Մաթեմատիկական անալիզի խնդիրագիրք. Մաս 2
- Լեզու:
- Հայերեն
- Առարկա:
- Մաթեմատիկա
- Տարեթիվ:
- 2026
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- ≈ 379 րոպե ընթերցանություն
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Ðî¸ 517(076.1) ¶Ø¸ 22.161 ց7
ISBN 978-5-8084-1834-9
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Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
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n 1
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ß³ñùÁ
n 1
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Î á ß Ç Ç ½ áõ · ³ Ù Ç ï áõ Ã Û ³ Ý ë Ï ½ µ áõ Ý ù Á : àñå»ë½Ç
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ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³-
n 1
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³å³
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ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ »Ã» C n 1 , »ñµ n n0 , ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
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n 1
an
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n 1
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ß³ñùÁ: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í : N N
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ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ
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ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
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ß³ñùÇ
An
Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ-
n 1
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ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
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n 1
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bn
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n 1
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cn
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n 1
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n 1
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³ñï³¹ñÛ³É ß³ñùÁ, Áݹ áñáõÙª
n 1
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n 1
n 1
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n 1 n
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n
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n k 1
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n
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k 1
ln pn
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n 1
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2414. 2417.
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q 1 :
n
2415.
n0
n 1
nn 1 :
n
:
2416.
1 n 1
1
2 n 3n :
3n 2 3n 1 :
2418.
n 1
1n
n 1
2419. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ý»ñϳ۳óí³Í »Ý
n 1
an bn 1 bn ï»ëùáí ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim bn b í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, n
³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, Áݹ áñáõÙª
an b b1 : n 1
гßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ (2420-2425).
2420.
n 2 2 n 1 n :
2421.
n 1
n 1
2422.
sin 2 n cos 2n
:
2423.
n 1
n n2 1 : nn 1 n 1
2425.
1
ln 1 n 2 :
n2
2424.
nn 1n 2 :
n !n 2 :
n0
êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ß³ñù»ñáõÙ µ³ó³Ï³ÛáõÙ ¿ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ (2426-2429).
2426. ³)
n
1
;
µ)
n 1
3
n 1
n2
;
µ)
n 2n 4
n 0,01 ; n 1
:
n3 1
n 3 sin n 1
2428. ³)
n
n 1
2427. ³)
n1
µ)
sin n 1
n :
: n 2
n
n 1 2429. ³) ; n 1 n 1
µ)
n
n
n
1 n n
n 1
n
:
2430. êïáõ·»É, áñ ß³ñùÇ ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÁ Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, µ³Ûó ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿.
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n 1
; n
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µ)
·)
1
ln1 n :
n 1
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an n n 1 1 2432. ³) ; n 1 n
cos nx : n n 1 2 µ) : n 1 nn 1
an 10 ;
2431. ³)
µ)
µ)
nn 1 :
2433. ³)
2434. ³)
; n 1 n
sin x n
n 1
n 1
n2 1 ;
µ)
n 1
n 1
ln1
1 : n
2435. ¼áõ·³Ù»±ï ¿ ³ñ¹Ûáù
an n 1
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n
2436. ²å³óáõó»É, áñ
³) »Ã»
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨ Ýñ³
n 1
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an k N ; nk
µ) »Ã» ß³ñùÇ áñ¨¿ Ùݳóáñ¹ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨ ß³ñùÁ: 2437. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ Ýñ³ k -ñ¹ Ùݳóáñ¹Á Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ k : 2n
2438. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» lim an 0 ¨ S 2 n n
ak
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
k 1
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an
ß³ñùÁ:
n 1
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2439.
n
:
n 1
òáõóáõÙ: ú·ïí»É
n
2440.
1 1 1 n 1 1 n 1
1, n 1 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó:
10n 1 :
2441.
: n 1 2n 1
2443.
n 1n 2 :
n 1
2442.
n 1
n 1
sin 2 n ! : n 1 n n
2444.
2445.
n 1
1 cos
n 1
n p a1n p 1 a p n q b1n q 1 bq
2450.
n 1
2454.
n
1 1n
n
q
1 : n n
n 1 n 1 : n2 n 1 n 1 2453. ln : n 1 n2
2455. n 2 e
:
:
b1n q 1 bq 0, n N :
n 1 n
2456. ³)
,
ln1 3
n 1
2451.
1sin n :
3
2447.
2n5 1
n2
tg n 2 3 :
n 1
2452.
cos 4n
2 : n 2n 1 2448. sin 3 : n 5n 3 n 1 2449.
5
n 1
2446.
sin 4 2n
: 2n 12n 1
n
:
n 1
n2
2n ;
n 1
µ)
ln n : n 1 n
2457. ¸Çóáõùª an 0 , bn 0 n N : ²å³óáõó»É, áñ
³) »Ã»
bn n 1
½áõ·³Ù»ï ¿;
an , ³å³ n b n
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ lim
an n 1
ß³ñùÁ
µ) »Ã»
bn
an 0 , ³å³ n bn
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿ ¨ lim
n 1
an
ß³ñùÁ ï³-
n 1
ñ³Ù»ï ¿: 2458. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim nan a 0 ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ n
an
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
n 1
2459. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an2
bn2
¨
n 1
Ù»ï »Ý Ý³¨
n 1
n 1
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ½áõ·³-
n 1
an n 1 n
anbn , an bn ,
an3 , bn3
2460. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n 1
n 1
ß³ñù»ñÁ:
¨
cn3
¹ñ³Ï³Ý ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï
n 1
»Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨
anbn cn
ß³ñùÁ:
n 1
2461. ²å³óáõó»É ¸’²É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ ï³ñµ»ñ³ÏÁ. ¹Çóáõùª
a n 1 q : ºÃ» an
an 0 n N ¨ lim
n
³) q 1 , ³å³
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿;
n 1
an
µ) q 1 , ³å³
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
n 1
an 1 1 ¨ n a n
´»ñ»É ûñÇݳÏÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ lim
an
ß³ñùÁ ³) ½áõ·³-
n 1
Ù»ï ¿, µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2462. ²å³óáõó»É ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ ï³ñµ»ñ³ÏÁ. ¹Çóáõùª an 0 n N ¨ lim n an q : ºÃ» n
³) q 1 , ³å³
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ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿;
n 1
µ) q 1 , ³å³
an
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
n 1
´»ñ»É ß³ñù»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ lim n an 1 ¨ n
an
ß³ñùÁ
n 1
³) ½áõ·³Ù»ï ¿, µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: ú·ïí»Éáí ¸’²É³Ùµ»ñÇ Ï³Ù ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇóª ѻﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2463-2474).
n10
2463.
n 1! :
2464.
n 1
n 1
:
n 2466. 2 n 1 n 1
2465. : n n 2 ln n
2n n ! n : n 1 n
2467.
n3
3n
2468.
n
n2
:
2n 1!! 1 4 3n 1 :
n 1
2469.
2n 1!! :
n 1
3 n!
2n 1 2471. n 1 2 n 1
n 1 2473. n 1 n 1
2470.
n 2 n 1 n 3
2472.
3n ! : 3 3n n 1 n ! 4
2474.
n5 n n: n 1 2 3
n
n n 1
:
: n4 3 n1
n2
:
ÎÇñ³é»Éáí ÎáßÇÇ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ Ñ³Ûï³ÝÇßÁª ѻﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2475-2478).
2475. ³)
n R ;
n 1
2476. ³)
n 2e n
;
n 1
2477. ³)
n ln n ;
n2
2478. ³)
; n 3 n ln n ln ln n
ln n : n 1 n µ) 2 : n 1 n 3n 5 µ) : n ln n ln ln n n 3 n 1 ln n µ) 2 : n 1 n 2 n µ)
²å³óáõó»É ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2479-2482).
sin 2n 1 : 3 n 1 n n 2
2479.
2481.
n 3e
n
2480.
n 1
sin n ! :
2482.
1n ln 2 n : 2n
n n 2n ! :
n 1
n 1
ȳ۵ÝÇóÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2483-2486). 2483.
1n 3
n 1
n 1
2484.
n
2485.
:
4
n 1
1 n : n 1n 2
2486.
1n ln n :
n 1
n
n
1 n 1
1 cos : n
2487. ²å³óáõó»É, áñ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: γéáõó»É
an
½áõ·³Ù»ï ß³ñù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
n 1
an
ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ï³ñ³Ù»ï:
n 1
an
2488. γéáõó»É
½áõ·³Ù»ï ß³ñù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
n 1
an2
ß³ñùÁ ÉÇÝÇ
n 1
ï³ñ³Ù»ï:
2489. ¸Çóáõù
an an 0
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: òáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í
n 1
r 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
anr
ß³ñùÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù
n 1
ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: лﳽáï»É ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2490-2493).
2490.
1n
n 1
np
2492.
:
n 1 n 1
2491.
n
1 n 1
n 2en : 3n 1
1n R : n 2 n ln n
n : n 10
2493.
2494. ƱÝã ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É
an bn ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ, »Ã» n 1
³)
an n 1
¨
bn
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý;
n 1
µ)
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, bn ß³ñùÁª ï³ñ³Ù»ï;
n 1
n 1
an
·)
bn
¨
n 1
ß³ñù»ñÁ ï³ñ³Ù»ï »Ý:
n 1
´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 2494.1. лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.
³)
n1
·)
n sin 2n
n 1
n5 3
µ)
1 ¹) e n 1 sin ; n 1 n 1
;
n 1 ½) n 1 n 1 n n 1
sin n ; n !2n 1! ; 3n ! n 1
Ã)
n 1
1 n 1
ų)
n 2 4n 5
n 1
¿)
ln n 2 4 ;
n 1
»)
n2 3
n 1 n 1 ; n
Á)
ln n ; n
n 1
n
n2 1
3n
n3
;
2n 1
n 1 n n 1 2 n n 2 ŵ) 1 2 : 3n n 3 n 1 Å)
n 1
1
n 1
;
;
cos 4 n sin n ;
2495. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
pn
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ lim pn 1 : n
n 1
2496. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
pn
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ Qn
n 1
pm , m n 1
³å³ lim Qn 1 : n
2497. ²å³óáõó»É, áñ
pn pn 0
³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý
n 1
ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ
ln pn n 1
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: òáõÛó
ï³É ݳ¨, áñ
pn exp ln pn : n 1
n 1
2498. ²å³óáõó»É, áñ
pn 0 pn 0
³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
n 1
ln pn : n 1
2499. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» pn 1 n ¨ n -»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý, ³å³
pn -Ç
½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ
n 1
n
ß³ñùÇ
n 1
½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
2500. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 1 n 0 ¨
n
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ³å³
n 1
1 n 0 : n 1
2501. êïáõ·»É, áñ
1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 2 2 ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ë³Ï³ÛÝ
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2502-2509).
2502.
n2
1
1 n 2 2 :
2503.
2 1 : 2504. 1 nn 1 3 n2
1 x 2
n
n 0
2508.
x
cos 2 n n 1
1 1 x
sin x : x
n2
2506.
n3 1
n3 1 3 :
x 1 :
1 2n 2505. 1 2 : 2 n0
2507.
cos 2 n 1
:
n 1
2509.
x
ch 2 n n 1
shx : x
лﳽáï»É ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2510-2519).
2510.
n:
2513.
n 12 : nn 2 n 1
1 1 n : n2 n 1 2514. : n 1 n 2 2512.
n 1
n n2 1
1 2517. n 1 : n n 1
:
n 1
2515.
1 n p :
2519.
1 x n :
p
n 2 1 2 : n2 n 1
2518.
1
1 n :
n 1
2516.
n 1
2511.
n 1
´ гßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ (2520-2523).
2520.
2n 1 : n n 1 2
2521.
nq n
q 1 :
n 1
2n cos 3 : 2522. k N : 2523. n n 1 n n k n 1 2524. ¸Çóáõù bn -Á ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¨ d 0 ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í m N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ b b b mdb b b : n 1 n n 1 nm 1 2 m
an
2525. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
¹ñ³Ï³Ý, Ýí³½áÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñùÁ
n 1
½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ lim nan 0 : n
2526. ¸Çóáõù
an n 1 n
an 0
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, Áݹ áñáõÙª an -Á Ýí³½áÕ ¿:
²å³óáõó»É, áñ
an2 n 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
an 0
2527. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an
¨
n 1
bn bn 0
»Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï »Ý ݳ¨
min an , bn ¨ maxan , bn ß³ñù»ñÁ: n 1
n 1
2528. ¸Çóáõù
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï
n 1
an an 0
¨
n 1
bn bn 0
ß³ñù»ñÁ ï³ñ³Ù»ï »Ý: ƱÝã
n 1
ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É ³) min an , bn ; µ) n 1
maxan , bn
ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõ-
n 1
ÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ:
n N : ƱÝã ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É cn
2529. ¸Çóáõùª an cn bn
ß³ñùÇ ½áõ·³-
n 1
ÙÇïáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ, »Ã»
an
¨
n 1
bn
ß³ñù»ñÁ ³) ½áõ·³Ù»ï »Ý; µ) ï³ñ³-
n 1
Ù»ï »Ý:
2530. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an an 0
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ lim
n
n 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ »Ã» lim n
a n 1 1 , ³å³ an
a n 1 1 , ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: (¸ÿ²É³Ùan
µ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇß):
γéáõó»É
an
a n 1 n a n
¹ñ³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ß³ñù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ lim
n 1
:
2531. ¸Çóáõù
an an 0
a2 n a p , lim 2 n 1 q : n a n a 2 n 1 2n
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ lim
n 1
²å³óáõó»É, áñ »Ã» pq 1 , ³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2532. ¸Çóáõùª lim n an q an 0 : ²å³óáõó»É, áñ n
³) »Ã» q 1 , ³å³
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿;
n 1
µ) »Ã» q 1 , ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿ (ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇß):
лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2533-2534).
n n
n3 2 1 2533. 3n n 1
1 cos n 2534. n 1 2 cos n
:
2 n ln n
:
2535. ²å³óáõó»É, áñ ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÝ ³í»ÉÇ áõÅ»Õ ¿ ù³Ý ¸ÿ²É³Ùµ»ñÇ Ñ³Û
ï³ÝÇßÁ. ó³Ýϳó³Í
an an 0 ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ n 1
a a lim n 1 lim n an lim n an lim n 1 : n n a n an n n a n 1 : n a n
γéáõó»É ß³ñù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ lim n an 1 , µ³Ûó lim n
a an 0
2536. ¸Çóáõù
n 1
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É ÎáõÙ»ñÇ Ñ³Û-
n
ï³ÝÇßÁ. »Ã» bn 0 n N ¨
b
³) lim an n an 1 0 , ³å³ bn 1 n
b
µ) lim an n an 1 0 , ³å³ n bn 1
bn
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿;
n 1
bn
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
n 1
2537. ²å³óáõó»É
³) è³³µ»Ç ѳÛï³ÝÇßÁ. »Ã»
an
an 0
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ
n 1
a lim n n 1 p , ³å³ p 1 ¹»åùáõÙ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ p 1 n an 1 ¹»åùáõÙª ï³ñ³Ù»ï;
µ) ´»ñïñ³ÝÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ. »Ã»
an
an 0
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ
n 1
a lim n n 1 1 ln n q , ³å³ q 1 ¹»åùáõÙ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ n a n 1 q 1 ¹»åùáõÙª ï³ñ³Ù»ï: 2538. гٻٳï»É ¸ÿ²É³Ùµ»ñÇ, è³³µ»Ç ¨ ´»ñïñ³ÝÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÁ: ´»ñ»É ß³ñù»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ, áñáÝó ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ ³) Ñݳñ³íáñ ¿ ѻﳽáï»É è³³µ»Ç ѳÛï³ÝÇßÇ ÙÇçáóáí ¨ Ñݳñ³íáñ 㿪 ¸ÿ²É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ÙÇçáóáí;
µ) Ñݳñ³íáñ ¿ ѻﳽáï»É ´»ñïñ³ÝÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ÙÇçáóáí ¨ Ñݳñ³íáñ 㿪 è³³µ»Ç ѳÛï³ÝÇßÇ ÙÇçáóáí: 2539. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an an 0 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
an p 1 1 o an 1 n n
n ,
1 n : Àݹ áñáõÙ, »Ã» p n p 0 , ³å³ an -Ý Ç í»ñçá ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ lim an 0 :
³å³ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ an o n
bn
2540. ¸Çóáõù
an p 1 bn a n 1 n
ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨
n 1
n N : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
c 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ an ~
c , np
»ñµ n :
2541. ¸Çóáõù
an an 0 ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ n 1
an bn , n N , a n 1 n
Ý»ñϳ۳óáõÙÁ, Áݹ áñáõÙ
bn
ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É
n 1
¶³áõëÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ.
an
ß³ñùÁ
n 1
³) ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ϳ٠1 ¨ 1 ; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ϳ٠1 ¨ 1 : ú·ïí»Éáí è³³µ»Ç ϳ٠¶³áõëÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇóª ѻﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2542-2549).
2542.
2
a 23 a 2n a
a 0 :
n 1
n !e n 2543. n p : n 1 n
n !n p n 1 q q 1 q n
2545.
q 0 :
p
2n 1 !! 1 2544. q: n 1 2 n !! n p p 1 p n 1 1 2546. : n! nq n 1
p p 1 p n 1 2547. p 0, q 0 : n 1 q q 1 q n 1 n! 2548. : n 1 2 1 2 2 2 n 1 n 1 1 n 1 2549. , , 0 n ! 1 n 1 n 1
(ÑÇå»ñ»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ß³ñù):
2550. îñí³Í ¿
an
¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñùÁ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n 1
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 0 ¨ n0 N Ãí»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
an ³) 1 , n n0 , ³å³ an ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿; ln n n 1 ln an µ) 1 n n0 , ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ln n ln
лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2551-2552).
