Կենսաչափություն

Լ.Մ. ՄԵԼՔՈՆՅԱՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՁԵՌՆԱՐԿ

ԵՐԵՎԱՆ 2008

ՀՀ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՆԱÊԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ԱԳՐԱՐԱՅԻՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ÀՆԴՀԱՆՈՒՐ ԿԵՆՍԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ ԱՄԲԻՈՆ

Լ.Մ. ՄԵԼՔՈՆՅԱՆ

ԿԵՆՍԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՁԵՌՆԱՐԿ

ԵՐԵՎԱՆ ՀՊԱՀ

ՀՏԴ 57. 087. 1 (07) ԳՄԴ 28.0 ց7 Մ 537 Աշխատանքը հավանության է արժանացել անասնա ուժական ժշկագիտության ն անասնա ուծության ֆակուլտետի մեթոդական խորհրդի կողմից (07.12. 2006 թ., արձանագրություն 3):

Գրախոսներ` ֆիզմաթ.գ.թ. ֆիզմաթ.գ.թ. տ.գ.թ. գ.գ.դ., պրոֆեսոր ա.գ.թ.

Մ 537

Ռ.Ն. ՉԻԹՉՅԱՆ (ԵՊՀ)

Ս.Մ. ՀԱՅՐԱՊԵՏՅԱՆ (ՀՊÖՀ)

Ք.Ք. ՄԱՆՈՒԿՅԱՆ (ՀՊԱՀ)

Թ.ü. ԲԼՐòՅԱՆ (ՀՊԱՀ)

Հ.Հ. ՄԿՐՏՉՅԱՆ (ՀՊԱՀ)

ՄԵԼՔՈՆՅԱՆ Լ.Մ.

Կենսաչափություն. ՈՒսումնական ձեռնարկ. - Եր.: ՀՊԱՀ, 2008 թ. 184 էç: Աշխատանքը նախատեսված է կենսա անական մասնագիտությունների ուսանողների համար: Ներկայացված են կենսաչափության հիմնական հասկացություններն ու խնդիրները, հատկանիշների կարգաանության սկզ ունքները ն վիճակագրական դասակարգումը, կենսաչափական մեծությունների հաշվարկման եղանակներն ու վիճակագրական մեթոդների կիրառման կարգը:

ԳՄԴ 28.0 ց7

ISBN 978-9939-54-070-2 Զ Լ.Մ. Մելքոնյան, 2008 թ. Զ Հայաստանի պետական ագրարային համալսարան, 2008 թ.

1. ԿԵՆՍԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԺԱՄԱՆԱԿԱԿԻՑ ՎԻՃԱԿԸ.

ԱՌԱՐԿԱՆ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Կենսաչափությունը գիտական ուսումնասիրման բնագավառ է, որի հիմքում ընկած է կենսաբանական զանգվածային երնույթների վիճակագրական վերլուծությունը: Կենսաչափական ուսումնասիրությունների արդյունքները թույլ են տալիս ճշգրիտ գնահատել ինչպես երնույթների ն իրավիճակների դրսնորման աստիճանն ու մակարդակը, այնպես էլ դրանց տատանման հաճախականությունը, ցրվածությունը ն լայնույթը: Հետազոտություններում բացահայտվում են նան տարբեր երնույթների միջն գոյություն ունեցող կապերը, դրանց աստիճանը, ազդեցության սահմանները ն ուղղվածությունը: Կենսաչափական հետազոտման մեթոդը վիճակագրական ուսումնասիրությունն է, այսինքն` կենսաբանական խմբերում ուսումնասիրվող երնույթների վերլուծությունը, թվային ցուցանիշների հաշվարկը, դրանց հարաբերման գրաֆիկական պատկերումը: Վերլուծությունը կիրառվում է կենսաբանական խմբերի ներքին ու միջխմբային օրինաչափությունների բացահայտման, ուսումնասիրման համար ն ապահովում է այդ ուսումնասիրությունների մաթեմատիկական ճշգրտությունը, հիմք ծառայում գիտական եզրահանգումների համար: Օգտագործվող մաթեմատիկական մեթոդը վիճակագրական հետազոտությունն է: Կենսաչափական ուսումնասիրություններում առաջնային նյութի աղբյուրը նկարագրող վիճակագրությունն է: ՈՒսումնասիրվող տվյալները նկարագրում են իրականում առկա երնույթները ն իրավիճակները թվային արտահայտությամբ: Կենսաչափական ուսումնասիրությունների օբյեկտը հատկանիշներն են: Դրանք լինում են քանակական ն որակական: Համապատասխանորեն կատարվում է դրանց դասակարգումը ն նախապատրաստումը հետազոտություններին: Կիրառվող կարնորագույն հասկացություններից է գլխավոր համախմբությունը, որը ներգրավում է երնույթի կամ իրավիճակի ամբողջությունը: Այսպես` երկրի բնակչության ամբողջությունը գըլխավոր համախմբություն է մարդկության հատկանիշների ուսում-

նասիրություններում: Բաշխումը խմբերում կատարվում է ըստ որնէ հատկանիշի, օրինակ` տարիքի: Ընտրվում է ուսումնասիրվող խումբ, որը կազմվում է գլխավոր համախմբությունից` պատահականության սկզբունքով: Այդ խումբը կոչվում է ընտրանքային համախմբություն կամ ընտրանք: Կայուն համախմբությունների ուսումնասիրման հիմնական մեթոդն ընտրանքայինն է: Գործողությունները կարող են ներկայացվել հետնյալ հաջորդականությամբ.

Գլխավոր համախմբություն

Պատահական ընտրություն

Ընտրանքային համախմբություն

Դասակարգում ըստ հատկանիշի մեծության

Փորձի կազմակերպումը: Պլանավորված ուսումնասիրության տվյալները կատարված հետազոտությունների արդյունքն են: Սկզբում որոշվում է գլխավոր համախմբությունը, այն է` բնակչության թիվը որոշակի ժամանակահատվածի համար: Օրինակ 1. Երնանի բնակչությունը 1985 թ. հունիսի 19-ի դրությամբ կազմել է 1485789: Որպես հատկանիշ վերցվում է տարիքային կազմը: Հատկանիշի սահմանները որոշվում են ամենատարեց մարդու ն նորածնի մակարդակով: Սույն օրինակի համար կարող է ընդունվել 1 տարեկանից մինչն 97 տարեկան հասակը: Համապատասխանաբար կազմվում է աղյուսակ, որում տեղադրվում են խմբերի տարիքային ն քանակական ցուցանիշները. - տարիքիը` 1, 2, 3, 4, 5...35, 36.......96, 97 տարեկան, - մարդկանց թիվը տարբեր խմբերում 51, 62, 54.........76,148......5, 2 մարդ:

Օրինակ 2. 20-30 տարեկան կանանց թիվը Երնանում 1985 թ. հունիսի 19-ի դրությամբ կազմել է 85484. Գլխավոր համախմբություն Պատահական ընտրություն Գլխավոր համախմբություն

Ընտրանքային համախմբություն

(ընտրանք)

Ընտրանքային համախմբություն

1. 2. 3...454846 առանձնյակներից

38055 առանձնյակներից

Օրինակ 3. Որպես ուսումնասիրման հատկանիշ` ընտրվում է կանանց հասակը: Հատկանիշի սահմաններն ընդունվում են 156 մինչն 178 սմ. Գլխավոր համախմբություն

Ընտրանքային համախմբություն

156, 157, ..... 178

158, 159,.....176

Ընտրանքում` պատահական ընտրության արդյունքում առաջացած խմբում, սահմանները փոքր-ինչ տարբերվում են գլխավոր համախմբության սահմաններից: Ամփոփելով վերնում բերվածը` նշենք հետնյալ կետերը`  Հետազոտվող օբյեկտի դիտարկվող հատկությունները կոչվում են հատկանիշներ:  Բոլոր հետազոտվող օբյեկտների միասնական խումբը, որը բնութագրվում է մեկ կամ մի քանի հատկանիշներով, կոչվում է պոպուլյացիա կամ գլխավոր համախմբություն:  Գլխավոր համախմբությունն ուսումնասիրվում է որոշակի տարածաժամանակային կետում: Հաշվի են առնվում նան հատկանիշի զարգացման վրա ազդեցություն ունեցող այլ գործոններ:  Ընտրված օբյեկտների արժեքների ամբողջությունը համապատասխանում է հատկանիշների զարգացման մակարդակների ցուցանիշներին: Ընտրանքային համախմբությունը կամ ընտրանքը կազմըված է գլխավոր համախմբությունից` անդամների որոշակի թվաքանակով:

Ընտրանքային ցուցանիշներն ընտրանքային համախմբության անդամների ցուցանիշներն են: Փորձի օբյեկտներն այն համախմբություններն են, որոնք ընտրվում են ուսումնասիրության համար: Օրինակ` մարդկությունը, բուսական աշխարհը, կենդանիների ամբողջությունը ն այլն: Տվյալների հավաքագրումը ն կարգավորումը: Գլխավոր համախմբության վերաբերյալ եզրակացությունը կատարվում է ընտրանքային համախմբության նկարագրության հիման վրա` նկարագրական վիճակագրության մեթոդների կիրառմամբ: Փորձի կամ նպատակային հետազոտության նպատակն է ընտրյալ համախմբության (ԸՀ) տվյալների հիման վրա կատարված հաշվարկների արդյունքների տարածումը գլխավոր համախըմբության (ԳՀ) վրա, այսինքն` ԸՀ տվյալների հիման վրա ստացված արդյունքների կիրառումը ԳՀ տվյալների նկատմամբ ն ԸՀ օբյեկտների վերաբերյալ կատարված եզրակացությունների տարածումը ԳՀ-ների վրա: ԸՀ տվյալների վերլուծությունը կատարվում է մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդների օգտագործմամբ:

Գլխավոր համախմբություն Ինդուկցիա

Դեդուկցիա

Ընտրանքային համախմբություն Ընդհանուր դրույթներից մասնավորին անցնելու եղանակը, այսինքն` ընդհանուրին բնորոշ հատկության տարածումը մասնավորի վրա, կոչվում է դեդուկցիա: Ինդուկցիան հակառակ գործողությունն է, որի ժամանակ կատարվում է մասնավորին բնորոշ հատկության, մասնավոր օրինաչափության տարածումն ընդհանուրի, ամբողջականի նկատմամբ:

Մաթեմատիկական վիճակագրության առարկան Ընտրանքի կազմակերպումը Մ Ե Կ Ն Ա Բ Ա Ն ՈՒ Թ Յ ՈՒ Ն

Գլխավոր համախմբություն

Ընտրանք

Գլխավոր համախմբության Ընտրանքի 1-ին հատկանիշի ցուցանիշները 1-ին հատկանիշի ցուցանիշները Գլխավոր համախմբության 2-րդ հատկանիշի ցուցանիշները

Ընտրանքի 2-րդ հատկանիշի ցուցանիշները

Ն Կ Ա Ր Ա Գ Ր Ո Ղ

Վ Ի Ճ Ա Կ Ա Գ Ր ՈՒ Թ Յ ՈՒ Ն

Վիճակագրական եզրակացություն

Հատկանիշների որոշման, գնահատման կարգը Սանդղակ Անվանական սանդղակ Օրդինալ սանդղակ

Փոխկապվածության եղանակ հավասարությունից-անհավա- ընտրված սարություն ինֆորմացիայի աճ մեծից-փոքր կապվածություն

Մետրական սանդղակ օբյեկտների ռանգավորում 1. Միջակայքային բազմազանության հաշվարկ ն սանդղակ դիֆերենցում (0-ի ազատ ընտրություն) 2. Կապվածության տարբերությունների համեհամաչափ սանդղակ մատություն (բացարձակ 0-ի առկայությամբ)

Հատկանիշ Քանակական

Որակական

Սանդղակի ձնը

Հատկանիշի տեսակը անընդհատ

մետրական թվեր, ֆիզիկական միավորներ (կգ, սմ, լ) հաշվարկը հատերով (հատիկ, բույս, գլուխ ն այլն) ոչ մետրական` կատեգորիաներով ընդհատվող ատրիբուտներով օրդինալ սանդղակի դեպքում որնէ սկզբունքի հիման վրա կազմվում է կատեգորիաների շարք (վատ, միջին, լավ, մուգ, միջին, բաց) անվանական սանդղակ` ազատ կատեգորիաներ, առանց մետրական գնահատման հիմքի, այլընտրանքային հակառակ սանդղակ` հակառակ հատկանիշների համար (արական-իգական, բողբոջած-անբողբոջ)

Անընդհատ (շարունակական) հատկանիշներ 1. Հատուկ մետրական սանդղակով հատկանիշներ: 2. Հատկանիշներ, որոնք ներառամ են բազմաթիվ նիշեր` քաշ (կգ), երկարություն (սմ,մ), լայնություն (սմ): 3. Փաստացի նիշերի քանակը պայմանավորվում է հաշվարկի ճշգրտության աստիճանով:

Ընդհատվող հատկանիշներ 1. Բոլոր ոչ մետրական սանդղակների հատկանիշները, ինչպես նան այն հատկանիշները, որոնք հաշվարկվում են հատերով, այսինքն` ունեն կոնկրետ թվային արտահայտություն: 2. Հատկանիշներ, որոնք ստանում են իրենց գնահատականը պայմանական, բառային բնութագրման եղանակով: 3. Հատկանիշներ, որոնք ընդհատուն են ընկալման պահից, բայց բնութագրվում են աննշան անցումային սահմաններով ն անընդհատությամբ:

2. ՆԿԱՐԱԳՐՎՈՂ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ ՄԵԿ

ՀԱՏԿԱՆԻՇԻ ԴԵՊՔՈՒՄ

Հիմնական հասկացություններ Ընտրանքի ծավալն ընտրանքային համախմբության տարրերի թվաքանակն է, այսինքն` ընտրանքային համախմբության անդամների ցուցանիշների թիվը (ո): Ուսումնասիրության հատկանիշ

Նիշեր xi

Հատկանիշի ցուցանիշ

Վիճակագրական տվյալ

Նիշերի իմաստային բացատրությունը ընտրանքային համախմբության անդամների հատկանիշների (x, 7, 2) ցուցանիշները նշվում են` xi, 7i, 2i

հատկանիշները` 2,Y,2

ցուցանիշների համարները` iՀ1,.....ո

Օրինակ` 2-ը պլուտո տեսակի ցորենի հասկի երկարությունն է` x10Հ 6,6 սմ: Այս արժեքն ընտրված է պատահական ձնով, ուստի այս ցուցանիշը պատահական է:

2.1. ՄԵԿ ՔԱՆԱԿԱԿԱՆ ՀԱՏԿԱՆԻՇԻ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐԻ

ԿԱՐԳԱՎՈՐՈՒՄԸ

2.1.1. Գլխավոր ն ընտրանքային համախմբությունների տվյալներ Ընդհանուր կամ հիմնական տվյալները կազմված են ուսումնասիրման համար ընտրված տվյայների ամբողջությունից:

Օրինակ` i x 7,3 5,1 6,1 .. .. .. .. .. .. 240 6,7

2-ը ցորենի հասկի երկարությունն է, սմ, ո-ը` օրինակների քանակը, 240, i-ն` ցուցանիշի համարը:

Ընտրանքային տվյալների կարգավորման նպատակով կատարվում է դասակարգում ամենափոքրից մինչն ամենամեծ ցուցանիշը` x1-ն ամենափոքրն է, xո-ը` ամենամեծը: Վերնում բերված օրինակում x1 Հ 4,0, xո Հ 11,3, ո Հ 240: Եթե տարբերակների միջն տարբերությունն ընդունենք զ Հ k Հ 0,1 սմ, հնարավոր տարբերակների քանակը կհաշվարկվի հետնյալ բանաձնով` x -x 11,3 - 4,0 k Է  ո 1  1  | այստեղ  1  74) : ց 0,1 Սույն օրինակի համար արդյունքը հավասար է 74-ի, ինչը նշանակում է, որ հնարավոր տարբերակների քանակը կազմում է 74: Եթե ուսումնասիրությունում ընդգրկված է առանձնյակների բազմություն, ուղիղ հաշվարկները դառնում են ծավալուն: Նման դեպքերում հետազոտություններում կիրառվում է kԷ հաշվարկի եղանակը, որը հնարավորություն է տալիս կարգավորել ամբողջ ներկայացված նյութը ն դարձնել այն հեշտ ընկալելի: Կարգավորման նպատակով նշվում են բոլոր հնարավոր արժեքները, իսկ դրանց դիմաց կետային եղանակով հաշվարկվում է ցուցանիշների քանակն ըստ տարբերակների:

Ցորենի հասկի երկարության տվյալնեը (սմ), եթե ո Հ 240 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2

ո .1

.1 .1 …3 .1 .. 2 …..5 .. 2 .. 2

5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5

6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8

7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1

9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,1 10,2 10,3 10,4

10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,1 11,2 11,3 11,4

Վերոհիշյալ աղյուսակում ներկայացված են ցորենի հասկի երկարության ցուցանիշների քանակն ըստ խմբերի` փոքրագույնից մինչն բարձրագույնը` 4-11,4 սմ: Տարբերությունը սահմանների միջն հավասար է 7,3-ի: Սակայն ստացված պատկերը հնարավորություն չի տալիս դատել հաճախականությունների բաշխման օրինաչափության մասին: Ուստի անհրաժեշտություն է առաջանում կիրառել ցուցանիշների կարգավորման որնէ այլ միջոց, օրինակ` դասերի կառուցման եղանակը:

2.1.2. Դասերի կառուցումը Որպես առաջին պայման` ուսումնասիրվող օրինակի համար դասերի մեծությունն ընդունվում է հավասար 0,1-ի: Այս դեպքում առաջին դասի սահմանները կազմում են 3,95-4,05, իսկ տվյալ դասի 21-ը հավասար է 4,0-ի: Դասերի կառուցումն առկա ցուցանիշներով կատարվում է դասային բաշխման եղանակով: Ցուցանիշների միավորումը դասերում բացահայտում է դրանց բաշխման ձնը, օրինաչափությունը: Եթե ցուցանիշները շատ խիտ են դասավորված, իսկ տարբերությունները դրանց միջն աննշան են, ճիշտ է հրաժարվել դասակարգումից:

Եթե kԷ ≤ 8 lցո, կարելի է հրաժարվել դասակարգումից: Կենսաչափական մեծություններ Դասերի քանակը Դասերի լայնությունը, չափը Դասի միջին մեծությունը Դասի ներքնի սահմանը Դասի վերնի սահմանը

Նշաններ k d x'j x''j-1 x''j

Ցուցումներ (հիմնական կանոններ) 1. Դասերում պետք է ընդգրկվեն ուսումնասիրությունների բոլոր ցուցանիշները: 2. Դասերի մեծությունները պետք է լինեն հավասար ն վերջին դասի վերնի սահմանը պետք է գերազանցի բարձրագույն ցուցանիշը: 3. Ընտրել դասերի թիվը (k) ն դասերի մեծությունը (d) ըստ դրանց փոխկապվածության սկզբունքի: Ներկայացված գործողությունները կատարվում են առաջին կետի համաձայն` d  k - xո- x1 Հ (11,3 - 4,0 Հ 7,3), dk ≤ kԷ  ց Հ (7,4): k-ն ն d-ն պետք է արտահայտվեն ամբողջ թվերով, բացի այդ, դասերի սահմաններում պետք է ընդգրկվի ցուցանիշների ամբողջությունը: Հաշվարկը կարող է կատարվել երկու եղանակով:

Եղանակ 1. Դասերի քանակը նախ` որոշվում է բանաձնով, ապա` հաշվարկվում է d-ն: Ընդհանուր առմամբ կիրառվում են հետնյալ բանաձները (Կ. Բրուքս, Ն. Կառուզերս, 1963 թ.)`

k  ո, k  5 lցո,

եթե ո  100, եթե ո  100 :

Տարբերակների աղյուսակ ո

kԿ

10 000

Վերոհիշյալ բանաձնի տնյալ օրինաչափությունը`

համաձայն պետք է պահպանվի հե-

kԷ  ց  d, k kԿ-ն հնարավոր տարբերակների թիվն է, ց-ն` հարնան տարբերակների մեծության տարբերությունը: Քանի որ d-ն պետք է լինի ամբողջ թիվ, պետք է կատարել սահմանների վերանայում:

որտեղ

Եղանակ 2. Նախ` որոշվում է d-ն, ապա` դրա մեծության հիման վրա հաշվարկվում k-ն: Հերթականության շարք Բացարձակ հաճախականություն

9 19 28 20 27 23 13 30

9 10



8 63 240

Այստեղից, ըստ վերոհիշյալ աղյուսակի, բոլոր դասերում հավասար է 1-ի, իսկ k ց 74  0,1   7,4 : k Է d

d-ն

Ճ-ն կոնկրետ կլոր թիվ է, որը պետք է գերազանցի ստացված արդյունքը, ուրեմն պետք է լինի հավասար 8-ի` k- 8:

Դասերի սահմանների որոշումը ն բաժանումը: Դասերի սահմանների որոշումը կատարվում է այնպես, որ բոլոր ցուցանիշներն ընդգրկվեն դասերում ն բոլոր դասերը պարունակեն ցուցանիշներ: Սահմանների որոշումը համարվում է ավարտված միայն այն դեպքում, երբ կատարվում են նշված պայմանները կամ բացահայտվում է ցուցանիշների փոփոխականության որնէ օրինաչափություն, որն խոչընդոտում է տվյալ գործողության իրականացմանը: Վերոհիշյալ պայմանների պահպանումը կարող է խախտվել, եթե դասերի քանակը, որը որոշվում է հաշվարկով, ավելի փոքր է, քան իրականում անհրաժեշտ է: Ներկայացված օրինակում k - 8, d - 1 սմ: Ցուցանիշների հնարավոր քանակը հաշվարկենք հետնյալ կերպ` dk 8 1   80 : ց 0,1 kԿ  74, որի համաձայն կարելի է պնդել, որ հաշվարկը կատարված է ճշգրիտ: Տվյալ դեպքում հաշվարկը կատարված է 80 ցուցանիշի օրինակով, իսկ իրականում առկա է 74 ցուցանիշ. տարբերությունը հավասար է 6-ի: Այստեղ կարելի է խոսել առկա  74 ն թույլատրելի  80 մասին: Որոշ տարբերակներ կարող են բացակայել կամ ունենալ 0 հաճախականություն: Հավելյալ ցուցանիշների բաշխումը կարող է լինել շեղված առաջին դասի առաջին ցուցանիշից ներքն: Ցուցանիշների բաշխումը կարող է շեղվել դասի վերնի սահմանից բարձր: Ցուցանիշների բաշխումը կարող է կիսվել վերնի ն ներքնի սահմաններից դուրս: Անհրաժեշտ է նշել, որ դասերի սահմանների որոշումը տարբեր եղանակներով առաջացնում է դասակարգման տարբեր արդյունքներ:

2.1.3. Հաճախականությունների էմպիրիկ բաշխումը Դասերի սահմանները վերցնենք համաձայն վերնում բերված տարբերակի ն ստացված վարիացիոն շարքում տեղադրենք համապատասխան դասին պատկանող ցուցանիշների քանակը:

fj-ն Էj-ն` fj’-ն` Էj’-ն` j-ն` xi-ն`

Ցուցանիշների նշադրումը կատարվում է xj (j Հ 1.....k6 ) : Սիմվոլների նշանակությունը հետնյալն է` տարբերակների բացարձակ հաճախականությունն է դասում, տարբերակների բացարձակ գումարային հաճախականությունը դասերում, տարբերակների հարաբերական հաճախականությունը դասում, տարբերակների գումարային հարաբերական հաճախականությունը դասերում, դասի համարը, i ցուցանիշի արժեքը:

Հաշվարկի համար օգտագործվում են հետնյալ բանաձները` fj , , , f j %  f j  100 % , fj  , ո j Էj , , , Էj   fi, Էj  , Էj %  Էj  100 % : ո i1 Ստորն բերված աղյուսակը, ինչպես նախապես հաշվարկվել է, պարունակում է 8 դաս. սահմանները համապատասխանում են նախապես որոշված տարբերակին: Դասի համարը

Դասի սահմանները 3,85-4,85 4,85-5,85 5,85-6,85 6,85-7,85 7,85-8,85 8,85-9,85 9,85-10,85 10,85-11,85

2j’

Էj

fj’%

Էj’ %

4,35 5,35 6,35 7,35 8,35 9,35 10,35 11,35

3,75 11,67 19,17 26,67 21,25 12,50 3,75 1,25

3,75 15,42 34,58 61,25 82,50 95,00 98,75 100,00

Դասային սահմանները հնարավոր է ներկայացնել նան այլ եղանակով.

Դասի համարը

Դասի սահմանները` 1-ին տարբերակ 3,85-4,85

4,85-5,85

5,85-6,85

6,85-7,85

7,85-8,85

8,85-9,85

9,85-10,85

Դասի սահմանները` 2-րդ տարբերակ ≤ 3,8

Հ 4,8

≤ 4,8

Հ 5,8

≤ 5,8

Հ 6,8

≤ 6,8

Հ 7,8

≤ 7,8

Հ 8,8

≤ 8,8

Հ 9,8

≤ 9,8

Հ 10,8

Ներկայացված վերոհիշյալ ձնը չի փոխում դասերի ընդգրկվածությունը, բայց աննշան ձնով ազդում է միջին մեծության վրա: Ինչպես երնում է առաջին աղյուսակից, ամենաբարձրը 4-րդ դասի սահմաններում գտնվող անդամների հաճախականությունն է` 64, որը կազմում է ընդհանուր ծավալի 26,67 %-ը: Այդ դասի սահմաններն են 6,85-ից մինչն 7,85 սմ: 3-ից մինչն 6-րդ դասերը միասին ընդգրկում են 161 անդամ` կազմելով տարբերակների ամբողջ քանակի 67,03 %-ը (5,85-ից մինչն 8,85 սմ սահմաններում): 1-ին դասն ընդգրկում է 9 առանձնյակ, որոնք կազմում են ընդհանուր քանակի 6,7 %-ը, իսկ վերջին դասում առկա է 3 առանձնյակ, որոնք կազմում են ընդհանուր քանակի 1,25 %-ը: Վերջին երկու դասերը միասին ընդգրկում են 12 առանձնյակ: Այսպիսով, բաշխումն ունի մեկ գագաթ ն գրեթե լիովին սիմետրիկ գրաֆիկական բաշխում:

Գրաֆիկական բաշխում Քանակական ընդհատվող հատկանիշ fj -ն, fj’-ն` կետային դիագրամներ

Քանակական անընդհատ հատկանիշ fj -ն, fj’-ն` հիստոգրամներ կամ հաճախականության դաշտ (պոլիգոն) Էj -ն, Էj’-ն` գումարային աստիճան Էj -ն, Էj’-ն` գումարային դաշտ

Օրինակ: Վերլուծենք որնէ անընդհատ քանակական հատկանիշի տվյալների բաշխումը` x առանցքը ցորենի հասկի երկարությունն է,

7 առանցքը` բացարձակ կամ հարաբերական հաճախականությունը, համախմբության սահմանները փոփոխվում են 4,35-ից մինչն 11,35 -ը: Այս ցուցանիշներով կառուցվում են կետեր, որոնք միավորվում են որպես մեկ գիծ, իսկ ծայրերն իջեցվում են մինչն 0:

Հիստոգրամը կառուցվում է սյունակների ձնով`

x առանցքի վրա նշվում են ցորենի հասկի ցուցանիշները, 7 առանցքի վրա` ցուցանիշների բացարձակ կամ հարաբերական հաճախականությունների տվյալները: Հիստոգրամի համար x առանցքի վրա նշվում են դասերի սահմանները, իսկ 7 առանցքի վրա` դրանց հաճախականության ցուցանիշները: Յուրաքանչյուր դասի սահմանները համապատասխան հաճախականությամբ կազմում են սյունակներ, որոնց բարձրությունը ցույց է տալիս հաճախականության մեծությունը, իսկ լայնությունը` դասի մեծությունը: Գումարային դաշտի կառուցման համար օգտագործվում են նույն x ն 7 առանցքները: Գրաֆիկը սկսվում է x Հ 3,85 ն 7 Հ 0 կետում: Յուրաքանչյուր հերթական քայլում x-ն ավելանում է մեկ դասային մեծությամբ, իսկ 7-ը` հաջորդ դասի հաճախականության չափին համապատասխան (տոկոսներով): Արդյունքում 2ոax Հ 11,85 ն 7 Հ 100 %:

Հաճախականության դաշտ 3,35

5,35 7,35 9,35

12,35

Հիստոգրամում բերված են ցորենի հասկի երկարության տըվյալները (սմ) ն հաճախականության բացարձակ մեծությունները:

Բաշխման էմպիրիկ գումարային դաշտ

3,85 5,85 7,85

9,85

11,85

Գրաֆիկում ներկայացված է հատկանիշի որոշակի մակարդակի ն գումարային հաճախականության մակարդակի միջն առկա կապը: Բերենք օրինակ, որում ներկայացված է ընդհատվող հատկանիշ: Կատարվում է 500 մերուններից ստացված արու խոճկորների վերլուծություն: Պտղատվության ամենացածր ցուցանիշը 0 է, իսկ ամենաբարձրը` 8: Այսպիսով, հնարավոր է միայն 9 տարբերակ, իսկ xո - x1 մեծությունը հաշվարկվում է ընդունված բանաձնով` 9 Հ k6  8 lց ո ≈ 21,6: Վարիացիոն շարք կառուցել չենք կարող, կառուցում ենք սովորական աղյուսակ` կազմված 9 շարքից, հնարավոր պտղատվության ցուցանիշների համաձայն:

fj’ (%) 0,4 % 2,4 10,4 18,2 27,0 24,2 12,6 3,8 1,0

Էj

Էj’ (%) 0,4 % 2,8 13,2 31,4 58,4 82,6 95,2 99,0

xj -ն արու խոճկորների քանակն է յուրաքանչյուր ծնում: Գծային դիագրամի դեպքում x-ն աճում է 0-ից մինչ 8: 7-ը համապատասխան հաճախականությունների ցուցանիշն է (բացարձակ կամ հարաբերական): Դիագրամի վրա նշվում են կետեր, որոնք չեն միանում միմյանց, քանի որ դրանց միջն ընկած հեռավորությունների մեծություններն անհնարին են տվյալ ցուցանիշի համար: Կառուցվում են գծեր, որոնք x-ի ն 7-ի հանդիպական կետերը միացնում են x առանցքի հետ: Այդպիսի դիագրամն անվանվում է գծային.

0 1

Գումարային աստիճանի կառուցման դեպքում x-ը փոփոխվում է 1-ից մինչն 8, 7-ի դեպքում հաճախականությունը կազմվում է բոլոր նախորդ ն ընթացիկ ցուցանիշների գումարից: Դիագրամի գիծը սկսվում է 0-ից, որի հաճախականությունը հավասար է 2-ի: 2-րդ ցուցանիշի դեպքում x - 1, 7 - 2,8 % ն այսպես շարունակ` մինչն 100 %: էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիա Գումարային ֆունկցիա

Y "

" 0 1

" 2 3

7 8

Ինչպես երնում է դիագրամից, յուրաքանչյուր հերթական ծնի խոճկորների քանակը գումարվում է նախորդ ծների ընդհանուր քանակին:

2.1.4. Բնութագրող թվային մեծություններ էմպիրիկ հաճախականությունների բնութագրման համար կիրառվող թվային ցուցանիշների գրաֆիկական մշակման մեթոդը հետնյալն է.

fj' %

Գտնենք, թե որն է տվյալ հատկանիշի բարձրագույն հաճախականությունը երկու ընտրանքային համախմբություններում. fj' %

Ինչպիսի տարածում ունեն այս հատկանիշները. fj' %

Այսպիսով, բնութագրումը կատարվում է ինչպես հատկանիշի միջին մեծության վերլուծությամբ, այնպես էլ հաճախականությունների տարածվածության վերլուծությամբ:

Բնութագիր Ըստ չափի գնահատման

Ըստ տարածվածության գնահատման

Այս ն այլ նման հարցերի պատասխանը հնարավոր է ստանալ մաթեմատիկական որոշակի մեթոդների կիրառմամբ:

2.1.4.1. Ուղղակի հաշվարկ ՈՒղղակի հաշվարկի 1-ին եղանակ Խodal ցուցանիշ x̅D -ն ամենահաճախ հանդիպող ցուցանիշն

է, որի բացահայտումը կատավում է դասերի կառուցման եղանակով կամ ուղղակի հաճախականությունների աղյուսակի տվյալների հիման վրա:

Օրինակ` ծնված խոճկորների տվյալների աղյուսակում բերված ցուցանիշները բացահայտում են 4 խոճկորով ծների ամենաբարձր հաճախականությունը, որը կազմում է 135 կամ ընդհանուր թվի 27 %: Եթե ուսումնասիրվող օրինակը կարելի է ներկայացնել դասերի միջոցով, ապա վերցվում է ամենաբարձր հաճախականությամբ դասի միջինը: Այսպես` ցորենի հասկի երկարության տվյալներով կազմված աղյուսակում 4-րդ դասի հաճախականությունն ամենաբարձրն է` 64. այդ դասի սահմանները վերցվում են 6,85-7,85 միջակայքում: Արդյունքում դասի միջինը կազմում է (6,85 + 7,85)/2  7,35 սմ, x̅D Հ7,35 սմ:

Լրացում: Որոշ դեպքերում դիտարկվում են հաճախականությունների այնպիսի շեղումներ, որոնք խախտում են ընդհանուր օրինաչափությունը: Այդ շեղումները պայմանավորված են լինում մի շարք պատճառներով` ա) ցուցանիշների սխալ ըմբռնմամբ, բ) համախմբության սխալ ընտրությամբ, գ)դասային սահմանների սխալ կառուցմամբ: Հնարավոր են նան այնպիսի շարքեր, որոնցում նկատվում են իրական շեղումներ: Նման դեպքերում կիրառվում է x̅2 (Meմ1aոa): Որոշ դեպքերում, երբ ցուցանիշների քանակը սահմանափակ է, որպես x2, ընտրվում է շարքի միջին ցուցանիշը`

Օրինակ` ո Հ 5.

2̅2Հ 2(ո+1)/2:

5, 1, 8, 11, 3, 1, 3,

5, 8, 11, այս դեպքում x̅2 Հ x3 Հ 5:

Ուղղակի հաշվարկի 2-րդ եղանակ Եթե ցուցանիշների թիվը զույգ է կամ շատ մեծ, հաշվարկը կատարվում է երկու միջին ցուցանիշների կիսագումարի հաշվարկի եղանակով` ո ո  x   x  1 2 , x  x x2    (ո1)/2 :

Օրինակ` ո Հ 6. 9, 2, x2 

16,

13,

16:

x3  x4 7  9   8, ֆորմալ x 2  x 3,5 :

ՈՒսումնասիրենք որնէ բազմանդամ համախմբություն:

Այսպես ` ցորենի 240 հասկերի երկարությունը կազմում է x 2  x (120,5) 

x120  x121 7,4  7,5   7,45 սմ :

7,45 ցուցանիշն ընկած է շարքի միջին կետում: Ցուցանիշների 50 -ը գտնվում է դրանից ցածր, իսկ 50 -ը` դրանից բարձր: Խոճկորների օրինակի համար կիրառվում է նույն եղանակը`

ո  500,

x 2  x 250,5 

x (250)  x (251)

x̅D -ի ն x̅2-ի հատկությունները. x̅D



44  4:

x̅2

Նշանակությունը, չափման միավորները, կիրառությունը Բազմագագաթ կամ շեղված բաշխման դեպքում

Միագագաթ, սիմետրիկ բաշխման դեպքում

Բնութագիրը

Արտառոց, անսովոր բաշխում

Միջին օրինաչափ բաշխում

Բաշխման գնահատում մեկ ֆունկցիաի կիրառությամբ Թվաբանական միջինը կազմում է x  i1 ո

kԷ

 xi

կամ x 

 fj  x j j1

եթե ո 

 fj

j 1

Վերլուծենք ցորենի հասկի երկարության օրինակը: Հասկի երկարության միջին թվաբանականն է x

4,0  4,30    11,3 1781   7,42, x  7,42 սմ :

Խոճկորների ծնի միջին հաճախականությունը հաշվարկվում է հետնյալ կերպ` x

2  0  12  1  52  2  .........  5  8 2085   4,17 գլուխ խոճկոր:

Այսպիսով, ութական ծնի դեպքում արու խոճկորների թիվը ծնում միջինում կազմում է 4,17 գլուխ:

Շեղման քառակուսային նվազագույնը (ոiո) Այս մեծությունը ցույց է տալիս բոլոր տարբերակների բացարձակ գումարային շեղումը միջինից ն հաշվարկվում է հետնյալ բանաձնով` ո

i1

ոiո (x i  a) 2   (x i  x)2 :

Կատարենք երեք հաշվարկված մեծությունների համեմատական գնահատում`

սիմետրիկ բաշխման դեպքում ձախակողմյան ասիմետրիայի դեպքում (նկատվում է հավասարման շեղում դեպի

x̅ Հ x̅D Հ x̅2,

ձախ) աջակողմյան ասիմետրիաի դեպքում (նկատվում է հավասարման շեղում

x̅D Հ x̅2 Հ x̅,

դեպի աջ)

x̅D » x̅2 » x̅,

x̅կշ.:

կշռված միջինը`

x̅կշ.-ն մի շարք թվաբանական միջինների (x̅) միջին մեծությունն է, որի հաշվարկը կատարվում է թվաբանական միջինների ն դրանց համապատասխան հաճախականությունների` ո-ի տվյալների հիման վրա:

x1,

x2,

x3, ……….. xո,

ո1,

ո2,

ո3, ............. ոո,

Մ1,

Մ2,

Մ3, ………. Մո: ո

 Մi  x i x ց  i 1 ո : Մ  i i 1

Օրինակ: Աշնանացան ցորենի տեսակների բերքատվության (x̅i) ն օգտագործված տարածքների (wi) համապատասխան ցուցանիշների հիման վրա հաշվարկել միջին բերքատվությունը`

Ցանքի համարը x̅i, դտ

wi, հա x կշ. 



