Մաթեմատիկական անալիզի խնդիրագիրք. Մաս 1
- Լեզու:
- Հայերեն
- Առարկա:
- Մաթեմատիկա
- Տարեթիվ:
- 2026
- ≈ %d րոպե ընթերցանություն:
- ≈ 364 րոպե ընթերցանություն
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ISBN 978-5-8084-1833-2
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ºñ¨³Ý, 2014Ã.
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ºñ¨³Ý, 1998Ã.
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x A x M 0 ¨ 0 x0 A x0 M 0 , ³å³ M 0 -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ ¨ Ý߳ݳÏáõÙª M 0 sup A : ÜáõÛÝ Ó¨áí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m0 ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
x A x m0 ¨ 0 x0 A x0 m0 , ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª m0 inf A : »áñ»Ù: ì»ñ¨Çó Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ó³Ýϳó³Í áã ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ ëïáñÇÝ »½ñ: ºÃ» A -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿ í»ñ¨Çó Ý»ñù¨Çó, ³å³ å³ÛٳݳíáñíáõÙ »Ýù ·ñ»Éª
sup A inf A : ´ ³ ó, ÷ ³ Ï µ ³ ½ Ù áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ: Î áõ ï ³ Ï Ù ³ Ý Ï » ï: Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ï»ï»ñ: îñí³Í x0 Ï»ïÇ ¨ 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ x 0 , x0 ÙÇç³Ï³ÛùÁ ÏáãíáõÙ ¿ x0 -Ç -ßñç³-
ϳÛù ϳ٠áõÕÕ³ÏǪ x0 -Ç ßñç³Ï³Ûù: ºñµ»ÙÝ ; a , a; ¨ ; a a; µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ -Ç, -Ç ¨ -Ç ßñç³Ï³Ûù»ñ: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý a Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ßñç³Ï³Ûù, áñÁ å³ñáõݳÏíáõÙ ¿ A -áõÙ: A -Ý ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» Ýñ³ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ »Ý: ´³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý å³ñ½³·áõÛÝ ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï, »Ã» Ýñ³ Éñ³óáõÙÁ µ³ó ¿: ´³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óÙ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏáãíáõÙ »Ý ³ñï³ùÇÝ Ï»ï»ñ: c
ºÃ» a Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Ï»ï»ñ û° A -Çó ¨ Ã»° A -Çó, ³å³
a -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý A µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý A -Ç »½ñ ¨ Ý߳ݳÏáõÙª A : ºÃ» x0 R Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûùáõ٠ϳ x0 -Çó ï³ñµ»ñ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Ï»ï A -Çó, ³å³ x0 -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï³Ù Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý A' , ÇëÏ A A A' µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý A -Ç ÷³ÏáõÙ: A \ A' µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñ: Ø ³ à » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ï ³ Ý Ç Ý ¹ áõ Ï ó Ç ³ Û Ç ë Ï ½ µ áõ Ý ù Á : ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ áñ¨¿ åݹáõ٠ѳٳñíáõÙ ¿ ³å³óáõóí³Í, »Ã»ª ³) n 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿; µ) »Ýó¹ñ»Éáí, áñ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ n -Çó ÷áùñ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ n -Ç Ñ³Ù³ñ: ÀݹáõÝí³Í Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñ »Ýª 0 ! 1, 1! 1, n ! n n 1! 1 2 n, n N ( n ý³ÏïáñdzÉ);
2 !! 2, 2 n !! 2 4 2n, n N , n 1 (ÏÇë³ý³ÏïáñdzÉÝ»ñ); 1!! 1, 2n 1!! 1 3 2n 1, n N n! Cnk , n, k Z , k n (½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝ n -Çó k -³Ï³Ý): k !n k ! ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç · ³ Õ ³ ÷ ³ ñ Á : ¸Çóáõù X -Á ¨ Y -Á áã ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ºÃ» X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóí³Í ¿ Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý áñáß³ÏÇ Ù»Ï y ï³ññ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ïñí³Í ¿ f : X Y ýáõÝÏódz, áñÇ Ñ³Ù³ñ X -Á áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ¿, ÇëÏ Y -Áª ÷á÷áËÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ: êáíáñ³µ³ñ ³ÛÝ ÙÇ³Ï y -Á, áñÁ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ x X ï³ññÇÝ, Ý߳ݳÏáõÙ »Ý f x : Ð³×³Ë x ÷á÷á˳ϳÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ñ·áõÙ»Ýï, ÇëÏ f x -Á` x Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ù: Àݹáõí³Í ¿ ݳ¨ f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³Ý»É X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Y -Ç Ù»ç: Y0 f x : x X µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ²Û¹ ϳå³ÏóáõÃÛ³Ùµ ³ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ
f -Á X µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Y0 -Ç íñ³: üáõÝÏódzÝ, áñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³Õϳó³Í ¿ ÙdzÛÝ Ù»Ï ï³ññÇó, ÏáãíáõÙ ¿ ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódz: ÀݹáõÝí³Í Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñ »Ýª f A f x : x A ( A X µ³½ÙáõÃÛ³Ý å³ïÏ»ñ );
f 1 B x X : f x B ( B Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý³Ë³å³ïÏ»ñ ): üáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÷áËÙdzñÅ»ù (ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ ), »Ã» áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ï³ñµ»ñ Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï³ñµ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ: ¸Çóáõù f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý X -Á ÷áËÙdzñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Y -Ç íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ
y Y ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
˳ݻóÝ»Éáí ³ÛÝ ÙÇ³Ï x -Á, áñÇ Ñ³Ù³ñ f x y , ëï³ÝáõÙ »Ýù Y -Á X -Ç íñ³ ³ñï³å³ïÏ»ñáÕ
f
1
ýáõÝÏódz, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿
f
ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏódz ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª
:Y X : îñí³Í
f : X Y ¨ g : Y Z ýáõÝÏódzݻñÇ g f : X Z í»ñ³¹ñáõÙÁ (µ³ñ¹
ýáõÝÏódzÝ) ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí. g f x g f x , x X : Æ ñ ³ Ï ³ Ý ÷ á ÷ á Ë ³ Ï ³ Ý Ç Ç ñ ³ Ï ³ Ý ³ ñ Å » ù ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ : ºÃ» X -Á ¨ Y -Á Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝí³Í ¿ ³Ýí³Ý»É Çñ³Ï³Ý
÷á÷á˳ϳÝÇ Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz: f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³×áÕ (ãÝí³½áÕ, Ýí³½áÕ, ã³×áÕ), »Ã» x1 , x 2 X ¨
x1 x 2 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ f x1 f x2 (ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñª f x1 f x2 , f x1 f x2 , f x1 f x2 ): ²Ûë ãáñë ïÇåÇ ýáõÝÏódzݻñÁ ÙdzëÇÝ ÏáãíáõÙ »Ý ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzݻñ:
f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ª ³) ½áõÛ· ýáõÝÏódz, »Ã» X X ¨ x X f x f x ; µ) Ï»Ýï ýáõÝÏódz, »Ã» X X ¨ x X f x f x : f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ( T -å³ñµ»ñ³Ï³Ý) ýáõÝÏódz, »Ã» T 0 ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ X T X ¨ x X f x T f x : ²Û¹ ¹»åùáõÙ T -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ:
¸»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³
x, f x : x X ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ
³Ýí³ÝáõÙ »Ý f : X Y ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ: ¸ » Ï ³ ñ ï Û ³ Ý ¨ µ ¨ » é ³ Û Ç Ý Ï á á ñ ¹ Ç Ý ³ ï Ý » ñ Ç Ï ³ å Á : ºÃ» r , -Ý ¨
x, y -Á ÙǨÝáõÛÝ
Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ µ¨»é³ÛÇÝ ¨ ¹»Ï³ñïÛ³Ý
x 2 y 2 , x r cos , y r sin :
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ, ³å³ r
² 1. ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ.
³) A 2,1,3,7 , B 0,1, 2 ,7,9 ; µ) A 1;4 , B 3;6 ;
·) A 2;3 , B 3;4 ;
¹) A ;0 , B 0; ;
») A Q , B I ;
½) A 2k : k N , B 2k 1 : k N : 2. ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ. ³) A 1,2,3,8 , B 2,4,6,8,10; µ) A 3;2 , B 0;4 ; ·) A 0;2 , B 0;4 ;
¹) A 3,7 , B 7;11 ;
») A Z , B 5; ;
½) A Q , B I ;
¿) A ;7 , B n 9 : n N : 3. ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ. ³) A 3,2,1 , B 5,3,1,4,6 ; µ) A 5;11 , B 7;9 ;
·) A 2;7 , B 3;4 ; ¹) A Z , B N ; ») A R , B I : 4. ¶ïÝ»É µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ. ³) 0;1 , µ) ;3 , ·) ;0 1; , ¹) I ,
») 3;1 1;3 ,
½) x R : x 2 3x 2 0 :
5. ¶ïÝ»É A 4k : k N ¨ B 6k : k N µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ: 6. ¶ïÝ»É
3kkZ , 3k 1kZ ¨ 3k 2kZ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ùdzíáñáõ-
ÙÁ: 7. ò³Ýϳó³Í p N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É
pk nk Z ,
n 0,1,, p 1, µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ: 8. ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·áõÙ³ñÝ áõ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ. ³) A 2;5 , B 3;7 ; µ) A 0; , B Z ; ·) A N , B N :
9. ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ. ³) A 1, 2, B 3;1 ; µ) A 0 , B R ; ·) A N , B N : 10. ¸Çóáõù A -Ý Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï »Ý ³ñ¹Ûáù A A 2 A , A A 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 11. ¸»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ å³ïÏ»ñ»É Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) 1;4 2;5 ; µ) 2;3 1;2 4;6 ; ·) 0; 1;3 ; ¹) Z R ; ») R Z ; ½) R2 ; ») Z 2 : 12. ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ÖßÙ³ñÇ±ï »Ý ³ñ¹Ûáù
A B B A, A A A 2 , 0 B 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 13. ¸Çóáõù Px -Á ¨ Py -Á P R 2 µ³½ÙáõÃÛ³Ý åñáÛ»ÏódzݻñÝ »Ý, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ Ox ¨ Oy ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³: лï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ×ßÙ³ñÇï Ï³Ù³Û³Ï³Ý P µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ. 1) Px Py P , 2) Px Py P , 3) Px Py P :
x; y : x
y 2 1 ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ·ïÝ»É ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Px ¨ Py åñá14. ¸»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ å³ïÏ»ñ»É P
Û»ÏódzݻñÁ, ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ å³ïÏ»ñ»É Px Py ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ѳٻٳï»É ³ÛÝ P -Ç Ñ»ï:
15. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ù³Ýáñ¹Á (»Ã» µ³Å³Ý³ñ³ñÁ ½ñá ã¿) é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý: 16. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ »ññáñ¹Á: 17. ¸Çóáõù a, b, c, d N ¨
a c : êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í m ¨ n µÝ³Ï³Ý b d
Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
a ma nc c : b mb nd d 18. ²å³óáõó»É, áñ 2 ¨ 3 Ãí»ñÁ Çé³óÇáÝ³É »Ý: 19. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý: 20. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» r Q ¨ I , ³å³ r I , r I ¨ »Ã» r 0 , ³å³ r I :
21. òáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í r é³óÇáÝ³É ÃÇí ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É áñå»ëª ³) »ñÏáõ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ; µ) »ñÏáõ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É, »Ã» r 0 : 22. Üϳñ³·ñ»É Q Q, I Q, I I , Q Q ¨ I I µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 23. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» -Ý ¨ -Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, ³å³ ¨ Ãí»ñÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÝ Çé³óÇáÝ³É ¿: 24. òáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÙÇç¨ Ï³ »ññáñ¹Á: 25. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõݻݪ ³) a b a b ;
µ) a b a b
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: êïáõ·»É, áñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ a b 0 :
26. سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a1 , a2 ,, an Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿
a1 a2 a n a1 a2 an ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 27. ÎÇñ³é»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ ëϽµáõÝùÁª ³å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
nn 1 ; nn 12n 1 µ) 12 2 2 n 2 ; n2n 12n 1 ·) 12 32 2n 1 ; nn 1 ¹) 1 2 n ; 2 ³) 1 2 n
») 13 33 2n 1 n 2 2n 2 1 ;
1 n2 1 1 ; 1 1 2 4 9 n 1 2n 2 1 2 n ¿) 1 ; 2 ! 3! n 1! n 1! n Á) ; 1 4 4 7 3n 23n 1 3n 1 ½) 1
nx n 1 sin x Ã) sin x sin 2 x sin nx ; x sin nx n 1 sin cos x Å) cos x cos 2 x cos nx : x sin 28. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í m, n N m n Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª sin
³) C nm Cnn m ; µ) C nm1 C nm C nm1 : 29. ²å³óáõó»É ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á. n
a b n Cnk a k b nk n N : k 0
30. ú·ïí»Éáí ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Çóª ³å³óáõó»É, áñ n
³)
C nk
n
2n ;
µ)
k
1
Cnk 0 ;
k 0
k 0
nn 1 2 n ·) 1 x x
x 0 ;
¹)
n
n 1
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31. ²å³óáõó»É, áñ Ýßí³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. n n1 n ³) 2 2n 1 ( n 2 ); µ) 2 2 n ! ( n 3 );
n 1 1 1 1 1 n n ( n 1) ; 2 3 4 5 2 1 ¹) 1 n , n 2 ; n ·)
») n!
n n2
n
n 2 ;
¿) sin xk
k 1
½) 2n ! 22 n n! ;
n
sin xk 0 xk ; k 1;2;...; n ; k 1
Á) sin nx n sin x n 1 : 32. ²å³óáõó»É ´»éÝáõÉÇÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
n
³) ó³Ýϳó³Í x 1 ÃíÇ ¨ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 1 x 1 nx : êïáõ·»É, áñ »ñµ n 1, ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙdzÛÝ x 0 ¹»åùáõÙ: µ) »Ã» x1 , x2 , , xn Ãí»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý ¨ Ù»Í 1 -Çó, ³å³
1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 x2 xn : 33. ú·ïí»Éáí ´»éÝáõÉÇÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ³å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í n
n 1 n 1 µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ n!: 2 34. ÎÇñ³é»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ ëϽµáõÝùÁª ³å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
³) 11n 2 12 2 n 1 -Á ³é³Ýó Ùݳóáñ¹Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133-Ç;
µ) 32 n 1 40n 67 -Á ³é³Ýó Ùݳóáñ¹Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 64-Ç:
35. лﳽáï»É Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ. ³) 0;1 ; µ) 0;1 ; ·) 3;1 4;71 ; ¹) 0; ; ») ;6 ; ½) ;1 3; : 36. ¸Çóáõù A -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ` ³) A -Ç ó³Ýϳó³Í »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) ó³Ýϳó³Í B µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ A B ¨ A \ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý; ·) »Ã» B -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ A B, A B ¨ A B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 37. ²å³óáõó»É, áñ
n 1 :n N 1; n ·) sup 2 : n N 1 ; n 1n 1 ») sup : n N ; n 2
n 1 : n N 0 ; n ¹) inf 2 : n N 0 ; n 1n ½) inf : n N 1 ; n
³) sup
2n n sin : n N n 1 2n n Á) inf sin n N n 1 ¿) sup
µ) inf
; :
38. ¶ïÝ»É ïñí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ »½ñ»ñÝ áõ ³Ù»Ý³÷áùÁñ ¨ ³Ù»Ý³Ù»Í ï³ññ»ñÁ (»Ã» ³Û¹åÇëÇù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý). ³) 0;1 ; µ) 0;1 ; ·) 0; ; ¹) 0; ; ») Q ; ½) I R ; ¿) I 0;1 ; Á) Q R ; Ã) Q 0;1 : 39. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A áã ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó), ³å³ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó (í»ñ¨Çó), Áݹ áñáõÙª ³) inf A sup A ; µ) sup A inf A : 40. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A B , ³å³ ³) sup A sup B ; µ) inf A inf B : 41. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í A ¨ B áã ¹³ï³ñÏ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³) sup A B maxsup A; sup B ; µ) inf A B min inf A; inf B ; ·) maxinf A; inf B inf A B min sup A; sup B: 42. êïáõ·»É, áñ 0;1 , 0; ¨ ;0 ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: 43. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a ¨ b b a Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a; b ÙÇç³Ï³ÛùÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ a; b ѳïí³ÍÁª ÷³Ï: ²Ûëï»ÕÇó ѻ層óÝ»É, áñ ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³ÛùÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: 44. ä³ñ½»Éª Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áñáÝù »Ý µ³ó, áñáÝùª ÷³Ï ¨ áñáÝùª á'ã µ³ó ¨ á'ã ¿É ÷³Ï. ³) 0;1 3; ; µ) 3;2 4;7 ; ·) 3;1 3;7 ; ¹) 2;5 7; ;
») 5;2 1;3 ;
½) 4;1 0;6 ;
¿) 5 ; Á) 5;7 ; Ã) Z : 45. ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ µ³ó ¿: 46. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a b , ³å³ ³) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a Ï»ïÇ Va ßñç³Ï³Ûù, áñÁ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ b -Ý; µ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý a ¨ b Ï»ï»ñÇ Va ¨ Vb ßñç³Ï³Ûù»ñ, áñáÝù ã»Ý ѳïíáõÙ: 47. êïáõ·»É, áñ a Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ ßñç³Ï³ÛùÇ Ñ³ïáõÙÝ a -Ç ßñç³Ï³Ûù ¿: 48. ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: 49. ²å³óáõó»É, áñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñÁ: 50. êïáõ·»É, áñ R -Á ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ã»' µ³ó ¿, û' ÷³Ï:
51. лï¨Û³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ·ïÝ»É x ÷á÷á˳ϳÝÇ ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (²´) . ³)
2x 3
x 3x 2
;
1 x ; 1 x 1 x2 ¿) ; 1 tgx
µ) 3 x x 3 ;
·)
2x 5 ; 1 x2 Á) arccos ; 2x
¹) log 2
2x 1 x 2 3x 2
;
½) log 2 log 3 x ;
») arcsin
Ã)
ctgx 1 log 22 1 x
:
²ÛëáõÑ»ï¨, »Ã» í³ñÅáõÃÛ³Ý Ù»ç y f x µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ Ýßí³Í ã¿, ³å³ ѳٳñíáõÙ ¿, áñ ³ÛÝ f x ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Â²´-Ý ¿:
52. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý ¨ å³ñ½»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µÝáõÛÃÁ. ³) y 2 x 7 ; µ) y 5 0,5 x ; ·) y arctgx ; ¹) y x 2 , x R ;
») y x 2 , x R ;
½) y ctgx , x 0; ;
¿) y cos x, x 0; ; Á) y cos x, x ;0 ; Ã) y a x ( a 0 ); 53. ä³ñ½»É, û Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó áñáÝù »Ý ½áõÛ·, áñáÝùª Ï»Ýï ¨ áñáÝùª á'ã ½áõÛ· ¨ á'ã ¿É Ï»Ýï. ³) y 3x x 3 ;
µ) y x x 2 ;
·) y sin 3 x ;
¹) y sin 4 3x ;
») y 5 x 5 x ;
½) y 5 x 5 x ;
Á) y lg x 1 x 2 ;
Ã) y lg
¿) y x 2 ;
1 x : 1 x
54. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ å³ñµ»ñ³Ï³Ý »Ý. ³) y sin 3x ; µ) y cos 2 x ; ·) y 1 cos x sin 2 x : 55. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» T -Ý f : R R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ mT m Z , m 0 Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÝáõÛÝå»ë å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿: 56. ²å³óáõó»É, áñ ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏódzÛǪ
1, »ñµ x Q, x 0, »ñµ x I , ѳٳñ ó³Ýϳó³Í ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ é³óÇáÝ³É ÃÇí å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿: 57. êïáõ·»É, áñ y sgn x (ëÇ·ÝáõÙ Çùë) ýáõÝÏódzݪ
1, »ñµ x 0, sgn x 0, »ñµ x 0, 1, »ñµ x 0, Ï»Ýï ¿: òáõÛó ï³É, áñ x x sgn x : 58. y x (³ÙµáÕç Ù³ë Çùë) ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. »Ã»
x n r , áñï»Õ n Z ¨ r 0;1 , ³å³ x n ; ³) ·ïÝ»É y x ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ 0;0,75; 2 ; Ï»ï»ñáõÙ; µ) ·ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ; ·) ³å³óáõó»É, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿; ¹) å³ñ½»Éª Ï»Ýï ¿ ³ÛÝ, ûª áã: 59. ²å³óáõó»É, áñ y x x (Ïáïáñ³Ï³ÛÇÝ Ù³ë Çùë) ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: à±ñÝ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: 60. ¸Çóáõù f y ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Â²´-Á 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿: ¶ïÝ»É ³)
f sin x ; µ) f lg x ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Â²´-Á: x 61. îñí³Í f x ýáõÝÏódzÛÇó ϳ½Ù»É y f f x , 1 x2 y f f f x í»ñ³¹ñáõÙÝ»ñÁ: 62. îñí³Í : X Y ¨ : Y Z ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ ϳ½Ù»É : X Z µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÝ. ³) x x 2 , y 2 y ; ·) x
2x 1 x2
, y arccos y ;
µ) x 2 x , y y 2 ; ¹) x 1 sin 2 x , y log 2 y :
63. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y x x R ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿ (å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿), ³å³ ó³Ýϳó³Í y y R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ x x R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ½áõÛ· (å³ñµ»ñ³Ï³Ý): 64. ¸Çóáõù : X Y ¨ : Y Z ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ ÙáÝáïáÝ ¿: ƱÝã ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É z x ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É:
x X
µ³ñ¹
65. ¸Çóáõù a -Ý, b -Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý ¨ c 1 : y x 2 ¨ y log c x ýáõÝÏódzݻñÇ á±ñ ѳïÏáõÃÛ³Ý íñ³ »Ý ÑÇÙÝí³Í Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ. ³) a b ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ a 2 b 2 ;
µ) a b ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ log c a log c b : ºÃ» 0 c 1 , ³å³ ÇÝãå»±ë å»ïù ¿ Ó¨³÷áË»É µ) åݹáõÙÁ: 66. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ýáõÝÏódz ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÁ ó³Ýϳó³Í ãÝí³½áÕ (ã³×áÕ) ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 67. êïáõ·»É, áñ
x, »ñµ x Q, f x x, »ñµ x I, ýáõÝÏóÇ³Ý áã ÙÇ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ÙáÝáïáÝ ã¿, µ³Ûó ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ ¿ : 68. гÙá½í»É, áñ y f x x X ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, Ýß»É Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý Y ïÇñáõÛÃÁ ¨ ï³É x f 1 y y Y ýáõÝÏóÇ³Ý µ³Ý³Ó¨áí. ³) y 3x 1, x R ; µ) y log 2 x , x 0; ; ·) y x 2 , x R ;
; 2
¹) y x 2 , x R ;
;0 : 2 69. ³) ²å³óáõó»É, áñ ½áõÛ· ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ Oy ³é³ÝóùÇ ») y tg 2 x , x 0;
½) y tg 4 x , x
Ýϳïٳٵ, ÇëÏ Ï»Ýï ýáõÝÏódzÛÇÝÁª Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ: µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý X -Á ÷áËÙdzñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Y -Ç íñ³, ³å³ y f x x X ¨ y f 1 x x Y ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÇ ·ñ³ýÇÏÁ y x áõÕÇÕÇ Ýϳïٳٵ ѳٳã³÷ ¿ ÙÛáõëÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: лï¨Û³É í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ (70-110) å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ϳéáõó»É ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ¸ñ³ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿. 1) »Ã» µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ÏáÕùÇÝ Ýßí³Í ã¿ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ, ³å³ ·ïÝ»É ³ÛÝ (ï»ë 52 í³ñÅáõÃÛáõÝÇó ³é³ç ³ñí³Í ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝÁ); 2) ѻﳽáï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ·áõÃÛ³Ý, Ï»ÝïáõÃÛ³Ý, å³ñµ»ñ³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ³éáõÙáí; 3) áõëáõÙݳëÇñ»É ýáõÝÏódzÛÇ í³ñùÁ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ; 4) ·ïÝ»É ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï ·ñ³ýÇÏÇ Ñݳñ³íáñ ѳïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ; 5) áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ïáõ٠ѳßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýᯐ ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ Ï»ï»ñÁ: î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ, áñå»ë ϳÝáÝ, ëï³óíáõÙ »Ý Ýßí³Í Ï»ï»ñÁ §ë³Ñáõݦ ·Íáí ÙdzóÝ»ÉÇë: ¸³ ϳï³ñ»ÉÇë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ѳßíÇ ³éÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ í»ñÁ Ãí³ñÏí³Í µáÉáñ ³é³ÝÓݳѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
70. Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙǨÝáõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»É y ax ·Í³ÛÇÝ ¨ ѳٳë»é ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »ñµ a 0;
1 1 ; ;2 ¨ 2:гٻٳï»É ëï³óí³Í 2 2
·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ: 71. ¶Í»É y x 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (å³ñ³µáÉ): γéáõó»É y x 2 2 x 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª ýáõÝÏóÇ³Ý Ý³Ë³å»ë Ý»ñϳ۳óÝ»Éáí
y y0 x x0 2 ï»ëùáí: 72. Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙǨÝáõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ. ³) y x 3 ;
µ) y x 4 ;
·) y
x2
;
¹) y
x;
») y 3 x :
γéáõó»É Ïáïáñ³Ï³·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÑÇå»ñµáÉÝ»ñ) (7375). 73. y
: x
74. y 1
: x2
75. y
2x 3 : x 1
γéáõó»É é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (76-81).
(ÑÇå»ñµáÉ): x 2x
77. y x 2
76. y x 78. y 80. y
1 x
1 x2
(ÜÛáõïáÝÇ ûÓ³ù³ñ): 79. y 81. y
:
(ÜÛáõïáÝÇ »é³Å³ÝÇ): x
1 x2 x 1 x2
(²ÝÛ»½ÇÇ Ïáñ): :
γéáõó»É Çé³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (82-84). 82. ³) y x 2 ; µ) y x 2 ; 83. ³) y
100 x 2 ;
µ) y
100 x 2 ;
84. ³) y x 2 1 ; µ) y x 2 1 : γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (85-100).
x ; µ) y sin 2 x : 86. ³) y sin x ; µ) y sin 2 x : 87. ³) y sin x 2 ; µ) y sin : 88. ³) y tg 3x; µ) y tgx : x 89. ³) y sin arcsin x ; µ) y arcsinsin x : 85. ³) y sin
90. ³) y 2 x ;
1 2
x
µ) y :
91. ³) y log 2 x ;
µ) y log 1 x :
x
µ) y log 3 x :
92. ³) y 3 ;
93. ³) y log 3 x ;
94. ³) y x sin x;
µ) y x 2 sin x;
95. ³) y 2 x sin x;
µ) y 2 x sin 2 x :
96. ³) y x sin
97. y : sin x
; x
µ) y x 2 sin
98. y arctg : x
·) y
µ) y log 3 x :
cos x : x
: x 99. y
2x
:
100. y 2
x2
:
´¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»É ïñí³Í r r ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (101-107) . 102.
101. r 3 (ßñç³Ý³·ÇÍ):
(׳鳷³ÛÃ):
103. r (²ñùÇÙ»¹Ç ·³É³ñ³·ÇÍ):
(ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ·³É³ñ³·ÇÍ): 105. r 21 cos (ëñï³Ó¨ ·ÇÍ): 106. r 10 sin 3 (»é³Ã»ñà í³ñ¹): ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý x t ¨ y t t T ýáõÝÏódzݻñÁ (å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý 104. r
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ): ¸»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ t , t : t T Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ïñí³Í å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ:
γéáõó»É Ñ»ï¨Û³É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ (107-110). 107. x 1 t , y 1 t 2 : 108. x 10 cos t , y sin t (¿ÉÇåë) : 109. x 5 cos t , y 5 sin t (ßñç³Ý³·ÇÍ): 110. x 2t 2 t , y 2t 2 t (ÑÇå»ñµáÉ): îñí³Í F x, y 0 ѳí³ë³ñٳٵ áñáßíáÕ ÏáñÝ ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ x, y ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿:
γéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ (111-114). 111. ³) x 2 y 2 0;
µ) xy 0 :
112. x 2 4 x y 2 0 :
113. ³) x 2 a 2 0;
µ) y 2 b 2 0;
·) y 2 y 0 :
114. ³) min x, y 1;
µ) maxx, y 1;
·) min x 2 , y 1 :
´ 115. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í A, B ¨ C µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ µ³ßË³Ï³Ý Ñ»ï¨Û³É ûñ»ÝùÝ»ñÁ. ³) A B C A B C ; µ) A B C A B C ; ·) A B C A C B C ; 116.
¹) A B C A C B C : êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í A ¨
B
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ѳٳñ
A B A \ A \ B : 117. ²å³óáõó»É ¸ÿØáñ·³ÝÇ »ñϳÏÇáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁª c
c
³) A B Ac B c ;
µ) A B Ac B c :
118. ²å³óáõó»É, áñ A B A ¨ A B B ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ B A : 119. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝù Q Q : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ¨ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ¨ ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ. Q Q , Q Q : 120. ò³Ýϳó³Í X 1 , X 2 , Y1 ¨ Y2 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) X 1 X 2 Y1 X 1 Y1 X 2 Y1 ; µ) X 1 Y1 Y2 X 1 Y1 X 1 Y2 ; ·) X 1 X 2 Y1 X 1 Y1 X 2 Y1 ; ¹) »Ã» X 1 X 2 , ³å³ X 1 Y1 X 2 Y1 :
121. ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÝ Çé³óÇáÝ³É »Ý. ³) ·)
2 3 ; µ)
3;
2 3 ; ¹) log 4 18 ; ») tg15 ; ½) tg 5 :
122. ³) ²å³óáõó»É, áñ 2 , 3 , 5 Ãí»ñÁ ã»Ý ϳñáÕ ÉÇÝ»É ÙǨÝáõÛÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ áñ¨¿ ³Ý¹³ÙÝ»ñ: µ) γñá±Õ »Ý ³ñ¹Ûáù 10, 11, 12 Ãí»ñÁ ÉÇÝ»É ÙǨÝáõÛÝ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñ: 123. γñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù Çé³óÇáÝ³É ÃíÇ Çé³óÇáÝ³É ³ëïÇ׳ÝÁ ÉÇÝ»É é³óÇáÝ³É ÃÇí: 124. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
n
kC nk
³)
n
n2 n 1 ;
µ)
1
k
kC nk 0
n 1 ;
k 1
k 1
1 2 n n2 2 3 n 2 n ; 2 2 n nn 1 ¹) : 1 3 3 5 2n 12n 1 22n 1 ·)
125. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) 2 µ)
n 1 1 1
2n 1!! 2n !!
2 n 1 n 1 ; n
3n 1
;
·)
n
n n 1 n 1 n 3 ;
n
an bn a b n n 6 ; ») 2 2 126. îñí³Í »Ý x1 , x2 , , xn ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ ³) »Ã» x1 x2 xn 1, ³å³ x1 x2 xn n ; x x x x µ) 1 2 n 1 n n ; x2 x3 xn x1 ¹) n!
·)
n
x1 x2 xn
n
a, b 0 :
x1 x2 xn ; n
x 1 x21 xn1 ¹) 1 n
1
n x1x2 xn ;
») ݳËáñ¹ Ï»ï»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõ٠ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x1 x2 xn :
127. ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý áã ¹³ï³ñÏ ë³Ñٳݳ÷³Ï Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ³) sup A B sup A sup B ; µ) inf A B inf A inf B : 128. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ½Ùí³Í »Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý ï³ññ»ñÇó, ³å³ ³) sup A B sup A sup B ; µ) inf A B inf A inf B : 129. ´»ñ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ ûñÇݳÏÝ»ñ, áñ 41 í³ñÅáõÃÛ³Ý Ù»ç ³é³ç³ñÏí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó
³) ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ ÉÇÝÇ ËÇëï; µ) »ñÏáõëÝ ¿É ÉÇÝ»Ý ËÇëï: 130. ³) ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñ »Ý: àñá±Ýù »Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÁ: µ) ´»ñ»É ³Ýí»ñç ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ù»Ïáõë³óí³Í »Ý: 131. ¸Çóáõù X -Á ¨ Y -Á áã ¹³ï³ñÏ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ¨ x X y Y x y : ú·ïí»Éáí ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ Ã»áñ»ÙÇóª ³å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ z R , áñ x X y Y x z y : 132. ³) ²å³óáõó»É, áñ áã ¹³ï³ñÏ ÷³Ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ã»° ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ û° ³Ù»Ý³÷áùñ ï³ññ»ñ: µ) ²å³óáõó»É, áñ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ãáõÝÇ á'ã ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ á'ã ¿É ³Ù»Ý³÷áùñ ï³ññ: 133. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a -Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿, ³å³ a -Ç ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ X -ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³Ýí»ñç Ãíáí Ï»ï»ñ:
134. ¸Çóáõù y f x ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ½áõÛ· ¿. ³) y f 2 x ; µ) y f 3 x ;
·) y f x ;
¹) y f x :
135. òáõÛó ï³É, áñ »Ã» y f x ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿ (Ï»Ýï ¿), ³å³
y y0 f x x0 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ x x0 áõÕÇÕÇ ( x0 ; y0 Ï»ïÇ) Ýϳïٳٵ: 136. ²å³óáõó»É, áñ a; a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ïñí³Í ó³Ýϳó³Í Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz ÙÇ³Ï Ó¨áí ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ½áõÛ· ¨ Ï»Ýï ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñ: 137. ¸Çóáõù` X 0 X 1 , X 0 X 1 : F : X 1 Y1 ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ f : X 0 Y0 ýáõÝÏódzÛÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝ, »Ã» x X 0 F x f x : îñí³Í ¿ f : 0; a R ýáõÝÏódzÝ: γéáõó»É f -Ç F : a; a R ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝå»ë, áñ ³) F -Á ÉÇÝÇ ½áõÛ· ýáõÝÏódz; µ) F -Á ÉÇÝÇ Ï»Ýï ýáõÝÏódz: 138. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ó³Ýϳó³Í Çé³óÇáÝ³É ÃÇí å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ f -Á ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódz ¿: 139. ¨ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳã³÷»ÉÇ , »Ã» r , áñï»Õ r Q \ 0 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» »ñÏáõ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ѳٳã³÷»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó û' ·áõÙ³ñÁ ¨ û' ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý: 140. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý k 0 ¨ T 0 ѳëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ x R f x T kf x :²å³óáõó»É, áñ f -Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É f x a x x ï»ëùáí, áñï»Õ a 0 , ÇëÏ x -Á T å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ýáõÝÏódz ¿: 141. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÝ a; b µ³ó ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ: ´»ñ»É ûñÇݳÏÝ»ñ: 142. ¸Çóáõù X ÷³Ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³) f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ f X µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) f X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ϳ ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñÁ: 143. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ã¿, ³å³ X -áõ٠ϳ Ï»ï»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ x1 x2 x3 »éÛ³Ï, áñ f x2 -Á ãÇ ·ïÝíáõÙ f x1 -Ç ¨
f x3 -Ç ÙÇç¨: 144. ¸Çóáõù f : X R ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: êïáõ·»É, áñ ³) x sup f : X ¨ x ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿; µ) x inf f : X ¨ x ýáõÝÏóÇ³Ý ã³×áÕ ¿; ·) »Ã» f -Á ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³ ¨ ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ f -ÇÝ, ÇëÏ ÙÛáõëÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: 145. îñí³Í ¿ f : X Y ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: ¶ïÝ»É Ýßí³Í A1 , A2 , A3 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ å³ïÏ»ñÝ»ñÁ. ³) y 2 x 0,5, A1 R, A2 1;2, A3 Q; µ) y x 2 4 x 3, A1 R, A2 2; , A3 1;3 ;
·) y sin x, A1 R, A2 0; , A3 ; ; 2 2 2 ¹) y lg x, A1 0; , A2 0;1 , A3 1;10 ; ») y 2 2 x , A1 R, A2 1;3 , A3 0; : 146. îñí³Í ¿ f : X R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: ¶ïÝ»É B1 , B2 , B3 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ý³Ë³å³ïÏ»ñÝ»ñÁ. ³) y 3x 1 , B1 R, B2 2;7 , B3 Q ;
µ) y 4 x x 2 , B1 0;4 , B2 0 , B3 5; ; ·) y cos 2 x, B1 1;1 , B2 1,1 , B3
2 ; ;
¹) y 2 , B1 0; , B2 ;0 , B3 1;1 ; x
: 6 2
») y arcsin x; B1 R, B2 ;3 , B3 ,
147. êïáõ·»É, áñ y ctgx ýáõÝÏóÇ³Ý 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùÁ ÷áËÙdzñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ R -Ç íñ³: 148. γéáõó»É ýáõÝÏódz, áñÁ ïñí³Í X µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷áËÙdzñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Y -Ç íñ³. ³) X 0;1 , Y 0;2 ; µ) X N , Y 2n : n N ; ·) X 3;7 , Y 7;15 ; 149.
») X R, Y 1;1 ; îñí³Í ¿ f : X Y
¹) X ;0 , Y R ; ½) X Q , Y Q \ Q : ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í
X 1 , X 2 X µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³) f X 1 X 2 f X 1 f X 2 ; µ) f X 1 X 2 f X 1 f X 2 ; ·) f X 1 \ X 2 f X 1 \ f X 2 : úñÇݳÏÝ»ñáí ѳÙá½í»É, áñ µ) ¨ ·) Ï»ï»ñáõÙ å³ñáõݳÏÙ³Ý Ýß³ÝÁ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÷á˳ñÇÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ýß³Ýáí: 150. îñí³Í ¿ f : X Y ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í Y1, Y2 Y µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ
Y1 Y2 f 1 Y1 f 1 Y2 ; f 1 Y1 Y2 f 1 Y1 f 1 Y2 ; f 1 Y1 \ Y2 f 1 Y1 \ f 1 Y2 :
³) f µ)
1
·) 151. êïáõ·»É, áñ
1, »ñµ x 0, f x a, »ñµ x 0 a R ýáõÝÏódzÝ
µ³í³ñ³ñáõÙ
¿
Ñ»ï¨Û³É
ýáõÝÏóÇáݳÉ
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ.
xf y yf x x y f x f y : 152. êïáõ·»É, áñ f x a x a x ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ. f x y f x y 2 f x f y :
1 x
153. гÛïÝÇ ¿, áñ y f x ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 2 f x 3 f x 2 ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ¶ïÝ»É f x -Á: 154. ¶ïÝ»É f x -Á, »Ã» ³) f x 1 x 2 3 x 2;
1 x 2 ; x x 1 ¹) f x x 3 : x x
µ) f x
x x ; x 155. γéáõó»É x ¨ x µ³ñ¹ ýáõÝÏódzݻñÁ ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³ÝóÇó ·) f
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ³) x sgn x, x x ; µ) x x , x sin x :
x
156. γéáõó»É y x 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, ݳ˳å»ë ѳÙá½í»Éáí, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿: 157. γéáõó»É y f x x R ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x 1 f x ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ¨, µ³óÇ ³Û¹, f x x1 x , »ñµ x 0;1 :
y f x x R ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x f x sin x ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ¨ f x 0 , »ñµ 0 x : γ-
158. îñí³Í ¿ª
éáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: 159. γéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ. ³) x 2 xy y 2 1 (¿ÉÇåë);
µ)
x y 1 (å³ñ³µáÉ);
·) sin x sin y ; ¹) cos x 2 cos y : 160. Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙǨÝáõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ. µ) x 2 y 2 a 2 ;
³) x y a;
·) x 2 3 y 2 a 2 (³ëïÕ³Ó¨ ·ÇÍ): 161. ´¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ. ³) r 2 36 cos 2 (´»éÝáõÉÇÇ É»ÙÝÇëϳï);
µ) r 2 2 1 :
¶ 162. ²å³óáõó»É, áñ
n n 1 1 n 1 ; n 1 n 1 ; n 1 ; nN n N n n µ) 0;1 ; n ; n : n n nN n N 1 1 ·) 0; 0 ; ¹) 0; ; n N n n N n ³) 0;1
»)
n; ; n N
½)
n; n R : n N
163. ²å³óáõó»É, áñ ³) µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; µ) ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙÁ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ·) µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ¹) ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: 164. êïáõ·»É, áñ Q ¨ I µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ á'ã µ³ó »Ý, á'ã ÷³Ï: ²å³óáõó»É, áñ
Q I R : 165. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³) Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; µ) »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ·) Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: 166. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) a; b c; d a c; b d ; µ) a; b c; d a c; b d ; ·) a; b c; d ac; bd
a 0, c 0 ; ¹) a; b c; d ac; bd a 0, c 0 : 167. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý, ³å³ µ³ó »Ý ݳ¨ A B ¨ A B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 168. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b A B , áñï»Õ A -Ý ¨ B -Ý áã ¹³ï³ñÏ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ·áÝ» Ù»Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ï:
169. ¸Çóáõù A -Ý µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ B -ݪ ÷³Ï: êïáõ·»É, áñ A \ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ó ¿, ÇëÏ B \ A -ݪ ÷³Ï: 170. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» X R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³ó ¿ ¨ ÷³Ï, ³å³ X ϳ٠X R : 171. X R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»Ýù ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ , »Ã» ³ÛÝ Çñ ó³Ýϳó³Í x1 x2 ï³ññ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ áÕç x1 ; x2 ÙÇç³Ï³ÛùÁ: ²å³óáõó»É, áñ R -áõ٠ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý µáÉáñ µ³ó, ÷³Ï, ÏÇë³µ³ó, í»ñç³íáñ ¨ ³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ¨ ÙdzÛÝ ¹ñ³Ýù: 172. ²å³óáõó»É, áñ X R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ G1 ¨ G2 µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ. G1 X , G2 X , G1 G2 , X G1 G2 : 173. àñå»ë½Ç F R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ÷³Ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ F -Ç Ñ»ï ѳïíáÕ ó³Ýϳó³Í a; b ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ F a; b µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõݻݳ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ï³ññ»ñ: ²å³óáõó»'É:
174. ¶ïÝ»É x -Ç µáÉáñ ³) ³ÙµáÕç, µ) é³óÇáÝ³É ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ѳٳñ
x 2 x 1 -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿:
175. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í n 2 µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ÃÇíÁ Çé³óÇáÝ³É ¿: 176. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x1 , x2 ,..., xn ¨ Ý³É »Ý, ³å³
1 2 n
x1 x2 xn Ãí»ñÁ é³óÇá-
x1 , x2 ,..., xn Ãí»ñÁ ÝáõÛÝå»ë é³óÇáÝ³É »Ý:
177. ²å³óáõó»É, áñ 3 2 ÃÇíÁ Ñݳñ³íáñ ã¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É p q r ï»ëùáí, áñï»Õ p , q ¨ r Ãí»ñÁ é³óÇáÝ³É »Ý:
178. ¶ïÝ»É 3 n 3 m : n, m N µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: 179. ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ÷³ÏáõÙÁ.
p2 : p, q N ; q
³)
p
q µ) 2 : p, q N :
180. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y f x x R ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿
x a ¨ x b b a áõÕÇÕÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ, ³å³ f -Á å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿: 181. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y f x x R ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ Aa1 ,b1 ¨ Ba2 ,b2 a1 a2 Ï»ï»ñÇ Ýϳïٳٵ, ³å³ f -Á ·Í³ÛÇÝ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñ ¿: سëݳíáñ³å»ë, »Ã» b1 b2 , ³å³ f -Á å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿: 182. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y f x x R ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿
Aa, b Ï»ïÇ ¨ x c c a áõÕÇÕÇ Ýϳïٳٵ, ³å³ f -Á å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿: 183. êïáõ·»É, áñ èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏódzݪ p 1 , »ñµ x R x q q 0, »ñµ x I ,
³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿ ¨ q N ,
å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: 184. γéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ.
³) x 4 y 4 x 2 y ;
µ) x 2 y 2
2 xy (É»ÙÝÇëϳï);
·) x y 3xy 0 (¸»Ï³ñïÇ ï»ñ¨);
¹) x 2 y 2 4 x 2 y 2 (É»ÙÝÇëϳï): 185. ´¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ. ³) 2 sin r ; µ) r max 2 cos 2 ,1 :
186. ¸Çóáõù x y a a ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ ßñç³Ý³·ÇÍÁ (³ÝÇ2
íÁ), áñÇ íñ³ Ýßí³Í ¿ A0;0 Ï»ïÁ, ·ÉáñíáõÙ ¿ Ox ³é³ÝóùÇ íñ³Ûáí: ¶ïÝ»É
A Ï»ïÇ Ñ»ï³·ÍÇ (óÇÏÉáǹÇ) å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁª áñå»ë å³ñ³Ù»ïñ ÁÝïñ»Éáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ A Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ ß³é³íÇÕí»ÏïáñÇ åïïÙ³Ý ³ÝÏÛáõÝÁ:
187. êïáõ·»É, áñ µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ r 18 cos 2 ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ ÏáñÁ (´»éÝáõÉÇÇ É»ÙÝÇëϳïÁ) ³ÛÝ
r ,
Ï»ï»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝó F1 3, ¨ F2 3,0 Ï»ï»ñÇó (É»ÙÝÇëϳïÇ ýáÏáõëÝ»ñÇó) áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: ¶ïÝ»É ³Û¹ ѳëï³ïáõÝÁ:
¶ÉáõË 2
Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í f : N X ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ºÃ» X -Á Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝ : ò³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ xn f n ³ñÅ»ùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳ٠ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³Ù: ²ÛëáõÑ»ï¨ f : N X ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñ½³å»ë ϳÝí³Ý»Ýù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: îñí³Í xn -Ç Ñ³Ù³ñ xn 1 -Á ¨ x n 1 -Á ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ݳËáñ¹ ¨ ѳçáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñ: üáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý, ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛ³Ý, ѳëï³ïáõÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý ݳ¨ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²í»É³óÝ»Ýù ÙdzÛÝ, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳÝí³Ý»Ýù Ç í»ñçá ÙáÝáïáÝ (ѳëï³ïáõÝ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n0 N , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
xn -Á ÙáÝáïáÝ ¿ (ѳëï³ïáõÝ ¿)
n0 , n0 1,... µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: Ð ³ç á ñ ¹ ³ Ï ³ Ý áõ Ã Û ³ Ý ë ³ Ñ Ù ³ Ý: a ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý, »Ã» ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n0 N , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ n n0 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ xn a ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
0 n0 N n N n n0 x n a : ºÃ» a ÃÇíÁ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý a lim xn ϳ٠n
xn a ( xn -Á Ó·ïáõÙ ¿ a -Ç): ì»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý áõÝ»óáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, ãáõÝ»óáÕÁª ï³ñ³Ù»ï: ¼áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ÙdzÏÝ ¿: xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã» xn 0 : xn ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ù»Í, »Ã» E 0 n0 N n N n n0 x n E : ²Ûë ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ý lim x n ϳ٠xn : ÀݹáõÝí³Í »Ý ݳ¨ ³) xn , µ) xn Ý߳ݳn
ÏáõÙÝ»ñÁ, »Ã» ³) E 0 n0 N n N n n0 xn E ; µ) E 0 n0 N n N
n n0 xn E : Ü » ñ ¹ ñ í ³ Í Ù Ç ç ³ Ï ³ Û ù » ñ Ç É » Ù Ù ³ Ý : ö³Ï ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ (ѳïí³ÍÝ»ñÇ) ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, »Ã» n N
an ; bn : n N ÁÝï³ÝÇùÁ an ; bn an 1; bn 1 :
È»ÙÙ³ (ÎáßÇ-γÝïáñÇ ëϽµáõÝùÁ): ºÃ» Ý»ñ¹ñí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ
an ; bn : n N
ÁÝï³ÝÇùÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ bn an 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c ÃÇí, Áݹ áñáõÙ ÙdzÏÁ, áñÁ
å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ.
an ; bn c : n 1
ê ³ Ñ Ù ³ Ý Ç · á Û áõ Ã Û ³ Ý Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß Ý » ñ : ºÃ» y n ¨ z n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ lim y n lim z n a , ³å³ ó³Ýϳó³Í xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ n
n
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ y n x n z n ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ lim x n a : n
ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ: ò³Ýϳó³Í Ç í»ñçá ãÝí³½áÕ ¨ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ½áõ·³Ù»ï ¿: Î á ß Ç Ç ½ áõ · ³ Ù Ç ï áõ Ã Û ³ Ý ë Ï ½ µ áõ Ý ù Á : xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ýáõݹ³Ù»Ýï³É, »Ã» 0 n0 N m, n N m n n0 x m x n :
àñå»ë½Ç xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ýáõݹ³Ù»Ýï³É: Â í ³ µ ³ Ý ³ Ï ³ Ý · á ñ Í á Õ áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ ¨ ³ Ý Ñ ³ í ³ ë ³ ñ áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ : ºÃ» xn ¨ y n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï »Ý xn y n , xn y n , ÇëÏ »Ã»
lim y n 0 ,
n
xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ yn
³) lim x n y n lim xn lim y n ; n
n
n
µ) lim xn y n lim x n lim y n ; n
n
n
lim x n
·) lim n
xn n : yn lim y n n
ºÃ» n n0 x n y n , ³å³ lim xn lim y n : n
n
º Ý Ã ³ Ñ ³ ç á ñ ¹ ³ Ï ³ Ý áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ ¨ Ù ³ ë Ý ³ Ï Ç ë ³ Ñ Ù ³ Ý Ý » ñ : ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í k1 k 2 k n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ z n xk n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: a ÃÇíÁ ( -Á, -Á) ÏáãíáõÙ ¿ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý, »Ã» xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áñ¨¿ »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ó·ïáõÙ ¿ a -Ç ( -Ç, -Ç): xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñÝ (³Ù»Ý³Ù»ÍÝ) ³Ýí³ÝáõÙ »Ý xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ (í»ñÇÝ) ë³ÑÙ³Ý ¨ Ý߳ݳÏáõÙª
lim xn ( lim xn ): Àݹ áñáõÙ, »Ã» n
n
xn , ³å³ lim xn = lim xn = : n
n
àñå»ë½Ç xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõݻݳ ë³ÑÙ³Ý (í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç), ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ lim xn = lim xn : n
n
´ á É ó ³ Ý á – ì ³ Û » ñ ß ï ñ ³ ë Ç É » Ù Ù ³ Ý : ³) ò³Ýϳó³Í ³Ýí»ñç ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï: µ) ò³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ½áõ·³Ù»ï »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:
² ²å³óáõó»É xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ (188-197). n
188. xn 1 : :
191. xn
n 1n : 3n 1
5n 2 6 : n4 1 n2 2
193. xn
n2 2 : n 3 n 1
n arctgn : n ln n
195. xn
lg 2 n 10 : lg 2 n 2
197. xn
52 n 1 2 n : 1 25n
1 n
190. xn
192. xn 194. xn
189. xn sin n ! :
n2 1
196. xn lg 2n 1 n lg n :
êïáõ·»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿ (198-206). n
198. xn 1 n 2 :
199. xn q n
n
200. xn n 1 n : n
202. xn 2 n1 : sin n2
204. xn n 1 206. xn
:
q 1 :
201. xn n sin
n :
203. xn
1 n : n
205. xn
3n 2 n : 2n 1
n3 2n : n 1
²å³óáõó»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ (Ç í»ñçá ÙáÝáïáÝ) ¿ ¨ å³ñ½»É ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µÝáõÛÃÁ (207-217). 207. xn
100n : n 2 16
209. xn nq n , q 0 :
208. xn n 3 6n : 210. xn
1 n : n
n 1
211. xn
212. x n 2 n 100n :
:
n 1
2n : n 216. xn lg n 2 9n 2 lg n :
213. xn 3n 2 n :
214. xn
215. xn lg n 1 lg n : n
217. xn
2k 2k 1 2n 1 :
k 1
ºÉÝ»Éáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª ³å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (218-226).
n 1; n n 1 219. ³) lim 0; n n !
3n : n 2n 1 2 µ) lim p 0 , p 0 : n n n µ) lim sin 0: n n
218. ³) lim
µ) lim
2 1n 0; n n 221. ³) lim 3 0; n 3n 1 220. ³) lim
µ) lim q n 0 , q 1 : n
2n 1 1: n 3n sin n 1 224. lim 0: n 2n 2 n 1
222. ³) lim log n 1 2 0 ;
µ) lim log 2
n
n
n2 1 1: n n 2 n 1
223. lim
2n 2 1 : n 8n 2 n 10
225. lim
226. lim
3n 2 1
3: n 2 2n 10 1 n 10 1 227. ¶ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý n -»ñÁ, áñáÝó ѳٳñ , áñ2 2n 1 2
n
ï»Õ
; µ) ,kN : k 1 228. ¸Çóáõù lim xn a ¨ yn xn p ³)
n
p N:
²å³óáõó»É, áñ yn ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ lim yn a : n
229. ²å³óáõó»É, áñ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 230. ²å³óáõó»É, áñ Ç í»ñçá ѳëï³ïáõÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
231. îñí³Í ¿ lim xn a : ²å³óáõó»É, áñ lim xn a : úñÇݳÏÝ»ñáí ѳÙá½n
n
í»É, áñ xn a xn a Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿: 231.1. îñí³Í ¿ lim xn a : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý k ÃíÇ n
ѳٳñ
lim xn2 k a 2 k : γéáõó»É xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÇ
n
ѳٳñ lim xn2 k a 2 k , µ³Ûó xn -Á ãÇ Ó·ïáõÙ a -Ç: n
231.2. ²å³óáõó»É, áñ
lim xn a
³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
n
lim xn2 k 1 a 2 k 1
n
k N : lim xn a ¨ ÇÝã-áñ ѳٳñÇó ëÏë³Í xn b
232. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n
xn c , ³å³ a b a c : 233. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» lim xn a ( lim xn b ), ³å³ ÇÝã-áñ ѳٳñÇó n
n
ëÏë³Íª xn a ( xn b ): 234. ²å³óáõó»É, áñ ³) ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿; µ) ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùÁñ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: xn
235. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý. n n : sin n 1 n ³) xn , 0 ; µ) xn 2 ; ·) xn n n 1 n n êïáõ·»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿ (236-241).
n
236. xn 1 n :
237. xn lg lg n :
238. xn lg n :
239. xn q n , q 1 :
240. xn 4 n n :
241. xn
242. êïáõ·»É, áñ xn n 1 ³Ýí»ñç Ù»Í ¿É ã¿:
2 n n 1 : 2n 1
n
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿, µ³Ûó
²å³óáõó»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿ (243-248).
n : 1n n : 246. xn 2
n
243. xn 1 :
244. xn sin
n 2n cos : n 1 n 2 2n 247. xn : n 1 245. xn
248. xn n 2 sin
n :
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (249-256).
nk 0 a 1 : n a n
n 0: n 2n an 251. lim 0: n n ! 253. lim n n 1 : 249. lim
250. lim
252. lim n
log a n 0 n n
a 1 :
255. lim
256. lim
n n
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (257-271). n
a 1 a 0 :
254. lim n ln n 1 :
n
257. ³) lim
n
n
n 1 n :
µ) lim
n
0: n!
n a1 n a2 n
n 2 sin n ! n arctg 2 n ; µ) lim : n n n 1 2n 12 2 2 n 1 12 32 2n 1 259. ³) lim ; µ) lim : n n n3 n3 n 1 1 260. ³) lim ; µ) lim 2 4 2 2 2 : n n 1 2 2 3 nn 1 258. ³) lim
2 1 261. ³) lim
n n
n
3n lg n
;
3n3 2n 2 1 ; n n 3 n 10 n 4 2n3 1 ·) lim 3 ; n 3n n 2 5
262. ³) lim
2 n 3 n : n 2 n 3n
µ) lim
2 n 2 5n 3 ; n n3 n 2 7
µ) lim
¹) lim
n
a0 n p a1n p 1 a p 1n a p b0 n q b1n q 1 bq 1n bq
n2 4 2 ; 3n
263. ³) lim
n
µ) lim
n
a0 0, b0 0, p, q N : n n 2 1 n 2
:
; n n 3 n n 2 n 1 n 1 4 n µ) lim 3 : n n 1 3 n 265. ³) lim n3 2n 2 n ; µ) lim 3 n 1 3 n 1 : n n 264. ³) lim
lg 2n 1 : n n 1
5 lg n ; n 1 lg n 2
µ) lim
266. ³) lim
n log 2 n 3 2n 2 n ln n ; µ) lim : n n n2 n 1 n2 2 n 3 3n n ln n 5n 268. ³) lim ; µ) lim : n n 3n n n 2 5n q p p q 269. lim n 2 1 1 p, q N : n n n 1 2 3 2n 1 2n 270. lim : n n2 1 267. ³) lim
1 1 2 n 1 271. lim a a a n n n n n
2
:
ú·ïí»Éáí ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇóª ³å³óáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (272-276).
