ELIB – Էլեկտրոնային Գրադարան | Գրքեր, նյութեր, հոդվածներ

Կ. ԱՎԵՏԻՍՅԱՆ

անեն
մենա

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ
ՀԱՄԱԼՍԱՐԱ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Կ. Լ. ԱՎԵՏԻՍՅԱՆ

ԼՈԿԱԼ ԵՎ ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ
ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՍՆԵՐ

ԵՐԵՎԱՆ
ԵՊՀ ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ
2018

ՀՏԴ 517(075.8)
ԳՄԴ 22.161ց73
Ա 791
Հրատարակության է երաշխավորել
ԵՊՀ մաթեմատիկայի ն մեխանիկայի
ֆակուլտետի գիտական խորհուրդը

Ավետիսյան Կ. Լ.
Ա791 Լոկալ ն պայմանական էքստրեմումներ/Կ. Լ. Ավետիսյան.
-Եր.: ԵՊՀ հրատ., 2018, 132 էջ:

Ձեռնարկում շարադրված է մաթեմատիկական անալիզի կիրառական
ուղղություններից մեկը՝ մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների էքստրեմում-
ների տեսությունը: Ներկայացված են լոկալ (բացարձակ) ն պայմանական
էքստրեմումների որոնման հիմնական մեթոդներն ու առանձնահատկություն-
ները: Բացի անհրաժեշտ տեսական նյութից ձեռնարկը պարունակում է 35
մանրամասն վերլուծված օրինակներ, ինչպես ճան ինքնուրույն աշխատանքի
համար 60 վարժություններ իրենց պատասխաններով: Ձեռնարկը նախատես-
ված է մաթեմատիկական, տնտեսագիտական ն բնագիտական մասնագիտու-
թյունների ուսանողների համար:

ՀՏԴ 517(075.8)
ԳՄԴ 22.161ց73

1ՏԾԻ| 978-5-8084-2279-7

Փ ԵՊՀ հրատ., 2018
Թ Ավետիսյան Կ. Լ., 2018

Նախաբան

Ձեռնարկը ներկայացնում է մաթեմատիկական անալիզի կիրառական
ուղղություններից մեկը՝ մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների էքստրեմում
ների տեսությունը: Տվյալ ֆունկցիայի էքստրեմումների, մեծագույն ն փոքրա-
գույն արժեքների որոնելու ն հայտնաբերելու կարողությունը մեծ դեր է կատա-
րում ոչ միայն մաթեմատիկայում, այլ մաթեմատիկական մեթոդներ կիրառող
տարբեր բնագավառներում՝ տեխնիկական, տնտեսագիտական, բոլոր բնագի-
տական մասնագիտություններում: Կիրառողները շահագրգռված են նվազա-
գույն, հնարավորին չափ պարզ մեթոդներով ստանալ ցանկալի արդյունքը:
Տվյալ ձեռնարկում շարադրված են այդ մեթոդներից ամենատարածված ն
արդյունավետներից մի քանիսը՝ շատ փոփոխականի ֆունկցիաների համար:

Սկզբում ներկայացված են ֆունկցիայի լոկալ (կամ բացարձակ, ոչ պայմա-
նական) էքարրեմումների որոնման հիմնական մեթոդներն ու առանձնահատ-
կությունները: Այնուհետն բերված են ֆունկցիայի պայմանական (հարաբե-
րական) էքստրեմումների որոնման եղանակները, որոնցից, թերնս, ամենա-
կարնորը` Լագրանժի բազմապատկիչների մեթոդն է: Ներկայացված յուրա-
քանչյուր մեթոդից, տեսական ամեն մի դրույթից հետո ներկայացված են
մի քանի համապատասխան օրինակներ` նշված մեթոդների գործողությունը
ցուցադրելու համար: Առանձին օրինակներ լուծված են երկու-երեք տարբեր
եղանակներով՝ ցուցադրելու համար տարբեր մեթոդների արդյունավետությունը
ն համապեղելիությունը: Կան նան տնտեսագիտական բնույթի օրինակներ:
Ձեռնարկը չի հավակնում էքստրեմումների տեսության ամբողջական ծավալին:

Սասնավորապես ընդգրկված չէ անբացահայտ ֆունկցիաների էքստրեմումների
թեման: Ձեռնարկն ընդամենը պարունակում է 35 մանրամասն վերլուծված
օրինակներ, ինչպես նան ինքնուրույն աշխատանքի համար 60 վարժություններ
իրենց պատասխաններով:

Ձեռնարկը հասանելի է համալսարանական առաջին-երկրորդ կուրսի մաթ.
անալիզի կամ բարձրագույն մաթեմատիկա առարկայի հիմնական գաղափար-
ներին ծանոթ ուսանողին: Հեղինակը նպատակ էր դրել առավել մատչելի
լեզվով ներկայացնելու ն՛ տեսական նյութը, ն՛ լուծված օրինակները այնպես,
որ ձեռնարկի հիմնական նյութը (Թշ ն 8Թ3-ում) հասանելի լինի մաթեմատի-
կայում անգամ թույլ պատրաստված ուսանողին: Այն ընթերցողները, ովքեր
կհետաքրքրվեն ավելի խորը տեսական գիտելիքներով ն ավելի բազմազան
օրինակներով, կարող են դիմել ձեռնարկի վերջում բերված գրականությանը:

Շնորհակալություն եմ հայտնում ԵՊՀ մաթեմատիկայի ն մեխանիկայի
ֆակուլտետի դոցենտ Ս. Ռաֆայելյանին արժեքավոր դիտողությունների ն
առաջարկությունների համար, ինչպես նան պրոֆեսորներ Ա. Սահակյանին ն
Վ. Աթաբեկյանին՝ աջակցության համար:

Հեղինակը շնորհակալությամբ կընդունի ընթերցողների յուրաքանչյուր դի--
տողություն ն առաջարկ:

Կարեն Ավետիսյան

Հաճախ օգտագործվող նշանակումներ
1. 7 ցանկացած, կամայական, յուրաքանչյուր, բոլոր :
2. Վ նշանակում է «գոյություն ունի» :
3. Տ5.ե. նշանակում է «այնպիսին, որ» :
4. Շ(Զ) 292 բազմության մեջ անընդհատ ֆունկցիաների դասը:

5. Շ(Ձ) 29 բազմության մեջ անընդհատ դիֆերենցելի կամ ողորկ ֆունկ-
ցիաների դասը: Գրում են / Շ Շ(ՉԶ), եթե գոյություն ունեն /-ի 1-ին
կարգի բոլոր մասնակի ածանցյալները, որոնք անընդհատ են 2 բազ-
մության մեջ: Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում մասնակի ածան-
ցյալների փոխարեն պետք է հասկանալ սովորական ածաենցյալ՝

ԹՇ) Տ /(Թ:«Շ(Թ)
ծ
7(ուո5.....ո)ՇՕ(Ջ 39Հ-Հ «1 ՀԸԹյ 1Հ7Հռո:
ք
6. Շ"(Զ) 3 բազմության մեջ 7, Շ Ա անգամ անընդհատ դիֆերենցելի
(տ-րդ կարգի ողորկ) ֆունկցիաների դասը: Գրում են / ծ Շ"(Չ),
եթե գոյություն ունեն /-ի ո՛-րդ կարգի բոլոր մասնակի ածանցյալները,
որոնք անընդհատ են 2 բազմության մեջ: Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի
դեպքում մասնակի ածանցյալների փոխարեն պետք է հասկանալ սովո-
րական ածանցյալներ:

7. ՇՀ(Զ) 3. բազմության մեջ անվերջ դիֆերենցելի (անվերջ ողորկ)
ֆունկցիաների դասը:

8. «ԱԱ5) մօ ՇԽ կետի շրջակայք, այսինքն` 4/0 կենտրոնով ն ինչ-որ
շառավղով բաց միջակայք, եթե ո -- 1, կամ բաց շրջան, եթե ո - 2,
կամ բաց գունդ, եթե տ Հ 3:

10.

11.

12.

14.

.0Զ (բազմության եզրը:

Կոմպակտ (Թ'-ում) նշանակում է փակ ն սահմանափակ բազմություն:

Տիրույթը մաթեմատիկայում, ինչպես հայտնի է, նշանակում է բաց ն
կապակցված բազմություն, թեն հաճախ կիրառվում է նան լայն իմաս-
տով, որպես կամայական բազմություն: Ընթերցողը ենթատեքստից կկա-
րողանա հասկանալ՝ նեղ թե լայն իմաստով է կիրառվում այդ տերմինը:

Վք( ց) տվյալ 1/0 կետում /(1/) ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է: Մաս-
նավորապես, երկու փոփոխականի /(17/) - /(ո, յ) ֆունկցիաների հա-
մար 1/օ(ոց, ց) կետում

«ի(1ն) Հ Կոո) "5 Մ (Աո)մուժ/

ծ/

Ց, (նօ) ՃՍ :

Նկատենք, որ զ/(1/ց) դիֆերենցիալը կախված է ոչ միայն 1/ց կետից,
այլ նան անկախ փոփոխականների 42: - Ճո ն մյ - Ճյ աճերից
(դիֆերենցիալներից), ինչը կարելի է արտահայտել բացահայտ` զ/ -
Գ, մ». մյ): Նմանապես երեք փոփոխականի /(147 - /(ո.յ.2)
ֆունկցիաների համար Դ/0(»ց, Սց, 20) կետում սահմանում են

ծ ծ
ծս ծ»

4ի(1մց) - ձ/(ոց, 19, 20) 7 արը մոԺ--

3 Անց) 0-Է--

Զ-(ԱԱը) 42):

Վք(Խ19) - 0 նշանակում է, որ 4/(1մց) դիֆերենցիալը նույնաբար
հավասար է զրոյի, այսինքն հավասար է զրոյի մշ: - Ճշ ն մյ - ՃՍ
աճերի (դիֆերենցիալների) ցանկացած ընտրության դեպքում (2 -
մյ - 0 դեպքը սովորաբար չի դիտարկվում):

Անկախ փոփոխականների մ -. ճն մյ - Ճյ աճերի (դիֆերեն-
ցիալների) աստիճանների համար ընդունված են հետնյալ նշանակում-

ները՝

Հո, զ-ա,. ՊՀ. ձյ Հ (ց),
Ժո" -- (մթ)", ձյյ' -- (մյ)", Ճրր - (Ճո), ՃՍ" - (ՃՍ

ն այլն:

15. ԺԺ(ԽՆ) / ֆունկցիայի ո-րդ կարգի (: Շ Ճ0 դիֆերենցիալը 110
կետում: Մասնավորապես, երկու փոփոխականի /(1/) - /(ո, Ս) ֆունկ-
ցիաների համար 4/0(ոց, Ս) կետում սիմվոլիկ կարելի է գրել

(ծ ծ.
ՀԱՍ «Մես «(ոա տա առյի

Օրինակ, Բ -- 2 համար 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը կարելի է բացահայտ
ներկայացնել`

2 2 «յ ( ծ ծ ՛
./(ր) - Փիս) էԱ /Մո)-

ծ» ծս
ծշ7(1.) ծ-7(1.) ծ-7(1)

Նմանապես երեք փոփոխականի /(1/) - Մ/(ո, Ս, Հ) ֆունկցիաների համար
Մլ(ոօ:90:2օ) կետում 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը կընդունի հետնյալ
բացահայտ տեսքը՝

ր (ծ ծ ծ շ
(ո...) "57 Է մու այւ 6 0) -

ծո ծս ծչ

` ԺԱ) ծ7(նն) ծշ7(1ն)
անել ժշ 3 Ծպշ Ծ2շ
ծշ7(1.)

ծո ծս

ձյ-- մ----

ծ Ան) ճ2::--- 97)

2 ծո ծ ծս02

ճ:մյ--2 մՍմչՀ:

16. Խերու (մ) ֆունկցիայի լոկալ մաքսիմումի կետը:
17. Խեա (77) ֆունկցիայի լոկալ մինիմումի կետը:

18.

19.

20.

21.

քոուչ .) ֆունկցիայի լոկալ մաքսիմումի արժեքը (կամ պարզապես մաք-
սիմումը):

քոռ 7 ֆունկցիայի լոկալ մինիմումի արժեքը (կամ պարզապես մինի-
մումը):

ոո ք - 112 ք(Խյ / ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը դիտարկվող
ծ
բազմությունում:

ամոք - ուք) / ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը դիտարկվող
Օ բազմությունում:

Գլուխ 1

Երկու փոփոխականի
ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումները

Ֆունկցիայի էքստրեմումների որոնումը ն հայտնաբերումը ֆունկցիաների
հետազոտման կարնորագույն տարրերից է: Կսկսենք երկու անկախ փոփոխա-
կանից կախված 2 -- /(օ, յ) ֆունկցիաների հետազոտումից: Շատ փոփոխա-
կանից կախված ֆունկցիաների մեջ սա պարզագույն ն միակ դեպքն է, երբ
գրաֆիկների միջոցով կարելի է տեսանելի դարձնել ն՛ ֆունկցիան, ն՛ նրա
էքստրեմումի կետերը, ն՛ էքստրեմումները:

1.1 Լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը
երկու փոփոխականի ֆունկցիաների համար:
Թամբակետի գաղափարը:

Դիցուք 2 -- /(ո, յ) ֆունկցիան որոշված է որնէ Օ Շ 2 հարթ բազմության
մեջ ն 1/9(20, Ս0)-ն այդ բազմության ներքին կետ է:

Սահմանում 1.1. 4/0(օց, Սց) Շ Զ կերը կոչվում է (ո, Ս) ֆունկցիայի (լոկալ)
մաքսիմումի կեք. եթե գոյություն ունի ՆԽ(ոօ. 0) կերի որեէ (նն) Շ Ջ

շիջակայք, տրվեղ (ո, Ս) ֆունկցիան ընղսնում է իր մեծագույն արժեքը
Ն(ոօ» 0) կեվոսմ, այսինքն՝

ՅԱԱԽ)ՇՋԶ 5` /(Թօա)Հյաց) «Ա(.յ) ՇԱԱԾ): (Ո
Իսկ »օ Հ )(օ:յց) արժեքը կոչվում է (ո) Փսնկցիայի (լոկալ) մաք-
ախմփամի արժեք կամ պարզապես մաքսիմում: Կգրենք հիլու-- հը ն
ոու Հ 20 կամ Հու - 20:

Նմանապես սահմանում են ֆունկցիայի մինիմումի կետը ն մինիմումը:
Սահմանում 1.2. 1/0(օց, 0) Շ Զ կերը կոչվում է (ո, Ս) ֆունկցիայի (լոկալ)
մինիմումի կեր. եթե գոյություն ունի Նլո(աց, նց) կետի որեէ «4(1) Շ Զ
շիջակայք, որրեղ (ո) ֆունկցիան ընդունում է իր մոքրագույն արժեքը
Ն(ոօ» 0) կեվոսմ, այսինքն՝

ՅԱԱԽ)ՇՋԶ 5` /ԸՆօա)Հյաց) «Ա(.յ) ՇԱՄԱԾ): (02)
Իսկ 50 Հ )(ոօ:կց) արժեքը կոչվում է (ոս) ֆունկցիայի (լոկալ) մինի-
մնսմի արժեք կամ պարզապես մինիմում: Կգրենք նիոո Հ նկ ն
ուռ Հ 20 կամ Հոլը Հ 20-

Կասենք նան, որ Դ/0(ոց, Սց) կետում ) (2, Ս) ֆունկցիան խիստ մաքսիմում
կամ խիստ մինիմում ունի, եթե (1.1) ն (.2) պայմանների մեջ անհավասա-
րության ոչ խիստ նշանները փոխարինենք խիստ եշաններով, այսինքն՝

ՀԱՄՈ) ՀԶ 5». աՀա ԿԱՆԱ.) ՀԱԱ), 817 16.
(0.3)
կամ համապատասխանաբար
ՀԱՄԽԵ)ՇԶ 5. (ա) Հայ) «Մ(.յ) ՕԱԱ1ց), 117516:
(14)

Լոկալ մաքսիմումի ն մինիմումի կետերը անվանում են (լոկալ) էքստրե-

մումի կետեր, իսկ (լոկալ) մաքսիմումները ն մինիմումները՝ (լոկալ) էքստրե-
մումներ:

Դիտողություն 1.1. Բերված սահմանումներում նշված անհավասարու-
թյունները կարելի է արտփափայտել ֆունկցիայի աճման փերմիններուվ:
Նշանակելով (ոօ. յօ) կեւրում ֆունկցիայի (լրիվ) աճր

ՃԱ) 7ԱՌ-/12)-)/)6տ-76աաւ (ւտ ՇԱԱԹ),

կարելի է Ո.1), 12), 0.3), (4) պայմանների մեջ անհավասարություն-
երր համապատասխանորեն փոխարինել համարժեք անհավասար ու-
թրսնեներով. Ճյ(Սմօ) Հ 0, Ճ/(1ք) Հ 0, Ճ/(մօ) Հ 0, Ճ/(ն) Տ 0:

Դիտողություն 1.2. Փյւնկցիայի (լոկալ) մաքսիմումի ն մինիմումի արժեք-
նել, որոնք նշանակվում են հոր մու կամ Հոու Հու» չկլետք է շվութել
ւրվյալ բազմության մեջ ֆունկցիայի մեծագզայն ն վոալաագայն աղժեք-
ների հետ: Դրանք կքննարկենք հետագայում` Բաժին 3.4-ում:

Դիտողություն 1.3. Մենք հիմնականում դիտարկելու ենք ներքին (լոկալ)
էքարրեմումի կետեր: Հետագայում հնարավոր է մեզ հանդիպեն նման
սահմանմանը բավարարող ոչ թե ներքին Ննե(ոց, Սց) Շ Զ էքարրեմումի
կերեր, այլ եզրային նն(ոօ, Ս) Շ 00 «էքափկանմումի» կեպմել: Այդ դեպքե-

տում: մենք հատուկ կնշենք նման ելնույթյչ
Բերենք լոկալ էքստրեմումների երեք պարզ օրինակ:

Օրինակ 1. Դիտարկենք
6) Չ
Հյ -ՀՊԽ1-2-Մ7 Ի -ՖԽ

Է-Ն12
ֆունկցիան: եշտ է տեսնել, որ |-ի որոշման տիլույթը Ս յ ((Թ,):
27 -Է ՛ Հ 1) միավոււ վակ շրջանն է իսլ արժեքների տիսայթը |0, 1
իակ հափվածն է,

ՀՀյ)ատ-Խ1-:52-47:09--»կ,լ:

Քանի որ ֆունկցիայի բանաձնր կարելի է արտագրել 2-Է7-Է-22Հ-
1Լ.2ՀՀ-0. տեսքով եզրակացնում ենք որ | Փոսնկցիայի գրաֆիկը
կիսասֆերա է (վերին միավոր կիսասֆերա) տեն գծ 1: Ակնհայտ
ե տր Է ֆունկցիան միայն մեկ լոկալ էքարրեմումի կետ ունի՝ խիար
մաքախմումի կետ Նիրո Հ (0,0), ն մաքսիմումի արժեքն է ոու Հ 1

1.2. |2

Գծ. 1

Օրինակ 2. Դիտարկենք

22ր5»աԻտ:82-5թ.,

ֆունկցիան: Պեշր է տեսնել որ է-ի որոշման տիլույթը ամբողջ Էշ
հարթությունն է, իսկ արժեքների փփրույթի՝ Խ. - 10,օօ) դրական կիս-
առանցքը: Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացնեմ է էլիպփական պա-
աբոլոխդ (0,0) գագաթով տեն գծ 2: Ակնհայտ ե ոլ. ի Փոսնկցիան
միայն մեկ լոկալ էքարրեմումի կետ ունի՝ խիար մինիմումի կետ նիդ -
(0,0), ն մինիմումի արժեքն է իւ-0:

Գծ. 2

Օրինակ 3. Սաւմանենք

6
2Հյայ Հ (- (81-ի,

ֆունկցիան: Ինչպես նախորդ օրինակում, ի-ի որոշման տիրույթը ամբողջ
Թշ հւարթթաթրանն ե իսկ արժեքների տիլույթը՝ ԽԻ. - |0,օօ) դրական
կիսառանցքը: Ակնհայտ է որ | ֆունկցիան ունի անվերջ թվով ոչ խիստ
մինիմումի կետեր, որոնք զբաղեցնում են Ս-:» ոաղիղը հիա -
(22), «ՇԽ ն մինիմումի արժեքն է իու - 0 :: Պարաքրքիր ե որ |
Փունկցիան ոչ մի մաքսիմումի կետ չունի:

Մեր նպատակն է հայտնաբերել ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումի կետերը:
Կսկսենք լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանից: Հիշենք, որ մեկ փոփո-
խականի ֆունկցիաների համար լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանն
իրենից փաստորեն ներկայացնում է Ֆերմայի հայտնի թեռրեմը: Այժմ մի
քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար ունենք Ֆերմայի թեռրեմի ընդ-
լայնումը:

Թեորեմ 1.1. (Ֆերմա)

Դիցուք 2 - (ոմ) ֆունկցիան որոշված է Ձ ՇԸ 82 տրիրայթում ն
Նռ(ոօ, 0) Օ ՕՁ կետում լոկալ էքատրեմում ունի: Եթե Նե(ոօ,Ս0) կեվոում
զոյւթյուն ունեն ի ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները,

ՀԱՄՕ) Հ (աօ) ն Հ--Ամց) Հ ԽՈ» 10). ապա դրանք հավասար

ծո ծս
ւ |օ ծ
են զլոյի ԱՒ) - 0, ՀԻԱ) -0|/:

Սասնակի ածանցյալներով վերջին պայմանը կարելի է արտագրել համար-
ժեք տեսքով

ՄԱՆ) Հ Քոմ /(1մօ) - ժլ

օգտագործելով //ց կետում ֆունկցիայի գրադիենտը, որը մասնակի ածան-
ցյալներով կազմված վեկտոր է՝

Ե/ԱԹ) Հ տոմ/Ատ) «4 21) ԻԱ):

Հիշելով ֆունկցիայի (լրիվ) դիֆերենցիալի տեսքը 119(ոց, յօ) կետում՝

Առ) - ՉՒԱռյճո-- ՉՄՍա)ճյ|

կարելի է Ֆերմայի թեորեմին մի փոքր այլ ձնակերպում տալ:

Թեորեմ 1.2. (Ֆերմա)

Դիտսք 2 - (ու) Փանկցիան որոշված է Օ Ը 82 տիրայթոմ ն
Նե(ոց,Ս0) Օ ՕՁ կարում դիֆերենցելի է ն լոկալ էքարրեմում ունի: Այդ
դեպքում 1.(ոօ, Ս) կեվոում ի-ի դիֆերենցիալը Խւյնաբար զրո Է

ծ ծ

Գ/(110)- ՉՄ 6) մո 16) -0

ճբ ն մս աճերի (դիֆերենցիալներիխ) ցանկացած ըեմտլոսթյան դեպքում:

Սահմանում 1.3. Դիցուք Հ - (ո) ֆունկցիան որոշվածէ ԳՇ տի-

ույթում ն ն(ոց. 10) Օ Զ: Եթե նց կետում | ֆունկցիայի առաջին կարգի
բոլոր. մասնակի ածանցյալները հավատար են զլյի,
ժ/ 9/

բ (110) - 0, 1) - 0 )

ապա նլ(ոօ: 10) կետր կոչվում է ի Փանկցիայի արացիոնար կեր:

Հաշվի առնելով այս սահմանումը` կարելի է վերաձնակերպել Ֆերմայի
թեորեմը ստացիոնար կետի տերմիններով:

Թեորեմ 1.3. (Փեյմա)

Դիցուք 2 - (ոմ) ֆունկցիան որոշված է Ձ ՇԸ 82 տրիրայթում ն
Նռ(ոօ, 0) Օ ՕՁ կետում լոկալ էքատրեմում ունի: Եթե Նե(ոօ,Ս0) կեվոում
զոյություն ունեն | ֆունկցիայի առաջին կարգի բոլոր մասնակի ածան-
յալների, ապա 1մ(ոօ: Ս0)-ն ի-ի արացիոնար կետ է:

Այլ կերպ ասած, տվյալ 410(:օ. 0) կետում ' ֆունկցիայի առաջին կարգի
բոլոր մասնակի ածանցյալների գոյության պայմանի դեպքում լոկալ էքստրե-
մումի կետը միշտ ստացիոնար է,

(ոո 7-ի էքստրեմումի կետ վ --» (ոո 7-ի ստացիոնար կետ |

(1.5)

Սասնավորապես, դիտարկված Օրինակներ 1, 2, 3-ում բոլոր էքստրեմումի
կետերը նան ստացիոնար կետեր են:

Երկրաչափորեն ստացիոնար կետի փաստը նշանակում է, որ 4/0(ոօ, 10)
տվյալ ստացիոնար կետում / (2, յ) ֆունկցիայի գրաֆիկի մակերնույթին կա-
րելի է տանել շոշափող հարթություն, որը զուգահեռ է Օյ հարթությանը կամ
համընկնում է նրա հետ: Իսկապես, շոշափող հարթության հավասարումն է

«-ՄԱռ)Հ Չ70ն)ն- տ) ԻԱՆ)07- Թ).

որը ստացիոնար կետի համար պարզունակ տեսք է ընդունում`

2 Հ ԷՒ(Ո/օ) կամ 2- շ7ց:

Գծ. 3

Նկատենք, որ եթե ստացիոնար կետում ֆունկցիան նան մաքսիմում ունի,
ապա այդ կետում տարված շոշափող հարթությունը ֆունկցիայի գրաֆիկի
մակերնույթից վերն է գտնվում (եթե վերցնենք այդ մաքսիմումի կետի որոշակի
փոքր շրջակայք): Այդ պատկերը կարելի է տեսնել գծ. 3-ում, իսկ Օրինակ
1-ում բերված ֆունկցիայի շոշափող հարթությունը (0, 0) մաքսիմումի կետում
2 ՀՂ հորիզոնական հարթությունն է:

Իսկ եթե ստացիոնար կետում ֆունկցիան մինիմում ունի, ապա այդ կետում
տարված շոշափող հարթությունը ֆունկցիայի գրաֆիկի մակերնույթից ներքն
է գտնվում (եթե վերցնենք այդ մինիմումի կետի որոշակի փոքր շրջակայք):
Այդ պատկերը կարելի է տեսնել Օրինակ 2-ում (գծ. 2), որում բերված ֆունկ-
ցիայի շոշափող հարթությունը (0,0) մինիմումի կետում հորիզոնական է ն

համընկնում է Օյ կոորդինատական հարթության հետ (- -- 0 հավասա-
րումով) ն գտնվում է պարաբոլոիդից ներքն:
Այժմ բերենք էքստրեմումի կետի այնպիսի օրինակ, որը ստացիոնար չէ:

Օրինակ 4. Դիտարկենք
2Հ- յ(ւց) «7 /17-յ7 ք -ԳԵ.,

ֆունկցիան: Պեշր է տեսնել որ է-ի որոշման տիլույթը ամբողջ Էշ
հարթությունն ե իսկ արժեքների տփիլսայթը՝ Ալ - |0,օօ) դրական կիս-
առանցքը: Այս Փոանկցիայի գրաֆիկը ներկայացնում է անվերջ շրջա-
նային կոն՝ (0,0) գագաթով ն ՕՀ առանցքով: Ակնհայտ Է որ | ֆունկցիան
միայն մեկ լոկալ էքարրեմումի կեր ունի՝ խիար մինիմումի կետ րոր Հ
(0,0), ն մինիմումի արժեքն է հո-0:

001. | 7"
-1 ՀՇԵՎ.Լ ա | 71

անը |)
լ Դ-Ե 2
2

Գծ. 4

Սակայն մրսս կուլմից մինիմումի իու Հ (0,0) կետր արացիունար
կետ չե քանի որ այղ կարում ի-ի մասնակի ածանցյալները գոյության

չունեն,

- Ս/Ճ22
290.0)- ա ՀԹ-7/29 լղ Հ. րղ Բո
ժշ: Ճո-»0 ՃՀ: Ճոչ0 Ճր Ճո-չ0 Ճդ
- 2
80Մ.0- հւ Ժ25-700. ըղ մ րղ Էմ,
ծս Ճյ-»0 Ճյ ՃԱ-0 Ճյ Ճա-0 ՃՍ

Դիտողություն 1.4. Եթե Փերմայի թեռրեմի մեջ Հ - (ո) ֆունկցիան
Ննռ(ոց, Ս0) Օ Ջ կետում լոկալ էքատրեմում ունի, ն նլ կետում գոյություն
ւնի Է Փունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանզյալնեերից միայն
մեկը, ապա հենց այղ մասնակի ածանզյալը հավասար կլինի զրյի.
հակ երկրորդը` կարող է գոյություն ունենալ: Բերենք արացիոնար կետ
չհանդիսացող էքավյեմումի կեփիփ այդպիսի օրինակ: Դիփարկենք

ԵԱ
ՀՀյարՑաչկիթա-5թ.,

ֆունկցիան: Դարձյալ է-ի որոշման փիրույթի ամբողջ 82 հարթությունն
է իսկ արժեքների վփրայթը՝ ԽԵ. - |0, օօ) դրական կիսառանցքը: Ակե-
հայտ է տր | ֆունկցիան լոկալ էքափրեմումի կեր ունի՝ խիար մինիմումի
կետ իո Հ (0,0), ն մինիմումի արժեքն է ոռ Հ 0 : Մինչդեռ
Նիոտ Հ (0,0) կետում մասնակի ածանցզյալներից մեկը գոյություն ւնի
(ն ուրեմն՝ հավասար է զրոյխ), իսկ երկլովուր գոյություն չունի,

(45.0) - (0,0) ՃՆ

ծ)

Չոն: - ր Ճր ր Հ ,Կ. 0,
29.0 - րլ Ա2:-200 լղ Բ,

ծս Ճյ-»0 Ճն Ճյ-»0 Ճյ

Այսպիսով՝ լոկալ էքստրեմումի կետը կարող է լինել ինչպես ստացիոնար
կետ, այնպես էլ չլինել սրացիոնար: Միավորելով Ֆերմայի թեորեմը ոչ ստա-
ցիոնար էքստրեմումի կետի դեպքի հետ` ստանում ենք լոկալ էքստրեմումի
անհրաժեշտ պայմանը:

Թեորեմ 1.4. (Լկայ էքափրեմումի անհրաժեշտ պայմանը)

Դիցուք 2 - (ոմ) ֆունկցիան որոշված է Ձ ՇԸ 82 տրիրայթում ն
Ննր(ոօ, 0) Օ Զ կետում լոկալ էքափրեմում ունի: Այլ դեպքում նե(ո0.Ս0)

կետում Է ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները կամ
հավասար են զրոյի, կամ գոյություն չունեն:
Նշված 1/0(20, ց) կետերին նոր անվանում տանք:

Սահմանում 1.4. Դիցուք - - (ով) Փսնկցիան որոշված է Օ Ը 12 րիրույ-
սմ ն նրո(ոօ, 10) Շ Զ : ե(ա, Սց) կեվմ. կանվանենք | ֆունկցիայի
կլփավվական կե. եթե 1 կարում ի Փսնկցիայի առաջին կարգի մաս-
եակի ածանցյալները հավասար են զրոյի կամ զայություն չունեն:

Ուրեմն՝ ստացիոնար կետերը կրիտիկական կետերի մի մասն են կազմում:
Հաշվի առնելով այս սահմանումը՝ կարելի է վերաձնակերպել վերջին թեո-

րեմը կրիտիկական կետի տերմիններով:

Թեորեմ 1.5. (Լկալ էքափրեմումի անհրաժեշտ պայմանը)

Դիտսք 2 - (ու) Փանկցիան որոշված է Օ Ը 82 տիրայթոմ ն
Նր(ոօ,10) Օ Ձ կարում լոկալ էքատրեմում ունի: Արլ դեպքում նն-ն |
Փոսնկցիայի կրիտիկական կեր է:

Այլ կերպ ասած, լոկալ էքստրեմումի կետը միշտ կրիտիկական է,

(ո 7-ի էքստրեմումի կետ վ -» (ո )-ի կրիտիկական կետ վ

(0.6)
Հաշվի առնելով, որ կրիտիկական ն մասնավորապես ստացիոնար կետերը
տալիս են լոկալ էքստրեմումի միայն անհրաժեշտ պայմանը, կրիտիկական
կետերը անվանում են նան տվյալ ֆունկցիայի էքսփրեմումի հնարավոր կե-
տեր: Ստացված (1.5), (1.6) պնդումներից եզրակացնում ենք, որ
) ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումի կետերը որոնելիս, նախ պետք է
գտնել / ֆունկցիայի ստացիոնար ն բոլոր կրիտիկական կետերը:

Այնուամենայնիվ, Թեորեմներ 1.4 ն 1.5-ում մենք ունենք լոկալ էքստրեմումի
միայն անհրաժեշտ պայմանը, այսինքն` (1.5), (1.6) պնդումների հակադարձ
պնդումները սխալ են:

Իսկապես, ցույց տանք, որ գոյություն ունեն ստացիոնար ն կրիտիկական
կետեր, որոնք էքստրեմումի կետեր չեն:

Օրինակ 5. Դիտարկենք

ՀՀ յ(.յ) «6 «յ:8:-»5Խ

ֆունկցիան: Այս Փոանկցիայի գրաֆիկը ներկայացնում է հիպերբոլական
պարաբոլոխղ: Պեշվ է փեսնել, որ (0,0) կետում | ֆունկցիայի առաջին
կարգի մասնակի ածանզյալները հավասար են զլոյի,

ծ/0-Ա - ծ 0-ո -
ծ- (0, 0) ՀՍ օօ. 0, ծս (0, 0) Հ 06. 0,

ն ուրեմն՝ (0,0) կետր | Փսնկցիայի ստացիոնար կեր է:

Սակայն (0,0) ակզբնակետը Փսնկցիայի էքավվեմումի կետ չե ոլուվ-
հերն (0,0) կետի ցանկացած շիջակայքում | ֆունկցիան րնդունում է
ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական արժեքներ,

7(0.0)-0. /Թ».յ)»0. եբ»ց»0 )(.)Հ0., երբ 2»0 ,Հ0:

պ.
Հ

Գծ.5

Գծագիր 5-ում պատկերված էէ ֆունկցիայի որոշման տիրույթի, (0, 0)
ակզբնակետի կամայական շրջակայք, որտեղ է ֆունկցիան ընդունում
է րարբեր նշանների արժեքներ: Եթե մենք դի փարկենք ֆունկցիայի
գրաֆիկ հանդիսացող մակերտապթը (տեն գծ 6), ապա կարլ ենք
նկատել. որ (0,0) արացիոնար կետի շրջակայքում այդ մակերնայթը
հիշեցնում է թամբ կամ լեռնանցք՝ մի ուղղությամբ ուռուցիկ, իսկ մեկ այլ
Պալդությամբ: զտգավոր: Նման դեպքում ատացիռնար կեն անվանում
են թատբոաւկեւր: Թամբակետփտը, որոշակի իմասվուվ, մեկ փոփոխականի
ֆունկցիաների շրջման կեվի եմանակն է շատ փոփոխականի Փֆունկ-
ցիաների դեպքում: Գրաֆիկի մակերատայթի փեսքից արդեն կարելի է
հասկանալ, թե ինչու վփվյալ ափացիոնար կետն էքափրեմումի կետ չէ:

Սահմանում 1.5. Փւնեկցի այի թամբակեւլ է կոչվում այղ ֆունկցիայի այն
մտացի ոնար կետր, Պրն էքափրեմումի կետ չէ:

Գծ. 6

Հաջորդ օրինակը ցույց է տալիս, որ կրիտիկական կետը կարող է չլինել
ոչ ստացիոնար, ոչ էլ էքստրեմումի կետ:

Օրինակ 6. Դի ւարկենք

6)
ՀՀյ(յ) Հ թ|- կխյ)| Բշ »Խ

ֆունկցիան: Պեշտ է տեսնել, որ (0,0) կարում | Փսնկցիան մասնակի
ածանցյալներ չունի, ն տւրեմե՝ |-ի կրիտիկական կեր է, բայց ոչ արա-
ցիոնալ

ՍՍՀ րո25»9-40:00 լղ Բ
ԲաԱ9- Հո ար ա թոր
2 ծը .0) - րդ (0,6) - 7(0.0)՝ ան - իյ

ծս Ճյ-»0 ՃՍ Ճյ»0 Ճյ

Մյուս կողմից (0,0) կետր ի ֆունկցիայի լոկալ էքարրեմումի կետ չե
ոլուվհեւրն (0,0)-0ն(0,0) սկզբնակետի կամայական շրջակայքում |
ֆունկցիան րնդունում է տարբեր նշանների արժեքներ, տե գծ 7՝

Տ
ՀԱՏ

Գծ. 7

Լ2 Լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանը
երկու փոփոխականի ֆունկցիաների համար

Այժմ անցնենք լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանների ձնակերպումներին:
Ինչպես տեսանք նախորդ բաժնի օրինակներում, անհրաժեշտ պայմանին բա-
վարարող կետերը կարող են ֆունկցիայի էքստրեմումի կետեր չլինել (այդպես
է նան ավելի պարզ մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների համար): Ուրեմն`

մեզ պետք են հայտանիշներ՝ լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմաններով:
Ստորն կբերենք մի քանի այդպիսի հայտանիշներ (թեորեմներ), որոնցում
միշտ կենթադրենք, որ դիտարկվող կետը ստացիոնար է, այսինքն` 11ց կետում
7 ֆունկցիայի առաջին կարգի բոլոր մասնակի ածանցյալները հավասար են
զրոյի

Ա-ւ. ԱԹ -Օ.
կամ /-ի առաջին կարգի դիֆերենցիալն է զրոյական
ծ ծ
Մա -Չէնայաչ ԱԱՀ. ճոմյ:

Դրանից հետո էքստրեմումի կետ լինելու կամ չլինելու համար վճռական նշա-
նակություն կունենա 7/ց կետում / ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի
նշանը: Ընդունենք, որ դիտարկվող ֆունկցիան 2-րդ կարգի ողորկ ֆունկցիա
է 1/0 կետի ինչ-որ 2((116) շրջակայքում, այսինքն` /(ո.յ) Շ Օշ(4Ան)) ն
դիտարկենք /-ի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը 710 կետում՝

427(110) - ւ ւՀծզ Մոո)յ-
0-1 3 Լ յ Ս 0-
ծշ ծշ ծ
27 Արա 94Անյմ- 07
- (20, Ս0) Աո՞ Դ 2յ(աց: 10) մամա -Է (տօ: 0) մՍ՞

(ց) -Է2

անկախ փոփոխականներ ձն ց դիֆերենցիալեերի կամայական ն
բավականաչափ փոքր արժեքների համար: Այստեղ պետք է չմոռանալ, որ
(1.7) ն նմանօրինակ այլ դիֆերենցիալ բանաձներում մոշ ն մյ՛ արտա-
հայտությունները ոչ թե «2 կամ - ֆունկցիաների դիֆերենցիալներ են, այլ
մ ն ձճյ դիֆերենցիալների քառակուսիներ: Նույն դիտարկումը վերաբե-
րում է նան անկախ փոփոխականների աճերին՝

աշ -(Թո, յշ - (ալ

- - (Ճ37, ՃՍ - (Ճյ)՞ ի

Սա ընդունված գրելաճն է: Նույնը վերաբերում է ավելի բարձր աստիճաններին:

Թեորեմ 1.6. Դիցուք 1/0(ոց, Սց) կետի ինչ-որ (1.) շրջակայթամ (ոմ) 6
Օշ(ա(1)). ն նր կետր (ոյ) ֆունկցիայի արացիոնար կեր Է, այսինքն՝

3 Եթե «մ2/(նօ)»-0 Մոմ, ճո-Է մտ 70, ապա նր(ոօւՍօ) կետր |
ֆունկցիայի (խիար) լոկալ մինիմումի կետ Ը ն - ոու:

2) Եթե ճշյ(1)Հ0 Կճոյմ, ճո է մյ70, ապա 1ն(ոօ, 0) կետը
ֆունկցիայի (իփատ) ըոկալ մաքսիմումի կեր Ը ր - Նն..:

3) Եթե ժ"/(1.) երկրում կարգի դիֆերենցիալը նշանափտխ է (րեդյա-
նում է դրական ն բացասական արժեքներ) երբ մաշ -Է մմ 7 0,

ապա նն(ոօ, 0) կել: ի ֆունկցիայի լոկալ էքափրեմումի կետ չէ:

4) Եթե մյ(յ)-0 կամ մյ(նց0) Հ0 Կճոեմս, ճմ Է մյ 70,
ապա ավոպգ ոչինչ ասել չենք կայո. (աց, 0) կետր կարոոլ է
ինչպես |-ի էքարրեմումի կետ լինել, այնպես էլ չլինել (ուրեմն՝ այս
եպքում կպահանջվի լրացուցիչ հետազոտում):

Այսպիսով՝ համաձայն Թեորեմ 1.6-ի՝ էքստրեմումի առկայությունը որոշվում
է ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի նշանապահպանման հատկու-
թյամբ: Այն է՝ եթե երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը տվյալ կետում նշանափոխ
է , ապա էքստրեմում լինել չի կարող: Իսկ եթե երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը
տվյալ կետում պահպանում է (խիստ իմաստով) իր նշանը, ապա էքստրեմումն
առկա է:

Հետագա ձնակերպումների համար հարմար է նշանակել / ֆունկցիայի
երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները 7/օ(ոց, ց) կետում`

օյ 07 օյ 07
ու ՀԱԱ) ։ ոշ 53 Ատ) , Ց
1.8
«օյ ժի «օյ ժշ)
ճլ2 Հ Չայ 6)| 62: - Ժո 6) :

Քանի որ մենք ենթադրել էինք, որ դիտարկվող ֆուեկցիան 2-րդ կարգի ողորկ
է, (ույ) օ Շ(((մք)) ուրեմն` մասնավորապաես, ըստ Շվարցի հայտնի
թեորեմի՝ /-ի երկրորդ կարգի խառը մասնակի ածանցյալները հավասար են՝
ծ2) ծ2)

ՀՈՅ ՀՐ: : 19
Այսպիսի նշանակումներով արտագրենք /՛ ֆունկցիայի (1.7) երկրորդ կարգի
դիֆերենցիալը՝

ճլշ Հ ճ2լ Հ

Առ) Հ- Օլլ ձո - 2612 ճ1:4Ս -Է 622 նք | : 0.10)

Ըստ էության` (1.10) երկրորդ կարգի դիֆերենցիալն իրենից ներկայացնում
է քառակուսի եռանդամ, որի նշանապահպանման հատկությունները վճռորոշ
դեր են կատարում տվյալ 119(աց, յօ) կետի էքստրեմումի կետ լինել-չլինելու
հարցում: Նշանակենք (1.10) եռանդամի տարբերիչը (դիսկրիմինանտը), ավելի
ճիշտ նրա հակադիրը

ճլլ յշ

ձ6
Ճ- ննա «7 ճլլ022-- 622 -- 0.11)

ճշլ 622

Հանրահաշվի դպրոցական դասընթացից հայտնի է, որ քառակուսի եռան-
դամի նշանապահպանումը որոշվում է նրա տարբերիչի նշանով: Մասնավո-
րապես, եթե տարբերիչը դրական է, ապա քառակուսի եռանդամը նշանափոխ
է, ն ուրեմն՝ տվյալ կետում էքստրեմում լինել չի կարող: Իսկ եթե տարբերիջը
բացասական է, ապա քառակուսի եռանդամը պահպանում է իր նշանը, ն
ուրեմն` տվյալ կետը էքստրեմումի կետ է: Ամբողջական ն ճշգրիտ արդյունքը
ձնակերպենք հետնյալ թեռրեմում:

Թեորեմ 1.7. Դիցուք 1ո(ոց, գ) կետի ինչ-որ (Ամց) շրջակայքսմ` (8) Շ
Օշ( (յ), ն ն կետը (ո) ֆունկցիայի ավացիոնար կեվ' է. այպինքն՝
ձ/(ն) Հ 0: Ընդունենք (18) նշանակումները նլ կետում է-ի երկրոր
կարգի մասնակի ածանցյալների համար ն (113) տարբերիչի համար,

ճյլլ ճյ2

Ճ Հ ՃԱ) - : Այ դեպքում ճիշտ են հետնյալ պեղումները.

ճշլ 622

1) Եթե ՃՈՄՑ) Հ 0 ապա 110(ոօ: 10) կել | ֆունկցիայի (իփապ) լոկալ
էքարրեմումի կետ է, րեղ որում

խփար մինիմումի կետ է՝ նի - հիոռ. երի ալ»0 (կամ օ22»0)
իփար մաքսիմումի կետ է՝ 1 - հու երբ «լլ ՀՕ (կամշչ Հ 0):

2) Եթե ՃԱնմը) Հ0, ապա նյ(ոց։ 0) կերը Փսնկցիայի լալ էքատրե-
մումի կետ չէ:

3) Եթե Ճ(1) - 0, ապա արույզ ոչինչ ասել չենք կարող. (ոց, Սց)
կետր կարող է ինչպես -ի էքարրեմումի կետ լինել, այնպես էլ
չլինել (ուրեմն` այս դեպքում կպահանջվի լրացուցիչ հետազոտում):

Նշենք, որ Թեորեմ 1.6-ի 4)-րդ կետի ն Թեորեմ 1.7-ի 3)-րդ կետի դեպքում,
երբ թեռրեմն ի զորու չէ պարզել 11/օ կետի կարգավիճակը, սովորաբար դիմում
են էքստրեմումի կետի սահմանմանը:

Այժմ բերենք մի քանի պարզ օրինակներ, որոնք ցույց կտան, թե ինչպես
են գործում Թեռրեմներ 1.6 ն 1.7-ում ներկայացված բավարար պայմանները:

Օրինակ 7. Դիտարկենք

ՀՀ: 82-»ռ,

ֆունկցիան (էլիպտական պարաբուրվոլ) որն արդեն քննարկել էինք Օրի-
նակ 2-սմ ն պարզել, որ նոտ - (0,0) սկզեբնակետրը ի-ի մինիմումի
կետ է:

Ցույց վանք, ոյ էքափրնեմումի կետերը կարելի է գտնել Թեւրեմներ
1Լ6ն 17-ի բավարար պայմանների միջոցուվ:

Նախ գտնենք ի-ի արացիոնար (կրիտիկական) կերերը: Դրա համար
վերք է լուծել հետնյալ համակարգր

ծ)
լ Հ-» (0,0)-ն միակ արացիռնար կերն է:

Այս փատրր փալիս է էքափրեմումի կետի առայժմ միայն անխրաժեշվ
պայմանը: Գրնված (0, 0) արացիունար կետր ֆունկցիայի էքարլմոնամի
հնարավոր կեր է: Սպտուգերս համար, թե արդյոք (0,0) ափացիոնար
կեվր իսկապես էքափրեմումի կեվ կլինի, կիրառենք Թեռւրեմներ Լ6ն
17-ի բավարար պայմանները: Պաշվենք ի-ի 2-րդ կարգի մասնակի
1ածանզյալնեելրը,

ծ) ծ) ծ)
ճլլ- թ, 0) Հ 2, ճ22 Հ 900.0) Հ 2, ճլշ Հ 02լ Հ ծոց

Կազմենք Ճ տվտշիչը

(0,0)--0:

2 0
0

Օլլ ճյշ

Ճ(0.0)- -«Վ»0:

ճշլ 622

Ճամաձայն Թեռրեմ Լ7-ի՝ սա նշանակում ե որ (0,0) կեր էքարրեմումի
կեր է հանդիսանում դիտարկվող | ֆունկցիայի համար: Ավելին` ճլլ-
2 » 0 պայմանն էլ նշանակում ե ռր (0,0) կորը մինիմումի կետ Եե
իու Հ (0,0):

Նույն եզրակացությանը կարելի է հանգել, եթե Թեռրեմ Լ7-ի փո-
խարեն կիրառել Թեռրեմ Լ6-ր: Իսկապես, դուրս գրենք | ֆունկցիայի
2-իդ կարգի դիֆերենցիալը (0.0) արացիոնար կեվոսմ.

(0, 0)-ճլլ ձե՞ -Է 20լշ մեզ -Է 022 «Մ - 20-24 -Զ (ճո՞ -Է զՍ») -0:

Ակնհայտ ե 2-րդ կարգի այս դիֆերենցիալը (իփամ) դրական է. երի
ձո -Է մյ 7 0: Ըար Թեորեմ Լ6-ի՝ սա նշանակում է որ (0,0) կերը

մինիմումի կեր ե նիոո - (0,0), դիտարկվուլ ի Փսնկցիայի համար:

Այսպիսով՝ էքստրեմումի կետերի որոնումը ն հայտնաբերումը կարելի է
իրականացնել առնվազն երկու եղանակով, առաջիեը՝ 2-րդ կարգի դիֆերեն-
ցիալի միջոցով (Թեորեմ 1.6), երկրորդը՝ 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալ-
ներից կազմված որոշիչների միջոցով (Թեորեմ 1.7): Ընթերցողին ենք թողնում
այս երկու եղանակներից ավելի հարմարի ընտրությունը:

Օրինակ 8. Դիտարկենք

ՀՀ յ(.յ) «6 «յ:8:-»5Խ

ֆունկցիան (հիպերչովլական պարաբորփոլ) որն արդեն քննարկել էինք
Օրինակ 5-ում ն պարզել որ (0,0) ակզնբնակետը ի-ի թամբակեվ: է.
այսինքն` էքարրեմումի կետ չե թեն արացիոնար կետ է (րնդ ոսմ
միակը)

ծ) ծ) ծ) ծ)
-.- Ի 2Հ-(0,0)--:0 շ-(0,0)-0:
բանի օյ "" ո ՉՄ
Որպես արացիոնար կեվ` (0,0) սկզբնակետը ի ֆունկցիայի էքարրե-
մումի միակ հնարավոր կերն է: Այն. որ (0, 0) ակզբնակետը ֆունկցիայի
էքափրեմումի կեր չե Օրինակ 5-ում ապացուցել էինք էքափրեմումի բուն
աահմանման միջոցով: Այժմ նույնր ցույց վանք Թեռրեմներ Լ6 ն 17-ի
բավարար պայմանների միջոցով:
Հաշվենք ի-ի 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալները,
ծ) ծ) ծ)

ճլլ Հ Չռ00, 0) - 0, ճ22 Հ 90.0) - 0, ճլշ Հ 02լ Հ 0

(0,0)-1:
Կազմենք Ճ որոշիչը,

ճլլ ճ1յ2

Ճ(0,0)- --1Հ0:

ճ21 6422

Ճամաձայն Թեռրեմ Լ7-ի՝ սա նշանակում է որ (0, 0) կետում դիտարկվող
) ֆունկցիան էքարրեմում չունի:

Նույն եզրակացությանը կարելի է հանգել, եթն Թեորեմ 17-ի փոխարեն
կիրառել Թեռրեմ Լ6-ր: Իսկապես, րորս գրենք | ֆունկցիայի 2-րդ
կարգի դիֆերենցիալը (0,0) արացիռնար կերում,

ճ1յ(0,0) - Օյլ մ: Ժ Չ0լշ մ.մՍ -Է շշ մյ - 2մոմկ:

Ակնհայտ ԷԸ 2-րդ կարգի այս դիֆերենցիալը նշանափոխ ե այսինքն՝
նելունում է դրական ն բացասական արժեքներ փարբեր մ: ն մխ
աճերի համար, երբ ճաշ -Ժ զա 7 0:

Ճամաձայն Թեռրեմ Լ6-ի՝ սա նշանակում է որ (0,0) կետր | Փունկ-
ցիայի էքափրեմումի կետ չէ:

Դարձյալ, էքստրեմումի երկու բավարար պայմաններից (Թեորեմներ 1.6. ն
1.7) ընթերցողը կիրառկման համար կարող է ընտրել ավելի դուրեկանը:

Ցավոք Թեռրեմներ 1.6 ն 17-ում ներկայացված էքստրեմումի բավարար
պայմանները ունիվերսալ միջոց չեն ն ամեննին էլ բավարար չեն որոշ ֆունկ-
ցիաների համար: Բերենք համապատասխան օրինակներ:

Օրինակ 9. Դի ւարկենք

ՀՀ Ցայ | 82-թն,

ֆունկցիան: Էքավփրեմումի սահմանումից ակնհայտ ե տր | Փոնկցիան
միայն մեկ լոկալ էքարրեմումի կեր ունի՝ խիար մինիմումի կետ րոր Հ
(0, 0) : Բայց այժմ մեր նպատակն է հեփտազովել ֆունկցիայի հնարավոր
էքարրեմումները՝ կիրառելով Թեռրեմներ Լ6 ն 17-ի էքարրեմումի բա-
վարար պայմանները: Հաշվելով առաջին կարգի մասնակի ածանցյալ-
ները՝ համոզվում ենք, որ ֆունկցիան միայն մեկ ատացիոնար կեղ ունի,

Մ Հ 8 0
ի Հ-»չ (0,0)-ն միակ արացիռնար կետե է:
Խ՞ 4յ -0

Այս փասվփր փալիս է էքսփրեմումի կերի միայն անհրաժեշտ պայմանլ,
ն (0,0) արացիոնար կետր ի ֆունկցիայի էքատրեմումի հնարավո կետ
է: Սվոսգելու համար, թե արդյոք (0,0) ափացիոնար կորը իսկապես
էքավրեմումի կետ կլինի, կիրառենք Թնեռրեմնեեր Լ6 ն 17-ի բավարար

լայմանները: Պաշվենք է-ի 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալները,

ծ) ծ) ծ)
Հ - 12. 2-12 -
Ժո ": ծսշ 7: ծած 0,
ծշ ծշ ծշ
ճլլ- Ա(.0) -0, 62- Աա.) Հ-0, ճլշ- օ2լՀ 2:ւն.ժ Հ0:
Կազմենք Ճ տվտշիչը
0 0
Ճ(0.0) Ն ճլլ յշ Ն Ն
ճշ 022 0 0

Ճամաճձայն Թեռրեմ Լ7-ի՝ սա նշանակում է որ (0,0) կետր ընդհանրա-
վես ասած կարող է ինչպես |-ի էքարրեմումի կետ լինել այնվես էլ
չլինել, ն ուրեմն պահանջվում է (0,0) կերի լրացուցիչ հետազոտում,
ինչր մենք արդեն կատարել էինք հետազոտման սկզբում:

Նույն անորոշ եզրակացությանը կարելի է հանգել, եթե Թեորեմ Լ 7-ի
փոխարեն կիրառել Թեորեմ Լ6-ր: Իսկապես, դուրս գրենք Է ֆունկցիայի
2-իդ կարգի դիֆերենցիալը (0.0) արացիոնար կեվոսմ.

ճ2յ(0,0) - լլ մ27 Չ0լշ մՃԱՍ -է 022070:

Ըատր Թեորեմ 16-ի 4)-րդ կետի` սա նշանակում է, որ (0,0) կետր կարոլ
է ինչպես |-ի էքարրեմումի կետ լինել, այնպես էլ չլինել, ն ուրեմն` պա-
հանջվում է (0,0) կետի լրացուցիչ հերազոտում:

Նման անորոշ վիճակում որպես կանոն արդյրունավեր է դիմել էքս-
փտրեմումի կետի բուն սահմանմանը: Պենց ղա մենք արել էինք ակզրւմ
ն հաստատել, որ նիոռ Հ (0,0):

Օրինակ 10. Դիւրայկենք

2ՀՀյարը8-էԷտ Թ-5»թ,

ֆունկցիան:

Պաշվելով առաջին կարգի մասնակի ածանզյալները՝ համոզվում ենք,
Դր. ֆունկցիան միայն մեկ ատփացիոնար կետ ունի,

21 -" Յո -0
/ Հ-»չ (0,0)-ն միակ արացիռնար կետե է:
ա 3-0

ծ) ծ՞) ծ-
22 Յո թ 01 Ցած - 0,
եք ժ: ծ:
ու 20-06 ա-9100 -0. ոռ -«ո - 700 -0։
Կազմենք Ճ տլոշիչըւ
0 0
Ճ(0.0-17 5|- -
ճշլ (422 0 0

Ճամաճձայն Թեռրեմ Լ7-ի՝ սա նշանակում է որ (0,0) կետր ընդհանրա-
վես ասած կարող է ինչպես է-ի էքարրեմումի կետր լինել, այնպես էլ
չլինել, ն ուրեմնե՝ պահանջվում է (0,0) կետի լրացուցիչ հետազոտում:
Նույն անորոշ եզրակացությանը կարելի է հանգել, եթե Թեորեմ Լ 7-ի
փոխարեն կիրառել Թեորեմ Լ6-ր: Իսկապես, դուրս գրենք Է ֆունկցիայի
2-իդ կարգի դիֆերենցիալը (0.0) արացիոնար կեվոսմ.
ճ2յ(0,0) - լլ մ27 Չ0լշ մՃԱՍ -է 022070:

Նման անորոշ վիճակում որպես կանոն արդյրունավեր է դիմել էքս-
փրեմումի կերի բուն աատմանմանը: Դժվար չէ նկավել, որ (0, 0) ակզինա-
կետր ի ֆունկցիայի էքարրեմումի կեր չե րովհետն (0, 0) կեւրի ցանկա-
ցած շրջակայթում Է ֆունկցիան րնդունում է ինչպես դրական, այնպես
էլ բացասական արժեքնե,

7(0.0)-0. /Թ».յ)»0. եբ»ց»0 )(.)Հ0., երբ 2»0 ,Հ0:

Սկզբնակետրի շրջակայքում | Փսնկցիայի նշանների դասավոլմաթյոնելր
այնպիսին Է ինչպես պատկերված է գծ. 5-ում: Այապիսռով (0,0) ակզբնա-
կետր ) ֆունկցիայի թամբակետ է:

Լ3 Բարձր կարգի դիֆերենցիալներով
լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանը

Ինչպես նշվեց նախորդ բաժնում, Թեռրեմներ 1.6 ն 1Լ7-ում ներկայացված
էքստրեմումի բավարար պայմանները ունիվերսալ միջոց չեն ն ամեննին էլ
բավարար չեն որոշ ֆունկցիաների համար: Մասնավորապես, եթե տվյալ
Ճո(ոօ։ յօ) կետը (17) - 7/(ո, յ) ֆունկցիայի ստացիոնար կետ Է` 4/(110) -
0, ն նան / ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը 1/ց կետում նս նույնաբար
զրո Է մշ/(ն/) Հ 0, ապա Թեորեմ 1.6-ը ի զորու չէ որոշել, թե 1/ց կետը
էքստրեմումի կետ է թե՝ ոչ: Այսպիսով՝

աԱ). .Փյ/Ան)-0| (1.12)

դեպքում հարցը մնում է բաց ն անորոշ: Ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա-
ների համար, մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար էլ (1.12) անորոշ
դեպքում, գոյություն ունեն բարձր կարգի
(նը) - ծու ծց Աո) ԷՇ (1.3)
0/-- իր ծս Ս 07» ) :

դիֆերենցիալներով ձնակերպված էքստրեմումի բավարար պայմաններ:

Թեորեմ 1.8. Դիցուք Նն(ոց, Սց) կեկփ ինչ-որ Ա.) շրջակայքում (11 -
(8) Փոանկցիան ու (տ Շ Ի անգամ անրնդհատ դիֆերենցելի Է
/(8,յ) Հ Շ"(((յ)). ն բացի այդ` նը կետում

ձ/(1.0)-0, տ7յ/(Ոկ)Հ0,. ԺՓյ/(Ո`)Հ0, -::, ժ" ՄԱՍ)Հ0:

7 Եթե տ-ր զույգ թիվէն ձ«"յ(Ակ)»0 ԴՄ ճամս, մո Է մյ 70,
ապա 11ց(ո0։ 90) կեվմւ ի ֆունկցիայի (խիա) լոկալ մինիմումի կե
Է 1 - Սր ուո ՛

2) Եթե տ.-ր զույգ թիվ էն «"()ՀՀ0 Մմամխ,. մո Է մմ 70,

ապա նն(ոօ.99) կետր | ֆունկցիայի (խիա) լոկալ մաքսիմումի
կետ Է Նի - Խիոու :

3) Եթե ոտ-ր կենտ թիվէն «" /(նր)»0 կամ մ" /(ԽԽ)Հ0 Մ ճճմնխ,
ձո՞ -Է մյ 720. ապա նյ(աց: Սց) կետր | ֆունկցիայի ըսվլալ էքարրե-
մումի կետ չէ:

Բնականաբար չպետք է մտածել, թե Թեորեմ 1.8-ը տալիս է բոլոր դեպքերի
պատասխանը, բայց որոշ դեպքերում նրա կիրառումն արդարացված է:

Օրինակ 11. Դիւրայկենք

ՀՀ Ցայ | 82-թն,

Փունկցի ան, րնե արդեն քննարկել էինք Օրինակ 9-ում: Էքսվրեմումի
սահմանումից ակնհայտ է որ Նիրո Հ (0,0):

Փորձենք նույն արդյունքին հասնել կիրառելուվ Թեորեմ 1 8-ի էքավփրե-
մումի բավարար պայմանները: Հաշվելով մասնակի ածանցյալները՝
համոզվում ենք, որ

ձ/(0,0)-0, 47/7(00)Հ0,. «()(00)Հ0, 47(0,0)52:0:

Ամենացածր կարգի ոչ զրոյական դիֆերենցիալը 4-րդ կարգի է ն հեջը
է այն հաշվել ն պարզել երա նշանը՝

4 7(0,0) - 24( 2 -Էմմ)»0 Մճո,. ճո -Է մյ770:

Ըատր Թեորեմ 18-ի՝ սա նշանակում է որ (0,0) կետր |-ի մինիմումի կետ
Է Սր ուռ - (0, 0) ՛

Օրինակ 12. 5-71 աաատտիճանի

մօ: 5
Հյ.) 5 Ից

բազմանդամը միայն մեկ արացիոնար կետ ունի՝ (0,0) ակլզինակետխԽ
ձ/(0, 0) Հ 0, ինչպես նախուլոլ Օրինակ 11-ում:

Սղրւգենք էքատրեմումի բավարար պայմանը րատ Թեռրեմ Լ8-ի՝
հաշվելով ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալնելրը՝

427(0,0-0. «7յ(00)Հ-0, 4 7(0,0) Հ 0,
(0,0) - 120(մ Է մյ)2:0 Խճ, մո մյ »/0:

Քանի որ «շ)(0,0) դիֆերենցիալն ակնհայտորեն նշանափոիւ է երի
ձոշ -Է «ա 70. ն գործ ունենք կենտ ատրիճանի դիֆերենցիալի հեւ
ապա համաձայն Թեորեմ Լ8 3)-ի (0,0) ակզբնակետը էքատրեմումի
կետ չէ:

Ճիշվ է, այս եզրակացությունն անմիջապվես հենում էր նան էքավրե-
մումի կետի բուն սահմանումից, քանի որ (0,0) սկզբնակետը | ֆունկ-
ցիայի զրոն է. իսկ շրջակայքում ֆունկցիան նշանավովս է:

Գլուխ 2

Մի քանի փոփոխականի
ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումները

Այս գլխում կքննարկենք կամայական ո 6 ԻԼ » Հ 2 թվով անկախ փոփոխա-
կանների
ն Հ ԱՌ Հ /(ւյ2,...Յո):Թ -»Թ

ֆունկցիաների լոկալ էքատրրեմումների հարցը: Էքատրեմումի անհրաժեշտ ն
բավարար պայմանները կամայական թվով անկախ փոփոխականների ֆունկ-
ցիաների համար նման են Գլուխ 1-ում քննարկված երկու անկախ փոփոխա-
կանի ֆունկցիաների դեպքին: Ստորն բերված թեորեմներն անմիջականորեն
տարածում են նախորդ գլխի արդյունքները երկու անկախ փոփոխականի
դեպքից շատ փոփոխականի դեպքի վրա: Բնականաբար ձնակերպումները
տեխնիկապես ավելի բարդ ն մեծածավալ կլինեն:

Ընդհանուր դեպքում մեզ անհրաժեշտ կլինեն որոշ փաստեր գծային հան-
րահաշվից, մասնավորապես, քառակուսային ձների մասին, որոնք թույլ կրան
հստակեցնել ն կարգավորել հայտանիշների ձնակերպումները:

2.1 Լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը
մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար

Կդիտարկենք հետնյալ տեսքի մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաներ, որոնք
որոշված են ո-չափանի կամ մասնավորապես եռաչափ տիրույթում,

ն Հ ԱՌ Հ /(ւք2,...Յո):Թ -»Խ ոմ. ոՀ

սԿՀ)ԱՌ Հ )(6..2):15-5Թ:
Ենթադրենք ս - /(7/) ֆունկցիան որոշված է որնէ ՕՁ Շ Թ" բազմության մեջ
ն Պ/(ոն,25,...,29)-ն այդ բազմության ներքին կետ է:
Սահմանում 2.1. 1/0(24,29,...,29) 6 Զ կարը կոչվում է (1) ֆունկցիայի
(լւկալ) մաքիմումի կեր. եթե գոյություն ունի նկ կետի որեէ (նն) ՇԶ
շիջակայք, րտել (8) ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն արժեքը
Նո կեվում, այնինքն՝

ՀԱՍՑ) ՇՋ 5`. (19) Հ /(ՈՌ Մ Ո/ 60((նք): (2.1)

Իսկ սց Հ )Աց) արժեքը կոչվում է (մ) ֆունկցիայի (րմլալ) մաքսիմումի
արժեք կամ պարզապես մաթվանում: Կգրենք նիւ - հկ ն ղու Հ Կ0

կամ Արո» Հ Ա0-
Նմանապես սահմանում են ֆունկցիայի մինիմումի կետը ն մինիմումը՝

Սահմանում 2.2. 1/0 (21,29,...,29) ՇԶ կետը կոչվում է (1 ֆանկցիայի
(լւկալ) մինիտամի կեր. եթե գոյություն ունի ն կետի որեէ (ն) Զ
շիջակայք, ոլւտեղ (11) ֆՓսնկցիան ընդունում է իր փոքրագույն արժեքը
ճող կեվում, այնինքն՝

ՀԱՍՑ) ՇՋ 5`. (Մ) Հ/ՈՌ Մ Ո/ 60((նք): (2.2)
Իսկ սց Հ (նկ) արժեքը կոչվում է (1) ֆունկցիայի (լոկալ) մինիմումի
արժեք կամ պարզապես մինիմում: Կգրենք նու Հոնկ ն խող ՀՕ

կամ Աուտ Հ նց -

Կասենք նան, որ 1/0 կետում /(77) ֆունկցիան խիստ մաքսիմում կամ
խիստ մինիմում ունի, եթե (1.1) ն (.2) պայմանների մեջ անհավասարության
ոչ խիստ նշանները փոխարինենք խիստ նշաններով, այսինքն՝

ՅԱԱՄԵ)ՇԶՋ ։Ց. /(ԹՄ.)»/ՄԱՌ "ՄԱՇԱ, 117 նյ, (2.3)
կամ համապատասխանաբար

ՀԱՄՈ) ՇՋ 5. /ԱԹՀ)/Ա) ԿԱՇԱՌԱ), 12: 04)

Լոկալ մաքսիմումի ն մինիմումի կետերը անվանում են (լոկալ) էքստրեմումի
կետեր, իսկ (լոկալ) մաքսիմումները ն մինիմումները՝ (լոկալ) էքստրեմումներ:
Դիտողություն 2.1. Բերված սահմանումներում նշված անհավասարու-

թյունները կարելի է արտփափայտել ֆունկցիայի աճման փերմիններուվ:
Նշանակելով 1յ(ո22.....29) կեփոսմ ֆունկցիայի (լրիվ) աճը`

Ճ/ԱՐ) 570 - 7/0) Հ (ու... որ) - /(ոե.29.... 189) | 11 641)

մեն)

կարելի է (2.1), (2.2), (2.3), 0.4) պայմանների մեջ անհավասարությունները
համապատասիւաւնորեն փոխարինել համարժեք անհավանսարություն-
ներով, ՃյՍմց) Հ0, Ճ/(նն) Հ 0, Ճ/(նց) Հ0, Ճ/(նք) Հ 0:
Դիտողություն 2.2. Փյււնկցիայի (լոկալ) մաքսիմումի ն մինիմումի արժեք-
ները, ունք նշանակվում են ոո որ կամ. աղու Կուր» չվերք է շվութել
ւրվյալ բազմության մեջ ֆունկցիայի մեծագզայն ն վոալաագայն աղժեք-
նեմ: հետ: Դրանք կքննարկենք հետագայում, Բաժին 3.4-ում:

Բացի այդ, լոկալ էքափրեմումի կետերը անվանում են նան բացարձոաւկ
էքավլմոնւմի կեվմել որպեսզի հեվփագայում դրանք չշվութեն պայմանա-
կան էքափրեմումի կետերի հեվփ. որոնց կհետազոտենք Գլուխ 3-ում:
Դիտողություն 2.3. Մենք միշր դիլրարկերսն ենք ներքին (լվալ) էքափրե-
մումի կետեր: Հետագայում հնարավոր Է մեզ հանդիպեն նման սահ-
մանմանը բավարարող ոչ թե ներքին նց Շ ՕՁ էքարրեմումի կետեր, այլ

եզրային նլ Շ Օ0 «քարրեմումի» կետեր: Այղ դեպքերում մենք հատուկ
կնշենք նման երնոայթր:

Մեր նպատակն է սովորել հայտնաբերել լոկալ էքստրեմումի կետերը:
Կսկսենք լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանից: Հիշենք, որ մեկ փոփո-
խականի ֆունկցիաների համար լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը
իրենից փաստորեն ներկայացնում է Ֆերմայի հայտնի թեռրեմը: Այժմ մի
քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար ունենք Ֆերմայի թեռրեմի ընդ-
լայնումը:

Թեորեմ 2.1. (Ֆերմա)
Դիցուք ԿՀ (ԱՌ ֆունկցիան որոշվածէ ՕՇԹ" տիրույթում ն

Ներ(նա9,... 139) Շ Ձ կետում լոկալ էքարրեմում ունի: Եթե 1 կետում
զոյւթյուն ունեն ի ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները,
լ ծ) ծ)

Հ 5-10) Հ իւՄ), 7. (10) հ, Ա1),.: "2. -ԱԹ)Հ ի..(1Թ),

ապա դրանք հավասար են զրոայի՝

Փ/ ծ
ծու Ցոջ

ՑԵՐ) - 0. թ

2-0) - 0. 2-9) -0:

Սասնակի ածանցյալներով վերջին պայմանը կարելի է արտագրել համա-
ըժեք տեսքով

Մ/(Ամը) Հ տոմ /(10)-0լ

օգտագործելով //ց կետում ֆունկցիայի գրադիենտը, որը մասնակի ածան-
ցյալներով կազմված վեկտոր է՝

6 ծ ծ ծ
Ե/ԱԹ) Հ տոյ) 242706. Իո)... ԱՍ:
Հիշելով ֆունկցիայի (լրիվ) դիֆերենցիալի տեսքը 1/9(ո1. 22....,22) կետում`

կարելի է Ֆերմայի -աորեմին, մի փոքր այլ ձնակերպում տալ:

Թեորեմ 2.2. (Փերմա)

Դիցուք (1) Հ (ուռ2,... յաղ) ֆունկցիան ոլաշված է Օ Շ Թ" տի-
դաւյթում ն ՆԽե(«9,....59) Շ Ջ կետոսմ դիֆերենցելի է ն լոկալ էքս-
տրեմում ունի: Այդ դեպքում` նը կետում -ի դիֆերենցիալը նույնաբար

Սահմանում 2.3. Դիցուք (1 Հ /(ոլ,22,...,Յղ) ֆսնկցիան որոշված է

Չ Շ Ք" րիրույթում ն ն(ոամ,22,...,25) Շ Զ: Եթե ն կեպոսմ ֆունկցիայի

առաջի ն կարգի բոլոր. մասնակի ածանցյալները, հավատար են զայի,
ծ) ծ) ծ)

9 Ա8)-. ԱԽ) -0 ... ,յո-ԱԹ-0|

ապա 110 կետր կոչվում է | ֆանկցիայի արացիոնար կեւ:

Հաշվի առնելով այս սահմանումը` կարելի է վերաձնակերպել Ֆերմայի
թեորեմը ստացիոնար կետի տերմիններով:
Թեորեմ 2.3. (ՖՓեյմա)

Դիցուք (1) ֆունկցիան որոշված է Օ Շ Բ" տիրույթում ն նը ՇԶ
կետում լոկալ էքափրեմում ունի: Եթե նլ կեվոսմ գոյության ունեն (1)
ֆունկցիայի առաջին կարգի բոլոր մասնակի ածանցյալները, ապա 1/օ-ն
-ի արացիոնար կետ է:

Այլ կերպ ասած՝ տվյալ 11ց կետում /(1/) ֆունկցիայի առաջին կարգի
բոլոր մասնակի ածանցյալների գոյության պայմանի դեպքում, լոկալ էքստրե-
մումի կետը միշտ ստացիոնար է,

(ոո 7-ի էքստրեմումի կետ վ --» (ոո 7-ի ստացիոնար կետ |
(2.5)

Օրինակ 4-ում բերված է մի ֆունկցիա, որի էքստրեմումի կետը ստացիոնար
չէ:

Դիտողություն 2.4. Եթե Փեյմայի թեռրեմի մեջ (11) Հ Մ(ոլ22,....Թը)
ֆունկցիան նե(Յ2.... 11) Շ Ձ: կեպոսմ լոկալ էքատրեմում ունի ն

Ա տ

Նր կեվոսմ գոյություն ւնի (18) ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի
ածանցյալներից ոչ բոլորը` այլ մի քանիսր, ապա հենց այղ մասնակի
ածանցյալները հավատար կլինեն զրոյխ, իսկ մյուսները կարող են գո-
յություն չունենալ:

Այսպիսով` լոկալ էքստրեմումի կետը կարող է ստացիոնար կետ լինել,
այնպես էլ չլինել սրացիոնար: Միավորելով Ֆերմայի թեռրեմը ոչ ստացիոնար
էքստրեմումի կետի դեպքի հետ՝ ստանում ենք լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ
պայմանը:

Թեորեմ 2.4. (Լկալ էքափրեմումի անհրաժեշտ պայմանը)
Դիցուք (1 - (ուռ... ղդ) ֆունկցիան որոշված է Օգ Շ Թ
փիլոսյթամ ն (ա ա2.....20) Շ Ջ կարում լոկալ էքատրեմում ունի:

Այդ դեպքում նյ կեպում (ԱԲ ֆանկցիայի առաջին կարգի մասնակի
ածանցյալները կամ հավասար են զրոյի, կամ գոյություն չունեն:

Նկարագրված //ց կետերին նոր անվանում տանք:

Սահմանում 2.4. Դիցուք (1 Հ Մ(ու,22,....Յղ) փսնկցիան որոշված է
Ձ Շ Բ" տիրսյթում ն Նե(աան,....20) Շ Զ: 1 կարը կանվանենք
(43 ֆունկցիայի կլվրիկական կեղ, եթե 1/ց կեվոսմ (1 ֆունկցիայի
մաշաջին կարգի րոլոր մասնակի ածանզյալները հավասար նեն զրոյի

կաւմ գոյություն չունեն:

րեմը կրիտիկական կետի տերմիններով:

Թեորեմ 2.5. (Լկալ էքափրեմումի անհրաժեշտ պայմանը)
Դիցուք (18 Հ (ույճ2,... նռ) ֆունկցիան ոլոշված է ՕՇԹ" տի-
դաույթում ն նր(ոյո2,...,25) 6 Ջ կարում լոկալ էքավրեմում ունի Այդ

7 ա

դեպքում 1/-ն ի ֆունկցիայի կրիտիկական կեպ է:

Այլ կերպ ասած՝ լոկալ էքստրեմումի կետը միշտ կրիտիկական է,

(ո 7-ի էքստրեմումի կետ վ --» (ո 7-ի կրիտիկական կետ վ
(2.6)
Հաշվի առնելով, որ կրիտիկական ն մասնավորապես ստացիոնար կետերը

տալիս են լոկալ էքստրեմումի միայն անհրաժեշտ պայմանը, կրիտիկական
կետերը անվանում են նան տվյալ ֆունկցիայի էքսփրեմումի հնարավոր կե-
տեր:

Ստացված (2.5), (2.6) պնդումներից եզրակացնում ենք, որ

7 ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումի կետերը որոնելիս, նախ պետք է

գտնել / ֆունկցիայի ստացիոնար ն բոլոր կրիտիկական կետերը:

Այնուամենայնիվ՝ Թեռրեմներ 2.4 ն 2.5-ում մենք ունենք լոկալ էքստրեմումի
միայն անհրաժեշտ պայմանները, այսինքն` (2.5), (2.6) պնդումների հակա-

դարձները սխալ են: Որպես հաստատող օրինակներ կարելի է դիտարկել
Օրինակներ 4 ն 6-ը:

22 Լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանը
մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար

Այժմ անցնենք լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանների ձնակերպումներին:
Ինչպես տեսանք նախորդ բաժնի օրինակներում, անհրաժեշտ պայմանին բա-

վարարող կետերը կարող են ֆունկցիայի էքստրեմումի կետեր չլինել (այդպես
է նան ավելի պարզ մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների համար): Ուրեմն՝ մեզ

պետք են հայտանիշներ (թեորեմներ) լոկալ էքստրեմումի բավարար պայ-
մաններով: Ստորն կբերենք մի քանի այդպիսի հայտանիշներ, որոնցում միշտ
կենթադրենք, որ դիտարկվող կետը ստացիոնար է, այսինքն` /0(ոմ. 29.....ոն)
կետում /(1/) ֆունկցիայի առաջին կարգի բոլոր մասնակի ածանցյալները
հավասար են զրոյի,

ծ/ ը ծ/ ը ծ Ն
2ԱԹ-0 -ԱԽ)-0. ... .22-Ա)-0
կամ /-ի առաջին կարգի դիֆերենցիալն է զրոյական

Դրանից հետո էքատրեմումի կետ լինելու կամ չլինելու համար վճռական
նշանակություն կունենա 4/ց կետում / ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերեն-
ցիալի նշանը: Ընդունենք, որ դիտարկվող ֆունկցիան 2-րդ կարգի ողորկ է
մլ կետի ինչ-որ 2/(119) շրջակայքում, /(11) Շ Շ(((մյ)) ն դիտարկենք
7-ի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը 71/0 կետում,

ճ27(ն.)- 91 կեազ 9 ց ՛ Ա՛Աղ)-
0/- ծոլ Լլ ծո, Նր 0/)--

` Հ-Ի ՉՄԱՆ)

Ե)-1

անկախ փոփոխականների 4», դիֆերենցիալների կամայական ն բավա-

կանաչափ փոքր արժեքների համար:

Թեորեմ 2.6. Դիցուք 1/լ(ոամ.25,....29) կերի ինչ-որ (ՆՍ) շրջակայքում,

/(17 ֆունկցիան 2-րդ կարգի ողորկ Է (0 Հ Օ(ԱԱթ)). նո կետր

(18) ֆունկցիայի ատացիոնար կետ է այսինքն «ձ/(1օ) Հ 0:

7 Շթե/-ի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը խիար դիական է անկախ վուփո-
խականների կամայական մոլ, ճե5,....մող աճերի (դիֆերենցիալ-
ների) համար, որոնք միաժամանակ զի չեն,

զ27(10)»-0 ճա ՌՀՆո), մո -::- մ. 70,

ապա 1 կետր (11) ֆունկցիայի (իփար) լոկալ մինիմումի կետ է՝
71 - Սր ուո -

2) Եթե ի-ի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը իփար բացասական է անկախ
փոփոխականների կամայական մճոլ, մեջ,... մող աճերի (դիֆերեն-
ցիալների) համար, որոնք միաժամանակ զրո չեն,

«27(1.)Հ0 ՍԿճան-Նո), ճո": «ո. 570,

ապա 110 կեվա (11) ֆունկցիայի (իփապ) լոկալ մաքսիմումի կեր
է՝ ն/ը -- Սմ ոոււ ՛

3) Եթե «/(1.) երկուսը դիֆերենցիալը նշանափոխ է (ընդունում է
րական ն բացասական արժեքներ) երբ ձո -Լ..-Է ոէ 70

ապա ն կետր (11) Փսնկցիայի լոկալ էքափրեմումի կետ չէ:

4) Եթե «2/(ն0)Հ-0 կամ մ2/(Ն9)Հ0 Մմալ, Ւ ::Դմ22 70, ապա
ավոայգ ոչինչ ասել չենք կարով. քը կեր կարող է ինչպես |-ի
էքափրեմումի կետ լինել, այնպես էլ չլինել (ուրեմն` այս դեպքում
կպահանջվի լրացուցիչ հետազոտում):

Այսպիսով՝ համաձայն Թեորեմ 2.6-ի՝ էքստրեմումի առկայությունը որոշվում
է ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի նշանապահպանման հատկու-
թյամբ: Այն է՝ եթե երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը տվյալ կետում նշանափոխ
է , ապա էքստրեմում լինել չի կարող: Իսկ եթե երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը
տվյալ կետում պահպանում է իր նշանը (խիար իմաստով), ապա էքստրեմումն

առկա է:

Օրինակ 13. Օգրնենք

ս-/ՈԱՌՀ/աս»ՀՅԹ2-ԻԻ:ՀՅՎՉաՒ4յ- 65 Թ»

ֆունկցիայի լոկալ էքափրեմումները: Փունկցիան անվերջ դիֆերենցելի է
ամբողջ որոշման փիրայթամ | Հ ՇՀ(Թ:) ինչը թոյլ է տալիս կիրառել

վերջին թեռրեմը: Նախ ն առաջ, գտնենք | ֆունկցիայի ափացիոնար
կետերը առաջին կարգի մասնակի ածանզյալների միջոցով: Կազմենք
ն լուծենք հետնյալ համակարգը`

-2--2Հ-0 1:--1
Խ-2-4-0 Ս--Զ 0-1 -2,3):
-2--6-0 ՀՀ-Ց

Ստացանք, որ (1 ֆունկցիան ընդամենը մեկ արացիոնար կետ ունի՝
Նո-ն: Սփուգենք՝ արդյոք նլ. կետր էքարրեմումի կետ է թե՝ տչ: Պաշվենք
711) ֆունկցիայի 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալները՝

հ.Մ0 Հ2 հյՄ1 - 0,
Խ.Մ Հ2, ի.) Հ 0,
ք.մ) -2. հ. Հ 0:

Կազմենք (11) ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆելրենցիալը՝

«71 - հւ ԱՌ ո՞ Ժ ԽԱՌ ծր Է ԱՄ) 42
- շիա ԱՈ մ. մս-Է2ի(11)մ202- 2.13 մմ--
-- 2 (մոշ Էզ մ» » 0, եթե մո -Է մյ -Է 22570:

Քանի որ 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը խիար դրական ե երի մո մյ-Է
մ22 7 0, ապա համաձայն Թեորեմ 26. 1)-ի Ո՛(-1-2,3) արացիոնար
կետը (18 ֆունկցիայի միակ մինիմումի կարն ե | նիոո Հ ԽԵ(-1, -2.3)|
Հաշվենք նան (1 ֆունկցիայի համապատասխան մինիմումի արժեքը՝

ոռ - /(ն0)-(1ԷԸ224Ի3-2-4-:2-6-5Հ--14:

Ի դեպ, քանի որ մինիմումի կետր միակն Է ապա տրացված խուռ Հ -14
մինիմումը հանդիսանում է նան (11) ֆունկցիայի փոքրագույն արժեք՝

1 1/11- ոո -- -14 -
տոմ Հի

Օրինակ 14. Հեվւազյրւենք

սՀ/ԱՌՀ)/Րաս»ՑոՒՄԻ»3Հ12ոյ-Է22 Ք»

ֆունկցիան լոկալ էքափրեմումների աշումուվ: Փունկցիան անվերջ լիֆե-
դենցելի է ամբողջ որոշման տիրույթում, | - ՇՀ(Տ3, ն ակզբում գտնենք

) Փունկցիայի ատացիոնար կետերը առաջին կարգի մասնակի ածան-
զյալների միջոցով: Կազմենք ն լուծենք հերնյալ համակարգը՝

7 -Յ՛ Է 12Ս-0 Յո - 2-0 2(ո - 24) -0
Խ-2Է12--0 Ս--6թ Ս--65
-2-Ի2Հ-0 Հ--1 Հ--1

Պամոզվում ենք որ համակարգն ունի երկու լուծում, այսինքն (1Ո
ֆունկցիան երկու տրացիրնար կետ ունի՝

ձո(0.0.-). 15024.-144-ը:

Այժմ ստուգենք էքափրեմումի բավարար պայմանները հի ն 1/շ արացիո-

նար կետերի համար: `աշվենք (11) Փանկցիայի 2-րդ կարգի մասնակի
ածանցյալները՝

իւ(1Ռ - 6ո, /1դ-2.
ԽԱՌՀ7, հւ - 0,
/.00Հ2 «1-0:

Կազմենք (11) ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆելրենցիալը՝

Առ - հւԱՌ ծո Է ԽԱՌ Է Խ.Մ: Է
Ի 2/7 ճո մյ ԺԷ 2.17 «5 մշ -Է 2յխ.(11) 4, մ» -
- 6»մո Լ 2ժյ" Է 242 Է2-12գո զխ -
- շ(5: ձո -Է յ Է 422 Է 12մ» մյ) :

Ստացիոնար նի ն նշ կերերը ավուգենք հաջորդաբար: Նախ, կազմենք

(1 ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը նիլ կեւրելոսմ ն պարզենք
երա նշանը՝

2711) - Փ/(0.0.-1)- 2) Է մ22- 12մ» «հ
Ցույց տանք, որ վերջին արփափայտությունը նշանամովս է վոր ճո, մ,
ձչ աճերի համար: Իալապես,
եթե վերցեեեք մ-.Ս-0. 570. ապա մճյ(1ի) - 242 Տ 0,
իսկեթե մո--մՍ»չ0. 2-0 ապա մյ(կ) - -22գ Հ0:
Քանի որ 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը ձի կետում նշանափոխ Է եր
ճշ -Է մՄ -Է մշ 7 0, ապա համաձայն Թեորեմ 26, 3)-ի հո(0,0,-1)

սափացիոնար կետր (11) ֆունկցիայի էքարրեմումի կեղ չէ:
Այժմ ատուգենք էքափրեմումի բավարար պայմանները 11 արացիո-

նար կետի համար: Կազմենք (11) ֆանկցիայի 2-րդ կարգի դիֆերեն-
ցիալը ՆՇ կետերում ն պարզենք նրա նշանը՝

Փ7(1Ծ) - «27(24.-141-1)- (3 24 մո -Է մյ -Է մշ -Է 120: ս -
- 2(24 Է 120: մյ -: մյ" Է 2427:

Դժվար չէ նկատել որ Զճմշ-Լ 124260 -Է ճմ համասեռ քառակուսի
եռանդամը իփար դրական է երբ ձե -- զյշ »« 0: Դրանում կարելի է
համոզվել, անջատելով լրիվ քառակուսին կամ հաշվելով նրա փարբերիչը՝

Թտշւնուոոու - 122 -- 4-72 - 144- 288- -144Հ0:
Ուրեմե՝
ճ1(2)- (2 ձ.2-Է12մ5 մյ" Վ242»-0. երբ մոմ -Էմ2:170:

Ճամաճձայն Թեռրեմ 26, 1)-ի նռ ատացիոնար կետր (1) Փոսնկցիայի
մինիմումի կետ է | նիող Հ ՆԵ(24, -144, -1) | Հաշվենք նան (11) ֆունկ-
ցիայի համապատասխան մինիմումի արժեքը` ոռ Հ )( Աե) Հ -6913:

Նկատենք, որ բերված Թեորեմ 2.6-ը երկու անկախ փոփոխականների
դեպքին վերաբերող Թեորեմ 1.6-ի տարածումն է ռ» անկախ փոփոխականի
դեպքի վրա: Մեր հաջորդ նպատակն է ռ փոփոխականի դեպքի վրա տարածել
նան Թեորեմ 1.7-ը, որը էքստրեմումի բավարար պայման է տալիս ֆունկցիայի
2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալների միջոցով: Դրա համար մեզ անհրաժեշտ
կլինեն որոշ փաստեր գծային հանրահաշվից, մասնավորապես քառակուսային
ձներից: Թեն հաջորդ բաժինը շատ օգտակար է էքստրեմումի հարցում, այնու-
ամենայնիվ, ընթերցողը կարող է շրջանցել այն, եթե ցանկանում է խուսափել
հանրահաշվական հավելյալ հասկացություններից:

23 Որոշ տեղեկություններ հանրահաշվից
քառակուսային ձների մասին

Էքստրեմումի հարցում, ինչպես ցույց է տալիս Թեռրեմ 2.6-ը, ֆունկցիայի
2-րդ կարգի (2.7) դիֆերենցիալը վճռական դեր է կատարում ն այն արժանի
է հատուկ հերազոտման: Փաստորեն 2-րդ կարգի (2.7) դիֆերենցիալը

Պ ծշ Նր

Հ)-1

իրենից ներկայացնում է անկախ փոփոխականների մ». աճերից (դիֆերեն-
ցիալներից) կախված բազմանդամ (ընդ որում՝ 2-րդ աստիճանի համասեռ):
1 Ճո.
Հարմար է նշանակել գործակիցները (--Շ-»Հ- | 6)-ԼՆո ն

ծո: Ժո,
ճոչ աճերը (դիֆերենցիալները) մեկ այլ տառով:

Սահմանում 2.5. Սլ, Սշ,..., Սո Շ Բ ղիտռփոխականների

Ն Ն 6
ՕՀ ՕԴ ՀՕ...) Ֆ՝տփա: յՀ «յո

է)-1

րեսքի ֆունկցիան անվանում են քաշակաաւային ձն: Քառակուսային
ձեի «յյ - ԸՕոտ ՇԽ գործակիցներից կազմված

լլ ճլ2 ... յդ
ճ21 622... 6ն2դ
ճու ճոշ --. ճող

քառակուսի մափրիցը կոչվում է Օ քաշակումոաւյին ձնի մառբրից:

Դիտողություն 2.5. Եթե քառակուսային ձնի 4 մատրիցի մեջ բացահայտ

ենթադրենք, ր «յ գործակիցները դիտարկվւ յԱ: --»Է
ֆունկցիայի 2-րդ: կարգի մասնակի ածանցյալներն են 1 կեվում

2
ՄԱԲ ա) 2 ) .- 1
ՉԺ եշ ծոյ ' ՛ ամն
ապա ատփացված
ծ) ծ2/ 02:
ծու ծուծոըշ ՛՛՞ ծուծող
շ ՓՄ Փր ծ27
1 -- ԷԶ -- ժոշ ծու ծո ՀՈՐ` ծոշծոյղ
ժու ծո ա ԲՈ:
ծ") ծ2) ծ2)
ծուծու ծած ` ծոշ,

մատրիցն անվանում են | ֆունկցիայի Պեսսնի մաղպզվց (տվյալ նլ կե-
տում) կամ կարճ` հեսախան:

Սահմանման մեջ դրված ռչ - յ, պայմանը բնական է, որովհետն այն
համապատասխանում է խառը մասնակի ածանցյալների հավասարությանը՝
ՓԱ) Փ/Առ).

