Մաթեմատիկական անալիզ. Երկրորդ մաս

ԵՐԵՎԱՆԻ ԵՊՀ

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ԻՋԵՎԱՆԻ ՄԱՍՆԱՃՅՈՒՂ

Ա. Գ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ, Ա. Ս. ՍԱՐԳՍՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶ

(դասախոսություններ)

ԵՐԿՐՈՐԴ ՄԱՍ

ԻՆՏԵԳՐԱԼ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ԵՐԵՎԱՆԻ

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ

ԵՐԵՎԱՆ

-

ԵՎ

Մ

ՀԱՇԻՎ

ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

-

Ա

ար--

-

,

2-Վ«

ՀՎՏԴ 517

ԳՄԴ 22.161 Ղ 249

Ղ249

Ղալումյան Ա. Գ., ՍարգսյանԱ. Ս. երկրորդ անալիզ (դասախոսություններ), Մաթեմատիկական

մաս.:

:

ը

-

Եր.: ԵՊՀ-ի հրատ., 2008, 136 էջ:

անալիզի կարնոր Ձեռնարկում շարադրվածէ մաթեմատիկական բաժիններիցորոշյալ (Ռիմանի)ինտեգրալը,պարամետրիցկախվածինֆունկցիաների դիֆերենցիալ տեգրալները մի քանի փոփոխականների հաշիվը: Նախատեսվածէ ԵՊՀ-ի ն Իջնանի մասնաճյուղի, ինչպես նան այլ բնագիտական ֆակուլտետների ուսանողների համար: Ձեռնարկը անալիզ, առաջին հանդիսանումէ Ա. Գ. Ղալումյանի«Մաթեմատիկական մաս, մեկ փոփոխականիֆունկցիայի դիֆերենցիալ հաշիվ» ձեռնարկի շարունակությունըն պահպանվածեն այնտեղ ընդունվածբոլոր հիմնական նշանակումները:

ԳՄԴ 22.161

ԵՊՀ

Գրադարան

|ալ ՏՍ 121789

ՀԱԼ

|ՏՑԵ 978-5-8084-0932-3

աան ՕԾՂալումյան Ա. Գ.,

ՍարգսյանԱ. Ս.,

2008 թ.

ԻՆՏԵԳՐԱԼ

1 ՈՐՈՇՅԱԼ

1. ՍԵՂԱՆԱԿԵՐՊԻ

Սահմանում

1: Դիցուք

ՄԱԿԵՐԵՍԸ

հատվածում տրված է |ոչե|

կան անընդհատ ֆունկցիա: Սեղանակերպէ կոչվում

ք ոչ բացասա-

8,

««Ե,7-0

ք(:) (8(չ)Հ 0) անընդհատֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված(Ծ) պատկերը(տես նկ. 1): ուղիղներով ն 7

Հ

/ճՃճ

Ձ

6" Կ

ՒԼԼ|

ՖՆ նկ. 1

խ

Կ

է

5«

ԾԵ

2: ը:Ե|հատվածիտրոհում (՛1 Սահմանում

-

Պի») ասելով հաս-

կանում ենք այդ հատվածի վերջավոր կետերի (տրոհման կետերի) բազմությունը,որտեղ առկա են նան ծայրակետերը՝

ԼՀԱկի

(Հց

Հլ

Հ..ՀՃուլ

ՀՀո

ՀԷ):

Այժմ փորձենք սահմանել սեղանակերպիմակերեսը: Դիտարկենք

ը:Ե|հատվածի որեէ Ղ1- (1.ի տրոհում: Ընտրենք կամայական ծ Շո լ«) (Հ1,..յո) կետեր ե սեղանակերպըմոտավորապես

փոխարինենք իզ».

հիմքով ն

|

,

1( ւ)

բարձրությունով ուղղանկյուն-

ների միավորումով ((օ)) որի մակերեսնէ՝

Հոա-8ռ -«.(Յ)-

օ

(է(էլ,..ծո )) վեկտոր է, իսկ Ճշ., հատվածի երկարությունն է (Ճ:, Հոյ -Ճ.»0): որտեղ Հ

ն

-

կոչվում է տրոհման տրամագիծ: Որքան

տրոհման 7, կետերը (փոքր է 7.

վում(թ) սեղանակերպից:

ՍեղանակերպիԾ ո

Ծր

(Էէ)- Ֆ1(էլ)-ձշյ.

շատ

ն), այնքան

-

Ճ-րդ

-ն

(ո

1-ԽՀ են

(0)

ն -

ն

լ»)

ձ».. ուռ»:

իրար մոտ

են

քիչ է տարբեր-

մակերեսը սահմանենք որպես

գումարի սահման, երբ տրոհման տրամագիծը

է»|

ձգտում է զրոյի (Օ զաբանենք ստորն:

-իռ օ-լ (5)

2. ՈՐՈՇՅԱԼ

--ֆ

): նշված սահմանի իմաստը կպար-

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

(ՌԻՄԱՆԻ')

Դիցուք քֆունկցիան որոշված է

Լ-եկի»

|չե|

(:-1...ո)

«ի 7)

ճւ

կոչվում է

որը

Հ(Ել»-..Շո ) -ն

հատվածի ն

ում

տրոհում

(ք: է

օյ

Ճ), Թ:Ե)-» Վերցնենք

օ-(Է8)ՖԻ 1(ե)Ճոգումար, է»-|

ն

ստորն ամենուր

վեկտոր է, որի կոորդինատներնեն` չ, «Րա. -Ծ»0

(Իէ)»

1" (հաջորդականության լեզվով)

-

ինտեգրալայինգումար: Այստեղ,

Կասենք,որ` հո

Թւե|

որնէ

կազմենք

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄԸ

ԷՅ.

ո:

Ք, եթե՝

71,

ՀՔ"

տրոհումներ

ՌիմանԳնորգ ՖրիդրիխԲերնհարդ(1826 -1886 ) գերմանացիմաթեմատիկոս:

հաջորդականությանհամար, որի տրամագծերիհաջորդականությունը 1, տրոհումների հիմնական հաջորդականություն) ն Խո Նր

».:0(

-ՀՈ)

ՄԷՐ)ե ԸԴ | կետերի ընտրության դեպքում օ, Հ

թվային հաջորդականությունըզուգամիտում է Լթվին ((օ.

((.8)

2"

Լեզվով) ՄՔ»

ԽՀ"

թ»ը:

համար ՀՏ(օո)»0 այնպիսին, որ Օթվի

աի տրոհման համար, որի տրամագիծը ՃլՀծ ՍԵՓ "ւյ | կետերիհամարճիշտ է իր(66)- վ պայմանը: ԾՂ-

ն

ՀՏ

Թեռրեմ 1: 1" ն 2" սահմանումներըիրար համարժեք են: Թեորեմը չենք ապացուցի, քանի որ այն ստացվում է նույն կերպ, ինչ համապասխանփաստը ֆունկցիայի սահմանի երկու սահմանումների մասին: Եթե գոյություն ունի վերը նշված (Եծ) Լսահմանը, այն կոչվում է որոշյալ

ապա

ւմ» իո»

ն

հո6

»

կամ Ռիմանի ինտեգրալ,

ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրելի (է «ռի:

Ե)։

է գրվում

Նկատենք, որ նշված սահմանումներում ինտեգրալային գումարի կետերի սահմանը կախված չէ ոչ տրոհումներից, ոչ էլ ՄՀ. Հ

ընտրությունից: Օրինակ 1: Դիցուք` ՆՀ

ծ

յ:2., | իւ,

հաստատուն ք0:)-ը

խից. (ԲԵ)հատվածի որնէ օր

-ԽԼ-Հ Է»1

լռ

տունը ինտեգրելի էն՝

խ

Փւ-

Օրինակ 2: Դիցուք` Ծ:

1(4)»:1 (չ օթւեի,ն

տրոհում է: Ինչպես էլ ընտրենք

վ (5-1....չո)կետերը, ունենք`

Խո Խ(Ե-"5

է

օ(Րէ)-

Ճել ՀԼ(ո.)-

բ-1

ԽԼ Այսպիսով 804)» ԽԱ(Ե-ճ):

հաստա-

ԿԵ-»)

օ(:)»1, երբ բ:Ե|-»Ք.,

ւ

-ը

ռացիո-

`

Շ(:)»0, թադրենք` Սի,

երբ

ն

նալ է

Ճ-ը

:Ե|

ռացիոնալ է (Է-Լ....,ո)

ն

ծւ Հին ւ) Օլ

որ

(5չ)

չ

-ն

ծւ

-

ը

հատվածի որնէ տրոհում է: Ունենք՝

«Ժով-Ես.

թ:)-Հո()պ ծւ-

Ենիռացիոնալէ (Դիրիխլեի ֆունկցիա"):

ն

(5չ')

«րո

աթ

ԵՊ)ճճլ )-ջռ(

«0,

երբ

իռացիոնալէ (Է՞1.....ո): Այստեղից հետնում է,

չունի սահման, երբ Ճ.-»0,

քանի

որ

այն կախված է

Եւ կետերիընտրությունից:

Յ. ԻՆՏԵԳՐԵԼԻՈՒԹՅԱՆ

ԱՆՀՐԱԺԵՇՏ

ՊԱՅՄԱՆԸ

հատվածիվրա Թեորեմ 1: Որպեսզի ք ֆունկցիան, որոշված |ճ:Ծ|

անհրաժեշտէ, որ այն լինի սահմանալինի ինտեգրելի (8 « Քվո:Ե|) փակ: Այսինքն ֆունկցիայի ինտեգրելիությունիցհետնում է նրա սահմանափակությունը: որ Այսինքն 3165, Ապացուցում: Տրված է 1

«Ֆի:Ե|:

ՄՏ»0

ՀՎծ»0,

տրամագիծը ՃլՀծ

ք, (5:)-կ

Հ 6

լւ. Ի տրոհման համար, որի համար ճիշտ է Ճել էլն ւ) կետերի

այնպիսին որ ՄԼ» ն

պայմանը: Այստեղից հետնում է,

որ

վերը նշված տրոհ-

համար ՕՕ.(Էէ) ինտեգրալային գումարը, որպես ֆունկցիա

ման

) -ից սահմանափակէ: Իրոք` (է(էլ,-«Տո

2, (5ե)|-Թ. (Էծ)-1-վՀթ.(88)-վկվՀո«ի Լ» 1....,ո, լ Հ: -իկ(ծ. ԵՊ -5 ք, Է23| ,

Հծ):

(1

Կատարենքհակասող ենթադրություն` ք ֆունկցիան անսահմանափակ է ի: Ուրեմն, այն անսահմանափակէ Ի, «-ն..ո)

::2:.)

Ե)-ում:

'

Դիրիխլե ՊետերԳուստավԼեժեն (1805 1859) գերմանացիմաթեմատիկոս: -

-

հատվածներիցգոնե մեկում: Որոշակիությանհամար, համարենք, որ Բ-ը անսահմանափակ է հատվածում: Հաստատագրենք՝

ծւ ՅԼՈ:

Պի.

իւո:.|

-

կերպ`օ,(5ծ)Հ ք(էլ)-ձելզօր .

հաստատուն

Պարզ է, որ՝

է:

(Էչ) -ն

2,...,.ո կետերըն Փր

որտեղ օ/

ներկայացնենքհետնյալ --

ՀԻԼ:)-ճո

գումարը

ե-2

ծլ-ի ընտրությամբփորձենք ստանալ (1)-ի ժխտումը:

ք,(2.|-Ի(.)-ՃոչօվՀԱ(. Ճո-թյ

(2)

Ուրեմն, որպեսզի ստանանք(1) ին հակասող անհավասարոթյուն բավական է ցույց տանք, որ ծլ- ի ընտրության շնորհիվ ճիշտ է --

է քէ.) Ճճլ- ՇվՀ:-| անհավասարությունը, որը համարճեք

հետնյալին՝

- ի՛|--: |լ ք(է,|»

(3)

Ճել

է Քանի որ Բ-ը անսահմանափակ

այնպիսին,որ ճիշտէ(3)

(2), (3)-ից հետնում

իչօ:2լ -ում,ապա

ՀՇծլ6

ի«:».|

-

է՝

որը հակասում ք,(էէ)|Հա-Հ|կ, է(1)

-ին:

հակասությունը ապացուցում է պնդումը: տ Ստացված

Դետողություն 1: Թեորեմից հետնում է, որ անսահմանափակ ֆունկցիան չի կարող լինել ինտեգրելի: Մյուս կողմից, ոչ բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաներն են ինտեգրելի: Դիրիխլեի ֆունկցիան սահմանափակ ոչ ինտեգրելի(2., օր. 2)": է, բայց՝ Ուսումնասիրենք թե ո՞ր սահմանափակ ֆունկցիաներն են ինտեգրելի:

Օրինակ,

'

(2., օր. 2) ստորն:)

-

նշակում է կետ 2-ի

օրինակ2

--

ը

(այս գրելաձնը կպահպանվին

-

4.

ԴԱՐԲՈՒԻ՝ԳՈՒՄԱՐՆԵՐԸ

Սահմանում

փակ ֆունկցիա է

1:

Դիցուք Է-ը

իչ,ի.

ն ՛1-

լւԵ|հատվածում որոշված սահմանաայդ

հատվածի որնէ տրոհում է: Պարզ

յուրաքանչյուՃ.) հատվածների Ներմուծենք հետնյալ նշանակումները`

է, որ Է-ը կլինի սահմանափակ

րում:

ն ՆՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ք,

Է

տսք

Հ

ԵՐԵ

ձն -ֆ-խ,

Դ

Տր

ի. 224

Ե ու

-

ոք

ուզա)լ

«Ֆո,ո

ք

(եյ...

,ո):

կոչվում մեծությունները

ւ

են

վերին ստորին գումարներ: Այդ համապատասխանաբար գումարները նրանց անընդհատ,

Դարբուի ոչ

Է-1

ն

ե

տարբերությունը (ստվարագծված) բացասական ֆունկցիայի դեպքում պատկերվածեն նկ. 2

--ում:

Կ

ՏՐ

Ե

Թ

3» »

նկ.2

Պարզ է, որ Դարբուի գումարների տարբերությունը փոքրանում է, երբ փոքրանում է տրոհման տրամագիծը: Ստորն ցույց կտանք, որ այդ հատկության ճշգրտումը բերում է ինտեգրելիության անհրաժեշտ ն բավարար պայմանին:

Դարբուի գումարները օժտված են հետնալ հատկություններով:

Յատկություն 1: Տվյալ Ղ /

Դարբու Ժան Գաստոն (1842

--

Հ

նլ,

տրոհման դեպքում`

4917) ֆրանսիացիմաթեմատիկոս:

ոօ,(88)Հ-Տ., Ոքօյ(է)

Ապացուցում:Քանի

օրե)

Մէ, `

:'

ԽԼ -

որ

ոՀ

(-(Հ-ե)):

5.

Տտսթ ք, իսկ ո»

«ե-ԸՃԵ

ք(է)ՀԵԼ

լոք

լի Է:

Բ,

(«Հ Լ,...դ): Եթե,

ված անհավասարություններըբազմապատկենք Ճյւ ն գումարենք,կսմ։տանանք՝

ապա

ստաց-

դրական թվերով

ՏԺՆ(ԵԵ)ՀՏ,:0)

Տ

բացի ար՝

Կ6»0,38:

«րոսշո)

-Ֆնլ:

տեղից՝ ՀՐ) ի

«Ը ), (2) -ից հետնում

է, որ

(»հն-չ5.:

բոռ

ա Ն6)»5.-6,

:

-Տր-

Ռ-

Շ-»

Բ-Ը.) Տլ: Ցոք.(Ըէ)-

Չ)

Մյուս պնդումը

ծ

(ճշգրիտ ստորինեզրի մասին) աւչացուցվում է նմանապես: տ Ձատկություն2: Եթե տվյալ ս՛Դոհմանը ավելացվեն նույն հատվածի նոր, վերջավոր թվով տրոհման ստտեր, ապա դրանից Դարբուի վերին գումարը չի մեծանա, իսկ ստորիճ գումարը չի փոքրանա:

Ապացուցում:Դիցուք ՛1-նոր :՛

(լի Հո

կետ, որը

ե,::.|

(լ ի տրոհմանկետերինավելացվել է (:-1,..չո) հատվածներիցինչ-որ մեկի

ներքին կետ է: Առաջանումէ նոր,

ՀոլՀ..Հփլ

ՏԻ ՀՏ:

Ե

Ճց

ՀՀլ Հ..ՀՊ.լՀ

տրոհմանկեւռերով Ղ. տրոհում: Ապացուցենք,որ

Քանի որ կամայական Ճ

«Ց

թվային, վերնից սահմանա-

փակ բազմություններիհամար ճիշտ է` Տսթ/. Հ ՏսթքՑ , ապա`

ԽՈՀ

Տսք ԲՀ տքք»իլ, 2: ո) Ե: "յ

Ուրեմն`

ՀԵԼ

Տ.-Տբ

(ճւ -Խզ)»-0:

ԽՐՀպսքքՏ 9սք. քՀԻՐԼ: Ի՛:ու| (ո: ոլ)

-ԻԼ-Ճ-(ԵՐ-("-յգ)ԷԻՐ-(պ-»7)Հ

սիմվոլը ճշանակումէ տեղի ունի |11

Այսինքն` Տլ. ՀՏ: ապա Եթե տվյալ տրոհմանըավելացված են դա նույնն է, ինչ ավելացված լինի մի քանի մեկական կետ: Ամեն անգամ նոր կետի ավելացումը չի մեծացնի Դարբուի վերին գումարը, փաստը Դարբուի ուրեմն, ի վերջո, այն չի մեծանա: Վամապատասխան ստորինգումարիմասին ապացուցվում է նմանապես: պ Չատկություն 3- Դարբուի վերին գումարների բազմությունը սահճանափակ է ներքնից, իսկ ստորին գումարների բազմությունը` վերնից: Սպացուցում:Նախ ապացուցենք,որ բ:Ե|հատվածիցանկացած

մեկից ավելի կետեր,

երկու ՛1՛, 1" տրոհումների համար ճիշտ է Տ..

Հ

Տլ. անհավասարու-

թյունը (այն ակնհայտ է նույն տրոհմանհամար): Դիցուք` 1

այն Բ:Ե)

-1'Ս1",

1՛-ից

հատվածինոր տրոհումէ, որը տարբերվումէ ՛7' -ից ն նոր

տրոհման

կետերով:

ՏՏլ ՏՏՀ»

Տը ՏՏ

Տլ Տ

(Ուրեմն

հատկություն

ըստ

2-ի՝

Տլ: Այժմհաստատագրենք(:Ե|հատվա-

ծի որնէ, նախապեսկամայականկերպ ընտրված 1

տրոհում

ն

ընտ-

րենք կամայական՛1 տրոհում: Համաձայն ապացուցածի, ունենք` Տբ ՀՏ: ԱյսպիսովԴարբուի վերին գումարների բազմությունը սահճանափակէ ներքնից 5.. թվով: Ուրեմն` 3

ոէ/Տը), որը

նշանակենք

կոչվումէ Դարբուիվերինինտեգրալ:Պարզ է, (ոքՏը-1՞)::15-ը

ԼՐ-ով

: ՏըՀ̀Ւ

որ` ՄԷ

այսինքն Դարբուի ստորին գումարների

,

է վերնից(1-ով): բազմությունը սահմանափակ 1: Վերջինընշանակում է, Դիտողություն :

'

նակենք Լ:

-

"

գրալ:

Քանի

ով որ

Այսպիսով,Մ 1

Տ) (5սքվ 1--ը (5)

որ Հ

Տսք(Տր),այն նշաՂ

ը

ՀԽ): 1-ը կոչվում է Դարբուիստորինինտեբազմությանվերին եզր

համարունենք՝ տրոհման Տ

ո

ՀԼՀՏԼՀՏլ:

'

է,ապա՝ 1.ՀԼ: Ր`

ՓԺ)

Տ. ԻՆՏԵԳՐԵԼԻՈՒԹՅԱՆ

Սահմանում

,

1:

ԱՆՀՐԱԺԵՇՏ ն ԲԱՎԱՐԱՐ ՊԱՅՄԱՆԸ

ե:Ե|-»8.Բ-ը

Դիցուք՝ ք:

-

սահմանափակ է

ն:Ե|-ում, ն Ն»ի ւի. ր:Ե|հատվածիորեէ տրոհում է: Կասենք,ռր 2. Կբ: (5 -Տ.)Հ 0,եթ. մոռ ԲՈՂ

2.

ՆՀ:

38»0,91

Սջ»0

Տլ-Տլ

2ՈՐԹ

ՀՏ:

հատվածի վրա սահմանափակ. |տչԵ| անհրաժեշտ է ն բավարար, ֆունկցիան լինի ինտեգրելի (Ք Թ|ո-Ե|) որ նրա Դարբուի գումարների տարբերությունը ձգտի զրոյի, երբ տրոհման տրամագիծըձգտում էզրոյի: Որպեսզի

1:

Թեորեմ

Հ

է՝ Ե|,այսինքն` ՒՀՔի: Տրված

Ապացուցում:Անհրաժեշտություն: Յ1:6Ք,

36»0,

Ս6»0

Պօ):

17.Հծ,

մագիծը

ԿՂ»|2. )լՀ.գ:տրոհմանհամար,որի տրա-.,

հետնում է`

թ,(6:)-վՀշ:

Որտեղից

"

ՏՈ

ԵՈ

ԷՀ Հօլ(Էէ)ՀԼՒՀ: Օգտվելով Դարբուի գումարներիհատկ. 1-ից այն,

որ

ՍՈՅՒՆ ԵՈ

ը

ե

Բ

(2

հաշվի առնելով

1-2-ը1-2 (6.(54))բազմության

համապատասխա-

ն

ծւ կետերնեն), ճաբարստորին ն վերին եզրերն են (փոփոխականները կստանանք՝

'

1-285:ՏՏ.ՏԼշ: ո:

(2) -ից հետնոմ է՝ նշանակումէ՝

որ

'

0):

`

,-:«ԹՀ-Ը2)-« երբ

ՀԾ:

Դա

-Տլ)»0: նո(Տ, Ղ

Բավարարություն: Տրված

ՄՏ»036»0, 1-ի՝ 8: ՀԼՀ

որ` Մ«»0:0Հ1

Մէ, «(Կ

ն`

երբ

7.

Հծ:

-Լ

ւ|: Դա

ց» լ

ՐՀ

Լ ՀՏ,

5:

«օ.(85)ՀՏյ:

նշանակումէ` է Ե

Տբր-1րոՏԸհտ ոա1

հռ

Հծ

: Տլ-Տլ

Ըստ 4.,

ՀՔ:

դիտ.

որտեղից` 0Հ Ր-1Լ ՀՏ. -Տլ ՀՏ: Ստացվեց, ՀՏ ն, ուրեմն 1՝ 1. 1: Այսպիսով` 5, ՀԼՀՏ,

Դիտողություն1: եթե 1 ո

նո(Տ/ -5.)«9: Այսինքն՝

է:

-

Ուրեմն`

ՃիւԵ|:

ց (6:)-վՀՏյ- Տլ ՀՏ,

.

«Թի:է|, ապա

(տես (2))

ստանում

ենք՝

յ (:)

|ք(2)ժ::

Դարբուի գումարների հատկություններիավելի խորը ուսումնասիրությունը (տես խնդ.1) թույլ է տալիս ապացուցել հետնյալ ( ավելի պարզ)` հատվածումսահմանափակ ֆունկցիան Թեորեմ 2- Որպեսզի Թ:Ե|

Քի:Ե) անհրաճեշտէ ն բավարար,որ` 3Յ 1 ՄԸ»0 Տր-Տլ ՀՏ: Հլ

լիճի ինտեգրելի(ք

(3)

:

Ակնհայտ է, որ Դարբուիգումարճերիտարբերությանզրոյի ձգտե(երբ տրոհման տրամագիծը ձգում է զրոյի) հետնում է (3) -ը: Ճիշտ է նան հակառակը (տես խնդ. 2): Ք, Բ-ը սահմանափակ Խնդիր 1: Դիցուք` ք : է (:Ե|-ում լուց

-խլ, լորոխ թ:Ե (Տսքք Ենթադրենք, տրոհում ք

Ք:

է:

կետ

(ստացված

0ՀՏ.-Տլբ

(:Ե|-»

ն

1Հ(«ի

հատվածի Թ:Ե)|

որնէ

տրոհմանը ավելացրել ենք նոր ք հատ տրոհումը նշանակենք ՛Ղ՛): Ապացուցել, որ՝ այդ

Զք-1-(ԽԼո), 0ՀՏլ

-Տլ

Տթլ-(ԿԼ-տ)

(տես |):

Խնդիր 2: Ապացուցել,որ թեորեմներ1-ը ն 2-ը իրար համարժեք են:

6. ԻՆՏԵԳՐԵԼԻ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԴԱՍԵՐԸ

Այժմ կարող ենք պատասխանել այն հարցին, թե ո՞ր սահմանափակֆունկցիաներն են ինտեգրելի:Նախ ձենափոխենք( ֆունկցիայի 6Դարբուի 6գումարսերի տարբերությունը: 0Նշանակենք՝ Օգտվելով ճշգրիտ եզրերի հայտնի հատկուլ (8)- Փչ Խլ, -Պլ: թյուններից, ստանում ենք՝ -

Փ.-Խ(-ա,»-

((Հ)-

տսք

ՀՀՀ)

Մ աթ -: աթ, 1()-1() է())-"

՞

ք

-Ք

:ոք ոՀւցգ|

Է17)-ա

1(9-())

ք(է)-ք(ո))»

-Է(ո))-

.

Այսպիսով`

Օւ

հլ

(Բօ

/օ)-ո)։

ամ

-ոլ

Օլ Օյլ (8)-ը կոչվում

(ի-ի

ք(ղյյ»

է

ք

ա)

ֆունկցիայի տատանում

եո-րդ

հատվածում:

Թեորեմ

1:

Հատվածի վրա անընդհատֆունկցիան ինտեգրելի է

Շի:Ե|»ք«Քիւե|:

Ապացուցում: Ըստ Կաճտորի թեորեմի, ք-ը հավասարաչափ ում |1)։ Այսինքն` անընդհատ|ռ:Ե|-

է

Ս6»038(2)»0,ՄԵղ«իեխի-ղՀՏ: Է(Հ)-1()Հ --.

Վերցնելով |ոչԵ| (ռՀԵ) հատվածիայնպիսի ՛Լ»տրամագիծը 7ՃլՀծ

Տր-Տբ

հաշվի առնելով

ն

«Ֆ-օւձոլ ՀՀո եվ ե»Լ

ԵՊՀ. ո:».|):

ա

(ել

«Տ

ԷՎ

Ուրեմն Փ,»-

սթ Ոճ|»ե-գ

-Տլ)0-»ք«օռիւե| պիսովն̀ու(Տչ

նան

հւ ի. (1)

-ը,

տրոհում, որի

կստանանք:

ՀՏՏի-ղվՀՏ երբ ,

ի(-:(յ5---

շե.)

Այս-

ո

Թեռրեմ2: Ղատվածիվրա մոնոտոն ֆունկցիանինտեգրելիէ:

է՝ ք: :Ե)-» թ. Ապացուցում: Տրված

Բ-ը մոնոտոնէ

ր:Ե|-ում:

Դիցուք, որոշակիությանհամար Բ-ը մոնոտոն չնվազող է: Ուրեմն՝ ւք (4)ՀՒ Է3 ՆկաԷ:1(Ե)Հ» ք-ը սահմանափակէ ո:

ԱՆ)

-

-» հնՀ ոուք-1(գ), Հ31րո)ՏՈ6)Հ1նւ)

ՀԵՏ:

տենք,որ` 2,.լ ող

Ե|-ում:

ոուէ- ԷՐ):

)» ք), Եթե`ք(ճ

ապաք-ը

է, որի ինտեգրելիու-

հաստատուն

թյունը ապացուցվածէ (տես 2., օր.1): Մնում է քննարկել 41)Հք(Ե) ն ընտրենք ծ- ն այնպես, որ՝ դեպքը: Վերցնենք ԽՏ»0 ծ

ԹՐ «ֆի. .

Սց

ղ

`ՂԴիցուք

--«--Հ--:

,

7 գ Հծ:

ՏՀլՖ̀լ)

-ողլ |լ

:

Այդ

ե դեպքում `

)-ք(ո..))Հ

մյ» «րեաաա)-թ ո-«Ոա)-1Ն. »լ

6)-16))-« ՀՀրյ-ւե)Ո

ո Ուրեմն` քօՔլ(ոե|: լո (Տ/-5:)-0»»

42:12 բազմությունը ունի զրո թվի համար գոյություն ունի (Ճ.) բաց միջակայքե-

1:

Սահմանում

չափ, եթե` Մ.»0Օ

Կասենք որ Ճ

րի բազմություն,վերջավոր կամ հաշվելի, այնպիսին,որ` ն

Ֆ՝4, ՀՏ,

որտեղ Ճյ-ն

:

Ս(ձ,)»:

(Ճ.) միջակայքի երկարությունն է:

դեպքում, երբ միջակայքերի բազմությունը հաշվելի է,

սահմանման` Հճ.-նոֆ-: զրո

լ Ցույց որ

Օրինակ

տալ,

չափ (ինքնուրույն):

դատարկբազմությունը(2:

Օրինակ2: Ցույց տանք, որ վերջավոր(24

--

ապա,

ը

Այն ըստ

ունի

հւ իւ ) բազմությունը

ունի զրո չափ: ՄՏ.» 0 թվի համար (, րը

ընտրենք այնպես, որ` 2,

որ`Ս (Ճոն

-

է-|

Ճւ

ունի

զրո

6:

որ

ընտրենք այնպես,որ՝

չաթ եշ

բաց միջակայքե-

ռ

Ուրեմն 24-ը ունի զրո չափ:

հաշվելի (24-

չափ: Մ6»0 թվի համար

«այս

(ե Տ1....,ո)

Հ(ձ,), Ճ. ՀՀ («51....,ո):Պարզ է,

Հ

Օրինակ 3: Ցույց տանք,

)

ՃՀջռ

(«պ

ԵՏԻ)

բազմությունը

բաց

միջակայքերը

(Ճ.)(Ճ ՀՎ)

Ս

: Ունենք՝ (Ճ)52

«ք երաշ րոշ Լւ. ր

ն

1:

ե

ի

«րոզ

Թեորեմ 3 (Լեբեգի՛):Որպեսզի հատվածի վրա սահմանափակ ֆունկցիան լինի ինտեգրելիանհրաժեշտէ ն բավարար,որ նրա խզումների բազմությունը ունենա զրո չափ: Թեորեմը չենք ապացուցի(այն հենված է չափի տեսության վրա |5). 6): Դիտողություն 1: նախորդ օրինակներից(1-3) ն թեորեմ 3-ից հետնում է: 1) Վատվածի վրա խզման կետեր չունեցող (անընդհատ) ֆունկցիանինտեգրելիէ: 2) Եթե հատվածի վրա սահմանափակֆունկցիան ունի վերջավոր թվով խզման կետեր, ապա այն ինտեգրելի է: 3) Եթե հատվածի վրա սահմանափակֆունկցիան ունի հաշվելի թվով խզման կետեր, ապա այն ինտեգրելի է: Գոյություն ունեն զրո չափի անվերջ, ոչ հաշվելի բազմություններ: Դա նշանակումէ, որ ֆունկցիան կարող է լինել ինտեգրելին ունենալ ոչ հաշվելի (զրո չափի) խզման կետերի բազմություն (տես |

ԱՏ

'

Լեբեգ Հանրի (1875

-

1944)` ֆրանսիացիմաթեմատիկոս:

-

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԵՎ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

7. ԻՆՏԵԳՐԵԼԻ

Թեռրեմ 1: Եթե Եջ իրականթվեր են) ն՝

ապա` «-ք-Թ.Ք6Շ Քլւե| (օ,8-ն ՋլուԵ|.

146):880)6.-«ինատինց

Ապացուցում:Դիցուք

Ա լ:ու|չճ-Լ..,ռ: Ակնհայտէ, .ր ՓՐ ((..Է- 8 9) է) -0«Ժր(Էէ)Է8-օ(9է):

եծ.

լ

1: Եթէ Է

Ր«

(2)

մեջ, երբ տրոհման տրամագիծը՝

Անցնելով սահմանի (2) -ի -»0, կստանանք(3-ը: Սահմանում

որ

հատվածիորնէ տրոհում է Ղե, Ի, Թ:Ե|

(8 ՀԾ), «Քիւե|

Ց

Ե

Ե

ձ

ն՝ ինցծւՀՔ|Եռ| ին):

ապա

համարվումէ նան,

Ըստ

սահմանման

նան՝ ՛

16)ծ.-0:

քՀՔվ:ե ապա` քՀ Ք ը:օ)Ոռի:Ե) հակառակը` ք Հի շ| ԱՀՀ)Հ5»ք6 Քի-Ե|Ընդ

Թեորեմ 2-

(6ՀՇՀԵ) որում ք Հ

ն

եթե

:

հետնում Ք|:Ե|ից

է, որ`

ՈՆ)ծ.ԷՐ)» իո)ժ:: է

Ապացուցում: Եթ.

35Թ)»0,

ՄՏ»0

Ղ

ի Հռրչե

ր)

Քանի

որ

Ղ.զ

ն

ըստ

Տ,

"ԼՀծՅՏ

յթ)

ապա

Հ

Սեւ).

Տրոհումն ընտրենքնան այնպես,որ հումը առաջացնում է

3)

`

-

Ղ.ր

ՇՓ

1փ՝

թ. -Տ.

`

|

ՂՀոթԱյդ դեպքում, 1:ծյ :

տրոհումշեր ն՝

ՀՔ

տրո-

Ըծլ: Ղլչ| «ՂոՍՂբ

անԴարբուիգումարների տարբերությունըոչ բացասական

դամներիգումար է,

Հ»

Տր Տ

Հ Ք:

որտեղիցհետնում է,

Նույն կերպ որ ք

"Այժմ ենթադրենք Բ օ

Այստեղից, Տ

-Տ

Տ

-"

ենք,

Գ

-՞

ՎՏ

ջ

ենք` ք

ձայն նույն 5., թ.2-ի ստանում

-

թ

Ն

որ

ՀԵՀ»

Հջ,

Ն

-՛1Իչլ Տլ .