100  35  40  150  38  200  52  50  39,4 դտ/հա :

Ըստ հաշվարկի` բոլոր տնտեսությունների համատեղ միջին բերքատվությունը հեկտարից կազմում է 39,4 դտ հատիկ: Համեմատության համար կատարենք միջին մեծությունների միջինի ուղղակի հաշվարկ` x

35  40  38  40  41,25 դտ/հա : (ո  1) 5

Երկու հաշվարկներում ստացված արդյունքների զգալի տարբերությունը հիմնավորում է x̅կշ.-ի օգտագործման անհրաժեշտությունը:

Երկրաչափական միջինի (xց) հաշվարկը ո

x Օ  ո Пx i ,եթեx 1  0 : i1

Հաշվարկի հեշտացման համար կիրառվում են հետնյալ բանաձները` 1ո lց x Օ   lցx i  x Օ  10lցxՕ , ո i1 1ո lո x Օ   lոx i  x Օ  6lոxՕ : ո i1

Օրինակ 1. Գների միջինի հաշվարկը կատարվում է երկրաչափական շարքի կառուցման եղանակով.

Փոփոխման 2 գործոն

lց xi 0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5052 1,8062



Հ 6,3217

lցx G 

հերթականության երկրաչափական շարք

6,3217  0,9031,

x Օ  10 0,9031  8, թվաբանական միջինը կազմում է x  18,14 :

Հաշվարկի վերոհիշյալ եղանակը կիրառվում է յուրահատուկ բախշման պատճառով: Որոշ դեպքերում ցուցանիշների հաճախականությունները սովորական շարքերում դրսնորում են խիստ ընդգծված շեղում դեպի աջ կամ ձախ: Դրանց համար կիրառվում է լոգարիթմական մշակման եղանակը, որն այդ շարքերը լիովին վերածում է սիմետրիկ բաշխման շարքերի: Այդպիսի բնույթ է կրում օրինակ միաբջիջների բազմացման արագության շարքը (աջ շեղում):

Օրինակ 2. Ա. Արհեստական սերմնավորման դեպքում բեղմնավորման հաճախականության շարքը կապված է բեղմնավորման համարից: Բ. Պոպուլյացիաների աճի արագությունը կախված է ժամանակից, բաժանման համարից ն այլն: ՈՒսումնասիրենք վերոհիշյալ դեպքը քլոստրիդ անաերոբ սպորագոյացնող բակտերիայի աճի արագության օրինակով: Բացարձակ հաճախականություն (սպորանգների թիվը) Քլոստրիդների քանակն ամեն գրամ թարմ զանգվածի հաշվարկով (1000)

Եթե կիրառենք լոգարիթմական մեթոդը, ապա մեր տվյալները ձեռք կբերեն հետնյալ տեսքը`

1,5 2,5 3,5 4,0 5,0 . . . . . . . 71 1050 72 1450 73 1900 74 2300 75 3500 

22977,5

lո xi

նոx Օ 

0,4055 0,9163 1,2528 1,3863 1,6094 . . . . 6,9565 7,2793 7,5496 7,7407 8,1605

333,756  4,45008,

x Օ  6 4,45008  85,634 :

Ուղղակի հաշվարկված միջին թվաբանականը կազմում է x̅ Հ 306,367:

333,756

Վերոհիշյալ հաշվարկը ցույց է տալիս, որ ուսումնասիրվող նմուշում առկա են քլոստրիդի 85,6 հազար սպորներ: Ի տարբերություն քլոստրիդների քանակի բացարձակ ցուցանիշների` դրանց lց-ները կազմում են թվաբանական շարք: Այդ շարքի x -ի ցուցանիշները համապատասխանում են նշված ձնով հաշվարկված 6lցx -ի ցուցանիշներին:

Օրինակ 3. Վերլուծենք եկամուտի տոկոսի աճը երեք տարվա ընթացքում, եթե հայտնի է, որ առաջին տարում այն կազմել է 4 %, երկրորդ տարում` 6 %, երրորդ տարում 8 %:

Տարիներ

Աճի Բարձրացումը տոկոսը յուրաքանչյուր տարում

1,04

Ստացված գումարը յուրաքանչյուր տարվա վերջում 10 000,00Հ100 % եկամուտի ելքը 10 400,00

1,06

11 024,00

1,08

11 905,92Հ119,0592 %

11,190592 եկամուտի ամբողջական ելքը (ճիշտ արդյունք) Տարեկան միջին ելքն ամեն տարվա համար հաշվարկված համապատասխան երկրաչափական միջինի բանաձնով կլինի x Օ  3 1,04  1,06  1,08  3 1,190592  1,0598742 : " " Արդյունքում ներդրված գումարը, աճելով ամեն տարի, կըկազմի սկզբնական գումարի 105,987 %-ը (կամ կավելանա 5,987 % ):"" Համեմատության համար հաշվարկենք գումարի աճը թվաբանական միջինի x եղանակով` x ո Հ (1,04+1,06+1,08)/3- 1,06: Տարիներ

Աճը x Օ -ով 10598,742

xո̅ Հ 1,06 10600,00

11233,33

11236,00

11905,92

11910,16 (սխալ արդյունք)

Շարունակելով հաշվարկը միջին թվաբանականի եղանակով` ստանում ենք

119,0592 % - 100 %  6,353 % : Այս եղանակով հաշվարկի դեպքում միջինում տարեկան աճը կազմում է 6,353 %, որը նախորդ հաշվարկով հերքվել է: x

2.1.4.2. Ցուցանիշների ցրման աստիճանի (Մ) գնահատումը Ցուցանիշների ցրման աստիճանի արժեքը նշվում է Մ տառով ն կոչվում է փոփոխականության լայնույթ: Այս մեծությունը փոփոխվում է պատահական փոփոխականության տատանումների ազդեցությամբ: Ընդանուր փոփոխականությունը կազմում է Մ Հ x(ո) - x(1): Օրինակ: Ցորենի հասկի երկարության խնդրում Մ Հ 11,3 - 4,0 Հ 7,3: Երկարության փոփոխականությունը կազմում է 7,3: Մեկ ծնի արդյունքում ծնված խոճկորների հաճախականության տվյալներով Մ Հ 8 - 0 Հ 8: Փոփոխականության լայնույթը հավասար է 8-ի:

էմպիրիկ փոփոխականություն` Տ 2x (իրական, փաստական փոփոխականություն)

Տx 

ՏՕ x ՏՕ x  , ո -1 Էց

որտեղ` ՏՕx-ը քառակուսային շեղման գումարն է, իսկ Էց-ն` ազատության աստիճանը: Տ x մեծությունը կախված է նան ԽՕ միջին քառակուսային շեղումների գումարից: Առանձնապես մեծ է դրա նշանակությունը մեծ համախմբությունների դեպքում: Տ 2x 

ՏՕ x , ո ո

ՏՕ x Հ  (x i - x)2 iՀ1

ՏՕ x Հ  x i 2 -

(  x i )2 iՀ1

Հ  x i 2 - ՏՕx

ո iՀ 1 (հաշվարկային բանաձն):

(արտահայտչական բանաձն),

Ցուցանիշների գումարի քառակուսային շեղումը կազմում է ո

ՏՕx Հ

{ x i }2 iՀ1

(1)

ցուցանիշների միջին թվաբանականից շեղումների քառակուսիների գումարը` ՏՕx ≥ 0: (2) (1) դեպքում հաշվարկվում են բոլոր ցուցանիշների տարածվածությունը, բազմազանությունը, (2) դեպքում` ցուցանիշների շեղումները միջին մեծությունից: Օրինակ 1. Ամեն մի ցուցանիշ հանդիպում է միայն մեկ անգամ. xi xi

xi Հ 25

xi2 Հ 219

ՏՕ x  219 -

25 2  219 - 156,25  62,75 :

էմպիրիկ (փաստական, իրական) փոփոխականությունը կազմում է Տ 2x 

62,75  20,92 :

Օրինակ 2. Բարձր հաճախականությամբ ցուցանիշների դեպքում հաշվարկը կատարվում է համապատասխանեցված բանաձներով` kE

SQ x   f j ( x j  x )   f j x j 2  j1

j1

{  f j x j }2 j1

Խոճկորների ծնի հաճախականության փոփոխականության օրինաչափությունը ներկայացվում է ստորն.

xj2

f jx j  - 2085 ՏՕ x  9743 -

fj xj2  Հ 9743

 1048,55 :

Բոլոր ընդգրկվող ցուցանիշների ամբողջական քառակուսային շեղումը կազմում է ՏՕ x 1048,55   2,10 : ո Ցորենի հասկի երկարության ցուցանիշների շեղման հաշվարկը կատարվում է նույն բանաձներով: Սակայն տվյալ դեպքում կիրառվում է դասի միջին թվաբանականի ցուցանիշը. Տ 2x 

Հ/հ

Aj 4,35 5,35 6,35 7,35 8,35 9,35 10,35

fjAj 39,15 149,8 292,1 470,4 425,85 280,5 93,15

fjAj2 170,3025 801,43 1854,835 3457,44 3555,8475 2622,675 964,1025

(fjAj)2 1532,7225 22440,04 85322,41 221276,16 181348,223 78680,25 8676,9225

11,35

34,05  Հ 1785

386,4675  Հ 13813,1

1159,4025

Ճj-ն դասի միջինն է, իսկ fj-ն` հաճախականությունը դասերում:

Ստացված արդյունքները բանաձնում տեղադրելու համաձայն ստացվում է ո տարբերակների ընդհանուր պատկերը: Ըստ բանաձնի` ՏՕ x   fj Ճ 2j 

( fj Ճj)2

 13813,1 

ո  13813,10 13275,9  537,2,

Տ 2x 

1785 2 318622  13813,1  

ՏՕ x 537,2   2,24, ո

որտեղ Տ 2x -ն ամբողջական, գումարային քառակուսային շեղումն է: Համակարգչային հաշվարկներում կիրառվում է հիմնական բանաձնը, որում օգտագործվում է xj-x արտահայտությունը: Մեր հաշվարկներում կիրառված մոտավոր մեծության պատճառով առաջացել է որոշակի շեղում ճշգրիտ արդյունքներից: Համակարգչային հաշվարկներում fjxj2-ն ստացվում է 13733,25, իսկ (fjxj)2-ն` 1781,7: Այսպիսով, Տ 2x -ն համակարգչային հաշվարկի դեպքում կազմում է 2,12, ի տարբերություն մեր հաշվարկի` Տ 2x Հ 2,24:

Ստանդարտ միջին թվաբանականի շեղումը` Տ Այս ցուցանիշը հաշվարկվում է Տ   Տ 2 բանաձնով ն օգտագործվում է միջին թվաբանականի x -ի շեղումը գնահատելու համար: Պետք է նշել, որ քառակուսային արմատն ունենում է նշանը, որը տվյալ դեպքում ցույց է տալիս ցուցանիշների շեղումը xից վերն ու ներքն: Օրինակ` խոճկորների ծննդի հաճախականության խնդրի պայմանների համաձայն` ստանդարտ միջին շեղումը կազմում է Տ  2,10  1,45 :

Միջին թվաբանականի ստանդարտ շեղումը կազմում է 1,45 խոճկոր: Ցողունի երկարության հաճախականության օրինակում Տ  2,12  1,46 սմ :

Ցորենի հասկի երկարության միջին թվաբանականի ստանդարտ շեղումը կազմում է -1,46 սմ:

Նշված ցուցանիշը կարող է ծառայել համախմբությունում ցուցանիշների բազմազանության առավել տրամաբանական, ընկալելի բացատրման համար, ինչպես նան կիրառվել տարբեր ընտրանքային համախմբությունների ցուցանիշների բազմազանության համեմատության նպատակով:

Վարիացիայի գործակից` Տ % Ցուցանիշների փոփոխականության աստիճանի համեմատման նպատակով կիրառվում է նան Տ % վարիացիայի գործակիցը: Այն դեպքերում, երբ հատկանիշի հաճախականության տատանումները փոքրաքանակ ընտրանքների համար բարձր են լինում 20 %-ից, իսկ մեծ ընտրանքների համար գերազանցում են 10 %-ը, պետք է ընդունել, որ փորձի իրականացման ընթացքում տեղի է ունեցել անճշտություն: Եթե ընդունենք x  100 %, ապա Տ  Տ %: Տ Արդյունքում Տ%   100 % x Խոճկորների խնդրի օրինակում հաշվարկն ընդունում է հետնյալ տեսքը` 1,45 Տ%   100 %   34,77 % : 4,17 Ցորենի հասկի երկարության խնդրի պայմաններով հաշվարկված վարիացիայի գործակիցը կազմում է 1,46 Տ%   100 %   19,67 % : 7,42 Այսպիսով, բոլոր տարբերակների միջին թվաբանականների (2̅) փոփոխականությունը կազմում է 19,67 %: Հետնաբար կարելի է եզրակացնել, որ հասկի երկարության փոփոխականությունն ավելի ցածր է, քան ծնված խոճկորների հաճախականության փոփոխականությունը:

էմպիրիկ քառորդներ ն 8ox սոd Մ/iՏk6r Քloէ - xք էմպիրիկ քառորդները կիրառվում են քանակական հատկանիշների շարքերի վերլուծության համար: Հայտնի է, որ 0ՀքՀ1, xք-ն այն կետն է ցուցանիշների առանցքի վրա, որը նշում է ցուցանիշների Ք %-ը` սկսած ամենափոքր հաճախականությամբ x1 ցուցանիշից մինչն xք ցուցանիշը:

Հաշվարկը կարող է կատարվել տասնորդական մասերով` x0,1, x0,2, x0,3 …x0,9 կամ քառորդներով` x0,25, x0,50, x0,75: Վերոհիշյալ բաժանումը պայմանավորվում է որոշակի դեպքի համար ստացված արդյունքներն համապատասխան այլ դեպքերի վրա տարածելու անհրաժեշտությամբ, այսինքն` ինտերպոլյացիայի կիրառման անհրաժեշտությամբ: Այս բաժնում ներկայացվում է տվյալ եղանակի կիրառման միայն մեկ մեթոդ: 1. (ո + 1) ք Հ j + f արտահայտությունը կազմված է երկու մասից: 2. xք-ն հաշվարկվում է հետնյալ բանաձնով`

x ք  1f   x  j   f  x  j1 : Ցորենի հասկի երկարության վերլուծությունը ներկայացվում է ստորն. Ք 0,25

ո Հ 240 (ո + 1) Ք

2410,25 Հ 60,25

0,50 2410,50 Հ 120,5 0,75 2410,75 Հ 180,75

(1 - f) xj + f x(j + 1) Հ xք x0,25Հ0,75x(60) + 0,25  x(61)Հ 60 0,25 0,75 6,4 + 0,25  6,5 Հ 6,425 x0,50 Հ 0,5  x(120) + 0,50  x121 120 0,50 Հ0,507,4 + 0,50  7,5 Հ 7,45 x0,75Հ0,25  x(180) + 0,75  x(181) 180 0,75 Հ0,258,4+ 0,75  8,5 Հ 8,745 j

Բոլոր օգտագործված տվյալները վերցված են ցորենի հասկի երկարության խնդրի իրական շարքից` x-ի համապատասխան ո համարների համաձայն: 1-ին քառորդում հաշվարկված մեծությունը համապատասխանում է 60-61 ցուցանիշների միջն ընկած միջինին, այսինքն` 0,25 մասին, որը կազմում է 25 % ն բացահայտում է իրականում բացակայող 60,25 ցուցանիշի նշանակությունը: xք-ն ամենամեծ ցուցանիշն է, որը բացահայտում է փոփոխականության նշված առանցքը: Համապատասխան մեծությունների տարբերությունը կիրառվում է ցրվածության աստիճանի գնահատման համար: x0,50 Հx 0,75 - x0,25 կարող է օգտագործվել որպես միջքառորդային ցուցանիշ, այսինքն` x̅0,50 Հ x̅2 : Ըստ ստացված արդյունքների` ուսումնասիրված համախըմբությունում առանձնյակների առաջին 25 %-ն ունեն առավելագույն երկարություն` 6,425 սմ, 50 %-ը` 7,45 սմ, իսկ 75%-ը` 8,475 սմ

երկարություն: 50 %-ի միջինը գտնվում է 2,05 սմ հատվածի միջին կետում: 2,05 սմ կազմում է 25-75 %-ի միջն եղած տարբերությունը:

8ox սոd Մ/iՏk6r Քloէ Ընտրանքային համախմբության տվյալների, տեղի, ցրվածության աստիճանի ն համաչափության (սիմետրիայի) գնահատման համար օգտագործվում է 8ox սոd ՄiՏk6r քloէ ինքնատիպ եղանակը, որի կիրառումն իրականացվում է հաշվառման դաշտում համախմբության տվյալների դասավորության միջոցով:

8ox սոd Մ/iՏk6r Քloէ Կատարվում է միջին թվաբանականի, քառորդների միջինների ն սահմանների նշում: Բարձրագույն սահմանը վերցվում է ընդհանուր սանդղակի 1,5-ին հավասար: Մ/iՏk6r-ի գծի վերին կետը նշվում է միջին մակարդակի 1,5 չափով, ստորին կետը` նույն չափով փոքր միջին մակարդակից: Երկու սահմանների միջն գըտնըվող առանցքն ընդունվում է որպես շարքին բնորոշ բոլոր հնարավոր կետեր պարունակող դաշտ:

Վերին գիծ, շարքի առավելագույնը (max) Բարձրագույն քառորդ Թվաբանական միջինը

Կենտրոնական ցուցանիշ (xz) Ցածրագույն քառորդ Ստորին կետ, շարքի նվազագույնը (miո)

Ցրվածության մակարդակի փոփոխությունն առաջացնում է քառորդների մեծացում կամ փոքրացում ն դրանց միջինների միջն տարբերությունների փոփոխություն. փոփոխվում է նան միջին թվաբանականը: Որոշ դեպքերում Մ/iՏk6r-ի գծի տարբեր հատվածների երկարությունը կարող է շատ տարբեր լինել, ինչը բնորոշ է անհավասար բաշխման պարագաների դեպքի համար:

2.2. ՈՐԱԿԱԿԱՆ ՀԱՏԿԱՆԻՇՆԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄԸ

Որակական հատկանիշների գնահատումը ն արժեքավորումը կատարվում է յուրօրինակ եղանակներով: Նույնը վերաբերում է նան որակական հատկանիշների ցուցանիշների ցրվածության աստիճանին, որը նույնպես ուսումնասիրվում է յուրօրինակ եղանակներով:

2.2.1. Նորմալ դասակարգվող հատկանիշներ. Ադրետա տեսակի կարտոֆիլի սնաբղետության աստիճանը բաժանվում է հինգ կատեգորիաների. ոՀ 2666, kԷ Հ 5 , j Հ1 , 2, 3,..

Հաճախականության ցանկ Կատեգորիաներ Շատ ուժեղ ՈՒժեղ Միջին Թույլ Մաքուր

Էj

f j' 0,34 5,4 8,55 85,71

Էj' 0,34 5,74 14,29

Ինչպես x 2 բազմազանության միջին արժեքը (մեդիանան),

այնպես էլ x d բազմազանության միջին թվաբանականը հավասար է 5-ի: Այսօրինակ տվյալների հիման վրա թվաբանական միջինի գնահատման եղանակը ճշգրիտ չէ ն կիրառելի է միայն որպես հատկանիշի դրսնորման մոտավոր գնահատական: Հաճախականությունների փորձառական բաժանումը կարող է ներկայացվել կետային դիագրամի կամ աստիճանային գրաֆիկի ձնով:

2.2.2. Պարզ դասակարգվող հատկանիշներ Հակառակ (ալտերնատիվ) հատկանիշներ Վերլուծել ցորենի աշնանացան տեսակի ծիլ տալու հաճախականության տվյալների` մեկ զույգ հակառակ հատկանիշների բաշխման պատկերը. ո

Հ 500,

Տեսակը Ծիլ չտվող Ծիլ տվող

kԷ Հ 2, fj

j Հ 1, 2, fj % 1 - ծիլ չտվող, 2- ծիլ տվող:

100 %

50 %

Այսինքն` ծիլ տվողները հանդիպում են ավելի հաճախ, ուրեմն x d -ն (մոդան) պատկանում է դրանց թվին:

2.3. ՀԱՆՁՆԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Օգտագործելով 1-6 վարժությունների տվյալները` նկարագրել ցուցանիշների դասակարգման տարբեր եղանակները: 1. Հաճախականությունների բաշխման ցանկը ն գրաֆիկը: 2. Դաշտը ն դրա ցրվածության գնահատականը: 3. 8ox սոd Մ/iՏk6r Քloէ-ի կառուցումը: 4. Ստացված արդյունքների մեկնաբանությունը:

1. 3,1 3,2 1,8 4,0 2,5 2,8 3,9 4,2 4,2 3,6

Տֆ-3 տեսակի 100 ծիլերի երկարության տվյալները ներկայացված են սմ-ով: Կատարել բազմակողմանի վերլուծություն: 3,2 3,3 2,0 3,7 3,9 3,5 3,7 4,5 3,0 3,9

3,9 3,4 6,2 3,1 5,3 2,4 4,7 4,2 5,8 4,3

4,7 2,7 2,5 2,8 2,9 5,5 3,6 5,5 1,9 4,0

4,3 3,3 2,7 3,0 3,8 3,2 4,3 3,6 5,0 4,6

5,1 3,7 3,5 2,6 4,5 4,9 2,0 6,3 2,8 5,7

3,2 5,2 3,6 2,1 4,1 1,8 4,8 2,3 4,7 3,5

2,5 4,2 4,8 4,1 3,1 3,9 2,8 3,7 2,2 3,1

2,3 2,9 4,6 3,9 3,4 3,8 2,6 3,3 5,0 1,7

2,8 3,5 5,1 4,3 2,7 3,6 3,2 3,0 5,4 4,3

2. Սերմերի ուսումնասիրության համար ընտրվել է 100 սերմից կազմված 32 խումբ (օգտագործման նպատակով): Փորձի արդյունքում ընտրված համախմբություններում բացահայտվել են օտար սերմեր: Յուրաքանչյուր ընտրանքային համախմբության համար ցուցանիշները տրված են հատերով (ո Հ 32).

3. Ըստ նախատեսված եղանակի` վերլուծել ցիկլոմեն բույսի 50 սերմնատուփերում սերմերի քանակության ցուցանիշների շարքը.

4. Տրված են 100 ծնի արդյունքում ծնված 10-ական խոճկորներից էգերի ելքի տվյալերը: Վերլուծել ներկայացված շարքը.

5. Կարտոֆիլի բերքը կազմել է 380 պալար: Ընդ որում` պալարների մի մասի մոտ նկատվում է երկաթաբծերի առկայություն: Բոնիտուրի գնահատման տվյալները տրված են աղյուսակում. Կատեգորիաներ 1- չվնասված 2- աննշան վնասված 3 - թեթն վնասված 5 - միջին վնասվածության 7 - ուժեղ վնասված 9 - շատ ուժեղ վնասված

Պալարների քանակը

4-րդ (թույլ միջին), 6-րդ (միջին ուժեղ) ն 8-րդ (միջին շատ ուժեղ) կատեգորիաները նշված չեն, քանի որ դրանց համապատասխան պալարներ չեն բացահայտվել: Կատարել վերլուծություն: 6. 1988 թ. որսացել են տարբեր քանակությամբ ձկնատեսակներ: Վերլուծել ներկայացված շարքը. Տեսակներ Իշխան Գետեծածան Կարմրախայտ Սիգ Բախտակ Խեցգետին Մնացած տեսակներ

Քանակը, տ 12 375 11 215 5 730 1 403 12 204 9 970

7. Աղյուսակում բերված են եվրոպական երկրների գարու դաշտերի ընդհանուր մակերեսների ն դրանցից ստացված բերքի տվյալներն ըստ տարիների: Հաշվարկել բերքատվության աճն ամեն հերթական տարում ն գնահատել ինչպես բերքատվության, այնպես էլ մակերեսների փոփոխությունն ըստ տարվա միջինների (%): Կատեգորիաներ Մակերեսը, 1000 հա Բերքի ծավալը, 1000 տ

85,00 81,41 127,67 127,47

70,30 60,10 112,20 94,67

8. Ներկայացված են Եվրամիության անդամ երկրների ցորենի արտերի մակերեսի ն բերքատվության տվյալները: Հաշվարկել միջին բերքատվությունը հեկտարից: Երկրներ Բելգիա Դանիա Գերմանիա Ֆինլանդիա Ֆրանսիա Հունաստան Անգլիա (Մ.Թ.) Իռլանդիա Իտալիա Լյուքսեմբուրգ Հոլանդիա Ավստրիա Պորտուգալիա Շվեդիա Իսպանիա

Մակերեսը, 1000 հա

Բերքատվությունը, դտ/ հա 90,05 69,87 72,95 40,62 71,33 21,53 81,13 89,65 33,78 89,37 18,86 61,89 30,51

3. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԵԶՐԱՀԱՆԳՈՒՄՆԵՐ

3.1. ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ԴՐՈՒՅԹՆԵՐ

Բոլոր բնագիտական գիտությունների առջն դրված խնդիրների վերլուծությունն ուղղված է ուսումնասիրվող պրոցեսների ն դրանց բազմազան դրսնորումների ներքին օրինաչափությունների բացահայտմանը: Այս նպատակով օգտագործվող ժամանակակից մեթոդներից ամենաարդյունավետը տեսության կառուցումը ն մոդելավորումն են, որոնց կիրառումը նախատեսում է նպատակային հարցադրումների միջոցով օրինաչափությունների բացահայտում ու վերլուծություն: Մոդելավորումը` տեսությունների ձնակերպումը, կատարվում է կամ սովորական լեզվական միջոցների օգնությամբ, կամ հայտնի մաթեմատիկական մեթոդների կիրառման միջոցով: Բոլոր պրոցեսները` լինեն դրանք որոշակի օրինաչափությամբ կրկնվող, թե ստոխաստիկ (պատահական, ոչ օրինաչափ), կարող են ձնակերպվել որպես համապատասխան վիճակագրական մոդելներ: Այն երնույթների ն պրոցեսների նկատմամբ, որոնցում դըրսնորվում են պատահական գործոններ, կիրառվում են ստոխաստիկ մոդելներ: Երնույթները ն իրողություններն այս կամ այն հավանականությամբ ենթարկվում են պատահական գործոնների ազդեցություններին, ինչը նշանակում է, որ օրինաչափ ու պատահական երնույթները հակադիր չեն ն ընկած են օրինաչափությունների ընդհանուր դաշտում: Փոփոխվող պայմաններում նման երնույթները կարող են փոխարինել միմյանց: Հետնաբար այդպիսի դեպքերում օրինաչափ երնույթները կարող են դիտվել որպես պատահական ն հակառակը: Պատահական դեպքերը բնութագրվում են հետնյալ երկու եղանակով` 1. Մասնակի. Ճ դեպքը, որն անկասկած անհնարին է: 2. Ընդհանուր. ինչպես բոլոր Ճ դեպքերը, այնպես էլ բոլոր այլ դեպքերը լինում են հավանական ն անհավանական: Պատահականության քանակական դրսնորումներն արտահայտվում են հավանականությամբ` Ք-ով.

0≤ Ք(Ճ) ≤ 1, Ք(Ս) Հ 0, Ք(Տ) Հ 1, որտեղ` Ս-ն անհավանական փոփոխականությունն է, Տ-ը` հավանական փոփոխականությունը: Նկարագրող վիճակագրությունն ուսումնասիրում է գլխավոր համախմբության մասերի` ընտրանքային համախմբությունների (ընտրանքների) իրական պատկերը, իսկ ստացված արդյունքները համապատասխանում են տվյալ ընտրանքային համախմբությանը (ընտրանքին): Մոդելավորումը, հիմնվելով վիճակագրական մեթոդների վրա, որպես առաջնային նյութ օգտագործում է գլխավոր համախմբության տվյալները ն ցուցանիշները: Որպես այդպիսին` կարող են հանդես գալ հաշվարկներում ընտրանքի համար ստացված ցուցանիշները, որոնց համապատասխանությունը գլխավոր համախըմբությանը պետք է ստուգվի նախապես: Եզրակացությունների, հաշվարկների արդյունքների ն կանխատեսումների լիարժեքությունն ու ճշգրտությունը գնահատվում է ստացված պատկերի հավանականության աստիճանով: Նշված հարցերի լուծման համար ստեղծվել են մի շարք հասկացություններ. Հասկացություններ Հատկանիշ Ուսումնասիրվող մեծություն, ցուցանիշ Իրականացված հավանականություն

Նշան xi f'/ Ք

Մոդել Պատահական փոփոխականություն Փոփոխականության իրականացում Հավանականություն

Պատահական փոփոխականություն Պատահական փոփոխականությունները ձնավորվում են պատահականության ազդեցության ներքո` համաձայն կամ ստոխաստիկ օրինաչափության, կամ պատահականության բաշխման: Անընդհատ ն ընդհատվող պատահականությունները տվյալ հատկանիշի ընդհատվող կամ անընդհատ բնույթի արդյունք են: Մոդելների բաշխումն արտահայտում է իրական բաշխման օրինաչափությունները: Արդյունքները կիրառվում են ընտրանքային

համախմբությունների հավանականությունների բաշխման նկարագրության, վերլուծության համար: Գրանցումները կատարվում են հետնյալ ձնով. Փորձերի քանակը, ո

Փորձերի արդյունքը, fՃ

Հաճախականության փոփոխության ցուցանիշը, f'ՃՀ fՃ/ո 0,3 0,25 0,2 0,13 0,16

Տեսականորեն ուսումնասիրվող փորձերի քանակի ավելացումը կարող է հանգեցնել յուրաքանչյուր դեպքի (տվյալ դեպքում` զառի ցուցանիշների) հաճախականության մոտեցմանը 1/6 տեսական ցուցանիշին: Զառի յուրաքանչյուր նիշի իրականացման հաճախականությունը հավասար է 1/6-ի: Այս պնդումը կատարվում է տեսականորեն` առանց փորձին դիմելու: Եղանակը հասանելի է յուրաքանչյուրին: Մոդելի ընդհանուր կառուցվածք Հայտնի, ընդհանուր գիտելիք

Եզրակացված, պատկերացված արդյունք

Հավանականություն Փորձ Դրամանիշի փորձ Լոտո

Դեպքերի մեծամասնությունում ստացված ցուցանիշներ

Ընդհանուր առմամբ հայտնի է, որ Ք(1) անսահման անգամ կրկնվող փորձում սպասվող հաճախականությունն ուսումնասիրության արդյունք է, որն իր մեծությամբ անսահման մոտենում է հավանականության տեսական արժեքին: Փորձի հավանականության հաշվարկի օրինակ` Ք(1) Հ … ՀՔ(6) Հ 1/6 : Այստեղից` Ք(կամ 1, կամ 2) Հ 1/6 + 1/6 Հ 1/3,

Ք(1 կամ 2, կամ 3, կամ 4, կամ 5, կամ 6) Հ Հ/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6Հ6/6ՀՔ(Տ)Հ1, Ք(1 կամ այլ կենտ թիվ)ՀՔ(կենտ թիվ)Հ3/6Հ1/2≠Ք(1)+Ք(կենտ թիվ):

Կիրառման եղանակներ: Երկու զառերի երկու նիշերի համատեղ իրականացման հավանականությունը որոշվում է հետնյալ բանաձնով` Ք(1 ն 2) Հ 1/6Ē1/6Ē 2! Հ 1/18: Ըստ այս հասարակ օրինակի` կատարվում է հավանականության աքսիոմային բնութագրում (Կոլմագորով Ա.Ն., 1974 թ.)` 1. 0≤ Ք(Ճ) ≤1: 2. Ք(Տ) Հ 1: 3. Ք(Ճ1⋃Ճ2 ⋃ Ճ3‚⋃ Ճո‚) Հ Ք(Ճ1) + Ք(Ճ2)…Ք(Ճո), որտեղ Ճ1,Ճ2, …-ը բացահայտվող հաճախականություններ են:

3.2. ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ԲԱՇԽՈՒՄ

3.2.1. Հավանականության բաշխումն ընդհատվող հատկանիշների (ցուցանիշների) դեպքում Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականության հնարավոր իրականացումները պայմանավորված չեն որոշակի դասակարգմամբ, փուլավորմամբ ն կոչվում են հասարակ իրադարձություն` դեպք: Այսպիսով, ընդհատվող ցուցանիշների առանձնահատկությունները պայմանավորված են դրանց բազմաթիվ առանձին, ինքնուրույն դեպքերի բազմությամբ` Ճ1, Ճ2 ,Ճ3 …ՃՏ, որոնց համար հավանականությունը ստանում է հետնյալ մաթեմատիկական ձնակերպումը` Տ



i1

 Քi  1, որտեղից  Քi  1:

3.2.1.1. Կարգավորում ն դասակարգում Հայտնի է, որ 2-ն ունի Տ տարբեր իրականացման հնարավորություններ` x1‚ x2……xՏ.