; n n 273. ³) xn n ; 272. ³) xn
n 1 : 3n 7 3n µ) xn 2 : n 7n 1 µ) xn
2n !! ; 2n 1!!
274. ³) xn
275. ³) xn 1
µ) xn
1 1 1 1 1 n ; 2 4 2
µ) x1 1 , xn 1 xn 1 276. ³) xn
10 11 n 9 : 1 3 2n 1
n
1 1 2n
; n n 1 2n
: µ) xn
: n 1 n 2 2n
277. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿, ³å³ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿:
278. ¸Çóáõù` xn 1
n
1 1 , y n 1 n n
n 1
: ²å³óáõó»É, áñ
³) xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³×áÕ ¿, ÇëÏ yn -Áª Ýí³½áÕ ; µ) ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý m -Ç ¨ n -Ç Ñ³Ù³ñ xm yn ; ·) lim xn lim yn (³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý e ); n
n
¹) 2 e 3 ;
e ; n 1 1 ½) ln 1 , áñï»Õ Ý߳ݳÏí³Í ¿ ln x log e x : n 1 n n ») 0 e xn
ú·ïí»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÇóª ³å³óáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (279-283).
n 1 ; µ) xn 2 : n2 n 3 2n 1 n sin n 280. ³) xn ; µ) xn : 3n 2 n7 281. ³) xn a aq aq n 1 , q 1 ; 279. ³) xn
µ) xn
sin 1 sin 2 sin n 2 n : n 1
282. ³) xn
1 ; 1 2 2 3 nn 1
cos 1! cos 2 ! cos n ! : 1 2 23 nn 1 283. ³) xn 1 2 2 2 ; µ) xn 1 p p p n n µ) xn
p 2 :
ú·ïí»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÇóª ³å³óáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (284-286). n
1 : n n n cos n 1 285. ³) xn sin ; µ) xn : 2n 286. ³) xn 1 µ) xn : n 2n 1 287. ¼áõ·³Ù»±ï ¿ ³ñ¹Ûáù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ó³Ýϳó³Í p µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ lim xn p xn 0 : ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: n
µ) xn 1 1
n
284. ³) xn 1 1 ;
n
287.1.
³)
¸Çóáõù
lim x2k 1 b :
k
xn
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
²å³óáõó»É,
áñ
xn
lim x2 k a
ѳٳñ
k
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
¨
Ù³ëݳÏÇ
ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ a; b -Ý ¿: µ) ¸Çóáõù p N ¨ lim x pn k ak , n
xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý a0 ; a1 ;...; a p 1 -Ý ¿:
Ù³ëݳÏÇ
k 0;1;...; p 1 : ²å³óáõó»É, áñ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
¶ïÝ»É inf xn -Á, sup xn -Á, lim xn -Á ¨ lim xn -Á (288-295). n
3 2 : n n n 290. xn sin 2 : n 1 n 1 2 n 292. xn cos : n 1 294. xn ; n 10,2 n 1
288. xn 1
n
289. xn 1
n n cos : n 1 n 1
291. xn 1 2 1
3 1
n
293. xn n 1 : n
295. xn 1 2 n 1 : n
n n1
:
296. ¸Çóáõùª lim xn 0 , ÇëÏ yn -Á ó³Ýϳó³Í Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ n
¿: γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ lim xn yn 0 : ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇn
ݳÏÝ»ñ: 297. ¸Çóáõùª lim xn yn 0 . n
³) ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ϳ٠lim xn 0 , ϳ٠lim yn 0 : n
n
µ) γñá±Õ »Ý ³ñ¹Ûáù xn ¨ yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÉÇÝ»É ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: ·) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn ¨ yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ ϳ٠³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, ϳ٠lim xn lim yn 0 : n
n
²ÛëáõÑ»ï¨ å³Ûٳݳíáñí»Ýù û·ï³·áñÍ»É Ñ»ï¨Û³É §Ãí³µ³Ý³Ï³Ý¦ ϳÝáÝÝ»ñÁ. ª, a , ,
,
a ,
:
298. ²å³óáõó»É, áñ a ÃÇíÁ ( -Á, -Á) ÏÉÇÝÇ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ a -Ç ( -Ç, -Ç) ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ xn -Ç ³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ: ¶ïÝ»É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ (299-302):
1 1 1 3 1 7 1 2n 1 , , , , , ,, n , n , ; 2 2 4 4 8 8 1 n 301. xn 31 2 1 ; n 299.
300. xn cos 302. xn
n 1 ; 2 n
a b 1n a b ;
303. ´»ñ»É Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ݳ˳å»ë ïñí³Í a1 , a2 ,..., a p Ãí»ñÝ »Ý:
´ ²å³óáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ (304-307). 304. xn 1
ln n : n
n
305. xn
k 1 4k
1
:
n
306. xn
k
2k 12k 12k 3 :
307. x n log 2 1
k 1
1 , n 2 : n 1 2
308. ÆÝãåÇëDZ p -Ç ¨ q -Ç Ñ³Ù³ñ, 0 q p ,
xn k n p an q 1 k n p bn q 1 a b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï: 309. xn µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ
Sn
³ÛÝåÇëÇÝ
¿,
áñ
1 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²å³óáõó»É, x1 x2 xn
áñ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ݳ¨
1 1 1 yn 1 1 1 ѳçáñ¹³Ï³x1 x2 xn
ÝáõÃÛáõÝÁ: ²Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÝ ³ñï³Ñ³Ûï»É n -áí ¨ ѻﳽáï»É ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ (310-313).
, xn 1 : 2 xn 3 x xn 311. x1 0 , x2 1 , xn 2 n 1 : 312. x1 a , x2 b , xn 2 3 xn 1 2 xn : 313. x1 a , x2 b , xn 2 3 xn 1 2 xn 6 : ²å³óáõó»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿ (314-317). 310. x1
n
314. ³) xn
kq n k , q R , q 0 ; µ)
n
xn
k 1
k 1 2
1
k :
k 1
2n ; n2
µ) xn
n 1 : log 2 n 1
316. ³) xn n n !
µ) xn
2n !! : 2n 1!!
315. ³) xn
317. x1 x2 1 , xn 2 xn 1 6 xn : ²å³óáõó»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ (Ç í»ñçá ÙáÝáïáÝ) ¿ (318-321). 318. xn
n k k !: n 1! k 1
319. x n
an 1 ,a 0: n
n
x x 1 321. x1 0 , xn 1 n : ,x0: n n 1 322. ¸Çóáõù` lim xn 0 ¨ xn 1 , n N : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í p -Ç
320. xn 1
n
p
ѳٳñ lim n
1 xn 1 : xn
1 e : 323. ¸Çóáõù` xn , »ñµ n : ²å³óáõó»É, áñ lim 1 n xn 324. ¸Çóáõù` xn 0 ¨ lim xn a 0 :²å³óáõó»É, áñ lim ln x n ln a : n
325. ²å³óáõó»É, áñ lim n n
n
n
a 1 ln a
a 0 :
326. ²å³óáõó»É, áñ xn sin n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (327-340).
23 1 33 1 n3 1 : n 2 3 1 33 1 n3 1
327. lim
n
329. lim
2n 1 1 3 2 n : n 2 2 : n 1 n 2 n n 1 328. lim
1 : n 1 3 3 5 2 n 1 2n 1
330. lim
n
1
331. lim : n 1 2 3 2 3 4 nn 1n 2 n
n 3n 1 332. lim : n n !1 335. lim
n
n
n2 4n n 5n
2 2 n 1 ! 333. lim : n n 3n n !
:
336. lim n
n
334. lim
4n n 2 2n 1 n 4 n !2
n n
a 1 a, b 1 : b 1
:
n
n a n a2 n am , áñï»Õ a 0 , i 1, 2,..., m : 337. lim 1 i n m
1
, áñï»Õ an -Á ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³Ù338. lim n a1a2 a2 a3 an an 1 Ý»ñáí ¨ d 0 ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: 339.
lim
n
1 n a1 a2 a2 a3 an an 1
, áñï»Õ a -Á n
¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¨ d 0 ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
340. lim q 2q 2 nq n n
q 1 :
341. ²å³óáõó»É, áñ n
n
n
k!e ; n
³) lim
µ) lim
342. ¸Çóáõù S n
: k! e
k 0
k 0
n
1k
k ! : ²å³óáõó»É, áñ
k 0
³) e S n
n2
n ! n 1 n e
µ) lim
;
n
n
n 2
e Sn
e 1 1n
n
0:
n
343. ²å³óáõó»É, áñ n ! e : 344. ¸Çóáõù m N ¨ M 1
: ²å³óáõó»É, áñ e M m 1 : m
лﳽáï»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ ¨ ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (345-351). 345. x1 0 , xn 1
xn 1 : xn 2
347. x1 13 , xn 1 12 xn : 349. x1 0 , xn 1
xn A :
346. 0 x1 1 , xn 1 xn 2 xn : 348. x1 k a , xn 1 k axn , a 0 :
1 M 350. x1 M 0 , xn 1 2 xn 2 : 3
xn
351. x1 a , xn 1 a xn , a 0 :
xn 1
-Ç Ù³ëÇÝ:
n xn
352. îñí³Í ¿ lim xn a : ƱÝã ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É lim n
353. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó ¨ µ³í³ñ³42
ñáõÙ ¿ xn 1 xn
n2
n N
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ xn -Á
½áõ·³Ù»ï ¿: 354. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ lim xn 2 xn 0 : ²å³óáõó»É, n
xn 0: n 1 1 2 1 2 3 1 2 355. ¶ïÝ»É , , , , , , , ,... ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý2 3 3 4 4 4 5 5 áñ lim
n
Ý»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: 356. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙáÝáïáÝ »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: 357. ²å³óáõó»É, áñ
inf xn lim xn lim xn sup xn : n
n
´»ñ»É ûñÇݳÏÝ»ñ, áñ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ï³ñµ»ñ Ù³ë»ñáõÙ ÉÇÝÇ ³) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ; µ) ËÇëï ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ: 357.1. ²å³óáõó»É, áñ µ) lim xn lim inf xk :
³) lim xn lim sup xk ; n
n k n
n
n k n
xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
358. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
ó³Ýϳó³Í yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) lim xn y n lim xn lim yn ; n
n
n
µ) lim xn y n lim xn lim yn : n
n
n
359. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn , yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ³) lim xn lim yn lim xn yn lim xn lim yn ; n
n
n
n
n
µ) lim xn lim yn lim xn yn lim xn lim yn : n
n
n
n
n
´»ñ»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ, áñ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ µáÉáñ Ù³ë»ñáõÙ ÉÇÝ»Ý ËÇëï ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ: 360. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 0 lim xn , ³å³ ó³Ýϳó³Í yn ѳçáñ¹³Ï³n
ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ lim xn yn lim xn lim yn : n
n
n
1 , ³å³ xn ѳn xn
361. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn 0 n N ¨ lim xn lim n
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: 362. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 0 xm n xm xn
m, n N å³ÛÙ³ÝÇÝ:²å³óáõó»É, áñ
xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: n
363. ²å³óáõó»É, áñ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ Ï³Ù Ù»Í³·áõÛÝ ³Ý¹³Ù: 364. xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ÷á÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ C ѳëï³ïáõÝ, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ
n x2 x1 x3 x2 xn 1 xn C : ²å³óáõó»É, áñ ³) ÙáÝáïáÝ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ÷á÷áËáõÃÛáõÝ; µ) ë³Ñٳݳ÷³Ï ÷á÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ´»ñ»É xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÁ ½áõ·³Ù»ï ¿,µ³Ûó ë³Ñٳݳ÷³Ï ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ã¿: ·) ó³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï ÷á÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý an ¨ bn ÙáÝáïáÝ ³×áÕ áõ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù áñ xn an bn , n N : 365. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
x1 x2 xn , n N ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ n lim yn lim xn : ÀݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇ-
yn n
n
ïáõÃÛáõÝÇó ãÇ Ñ»ï¨áõÙ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: ´»ñ»É ûñÇݳÏ: 366. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ lim
n
x1 x2 xn a ¨ n
lim n xn 1 xn 0 : ²å³óáõó»É, áñ lim xn a :
n
n
x1 xn : n n
367. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» lim xn , ³å³ lim n
368. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ xn 0 , ³å³
lim
n
n
x1 x2 xn lim xn : n
369. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
lim n
n
xn 0 ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
xn 1 , ³å³ n xn lim
xn 1 : n xn
xn lim
370. ²å³óáõó»É, áñ lim
n n
n e: n!
371. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï: 372. ¸Çóáõù` a1; b1 a2 ; b2 an ; bn : ²å³óáõó»É, áñ
³)
an ; bn ; n 1
µ)
an ; bn
µ³Õϳó³Í ¿ Ù»Ï Ï»ïÇó ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
n 1
lim bn an 0 ;
n
·) ×ßÙ³ñÇ±ï »Ý ³ñ¹Ûáù Ó¨³Ï»ñåí³Í åݹáõÙÝ»ñÁ an ; bn µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 373. ¸Çóáõù N1 ¨ N 2 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn nN ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ
ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ A -Ý ¿, ÇëÏ xn nN ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` B -Ý, ³å³ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ A B -Ý ¿:
¶
1
1
1
1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³Ñ374. лﳽáï»É xn 1 1 a1 a2 an ٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ a1 1, an 1 n 1an 1 :
²å³óáõó»É xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ 375-377. n
375. xn
k 1
1k :
376. xn
k
n 1 n k : 377. xn k k !: n k 1 j 1 n 1 j 2n 1! k 1
xn4 1 44 3 : ²å³óáõó»É, áñ xn 2 : 5 xn xn 1 379. ¸Çóáõùª x1 a ¨ xn , n 1 : ÆÝãåÇëDZ a -»ñÇ ¹»åùáõÙ µáÉáñ 2 xn 1 378. îñí³Í ¿ª x1 2 , xn 1
n -»ñÇ Ñ³Ù³ñ xn -Á ÏÉÇÝÇ áñáßí³Í: 380. ¸Çóáõùª x1 a : ³ ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a 3;4 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xn ѳçáñ¹³xn ϳÝáõÃÛáõÝ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ xn 1 n N ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ; 4 xn µ ·ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ýßí³Í ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: 381. îñí³Í ¿` xn 1
xn yn , yn 1 1 xn2 yn2 , x1 a 0 , y1 b a :
²å³óáõó»É, áñ ³ yn xn , xn (³×áÕ ¿), yn (Ýí³½áÕ ¿); µ) yn 1 xn 1 382. îñí³Í ¿ª xn 1
ba : 4n xn yn , yn 1
xn yn , x1 a 0 , y1 b a : ²å³óáõ2
ó»É, áñ ³) xn , yn ¨ xn , yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý; µ) yn 1 xn 1 383.
xn
¨
yn
y1 b 0, xn 1
ba 2n
n N :
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
x1 a 0,
xn yn , yn 1 2 xn yn å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ xn yn
³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ ë³ÑÙ³ÝÁ: ¶ïÝ»É ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ:
n n 1 n 1 , n N , R : ²å³óáõó»É, áñ n
0
384. ¸Çóáõùª 1 , n
³) »Ã» 1 , ³å³ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Ç í»ñçá ã³×áÕ ¿;
n
µ) »Ã» 1 ,³å³ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Ç í»ñçá ãÝí³½áÕ ¿:
n
t 1 1 : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í t 0; ÃíÇ n 2 1 ѳٳñ an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Ç í»ñçá ³×áÕ ¿, ÇëÏ ó³Ýϳó³Í t ;1 2
385. ¸Çóáõùª an 1
1 n
ÃíÇ Ñ³Ù³ñª Ýí³½áÕ: n
n 1
1 1 , yn 1 : ²å³óáõó»É, áñ n n e 1 ³) n 1 n 1,2, ; xn 2 3 xn yn x yn µ) e n ; e e ·) e xn : 4n 4 2n n n 1 1 1 387. ¸Çóáõùª xn 1 , yn 1 : ²å³óáõó»É, áñ n n 386. ¸Çóáõùª xn 1
1 2 n0 n0 t ѳٳñ, áñ 1 t xn tyn e , »ñµ n n0 ;
³) Ï³Ù³Û³Ï³Ý t 0; ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ
µ) lim
n
·)
xn 1 21n e e xn
0;
e e e xn : 2n 2 2n 1
388. ²å³óáõó»É, áñ. n
n
a e ³) »Ã» a e, ³å³ Ç í»ñçá n ! e ; µ) lim n ! : n n n n 389. ¸Çóáõù n 3 : ²å³óáõó»É, áñ k 1 k k 1k 1 ! n 1 e ³) lim n e ; µ) lim n 0 , áñï»Õ S n : n n e S k 0 k ! n n
a1 an 1 e : an
390. ¸Çóáõù an 0 n N :²å³óáõó»É, áñ lim n
лﳽáï»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (391-394).
, xn 1 1 xn : a 393. x1 0, xn 1 b, a 0, b 0 : xn
392. x1 a, 0 a 1, xn 1 1 xn2 :
391. x1
394. x1
, xn 1 xn xn2 :
395. ¸Çóáõùª xn 1 2 3 n : ²å³óáõó»É, áñ ³) xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï; µ) ó³Ýϳó³Í n ¨ k µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ xn xk 396. ¸Çóáõùª xn a1 a2 an
ai 1, i N :
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »Ã» lim
n
k 1
:
²å³óáõó»É, áñ xn
ln ln an ln 2 : n
397. îñí³Í ¿ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
lim xm 0 , áñï»Õ m -Á m N m -Ç ³ÙµáÕç Ù³ëÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ
m
lim xn 0 :
n
398. ¸Çóáõùª xn 0 ¨ lim xn 0 : ²å³óáõó»É, áñ n
³) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí nk ѳٳñÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ n N
n n
k
n n
µ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí nk ѳٳñÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ n N
k
xn xn k ;
xn xn k :
399. ¸Çóáõù xn -Á áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñÁ µ³í³ñ³-
x1 x2 xn x ¨ lim n 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, n n n n x x2 xn áñ lim 1 0: n n2 a -Ç ¨ b -Ç ÇÝã± ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ñáõÙ ¿ lim
½áõ·³Ù»ï (400-402). 400. x1 a , x2 b , xn 2 4 xn 1 3 xn : 401. x1 a , x2 b , xn 2 xn 1 2 xn :
xn 1 xn : 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ 403. îñí³Í ¿ x1 a , xn 1 a xn xn 402. x1 a , x2 b , xn 2
³) lim xn , »Ã» a 1 ; n
µ) lim xn n
a , »Ã» 0 a 1 : 1 a
2 3 n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
404. лﳽáï»É xn
405. ¸Çóáõùª x1 1 , x2 1 , xn 2 xn 1 xn (üǵáݳãÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ): ²å³óáõó»É, áñ
xn 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ xn
ë³ÑÙ³ÝÁ:
406. ¸Çóáõù x1 a , x2 b , xn 2 pxn 1 qxn ,áñï»Õ a, b, p, q -Ý ïñí³Í ѳëï³ïáõÝ Ãí»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ³) »Ã» 2 p q 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 1 ¨ 2 Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ, ³å³
xn
2 a b 1n 1 1a b n2 1 ; 2 1
µ) »Ã» p q 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 0 0 ÏñÏݳÏÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, ³å³ xn 2a0 b nb a0 n0 2 ; 407. γéáõó»É Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ Ñ³Ù³ñ A ai : i N µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ï³ññ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ: êïáõ·»É, áñ ³Û¹åÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ »Ý:
408. ²å³óáõó»É, áñ ³) ó³Ýϳó³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿; µ) ó³Ýϳó³Í A ÷³Ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ A -Ý ¿: 409. γéáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³) áñÁ ãáõÝÇ í»ñç³íáñ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý; µ) áñÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï í»ñç³íáñ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÁ, µ³Ûó ½áõ·³Ù»ï ã¿; ·) áñÝ áõÝÇ ³Ýí»ñç Ãíáí Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ; ¹) áñÇ Ñ³Ù³ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Çñ³Ï³Ý ÃÇí ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý: 410. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï »Ý ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï, ³å³ A B ¨ A B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ÷³Ï »Ý ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï: ´»ñ»É A ¨ B ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ, áñáÝó ѳٳñ A B ¨ A B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï ã»Ý: 411. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨
lim xn 1 xn 0 , ³å³ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ
n
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ lim x n ; lim x n ѳïí³ÍÝ ¿: n n 412.
γéáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ,
áñÇ Ñ³Ù³ñ
lim xn 1 xn 0
¨
n
x n ; lim x n ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í ÃÇí ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ë nlim n ݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý ¿: 413. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í an ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
xn
an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳïn an
í³Í ¿ ϳÙ, »Ã» xn -Á ½áõ·³Ù»ï ¿` Ï»ï: ´»ñ»É an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÇ ¹»åùáõÙ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 0;1 ѳïí³ÍÝ ¿: 414. ²å³óáõó»É, áñ ³)
xn 1
1 1 ln n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ 2 3 n
(³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¾ÛÉ»ñÇ Ñ³ëï³ïáõÝ ¨ Ýñ³ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÝ ¿ª C 0,577216 );
1 1 ln 2 : n n 1 2n
µ) lim n
415. ²å³óáõó»É ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÁ. ¹Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Ç í»ñçá ÙáÝáïáÝ ¿, lim xn , ÇëÏ yn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ n
lim
n
y n 1 y n y a : ²å³óáõó»É, áñ lim n a : n x x n 1 x n n
416. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Ç í»ñçá ÙáÝáïáÝ ¿, lim xn 0 , n
lim yn 0 ¨ lim
n
lim
n
n
y n 1 y n a , áñï»Õ a R ϳ٠a : ²å³óáõó»É, áñ x n 1 x n
yn a: xn гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (417-422).
1
p N: n 1 n p N: 418. lim p 1p 2 p n p n n p 1 417. lim
n
p 1
p
2p n p
1n n 1n 2 2n : n n 1 22 n n 420. lim : n nn p 1 421. lim ln n 2 1 n : n n 419. lim
422. lim
n
: 2 2 2 2 2 2 n ѳï
423. ¸Çóáõù an ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µÝ³Ï³Ý
a1 an 1: n n
Ãí»ñ »Ý: îñí³Í ¿ª lim n a1a2 an 1 : ²å³óáõó»É, áñ lim n
424. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ó³Ýϳó³Í m, n N , m n , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
xm xn
å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ xn -Á ë³Ñn
ٳݳ÷³Ï ã¿: 425. ¸Çóáõù lim an lim bn : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ n
n
m ¨ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ am an 1 ¨ bm bn 1 : 426. îñí³Í ¿ª xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
lim xn 2 xn 1 xn 2 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ lim xn xn 1 0 :
n
n
427. ¸Çóáõù xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ xn 1 xn an å³ÛÙ³ÝÇÝ, áñï»Õ an 0
n N
¨ ó³Ýϳó³Í k -Ç
k
ѳٳñ
an 1 : ²å³óáõó»É, áñ
xn -Á ½áõ·³Ù»ï ¿:
n 1
428. ¸Çóáõù X n : n N -Á áã ¹³ï³ñÏ, ÷³Ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï Ý»ñ¹ñí³Í Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ÁÝï³ÝÇù ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³) X n ; n N
µ)
X n -Á ϳ½Ùí³Í ¿ Ù»Ï Ï»ïÇó, ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ n N
lim sup X n inf X n 0 ;
n
·) µ»ñ»É
X n : n N
³ÛÝåÇëÇ ûñÇݳÏ, áñ
Ý»ñ¹ñí³Í ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇ
X n ; n N
¹) µ»ñ»É X n : n N Ý»ñ¹ñí³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ûñÇݳÏ, áñÇ Ñ³Ù³ñ
X n : n N
¶ÉáõË
üáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý ê ³ Ñ Ù ³ Ý ³ ÷ ³ Ï
ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ : f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿
ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ sup f x x X
sup f x : x X ¨ inf f x inf f x : x X Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³å³x X
ï³ë˳ݳµ³ñ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ ¨ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ»ñ: ºÃ» f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»-
x X
ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý sup f x inf f x : x X
f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ a Ï»ïáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a Ï»ïÇ U a ßÁñç³Ï³Ûù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ X U a µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ f -Ç ÁݹáõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç ë ³ Ñ Ù ³ Ý : ¸Çóáõù a -Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿: A ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ f : X R ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý a Ï»ïáõÙ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª A lim f x , »Ã» x a
0 0 x X 0 x a f x A
(ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý Áëï ÎáßÇÇ): àñå»ë½Ç A ÃÇíÁ ÉÇÝÇ f ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÝ a Ï»ïáõÙ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ó³Ýϳó³Í xn a x n X , x n a , n 1,2,... ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ y n f x n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ó·ïÇ A -Ç (ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý Áëï гÛÝ»Ç): ²ëáõÙ »Ý, áñ f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý a Ï»ïáõÙ áõÝÇ ³Ýí»ñç ë³ÑÙ³Ý ¨ ·ñáõÙª ³) lim f x , µ) lim f x , ·) lim f x , »Ã» x a
x a
x a
0 x a f x E , 0 x a f x E :
³) E 0 0 x X 0 x a f x E , µ) E 0 0 x X ·) E 0 0 x X
¸Çóáõù -Ç ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûù X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï áõÝÇ áã ¹³ï³ñÏ Ñ³ïáõÙ: A ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f : X R ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý ³Ýí»ñçáõÙ ¨ ·ñáõÙ lim f x A , »Ã» x
0 0 x X x f x A : гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ -áõÙ ¨ -áõÙ: »áñ»Ù: ºÃ» f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý a Ï»ïáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, ³å³ f -Ý a Ï»ïáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
Î á ß Ç Ç ë Ï ½ µ áõ Ý ù Á : àñå»ë½Ç f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý a X ' Ï»ïáõÙ áõݻݳ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ 0 0 x1 , x2 X 0 x1 a ¨ 0 x 2 a f x1 f x 2 :
»áñ»Ù: ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÝ a Ï»ïáõÙ áõÝ»Ý í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, ³å³ f g , f g ¨, »Ã» lim g x 0 , f x g x ýáõÝÏódzݻñÁ ÝáõÛÝå»ë áõÝ»Ý í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, Áݹ x a
áñáõÙª
lim f x g x lim f x lim g x ,
x a
x a
xa
lim f x g x lim f x lim g x ,
x a
xa
x a
lim f x
lim x a
f x x a : g x lim g x xa
Ø Ç ³ Ï á Õ Ù ³ Ý Ç ë ³ Ñ Ù ³ Ý Ý » ñ : Ø ³ ë Ý ³ Ï Ç ë ³ Ñ Ù ³ Ý Ý » ñ : ¸Çóáõù X µ³½ÙáõÃÛ³Ý a Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ïÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ a ; a ÙÇç³Ï³ÛùÝ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï áõÝÇ áã ¹³ï³ñÏ Ñ³ïáõÙ: A ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ f : X R ýáõÝÏódzÛÇ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý a Ï»ïáõÙ, »Ã»
0 0 x X a x a f x A : ÜáõÛÝ Ó¨áí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ a Ï»ïáõÙ: ҳ˳ÏáÕÙÛ³Ý ¨ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ Ý߳ݳÏíáõÙ »Ý lim f x f a 0 ¨ lim f x f a 0 : x a 0
x a 0
¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ a ; a ¨ a; a ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï áõÝÇ áã ¹³ï³ñÏ Ñ³ïáõÙ: àñå»ë½Ç a Ï»ïáõÙ f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý áõݻݳ ë³ÑÙ³Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ a Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý ýáõÝÏódzÛÇ
f a 0 f a 0 : A ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ f : X R ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý Ï³Ù ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ñÅ»ù a Ï»ïáõÙ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xn a ( xn X , xn a, n 1,2,... ) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ
ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ¨ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ
ѳٳñ y n f x n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ó·ïáõÙ ¿ A -Ç: îñí³Í a Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ (ٻͳ·áõÛÝÁ)
x a
ÏáãíáõÙ ¿ ëïáñÇÝ (í»ñÇÝ) ë³ÑÙ³Ý ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª lim f x lim f x : àñå»ë½Ç üáõÝÏóÇ³Ý x a
ïñí³Í Ï»ïáõÙ áõݻݳ ë³ÑÙ³Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³Û¹ Ï»ïáõÙ Ýñ³ ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ
ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳÙÁÝÏÝ»Ý:
² Ý í » ñ ç Ù » Í ¨ ³ Ý í » ñ ç ÷ á ù ñ ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ : f ýáõÝÏóÇ³Ý a Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã» lim f x 0 : ÆëÏ »Ã» lim f x , ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý a Ï»x a
x a
ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ù»Í: ¸Çóáõù f -Á ¨ g -Ý X -Ç íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódzݻñ »Ý, a X ' ¨ g -Ý a -Ç ßñç³Ï³ÛùáõÙ Ý»ñϳ۳óí³Í ¿ g x x f x ï»ëùáí:
1) ºÃ» -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý g x O f x , »ñµ x a : ºÃ» ݳ¨ f x O g x ,»ñµ x a , ³å³ f -Á ¨ g -Ý ÏáãíáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç ýáõÝÏódzݻñ x -Á a -Ç Ó·ï»ÉÇë: 2) ºÃ» lim x 1 , ³å³ f -Á ¨ g -Ý ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù (³ëÇÙåïáïáñ»Ý ѳٳñx a
Å»ù) ýáõÝÏódzݻñ x -Á a -Ç Ó·ï»ÉÇë: ²Ûë ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ý f x ~ g x , x a : 3) ºÃ» lim x 0 , ³å³ g -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f -Ç Ýϳïٳٵ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¨ ·ñáõÙª x a
g x o f x , »ñµ x a : سëݳíáñ³å»ë, »Ã» ·ñí³Í ¿ g x o 1 , x a , Ý߳ݳÏáõÙ ¿ g -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ x -Á a -Ç Ó·ï»ÉÇë: ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ (Ù»Í ¿), »ñµ x a : ºÃ» f -Ý a Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ Ý»ñϳ۳óí³Í ¿ f x g x o g x ï»ëùáí, ³å³ g -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f -Ç ·É˳íáñ Ù³ë:
² 429. òáõÛó ï³É f x ýáõÝÏódzÛÇ ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ. ³) f x ·) f x
sin x 6 ; 1 x4 x
1 x2
430. лﳽáï»É
x ; 1 x2 1 x2 ¹) f x : 1 x4 µ) f x
;
f x ln x sin 2
x
ýáõÝÏódzÛÇ ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ
0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 431.
inf
êïáõ·»É,
x0;
áñ
f x
x 1 x
ýáõÝÏódzÛÇ
ѳٳñ
sup f x 1 ,
x0;
f x 0 :
гßí»É f x ýáõÝÏódzÛÇ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ »½ñ»ñÁ Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ (432-438).
, ; : 1 x2 2x 434. f x , ; : 435. f x x , 0; : x 1 x 436. f x sin x cos x , ³) 0;2 , µ) R : 432. f x x 2 , 2;5 :
433. f x
437. f x x , ³) 0;2 , µ) 0;2 :
438. f x cos x 2 x 1 , 0;1 : § ¦ É»½íáí Ó¨³Ï»ñå»É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ (439-441). 439. ³) lim f x b ; µ) lim f x b ; ·) lim f x b : x
x
x
440. ³) lim f x ; µ) lim f x ;
·) lim f x :
441. ³) lim f x ;
·) lim f x :
x a 0
x a 0
x
x a 0
µ) lim f x ; x
x
ºÉÝ»Éáí ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª ³å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (442-445).
3x 2 4 x 1 2: x 1 x 1 x2 4x 5 7 444. lim : x 2 x2 1 442. lim
x 3 3x 2 9: x 3 x3 3x 2 5 x 7 445. lim 3: x x2 1 443. lim
446. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x0 Ï»ïÇ áñ¨¿ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý g1 x
f x g 2 x x x0 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ lim g1 x lim g 2 x x x0
x x0
a , ³å³ lim f x a : x x0
447. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³) ó³Ýϳó³Í x0 a; b Ï»ïáõÙ f -Ý áõÝÇ f x0 0 ¨ f x0 0 í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ; µ) a ¨ b Ï»ï»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ: 448. êïáõ·»É, áñ x 0 Ï»ïáõÙ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ.
1 ; µ) f x sin ; ·) f x sgn sin : x x x 449. êïáõ·»É, áñ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ, »ñµ x . ³) f x cos x ; µ) f x x x : 450. ¸Çóáõù f x ¨ g x ýáõÝÏódzݻñÁ x0 Ï»ïáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝ»Ý: лï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù ¹ñ³ÝÇó, áñ f x g x ¨ f x g x ýáõÝÏódzݻñÁ ³) f x arctg
ÝáõÛÝå»ë ë³ÑÙ³Ý ãáõÝ»Ý: 451. îñí³Í ¿
P x a0 a1 x an x n
²å³óáõó»É, áñ lim P x : x
n N ,
an 0 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ:
452. îñí³Í ¿ Q x
a0 a1 x an x n an 0, bm 0 é³óÇáÝ³É ýáõÝÏb0 b1 x bm x m
ódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ
an b »ñµ n m, m lim Q x 0, »ñµ n m, x , »ñµ n m : гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (453-475).
1 x 1 5 x : x2 1 lim 2 : 454. lim x 0 2 x x 1 x 0 x2 x5 1 mxn 1 nx m , m, n N : lim x 0 x2 x 3 3x 2 x3 2x 2 4 x 8 lim 4 : 457. lim : x1 x 4 x 3 x 2 x 4 8 x 2 16 x 1 x 2x 3x 4 x 5 : lim x 5 x 15
453. 455. 456. 458.
2 x 320 3x 20 30 : x 2 x 150
460. lim
x x2 xn n : x 1 x 1
462. lim
459. lim
x 2
x x x x 1
x
465. lim
x a
x2 a2
467. lim
9 2x 5 : x 2
x 8
469. lim x 2 x
x2
12 x 16
:
1 x 3 : x 2
464. lim
:
x a xa
x
xm 1 , m, n N : x 1 x n 1
461. lim
463. lim
x
x 8
466. lim
:
x 16
468. lim
x
x 2 2 x 1 x : 470. lim
x 0
x 2 : x 4
x a x b x :
1 2 x x 2 1 x : x
471. lim
8 3x x2 2 : x x2
472. lim 3
473. lim
x2 3 : x9 2
474. lim n
x 0
x 7 4
x 0
m x 1
1 x 1 x : 1 x 3 1 x x 1 : x 1
P x 1 , áñï»Õ P x a1 x a2 x 2 an x n : x 476. ú·ïí»Éáí sin x x tgx , x 0; , ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ³å³ 2 sin x óáõó»É, áñ lim 1: x 0 x 475. lim
m 1
x 0
477. ²å³óáõó»É, áñ ³) lim sin x sin a ;
µ) lim cos x cos a ;
x a
·) lim tgx tga , a x a
x a
2n 1 , n Z ; ¹) lim ctgx ctga , a n , n Z : x a
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (478-493).
sin x : x sin x lim , 0: x 0 sin x tg 3x lim : x 0 sin 5 x sin x sin a lim : x a xa 1 cos x lim : x 0 x2 cos x cos 3 x lim : x 0 x2
478. lim
x
480. 482. 484. 486. 488.
x : 4
490. lim tg 2 xtg x
cos 3x 3 1 : x 0 sin 6 2 x
492. lim
sin x a : xa tgx 481. lim : x 0 x 479. lim
x a
483. lim x 2 ctg 2 x : x 0
tgx tga : xa tgx sin x 487. lim : x 0 sin 3 x 1 sin x cos x 489. lim : x 0 1 sin px cos px 485. lim
x a
491. lim
x 0
1 cos x 2 : 1 cos x
493. lim x 2 cos x
3 cos : x x
x
xn 1 494. ²å³óáõó»É, áñ ³) lim 1 e ; µ) lim x 0 : x x e x ln 1 x 495. ²å³óáõó»É, áñ ³) lim ln x ln a a 0 ; µ) lim 1: x a x 0 x a x 1 496. ²å³óáõó»É, áñ ³) lim a x a b a 0 ; µ) lim ln a a 0, a 1 : x 0 x b x 1 x 1 : 496.1. ²å³óáõó»É, áñ lim x 0 x 497. ¸Çóáõùª lim u x 0 , ÇëÏ v x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ x a
v x
áõÝÇ lim u x v x : ²å³óáõó»É, áñ lim 1 u x x a
x a
lim u x v x
e x a
497.1. ³) ¸Çóáõù u x 0 , lim u x b ¨ lim vx c x a
vx
²å³óáõó»É, áñ lim u x x a
x a
:
b , 0 c :
bc :
µ) ¸Çóáõù u x 0 , lim u x b ¨ lim v x : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x a
vx
b 1 , ³å³ lim u x x a
x a
0:
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (498-510). 1 x
1 x
1 x 1 x 498. ³) lim ; x 0 2 x
1 x 1 x µ) lim : x 2 x
x3 x 1 1 x
3x 499. ³) lim 2 x 2 x x 1 x 1 x 2 1 x 1
500. ³) lim 2 x x 1
;
µ) lim tg x x 0 8
502. ³) lim cos x x 0
x 2
;
:
x
;
x 2 µ) lim : x x 2
x2
x2 1 ; 501. ³) lim 2 x x 2
tg 2 x
µ) lim 1 x x x 0
x 1
ctgx
µ) lim1 sin x
: :
x 1
1 tgx sin x 503. ³) lim ; x 0 1 sin x ln x ln a 504. ³) lim ; a 0 ; x a xa ln tgx 505. ³) lim ; 1 ctgx x
cos x x 2 µ) lim : x 0 cos 2 x ln x h ln x h 2 ln x µ) lim : h 0 h2 ln x 2 4 x 4 µ) lim : x ln x10 5 x 2
1 x2x x 2 ; 506. ³) lim x 0 1 x3 x x ln x e 507. lim : x 0 ln 1 xe x
n a n b n
508. lim
x 0
ctg 2 x
:
1 sin x 1 : ln 1 tgx
n
a 0, b 0 :
509. lim
ln 1 3x ; x ln 1 2 x
510. ³) lim
2 x µ) lim x 0 2 xe x
ln 1 3x : x ln 1 2 x
µ) lim
511. лï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ.
e x ex , x R (ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ëÇÝáõë), e x e x chx , x R (ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ÏáëÇÝáõë), shx thx , x R (ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ï³Ý·»Ýë), chx chx cthx , x R \ 0 (ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý Ïáï³Ý·»Ýë): shx ²å³óáõó»É, áñ ³) lim shx shx0 ; µ) lim chx chx0 ; ·) lim thx thx0 ; shx
x x0
x x0
x x0
¹) lim cthx cthx0 x0 0 : x x0
512. ²å³óáõó»É, áñ ³) lim
x 0
shx thx chx 1 1 1 ; µ) lim 1 ; ·) lim : x x x x x2
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (513-515).
shx sha : x a xa
chx cha ln chx : 515. lim : x a x 0 ln cos x xa arcsin x arctgx 516. ²å³óáõó»É, áñ ³) lim 1 ; µ) lim 1: x 0 x 0 x x 513. lim
514. lim
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (517-520).
x arctg : x 1 4 arctg x h arctgx 519. lim arccos x x x : 520. lim : x h 0 h 521. îñí³Í ¿ y f x ýáõÝÏódzÝ: § ¦ É»½íáí Ó¨³Ï»ñå»É, û DZÝã ¿ Ýß³517. lim arcsin x
1 x : 1 x
518. lim x x
ݳÏáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý Ý»ñù¨Çó ϳ٠í»ñ¨Çó. ³) y b 0 , »ñµ x a ; µ) y b 0 , »ñµ x ; ·) y b 0 , »ñµ x a 0 ; ¹) y b 0 , »ñµ x : гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ å³ñ½»É, û ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ë³ÑÙ³ÝÇÝ Ó·ïáõÙ ¿ í»ñ¨Ç±ó, û± Ý»ñù¨Çó (522-525).
2x ; x 1 x
2x : x 1 x
522. ³) lim
523. ³) lim arctg x 1 0
524. ³) lim
µ) lim
; 1 x
µ) lim arctg x 1 0
µ) lim
x
x 0
x 0
: 1 x ;
:
1 e 1 e x ln 1 e x ln 1 e x 525. ³) lim ; µ) lim : x x x x ¶ïÝ»É f x0 0 -Ý ¨ f x0 0 -Ý (526-534).
526. f x 528. f x 530. f x
x x 2x
527. f x 2ctgx , x0 0 :
, x0 0 :
31 x 1 x
2 1 x2 x2 1
x3
3 x
, x0 3 :
, x0 1 : 529. f x sgn cos x , x0
:
531. f x x x 2 , x0 10 :
532. f x
xn , x0 1 : n 1 xn
, x0 1 : x x
533. f x lim
2xn 3 , x0 1 : n x n 1 ¶ïÝ»É lim f x -Á ¨ lim f x -Á (535-537).
534. f x lim
x
x
x
x
1 536. f x 1 : x
1 x 535. f x : 1 2x 537. f x ln 1 x x :
538. êïáõ·»É, áñ »Ã» f x o1 ,
g x o1 ¨
f ~ g , »ñµ x a , ³å³
f g o f , »ñµ x a : 539. ²å³óáõó»É, áñ ³) O 1 O1 O1 ;
µ) o1 O1 O 1 ;
·) O f x o f x O f x ;
¹) o1 o1 o1 ;
») oo f x o f x ; ½) O o f x o f x : 540. ¸Çóáõù x 0 ¨ m n 0 : ²å³óáõó»É, áñ
³) O x n O x m O x n ; µ) O x n O x m O x m n : 541. ¸Çóáõù x ¨ m n 0 : ²å³óáõó»É, áñ
³) O x n O x m O x m ; 542. ¸Çóáõùª x 0 : ²å³óáõó»É, áñ ³) 2 x x 2 O x ;
µ) x sin
µ) O x n O x m O x m n :
x O x2 ;
·) x sin
O x : x
543. ¸Çóáõùª x : ²å³óáõó»É, áñ
x 1 1 O ; x2 x x arctgx 1 ·) O 2 ; 1 x2 x ³)
µ) x x 2 sin x 2 O x 2 ;
¹) x p e x o x 2 :
544. ²å³óáõó»É, áñ
1 2 x , »ñµ x 0 ; 1 1 ·) arctg ~ ,»ñµ x ; x x ³) 1 cos x ~
µ) tg x 1 ~ x 1 ,»ñµ x 1 ; ¹) tgx sin x ~
1 3 x ,»ñµ x 0 ;
»)
½) x 2 x ln100 x ~ x 2 ,»ñµ x :
x x x ~ 8 x ,»ñµ x 0 ;
545. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨»ñÁ x 0 . ³) sin x x o x ;
µ) tgx x o x ;
·) e x 1 x o x ;
¹) a x 1 x ln a o x ;
») ln 1 x x o x ;
½) 1 x 1 x o x ;
¿) arcsin x x o x ; Á) arctgx x o x : 546. ²å³óáõó»É ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Áª
p 1 O , x : x
x 2 px q x
ú·ïí»Éáí 545 ËݹñáõÙ µ»ñí³Í ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨»ñÇóª ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (547-557).
e sin 5 x esin x : x 0 ln 1 2 x
ln cos 5 x : x 0 ln cos 4 x
548. lim
547. lim
549. lim
x 0
x2 2 : 550. lim x 0 ln cos 3 x sin sin tg
tg 2 x 3 arcsin 4 x : sin 5 x 6arctg 7 x
arctg 2 x sin x 2 : x 2 x2 4
552. lim
551. lim
553. lim
x 3 10 x cos x sin 3 x 1 1 x3
x 0
554. lim
:
x arcsin x e 7 x 1 555. lim : x 0 ln 1 3 x ln 1 3 x
557. lim
556. lim
x 0
ln 1 x x 2 arcsin 2 x 3x 3
2 sin x 2 x 3 ln 1 x
x 0
x 0
1 x 2 x3 1 : ln cos x
:
x x x
sin 2 x 2tgx 2 1 cos 2 x 3 : tg 7 6 x sin 6 x
:
sin 3 x tg 2 x e x 1 558. ¸Çóáõù f -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, »ñµ x a : γë»Ýù, áñ f -Á x a -Ç x 0
k
Ýϳïٳٵ k -ñ¹ ϳñ·Ç k 0 ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, »Ã» f -Ý áõ x a -Á ÙǨÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç »Ý: àñáᯐ ³Ýí»ñç ÷áùñ ýáõÝÏódzÛÇ Ï³ñ·Á, »ñµ x 0 . ³) f x 1 x 1 x ;
µ) f x 1 2 x 3 1 3 x ;
·) f x 4 x 4 x 2 2 ;
¹) f x sin x 2 9 3 ;
½) f x 1 x 4 cos 2 x :
») f x 2 x 1 ;
559. ¸Çóáõù f -Ý ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, »ñµ x a : γë»Ýù, áñ f -Á
-Ç Ýϳïxa
ٳٵ (»Ã» a ª x -Ç Ýϳïٳٵ) k -ñ¹ ϳñ·Ç k 0 ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, »Ã»
f -Ý áõ
-Á ( x k -Á) ÙǨÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç »Ý: àñáᯐ ³Ýí»ñç Ù»Í ýáõÝÏódzÛÇ x a k
ϳñ·Á.
x , »ñµ x ; x 2 2 x 1 x ln x µ) f x ,»ñµ x 1 ; ·) f x ctg 2 x 3 ,»ñµ x 0 ; x 12 ³) f x
¹) f x
1 cos x cos 2 x ,»ñµ x 0 : x5
ä³ñ½»É û Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó áñá±Ýù »Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ (560-562). 560. f x
1 cos x , x0: 1 cos x
561. f x sin ln x 2 1 sin ln x 2 1 , x : 562. f x
1 2x
³) »ñµ x ; µ) »ñµ x :
ä³ñ½»É û Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó áñá±Ýù »Ý ³Ýí»ñç Ù»Í (563-566). 563. f x x x 2 1 x , ³) x ; µ) x :
564. f x 565.
cos x
, x
:
1 sin x f x 1 x ³) x 0 ; µ) f x chx shx ³) x ;
x2
x 0 : µ) x :
566. 567. ¸Çóáõùª x 1 : лï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó ³Ýç³ï»É ·É˳íáñ Ù³ëÁ n
C x 1 ï»ëùáí ¨ áñáᯐ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ Ï³ñ·Á x 1 -Ç Ýϳïٳٵ. x
³) y 3 1 x ; µ) y ln x ; ·) y e e ; ¹) y x x 1 : 568. ¸Çóáõùª x : лï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó ³Ýç³ï»É ·É˳íáñ Ù³ëÁ
Cx n ï»ëùáí ¨ áñáᯐ ³Ýí»ñç Ù»ÍÇ Ï³ñ·Á x -Ç Ýϳïٳٵ.
2x5 ; µ) y x 2 x x ; x 3x 1 569. гßí»É lim f x -Á ¨ lim f x -Á, »Ã»
·) y 1 1 x :
³) y
x 0
x 0
1 2 arctg ; µ) f x 2 x 2 cos : x x x 570. гßí»É lim f x -Á ¨ lim f x -Á, »Ã»
³) f x sin 2
x
x
³) f x sin x ; ·) f x
µ) f x x 2 cos 2 x ;
cos 2 x arctgx :
571. ²å³óáõó»É, áñ ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏódzݪ
1, »Ã» x - Á é³óÇáÝ³É ¿, x 0, »Ã» x - Á Çé³óÇáݳ É ¿ , áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ: 572. γéáõó»É ýáõÝÏódz, áñÁ ÙdzÛÝ Ù»Ï Ï»ïáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý:
´ 573. ¸Çóáõù f1 x ¨ f 2 x ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²å³óáõó»É, áñ sup f1 x f 2 x sup f1 x sup f 2 x ;
inf f1 x f 2 x inf f1 x inf f 2 x : γéáõó»É f1 x ¨ f 2 x ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ³) µ»ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ËÇëï, µ) ï»ÕÇ áõݻݳ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ: 574. ¸Çóáõù
0, f x n,
»Ã» x -Ý Çé³óÇáÝ³É ¿, »Ã» x
m Q (³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿ ¨ n N ): n
²å³óáõó»É, áñ f x -Á áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿: 575. ²å³óáõó»É, áñ èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ª
1 , R x q 0,
»ñµ x
p (³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿ ¨ q N ), q
»ñµ x -Ý Çé³óÇáÝ³É ¿, µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: 576. ¸Çóáõù y R x -Á èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ¨ f y sgn y : êïáõ·»É, áñ
lim R x 0 , lim f y 1 , ë³Ï³ÛÝ f R x µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý x0 0 Ï»x 0
y 0
ïáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ: 577. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x b , »ñµ x a ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý lim f x b , x a
lim g y ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, ³å³ a Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ g f x µ³ñ¹ y b
ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ lim g f x lim g y : x a
y b
577.1. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý lim f x b ¨ lim g y g b x a
y b
ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, ³å³ a Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ g f x µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ lim g f x g b : x a
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (578-585).
x 1x 2 1 x n 1 :
578. lim
x n 1 n 1x n , n N : x 1 x 12
579. lim
n 1
nx 1
x
n
x
580. lim
n
x a
a n na n 1 x a , n N : x a 2
x2 n m , m , n N : 582. lim : x 1 1 x m x 0 5 1 5 x 1 x 1 xn
581. lim
m
1 x n 1 x 1 , m, n N : x 0 x 1 x 1 3 x 1 n x 584. lim , n N : x 1 1 x n 1 583. lim
x a1 x a2 x an x : 586. ÀÝïñ»É ai ¨ bi i 1,2 Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝ»Ý 585. lim
x
n
lim x 2 x 1 a1x b1 0 , lim x 2 x 1 a2 x b2 0 x
x
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 587. ÀÝïñ»É ¨ Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ n
f x ak x 2 bk x ck x ak 0, k 1, 2,..., n k 1
ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »ñµ x : гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (588-609).
cos a 2 x 2 cos a x cos a : x 0 x2 ctg a 2 x 2ctg a x ctga 589. lim : x 0 x2 1 cos x cos 2 x cos 3x tg a x tg a x tg 2 a 590. lim : 591. lim : x 0 x 0 1 cos x x2 x2 cos x 3 cos x 592. lim : 593. lim : x 0 1 x sin x cos x x 0 sin 2 x 588. lim
1 cos x cos 2 x 3 cos 3 x 594. lim : x 0 x2
x
a x b1 , a1 , a2 0 ; 595. lim 1 x a x b 2 2
1 tgx sin 3 x 596. lim : x 0 1 sin x
tgx
597. lim sin x x
ln tg ax 599. lim : x 0 sin bx
m
cos x m cos x 598. lim : x 0 x2
1 sin x cos x 600. lim x 0 1 sin x cos x
ctg 3 x
sin 2 2 x : x 1 ln cos 2 x
602. lim
a x ab , a0; x b x b x a 605. ³) lim , a0; x a x a 604. ³) lim
:
:
sin x : x 1 sin x
601. lim
603. lim x0
e x e x
:
sin x sin x
a x xa , a0: x a x a xx aa µ) lim : x a x a µ) lim
x
a
aa a x 606. lim x , a0: x a a a a x a x b x a x b 607. lim : x x a b 2 x a b
a x 1 b x 1 c x 1 x , a, b, c 0 : 608. lim x 0 a bc
a x 2 bx2 609. lim x x 0 a b x
x , a, b 0 : 610. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a 1, n 0, 0 , ³å³ xn 0; x a x
³) lim
µ) lim
x
log a x 0; x
·) lim x log a x 0 : x 0
гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (611-625). n2
ln ax ch n , a 1 : 612. lim : 611. lim ln x ln a ln ln x x 0 n cos n a cos x cos 2 x cos nx n 613. lim : x 0 sin x 2 sin x sin 2 x sin nx tgx tg 2 x tgnx 614. lim : 615. lim : x 0 x arctgx 1 2x 1 x ln sin esin x e sin 2 x 2 : 616. lim : 617. lim 3 x x 3 x x x ln x 2 cos 2 x 16 2 618. lim : 619. lim : x 1 x 2 ln x 2 x 1 x 1
x arccos 2 x 621. lim tg : x 1 0 4 x n 1 xn2 x 2n : 622. lim n n 1 ! n ! n ! arccos x 620. lim : x 1 0 ln x
n
623. lim 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x 2 , x 1 : n
an x x x , a 0 : 625. lim cos cos cos n : n 1 a 1 a 2 1 a n n -Ç ¨ -Ç ÇÝãåÇëÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ³Ý-
624. lim
í»ñç ÷áùñ (626-630). 626. f x
xe x x ex 1
³) x ; µ) x :
627. f x x 4e x x , x :
628. f x ln 1 e 3 x x 629. f x xarctgx x
³) x ; µ) x : ³) x ; µ) x :
ln 1 x , x 0 : x 631. ¸Çóáõù` x 0 : ¶ïÝ»É f x ýáõÝÏódzÛÇ ·É˳íáñ Ù³ëÁª Cx ï»ëùáí. 630. f x
2 sin x
³) f x cos x
e x ;
µ) f x 3 cos 6 x 1 2 ln 1 x 2 :
632. гßí»É lim f x -Á ¨ lim f x -Á, »Ã» x a
x a
³) f x 2sin x , a ; ·) f x e
cos
x2
») f x arctg
, a0;
x , a ; 1 x sin 2 x 1 1 1 ¹) f x , a0; x2 x x µ) f x
sin , a 2: x2 x2
633. ¶ïÝ»É f x ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ. ³) f x sin
, x0; x
µ) f x
, x: x x
634. ²å³óáõó»É, áñ lim cos 4 x sin x 2 : x
γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (635-640). 635. y lim 1 x n , x 0 :
636. y lim x 1arctgx n :
637. y lim 1 e n x 1 :
638. y lim
n
n
n
n
n
tx
t ln , x 0 : tx x
639. y lim
xtg 2 n 4x x
n
tg 2 n 4x 1
, x 0:
640. y lim x sgn sin n !x : n
¶ 641. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ a; µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ó³Ýϳó³Í a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ
f x lim f x 1 f x ; x x f x 1 µ) lim f x x lim f x c 0 , x x f x ³) lim
x
»Ýó¹ñ»Éáí, áñ ³ç ÏáÕÙáõÙ ·ñí³Í ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ í»ñç³íáñ »Ý:
1 x 642. гßí»É Ñ»ï¨Û³É ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) lim ln x ; µ) lim : x x x 643. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ a; µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ó³Ýϳó³Í a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ f x lim f x 1 f x , ³å³ lim x x x 644. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ a; µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ó³Ýϳó³Í a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f x 1 f x lim l x xn x
í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³
f x l : n 1 n 1 x 645. ¸Çóáõù mn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ m -Ç Ýϳïٳٵ ѳí³ë³ñ³ã³÷ lim
x
Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ n . 0 n0 N m, n N
n n0 mn :
²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý x 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ, f x 0 ¨ lim
x 0
g x 1 , ³å³ f x
lim g 1n g 2n g nn lim f 1n f 2n f nn ,
n
n
ÁݹáõÝ»Éáí, áñ ³ç ÏáÕÙáõÙ ë³ÑÙ³ÝÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇóª ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (646-649). n
k
3 1 n 2 n
646. lim
k 1 n
1 :
n
ka
sin n 2 : n
647. lim
k 1
n ka 1 , a 0 : 649. lim cos : n n n k 1 650. ¶ïÝ»É f x -Á, »Ã» f 0 1 , f 2 x f x cos 2 x ¨ lim f x 1 :
k 1
a n
648. lim
k
n2
x 0
651. ¸Çóáõù x0 m , xn m sin xn 1
n N ,0 1 :
²å³óáõó»É, áñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ x sin x m ѳí³ë³ñÙ³Ý (λåÉ»ñÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý) ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙÁ: 652. ²å³óáõó»É, áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý ³Ýí»ñçÇ Ó·ïáÕ f1 x , f 2 x ,..., f n x ,...
x0 x
ýáõÝÏódzݻñÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f x ýáõÝÏódz, áñÝ ³í»ÉÇ
³ñ³· ¿ ³×áõÙ, ù³Ý f n x -»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ. ó³Ýϳó³Í n -Ç Ñ³Ù³ñ
lim
x
f x f n x
653. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý: ²å³óáõó»É, áñ f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 654. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý »Ý: гÛïÝÇ ¿, áñ lim f x g x 0 : ²å³óáõó»É, áñ x
f x g x : 655. ¸Çóáõù f : 0; R ýáõÝÏóÇ³Ý 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ó³Ýϳó³Í x ¨ y ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f x y f x f y : ²å³óáõ-
f x ë³ÑÙ³ÝÁ (í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç): x x 656. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÙáÝáïáÝ ¿, ¹ñ³Ï³Ý ¨ f 2 x lim 1 : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í C ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ x f x f Cx lim 1: x f x ó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim
657. îñí³Í ¿ª , R , : ²å³óáõó»É, áñ lim sin x sin x 1 : x
658. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ R -Ç íñ³ ¨ ó³Ýϳó³Í a -Ç Ñ³Ù³ñ
a lim f 0 : лï¨á±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ï»ÕÇó, áñ x 0 Ï»ïáõÙ f x ýáõÝÏn n óÇ³Ý áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý:
¶ÉáõË
²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ, ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç ³ Ý Á Ý ¹ Ñ ³ ï áõ Ã Û áõ Ý Á : f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 X Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï, »Ã»
0 0 x X x x0 f x f x0 : ºÃ» f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý X -Ç íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¨ ·ñáõÙª f C X : ºÃ» áñ¨¿ x0 X Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁݹѳï ã¿, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ˽íáÕ ýáõÝÏódz , ÇëÏ x0 -ݪ ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï:
f : a; b R ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÁ ¹³ë³Ï³ñ·íáõÙ »Ý »ñÏáõ ë»éÇ. x0 a; b Ë½Ù³Ý Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ë»éÇ, »Ã» f -Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ áõÝÇ f x0 0 ¨ f x0 0 í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ: Àݹ áñáõÙ, »ñµ f x0 0 f x0 0 ª ˽áõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³óÝ»-
ÉÇ: ÆëÏ »ñµ f x0 0 f x0 0 , ³Û¹ ¹»åùáõÙ f x0 0 f x0 0 ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý x0 Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ÃéÇãù: гïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ Ë½áõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ë»éÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÁ: ºÃ» ýáõÝÏódzÛÇ Ë½áõÙÁ ³é³çÇÝ ë»éÇ ã¿, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý »ñÏñáñ¹ ë»éÇ Ë½áõÙ: ² Ý Á Ý ¹ Ñ ³ ï ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç É á Ï ³ É Ñ ³ ï Ï áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ Á : ºÃ» f : X R ýáõÝÏódzÝ
f x0 p
x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ x0 Ï»ïáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ºÃ» ݳ¨
f x0 q ,
³å³
·áÛáõÃÛáõÝ
x X x0 , x0 Ï»ïáõÙ f x p
áõÝÇ
0
³ÛÝåÇëÇÝ,
áñ
ó³Ýϳó³Í
f x q :
¸Çóáõù g : X R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ f g ,
f ýáõÝÏódzÝ, »Ã» g x0 0 , ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý x0 Ï»ïáõÙ: g ºÃ» f : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 X Ï»ïáõÙ, ÇëÏ g : Y Z ýáõÝÏódzÝ
fg ýáõÝÏódzݻñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ y 0 f x0 Ï»ïáõÙ, ³å³ z g f x µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 Ï»ïáõÙ: ² Ý Á Ý ¹ Ñ ³ ï ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç · É á µ ³ É Ñ ³ ï Ï áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ Á: ¸Çóáõù f C a; b : ²Û¹ ¹»åùáõÙ.