Բացի այդ, յ - յ, պայմանը նշանակում է, որ 4 մատրիցը սիմետրիկ է,
այլ կերպ ասած 4 մատրիցը համըեկնում է իր շրջված (տրանսպոնացված)
մատրիցի հետ՝ 4 -- 47:

Մասնավորապես, .--2 երկափն 7--Ց եռաչափ դեպքերում քառա-
կուսային ձնը ն նրա մատրիցը ներկայացվում են այսպես՝

ճ ճՃ
Օ Հ ոււմլ -Է 20լշյլ Ս» -Է 62277: 4- Ով,
ճշլ 622

Օլ ճլշ 013
Օ - ճււյլ-Էն2217-ԷԿ3303-Է2612Սլ 12--26151լ 5-Է 20252 13. 4 - | 05լ 025 023

ճ31 632 6033
Անհրաժեշտության դեպքում 0. քառակուսային ձնը կարելի է ներկայացնել
մատրիցային տեսքով՝ օգտագործելով նրա մատրիցը, ։ փոփոխականներից
կազմված մեկ տող ն մեկ սյուն,

ճլլ ճյլջ ... յդ Մ
Պտ
բ ճշ2լ 622 ... ճշր Սշ
Չ-Տ՝աոա- ՃՀատ-" 1. ի
Ե)-1 : : ս: : :
ճու ճո --. ճոր Սո.
Սլ

որտեղ նշանակված է սյան տեսքով վեկտոր` յ - 7

Մր մ

Սահմանում 2.6. Դիցուք փղրված է

Պտ

ՕՀ ՕՍ) Հ Օ(ու»:..-:Սո)- Տ` յԱ յ-Ս Պա
եյ-1
Քառակուսային ձենր-

7 Օ(յ) քառակուսային ձեր կոչվում Է դրաման որոշյալ, եթե Օ()-ե
դեդլունում է միայն դրական արժեքներ բոլոր ոչ զրոյական Ս 70

վեկտորների համար, այսինքն՝ երբ Սլ Սշ...-,Սո փուվովսական-
երր միաժամանակ զր չեն,

Չ(»0. երբ 70 կամ տէ: 7570:

2) Օ(մ) քառակուսային ձեր կոչվում էբացսուակաւն «ուշյալ, եթե Օ(/-ն
դեղդունում է միայն բացասական արժեքներ բոլոր. ոչ զրոյական
Ս 7 0 վեկրորների համայ, այսինքն՝ երբ Ս, Ս2,....Սո փովովաա-
կանները միաժամանակ զրո չեն,

Օ(ՀՇ երբ Ս70 կամ տէ: 770:

3) Օ(/) քառակուսային ձնր կոչվում է ոչ բացասամկուն, տլաշյալ (լամ
դրական կիատւլաշյալ), եթե Օ(/)-ն ընդունում է միայն ոչ բացա-
ոճական արժեքներ բոլոր Ս 6 ԽՃ" վեկտորների համար, ն նան
ընդունում է զյու արժեքը ինչ-որ ոչ զրոյական ց' Շ Ս" վեկտորի
համար,

Օ()Հ0. երի /Սօ8", ն ՀՄՇ.ՆՄ/70 5. Օ(ՍԴ)Հ0:

4) Օ(/) քառակուսային ձեր կոչվում է ոչ դիական վաշյալ (կամ բացա-
սական կխատղաշյալ) եթե Օ()-ն րնդունում է միայն ոչ դրական
արժեքներ բոլոր Ս Շ ԽՃ" վեկտորների համար, ն նան րեդունում է
զրու արժեքը ինչ-որ ոչ զրոյական յ' Շ Է" վեկտորի համար

ՕՍ)Հ0՝ եր ՍօՕ8", ն ՀՄՇ" //70 5. Օ(ՍԴ)Հ0:

Տ) Օ(ս) քառակուսային ձնր կոչվում է նշանաըաւշյալ, եթե նա կամ դրա-
կան, կամ բացասական րշյալ է:

6) Օ(յ) քառակասային ձեր կոչվում է կիսառլաշյալ կամ քվազինշանա-
7լուշյալ, եթե նա կամ դրական. կամ բացասական կիսառրաշյալ
է:

3 Օ(յ) քառակուսային ձեր կոչվում է նշանախոխ: (կամ նշամուաւնոււշ),
եթե նա րեղունում է ինչպես դրական, այնպես էլ րացաստակեաւն
արժեքներ:

օյ
Օրինակ 15. 1 |Օ(.յ».15) - տ Է 202-Է3/1| քառակուսային ձեր դրա-
կան վաշյալե Օ(.Ս2,13):-0 ԽՍ-(Ա.աո Թ), 72-70:

ձ6ի
2 |Օ(:».5)- 7-7- 7-27.» - 29193 -Է 2023| քառակուսային
ձեր դրական կիսաորոշյալ է. քանի որ

Օ(Մւ ա». 5)-( Ի -Է)Հ0 "ՄՀ(ո.յ»:13) ՕԹ. ընդ ոլոսմ

Օ(Աւ:0»:15)-0. երբ մ--- 1570:

ձ6ի
3 |Օ(.մ».5)-7--Մ-ԷՍա-Է15- յ:| քառակուսային ձեր

նշանափոխ է քանի որ Օ(,0,0)- 1»0, Օ(0,1,0) - -1Հ0:

Քառակուսային ձների նշանաորոշվածության հատկության համար մի քանի
հայտանիշներ կան: Ամենահարմար հայտանիշը, թերնս, ՄՍիլվեստրի հայտնի
հայտանիշն է:

Դիտարկենք որնիցե մի քառակուսային ձն

օյ
ՕՀ Օ(Ս)Հ Օ(ու,....մո) Ֆա: այ- յո (2.9)

է)-1

որի մատրիցն է

ճլլ ճլ2 ... լղ

ճշ 022 ... 02դ
4-(այ)Հ

ճու ճոշ -:: ճոռ

Սահմանենք հետնյալ որոշիչները՝

լլ ճլշ ճ13

մօ) մօ | ճլլ (յշ մօ)
Ճլ- Օյլ, Ճշ - : Ճ: - ճ21լ 622 023 |չ
ճշլ (22
ճ3լ 632 6033
ճւ 612 ... լթ ճւ 612 ... լռ
մի | ճշ 622 ... ճշր մօ | ճ21 622 ... ճշո
Ճ: Հ . . , . , ւ :ՃՃՀ . . , . ,
ճրլ ճր2 -... ճար ճու ճո -:- ճոռ

որոնք կոչվում են 4 մատրիցի անկյունային (կամ գլխավոր) մինորներ:
Թեորեմ 2.7. (Սիլվեատրի հայտանիշը)

3 Որպեսզի (2.9) քառակուսային ձեր դրական որոշյալ լինի անհրաժեշտ
է ն բավարար, որ նրա մատրիցի բոլոր անկյունային մինուրնելրը
դրական լինեն՝

ՃՃլ » 0, Ճշ » 0, Ճգ » 0, Բ ՍխՃ Հ»0: (2.10)
2) Որպեսզի (2.9) քառակուսային ձեր բացասական լոշյալ լինի անհրա-
ժեշտ է ն բավարար, որ նրա մատրիցի անկյրսւնային մինուրները

եէշանահերթավփոիխ լինեն, րեղ րում առաջին մինուրը լինի բացա-
ռական, այսինքն՝

Ճլ Հ 0, Ճ'Ճ2»Ֆ0,. /ՃգՀ0, -:: , (-1)"4Խդ Հ-0: (2.11)
3) Որպեսզի (2.9) քառակուսային ձեր ոչ բացասական որոշյալ (դրական

կիսաուլաշյալ) լինի անհրաժեշտ է ն բավարար, որ նրա մատզփցի
ոլոր անկյունային մինորները ոչ բացասական լինեն՝

ՃՀՏ-0 Ճ»Հ»0 ՃՀՕ0Օ --- ԽՀ, (2.12)

ընդ որում՝ գղյություն ունի զրոյական անկյունային մինոր ՀՎՃ-Հ-
0 ինչ-որ Ի-ի համար:

4) Որպեսզի (0.9) քառակուսային ձեր ոչ դրական ոլտշյալ (բացասական
կիսառոլաշյալ) լինի անհրաժեշտ է ն բավարախ որ կատարվի հե-
փնյալ պայման

ՃլՀՕՑ 'Հ0. ՊՃյ:Հ0, -:- ,(-1Մ" Ճղ Հ 0, (2.13)

ընդ որում՝ գղյություն ունի զրոյական անկյունային մինոր ՀՎՃ-Հ-
0 ինչ-որ Ի-ի համար:

Տ) Եթե 4 մարրիցի անկյունային մինորները բավարարում են (2.10),

(2.11, (2.12), (2.13) պայմաններից տարբերվող մեկ այլ պայմանին,
ապա (29) քառակուսային ձեր նշանափոխ (եշանաանորոշ) է:

Դիտողություն 2.6. Ցանկացած սիմեվլիփկ քառակասի 4Հ (այ) մատ-
տիցին Խայնպես կարելի է վերագրել Սահմանում 26-ում փեղ գտած
եշանարոշյալ, կիսաորոաշյալ կամ նշանաանորոշ լինելու հավվկություն-
ները: Պարզապես այդ մավվղփցի ճւ, տարրերից կարելի է կազմել

Պտ

Օ - Օ() Հ Օ(ուց».......)Հ-Ֆ՝«Ա-Ս 47

7-1

Քառակուսային ձն ն կրկնել Թեորեմ 27-ի 1)-5) կերերի պայմանները:

2.4 Լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանը
մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար
(շարունակություն)

Օգտվելով Սահմանում 2.6-ի մեջ պարունակվող հանրահաշվական հասկա-
ցություններից, կարելի է վերաձնակերպել Թեորեմ 2.6-ը:

Թեորեմ 2.8. Դիցուք 1լ(ան.25,....29) կերի ինչ-որ (Նե) շրջակայքում,
7/1 Փանկցիան 2-րդ կարգի ողով Է (դ Հ Շ( 40), նց կետր

(18 Փոանկցիայի արացիոնար կետ ե այսինքն` «ի(ն/) Հ 0: Բացի այլ`
նր կետում (է ֆունկցիայի 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալները

եշանակենք
այ 19109 .յ-բր
7 ժուծոյ ` ' Մ
ն դրանցից կազմենք

Օ Հ Օ(մու, ոշ... .ժոր) Հ «/(ԱՍ) Հ Ֆ` այձումոյ (2.14)

2-1
Քառակուսային ձեն իր 4ԴՀ-(այ) մատրիցով:

7 Եթն Օ քառակասային ձեր դրական որոշյալ ե ապա նլ կետր (11)
ֆունկցիայի (խիա) լոկալ մինիմումի կետ Է հլ - Պու Է

2) Եթե Օ քառակուսային ձեր բացասական տրոշյալ է ապա նլ կետր
(10 ֆունկցիայի (իփար) լոկալ մաքսիմումի կետ Ը մմց - մու մ

3) Եթե Օ քառակուսային ձնր նշանավովս (նշշանաանորմշ) է ապա նն
կեվվ. (1 ֆունկցիայի լոկալ էքարրեմումի կեպ չէ:

4) Եթե Օ քառակուսային ձեր կիաաորոշյալ եէ ապա արույգ ոչինչ ասել
չենք կարո. ը կետր կարլ է ինչպես -ի էքարրեմումի կեր
լինել, այնպես կլ չլինել (ուրեմն` այս դեպքում կպահանջվի լրացուցիչ
հետազովում) :

Կիրառելով Թեորեմ 2.7-ում եերկայացված Սիլվեստրի հայտանիշը՝ կարելի
է ձնակերպել այդ հայրանիշով արտահայտված էքստրեմումի բավարար պայ-
մանը:
Թեորեմ 2.9. Դիցութ 1(ո29....,29) կետի ինչ-որ (10) շրջակայքում

(18 ֆոանկցիան 2-րդ կարգի ողով Է (1 Հ օՕ( (Ան). նր կետր
(11 Փոնկցիայի ավացիոնար կեւր է այսինքն /(մմ) - 0: Բացի

այղ՝ 11 կեվոսմ (մ) Փունկցիայի 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալները
եշանակենք
դա
ան ժ.-, ժո, ՛

ն դրանցից կազմենք 4 - (ոյյ) մատրիցը:

ե)Հ- Լո,

7) Եթե 4 մարրիցի բոլոր անկյունային մինորները դրական են

ՃՃլ » 0, Ճշ» 0, /Ճ4 » 0, --- ,(ՃՃՀ»0, (2.15)

ապա 1 կետր (1) ֆունկցիայի (իփար) լոկալ մինիմումի կետ է՝
71 - Սր ուո -

2) Եթե 4 մատրիցի անկյունային մինորները նշանահերթավուխ են,
ոնդ որում` առաջին մինորը բացասական է, այսինքն՝

Ճլ Հ 0, Ճ'Ճ2»Ֆ0,. /ՃգՀ0, -:: , (-1)"4Խդ » 0, (2.16)

ապա 1/ց կեվա. (11) ֆունկցիայի (իփապ) լոկալ մաքսիմումի կեր
է 71 - Սլո» -

3) Եթե Օ քառակուսային ձնր նշանավովս (նշշանաանորմշ) է ապա նն
կեվվ. (1 ֆունկցիայի լոկալ էքարրեմումի կեպ չէ:

4) Դիցուք տեղի ունի կիսառրոշվածության պայմաններից որնէ մեկը՝
Ճ Հ0 ՃչՀ0. Ճ:Հ0, -:- ,/Ճ:Հ0, (2.17)
կամ
ՃՃՀ0, 'Ճ220, Ճ:ՀՅՑ -:- ,(ԸՎՀ)ԿԽ Հ 0, (2.18)

ընդ որում՝ գղյություն ունի զրոյական անկյունային մինոր ՀՎՃ-Հ-
0 ինչ-որ Ի-ի համար: Այդ դեպքում ավույգ չինչ ասել չենք կարող.
1/օ կետր կարող է ինչպես |-ի էքատրեմումի կեպ լինել, այնպես էլ
չլինել (ուրեմե՝ այս դեպքում կպահանջվի լրացուցիչ հերազուրում)

Տ) Եթե 4 մատրիցի անկյունային մինորները բավարարում են (2.15),
(2.16), (2.17), (2.18) պայմաններից տարբերվող մեկ այլ պայմանին,
ապա մօ կերը (18 ֆունկցիայի ըկալ էքավմաեմոմի կետ չէ:

Նկատենք, որ Թեորեմ 2.9-ը ո-չափանի դեպքի վրա է տարածում երկու
փոփոխականի դեպքին վերաբերող Թեորեմ 1.7-ը, որում մասնակցում էին
անկյունային մինորներից առաջին երկուսը միայն:

Օրինակ 16. Փգրնենք

սԿՀ)ԱՌՀ)աս.»2թ2- ոյ-Էջոչ- ԷՄ 22 3-5:

ֆունկցիայի էքափրեմումները: Նախ նեկատեեք, տր ֆունկցիան անվերջ
դիֆերենցելի է ամբողջ որոշման տիլոսյթում, ի Շ ՇՀ(Ք), ն դիֆերենց-
ման հետ խեղդի ր առաջանալ չի կարող: Գտնենք ֆունկցիայի ափացի՛ո-
եար կորերը, իսկ դրա համար կազմենք ն լուծենք հետնյալ համակարգը՝
7 -4:--2--0
Խ--ո-1-Ի3յ -0
-Չ8- 2-0:

Լուծելով համոզվում ենք, տր համակարգե ունի միայն երկու լուծում`

12 1 1 11
նի |-,-,-- նք |լ--,--,- |:
(3. ). ( գ: 23)
Սրանք | Փոնկցիայի արացիոնար կամ էքարրեմումի հնարավոր կետերն

են: Այժմ անցնենք Փֆունկցիայի էքավրեմումի բավարար պայմանների
ավմնգմանը: Հաշվենք | ֆունկցիայի 2-րդ կարգի մասնակի ածանցյալները՝

հ - 4 հյԱ)--ն
ԽԱՌ Հ- 67 ի. Հ2
Ք.Ա Հ5, հ. Հ 0:

Կազմենք ) Փսեկցիայի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը ն դիտարկենք այն
Դր պես քաշակուսային ձե,
«710 - ԽԱՌ ճո՞ Է ԽԱՌ Է ԱՄ) 42-Է
Իշի (11) ծոյ Է 2.18 մո մշ ԺԷ 2յխ.(18) մշ -
- 4մո՞ Է 6յմՄ- Է 202- - մոմ Է 4մ» մ»,

4 -1 2
դրի մատրիցը կարանա հերնյալ տեսք 4Հ4ԱՌՀ | -1 6 0
2 0 2

Հետազոտենք եախ նիլ (1. 2, -1) ավփացիոնար կետի էքափրեմումի
բավարար պայմանները: չՔառակասային մ2)(ն1). ձնի մատրիցը նր

կերում կրեդունի հերնյալ տեսքը՝

4 12
40) ի 1 4 0
2.02
Հաշվենք 4(1/լ) մատրիցի անկյսնային (գլիավոր) մինորները,
1 զ 4 12
Ճլ-4»0. ՃՀ Ի ո»ս Ճ-|-1 4 0|-14»0:
ը 20.52

(2.19)
Քանի որ 4(Ահ) մատրիցի անկյունային բոլ մինորները դրական
են. ապա համաձայն Թեռրեմ 29-ի ձող կետր | ֆունկցիայի լոկալ
մինիմումի կեր Է նիողՀ- հի:

Նշենք, որ (2.19) պայմանները, այն Է 4(նի) մատրիցի անկյունային
ոլոր մինների դրական լինելը րար Սիլվեսվրի հայվանիշի (Թեորեմ
27) նշանակում ե որ 4(Ն1ի) մավղփցը կամ նրան համապատփասիանուլ
Քառակուսային մ2(1ր) ձեր դրական որոշյալ են, ինչը համաձայն Թեռ-
տեմ 28-ի նույնպես հաստատում ե որ նի կետր | Փունկցիայի լոկալ
մինիմումի կեր Է նիողՀ- հի:

Այժմ հետազուտենք 1 (-3, -Տ, 3) ատփացիոնար կետի էքսփրեմումի
բավարար պայմանները: Քառակասային մ2(ն1 ձնի մատրիցը 1

կերում կրեդունի հերնյալ տեսքը՝

4 -1 2
2 0 2

Պաշվենք 4(1/2) մատրիցի անկյսնային (գլիավոր) մինորների

4 լ 4 -1 2
Ը-Թ" Ճ:Հ| -1 -8 0|--14Հ0:

Ճլ-4»0, Ճշ-
-1 -Ց
2 0 2

(2.20)
(2.20) պայմանները մատնանշում են, որ 4(Ն2) մատրիցը ոչ նշանա-
դրոշյալ ե տչ էլ կիատվածշյալ ն չի բավարարում Թեռրեմ 29-ի 1)-4)
պայմաններին, այլ բավարարում է Թեռրեմ 29ի 5)-ոլ պայմանին,
ինչից եզրակացնում ենք, ոլ. 1 կեփր էքափրեմումի կեղ չէ:
Նայն եզրակացությանը կարելի է հանգել, եթե դիտարկենք մ /(նն)
Քառակուսային ձել,

Ան) Հ հւ Աջ) ճո ԺԷ Աշ) Մ" Է 2) 5"
Ի 212) «մյ -Է 2 մշ) ժո մ» Է 2յխԽ.(Ն2) մյ մշ -
մըշ --3ժյ՛-Է 202-200 4մոմ»:

Ցույց վանք, որ մ2)(ն2շ) քառակուսային ձեր նշանափոխ է: Իսկապես,
եթե վերցնենք մՍ-մ2Հ-0 ն մ«70, ապա կսրանանք (մչ/(ն:) -
4 մ27 » 0: Իսկ եթե վերցնենք մ: --մչ-0 ն Խ»0. ապա կարանանք
ճ27(12) Հ -3ճյշ Հ 0: Քառակուսային մշ (նշ) ձնի նշանափոխությունը
րատ Թեռրեմ 28-ի՝ դարձյալ ցույց է տալիս, որ նն կետր էքարրեմումի
կետ չէ:

Գլուխ 3

Ֆունկցիայի պայմանական
(հարաբերական) էքստրեմումները:
Լագրանժի մեթոդը

Նախորդ գլուխներում քննարկված էքստրեմումի կետերն անվանում են լոկալ,
բացարձակ, սովորական կամ ոչ պայմանական: Ի տարբերություն դրանց՝
այս գլխում քննարկվող պայմանական (կամ հարաբերական) էքստրեմումի
կետերը պետք է բավարարեն որոշ լրացուցիչ պայմաններին:

3.1 Խնդրի դրվածքը երկու
փոփոխականի ֆունկցիաների համար

Պարզաբանենք պայմանական էքսփրեմումի հասկացությունը մի պարզ օրինա-
կով:

Օրինակ 17. Դիւրայկենք

2-5 - Մ1-:2-7՛

Փասնկցիան, որի տվոշման փիոսյթի 0: (Թ0յ: 2-7 ՀԼ փակ
միավոր շրջանն է իսկ գրաֆիկը վերին միավոր կիսասֆերան: Այս
ֆունկցիան արդեն հերազոտել էինք Օրինակ 1սմ ն պարզել, որ ի
ֆունկցիայի լոկալ էքափրեմումի միակ կերն է ալզբնակեպտի՝ լոկալ մաք-
սխիմումի կեվե Նիրո. Հ (0,0) : Սրանով լոկալ ն բացարձակ էքարրեմումի
խմլիրը լիովին լուծված է:

Այժմ մի փոթր այլ խելիր ձնակերպենք: Գվնել փվյալ ի ֆունկցիայի
էքափրնեմումնելրը տչ թե նրա ամբողջ Ս. որոշման տիրույթում, այլ Թ-ի
ինչ-որ ենթաբազմության վրա՝ ինչ-ու կորի կամ հարվածի վրա, օրինակ
գտնենք ֆունկցիայի էքափրեմումի կետերը ն էքախրեմումնեերը Ս Հ 1-
ալի այն հատվածի վրա, որն րնկած է ոլտշման տիրույթում: Ույղգի
հավասարումն արտագրենք համարժեք տեսթով՝

շա 5Վ-1Հ-0)| (.1)

րնե անվանում են կապի հավատապոսմ: Էքափրնեմումի դրված խեղլիրը
կարճ կարելի է ներկայացնել այսպես՝

)(01)-Պ1-32-17 -» Փե.

(3.2)
ՓԹՍ)ՀՀԷՍ-1Հ-0

Ուրեմն՝ մեր նպափտակե է լուծել պայմանական էքարրեմումի (32) խմոլի-
որ (31) կապի հավասարման առկայության դեպքում: Իսկ (2) խեդրի
ակնկալվող լուծումնեերը` որպես 8 հարթության կերեր կանվանենք
արայմանական էքարգմոնանի կերեր (ոն) Հ 0 կորի վրա կամ (1.1)
կապի հավասարման դեպքում:

Նկավւենք, ւր եթե շաց) -0 կորը անցներ բացարձակ էքարրե-
մումի կետով, ապա այդպիսի պայմանական էքափրեմումի կետր կհա-
մրեկներ բացարձակ էքատրեմումի նորու - (0,0) կերի հար: Սակայն
(32) խնդրի Օ.1) կապի հավասարման կորը չի անցնում սկզբնակետով
ն ուրեմե՝ ունենա պայմանական էքափրեմումի այլ կորեր:

Քանի որ մենք փիատրորեն դիվմարկում ենք ոչ թե ամբողջ Է ֆՓանկ-
ցիան, այլ միայն երա նեղացումը (ո, Ս) Հ «ԻՍ-1Հ- 0 ուղղի վրա, ապա
(32) իւնդիրը հեշտությամբ կլուծվի, եթե անմիջականորեն տելադրենք
կապի Ս-1-:» հավասարումը | ֆունկցիայի րանաձնի մեջ ն ձնակեր-
ենք առվորական էքափրեմումի իւեղի՛ր՝

(ոմ) ՀյԹա1-»ՑԹՀՎ/1-:2-0ՄԱ- 2 Է-» օչե., 1 Շ 0, 1|:
Ս-1-

Ստացված միաչամի ն առվորական էքափրեմումի խեղդիրն արազ լուծվում

է սառվորական ածանցյալի միջոցով՝

)(1-»Հ /1-ո2- (1-2 - «/2"Ա - »), Հոու Էջ:

Այատեղից էլ արանում ենք, որ (3.1) կապի հավասարմանը բավարարող
Միու Հ (2. 2) կետը միակ պայմանական էքարրեմումի (մաքսիմումի)

կետն ե իսկ պայմանական մաքսիմումի արժեքը կլինի իու Հ )(5:5)Հ

52.
25:

Ինչպես տեսանք, պայմանական էքստրեմումի խնդիրը հեշտությամբ լուծ-
վեց կապի հավասարման անմիջական տեղադրմամբ ֆունկցիայի բանաձնի
մեջ: Սա հնարավոր եղավ առաջին հերթին կապի հավասարման պարզության
շնորհիվ, երբ յ-ը բացահայտ արտահայտվեց 2-ի միջոցով յ - ,յ():

Եթե շ(ո,յ) - 0 կապի հավասարումը թույլ է տալիս մի փոքր ավելի
ընդհանուր սլայաւմեվրական ներկայացում,

1 - Տ(լ)
Չ(ոյ) -0 Հ-» ե0ՀԱՀԵե,
ս-Ս()

ապա անմիջական տեղադրման եղանակը դեռնս հնարավոր է: Ստացվող

ՀՄՐ), 0) Է» ե. .ԽՀԱՀԱե. (3.3)

ֆունկցիան կախված է միայն մեկ է անկախ փոփոխականից ն դարձյալ պայ-
մանական էքստրեմումի (3.2) խնդիրը հանգում է (3.3) սովորական էքստրե-
մումի խնդրին:

Ավելի բարդ դեպք ենք ունենում, երբ (2, յ) - 0 կապի հավասարումից
չենք կարող 2: ն Ս փոփոխականներից մեկը բացահայտ արտահայվել մյուսով,
կամ համարժեք պարամետրական հավասարումներով ներկայացնել: Դարձյալ
ենթադրում ենք, որ (2, յ) - 0 կապի հավասարումը որոշում է մեկ փոփոխա-
կանի յ - (2) ֆունկցիա, որն արդեն իրենից կներկայացնի անբացահայվ
ֆունկցիա,

Չ(ո.պ)-0 Հ» Ս- պը) անբացահայտ ֆունկցիա :
Թեն ց - Ս(2) ֆունկցիայի բացահայտ տեսքն այժմ չունենք, այնուամենայնիվ
ձնականորեն կարելի է այն տեղադրել 2 -- /(ո, Ս) ֆունկցիայի մեջ ն համարել,
որ հարցը բերվում է մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի սովորական էքստրեմումի
հետազոտմանը՝
2ՀՄ(.յ()) -» Փե. ՕՀՃՀալ: (34)
Հետազոտումը շարունակելու համար պահանջվում է (3.4) բարդ ֆունկցիան
ածանցել (բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնով))՝

ՀԷ ԽՍ. (35)

Այստեղից էլ կարիք է առաջանում հաշվել յ) - Ս(») անբացահայտ ֆունկցիայի
ածանցյալը, ինչը կարելի է անել անբացահայտ ֆունկցիայի ածանցման հայտնի
բանաձնով կամ անմիջականորեն ածանցելով շ(2, յ) - 0 կապի հավասարումը

ըստ 2-ի՝ համարելով, որ Ս-ը կախյալ է 2-ից՝
4
0--- Չ(ո (ո) ՀՓ.-Փյ»: (36)

Լրացուցիչ ենթադրելով, որ Նշ 5 0, ստանում ենք անբացահայտ ֆունկցիայի
ածանցյալը՝

մՀ-Ցի 67)

Տեղադրելով (3.7)-ը (3.5)-ի մեջ, ստանում ենք (34) Հ բարդ ֆունկցիայի
ածանցյալը՝

Փ.
2Հի-խԽ-: (38)
(յ

Էքստրեմումի որոնումը պահանջում է, որ նախ ն առաջ պետք է գտնենք
ստացիոնար կետերը, ն ուրեմն՝ (3.8) ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի՝
«ՀՄԻ ԲՑ-0: (35)
յ
Այսպիսով պայմանական հնարավոր էքստրեմումի կետերը պետք է բավարարեն
(3.9) ն կապի հավասարումներին՝
/
Ո-Խա 2. ջշտդ-0: (3.10)
ս
Ստացանք հավասարումների համակարգ, որը կարելի է ներկայացնել ավելի
հարմար համաչափ տեսքով: Դրա համար ներմուծենք նոր օժանդակ պարամետը
2 ահ ի (3.11)
Փ Փ
որտեղ (--) նշանը պարտադիր չէ ն դրված է զուր տեխնիկական հարմարության
առումով: Օգտվելով Ճ պարամետրից, (3.10) համակարգը արտագրվում է
այսպես՝
մ(ոց) Է 2Փ.(ո) Հ 0
ԽՈՍ) -Է 26յ(60) -0 (3.12)
2(ոց)-0:
Այսպիսով (3.12) համակարգը տալիս է /(ո,յ) ֆունկցիայի պայմանական
էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը (2, Ս) - 0 կապի հավասարման դեպ-
քում: Հիշենք, որ մենք փորձում ենք լուծել

(ո) --» օն. 0.3)

(ո) -0

պայմանական էքստրեմումի խնդիրը: Կազմելով ն լուծելով (3.12) համակարգը՝
մենք կստանանք պայմանական հնարավոր էքստրեմումի բոլոր կետերը (ստա-
ցիոնար կետերը), որոնցից դեռ պետք է ընտրենք իսկապես պայմանական
էքստրեմումի կետերը:

(3.12) համակարգին ավելի ամփոփ տեսք տալու համար կազմում են հե-
տնյալ օժանդակ ֆունկցիան՝

եաե» 5)6ա/73322 (օօ. 468 08)

որտեղ (2, Ս) կերը փոփոխվում է իր (որոշման) ք. Շ 8 հարթ տիրույթում,
իսկ Ճ-ն անորոշ պարամետրը է:

Սահմանված 1, ֆունկցիան անվանում են Լագրանժի ֆունկցիա, Ճ պարա-
մետրը` Լագրանժի բազմապատկիչ կամ Լագրանժի անորոշ գործակից, ն
առհասարակ պայմանական էքսփրեմումի նկարագրված եղանակը անվանում
են Լագրանժի մեթոդ:

Հեշտ է տեսնել, որ (3.12) համակարգի բոլոր երեք հավասարումների ձախ
մասերը Լագրանժի 7, ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներն են՝

/(ուց) Է 2Փ.(ո:) Հ.0 1ւ(ոց.2)-0
Խ(ոց) Է 26) -0 Հ-» ը(ոց.2)-0 (3.15)
Չ(ո,յ)-0 2(ոյ.7)-0։

Մենք փաստորեն ապացուցեցինք պայմանական էքստրեմումի անհրաժեշտ

պայմանը, որը Լագրանժի ֆունկցիայի միջոցով հետնյալ ձնակերպումը կստա-
նա:

Թեորեմ 3.1. Դիցուք Հ - (ոս) ն (յ) Փանկցիաները որոշված են ն
ողորկ են Օ Ը 1 տիրայթում. (ո), շ(ույ) Հ Շ՛(Ջ). ն ՊԽ(ոօ: 10) ՕՁ
կետր ի-ի պայմանական էքարրեմամի կետ է շ(ո, յ) - 0 կապի հավա-
սարման դեպքում: Բացի այդ, ն(ացյց) կեվոսմ (յ) ֆՓսնկցիայի
գրադիեեվլ զրոյական վեկվուր չե այսինքն՝ Փ.(ոց, Սց) ն (ոց, 0) ածան-
զյալները միաժամանակ զրո չեն:

Այդ դեպքում գոյություն ունի ձց Շ Ճ արժեք այնպիսին, որ (ոց. Սց, 70)
եռյակը բավարաում է (3.15) համակարգին, այսինքն Լագրանժի ն
ֆունկցիայի ատփացիոնար կետ է:

Բնականաբար պայմանական էքստրեմումի (3.16) խնդիրը լիովին լուծելու
համար մեզ անհրաժեշտ կլինի ստանալ պայմանական էքստրեմումի ոչ միայն
անհրաժեշտ, այլ նան բավարար պայմանները: Լագրանժի նկարագրված մե-
թոդը այնքան արդյունավետ է, որ թույլ է տալիս այդ բավարար պայմանները
ամփոփ ձնակերպել Լագրանժի ֆունկցիայի տերմիններով: Հիմնական միտքը
հետնյալն Է՝

(5, յ) ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի խնդիրը համարժեք է
7-ի Լագրանժի ֆունկցիայի սովորական լոկալ էքստրեմումի խնդրին:

Այժմ ավելի ճշգրիտ ձնակերպենք պայմանական էքստրեմումի բավարար
պայմանը:
Թեորեմ 3.2. (Պայմանական էքատրեմումի բավարար պայմանը)
Դրված է 2-րդ կարգի ողորկ (ո) ֆունկցիայի պայմանական էքս-
փրեմումի խնդիրը օ(ո, Ս) - 0 կապի հավասարման դեպքում, այսինքն՝

(ո) --» օն. (16)

շ(ո) Հ0։

Դիցուք նլ(ոօ Ս) կեվր ինչ-որ 7 - շը արժեքի դեպքում (ոս) Փսնկ-
ցիայի Լագրանժի ն(ոց) Հ են.յ.1) Հ )() Ճ7(.յ) ֆանկցիայի
Կտացիոնար կետ ե այսինքն ձե(ոց, Սց) 0, կամ

ժ.(ոօ, 0) -Է 202(աօ, 00) - 0

Մ, (605 10) -Է Ճ0.(80,10)-0 0.17)

2(80:99)-0:
Կազմենք Լագրանժի ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալը (ոց, 0)
կերում՝

մշ Ն(ոց, Սօ) - անել Սօ) ձո՞ ա 21 (ոց: Սօ) ձո ձՍ ա Նոել Սօ) ժյ՞ :

1) Եթե «շե(ոց)-0 յովոր «մում դիֆերենցիալների (աճերի)
համար, լանք միաժամանակ զրո չեն ն բավարարում են կապի
դիֆերենցված հավասարմանը՝

(Էմ 70. |(տնօաո)մո Է Փաս .ա«Խ-0. 18

ապա (ոց: Սց) կեմ. ի ֆունկցիայի (իփար) պայմանական մինի-
մոաւմի կետ Է հլո(ոց: 0) - Պոտ. Փ(ոց) - 0 կապի հավասարման
Դեպքում:

2) Եթե «շՆ(ոց ց) ՀՕ բաո Կ մոմ դիֆերենցիալների (աճերի)
համար, լանք միաժամանակ զրո չեն ն բավարարում են կապի
դիֆերենցված հավասարմանը՝

մո՞ Էզ 70. Փ(ոցՍ0) մ: -Ժ (ոց, 10) «Ս - 0.

