: 2n
-
(2.15.1) (
):
E
`
{ f n ( x)}n 1 F (x ) C
( f n ( x) F ( x), x E ) : | f n ( x) | C , x E ,
,
lim f n ( x)dx F ( x)dx : n
E
,
(2.15.2)
E
. : :
,
xE
(
2.11.4) | F ( x) | C
0,
:
-
An ( ) {x, | f n ( x) F ( x) | }, Bn ( ) {x, | f n ( x) F ( x) | } :
f n ( x) F ( x) ,
m( An ( )) 0 :
(2.15.3)
n
,
| f n ( x)dx F ( x)dx | 0 : E
n
E
,
| f n ( x)dx F ( x)dx | | f n ( x) F ( x) | dx E
E
| f
An ( )
. .
| f
An ( )
n
n
E
( x) F ( x) | dx
| f
n
( x) F ( x) | dx :
Bn ( )
| f n ( x) F ( x) | 2C ,
( x) F ( x) | dx 2C
dx 2Cm( A ( )) : n
An ( )
| f
n
( x) F ( x) | dx
B n ( )
dx m( E ) :
B n ( )
| f n ( x)dx F ( x)dx | 2Cm( An ( )) m( E ) : (2.15.4) E
0 ,
E
:
m( E ) :
N,
,
nN
2Cm( An ( ))
n N
-
-
(2.15.3)-
0
,
:
(2.15.4)-
| f n ( x)dx F ( x)dx | , E
E
:
[ a, b]
:
{ f n ( x)}n 1
x [ a, b ] F (x )
,
lim f n ( x)dx F ( x)dx : n
E
E
, (
f n ( x) F ( x) ):
-
§2.16.
E
f (x) f ( x) 0 :
,
Nf ( x) N , f ( x) N :
f ( x), f N ( x) N, f N (x) -
,
-
,
:
, ,
( f a), a N , ( f N a) aN: , f N (x)
f1 ( x) f 2 ( x) f3 ( x) ... ,
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ... ,
E
E
E
lim f N ( x)dx :
N
(2.16.1)
E
f (x )
2.16.1: (2.16.1)
E
f ( x)dx : E
f (x)
,
L-
: :
1,
, x (0,1] : x 1 , x N 1 / , f N ( x) x N , x N 1 / , f ( x)
f
N
N 1 /
, , :
1,
( x)dx
1/ N
1 ,
,
NN
N 1/
f (x ) -
-
f (x) -
:
1 , x N 1, f N ( x) x N , x N 1, 1/ N dx Ndx ln N 1 ln N : N x N N : f (x ) , f (x ) :
f N ( x) f ( x) :
1 1 Ndx x 1
1
N : 1,
N
N 1 /
1 1 1 1 N N : 1
1,
( x)dx
f
dx x
-
N-
,
:
m( A) 0 ,
1:
,
f ( x)dx 0 : E
E
2:
f (x ) ,
f ( x)dx g ( x)dx : E
E
g (x )
f (x ) E0 - E -
3:
E
,
,
f ( x)dx f ( x)dx :
E0
E
F (x ) , f ( x) F ( x) ,
f (x )
4:
E
f ( x)dx F ( x)dx : E
E
f (x )
5:
E
f ( x)dx 0 ,
,
f (x ) -
E
:
f (x )
2.16.1: ,
:
A { x, f ( x ) } :
:
f N ( x) N , x A,
f E
N
N-
-
,
( x)dx f N ( x)dx Nm( A) : A
f
m( A) 0 ,
N
N-
( x)dx
E
f (x)
, : 2.16.2:
E
-
f (x ) -
g (x ) -
,
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx : E
E
f (x ) ,
E
g (x ) f ( x) g ( x)
:
Nf N ( x) g N ( x) f ( x) g ( x) ,
:
f
N
E
( x)dx g N ( x)dx ( f ( x) g ( x))dx : E
E
N , f ( x)dx g ( x)dx ( f ( x) g ( x))dx : ,
E
E
(2.16.2)
E
,
( f g ) N ( x) f N ( x ) g N ( x) :
(2.16.3)
(2.16.3)-
( f g) E
N
( x)dx f N ( x)dx g N ( x)dx : E
E
N , ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx : ,
E
E
(2.16.2)-
(2.16.4)
E
(2.16.4)-
-
:
f (x) -
2.16.3:
E
,
af x dx a f x dx : E
a0
E
f (x ) -
,
-
af (x ) - : :
a 0:
,
,
:
m-
f ( x)dx m m f ( x)dx , E
E
a-
f ( x)dx f ( x)dx : mE E m a
,
a-
:
r 2.16.
r a R:
:
R
-
,
r f ( x)dx af ( x)dx R f ( x)dx : E
E
,
E
R-
r-
a- , :
f (x )
2.16.4:
E
E
,
E Ek , k
f ( x)dx f ( x)dx : k
E
Ek
:
f (x ) -
:
En*
E
k
k n 1
f ( x), x En* , f ( x), x Ek , Fk ( x) Rn ( x) x Ek , x En* : 0, 0,
f ( x) F1 ( x) F2 ( x) ... Fn ( x) Rn ( x), 2.16.2-
E
n
f ( x) dx Fk ( x)dx Rn ( x)dx : k 1 E k
E n*
Rn ( x) f ( x),
R ( x)dx f ( x)dx , n
E n*
E
n-
, n
F ( x)dx f ( x)dx , k
k 1 E k
E
F ( x)dx k 1 E k
,
k
F ( x)dx f ( x)dx : k 1 E k
k
E
-
:
(2.16.5) :
lim f N ( x)dx f ( x)dx ,
N
E
E
N
,
f
N
E
( x)dx f ( x)dx : E
-
E
f N ( x)dx f N ( x)dx f ( x)dx , k 1 E k
k 1 E k
f ( x)dx f ( x)dx : -
k 1 E k
E
,
f ( x)dx f ( x)dx : k 1 E k
E
(2.16.6)
(2.16.5):
-
f (x) -
,
f ( x)dx , E
(2.16.6)
f ( x)dx : k 1 E k
:
§2.17.
f (x ) -
-
E
:
f x , f x 0, ,
f x 0, f x , f x 0, f x f x 0, f x 0 : 0, E
,
f x dx , f x dx
E
E
: 2.17.1:
E
f (x )
f (x )
,
f x dx f x dx
E
E
f (x )
E
f x dx :
(2.17.1)
E
: .
(2.17.1)
,
f (x )
,
f (x )
:
f (x ) -
2.17.2: ,
(2.17.1)
`
:
f x dx f x dx f x dx :
E
(2.17.2)
E
E
-
L:
L (E )
f (x)
2.17.1: ,
,
| f ( x) |
:
-
f x dx | f x | dx : E
:
E
| f ( x ) | f ( x ) f ( x ) ,
,
| f x | dx f x dx f x dx :
E
E
E
: . 1. 2.
:
m( E ) 0 ,
E ,
f x dx 0 : E
3.
f (x ) -
E
, :
E
f (x ) F (x ) | f ( x) | F ( x ) :
4. ,
F (x )
,
f (x ) - :
,
f (x ) -
5.
-
F (x ) -
:
f x dx , F x dx E
E
, :
,
E-
2.17.2:
n
E Ek : k 1
f (x )
Ek
E
,
-
,
n
f xdx f x dx , k 1 Ek
E
: :
E
n
f x dx f x dx , k 1 Ek
E
n
f x dx f x dx : k 1 E k
: :
f (x )
2.17.3: ,
E
E -
E Ek , k 1
f xdx f x dx : k 1 Ek
E
E
2.17.4:
E Ek : k 1
f ( x)
Ek
-
,
f x dx , k 1 Ek
E
,
n
f xdx f x dx : k 1 Ek
E
: :
E
f (x ) -
2.17.5:
a-
,
,
-
af ( x ) -
,
af x dx a f x dx : E
E
a0
: :
a 1
a:
:
a 0,
-
,
( f ) f , ( f ) f ,
f xdx f xdx f xdx f x dx :
E
:
a 1 -
E
E
E
-
: a af x dx | a | f x dx | a | f x dx a f x dx : E
E
E
f (x ) -
:
(x ) -
E
E
,
,
( x) f ( x)
,
E 2.17.6:
E
:
f ( x)
( x)
-
f ( x) ( x)
, ,
( f x ( x))dx f x dx x dx : E
f ( x) ( x )
:
E
(2.17.3)
E
f x ( x) f x ( x) : (2.17.3)
:
E1 { x, f ( x ) 0, ( x ) 0} , E2 { x, f ( x ) 0, ( x ) 0} ,
E3 {x, f ( x) 0, ( x) 0, f ( x) ( x) 0} ,
E4 { x, f ( x ) 0, ( x ) 0, f ( x ) ( x ) 0} , E5 {x, f ( x) 0, ( x) 0, f ( x) ( x) 0} ,
E6 {x, f ( x) 0, ( x) 0, f ( x) ( x) 0} : ,
,
E Ek : k 1
,
( f x ( x))dx f x dx x dx,
Ek
Ek
k 1, 2, ...,6 :
Ek
k 6:
,
f x ( x ) ( ( f x ( x ))) : :
-
f x dx ( x)dx ( f x ( x))dx ,
E6
E6
E6
( f x ( x))dx f x dx x dx
E6
E6
:
E6
: , :
0-
:
0,
E
f (x )
2.17.7:
eE
, m(e) ,
,
f xdx : e
| f ( x) |
: :
-
N0
-
,
f x dx f x E
eE
N0
E
2N0
:
f x f x N 0 ,
:
f x f x
N0
e
dx f x f x dx , N0
E
f x dx f x e
N0
dx
e
f x dx f x e
N0
dx
e
f x N , f x dx N
,
dx
,
:
N0
N0
.m(e) ,
.m(e) :
e
f x dx 2 N e
,
m(e)
N0
,
f x dx , e
:
§2.18. 2.18.1 (
):
{ f n ( x)}n 1 F ( x) 129
(x )
:
n-
,
,
x-
| f n ( x) | ( x) ,
(2.18.1)
lim f n ( x)dx F ( x)dx : n
E
E
` : :
(2.18.1)-
{ f n ( x)}n 1
:
-
{ fnk ( x)}k 1
, ,
f nk ( x) F ( x)
,
k
| F ( x ) | ( x )
,
F (x ) -
0-
:
An ( ) {x, | f n ( x) F ( x) | }, Bn ( ) {x, | f n ( x) F ( x) | } : n-
,
E An ( ) Bn ( ) :
m( An ( )) 0 :
-
`
n
| f n ( x)dx F ( x)dx | | f n ( x) F ( x) | dx E
E
| f
n
( x) F ( x) | dx
An ( )
. .