³) »Ã» f a f b 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c a; b , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f c 0 (´áÉó³ÝáÎáßÇÇ Ã»áñ»Ù); µ) f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ (ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»Ù);
·) »Ã»
a; b -áõÙ,
f -Á ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿
f a ; f b ( f b ; f a ) ѳïí³ÍÝ ¿, ¨
f
1
гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ: ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, »Ã»
0 0 x1 , x 2 X
³å³
f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý Ïáãíáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷
x1 x2 f x1 f x2 :
´³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ÏáãíáõÙ ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý µ³ó ͳÍÏáõÛÃ, »Ã» X : ºÃ» 0 í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ X 0 , ³å³ 0 -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Í³ÍÏáõÛÃÇó ³Ýç³ïí³Í í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: ´áñ»É-È»µ»·Ç É»ÙÙ³Ý: a; b ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: γÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÁ: a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
² 659. òáõÛó ï³É, áñ »Ã» f : X R ýáõÝÏódzÛÇ x0 ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ï»ïÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿, ³å³ f -Á ³Û¹ Ï»ïáõÙ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, Áݹ áñáõÙª lim f x f x0 : x x0
660. ºÉÝ»Éáí ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª ѳÙá½í»É, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ µáÉáñ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 661. ²å³óáõó»É, áñ áñå»ë½Ç f -Ý x0 Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ³ÝÁݹѳï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ x0 -áõ٠û' Ó³ËÇó ¨ Ã»' ³çÇó ³ÝÁݹѳï: 662. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ (ï»ë í³ñÅ. 477, 495, 496). ³) y ax b ; ¹) y x n
n N ;
¾) y arctgx ;
µ) y x 2 ;
·) y
») y cos x ;
½) y tgx ;
Á) y ln x ;
Ã) y 2 x :
x;
лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: ¸³ë³Ï³ñ·»É Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÝ Áëï ë»éÇ (663-682). 663. y x :
664. y x x :
x , »ñµ x ;1,
667. y
2 x 1, »ñµ x 1; :
665. y sgn x :
666. y sgn x :
x2 4 668. y x 2 , »ñµ x 2, 4, »ñµ x 2 : sin x , »ñµ x 0 , f 0 1 : x f x , »ñµ x 0 , f 0 0 : x f x ctgx , »ñµ x n , f n 0 n Z : 1 x f x , »ñµ x 1 , f 1 : 1 x f x x x : 674. f x x 2 x 2 : f x x x : 676. f x sgn sin x :
669. f x 670. 671. 672. 673. 675.
1
677. y : x
678. y sgn x x :
679. y x sin x :
680. y 1
x :
681. y x ln x , »ñµ x 0 , y 0 0 : 682. y e x , »ñµ x 0 , y 0 0 : 683. ÀÝïñ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³ñÅ»ùÝ ³ÛÝå»ë, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³ÝÁݹѳï.
x 2 , »ñµ x 4,
³) y
3x a, »ñµ x 4;
sin x ln x , »ñµ x 1,
µ) y
ax 1, »ñµ x 1 :
1 x 1x , »ñµ 1 x 0, 1 x 1 x , »ñµ x 1, ·) y ¹) y 2 2 a x 2ax 1, »ñµ x 1 : e ax1 , »ñµ x 0; 684. гÙá½í»É, áñ a å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ 1 x 1 ln x , »ñµ x 0, , »ñµ x 0, ³) y µ) y x a, »ñµ x 0; a, »ñµ x 0 ýáõÝÏódzݻñÁ x0 0 Ï»ïáõ٠˽íáÕ »Ý: ä³ñ½»É Ë½Ù³Ý ë»éÁ: 685. êïáõ·»É, áñ ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏódzݪ
1, »ñµ x Q, x 0, »ñµ x I , ³Ù»Ýáõñ»ù ˽íáÕ ¿: ä³ñ½»É ˽áõÙÝ»ñÇ ë»éÁ:
686. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 X Ï»ïáõÙ, ³å³ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ´»ñ»É f x ËÁ½íáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ³ÛÝåÇëÇ ûñÇݳÏ, áñ f x ¨ f 2 x ýáõÝÏódzݻñÁ ÉÇÝ»Ý ³ÝÁݹѳï: 687. ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ f : X R ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ ³) f x ¨ f
x ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÇ
x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁݹѳïáõ-
ÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ÙÛáõëÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ; µ) f x ¨ f 3 x ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÇ x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ÙÛáõëÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ: 688. ¸Çóáõù f : X R ¨ g : X R ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÁ x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁª ˽íáÕ: лﳽáï»É f g , fg ýáõÝÏódzݻñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ ³Û¹ Ï»ïáõÙ: 689. ¸Çóáõù f : X R ¨ g : X R ýáõÝÏódzݻñÁ x0 X Ï»ïáõ٠˽íáÕ »Ý: лﳽáï»É x0 Ï»ïáõÙ ³) f g ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ; µ) fg ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 690. îñí³Í »Ý f : X Y ¨ g : Y R ýáõÝÏódzݻñÁ: ¸Çóáõù f -Á x0 X Ï»ïáõ٠ϳ٠g -Ý y0 f x0 Ï»ïáõ٠˽íáÕ ¿: γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ
z g f x x X µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõ٠˽íáÕ ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 691. γéáõó»É f : R R ³Ù»Ýáõñ»ù ˽íáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ y f f x x R ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁݹѳï: 692. γéáõó»É f : R R ýáõÝÏódz, áñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳ½Ùí³Í ¿ ݳ˳å»ë ïñí³Í a1 , a2 ,..., an Ãí»ñÇó: 693. γéáõó»É f : R R ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódz, áñÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳ½Ùí³Í ¿ ݳ˳å»ë ïñí³Í a1 a2 ... an Ãí»ñÇó: лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (694-699).
n 1 x n
694. y lim x n 0 x 1 :
695. y lim
696. y lim n 1 x 2 n :
697. y lim cos 2 n x :
n
n
n
x 0 :
ln 1 ex : ln 1 e
698. y lim
699. y lim 1 x thx :
700. ¶ïÝ»É
sin x, »ñµ x Q, y 0, »ñµ x I ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: 701. γéáõó»É a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ³ÛÝåÇëÇ ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, áñÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, ë³Ï³ÛÝ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ½ñá ãÇ ¹³éÝáõÙ: 702. γéáõó»É X µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ Ýñ³ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³ÛÝåÇëÇ ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, áñÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, µ³Ûó áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ½ñá ãÇ ¹³éÝáõÙ: 703. êïáõ·»É, áñ
1 sin , »ñµ x 0, f x x 0, »ñµ x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁݹѳï ã¿, ë³Ï³ÛÝ ó³Ýϳó³Í a; b ѳïí³ÍáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿
f a -Ç ¨ f b -Ç ÙÇç¨ ÁÝÏ³Í µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: 704. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï. ³) x 3 5 x 2 7 0 , x 1;2 ;
; ; 4 2
·) 16 x 2 2tgx 7 0, x
µ) x 4 6 x 3 1 0, x 0;1 ; ¹) x 3 ln x 20 0 , x 0; e :
705. ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï. ³) 2 x 2 9 sin x 1 0 ; µ) sh 2 x 3x 5 2 0 ; ·) e x x 2 0 ; ¹) x 3 sgn x x 2 3 x 1 0 : 706. ²å³óáõó»É, áñ Ï»Ýï ³ëïÇ׳ÝÇ ó³Ýϳó³Í ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: 707. ä³ñ½»É, û Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó á±ñÁ ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï áñ¨¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ. ³) 3;1 ; µ) 3;1 ; ·) 3;1 ; ¹) 3 ;
») 3;1 ;
½)
¿) 3; ;
Á) Q ;
Ã) R:
3;1 2;3 ;
708. γéáõó»É 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ³ÛÝåÇëÇ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÁ ãáõݻݳ á'㠳ٻݳٻÍ, á'㠳ٻݳ÷áùñ ³ñÅ»ùÝ»ñ: 709. γéáõó»É 0;1 ÏÇë³µ³ó ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ³ÛÝåÇëÇ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÁ ãáõݻݳ á'㠳ٻݳٻÍ, á'㠳ٻݳ÷áùñ ³ñÅ»ùÝ»ñ: 710. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ³ÝÁݹѳï 0;1 2;4 µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÝ»ñ: 711. ´»ñ»É a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ˽íáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, áñÁ ó³Ýϳó³Í ; a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ٻͳ·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ: 712. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ãÝí³½áÕ, ³å³ f a; b f a ; f b : 713. γéáõó»É a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ³ÛÝåÇëÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ¨ ˽íáÕ ýáõÝÏódz, áñÇ Ñ³Ù³ñ f a; b f a ; f b :
714. ²å³óáõó»É, áñ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 715. ´»ñ»É a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, áñÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 716. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, áñï»Õ a b , ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý lim f x ¨ lim f x xa
xb
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, ³å³ f x -Á a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 717. ²å³óáõó»É, áñ f x ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿, ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 0 ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¨ xn , xn X ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ³ÛÝå»ë, áñ lim xn xn 0 ¨ n
f xn f xn 0 : лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (718729). 718. y 2 x 3 , x R :
720. y x , x R : 722. y
719. y
x , x R :
721. y 3 x , x R :
, ³) x 0; ; µ) x 1; : x2
1 x , xR : 1 x2 725. y sin 2 x , x R : 723. y
sin x , x 0; : x 726. y arctgx , x R : 724. y
; ; µ) x ; : 4 4 2 2 728. y ln x , ³) x 1; ; µ) x 0;1 : 727. y tgx , ³) x
729. y e x , ³) x R ; µ) x R :
´ лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: ¸³ë³Ï³ñ·»É ˽áõÙÝ»ñÝ Áëï ë»éÇ (730-733).
, »ñµ x 0 , y 0 0 : x 731. y arctg , »ñµ x 0 , y 0 0 : x 732. f x x 2 x , áñï»Õ x -Á ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 733. y x a1 x a2 x an x , áñï»Õ a1 , a2 ,..., an -Á 730. y x sin
Çñ³ñÇó
ï³ñµ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: 734. êïáõ·»É, áñ èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý (ï»ë í³ñÅ. 575) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ µáÉáñ Çé³óÇáÝ³É Ï»ï»ñáõÙ ¨ ˽íáÕª é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñáõÙ:
2 p 1 : p Z , q Z -Á »ñÏáõ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ q 2
735. ¸Çóáõù Q2
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: êïáõ·»É, áñ
2 p 1 1 , »ñµ x Q2 , x 2 q 2q 0, »ñµ x R \ Q2 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ R \ Q2 µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ˽íáÕª Q2 -Ç íñ³: ä³ñ½»É ˽áõÙÝ»ñÇ ë»éÁ: 736. лﳽáï»É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ.
p p , »ñµ x x q 1 q x , »ñµ x I :
(³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿ ¨ q N ),
737. îñí³Í M R µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ 1, »ñµ x M ,
M x c 0, »ñµ x M ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µÝáõó·ñÇã ýáõÝÏódz : Üϳñ³·ñ»É ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ¨ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ¹³ë³Ï³ñ·»É ˽áõÙÝ»ñÝ Áëï ë»éÇ: 738. лﳽáï»É ¨ µ³ñ¹ ýáõÝÏódzݻñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ³) x sgn x , x 1 x 2 ; µ) x 2 x 1 , x x (¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ¿); ·) x x x : f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 X Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ 1)
Ó³ËÇó ³ÝÁݹѳï, »Ã»
0 0 x X x0 x x0 f x f x0 ; 2)
³çÇó ³ÝÁݹѳï, »Ã»
0 0 x X x0 x x0 f x f x0 :
739. ¸Çóáõù f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇÝ. ³) 0 0 x X x x0 f x f x0 ; µ) 0 0 x X ·) 0 0 x X
f x f x0 x x0 ; f x f x0 x x0 :
лï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ï»ÕÇó, áñ f -Á x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ºÃ» áã, ³å³ ³), µ), ·) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñÁ ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝã ѳïÏáõÃÛáõÝ ¿ µÝáñáßáõÙ: лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ, ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ Ó³ËÇó ¨ ³çÇó (740-744).
sin x
, »ñµ x 0 , y 0 1 : x ex 1 741. y , »ñµ x 0 , y 0 1 : x 740. y
742. y ln x :
743. y ln x ln x : n
744. y sgn ctgx , »ñµ x n , y n 1 , n Z : 745. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³) m x inf f a; x ¨ M x sup f a; x
ýáõÝÏódzݻñÁ a; b -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ Ó³ËÇó ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý; µ) »Ã» f -Á ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ m x ¨ M x ýáõÝÏódzݻñÁ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: 746. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : X R ¨ g : X R ýáõÝÏódzݻñÁ x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý, ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý Ý³¨ x min f x , g x ¨ x max f x , g x ýáõÝÏódzݻñÁ: 747. ¸Çóáõù f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý X -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ c 0 : ²å³óáõó»É, áñ
c, »Ã» f x c, f c x f x , »Ã» f x c, c, »Ã» f x c ýáõÝÏóÇ³Ý X -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 748. ²å³óáõó»É, áñ f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 X Ï»ïáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ X -Ç Ï»ï»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í xn x0 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ f xn f x0 (³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ Áëï гÛÝ»Ç): 749. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ (Ýí³½áÕ ¿), ³å³ ó³Ýϳó³Í xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ f xn f x0 xn x0 :
750. êïáõ·»É, áñ y 1 x 2 sgn x ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ¨ ˽íáÕ, ë³Ï³ÛÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 751. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ, ³å³ f 1 -Ý Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÁ ó³Ýϳó³Í ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ, µ³Ûó áã ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ: 752. γéáõó»É f : X R ÷áËÙdzñÅ»ù ýáõÝÏódz, áñÁ x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, µ³Ûó Ýñ³ ѳϳ¹³ñÓÁ y0 f x0 Ï»ïáõ٠˽íáÕ ¿: 753. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ¨ ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ, ³å³ ³ÛÝ a; b -Ç íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿: 754. ²å³óáõó»É, áñ ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ë½áõÙÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙÇÙdzÛÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ: 755. γéáõó»É 0;1 ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ÙáÝáïáÝ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz, áñÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ¿:
756. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ áõÝÇ T å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ:
²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 R , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f x0 T2 f x0 : 757. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý, ³å³ ³ÛÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 758. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý, ³å³ ϳ'Ù ³ÛÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, ϳ'٠ѳëï³ïáõÝ ¿: 759. x0 X Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ f : X R ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï, »Ã»
f x0 x0 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : 0;1 0;1 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï: 760. γéáõó»É f : R R ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÝ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ: 761. γéáõó»É f : 0;1 0;1 ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÝ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ: 762. ²å³óáõó»É, áñ ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳïí³Í ¿: 763. ¸Çóáõù f C a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý a; b ѳïí³ÍÇ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ½ñá ãÇ ¹³éÝáõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ a; b -Ç µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ f x : ÎÙݳ± ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï, »Ã» a; b ѳïí³ÍÁ ÷á˳ñÇÝ»Ýù a; b ÙÇç³Ï³Ûùáí: 764. ²å³óáõó»É ´áñ»É-È»µ»·Ç É»ÙÙ³ÛÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. a; b c; d µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: 765. ´»ñ»É a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÛÝåÇëÇ µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇ ûñÇݳÏ, áñÇó Ñݳñ³íáñ ã¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: 766. ´»ñ»É a; ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÛÝåÇëÇ µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇ ûñÇݳÏ, áñÇó Ñݳñ³íáñ ã¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: 767. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó Ñݳñ³íáñ ¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ, ³å³ F -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 768. ö³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÝ ³Ýí³Ý»Ýù F µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³Ï ͳÍÏáõÛÃ, »Ã» F : γéáõó»É a; b ѳïí³ÍÇ ÷³Ï ͳÍÏáõÛÃ, áñÇó Ñݳñ³íáñ ã¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: 769. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï a; b í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: ²å³óáõó»É, áñ ³) f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿;
µ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý lim f x ¨ lim f x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ; x a 0
x b 0
·) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (Áݹ áñáõÙ ÙdzÏÁ) f -Ç F : a; b R ³ÝÁݹѳï ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝ: 770. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï a; ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: ÖßÙ³ñÇ±ï »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ. ³) f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý: x
´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 771. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³ ³ÛÝ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 772. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ¨ c; d ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ³å³ ³ÛÝ a; b c; d µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 773. êïáõ·»É, áñ y
sin x ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 1;0 ¨ x
0;1 ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ë³Ï³ÛÝ 1;0 0;1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 774. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý, ³å³ ³ÛÝ R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 775. ¸Çóáõù f : X R ¨ g : X R ýáõÝÏódzݻñÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ³) f g ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿; µ) »Ã» X -Á í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³Ûù ¿, ³å³ f g ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 776. êïáõ·»É, áñ y x ¨ y sin x ýáõÝÏódzݻñÁ R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý, ë³Ï³ÛÝ y x sin x ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (777786). 777. y sin x 2 , x 0; : 779. y x sin
, x R \ 0: x
, x 0;1 : x sin x 2 780. y , x 0; : x 778. y sin
781. y xarctgx 2 , x R :
782. y x 2 arctgx , x R :
783. y x sin x , x R :
784. y x n e
785. y
e x
x
, x R \ 0:
786. y
x
n N ,
xR :
x ln x , x 0; :
787. ¸Çóáõù P x -Á ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: ²å³óáõó»É, áñ
1 12 y P e x ýáõÝÏóÇ³Ý R \ 0 µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹ x Ñ³ï ¿: 788. îñí³Í f : X R ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódzÛÇ ¨ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
f sup f x1 f x2 : x1 , x2 X ¨ x1 x2 ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉ: òáõÛó ï³É, áñ ³) f -Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódz ¿ ¨, ѻ勉µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f 0 lim f í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ; 0
µ) 0 0 x1 , x2 X x1 x2 f x1 f x2 f 0 ; ·) »Ã» g : X R -Á Ù»Ï ³ÛÉ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿, ³å³
f g f g ; ¹) f : X R ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f 0 0 : 789. лï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É f C
ï»ëùÇ ·Ý³Ñ³ï³Ï³Ý ( C -Ý ¨ -Ý Ñ³ëï³-
ïáõÝÝ»ñ »Ý). ³) y x 3 , x 0;1 ; ·) y arctgx , x R ;
µ) y x , x 0;1 ; ¹) y sin x cos x , x R ;
») y sin x 2 , x R ;
½) y sin
, x 0; : x
f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³¹ÇïÇí ýáõÝÏódz, »Ã» ³ÛÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x y f x f y ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
790. ²å³óáõó»É, áñ ÙÇ³Ï ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ³¹ÇïÇí ýáõÝÏóÇ³Ý ·Í³ÛÇÝ ¨ ѳٳë»é ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, áñï»Õ a f 1 :
f x ax
791. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ³¹ÇïÇí, ³å³ ³ÛÝ ·Í³ÛÇÝ ¿ ¨ ѳٳë»é: 792. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ³¹ÇïÇí ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ ·Í³ÛÇÝ ¿ ¨ ѳٳë»é: 793. f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³Ý»Ýù x0 Ï»ïáõ٠⻽³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí ³ÝÁݹѳï, »Ã» ó³Ýϳó³Í xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
x1 xn f x1 f xn x0 f x0 : n n òáõÛó ï³É, áñ ³) f x ax b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý â»½³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ R -Ç íñ³; µ) »Ã» f -Á ⻽³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ·Í³ÛÇÝ ¿: 794. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x y f x f y ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ ³) »Ã» f -Á ѳëï³ïáõÝÇó ï³ñµ»ñ ¿ ¨ ³ÝÁݹѳï, ³å³ ³ÛÝ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódz ¿. f x a x , áñï»Õ a f 1 ; µ) »Ã» f -Á ѳëï³ïáõÝÇó ï³ñµ»ñ ¿ ¨ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï, ³å³ ³ÛÝ óáõóã³ÛÇÝ ¿: 795. ²å³óáõó»É, áñ ÙÇ³Ï ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ÝáõÛݳµ³ñ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ f ýáõÝÏódzÝ, áñÁ ó³Ýϳó³Í x, y ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f xy
f x f y ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ¨ f a 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ, f x log a x ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, áñï»Õ a -Ý 1 -Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝ ¿: 796. ²å³óáõó»É, áñ ÝáõÛݳµ³ñ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÙÇ³Ï ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÝ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f xy f x f y x, y 0 ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, f x x ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 797. ¶ïÝ»É µáÉáñ f x
x R ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³f x y f x y 2 f x f y ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
ñáõÙ »Ý 798. ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ f : R R ýáõÝÏódzÝ: лï¨Û³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý f -Ç Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç í»ñç³íáñ ³×»ñ.
f x f x x f x , 2 f x f x :
²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ó³Ýϳó³Í x -Ç áõ x -Ç Ñ³Ù³ñ 2 f x 0 , ³å³ f -Á ·Í³ÛÇÝ ¿. f x ax b :
¶ 799. îñí³Í ¿ f : X R ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ f -Á x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f x0 Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í V ßÁñç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 Ï»ïÇ U ßñç³Ï³Ûù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
f U X V : 800. ²å³óáõó»É, áñ f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³) ó³Ýϳó³Í G R µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý f 1 G ݳ˳å³ïÏ»ñÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; µ) ó³Ýϳó³Í F ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý³Ë³å³ïÏ»ñÁ ÷³Ï ¿: 801. ²å³óáõó»É, áñ f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý X -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³) ó³Ýϳó³Í G µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f 1 G P X ; µ) ó³Ýϳó³Í F ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ K ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f 1 F K X : 802. ²å³óáõó»É, áñ f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ³) x R : f x a ¨ x R : f x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý µ³ó; µ) x R : f x a ¨ x R : f x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷³Ï: 803. îñí³Í ¿ f : X R ýáõÝÏódzÝ: ò³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
x X : f x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿
f ýáõÝÏódzÛÇ a -Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» X µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ ¨ f C X , ³å³ ó³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f -Ç a -Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿: 804. ¸Çóáõù` f , g C a; b : ²å³óáõó»É, áñ x a; b : f x g x µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿: 805. f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ , »Ã» ó³Ýϳó³Í G µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý f G å³ïÏ»ñÁ µ³ó ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f µ³ó ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ ÙáÝáïáÝ ¿:
806. îñí³Í ¿ f : R R ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ; -Ç å³ïÏ»ñÁ f , f ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿, ³å³ f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ³×áÕ: 807. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í G R µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý f G å³ïÏ»ñÁ ÷³Ï ¿, ³å³ f -Á ѳëï³ïáõÝ ¿: 808. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í X R ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý f X å³ïÏ»ñÁ ϳå³Ïóí³Í ¿ (ï»ë 171 ËݹÇñÁ): 809. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í A ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý f A å³ïÏ»ñÁ ϳå³Ïóí³Í ¿, ³å³ f Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 810. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ f a f b 0 : êïáõ·»É, áñ x a; b : f x 0 ¨ x a; b : f x 0 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý ¨ áã ¹³ï³ñÏ: ú·ïí»Éáí 171 ËݹñáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í åݹáõÙÇó, ³å³óáõó»É ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÇ í»ñ³µ»ñÛ³É ´áÉó³Ýá-ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ: 811. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨
x1 , x2 ,..., xn Ï»ï»ñÁ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇó »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó ÙÇç¨ Ï·ïÝíÇ ÙÇ Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
f x1 f x2 f xn : n 812. ¸Çóáõù f -Á áñáßí³Í ¿ ¨ ³ÝÁݹѳï a; b b í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ b Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ ¨ ϳå³Ïóí³Í: ²ÛÉ Ï»ñåª »Ã» l lim f x ¨ f
x b
L lim f x , ³å³ ó³Ýϳó³Í l L ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x b
xn b xn a; b , n 1,2,... lim f xn :
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ,
³ÛÝåÇëÇÝ,
áñ
n
813. ¸Çóáõù y f x ýáõÝÏóÇ³Ý 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í T ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ lim f xn T f xn 0 : n
814. ¸Çóáõù f : 0;1 R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ f 0 f 1 : ²å³óáõó»É, áñ
»ñϳn ñáõÃÛ³Ý ÑáñǽáÝ³Ï³Ý Ñ³ïí³Í, áñÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý f ýáõÝϳ) ó³Ýϳó³Í n N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
ódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ (ѳïí³ÍÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿ ·ñ³ýÇÏÇÝ);
ï»ëùÇ ã¿, ³å³ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳéáõó»É Ýßí³Í å³Ûn Ù³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ f ýáõÝÏódz, áñÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ l »ñϳñáõÃÛ³Ùµ Ñáñǵ) »Ã» l 0 ÃÇíÁ
½áÝ³Ï³Ý Ñ³ïí³Í Ý»ñ·Í»ÉÝ ³ÝÑݳñ ¿: 815. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿ ¨ Q f a ; f b
f a; b : ²å³óáõó»É, áñ f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 816. A a; b µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿
a; b -áõÙ
ËÇï, »Ã» A a; b :
²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿ ¨ Ýñ³ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËÇï ¿ f a ; f b -áõÙ, ³å³ f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 817. ¸Çóáõù f , g C a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x a; b : f x g x µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËÇï ¿ a; b -áõÙ, ³å³ f g : 818. ¸Çóáõù f1 : 0;1 0;1 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ f1 0 0 , f1 1 1 : Ü߳ݳϻÝù f n 1 x f1 f n x n N : ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ. ³) x 0;1 f 2 x x x 0;1 f1 x x ; µ) n N x 0;1 f n x x x 0;1 f1 x x ;
·) x 0;1 nx N f n x x x x 0;1 f1 x x : 819. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ 0;1 ѳïí³ÍÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ »Ý 0;1 -Ç Ù»ç, Áݹ áñáõÙª f g g f : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
c 0;1 Ï»ï, áñ f c g c : 820. ¸Çóáõù f : 0;1 R ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f 0 0 ¨ f 1 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f g h , áñï»Õ g -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ h -Áª ãÝí³½áÕ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 0;1 Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f x0 0 : 821. îñí³Í ¿ f : R R ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÝ: ¸Çóáõù Ï³Ù³Û³Ï³Ý h 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ lim f nh 0 n N : ²å³óáõó»É, áñ lim f x 0 : n
x
822. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ lim f x n 0 n N : γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ lim f x 0 : n
γéáõó»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ:
x
823. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x R
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
lim f x n 0
n
n N ,
³å³
lim f x 0 :
x
824. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ϳٳ۳ϳÝ
x R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ lim f x n 0 n N , ³å³ lim f x 0 : n
x
825. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ϳ½Ù-
cn
í³Í
³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
lim cn
n
¨
lim cn 1 cn 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í x R
n
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ lim f x cn 0 , ³å³ lim f x 0 : n
x
826. îñí³Í f : X R ýáõÝÏódzÛÇ ¨ x0 X Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝùª
f x0 ; sup f x1 f x2 : x1 , x2 x0 ; x0 X : ²å³óáõó»É, áñ ³) 0 f x0 ; ¨ áñå»ë -Çó ϳËí³Í ýáõÝÏódz f x0 ; -Ý
0; ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ãÝí³½áÕ ¿; µ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f x0 lim f x0 ; 0
í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç
ë³ÑÙ³ÝÁ (ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ï³ï³ÝáõÙ x0 Ï»ïáõÙ); ·) f -Á x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
f x0 0 (³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ Áëï ´»éÇ); ¹) »Ã» X -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í a 0; ÃíÇ Ñ³-
Ù³ñ x X : f x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿; »)
n N
1
x X : f x n -Á
f ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÝ ¿: 827. ¸Çóáõù F -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: γéáõó»É f : R R ýáõÝÏódz, áñÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ F -Ý ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ó³Ýϳó³Í ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿: 828. îñí³Í ¿ f : R R ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í c 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
c, »ñµ f x c, f c x f x , »ñµ f x c, c, »ñµ f x c ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 829. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨
x1, x2 R f x1 f x2 x1 x2 : ²å³óáõó»É, áñ f -Á ÷áËÙdzñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ R -Á R -Ç íñ³: 830. K µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÙå³Ïï, »Ã» Ýñ³ ó³Ýϳó³Í µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: ²å³óáõó»É, áñ K R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ÛÝ ÷³Ï ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï: 831. ²å³óáõó»É ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. ³) ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ; ·) ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ (ÏáÙå³ÏïÇ ³ÝÁݹѳï å³ïÏ»ñÁ ÏáÙå³Ïï ¿): 832. ²å³óáõó»É ݳËáñ¹ ËݹñÇ ³) åÝ¹Ù³Ý Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. »Ã» f : K R ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ K ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ïáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, ³å³ f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 833. ²å³óáõó»É γÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 834. ¸Çóáõù X -Á Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ßñçáõÙÁ. ³) »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý f : X R ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ X -Á ÏáÙå³Ïï ¿; µ) »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý f : X R ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù, ³å³ X -Á ÏáÙå³Ïï ¿: 835. ¸Çóáõù X -Á Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù γÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ßñçáõÙÁ. »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý f : X R ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ X -Á ÏáÙå³Ïï ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 836. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý a ¨ b ѳëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ f x a x b :
ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ: γéáõó»É f : R R ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ³×áÕ ýáõÝÏódz, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, µ³Ûó
R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 837. ²å³óáõó»É, áñ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 838. ¸Çóáõù A -Ý áã ¹³ï³ñÏ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ
A -ݪ A -Ç ÷³ÏáõÙÁ: ²å³óáõó»É, áñ f : A R ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ F : A R ³ÝÁݹѳï ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f -Á A -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: гÙá½í»É, áñ ³Û¹åÇëÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÁ ÙdzÏÝ ¿:
¶ÉáõË
üáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É Ï³ó³Í
îñí³Í ¿ f : X R ýáõÝÏódzÝ: ¸Çóáõù x0 X Ï»ïÁ X -Ç Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿: ò³Ýx X Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ x x x0 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ³×, ÇëÏ
f x0 f x f x0 f x0 x f x0 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª x ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ³×: ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
f x0
df x0 f x0 f x f x0 lim lim dx x 0 x x x0 x x0
í»ñç³íáñ, ϳ٠ë³ÑÙ³Ý, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É x0 Ï»ïáõÙ: Ø Ç ³ Ï á Õ Ù ³ Ý Ç ³ Í ³ Ý ó Û ³ É Ý » ñ : ºÃ» x0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
f ѳñ³x
µ»ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý (³ç³ÏáÕÙÛ³Ý) ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ Ó³Ë³-
ÏáÕÙÛ³Ý (³ç³ÏáÕÙÛ³Ý) ³Í³ÝóÛ³É x0 Ï»ïáõÙ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª f x0
f x0 :
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x 0
ï»ëùáí, ³å³ f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: àñå»ë½Ç f -Ý x0 Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïáõÙ áõݻݳ í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É: Àݹ áñáõÙª A f x0 : ¸Çóáõù f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 X Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿.
x 0 : ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù : x -ÇÝ f x0 x -Á ѳٳå³ï³ë˳ݻóÝáÕ ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ x0 Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª df x0 . df x0 x f x0 x : سëݳíáñ³å»ë, f x x ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ, dx x x x x ¨ ѻ勉µ³ñ f x0 f x0 x ox
ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É.
df x0 f x0 dx , áñï»Õ dx -Ý y x ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»ÝódzÉÝ ¿:
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2. u v u v ;
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3. uv u v uv ;
4.
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f 1 ѳϳ¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³Ý y 0 f x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ 1 ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f y0 1 : f x0
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2. x
1. c 0 :
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3. a x
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5. sin x cos x :
7. tgx
:
cos x 9. arcsin x : 1 x2 11. arctgx : 1 x2 13. shx chx :
15. thx
ch 2 x
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1
:
1 ln x : x
4. log a x x ln a
6. cos x sin x :
8. ctgx
:
sin 2 x 10. arccos x : 1 x 2 12. arcctgx : 1 x2 14. chx shx :
16. cthx
sh 2 x
:
² Í ³ Ý ó Û ³ É Ç Ù » Ë ³ Ý Ç Ï ³ Ï ³ Ý Ç Ù ³ ë ï Á : ¸Çóáõù Ï»ïÁ áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáõÙ ¿
S S t ûñ»Ýùáí, áñï»Õ t -Ý Å³Ù³Ý³ÏÝ ¿, ÇëÏ S t -ݪ ųٳݳÏÇ t å³ÑÇÝ Ï»ïÇ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÁ: S t ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ Áëï t -Ǫ S t -Ý, ųٳݳÏÇ t å³ÑÇÝ Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ¿: ºÃ» Ï»ïÇ áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÷á÷áËíáõÙ ¿ V V t ûñ»Ýùáí, ³å³ V t -Ý Å³Ù³Ý³ÏÇ t å³ÑÇÝ Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·³óáõÙÝ ¿:
² Í ³ Ý ó Û ³ É Ç » ñ Ï ñ ³ ã ³ ÷ ³ Ï ³ Ý Ç Ù ³ ë ï Á : ºÃ» y f x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ y f x0 f x0 x x0 -Ý x0 , f x0 Ï»ïáõÙ y f x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿: ö³ëïáñ»Ý, f x0 -Ý ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñ-
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ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x x0 ï»ëùÁ: ²ëáõÙ »Ý, áñ y f x ¨ y g x ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÝ x0 ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõ٠ѳïíáõÙ »Ý ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï, »Ã» f x0 g x0 ¨ ³Û¹ Ï»ïáí ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý ³ÝÏÛáõÝ.
tg
f x0 g x0 1 f x0 g x0
0 : 2
²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 1 f x0 g x0 0 ª
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·ñ³ýÇÏÝ»ñÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÝ ¿: ä ³ ñ ³ Ù » ï ñ ³ Ï ³ Ý Ñ ³ í ³ ë ³ ñ áõ Ù Ý » ñ á í ï ñ í ³ Í ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç ³Í ³ Ý ó Û ³ É Á : îñí³Í »Ý x t , y t t T å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: ºÃ»
t å³ñ³Ù»ïñÇ ÷á÷áËÙ³Ý ³Ûë ϳ٠³ÛÝ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ ÏáñÇ ³Õ»ÕÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ y f x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ, ³å³ f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í ýáõÝÏódz: ¸³ Ù³ëݳíáñ³å»ë ϳñáÕ ¿ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x t ýáõÝÏóÇ³Ý T0 T ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ѳϳ¹³ñ-
Ó»ÉÇ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ f x
1
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1
1
ѳϳ¹³ñÓ ýáõÝÏódzÛÇ
µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ³å³ f -Ý x0 t0 Ï»ïáõÙ
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ
f x0 y x x0
t 0 t0
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1 x0 :
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x0 X Ï»ïÇ áñ¨¿ ßñç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ, ³å³ ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùáõÙ áñáßí³Í f x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x0 Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É x0 -áõÙ
f x0 ϳÙ
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4 x
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ºÃ» f ýáõÝÏódzÛÇ n -ñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁª f x -Á, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ¨ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, ³å³ ·ñáõÙ »Ýª
f C n X : î ³ ñ ñ ³ Ï ³ Ý ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ Ç n -ñ ¹ Ï ³ ñ · Ç ³ Í ³ Ý ó Û ³ É Ý » ñ Ç ³ Õ Û áõ ë³Ï.
1 n 1x : 2. a a ln a e e : n
1. x
n
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x
x n
n
x
n 1 n 1 n 1! :
3. ln x
xn
n sin x n :
4. sin x
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È ³ Û µ Ý Ç ó Ç µ ³ Ý ³ Ó ¨ Á : ºÃ» u ¨ v ýáõÝÏódzݻñÝ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ
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C nk u k v n k , áñï»Õ u 0 u ¨ v 0 v : k 0
² 839. îñí³Í ¿ f : X R ýáõÝÏódzÝ:¸Çóáõù x ÷á÷á˳ϳÝÇ ³×Ý x0 Ï»ïáõÙ x -Ý ¿: ¶ïÝ»É f x0 ³×Á, »Ã» ³) f x ax b ; µ) f x ax 2 bx c ; 840. êïáõ·»É, áñ ³) f x g x f x g x ;
·) f x a x ;
¹) f x tgx :
µ) f x g x g x x f x f x g x ;
f x g x f x f x g x : g x g x x g x
·)
841. ºÉÝ»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª ·ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇ
³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ.
³) y x 2 ; ») y sin x ;
; x ½) y arccos x ; µ) y
·) y
x;
¹) y 3 x ;
¿) y arctgx :
842. òáõÛó ï³É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x 0 Ï»ïáõÙ ¨
f x f 0 : x 0 x 843. òáõÛó ï³É, áñ »Ã» f x ¨ g x ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý x 0 f x f 0 Ï»ïáõÙ, f 0 g 0 0 ¨ g 0 0 , ³å³ lim : x 0 g x g 0
f 0 0 , ³å³ lim
844. ºÉÝ»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó, ѳßí»É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ x x0 Ï»ïáõÙ. ³) y x 2 3x 1 , x0 1 ;
µ) y 2 x 3 2 x 3 , x0 0 ;
·) y x 2 sin x 2 , x0 2 ;
¹) y x x 1 arcsin
x , x0 1 ; x 1
») y x x , x0 0 : 845. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ x x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã»Ý. ³) y ·) y
x , x0 0 ;
µ) y x , x0 0 ;
x 1 , x0 1 ;
¹) y ln x , x0 1 :
846. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ n N , ³å³
1 lim n f x0 f x0 f x0 : n
n
ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» Ýßí³Í ë³ÑÙ³ÝÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ f -Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏódzÝ:
847. ¸Çóáõù f x ¨ g x ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ
f x g x , f x g x ¨ »Ã» g x 0 , ³å³ ݳ¨
f x ýáõÝÏódzݻñÁ ÝáõÛÝg x
å»ë ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý ¨ ×ßÙ³ñÇï »Ý ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÝ»ñÁ.
³) f x g x f x g x ;
µ) f x g x f x g x f x g x ;
f x f x g x f x g x ·) : g 2 x g x
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (848-954).
ax b : cx d x 852. y : 1 x 1 x 3 850. y
854. y 3 x : 856. y
x
: x
1 x x : 1 x x2 2 x 2 3 x3 853. y : 1 x 2 855. y : 3 2 x 1 2 857. y 2 3 : x x x 851. y
x x : x 23 x
858. y x 4 x :
859. y
860. y x sin x x 2 cos x :
861. y xtgx ctgx :
862. y
sin x : 1 cos x
849. y x 2 1 3x 2 1 x 3 :
848. y x 3 x 2 1 :
863. y
x sin x : 1 tgx
864. y e x x 2 x 1 :
865. y e x sin x x ln x :
866. y 2 x ctgx :
867. y 1 3x :
868. y 2 3x :
869. y 1 x 2 :
870. y x 1 x 2 :
871. y
x 4 x2
:
1 x2 : 872. y x
873. y
874. y
875. y 3
x xx x :
876. y sin 3 3 x :
878. y tg x 2 1 tg 2 : 880. y 1 sin 2 x : 882. y cos 2
x2 1 :
x x :
1 x3 : 1 x3 877. y cos3x 1 sin 2 x :
879. y 2 x 2 cos x 2 x sin x :
881. y sin x : 883. y
sin 2 x : cos x
x 1 3 tg x : 2 3
884. y tg
885. y tg 5 x 2 2 x 1 :
886. y 3 ctg x :
887. y x 2 sin sin x :
1 : x sin 2 3x 890. y : 1 ctg 3 x
889. y sin cos 2 tg 3 x :
888. y sin cos
892. y 2
tg
x
891. y 1 tg x 2 x 2 :
x : 895. y e cos x sin x 2 :
893. y e x cos
:
894. y x 2 e 2 x : 896. y e
1 x 1 x
897. y shcos x :
:
900. y e e :
chx 2 : sh 2 x 2 a a x 901. y x a a x a a :
902. y ln 3 x 1 ln 3 :
903. y ln x
904. y ln x 1
905. y lg 3 x 2 :
898. y e 2 x chx 3 :
899. y
x
x 2 1 :
906. y
log 32
908. y e
2 x 3
ln x x 1
:
:
910. y ln ln ln x :
912. y
1 x 1 ln : 4 x2 1
914. y ln 2 1 cos x :
ln : x 16 x 4 4x x 918. y arcsin : 916. y
x 2 1 :
907. y 10 909. y ln
x log 3 x
:
2 cos x cos 2 x :
911. y ln ln ln x :
x : 4 2 1 sin x 915. y ln : 1 sin x 913. y ln tg
917. y x sin ln x cos ln x : 919. y arccos
: x
920. y
arctg : x
921. y arcsin 1 x 2 :
1 x : 1 x 1 925. y ln arccos : x
922. y arccos cos 2 x :
923. y arctg
1 x2 1 x2
924. y arcsin
1 1 1 x2 926. y ln : 2 1 1 x2 928. y
1 x 2 arctgx 2 1 x
arcsin x 2
:
929. y 3arctg 2 x :
:
x
x
930. y
1 927. y 3
arctg e 2 x 1 :
931. y arctge 2 ln
e2 x 1 arcsin x 1 1 x 932. y ln : 1 x2 2 1 x
933. y arctg
ex : ex 1
x 1 1 x2
:
935. y arctg tg x : 936. y arcsin sin x arccoscos x : 934. y arccos sin x 2 cos x 2
sin sin x : 1 cos cos x
937. y arcsin
938. y
x 2 a2 x a x2 arcsin : a
939. y x ln 1 e 2 x e x arctge x :
940. y arccos sin 2 x 4 cos 2 x 4 :
941. y arctg cos ln 3 x :
942. y arctg thx :
1 : chx
944. y x x :
943. y arccos x
x
945. y x x :
946. y x e :
ex
947. y chx : a
948. y x x : x
x
949. y x x x a a x : cos x
951. y sin x
:
950. y
ln x x :
x ln x x arcsin 2 x x 952. y tg : 2
x
x
1 sin x 953. y 1 : 954. y : x x y f x ýáõÝÏódzÛÇ Ùá¹áõÉÇ Éá·³ñÇÃÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ f x d f x ýáõÝÏódzÛÇ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³Í³ÝóÛ³É. ln f x : ¶ïÝ»É ýáõÝÏdx f x ódzÛÇ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (955-958). 955. y x
1 x : 1 x
956. y
n
957. y x a1 1 x an
x2 3 x : 1 x 3 x 2 n
:
958. y x 1 x 2 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ ӳ˳ÏáÕÙÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÝ x0 Ï»ïáõÙ (959-965). 959. y x , x0 0 :
960. y x 2 5 x 6 , x0 2 :
961. y 2 x 2 , x0 1 :
962. y x sin x , x0 1 :
963. y 1 e x , x0 0 :
x 2 , x 1,
x0 1 :
964. y
2 x, x 1,
e x , x 0,
965. y
x 2 x, x 0,
x0 0 :
¶ïÝ»É ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (966-971).
966. y x 1 x 1 :
967. y sin 3 x :
1 x, x 1, 968. y 1 x 2 x , 1 x 2, x 2, 2 x :
969. y
x, x 0, 970. y ln 1 x , x 0 :
x 2 e x 2 , x 1, 971. y 1 , x 1: e
x a 2 x b 2 , x a; b, 0, x a; b :
972. ¶ïÝ»É x x y ѳϳ¹³ñÓ ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¨ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ. ³) y x ln x ; ¹) y thx ;
µ) y chx , x R ; ») y shx :
·) y x e x ;
¶ïÝ»É yx -Á (973-981).
t 1
973. x 1 t , y 1 3 t :
974. x t 2 t , y
975. x sin 2 t , y cos 2 t :
976. x a cos t , y b sin t :
977. x acht , y bsht :
978. x a cos 5 t , y a sin 5 t :
t2 1
:
979. x et cos t sin t , y e t cos t sin t : 980. x at sin t , y a1 cos t : 981. x arcsin
t 1 t
, y arccos
1 t2
:
¶ñ»É ïñí³Í Ï»ïáõÙ ÏáñÇ ßáß³÷áÕÇ ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ (982988). 982. y x 1 3 3 x
³) x 1 ; µ) x 2 :
x2
sin x ³) x 0 ; µ) x 1 : x 984. y x 2 arccos ³) x 1 ; µ) x 3 : 985. y x 3ctgx ³) x ; µ) x : 986. x 2t t , y 3t t ³) t 0 ; µ) t 1 : 983. y 2
987. x e t sin t , y e t cos t ³) t 0 ; µ) t 988. x
2t t 2 2t t 2 , y 1 t3 1 t3
:
³) t 0 ; µ) t 1 :
¶ïÝ»É Ïáñ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáõÙ Ýñ³Ýó ϳ½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ (989-992). 989. y x 2 , x y 2 :
990. y
991. y sin x , y cos x :
x2 , y : 1 x2 992. y x 2 ln x , y 4 4 x 2 :
993. y 2 x x 2 ÏáñÇ á±ñ Ï»ï»ñáí Ýñ³Ý ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ÏÉÇÝÇ ½áõ·³Ñ»é ³) ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ; µ) y x áõÕÇÕÇÝ: 994. ²å³óáõó»É, áñ
y a x x1 x x2
a 0,
x1 x2
å³ñ³µáÉÝ x -»ñÇ ³é³ÝóùÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ѳïáõÙ ¿ ÙǨÝáõÛÝ ëáõñ ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï: 995. a, b, c ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ç±Ýã ϳåÇ ¹»åùáõÙ y ax 2 bx c å³ñ³µáÉÁ Ïßáß³÷Ç x -»ñÇ ³é³ÝóùÁ: 996. ƱÝã å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ y x 3 px q Ëáñ³Ý³ñ¹ å³ñ³µáÉÁ Ïßáß³÷Ç x -»ñÇ ³é³ÝóùÁ: 997. a å³ñ³Ù»ïñÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ y ax 2 å³ñ³µáÉÁ Ïßáß³÷Ç y ln x ÏáñÁ (ѳïÙ³Ý Ï»ïáõÙ Ïáñ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 0 ): ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»ÝódzÉÁ (998-1003). 998. y
: x
999. y cos x 3 x :
1000. y arccos x 2 x :
1001. y 3
arctgx 2
:
ln x : 1003. y : sin 3 2 x x 1004. ¸Çóáõù u u x , v v x ¨ w w x ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ¶ïÝ»É y ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»ÝódzÉÁ, »Ã» 1002. y
³) y uvw ;
µ) y
u v
; ·) y arctg
u ; ¹) y ln u 2 v 2 : v
1005. ¶ïÝ»É ³Í³ÝóÛ³ÉÁ. ³)
d d sin x d sin x d arcsin x x 3 2 x 6 x 9 ; µ) ; ·) : ; ¹) 2 d cos x d arccos x d x d x x
öá˳ñÇÝ»Éáí ýáõÝÏódzÛÇ ³×Á ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇ ³ñÅ»ùáí, ·ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ (1006-1010). 1006.
1,02 :
1007. sin 29 :
1008. cos 151 :
2x , »ñµ x 0,15 : 2 x 1011. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ 1009. arctg1,05 :
1010. 5
³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 1012. γñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ Ë½Ù³Ý Ï»ïáõÙ áõÝ»Ý³É ³Ýí»ñç ³Í³ÝóÛ³É: 1013. γéáõó»É ýáõÝÏódz, áñÁ ÉÇÝÇ ³ÝÁݹѳï R -Ç íñ³, µ³Ûó ³) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ãÉÇÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï Ï»ïáõÙ; µ) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ãÉÇÝÇ ÙdzÛÝ »ñÏáõ Ï»ïáõÙ:
1014. γñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù f x g x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ÉÇÝ»É ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, »Ã» ³) f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ g x -Áª áã; µ) f x ¨ g x ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã»Ý x0 Ï»ïáõÙ: 1015. γñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù f x g x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ÉÇÝ»É ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, »Ã» ³) f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ g x -Áª áã; µ) f x ¨ g x ýáõÝÏódzݻñÁ x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã»Ý: 1016. ¸Çý»ñ»Ýó»ÉDZ »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ. ³) y x x ; µ) y x 3 ; ·) y x sin x : 1017. ²å³óáõó»É, áñ R -Ç íñ³ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ½áõÛ· ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿, ÇëÏ Ï»Ýï ýáõÝÏódzÛÇÝÁª ½áõÛ·: 1018. ²å³óáõó»É, áñ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿: 1019. ØáÝáïá±Ý ¿ ³ñ¹Ûáù ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É y x sin x ýáõÝÏódzÝ:
¶ïÝ»É y -Á (1020-1026). 1020. y x 1 x 2 :
1022. y e x : 1024. y
1 x2
:
1023. y tgx :
arcsin x 1 x
x
1021. y
:
1025. y 1 x 2 arctgx :
1026. y x x : 1027. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ.
e n
³) e x
x
;
n
x
ln n a ;
n cos x ; 2 n 1 n n 1 n 1 ! ») x m mm 1 m n 1x m n ; ½) ln x : xn 1028. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ n -ñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ n
·) sin x
n sin x ; 2
a
µ) a x
n
¹) cos x
f ax b n a n f n ax b :
¶ïÝ»É y y x ýáõÝÏódzÛÇ n -ñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (1029-1048).
ax b : cx d 1032. y 2 : x 3x 2 x2 1034. y 3 : 1 x
: 2x 3 1031. y : x 1 x 1033. y : 1 2x 1029. y
1030. y
1035. y sin 2 x :
1036. y sin 3 x :
1037. y cos 4 x :
1038. y cos ax cos bx :
1039. y sin x cos 2 x :
1040. y x 2 sin 2 x :
1041. y x 2 ln 1 x :
1042. y e 3 x sin 4 x :
1043. y e x cos 2 x :
1044. y xshx :
1045. y chaxchbx :
1046. y x n e x :
1 x : 1 x f 1 f n 1 1049. ¸Çóáõùª f x x n , n N : êïáõ·»É, áñ f 1 2n : 1! n! f x n n 1050. ¸Çóáõùª f x x n 1e x , n N : êïáõ·»É, áñ f x 1 : x 2n 1047. Pn x a0 a1 x an x n :
1048. y ln
¶ïÝ»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ Ýßí³Í ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (1051-1056).
-Á, »Ã» x 2t t 2 , y 3t t 3 : 1051. yxx -Á, »Ã» x a cos t , y a sin t : 1052. yxx -Á, »Ã» x a t sin t , y a1 cos t : 1053. yxxx -Á, »Ã» x e t cos t , y e t sin t : 1054. yxxx -Á, »Ã» x ln t 1 t 2 , y 1055. yxx
1 t 2
:
-Á, »Ã» x t 2 , y ln sin t t ctgt : 1056. yxxx гí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ϳï³ñ»É ÷á÷á˳ϳÝÇ Ýßí³Í ÷á˳ñÇÝáõÙÁ (1057-1059). 1057. x 2 y 4 xy 6 y 0 , x et , y y t :
1058. u qt u 0 , u t v , s
ln t , v vs :
1059. x 2 y 2 y 2 xy y yy x 0 , x r cos , y r sin , r r : ¸Çóáõù u x ¨ v x ýáõÝÏódzݻñÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ¶ïÝ»É y -Á (1060-1065). 1060. y u 2 : 1063. y ln
u : v
u : v
1061. y u v :
1062. y
1064. y u 2 v 2 :
1065. y u v :
¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý »ñ»ù ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: ¶ïÝ»É y -Á ¨
y -Á (1066-1068).