Ք(2  x i )  քi  , j Հ 1‚ 2‚ 3‚… Տ, Տ Է(x)  Ք(2 Հ x) Հ  Քi : xi Հx

Հավանականության դասակարգման ֆունկցիաներ x1Հ1,…, x6Հ6 Հավանականության ֆունկցիա

Քi 1/6 ∙

∙ ∙

∙ ∙ ∙

∶

∶ ∶

∶

∶ ∶ 2 3

∶

Բաշխման ֆունկցիա P(X  x 1 ) 

Է(x)

1/6

Ներկայացված օրինակների միջոցով բացահայտ դրսնորվում է բաշխման ն հավանականության ֆունկցիաների միջն եղած նմանությունը (անալոգիան): Ընտրանքային համախմբությունների բնութագրումը կատարվում է հիմնական երկու մեծությունների, այն է` x̅, Տx2 ցուցանիշների միջոցով, որոնք բնորոշում են դաշտը ն տարածվածությունը: Ընտրանքի այս ցուցանիշները համապատասխանում են գլխավոր

համախմբության Է(2) սպասվող արժեքի ն Var(2) փոփոխականության աստիճանի ցուցանիշներին: Ընդհատ հատկանիշների դեպքում ստացվում է բաշխման հավանականության ֆունկցիա, իսկ անընդատ հատկանիշների դեպքում` խտության ֆունկցիա (3.2.2.2 ենթակետ): Ընտրանքային համախմբություն  fi x i x i   fix i ո i

Տ 

 fi (x i - x

Ընդհատ Անընդհատ փոփոխականություն փոփոխականություն  Է(2)  քi x i Է(2)   f(x)xdx i -

Var(2)    քi |x i - Է(2))2

ո    fi (x i - x)2



Var(2)  

  f(x)|x - Է(2))2 dx -

Վերլուծության համար վերցնենք որնէ պատահարի օրինակ`

i1

Է(2)   քi x i  1/6  i!  3,5,

i  1 2  3  4  5  6 :

Ինչպես երնում է հաշվարկից, փորձի անվերջ կրկնության արդյունքում միջին հաճախականությունն ընդհատ հատկանիշի համար հավասար է 3,5-ի: Միջին տարածվածության հաշվարկը կատարվում է հետնյալ բանաձնով` 6 1 Var(2)   քi |x i - Է(2))2   (i - 3,5) 2  i1 i1 6  (2,5  1,5  0,5  0,5 2  1,5 2  2,5 2 )  17,5  (6,25  2,25  0,25  0,25  2,25  6,25)   2,916 :

3.2.1.2. Հակադիր հատկանիշների փոփոխականություն Հակադիր բնույթի 2 հատկանիշն ունի երկու հնարավոր դըրսնորում` w ն r: Օրինակ` սպիտակ /կարմիր, արական / իգական, առողջ/ հիվանդ: Ք(2 - w)- ք, Ք(2 - Ւ)- q,

որտեղ ք + q - 1:

Y-ը ցույց է տալիս ո ծավալ ունեցող համախմբությունում w հատկանիշի պատահական հաճախականությունը: Մոտավոր պատկերացում կազմելու համար վերցնենք անսահման քանակությամբ գնդերով լի որնէ ծավալ, որում խառը ներկայացված են կարմիր (r) ն սպիտակ (w) գնդեր: Յուրաքանչյուր սպիտակ գնդի հանդիպման հավանականությունը ք է, իսկ կարմիրինը` զ: Սկսենք հանել գնդերը ն գրանցել յուրաքանչյուրի գույնը: Հանված գնդերը, հավանականության մակարդակի պահպանման նպատակով, վերադարձվում են հետ` ծավալի մեջ: Այս պայմաններում գույների հանդիպման հաճախականությունը մնում է անփոփոխ (լիովին պատահական): ո համախմբության համար հավանականության աստիճանը հավասար է k-ի: Որոշենք գնդերի հանդիպման հավանականությունը մեկ այլ օրինակով:

Հակադիր հատկանիշների դեպքերի քանակը (ո-1,2, 4) ո Հնարավոր Հնարավորությունների հավանականությունը խմբեր 1 w Ք1(YՀ1)Հք r ք+զՀ1 Ք1(YՀ0)Հզ 2 ww Ք2(YՀ2)Հք2 wr Ք2Հ(YՀ1)Հ2քզ ք2+2քզ+զ2Հ(ք+զ)2Հ1 rw rr Ք2(YՀ0)Հզ2 4 wwww Ք4(Y Հ4)Հք4"զ0Հ( 44 )ք4զ0 wwww wwrw wrww rwww wwrr wrwr rwwr wrrw rwrw rrww wrrr rwrr rrwr rrrw

Ք4(YՀ3)Հ4ք3"զ1Հ( 34 )ք3զ1

Ք4(YՀ2)Հ6ք2զ2Հ(42)ք2զ2

 ( 4 )ք զ4-i  (ք  զ)4  1 i 0

Ք4(YՀ1)Հ4ք1զ3Հ( 14 )ք1զ3

Ք4(YՀ0)Հք0զ4Հ(40)ք0զ4 Ընդհանուր առմամբ ստացվում է հետնյալ բանաձնը`

rrrr

Քո ( Y  k)  ( ո k) քk զո-k , k  0,1,...ո : ik

Բերված աղյուսակում կատարվում է վերլուծություն, որում հետազոտվում են մեկական, զույգ ն չորսական խմբերի հանդիպման հնարավորություններն ու դրանց սպասվող հաճախականությունները:

Հավանականության ֆունկցիա

քՀ0,2

0,3

քՀ0,3

ոՀ10

քՀ0,5

ք-ի տարբեր արժեքների համար

0,2 0,1 x 0 1

9 10

Բաշխման ֆունկցիա Էո (k)  Քո ( Y  k)   (ո i)քi զո-i , ik

որտեղ i-ն w-ի քանակն է:

Ծանոթագրություն: Մեկ փորձի արդյունքներով եզրակացություններ կատարելն անթույլատրելի է: Ներկայացված գրաֆիկը թույլ է տալիս միայն գրանցել երեք տարբեր ֆունկցիաների հնարավոր արժեքները: k-ն բնութագրում է Y-ի բաշխման հնարավոր ցուցանիշները, որոնք չեն վերածվում որոշակի դասի անփոփոխ ցուցանիշների: Ազատ, պատահական փոփոխվող Y-ի բնութագրման համար ո, ք ն զ պարամետրերով կիրառվում է նան Y : Ե (ո, ք) բանաձնը: Օրինակ: Տրված է խոճկորների սեռի քանակական բաշխումը: Հաշվարկել սեռերի կրկնման հաճախականությունը. Սեռը Արու, ք էգ, զ

fi° 0,52125 0,47875

ո Հ 4000, ք Հ 2085:4000, զ Հ 1915:4000 տվյալների դեպքում կիրառվում է հաշվարկի հետնյալ եղանակը` 2Ē 0 +12Ē 1+……….5Ē 8 Հ 2085 արու խոճկոր:

Ցուցանիշներ նշող տառերի վրա դրված ^ սիմվոլը նշանակում է, որ տվյալ տառը բնորոշում է ոչ թե բուն հատկանիշը, այլ դրա ցուցանիշը` քˆ  0,52125, զˆ  0,47875 : Արու խոճկորների ծնվելու հավանականությունը հարաբերական է ն կազմում է 52,1 %: Y-ն արու խոճկորների թիվն է ամեն ութական ծնի դեպքում: Բինոմիալ բաշխումը կատարվում է հետնյալ կերպ` Ե(8, 0,52125): Արդյունքում` Ք8(YՀk)Հ( k )0,52125kĒ 0,4478758-k: Խմբերի քանակը հաշվարկվում է հետնյալ բանաձնով` 8! (k8 )  : k!(8 - k) k

(ո)

Դիտարկման արդյունքները, fj’ (%) 0,4 2,4 10,4 18,2 27,0 24,2 12,6 3,8 1,0

Մոդել, Ք8(YՀk)Ē 100 0,276 2,404 9,160 19,947 27,147 23,645 12,872 4,004 0,545

Դիտարկման Մոդել, արդյունքները, Է8(k+1)Ē 100 Էj’ (%) 0,4 0,276 2,8 2,680 13,2 11,840 31,4 31,787 58,4 58,934 82,6 82,579 95,2 95,451 99,0 99,455

Աղյուսակում ո-ն այն ծների քանակն է, որոնցում գրանցվել է k թվաքանակի արու խոճկոր: Համախմբության 18,2 %-ը (fj°ʹ, %) կազմում է ծնում 3 արու խոճկոր ունեցող խումբը: Այս արդյունքը համապատասխանում է հավանականության |Ք8(YՀk)Ē 100) 19,9 %-ին: |Էj (%)) հարաբերական հաճախականությունը ն |Է8(k+1)Ē 100) մոդել գնահատականը գրեթե լիովին համապատասխանում են միմյանց: Սպասվող արժեքը ն փոփոխականությունը Y բինոմիալ բաշխման դեպքում որոշվում են հետնյալ կերպ`

Է(Y) Հ ոĒ ք,

ոĒ ք̂ Հ 8Ē 0,52125 Հ 4,17 |Հ 7̅):

Var( Y)  ո  ք  զ, ո  քˆ  զˆ  8  0,52425  0,47872  1,996, Ք8  (Y  2)  ( 82 )  0,52125  0,47872  0,00327, 8! 8  7  6  5  4  3  2 1  28 ( 82 )   2!6! 2  1 6  5  4  3  2  1 |Տ  2,1):

3.2.1.3. Պուասոնի բաշխում Վերլուծության այս եղանակը հիմնականում կիրառվում է հազվադեպ հանդիպող երնույթների բնութագրման, վերլուծության համար: Ծանոթագրություն: Պուասոնի բաշխումը բինոմիալ բաշխման սահմանային դեպքն է. հակառակ կամ հակադիր հատկանիշների համար 2 -ը կարող է ունենալ w կամ r դրսնորումներ. Ք(2 Հw)Հք (շատ փոքր, գրեթե աննշան), Ք(2 Հr)Հզ (շատ մեծ, ք+զՀ1): Y-ը w հատկանիշ դրսնորող առանձնյակների թիվն է մեկ ընտրանքային համախմբությունում, իսկ w-ն` 2 հատկանիշի որոշակի դրսնորումը: Ւ վիճակը ցույց է տալիս, որ w հատկանիշը ձնավորված չէ: Որոշակի ծավալ ունեցող հետազոտվող համախմբությունում կարող է կատարվել w-ի ն r-ի միջին հաճախականությունների հաշվարկ: Y ֆունկցիայի կառուցման համար դուրս է բերվում բինոմիալ բաշխման օրինաչափությունը. w-ի հազվադեպ իրականացմանը համաձայն` ք-ի ն զ-ի հաշվարկի կատարման համար ո-ն (համախմբության ծավալը) պետք է լինի շատ մեծ: w դրսնորում ունեցող ուսումնասիրվող դեպքերի քանակը նշվում է k-ով: k-ն գտնվում է 0-ից մինչն ո ցուցանիշների կազմում, որտեղ ∞, ք 0. ոĒ ք-ն coոՏէaոէ է (անփոփոխ): Այսպիսով, բինոմիալ բաշխումը վերածվում է Պուասոնի բաշխըման (երկուսն էլ հավասարազոր են): Ներկայացված պարա-

գայում միննույն է, թե դրանցից որը կկիրառվի. ոĒ ք-λ:

ո k ո-k liո ( k )ք  զ 

ո ք0

λ k -λ 6 : k!

Հավանականության բինոմիալ ֆունկցիաի սահմանային թիվն արդյունքում համընկնում է Պուասոնի բաշխման թվին: Հավանականության ֆունկցիան արտահայտվում է հետնյալ բանաձնով` λ k -λ Ք( Y  k)  6 , k  0, 1,, (1) k! փոփոխականության ֆունկցիան` հետնյալ բանաձնով` λ i -λ (2) 6 : Է(k)  Ք( Y  k)   i  k i! Գլխավոր համախմբության սպասվող արժեքի պատահական փոփոխականությունը Պուասոնի բաշխման համար որոշվում է հետնյալ բանաձներով` Է(Y)Հλ(ՀոĒ ք), Var(Y)Հλ(ՀոĒ ք), որտեղ զ→1: Բանաձներից երնում է, որ Պուասոնի բաշխումը կախված է λ-ից: Ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետնյալ ձնով` Y : Ք(λ): λՀ5 y

0,2

0,15 0,1 0,05

λ Հ25 y 0,1

0,05

Վերնում բերված հավանականության երկու ֆունկցիաները λ-ի երկու տարբեր նշանակությունների համար են: Ներկայացված են Պուասոնի ն բինոմիալ բաշխման օրինակներ փոքր ք-ով ն մեծ ո-ով: Օրինակ: Որոշել երկվորյակ սերմերի (սերմերի քանակը` 2) հաճախականությունն առվույտի մոտ, եթե ո Հ 637000 (637 փորձ, 1000 սերմ յուրաքանչյուրում): Տեսակ Երկվորյակներով Առանց երկվորյակների

fi' 0,00108 Հ ք̂

636309

0,99892 Հ զ̂

Առվույտի երկվորյակ սերմ առաջացնելու ունակության հավանականությունը հարաբերական ցուցանիշ է ն կազմում է 0,108 %: Y-ն ամեն 1000 սերմի մեջ հանդիպող երկվորյակների թիվն է: Այստեղից` Կ(Y)-λ-mՈք, mՈ ք̂ Հ1000Ē 0,00108Հ1,08: Այսինքն` ամեն 1000 սերմի մեջ երկվորյակ սերմերի թիվը կազմում է 1,08: Արդյունքում Պուասոնի ն բինոմիալ բաշխման բանաձները ստանում են հետնյալ տեսքերը` 1,08k -1,08 Ք( Y  k)  (Պուասոնի բաշխում), k!

Ք  ( Y  k)  ( k )  0,00108 k  0,998921000-k (բինոմիալ բաշխում):

Առաջնային նյութի մշակումը կատարվում է ստորն ներկայացված աղյուսակի ձնով: k 

Ստացված է fj' (%) fj 33,28 35,79 21,51 8,01 1,41 100 %

Պուասոնի բաշխում Բինոմիալ բաշխում Ք(YՀk) (%) 33,96 33,94 36,68 36,69 19,81 19,82 7,13 7,13 1,93 1,92 0,42 0,41

Ինչպես երնում է աղյուսակից, զույգեր ստացվել են 637 ծնից միայն 137-ում, այսինքն` զույգ ծների քանակը, Պուասոնի բաշխման համաձայն, կազմել է 19,81 %, բինոմիալ բախշման համաձայն` 19,82 %: Պուասոնի բաշխումը կիրառելի է այն դեպքերում, երբ որոշակի երնույթի իրականացումը հարցական է, այսինքն` կարող է տեղի ունենալ կամ տեղի չունենալ (դրան հանդիպելը քիչ հավանական է): Հանդիպման հաճախականությունը նշանակվում է ք, իսկ չհանդիպելու (չիրականանալու) հաճախականությունը` զ: Ընդ որում` այս ցուցանիշների փոփոխականությունը բավականին ցածր է: Հատկանիշի մեծությունը` Y-ը, վերցվում է որպես հանդիպող օբյեկտի կամ երնույթի բացարձակ ցուցանիշ` մեկ դեպքի, մեկ ժամանակամիջոցի, մեկ ծավալի ն այլ նման պարագաների համար kՀ1, 2, 3…: Նման պարագաներում օբյեկտի կամ երնույթի արժեքը կարող է ընդունել անվերջ տարբեր նշանակություններ ն չունենալ վերին սահման, իսկ λ-ն ընդունվում է որպես միջին թվաբանականների արժեքների միջին: Տրված է Պուասոնի բաշխման տարածքը (վայրը, սահմանները). 1-ին դեպքում` բակտերիաների քանակը սուսպենզիայի բարակ շերտում, 2-րդ դեպքում` բույսերի քանակը նախապես որոշված հատուկ ծավալում: Օրինակ: Y-ը բույսերի քանակն է որոշոկի մակերեսի բուսատարածքում` 1 մ2 հաշվարկով`



ˆ )  (λ ) 0  14  1 21  5  2  1,5625 : Էˆ ( Y Յուրաքանչյուր մ2 հաշվարկով ուսումնասիրված տարածքի վրա ստացվել է 1,5625 բույս: Այս հաճախականությունը բնորոշ է Պուասոնի բաշխման եղանակին ն կարող է հաշվարկվել հետնյալ բանաձնով` 1,5625 k -1,5625 Ք(Y  k)  : k! Արդյունքները մշակվում են ստորն ներկայացված աղյուսակի ձնով: Ստացված է fj

fjˈ (7) 21,88

Ք(Y-k) (7) 20,96

32,81

32,75

25,00

25,59

10,94

13,33

6,25

5,21

3,13 100,0

1,63 0,42 0,09 0,02 . . .

∑

Պուասոնի բաշխում

Ինչպես երնում է աղյուսակից, հողամասում երկուական բույսեր ստացվել են 16 փորձահատվածներից, ինչը կազմում է բոլոր փորձանմուշների 25 %-ը (Պուասոնի բաշխման հաշվարկների եղանակով` 25,59 %): Պուասոնի բաշխման հաշվարկը հիմնվում է այն վարկածի վրա, որ յուրաքանչյուր երկվորյակի առաջացումը կատարվում է որպես ինքնուրույն, անկախ դեպք: Նույն սկզբունքն ընդունված է նան բինոմիալ բաշխման դեպքում:

3.2.2. Հավանականությունների բաշխումն անընդհատ հատկանիշների պատահական փոփոխականության դեպքերում Անընդհատ հատկանիշների պատահական փոփոխականությունը բնորոշվում է դրանց հնարավոր թվի, այսինքն` սովորական երնույթների թվի անհաշվելիությամբ, անվերջությամբ: Յուրաքանչյուր սովորական իրավիճակում x-ի համար կիրառվում է Ք(2Հx)Հ0 բանաձնը, որի համաձայն` կարող են հաշվարկվել միայն համալիր իրավիճակները: Սովորական իրավիճակներն առանցքի վրա նշվում են որպես միջակայքեր` ի տարբերություն ընդհատվող հատկանիշների, որոնք նշվում են կետերի ձնով: Դրանք գնահատվում են ոչ թե հավանականությամբ, այլ խտությամբ: Խտության ֆունկցիան նշվում է f(x) բանաձնով: Բաշխման ֆունկցիաների նշանակությունները x որոշակի հատվածի համար` ընդհատ պատահական փոփոխությունների դեպքում, ստացվում են մինչ այդ տեղի ունեցած իրավիճակների հավանականությունների գումարից, իսկ անընդհատ փոփոխականությունների դեպքում` գրաֆիկի մակերեսի հաշվարկով, այսինքն` խտության ֆունկցիայի եղանակով` -∞ մինչն x. x

Է(2)  Ք( 2  x)   f (է)dէ (բաշխման ֆունկցիա): -

Քանի որ բոլոր հնարավոր դեպքերը պետք է գտնվեն -∞ մին-

չն +∞ հատվածում, ապա սկզբունքորեն խտության բոլոր ֆունկցիաների համար կիրառվում է հետնյալ բանաձնը` 

 f(x)dx  1 (խտության ֆունկցիա):

-

Այսինքն` խտության ֆունկցիաների պարագայում ամբողջ մակերեսը միշտ հավասար է 1-ի: Սպասվող արժեքը ն փոփոխականությունը նման դեպքերում հաշվարկվում են խտության ֆունկցիայի համապատասխան բանաձներով:

3.2.2.1. Հավասար բաշխում Անընդհատ հատկանիշների բաշխման այս օրինակը չունի լայն կիրառություն գործնական ուսումնասիրություններում, բայց լավ պարզաբանում է ընդհանուր իրավիճակը` 0, եթե x  0, x  6, (խտության ֆունկցիա), f(x)   1/6 0  x  6 Է(x)ՀՔ(2Հx)ՀxĒ1/6 (բաշխման ֆունկցիա): Խտության ֆունկցիայի համար արժեքների դրսնորման հավանականությունը որոշակի սահմանների շրջանակում ընդունվում է որպես տվյալ շրջանակի մակերես, որի ընդհանուր չափը կազմում է 1:

Խտության ֆունկցիա

Բաշխման ֆունկցիա

f(x)

Է(x)

1/6

6 x(ոiո) 0

x(ոiո)

Ֆունկցիայի բոլոր առանձին նույն չափի հատվածների համար ճիշտ է հետնյալ բանաձնը` Է(2)Հ Ք(2 Հ2)Հ 2Ē1/6 Հ1/3 Հ Ք(1≤ 2 Հ3)Հ Է(3) - Է(1):

f(x)

1/6

0 1

5 6

x(ոiո)

0 1

6 x(ոiո)

Սպասվող արժեքը ն վարիանցը հաշվարկվում են 





Է(2)   f(x)xdx   1/6  xdx  3, Var (2 )   f(x)|x - Է(2 ))2 dx 

-

  1/6(x - 3) dx  3 :

3.2.2.2. Նորմալ բաշխում Անընդհատ հատկանիշների բաշխման ուսումնասիրություններում վիճակագրական մեթոդների մեծ մասը հիմնված է նորմալ բաշխման օրինաչափությունների վրա, ինչով ն պայմանավորված է դրանց ուսումնասիրության կարնորությունը: Մեթոդի հիմքում ընկած է այն պնդումը, որ ցուցանիշների սիմետրիկության հավանականությունը կրում է պատահական բնույթ: Այստեղից` եթե -∞ՀxՀ+∞, ապա f  x 

Է(x) 

2π

6 x

-(x- μ 2

 6

2δ

(խտության ֆունկցիա),

-(է-μ 2 2δ

 dէ (բաշխման ֆունկցիա):

-

Գլխավոր համախմբության 2 մեծության համար պատահական նորմալ բաշխման դեպքերում Է(2)Հμ, իսկ Var(2)Հδ2:

x Հ μ իրավիճակը բացահայտում է ֆունկցիայի առավելագույն խտությունը, իսկ μ-δ ն μ+δ համապատասխանում են ֆունկցիայի շրջման կետերին: δ   δ 2  համապատասխանում է 2-ի ստանդարտ շեղմանը (սահմանային կետին):

f(x) խտության ֆունկցիան, ըստ 2-ի, գրանցվում է N(μ,

δ2): Համապատասխան ընդհանրացված դեպքի

համար, երբ μՀ0 ն δ2Հ1, (ս)-ն կազմում է N(0,1):

Է(x) բաշխման ֆունկցիայի դեպքում, ըստ 2-ի գրանցվում է N(խ, δ2) ն համապատասխանաբար` Ф(ս)-ն, ըստ Ս-ի, կազմում է N (0,1):

Անսահմանության (∞) ձգտող x- ի համար Է(x)Հ1:

μ ն δ2 պարամետրեր ունեցող 2-ի ճշգրտված բանաձնը բա-

ցահայտում է բաշխման նորմալ բնույթը` 2 : N (μ, δ2): Այսպիսով, որոշակի դեպքի համար (օրինակ` հասկի երկա-

րության հաշվարկներում), որպես μ ն δ2, կիրառվում են x ն Տ2: Այդ մասնավոր դեպքը ներկայացվում, գրանցվում է հետնյալ բանաձնի միջոցով` 2 : N (7,42, 2,12): Ներկայացված պատկերը հնարավորություն է տալիս կատարել նորմալ բաշխված հատկանիշների հանդիպման հավանականության ճշգրիտ հաշվարկ, այսինքն` անցկացնել նորմալ բաշխման ստանդարտավորում: Ենթադրենք` տրված է բաշխում Հ0 ն δ2Հ1 պարամետրերով:

Ըստ N(0,1) դեպքի օրինակի` կայուն, անփոփոխ  ն δ2 պարամետրերով բոլոր դեպքերի փոփոխականությունը կատարվում է միննույն օրինաչափությամբ: N (0,1) օրինակի բոլոր փոփոխությունների հաշվարկներով ինտեգրվում է, կազմվում աղյուսակ, որը կիրառվում է նան բոլոր նման դեպքերի համար (հավելվածի աղյուսակ 1): 1. Գործողությունների նպատակը փոփոխականության Ք(2Հx) ուսումնասիրությունն է որոշ 2: N (, δ2) համար, որի իրականացումը կատարվում է հիմնական բանաձնի տրանսֆորմացիաների եղանակով: Արդյունքում մասնավոր դեպքի բանաձնը վերածվում է ընդանուր օրինաչափությունը նկարագրող բանաձնի: Ստացվում է հետնյալ բանաձնը` x -μ ս : δ Վերջնական բանաձնը ցույց է տալիս բաշխման այնպիսի շեղումը, որի դեպքում ֆունկցիայի ոax կետը (x-) գործողության արդյունքում համընկնում է զրոյական կետի հետ (ոaxՀ 0): Շեղված բաշխման դեպքում փոփոխությունը կատարվում է այնպես, որպեսզի ֆունկցիայի շրջադարձային կետերը համընկնեն –1-ի ն +1-ի հետ (այդ նպատակով x-μ-ն բաժանվում է δ-ի):

Արդյունքում պատահական փոփոխականը բաշխվում է հետնյալ կերպ` Ս: N(0,1), իսկ կիրառվող դեպքի համար խտության ֆունկցիան ունենում է հետնյալ տեսքը` -ս2

(ս) 

: 2π Բաշխման ֆունկցիայի դեպքում համապատասխանաբար ստացվում է Փ(ս) 

-է 2

2π

-



 dէ :

2. F(x)-Ք(2Հx)-Ք(ՍՀս)-Φ(ս) դեպքում Φ(ս) արժեքը ներկայացվում է համապատասխան աղյուսակում (հավելվածի աղյուսակ 1): Հավելվածի աղյուսակ 1-ում ներկայացված են Φ(ս) ֆունկ-

ցիայի ստանդարտավորված արժեքներ, որոնք համապատասխանում են -∞ մինչն Սք սահմաններում գտնվող ցուցանիշների ընդհանուր ծավալին ն ցույց են տալիս ցուցանիշների բաշխումը նշված սահմաններում: Ընդհանուր պատկերացում նորմալ բաշխման օրինաչափության վերաբերյալ Տրված է 2 : N (μ, δ2) ֆունկցիան, որի ցուցանիշները բաշխված են որոշակի միջակայքերում: Հաշվարկները ցույց են տվել, որ լμ-δ, μ+δ)≙|-1,+1) հատվածում գտնվում է բոլոր տարբերակների 68,27 %-ը, |μ-2δ, μ+2δ)≙ |-2,+2) հատվածում` բոլոր տարբերակների 95,45 %-ը, իսկ |μ-3δ, μ+3δ)≙|-3,+3) հատվածում` բոլոր տարբերակների 99,7 %-ը:

Այսպիսով, միջին թվաբանական 3δ սահմաններում գտնըվում է բոլոր տարբերակների 99,7 %-ը:

Ստանդարտավորված նորմալ բաշխման թիվը (Օսaոէil6) Օսaոէil6 բովանդակությունը կարող է ձնակերպվել երկու եղանակով`

1. Առանցքի վրա գտնվող այն սահմանները, որոնցում իրականացվում են պատահական փոփոխականության հաճախականությունների հավանականությունները (Ք):

2. Ցուցանիշների հավանականությունների (Ք 7) տոկոսային միջակայքը: Աբսցիսների առանցքի վրա գտնվող միջակայքի սահմանները ներկայացնում են փնտրվող արժեքը` Օսaոէil6 սք (2.1.4.3 ենթակետ):

Օրինակ: Հայտնի է, որ (∞, սք) միջակայքում գտնվում է ցու-

ցանիշների Ք %-ը: Հատուկ հաշվարկներով որոշվել են սք-ի արժեքները Ք-ի տարբեր նշանակությունների համար: Միջակայք

սք-ի արժեքը ս0,95Հ1,64 ս0,025Հ-1,96, ս0,975Հ+1,96 ս0,05Հ-1,64

(-∞, 1,64) (-1,96, +1,96) (-1,64, +∞)

Համեմամատական ուսումնասիրություն Նորմալ բաշխման դեպքի համար վերնում բերված բանաձեվով կատարվում է հավանականությունների հաշվարկ ն ստացված արդյունքները համադրվում են դիտարկված հարաբերական հաճախականությունների հետ: Հավանականության հաշվարկը կատարվում է նորմալ բաշխման օրինակով` համապատասխան տըվյալներով: Օրինակ` ըստ 2.1.3. ենթակետում ներկայացված խնդրի տվյալների` N (7,42, 2,12):

Մոդել` հավանականությունը, %

(-∞, 3,85)

Դիտարկված հաճախականությունը միջակայքերում, %

(-∞, 4,85)

3,75

3,85113

(-∞, 5,85)

15,42

13,9803

(-∞, 6,85)

34,58

34,6722

(-∞, 7,85)

61,25

61,5181

( -∞, 8,85)

82,50

83,6425

( -∞, 9,85)

95,00

95,2232

(-∞, 10,85)

98,75

99,0712

(-∞, 11,85)

100,00

99,8821

(-∞, +∞)

100,00

Միջակայքի սահմանները

0,703932

Ցորենի հասկի երկարության տեսական ն դիտարկված հաճախականությունները բերված են ստորն ներկայացված գրաֆիկում`

Մոդել-սյունակի ցուցանիշների հաշվարկը կատարվում է ներկայացված եղանակով` Ք ( 2 Հ 5,85 ) դեպքի համար: Թույլատըրվում է աննշան կլորացում, օգտագործվում են ներկայացված ցուցանիշները`

x Հ7,42375,

Տ2 Հ 2,11864:

Ստանդարտ նորմալ բաշխման դեպքին համապատասխանում է ընդունված բանաձնով հաշվարկված խտության արժեքը` Ք(Ս). ս

xi - x Տ



5,85 - 7,42375 2,11864

 -1,0812 :

Այսինքն` 2Հ5,85 դեպքերի համար Ք-ի նշանակությունը հավասար է աղյուսակային Ք(ՍՀ-1,0812) պայմաններին համապատասխանող ցուցանիշին: Հավելվածի աղյուսակ 1-ում տրված են Φ(ս)-ի միայն դրական ցուցանիշները, բացասական ցուցանիշների

հաշվարկը կատարվում է 1-Φ(ս) բանաձնով:

Ըստ աղյուսակի` Φ(ս) - Φ(1,08) Հ 0,859929: Այսպիսով, Φ(-ս)-1- Φ(ս) արդյունքում Φ(-ս)-0,140071 կամ 14,0071 7: Ստացված արդյունքը մոտավոր է. ավելի մանրամասն հաշվարկների դեպքում (համակարգչային տեխնոլոգիաների կիրառմամբ) ստացվում են ավելի ճշգրիտ թվեր:

Օրինակ`

Φ(-1,0812) դեպքում ՔՀ13,9803 7: Եթե ընդունենք, որ մեր ներկայացված դեպքը նորմալ բաշխման օրինակ է, ապա տեսականորեն մինչն 5,85 սմ ցողունի երկարություն ունեցող բույսերի թիվը գլխավոր համախմբությունում կազ-

մում է 13,98 7, իսկ ընտրանքային համախմբությունում` 15,42 7: Այսինքն` հաշվարկված ն դիտարկված թվերի միջն զգալի տարբերություն չի նկատվում: Տվյալ դեպքի նորմալ բաշխման մասին ենթադրությունն ըստուգվում է χ2 տեստի միջոցով (4.3.5 ենթակետ): Ներկայացված դեպքում կատարվում է մոտավոր գնահատում նախապես կատարված դասակարգման ն դասերի հաճախականությունների տվյալների ու հավանականությունների ցուցանիշների համեմատության եղանակով: Աշխատանքի կատարման համար առաջարկվում է հետնյալ աղյուսակը.

Սահմանները

Հ4,85 4,85 - 5,85 5,85 - 6,85 6,85 - 7,85 7,85 - 8,85 8,85 - 9,85 9,85 - 10,85 10,85 -11,85 -11,85

Դիտարկված է յուրաքանչյուր Մոդել` հարաբեմիջակայքի համար րական հավաբացարձակ հահարաբերական նականություն, % վանականություն հավանականություն, % 3,75 3,851 11,67 10,1292 19,17 20,6919 26,67 26,8459 21,25 22,1244 12,50 11,5807 3,75 3,8480 1,25 0,8109 0,1179 ոՀ240

Հաճախականությունների հավանականությունը որոշակի սահմաններում (5,85-6,85) կարելի է հաշվարկել պարզ տարբերության բանաձնի եղանակով` Ք(5,85Հ2Հ6,85)ՀՔ(2Հ6,85)-Ք(2Հ5,85)Հ34,6722-13,9803Հ20,6919,%: Դիտարկվածների շարքում 5,85 6,85 սահմաններում բացահայտվել են 46 առանձնյակներ, որոնք կազմում են 19,17 7: Այսպիսով, ընդունված նորմալ բաշխման դեպքում գլխավոր համախմբությունում ցողունի երկարությունը նշված սահմաններում սպասվում է առանձնյակների ընդհանուր քանակի 20,69 %-ին մոտ: Ստացված արդյունքները (դիտարկված ն հաշվարված) լիովին համընկնում են, ուստի կարելի է պնդել, որ տվյալ բաշխումն իսկապես նորմալ բաշխում է: Սակայն այս պնդումը պահանջում է հետագա ճշգրտում, որը կներկայացվի 4.3.5 ենթակետում:

3.2.2.3. Լոգարիթմական նորմալ բաշխում Պատահական փոփոխվող անընդհատ 2-ը պատկանում է լոգարիթմական նորմալ բաշխմանն այն դեպքում, երբ պատահական փոփոխվող անընդհատ շարքը չի համապատասխանում նորմալ բաշխմանը, ն բաշխումը նորմալ տեսք է ընդունում տվյալների լոգարիթմավորումից հետո:

YՀlո2 եղանակով (լոգարիթմական փոփոխություն) պատահական թվերի (2) փոփոխման արդյունքում ստացվում է հետնյալ պատկերը` Y:N (μ, δ2 ) : Խտության ֆունկցիա -(lոx-μ )2   2 δ2 x  0 դեպքում, f(x)  x  δ 2 π 6  x  0 դեպքում : 0 Գլխավոր համախմբության սպասվող արժեքի ն վարիանցի հաշվարկը նորմալ լոգարիթմական բաշխման անցման համար կատարվում է հետնյալ բանաձներով` Է( 2)  6

μ  δ2 2 ,

V( 2)  6 2μ  δ (6 δ  1) :

Կենտրոնական արժեքն է (2)  6 μ ,

խտության միջինը` (2)  6 μ δ : նշանը համապատասխանում է δ2 նշանին: 2-ի նորմալ լոգարիթմական բաշխման խտությունը կազմում է lո(2): N (0,1). δ²

Լոգարիթմական բաշխման երեք նախնական ցուցանիշներն են` խտության միջին արժեքը`

(2)  6μ σ  6 01  6 1,

կենտրոնական արժեքը` սպասվող արժեքը`

( 2)  6 μ  6 0 ,

Է(2) 

μ δ

 6 00,5  6 0,5 :

Նորմալ բաշխման դեպքում այս երեք ցուցանիշները համընկնում են: Աջ շեղված բաշխման դեպքում սպասվող արժեքը կենտրոնական արժեքի համեմատ շեղված է դեպի աջ, իսկ միջին խտությունը` դեպի ձախ: Հեռավորությունը կենտրոնական արժեքից կախված է լոգարիթմների վարիանցից: Օրինակ` 2.1.4.1 ենթակետում քլոստրիդների պարունակության չափանիշի համար թվաբանական միջինի փոխարեն երկրաչափական միջինը հաշվարկվել է այն հիմնավորմամբ, որ այդ չափանիշը ենթարկվում է նորմալ լոգարիթմական բաշխման: Նշվածը պարզ է դառնում ստորն ներկայացված գրաֆիկներից: 1-ին գրաֆիկում ներկայացված է բացարձակ արժեքների հաճախականության բաշխումը (ակնհայտ աջ շեղումով), 2-րդ գրաֆիկում` լոգարիթմական բաշխումը: Երկու դեպքերում էլ կիրառված է նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիան:

Քլոստրիդների քանակը (հազարներով` թարմ զանգվածի յուրաքանչյուր գրամի համար)

lո (քլոստրիդներ)

̅ Հ85,634 երկրաչափական միջինի` 2-ի կենտՀաշվարկված xՕ րոնական արժեքի գնահատման արժեքն է:

3.3. ՀԱՇՎԱՐԿՎԱԾ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԵՎ ԱՐՏԱԾՎԱԾ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄԸ

(ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ)

Հնարավոր է, որ գլխավոր համախբությունից մի քանի ընտրանքային համախմբություններ կազմելու դեպքում տարբերակների հատկանիշների արժեքները դրանցում տարբեր լինեն: Այդ դեպքում դրանց համար հաշվարկված թվաբանական միջինները ն վարիանցները նույնպես տարբեր կստացվեն: Այսպիսով, ոչ միայն բուն տարբերակների ցուցանիշներն են կախված պատահականություններից, այլն պատահական ընտըրված համախմբությունների հիման վրա հաշվարկված մեծությունները: Եթե այդ մեծությունները ենթարկվում են պատահական ազդեցությունների, ապա դրանք հնարավոր է բնութագրել որոշակի բաշխումների միջոցով, որոնց մասին պատկերացում կազմելու համար անհրաժեշտ է որոշ համակարգչային գիտափորձեր (կրկնակի ուսումնասիրություններ) կատարել:

3.3.1. Գլխավոր համախմբությունից ընտրանքային համախմբություն կազմելու համակարգչային եղանակը Համակարգչի միջոցով հնարավոր է կազմել որոշակի հատկություններ ունեցող գլխավոր համախմբություններ: Դրանցից կարելի է ընտրել մի որնէ ընտրանք, որի ծավալը հավասար է ո-ի ն վերջինիս համար հաշվարկել x̅ ն Տ2: Այս ամենը կարող է կրկնվել բազմաթիվ անգամներ (մեր ուսումնասիրությունում յուրաքանչյուր դեպքի համար 1000 անգամ): Այդ 1000 նմանակումները կարող են դիտարկվել որպես միննույն օբյեկտի միննույն հատկանիշի ուսումնասիրության 1000 անկախ փորձեր, որոնք կատարվել են միննույն պայմանների ազդեցությամբ:

Գլխավոր համախմբություն

Փորձի համարը

Չափված մեծություններ

Հաշվարկ

Պատահական ընտրանք ոՀ4 Յուրաքանչյուր 1000 թվաբանական միջին արժեքի համար կարող է կառուցվել միայն մեկ հաճախականության բաշխում ( նույնը վերաբերում է նան տարբերակներին): Գլխավոր համախմբության հատկանիշների բաշխումը կարող է ներկայացվել նմանակման համակարգչային արդյունքներով:

3.3.1.1. Նորմալ բաշխված հատկանիշ μ Հ 20 սպասվող արժեք ն δ2- 9 վարիանց ունեցող նորմալ բաշխված գլխավոր համախմբությունից կազմվել են 1000 ընտրանքեր, որոնց համար յուրաքանչյուր անգամ հաշվարկվել են թը-

վաբանական միջինը (x̅) ն վարիանցը (s2): Ընդ որում` առաջին փորցձի համար ընտրանքի ծավալը կազմում է ո Հ 4, իսկ երկրորդ փորձի համար` ո Հ 20.