ո

ՍՂ"Ըծ| Հ

Բլ:Ե|

Այժմ ապացուցենք (3)-ը: Ենթադրենք, որ Բ

լնԵ|

ՏալՏոլ Տոլ Տրյ

Տ

նշ)

ՈՃի:ե|(տես 5., թ.2 ): թ|ո:օ| Ուրեմն, համաձայն 5., Ք|ուշ|

Պոչ) Տո Մ

ստանում

-Տը

նշանակենք՝

եթե

Պիջ| Ղրել

Տո.

է, որ`

ապա պարզ

6:

։

թ.2-

կստանանք`

համա իՈւրեմն,

Ք:Ե|

ե

դիտարկենք

տրոհումների հիմնական հաջորդականություն

հատվածի

- ԵՊՐ"ԻՐ(տրամագծերիհաջորդականությունըանվերջ փոքր

է), այնպիսին, որ

օՂԸյլչ):Այդ դեպքում ստացվում են Ն ն` 7«

տրոհումների հիմնական

Խր"ԷԸ)» Ն.

»վ,..

Ընտրենք հաջորդականություններ:

սո)

հաշվի առնենք, որ`

ն

:

օրա:

Ծր" օր -

սահմանի,

4)

երբ ո- ը ձգտում է անվերջի (ըստ Անցնելով (4) --ում երեք գումարները ունեն սահման), ապացուցածի, (4) -ի բոլոր ստանում ենք (3)--ը: Դիտողություն1: Թեորեմ 2 ի պնդումը մնում է ուժի մեջ, անկախ Իրոք, դիցուք, որոշակիության 8,Ե,- կետերի փոխդասավորությունից: -

համար՝

ՇՀԵՀՃ:

Ըստ

ւ քՀՔի:Ե|ՈԲ|'ո| Ե

Յ

իո

ապացուցածի,

-

ի(յթ

եթե

ՐԳ

ՔԸ:ո|

ապա

Է

//6)»

:

Ե

Օգտվելով սահմանում

1-ից,

"

կստանանք՝ 28.

ր(6).

-

-

Է

Ե

Ե

օ

ի6)ծ: ր(ճ)Փ::Այստեղիցնորից ստանում

ենք

-

(3) -ը։ Թեորեմ 3: Եթե ք «

Քր:Ե|ապա || Թր:Ե|ն Հ

ճ

ՀԵդեպքում

Ե

Ե

ի է) Գ»:: Ք8Ր)ժվՀ

Ճշմարիտէ հետնյալ գնահատականը`

լե ի. Ճե.»չղ,Հի գնահատականները`

հատվածիորնէ Ի» Դիտարկենքթ:Ե| Ապացուցում: հում:

Տեղի ունեն հետնյալ

(5) տրո-

59|ոե)-1ույ-«.ն) իայ-Է()58(6)-((:.)5 Աստեղից՝

յան)

.(ք)- տոթ ».1:Կ|էա

-Տ. կ է) ՏՏ. ն, ուրեմն` Տ.

(3-։ (Բ): Տ,

(8)--5լ(05-»

»Տ(դ-

Հաշվի առնելով, որ. Բ-ը ինտեգրելիէ

0, ստանում ենք՝

(Ո)-օ»|ղՀո»ի նու(Տ.(1)-5,

6, Այճմ, (5)-ը ստանալուհամարվերցնենքկամայական (4 -1....,ո)

ն

գնահատենք՝

2.16.) «շին,ճո:

6)

4:

Անցնելով(6)

`

Հի, :2.)

երք

ձգտում տրոհմանտրամագիծը մեջ սահմանի,

է զրոյի, կստանանք(5) -ը:

Ջ

Դետողություն1: Հեշտ է տեսնել, որ 2,Եկետերի կամայական դեպքում(5)-ը ընդունումէ հետնյալ տեսքը՝ փոխդասավորության Ե

Ե

«վ

իՇՓՎՀ|ԻՆ|

Թեորեմ 4:

Եթե

ք

«Բլւե|

ՀԵ)

ն

Պ«օլվե|:1(2)-

Հ

ս)

|

Հ0 Հ 0(Բ(5)Տ0), . ապա՝ ՍՐ)ծ: իՐ)ծ-

Թեորեմի ապացույցը անմիջապեսհետնում է ինտեգրալի նումից ն սահմանիհամապատասխան հատկությունից: 4: Բ ՄՃ Խնդիր Դիցուք Քլւե) (ՃՀԵ)ն ՀլվոԵ|:

1(:)»0։

։

Ե

/16)Փ.» 0:

Ապացուցենք,որ

սահմա-

,.

'

Բոր

Յ

ր

Լուծում:

Կատարենք հակասող ենթադրություն`

Տր ի («)Փ.

0:

-

Վերցնենքորնէ զրոյի ձգտող դրական

նոՏը -

«

որ

աշ

հաջորդականություն, ե

Այդ

՛

թվերի

ի )ծ.-0:

Ե

դեպքում նո --ֆ|

Ե

Ը)ծւ-0,

Տը Հ6լ(54):

14:

ՏոՀ

՛

Քանի

հատվածիայնպիսի ՛ղ |ոչե|

ապա

օրինակ

դր

տրոհում,

Այդ դեպքում, ղղ տրոհմանըհամապատասխանհլ

ճշգիտ եզրերից գոնե մեկը կլինի փոքր 5լ -ից (հակառակ դեպքում, եթե ո

ՄԻ-1,..ո

:

Խն, Հել, ապա`

կերպ ասաց`

Հ

Տր

Հ

ո

)' հլ, ՃելՀոլՖճ2ր-

Է-1

(ոլՀե), |ոլ:Ել|Շլոե)

որում, եթե հարկավոր է փոքրացնելով

կարելի է համարել, 8. -

ի 6).

Յ

Ե,

Ել

որ

-

«լ

4.

Այլ 8լ(ԵՅ)):

Է՞Լ

Ծե

օխլչել| քԷ()Հոլ: Ընդ :

հատվածի չափսերը, (ճլչել|

ՀԲԲ:

Քանի

Ե

որ

ՈՐ).-

Յ

Ե

ի'(ո)Փ.//6:)ծ.ն աջ

էլ ոչ բացասական են,

:

-

մասի երեք գումարելիներն

Ե,

ապա

նրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է

Ե,

|ք(.)եւ Հ0

զրոյի, մասնավորապես`

Յլ

նում

լ ք(5)Փ:-

Յլ

Կ:

ն

(տոչեր ի

Շարունակելովնույն կերպ, ստանում ենք

Վ

հատվածների հաջորդականություն, այնպիսին

ներդրված Մո

։

Նույն կերպ դատելով. ստա-

:1()ՀՅշ ՀԼջ)սԴ«իրչչ|

(0 ՀԵշ-ոշ |ճշ:Եշ|

ենք` Հ

|

:

ՀՎ:0ՀԵր

Կր

ծ

(եղ-ճո)-Չ. ՀԱՐ (Հրո

|1Ը2յժ-0ն

նո

: օվողչեղ| 0ՀՄ(.)Հոր(ո- Ն2...): Ըստ

որ՝

Ձ.

ներդրված հատված-

հատկությանգոյություն ունի 6 կետ, պատների հաջորդականության կանող հատվածներիցյուրաքանչյուրին:Այդ կետի համար նույնպես՝ է, քանի որ նոտ տղ-0: 0Հ ք(5)Հող (ոՀ Լ2...), որն

անհնար

Ո--ջօօ

(« ՀԵ), ՔլԹ:Ե| «վոԵ)ք(9)»0 ն ք-ը

Խնդիր2: Ապացուցել,որ եթե` ք Հ

:օլխ:Ե|։

169». 0, Յո

անընդհատ է

(ինքնուրույն): իԹժ6.»6 Եթե՞ Բջ«Քիւե| (անհավասարումը մասին): |

5. կետում,ապա`

Թեորեմ

(4 ՀԵ),

:օլթ:ե|: էք(.)Հ(5),

ինտեգրելու ապա՝

ւ: իլ) ինո» ՏՀ

հետնում է՝ Ապացուցում:Թեորեմի պայմաններից

Հ

«

850: Թեորեմներ ենը՝ «ցստանում 10)1,

0Հ

-ջ

ԵԵ),

գաթ ինա ր`--Ջ(ո)|ձ.-ի(ցծ-թՆ)

Բ

ւ:

Թեռրեմ 6: Ինտեգրելիֆունկցիաներիարտադրյալը

Ապացուցում: Քանի

34,8

սահմանափակ են`

որ

ԵՔՇ ՔլուԵ|. ապա

«Ք,»

ՀիւԵ):|

այդ

ինտեգրելի է: ֆունկցիաները

չվՀՃ, բ

«|Հ8:

Դի-

իւ ի ո-ն լ:Ե|հատվածիորնէ տրոհում է ն, որոշակիության համար՝`2 ՀԵ: Ծեղօլվել | կետերի համար ճիշտ են հետնյալ ՛-

ցուք

Հ2 Ւ():56) -1(ո):5(ղ)1

-նօ«Թ-

ոա Ք(9)»(2(8-8() -/(7)-8(/))Հ

ՀԻՇ) Ք6)-9( ԷՔ) Է()-1(ո)54-օ.(8)-8-6.(): Այստեղիցստանում

ենք՝

ԽԵղ«խոնա) : 1(:)-86:)-((ո)-8(ո)54-օ.(8)8-օ(Թ:

ն, ուրեմն`

ք."ւ|1()-66)-1(7)-5(:յ5

ո(Է8)Հ Հ

ծ,ղ«լ».լ:

ձ:օ.(ջ)Է8-օ.(8) (Է1,...,ո):

Բազմապատկելով ստացված անհավասարություններըդրական ճշ -ով ն գումարելով, ստանում ենք`

Տ.Ը:9)-5(-8)ՀՃ-Տ.(-5.6)Ի-8-Տ

(0-5:

Թ Անցնելով (8)-ի մեջ սահմանի,երբ տրոհման տրամագիրըձգտում է զրոյի ն հաշվի առնելով Բջ ֆունկցիաների ինտեգրելիությունը, կստա-

0-8 նանք՝հոՏ,(Է8)-5.

0 Ն,ուրեմն`

ք-ջ

Հ

Բլւե):

ո

Թեորեմ 7 (միջինի մասին): Դիցուք 6ջ « Բիւե|(ռՀԵ). ջ() ֆունկցիան ունի որոշակի նշան: Բ-ը, լինելով ինտեգրելի, սահմանափակ է, այսինքն` ՀԵլԼոտՀ:Թ,"2 Այդ օւե| : ո դեպքում`

ՀքԸ)ՀԻԼ:

Յյ«լուն|

։

ՈՆ)86)

Փւ -ր-

է)

Ճշ.

Ապացուցում:

Դիցուք,

(յ

ժ::

որոշակիության

ր:Ե| Ք(2)Հ0։Հաշվի առնելով թեորեմներ5,6-ը, :

(9) համար`

կստանանք`

ո-8(:)ՀքԸ)-8(:)ՀԻԼ90),

որտեղից`

ճւ բ ոխ(/)ի6)60)

Եթե` 1)

ի

-»

(Թը ճիչտ Է

Եթե` 2)

6ժ»

)-Ք(ւ)՝ուիժ

(10Ւից

ծ. -.0, ապա

(49

ԽՓ:

ՀԻԼ.

ւՀ

Ուրեմն

0:

Ե

»

0,ապա, բաժանելով(10-ը

կստանանք`

վրա, |ք(չ)ժ5-ի

Լ2

որտեղ նշանակել ենք

ՌՀխՀԱ,

Ո60:960Փօ4

Այստեղից

լյ-5--------:

/ց0:)ժ.

հետնում է (9)-ը:

Դիտողություն1: Երբ 2.) ՀՕ, ապա (9)-ը նորից ճշմարիտ է նշանը փոխվում է երկու անգամ, արդյունքում (դատողություններում մնալով նույնը): Եթե Ճ Հ Ե, ապա, ըստ ապացուցածի(9)-ը ճիշտ է, երբ ԵՀՅ (8»ՀԵ դեպքը ակնհայտ է), մնում է այդ հավասարությաներկու կողմըբազմապատկել -- 1 ով: Դիտողություն2- Այն մասնավոր դեպքում, երբ է -

Բոլցանո- Կոշիի թեորեմի` ՀՀ

տեսքը`

հետնյալ

իժ

Հ

ո" «յւ

Եթե, իր հերթին՝

թ:ե| 7 ()

-

«ԸթչԵ|,ըստ

խ, ուստի (9)-ը կընդունի

Ե

«1()-|Տ)ժւ(է«թծի

(7 |

ապա

Մ.Թ)

(11)-ից ստանում ենք`

-

(«Թ

Յ

իմաստ`սեղանակերպիմակե(12)-ը ունի պարզ երկրաչափական ն է բարձրությամբ)ուղրեսըհավասար որոշակի (բ: ղանկյանմակերեսին: "

ե|

16) հիմքով

:

8. ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ

Սահմանում

1:

ՍԱՀՄԱՆՆԵՐՈՎ

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐԻ

ԳԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Դիցուք` Է

Ըստ 7. թ.2-ի` Մ» օՔի-ե| ՀվուԵ|:

«ռր:|)ՈՔՈւ-Ե| Այսպիսով

ք

իժ

են

«ծնվում»

հետնյալ

Ե

ին)ժ,որոնք կոչվում են փոփոխականվերին ստորին սահմանով համապատասխանաբար. Բ)» ֆունկցիաները`

ձե, Շ()-

ն

ինտեգրալներ:Ուսումնասիրենքնրանցհատկությունները: Թեորեմ 1:Եթե ք « լո: յ) ապա Բ,Օ « Ըի:ե|:

Ապացուցում:Վերցնենք ՄՀց6 օի:ե|ն նրան տանք հ (հ »"0) աճ,

Այդ դեպքում Ք-ը ստանում Հհօիխ.Ե| Փ(հ)- ճբ(չ օ)-Ք(:Իհ)-Ք(5) աճ, ընդ որում` Փ(հ)»

այնպիսին, օհ

-

յ'

ոցի

-)

ը

որ

(չ)Փ-

ի

1(:)մ:

ի

մյեւ-

(«)եւ-

«օհ

)

ճ(«)եւ -

է

ի մե»

ուԿ

Այստեղ,հաշվի առանք 7., թ.2-ը ն դիտ.1-ը: Քանի որ ք-ը ինտեգրելի է, Հ ի/: Կաէ՝ ՀՅիչ»0,2246 Թ:Ե|: ուրեմն այն

սահմանափակ

մայական 6»0

թվի համար

8(6)-ըն

ԼՐ)

հ-ը ընտրենք այնպես, որ չ«ոՀհ

ԿստանանքԹ̀Ֆ(ե)|-0 0«ՀՀր օՀիլ«Հ։ ) ն

ՀԻԼ |

Դա

1/ա |.

ՀԽ.

Փ.

Հ

"լօվ-ՀԽ.ՀԼՀ6(տես Սիլ

Թ.3, դիտ. 1):

7.

որ` շանակում նուճՔը)- Այսինքն Բ-ը անընդըղՓր))է,

է |ո-Ե| հատվածիկամայական ց հատ

0:

կետում,ուրեմն` Ք

Հ

ԹեՇ|ո:Ե|:

որեմիպնդումը Օ ֆունկցիայիհամարապացուցվումէ նույն կերպ: Ջ

ե Շե) ապա ՔԲ,Օ«Շ' ը:Ե| Մ «խւե|: Բ(«)-18(), 6'(4)--ք(.): Ապացուցում:Ընտրենք Ճ/.ց :Ե) ն ճրան տանք հ

Թեորեմ 2-Եթե էքՀ

պիսին, որ 2 Էհ 3ծ»0

Ս6»0

,

(:Ե|:Քանի որ

ք

նան

(տես

ուննք '

--/()-հ որ`

ՅՔ(«)-

տի՝ Մ

անընդհատէ ց

7.

-ՃԷ(Գ)-լ՝

ԼՈ

Կամայական

օհ

իս

ժէ-

-

-

):

Այստեղից հետնում է,

»ք(Ռ.): հոքրեա)

Քանի որ Ճց-նկամայականէ, ուս-.

Թեորեմի պնդուՇր:Ե|-»Բ« Շ'Թ:Ե|: Թ:Ե|ԲՐ)» 1Թ)6« :

մը Օ.ֆունկցիայիհամար ապացուցվում է նույն կերպ: Չետնանք 1:

Ջ

Թ:Ե)հատվածում անընդհատ քֆունկցիան ունի Ե

՛

նախնական, օրինակ`

ում, ապա՝

ապա |է .|Հ|ի|ՀՏ,

Քանի որ

հոք(ծ)-ք(5.

սուրեմն՝

-

7., թեռրեմ 7- ի (միջինի մասին)

(Հ) (է«իգշգհի:

Մ()-16.)|Հ2

ը

Կ.խ-»յվՀծ: |1(:)-քԸ)|ՀՔ:

(0Հ|հ |ՀՏ)աճի համար, ըստ

հ

-

»:Օ աճ, այն-

ԲԿչ)-|8()4է,-Օ6)-

-

ի(04ւ։

9. ՈՐՈՇՅԱԼ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ՀԱՇՎՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ

Թեորեմ 1 (Նյուտոն-Լայբնիցիբանածնը): Եթե Է 6

ք(:)-ի

որնէ նախնական ը է (տես (Նյուտոն -Լայբնիցի) բանաձնը՝

Շլ:Ե|ն Փ()-

8., հետ.1) ապա ճշմարիտ է հետնյալ

|

ԲԸ)Փ.-ՓՐյ-ՓՐ)-Փո| Ապացուցում: 8., թ.2-ից հետնում

Բ(.)-

է, որ

ի()ձ

ՓԸ)-ը տարբերվում է ԲՐ) հաստատունով` ՓԸ)» Ի(.)--1 Այստեղից`

նախնականն է, ուրեմն ի/

-

-ը

10ժ-ի

ից որոշակի

:

Փ(ե)-Փ(ո)ՀՔ(Ե)-ԷՆԼ-Ք(ո)-ԻԼՀ-

.-ի(յ

-ՈԹՓ-իԻՆՐ)

ծ.

» Ը):։

Թեռրեմ 2 (փոփոխականիփոխարինում):Դիցուք Է 62)ֆունկցիան

է

անընդհատ|տ:Ե| ում, -

տ

-

Փ(է) ֆունկցիան բավարարում է հետնյալ

պայմաններին` Փ.«Շ՛ թյունը դուրս

օ:5|,Փ(ս)ՀՅ, Փ(8)-Են արժեքների բազմուչի գալիս Այս դեպքում` |8:Ե|): -ից

բ»)- ((9)Հ

ի)յ)...»իշ1)-օ«()ժւ:

Աեյացուցում: Դիցուք ԲՐչ ը ք(:)-ի որնէ

Թեորեմի Բ(ո)»1(5) (ւ««|ոծ|):

որ

այն

ճախնականն է՝

պայմաններից հետնում

հատվածում որոշված է Փ()-Ի(՞()) |ռ:թ)

հեշտ է տեսնել,

(2) է, որ

բարդ

ֆունկցիան ն,

ք(շ(է))-Փ(է)ֆունկցիայի

նախնականն է:

Օգտվելով Իրոք՝ Փ'()ՀԻ(Չ())-Փ(05-1(())-6():

Լայբնիցիբանաձնից,ստանում ենք`

.

Նյուտոն.

,

բ.

-Փ()»-

Փ(8-

(6(:))-2/()4.-

`

ր(«)Փ« -Ե(5(8))-Ք(Փ(օ))-Ի(Ե)-8(5)Ս(:)Մ(.)Հ Շ8:Ե), իոտեգրում: բանաձնը՝

Այստեղիցհետնումէ(2)-ը: Թեորեմ3 (մասերով ճիշտ է հետնյա

ապա

Եթե`

ինտեգրման) (մասերով

խ«ո-( խս

|

Խ-Պէ-

Ապացուցում:Ինտեգրելով առնչության երկու կողմը, ն

(Ս(.)-Խն)» Ս'(:)-Մ(:)-':)-Ս6)

բանաձնը, կստանանք`(Սն) ԿԸ Որտեղիցհետնում է(3)-ը:

Զ

Օրինակ1: Հաշվել 1է-խականիփոխարինում`

չ(0)-0, 4(8)-

ԳՄ.): բ-խ ):4Մ(:)- խճ)

բի"-Ճշ

( 1» 0): Կատարենքփոփո-

ձ:

(2)

-

սաղ) մ

Տոէ, ծւ

օ05է:4է

:

1-57

ե

Ճ

55:ժէ---կ( 2 յ.

Ի

Հաշվել 1-

Բ"

1...

տ

ե)

ԶՅ25 ձ

|---բ

ԷՅ

42:) 6552:

ա

(4»:0):Մասերով ինտե-

աստիճանը: գրմանմիջոցով իջեցնենքհայտարարի

2 Արդյունքում,կստանանք`

Օրինակ 2:

Լայբնիցի Նյուտոնառնելով

ի

3)

լՀ

421-2ԹԱՀ

ե-ի ԱԻՀ

ա ՄԱՀՎԱ Թավ Հավի» (ո«87) -

----չ

իչ.

«4(22 Ի

մ

4. | :

1.

48:

Փ

ո 87 լ:

Փ

87իջ

87)»---

221246

Ր

տօ".

'

ջո)

:-4

ԼՑ,Իշ 2թ1)

՝

տ.

լ

շշ

Ն"

28 227

Հ2,

6.84

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

տ ՈՐՈՇՅԱԼ

1. ԿՈՐԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

Կան

կորի տարբեր սահմանումներ: Կտանք կորի սահմանումըըստ

Ժորդանի՝:

Սահմանում

Դիցուք տրված են «ՀՀ(ԱՖՀ-() Քւբ| ն անընդհատ ֆունկցիաներ: որոշված

1:

հատվածի վրա

:է«(քի (դ-(6(0»60))

բազմությունը կոչվում է անընդհատ

հարթ կոր (Ժորդանյան կոր), տրված պարամետրականտեսքով, է -ն

ԽԼյ(«(ե)»(ե))(եռ6լօԹ))-ռ կոչվումէ (7) ն կորի կետ: Վարթության ՃԸ») Ց6(թ)5()) կետերը կոչվում կոչվում է պարամետր: են

(3-իծայրակետեր:Ասում են, որ (ը կորը միացնումէ ՃՃ -ն Ց-ին: ֆունկցիայի գրաֆիկն է, ապա ասում են, Եթե (1) կորը 7 Շ|ճ:չԵ| Հ

որ

կորը

է բացահայտ տեսքով՝ տրված

ւ.օրչե|:

(-(Թ»0))

Բացահայտ տեսքով տրված կորը կարելի դիտել, որպես պարամետրական (պարամետրը է 2 ն է) տեսքով տրվածկոր: Հ

Սահմանում

վում է

պարզ,

խանում »

են

2:

-

()- Ն(Հ»()):: օրի

անընդհատ կորը կոչ-

եթե պարամետրիտարբեր արժեքներին համապատաս-

կորի

(Հ(Ե)»(ե)

կետեր՝

տարբեր

կ»ն»5(Ր2(:)»(:))2

(կորն իքն իրենչի հատում): Կորը կոչվում է փակ, եթե

8: պարզ լինելու պայմանը խախտվում է միայն ծայրակետերում՝ Ճ Նկատենք, որ բացահայտ տեսքով տրված կորը միշտ պարզ է անկախ -

7(Ճ)

ֆունկցիայից, քանի որ` 2լ»:4,-»

Պարզ() ն

-

(«,.ք(5.)

կորի դեպքում առկա է փոխմիարժեքարտապատկերում(

բազմությունների միջն: Դա |ը:թ| '

(ոք(.))

Ժորդան Մարի էնմոն Կամիլ (1838

-

նշանակում է,

որ

)

հատվածի |ն:թ|

1922) ֆրանսիացիմաթեմատիկոս: -

Է

Ղ յուրաքանչյուր Ար

ԱԼՄ ) (ե).

Հ

եց

տրոհում առաջացնում է

(0) կորի

(8(.-Հձ,Խ1 8) ն՝ հակառակը: տրոհում անընդհատպարզ (Ռ- լ («() (0): ո:8|) Հ

Դիցուք տրված են

Ղե) ե)-օ ո:թ| հատվածի որնէ կոր,-ե ո

Հ

հատվածների միավորումը (օ:)-

տրոհում:

| կոչվում ՀԼ Խգ:ին.

ար է

բեկյալ,

է-)

ներգծված(7)կորին (տես նկ. 3): Նրա երկարությունըԺ.

-ն

կլինի՝

ա-ԵվԿ-«ա:06)56։

Սահմանում 3: Եթե գոյություն ունի |»

ր 6-Րբ,ապա (մ) կորը կոչ-

վում է ուղղելի, իսկ /-ը՝ կորի երկարություն: ,4

Նկ.3

(Ռ- ((4»():ւ:«Ե8Ա-ը Թեորեմ 1- Դիցուք` «(ժ,5()«ՇԱտյՐՀ8. պարզ կոր է: Այս դեպքումկորը ուղղելի է, ն`

լԲԹյ

լ

:

Թ

ֆունկԱպացուցում:ԿիրառելովԼագրանժի թեորեմը «(ի»() կստատե) միջակայքերում, դիտարկված նկատմամբ,

ցիաների

«(ե)

նանք

-

(րւ)

(ե) -5(ե)

Հու),

-չվա

որտեղ

տարբեր են

ճ.»6 «(ե տե) ն, ընդհանրապեսասած, իրարից (1)) համար(տես ոյ»: Ուրեմն, ներգծյալ բեկյալի երկարության եթե նշանակենք ձե: կստանանք` Ժլ

-Հվյ))«606)) ւ»

«-չ

Թ1:) 40)

(ժշ«(77 4(--փխ

Ճ..

ե

հաշվի

առնելով,

որ

Բ| հատվածում, ֆունկցիանանընդհատ էլ|Շ:

կունենանք՝

նիտօլ-

յ)

(07 (Ս

ձէ.

6) արի Ապացուցենք, որ՝ հու (օ.-9:)20, ենթադրելով,

Կե:(ղ)»

«(6 )։ Իրոք`

"ԽՓ

ԷԹ)են)

ՆԱ | ր բարրոր «ա:նայ

որ

-ԵԹ)

«ԸԹ)-06)

Ճա»

-

Ճել

Հ

ԻՐ«Ախ»:

Լ

ՇԵ :6Շ) "ՐԱՆԻ

"Տ

ՀԱԱԱՆՐ Մոա-ֆա սգա ւ»1

Քանի որ,

2(է)6Ըլ:թ), ապա

այն հավասարաչափ անընդհատէ՝

ՀԸ:

Մ6»-0368(6)»0, Ժեւօլ|որ|,|-վՀՏ։ ի՛()-ո՛(յ) Ղ

իբ

-

հետնում

(ե

տրոհումը ընտրենք այնպես, որ

-գ

Հծ:

Այժմ

Այստեղից

է, որ

ն -զ|ՀՏ (է»1,..,ո) Ուրեմն,հաշվի

ի. - «(ով

Հ

(4)-ը, առնելով

ստանում

»ճո-։ բ,-Փ)ՀրԸ. է նուօ -

Դիտողություն 1: Երբ կորը ցահայտ տեսքով(այն ԼԱ տրված կոր`«-Ն7Հ

է

Ր(է

-

) 5՛(ժ՛ իբն է

Թ

ժ-:ո

րված5570Թ) Օ«Շլչե),

բա-

դիտել, որպես պարամետրականտեսքով

ն |1:76)

որոշվում հետնյալկերպ` 1--

(է -1...,ո):

-օ)-0: նու(օ,

3) (8-ից հետնում

ենք՝

-շ

))

,

ապա

կորի երկարությունը

Փ.։

Դիտողություն 2- Եթե, բավարարվածեն թեորեմ1-ի պայմաններըն կորի պարզ լինելու պայմանը խախտվածէ միայն ը:թ|հատվածի ծայրակետերում(փակ կորի դեպքը), ապա վերցնելով այդ կորի վրա երկու կամայականկետ, այն կտրոհենք երկու պարզ կորերի: Ամբողջ կորի երկարությունը,ըստ սահմանման հավասար է առանձինմասերի գումարին: Գրելով յուրաքանչյուրի երկարությունը երկարությունների ինտեգրալիմիջոցով ն հաշվի առնելով ինտեգրալի ադիտիվ հատկությունը ինտեգրման տիրույթի նկատմամբ, ի վերջո կստանանք, որ

`

պարզ

որոշվում է նույն (2) բանաձնով: փակ կորի երկարությունը

Հաշվենք աստղակերպի`23143723

1:

Օրինակ րությունը (տես նկ. 4):

ե » 0) երկա-

Ց.

2-7

|

Հ

Հ :

ՀՆՈՑ

աաա

-

ՀՏՈ7՛ Հ '

»

Դ

.

Լ/

դլ 7

Նկ.4

տեսքով` Աստղակերպըկարելի է ներկայացնելպարամետրական 2 4605.) (ւօ 22): Հաշվի առնելով կորի համաչափությունը առանցքներինկատմամբ,կստանանք` Հ

լ-

օօ5է) շշ րօ»: Ջու «-(Տլոշւ4է-

ա

օ057է-Տ1ո՞ւժէ»

ո

|Տոշէ

Վ2է

ո

Հ

-38ՇՕՏ.2է

թ

Սահմանում 4: Դիցուք ».).2

68:

()- (6(47(22(0):ւՀ ը:8)) «Շ|թ:ք|.

կոչվում է անընդհատ տարածականկոր: Այն կոչվում է պարզ. եթե. պարաճետրի տարբեր արժեքներին համապատասխանումեն կորի տարբեր կետեր: Կորի երկարությունը սահմանվում է այնպես, ինչպես հարթ կորի դեպքում: Սույն կերպ ինչ թեորեմ 1-ը ապացուցվումէ

հետնյալ՝

Թեորեմ 2: Դիցուք`

։

Հթ). Ճ.,7,26Շ՛|օ:թ(6

պարզ (2 4(6(»(22(դ)::6 ն:8|-ը Ց

ուղղելի

է, ն`

--

իբ(Մ «7(2. ՊԱՏԿԵՐԻ

կոր է: Այս դեպքում կորը

2'(էյ 4: ՄԱԿԵՐԵՍ

|

Արդեն ծանոթ ենք սեղանակերպիմակերեսի խնդրին (տես է,1.): Այժմ ընդհանրացնենքմակերեսի գաղափարը:Դիցուք տրված է պարզ. փակ, հարթ, ուղղելի Ժորդանյան(()) կոր): Ժորդանը ապացուցել է, որ

((5))

ն այդպիսի կորը հարթությունըտրոհում է երկու,մահմանափակ անսահմանափակ մասերի (հարթ բազմությունը (պատկերը), կոչվում է սահմանափակ,եթե գոյություն ունի այն պարունակողշրջան):

Պ-

Ս

(8)

Հա--/ Նկ.5

ռ

ՀՏ

անն

պատկերը կանվանենք բազմՓակ բեկյալով սահմանափակված (ինչպես արդեն նշել էինք) սահմանափակ անկյուն: Դիցուք

(թ)-ռ

պատկեր է:

(ՃՀԹ)

(ՃՃ)բազմանկյունըկոչվում

ն`

արտագծած(թ)-ին,եթե

է

ներգծված

(թ)

-

(Ճ)-(Թ)։Այստեղ, ն

ին, եթե ստորն

ամենուր, առանց փակագծինշվում է փակագծովգրված բազմության մակերեսն է բազմանկյանչափը՝/Ճ- ն չափը, օրինակ

(Ճ)-ի Նշանակենք (Ճ)- ով (թ)(հայտնի է տարրականմաթեմատիկայից): բազմանկյունների բոլոր արտագծած ին ներգծված, իսկ (8))-ով`

(Ճ)

բազմությունները: Դիտարկենքներգծվածն արտագծածբազմանկյուն-

3-5

`

սահմանափակէ բազմությունները:1Ճ)-ն ՈՃ) ՎԹ) վերնից, օրինակ որնէ արտագծած(8) բազմանկյան8, մակերեսով՝

ների մակերեսների

ով

Այստեղիցհետնում է,

ՀՅ:

ՄՃ:Ճ

անվանենք

նե

Թ)

Խ8ը 6

:

(թ)-ի

Ց ՀՔ,:

որ Հ

որը տսք(Ճ),

նշանակենքԲ,է,

ստորին մակերես): Պարզ

Թ)

Ուրեմն

որ

բազմությունը սահմանափակ է

ներքնից (օրինակ, Ք.-ով): Վետնաբար`Յչոք

18),այն նշանակենքՔ՞-

ով ն անվանենքվերինմակերես:Պարզ է, որ Ք, Հ Ք՝: Սահմանում 1: Եթե

(9) պատկերիվերին ն

իրար հավասար են է, ք'

Հք,

ապա

ստորինմակերեսները

պատկերըկոչվում է քառակու-

սելի իսկ Ք -ն՝ մակերես:Եթե Բ, Հք', ապա պատկերը կոչվում է օրինակներկան (տես |2|): քառակուսելի:Այդպիսիպատկերների

Թեռրեմ ժեշտ է

ն

1:

ոչ

Որպեսզի թ) պատկերը լինի քառակուսելիանհրա-

բավարարոր

8-ՃՀջ: Կ6»03(4Ճ)(Թ) :

(5)-նքառակուսելի ոլթ)» թ, տսք(Ճ)ենք Հ(Ճ),(8): Ճ»Ե-57, 2123-Յ8-Ճ Հճ:

է, որ Ապացուցում:Անհրաժեշտություն: Տրված է, այսինքն Ք, Ք' «Ք: Օգտվելով այն բանից, որ Հ

ստանում

Բավարարություն:Տրված է, նան՝ՃՀՔ

Ունենք

ՀԻ

ՀՑ,

Ս»0:0Հթ"-Ք.Հ8-ՃՀ: կուսելի է: . Թեռրեմ 2- Որպեսզի ժեշտ է

ն

բավարար որ

»

որ

Մ6»03

(Ճ) (8) :

ստանում

Խ-Ւ--թ:

(.)-ն քառաԱյսինքն

որ

(թ) պատկերըլինի քառակուսելի,անհրա-

Մ6»03(5)ՀՇ(թ),(5,)»(5):Տ,-Խ

ՀՏ,

Թեորեմի ապա-

հենվում է նախորդիվրա:

Սահմանում 2: Կասենք, որ

նափակումէ

ծենք,

Հճ:

որտեղից

ն որտեղ(Թ.)-ը (5,)-ըքառակուսելի պատկերներեն:

ցույցը

8-Ճ

(ը անընդհատփակկորը, որը

թ) պատկերը,ունի զրո չափ, եթե Մ6»03(Ճ)(8):8-4ՃՀճ:

սահմա-

քառակուսելիությունըհամարժեք է նրա Այսպիսով, (Թ)-պատկերի

(դ եզրագծի զրո

չափ ունենալուն (տես թ. 1): Խնդիր Ապացուցել, որ Ժորդանյան,պարզ,փակ, ուղղելի կորը ունի զրո չափ (նրանով սահմանափակված պատկերըքառակուսելի է): 1:

Թեորեմ

Ճ-:Հ-ԵԽՖ-0

3:

ուղիղնրո

(ԲՀՇլչԵ)ք(Ճ)Հ0) ֆունկցիայի գրաֆիկով

7-()

ե

սահմանափակված Ե

թ)

սեղանակերպըքառակուսելիԷ ն նրա մակերեսը`Ծ Ապացուցում:

Քանի

ք-ը՝

որ

-

ինտեգրկլի

ՈՆՑ: :

է,

ապա

»ՀՏ:ՕՀ Տ.-Տլ ՀՏ: Բայց 5լ-ն Մ6»-038(5)»07Ղ1Հվւիխ (թ)-իններգծվածբազմանկյան(ուղղանկյուններիմիավորման)մակե-

արտագծածբազմանկյանմակերեսն է (նկ. (թ)-ին Այստեղից ստացվում է (թ) պատկերիքառակուսելիությունը: Ու-

րեսն է, իսկ Տ-ն 2):

նենք

նան

ՀԾՀՏլ,

որտեղից անցնելով սահմանի, երբ 7լ-»0 Ե

կստանանք ՕՀ

ոՏ, նուտ,ԱԾ)ւ: Հ

-

Եթե պատկերըներկայացվումէ վերջավորթվով քառակուսելի մաայդ սերի միավորումով (տարբերությունով), ապա, ըստ սահմանման պատկերըքառակուսելի է ն մակերեսըհավասար է առանձինմասերի մակերեսներիգումարին (տարբերությանը): Դիտարկենք ավելի ընդհանուր տեսքի սեղանակերպ պատկեր

սահմանափակված2 -2,:-Ե

ուղիղներովն 7-7ց

(2) ՍՀ ՆՆ)

(64276)«ՇԹչԵՆԱ)Հ».(5:))ֆունկցիաների գրաֆիկներով (տես նկ. 6): Ենթադրենք (5,)-ըայն սեղանակերպնէ, որը սահմանա-8,4 փակվածէ Հ Ե, 0 ուղիղներովե 3 70(Ճ)ֆունկցիայի գրաֆիկով, իսկ (թ.)-ը սեղանակերպէ, սահմանափակված ՀՅ, »

--

Հ

Ճ-Ե,7»0

քում`

ուղիղներով ն.)