1066. y f x 2 :
1 x
1067. y f :
1068. y f e x :
лï¨Û³É ËݹÇñÝ»ñáõÙ, »Ã» ѳïáõÏ Ýßí³Í ã¿, ׳ݳå³ñÑÇ ã³÷Ù³Ý ÙdzíáñÝ ¿ª Ù»ïñ, ųٳݳÏÇÝÁª í³ÛñÏÛ³Ý, ³ñ³·áõÃÛ³ÝÁª Ù/íñÏ, ³ñ³·³óÙ³ÝÁª Ù/íñÏ2:
1069. سñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ áõÕÕ³·Çͪ S 1 2t t 2 ûñ»Ýùáí: гßí»É Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ųٳݳÏÇ t 2 å³ÑÇÝ: 1070. àõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ V 3t t 2 t 3 µ³Ý³Ó¨áí: ÆÝãåÇëDZ ³ñ³·³óáõÙ Ïáõݻݳ Ù³ñÙÇÝÁ ß³ñÅÙ³Ý ëϽµÇó 4 íñÏ ³Ýó: 1071. àõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³Ýó³Í S ׳ݳå³ñÑÁ áñáßíáõÙ ¿
S t 3 3t 2 t µ³Ý³Ó¨áí: ¶ïÝ»É ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñ³·³óáõÙÁ, »ñµ t 10 : 1072. äïïíáÕ Ã³÷³ÝÇíÁ, áñÇÝ å³ÑáõÙ ¿ ³ñ·»É³ÏÁ, t í³ÛñÏÛ³ÝÇ ÁÝóóùáõÙ åïïíáõÙ ¿ t t 2 ³ÝÏÛáõÝáí( , , -Ý ¹ñ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý): ¶ïÝ»É ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ¨ åïïÙ³Ý ³ñ³·³óáõÙÁ: ²ÝÇíÁ »±ñµ ϳݷ ϳéÝÇ: 1073. 100 Ï· ½³Ý·í³Íáí Ù³ñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ áõÕÕ³·Çͪ S 2t 2 3t 1
mv 2
ß³ñÅáõÙÝ ëÏë»Éáõó ûñ»Ýùáí: ¶ïÝ»É Ù³ñÙÝÇ ÏÇÝ»ïÇÏ ¿Ý»ñ·Ç³Ý 5 íñÏ ³Ýó:
1074. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ù³ñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ S aet be t ûñ»Ýùáí, ³å³ ³ñ³·³óÙ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ ѳí³ë³ñ ¿ ׳ݳå³ñÑÇ Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÇÝ: 1075. سñÙÝÇ ß³ñÅÙ³Ý ûñ»ÝùÁ ïñí³Í ¿ S a bt ct 2 µ³Ý³Ó¨áí: ²å³óáõó»É, áñ Ù³ñÙÝÇ íñ³ ³½¹áÕ áõÅÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: 1076. 1,7 ٠ѳë³Ï áõÝ»óáÕ Ù³ñ¹Á 5 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ Ñ»é³ÝáõÙ ¿ ÉáõÛëÇ ³ÕµÛáõñÇó, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ h 1,7 Ù µ³ñÓñáõÃÛ³Ý íñ³,: ¶ïÝ»É Ýñ³ ·ÉËÇ ëïí»ñÇ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ: 1077. سñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ y 2 x 3 áõÕÇÕáí ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ ³µëóÇëÁ ³×áõÙ ¿ Vx 3 ѳëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ƱÝã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ ÷á÷áËíáõÙ ûñ¹ÇݳïÁ: 1078. سñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ x 2 y 2 100 x, y 0 ßñç³Ý³·ÍÇ ³Õ»Õáí ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ ûñ¹ÇݳïÁ ³×áõÙ ¿ V 3 ѳëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ƱÝã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ ÷á÷áËíáõÙ ³µëóÇëÁ: ¶ïÝ»É ³µëóÇëÇ ÷á÷áËÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ ûñ¹ÇݳïÁ ѳí³ë³ñ ¿ 6 -Ç: 1079. سñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ 12 y x 3 Ïáñáí: Üñ³ á±ñ Ïááñ¹ÇݳïÝ ¿ ÷á÷áËíáõÙ ³í»ÉÇ ³ñ³·:
´ 1080. ¶ïÝ»É f 0 -Ý, »Ã» ³) f x x 1 cos x ;
n
n
·) f x x k ;
µ) f x x k ; k 0
4 5 sin x sin , x 0, x 0, x 0;
¹) f x
k 1
4 x 2 x cos , x 0, 3x 2 0, x 0 :
») f x
гßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (1081-1084). 1081. y arccos
: x
1082. y x sin 2 x :
x 1arctg 2 2 x, x 1, x 1 2, x 1 :
1083. y
arctgx, x 1, x 1 4 sgn x 2 , x 1 :
1084. y
1085. ²å³óáõó»É ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÁ n
f1 x f n x f1 x f kx f n x : k 1
1086. a -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ³ÝÁݹѳï x 0 Ï»ïáõÙ: êïáõ·»É f 0 ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ѳßí»É ³ÛÝ, »Ã»
ex 1 2 sin 2 x , x , , x 0, ³) f x x µ) f x x a, x 0; a, x 0; 1087. ¸Çóáõù g ¨ ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ x : x a ¨ x : x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³ ¨
g x , x a, f x x , x a : ²å³óáõó»É, áñ f x ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ³ÝÑñ³Å»ßï »Ý ¨ µ³í³ñ³ñ. 1) g x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿
x : x a
µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ÇëÏ
x -Áª x : x a µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³; 2) g a a ; 3) g a a : a ¨ b Ãí»ñÇ ÇÝãåÇëDZ ÁÝïñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ (1088-1091).
x 2 , x 1,
1088. f x
ax b, x 1 : a bx 2 , x 1, 1090. f x 1 , x 1: x
e x , x 0,
1089. f x
x ax b, x 0 :
ax b, x 0, a cos x b sin x, x 0 :
1091. f x
ÀÝïñ»É a1 , b1 , a2 , b2 Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ (1092-1095).
a1 x b1 , x 2 , 1092. f x cos x, x ; , 2 2 a x b , x : 2
a1 x 2 b1 , x 1, 1093. f x x sin x, x 1;1, a x b , x 1 : 2
a1 x 22 b1 , x 1, 2 1094. f x x arctgx, x 1;1, a x 22 b , x 1 : 2 2 a1 x b1 , x e , 1 1095. f x x 2 ln x, x ; e , e a x b , x e: 2 ¶ïÝ»É ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (1096-1099). n
1096. f x lim ch n k 1
1 x 2 n
x : 2k
n
1097. f x lim
k
,
x 1:
k 0
лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛáõÝÁ (1098-1100).
1098. f x x 1 x 2 x 3 : 1099. f x cos x : 1100. f x 2 x 2 sin 2 x : ¶ïÝ»É x 0 Ï»ïáõÙ f x ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝ㨠³ÛÝ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ, áñáÝù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý (1101-1104).
x10 , »ñµ x Q,
1101. f x
x , »ñµ x I : 1 cos x, x 0, 1103. f x ln 1 x x, x 0 :
1105. êïáõ·»É, áñ
2 x sin , x 0, f x x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ë½íáÕ ³Í³ÝóÛ³É:
1102. f x x
:
shx x, x 0, x sin x, x 0 :
1104. f x
1106. -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ
x sin , x 0, f x x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ
³) ÏÉÇÝÇ ³ÝÁݹѳï;
µ) ÏÉÇÝÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ; ·) Ïáõݻݳ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É: 1107. -Ç ¨ -Ç 0 DZÝã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ
x sin , x 0, f x x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³) ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É; µ) ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É: 1108. ¸Çóáõù f x , g x , h x ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. 1) f x g x h x , f x0 h x0 ; 2) f x ¨ h x ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý x0 Ï»ïáõÙ; 3) f x0 h x0 :
g x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ g x0 f x0 h x0 : 1109. ¸Çóáõù f x a1 sin x a2 sin 2 x an sin nx ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³²å³óáõó»É,
ñ³ñáõÙ
¿
áñ
f x sin x
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ:
²å³óáõó»É,
áñ
a1 2a2 nan 1 : 1110. ¶ïÝ»É f a -Ý, »Ã» f x x a x , áñï»Õ x ýáõÝÏóÇ³Ý x a Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 1111. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x a Ï»ïáõÙ ¨
a 0 , ³å³ f x x a x ýáõÝÏóÇ³Ý a Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: гßí»É f a ¨ f a ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ: 1112. γéáõó»É ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÁ ïñí³Í a1 , a2 ,..., an Ï»ï»ñáõÙ (¨ ÙdzÛÝ ³Û¹ï»Õ) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿:
1113. êïáõ·»É, áñ
x 2 , »ñµ x - Á é³óÇáÝ³É ¿, f x 0, »ñµ x - Ý Çé³óÇáÝ³É ¿ : ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ÙdzÛÝ x 0 Ï»ïáõÙ: 1114. ²å³óáõó»É, áñ
2 x cos , x 0, f x x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, µ³Ûó ³Û¹ Ï»ïÇ áã ÙÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: ¶ïÝ»É f x ýáõÝÏódzÛÇ f x ¨ f x ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ ³ÛÝ Ï»ï»ñáõÙ, áñï»Õ f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ (1115-1125). 1115. f x x sin x :
1116. f x sin x 2 :
x cos , x 0, 1117. f x x 0, x 0 :
arctg x , x 0, 1118. f x , x 0 : 2
1 x arctg 1 x , x 1, 1119. f x , x 1: 2
1120. f x
1121. f x ln x :
1122. f x arcsin
x
1123. f x 2 1x 1
, x 0,
x 4 arctg , x 4, x4 0, x 4 :
2x : 1 x2
1124. f x arcsin e x :
0, x 0 :
1125. f x arccos 1 x 2 : ¶ïÝ»É f 0 -Ý ¨ f 0 -Ý (1126-1129). 1126. f x 1 1 x 2 :
x , x 0, x ln x, x 0 :
1127. f x 3
2 x, x 0, 1128. f x 5 7 ln 1 x , x 0 :
1 e x , x 0, 1129. f x 1 3 x 4 , x 0 :
1130. ²å³óáõó»É, áñ
x sin , x 0, f x x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 0 Ï»ïáõÙ, µ³Ûó ³Û¹ Ï»ïáõÙ ãáõÝÇ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ: 1131. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x x0 Ï»ïáõÙ, f x0 0 , ÇëÏ
g x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, µ³Ûóª áã ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ f x g x ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: 1132. ƱÝã ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É x x0 Ï»ïáõÙ f g x ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ, »Ã» ³) f y -Ý y0 g x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, g x -Ý x x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿; µ) f y -Ý y0 -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿, g x -Ý x0 -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿; ·) f y -Ý y0 -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿, g x -Ý x0 -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: 1133. ¸Çóáõù f y ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ y 0 Ï»ïáõÙ ¨
2 x sin , x 0, g x x 0, x 0 : ²å³óáõó»É, áñ f g x ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ áõÝÇ ½ñáÛÇ Ñ³í³ë³ñ ³Í³ÝóÛ³É: 1134. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù ýáõÝÏódzݻñÇ ÙÇç¨ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³Í³Ýó»É. f x g x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù f x g x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: гßí»É ·áõÙ³ñÁ (1135-1138). 1135. ³) 1 2 x 3 x 2 nx n 1 ; µ) 12 22 x 32 x 2 n 2 x n 1 : 1136. ³) sin x 2 sin 2 x n sin nx ; µ) cos x 2 cos 2 x n cos nx : 1137. ³) cos x 3 cos 3x 2n 1 cos 2n 1x ; µ) sin x 3 sin 3x 2n 1 sin 2n 1x :
1138.
1 x 1 x x tg tg n tg n : 2 2 4 4 òáõóáõÙ: ú·ïí»É cos
x x x sin x cos cos ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó: n x n 2 sin n
²å³óáõó»É, áñ ïñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÇó áñáßíáÕ y y x ýáõÝÏóÇ³Ý ÙdzÏÝ ¿ ¨ ·ïÝ»É yx -Á (1139-1140). 1140. y sin y x 0 1 :
1139. y 3 3 y x : 1141.
êïáõ·»É,
x 2t t
áñ
y 5t 2 4t t
¨
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó
áñáßíáÕ y y x ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñ³Ù»ïñÇ t 0 ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, µ³Ûó Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ Ñ³ßí»É yx
yt µ³Ý³Ó¨áí: xt
1142. ²å³óáõó»É n -ñ¹ ϳñ·Ç áñáßÇãÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÁ.
f11 x
f12 x
f k1 x
f1n x
f k 2 x
f n2 x 1143. гßí»É F x -Á, »Ã» ³) F x 3
2
n
f kn x k 1
f n1 x
x 1
f nn x
x
3 ;
f11 x
f12 x
f1n x
f k1 x
f kn x
f k 2 x
f n1 x
f n 2 x
f nn x
x µ) F x 1
3 x 1
x2
x3
2 x 3x 2 :
6x
1144. ¶ïÝ»É yx ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, »Ã» ³) r a ; µ) r a1 cos ; ·) r ae m , áñï»Õ r -Á ¨ -Ý x; y Ï»ïÇ µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý: 1145. ä³ñ½»É, û y x 3 sin x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ á±ñ Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ áõÕÕ³ÓÇ· ßáß³÷áÕ: 1146. ¶ïÝ»É ÙǨÝáõÛÝ ß³é³íÕáí »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ, »Ã» ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇó Ù»ÏÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÙÛáõë ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³: 1147. òáõÛó ï³É, áñ y x
ÏáñÁ ßáß³÷áõÙ ¿
³) y -Ý»ñÇ ³é³ÝóùÁ, »ñµ 0 1 ; µ) x -»ñÇ ³é³ÝóùÁ, »ñµ 1 :
1148. ²å³óáõó»É, áñ r ae m ( a -Ý ¨ m -Á ѳëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý) Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ·³É³ñ³·ÍÇ ßáß³÷áÕÇ ¨ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: 1149. ²å³óáõó»É, áñ ÑÇå»ñµáÉÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ÁÝï³ÝÇùÝ»ñÁª
x 2 y 2 a , xy b , ϳ½ÙáõÙ »Ý ûñÃá·áÝ³É ó³Ýó. ³Û¹ ÁÝï³ÝÇùÝ»ñÇó Ù»ÏÇÝ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í ÑÇå»ñµáÉ ÙÛáõë ÁÝï³ÝÇùÇ ó³Ýϳó³Í ÑÇå»ñµáÉÇ Ñ»ï ѳïíáõÙ ¿ áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï: 1150. ²å³óáõó»É, áñ å³ñ³µáÉÝ»ñÇ
y 2 4aa x , y 2 4bb x a 0, b 0 ÁÝï³ÝÇùÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý ûñÃá·áÝ³É ó³Ýó: 1151. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ n -ñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ. ³) y arcsin x ; µ) y arctgx : n
a -Ý, »Ã» f x x a n x , áñï»Õ x ýáõÝÏóÇ³Ý Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ n 1 -ñ¹ ϳñ·Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É: 1152. ¶ïÝ»É f
a
1153. ²å³óáõó»É, áñ
2n x sin , x 0, f x n N , x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ áõÝÇ ÙÇÝ㨠n -ñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ ¨ ãáõÝÇ n 1 -ñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É: 1154. êïáõ·»É, áñ
x12 f x e , x 0, 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ѳßí»É f n 0 -Ý n N : 1155. êïáõ·»É, áñ
e x , x 0, f x 0, x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ѳßí»É f
n
0 -Ý,
n N :
1156. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý ; x0 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: a, b, c Ãí»ñÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ
f x , x x0 , g x a x x0 b x x0 c, x x0
ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: 1157. êïáõ·»É, áñ lim x 2 x
d2 ax 2 bx c 0 a 0 : dx
1158. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
µ) e
e a cosbx c e a
³) e ax sin bx c ax
n
n
ax
ax
n 2 2
b
áñï»Õ sin
n
b
b2
sin bx c n ; cosbx c n ; a
, cos : a2 b2 a2 b2 1159. ¸Çóáõù lim f x , lim f x 0 : ²å³óáõó»É, áñ f x -Á é³óÇáÝ³É x
x
ýáõÝÏódz ã¿. ãÇ Ï³ñáÕ Ý»ñϳ۳óí»É áñå»ë »ñÏáõ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝ:
¶ 1160. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ lim f x : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ x a
³) lim f x ; x a
µ) lim f x : x a
1161. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ lim f x : лï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ï»ÕÇó, áñ lim f x : x a
x a
1162. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý: γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ x
f x -Á -áõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ë³ÑÙ³Ý: 1163. ¸Çóáõù f x ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý: лï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹x
Ûáù ³Û¹ï»ÕÇó, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ë³Ñx
Ù³Ý: 1164. γéáõó»É ýáõÝÏódz, áñÁ ÉÇÝÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ 0;1; 1 Ï»ï»ñáõÙ ¨ ˽íáÕ` 2;2 ѳïí³ÍÇ Ùݳó³Í Ï»ï»ñáõÙ:
1165. ²å³óáõó»É, áñ
1 2 1 2 x 1 x 1 , x 1, f x e 0, x 1 ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: γéáõó»É ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz, áñÁ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ÇëÏ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇó ¹áõñëª ½ñá: 1166. f x ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù áÕáñÏ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã»
lim
h 0
f x0 h 2 f x0 f x0 h 0: h
²å³óáõó»É, áñ ³) »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÛÝ áÕáñÏ ¿; µ) ϳéáõó»É ýáõÝÏódz, áñÁ ïíÛ³É Ï»ïáõÙ áÕáñÏ ¿, µ³Ûó ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: 1167. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, n x0 n n N ¨
lim n lim n x0 : ²å³óáõó»É, áñ lim
n
n
n
f n f n f x0 : n n
1168. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, x0 n n n N ¨
lim n x0 :
n
³) γéáõó»É x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz, áñÇ Ñ³Ù³ñ Ñݳñ³íáñ ÉÇÝÇ ËݹñÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ n ¨ n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ
f n f n n n
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã½áõ·³ÙÇïÇ
f x0 -Ç; µ) ³å³óáõó»É, áñ »Ã»
n x0 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, n n
f n f n f x0 : n n n 1169. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x y f x f y , x, y R ³å³ lim
ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x 0 Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ó³Ýϳó³Í x R Ï»ïáõÙ ¨ f
n
x f 0 n f x :
x
1170. îñí³Í ¿ y 1 x ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ
y n 1 0 1
n 1
n 1
k
n ! 1 k 0
y k 0 n k 1 k! nk
n N :
1171. ¸Çóáõùª a1 a2 a2 n : ²å³óáõó»É, áñ
x a1 x a3 x a2 n 1 0: x a2 x a4 x a2 n 1172. ¸Çóáõù 1 , 2 ,..., n Ãí»ñÁ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý k -Ç ¹»åùáõÙ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 1k k2 kn 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ ¨
f x
: 1 1 x 1 2 x 1 n x
²å³óáõó»É, áñ f
k
0 0 k N :
1173. ¸Çóáõù n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ, n 1 , P x ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ
x1 , x2 ,..., xn ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý ¨ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñµ»ñ: ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. 0: P x1 P x2 P xn 1174. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
n 1 1 x f x
n
1n x n 1
1 f n : x
²å³óáõó»É µ³Ý³Ó¨Á (1175-1176). 1175.
n 1 dn n x ln x n ! ln x x 0 : n dx k 1 k
1176.
d 2n dx 2n
sin x 2n ! 2 n 1 Cn x sin x Sn x cos x , x x
áñï»Õ
Cn x 1
2n x2 x3 x 2n1 n x n 1 1 , S n x x 1 : 2! 2n ! 3! 2n 1!
1177. ²å³óáõó»É, áñ
dn lim n x 0 dx
0, »ñµ n 2k 1, sin 2 x 2 22 k x 1k , »ñµ n 2k : k 12k 1
1178. êïáõ·»É, áñ
Tm x
m 1
cosm arccos x m N
ýáõÝÏódzݻñÁ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý (⻵Çß¨Ç µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ) ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 1 x 2 Tm x xTm x m 2Tm x 0 ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: 1179. ²å³óáõó»É, áñ ȻųݹñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁª
Pm x
m m 1 2 x m 0,1,2,... , 2m m!
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
1 x P x 2 xP x mm 1P x 0
m
m
m
¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñ-
Ù³ÝÁ:
òáõóáõÙ: x 1 u 2mxu ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ u x 2 1
m
, ³Í³Ýó»É m 1 ³Ý·³Ù:
1180. ȳ·»ñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí.
m
Lm x e x x m e x m 0,1,2,... : ²å³óáõó»É, áñ Lm x -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ. xLm x 1 x Lm x mL x 0 : òáõóáõÙ: ú·ï³·áñÍ»É xu m x u ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ u x m e x :
1181. ¸Çóáõù y f u ¨ u x ýáõÝÏódzݻñÁ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ
dny n Ak x f k u n dx k 1 Ý»ñϳ۳óÙ³Ý Ù»ç Ak x ·áñͳÏÇóÝ»ñÝ f ýáõÝÏódzÛÇó ϳËí³Í ã»Ý:
nn 1 2 x f x 1!
1182. ²å³óáõó»É y f x 2 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÁ. n
d y n n 2 n 1 2 2 x n 2 f x dx n nn 1n 2n 3 2 x n 4 f n 2 x 2 : 2!
1183. лñÙÇïÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý m
m
H m x 1 e x e x m 0,1,2,... µ³Ý³Ó¨áí: ²å³óáõó»É, áñ H m x -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ H m x 2 xH m x 2mH m x 0 ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: òáõóáõÙ: ú·ï³·áñÍ»É u 2 xu ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ u e x
1184. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P1 x ¨ P2 x n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ n 1 Ï»ï»ñáõ٠ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý,³å³ P1 x P2 x : 1185. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ R -Ç íñ³ ¨ x0 , x1 ,..., xn -Á Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ȳ·ñ³ÝÅÇ ÇÝï»ñåáɳóÇáÝ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁª
x x0 x xi 1 x xi 1 x xn -Á, xi x0 xi xi 1 xi xi 1 xi xn i 0 ³ëïÇ׳ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ln xi f xi n
Ln x f xi ÙÇ³Ï n -ñ¹
i 0,1,..., n å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: 1186. ¸Çóáõù k1 , k 2 ,..., k n -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, x1 , x2 ,..., xn -Áª Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, ÇëÏ P1 x -Á ¨ P2 x -Á
j 1,2,..., n, i 0,..., k
P1i x j P2i x j
j
1
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ k1 k2 k n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ P1 x P2 x : 1187. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý xi , i 1,2,..., n Ï»ï»ñáõÙ ki 1 ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m -ñ¹ ϳñ·Ç m k1 k2 kn 1 ÙÇ³Ï H m x µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
H mi x j f i x j
( j 1,2,..., n , i 0,1,..., k j 1 )
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (лñÙÇïÇ ÇÝï»ñåáɳóÇáÝ µ³½Ù³Ý¹³Ù): 1188. ÀÝïñ»É ³Ù»Ý³ó³Íñ ³ëïÇ׳ÝÇ P x µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³ÛÝå»ë, áñ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ 1) ³ÝÁݹѳï; 2) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ.
5x , x 1, ³) f x 4 x 2 P x , x 1;
x 2 e 2 x , x 1, P x , x 1 :
µ) f x
1189. ²å³óáõó»É, áñ èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿:
1190. ²å³óáõó»É, áñ
p 1 3 , »ñµ x f x q q 0, »ñµ x I
(³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿, q N )
ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í k N \ n 2 : n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ x k Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: 1191. γéáõó»É f : R R ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ ýáõÝÏódz, áñÝ x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, f x0 0 , ÇëÏ f 1 ѳϳ¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³Ý y0 f x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿:
¶ÉáõË
¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ, ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÁ è á É É Ç Ã » á ñ » Ù Á : ºÃ» f C a; b ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f a f b , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f 0 : È ³ · ñ ³ Ý Å Ç Ã » á ñ » Ù Á (í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á): ºÃ» f C a; b ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f b f a f b a : Î á ß Ç Ç Ã » á ñ » Ù Á : ºÃ» f , g C a; b ýáõÝÏódzݻñÁ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý ¨ g x 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f b f a f : g b g a g  » Û É á ñ Ç µ ³ Ý ³ Ó ¨ Á : ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:
n f x0 x x0 f x0 x x0 n 1! n! ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ x0 Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ n -ñ¹ ϳñ·Ç »ÛÉáñÇ Pn x0 , x f x0
µ³½Ù³Ý¹³Ù: »ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. f x Pn x0 , x rn x0 , x , áñï»Õ rn x0 , x f x Pn x0 , x -Á ÏáãíáõÙ ¿ Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³Ù: ºÃ» f -Ý x0 Ï»ïáõÙ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³
rn x0 , x o x x0 n (Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ä»³ÝáÛÇ Ý»ñϳ۳óáõÙ):
x0 ; x ¨ x0 ; x ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f -Ý áõÝÇ n 1 -ñ¹ ϳñ·Ç í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 ; x Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ºÃ» f C
n
1 n 1 f x n x x0 (Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ÎáßÇÇ Ý»ñϳ۳óáõÙ); n! 2) rn x0 , x f n 1 x x0 n 1 (Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ È³·ñ³ÝÅÇ Ý»ñϳ۳n 1! 1) rn x0 , x
óáõÙ):
È á å Ç ï ³ É Ç Ï ³ Ý á Ý Á : ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý ¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ
a; b
g x 0 : ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f x lim A í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ( ϳ٠) ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ x a g x í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, Áݹ áñáõÙª
lim f x lim g x 0 ϳ٠lim g x
x a
xa
x a
³å³
lim x a
f x A: g x
ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç Ñ » ï ³ ½ á ï áõ Ù Á : ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:  » á ñ » Ù 1: f -Ý a; b -áõÙ ÏÉÇÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
f x 0 :  » á ñ » Ù 2: f -Ý a; b -áõÙ ãÝí³½áÕ ¿ (ã³×áÕ ¿) ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ f x 0
0 :
àõ é áõ ó Ç Ï ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ : ¸Çóáõù X -Á ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ áõéáõóÇÏ, »Ã» ó³Ýϳó³Í x1 , x 2 X Ï»ï»ñÇ ¨ 0 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ
f x1 1 x2 f x1 1 f x 2 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» x1 x 2 , 0 ¨ 1 ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ËÇëï ¿, ³å³
f -Á ÏáãíáõÙ ¿ ËÇëï áõéáõóÇÏ ýáõÝÏódz: f -Á ϳÝí³Ý»Ýù ·á·³íáñ ýáõÝÏódz, »Ã» f -Á áõéáõóÇÏ ¿:  » á ñ » Ù 3 : àñå»ë½Ç a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ áõéáõóÇÏ (·á·³íáñ), ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ãÝí³½áÕ (ã³×áÕ): Ð » ï ¨ ³ Ý ù : a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ áõéáõóÇÏ (·á·³íáñ) ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ f x 0
0 : Þ ñ ç Ù ³ Ý
f -Ý x0 Ï»ïÇ U x0 ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:
Ï » ï : ¸Çóáõù
Ü߳ݳϻÝù U x x U x : x x0 , U x x U x 0 : x x0 : ºÃ» U x ¨ U x ÏÇë³ßñç³0 ϳÛù»ñÇó Ù»ÏáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ËÇëï áõéáõóÇÏ ¿, ÇëÏ ÙÛáõëáõÙª ËÇëï ·á·³íáñ, ³å³ x0 -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ßñçÙ³Ý Ï»ï: ºÃ» x0 ßñçÙ³Ý Ï»ïáõÙ f -Á »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ f x0 0 : ¾ ù ë ï ñ » Ù áõ Ù Ý » ñ : x0 a; b Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ÉáÏ³É ÙÇÝÇÙáõÙÇ ( Ù³ùëÇÙáõÙÇ) Ï»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 -Ç U x0 ßñç³Ï³Ûù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
x U x 0 f x f x0
f x f x0 :
ºÃ» ³Ûë ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ËÇëï ¿, »ñµ x x0 , ³å³ x0 -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ËÇëï ÙÇÝÇÙáõÙÇ (Ù³ùëÇÙáõÙÇ) Ï»ï: ÈáÏ³É ÙÇÝÇÙáõÙÇ ¨ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ÙdzëÇÝ ÏáãíáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ ÉáÏ³É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ:
ü » ñ Ù ³ Û Ç Ã » á ñ » Ù Á (¿ùëïñ»ÙáõÙÇ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ): ºÃ» x0 -Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ÉáÏ³É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿ ¨ ³Û¹ Ï»ïáõÙ f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ f x0 0 :  » á ñ » Ù 4 (¾ùëïñ»ÙáõÙÇ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ): ¸Çóáõù f -Ý x0 Ï»ïÇ U x0 ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù (µ³óÇ ·áõó» x0 Ï»ïÇó) áõÝÇ í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É: ÖßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
³) x U x
µ) x U x
f x 0
¨ x U x
f x 0 ¨
x U x
f x 0
f x 0
x0 -Ý ËÇëï Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; x0 -Ý ËÇëï ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
 » á ñ » Ù 5: ¸Çóáõù f -Ý x0 Ï»ïÇ U x0 ßñç³Ï³ÛùáõÙ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ
n 1 x 0 ¨ f n x 0 : ºÃ» n -Á Ï»Ýï ¿, ³å³ f -Ý x Ï»ïáõÙ n ¿ùëïñ»ÙáõÙ ãáõÝÇ: ºÃ» n -Á ½áõÛ· ¿, ³å³ f x 0 ¹»åùáõÙ x -Ý ËÇëï ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, áñáõÙª f x0 f
n ÇëÏ f x0 0 ¹»åùáõÙª ËÇëï Ù³ùëÇÙáõÙÇ:
¸Çóáõùª f C a; b : x0 a; b Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï, »Ã»
f x0 0 ϳ٠f -Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: üáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ (ٻͳ·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÁ ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ µ³í³Ï³Ý ¿ ѳßí»É Ýñ³ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñáõÙ, ÇÝãå»ë ݳ¨ a ¨
b Ï»ï»ñáõÙ, ¨ ÁÝïñ»É ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ (ٻͳ·áõÛÝÁ): ² ë Ç Ù å ï á ï Ý » ñ : y c0 c1 x áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ y f x ýáõÝÏódzÛÇ ³ëÇÙåïáï (ûù ³ëÇÙåïáï) x -Á -Ç ( -Ç) Ó·ï»ÉÇë, »Ã» f x c0 c1 x o 1 , »ñµ x ²Ûë ¹»åùáõÙ
c1 ºÃ»
lim
x
:
f x , c0 lim f x c1 x : x x
lim f x lim f x , ³å³ x a áõÕÇÕÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏ x a
x a
ódzÛÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáï:
² 1192. êïáõ·»É, áñ f x x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 1;1 ѳïí³ÍÇ íñ³, ͳÛñ³Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ, ë³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ 1;1 Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f 0 : âDZ ѳϳëáõÙ ³ñ¹Ûáù ³Ûë ÷³ëïÁ èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇÝ: 1193. îñí³Í ¿
x, »ñµ 0 x 1, f x 1, »ñµ x 0
ýáõÝÏódzÝ: гÙá½í»É, áñ ³ÛÝ 0;1 ѳïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ, 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ë³Ï³ÛÝ f x -Á áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ½ñá ãÇ ¹³éÝáõÙ: ä³ñ½»É èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï Ãí³óÛ³É Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ý å³ï׳éÁ: 1194. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á y
x
x a; b
ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» ³) a b 0 ; µ) a b 0 : ä³ï³ë˳ÝÁ ÑÇÙݳíáñ»É: 1195. êïáõ·»É, áñ 1;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f x x 2 ¨ g x x 3 ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ ÏÇñ³éáõÙÁ µ»ñáõÙ ¿ ëË³É ³ñ¹ÛáõÝùÇ ¨ å³ñ½»É å³ï׳éÁ: 1196. ¸Çóáõù f x x x 1 x 2 x 3 x 4 : ²å³óáõó»É, áñ f x 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý ¨ ÁÝÏ³Í »Ý 0;4 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1197. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P x ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ x0 -Ý µ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ ³ñÙ³ï ¿ ݳ¨ P x -Ç Ñ³Ù³ñ: 1198. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P x ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ P x -Ç µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Çñ³Ï³Ý »Ý: 1199. îñí³Í ¿ y x 2 ýáõÝÏódzÝ: гÙá½í»É, áñ ó³Ýϳó³Í a; b ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨áõÙ ³éϳ Ï»ïÁ ÙdzÏÝ ¿ ¨ ·ïÝ»É ³ÛÝ: 1200. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á Ý»ñϳ۳óí³Í ¿
f x x f x f x x x 0 1 ï»ëùáí: ¶ïÝ»É -Ç Ï³ËáõÙÝ x -Çó ¨ x -Çó, »Ã» ³) f x ax 2 bx c a 0 ; µ) f x ; ·) f x e x : x 1201. y x 3 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ Ýᯐ ³ÛÝ ; 3 Ï»ïÁ, áñáí ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ A 1;1 ¨ B2;8 Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ É³ñÇÝ: 1202. γéáõó»É (·ñ³ýÇÏáñ»Ý) a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódz, áñÇ
ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ È³·ñ³ÝÅÇ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨áõÙ ³éϳ ³) ×Çßï »ñÏáõ Ï»ï; µ) ×Çßï »ñ»ù Ï»ï: 1203. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) sin x sin y x y ; µ) arctgx arctgy x y ; ·) py p 1 x y x p y p px p 1 x y
p 1, 0 y x ;
x y x x y ln 0 y x : x y y 1204. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f x 0 , ³å³ f -Ý ³Û¹ Ùǹ)
ç³Ï³Ûùáõ٠ѳëï³ïáõÝ ¿: 1205. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f x g x , ³å³ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: 1206. ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ. ³) arcsin x arccos x ·) 2arctgx arcsin
;
µ) arctgx arctg
2x sgn x 1 x2
x 1 ;
¹) 3 arccos x arccos 3x 4 x 3 x 1207. êïáõ·»É, áñ f x arctg
1 sgn x x 0 ; x 2
1 : 2
1 x ¨ g x arctgx ýáõÝÏódzݻñÁ ;1 1 x
¨ 1; ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ ï³ñµ»ñíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ëË³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇáí: ¶ïÝ»É ³Û¹ ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ: 1208. ²å³óáõó»É, áñ R -Ç íñ³ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ÙÇ³Ï ýáõÝÏódzÝ, áñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ѳëï³ïáõÝ ¿ª f x k , f x kx b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 1209. êïáõ·»É, áñ x0 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ó³Ýϳó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý Â»ÛÉáñÇ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
x2 xn o xn ; 2! n! x3 1n 1 x 2n 1 o x 2 n ; µ) sin x x 3! 2n 1!
³) e x 1 x
n
·) cos x 1 ¹) shx x
x3 x 2n 1 o x 2n ; 3! 2n 1!
x2 x2n o x 2 n 1 ; 2! 2n ! 1 2 1 n 1 n 1 x x x o xn ; 2! n!
») chx 1 ½) 1 x
x2 1 x 2n o x 2n 1 ; 2! 2n !
n x2 n 1 x 1 o xn : n 1210. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, ³å³ x0 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ Ýñ³ »ÛÉáñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ µ³Õϳó³Í ¿ x -Ç ÙdzÛÝ ½áõÛ· ³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇó, ÇëÏ »Ã» f -Á Ï»Ýï ¿ª x -Ç ÙdzÛÝ Ï»Ýï ³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇó:
¿) ln 1 x x
1211. ì»ñÉáõÍ»É P x 1 3 x x 3 µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ Áëï x 1 -Ç ³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇ.
P x a0 a1 x 1 a2 x 1 a3 x 1 : ¶ïÝ»É f x ýáõÝÏódzÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ (1212-1223). 1212. f x e 2 x , x0 0 :
1213. f x xe x , x0 0 :
1214. f x e x , x0 0 :
1215. f x 2 sin 2 2 x , x0 0 :
1216. f x ln x , x0 1 :
1217. f x 1 x ln x , x0 1 :
1218. f x x ch3 x , x0 0 :
1219. f x e x shx , x0 0 :
, x0 0 : 1 x2 1222. f x a x , x0 0 :
1221. f x ln 1 x 3 , x0 0 :
1220. f x
1223. f x log a x , x0 1 :
1224. лï¨Û³É Ùáï³íáñ µ³Ý³Ó¨»ñáõÙ ·Ý³Ñ³ï»É µ³ó³ñÓ³Ï ë˳ɳÝùÁ.
x2 xn , 0 x 1; 2! n! x3 x3 µ) sin x x , x ; ·) tgx x , x 0,1 ; x x2 ¹) 1 x 1 , 0 x 1: 2 8 x2 1225. ä³ñ½»É, û x -Ç ÇÝã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ cos x 1 µ³Ý³Ó¨áõÙ µ³2 ó³ñÓ³Ï ë˳ɳÝùÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóÇ 0,0001 -Á: ³) e x 1 x
1226. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á.
x r , a 0, x 0 , na n 1 n 1 x2 áñï»Õ 0 r : 2 n 2 a 2 n 1 n
an x a
1227. »ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí ·ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ: ê˳ɳÝùÁ ·Ý³Ñ³ï»Éáõ ѳٳñ û·ï³·áñÍ»É Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ È³·ñ³ÝÅÇ Ý»ñϳ۳óáõÙÁ. ³) 3 30 ; µ) 5 250 ; ·) 7 e ; 1228. гßí»Éª ³) e -ݪ 106 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ;
¹) sin 18 ;
») ln 1,01 ;
½) 1,11, 2 :
µ) sh0,5 -Áª 103 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ;
·) sin 1 -Áª 105 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ; ¹) 5 -Áª 104 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ: ú·ïí»Éáí í³ñÅáõÃÛáõÝ 1209-áõÙ ëï³óí³Í í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (1229-1240). x
e x sin x x1 x : x 0 x3 3 x 3 x 2 1232. lim : x 0 x2
cos x e 2 1229. lim : x 0 x4 ln 2 1 x sh 2 x 1231. lim : x 0 1 e x
1230. lim
6 6 6 6 1233. lim x x x x : x
x
1
1234. lim x x ln 1 : x x
1235. lim x 3 x 2 e x x 6 1 : x 2
1236. lim x 2 x
x 1 x 1 2 x :
1 1 : x sin x
1237. lim x 0
1 cos x x 0 x3
1238. lim
11 ctgx : x x
1240. lim
shtgx x : x3
x 0
sin x
1239. lim
:
x 0
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ýßí³Í n -ñ¹ ϳñ·Ç »ÛÉáñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ x0 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ (1241-1248).
1 x x2 , n4: 1 x x2 x 1243. f x x , n4: e 1 1245. f x sin sin x , n 3 : 1247. f x arctgx , n 10 : 1241. f x
1242. f x e 2 x x , n 5 : 1244. f x ln cos x , n 6 : 1246. f x tgx , n 5 : 1248. f x arcsin x , n 10 :
1249. ¶ïÝ»É f x x ýáõÝÏódzÛÇ x0 1 Ï»ïáõ٠»ÛÉáñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ:
ú·ïí»Éáí ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÇóª ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (1250-1291).
sin ax chx cos x tgx x : 1251. lim : 1252. lim : x 0 sin bx x 0 x 0 x sin x x arcsin x arctgx tg 4 x 4tgx 1253. lim : 1254. lim : x 0 sin 4 x 4 sin x x 0 ln 1 x 3 1250. lim
1
1
1255. lim x : x 0 tgx e 1
1256. lim tgx x
x
1261. lim x x : x 0
1263. lim x 1 x :
arcsin 2 x 2 arcsin x : x3 ln sin ax 1267. lim : x 0 ln sin bx x 0
tg 2 x
1269. lim tgx x
x
e
:
x cos sin x cos x 1266. lim : x 0 x4 ln cos ax 1268. lim : x 0 ln cos bx sin x
1270. lim ctgx
:
:
x 0
x : x e x
ln x x x
0 :
1272. lim
1271. lim
2x x
:
x x 1274. lim tg : x 2x 1 xx x : x 1 ln x x 1
1 ctg 2 x : x0 x2
1276. lim
ax xa : x a x a
1278. lim
1275. lim
1277. lim
1 x
x 0
1265. lim
a x a sin x : x 0 x3 1 1 1262. lim : x 1 ln x x 1 1260. lim
1264. lim
x 1
x
tgx 1 : 2 sin 2 x 1
1258. lim
x e x 1 2 ex 1 : x 0 x3
1273. lim x
2 : 2x
xctgx 1 : x 0 x2
1257. lim
1259. lim
x 0
a x x a x : x2
ln x 1 x 2 x 2 : 1279. lim x 0 x
x
2 1280. lim arctgx : x
sin x x 2 1282. lim : x 0 x
x
1281. lim thx : x
arctgx x 2 1283. lim : x 0 x 1285. lim x ln ln : x 0 x x
: 4 x
1284. lim x ln tg x
1286. lim sin x ln x : x 0
1 x 1x 1287. lim : x 0 e
cos x x 2 1288. lim : x 0 chx
ln chx 1289. lim m : x 0 chx n chx
1 ex 1290. lim x 0
cthx
:
1 1 1 : x 0 x thx tgx
1291. lim
1292. ÂáõÛɳïñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÇ ÏÇñ³éáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÝ»ñáõÙ.
x 2 sin ³) lim
x;
x sin x ; x x cos x x ¹) lim : x x sin x µ) lim
sin x xchx ·) lim ; x 0 1 e x x 0
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý ¨ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ (1293-1304).
1294. y 3 x 2 x 2 :
1293. y x 2 e x : 1295. y
3x 7
x
:
1296. y
ln 2 x : x
1 1297. y arctgx ln x :
1298. y x sin 2 x :
1299. y x x :
1300. y x x :
x xarctgx : x2 ln x 1303. y x : 1304. y 2 : x 1305. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: 1301. y x 2 ln x 2 :
1302. y
ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³) x a; b f x g x x a; b f x g x ; µ) x a; b f x g x x a; b f x g x : ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 1306. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÁ. »Ã» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ
x0 ; b
b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý, f x0 g x0 ¨ ó³Ýϳó³Í x x0 ; b Ï»ïáõÙ f x g x , ³å³ x0 ; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù f x g x : 1307. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇóª ³å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
x 0 ;
³) e x 1 x ·) sin x x
µ) e x e x
x 0 ;
») cos x 1
x2
x 1 ;
¹) tgx x 0 x
x 0 ;
; 2
½) ln x x 1 x 1 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: Üᯐ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÁ (1308-1316). 1308. y 3x 2 x 3 :
1309. y
a3 a2 x2
1310. y x x 5 :
1311. y 1 x 2 :
1312. y x sin x :
1313. y e x :
a 0 :
1314. y ln 1 x 2 :
1315. y x sin ln x :
1317. òáõÛó ï³É, áñ x
1 , e x , x ln x ýáõÝÏódzݻñÁ 0; ÙÇç³Ï³Û0 1 ¨ ln x ýáõÝÏódzݻñÁª ·á·³íáñ:
1316. y x x :
ùáõÙ áõéáõóÇÏ »Ý, ÇëÏ x 1318. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ Ù»Ïݳµ³Ý»É ¹ñ³Ýù »ñÏñ³ã³÷áñ»Ý. ³)
1 x y x y 2
x, y 0, x y, 1 ;
ex ey µ) e
x y
x y ;
·) x ln x y ln y x y ln
x y
x, y 0, x y :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ¨ å³ñ½»É` ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý ¹ñ³Ýù, û áã (1319-1328).
1320. y x 1 :
1319. y 2 x x 2 :
n
m, n N :
1321. y x 1 : 1323. y cos x :
1322. y x m 1 x 1324. y chx :
1325. y cos x chx :
1326. y x 1 e x :
1327. y x : 1328. y 3 x 1 x : ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ¨ ѳßí»É ¿ùëïñ»Ù³É ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (1329-1342). 1329. y x 3 6 x 2 9 x 4 :
1331. y x x 1 x 2 :
2x : 1 x2 1335. y x 3 x 1 : 1333. y
ln 2 x : x 1339. y : 1 sin 2 x 1341. y e x sin x : 1337. y
1330. y 2 x 2 x 4 :
: x x 2 3x 2 1334. y 2 : x 2x 1 1336. y xe x : 1332. y x
cos 2 x : 1340. y arctgx ln 1 x 2 : x 1342. y x 3 e : 1338. y cos x
¶ïÝ»É Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ¨ ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (1343-1352). 1343. y 2 x , x 1;5 :
1344. y log 2 x , x 1;16 :
1345. y x 32 x 1 , ³) x 2;0 ; µ) x 5;0 :
1346. y x 3 6 x 2 9 x 1 , ³) x 4;5 ; µ) x 1;4 : 1347. y x 3 3x 2 6 x 2 , x 4;3 : 1348. y x 2 3 x 2 , x 10;10 :
x ln x , x 0;1 :
1349. y 2 x x 2 :
1350. y
1351. y 5 4 x , x 1;1 :
1352. y x
x3 , x 1;1 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ »½ñ»ñÁ (1353-1357). 1353. y xe 2 x , x 0; :
1355. y e x cos x 2 , x R :
1 x2 , x 0; : 1 x4 x 2 2 , x R : 1356. y 2 x 10 1354. y
x2 x 3 x2 , ³) x 0; ; µ) x R ; ·) x 1;1 : 3 x2 ¶ïÝ»É xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³Ý¹³ÙÁ ¨ ѳÙá½í»É, áñ ³Û¹ ³Ý¹³ÙÇó ëÏë³Í xn -Á Ýí³½áõÙ ¿ (1358-1359). 1357. y
1358. xn
n10 en
n N :
1359. xn n n
n N :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ (1360-1365).
x2 1 : 2x 1 1362. y x : x sin x 1364. y 2 : x 1360. y
1361. y
1 2 x 1 :
1363. y 2 x xe x : 1365. y xarctgx :
γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (1366-1409). üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»ÉÇë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿. 1) ·ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ; 2) å³ñ½»É ýáõÝÏódzÛÇ í³ñùÁ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñáõÙ; 3) ѻﳽáï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ·áõÃÛ³Ý, Ï»ÝïáõÃÛ³Ý ¨ å³ñµ»ñ³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³éáõÙáí; 4) Ñݳñ³íáñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÁ; 5) ·ïÝ»É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ¨ ѳßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»Ù³É ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (³Û¹ Ãíáõ٠ٻͳ·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý); 6) ·ïÝ»É ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ¨ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ; 7) ·ïÝ»É ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ, »Ã» ³Û¹åÇëÇù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý:
1366. y 3x x 3 :
1367. y 1 x 2
x4 :
1369. y
x4 : 1 x 3
1371. y
x 2 x 1 : x 12
1373. y
x 12 : x 12
1374. y x 3 x :
1375. y
: 1 x 3x 2 x 1
1376. y 8 x 2 x 4 :
1377. y
1368. y x 1 x 2 :
1 x : 1 x
1370. y 1372. y
1378. y
x
1 x
2 2
:
1380. y 3 x 1 3 x 1 :
x2 x2 1 1382. y : 2x2 1 1384. y
x2 : x 1
1386. y sin x cos 2 x :
y sin x cos 4 x : sin x y : sin x 4 sin x y : 2 cos x y e2x x :
1381. y
1383. y
x 1
1 x 2
:
x
x2 : x 1 y 7 2 cos x sin x : y cos x cos 2 x : y sin x sin 3x : cos x y : cos 2 x
1385. y 1387.
1390.
1391.
1396.
:
1389.
1394.
x
1388. y sin x sin 3x :
1392.
1393.
1395. y 2 x tgx :
1397. y 1 x 2 e x :
1398. y x e x :
1399. y x 3 e x :
1400. y e 2 x sin 2 x :
1401. y
1379. y 3 x 2 3 x 2 :
x 2 3 x2 1 :
x 1 x 2x 3 :
ex : 1 x
ln x : x 1404. y ln x x 1 : x 1406. y arcctgx : 1 x 1408. y arccos : 1 2x 1402. y
1403. y x x : 1405. y x arctgx : 1407. y arcsin
2x : 1 x2
1409. y 1 x x :
1410. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x 0 , ³å³ F x c f 2 x , c 0 , ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý f -Ç ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÇ Ñ»ï: 1411. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x x R ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿, ³å³ f ¨ f ýáõÝÏódzݻñÝ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ: 1412. îñí³Í »Ý m ¨ n ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ¶ïÝ»É x m y n ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ x 0, y 0 ¨ xy a a const : 1413. îñí³Í »Ý m ¨ n ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ¶ïÝ»É x m y n x 0, y 0 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» x y a : 1414. îñí³Í S ٳϻñ»ëÝ áõÝ»óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó ·ïÝ»É ³ÛÝ, áñÇ å³ñ³·ÇÍÁ ÷áùñ³·áõÛÝÝ ¿: 1415. îñí³Í P å³ñ³·ÇÍÝ áõÝ»óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó ·ïÝ»É ³ÛÝ, áñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ ³Ù»Ý³Ù»ÍÝ ¿: 1416. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ¿çÇ ¨ Ý»ñùݳÓÇ·Ç ·áõÙ³ñÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý ³Û¹åÇëÇ »é³ÝÏÛ³Ý ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ áõݻݳ ٻͳ·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ë: 1417. ¶»ñ³ÝÇ É³ÛݳÏÇ Ïïñí³ÍùÁ d ïñ³Ù³·Íáí ßñç³Ý ¿: ¶»ñ³ÝÁ ï³ß»Éáí å³ïñ³ëïáõÙ »Ý ãáñëáõ, áñÇ É³ÛݳÏÇ Ïïñí³ÍùÁ b ÑÇÙùáí ¨ h µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿: гÛïÝÇ ¿, áñ ãáñëáõÇ ³ÙñáõÃÛáõÝÁ ·Ý³Ñ³ïíáõÙ ¿ bh 2 Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ: ƱÝã ѳٳٳëÝáõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ï³ß»É ·»ñ³ÝÁ, áñå»ë½Ç Ýñ³ÝÇó ëï³óíáÕ ãáñëáõÝ ÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É ³ÙñáõÃÛ³Ý: 1418. b ÑÇÙù ¨ h µ³ñÓñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ëáõñ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, áñÇ »ñÏáõ ·³·³ÃÁ ·ïÝíáõÙ »Ý »é³ÝÏÛ³Ý ÑÇÙùÇ íñ³: ¶ïÝ»É ³Û¹åÇëÇ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ³é³í»É³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ëÁ: 1419. îñí³Í l ÍÝÇãÝ áõÝ»óáÕ ÏáÝ»ñÇó ·ïÝ»É ³ÛÝ, áñÇ Í³í³ÉÁ ٻͳ·áõÛÝÝ ¿: 1420. R ß³é³íÕáí ·Ý¹ÇÝ Ý»ñ·Í»É ·É³Ý, áñÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ: 1421. R ß³é³íÕáí ·Ý¹ÇÝ Ý»ñ·Í»É ·É³Ý, áñÇ Í³í³ÉÁ ٻͳ·áõÛÝÝ ¿:
1422. ¶ïÝ»É
x2 y 2 1 0 b a ¿ÉÇåëÇ Ù»Í³·áõÛÝ É³ñÁ, áñÇ ÙÇ Í³Ûñ³a 2 b2
Ï»ïÁ B0;b -Ý ¿: 1423.
x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÇÝ ï³Ý»É ³ÛÝåÇëÇ ßáß³÷áÕ, áñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ a 2 b2
³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï Ýñ³ ѳïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í »é³ÝÏÛáõÝÝ áõݻݳ ÷áùñ³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ë: 1424. a »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ѳïí³ÍÇ A ¨ B ͳÛñ³Ï»ï»ñáõÙ ï»Õ³íáñí³Í »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ S A ¨ S B ÙáÙ³Ýáó Éáõë³ÕµÛáõñÝ»ñ: ¶ïÝ»É Ñ³ïí³ÍÇ ³é³í»É ùÇã Éáõë³íáñí³Í Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ A -Çó, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ Ï»ïÇ Éáõë³íáñí³ÍáõÃÛáõÝÁ ѳϳ¹³ñÓ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ¿ Éáõë³ÕµÛáõñÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý ù³é³ÏáõëáõÝ: 1425. ÎÉáñ ë»Õ³ÝÇ Ï»ÝïñáÝÇó DZÝã µ³ñÓñáõÃÛ³Ý íñ³ å»ïù ¿ Ï³Ë»É ¿É»Ïïñ³Ï³Ý ɳÙåÁ, áñå»ë½Ç ë»Õ³ÝÇ »½ñÁ ÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É Éáõë³íáñí³Í: гÛïÝÇ ¿, áñ Ï»ïÇ Éáõë³íáñí³ÍáõÃÛáõÝÁ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿
I k
sin r2
µ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ -Ý ë»Õ³ÝÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ׳鳷³ÛÃÇ ³ÝÏÙ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ ¿, r -Á Éáõë³ÕµÛáõñÇó »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ k -ݪ Éáõë³ÕµÛáõñÇ ÉáõÛëÇ áõÅÁ: 1426. ´»éÁ ¹ñí³Í ¿ ÑáñǽáÝ³Ï³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³, áñÇ Ñ»ï ß÷Ù³Ý ·áñͳÏÇóÁ k ¿: гñÃáõÃÛ³Ý Ýϳïٳٵ DZÝã ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï å»ïù ¿ ù³ß»É ³Û¹ µ»éÁ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáõ ѳٳñ å³Ñ³ÝçíÇ ÙÇÝÇÙ³É Ù»ÍáõÃÛ³Ý áõÅ: 1427. a ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ÏÇ볷ݹ³Ó¨ ·³í³ÃÇ Ù»ç ¹ñí³Í ¿ l »ñϳñáõÃÛ³Ý ÓáÕ 2a l 4a : ¶ïÝ»É ÓáÕÇ Ñ³í³ë³ñ³ÏßéáõÃÛ³Ý ¹ÇñùÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ ³Û¹ ¹ÇñùáõÙ Ýñ³ ͳÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÁ (ÓáÕÇ ÙÇçݳϻïÁ) ½µ³Õ»óÝáõÙ ¿ Ñݳñ³íáñ ³Ù»Ý³ó³Íñ ٳϳñ¹³ÏÁ:
´ 1428. ¸Çóáõùª f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ f a 0 f b 0 A
A : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f 0 : 1429. ¸Çóáõù f C n 1 x0 ; xn , x0 ; xn ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ f -Ý áõÝÇ n -ñ¹ ϳñ·Ç í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É ¨ µ³óÇ ³Û¹ª f x0 f x1 f xn
x0 x1 xn : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 ; xn Ï»ï, áñÇ Ñ³ Ù³ñ f n 0 : 1430. ¸Çóáõùª f C p q a; b ¨ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f -Ý áõÝÇ p q 1 -ñ¹ ϳñ·Ç í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
f a f a f p a 0 , f b f b f q b 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f 1431. ²å³óáõó»É, áñ ȻųݹñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙǪ
Pn x
p q 1
0 :
n 1 dn 2 x 1 -Ç, n n 2 n ! dx
µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý ¨ ÁÝÏ³Í »Ý 1;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1432. ²å³óáõó»É, áñ ȳ·»ñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙǪ
Ln x e x
d n n x x e -Ç, dx n
µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý: 1433. ²å³óáõó»É, áñ лñÙÇïÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙǪ n
H n x 1 e x
d n x2 e -Ç, dx n
µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý: 1434. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P x -Á
n 1 -ñ¹
³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý
µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³å³ P n x 0 : 1435. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f n x 0 , ³å³ f -Á áã ³í»ÉÇ, ù³Ý n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: 1436. ¸Çóáõùª f -Á R -Ç íñ³ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ó³Ýϳó³Í x -Ç áõ h -Ç Ñ³Ù³ñ
f x h f x hf x : ²å³óáõó»É, áñ f -Á ·Í³ÛÇÝ ¿. f x ax b : 1437. ¸Çóáõù f -Á R -Ç íñ³ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ó³Ýϳó³Í x -Ç áõ h -Ç Ñ³Ù³ñ h f x h f x hf x : 2 ²å³óáõó»É, áñ f -Á ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏódz ¿. f x ax 2 bx c :
1438. гٳӳÛÝ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, ó³Ýϳó³Í x 0 ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ
x 1 x
, 2 x x
áñï»Õ 0 x 1 : ²å³óáõó»É, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙª
x ; µ) lim x , lim x : x 0 x ³)
1439. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 0;2 ѳïí³ÍáõÙ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ȳ·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ µáÉáñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ ¨ ·ïÝ»É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï»ïÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á.