: 2552. : ln n ln ln n n 3 ln ln n n 2 ln n 2553. ¸Çóáõù an -Á áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí Ç í»ñçá Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³-
2551.
ϳÝáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ
an
¨
n 1
2 n a2
n
ß³ñù»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ-
n 1
·³Ù»ï »Ý ϳ٠ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï (ÎáßÇÇ Ã»áñ»Ù):
2554. ¸Çóáõù an 0 ¨ pm max n : an 2 m : ²å³óáõó»É, áñ
an
¨
n 1
pn 2 n
ß³ñù»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ·³Ù»ï »Ý ϳ٠ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³-
n 0
Ù»ï (Èáµ³ã¨ëÏáõ ѳÛï³ÝÇß): 2555. ¸Çóáõù f : 1; 0; ýáõÝÏóÇ³Ý ã³×áÕ ¿, ÇëÏ
·ñ³ÉÁ` ½áõ·³Ù»ï: ²å³óáõó»É, áñ
f n
f x dx ÇÝï»-
ß³ñùÇ Rm
n 1
ѳٳñ ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÝ»ñÁ.
1
f n n m 1
Ùݳóáñ¹Ç
f x dx Rm f m 1
m 1
f x dx :
m 1
2556. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
1 1 ; µ) : 4 2 2 n 1 n 1 n n 1 2557. ¸Çóáõù f : 1; R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï: ²å³³)
n2 1 n
n
óáõó»É, áñ an 1 f x dx f k ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: k 1
²å³óáõó»É ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á (2558-2561).
ln n C n , n áñï»Õ lim n 0 , ÇëÏ C -Ý ¾ÛÉ»ñÇ Ñ³ëï³ïáõÝÝ ¿: 2558. 1
n
n1 ~ 0 1 : 2 n 1 1 2560. ~ 1 : 1n 1 k n k 1 1 1 n 2561. e 1 0 n 1 : 1! 2 ! n ! n !n 2562. ¸Çóáõù f : 1; 0; ¨ : 1; 0; ýáõÝÏódzݻñÇó ³é³çÇÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª ³×áÕ: ¸Çóáõù ݳ¨ -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, x x ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f x x lim x f x 2559. 1
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ »ñµ 1 ,
f n
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿,
n 1
ÇëÏ »ñµ 1 ª ï³ñ³Ù»ï: 2563. ܳËáñ¹ ËݹñáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í ѳÛï³ÝÇßÇó ëï³Ý³É ¸ÿ²É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:
2564. ²å³óáõó»É, áñ ÙáÝáïáÝ ¨ ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí
an
ß³ñùÁ ½áõ·³-
n 1
a2n 1 a ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ lim 2 n : n a n a n n
Ù»ï ¿, »ñµ lim
2565. ò³Ýϳó³Í an ¨ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É ÐÛáɹ»ñÇ ¨ ØÇÝÏáíëÏáõ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
pp q q anbn an bn , n 1 n 1 n 1
pp pp pp an bn an bn , n 1 n 1 n 1 1 1 áñï»Õ 1 p ¨ 1: p q òáõÛó ï³É, áñ »Ã» ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë ÏáÕÙáõÙ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ³å³ ³ç ÏáÕÙáõÙ ·ñí³Í ß³ñù»ñÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ÝáõÛÝå»ë ï³ñ³Ù»ï ¿: лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2566-2584).
2566.
n 1
n a 4 n 2 n b :
2568.
ln n ! : n 1 n
2570.
a ln n b c e ln n d
1 n 1 ln : n n 1 n n 2569. n 1 1 : n 1
2567.
2571.
a b ln n c ln n a 0 :
:
n 1
n 1
2572.
:
1 ln 2 sin n ch n : 2574. ln n3 cos n n 1
a 2573. cos n n 1
2575.
n!
n 1 n
n
n ln n : n n 2 ln n
2577. n a
2578.
n n
2579. ln
n 1
1 :
n 1
n 1
:
:
2576.
n2
n
b n c
ln sin n n
a, b, c 0 : 0 :
2580.
n2n n b n b n a n 1 n a
2581.
n 1!n 2 !4 !2n ! :
a, b 0 :
: q n 3 n ln n ln ln n 2584. : n 2 ln n ! 2582.
n 1
2583.
: ln n n 2 ln n
p
лﳽáï»É ïñí³Í an ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÝ áõÝ»óáÕ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2585-2590). n
n2
2585. an
e x dx :
2586. an
n 1
2587. an
n
n
sin x dx : x
2588. an
n
x
1 x4
dx :
sin 3 x dx : 1 x
n
ln 2 k
1!2 ! n ! 2589. an : n 2 !
2590. an
k 1
:
n
2591. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
n 1
p
1
í³Í ß³ñùÁ, n k n p1 ak n
n
ËÙµ³íáñ-
n 1
1 p1 p2 , ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ
ÝáõÛÝ ·áõÙ³ñÁ: гϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿: ´»ñ»É ûñÇݳÏ:
2592. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
ß³ñùÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿ ¨
n 1
n
ËÙµ³íáñ³Í ß³ñùÁ
n 1
½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
an
ß³ñùÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿:
n 1
2593. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 1) lim an 0 , n
2)
n n 1
p
1
ËÙµ³íáñ³Í ß³ñùÁ, n k np1 ak n
1 p1 p2 , ½áõ-
·³Ù»ï ¿,
3) sup pn 1 pn , n
³å³
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
n 1
2594. ¸Çóáõù ß³ñùÁ ËÙµ³íáñí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ËÙµáõÙ Áݹ·ñÏí³Í ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ËÙµ³íáñí³Í ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ »É³Ï»ï³ÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: 2595. ²å³óáõó»É, áñ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ß³ñùÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ËÙµ³íáñ»É ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í ß³ñùÁ ÉÇÝÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï: 2596. ¸Çóáõù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý n ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ
¿, áñ sup n n : ²å³óáõó»É, áñ
an
n
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ
n 1
³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿
a n
an a n :
ß³ñùÁ: ÀݹëÙÇݪ
n 1
n 1
n 1
1
n 1
, ÇëÏ -Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É n ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ ¿. 2 n 2n 1 n N ¨ -Ý N \ 2 p : p N µ³½Ùáõ2597. ¸Çóáõùª an
ÃÛ³Ý íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿: êïáõ·»É, áñ sup n n , ë³Ï³ÛÝ n
a n n 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
2598. ¸Çóáõù
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ : N N ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ
n 1
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
lim n n sup a k 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ k n
n
a n
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨
n 1
an a n : n 1
n 1
¶ïÝ»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ (2599-2601).
3 5 7 : 2 4 8 1 1 1 1 1 2601. 1 : 2 3 4 5 6 2599. 1
2600. 1
1 1 1 1 : 2 4 8 16 32
òáõóáõÙ: ú·ïí»É ¾ÛÉ»ñÇ µ³Ý³Ó¨Çó (ï»ë ËݹÇñ 2558):
2602. гÛïÝÇ ¿, áñ
n 1
1n 1 ln 2 :¶ïÝ»É ï»Õ³÷áËí³Í ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ. n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; µ) 1 : 2 4 3 6 8 3 2 5 7 4 1n 1 2603. êïáõ·»É, áñ ½áõ·³Ù»ï ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõn n 1 ÃÛáõÝÇó ëï³óí³Í 1 ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ³) 1
лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2604-2607).
ln10 n n sin : n 1 n
2604.
2606.
n
1 n 1
2605.
sin
n 1
sin n : n
2607.
n 2 k 2 :
n 2 n 1 : ln 2 n
cos
n2
2608. ¸Çóáõù bn 0 ¨ lim bn 0 : ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ n
n
1
bn ß³ñùÁ
n 1
½áõ·³Ù»ï ¿:
2609. ¸Çóáõù
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ lim
n
n 1
an 1 : γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù bn
åݹ»É, áñ
bn
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
n 1
2610. ¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÇó ëï³Ý³É ²µ»ÉÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:
2611. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n 1
1
an
an 0 ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ
n 1
an p 1 1 o n , an 1 n n áñï»Õ p 0 , ³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
2612. ²å³óáõó»É, áñ
ln 1 an ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ n 1
³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿
an
ß³ñùÁ:
n 1
лﳽáï»É ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2613-2624).
2613.
ln 1
1n :
n2
np
2614.
n 1
1n : n p n 2 n 1
2615.
2616.
n 2617. : n n 1 p n sin sin nx 2619. 0 x : n 1 n n 1 2 n 1 !! 1 2n !! n 1 1ln n 2623. : n
2621.
n 1
2625. ¸Çóáõù
R x
n 1
sin
n 1
1
1n 1 : n 1 p n 1
2618.
2n sin 2n x : n
1
n n 1
n 1
2620.
sin 2n ln 2 n : n
n 1
p
:
2622.
n 1
n10 : 2n
1 n : np
1 n 1 : n! n 1
2624.
a0 x p a1 x p 1 a p b0 x q b1 x q 1 bq
, áñï»Õ
b0 x q b1 x q 1 bq 0 , »ñµ x 1 : лﳽáï»É
a0 0 , b0 0 ¨
n 1 R n
ß³ñùÇ µ³-
n 1
ó³ñÓ³Ï ¨ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: лﳽáï»É ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2626-2629).
1p 2627. p 2628. p 2629. p 2626.
2q p p q
q p q : p p p p p : p p p p p p p : p p q p p q p :
2630. ¸Çóáõùª
an : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
qn ѳçáñ¹³-
n 1
ϳÝáõÃÛáõÝ,³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
an qn : n 1
2631. ¸Çóáõùª
an : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
qn 0 ѳçáñ¹³-
n 1
ϳÝáõÃÛáõÝ, áñÇ Ñ³Ù³ñ
an qn : n1
êïáõ·»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2632-2634).
n 1 1 2632. 1: n 0 n ! n 0 n !
a n 1n a n 2634. ³) n 0 n ! n ! n
2633. q n n 1q n n0 n 0
1:
q 1 :
2a n an µ) : n0 n! n 0 n !
2635. úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ Ø»ñï»ÝëÇ Ã»áñ»ÙáõÙ ß³ñù»ñÇó Ù»ÏÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÝ ¿³Ï³Ý ¿:
òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É
n 1
1n 1
½áõ·³Ù»ï ß³ñùÇ ù³é³ÏáõëÇÝ:
n
2636. êïáõ·»É, áñ n
3 3 1 ¨ 1 n 1 n 1 2
n 1
1 n 2 n 1 2
ï³ñ³Ù»ï ß³ñù»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ß³ñù ¿: 2637. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »ñÏáõ ß³ñù»ñÇó Ù»ÏÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁª ï³ñ³Ù»ï, ³å³ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
2638. ¸Çóáõù
an
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý tn ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³-
n 1
ϳÝáõÃÛáõÝ ( lim tn T ) ¨ k N ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇù, áñ an tn t n k : ²å³óáõn
ó»É, áñ
an t1 t2 tk kT : n 1
2639.
¸Çóáõù
c1 , c2 ,..., ck R ,
c1 c2 ck 0 ,
lim tn T
n
¨
an c1t n ck tnk 1 n N :²å³óáõó»É, áñ
an c1t1 c1 c2 t2 c1 ck 1 tk 1 c2 2c3 k 1ck T : n 1
¶ïÝ»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ (2640-2642).
1 4 : n 1 n2 n 1 n
2640.
n 1
2641.
1
ln n ln n 1 ln n 2 :
n 2
n sin n 2n 1sin n 1 n 2sin n 2 :
2642.
2643. ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í x 0;1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
an x n
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
n0
ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
an x n S x 1 0 lim
n0
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý
an
ß³ñùÇ ·áõÙ³ñ ²µ»ÉÇ
n 0
A
ÇÙ³ëïáí ¨ ·ñáõÙª
an
S :
n0
²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an S , ³å³ an n0
A
S (²µ»ÉÇ Ã»áñ»Ù):
n0
γéáõó»É ï³ñ³Ù»ï ß³ñù, áñÝ ²µ»ÉÇ ÇÙ³ëïáí áõÝÇ í»ñç³íáñ ·áõÙ³ñ:
S S S ak , n 0 n1 1 n n N : n
2644. îñí³Í ¿
an
ß³ñùÁ ¨ S n
n 0
k 0
ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim n í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý n
an
ß³ñùÇ ·áõÙ³ñ ⻽³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí ¨ ·ñáõÙ
n 0
n0
»Ã»
C
an : ²å³óáõó»É, áñ
C
an , ³å³ an : n0
n0
γéáõó»É ï³ñ³Ù»ï ß³ñù, áñÁ ⻽³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí áõÝÇ í»ñç³íáñ ·áõÙ³ñ:
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2645-2646).
2645.
1 n 1
: 2 2n 1 4
2646.
n 1
1
1 4n 2
:
òáõóáõÙ: ú·ïí»É ì³ÉÇëÇ µ³Ý³Ó¨Çó (ï»ë ËݹÇñ 2156):
2647. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã»
pn
¨
n 1
qn
³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ
n 1
½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ.
³)
pn qn ;
n 1
pn2 ;
µ)
·)
n 1
pn qn ;
¹)
n 1
p
qn : n 1
n
лﳽáï»É ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2648-2651). x
2648.
xn
n 1
x 1 n e n : n 1
2649.
1 2n : p
xn
n 1
2650.
xn
1 n p cos n q ,
x 1:
2652. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an 1 ¨
x sin n : 2651. x n 1 n
n 1
n 1
an , an2
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý,
³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨
1 an ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: n 1
2653. ¸Çóáõùª
1 k , n 2k 1, an , n 2k : k k k k
êïáõ·»É, áñ
an , an2 n 1
ß³ñù»ñÁ ï³ñ³Ù»ï »Ý, ë³Ï³ÛÝ
n 1
1 an ³Ýí»ñç n 1
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
2654. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an 1 ¨
an n 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ
an2 n 1
ß³ñùÁª ï³ñ³Ù»ï, ³å³
1 an 0 : n 1
2655. ²å³óáõó»É, áñ
³)
pn pn 0 ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ n 1
ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿
ln pn
ß³ñùÁ:
n 1
µ) µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ´»ñ»É ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ûñÇݳÏ, áñÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, µ³Ûó áã µ³ó³ñÓ³Ï (å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿): лﳽáï»É ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2656-2659).
1n 1 2656. 1 : n n 1 1n 1 : 2658. 1 ln n n2
1n 1 2657. 1 : n p n 1
2660. ¸Çóáõùª 0 xn
2659.
n2
: ²å³óáõó»É, áñ
n : n n 1
cos xn n 1
¨
sin xn ³Ýí»ñç n 1 xn
³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿
xn2
ß³ñùÁ:
n 1
2661. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, 4
n n 1
³å³ tg n ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: n 1 2662. ²å³óáõó»É ¾ÛÉ»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á.
1 q n n 1
q 1 :
1 q 2 n 1
n 1
2663. òáõÛó ï³É, áñ xn
n !e n n
n
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ a 0 ë³ÑÙ³Ý ¨
³Û¹ï»ÕÇó ëï³Ý³É êïÇñÉÇÝ·Ç µ³Ý³Ó¨Á.
n ! 2 n
n
2 e n
1 o1 ,
n:
x òáõóáõÙ: a lim x n x1 n 1 : a -Ý ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ û·ïí»É ì³ÉÇëÇ µ³Ý³Ó¨Çó: n
xn
n 1
2664. гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁª
³) lim n n ! ; n
µ) lim
n n
n ; 2n 1!!
ln n ! : n ln n n
·) lim
¶ лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2665-2668).
n , n -Á n ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿: n 1 n 1 2666. 2 , n -»ñÁ tgx x ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïn 1 n
2665.
Ý»ñÝ »Ý:
2667.
an
, a1 sin x , an 1 sin an n N , sin x 0 :
n 1
2668.
an
, a1 arctgx , an 1 arctgan n N , x 0 :
n 1
2669. ¸Çóáõù an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, lim an 0 ¨ bn an n
2an 1 an 2 0 : ²å³óáõó»É, áñ
nbn a1 : n 1
2670. ²å³óáõó»É ²µ»ÉÇ ¨ ¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÝ»ñÁ.