--

(Ծ,)-(Ծլ)Ս(թ): Ըստ

րեսները կլինեն` Ծ,--Ծլ

(Հ)

ֆունկցիայիգրաֆիկով: Այդ դեպ-

սահմանման, համապատասխան մակե-

-5((0)

-ն

քառակուսելի, քանի

որ

հան35

Ուրեմն` տարբերությո պատկերների Քառակուսելի

դիսանում է

յտ.» ԻԹ-(2) |: իլ)) իչ6) Փ-

ք-0,-ԾԱյսպիսով` ք

իո: ԵՐԺ-3.6

--

7570)

(0) 7609

Նկ. 6

ԻՋ

էլիպսը

»՞ Հ1

5: ԻՑ

Օրինակ 1: Հաշվել

(4»0,Ե»0) էլիպսի մակերեսը:

սահմանափակվածուղիղներով է

ն

»--ՃՔ:«:»8

:

7»«ֆԵԷ-ջ (ԻՎՀշ)անընդհատ ֆունկցիաների

գրաֆիկներով:

Հաշվի առնելով էլիպսի համաչափությունը առանցքների նկատմամբ,

Տ«4Եի |

Յ

ենք՝

ստանում

Ց

(2 »"Յ

Տյու, ծւ 8

6օՏԼ

Ձ

ւ:

Անցնենք նոր`

Ժ) փոփոխականի,կստանանք`

Ճ

է-- Ճոօտլո--Յ

Տ» 4Ե

.

Թ»: ձ-.

Լ

յ6 օՕՏ2է) |

Է

ձէ Հ7ոԵ-ՀՅԵ

.

Տւոշշ

Հ:

`

ՂՅԵ: Շրջանի դեպքում, երբ

ՀԵ, ստանում ենք հայտնի, Տ»: Թեորեմ

4:

Դիցուք տրված է

բանաձնը:

ո

-Հ-"(ջ) (ոօՇ|6:8|, "()20.օ ՀԹ)

ֆունկցիա: Այն, բնեռային համակարգում որոշում է

2---(ջ)-օօ5Փ.

Հ«(Փ)-5ւոքանընդհատպարզ կոր: Այդ դեպքում, Փ 4, Փ թ ճառագայթներովն Ո» (թ) անընդհատպարզ կորով սահմանափակված

(

»-

բ

(5))

պատկերըքառակուսելի Էն 3

-շ ի՞(6)4օ։

Ապացուցում: Դիտարկենքկամայական Լն ն

Տ

ԽԼձց,.

2 իք

(-շո(9.

կատարենք նշանակումներ`

«լայն է-1.«ո): խն

-

Պապ

Ե

գումարները հանդիսանում

ուռ Ր.

|Հ:

պ-ֆուճ,

ոբ

է»1

ո.-

տրոհում

են

ք(ջ)-

չո(ջ)

ֆունկցիայի համար Դարբուիհամապատասխանաբար ստորին րին գումարներ(տես նկ. 7):

ն

վե-

74Ճ

աաա

Հգ

ակապրաքաւ Հաա. «3»

Նկ. 7

(թ)-

Այդ գումարները իրենցից ներկայացնում են ին համապասն խանաբարներգծված արտագծածսեկտորներիմիավորումներիմա37

կերեսները( տարրականմաթեմատիկայիցհայտնիէ, որ ը շառավղով ն ռադիաններով չափված Օ անկյունովսեկտորի մակերեսըհավասար է

չոջ):Քանի,

Մ»031րը:

ք-ը

որ

Տ.ւջ

-Տր|

Տղ

Հ ՀԻՏ

-

ՀՏ

է նշված պատկերի քառակուսելիությունըե,

Այստեղից հետնում

քանի որ

(ք«Շվռչժ|),ապա

ինտեգրելի է

ր

ապա )

3.

ՀՈոպ

-իոՏ աի

1-0

վայ

ք

-չի

ա

ԱԶ

`

3. ՄԱՐՄՆԻ ԾԱՎԱԼ

Տարածական կետերի բազմությունըկանվանենք մարմին: (7) մարմինըկանվանենքսահմանափակ,եթե գոյություն ունի այն պարունակող գունդ,: ով բոլոր ներգծված((2Է) (Մ)),իսկ (5)/-ով Նշանակենք 4(2Հ))-

(Մ) Ր7) բազմանիստերի(բազմանիստերիմիաբոլորարտագծած

վորումների)բագմությունները(տես նկ. 8): Առանց փակագծի կնշանակենք համապատասխանբազմության չափը (ծավալը): Դիտարկենք բազմանիստերիմակերեսների2է),(7) բազներգծվածն արտագծած

24-ը սահմանափակէ վերնից, օրինակ որնէ արտամությունները: գծած (ո) բազմանիստի Մշ մակերեսով` "24 : 2 Հ Մց: Այստեղից հետնում

է, որ Յ

այն նշանակենքՄ, Տսթ(26) ,

նենք ստորինծավալ: Պարզ է, որ ԳՅ

:

(

5սքվ7է)Կ.) -

ՄըՀ Դ,: Ուրեմն

ն

անվա-

2)

բազ-

մությունըսահմանափակվածէ ճերքեից(օրինակ, Ճ. -ով): Վետնաբար` Յ

այն նշանակենք Մ" տոր((7)|,

(

ոք|Մ)ՀՊ՝)ն

անվանենք վերին

ծավալ: Ակնհայտէ, որ` Մ, ՀՄ": Սահմանում

Մ.Խ

(5

մարմինը կոչվում է խորանարդելի, եթե

ՀՃ,իխսկ Պ-ն կոչվում է այդ մարմնիծավալ:

Նկ.8 լինի խորանարդելիանհրաժեշտ (67) մարմինը ՄՏ»0,304( 7) 0ՀՅԽ-ՃՀճ:

Թեորեմ1: Որպեսզի է ն բավարար,որ

:

Թեորեմիապացույցը նույն է, ինչ 2. թ.1-ինը: Թեորեմ 2: Որպեսզի (Մ) մարմինըլինի խորանարդելի, անհրաժեշտ է

ե

բավարար,

որ

Մ»

0,3Յ(Թ) (8) 0ՀԲ-ՔՀՇ,

(Թ) (7 (Թ ձա)խորանարդելիմարմիններեն: (8)(Բ)-ը Շ

»

որտեղ .

Ապացույցըհենվում է նախորդթեորեմիվրա: Սահմանում 2- Դիցուք «Օ7 հարթությանմեջ տրված է Ժորդանյան

փակ, հարթ, ուղղելի (()) կոր: Նրանով սահմանափակված(թ) պատկերը քառակուսելի է (տես 2 խնդ. 1): Այն ուղիղների բազմությունը, որոնք անցնում են այդ կորի կետերով ն զուգահեռ են 2 առանցքին կոչվում է ուղիղ գլանային մակերնույթ, որի ծննիչներն են նշված ուղղիղները ն (դ-ը հանդիսանումէ ուղղորդ կոր: Տանենք պարզ,

.

(0,0,հ)(հ» 0)

կետով հարթություն, զուգահեռ «Օ» հարթությանը:

Առաջացած մարմինը (այն սահմանափակված է գլանային մակերնույթով ն 2 --0, 2:- հ հարթություններով)կոչվում է ուղիղ գլան (տես նկ. 9):

Նկ.

Թեռրեմ 3: Վերը նշված գլանը խորանարդելի է

թ.ի:

Ապացուցում: Քանի գոյություն

որ

()-ճ

(Պ)«(8)»վ6չհ|:Պարզ է. ԺՀԹՑ.ի ն՝ 0ՀՀ-Չ»հ.(Թ-

լիէն'7ՀԵ.հ:ա

Դիցուք տրված է

«1

տույթը

(Դ

(:Եի կետում տարված քառակուսելի է,

դրվում է

որ

Դիտարկենք '

Մ»0

ապա

բազմանկյուններ, այնպիսիք, որ.

որ

(«)ՇՐ),()Հ(7),

ն

2Հ4-Խ

Ճ)ՀՏ: Ուրեմն (Ճ)-նխորանարդեմարմինը, սահմանափակված

(ԲՀԵ) հարթություններով: Այն այնպիսին է,

«ՀԵ

նրա ծավալը`

-: Դիտարկենքհետնյալ բազմանիստերը` (26)-(Ճ)»վօչհ|,

0ՀԲ-ՃՀ

քառակուսելի է,

(Ճ)Հ (ԴԹ)» (7)

ունեն

ն

2.

որ

յուրաքանչյուր

առանցքին ուղղահայաց

մակերեսը` Ե

2-8,

Ընդ «Շլոչե|:

(5(2:))հա-

որում ենթա-

-»(Թ6.)Հ(Նչ),կամ ((6.))Հ(ԹՆ))": ՛Ղ1- Ե ի տրոհում են կատարենք նշանակումներ

լ»:

մասին է հարթության վրա: պրոյեկցիաների

Խոսքը նշված պատկերների

««Յ

ո,

-

նում է

տո թայյու)

Բ(), Խն, լոտԹ0):Տ» -

Ճե-,

ներգծված, իսկ Տր (Մ7)-ին

Ֆու Է-1

մ

հանդիսա-

` ԽԼ,:4:.` Ը7)-նարտագծած

Հ

Է»-1

համապատասխանգլանների միավորումների ծավալները: Քանի

ՖՀՇվոչծե| ԿԼ» ՀՏ Ը). Նե.

,

ՔՀՔվւե|,

ուրեմն

0ՀՏլ

:

-Տլ

7Մճք»0

ապա`

որ

36»0,

1 (Ճ՛)գլանի

Այստեղիցբխո' է

ՀՔ:

Ե

խորանարդելիությունը:Քանի

որ

նռ

Ճ-»0

-

նո

Տր-

Ն-»0

յթ(.)ո ապա` ,

Ե

ԹՆ)ծ::

Մ»

Օրինակ

1:

Հաշվել

մշ

՞

ՀԱՅՏ) Օ

(7)

էլիպսոիդի ծավալը (տես

նկ10): Քանի որ էլիպսոիդը համաչափ է 2 առանցքի նկատմ մբ, ապա բավական է դիտարկել վերին մասը: Այն սահմանափակված է 2--0,2-օՇ հարթություններով, ընդ որում 2-20 2 ՅԾ(0:-ի հարթու-

թյունով առաջացած հատույթը՝

«3Հ Հ1--Ը, -չ-Ի-չ- Հ) 820 թ ` 5...

էլիպս է, որի կիսառանցք-

ներն են՝

8,

«1-8 ,Ե, «Եվ1Լ--ք:

ՄՀշղ-:տԵ|1 է

լո

Վշ

27:

Հ

օ

պես, եթե Ճ--ԵՀ-Շ, --

ա: Ը

Ե(2)Պ:ո.ե, տ:

ենք Մ

`

ապա

Շ

Ուրեմն (տես 2.

ըստ Այսպիսով, .

աէ1: -

-

օր.1) (12-ի

4 ոոեօ: Մասնավորա3

էլիպսոիդըվերածվում է գնդի, ն

ստանում

:

Օրինակ2: Հաշվել պտտմանմարմնիծավալը: Ըստ սահմանման, ուղիղներով ն «-81Խ-Հե,7-0 պտտման մարմին է

Ց)

գրաֆիկով ֆունկցիայի քա) (է«ԸՇԹ:Ե181)Հ0)

փակված սեղանակերպի Ճ առանցքիշուրջը մարմինը(տես նկ. 11): -

Ա

Ա

|

առաջացած պտտումից

Հ1/

Նկ.11

սահնանա-

Պարզ է, ներին,ե

մարմինըբավարարումէ վերը նշված պայման-

որ այս

Ե

Ք(:)Հ-ո-1"(5):

ըստ

(ԴՒիունենք՝ 7

Հ

ո|է՞(ւ)՝:

Օրինակ Յ: Հաշվենք հատած կոնի ծավալը (տես նկ. 12): Այն ստացվումէ Ճ8ՇԾ սեղանի 7 առանցքիշուրջը պտտումից:

.

Նկ.

Պարզ է, որ` 7 հ

Մ-ի)

ք(.)

"ի

ձւ-

Ք-

2.հ

32-դ:

ԽՔԽ-լ

(Հ--5Հո հ

Ւ-ր

-

բ պա

հ

յ 1օ

5 Հ Է:

Լ

հ

տ-հ(-ռ) 3Ք-

Ուրեմն`

է-ք "ՀՌՀ հ ո.եԹ:

Քուր)

ՊՏՏՄԱՆ

4.

ՄԱՐՄՆԻ ՄԱԿԵՐԿՈՒՅԹԻ

ՄԱԿԵՐԵՍԸ

Դիցուք տրված է վերը նշված (տես 3., օր.2) պտտման մարմինը: Դիտարկենք ՛ո,չլ կե.):., տրոհումը: Նրան համապատասխան7516) Հ

0....ո) ԽՈ..»3.) (57, 1(4«.),Է

Ֆֆունկցիաիգրաֆիկը կտրոհվի կետերով մասերի, որոնք միացնենք իրար ուղիղ գծերով (տես նկ.13): -

-

Ըստ

սահմանման, պտտման

մակերնույթը քառակուսելի մարմնի(Տ)

է,

եթե գոյություն ունի բեկյալի » առանցքի շուրջը պտտումից ստացված մակերնույթի մակերեսի վերջավոր սահմանը, երբ տրոհման տրաձգտում է զրոյի ն այդ սահմանը հասարէ Տ -ի: մագիծը` 1. -

ՆՊ տած

Ոճ:(4,

հատվածի

2.

առանցքի շուրջը պտտումից առաջացած հա-

կոնի կողմնային մակերնույթի մակերեսն է` 5,

որտեղ

մ,-.(

/.-ն ԽԼՈՂ,

--

(Ւ

7.)-ն

,

կետերի միջե եղած հեռավորությունն է՝

.5.:

Այսպիսով` Տու) ՀԸՕւ-37) իոէ-1 :

7Ճ

Նկ.

Թեռրեմ

ք«Շ

Եթե

1:

|ռԵ|,ք(5)20.

վերը

ապա

նշված

պտտմանմարմնի մակերնույթըքառակուսելի է ն մակերեսը որոշվում է հետեյալ բանաձեով՝

Փ.: շինի « որ Լագրանժի Ապացուցում:

Մ

ր

Տ-

թեորեմի՝

Ըստ

Ֆո

-

Է(ոա)-ք(«..)- Ր՛(4.):Ճեւչ

ծւ ՕԵԿ) ն, ուրեմն`

(«Հ Ն2,..ո)

1, ՀՈՀՐ(Հ, ) ՎՃ

չէ՞12.....ո:

Կատարենք հետնյալ

ձեափոխությունները`

Հ2»-ՖՅ(ե)-ԱՒԻ( օ-Ֆ-Տ,Հո-Ֆ(7.85.)-ն Ն)«Խու:

Հո-Հ(7.-ք(4.)-5.-ք(Ճ) Ւ ՎՒՐԸ: ) "Ճել

Ր

Քանի

որ

ք(2)- 1 Ր(2)՛ ֆունկցիան աընդհատ է է|

վածի վրա, ապա`

Մնում է |

)-Վ6(3) ԹՅԱՆՆ

ապացուցել, որ

1յռԻԼ է-1

Ըստ `

(2)

-ք(..)Ւ),

"ճւ: )-ՄԷ6(2) .-իՇ)

-ք(4,)|փ

Ր(Հ )

-0:

Ճել

թեորեմի պայմանի 1ԻՐ(ո) ֆունկցիան անընդհատ Է

ում, ուրեմն այն սահմանափակ է`

Քանի որ

նան ք

Օ

ապա Շլհե|,

հատ-

ՀԻԽ"Լ»0,ւ

«էլ:

3)

|8չԵ|-

1-Ր(2)ՀԻԼ

այն հավասարաչափանընդհատէ`

Մ»»06(6)»0,ԿԵղ«լԵ| |է Հ: (:)-(ոյՀ -

-: 2Խ(Ե-ռ)` :

Հա

4)

Դիտարկենք Ղե եււի տրոհում, այնպիսին, որ. Հ6: Այդ ւ -ք(6.)Է3. -ք(ճ) Հ է )-ք0. Մ 1(6)-6(6) Հ դեպքում՝ -

Հ

ճ ---ա--«-

Գ

(Եռ)

ն, ուր ուրեմն՝

ՀԼ ՀԻԼ.

ձ) Ճ.յ (4.)Է3. -ք(Հ.) )|Վ1ՒքԿ(

աֆ

Այստեղիցհետնումէ (3)

-ը:

ճու "Ր

ճ

-6:

Ալ ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

Վ.ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ,

ՎԱՇՎՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ

ում ն՝ Դիցուք Է ֆունկցիան որոշված է ի:-) ԿՃ»ուքօռիճ| Եթե գոյություն ունի վերջավոր սահման-

Սահմանում1:

-

Տ

Ճ

ման

Աե) Փւ, Ճ-Ի-ԷՑ լու

այն նշանակումեն՝

ապա

առաջինսեռիանիսկականինտեգրալն ՉՀՓօ

ասում են, որ

այն զուգամետ է:

Ճ

Այսպիսովի̀ն) գոյություն չունի,

անվանում ՈՐ)ժ..,

-

հո ինծ:

կամ անվերջ է,

Իսկ, եթե նշված սահմանը

ապա

ին)Հ.

անիսկական

ինտեգրալըկոչվում է տարամետ: Օրինակ1: Պարզենք, թե ք պարամետրի

արժեքների ինչպիս՞ի

դեպքում զուգամետ է

Նախ, ենթադրենք Բոինտեգրալը:

2-5

՞

Դիցուք Ճ»1

ն

հաշվենք ինտեգրալը

բ»մ.-:1-թ|

ա

։

Պարզ է, որ 1-քթ»0:Ե թ»0: երբ

ճ:7 մոռ

«0,երբ

1-քՀՕ

ն,

ոճ 1- ի,ապա՝ իսպ քՀ1Իշ Հ ԻՃ Հ

ք»

մ

-»

ԵՒ»:

նռ ճ" փՓ:

1:

14.1-:Ճ»

:

ք-1 ՀԳօօ,

Այսպիսով

երբ

8)չ

"

ինտեգրալը զուգամետ է (

Էբման

այն

միայնայն՝դեպքում,

ն

1:

երբ ք»

2:

Սահմանում

ՄՏՀԵ:Ր

Հ

Դիցուք

Եթե Բ|Թ:Ե|

ք-ը

թ

/' (.)

«Ը

ւ,

ապա

- օօ»: Ե)-ումն

վերջավոր սահման

գոյություն ունի Ե

Ե

Ե-

է

որոշված

այն նշանակումեն՝

ՈԸ)ճ. նույնպես ն

5.

Ց

անվանում առաջին սեռի զուգամետ անիսկականինտեգրալ: Եթե Ե

նշված սահմանը գոյություն չունի, կամ անվերջ է,

ապա |

ինտեգոալը կոչվում է տարամետ: 3: Սահմանում Դիցուք ք

ՄՃ,8»0

ք6

Բլ Ճ:8|:

Եթե

-

ը

որոշվածէ

ին...

(-օ6:Է)-ումն:

միաժամանակ զուգամետ

ՈՐ). ՔԸ)ժ:պնիսկականինտեգրալներըԵ 6Ք),

ապա,

են ըստ

ւց0-

սամանման

զուգամետ է առաջին սեռի

ի6)ծ.

անիսկականինտե-

-Փ

գրալը,

ն

ինա ԵթեՍՐ)օինա Ս1ր)աւ» ՈՐ)ճւ»

իճտեգրալներիցգոնե մեկը տարամետէ,

ապա

ր(«).

ինտեգրալը

համարվում է տարամետ: Խնդիր1: Ապացուցել. որ վերը նշված սահմանումը կախված չէ Շկետի ընտրությունից (օգտվել ինտեգրալի ինտեգրմանտիրույթի նկատմամբ ադիտիվ հատկությունից): Սահմանում 4: Եթե Է -ը անսահմանափակէ էր) -ում ն սահմանափակ է յուրաքանչյուր

Թ:Ե-ղ|(դ«(0:Ե-5))միջակայքում, ապա

Ե-ն կոչվում է այդ ֆունկցիայիեզակի կետ:

Խնդիր 2: Ապացուցել,որ եթե ք Հ ապա Ե-ն

եզակի կետ է: Սահմանում 5: Դիցուք Է

կետ է

ն՝

7ղ

ը

-

Ըթ:Ե)ն /(Ե--0)- հո.1)»,

որոշված է

ն:Ե)

ում, Ե- ն եզակի

-

Եթե գոյություն ունի վերջաՀ(0Ե-8) :ք6 Ք|ոչԵ--ղ|: Ե

Ե-ղ

,

վոր սահման

ոռ

ղ-5-0

| ք(ճ)Փե,

ապա

ԷՐ)ժչն

նշանակում են՝

այն

Յ

Իսկ, անվանում երկրորդ սեռի (զուգամետ) անիսկականինտեգրալ: Ե եթե նշված սահմանը գոյությունչունի, կամ անվերջ է,

86)4»

ապա

ինտեգրալը կոչվում է տարամետ: անիսկական Սահմանկում 6: Եթե ք

-

ն սահ(6-Ե|-ում բ Էղչե|(ղ«(0:Ե-»))միջակայքում, ը

անսահմանափակ է

մանափակ յուրաքանչյուր ապա Հ -ն կոչվում է եզակի կետ: Սահմանում 7- Դիցուք ք ը որոշված է

(2:Ե|ում,8- ն եզակի գոյություն ունիվերջաՃղ «(0:Ե-»)ք «Քի--ղԵ|Եթե -

կետ է ն`

Ե

Ե

վոր սահման

//6)

նո

«թ.

-

ճւ,

ապա -

այննշանակում

իԸ)ձ..

են՝

Յ

ՅԻղդ

ինտեգրալ ն ասում, որ այն անվանում երկրորդ սեռի անիսկական անվերջ է, զուգամետէ: Եթե նշված սահմանը գոյություն չունի, կամ Ե

ապա

ի(:):

ինտեգրալըկոչվում է տարամետ:

Օրինակ 2: Ելնելով սահմանումից ապացուցել,որ .

1--

Փ.

բշ

«

անիս-

Հ1 կականինտեգրալը զուգամետ է այն ն միայն այն դեպքում,երբ ք (համեմատիրօրինակ:-- ի հետ): Նկատենք, որ ք Հ Օդեպքում 0-ն եզակի կետ չէ, բայց քանի որ -

այդ

դեպքում

1(:)-

5-7 .

4-5

լ

թ:

ապա Օ(ղ)ՀօՕ(01|.

(դ«|0.))

դ

ստորին սահմանիֆունկցիան անընդհատէ, Թ. փոփոխական

.

ում,

լ

ուրեմն նան ղ»- 0 կետում:Այսպիսով`Հետ դ-»-0

-

թ. թյի Հ

որը

նույնն է,

ինչ անիսկականինտեգրալիսահմանումը: Հետնաբար, իմաստ չունի 0- ն եզակի կետ է առանձնացնել ք Հ Օդեպքը ք»0 դեպքից,երբ « ն, ուրեմն 1- ն անիսկականինտեգրալ:Այս մոտեցումը ընդհանուրէ, -

կիրառելիշատ

դեպքերում: Դիցուք ք-ը

այլ

8:

Սահմանում

|լռ:օ)Ս(օԵ|-ում

որոշված է

ԱՂԵՆ) Շ

կետը կոչվում է եզակի կետ, եթե այն եզակի կետ է, երբ ք-ը

|ո:օ)

դիտարկումենք

-

ում, կամ`

(6:Ե| -

Շ

ում:

ի)

Եթե

Փւ

ն

Յ

ւ:

ՈՐ)ձ: ինտեգրալներըզուգամետ են,

ապա

սահմանման

ըստ

Լ2

Ե

զուգամետ բ.) .-ըն՝ է նան

է)

Ըստ

Ե

86)ժ.- Ո0)ձ.- ՈՐծւ:

`

օ

սահմանման (-օօ -ը Հօ

Ե

«

համարվումէ եզակի կետ:

Եթե ինտեգրմանմիջակայքումԷ ֆունկկանունի վերջավոր թվով (մեկից ավելի) եզակի կետեր, ապա ինտեգրալը պետք է տրոհել ինտեգրալներիգումարի ըստ այնպիսի միջակայքերի,որոնցից յուրաքանչյուրում ք- ը ունի միայնմեկ եզակիկետ: `

Փ.

Օրինակ,

վիշ-վ

-օ

ցիայի եզակի կետերն են` Հօ

իտեգրալում

-

է(2)5---»

իշ

-ռ

-էօօ,0,1: Ըստ սահմանման՝ 0,5

ԼՏ

Հօ

Անյմ- Ոն)ձւ: 6)ծ.- 0,58ն)ծւչ Ոտ:

--օօ

-

ֆունկ-

(9

1,5

են (1)-ում Ընդ որում նշված ինտեգրալը զուգամետ է, եթե զուգամետ դեպքում տվյալ որ կտանք, գրված բոլոր ինտեգրալները(ստորն ցույց տամեկը գ ոնե ն` այդ ինտեգրալներից տարամետ, եթե դա այդպես է)

րամետ է: (1)-ում ընտրված կոնկրետ թվերից կախված չէ ոչ զուգամիտությունը,ոչ էլ ինտեգրալիարժեքը (կարնորն այն է, որ ընտրված միջակայքերիցյուրաքաչյուրում ք ֆունկցիանունենա մեկական եզակի կետ ): Այժմ զբաղվենք անիսկականինտեգրալներիհաշվման մեթոդների ուսումնասիրությամբ:Քանի որ առաջին ն երկրորդ սեռի անիսկական ինտեգրալներըսահմանվումեն որպես սահման, ապա նրանց հատկությունները նույն կերպ են ձնակերպվում ն ապացուցվում: Այդ պատճառով, հիմնականում կսահմանափակվենք առաջին սեռի անիսկական ինտեգրալներով: Թեորեմ (նյուտոն-Լայբնիցիբանաձնը): Դիցուք ք

է

ԲԸ:)-ըԷ(:)-իորնէ նախնականն

Հ հո

ն`

«Շլ:Հ»),

Ի(:) ՀԻ(«») ՀՔ:Այդ

դեպքումՈՇ)ձ:անիսկականինտեգրալըզուգամետ

է ն ճիշտ է

Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձնը՝ |

|

ՈՐՓՀԲ(-«)-Ին: Ըստ Ապացուցում:

ինտեգրալիհամար Նյուտոն-Լայբնիցի -ի համարունենք՝

բանաձնիՄ.4»4

որոշյալ

՛

Ճ

ր(Բ)..»- Բ(Ճ)-Ք(ո):

Անցնելով(3)

--

ում

սահմանիերբ /.

րեմիպայմանը,կստանանք(2)-ը):

-»

օօ

ն

3)...

հաշվի առնելով թեո-

տ

Թեորեմ 2 (փոփոխականի փոխարինում):Դիցուք Բ -

Փ(չ)-նմոնոտոն

աճող է, Փ

Փ()Հռ, օ(8-0)»Հա

..

դեպքում`

Շ|ո:--օ),

Շլո:8) (8- ն կարող է լինել --օօ),

(եթե Թ»-Հ»,

ապա

իՇ0)-6004. ԴԷՇ)ճ:-

Փ(-ա)Գա):Այդ

Ս

եթե (4)-ի աջ կամ ձախ մասը իմաստունի (զուգամետ է) (այդ դեպքում իմաստ ունի նան մյուս մասը ն տեղի ունի (4)-ը):

Ապացուցում:Դիցուք, որոշակիության համար, ձախ մասը: Թեորեմի պայմաններից հետեում է, որ

է (4)-ի զուգամետ Փ(է)-նհակա«

-

ֆունկցիան, որը նունպես կլինի է»-Փ-(Ճ) հակադարձ մոնոտոն այսիքն՝ աճող): Ընդ որում` Փ(ո)-աՓ(Իօ)Հթ, (էա)»ՀԻա, այսիքն Յնուջ՝'(Ճ)»8 (եթեթ-Իօ», ապա ՓՈ դարձելի է (Հ

հո Ճ-946

Ըստ Փ(4)-ՀՓ6):

ինտեգրալում փոփոխականիփոխա-

որոշյալ

րինմանբանաձնի`

օ"(4)

ճ

ի 62)

Փւ.-

ՄՃ»3:

Գէ: | ք(օ(4)-օ'(չ)

Անցնելով (5)-ում սահմանի, երբ ,/4--» Հօօ,

որ

հռ Փ: (Ճ)

-

ն

(5)

հաշվի առնելով այն,

Թ (Թ)-ի ձախ մասը ունի սահման, ուրեմն

աջ

մասը

ունի սահման), կստանանք(4)-ը: . Դիտողություն 1: Թեորեմի պնդումը ճիշտ է նան այն դեպքում, երբ Փ-ն մոնոտոն նվազող է: Այդ դեպքում (4)ը ընդունում է հետեյալ

ես

պո ստացվում նախորդ թեռտաքը՝իՈ6:)Ժ:իՈ(օ(:)-Փ(4է։ Ք

րեմից, եթե փոխարինենքՓ-ն, Փ -ով: -

Թեորեմ (մասերով ճիշտ է հետնյալ

Եթե ս(4)«(Ճ)«ՇԲ:Հօ), ապա ինտեգրում):

բանաձեր՝

ի6-

"ԳԿ"Հա-

ի անդամներից

-

ս:

(6)

երկուսը իմաստ ունեն Ենթադրվում է, որ ի երեք նան ն (6) ունի երրորդը ճիշտ դեպքում իմաստ (այդ է - ը): ճպացուցում: Ենթադրենք, որոշակիության համար, զուգամետ է `

Հօ

ինտեգրալը խ-ճս

ն 3

նո 7-46

ս(ո)-7(2)-ս()-7Ը)«

նենք կամայական 7/4» Ճ թիվը ն կիրառենք որոշյալ սերով ինտեգրմանբանաձնը՝

Տ:

Վերց-

ինտեգրալում մա-

Ճ

ճ

խ.Խ»ս-սիխօս: Ճ

(Դ

-

:

Յ

Ճ

Քանի,

որ

Վ,

ապա

-5»

մանի երբ

պայմանի (7-ի աջ մասը ունի սահման,երբ ունի սահման նան ձախ մասը: Անցնելով (7)-ում սահ-Ժօօ, կստանանք(6)-ը: Ջ ըստ

4Ճ--»

|

Օրինակ.

3:

Հաշվել

ի: --

հաշվելիս

գրալը

ա.

կօգտվենք

նախորդ

բոլոր

թեորեմներից:

Կատարենք |Հ---ԾԵ......չ։ ւ-»-շփոփոխականիփոխա-

լ»

թ

"`

րինում,

մ:

Այս ինտեինտեգրալը: |՛------ջ Էջ լ

1»-

կստանանք` -

կ

Հյ

4.

(ակնհայտ

բ

շր : -

`

: |

«(ր Յէ 2»

ՐՈ

է Իգ

"Քի

Յ

ՅԵլ ՆՅ).

է,

որ

.

Այնուհետն՝

-» ՁՊօՀ»ՖԱ-» է»)

|

«-

,

/---ք--4--ճ(-

-»օ

-

որտեղ

Լ

8.