ապա նն(ոօ, Ս0) կետր Փոռւնկցիայի (իփար) պայմանական մաքսի-
մումի կետ Է Ն(ոց,10)-- Խիո. ՓԱՍ) Հ 0 կապի հավասարման

Դեպքում:

3) Եթե «շՆ(ո, յ) ելմրովալ կարգի դիֆերենցիալը նշանավավ է (րնդս-
նում է դրական ն բացասական արժեքներ) մոմ դիֆերենցիալ-
ների (աճերխ) Ժայն (3.18) սաւմանափակումների ներքեւ ապա
նր(ոօ10) կեվլ ֆունկցիայի պայմանական էքափրեմումի կետ
չէ:

4) Եթե «շե(ոց,10)Հ-0 կամ ճմշն(ոց,)ՀՇ երբ մոմս դիֆերեն-
ցիալները (աճերը) բավարարում են Խոյն (.18) աստմանափա-
կումեերին, ապա արույգ ոչինչ ասել չենք կարլ. ՆԽո(ոօ, Սց) կետր
կարող է ինչպես ||-ի պայմանական էքափրեմումի կետ լինել, այն-
պես էլ չլինել (ուրեմն` այս դեպքում կպահանջվի լրացուցիչ հետա-
զովում):

Այսպիսով` ինչպես լոկալ էքստրեմումի դեպքում էր (տես Թեորեմ 1.6),
այժմ պայմանական էքատրեմումի դեպքում նս երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը
(Լագրանժի ֆունկցիայի) տվյալ ստացիոնար կետում որոշում է պայմանական
էքստրեմումի առկայությունը:

Քննարկենք մի քանի պարզ օրինակներ, որոնցում պայմանական էքսփրե-
մումները հիմնականում կորոնենք անորոշ բազմապատկիչների Լագրանժի
մեթոդով:

Օրինակ 18. Մենք արդեն Օրինակներ 2 ն 7-ում քննարկել էինք

2Հյրը5Իտ 8Թ2-թի,

ֆունկցիան (էլիպտական պարաբոլի) ն պարզել որ հիա Է (0,0)
ռկզեբնակերը ի-ի բացարձակ մինիմումի կար է:

Այժմ ձնակերպենք բոլորովին այլ պայմանական էքափրեմումի խեդիր
Փ(.Ս)Հ-2ԻՄՍ-1Հ-0 կապի հավասարման դեպքում,

(ու) -ոՒտ -» Ժե.

ա Ցաիյ-1-0:

(3.19)

Պայմանական էքափրեմումի այս խմոլլփ ամենակարձ ն հասկանալի
եղանակը թերնես Ս - 1-2 կապի հավասարման անմիջական տեյղա-
լումն է ն մեկ փոփոխականի |(ո1- 5) ֆունկցիայի սովորական էքս-
րրեմումի հետազոտումն է: Թոոլեում ենք աս րեթելրցուլին, որպես վար-
ժություն:

1ւծենք (3.19) խնլիրը Լագրանժի մեթոդով, որպեսզի ցույց վփւանք՝
ինչպես է այն գործում: Կազմենք |-ի Լագրանժի ֆունկցիան՝

ետ -)(.-Է 22:77 ՎՀաՀցյ-ՆՍ 27ՇԽ

7լւրեղ Ճ-ն Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչ (գործակից) է: Նախ
գտնենք Լագրանժի Ն(., Ս) Փսնկցիայի ստացիոնար կետերը: Դրա հա-
մար կազմենք ն լուծենք հետնյալ համակարգր

16.272) -25-Ի7Հ-0
նյո յ,2)-2ՍԷՃ-0 (3.20)
1:(2.0Խ2-»ՀՎցՍ-1Հ-0:

Պամակարգի 1-ին ն 2-րդ հավասարումներից հեշտ է տեսնել, որո»Հ- Ս,

ինչից արանում ենք

ՃՀ-1

2ՀՍՀշ:
Այսպիավ՝ նո(3,5) կետը Լագրանժի ն(ուց) Փսնկցիայի միակ ատա-
ցիոնար կետն ե կամ (319) խնդրի պայմանական հնարավոր էքավրե-
մումի միակ կետն է: Այժմ ափոսգենք պայմանական էքափրեմումի րա-
վարար պայմանը: Ճաշվենք Լագրանժի ԷՐ». ց) ֆունկցիայի 2-ի կարգի
դիֆերենցիալը Նո(2: 3) կեվում.

11
ը (ո.ս)-ջ, "(Տ -|-շ,
11
հայոց) - 0, նոյ . չ) - 0,

11
դ.) - 2, ե, ( ) - 2,

1 1 1 1 1 1 1
» Վ. 7" շ- 7 ո՞վ - 2.
ճո») ը" Շ. չա 21" ,Ե չ) ազմո |ջջ| մս

- 2մո՞ - 2մյ չ- 0. երի մո Է մյ 70: (.21)

Այոլեն ստացանք, որ Լագրանժի ֆունկցիայի 2-յդ կարգի դիֆերենցիալը
խփստ դրական է, երը մոշ ճա 7 0, ինչից րար Թեռրեմ 32-ի հետմոսմ է
որ նն(2.3) կերը /-ի (խիար) պայմանական մինիմումի կետ Է նոր -
ն(1. յ) կապի շ()-0 հավասարման դեպքում:

Նշենք, տր Թեորեմ 32-ը պահանջում էր նան հաշվի առնել կապի

(3.18) դիֆերենցված հավասարումը՝
Փո(10: 00) ժո ա (ց, Ս0) ժյ - 0, կամ ձ:: Ւ ձյ - 0,
ինչից արանում ենք

11
ճ21, (ոջ) շուշտ -463-0 երբ մո» 0,

հայն եզրակացաթյամը՝ նն(5. 3) կետը /-ի (խիա) պայմանական մի-
նիմումի կեմ է նուա - ՆԵ(:5, կապի շա. Հ-»ՀՍ-1Հ-0
հավասարման դեպքում:

Օրինակ 19. Դիւրայկենք

«ՀՀյարՑՏպ1-Թ-յ

Փասնկցիան, որի տվոշման փիրոսյթի 0: (Թայ: 2-7 ՀԼ փակ
միավոր շրջանն է իսկ գրաֆիկը վերին միավոր կիսասֆերան: Այս
ֆունկցիան արդեն հետազոտել էինք Օրինակ 1-ում լոկալ էքավրեմումի
առումով ն Օրինակ 17-ում պայմանական էքարրեմումի առումով Փ(ո, Ս) -
2-ԷՍ--1 Հ 0 (կապի հավասարման դեպքում: Վերջին լեպթում անմիջական

տեղադրման ն վփուվախականի արփաքնսման եյլանակով պարզել էինք,
որ Մրո» Հ (5:5) կեվլւ պայմանական մաքսիմումի կետ է:
Այժմ նույն պայմանական էքափրեմումի խեոլի՛որ
(2) «Ժ1-2- Աշ Է-չ ՇՃԵԼ.
ոյ (322)
Փա) Հ»ԻցՍ-1-0
լուծենք Լագրանժի մեթողով, որպեսզի ցույց վանք ինչպես է այն գործում:
Կազմենք |-ի Լագրանժի Փֆունկցիան՝

եյ) Հյ) Է 22. Հ-Մ1-52-7-2Թա-ԻՍ-1) 168,

ն(ոյ.1)- թթ Հ- 6
-Ս

նա. .2-»Ից-1Հ0:
Պամակարգի 1-ին ն 2-րդ հավասարումներից հեշտ է տեսնել, որո»Հ- Ս,
ինչից արանում ենք

Էջ ը 12-Ը /2
ՄՊ-ա-թ Ր: շո 2-57
1-0 : ։
-- -- : Ե --.: -- -. -:'
ԻՃ : 5 Ն-՛Ս 2:

Այսպիսով Նն(2.2) կեվլւ Լագրանժի Նո. յ) Փանկցիայի միակ այա-
ցիոնար կարն է կամ (3.22) խնդրի պայմանական հնարավոր էքավրե-
մումի միակ կետն է: Այժմ ավոսգենք պայմանական էքավրեմումի բավա-
հար պայմանը: Հաշվենք Լագրանժի եո) ֆունկցիայի 2-ի կարգի
դիֆերենցիալը 1.(2.5) կետում.

2
ը" (է: ԹՀ. ՖՆ «1 ւ 342
թաւ» (1-ո3- լթթռ՝ ռո 122 շ:

- 11 2
թատ կթ վր»

(1-2 լթ3Թ2/ 22 2`

2-1 11 3/2
հ յաՍ)----ջ- ՅԿ է, ( ) ---շ-Ա

(1-2 -.յթ3Թ' 22 շ
1 1 1 1 1 1 1
Հել .-|-ր/ ձո շի, մոմ 1" ձ
ե). ե)յ ոճե յո" «(2)"-
2 /2 ԽԴ յ
4-22

ջոց ----
- տ (3 մո Է 2: մյ ա : (3.24)

Ճերնելով Թեորեմ 3.2-ի պայմաններին՝ պահանջենք, որ (5, 2) տա-

ցիռնար կեվոսմ կափարվի կապի դիֆերենցված | շն) -0| հավա-
սարումը, փենս Օ.18),

ձն) - Փե) ժ2 ԺԷ ՓԱ.) մյ - ոԻճՍ-0 Հ-» ձ: - -ճՍ:
Տեղադրենք աճերի այս կապը 2-րդ կարգի (524) դիֆերենցիալի մեջ՝

11 շ
21 է ) ` Ք (34»՞ Է 24ոմյ Է 3մյ՞) -

Ն Պ2 2 2 2 2 |

- -- (34: 262 ԷՅ) - 24/2 մոշ Հ 0, երի մա »0:
Քանի որ Լագրանժի Փասնկցիայի 2-րոլ կարգի դիֆերենցիալը խիար բա-
ցասական Ի «չն ե 0.) Հ0 եր մ. 0, համաձայն Թեռրեմ 32,
2)-ի՝ նն(5:25) կորը /-ի (իվավ) պայմանական մաքսիմումի կեր է
Պրոու Հ Նե(32:2, կապի շո) -0 հավասարման դեպքում, ինչը
ն ւվահանջվում էր ապացուցել:

Դիտողություն 3.1. Եթե, 1/(ո0, 0) կետում | Փանկցիան լոկալ էքավփրե-
մում ունի, ն բացի այդ նկ կետով անցնում է ինչ-որ ուղիղ կամ որնէ
անրնդհատ Լ կոր, ապա միանգամայն պարզ ե որ | ֆունկցիան նույն

նր կերում կունենա նան պայմանական էքափրեմում, երբ կապի հա-
վասարումը Ը կորով է արտահայտված: ՝Պետաքրքիր ե տր որոշակի
խմասվփով հակադարձ պեղումը ախալ ե եթե սաահմանատփակվենք էքս-
րրեմումի կեփով անցեող ուղիղներով միայն: Բերենք համապափան-
խան օրինակ:

Օրինակ 20. Առլացուցենք, ոլր սկզջնակետում

2-յ55Թա-ո2-3Յ3

Փունկցիան էքափրեմում չունի, սակայն երա. նեղացումը ցանկացած
Ս Հ Իռ ույղի վրա նույն կետում էքարրեմում արդեն ունի: Պաշվենք՝

շն
2. ՀՀՀ -3)- Կ(յ-«)-0 «(29 - Յո) -0 ո-0
-Ա-ՅԴՀԱ-«Դ-0 յ -Զո՞ ս-0:

Ուրեմն` (0, 0) սկզբնակեվո (ո, Ս) Փոռնկցիայի միակ ափացիոնար կերե
ե սակայն էքարրեմումի կետ չե այլ կերպ ասած է-ի թամբակեր է:
Իսկապես, (0,0) - 0, ն եթե (0,0) կերի շրջակայքում վերցնենք (0, Ս),
Ս»:0 փմաքի կետեր, ապա ֆունկցիան դրական Է (0. յ) - յ »0: Իակ
եթե (0,0) կեւրի շրջակայթում վերցնենք (ո. Չո), տ 7 0, տեսքի կերեր,
ապա ֆունկցիան բացանական է

7(ո.Չո») - (2ո- -- ո)(22- -- Յո) - -ը՛ Հ 0. երբ «Հ0:

Այսպիսով՝ (0,0) սկզբնակետը թամբակետ է, էքավրեմումի կեր չէ:

Մյուս կոլմից, եթե դիտարկենք (0,0) կեվփուվ անցնող կամայական
Ս-Հիո ՇԽ աղիոլ ապա ու նեեղացոււմն արդեն էքափրեմում
կրոնենա (0, 0) կեվոսմ: Իսկապես, սկզբում դիտարկելով |-ի նեղացումը
1 առանցքի վրա՝ համոզվում ենք, որ (0,0) կետր պայմանական (խիսվ)
մինիմումի կե: Է

յ «- )(8,0)- 4:27. իու Հ (0,0):

72,

Դիտարկելով ի-ի նեղացումը Ս առանցքի վրա. համոզվում ենք, որ (0, 0)
կետր նույնպես պայմանական (խիսվ) մինիմումի կետ Ե

ո՛ւ - (0, յ) - ց, Մոտ Հ (0, 0):

Այժմ դիտարկենք ի-ի նեղացումը ց - իջ, հ» 0, ուղղի վրա: Տեղադրելով
ատանում ենք մեկ փովովասկանի ֆունկցիա՝

ու Հ Ս(.հո)Հ- (Է -- ա՞)(Խո-- Յո) -Յո՞ - ձիր ի իս:

Էքարրեմումի առկայությունը ավուգենք 2-րո կարգի ածանցյալի միջոցով`
ճշ

4
-- ի: - 0 --- ի --2/)2-0
ՎԼ" 2) 5-0 ՛ Վ:շ աայ 5-0 ՛

ինչը նշանակում է որ Հ 0 կետր (ո, հշ) ֆունկցիայի խիար մինիմումի
կետ Է այսինքն՝ (0, 0) կեվոլւ (2, 1) ֆունկցիայի պայմանական մինիմումի
կեւտ է:

Օրինակ 21. Դիւրայկենք

ձ6

ՀՀ յ(ւ) Մոյ| 5»-0. յ»0,

ֆունկցիան տրված որոշման տիրույթով, այն է՝ կոորդինավական հար-
թության առաջին քառորդը: Պահանջվում է գտնել | ֆունկցիայի մեծա-
2 2

լ
գույն արժեքը --Է՞- Հ կիպսի վրա, ավելի սվույզ, այդ էլիպսի

Ց 2
առաջին քթաուոլի աղեղի վրա: Առաջանում է պայմանական էքափրե-
2 2
մումի խեղդի կապի - ՒԷ 5 - 1-0 հավասարումւվ,
ՀՀ) Հոյ Է» ոթ. Ս»0,
ր 2 2 (3.25)
շա) -- Ր ԻԶ-1-0:

Պայմանական էքափրեմումի այս խեդիրը կարելի է լուծել ինչպես ան-
միջական «րեղադրման եղանակով, այլ թվում` օգվագործելով էլիպսի

պարամեփրական հավասմարումնելը, այնպես էլ Լագրանժի ըրնեիանուր
մելթողավ:

1-ի Խլանակ. Օգտվելով այն պայմանից, ր. ֆունկցիայի փուվփուխա-
կանները դրական են. կապի շո) - 0 հավասարումից բացահայտ
արտահայտենք Ս-ը 2-ի միջոցով ն տեղադրենք |) ֆունկցիայի բանաձնի
մե. Ս-ՍԱ)-18-ոն

ՀԶ»ն)-7(ւյա)- ջո (0Հ»ՀՉՉ):

Սրանով իւեդիրը հանգեց մեկ փոփոխականի -(ո) ֆունկցիայի սովո-
տական էքարրեմումի իւնդրխն: Էլ ավելի պարզեցնելով մեր գործը 2(ո)
ֆունկցիայի փոխարեն կարելի է քննարկել նրա քառակուսին (հատրա-
տունի ճշտությամբ)

9(») 467 (8 - 27) Է-5Ֆ որ 0ՀՀ 25/2,

Դր տեղից պարզ Է որ ֆունկցիան մաքաիմում ունի, երը «2 - 4. այսինքն՝
կեվում: Այն, տր սա իսկապես մաքսիմումի կետ ե ներնում
է թեկուզ այն փաստից, որ հատվածի ծայրակետերում ց(2) Փոնկցիան
զրո է իսկ ներաում՝ դրական է միակ արացիռնար «ՀԶ կելով:

1 Ր ՀՐ 1)
անի

Գծ. 9

Հաշվելով նան Ս(2) - 1 արժեքը, եզրակացնում ենք, որ (2,1) կարը

7(ույ) ֆունկցիայի պայմանական մաքսիմումի միակ կերն Է որտեղ ի-ն
ռեղունում է իր մաքսիմումը ն մեծագույն արժեքը,

կույ . ոռչյ( Հ խու- ԱԽ) -/2.1Հջ:

2-լոլ հոլանակ. Էլիպալր, որր. երկրաչափորեն կապի հավասարումն է
րալիս, ներկայացնենք պարամետրական փեսքւվ.

տ - (է) Հ 2"/2 «05է (ՀԵՀ):
յ ՀՍ( Հ /25Տու

Պարամեվփրական այս Փաւնկցիաները տեղադրենք (5, 1)-ի մեջ ն դրա-
նով իւնդիիը կբերվի մեկ վուվուխականի (1) Հ (02.90) ֆունկցիայի
առվորական մաքսիմումի իմոլրին՝

2 - «(Ս - /((). (3) - 4 օ5է Ջու 2 Ջոշ --» ոո». ն ՀԼՀ 2)

Հեշտությամբ գտնամ ենք (1) Փոսնկցիայի միակ մաքսիմումի կերր՝

1 տ տ
էլոոչ - գ Ե խնչից ետեւում ենք (1) - 2, յ(2) - 1, (ոց) ֆունկցիայի
պայմանական մաքսիմումի միակ (2, 1) կետը: Եզրակացությունը նույնն
է, ինչ եախույլ եղանակի դեպքում`

Մ/ոճչ - 1002. 1) ) ոո». / (ո, յ) - ոու - ան) - 702, 1) -2:

3-լոլ եղանակ. Այժմ պայմանական մաքսիմումի նույն (325) խնդիրը
լուծենք Լագրանժի մեթողով: Կազմենք |-ի Լագրանժի ֆունկցիան՝

2 2
ըն. 70 ա -ո2(1«5- դ) 16,

տլտեղ Հ-ն Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչ է: Իմիջիայլոց, Լագրան-
ժի ֆունկցիան կազմելիս, կարելի էր --1 վերջին զումարելին դեն նետել,

՛75

քանի որ դիֆելրենցելու ժամանակ հատտավփունը ւրնէ դերակատարում
չունի:

Նախ. գտնենք Լագրանժի ելո) Փանկցիայի արացիոնար կերերը:
Դրա համար կազմենք ն լուծենք հետնյալ համակարգը`

1
ոյ.) «1-0 »-պթ-0 զ,-1 (326)
2 ղռ
օո -ԻԶ-1-0 52 4յ -8 Ճ--Զ:

Այսպիսւվ՝ 112, 1) կետր Լագրանժի ԵՐ. Ս) ֆունկցիայի միակ արացիո-
նար կետե է կամ (325) իմոլրի պայմանական հնարավոր էքարրեմումի
միակ կերե է: Այժմ արուգենք պայմանական էքափրեմումի բավարար
պայմանը: Հաշվենք Լագրանժի 1(5. Ս) ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆե-
տենցիալը ՆԽ(2,1) կեվոսմ՝ նկատի ունենալով, որ 72 Հ -2,

7 1
է, -- է" (2.1)Հ---
ոա -Օ .0.1)--ջ.
ա - // --
նայ.) ա 1, 1, (2 1) Մ 1,
դյո. 0) - 2, ե, 1) - -Չ2,

1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
- անա Ի 26: գյ - 24. - -ջ (մո Ը Վզոմյ : 4մյ"| -
1 2
ՇՇջ (ո - 2ճակ : (3.27)

Տետնելով Թեորեմ 32-ի պայմաններին` պահանջենք, որ 1(2, 1) արա-

ցիռնար կեվոսմ կափարվի կապի դիֆերենցված | շն) -0| հավա-
սարումը, փենս Օ.18),

ի
ձշ(ո յ) - Փակ) ճո Փյ(ո9)41 - լգ ցն

1
ան / ա Ր Լ .
4շ(2, 1) - 6.2, 1) ո Է 62,1): - շ Է մՍ-0 ՀՀ /2Հ--2մյ|:
Տեղադրենք աճերի այս կապը 2-րդ կարգի (3.27) դիֆերենցիալի մեջ,
1 2 1 2
428(2,1)- -2 ե - շմ) Հ -շ (օո Հ-ԶԱՀՆՐՀ0. երբ ճմ.»0:

Քանի որ Լագրանժի ֆունկցիայի 2-յոլ կարգի դիֆերենցիալը խիար բա-
ցասական է «21(2,1) Հ0, երբ ճո 70, համաձայն Թեռրեմ 32. 2)-ի՝

ոն (2.1) կետր /-ի (փար) պայմանական մաքախմումի կետ է ն. -
Ն.(2,1),։ կապի օշ(ոս)-0 հավասարման դեպքում, ինչը ն պահանջ-
մում էր ապացուցել: Փունկցիայի մեծագույն արժեքր կլինի

ոու -ե2յ| . ոռչյ( Հ խու- ԱԽ) -/2.1Հջ:

Դիտողություն 3.2. Վերջին դեպքում պայմանական էքավրեմումի բավա-
տար պայմանը մենք ավուգեցինք շերհի վ Թեորեմ 3.2-ի: Տվյալ Փունկ-
ցիայի համար այղ փաստր բավականին ակնհայտ է առանց նշված թեղ-
րեմի: Իսկապես. էլիպսի կրված աղեղի (2/2. 0), (0/2) ծայրակեւրե-
յում: (դրանք էլիպսի կիսառանցքներն են) (ոս) - «Ս ֆունկցիան
հավասար է զրոյի, իսկ աղեղի ներտում Է|-ր միայն մեկ արացիոնար
կեր ունի: Քանի որ |-րբ դրական եէ ուրեմն` այդ ազացիոնար կետր
վերածվում է մաքսիմումի կետի:

Բերենք մի օրինակ տնտեսագիտության բնագավառից:

Օրինակ 22. Նշանակենք 2-ով կապիտալի, իսկ Ա-ով աշխատուժի միա-
վորների քանակները: Կապիտալի արժեքն է 3000 յամ յուրաքանչյուր
միավորի համար, իսկ աշիւարուժի արժեքը՝ 5000 դրամ յուրաքանչյուր
միավորի համար: Դրանցից կախված թււլարկված արտադրանքի քա-
նհակը ենթադրենք որոշվում է հետնյալ բանաձեվ

յատ 1206Մ6լԼ »»0. ց»0:

Տեփեսագի փությունում նման ֆունկցիաներն անվանում են -Քոբ'-Դագ-
լսուի սղսրադրական ֆունկցիա ն սովորաբար նշանակում են (Բ, ն)
րեսքթով:

Արտադրողը մտադիր է ներդնել 600 հազար դրամ: Քանի՞ միավոր
աշխավոսժ ն կապիտալ պերք է փեղաբաշխել, ոլպեսզի արտադրանքը
հասցնել առավելագույնի: Հաշվել արտադրանքի առավելագույն քանակը:

Լուծումը բերվում է պայմանական էքափրեմումի խաոլրին: Կապի տալի
ռեղդհանուր արժեքնե է 30002: յամ, իակ աշիւափուժի րոլիանուր արժեքը
5000: րամ: Ըար պայմանի` այդ միջոցների ըաղհանուր քանակը 600
հազար դրամ է: Այարե՛ղից արացվեց կապի հավասարում՝

50002: -- 50007 -- 600000 կամ Ց -Է5յ Հ 600,
ն առաջացավ պայմանական էքավփրեմումի իմեդիր՝
ա մաին Է-Ֆ ոո. 1-0,
(328)
շ(ը, յ)5 - ՅՅ - 600--0:

Խեդիրը լուծենք Լագրանժի մեթողով ն կազմենք ի-ի Լագրանժի Փունկ-
ցիան՝
ել. - (ւ 7) Հ120ո:577-2(Թ3»5փյ- 600), 4: Ի,

7լւրեղ Հ-ն Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչ է (4-ի նշանը էական չէ):
Գղրնեենք Լագրանժի ՆՐ. Ս) ֆունկցիայի ատացիոռնար կետերը: Դրա
համար կազմեեք ն լուծենք հետնյալ համակարգը

է(- թոն 1. 324-0 982 Ա5յ-3յ
նյ) - 90 յ65-52-0 24245 45-57
(յ) -3»Ի5յ-600--0 Յ»-Է5լյ Հ 600,
90.52 յ 248: Մ" ս-015» տ - 160
Յ2-Է5յ-- 600 Յ2--5յ - 000 Ս-ՉԶ4:

Այսպիաւվ՝ 110(160, 24) կեվ Լագրանժի ԵՐ. Ս) ֆունկցիայի միակ արա-
ցիոնար կարն է կամ (3.28) խնդրի պայմանական հնարավոր էքավրե-
մումի միակ կետե է:

Պայմանական էքափրեմումի րավարար պայմանը կարելի է ավուգել
Լագրանժի եր) ֆունկցիայի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալի միջոցով,
ինչպես նախորդ օրինակներում: Սակայն փվյալ օրինակում կարելի է
խուսափել ավել հաշվարկներից ն օգփվել ստացիոնար կետի միա-
կրոթունից: Իսկապես, պայմանական էքավփրեմումի (328) խեդրում |
ֆունկցիան հետազովվում է միայն 35--5Ս Հ 600 ուղղի 1-ին քառորդում
գտվող հատվածի վրա: Այդ հատվածի ծայրակետերսմ | Փոնկցիան
ակնհայտորեն հավասար է զրոյի, իսկ հատվածի ներսում` դրական Է

7(200.0)--0. 7(0.120) -- 0.
(ո. )»-0. երբ 35»-Է5յՍ-600. ոյ»0:

Տետնաբար տվյալ հատվածի 1/(160, 24) ներքին արացիոնար կետում
ֆունկցիան կարող է միայն մաքսիմում ունենալ, ինչից էլ գտնում ենք
) ֆունկցիայի պայմանական մաքսիմումի արժեքը՝

Պրո» - ՆԽ(160, 24),
ոո» - (նե) - /(160, 24) - 120(160)"5 (2415 « 13138:

Այսպիաւվ՝ արտադրողը պետք է տեղաբաշխի 160 միավոր կապիտալ
(այսինքն՝ 160 : 3000 -- 480000 րում) ն 24 միավոր աշիավմաժ (օրինակ
24 հոգու տրի ծախասր կկազմի 24. 5000 - 120000 րամ) որպեսզի
արտադրանքը հասցնի առավելագույնի: Այլ առավելագույն քանակը
կկազմի մոտավորապես 13 138 միավոր արտադրանք:

3.2 «Պայմանական էքստրեմումի խնդիրը երեք
փոփոխականի ֆունկցիաների համար

Երեք ն ավելի շար փոփոխականի դեպքում պայմանական էքսփրեմումի
խնդիրն ավելի բազմազան է ն ծավալուն, թեն խնդրի լուծման ընդհանուր
սկզբունքները չեն փոխվում: Կարճ նկարագրենք իրավիճակը ն բերենք հա-
մապատասխան Օրինակներ:

Երեք փոփոխականի դեպքում պայմանական էքստրեմումի խնդիրը կարող
է ունենալ մեկ կամ երկու կապի հավասարում: Առավել պարզ օրինակներում
դեռնս հնարավոր է անմիջական տեղադրման ն փոփոխականների թվի կրճատ-
ման եղանակը:

Օրինակ 23. Դիւրայկենք

սԿՀ/ԱՌՀ)/ո»5Յ»:ցԻ2 թ. թ

ֆունկցիան ամբողջ Ե եռաչավ տարածության վրա երկու կապի հա-
վասարումների դեպքում
ԿՀ )Թա.,2»-աց Է Է» ՓԵ.
Զլ(1, 1.2) «չբ 1-0 (3.29)
Փ2(1. 9.2) «Մ յ-ըշ- 1-0:
Նշենք, որ կապի օլ - 0 ն շշ Հ 0 հավատարճւմները երկրաչավուրեն
ներկայացնում են ինչոր Ը Ը 83 կոր ն միայն այդ կորի վրա է |
ֆունկցիան հետազովվում էքափրեմումի աշումով, այսինքն՝ հերազոտր-
փում է Ր կփ վրա ի-ի նեղացումը, կգրենք (11 ) աւր ոմ կարճ` ի բն
Կապի հավասարումների միջոցով արտաքսենք . փուիոխականը՝
Հ-Ջ-1Լ-0 ՀՎ ՀՎ
Ս-ՀՅՀ--1-0 Ս-ՀՀՎ1Լ ՍՀ Ւ աՎ1:

Տեղադրելով | ֆունկցիայի բանաձեի մեջ՝ տարանում ենք մեկ փոփոիա-
կանի ֆունկցիա.

Կ-սԹՀյԹթաաԷո-էՆոՒՄԹՀ-աւո ԷԻ (Թ-17-
- Զո՞ -Է ձո -Է 2 - 2(8 1) Է» ե. ՇԱ:

Ստացանք առվուրական էքափրեմումի պարզ խեղդի ր: Առկա է միայն մեկ
էքարրեմումի (մինիմումի) կետ` (ոո - -1| աող - 0ի Վերաձնակեր-
լելուվ Կկզբնական | ֆունկցիայի համար՝ ատանում ենք, որ | ֆունկցիան
միայն մեկ ոո - 0 էքատրեմում (մինիմում) ունի | նուռ Հ ԽԽԵ(-1,1.,0)
կետում:

Օրինակ 24. Դիւրայկենք

ԿՀ )(.յ,2) «Մ յ2. -շ2 3-5:

ֆունկցիան ամբողջ Բ: եռաչավ: տարածության վրա միայն մեկ կապի
հավասարման դեպքում

ԿՀ )յ(Թ2)-ո-7-Է 2 Է» ե.