| f
n
( x) F ( x) | dx :
B n ( )
| f n ( x) F ( x) | ,
| f
Bn ( )
E
n
( x) F ( x) | dx
dx m( E ) :
Bn ( )
-
| f n ( x) F ( x) | 2( x)
| f
n
-
( x) F ( x) | dx 2
An ( )
| f n ( x)dx F ( x)dx | 2 E
E
0-
( x)dx m( E ) :
An ( )
:
,
(2.18.3)
0
eE
,
m(e) ,
(2.18.2)
0
m( E ) :
( x) ,
( x)dx :
An ( )
( x)dx 4 : e
n0 -
n n0
,
:
(2.18.2)
m( An ( )) :
(2.18.4)
(2.18.3)
| f n ( x)dx F ( x)dx | , E
E
:
§2.19.
f (x ) -
2.19.1:
[ a, b] -
b
b
a
a
( R) f ( x)dx ( L) f ( x)dx :
:
(2.19.1)
[ a, b] -
:
`
a x0 x1 ... x n b :
`
b
n 1
x k 1
a
k 0
xk
( L) f ( x)dx ( L) Mk -
mk -
f ( x)dx :
f (x ) :
[ x k , xk 1 ]
mk ( xk 1 xk )
-
x k 1
f ( x)dx M
k
( xk 1 xk ) ,
xk n 1
b
n 1
k 0
a
k 0
mk ( xk 1 xk ) ( L) f ( x)dx M k ( xk 1 xk ) : : : :
f (x ) [ a, b]
,
,
,
x0 [ a , b ] , 0 : m ( x 0 ) -
-
0, (2.19.1)
[ a, b] ( x0 , x0 )
0,
M ( x0 ) -
:
f (x ) f (x )
, -
m ( x0 )
inf
x 0 x x 0
f ( x), M ( x0 )
sup
x 0 x x 0
f ( x) :
m ( x 0 ) f ( x 0 ) M ( x 0 ) : -
,
m ( x0 ) -
,
M ( x0 ) -
,
m( x0 ) lim m ( x0 ), M ( x0 ) lim M ( x0 ), 0
0
m ( x 0 ) m ( x 0 ) f ( x 0 ) M ( x 0 ) M ( x 0 ) : 2.19.1: m (x )
(2.19.2)
M (x )
-
f (x )
-
: 2.19.2 (
):
f ( x)
x0 ,
x0
-
m ( x0 ) M ( x0 ) :
,
f ( x)
:
0-
:
x-
,
| f ( x ) f ( x0 ) |
-
x0
0
,
| x x 0 | , ,
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) , f ( x 0 ) m ( x 0 ) M ( x 0 ) f ( x 0 ) : (2.19.1)
0-
,
f ( x0 ) m ( x0 ) M ( x0 ) f ( x0 ) : :
m ( x0 ) M ( x0 ) f ( x0 )
:
m( x0 ) lim m ( x0 ), M ( x0 ) lim M ( x0 ),
0-
0
m ( x0 ) m ( x0 ) m ( x0 ),
0
-
0,
M ( x0 ) M ( x0 ) M ( x0 ) :
f ( x0 ) m ( x0 ), M ( x0 ) f ( x0 ) : | x x 0 | , m ( x 0 ) f ( x ) M ( x 0 ) , f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) : : , (
2.19.3) 2.19.1:
-
:
[ a, b]
-
a x0(1) x1(1) ... xn(11) b a x0( 2) x1( 2) ... xn( 22 ) b a x0(i ) x1(i ) ... xn(ii ) b ............................................ : i max ( xk( i)1 xk(i ) ) 0 : mk( i ) -
f (x )
i (i ) k
k
[ x , xk(i)1 ]
i (x)
:
-
mk(i ) , x ( xk(i ) , xk( i)1 ), i x x x0(i ) , x1( i ) ,..., xn( ii ) , 0,
{xk(i )}i,k , lim i x0 m( x0 ) :
x0 -
,
i
i-
:
k0 -
x0 [ x , xk(i0)1] (i ) k0
,
i:
(i ) k i,k ,
{x }
x0 -
: ,
0
( x0 , x0 ) [ x , x (i ) k0
(i ) k0 1
],
mk(i ) m ( x0 ) i ( x0 ) m ( x0 ) :
xk(i0) x0 xk(i0)1 , ,
i-
0- ,
i ( x0 ) m ( x0 ) : m ( x0 ) ,
m ( x0 ) :
:
h m ( x0 ) :
0
-
-
m ( x0 ) h :
,
i i0 -
i0 ,
[ xk(i0) , xk(i0)1] ( x0 , x0 ) (
i 0 ),
,
i0
i
i i0 -
mk(i0) m ( x0 ) h i ( x0 ) h : h m ( x0 ) h i ( x0 ) m ( x0 ) : :
m(x )
1: ,
M (x )
(i ) k i,k ,
:
{x }
i x m(x) : m(x ) -
-
i x -
i
,
:
: M (x ) -
: 2:
,
f (x ) -
, b
b
( L) i x dx ( L) m( x)dx : a
,
i
a
| f ( x) | K , | i x | K , | m( x) | K : (
, 2.15.1) :
, ,
-
: 2.19.3 (
[ a, b]
):
, , (
):
:
, (i)
b
ni 1 x k 1
ni 1
a
k 0 x(i ) k
k 0
( L ) i x dx i ( x ) dx mk( i ) ( x k( i)1 xk( i ) ) si ,
i x -
si -
,
.
: 2b
si ( L) m( x)dx : i
a
, b
Si ( L) M ( x)dx : i
a
b
S i si ( L) [ M ( x) m( x)]dx : i
S i si 0
a
,
i
b
( L) [ M ( x) m( x)]dx 0 : a
§2.16,
M ( x) m( x) -
,
,
M ( x) ~ m( x) : ,
f (x )
:
. .
: :
2.19.4:
,
,
, :
§2.20. , f (x )
[ a, b]
x y-
,
,
f ( x) f ( y ) : , f ( x) f ( y ) ,
x yf (x ) -
,
:
, (
, ):
),
f (x )
x y-
f ( x) f ( y ) ( f ( x) f ( y ) ): f (x)
f (x )
,
(
: :
, :
,
f (x ) -
[ a, b]
a x0 b : ,
x1 , x 2 , x3 ,... ,
, ( x n x0 , x n x0 ),
x0 -
lim f ( xn )
n
,
,
{xn }n 1
inf { f ( x)},
x0 x b
:
a x0 b -
-
f ( x0 0) :
f ( x0 0) :
,
f ( x 0 0) f ( x0 ) f ( x 0 0), (a x0 b), f (a ) f (a 0), f (b 0) f (b) :
f (x )
, ,
x0
-
,
f ( x0 0) f ( x0 ) f ( x0 0), b, a` f ( a 0) f (b 0 ) :
x0 -
f ( x0 ) f ( x0 0) , f ( x0 0) f ( x0 )
f (x ) -
x0
f ( x 0 0) f ( x 0 0) - `
,
b
(a
-
): 2.20.1:
f (x) -
:
x1 , x2 ,...., x n -
[ a, b] [ a, b]
, [
<
+
<
]+
−
[
+
–
: = , = ( = , , . . . , ): + − − + − − −
,
:
`
−
: [ , ]- , , :
−
,
]+ [
−
, − − `
,
<
−
<
− : (2.20.1) < : ,
= , ,…, , :
[ , ]
- , -
]
−
,
.
. - : ,
, .