2) ՏՈԼ

Կիրառելով մասերով ինտեգրմանբանաձնը, կստանանք`

2. --լԼ-

|

:

3:

Այստեղ հաշվի առանք, որ`

Այժմ կուսումնասիրենքանիսկականինտեգրալների (հիմնակաառաջին սեռի) զուգամիտությանհարցերը: Վաճախ որոշյալ (ն, ուրեմն նան անիսկական)ինտեգրալը չի լինում ճգրիտ հաշվել: Կան հաշվման մոտավոր մետոդներ,բայց մինչ դրանց դիմելը անհրաժեշտ է պարզել ինտեգրալի զուգամիտությունը: Բացի այդ, որոշ զուգամետ անիսկականինտեգրալներիհամար կան ճգրիտ հաշվելու մեթոդներ, որոշյալ ինտեգրալներըճշգրտորեն երբ ճույնիսկ հաճապատասխան չեն հաշվվում (չեն արտահայտվումտարրականֆունկցիաներով, կամ նրանց վերջավոր համադրույթով): Անիսկականինտեգրալի զուգամիտությանհարցում հաճախ կարնոր է հետնալը: նում

Դիտողություն2: Դիգուք ք ֆունկցիան որոշված է

|8:-Փ)միջա6

.

ՈՆ)ծ:

Պահանջվումէ պարզել 1կայքում ն ՄՃ»8:ք«Ք|ուճ|:

անիսկականինտեգրալի զուգամիտությունը:Վերցնենք ՄՃ»0 տրոհենք ինտեգրալը երկու մասի` Ճ

Առաջինգումարելին՝

նհայտ է, մանակ են

որ

Հ6

`

--

|(») ձ.- |(ո)

լ-

ձ.-

ն

րն) ծ.

Ճ

իթ)

ժ::Ռիմանիինտեգրալէ: Հետնաբար, ակ-

ինծ.իթ)ճեւ

անիսկականինտեգրալներըմիժա-

է այդ երբ Ընդ զուգամետ կամ զուգամետ որում, տարամետ:

ինտեգրալներիցորնէ մեկը,

ապա

փ

Ճ

չ).- ն 16)

:

")ծ:

-»

0:

ի6)ծ: ինտեգրալը կոչվում է

զուգամետ

Ճ

ինտեգրալի //16)Փ:

այն անվերջ փոքր է երբ Ճ-»

մնացորդ ինտեգրալ, կամ «պոչ»,

(րո/19ծ:-6):

'

Տ

ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆԸ

2. ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐԻ

ՈՉ ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԴԵՊՔՈՒՄ

Թեորեմ ՍԽՃՀ8:1

Դիցուք՝

Բի.Ճ|, ՄՀ1:

քը

որոշված

ք(:)Հ0:

է

|Բ:-«.)-ում,

Այս դեպքում, որպեսզի

ին)ձ: անիսկականինտեգրալըլինի զուգամետ, անհրաժեշտէ ն Ճ

`

բավարարոր,

.

վերնից: ֆունկցիանլինի սահմանափակ Ի(Ճ)--|է(6)4»:

Ապացուցում:Նախ նկատենք, որ ըստ թեորեմի պայմանների` Բ(Ճ)Հ0: Թեռրեմի պայմաններիցհետնում է, որ Բ(Ճ)-ն մոնոտոն չնվազող է: Իրոք՝ ձ

ոՀՃլ Հճ,

Հ

Ի(Խ)-Ի(Կ)-

|6)4:20»Ք(:)ՏՔ(:):

Ճլ

օգտվենք հայտնի թեորեմից|1)որպեսզի մոնոտոն չնվաում անհրաժեշտէ ն զող ֆունկցիան ունենա վերջավոր սահման Հօօ բավարար, որ այն լինի սահմանափակվերնից (հակառակ դեպքում նրա սահմանը Հօ» - է): Ըստ նույն այդ թեռրեմի` Մնում

է

-

12.4

.

ին)ծ.մո(ճ)աքՔ): -

-

"

Օգտվելով ապացուցվածթեորեմից,ստանանքանիսկականինտեհայտանիշներոչ բացասականֆունկցիագրալներիզուգամիտության ների դեպքում: Հայտանիշ 1: Դիցուք` Էջ:|ո-ՒՓ)-» ԿոՀՅ :0Հ8(Ր)5ջՆ) Ք,

`

ք(:)ժ»ինտեգրալի |

քջօթի:ճ|Այդ

ԿՃ»8:

ն

հետնում զուգամիտությունից

է

դեպքում

ի(").

-

ի զուգամիտությունը: Ճ

Ճ

Ապացուցում:Դիցուք` Քանի

8(:) Հ ջ(ճ)

որ

Ք6)ժ«(Ճ»6):

Բ(Ճ)- ր(:)ճ., օ()» ապա

համար

թվի

ՊԿՃ»8-

Ճ

Ճ

ի՛Շ)ժ.|ն)ձ: անհավասարությունը,այսիքն` Հ

Ըստ

Բ(Ճ)Հօ():

Շ(Ճ) Քն.)ժ» |, մոռօ(ճ) Հս 8:-ա) Այսինք, Ի(Ճ)

Ք(Ճ)ՀՕ(ՃՀ1-ՏՔԸԱ)Հ1

թեորեմիպայմանի` Հ

ի

տեղից ՉՃ»2: սահմանափակ է վերնից: Հետնաբար, ինտեգրալը: ր(Ճ5)Փւ

ըստ

քմ:

-

ն

թեռրեմ1-ի զուգամետ է

տ

Դիտողություն1: Հայտանիշ1-ի պնդումը կարելի համարժեքձնով`

որ-

-

-

-

ՀՕ

է

ճիշտ

ի(.)2

է

ձնակերպել

հետնում ինտեգրալիտարամիտությունից

է

(ակնհայտ է հետնյալ տրաինտեգրալիտարամիտությունը

հետնում է Թ-ն, համարժեք է պայմանից մաբանականպնդումը` /Ճ. նրան, որ 8 --ի ժխտումիցհետնում է /Ճ -ի ժխտումը): Տո՞ (22) ինտեգրալիզուգամիտոթյուՕրինակ 1: Պարզենք շ

ՀՀ

ճը: Նախ նկատենք, որ այստեղ կա միայն մեկ եզակի կետ` Հ-օօ-ը: Ուստի, բավական է դիտարկել

արքա.

ինտեգրալը (տես 1.,

(22) Տո՞

դիտ. 2): ճշմարիտ է հետնյալ գնահատականըք̀(:)-

«Լ -- ջ(2):Քանի նիշ1-ի, գուգամետ է

զուգամետ է, /80ն:)ձ:

որ

Ճ

-ը

ապա,

շ

-

Հ

ԻԻ) ըստ

հայատա-

լ

ճան

ր(.)4:

ինտեգրալը:

օօ

Օրինակ 2: Պարզենք

|յու:

օ

Քանի որ` «ՀՇ տարամետ է,

:

ապա

ք(2 ըստ,

ինտեգրալի զուգամիտությունը:

.

ՔՐ ՏՆ -8Ը ւ,թր զ.

հայտանիշ1-ի (տես

ինտեգրալը: ՛ԱՐ)Կ»

ինտեգրալը

տարամետ է դիտ.1)

նան

"

`

Դայտանիշ2: Դիցուք` էջ:

Ծ:Հ8

:Էօ)-»Ք,

:1(:4)»0ջ(»)»0: ն 12)

Այս դեպքում`

կ

-

՛

իՐ)ծ:

Դ.

Յ

ԼԵ

ՄՃ»383

(

Բջ

նո ոյ8(2) տ

ռի:ճ|

անիսկականինտե-

ՅՁ

գրալները միաժամանակզուգամետ են կամ` տարամետ: մպացուցում: Դիցուք, 1. ինտեգրալը զուգամետ է: Քանի

14) -

91).

ապա`

ԼՐ) Հ2Լ(2)Հ2ջ(չ): (2)

ՀՃ»2,Ծ4Հճյ:

1-ի զուգամիտությունից

հետնում

է Ճռ

Որտեղից հետնում

է (տես

զումամիտությունը(տես 1

հայտանիշ)

դիտ.2):

որ

9(:)ծ:զուգամիտությունը:

//6):. -ի, ուրեմն նան

1-ի

Ճօ

Այժմ ենթադրենք

ՀՃլ, ՓՃՀՃլ:

1 ինտեգրալը տարամետ

որ

Ուրեմն`

է:

84»1 »1Ե)»-296ժ: Ջ(:)

Այստեղից ն 1-ի

րամիտությունից(տես հայտանիշ1,դիտ.1)հետնում է,

որ

տա-

տարամետ է

ին)ծ.ինտեգրալը, ուրեմն, տարամետէ նան Ո6)ձ: անիսկա-

Ճլ

Յ

կանինտեգրալը: Դիտողություն2- նկատենք,

հայտանիշ 2 -ի

որ

ք(:)

-

74-Ֆ-Էօօ

Ք

6)

(աո Ղ-0 2-6

նռ «ա

ք

պայմանը կարելի է փոխարինել ավելի ընդհանուր

մ

(2... ջ(չ) ք

12)-

Բ

պայմանով բայց

0ՀՃԲ «ռԶ

դա

նույնն

ինչ

է

-ջ(.): օօ

Օրինակ 3:

Պարզենք

4Փօ

ի

յ ք(:)Փ: -օօ(--ԲԹՅինտեգրալի զու--ը վիշ-վ -

գամիտությունը:Ինչպես արդեննշել էինք (էի սկզբում (տես 1. (1) ը), եզակի կետերն են՝ 0,1,-օօ : Տրոհենք թվային ուղիղը միջակայքերիայնպես, որ նրացից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան ունենա մեկական եզակի կետ, ինտեգրալնէլ տրոհենք համապատասխանինտեգրալների գումարի` -

Հօ

Հ.

0,5

1,5

օօ

|16)4»: քն): - -օօ |10)Փ:« իչ)ձւ--0,5|10)Փ.-:

օօ

1,5

Վ

.

Նախ ուսումնասիրենք -Փ

որոնցում եզակի կետերն են`

ՀՓ

|1(:)ժւն ին)Փ։ինտեգրալները,

-է օօ:

Քանի որ`

(2)

Վ.

ի

-

1.

Ո

եր ԻԸ |

զուգամետ են:

նշված ինտեգրալները

ապա

0.5

Այժմ դիտարկենք -

ք) --

1,5»1,

ն

իվ

2-չա

ի6)ծ. ինտեգրալը:Ունենք`

-

վ.րր ֆ

լ

լ

-

իի" ի ի" Ն

-

-

իի»

քանի

ն

որ

0.5

0,75Հ1,

ուստի

բ(.)ձոինտեգրալըզուգամետ է:

1,5

Նույն կերպ ուսումնասիրենք

ին)

ինտեգրալը:

բԵ-ր 1ԺՄ

Տ

1.5 :

եբ" թ լր" լ ւ լր» ՝

'

ը

Ուրեմն,

|1(:)6:

0,5

ր

|

"»

ինտեգրալընույպես զուգամետէ: Այսպիսով,սկզբնական ինտեգրալըզուգամետ է:

տ

ի «յիշ -վ

Որոշ դեպքերում, անհնար է տվյալ ֆունկցիային-ջ

տեսքի

:

հա-

մարժեք ֆունկցիա գտնել: Հաջորդ հայտանիշները վերաբերվում են նշված դեպքերին: Նրանց ապացույցներընույնպես հենված են հայտանիշ1-ի վրա:.

Չայտանիշչ3: Դիցուք` Եք:

((2)Հ0ջ()»0 ԿեոՀ8: -

խ()ձւ- ինտեգրալի

նե

ի:-օ)-»Ք, ՍՄՃ»8Բջ «ռլ:ձ| նո `

աւ

ԷՐ)

Թ":

Այդ

«զուգամիտությունից

ի

դեպքում

հետնում

է

-

ՔԸ):

ինտեգրալիզուգամիտությունը:

«9

Ապացուցում: ւ

Այստեղից, ըստ հայտանիշ՛.- ի

լ,

-

1չ - ի զուգամիտությունիցհետնում

է

զուգամիտությունը: 3այտանիշ 4: Դիցուք` էջ

ն):

:|ո:-Էօ)-»Բ, ՄՃ»5 Վե) «Վ: հռո ն տուր

ս

:1(2)»20ջ(2)»0 Ը)»080)»6

ԽՀ8

ն

Հ ՀԼ-58(2)ՀՏՐ.)::

ՀԽՋՃՀՃ:

-0-»ՅՃ

ինտեգրալի

:8Էջ«Բվոճ|, Այդ դեպքում՝

հետնում 0մտտարամիտությունից

է

4օօ

կ»

ՈՐ)ձ:ինտեգրալի տարամիտությունը:

Քանի որ` Ապացուցում:

(2)

6.

նռ

Ճ-«»-Էօօ 5).

-

զօ,

ապա՝

.Ը)»1-16)»8()

ՅՃցչՄՃՀՃ0:--»1-5ՒԷ)»ջն:):

Այստեղից, ըստ հայտանիշ 1-ի (տես դիտ. 1), թյունից հետնում

է

1չ --ի տարամիտու-

1լ -- իտարամիտությունը:

Օրինակ 4: Պարզենք

-

ՈԸ)ծ: -

ի».օ».

ճ)չ ինտեգրալի զուգա-

ավելի միտությունը: Քանի որ 67"-ը ձգտում է զրոյի, երբ ,-»-«օ. է ապա բնական սպասել, արագ քան 2--ի յուրաքանչյուր աստիճանը, որ ինտեգրալը զուգամետ է: Օգտվենք հայտանիշ 3 -ից, վերցնելով

869--.:

Ըստ

վերը նշածի՝

16).Տ

ԶՉ7

23.0:ն

բացի այդ՝

-|

ջ6)ժ.

-ը

զուգամետ է: Ուրեմն զուգամետ է

գրալը:

-«ՉՕօ

ր («)Փ.

Օրինակ 5: Պարզենք

է

թ

ինտեգրալի զուգա-

լ

միտությունը: Այստեղ բնական է սպասել, որ ինտեգրալը տարամետ պարամետրի արժեքից: Օգտվենք հայտանիշ 4 -ից, ջԸ)- 2::7- հաստատունըընտրենք այնպես, որ`

1. 2.

է անկախ ք

վերցնելով

ինտեգրալը լինի տարամետ, այսիքն`--7 Հ1 ճ.»-), ՔՆԸ)ձ:

քի

5.(ոչ)

Հպ

Ք

ինտե-

մ. գ,

Վօ

-

ի6)ձ:

նան

մ

-»

«-Ֆ՝Իօ

ԷԵ,

այսիքն -1-0,5»0

(.Հ-05):

է

Այսպիսով,պահանջվող պայմաններինբավարարում (--1»--0,5) միջակայքին պատկանող7.-

ն ն,

ուրեմն

ԼրԽ )

Փւ

ինտեգրալը

տա-

րամետ է:

'

ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ:

ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ

3. ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐԻ

ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԵՎ ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

Զուգամիտությանվերը նշված հայտանիշներըճիշտ են, երբ ֆունկցիան ունի որոշակի նշան (բացասական ֆունկցիայի դեպքը բերվում է դրականի, բազմապատկելով-1 ով, որը չի ազդում զուգամիտության վրա): Այլ է իրավիճակը, երբ ֆունկցիան չունի որոշակի նշան: Այս դեպքում հարկավոր են ավելի նուրբ հայտանիշներ: Դիցուք՝ զուգամիտության սկզբունքը) (Կոշիի Թեռրեմմ

Է:|Յ:-օ)-»Ք.ՄՃ»38: գրալը

քՀՔ|ւճ|: ՈրպեսզիՈՆ)

ինտե-

լինի զուգամետ, անհրաժեշտէ ն բավարար

-ծ

ի():

ԿԵ»0,34ՃՐ)»84ՄՃլՃ,Հճյ:

(3

Հ.

Ճյ

Կոշիի պայմանը: մպացուցում- Նշված ինտեգրալիզուգամիտությունը համարժեք է Ճ

նրան, որ Ճ-ն

Բ(Ճ)- /6)ո: ֆունկցիան ունենա

ձգտում է

--օօ

ի: Որն իր հերթին |1) համարժեք է նրան,

-

Բ(Ճ)-նբավարարի

Կոշիի

ՀՏ:

Ք(Ճ,)-Ք(խ)Սահմանում

ՄՃ»-0, 37Ճ,(6)»Ձ,

պայմանին

) Է(ճչ)-Է(Ճ,

ՄՃՃշչ ՀԲՃ:

վերջավոր սահման, երբ որ

Այստեղից, հաշվի առնելով որ`

Ճչ

ին)ծ: ստանում ,

ենք (1)

-ը:

տ

ճլ

ր(ո):

մետ, եթե զուգամետ է

Դ6.

ինտեգրալըկոչվում է բացարձակզուգաճւ ինտեգրալը:

զուգամետինտեգրալըզուգամետ է: 2:Բացարձակ

Թեռրեմ

Ապացուցում:Ըստ թեորեմի պայմանի, զուգամետ է

Վքն)|ճ« '

ինտեգրալը,ուրեմն նրա համարճիշտ է Կոշիի պայմանը՝

խարկ»

Ճ

ՍՄՏ»034»8,94ՃլՃչՀՃյ:

()

ձյ

Ճշ

Քանի որ՝

/16).

ճլ

(1)

-

ից հետնում

|

Հ

ԼՍՐԷ

ՀՏ

Ճլ

(ՃՃ2Ճշ Հ'Ճց), ապա

է, որ Կոշիի պայմանըտեղի ունի նան

ին|Ւ(4)ժ:ւ

համար, տեգրալի

տությունը:

Ջ

1: Օրինակ

թյունը: Քանի «օօ.

ինծ. ինտեգրալիզուգամի-

որտեղիղ բխում է

Պարզենք

որ

ք

Տլո ո

Մ.

22-42

խու:Հ-Լ.

թ-

ն

ի

2Ի:42

.

«ու բ2---չ Տո

-ը

ինտեգրալիզուգամիտու-

««

զուգամետ է,

ապա

բացարձակզուգամետէ: Հօ

Սահմանում

յ

2:

(5)ժ

ինտեգրալը կոչվում է

զուգամետ, եթե կամ պայմանական

ոչ

բացարձակ

/16)6.ինտեգրալըզուգամետ

Հօ

տարամետ(պայմանականզուգամետ //6)|ժ. ինտեգրալը՝

է, իսկ

օրինակներտես ստորն): ինտեգրալների Հաջորդ

հայտանիշներըվերաբերվումեն

տեսքի ՈՐ-Տ6)Փ.

զուգամիտությանը: ինտեգրալների Թեռրեմ 3 (Դիրիխլեի հայտանիշը): Դիցուք

ց«Շ' 8:--Թ), ք-ը

մոնոտոն

բխում է

չաճող է

ն

ձգտումէ զրոյի, երբ

իժջ(:):

Բ(.)-1Թ))

ՅԵԽՆՄՃՀՅ:

Շ|Յ::-Փ),

ունի սահմանափակնախնական:Իսկ

ՔՇյՀ

2 -»

Ք(1)-ը

Հ«օ-ի: Այս պայմաններից

զուգամիտությունը: ինտեգրալի անիսկական

Ապացուցում-Դիցուք (աա:

Ք(«)

Թեորեմի ն

-ը

ք(«)

-

պայմաններից

այն, որ`

է

ի ճախնականն հետնում

է,

ջ(:)Հ 0,ջ(«)ՀՕ: Կամայա63

Ճ»Ճ

կան

համար, կիրառելով մասերով ինտեգրման բանաձնը, '

կստանանք`

ի անց«-իՉ:(26.ԽՐ9466)-

|

Ի«ա-

ՎՐԵՆ

«ԿՐ-Ը-6Ն):Թ) Ապացուցենք,

սահման, երբ 7

որ օօ:

-

ԽԸՔԸ)6:

(2)-ի առաջին Իրոք՝

ք(")-8(4|ՀԵՐՏ(Ճ)

0»

ն

օ

երրորդ գումարելիներնունեն

նո ջ(4)-Ի(")-0.

/ Ւ(ճ)-9'(2)|ժ ՀԻԼ /թ'6)|ժ.

-

ԻԼ

1269)-. ժ:

-ԽՐ(8(6)-8(4))ՀԻՐՏ6) Այստեղից հետնում (տես 2.

է

զուգամետ էորՄոտո) ինտեգրալը

թ1), ուրեմն, զուգամետ է նան

ինտեգրալը: Բ6)-5:6)4:

(այն ել

Այսիքն գոյություն

բացարձակ)

ունի

վերջավոր

Ճ

հտ

Ճ4-»-«գ.

Փ«: Բ(5):8'(:)

Օգտվելով (2)

--

ից, ստանում ենք,

որ գոյու-

Ճ

թյուն ունի վերջավոր

ին).ջ(:). ոչ

տ

/(2:56) Ց.

Ճ-9Յ2.ն

ինտեգրալը զուգամետ է:

որը

նշանակում է,

որ

տ

Դիտողություն1: Թեորեմ 3-ի պնդումը չի փոխվի, եթե 2(.)-ը լինի թե մոնոտոն չաճող, այլ` մոնոտոն չնվազող (դա նույն է, ինչ

ք(5)-9(5)

1-ով, որից.

ֆունկցիան բագմապատկվի -

զուգամիտությունը): Թեորեմ 4 (Աբելիհայտանիշը): Դիցուք`

Է

չի

«Ըր::»), ջ«

ջ(ւ)-ըմոնոտոն

ինտեգրալ ի2)ճ.

-ը

փակ: Այդ դեպքում

ի(2)-ջ(ճ)ձ: ինտեգրալըզուգամետ է:

զուգամետ է,

Ապացուցում:Քանի այն ունի

թյուն՝

սահման՝

Հ

որ

նտ ատա-..

Տ(ւ)-ըմոնոտոն

ջ(»)

-

(46) Հ .։

փոխվի

ԸԹ:-»),

է ն` սահմանա-

է ն` սահմանափակ, ապա

Կատարենքձնափոխու-

8Ր9-86)-16)-9(-»):16)-Ք6)-5(-օի

(4)

թեորեմի պայմաԱջ մասի առաջին գումարելին նի, իսկ երկրորդը`ըստ Դիրիխլեիհայտանիշի, որտեղ Ք(Ճ)-ըփոխաինտեգրելի է ըստ

րինվածէ

8։(4)--90:)--Տ(-«)-ով:

Պարզ է,

Քանի

որ

որ

րԸ.)

Ջլ(Ճ)-ըմոնոտոն

-ը զուգամետ է,

նախնական,օրինակ` Ք(»)»-

է ն՝

ապա

|Ւ(:)ճէ -օ

մո 8(:)-Տ(-«)-8(-)-0:

1(5)-ը

ունի սահմանափակ

ֆունկցիան: տ

յՀոոմ ինտեգրալի զուգամիտու-

Օրինակ 2: Պարզենք 1-

լ

Ճ

թյունը, կախված ք պարամետրիարժեքից: Քանի որ`

ՇՕՏ42 մ

ք

ՀԼ

Ա

ինտեգրալը բացարձակզուգամետէ, երբ ք » 1: Դժվար չէտեսնել, երբ ք ՀՕ, ապա Լ ինտեգրալը տարամետ է: Մնում է քննարկենք

ապա որ

թ«(0:լ|դեպքը: Քանի '

բել Նիլս Հենրիկ (1802

--

որ

օՇՕտ42 ֆունկցիան ունի սահմանափակ

1829 )--

նորվեգացիմաթեմատիկոս:

Հոծ,իսկԼ

"նախնական՝ երբ

»-»Հօօ,

է:

որ

մ.

ք

Լ

Մյուս յ

ՇՕ5:44 Էօ54վ.. ՐՀ շթ

կողմից՝ կողմից

տարամետէ

Լ

շթ

թ

605824

ԻՐՇՕՏՏ

(թՀ1),իսկ յ

Փւ

ե

ինտեգրալը

իթ46,ինտեգրալը ՇՕՏ47.

Դիրիխլեիհայտանիշիզուգամետ,ապա

է

տարամետէ: Ուրեմն, այս դեպքում(ք զուգամետէ: պայմանական

ձգտում է զրոյի,

ն

Դիրիխլեի հայտանիշի

ինտեգրալը, ըստ

ըստ

նվազող է

-ն մոնոտոն

:

ապա

ուգամետ զուգ

քանի

`

օ(0:1)դիտակվողինտեգրալը

ՀՓ-

Օրինակ 3: Պարզենք ի

թյունը: ԿՏու իսկ Հ

Լք---Փ

լֆունկցիան Փւ

`

.

Ճ:Տ1Ոյ

ինտեգրալիզուգամիտու-

ինտեգրալքըստ Դիրիխլեիհայտանիշիզուգամետ է,

-

մոնոտոն աճող Է ն`

Ուրեմն, ըստ Աբելի

Շ

սահմանափակ(0

«ՏյուԻ

հայտանիշի

Է: Քանի որ՝

Հ

ւ

"605

2.

:

Վ:

ին-

ՏՐ

(5-:»-:«

է տարամետ տեգրալը

մետ է, ապա

Փ"

ւ

1):

ինտեգրալըզուգամետ

յ

"Տը

"Հ

ՀՇ

-.-ծ-

-)

իսկ

Մոր: Շ

«ԸՕՏ224 7».4

զուգա-

զուգամետէ: ինտեգրալըպայմանական

ՄԻ ՔԱՆԻ ՄԽ

ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱ

1. ո-ՉԱՓԱՆԻ

էՎԿԼԻԴԵՍՅԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.

ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՆՐԱՆՑ ՄԵՋ

Դիտարկենքբոլոր հնարավորկարգավորվածո-յակների բազմուԷ թյունը Ք" Այդ բազմուլ68,

ՀՎՐԿՃշ»..3.)

-Ն2,...ո):

Խ1(Ճ.,...,4,) Դիցուք. /Ն8ՅՀՔ", /Ճ(ալո....8.), Ճ Ա Ց կետերըհամընկնում են, եթե հա-

թյան տարրերըկանվանենքկետեր,իսկ Ճլ...,4, կետի

կոորդինատներ:

կասենք, որ Ց(Ելե,....Եղ)). վասար են է»

այդ

թվերը`

կետերի համապատասխան կոորդինատները՝1

ՀԵլչ

1Ն2.....ո: Ճ,Ց կետերիմիջն հեռավորություն ասելով հասկանանք՝

Ք(Ճ8)-

-Ե,): Հ:Ը, է-1

Խնդիր1: Ապացուցենք,որ հեռավորությունըօժտված է հետնյալ 2. ՔԱԽ8)հատկություններով՝1. Ք(ՃՑ)- Հ» ՃՀ8, 3.

(ՃՇ)

ՀՔԱՃ8)--Ք(8,Ը) (Խ8,Շ«Բ")

ք(8,Ճ).

ն երկրորդհատկություններիապացույցները Ապացուցում: Առաջին են հեռավորության սահմանումից: Անցնենք անմիջապես հետնում երրորդ հատկության ապացուցմանը, նախապեսնկատելով, որ այն

Ք2-ում նե Ք--ում ունի պարզ երկրաչափականիմաստ` եթե Ճ.,8.Ը կե-

տերը ընկած չեն մի ուղղի վրա, ապա առաջացած եռանկյան կողմի երկարությունը փոքր է մյուս երկու կողմերի երկարություններիգումարից (եռանկյան անհավասարություն):

Նախ ապացուցենք, որ

լե, (Հ1...ո)

ոչ

բացասականթվերի հա-

մարճիշտ է հետնյալանհավասարությունը`

ի

չԷ" ֆ»'

-.

"Ե,

Դիցուք

չ

-

կամայականթիվ է: Ունենք՝

ը

եցի«ոի» ՏԵ:

ո

0ՀՖ(դրել)

-

ո

ո

1-1

ո

2)

ո

ռ

Եթե

(2)

:

Բլ

ար

Ֆ՝ոշ-0(-»8-0,

(11-ը ակընհայտ է:

1,..ո).

ԵթեՖո

»0,

ի աջ մասի քառակուսայինեռանդամըոչ բացաքանի որ (2) ի համար, ապա նրա տարբերիչը պիտի սական է յուրաքանչյուր Ճ ապա,

--

-

|»:ել ո

լինի

դրական

ոչ

ղո

ո

Ի-1

ՀՕ,

ՖՈ2.Ֆ`ԵՀ

-

Թ)

(1) -ը: Այժ ապացուցենք,որ ճիշտ է հետնյալ

որտեղից

3)

,

1-1

է

անհավասարությունը՝

Գոոր:Տշ- Հ-եջ 1-1

հետնում

համարժեք է քառակուսիբարձրացրածանհավասարությանը

որը ո

ո

ո

ո

թ1

՞1

Թ

ո

ՀՏ Յ2Հ2 Ֆ(պՀԵլ)՛ |325ԵՀՖ-ԵՀ : Ստացվածը,իր հերթին համարժեք է (1)-ին: Եթե այժմ (3)

ում

(-Լ....,ո), ապա

Ել-ին` Ել-օլ-ով

հավասարությունը): Սահմանում

--

1: Թ"

թյան հետ մեկտեղ

ին փոխարինենք Ձ- Ել -ով, իսկ

8:-

կստանանք3.

-

ը

(եռանկյան ան-

բազմությունը,այդպես ներմուծված հեռավորուտարակոչվում է ո-չափանի էվկլիդեսյան'

((Թ",թ))

ծություն: Դիտողություն:էվկլիդեսյանտարածությաննշված սահմանումը չի հակասումհանրահաշվումընդունվածին|4): ՋՔ.-Ք ապա ն ԵՇՔ, եե է, որ Պարզ

Ք(8:Ե)Վճ Ե -

-

-

-ն` ուղղանկյուն կոորդինատային բ |: (827) -

հարթությունն է, որտեղ էվկլիդես

--

կետերի միջն հեռավորուՃ0Ր»31),8(Ճ.չ7չ)

հույն մաթեմատիկոս,մ.թ.ա. 3

--

րդ դար:

թյունըէ որոշվում

է

Ք(Ճ,8)- (ոլ -:)

(5-75)

բանաձնով: Իսկ

մեզ հայտնի եռաչափ ուղղանկյուն կոորդիճատային (Թ:,թ)-ը

ծությունն է:

կետերի միջն հեռավորությունը ՃԸ 3121),80Ը.,5,,2.)

որոշվում Է հետնյալ բանաձնով`

(թ.թ)

ԱՃՑ-վն̀) «0-3

ՀԸ.-2):

էվկլիդեսյան տարածությունը ռդ»3 Նկատենք, որ ունի միայն վերացականընկալում: 5»

բազմությունը: Այդ բազմությունը կոչվում է Թ": Տ.(Խ0)Հ(1«

շառավղով

դեպքում

Օ շառավղով Ք" կենտրոնով 2-Խ1,(5()....«0)6 գունդ է կոչվում Ս, (Ե)-| 12:2 թ(ԽՆԽՆ) Հ»)

Սահմանում

ո-չափանի

տարա-

նան

8/1 կետի

կոչվում ք(ԽՆԽ.)Հ5)-ն

է

Է

շրջակայք:

Խ1, կենտրոնով

Ա-չափանի գնդային մակերնույթ (գնդոլորդ):

կետի դեպքումԽԼԸ(.օ)

Հ

Ս,(Կ.)-(ա-Ք

շրջակայքնէ

ո-1

)

ԻՔ

իրենից ներկայացնում է Ս,(Խ1.)-ն կենտրոնով ն շառավղով շրջան, իսկ Տ.(Խ1.)-6 Ւ, ԽՆ(Ճ::50) 3, ապա Ս,(Խ.)-ն շառավղովշրջանանագիծ:Երբ կենտրոնով ն միջակայքը: Երբ

ռո

«2,

ապա

ո

իրենից ներկայացնում Է գունդ, իսկ

Տ.(ԽԼ)-6՝հ/ըկենտրոնով ն

րնույթ (գնդոլորդ): Սահմանում

մություն է

ԽԼ(:7.:2,)

3:

Դիցուք Օ

(6 Ա) Հ

գոյություն ունի

այդ

ԽԼ. 6Օ

-

ն

կենտրոնով ն

շառավղով

շառավղով գնդային մակե-

ոչչափանի տարածության ենթաբագ-

կետը կոչվում Է 6-ի ներքին կետ, եթե

կետի այնպիսի Ս, (ԽԸ)շրջակայք,որ

Ս.(ԽԼ)-Օ:

միայն ներքին կետերից, ապա Եթե 6 բազմությունը այն կոչվում է բաց: Դատարկբազմությունը բաց է, քանի որ այն լինելով կետերից զուրկ, չունի այնպիսի կետ, որը ներքին չլինի: Ամբողջ տարածությունը նույնպես բաց է, քանի որ Խ"-ին պատկանող բաղկացած է

յուրաքանչյուր կետ պարունակվում է ԽՃ"-ում իր յուրաքանչյուր շրջակայքի հետ մեկտեղ: Ս. Խն) ո-չափանի գունդը բաց բազմություն է, այսինքն՝

ԿԽԼՀՍ, (Խե),3Ս,(ՕՀՍ,( Ն):

Իրոք, եթե

ՏՀՏ

Պ«ԹՀՍ,(ԻՌկետի համար

(7 ՀՔ(Ն`» ՊՍ), ապա

ունենք

Ք(5,հ1,)

ՀՔ(Ք,Խ0-ք(ԽՆԻԼ

)ՀՏԵՒՀՅ-ՈՒՐ-Այսինքն՝ ՔՀՄ(ՆՅ) ն, ուրեմն` Ս, (81) Ս, (Կն): Տ (ԻՆ)գնդայինմակերնույթին ավելացվի Բայց, եթե Ս,(Խ1.)-ին ներքին պատկանողգոնե մեկ կետ, ապա պարզ է, որ այն Ս,(Խ6)-ի կետ չէ, ուրեմն ստացվածբազմությունըբաց չէ: Իսկ, եթե Ս.(Խ0) 8:

(ը

գնդից հեռացվի օրինակ

կենտրոնը,ապա պարզ է,

Ս.(Խ.)գունդը առանց կենտրոնի(ԽԼ.