³) »Ã»
bn bn1 n1
¨
an
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿
n 1
ݳ¨
anbn
ß³ñùÁ;
n 1
µ) »Ã»
bn bn1 n1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, lim bn 0 ¨ n
an
ß³ñùÇ
n 1
Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³
anbn n 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
2671-2675 ËݹÇñÝ»ñáõÙ a n -Á ¹ñ³Ï³Ý, Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ : N N ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ ¨ n n :
2671. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. n 1
³)
k 1 n
n 1
k 1
k 1
ak a k k 1 k ;
n
ak k 11
µ)
11
ak
a k k k 1 : k 2
2672. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
a n n 1 n an
q 1,
³å³
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ »Ã»
n 1
a n n n 1 an
1, n 1 ,
³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: 2673. ܳËáñ¹ ËݹñáõÙ µ»ñí³Í ѳÛï³ÝÇßÁ Ó¨³Ï»ñå»É ë³ÑٳݳÛÇÝ ï³ñµ»ñ³Ïáí: òáõÛó ï³É, áñ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿
an n 1
1 11 an 1 q n 1
·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÁ: 2674. î»Õ³¹ñ»Éáí n n 1 ª ݳËáñ¹ ËݹñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó ëï³Ý³É ¸ÿ²É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: î»Õ³¹ñ»Éáí n n 2 , n 2n , n n 2 , n
n 2 n , n n ! , n 2 2 , ëï³Ý³É ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ýáñ ѳÛï³ÝÇßÝ»ñ: 2675. ú·ïí»Éáí 2671 ËݹñáõÙ µ»ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ³å³óáõ
ó»É, áñ
an
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ϳ٠ï³ñ³Ù»ï ¿
n 1
2 n a2
n 1
a2n , nan
n 1
n 1
,
n 2 an
,
n 1
n
,
pna p
n
( p N , p 1 ) ß³ñù»ñÇ Ñ»ï ÙdzųٳݳÏ:
n 1
2676. ¸Çóáõùª f C 1 R ¨
0
f x dx : ²å³óáõó»É, áñ
f n ß³ñùÁ n0
½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿ ÇÝï»·ñ³ÉÁ:
0 f x dx
an an 0
2677. ¸Çóáõù
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: лï¨áõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ï»-
n 1
bn
ÕÇó, áñ
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »Ã»
n 1
³) b n
an
;
1 na n
an an an ; ·) bn ; ¹) bn : 1 an 1 n an 1 an
µ) bn
2678. ¸Çóáõù
an an 0 ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿ ¨ n 1
áñ
a
An
n 1
n
An ak : ²å³óáõó»É, k 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 , ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1 :
n
2679. ¸Çóáõù
an an 0
ak : ²å³óáõó»É,
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ Rn
n 1
k n 1
a áñ n ß³ñùÁ 0 1 ¹»åùáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ 1 ¹»åùáõÙª n 1 Rn 1 a ï³ñ³Ù»ï: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ n ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ÝáõÛݳïÇå n 1 Rn åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿: 2680. ¸Çóáõù an -Á ¹ñ³Ï³Ý ¨ ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ
a n 1
1 a n
n 1
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ an -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 2681. ¸Çóáõù an ¹ñ³Ï³Ý ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿, an n n
An ak : ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ k 1
a
An
n 1
¨
n
ß³ñùÁ
½áõ·³Ù»ï ¿:
2682. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
¹ñ³Ï³Ý ¨ Ýí³½áÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñùÁ
n 1
½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨
nan an 1 ß³ñùÁ: n 1
2683. ¸Çóáõù` lim an 0 ¨ n
n an an 1 : ²å³óáõó»É, áñ n 1
lim nan 0 :
n
2684. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an an 0
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ nan 0 , ³å³
n 1
lim nan ln n 0 :
n
an
2685. ¸Çóáõù
¹ñ³Ï³Ý, ã³×áÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ÇëÏ
n 1
n an
ß³ñùÁ, áñï»Õ n 1 , ½áõ·³Ù»ï: ²å³óáõó»É, áñ
n 1
1 2 n n 0 lim 1 2 : n n n n lim
2686. îñí³Í ¿ª an -Á ¹ñ³Ï³Ý, ã³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨
n an
ß³ñùÁ,
n 1
áñï»Õ n 1 ,½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ lim 1 2 n a n 0 : n
an
2687. ¸Çóáõù
ß³ñùÁ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ
n 1
ó³Ýϳó³Í x ÃíÇ Ñ³Ù³ñ n 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É
³ÛÝå»ë, áñ
n an
ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï ¨ áõݻݳ x ·áõÙ³ñ:
n 1
2688. îñí³Í ¿ª an ¨ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý, an 0 , bn 0
¨
an , bn n 1
ß³ñù»ñÁ ï³ñ³Ù»ï »Ý:
n 1
γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ
min an , bn ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ´»ñ»É n 1
ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: òáõÛó ï³É, áñ ËݹñÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ ó³Ýϳó³Í an ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ
ÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
1
min an , n
n 1
2689. ¸Çóáõùª
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
an , bn : n 1
²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
n 1
qn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b an qn , qn : n 1 n 1 n
an
2690. γéáõó»É an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
ß³ñùÁ ÉÇÝÇ
n 1
½áõ·³Ù»ï, ÇëÏ
an3
ß³ñùÁª ï³ñ³Ù»ï:
n 1 n an 0 , áñï»Õ An ak : ²å³óáõó»É, áñ n A k 1 n
2691. ¸Çóáõùª
an
¨ lim
n 1
a1 A11 a2 A21 an An1 1: n ln An lim
2692. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n n a1a2 an an , ³å³ nlim
0:
n 1
2693. ²å³óáõó»É γéɻٳÝÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
n
a1a2 an e
n 1
a a n
n
0 :
n 1
2694. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í an ¹ñ³Ï³Ý ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
2 an2 an21 : n 3 n 1 n 1 1 2695. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» , n 1 a n
an
³å³
Ñ»ï¨Û³É
ß³ñù»ñÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
³)
n ; n 1 a1 a2 an
µ)
a
n 1
n n 1
a n 2 a2 n
;
n 2 an : n 1 a1 a2 an
·)
2696. ¸Çóáõù an -Á ¹ñ³Ï³Ý,³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨
a
n 1
²å³óáõó»É, áñ
n
a
n 1
2697. γë»Ýù, áñ
:
n
an n 1
: n 1 a n
ß³ñùÝ áõÝÇ L ѳïÏáõÃÛáõÝÁ, »Ã»
ak
O a n :
k n
a n 1 q 1 , ³å³ ß³ñùÝ áõÝÇ an
³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
L
ѳïÏáõÃÛáõÝÁ: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿: µ) ²å³óáõó»É, áñ L ѳïÏáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ó³Ýϳó³Í ß³ñùÇ ¨ ó³Ýϳó³Í q 0;1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý m0 ¨ n0 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
an m0 an
q , »ñµ n n0 :
n N ,
·) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an 0
an
ß³ñùÝ áõÝÇ L ѳïÏáõÃÛáõÝÁ, ³å³
an -Á ÙáÝáïáÝ Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ ¨
n k 1
n 1
a
k
1 O : an
n Z : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an
2698. ¸Çóáõùª an an k k 1
ß³ñùÁ ½áõ·³-
n 0
Ù»ï ¿, ³å³ an 0 n Z :
2699. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n
ѳñÙáÝÇÏ ß³ñùÇó Ñ»é³óí»Ý ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ,
n 1
áñáÝó ѳÛï³ñ³ñÝ»ñÇ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ý»ñϳ۳óÙ³Ý Ù»ç å³ñáõݳÏíáõÙ ¿ 9 Ãí³Ýß³ÝÁ, ³å³ ëï³óí³Í ß³ñùÁ ÏÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï:
2700. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
1n 1
n 1
n
ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³÷áËí»Ý
³ÛÝå»ë, áñ p ѳçáñ¹³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ËÙµÇÝ Ñ³çáñ¹Ç q ѳçáñ¹³Ï³Ý µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ËáõÙµ, ³å³ ëï³óí³Í ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ
ÏÉÇÝǪ ln 2
1 p ln : 2 q
2701. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
n
ѳñÙáÝÇÏ ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ
n 1
÷áËí»Ý ³ÛÝå»ë, áñ p ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇÝ Ñ³çáñ¹Ç q µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³Ù, ³å³ ëï³óí³Í ß³ñùÁ ÏÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï ÙdzÛÝ p q ¹»åùáõÙ: 2702. ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ n 1
1 1 2 n 1 n
2703. ²å³óáõó»É, áñ
1:
1n 1 0
n 1
n
1n 1 0
¨
n 1
n
½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 1: 2704. ¸Çóáõù an -Á ¹ñ³Ï³Ý, ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨ lim an : n
inf p 0 : p n 1 an ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý óáõóÇã: ºÃ» ϳٳ 1 Û³Ï³Ý p 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ p ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ³å³ ÁݹáõÝáõÙ n 1 an ln n »Ý : ²å³óáõó»É, áñ lim : n ln a n
2705. ºÃ»
an
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
n 0
A a0 a1 an n an 1
0 n 1, n N ,
³å³ ϳë»Ýù, áñ ß³ñùÁ ÷³Ã³ÃáõÙ ¿ A -Ý: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
ß³ñùÁ
n 0
Ý߳ݳ÷áË ¿ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í n -Ç Ñ³Ù³ñ A a0 a1 an ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ an 1 ³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÁ, ³å³ ß³ñùÁ ÷³Ã³ÃáõÙ ¿ A -Ý:
2705.1. ¸Çóáõù
an
ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
n 0
A a0 a1 an an 1 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
Ýí³½áÕ ¿, ³å³ an -Á Ý߳ݳ÷áË ¿ ¨
an
ß³ñùÁ ÷³Ã³ÃáõÙ ¿
A -Ý:
n 0
îñí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýí»ñç ³ÕÛáõë³ÏÁª
a11 , a12 , ..., a1n ,... a 21 , a 22 , ..., a 2 n ,...
a m1 , a m2 , ..., a mn ,...
m n
Amn
Ü߳ݳϻÝù
aij
: γë»Ýù, áñ
i 1 j 1
äñÇÝ·ëÑ»ÛÙÇ) ¨ áõÝÇ
A
amn
ÏñÏݳÏÇ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ (Áëï
m ,n 1
·áõÙ³ñ, »Ã» 0 n0 N
m, n n0 Amn A :
2706. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
amn
a mn 0 , ³å³
ÏñÏݳÏÇ ß³ñùÇ
m ,n 1
½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ Amn : m, n N µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ:
2707.
amn
γéáõó»É
½áõ·³Ù»ï
ÏñÏݳÏÇ
ß³ñù,
áñÇ
ѳٳñ
m ,n 1
amn : m, n N µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿:
amn A : ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
2708. ¸Çóáõùª
m ,n 1
³)
amn S m
¨
n 1
AS ;
m 1
µ)
S m S , ³å³
amn Sn
¨
m 1
S n S , ³å³
A S :
n 1
2709. ¸Çóáõù
amn
ÏñÏݳÏÇ ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ
n 1
m ,n 1
amn S m , amn S n
¨
m 1
S m S : ²å³óáõó»É, áñ m 1
³)
rmk Rk
ß³ñùÁ, áñï»Õ rmk
m 1
amn , ½áõ·³Ù»ï ¿; n k 1
µ)
S n S
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõ-
n 1
ÃÛáõÝ áõÝÇ lim Rk R í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ; k
·) S S ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
R0 : 2710. îñí³Í ¿ an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ü߳ݳϻÝùª
0 an an , 1an an an 1 ,
k 1an k an k an k an 1
n 0,1,2,... :
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. k
k an an C k1 an 1 Ck2 an 2 1 an k :
k a0 k 1 ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ k 0 2
2711.
n
1
an ß³ñùÇ ¾ÛÉ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ:
n0
²å³óáõó»É, áñ »Ã» ¾ÛÉ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
k an 0 k 2k
n 0,1,2,... :
lim
n
1
2712. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿
n0
ݳ¨ Ýñ³ ¾ÛÉ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ (ï»ë ݳËáñ¹ ËݹÇñÁ), Áݹ áñáõÙª
n
1
an
n0
k a
2 k 10
:
k 0
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2713-2714).
2713.
1n 1
n 1
n
: k 1 k 1 k 0 2
2715. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an n0
2714.
1n 1 n! 2n 1 2 2n 1!! :
n0
n0
A
1 A (ï»ë ËݹÇñ 2643) ¨ an o n
n , ³å³ an A
(î³áõµ»ñÇ Ã»áñ»Ù):
n0
2716. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
A
A¨
n0
lim
n
a1 2a2 nan 0, n
³å³
an A : n0
2717. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
C
an (ï»ë ËݹÇñ 2644), ³å³ n0
³) an on n ;
µ)
A
an : n0
2718. ´»ñ»É ²µ»ÉÇ ÇÙ³ëïáí ½áõ·³Ù»ï ß³ñùÇ ûñÇݳÏ, áñÁ ⻽³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí ½áõ·³Ù»ï ã¿:
2719. èÇÙ³ÝÇ Ó»ï³-ýáõÝÏódzÛǪ x
n x -Ç, ѳٳñ ëï³Ý³É
n 1 1
1 x 1 x pn n 1 Ý»ñϳ۳óáõÙÁ, áñï»Õ pn -Á å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ¿:
1
1 1 1 p ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ p ß³ñùÁ n 1 n n 1 n ï³ñ³Ù»ï »Ý, áñï»Õ pn - Á å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ¿:
2720. ²å³óáõó»É, áñ
2721. ¸Çóáõù an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 0 an an 1 an2
n N å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ an n 1
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
¶ÉáõË 11
üáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ß³ñù»ñ ê ³ Ñ Ù ³ Ý áõ Ù : f1 , f 2 ,..., f n ,... -Á ÏáãíáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, »Ã» Ýñ³ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ X R µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ýáõÝÏódzݻñ »Ý: X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ f n x Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÏáãíáõÙ ¿ f n ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ: ºÃ» E X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³Ñٳݪ lim f n x f x , ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý E -Ç íñ³: ²ëáõÙ »Ý n
ݳ¨, áñ f n ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Çñ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ Ó·ïáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇÝ Ï»ïáñ»Ý, Ï³Ù Ï»ï ³é Ï»ï ¨ ·ñáõÙª f n f : гٳÝÙ³Ýáñ»Ý, ïñí³Í
u n x x X
ѳٳñ
un : X R
n N
ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
ß³ñùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñù, U n x
n 1
n
u k x
Ù³ëݳÏÇ
k 1
·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁª ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõ-
ÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ, ÇëÏ ³Û¹ ïÇñáõÛÃáõÙ U x
u n x
µ³Ý³Ó¨áí áñáßí³Í ýáõÝÏódzݪ ýáõÝÏóÇá-
n 1
Ý³É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñ: Ð ³ í ³ ë ³ ñ ³ ã ³ ÷ ½ áõ · ³ Ù Ç ï áõ Ã Û áõ Ý : γë»Ýù, áñ f n ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇÝ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ¨ Ï·ñ»Ýùª
f n x f x x A , »Ã» 0 n0 N n N x A n n0 f n x f x :
u n x
ß³ñùÁ ϳÝí³Ý»Ýù A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» A -Ç
n 1
íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ýñ³ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ð ³ í ³ ë ³ ñ ³ ã ³ ÷ ½ áõ · ³ Ù Ç ï áõ Ã Û ³ Ý Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß Ý » ñ : ÎáßÇÇ ëϽµáõÝùÁ:
U u n x
ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÁ
A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨
n 1
ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
0 n0 N m, n N x A m n n0
m
k n 1
u k x :
ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
cn
½áõ·³Ù»ï ß³ñù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
n 1
u n x c n n N , x A , ³å³ U -Ý
A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²Ûë å³ÛÙ³Ý-
Ý»ñáõÙ
ß³ñùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý U ß³ñùÇ ½áõ·³Ù»ï Ù³Åáñ³Ýï:
cn n 1
u n x vn x
²µ»ÉÇ ¨ ¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÁ:
ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý
n 1
íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, »Ã»
u n x
²)
ß³ñùÁ A -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ v n x ѳçáñ¹³-
n 1
ϳÝáõÃÛáõÝÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x A Ï»ïáõÙ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ A -Ç íñ³ª ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ-
÷³Ï M R n N x A vn x M ¸) U n x
;
n
u k x
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñ-
k 1
ٳݳ÷³Ï ¿, ÇëÏ v n x -Á Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x A Ï»ïáõÙ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ A -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ: Þ ³ ñ ù Ç · áõ Ù ³ ñ Ç ý áõ Ý Ï ó Ç á Ý ³ É Ñ ³ ï Ï áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ Á : ¶áõÙ³ñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù U
u n x
ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ x0 A Ï»ïáõÙ ³ÝÁݹ-
n 1
Ñ³ï »Ý: ºÃ» ß³ñùÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ Ýñ³ ·áõÙ³ñÁ x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ¸ÇÝÇÇ Ã»áñ»ÙÁ: ¸Çóáõù U ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ a; b ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ¨ áã
µ³ó³ë³Ï³Ý: ºÃ» ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ a; b -áõÙ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ß³ñùÁ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: »áñ»Ù ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É: ¸Çóáõù U ß³ñùÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ a -Ý A -Ç Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿: ºÃ» ó³Ýϳó³Í
n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c n lim u n x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ x a
³)
cn
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿;
n 1
µ) a Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ U ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, Áݹ áñáõÙª
lim
u n x cn lim un x :
x a n 1
n 1
n 1 x a
»áñ»Ù ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ÇÝï»·ñÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É: ºÃ» U ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ a; b
ѳïí³ÍáõÙ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ »Ý ¨ ß³ñùÁ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÝ ³Û¹ ѳïí³ÍáõÙ ÝáõÛÝå»ë ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª
b
b
a n 1
n 1 a
un x dx u n x dx : »áñ»Ù ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É: ¸Çóáõù U ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ
a; b
ѳïí³ÍáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ºÃ» ß³ñùÁ áñ¨¿ Ï»ïáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ U
u n x n 1
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å»ë ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ a; b -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª
u n x u n x : n 1 n 1
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л勉Ýù (²µ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ, ³å³ Ýñ³ ·áõÙ³ñÁ ³Û¹ ͳÛñ³Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: »áñ»Ù: ²ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ Çñ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ÇëÏ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÁÝÏ³Í ó³Ýϳó³Í ѳïí³ÍÇ íñ³ª ÇÝï»·ñ»ÉÇ: ÀݹëÙÇÝ, û° ¹Çý»ñ»ÝóáõÙÁ ¨ û° ÇÝï»·ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù.