3 x2 , 0 x 1, ³) f x 2 1 , 1 x 2; x
arctgx, 0 x 1, 2 2 2 x 4 x , 1 x 2 :
µ) f x 1
1440. гÙá½í»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ 1;1 ѳïí³ÍÇ áã µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ »Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, ë³Ï³ÛÝ ó³Ýϳó³Í a; b 1;1 ѳïí³ÍÇ íñ³ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á. ³) f x 3 x ; µ) f x
x sgn x :
1441. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ a; b ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý, ÇëÏ
a; b -áõÙª ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» g a g b , ³å³ Îáßáõ ûáñ»ÙáõÙ g x 0 å³ÛÙ³ÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ÷á˳ñÇÝ»É f x 0 å³ÛÙ³Ýáí: 1442. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ó³Ýϳó³Í a; b Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï»ñÇ x1 , x2 a; b ½áõÛ·, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
f x1 f x2 f x1 x2 : x1 x2 ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 1443. f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³Ý»Ýù a; b ѳïí³Íáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ a; b -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨, µ³óÇ ³Û¹,
f x1 f x2 0 0 x1, x2 a; b 0 x1 x2 f x1 : x1 x2 ²å³óáõó»É, áñ f -Ý a; b -áõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f C 1 a; b : 1444. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ
n 1 Ï»ïáõ٠ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ áñ¨¿ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇç³ÝÏÛ³É Ï»ï, áñáõÙ
f n x -Á ½ñá ¿: 1445. гÛïÝÇ ¿, áñ P x ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý: òáõÛó ï³É, áñ »Ã» a -Ý P x µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ µ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ ³ñÙ³ï ¿ ݳ¨ P x -Ç Ñ³Ù³ñ: 1446. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x1 ; x2 ѳïí³ÍáõÙ, Áݹ áñáõÙª x1 x2 0 : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x1 ; x2 Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ
x1 x1 x2 f x1
x2 f x2
f f :
1447. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý x1 ; x2 ѳïí³ÍáõÙ, Áݹ áñáõÙª g x g x 0 : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x1 ; x2 Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñª
g x1 g x2 1 f g : g x1 g x2 f x1 f x2 g f g 1448. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿, ³å³ f x -Á ÝáõÛÝå»ë ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿: 1449. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý a; b í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É
f x K , ³å³ª
³) f -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ.
x, y a; b f x f y K x y ; µ) f -Ý a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
1450. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý a; -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ lim f x 0 , x
f x 0: x 1451. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ f x o x , »ñµ x , ³å³ lim f x 0 : ´»ñ»É ÙáÝáïáÝ ¨ ¹Çý»³å³ª
³) lim f x 1 f x 0 ; µ) lim x
x
x
ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, áñÇ Ñ³Ù³ñ f x o1 , »ñµ x , µ³Ûó
lim f x :
x
1452. ¸Çóáõù f -Ý a; b ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙª ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x f a 0 í»ñx a 0
ç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ Ïáõݻݳ ݳ¨ f a ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, Áݹ áñáõÙª f a f a 0 : 1453. êïáõ·»É, áñ
f x arctg
1 x 1 x
x 1 , f 1 0
ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ë³Ï³ÛÝ x 1
f -Á x 1 Ï»ïáõÙ ãáõÝÇ í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ: ä³ñ½»É ݳËáñ¹ ËݹñÇ Ñ»ï Ãí³óÛ³É Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ý å³ï׳éÁ: 1454. ²å³óáõó»É, áñ y x x R ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ y y
const
¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
x
y C e , áñï»Õ C -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: 1455. ²å³óáõó»É, áñ
y x x ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 2 2
ytgx y a a const ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ y C sin x a , áñï»Õ C -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: 1456. ¸Çóáõù f x cos x , áñï»Õ x -Á ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: êïáõ·»É, áñ f -Á x0 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ÝáõÛÝÇëÏ Ù»Ï ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ ¨, ³ÛÝáõ³Ù»Ý³ÛÝÇí, å³ñ½»Éª ×ßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ýáõÝÏódzÛÇ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ.
2n 2 x n x 1 r x , 2! 2n ! 2 n áñï»Õ r2 n x : 2n 2 !
f x 1
1457. êïáõ·»É, áñ
12 x f x e , »ñµ x 0, 0, »ñµ x 0 ýáõÝÏóÇ³Ý x0 0 Ï»ïáõÙ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª f n 0 0 n N : ³) ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ.
n
1 o 1 x : 2n x n ! x 2n x µ) ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ x0 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ( rn x0 , x -Á):
e
x2
1
»ÛÉáñÇ
x
1458. êïáõ·»É, áñ y e ýáõÝÏóÇ³Ý x0 0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ ¨ å³ñ½»Éª ×ßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ. x
e 1 x
x
n
n!
o xn :
¶ïÝ»É ³Ýí»ñç ÷áùñ ýáõÝÏódzÛÇ ·É˳íáñ Ù³ëÁª C x n ï»ëùáí (1459-1462). 1459. f x tg sin x sin tgx :
x 0
x
1460. f x 1 x 1 :
1 x x2 1 x x : 1462. f x ln : e 1 x x2 1463. ÀÝïñ»É a ¨ b ·áñͳÏÇóÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝÇ Ñ»ï¨Û³É
1461. f x 1
³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á.
1 ax 2 O x5 x 0 : x bx 1464. ÀÝïñ»É a, b, c, d Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝÇ Ñ»ï¨Û³É ctgx
³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á.
ex
1 ax bx 2 O x5 1 cx dx 2
x 0 :
1465. ÀÝïñ»É a, b, c Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ Ñ»ï¨Û³É ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÉÇÝ»Ý ×ßÙ³ñÇï n -Ç Ñݳñ³íáñ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ x 0 .
ax 2 x O xn ; bx 1 ax 3 x µ) arctgx O xn ; bx 2 1 ax 3 x ·) arcsin x O xn ; bx 1 ax 2 bx 1 x ¹) 1 x O xn ; cx 1 ax 1 ») k 1 x O xn : bx 1 1466. лﳽáï»É f x ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛáõÝÝ x0 0 Ï»ïáõÙ.
³) ln 1 x
x2 x2 ; µ) f x 4 cos x 1 ; ·) f x x ln 1 x sgn x ; ¹) f x shx tgx x , áñï»Õ x -Á ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 1467. ¶ïÝ»É f h ln x h x 0 ýáõÝÏódzÛÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ Áëï h -Ç ³) f x 3 e x 1 x
³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇ: 1468. ¸Çóáõù f -Ý x0 Ï»ïáõÙ n 1 ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª
lim f n 1 x f n 1 x0 0 :
x x0
²å³óáõó»É, áñ »ÛÉáñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»çª
f x0 h f x0 lim h0
f x0 f n 1 x0 n 1 f n x0 h n h h h , 1! n 1! n!
: n 1
1469. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í
P x a0 a1 x an x n n 1, an 0 , ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x0 , áñ
; x0
¨
x0 ;
ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ P x -Á ËÇëï
ÙáÝáïáÝ ¿: 1470. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzª
a0 a1 x an x n m n 0, anbm 0 , b0 b1 x bm x m ¨ x0 ; ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, áñï»Õ x0 -Ý µ³-
Qx
; x0
í³Ï³Ý³ã³÷ Ù»Í ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ËÇëï ÙáÝáïáÝ ¿: 1471. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ¨ ýáõÝÏódzݻñÝ x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý, -Ý ³×áÕ ¿ ¨ f x x x x0 , ³å³
f x f x0 x x0 x x0 : 1472. f x ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ x0 Ï»ïáõÙ ³×áÕ, »Ã» x0 -Ç áñ¨¿ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ x x x0 ³×Á ¨ ýáõÝÏódzÛÇ f x0 f x f x0 ³×Á
ÙǨÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý:
²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ³×áÕ ¿, ³å³ ³ÛÝ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿: 1473. êïáõ·»É, áñ f x x x 2 sin
x
x 0 , f 0 0
ýáõÝÏóÇ³Ý x0 0
Ï»ïáõÙ ³×áÕ ¿ (ï»ë ݳËáñ¹ ËݹÇñÁ), ë³Ï³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïÇ áã ÙÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ã¿: 1474. ¸Çóáõù ¨ ýáõÝÏódzݻñÝ x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý, Áݹ áñáõÙª k x0 k x0 n
n
k 0,1,..., n 1 : x x x0 , ³å³ x x x x0 :
²å³óáõó»É, áñ
»Ã» x 1475. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í åݹáõÙÇóª ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
x3 x3 x5 sin x x x 0 ; 6 120 x2 x3 µ) ln 1 x x x 0 ; ·) tgx x 0 x : 2 3 1476. ¸Çóáõù P x -Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ ¨ ³) x
a R : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Pa 0 , Pa 0 , ... , P n 1 a 0 ¨
P n a 0 , ³å³ P x µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ a -Ý: ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (1477-1485). x
1 1 1477. 1 e 1 x x
x 1
x 0 :
1478. 1 2 ln x x 2
x 0 :
1479.
x sin x x 0 x : 2
sin x 1480. x a x a x a 0 : 1481. cos x 0 x : 2 x 4x 1482. sin x tgx 2 x 0 x : 1483. sin x 2 x 0 x : 2 4x 1484. cos x 1 2 0 x : 2 n
n
n
2x x : 2 2x 4 ¶ïÝ»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í y y x ýáõÝÏ-
1485. ³) tgx
2x 0 x ; 4 2x
µ) tgx
ódzÛÇ ³×Ù³Ý ¨ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ (1486-1491). ²Ûë í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳï³ñ»ÉÇë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ý³Ë ·ïÝ»É t å³ñ³Ù»ïñÇ ÷á÷áËÙ³Ý ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, áñáÝóáõÙ y -Á áñáßíáõÙ ¿ áñå»ë x -Çó ϳËí³Í ÙdzñÅ»ù ýáõÝÏódz ¨, ³ÛÝáõÑ»ï¨, ѻﳽáï»É ëï³óí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ³éáõÙáí:
t 12
1486. x 2t t 2 , y 3t t 3 :
1487. x
1488. x t e t , y 2t e 2 t :
1489. x t ln t , y
, y
t 12
:
ln t : t
1490. x cos 4 t , y sin 4 t : 1491. x sht t , y cht 1 : 1492. γéáõó»É R -Ç íñ³ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¨ ËÇëï ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódz, áñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç Ãíáí Ï»ï»ñáõÙ ½ñá ¿: 1493. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, f x 0 ¨ f x -Ç ½ñáÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñ »Ý, ³å³ f x -Ý ³×áÕ ¿: 1494. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ f x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ f -Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë »ñÏáõ ³×áÕ ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ: 1495. òáõÛó ï³É, áñ y
x 1 ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ »ñ»ù ßñçÙ³Ý Ï»ï: êïáõ·»É, x2 1
áñ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³:
1496. ÀÝïñ»É h å³ñ³Ù»ïñÇ ³ñÅ»ùÝ ³ÛÝå»ë, áñ y
h h 2 x 2 e
h 0
ÏáñÝ x Ï»ï»ñáõÙ áõݻݳ ßñçáõÙ: 1497. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
x 0, 0 1 ; 1 x 1 x 0, 0 ϳ٠1 :
³) x 1 x 1
µ) x
1498. ¸Çóáõùª a 0 , b 0 , ÇëÏ p ¨ q Ãí»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ
1 1 1: p q
²å³óáõó»É ÚáõÝ·Ç ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. p
q
a b ³) a b p q
p
p 1 ;
òáõóáõÙ: ܳËáñ¹ ËݹñáõÙ ï»Õ³¹ñ»É x
µ) a b
a b p q
p 1 :
a : p b
i 1,2,..., n ¨
1499. ¸Çóáõùª xi , yi R
q
1 1 1 : ²å³óáõó»É ÐÛáɹ»ñÇ ³Ýp q
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
n
n p n q ³) xi yi xip yiq i 1 i 1 i 1
p 1 ;
n
n p n q µ) xi yi xip yiq p 1, p 0 i 1 i 1 i 1 (»ñµ p 0 ª ÁݹáõÝ»É xi 0 , i 1,2,..., n ): òáõÛó ï³É, áñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ xi yi , i 1,2,..., n const : òáõóáõÙ: ÚáõÝ·Ç ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ï»Õ³¹ñ»É a
xip
, b
n
p xi i 1
1500. ¸Çóáõùª xi , yi R ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
yiq n
:
q yi i 1
i 1,2,..., n : ²å³óáõó»É ØÇÝÏáíëÏáõ ³Ýѳí³ë³1
n n p n p pp ³) xi yi xip yip i 1 i 1 i 1
p 1 ;
n n p n p pp µ) xi yi xip yip i 1 i1 i1 ( p 0 ¹»åùáõÙ ÁݹáõÝ»É xi , yi 0 , i 1,2,..., n ):
p 1, p 0
êïáõ·»É, áñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ xi yi ,
i 1,2,..., n const : òáõóáõÙ:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
p p 1 p 1 xi yi xi xi yi yi xi yi
ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý ³ç ÏáÕÙÇ Ýϳïٳٵ
ÏÇñ³é»É ÐÛáɹ»ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
1501. ¸Çóáõù f -Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõéáõóÇÏ ýáõÝÏódz ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í x1 , x2 ,..., xn Ï»ï»ñÇ ¨ ó³Ýϳó³Í 1 , 2 ,..., n
i 0, i 1,2,..., n Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ú»Ýë»ÝÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. x n xn 1 f x1 n f xn f 1 1 : n
1 n
1502. ú·ï³·áñÍ»Éáí Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛáõÝÁª ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ó³Ýϳó³Í xi 0 , pi 0 , i 1,..., n, n
p
i
n
1 , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
xip
n i
pi xi : ²Ûëï»ÕÇó ëï³Ý³É ÚáõÝ·Ç ³Ýѳ-
i 1
i 1
i 1
í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýáñ ³å³óáõÛó:
1503. гÙá½í»É, áñ ln 1 e x
ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ¨ ¹³ û·ï³·áñÍ»Éáí`
³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ó³Ýϳó³Í ai , bi , i , i 1,2,..., n , ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ 1 2 n 1
a1 1 an n b1 1 bn n a1 b1 1 an bn n : 1504. ¸Çóáõù f x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¨ x0 -Ý Ýñ³ ѳٳñ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ U x0 ßñç³Ï³Ûù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ U x0 -Ç íñ³ f -Ý ³×áÕ ¿, ÇëÏ U x0 -Ç íñ³ª Ýí³½áÕ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 1505. êïáõ·»É, áñ f x e
x2
x 0 , f 0 0
¨ g x xf x ýáõÝÏódzn
Ý»ñÝ x 0 Ï»ïáõÙ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ` f 0 g n 0 0 n N , å³ÛÙ³ÝÇÝ, µ³Ûó f -Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ áõÝÇ Ù³ùëÇÙáõÙ, ÇëÏ g -Ç Ñ³Ù³ñ ³ÛÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿:
1506. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) 3x x 3 2 , »ñµ x 2 ; µ)
p 1
p
x p 1 x 1 , »ñµ 0 x 1 , p 1 ;
·) x c x
c , »ñµ 0 , 0 ¨ 0 x c :
1507. ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ó³Ýϳó³Í ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñï»Õ ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñá ¿: 1508. γéáõó»É ýáõÝÏódz, áñÇ »ñÏáõ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõݻݳ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï: 1509. гÙá½í»É, áñ ýáõÝÏódzÛÇ ßñçÙ³Ý Ï»ïÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÉÇÝ»É ËÇëï ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï:
¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³:
sup f x g x a x b
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿
1510. ¶ïÝ»É f x x 2 íñ³:
a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ß»ÕáõÙ: ¨ g x x 3 ýáõÝÏódzݻñÇ ß»ÕáõÙÁ 0;1 ѳïí³ÍÇ
1511. ¶ïÝ»É 2;1 ѳïí³ÍÇ íñ³ P x x x 1 x 2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ß»ÕáõÙÁ ½ñáÛÇó: 1512. q å³ñ³Ù»ïñÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ 1;1 ѳïí³ÍÇ íñ³
P x x 2 q ýáõÝÏódzÛÇ ß»ÕáõÙÁ ½ñáÛÇó ÏÉÇÝÇ Ýí³½³·áõÛÝÁ: 1513. f x ax b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ 1;2 ѳïí³ÍÇ íñ³ Ýñ³ ß»ÕáõÙÁ g x x ýáõÝÏódzÛÇó ÉÇÝÇ Ýí³½³·áõÛÝÁ: 1514. f x ax b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ 0;1 ѳïí³ÍÇ íñ³ Ýñ³ ß»ÕáõÙÁ g x x 2 ýáõÝÏódzÛÇó ÉÇÝÇ Ýí³½³·áõÛÝÁ:
1515. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y y x ýáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ x t , y t ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ¨ Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñÇÝ áã ½áõ·³Ñ»é ³ëÇÙåïáï, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ t0 t0 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
ÙdzųٳݳÏ
lim t ¨ lim t : t t 0
t t 0
ÀݹëÙÇÝ, »Ã» ³ëÇÙåïáïÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª y ax b , ³å³
t , t t 0 t
b lim t a t :
a lim
t t 0
ÆÝãå»±ë ·ïÝ»É ³é³ÝóùÝ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ: 1516. ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É Ïáñ»ñÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ.
t
³) x , y
t ; t 1
µ) x
2t t2 , y : 1 t2 1 t2
γéáõó»É Ñ»ï¨Û³É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ (1517-1520). 1517. x t 3 3t 1 , y t 3 3t 1 :
3t 3t 2 , y : 1 t3 1 t3 1519. x a 2 cos t cos 2t , y a2 sin t sin 2t : 1518. x
1520. x tet , y te t : γéáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ (1521-1524). òáõóáõÙ: x r cos , y r sin µ³Ý³Ó¨»ñáí ³ÝóÝ»É µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ, ϳ٠¹ñ³Ýó ÙÇçáóáíª å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ:
1521. x 2 y 2 x 4 y 4 : 1523. y 2a x x :
a 0 : a 0 :
1522. y 2 a x x 2 a x
1524. x y a x y
x
1525. òáõÛó ï³É, áñ xe 2 ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï ¨ ³ÛÝ ¿É 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1526. ¸Çóáõù f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, f x k 0 , »ñµ
x x0 k const : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x0 0 , ³å³ f x 0 ѳí³ë³f x0 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ×Çßï Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: k 1527. ¸Çóáõù x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f x ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x0 0 , f x0 0 ¨ f x 0 x x0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ f x 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ×Çßï
ñáõÙÝ x0 ; x0
Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ¨ ë³Ñٳݳ½³ï»É ¹ñ³Ýù ßñç³Ï³Ûù»ñáí (1528-1533). 1528. x 3 6 x 2 9 x 10 0 : 1529. x 5 5 x a :
1531. e x ax 2 :
1530. ln x kx :
1532. sin 3 x cos x a 0 x : 1533. chx kx : 1534. ä³ñ½»É, û p ¨ q å³ñ³Ù»ïñ»ñÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ
x 3 px q 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ Ïáõݻݳ ³) ×Çßï Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï; µ) ×Çßï »ñ»ù Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï:
¶ 1535. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿
a;
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨
lim f x 0 :
x
²å³óáõó»É, áñ f x 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ³í»ÉÇ ùÇã ã¿, ù³Ý f x 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: 1536. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 0; -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f x ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ n ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ g x f x f x ýáõÝÏódzÛÇ
½ñáÝ»ñÇ
lim e f x 0 , ³å³ x
x
n 1 -Çó å³Ï³ë ã¿: ²í»ÉÇÝ, g x -Á 0; -áõÙ áõÝÇ ³éÝí³½Ý n ½ñá: ù³Ý³ÏÁ
»Ã»
1537. ¸Çóáõù a0 a1 x an x n 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P x ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ a0 P x a1 P x an P n x 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Çñ³Ï³Ý »Ý: 1538. ¸Çóáõù f -Ý n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ 0 a b ¨ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ n 1 Ï»ï»ñáõÙ ¹³éÝáõÙ ¿ ½ñá: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
a0 a1 x an x n µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ a0 f a1 f an f n 0 : 1539. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a0 a1 x an x n 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ Çñ³Ï³Ý »Ý ݳ¨
a0
a1 a x n xn 0 1! n!
ѳí³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:
1540. îñí³Í ¿ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ 0; -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ
f ýáõÝÏódz: ¸Çóáõù x ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝïñí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ ó³Ýϳó³Í x 0 ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á. f x f 0 xf x , 0 x x : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x x sin ln x x 0 , f 0 0 , ³å³ ó³Ýϳó³Í 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ x ýáõÝÏóÇ³Ý Ë½íáÕ ¿: 1541. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á 0; -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ÇëÏ f x -Áª ËÇëï ÙáÝáïáÝ (³×áÕ Ï³Ù Ýí³½áÕ), ³å³ ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ ë³ÑÙ³Ýí³Í x ýáõÝÏóÇ³Ý ÙdzÏÝ ¿ ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 1542. òáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 1; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ
1 x 1 x 1 x 2 1 n 1 x n N 0
1!
n!
2!
ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ÙÇ³Ï 0 -Ï»ïÁ x 0 -Ý ¿: 1543. êïáõ·»É, áñ
x2 xn e x 1 x 0 2! n! ѳí³ë³ñÙ³Ý ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ x 0 -Ý ¿: 1544. ²å³óáõó»É, áñ
1 x
x2 xn 0 2! n!
ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳ٠Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï ãáõÝÇ ( n -Á ½áõÛ· ¿), ϳ٠áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï ( n -Á Ï»Ýï ¿): гÙá½í»É, áñ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ ³ñÙ³ïÁ µ³½Ù³å³ïÇÏ ã¿: 1545. ¸Çóáõù P x -Ý n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: ²å³óáõó»É, áñ x n P x ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: 1546. îñí³Í ¿` c0
c1 c n 0 :²å³óáõó»É,áñ c0 c1 x cn x n 0 n 1
ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: 1547. ²å³óáõó»É, áñ
2 x x P x n
2 k
2xk
k µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ x 0 -Ý n 1 -å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ¿: k 1
1548. ¸Çóáõùª f C R ¨ M 0;1;...; n : ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
x R nx M f n x x 0 , ³å³ f -Á áã ³í»ÉÇ, ù³Ý n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: 1549. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨
lim f x f x A :
x
²å³óáõó»É, áñ lim f x A : ÎÙݳ± ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï, »Ã» ËݹñÇ x
å³ÛÙ³ÝáõÙ f x f x -Á ÷á˳ñÇÝ»Ýù f x f x -áí: 1550. ¸Çóáõù f -Á 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨
lim f x f x f x A :
x
²å³óáõó»É, áñ lim f x A : x
1551. îñí³Í ¿ª f : 0;1 0;1 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙª ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, f 0 0 , f 1 1 : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñµ»ñ Ï»ï»ñÇ a, b 0;1 ½áõÛ·, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f a f b 1 : 1552. ²å³óáõó»É ¸³ñµáõÇ Ã»áñ»ÙÁ. »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ ¨ f a f b 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f 0 : 1553. îñí³Í ¿ 0;1 ѳïí³ÍáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏódz, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ
f 0 1 ¨ f 1 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0;1 Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f : 1554. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ f x ¿
ýáõÝÏódzÛÇ Ë½áõÙÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙÇÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ: Üϳï»Ýù, áñ y x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x -Á ½ñáÛÇ Ó·ï»ÉÇë áõÝÇ í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ: âDZ ѳϳëáõÙ ³ñ¹Ûáù ³Ûë ÷³ëïÁ ËݹñáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í åݹٳÝÁ: 1555. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù, µ³óÇ ·áõó» í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñÇó, f x 0 : ²å³óáõó»É, áñ f const : 1556. îñí³Í ¿ f : R R ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f x ýáõÝÏódzÛÇ a -Ï»ï»ñÇ (ï»ë ËݹÇñ 803) µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿, ³å³ f x -Á ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
1557. ¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¨ f 0 0 : гٳӳÛÝ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙǪ µ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ h 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
f h f h f , f , h h áñï»Õ h 0 h : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x 0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f -Ç »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ¨ f 0 0 , ³å³ lim 1: h0 h 1558. ¸Çóáõù f -Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f 0 , ³å³ a; b -áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý x1 , x2 Ï»ï»ñ x1 x2 , áñáÝó ѳٳñ f x1 f x2 f : x1 x2 1559. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ, ÇëÏ a; b -áõÙª ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á ·Í³ÛÇÝ ã¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ f
f b f a : ba
a; b -áõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f a f b 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f f b f a : b a 2 1561. ¸Çóáõù f -Ý a; b ѳïí³ÍáõÙ n ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ 1560. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý
f a f a f n 1 a 0 , f b f b f n 1 b 0 : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ
f n
2n 1 n ! f b f a : b a n
1562. ¸Çóáõù f C 2 0;1 ¨ f 0 f 1 0 : ²å³óáõó»É, áñ
A x 0;1 f x A x 0;1 f x : 2
1563. îñí³Í ¿ 1;1 ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ 1;1 -áõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏódz: гÛïÝÇ ¿ ݳ¨, áñ f 1 f 1 0 : ²å³óáõó»É, áñ
A x 1;1 f x A x 1;1 f x 1 x 2 : 1564. ¸Çóáõù f -Ý R -Ç íñ³ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨
M k sup f k x
k 0,1,2 :
x R
²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. M 12 2M 0 M 2 : 1565. ¸Çóáõù f -Á »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ a; a ѳïí³ÍáõÙ ¨
M k sup f k x k 0,1,2 : a x a
²å³óáõó»É, áñ
M 0 x2 a2 M2 ; a 2a M0 µ) »Ã» a , ³å³ M 12 4M 0 M 2 : M2 ³) f x
úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ ³Ûë í»ñçÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áñͳÏÇóÁ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÷á˳ñÇÝ»É ³í»ÉÇ ÷áùñáí: 1566. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý p ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨
M k sup f k x k 0,1,..., p : xR
²å³óáõó»É, áñ »Ã» M 0 -Ý ¨ M p -Ý í»ñç³íáñ »Ý, ³å³ í»ñç³íáñ »Ý ݳ¨ M 1 Á, M 2 -Á, …, M p 1 -Á, Áݹ áñáõÙª
Mk
k k pk 1 M0 p
M
k p p
k 1,..., p 1 :
1567. îñí³Í ¿ 0;1 ѳïí³ÍáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏódz, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f 0 f 1 0 ¨ min f x 1 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, x0;1 áñ max f x 8 : x0;1 1568. ¸Çóáõù f C 2 0; ¨ ³Ù»Ýáõñ»ùª
f x 1 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
lim f x 0 , ³å³ lim f x 0 :
x
x
1569. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ 0;1 ѳïí³ÍÇ íñ³, f 0 0 ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k ѳëï³ïáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í x 0;1 Ï»ïáõÙª
f x k f x : ²å³óáõó»É, áñ f x 0 : 1570. ¸Çóáõù f C R ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ L ѳëï³ïáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ n N ¨ x R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f
n
x L : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳ-
1 n
ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f 0 , ³å³ f x 0 : 1571. îñí³Í ¿ f C R ýáõÝÏódzÝ: гÛïÝÇ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í n Z ¨
x R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f n 0 0 ¨ f n x 0 : ²å³óáõó»É, áñ f x 0 : 1572. ¸Çóáõù f C 1;1 , ó³Ýϳó³Í n Z ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f
n
0 0
¨ ·á-
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0;1 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
sup f n x n n ! n 0,1, 2,... :
x1;1
²å³óáõó»É, áñ f x 0 : 1573. ¸Çóáõù f -Á áñáßí³Í ¿ x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
h h f x0 f x0 2 2 f s x0 lim h 0 h í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ x0 Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³É Ï³Ù ³Í³ÝóÛ³É Áëï Þí³ñóÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ, a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ f s x ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³É ¨ f a f b , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, áñáõÙ f s 0 : 1574. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b , f a f b ¨ a; b -áõÙ f -Ý áõÝÇ f s x ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý x1 , x2 a; b Ï»ï»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ f s x1 0 ¨ f s x2 0 : γéáõó»É ËݹñÇ µáÉáñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ f x ýáõÝÏódz, áñÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ½ñá ã¿: 1575. ¸Çóáõù f C a; b ¨ a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
f s x ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³É: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x1 , x2 a; b Ï»ï»ñÇ ½áõÛ·, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
f b f a f s x2 : ba 1576. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù f s x 0 , ³å³ f const : f s x1
1577. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, ϳ٠Þí³ñóÇ »ñÏñáñ¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.
f x h f x h 2 f x : h0 h2 ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á x Ï»ïáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f s x -Á ¨ f s x f x : 1578. ¸Çóáõù x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É f s x lim
í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ. f x0 h f x0 Ah
Bh 2 o h 2 : ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, 2!
áñ ³) B f x0 ; µ) B f s x0 : ä³ï³ë˳ÝÁ ÑÇÙݳíáñ»É:
h h f x , s f x s s f x 2 f x h f x h 2 f x ª ë³ÑٳݻÝù x Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ n -ñ¹
1579. Ü߳ݳϻÉáí s f x f x
ϳñ·Ç ëÇÙ»ïñÇÏ ³×Áª ns f x s ns1 f x ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí: ²å³óáõó»É, áñ ³) ks f g ks f ks g ; µ) ks cf cks f ; ·) ns f x
n
k
1 k 0
n 2k C nk f x h , n N :
1580. ºÃ» x0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
ks f x0 f sk x0 k h 0 h lim
ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ x0 Ï»ïáõÙ k -ñ¹ ϳñ·Ç ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³É Ï³Ù Þí³ñóÇ ³Í³ÝóÛ³É: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý x0 Ï»ïáõÙ k ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ f sk x0 f k x0 : 1581. ¸Çóáõù x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ
f x0 h c0 c1h cn h n o h n
í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»É, áñ x0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ÁݹÑáõå ÙÇÝ㨠n -ñ¹ ϳñ·Ç Þí³ñóÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙª
c0 lim f x0 h , ck h 0
f s k x0 k 1,2,..., n : k!
êïáõ·»É, áñ »Ã» f -Ý x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ Ý³¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: ²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ »ñ³ß˳íáñí³±Í ¿ ³ñ¹Ûáù f -Ç »ñÏñáñ¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: 1582. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b ¨ a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù
f s x 0 , ³å³ f -Á ·Í³ÛÇÝ ¿. f x c0 c1 x : 1583. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï f ýáõÝÏódzÛÇ f s x ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ³Ù»Ýáõñ»ù ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ f -Á ³×áÕ ¿: 1584. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ áñ¨¿ Ï»ïáõÙ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ ³Û¹ Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (1585-1593).
ln x x 0, x 1 : x 1 x 2x 1 1 1586. ln1 2x 1 x 2 x x 1 1585.
x 0 :
1587. x y x 2 ln x y 2 ln y 3e x y 1588.
ln x ln y 1 1 x y x y y 2
x, y 1, x y :
1 x y sin x sin y 1590. cos y x y : x y 1589. x 2 arctgx y 2 arctgy
1591. x y
x
y
1 x, y e :
x, y 0,
0 x, y 1 :
0 :
x, y 0 : x y cos xy 1 x, y 0 : y
x
1592. x y 1 1593.
1594. îñí³Í »Ý xi 0 , i 0
i 1,..., n
n
Ãí»ñÁ, Áݹ áñáõÙª
i 1 : ¸Çi 1
ï³ñÏ»Ýù
n t M t x; i xit i 1
t 0
ýáõÝÏódzÝ: ²ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý xi Ãí»ñÇ Ïßéáí t -ñ¹ ϳñ·Ç ÙÇçÇÝ: ³) гßí»É M 0 x; lim M t x; ë³ÑÙ³ÝÁ: t 0
µ) òáõÛó ï³É, áñ »ñµ 1 n
, ³å³ t 1, 0, 1 ¨ 2 ³ñÅ»ùn
Ý»ñÇ ¹»åùáõÙ ëï³óíáõÙ »Ý xi Ãí»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ѳñÙáÝÇÏ, »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý, Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ¨ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÇçÇÝÝ»ñÁ: ·) êïáõ·»É, áñ M t x; -Ý áñå»ë t -Ç ýáõÝÏódz R -Ç íñ³ ãÝí³½áÕ ¿, Áݹ áñáõÙ ³×áÕ ¿, »Ã» n 1 ¨ xi Ãí»ñÇó áã µáÉáñÝ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ѳí³ë³ñ: 1595. ¸Çóáõù a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áñáßí³Í f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í x1 , x2 Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
x x f x1 f x2 f 1 2 2 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ ³) ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ ¨ x1 ,..., xn a; b Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ
x xn f x1 f xn f 1 ; n n µ) ó³Ýϳó³Í r Q 0;1 ÃíÇ ¨ x1 , x2 a; b Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ f rx1 1 r x2 rf x1 1 r f x2 ; ·) »Ã» f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ áõéáõóÇÏ ¿: 1596. ¸Çóáõù f -Á áñáßí³Í ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ; a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ï»ï»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 , x2 a; b ½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñ x x f x1 f x2 f 1 2 , 2 ³å³ ³) f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ; µ) f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ (ѻ勉µ³ñ ݳ¨ áõéáõóÇÏ ¿) a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1597. ¸Çóáõù f C a; b ¨ ó³Ýϳó³Í ; a; b ѳïí³ÍáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x p 1 p ;
0 p 1 Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
f p 1 p pf 1 p f : ²å³óáõó»É, áñ f -Ý áõéáõóÇÏ ¿: 1598. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿, ³å³ ³ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÝ a; b ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ: 1599. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ¨ áñ¨¿ x0 pa 1 p b 0 p 1 Ï»ïáõÙ f x0 pf a 1 p f b , ³å³ f -Á ·Í³ÛÇÝ ¿: 1600. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ó³Ýϳó³Í x1 , x2 a; b Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï Ï»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ
f x1 f x2 f : x1 x2 ²å³óáõó»É, áñ f -Ý áõéáõóÇÏ ¿ ϳ٠·á·³íáñ: 1601. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï, ³å³ ³ÛÝ Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: 1602. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
lim
x
f x f x lim 0, x x x
³å³ f -Á ѳëï³ïáõÝ ¿: 1603. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý
a ¨ b ѳëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ f x a x b x R , ³å³ f -Á R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ (ï»ë ËݹÇñ 836): 1604. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³) a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý f x ¨ f x ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ, Áݹ áñáõÙª f x f x ; µ) ó³Ýϳó³Í x1 x2 Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñª f x1 f x2 : 1605. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ÝáõÛݳµ³ñ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ f ýáõÝÏóÇ³Ý x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ lim f x lim f x 0 , x x0 0
x
³å³ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñï»Õ ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñá ¿:
x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f x 0 , x x0 ; : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y kx b áõÕÇÕÝ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ëÇÙåïáïÝ ¿, »ñµ x , Áݹ áñáõÙª f x kx b x x0 , ³å³ f -Á áõéáõóÇÏ ¿ ¨ lim f x k : x 1607. ¸Çóáõù f -Á x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f x 0 , x x0 ; : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» lim f x ë³ÑÙ³ÝÁ í»ñç³íáñ ¿, x ³å³ lim f x 0 : x 1608. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x0 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙáÝáïáÝ ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ lim xf x 0 : x 1606. ¸Çóáõù f -Á
1609. ¸Çóáõù Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏódzÝ
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ lim f x x 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ³éÝí³½Ý x
Ù»Ï Ï»ïáõÙ f x 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñáõÙ f 0 : 1610. ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõëÇó Ù»Í ó³Ýϳó³Í Ï»Ýï ³ëïÇ׳ÝÇ ó³Ýϳó³Í ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ßñçÙ³Ý Ï»ï: 1611. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ѳëï³ïáõÝÇó ï³ñµ»ñ, ¹ñ³Ï³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿, ³å³ ³ÛÝ Ý³¨ áõéáõóÇÏ ¿: êïáõ·»É, áñ ³Û¹åÇëÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ÙÇ³Ï ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ïÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 1612. ¶ïÝ»É ³Ù»Ý³ó³Íñ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÁ x 1 Ï»ïáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ y 6 Ù³ùëÇÙ³É ³ñÅ»ù, ÇëÏ x 3 Ï»ïáõÙª y 2
ÙÇÝÇÙ³É ³ñÅ»ù:
1613. ¶ïÝ»É Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝó ѳٳñ ×ßÙ³ñÇï ¿
1 1 n
n
1 e 1 n
n
n N
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
¶ÉáõË 7
ܳËÝ³Ï³Ý ýáõÝÏódz, ³Ýáñáß ÇÝï»·ñ³É ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù : F x -Á ÏáãíáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇ Ý³ËÝ³Ï³Ý a; b í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, »Ã» F -Ý a; b -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ F x f x , x a; b : ºÃ» F -Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ Ý³ËݳϳÝÝ ¿, ³å³ f -Ç Ý³ËݳϳÝÝ»ñ »Ý F x C
C const ï»ëùÇ µáÉáñ ýáõÝÏódzݻñÁ ¨ ÙdzÛÝ ¹ñ³Ýù:
¸Çóáõù F -Á ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f -Ç áñ¨¿ ݳËݳϳÝÝ ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ : f ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ ݳËݳϳÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª F x C : C R -Á, ÏáãíáõÙ ¿ f -Ç ³Ýáñáß ÇÝï»·ñ³É ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª
f
ϳÙ
f x dx :
²Ûë Ý߳ݳÏÙ³Ý Ù»ç f -Á ÏáãíáõÙ ¿ ÁݹÇÝï»·ñ³É ýáõÝÏódz, ÇëÏ f x dx -Áª ÁݹÇÝï»·ñ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ: î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ Ý³ËݳϳÝÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï.
x 1 C 1
x
3.
x a dx
4.
sin xdx cos x C ;
6.
cos
8.
dx
1 ;
1.
dx
ax C ln a
2.
dx
x ln x C ;
a 0, a 1 , e x dx e x C ;
tgx C ;
5.
cos xdx sin x C ;
7.
sin
x
shxdx chx C ;
9.
dx
ctgx C ; x
chxdx shx C ;
dx
dx
11. ch x thx C ; sh x cthx C ; dx x x 12. x a a arctg a C a arcctg a C a 0 ; dx x x 13. a x arcsin a C arccos a C a 0 ; 10.
14. 15.
x
dx
a dx
x a
xa ln C 2a x a
a 0 ;
ln x x 2 a C
a 0 :
² Ý á ñ á ß Ç Ý ï » · ñ ³ É Ç Ñ ³ ß í Ù ³ Ý ( Ç Ý ï » · ñ Ù ³ Ý ) Ñ Ç Ù Ý ³ Ï ³ Ý » Õ ³Ý³ÏÝ»ñÁ: 1. Æ Ý ï » · ñ ³ É Ç · Í ³ Û Ý áõ Ã Û áõ Ý Á : ¸Çóáõù u ¨ v ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ Ý³ËݳϳÝ: ò³Ýϳó³Í ¨ ѳëï³ïáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ u v ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÝáõÛÝå»ë Ïáõݻݳ ݳËݳϳÝ, Áݹ áñáõÙª
u v u v : 2. Ø ³ ë » ñ á í Ç Ý ï » · ñ áõ Ù : ºÃ» u x ¨ v x ýáõÝÏódzݻñÁ ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý, u x v x ¨ v x u x ýáõÝÏódzݻñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÝ áõÝÇ Ý³ËݳϳÝ, ³å³ ÙÛáõëÁ ÝáõÛÝå»ë áõÝÇ Ý³ËÝ³Ï³Ý ¨
ux vx dx ux vx u x vx dx : 3. ö á ÷ á Ë ³ Ï ³ Ý Ç ÷ á Ë ³ ñ Ç Ý áõ Ù Ï ³ Ù ï » Õ ³ ¹ ñ áõ Ù : ºÃ» a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áñáßí³Í f x ýáõÝÏódzÛÇ Ý³ËݳϳÝÁ F x -Ý ¿ ¨ x t
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³ÝÁݹѳï
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý a; b -áõÙ, ³å³ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÇÝï»·ñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á.
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cik ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ »Ý áñå»ë ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ §³Ýáñáß ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ Ù»ÃṦ ÏÇñ³é»ÉÇë. R x -Ç í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ³ç ÏáÕÙÁ µ»ñíáõÙ ¿ ÁݹѳÝáõñ ѳÛï³ñ³ñÇ (³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Q x -ÇÝ) ¨, ³ÛÝáõÑ»ï¨, ѳٳñÇãáõÙ ëï³óíáÕ ³ÝѳÛï ·áñͳÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÝáõÛݳóíáõÙ ¿ P x -Ç Ñ»ï: ú·ï³·áñÍ»Éáí ÇÝï»·ñ³ÉÇ ·Í³ÛÝáõÃÛáõÝÁª R x -Ç ÇÝï»·ñÙ³Ý ËݹÇñÁ ѳݷ»óíáõÙ ¿ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇ ¨ å³ñ½³·áõÛÝ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ÇÝï»·ñÙ³ÝÁ: ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù : F C a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ f : a; b R ýáõÏódzÛÇ ÁݹѳÝñ³óí³Í ݳËݳϳÝ, »Ã» a; b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù, µ³óÇ ·áõó» í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñÇó, F -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ F x f x :
² γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ å³ñ½³·áõÛÝ ÷á˳ñÇÝáõÙ ¨ û·ïí»Éáí ݳËݳϳÝÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÇóª ·ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1614-1697).
2 x dx : 1616. x x 3dx : 1614.
1 x dx :
1620.
e
x
x 3
dx :
dx : x ln x dx : cos 2 3x cos 2 x dx : cos 2 x sin 2 x 3 2 x 2 3x dx : 2x
1624. 1626. 1628. dx 1630. cos x 1 tgx : ln x 1632. x dx : dx 1634. arcsin x 1 x 1622.
e
1640. 1638.
cos x
1617.
x 1 x x 2 dx :
1619.
x x x dx :
1621.
a
x 1 x 1
1623.
cosx 1dx :
1625.
ctg
1 x10
xdx :
1629. sin x : dx 1631. x cos 1 ln x : xdx 1633. x 1 :
x 4 x 4 2 dx : x3 :
dx :
sin xdx :
x 4 dx
e
dx : cos 2 x sin 2 x cos xdx
1627.
1636.
1618.
dx : 5x
1615.
:
x
sin e x dx :
1635.
e
1637.
xe
1641.
x2
dx :
1 x2 1 x2
1639.
1 x4
x 3 dx
2x 4 1
:
dx :
e 2 x dx : e2x a 2
1644. 2 dx : x 1 x 1646. 1 x dx : 3 x 1648. 3 x dx : x dx 1650. 1 3x : e 1 1652. e 1 dx : 1642.
2 x 7
1645.
e
th xdx :
dx
xx 1 : dx 1658. x 12 x 3 : dx 1660. x a x b a
sin xdx : 1664. cos xdx : 1666. tg xdx : 1662.
1668.
xdx
x
2x
1 dx :
1656.
2x
1654.
1 3x dx :
x4: x dx 1649. 2 x : x 3 1651. x 1 dx : 1653. a sh3x b ch 4 x dx : shxdx 1655. a ch x : dx 1657. x 3x 10 : dx 1659. x 1x 2 : dx 1661. x a x b a b : 1647.
1643.
dx : sin 2 x cos 2 x
dx : cos 4 x
b2 :
sin 3x sin 5xdx : 1665. sin xdx : 1667. sin 3x sin 2 xdx : 1663.
1669.
cos 2 xdx : sin x
1670.
e x dx : x2
1 e 1673. e dx : 1671.
x 2
1672.
e
x
x
e 1dx :
2x
2 x
arcsin x
dx :
1 x arcsin x 1676. x 1 x dx : dx 1678. x x 1 : xdx 1680. 1 x : sin x cos x 1682. sin x cos x dx : dx 1684. sin x ctgx : 1674.
2 32
x arccos 3x
1 9x dx : dx 1677. x x 1 : x dx 1679. 8x 27 : dx 1681. x ln x ln ln x : sin x 1683. cos 2 x dx : dx 1685. sin x 2 cos x : 1675.
n
dx : cos x
x dx 1688. x 3 : dx 1690. 1 e : x dx 1692. 1 x : dx 1694. x 1 x 1 : x dx 1696. x 2: 1686.
2x
x2
1 x dx n 2 : 1689. 9 4 dx : dx 1691. 2e e : x dx 1693. x 1 : 1687.
n 2
x x
x
x
x
1695.
x
1697.
2 5 x dx :
x
xdx : 1 3x
γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙ` ·ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ (16981706). 1698. 1700.
x
1 x dx :
x 2 dx : 2 x
1699. 1701.
x 1 5 x
x 5 dx 1 x2
2 10
:
dx :
sin x cos 2 x dx : 1 cos 2 x dx : ex 2 ex
ln xdx
x 1 ln x : dx 1705. 1 e :
1704. arctg x dx 1706. x 1 x : 1702.
1703.
x
γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ x a sin t , x atgt , x a sin 2 t a 0 ÷á˳ñÇÝáõÙª ·ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ (1707- 1712).
dx
1707.
1 x
1709.
1711.
2 2
:
ax dx : ax x dx : 2a x
x
a 2 x 2 dx :
1708.
1710.
x
1712.
dx
a2
x 2 dx
:
:
a 2 x2 γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ x asht , x acht , x atht
a 0 և-
˳ñÇÝáõÙª ·ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ (1713-1715). 1713.
a 2 x 2 dx :
1714.
x 2 dx a2 x2
:
1715.
xa dx : xa
ÎÇñ³é»Éáí Ù³ë»ñáí ÇÝï»·ñÙ³Ý Ù»Ãá¹Áª ·ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ (17161746).
ln xdx : 1718. x ln xdx : 1716.
1 x
1720.
x ln 1 x dx :
1722.
x e
3 x2
dx :
x sin 2 xdx : 1726. x sin xdx : 1724.
x ln xdx n 1 : 1719. ln x 1 x dx : n
1717.
x
xe dx : 1723. x cos xdx : 1721.
xdx : cos 2 x
1725.
1727.
sin x ln tgxdx :
x chxdx : 1730. xarctgxdx :
1729.
1733.
1735.
arcsin x dx :
1737.
e
1728.
1732. 1734.
1736.
x
arcsin 2 xdx :
x arccos x 1 x
dx :
x ln x 1 x 2 dx : 1 x
arctgxdx : 1731. arccos5 x 2 dx :
x sin x dx : 1740. e cos bxdx :
1739.
e 2 x sin 2 xdx :
1743.
1738.
ax
1742.
1744.
e
1746.
x
cos x dx :
arcsin x dx : x2
x
dx :
sin ln xdx : 1741. e sin bxdx : ax
e arctgx
1 x dx : ln sin x 1745. sin x dx : 2 32
xe x dx : x 12
ø³é³ÏáõëÇ »é³Ý¹³ÙÇó ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ ³Ýç³ï»Éáíª ·ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ (1747-1761).
dx
x x2 : xdx 1749. x 2x 1 : x dx 1751. x x 2: dx 1753. xx : xdx 1755. x 2 x cos a 1 , sin a 0 : 1747.
dx
3x 2 x 1 : x 1 dx : 1750. x x 1 dx 1752. 1 2x x : dx 1754. 2x x 2 : 4 3x dx 1756. 5 x 6 x 18 : 1748.
1759. 1761. 1757.
3x 1dx x2 2x 2
:
x x 2 dx :
x 3dx
3 4x 4x : xdx 1760. x 6x 5 : 1758.
x 2 2 x 5dx :
¶ïÝ»É é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ Ý³ËݳϳÝÁ (1762-1776).
2 x 3dx : x 2x 5
x dx 1764. x x2 : x 1dx : 1766. x 1 x 1 x 1dx 1768. x 1x 4 : xdx 1770. x 1 : x 2x 3 1772. x 4 x 4 dx : x 1dx 1774. x 1x 1 : x x 1 1776. x x x 1dx : 1762.
xdx : x 1x 2x 3
x dx 1765. x 5x 4 : dx 1767. 6 x 7 x 3x : dx 1769. x 4 x 4x 4 x 5 : 5 x 14dx 1771. x x 4x 4 : x x 1 1773. x 1 dx : x 6dx 1775. x 6x 8 : 1763.
¶ïÝ»É Çé³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ Ý³ËݳϳÝÁ (1777-1785). ax b R x , n cx d
dx ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ÇÝï»·ñáõÙÁ, áñï»Õ R u , v -Ý é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódz ¿, ÇëÏ
a, b, c, d Ãí»ñÁ ѳëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, t n
ax b ï»Õ³¹ñáõÙáí µ»ñíáõÙ ¿ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ cx d
ÇÝï»·ñÙ³ÝÁ:
1777.
dx : 1 x
1778.
x3 2 x dx : x3 2x
dx
x 1 x dx 1781. 2 x x x : x 1 x 1 1783. x 1 x 1 dx : x 1 1785. x x 1dx : 1779.
:
1780.
x dx : x
1
x
dx
x 1 x : dx 1784. 3x x :
1782.
ÆÝï»·ñ»É »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (1786-1803).
Rsin x, cos x dx
ï»ëùÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ
R u , v -Ý é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódz ¿,
x ÷á˳ñÇÝÙ³Ý ÙÇçáóáí: ºÃ» ѳÛïÝÇ ¿ ݳ¨, áñ R u , v R u , v ϳ٠R u ,v R u , v ϳ٠R u ,v R u , v , ³å³ ³í»ÉÇ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ϳï³ñ»É ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ t cos x , t sin x , t tgx ÷á˳ñÇÝáõÙÁ: ÁݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ µ»ñíáõÙ ¿ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³ÉǪ ÷á÷á˳ϳÝÇ t tg
xdx :
x cos 5 xdx :
cos 1788. sin 1786.
1792. 1794. 1796. 1798. 1800. 1801. 1790.
sin xdx : 1789. sin x sin 2 x sin 3 xdx : 1787.
sin 2 x dx : 1791. cos 3 x cos 3 x dx : 1793. sin 5 x dx : 1795. sin 4 x cos xdx : 1797. sin x 6 sin x 5 dx : 1799. 2 sin x cos x 5 dx ³) 0 1 ; µ) 1 : 1 cos x sin x cos x dx : 1802. sin x cos x
sin 3xdx : cos x
dx sin x cos x : dx sin x1 cos x : dx cos x cos a , sin a 0 : sin xdx 1 sin x :
dx
2 cos xsin x :
1803.
tgxtg x a dx : ¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1804-1829).
x a xdx : 1806. xe dx : 1804.
x
dx
x x 1 : dx 1810. x x 1 : xdx 1812. 2x x 1 : dx 1814. x x : dx 1816. 2 x 1 2x 1 : 1818. 4 x 4 x 3dx : 1808.
1820.
tg
x tg 4 x dx : dx
1 cos x : dx 1824. 1 e 1 e xe 1826. 1 e dx : ln x cos ln x 1828. x dx : 1822.
x
x
:
ln x 1 dx : x 1
1805.
1807.
arctg 1 x dx : 2x 1
x dx : x dx 1811. x 12 x 35 : x dx 1813. x 4: dx 1815. xx x : x dx 1817. 1 x : sin xdx 1819. 1 sin x : 1809.
sh xch xdx :
1823.
1825.
x
1827.
e
1829.
arccos
x
x 2
1821.
tgxdx 1 sin 2 x
:
sin x 2 dx :
xex
dx : x dx : x 1
´ 1830. ¸Çóáõù F x f x
x R : ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ f x -Á å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿, ³å³ F x -Á
³) »Ã» ¨ë å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿; µ) »Ã» f x -Á Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿, ³å³ F x -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿; ·) »Ã» f x -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿, ³å³ F x -Á Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿: 1831. ²å³óáõó»É, áñ f x sgn x ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ ݳËÝ³Ï³Ý ãáõÝÇ: 1832. ´»ñ»É ˽íáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ûñÇݳÏ, áñÝ R -Ç íñ³ áõÝÇ Ý³ËݳϳÝ: ¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1833-1839). 1834. x x dx : 1835. e x dx : 1836. x 1 1 x dx : 1837. shx dx : 1838. f 2 x dx : 1839. xf x dx : 1833.
x
dx :
1840. ¶ïÝ»É f x -Á, »Ã» f 0 0 ¨
1, 0 x 1, x, 1 x :
µ) f ln x
³) f sin 2 x cos 2 x ;
1841. ¸Çóáõù p 2 4q 0 : γï³ñ»Éáí ѳٳå³ï³ëË³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ`
In
Ax B
n N
x px q dx n
dx
x a
ѳßíáõÙÁ
µ»ñ»É
ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³ßíÙ³ÝÁ ¨ í»ñçÇÝÇë ѳٳñ ëï³Ý³É
2 n
ÇÝï»·ñ³ÉÇ
³ëïÇ׳ÝÇ Çç»óÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á
In
x 2 2n 1a x a 2
n 1
2n 3I n 1 :
1842. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ ëï³óí³Í µ³Ý³Ó¨Çóª ·ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ. ³)
x 2 dx
1 x ; 2 2
µ)
dx
4 x : 2 3
¶ïÝ»É é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1843-1851).
dx : x 1
1846. x x 1843.
1844.
dx : x x2 1
dx : x3 x 2 x 1
x4 2x2 2
x 2x 2 dx : dx 1850. x x 1 : 1848.
1845.
dx : x 1
x 2x 4
x 1 dx : dx 1849. x 2x x : dx 1851. x x 1 : 1847.
1852. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» y ax 2 bx c a 0 , ³å³
dx y ln ay C , »ñµ a 0 ; y a
dx µ) y ³)
y C , »ñµ a 0 : arcsin a b 4ac 1853. ¸Çóáõù Pn x -Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ ¨ y ax 2 bx c a 0 : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Qn 1 x µ³½Ù³Ý¹³Ù ¨ ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇù, áñ Pn x dx dx Qn 1 x y : y y
¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1854-1860).
x 2 dx
1 x x dx 1856. x 1 x 1 : dx 1858. 1 x 1 x : 1854.
:
1860.
1 x x2
1 x x dx : dx 1857. x 1 x 2 : dx 1859. x 2 x 2 x 5 : 1855.
x2 2x 2 dx : x
γï³ñ»Éáí ¿ÛÉ»ñÛ³Ý ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª 1)
ax 2 bx c a x z , a 0 ,
2)
ax 2 bx c xz c , c 0 ,
3)
ax x1 x x2 z x x1 ,
·ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1861-1866). 1861.
dx
x
:
1862.
x x 1
x 1 x x2
1 x 1 x x x x 1 1865. x x x 1 dx : 1863.
dx :
x
x 2 2 x 2dx :
x2 1 dx : x2 2
x dx 1866. 1 x 1 2 x x 1864.
:
¶ïÝ»É µÇÝáÙ³Ï³Ý ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1867-1872).
x
m
a bx dx n p
ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³ßíáõÙÁ, áñï»Õ m, n, p Q , µ»ñíáõÙ ¿ é³óÇáݳÉ
ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñÙ³Ý ÙdzÛÝ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ¹»åù»ñáõÙ (⻵Çß¨Ç Ã»áñ»Ù). ³) »ñµ p -Ý ³ÙµáÕç ¿, ï»Õ³¹ñáõÙ »Ý x z k , áñï»Õ k -Ý m ¨ n Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ÁݹѳÝáõñ ѳÛï³ñ³ñÝ ¿; µ) »ñµ
m 1 -Ý ³ÙµáÕç ¿, ï»Õ³¹ñáõÙ »Ý a bx n z k , áñï»Õ k -Ý p -Ç Ñ³Ûï³ñ³ñÝ ¿; ·) »ñµ n m 1 p -Ý ³ÙµáÕç ¿, ï»Õ³¹ñáõÙ »Ý ax n b z k , áñï»Õ k -Ý p -Ç Ñ³Ûï³ñ³ñÝ ¿: n
1867.
x
1 x dx :
1869. 1871.
x 5 dx
1868.
:
1870.
1 x xdx
dx
1 x3
:
3x x dx : dx 1872. x 1 :
:
1 3 x2
x
ÆÝï»·ñ»É »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (1873-1884).
dx : 2 cos x sin 2 x sin 2 x
dx 1875. 2 3 sin 2 x 4 cos 1873.
x
:
dx : cos 2 x sin 2 x
1876. sin 1874.
dx : x cos 4 x
cos xdx : sin x cos 3 x dx , 0 1: 1 cos x 2
1879. sin 2 xdx 1881. 1 cos x : 3 sin x cos x 1 1883. sin x 3 sin x dx : 1877.
dx : sin x cos 6 x sin 4 xdx : sin 8 x cos 8 x
1880. 1 2 sin 2 x 2 cos 1882. sin x cos x ctg x ctgx 1884. 4 tg x dx : 1878.
x
dx :
ÆÝï»·ñ»É ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (1885-1893).
dx
1 thx : ch 2 xdx 1887. sh x ch x : dx 1889. achx bshx , a 0 , a chx 2 shx 3 1891. 4chx 5shx 6 dx : th x 1893. ch x dx : 1885.
dx
4 3sh x : dx 1888. 2shx chx : sh 2 xdx b : 1890. 5shx 3chx : 1886.