կմնա բաց:

Սահմանում 4: Ճ-ն

(Ճ68")

կուտակմանկետ, եթե Մ5»0

ստացված

կետի «ծակած» շրջակայքը)

կոչվում է Օ(Օ ՀհԼօՕ

որ

Շ

ՈՍ.(Ճ),

Ք") բազմության այսինքն Ճ կետի

ցանկացածշրջակայքումկա Օ-ին պատկանող4.-ից տարբեր կետ: է Եթե Օ բազմությանյուրաքանչյուր կուտակմանկետ պատկանում իրեն, ապա Օ-ն կոչվումէ փակ: Եթե տվյալՕ բազմությունը զուրկ է կուտակմանկետերից (կուտակմանկետերիբազմությունըդատարկէ), ապա Օ-ն փակ է, քանի դատարկն վերջավորբազմությունները որ 2 - ՕՕ: Մասնավորապես,

Ջ"-ը, քանի, որ Ք" -ի յուրաքանչյուր կետ այդ բազմությանկուտակմանկետ է (ն պատկանում է իրեն): Կարելի է

փակ են: Փակ է

նան

ապացուցել, որ 7 ն Ք" բազմություններիցբացի չկա ԽՃ"-ի այնպիսի ն բաց ն փակ: լինի միաժամանակ ենթաբազմություն,որը Խնդիր 2: Դիցուք 2.-ը ամբողջ թվերի բազմությունն է: Եթե ապա նրանց միջե հեռավորությունը սահմանենք՝ տոտշ, Ապացուցել, որ (2,թ)տարածության մեջ բ(ու,ո)»|ո-դ| ն ն

(այն

էվկլիդեսյանչէ) յուրաքանչյուրվերջավորբազմություն բաց է փակ: ի ենթաբազմություննէ, նրա կուտակման Դիցուք Օ- ն Ք" կետերի բազմությունընշանակենք Օ' -ով: կոչվում է Օ՛- ի փակում: Սահմանում 5: 6 ՍՕ'/ Օ բազմությունը -

'

»

Խնդիր 3: Ապացուցել,որ (7 բազմությանփակումը

(6)փակ է:

Ս,(Խ() գնդի կուտակմանկետերիբազմություննԷ Ս:(Խ.)Հ հե-Ս,(ԽԵ)ՍՏ,(ԿԵ)ՀՆ,(Խե)(փակ գունդ): Եթե Մ,(Խ1.)-ից ռացնենք,օրինակ կենտրոնը(Խ(լ -0 ), փակ չէ (3/1 չ-ն Սան բաց

ստացված բազմությունը

ապա

բազմությանկուտակմանկետ է): Պարզ է,

այդ

որ

այն

չէ:

Սահմանում 6: Ճ

Թ" կոչվում է Օ (Օ

ՀՇ

Ք") բազմությանեզրա-

յին կետ, եթե նրա կամայականշրջակայքումկա Օ --ին պատկանողն՝ բոլոր եզրային կետերի բազմություչպատկանողկետ: (Օ՛բազմության նը կոչվում Է Օ-ի եզր, այն նշանակումեն ՕՕ: Պարզ է, որ

Ս,(Խն)

Տ.(ԽԼ)գնդայինմակերնույթը: շրջակայքիեզրն է՝ Տ.(ԽԵ)Ս |Խ(.): Խ(ըկետի«ծակած» Ս.(Ճ1.)

գնդի եզրն է

:

.

Խնդիր 4: Ապացուցել, որ բազմությանփակումը(տես սահմանում 5) կարելի սահմանել համարժեքձնով, որպեսայդ բազմությանն նրա եզրի միավորում: Սահմանում 7: Թ" ում որոշված

(ո)-|ա(8,..,7,()) : «(9«6|ո:8| (ո Հ1,..ո)|

բազմությունը կոչվում է անընդհատկոր, տրված պարամետրական է-ն կոչվում տեսքով,

Խ(ե)-(«(ն)-»ը (Ե))- ն (է, ե 8) համապասխան արժեքին

է պարամետր:

անվանում են պարամետրի է օ

(1) կորի կետ, իսկ ճ(ռ(օ),..2.ո (օ)) (3) կորի ծայրակետեր:Այդ դեպքում ասում -

են` (Հաճ: գրում Եթե պարզ »Խ(ե)Հ5Խ(Ե):

8-ին

Ճ-ն,

ե ՀԵ

գ

»-8, բայց

են,

Բ(.()...,».(Թ))-ն՝ հր (1)-ըմիացնում է

Կորը կոչվում է

ն

միայն մի դեպքում` փակ:

..ն

պարզ,

եթե

լինելու պայմանը խախտվում է

Ճ «8,

ապա

կորը կոչվում է պարզ

(ՕԳՇ Թ") բազմությունըկոչվում է կապակցված. կետերի համար գոյություն ունի նրանց միացնող

Սահմանում 8: Օ

եթե

ԿՃ,8-Օ

անընդհատկոր (1) աՃ8.այնպիսին,որ՝ (0օՓ6: Հ

--

Ս,(Խ.), Ս.(Խե)

Օրինակ,

ե

Ն.)

կաբազմությունները

պակցվածեն:

Օ(.ՀՇ Ք2) կապակցվածբազմությունըկոչվում է միակապ, եթե ինչպիսի անընդհատ փակ (1) կոր էլ վերցնենք Սահմանում

(()ՀՓ).

9:

նրանով սահմանափակված

(600(1))

պարունակվումԷ Օ-ում

բազմության (Օ Օ:՛

(Օ՛ՇՕ):

Դա

մասը

նշանակում է,

որ

Օ.-ի եզրը (6Օ )-ն բաղկացածէ մեկ անընդհատփակ կորից: ո հատ իրար Եթե կապակցվածՕ բազմությանեզրը բաղկացածէ Օհետ չհատվող անըդհատ փակ կորերից (առանձինկետերից), ապա ն

կոչվում

է

Մ.(Խ1. )-նմիակապէ. իսկՍ.(Կ1.)-ն է

կապանի:Օրինակ,

ո

«ծակած» շրջակայքը` երկկապ է, քանի Տ.(ԽԼ.)շրջանագծիցն ( Ի1,)-ից: 10:

Սահմանում

Օ(ՇՕՔ")

կոչվում է տիրույթ: Օրինակ, տիրույթ են:

բաց

որ նրա

կապակցված բազմությունը

Ս.(Խ.) ն

2. ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆԸ

ո-

ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ

Սահմանում1:Կասենք,

եզրը բաղկացած

բազմությունները Ս.(Ի1)

16"

-

ՈՒՄ.

ՖՈՒՆԿՑԻԱ, ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆ

որ

(ԸԴ...)

Թ"

զուգամիտումէ նող կետերի հաջորդականությունը ին (րտի/(,

Հ.

Խնդիր

Ճ), եթե՝

0: Ք(ԽԼ.,Ճ)Հ լաո

Ապացուցել,

1:

որ

ոռՔ(ԽԼ,,Ճ)0 տ

-

ին պատկա-

Ճ(8լ-8ղ)ծ Ղ"-»

լոտԼ)

ՀՅ.

1-1...ո:

Թեորեմ

1:

եթե

ապա'գոյությունունի

հլ ՕՕ հլ 4.

1.»

վ Լ.) ձ:.

կուտակման կետ է, հաջորդականությունայնպիսին, որ

Օ(ՇՀՇՋ")Իի

ՃՀՔ" օօ

ւլ

կետ Օ-ի կուտակման

մպացուցում:Քանի որ ՃօԶ"

ՀԽԼլ «ՕՈ

մայական Խ բնական թվի համար

Ս, (Ճ)

է, ապա կա-

(տվյալ ք-ի

հաճար, նշված պայմանինբավարարողկետերից ընտրում ենք որնէ մե-

1,

կը): Այսպիսով ստացվում է

հաջորդականություն, որի համար

(«»1.2,....0: 0ՀՔ(Խ.,Ճ)Հ-. Ձետնաբար ոռհ,

ՀՃ:

Դիցուք տրված է

Բ:օ-»Ջ

(ՇՀՔ")

ֆունկցիա: Այսինքն`

կետին որոշակի (8 օրենքով հաճապատասխաՄԽՈ.լ,....2.)6օ0 Այն կոչվում է նության մեջ է դրվում մեկ թիվ՝ 1(ոլ,..:.)112: ո-

փոփոխականիֆունկցիա: Օ -ն կոչվում է Բ ի որոշման տիրույթ: Եթե ֆունկցիան տրված է բանաձնով, ապա որոշման տիրույթ ասելով հասկանում ենք գոյության տիրույթը, այսինքն` այն բոլոր կետերի բազմությունը, որտեղ իմաստ ունի այդ բանաձնը: -

Սահմանում

2:

8(Խ0 ֆունկցիայի (գ62

)նկգրենք

Դիցուք Ճ-

ն

սահմանը

Օ-ի կուտակման կետ

Ճ(ճլ-8,) մլ-38

ՄՇ»0

Հ

զ,

(հաջորդականությանլեզվով, կամ ըստ Հայնեի) Մ Խլ 6Օ, Ճ: հլ

որ

ս-ի

եթե՝

Ւ(ԿՆ.)-»

ոճ,իը,»

2`

կետում հավասար է

նռ Է(81)հռ Է(դլ,..Ճ.) -

է: Կասենք,

Շ:

6((.-8) լեզվով, կամ ըստ Կոշիի) ՀՓ(5)»0,ԽԼ«Օ, 0Հթ(ԽՆՃ)ՀՏ : |8(ԻՌ-օ|Հ::

2: 1` ն 2" սահմանումներըիրար համարժեք են: Թեորեմ Այս թեորեմի ն մեկ փոփոխականիֆունկցիայի համապատասխան թեորեմի ապացույցները, ըստ էության իրարից չեն տարբերվում: Ուստի, ընդունենք այն առանց ապացույցի:

Օրինակ: Դիցուք

1ա)--Յ»:

Այս ֆունկցիան որոշված. չէ

1ուք(.)):

միայն(0,0)կետում: Պահանջվում է

հաշվել`

«-Ֆ0

0ՀԷ()---չ«Հ-Յ---3)". ոՀ

Ունենք՝

որտեղից`

նոք(»7)-

.-2

րոջ

(համարելենք, որ Ճ»-0, եթե 5-0, 7»: 0, ապա պնդումըակնհայտէ): Քանի որ ֆունկցիայի սահմանը սահմանվում է նան հաջորդականությանլեզվով, ապա այն օժտված է բոլոր այն հատկություններով սահմանը,օրինակ, այստեղ նույնպես գործում ինչ հաջորդականության է

«ոստիկանների»կանոնը |լ):

Օրինակ 2: Ապացուցենք,որ

711ուք(2,7) (((«7)--2--2): .

ախ

հաՕգտվենք 1" սահմանումից:Բավականէ գտնենք երկու ԽՈ,խԽք, ջորդականություններձգտող Ի1.(0:0) կետին, այնպիսիք, որ

ձգտեն ք(ԻԼ.),ք(ԻՆ) հաջորդականությունները

ԽԸ ոռ

Վերցնենք ԻԼ(0:-),

դ

.

կետերի հաջորդականությունները:

Ի1.,Ի1-» ԽԼ(0,0) բայց`

Ունենք՝

տարբեր թվերի:

1(հւ.)-0-»0,4(4:)---»-։

Ուրեմն վերը նշված սահմանըգոյությունչունի: Սահմանում ում:

Դիցուք ք ֆունկցիան որոշված է

3:

Ճ (Ճ 1(5:3)Հ-

Կասենք, որ հո

Թ), եթե՝

թա

1" (ըստ Հայնեի) Ճ,

-».6

(ըստ Կոշիի) Մ6»0

»8-: ՒՇ)-ՃՀ

ն»,

,

»»

8(Ճո,3ո)-»Ճ.

ՀՏ(5)»:54(»»), հոտ

«թայ Ֆ-՞»Փ

:՝

-»Փ

43»

Օրինակ 3: Հաշվել Ճ ապա`

(0:0)Բ2ՆՄ,

որ թթ| ՀԼՐշ Իջ»), Քանի Ամ -:

|.

ոփ)"

--1..1..»0 22-.-5

Սահմանում

սենք, որ ո

ոշ

ՀԱՅՏ «10. Ի:

Դ

4:

»շ

27"

ռւ«3-7

Ճ»-0:

Հ»

Դիցուք ք-

ԱԵՖ) ք,

ը

որոշված է

(0:0)ում: Բ2ԳՍ,

Կա-

եթե՝

Հ

4-Ֆօ

-

5:

Ր ո,» 2" յող

5»

նջ

»

1(Թ..)5»»,

Ս6»036(6)»0,4(2),» Է

»6::

ՒՐ»):

(8»:):

Նույն կերպ կարելի է ձեակերպելֆունկցիայի սահմանիբացակա-

սահմանումները:

Յ. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՍԱՀՄԱՆԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Թեորեմ 1: Դիցուք էջ: 0» տակման կետ է: Եթե 3 ապա՝

(ԾՀՔ"),

ք01

ՏԻՐ Ք

Ճ

(10 -Տ

կու-

նռ1(Ա)-ՃՀՔ, մոռջ()-ԲՀ«Ք,

1.3իռ(4(Խ0Է9(1Ռ)Հ-4Հ8,

3.3նո

Խլ-ն ԾՕ-ի

2.3

4-8. նտ(1(ԽՍ-Ք(Ե0)

8-0 Ժ-0:

Թեորեմի ապացույցն անմիջապեսհետնում է ֆունկցիայի սահմանի սահմանումիցըստ Հայնեի ն հաջորդականությանսահմանի համապատասխանհատկություններից:Ապացուցենք,օրինակ երկրորդ հատ: կությունը: Դիցուք ունենք ԿԽԼ 6«Օ,հն Այդ թ»1, ԿԼ «հլ

5 Ճ,

դեպքում՝ 1(Խ(1.)

8(.)»

Թ ն,

ուրեմն`

հոլ1.)-5(:Ն)1-լրու ե)իլրու(ե)|ջ(Խ) -Ճ.8:ռ (8(1/0Այստեղիցհետնում է, որ Հատ 6-8:

4. ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆ:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ԱՆԸՆԴՀԱՏ

Սահմաճում

1: Դիցուք

ք :0-»Ք

բազմության կուտակման կետ է: իՈքկետում,եթե՝

(ՇՇՔ')նհլր-ն Կասենք, որ (-ը

Յմոո 1(Ին

( նռ

ԽԼ»ԻԼ,

անընդհատ է

հավասար է

այն

Ւ(ԽԼ)-ի

ք(ԽՌ»ք(Ե.)):Այսինքն՝

5. ԾԵԼ

ն

(Խն «6)6

-»

ՄՏ»0

Խկ, էԼ

ք(.)Ծ

«0:

104):

Կամ, համարժեքկերպ՝

38(5ԽԼ)»0, ՄԵԾՈՍ,(ԻԼ):| (0 -Լ(ԽԵ)|Հ«:

սահմանման Դիտողություն1: նկատենք, որ ֆունկցիայի սահմանի

մեջ ընգծվող

Խ/Լ»:1.

պայմանը այստեղ ավելորդ է, քանի

որ

այս

դեպլ/ում ունենք ակնհայտ 0 Հ ճ պնդումը: Թեորեմ 1. Անընդհատֆունկցիաներիգումարը, տարբերությունը, ն քանորդը (այն կետում, որտեղ հայտարարը զրո չէ) արտադրյալը անընդհատէ: Ապացուցում Ապացուցենք, օրինակ վերջին պնդումը: Տրված է (ԸՀՇՔ') Ի0(օ0 (Խ.-ն Օ-ի կուտակմանկետ է) ն այդ քջ:0-»8

0): (9(Խե)»

կետում ֆունկցիաները անդհատ են հ ստանում ենք՝ հատկությունից ֆունկցիաի սահմանի

բււԸ

Եա

()

դ.

մոք)

հոջ( Ս

Օգտվելով

(եե), 505)

մաԹեորեմ 2: (անընդհատ ֆունկցիայի նշանապահպանության սին): Օ-իներքին կետ է: Եթե (ՇՇՏ"), Ե-ն Դիցուք` Բ: Օ-»Ջ

ք- ը անընդհատ է

յություն ունի

կետում ն հ/Լցլ

Խ1շ- կետի

(ԽՆ)»0

Ս.(/ն)Հ Օ

(8(Խ1.) Հ0), ապա

շրջակայք, այնպիսին

գոոր

ՄԽԼ«Ս,(Խ0):8Ի0»0 (ԽՈՀ): Ապացուցում: Այն, Օ: ՅՍ,(Խ0)ՀՇ

կետ է նշանակում է, որ

ք(71.)»0: Աընդհա«ք(Խ1)»Օ թվի համար

Դիցուք, որոշակիության համար

Խ/Լ. կետում,

տությունից

ԽԼ1.-ն ներքին

որ

Յ,(ԿՇ)ՀՑ (ՀՀ

ստանում

(0 -ք(ԽԵյՀ«: ԿԽԼՀՍ,(Ճն):| 1(Խ()»1Խ0)-0Խ0)20-51ԹԽՌ»0:ա

այնպիսին,

Այստեղից ստանում

ենք՝

ենք

որ

Հաջորդ թեորեմը, պարզության համար ձնակերպենք ն ցենք մասնավոր ո -2 դեպքում: Թեռրեմ 3 (բարդ ֆունկցիայիանընդհատությանմասին):

(27/7)ֆունկցիան

Դիցուք

շրջակայքում

ն

անըդհատ է

ցիաները որոշված

էջ կետում բարդ

հատ

են

(Փ(ե,)

Հ

ը.

է հ1,(Ճ,7,)

որոշված

կետում,

այդ

էցկետիՍ,

Կ(ե) 32):

(ե)

Փ(չ),

շրջակայքում

Ադ դեպքում

ապացու-

Ս.)

կետի

-Խ(է)

ն

անընդհատ

ֆունկեն

ջ(է) 1(ջ(չյԿԱ)) -

ֆունկցիան որոշված է էջ կետի ինչ-որ շրջակայքում է այդ կետում:

ն

անընդ-

որ ք-ը աընդհատէ 8/1, կետում, ապա՝ Մ6»0 Ապացուցում: Քանի Ձ8»0ԹՓՀր),ՄԻԼ«Ս, (ԻՆ): |14(ԻՕ-քԷ(ՆՆ)|Հ6: շ(շ.«6()

եաե ա (2) եԽ(9«()1-ք |-Չշ

ֆունկցիաների անընդհատությունիցէց (Հ

«ւ«Ս.(օ):|6(9-

Ուրեմն

ՄՀՀ

-

7.

Հ

Ս,(էչ) համար ունենք, որ աա(,

կետերի միջն

Ն(Ե)

հետնում

։

ԵՑ.

թ Հ. հեռավորությունը`

ապա

«8:

Քանի

է

Հ

((ե)

որ

)

Փ(է)-

գ,

(օ(ե)Խ(ե)) ԻԼ, ն, ուրեմն` (օ(02Խ()) Ս, (ն) -

ծ

Այսպիսով Ք(է)- ք(ջ6Խ() բարդ |ց(է)-ց(Ե)|ՀՏ: ֆունկցիան որոշված է Սո(ե)շրջակայքում ն անընդհատէ էլ Այստեղից`

կետում: Ջ

յ"

Օ»8Ք(ՕօՀՇՔ"): Կասենք, որ ք-ը անըդհատ է (--ում, եթե ք-ը անդհատ է (5-ի յուրաքանչուր Խ/Լլ կեՍահմանում

Դիցուք Է:

2:

Այսինքն՝

տում:

:

Յ8(Խլ)»0 ՄԽԼՀՕ,Ք(ՈՆԽՆ)ՀՏ

|(ԻՌ-12յ)| Հճ:

ՄՏ»0

Վայերշտրասիթեորեմները:Փակ, սահմանափակբազմության վրա անընդհատֆունկցիան սահմանափակէ ն ունի փոքրագույն ու մեծագույն արժեքներ: Թեորեմների ապացույցները,ըստ էության չեն տարբերվում մեկ փոփոխականի դեպքում բերված համապատասխանթեորեմների ապացույցներից|): Բոլցանո Կոշիի թեորեմները:Եթե Է ֆունկցիան անդհատէ կաՇԱՋ"|ն՝ պակցված(ՅԾբազմությանվրա --

ՀՃԽՏ8«Օ:

1"

ք(ԽԼ)»0 (հն

«Օ:

ՀԽ

(6

1(Թ)»0,8(8)ՀՕ,

-ն

կետերըմիացնողն (Օ

7,8

պարունակվողկորի կետ է):

ապա

1(Ռ»ր:

ՀԱ«6: Ճ-

1Ճ)ՀքԹ),

3Ճ8«Գ:

2`

ապա -

ի մեջ

«ս«(1(Ճ):(8))

որ Ապացուցում: Քանի,

(-- ն կապակցված է, ապա գոյություն ունի ին միացնող (դ անընդհատկոր այնպիսին,որ (ՌՇՕ:

ն Ց-

Այսինքն

())։ էօլնե|| Ն «Շլաե|,ք Հ1,...ո) Ն (ծ),...0.

Սե Դիցուք

է

:

Հ

Ձ

-

ին հանապատասխանումէ 44

-

ն, իսկ է»-Ե

-ին՝ 8-ն,

այսիքն` Ճ(Փ.6)....Փ.6))8(6.(ծ)...,9.(Ֆ): Դիտարկենք ջ() ք(6.(չ...,օ.(ժ)է ,Ե| բարդ ֆունկցիան:Այն անընդհատէ, -

,

որպես անընդհատ ֆունկցիաներիցկազմվածբարդ ֆունկցիա (տես թ.3): Ընդ որում՝ ջ() ք(Ճ)» 0, ջ() /(8) Հ 0: Օգտվելով Բոլցանո -

-

-

6(Ե) : ջ(ոյ)»-0: ս, քանի որ (1), ապա հլ ԽՇ(Ձ(տ,),...,Փ, (ուջ))«(1) Կոշիի թեորեմից |1),կստանանք՝3 ոց

Ստացանք, որ

1(Խ0)Հ0,այսպիսով թեորեմի

Բայց «Օ:

առաջին մասը

ապացուցվածէ: Երկրորդմասը ապացուցվումէ նույն կերպ ինչ մեկ

փոփոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում| 1): տ Սահմանում

Դիցուք Է: ՕՔ

(ՕՀՔ"):

Կասենք, որ ք-ը

հավասարաչափանընդհատէ Օ՛ վրա, եթե՝

38)»

Խ6»0

0 ՄԽՆԽԼ «Օ,ք(ԽՆ.ԽՆ)ՀՏ

: | (4)-1(Խ0)|ՀՏ

(համեմատիրսահմանում 2.-ի հետ): Պարզ է, որ հավասարաչափանընդհատությունիցհետնում է անընդհատությունը:Վակառակը,ընդհանրապեսասած ճիշտ չէ (տես ստորն օրինակ 1): Բայց ճիշտ է հետնյալպնդումը: Կանտորիթեորեմը: Փակ սահմանափակբազմության վրա անընդհատֆունկցիան հավասարաչափանընդհատէ: Թեորեմի ապացույցը, ըստ էությանչի տարբերվում մեկ փոփոխականի դեպքում բերվածից(տես |1)): Խնդիր 1: Ապացուցել որ ինչպես ն մեկ փոփոխականիդեպքում, այստեղ նույնպես ճիշտ է ոչ հավասարաչափանընդհատությանհետնյալ հայտանիշը: ՇՕ ԽԹ,ԽՈՑ

Եթե գոյություն ունեն

այնպիսիք որ`

հաջորդականություններ,

0, բայց՝ Ւ(Կ2)-1(418) Բ(ԽՐ",ԻԼ:)-» Ֆզ»0

կ-5օ

Փ

(Օ -ն կարող է լինել նան -Էօօ), չէ Օ ում:

ապա Բ- ը

հավասարաչափանընդհատ

-

լոնչ՛») (0

բշ):

Է Օրինակ 1: Դիցուք ք(.,»)Հ:ՎՀ է, Է Պարզ որ այս ֆունկցիանանընդհատ նշված շրջանում, բայց այն հա-

վասարաչափանընդհատչէ այդտեղ:Իրոք` Խ/7)

հաջորդականություններըզուգամիտում են

բլ

6)

)-».0.բայց

ԽԸ)

Խն

- Ս)ԻԼՐ)բց փ:

(0,0)կետին ն,

ուրեմն՝

Կ»)-7(6յ-իգ-ոճ ւ

.

-լոշՀ1-51»0: է-»»

ՄԱՍՆԱԿԱՆ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ,

ԴԻՖԵՐԵՆՑԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆ, ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

5. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

(օ ՀՏ") ն հ ( 5.2 )-ն Օ-ի ներքին կետ է (3 Ս.(/0)Հ Օ ): ՎաստատագրենքոԱ,...55)փոփոխաԴիցուք Ւ:0-»Ք

կանները,

փոփոխականիֆունկցիա`

կստանանք մեկ

Հաա)

,

որը

որոշված է

Ո)-ի

ջ(2.)

Թ») շրջակայքում:

Սչ

.(

Սածձմանում 1: Եթե գոյություն ունի ք ֆունկցիայիածանցյալը

կետում, ապա այն կոչվում է ք ֆունկցիայիմասնական ածանցյալ »լ

ն գրվում փոփոխականի

ՕԷ

Տ-(եշ),

կամ`

է

Հ-ՐՆ)-8 («Թ)-հտ Հ

Դլ

ոլն

աո )-ք(

5»'

ցիալի մասնական աճ ըստ 2լ կան ածանցյալները ըստ մյուս

Օրինակ յալը

ըստ

1:

Հաշվենք

(3)

-

22,2)

ն

կոչվում է ֆունկ-

ի: Նույն ձեով սահմանվում են մասնա-

փոփոխականների: Ֆա

է

ց)

-

ֆունկցիայի ածանցՏո27-

ք(5«5)-Տպոշ»:-2

առանձին փոփոխականների:

Է՛(ա) Հ"

ու

ըստ

Ճ.ք(Կ0)Հ-

։

(ո

գ)

ք. (Խ1.):Այսպիսով՝

որտեղ`.

.

,

-

| :

-20օ052»:

Հետագա շարադրանքում,պարզության համար, հիմնականում ֆունկցիայիդեպքը: կդիտարկենքերկու փոփոխականի : Օ-»8 է ԽՆՆա0)-նՕՍահմանում Դիցուք՝

ի ներքին կետ է

ԽԼ

ԽԼ(:,

կետում, Հ

ճե

ԹՀԹ:

(3Մ.(ԽՆ0)-Թ): Կասենք, որ եթե

ինչպիսին

էլ

լինեն

Բ- ը դիֆերենցելիէ

ՊՃ:չձճ7 աճերը՝

-վճո' Հ /ջ՞ Էձ))օՍ։ (Եե) (0Հթ»-Բ(ԽԼ,ԻԼ)

տեղի ունենա հետնյալը`

Ճք(ԻԼ.)» Ճ.Ճ6Յ8-ճյ ԷօՐ),

ՀՏ), (4)

որտեղ 4 -ն,

8-ն

ֆունկցիայի

աճն է՝

Ճք(ԽԼ)-ն

հաստատուններեն (կախված Խ(Լ.-ից),

-ն ավելի բարձր ձք(Խ1)-«ք(ԽՌ-ք(ԽՆ).օ(թ)

կարգի անվերջ փոքր է, քան թ--ն, երբ Ճշ: ,Ճ7/ աճերը ձգտում

յի, այսինքն՝

նոլ). ձ: 50

Բ

0:. '

Դիտողություն 1: Նկատենք, որ ն

8-ն անվերջ փոքրեր -Ճ:-ԷՑ-:Ճ7

Իրոք

են զրո-

ճ:

Ճ7:Է 8:ճ7

են, երբ

Ճ:,Ճձ7

օ(թ),

քանի

»

-օ(թ)

,

որտեղ

աճերը ձգտում

զրոյի:

են

-ԷՑ-4Ճ7 -

զ:

որ

գ-ն

ք

(օ-վո:87 շիվ «ԿԲՆՈ/ 5Հրի դչ»6 ՅՑ: ՀԵոց ճիշտ է

նան

Հ օ(ք) (ավելի բարձր կարգի

հակառակը` եթե 5(Ճ2,Ճ7)

անվերջ փոքր է, քան ք--ն, երբ /2., 7

աճերը ձգտում են զրոյի),

ապա

Թ)(ոո.ձբ)-Տ0).Ճ".ու. Ճ)Ք(Ճ647) «օ(թ)---շ՛ | Ց որտեղ 8.9). վսլ«5| ,,. Տ»զ44ԻՔ:4Ճ37, ա.8». 2ա օ(թ) ձ7

Ք

Ք

գՀ----

Ք

քբ

Ք

թ

«5Թ1., 0, Ք

(6ՀՔ'),ԽՈՐՀ:,7օ)-նՕ-ի

Թեորեմ 1: Դիցուք Է:Օ-»8Ք ներքին կետ է

ԽԼ

կետում

(ՅՍ.(0)Հ6) Որպեսզի Էանհրաժեշտ է,

որ

այդ

ը

կետում ՅՀԽ(Խ.)-Ճ,

ՅՐ(Խ0)-8: Ապացուցում: Եթե (1) -ի մեջ համարենք Ճ7 0, հաշվի առնենք դիտողություն 1-ը,

6-5

ապա

լինի դիֆերենցելի

0Հ|ԽվՀծՓն

կստանանք`

Ճք(Խ1)«81

ք(Խ)»Ճ:Ճ4-Ի0:Ճ:

`

ՅՀք(Մ/,)»-/Ճ:Նույն

Այսինքն

ԼԱՐ)չատ: ՆՔՈՎ

Որտեղից՝ կերպ

ապացուցվում

է,

որ

ՀՅՐ()-8:ա

2: Ղաշվիառնելով դիտողություն1-ըն թեդրեմՂ Դիտողություն է հետնյալ համարժեքտեսքով ներկայացնել (1) ը կարելի --

ը,

-

ՃՈ(Խ0)ՀԲ(Խ0) ձո Բ(Խ.)ճ7

`

40-44-8447. 02)

որտեղ ա -նն 8-0 անվերջփոքրեր են, երբ ճձւ,Ճ7 աճերը ձգտում են զրոյի: Սակայն, Այդ ֆունկցիաներ որոշված չեն, երբ Ճշ.» 47-0: նան այդ է, լինի դեպքում երբեմն նպատակահարմար որ (2)-ը ճիշտ 0 (այս ֆունկցիանեՀամարենք, որ «0): (ճշ ճ7

օ(0.0):8(0,0)Հանընդհատ շարունակությունըմինչն (0,0)կետը): Հ

րի

Այժմ, երբ

մասերը իմաստ ունեն, իրար հավա(2 -իձախնաջ սար են ն հավասար են զրոյի: ֆունկցիայի դեպքում դիֆեԴետողություն3: Մեկ փոփոխականի րենցելիությունըհամարժեքէ ածանցելիությանը:Բայց մի քանի փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում դա այդպես չէ, այսինքն ֆունկցիայի մասնանականածանցյաներիգոյությունիցչի հետնում դիֆերենցելիությունը: ճ.

ձ) -:0

-

()-ՎԻ»): Քանի

Օրինակ 2: Դիցուք՝ ապա

Բ(00)Հ-Բ(00)-0:Եթե

կետում,

ապա Ձ

Ճք0,0)

Հ-Ի» բ

ճիշտ կլիներ`

-ի.-Ճ)

վո 1

-

ձ)՞

փոր --.-. ք

«0:

(0,0)կետում:

Թեորեմ 2:

Դիցուք` ք:

ներքին կետ Է (Հ

ջի ելճտ)

որ

ք(».0)-ք(07)-0,

ք-ը լիներ դիֆերենցելի

(00)

օ(թ) պայմանը: Բայց՝ Ճ8ք(0,0)-

9),-»

0, քանի որ

ձյ-»0

Ուրեմն այս ֆունկցիան դիֆերենցելի չէ "լ

ՕՔ

ԽՆ(.,)-նՕ-ի (ՕՀՇթ:|

Մ:(Խ.)Հ-Օ): ՈրպեսզիԲ-ը լինի դիֆերենցելիԼք

կետում բավարար է,

որ

այն

Մ, (Խն) շրջակայքում

ունենա

Բ.(ԻՍ,Ւ (ԽՕմասնականածանցյալներ,անընդհատՃ/(, կետում:

Ապացուցում: Ֆունկցիայի աճը ձնափոխենք հետնյալ կերպ՝

ձժ(«37.)-ք(Կ 4 Ճյ Է ՅԴ-ք(դ»)«|1(5Հ Ճո: Է ճ)-ք(ոլ Հ Ճջ, 8,

Հ

բ«Վճ» 447 )։

Ճւ:)-ք(ու».)|

Հ

Կիրառենք Լագրանժի թեորեմը (վերջավոր աճերի բանաձնը)

104 Ճ.)) (Հ

օ:70

Է

Ճ)

10.3.)2 Հի:

ն

ֆունկցիաներինկատմամբ,կստանանք՝

Է(. ձ1(Խ0)Հ-

Է

(Խո

9լ

:Ճ)-ճ7 է. Է

Իշ,:

(0ՀՅ, Հ1,.-12): Այսպիսով Ճք(Խ)»Բ(Ե)ճ» Հ Ի(ԽԼ )ձ7Է որտեղ 6 Ք(գ Է Ց:.7,)- Ի(»3.) -».0

-Ճ.ի

Ճ,),): 5 ԻԲ-Ճ7,

գ-Ճ:

Հ

,

ք(.