-
. -
2.20.1: [ , ]
, [
+
]+
− :
−
-
,
,
:
[
:
-
+
,
−
+ …, :
] + [
−
,
,
[ , ]
-
:
+
−
+[
]+
−
= , ]
−
[
+
<
−
−
:
,
=
+
,
-
]+ -
: =
2.20.2: :
−
[ , ]
−
, .
. -
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-
<
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,
]
− ,
-
=[
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/ - :
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,…
− −
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. [ , ]-
.
−
:
,
, +
−
−
,
, (2.20.2) : , (2.20.3) , < -
:
=
+
− , :
.
, −
=
,
. - ` + =
, : -
§2.21.
+
− -
:
-
: -
,
-
∈ : ,
,
=
:
,
-
: -
: 2.21.1:
, 2)
1) ,
1) 2)
=∑
=∑
-
,
-
: : , :
=
,
-
:
,
, =
,
, :
=[ , ] ,
, =[ :
,
]:
:
(
) ,
ℎ ,ℎ ,ℎ ,… ℎ ≠ +ℎ − lim ℎ ,
, = :
-
,
` )
( -
.
=
:
,
: ,
, +ℎ − ℎ ℎ, ` −∞, , +∞: : :
: -
,
: , : ,
{
}( =
, :
[ , ]
, :
{ℎ } ℎ ≠ - 0+ ℎ ∈ [ , ]:
∈[ , ]
,
): ,
− /ℎ -
2.21.2:
+∞ ∈
-
-
:
ℎ-
`
, { }-
,
=
,
2.21.3: , ∈[ , ] , : :
,
[a, b] -
,
:
, ,
-
:
,
lim
: {ℎ } ℎ
− , +
-
> ,
{ℎ } ℎ ≠
+ℎ − ℎ , ,ℎ ≠ +ℎ − = ℎ - : ,
,
=
, ,
(
, ,
−∞ < ):
, < +∞,
-
, ,
: [ , ] :
2.21.1: : 2.21.2: : ∗
[ , ] [ , ] ( ∈ ∗
:
> , ,
,
<
∗
∙ ∗
, :
+
< +∞ ,
,
> ,
∈ ,
,
, +ℎ − ℎ
lim G
=
-
:
n-
f(x)
, : =[ ,
Δ
,
Δ x
=|
:
:
,
` +ℎ
−
∑
Δ
,
− :
-
Δ =
, ,
+ ℎ ]:
ℎ
|:
,
-
Δ
-
= , , ,… ,
∗
,
,
Δ <
]
=[
Δ
∈ :
,
∑
[
,
-
:
,
,
,
+ ℎ ], Δ
= |ℎ |, Δ
Δ
,
+ ℎ ]-
[ ,
: <
{ℎ }
-
Δ
<
∗
= : ∑
<
:
:
<
:
[
,
∗
+ ]: -
`
[ , ] [ , ]
2.21.3: : ∗
> ,
-
-
-
: , , lim
,
:
∈ , +ℎ ]
,
−∑
):
,
<
:
+ℎ − ℎ
+ℎ − ℎ
+ :
−
>
:
:
{
,
,
:
+ ℎ ]:
-
,
∗
, , {ℎ }
=
` =[
>
> :
: ,
∗
∈ ,
= : Δ (
<
( :
+ ℎ ],
=[ , [
,
: = , -
:
ℎ
,
∗
<
( ∈ )
} Δ
: : ,
:
,
-
` ∗
-
, : :
Δ -
=
∗
<
∗
∗
[
Δ
∗
+ ],
∗
+
−
<
∗
,
= ,
:
,
∗
-
[
,
2.21.4: , , :
,
,
∗
-
<
,
] ,
+ℎ − ℎ ,
-
:
, = +∞ > ,
-
,
∗
,
,
∗
-
, ∗
:
∗
+ :
=
+ℎ − ℎ
: , : =
, + -
+ :
= +∞,
, ( < ): , , = : , 2.21.22.21.3- , ∗ ∗ , , ,
< ,
< ∗
, , = : +
, ,
=
,
+ )`
: 2.21.3:
-
, :
[ , ]
,
,
+ -
: [ , ] [ , ]
-
:
∗
( -
[ , ]
, -
-
:
<
[ , ]-
-
< < =∑ ,
< , ,
<
, ,
,
<
:
, , 2.21.4-
,
∈[ , ]
: ,
[ , ]
, −
:
,
=
-
+ :
′
< :
′
=
2.21.4: ,
:
,
∈[ , ]
, <
,
′
,
,
:
,
,
∈ ,
:
:
:
<
,
′
,
= lim
:
[
+
−
,
],
′
, -
-
-
, , :
`
sup{
[
+
+
=
/
/
−
]
},
(
,
-
): ` −
+
=
,
=
−
, :
+ℎ =
|ℎ|-
+ℎ − ℎ
= +∞:
{
−
`
,
{
[ , ]}:
:
E
[ ,
<
:
, < / [ ,
|ℎ|:
]+
+ℎ − ℎ
-
= +∞:
=∑ `
=
],
,
ℎ> ,
[ −
2.21.5: [a, b] , ∈ :
=
−
,
: + ℎ]
,
+ℎ
+ ℎ]} =
= :
+ℎ − ℎ
, ∈ ,
,
:
=
-
,
= max{
},
min{
[ , ]
}:
: 2.21.6 ( .
,
+
=
−
−
=
,
−
, −
−
, +
= , ,…,
[
:
,
,
,
= -
:
,
=
:
= , ,…,
-
−
=
,
]
,
:
,
,
=
,
=
2.21.2- ` lim
= :
:
,
,
-
,
[ , ]
+
, -
):
:
=
`
= +∞:
,
= [ , ] =
,
: ∗
⋯,
, = lim
,
,
`
∗
= lim ∗
, : ∗
:
,
=
=
, -
<
-
, ,
∗
= +∞, , =
∗
,
,
, ,
,
∗
,
, = +∞,
,
,
,
:
:
-
-
< min
= :
−
,
, ∗
,
:
1:
,
-
, : 2:
-
, ,
,
: ,
,
,
:
p 0, E-
L (E ) -
,
: :
E
, , p
| f (x)|
:
p 0-
p
E-
L (E ) -
f (x )
, p
| f ( x)|
L( E )
, , ( L)
,
| f ( x)| dx : p
E
(
f (x ) , g ( x) Lp ( E ) , p ) L (E ) -
-
p ( f , g ) |
f ( x) g ( x)|
p
p (0,1) ,
dx ,
E
p ( f , g ) | E
f ( x) g ( x)|
) .
dx
,
p 1:
p ( f , g) -
, (
1/ p
p
,
-
L p (E ) -
f n (x)
L p (E ) f ( x) L ( E ) , p
0 n0 ( ) , m, n n0 p ( f m , f n ) f ( x) L p ( E ) lim p ( f , f m ) 0 : m
f (x) L (E ) , p 1 p
p ( f ,0) f
, 1)
p
0 f
2) R ,
f
f g
f
3)
f
p
p
0 f ( x) 0 ( . .), p
| | f p ,
p
g p:
p
-
1. p q 1 1 1 , p 1 , f ( x) L [a, b] , g ( x) L [a, b] , p q
b
f ( x) g ( x) dx
,
f
p
g q:
a
2.
,
Lp [a, b] , p 1p f ( x) L [a, b], 0 g ( x) C[a, b] ,
g f
,
:
p
3.
`
` ,
0- ,
,
-
`
, ,
:
4.
∑
< ∞,
(
): ):
∑
= ∞(
-
∈ [ ; ]
`
)
: 5.
(
∈ [ ; ]
f ( x), g ( x) L [a, b] : 1/ p
:
p 1 ,
): p
p b f ( x) g ( x) dx a
-
∀ ∈[ ; ]
, (
-
f g L p [ a, b]
,
1/ p
p b f ( x) dx a
1/ p
p b g ( x) dx a
{ak }nk1 {bk }nk 1 -
6.
:
,
p 1: p n ( a b ) k k k 1
1/ p
p n ( a k ) k 1
1/ p
p n (bk ) k 1
1/ p
3.