1892.
thx dx :
¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1894-1948).
dx : 1 e e 2 x e3 x
dx 1896. e 1 e 1 : sin xdx 1898. 2 sin 2x : ln 1 x x 1900. x dx : 1894.
x
x 1
x 1
1895.
dx
e 1 :
1897.
x
1899.
e ln 1 e dx :
ln 1 x 1 x dx : 1904. x arctgxdx : 1902.
1901.
x e x dx :
x
x
x
x ln x 2 dx : x
arctg x 1 dx : 1905. x 1 x arccos xdx : 1903.
1906. 1908.
e
x
arcsin e x dx :
ln x 1 dx : ln 2 x
1909.
ln x x 2 1 dx : x 1 x 1
ln x 1912. x 1 dx : x ln x 1914. 1 x x 1 dx : 1910.
1916.
dx : 2 sin x 2
1918.
th 2 x 1dx : dx : cos x sin 2 x
x 3 2 x 2 3x 4
x 2 x 2 dx : dx 1928. x 1 x : dx 1930. 1 x x : 1926.
e
arcsin x
dx :
ln xdx : ln x 12
ln x x 2 1
x dx : ln x 1913. x 2 dx : ax b x 1 1915. x 1 ln x 1 dx : 1911.
sin 3 2 x dx : sin 5 x 1 sin x x e dx : 1 cos x x sin xdx : 1 cos x 2
1919. 1921. 2x 2x x 2 1923. 2 x 4x 3x 1 dx : dx 1925. x 1 x 2x 1 : 1917.
dx 1922. sin x cos x : 5 x 5 x 18 x 1924. x 3x 1 dx : 1920.
1907.
dx
x x x 1 : dx 1929. 3 5x 3 4x : dx 1931. x 2 x : 1927.
3 3
3 5
1932.
1934.
1936.
1938.
x ln x
1 x dx :
1933.
2 2
ex 1 dx : ex 1
1937. 1935.
3x2 1 arctgxdx : x x
x
a 1
ln b 1 xa ln x b dx : dx
1948.
x
dx :
x 2 arccos x x
1 x
3 2
x sin x
4 sin x
dx :
thxdx
1 e dx :
x2
1 thx : dx 1941. x 1 x : xdx 1943. x 1 1 2 x x : 11x 13 1945. x x 1 x 1 dx : 1939.
x 1 x : dx 1942. x x 1 : dx 1944. 1 x 1 x : dx 1946. x x 1 x x 1 : 1940.
e
x arctge
1947.
x 2 dx
4 2x x 2 2 x x
:
x2 x 1 dx : x 12
¶ ¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1949-1952). 1949. 1951.
max 1, x dx :
1950.
x sin x dx x 0 :
1 x 2 , x 1, f x dx , áñï»Õ f x 1 x , x 1 :
1, x 0, 1952. f x dx , áñï»Õ f x x 1, 0 x 1, 2 x, 1 x : 1953. ¸Çóáõù x -Á x ÃíÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ¿ x -ÇÝ ³Ù»Ý³Ùáï ³ÙµáÕç
ÃíÇó: ¶ïÝ»É x dx -Á:
1954. ¸Çóáõù f x -Á ÙáÝáïáÝ ¨ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿, ÇëÏ f 1 x -Áª Ýñ³ ѳϳ¹³ñÓ ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
f x dx F x C , ³å³
f x dx xf x F f x C : 1
1
1
¸Çï³ñϻɪ ³) f x x , 0 ; µ) f x e x ; ·) f x arcsin x ýáõÝÏódzݻñÁ: 1955. ¸Çóáõù P x -Á n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, a 0 : ²å³óáõó»É, áñ n ax Px n P x e P x e ax dx Px 1 C ; a a n a cos ax P x P 4 x µ) P x sin axdx P x a a a P x P 3 x P 5 x sin ax C; a a a a sin ax P x P 4 x ·) P x cos axdx P x a a a P x P 3 x P 5 x cos ax C : a a a a
³)
ÆÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É ³ëïÇ׳ÝÇ Çç»óÙ³Ý µ³Ý³Ó¨ (1956-1963). 1956. I n x n e ax dx
1958. I n
x n dx
x a
a 0 :
1957. I n x ln n xdx
:
1959. I n sin n xdx :
n N
1 :
1960. I n ch n xdx :
1962. I n
dx
ch x :
1963. I n
n
dx : sin n x
tg xdx :
1961. I n
n
²å³óáõó»É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Á m, n N , m 1, n 1 (1964-1967). 1964. a 0 ¹»åùáõÙ
In
x n dx
ax bx c
1 n 1 b ax 2 bx c 2n 1I n 1 c n 1I n 2 : x na
1965. I n , m sin n x cos m xdx :
sin n 1 x cos m 1 x n 1 I n 2 ,m ; nm nm sin n 1 cos m 1 x m 1 µ) I n , m I n, m 2 : nm nm dx 1966. I n , a 2 b2 0 : n a cos x b sin x ³) I n ,m
a sin x b cos x n 2 I n 2 : 2 n 1 n 1 a b a cos x b sin x dx -Á: 2 cos x sin x 3
In
¶ïÝ»É
sin 1967. I n sin
xa xa
n
dx , n N :
2 sin a sin x 2 a In n 1 sin x 2 a 1968. ¶ïÝ»É
n 1
2 I n 1 cos a I n 2 :
cos x 2 a n 1 dx -Á cos a 0 : sin x2a n 1
1969. ²å³óáõó»É, áñ
a1 sin x b1 cos x c1 dx Ax B ln a sin x b cos x c a sin x b cos x c
C
dx a sin x b cos x c a
b2 0 :
¶ïÝ»É A, B, C ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ: ¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1970-1971). 1970.
2 sin x cos x dx : 3 sin x 4 cos x 2
1971.
sin x dx : 2 sin x cos x
1972. ²å³óáõó»É, áñ
a1 sin 2 x 2b1 sin x cos x c1 cos 2 x dx A sin x B cos x a sin x b cos x dx C , a 2 b2 0 : a sin x b cos x ¶ïÝ»É A, B, C ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ:
¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1973-1974).
sin 2 x 4 sin x cos x 3 cos 2 x dx : sin x cos x
sin 1974. 1973.
x sin x cos x 2 cos 2 x dx : sin x 2 cos x
1975. ¸Çóáõù a c b 2 0 : ÀÝïñ»É A ¨ B ѳëï³ïáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ï»ÕÇ áõݻݳ
a cos
a1 cos x b1 sin x du1 du2 dx A B x 2b sin x cos x c sin x k1u1 1 k 2u22 2
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ 1 , 2 -Á a c b 2 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý 1 2 , ui a i sin x b cos x ¨ ki ¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1976-1977).
sin x cos x dx
2 sin x 4 sin x cos x 5 cos sin x 2 cos x 1977. 1 4 sin x cos x dx : 1976.
x
:
1978. ¸Çóáõù
In
dx , a cos x cn
a c , n N :
êï³Ý³É Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Á.
, i 1, 2 : c i
a sin x 2n 3cI n1 n 2I n2 : 2 n1 n 1 a c a cos x c dx 1979. ¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁª , 1: 1 cos x 3 In
1980. îñí³Í ¿ª I m
p
x m ax n b dx m, n N , m n : ²å³óáõó»É, áñ I m -Á
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ.
am 1 np I m x m 1 n ax n b
p 1
bm 1 n I m n :
¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (1981-2007).
dx
a cos x dx
1 2a cos x a x 1 x dx 1983. a tg x : dx 1984. a cos x b sin x a b 0 : dx 1985. a cos x ax bsin x ab 0 : 1981.
:
1982.
:
sin 2 x dx : 3 3 sin x cos x arctgxdx 1987. a 0 : 1988. ax b ax 2 b dx 1989. ab 0 : x a b 2 x 2 a 2b 2 1986.
xa 1990. x b dx n N : a chx b shx 1991. achx bshx dx a b dx 1992. 3chx 5shx 3 :
dx
x a bx ab
a b :
n
0 : 1993.
2shx chx dx : 3shx 4chx 2
1994.
1996.
1997.
sh2 x 2shx dx : x sh 6 sh 3 x a1 cos x b1 sin x dx a cos x b sin x 2
a
a
cos 2 x
sin x b cos x dx
sin x cos x dx 2000. x a b x dx 2002. x a x b 1998.
1995.
n 1
n
dx , a 2 b 2 0 :
x 2001. x 1999.
ab 0 :
n 1
sin 3 x cos 3 x
b2 0 :
:
sin x cos x sin 2 x dx :
2n
dx a2n
n N , a 0 :
dx
a 0, n N :
xn a
n N : ln x x 2 a
ln x dx : xa
2004. x dx : x 2005. ax bsin x a bxcos x dx a b 0 : 2 sin x sin 2 x x arcsin x 2006. dx : 2007. 1 ax sin x 1 cos x dx : 2003.
2 2
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÁݹѳÝñ³óí³Í ݳËݳϳÝÁ (2008-2011). 2008. y sgn x a :
arctg , x 0, x 0, x 0 :
2010. y
2009. y x :
ln x, x 0, 1, x 0 :
2011. y
2012. ²å³óáõó»É, áñ èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý áã ÙÇ ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ݳËÝ³Ï³Ý ãáõÝÇ:
¶ÉáõË
èÇÙ³ÝÇ ÇÝï»·ñ³É, ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ a b ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ Ï»ï»ñÇ
îñí³Í a; b
³Û¹ ѳïí³ÍÇ ïñáÑáõÙ, »Ã»
P x0 , x1 ,..., x n ß³ñí³ÍùÁ ÏáãíáõÙ ¿
a x0 x1 xn b : ¸ñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳ݪ i
xi , xi 1 ѳïí³ÍÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ïñáÑÙ³Ý Ñ³ïí³ÍÝ»ñ, ÇëÏ P max xi -Ý, áñï»Õ 0 i n 1
xi xi 1 xi , ïñáÑÙ³Ý ïñ³Ù³·ÇÍ:
¸Çóáõù f -Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódz ¿: ²Û¹ ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í P
i 0,1,..., n 1 Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ϳ½Ù»Ýù
ïñáÑÙ³Ý ¨ ó³Ýϳó³Í i i n 1
f P, f i xi i 0
·áõÙ³ñÁ: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ a; b ѳïí³ÍÇ P ïñáÑÙ³ÝÁ ¨ i Ï»ï»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñ: ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù : I ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÛ³É ÇÝï»·ñ³É (èÇÙ³ÝÇ
ÇÝï»·ñ³É) a; b ѳïí³ÍáõÙ, »Ã» ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0 ÃÇí,
³ÛÝåÇëÇÝ, áñ a; b ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í P ïñáÑÙ³Ý ¨ ¹ñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳ݪ i Ï»ï»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÁÝïñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª
P f P, I :
ºÃ» ³Û¹åÇëÇ I ÃÇíÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ f -Á ÏáãíáõÙ ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ (èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ) ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ª b
I lim P 0
f
P, f x dx : a
Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a; b -áí:
îñí³Í a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
Æ Ý ï » · ñ » É Ç áõ Ã Û ³ Ý ³ Ý Ñ ñ ³ Å » ß ï å ³ Û Ù ³ Ý Á : èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: Æ Ý ï » · ñ » É Ç áõ Ã Û ³ Ý ³ Ý Ñ ñ ³ Å » ß ï ¨ µ ³ í ³ ñ ³ ñ å ³ Û Ù ³ Ý Á : ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: a; b ѳïí³ÍÇ P ïñáÑÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝùª
mi inf f x , M i sup f x , i M i mi x i
i 0,1,..., n 1 :
x i
àñå»ë½Ç f -Á ÉÇÝÇ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ϳٳ-
Û³Ï³Ý 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ a; b ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í P ïñáÑÙ³Ý Ñ³Ù³ñ
n 1
P i xi : i 0
лï¨Û³É ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¸³ñµáõÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ ·áõÙ³ñÝ»ñ.
L f P
n 1
mi xi
,
U f P
i 0
n 1
M i xi : i0
²Ûë Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñáí ÇÝï»·ñ»ÉÇáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ ϳñáÕ ¿ ·ñí»É ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. lim U f P L f P 0 : P 0
ò³Ýϳó³Í f : a; b R ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý b
b
lim L f P L f x dx ¨
P 0
a
lim U f P U f x dx
P 0
a
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý a; b ѳïí³ÍáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ ¿, áñå»ë½Ç f -Ý a; b -áõÙ ÉÇÝÇ ÇÝï»·ñ»ÉÇ:
Æ Ý ï » · ñ » É Ç ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ Ç ¹ ³ ë » ñ : ºÃ» f : a; b R ýáõÝÏódzÝ
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÛÝ a; b -áõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿. C a; b a; b :
ºÃ» f -Ý a; b ѳïí³ÍáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ áõÝÇ ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ˽áõÙÝ»ñ,
³å³ ³ÛÝ a; b -áõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿:
ºÃ» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³ ³ÛÝ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿:
a; b ¹ ³ ë Ç Ï ³ é áõ ó í ³ Í ù Á : ò³Ýϳó³Í f , g a; b ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñª ³) f g a; b , R , Áݹ áñáõÙª b
b
b
f x g x dx f xdx g x dx a
a
·) f g a; b ; ¹) »Ã» c; d a; b c d , ³å³
(ÇÝï»·ñ³ÉÇ ·Í³ÛÝáõÃÛáõÝ);
a
µ) f a; b ;
f -Á c; d ѳïí³ÍÇ íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: a
ºÃ» f a; b , ³å³ ÁݹáõÝí³Í ¿ ·ñ»É.
b
b
a
f x dx f x dx , a
f x dx 0 : a
Æ Ý ï » · ñ ³ É Ç ³ ¹ Ç ï Ç í áõ Ã Û áõ Ý Á : ºÃ» f a; b , ³å³ ó³Ýϳó³Í
, , a; b Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿
f x dx f x dx f x dx
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Æ Ý ï » · ñ ³ É Ç Ù á Ý á ï á Ý áõ Ã Û áõ Ý Á : ¸Çóáõù` f , g a; b : ºÃ» a b ¨
f x g x
a x b , ³å³
b
b
f xdx g xdx : a
a
Ø Ç ç Ç Ý ³ ñ Å » ù Ç ³ é ³ ç Ç Ý Ã » á ñ » Ù Á : ºÃ» f a; b , m inf
xa; b
f x ¨
M sup f x , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m; M ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ xa; b b
f x dx b a : a
سëݳíáñ³å»ë, »Ã» f C a; b , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
f x dx f b a : a
Ø Ç ç Ç Ý ³ ñ Å » ù Ç Á Ý ¹ Ñ ³ Ý ñ ³ ó í ³ Í Ã » á ñ » Ù : ºÃ» f , g a; b , g x 0 ,
m inf
xa; b
f x ¨ M sup f x , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m; M ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ xa; b
b
b
f x g x dx g x dx : a
a
Ø Ç ç Ç Ý ³ ñ Å » ù Ç » ñ Ï ñ á ñ ¹ à » á ñ » Ù Á (´áÝ»Ç µ³Ý³Ó¨Á): ºÃ» f , g a; b ¨
g -Ý a; b -Ç íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
b
b
f x g x dx g a f xdx g b f x dx : a
a
Æ Ý ï » · ñ ³ É Á á ñ å » ë ÷ á ÷ á Ë ³ Ï ³ Ý í » ñ Ç Ý ë ³ Ñ Ù ³ Ý Ç ý áõ Ý Ï ó Ç ³ : ¸Çóáõùª f a; b :
x
F x f t dt
a x b
a
ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÷á÷áË³Ï³Ý í»ñÇÝ ë³ÑÙ³Ýáí ÇÝï»·ñ³É: ÖßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ. ³) F C a; b ;
µ) »Ã» f -Ý x0 a; b Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ F -Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨
F x0 f x0 : سëݳíáñ³å»ë, »Ã» f C a; b , ³å³ F -Ý f -Ç Ý³ËݳϳÝÝ ¿:
f a; b , f -Ý a; b -áõÙ áõÝÇ áã ³í»ÉÇ, ù³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ˽áõÙÝ»ñ ¨ F : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý f -Ç (ÁݹѳÝñ³óí³Í) ݳËÜ Û áõ ï á Ý – È ³ Û µ Ý Ç ó Ç µ ³ Ý ³ Ó ¨ Á : ¸Çóáõù`
ݳϳÝÝ ¿: ÖßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á. b
b
f x dx F x a F b F a : a
Ø ³ ë » ñ á í Ç Ý ï » · ñ áõ Ù : ºÃ» u x ¨ v x ýáõÝÏódzݻñÝ a; b ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý, ³å³ª
b
b
b
u x vxdx ux vx a vx ux dx : a
a
f C a; b
ö á ÷ á Ë ³ Ï ³ Ý Ç ÷ á Ë ³ ñ Ç Ý áõ Ù : ºÃ» : ; a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, a ¨ b , ³å³ ó³Ýϳó³Í
ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ
f t t ýáõÝÏóÇ³Ý ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª
b
f x dx f t t dt :
a
² Ý Ç ë Ï ³ Ï ³ Ý Ç Ý ï » · ñ ³ É Ý » ñ : ¸Çóáõù f : a , R ( R ϳ٠)
a b ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿:
ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í a; b
ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù :
f xdx
ëÇÙíáÉÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ
a b
f x dx ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý áñb
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³É: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim
a
å»ë
f xdx -Ç
³ñÅ»ù ¨ »Ã» ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ
a
³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½áõ·³Ù»ï: ÆëÏ »Ã» Ýßí³Í ë³ÑÙ³ÝÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ï³Ù ³Ýí»ñç ¿, ³å³ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ï³ñ³Ù»ï: -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ï³Ù ÁݹÇÝï»·ñ³É ýáõÝÏódzÛÇ »½³ÏÇáõÃÛáõÝ: b
гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿
f x dx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ 1 R ϳÙ
1
1 : ºÃ» f : 1 ; R ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í a; b 1 ; ѳïí³ÍáõÙ èÇÙ³ÝÇ
ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ݳ¨
f x dx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñÁ
1 c
ѳٳñíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ áñ¨¿ c 1; ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
f x dx 1
f x dx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ·³Ù»ï »Ý : ÀݹëÙÇÝ ÁݹáõÝíáõÙ ¿ª
c
c
f xdx f xdx f x dx : 1
1
c
¨
b
ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
f x dx í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÝÇëb lim
b
Ï³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ·É˳íáñ ³ñÅ»ù ¨ Ý߳ݳÏáõÙª v. p.
f xdx :
гٳÝÙ³Ýáñ»Ý, ïñí³Í
b
f x dx ¨
f xdx a b ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ
a
b
·áõÙ³ñÁ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³É ¨ Ý߳ݳÏáõÙª
f x dx : ²Ûë ·áõÙ³ñÝ ¿É a
ѳٳñíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
b lim f x dx f x dx í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý 0 a
b
áñå»ë ÇÝï»·ñ³ÉÇ ·É˳íáñ ³ñÅ»ù ¨ Ý߳ݳÏáõÙª v. p. f x dx :
a
²ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ ³¹ÇïÇíáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùáí ÁݹѳÝñ³óíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí »½³ÏÇáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»óáÕ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ: ¶Í³ÛÝáõÃÛ³Ý, ³¹ÇïÇíáõÃÛ³Ý ¨ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ùµ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý: سë»ñáí ÇÝï»·ñÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Á ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ
Ñ ³ Ù ³ ñ: ¸Çóáõù u , v C a; : ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
³å³
lim u x vx í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ,
x 0
u xvx dx a
¨
u x vx dx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ·³Ù»ï »Ý
a
ϳ٠ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï, Áݹ áñáõÙ ³é³çÇÝ ¹»åùáõÙª
u xvx dx u x vx a u xvx dx , a
a
áñï»Õ
u x v x a lim u x vx u a va : x
² Ý Ç ë Ï ³ Ï ³ Ý Ç Ý ï » · ñ ³ É Ç ½ áõ · ³ Ù Ç ï áõ Ã Û ³ Ý Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß Ý » ñ Á : ¸Çóáõù f : a; R ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b a; ѳïí³ÍáõÙ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿:
Î á ß Ç Ç ë Ï ½ µ áõ Ý ù Á : àñå»ë½Ç
f xdx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï,
a
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ ³ÛÝåÇëÇ
a; ÃÇí, áñ ó³Ýϳó³Í b1 , b2 , Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõݻݳ
b2
f x dx
b1
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
f xdx
ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù :
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï,»Ã»
a
½áõ·³Ù»ï ¿
f x dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ: ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: a
ºÃ» ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿,µ³Ûó áã µ³ó³ñÓ³Ï, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ³ÛÝ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: ´ ³ Õ ¹ ³ ï Ù ³ Ý ³ é ³ ç Ç Ý Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß : ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý
a;
a; b a;
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ó³Ýϳó³Í
f x g x a x ¨
ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ »Ý: ºÃ»
g x dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ f x dx -Á µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿: a
a
´ ³ Õ ¹ ³ ï Ù ³ Ý » ñ Ï ñ á ñ ¹ Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß : ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ a; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý c1 , c2 ¹ñ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
c1 f x g x c2 f x , ³å³
f x dx ¨
a
g x dx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ÙdzųٳݳÏ
a
½áõ·³Ù»ï »Ý ϳ٠ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï:
² µ » É Ç Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß Á : ºÃ»
f x dx
³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ
a
g : a; R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï, ³å³
f x g x dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿: a
z
¸ Ç ñ Ç Ë É » Ç Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß Á : ºÃ» F z
f x dx ýáõÝÏóÇ³Ý a; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ a
ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ÇëÏ g : a; R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ x 0 , ³å³
f x g x dx
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
a
² îñáÑ»Éáí ïñí³Í ѳïí³ÍÝ n ѳí³ë³ñ Ù³ë»ñÇ ¨ ïñáÑÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ѳïí³ÍáõÙ áñå»ë i Ï»ï ÁÝïñ»Éáí ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÁª ϳ½Ù»É ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñÁ ¨ ѳßí»É ³ÛÝ (2013-2016).
2013. y 1 x , x 1;4 :
2014. y 3x 2 3 x , x 0;4 :
2015. y sin x , x 0; :
2016. y x (¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ¿) ³) x 3;7 ; µ) x 2 ;1 2 : îñáÑ»Éáí ïñí³Í ѳïí³ÍÝ n ѳí³ë³ñ Ù³ë»ñǪ ·ïÝ»É ¸³ñµáõÇ ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ (2017-2020). 2017. f x 2 x 1 , x 2;5 :
2018. f x 2 x , x 0;10 :
2019. f x cos x , x 0; 2 : 2020. f x x , x a; b : ÀݹáõÝ»Éáí ÇÝï»·ñ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁª ѳßí»É ³ÛÝ` áñå»ë ѳñÙ³ñ Ó¨áí ϳ½Ùí³Í ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ ë³ÑÙ³Ý (2021-2026).
2021.
x 2 dx :
2022.
1
2
2023.
a dx a 0 : x
2024.
b
2025.
sin xdx : cos tdt : b
dx
x
0 a b :
a
2026.
dx
x
0 a b :
a
òáõóáõÙ: ì»ñçÇÝ »ñÏáõëáõÙ ïñáÑÙ³Ý Ï»ï»ñÝ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ ¹ñ³Ýù ϳ½Ù»Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
2027. ºÉÝ»Éáí ÇÝï»·ñ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª ѳÙá½í»É, áñ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í y C ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ ÇÝï»·ñ³ÉÁ: 2028. ò³Ýϳó³Í ѳïí³Íáõ٠ѳßí»É ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏódzÛÇ ¸³ñµáõÇ ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ¨ ѳÙá½í»É, áñ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý áã ÙÇ Ñ³ïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ã¿: 2029. ¸Çóáõù f -Ý a; b a b ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ ÝáõÛÝ Ñ³ïí³ÍáõÙ ÝáõÛÝå»ë ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª b
a
b
f x dx
f x dx : a
2030. îñí³Í ¿ f : a; b R ýáõÝÏódzÝ: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» f -Ý
a; b -áõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, ³å³
f -Á ÝáõÛÝå»ë ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿:
ú·ïí»Éáí ÜÛáõïáÝ-ȳ۵ÝÇóÇ µ³Ý³Ó¨Çóª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (20312040).
2031.
x dx :
2032.
1
2034.
1 x
:
2036.
dx
dx a sin x b 2 cos 2 x
0 :
1
ab 0 :
2038.
x2 dx : 1 x6
e2
:
x 2 x cos 1
2039.
1 x2
dx
dx
1 2
sh1 4
2037.
2 xdx :
dx : 1 x2
sh 2
2035.
2033.
cos
dx : x ln x
2040.
e
sin
xdx :
гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ý»ñϳ۳óÝ»Éáí áñå»ë áñáß³ÏÇ ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñÝ»ñª ·ïÝ»É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ (2041-2047).
n 1 1 1 1 2 1 2042. lim : : n n n n 1 n n n n2 2n n 1 1 : 2 2043. lim sin sin sin n n n n n 2041. lim
1 n 1 1 1 : n n n n n
2044. lim
n n n 2 2 : n n 1 n 2 2n p p p n 1 2 n 2046. lim p 0 : 2047. lim : p n n k 1 n 4n k 2 2048. ¸Çóáõùª f C a; b , : ; a; b ¨ : ; a; b ýáõÝÏ2045. lim
ódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ²å³óáõó»É ÷á÷áË³Ï³Ý í»ñÇÝ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñáí ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÁ.
t
d f x dx f t t f t t : dt t
¶ïÝ»É ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (2049-2054). b
2049.
b
d sin x 2 dx : dx a
d 2051. dt
2050.
x3
t2
1 x 2 dx :
d 2052. dx
x
d cos x 2 dx : dx sin x
dt 1 t2
:
x4
cos x
2053.
d sin x 2 dx : da a
2054.
d e x dx : dx 0
ú·ïí»Éáí ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÇóª ·ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ (2055-2058). x
x
2055. lim
x 0
arctgx dx
cos x 2 dx :
x2 x
2x
ln1 t dt
e
2u
:
x2 1
x
x u2 e du : 2057. lim 0x x
2056. lim
2058. lim
x 0
du
x2
:
sin t dt t
x
2059. гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
x 2 , 0 x 1, f x dx , áñï»Õ f x 2 x, 1 x 2; x, 0 x t , µ) f x dx , áñï»Õ f x 1 x t , t x 1: 1 t ³)
γï³ñ»Éáí Ù³ë»ñáí ÇÝï»·ñáõÙª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2060-2067). ln 2
2060.
xe
x
dx :
2061.
x sin xdx :
2
2062.
x
cos xdx :
2063.
2064.
2
xarctgxdx :
2065.
e
2x
cos xdx :
2066.
arccos xdx :
e
x ln xdx :
2067.
ln x dx :
1e
γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (20682073).
2068.
xdx : 5 4x
1
2070.
2069.
2071.
:
ln xdx
x 1 ln x : e
3 2
ln 2
2072.
x2 1
e2
x2 dx : 2 x
x
dx
dx
1 ex
:
2073.
dx
1 x
2 32
:
2 2
2074. лï¨Û³É ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñáõÙ ÷á÷á˳ϳÝÇ Ýßí³Í x t ÷á˳ñÇÝáõÙÁ µ»ñáõÙ ¿ ëË³É ³ñ¹ÛáõÝùÇ: ä³ñ½»É å³ï׳éÁ:
³)
dx , x ; 1 x t
µ)
1
1 x dx ,
1
2075. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù
x ctgt t : 4 4
1 x 2 dx ÇÝï»·ñ³ÉáõÙ x sin t ï»Õ³¹ñáõ٠ϳ-
ï³ñ»ÉÇë áñå»ë t -Ç ÷á÷áËÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ í»ñóÝ»É -Ý ¨
-Á:
2076. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í f a; b ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ b
a
f x dx b a f a b a x dx :
2077. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
a
x f x dx
a2
xf x dx f 0; a , a 0:
2078. êïáõ·»É, áñ »Ã» f l ; l ýáõÝÏóÇ³Ý l
³) ½áõÛ· ¿, ³å³
l
f x dx 2 f x dx ;
l l
µ) Ï»Ýï ¿, ³å³
f xdx 0 : l
¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2079-2086). 1
2079.
dx
x
2
2083.
2080.
x 1
2
2081.
:
4
dx
:
x 2 2x 2
2082.
tgxdx :
ln 2
sin x sin 2 x sin 3xdx :
2084.
sh xdx :
2085.
x3
x 1 dx :
e x cos 2 xdx :
2086.
1 x dx :
2087. ú·ï³·áñÍ»Éáí ³¹ÇïÇíáõÃÛ³Ý ¨ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª å³ñ½»É, û Ñ»ï¨Û³É ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ¨ á±ñÁ µ³ó³ë³Ï³Ý. 2
³)
x 2 ln xdx ;
µ)
x 3 2 x dx ;
¹)
2
·)
sin x dx ; x
2
x sin xdx :
2088. îñí³Í »ñÏáõ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ Ù»Í. 2
sin
³) I1
2
xdx , I 2
x dx ;
µ) I1 e x dx , I 2 e x dx ;
2
·) I1 e
x2
cos xdx , I 2 e x cos 2 xdx :
2089. ¸Çóáõù f C 0; : гٳӳÛÝ ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙǪ x
f t dt x f x 0 x x :
x x ¨ lim ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ , »Ã» x x x ³) f t t 0 ; µ) f t e t : ¶ïÝ»É lim
x 0
2090. ¶Ý³Ñ³ï»É Ñ»ï¨Û³É ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ.
³) I
x3 dx ; 1 x
µ) I
e x dx : x 100
ú·ïí»Éáí ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ »ñÏñáñ¹ ûáñ»ÙÇóª ·Ý³Ñ³ï»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2091-2092). 200
2091. I
sin x dx : x 100
b
2092. I e x
a
sin x dx x
гßí»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2093-2099).
2093. ³)
dx ; x2
dx ; 4 x2
µ)
2094. ³)
µ)
ln xdx ;
µ)
e
3 x
dx ;
µ)
2097. ³)
x
1
2096. ³)
x2 1 dx : x4 1
2095. ³)
dx : x
dx
:
1 x2
x2
x
dx :
dx ; x2
µ)
arctgx
1 x dx :
0 a b :
2098. ³)
x ln x
1 x dx ;
µ)
2 2
2099. ³)
µ)
1
2100. êïáõ·»É, áñ
a
dx xp
1 x2
dx :
a 0 ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ÙÇa
³ÛÝ p 1 ¹»åùáõÙ, ÇëÏ
:
arcsin x
x
1 1x e dx ; x2
dx
x
dx xp
a 0
ÇÝï»·ñ³ÉÁª ÙdzÛÝ p 1 ¹»åùáõÙ:
лﳽáï»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2101-2107).
2101. ³)
x 2 dx ; x4 x2 1
2 cos x dx ; x
µ)
2102. ³)
2103. ³)
2104. ³)
2105. ³)
dx ; x x 1x 2
µ)
µ)
µ)
arctgx dx ; x
µ)
dx ; x sin x
µ)
x2 1
:
ln 1 x 2 dx : x tg 1x
1 x
2106. ³)
2 1 cos dx ; x
x
dx
x
dx :
ex dx : 1 cos x ex 1 x3
dx :
ln 1 x 3 dx : e sin x 1
2107.
x
p
dx : xq
2108. ¶ïÝ»É ï³ñ³Ù»ï ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ·É˳íáñ ³ñÅ»ùÁ.
dx ³) v. p. ; x
dx
1 x
µ) v. p.
1
·) v. p.
;
dx ; x ln x
¹) v. p.
1 x dx : 1 x2
´ 2109. îñí³Í ¿ f : a; b R ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É ÇÝï»·ñ»ÉÇáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ Ñ»ï¨Û³É áõŻճóáõÙÁ. »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b ѳïí³ÍÇ P x0 , x1 ,..., xn ïñáÑáõÙ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ n 1
f a; b :
i xi , ³å³ i 0
2110. ²å³óáõó»É ÇÝï»·ñ»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É ѳÛï³ÝÇßÁ. f : a; b R ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b ѳïí³ÍÇ ïñáÑáõÙ, áñÇ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ f -Ç ï³ï³ÝáõÙÁ Ù»Í ¿ -Çó, ÷áùñ ¿ -Çó: 2111. ²å³óáõó»É ¸Ûáõµáõ³-è³ÛÙáÝÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ. áñå»ë½Ç a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ë³Ñٳݳ÷³Ï f ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a; b ѳïí³ÍÇ µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ f -Ç ï³ï³ÝáõÙÁ Ù»Í ¿ -Çó, Ñݳñ³íáñ ÉÇÝÇ Í³ÍÏ»É í»ñç³íáñ Ãíáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñáí, áñáÝó »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÷áùñ ¿ -Çó: 2112. îñí³Í ¿ª f , g a; b : ¸Çóáõù P x0 , x1 ,..., xn -Á a; b ѳïí³ÍÇ ïñáÑáõÙ ¿ ¨ i ,i i i 0,1,..., n 1 : ²å³óáõó»É, áñ b
n 1
lim
P 0
f g x f xg x dx : i
i0
i
i
a
2113. ¸Çóáõùª f a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏódzÝ
f - Çó ï³ñµ»ñíáõÙ ¿ ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñáõÙ, ³å³ f a; b , Áݹ áñáõÙª b
b
f x dx f x dx :
a
a
²å³óáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ(2114-2116).
, »ñµ x 0;1 , f 0 0 : x 1 1 2115. f x , »ñµ x 0;1 , f 0 0 : x x 2116. f x R x (èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿), x a; b : 2117. îñí³Í ¿ª f a; b : ¸Çóáõù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ a; b ba ѳïí³ÍÁ ïñáÑí³Í ¿ xi a i , i 0,1,..., n , Ï»ï»ñáí: ²å³óáõó»É, áñ n f n x sup f t , »ñµ x i , áñï»Õ 0 x0 ; x1 , i xi ; xi 1 , 2114. f x sgn sin
t i
i 1, 2,..., n 1 , ýáõÝÏódzݻñÝ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ »Ý, Áݹ áñáõÙª b
³) lim
n
b
f n x dx
a b
µ) lim
n
f x dx ; a
f x f x dx 0 : n
a
2118. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í f a; b ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï n x n N ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
lim n x f x dx 0 :
n
a
2119. ¸Çóáõùª f a; b ¨ c; d a; b : ²å³óáõó»É, áñ f -Ý ûÅïí³Í ¿ §ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ³ÝÁݹѳïáõÃ۳ݦ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛ³Ùµ. d
lim
h 0
f x h f x dx 0 : c
2120. ¸Çóáõù : ; a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ¨ f C a; b : ²å³óáõó»É, áñ f ; : 2121.
êïáõ·»É,
áñ
f , g a; b , ³å³
»Ã»
min f ; g a; b : 2122. ¸Çóáõù f : a; b R f a; b , Áݹ áñáõÙª ab f 2 ba
max f ; g a; b
ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿: ²å³óáõó»É,
b
f xdx a
¨ áñ
f a f b :
2123. îñí³Í ¿ª f : 1; R ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿ ¨ ·á·³íáñ: ²å³óáõó»É, áñ n
n
f k
k 1
f n f x dx O1
n :
2124. ¸Çóáõù f : 0;1 R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ
f x dx
1 n k 1 f O n k 1 n n
n :
2125. ¸Çóáõùª f C 1 a; b ¨ b
dn
f x dx
a
ba n
n
f a i i 1
ba : n
¶ïÝ»É lim nd n ë³ÑÙ³ÝÁ: n
2126. ¸Çóáõùª
f a; b ¨ ³Ù»Ýáõñ»ùª
b
f x dx 0 , ³å³ a
f x 0 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
f -Ç µáÉáñ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ f x 0 : سë-
ݳíáñ³å»ë, »Ã» f C a; b , ³å³ f x 0 : b
2127. ¸Çóáõùª
f x dx 0 : a
²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c; d a; b
c d ѳïí³Í, áñÇ íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ùª f x 0 : 2128. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ÝáõÛݳµ³ñ ½ñá ã¿, ³å³ ·ád ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c; d a; b ѳïí³Í, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f x dx 0 : c 2129. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í f 0;1 ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñª
f sin xdx f cos xdx ;
³)
µ) xf sin x dx f sin x dx ;
·)
f sin 2 x cos xdx f cos xcos xdx :
2130.
îñí³Í
f a; b
¿ª
¨
ó³Ýϳó³Í
z 0; b a
Ï»ïáõÙ
f a z f b z : êïáõ·»É, áñ b
b
f x dx :
ab xf x dx a
a
2131. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý 0; T ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ¨ áõÝÇ T å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñª a T
T
f x dx
a
f x dx :
2132. ¸Çóáõù` f C R ¨ ó³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñª a T
T
f x dx f x dx T 0 : a
²å³óáõó»É, áñ f -Á T -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿: 2133. îñí³Í ¿ª f C l; l ¨ ó³Ýϳó³Í 0 a l ÃíÇ Ñ³Ù³ñ a
a
f x dx 2 f x dx :
a
²å³óáõó»É, áñ f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿: 2134. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ x
x
F x sin tdt ¨ G x cos n tdt
n
ýáõÝÏódzݻñÁ, »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿, 2 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý. ÇëÏ »ñµ n -Á ½áõÛ· ¿, ³å³ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ Ù»Ï³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ¨ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñ:
2135. ¸Çóáõù f C R ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ T å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»É, áñ
F x
x
f t dt x0
ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏ-
ódzÛÇ ¨ T -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ·áõÙ³ñ: 2136. îñí³Í ¿ª f -Á ó³Ýϳó³Í 0; a ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ¨
lim f x A : ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
x
³) lim
n
f nx dx ;
x x
µ) lim
x
f t dt :
¶ïÝ»É ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÁ (2137-2140). òáõóáõÙ: ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ³é³ÝÓݳóÝ»É µ³ñÓñ ϳñ·Ç ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÁ ¨ ·Ý³Ñ³ï»Éáí ¹ñ³Ýùª ¹»Ý Ý»ï»É:
2137. lim 1 n
2138. lim sin n
1 2 2 n 1 n 1 sin 2 1 sin 2 1 sin : n n n n n n2
n : n k 1 2 cos k n
n
nx k nx k 1 2139. lim
k 1
n2
n
x 0 :
n 2 1n 2n 2 n 2140. lim : n n 1 n 12 n 1n
2141. ²å³óáõó»É ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ x 0 . ³)
x2
tgx
sin x
tgt dt ~
sin t dt ;
µ)
ln tdt ~ x
xx
x2x
dt : t
2142. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝDZ ³ñ¹Ûáù f 0;1 áã µ³ó³ë³Ï³Ý ýáõÝÏódz, áñÁ áñ¨¿ R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
f x dx 1 , xf x dx
¨
x f x dx
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:
2143. ¸Çóáõù f -Á 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹ñ³Ï³Ý ¨ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿: ²å³óáõó»É, áñ
x
x
uf u du x
f u du
ýáõÝÏóÇ³Ý 0; -áõÙ ³×áÕ ¿: 2144. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
1
³) sin x dx
0 ;
µ)
sin x
1 x
dx
cos x 1 x2
dx :
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2145-2150).
2145.
1 x 1 x e x dx : x
2146.
e 2n
2148.
2149.
1 cos ln dx x
n N :
sin xdx
1 2 cos x 2
2147.
sin 2 xdx 1 2 cos x 2
const :
const : 100
x sin x dx : 1 cos 2 x
2150.
1 cos 2 x dx :
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2151-2152).
2151.
1 r2 dx 2 sgn 1 r 1 2r cos x r 2
r R :
2152.
a sin
dx
x b 2 cos 2 x
a 2 b2 4 a 3b 3
a, b 0 :
n N , n 2
2153. I n sin n xdx
ÇÝï»·ñ³ÉÇ
ѳٳñ
³å³óáõó»É
In
n 1 I n 2 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Á: n
2154. гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
³)
sin 5 xdx ;
µ)
sin 7 xdx ;
·)
cos
xdx :
2155. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
n 1 !! , »ñµ n - Á ½áõÛ· ¿, sin n xdx cos n xdx n !! n 1 !! , »ñµ n - Á Ï»Ýï ¿ : n !!
2156. ²å³óáõó»É ì³ÉÇëÇ µ³Ý³Ó¨Á.
1 2n !! lim : n 2 n 1 2 n 1 !! 2157. ²å³óáõó»É »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ѳٳϳñ·Ç ûñÃá·áݳÉáõÃÛáõÝÁ ; ѳïí³ÍáõÙ.
cos mx cos nxdx
cos mx sin kxdx
sin mx sin nxdx 0
m, n, k Z ,
m n :
2158. ²å³óáõó»É ȻųݹñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç (ï»ë ËݹÇñ 1179) ûñÃá·áݳÉáõÃÛáõÝÁ 1;1 ѳïí³ÍáõÙ.
0, »ñµ m n; Pm x Pn x dx 2 , »ñµ m n : 2n 1 1
2159. I n
n
arccos x dx ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É
I n n 2
n 1
nn 1I n 2
n 1
³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Á: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2160-2163). a
2n !! ; 2n 1!! a 2 n1 2n 1!! a 0 : µ) a 2 x 2 2 dx a 2 n 2n !! 2
2160. ³)
a
n
x 2 dx a 2 n 1
2
2161. ³)
cos
n
x cosn 2xdx 0 ;
2
µ)
x sin n 2 xdx
n
x cos n 2 xdx
n
x sin n 2xdx
2
·)
sin 2
¹)
sin 2
2162. ³)
cos n x sin nxdx
2
µ)
; n 1
n
cos
cos
n
x cos nxdx
n 1
n ; sin n 1
n cos : n 1 n
2k
k
;
k 1
: 2 n 1
2
2163.
sin sin x nx dx 0 n Z :
²ëïÇ׳ÝÇ Çç»óÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2164-2167). n
2164. I n , m x m 1 x dx
m, n Z :
2165. I n , m x m ln n xdx
m, n N :
4
2166. I n
tg
2n
n N :
xdx
2 n 1
4
2167. I n
sin x cos x sin x cos x
dx
n N :
2168. ¸Çóáõù` u , v C n 1 a; b : ²å³óáõó»É Ù³ë»ñáí ÇÝï»·ñÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Ç Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. b
u x v n 1 x dx
n
b
b
1k u k x vn k x a 1n u n 1 x vx dx : k 0
a
a
2169. ¸Çóáõù` f C a; b ¨ x0 , x a; b : ²å³óáõó»É »ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Áª Ùݳóáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ï»ëùáí. n 1
n
f x
k 0
x
f k x0 x x0 k 1 x t n f n 1 t dt : k! n! x
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÁݹѳÝñ³óí³Í ݳËݳϳÝÁ (2170-2173).
xxdx : 2173. 1 dx :
sgnsin x dx : 2172. x x dx : 2170.
2171.
x
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (2174-2177). n 1
2174.
e dx : x
2175.
2176.
lnxdx n N :
x sgncos x dx :
2177.
x
xsin 6 dx :
²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2178-2183). x
2
sin x dx 0 :
2178.
2179.
2180.
2 x dx 1
2
2182.
e
2
R sin
:
d
cos u du 0 x : u 2
2181.
1 e R 2R
R 0 :
e sin d
3 :
b
2183.
e
x2
dx
a
1 a2 e 2a
0 a b :
2184. ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ ÁݹѳÝñ³óí³Í ûáñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ×ß·ÁñïáõÙÁ. »Ã» f C a; b , g a; b ¨ g x 0 a x b , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
b
f x g x dx f g x dx :
a
a
2185. îñí³Í ¿ª f C a; b , g C 1 a; b ¨ g -Ý a; b -áõÙ ãÝí³½áÕ ¿: ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇó ¨ Ï³ï³ñ»Éáí Ù³ë»ñáí ÇÝï»·ñáõÙª ³å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ »ñÏñáñ¹ ûáñ»ÙÁ:
²ëïÇ׳ÝÇ Çç»óÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ѳßí»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ (21862190).
2186. I n
n x
x e
2187. I n
dx :
dx : x x 1 x n
2188. I n
dx
ax 2bx c
2189. I n
n
0 :
x n dx 1 x
ac b
2190. I n
:
dx
ch
n 1
x
:
2191. гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ. 2
³)
2
ln sin xdx ;
µ)
·)
ln cos xdx ;
xctgxdx ;
¹)
ln xdx 1 x2
:
2192. ²å³óáõó»É, áñ
³)
b f ax dx x a
f
x 2 4ab dx
a, b 0 ;
f x dx
µ)
1 f x dx , x
»Ýó¹ñ»Éáí, áñ Ó³Ë ÏáÕÙáõÙ ·ñí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý: лﳽáï»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2193-2204)
2193.
2
1 x
:
2194.
p
dx : x cos q x
2196.
p
ln q
dx : x
2198.
x
e
2201.
x
p
p
x
2
2199.
dx :
q
x 1 dx :
x
2197.
ln x
1 x
sin
2195.
x n dx
dx : r ln xln ln x q
2200.
p
dx : ln q x
ln sin x dx : x
ln 1 x dx : xp
2202. ³)
cos x dx ; x
x sin ax dx ; b2 x2
µ)
2203. ³)
µ)
2204. ³)
e
sin x
sin 2 x dx ; x
µ)
sin 2 x dx : x sin x 1x x
ln x
dx :
sin x dx : x
2205. ²å³óáõó»É, áñ
sin x dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 1 x
¹»åùáõÙ, å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï` 0 1 ¹»åùáõÙ:
лﳽáï»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ¨ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2206-2210).
2206.
2208.
2207.
sin x dx :
sin x n dx :
x p sin x dx , q 0 : 1 xq
2210.
cos x dx : x
2209.
sin x q dx : xp
2211. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã»
f xdx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ a
³) f x 0 »ñµ x ; µ) f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ -Ç ßñç³Ï³ÛùáõÙ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 2212. ¸Çóáõù` f C 1 a; , f x M
x a ¨
f x dx -Á ½áõ·³Ù»ï
a
¿: ²å³óáõó»É, áñ f x 0 , »ñµ x : 2213. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á a; -áõÙ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨
f xdx -Á ½áõ·³Ù»ï a
1 x
¿, ³å³ f x o , »ñµ x : 2214. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù f : a; b R ýáõÝÏódzÛÇ ½áõ·³Ù»ï ³ÝÇëÏ³Ï³Ý b
ÇÝï»·ñ³ÉÁª
f x dx -Á, ë³ÑÙ³Ý»É áñå»ë ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ ë³Ña
Ù³Ý: 2215. ¸Çóáõù f -Á 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÙáÝáïáÝ ¨ ½ñáÛÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³Ýë³Ñ1
ٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n n lim
n
k
f x dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
f n f x dx : k 1
n
ú·ïí»Éáí ³Ûë ÷³ëïÇóª ѳßí»É lim
n
n! -Á: n
2216. îñí³Í ¿ª f C 1; : ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
xf x dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿,
³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨
f x dx -Á:
2217. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, T
f x dx 0 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» g -Ý a; -áõÙ lim g x 0 , ³å³ f x g x dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿:
áõÝÇ T å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¨
ÙáÝáïáÝ ¿ ¨
x
a
2218. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ a; ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
a
f 2 x dx ¨
·ñ³ÉÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨
a
g 2 x dx ÇÝï»-
f x g x dx a
ÇÝï»·ñ³ÉÁ,
Áݹ áñáõÙª
2 f x g x dx f x dx g x dx : a a a
¶ 2219. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, ³å³ f a; b : 2220. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏódzÛÇ Ë½áõÙÝ»ñÁ ³é³çÇÝ ë»éÇ »Ý, ³å³ f a; b : 2221. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ïñí³Í ѳïí³Íáõ٠ݳËÝ³Ï³Ý áõÝ»óáÕ ó³Ýϳó³Í ýáõÝÏódz ³Û¹ ѳïí³ÍáõÙ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 2222. γéáõó»É f 0;1 ¨ : 0;1 0;1 ýáõÝÏódzݻñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
-Ý ËÇëï ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, 0 0 , 1 1 , ë³Ï³ÛÝ
f x dx f t t dt
³ÛÝ å³ï׳éáí, áñ ³ç ÏáÕÙáõÙ ÇÝï»·ñ³ÉÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ:
2223. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í p 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f í³ÍáõÙ ÝáõÛÝå»ë ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ¨ ·ïÝ»É
p
x
ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳï-
p
xi1 f t dt lim p 1 P 0 i 0 xi xi ë³ÑÙ³ÝÁ, áñï»Õ P x0 ; x1 ;...; xn -Ý a; b -Ç ïñáÑáõÙ ¿: 2224. ¸Çóáõù f C a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ ¨ ¹ñ³Ï³Ý: ²å³óáõó»É, áñ n 1
f b
b
f x dx f y dy bf b af a : 1
a
f a
2225. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f 0;1 , ³å³ ó³Ýϳó³Í 0;1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ n 1
lim
n
k n
k 0
f x dx f x dx :
k n
2226. ¸Çóáõù f : 0;1 R ýáõÝÏóÇ³Ý ã³×áÕ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í
0;1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
f x dx
f x dx :
f : 0; a R ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿, ³å³
2227. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
x
x
f t dt ýáõÝÏóÇ³Ý 0; a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãÝí³½áÕ ¿:
x x
2228. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿ ¨ lim
x
f t dt A : ²å³0
óáõó»É, áñ lim f x A : x
2229. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í x a; b ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
xa
x
a
f t dt ba
b
a
f t dt bx
b
f t dt : x
2230. ¸Çóáõù f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ áñáßí³Í »Ý 0;1 ѳïí³ÍáõÙ, Áݹ áñáõÙª f -Á ãÝí³½áÕ ¿, ÇëÏ g -ݪ ã³×áÕ: ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
f x g xdx f x dx g x dx :
2231. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 0;1 ѳïí³ÍáõÙ áñáßí³Í f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ »ñÏáõëÝ ¿É ãÝí³½áÕ »Ý ϳ٪ »ñÏáõëÝ ¿É ã³×áÕ, ³å³
f x g x dx
f x dx g x dx :
2232. ¸Çóáõùª f C 1 0;1 ¨ f 1 f 0 1 : ²å³óáõó»É, áñ
f x dx 1 :
2233. ¸Çóáõùª f C 1 0;1 ¨ f 1 0 : ²å³óáõó»É, áñ
f x
1 dx 3 f x dx : 0
2234. îñí³Í ¿ª f C 1 a; b ¨ f a f b 0 : ²å³óáõó»É, áñ
max f x
a x b
b a 2
b
f x dx : a
2235. ¸Çóáõù f -Á 0;1 ѳïí³ÍáõÙ Ýí³½áÕ ¨ ¹ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿: ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
xf 2 x dx
xf xdx
f x dx
:
f x dx
2236. ¸Çóáõù f C 0;1 ýáõÝÏóÇ³Ý ·á·³íáñ ¿, ¹ñ³Ï³Ý ¨ f 0 1 : ²å³óáõó»É, áñ
2 xf x dx f x dx : 3 0
2237. îñí³Í ¿ª f a; b ¨ inf f x 0 : ²å³óáõó»É a; b ѳïí³ÍáõÙ xa ;b f ýáõÝÏódzÛÇ §ÙÇçÇÝ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý¦ ¨ §ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý¦ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
b 1 b exp ln f x dx f x dx expu eu : b a b a a a 2238. ¸Çóáõù f C R ýáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿ ¨ 1 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a R ÃíÇ Ñ³Ù³ñª
f x
f x a dx 1 :
2239. ¸Çóáõùª f , g a; b : ú·ïí»Éáí ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÐÛáɹ»ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»ë ËݹÇñ 1499)ª ³å³óáõó»É ÐÛáɹ»ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ.
b
b p b q p q f x g x dx f x dx g x dx , a a a 1 1 áñï»Õ p, q 1 ¨ 1: p q 2240. ¸Çóáõùª f , g a; b ¨ p 1 : ú·ïí»Éáí ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ØÇÝÏáí-
ëÏáõ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»ë ËݹÇñ 1500)ª ³å³óáõó»É ØÇÝÏáíëÏáõ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ.
b p b p b p f x g x p dx f x p dx g x p dx : a a a òáõÛó ï³É, áñ 0 p 1 ¹»åùáõÙ ·ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÷á˳-
ñÇÝíáõÙ ¿ ѳϳ¹Çñ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ùµ: 2241. ¸Çóáõùª f , g C a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í x a; b Ï»ïáõÙ x
f t g t dt , ³å³ f x 0 : 2242. ¸Çóáõùª f C a; b ¨ f x dx 0 : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f x dx f : f x
a
b
a
a
2243. îñí³Í ¿ª f C 0;1 ¨ f 0 0 : ¸Çóáõù x ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³1
x f t dt xf x ¨ 0 x x å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¶ïÝ»É lim x -Á: x
ñáõÙ ¿
x 0
2244. îñí³Í ¿ª f C a; b : ²å³óáõó»É, áñ
b p p lim f x dx max f x : p a x b a 2245. ¸Çóáõù` f C 0;1 ¨ ³Ù»Ýáõñ»ùª f x 0 : Ü߳ݳϻÝùª
F
f x dx :
ln F гßí»É lim -Ý: 0 2246. ¸Çóáõù` f , g C 0;1 ¨ ³Ù»Ýáõñ»ùª g x 0 : ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
x f x dx n
³)
lim 0 n 1
n
1 µ) lim n g x dx : n 0
;
x g x dx n
2247. : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ïïáñ ³é Ïïáñ ѳëï³ïáõÝ Ï³Ù
³ëïÇ׳ݳӨ ýáõÝÏódz, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
a; b
ѳïí³ÍÇ ³ÛÝåÇëÇ
P x0 ; x1;...; xn ïñáÑáõÙ, áñ xi ; xi 1 ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ -Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: ¸Çóáõùª f a; b : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b -áõÙ Ïïáñ ³é Ïïáñ ѳëï³ïáõÝ ¨ ýáõÝÏódzݻñÇ ½áõÛ·, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ x f x x x a; b ¨ b
b
x dx x dx : a
a
2248. îñí³Í ¿ª f a; b : ²å³óáõó»É, áñ b
³) lim
n
f x sin nxdx 0 ;
a b
µ) lim
n
a
f x sin nx dx
b
f x dx : a
2249. ¸Çóáõù` f 0;1 , ÇëÏ g C R ýáõÝÏóÇ³Ý T -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿: ²å³óáõó»É, áñ
lim
T
f x g x dx g x dx f x dx : T 0
2250. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f a; b ¨ x0 a; b Ï»ïáõÙ f -Ý áõÝÇ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½áõÙ, ³å³ F x
x
f t dt a
ýáõÝÏóÇ³Ý x0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿:
òáõÛó ï³É, áñ x0 -áõÙ F -Ý áõÝÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ³Í³ÝóÛ³É (ï»ë ËݹÇñ 1573) ¨
f x0 0 f x0 0 : 2251. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b ¨ ó³Ýϳó³Í x a; b Ï»ïáõÙ Fs x0
lim 2 h0 h
h
f x t f x dt 0 ,
³å³ f -Á ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódz ¿: 2252. ¸Çóáõù f C a; b ¨ ó³Ýϳó³Í ; a; b ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ
f x dx M
1
,
áñï»Õ M -Á ¨ -Ý ¹ñ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ f x 0 :
n N ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ 0;1 ѳïí³ÍÇó »Ý: îñí³Í ; 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝù vn , -áí xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ÁÝÏ³Í »Ý ; -Ç 2253. ¸Çóáõù xn
Ù»ç ¨ áñáÝó ѳٳñÝ»ñÁ ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ n -Á: γë»Ýù, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0;1 ѳïí³Íáõ٠ѳí³ë³ñ³-
; 0;1
ã³÷ ¿ µ³ßËí³Í, »Ã» ó³Ýϳó³Í
v , lim n :
n
n
ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ
²å³óáõó»É, áñ xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
0;1 -áõÙ
ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¿ µ³ßËí³Í ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í f 0;1 ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ
lim
n
f x1 f x2 f xn n
f x dx :
2254. ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ. lim
n 0
cos x n dx :
2255. гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
³)
dx ; x e 1 x2 1
1
µ)
ln x
1 x
2 2
·)
dx x 1 x2 1
dx ;
¹)
0 ;
sin 2 x dx : 2 x2
2256. ò³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
³)
sin n d ; sin
µ)
sin n d : sin
2257. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ P x ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ
e Px dx P0 P0 P 0 : x
n
2258. ¸Çóáõù P x -Á n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿:
²å³óáõó»É, áñ »Ã»
x P x dx 0 k 1,2,..., n , ³å³ k
1 P x dx n 1 P x dx : 0 2259. ¸Çóáõù f C 1; ýáõÝÏóÇ³Ý T -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿: ÀÝïñ»É å³ñ³-
2
Ù»ïñÇ ³ñÅ»ùÝ ³ÛÝå»ë, áñ
f x dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï:
2260. îñí³Í ¿ª f C 0; , f x 0
x 0
¨
²å³óáõó»É, áñ
a a 2 lim
a
f x dx :
dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿: f x
2261. ¸Çóáõù f C 1 0; ¨ ³Ù»Ýáõñ»ùª f x 0 : ²å³óáõó»É, áñ
1 f 2 x dx : f x
2262. ¸Çóáõù f C 1 0; ¨ ³Ù»Ýáõñ»ùª f x 0 , f x 0 : ²å³óáõó»É, áñ
»Ã»
dx (½áõ·³Ù»ï ¿), ³å³ f x f x
dx : f x
2263. îñí³Í ¿ª f : 0; a R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿, ÇëÏ
a
x p f x dx -Áª ½áõ-
·³Ù»ï: ²å³óáõó»É, áñ lim x p 1 f x 0 : x 0
2264. ¸Çóáõùª f C R ,
x
f 2 x dx ¨ g x f x 2e x e z f z dz :
²å³óáõó»É, áñ
g 2 x dx
f x dx :
¶ÉáõË 9
ÆÝï»·ñ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ
ê » Õ ³ Ý ³ Ï » ñ å Ç Ù ³ Ï » ñ » ë Á : ¸Çóáõùª f a; b ¨ f x 0 : ¸»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³
a x b, 0 y f x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí áñáßíáÕ å³ïÏ»ñÇ (ë»Õ³Ý³Ï»ñåÇ) S ٳϻñ»ëÁ áñáßíáõÙ ¿ b
S f x dx a
µ³Ý³Ó¨áí: ºÃ» y f x ýáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ x t , y t
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí, C ; , t 0 , a , ³å³
t å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý b , C ; ¨ t 0 ,
S t t dt :
ê » Ï ï á ñ Ç Ù ³ Ï » ñ » ë Á : ´¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ r r
0 , 0 0 2
³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏáí ¨ 0 , ׳鳷³ÛÃ-
Ý»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ (ë»ÏïáñÇ) ٳϻñ»ëÁ áñáßíáõÙ ¿
S
r d
0
µ³Ý³Ó¨áí: Î á ñ Ç » ñ Ï ³ ñ áõ Ã Û áõ Ý Á : ¸Çóáõù ï³ñ³Í³Ï³Ý L ÏáñÁ ïñí³Í ¿ x t ,
y t , z t t å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí: ºÃ» , , C1 ; , ³å³ L ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿
l
2 t 2 t 2 t dt
µ³Ý³Ó¨áí: гñà ÏáñÇ ¹»åùáõÙ t 0 ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý µ³Ý³Ó¨Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿
l 2 t 2 t dt
ï»ëùÁ: سëݳíáñ³å»ë, f C a; b ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝÇ
b
l 1 f 2 t dt a
»ñϳñáõÃÛáõÝ: ºÃ» L ѳñà ÏáñÁ µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñí³Í ¿ r r
0 ѳí³ë³ñáõÙáí, áñï»Õ r ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³
l
r 2 r 2 d :
0
ä ï ï Ù ³ Ý Ù ³ ñ Ù Ý Ç Í ³ í ³ É Á : îñí³Í f C a; b ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏáí ¨
x a , x b , y 0 áõÕÇÕÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÝ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ V ͳí³ÉÁ áñáßíáõÙ ¿ b
V f 2 x dx a
µ³Ý³Ó¨áí:
ä ï ï Ù ³ Ý Ù ³ Ï » ñ ¨ áõ Û Ã Ç Ù ³ Ï » ñ » ë Á : îñí³Í f C a; b ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ S ٳϻñ»ëÁ áñáßíáõÙ ¿ b
S 2 f x 1 f 2 x dx a
µ³Ý³Ó¨áí: Æ Ý ï » · ñ ³ É Ç Ï Ç ñ ³ é áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ Á Ù » Ë ³ Ý Ç Ï ³ Û áõ Ù : ¸Çóáõù x t ,
y t , t0 t T , l »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÏáñÇ »ñϳÛÝùáí µ³ßËí³Í ¿ 1 ѳëï³ïáõÝ ËïáõÃÛ³Ùµ ½³Ý·í³Í: лï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñáí ѳßíáõÙ »Ý. ÏáñÇ ëï³ïÇÏ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ Ox ¨ Oy ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ýϳïٳٵª T
T
M x t 2 t 2 t dt ,
M y t 2 t 2 t dt ,
t0
t0
ͳÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
My
Mx , l ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ Ox ¨ Oy ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ýϳïٳٵª
xc
l
,
yc
T
T
I x 2 t 2 t 2 t dt ,
t0
I y 2 t 2 t 2 t dt :
t0
¸Çóáõù P å³ïÏ»ñÁ ïñí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáíª a x b , f1 x y f 2 x ,
áñï»Õ f1 , f 2 C a; b : ºÃ» P -Ç íñ³ µ³ßËí³Í ¿ 1 ѳëï³ïáõÝ ËïáõÃÛ³Ùµ ½³Ý·í³Í, ³å³ å³ïÏ»ñÇ m ½³Ý·í³ÍÁ, M x ¨ M y ëï³ïÇÏ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ, ͳÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ xc ¨
y c Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÇÝ»ñódzÛÇ I x ¨ I y ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ ѳßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñáí. b
m f 2 x f1 x dx : a b
Mx
b
f 22 x f12 x dx , M y x f 2 x f1 x dx : 2 a
a
My
Mx xc , yc : m m b
Ix
b
f 23 x f13 x dx , I y x 2 f 2 x f1 x dx : 3 a
a
² ²Ûë ·ÉËÇ ËݹÇñÝ»ñáõ٠ѳݹÇåáÕ å³ñ³Ù»ïñ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý:
гßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ë»Õ³Ý³Ï»ñåÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2265-2268). 2265. y sin x , y 0 , x 0 , x : 2266. y e x , y 0 , x 0 , x a : 2267. y xe x , y 0 , x 1 : 2268. y log a x , y 0 , x
, x a a 1 : a
гßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (22692282). 2269. y x 2 , x y 2 :
2270. y x
2271. y sin 2 x , y x sin x
0 x :
2272. y ln 1 x , y xe
, x 1:
x
3 x
2273. y sin 3 x cos 3 x , y 0
2274. y x e x , x a , y 0 :
2276. x 2 y 2 2 , y 2 2 x 1 x
, y cos x , x 0 :
:
2275. x y 2 y 1 , x 0 :
1 : 2
2277. y x 1 , x sin y , y 0
0 y 1 :
, y x x 1 : x 2279. y arcsin x , y arccos x , y 0 : 2278. y x , y
2280. y 3x 2 , y 4 x 2 : 2281. y x 2 , y x 2 x 1 , y
x
y x :
x2 y 2 1: a 2 b2 2283. ¸Çóáõù` y x x 2 x ¨ y x 0 , »ñµ x1 x x2 : ²å³óáõó»É, áñ 0 y y x , x1 x x2 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí áñáßíáÕ å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»2282.