Նմանակված հատկանիշների դիտարկումը Յուրաքանչյուր հաշվարկված միջին արժեք նկարներում ներկայացված է առանձին կետի տեսքով:



Երբ ո Հ 4:

Սպասվող արժեքը`  Հ20:

Ընտրանքների քանակը 

Երբ ո Հ 20: Ընտրանքների քանակը

Գրաֆիկներում ներկայացված են հատկանիշների արժեքների խտության ֆունկցիան` (N(20:9)), ն 1000 միջին արժեքների հաճախականության դաշտը: Ծանոթագրություն: Հարաբերական հաճախականության պատկերը փոփոխված է այնպես, որ դրա ողջ մակերեսը, ինչպես նան խտության ֆունկցիան հավասար են 1-ի: 1000 միջին արժեքների միջին արժեքը կազմում է x Հ 20,055 , ո Հ 4 ո Հ 20, x Հ 19,981, 1000 միջին արժեքների ստանդարտ շեղումը` Տ Տ Տ x  0,663  Տ x  1,499    :



Եզրակացություններ

Ոչ միայն հատկանիշների ցուցանիշներն են պատահական փոփոխականներ, այլն ընտրանքային համախմբությունների հիման վրա հաշվարկված միջին արժեքներն են ենթակա պատահական ազդեցությունների:  Բոլոր միջին արժեքների միջին արժեքը համարյա հավասար է սպասված արժեքին:  Ի տարբերություն տարբերակների միջին արժեքների` վարիանցի միջին արժեքների վարիանցն ավելի փոքր է:  Որքան աճում է ո-ը, այնքան ավելի փոքր է x -ի վարիանցը: Միջին արժեքների վարիանցը հաշվարկվում է հետնյալ բանաձնով` Տ Տx  : ո Միջին արժեքների հաճախականության բաշխումը սիմետրիկ բաշխում է: Այն նման է նորմալ բաշխմանը: Տեսականորեն կարելի է նույնիսկ ցույց տալ, որ եթե ցուցանիշը բաշխված է նորմալ ն ունի սպասվող արժեք (μ) ու վարիանց (δ2), ապա պատահական թվաբանական միջինները (2̅) նույնպես բաշխված են նորմալ, այսինքն` ունեն միննույն սպասվող արժեքը ն σ2 : վարիանցը` ո

Հետնաբար, եթե 2 :N(μ, σ 2 ), ապա 2 :N( μ,

Երբ ո Հ 4:

δ2

σ2 ): ո

Տեսականորեն հաշվարկված`

δ2 Հ9:

Երբ ոՀ20: Ընտրանքների քանակը

9,104

δ2

9,128

Գրաֆիկներում համապատասխանաբար ներկայացված է հաշվարկված 1000 վարիանցների միջին արժեքների բաշխումը:   

Եզրակացություններ Ընտրանքների հիման վրա հաշվարկված վարիանցները ենթարկվում են պատահական ազդեցությունների: Հաշվարկված վարիանցների միջին արժեքը մոտավորապես հավասար է գլխավոր համախմբության տեսական վարիանցին: Հաշվարկված վարիանցների հաճախականության բաշխումը շեղված բաշխում է: Ընտրանքների ծավալի մեծացումը նպաստում է բաշխման շեղման նվազեցմանը (3.3.3 ենթակետ):

3.3.1.2. Այլ կերպ բաշխվող հատկանիշներ Որպես օրինակ` քննարկենք նս երկու գլխավոր համախմբություններ, որոնցում հատկանիշի բաշխումը նորմալ չէ. դիտարկվում են միայն թվաբանական միջինի բաշխումները: Ուսումնասիրվող առաջին օրինակում չափանիշը լոգարիթմական է` նորմալ բաշխված, սպասվող արժեքն է μՀ7,932, վարիանցը` Տ 2 Հ17,87: Ընդհանուր թվով կազմվել է 1000 ընտրանքային համախմբություն` ոՀ20 ծավալով ն հաշվարկվել է 1000 թվաբանական միջին: .

Չափանիշների արժեքներն են` x̅ Հ7,933, Տ x  0,904 : Չափված մեծությունների ելակետային բաշխումն ակնհայտորեն շեղված է դեպի ձախ: Դրան հակառակ թվաբանական միջինների բաշխումը համարյա սիմետրիկ է: Բոլոր միջին արժեքների թվաբանական միջինը գրեթե նույնական է ելակետային միջին արժեքին: Միջին արժեքների վարիանցն ակնհայտորեն ավելի փոքր է, քան ելակետային բաշխման վարիանցը` Տ 2x  0,904 

Տ 2 17,87  :

Ինտերվալների գնահատման երկրորդ օրինակում չափանիշը տատանվում է 0-ից մինչն 30 սահմաններում ն բաշխված է հավասար, այսինքն` սպասվող արժեքն է μ - 15, վարիանցը` δ2 Հ 75: Կազմվել է 1000 ընտրանքային համախմբություն` ո Հ 10 ծավալով ն հաշվարկվել է 1000 թվաբանական միջին:

Հատկանիշի արժեքներն են x̅ Հ15,63, Տ 2x  7,125 : Թվաբանական միջինների բաշխումը սիմետրիկ է: Միջին արժեքների վարիանցն ակնհայտորեն ավելի փոքր է ելակետային բաշխման վարիանցից` Տ 2 75 Տ 2x  7,125   : 10 10 Ծանոթագրություն: Երկու օրինակներում հարաբերական հա-

ճախականության պատկերը փոխված է այնպես, որ դրա ընդհանուր մակերեսն ու խտության ֆունկցիան հավասար են 1-ի: Այսպիսով, անկախ 2 չափանիշի Է ելակետային բաշխումից, ընտրանքային համախմբության ծավալի մեծացման դեպքում տեղի է ունենում 2̅ թվաբանական միջինի բաշխման ն նորմալ բաշխման կոնվերգենցիա: Եթե ելակետային բաշխմանը համապատասխանում է μ սպասվող արժեքը, նորմալ բաշխումն ունենում է միննույն μ արժեքը: Եթե ելակետային բաշխմանը համապատասխանում է σ2 δ2 վարիանցը, վարիանցի նորմալ բաշխումը կազմում է : Այսինո

քըն` ելակետայի ֆունկցիան է 2 : Է(μ, σ 2 ) : Ստացված բաշխման ֆունկցիան ենթարկվում է հետնյալ σ2 ձնափոխության` 2  N(μ, ): ո  ո Այս բանաձնը հայտնի է որպես կենտրոնական սահմանային արժեքի բանաձն: Նշված օրինաչափությունները պայմանավորում են նորմալ բաշխման կարնորությունը եզրակացնող վիճակագրության համար: Միջին արժեքների նորմալ բաշխումն առավել հասանելի է, եթե` - չափման արժեքների ելակետային բաշխումը քիչ է շեղվում նորմալ բաշխումից, - մեծ քանակությամբ չափումներ են օգտագործվում միջին արժեքների հաշվարկման համար: Քանի որ հավասար բաշխումը սիմետրիկ բաշխում է, միջին արժեքների բաշխումն այդ դեպքում ավելի արագ է ձգտում դեպի նորմալ բաշխումը, քան նորմալ լոգարիթմական բաշխման դեպքում: Հավասար բաշխման դեպքում նորմալ բաշխումը հիմնավորվում է ո Հ 10 ծավալի պարագայում, իսկ լոգարիթմական բաշխման դեպքում նորմալ բաշխումը բացահայտվում է առնվազն ո ≥ 20 ծավալի պարագայում: Հատկանիշի նորմալ բաշխվածությունից բխում է, որ, անկախ ընտրանքային համախմբության ծավալից, ներկայացված պարամետրերի թվաբանական միջինները բաշխված են նորմալ:

3.3.2. 2̅ թվաբանական միջինի բաշխումը Եթե 2 : N(μ, σ 2 ), ապա 2 : N(μ,

σ2 ): ո

2 -ի վերաբերյալ հավանականության պնդումների հիմնավորման նպատակով կատարվում է աղյուսակային բաշխման ֆունկցիայի տրանսֆորմացիա: Եթե δ2-ին հայտնի է, ապա կարող է օգտագործվել 3.2.2.2 ենթակետում ներկայացված տրանսֆորմացիան` x μ x μ ս  ո : N(0,1) : σ σ ո

Եթե (ընդհանուր առմամբ) δ2-ին կարող է գնահատվել Տ2-ու միջոցով, ապա է-ն (գլխավոր համախմբության միջին թվաբանականի շեղումը կարող է գնահատվել ընտրանքի միջին թվաբանականի հիման վրա) հաշվարկվում է x μ x μ ո: է  Տ Տ ո է բաշխումն ունենում է ո-1 ազատության աստիճան` է: է(ո-1): Տ Տx  հարաբերությունը թվաբանական միջինի ստանո դարտ շեղման բանաձնն է: է բաշխման արժեքները ներկայացված են հավելվածի աղյուսակ 2-ում: Օրինակ` Ք Հ 0,95, ո Հ 20, (, է 0,95 (19))  (, 1,73), Ք Հ 0,975, ո Հ 20, ( է 0,025 (19), է 0,975 (19))  (2,09, 2,09), Ք Հ 0,995, ո Հ 20, ( է 0,05 (19), )  (1,73, ) : Ազատության աստիճանների անվերջ քանակության դեպքում է բաշխումը վերածվում է նորմալ բաշխման, իսկ է բաշխման արժեքը համապատասխանում է ստանդարտացված նորմալ բաշխման արժեքին`

liո է ք (ո  1)  սք :

ո 

3.3.3. Տ 2 վարիանցի գործակցի բաշխումը Տ2 բաշխումն արտածվում է ըստ 4.3.5 ենթակետի: Եթե Սi: N(0,1) համախմբության ամեն մի i-1,.....ո պատահականության վարիանցներն անկախ են միմյանցից, ապա ո ազատության աստիճան ունեցող  2 բաշխման համար ճիշտ է հետնյալը` ո

 2   Սi2 : i 1

Այս ընդհանուր պնդումից բխում է հետնյալը. քանի որ 2 i : N(μ, σ 2 ), i  1,..., ո, 2 μ : N(0,1) յուրաքանչյուր i-ի համար: ապա Սi  i σ Այն դեպքում, երբ μ-ն վերցվում է հավասար x̅-ի գնահատման արժեքին, կատարվում է բանաձնի տրանսֆորմացիա` ո

 2   Սi2 

 ( 2 i  x)2 i 1

σ2

Արդյունքում

:  2 (ո  1) :

 

(ո  1) 

 ( 2 i  x)2 i1

ո 1

:  2 (ո  1),

համապատասխանաբար`

 

(ո  1)Տ :  2 (ո  1) : σ2

Բերված բանաձնն օգտագործվում է  2 -ու հաշվարկների համար այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտություն է ծագում գնահատել իրական ն մոդելային բաշխման համապատասխանությունը:  2 բաշխման արժեքի ստանդարտավորված հավանականությունների ցուցանիշները ներկայացված են հավելվածի աղյուսակ 3-ում: Օրինակ` Ք Հ 0,95, ո Հ 20, (0,  2 0,95 (19))  (0, 30,14), Ք Հ 0,975, ո Հ 20, (  2 0,025 (19),  2 0,975 (19) )  (8,907, 32,85), Ք Հ 0,995, ո Հ 20, (  2 0,05 (19),  )  (10,12, ) :

3.3.4. Երկու թվաբանական միջինների տարբերության բաշխումը (2̅1 - 2̅2) Եթե

21 : N(μ1, σ2), 2 2 : N(μ 2 , σ2),

ապա 21 : N(μ1,

σ2 σ2 ), 2 2 : N(μ 2 , ): ո1 ո2

Մեթոդի հիմքում ընկած է այն ենթադրությունը, որ երկու նման գլխավոր համախմբությունների համար հատկանիշի վարիանցները համընկնում են: Դրանց չհամընկնելու դեպքում առաջանում է տարբերության գնահատման խնդիր: Գնահատումը կատարվում է համապատասխան բանաձների կիրառմամբ: σ12 σ 22  ) : Տվյալ դեպքում տարբեո1 ո2 րության վարիանցն ավելի մեծ է, քան առանձին վարիանցները:

Տրված է 21  2 2 : N(μ 1 - μ 2 ,

Այստեղ էլ, ինչպես 3.3.2 ենթակետում, կիրառելի է բաշխման հայտնի տրանսֆորմացիան` ( 2  2 2 ) - (μ1 - μ2 ) : N(0,1), Ս 1 σ2 σ 2  ո1 ո2 համապատասխանաբար`

Ս

( 21  2 2 ) - (μ1 - μ2 ) ո1  ո2 : N(0,1) : ո1  ո2 σ

Նշված դեպքում 21-ի ն 22-ի համար տարբեր ընտրանքային համախմբություններում լիովին հավասար վարիանցներ հազվադեպ են լինում: Եթե դրանց տարբերությունն էական չէ (4.3.4 ենթակետ), ապա հաշվարկված Տ12 ն Տ 22 վարիանցների հիման վրա հաշվարկվում է միջին վարիանցը` (ո  1)Տ12  (ո2  1)Տ 22 : Տ2  1 ո1  ո2  2 Արդյունքում (2  2 2 ) - (μ 1 - μ 2 ) ո1  ո2 , է(ո1  ո2 - 2), է 1 Տ ո1  ո2 համապատասխանաբար` է

որտեղ Տ d 

( 21  2 2 ) - (μ1 - μ2 ) , Տd

ո ո Տ2 Տ2   Տ 1 2 միջին թվաբանականների տարո1 ո2 ո1  ո2

բերության շեղումն է: Եթե ո1 Հ ո2 Հ ո, ապա Տd  եթե Տ x  Տ 

Տ2 Տ2  Տ , ո ո ո

, ապա Տ d  Տ x  2 : ո

3.3.5 .

Տ1 վարիանցների հարաբերության բաշխումը Տ 22

Ընդհանուր դեպքի համար ճիշտ է հետնյալը` եթե 12 ,  2 (ո1  1) ն  22 ,  2 (ո2  1),

 (ո  1) ապա Է  12  2 ,  (ո1  1)

որտեղ Է-ի բաշխումը պայմանավորված է նան (ո1-1) ու (ո2-1) ազատության աստիճաններով: Ընդ որում` Է, Է(ո1  1, ո2  1) : Արդյունքը կիրառենք խնդրի լուծման համար: Քանի որ (ո1  1)Տ1 (ո2  1)Տ 2 ,  (ո  1), ,  2 (ո2  1), σ 12 σ 22 ապա (ո1  1)Տ12 σ 12 (ո  1) Է  2 , Է(ո1  1, ո2  1), (ո2  1)Տ 2 (ո1  1) σ 22 համապատասխանաբար` Տ σ2 Է  12  22 , Է(ո1  1, ո2  1) : Տ2 σ 1

Բաշխման արժեքը` Բ-ը (արժեքները բերված են հավելվածի աղյուսակ 4-ում միայն Է0,95(ո1-11, ո2 -1) ն Է0,975(ո1-11, ո2 -1) համար), հաշվարկվում է ներկայացված բանաձներով: Օրինակ` Ք  0,95, բոլոր դեպքերի համար ո1  30, ո2  25 , (0, Է0,95 (29,24))  (0, 1,945), Ք  0,975, (Է0,025 (29,24), Է0,975 (29,24))  (0,464, 2,217), Ք  0,995, (Է0,05 (29,24), ))  (0,526, ) : F0,05 ն F0,025 ցուցանիշները հաշվարկված են հատուկ համակարգչային ծրագրերով:

3.4. ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Ներկայացված վարժությունների նպատակն է հատկանիշների տվյալների վերլուծության եղանակով կատարել տարբեր ընտրանքային համախմբությունների նկարագրություն: Վարժությունների լուծման ընթացքում յուրաքանչյուր հատկանիշի համար ներկայացվում է համապատասխան վերլուծության մոդել, որի օգնությամբ հնարավոր է հավանականության վերաբերյալ կատարել համապատասխան եզրակացություն: Ընդհատվող հատկանիշները կարող են դիտարկվել որպես անընդհատ: 1. Տրված է եգիպտացորենի արմատի երկարությունը (2.3 ենթակետի վարժություն 1): Ինչպիսին է 4 սմ ն ավել երկարության արմատ գտնելու հավանակությունը փորձի նույն պայմանների դեպքում: Որ սահմաններում է գտնվում բոլոր միջին արժեքների 80 %: 2. Փորձի համար ընտրված համախմբությունում բացահայտվել է օտար սերմի առկայությունը (2.3 ենթակետի վարժություն 2): Հետազոտվող խմբաքանակի յուրաքանչյուր 1000 սերմերում ինչպիսի հավանականությամբ կգտնվի 2 օտար սերմ: Ինչպիսին է օտար սերմ չպարունակող խմբաքանակներ ստանալու հավանականությունը: 3. Ցիկլամենի սերմնատուփիկներում սերմերի քանակի բարձրացման համար անհրաժեշտ է ընտրել բազմասերմ բույսեր (2.3 ենթակետի վարժություն 3): Քանի սերմ պետք է կազմի սելեկցիոն սահմանը, որպեսզի ընտրվի լավագույն բույսերի ուղիղ 20 %: 4. Տրված է էգ խոճկորների քանակը յուրաքանչյուր ծնի համար (2.3 ենթակետի վարժություն 4): Ինչպիսին է 10 գոջի պարունակող յուրաքանչյուր ծնի դեպքում էգերի քանակի 3-ից պակաս կամ 8-ից ավել կազմելու հավանականությունը:

4. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԵԶՐԱՀԱՆԳՈՒՄՆԵՐ

Վիճակագրական եզրահանգումների նպատակն է ընտրանքային համախմբությունների հետազոտման արդյունքներով գնահատել գլխավոր համախմբությունը: Եթե ընտրանքային համախըմբությունը ներկայացուցչական է ն արժեքների գնահատման մոդելը ճիշտ է ընտրված, ապա որոշակի չափանիշների պահպանման դեպքում կարող են կատարվել ստորն ներկայացված եզրահանգումները:

4.1. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ

Գլխավոր համախմբության մոդելի առանձին պարամետրերի գնահատումը մեկ արժեքի հիման վրա արդեն կիրառվել է 3.2.1.2, 3.2.1.3 ն 3.2.2.2 ենթակետերում:

Օրինակներ` Մոդելի պարամետրեր

Նորմալ բաշխում,

Մոդելի պարամետրերի գնահատումն ընտրանքային համախմբության պարամետրերի հիման վրա

μ̂  x

δ2

Բինոմիալ բաշխում,

δ̂ 2  Տ 2 քˆ  f1

Պուասոնի բաշխում,

λ̂  x

Մոդելի առանձին պարամետրերի գնահատումը համապատասխանաբար կիրառվում է բազմաքանակ գլխավոր համախըմբություններից ընտրված մեծ թվով մոդելների վերլուծության հիման վրա: Նորմալ բաշխում Նորմալ բաշխման պարագայում μ1–μ2, δ12 , δ22

μ̂1 - μ̂ 2  x1 - x 2 , δ12 Տ12  : δ 22 Տ 22

Ընդհանուր դիտողություն: θ անհայտ պարամետրի գնահատման արժեքը նշվում է θ̂ -ի միջոցով: Գնահատման արժեքների հաշ-

վարկման համար կիրառված բանաձները կոչվում են նան գնահատման ֆունկցիաներ: 3.3 ենթակետի համաձայն` ամեն մի նոր ընտրանքի դեպքում ստացվում է առանձնակի գնահատական: Դրա համար կետային գնահատականները պետք է լրացվեն, այսինքն` պարամետրերի իրական արժեքի ն նոր ընտրանքային համախմբության գնահատման հիման վրա ստացված արդյունքները պետք է վերլուծության ենթարկվեն համընկման աստիճանի որոշմամ նպատակով: Տարբերվում են ճշգրտության երկու մոտեցումներ (համեմատել 3.3.1 ենթակետում բերված պատկերի հետ):

1 . Հանդիպման հաճախականություն

բարձր

ցածր

x բազմաթիվ ընտրանքների միջոցով բացահայտված x̅-ը նախ ն առաջ բնորոշվում է ` ա) գնահատման գործողությամբ (գնահատման ֆունկցիայով), բ) գիտափորձի մեթոդով:

2. Կրկնողության հաճախականություն (ճշգրտություն)

բարձր

ցածր

Կրկնողության հաճախականությունը որոշվում է` ա) ընտրանքի ծավալի ընտրությամբ,

բ) գիտափորձի մեթոդով: Կետային գնահատման ճշգրտության մակարդակի որոշումը ցորենի հասկի երկարության խնդրի դեպքում կատարվում է հետնյալ եղանակով` Հ- երբ x  μ, x  7,42 սմ, Տ  1,46 սմ, Տ Տx  , Տ x  0,094 սմ, ո Տ Տ%   100, Տ%  19,61, երբ ո  240, x Տ Տ x %  x  100, Տ x %  1,27 սմ : x Հետազոտված 240 մշակաբույսերի դեպքում հատկանիշի ստանդարտ շեղումը կազմում է 1,46 գ, այսինքն` թվաբանական միջինի մոտ 20 %: Այսպիսով, թվաբանական միջինի ստանդարտ շեղումը կազմում է 0,094, որը համապատասխանում է 1,27 %-ի: Ցորենի տեսակների համեմատության դեպքում 



x1  x 2  (μ1  μ 2 ), երբ x1  x 2  58  54  4 դտ/հա, ապա Տ  5,32, ո1  30, ո2  25 դտ/հա : Ողջ գիտափորձի միջինը կազմում է x  56 դտ/հա (ընտրանքային համախմբությունների տարբեր ծավալները հաշվարկման ժամանակ հաշվի չեն առնված): Տ d -ի վարիանցի միջին արժեքը երկու ընտրանքների համար ազատության աստիճանի պարագայի հաշվարկով կատարվում է հետնյալ բանաձներով` ո  ո2 Տd  Տ 1 , Տ d  5,32  1,44 դտ/հա3 , ո1  ո2 30  25 Տd % 

Տd

 100, Տ% 

x Տ d %  2,57 :

Տ x

 100, Տ%  9,5 :

Առաջի տեսակի 30 ն համապատասխանաբար երկրորդ տեսակի 25 հետազոտվող մակերեսների դեպքում առանձին մակերես-

ներից ստացված բերքի ստանդարտ շեղումը կազմում է 5,32 դտ/հա, ինչը համապատասխանում է ողջ փորձի ցուցանիշների առանձին արժեքների շեղման 9,5 %-ին: Միջին արժեքի տարբերության ստանդարտ շեղումը կազմում է 1,44 դտ/հա, այսինքն` փորձի ամբողջ ծավալի 2,57 %-ը: Ներկայացված երկու օրինակներում ստացված ցուցանիշները բացահայտում են ընդհանուր գնահատականների ընդունելի մակարդակը, բայց թույլ չեն տալիս կատարել ճշգրիտ հիմնավորված եզրահանգում:

4.2. ՄԻæԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ

Միջակայքային գնահատման միջոցով փորձ է կատարվում կետային գնահատումը ն դրա ճշգրտության մասին պատկերացումները վստահելիության վերաբերյալ գնահատականի հետ միավորել մեկ ընդհանուր պնդման մեջ: Դրա համար կառուցվում է վստահության միջակայք` θ անհայտով, 1-α հավանականությամբ: Այդ միջակայքն անվանվում է վստահության միջակայք, որտեղ k1-ը միջակայքի ներքնի սահմանն է, իսկ k2-ը` միջակայքի վերնի սահմանը` Քk1  θ  k 2   1  α, որտեղ 1 - α-ն վստահության գործակիցն է: Պետք է նկատի ունենալ, որ k1 -ը ն k 2 -ը պատահական փոփոխականներ են, իսկ θ-ն` հաստատուն (անհայտ) արժեք: Օրինակ: 1 մլն բնակիչ ունեցող քաղաքի համար պետք է որոշել բնակչությունը գերադասում է ֆիլմը դիտել հեռուստացույցով, թե կինոթատրոնում: ո Հ 1000 բնակիչ ընտրանքի հետազոտման հիման վրա պարզվել է, որ 1000 բնակիչներից 600-ը գերադասում են ֆիլմը դիտել հեռուստացույցով, իսկ 400-ը` կինոթատրոնում: Այսպիսով, ֆիլմը կինոթատրոնում դիտող բնակիչների թիվն ընկած է 400-ի ն 999 -ի միջն: ք-ն ֆիլմը կինոթատրոնում դիտելը գերադասելու հավանականությունն է: ք-ի կետային գնահատականը հետնյալն է` քˆ   0,4 : Այսինքն` 100 % վստահությամբ կարելի է ք-ի վերաբերյալ պնդել, որ

999400 ք  0,9994 : 1Խio 1Խio Սակայն նման պնդման տեղեկատվական արժեքը ցածր է: Փորձենք պնդումն ավելի ճշգրիտ դարձնել` նկատի ունենա0,0004 

լով, որ այդ պնդման հավանականությունը կլինի ոչ թե 1, այլ 1-α: Դրա համար պետք է փնտրել միջակայք, որում Քk1  ք  k 2   1  α: Տարբեր բնագավառներում α-ի համար կիրառվում են որոշակի ընդունված արժեքներ, որոնք պայմանավորված են տվյալ բնագավառում օգտագործվող ճշգրտության պահանջներով. դեղագործություն` 0,001 ̂ 0,1 %, բժշկագիտություն` 0,01 ˆ 1 %, գյուղատնտեսություն` 0,05 ̂ 5 % : Վստահության գնահատականներ տալու համար կիրառվում են 3.3 ենթակետում ներկայացված նորմալ բաշխման հաշվարկային բանաձները:

4.2.1. μ-ի վստահության միջակայքը δ2-ու գնահատման դեպքում 3.3.2 ենթակետում ներկայացված պայմանների (նորմալ բաշխըման) համաձայն` xμ է ո, է(ո  1), Տ   Ք է α(ո  1)  է  է α(ո  1)  1  α: 1   1 2 է-ի արժեքը տեղադրելու ն ձնափոխություններ կատարելու դեպքում ստացվում է  Տ Տ  Ք x  է α(ո  1)  μ  x  է α (ո  1)   1  α: 1 1 ո ո  

այսինքն`

ո ծավալ ունեցող ընտրանքից x̅-ը ն Տ-ը հաշվարկվում են այնպես, որ հնարավոր լինի կոնկրետ որոշել վստահության միջակայք:

Օրինակ` ցորենի հասկի երկարությունը հաշվարկելիս ոՀ240, Հ0,05,  1,46  1,46 Ք7,42  1,97   μ  7,42  1,97    0,95, 240   համապատասխանաբար` 7,23  μ  7,61  0,95 : Եթե կազմվեն ո ծավալով մեծ քանակությամբ ընտրանքներ (այսինքն` անվերջ) ն դրանցից կառուցվեն կոնկրետ վստահության միջակայքեր, ապա այդ վստահության միջակայքերի 95 %-ին կհամապատասխանի իրական μ պարամետրը: Կոնկրետ միջակայքը կամ պարունակում է μ, կամ չի պարունակում: Բայց կարելի է 95 % վստահությամբ պնդել, որ հաշվարկված միջակայքը պարունակում է այդ պարամետրը: Օրինակ` նորմալ բաշխված գլխավոր համախմբությունից, որում μ-20, δ2-9, ընտրված է 100 ընտրանքային համախմբութ-

յուն` ո-4 ծավալով: 1-α-ի պարագայում բոլոր 100 դեպքերի համար կարող են որոշվել μ-ի վստահության միջակայքերը: ╍╍ սպասվող արժեքը, ⊤⊥- վստահության միջակայքի սահմանները, ∗∗- միջին թվաբանականները, այն դեպքերը, երբ -ն դուրս է վստահության միջակայքից (16-24)` ըստ 3.3.1.1 ենթակետում ներկայացված ո Հ 4 դեպքի

Ինչպես երնում է ներկայացված պատկերից, 100 դեպքերից միայն 3-ում (հարաբերական հաճախականությունը հավասար է 0,03-ի) սպասվող արժեքը դուրս է վստահության միջակայքից: Եթե 100 դեպքի փոխարեն ուսումնասիրվեին անվերջ քանակությամբ ընտրանքներ, ապա նման դեպքերի թվաքանակը կմոտենար 5 %ի: Միննույն ժամանակ նկատվում է, որ միջակայքի լայնության փոփոխականությունը շատ մեծ է: Քանի որ ոՀ4 պարագայում ընտրանքային համախմբության ծավալը փոքր է, միջին արժեքի ստանդարտ շեղումն առավելապես կախված է պատահականություններից: Որքան վստահության միջակայքը փոքր է, այնքան ավելի հուսալի է: Կես լայնության (d) կամ համապատասխանաբար հարաբերական կես լայնության (d %) դեպքում կիրառվում են հետնյալ բանաձները` Տ d d  է α (ո  1)  , d%   100 : 1 x ո Այստեղից ցորենի հասկի երկարությունը ՃI  7,23, 7,61, իսկ d  0,19 սմ, 0,19  100  2,56 : համապատասխանաբար` d%  7,42

կազմում

Ցորենի հասկի միջին երկարության վստահության միջակայքի լայնության կեսը հավասար է 0,19 սմ-ի, ինչը համապատասխանում է թվաբանական միջին արժեքի 2,56 %-ին: d-ի լայնությունը կախված է` 1-α վստահության գործակցից (որպես կանոն` 95 %), առանձին արժեքների (հատկանիշի հատկության) ստանդարտ շեղումից, - ընտրանքի ծավալից` ո-ից: d-ի վրա կարելի է նպատակադրված ձնով ազդել ընտրանքային համախմբության ծավալի ընտրության միջոցով` է 2 α(ո  1)  Տ 2

ո

1

Վերջինիս ձնափոխության արդյունքում ստանում ենք է 2 α(ո  1)  Տ%2 ո

1

: d%2 Եթե կատարված փորձերից կամ գրականության տվյալներից արդեն հայտնի է Տ-ի կամ Տ%-ի փորձնական արժեքը, ապա կարելի է հանել (նախապես որոշել) d-ն ն d%-ն ու հաշվարկել ո-ը: Եթե փորձնական տվյալներն առկա չեն, ընտրանքի ծավալի վերաբերյալ անհրաժեշտ պատկերացում կարելի է ստանալ Տ-ի ն d-ի նախօրոք տրված հարաբերության հիման վրա (օրինակ` 1:1 կամ 1:1,5): Քանի որ հավասարման երկու կողմերում էլ առկա է ո-ը, լու-

ծումը կարելի է ստանալ իտերացիայի (փորձի կրկնության) միջոցով: Օրինակ` ցորենի հասկի երկարության որոշման դեպքում պետք է ստանալ d-ն, որն ընդունվում է 1,0 սմ, α - 5 %: Դիցուք տրված է ցրման փորձնական արժեքը` s2-2:

Իտերացիայի (փորձի կրկնության) ելակետն ընդունվում է ո: 1,96 2  2 ո1   7,6832  8 (արդյունքը կլորացվում է ամբողջ թվերով): Համապատասխանաբար` է 2 (7)  2 ո2  0,975 2  2,365 2  2  12, ո3  2,2012  2  10, ո4  2,262 2  2  11, ո5  2,228 2  2  10 : Երբ ոi-ոi+1, իտերացիան ընդհատվում է (քանի որ ոi -ն կատարում է հավասարման պայմանը): Ընտրանքային համախմբության հաշվարկված անհրաժեշտ ծավալը տատանվում է 10-ի ն 11-ի միջն, անհրաժեշտ է ընտրել ավելի բարձր արժեք:

Ցորենի հասկի միջին երկարությունը 1 սմ ճշգրտությամբ գնահատելու համար պետք է հետազոտել 11 հասկից կազմված ընտրանքային համախմբություն: Ստացված իրական ճշգրտությունը կախված է լինում այն նախադրյալից, թե որքանով է ընտրանքային համախմբության վարիանցը համապատասխանում փորձնական արժեքին:

4.2.2. δ2 -ու կամ δ -ի վստահության միջակայքը Ըստ 3.3.3 ենթակետում ներկայացված պայմանների (նորմալ բաշխում)` (ո  1)Տ 2 ,  2 (ո  1), σ2   որտեղ Ք  2α(ո  1)   2   2 α(ո  1)  1  α: 1   2 Ձնափոխություն կատարելուց հետո ստացվում է    (ո  1)Տ 2 (ո  1)Տ 2  Ք 2   2   1 α :  α (ո  1)   1 α (ո  1)   2 Օրինակ, եթե ցորենի հասկի երկարության վարիանցը կազ2

 

մում է Տ2Հ2,22, իսկ α-0,05 (արժեքը որոշվում է համակարգչային ծրագրով), ապա 239  2,12   239  2,12  δ2  Ք   Ք(1,786  δ  2,558)  0,95 : 198,07   283,72    (ո  1) (ո  1)  Ք 2 Տ  σ 2 Տ   1  α: χ α(ո  1)   χ α(ո  1) 1  

Եթե ցորենի հասկի երկարության վարիանցը 95 % վստահությամբ գտնվում է գլխավոր համախմբության շրջանակներում` 1,786 ն 2,558 սմ2 միջակայքում, ապա ստանդարտ շեղումը 95 % վստահությամբ կգտնվի (համաձայն վերջին բանաձնի) գլխավոր համախմբության պարամետրերի շրջանակում` 1,336 ն 1,559 սմ-ի միջն: 4.2.3. ք-ի վստահության միջակայք ք-ն այլընտրանքային բինոմիալ բաշխված հատկանիշի երկու հնարավոր տարատեսակներից մեկի հանդիպելու հավանականությունն է: Քանի որ ստորին ն վերին սահմանների որոշումը բավա-

կան բարդ է, ո ≤30 համար կառուցվում են հատուկ աղյուսակներ, որոնցում ո, k ն α-ի կապը տեսանելի է (հավելվածի աղյուսակ 5): ո - 30-ի համար կիրառվում է մոտեցման (ապրոքսիմացիոն) հետնյալ բանաձնը` Ք Քս (ո, k, α)  ք  քo (ո, k, α)  1  α :





Ըստ ծնում արու խոճկորների օրինակի` ո  1000, k  400, p̂  0,4 : Այս դեպքում ՀI  [0,37, 0,43] :

Ընտրանքում 4000-ից 2085-ը եղել են արու, ինչը համապատասխանում է 52,1 %-ի: 95 % վստահությամբ կարելի է ասել, որ գլխավոր համախմբության խոճկորների 50,6-53,7 %-ը կլինեն արու:

4.3. ՏԵՍՏԵՐ

Տեստերը նպատակային գործողություններ են, որոնց միջոցով ընտրանքային համախմբությունների հետազոտություններում ըստացված արդյունքների հիման վրա ընդունվում կամ մերժվում են գլխավոր համախմբություններին վերաբերող վարկածները: Եթե վարկածները վերաբերում են հայտնի բաշխման տիպի պարամետրերին, տեստը կոչվում է պարամետրային, մյուս դեպքերում տեստերը լինում են ոչ պարամետրային:

4.3.1. Ընդհանուր դրույթներ 1. Երկու միմյանց բացառող, մասնագիտորեն հիմնավորված վարկածներն իրենց բնույթով կազմում են զույգ`

զրոյական վարկած` այլընտրանքային վարկած`

Է0 , ԷA:

Է0 վարկածն ընդհանուր առմամբ բխում է փոփոխականության պատահականության սկզբունքից: Համապատասխանորեն ԷA-ն նշանակում է փոփոխականության ձնավորման այլ պատճառ:

Ընտրանքի հիման վրա փորձ է կատարվում որոշում ընդունել այս կամ այն վարկածի վերաբերյալ: Եթե այլընտրանքային վարկածը ձնակերպվում է որպես զրոյական վարկածի ժխտում, ապա տեստերը կրում են բացահայտող բնույթ (սիգնիֆիկանց տեստեր): Եթե տեստը հնարավորություն է տալիս նան վիճակագրորեն հիմնավորել զրոյական վարկածի ընդունումը, այսինքն` իրականացվում է որպես բուն այլընտրանքային տեստ, ապա այլընտրանքային վարկածը պետք է ավելի ճշգրտված տեսք ունենա: 2. Եթե բաշխումը նախապես հայտնի է, ապա, ըստ զրոյական վարկածի վավերության նախապայմանի, հաշվարկվում է տեստի ֆունկցիան: Այդ դեպքում տեստը կարող է իրականացվել որպես բացահայտող տեստ: Եթե այլընտրանքային վարկածն այնպես է ձնակերպված, որ դրա վավերականության դեպքում բաշխումը հայտնի է, ապա տեստը կարող է իրականացվել որպես այլընտրանքաին տեստ: Հաճախ տեստերն անվանվում են դրանց իրականացնելու ժամանակ օգտագործված բաշխման տիպերի անունով: 3. Տեստի հիման վրա, համեմատելով տեստի մեծությունը ն աղյուսակային արժեքը, կայացվում է համապատասխան որոշում:

Պարամետրային տեստի օրինակ k μ , k σ2 -ն պարամետրային տվյալներ են, որ վերաբերում են խ-ին ն δ2-ուն:

ԷA-ի ձնակերպումը բացահայտող տեստի ձնով միակողմանի երկկողմանի

Է0

լμ≤kμ| μ»kμ

μ-kμ

լμ≥kμ|

μ1-μ2

μ≠kμ

μՀkμ

T տեստ1)

լμ1≤μ2| μ1»μ2

μ1≠ μ2

լμ1≥μ2| μ1Հμ2 լδ2≤kδ2| δ2»kδ2

δ -kδ2

δ12-δ22

Տեստի անունը

լδ2≥kδ2| δ2Հkδ2 լδ12≤δ22| δ12»δ22 լδ12≥δ22| δ12Հδ22

δ2≠kδ2

22 տեստ1)