§3.1.
n ( x) L2 [a, b], n 1, 2, 3.1.1:
n ( x)n1
,
1, n k : nk , , -
b
( x) ( x)dx 0, k
n
a
-
cos x sin x cos kx sin kx , , , , , x , , 2 :
f ( x) L [a, b] : k ( x)
k 1
n
a
n
k ( x)k 1
,
k 1
k
f ( x) L2 [a, b]
( x) -
-
: -
n
infn f ( x) akk ( x) Rn ( f ) :
a k k 1
k
k 1
n n f x a x dx f x dx ak k2 ( x)dx ( ) ( ) ( ) k k a k 1 k 1 a a b
n
b
k 1
a
b
b
b
2 ak f ( x)k ( x)dx 2 ak ak ' k ( x)k ' ( x)dx : k k '
a
b
ck ( f ) f ( x)k ( x)dx, 1 k n a
k ( x)
k 1
,
n n n ak ck 2 f ( x ) a ( x ) dx f ( x ) dx c ( f ) k k k a k 1 k 1 k 1 a b
b
a
b
n f ( x)dx c ( f ) f ( x) ck ( f ) k ( x) dx : k 1 k 1 a b
n
k
,
, b
ak ck ( f ) f ( x)k ( x)dx k [1, n] , a
n infn f ( x) ak k ( x) f ( x) ck ( f ) k ( x) dx : ak k 1 k 1 k 1 a b
n
b
ak ck ( f ) f ( x) k ( x)dx k 1 a
k ( x)k 1
c ( f ) k 1
k
k
( x)
f (x ) -
`
f (x ) ,
k ( x)k 1
: :
f ( x) L2 [a, b] f (x ) -
: n2
(L -
) ` S n ( x, f )
n-
k 1
k
k
( x) - :
f ( x) L2 [a, b] -
,
-
k ( x)k 1
(
ck ( f ) l2 :
)`
n f ( x)dx c ( f ) f ( x) ck ( f ) k ( x) dx 0 , k 1 k 1 a
b
,
n
c ( f )
b
n
a
k
n
b
k 1
a
b
ck2 ( f ) f 2 ( x)dx , n ,
,
c ( f ) f k 1
k
( x)dx :
a
,
L [ a, b]
,
0- :
: 3.1.1: 0- : :
, ,
k ( x)k 1 -
-
B 0,
,
k ( x) B x [a, b], k :
-
f (x ) -
,
:
L[ a, b] 2),
g ( x ) C[ a , b ] ,
,
,
[ a, b] (
՛
b
f ( x) g ( x) dx
a
(3.1.1)
L2 [a, b]
,
n0 ( ) ,
:
2B
0- ,
n n0
,
b
g ( x) ( x)dx 4 B : k
a
n n0 -
(3.1.1) b
b
ck ( f )
f ( x) a
k
( x)dx f ( x) g ( x) k ( x) dx a
b
g ( x) k ( x)dx a
3.1.1:
2B
B
:
k ( x)k 1
,
( L [ a, b] -
) :
,
k j 1 j f ( x) sgn hk( jk ) ( x) 2 3 , x k k , kk (kjk ) : 2 2 hn ( x)n0
,
h ( x) 1
hn ( x) hk( j ) ( x)2j 1 k 1, 2, ... k
-
k2 j 1 2 j 1 2 , x k , k 1 2 n 2k j, hk( j ) ( x) k 2 2 , x 2 j 1 , j k 1 2k 2
jk
jk
,
jk 1 jk , [0,1) : 2k 2k k 1 f ( x) L1[a, b] , ,
f ( x ) dx
k 1 ( jk )
f ( x ) dx 2 3 k
k 1
k
f (x ) -
, `
c
cn ( f ) -
k
1 1/ 3 : k k 1 2
-
( f ) k 1
nk
,
nk 2k jk ,
:
cnk ( f ) f ( x)hnk ( x)dx f ( x)h k jk ( x)dx
2k
k
k 1
,
,
, : { = :
3.1.2: : 1) {
}
}
3.1.2: {
, ,
}
f ( x) L2 [a, b] , −
[ , ]
}
{
<
:
> =
f ( x) L2 [a, b] = , = , , …, f (x ) {
}
:
f ( x ) L [ a, b]
-
[a, b] -
-
: 2)
( x)dx
k
L [ a , b] -
L2 [a, b] -
jk k
,
2 6 : k k 1
∑
f ( x)h
k 1 ( j k ) k
22 2 3
-
}
3) {
L2 [a, b] -
-
}
4) {
≡
:
L [ a, b ] -
-
:
:
f ( x) L2 [a, b] :
:
=
−
−
1)
2)
: ∀
,
f ( x) L2 [a, b] ,
∃ lim ∀ > ,
−
,
∀
< ,
,
}
{
-
1) ⇒ 3):
f ( x ) L [ a, b] , 0 2
−
0: ∃
= , ∈
, ,
:
L [ a, b] ∃
− {
-
, =∑ ,
:
:
3) ⇒ 1): ,
=∑
∀
,
< :
} `
-
−
−
< :
∀
,
, {
}h
,
, −
−
−
= −
=
-
< : :
1:
:
-
:
ℎ
, ,
}-
{ℎ
2:
, = , , … .., ∈ [ ; ] ( [ ; ] `∀
∑
f ( x) L2 [a, b] ∀ : ∃ lim
∑
,∀ >
−
∈ {
= ,
` -
`∑ :
L [ a, b]
-
: }
∃
< ,∀
=
∈
:
− ,
, :
),
= -
[ ; ]-
,
, x 0,1 -
}
{
3.1.3: ,
`
= ,
∀
-
∀
,
∈
`
=
− −
=
}-
{
,
`∀ >
|
∙ |
− ∃ lim
-
=
< ,
=
:
=
:
,
-
§3.2. :
-
: , :
-
y A sin(t ) a cos t b sin t ,
-
(
`
,
-
| A|-
),
A a 2 b 2 , sin
2 2
a b , cos : A A
n
,
2
,
2
n:
2 ,
f (x )
f ( x) A0 A1 sin(t ) A2 sin(2t ) A3 sin(3t ) ... A0 (a1 cos t b1 sin t ) (a2 cos 2t b2 sin 2t ) ... (an cos nt bn sin nt ) ... : 3.2.1:
1, cos t , sin t , cos 2t , sin 2t ,..., cos nt , sin nt ,... : 3.2.2:
c0 ck cos kt d k sin kt , 2 k 1
ck , d k R
: « »:
(
)
:
2 «
:
[ , ]
f (x ) »
-
-
`
f ( x) ,
` ,
a0 ak cos kx bk sin kx, 2 k 0
sin mx - ,
[ , ]
x [ , ] :
cosmx -
sin mx sin kxdx 0,
cos mx cos kxdx 0,
cos mx sin kxdx 0, cos
ak
f ( x ) cos kxdx, bk
3.2.3: [ , ]
m n,
mxdx , sin 2 mxdx ,
f ( x) sin kxdx,
k 0,1,2,... :
f (x )
a0 ak cos kx bk sin kx 2 k 1
(3.2.1)
,
ak bk
f (t ) cos ktdt ,
(3.2.2)
k 1,2,... :
(3.2.3)
k 0,1,...,
f (t ) sin ktdt ,
, ,
,
,
`
: : 3.2.1:
a0 ak cos kx bk sin kx 2 k 0 f (x )
[ , ]
-
,
f (x )
:
Snk ( x), k 1,2,... [ , ]
:
f (x )
:
lim S nk (t ) f (t ) dt 0, k
m
S
lim
k
nk
(t ) f (t ) cos mtdt 0,
,
lim
k
S
nk
(t ) f (t ) sin mtdt 0,
,
lim S nk (t ) cos mtdt k
f (t ) cos mtdt ,
lim S nk (t ) sin mtdt k
f (t ) sin mtdt :
nk m
`
Snk (t ) cos mtdt am cos mtdt am ,
S nk (t ) sin mtdt bm sin mtdt bm ,
am
bm
f (t ) cos mtdt ,
f (t ) sin mtdt :
am f (x ) : 3.2.1-
:
bm
-
,
-
: :
[ , ]
f (x )
S n ( x, f ) (3.2.2)
a0 n ak cos kx bk sin kx : 2 k 1
(3.2.3)
(3.2.4) :
S n ( x, f )
2
(3.2.4)
` n
1
f (t )dt f (t ) cos ktdt cos kx k 1
1 1 f (t ) sin ktdt sin kx f (t ) cos kx cos kt sin kx sin kt dt 2 1 n f (t ) cos k ( x t ) dt f (t ) Dn ( x t ) dt 2 k 1
f ( x t ) D (t )dt ,
(3.2.5)
n
Dn (u )
1 n cos ku : 2 k 1 «
(3.2.6) »:
-
:
1 1 sin k u sin k u 2 2 Dn (u ) cos ku u 2 k 1 2 k 1 2 sin 1 sin n u 2 : (3.2.7) u 2 sin n
n
,
(3.2.5)
(3.2.7)
,
`
1 sin n t 2 dt : S n ( x, f ) f ( x t ) t 2 sin
(3.2.4)
(3.2.8)
, ,0
(3.2.8)
,
[ , ]
,
- :
a0 2 -
, `
1 sin n t 2 dt 1 : S n ( x,1) t 2 sin
(3.2.9)
1 sin n t 2 S n ( x, f ) f ( x t ) f ( x t ) dt t 0 2 sin
(3.2.10)
,
(3.2.8)
`
-
:
L −π; π
§3.3.