ñ»ëÁ ѳßííáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí (êÇÙåëáÝÇ µ³Ý³Ó¨).
S
x2 x1 yx1 yx2 4 y x1 x2 : 2
гßí»É ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2284-2290).
2285. y e x , 0 x ln 7 :
2284. y x 2 , 0 x 4 :
x 2 ln x , 1 x 3 : 2288. y ln x 2 1 , 2 x 5 : 2286. y
2290. y 1 x 2 arcsin x , 0 x
2 x : 2289. y arcsin e x , ln 7 x ln 2 : 2287. y ln sin x ,
:
гßí»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2291-2298). 2291. x 6 3t 2 , y 4t 3
x 0 :
2292. x a cos t , y a sin 3 t , 0 t 2 (³ëïÕ³Ó¨ ·ÇÍ): 2293. x a t sin t , y a1 cos t , 0 t 2 (óÇÏÉáǹ): 2294. x 2a sin 2 t , y 2a cos t :
2295. x 6at 5 , y 5at 1 t 8 , A0;0 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B6a;0 Ï»ïÁ: 2296. x ae bt cos t , y ae bt sin t , 0 t : 2297. x a cos t t sin t , y asin t t cos t , 0 t T :
2298. x ch 3t , y sh3t , 0 t T : гßí»É ï³ñ³Í³Ï³Ý ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2299-2304). 2299. x 2a cos t , y 2a sin t , z at , 0 t 2 : 2300. x et , y e t , z 2t , 0 t T :
2 3 1 2 t t , y t3 t 2 , z t 3 t 2 , 0 t 1: t t 2302. x e cos t sin t , y e cos t sin t , z e t , 0 t 2 : 2303. x acht , y bsht , z at , 0 t T : 2304. x cos 3 t , y sin 3 t , z cos 2t , 0 t : 2301. x
гßí»É µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñí³Í ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2305-2309). 2305. r a , 0 2 (²ñùÇÙ»¹Ç ·³É³ñ³·ÇÍ): 2306. r 2 , 0 : 2307. r a sin (ßñç³Ý³·ÇÍ): 2308. r a1 cos (ëñï³Ó¨ ·ÇÍ): 2309. r cos 3
, 0 :
2310. гßí»É ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ, »Ã» Ýñ³ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÝ r ¿, ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª h : 2311. гßí»É ѳï³Í ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ, »Ã» Ýñ³ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý R ¨ r , ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª h : 2312. гßí»É R ß³é³íÕáí ·Ý¹Ç Í³í³ÉÁ: гßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÁ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (2313-2320).
2313. y x 3 , y 0 , x 1
x 0 :
2315. y sin x , y cos x , y 0 0 x 2316. y 2 2 x , y 2 , x 0 : 2317. y sin 2 x , y x sin x
2314. y sin 2 x , y 0 0 x
0 x :
: 2
: 2
2318. y e x , y x 1 , x 3 :
2320.
2319. y e x , y 0
0 x :
x y 2 1: a b
гßí»É ïñí³Í ÏáñÝ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2321-2324). 2321. y
2 x 6 :
x
2323. y sin x
0 x :
2322. y e x 2324. y
x
0 x 1 : 1 x 2 :
гßí»É ïñí³Í ÏáñÝ Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2325-2328). 2325. y
x2
2327. x chy
0 x 4 : ln 2 y ln 3 :
y 0 : 1 2328. 4 x 2 ln y y e ye : 2326. 3 x 4 cos y
´ 2329. гßí»É y x 2 2 x 3 å³ñ³µáÉáí, 3;6 Ï»ïáí Ýñ³Ý ï³ñí³Í ßáß³÷áÕáí ¨ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ³é³ÝóùÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ: 2330. гßí»É
a b 3 x2 y 2 ; Ï»ïáí Ýñ³Ý ï³ñí³Í ßáß³ ¿ÉÇåëáí, 2 2 a 2 b2
÷áÕáí ¨ y 0 áõÕÇÕáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ïáñ³·ÇÍ »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2331. гßí»É ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³Ýóùáí, y x 1 1 Ïáñáí ¨ Ýñ³Ý 10 x 2 y 5 0 áõÕÇÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é ï³ñí³Í ßáß³÷áÕáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ: 2332. гßí»É ïñí³Í å³ñ³µáÉáí ¨ Ýßí³Í ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáõÙ å³ñ³µáÉÇ ßáß³÷áÕÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ. ³) y x 2 4 x 9 , x1 3 , x2 0 ; µ) y 4 x x 2 1 , x1 0 , x2 3 : 2333. ¶ïÝ»É k -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ
y kx b áõÕÇÕáí ¨
y x px q å³ñ³µáÉáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ë b q :
2334. ¶ïÝ»É y 2 2 px å³ñ³µáÉÇ íñ³ Ï»ï, áñáõÙ å³ñ³µáÉÇÝ ï³ñí³Í ÝáñÙ³ÉÁ å³ñáõݳÏáÕ áõÕÇÕáí ¨ å³ñ³µáÉáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ë: гßí»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2335-2340). 2335. x a cos t , y b sin t :
2336. y a cos 3 t , x a sin 3 t :
2337. x a sin t , y a sin 2t :
2338. x 2t t 2 , y 2t 2 t 3 :
2339. x a t sin t , y a1 cos t 2340.
0 t 2 , y 0 : x a cos t t sin t , y asin t t cos t 0 t 2 ¨
xa, y0
׳鳷³ÛÃáí: гßí»É µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2341-2345).
a , , : 2 k 2342. r Le , 0 , 2 k 0 : 2341. r
P 1 cos
2343. r a1 cos :
2344. r
0 1 :
2345. ³) r 2 2 1 ;
µ) rarctgr , 0 ,
:
²ÝóÝ»Éáí å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñǪ ·ïÝ»É ïñí³Í Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2346-2349).
2347. x y axy :
2346. x 3 y 3 axy :
2348. x 4 y 4 ax 2 y : 2349. x 2 3 y 2 a 2 : ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ѳßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2350-2353).
2350. x 4 y 4 ax 2 :
2351. x 2 y 2
ax 4 y :
2352. x 6 y 6 a x 4 y 4 :
2353. x 2 y
2 2
a x2 y 2 , x2 y 2
2axy :
2354. ¸Çóáõù` f C a; b : ²å³óáõó»É, áñ
x f t cos t f t sin t , y f t cos t f t sin t , a t1 t t2 b ÏáñÇ L »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳßííáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áíª
t2
L
f t f t dt :
t1
ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇó` ·ïÝ»É ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2355-2356).
0 t : 2356. x a 2 cos 2t cos t sin 2t sin t , y asin 2t cos t 2 cos 2t sin t 0 t : 2357. ¸Çóáõù` f , g C 2 a; b : ²å³óáõó»É, áñ x f t g t , y f t g t , a t b 2355. x t 2 2 sin t 2t cos t , y t 2 2 cos t 2t sin t
¨
x f t sin t g t cos t , y f t cos t g t sin t , a t b Ïáñ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý: гßí»É ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2358-2361). x
2358. y
x
t 4 1dt , 1 x 2 :
2359. y
r
2360. r
0 r R :
2361.
cos 2t dt , 0 x
:
sh d 0 r R :
²ÝóÝ»Éáí å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñǪ ѳßí»É ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (2362-2364).
2362. y arcsin x 1 x 2 :
2363.
x y a:
x 3 y 1: a b 2365. ¸Çóáõù` f C a; b a 0 ¨ f x 0 : ²å³óáõó»É, áñ a x b ¨ 0 y f x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí áñáßíáÕ å³ïÏ»ñÝ Oy ³é³ÝóùÇ 2364.
ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ ѳßííáõÙ ¿ b
V 2 xf x dx
a
µ³Ý³Ó¨áí:
гßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÁ Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (2366-2370).
x 3 2366. y 3 , y 0 , x 2 x 0 : 2 2367. y cos x 2 , y 1 , x 1 0 x 1 : 2368. y 2 4 x , y x :
2369. y
a3 a , y : a x
2370. y e x 6 , y e 2 x , x 0 : гßí»É Ñ»ï¨Û³É ÏáñÁ Ýßí³Í áõÕÇÕÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (2371-2373). 2371. x a cos 3 t , y a sin 3 t ³) Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ; µ) x a áõÕÇÕÇ ßáõñçÁ: 2372. x a sin t , y a sin 2t ³) Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ; µ) Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ; ·) x a áõÕÇÕÇ ßáõñçÁ; ¹) y a áõÕÇÕÇ ßáõñçÁ: 2373. x a t sin t , y a1 cos t 0 t 2 , y 0 ³) Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ; µ) Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ; ·) y 2a áõÕÇÕÇ ßáõñçÁ: 2374. ¸Çóáõù r r -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ; -Ç íñ³ ( 0 , r -Á ¨ -Ý µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý): ²å³óáõó»É, áñ ¨
0 r r ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí áñáßíáÕ ë»ÏïáñÁ µ¨»é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ ѳßííáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó»íáíª
2 3 V r sin d : 3
гßí»É µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí ïñí³Í ÏáñÁ µ¨»é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (2375-2376). 2375. r a1 cos 0 2 : 2376. r a 0 : 2377. ¸Çóáõù ÏáñÁ ïñí³Í ¿ x t , y t , t ; , å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí, áñï»Õ , C 1 ; ¨ t 0 : ²å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ÏáñÁ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳßííáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áíª
S 2 t 2 t 2 t dt :
гßí»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í ÏáñÁ ³) Ox , µ) Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (23782380). 2378. x a t sin t , y a1 cos t
0 t 2 :
2379. x a3 cos t cos 3t , y a3 sin t sin 3t 0 t 2380. x 2 sin t , y
sin 2t
: 2
0 t :
2381. ²å³óáõó»É, áñ µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí ïñí³Í r r
0
ÏáñÁ µ¨»é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ»íáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳßííáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áíª
S 2 r r 2 r 2 sin d :
гßí»É µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí ïñí³Í ÏáñÁ µ¨»é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (2382-2384). 2382. r a1 cos : 2383. r 2a sin : 2384. r a b cos a b : 2385. ¶ïÝ»É r 2 a 2 cos 2 ÏáñÁ Ýßí³Í ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ. ³) µ¨»é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ; µ)
³é³ÝóùÇ; ·)
³é³ÝóùÇ: 2386-2399 ËݹÇñÝ»ñáõÙ ÁݹáõÝ»É 1 :
¶ïÝ»É ÏáñÇ M x ¨ M y ëï³ïÇÏ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ (2386-2389). 2386.
x y 1 x 0, y 0 : a b
2389. x a t sin t , y a1 cos t
2387.
x2 y 2 1 a 2 b2
y 0, a b :
: 2 0 t 2 :
2388. x a sin 3 t , y a cos 3 t 0 t
¶ïÝ»É ÏáñÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (2390-2391).
x 0, y 0 : x a t sin t , y a1 cos t 0 t 2 :
2390. x 3 y 3 a 3 2391.
¶ïÝ»É ÏáñÇ I x ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÁ (2392-2393).
2392. y e x 0 x
1 : 2
2393. x 2 y a R 2
a R :
¶ïÝ»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ ëï³ïÇÏ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ (2394-2395).
2394. y cos x x
, y 0: 2
2395. y x 2 , y
x:
¶ïÝ»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (2396-2397). 2396. x 2 y 2 R 2 y 0 , y 0 : 2397. y 2 2 px , x 2 2 py : 2398. ¶ïÝ»É a ÑÇÙùáí ¨ h µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÁ Ýñ³ ÑÇÙùÇ Ýϳïٳٵ: 2399. ¶ïÝ»É y 2 4ax å³ñ³µáÉáí ¨ x a áõÕÇÕáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÁ Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ:
¶ 2400. ¸Çóáõù` f , g C 0;1 : ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
1 1 1 f x dx g x dx 0 0 0
f x g x dx :
à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ Ñݳñ³íáñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 2401. ¸Çóáõù x -Ý R -Ç íñ³ ³×áÕ ¨ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿, Áݹ áñáõÙª
0 0 : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a, b 0 ¨ b R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a
b
ab x dx 1 x dx ,
1
áñï»Õ -Á -Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ Ñݳñ³íáñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 2402. ¸Çóáõù` f C 2 0; a , f x 0 , ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. a
f x
1 f x dx
b 2 a b2 :
f x 0 , f 0 0 ¨ f a b :
à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ Ñݳñ³íáñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 2403. ¸Çóáõù f C 0;1 ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿, f 0 0 , f 1 1 ¨ l -Á ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿: ³) ²å³óáõó»É, áñ l 2 : µ) гÙá½í»É, áñ ݳËáñ¹ Ï»ïáõÙ ·ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç 2 -Á ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÷á˳ñÇÝ»É ³í»ÉÇ ÷áùñ Ãíáí: 2404. ¸Çóáõù f C R ýáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿ ¨ S t -Ý y f x Ïáñáí, x t áõÕÇÕáí ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿: ¶ïÝ»É f -Á, »Ã» ó³Ýϳó³Í t 0 ѳٳñ S t tf t
0 1 : 2405. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ïááñ¹Ç2
ݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïáõÙ ¨ x 3 y 3 a 3 x 0, y 0 ³ëïÕ³Ó¨ ·ÍÇ ³Õ»ÕÁ µ³Å³ÝáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ »ñϳñáõÃÛ³Ùµ »ñ»ù ³Õ»ÕÝ»ñÇ: 2406. ²å³óáõó»É, áñ
r ae k
Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ·³É³ñ³·ÍÇ 2n
2 n 1 , n Z , ·³É³ñÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz: ¶ïÝ»É åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ: 2407. ²å³óáõó»É, áñ a , b a b ÏÇë³³é³ÝóùÝ»ñáí ¿ÉÇåëÇ l »ñϳñáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
a b l 2 a 2 b 2
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: 2408. ¶ïÝ»É y f x , x 0 ( f x 0 , »ñµ x 0 ) ÏáñÁ, »Ã» ó³Ýϳó³Í ѳٳñ 0 x a , 0 y f x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí ïñí³Í å³ïÏ»ñÝ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ ѳßí-
a -Ç
íáõÙ ¿ af 2 a 0 1 µ³Ý³Ó¨áí: 2409. ²å³óáõó»É, áñ C ѳñà ÏáñÝ Çñ»Ý ãѳïáÕ ¨ Çñ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ·ïÝíáÕ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ C -Ç »ñϳñáõÃÛ³Ý ¨ C -Ç Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ (¶áõɹÇÝÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»Ù): 2410. ²å³óáõó»É, áñ S ѳñà å³ïÏ»ñÝ Çñ»Ý ãѳïáÕ ¨ Çñ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ·ïÝíáÕ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ S -Ç Ù³Ï»ñ»ëÇ ¨ S -Ç Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ (¶áõɹÇÝÇ »ñÏñáñ¹ ûáñ»Ù): 2411. a ÏáÕÙáí ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿ Çñ ͳÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇó d d a Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ: ¶ïÝ»É ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ ¨ ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2412. ¶ïÝ»É y R 2 x 2 , x R; R , ÏÇë³ßñç³Ý³·ÍÇ ¨ ³Û¹ ÏÇë³ßñç³Ý³·Íáí áõ Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ÏÇë³ßñç³ÝÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ: 2413. ¶ïÝ»É Ox ³é³Ýóùáí ¨ x a t sin t , y a1 cos t óÇÏÉáÇ¹Ç Ù»Ï Ï³Ù³ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÁ:
ä³ï³ë˳ÝÝ»ñ ¶ÉáõË 1
1. ³) 2;0;1; 2 ;3;7;9 ; µ) 1;6 ; ·) 2;4 ; ¹) R ; ») R ; ½) N : 2. ³)
2;8 ; µ) 0;2 ; ·) 0;2 ; ¹) ; ») 4;3;...; ½) ; ¿) 8;5;0;7 : 3. ³) 2 ; µ) 5;7 9;11 ; ·) 2;3 4;7 ; ¹) 0 ; ») Q : 4. ³) ;0 1; ; µ) 3; ; ·) 0;1 ; ¹) Q ; ») ;3 1;1 3; ; ½) ;1 1;2 2; : 5. 12k : k N : 6. Z : 7. Z : 8. ³) 1;12 , 5;8 ; µ) R , R ; ·) Z , N \ 1 : 9. ³) 6;2 ; µ) 0 ; ·) N : 10. àã:12. ÀݹѳÝñ³å»ë ³ë³Íª áã: 13. 3)-Á:19. àã: 22. Q, I , R, Q, R \ 0 : 35. ³) ê³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; ·) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; ¹) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó; ») ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó; ½) á'ã í»ñ¨Çó, á'ã Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿: 38. ³) min A 0, max A 1 ;µ) inf A 0 , max A 1 ; ·) min A 0 , sup A ; ¹) inf A 0 , sup A ; »)
inf A , sup A ; ½) inf A 0 , sup A ; ¿) inf A 0 , sup A 1 ;Á) min A 0 , sup A ; Ã) min A 0 , max A 1 : 44. ³) ´³ó ¿; µ) á'ã µ³ó ¿, á'ã ÷³Ï; ·) ÷³Ï ¿; ¹) ÷³Ï ¿; ») á'ã µ³ó ¿,á'ã ÷³Ï; ½) µ³ó ¿; ¿) ÷³Ï ¿; Á) ÷³Ï
¿; Ã) ÷³Ï ¿: 51. ³) R \ 1;2 ; µ) ; 3 0; 3 ; ·) ;1 2; ; ¹)
1;1 ; ») 1;4 ; ½) 1; ; ¿) R \ k : k Z k : k Z ; Á) 1;1 ; Ã) 1;0 0;1 : 52. ³) ³×áÕ ¿; µ) Ýí³½áÕ ¿; ·) ³×áÕ ¿; ¹) ³×áÕ ¿; ») Ýí³½áÕ
¿; ½) Ýí³½áÕ ¿; ¿) Ýí³½áÕ ¿; Á) ³×áÕ ¿; Ã) »ñµ 0 a 1 , Ýí³½áÕ ¿, »ñµ a 1 , ³×áÕ ¿: 53. ³) λÝï ¿; µ) á'ã ½áõÛ· ¿, á'ã Ï»Ýï; ·) ½áõÛ· ¿; ¹) ½áõÛ· ¿; ») ½áõÛ· ¿; ½) Ï»Ýï ¿; ¿) á'ã ½áõÛ· ¿, á'ã Ï»Ýï; Á) Ï»Ýï ¿; Ã) Ï»Ýï ¿: 58. ³) 0 0 ,
0,75 1 , 0,75 0 , áã: 59. T 1 , Y0 0;1 : 60.
2 2 , ³)
2 1 , 4 , 3 ; µ) Z ; ¹)
2k ; 2k ;
x
µ) 1;10 : 61.
1 2x2
k Z
x
,
2x ; ¹) log 2 1 sin 2 x : 64. ºÃ» x 1 3x -Ý ¨ -Ý »ñÏáõëÝ ¿É ãÝí³½áÕ »Ý, ϳ٠»ñÏáõëÝ ¿É ã³×áÕ, ³å³ -Ý ãÝí³½áÕ ¿: ºÃ» ¨ ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÁ ã³×áÕ ¿, ÙÛáõëÁª ãÝí³½áÕ, ³å³
: 62. ³) 2 x ; µ) 22 x ; ·) arccos
-Ý ã³×áÕ ¿: 65. üáõÝÏódzݻñÁ ³×áÕ »Ý: 66. àã: 68. ³) R , x
y 1 ; µ)
R , x 2 y ; ·) R , x
y ; ¹) R , x y ; ») R , x arctg y ; ½) R ,
x arctg 4 y : 122. µ) àã: 123. ²Ûá: 141. àã: 145. ³) R , 2,5;3,5 , Q ; µ)
1; , 1; , 1;0 ; ·) 1;1 , 0;1 , 1;1 ; ¹) R , R , 0;1 ; ») 2; , 2,5;10 , 3; : 146. ³) R , 1;2 , Q ; µ) 0;2 2;4 , 0;4 , ; ·) R \ 2 k : k Z , 2k : k Z , ; ¹) R , , 0 ; ») 1;1 , , 12 ;1:148. ³) y 2 x ; µ) y 2 x ; ·) y 2 x 1 ; ¹) y ln x ; ») y 1 5
»ñµ x 1 ¨ x 2 , »ñµ x 1 : 153. 2 x
arctgx ; ½) y , x
3 : 154. ³) x 2 5 x 6 ; µ) 2 x
x x 2 2 ; ·) ; ¹) x 3x : 155. ³) 0;1 , 0;1 ; µ) 1;0;1 , 0 : 174. ³) x 1 1;0 ; µ) 1 r : r Q \ 1 : 178. R : 179. ³) R ; µ) 1; : 183. T 1 : 2 2r 1 186. x a t sin t , y a1 cos t : 187. 9:
¶ÉáõË 2 a1 a2 : 258. ³) 0; µ) 0: 259. ³) 1 3 ; µ) 4 3 : 260. ³) 1; µ) 2: 261. ³) 0; µ) 0: 262. ³) 3; µ) 0 ; ·) ; ¹) a0 b0 , »Ã» p q ; 0, »Ã» p q ; , »Ã» p q : 263. ³) 1 3 ; µ) 2: 264. ³) 0; µ) 0: 265. ³) 2 3 ; µ) 0: 266. ³) 1 2 ; µ) lg 2 : 267. ³) 0; µ) 2: 268. ³) 1; µ) 1 : qpq p 269. : 270. –1: 271. a 2 a 13 : 287. àã: 288. inf xn 3,5 ; sup xn 5 ; lim xn 2 ; lim xn 2 : 289. inf xn 0 ; sup xn 2 ; lim xn 0 ; 227. ³) n 11 ; µ) n
lim xn 2 : 290.
inf xn 4 ; sup xn 1 ;
n
inf xn 0 ;
sup xn 6 ;
sup xn 1 ;
lim xn 4 ; n
lim xn 1 2 ; n
: 257. ³) 0; µ)
n
n
n
21 k 1 2
lim xn 0 ; n
lim xn 6 : 292. inf xn 1 2 ;
n
lim xn 1 : 293.
n
lim xn 1 : 291.
n
inf xn 0 ;
sup xn ;
lim xn 0 ; n
lim xn : 294. inf xn 5 ; sup xn 1, 25 ;
lim xn 0 ;
n
n
lim x n 0 : 295. inf xn 1 ; sup xn 5 ; lim xn 1 ; lim xn 2 : 296. àã:
n
297. ³) àã; µ) ²Ûá: 299. 0;1 : 300.
p 312.
n
n
kq k 1
: 310. xn
n ; n 1 n 1
xn b a 2
xn 2a b 3 1
301. 1;5 : 302.
ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 311. xn 2 2
2a b ,
n 1
1;0;1 :
ë³Ñٳݳ÷³Ï n 1
a b 2 2
1;
¿,
2n
a; b :
308.
; ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
»Ã»
a b:
ë³Ñٳݳ÷³Ï
¿,
313. »ñµ
a b 2 : 327. 2 3 : 328. 3: 329. 1: 330. 2 2 : 331. 1 4 : 332. 0: 333. 1: 334. ln a : 335. 4 5 : 336. 0: 337. m a1a2 ...am : 338. 1 da1 : 339. 1 d : 340. ln b 5 1 q 1 q : 345. ¼áõ·³Ù»ï ¿; : 346. ¼áõ·³Ù»ï ¿; 1 : 347. ¼áõ·³Ù»ï ¿; 4 : 348. ¼áõ·³Ù»ï ¿; k 1 a : 349. ¼áõ·³Ù»ï ¿; A 3 : 350. ¼áõ·³Ù»ï ¿; 3 M :
1 1 4a : 352. 1 , »Ã» a 0 ; »Ã» a 0 ª ë³ÑÙ³ÝÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ï³Ù å³ïϳÝáõÙ ¿ 1;1 ѳïí³ÍÇÝ: 355. 0;1 : 372. ·) àã: 351. ¼áõ·³Ù»ï ¿;
a 2k : 380. : k N ; xn k a 12n 1 a 2 1 3 4k 3a ³) xn ; µ) a : k N : 383. ab : 391. î³ñ³Ù»ï ¿: k n 1 a a 34 4 1 5 1 392. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a : 393. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 394. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 400. a 5 1 : a b : 401. a b 0 : 402. b 5 41 : 404. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 405. 417. : 418. : 419. 4 e : 420. 1: 421. 0: 422. 2 : p 1
374. ê³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 379. a
¶ÉáõË
430. ê³Ñٳݳ÷³Ï ã¿: 432. inf f x 0 ; sup f x 25 : 433.
inf f x 0 ;
sup f x 1 :
434.
inf f x 1 ;
sup f x 1 :
435.
inf f x 2 ; sup f x : 436. ³)
inf f x 2 ; sup f x 2 ; µ)
inf f x 2 ; sup f x 2 : 437. ³) inf f x 0 ; sup f x 1 ; µ) inf f x 0 ; sup f x 2 : 438. inf f x cos 3 , sup f x cos 1 : 450. àã: mnn m 453. 1 : 454. 10 : 455. : 456. 0,5 : 457. 1 4 : 458. 5 5 : 459. 3 2 : nn 1 460. 3 2 : 461. : 462. m n : 463. 1 : 464. 2 : 465. 1 2a : 466. 0, 25 : 467. 2,4 : 468. a b 2 : 469. 0,25 : 470. 2 : 471. 0, 25 : 472. 1,5 : 473. 16 3 : 474. n m : 475. a1 m : 478. 0 : 479. 1 : 480. : 481. 1 : 482. 3 5 : 483. 1 : 484. cos a : 485. 1 cos 2 a : 486. 0,5 : 487. 0,5 : 488. 1 : 489. 1 p : 490.
2 : 492. 9 128 : 493. 4 : 498. ³) 0,5 ; µ) 1 : 499. ³) 0 ; µ) 0: 500.
0,5 : 491.
³) 1 ; µ) e : 501. ³) e3 ; µ) e 0 ,5 : 502. ³)
e ; µ) e 1 : 503. ³) 1 ; µ) e1, 5 : 504.
³) 1 a ; µ) x 2 : 505. ³) 1 ; µ) 0, 2 : 506. ³) 2 3 ; µ) e 0 ,5 : 507. 1 : 508. 1 5 : 509.
ab : 510. ³) 0 ; µ) log 32 : 513. cha : 514. sha : 515. 1 : 517. 2 : 518.
0,5 : 519. 3 : 520. 1 1 x 2 : 522. ³) 2 ; í»ñ¨Çó; µ) 2 ; Ý»ñù¨Çó: 523. ³) 2 ; Ý»ñù¨Çó; µ) 2 ; í»ñ¨Çó: 524. ³) 1 ; Ý»ñù¨Çó; µ) 0 ; í»ñ¨Çó: 525. ³) 0 ; Ý»ñù¨Çó; µ) 1 ; í»ñ¨Çó: 526. f 0 1 ; f 0 0 : 527. f 0 0 ;
f 0 : 528.
f 1 0 1,5 ;
f 1 0 0,25 : 529.
f 0 1; 2
f 0 1 : 530. f 3 0 0 ; f 3 0 1 3 : 531. f 10 0 109 ; 2 f 10 0 110 : 532. f 1 0 1 ; f 1 0 : 533. f 1 0 0 ; f 1 0 1 : 534. f 1 0 3 ; f 1 0 2 : 535. lim f x ; x
lim f x 0 : 536.
x
lim f x e ; lim f x e : 537. 1
x
x
lim f x ;
x
lim f x : 547. 25 16 : 548. 2 : 549. 10 37 : 550. 1 9 : 551. 0,25 :
x
552. 0,5 :553. 2 : 554. 2 : 555. 7 3 : 556. 12 : 557. 1 : 558. ³) 1 ; µ) 2 ; ·) 2 ; ¹) 2 ; ») 2 ; ½) 2 : 559. ³) 2 ; µ) 1 ; ·) 6 ; ¹) 3 : 560. ²Ýí»ñç ÷áùñ ¿: 561. ²Ýí»ñç ÷áùñ ¿: 562. ³) ²Ýí»ñç ÷áùñ ã¿; µ) ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: 563. ³) ²Ýí»ñç Ù»Í ¿; µ) ³Ýí»ñç Ù»Í ã¿: 564. ²Ýí»ñç Ù»Í ¿: 565. ³) ²Ýí»ñç Ù»Í ã¿; µ) ³Ýí»ñç
Ù»Í ¿: 566. ³) ²Ýí»ñç Ù»Í ¿; µ) ³Ýí»ñç Ù»Í ã¿: 567. ³) 3
x 1 ; µ) x 1 ; ·)
e x 1 ; ¹) x 1 : 568. ³) 2x ; µ) x ; ·) x : 569. ³) lim f x 1 ;
x 0
lim f x 2 ; µ) lim f x 2 ; x 0
lim f x 1 ;
x 0
µ)
x
lim f x : 578.
x
582. 0,5 : 583.
lim f x 0 ; x n n 1 n 2 :
579.
lim f x 2 : 570. ³) lim f x 1 ; x 0
x
lim f x ;
·)
x
lim f x x
;
nn 1 nn 1 n 2 mn : 580. a : 581. :
: 584. 1 n ! : 585. m n
a1 a 2 a n n : n
n
a1 1; b1 0,5; a2 1; b2 0,5 : 587.
ak ,
bk
k 1 2
k 1
586.
: 588.
ak
cos a : 589. 2 cos a sin 3 a , a k : k Z : 590. 14 : 591. cos 2a cos 4 a : 592. 4 3 : 593. 1 12 : 594. 3 : 595. 0 , »Ã» a1 a 2 ; e »Ã» a1 a 2 : 596.
b1 b2 a1
, »Ã» a1 a 2 ; ,
2 2 2a e : 597. 1 : 598. : 599. : 600. e 2m b
: 602. 2 : 603. 1 : 604. ³) a b ln a ; µ) a a ln a e : 605. ³) a
2 2
: 601.
a ; µ)
a a ln ae : 606. a a ln a 1 : 607. e a b : 608. a a b b c c a b c : 609. 1 ab : 611. nn 12n 1 nn 1 nn 1 : 614. : 615. : 616. 2 ln a : 612. e : 613. 4,5 : 617. 0 : 618. 4 : 619. ln 2 : 620. 2 : 621. e 4 : 622. 0 : 623. sin x : 624. 0 : 625. : 626. ³) 1 , 0 ; µ) 0 : 627. 1 x x 1 , 5 : 628. ³) 3 , 0 ; µ) 0 : 629. ³) 2 , 1 ; µ) 2 , 1 : 630. 0 ϳ٠0 : 631. ³) x 2 ; µ) x 2 : 632. ³)
, lim f x 2 ; µ) lim f x 0 , lim f x ; ·) x x x x lim f x , lim f x e ; ¹) lim f x , lim f x ; ») x 0 x 0 e x 0 x 0 lim f x , lim f x : 633. ³) 1;1 ; µ) 1; :642. ³) 1 ; µ) 1 : 646. 2 x 2 x 2 sin 2 x ln a 1 6 : 647. a 2 : 648. : 649. e a : 650. f x : x2 lim f x
¶ÉáõË
659. ³) àã. f -Á x0 -Ç ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³ÛùáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) áã. »Ã» X -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í f : X R ýáõÝÏódz µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ, ÇëÏ »Ã» X -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿, ³å³ lim f x ; ·) x
áã. »Ã» Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x0 X Ï»ïáõÙ, ³å³ f -Á ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ f 1 -Á ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 663. Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½áõÙ: 664. Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý µá-Éáñ Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½áõÙ: 665. x0 0 -Ý ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿: 666. x0 0 -Ý í»ñ³óÝ»ÉÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿: 667. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 668. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 669. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 670. x0 0 -Ý »ñÏñáñ¹ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿: 671. n : n Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÁ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 672.
²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 673. n 2 : n N
Ï»ï»ñ »Ý: 674. n : n N
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý
Ï»ï»ñ »Ý: 675. Z \ 0 µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 676. n : n N µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 677.
1 n : n Z \ 0 µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 678. Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÁ í»ñ³óÝ»ÉÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 679. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 680. n : n N µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 681. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 682. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 683. ³) 4 ; µ) sin 1 1 ; ·) a R ; ¹) 3;1 : 684.
³) ºñÏñáñ¹ ë»éÇ ¿; µ) ³é³çÇÝ ë»éÇ ¿: 685. ºñÏñáñ¹ ë»éÇ ¿: 690. àã: 694. x 1 -áõÙ y -Ý áõÝÇ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½áõÙ: 695. x 1 -áõÙ y -Ý áõÝÇ ³é³çÇÝ
ë»éÇ Ë½áõÙ: 696. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 697. n : n Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÁ í»ñ³óÝ»ÉÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 698. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 699. x 0 Ï»ïÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿: 700. Z : 707. ³)-Ý ¨ ¹)-Ý: 718. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 719. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 720. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 721. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 722. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 723. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 724. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 725. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 726. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 727. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 728. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 729. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 730. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 731. x 0 Ï»ïáõÙ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½áõÙ ¿: 732. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 2 Ï»ïáõÙ; Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÁ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ »Ý: 733. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a1 , a2 ,..., an Ï»ï»ñáõÙ: Ê½Ù³Ý Ï»ï»ñÁ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ »Ý: 735. ʽáõÙÝ»ñÁ í»ñ³óÝ»ÉÇ »Ý: 736. ;0 ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý, ÇëÏ 0; ÙÇç³Ï³ÛùÇ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÁ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñ »Ý: 737. Ê½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ M -Ý ¿: Àݹ áñáõÙ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ Ë½áõÙÝ ³é³çÇÝ ë»éÇ ¿, ÇëÏ Ùݳó³Í Ï»ï»ñáõÙª »ñÏñáñ¹ ë»éÇ: 738. ³) -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, -ݪ ˽íáÕ; µ) -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, -ݪ ˽íáÕ; ·) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 740. x 0 Ï»ïáõÙ Ó³ËÇó ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 741. x 0 Ï»ïáõÙ Ó³ËÇó ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 742.
e
n
: nZ
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ ³çÇó ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 743.
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µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ ³çÇó ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 744. n 2 : n Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÁ ÃéÇãùÇ Ï»ï»ñ »Ý, 2k : k Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³çÇó, ÇëÏ 2k : k Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙª Ó³ËÇó: 751. àã: 763. àã: 770. ³) àã; µ) áã: 777. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 778. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 779. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 780. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 781. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 782. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: 783. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 784. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 785. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 786. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 789. ³) f 3 ; µ) f ; ·) f ; ¹) f 2 ; »)
f 2 ; ½) f 2 : 797. f x 0 ; f x cos ax ; f x chax : 822. àã: 827. àã: 835. àã: 836. àã:
¶ÉáõË
2ax0 b x ax 2 ;
a x0 a x 1 ; ¹) tgx : 841. ³) 2 x ; µ) 2 ; ·) ; ¹) ; ») cos x ; ½) cos x0 1 tgx0tgx x 2 x 3 x2 ; ¿) : 844. ³) 5 ; µ) 2 ; ·) 4 ; ¹) 1 ; ») 0 : 846. àã: 848. 1 x 1 x 839.
ax ;
³)
µ)
·)
5 x 4 3 x 2 : 849. 2 x3x 2 1 x 3 3 x 2 1 1 x 3 3x 2 x 2 1 3x 2 : 850. ad bc 1 x 4x 21 2 x : 851. : 852. : 853. 3 x 5 5 x 4 2 x 3 cx d x x 1 x x x 1 6 x 2 6 x 12 1 x : 854. : 855. : 856. : 857. 3 2 3 5 2x x 3 x 3 x
3 2 : 858. 5 4 x : 859. 8 x 3 x 2 : 860. sin x 6 6 x x 23 x x x cos x x 2 sin x : 861. 2 tgx : 862. : 863. 1 cos x cos x sin x sin x cos 2 x sin 2 x cos x x cos 3 x x sin 3 x : 864. e x x 2 3x : 865. 1 ln x 1 sin 2 x 3 2x e x cos x sin x : 866. 2 x ln 2ctgx 2 : 867. 151 3 x : 868. : sin x 2 2 3x
1 2 3 x x 3 x4
869.
2x
3 3 1 x 873.
2 2
: 870.
1 2 x
1 2x2 1 x
: 871.
4 x
2 3
: 872.
3 1 x2
1 1 2 x 2 x xx x 2 xx x
: 874.
4 x x x
2x x
1 x
:
1
: 875. 2 x 1 x6
1 x3 : 876. 9 sin 2 3x cos 3x : 877. 3 sin 3x 1 sin 2 x 2 cos3x 1 1 x3 2x cos 2 x : 879. x 2 sin x : 880. : 881. 2 x sin 2 x 2 : cos 2 x : 878. 2 2 cos x 1 sin x cos x 3
2 x sin 2 x 2 1 tg 2 x : 883. sin x sin x : 884. 882. : 885. x cos 2 x cos 2 x 3 3 x2 1 2 cos 2 4 2 10 x 1tg x 2 x 1 2 : 886. : 887. 2 x sin sin x x 2 cos x 2 2 2 3 cos x 2 x 1 3 sin x ctgx
cos sin x :
1 tg 2 x sin cos cos : 889. sin 2tg 3 x x x x2 cos 2 x 3 sin 6 x 1 ctg 3x 3 890. : 891. 1 ctg 3x 2
888.
cos cos 2 tg 3 x :
tg 1
x4 1
x 3 cos 2 x 2 x 2 1 tg x 2 x 2
: 892.
2 x ln 2 : 893. e x 2 x cos x 2 2 1 x cos x
sin x 2 : 894. 2 x 1 3x 3 e 2 x : 895. 2 x cos x 2 sin x sin x 2 e cos x : 896.
1 x 1 x
e
: 897.
1 x 1 x
1 x
sin xch cos x : 898. e 2 x 2chx 3 3x 2 shx 3 : 899.
x a a x sh 2 x 2 2 : 900. e xe e : 901. a a x a 1 ax a 1a x ln a a x a a ln 2 a : 902. 3 2 sh x x 2 2 2 x 1 x 1 : 905. 6 lg x : 906. : 903. : 904. 3x 1 x ln 10 x2 1 x 1 x2 1
2x
2 x 3 2 x 3 ln 2
12 log 22
e
ln x 2 x 1
:
907.
ln x x 1
: 909.
x log 3 x
x e: ln 10 log 32 x log 3
908.
2 x 1 2 x2 x 1
2 sin x : 910. : 911. : 912. x ln x ln ln x x ln x ln ln 3 x cos 2 x
x 2 sin x ln x : 913. : 914. ln 1 cos x : 915. : 916. 5 : 917. cos x 1 cos x cos x x4 1 x
2 sin ln x : 918.
x 0 :
922.
x 0 : 925. 928.
931.
4 x2
: 919.
x x2 1
2 sgn sin x cos x
sin x 0 :
1 cos 2 x
2 xarctgx 2
1 x 1 x
: 929. 3
x 1 x
arctg 2 x
923.
: 926.
2 x x 1 arccos x
1 sgn x : 921. x 2 1 x2
: 920.
2 sgn x : 924. 1 x 1 x2
1 3
: 927.
1 x arcsin x : 932. : 933. : 934. x 2 e 1 1 x2 1 x2 2 1 x2
3 : 1 x4
2 x ln
2 ln 3 xe 2 x : 930. : 1 2 x e2 x 1 e2 x 1
x e2
arcsin x 2
2 xcos x sin x : sin 2 x
2 sin 2 x 2 k : 936. 2 x sgn cos x 2 sgn sin x 2 x , k Z : 937. 2 sin 2 x sin sgn cos x cos cos x cos : 938. a 2 x 2 : 939. 1 cos cos x 1 e2x e x arctge x : 940. 8 x 3 sgn sin 2 x 4 sin 2 x 4 0 : 941.
935.
3 ln x sin ln x
:
: 943. 1 th x ch 2 x
942.
4 x 1 cos ln 3 x cos ln 3 x arctg cos ln 3 x sgn shx chx
x 0 :
944.
x x 1 ln x : 945.
x 1 x x x x ln 2 x ln x : 946. x
x 1 e x x e ln x : x
947.
ex
e x chx ln chx thx : 948.
x x 1 ln x : 949. x2
a x x 1 x a 1 x x 1 a ln x a x x a ln a ln x x x a x ln a1 ln x : 950. x ln x x 1 x 2 ln 2 x x ln x ln ln x : 951. sin xsin x cos x ctg 2 x ln sin x : 952. x ln x 1 x arcsin 2 x 2x x x arcsin 2 x x arcsin 2 x ln tg x : ln tg tg sin x 2 1 4x2
x
1 1 ln1 : 954. x 1 x 1 x x2 2 x 3 4 x 2 36 x 54 : 956. : x 1 x2 3 x1 x 9 x 2
1 953. 1 x
x
sin x sin x xctgx 1 : 955. ln x x n
957.
x ka
k 1
: 958. k
n 1 x2
: 959.
1;1 : 960. 1;1 : 961. 2 ln 2;2 ln 2 : 962. cos 1 sin 1 : 963. 1;1 : 964. 1;2 : 965. ;1 : 966. x 1 x 1 5 x 1 sgn x 1 : 967. sin 2 x sin x : 968. 1 , »ñµ »ñµ 1, »ñµ 969. x 1 ; 2x 3 , 1 x 2 ; x2: 2 x a x b 2 x a b , »ñµ x a; b ; 0 , »ñµ x a; b : 970. 1 , »ñµ x 0 ; , »ñµ x 0 : 971. 2 xe x 1 x 2 , »ñµ x 1 ; 0 , »ñµ x 1 : 972. ³) R , 1 x x y ; µ) 1; , y 1 ; ·) R , 1x y ; ¹) 1;1 , 1 2 ; ») x y 1 1 y 1 e y 1
R,
1 t t 1 t
1 y2
: 973.
: 974.
2t 1 2t 1 t 2 1
t2 t : 975. 1 : 976. t 2 1
b b t ctgt : 977. ctht : 978. tg 3t : 979. tgt : 980. ctg : 981. sgn t t 0 : a a 982. ³) y 3 4 x 1 , y x 1 ; µ) y 3 , x 2 : 983. ³) y x , 2 3 y x ; µ) y x 1 , y x 1 : 984. ³) y 3 3 3 x 1 , y x 1 ; µ) y 3 3 x 3 , y 3 2 3 2 3 1 6 1 32 1 x 3 : 985. ³) y x , y x ; 32 4 64 6 4 3
µ) y
1 8 1 x , y x : 986. ³) 3 x 2 y 0 , 2 x 3 y 0 ; µ) 8 2 2
3 x y 1 0 , x 3 y 7 0 : 987. ³) y 1 x , y 1 x ; µ) x
2 4 e ,
2 4 y e : 988. ³) y x , y x ; µ) 3 x y 4 0 , x 3 y 3 0 : 989. 1 7 , arctg : 990. arctg 3 : 991. arctg 2 2 : 992. arctg : 993. ³) ; ; 2 4
p q µ) 0;2 : 995. b 4ac 0 . 996. 0 : 997. a : 998. 2e 3 2 dx 1 1 : 999. sin x dx : 1000. 2 x ln 2 dx : 2 1 x 2 arccos x 2 x3 3 3 x2
1001.
arctgx
1 x
x ln 3
arctgx
dx : 1002.
vwdu uwdv uvdw ; µ)
2 ln x 6 cos 2 x dx : 1003. dx : 1004. ³) sin 4 2 x 2x x
udu vdv
u
v2
; ·)
vdu udv udu vdv ; ¹) : 1005. ³) u v u2 v2
1 sin x cos x ; ¹) 1 : 1006. 1,007 : 1007. 2 x 2x 0, 4849 : 1008. 0,8747 : 1009. 0,8104 : 1010. 0,925 : 1012. γñáÕ ¿: 1014. ³)
1 4 x 3 3 x 6 ; µ) ctgx ; ·)
âÇ Ï³ñáÕ; µ) ϳñáÕ ¿: 1015. ³) γñáÕ ¿; µ) ϳñáÕ ¿: 1016. ³) ²Ûá; µ) ³Ûá; ·) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿
3x
:
x k , k Z \ 0 , Ï»ï»ñáõÙ: 1020.
1022.
2 5
1n 2 n n ! : 2 x 3n 1 1032.
1030.
2e x 2 x 2 1 :
1 x 1 2 x arcsin x : 1025. 1 x 2 5
1023.
1021.
2 3
3x
1024.
1 x
2 2
2x 2arctgx : 1026. x x 1 ln x x x 1 : 1029. 1 x
1n 1 n !c n 1 ad bc : cx d n 1
: n 1 n 1 x 2 x 1
1n n !
1n 1 4 3n 51 x n 13 9n 2 x 4 , 3n
2 sin x : cos 3 x
: 1 x
x 3 2x2
1031.
1033.
1n n ! n 1 : n 1 1 x x
2n 1 !! 1 2 x n
n2:
:
1034.
1035.
3 n 3n n n 2 n 1 cos 2 x : 1036. sin x sin 3x : 1037. 2 4 2 4 2 a b n cos a b x n n n 2n 1 cos 2 x 2 2 n 3 cos 4 x : 1038. 2 2 2
a b n cos a b x n :
1 n 3n n sin x sin 3 x 2 2 2 4 2 n n n n 1 sin 5 x :1040. 2 n 3 4 x 2 cos 2 x 4nx cos 2 x 2
n
1039.
n1
n 2 1 n 3! 2 x 2 2 xn n 2 n , n cos 2 x , n 3 : 1041. 2 x 1n
n
ex ex 2 5 n 3 : 1042. 5 e sin 4 x n , arcsin : 1043. n cos2 x n , arcsin : 1044. x n 1 x n chx n 2k x n 1 x n shx : 1045. y 2 k a b cha b x 2k k 2 k 1 a b cha b x , y 2 k 1 a b sha b x a b n 2 n 1 n 2 sha b x , k N : 1046. e x x n n 2 x n 1 x n ! : 1047. 2! n 1! 1 x n 1 n 1 1 x n : 1051. 3 : 1052. an n ! : 1048. n 41 t 1 x 2 n 3x
cos 2t : 1053. a sin t 4a 2 sin 7
t
: 1054.
e 2 t 2 sin t cos t t2 1 : 1055. : 1 t2 1 t2 2 cos 5 t 4
t 2t cos 2 t sin 2t 1056. : 1057. y 5 y 6 y 0 : 1058. v 4t 3 sin 4 t 1 4e 4 s q e 2 s v 0 : 1059. r r 0 : 1060. 2 uu u 2 : 1061. uv
vuv uv 2vvu uv uu u2 vv v 2 : 1063. : v u2 v2 u 2 v 2 uu vv uv uv 2u v v u : 1065. u v v ln u u u 2 v2 2 u
2uv vu : 1062. 1064.
v
uu u v ln u : 1066. y 4 x 2 f x 2 2 f x 2 , y 8 x 3 f x 2 u
12 xf x 2 :1067. y
1 1 2 1 1 6 1 f 3 f , y 6 f 5 f x x x x x x x x
6 1 f : 1068. y e 2 x f e x e x f e x , y e3 x f e x 3e 2 x f e x x4 x e x f e x : 1069. 6 : 1070. 59 : 1071. 98,5 ; 13,5 : 1072. v 2t , a 2 ;
³ÝÇíÁ ϳݷ ϳéÝÇ, »ñµ t
3y
1078.
100 y 2
5h : 1073. 26450 : 1076. ÏÙ Å : 1077. 6 : 2 h 1,7
; 2,25 : 1079. úñ¹ÇݳïÁ ÷á÷áËíáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ³ñ³·, »ñµ n
; ¹) 0 ; ») : k 1 k 2 x 1arctg x 1 y x2 2x 2
x 2 , ³í»ÉÇ ¹³Ý¹³Õª »ñµ x 2 : 1080. ³) 0 ; µ) n ! ; ·) n ! 1081.
x x2 1
arctg 2
:
1082.
x sin 2x :
1083.
2 2 , »ñµ x 1 , y 1 2 : 1084. 2 , »ñµ 1 x 1 , x 1 x 1
, »ñµ x 1 : 1086. ³) a 0 , f 0 1 ; µ) a 0 , f 0 1 : 1088. a 2 , b 1 : 1089. a 1 , b 1 : 1090. a 1,5 , b 0,5 : 1091. a b : 1092. a1 1 , b1 2 , a2 1 , b2 2 : 1093. a1 2 , b1 2 , a2 , 1 2 1 1 2 1 b2 : 1094. a1 , b1 , a2 , b2 : 1095. xchx shx a1 , b1 2 , a2 3e , b2 2e 2 : 1096. f x , x0; 2e x2
f 0 0 : 1097.