2(5, Ս,2) «Ժշ- Ս-ՑՀՕ: 0)
Նշենք, որ կապի տ Հ 0 հավասարումը երկրաչավուրեն ներկայացնում
է որոշակի հարթութրան Ը Ը Թ. ն միայն այդ հարթություն վրա է |
ֆունկցիան հետազովվում էքափրեմումի աշումով, այսինքն՝ հերազոտր-
վում է դ նեղացումը:
Տեղադրելով կապի Ս Հ 225-- Ց հավասարումը ֆունկցիայի բանաձնխ
մեջ արտաքսում են, ս վուիոխականը ն տարանում երկու վուիոիա-
կանի Փֆունկցիա՝

ԿՀսԹՀ)յՐաշո-32)-ոա-(05-3--Լ2-Հ

- Յո 125-9-Ի»27 Է» ՓԵ. 2: Խ,

տրի ատռվորական լոկալ էքարրեմամներն է հարկավոր գտնել: Նախ
գտնենք ս(ո2) Փֆոանկցիայի արացիոնար կետերը`

2. --Օու 2-0 բջ
ծս

Ր 2922--0 --0:
ծշ ՛

Ուրեմն 2»-2-Հ0 կարը ս(.չ») ֆանկցիայի հնարավոր (լվալ)
էքարրեմումի միակ կետն է: Այն համապատասխանում է Ն(2,1,0) կե-
րին (ոս) ֆունկցիայի համար:
Էքավրեմումի բավարար պայմանը կարելի է ավոսգել 2-րդ կարգի
Ճ դրշիչը հաշվելով 2»-2.2Հ0 կետում (տեն Թեռրեմ Լ7)
ծշս
ժշ
ծշս
Ժշշ
ծշս
ծած».
Քանի որ փվյալ արացիոնար կեվում Ճ տրոշիչը բացասական է, րատ
Թերեմ Լ7-ի՝ եզրակացնում ենք, որ 26ՀԶ2 2-0 արացիռնար կետում
Կ(.2) ֆունկցիան էքստրեմում չունի: Վերաձնակերպելով, 7.(2,1.,0)
միակ ստացիոնար կետում (ո, Ս, 2) ֆունկցիան պայմանական էքարրե-
մում չունի, ն ուրեմե՝ ֆունկցիան առհասարակ պայմանական էքափրե-
մում չունի:

7 7
Ն. Աշբշ
աԱ 7
Է2:2 Աշ

--Զ Ճ- - -12Հ0:

Կ 0

Ինչպես տեսանք բերված երկու վերջին օրինակներում, անմիջական տեղա-
դրման ն փոփոխականի արտաքսման եղանակը հաջողությամբ գործում է:
Սակայն այդ եղանակը որպես կանոն պիտանի չէ, երբ փոփոխականներից
մեկը մյուսների միջոցով բացահայտ արտահայպտել հնարավոր չէ: Երկու փո-
փոխականի ֆունկցիաների նման, այժմ նույնպես կարելի է ներմուծել օժան-
դակ Լագրանժի ֆունկցիան ն կիրառել Լագրանժի մեթոդը, որն արդեն
ավելի ծավալուն կլինի: Ընդհանուր դեպքում կապի հավասարումները երկուսն

են (կապի երեք ն ավելի հավասարումներ կարող են հանգեցնել խնդրի իմաս-
տազրկման),

ԿՀ (2) Ւ-չ ՃԵ.

Զլ(1,1,2)-0 (.31)

Փ2(16,1.2)-0:
Կապի լ - 0 ն ռշ Հ 0 հավասարումները երկրաչափորեն ներկայացնում են
ինչ-որ Ի Շ Թ3 կոր, ն միայն այդ կորի վրա է /՛ ֆունկցիան հետազոտվում
էքստրեմումի առումով, այսինքն՝ հետազոտվում է Ը կորի վրա /-ի նեղացումը՝
ու ինչպես տեսանք Օրինակ 23-ում: Կապի միայն մեկ հավասարման առ-
կայությունը երկրաչափորեն ներկայացնում է սովորաբար ինչ-որ 5 Շ Թ
մակերնույթ, ն միայն այդ մակերնույթի վրա է / ֆունկցիան հետազոտվում
էքստրեմումի առումով, այսինքն` հետազոտվում է Տ մակերնույթի վրա /-ի
նեղացումը / է: ինչպես տեսանք Օրինակ 24-ում:

Պայմանական էքստրեմումի (3.31) խնդրի Լագրանժի ընդհանուր մեթոդը

նկարագրելու համար, սահմանենք /՛ ֆունկցիայի Լագրանժի ֆունկցիան՝

ԵԶ
ե(ո ց. 2) - եո, Ս. 2. 71,22) Մ )(.մ.2) ՒԷ Ճ.յ(8, Ս. 2) Ի 1222(1. Ս, 2) »

(332)
որտեղ (27,2) Շ ՁՕ կետը փոփոխվում է իր (որոշման) Զ Շ 83 եռաչափ
տիրույթում, իսկ լ, Ճշ Շ Խ պարամետրերը կոչվում են Լագրանժի բազմա-
պապկիչներ կամ Լագրանժի անորոշ գործակիցներ: Ինչպես ն երկու փոփո-
խականի դեպքում, վճռական է հետնյալ փաստը՝

(2,9, Հ) ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի խնդիրը համարժեք է
7-ի Լագրանժի ֆունկցիայի սովորական լոկալ էքստրեմումի խնդրին:

Ուրեմն՝ / (2, յ, 2) ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի խնդրի անհրաժեշտ
պայմանը համարժեք է /-ի Լագրանժի ֆունկցիայի ստացիոնար կետի պայմանին,

որն էլ հանգում է հետնյալ համակարգին՝

Հ Խո փ ԽԶՑ -0 ց

րաո ՎԽՐՅ- ե -0

Մ ւ ոքր ւ ԽՄ» ց . Յ (3:33)
արիք Ն

Փշ(ո, 7,2) -0 ՐՐ

Համակարգը հինգ հավասարումներից է բաղկացած ն հինգ անհայտ ունի:
(3.33) համակարգի լուծումները / ֆունկցիայի պայմանական էքատրրեմումի
հնարավոր կետերն են:

Թեորեմ 3.3. (Պայմանական էքափրեմումի անհրաժեշտ պայմանը)
Դիցուք (ո, Ս. 2), .(8Ս, 2), օ2(8,Ս,2) ֆունկցիաները որոշված են ն
ողո Օ Ը 8: տիրույթում, ի 6. 6 Շ՛(Ջ), ն ՊԽ(ոց, 0.20) Շ Գ կետը
(3:31) իւնդրի լուծժում է այսինքն՝ |-ի պայմանական էքարրեմումի կետ
է լ Հ0 ն 7-0 կապի հավասարումների դեպքում:
Բացի այլ. նն(օ000,20) կերում լ ն 2շ Փոանկցիաների մասնակի
ածանցյալներից կազմված հետեյալ (Յակոբիխ) մափրիցը

ծ.) 02.01) ծտ.(15)

7Հ-2ԱԹ) - | ՈՌ) ծ»(18) ծշ»(Նե)

ունի ոչ զլոյական 2-րդ կարգի մինոր: Այլ կերպ ասած ) մաղփրիցի
Չանգը հավասար է 2-ի, ոու Հ 2:

Այդ դեպքում գոյություն ունեն Հլ, Ճշ Շ Խ արժեքներ այնպիսիք, որ
(260, Սց, 20, 11722) հնգյակը բավարարմամ է (33) համակարգին, այսինքն՝
Լագրանժի Ն ֆունկցիայի ստացիոնար կետ է:

Այժմ ձնակերպենք պայմանական էքստրեմումի բավարար պայմանը երեք
փոփոխականից կախված ֆունկցիաների համար:
Թեորեմ 3.4. (Պայմանական էքատիրեմումի բավարար պայմանը)
Դրված է 2-րդ կարգի ողորկ ս Հ /(մ) Հ). յ.») ֆունկցիայի պայ-
մանական էքափրեմումի իմնդիրը կապի տյ,2)-0 ն (յ) -0
հավասարումների դեպքում, այսինքն՝
ԿՀ (2) Ւ-» ՃԵ.
Փ2(16,1.2)-0:

Դիցուք նմ(ոց. Սց: 20) կել ինչ-որ Հլ, Ճշ արժեքների դեպքսմ |(ուց.2)
ֆունկցիայի Լագրանժի

եւն 2) - ե(ո ց. 2, 71, 22) - (ոյ, 2) Ի Ճ21(ո. Ս, 2) Ի 2222(5. Ս: 2)

ֆունկցիայի ստացիոնար կետ ե այսինքն` ձել) Հ Վե(ոց,10,20)-Յ0,
կամ

ծ) ժ.լ 9 շշ
ա օ)-Է "ո (10) 2» (1ց)-0
յլ (22
ԱՈ) ԷԱ) Աա) -0
ծ) 22 շշ (3.35)
Չ2Մ19) Է Ճշ (մօ)-է 2-2. (1ց)-0
2.(110)-0
Ձ2(110) -- 0 :

Կազմենք Լագրանժի ֆունկցիայի 2-րոլ կարգի դիֆերենցիալը 1ն(ոց. 10 20)
կերում՝

«շե(1յ) - Սոց) ա՞ Հ Հեյ) մա Հ Ն.) 42-Ի

3 2նոյ(նն) ճո մյ Է 21ո.(1ը) մ: մշ Է 2Ն (10) մա 42:
(3.36)

3 Եթե տեր )»-0 թվպոր Կ մայմմ,մչ դիֆերենցիալների (աճերի)
համար. տունք միաժամանակ զրո չեն. մոշ -Լ զ -Է 220. ն
քավարարում են կապի դիֆերենցված հավասարումներին՝

Ժ-յ Օ-լ Օ-լ
մւԱո)յ-0 | ջր ՄԹ4: ց ՄԹ) ՞ցչ Աե): -0
ճշ(նը) - 0 Հոլմո)մ- ԻԶ (10) Ս ՄԱշ (նր) մ» - 0.
(3.37)

ապա 11օ(ոօ, 10, 20) կետր ի ֆունկցիայի (իփարխ) պայմանական մի-
նիմումի կետ Է ն(աց:00:20)- Պեոո» կապի տ -0 ն չՀ0
հավասարումների դեպքում:

2) Եթե մշե(նկ)Հ0 բոլոր Մմոմ,մչ դիֆերենցիալների (աճերի)
համար. տունք միաժամանակ զրո չեն. մոշ -Լ զ -Է 220. ն
բավարախամ են կապի դիֆերենցված (3:37) հավասարումներին,
ապա 1ն(օօ, Ս0, 20) կեվը ի Փսնկցիայի (իփալ) պայմանական մաք-
սիմումի կետ Է ո(աց.Ս0:20)- Սիո. կապի -0 ն շչ-0
հավասարումների դեպքում:

3) Եթե «շե(նը) երկրուոլ կարգի դիֆերենցիալը նշանափոխ է (ընդս-
նում է դրական ն բացասական արժեքներ) մամց,:42 դիֆերեն-
ցիալների (աճերի) նույն (837) սառմանափակումների ներքո, ապա
Ն/(ոօ» 10» 20) կեր. ի ֆունկցիայի պայմանական էքավփրեմումի կետ
չէ:

4) Եթե ն(նյ)-0 կամ նելն) ՀՕ. երբ մոմմ,մչ դիֆերենցիալ-
ները (աճերի) բավարարում են նույն (3.37) սահմանափակումնե-
րին, ապա սվոայգ ոչինչ ասել չենք կարով. նն(աց, 02) կեվվւ
կարող է լինել ինչպես |-ի պայմանական էքափրեմումի կեվ, այն-
պես էլչլինել այդպիսին (ուրեմն` այս դեպքոսմ կպահանջվի լրացուցիչ
հետազովում):

Քննարկենք մի քանի օրինակներ, որոնցում պայմանական էքսփրեմումները
հիմնականում կորոնենք անորոշ բազմապատկիչների Լագրանժի մեթոդով:

Օրինակ 25. Դիւրայկենք Օրինակ 23-ում արդեն հեփազովված

սԿՀ/ԱՌՀ)/ո»5Յ»:ցԻ2 թ. թ

Փունկցիան երկու կապի հավասարումների դեպքում
ԿՀ)յԹա2:»-ոա-էց-Է 2 -» Փե.
(81.2) «չբ 1-0 (8.38)
Փ2(1, 9-2) «Մ յ-ըշ- 1-0:
Պայմանական էքափրեմումի այս խնդի րի Օրինակ 23-ոմ մենք լուծեցինք
անմիջական փեղադրման ն փոփոխականների արփաքսման եյանակով:
Այժմ նույն (0.38) խնդիրը լուծենք Լագրանժի մեթոդով ցույց փալու համար
ինչպես է այն զործում երեք վուվոխականի Փֆունկիցայի դեպքում: Կազ-
մենք ի-ի Լագրանժի ֆունկցիան
ե - ե(ո ց. 2 չխ, 22) - 7(շ. Ս, 2) Ի ճւ. 6.(ո, Ս, 2) Ի 2262(5, Ս, 2) -
ՀԵԻՍԻԷՀԻԷխԽՇ-»- 1 ՍՆ(/- 2-1)

ն գտնենք նրա արացիոնար կետերը. լուծելով (3.33), համակարգը՝

1 -1-շխ- 2-0 խ-ՀՀԼ խՀ-1
Խ-1-7Ճ7Հ-0 22--1 22--1
Լ -2-»Էխ-Խո-0 2ՎԻ3Յ2---1 2--1
.Փլ2-5- 1-0 2Հ-ՖՀ1 ՍՀ1

.2-Ս-Հ--1-0 Ս-.12Հ1 Հ-Հ0:

Այսպիաւվ 1.(-1,1,0) կետր Լագրանժի ֆունկցիայի միակ արացիոնար
կետն է ն ուրեմն (1) ֆունկցիայի պայմանական էքափրեմումի միակ
հնարավո կեվլ:

Էքափրեմումի բավարար պայմանը ավոնգելու համար գտնենք Լա-
գրանժի ֆունկցիայի 2-լսը կարգի դիֆերենցիալը՝

1... - 0, էս - 0,

հ հ. --
.ւ- 0, եւ--ԽՀԼ
էե -ջ, ե - 0,

ե(նն) - ոց) մո՞ Գ ԻՆԽ,յլ(Աե) ճա Հ Ն...) մ»
Դ 2նոյ(ննը) ժո ժյ Է 21ո.(19) մ: մշ Է 2Նյ (10) մյ մշ -
-2գմ27-Է 245մ2- 20»(0» գ ճո :

Բացի այղ, պահանջնեք, ւր հց կետում կատարվեն կապի դիֆերենցված
(337) հավասարումները՝

Ժ-յ 22 22

ծոյ ու Թմյվ 50»-0 202- յա ժ2Հ0 Ր Փ.-0
ծ. օյ ժշ

կամ | ւ Հ մչ Հ -մճյ|: Տելղադրենք աճերի այս կապը Լագրանժի Փունկ-

ցիայի 2-րդ կարգի դիֆերենցիալի մեջ՝
ճշ ե(1) - 242 (0»-գոի -2գշ (0»5-0») - 4մշ- » 0, եթե մ270:

Քանի որ մՀե(նկ) » 0, երը մո,մՍ,մ2 աճերը միաժամանակ զրո չեն,
ձո -Է մյ Է մ22 0. ն բավարարում են կապի դիֆերենցված մոլ -
0, 2-0 ոավաստալամներին, ապա համաձայն Թեռրեմ 34, 1)-ի՝ ն
կետում | ֆունկցիան պայմանական մինիմում ունի
ն մինիմումի արժեքն է իս-0:

Օրինակ 26. Դիւրայկենք

ԿՀ )(.յ,2) ք. Իշ Ք»

Փունկցի ան, րե արդեն հետազոտել էինք Օրինակ 24-աւմ: Տրված է
միայն մեկ կապի հավասարում,

ԿՀ )յ(Թ2)-ո-7-Է 2 Է» ե.

ոլ (3:39)
Չ(ոց.2) 22»-Ս-ՅՀ0:
Տեղադրման եյլանակի փոխարեն այժմ կիրառենք Լագրանժի մեթողր:
Կազմենք |-ի Լագրանժի Փֆունկցիան՝
ՆՀ ՆՐւմՍ272) -)(..2)Է ՃԵ Հ-Յ-Վ7-Ի2 Է 2Օ05-Ս-3)

ն գտնենք նրա արացիոնար կետերը. լուծելով (3.33), համակարգը՝

ը -Չու27-0 ոՒ7-0 1--2
ե--2Ս-Ճ-0 ՃՀ-շյ 2-2
1 -2-Հ-0 2-0 Ս-1
Փ-26-յՍ-3-0 25--ՍՀ-Ց --0:

Այավիսով նո, 1,0) կետր Լագրանժի ֆունկցիայի միակ ատացիոնար
կետն է ն ուրեմն (1) ֆունկցիայի պայմանական էքափրեմումի միակ
հնարավո կեվլ:

Էքափրեմումի բավարար պայմանը ավուգելու համար զփենեք Լա-
գրանժի ֆունկցիայի 2-լսը կարգի դիֆերենցիալը՝

է. - 2, ան - 0,
ե, - -Չ2, է... - 0,
ըր -2. ու-0.

«ե(19) - 1ո.Ամե) ձո Է ԽյյԱմը) ձյ" -Է 12.(13) ժ5--Է

Դ 2նոյ(ննը) ժո ժյ Է 21ո.(19) մ: մշ Է 2Նյ (10) մյ մշ -
-- Զգա -- 2մյ՛ Է 2427:

Բացի այդ, պահանջենք, ւր հ/ց կետում կատարվեն կապի դիֆերենցված
հավասարումը

ծո ոգ Չ5

Լ Ա»-0 Հ-» 2:-ՕՍՀ0:
ծո ծս

ժշ

Տելադրենք աճերի այս մմՍ-2մ: կապը Լագրանժի ֆունկցիայի 2-րդ
կարգի դիֆերենցիալի մեջ՝

Փե.) - 2(: -մ- մ» - 2((0»: - ա)

Հեշտ է տեսնել, որ ճե.) դիֆերենցիալը կարող է լմոլունել փարբեր
նշանների արժեքներ, օրինակ՝

ճշ ե(Նլ) - -4ճմռ՞ Հ 0, եթե մչ- մ,» 0,
ճշ ե(Ն9) - 2մո՞ » 0, եթե մ2-2մ6»0:

Քանի որ ե(նկ) դիֆերենցիալը նշանափոխ: ե երը մո, մց,մչ աճերը
միաժամանակ զրո չեն. ճա -- յ -Է մշ 5 0, ն բավարարում են կապի
դիֆերենցված մ. - 0 հավասարմանը, ապա համաձայն Թեռրեմ 3.4,
3)-ի՝ 7ն(2, 1,0) արացիոնար կետում | Փոնկցիան պայմանական էքս-
փրեմում չունի, ն ուրեմն` ֆունկցիան առհասարակ պայմանական էքս-
իրեմում չունի:

Օրինակ 27. Հելւազոտենք էքափրեմումի առումով

ս-յԱՌ-Սաա»Յ»ր աթի - Տլ

2 2 .,2
Փունկցիան միայն մեկ կապի ք ՒԷ 2 ՒԷ » 1 հավասարման դեպթում
(0 ՀՕ ՀԵՀ 6: Երկրաչախորեն սա նշանակում է հետազոտել |

2 2

ֆունկցիան ոչ թե ամբողջ որոշման տփիլմայթում, այլ միայն -չԷ Ն -
ճ

2
»- 1 կիպառիղլի վրա,

ԿՀ )(Թ.ա2)-ոԷՄ7 Էշ Է» Թե.
2. (3.40)
46) 17 Ս
Կազմենք Է ֆունկցիայի գրանցի 1 ոնկեիան

2 2 2
ը(..յ.».) Հ 7.»)-2ջԱ.0.2 Հ «7 534 (. ՀԱՏ -դ

ն գտնենք նրա արացիոնար կետերը. լուծելով (3.33), համակարգը՝

7
ը 3: ԷՅ -ց "(1 2)-6
շա 1
224
ը -2» ԱԱ "Ա42)-օ
Շ
2 տ 2 2 2 2
7 - ՀՍ -՛. նանն իԲ»
ԽՀՏՓ-Իի իջ 1-0 ԶՅԵՒՏ-1:

Փոփոխականների համաչափությունը ն 0 ՀՕ ՀԵՀ Ը պայմանը հաշվի
առնելով` դժվար չէ գտնել համակարգի բոլոր ըւծումները՝

երբ ՃՀ--Ըշ 1 - Մլլ»( Է ճ.0.0),

երբ ՃՀ- -ծշ 17 - Մու(0, Էն, 0),

երբ Ճ--ԸՆ ՆԽ/- 1/.6(0, 0, -Էօ) :

Ստացանք, ր Լագրանժի ֆունկցիան վեց նափացիոնար կեվփ ւնի: Դրանք
(18) ֆունկցիայի պայմանական էքափրեմումի հնարավոր կետերն են:

Էքափրեմումի բավարար պայմանը ավուգելու համար զփենեք Լա-
գրանժի ֆունկցիայի 2-յոլ կարգի մասնակի ածանզյալնելրը ն լիֆերեն-

ցիալը՝

2.
ը -2Ի ըւ- 0.
42

.-2-ջ. ը -0.
22

1. -2Հ-շչ, ե... - 0,
Շ

«ե 11.7) Հ ու) ծո Գ ԽԱ1) գյ Է ԱՌ 422-
3211 ձո զյ Է 2.11) ձո մ: -Է ջեյ.(11) պ 65 -

«իցաց«-իցոի

Նկատենք, որ Լագրանժի ֆունկցիայի 2-րդ կարգի «ԵԱԼ. 2) դիֆերեն-
ցիալը 2,2 իփոխականներից ն տչ մեկր չի պարունակում, այնտու-
ամենայնիվ ամեն մի արացի ոնար կետ քննարկելիս պետք է փեյլադրել
14-ի համապատփասիւան արժեքը: Բացի այլ, պահանջենք, որ Նե (Հ
1,6) արացիոնար կեվոսմ կատարվի կապի դիֆերենցված մշ - 0 հա-
վասարումը՝

2 գ.02

օծ.
7. 9 ՎՍ---- ԲԱ»-0 Հ-»չ ժուն -- 2-0: 047

ծ- եշ
Առանձին քննարկենք ո (0 - Լ60 արացիունար կետերի ամեն մի
զույգ: Մեզ հետաքրքրում է «2 ե(11. 2) դիֆերենցիալի նշանը յուրաքան-

չյուր ափացի ոնար կեփում:
Երը Ճ--« ն 1Լ- Մւ»( -Է ճ,0, 0). փանում ենք

Փե(1ր».-67)Հ-2 ն - ե) ձյ՛-- ն - ը) մշ |»

Քանի որ 0 ՀՕ ՀԵՀ ՇՊ`երնաբար րար Թեորեմ 34 1)-իԻ հրու -
մոշ( -Է զ. 0.0) կետերը (ՃՈ-ի պայմանական մինիմումի կերեր են:

Մինիմումի արժեքը կլինի | իրո Հ (ոջ) - «ոչ
Երը Ճ--0 ն 1Լ- 1/(0, Էն, 0). եփանում ենք

շ շ Եշ Եշ
զ ե(11յ. -Ե՞) -2 1--շ Վո-7 - 1-- Վ227 :
ճ2 02

92.

Պաշվի առնելով 0ՀՕ«ՀԵՀ`Ը պայմանը` կարելի է տեսնել, որ

ճշ Ե(11,ւ. -Ե») դիֆերենցիալը նշանափվոխ ե իսկապես,
Եշ
աղան -Ե՞) -2 ն - 2

) 427. 0. եթե մո -0. 2:70.

Եշ
աղան -Ե՞) - 2 ն - ) ձո Հ 0. եթե մչ-0, 70:
ճ

Տետնաբար րար Թերեմ 34 3)-ի հու (0, -ԷԵ, 0) կետերը (1) ֆունկ-
ցիայի պայմանական էքավփրեմումի կետեր չեն:
Երբ Ճ--Շ ն Մ-ՈՐբ (0, 0, Է`). փանում ենք

62 02
Փե(.օ.-Օ)Հ-2 ն - եյ ձո -Լ ն - 3 ոբ Հ 0,
Քանի որ 0 Հճ ՀԵՀ Շ `արնաբար րար Թեռրեմ 34 2)-Ի իու Հ-
1/6 (0, 0. ԷՇ) կետերը (1-ի պայմանական մաքսիմումի կետեր են:
Մաքսիմումի արժեքը կլինի | իու - (Աշ) Հ «|:
Խեդիրը լուծված է: Պեփաքրքիր ե տր անհրաժեշտ չեղավ օգտագործել
կապի դիֆերենցված մօ - 0, (3.41) ռավասարումը:
Դիտողություն 3.3. Ինչպես փեսանք Թեորեմ 3.4-ում նենրկայացված պլայ-
մանական էքարրեմումի բավարար պայմանը որոշվում է փվյալ /(18)
Փանկցիայի Լագրանժի Փոնկցիայի 2-րո կարգի ճշ ե(11) դիֆերենցիալի
նշանով կապի դիֆերենցված հավասարումները հաշվի առնելով: Քա-
Չակասային ճշ Ե(1Ո) ձնի նշանապահպանման հավտկությենները կարելի
է ափուգել նան հանրահաշվական մեթողդնենրուվ, ունք ներկայացված
են. Բաժին 2.:3-ւմ:

33 Պայմանական էքսփրեմումի խնդիրն ավելի շատ

փոփոխականի ֆունկցիաների համար

Երեքից ավելի շար փոփոխականի դեպքում պայմանական էքստրեմումի խնդիրն
էլ ավելի բազմազան է ն ծավալուն, թեն խնդրի լուծման ընդհանուր սկզբունքները

չեն փոխվում: Կարճ նկարագրենք իրավիճակը ն բերենք համապատասխան
օրինակներ:

տ. հատ փոփոխականից կախված ֆունկցիաների պայմանական էքստրե-
մումի խնդիրը կարող է մինչն (ո.-- 1) կապի հավասարում ունենալ, ընդհանուր
դեպքում` ո, հատ (1 Հ 7 Հո- 1) կապի հավասարում: Ավելի շատ կապի
հավասարումների առկայությունը կարող է հանգեցնել խնդրի իմաստազրկման:
Պայմանական էքստրեմումի խնդիրը ձնականորեն կներկայացնենք հետնյալ
կերպ՝

ԿՀ ԱՌ Հ 7(ոլ22,-...2ղ) Ւ-Տ ՃԵԼ (42)
2.11) -.0 14ՀւՀո):
Լուծման Լագրանժի մեթոդը կիրառելու համար ներմուծենք օժանդակ Լա-
գրանժի ֆունկցիան,

ՆՀ եի, Հ) թ: նու, 22, ա Հր: ԿՎ. 72: .. ւո), ԽԾՕ0Շ Թ",

յ (3:3)

է (1 Է լամ) Է 7:27 -Է "Դ 7ոՓու Ամ) է,

որտեղ 7, Շ Ք (1 ՀՀՀ տ) պարամետրերը կոչվում են Լագրանժի բազմա-
պատկիչներ կամ Լագրանժի անորոշ գործակիցներ: Նկատենք, որ Լագրանժի
չխ բազմապապկիչների քանակը համընկնում է կապի հավասարումների թվի
հետ ն փոքը է անկախ փոփոխականների քանակից, այսինքն՝ 7, Հ ո: Ինչպես
երկու կամ երեք փոփոխականի դեպքում էր, վճռական է հետնյալ փաստը՝
(1) ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի խնդիրը համարժեք է

7-ի Լագրանժի ֆունկցիայի սովորական լոկալ էքստրեմումի խնդրին:

Ուրեմն` /(1/) ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի խնդրի անհրաժեշտ
պայմանը համարժեք է /-ի Լագրանժի ֆունկցիայի ստացիոնար կետի պայմա-
նին, որն էլ հանգում է հետնյալ համակարգին՝

ծե .
ւ ացժււ..2:9.- ց 2-0 ԱՀյՀո)
Ժոյ ծոյ Ժոյ -5 շը

Ն
2.(6.1.2)-0 2-0 14ՀՅՀո):

(3.44)

Համակարգը ո». հավասարումից է բաղկացած ն ո--, հինգ անհայտ ունի:
(3:44) համակարգի լուծումները / ֆունկցիայի պայմանական էքարրեմումի
հնարավոր կետերն են:

Թեորեմ 3.5. (Պայմանական էքափրեմումի անհրաժեշտ պայմանը)
Դիցուք (1) Հ Մ(ու22,....Յո), ԱՈ Հ Փ(32.:...Թո, 1ՀՂՀ
ու Հ ո, ֆունկցիաները ողորկ են Օ Ը Թ" տիրույթում իտ, Օ Շ(Ջ) ն
Նե(ա29.....2)ՇԶ կետը
ԿՀ (Ա Հ /(օլ22,... 8) Է-Ֆ ՕՃեԼ.
Ա/) 70» ) (345)
ոՈՌ-0 ԱՀՅՀոյ
իւեդրի լուծում է, այսինքն` Է-ի պայմանական էքափրեմումի կետ է 6-0
կապի հավասարումների դեպթում:
Բացի այդ, Խի կերում տ. ֆունկցիաների մասնակի ածանզյալնելրից
կազմված հետնյալ (Յակոբիխ) մավզփցը (ո «ո չափելով)
4օյ 96.0)
մ ՀՍ(Սց) Հ |-----
օ) ( Ժ.յ 1ՀմՀու

1Հ)Հո
ունի ոչ զրոյական ո-րդ կարգի մինոր: Այլ կերպ ասած մաղփրիցի
շանգը հավասար է ու-ի ատոմ Հ տ:

Այդ դեպքում գոյություն ունեն 7 6 ՔԱ ՀՀո) արժեքներ այնպի-
սիք, որ (ըլ22.... Թո 241122.) 6 Թ" կետր բավարարում է

ծե .
ւյց ւ. 17 9". ց 0 Ա1Հ7Հո)
Ժո, Ժո, Ժո, -5 2 )

Ն
2.(6.1.2)-0 2-0 14ՀՅՀո):
(346)

համակարգին, այսինքն` այդ կել: Լագրանժի Ն ֆունկցիայի արացիո-
եար կետ է:

Այս թեորեմը Ֆերմայի հայտնի թեորեմի հեռավոր նմանակն է պայմանական
էքստրեմումի դեպքում: Թեորեմը կարելի է կարճ ձնակերպել այսպես. /

ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի կետը /-ի Լագրանժի ֆունկցիայի
ստացիոնար կետ է:

Այժմ ձնակերպենք պայմանական էքստրեմումի բավարար պայմանը շատ
փոփոխականից կախված ֆունկցիաների համար:
Թեորեմ 3.6. (Պայմանական էքատիրեմումի բավարար պայմանը)
Դրված է 2-րդ կարգի ողորկ սՀ- /ԱՍ Հ (ւշ ::"22ո) ֆունկցիայի
ւվայմանական էքափրեմումի խոդի րր կապի 0 հավասարումների
դեպքում, այսինքն՝
ս Հ ԱԱ) Հ (ոլ, 22.....Զր) Է-Ֆ ՃԵԼ.
20 Հ (ուշ ) (347)
(1-0 141ՀՅՀո):
Դիցուք Ն(ամ22,....22) կերը ինչ-որ Հ 1 Հմ Հ ո) արժեքների դեպքում
711) ֆունկցիայի Լագրանժի

| Հ ՆՈՑ Հ ՆԱԽ) ՀՄ7/ԱՌ- Խջ.0Ռ "2 2աթոԱ8)|

ֆունկցիայի արացիոնար կետ ե այսինքն: ձերն) Հ 0, կամ

ծ) յ Չո) ` ւթ 220) 0 ԱՀ)Հո)
ԺԷ. Ժ.յ ԺԷ. (3.48)

Կազմենք Լագրանժի ֆունկցիայի 2-րոը կարգի դիֆերենցիալը 11ց կեվոսմ՝

ծ-եԱմը) ` Ժե) .- ծեմ) բ
յ- ֆագոԳոու- ր: մո Է... ր մբ

շը 2

րոն : մոլ մաշ -Է:::Ի «րոն ՎԱ 18:

1) Եթե տնեըը)»0 բոլոր ՄճԱՀ)Հո) դիֆերենցիալների
(աճերի) համար, որոնք միաժամանակ զրոչեն, մաի-::Գ067 70,
ն բավարարում են կապի դիֆերենցված հավանարումներին՝

Ի2

ձ2.Ա10)-0 (ՀՀՀ), (5:49)

ապա 1 կեփլ | ֆունկցիայի (խիար) պայմանական մինիմումի
կետ է նե-նոուռ կապի .-0 հավասարամների դեպքում:

2) Եթե ենը) Հ0 բոլոր Կ ճԱՀՀո) դիֆերենցիալների
(աճերի) համար, որոնք միաժամանակ զրոչեն, մաի-::Գ067 70,
ն բավարարում են կապի դիֆերենցված հավանարումներին՝

ձ2.Ա10)-0 (ՀՀՀ), (5.50)

ապա 110 կետր ի Փոնկցիայի (իփաղլ) պայմանական մաքսիմումի
կեր նկ- հիու կապի օ-0 հավասարումների դեպքում:

3) Եթե եմ) երկով կարգի դիֆերենցիալը նշանափտոխ է (րեդա-
Աում է դլւական ն բացասական արժեքներ) ճւ, դիֆերենցիալների
(աճերխ) նույն (3.50) սառմանափակումների ներքո, ապա 1 կետր
7 ֆունկցիայի պայմանական էքավփրեմումի կետ չէ:

4) Եթե 2նե(նը)-0 կամ շենը) ՀՕ երբ մոլ դիֆերենցիալները
(աճերը) բավարարում են Խսյն (3.50) սառհմանափակումներին,
ավա ավույգ չինչ անել հնարավոր չե հի կետր կարող է ինչպես
-ի պայմանական էքարրեմումի կետ լինել, այնպես էլ չլինել (ն
ուրեմն` այս դեպքում կպահանջվի լրացուցիչ հետազոտում):

Քննարկենք » փոփոխականից կախված ֆունկցիաների մի քանի օրինակներ,
որոնցում պայմանական էքստրեմումները կորոնենք անորոշ բազմապատկիչների
Լագրանժի մեթոդով:

Օրինակ 28. 17ւծենք պայմանական էքավփրեմումի հետնյալ խեղդի րր, տոր
պարունակում է րնալամենը մեկ կապի հավասարում,

ԿՀ (ՍԱՌ Հ /(ույ22,....Յռ) «Մու ոշԻ Վոր Է-» Շչեւ.