, L − ,
, , :
`
`
,
– ,
-
– ,
,
: , CL-
:
-
-
, f (x) ∈ ,
,
f (t ) cos ktdt 0,
k 0,1,...,
(3.3.1)
k 1,2,... :
(3.3.2)
f (t ) sin ktdt 0,
f(x) -
=
,
F(
+∞
-
,
=
=
= 0, – , :
F(x)
sin
=
,−
= , ,… : ,
= : F(- ) = 0, ,
ϕ x =F x −
-
-
= =
=
−∞ <
< `
= ,
=
C≡ ,
(3.3.2)
sin cos
=
:
F(x)
(3.3.1)
=−
, ,
+
cos
= =
= , ,… ,
= , ,… :
,
:
F(x)
: :
:
,
:
,
=
:
CL-
:
, f (x) ∈ C
, 0- :
C-
:
, : = :
, (3.3.3)
(3.3.3)
: , :
, ≠ ,
f( ) = ≠ : c> : φ(0) >
, , , ,
= : φ(x)
f
+
,
, f( ) = c > , 0f(x)
,
= f(x) ` | `
>
|
,− :
,
φ(x) = f( + )
, , =
:
+
− ,+
+
(x) = ∗
=
∗
> :
f( ) = c > , , > :
-
> −
-
(3.3.4)
:
+
:
+ ,
,
M-
: -
|
A>
|
,
∈− ,
,
(3.3.5)
> , ∈ − , ∪ ,
,
:
: (3.3.5)-(3.3.7)
(3.3.4)-
>
: ,
(3.3.6) (3.3.7)
M> ,
–
(3.3.5)-(3.3.7) ,
+ cos − cos , : cos
n n
=
∞:
− ,
, |
|
− ,
> ,
–
, = [
,
,
A
>
(3.3.6) : :
-
] , >
>
– ,
− ,
-
+ cos − ∞,
-
,
: =
-
:
L − ,
3.3.1: > ,
, :
,
L-
> -
-
,
:
§3.4. : (3.2.8)
f (x )
1 sin n t 2 S n ( x, f ) f ( x t ) dt t 2 sin 0
:
(3.4.1)
u [ , ] 0, 1 g (u ) , u [ , ) ( , ), u 2 sin g (u 2 ) g (u ), uR: 0 , g (u ) 2 , (3.4.1)-
:
`
1 sin n t 2 dt S n ( x, f ) f ( x t ) t 2 sin 1 f ( x t ) g (t ) sin n tdt : 2 x f ( x t ) g (t )
(3.4.2)
, ,
(3.4.2)0-
x :
`
1 sin n t 2 dt o(1), S n ( x, f ) f ( x t ) t 2 sin n : (3.4.3) 0- , o (1) 1
, :
(3.3.3)
-
3.4.1 (
):
x
f :
(x , x )
f
, (3.4.3)
,
S n ( x, f )
n
ff1
.
:
x0
f2
x0
,
:
f1 f 2
x0 ,
,
-
(3.4.3)
0 ,
-
,
Sn ( x, f1 f 2 )
x x0
n ,
,
`
Sn ( x, f1 f 2 ) S n ( x, f1 ) S n ( x, f 2 ) : : , : :
x0 f f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 ) : f
-
3.4.1: ,
,
,
: ,
:
-
:
3.4.2 (
f-
):
x0 -
,
:
f ( x0 u ) f ( x0 u ) 2 f ( x0 ) u
0 0
: ,
(3.4.4)
: (3.4.4)
f ( x0 u ) f ( x0 u ) 2 f ( x0 ) u
(3.2.9)
du
x0
f ( x0 ) - :
0
f
,
-
(3.2.10)
,
,
du :
(3.4.5) `
1 sin n t 2 Sn ( x0 , f ) f ( x0 ) f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 f ( x0 ) dt t 0 2 sin
1 sin n t 2 dt f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 f ( x0 ) t 0 2 sin 1 sin n t 2 dt I1 I 2 : (3.4.6) f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 f ( x0 ) t 2 sin sin x x , 0 x / 2
(3.4.5)-
n | I1 | 2
f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 f ( x0 ) t
dt / 2 : (3.4.7)
1 sin n t 2 t 2 sin
0 [ , ]
sin 1
-
n-
(
),
n
,
1 sin n t 2 dt : (3.3.8) f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 f ( x0 ) t 2 sin
(3.4.7)
n
(3.4.8) (
՛ (3.3.6))`
Sn ( x0 , f ) f ( x0 ) : :
3.4.2-
: 3.4.2:
f
,
x0
-
-
0
H
K 0
,
f ( x0 u ) f ( x0 ) K u
,
u ( 0 )
u–
:
x0
,
(0,1]
H
:
:
3.4.1:
x0
H
-
f ( x0 ) - :
f
x0 0 f ( x0 u ) f ( x0 u ) 2 f ( x0 ) du 2 K 1 du , u u f
,
: 3.4.2:
x0
f
-
f ( x0 ) - :
,
( , )
-
:
§3.5. , ,
-
: :
x 0,
k
3.5.1: k
sin mx x : m1
:
,
1 1 1 x cos m x cos m x cos cos k x 2 2 2 sin mx , x x m 1 m 1 2 sin 2 sin k
k
sin x
, ,
x; x 0, 2
-
` k
sin mx m 1
x sin
x
:
:
3.5.1-
n
3.5.2:
x n
sin kx 2 : k k 1
:
(3.5.1)
(3.5.1),
0,
x , ,
2
x0
x :
:
n( x ) : x sin x x; x (0, )
x 0, :
-
n n(x ) ,
n sin kx kx nx n( x) x : k k 1 k 1 k : n n(x)
-
n
(3.5.2)
n n(x) : n ~ sin kx n ( x ) sin kx sin kx Sn ( x) Sn ( x) : (3.5.3) k k k k 1 k 1 k n ( x ) 1 n
Sn (x) -
(3.4.2)-
-
`
Sn ( x) :
(3.5.4)
~ Sn ( x)
-
~ S n ( x)
n
sin kx k k n ( x ) 1
n 1
k 1 n 1 n( x) sin mx sin mx n sin mx : (3.5.5) n( x) 1 m 1 k n ( x ) 1 k ( k 1) m 1 m 1
3.4.1-
(3.4.5)-
~ 1 3 S n ( x) 3 : (3.5.6) x k n ( x ) 1 k (k 1) nx n( x) 1 x xn( x) 1 (3.4.4) (3.4.6) n n(x ) n 1
(3.4.3)n
sin kx 2 : k k 1
(3.5.7)
:
3.5.2-
: : : 3.5.1:
cos nx cos(n 1) x cos(2n 1) x ... n n 1 cos 3nx cos(2n 1) x cos(2n 2) x ... n
Fn ( x)
(3.5.8)
: : 1:
n Fn ( x) 4 :
x
-
n cos(2n k ) x cos(2n k ) x sin kx 2 sin 2nx k k k 1 k 1 n
Fn ( x)
3.4.22:
: (3.5.8)
Sm ( x, Fn )
n m 3n
n
-
Sm ( x, Fn ) 2(1 ln n) : ,
1 1 S m ( x, Fn ) 21 ... 2(1 ln n) : n 2 3:
f n ( x)
cos nx cos(n 1) x cos(2n 1) x ... : n n 1
fn (0) ln n :
n 3.5.1 (
x0 [0,2 ] , 2
):
,
:
: :
,0
,
,
x0 x0
,
nk 2k ,
՛ (3.4.8))
(
k ( x) Fn ( x),
k 1,2,... :
k
k ( x)
k 1
k2
f ( x)
(3.5.9)
(3.5.10)
,
x0 0
:
:
(3.5.10)
4 - , k2 (3.5.9)
,
2 -
2 -
f (x )
,
` : -
:
,
k-
(3.5.10)
-
cosmx
,
nk m 3nk :
,
nk 1 2( k 1) 22 k 1 nk 3nk k,
,
k-
cosmx -
(3.5.10) :
m-
(3.5.10) ` -
a m1
m
cos mx
(3.5.11)
,
2n m , nk m 2nk k 1 , 2nk m 3nk , k 1,2,... : (3.5.12) am m n k 0, m nk , m 3nk ,
(3.5.10):
,
f (x )
:
,
m-
,
(3.5.12)
` m
k ( x)
k 1
k2
S3 n m ( x )
(3.5.11) -
(3.5.11)
,
Sm (x) -
-
(3.4.8), (3.4.10)-
f (x )
(3.5.10) , (3.2.1)-
-
3nm
(3.4.11) ,
: (3.5.11)
,
,
f (x )
: ,
Sm ( x) Sm ( x, f )
,
:
S 2 nm 1 (0) S nm1 (0)
1 f n (0) ln n 1 1 ... m 2 2m ln 2, 2 1 m nm nm 1 m m
Sm (x)
(0
):
:
3.5.1-
3.5.1: (3.5.11) : , (3.5.8), (3.5.10)-(3.5.12)
, -
` m 1
k ( x)
k 1
k2
S N ( x) m 1
S N ( x)
k ( x)
k 1
k
S N ( x, Fnm ) :
,
3nm1 N nm ,
S N ( x, Fnm ), m2 Fnm
nm N 3nm ,
m2-
`
4 2(1 ln nm ) 2(1 m 2 ln 2) 36 : m2 m2 k 1 k
m 1
S N ( x)
N [3nm1,3nm )
-
m
-
,
SN ( x) 36 : §3.6.