8-0

Ի

Հաշվի առանք այն,

Ճ70

որ

ԻՅլձ))-Բ(.:»7.)-».0:

(ւ Ի0չՃ»,)ո), (Ր.Հը

գումենտներըձգտում են Խ/ըլ-ի, երբ Ճ:,Ճ7 ն

Ճ)-50

ԷՅ)

ար-

աճերը ձգտում են զրոյի

ՔԲ., Բ ֆունկցիաներիաընդհատությունըհ/Լլկետում: տ

Դիտողություն4: Թեորեմ 2-ը տալիս է դիֆերենցելիությանբավաանհրաժեշտպայմաններ:

րար, բայց ոչ

Օրինակ3: Դիցուք

երբ («))-(:43)-օ5----շ. 2-7

Ցույց տանք, որ ք(0,0)-:0:

այս

Հ

-)՛»0,ն

ֆունկցիան դիֆերենցելի է

ԽՆ(0,0)

կետում, սակայն նրա մասնական ածացյալները ոչ միայն արնդհատ չեն Խ/(չկետում, այլն անսահմանափակեն 7/չ- ի կամայականշրջա-

կայքում:

յղ «Զ-6Զ.եղճավը, Շո(Կ, ՛

0,0

ավ |-Փ:

կոռ ձ.-»0

Տ

Ճե

Նույն կերպ ստանում

2/1Ն)-60։

ենք

ւ

-5 օ(թ):Իրոք՝ ճք(ԽՆ) յը

-

բշ»

6 խո կո

ձ.-50

ճյ՞

(

((Ճո2

վխմ ճյ «

Ճ7Դ0Չ

Մնում

Հ ճջ ))-օ09-----Հ-0 ճ»՞ Հ ճ՞

է ստուգել, որ

Ի

|

:օ9----լ50: ձճ:ե

ԺԷ ձն

Այժմ համոզվենք այն բանում, որ մասնականածանցյալները միայն անընդհատ չեն 8/1,կետում այլ նույնիսկ անսահմանափակ

ոչ

են

Օ

-ֆ Իրոք2̀-1(«5)-22: 005-7 Ի7-

ԽԼչ-ի ցանկացածշրջակայքում:

«(շշ ») Է

(5)

ԽԸ- ին ձգտող -շ---չ: Դիտարկենք ՀԹ)

-0,5

. Կվ(Եոոոռ '

հաջորդականությունը:։ Այդ

ՀՅԸՆ)2|2«2ո-ո չԷ»: Խ/Լ, 1)

Այստեղից

ը ոչ

միայն աընդհատչէ

հետնում

դեպքում

է,

որ

կետում, այլ նույնիսկ անսահ-

մյուտ-Ը-1

մանափակ է Խ(.- ի ցանկացած շրջակայքում:

մաս-

նական ածանցյալի նույնպիսի հատկությունըապացուցվում է նմանակերպ: Դիտողություն5: Ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունիցԽ/(չկետում

՞

հետնում

է այդ

կետում անընդհատությունը:Իրոք, անդհատությունը

Խ(Լչկետում նշանակում է`

մոռ 2-ը իան

կամ՝ ք(7,7) ք(2ը.»գ). -

-Է(ոգո)Է0(«-.-:գ կու 1(4--Ճ63:847)

8.0

այսինքն` նող ձք(4)«0:Վերջինը հետնում

է

7-3).

-

դիֆերենցելիության

ճ) -50

(2) պայմանից:

է Խ1(».7)կե-

Սահմանում 3: Դիցուք ք ֆունկցիան դիֆերենցելի տում:

Այդ դեպքում

(ԿԽ)ճ7արտահայտու-

4Ր(Խ- ք (ԽՃԻ

թյունը կոչվում է ք - ի դիֆերենցիալ Ի/ը կետում: Անկախփոփոխականի դիֆերենցիալը,ըստ սահմանման

նրա աճն է՝ մ:

|Ժէ(207)5 Է («):ՓԷԵ (03): Օրինակ 3: եթե ք(ո)-2"» (ՃՀ-0),

-

Ճճ,47-

7:

Ուրեմն`

Հ

Տլո2»-25"2-ճո

Ի

ժք(»»)-

ապա

""3 1ու-260527-47 (քՒֆունկցիայիդիֆերեն-

ցելիությունը հետնում է, նրա ածանցյալներիանընդհատությունից): Դիցուք Թեռրեմ 4: (բարդ ֆունկցիայի ածանցման 8:0-»Ք, ԽՆ(.)-նՓ-իներքին է: չ ՓՈ), Խ(է)ֆունկցիաները որոշված են է, կետի

Խ(Ե)Հ3.:

կետ

Մ,(ե)

Ք(է)»ՂԱՍՆԱ)բարդ

են

մասին) 7Հ

շրջակայքում,

Փ(ե.):-.,

(ածանցելի են) էջ կետում,

ֆունկցիան որոշված է էջ- ի ինչ

կայքում. դիֆերենցելի է է,

Կ(չ) Փ(է)

Խ1յկետում.իսկ

Եթե ք-ը դիֆերենցելի է

ֆունկցիաները դիֆերենցելի

-

կետում

(գ): -Շ(ԽԵ)-Կ

Ա

-

ապա

որ շրջա-

ջ'(ա)-1(Կե)-9'(ա)Ւ

Ապացուցում:Քանի որ Բֆունկցիանդիֆերենցելի է (5 բազմուապա` ՃՐ(Ի1.) ներքին կետում (3Սչ(Խ)-օ6), թյան 1.

-Ք (ԽՆ)-Ճ.ԷԷ ():Ճ7Էօ:Ճ.48-Ճ7 2-օ(),7-Խ()

0 ՀքթՀ վճ Հճ) 8): Հ

էց կետում հեֆունկցիաներիդիֆերենցելիությունից

էջ-ում, ուրեմն նրանցաընդհատությունը

տնում է

Հ՛/) աճ, ապա (0Հ|ճվ

տանք է այնպիսին,որ եթե է, փոփոխականին

»«-Փ(),7-7Խ() Փ(եԻձէ)-ոց,

ֆունկցիաները կստանան

Ճ՞ Ճա()Հ-Խ(ԵՀՃԵ-7, լինել), միաժամանակ զրո

Հ

են

կարող

տբ ՝

|| Հ

ՀՍ(ե) շրջակայք,

(ՔՀ

Հ

ձօ(ե)»

աճեր (նրանք

այնպիսին,

որ

8): Ք(է)-ն կստանաաճ վճ»1ժճջ» Հ

փՃէՄ(ԵԻճվ)-ք(6(օ)ԿԽ(ե))ՃՏ(Ե)«ք(Փ(ա Հք(

ԻՃ2)-1(Կ0)Հ41ք(Ի6):

ճա

(3) Օգտվելով ք ֆունկցիայի Խ1չ կետում դիֆերենցելիության մանից, կստանանք

ձա(ե)-Ճք(ԽՅ)-ք(Խ0)-«Ճ24-5(Խ0):

(4) Վաշվի առնենք

.-Հ8-Ճ):

Հգ.

Փ(է)Կ(է)ֆունկցիաներիանընդ0 ճւ հուճ)

հատությունը էջ կետում, այսինքն՝ իու նո

Ճ130

զ

Հ

նտ

ՃԷ-0

8 »:0:

(ԱՆՋԵԼՈ

ՀՇ

պայ-

(3-ից

Ճ:0.3.չբ

ստանում ենթ

ն, ուրեմն՝

(Ին)-25 Հ81մ-բ («բ

(ԻՆ)-9 (ե)ԷԽ(ԽԵ)-Խ(ե)աթի

(ԿԵ)-բՒԳ-ա՞

Հ0-Փ(ե)Ւ0Խ(ե):

Հ

,

.Ուրեմը՝

ՀՇ(հե):Կ(ե):.

ց(ե)»է(Ե)-Փ(ե)-

տեսքը անփոփոխ 6: Առաջինկարգիդիֆերենցիալի Դիտողություն բխում է, պայմաններից թեորեմի է (ինվարիանտէ): Այսինքն նախորդ է փոփոխաորԲֆունկցիայի դիֆերենցիալիտեսքը նույն ինչ, եթե 2,7

ճջ(եչ)48(Խ)ց (ծ)-ժէ» ն (Խնյ)-ՓՀՆ (եե):Ժ7. -Խ(ին)-օ'(ե)-ԺէՒՆ(Խե)-վ՛(ե)-ժ»

կանները լինեին անկախ: Իրոք

-ե(հե)-Փւժ այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի «1(Ի1ց) -6 (եե)-Ժ/տեսքը նույնն է ինչ, եթե 2,7 անկախ:

Բայց

միայն

տեսքը,

լինեին փոփոխականները

քանի

որ

այս

դեպքում՝

Փ.ՀՓ(ե)-Ժ,Ժ/Հվ(ե)Ժէ:

դեպքում`յւ

Հ

վ -րապեց) (ՐԹ) վ ուին

դիֆերենցելիֆունկցիա է:

Ր

անկախ փոփոխականների

Ճճ,:7 «7:

Հ

Օրինակ 4: Հաշվենք

41-8Բ

Իսկ

Ըստ

որտեղ

դիտողություն8.-ի՝ ..

«յժ: 0»«7-Փ.-2:/-47 չբ.

Ց

ք(Ա,7)-ն

`

(պարզությանհամար, այստեղ

"07

ք ֆունկցիայիմասնականածանցյալներիարգումենտներըչեն գրված):

Այժմ ընդհանրացնենքֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումը ըստ առանձին փոփոխականների,դիտարկելով որոշակիություն համար դեպքը: երեք փոփոխականի

6. ԱԾԱՆՅՅԱԼ

ՏՎՅԱԼ ՈՒՂՂՈՒԹՅԱՄԲ,ԳՐԱԴԻԵՆՏ

կետի Դիցուքք(..3.2)ֆունկցիանորոշված է Խ/լ (40:30:20) -

միավոր վեկտոր է, Ս.(Խ1.) շրջակայքում: լ (6050,6058,605՛)

որի

սկզբնակետը համնկնում է Խ1. կետի հետ, ւ -ն, 8-ն, 7-ն այդ Օշ, Օ7,Օշ վեկտորիկազմած անկյուններնեն հանապասխանաբար հետ դրականկիսառանցքների (տես նկ.14):

յշ

ԱԼԿ

Նկ. 14

ա

ռրաաաւ աաա»

-

,

Խ(Լ կետով տանենք ի վեկտորը պարունակող

Ճ

ուղիղը:

Վերցնենքկամայական

կետ: Ուրեմն ԽԵԽԼ 17 ԽԼՀՍ6(ԻԼ1,)8

ձ»0

ԽԵԿ 1,

-»

այն

ապա

ԽԱՎՀ11

ԻՍԱ 1

»

գոյություն ունի

1: Եթե

Սահմանում

1ՀՕ0

»»

ն): |վ-ին

1(Ռ- քԽն)

ոռ

Ն

Սեն).

քֆունկցիայի ածանցյալ Խ1կետում 7

կոչվում է

ուղղությամբ: կետի Թեորեմ 1: Դիցուք Էր որոշված է Խ/1լ ն

Սչ(Խ.)շրջակայքում

դիֆերենցելի է հէ, կետում: Այդ դեպքում գոյություն ունի

ն`

Ն)

Զ-Կ)5-()Հա2-(81))-6248-մ)

«Ս (Խ0)ՈՑ. ապա՝ Խ(Ճ»»շ) -, 1Ն6058,2-2 -165 ԽԵՒԼ-1մչ-»:-յ «16050, .(իՀ3Տ)։ Ապացուցում

Քանի

որ

Հ

Ուրեմն`

Հ

Հ

ՀԻԼ) 1-»0

ղից իո

ք(2.7,2) ք(5լ 76050,3 Ի 0058, 2. Ի 46051)8(1): Այստե16058,20 -Է 1605|)ք(Ճո50ո) ք(5, 16050, 3/0«Է լղ

1)-9(0).

Թ.

«ԲԱՎ)-( օք

ն

ծ/

4)

Լ

:

«0

(5.

-

ւ

Ըստ բարդ

ֆունկցիայի ածանցման կանոնի

Հ Հ Ը(ԵՆ)-(99:166 (0)-Է՛(ԻՆ)-(ոչ 16650)

«155 աա:

-Տ(ել)» «օո-(Ան) «58»

ՀԱՆ): Ի--(ԿԵ):օ657 -

.

Դիտողություն1: Պարզ է, որ եթե մասնավորապեսԼ51ՂԴՕ2,

այսինքն` ա-0",8-՛Ղ7Հ90",

ԶԻ.)-Հ-(Ին): պահշանումը

ապա՝

Այսինքն

զհանրացն

ածանցյալ տված ուղղությամբ ածանցյալ ըստ առանձինփոփոխականների սահմանումները: Սահմանում

աու

է

ԽԼչկետումք ֆունկցիայի գրադիենտ ասելով

ջւոմք(Խ1.)-ՖԸ(ԽԿԼ, )-

աա ԵՏ ): Հ-(Ի, 2-(Խ Աե Հ են

վեկտորը

օ րադիեումի իջոցու

բանաձնըկգրվի

ամի

տեսքով, որտեղ Փ-ն է:

Ջոժք(Խ1)

Լն

-

օտ Հքոոճք(եք.):

(2)

վեկտորներիկազմած անկյունն Ք:ոձք(Խ1.)

(2)-ից հետնումէ, որ ք ֆունկցիայիածանցյալը « ք- ի փոփոխության արագությունը» Խ/(ցկետում մեծագույննէ այդ կետում ք-ի գրադիենտի ուղղությամբ:

Ւ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԲԱՐՁՐ ԿԱՐԳԻ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ

2)

ԵՎ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼՆԵՐ

Դիցուք Ր Ը. ֆունկցիան որոշված է կետի շրջակայքում, որտեղ այն ունի մասնական ածանցյալներ՝ Սահմանում

1:

ԽԸՇ-»:3.)

Ը-ԸԺ), ( 5): թ ՀԱՐԴԻ -ՏՏՐԴԸ7-66յ ԵՐ». 2169-ՏԷ69-669). Տ(5ԵԵթե գոյություն ունեն`

ծ»

6-1

ք "ՏՓ (Ճ))- "(Ր))

ածանցյալները,

ապա

նրանք կոչվում

են

՛

՞2

Է

--(ո)-

երկրորդ կարգի մասնականածանցյալներ: 6

Է (Ց). ,

Բ"

ք Ը)

209) Հ) յալներ: -

-.

մասնական ածանցյալներըկոչվում են խառը

ածանցյալները կարող

Հաշվենք ք(0.0)-:0:

աշ

այս

եթե

,

(05) «(Բ ("»)).. ,

-

(2

(2-7 -

Է(0)»-7

--9(»0)

0)

կ

58 (00)»-1Թ3) («8)»Ը(00)-(-)|

5669) -9. ԵԹՓ-2003),.-(

Հաշվենք այժմ

-

"0

(35-»)Ր: Հ)-2.( 4-7) (ւշԻՐ )

(00)

'

| »| ծ

ի

(3), 2)»

ն

)»0

20: Բ(00)-(4640)).«-(0)

ք

են

:"«Ի7»0

ֆունկցիայի խառը ածանցյալները

(0, )| ջն:

-

-3. «.---3ո Ի

7.7)»

Օրինակ: Դիցուք

կետում: Է, նն)

աստանը

խառը

որ

կարգի բարձր

ՀՏԷՆ:

Օրինակ

մասնականածանցյալներ: Նկատենք, չհամնկնել:

ավելի

են

Ինդուկտիվ մեթոդով աա

Է, (0,0)--

:

Ունենք՝

ճ-0

Օօ

Բ .0)-

վ.

(4).

Ը )-2Ե5-5)

|

2-7

Աա (3). (6)

0):

Թթ

Թ) »Ր(00)»51: Հ«Հո)»ո(00)5(). -»8(0 0)» Է,(0,0): Այժմ պարզենք թե խառը ածանցյալ-

ները ե՞րբ են

համնկնում:

Թեռրեմյ: Դիցուք Էֆունկցիանորոշված շրջակայքում որոնք

-:5

ն

ունի այդտեղ խառը Ւ

անընդհատ են

Խ(չ կետի Ս, (14.)

է

(5). Իւ(..7)

ածանցյալներ,

Խ/, կետում: Այդ դեպքում խառը ածանցյալները

համնկնում են` Բ(Խ1,)Հ Է(Ի1.):

ԱմպացուցումՎերցնենք հ դակ ֆունկցիա

աճ

(0Հ)ի| Հ5)ն

Փ(ե)-Ր(",-Խ)Հհ)-((։

ներմուծենք

օժան-

չհ». )-Ւ(5.

շի)

ՀԷ(Ց5.): Փ(հ)-ըկարելի դիտարկել որպես Փ(:)-1(Կ5 չհ) 15.) ֆունկցիայի աճը |..::., հ|միջակայքում` Փ(հ)- Փ(2,հ)-Չ(..): »

Օգտվելով Լագրանժի թեորեմից (վերջավոր աճերի բանաձնից),

կստանանք՝ Փ(հ)ՀՓ' (40, -Ե(աԻԾ.-Խ7)Լհ (0ՀՅ. Հ): Նորից

օգտվենք

-հ)հ-(

Լագրանժի

(գ ՀԾլ-հ,/0Իհ)-

թեորեմից,

դիտարկելով

Բ(«ԻՑյլհ.7)ֆուկցիան (7:37, չի|միջակայքում,կստանանք (ՕՀ 8,Հլ): Փ()»Ն («39.-հ,)039շ-հ)-հ՛

(1)

Նույն Փե) ֆունկցիան կարելի դիտարկել նան Դրպես Կ() -1(« ՀԽ») -Ո(.,») ֆունկցիայի աճը |5.,:5.-ԷՊ| միջակայքում Փ(հ)- ՄԸ,Իհ)-Կ(չ):Կիրառելով Լագրանժի թեռրեմը,

կստանանք՝ Փ(հ)»ց'(գԻ9:-հ).հՀ|Ե(ՕԻԻԵ,ց0.-հ)-

-Ե(Ս՝,)08: -ե)) հ» Ւ. Ճ Այսպիսով Փ(ի)-

էե,

ծի.) լի,

49.

հ)ի՞:

փ0յհ)ի՞:

(2)

(3) 0.Հ0, Հ1 («-12,34): ք5ՐօԻ6Խգ Էծչհ) ք (եց-ԷՅ.Խ79-Է0:հ):

Ընդ որում (1), (2)

(2.022-»

-

ում

-

Անցնենք (4)-ում սահմանի, երբ հ--»0,

Բ, Է»

հաշվի առնենք (3)-ը ն կետում: Կստանանք՝ ֆունկցիաներիանընդհատությունըԽ/(ց

12(Խ0)-8ք5(Կ1): -

2:

Սահմանում

կայքում կոչվում է

է ֆունկցիան,որոշված

ռ

անգամ դիֆերենցելի

Խ/լ- ի կետի ինչ-որ

շրջա-

կետում, եթե այդ կետում Խ/Լց

դիֆերենցելի է Բ ֆուկցիան ն նրա բոլոր մասնական ածանցյալները մինչն ո --1 կարգը: Թեռրեմ 2: Եթե Բ ֆունկցիան, որոշված Ւ/( -ի կետի ինչ-որ շրջակայքում. երկու անգամ դիֆերենցելի է ածանցյալները համընկնումեն՝ Թեորեմի ապացույցը տի այն չենք բերի: Սահմանում

Է,(ԽԼ): ք"(Խ1)»

նման է

3:Դիցուք է

Խ(Լ. կետում, ապա նրա խառը

նախորդ թեորեմիապացույցին, ուս-

ֆունկցիան, որոշված Խ1,

ՀԹ")կե(ԽԼ,

է ԽԼշկետում: Երկտի ինչ-որ շրջակայքում,երկու անգամ դիֆերենցելի

ասելով հասկանում ենք՝ կարգի դիֆերենցիալ Խ/1շկետում

րորդ

ՓԼ(ԽԵ)Տոծոծո

տեսքի գումարը, որտեղ 2.

Թեորեմ 2-ից բխում է, րենցիալը

որ

8,-8յ

ներ, իսկ նոր

ԵՊ)

(17-1,..յո):Երկրորդ կարգի դիֆե-

(4ք(Խ1.)) կարելի է դիտել.

րենցիալի դիֆերենցիալ, երբ

-շԶ1-(ա

որպես առաջին կարգի դիֆե-

42, աճերը համարվում

(«2::) աճերը համնկնում են

են հաստատուն-

համապատասխանհին (Փե)

աճերի հետ: Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը` համաչափ քառակուսային ձն է ճշ, աճերի նկատմամբ:Այն կարելի է նան ներկայացնելհետնյալ կերպ՝

4:8(

Էծ

ԲՈՀ

ժել Ի...

ւ| ք(ԽԸ):

Օ

Գրվածիիմաստըբացատրենք

ռ

Իայ"ի

(ՏաՏա գջ«ՅԱ ք-Շ00-Փ'|5 |(դ- 211 ծ.՝

ո»»2

դեպքում

աց

4-8(ՃԽՀ-

ծ28(ԽՈ

ԳԹ»

ՓԳ

ծ.

(0:

աթ

Նույն կերպ սահմանվում են ավելի բարձր կարգի դի-

շ

Ի---Հ---ժ7՛:

ք

ֆերեցիալները4̀՝Է `ՓԲ-|---Ա:

լ

ծ

Հ..-

Ց. ԹԵՅԼՈՐԻ

ծւ. ո

:

ւ

| Է.

ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Նախ հիշենք մեկ փոփոխականիդեպքը: Ինչպես գիտենք (տես|1). երբ քֆունկցիան, որոշված :, կետի Սչ(Ճ,) շրջակայքում ն ունի այդ կետում մինչն յացվում է Թեյլորի

ռ

կարգի ածանցյալներ,ապա ֆունկցիան ճերկա-

Խան .)

Էն»)

Է(2)-Է(«)Հ-Հ---2.)ծ

ր «Ըմ, (ո)

Իո

ո)

որտեղ

Է,

(Եռ)

ո `

ը

-շլ

ռայի օ(Ր. -

ն

,

Ի...Դ

ո

(ց),

անդամը ) մնացորդային (5,240

Եթե («--2օ)

1()- 8)»

Ւ՛(.) 6-»)

նշանակենք Ճ»

-

ունի

Պեանոի

տեսքը՝

ով, ն հաշվի առնենք, որ

(1)416). ժ400)5156գ)-ՓԸ(Փ.Հձ.)ապա

կընդունիհետնյալ տեսքը:

Ճէք(ո:)» »- Գ4(4)-օ(Փ")

2)

ճ»1

(եթե ք ֆունկցիայից պահանջենք,որ այն Ճօ կետի Ս,

(6) շրջակայ93

քում

ունենա

նաձնի 1

մինչն

ո

կարգի ածանցյալներ,ապա Թեյլորի (1) բաանդամը կունենա նան այլ տեսքեր՝

(7.5, ) մնացորդային

Լագրանժի, Կոշիի ն այլն 1: է շատ Ահա այս ((2)) պարզ տեսքը ընդհանրացվում ֆուկցիայի դեպքում: է Թեորեմ 1: Եթե Էֆունկցիան որոշված Ի, :

փոփոխականի

ա

Ս,(11.)շրջակայքումն

Ո

Բ") կետի

անգամ դիֆերենցելիէ ԽԼ, կետում, ապա

այն վերլուծվումէ Թեյլորի բանաձնի՝

ա), Ցթոնե ո. ՏՂ

ոա.)«Ն

ու

ժ4(Ռ

դային անդամը ունի Պեանոյի տեսքը` ԽՀ

-(Խ1.Խ1) մնացոր-

որտեղ

՝

Ճ(Խ)»1(-(ե). Ս.(հե),

Ք «Ք(Խ.,հ, (ԽԼ...Խ)»-օթ") ռ

Ե--0:

օ

նռ ԽՆ

ք

|2| ում: պայմաններիդեպքում Թեյլորի լրացուցիչ Որոշ. Դիտողություն: ը ունի այլ տեսքեր, օրինակ բանաձնիլրացուցիչ Թեորեմի ապացույցը

տես

-

|

անդամը, ո(ԽԼ,. Ի/)-

Ս:(Կ.) շրջակայքումունի մինչե Ո Է | կարգի ԻՄ)մնացորդային անդամը անընդհատ ածանցյալներ, ապա (ԽԼ,.

եթե Բ

-ը

ԽԼ, կետի

(0ՀՅլ.8, Հ1. 424»

7(ՃԼ.,ԽԼ) ------4' (ո-1): Հ ծ) (տես (2):

ունի Լագրանժի տեսքը`

.

-

Ր(ո 01 -Ճ:.-0.

45)

էՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Սահմանմում1: Դիցուք :0-»8 (Թ թ"). ԽԼ(, -նՕՕ-իներ-

9.

Շ

քին կետ է (3

Ս,(ԽՆ)ՀՕ):

կետ, եթե` Յ/»0

Խ1չ-նկոչվում է մաքսիմումի(մինիմումի)

(7ՀՏ).ԽԼ«Ս,(Վ.):1(

3 ՀԱՆ)

1Մ7»71ե)):

Մաքսիմումիկամ մինիմումիկետը կոչվում է էքստրեմումիկետ: որոշ Եթե, որքան ել փոքրացնենք«ծակած» շրջակայքիչափսերը

հավասարութան նշանը

կետերումճ ճիշտ

է

(/(Խ1Հ Է(ԽՍ).

ապա

Ի/(,կետը կոչվում է ոչ խիստ մաքսիմումի(մի-

նիճումի) կետ:

Օրինակ:Բ(5,

ք (ԽՌՏՐ(/Դ)

լ

-ն -:

Պարզ է,

որ

(Ա...)

կե-

տերը հանդիսանում են ոչ խիստ մաքսիմումի կետեր, քանի որ (.։3:))-ի որքան էլ փոքր շրջակայք ընտրենք, 7 --Ճ ուղղի կետերում ֆունկցիան ընդունում է մեծագույն, 1-ին հավասար արժեքը: անհրաժեշտ պայմանը): Դիցուք Թեռրեմ1

Հո

(ՇՇՔ")

ք:6-»2

Խլ-ն Օ-իներքին կետ է: Որպեսզի Ի,

-նլի-

նի էքստրեմումիկետ անհրաժեշտէ, որ այդ կետում գոյություն ունեցող առաջինկարգի մասնանականածանցյալները, հավասարվենզրոյի: Այսպիսով էքստրեմումի կետեր կարող են լինել միայն որոշման տիրույթի այն ներքին կետերը, որտեղ, միգուցե որոշ առաջին կարգի մասնական ածանցյալներ գոյություն չունեն, իսկ բոլոր գոյություն ունեցողներըհավասար լինեն

զրոյի է՝ 2, չ...յՃ«ո)-ն մաքսիմումիկետ ԵՎ" Ս,(4.):ք(1)Հ ք(Կ1,), ն,ոՅՍ, (.)Հ-Օ. այնպիսինոր` ԽԵԼ Դիցուք ջ(".)- Է( Կա»...ո) համար Յ Ե (Խն): րոշակիության Պարզ է, որ Տ(«)ՀՏ(Կ|երբ (0Հիղ-գ" 6). (ո«Հ|ՀՓ): մպացուցում: Դիցուք ի

այսինքն Յ

Լ

«()-ք

-ն

Ք(:)

ֆունկցիայի մաքսիսումի կետ է: Քանի որ՝

(Խ1.)Ա, ըստ

|

Ֆերմայի թեորեմի(տես 1))

(Ա )-0,

ապա՞Բ,(81)-0:տ

էքստրեմումիբավարարպայմաններըկապվածեն երկրորդ կարգի աճերի դիֆերենցիալիհետ, որը քառակուսայինձն է Փո (ՑՀ1.....ո)

քառակուսայինձների հատկունկատմամբ: Ուստի, ուսումնասիրենք թյունները: Քառակուսայինձն է կոչվում հետնյալ տեսքիֆունկցիան:

Փ(է,....,յ-Ֆոլե ծ).

(7

1-1

որտեղ 8, գործակիցները հաստատուններ են, ընդորում կենթադրենք,

Ն) Ն2,.. քառակուսայինձեը համաչափ է, այսինքն` 1:ՀՅյ» Սահմանումք: Քառակուսային ձնը կոչվում է դրական եթե`

արիր

որ

)ԷԶ(0....0) Փ(4.,...ծո)0: Պ/(էլ...ծր »

:

Սահմանում

որոշված, եթե՝

2:

Քառակուսային ձնը կոչվում՝

Կ(Ե..է)«(0...0)

Սահմանում

:

է

բացասական

Փ(:.4.)Հ

3- Քառակուսայինձնը կոչվում է նշանաանորոշ, եթե՝

ՀՅ: Փ(Ե»«ծջ)»0,Փ(Ե»-»եո) » (Ե...) ծո) պայմանները) Թեորեմ ("Սիլվեստրի Յ

1.

(ծ.

:

Որպեսզի (1) քառակուսային ձնը լինի դրական որոշված անհրա-

ժեշտ է

ն

-իվ

բավարար, որ

ո

համաչափ մատրիցի բոլոր

ւլ

գլխա-

վոր անկյունագծայինմինորներըլինեն դրական՝ ՅՅ յո

Յւ»0,|

ՅՅ'

"|»ե,,...|............

2.

Ձշշ

»0:

Յու"Յո

Որպեսզի (1) քառակուսային ձնը լինի բացասական որոշված

անհրաժեշտ է ն բավարար, որ Ճ

իի.

-

համաչափ մատրիցի բոլոր

գլխավոր անկյունագծային մինորների նշանները հաջորդեն իրար սկսած բացասականից՝

8լՀ0, Թեորեմի քում`

ապացույցը

ձլլ ձլշ

»0,.Ը)

ո

դեպչենք բերի: Այն մեկնաբանենք ո2 : Քանի որ 1-3 սահմանումներում Ճշշղշ

Փ(-,ղ)Հճլլէ՛ Ժ 28լչեղ-Է

ծ,ղ փոփոխականներըմիաժամանակզրո չեն, ղ»0,ունենք՝ ։

Սիլվեստր Ջեյմս Ժոզեֆ (1814

-

ապա,

1897) անգլիացի մաթեմատիկոս: -

օրինակ երբ

Ր Տի

Փ»-ղ-Խ(Ր), ՓՐ)ՀՅլթ2Հ 28888, Դիցուք` Ճ --Յլլ8շ.

-8շ

-

-ք (թ

-

ԵՐ)

-ն

քառակուսային

եռանդամիտարբերիչն է): Տարրականմաթեմատիկայիցհայտնի է, որ երբ Ճ»0 ապա 4լլ » 0դեպքումքառակուսային եռանդամը (5 Հ

ժ).

ընդունում է միայն դրական արճեքներ, Յյլ ՀՕ

դեպքում` միայն բացա-

0),

սական արժեքներ, իսկ երբ ՃՀՕ (Ծ» ապա քառակուսային եռանդամըչունի որոշակի նշան (0շանաանորոշ է): Ստացվածը համապասխանում է թեորեմի 1,2 պնդումներին(տես նան սահմանումՅ.-ը), լ

քանի որ

Յյշ

-

821 Յշշ

լլնշչ

-8-Ճ:

Թեորեմ2 (էքստրեմումիբավարարպայմանները): ն Օ-իներքին Դիցուք ք:0-»2. Խ/ կետ է (Հ անգամ

ՀԼ.

Ս.(/2)ՀՓ):

(ՇՀՔ"

Էէ, «).

Ենթադրենք նան,

դիֆերենցելի է

Խ1կետում

)-

Եթե՝

0,51-Լ..,ռ:

»

1.

ն

որ

ք ֆունկցիան երկու

ք(ԽԸ)-0,

24((1ո)» Հո, եւ.

այսինքն՝ քառակու-

.)-1

սային ձնը դրականորոշված է, ապա Խ/.-

ն

մինիմումի կետ է:

բացասականորոշվածէ, ապա Խ/(.- ն մաքսիմումի 2.գ28(Խ1)-ն ն նշանաանորոշէ, ԽԼ. ն էքստրեմումի կետ չէ: կետ է: 3. 478(ԽԼ,)-ճմպացուցում:Ենթադրենք, որոշակիությանհամար, որ 4:1(Խ1.)

քառակուսային ձնը դրական որոշված է: ք ֆունկցիան վերլուծենք ըստ Օ պայԹեյլորի բանաձնի ոռ 2 դեպքում: Վաշվի առնելով -

մանը, կստանանք՝

Գ1(Խ()-

Է(:0-1(1ե)-2:44(Կե.):-5(» 7-5

ԽԼ(-.)Հ (ԿԵ), թՀթ(ԿՆ,Խ)- ՏԻ, ձու«ՓեԷ»1

Այ

Ճց: Այսինքն

-

`:

.

:

.

որու

ծ, որտեղ՝

ԽՓ

թ

.5-շ

-Տ(ֆոնա

օք»

(Ին)-շ

1(Ռ-

52)

|

՞-8 անվերջ փոքր

աճերը ձգտում

զրոյի: Հաշվի առնենք, որ`

ձո, Ճշ.

է, երբ ր

են

(2)

Է

-

ո

-2ոչ,ԳԿ -

Է-1

-

այսինքն( թեր) կետը պատկանումէ միավոր գնդային -Քշ»1, Ք մակերնույթին (Տլ(Օ)):Ուրեմն, որը

անընդհատէ

այդ

տ

(ե»-«ծ.)ՀՏ(օ)։ Քանի

որ

զրոյի, ապա` ՀՄ, (հ1)

է, որ

հետնում

գ»

Ն:1

մակերնույթի վրա,

--

ուոՓ(չ.,...,է.)Փ(Հ'....,է)» -

անվերջ փոքր է, երբ

զ-ն

ֆունկցիան,

եքա Տ.(Օ)

փակ,

ունի փոքրագույն արժեք`

Փ(է.....,էԹ

(/Հ),

-ոե, ուրեմն՝

ճու Ճշ Հ

աճերը ձգտում են

ՄԵԼՀՍ ,(.): Հտ:

Այստեղից

00-ք(Ի1, Քոռ:

«թ

ՄԼ«Ս Ուրեմն` ե): 8(11)» 8(ՆԼ.)։ Այսինքն` «Քլո-ոյ»գ: Ւ

Խ.-ն մինիմումի կետ

է: Նույն կերպ ապացուցվում է այն, որ եթե

քառակուսային ձենըբացասականորոշված է, 4:1(Խ1.)

մաքսիմումիկետ է:

ապա

հ/չ-ն

յ-ֆ"

421(Խ/

Այժմ ենթադրենք, որ

կուսային ձնը նշանաանորոշէ:

հի,

աան

ապա

է

ի

-

քառա-

չեր),ՓՈԼ)»0 Այսինքն ՀԷԼ(ի՛...