(351)
(ՆՈ 21-22 -ԻԻ1-1Հ-0:

Երկրաչավուրեն սա նշանակում ե որ փրված | գծային ֆունկցիայի
էքավրեմումնելրը պետք է գտնել Թ" փարածության

ԷԶ Տ Մ(ւտ9.....Յ)Շ Ք": Վա ԻԻ 2-7
միավոր սֆերայի վրա: Այսինքն՝ պահանջվում է հետազոտել դ. Փունկ-

ցիան:
Կազմենք ի-ի Լագրանժի ֆունկցիան րնդամենր մեկ Մ անորոշ բազ-

մապակիչուվ,
ե Հ ԼԱՒ) Հ Նու, 55,....թոյ2) Հ /ԱՌ 2726Թ Հ
Հայի" "Վ աղԷ (1-Ի 2-Ի :-Ի31-1)

Սկզբում գտնենք Լազրանժի ֆունկցիայի սփացիոնար կետերը (հնարա-
ուր էքարրեմումի կերերը): Այդ նպատակով կազմենք ն լուծենք հետեյալ

համակարգը՝
ծե . -
Չը Հ-»
ՅՀՅՀ 22 Էա -::-.Ի231Հ1
ր .-0 1 2
-1
"2 ԱՀՍՀո) ՅՈՐ
Հ-»- լ 27 Հ-» 1
Ստացանք երկու ափացիոնար կետ (Տ միավոր սֆերայի վրա),
/ ո -1 -1
երը թ ) 1 /դ` մեշ Շ 5,
«/ո 1 1
Դ----- Խ-ՈԵ|Լ|-չ--.....-- :
երը Չ ) 2 /Պ՝ "Ղ/Ղ Շ 5

Էքափրեմումի բավարար պայմանը սփուգելու համար գտնենք Լագրանժի
ֆունկցիայի 2-լսդ կարգի մասնակի ածանցյալները: ն դիֆերենցիալը.

ծշՆ ծշՆ
Հ - -շ՛ՂշՀշ -- ) շք
ծ. 22. ԱՀՄՀո) ժո, ծոյ 0 075

2 2
ԼՑ Հ ա այտ - օ7 մոշ Է: Դ

՛- որր , ծ Իթ
2 ծ «Հլ մ62-Է -::-Ի-2 օք ձ ձ
Դ Դ ... -------- Մել. Զո -
ծոլծնշ է 7 ծող: 1ՕՆյ է

- 2 Է «գոյ :

Պամաձայն Թերեմ 3.6-ի՝ պահանջենք նան, որ ատացիոնար կետերում
կատարվեն կապի դիֆերենցված հավասարումները՝
ծշ(Ն1 ծՇ(1/
ծշՄոջ) լ... ՀՄ) ց, ց,
ծո-լ Ժ--,,
-1 -1
2 մոլ :-::Ի 2այղմեր - -- ԺոլԻ:::Ի --Փոլ Հ-ն,

7 7
մլ :::ԻԷ 0:

Ճիշվո Է՝ մն դիֆերենցիալը այնքան պարզ փեպք ունի, որ կապի դիֆե-
դենցված հավասարումն այլես չի կարող ազդել ճՀՆ դիֆերենցիալի նշա-
նի վրա:

Երբ 11/- հի, ՃՀ- ր, ատանում ենք եԱղ)»0 նորեմն՝ նիլ
կետր Լագրանժի ֆունկցիայի լոկալ մինիմումի կետ է ն միաժամանակ
7 Փունկցիայի պայմանական մինիմումի կեղ, իսկ մինիմումի արժեքն է
ժուռ - (դ) - -Վ/Պ:

Երբ ն - նե, Ճ- ՅԻ ստանում ենք մ ե(12)Հ0 նուրեմն՝ 1
կետր Լագրանժի ֆունկցիայի լոկալ մաքսիմումի կետ է ն միաժամանակ
7) Փունկցիայի պայմանական մաքսիմումի կեղ, իսկ մաքսիմումի արժեքնե

է ոո: - ԱԽ - Պ/Ռ:

Օրինակ 29. 17ւծենք պայմանական էքափրեմումի հետնյալ խալի րե-
դամենը մեկ կապի հավասարումով,

ձ2(11»2)-

ԿՀ ՍՄ) Հ )(ար2,: ո) «2 վ րվ...-,շ2 Է-Ֆ Շե.

«ԱՌ Ց ուլտա ԻԻ -1Հ0:

Երկրաչավուրեն սա նշանակում ե տր փրված | քառակուսային ֆունկցիայի
էքափրեմումները պետք է գտնել լԽ" րարածության լ-Է 52-Ի -::-Ի
ո-1-0 հիպերհարթության վրաչ

Կազմենք ի-ի Լագրանժի ֆունկցիան րեղամենր մեկ Ճ անորոշ բազմա-

պատկիչուվ.
ե Հ ԼԱՒ) Հ Նու, 55,....թոյ2) Հ /ԱՌ 2726Թ Հ
ՀԻՎ ՅՎԻ (յլի ա-Ի"""Իա-1
Սկզբում գտնենք Լազրանժի ֆունկցիայի սփացիոնար կետերը (հնարա-

ուր էքարրեմումի կերերը): Այդ նպատակով կազմենք ն լուծենք հետեյալ
համակարգը՝

ծե . ՏՅ
ծե
-- լԻՅ2-Է:::ԻղրՀ-1
. -2
-Հ-- ԱՀ7Հո) ՃՀ--
ան 1
ջ - -- ԱՀ7)Հո):
Ստացանք միայն մեկ ափացիոնար կեվե
- 1 1
երի ՃՀ--, -Յո( 3:
տ Պ տ

ծն ծն
ՅՅ Ս1ՀյՀ 0 (»2Ք
Փե ծչն ծշն
եր - ՀԵ վո մայ Հ-Ի -.Վ Ը ոշ
1 Հ. Այծ ԴՈՆ օղ ԴԱՐԻ ցա ոա

100

ծ21. ծշՆ
2222 դոլմաջ-Ի:::Ի2-----
Ի ծոլծշ 1 ՀԷ Ի ծող. 101

- 2(գու «գ. 4ռ) 0. երբ մոլ Է :::Ի մա 0:

Վոր 105 -

Պամաձայն Թեորեմ 36-ի նղ կետր Լագրանժի ֆունկցիայի լոկալ մի-
նիմումի կետր է ն միաժամանակ | ֆունկցիայի պայմանական մինիմումի
կետր. իսկ մինիմումի արժեքն է խոռ Հ (Աե) Հ 2:

Ստացիոնար կետում կապի դիֆերենցված ձան կ) -0 հավասա-
տումը. հաշվի աշնելու կարիք այլնս չկաչ

Օրինակ 30. 17ւծենք պայմանական էքավփրեմումի հետնյալ խմիր րե-
դամենը մեկ կապի հավասարումով,

Պտ
ԿՀ-7Ա0ՑՖ՞ ութ Էչ. չեւ. (0 Հ Օլ ՀՕ2Հ-:: Հռ)
Է-1

ԱՅ. Վ2-1»0:

Երկրաչավուրեն սա նշանակում է, որ տրված | քառակուսային Փֆանկ-
ցիայի էքափրեմումները պետք է գտնել Ւ" տարածության

559 ՀՄ(ւտջ.....Յ)ՇՔ": Վա Ի 2-7

միավոր սֆերայի վրա: Այսինքն՝ պահանջվում է հետազոտել դ. Փունկ-
ցիան:

Կազմենք Է|-ի Լագրանժի ֆունկցիան րեղդամենը մեկ Ճ անորոշ բա-
զմապավկիչով (րեխնիկական եկատառումներուվ Ճ-ի փոխարեն այս
անգամ վերցնենք --Խ,

նե Հ ՆԱ) Հ Ն(ու 32... .թոչ2) Հ /(Ռ - ՓԱՌ Հ

ՀՖ` գրո -2(81:2Ի:54Ի2-1)Հծ՞Թյ-))ուվմ:
Ե-1 Ի-1

101

համակարգը՝
ծն

յ 2ա-Դ»ա-0 ԱՀյՀո) » 4 Հ «յ կամ »յ-0
ծ

Պարզ է տր անհնար են երկու ծայրահեղ դեպքերը, երբ Հ-ն հավասար
է ո. գործակիցներից միաժամանակ երկուսին Ճ Հ զյ Հ զ. () 7 հյ
ինչը կհակասեր «լ Հ 62 Հ """ Հ զղ պայմանին. կամ 7 5» «0 Հ
1, ո), այսինքն` ոյ -0 լոլոր յ( Հ Նո) ինդեքսների համար, ինչը
կհակասեր կապի տ - 0 հավասարմանը, այն Է 1/(ոլ,...,ռռ) կետի
վատկանելիությանը Տ սֆերային:

Տետնաբար Ճ Հ ո. որնէ մեկ հ Շ |1ո| ինդեքսի համար: Այլ
դեքում անհրաժեշտաբար 74 ն 2-0 մնացած բոլոր) (7 հ)
ինդեքսների համար, ն վերջին համակարգը կհանգի հեղրեյալին ՀԵԾ
(1, ռ| այնպիսին, որ

ՃՀ լ ՃՀ- զչ
««՞-0 Պյչե ««-0 Պի
2-1 Տ.- ԷԼ:

Այսպիսով արացանք Չո հատ արացիոնար կետ (բնականաբար բոլորը
5 միավոր սֆերայի վրա)

երբ Ճ-ա. 1-ՀՈՐԸ:(0...0Հ10...0օՀՏ ԻԽ-12...ո.

որտեղ 1 կամ -1 թիվը Մհ. արացիոնար կերի Խ-րդ կոորդինատն է:
Նկատենք, որ Տ սֆերան կոմպակտ է (իակ սամմանափակ բազմու-
թյուն) Թ" տարածության մեջ, ուսփի՝ համաձայն Վայերշտրասի թեռրեմի՝
) 6 Շ(Թ) անընդհատ ֆունկցիան հասնում է իր մեծագույն ն վութրագույն
արժեքներին այդ սֆերայի վրա: Եթե խնդիրը կայանա | | Փոանկցիայի
միայն մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները ստանալու մեջ, ֆունկցիայի

102.

րեսքից ն ճլ Հ 62 Հ':: Հ զղ պայմանից մենք անմիջապես կարող ենք
եզրակացնել, որ ի կետերը || ֆունկցիայի մաքսիմումի կետեր են.
րոնում | ֆունկցիան հասնում է իր մեծագույն արժեքին,

- ԽԸ) - (1.
Սլ ոո» մի (0,...,0, ԷԼ) Շ Տ, ոոտ4 / (11) (11 )

Նմանավես գտնում ենք ի Հ ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը՝

դրո Հ ՊՈՐ (ԷԼ0.....0)65. ուռ /17 - /(Ո՞) -«ւ
6

Մնացած 1122) (1 Հ Ե Հ ո) կետերը առհասարակ յ ֆունկցիայի
էքավրեմումի կերեր չեն: Այղ փաստը սավոնգելւ համար դիմենք եւյն
Թեորեմ 3.6-ին ն գտնենք Լագրանժի Փունկցիայի 2-րդ կարգի մասնակի
ածանցյալները ն դիֆերենցիալը՝

ծշն ծ- Լ
--.- .-- Հ՛Հ
ծ. շոյ-2) ԱՀ7Հո) ծոյ ծոյ

-0 075Թ),

211 Մ շե
Թ: ) Աւ մու- ծ մոշ ւԻ- ւՓժք ցու

ծոյծու 7 ծոշ ծոշ
ծն ծն
2 ճոլձ Ա ՔՉ2------- մոլ, 10 -
Ի Ժոլժ2 1022-Է Ի ծ, լժն ՀԻՄ

- 2(ոլ-- Հ) մո: 2(ու - 2) «2-Ի 2(ա- ճշ:
Երբ 1- ՊՈՀ)(0, ւսա, 0, Է1,0,...,0, Ճ բազմապատկիչի արժեքն ունե-
ինք ՃՀզլ, հերնաբար
մե ՄԱ) ՀՉ(ոլ - զ.) մայ -Է...Ժ 2(6-1 - Օր) ձո լ (352)
3 2(աո - օա) ու. ՓԻ 2(ող - օա) մոշ:
Նշենք, տր արացիոնար 11 - ՍՐԱԱ ւս. 0, ԷԼ, 0,...,0) կետելոսմ կապի
դիֆերենցված հավասարման աշկայությունը 2ո(11Ր) յյիֆերենցիալի

103

րեսքը տրնէ կերպ չի փոխում: Իսկապեապ
ծշԱմ.) ծշԱմ.)

աւ :1Է:::Վ2Յյմ -0Ս -Հ-- | մու - 0|։
Վերջապես մեզ մնում է պարզել (111), (3.52) դիֆերենցիալի
նշանը: Բավական է նկավել, (3.52) դիֆերենցիալի առաջին Ի--1 գործա-
կիցները բացասական են, իսկ վերջին ո-- հ գործակիցները դրական են,

ճոր Հ 0,

Օյ - զ, Հ0 եթեԼՀՍՀԻԵ-1Լ ն Օյ - Օյ »0,. եթեիհէ-1ՀՀո:

Սա նշանակում է որ (8.52) դիֆերենցիալն րնդունում է թե՛ դրական, թե՛
բացասական արժեքներ տարբեր մալ, մոշ,....ճար, մա ի -::Դ մ: 0,
աճերի համար:

Ճամաձայն Թեռրեմ 3.6 3)-ի՝ 1122) 1ՀԵՀո) կարերից ն ոչ մեկր
յ Հ ֆունկցիայի էքավրեմումի կետ չե այսինքն` ի ֆունկցիայի պայմա-
նեական էքափրեմումի կետ չէ:

Հաջորդ օրինակում մենք էլ ավելի ընդհանուր քառակուսային ձն ենք հերա-
զոփտելու:
Օրինակ 31. Գղւնենք հետնյալ ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն ար-
ժեքները՝

ԿՀ ԹԱՌ Հ ԱՆ) «Մ Տ` Գյ նյ Է--» տուող. (ճչյ Հ ՇԽ)
ե)-1

ԱՌ Հ ջա 52-Ի 1Հ0:
Տրված ֆունկցիան կամայական քառակուսային ձն է, րոնց մասին որոշ
ւրելեկություններ կարելի է գտնել Բաժին 2.3-ում: Երկրաչավուրնեն խեղդի-
տր. նշանակում է որ փրված | քառակուսային ձնի մեծագույն ն փոքրա-
գույն արժեքները պետք է գտնել Թ" տարածության Տ միավոր սֆերայի
վրա, այսինքն՝ պահանջվում է հերազովել | Տ Փունկցիան:

104

Կազմենք ի-ի Լագրանժի ֆունկցիան 7 անորոշ բազմապատրկիչով
(փեխնիկական նկատաօումներով 4-ի փոխարեն այս անգամ վերցնենք

-7)
ե Հ ՆՈ: Հ Ն(ոլ, 22... թու) Հ (1) - ՓԱ) Հ
- 2.11 (1 2Վ:-ՎԻ5- 1):
է-1
Սկզբում գտնենք Լազրանժի ֆունկցիայի սփացիոնար կետերը (հնարա-

վոր էքարրեմումի կետերը): Այլ նպատակով կազմենք ո հավասա-
շումներից բաղկացած հեղրնյալ համակարգը՝

1 ծն

շ ծու ր (ո Ր Հյու Ի շա :::Ի Գո Ցո Հ 0

1 ծն

2. - 02լ 31 Դ (ոշշ - 7) 22 Է 0293 ի Դ 02դ Ֆր -0

մ. (353)
1 ծն

շ2.- ճու - ճոջ22-Է "Դ Օոո-1Ցո-1- (ճոռ - 2) - 0,

րին կավելացնենք (ո Դ 1)-րդ (կապխ) հավասարումը՝
Փ() ովա Է: 1-1-0:

Ճամասեջ զծային (3.53) համակարգի պարզունակ (0, 0,...,0) ըսծումը չի
բավարարում կապի հավասարմանը: Գծային հանրահաշվի դասրեթա-
ցից հայտնի ե ոյ ոչ զրոյական լուծում (.53) համակարգը ունի այն ն
միայն այն դեպքում, երբ երա հիմնական մավվփցի ոլտշիչը զտ Է

ճլլ-2 ճլշ մ. ճլո
621 022-2Ճ.... ճշ
-- 0, (3.54)
ճո ճրԶ ,,»ւ..շ- 7

105

այսինքն՝ երի Մ թիվը այս բնութագրիչ (3.54) հավասարման արմավ է:
Կարելի է (353) համակարգր արտագրել 4 Հ (ույ) սիմետրիկ մատրիցի

միջոցով՝
4» Հոլ 1 Հ (թլ22.....յՅո)Շ Թ":

Այլ կերպ ասած, 4 մատրիցի համար 4-ն սեփական արժեք է իսկ 2-ր՝
սեփական վեկտոր: Օգտվենք այն փատրից, որ սիմետրիկ մատրիցի
սեփական արժեքները միշտ իրական են (այսինքն՝ կոմպլեքս չեն): Դի-
Փոք 7, 75,::: 27, Շ Խ իրական թվերն 1 Հ (ոյ) մատրիցի բոլոր
Կեփական արժեքներն են, այսինքն՝ (3.54) բնութագրիչ բազմանդամի
արմատները: Յուբրաքանչյը Ճյ սեփական արժեքին (3.53) համակարգից
համապատասիւեանում է այնպիսի

20)- (ո ոք), ն ւ50)) 6 5, 45 - յյո9), 1Հ7Հող,

սեփական վեկտոր, որե ունի միավոր երկարություն, այսինքն՝ բավա-
այում է կապի 6 - 0 հավասարմանը: Միավոր սֆերայի այս 20)

կետերը կլինեն | ւ ֆունկցիայի հնարավոր էքարրեմումի կետե որոնց

տացահայվ: տեսքր մեզ ամեննին էլ պետք չէ: Մեզ պետք է գտնել | Հ
Փունկցի այի մեծազւյն ն մոքթրագույն արժեքները, որոնց զյությունը
ապահովված է Տ սֆերայի կոմպադտ լինելով. || ֆունկցիայի անրեղ-
հավփությամըբ ն Վայնրշվրանսի թերեմի շնեորխի վ:

Կատարենք (3.53) համակարգի մի ձնավովխություն: Պամակարգի յու-
տաքանչյուր հավասարում բազմապատկենք Հլ 12,....Նո-նվ համա-
վատրասխ անարար, ն ավփացված րոլոր հավասարումները, գումարենք
իրար: Դժվար չէ նկատել. որ արդյրունքամ կարացվի

Պտ

ռ
2-1

«)-1

րն էլ, հաշվի առնելով կապի հավասարումը` համարժեք է

Պտ

(8) Հ Մ(ուռ2,....Յո) Հ Տ` ԱյայՀՀ

«)-1

106

հավասարմանը: Սա նշանակում է որ եթե Ճ-ն բավարալոսմ է (3.53)
համակարգին, այսինքն՝ 4 մատրիցի սխիական արժեք է, ապա 47 -
ՃԸ հավասարումից երան համապատանիւանող 2: սեփական վեկտորը
վերցնելով որպես (ո) ֆունկցիայի արզումենվ, կատանանք հենց Ճ ար-
ժեքը՝ Սա-վ : Սասնավորապես, Ճյ սեխական արժեքին համապա-
փասիանոլ 0) սեփական վեկտորի համար կարանանք

(22) ՀԽ. 1Հ7Հռ|

Քանի ւն) կեկերր | ֆանկցիայի լովոր արացիոնար կետերն են ապա
Տ
- 1-
առին) - արժ) - աթ:

: - : 1. : Սս
ուռ) - ատ 2) - ոա:

Այս օրինակով մենք փաստորեն ապացուցեցինք հետնյալ գեղեցիկ ար-
դյունքը.
Հետնանք 3.1. (Քառակուսային ձնի մաքսիմումի ն մինիմումի մասին)
Թ" ւարածութանն5- ՆՇԻ": |իլ|Հ1) միավոր սֆերայի վրա
աահմանված կամայական

Պտ

/2)- 5` Օյ): 265, (ո. Հ Օյ 6 Թ)

ոյ-1
Քառակուսային ձնի մեծազայն (փոքրագույն) արժեքը հավասար է ՂՀ-
(ոյ) մավղփցի սեփական արժեքների մեծագրայնին (փոքլագայնին) :

3.4 Ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն
արժեքները փակ ն սահմանափակ փիրույթում

Մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները
սահմանվում են այնպես, ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների համար:

107

Չպետք է շփոթել ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները այդ ֆունկ-
ցիայի մաքսիմումների ն մինիմումների հետ:

Ֆունկցիայի մեծագույն (փոքրագույն) արժեքը միշտ միակն է (եթե իհարկե
գոյություն ունի), մինչդեռ ֆունկցիայի մաքսիմումները (մինիմումները) կարող
են մի քանիսը լինել, անգամ՝ անվերջ քանակով: Ավելին՝ ֆունկցայի մեծագույն
(փոքրագույն) արժեքը կարող է չհամընկնել այդ ֆունկցիայի որնէ մաքսիմումի
(մինիմումի) հետ: Այդ առումով իրավիճակը չի տարբերվում մեկ փոփոխականի
ֆունկցիաների դեպքից: Եթե ֆունկցիան խզվող է կամ անընդհատ ոչ փակ
կամ անսահմանափակ տիրույթում, ապա ֆունկցիան մեծագույն (փոքրագույն)
արժեք կարող է չունենալ: Մինչդեռ ըստ Վայերշտրասի հայտնի թեորեմի՝
անընդհատ ֆունկցիան փակ ն սահմանափակ տիրույթում (կոմպակտում)
միշտ ընդունում է իր մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները: Այդ երկու ար-
ժեքները ֆունկցիան ընդունում է կամ տիրույթի եզրի վրա, կամ ներքին ստա-
ցիոնար կետերում:

Դիցուք /(1/) ֆունկցիան որոշված է ն ողորկ Չ Շ Թ" կոմպակտում,
7 ՀՇ (Չ):: Որպեսզի գտնել ֆունկցայի մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները
ք. կոմպակտում, կարելի է կատարել հետնյալ քայլերը.

Քայլ 1. Գտնել / ֆունկցիայի ստացիոնար կետերը մ) կոմպակփտի ներսում:
Նշանակենք այդ կետերը ր, 1շ...., տ/,։: Պարտադիր չէ պարզել. այդ
ստացիոնար կետերը կլինեն (լոկալ) էքստրեմումի կետեր թե ոչ:

Քայլ 2. Հաշվել / ֆունկցիայի արժեքները գտեված ստացիոնար կետերում,
ենթադրենք

(1), 7(Մծ),..., Ամ):

Քայլ 3. Գտնել / ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն արգեքները 7
կոմպակտի ծԾ եզրի վրա, ոո. (18, մոռ (ՈՌ: Այստեղ առաջանում
է պայմանական էքստրեմումի խնդիր, քանի որ ծ/ եզրը տալու է որոշման
տիրույթի նոր սահմանափակումներ: Այդ խնդիրը հնարավոր է լուծել ինչպես

անմիջական տեղադրման, այնպես էլ Լագրանժի մեթոդով:

108

Քայլ 4. Համեմատել բոլոր ստացված (/: -- 2) արժեքները՝
/Ատ), 7Առ)..... 70ն). աու մԱ. առ 7ԱՌ:

Ն(օծօ

Սրանցից մեծագույնը կլինի /-ի մեծագույն արժեքը 12-ում, կգրենք 182 (18,
13
իսկ փոքրագույնը կլինի /-ի փոքրագույն արժեքը Ծ-ում, կգրենք ուտ // (1/։

Ներկայացնենք մի քանի համապատասխան օրինակներ:
Օրինակ 32. 182 ոայթյւթյան վրա փրված է
-0. Ս-0, ՍՀ-1-» (3.55)

յւղիլներով սահմանափակված փակ բազմությունը (կոմպակտլխ) որր
եշանակենք Օ-ով: Արլ կոմպակվում որոշված է

ՀՀ յ(.յ) «Մ տյ- 7 ԷՅՏ-4յ| Է» տւուո., (Ս) Ս,

Փունկցիան ն պահանջվում է հաշվել երա մեծագզայն ն փոքրագույն ար-
ժեքները Ս կոմպակտում:

Գծ. 10

Լուծումն սկսենք ներքին սվացիոնար կեփերից,

ԽՀ-աՒ3Հ-0 Ս--3

տո՛-10.-3):
Խ-ո-2Է4-0 1 ---10

109

Քանի տր միակ ստացիոնար կետր գտնվում է Ս կոմպակտից դուրս,
Նյ(-10, -3) 9.5, մեզ չպերք է հետաքրքիի (1) արժեքը: Պեզմաբար
7-ի մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները Ս կոմպակվում հասանելի են
ք կումպակվտի ծք եզրի վրա: Այդ եզրագիծը կազմված է երեք ուղղագիծ
հատվածներից Օն Օ8, 48, որունք կքննարկենք հաջորդաբար:

1) Եթե (ոս) ՇՕՕՀՆ ապայՍՀՕ0Հ»ՀՆնիՓֆոաւնկցիան ընդունում
է (0) տեսքը: Պարզ ե որ | (ո0) ՀՅ ն արացիոնար կետեր
Օ.4 հարվածի վրա չկան, ուրեմն՝

ոչ (յ) -7)()Հ-/219-3.

(ոչյ)6Օ4

ոռ (,9) - /(Օ)-)/(.0)-0:

(ոյ)«Օ4
2) Եթե (ոմ) «ՕՏ ապաւՀ0Օ0ՀՍՀՆն/փֆոաւնկցիան ընդունում
է 07) - Խ-7՛ տաքը: Այայալ խ(0) - 4-2 -0 ի
ատացիոնար կետը (0,2) . ք չի պատկանում Օ կոմպակտին, ուրեմն՝
այն անտեսում ենք: Հաշվի առեենեք ի-ի արժեքները Օ8 հարվածի
ծայրակեղրերում՝

(Օ-)00-0 7/1258/Հ)/021-Հ3:

3) Եթե (ոս) Շ 48, ապանյՍՀ1-Յ» 0Հ»ՀԼ ն տեղադրելուց հեվու
) ֆունկցիան րնդունում է հերնյալ տեսքը՝

յԹա1-թՑՀԱ-Ց-Ա-»ոԷ3Յ6Ի41-»)Հ-Զո Է 25Վ3:

Ածանցումը ցույց է տալիս, որ

1 1 1 1
(Թ .11-»)--4,.Ի52Հ-0, ՀՐ 9» ոչ) -տոա

մաքսիմումի կե է եզրի վրա: `աշվենք մաքսիմումի արժեքը՝

ոու - (1) - ) (չ.:) -- 7 :

110

Եզրի վրա բոլոր արացված արժեքները համեմապտելով՝ տարանում ենք

ուա (1 - ու /ՈՈ- (, ) 1

160 1/օծ0 2:2 2՝
ուռ (մ) - ուա ՄԱՄ) Է 7(0.0) - 0:

Հաջորդ օրինակում տիրույթի եզրի վրա ոչ թե պարզ տեղադրում ենք
կատարում, այլ լուծում ենք Լագրանժի մեթոդով:

Օրինակ 33. թշ հարթության վրա ՛փրված է 5 շառավղով փակ շրջան
թվայ «Թ: Ժա Հի

դրում պահանջվում է գտնել փրված ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքթրա-
գույն արժեքները՝

ՀՀ (ոյ) «2: ց - 125- 16յ| Է-» տոոո., (օթ:

Սկզբում գտնենք | ֆունկցիայի արացիոնար կետերը Ս փիյսայթի
Ներում,

Բ ՀՉո- 12-0 6
Խ/(6, -8):
Խ-2Է16-0 Ս--Ց

Ստացանք րնեդամնեներ մեկ ափացիոնար կեվ, տրե էլ չի պատկամում
դիտարկվող փիլսսյթին` 1/օ(6,--8) Ժ ք ն արեմն՝ պեվք է անտեսվի:
Հետնաբար ի-ի մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները Ս շրջանում հա-
ւանելի են ք կոմպակտի

ծօ0- Նն Շիշ: 22-Ի Մ7Մ- 25)
եզրի (շրջանագծի) վրա: Առաջացավ պայմանական էքափրեմումի խնդիր`

ՀՀ) -ոԷՄ-1Զ--Փ 16յ Է-չ տո.ուո.