x1 , x2 ,..., xn ,.... x1 ,
x1 x2 ,
xn n 1
:
-
x1 x2 x3 x x2 ... xn ... , 1 n ,
,
:
,
lim xn a :
n
,
xn M :
,
n0
xn a , n n0
:
-
`
x x2 ... xn n
a
x1 x2 xn0 n
(1)
n n 1
`
,
n,
xn n 1 -
xn0 1 a ... xn a n
n0 a n
n0 maxM , a : n 0- , : ,
,
: -
, , :
, : , , , ,
:
-
,
: , :
-
f (x ) - [0,2 )
,
,
: ՛ (3.2.5)-(3.2.8)),
(
2 -
`
S n ( x, f )
f (t ) D (t x)dt , n
n 0,1,...,
(3.6.1)
1 sin n u cos nu cos(n 1)u 2 Dn (u ) u 2 u 2 sin 4 sin
(3.6.2)
: 3.6.1: f (x ) `
n ( x, f ) (3.6.1)
1 n S k ( x, f ) n 1 k 0
n 0,1,... :
(3.6.3)
(3.6.2)
(3.6.3)-
n ( x, f )
f (t )
K n (u )
1 n Dk (t x)dt f (t ) K n (t x) dt , (3.6.4) n 1 k 0
1 n 1 n cos ku cos( k 1)u Dk (u ) u n 1 k 0 n 1 k 0 4 sin 2
u sin(n 1) 1 1 cos(n 1)u 2 : u u ( ) n sin 4(n 1) sin 2 2
(3.6.5)
K n (u)
, (3.6.3)-
:
Kn (u) 0, K n (u )
u 2(n 1) sin 2 K n (u )
0
K
`
,
0 | u | ,
(3.6.7)
| u | ,
(3.6.8)
`
M n ( ) max K n (u ), u
,
2nu 2
2(n 1) 2
n
2
0 lim M n ( ) 0,
(3.6.6)
n
(u )du 1 ,
(3.6.9) (3.6.10)
lim
n
K
(u ) du 0 :
(3.6.11)
f ( x t ) (t )dt ,
(3.6.12)
n
3.6.1:
f n ( x)
n
n (t ) 1)
`
n (t ) -
,
2)
| (u ) | du C ,
n 1,2,..., C -
n
0
3)
`
lim M n ( ) 0,
M n ( ) sup | n (t ) |,
n
4)
,
|t |
(u )du 1 : n
x-
,
f (x )
,
lim f n ( x)
n
f ( x 0) f ( x 0) ,
lim f n ( x) f ( x) f (x )
:
n
f (x ) [ , ] ( a, b)
x-
,
lim f n ( x) f ( x) `
n
-
: :
(a, b)
n (t ) `
f ( x 0) f ( x 0) 1 [ f ( x 0) f ( x 0)]n (t ) dt : (3.6.13) 0
n (t ) f n ( x) (3.6.13)
`
[ f ( x t ) f ( x t )] (t )dt :
(3.6.14)
`
f n ( x)
(3.6.14)
n
f ( x 0) f ( x 0)
[ f ( x t ) f ( x t ) f ( x 0) f ( x 0)] (t )dt : n
(3.6.15)
0
,
(3.6.15),
0- :
| f ( x t ) f ( x 0) | , | f ( x t ) f ( x 0) | (3.6.16) : t [0, ] x : f (x )
[ , ]
I1
, -
(3.5.15)
x-
-
`
( 0, )
,
( , ) -
:
:
I2 - ,
, (3.6.16)-
-
| I1 | 2 | n (t ) | dt :
(3.6.17)
I2
| I 2 | M n ( ) | f ( x t ) f ( x t ) f ( x 0) f ( x 0) | dt : (3.6.18)
x-
(3.6.18),
0- ,
I2 - n
,
, 0- :
f (x )
-
[ , ] x [ , ] -
,
(3.6.18)
2 | f (t ) | dt 2 | f ( x ) |
,
I2 x [ , ] - :
x-
n
: 0- `
:
3.6.13.6.1 (
x-
):
f (x )
f (x )
-
,
f (x )
f ( x 0) f ( x 0)
(a, b)
f (x) [ , ] ( a, b)
:
, -
:
,
[ , ]
f (x ) -
,
: 3.6.1-
n (t ) Kn (t )
,
,
(3.6.6)-(3.6.11)
: -
,
. .
:
,
: 3.6.2 (
-
-
): . .
: :
x (t ) f ( x t ) f ( x t ) 2 f ( x),
(3.6.19)
t
x (t ) | x (u ) | du :
(3.6.20)
x x (t ) o(t ),
,
,
t 0
. .:
(3.6.21) ,
(3.6.21) :
`
n ( x, f ) f ( x )
[ f ( x t ) f ( x t ) 2 f ( x)]K
n
(t )dt
x
(t ) K n (t ) dt :
(3.6.22)
| Kn (t ) | 2n
n
(t ) K x
n
(t )dt
2n n
| (t ) | dt
1 x o(1), n
2n
x
,
(3.6.7)
n : (3.6.23) (3.6.21)- ,
1 x | (t ) | n x (t ) K n (t )dt x 2 dt x 2 2 2n 1 t 2n 1 1 n n n 2 | x t | 1 dt dt o(1) o 2 o(1), n : n 1 t 2n 1 t 3 n n
, (3.6.22): 3.6.2-
:
(3.6.23)-
§3.7.
,
§3.5-
-
(
): ,
, 3.7.1:
, , :
2
f (x )
bn
[0,2 ]
-
,
an
V 2n f (x )
-
n
an
V , 2n
bn
V-
,
[0,2 ]
:
:
1.3.3-
an
-
2
f (t ) cos ntdt
`
an
an 2
2
f t n cos ntdt :
2
f t f t dt : n
f (x )
k
(
՛
1.3.3- )
2
f t f t dt n
2
f t k f t ( k 1) dt , n n
` 2
f t k f t ( k 1) dt , n n k, k 1,2,.., 2 n
an 2
k 1,2,... :
-
,
2n
f t k n f t (k 1) n V , k 1
`
2 n an 2
2 2 n
0 k 1
f t k f t ( k 1) dt 2 n n
2
Vdt V ,
an :
-
bn : :
3.7.13.7.2:
f (x ) - [0,2 ]
2
,
an , bn -
: n
k k 0 n n k 1
lim
, :
lim n k sin 2 n
k 1
k ak 2 bk 2
3.6.1-
k 2n
0
:
,
k Pn
V : k
k 1 n 2 2 1 n k 2 sin 2 : Q n , T k k n n k k 2n n k 1 n k 1 k 1
(3.7.1)
Qn 0, Pn 0 :
n :
,
Qn 0, n
lim n k sin 2 n
k 1
k
0:
2n
(3.7.2)
`
Pn
n
n
n
k 1
k 1
k k 12 k 2 k Tn :
n2
sin x
n
(3.7.3)
k 1
x, x 0, 2
-
`
4 k 1 n n k 2 k 2 k Tn : (3.7.4) n k sin 2n 2n n k 1 k 1 k 1 n
(3.7.3)
k
n
(3.7.4)
, n
Pn Tn n k sin
2 k
2n
k 1
(3.7.2)-
Qn 0 :
Pn 0,
,
Pn 0,
:
n :
n : ,
(3.7.1)-
Tn
Tn 0,
1 n V n k k k k k V Pn , k n k 1 n k 1
1-
n :
:
Qn
-
` n
Qn n k sin 2 k 1
k
n
k
2n k n1 sin x x, x 0
sin 2
k 2n
:
(3.6.1)- `
Qn
2
n
k 4n k 1
k 2 n
0-
k n 1
k
2
Tn Vn
,
- n-
V 4Tn : (3.7.5) k n 1 k
1
:
V
:
Tn
(3.7.6) ,
,
(3.7.7)
,
Tn 0,
,
n : (3.7.5)-(3.7.7) n
,
Qn :
0
,
,
Qn 0 :
,
`
:
3.7.23.7.1 (
): ,
lim
n
1 1 2 2 ... n n 0, n
n an 2 bn 2 , an , bn -
-
: :
f ( x) ~
a0 ak cos kx bk sin kx 2 k 1
[0, 2 ]
, (~
f (x )
f-
, . , ):
f (x t)
t `
(3.7.8)
2 -
f (x t) ~
Ak (t )
1.3.3- ) A0 (t )
՛
(
A0 (t ) Ak (t ) cos kx Bk (t ) sin kx, k 1
2
f (u t ) cos kudu
2
(3.7.9)
2
f (u t )du f (u )du a
,
2
f (u ) cos k (u t )du a
k
cos kt bk sin kt ,
(3.7.10)
Bk (t )
2
2
f (u t ) sin kudu f (u ) sin k (u t )du b
k
cos kt ak sin kt :
f ( x t ) f ( x)
,
(3.7.9) - ,
(3.7.11) (3.7.8)-
`
f ( x t ) f ( x) ~ k (t ) cos kx k (t ) sin kx, (3.7.12) k 1
(
՛ (3.7.10), (3.7.11)
)
kt kt cos kt kt kt kt kt t 2ak sin 2 2 sin bk cos ak sin 2 Bk sin , (3.7.13) 2 2 2
k (t ) Ak (t ) ak bk sin kt ak (1 cos kt ) 2bk sin
kt kt cos kt kt kt kt t kt 2bk sin 2 2 sin ak cos bk sin 2 Ak sin : (3.7.14) 2 2 2 (3.7.12)-(3.7.14)n
k (t ) Bk (t ) bk ak sin kt bk (1 cos kt ) 2ak sin
` k f x f ( x) ~ 2 Bk cos kx Ak sin kx sin , (3.7.15) 2n n n n k 1
O
(3.7.10), (3.7.11) (3.7.15)-
`
2
2 1 k 2 ( ) f x f x dx Bk Ak sin 2 2n n 0 2n 2n k 1 k 4 k sin 2 : 2n k 1 f ( x)
k 2
k f x k f x k dx k 2 sin 2 : ( ) n n 2n 0 k 1 kk 1,2,.., 2 n
-
` 2 2 n
k k 2 sin 2 : (3.7.16) ( ) f x k f x k dx n 0 2n n n k 1 k 1 , : f ( ) f (x )
f (x ) -
n
k 1,2,..., 2 n
f x k f x (k 1) f , n n n
f x k n f x (k 1) n k 1 2n
2n f f x k f x (k 1) V f , n n n n k 1 V - f ( x) [0,2 ] (3.7.16)-
n k sin V f , 2n 4 n k 1
2 k
`
:
k
lim n k sin 2 n
3.7.2 0, 2n 1 1 2 2 ... n n lim 0: n n
`
k 1
(3.7.17)
: (3.7.17)-
,
,
f (x )
,
:
.