: 1098. ¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ x 1 Ï»ïáõÙ: 1099. 1 x 2
2k 1 : k Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ: 1100. ¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f 0 0 : 1102. f 0 0 , f 0 0 : 1103. f 0 0 : 1104.
¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ ¿: 1101.
f 0 0 , f 0 0 , f 0 1 , f 4 0 0 : 1106. ³) 0 ; µ) 1 ; ·) 2 : 1107. ³) 1 ; µ) 1 1 : 1110. a : 1111. f a a , f a a : 1115. f k 1k k 1 , f k 1k k , k Z : 1116. f 0 1 ,
k N : 1117. 1118.
f 0 1 ,
f
2k 1 ,
2 f 2k 1 , 2k 1
f 0 1 ,
f 0 :
1119.
k Z ,
f 2k ,
2 f 2k 1 , k Z : 2k 1 f 1 , f 1 : 1120.
, f 4 : 1121. f 1 1 , f 1 1 : 1122. f 1 1 , f 1 1 : 1123. f 0 1 , f 0 0 : 1124. f 0 2 , f 0 2 : f 4
: 1127. f 0 1 , f 0 0 : 1128. f 0 2 , f 0 0 : 1129. f 0 0 , f 0 0 :
1125.
f 0 1 ,
f 0 1 : 1126.
f 0
,
f 0
1132. ³), µ), ·) γñáÕ ¿ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ÉÇÝ»É, ϳñáÕ ¿ ¨ ãÉÇÝ»É: 1134. ÀݹѳÝñ³å»ëª
áã:
1 x n 1 x 2n
n
1135.
1 n 1x n nx n 1 , 1 x 2
2n 1 x n 1 n 2 x n 2 : 1 x 3
sin nx n cos n 12 x sin 2x 2 sin 2
³)
x
;
µ)
1136.
n sin n 12 x sin 2x sin 2 2 sin 2
µ)
x
nx
:
1137.
³)
sin nx2n cos nx sin x sin nx cos x sin 2nx cos x 2n cos 2nx sin x ; µ) : 1138. sin x 2 sin 2 x x ctg n ctgx : 1139. : 1140. : 1143. ³) 3 x 2 15 ; µ) n 1 cos y 3 y 1
3 1 ; ·) tg arctg : 1145. m 2n 3 !! 1146. : 1151. ³) x k , k Z : n 1 n 1 x 1 x 2n 5!!1!! n 1n 2 2n 7 !!3 !! , n 3 ; µ) n 1 1 2 1 xn2 1 x 1 x n3 1 x 2 1n1 n 1! sin narcctgx :1152. n ! a :1154. f n 0 0 :1155. f n 0 0 : n 1 x2 2 1156. a f x0 , b f x0 , c f x0 : 1160. ³) ÀݹѳÝñ³å»ëª áã; µ) ³Ûá: 1161. ÀݹѳÝñ³å»ëª áã: 1162. àã: 1163. àã: 1188. ³) 1) x , 2) 3 e 2 3 x e 2 x 2 sh2 x 3 x ; µ) 1) ch 2 xsh2 , 2) e 2 1 3 e 2 e 2 x : 4 4
6x 2 : 1144. ³) tg arctg ; µ) ctg
¶ÉáõË
1194. ³) ²Ûá; µ) áã: 1199. a b 2 : 1200. ³) 1 2 ; µ)
x x e x 1 1 1 x x x 0 ; ·) ln : 1201. A 1;1 ; x x x x 3 C 1;1 : 1207. , »ñµ x ;1 ; , »ñµ x 1; : 1211. Px 22 2 2n n x3 3 3x 1 x 1 : 1212. 1 2 x x x : 1213. x x 2 2! n! 2! n 2n 4 4 x x x 4 2 4 x n 1 1 : 1214. 1 x 2 : 1215. x n 1! 2! n! 2! 4!
n
n 1
1
4 2n 2n n 1 x 1 x : 1216. x 1 x 1 1 : 1217. 2n ! 2n
x 1
x 13 1n1 x 1n : 1218. n 1
x3
32 5 32n 2n 3 x x : 2! 2n !
2n
x x x6 x3n : 1220. 1 x 2 x 2 n : 1221. x 3 : 2! 2n ! n ln a ln 2 a 2 ln n a n x 1 x 1 1222. 1 x x x : 1223. 1! 2! n! ln a 2 ln a n e n 1 x 1 1 1224. ³) öáùñ ¿ -Çó; µ) ÷áùñ ¿ -Çó; ·) ÷áùñ n 1 ! n ln a
1219. 1
-Çó: 1225. x : 1227. ³) 3,107 ; µ) 3,0171 ; ·) 1,1535; ¹) 0,309 ; ») 0,00995 ; ½) 1,121 : 1228. ³) 2,718282 ; µ) 0,021 ; ·) 0,01745 ; ¹) 2,2361 : 1229. : 1230. 1 3 : 1231. 0 : 1232. ln 2 3 : 1233. 1 3 : 1234. 1 2 : 1235. 1 6 : 1236. 1 4 : 1237. 0 : 1238. 1 3 : 1239. 1 2 : 1240. 1 2 : 1 5 1241. 1 2 x 2 x 2 2 x 4 : 1242. 1 2 x x 2 x 3 x 4 x : 1243. x x2 x4 x 2 x 4 x6 x3 x3 2 x5 1 : 1244. : 1245. x : 1246. x : 2 12 720 2 12 45 3 15 x3 x 5 x 7 x9 1 x 3 1 3 x 5 1 3 5 x 7 1247. x : 1248. x 2 3 24 5 246 7 1 3 5 7 x9 a : 1249. 1 x 1 x 1 : 1250. : 1251. 1 : 1252. 2 : 2 468 9 b 1253. 2 : 1254. : 1255. : 1256. 0 : 1257. : 1258. : 1259. : 1260. ln a : 1261. 1 : 1262. : 1263. 1 e : 1264. e 2 : 1265. 1 : 1266. 1 6 : 1267. 1 : 1268. a b : 1269. 1 e : 1270. 1 : 1271. 0 : 1272. 0 : 1273. 2 : 1274. 1 : 1275.
¿ 2 10 6 -Çó; ¹) ÷áùñ ¿
16
2 3 : 1276. 2 : 1277. a ln a 1 : 1278. 1 a : 1279. e : 1280. e a
1282. e
16
: 1283. e
mn : 1290. nm
13
: 1284. 2 : 1285. 0 : 1286. 0 : 1287. e
12
: 1281. 1 :
: 1288. 1 e : 1289.
e : 1291. : 1292. àã: 1293. Üí³½áÕ ¿ ;0 ¨ 0; ÙÇç³3
4
ϳÛù»ñáõÙ, ³×áÕª 0;2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1294. Üí³½áÕ ¿ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, 11
4
³×áÕª ;0 ¨ ; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: 1295. Üí³½áÕ ¿ ;1 , 1 9 ;1 11 ¨ 3; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ³×áÕª 1;1 9 ¨ 1;3 ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: 1296. Üí³-
½áÕ ¿ 0;1 ¨ e 4 ; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ³×áÕª 1; e 4 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1297. Üí³-
½áÕ ¿ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1298. Üí³½áÕ ¿ k ; k , k Z , ÙÇ6 6
5
ç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ³×áÕª k ; k , k Z , ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: 1299. Üí³6 6
½áÕ ¿ 0; e 1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³×áÕª e 1 ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1300. Üí³½áÕ ¿
e; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³×áÕª 0; e ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1301. Üí³½áÕ ¿ ;1 ¨ 0;1 ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ³×áÕª 1;0 ¨ 1; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: 1302. ²×áÕ ¿ R -áõÙ: 1303. Üí³½áÕ ¿ ;0 ¨ 2 ln 2; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ³×áÕª 0; 2 ln 2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1304. Üí³½áÕ ¿ e ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³×áÕ` 0; e ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1305. ³) àã; µ) áã: 1308. àõéáõóÇÏ ¿ ;1 -áõÙ, ·á·³
íáñª 1; -áõÙ, x 1 -Á ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿: 1309. àõéáõóÇÏ ¿ ;
a ¨ 3
a a a ; ; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ·á·³íáñª ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ßñçÙ³Ý Ï»3 3 3 a ï»ñÝ »Ýª : 1310. àõéáõóÇÏ ¿ R -áõÙ, ·á·³íáñª R -áõÙ, x 0 -Ý ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿: 1311. àõéáõóÇÏ ¿ R -áõÙ: 1312. àõéáõóÇÏ ¿ 2k ;2k , k Z , ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ·á·³íáñª 2k ; 2k , k Z , ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ßñçÙ³Ý
Ï»ï»ñÝ »Ýª x k , k Z : 1313. àõéáõóÇÏ ¿ ;
2 2 ; : ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÝ »Ýª 2 2 ¿ 1;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ·á·³íáñª ;1 ¨
ϳÛù»ñáõÙ, ·á·³íáñª 1314.
àõéáõóÇÏ
2 2 ÙÇç³ ¨ 2 2
1; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ,
ßñçÙ³Ý
Ï»ï»ñÝ
1 : 1315. àõéáõóÇÏ ¿
»Ýª
3 2k 2k ;e 4 e 4 , k Z , ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ·á·³íáñª
2k 5 2k ;e 4 e 4 ,
k
k Z , ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÝ »Ýª x e 4 , k Z : 1316. àõéáõóÇÏ ¿ 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1319. xmax 1 2 : 1320. x 1 -Á ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿:
m ; »ñµ m -Á ½áõÛ· ¿, xmin 0 ; »ñµ n -Á ½áõÛ· mn ¿, xmin 1 : 1323. xmax 2k , xmin 2k k Z : 1324. xmin 0 : 1325. xmin 0 : 1326. xmin 1 , xmax 9 : 1327. xmin 0 : 1328. xmin 1 , x max , x 0 -Ý ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿: 1329. xmax 1 , y 1 0 ; xmin 3 , y 3 4 : 1321. xmin 1 : 1322. xmax
1330. xmax 1 , y 1 y 1 1 ; xmin 0 , y 0 0 : 1331. xmin
5 13 ,
5 13 0,05 , y 5 13 0,76 ; xmax 1 , y 1 0 : 1332. y 6 6 xmax 1 , y 1 2 ; xmin 1 , y 1 2 : 1333. xmin 1 , y 1 1 ;
xmax 1 ,
y 1 1 :
1334.
xmin
,
7 y : 5
1335.
xmin
,
3 y 3 2 : 1336. xmax 1 , y 1 1 e : 1337. xmin 1 , y 1 0 ; 4 k xmax e , y e 2 4 e 2 : 1338. xmax k , y k 1 1 2 , k Z ; xmin 2 3 2k , y 2 3 2k 3 4 , k Z : 1339. xmax k , y k 10 , k Z ; xmin 2 k , y 2 k 5 , k Z : 1340. xmax 1 ,
y 1 4 ln 2 2 : 1341. xmin
2 4 2k 4 2k , y 4 2k e , 3
2 4 2k e , k Z : 1342. k Z ; xmax 3 4 2k , y 3 4 2k xmin 1 , y 1 2e ; xmax 3 , y 3 6e 3 : 1343. min y 1 2 , max y 32 : 1344. min y 0 , max y 4 : 1345. ³) min y 47 , max y 1 ; µ) min y 47 ; max y 466 : 1346. ³) min y 3 , max y 19 ; µ)
min y 17 , max y 3 : 1347. min y 138 , max y 16 : 1348. min y 0 , max y 132 : 1349. min y 0 , max y 1 : 1350. min y 2 e , max y 0 : 1351. min y 1 , max y 3 : 1352. min y 0 , max y 4 3 : 1353. inf y 0 , max y 1 2e :
1354.
inf y 0 ,
max y
2 1 2 :
1355.
min y
3 e 4
, max y 1 : 1356. min y 0 , max y 7 5 : 1357. ³) inf y 0 , sup y 2 ; µ) min y 1 4 , sup y 2 ; ·) min y 1 4 , max y 3 4 : 1358.
max xn 10 e : 1359. max xn 3 3 : 1360. y x 2 1 4 , »ñµ x ; x 1 2 : 1361. y x 2 , »ñµ x ; y x 2 , »ñµ x : 1362. y x , »ñµ x ; x 0 : 1363. y 2 x , »ñµ x : 1364. x 0 ; y 0 : 1365. y x 2 1 , »ñµ x ; y x 2 1 , »ñµ x : 1412.
m n
mn m n m n am n : 1413. mm n n a : 1414. S ÏáÕÙáí ù³é³ÏáõëÇ: mn m n P d 1415. ÏáÕÙáí ù³é³ÏáõëÇ: 1416. 30 , 60 : 1417. b ; hd : 1418. 2 3 4 3 bh S : 1419. V l : 1420. S R 2 1 5 : 1421. V R : 1422. 9 3 3 3
ºÃ»
2b a , ³å³ ٻͳ·áõÛÝ É³ñÝ áõÝÇ MB
a2 a 2 b2
»ñϳñáõÃÛáõÝ, áñ-
a2 b3 ; »Ã» 2b a , a b ; 2 a b a b ³å³ ٻͳ·áõÛÝ É³ñÝ áõÝÇ MB 2b »ñϳñáõÃÛáõÝ, áñï»Õ M -Ç Ïááñ¹Ç
ï»Õ M -Ç Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý
ݳïÝ»ñÝ »Ý
0; b :
1423. Þáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÝ »Ýª
a b ; : 1424. 2
1
R S a1 3 B : 1425. , áñï»Õ R -Á ë»Õ³ÝÇ ß³é³íÇÕÝ ¿: 1426. arctgk : S A 1427. ÐáñǽáÝÇ Ýϳïٳٵ ÓáÕÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿
cos
l l 2 128a 2 ѳí³ë³ñáõÙÇó: 1439. ³) 1 2 , 16a
2 ; µ) 1 : 1442. àã:
1456. ²Ûá: 1457. ³) ²Ûá; µ) e
x2
: 1458. ²Ûá: 1459. x 7 30 : 1460. x 2 : 1461.
x 2 : 1462. 2 x : 1463. a 2 5 , b 1 15 : 1464. a 1 2 , b d 1 12 , c 1 2 : 1465. ³) a 1 6 , b 2 3 , n 4 : µ) a 4 15 , b 3 5 , n 7 ; ·) a 17 60 ; b 9 20 , n 7 ; ¹) a 1 , b c 1 2 , n 4 ; ») a k 1 2k , b k 1 2k , n 3 : 1466. ¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: 1467. f h n h h2 n1 h 2 1 o h n : 1486. Üí³½áÕ ¿, »ñµ t ;1 , x 2x nx n ³×áÕ ¿, »ñµ t 1;1 ϳ٠t 1; : 1487. Üí³½áÕ ¿, »ñµ t 1;1 , ³×áÕ ¿, »ñµ t ;1 ϳ٠t 1; : 1488. ²×áÕ ¿, »ñµ t ;0 ϳ٠t 0; : 1489. Üí³½áÕ ¿, »ñµ t 0;1 e ϳ٠t e; , ³×áÕ ¿, »ñµ t 1 e ; e : 1490. Üí³½áÕ ¿, »ñµ t k 2 ; k 1 2 , k Z : 1491. Üí³½áÕ ¿, »ñµ t ;0 ,
ln x
³×áÕ ¿, »ñµ t 0; : 1496. h 1
2 : 1504. àã: 1510. 4 27 : 1511.
96 3 x2 : 1512. q 1 2 : 1513. f x : 1514. f x x : 1516. ³) x 1 y 0 , x 1 ; µ) y : 1528. Ø»Ï ³ñÙ³ï 3; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 1529. 2 2 ºñµ a 4 , ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ñÙ³ï 1; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ; »ñµ a 4 ª Ù»Ï ³ñÙ³ï ;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ; »ñµ 4 a 4 ª Ù»Ï³Ï³Ý ³ñÙ³ï ;1 , 1;1 ¨ 1; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ; »ñµ a 4 ª Ù»Ï ³ñÙ³ï ;1 -áõÙ ¨ x 1 ÏñÏݳÏÇ ³ñÙ³ï; »ñµ a 4 ª Ù»Ï ³ñÙ³ï 1; -áõÙ ¨ x 1 ÏñÏݳÏÇ ³ñÙ³ï: 1530. ºñµ k 1 e ª ³ñÙ³ï ãáõÝÇ; »ñµ k 1 e ª x e -Ý ÏñÏݳÏÇ ³ñÙ³ï ¿; »ñµ 0 k 1 e ª Ù»Ï³Ï³Ý ³ñÙ³ï 1;1 k ¨ 1 k ; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ; »ñµ k 0 ª Ù»Ï ³ñÙ³ï 0;1 -áõÙ: 1531. ºñµ a 0 ª ³ñÙ³ï ãáõÝÇ,; »ñµ 0 a e 2 4 ª Ù»Ï ³ñÙ³ï ;0 -áõÙ; »ñµ a e 2 4 ª Ù»Ï ³ñÙ³ï ³ñÙ³ï
;0 -áõÙ ¨ x 2 ÏñÏݳÏÇ ³ñÙ³ï; »ñµ a e 2 ;0 , 0;2 ¨ 2; ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: 1532. ºñµ
4 ª Ù»Ï³Ï³Ý a 3 3 16
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ; »ñµ 3 3 16 a 0 ª Ù»Ï³Ï³Ý ³ñÙ³ï
2 ; 2 3 -áõÙ ¨ 2 3; -áõÙ; »ñµ 0 a 3 3 16 ª Ù»Ï³Ï³Ý ³ñÙ³ï 0; 3 -áõÙ ¨ 3 ; 2 -áõÙ; »ñµ a 0 ª x 0 -Ý ¨ x -Ý »é³å³ïÇÏ ³ñ245
Ù³ïÝ»ñ »Ý,ÇëÏ x 2 -Á å³ñ½ ³ñÙ³ï ¿; »ñµ a 3 3 16 , ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ x 2 6 -Á ÏñÏݳÏÇ ³ñÙ³ï ¿: 1533.ºñµ k sh , áñï»Õ -Ý cthx x ѳí³ë³ñÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿, ³å³ Ù»Ï³Ï³Ý ³ñÙ³ï 0; -áõÙ ¨ ; -áõÙ; »ñµ k sh , ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ: 1534. ³) p 3 27 q 2 4 0 ; µ) p 3 27 q 2 4 0 : 1549. àã: 1578. ³) àã; µ) ³Ûá:
1581.
àã:
1584.
àã:
x 3 6 x 2 9 x 2 : 1613.
1594.
³)
1; : ln 2
¶ÉáõË
1614.
x1 1 x2 2 xn n :1598. àã: 1612.
2 x x5 2 x 3 : 1615. 5 x 4 5 : 1616. x 3 : 1617. x 2 1 5
x 3 5 9 4 3 2 8 15 2 x 1 :1618. x 3 x 3 3x x 3 :1619. x 8 : 1620. e x 3 : 1621. 3
aex 1 : 1622.
tg3x : 1625. x ctgx : 1626. 1 ln a x 3 tgx ctgx : 1627. tgx : 1628. 3 x : 1629. 3 sin x : 1630. ln 3 ln 2 2 1 2 1 tgx : 1631. tg 1 ln x : 1632. ln x 2 : 1633. x 2 1 : 1634. : arcsin x ln ln x : 1623. sin x 1 : 1624.
ex 1635. cos e : 1636. e : 1637. : 1638. ln x 4 : 1639. arcsin x 4x ln x 1 x 2 : 1640. arcsin x 5 : 1641. 2 x 4 1 5 : 1642. 1 6x ln e 2 x a 2 : 1643. 1 3x 4 : 1644. 2 2 x 7 : 1645. e ln 4 e 4 x e 2 x x : 1646. arctgx 2 ln 1 x 4 : 1647. x 4 ln x 4 : 1648. x 3 1 3x x x 6 ln x 3 : 1649. x 2arctg : 1650. ln : 1651. x 18 1 3 x 3
x
cos x
a b x 1 x x ln : 1652. e x 2 ln 1 e : 1653. ch3 x sh 4 x : 1654. x thx : x 1 chx x 1 1 x2 1 2x 3 1655. arctg : 1656. ln : 1657. ln : 1658. ln : 1659. x 7 x5 5 2x 2 a a
x 1 1 x 1 x arctg : 1660. arctg arctg : 2 a b b b a a 2x a b xa x 1 ln : 1662. sin 2 x : 2 4 a b x a x b a b x b arctgx
1661. 1663.
sin 3 x sin 2 x sin 8 x : 1664. sin x : 1665. x sin 2 x sin 4 x : 1 2 x sin 2 x sin 4 x sin 6 x sin 10 x 1666. tg x ln cos x : 1667. : 1668. x tg 3 x tgx ctgx : 1669. cos x ln tg : 1670. tgx : 1671. e x : 1672. 2 x e 1 2 : 1673. x 2e x e 2 x : 1674. 2 1 x 2 arcsin x 2 : 1675.
x 1 9 x 2 arccos 3 x : 1676. arcsin x : 1677. ln : 1678. 1 x2 1 13 3 1 2arctg x : 1679. 8 x 27 : 1680. : 1681. ln ln ln x : 1682. 1 x2
1 sin 2 x 3 : 1683. 1 ln cos x cos 2 x 1 : 1684. 4 ctgx 4 : 1685. n2 tgx x arctg ln x 2 1 x n 2 : 1688. : 1686. ln tg : 1687. n2 2 4 2
5 3 1691.
arctg
x5 3x 2 x : 1689. : 1690. ln e x 1 e 2 x : ln x x 2ln 3 ln 2 3 2
: e 1 x
1692.
: 991 x 491 x 971 x
x5 x 4 x3 x 2 x ln x 1 :
1694.
x 12 x 12 :
1693. 1695.
8 30 x 2 5 x 2 : 1696. 1 ln x 4 2 : 1697. 1 2 x 1 3x 3 : 1698. 8 2 x 2
3 1 55 x 2 2 9 12 x 14 x 2 1 x 3 : 1699. 1 5 x 2 : 1700. 32 8 x 1 3 x 2 2 x : 1701. 8 4 x 2 3x 4 1 x 2 : 1702. arctg cos x cos x : x x 1703. ln x 2 1 ln x : 1704. 2e 2 2 ln 1 e 2 : 1705. x x 2 ln1 1 e x : 1706. arctg x : 1707. : 1708. 1 x2
x a2 x a2 x2 arcsin : a x
a2 a2 x2
:
1711.
x : a 3a x x x2a x 3a 2 arcsin : 2a 1709.
a 2 x 2 a arcsin
1710. 1712.
a2 x x x 2 a2 arcsin a 2 x 2 : 1713. a x 2 ln x a 2 x 2 : 1714. a 2 2 x 2 a a x 2 ln x a 2 x 2 : 1715. x 2 a 2 2a ln x a x a , 2 »ñµ
xa;
x 2 a 2 2a ln x a x a , »ñµ
x a : 1716.
n 1
xln x 1 : 1717.
x 1 2 32 2 8 x ln x ln x : 1719. ln x : 1718. n 1 n 1 3 9
1 x2 1 x x ln x 1 x 2 1 x 2 : 1720. x ln : 1721. x 1e x : 1722. 1 x x 1 x 2x2 1 x e : 1723. x sin x cos x : 1724. cos 2 x sin 2 x : 1725. x 2 x sin 2 x cos 2 x x xtgx ln cos x : 1726. : 1727. ln tg cos x ln tgx : x 1728. x 2 shx 2 xchx 2shx : 1729. xarctgx ln 1 x 2 : 1730. 1 x arctgx : 1731. x arccos5 x 2 arcsin5 x 2 1 5 x 2 :
1732.
arcsin x 1 1 x2 1 3 x arcsin 2 x 1 2 x 2 1 4 x 2 : 1733. ln : x x
1734. x 1 x 2 arccos x : 1735. xarcsin x 2 1 x 2 arcsin x 2 x : 1736.
1 x 2 ln x 1 x 2 x : 1737. 2 x 1 e x : 1738. 26 x x cos x x 62 x sin x : 1739. sin ln x cos ln x : 1740. a cos bx2 b2sin bx e ax : a b 2x a sin bx b cos bx ax e 1 x earctgx : 1741. e : 1742. sin x cos x : 1743. a 2 b2 2 1 x2 x 1 sin 2 x e x cos x sin x e 2 x : 1745. x ctgx ln e sin x : 1746. 2 4 x 2x 1 e x 1 x2 2 1 : 1747. arctg : 1748. ln : 1749. ln 2 : 4 3x 1 x 1 4 2 x 2 1
1744.
1750.
2x 1 ln x 2 x 1 arctg : 1751. ln x 3 1 x 3 2 : 1752.
arcsin
x 1 : 1753. ln x x 2 x : 1754.
1755.
x cos a 5x 3 ln x 2 2 x cos a 1 ctga arctg : 1756. arctg sin a
x ln x x 2 1 :
ln 5 x 2 6 x 18 : 1757. 3 x 2 2 x 2 4 ln x 1 x 2 2 x 2 : x x 1758. 3 4 x 4 x 2 arcsin : 1759. x x2 1 x2 1 x 1 2 arcsin2 x 1 : 1760. ln 2 : 1761. x 2 x 5 2 ln x 1 8 x 5 x 2 4 : 1764. x 2 x 2 2 x 5 : 1762. ln x 2x 5 : 1763. ln 2 x 1 x 33
x x ln x 1 ln x 2 : 1765. x arctgx arctg : 1766. x 1
1 3 x 1 2 x 3 1 x 1 x 2 ln x 2 1 : 1767. ln : 1768. ln : 12 x 14 x 25 x 1769.
ln
arctg x 2 : 1770. 2 x
x 13 x 2x 22
: 1772.
x 1 1 arctg 2 x 1 : 1771. ln 2 6 x x 1
x4 4 3 x 6 x 2 30 x 72 ln x 2 : 1773. 4 3 x2
ln x 1 ln x 1 arctgx : 1774. ln x 4 1 arctgx : 1775. 2 x 1
x2 4
x 3 x arctg arctg :1776. 4 3 2 ln x x 4x 3x 2x x2 2 2 1 x 1 3 4 3 2 3 ln : 1777. 2 x 2 ln 1 x : 1778. t t ln t 1 2 x 1 2t 1 ln t 2 t 2 arctg , t 3 2 x : 1779. 4 : 4 7 1 x 1 x
ln
66 5 x 2 x 66 x 6arctg 6 x : 1781. x 3 x4 x 6 x 312 x ln 1 12 x ln 1 212 x 26 x arctg 1 212 x : 1782.
1780.
5 x 1 x2 x x2 1 1 ln x x 2 1 : 1784. : 1783. 9 x ln 1 33 x : 1785. x 2 x 2 1 ln x x 2 1 : 1786. sin x sin 3 x sin 5 x sin 5 x : 1787. x sin 2 x sin 4 x sin 3 2 x : 1788. 2 sin 7 x sin 9 x cos 6 x cos 4 x cos 2 x : 1789. : 1790. : 1791. cos x ctg 4 x tg 2 x ctg 3 x ln cos x cos 2 x : 1792. : 1793. ln tgx : 1794. ctgx : cos x 2 a 1 1 cos x 1 5 sin x 1795. ln : 1796. ln : 1797. ln : 4 1 cos x 21 cos x 4 1 sin x sin a cos x 2 a 5 x 1 4 x
3tg
arctg
1798.
x 1 :
x
1799.
1 x arctg tg ; µ) 1 2 1 2
2 1
ln
arctg
2tgx :
1800.
³)
cos x 2 1 sin x : 1801. 1 cos x
x sin x cos x 1 ln tg x : 1802. 1 ln 1 cos x 2 cos : 1803. 1 cos x 2 2 2 8 x ctga ln
cos x : 1804. cos x a
ln x 1 1 :
1806.
a x 7 3 3 aa x 4 3 : 1805. 4 x 1
3e x 3 x 5 53 x 4 20 x 603 x 2 1203 x 120 :
xarctg 1 x x ln x 2 x 2 :
1807.
ln x x 2 1 :
1809. ln
1808.
2x 1 1 2x 1 : 4x 2x 1 1
1810.
x2 x 2 x 1 2 2
arctg x 1
25 ln x 5 49 ln x 7 x 1 : 1811. x : 1812. ln 2 x 2 x 1 x 4x 1 x3 x arctg : 1813. 4 x 8arctg : 1814. 66 x 33 x 2 x 2 7 2
6 ln 1 6 x :
1
1815.
1 y 4 arctg 2 y 1 , ln 3 1 y y2
2 x 1 2 ln 1 4 2 x 1 :
1817.
x2 2 1 x2 :
y4 x: 1818.
1816.
2x 1
1 ln 2 x 1 4 x 2 4 x 3 : 1819. x tgx : 1820. 2 cos x ch 7 x ch 5 x x 1821. : 1822. 2 ln ctg 1823. : 4 x x 2 1 sin 2 x 1 1 e 11 1 e : 1824. ln e x cos x 4 1 e x 11 1 e x
4x 2 4x 3 tg 3 x :
ln 2
1 ex 1 ex xe x :1825. sin x 2 x 2 cos x 2 : 1826. ln 1 e x : 1827. 1 ex x x x arctg x :1830. e e : 1828. ln x sin ln x cos ln x : 1829. x arccos x 1
³) ÖßÙ³ñÇï ã¿; µ) ×ßÙ³ñÇï ¿; ·) ×ßÙ³ñÇï ã¿: 1833. x x 2 : 1834. x 2 x 3 : 1835. e x 1 , »ñµ x 0 ¨ 1 e x , »ñµ x 0 : 1836.
x 11 x 1 x 1 x
:
f 2 x : 1839. xf x f x : 1840. ³) x x 2 2 ; µ) x , »ñµ x 0 ¨ e x 1 , »ñµ
1837. 1 chx , »ñµ x 0 ¨ chx 1 , »ñµ x 0 : 1838.
1 3x 3 20 x 3 x 1 x ; µ) arctg : arctgx 2 1 x2 128 x 2 4 2 2 2 x2 x 2 1 1843. ln 2 arctg 2 x 1 arctg 2 x 1 : 1844. 4 2 x x 2 1 4 0 x : 1842. ³)
ln
x2 x 1 1 2x 1 2x 1 arctg arctg : x 2 x 1 2 3 3
1 x 3 x2 arctgx ln : 1846. 4 3 1 x 3 x2
1847.
8x
3 x 3x 2 5
1
17 arctgx :
arctg x 1 : 1849. ln
1848.
arctgx3
1845.
x 1 1 arctg 2 x 1 : ln 2 6 x x 1 x3 2x 2 x 3 2 ln x 2 2 x 2 x2 2x 2
3x2 2 arctgx : 1850. 2x x 1 2
2 x3 1 3 3 3x x 1 3
1 x 3 x2 1 2x 1 2x 1 x3 1 : 1851. ln arctg arctg : x 4 3 1 x 3 x 2 3 3
1854.
2x 1 2x 3 1 1 1 x x 2 ln x 1 x x 2 : 1855. arcsin 8 2
1 x 2 1 x2 1 2x x2 1 x x : 1856. ln : 1857. arcsin : 1 x 2 x 1
1858.
2 x 1 x2 31 x
:1859.
x2 2x 5 x7 : 1860. arcsin x2 5 5 6 x2
x 2 2 x2 2x 2 x 2 2 x 2 ln x 1 x 2 2 x 2 2 ln : x z4 ln 22 z 1 2 2 z 1 3
1861.
z x x 2 x 1 :
1862.
z 13 z 1 3 1 z 12 z 1 2 1 z 1 z 11 1 ln z 1 , z x x 2 2 x 2 : 1863.
1 2x 2 1 x x2 1 x x 2 ln : 1864. 2 2 x 2 1 x x 2
2x2 2 x : ln x x 2 1 ln x2 2
ln
2 x 2 x2 x 1 x2 x 1 x
x 1 1 2x 2 arcsin arcsin : x 1
21arctgx 6 : 1868.
1865.
x 0 :
3 ln x x 2 x 1 2 1866.
1 x 1 2x x2
1867.
6 56 3x 6 x 4 x 2 18 x 6 1 1 x3
1 z2 z 1 1 2z 1 ln arctg , z 1
z
1 x 3 : 1869. x
3z z 1 3 arctg 2 z 1 , z5 z z 3 , z 1 x 2 : 1870. 3 ln 2 2z 2 4 z z 1 2
z
3x x 3 : x
z 5 1
: x
3 5 5 4 5 9 z 2 z 3 3 z , z 1 x 2 : 1872. z z , 2tgx 1 tgx 1 2 1873. arctg : 1874. ln : 2 2 tgx 1 2 1871.
1875.
tg 2 x tgx 1 2tgx 3 13 ln :1876. arctg :1877. ln 2 6 tg x tgx 1 2 13 2tgx 3 13
2tgx 1 tg 2x arctg : 1878. arctg : 1 x 1 2 sin x : arctg tg 1 2 1 cos x 1 2 1 2
1879.
1880.
7 4 2 cos 4 x ln : 1881. ln cos 2 x 1 cos 4 x : 1882. 3 cos x 2 7 4 2 cos 4 x x 3 sin x 1 sin x 2 2 ln tg x 2 8 : 1883. ln tg ln : 1884. ctg 2 x sin x x sh2 x sh 2 x 1 thx 2 ln 1 4ctg 2 x : 1885. : 1886. ln : 1887. 4 thx 2 x ath b sh2 x ex 3 arctg : 1888. ln : 1889. arctg , 3 ex 3 a b a b2 x ath b b 2 a 2 »ñµ b a , ln , »ñµ b 2 a 2 : 1890. x b a ath b b 2 a 2 x 2th 2x 5 3 5 1 15 3th 1 5shx 3chx ln x2 : 1891. x ln 8 th 2 3 3 5 2th 2x 5 3 5
1 1 thx 3 53 ln 4chx 5shx 6 : 1892. ln arctg thx : 1893. th x 2 1 thx 11 5th 2 x : 1894. x ln 1 e x 1 e 2 x arctge x : 1895. x ln 1 e x 2 2 : 1896. e x ch1 x ln 1 e x ch1 : 1897. x x x 1 e 4sh1 2 1 e 31 e
x2 2 sin x cos x 1 ln sin x cos x 2 sin 2 x : 1 e x : 1898. arcsin 2
1899.
1 e ln 1 e x : x
x
1900.
ln
1 x x 2 ln 1 x x 2 3 x x
2x 1 2x2 x : 1901. 25 ln 2 x 20 ln x 8 : 1902. arcsin x x x ln 1 x 1 x : 1903. x 1arctg ln x 2 2 x 2 : 1904. x 1 2 1 8 x 7 x5 x3 x arctgx x : 1905. x 3 3x 3 1 x 2 2 arccos x : 9 8
arctg
arcsin e x ln 1 1 e 2 x : 1907. x 1 x 2 e arcsin x : 1908. 2 x x x : 1909. : 1910. ln x x 2 1 ln x 2 1 : 1911. 2 ln x 1 ln x x 1
1906. x e
x
ln x x 2 1
arctg x 1
x
ln x x ln : 1914. 2 x2 x2
: 1912. 2 x 1ln x 2 4arctg x 1 : 1913.
ln x
arcsin
x 1
: 1915. x
x 1 a x ln ln x 2 1 x 1
2tg 2x 1 cos x arctg : 32 sin x 3 3
a b 2 x 1 ln : x 1
4 2 1 th 2 x 2thx ctg 5 x :1918. 2 ln thx 1 th 2 x : 1919. ln 1 th 2 x 2thx
1916.
1917.
2tgx x x x 2 : 1920. 5 tg 2 x : 1921. tg : 1922. tgx 3 : 1 cos x x 1 3arctg 2 x 1 : 1924. 5 x 3 3 ln x5 3 x 2 1 : x 1923. x ln 2 2 2x 2 x 1
e xtg
1925.
x2 2x 1 arcsin : 1926. x 1 4 x 1 4 2
2x2 x 7 2 x 2x 2
1 t2 t 1 2t 1 x 1 ln x 1 x 2 2 x 2 : 1927. ln 3arctg ,t 3 : x 1 t 1
1928.
z 1 3arctg 2 z 1 , z 3 1 x : 1929. 1 ln t 2 2t 1 ln 2 1 z z2 x 18 t 2 t 1
2t 1 arctg ,
3x3 4
t x 2 x x : 1931.
8x 3 2 x3
x ln 1 e x
2arctg e x e
2 5 2t 5 1 24t 3 ln 2 , 2t 5 1 5 t t 1
3 4 x3 : 1930. x
t
: 1932.
ln x x2 ln : 1933. 4 1 x 2 2x2
arctg e x :
x
ln e x e 2x 1
1934.
2 x 2 1 arctgx arccos x x x x : 1936. 4 x : 3 1 x3 x 3 1 x3 1 1 sin x x cos x 1937. arcsin : 1938. x a ln b x : 1939. 1 e2x 3 4 sin x
arcsin e x : 1935.
ln e x 1 e 2 x : 1940.
1 3 x
2
1 94 x
1941.
:
18 1 4 x
:
1942.
1 t 1 1 t 2 t 1 2t 1 2t 1 ln ln 2 arctg arctg , t x6 1 : 6 t 1 12 t t 1 2 3 2 3 1943.
1 2x x2 2 1 2x x2 1 x2 2x ln :1944. ln 21 x 1 x 4 2 1 x2 2x
x 2 1 x2
: 1945. 2arctg
t 2 1 3t 2 3 2t 1 x 4 3 ln , t : 1946. 1 x 3t 3 2t
2 2 x 1 3 x 2 x 1 ln : 2 2 x 1 3 x 2 x 1 arcsin
x 1 2 2x x2 arctg : 2 1 x
1948.
6 2 2x x2 ln 6 2 2x x2
1 1 x 2 x2 x 1 ln x 1
x2 x 1 x3 2 ln x x 2 x 1 :1949. x , »ñµ x 1 ; sgn x , »ñµ x 1 3 3
x 1 :1950.
1947.
x x 1x cos x:1951. x x3 ,»ñµ x 1 ;
x
x x sgn x ,
x2 x , »ñµ 0 x 1 ; x 2 , »ñµ x t 1 n ax n x 1 : 1953. 1 2 t , t x x : 1956. I n x e I n 1 : 1957. 4 4 a a
»ñµ x 1 : 1952. x , »ñµ x 0 ;
In
x n 1 x 2 a n 1 x 1 ln n x n I n 1 : 1958. I n aI n 2 : 1959. I n 1 1 n n
cos x sin n 1 x n 1 shxch n 1 x n 1 I n 2 : 1960. I n I n 2 : 1961. I n n n n n cos x n2 shx n2 I n 2 :1962. I n I :1963. I n n 1 n 1 n 1ch x n 1 n 2 n 1sin x n 1
tg n 1 x In2 : n 1
2 xa xa cos sin n cos a 2 2
1966. n
c1 c
aa1 bb1 : a 2 b2
4 cos x 2 :
1970.
1971.
2 sin x cos x x arctg 2 ln tg : 1968. 102 cos x sin x 10 5 n
: 1969. A
aa1 bb1 ab ba1 , B 21 , C a b a b2
7 3 2tg 2x 1 1 x ln ln 3 sin x 5 21 7 3 2tg 2x 1 5 x 1 x 1 tg ln 2 sin x cos x : 2 2 2 8 2
1972.
2ab1 bc1 ba1 ac1 aa1 2bb1 a 2 c1 b 2 a1 2abb1 , B , C : 1973. a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 5 1 2tg 2x 3 cos x sin x 2 2 ln tg x 2 8 : 1974. ln 5 5 5 1 2tg 2x A
sin x 3 cos x 1975. A a1 a 2 bb1 , B a1 a 1 bb1 : 1976. b2 1 b1 2
6 2 sin x cos x arctg sin x 2 cos x ln : 10 6 6 2 sin x cos x ln
1977.
4 2
2 sin x cos x 1 3 2 sin x cos x 2 2 ln : 1979. 5 2 sin x cos x 1 4 6 3 2 sin x cos x 2 2 1 2
1tg 2x 1 sin x 2 3 cos x 4 2x4 1 : 1981. 1 x4 : x 1tg 2x 1 2 1 1 cos x x 1 a 1 x x 1982. arctg tg , »ñµ a 1 ¨ a 0 ; sin x , »ñµ a 0 ; , 2a a a 1 2 x tgx x »ñµ a 1 : 1983. arctg , »ñµ a 0 , a 1 ; a 1 a a 1 a a 1 ln
tgx a x sin 2 x ln , »ñµ a 0 ; , »ñµ a 1 ; ctgx x , 2a 1 a tgx a
»ñµ a 0 : 1984.
: 3 3tg 3 x
tgx a sin x b cos x : 1985. : 1986. aa ax b tgx a b a cos x b sin x
1987.
xarctgx b ax 2 b
ax 2 b , arctg a b b a b
»ñµ
ab;
ax 2 b b a , »ñµ a b ; , »ñµ ln a b x2 1 b ax 2 b 2b b a ax 2 b b a xa 2x a b ln 1988. : 1989. ab: x b a b a b 2 x a x b
xarctgx 1
xarctgx
x 1 x 1 1 x x 1 , »ñµ a 2 b 2 ; arctg , arctg arctg 2 2 2 b a a a b b b 2b x b b k n 1 1 ab »ñµ a 2 b 2 : 1990. x a b n ln x b Cnk 1 : 1991. x b k 1 k ab1 ba1 aa bb a b a b ln achx bshx 21 2 1 x ,»ñµ a 2 b 2 , 1 1 x 1 1 sh2 x 2a 4a a b a b b a x 1 1 sh 2 x , »ñµ 1992. ln 5th 3 : 1993. a b : 2a
4th 2x 3 1 : arctg 7 4chx 3shx 7
th x 2 4 arctg th 2x 1 : 1995. ln 2 x 2 3 th 2 2th 2x 4
1994.
ln sin 3 x cos 3 x : 1996.
aa bb1 1 ab1 ba1 x 1 ln tg 2 a b a cos x b sin x a 2 b2
a , áñï»Õ sin , a2 b2 b 1 tgx a 2 2 : 1997. arctg tgx , »ñµ a 0 , ab 2b a tg x b b a 2 b2
cos
ctg 3 x tgx , »ñµ a 0 , b 0 ; 4 , »ñµ a 0 , b 0 : 1998. 4 4 tgx : 1999. 3a b n xa k 2 k k ln cos ln x 2ax cos a 2 2 sin 2 n 1 n n n 2na x a k 1
b 0;
arctg
x a cos kn :2000. a sin kn
a 2 b2 ;
x b2 b2 x2
a 2 b 2 : 2001. a 0 : 2002.
n a
ln
a b2 a 2
, »ñµ a 2 b 2 ;
xn a a n
x2 a2
ln
a a 2 b2
, »ñµ a 0 ;
x a a
n n xb , »ñµ ba xa
2ln x 2 x a 2 a ln
,
»ñµ
b2 a 2 x a b2 x2
ab;
arccos
a 2 b2 x b a2 x2
a arccos , »ñµ n a xn
, »ñµ bx
xa a , »ñµ xa a
, »ñµ
a b : 2003.
a 0 ; 2ln x 2 x a
ln x x 2 a 1 4 a arctg »ñµ a 0 : 2004. x a ln x x 2 a x2 a a 1 arctg x a , , »ñµ a 0 ; ln x x a a
xa , a
»ñµ a 0 ;
b 0;
x sin x cos x 1 ln 2 x , »ñµ a 0 : 2005. , »ñµ bax b sin x a bx cos x x
sin x x cos x , »ñµ a x sin x cos x
b 0 : 2006.
a 1x arctg 2a a 1 1 x2
x2 1 x 1 x2 arcsin x , »ñµ 2 4
arcsin x , »ñµ a 1;0 0; ; 2a 1 ax 2
a0;
arcsin x 1 x 2 a 1x ln , 2a 1 ax 4a a 1 1 x 2 a 1x
a 1 ;
»ñµ
tg x 1 2 arcsin x x , »ñµ a 1 : 2007. ln 2 x 2 x 3 tg 2 tg 2 1 2 1 x 2 1 x2 x 2tg 2 1 n2 x n 1 arctg : 2008. x a : 2009. , »ñµ x n; n 1 , n Z : 1 1 2010. xarctg ln 1 x 2 : 2011. x ln x x , »ñµ x 0 ; x , »ñµ x 0 : x 2
¶ÉáõË 2013. 12,5 : 2014. 88
49n 1 35 ; n 2 cos n4n1 4n sin 4n
: 2015. : 2016. ³) 10 ;µ) 0 : 2017. n sin 2n n
49n 1 35 : 2018. n 2 cos n4n1
;
4n sin 4n
;
:
10 210 1
2 n 10 210 1
n
n
n 2 1
2019.
n 2 1
: 2020. 0 ; b a : 2021. 3 : 2022. 2 : 2023.
a 1 1 1 b : 2024. 1 : 2025. : 2026. ln : 2027. C b a : 2030. àã: 2031. ln a a b a 11,25 : 2032. : 2033. : 2034. : 2035. 1 : 2036. : 2037. 2 sin a arctg : 2038. : 2039. ln 2 : 2040. : 2041. 0,5 : 2042. ln 2 : 2043 2 : ab b 2044. 2 2 2 1 3 : 2045. 4 : 2046. 1 p 1 : 2047. 6 : 2049. 0 : 2050.
sin a 2 : 2051. 2t 1 t 4 : 2052.
3x2 1 x
cos sin 2 x : 2054. 4 x 3e x : 2055. 1 : 2056.
2x 1 x4
: 2053. sin x cos x
2 : 2057. 0 : 2058. 2 : 2059. ³)
1 e 2 ln : 2061. : 2062. 4 : 2063. 1 : 2064. : 2065. 2 2 e 2 3 6 1 : 2066. ln 4 : 2067. 21 : 2068. 1 6 : 2069. ln : 2070. e
5 6 ; µ) t 2 : 2060.
2 1 2 64 2 86 2 2 : 2071. : 2072. 2 ln : 2073. 3 1 : 2074. ³) x t 1 3 ýáõÝÏóÇ³Ý t 0 Ï»ïáõÙ áñáßí³Í ã¿; µ) x ctgt ýáõÝÏóÇ³Ý t 0 Ï»ïáõÙ 5 1 2 5 : 2080. ln 2e : 2081. ln : 2 2 1 1 2 3 3 2082. 0 : 2083. 1 6 : 2084. ln 2 : 2085. e 1 : 2086. : 2087. ³) µ³ó³ë³Ï³Ý ¿; µ) ¹ñ³Ï³Ý ¿; ·) ¹ñ³Ï³Ý ¿; ¹) µ³ó³ë³Ï³Ý ¿: 2088. ³) I 2 -Á; µ) I 2 -Á; ·) I1 -Á: 2089. ³) µ) ; 1: 2090. I ; 1 ; 4 2 1 áñáßí³Í ã¿: 2075. γñ»ÉÇ ¿: 2079. ln
µ) 0,005 I 0,01 , 1 e 100 : 2091.
50
0 1 :
2092.
a
; µ) 2 : 2095. ³) 1 ; µ) : 2096. ³) ; µ) 2 : 2097. ³) ln 2 ; µ) 1 : 2098. ³) 0 ; µ) ln 9 : 2099. ³) ; µ) e 3e ln 2 : 2101. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2102. ³) î³ñ³Ù»ï ¿; µ)
1 : 2093. ³) 1 ; µ) 2 : 2094. ³)
ï³ñ³Ù»ï ¿: 2103. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2104. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2105. ³) î³ñ³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2106. ³) î³ñ³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2107. ¼áõ·³Ù»ï ¿ min p, q 1 max p, q ¹»åùáõÙ: 2108. ³)
0 ; µ) 0 ; ·) 0 ; ¹) : 2125.
5 6 : 2138.
a b f b f a :
2136. ³) A ; µ) A : 2137.
3 : 2139. x 1 2 : 2140. 1 ln 2 : 2142. àã: 2145.
e 2 : 2146.
4n : 2147. 2 , »ñµ 1 ; 2 , »ñµ 1 : 2148. 2 , »ñµ 1 ; 2 , »ñµ 1 : 2149. 2 4 : 2150. 200 2 : 2154. ³) 8 15 ; µ) 32 35 ; ·) 35 128 : 2164.
I m, n m !n ! m n 1 ! :
2165.
n
n 1
I n 1 n ! m 1
:
2166.
n I n 1 4
arccoscos x :
1k : 2167.
n
2k 1
k 1
2171.
n I n 1 ln 2
x x 12x 1 x 2 x :
n
k 1
2172.
1k 1 : 2170. k
x2 xx
2173. arccoscos x : 2174. 14 ln 7 ! : 2175. ln n ! : 2176. 1 n 2 1k 1Cnk ln k 1 : 2188. : 2177. 30 : 2186. I n n ! : 2187. I n n ! k 1
x x 1 :
2n 3!! a n 1 sgn a : 2189. I n 1!! , »ñµ n -Á ½áõÛ· n 2n 2 !! ac b 2 n n !! 2 n 1!! , »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿: 2190. I n 1!! , »ñµ n -Á ½áõÛ·
In
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n !! n !! n 1!! , »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿: 2191. ³) ln 2 2 ; µ) ln 2 2 ; ·) ln 2 2 ; In n !! ¹) ln 2 2 : 2193. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ n 1 : 2194. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2195. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1, q 1 : 2196. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 , q 1 , p q 1 : 2197. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 , q 1 : 2198. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 , q 1 : 2199. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1, r 1 ¨ »ñµ p 1, q 1, r 1 : 2200. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2201. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 p 2 : 2202. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 ; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2203. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2204. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 2 ; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 : 2206. ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: 2207. ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: 2208. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ n 1 ,å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ n 1 : 2209. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 1 p q 0 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
0 1 p q 1 : 2210. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 2, q p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 2, p q p 1 : 2211. ³) àã; µ) áã: b
2214. àã: 2215. 1 e : 2223.
f x dx : 2243. 1 2 : 2245. ln f xdx : 2246. ³) a
p
f 1 g 1 ; µ) exp ln g x dx : 2254. 1 : 2255. ³) 4 ; µ) 4 ; ·) 4 ; ¹) 0
m
0 : 2256. ³) 2 k 1
2259.
T
1k 1 , »ñµ 2k 1
n 2m m Z ; 2 , »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿; µ) n :
1 T
f t dt :
¶ÉáõË
a 2 1 a 1 : 2269. 4,5 : 2270. a a ln a 2 1 : 2271. : 2272. 2 ln 2 2e 1 : 2273. 2 : 2274. 1 e a 1 a 2 : 2275. 1 1 2 2 3 : 2276. :2277. : 2278. ln 3 : 2279. 2 1 : 2280. : 2 3 3 94 2 2281. : 2282. ab : 2284. 10 10 1 : 2285. 4 2 ln : 2286. ln 3 4 : 2287. ln 3 : 2288. 3 ln 2 : 2289. ln 2 3 : 2290. : 2291. 26 :
2265. 2 : 2266. 1 e a : 2267. 1 : 2268.
2292. 6a : 2293. 8a : 2294. a 2 5 ln 2 5 : 2295. 10a : 2296.
eb 1 : 2297.
a b2 1 b
aT 2 : 2298. 0,5 ch 2 2T 1 : 2299. 2 5a : 2300. 2shT :
27 2 2 : 2302. 5 e 2 1 : 2303. a 2 b 2 shT : 2304. 2,5 : 2305. a a 1 4 2 ln 2 1 4 2 : 2306. 2 4 2 8 : 2307. a : 2308. 3 2 1 2 8a : 2309. 2 3 3 : 2310. r h : 2311. h R 2 rR r 2 : 2312. R 3 : 2 4 15 2313. : 2314. : 2315. : 2316. 4 : 2317. : 2318. e2 1 6 e 43 : 2319. : 2320. ab 2 : 2321. : 2322. 2 e2 2301.
ln
: 2323. 2
1 1 e2 e 1 2
17 4 2 ln 1 2 : 2324. 2 ln 2 1
17 3 : 2325. : 2326. 20 9 ln 3 : 2327. 185 144 ln : 2328. 144 2 4
ab sh4 4e 2 : 2329. 4,5 : 2330. 3 3 : 2331. 1,6 : 2332. ³) 2,25 ; µ) 3 2 8a 2 p 2,25 : 2333. k p : 2334. ; p : 2335. ab : 2336. a : 2337. : 2338. 2 8 15 : 2339. 3a 2 : 2340. a 2 4 3 3 3 : 2341. 7a 2 192 : 2342. e 4k 1
L2 4k :
2343.
3a 2 2 :
1 ln 2 3 2 : 2346. a 2350. a
P 2 1 2 : 2345. ³)
2344.
2 3;
µ)
6 : 2347. a 60 : 2348. a 8 2 : 2349. 3a 8 :
2 : 2351. 7a 512 : 2352. 2a 3 : 2353. a 1 2 2 : 2355. 3 3 :
2356. 6a : 2358. 7 3 : 2359. 1 : 2360.
R 4 8 3 : 2361. shR : 2362. 8 :
1 a ab b 2 ln 2 1 1 : 2364. 4 : 2366. 9 : 2367. 1 sin 1 : ab 2
2363. a
2368. 128 15 :2369. a 3 ln 2 0,5 :2370. 3 ln 32 ln 3 1 :2371.³) 32a 3 105 ; µ) 3 2 a 3 4 : 2372. ³) 16a 3 15 ; µ) 2 a 3 2 ; ·) 16a 3 3 ; ¹) 16a 3 3 : 2373. ³)
5 2a 3 ; µ) 6 3a 3 ; ·) 7 2 a 3 : 2375. 8a 3 3 : 2376. 2a 3 2 2 6 3 : 2378. ³) 2 2
2 2
64a 3 ; µ) 16 a : 2379. ³) 18 a ; µ) 24a : 2380.³) 2 ; µ) 10 2 3 : b4 4 a 2 b 2 2 : 2385. ³) 5a b 2 a 2 2a 2 2 2 ; µ) 2 2a 2 ;·) 4a 2 : 2386. M x a b2 , M y a b2 : a2 a 2 b 2 2387. M x b b arcsin , M y 0 : 2388. M x M y a 2 : a a b 32a 2 5 : 2383. 4 2a 2 : 2384.
2382.
2389. M x
32a 2 2a 4a , M y 8a 2 : 2390. xc yc : 2391. xc a , yc :
1 e 2 2 2 : 2393. R 2a 2 R 2 : 2394. M x , M y 0 : 2395. 9p ah 3 4R Mx My : 2396. xc 0 , yc : 2397. x c y c : 2398. : 3 2399. 8a 4 7 : 2400. f -Á ¨ g -Ý Ýß³ÝÝ»ñÁ ã»Ý ÷áËáõÙ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝ-
2392.
åÇëÇ , Ãí»ñ, áñ f x g x ¨ 2 2 0 : 2401. a b : 2402.
b f x x : 2404. a
f x
1 cx
c 0 :
2405.
a : 2406. e 2k : 2408.
1
3a 2 d 2R : 2412. xc 0 , yc 4R 5a (ÏÇë³ßñç³Ý³·ÇÍ); xc 0 , yc (ÏÇë³ßñç³Ý): 2413. xc a , yc : 3 f x cx 2
c 0 : 2411.
S 6ad , V
´ á í ³ Ý ¹ ³ Ï áõ Ã Û áõ Ý
ºñÏñáñ¹ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛ³Ý Ý³Ë³µ³Ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ²é³çÇÝ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛ³Ý Ý³Ë³µ³Ý . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ¶ÉáõË 1. Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ . . . . . . . . . . . . 6 ¶ÉáõË 2. Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 ¶ÉáõË 3. üáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ¶ÉáõË 4. ²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ, ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ . . . 73 ¶ÉáõË 5. üáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 ¶ÉáõË 6. ¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ, ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ¶ÉáõË 7. ܳËÝ³Ï³Ý ýáõÝÏódz, ³Ýáñáß ÇÝï»·ñ³É . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 ¶ÉáõË 8. èÇÙ³ÝÇ ÇÝï»·ñ³É, ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . 179 ¶ÉáõË 9. ÆÝï»·ñ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ä³ï³ë˳ÝÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
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