an x x0 n na n x x0 n 1 , n0 n 1 x
an n n 1 an t x0 dt n 1 x x0 : n 0 x0 n 0 ²í»É³óÝ»Ýù, áñ ³ç ÏáÕÙáõÙ ·ñí³Í ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý »É³Ï»ï³ÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ß³é³íÕÇÝ:  » Û É á ñ Ç ß ³ ñ ù : ¸Çóáõù f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý x0 Ý»ñùÇÝ Ï»ïáõÙ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:
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2
cos x
,
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,
,
cos 2 x
,
sin 2 x
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0 n cos nx n sin nx n 1
ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñù: îñí³Í f 1 ; ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ
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f x cos nxdx ,
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1 f x sin mxdx
n Z , m N
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f x ~
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s n x
n a0 an cos nx bn sin nx , 2 k 1
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s0 x s n x n 1
n Z :
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s n x
1 f t Dn x t dt ,
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1 f t n x t dt ,
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1 n Dn u cos ku 2 k 1
1 sin n u 2 sin u
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n 1 sin u D0 u Dn u 1 2 n u n 1 2n sin u 2
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ýáõÝÏódzݻñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ¸ÇñÇËÉ»Ç ¨ ü»Û»ñÇ Ïáñǽݻñ: ²Ûë Ý»ñϳ۳óáõÙÝ»ñÁ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ »Ý ï³ÉÇë ѻﳽáï»Éáõ üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ í³ñùÁ ¨, ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ѳßí»Éáõ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ: è Ç Ù ³ Ý Ç É á Ï ³ É Ç ½ ³ ó Ç ³ Û Ç ë Ï ½ µ áõ Ý ù Á : üáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ í³ñùÁ ïñí³Í x0 Ï»ïáõÙ µ³ó³é³å»ë ϳËí³Í ¿ x0 -Ç ßñç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó: ²ÛÉ Ï»ñåª »Ã» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ x0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûùáõ٠ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ³å³ f -Ç ¨ g -Ç üáõñÇ»Ç ß³ñù»ñÁ ³Û¹ Ï»ïáõ٠ϳ°Ù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï »Ý, ϳ°Ù áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ ·áõÙ³ñÁ: ü áõ ñ Ç » Ç ß ³ ñ ù Ç ½ áõ · ³ Ù Ç ï áõ Ã Û ³ Ý Ñ ³ Û ï ³ Ý Ç ß Ý » ñ : f : R R 2 -
å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù Ïïáñ ³é Ïïáñ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ;
ѳïí³ÍÇ P x0 , ..., xn ïñáÑáõÙ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ïñáÑÙ³Ý i ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ý»ñëáõÙ f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ïñáÑÙ³Ý Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ ¨, µ³óÇ ³Û¹, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý
lim x 0
f xi x f xi 0 x
i 0,1,..., n
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ: f : R R 2 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù Ïïáñ ³é Ïïáñ ÙáÝáïáÝ, »Ã» ·á-
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ;
ѳïí³ÍÇ ïñáÑáõÙ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ïñáÑÙ³Ý Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõ-
ñÇ Ý»ñëáõÙ f -Á ÙáÝáïáÝ ¿, ÇëÏ ïñáÑÙ³Ý Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ: ÈÇåßÇóÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: Îïáñ ³é Ïïáñ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñùÁ ó³Ý-
f x0 0 f x0 0 ·áõÙ³ñ: سëݳíáñ³å»ë, »Ã» f -Á x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x0 -ÇÝ:
ϳó³Í x0 Ï»ïáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ
¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: Îïáñ ³é Ïïáñ ÙáÝáïáÝ f ýáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñùÁ ó³Ýϳ-
f x0 0 f x0 0 ·áõÙ³ñ: ü»Û»ñÇ Ã»áñ»ÙÁ: ¸Çóáõù f C ; ¨ f f : f ýáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ⻽³ñáÛÇ ÇÙ³ëïáí ; ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x -ÇÝ. n x f x x ; : ó³Í x0 Ï»ïáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ
îñí³Í 0 ,1 ,..., m ¨ 1 ,..., m m m 0 ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ·ñí³Í T x 0 m
k cos kx k sin kx
ï»ëùÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý m -ñ¹ ϳñ·Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³-
k 1
Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù: ì³Û»ñßïñ³ëÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ: ò³Ýϳó³Í f C a; b ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÝ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f -ÇÝ:
ì³Û»ñßïñ³ëÇ »ñÏñáñ¹ ûáñ»ÙÁ: ò³Ýϳó³Í f C ; , f f , ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ ; ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f -ÇÝ: º é ³ Ý Ï Û áõ Ý ³ ã ³ ÷ ³ Ï ³ Ý Ñ ³ Ù ³ Ï ³ ñ · Ç É ñ Ç í áõ Ã Û áõ Ý Á ¨ ÷ ³ Ï áõ Ã Û áõ Ý Á : ê³ÑÙ³ÝáõÙ: a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ïñí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ n ûñÃá·áÝ³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á
M 2 a, b ¹³ëáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ÉñÇí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³Û¹ ¹³ëÇÝ å³ïϳÝáÕ ÝáõÛݳµ³ñ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ýáõÝÏódz, áñÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ n ѳٳϳñ·Ç µáÉáñ ýáõÝÏódzݻñÇÝ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: n ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í ѳٳϳñ·Á 2 a; b ¹³ëÇ áñ¨¿ »Ýóµ³½ÙáõÃÛ³Ý
íñ³ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï, »Ã» ³Û¹ »Ýóµ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ´»ë»ÉÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý.
b
n0
a
cn f 2 x dx
(ä³ñ먳ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ):
»áñ»Ù: ºé³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ѳٳϳñ·Á C ;
¹³ëáõÙ ÉñÇí ¿, ÇëÏ
2 ; -
áõÙª ÷³Ï: ì»ñçÇÝ ÷³ëïÇ Ï³å³ÏóáõÃÛ³Ùµ ³ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ 2 ; ¹³ëÇÝ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ä³ñ먳ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
a2 1 2 f x dx 0 an2 bn2 : 2 n 1
² ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¨ ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (2722-2730). n
2722. ³) f n x x n ;
µ) f n x sin n x ;
nx 2 ; n 1 2724. ³) f n x x 1arctgx n ; 2723. ³) f n x
2727. ³) f n x
2n 2 x 4 : n 2 3n sin 2 nx µ) f n x narctg nx 2 : µ) f n x
n
2725. f n x 1
2x : 2 1 x
·) f n x
x2 ; n
nx ;
n ln nx 2728. ³) f n x ; nx 2 1
n
2726. f n x 1 e n sin x : µ) f n x
nx :
nx sin n x µ) f n x : ln n 1
2729. ³) f n x
n
µ) f n x e nx n10 : n
x 2n n 2 x ;
2730. ³) f n x n x n 1 ;
µ) f n x n x n x 2 n :
¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ: ä³ñ½»É, ³Û¹ ïÇñáõÛÃÇ áñ Ï»ï»ñáõÙ ¿ ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï (2731-2740).
2731. ³)
xn ;
µ)
n 1
ln
1 x µ)
x;
n 1
n 1
2733. ³)
·) 2 n
n
µ) µ)
;
µ)
n 1
e nx sin nx ;
µ)
:
1n e n
sin x
n cos nx µ) : n 1 n ln n 1
:
n 1
n 1
n sin
n 1
x ; n
n
n 1 ln n x 2 2 ;
n 1
1n
2739. ³)
x
x ntg 2n
n 1
2738. ³)
:
nxe nx :
x
sin 2 n
1 x 2n
n 1
2737. ³)
x
n
ne nx ; n 1
2736. ³)
enx :
n 1
2735. ³)
·)
n 1
n 1
2734. ³)
:
;
1 xn ;
xn
n 1
n
n3
;
n 1
2732. ³)
xn
n 1 x
n
;
n
2x 3 2740. ³) n ; 4 n 1 2
n
x2 : n 1 cos 2nx µ) 3 : n n 1 µ)
µ)
n
n2 4 2 x 1
n 1
n
1 2x 2 : n x 1
êïáõ·»É, áñ Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿ (2741-2748).
2 , 0 x : 2742. f n x sin n x , 0 x : xn sin n ! x 3 2743. f n x n , x : n! 2741. f n x
2744. f n x e n x
, x :
1
nx 2 , 1 x 100 : 2746. f n x n 4 xe nx , 0 x : xn 2747. f n x x 2 , x : n nx 2748. f n x , x : 1 n3 x2 2749. ²å³óáõó»É, áñ f n x ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ 2745. f n x
³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
lim sup f n x f x 0 :
n x X
2750. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f n x ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇÝ Ï»ïáñ»Ý, µ³Ûó áã ѳí³ë³ñ³ã³÷, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݪ 0 0 ÃÇí, X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ xk ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý f nk »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ f n k xk f xk 0 , k 1,2,... : лﳽáï»É Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2751-2756). 2751. f n x x n , ³) 0 x 0,9 ; µ) 0 x 1 :
xn , 0 x 1: n x f n x , ³) 0 x 100 ; µ) 0 x : xn n f n x arctg , ³) 0 x 100 ; µ) 0 x : x x n f n x cos , ³) 0 x 0,9 ; µ) 0 x 1 : x f n x arctg e n , ³) 0 x a ; µ) 0 x :
2752. f n x 2753. 2754. 2755. 2756.
2757. îñí³Í ¿ f : X R ýáõÝÏódzÝ: êïáõ·»É, áñ f n x
nf x n
( n N ,
a -Ý
a -Ç ³ÙµáÕç Ù³ëÝ ¿) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇÝ: 2758. îñí³Í ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ϳéáõó»É ½áõ·³Ù»ï Ù³Åáñ³Ýï ¨ ѳÙá½í»É, áñ ß³ñùÁ Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿.
³) 2 , x ; n 1 x n
·)
µ)
, x ;
n 2 2
1 x
¿)
n10 e nx
x ; n
nx
n 1
1 x 1 ;
½)
n5 sin 2n x ,
n 1
x
, x ;
1 n2 x2
n ln 2 n 1 ,
4 2
¹)
n 1
»)
n 1 1 n
nx
1 n5 x 2
1n 1 x ,
n 1
x ;
, x 0 :
n 1
2759. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
un x
ß³ñùÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³-
n 1
ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
un x
ß³ñùÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÝáõÛÝå»ë ѳ-
n 1
í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: êïáõ·»É, áñ
n 1 1 x x n
ß³ñùÁ 0;1 ѳï-
n0
í³ÍÇ íñ³ û° µ³ó³ñÓ³Ï ¨ û° ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ë³Ï³ÛÝ
1 x x n
ß³ñùÁ ÝáõÛÝ ³Û¹ ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿:
n0
2760. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ½áõ·³Ù»ï ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÁ áã ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¿ Ó·ïáõÙ ½ñáÛÇ, ³å³ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ã¿: лﳽáï»É Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ß³ñùÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2761-2768).
2761. ³)
xn
n 1
x n 1 , x 1: n 1
µ)
x n x n 1 , n 1
xn , ³) 0 x a ; µ) 0 x : n 1 n !
2762.
n
0 x :
2763.
x
2 n sin 3n ,
³) x a ; µ) x :
n 1
2764.
x2
n 1
n !ln 1 n n ,
³) x a ; µ) x :
2765.
e ntgx ,
; µ) 0 x :
³) 0 x
n 1
n2
n 2766. 2 e x , 0 x : n 1 x x 1 2768. n , 1 x : n 1 x
2767.
x n sin 2 n ,
2 x 2:
n 1
лﳽáï»É ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (2769-2772).
2769.
n 1x n ,
x 1:
n0
2770.
1 x x n ,
³) 0 x 1 ; µ) 0 x 1 :
n0
2771.
n 1
e nx , x 0: n 1 n
x
1 x
2 n
, x :
2773. òáõÛó ï³É, áñ f x
2772.
sin nx ýáõÝÏóÇ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ n 1 n
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:
-Á, x n 1 n
2774. êïáõ·»É, áñ èÇÙ³ÝÇ Ó»ï³-ýáõÝÏódzݪ x
1;
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: гÙá½í»É ݳ¨, áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ x -Ý ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: 2775. êïáõ·»É, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ˽íáÕ ýáõÝÏódzݻñÇ
f n x
x n
n N
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x -Á ¸ÇñÇËÉ»Ç
ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, ³é³ÝóùÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ ³Ù»Ýáõñ»ù
³ÝÁݹѳï ë³ÑÙ³Ý:
¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ (2776-2778).
1n 1
x 1 0
2776. lim
n 2778. lim n x : x 0 n 1 2 n n 1
xn : 1 xn
1 x x n : x 1 0
2777. lim
n 1
¶ïÝ»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÁª ݳ˳å»ë Ýϳï»Éáí, áñ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙÝ ³ÝÃáõÛɳïñ»ÉÇ ¿ (2779-2780).
2779.
xn :
lim
2780. lim
x 1 0 n 0
x 1 0 n 0
1n : xn
2781. üáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñù»ñÇ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ÇÝï»·ñÙ³Ý ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ Ó¨³Ï»ñå»É ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
2782. êïáõ·»É, áñ f n x nxe nx ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0;1 ѳïí³ÍáõÙ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ýáõÝÏódzÛÇ, ë³Ï³ÛÝ
lim f n x dx lim f n x dx :
n
n
2783. гÙá½í»É, áñ f n x nx1 x ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0;1 ѳïí³ÍáõÙ áã ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¿ ½áõ·³ÙÇïáõÙ, µ³Ûó, ³ÛÝáõ³Ù»Ý³ÛÝÇí, ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙÁ ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ¿. n
lim f n x dx lim f n x dx :
n
n
2784. ÂáõÛɳïñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÝ»ñáõÙ.
nx dx ; n 1 n 2 x 4
³) lim
nx µ) lim e dx : n
¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ (2785-2788).
2785. lim
n
2787. lim
n
cos nx
n x
dx :
2786. lim
n
nx ln n x dx : n x
e
n 1 x 2
dx :
1
2788. lim e n sin x dx : n
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁª ݳ˳å»ë ѳÙá½í»Éáí, áñ ß³ñùÇ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ÇÝï»·ñáõÙÁ ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ¿ (2789-2790).
nx 2789. ne dx : n 1
2790.
2791. êïáõ·»É, áñ f n x
nx n 1 dx : n n 0
arctgx n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ n
íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ë³Ï³Ûݪ
lim f x n
n
x 1
lim f n1 : n
ä³ñ½»É û ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý Ù³ëÇÝ Ã»áñ»ÙÇ áñ å³ÛÙ³ÝÝ ¿ ³Ûëï»Õ µ³ó³Ï³ÛáõÙ: 2792. úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙáõÙ »É³Ï»ï³ÛÇÝ ß³ñùÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Ï»ïáõÙ ½áõ·³ÙÇï»Éáõ å³ÛÙ³ÝÁ ¿³Ï³Ý ¿. ϳéáõó»É un x ß³ñù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ un x ß³ñùÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ un x -Á áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2793. ¶ïÝ»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¨ ϳï³ñ»Éáí ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ¹Çý»ñ»Ýóáõ٠ϳ٠ÇÝï»·ñáõÙª ѳßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ.
xn ; µ) n 1 n
³)
nx n 1 ;
·)
n 1
1n 1 x 2 n n2n 1 n 1
;
¹)
nn 1x n 1 : n 1
гßí»É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ß³é³íÇÕÁ ¨, ѻﳽáï»Éáí ß³ñùÇ í³ñùÁ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ, ·ïÝ»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2794-2800).
xn 2794. ³) x ; µ) ; ·) n 1 n 1 n
n
n 1
1n x n n
2n xn ;
µ)
n !xn ;
µ)
3 2 x 1n : n n 1
xn
2798.
n
n
3n 2 n x 3
:
n 1
n
x a n b n a b 0 :
n 1
:
n! :
n
n
2799.
:
n 1
n 1
2797.
xn
3n
n2
n 1
n 1
2796. ³)
¹)
n 1
2795. ³)
xn
;
2800.
an
n 1
n
bn n x n
a b 0 :
¶ïÝ»É ÁݹѳÝñ³óí³Í ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2801-2804). n
1 x 2801. : 2 n 0 2 n 1 1 x
1 2803. 1 n n 1
2802.
:
n 1
n 2
e nx :
x n sin 2n
2804.
33n n !
3n ! n 1
tg n x :
2805. ÐÇÙÝ³Ï³Ý ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É »ÛÉáñÇ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
ex
xn
x2
n ! 1 x 2 !
x ;
n0
n 1
sin x 1 n 1
cos x
n 1 n0
x 2 n 1 x3 x 2n 1! 3!
x 2n x2 1 2n ! 2! n 1
ln 1 x 1 n1
x ;
x ;
xn x2 x n
1 x 1 ;
n 1 2 x 1 x x 2! n 0 n
1 x
1 n 1 n!
áñï»Õ 1 , n
x 1 ,
n N :
ì»ñÉáõÍ»É ýáõÝÏóÇ³Ý x0 0 Ï»ïáõ٠»ÛÉáñÇ ß³ñùÇ ¨ Ýᯐ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2806-2821). 2806. shx : 2807. chx : 2808. sin 2 x :
2809. cos 2 x :
2810. x sin x cos x :
2811. e x :
2812. x 2 e x :
2813.
2814. 2816.
: 1 x 2
1 x
:
x10 : 1 x x 2815. : 1 2 x 2817.
8 x3 :
1 x : 1 x x 2821. : 1 x 1 x 2
2818. ln 10 x : 2820.
2819. ln
x : 1 x 2x 2
òáõóáõÙ: ì»ñçÇÝ »ñÏáõëáõÙ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏóÇ³Ý Ý³Ë³å»ë í»ñÉáõÍ»É å³ñ½ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ:
ܳËÝ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñϳ۳óÝ»É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí ¨ Ýᯐ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2822-2827). x
2823.
x
2824. 2826.
x
sin t t dt : x
dt 1 t
et 1 t dt : x
2822. t 4 e t dt :
2825.
1 t 6 dt :
x
:
2827.
dt
1 t9 :
ì»ñÉáõÍ»É ÁݹÇÝï»·ñ³É ýáõÝÏóÇ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ¨ ·ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁª í»ñóÝ»Éáí í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ÙdzÛÝ »ñ»ù ³Ý¹³Ù: ¶Ý³Ñ³ï»É ë˳ɳÝùÁ (2828-2831).
2828.
1 cos x dx : x
2829.