f (x )
,
x0
:
` , , x 0 - 1-
1.1.8-
f-
:
f (x )
,
d- `
d f ( x0 0) f ( x0 0) 0 :
x
x (k 1) n , x k n
x 0 n , x 1 n , x 1 n , x 2 n ,..., x ( 2 n 1) n , x 2 n n , ( k x0 n x - ): x0 - , n -
d f ( x k ) f x ( k 1) : n n 3 , n
-
x
f xk n k 1 d 2n
f x (k 1) n :
0(3.7.17)
(3.7.16) ,
3.7.2-
: :
: 3.7.1-
3.7.13.7.1:
, -
1/ n
,
`
1 bn O : n
1 an O , n ,
(
-
)
, -
:
1 bn o , n
1 an o , n ,
(3.7.17)-
,
,
,
, :
:
2
3.7.2 (
):
[ , ]
f (x ) ,
, -
: : (3.7.17)-
,
: S n ( x , f ), n ( x , f ) -
-
f ( x) :
x y 2( x y )
(
՛ (3.2.4)
n ( x , f ) S n ( x, f )
(3.6.3))
1 n S k ( x, f ) S n ( x , f ) n 1 k 0
n 1 n Sk ( x, f ) Sn ( x, f ) 1 k ak cos kx bk sin kx n 1 k 0 n 1 k 1
-
1 n 2 n k a b k k : k k n n 1 k 1 k 1 (3.7.17)-
n ( x, f ) Sn ( x, f ) 0 ,
xR - :
n` 3.6.1
-
Sn ( x, f ) f ( x) ,
,
n`
-
xR - : :
3.7.2-
§3.8. :
§3.2-
,
:
,
, : :
F (x )
3.8.1: -
:
x
F ( x h ) F ( x h) h 0 2h
lim ,
`F
x ,
F (x )
(1)
( x) :
x
, ,
:
,
F ( x h) F ( x h) 1 F ( x h) F ( x ) F ( x h) F ( x ) 2h 2 h h
h - 0F (x ) - ,
,
,
F (1) ( x)
.
: -
,
:
F (x )
3.8.2: -
:
lim h0
x
F ( x h ) 2 F ( x ) F ( x h) h2
, `F
x
( 2)
( x) :
x
,
F ( x)
, ,
:
x
,
,
x
-
:
-
F ( x t ) F ( x t ) (t ) : «
»
F ( x h) 2 F ( x) F ( x h) (h) (0) (h) , h2 h2 2h (0,1) : F ( x h) 2 F ( x) F ( x h) (h) F ( x h) F ( x h) : 2h 2h h2 x , , , 3.8.1
F (2) ( x) -
:
,
h - 0-
F (x ) -
3.8.1 (
):
:
(a, b)
[a, b]
:
F (2) ( x) ,
F (x ) -
: `
F (b) F (a) ( x a) ( x a)( x b) : ba ( x ) C ( a, b), ( a ) (b) 0 ,
( x) F ( x) F ( a ) ,
( 2) ( x) 2 :
,
,
(3.8.2)
( x)
(a, b)
( x0 )
x0 ( x0 h) 2 ( x0 ) ( x0 h) h (3.7.1)-
,
0 ( 2 ) ( x0 ) 0,
:
( x) F ( x) F (a)
,
F (b) F (a) ( x a) ( x a)( x b) ba : ( x) 0
(3.4.2)-
(3.8.1)
[a, b] ( x) 0 :
,
`
F (b) F (a) ( x a) | ( x a)( x b) | F ( x) F ( a) ba ,
F ( x) F (a) 3.8.1-
F (b) F (a) ( x a) : ba : :
3.8.2 (
[a, b] f (x ) -
-
F (x )
):
-
F (2) ( x) f ( x) ,
(a, b)
:
, x
t
a
a
F ( x ) dt f (u ) du Ax B : 3.8.3:
a0 a1 a2 ... S
(3.8.3)
(3.8.3)2
sin 2h sin h a0 a1 ... a2 2h h :
(3.8.4)
h0
(3.7.4)
S (h )
,
lim S (h) S :
(3.8.5)
h0
: (3.8.3)-
,
| ak | M (3.8.4) M
k h
2 2
-
,
:
, :
sin kh rn ak , rn (h) ak : kh k n k n k n | rk | , , 0, n , ak rk rk 1
(3.8.6)
sin kh rn (h) (rk rk 1 ) kh k n sin kh 2 sin ( k 1) h 2 sin nh : rn ( h) rn rk nh k n 1 kh ( k 1) h `
n-
sin kh sin (k 1)h kh (k 1)h
| rn (h) || rn |
d sin x d sin x dx dx dx x dx x ( k 1) h ( k 1) h kh
kh
|r
k
k n 1
|
( k 1) h
kh
d sin x dx : dx x
(3.8.6)-
d sin x 2 | rn ( h) | 1 dx : nh dx x
L
nh
(3.8.7)
d sin x dx , dx x
(3.8.7)-
| rn (h) | (1 L) : sin kh 2 S ( h ) S ak 1 rn (h) rn : kh k 1 n 1
n 1
sin kh | S (h) S | | ak | 1 ( L 2) : kh k 1
sin kh lim 1 0 , h 0 kh
k-
n 1
,
sin kh | h | | ak | 1 | S (h) S | ( L 3) : kh k 1 : 3.8.3-
:
M
a0 (an cos nx bn sin nx), 2 n 1
(3.8.8)
| an | M , | bn | M ,
(3.8.9)
n- : (3.8.8)
,
a0 x 2 an cos nx bn sin nx , n2 n 1
(3.8.10)
(3.8.9)
, :
, -
(3.7.8)
: 3.8.1: (3.8.8)
x0
,
(3.8.10) :
3.8.1 (
):
(3.8.8) -
x0
(3.8.9) ,
: :
F ( x)
a0 x 2 1 2 (an cos nx bn sin nx) : n 1 n `
F ( x0 2 h ) 2 F ( x0 ) F ( x0 2 h ) a0 sin nh ( an cos nx bn sin nx ) : 4h 2 n 1 nh (3.8.11) 3.8.3- `
lim h 0
F ( x0 2h) 2 F ( x0 ) F ( x0 2h) S, 4h 2
a0 (an cos nx bn sin nx) S2 n 1 3.8.1-
:
:
3.8.2 (
):
,
,
: :
F( x )
, ՛
(
(3.8.9)
,
(3.8.10))
:
, `
F ( x) 0 , ( 2)
,
3.8.1- , x-
:
a0 x 2 an cos nx bn sin nx Ax B : n2 n 1 (3.8.12)x x A 0: , x 0, x 2 (3.8.12)-
(3.8.12)
a0 0 (3.8.12)-
an cos nx bn sin nx : n2 n 1
B
: ,
,
an 1 n2
( B) cos nx dx 0 a
n
0:
,
bn 0 :
:
3.8.23.8.2-
, , ,
-
: 3.8.3 (
-
):
,
:
f ( x)
:
f ( x)
a0 (an cos nx bn sin nx), 2 n 1
(3.8.13)
(3.8.9) :
F (x )
F ( x) f ( x) : ( 2)
x
t
x -
,
(3.8.13) , 3.8.1
F ( x ) ( x ) Ax B ,
3.7.2-
( x) dt f (u ) du ( x )
a0 x 2 a cos nx bn sin nx Ax B n n2 n 1
( x 2h) 2 ( x) ( x 2h) a0 sin nh ( an cos nx bn sin nx ) : 4h 2 n 1 nh
2 1 ( x 2 h ) 2 ( x ) ( x 2 h ) sin nh cos nx dx an 4h 2 nh 0 2
4an sin 2 nh ( x ) cos nx dx , n2 ( x ) ( x 2 h ) 2 ( x ) ( x 2 h ) : 2
2
( h) ( x 2h) cos nx dx ( x 2h)
(h)
n2
n
sin nx sin nx ( x 2h) dx n 0 n
2
x 2h 0 0 f (u )du sin nx dx :
2 2 h
2h
2
f (u ) du
n2
-
2
f ( x 2h) cos nx dx :
( h)
n2
2
f ( x)[1 cos n( x 2h)]dx ,
2
( x) cos nx dx (h) 2 (0) (h)
an
4 sin 2 nh n2
2
f ( x) cos nx dx
2
f ( x) cos nx dx :
bn
,
f-
: :
3.8.3-
§3.9.