շա 225-Թ-յ-0։

111

Կազմենք |-ի Լագրանժի Փֆունկցիան՝
ը - ն(ուց.2) Հ) 26.) -« 7 - 12, 16յ-2(25- ո - կ),

տրտեղ Հ-ն Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչ է:
Նախ. գտնենք Լագրանժի ելո) Փանկցիայի արացիոնար կերերը:
Դրա համար կազմենք ն լուծենք հետնյալ համակարգր

11(2Ս,72)-2»-12-2.,7Հ-0 211-2)Հ-6
նո յ,Ճ) -2Ս-Է16-27Ս-0 ս1 -7)Հ--Տ
է(ուց.2) -25-:--0։ 2 Է յ Հ25:

Գամակարգն ունի երկու լուծում՝
հո(3, -4), երբ 27 - -1,
ԽԹ(-3, 4), երր ՃՀՅՑ:

Պայմանական էքափրեմումի բավարար պայմանն ավուգելու կարիք չկա:
Ըեղդամենր պերք է հաշվել | ֆունկցիայի արժեքները նի. ն նշ կետերում
ն րետլությաւն կատարել,

ոչ /(,)- տու /(. յ) Հ /(-3,4) Հ125,

(ոյ)Շ0 (յյ)օծ0
ոյո /(ոց)- ոո 2, Ս) Հ )(5,-4) Հ -Թ,
Հրո շ7059) Հ այժ Հ7/6-ՀՉ

ինչը ն պահանջվում էր գտնել:
Օրինակ 34. 25 նշաչամվ վփարածության մեջ փրվածէ 2 շառավղով
միակ կիաագունոլ

ք" ոատ»«Թ: 22-Ի 2-Ի 2ՀՎ 2117

դրում պահանջվում է գտնել փրված ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքթրա-
գույն արժեքները, (8.26 5,

ն Հ (9,2) «Մ 2Է-Է22-Չ2- 2-22 Էչ տոթւոլո. :

112

Սկզբում գտնենք | ֆունկցիայի արացիոնար կետերը Ս փիյսայթի
Ներում,

/-2-2Հ-0 5-1
Խ-2-2-0 Ս-1 ձո1,1.1)|6Թ52:
Ի -2»-2-0 2-1

Ստացանք րեդլամենը մեկ ափացիոնար կեվե. որմ. պատկանում է դի-
տարկվող տիլոայթին՝ նո, 1) 6 0: Քանի որ մեր առջն էքատրեմումի
խեդիր դրված չե կարիք չկա ոլտշելու ձր հնարավոր էքափրեմումի
կետի բնայթի:

Շարունակենք մաքսիմումի ն մինիմումի որոնումները, այժմ, եզրի

վրա: Տվյալ Ս կիսագնդի եզրր բաղկացած է
ՏՄ (ն. ») Ե: 2-Ի -Ի2-4 Հ 0)
կիսասֆերայից ն

քց «4 (նշ) թ: ՅԻՄՀՎԼ չ-0

փակ շրջանից |ժն - ՏՈՍԾց: Կիսասֆելրայի վրա ձնակերպվենք պայ-

մանական էքափրեմումի իւեոլիր կապի մեկ հավասարումով՝
ԿՀ)յԹա2Հ-ո ՒՄ Է»-Զո- 2-22 Է-» ոո.
շաա ԹԹՎԻՄԻՅ-4-0:

Այս խեդիրը լուծելու համար կազմենք |-ի Լագրանժի ֆունկցիան՝

ոՀ յ.2.2) ՀՍ) Է 2Փ(.7,2)-
Հո Էշ7-Չո- Չյ- 22-Ի 27(-Է 7 Է 22 - 4),

տրտեղ Հ-ն Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչ է:

113

Գրնենք Լագրանժի Ն ֆունկցիայի արացիոնար կետերը: Դրա հա-
մար կազմենք ն լուծենք հետնյալ համակարգր

1 -Զո-2-լՉ27:Հ-0 21-2)Հ1
նՆ-2-2-Է27-0 ս1-Ի7)Հ1
է -2--2--27-Հ-0 ՀԱ-Ի7)-1
Փ-Վ Ի -4Հ0 22-Ի 2-4:

Պարզ ե որո»ո«--ՍՀ2»0, ն համակարգե ունի մեկ լուծում
ո-( 7-8) Նա երը ,-Ց- ր
Դարձյալ պայմանական էքափրեմումի բավարար պայմաննե ավոնգելու
ն մթ հնարավոր էքարրեմումի կետի բնույթը պարզերս կարիք չկա:
Այժմ հետազորենք | ֆունկցիան ք|ց շրջանի վրա. երբ Է 7 ՀՃ
շ - 0: Տեղադրումից հետո | ֆունկցիան պարզ փեսք է ընդունում`

ս()-)(ոյ.0)-:«ԳՄմ-Չ-2յ:

Սց շրջանի ներտոմ (ո,Ս,0) ֆունկցիան միայն մեկ ատացիոնար կետ
շենի
ա.-Զո-2Հ-0
, Է Հ-» 101,106 59:
ա-Հ2յՍ-2Հ-0
Վերջապես Սց շրջանի եզրի վրա, ծնց - ՎՆԱ 2) 6 Թ3: 22-7-4-Հ-
0) շրջանագծի վրա դարձյալ սփանում ենք պայմանական էքավփրեմումի
խաեղդիր կապի մեկ հավասարումով
7(ու) - /(ոյ.0)-ոԷՄ7՛ -Չ- 2 Է-» տոչուո.
շա ՏԻ - 4:
Այս խնդիրը լուծելու համար կրկին կազմենք է-ի Լագրանժի ֆունկցիան`

Ե-Ն.) - (0-22 -:Ի7 -ՉԶո-2յ-Է2(- Էյ -4)

114

որտեղ Ճ-ն Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչ է: Օգնենք Լագրանժի
Ն ֆունկցիայի արացիոնար կետերը` կազմելով հետնյալ համակարգը`

1 -2:--2-Լ-272Հ-0 214Ի7)Հ-1
ե-2-2-Է27Ս-0 ս1-7)Հ1
ԶՓ-փյ-4Հ-0 2Ի-4:

Քանի ոլ. տր - Ս, համակարգն ունի երկու լուծում`

լ
նլ - (/2."/2.0)| 6 Սյ. երբ Ճ----լԼ
1-( ) 0 իբ 7
լ
մր - (-2.-"/2.0)| 6 Ծյ. երի Ճ---Ը-1:
5 -( ) 0 իր 5

Լուծումն ավարտելու համար մեում է հաշվել | ֆունկցիայի արժեքները
մղջ3» կարեյոսմ ն ընտյոսթյոնն կավարել,

Աո) ՆԼՆՍՀ-Ց,

աթ -7(7--8)--ԿԸՅ-2

ՄՅ 7/3 «3

(185) 7)(.10)Հ-2,

(ւղ) Հ 76/2. /2.0) Հ -4(/2- 1),

(165) Հ /(-/2, -Կ2.0) Հ 4Ր/2 Հ 1),

ոու /(11) - /(16) Հ /(-Կ2, -"/2.0) Հ 4/2 1),

Ն/(6ք

ուդ (41) Հ- Ամ) Հյ. Լ.Ս Հ -Յ,

ինչը ն պահանջվում էր գտնել:

Օրինակ 35. Ձեշնարկությունն արփադրում է երկու փեսակի ապրանք,
րոնց վաճառքի (հաստատուն) գեներն են քլ -3նըչ Հ 2 միավոր
(օրինակ, հազար դրամ), համապասխանաբար ըերաքանչյոր միավոր
ապրանքի համար: Արտադրության համար օգփագործվում է եկու ՛փե-
մակի հումք: Առաջին ապրանքատեսակի մեկ միավորի համար ծախս-
մում է 2 միավոր 1-ին հումքից ն 3 միավոր 2-րդ հումքից: Երկրոդ

115

ապրանքատեսակի մեկ միավորի համար ծախսվում է 4 միավոր 1-ին
հումքից ն 1 միավոր 2-րդ հումքից: Կամքի օրական պաշարն է 40 միավոր
1-ին փեսակի հումքից ն 15 միավոր 2-րոլ փեսակի հումքից:

Որքա՛ն պետք է արտադրել 1-ին ն 2-րդ ապրանքատեսակներից,
Դր պեսզի օրական հասույթի լինի առավելազայներ:

զշ
4(0,10)

Գծ. 11

Լուծենք խեդիրը՝ բերելով այն մաքսիմումի իմորին: Ենթադրենք
1-ին ապրանքատեսակից արվփադլում են զլ հավե, իսկ 2-րդ ապրաւնքա-
տեսակից՝ զշ հավ: Այդ դեպքում հատույթի Փֆոսնկցիան կլինի՝

ո(աււՓ)-թրոա-ԷթՓ-3գ-Է2գ2:

Ըստ պայմանի` 1-ին մրեսակի հումքից ծախաւվում է 2 միավոր` 1-ին
ապրանքատեսակի համար ն 4 միավոր՝ 2-րդ ապրանքատեսակի համար,
ռեդամենը 2զգ --4գ միավոր համք: Իսկ 2-րդ փեսակի հումքից
ծաիխուվում է 3 միավոր` 1-ին ապրանքատեսակի համար ն 1 միավոր`
2-րդ ապրանքատեսակի համար, րեդամենը 3զ-Է-զշ միավոր հումք:
Ըար պայմանի՝ այդ քանակները սահմանափակված են՝

2զլ Է 4զշ ՀՀՍ, Յո -ԷՓՀ5:

116

Արյլյունքում ձնավորվեց մաքսիմումի խեդիր որոշակի տիրույթում՝

ՀՀ|ՈՍւՓ)-3զ-Է2գ|վ--» տճչ.

2 գլ Է 4զշ Հ 40, Յ գ ԷՀ, զւ-0, 2-0:
Երկրաչավուրեն Է Փոսնկցիայի արացված որոշման վվլմայթի իրենից
ներկայացնում է փակ քառանկյուն (կոմպակա) ՝ |ք թյ Օ4Շ8| տեւ
զծագիրը : Մեզ անհրաժեշվ կլինեն ք քառանկյան գագաթների կոռր-
դինատները՝

օ.օ. «0109 Շ29. 51.0):

ք տիրույթի ներաում Է Փունկցիան արացիոնար կետ չունի, քանի որ Ա-ր
ն ն

գծային ֆունկցիա է (Ե-ի գրաֆիկը հարթություն. է) ն ր -- Ց, Չը -- 2:
լ 2

Հետնաբար, Է ֆունկցիան հասնում է իր մաքսիմումին Ս քառանկյան

եզրի վրա:

Ավելին` Բ ֆունկցիայի նեղացումը ք քառանկյան յուրաքանչյուր կողլ-
մի վրա հաայնպես գծային է (ուրեմն` մոնարոն) ն ցանկության դեպքում
դրանք կարելի է բացահայտ գրել, ԱԽ-ի մեջ փելադրելով 0 քառանկյան
կողմերի հավասարումները՝

Յզ.. եթե (զ, զշ) օ ՕՑ,
2 զջ. եթե (զ, զշ) ՕՕ.
30-3Յզլ, եթե (զ.զշ) Օ ԹՇ,
2-20. նթն (զզշ) օՕ4,

Ճ(զւ, զ») -

թեն դրանում մեծ անհրաժեշտություն չկար: `ետփնաբար, Է Փոանկցիան
հասնում է իր մաքսիմումին (նան մինիմումին) միայն ք քառանկյան
զագաթներում: Մեզ մնում է հաշվել Է ֆունկցիայի արժեքները Օ, ( 8,Շ
գազաթներում ն րնփրոություն կավփարել,

ո(Օ) - ո(0.0)-- 0.

117

Խ(1) Հ Խ(։, 10) - 20,
ո(8) - Ո0.0)յ- 15,
Խ(Շ) - 02,9) 24
Ց. Ճ(զւ, շ) - Ի(Շ) Հ 80,9) Հ24:

(գ1:գ2)6

Այսպիաով՝ օրական հասույթի առավելագույն չավր 24 միավոր է (այսինքն՝
24 հազար դրամ) ն այն հասանելի է եթե օրական արտադրվի 2 հատ
1-ին ապրանքատեսակից ն 9 հատ 2-րդ ապրանքատեսակից:

118

Վարժություններ ինքնուրույն աշխատանքի համար
Գտեք տվյալ ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումի կետերը ն էքստրեմումները.

Լ. Թ 0-(օ- 172-527

Պատասխան` ոռ -.)(1,.0)-0
շ 72.) -6-1)- 27"

Պատասխան` էքստրեմում չկա, (1,0) կերը թամբակետ է
3 7(2Հ» -աայ իյ"

Պատասխան` (ուտ - )(0,0)-0
ե ԹՀ» -ա-յ՛

Պատասխան` էքստրեմում չկա, (0,0) կերը թամբակետ է
5 )/(ա)-:- 2ոյ- 27-25

Պատասխան` (ոո - )(-2.-1)Հ-Զ
6. /ԹԹՄ-»Թ-`ՆՄ-«7- Չոյ-յ՛

Պատասխան խա -700-. ա-Մ(79)--ք
7. Թ.Ս-ՅՀ-2(Մ -3Յո-6Ս

Պատասխան` (ոու - /(-11) Հ6, ժուռ Հ )(,-1)Հ-6,

(1, 1), (-1, -1) կետերը թամբակետեր են

8. 7/(Թ/Ս-47-ԷՉՍ-37-մ՛

Պատասխան` (ոու - /(21)Հ5
9 /Թ.Ս-ՀՅՀՅ-ՆՄ-1ոյ

Պատասխան` ոռ - (5,5) Հ -125, (0,0) կետը թամբակետ է

119

10. 7(Թ/Ս-:Էա-ԻՄ-ՅԵ-6Ս
Պատասխան՝ ժուռ - (0, 3) - -9
11. (ու) -ո1-Է47- 2ոյ-Ւ4
Պատասխան՝ ժուռ - (0, 0) - 4
1
2. /ա--Է- Էս
Ս Ն
Պատասխան՝ ոուո - 1, 1) -ՅՑ
3. 7Աայյ-« Հոյ -Չ25-Ս
Պատասխան՝ ոուո - 1, 0) --1
14. /այ-"6-»- »այ»0
Պատասխան՝ ոո»: - 7(5, 2) Հ 108
15. /(Թ./)-» յ -Չո՛ - 2 Է4ոյ
Պատասխան` /ոռ - /(/2,-ԿՉ) Հ /(-Կ2.ՊՉ)Հ -Տ.
(0,0)-ն թամբակետ է
16 7/(.)- 2` Է Յոլ -- 15» -- 12յ
Պատասխան՝ ոուո - 702, 1) - --28, ոո» - /(-2, այ - 28,

(1,2), (-1.-2) կետերը թամբակետեր են

2 2

2. 7)ւ-ար-5-5
Պատասխան` (ոու - /(.,1)Հ/(-Ն-1)Հ լ
ժուռ - 7(-Ն 1) - 76, -1) - շ

8. /Թա-1-(7-ԻյԴ2
Պատասխան՝ ոո»: - (0, 0) -1

120

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

/2Հ-(2-Իյ)օ0 2)

1
Պատասխան` յուղ - (0, 0) -0 ն ոչխիստ րդու - Ժ ր - ն
որտեղ Պ- (յ) ՇԹ:ո ԷՄ -1) միավոր շրջանագիծ է
1 2-Ս
Ը. Ս)--Ե-------
/9--Մ-- ավա Շաղ
Պատասխան՝ ոո» - 741. -1) - /3
8
/ոտ--ՏԻՐԻ .Ս»0
Ն Սն
Պատասխան՝ մուռ - (4, 2) - 6
2.) Հ( - 27)62"7
- 8
Պատասխան` ոու - Մ(-Ճ -2) Հ -ջ (0, 0)-ն թամբակետ է
6

/2.յ.2)Հ-ատԻ2-ոյփա- 2»
- 2 1 4
Պատասխան ուռ - ) (3. ա-ն լ ՇԸ

2 2 2
«ՀՀո ԻՎ 2.02»0
Ճ6 յ 2

Պատասխան` հու-) (. 1, ) «4
(02)-:ա-Է27-Է22-2:--Է-4-652-1

Պատասխան` /ու- )(1-ՆՅՀ--1
(2..2)-Չ-ԷՄ-Է2-ԶՈՍՒ42-»

Պատասխան` (ոռ - (չ 7, 3 - -Զ

Մ(ո.2)-:3-ԷՄ-ԷՉ2-Է այ -2Չոչ-Է3ՅՍ-1

- 1 9
Պատասխան` հա-ի լ. -Զ, չ) Հ -շ

121

5. 7աա»-ոթԱ-«-կ-»)
111 1
Պ ն` ոո -- ո | - Յ:ր
ափասխան / ն 1 Ս 256
2 2
29. 7(ա..2)-2-Է7
Ս

42: -Է 227

ւ 111 1
Պատասխան` ոլո - ) լլ ՇՏ

Դ0. (ո, Ս, 2) -- (շ ԴԷ Ս Դ- 22) օ-ԱՀԻՑ »-)

1 1 1 Ց
թ-7( որոտ) 1:

Պատասխան՝

1 1 1 Ց
հա-7( րար")
3. (յշ) -ո Է 47 -Է627- 28-62-02
Պատասխան` /ու- )(-1Ն-11)Հ-Ց
32 )(Թ..2-ԽԷՍՀԻՀ8
Պատասխան` էքստրեմում չկա, (0,0,0)-ն թամբակետ է
33. (ա:«-272ԷՄ7-ԷԻ225-այ-ոՀ-
Պատասխան` էքստրեմում չկա, (2, 1,7) կետը թամբակետ է
34. )(Թ.2-Յոէշոժտոչ-ժԶ22-25-Ս-»)
Պատասխան` ոո» - 7/(6,4,10 -Ցո6Ի2ո4-5ո10-1ո2

Գտեք տվյալ ֆունկցիայի պայմանական էքստրեմումի կետերը
ն էքստրեմումները.

35. (Թյ)-ապ. երբ «Իյ-1
1 1 1
Պ ն՝ նո 2 |Հ--
ատասխան` ի ) (չ ) 1

122.

36 (Թ. )-»ո»-Ւ2յ. երբ «7-Ի 7Հ-5
Պատասխան՝ ժու - 71. 2) -. ն Ժոռ - 7(-Ն -2) - ՇՏ

37. (Ս)-6-4:»-3ՅՍ,, եր 272ԻԷ7-1

4 3

Պատասխան` ոու- 6: Տ) Հ Ալ,

43
մու -- ) (: : --1

ե
38. Մ(ոյ)-»-Ւ Մ. երբ 2ՎԻ7Հ-1

2 ՅՑ
ի 18 12 Յ6
Պատասխան հաո- Է թ) - 13

39 Մ(.մ2Հ)-»-Չ2ՍԷՉ22. երբ 22-Ի Ի22Հ-9
Պատասխան` /հոռ-)(-1,2-2Հ--9 ն յխոՀՍ/(-22)-9

40. (ամ2)-Հ25,. երբ 252-Էց-Է-ՀՀ-12 (2,120)
Պատասխան` ոո - 7/(2, 46) -2:42-6: Հ 6912

4. 7(ՐԹ.Ս2)-ՖՍՀ երբ 2»ԻՍԷՀ-5 ն ՀՅպ-ՀՍՀԻՀՀ-Տ
Պատասխան` ուռ - (22,1) Հ /(21Ն2)Հ /(,2,2)-4

447 474 7 44 4
հա -7(ագ) (Ց) ալլ) 97
42. . Ապացուցեք անհավասարությունը՝
/ՆՍՀ Հ ՏՐ, 2.12»0:
Ցուցում. Փնտրեք ի/ - «յՀ ֆունկցիայի մաքսիմումը, երբ 2 7-2 - 5:
43 . Ձեռնարկության արտադրական ֆունկցիան որոշվում է

Ա 1)ՀԻՈ Լ"

123

44.

45.

46.

47.

բանաձնով, որտեղ 14 -ով նշանակված է կապիտալի, իսկ Ս-ով աշխատուժի
միավորների քանակները: Կապիտալի 1 միավորի արժեքն է 40 միավոր,
իսկ 1 միավոր աշխատուժի արժեքն է՝ 20 միավոր: Արտադրության
համար հատկացված է 24 000 միավոր դրամական միջոց:

Գտեք արտադրանքի հնարավոր առավելագույն քանակը:
Պատասխան` ոո» - (150, 300) Հ 406, 62

Ստորն բերված խնդիրներում գտեք ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն
արժեքները տրված տիրույթում.

Թ. -1-»»-Ի2յ, հետնյալ տիրույթներում՝
ա) 2010 ՀՍՀ:
Պատասխան` ոո / - /(0,1)-3, ոլո / Հ /(0,0)-1
բ) 220 ՀՅՀ«-ՍՀ1Լ:
Պատասխան` ոո / - /(1,0)Հ-2, ոլո / Հ /(0.-1)--1

(ո) Հոյ, 22-Է ՀԼ տիրույթում:
Ղ խան՝ 71 7 1 2
ատասխա 112824 - -.-Ծ- -- ---- չ
ր 33) 3

ո/- 211 2
ռոմի յի 573

(ոմ) -ո- Ս, 22-Է ՀԼ տիրույթում:

Պատասխան` տո / - /(ԷԼ0)Հ-1, ոլո / Հ /(0,Է1)Հ- -1
(«.01)-:ԷՄ7-Յ-ՀՀՒՍ, «Հ, յՍՀ0ՕՑ «էՍՀ-3
տիրույթում:

Պատասխան` ոչ / - /(0,-3)- /(-3.0)Հ6,
տո / Հ /(-1-1)Հ-1

124

48. (ո) -պու-Է Ջոյ Է Տոնը -Ժ ց), 0ՀՀՀշ. 0ՀյՀ-

աֆ
տիրույթում:
' ՅՃ/3 .
Պատասխան` ոճ - ի (1.5) - Թ , լո / Հ /(0,0)-0
49 (.Ս-:Յ-ԻՄ- ՅԵՍ, ՕՀՇՀշ,. -ԼՀՍՀ2 տիրույթում:

Պատասխան` ոչ / - /(2-1)Հ18,
ալո / Հ /Ա,1)Հ7(0,-1Հ--1

Գրեք ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները տրված կորերով
սահմանափակված տիրույթում.

50. (Թ) -Յո-ՒՍ- ՋՍ, Ս-Հ` Ս-Պ ՀՀ0
Պատասխան` ոչ / - /(2,2)- 4, ոլո / Հ 7/(0,0) Հ /(4,4)-0
Տ. Թ)-ապ-«-2յ, ՍՀ» ՍՀ-0«Հ-Յ
Պատասխան` ոչ / - /(0,0)- /Թ,3-0. ոո/Հ )/0,0Հ-Ց
52. (ոյ) - 7 Է ՉոՍ- 4: ՏՍ, 5-0 2Հ-ՍՍՀ-0ՍՀ-Ձ2
Պատասխան` տո) - /(,2)- 17 ալո / Հ /(1,0) Հ -Ց
53. (ա) -5ո-ՅԵՍ-ԷՍ«, 5-02»2Հ-1ՆՍ-0Հ-1
Պատասխան` ոչ / - /(1,0) Հ 5, ալո / Հ /(00)-0
54. (ո) --ԷՉՑՍ- Մ- 45, ՍՀԱՀ-ԼՍ «ՀՅ ՍՀ-Օ
Պատասխան` ոչ / - /(3,3) Հ 6, ալո / Հ /(2,0) Հ -4

55. (ւյ -3-Է ՍՄ -Զո-ՉՍ-Տ, 2-0 ՍՀ-022-ՍՀ-1
- . 11 13
Պատասխան` ոչ / - /(0,0) Հ 8, տո / - / (չջ) -ջ

125

56 (մ -ՉԾ - ԷՄ, 5-0 »2»-ԼՍ-0Հ-6
Պատասխան` ո / - /(0,6) Հ 36, ալո / Հ /(00)-0

57. (ա) -ՅԱՒՑՍ-3-ՀՅՍ-Ս, 2-0»2»Հ-ԼՍՀ-ՕՍՀ1
Պատասխան` ոչ / - /(,1)- 6, ալո / Հ /(00)-0

1
58. 72.) - շր ոյ. Ս-Տ. ՍՀ-Զոշ
Պատասխան` ոչ / - /(-2,8) Հ 18, ոլո / Հ /(2,8) - -14

| 9
59. ՄԸՏ. Ս-Չշո-Է3Յ7-ԷՆ Ս-0Ս- 9- գ»

Պատասխան` ոչ / - /(0,3) - 28, ալո / Հ /(0.0)-1

60. /(.)--4-282- Մ, Ս-0 Ս-ՊԽ1-ո2
Պատասխան` ոչ / - /(0,0)-4. ռաոյ/Հ/(-10)Հ /Ա,0)Հ2

126

ԳՐԱԿԱՆՈւԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

ը| ԳՄ. Ֆիխտենգոլց, «Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքներ»,
Հատոր 1, Լույս, Երնան, 1970
Լ.ԽԼ. Փոթոճուօ7 Եղ, " ՕՇոՕՏ5Լ ԽԱՆՇԽՈՐԱՎՇԸԻՕՐՕ ՃԱՆԱՈՅՑ: , Վոօոո 1,2,

ոՅշ1. 10, 9-6, մաւջ, Շ-11656ք67քո, Խ1օՇ582, 2015, 2008

|2| Գ.Մ. Ֆիխտենգոլց, «Դիֆերենցիալ ն ինտեգրալ հաշվի դասընթաց»,
Հատոր 1, ԵՊՀ, Երնան, 1949

Լ. Ն1. Փոր ճուՕ Եղ, " 76 աՓֆՓճքճուամ յ ԵԼՕԻՕ 1 111 Ւ6Իթմ ԵԼ ՕՐՕ աՇՎԱՇ Ցու 121,

ԿՎՈՇՆԵ 1, ոՅո. 8-6, Փոտաճղյւււ, հ106թ82, 2003

Թ) 17Լ Ճաոթոթոծթ, " Ճքութու Տ7քՇ ԽԵՐՇԽԵՐԸՎՇՇԻՕՐՕ ճո ւՅ8 , 10. 2,

ոո. 3-6, ՓոՅխԽԾՆՈւՆ, Խ1օՇ5Ց:, 2005

|4| 71 7Լ. Ճոթոթոծթ, " Խ3քՇ ԽԵՂՇԽՈՂԱՎՇՇԽՏՕՐՕ 81.21387, ԼՕխւ 2,

ԹՇ ուճ6 ՕՇքոտօոճււ6, /1քօՓո, Խ106աթո, 2004

5| Օ.ԽԼ Էր չօոծօթան, " Ճ5քՇ ԽՈՂՇԽՈՒԱՎՇՇԽՕԻՕ Ճ.ՈՅ8 , ո3շւ. 6-6,

Փոտ ոու, Խ10ՇթԹՁ, 2001

|6| 8... ՍՍթոո, 9.1. ԱՕ," Օօոօտեւ ԽՏՂՇԵԽԵՂԱՎՇՇԽՕՐՕ 811387,

ԿՎՈՇՆԵ 1, ոՅո. 6, Գոտու, հ106թ82, 2003

1 8.,Ն Սոշռո, 8.1. ՕՃոօԹովո, 9. Շճոօթ, " ԽԼոոծաոՂ ա Վ6Շաո 8ոռՅ",

ՎոՇՆԵ 1, ԽԼՐ"Ֆ, 10682, 1985

|8| ՎԽ. Մուսոյան, «Մաթեմատիկական անալիզ» , Մաս 1,2, Զանգակ, Երնան,
2009, 2012

127

|9| Մ.Բ. ՛ոօոժհ, "՛1իօ Խ16եհօմ օք Լճջոճոթծ տաելթիծոտ" , ուն ՄՈԽ.,

Տճո Ճուօոլօ, 16585, 2012

ւ10| Մ.Հ. Մուրադյան, «Բարձրագույն մաթեմատիկա տնտեսագետների համար:
Շատ փոփոխականի ֆունկցիաներ» , Տնտեսագետ, Երնան, 2002

Լ11| 5. ԼՇոՇոՄո, ՄՇ. Օոխծոօյլ, " Ճօուքոթուծքու 8 ճու ւծ" , հնք, հ1065թ8,
1967

12| Ե.ԼԼ 116ուայւօ821Վ, Շճօքոաւթ 31 ՈՅ8Վ ա Մաքճշթաճաաւն ոօ ԽԼԱՆՒՇԽՐՆԻԱԼՎՇԸՏՕ-
,

ՊՐ ՃԱԽԱԱՅ», 1371. 18-6, ԽԱՐ, Ճ10օթթո, 1997

Լ13| 11.171. 71ութօ ո թ., Խրոօաուովօօթո ՃոճուՅ 5 ոքոդճքճչ ո 387ՈՎ85,

ԿՎՈՅՇՆԵ 2, Թաւոճ, ւտօոո, Խոճտ, 1977

Լ14| Գ. Գնորգյան, Լ. Գալստյան, Ա. Թասլաքյան, Գ. Միքայելյան, Կ. Նավասարդյան,

«Սաթեմատիկական անալիզի խնդրագիրք» , Մաս 2, ԵՊՀ, Երնան, 2014

Լ15| 8.Փ. 55308 1 թ., " Խո ՇաուաՎ6Շաո ճուճուՅ 5 5օղքօճո» 1 3871Վ85:,

Փոտ ւ, Խ10ՇթԹՁ, 2002

16| 11... Թռոօոքոյօթճ, Շ.ԷԼ Օոճժոաւթ, 8.Ճ. Շողօուաում, " Յ8ղոՎո տ

7Աքճշթճ ոչ 0 ԽՈՂՇԽԱՂԱՎՇԸՏՕՆԸ ԱՅՅ», ԽԼՐ5, Խ1ՇՇաԹո, 1988

128

Բովանդակություն

Նախաբան
Հաճախ օգտագործվող նշանակումներ

1 Երկու փոփոխականի
ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումները
1.1 Լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը

երկու փոփոխականի ֆունկցիաների համար:

Թամբակետի գաղափարը: ..........
12 Լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանը

երկու փոփոխականի ֆունկցիաների համար
Լ3 Բարձր կարգի դիֆերենցիալներով

լոկալ էքստրեմումի բավարար պայմանը ..

2 Մի քանի փոփոխականի
ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումները
2.1 Լոկալ էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը

մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար

22 Լոկալ էքարրեմումի բավարար պայմանը

մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար

23 Որոշ տեղեկություններ հանրահաշվից
քառակուսային ձների մասին .........

129

22,

24 Լոկալ էքարրեմումի բավարար պայմանը
մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների համար

(շարունակություն) ոՆՎՂԼ ՎԱՎ ՂԱՂԱ ԱԱ ԱԱԱՂԱԱՎԱԱՆ 53
Ֆունկցիայի պայմանական (հարաբերական) էքստրեմումները:
Լագրանժի մեթոդը 59
3.1 Խնդրի դրվածքը երկու

փոփոխականի ֆունկցիաների համար .............. 59
32 Պայմանական էքստրեմումի խնդիրը երեք

փոփոխականի ֆունկցիաների համար .............. 80
33 Պայմանական էքստրեմումի խնդիրն ավելի շատ

փոփոխականի ֆունկցիաների համար .............. 93
34 Ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն

արժեքները փակ ն սահմանափակ տիրույթում ......... 107

Վարժություններ ինքնուրույն աշխատանքի համար 119
Գրականության ցանկ 127

130

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ԿԱՐԵՆ ԼԱՐԻԿԻ ԱՎԵՏԻՍՅԱՆ

ԼՈԿԱԼ ԵՎ ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ
ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՍՆԵՐ

Համակարգչային ձնավորումը՝ Կ. Չալաբյանի
Կազմի ձնավորումը՝ Ա. Պատվականյանի

Տպագրված է «Արման Ասմանգուլյան» ԱՁ-ում:
ք. Երնան, Հր. Ներսիսյան Լ/125

Ստորագրված է տպագրության՝ 27.04.2018:
Չափսը՝ 60::484 :/լց: Տպ. մամուլը՝ 8.25:
Տպաքանակը՝ 150:

ԵՊՀ հրատարակչություն
ք. Երնան, 0025, Ալեք Մանուկյան 1
ՖՃԺՄ.քսԵլտիհլոջ.Յող

բո

ամանն
հրեվլն 710
մնան