2830.
xe x dx :
shx dx : x 0 ,1
2831.
x
sin xdx :
2832. ì»ñÉáõÍ»É ß³ñùÇ:
f x sin x ýáõÝÏóÇ³Ý üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý
2833. à±ñÝ ¿ Tm x
m
n cos nx n sin nx
»é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý µ³½-
n0
ٳݹ³ÙÇ üáõñÇ»Ç ß³ñùÁ: 2834. ì»ñÉáõÍ»É f x sgn x x ýáõÝÏóÇ³Ý üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ ¨ ëïáõ·»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁª ѳßí»É ȳ۵ÝÇóÇ
ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ.
n 1
1n 1 : 2n 1
ì»ñÉáõÍ»É f x x ýáõÝÏóÇ³Ý üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ ¨ ѻﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2835-2844). 2835. f x x : 2836. f x x : 2837. f x 2 x 2 :
2838. f x x 3 :
2839. f x sin px , p Z :
2840. f x shpx :
2841. f x x sin x :
2842. f x x cos x :
2843. f x sgn cos x : 2844. f x sin x : 2845. êïáõ·»É, áñ ³) »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ѳٳϳñ·Á ó³Ýϳó³Í a; a 2 ѳïí³ÍáõÙ ûñÃá·áÝ³É ¿; µ) l; l ѳïí³ÍáõÙ
1 , cos
2x x x 2x nx nx , sin , cos , sin , … , cos , sin ,… l l l l l l
ѳٳϳñ·Ý ûñÃá·áÝ³É ¿: f 1 l ; l ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ
n
0 n x nx n cos n sin ß³ñùÁ, áñï»Õ 2 n 1 l l
l
l
l
l
n x nx f x cos dx n Z , n f x sin dx n N l l l l
ÏáãíáõÙ ¿ üáõñÇ»Ç ÁݹѳÝñ³óí³Í »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñù:
ì»ñÉáõÍ»É ýáõÝÏóÇ³Ý üáõñÇ»Ç ÁݹѳÝñ³óí³Í »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ (2846-2849).
; : 2847. f x x 2a , x a; a : 2 2 2848. f x e x , x 1;1 : 2849. f x cos x : 2846. f x x cos x , x
´ ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ¨ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ (2850-2860).
2850.
1n 1 1 x n :
2n 1 1 x xn 2852. : n n 11 x n 1
n 2n 1 !! 2 x 2851. : 2 n 1 2 n !! 1 x
2853.
xn
n x n 1 :
n 1
n
x n x 2854. : n n 1 xn 2856. : n n 1 1 x 1 x 1 x
2858.
2 x 2
2855.
n 1
n x n nn x
:
2857.
1n 1 p n 1 n x
2859.
n 32 n x1 x n : n n 1 2
x 2n x :
n 1
, x 1 :
2n sin n x : n2 n 1
2860.
лﳽáï»É Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2861-2872). 2861. f n x x n x 2 n , 0 x 1 :
x , 0 x : n 2863. ³) f n x arctgnx ; µ) f n x x arctgnx , 0 x : 2862. f n x n x
2864. f n x e x n , ³) x 10 ; µ) x : 2865. f n x
x x ln , 0 x 1 : n n n
2866. f n x 1
x , ³) a x b ; µ) x : n
cos nx , x : n2 x2 1 , ³) 0 x ; µ) 0 x : 2868. f n x sin e nx n 2867. f n x ln 1
2869. f n x ln x 2
1 , ³) x 0 ; µ) x 0 : n
n2 x2 x2 2870. f n x sin , x : 1 n2 x4 n x 2871. f n x n sin , ³) 0 x ; µ) x : n
xn , ³) 0 x a 1 ; µ) 0 x 1 : 1 xn 1 2873. ¸Çóáõùª f C 1 a; b ¨ f n x n f x f x , n N :²å³óáõó»É, n áñ ó³Ýϳó³Í ; ѳïí³ÍÇ íñ³, áñï»Õ a b , f n x f x : 2872. f n x arcsin
n 1
1 i f x : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í n i 0 X ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ f n x ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³-
2874. ¸Çóáõùª f C R ¨ f n x
n
ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ¶ïÝ»É Ýñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: ÎÇñ³é»Éáí ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁª ³å³óáõó»É ïñí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (28752879).
n2 n x xn , x 2 : n 1 n ! x , 0 x a : 2876. ln1 n ln n 1 n 1 2x 2877. arctg 2 , x : x n3 n 1 cos nx sin nx 2878. , x : n 1 x 1 x n
2875.
2879.
6 2
e n x
sin nx , x :
n 1
2880. ¸Çóáõùª
0, 0 x 2 n 1 , 1 un x sin 2 2 n 1x , 2 n 1 x 2 n , n n 0, 2 x 1,
êïáõ·»É, áñ
un x
ß³ñùÁ 0;1 ѳïí³ÍÇ íñ³ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ ѳí³ë³ñ³-
n 1
ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ë³Ï³ÛÝ ãáõÝÇ ½áõ·³Ù»ï Ù³Åáñ³Ýï: 2881. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» un x n N ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿, un a ¨ un b
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý,
³å³ un x ß³ñùÁ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ µ³ó³ñÓ³Ï ¨ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ú·ïí»Éáí ²µ»ÉÇ Ï³Ù ¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÇóª ³å³óáõó»É ß³ñùÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2882-2887).
sin nx , 0 x 2 : n n 1 cos nx 2883. p 0 , 2 x 4 p n 1 n 2882.
0 :
sin 2n x sin nx 5 , x : n n 1 cos 2n 2885. , x : n 1 n x
2884.
2886.
1n 1 ln 1 nx 2 , n2 x2
n 1
2887.
1n e
x n
n
n1
x0:
, x 100 :
лﳽáï»É ß³ñùÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (2888-2895).
2888.
n 1 x
1
n
, 0 x :
2889.
1n
n2 n
2892.
n 1
sin x
, 0 x 2 :
2891.
1 n , nn x
0 x :
nx
2893.
1
3
n 1
2894.
, 0 x :
n 1
n 1
2890.
1n xn
n2 ex
xn
:
x2
4n ln1 n 2 ,
n 1
1 x 1 2 x 1 nx ,
n n 1
x 4:
³) 0 x ; µ) x :
n 1
2895.
x
x n arctg n ! ,
³) x a ; µ) x :
n 1
2896. òáõÛó ï³É, áñ
n 1
1n x 2
ß³ñùÁ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ѳí³-
1 x
2 n
x2
ë³ñ³ã³÷ ¿ ½áõ·³Ù»ï, ÇëÏ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í
n 1
1 x
2 n
ß³ñùÁª áã ѳí³ë³ñ³ã³÷:
2897. êïáõ·»É, áñ
n 1 x 1
n 1
n n2
ß³ñùÁ ó³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï
µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ë³Ï³ÛÝ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ã¿:
2898. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
an
Ãí³ÛÇÝ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ¸ÇñÇËÉ»Ç
n 1
ѳٳå³ï³ëË³Ý ß³ñùÁª
a
nnx
-Á, 0; -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³-
n 1
Ù»ï ¿:
2899. ¸Çóáõù
an
Ãí³ÛÇÝ ß³ñùÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³-
n 1
ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
ane nx
ß³ñùÁ ; ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿:
n 1
2900. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an
n N Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ
Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, ³å³
an cos nx n 1
¨
an sin nx
ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñù»ñÁ 2k
n 1
k Z
ï»ëùÇ Ãí»ñÁ ãå³ñáõݳÏáÕ ó³Ýϳó³Í ÏáÙå³ÏïÇ (÷³Ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý) íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï »Ý:
2901. ¸Çóáõù an Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ
n 1
a
n
ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿: òáõÛó ï³É, áñ ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÁ n 1 x a n an n N Ï»ï»ñÁ ãå³ñáõݳÏáÕ ó³Ýϳó³Í ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿:
лﳽáï»É ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (2902-2905).
2902.
n 1
x n
n 1
2903.
ß³ñùÇ
·áõÙ³ñÇ
xn
:
n ! ln 1 nx :
n 1
e
2904.
1n
ïÇñáõÛÃáõÙ
x n
:
n
2905.
cos nx
ln n 1 :
n 1
2906. ú·ïí»Éáí ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇóª
ѳÙá½í»É, áñ
x 2n x 2n 2
ß³ñùÁ
1;1
ѳïí³ÍÇ íñ³ áã ѳí³ë³-
n 1
ñ³ã³÷ ¿ ½áõ·³Ù»ï: 2907. ¸Çóáõù un : 0;1 R
n N
ýáõÝÏódzݻñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ¨ áã
µ³ó³ë³Ï³Ý: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã»
un x ß³ñùÁ 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ n 1
½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ·áõÙ³ñ, ³å³ ß³ñùÁ 0;1 -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇÝ³Ï ¨ å³ñ½»É, û ¸ÇÝÇÇ Ã»áñ»ÙÇ áñ å³ÛÙ³ÝÝ ¿ ³Ûëï»Õ µ³ó³Ï³ÛáõÙ: 2908. êïáõ·»É, áñ ËݹÇñ 2906-áõÙ µ»ñí³Í ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ 1;1 ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ¨ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¨ Ýϳï»Éáí ß³ñùÇ áã ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, ѳÙá½í»É, áñ ¸ÇÝÇÇ Ã»áñ»ÙáõÙ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÇ
³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ ¿³Ï³Ý ¿:
2909. γéáõó»É 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñù, áñÇ ·áõÙ³ñÁ 0; -áõÙ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ë³Ï³ÛÝ ß³ñùÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2910. ²å³óáõó»É ¸ÇÝÇÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. ¹Çóáõù K -Ý ÏáÙå³Ïï ¿, ÇëÏ un : K R n N ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ¨ áã
µ³ó³ë³Ï³Ý: ºÃ»
un x
ß³ñùÁ K -Ç íñ³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ ³ÝÁݹѳï
n 1
·áõÙ³ñ, ³å³ ³ÛÝ K -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2911. Ò¨³Ï»ñå»É ¸ÇÝÇÇ Ã»áñ»ÙÁ ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 2912. ¸Çóáõù f n : a; b R n N ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
a; b
ѳïí³ÍÇ íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿ (µ³Ûó áã
³Ýå³ÛÙ³Ý ³ÝÁݹѳï): ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x lim f n x n
x a; b
ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ f n f : 2913. ¸Çóáõù un C a; b
¨ ó³Ýϳó³Í ; a; b ѳïí³ÍÇ
n N
íñ³
un x
ß³ñùÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É,
n 1
áñ »Ã»
un a
¨
n 1
un b
ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³
n 1
un x -Á a; b n 1
ѳïí³Íáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 2914. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f n a; b n N ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ x
Fn x f n t dt
a x b
a
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ a; b -Ç íñ³ ÝáõÛÝå»ë ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2915. γéáõó»É f n 0;1 n N ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝ-
åÇëÇÝ, áñ x 0;1 lim f n x , ë³Ï³ÛÝ lim f n x dx : n
n
2916. êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ϳ½Ùí³Í ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñÇó, ë³Ï³ÛÝ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³ÝÁ a; b -áõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ã¿.
1, »ñµ x Qn , 0, »ñµ x R \ Qn ,
³) f n x
p : p Z , q N , q n ; q
áñï»Õ Qn
µ) f n x n R x , áñï»Õ R x -Á èÇÙ³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿; ·) f n x Rn ! x : 2917. îñí³Í ¿ f n x n xe nx n N , R ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ÀÝïñ»É å³ñ³Ù»ïñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝÇ
lim f n x dx lim f n x dx
n
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
n
2918. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ 0;1 ѳïí³ÍáõÙ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ÇÝï»·ñ»É.
x 2n 1 x 2 n 1 :
n 1
2919. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù
x
arctg n 2
ß³ñùÝ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»É:
n 1
2920. ¸Çóáõù f -Á Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù
f n x f n 1 x 2 n N , f 0 f : ²å³óáõó»É, áñ lim f n x c e x , n n áñï»Õ c const :
2921. ²å³óáõó»É ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í åÝ¹Ù³Ý Ñ»ï¨Û³É áõŻճóáõÙÁ. »Ã» f -Á Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ f ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ x ýáõÝÏódzÛÇݪ ó³Ýϳó³Í
n
x a; b
í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷, ³å³ x c e x , áñï»Õ c const : 2922. ¸Çóáõù un C a; b ,
n N , x a; b
u n x cn ,
¨
cn : n 1
²å³óáõó»É, áñ
³) f x 1 u n x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b ѳïí³ÍáõÙ; n 1
µ) »Ã» un C 1 a; b n N ¨
u x
n n 1 1 u n x
ß³ñùÁ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³
ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨
un x : n 1 1 u n x
f x f x
2923. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
x 1 0
³) lim
n 1
1n 1 n
xn ln 2 ; n 1 x n 1
µ) lim 1 x 1 x 1 0
n 1
xn ln 2 : 2n 1 x
, ¨ 1 x 1 x2
2924. ì»ñÉáõÍ»É
1 x2
ýáõÝÏódzݻñÁ »ÛÉáñÇ ß³ñùÇ ¨ ³Ý-
¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ÇÝï»·ñ»Éáíª ëï³Ý³É ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ln 1 x , arctgx ¨ arcsin x ýáõÝÏódzݻñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: лﳽáï»É ëï³óí³Í ß³ñù»ñÁ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ ¨ ²µ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÇ ÏÇñ³éٳٵ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
³)
1n 1 ln 2 ; n
n 1
·)
µ)
n 1
1n 1 2n 1
;
2 n 1 !! 1 : 2n 1 n 1 2n !!
¶ïÝ»É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2925-2934).
n !2 x n : n 1 2 n !
2925.
1
n 1
2929.
2n !! 2n 1!! x n :
xn :
1 n
n 1 n 1
n2
2927.
2926.
2 n n ! n x : 2n 1!
1
2928.
n 1
2930.
2n 1 !! 2n !! n 1
1 2 n x n :
n 1
xn :
n
n 1 2 cos 4 n 2931. x : ln n n2
2933.
2n x n
2932.
n!
e
:
2934.
n 1
n !x n ! : n 1
2935. ¸Çóáõù
n 1
1n 1 n n x 1n :
an x n n0
¨
bn x n
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý
n0
ß³é³íÇÕÝ»ñÁ Ra ¨ Rb ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÝ »Ý ¨ R min Ra ; Rb : ²å³óáõó»É, áñ
R; R ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ×ßÙ³ñÇï »Ý
n0
n0
n0
an x n bn x n an bn x n ¨ n n n an x bn x cn x n0 n 0 n 0
n
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñï»Õ cn
ak bn k : k 0
2936. ²ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý ³å³óáõó»É, áñ f x
xn ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ n 0 n !
ñáõÙ ¿ f x f y f x y ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ì»ñÉáõÍ»É f ß³ñùÇ (2937-2942).
ýáõÝÏóÇ³Ý x0 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
2937. f x 1 x e x :
2938. f x 1 x ch x :
ln 1 x : 1 x
2939. f x 1 x 2 arctgx :
2940. f x
2941. f x ln 2 1 x :
2942. f x
arcsin x : x
an a n ¨ L lim n : ²å³óáõó»É, áñ an x ³ëïÇn an 1 n an 1 n0 ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý R ß³é³íÕÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý l R L
2943. ¸Çóáõù l lim
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: γéáõó»É ß³ñùÇ ûñÇݳÏ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ëï³óí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ËÇëï »Ý:
2944.
an x n
ëÇÙíáÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ Èáñ³ÝÇ ß³ñù: ²ÛÝ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï
n
ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
a n x n n 1
¨
an x n ß³ñù»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ·³n 0
Ù»ï »Ý: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Èáñ³ÝÇ ß³ñùÁ, ½áõ·³Ù»ï ¿ x x1 ¨ x x2
x1 x2
Ï»ï»ñáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿ x1 x x2 ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí áñáßíáÕ ïÇñáõÛÃÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ:
2945. ¶ïÝ»É
n
n
n
³Ýѳí³ë³-
x n Èáñ³ÝÇ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¨ ѳßí»É
Ýñ³ ·áõÙ³ñÁ: 2946. ²å³óáõó»É, áñ f x
ýáõÝÏóÇ³Ý R \ Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ n n x
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ 1-å³ñµ»ñ³Ï³Ý:
ì»ñÉáõÍ»É ýáõÝÏóÇ³Ý üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ (29472952).
0, x 0; , sin x, x ;2 :
2947. f x
a, x 2 ; 2 , 2948. f x b, x ; 2 2 :
x , x 0;2 : 2950. f x x x : 2951. f x arcsinsin x : 2952. f x arcsincos x : 2953. f x cos px p Z ýáõÝÏóÇ³Ý ; ѳïí³ÍáõÙ í»ñÉáõÍ»É 2949. f x
üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ: ú·ïí»Éáí ëï³óí³Í í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÇóª ³å³óáõó»É, áñ ³)
1 1 n 1 ; sin x x n 1 x n x n
1 1 1 : x n 1 x n x n 2954. îñí³Í ¿ª f 1 ; ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: ²å³óáõó»É, áñ f -Ç a üáõñÇ»Ç ß³ñùÁ ϳ½Ùí³Í ¿ ÙdzÛÝ ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇó. f ~ 0 an cos nx , Áݹ 2 n1 µ) ctgx
áñáõÙ a n
2
f x cos nxdx n Z :
Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É ÝáõÛݳïÇå åݹáõÙ Ï»Ýï ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ: 2955. γéáõó»É f x x x 0; ýáõÝÏódzÛÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÁ ; ѳïí³ÍáõÙ ¨ í»ñÉáõÍ»É ³ÛÝ üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ Áëï ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ: 2956. f x x sin x x 0; ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ: 2957. f x x 2 ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ ³) Áëï ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ ; ѳïí³ÍáõÙ; µ) Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ 0; ѳïí³ÍáõÙ; ·) 0;2 ѳïí³ÍáõÙ: ú·ïí»Éáí ³Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ѳßí»É Ñ»ï¨Û³É ß³ñù»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ.
S1 2 ; n 1 n
S2 n 1
1n 1 ; n
: n 1 2 n 1
S3
2958. гßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ.