:
+
+
=
−
= 3.9.1 (
[ ,
]
: :
−
−
+
+
−
−
+ ,
+
+
+ ⋯+
+
−
−
−
):
+
−
−
−
−
+
− :
−
0- ,
+
+
,
f
∈ -
= =
sin sin
+
sin
+
sin
sin
+
sin
=
=
=
sin
tg
− , +
3.9.1: +
: −
sin
+
+
sin
+
+ cos
=
+
+
+ −
+
cos
, , sin =
+
–
: +
+
−
−
−
∙ sin
:
=
,
−
+ +
+
sin
sin
sin
+
+
+
+
sin
sin
sin
=
+
sin
−f x =
∙
+
sin
=
=
−
−
sin
= + cos
,
+
g(x)cos
sin
,
:
[
−
]
−
[
: ∙
|
|
sin
,
,
`
sin sin −
+
+
= sin
=
sin
]
−
:
,
=
+
=
+
=
sin +
−
, +
0- ` :
-
∈[ ,
− ,
]- :
sin +
-
,
=
,
0+ =
∗ ∑∗
− +
− +
+ −
+ `
−
< +
∙ +
:
, − -
: +
,
+
= h
` =
∗
+
+ ∗
−
| |
+
= + −
+
−
∗
+
+
−
+
+ +
−
+
+
+ +
=
√
+ −
−
+ :
= :
+
+
+
+
+
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+ ,
+
+
=
+
√
√ −
+
+
+
+
+
√ +
∗
+
−
+
+
, +
<
∗
+
:
√
∗
+
+
−
<
- ` =
+
+
√
+
−
+ +
+ ,
=>
,
√
∗
+
+
+
+
<
=
+
+
=
+
=
+
| |< ∗
=
−
+
+ +
+
| |
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+
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+
+
+
− −
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+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
<
+
+
−
−
+
+
−
+
+
+
+
=
− +
+
+
=
=
− − −
0- , 0- :
,
+
+
,
+
+ +
−
,
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
+
+
= +
+
+
+
+
:
- : -
:
§3.10.
{
, +∑
∑
:
cos
sin
– ,
}
(3.10.1) .
-
-
=
,
(3.10.1)
-
∑
: (3.10.2) :
,
3.10.1: (3.10.1) ,
,
∑
<
⋯+
+
,
, , : | = |∑
|
|
,
,
: <
-
: (3.10.1)
: =
,
.
|=
sin
∑
sin
∞: , = -
: (3.10.2)
sin
+
sin
|
+
=
<
−
(3.10.3) -
,
< ∑
,
+
=
:
sin
+
=
: (3.10.4)
|<
|
+
, (3.10.2) : 3.10.1:
,
{
,
, : sin
∑
.
, ,
(3.10.5)
.
}∑
,
3.10.2:
, (3.10.2)
,
: :∑
, 3.10.3: ∑
, sin
sin
sin : =
sin
-
: , : :
(0,
∑
: )-
sin
(C,1) ,
, −
∑
+
,
3.10.4:
,
∑
=
a k 1
k
:
`
,
:
(3.10.6) -
lim kak 0
:
k ln k 2
,
k :
,
,
lim kak 0
-
3.10.1- ,
a sin kx k 1
:
k
sin kx
,
, «
».
,
(
), -
: ,
3.10.2: (3.10.1)
, =
,
,
,… ,
-
, : :
=
+
-
∆
+
∆
(3.10.1)
+
,
,
.
.
-
-
: ≠ ,
∞:
, =
+
∆
:
.
{
,
: +
=
=
∆
,
,
,
, , 3.10.1- ) (3.10.1)
}-
< +∞,
∆
: (3.10.1)= :
-
,
F(x)
+
.
, ,…- , (3.10.1) ∑ sin
( ,
՛ , ,
,
F≠
F(x)= -
,
F,
:
-
0- ,
,
,
=
=
(x),
,
=
{
:
sin
=
=
:
=
cos
>
,
, =
cos F-
,
:
,
(3.10.1) (3.10.1)
,
=
: ,
}
: : , ∆
3.10.3: (
≠
` f f:
(3.10.1)
3.10.4: (3.10.1)
} ,
: F-
f-
,
L-
: , n=1,2,...: =
∆
= =
f(x)
) , {
, ,
, ,
<
<⋯ = ,
, ,
{
};
=∆
<
,
:
|
| | |
=
!
∞
( ,
=
−
!
|
|
ln ,
ln ,
` − ln
, :
:
,
:
-
, : ,∑
: cos ln
:
∑
,
: -
{
) ,
(C,1) ‖ − ‖
:
(3.10.1) 3.10.2
|
−
‖ |
– ;
ln -
‖ −
: |-
. |±
: , , . . -
. -
: ,
+
‖
ln ∞,
∞ (
‖ − :
(3.10.5) ‖ ‖
}:
= {
,
+∆
∆
,
-
-
3.10.5: (3.10.2) ‖ −
}
∞:
= ln
‖ = ,
:
+
n> ),
,
∑ =∑
sin
-
+
∆
∗
∗
∑
(x)-
∑
∗
sin
,
∆
-
< ∞:
‖
∗
:
:
`
`
⋯
∗
,
(0, )-
: ,
∑
∆
-
,
,
-
∑ վ0, (0, )-
∆
- ,
-
∆
ln
∑
:
, ‖ − ‖
∑ :
,
-
sin
: ∑
=
,
(0, ): , =,…=0
:
3.10.7: ∑
∗
(0, ) , ∑ ∆ ln ,
-
(3.10.6) ,
∞:
n
,
= ln ∑
,
,
:
3.10.6: ∑∆
=
:
,
‖ −
, -
:
:
,
(0, ): ln
⋯
,
:
∆
,
, sin ,
= −
,
, sin - : ,
h -
∑
∑∆
ln
ln - : , < ∞-
cos +
…, =
sin -
ℎ ≅ ln
ln :
sin
∑ , ∑ ∆ ln ⋯
: ,
,
-
= ,
+
:
h ,
,
(3.10.16)∑ (3.10.6)
∑
<∞
:
∑
∑∆
ln ,
: ,
,
= , ,… :
,∆ h ∆
:
,
:
:
:
=
cos
-
(3.10.2)
−
+ + +⋯
, ∑∆
+
-
1.
.
2.
.
я
, .
,
.
,
, 3.
.
.
, ., . 1, 2, 3, 4, 5,
.
4.
.
.
”, . . .
.,
.“
”,
, 1976.
,,
.
.
-
-
., . 1, 2, 3,
.,
,
.
, 1974. я
, .
, 2003.
я
,
., 7.
, 1965.
, 1947.
,
.
“ 6.
”, . 2,
,
я, 5.
.“
, Э
.
,
.
.
-
-
, 1961. я,
, , . 28:2,
.
. 266-294, 1912.
......................................................................................................... 3 1.
1.1.
................................. 4
1.2.
.......................................................... 15
1.3.
............................................................... 20 2.
2.1. 2.2.
: ......................................................... 36 .............................. 41
2.3.
............................................................................ 50
2.4.
............................................................................ 52
2.5.
...... 56
2.6.
.......................................................................... 59
2.7.
.......................................................................... 65
2.8.
:
: ............. 67
2.9.
........ 79
2.10.
................. 83
2.11.
.............................................................. 86
2.12.
.............................................. 94
2.13.
,
...........102
2.14.
........................107
2.15.
..............................114
2.16.
............................117
2.17.
.......................................................123
2.18.
..............................129
2.19.
........................132
2.20.
......................................................................137
2.21.
: .............................................................................140 3.
3.1.
...........................................152
3.2.
..............159
3.3. 3.4.
L −π; π
................................................................164 : ................................................................................167
3.5. ..............................................................................172 3.6. ..............................................................................178 3.7. .................................................184 3.8.
: .................................................................................................193
3.9. ............................................................................201 3.10.
........205 ..............................................................................................213
. .
, . . .
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.
гٳϳñ·ã³ÛÇÝ Ó¨³íáñáõÙÁª Î. â³É³μÛ³ÝÇ Î³½ÙÇ Ó¨³íáñáõÙÁª ². ä³ïí³Ï³ÝÛ³ÝÇ Ðñ³ï. ëñμ³·ñáõÙÁª Ð. ²ëɳÝÛ³ÝÇ
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â³÷ëÁª 60x84 1/16: îå. Ù³ÙáõÉÁª 13.5: îå³ù³Ý³ÏÁª 100:
ԵՊՀ հրատարակչություն ք. Երևան, 0025, Ալեք Մանուկյան 1
:
Իրական անալիզի ընտրովի բաժիններ
ՄԱՐՏԻՆ ԳՐԻԳՈՐՅԱՆ | ԼԵՎՈՆ ԳԱԼՈՅԱՆ | ԱՐԹՈՒՐ ԿՈԲԵԼՅԱՆ
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