Ապացուցենք,որ Փ(ՔՐ)Հ0։ ՅԷԼՐ(ի".....հ"),

չէ: Եթե, նշանակենք

լ»-:ահ) --Փ(ի

հ/ը-ն էքստրեմումի կետ հ

,է'Հ

չա

ն

(:-1...ո),

նշ Է»|

Ֆ/(:'....,ծ՛ ), ԽՐ(Է"....:")կետերըպատկանումեն Տլ(Օ)միա-

վոր գնդային մակերնույթին

(»`(է) -»՝(6:)-1): ԷՅ

Պարզ է, որ՝

Է-1

Փ(ԱԼ)»-ՑՀՕ: ԴիՓ(ԽԴ-----Փ(ԲՀՃ»0,Փ(ԵՐ)նչ) (ե) :

-

ւք. Ք,

ցուք`

կետերը հեռացված են

ՀՅ ՀքՀ (ՀՆ..ո): ԵԼԱ.) ԽՐ(..») Խ/Լկետից

չափով: Իրոք, օրինակ միննույն Ք

ԲՈՃ-են)-ջ-|Ֆ:(ա) -՛թ:

'

ՅյՓ որ

(1)

-

ի մեջ

ապա

ԿՃԼԾ

ապա նոոժ-0,

Ս.(1 ):խ ոմո(/Ճ,8): Քանի :

բ

1(ԽՐ)-

Հ

աայ» Ք(Ճ-4)-0. իսկ

բ(8-օ)ՀՔ(թ-8)»:0:

8(11)»չէ.

որ

է»1

(0:8)այնպիսին, որ թՀՂՀ.

Քանի

Ուրեմն ԽԼ.-- ն էքստրեմումիկետ

Մ, ՊԱՐԱՄԵՏՐԻՑ ԿԱԽՎԱԾ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

4. ՊԱՐԱՄԵՏՐԻՑ ԿԱԽՎԱԾ ՈՐՈՇՅԱԼ

Սահմանում

(8 ՀԵ,օՀձ) համար

Դիցուք

1:

ուղղանկյունէ

:

ԻՆՏԵԳՐԱԼ

ԵԼՆԵՆ) -ի Այդ դեպքում,յուրաքանչյուր 7 |6:4| քՇՇ(Օ), որտեղ

-ը կլինի անընդհատըստ 1(2.»)

2-ի ն, ուրեմն գոյություն ունի Ե

Ե

ր (յ)

ինտեգրալը, որը ֆունկցիա Է 7- ից՝

.

(7«:ձի,

ԾՀ-

Ի(7)-ի):

)

կախվածինտեգրալ.իսկ այն կոչվում է պարամետրից

-

ը` պարամետրը: կարող են լինել մեկից ավելի: Բացի Նկատենք, որ պարամետրերը են կախվածլինել պաայդ, ինտեգրալիսահմանները նույպես կարող

րամետրից Ի(»)-

Ք(»)

,

ք(55) . |

(Տօ

ն` Շ|»գ|

«լա4|:օ(7),

կախվածինտեգրալնե): Ուսումնասիրենքպարամետրից 8(5) |ո:Ե|

րի հատկությունները:

Թեորեմ 1 (անընդհատության մասին): Եթեէ

ԲՐ)»

ԲՆ»)ձո,

ապա

Ք

Հ

Շ(2),ն

«ՕՇլօ|:

ՎերցնենքԿՄ. Օօ ը:4|ն տանք հաճ, այնպիսինոր Ապացուցում:

.Իեօլոց|: Ի(7) ֆունկցիանկստանաՃՔ(5,)ՀԲ(չհ)-Ի()» -Փ(ե) Ե

Հ

աճ, ընդ որում՝

թ(ո)- 169,փհ)-ք(Ճ)|ՓՎՀ

փե)-ք(7)|4:: /1(57»

Քանի

ք6Շ()

որ

ն Ծ-

ապա

ք

ՄԻԼ,

ԼՀԾ,թ(ԽՆ,Խ)ՀՏ

-

ն

փակ սահմանափակբազմություն է,

հավասարաչափանընդհատ

ը

է`

ծ(2)»0,

ՄՏ»03

Ի(Կ)-քՈՊ/ՀԵ-Յ

:

հ1,(55. ), ԽԼ(ոջ,Էհ) կետերըայնպես, որ ի|ՀՏ,

Եթե ընտրենք ապա

ն, ուրեմն Ք(ԽՆ,Խ»||Հ8

Հետնա-

Ե

թ(եյտ--.

բար

ՒՐՆ)-1:դՀ---:

Այսինքն `

հոՓ(հ)հոճի()9)-0, ՛

:

-

որն էլ նշանակում է, որ Բ-ը անընդհատէ 7, կետում: Քանի որ ց-ն կամայական կետ է

|6:4| - ից, ապա

Բ

«

Ըլ: ձի

ռ

Դիտողություն 1: Թեորեմի պայմաններիցհետնում է, ինտեգրալինշանիտակ, նտ

75»ց

-

իշյա-

կարելի է

որ

սահմանի իրոք՝ նոԻ(5)-Ի(79)» (Խ.)..-

անցնել

ի

Սո ք(:).

1753:

Թեորեմ 2: Եթե՝ ք

«Շ(օ),

ն .,Թ ֆունկցիաների գ,8 ՀՇ|օծ:4|

արժեքների բազմությունները պարունակվումեն

Բ(7)-

Ք())

'

-

ապա

:

|(67) «0)

է|6:4| ում:

Փւ ֆունկցիանանընդհատ

Ապացուցում:Վերցնենք

ՀԻ()-Է()

(ոչԵ|ում,

Էն

ԱՌՈՅԵԼ) ն

8(» -

գ.

-

-

դիտարկենք Փ(7)Հ

8(»6)

մ16»)

Փ.,

8079) տ: «(79) ՓԸԴ)-յ ք(:) ծւ /'( Խ)) .- Բո) (2 ) ծւ«03

օ(7օ)

8(50) -

Փ.-12յ)

|(յ) ԱԷ)

որտեղ

«0)»)

Օ(ջ)»

մո Փ..օ(7), ո)

ծւ:

ե 1,(.,3)-163.6. ».

օօ)

ք «Շ(թ), ապա այն սահմանափակէ՝ Հ ԽԼ, ԿՐ»)«5:

Հաշվի առնելով նան ե.)

ենք՝

նում

օ(7)

Խաթուն

ի

ՓվՀԻ/ ի(.),. «(0) օ«0)) օ(7ց)

յ «3

տնաբար՝ նր »

ք

Է52)ճ:

Փւ»:0:

»

| Լ(ա)ՀԻԼ

Մց կետում,ստա-

հվօ0)-«Ծ)| -»0:

--:0: Նույն կերպ ապացուցվում է,

ե-

որ

|

8)

հռ80»)|ք(.7)

-

որ

Օ (տես թ.1): Քանի

Այսպիսով`

լոռՓ(7)»-0, այսիքն Բ(7)-ը 5).

հատվածի կամայականց |0:4| ԲՀՇլօմ|:ո

կետում ն, ուրեմն՝

անընդհատէ

է այն դեպքում,երբ 2: Թեորեմ 2 ը ընդհանրացվում Դիտողություն են: մ եկից ավելին պարամետրերը -

Օրինակ:Եթե

ԷՏ7): Փ(ս,5,7)րբ -

(ս,Մ

ր:Եյ

ն ք6

Շ(թ),

«Ը(0) (Օ- ր:Ե)«ի:ծթ«Ը:4): Թեռրեմ 3 Եթե 1.3) ֆունկցիան յուրաքանչյուր 7-ի համար հատվածում ն 7, «(թ), («Լճի անընդհատ է ըստ -ի |ԲչԵ)

ապա

Փ

«

Ե

(ԽՖյհւ.

Բ()Հ

ապա

Ք՛6 Ը հատկություններով`

ֆունկցիան օժտված

սին

7, հ

որ

Ե

|Ը( ինչ:

|օ:4) Ւ()» ն

Ապացուցում: ՎերցնենքՄ», 6

ը:9|ն տանք հ

աճ, այնպի-

"Ա.")-"0:)

ապա |"(65.)Փ».

Լ

բավական է ապացուցել,

Կիրառելով Լագրանժի թեորեմը (1. -

»-0

Եթե նշանակենքՓ̀(ե)Շ|օ:ժ|:

ե -

ռոՓ(ե)0:

որ

Հ

կստանանք

|." Դ:0.շրայյ.հ

:

հետնյալ

է

"Փ(ե)»

|

-1.665-Խ)-Ը(աչյվեւԹՀ(0յ): ք: (0), Քանի

ապա այն հավասարաչափ անընդհատ

է Ծ-

ում`

որ

8(5)»0,

Մ6»03Յ

Եթե ընտԽԵԼ,160, թ(ԽԱ,Խ) ՀՏ :260-5(նյՀ«չ--:

րենք

ԽԱ(Խ») (Ե. ,

ՀՀ: 6Վի| (ԽԼ,Խ0 Հ|լ|

Ի0-հ) կետերըայնպես, որ ի|ՀՏ,

Ե

'

:

վվՀ5):

ՄՄՕԸ:4|38(7)ենք, որ Բ'

Հ

ի», «6-հ)-Ի(«),)|ձ.Հ

Ուրեմն` |Փ(եյՀ Ր

«-- բ.-:

ապա

Ե

ասինքն՝

Ե

նուՓ(հ)-0: Այսպիսով

ի նչ, յու: Այստեղիցն թեորեմը

ուրեմն` Բ ՇՕ|օ:4),

-

Ը'

ից

ստանում

|6մ|:«

ԵԼ

Թեորեմ 4 (ածանցման Լայբնիցի կանոնը) Եթե՝

աթ«Շ'

|օժ|ն

Օ,

ապա

Բ(չ)»-

Բ(

ք(աջ)ւ յ «)

ֆունկցիանօժտՆ

"(Դ

|)

ն Բ(ԴհատկություններովԲ̀օՇ|ամ|

ված է հետնյալ

Ապացուցում: եթե

«164)).

(ասօր

Ք)-ը

ապա

Պարզ է, որ Փ((5)802)7): ԲԸԴ)-

Փ

(2

բ (ո).

Փ(Խճ)-

նշանակենք՝

Փւ-

«(Դ

«Լ(Թ(7)»):8:0)-4(«25):«։ `

Շ(թ).

պաարժեքներիբազմությունները 8 ֆունկցիաների

(ՅԵ)-ում,

րունակվումեն

կլինի

ֆունկցիա

բարդ

Շ(Օ)(տես դիտողություն2),

Հ

Է:4): ը:Եի«

վերին Օգտվելով փոփոխական որտեղ Օ ր:Եի: դիտողություն հատկություններից, րին սահմաններով ինտեգրալների --

2-ից

ն

ն

թեռրեմ3-ից կստանանք՝Փ. (ախ)

Փ: (ամ)

1(«7) (Փ.« Շ(օ)

-ք(սդ (Փ.6 Շ(9))

-

ի (7)

Փա)»

նե

ստո-

,

ձւ

Ստացանք,որ Փ-ն դիֆերենցելիէ Օ-ում, են: Կիրառելով քանի որ նրա մասնական ածանցյալները անընդհատ ստանում 5. ենք (1)-ը: թ.4), բարդ ֆունկցիայիածանցմանկանոնը(տես

(8 «Շ(5)»Փ, "

Հ

Շ(օ)):

): Եթե ք կարգը փոխելու Թեորեմ 5 ( ինտեգրման ճասին

Շ(թ),

Ե

ապա, ըստ

թեորեմ1-ի

Ի(»)-

ԱԵՏ/Հ:

ֆունկցիանաընընդհատէ

մ

-՛ում (6:4|

ն, ուրեմն գոյություն ունի

ի)Փ. Ե

փոխելով ինտեգրմանկարգը`

որը

Ի6)Փ- թ:ի

կարելի հաշվել

Փ.

այսինքն՝

ծ.

Ե

գ

/Թր(օ))ձ: է ՈՐ.5)47:

:

Տ

վ

լ

: |

(3)

-

Ապացուցում: Վերցնենք ԷՇ

(6:4|ն

ապացուցենք ավելի

պնդում,

ընդհանու

եթե

.Փ(չ)- յԲՐ)ՓՀ

է

Ե

/Ծր ԷՏ2::3

Ժ), ապա՝ Խ()- թ.ԷՐ»)

Փ(0»Խ(ց ճօ|6օ4: Է-Վ ապա (2) ից ստացվում (երբ է(1) ը) Ի Հ Քանի որ ՇՆ:4|,ապա

(2)

-

-

,

Փ-Ք() -ի'».) ճին) Օ(չ)Հ Կ(Ց- |ա Փ. իթ) Փ(չ-

Իսկ

Գ»: Ըստ

որտեղ

օ(.է)-ն անընդհատէ ըստ 2-ի թեորեմ1.-ի

(3):

ն, ուրեմն

Ծ()-ն որոշված

անընդհատէ ըստ 7-ի Եր) Ը:4|հատվածում:Քանի որ 1(5.3)-ը ե, որեմն Օյ «Շ(օ) հատվածում, ապա` ՀՕ(է)Հ-ք(է)

է

:

Կիրառելովթեորեմ3.

-

կստանանք

ը, -

()(4)» որտեղ Խ/(-

Թո)» ԷՐՑ»

-

6)

7Փ(ժ»վ(Ց (չ«Ը4ի։ ուրեմն` Փ(չ)»Ն(:-ԻԻ

ը հաստատուն է:

Փ(օ)ՀԿՄ(օ)-0. այսինքն` Փ()»Կ()» ԹԱ)-«(2)»():ո Բայց

ԷՈ

ԽԼ-0:

Այսպիսով՝

2. ՊԱՐԱՄԵՏՐԻՑ

ԿԱԽՎԱԾ ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

կախվածանիսկականինտեգրալԱյժմ դիտարկենքպարամետրից ներ: Որոշակիությանհամար, քննարկենք միայն առաջին սեռի անիսանընդհատ է ըստ 2-ի կական ինտեգրալի դեպքը: Եթե

ք(5,3)-ը

(7

Ս միջակայքին), ապա

.

Բջ)» ինչ))ծ.կոչվում է պարամետ-

րից կախվածանիսկականինտեգրալ(պարամետրը 5 - ն է): Մ միջակայքում (միջակայքի յուքանչյուր կետում) այդ ինտեգրալի զուգամիտությունը նշանակում Է` Մ7 «Մ կետիհամար գոյություն ունի վերջաՃ

վոր

նոՕ(Ճ)),որտեղ Օ(ՃԽ»)-ի (.»)

ՍՏ»0324Խ(5),ՍՃՀՃԽ Վերջինը համարժեք է

ւ:

Այսինքն` «7

ՀՄ,

|օ(ԽԴ-Ի(ՀՏ:

ինե:

Հճ

պայմանին, քանի որ

Ճ

ՎՈՐ,)): ԷՐյո -իՐչ))ո: Է

ի. 7):

ն,

ուրեմն

ն ՄՐ-ջ)ո:

անիսկականինտեգրալներըմիաժամանակզուգամետ են

Ճ

կամտարամետյուրաքանչյուրհստատագրված7 Եթե 4,-ն կախվածէ միայն 6-ից,

ապա

Օ

7 դեպքում:

անիսԻ(7)- |/(6.7Ծ

կականինտեգրալըկոչվում է հավասարաչափզուգամետ `

քում:

Սահմանում

2:

որ Կասենք,

ԷՔ(չ)ՀՈՆ.)

ինտեգրալըհավասարաչափ զուգամետէ ՛

միջակայ-

անիսկական

միջակայքում,եթե`

Տ»-034.7()»6,9ՃՀՃյ,Մ»/օՄ: |ՇԱԽ))-ԷԾԱՀ6

ի(աձ.

(

Լ)

ՀՏ)

Ճ

(5)-ը

Այլ կերպ ասած,

նշանակում է ըստ

Ճ

օ(ՃԴ)»-ր (57)

ձգտում է մ-ը հավասարաչափ

սահմանման, որ երբ Ք(7)-ին,

/Ճ-ն

ձգտումէ անվերջի:

ԲՐ)-

Օօ

(., )) Հ7 բր

անիսկականինտեգրալի հատկությունների

հարցումէականդեր ունի ըստ 37-իհավասարաչափզուգամիտութունը, ուստի, կարնոր են հավասարաչափզուգամիտությանհայտանիշները: Թեռրեմ 6 (հավասարաչափզուգամիտության Վայերշտրամի հայտանիշը): եթե Լ (5,3) ֆունկցիան յուրաքանչյուր 7 համար (3 Կո

միջակայքին),անընդհատէ

ըստ

ապա

|ք (ին:

ՀՓ«Շլո), (5--օ)-ում,

Ա) իսկ

օլոթտ),«Վ ԱԵ էՀ

զուգամետէ,

2-ի

քյո

ինտեգրալը

ն անիսկականինտեգրալըբացարձակ

զուգամետ հավասարաչափ է

Ապացուցում: ք(5,7

համարԲ()-

Տ

ջո)»

3)ձ-

է)

պայմանիցհետնումճ է, որ 6-ի

ինտեգրալը բացարձակ զուգածետ է.

հետնումճ է, ինտեգրալիզուգաճիտությունից

յե Մթ

Ցան

ի.

Հ

57 -ուճ:

(Ճ Հ)

որ

զուգամետէ

ինտեգրալըն՝

Մ»0,34ՃՐ)»5,9ՃՀ8.: բԸ)ծ.Հ«:

(3)

լ7

Հ» ՈՐ. ԷՐԹ»12909

Հ

Անցնելով սահմանի (2)

/26)ձ:(83»7Ճ):

0)

Ճ

Ճ

երբ

-ում,

8-»-Հօ

կստանանք

(ՃՀՃ()), ՉդԻՀ« Դ»)«« թնյծՀ««5 ՄԵՐ նշանակումէ,

որ

ինտեգրալըբացարձակն |ք(.»)17

որը

հավասարա-

չափ զուգամետ է ՝՛ -ում: Ջ Ձնակերպենք, առանց ապացույցիհավասարաչափզուգամիտության ես երկու հայտանիշ: Նախապես տանք հետնյալ սահմանումը` սահամանափակ ֆունկցիանհավասարաչափ կասենք, որ ք(25Դ է իր որոշման Ծ տիրույթում,եթե այն սահմանափակէ որպես երկու փոփո-

Խ1«Ք,Կ(:»»)օ0: ՒՐ») ՀԽԼ: Թեորեմ 7 ( Աբելի հայտանիշը): Դիցուք՝ 803) ԵՏ) ֆունկհամար անընդհատ են ըստ 2-ի ցիաներըյուրաքանչուր 52-ի

խականիֆունկցիա` Հ

(«լ»),

ինն

մոնոտոն քում,ջ(5.3)-ը

մանափակ:Այդ դեպքում

զուգամետ է ՛ հավասարաչափ է ըստ 2-ի

«ԴՅ

ն

միջակայ-

հավասարաչափսահ-

անիսկականինտեգրալը 8(.))-8(67)6:

զուգամետ հավասարաչափ է 7 -ում: Թեորեմ 8 (Դիրիխլեի հայտամիչը)։ Դիցուջ`

ֆունկցիաներըյուրաքանչուր

7( 6-Ի

ք()ՔԸ67)

համար անընդհատեն ըստ

սահմանափակ ք -ի նախնականը հավասարաչափ (ւ. «ի:ՀՓ)), ֆունկցիան մոնոտոն չաճող է ըստ Ճ-ի (764) ե իսկ (ե)

«-ի է,

հավասարաչափ(ըստ ՛7 Ք(5,33-ը

ի) ձգտում է զրոյի, երբ 2 -» 46): Որպեսզի ավելի պարզ լինի հավասարաչափզուգամիտության դերը, նախ տանք ոչ հավասարաչափզուգամիտությանպայմանը

-

(սահմանում 2-ի ժխտումը)` Յուրաքանչյուր

(«օ)

կետում զուգա-

Հօ

մետ

ր(5,7)

անիսկականինտեգրալըհավասարաչափզուգամետ

չէ Մ միջակայքում,եթե`

1ՈՐաջ)ծ:

Ձջ»0,9Ճյ»834ՃՀ4,յ:376՝): Խնդիր 1: Ապացուցել,

որ

ՀՏ:

Խ/Մ

կետի համար զուգամետ

օօ

ր(5,Դ Վ,

անիսկականինտեգրալըոչ հավասարաչափզուգամետ է

միջակայքում, եթե գոյություն ունեն Մո ՓՅ նե Ճյ -՞ փօ այնպիսիք,որ՝

Մ

հաջորդականություններ

Ո-»օ

»Ն»0 |/(63,):» հո| Ճո

(ԱԼ-բկարող է լինել

ն

Ապացուցենք, Ծ(օ) յՏոլ) Փւ Օրինակ

փ

օօ):

Վ

7:

որ

-

ինտեգրալը

հավասարաչափզուգամետ է հավասարաչափզուգամետ

գ 6

(գց:1)(ո.1)

միջակայքում ե

ոչ

Ճ

Իրոք, քանի որ (0:1)-ում: ո (օ.:)՝:

-իթա-ց

«2.

այսինքն ունի հավասարաչափսահմանա-

`

փակ նախնական,իսկ

մ

մոնոտոն նվազող է ն հավասարաչափ

4.) : Ուրեմն,ըստ Դիրիխլեիհայտաձգտում է զրոյի (չի պարունակում միջակայքում: զուգամետէ նիշի այն հավասարաչափ

(0:1)-ում

(ո.:1)

վերը նշված գնահատականըսխալ է: Քանի

որ՝

յ

Տո(օա)ՄՓ.--

ձ

իո է

-

ենք՝

նում

'-

(էա),

ապա

վերցնելովՕ,

իր«-բոշ ի ո՞չ Զե

Հ.

։

ՍՏԱ

|

,

0,

ՃյՀո,

ստա-

ԲՐ

»0( Ճ-2»

Գէ ան

Դիրիխլեի ինտեգրալ, ստորն կոչվում այն հավասար72 -ի): կտանք հավասարաչափզուգամետ Ն 1) (ս )Այսպիսով է

իսկական ինտեգրալը

է

որ

է

ն ոչ

ՆշանակենքԷ: Իա)» |6:4|անվերջ»

(5.

ցույց

շերտ

-ում:

Օ09Ծ,-ով

«|ուԷօ)»վ6)): մասին):Եթե ք Շ(Ծ.), Թեորեմ8 (անընդհատության |

օ

ԲՐ)ում,

ի(")ժ7

ինտեգրալը հավասարաչափզուգամետ է

ՒՇ Շլ:4ի ապա

|6:4|-

ր. Փ:-ըհավասարաչափզուգամետ ",(2)»8,ՃՀճ., «լօժ|: ի) 5

որ Ապացուցում: Քանի

:4 ում, ապա՝ Մ/6»03 Վերցնենք

-Բ0)Ք6») Հ

|)

Ճօ

4.-

Ի

է

Փւ

Ծ,,76164|

ե

(4)

Հ

դիտարկենք

Փ(7)-ՃԻ(»:)-

| («Դ-4( ԽՐԵ-Ո(ԺժԵ|155.)

Ճօ

Ճ:(Ռից

է

հետնում

այա» ՝

Մյ:

յ ՅԵՏՈՒԼՆ::

1069-6այյծվ: նշ Ե )| ի 6» յու

թԼՐ)Հ Հ

Հ

ժւ

-ք(

դ

Է

-

Հ

Թ)-6:)թ

գնահատականը: Ճը

Քանի որ, ըստ վերը նշած -0

Ճօ

ր(5,7.)Փ:,ապա

թեորեմ 1- ի`

հռ | (7).

թվի համար

ՀՃ(5)»0,276վօ4, թ-վՀ6:

1-6 ԽԹ

Հ

մ

Հ

ք

Տ

:

-

Այստեղիցստանում ենք` Մ7 6

վ|ՀԺ։ |Թ(») «Ք.այսինքն նաՓ())-0-» նոի(չ)-Ի().):

Ք(7)-ը աընդհատ է «7 վօ:4|կետում Ւ«Շ|ոմ|:ո

Ստացվեց, որ

..

(6:4|,

ն, ուրեմն`

Դիտողություն 1: Թեորեմ 9-ում ինտեգրալի հավասարաչափ գուգամիտությունըէականէ: Եթե, օրինակ 1 ում, երբ Օ Հ (0:1) ն, ուրեմն ինտեգրալը ոչ հավասարաչափզուգամետ է, փորձենք անցնել սահմանի ինտեգրալի նշանի տակ, ապա ստացվում է սխալ արդյունք: նո

գ-40

Ծ(օ)-

նռ

Ցո(ա) Մո». ոոչԸ գո»

գ-»Հ0

:

Ց

Ե-»-0

0:

:

(Դիրիխլեիինտեգրալնէ):

Թեորեմ

Ք(»)-

(աժամցման մասին): եջ

-օ-շ

քլս)-

Բայց

ք ՀՇ(օ.), ,

կետում զուգամետ է, Ժ7 օ|տց| ր(5) ծ. ինտեգրալը

իսկ ԲՀ

հավասարաչափզուգամետ Է:4իում, ՄԻ(ա)5-' «Թ ն՝

րքնթի Ց Ց.խնո»

որ

յՀհօի:մ|:

եթե

'

ժ.,

հոՓ(ե)0:

թեորեմը, կստանանք Փ(հ)-

-Ք(չ:)|ե

(ճջգ)8» (0Հ6Հ) Լո(աո40-հ)-ք

ԴԻՐ)ինտեգրալը

հավասարաչափզուգամետ է

որ

ապա`

«ԿՇ»034.(2)»25,ՃՀՃ,Կ

Ուրեմն` թ(յ)Հ

-

ԿիրառելովԼագրան-

|11ՀԻ)-4(5)-

4Փ

ժի

0 աճ, այնպիսին

իո(ժո) օր)-20:-2-"0Ժ..

բավականէ ապացուցել,որ

ապա

»-

(4)

|

(ածանցումինտեգրալինշանիտակ):

ն տանք հ Պ)ց |Թ:4| Ապացուցում: Վերցնենք

ապա

(:4էում,

//2)

6164):

.

Ճ

|

ի

Ն Ը, Ի0-ե)- Բ(եջ,ո յո (ո30-հ)ձւ

Քանի

Հ-:

(յ.

/2(57,:0-ն)յն:ո (ողո ՄԵՐ» «0.ե)-Շ(ո))ծ« -

-

Տ

(ա 0-հ)-Ե(.

Հ

.

.

Ճգ

Հ

Քանի ԵՐ,7)-ըհավա)|Բ:ՒԶ: որ

սարաչափ անընդհատէ

ի|«Տ:

բութ:վու

ապա

28(5)»0,

11:65 «6)-6(Չ:ի4Վ«Տ

(տես թեորեմ 3-ի

ապացույցը): Այստեղից ստանում

ենք,

որ

52ինչա|նա»()

|Փ(հ)|Հ» (ի|Հ8)-»

Քանի

որ

(1)

-

ի աջ մասը

աընդհատէ, ապա անընդհատէ նան ձախմասը, այսինքն` Է՛

Ի«Շ|օվ|

Հ»

Թեռրեմ ք

«Շ(օ.).

մետ է

:

Մհ,

Բ)»

Շ|օ:ժ|

(ինտեգրման կարգը փոխելու մասին)

|ա

Եթե

հավասարաչափզուգաինտեգրալը

Ը:4ում,ապա՝

՛օ

յծ ի(7) բթԲ(7Փ

ծւ»

-

-օ

մ

ԼԱԾ

ժ7:

Թեորեմի ապացույցը հենվում է նախորդ թեորեմի վրա (տես նան թեորեմ 5-ի ապացույցը): Բերենք առանց ապացույցի նես երկու, գործնականում կարնոր, հայտանիշ անիսկականինտեգրալներումկարգը փոխելու մասին:

Թեռրեմ

ր(5,77

է

Դիցուք

Ատոսսխանաբար (ԵԷ) ում մետ է

ԼԱ `

Ե

ն

8: )

8-5

ում

վ5// (|.

(25) ժ»,

ծ

ն

:

Այդ դեպքում, եթե զուգա-

հաջորդականինտեգրալնե-

`

րից որնէ մեկը, ապա զուգամետեն :

Ըր:Հ)»«|Ե:-»), ի(ջ)Փ.

ինտեգրալներըհավասարաչափզուգամետ են համապա-

ե `

«

|ձ7 |ք(57)4., |ձ: ր (ո)Փ

Ե

`

Ե

ինտեգրալներըն`

Ճ.| |1(5)Փ։ |1(57) |47

Ե

Ե

`

Թեորեմ 13: Դիցուք` ք«Ըլո:--»)»վԵ:--օ), ք(ա)Հ0, ԷՀ

(ճե

Օ«Շլոււ), որտեղԲ̀())Եթե զուգամետ է

ի)թ:

օ()-

հաջորդական է: ի(67)5, /Ծ ի՛(եծ)ձ: Ե

Ե

ինտեգրալներիցորնէ մեկը, հավասարեն`

ՇլԵ:--Փ),

զուգամետ է նան մյուսը,

ապա

նրանք

ն

|: |8(«Ե)Փ-|5 |((6Ե)ժ»:

Ե

Ե

՝

..

Վերը շարադրածտեսությունըկիրառենքԾ

--

բք-«»Դիրիխլեի Տյու մ

է ըստ Դիրիխլեիհայտաինտեգրալըհաշվելու համար (այն զուգամետ նիշի, ընդ որում եզակի կետը միայն --օօ-ն է): Անցնենք նոր, 2-1 գ-ն դրական պարամետր է: Կստանանք փոփոխականի,

Հ

ք

է: Եթե փորցենքածանցել ըստ Ծ(Ր)»Տոլօւ)լ

բոն

նշանի տակ,

ապա

Զ-ի ինտեգրալի

Հռ

կստանանք

տարամետինտեգրալը: /665(օւյմ

Ներմուծենք նոր

Բ(ւք)-

ի".

(ՃՀ0)

ռէ)Գէ

ե

պարամետր

դիտարկենք

ինտեգրալը:Կիրառելով հավասարաչափ Հօ

զուգամիտության Աբելի հայտանիշը (

Տ

(յ)

գէ

հավասարաչափ

զուգամետ է ըստ Կ-ի, քանի նվազող է ըստ է-ի

ն

որ

կախվածչէ Ճ-ից, օ՛՞-ն

հավասարաչափսահամանափակէ` 0

ճոնոտոն Հ

6" Հյ),

կստանանք(տես թեռրեմ 13)

Ածանցենք -

տե

ֆունկցիան ըստ

ժթ:

ճ-ի:

ՀՒ()-

ժէ (կարելիէ ածանցել ինտեգրալինշանի տակ,քանի /օ-" «օ05(օէ)

Ի" -օօ:(օւ| Հ.6-"ն,

որ փ

Ք(ոյ) (ո»0)

իրոՀոմ

- նօ" մուԲ(,,ե)-

ուրեմն

Վայերշտրասիհայտանիշի

ըստ

ինտեգրալը հավասարաչափ զուգամետ է): Երկու անբ" -օօՏ(6է)4ւ

|ա6(ւ) Զո(այ--ք օօ5(օէ)|"-չ -Ա«" ի" Տո(ույ ԷՒՏ, իո(ոյ 2. 1... "Տլո(օքյ| -ՇԻք: -ք յ: "'օ05(0է)

Գ-Ն Ա Ւ(աԵ)

գամ մասերովինտեգրելովկստանանք`

4:-

-

ա

-

Հ-Բ(գե)Հ-----: (օէ)

Քանի որ

Է

քր:

Բ. 0,է)»-0, ապա

տեղից ԾՕ» ք Թ.

գ

իոՅ16էքւ՞»:

Բ(աե)

:

-

Լ

--

թ.

Գործողություններկատարելու ընթացքում հաշվի ենք առել,

օօ5(6: է)օ-" Հ

հռ

1-5

Տլո(գ1)օ-"Հ0(օ"

Վաշվիենք առել նան, խո(օ-|51) :

:

Հոքէ

տ. Այսպիսով

Է--«.

Է`.

զ

-

Տո

նռ

է

Է--շաաօջ--«Շ(է) Ը(.)- 0: Ուրեմն` Բ(:ե)» ակ: Որ-

Ուրեմն Որ

որ

ԷՎ

0,

որ

իօչ(օ-:)|51,

կարելի անցնել սահմանի

տակ՝

ինտեգրալի նշանի քանի որ

նոԻ(օւ)-

հոծ

ՀԵՐՑ

-.

ր- ց.

ճ-40

տ Տոկ(օէ) ինտեգրալըհավասարաչափզուգամետ ա.

------զլ

է

էչ

զօ

լի |օ-" զէ (---խո(օյ|տօ.«"

Վայերշտրասիհայտանիշի

ըստ

լ

ինտեգրալըզուգամետէ): կախվածինտեգրալներիտեսությանկարնոր Որպես պարամետրից կիրառությունդիտարկենքհետնյալ ինտեգրալները:

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

Յ. էՅԼԵՐՅԱՆ

էյլերյան ինտեգրալներնեն գամմա (Ր) ն բետտա (8) ֆունկցիաները: Սահմանում 1: Գամմա ֆունկցիակոչվում է հետեյալ ինտեգրալը`

Լ(1)»

ք"

6:

ձի:

Այստեղ առկա է երկու եզակի կետ 0 գրալը

`)

ԵՈ

ձենափոխեն.

Ուստի ինտե-

-ն ն Հօօ-ը:

Ր-ԱՈՀԼշչ տեսքի, որտեղ 1լ

-

ք"

.Շշճ ճՃ,

յ

իսկ

(1լ) առաջին ո-ի «"Փորխ պարուն

«ոջ

ինտեգրալի

Ան

զուգամիտությունը:Ունենք՝ է, եթե 1--8 Հ1

ից: Իրոք՝

»0:

զուգամետ է,

:

ՀԲ:1

լ

ուրեմն 1-ը զուգամետ

2-50

Երկրորդ ինտեգրալը

(ո)-»".

որտեղից ստանում

.6"

0ն

անկախ զուգամետ

2-46

ենք Րչ-ի

Այսպիսով,գամմա ֆունկցիանորոշված է, երը 4»0:

լ

.

է

թ

ինտեգրալը

զուգածիտ

Գամմա

Ապացուցելու ՇՊ(0:-օօ)լ համարվերցնենք կամայական

1.76

ֆունկցիանօժտվածէ հետնյալհատկություններով:

0: Պարզ է, որ

»

Հր:

Ր(ո)«Շ՞ |օ:5|: Նորից օգտվենք ՐՀ

0ՀՃՀՅ ՏՏ:

Մնում

է ապացուցել, որ`

ՀՐ,

վերլուծությունից: Ւ (ո)-

ի .««,.