2n 1 ; µ) : n1 n n 1 n 1 n n 1 2959. ¸Çóáõùª f 1 ; : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í x ;0 Ï»-
³)
ïáõÙ ³) f x f x , ³å³ a2 n 1 b2 n 1 0 n N ; µ) f x f x , ³å³ a2 n b2 n 0 n N : 2960. ¸Çóáõùª f 1 0; ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù f x f x : ²å³óáõó»É, áñ f ýáõÝÏódzÛÇ ³) Áëï ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç a2 n 1 0 n N ; µ) Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç b2 n 0 n N :
: ÆÝãå»±ë å»ïù ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É ýáõÝÏóÇ³Ý 2
2961. îñí³Í ¿ª f 1 0;
; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, áñå»ë½Ç Ýñ³ üáõñÇ»Ç ß³ñùÝ áõݻݳ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ.
³)
n cos2n 1x ; n 1
µ)
n sin 2n 1x : n 1
2962. ¸Çóáõùª f x x x , x 0; : êï³Ý³É f ýáõÝÏódzÛÇ í»ñ 2 2 ÉáõÍáõÃÛáõÝÝ ³) Áëï cos2n 1xnN ѳٳϳñ·Ç; µ) Áëï sin 2n 1xnN ѳٳϳñ·Ç: 2963. ¸Çóáõùª a0 an cos nx bn sin nx , g ~ 0 n cos nx n sin nx : 2 n 1 2 n1 ÆÝãåÇëDZ ϳå ϳ an , bn ¨ n , n ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ ÙÇç¨, »Ã» ³) f x g x ; µ) f x g x : a 2964. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 0 an cos nx bn sin nx »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý 2 n 1 ß³ñùÁ ; ѳïí³Íáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ f x ·áõÙ³ñ, ³å³ ³ÛÝ f x -Ç üáõñÇ»Ç ß³ñùÝ ¿:
f ~
2965. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÝ áõÝÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ sn k x »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ ; ѳïí³Íáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇÝ, ³å³ ³ÛÝ f -Ç üáõñÇ»Ç ß³ñùÝ ¿: 2966. ¸Çóáõù f 1 ; : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» áñ¨¿ 0 ¨ S Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
f x t f x t 2 S dt t
x ;
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ f -Ç üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÁ x Ï»ïáõÙ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ S -ÇÝ (¸ÇÝÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇß): 2967. ²ëáõÙ »Ý, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý U µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ óáõóÇãáí ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ ¨ ·ñáõÙª f Lip U , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í x1 , x2 U
f x1 f x2 M x1 x2
Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
¸Çóáõùª f 1 ; , U -Ý x0 ; Ï»ïÇ áñ¨¿ ßñç³Ï³Ûù ¿ ¨
f Lip U : ²å³óáõó»É, áñ f -Ç üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÁ x0 Ï»ïáõÙ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x0 -ÇÝ: 2968. ¸Çóáõùª f 1 ; ¨ x0 ; Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ f -Ý áõÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É: ²å³óáõó»É, áñ f -Ç üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÁ x0 Ï»ïáõÙ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x0 -ÇÝ: 2969. ²å³óáõó»É, áñ ½ñáÛÇ ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ü»Û»ñÇ ÏáñǽݻñÇ n t ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ. ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
lim max n t 0 :
n t
2970. ¸Çóáõùª f 1 ; ¨ x ; Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý f x 0 í»ñç³íáñ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ f -Ç n x ü»Û»ñÇ
f x 0 f x 0 ÃíÇÝ: 2971. ¸Çóáõùª f C 1 ; , f f ¨ a f x ~ 0 an cos nx bn sin nx : 2 n1 ·áõÙ³ñÝ»ñÁ Ó·ïáõÙ »Ý
²å³óáõó»É, áñ
f x ~
nan sin nx nbn cos nx : n 1
f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ·ñ»É ä³ñ먳ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ѳßí»É ïñí³Í cn n N ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ (2972-2973). x 2972. f x , cn 2 : n 1, x , sin 2 n cos 2 n 2973. f x ³) cn ; µ) cn : , x ; n n 2974. îñí³Í f , g 2 a; b ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ
1 b f x g x dx -Á ba a
ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇ ÙÇçÇÝ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ß»ÕáõÙ: ¸Çóáõù n 2 a; b n Z ѳٳϳñ·Ý a; b -Ç íñ³ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù n 0 0 n n : i R, i 0,..., n µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»É üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ¿ùëïñ»Ù³É ѳïÏáõÃÛáõÝÁ. ïñí³Í f 2 a; b ýáõÝÏódzÛÇ ¨ n µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ÙÇçÇÝ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ß»ÕáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ýí³½³·áõÛÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 0 ,..., n ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ f -Ç üáõñÇ»Ç ·áñͳÏÇóÝ»ñÝ »Ý Áëï n n Z ѳٳϳñ·Ç: ºé³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ѳٳϳñ·Ç ¹»åùáõÙ ó³Ýϳó³Í f 2 ; ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É ´»ë»ÉÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ.
f x sn x dx
a2 n f 2 x dx 0 ak2 bk2 , 2 k 1
áñï»Õ n a0 a an cos nx bn sin nx , sn x 0 ak cos kx bk sin kx : 2 n1 2 k 1 a 2975. ¸Çóáõù` f , g 2 ; , f x ~ 0 an cos nx bn sin nx ¨ 2 n1 A0 g x ~ An cos nx Bn sin nx : ²å³óáõó»É ä³ñ먳ÉÇ ÁݹѳÝñ³ó2 n 1
f x ~
í³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
1 a A f x g x dx 0 0 an An bn Bn : n 1
¶ ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2976-2977).
2976.
sin 2
n
n
x 2977. : n 1 sin n
x :
n 1
2978. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿, ÇëÏ
0
f x dx -Áª
½áõ·³Ù»ï: ²å³óáõó»É, áñ
n 1
lim h f nh
h 0
f x dx :
ú·ïí»Éáí ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
t t2 tn lim 1 t : n t 1 0 1 t 1 t 1 t ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ (2979-2980).
x 0
2979. lim
1n 1 :
n 1
n
2980. lim 1 x
x
p 1
x 1 0
n p xn p Z : n 1
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (2981-2982).
2981. ³)
; n n 1 n
x x dx
µ)
x x dx
n 1
1n 1 : nn
n
1 1 n ! : 2 n 0 2n 1 ! 2983. ¸Çóáõù 1 C 0; A ýáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿ ¨
2982.
e x sin xdx
x
n 1 x 2 0 n t dt
n N :
²å³óáõó»É, áñ n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0; A ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ x x 2 ýáõÝÏódzÛÇÝ:
f n : X R n N ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ï»ïáñ»Ý ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇÝ: ²å³óáõó»É 2984. ¸Çóáõù
ë³ÑÙ³ÝÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. »Ã» f n ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 X Ï»ïáõÙ ¨ , µ³óÇ
³Û¹, ó³Ýϳó³Í 0 ¨ m N Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n m µÝ³Ï³Ý ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù f n x f x , ³å³ f -Á x0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: êïáõ·»É, áñ
f n x
nx 1 n2 x2
n N
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
0;1
ѳïí³ÍÇ íñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ, ë³Ï³ÛÝ ËݹñáõÙ Ýßí³Í ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ ³ÛÝ ãÇ µ³í³ñ³ñáõÙ: 2985. ²ëáõÙ »Ý, áñ f n : a; b R n N ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
a; b
ѳïí³ÍÇ íñ³ ùí³½Çѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿
f
ýáõÝÏ-
ódzÛÇÝ, »Ã» ó³Ýϳó³Í 0 ¨ m N Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý a; b ѳïí³ÍÁ ͳÍÏáÕ a1 ;b1 ,…, ak ; bk ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇù ¨ ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý m -Á ·»ñ³½³ÝóáÕ n1 , …, nk µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
f x f ni x
x a; b ai ; bi , i 1,..., k :
²å³óáõó»É ²ñó»É³ÛÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ. áñå»ë½Ç a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ³Û¹ ѳïí³ÍÇ íñ³ ÉÇÝÇ ³ÝÁݹѳï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïÇ ùí³½Çѳí³ë³ñ³ã³÷: 2986. ¸Çóáõù f n a; b n N ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿. M 0 x a; b n N f n x M : ²å³óáõó»É, áñ
x
Fn x f n t dt n N a
ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: 2987. f n : a; b R ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ëïÇ×³Ý ³ÝÁݹѳï, »Ã» 0 0 n N x1, x2 a; b x1 x2 f n x1 f n x2 :
²å³óáõó»É, áñ »Ã» f n C a; b
n N
ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ³ÛÝ Ý³¨ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ѳí³ë³ñ³ëïÇ×³Ý ³ÝÁݹѳï:
2988. ²å³óáõó»É ²ñó»É³ÛÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ. »Ã» f n : a; b R
n N
ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ѳí³ë³ñ³ëïÇ×³Ý ³ÝÁݹѳï, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: 2989. ¸Çóáõù -Ý 1 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿, Áݹ áñáõÙª x x , »ñµ
1 1 x ; : ²å³óáõó»É, áñ 2 2
4n x ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ 4n n 1
íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ë³Ï³ÛÝ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ (ì³Ý ¹»ñ ì³ñ¹»Ý):
2990. êïáõ·»É, áñ
ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³
sin 2n x an
n 1
³) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, »ñµ a 1 ; µ) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, »ñµ a 2 ; ·) áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿, »ñµ a 1;2 : 2991. γéáõó»É R -Ç íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÁ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ Þí³ñóÇ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ (ï»ë ËݹÇñ 1573):
un x
2992. îñí³Í ¿ª
ß³ñùÝ a; b í»ñç³íáñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿,
n 1
Áݹ áñáõÙª ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ C ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í m N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ m
n1
n 1
u n x C , ³å³ un x ß³ñùÝ a; b -áõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2993. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í x R ÃíÇ
ѳٳñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
f nx n 1
¨
f nx 0
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ³å³
n 1
f x 0 :
2994. ¸Çóáõù
an x n
ß³ñùÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ áñáß Ñ³Ù³ñÇó ëÏë³Í å³ñµ»-
n0
ñ³µ³ñ ÏñÏÝíáõÙ »Ý. an p an , n n0 : ²å³óáõó»É, áñ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódz ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ:
an x n
2995. ²å³óáõó»É, áñ
ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódz ¿ ³ÛÝ ¨
n0
ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý n0 N ¨ c1 , c2 ,..., c p Ãí»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ ó³Ýϳó³Í n n0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ c1an 1 c2 an 2 c p an p 0 : 2996. ¸Çóáõùª an 0 n Z ¨ An
n
ak : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» k 0
an 0 , ³å³ n A n
¨ lim
lim An
n
a
nx
n
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿
n 0
1 -Ç:
2997. f x 1 q n x
q 1 ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõ-
n 1
Í»É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ: òáõóáõÙ: ú·ïí»É f x 1 qx f qx ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó:
2998. ¸Çóáõù
f
n
x M
n
f C a; b ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M
ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
x a; b , n N : ²å³óáõó»É, áñ a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»-
ï»ñáõÙ f -Ý ³Ý³ÉÇïÇÏ ¿: 2999. îñí³Í ¿ a0 , a1 ,..., an ,... Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M
f x
ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
an
Mn n!
n N ,
³å³
an x n
ýáõÝÏóÇ³Ý áÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ³Ý³ÉÇïÇÏ ¿:
n0
3000. ¸Çóáõùª f C 1;1 ¨ f
n
x 0 1 x 1, n Z : ²å³óáõó»É, áñ
1;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f -Ý ³Ý³ÉÇïÇÏ ¿: 3001. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» áã ³í»ÉÇ ù³Ý m -ñ¹ ϳñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇÝ, ³å³ f -Á ÝáõÛÝå»ë áã ³í»ÉÇ ù³Ý m -ñ¹ ϳñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: 3002. ²å³óáõó»É ²µ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ßñçáõÙÁ. »Ã» an 0 n Z ¨
an x n s x 1 0
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³
n0
an s : úñÇn0
ݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ an 0 å³ÛÙ³ÝÝ ³Ûëï»Õ ¿³Ï³Ý ¿:
3003. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
a
nx
n
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ß³é³íÇÕÁ 1 ¿ ¨
n 0
sn a0 a1 an , ³å³ lim
an x n : x 1 0 n 1
f x
3004. ¸Çóáõù
¨ g x
an x n n0
bn x n
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñù»ñÁ,
n0
áñáÝóáõÙ an 0 , bn 0 n Z , 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ÇëÏ x 1 Ï»ïáõÙª ï³ñ³Ù»ï: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» an ~ bn
n , ³å³ f x ~ g x
x 1 0 : 3005. êï³Ý³É ݳËáñ¹ ËݹñÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. ¹Çóáõù f x ¨ g x ß³ñù»ñÁ
0;1
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ
tn b0 b1 bn 0
½áõ·³Ù»ï
n Z ,
»Ý,
sn a0 a1 an 0 ,
Áݹ áñáõÙª
sn tn : n0
²Û¹ ¹»å-
n 0
ùáõÙ, »Ã» sn ~ tn n , ³å³ f x ~ g x x 1 0 : 3006. ²å³óáõó»É гñ¹Ç-ÈÇÃÉíáõ¹Ç Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ. ¹Çóáõù f x
an x n n0
ß³ñùÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, Áݹ áñáõÙª ß³ñùÁ 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿: ºÃ» f x ~
1 x
x 1 0 ,
³å³ a0 a1 an ~ n
n : 3007. K n a; a n N ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳÝí³Ý»Ýù Ùáï³ñÏÙ³Ý Ùdzíáñ, »Ã» ³ÛÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. 1) K n t 0 , t a; a , n N ; a
2)
lim K n t dt 1 ;
n
a
3) ó³Ýϳó³Í 0 a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ lim sup K n t 0 : n t a
¸Çóáõùª f C R : ²å³óáõó»É, áñ a
f n x
f x t K n t dt n N a
ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ó³Ýϳó³Í ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇÝ:
n t ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ n t -Ý ü»Û»ñÇ ÏáñÇ½Ý ¿, Ùáï³ñÏÙ³Ý Ùdzíáñ ¿ ; -áõÙ ¨ ³Û¹ï»ÕÇó ëï³Ý³É 3008. êïáõ·»É, áñ K n t
ì³Û»ñßïñ³ëÇ »ñÏñáñ¹ ûáñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÁ: 3009. ¸Çóáõù f 1 ; ýáõÝÏóÇ³Ý 2 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿ ¨
a0 an cos nx bn sin nx : 2 n 1 a f r; x 0 r n an cos nx bn sin nx 2 n 1
f x ³)
0 r 1
ýáõÝÏódzÛÇ
ѳٳñ ëï³Ý³É
f r; x
2
f t
1 r2 dt 1 2r cos(t x) r 2
Ý»ñϳ۳óáõÙÁ: µ) êïáõ·»É, áñ K r t
1 r2 2 1 2r cos t r 2
ýáõÝÏódzݪ äáõ³ëáÝÇ
ÏáñǽÁ, ; ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ Ùáï³ñÏÙ³Ý Ùdzíáñ ¨ ³å³-
f C R 2 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ f r ; x f x , »ñµ r 1 0 . 0 r0 0;1 x ; r0 r 1 f r; x f x : 3010. îñí³Í ¿ª C 0;1 , 0 1 0 : ÀÝïñ»É cn n N ·áñͳÏÇóóáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í
Ý»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ K n t cn 1 t 2 n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 1;1 ѳïí³ÍáõÙ ÉÇÝÇ Ùáï³ñÏÙ³Ý Ùdzíáñ ¨ ѳÙá½í»É, áñ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ
Pn x 0 t K n x t dt ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0;1 ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ x ýáõÝÏódzÛÇÝ: ²Û¹ï»ÕÇó ëï³Ý³É ì³Û»ñßïñ³ëÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÁ: x , x 0;1, ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ û·ïí»É 3007 ËݹñÇó: 0, x R \ 0;1
òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É f x
3011. ¸Çóáõùª f C 0;1 : ²å³óáõó»É, áñ ´»éÝßï»ÛÝÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª
n
Pn x
k
nk
f n Cnk x k 1 x
k 0
n Z ,
0;1
ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f x ýáõÝÏódzÛÇÝ (ì³Û»ñßïñ³ëÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇ Ù»Ï ³ÛÉ ³å³óáõÛó): n
òáõóáõÙ: ú·ïí»É
k nx2 C nk x k 1 x n k nx1 x
ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó ¨ óáõÛó ï³É, áñ
k 0 n
1
Cnk x k 1 x n k
ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ç ÏáÕÙáõÙ ³ÛÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñáÝó ѳٳñ-
k 0
Ý»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý k nx n
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ÷áùñ ¿
1 2 n -Çó:
3012. ¸Çóáõù f C a; b ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ ½ñá »Ý. b
n x f x dx 0 n Z : a
²å³óáõó»É, áñ f 0 : 3013. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f a; b ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ ½ñá »Ý ¨
f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; b Ï»ïáõÙ, ³å³ f 0 : 3014. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C 0;2 ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ ½ñá »Ýª 2