δ12≠ δ22

F տեստ1)

Ոչ պարամետրային տեստի օրինակ ՒA-ի ձնակերպումը Տեստի անունը բացահայտող տեստի ձնով

Է0

2:N(μ,δ2)

2-ն անցնում է այլ բաշխման

22 տեստ1)

Վարկածները կարող են ստուգվել որոշակի տեստի միջոցով, եթե առկա են որոշակի նախապայմաններ: Այլապես պետք է կիրառվեն այլ տեստեր: Միննույն ժամանակ տեստերի հիման վրա կայացված որոշումները, ինչպես նան բոլոր վիճակագրական եզրակացությունները չեն կարող հարյուր տոկոսանոց հավաստիություն ունենալ: Որոշ տեստերի դեպքում կարող է ստեղծվել հետնյալ իրավիճակը. Տարբերակներ Ւ0-ն ճիշտ է

Տեստի լուծում Որոշման հավանականությունը ՒՃ վերցվում է Ւ0 վերցվում է ՒՃ Ւ0 ճիշտ α ռիսկ` ոչ սխալ 1-α-ն վստահելիության որոշում հավանականության մաս վստահելի մաս

կամ ՒA-ն ճիշտ է

սխալ

ճիշտ որոշում

 ռիսկ` ոչ վստահելի մաս

1--ն` վստահելի մաս

α ն β մեծությունները, ինչպես նան ընտրանքային համախըմբության ո մեծությունը սերտորեն կախված են միմյանցից: Եթե որնէ տեստ իրականացվում է որպես բացահայտող տեստ, կարող է հաշվի առնվել առաջին տիպի սխալի հավանականությունը` α-ն, β-ն այդ դեպքում հաշվի չի առնվում: Երկու ռիսկերը համատեղ դիտարկվում են միայն այլընտրանքային տեստի դեպքում:

4.3.2. է տեստ` μ սպասվող արժեքի ն անփոփոխ մեծության համեմատության համար 4.3.2.1. է տեստը որպես բացահայտող տեստ Ցորենի աշնանացան տեսակը հրուշակային տեսակների շարքին դասելու համար անհրաժեշտ է, որպեսզի անմշակ պրոտեինի քանակը դրանում առնվազն կազմի 11,5 % (անփոփոխ տվյալ (coոՏէ.)), ինչը սպասվող արժեքի համար նշվում է kμ-ով: Պրոտեինի պարունակության գնահատման համար կարելի է օգտագործել նորմալ բաշխումը: Անհրաժեշտ է կատարել երեք քայլ` 1. Հրուշակային ցորենի դեպքում Ւo :μ  11,5 % (1), իսկ

ՒՃ :μ  11,5 % (2) դեպքում ցորենը հրուշակային չէ: Սխալի հավանականությունը (ստացվում է երկրորդ բանաձնը, երբ փաստացի վավերական է առաջինը) առավելագույն է, երբ առաջին բանաձնում վավեր է հավասարության նշանը (այսինքըն` μՀ11,5 %): Բացահայտման այս ձնն օգտագործվում է զրոյական վարկածի ձնակերպման ժամանակ: 2. 3.3.2 ենթակետից հայտնի է, որ նորմալ բաշխված պատահական փոփոխական 2-ի համար x μ է , է(ո  1) : Տx

μՀ11,5 % դեպքում ստացվում է x  11,5 է , է(ո  1) : Տx Այսինքն` ուժի մեջ է Ւ0-ն: ո ծավալի ընտրանքային համախմբության դեպքում x ն Տ x -ը փոխարինվում են հաշվարկված արժեքներով այնպես, որ էսխ.-ն պահպանվում է: ոՀ16 ծավալի ընտրանքային համախմբությունից ստացվում է էսխ.Հ -0,89: x̅-11,25, s-1,12, Տ x -0,28 3. α-ի սահմանումից հետո կարելի է որոշել t1-α(ո-1) աղյու-

սակային արժեքը α-0,05 ն ոՀ16 համար (հավելվածի աղյուսակ 2)` t0,95-1,75:

Արդյունքում t0,05--1,75:

-1,75 Հատված, որտեղ Ւ0-ն մերժվում է, հատված, որտեղ ՒՃ-ն ընդունվում է: Օրինակում` -1,75, -0,89:

-0,89 Հատված, որտեղ Ւ0-ն չի մերժվում, հատված, որտեղ ՒՃ-ն չի ընդունվում:

Եթե էսխ.Հ - է1- α (ո-1), ապա Ւ0-ի հավանականությունը α 7-ից փոքր է: Այդ դեպքում իմաստ ունի ընդունել ՒՃ-ն: Բայց, քանի որ

այդ դեպքում չի կարելի լիովին բացառել Ւ0-ն, այդ պնդման սխալի հավանականությունը կլինի α-5 7:

Եթե tսխ.≥-t1-α(ո-1), նշանակում է, որ ՒՃ-ն չի հաստատվում

կամ Ւ0-ն չի հերքվում, սակայն չի նշանակում, որ Ւ0-ն հաստատվում է, քանի որ հաշվի չի առնված β-ռիսկը, որը պետք է նկատի ունենալ զրոյական վարկածն ընդունելիս: Հետնաբար Ւ0-ի ընդունումն անհայտ β-ի պարագայում պետք է ձնակերպել հետնողականորեն (հատկապես երկրորդ օրինակի դեպքում, քանի որ -0,89 - 1,75):

Ընտրանքային համախմբության հիման վրա հնարավոր չէ եզրակացնել, որ մշակաբույսը հրուշակացորեն չէ: Սակայն ինքնաբերաբար չի կարելի ենթադրել, որ այն հրուշակացորեն է, քանի որ որակն անհայտ է:

Վիճակագրական ծրագրերով աշխատելու դեպքում հնարավորություն է առաջանում կատարել տեստի որոշում ոչ միայն է արժեքների (էսխ. ն է) հիման վրա, այլ նան համապատասխան խտության ֆունկցիաների մակերեսների համեմատության միջոցով: Ստորն ներկայացվում է համեմատություն միակողմանի տեստի համար, երկկողմանին տրվում է 4.3.3 ենթակետում:

Ի-յի6/ < α

Ի-յի6/  α

աA

Ինչպես երնում է բերված օրինակում, Ք-ի արժեքի օգտագործումը ճշգրտում է արդյունքները: Սակայն այն դեպքերի համար, երբ է-ի աղյուսակային տվյալներն առկա են, այդ ճշգրտումը պարտադիր չէ: Բացահայտող տեստի որոշումն ընդհանուր առմամբ ունի հետնյալ տեսքը. ՒA

ՒA, որի ոax հավանականությունը հավասար է α-ի էսխ.  է1α (ո  1) էսխ.  է1α (ո  1)

μ  kμ μ  kμ μ  kμ

էսխ.   է

α (ո  1) 1

Համակարգչային հաշվարկ

Ք-Մ6rէՀ α

Ւ0` β անհայտ սխալով

այլ դեպքերում

Ք-Մ6rէ ≥α

Ստորն ներկայացվում է, թե ինչ իրական առարկայական հետնանքներ ունի վարկածների հետ կապված հնարավոր որոշումների կայացումը: Տարբերակներ Ճիշտ էՒ0-ն

Ճիշտ է ՒA -ն

Ւ0 ենթադրություն ճիշտ որոշում

աշնանացանը հրուշակային տեսակ չէ, բայց ճանաչվել է որպես այդպիսին (գնողի ռիսկ β)

ՒՃ ենթադրություն աշնանացանը հրուշակային տեսակ է, բայց չի ճանաչվել որպես այդպիսին (տնտեսական կորուստ արտադրողի համար), α ճիշտ որոշում

Գյուղի տնտեսվարողը α-ի բնորոշումով վերահսկում է իր ռիսկը, բայց գնողն այս մոտեցմանը չի համաձայնի, քանի որ նրա β ռիսկը հաշվի չի առնված: Վերջինիս համար անհրաժեշտ է տեստն իրականացնել որպես այլընտրանքային:

4.3.2.2. է տեստը որպես այլընտրանքային տեստ Անհրաժեշտ է ավելի մանրամասն ճշգրտել այլընտրանքային վարկածը: Ենթադրենք` 11,5 %-ից համեմատաբար փոքր շեղումները զգալի բացասական ազդեցութուն չեն թողնում խմորեղենի որակի վրա: Բայց, եթե գլխավոր համախմբության մեջ հատվի 11 %-ի սահմանը, ապա զրոյական վարկածը պետք է ընդունվի սխալի առավելագույն β հավանականությամբ: ՈՒստի պետք է սահմանվի առարկայորեն հիմնավորված` գործնական նշանակություն ունեցող նվազագույն տարբերությունը` d" (մեր օրինակում d"Հ0,5 %): Վերջինիս համաձայն` սահմանվում են վարկածները. Ւ0 : μ  11,5 % (Ե2w. μ  11,5 %), ՒՃ : μ  11 %  11,5 %  d : Այժմ կարող է որոշվել է բաշխման դիրքը ՒA-ի վավերության դեպքի համար` է

x  (11,5  d ) x  11,5 d   : է(ո  1) : Տx Տx Տx

Հատված, որտեղ Ւ0 -ն մերժ- Հատված, որտեղ Ւ0-ն չի մերժվում է, համապատասխանա- վում, համապատասխանաբար` բար` հատված, որտեղ ՒՃ-ն հատված, որտեղ ՒՃ-ն չի ընդունվում է: ընդունվում: Այս օրինակն ընդունում է հետնյալ տեսքը` d 0,5   1,786 : Տ x 0,28

t-ն փոփոխականության չափն է` հաշվարկված ՒՃ-ի համար, β-ն հաշվարկվում է յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար: Եթե αՀ0,05, d"Հ0,5 %, իսկ ոՀ16, ապա βՀ0,486: β-ի հաշվարկը կրում է անհատական բնույթ` կապված մարդկային գործոնի հետ: Օրինակ` յուրաքանչյուր գործարար ինքնուրույն է գնահատում իր գործարքի պարագաներում հնարավոր ռիսկի չափը ն հաշվարկում համապատասխան արդյունքները: Տվյալ դեպքում գործարարը կգերադասեր ռիսկը (β) կազմեր 0,05: Ընդհանուր առմամբ դիտվում է հետնյալ փոխկապվածությունը. անփոփոխ են` ո, d". . . . եթե α-ն նվազում է, տեղի է ունենում β-ի աճ,

α, ք . . . . β-ի աճը, d"-ի նվազումը բերում են ո-ի աճի, α, d". . . . β-ի նվազումն առաջացնում է ո-ի աճ:

Ւ0-ի համար β-ի չափի որոշումը կատարվում է մնացած մեծությունների (α, d") հետ կապակցված ն վերջում հաշվարկվում է ընտրանքային համախմբության ծավալը, ինչի արդյունքում ապահովվում է վստահության բավարար աստիճան: Միակողմանի տեստի ՒՃ-ի վերլուծության համար անդրադառնանք գրաֆիկին:

Միակողմանի տեստի համար կիրառվում է հետնյալ բանաձնը` d d  է1α (ո  1)  է1β (ո  1)  ո, Տx Տ

ո

|է1α (ո  1)  է1β (ո  1))2 Տ 2

, d երկկողմանի տեսի համար` հետնյալ բանաձնը`

ո

  2 է α (ո  1)  է1β (ո  1) Տ 1  2 

d

Ընտրանքային համախմբության ծավալի հաշվարկումից հետո կատարվում է այլընտրանքային տեստի վերլուծություն` համաձայն 4.3.1 ենթակետում բերված աղյուսակի: Օրինակ` յուրաքանչյուր խումբ շահագրգռված է ռիսկը հասցընել նվազագույնի: α ն β-ն ընդունվում են 5 %, ըստ փորձնական չափումների` ոՀ16, σ2-ու գնահատման արժեքը կազմում է s2 = 1,2544: Վերը ներկայացված բանաձնի հիման վրա հնարավոր է կըրկնության եղանակով բնորոշել ընտրանքային համախմբության ծավալը (4.2.1 ենթակետ): Ստացվում է ո Հ 57, ինչը նշանակում է, որ պետք է գտնվեն նս 41 տարբերակներ: Ընտրանքային համախմբությունից վերցվում է x  11,3 ն կատարվում է հետնյալ հաշվարկը` մ 0,5   3,377, x  11,3 , Տ x  0,148, Տ x 0,147 11,3 - 11,5 է սխ.   57  - 1,373, է 0,95 (56)  -1,673 : 1,1

-1,673

-1,373

Քանի որ էսխ.Հ -1,373 - -է0,95(56) Հ -1,673, այսինքն` β հավանականությունը փոքր է 0,5-ից, համապատասխանաբար` Է0-ն ընդունվում է սխալի β ≤ 5 % հավանականությամբ (մոտավոր տվյալները վերցվում են ըստ հավելվածի աղյուսակ 2-ի ոՀ 60 տողի): Եզրակացություն: Աշնանացան ցորենի տեսակը կարող է բնորոշվել որպես հրուշակային, եթե ցորենի հասկում պրոտեինի պարունակությունը կազմում է առնվազն 11,5 %: Սխալի ամենաբարձր հավանականությունն է β Հ 5 %: Եթե ընտրանքային համախմբության ծավալի նախատեսման ժամանակ օգտագործված Տ2-ու արժեքը համապատասխանում է ընտրանքային համախմբության մեջ պահպանված արժեքին կամ մեծ է դրանից, ապա β-ն նշված 5 % արժեքից փոքր է: Այդպես է քննված դեպքում: Այլ պարագաներում β-ն որոշվում է նորից:

4.3.3. t տեստ` երկու սպասվող արժեքների համար (μ1, μ2 միննույն վարիանցների դեպքում) Փորձի համար ընտրում ենք հավասար եկամուտ բերող ցորենի երկու աշնանացան տեսակ: 1. Ւ0 : 1   2 , ՒՃ : 1   2 , α  5 % :

Այս դեպքում չի պահանջվում կատարել d"-ի հաշվարկ, քանի որ ընտրանքային համախմբությունների ծավալի որոշման հարց դրված չէ: Ներկայացված է միայն բացահայտման տեստի օրինակ: Սովորաբար համախմբության ընդունված ծավալներն են ո1Հ30 , ո2Հ25, Տ1: x1  58, Տ12  29,2, Տ2 : x 2  54, Տ 22  27,3 : Ի տարբերություն 4.3.4 ենթակետում բերված օրինակի` ներկայացված տեստը ցույց է տալիս վարիանցների նմանությունը: Ըստ 3.3.4 ենթակետի` 21 : N(1,  2 ), 2 2 : N( 2 ,  2 ) : Ւ0-ի ընդունման դեպքում x  x2 է 1 , Տd որտեղ tոax կենտրոնը գտնվում է 0 կետում, իսկ բաշխումը կենտրոնային է (է-ն փոփոխվում է ո1+ո2 - 2 ազատության աստիճանի պարագաներում, 4.3.2.1 ենթակետի գրաֆիկ): ՒՃ-ի ընդունման դեպքում է-ի փոփոխականության աստիճանն այլ է: է-ն հավասար չէ 0-ի, նշանակում է, որ բաշխումը կենտրոնային չէ: Բերենք միջին վարիանցի հաշվարկի օրինակ ստանդարտ շեղվող երկու դեպքերի համար` 29  29,2  24  27,3 (ո  1) Տ12  (ո2  1) Տ 22  28,34, Տ2  1 , Տ2  30  25  2 ո1  ո2  2 Տ  28,34  5,32 : Միջին թվաբանականների տարբերության միջին շեղման հաշվարկման արդյունքում` ո  ո2 Տ2 Տ2  2 Տ 1 , Տ d  5,32  1,44 : ո1 ո ո1  ո2 30  25 Արդյունքում է սխ.   2,78 : 1,44 Տd 

2. Ւ0-ի դեպքում ենթադրվում է երկու համախմբությունների փոփոխականության իրական տարբերություն, ինչը պայմանավորված է բաշխման յուրահատկություններով, իսկ ՒՃ-ի դեպքում այս

տարբերությունը պատահական է ն պայմանավորված չէ որնէ էական պատճառներով: Այստեղից ՒՃ-ն ընդունվում է, եթե հավելվածի աղյուսակ 2-ի α-ի համապատասխան տողի հավանականության ցուցանիշը փոքր է կամ հավասար ուսումնասիրությունում հաշվարկված ցուցանիշից:

ԷA

ՒՃ սխալի հավանականությունը, ոax Հ α

Ւ0 անհայտ սխալի հավանականությունը, ոaxՀβ

1   2 1   2 1   2

  է1α (ո1  ո2  2)  է1α (ո1  ո2  2)  է1α (ո1  ո2  2)

այլ դեպքեր

Աղյուսակի ցուցանիշ

ՔՀα

Ք≥α

Տվյալ դեպքում |էսխ.| -2,78 - t0,975(30+25-2)Հt0,975(53)Հ2,01: Հաշվարկի արդյունքները հերքում են զրոյական հիպոթեզը, ընդունվում է ՒՃ-ն` սխալի αՀ5 % հավանականությամբ:

Այսպիսով, α≤5 %-ի դեպքում երկու տեսակների միջին բերքատվությունների միջն էական տարբերություն չկա: Եթե տեստն իրականացվում է որպես այլընտրանքային, ապա ընտրանքային համախմբության ծավալը պետք է ընտրվի ըստ α-ի,

β-ի ն d"-ի` - միակողմանի այլընտրանքի համար` 2 է1α (2ո  2)  է1β (2ո  2) 2 Տ 2 ո , d - երկկողմանի այլընտրանքի համար`





ո

  2 է α (2ո  2)  է1β (2ո  2) Տ 2 1  2 

d

4.3.4 Է-տեստ` երկու վարիանցների համեմատության համար Օրինակ 1 Ստուգվում է ցորենաշորայի (էriէical6) երկու սորտերի տրամախաչման արդյունքում ստացված սերնդի (2) հատիկների թիվը: Ենթադրվում է, որ հասկի չափանիշի վարիանցը էապես նվազել է ելակետայինի (1) նկատմամբ (միակողմանի հարցադրում): Ա. Է 0 : 12   22 դեպքում տարբերությունը պատահական է,

Է A : 12   22 դեպքում տարբերությունը պայմանավորված է իրական պատճառներով: Ընդ որում` 12 -ն առաջին գլխավոր համախմբության քառակուսային շեղումն է, իսկ  22 -ն` երկրորդ գլխավոր համախմբության քառակուսային շեղումը: Համապատասխան հարցադրմանը` ԳՀ 1-ում ՒՃ-ի դեպքում ենթադրվում է ավելի մեծ քառակուսային շեղում (ելակետային նյութ) քան ԳՀ 2-ում (խաչաձնման արդյունք):

Եթե 21: N(μ,δ12), 22:N(μ,δ22) ն ճիշտ է Ւ0-ն, ապա Է 

Տ1

Տ 22

Է-ը բաշխվում է ազատության ո1 ն ո2 աստիճանների համապատասխանող ցուցանիշների (հավելվածի աղյուսակ 4ա) սահմաններում: Աղյուսակում ներկայացված են 0,95 հավանականությանը համապատասխանող ցուցանիշները: Աղյուսակից օգտվելու համար պետք է ավելի մեծ ցուցանիշները տեղադրել համարիչում: Բ. Ըստ ընտրանքային համախմբութան տվյալների` Տ12  165,3, ո1-110, Տ 22  87,5, ո2-90, Էսխ. 

Տ12 165,3   1,89 : 87,5 Տ 22

Գ. Բացահայտման տեստի հիման վրա Fսխ.-1,89: Աղյուսակային համապատասխան ցուցանջշը հավասար է 1,4-ի: Հայտնի է, որ աղյուսակային ցուցանիշը բացահայտում է տարբերության պատահականության սահմանային իրավիճակը 0,95 - Ք-ի համար: Եթե հաշվարկված ցուցանիշն ավելի բարձր է, տարբերությունը կրում է պատճառաբանված բնույթ` α≤5 % հավանականությամբ:

Արդյունքում ընդունվում է ՒՃ-ն` սխալի αՀ5 % հավանականությամբ: Այսպիսով, ցորենաշորայի խաչաձնման արդյունքում ստացված սերունդների հատիկների թիվը (հասկի չափանիշի փոփոխականություն) էապես նվազել է ելակետայինի նկատմամբ: Ընդունված սխալի հավանականության առավելագույնը կազմում է αՀ5 %: Ընդունվում է ՒՃ

12   22 12



 22

Ւ0` սխալի β հաՒՃ` սխալի առավելագույն հավանակա- վանականությունն անհայտ է նությունը, α Էսխ. - Է1-α(ո1-1,ո2-1) Էսխ.»F1-α/2(ո1-1,ո2-1)

այլ դեպքեր

Օրինակ 2. Տ1 ն Տ2 աշնանացան տեսակների վարիանցների համեմատության խնդիր (ըստ 4.3.3 ենթակետի): Վարիանցների հոմոգենության ստուգումը (երկկողմ հարցադրում) կատարվում է որպես է տեստի կիրառության նախապայման: 1. Է 0 : 12   22 ,

Է A : 12   22 :

α-ի արձանագրության դեպքում պետք ելնել հետնյալից` Բովանդակություն Ճիշտ է Ւ0-ն

Ենթադրություն Ւ0 ճիշտ որոշում

Ճիշտ է ՒՃ -ն

կիրառվում է տեստ, որը ենթադրում է վարիանցի հոմոգենու-

Ենթադրություն ՒՃ կիրառվում է տեստ ոչ հոմոգեն վարիանցի (թեն դրա անհրաժեշտությունը չկա) համար ավելորդ ինֆորմա-

ցիա` α ճիշտ որոշում

թյուն (թեն չի արդարացվում)

տեստի պնդումը կասկածելի է` β ռիսկ

Ընդհանուր առմամբ α-ի աճը հանգեցնում է β-ի նվազման:

α - 10 % հավանականության ցուցանիշը հաճախ կիրառվում է նախապայմանների ստուգման համար (օրինակ` վարիանցի հոմոգենության ստուգման Է տեստում, 22 համապատասխանության տեստում): Դրա կիրառմամբ ստուգվում է համապատասխանությունը նորմալ բաշխմանը (4.3.5 ենթակետ, օրինակ 1): Մեր խնդրում α - 10 %: 2. Ընտրանքային համախմբության տվյալներն են`

Տ12  29,2, ո1-30, Տ 22  27,3, ո2-25, 29,2 Էսխ.   1,069 : 27,3 Ինչպես նշվել է նախորդ խնդրում, աղյուսակից օգտվելու համար պետք է ավելի մեծ ցուցանիշները տեղադրել համարիչում: 3. Բացահայտման տեստի հիման վրա կայացվող որոշման համաձայն` հաշվարկված Էսխ.-1,0696, իսկ աղյուսակայինը`

Հ F1-α/2(ո1-1,ո2-1)-F0,95(29,24)Հ1,939: Աղյուսակային ցուցանիշը զգալիորեն գերազանցում է հաշվարկվածը, ուստի հետազոտվող ընտրանքների փոփոխականության աստիճանների տարբերությունը պատահական է: Արդյունքում ընդունվում է Ւ0-ն` անհայտ β -ով: Ընտրանքային համախմբության հիման վրա ստացված արդյունքներում որնէ նախապայման չի խանգարում ընդունել վարիանցի հոմոգենությունը ն է տեստի կիրառությունը սպասվող արժեքների համեմատության համար թույլատրելի է:

4.3.5. 22 տեստ` դիտված հաճախականության բաշխման ն սպասվող բաշխման համեմատությունը 22 տեստը կոչվում է նան 22 համապատասխանության տեստ: Դրա կիրառության նախադրյալն այն է, որ 2-ն ընդհատ կամ անընդհատ պատահական փոփոխական է: Վերլուծության համար անհրաժեշտ է, որպեսզի ո - 20-ից ն ենթադրվի դասակարգման որոշակի օրինաչափություն: 22-ին կիրառվում է ինչպես բացարձակ, այնպես էլ հարաբերական հաճախականությունների վերլուծության դեպքում, երբ անհրաժեշտ է իրական ճեղքումը համեմատել տեսականորեն հաշվարկվածի կամ սպասվածի հետ: Մեր ուսումնասիրություններում 22 համարյա միշտ կիրառվում է որպես բացահայտող տեստ: Երկու ճեղքումների միջն տարբերության բացակայությունը ձնակերպվում է որպես Ւ0 վարկած, իսկ տարբերության առկայութ-

յունը` որպես ՒA վարկած:

1. Ւ0 : 2-ն ունի որոշակի բաշխման ֆունկցիա` Է(x), ՒՃ : 2-ն ունի ցանկացած այլ բաշխման ֆունկցիա: k (f j - j )  : 2.  սխ.    j j1 Ընդ որում` fj-ն j-րդ դասի հաճախականությունն է, j-ն j-րդ դասի արժեքների տեսական քանակը, երբ վավերական է Ւ0-ի j Հ ոքj, քj-ն` j-րդ դասի արժեքների կրկնվելու հաճախականությունը, k-ն` դասերի քանակը: j ≥ 5 պայմանը պահպանվում է հարնան դասերի ընդհանրացման միջոցով: Համապատասխան վճռի կայացումը կատարվում է բացահայտման տեստով` անհավասարության վերլուծության եղանակով: Ա.  սխ.  12 (k  1  p) դեպքում ընդունվում է ՒA-ն` α առավելաԲ.

գույն սխալի հավանականությամբ:  սխ.  12 (k  1  p) դեպքում ընդունվում է Ւ0-ն` β առավելա-

գույն սխալի հավանականությամբ: Ընդ որում` ք-ն Է(x) բաշխման ֆունկցիայի պարամետրերի քանակն է, իսկ k-ն` դասերի քանակը:

Օրինակ 1 Պետք է պարզել, թե կարող է արդյոք 4.2 ենթակետում բերված խնդրի պարագաներում ցորենի հասկի երկարությունը դիտվել որպես նորմալ բաշխված: Նորմալ բաշխման ստուգումը նախադրյալ է հետագա ուսումնասիրությունների, օրինակ` վստահության միջակայքի հաշվարկման համար: Բաշխման եղանակի ստուգման համար օգտագործվում է

α-0,10 կամ Ք-0,9 (Ք-1-α) հավանականության նվազագույն ցուցանիշը, որը նշում է այլօրինակ բաշխման հավանականությունը: Ք-ի տվյալները բերված են հավելվածի աղյուսակ 3-ում: Ընդհանուր առմամբ ինչքան փոքր է  2 -ու հաշվարկված ցուցանիշը, այնքան ցածր է համեմատվող բաշխումների միջն տարբերության հավանականությունը: 1. Ւ0: ցորենի հասկի երկարությունը նկարագրվում է 2 :N (7,42, 2,12) բանաձնով:

2. ՒՃ: ցորենի հասկի երկարությունը բաշխվում է այլ եղանակով, որի հավանականությունը որոշվում է ներկայացված աղյուսակի հիման վրա` համապատասխան բանաձների կիրառությամբ: i

Սահման- Դիտված Տոկոսային հաՏեսական ները հաճա- ճախականութարժեքը, խակայունը, քj % (ո  ք j %) j  նությու- (3.2.2.2 ենթա100 կետ) նը, fj Հ4,85 3,8511 9,2427

0,00637

4,85-5,85 28

10,1292

24,3100

0,56010

5,85-6,85 46

20,6919

49,6607

0,26985

6,85-7,85 64

26,8459

64,4301

0,00287

7,85-8,85 51

22,1244

53,0985

0,08293

8,85-9,85 30

11,5807

27,7937

0,17514

9,85-10,85 9

3,8480

»10,85

 սխ. 

j1

(f j - j ) j

(f j   j )2 j

9,2352 2,2291 0,02503

4,7768 0,9288

11,4643

ո-240

∑-240

∑-1,122

 1,122 :

3. Բացահայտման տեստի հիման վրա կայացվող որոշման համա2 ձայն` ստացվում է  սխ.  1,122   20,90 (4)  7,78 , (k  1  ք  7  1  2  4) : Տվյալ դեպքում դասերի քանակը` k-ն, միավորումից հետո հավասար է 7-ի, իսկ ք-ն` միավորված դասերի քանակին` 2: Համապատասխան եզրահանգումը հնարավոր է կատարել աղյուսակային մոտավոր տվյալների հիման վրա (հավելվածի աղ-

յուսակ 3, Ք-0,9): Ըստ աղյուսակի տվյալների` Fg-4, Ք-0,9 դեպքում  2 հավասար է 7,78-ի, իսկ մեր հաշվարկներում ստացված

ցուցանիշը համապատասխանում է Ք-ի, որի նշանակությունը գըտնըվում է 0,90-ի ն 0,75-ի միջն ընկած միջակայքում: Այսպիսով, Ք-ն, որը հաշվարկվում է 1-α բանաձնով, ընդունում է 0,9-ից մինչն 0,75 նշանակությունները, այսինքն` փոքր է

α-0,10 կամ 0,9 ցուցանիշից: Համապատասխանորեն այլօրինակ բաշխման հավանականությունը ցածր է նախօրոք որոշված սահմանից, ՒA-ն ժխտվում է: Ըստ վերնում ներկայացված պատկերի` ընդունվում է Ւ0-ն` անհայտ β-ով: Ընտրանքային համախմբության հիման վրա ստացված արդյունքներում որնէ նախապայման չի խանգարում անհայտ սխալի հավանականության պայմաններում ցորենի հասկի երկարության չափանիշի նորմալ բաշխման վարկածի ընդունմանը:

Օրինակ 2 1. Ւ0-ի դեպքում խաչաձնման ընթացքում հանդես է գալիս երեք ֆենոտիպ` ճեղքման 1:2:1 հարաբերությամբ: 2. ՒՃ-ի դեպքում առկա է ճեղքման այլ հարաբերություն: Քանի որ այս պարագայում զրոյական վարկածի ընդունումը կապված է ըստ հնարավոր փոքր β ռիսկի հետ, ուստի ընդունվում է ավելի մեծ α-ի արժեք, այսինքն` α-10 7: ՖենոՍպասվող տիպ, ճեղքման հաj րաբերությունը ∑

1 (ք1Հ0,25) 2 (ք2Հ0,50) 3 (ք3Հ0,25)

Դիտարկվող հաճախականությունը, fj

Տեսականորեն սպասվող քանակը,  j  ո  ք j

(f j   j )2 j

0,3571 0,2571 1,7286  սխ. Հ2,343

3. Բացահայտման տեստի հիման վրա կայացվող որոշման համաձայն`  սխ.  2,343  12α (k  1  ք)   20,90  4,605 :

Հիբրիդացման ուսումնասիրություններում Էց-ի հաշվարկի համար կիրառվում է հետնյալ բանաձնը` Էց Հ k-1, որտեղ k-ն ֆենոտիպերի քանակն է: Տվյալ դեպքում k-ն հավասար է 3-ի, Էց Հ 3-1: Եզրակացություն կարելի է կատարել ըստ աղյուսակային մոտավոր արժեքների: Ընդունվում է ճեղքման 1:2:1 հարաբերությունը` անհայտ β-ով: Ընտրանքի տվյալների հիման վրա առաջարկվող պնդումն այն մասին, որ երեք ֆենոտիպերը հանդես են գալիս ճեղքման 1:2:1 հարաբերությամբ, չի մերժվում: Այլ ճեղքման հավանականությունն աննշան է: Էց-ի հաշվարկը կատարվում է սահմանափակող պարագաների համաձայն: Նորմալ բաշխման դեպքում սահմանված պարագաները երեքն են` խ, δ, ո: ՈՒստի ԷցՀk-3, որտեղ k-ն դասերի թվաքանակն է: Պուասոնի բաշխման դեպքում սահմանված պարագաներն են խ, ո: Հետնաբար ԷցՀk-2: Կոդոմինանտ հատկանիշնե-

րի ճեղքման ուսումնասիրություններում Fg հավասար է հնարավոր ֆենոտիպերի ն լոկուսի ալելների թվաքանակների տարբերությանը: Հիբրիդացնող տրամախաչումներում Էց վերցվում է ԷցՀ f -1: Տվյալ դեպքում f-ը ֆենոտիպերի քանակն է:

4.4. ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Մեկուկես տարի առաջ ցանված մեխակի դաշտում 20 տարբեր 1 մ2 հողահատվածներից կատարվել է փորձնական ծաղկահավաք: Նկատի ունենալով հետագա օգտագործումը` ծաղկաքաղը կատարվել է գետնից 60 սմ բարձրության վրա: 97 քաղված ծաղիկների ցողունների երկարությունը հետնյալն է`

Ա. Ինչպիսին են ողջ պոպուլյացիայի թվաբանական միջինը ն ստանդարտ շեղումը: Տալ համապատասխան կետային ն միջակայքային գնահատականներ: Բ. Ինչ ծավալի ընտրանքային համախմբություն է անհրաժեշտ ցողունի միջին երկարությունը 5 սմ ճշգրտությամբ ն 95 % վստահությամբ որոշելու համար: 2. Ծառի մերիստեմի ավելացմանն ուղղված փորձերում ցիտոքինինով մշակվել է տաս ծաղկաման (ցիտոքինինի պարունակությունը կազմել է 0,5 ն1,0 պպմ խտություն): Հետազոտվել է մե-

րիստեմի աճի վրա ունեցած ազդեցությունը (ծիլերի քանակը

դիտել որպես անընդհատ, նորմալ բաշխված): Ցիտոքինինի խտությունը 0,5 պպմ"

Ծիլերի քանակը յուրաքանչյուր ծաղկամանում

34 35

1,0 պպմ

47 45

Ապահովել է արդյոք ցիտոքինինի ավելի բարձր խտությունը մերիստեմի ավելի զգալի ավելացում (αՀ0,5): "Պպմ - 1/միլիոնանոց մաս: 3. Խաչաձնման արդյունքում ստացված հավերի սերնդի գնահատման համար պետք է վերլուծել միջին տարեկան ձվատվությունը (ձու/տարի): Քանի հավ պետք է ներգրավվի ընտրանքային համախմբության մեջ, որպեսզի գնահատականն իրականացվի -5 ձու ճշգրտությամբ (αՀ0,05): Սպասվող ցրումը հայտնի չէ բացորոշ ձնով: Պետք է օգտագործել փորձնական արժեքը, որի համաձայն` հավերն ածում են տարեկան առնվազն 200 ն առավելագույն 260 ձու: Ձվատվության քանակական ընդհատ չափանիշն այստեղ պետք է դիտարկվի որպես անընդհատ ն նորմալ բաշխված: 4. Մենդելը սիսեռի խաչաձնման փորձերում հետազոտել է խառնաժառանգ բույսերի սերմերի ձնը ն գույնը: Փորձերը կատարվել են հետնյալ ալելների առկայությամբ. Ճ – ողորկ, a – կնճռոտ, 8 – դեղին, Ե – կանաչ: Ճa8Ե գենոտիպի 15 ելակետային բույսերը պարունակել են 529 սերմ, որոնցից զարգացել են ինը տարբեր գենոտիպերի բույսեր. Գենոտիպ ՃՃ88 ՃՃԵԵ aa88 aaԵԵ ՃՃ8Ե aa8Ե Ճa88 ՃaԵԵ Ճa8Ե Քանակը 38

Մենդելի տեսության համաձայն` այդ ինը գենոտիպերը պետք է ճեղքվեին 1:1:1:1:2:2:2:2:4 հարաբերությամբ: Արդյոք փորձը հաստատում է Մենդելի տեսությունը (αՀ0,10): 5. Նորմալ բաշխված ցուցանիշը չափվում է երկու տարբեր մեթոդներով: Արդյոք չափման արժեքների փոփոխականության մեջ նկատելի է երկու չափման մեթոդների տարբերությունը

(α- 0,05): Մեթոդը

Չափումների թիվը

Տարբերակներ

5. ՓՈԽԿԱՊՎԱԾՈՒԹՅԱՆ ԹՎԱՅԻՆ ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒՄԸ

Փոխկապվածության թվային արտահայտումը բացահայտում է երկու հատկանիշների միջն գոյություն ունեցող կապի աստիճանը, դրա ինտենսիվությունը ն ուղղվածությունը: Այդ հատկանիշների ցուցանիշները կարող են հաշվարկվել ֆիզիկական մեծություններով կամ դասակարգվել ռանգերով: Հետազոտությունների համար ընտրվում են զույգ հատկանիշներ, որոնցից մեկը հետազոտության օբյեկտն է, իսկ երկրորդը` որնէ այլ հատկանիշ, գործոն, որի ազդեցությունն առաջացնում կամ նշադրում է առաջինի փոփոխականությունը: Ընտրությունը կատարվում է հետնյալ եղանակներով` Ա. 2 գնահատվող գործոն` պարարտացում 1-տարում

Y գնահատվող հատկանիշ` եկամուտ:

Բ. Գնահատվող հատկանիշ` հատիկների քանակը հասկում Գ. Հատկանիշ` ազդեցության գործոն մոլախոտի քանակը եղանակի գործոն վիրուսային վարակ

գնահատվող հատկանիշ` հասկի երկարությունը : հատկանիշ` նպատակային արդյունք, բերքի ծավալը, բերքի ծավալը, բերքի ծավալը:

Ռեգրեսիոն վերլուծության միջինն արտահայտում է փոխկապվածությունը հետնյալ բանաձնով`

ŷ̑Հf(x): Փոխկապվածության ամենապարզ տեսակը գծային կապն է: Ինչպես 2-ը, այնպես էլ Y-ն արտահայտվում են քանակորեն կամ աստիճանավորված են: Տարբերակվում են երկու հնարավոր մոդելներ: 1-ին մոդելի դեպքում կատարվում է ընտրություն 2 ցուցանիշի նկատմամբ, ընտրանքում ընդգրկվում են փոքրագույնից մինչն բարձրագույն ցուցանիշը կրող առանձնյակներ, Y-ը ցույց է տալիս այդ խմբի անդամների պատահական փոփոխվող քանակական կամ սանդղակավորված երկրորդ հատկանիշի ցուցանիշները (1-ին տարբերակ):

Տվյալները լրացվում են կոորդինատային համակարգում` հետնյալ սկզբունքով` Y-ի արժեքը համապատասխանում է տվյալ 2-ի արժեքին: 2-րդ մոդելի դեպքում վերցվում է պատահական փոփոխվող 2 ն Y հատկանիշներով խումբ, որի տվյալները տեղադրվում են կոորդինատային համակարգում (2-րդ տարբերակ):

1-ին տարբերակ

2-րդ տարբերակ Կոռելյացիոն վերլուծության մեթոդը նպատակաուղղված է հատկանիշների փոխազդեցության, փոխկապվածութան բացահայտմանը, դրա մեծության հաշվարկին ն համըկնում է ռեգրեսիոն վերլուծության հետ:

5.1.Սովորական գծային ռեգրեսիա Ռեգրեսիոն ֆունկցիայի որոշումը Ռեգրեսիոն ֆունկցիայի վերլուծությունը կարող է կատարվել 1-ին կամ 2-րդ մոդելի եղանակով: Ընտրված ֆունկցիան պետք է

նան արտահայտի փոխկապվածության ներքին բնույթը: Կիրառվում են վերլուծության երկու եղանակներ, որոնք արտահայտում են այս կապվածության կառուցվածքը: Ծանոթանանք հասարակ գծային ֆունկցիայի կառուցվածքին ն ներքին տրամաբանությանը`

1-ին մոդել.