ինտեգրալի համար ունենք` տ" .6»

.6":

Հ"

լ

բ"

ապա

Ա.

Քանի

որ

զ»0,

ինտեգրալըզուգամետ է ն, ուրեմն հավասարա-

չափ զումամետ է '

ի" 6

մւ

րլ

«

Շ։չթ|:Նույնը կարելի է

դեպքում` 2"

է

հատ

8,

Գամմա

.6

ՀՅԺ- -6-":

|ռ:յ3|

ինտեգրալը Ը: |-ում:Այսպիսով

Ր,(ճ)-իմասին, քանի որ,

պնդել

Շլ:թ|Հ» Ի-նանընդՇ(0:--օ):

ԱյսպիսովՐ

կետում ն, ուրեմն Է

ֆունկցիան ածանցելիէ, ն

այս

Շ

հաշվելիս կարելի է ածանցյալը

ածանցել ինտեգրալինշանի տակ` Լ'(ճ-

ի

«1.6».

Այս ինուՓա:

տեգրալիհավասարաչափզուգամիտությունըկամայական :8)-ում ն, ուրեմն ինտեգրալի նշանի տակ ածանցման հնարավորու(.»0) թյունը կամայական4»0 կետում ապացուցվում է ճախորդիպես, քաՍի որ, երբ կան աստիճանայինն ցուցչային ֆունկցիաներլոգարիթմա-

կան ֆունկցիաի առկայությունըզոգամիտությանհարցում կարնոր չէ 1. ով): Նմանապես, ինդուկցիա(այն կարելիէ փոխարինելնույնաբար է, որ` յի մեթոդով,ապացուցվում -

ի"«".(ու)

ՐԹ(չ)

Այստեղիցհետնում է, որ 1`: Շ՞

ւ. («յ

(0:--օ):

1)»6-Ր() Ը»0):։

2.12

ռ

Իրոք, մասերով ինտեգրման բանաձնի միջոցով, Փ.»|ո"ւ6" Ւ(ո-1)»

|2' 06

«-դ'6" -

ենք՝

"ի"

.Օ'-

Փւ»8-Ի(Ը): իո"'.օ" Նկատենք,

որ`

ո()-՞ի "ժՀ1: ՌրեմնԻ̀(ոչ1)ՀոՐ(ո)ԼՀ9

-ո(ո-1)Ր(ո-1)-ո.ւ(ո -9)... (յՀ Եթե եթե

(2) ստանում

-Ա

:

ու»

ոօպՊ |1(ո-1)2ու,

»1, ապա մի քանի անգամօգտվելով (2)

կոտորակ է

մենտը կբերենք

ն

եթե 8.--1 անգամ,

4 օ

Վ),

--

ից

ր

անգամ,

Ր(8)-ինոր 2'

արգու-

(0.| միջակայքիկետի, ուրեմն կարնոր է իմանալ գամ-

ֆունկցիայի հատկությունները (0:| միջակայքում (այն նաչափլավ, գրաֆիկով հանդերձ,ուսումնասիրվածէ): Սահմանում 2- Բնետտաֆունկցիա կոչվում է հետնյալ ինտեգրալը՝

բավակ

մա

լ

8(1:Ե)»բ" 1-2)

5. ԼՈՑ

ա

Քանի որ 0-ն ն 1-ը եզակի կետեր են, ապա նպատակահարմար է բետտա ֆունկցիան ձնափոխել հետնյալ կերպ` 8- 8լ-ԷՑ,, որտեղ 0,5

8.-

ւի խ"-Ա-

ՖՅԼ-)՞

Հր Է.

(խուր ժ ռը- ' «րր» թ:

զ. իսկ8̀, -

խկ՝

(ՀՍ,

իսկ

որ

Թ. ին-

87-ը զուգամետ է,

Էերբ ֆունկցիան զուգամետ կ

Այսպիսով, բետտա է, որ` Ակնհայտ

Ց(2,Ե)-8(Ե:ո)|։

Քանի

ապա

տեգրալը զուգամետէ, երք 4»0

երբ ԵՀ0: 8»0,Ե»0:

Փչ:

0,5

ւռ

(4)

ում , Հիմնավորելուհամար, բավական ը փոխարինենք է (3) 1-2 -ով: Հաճախ օգտակար է լինում բետտա ֆունկցիայի այլ տեսքը, որը --

-

ստացվում է, երբ անցնում ենք նոր փոփոխականի՝ :--3-,

Փ.---Հշ, սով՝

1-7

0»

Այսպի-

1-ՃՀ---,7(0)»-0,5Ա-0)-Հ: »(0)-0,»Ա-0)

Ր.

Ւ

րտշաը թ ար ապացուցվում

Ք(.Ե)-

(5)

Մասերովինտեգրման ը) բետտա հետնյալհատկություն

Նա«1,Ե)- բ:

Բետտա

(,Ե) | 1»0,Ե»0)

ԸՄ»

`

(տես (2)6)

ֆունկցիան բերվում է գամմա ֆունկցիայի հետնյալ կերպ:

(1-իմեջանցնելով նոր փոփոխականի` (7)-ում

է

Ճ-ն

է)

է-7.

(է»0), կստանանք`

Ի

թ

8-1

4"

-քէ/

իբժ.Շ՝Ց գ): 7:

փոխարինենք 4-Ե-ով

ՈՏՒ-

իր".. -(-Ծ

կստանանք՝

-

(ը

(Ե»0), զ:

իսկ

է-ն՝

է--1-ով,

Ստացվածիերկու կողմը

բազմապատկենքէ"՞ -ով ներում, կստանանք՝

ն

ինտեգրենքըստ է-ի Օ-ից

օօ

Ուգ»: թ" ինտեգրման փոխելով

Ր(.Հ-Ե)-8(.,Ե)-

գէ

(8)-ի աջ մասում ստորն) ն հաշվի առնելով (7)-ը, կստանանք`

սահման-

(3)

կարգը (հիմնավորումը

-

Ւ(ճ-Ե)-8(ճե)-

ի

-

օ0--

ՀԲրրրի6: -ՐԹ)

.67

ՄՈ)

-|թյ-

|Ր"

Ր(2)-Լ(ծ)

-

Փ

|

Այժմ հիմնավորենքինտեգրմանկարգի փոփոխմանհնարավորությունը, համարելով, որ նախ` 2 »1,Ե»1: Օգտվենք 9., թեորեմ 13-ից: Տվյալ դեպքում`

Դ ք(է, ջ

ո-ի

Հ0,

ՀՄ(ե)), ք«Շ(լ0:-օ)»Վ0:-«)).

«6:

1"

.ԱՈց)

Ր(ճՀԵ)

ի" 66:

Ր(ո))--

«Շ|0:--օ)(2»1),3"

:67

|

է

8-1

(1-0 6:

-ճ6(),

Հհ(»),

հՀՇ|0:-օ) (Ե»1): Ընդհանուր դեպքում (45»0,Ե»0) ունենք` Ր(4--1)-1(Ե-1 8(:-1,Ե-1)Հ- Ր(1ՀԵՀ2) Օգտվելով (2)-ից, (4)-ից ն (6)-ից, :

նորից կգանք (9)-ին: էյլերյան ինտեգրալների համար ճիշտ են հետնյալ (լրացման) անաձները:

Ր(ո)-Ի(Լ-)(9)-ից

(0ՀՅՀ1)/||8(51-2)Հ

Տո(ոճ)

հետնում

ՐՈ)»1:

Լ

(0ՀոՀյ)|(40) Ջո(ոո)

է, որ (10)-ի երկու բանաձերը իրար համարժեք են,

Լրացման բանաձներիդուրս բերումը պահանջումԷ լրացուցիչ գիտելիքներ,ուստի այստեղ այն չենք բերի: էյլերյան ինտեգրալներիտեսությունը կիրառվում է ինտեգրալներ հաշվելիս, ընդ որում անգամ բերումը էյլերյան ինտեգրալի արդեն

քանի որ`

համարվումէ դրականարդյունք:

Օրինակ 2. Որպես լրացման բանաձնիկիրառություն հաշվենք

ւ»Վ

բ"ծ

1»

էյլեր-Պուասոնի

չե |. -2: լիո

ինտեգրալը

Անցնենք

շղ):

փոփոխականի:Կստանանք 1»

եէ)

Տեղադրելով(9)-ի մեջ

»-

կունենանք՝

0,5,

-

ճոր

--

1-5

ՏԼՈ--

Խ"աւ-Հով 'ի|.թ աաու-35.

օօ

զ

յ լ --- (ր

Օրինակ 3: Վաշվենք 1-

)

-

ինտեգրալը: Անցնելով

-

ճոր Է-"

Թ),

"

յ

(10))՝

912"

--

էո ձ.-Լ. ե- 1)

է",

՞4

ւ-1): -5| -181, ԻԷր

ղտրն ո

ՑԵ

կստանանք(տես փոփոխականի,

ռ

(ը»0) :

Դ/

-

ը.ջո-

" Մասնավորապես`

-:

Այսպիսով |

ո

1-2:-շր իւ»

,

ով

|

ՔՄ

Մ.

ԱՆԲԱՑԱՅԱՅՏ

Դիտարկենք

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Ի(67)-0

ֆունկցիոնալհավասարումը,որտեղ

()

ԲՐ.7-ը որոշված է հարթու-

թյան ինչ--որ տիրույթում: Եթե ինչ-որ 7 միջակայքիյուրաքանչյուր չ կետի համար գոյություն ունի միակ կամ մի քանի 7, որոնք »-ի հետ

մեկտեղ բավարարում են

(դ

հավասարմանը,ապա այդպիսով որոշ-

վում է միարժեք,կամ բազմարժեքֆունկցիա 7 է

նույնություն Ճ (1)-ը

--ք(24),որը

միջակայքում:

Դիտարկենքմասնավոր դեպք`

Ք(Ճ,7)ՀՃ՛-»՛

ն

նկատմամբ:(1) դեպքում (1) ը լուծել 7 փոփոխականի -

Է

7:

Դա

դարձնում

նշանակում է, որ

(0

փորձենք այս --

ից հետնում

հավասարումիցորոշվում

են

անընդհատֆունկցիաներ: Բայց 52,»5-5Ճ,Ֆ-իվ,»--իվ (0 ից որոշվում են նան խզվող,անթիվբազմությամբֆունկցիաներ, երբ Ճ-ը իռաօրինակ` 704), երբ 7-ը ռացիոնալէ ն 7(2)--, -

ցիոնալ է: Դիֆերենցելի ֆունկցիաների դասում

(1)-ըունի

միայն

լուծումներ: Այս դեպքում, (դ-ը հաջողվեց 7-ի նկատՖՀՄ», մամբ բացահայտորեն (բանաձնի միջոցով) լուծել: Բայց հաճախ դա այդպես չէ: Օրինակ

27-՞

«0

հավասարումըբացահայտորենլուծել

7-ի, կամ 2-ի նկատմամբչի հաջողվում, բայց ինչ-որ

ՃՃ միջակայքում

(1)-իցայնուամենայնիվորոշվում է 7 -ք(Ճ) ֆունկցիա, որը անվանում են անբացահայտ:Այսպիսով, 1) հավասարումիցկարող են որոշվել բացահայտ (բանաձնեովտրվող) ն անբացահայտ ֆունկցիաներ: Հիշելով ֆունկցիայի ընդհանուր սահմանումը |1. հասկանալի է դառնում ֆունկցիաներիայդ տարաբաժանմանպայմանականէինելը:

(1)հավասարումիցորոշվումԷ 7 -((2) միջակայքում,եթե այն տեղադրելով (1)

Սահմանում 1- Կասենք,որ

անբացահայտֆունկցիա Հ.

մեջ ստանում ենք նույնություն 24 -ում (է Հարց է առաջանում՝ե՞րբ է

մ

-

(2.8(:)) 50,262):

ֆունկցիոնալ հավասարումից որոշվում, այն էլ միարժեքորենանբացահայտֆունկցիա: Դիցուք Ծ-իչց -Յ:»ց Հճ) 7, -Ե:»շ ԷԵ|ուղանկյուն է. իսկ ն

ԽԼ (80»7:)-6`

այդ

ուղղանկյան անկյունագծերիհատման կետը (տես

նկ. 15):

Թեորեմ: Դիցուք Բ, Ք, ՀՇ(ք),

:

Ի(Խն)-0,Ք(Խ0)»0: Այդ ինչոր Մչ(29)-(«օ-6Փ2.038) դեպքում (Լ) հավասարումից 4-ի շրջակայքում որոշվում է միակ ԷՐ) անբացահայտ անընդհատ ֆունկցիա ն այն բավարարումԷ ք)» Ֆօ պայմանին:Եթե լրացուցիչ ենթադրենք,որ Բ' Հ Շ(Ծ),ապա` ք օՇ' (Ս:(ճ. ) ն՝

Էե)--ԲԱն«ան Բ(Խ)»0 ,

Ժ

Ապացուցում:Ենթադրենք,որոշակիությանհամար Քանի

որ

Է, ֆունկցիանանընդհատէ Խ(ցկետում

,

ապա

:

թ,(Խ/»0

Խ(Լը-իինչ-որ շրջակայքում:Այդ դեպքում կգտնվիավելի փոքր չափսերի ուղղանկյուն Ծլ, որի անկյունագծերիհատման կետը Խ0-նէն, այնպիսին է,

որ

ՄԽԼՇԾլ

:

(ԽՌ» 0:

նպատակով,համարենք,որ Ծ-ն՝

Նշանակումները չփոխելու

Օլ-ն է: Այսպիսով,ըստ պայմանա-

ուրեմն ԷՐ») վորվածության՝ԿԵԼ(ՀԾ:Խ(7)»0, ֆունկցիանկլինի մոնոտոն (»«(.-ԵցոՒԵ)) մեկ փոփոխականի

աճող:

ձ)

րթ մ

|

զ

շն

Վ

/-Ե

Էխ: Ր

«-8

-

ո

.-

էր 18

»

էՅ

Նկ.15 Կամայական ՊՏ

Հ(0:Ե)թվի համար Ք(,,)

մեկ (57) փոփոխա-

(7, 85701) միջակայքում: Քանի որ Բ(»,,7,)»-0, ուրեմն` Ք(ԻԼ) Հ0,Բ(ԽԼ)»0 (Լ(ա»,-5), Խ/Լչ (4.7.Է2) :Վաշվի առնելով ԲՐ) ֆունկցիայի անընդհատուկանի ֆունկցիանմոնոտոն աճող է նան

ԽԱ,

թյունը

(էՀՆ2),

Ք(Խ)»0:

Հ8»0,Ս.()օԾ

ԿԽԼՀՍ.(հԼ):Բ(Խ0Հօ, ՄԿ Սչ (ԿՆ):

կետերում,

այնպես որ`

-

Այժմ վերցնենք

կստանանք

Ճ/չլ Օ(Ճ- ծ:

ֆ)

ն

դիտարկենք

ՔՈ,)) աընդհատֆունկցիան էշ -6:ց Հ:|միջակայքում:Քանի որ (":5: Հճ)6Սչ (Խն) ուրեմն՝Բ(.3.-Տ) ՀՕ, ("37 -Տ) «Սչ (ԽԵԼ), Իո Ժ6)»0 Այստեղից, հաշվի առնելով այն, որ Բ(ո,)) ,

:

ֆունկցիան մոնոտոն աճող է ստանում ենք, որ գոյություն ունի միակ Այսպիսով, Օլ): Բ)» Մլ6 (5. 8:70 12 այնպիսին, որ -

«ծնվեց» ֆունկցիա 7-8

ծ) միջակայքում, (.), որոշված (Ճ.-8:20Է

Ըստ սահմանման, Ք(Ո.()»0 («Ս,Ը): 7-քՐ2)ո(2«Սչ (5:)) անբացահայտֆունկցիա է, որոշված (1) հապայմանից հետնում է, որ՝ 1(ա)53գ: վասարումից: Ք(ԱՀ,79)»0 3ծ»0,9246 Սչ(.) : 751Թ)«(7-ԾՄՅԷտ), Քանի որ Մ»0

այնպիսին,

որ

7»ՀքԱ.)ֆունկցիան կլինի

ապա

կետում: Այժմ

անընդհատ յ

ք(չլ) արճեքը այնպիսինէ, 0: Դիտարկենքուղղանկյուն Ծ' (ք' ՀՇ) այնպիսին,որ որ ԲՐ)» կետի հետ: նրա անկյունագծերի հատման կետը համնկնում է (Ճլ,7լ) վերցնենք

լ

Ս»(.):

Այդ կետում 7/լ

-

Քանի որ Ծ՛- ում տեղի ունեն թեորեմի բոլոր պայմանները, ապա ը անընդհատէ նան 2. կետում: Այսպիսով` կստանանք,որ

7-11) ք օՇԸ(ՍչՆ.)):

-

Այժմ ենթադրենք,որ Ծ--

Ի(.)

դեպքում

ում

Բ. ֆունկցիան: Այդ

անընդհատէ նան

ֆունկցիան կլինի դիֆերենցելի Ծ-

ում

կետում: Այսինքն՝ մասնավորապես` ԽՆ(Տ»32)

,

ՃՔ(ԽՆ) Հ Ք(Ի1)-444 Բ(71):Ճ7-0:4Ճ2:48-47.,02)

.

որտեղ Օ- նն թ8-ն անվերջ փոքր են, երբ ճւ ն Ճ7 աճերը ձգտում են զրոյի: քն.)ֆունկցիանկստանա Ճ7- ք2)- ((Ճ,) աճ, երբ :- ին

ֆունկցիայի Ճ.

ուրեմն` նոօ Բ

ապա

(0ՀվԽվՀ Տ)

Ճւ-2Ճ-2ց

տալիս ենք

Շնորհիվ

կետում անընդհատությանունենք`

լան:-«0:

-

աճ:

Քանի որ

լո,ձ-0

կն,

Է(»,ք(4))-:0.,ԲՐ:»ք62..))-0,

համապատասխան աճը՝

Ֆֆունկիայի

7-10.)

-Բ(.ք(:))-Բ(աք6.))-0:Ուրեմն, ըստ

(1)

-

ՃՔ(Խ/12.) -:

ի կունենանք՝

Է գ-Ճ4-Ի8-ճ7. որտեղից՝ 0-Բ՛(Ի1,)-ձ:- Բ/(10)-Ճ7

ձ.

Ճ.

Քանի

որ

Ք(Էն)»0,

32 ը ձգտումէ զրոյի, -

Հրո

ճւ»0

Ճյ

Ի(Ն)ԻՕ. ՔԲ(ՆԻՏ՝

ապա

(3) -ի

մասը ունի սահման, երբ

հետնաբարն ձախմասը ունի սահման: Այսիքն՝

«Ի(ա)--,, աքն). ն:). Է,(...8

թյան ապացույցը

աջ

3)

:

Նույն կերպ (տես աընդհատու-

Ճյ-ից տարբեր կետերում) ապացուցվումէ

այս

փաստը Ս,(6.)

միջակայքի կամայական կետում:

ՏԱՎ

Բ(:)»

Այսինքն՝

:.

ՍՒ Դիտողություն1: Թեորեմ1-ի ձնակերպման մեջ կարելիէ փոխարինել7/(չկետիինչ-որ շրջակայքով:

Ծ

ուղղանկյունը

7511) ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը

Դետողություն2: Եթե

արդեն հայտնի լիներ, ապա ածանցյալըկկարողանայինքհաշվել բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնի միջոցով: Իրոք, ածանցենք 3: Սչ(ա) նույնությունը ըստ Ճ- ի, կստանանք՝

Բ(Ր.ք(:))50 ք

(«169):Է(950

(«08

Օ)։

Թ

Սահմանում 2' Դիցուք տրված է

ՔՐ,..:.:3)50

հավասարումը լ

Սե)

(ԽՆ.)օ8Ր

(5,245)

շրջակայքում: Կասենք, որ (4)

կանի անբացահայտ 75

կետի ինչ-որ

ից որոշվում

--

1Թ-25.)

(4)

է ռ

ֆունկցիա ԽԼ-

է

փոփոխաի ինչոր

շրջակայքում,եթե այդ շրջակայքումճիշտ Ք(ոլ,...,:ղ»ք(5լ»..,))50 նույնությունը: Թեռրեմ2: Դիցուք ՔԱ) ֆունկցիանորոշված է Ս,( ե) շրջակայ-

քում, որտեղ աընընդհատէ իր բոլոր առաջին կարգի ածանցյալների հետ

(Է

ՀօՇ'(Ս.ԸՆ) Ք(Ն)-0, թ(Ն)» ,

վասարումից հ/-

8(գ,...) 4(ԽՆ)»ց, ն 7»

0: Այդ դեպքում (4) հա-

ի ինչ-որ շրջակայքում միարժեքորենորոշվում է

անբացահայտֆունկցիա, որը անընդհատէ այդտեղ, ադ

ԱՆ

շրջակայքում ունի

»1,...ո)

ածանց-

ւ

յալներ, որոնք կարելի է հաշվել ածանցելով Ք(յ...,,,չք(.,..4.))-0 նույնությունը

ըստ

ծ

2. Ք0Կ,-2:.»10.-Ճ

2 փոփոխականի՝

-

'

՛

ծ

Էջին բ

..5

Բ (ա

նելչ..5.))ուք

Է

.

օք

Փ»-».)

(քե...)

(դլ..5.,8(

5-0, որտեղից՝

դ... ))

Թեորեմի ապացույցը չենք բերի, քանի տարբերվում նախորդթեորեմիապացույցից: Սահմանում 3. Դիցուք տրված է

ԽՐ»

ի

որ

Է՞|....,ո:

այն էապես չի ,

ո)» 0

(6)

Ի լ»»»Ճ7-51)50

հավասարումներիհամակարգը,որոշված թ (ԽԼ,ԻՆ)կետի շրջակայքում ( Լ. `

որոշվում է 7

ք

(5)

(Կ7,..ու2)ն (5,3)) չ

(ոլ...)

(ւ»1,..ո)

Ս.(5,)

Կասենք, որ (6)-ից

անբացահայտֆունկցիա-

ների համակարգ,եթե հ/չ կետիինչ-որ շրջակայքում ճիշտ են հետնյալ նույնությունները:

ԲՐղ»»Ճո»8(,Ճո)..Ե(դ»»չ:)»0

(7) Այս հարցում էականդեր ունի հետնյալ որոշիչը,

ծ."

Չ(Խ»-Թո)| Հ.Բ)

բ

որն անվանում են

'

Ժ» բ

Ժ7լ ո

որոշիչ կամ Յակորիան Յակոբիի'

ՅակոբիԿառլ Գուստավ(1804

--

1851 )

-

գերմանացիմաթեմատիկոս:

Խ(,)-0

Թեորեմ 3: Դիցուք Բ, «Շ(Ս.(5)).

Յակոբիանը

2-6) ծ».

)

«0: ո

Այդ դեպքում (7) համակարգիցԽԼ. կետի ինչ-որ կայքում միարժեքորենորոշվում է 7, «1

որը

ն

ճո

շրջաՄ,(ԽՎ.)

(«51,..յտ)անբա-

1 (.)-»5 (Մ,(Իե)),

ցահայտ ֆունկցիաներիհամակարգ,ք, «Շ'

(«-1,...տ)

(ւ»1,.յո) ե

ածանցյալներըորոշվում են այն համակարգից,

ստացվում է (7)

)

--

ը

ածանցելումիջոցով՝

ոնչ ր.

ծե ծի ծե -ԼվՎ-Լ.-Վ.,.Ի---.--Տա0 յ

Գ 6.

Չք

Օյ Փ

.«Չ««««Փ»»»Փջ.օ.Փ».ՉՀ»«»«

Այստեղից միարժեքորենորոշվում են

ծք

-

Լ.

յ

յալները, քանի որ համակարգիգլխավոր որոշիչը

ՃՀ-

ՓԱ....,Էր

1,...,ո ո) ածանց-

(ձ) Յակոբիաննէ՝

«0:

Չ01»-«3ո բ,

նույնպեսչենք բերի: ը անբացահայտֆունկցիա է, 7-ն)

Այս թեռրեմիապացույցը

Օրինակ 1: Դիցուք որոշվում է 27

7"

-

որը

Է Հ»0,7»0) հավասարումից:Այն համարժեքէ (9) 7-ու--ո» (5»0,»0)

հավասարմանը:Պարզենք այս ֆունկցիայի ն նրա ածանցյալի գոյության պայմանները ն, հաշվենք ածանցյալը: Համարելով, որ նշված

պայմաններըառկա են, հաշվենք ածանցյալը:Ըստ թեորեմ 1 ի այդ ածանցյալի է գործակիցը չպետք լինի զրո: Ունենք՝ 50)-1.:»»-1ո(7նւ)),որտեղից՝ --

«36. 36),եյբուշալյեցթ»-ԼԵ))

(ո

Լ.

ա)

1.Խ(ՈՏՈ2Ա3Ա ( )-ո(»( ) «.'

(Ր Ը)-1)302»3Ը9(ու5

/09-

քք

Օրինակ 2: Դիցուք վում է

Տէ

(«»0,»0756):

(0)

շ(.3)-ըանբացահայտֆունկցիան որոշ-

«ԻԻշ-օ2»թ հավասարումից:Պարզենք այս ֆունկցիայի ն նրա առաջին կարգի մասնական ածանցյալներիգոյության ն միակության պայմանները ն, հաշվենք այդ ածանցյալները: Համարելով,որ նշված պայմանները առկա են, կհաշվենք այդ մասնական ածանցյալները: Համաձայն թեորեմ 2-ի, այդ ածանցյալներիգործակիցներըչպետք է լինեն զրո: 2 օ0Ժոն)), Այսպիսով,ունենք` 2 -Է 7 -Է Որտեղից՝ Էէ :

Կամ

("ՓՈՐ

2(.,7)

ԴՈՀու(2)):

142.(Ն7)-- (54782(2)))-1»2.(6-7).

.142443732(:))51:2Հ42(Ր3: Այստեղից` 2, (5,7)Հ-1Լ: Իսկ նշված պայմանն է` -2:

Նույն

կերպ

(նույն

2.(Խ3))»-1:

1-:-Ի-7-Ի2»0:

տպայմանիառկայությամբ)

ստացվում

է՝

Օրինակ 3: Դիցուք

ս()«(Ե»)

անբացահայտֆունկցիաները

սԱՀ"-»0

որոշվում են հետնյալ համակարգից` վում է հաշվել 2»:

ները` Ունենք` հաշվել

է

ս

Այս

2ս(67) 2403)

«.(53)51 վո)

«ց

ս(5)

Ր

ս

նախորդ

(Յակոբիանը) կլինի՝

Եթե Ճ»:0,

աւ(«2) «լ

Ուրեմն` Աաաա Մ):

Վա(ո)):(3)-"(5)-ս(5») կերպ ստացվում է`

-Պ,:Մնում ւն, Ի37--

տչ)»ն

-2(()-ս(:3)): Ն

,

Պահանջ-

ն

որոշիչը

ված: համակարգը ունի միակ լուծում Կ()-(թ)

:

-Ֆ»-0

ա(ա))Էտ(ա))57

ՍԱ

2) «ՅԱ.

) սչ, Հ Ճ(Խ,

համակարգի գլխավոր

՞

շ

ԻՄ

ածանցյալները: Վարվենք ինչպես

օրինակներում:Ունենք`

(3)

2.

ԷՄ: ֆունկցիայի 7.»2, մասնականածանցյալ-

2, »3ս-նս՛Ի387-Կ 277,

ԱՄ,

Որտեղից` րտողից

ս՛

ԱՐՀ-

2,

56)

ստաց-

ր-ի

:

(7)2-7----Լ-Ջ

(Խ)): ))Հ-3ս(աջ)-

ՃԸ», 7)) 2(ա6.3):

"(Խ3)»Հ-

ապա

Նույն

Հեղինակներըհայտնում են իրենց խորին շնորհակալությունը պրոֆեսորներԱ.Հ. Վովհաննիսյանին "

ԿԱ

ԱԿիտբալյանինօգտակարդիտողություններին

խորհուրդներիհամար:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

4.

ֆունկցիայիդիֆերենցիալհաշիվ, ԵՊՅ, փոփոխականի

բ

Փազասաաղ,

ՒԼ

ՔՇՎԱՇՈՇՈՑՑ.,

Յ

ԼԱ

ՏՆ

Տ

եչքօ րաֆֆօքաաղրաօրօն

Խ1.,ՓՈ5-ուու.

ուո.,

նա

2002.

հԱՂՇՐըճղթոօՐօ

1.1, 2000, ՛Լ.2 2003, 1.3, 2005.

Խոթխոավօճաւմ Թյոքաոոծը,

ԽԼ., ԷԼոչուՅ,1968.

ճոռ,

հոյ. 8. /Ճ ԸՇտօոատպամ,

ԽԱՂԵԽԱԱՎՇՇաաի

Շար,

7ատտօքօտ1618, 1987.

ճոռու:,

13ր. 1666.

Ը

Էէնոաեսամ, Հք

ԽԼ

Մեկ

անալիզ, Ղալումյան, Մաթեմատիկական

Գ

Ա

ԽԱԵՈՂԱՑՎՇՇԵ0ՐԾ

11,2,

ճատոայ:,

ԽԼ,

`

1983.

էո,

Չոշաօտու 16օքոռ ԷԼ Ճոուօրօքօր, Ը. 8. Փօրսուտ,

Ց.

Փու 7.

Ու.

օոճրԵ1 01088871138.

Փոռաոն ո

1976. Խ/., ԷԼոչուռ,

անալիզիհիմունքները,Լույս, Ռուդին,Մաթեմատիկական

Ե. 1975. Ց.

Խոտ. ՅԵռոս3.,ԼԼ 1,2, .»3օքսԿ,

Բ

Ո

,/ՈՅոսոօտսս,

ԽԼ,Թոռ, 1984.

Շճօքիսո3Յոճս

ս

ՄոքճյԹԻԱՍոօ

ԽԼ, 1997. /ԻԱՑ6քօստծոոճ, ՁԻՅՈԱՅ), /134. ԽՈՕՕՃ.,

Խճ.

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

5.

Որոշյալ ինտեգրալլ............... Յ Սեղանակերպիմակերեսը.............--.....Ն.... ՆՈրոշլալ(Ռիմանի)ինտեգրալիսահմանումները......................................... ՒԻնտեգրելիության անհրաժեշտպայմանը ն Ց Դարբուի գումարները նրանց հատկությունները...................................... Ինտեգրելիությանանհրաժեշտն բավարարպայմանը

6.

Ինտեգրելի ֆունկցիաների դասերը........................................................... 13

7.

Ինտեգրելիֆունկցիաներին ինտեգրալներիհատկությունները Փոփոխականսահմաններովինտեգրալներիհատկությունները Որոշյալ ինտեգրալիհաշվմանմեթոդներ

Լ 1. 2.

Յ. 4.

8. Ց.

Լ 1. 2. Յ. 4.

ա. 1. 2.

Ն...

Որոշյալ ինտեգրալիկիրառությունները Կորի երկալրՈւթյՈւ: Լ.Լ... Պատկերի մակերեմ Լեւ եե. Մարմնիծավալ... Պտտման մարմնիմակերնույթիմակերեսը

Ձ................................................

Լ.Լ...

.........ե......Լ...Լ..Լ..Լ

Լ.Վ...

ոա

աւ աաա աման աւա անաաաաաաա աան աաա աաա38 ուա

ԱնիսկականինտեգրալներԼ.Վ... ՆՆ. ԼԼու եեւ Անիսկականինտեգրալներ,հաշվման մեթոդներ Անիսկականինտեգրալներիզուգամիտությունըոչ բացասական ֆունկցիայի դեպքումը... Անիսկականինտեգրալներիզուգամիտությանսկզբունքը: զուգամիտություն Բացարձակն պայմանական

ւս. 47

.........ԼեԼեեեեե.եեե.

Լ

ե...

Յ.

աաա,

մականը

ֆունկցիայիդիֆերեցիալհաշիվ ԽՄՄի քանի փոփոխականի

1.

ո-չափանիէվկլիդեսյանտարածություններ. բազմություններ նրանցմեջ Լւ...

2. Յ. 4.

Զուգամիտությունը Ք"

-

ում.

ո-

նու

անանուն

ֆունկցիայիսահման փոփոխականի

Ֆունկցիայի սահմանիհատկությունները եո. հատկությունները Անընդհատֆունկցիաների Անընդհատություն: Լ.Լ...

Ձ..........

..72

9.

Ֆունկցիայի մասնականածանցյալներ.դիֆերենցելիություն, դիֆերենցիաք` Ածանցյալտվյալ ուղղությամբ.գրադիենտ ն Ֆունկցիայի բարձրկարգիածանցյալներ դիֆերենցիալներ Թեյլորի քանաձնը եւաԱաաա ապակ կասպասսա .94 Ֆունկցիայիէքստրեմումներ

Մ

կախվածինտեգրալներ Պարամետրից

1.

Պարամետրիցկախվածորոշյալ ինտեգգրալ Պարամետրիցկախվածանիսկականինտեգրալներ էյլերյան ինտեգրալներ...

5.

Ն...

Տ. 7. 8.

2.

Յ. Պ

ականա

աաը

..ե

Լ...

ւււ.

Լ.Լ...

Լ.Վ...

եա

Անբացահայտ ֆունկցիայիտեսություն

-

ակաաամակա

Լ...

աա,

Ա. Գ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ,Ա. Ս. ՍԱՐԳՍՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶ

(դասախոսություններ)

ԵՐԿՐՈՐԴ ՄԱՍ

ԻՆՏԵԳՐԱԼ

Համ. Համ.

ԵՎ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ՀԱՇԻՎ

շարվածք`՝ Ա. Գ. Ղալումյան ձնավորում` Ա. Խ. Աղուզումցյան

05.02.2008 Ստորագրվածէ տպագրության` 1/16: 602484 Թուղթ՝ օֆսեթ: Զափս՝ Տպագր. 8.5 մամուլ: Տպաքանակ՝ 200: Պատվեր` 5:

ԵՊՀ

թ.:

հրատարակչություն,Երնան,Ալ. Մանուկյան1 ԵՊՀ

տպագրատուն,Երնան,Աբովյան52