f x cos nxdx
2
f x sin nxdx 0 n Z ,
³å³ f 0 (»é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ѳٳϳñ·Ç ÉñÇíáõÃÛáõÝ): 3015. ¸Çóáõùª f C R ¨ kn -Á n Z ¹ñ³Ï³Ý ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
I n e k n x f x dx
ÇÝï»·ñ³ÉÁ n 0 ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ I n 0 , ³å³ f 0 : 3016. ¸Çóáõùª ѳٳñ
³)
x 1
2k
f C 1;1 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í k Z ÃíÇ f x dx 0 , ³å³ f -Á Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿;
µ)
x
2 k 1
f x dx 0 ,³å³ f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿:
1
Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É ÝáõÛÝåÇëÇ åݹáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ÙáÙ»ÝïÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É:
3017. f x ln 2 cos
x ýáõÝÏóÇ³Ý ; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É üáõñÇ2
»Ç »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ: ²Û¹ï»ÕÇó ³ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý ëï³Ý³É ݳ¨
x g x ln 2 sin ýáõÝÏódzÛÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ 0;2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: 2 a 3018. îñí³Í »Ý 0 an cos nx ¨ bn sin nx »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñ2 n 1 n 1 ù»ñÁ, áñáÝóáõÙ an 0 , bn 0 : êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í K R \ 2k : k Z ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ß³ñù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» h x
a0 an cos nx g x bn sin nx ýáõÝÏóÇ³Ý 2 n 1 n 1
;
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ µ³ó³ñÓ³Ï ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ (èÇÙ³ÝÇ Ï³Ù ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïáí), ³å³ ·ñí³Í ß³ñùÁ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñù:
3019. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ݳËáñ¹ ËݹñÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ
b an ß³ñùÁ ( n n 1 n n 1 n
ß³ñùÁ) ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ h -Á ( g -Ý) µ³ó³ñÓ³Ï ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ¨ ѻ勉µ³ñ ·ñí³Í »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÁ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ Çñ ÇëÏ ·áõÙ³ñÇ üáõñÇ»Ç ß³ñù:
3020. òáõÛó ï³É, áñ
sin nx ß³ñùÁ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ áñ¨¿ f 2 ; n n 1
ýáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñù:
3021. îñí³Í ¿
bn sin nx
»é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÁ, áñáõÙ bn 0 :
n 1
²å³óáõó»É, áñ ß³ñùÁ ó³Ýϳó³Í ѳïí³ÍÇ íñ³ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ n bn 0 :
¶ÉáõË 12
ì»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñ, êïÇÉï»ëÇ ÇÝï»·ñ³É
ì » ñ ç ³ í á ñ í ³ ñ Ç ³ ó Ç ³ Û Ç ý áõ Ý Ï ó Ç ³ Ý » ñ : îñí³Í f : a; b R
ýáõÝÏódzÛÇ ¨ a; b ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í P x0 , x1 ,..., x n ïñáÑÙ³Ý Ñ³Ù³ñ (ï»ë ·ÉáõË 8) n 1
ϳ½Ù»Ýù
f xk 1 f xk
·áõÙ³ñÁ: ´áÉáñ ïñáÑáõÙÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ³Û¹åÇëÇ
k 0
·áõÙ³ñÝ»ñÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÁ (í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç) ÏáãíáõÙ ¿ b
b
a
a
a; b
ѳïí³ÍáõÙ
f
ýáõÝÏódzÛÇ ÉñÇí í³ñdzódz ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª V f : ºÃ» V f , ³å³ f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý
í»ñç³íáñ (ë³Ñٳݳ÷³Ï) í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz: f : a; R ýáõÝÏódzÛÇ
b
a
b a
ÉñÇí
í³ñdzódzÝ
ë³ÑÙ³ÝíáõÙ
¿
V f lim V f µ³Ý³Ó¨áí: гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ÉñÇí í³ñdz-
ódzݻñÁ ; b ¨ 1; 2 ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ:
X ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ¹³ëÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ BV X : BV a; b ¹ ³ ë Ç Ï ³ é áõ ó í ³ Í ù Á : ò³Ýϳó³Í f , g BV a; b ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñª b
b
b
a
a
a
, R , Áݹ áñáõÙª V f g V f V g ;
³) f g BV a; b
b
b
µ) f BV a; b , Áݹ áñáõÙª V f V f ; a b
a
b
b
·) fg BV a; b , Áݹ áñáõÙª V fg sup g x V f sup f x V g ; a
a x b
a
a
a x b b
1 1 b BV a; b , Áݹ áñáõÙª V 2 V g : g a g a ºÃ» f BV a; b ¨ a c b , ³å³ a; c ¨ c; b ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ¹) »Ã» ³Ù»Ýáõñ»ù g x 0 , ³å³
c
b
b
a
c
a
f -Á í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿, Áݹ áñáõÙª V f V f V f :
»áñ»Ù: ºÃ» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³ ³ÛÝ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿, b
Áݹ áñáõÙª V f f b f a : a
»áñ»Ù: àñå»ë½Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÉÇÝÇ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ Ý»ñϳ۳óíÇ áñå»ë »ñÏáõ ³×áÕ (ãÝí³½áÕ) ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï
ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ: àô Õ Õ » É Ç Ï á ñ » ñ : ¸Çóáõù L ÏáñÁ ïñí³Í ¿ x t , y t t å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí:
ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: ;
t k , t k k 0,..., n
L -Á ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï Ïáñ, »Ã» ¨ ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í t 0 , t1 ,..., t n ïñáÑÙ³Ý Ñ³Ù³ñ
·³·³ÃÝ»ñÁ ѳçáñ¹³µ³ñ ÙdzóÝáÕ µ»ÏÛ³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ L ÏáñÇÝ
Ý»ñ·Í³Í µ»ÏÛ³É : ºÃ» µáÉáñ ³Û¹åÇëÇ µ»ÏÛ³ÉÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÁ í»ñç³íáñ ÃÇí ¿, ³å³ ³ÛÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý áñå»ë L ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ ÏáñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áõÕÕ»ÉÇ: Äáñ¹³ÝÇ Ã»áñ»ÙÁ: àñå»ë½Ç L ³ÝÁݹѳï ÏáñÁ ÉÇÝÇ áõÕÕ»ÉÇ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ¨ ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ; ѳïí³ÍáõÙ áõݻݳ í»ñç³íáñ í³ñdzódz: ê ï Ç É ï » ë Ç Ç Ý ï » · ñ ³ É : îñí³Í »Ý f : a; b R ¨ : a; b R ýáõÝÏódzݻñÁ:
a; b
P x0 , x1 ,..., x n ïñáÑÙ³Ý (ï»ë ·ÉáõË 8) ¨ ó³Ýϳó³Í
ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í
i i xi ; xi 1 i 0,1,..., n 1 Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ϳ½Ù»Ýù S f ; P ,
n 1
f i xi
i 0
·áõÙ³ñÁ, áñï»Õ xi xi 1 xi : ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
lim S f ; P, í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ ( P -Ý P ïñáÑÙ³Ý
P 0
ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿), ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a; b ѳïí³ÍáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ êïÇÉï»ëÇ (èÇÙ³ÝêïÇÉï»ëÇ ) ÇÝï»·ñ³É Áëï -Ç ¨ Ý߳ݳÏáõÙª b
lim S f ; P,
P 0
f x d x : a
²Ûë ¹»åùáõÙ f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Áëï -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇ:
Àëï -Ç a; b ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ¹³ëÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a; b :
»áñ»Ù: ºÃ» f C a; b ¨ BV a; b , ³å³ f a; b : سë»ñáí ÇÝï»·ñáõÙ: ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇó Ù»ÏÝ a; b ѳïí³ÍáõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ Áëï ÙÛáõëÇ, ³å³ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á. b
b
a
a
b f x dg x f x g x a g x df x :
êïÇÉï»ëÇ ¨ èÇÙ³ÝÇ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ Ï³åÁ: ¸Çóáõù f a; b , 1 a; b ¨ x
x C t dt
C R, a x b :
a
²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ f -Ý ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ Áëï -Ç ¨ b
b
a
a
f x d x f x x dx :
¨ ³Ù»Ýáõñ»ù m f x M : ºÃ» -Ý m; M ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
ØÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ã»áñ»ÙÁ: ¸Çóáõù f a; b
a; b -áõÙ ãÝí³½áÕ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ b
f x d x b a :
a
»áñ»Ù êïÇÉï»ëÇ ÇÝï»·ñ³ÉáõÙ ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É: 1. ¸Çóáõù
f n C a; b n N ¨ f n f : ò³Ýϳó³Í BV a; b ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ b
b
f n xd x f x d x : n lim
a
a
2. ¸Çóáõù f C a; b , ÇëÏ n BV a; b n N ýáõÝÏódzݻñÇ í³ñdzódzݻñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ãíáí ¨ lim n x x a x b : ²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ n
BV a; b , Áݹ áñáõÙª b
b
a
a
f xd n x f x d x : n lim
² 3022. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿, b
³å³ ³ÛÝ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz ¿ ¨ V f f b f a : a
3023. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ (·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ K ѳëï³ïáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x, y a; b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª f x f y K x y ), ³å³ ³ÛÝ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz ¿: 3024. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ f BV a; b : 3025. ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 3026. ²å³óáõó»É, áñ
x cos , 0 x 1, f x 2x 0, x 0 ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ã¿:
òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É 0;1 ѳïí³ÍÇ 0
1 1 1 ïñáÑáõÙÝ»ñÇ Ñ³2n 2 n 1 3 2
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:
3027. ¸Çóáõùª f , g BV a; b : ²å³óáõó»É, áñ f g ,f BV a; b R ¨
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
V f g V f V g , V f V f : b
b
a
a
òáõÛó ï³É, áñ »Ã» g -Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, ³å³ V f g V f : 3028. ¸Çóáõùª f , g BV a; b : ²å³óáõó»É, áñ f g BV a; b ¨ b
b
b
V f g sup f x V g sup g x V f : a
xa ; b
a
xa ; b
a
3029. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» g -Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz ¿ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù g x 0 , ³å³
-Ý a; b -Ç íñ³ ÝáõÛÝå»ë g b
1 1 b 2 V g : a g a
í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz ¿, Áݹ áñáõÙª V
b
a
b
3030. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV a; b , ³å³ f BV a; b ¨ V f V f : a
ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: γéáõó»É f BV a; b ýáõÝÏódz, áñÇ Ñ³Ù³ñ ·ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ËÇëï ¿: 3031. ¶ïÝ»É
0, x 0, f x 1 x, 0 x 1, 5, x 1 ýáõÝÏódzÛÇ ÉñÇí í³ñdzóÇ³Ý 0;1 ѳïí³ÍÇ íñ³: 3032. ¶ïÝ»É
x 1, x 1, f x 10, x 1, x2 , x 1 ýáõÝÏódzÛÇ ÉñÇí í³ñdzóÇ³Ý 0;2 ѳïí³ÍÇ íñ³: 3033. ¶ïÝ»É
x 2 , 0 x 1, f x 5, x 1, x 3, 1 x 2
ýáõÝÏódzÛÇ ÉñÇí í³ñdzóÇ³Ý 0;1 , 1;2 ¨ 0;2 ѳïí³ÍÝ»ñÇ íñ³: гÙá½í»É, áñ
V f V f V f : 3034. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿ ¨ a c b : ²å³óáõó»É, áñ b
c
b
a
a
c
V f V f V f : 3035. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý a; c ¨ c; b ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ áõÝÇ í»ñç³íáñ ÉñÇí í³ñdzódz: ²å³óáõó»É, áñ f BV a; b ¨ áñ b
c
b
a
a
c
V f V f V f : 3036. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b ѳïí³ÍÁ ϳñ»ÉÇ ¿ µ³Å³Ý»É í»ñç³íáñ Ãíáí ѳïí³ÍÝ»ñÇ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³
f -Ý a; b -Ç íñ³ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿: x
3037. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV a; , ³å³ g x V f -Ý a; -Ç íñ³ a
ãÝí³½áÕ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿: 3038. ²å³óáõó»É, áñ f BV a; b ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b -Ç íñ³ ³×áÕ (ãÝí³½áÕ) F ýáõÝÏódz, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ϳٳ۳ϳÝ
a x1 x2 b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ f x2 f x1 F x2 F x1 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 3039. ²å³óáõó»É, áñ f BV a; b ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f -Á Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ a; b -Ç íñ³ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí: 3040. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇóª ³å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÁ, ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñ »Ý: 3041. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV a; , ³å³
b
a
a
b
V f V f V f
a b :
3042. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿, ³å³
a
lim V f lim V f 0 :
a
a a
3043. ²å³óáõó»É, áñ
2 x sin , 0 x 1, y x 0, x 0 ÏáñÝ áõÕÕ»ÉÇ ¿: 3044. ²å³óáõó»É, áñ
x sin , 0 x 1, y x 0, x 0 ÏáñÝ áõÕÕ»ÉÇ ã¿:
3045. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í c ѳëï³ïáõÝÇ Ñ³Ù³ñ b
a cd x c b a : 3046. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f , g a; b , ³å³ f g a; b ¨ b
b
b
f x g x d x f x d x g x d x : a
a
a
3047. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f a; b , ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f a; b ¨ b
b
f x d x f x d x : a
a
3048. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f a; b ¨ f a; b , ³å³ f a; b ¨ b
b
b
a
a
f x d x x f x d x f x d x :
a
3049. ¸Çóáõùª BV a; b ¨ f a; b ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ b
b
f x d x M V ,
a
a
áñï»Õ M sup f x : xa; b
3050. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
b
a fd
ó³Í c a; b ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý
c
ÇÝï»·ñ³ÉÁ, ³å³ ó³Ýϳ-
a fd
¨
b
c fd
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ,
Áݹ áñáõÙª b
c
b
f x d x f x d x f x d x : a
a
c
3051. êïáõ·»É, áñ »Ã»
0, 1 x 0, f x 1, 0 x 1
0, 1 x 0, 1, 0 x 1,
¨ g x
³å³
1
f x dg x
f x dg x 0 ,
ÇëÏ
f x dg x -Á ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: 1
3052. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f g a; b , ³å³ g f a; b , Áݹ áñáõÙ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ù³ë»ñáí ÇÝï»·ñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á. b
b
a
a
b g x df x f xg x a f x dg x :
3053. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b , ÇëÏ x -Ý a; b -Ç íñ³ áõÝÇ èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ f a; b , Áݹ áñáõÙ b
b
f x d x f x x dx :
a
a
3054. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ a; b ¹³ëÇ ó³Ýϳó³Í ýáõÝÏódz ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 3055. ¸Çóáõù -Ý ³×áÕ ¿ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ
a; b ¹³ëÇ ó³Ýϳó³Í ýáõÝÏódz ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 3056. ¸Çóáõù` C 1 a; b ¨ x 0 x a; b : ²å³óáõó»É, áñ a; b ¹³ëÇ ó³Ýϳó³Í ýáõÝÏódz ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 3057. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý x c a; b Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨
0, x 0, x 1, x 0 :
²å³óáõó»É, áñ b
f x d x c f c : a
3058. ¸Çóáõùª f C a; b , ÇëÏ g -Ý
a;c1 , c1;c2 , … , cn , b
ÙÇç³Ï³Û-
ù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, áñï»Õ a c1 c2 cn b , ѳëï³ïáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ b
f x dg x f a g a 0 g a a n
f c g c k
k
0 g ck 0 f b g b g b 0 :
k 1
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3059-3062).
3059.
x d sgn x :
3060.
1
xd x :
0, x 1, 3061. xdg x , áñï»Õ g x 1, 1 x 2, 1, 2 x 3 : 1 1, 0 x 0,5, 3062. x dg x , áñï»Õ g x 0, 0,5 x 1,5, 2, 1,5 x 2 :
´ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳßí»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ýáõÝÏódz, áñÁ E -Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:
3063. ²å³óáõó»É, áñ Z ¨ Z µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳßí»ÉÇ ¿: 3064. òáõÛó ï³É, áñ µÝ³Ï³Ý ½áõÛ· Ãí»ñÇ ¨ Ï»Ýï Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳßí»ÉÇ »Ý: 3065. ²å³óáõó»É, áñ ³) ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ; µ) í»ñç³íáñ ¨ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ѳßí»ÉÇ ¿; ·) »ñÏáõ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ѳßí»ÉÇ ¿; ¹) ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ Z µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
3066. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ѳßí»ÉÇ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ: 3067. êïáõ·»É, áñ J p, q
p q p q 1 p ,
p, q Z , ýáõÝÏódzÝ
Z Z µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷áËÙdzñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Z -Ç íñ³: 3068. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳßí»ÉÇ ¿: 3069. ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ: 3070. òáõÛó ï³É, áñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿: 3071. ²å³óáõó»É, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ãѳïíáÕ µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ó³Ýϳó³Í ÁÝï³ÝÇù í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ: 3072. ²å³óáõó»É, áñ 0;1 ѳïí³ÍÁ ѳßí»ÉÇ ã¿: 3073.