7 i   0  1x i  ξ i ,

2-րդ մոդել.

7 i   0  1 x i  ξ i ,

որտեղ` β0-ն ռեգրեսիայի անփոփոխն է, β1-ը` ռեգրեսիայի գործակիցը, ξi-ն` դիտված 7i շեղումը ռեգրեսիոն ֆունկցիայում կիրառվող ŷ 1̂ -ից:

Կիրառվող ŷ̑ՀԵ0+Ե1x ֆունկցիան ընդհանուր գնահատականն է գլխավոր համախմբությունում գործող ֆունկցիայի, որում Ե 0  β̂ 0 , Ե1  β̂1 : 2-րդ մոդելի դեպքում ֆունկցիան կարող է արտահայտվել կետային անդամների միջոցով: Քանի որ  12 -ին շատ փոքր թիվ է, ապա ֆունկցիան ընդունում է հետնյալ տեսքը ն նշվում է Տ տառով` ո

i1

Տ   ε i2   (7ˆ i  7 i )2   (Ե 0  Ե1x i  7 i )2 Այստեղից` Տ   2(Ե 0  Ե1x i  7 i )  0, Ե 0

ոiոiոսո:

Ե 0  7  Ե1x,

Տ   2(Ե 0  Ե1x i  7 i )x i  0,  Ե1

Ե1 

ՏՔ2Y : ՏՕ2

Արդյունքում` (  x i )2 , ո i1  xi  7i : ՏՔ2Y   (x i  x)(7 i - 7)   x i 7 i  ո ո

ՏՕ2   (x i  x)2   x i2 

ՏՔ-ն շեղումների գումարն է: Փոխկապվածության ուղղվածությունը ն չափը ներկայացվում են ստորն բերված գրաֆիկների եղանակով`

Օրինակ: Խնդիր է դրված կատարել խոզերի ճարպի շերտի (մմ) ն մսի զանգվածի (կգ) միջն փոխկապվածության վերլուծություն: Երկու հատկանիշներն էլ քանակական, պատահական փոփոխվող են, սանդղակավորված, ուստի կիրառվում է ռեգրեսիոն վերլուծության 2-րդ մոդելը: Տվյալները բերված են աղյուսակի ձնով: i

Ճարպի շերտը, xi, մմ

Մսի զանգվածը, Էi, կգ

Ճարպի Մսի շերտը, զանգxi, մմ վածը,

Էi, կգ

∑

Ճարպի Մսի շերտը, զանգxi, մմ վածը,

x̅ Է̅ 24,5

Էi, կգ 93,5

Ճարպի շերտի ն մսի զանգվածի փոխկապվածության կետային պատկերը հետնյալն է`

Մսի զանգված, կգ

Ճարպի շերտ, մմ

Կետային բաշխման ներկայացված ձնը թույլ է տալիս գծային ռեգրեսիոն ֆունկցիայի կիրառումը: ՏՕ2  18553 

2805 2  545,5, ՏՕY  264107   1839,5, Տ 2x  18,8103, Տ 27  63,4310,

7ˆ  64,37  1,19x, 735  2805 ՏՔ2Y  69371   648,5, ՏՔ2Y 648,5 Ե1    1,18882, ՏՕ2 545,5 Ե 0  7  Ե1  x  93,5  24,5  1,1888  64,3744 : Միջինի բերված ռեգրեսիոն ֆունկցիան հետնյալն է` 7ˆ  64,37  1,19  x : Տ x  4,337 մմ,

Այն ուժի մեջ է միայն 16≤x≤33 գործող միջակայքում (միջակայքի սահմանները հավասար են ճարպի շերտի նվազագույն ն բարձրագույն ցուցանիշներին:) Ճարպի շերտի ն մսի զանգվածի փոխկապվածության պատկերը հետնյալն է`

Ռեգրեսիոն ֆունկցիա` ŷ Հ 64,37+1,19 x: 2-րդ մոդելի համար լրացուցիչ մեծություններ` 8 Հ 0,419+1) կամ r Հ 0,647+1): 1-ին մոդելի համար` ՏR Հ 6,172):

»1)»

նշանի բացատրությունը 8-ի ն r-ի համար տրված է 5.2.1 ենթակետում:

նշանը ցույց է տալիս, որ տվյալ ցուցանիշները տեստավորվել են αՀ0,05 հավանականությամբ ն գլխավոր համախմբության համար ընդունվել է 0-ական վարկածը, ըստ որի` ցուցանիշների միջն գոյություն ունի փոխադարձ կապ:

»2)»

նշանի բացատրությունը ներկայացված է 5.2.2 ենթակետում:

Բացատրություն: Ե0-ն ունի նշանակություն այն դեպքերում, երբ xՀ0 արտահայտությունն իրական է: Մեր վերլուծություններում Ե0-ն համապատասխանում է նվազագույն x-ին համապատասխանող 7-ին: Ե1-ի նշանակությունը ցույց է տալիս 7-ի փոփոխությունը Ե1-ով այն դեպքերում, երբ x-ը փոփոխվում է մեկ հաշվարկային միավորով: Տվյալ դեպքում x-ի ավելացումը կամ պակասումը 1 մմ ճարպի շերտով բերում է 7-ի, տվյալ դեպքի համար` մսի զանգվածի փոփոխում 1,19 կգ-ով: ŷ̑(x)-ը ցույց է տալիս 7-ի սպասված միջին արժեքը մեկ որոշակի, անփոփոխ x-ի դեպքում, մեր օրինակում, եթե x Հ 20 մմ, ապա միջին արժեքը կազմում է 7̂ (20)Հ 64,3744+l,188820 Հ 88,15 կգ: Ռեգրեսիոն վերլուծության սահմաններում կարող է կատարվել 7-ի (տարբերակների) ընդհանուր փոփոխականության (վարիանցների) միջանկյալ վերլուծություն:

Վարիանցների ռեգրեսիոն շարք Վարիանցների տիպերը

ք-ի արժեքը ռեգրեսիոն ֆունկցիայի Ազատու- Վարիանցթյան ասպարամետրերի համար (գծային ներ, տիճան, ֆունկցիայի քՀ2) ԽՕ ԷՕ ընդհանուր շեղման գումարի քառակուսին, ՏՕ Ընդհանուր  (7  7)2  ՏՕY  1839,50 ո-1Հ29 i

Ռեգրեսիա-  (7ˆ  7)2  Ե  ՏՔ2Y  770,95 i յի բաժնեմաս Մնացորդ  (7  7ˆ )2  ՏՕY - ՏՕ(RՃ)  1068,55 i

ՏR2 

ք-1 Հ 1

770,95

ո- քՀ28 38,163Հ Տ 2 R

 (7 i - 7ˆ i )  1068,55 : 28  38,163 : ո-ք

Մնացորդային ՏR2 -ն բացահայտում է տարբերակների ցըրվածության աստիճանը համախմբությունում, բայց չի տալիս դրա բացատրությունը: Այդ ցուցանիշն օգտագործվում է միայն մնացորդային շեղումների ն վերնում բերված վարիացիոն գործակցի հաշվարկի համար. ՏR2 38,163, ՏR  6,17 կգ, Տ 6,17  100 %  6,60 % : ՏR % R  100 %  93,5 Կետային ռեգրեսիոն ֆունկցիայում դիտված շեղումը (ŷ-ի նըկատմամբ) հավասար է մսատվության միջին թվաբանականի 6,17 կգ մասին կամ ≈ 6,60 %: Ներքին միջակայքի (կոնֆիդենց ինտերվալի) կազմակերպվածությունը ն տեստի նկարագիրը նորմալ բախշման դեպքում տրվում են 1-ին մոդելի ξi-ի օրինակով, իսկ երկկողմանի նորմալ բախշման (2, Y) դեպքում` 2-րդ մոդելի օրինակով (5.2.1 ն 5.2.2 ենթակետեր):

Ներքին միջակայքի որոշումը Ե0, Ե1-ի համար Ե0-ն ն Ե1-ն ընտրանքային համախբության β0-ի ն β1-ի բալային, թվային նշանակություններ են: Գլխավոր համախմբության ն

ընտրանքի ցուցանիշների միջն առկա է որոշակի շեղում, որի պատճառով անհրաժեշտություն է ծագում հաշվարկել դրանց ներքին միջակայքերի համընկման սահմանները: β0-ի ներքին միջակայքի սահմանները հաշվարկվում են հետնյալ բանաձնով`   Ե 0  Տ Ե0  է α (ո  2), Ե 0  Տ Ե0  է α (ո  2) : 1 1   Տվյալ դեպքում` 1  1 24,5 2  x2   ՏԵ o  ՏR2     38,163    6,5776 :  ո ՏՕ2   30 545,5 

α Հ 5 % դեպքում ստացվում է է

(ո - 2)  է 0,975 (28)  2,048 :

Արդյունքում տատանման սահմանները կազմում են |64,3740-6,57762,048)Հ|50,90, 77,85): Ներկայացված տվյալների համաձայն`

|50,90, 77,85) սահ-

մաններում 95 7 վստահելիության աստիճանով գործում է ռեգրեսիայի անփոփոխ գործակիցը:

β1-ի համար վստահելիության սահմանները հաշվարկվում են հետնյալ բանաձնով` |Ե1 - Տ Ե1  է

(ո - 2),|Ե1  Տ Ե1  է

(ո - 2)),

որտեղ` Տ Ե1 

ՏR2 38,163   0,2645 : ՏՕ2 545,5

αՀ 5 % դեպքում ստացվում է

|1,1888-0,2645  2,048) Հ |0,65, 1,73): Գլխավոր համախմբությունում ներկայացված սահմաններում 95 % վստահության աստիճանով գործում է սպասվող ռեգրեսիայի գործակիցը, ինչը նշանակում է, որ ճարպի շերտի փոփոխությունը 1 մմ-ով առաջացնում է զանգվածի համապատասխան փոփոխություն` 0,65-ից մինչն 1,73 կգ:

β0 , β1 վարկածների ստուգումը 1. Հարց է առաջանում, թե որքանով է β1-ը շեղվում 0-ական մակարդակից ն հնարավոր է արդյոք մեկ գծային փոխկապվածությամբ բնութագրել երկու փոփոխականությունները: Հարցի լուծման համար կիրառվում է 0-ական վարկածի եղանակը` Ւ0: β1Հ0, ՒՃ: β1≠0, αՀ0,05: Դիտողություն: Տվյալ դեպքում կիրառվում է միակողմանի վարկած, քանի որ հայտնի է, որ ճարպի շերտի ավելացումը չի հանգեցնում մսի քանակի փոփոխման: Ճիշտ է հակառակ ազդեցության դեպքը (5.2.1 ենթակետ): Ստուգումը կատարենք է տեստի օգնությամբ ընտրանքի տվյալների համաձայն` Ե 1,1888 է սխ.  1   4,495 : Տ Ե1 0,2645 Տեստի լուծումը համընկնում է 4.3.2 ենթակետում ներկայացված օրինակի հետ, որում սպասվող արժեքը համեմատվում է նորմալ բաշխման ընդհանուր դեպքի համար հաշվարկված բնութագրի հետ (հավելվածի աղյուսակ 2). ԷՕՀո-2: Այսպիսով, է սխ.  4,495  է α (ո - 2)  է 0,975 (28)  2,048 :

ՔՀ0,0001ՀαՀ0,05, ինչը նշանակում է, որ տվյալ կապվածությունն անկասկած առկա է ուսումնասիրվող փոփոխականությունների դեպքում: Գծային փոխկապվածությունը վիճակագրորեն ապացուցում է ճարպի շերտի աճին զուգահեռ մսի ծավալի աճը ն ունի »+» նշանըն ընտրանքային համախմբությունում: 2. β0-ի բնութագրման համար ուսումնասիրվում է դրա տարբերության աստիճանը 0-ից` Ւ0:β0Հ0, ՒՃ:β0 ≠0, αՀ0,05: Համաձայն ընտրանքի տվյալների`

Ե 0 64,3740   9,787 : ՏԵ 0 6,5776

է սխ. 

Այստեղից` է սխ.  4,495  է

α (ո - 2)  է 0,975 (28) 

2,048,

Ք-i արժեքը Հ 0,0001 Հ αՀ0,05:

αոax Հ 5 % դեպքում β0-ն նշանակալից ձնով տարբերվում է 0-ից: Տվյալ ֆունկցիայի սկիզբը չի համընկնում կոորդինատային համակարգի 0-ի հետ ն այս կետում առաջանում է շեղում: Ներկայացված տեստը կիրառվում է երկու հատկանիշների նկատմամբ ն ընդունում է այլընտրանքային վարկածի ձն, որի դեպքում 0-ն ոչ նկարագրվում է, ոչ էլ հաշվարկվում:

Վստահության հատվածի սահմանումը Y-ի սպասվող արժեքի համար` համապատասխան x-ի դեպքում |7ˆ (x) - Տ 7ˆ (x)  է

α (ո - 2) ,

7ˆ (x)  Տ 7ˆ (x)  է

α (ո - 2)) :

 1 (x - x) 2  Երբ Տ 2ŷ(x)  Տ 2Ի    , α Հ 5 %, SQX  ո

ապա

 1 (x - 24,5) 2   Տ 27ˆ (x)  է 0,975 (28)  38,16    2,048 : 545,5   30

x-ի համար Y-ի սպասվող արժեքը 1-α հավանականությամբ գտնվում է համապատասխան վստահության հատվածի շրջանակներում: Սպասվող միջակայքի ռեգրեսիայի աստիճանի սահմանները հաշվարկվում են հետնյալ բանաձներով` |7ˆ (x) - Տ 7(x)  է α (ո - 2), 7ˆ (x)  Տ 7(x)  է α (ո - 2)) :

Երբ` Տ 27ˆ (2) ապա

 1 (x - x)2   ՏR2 1    , α Հ 5 %, ՏՕ2   ո

 (x - 24,5) 2   Տ 27̂(x)  է 0,975 (30)  38,163 1    2,048 : 545,5   30

Y-ի առանձին դիտարկումները 1-α հավանականությամբ գտնվում են x-ի համապատասխան կանխատեսվող հատվածի շըրջանակներում:

Ռեգրեսիոն ֆունկցիայի վստահության ն կանխատեսման միջակայքը x-ի համար 1-α Հ0,95 դեպքում d-ն հավասար է ներքին միջակայքի լայնության կեսին: Հաշվարկի օրինակը ներկայացվում է աղյուսակի ձնով. x

24,5

Ներքին միջակայքի

83.40 |78,25: 88,55) 88,15 |84,79: 91,51) 93,50 |91,19: 95,81) 98,85 |95,49: 102,21) 103,61 |98,46: 108,76)

Ներքին մի- Կանխատես- Կանխատեսջակայքի d ման միջակայքի ման միջակայքի d

5,15 3,36 2,31 3,36 5,15

|69,74:97,06) |75,06:101,24) |80,64:106,36) |85,76:111,94) |89,95:117,27)

13,66 13,09 12,86 13,09 13,66

Եզրակացություն: x Հ20 դեպքում` 1. ŷ(20) : |84,79, 91,51):

20 մմ ճարպի հաստություն ունեցող բոլոր խոզերի կենդանի զանգվածը գլխավոր համախմբությունում հավասար է միջինում 88,15 կգ-ի (կետային գնահատականը համապատասխանում է հաշվարկված արժեքին) ն 95 % հավանականությամբ գտնվում է 84,79-91,51 կգ սահմաններում (հատվածային գնահատական):

2. 7(20) : |75,06, 101,24):

§Կենդանի զանգված¦ հատկանիշի ցուցանիշներն այն խոզերի համար, որոնց ճարպի հաստությունը հավասար է 20 մմ-ի, 95 % վստահությամբ գտնվում են 75,06-101,24 կգ սահմաններում:

Վստահության ն կանխատեսվող հատվածները ներկայացված են ստորն` ռեգրեսիոն ֆունկցիայի գրաֆիկական պատկերում:

5.2. ԿՈՌԵԼՅԱՑԻՈՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ

Կոռելյացիոն վերլուծությունը պատահական փոփոխականների միջն ստոխաստիկ փոխկապվածությունների հետազոտությունն է: Այդ եղանակն օգտագործվում է քանակական հատկանիշների փոխկապվածությունների ուսումնասիրման համար (ռեգրեսիոն վերլուծության 2-րդ մոդելի դեպքում): Երկու հատկանիշների պարագայում փոխկապվածությունը բնութագրող ամենատարածված չափանիշները հետնյալն են. Հատկանիշ 1 Որակական անվանական կարգավորող Հատկանիշ 2 Անվանական ______ պատահական Կարգավորող գործակիցներ _______ Քանակական

Քանակական

Սպերմանի ռանգԲրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գորկոռելյացիոն ծակից, rՏ գործակից, r որոշակիության չափանիշ, 8

Կոռելյացիոն վերլուծության մոդելները սահմանափակ չափով կիրառելի են նան 1-ին մոդելի փոխկապվածությունների նկատմամբ, եթե դրանք աստիճանավորված են:

5.2.1. Կոռելյացիոն վերլուծություն քանակապես աստիճանավորված հատկանիշների համար (2-րդ մոդել) Հետազոտության ընթացքում գործողությունները կատարվում են ստորն ներկայացված հերթականությամբ: Համապատասխանաբար վերցվում են նախապես վերլուծված տվյալները` 2:N(μx,δ2x) ն Y:N(μ7,δ27), որոնց հիման վրա կատարվելու է կոռելյացիոն գործակցի հաշվարկը:

δ2x

2-ի ն Y-ի ընդհանուր բաշխումը նկարագրելու համար μx, μԷ,

ն δ27 պարամետրերը բավական չեն, ուստի հաշվի է առնվում

նս մեկը` δ2x7 կովարիանցը (ընդհանուր շեղում): (2, Y) վեկտորի բաշխումը գրի է առնվում հետնյալ կերպ` (2, Y): N|(μx, μ7), ∑),

որտեղ ∑-ն երկու հատկանիշների քառակուսային շեղումների հա2 δ մատեղ գումարային շեղումն է,    δδxx7 2x7  : δ7   Այս բացարձակ բանաձնը հնարավորություն չի տալիս համեմատել տարբեր փոխկապվածություններն ըստ խտության: Ուստի կիրառվում է Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գործակիցը: Անհրաժեշտ է հիշել, որ այս գործակիցը տատանվում է -1-ից մինջն +1 սահմաններում ն բացահայտում է ինչպես փոխկապվածության ուղղությունը, այնպես էլ դրա ուժը, ինտենսիվությունը: Հետազոտենք երկու օրինակ:

Օրինակ1. (2,Y):N|(7,5, 14),∑),

Օինակ 2. (2,Y):N|(7,5, 14), ∑),

որտեղ`

 10,9 10,9 ,δx7  0,9(  0!), ρ  0,9 :



0  1

,δ

x7  0,

ρ 0 :

որտեղ`

Բերված գրաֆիկական պատկերներից առաջինում երկու հատկանիշների շեղումների միջն որնէ կապ չի բացահայտվում, շեղումը 0-ական է, ρՀ0, իսկ երկրորդում շեղումը պայմանավորված է ընդհանուր շեղման մեծությամբ: Կովարիանցի հաշվարկը կատարվում է հետնյալ բանաձնով` ՏՔ2Y δ̂ x7  Տ x7  : ո -1

Այս բացարձակ գնահատումը ոչ լիովին է համապատասխանում համեմատվող տարբեր փոփոխականությամբ հատկանիշների հարաբերակցությանը: Անհրաժեշտ ճշտման համար կիրառվում է Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գործակիցը ` Տ x7 ՏՔ2Y ρ̂  r  կամ պարզապես ρ̂  r  : ՏxՏ7 ՏՕ2 ՏՕY

ρ̂ -ի համար հայտնի է -1≤ ρ≤+1, -1≤ r≤+1: Հ1 ճշգրտված գծային փոխկապվածությունը ներկայացվում է հետնյալ գրաֆիկներով`



Բացասական գծային ուղղակի կապ` ρ Հ -1:

  



Դրական գծային ուղղակի կապ`

ρ Հ +1:



ρՀ0 դեպքում 2 ն Y փոփոխականությունների միջն կապը չի բացահայտվում` չնայած դրանց ինքնուրույն բաշխման նորմալ բնույթին: Այս դեպքում կարելի է խոսել ոչ գծային փոխկապվածության մասին:

ρՀ0 կապը բացահայտված չէ:



▪



▪

▪ ▪

▪



Հատկանիշների փոփոխականությունն իրականացվում է անկախ եղանակով:

▪ ▪

▪

Դրական, գծային ոչ ուղղակի կապ`

0ՀρՀ+1:

X X X X

X X

X X Բացասական, գծային ոչ ուղղակի կապ`

X X

-1Հ ρՀ0:

X X

Վերնում բերված օրինակում ՏՔ2Y 648,5 r    0,6474 :

ՏՕ2  ՏՕY

545,5  1839,5 r-ի դրական լինելը ցույց է տալիս, որ ճարպի շերտի հաստացումը զուգակցվում է ընդհանուր (մսի) զանգվածի աճի հետ: Սակայն կապն ուղղակի չէ, քանի որ r-ը փոքր է 1-ից: r-ի վստահելիության հատվածը ձնավորվում է 2-ի միջոցով, որտեղ 2-ը r-ի ձնափոխված արտահայտությունն է: 1. Ւ-ի ձնափոխումը 2-ի կատարվում է հետնյալ կերպ`  1 1 ρ 1  1 1 r , N  2    , եթե ո≥30: 2lո 1 - r  2lո 1 - ρ ո - 3  Կատարենք համապատասխան հաշվարկներ ն տեղադրենք ստացված արդյունքները բանաձների մեջ: Ներկայացված օրինակի համար ստացվում է 1 1  (0,6474)  2  0,7708 : 2lո 1 - (0,6474) 2. Որոշենք 2-ի վստահելիության հատվածը, որի ներքնի սահմանը հաշվարկվում է ս α 11,96 2ս  2 , 2 ս  0,7708  0,3936, ո-3 իսկ վերնի սահմանը` ս α 11,96 20  2  , 2 0  0,7708   1,1480 : ո-3 3. Կատարենք Zս

rս-ով ն Z0

Ւ0-ով հետադարձ փոխարինումը

(rս, r0-ն ρ-ի ներքին միջակայքի վերնի ն ներքնի սահմաններն են)` 1 1 rս 6 22ս  1 6 20,3936 - 1 1,1972  rս  22    0,3744, 2ս  2lո 1 - rս 6 ս  1 6 20,3936  1 3,1972 2 0 

1 1 r0  6 220 - 1 6 21,1480  1 8,9344  r0  22    0,8171 : 2lո 1 - r0  6 0  1 6 21,1480 - 1 10,9344

Գլխավոր համախմբության համար հարաբերակցության գործակիցը (ρ) 95 % հավանականությամբ գտնվում է 0,3744-0,8171-ի սահմաններում: Մնացորդային մեկ ազատության աստիճանով ն α-ով հաշվարկված r տեստն ունի հետնյալ տեսքը` ԷՕՀո-2, Ւ0:ρՀ0, ՒՃ:ρ≠0, αՀ0,05, r  0,6474  rՔ (ԷՕ)  r0,975 (28)  0,375, համապատասխանաբար` Ք Հ0,0001Հ αՀ0,05:

ՒA-ն ընդունվում է ըստ αՀ0,05-ի: Այսինքն` հատկանիշների փոփոխականության միջն բացահայտված է միջին դրական ոչ ուղղակի կապ: Հակառակ վարկածը նույնպես կարող է ձնակերպվել որպես միակողմանի:

8 ճշգրտության հասարակ չափանիշ (նոր հնարավոր արժեք) 8Հr2,

0≤8≤1:

Եթե 8-1, ապա դիտվում են խիստ համապատասխանություն, գծային կախվածություն: Եթե 8Հ0, ապա գլխավոր համախմբությունում հատկանիշների նորմալ բաշխման պայմաններում դիտվում է հատկանիշների փոփոխականության բացարձակ անկախություն:

Բացատրություն: 8-ն (%) բացահայտում է Y գծային ռեգրեսիոն ֆունկցիայի տոկոսային արժեքը: Օրինակ (ըստ 5.1 ենթակետի)` 1839,50 ˆ 100 % ՏՕY ˆ 100 % 770,95 ˆ 8 % ՏՕ(RՃ) ˆ 8 % 8%

ՏՕ(RՃ) , ՏՕY  100 %

8%

770,95  41,91 % : 1839,50  100 %

Հետազոտման վերոհիշյալ եղանակի արդյունքներով կարելի է պնդել, որ գլխավոր համախմբության համար մսի զանգվածի փոփոխականության կախվածությունը ճարպի շերտի փոփոխականությունից հավասար է 41,91 7-ի:

Հնարավոր վարկածներն այս դեպքում հետնյալն են` Ւ0:8Հ0,

ՒՃ:8-0, αՀ0,05:

Գնահատման համար օգտագործվում է F տեստը, որը վերլուծում է վարիանցի փոփոխականությունը ռեգրեսիոն եղանակի կիրառման պարագայում: Կիրառվում է հատուկ Էսխ. հաշվարկման բանաձնը (5.1 ենթակետի աղյուսակ)` 770,95 ԽՕ(RՃ   20,20 : Էսխ.  ԽՕ (սխալ/ռեգ.) 38,163 Այսպիսով` Էսխ.Հ 20,20 - Է1-α(ք-1, ո-ք) Հ Է0,95(1,28) Հ 4,196 (հավելվածի աղյուսակ 4ա), Ք Հ 0,0001 Հ αՀ0,05: Էսխ.-ի ստացված ցուցանիշը, ըստ աղյուսակի, ապահովում է վստահելիության ավելի բարձր մակարդակ: ՈՒստի կարելի է եզրակացնել, որ կոռելյացիոն կապը հատկանիշների միջն ակնհայտ է ն նշանակալի:

5.2.2. Փոխկապվածության աստիճանը (1-ին մոդել) ՏՕ2, 8, r-ի ներկայացված հաշվարկները բացահայտում են միայն փորձի նպատակները ն դրված հարցերի պատասխանները, սակայն չեն արտացոլում հատկանիշների փոփոխականության աստիճանը, այն է` δ2-ու իրական արժեքները: Այսպիսով, x-ի մանրամասն ուսումնասիրման համար ռեգրեսիոն գործակցի հաշվարկի հետ միասին (5.1 ենթակետ) վերոհիշյալ ցուցանիշների հաշվարկների ժամանակ անհրաժեշտ է ավելացնել փորձի ծավալի ցուցանիշը ն կատարել ՏR2 , ՏR կամ ՏR %-ի հաշվարկներ:

5.2.3. Փոխկապված աստիճանավորված հատկանիշների քանակական արտահայտումը: Սպերմանի ռանգային կոռելյացիա Հետազոտության այս մեթոդի կիրառությունն անհրաժեշտ է ոչ քանակական հատկանիշների փոփոխականության փոխկապվածության բացահայտման ն դրա աստիճանի որոշման համար: Օրինակ` վերլուծենք մոլախոտային աղտոտվածության (մ2) ն բերքատվության (գ) փոխկապվածությունը: Այս դեպքում նույն-

պես օգտագործվում է սովորական աստիճանավորում, քանի որ գործ ունենք թվային, այլ ոչ թե սովորական բաշխման հետ (5.2.1 ենթակետ): Գրաֆիկական պատկերում բերված փոխկախվածության արտացոլումը ոչ թե գծային է, այլ կետային, միընթաց (ìîíîòîííûé):

Մոլախոտվածություն, մ2

Բերքատվություն, գ

Եզրակացություններ    

Հատկանիշների զույգերի ո դասակարգումը կատարվում է դըրանցից մեկի փոփոխականության հիման վրա: 2 նY ռանգային արժեքները վերցվում են 1-ից մինչն ո: Արդյունքում ռանգային բաշխումներն ընդունում են որոշակի ո միջինացված բնույթ: Այդ զույգերի Սպերմանի ռանգ-կոռելյացիոն գործակիցը հաշվարկվում է այն նույն բանաձնով, որով հաշվարկվում է ԲրավեՊիրսոնի կոռելյացիոն գործակիցը, այն տարբերությամբ միայն, որ իրական ցուցանիշների փոխարեն օգտագործվում են ռանգային համարները: ՏՔ  Rx  R7  (Rx i - Rx)(R7i - R7) rՏ   : ՏՕ  Rx  ՏՕ  R7 (Rx Rx )  (R7 R7 )   i

- 1≤ rՏ≤+1 դեպքում հաշվարկը կարող է կատարվել հետնյալ բանաձնով`

6  di2 , ո(ո2 - 1) որտեղ di-ն զույգերի ռանգերի համարների տարբերությունն է` դիrՏ  1 

ֆերենցը:

Նախնական տվյալների հիման վրա վերլուծենք աղյուսակում ներկայացված օրինակը: Rxi

1,5 1,5 7,5 7,5 19,5 19,5 21,5 21,5

Մոլախոտ- Արդյունավածության վետություաստիճանը, նը, գ, 7i մ , xi

R7i

Rxi

36,5 36,5 25,5

27,5 27,5 31,5 31,5 33,5 33,5

Մոլախոտ- Արդյունավածության վետություաստիճանը, նը, գ, 7i մ , xi

R7i

25,5

Rxi-ն xi-ի ռանգի ցուցանիշն է, R7i-ն` 7i-ի ռանգի ցուցանիշը: Ներկայացված տվյալների հիման վրա կատարվում են հետնյալ անհրաժեշտ հաշվարկները`

i1

 Rx i   R7 i  1378,  Rx 2i  48224,5,  R7 i  R7 i  25931,

 R7 2i  48229, i1

1378 2  11707,5, 1378  1378 ՏՔRxR7  25931  10586, 1378 2 ՏՕR7  48229  11712, -10586 rՏ   - 0,904 : 11707,5  11712 ՏՕRx  48224,5 -

∑Rxi-∑RԷi ցույց է տալիս պատահական, ոչ պարտադիր համընկնումը: Բացասական նշանի պարագայում բացահայտվում է հատկանիշների միջն առկա հակադիր, հակառակ կապը: Տվյալ դեպքում գործակցի բացարձակ մեծությունը մոտենում է 1-ի, այսինքն` կապը գրեթե ուղղակի է ն բացասական: Այսպիսով, մոլախոտվածության աստիճանի նվազումն ուղղակիորեն նպաստում է բերքի ծավալի աճին:

ρՏ տեստ` ռանգային կոռելյացիոն գործակիցը գլխավոր համախմբությունում Վերցվում է

Ւ0:ρՏՀ0, ՒՃ:ρՏ≠0, αՀ0,05: rՏ , եթե ո≤30:

Հաշվարկը կատարվում է պատահական մեծ թվերի` rՏ(Ք), ո եղանակով` համաձայն հավելվածի աղյուսակ 7-ի տվյալների (Սպերմանի ռանգային կոռելյացիոն գործակցի օգտագործմամբ): Եթե ո-30, ապա հաշվարկը կատարվում է rՔ ն ԷՕՀո-2 եղանակով` որպես Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն r գործակից (հավելվածի աղյուսակ 6): Օրինակ: Տրված է rՏ   0904  rՏ(Ք) , (ո)  r0,975 (50)  0,272 : Այստեղից` ՔՀ0,0001 Հ αՀ0,05:

Ինչպես տեսնում ենք, rՏ≠0 ն ընդունվում է այլընտրանքային վարկածը` ՒՃ-ն: Հատկանիշի նշանակությունը նշվում է »+» կամ »» նշաններով: Օրինակ` rՏ Հ -0,904+:

5.2.4. Երկու անվանական աստիճանավորված հատկանիշների փոխկապվածության թվային արտացոլումը Այս վերլուծությունը պահանջում է ընտրանքային համախըմբության մեծ ծավալ (ո≥100). - կազմել բացարձակ հաճախականությունների աղյուսակ, - դասերում նշել դասային սահմանները կամ ռանգերի նշանակությունները (k-ն` դասերի քանակը, ո-ը` շարքերի քանակը),

fij-ի տվյալները դասակարգել համապատասխան վանդակներում (i Հ1...k, j Հ1...ո), դաշտերում կատարել առանձին-առանձին ն ընդհանուր հաճախականությունների հաշվարկ (ո). fi,.., fj..., ն ∑f Հ ո, դասակարգել սպասվող բացարձակ հաճախականությունները, երկու ուսումնասիրվող հատկանիշների դաշտում համատեղ դասակարգումից հետո կատարել տեսական ij հաշվարկը` fi  fj ij  , ո այն դեպքերում, երբ ij ≤5, հարնան դասերը կամ շարքերը վերցվում են միասնաբար, երկու դասերի հեռավորության սխալի չափը հաշվարկել հետնյալ բանաձնով` (fij - ij )2  2սխ.    : ij i j Արդյունքում`

 2սխ.  ո|ոiո(k,ո) - 1) :

Գլխավոր համախմբության սխալ  2սխ. ցուցանիշի միջոցով հնարավոր է կատարել երկու հատկանիշների փոխկապվածությունը բնութագրող մի շարք կարնոր մեծությունների հաշվարկ:

Օրինակներ

1. Պիրսոնի պատահականության (կոնտինգենց) գործակցի` Շ-ի հաշվարկը կատարվում է հետնյալ բանաձնով` 2 ոiո(k, ո) - 1 , 0  Շ  Շոax , Շոax  : ոiո(k, ո) 2  ո 2. Պիրսոնի պատահականության գործակցի` Շ-ի հաշվարկը Պաուլիի ճշգրտմամբ կատարվում է հետնյալ կերպ` Շ , 0  ՇՃշ.  1: ՇՃշ.  Շոax Շ

3. Կրամերի պատահականության գործակիցը` V-ն հաշվարկվում է հետնյալ բանաձնով` V

սխ.

ո|ոiո(k, ո) - 1

0  V  1:

Նշված երեք մեծություններն ընդհանուր առմամբ բացահայտում են նույն փոխկապվածության աստիճանը երկու տարբեր փոփոխվող հատկանիշների միջն` պատահական փոփոխականության պարագաներում: Օրինակ` ընտրվել է երկու հատկանիշ` երիտասարդներին հետաքրքրող մասնագիտությունները ն նրանց իրական մասնագիտությունը, ոՀ446: Դիտարկված ցուցանիշներ Գոհ են ընտրված Նախընտրած մասնագիտություն մասնագիտությունից չիրականացված իրականացված Այո Ոչ fj

fi 446Հո

Նախապես ենթադրված ij ցուցանիշներ (հարաբերությունը խմբերում ընդունվում է 3 :1) Գոհ են ընտրված Նախընտրած մասնագիտություն մասնագիտությունից չիրականացված իրականացված Այո Ոչ

Քանակը խմբերում 446 Հ ո

Օրինակ` 331  318  236, (217 - 236)2 (114 - 95)2 (14 - 33)2 2     20,68, 20,68 0,2105 Շ  0,2105, Շ Ճշ.   0,2976, 20,68  446 20,68 V  0,2153 : 446|2 - 1) 11 

Ւ0-ի դեպքում 2 ն Y հատկանիշների միջն փոխկապվածություն չի հաստատվում: ՒՃ-ի դեպքում երկու հատկանիշների միջն առկա է փոխկապվածություն` αՀ0,05:  12-  ((k - 1)(ո - 1)), առկա է փոխկապվածություն, Եթե  սխ. որի հավանականության առավելագույն սխալն ընդունվում է α: Օրինակ`  սխ.  20, 68   20,95 (1)  3,84 (հավելվածի աղյուսակ 3), ՔՀ 0,0001Հ αՀ0,05:

Փոխկապվածությունն իրական է` α≤5 %: Այս երկու հատկանիշների միջն գոյություն ունի փոխկապվածություն, որն այնքան էլ բարձր չէ, քանի որ Շճշ.-ն ն V-ն շատ փոքր են 1-ից:

5.3. ԽՆԴԻՐՆԵՐ

1. Վերլուծել փոխկապվածության առկայությունը ն դրա աստիճանը միս վերամշակող տեխնոլոգների աշխատանքային ստաժի (տարիներով) ն մասնագիտական կատեգորիայի (1-7) միջն: Մասնագետ Աշխատանքային ստաժ Կատեգորիա

2. Հաշվարկել փոխկապվածության աստիճանը ոչխարների կիսանրբագեղմ ցեղի կենդանի զանգվածի (x) ն բրդատվության (7) ցուցանիշների միջն: Կազմել գծային ռեգրեսիոն ֆունկցիա ն ստացված արդյունքները վերլուծել է տեստի եղանակով: 2, կգ Y, կգ

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

8,5

8,0

7,0

7,5

3. Տրված ընտրանքային համախմբության (ոՀ24) խոշոր եղջերավոր առաջնածին մայրերի կենդանի զանգվածի (x) ն նորածին հորթերի կենդանի զանգվածի (7) տվյալներից կատարել հատկանիշների փոխկապվածության աստիճանի հաշվարկ, որոշել Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գործակիցը ρՏ գլխավոր համախմբության համար: x, կգ

7, կգ

x, կգ

7, կգ

x, կգ

7, կգ

4. Հաշվարկել ճակնդեղի լավագույն տեսակներից ընտրված համախմբության (ոՀ30) վեգետացիայի տնողության (օրերով) ն շաքարի ելքի (%) փոխկապվածության աստիճանը: Տնողությունը, օր

Շաքարի ելքը, % 16,1 16,3 14,8 15,9 17,6 17,2 17,4 12,4 13,8 15,2

Տնողությունը, օր

Շաքարի ելքը, % 17,1 17,2 16,1 13,6 15,1 13,7 13,9 16,5 14,5

Տնողությունը, օր

Շաքարի ելքը, % 13,5 11,8 17,2 14,5 14,9 17,8 12,3 13,5 14,2

Հաշվարկել գծային ֆունկցիայի ռեգրեսիոն գործակիցը երկու հատկանիշների միջն: Շաքարի պարունակության (%) ինչպիսի միջին ելք է սպասվում, եթե վեգետացիայի տնողությունը սահմանափակվի 210 օրով: 5. Սպիտակ սալաթի պահանջարկը (1 միավորը կազմում է 1000 հատ) վերջի տարիներին աճել է հետնյալ ձնով` Տարեթիվ Պահանջարկ

Վերլուծել պահանջարկի զարգացման օրինաչափությունը, հաշվարկել 1996-ին սպասվող պահանջարկի ծավալը:

ԲԱՆԱՁԵՎԵՐ, ՆՇԱՆՆԵՐԻ ԲԱՑԱՏՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ո-ն

ընտրանքային համախմբության անդամների թիվն է (ծավալը), i նմուշի համարը, xi-ն` ց-ն` ցուցանիշների հաշվարկային ճշգրտության մակարդակը, ցուցանիշի հնարավոր արժեքների թվաքանակը xոax kԷ-ն` ն xոiո միջն ընկած հատվածում, հաշվարկը կատարx -x վում է հետնյալ բանաձնով` k Է  ոax ոiո  , ց դասերի թիվը, k-ն` դասերի մեծությունը, d-ն` dk-xոax-xոiո լայնույթն ապահովում է բոլոր տարբերակների ընդգրկումը դասերում, այս դրույթի իրականացման համար դասերի սահմանները վերցվում են այլ հաշվարկային ճշգրտությամբ` առանց հատկանիշի այնպիսի ցուցանիշների, որոնք դուրս են ընդհանուր օրինաչափությունից (պաթոլոգիայի արդյունք են), x-ը` 1,2,3..., սահմանները` 0,5, 1,5, 2,5 ն այլն, k-ի չափը (մեծությունը) կարգավորվում է հետնյալ բանաձներով` k ց , d Է k xj-1-ը` xj-ն` fj-ն` fjʹ-ն` Էj-ն` Էjʹ-ն`

ո≤100 դեպքում k  ո, ո≥100 դեպքում k≈5 lցո, այստեղից` kԷց≤kd, դասի ներքնի սահմանը, դասի վերնի սահմանը, դասի բացարձակ հաճախականությունը, դասի համեմատական հաճախականությունը, %, դասի բացարձակ գումարային հաճախականությունը, դասի համեմատական գումարային հաճախականությունը, %:

Միջին մեծություններ x̅D-ն

ամենաբարձր հաճախականություն ունեցող դասի միջինն է (խտության միջինը),

x̅2-ն`

միջնաթիվ (մեդիանա), շարքի միջին արժեքը` x 1 x2  ո ,

x̅2Հx̅D-ն` միագագաթ կորը,

x̅Հ∑xi/ո-ը` թվաբանական միջինը, հնարավոր է նան x̅Հ∑fjxj բանաձնի կիրառումը, x̅Հx2ՀxD

x̅-x2-xD

դեպքում` սիմետրիկ բաշխում, դեպքում` ձախ ասիմետրիա,

x̅Հx2ՀxD

դեպքում` աջ ասիմետրիա,

x̅կշ.-ն`

կշռված միջինը (մի քանի խմբերի միջինը)`

x̅երկ.-ը` w-ն` ՏՕ-ն`

միջին երկրաչափականը, փոփոխականության լայնույթը` w Հ xոax- xոiո, քառակուսային շեղման գումարը, ՏՕ x միջին թվաբանականի սխալը` Տ 2x  , որտեղ Էց-ն Էց ազատության աստիճանն է (ո-1), իսկ ՏՕx-ը`քառակուսային շեղումների գումարը, ՏՕ x , մեծ համախմբության դեպքում կազմում է ո ստանդարտ շեղումը,

Տ 2x - ն`

Տ -ը` Տ2-ն` Տ% x0,25-ը` x0,75-ը` I0,5-ը` xք-ն`

x̅կշ.Հ∑wixi/∑ wi,

փոփոխականության աստիճանը (վարիանց)` Տ  Տ 2 , Տ վարիանցի գործակիցը կազմում է Տ %   100 %, x ներքնի քառորդը (քվանտիլ), վերնի քառորդը (քվանտիլ), լայնույթի միջինը` I0,50Հx0,75-x0,25, կետ x առանցքի վրա, որը համապատասխանում է x|1) ամենափոքր կետից մինչն xք կետը գտնվող ցուցանիշxք ների քանակին ն կազմում է ք %: Այսինքն` x|1) գտնվում է տարբերակների ք %-ը:

Հավանականության փոփոխականություն 2-ը ն Y-ը Ք-ն` քi-ն`

պատահական փոփոխականություններն են, հավանականությունը, i դեպքի կատարման հավանականությունն ընդհատվող շարքում, j դասում հաճախականության հավանականությունը (անընդհատ փոփոխականության շարքում), անհնարին դեպքի համար, հնարավոր դեպքերի համար, պատահական փոփոխվող մեծությունը, իրականացված դեպքերը, իրականացված փոփոխականության հավանականությունը,

քj-ն` ք(ս)Հ0-ն` ք(Տ)Հ1-ը` x-ը` xi-ն` fʹ/ք-ն`

Քգում.  ք Ճ1  ք Ճ2  ք Ճ3.....,

 քi  1, Տ - ը` հնարավոր քանակը,

i1

Ք(x  xi )  Քi  , i  1,2......Տ, Էx  Ք(x  x)   քi , Տ xi x Է(2)-ը` սպասվող արժեքը գլխավոր համախմբությունում, դրա ցուցանիշների դրսնվորման միջին աստիճանը, ընտրանքային համախմբությունում ցուցանիշի x̅-ը` միջին չափը, Var(x)-ը` 2-ի միջին շեղումը գլխավոր համախմբությունում, Տx2-ն` միջին շեղումը գլխավոր համախմբությունում,

Ցուցանիշների ընդհանուր պատկերը Ընտրանքային համախմբություն

x

 fi x i

Տ 

ոx

Է( x)   քi x i

  fix i

 fi (xi - x) 2 i

ո   fi (x i - x)2

Գլխավոր համախմբություն ընդհատ անընդհատ փոփոխականություն փոփոխականություն





Է (x)   f(x)xdx 

Var( x)   Քi |x i - Է( x))2



Var ( x)   (x)|x - Է( x))2 d -

ք ն զ-ն` wնr ո-ը` Y:Ե(ո,ք)-ն` Y: Ք(λ)-ն`

հակադիր հատկանիշների իրականացման հավանականության նշանները` ք+զՀ1, հատկանիշների գումարային դրսնորումը կազմում է 1 կամ 100 %, ընդհանուր ծավալը, ո ն ք պարամետրերով բինոմիալ պատահական փոփոխվող Y-ը,

λ պարամետրով, Պուասոնի եղանակով պատահական փոփոխվող Y-ը,

ո→∞, Ք(w)→0, ոՔ-ն անփոփոխ է` ոՔՀλ, k - liո (ո/k)քk  զո-k  6 (Պուասոնի բաշխման բանաձնը), ո k! ք0

 : Ք()- ն`

λ պարամետրով ν Պուասոնի բաշխումը,

Ք| 2  x, x

Է(x)  Ք(2  x)   f(է)d

(բաշխման ֆունկցիա),

- x

Է(x)  Ք( 2  x)   f(է)d  1 (խտացման ֆունկցիա), -

0 f(x)   , x  0 նx  6 դեպքում, 1/6

f(x)-ը`

պատահական փոփոխվող, անընդհատ հատկանիշի խտացման ֆունկցիան, Է(x)-ը` պատահական փոփոխվող, անընդհատ հատկանիշի բաշխման ֆունկցիան, նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխականության -ն` սպասվող արժեքը, նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխականության δ -ն` ստանդարտ շեղումը (վարիանց), 2:N(, δ2)-ն` նորմալ բաշխվող  ն δ2 պարամետրերով պատահական փոփոխական 2-ը, Ս:N(0:1)-ն` (ս)-ն`

նորմալ բաշխվող Հ0 ն δ2Հ1 պարամետրերով պատահական փոփոխական Ս-ն, ստանդարտ նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխականության խտացման ֆունկցիան,

φ(ս)-ն` սք-ն`

ստանդարտ նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխականության բաշխման ֆունկցիան, ստանդարտ նորմալ բաշխման ք արժեքը` Է(x)ՀՔ(2Հx)ՀՔ(սՀս)Հ φ(ս):

էմպիրիկ քառորդ (ստանդարտ բաշխման թիվը)

Օրինակ` (-∞, 1,64)

Ս-ն սխալն է, շեղումը`

Քառորդ (Սք) Ս0,95 Հ1,64, Ս0,025 Հ-1,96, Ս0,925 Հ +1,96, Ս0,05 Հ- 1,64, Ս

xi - x

 Փ, Տ2 ստացված արդյունքի նշանակությունը ճշտվում է աղյուսակով.

ստացվում է xi հավանականությունը, եթե Φ մինուս նշանով է, ապա f(x)-ն` Է(x)-ը`

Φ(-ս)Հ1- Φ(ս), անընդհատ պատահական փոփոխականության խըտացման ֆունկցիան (ընդհանուր), անընդհատ պատահական փոփոխականության բաշխման ֆունկցիան (ընդհանուր),

2:N(μ, δ2)-ն` μ ն δ2 պարամետրերով 2 նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխականությունը, Ս:N(0,1)-ը` (ս)-ն`

φ(ս)-ն` սք-ն`

μ ն δ2 պարամետրերով ստանդարտ նորմալ բաշխըվող պատահական փոփոխակամությունը, ստանդարտ նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխվող խտացման ֆունկիան, ստանդարտ նորմալ բաշխվող պատահական փոփոխվող բաշխման ֆունկցիան, ստանդարտ նորմալ բաշխման ք արժեքը:

Գնահատման տեստ

θ-ն

հաշվարկվող պարամետրերի անհայտն է (ընդհանուր),

̂ -ն`

անհայտ հաշվարկվող θ պարամետրի կետային գնահատումը, վստահության միջակայքը, վստահության միջակայքի ներքնի ն վերնի սահմանները,

ՃI-ն` k1-ից k2-ը` 1-α-ն` d-ն`

վստահության միջակայքի վստահության գործակիցը, վստահության միջակայքի լայնության կեսը,

Տx̅ -ը`

միջին թվաբանականի ստանդարտ շեղումը,

Տd ̅ -ն`

երկու միջին թվաբանականների տարբերության շեղումը, զրոյական վարկածը, այլընտրանքային վարկածը, ռիսկը (սխալի հավանականությունը) 1-ին դեպքում,

Ւ0-ն` ՒՃ-ն`

α-ն` β-ն`

kμ-ն` d"-ն` էսխ.-ն` Էսխ.-ն`

ռիսկը (սխալի հավանականությունը) 2-րդ դեպքում, նախապես վերցված անփոփոխ մեծությունը (μ-ի համար), գործնականում հետաքրքրող միջին տարբերությունը, է տեստի հաշվարկված ցուցանիշը,

F տեստի հաշվարկված ցուցանիշը,  -ն`  2 տեստի նախատեսված ցուցանիշը, էք(ԷՕ)-ն` է շեղման ք արժեքը, Էք(ո1-1,ո2-1)-ը` Է շեղման ք քառորդը,  ք (k - 1 - ք) - ն`  շեղման ք քառորդը (k-ն` դասերի քանակը, ք-Է(x)-ը` պարամետրերի քանակը), դիտարկված ն սպասված թվային արժեքները յուfj կամ j-ն` րաքանչյուր դասում:

Ռեգրեսիա ն կոռելյացիա Հասարակ գծային ռեգրեսիա ո-ը xi-ն` 7i-ն` 7ȋ̑-ն`

տարբերակների թիվն է ընտրանքային համախըմբությունում, յուրաքանչյուր տարբերակի արժեքը, տարբերակի արժեքը համապատասխան xi-ի համար, ֆունկցիայի արժեքը, Y-ի սպասվող արժեքը xi-ի դեպքում,

β0 ն Ե0-ն`

ռեգրեսիայի անփոփոխները (հաստատունները) գլխավոր համախմբության ն համապատասխանորեն ընտրանքային համախմբության դեպքում,

β1 ն Ե1-ը`

ռեգրեսիոն գործակիցները գլխավոր համախմբության ն համապատասխանորեն ընտրանքային համախմբության դեպքում,

ξi-ն`

դիտված արժեքի 7i-ի ընդհանուր շեղումը 7ȋ̑-ի նըկատմամբ, ընդհանուր շեղումները Ե0 ն Ե1-ից,

ՏԵ0-ն ն ՏԵ1-ը`

7ȋ̑-ի ընդհանուր շեղումը x-ի նկատմամբ, Տ7ȋ(x)-ը` Տ7(x)-ը` Y-ի ընդհանուր շեղումը x-ի նկատմամբ, ՏՕ2 ն ՏՕY-ը` 2 ն Y-ի քառակուսային շեղման գումարները, ՏՔ2Y-ը` 2 ն Y-ի ընդհանուր շեղման գումարը, ռեգրեսիայի մասերի քառակուսային շեղումը, ՏՕ(RՃ)-ն` ՏՕ(R6Տէ/R6ցr.)-ը` ռեգրեսիոն հարաբերության քառակուսային շեղումը, ԽՕ(RՃ)-ն` ռեգրեսիայի մասերի վարիանցը, ԽՕ (R6Տէ/R6ցr.)-ը`ռեգրեսիոն հարաբերության վարիանցը (Տ2մնաց.), մնացորդային ստանդարտավորված շեղումը: Տ r2 -ը`

Քանակական հատկանիշների կոռելյացիա (համահարաբերակցություն) δx7 ն Տx7-ը

համավարիանցներն են համախմբություններում,

ρ-ն ն r-ը`

Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գործակիցները գլխա-

8-ն`

գլխավոր ն ընտրանքային

վոր ն ընտրանքային համախմբությունների համար, անփոփոխ մեծություն (ճշգրտության հասարակ չափանիշ):

Ռանգային կոռելյացիա Rxi ն R7i-ն` rՏ-ը`

x ն 7 հատկանիշների ռանգային արժեքներն են, Սպերմանի ռանգ-կոռելյացիոն գործակիցը:

Մասնակցային գործակից fij-ն ij-ն` Շ-ն` V-ն`

մասնակիցների աղյուսակի xi վանդակի ն 7j շարքի անդամների դիտված կազմն է աղյուսակում, սպասվող բացարձակ հաճախականությունը` xi վանդակի ն 7j շարքի անդամների քանակը աղյուսակում, Պիրսոնի մասնակիցների գործակիցը, Կրամերի մասնակիցների գործակիցը:

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

Աղյուսակ 1 Ստանդարտավորված բաշխման ֆունկցիա φ(ս) նորմալ բաշխման համար (նորմալ կորի մակերեսը (-∞, Սք) սահմաններում) սք 0.0

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 .500000 .503989 .507978 .511966 .515953 .519938 .522392 .527903 .531881 .535856

0.1

.539828 .543795 .547758 .551717 .555670 .559618 .563560 .567495 .571424 .575345

0.2

.579260 .583166 .587064 .590954 .594835 .598706 .602568 .606420 .610261 .614092

0.3

.617911 .621720 .625616 .629300 .633072 .636831 .640576 .644309 .648027 .651732

0.4

.655422 .659097 .662757 .666402 .670031 .673645 .677242 .680822 .684386 .687933

0.5

.691462 .694674 .698468 .701944 .705402 .708840 .712260 .715661 .719043 .722405

0.6

.725747 .729069 .732371 .735653 .738914 .742154 .745373 .748571 .751748 .754903

0.7

.758036 .761148 .764238 .767305 .770350 .773373 .776373 .779350 .782305 .785236

0.8

.788145 .791030 .793892 .796731 .799546 .802338 .805106 .807850 .810570 .813267

0.9

.815940 .818589 .821214 .823814 .826391 .828944 .831472 .833977 .836457 .838913

1.0

.841345 .843752 .846136 .848495 .850830 .853141 .855428 .857690 .859929 .862143

1.1

.864334 .866500 .868643 .870762 .872857 .874928 .876976 .879000 .881000 .882977

1.2

.884930 .886861 .888768 890651

1.3

.903200 .904902 .906582 .908241 .909877 .911492 .913085 .914656 .916207 .917736

1.4

.919243 .920730 .922196 .923642 .925066 .926471 .927855 .929219 .930563 .931889

.892512 .894350 .896165 .897958 .899727 .901475

Աղյուսակ 1-ի շարունակություն 1.5 1.6

.933193 .934478 .935744 .945201 .946301 .947384

.936992 .938220 .939429 .940620 .941792 .942947 .944083 .948449 .949497 .950528 .951543 .952540 .953521 .954486

1.7

.955434 .956367 .957284

.958185 .959070 .959941 .960796 .961636 .962462 .963273

1.8

.964070 .964852 .965620

.966375 .967116 .967843 .968557 .969258 .969946 .970621

1.9

.971283 .971933 .972571

.973197 .973810 .974412 .975002 .975581 .976138 .976704

2.0

.977250 .977784 .978308

.978822 .979325 .979818 .980301 .980774 .981237 .981691

2.1

.982136 .982571 .982997

.983414 .983823 .984222 .984614 .984997 .985371 .985738

2.2

.986097 .986447 .986791

.987126 .987454 .987776 .988089 .988396 .988696 .988989

2.3

.989276 .989556 .989830

.990097 .990358 .990613 .990862 .991106 .991344 .991576

2.4

.991802 .992024 .992240

.992451 .992656 .992857 .993053 .993244 .993431 .993613

2.5

.993790 .993963 .994132

.994297 .994457 .994614 .994766 .994915 .995060 .995201

2.6

.995339 .995473 .995604

.995731 .995855 .995975 .996093 .996207 .996319 .996427

2.7

.996533 .996636 .996736

.996833 .996928 .997020 .997110 .997197 .997282 .997365

2.8

.997445 .997523 .997599

.997673 .997744 .997814 .997882 .997948 .998012 .998074

2.9

.998134 .998193 .998250

.998305 .998359 .998411 .998462 .998511 .998559 .998605

0.0 3.0

0.1

0.2

.998650 .999032 .999313

0.3

0.4

0,5

0.6

0.7

0.8

0.9

.999517 .999663 .999767 .999841 .999892 .999928 .999952

Աղյուսակ 2 t բաշխման tք(FG) արժեքը (ԷՕ-ն` ազատության աստիճանը) ԷՕ / Ք

0.75 1.000 0.817 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.690 0.689 0.688 0.688 0.687 0.686

0.875 2.414 1.604 1.423 1.344 1.301 1.273 1.254 1.240 1.230 1.221 1.214 1.209 1.204 1.200 1.197 1.194 1.191 1.189 1.187 1.185 1.183

0.90 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323

0.95 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721

0.975 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080

0.99 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.897 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.625 2.603 2.584 2.567 2.552 2.540 2.528 2.518

0.995 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.500 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831

0.999 318.309 22.327 10.215 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.597 3.552 3.527

0.9995 636.619 31.599 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819

∞

0.686 0.685 0.685 0.684 0.684 0.684 0.683 0.683 0.683 0.682 0.681 0.680 0.679 0.679 0.678 0.678 0.677 0.677 0.677 0.676 0.676 0.675 0.674

1.182 1.180 1.179 1.178 1.177 1.176 1.175 1.174 1.173 1.170 1.167 1.165 1.164 1.162 1.160 1.159 1.158 1.157 1.156 1.155 1.154 1.152 1.150

1.321 1.319 1.318 1,316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.306 1.303 1.301 1.299 1.296 1.294 1.292 1.291 1.290 1.289 1.287 1.286 1.283 1.282

1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.690 1.684 1.679 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.658 1.655 1.653 1.648 1.645

2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.030 2.021 2.014 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.980 1.976 1.972 1.965 1.960

2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.438 2.423 2.412 2.403 2.390 2.381 2.374 2.369 2.364 2.358 2.352 2.345 2.334 2.326

Աղյուսակ 2-ի շարունակություն 2.819 3.505 3.792 2.807 3.485 3.768 2.797 3.467 3.745 2.787 3.450 3.725 2.779 3.435 3.707 2.771 3.421 3.690 2.763 3.408 3.674 2.756 3.396 3.659 2.750 3.385 3.646 2.724 3.340 3.359 2.705 3.307 3.551 2.690 3.281 3.520 2.678 3.261 3.496 2.660 3.232 3.460 2.648 3.211 3.435 2.639 3.195 3.416 2.632 3.183 3.402 2.626 3.174 3.390 2.617 3.160 3.373 2.609 3.145 3.357 2.601 3.131 3.340 2.586 3.107 3.310 2.576 3.090 3.291

Աղյուսակ 3

 ք2 (ԷՕ) բաշխման արժեքները ԷՕ/Ք

0.90 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.20

0.95 3.841 5. 991 7.815 9.488 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25.00 26.30 27.59 28.87 30.14

0.99 6.635 9.210 11.34 13.28 15.09 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.72 26.22 27.69 29.14 30.58 32.00 33.41 34.81 36.19

0.999 7.879 10.60 12.84 14.86 16.75 18.55 20.28 21.96 23.59 25.19 26.76 28.30 29.82 31.32 32.80 34.27 35.72 37.16 38.58

ԷՕ/Ք

0.90 28.41 29.62 30.81 32.01 33.20 34.38 35.56 36.74 37.92 39.09 40.26 51.80 63.17 74.40 85.53 96.58 107.56

0.95 31.41 32.67 33.92 35.17 36.42 37.65 38.89 40.11 41.34 42.56 43.77 55.76 67.50 79.08 90.53 101.88 113.14

0.99 37.57 38.93 40.29 41.64 42.98 44.31 45.64 46.96 48.28 49.59 50.69 63.69 76.15 88.38 100.42 112.33 124.12

0.999 40.00 41.40 42.80 44.18 45.56 46.93 48.29 49.64 50.99 52.34 53.67 66.77 79.49 91.95 104.22 116.32 128.30

118.50

124.34

135.81

140.17

Աղյուսակ 4ա Է0.95 բաշխման արժեքը (ԷՕ1, ԷՕ2) ԷՕ2

ԷՕ11 18.5128 19.0000 10.1280 9.5521 7.7086 6.9443 6.6079 5.7861 5.9874 5.1433 5.5916 4.7374 5.3177 4.4590 5.1174 4.2565 4.9646 4.1028 4.8444 3.9823 4.7472 3.8853 4.6672 3.8056 4.6001 3.7389 4.5431 3.6823 4.4940 3.6337 4.4513 3.5915 4.4139 3.5546 4.3808 3.5219 4.3512 3.4928 4.3248 3.4668 4.3009 3.4434 4.2793 3.4221 4.2597 3.4028

19.1643 19.2468 9.2766 9.1172 6.5914 6.3882 5.4095 5.1922 4.7571 4.5337 4.3468 4.1203 4.0662 3.8379 3.8625 3.6331 3.7083 3.4781 3.5875 3.3567 3.4903 3.2592 3.4105 3.1791 3.3439 3.1122 3.2874 3.0556 3.2389 3.0069 3.1968 2.9647 3.1599 2.9277 3.1274 2.8951 3.0984 2.8661 3.0725 2.8401 3.0491 2.8167 3.0280 2.7955 3.0068 2.7763

19.2964 19.3295 9.0135 8.9106 6.2561 6.1631 5.0503 4.9503 4.3874 4.2839 3.9715 3.8660 3.6875 3.5806 3.4817 3.3738 3.3258 3.2172 3.2039 3.0946 3.1059 2.9961 3.0254 2.9153 2.9582 2.8477 2.9013 2.7905 2.8524 2.7413 2.8100 2.6987 2.7729 2.6613 2.7401 2.6283 2.7109 2.5990 2.6848 2.5727 2.6613 2.5491 2.6400 2.5277 2.6207 2.5082

19.3532 8.8867 6.0942 4.8759 4.2067 3.7870 3.5005 3.2928 3.1355 3.0123 2.9134 2.8321 2.7642 2.7066 2.6572 2.6143 2.5767 2.5435 2.5140 2.4876 2.4638 2.4422 2.4226

19.3710 8.8452 6.0410 4.8183 4.1468 3.7257 3.4381 3.2296 3.0717 2.9480 2.8486 2.7669 2.6987 2.6408 2.5911 2.5480 2.5102 2.4768 2.4471 2.4205 2.3965 2.3748 2.3551

19.3848 19.3959 8.8123 6.7855 5.9988 5.9644 4.7725 4.7351 4.0990 4.0600 3.6767 3.6365 3.3881 3.3472 3.1789 3.1373 3.0204 2.9782 2.8962 2.8536 2.7964 2.7534 2.7144 2.6710 2.6458 2.6022 2.5876 2.5437 2.5377 2.4935 2.4943 2.4499 2.4563 2.4117 2.4227 2.3779 2.3928 2.3479 2.3660 2.3210 2.3419 2.2967 2.3201 2.2747 2.3002 2.2547

Աղյուսակ 4ա-ի շարունակություն ∞

4.2417 4.2252 4.2100 4.1960 4.1830 4.1709 4.1213 4.0847 4.0343 4.0012 3.9778 3.9604 3.9469 3.9361 3.9042 3.8884 3.8789 3.8726 3.8648 3.8601 3.8508 3.8415

3.3852 3.3690 3.3541 3.3404 3.3277 3.3158 3.2674 3.2317 3.1826 3.1504 3.1277 3.1108 3.0977 3.0873 3.0564 3.0411 3.0319 3.0258 3.0183 3.0138 3.0047 2.9957

2.9912 2.9752 2.9604 2.9467 2.9340 2.9223 2.8742 2.8387 2.7900 2.7581 2.7355 2.7188 2.7058 2.6955 2.6649 2.6498 2.6407 2.6347 2.6272 2.6227 2.6138 2.6049

2.7587 2.7426 2.7278 2.7141 2.7014 2.6896 2.6415 2.6060 2.5572 2.5252 2.5027 2.4859 2.4729 2.4626 2.4320 2.4168 2.4078 2.4017 2.3942 2.3898 2.3808 2.3719

2.6030 2.5868 2.5719 2.5581 2.5454 2.5336 2.4851 2.4495 2.4004 2.3683 2.3456 2.3287 2.3157 2.3053 2.2745 2.2592 2.2501 2.2441 2.2366 2.2320 2.2231 2.2141

2.4904 2.4741 2.4591 2.4453 2.4324 2.4205 2.3718 2.3359 2.2864 2.2541 2.2312 2.2142 2.2011 2.1906 2.1595 2.1441 2.1350 2.1289 2.1213 2.1167 2.1076 2.0986

2.4047 2.3883 2.3732 2.3593 2.3463 2.3343 2.2852 2.2490 2.1992 2.1665 2.1435 2.1263 2.1131 2.1025 2.0711 2.0556 2.0463 2.0402 2.0325 2.0279 2.0187 2.0096

2.3371 2.3205 2.3053 2.2913 2.2783 2.2662 2.2167 2.1802 2.1299 2.0970 2.0737 2.0564 2.0430 2.0323 2.0006 1.9849 1.9756 1.9693 1.9616 1.9569 1.9476 1.9384

2.2821 2.2655 2.2501 2.2360 2.2229 2.2107 2.1608 2.1240 2.0734 2.0401 2.0166 1.9991 1.9856 1.9748 1.9428 1.9269 1.9174 1.9112 1.9033 1.8986 1.8892 1.8799

2.2365 2.2197 2.2043 2.1900 2.1768 2.1646 2.1143 2.0772 2.0261 1.9926 1.9689 1.9512 1.9376 1.9267 1.8943 1.8783 1.8687 1.8623 1.8544 1.8496 1.8402 1.8307

Աղյուսակ 4ա-ի շարունակություն ԷՕ 2

ԷՕ 1/11 19.4050 8.7633 5.9358 4.7040 4.0274 3.6030 3.3130 3.1025 2.9430 2.8179 2.7173 2.6347 2.5655 2.5068 2.4564 2.4126 2.3742 2.3402 2.3100 2.2829 2.2585 2.2364 2.2163 2.1979

19.4125 8.7446 5.9117 4.6777 3.9999 3.5747 3.2839 3.0729 2.9130 2.7876 2.6866 2.6037 2.5342 2.4753 2.4247 2.3807 2.3421 2.3080 2.2776 2.2504 2.2258 2.2036 2.1834 2.21649

19.4188 8.2787 5.8911 4.6552 3.9764 3.5503 3.2590 3.0476 2.8872 2.7614 2.6602 2.5769 2.5073 2.4481 2.3973 2.3531 2.3143 2.2800 2.2495 2.2222 2.1975 2.1752 2.1548 2.1362

19.4244 8.7149 5.8733 4.6358 3.9559 3.5292 3.2374 3.0255 2.8647 2.7387 2.6371 2.5536 2.4837 2.4244 2.3733 2.3290 2.2900 2.2556 2.2250 2.1975 2.1727 2.1502 2.1298 2.1111

19.4291 8.7029 5.8578 4.6188 3.9381 3.5107 3.2184 3.0061 2.8450 2.7186 2.6169 2.5331 2.4630 2.4035 2.3522 2.3077 2.2686 2.2341 2.2033 2.1757 2.1608 2.1282 2.1077 2.0889

19.4458 8.6602 5.8025 4.5581 3.8742 3.4445 3.1503 2.9365 2.7740 2.6465 2.5436 2.4589 2.3879 2.3275 2.2756 2.2304 2.1907 2.1555 2.1242 2.0960 2.0707 2.0476 2.0267 2.0075

19.4558 8.6341 5.7687 4.5209 3.8348 3.4036 3.1081 2.8932 2.7298 2.6014 2.4977 2.4123 2.3407 2.2797 2.2272 2.1815 2.1413 2.1057 2.0739 2.0454 2.0197 1.9963 1.9750 1.9555

19.4624 8.6166 5.7459 4.4957 3.8082 3.3758 3.0794 2.8637 2.6996 2.5705 2.4663 2.3803 2.3082 2.2468 2.1938 2.1577 2.1071 2.0712 2.0391 2.0103 1.9842 1.9605 1.9390 1.9192

19.4672 8.6039 5.7294 4.4775 3.7889 3.3557 3.0586 2.8422 2.6776 2.5480 2.4434 2.3570 2.2845 2.2227 2.1694 2.1230 2.0821 2.0458 2.0135 1.9844 1.9581 1.9342 1.9124 1.8924

19.470 8.5944 5.7170 4.4638 3.7743 3.3404 3.0428 2.8259 2.6609 2.5309 2.4259 2.3392 2.2664 2.2043 2.1507 2.1040 2.0629 2.0264 1.9938 1.9645 1.9380 1.9139 1.8920 1.8718

Աղյուսակ 4ա-ի շարունակություն ∞

2.1811 2.1655 2.1512 2.1379 2.1256 2.0750 2.0376 1.9861 1.9522 1.9283 1.9105 1.8967 1.8857 1.8530 1.8368 1.8271 1.8206 1.8126 1.8078 1.7982 1.7879

2.1479 2.1323 2.1179 2.1045 2.0921 2.0411 2.0035 1.9515 1.9174 1.8932 1.8753 1.8613 1.8503 1.8172 1.8008 1.7910 1.7845 1.7764 1.7715 1.7618 1.7522

2.1192 2.1035 2.0889 2.0755 2.0630 2.0117 1.9738 1.9214 1.8870 1.8627 1.8445 1.8305 1.8197 1.7859 1.7694 1.7595 1.7529 1.7447 1.7398 1.7299 1.7192

2.0940 2.0781 2.0635 2.0500 2.0374 1.9858 1.9476 1.8949 1.8602 1.8357 1.8174 1.8032 1.7919 1.7582 1.7415 1.7315 1.7249 1.7166 1.7116 1.7017 1.6909

2.0716 2.0558 2.0411 2.0275 2.0148 1.9629 1.9245 1.8714 1.8364 1.8117 1.7932 1.7789 1.7675 1.7335 1.7166 1.7065 1.6998 1.6914 1.6864 1.6764 1.6664

1.9898 1.9736 1.9586 1.9446 1.9317 1.8784 1.8389 1.7841 1.7480 1.7223 1.7032 1.6883 1.6764 1.6410 1.6233 1.6127 1.6057 1.5969 1.5916 1.5811 1.5705

1.9375 1.9210 1.9057 1.8915 1.8783 1.8239 1.7835 1.7274 1.6902 1.6638 1.6440 1.6286 1.6163 1.5796 1.5612 1.5502 1.5428 1.5337 1.5282 1.5171 1.5061

1.9010 1.8842 1.8687 1.8543 1.8409 1.7856 1.7444 1.6872 1.6492 1.6221 1.6017 1.5859 1.5733 1.5354 1.5164 1.5049 1.4973 1.4878 1.4821 1.4706 1.4591

1.8740 1.8571 1.8414 1.8268 1.8132 1.7571 1.7154 1.6571 1.6183 1.5907 1.5699 1.5537 1.5407 1.5018 1.4822 1.4704 1.4625 1.4527 1.4467 1.4348 1.4229

1.8533 1.8361 1.8203 1.8055 1.7918 1.7351 1.6928 1.6337 1.5943 1.5661 1.5449 1.5284 1.5151 1.4752 1.4551 1.4430 1.4349 1.4247 1.4186 1.4063 1.3940

Աղյուսակ 4ա-ի շարունակություն ԷՕ 2 ԷՕ1/50

19,4791 8,5720 5,6877 4,4314 3,7398 3,3043 3,0053 2,7873 2,6211 2,4901 2,3842 2,2966 2,2230 2,1601 2,1058 2,0584 2,0167 1,9796 1,9464 1,9165 1,8895 1,8649 1,8424 1,8217

19,4814 8,5656 5,6793 4,4220 3,7298 3,2939 2,9944 2,7760 2,6095 2,4782 2,3720 2,2841 2,2102 2,1472 2,0926 2,0450 2,0030 1,9657 1,9324 1,9023 1,8751 1,8503 1,8277 1,8069

19,4832 8,5607 5,6730 4,4150 3,7223 3,2860 2,9862 2,7675 2,6008 2,4692 2,3628 2,2747 2,2006 2,1373 2,0826 2,0348 1,9927 1,9552 1,9217 1,8915 1,8641 1,8392 1,8164 1,7955

19,4846 8,5569 5,6680 4,4095 3,7165 3,2798 2,9798 2,7609 2,5939 2,4622 2,3556 2,2673 2,1931 2,1296 2,0748 2,0268 1,9846 1,9470 1,9133 1,8830 1,8555 1,8305 1,8076 1,7866

19,4857 8,5539 5,6641 4,4051 3,7117 3,2749 2,9747 2,7556 2,5884 2,4566 2,3498 2,2614 2,1870 2,1234 2,0685 2,0204 1,9780 1,9403 1,9066 1,8761 1,8486 1,8235 1,8005 1,7794

19,4917 8,5375 5,6425 4,3811 3,6861 3,2480 2,9466 2,7264 2,5583 2,4256 2,3179 2,2288 2,1536 2,0893 2,0336 1,9849 1,9418 1,9035 1,8691 1,8381 1,8100 1,7843 1,7608 1,7391

19,4937 8,5320 5,6353 4,3731 3,6775 3,2389 2,9371 2,7166 2,5481 2,4151 2,3071 2,2177 2,1422 2,0776 2,0217 1,9727 1,9294 1,8909 1,8563 1,8250 1,7967 1,7708 1,7470 1,7252

19,4947 8,5292 5,6317 4,3690 3,6732 3,2343 2,9324 2,7116 2,5430 2,4098 2,3017 2,2121 2,1365 2,0718 2,0157 1,9666 1,9232 1,8845 1,8498 1,8184 1,7899 1,7639 1,7401 1,7181

19,4757 8,5810 5,6995 4,4444 3,7537 3,3198 3,0204 2,8028 2,6371 2,5066 2,4010 2,3138 2,2405 2,1780 2,1240 2,0769 2,0354 1,9986 1,9656 1,9360 1,9092 1,8848 1,8625 1,8421

∞ 19,496 8,5265 5,6281 4,3650 3,6688 3,2298 2,9276 2,7067 2,5379 2,4045 2,2962 2,2064 2,1307 2,0658 2,0096 1,9604 1,9168 1,8780 1,8432 1,8117 1,7831 1,7570 1,7331 1,7110

Աղյուսակ 4ա-ի շարունակություն ∞

1,8233 1,8059 1,7898 1,7748 1,7609 1,7032 1,6600 1,5995 1,5590 1,5300 1,5081 1,4910 1,4772 1,4357 1,4146 1,4019 1,3934 1,3827 1,3762 1,3631 1,3501

1,8027 1,7852 1,7689 1,7537 1,7396 1,6811 1,6373 1,5757 1,5343 1,5046 1,4821 1,4645 1,4504 1,4074 1,3856 1,3724 1,3635 1,3523 1,3454 1,3318 1,3180

1,7877 1,7700 1,7535 1,7383 1,7240 1,6649 1,6205 1,5580 1,5160 1,4857 1,4628 1,4448 1,4303 1,3861 1,3636 1,3499 1,3407 1,3290 1,3220 1,3077 1,2933

1,7762 1,7584 1,7419 1,7264 1,7121 1,6525 1,6077 1,5445 1,5019 1,4711 1,4477 1,4294 1,4146 1,3695 1,3463 1,3322 1,3226 1,3106 1,3033 1,2885 1,2735

1,7672 1,7493 1,7326 1,7171 1,7027 1,6427 1,5975 1,5337 1,4906 1,4594 1,4357 1,4171 1,4021 1,3560 1,3323 1,3178 1,3080 1,2956 1,2881 1,2728 1,2572

1,7599 1,7419 1,7252 1,7096 1,6950 1,6347 1,5892 1,5249 1,4814 1,4499 1,4259 1,4070 1,3917 1,3449 1,3206 1,3058 1,2958 1,2831 1,2753 1,2596 1,2432

1,7191 1,7006 1,6834 1,6674 1,6524 1,5899 1,5425 1,4748 1,4285 1,3945 1,3684 1,3477 1,3308 1,2777 1,2495 1,2318 1,2196 1,2038 1,1940 1,1735 1,1515

1,7050 1,6863 1,6689 1,6527 1,6375 1,5742 1,5260 1,4569 1,4094 1,3743 1,3473 1,3256 1,3079 1,2517 1,2211 1,2016 1,1879 1,1700 1,1587 1,1342 1,1063

1,6979 1,6790 1,6615 1,6452 1,6299 1,5661 1,5175 1,4477 1,3995 1,3638 1,3362 1,3140 1,2958 1,2376 1,2054 1,1847 1,1700 1,1504 1,1378 1,1097 1,0747

1,6906 1,6717 1,6541 1,6377 1,6223 1,5580 1,5089 1,4383 1,3893 1,3529 1,3247 1,3020 1,2832 1,2226 1,1885 1,1661 1,1500 1,1279 1,1132 1,0783 1,000

Աղյուսակ 4բ Է0,975 բաշխման արժեքը (ԷՕ1, ԷՕ2) ԷՕ2

ԷՕ1/1 38,5063 17,4434 12,2179 10,0070 8,8131 8,0727 7,5709 7,2093 6,9367 6,7241 6,5538 6,4143 6,2979 6,1995 6,1151 6,0420 5,9781 5,9216 5,8715 5,8266 5,7863 5,7498

39,0000 16,0441 10,6491 8,4336 7,2599 6,5415 6,0595 5,7147 5,4564 5,2559 5,0959 4,9653 4,8567 4,7650 4,6867 4,6189 4,5597 4,5075 4,4613 4,4199 4,3828 4,3492

39,1655 15,4392 9,9792 7,7636 6,5988 5,8898 5,4160 5,0781 4,8256 4,6300 4,4742 4,3472 4,2417 4,1528 4,0768 4,0112 3,9539 3,9034 3,8587 3,8188 3,7829 3,7505

39,2484 15,1010 9,6045 7,3879 6,2272 5,5226 5,0526 4,7181 4,4683 4,2751 4,1212 3,9959 3,8919 3,8043 3,7294 3,6648 3,6083 3,5587 3,5147 3,4754 3,4401 3,4083

39,2982 14,8848 9,3645 7,1464 5,9876 5,2852 4,8173 4,4844 4,2361 4,0440 3,8911 3,7667 3,6634 3,5764 3,5021 3,4379 3,3820 3,3327 3,2891 3,2501 3,2151 3,1835

39,3315 14,7347 9,1973 6,9777 5,8198 5,1186 4,6517 4,3197 4,0721 3,8807 3,7283 3,6043 3,5014 3,4147 3,3406 3,2767 3,2209 3,1718 3,1283 3,0895 3,0546 3,0232

39,3552 14,6244 9,0741 6,8531 5,6955 4,9949 4,5286 4,1970 3,9498 3,7586 3,6065 3,4827 3,3799 3,2934 3,2194 3,1556 3,0999 3,0509 3,0074 2,9686 2,9338 2,9023

39,3730 14,5399 8,9796 6,7572 5,5996 4,8993 4,4333 4,1020 3,8549 3,6638 3,5118 3,3880 3,2853 3,1987 3,1248 3,0610 3,0053 2,9563 2,9128 2,8740 2,8392 2,8077

39,3869 14,4731 8,9047 6,6811 5,5234 4,8232 4,3572 4,0260 3,7790 3,5879 3,4358 3,3120 3,2093 3,1227 3,0488 2,9849 2,9291 2,8801 2,8365 2,7977 2,7628 2,7313

39,3980 14,4189 8,8439 6,6192 5,4613 4,7611 4,2951 3,9636 3,7168 3,5257 3,3736 3,2497 3,1469 3,0602 2,9862 2,9222 2,8664 2,8172 2,7737 2,7348 2,6998 2,6682

Աղյուսակ 4բ-ի շարունակություն ∞

5,7166 5,6864 5,6586 5,6331 5,6096 5,5878 5,5675 5,4848 5,4239 5,3403 5,2856 5,2470 5,2184 5,1962 5,1786 5,1263 5,1004 5,0849 5,0543 5,0391 5,0239

4,3187 4,2909 4,2655 4,2421 4,2205 4,2006 4,1821 4,1065 4,0510 3,9749 3,9253 3,8903 3,8643 3,8443 3,8284 3,7811 3,7578 37439 3,7162 3,7025 3,6889

3,7211 3,6943 3,6697 3,6472 3,6264 3,6072 3,5894 3,5166 3,4633 3,3902 3,3425 3,3090 3,2841 3,2649 3,2484 3,2044 3,1820 3,1687 3,1423 3,1292 3,1161

3,3794 3,3530 3,3289 3,3067 3,2863 3,2674 3,2499 3,1785 3,1261 3,0544 3,0077 2,9748 2,9504 2,9315 2,9166 2,8722 2,8503 2,8373 2,8114 2,7986 2,7858

3,1548 3,1287 3,1048 3,0828 3,0626 3,0438 3,0265 2,9557 2,9037 2,8327 2,7863 2,7537 2,7295 2,7109 2,6961 2,6521 2,6304 2,6175 2,5919 2,5792 2,5665

2,9946 2,9685 2,9447 2,9228 2,9027 2,8840 2,8667 2,7961 2,7444 2,6736 2,6274 2,5949 2,5708 2,5522 2,5374 2,4936 2,4720 2,4591 2,4335 2,4208 2,4082

2,8738 2,8478 2,8240 2,8021 2,7820 2,7633 2,7460 2,6755 2,6238 2,5530 2,5068 2,4743 2,4502 2,4316 2,4168 2,3730 2,3513 2,3384 2,3129 2,3002 2,2875

2,7791 2,7531 2,7293 2,7074 2,6872 2,6686 2,6513 2,5807 2,5289 2,4579 2,4117 2,3791 2,3549 2,3363 2,3215 2,2775 2,2558 2,2429 2,2172 2,2045 2,1918

2,7027 2,6766 2,6528 2,6309 2,6106 2,5919 2,5746 2,5039 2,4519 2,3808 2,3344 2,3017 2,2775 2,2588 2,2439 2,1998 2,1780 2,1650 2,1392 2,1264 2,1136

2,6396 2,6135 2,5896 2,5676 2,5473 2,5286 2,5112 2,4403 2,3882 2,3168 2,2702 2,2374 2,2130 2,1942 2,1793 2,1349 2,1130 2,0999 2,0740 2,0611 2,0483

Աղյուսակ 4բ-ի շարունակություն ԷՕ2

ԷՕ1/112 39,40 39,4146 14,37 14,3366 8,793 8,7512 6,567 6,5245 5,409 5,3662 4,709 4,6658 4,243 4,1997 3,912 3,8682 3,664 3,6209 3,473 3,4296 3,321 3,2773 3,197 3,1532 3,094 3,0502 3,007 2,9633 2,933 2,8890 2,869 2,8249 2,813 2,7689 2,764 2,7196 2,720 2,6758 2,681 2, 6368 2,646 2,6017 2,615 2,5699 2,586 2,5411 2,560 2,5149

39,4210 14,3045 8,7150 6,4876 5,3290 4,6285 4,1622 3,8306 3,5832 3,3917 3,2393 3,1150 3,0119 2,9249 2,8506 2,7863 2,7302 2,6808 2,6369 2,5978 2,5626 2,5308 2,5019 2,4756

39,4265 14,2768 8,6838 6,4556 5,2968 4,5961 4,1297 3,790 3,5504 3,3588 3,2062 3,0819 2,9786 2,8915 2,8170 2,7526 2,6964 2,6469 2,6030 2,5638 2,5285 2,4966 2,4677 2,4413

39,4313 14,2527 8,6565 6,4277 5,2687 4,5678 4,1012 3,7694 3,5217 3,3299 3,1772 3,0527 2,9493 2,8621 2,7875 2,7230 2,6667 2,6171 2,5731 2,5338 2,4984 2,4665 2,4374 2,4110

39,4479 14,1674 8,5599 6,3286 5,1684 4,4667 3,9995 3,6669 3,4185 3,2261 3,0728 2,9477 2,8437 2,7559 2,6808 2,6158 2,5590 2,5089 2,4645 2,4247 2,3890 2,3567 2,3273 2,3005

39,4546 14,1155 8,5010 6,2679 5,1069 4,4045 3,9367 3,6035 3,3546 3,1616 3,0077 2,8821 2,7777 2,6894 2,6138 2,5484 2,4912 2,4408 2,3959 2,3558 2,3198 2,2871 2,2574 2,2303

39,4646 14,0805 8,4613 6,2269 5,0652 4,3624 3,8940 3,5604 3,3110 3,1176 2,9633 2,8372 2,7324 2,6437 2,5678 2,5020 2,4445 2,3937 2,3486 2,3082 2,2718 2,2389 2,2090 2,1816

39,4693 14,0554 8,4327 6,1973 5,0352 4,3319 3,8632 3,5292 3,2794 3,0856 2,9309 2,8046 2,6994 2,6104 2,5342 2,4681 2,4103 2,3593 2,3139 2,2733 2,2366 2,2035 2,1733 2,1458

39,4729 14,0365 8,4111 6,1750 5,0125 43089 3,8398 3,5055 3,2554 3,0613 2,9063 2,7797 2,6742 2,5850 2,5085 2,4422 2,3842 2,3329 2,2873 2,2465 2,2097 2,1763 2,1460 2,1183

Աղյուսակ 4բ-ի շարունակություն ∞

2,5363 2,5143 2,4940 2,4752 2,4577 2,3866 2,3343 2,2627 2,2159 2,1829 2,1584 2,1395 2,1245 2,0799 2,0578 2,0447 2,0186 2,0056 1,9927

2,4908 2,4688 2,4484 2,4295 2,4120 2,3406 2,2882 2,2162 2,1692 2,1361 2,1115 2,0925 2,0773 2,0325 2,0103 1,9971 1,9708 1,9577 1,9447

2,4515 2,4293 2,4089 2,3900 2,3724 2,3008 2,2481 2,1758 2,1286 2,0953 2,0706 2,0515 2,0363 1,9911 1,9688 1,9555 1,9290 1,9158 1,9027

2,4171 2,3949 2,3743 2,3554 2,3378 2,2659 2,2130 2,1404 2,0929 2,0595 2,0346 2,0154 2,0001 1,9546 1,9322 1,9187 1,8921 1,8788 1,8656

2,3867 2,3644 2,3438 2,3248 2,3072 2,2350 2,1819 2,1090 2,0613 2,0277 2,0026 1,9833 1,9679 1,9222 1,8996 1,8861 1,8592 1,8459 1,8326

2,2759 2,2533 2,2324 2,2131 2,1952 2,1218 2,0677 1,9933 1,9445 1,9100 1,8843 1,8644 1,8486 1,8014 1,7780 1,7640 1,7362 1,7223 1,7085

2,2054 2,1826 2,1615 2,1419 2,1237 2,0493 1,9943 1,9186 1,8687 1,8334 1,8071 1,7867 1,7705 1,7220 1,6978 1,6834 1,6546 1,6402 1,6259

2,1565 2,1334 2,1121 2,0923 2,0739 1,9986 1,9429 1,8659 1,8152 1,7792 1,7523 1,7315 1,7148 1,6651 1,6403 1,6254 1,5957 1,5808 1,5660

2,1205 2,0972 2,0757 2,0557 2,0372 1,9611 1,9047 1,8267 1,7752 1,7386 1,7112 1,6899 1,6729 1,6220 1,5966 1,5813 1,5508 1,5354 1,5201

2,0928 2,693 2,0477 2,0276 2,0089 1,9321 1,8752 1,7963 1,7440 1,7069 1,6790 1,6574 1,6401 1,5882 1,5621 1,5465 1,5151 1,4993 1,4835

Աղյուսակ 4բ-ի շարունակություն ԷՕ2 ԷՕ1/50

39,4812 13,9921 8,3604 6,1225 4,9589 4,2544 3,7844 3,4493 3,1984 3,0035 2,8478 2,7204 2,6142 2,5242 2,4471 2,3801 2,3214 2,2696 2,2234 2,1819 2,1446 2,1107 2,0799

394836 13,9793 8,3458 6,1074 4,9434 4,2386 3,7684 3,4330 3,1818 2,9867 2,8307 2,7030 2,5966 2,5064 2,4291 2,3619 2,3030 2,2509 2,2045 2,1629 2,1254 2,0913 2,0603

39,4854 13,9697 8,3349 6,0960 4,9318 4,2268 3,7563 3,4207 3,1694 2,9740 2,8178 2,6900 2,5833 2,4930 2,4154 2,3481 2,2890 2,2368 2,1902 2,1485 2,1108 2,0766 2,0454

39,4868 13,9623 8,3263 6,0871 4,9227 4,2175 3,7469 3,4111 3,1596 2,9641 2,8077 2,6797 2,5729 2,4824 2,4047 2,3372 2,2780 2,2257 2,1790 2,1371 2,0993 2,0650 2,0337

39,4879 13,9563 8,3195 6,0800 4,9154 4,2101 3,7393 3,4034 3,1517 2,9561 2,7996 2,6715 2,5646 2,4739 2,3961 2,3285 2,2692 2,2167 2,1699 2,1280 2,0901 2,0557 2,0243

39,4939 13,9238 8,2823 6,0413 4,8758 4,1696 3,6981 3,3613 3,1089 2,9124 2,7552 2,6263 2,5186 2,4273 2,3487 2,2804 2,2205 2,1673 2,1199 2,0773 2,0388 2,0038 1,9718

39,4959 13,9130 8,2698 6,0283 4,8625 4,1560 3,6842 3,3471 3,0944 2,8977 2,7401 2,6109 2,5030 2,4114 2,3326 2,2640 2,2038 2,1504 2,1027 2,0599 2,021 1,9859 1,9537

39,4969 13,9075 8,2636 6,0218 4,8558 4,1492 3,6772 3,3400 3,0871 2,8902 2,7325 2,6032 2,4951 2,4034 2,3245 2,2558 2,1954 2,1419 2,0941 2,0511 2,0122 1,9769 1,9445

39,4749 14,0099 8,3808 6,1436 4,9804 4,2763 3,8067 3,4719 3,2214 3,0268 2,8714 2,7443 2,6384 2,5488 2,4719 2,4053 2,3468 2,2952 2,2493 2,2081 2,1710 2,1374 2,1067

∞ 39,4979 13,9021 8,2573 6,0153 48491 4,1423 3,6702 3,3329 3,0798 2,8828 2,7249 2,5955 2,4872 2,3953 2,3163 2,2474 2,1869 2,1333 2,0853 2,0422 2,0032 1,9677 1,9353

Աղյուսակ 4բ-ի շարունակություն ∞

2,0787 2,0530 2,0293 2,0073 1,9870 1,9681 1,8902 1,8324 1,7520 1,6985 1,6604 1,6318 1,6095 1,5917 1,5379 1,5108 1,4945 1,4616 1,4451 1,4284

20516 2,0257 2,0018 1,9797 1,9591 1,9400 1,8613 1,8028 1,7211 1,6668 1,6279 1,5987 1,5758 1,5575 1,5022 1,4742 1,4573 1,4231 1,4058 1,3883

2,0319 2,0058 1,9817 1,9595 1,9388 1,9195 1,8402 1,7810 1,6984 1,6433 1,6038 1,5740 1,5507 1,5320 1,4753 1,4465 1,4291 1,3937 1,3757 1,3575

2,0169 1,9907 1,9665 1,9441 1,9232 1,9039 1,8240 1,7644 1,6810 1,6252 1,5851 1,5549 1,5312 1,5122 1,4543 1,4248 1,4069 1,3704 1,3518 1,3329

2,0051 1,9787 1,9544 1,9319 1,9110 1,8915 1,8112 1,7512 1,6671 1,6108 1,5702 1,5396 1,5156 1,4963 1,4374 1,4072 1,3889 1,3514 1,3322 1,3126

1,9955 1,9691 1,9447 1,9221 1,9011 1,8816 1,8009 1,7405 1,6558 1,5990 1,5581 1,5271 1,5028 1,4833 1,4234 1,3927 1,3739 1,3356 1,3158 1,2956

1,9425 1,9155 1,8905 1,8674 1,8459 1,8258 1,7427 1,6802 1,5917 1,5317 1,4880 1,4546 1,4282 1,4067 1,3396 1,3042 1,2821 1,2352 1,2098 1,1828

1,9242 1,8970 1,8718 1,8485 1,8268 1,8065 1,7224 1,6590 1,5689 1,5075 1,4625 1,4280 1,4005 1,3781 1,3073 1,2691 1,2448 1,1918 1,1618 1,1277

1,9149 1,8876 1,8623 1,8389 1,8170 1,7967 1,7121 1,6481 1,5572 1,4950 1,4493 1,4141 1,3860 1,3630 1,2898 1,2498 1,2241 1,1664 1,1320 1,0895

1,9055 1,8781 1,8527 1,8291 1,8072 1,7867 1,7016 1,6371 1,5452 1,4821 1,4357 1,3997 1,3710 1,3473 1,2714 1,2290 1,2014 1,1365 1,0938 1,000

Աղյուսակ 5 Բինոմիալ փոփոխականության ք ցուցանիշի վստահության միջակայքի սահմանները, ք 

k , ո

որտեղ ո -ը փորձի ծավալն է, k-ն` իրականացված դեպքերի թիվը, ք̑-ն` հավանականության ք արժեքը (Օ-ն` վերնի սահմանը, Ս-ն` ներքնի սահմանը) kՀ

.950 .000 .776 .000 .632 .000 .527 .000 .500 .000 .402 .000 .377 .000 .315 .000 .289 .000

.975 .025 .865 .017 .751 .013 .667 .010 .598 .009 .554 .007 .500 .006 .443 .006

.902 .098 .811 .076 .729 .063 .659 .053 .685 .046 .558 .041

.847 .153 .775 .129 .711 .111 .711 .098

.807 .193 .749 .169

ոՀ 1- Օ Ս 2- Օ Ս 3- Օ Ս 4- Օ Ս 5- Օ Ս 6- Օ Ս 7-Օ Ս 8-Օ Ս 9-Օ Ս

Աղյուսակ 5-ի շարունակություն 10 -Օ Ս 11 -Օ Ս 1 2-Օ Ս 13-Օ Ս 14- Օ Ս 15-Օ Ս 16 -Օ Ս 17-Օ Ս 18-Օ Ս 19-Օ Ս 20-Օ Ս 21-Օ Ս 22-Օ Ս

.267 .000 .250 .000 .236 .000 .225 .000 .206 .000 .191 .000 .178 .000 .166 .000 .157 .000 .150 .000 .143 .000 .137 .000 .132 .000

.397 .005 .369 .005 .346 .004 .327 .004 .312 .004 .302 .003 .272 .003 .254 .003 .242 .003 .232 .003 .222 .003 .213 .002 .205 .002

.603 .037 .500 .033 .450 .030 .434 .028 .389 .026 .369 .024 .352 .023 .337 .021 .325 .020 .316 .019 .293 .018 .276 .017 .264 .016

.619 .087 .631 .079 .550 .072 .520 .066 .500 .061 .448 .057 .429 .053 .417 .050 .381 .047 .365 .044 .351 .042 .338 .040 .326 .038

.753 .150 .667 .135 .654 .123 .587 .113 .611 .104 .552 .097 .500 .090 .489 .085 .444 .080 .426 .075 .411 .071 .398 .068 .389 .038

.778 .222 .750 .200 .706 .181 .166 .629 .153 .631 .142 .571 .132 .544 .124 .556 .116 .500 .110 .467 .104 .455 .099 .424 .094

.764 .236 .740 .224 .206 .668 .191 .648 .178 .594 .166 .619 .156 .574 .147 .533 .140 .506 .132 .500 .126

.794 .206 .706 .191 .728 .178 .663 .166 .625 .157 .635 .150 .589 .143 .551 .137 .676 .132

.728 .272 .746 .253 .675 .236 .655 .222 .649 .209 .602 .197 .582 .187

.758 .242 .688 .232 .707 .222 .662 .213 .617 .205

.707 .293 .724 .276 .674 .736 .260 .264

Աղյուսակ 5-ի շարունակությունը ո23-Օ Ս 24-Օ Ս 25-Օ Ս 26-Օ Ս 27-Օ Ս 28-Օ Ս 29-Օ Ս 30-Օ Ս

kՀ .127 .000 .122 .000 .118 .000 .114 .000 .110 .000 .106 .000 .103 .000 .100 .000

.198 .002 .191 .002 .185 .002 .180 .002 .175 .002 .170 .002 .166 .002 .163 .002

.255 .016 .246 .015 .238 .014 .230 .014 .223 .013 .217 .013 .211 .012 .205 .012

.317 .037 .308 .035 .303 .034 .282 .032 .269 .031 .259 .030 .251 .029 .244 .028

.360 .062 .347 .059 .336 .057 .325 .054 .316 .031 .307 .050 .299 .049 .292 .047

.409 .090 .396 .086 .384 .082 .374 .079 .364 .076 .357 .073 .339 .070 .324 .068

.457 .120 .443 .115 .431 .110 .421 .106 .415 .101 .384 .098 .374 .094 .364 .091

.543 .127 .500 .122 .475 .118 .465 .114 .437 .110 .424 .106 .413 .103 .403 .100

.591 .178 .557 .169 .525 .161 .506 .154 .148 .463 .142 .451 .136 .440 .131

.640 .198 .604 .191 .569 .185 .542 .180 .563 .175 .537 .170 .500 .166 .476 .163

.640 .247 .653 .234 .616 .222 .579 .212 .570 .202 .576 .192 .549 .184 .524 .175

Է-ի մոտավոր նշանակությունները ո-30 դեպքերում` k Ք(ք ս  ք  ք 0 )  1 - α,ք ս  , Է1  Է α |2  (ո - k  1),2  k), 1k  (ո - k  1)Է1 ք 0  ո - k  (k  1)  Է2 , Է2  Է α |2  (k  1), (ո - k)) :

.683 .255 .661 .246 .664 .238 .626 .230 .598 .223 .616 .217 .587 .211 .560 .205

.692 .308 .683 .296 .282 .636 .269 .619 .258 .626 .247 .597 .236

.282 .684 .269 .645 .259 .251 .636 .244

.693 .307 .299 .676 .676 .292 .324

Աղյուսակ 6 |r| Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գործակցի պատահական բարձրագույն rք արժեքը ԷՕ ազատության աստիճանի համար ԷՕ

0,95 .988 .900 .805 .729 .669 .622 .582 .549 .521 .497 .476 .458 .441 .426 .412 .400 .389 .378 .369 .360 .352 .344

0,975 .997 .950 .878 .811 .754 .707 .666 .632 .602 .576 .553 .532 .514 .497 .482 .468 .456 .444 .433 .423 .413 .404

0,99 .9995 .980 .934 .882 .833 .789 .750 .716 .685 .658 .634 .612 .592 .574 .558 .542 .528 .516 .503 .492 .482 .472

0,995 .9999 .990 .959 .917 .874 .834 .798 .765 .735 .708 .684 .661 .641 .623 .606 .590 .575 .561 .549 .537 .526 .515

Աղյուսակ 6-ի շարունակություն

.337 .330 .323 .317 .311 .306 .301 .296 .275 .257 .243 .231 .211 .195 .183 .173 .164

.396 .388 .381 .374 .367 .361 .355 .349 .325 .304 .288 .273 .250 .232 .217 .205 .195 . 174 .159 .138 .113 .098 .088 .062

.462 .453 .445 .437 .430 .423 .416 .409 .381 .358 .338 .322 .295 .274 .256 .242 .230

.505 .496 .487 .479 .471 .463 .456 .449 .418 .393 .372 .354 .325 .302 .283 .267 .254 .228 .208 .181 .148 .128 .115 .081

Աղյուսակ 7 Պատահականության բարձրագույն արժեքները (rՏ(ք)) Սպիրմանի |Ւs| ռանգ-կոռելյացիոն գործակցի համար ո

0.95 0.829 0.714 0.643 0.600 0.564 0.536 0.503 0.484 0.464 0.446 0.429 0.414 0.401 0.391 0.380 0.370 0.361 0.353 0.344 0.377 0.331 0.324 0.317 0.312 0.306

Ք 0.975 0.886 0.786 0.738 0.700 0.648 0.618 0.587 0.560 0.538 0.521 0.503 0.485 0.472 0.460 0.447 0.435 0.425 0.415 0.406 0.398 0.390 0.382 0.375 0.368 0.362

0.99 0.943 0.893 0.833 0.783 0.745 0.709 0.678 0.648 0.626 0.604 0.582 0.566 0.550 0.535 0.520 0.508 0.496 0.486 0.476 0.466 0.457 0.448 0.440 0.433 0.425

0.995 1.000 .929 0.881 0.833 0.794 0.755 0.727 0.703 0.679 0.654 0.635 0.615 0.600 0.584 0.570 0.556 0.544 0.532 0.521 0.511 0.501 0.491 0.483 0.475 0.467

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Զորանյան Վ.Ա., Նազարեթյան Ս.Մ. Գյուղատնտեսական կենդանիների գենետիկա ն կենսատեխնոլոգիայի հիմունքներ: Երնան, 1998: 2. Áå6ë6 Í. 1àòå1àò66à â 861ë1866 6 1å86661å. – 1.,1965. 3. Òà8ë660 Áà6ë1ծ. – 1., 1965. 4. Էծø1å6 0.0. Íàոëå8ոòâå111ոòն ոåëնո6161ç76ոòâå1106 æ6â1ò106. – 1., 1965. 5. Է66ï6÷1661â Â... Ãå1åò6÷åո66å 1ո11â0 ոåëå6666 608. – Է., 1979. 6. Էà66åâà ..0., 1ծ6ո611â 1.Է. Ï6à6ò66ծ1 ï1 8å1åò66å. – 1.,1985. 7. Էà661 Ã.0. Á611åò667. – 1. 1980. 8. 1å66ծ6նåâà Å.Է., Øà1861-Áå6åç1âո666 Ã.Í. Ãå1åò66à ո 1ո11âà16 8611åò666. – 1., 1983. 9. Ïåòծ61â Â.Է., Æ68à÷åâ À.È., Íàçà61â Ã.À. Âåòå661à61à7 8å1åò66à ո 1ո11âà16 âà66à6611116 ոòàò6ոò666. – 1.,1985. 10. Ïë1661ո666 0.À. Á611åò667. – 1., 1970. 11. Ð1666666 Ï.0. Ââå8å16å â ոòàò6ոò6÷åո6ծþ 8å1åò66ծ. – 161ո6, 1974. 12. Էaւէոսէ W1eՏՏ. Թ10ոeէւ1e aո ԲacհԵeւe1cհ Շeէeւ1ոaւոeմ1z1ո մeւ Բւe1eո Uո1veւՏ1էeէaէ. – Թeւն1ո, 2000. 13. ԻaՏcհ D. E1ոfüհւսոg 1ո մ1e Թ10Տէaէ1Տէ1k. – Թeւն1ո, 1988. 14. Ի1cհէeւ Շհ., Հւ0ՏcհewՏk1 Թ. ԼeհւԵւ1ef ոaէeոaէ1Տհe Տէaէ1Տէ1k. – Թeւն1ո, 2002. 15. Ի1cհէeւ Շհ., Հւ0ՏcհewՏk1 Թ. ԼeհւԵւ1ef Թ սոմ ՇeւՏսcհweՏeո 1. – Թeւն1ո, 2000. .

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

1. 2.

Կենսաչափության ժամանակակից վիճակը,առարկան ն հիմնական հասկացությունները. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Նկարագրող վիճակագրություն մեկ հատկանիշի դեպքում. . . . . . . 10 2.1. Մեկ քանակական հատկանիշի ցուցանիշների կարգավորումը. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1. Գլխավոր ն ընտրանքային համախմբությունների տվյալներ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2. Դասերի կառուցումը. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3. Հաճախականությունների էմպիրիկ բաշխումը. . . . . . . . . 16 2.1.4. Բնութագրող թվային մեծություններ. . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4.1. Ուղղակի հաշվարկ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4.2. Ցուցանիշների ցրման աստիճանի (Մ) գնահատումը. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Որակական հատկանիշների դասակարգումը. . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Նորմալ դասակարգվող հատկանիշներ. . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Պարզ դասակարգվող հատկանիշներ. . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Հանձնարարություններ ն վարժություններ. . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Վիճակագրական եզրահանգումներ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1. Ընդհանուր դրույթներ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Հավանականության բաշխում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1. Հավանականության բաշխումն ընդհատվող հատկանիշների (ցուցանիշների) դեպքում. . . . . . . . . . . . 47 3.2.1.1. Կարգավորում ն դասակարգում. . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1.2. Հակադիր հատկանիշների փոփոխականություն 49 3.2.1.3. Պուասոնի բաշխում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.2. Հավանականությունների բաշխումն անընդհատ հատկանիշների պատահական փոփոխականության դեպքերում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2.1. Հավասար բաշխում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.2.2. Նորմալ բաշխում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2.3. Լոգարիթմական նորմալ բաշխում. . . . . . . . . . . 68 3.3. Հաշվարկված մեծությունների ն արտածված ֆունկցիաների ստուգումը (հավանականության ֆունկցիաներ) 71 3.3.1. Գլխավոր համախմբությունից ընտրանքային համախմբություն կազմելու համակարգչային եղանակը 71 3.3.1.1. Նորմալ բաշխված հատկանիշ. . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.1.2. Այլ կերպ բաշխվող հատկանիշներ. . . . . . . . . . . 76 3.3.2. 2̅ թվաբանական միջինի բաշխումը. . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.3. s2 վարիանցի գործակցի բաշխումը . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.4. Երկու թվաբանական միջինների տարբերության բաշխումը ( 2̅1 - 2̅2). . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5.

Տ12 Տ 22

վարիանցների հարաբերության բաշխումը. . . . . . . . 83

3.4. Վարժություններ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Վիճակագրական եզրահանգումներ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Կետային գնահատում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Միջակայքային գնահատում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1. μ-ի վստահության միջակայքը δ2-ու գնահատման դեպքում. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.2. δ2 -ու կամ δ-ի վստահության միջակայքը. . . . . . . . . . . . . 93 4.2.3. ք-ի վստահության միջակայքը. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3. Տեստեր. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.1. Ընդհանուր դրույթներ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.2. է տեստ` μ սպասվող արժեքի ն անփոփոխ մեծության համեմատության համար. . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.2.1. է տեստը որպես բացահայտող տեստ. . . . . . . . . 97 4.3.2.2. է տեստը որպես այլընտրանքային տեստ . . . . . 101 4.3.3. t տեստ` երկու սպասվող արժեքների համար (μ1,μ2 միննույն վարիանցներ դեպքում). . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.4. Է-տեստ` երկու վարիանցների համեմատության համար. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.5. 22 տեստ` դիտված հաճախականության բաշխման ն սպասվող բաշխման համեմատությունը. . . . . . . . . . . . . 111 4.4. Վարժություններ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Փոխկապվածության թվային արտահայտումը. . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.1. Սովորական գծային ռեգրեսիա. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2. Կոռելյացիոն վերլուծություն. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2.1. Կոռելյացիոն վերլուծություն քանակապես աստիճանավորված հատկանիշների համար (2-րդ մոդել). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2.2. Փոխկապվածության աստիճանը (1-ին մոդել). . . . . . . . 137 5.2.3. Փոխկապված աստիճանավորված հատկանիշների քանակական արտահայտումը: Սպերմանի ռանգային կոռելյացիա. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.4. Երկու անվանական աստիճանավորված հատկանիշների փոխկապակցվածության թվային արտացոլումը. . . . . . .141

5.3. Խնդիրներ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Բանաձներ, նշանների բացատրություններ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Հավելված. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Գրականություն. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Հավելված Աղյուսյակ 1.

Ստանդարտավորված բաշխման ֆունկցիա φ(ս) նորմալ բաշխման համար (նորմալ կորի

Աղյուսակ 2.

մակերեսը (-∞, Սք) սահմաններում) . . . . . . . . . . . . . . . . 154 է բաշխման էք(ԷՕ) արժեքը (ԷՕ-ն` ազատության աստիճանը). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Աղյուսակ 3.

 2p (ԷՕ) բաշխման արժեքները. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Աղյուսակ 4ա. Է0,95 բաշխման արժեքը (ԷՕ1, ԷՕ2). . . . . . . . . . . . . . 159 Աղյուսակ 4բ. Է0,975 բաշխման արժեքը (ԷՕ1, ԷՕ2). . . . . . . . . . . . . . . 165 Աղյուսակ 5. Բինոմիալ փոփոխականության ք ցուցանիշի վստահության միջակայքի սահմանները. . . . . . . . . . . . . 171 Աղյուսակ 6. |r| Բրավե-Պիրսոնի կոռելյացիոն գործակցի պատահական բարձրագույն rք արժեքը ԷՕ ազատության աստիճանի համար. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Աղյուսակ 7. Պատահականության բարձրագույն արժեքները (rՏ(ք)) Սպիրմանի |rՏ| ռանգ-կոռելյացիոն գործակցի համար. . . 176