¸Çóáõù
f
ýáõÝÏódzÝ
a; b
ѳïí³ÍÇ
íñ³
ãÝí³½áÕ
¿
¨
x1 , x2 ,..., xn a; b : ²å³óáõó»É n
f a 0 f a f xk 0 f xk 0 f b f b 0 f b f a k 1
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 3074. ²å³óáõó»É, áñ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ãÝí³½áÕ f ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ: òáõÛó ï³É, áñ »Ã» x1 , x2 ,... a; b Ï»ï»ñÁ f -Ç Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÝ »Ý, ³å³
f a 0 f a f xk 0 f xk 0 f b f b 0 f b f a k
3075. ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³×áÕ ¿:
s x f a 0 f a
f x
k
0 f xk 0
xk x
f x f x 0 , »ñµ a x b ¨ s a 0 ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ f -Ç ÃéÇãùÝ»ñÇ ýáõÝÏódz: ²å³óáõó»É, áñ f x s x ýáõÝÏóÇ³Ý a; b -Ç íñ³ ãÝí³½áÕ ¿ ¨ ³ÝÁݹѳï: 3076. ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ: 3077. ¸Çóáõùª f BV a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 Ï»x
ïáõÙ, ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ݳ¨ v x V f ýáõÝÏódzÝ: a
3078. ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ Ý»ñϳ۳óÝ»É »ñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ãÝí³½áÕ: 3079. ¸Çóáõùª f C a; b BV a; b : a; b ѳïí³ÍÇ P x0 ,..., xn ïñáÑÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝù n 1
n 1
k 1
k 0
V f ; P f xk 1 f xk , f ; P
k ,
áñï»Õ k -Ý f -Ç ï³ï³ÝáõÙÝ ¿ xk ; xk 1 -Ç íñ³: ²å³óáõó»É, áñ b
lim V f ; P lim f ; P V f ,
P 0
P 0
a
áñï»Õ P -Ý P ïñáÑÙ³Ý ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿: 3080. ¸Çóáõù f -Ý a; b -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz ¿ ¨ f 1 a; b : ²å³óáõó»É, áñ f BV a; b , Áݹ áñáõÙª b
b
V f f x dx : a
a x
3080.1. ¸Çóáõù 1 a; b ¨ f x a t dt : ²å³óáõó»É, áñ f BV a; b ¨ b
b
V f a t dt : a
3081. ¸Çóáõùª f C 1 0;1 : ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. 1 f x dx max f x dx , f x dx : 0 3082. ¸Çóáõù F -Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ ³Ýí»ñç ÁÝ1
ï³ÝÇù ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ÁÝï³ÝÇùÇ µáÉáñ ýáõÝÏódzݻñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ãíáí ( F ÁÝï³ÝÇùÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿), ³å³ ó³Ýϳó³Í E a; b ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ F ÁÝï³ÝÇùÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ýáõÝÏódzݻñÇ f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ E -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿: 3083. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzݻñÇ
F f ³Ýí»ñç ÁÝï³ÝÇùÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ Ýñ³ÝÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ýáõÝÏódzݻñÇ f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÝ a; b -Ç íñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzÛÇ:
3084. ¸Çóáõù F -Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ ³Ýí»ñç ÁÝï³ÝÇù ¿: ºÃ» ÁÝï³ÝÇùÇ µáÉáñ ýáõÝÏódzݻñÁ ¨ Ýñ³Ýó ÉñÇí í³ñdzódzݻñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ãíáíª b
f x K , V f K a
f F ,
³å³ F ÁÝï³ÝÇùÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ýáõÝÏódzݻñÇ f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÝ a; b -Ç íñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzÛÇ (лÉÇÇ ÁÝïñáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝù): 3085. ²å³óáõó»É, áñ f BV R ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ÛÝ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ »ñÏáõ ãÝí³½áÕ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ: 3086. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV R , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý lim f x ¨ x
lim f x í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ:
x
3087. ¸Çóáõù F -Ý R -Ç íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ ³Ýí»ñç ÁÝï³ÝÇù ¿: ºÃ» ÁÝï³ÝÇùÇ µáÉáñ ýáõÝÏódzݻñÁ ¨ Ýñ³Ýó ÉñÇí í³ñdzódzݻñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ãíáíª
f x K , V f K
f F ,
³å³ F ÁÝï³ÝÇùÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ýáõÝÏódzݻñÇ f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ R -Ç íñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzÛÇ: 3088. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV 0;1 , ³å³ F x f ax b a 0 ýáõÝÏ1b
a b 1 b f : óÇ³Ý ; ѳïí³ÍÇ íñ³ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿ ¨ V F V ba a a
b
3089. ¸Çóáõùª f BV a; b ¨ V f f b f a : ²å³óáõó»É, áñ f -Á ãÝí³a
½áÕ ýáõÝÏódz ¿: üáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñϳ۳óÝ»É »ñÏáõ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí (3090-3092). 3090. cos 2 x , 0 x : 3091. sin x , 0 x 2 :
x 2 , 0 x 1; 3092. f x 0, x 1; 1, 1 x 2 :
3093. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ÇëÏ : a; b R -Áª
a; b
ãÝí³½áÕ:
P x0 , x1 ,..., xn
ѳïí³ÍÇ
n 1
mk xk 1 xk ,
s
ïñáÑÙ³Ý
ѳٳñ
n 1
S
k 0
M k xk 1 xk
k 0
·áõÙ³ñÝ»ñÁ, áñï»Õ mk
inf
xx k ; x k 1
f x , M k
sup x x k ; x k 1
f x , ÏáãíáõÙ »Ý
¸³ñµáõ-êïÇÉï»ëÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ëïáñÇÝ ¨ í»ñÇÝ ·áõÙ³ñÝ»ñ: ²å³óáõó»É, áñ f a; b ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
lim S s 0 ,
P 0
áñï»Õ P -Ý P ïñáÑÙ³Ý ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿: 3094. ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
a x b , ³å³ b
x
f a; b , 1a; b ¨ g x a t dt
f g a; b ¨ b
f x dg x f x x dx :
a
a
3095. ¸Çóáõùª u , v 1 a; b ¨ x
x
a
a
U x U a u t dt , V x V a vt dt
a x b :
²å³óáõó»É Ù³ë»ñáí ÇÝï»·ñÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Ç Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁª b
b
b
U x vx dx U xV x a V x u x dx : a
a
3096. ¸Çóáõùª f C a; b ¨ g -Ý a; b -Ç íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù, µ³óÇ ·áõó» í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñÇó, áõÝÇ í»ñç³íáñ g x ³Í³ÝóÛ³É, áñÝ a; b -Ç íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» c1 , c 2 ,, cn Ï»ï»ñÁ a; b -áõÙ g -Ç Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÝ »Ý, ³å³ f g a; b ¨ b
b
f x dg x f x g x dx f a g a 0 g a
a
a n
f c g c k
k
0 g c k 0 f bg b g b 0 :
k 1
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3097-3101).
3097. ³)
xd x ;
µ)
2
x d x ;
x
·)
2
1 d x ,
2
x 2, 2 x 1; x 2, 1 x 0; x 2 3, 0 x 2 : x, 0 x 2 ; 3098. sin xd x , x 2, x , x ; x , x : 2 2
3099.
x x 2d e sgn sin x :
3100.
3101.
x 1d cos x sgn x :
xd x x :
3102. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ÇëÏ ýáõÝÏódzÝ` b
c f x d x
c
a c b
Ï»ïáõÙ
c a f x d x ¨ b a f x d x ÇÝï»-
³ÝÁݹѳï, ³å³
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿
·ñ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ, Áݹ áñáõÙ b
a
c
b
a
c
f x d x f x d x f x d x :
3103. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : a; b R ¨ : a; b R ýáõÝÏódzݻñÁ c
a c b Ï»ïáõ٠˽íáõÙ »Ý, ³å³ f -Ý Áëï -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇ ã¿: 3104. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» -Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódz ¿ ¨ f , g a; b , ³å³
b b b f x g x d x f 2 x d x g 2 x d x : a a a
3105. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» BV a; b , f , g a; b ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
f a; b : g 3106. ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ. »Ã» f -Ý a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ -ݪ ³×áÕ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, c 0 ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ g x c a x b , ³å³
³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
f x d x f b a : a
3107. ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ »ñÏñáñ¹ ûáñ»ÙÁ. »Ã» f , C a; b , f -Á ÙáÝáïáÝ ¿, ÇëÏ -ݪ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a; b Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
f x d x f a a f b b : a
3108. ¸Çóáõùª f , C a; b ¨ a; b ѳïí³ÍÇ íñ³ -Ý ³×áÕ ¿: ²å³óáõó»É, áñ b
b
f x d x f y dy : 1
a
a
3109. ¸Çóáõù` BV a; b ¨ f n C a; b n N ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ b
b
a
a
lim f n x d x f x d x :
n
3110. ¸Çóáõùª f C a; b , n x x
x a; b
b
¨ sup V n : n
a
²å³óáõó»É, áñ b
b
a
a
lim f x d n x f x d x (лÉÇÇ Ã»áñ»Ù):
n
3111. ¸Çóáõù
f n C a; b , n BV a; b
n N :
²å³óáõó»É, áñ »Ã»
b
fn f , n x x x a; b ¨ sup Va n , ³å³ n
b
b
a
a
lim f n x d n x f x d x :
n
3112. ¸Çóáõù R -Ç íñ³ ïñí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
sup V n , lim n x x n
n
x R
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý R -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿ ¨ lim f x 0 , ³å³ x
lim
n
f x d n x
f x d x :
úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ lim f x 0 å³ÛÙ³ÝÝ ¿³Ï³Ý ¿: x
3113. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ¨ ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ; ѳïí³ÍÇ íñ³ áõÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ x t , y t
t ÏáñÝ áõÕÕ»ÉÇ ¿: 3114. êïáõ·»É, áñ ³)
x cos t ,
y sin t , 0 t 2 ; µ) x cos 2t ,
1 1 y sin 2t , 0 t 2 ; ·) x cos 2t sin , y sin 2t sin , 0 t 2 , t t x0 1 , y 0 0 Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ Ï»ï»ñÇ ÙǨÝáõÛÝ xt , y t : 0 t 2 µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ë³Ï³ÛÝ ¹ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝ »ñÏáõëÝ áõÕÕ»ÉÇ »Ý ¨ áõÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ 2 ¨ 4 »ñϳñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ »ññáñ¹Ý áõÕÕ»ÉÇ ã¿:
¶ 3115. ¸Çóáõù a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ïñí³Í f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï ÉáÏ³É ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ: 3116. ¸Çóáõù f : a; b R ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ áõÝÇ ÙdzÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ: ²å³óáõó»É, áñ f -Ç Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ: 3117. Î³Ù³Û³Ï³Ý E R ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ϳéáõó»É ³×áÕ ýáõÝÏódz, áñÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ E -ÇÝ:
f BV 0;1 , C ; ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿, Áݹ áñáõÙª 0 , 1 : ²å³óáõó»É, áñ F x f x ýáõÝÏóÇ³Ý ; -Ç íñ³
3118. ¸Çóáõùª
í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿ ¨ V F V f : 3119. ÖßÙ³ñÇï ¿± ³ñ¹Ûáù, áñ ³) í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿; µ) »Ã» í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï g n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý g ë³ÑÙ³ÝÁ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿, ³å³
lim V g n V g :
n
´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 3120. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C a; b ¨ f BV a; b , ³å³ f BV a; b ¨ b
b
a
a
V f V f
(ï»ë ËݹÇñ 3030):
3121. ¸Çóáõùª f BV a; b : гí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ f x f a p0 x q0 x ¨ x
V f p0 x q0 x ѳٳϳñ·Çó áñáßíáÕ p0 ¨ q0 ýáõÝÏódzݻñÁ ÏáãíáõÙ a
»Ý f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ¹ñ³Ï³Ý ¨ µ³ó³ë³Ï³Ý í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñ: êïáõ·»É, áñ p0 -Ý ¨ q0 -Ý ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzݻñ »Ý, Áݹ áñáõÙª p0 a q0 a 0 : ²å³óáõó»É ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ»ï¨Û³É ¿ùëïñ»Ù³É ѳïÏáõÃÛáõÝÁ. »Ã» f p q , ³å³
a; b -áõÙ
p -Ý ¨ q -Ý
b
b
b
b
a
a
a
a
ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzݻñ »Ý ¨
V p V p0 , V q V q0 : 3122. ¸Çóáõùª g a; b , g t max g t , 0 , g t min g t , 0 ¨
f x
x
g t dt : ²å³óáõó»É, áñ a
f BV a; b ¨ áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ
f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ÉñÇí, ¹ñ³Ï³Ý ¨ µ³ó³ë³Ï³Ý í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñÝ »Ý. x
x
a
Vf
a
x
x
g t dt , p0 x g t dt , q0 x g t dt :
a
a
3123. ²å³óáõó»É, áñ E a; b µ³½ÙáõÃÛ³Ý
1, x E ; E x 0, x a; b \ E µÝáõó·ñÇã ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ E -Ý áõÝÇ í»ñç³íáñ Ãíáí »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñ: 3124. γéáõó»É ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz, áñÁ áã ÙÇ 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ãÇ µ³í³ñ³ñáõÙ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ (ï»ë ËݹÇñ 2967): 3125. γéáõó»É Lip a; b 0 1 ¹³ëÇÝ å³ïϳÝáÕ ýáõÝÏódz, áñÇ ÉñÇí í³ñdzóÇ³Ý í»ñç³íáñ ã¿ (ï»ë ËݹÇñ 2967): 3126. -Ç ¨ -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ f x x sin
ýáõÝÏóÇ³Ý 0;1 x
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ïáõݻݳ í»ñç³íáñ í³ñdzódz: 3127. ¸Çóáõùª f BV a; b ¨ x0 a; b : ¶ïÝ»É ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý, áñÇ ¹»åùáõÙ x0 Ï»ïáõÙ f -Ç ³ñÅ»ùÁ ÷áË»Éáí Ñݳñ³íáñ ÉÇÝÇ f -Ç í³ñdzóÇ³Ý ÷áùñ³óÝ»É: 3128. ¸Çóáõùª f n BV a; b ¨ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ b
n0 µÝ³Ï³Ý ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ V f n f m , »ñµ m, n n0 : a
³) ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f BV a; b ýáõÝÏódz, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
lim V f n f 0 :
n a
µ) гÙá½í»É, áñ f -Á ÙdzÏÁ ã¿: ·) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ³Û¹åÇëÇ »ñÏáõ ýáõÝÏódz Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñíáõÙ »Ý ѳëï³ïáõÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇáí: ¹) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ a; b ѳïí³ÍÇ ³éÝÁí³½Ý Ù»Ï Ï»ïáõÙ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ f n -Á a; b -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 3129. ¸Çóáõù R -Ç íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
lim sup V n 0 , lim n x x
a
n
a
n
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódz ¿, ³å³
f -Ý
x R R -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨
lim f x d n x f x d x :
n
3130. ¸Çóáõùª BV a; b ¨ f C a; b : ²å³óáõó»É, áñ
x
f t d t ýáõÝÏa
óÇ³Ý í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ¿ a; b -áõÙ ¨ -Ç ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙª ³ÝÁݹѳï:
f , g C a; b , BV a; b
3131. ¸Çóáõù`
x
¨
x f x d x : a
²å³óáõó»É, áñ b
b
a
a
g x d x f x g x d x : x
3132. ¸Çóáõù BV a; b ¨ x V : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ë³Ña
ٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù åݹáõÙÝ»ñÁ ѳٳñÅ»ù »Ý. 1. f a; b ; n
i f xi xi 1 0 ; P 0
2. lim
i 1 n
i f xi xi 1 0 ; P 0
3. lim
i 1
áñï»Õ P -Ý P x0 , x1 ,..., xn ïñáÑÙ³Ý ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿, ÇëÏ i f -Ý f -Ç ï³ï³ÝáõÙÝ ¿ xi 1 ; xi ѳïí³ÍÇ íñ³: x
3133. ¸Çóáõùª BV a; b ¨ x V :²å³óáõó»É, áñ a; b a; b : a
BV a; b f , f g , max f , g a; b :
3134.
¸Çóáõù
¨
f , g a; b :
²å³óáõó»É,
áñ
3135. ¸Çóáõùª
1, x 0, x 0, x 0, xn -Á a; b ÙÇç³Ï³ÛùÇ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ Ï»ï»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿,
n 1 cn
¨ x cn x xn
a x b : ²å³óáõó»É, áñ
n 1
³) -Ý xn -»ñÇó ï³ñµ»ñ ó³Ýϳó³Í Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿;
µ) BV a; b ; ·) ó³Ýϳó³Í f C a; b ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ b
a
n 1
f x d x cn f xn : 3136. ¸Çóáõùª f C a; b a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» -Ç ³ñÅ»ùÁ ÷áËíÇ
a; b -Ç
áñ¨¿ Ï»ïáõÙ, ³å³
b a f x d x
ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ÷áËíÇ:
Î÷áËíDZ ³ñ¹Ûáù ÇÝï»·ñ³ÉÁ, »Ã» -Ç ³ñÅ»ùÁ ÷áËíÇ Ï»ï»ñáõÙ: 3137. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV 0;2 , ³å³ 2
a; b -Ç
ͳÛñ³-
2
f x cos nxdx n V0 f n N :
3138. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV 0;2 , ³å³ 2
f x sin nxdx
2 2 Vf n 0
n N ,
ÇëÏ »Ã» ݳ¨ f 0 f 2 , ³å³ 2
2
f x sin nxdx n V0 f n N :
3139. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 0 h ¨ f BV 0; h , ³å³ h
sin px dx f 0 : sin x 3140. ¸Çóáõùª f BV ; : ²å³óáõó»É, áñ f -Ç üáõñÇ»Ç »é³ÝÏÛáõݳ-
f x p lim
ã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 3141. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f BV ; , ³å³ f -Ç üáõñÇ»Ç ß³ñùÝ x
f x 0 f x 0 ÃíÇÝ (Äáñ¹³ÝÇ Ñ³Ûï³ÝÇß): a 3142. ¸Çóáõùª f 1 ; ¨ 0 an cos nx bn sin nx -Á f -Ç üáõñÇ»Ç 2 n 1 Ï»ïáõÙ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿
»é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÝ ¿:
x
a
³) êïáõ·»É, áñ F x f t 0 dt ýáõÝÏóÇ³Ý 2 0
;
ѳï-
í³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ í»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódz ¿, Áݹ áñáõÙª F F : µ) ²å³óáõó»É, áñ F -Á ; -áõÙ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ. F x ·) F ¨
f
A0 An cos nx Bn sin nx : 2 n 1
ýáõÝÏódzݻñÇ üáõñÇ»Ç ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ ÙÇç¨ ëï³Ý³É
A0 b b a n , An n , Bn n 2 n 1 n n n
n N
ϳåÁ:
¹) гÙá½í»É, áñ ³ÝÏ³Ë f -Ç üáõñÇ»Ç ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó, ×ßÙ³ñÇï ¿ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ÇÝï»·ñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á. x
x
x
a f t dt 0 dt an cos nt bn sin nt dt : n 1 0
») ´»ñ»É Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ½áõ·³Ù»ï »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ß³ñùÇ ûñÇݳÏ, áñÁ 1 ; ¹³ëÇ áã ÙÇ ýáõÝÏódzÛÇ üáõñÇ»Ç ß³ñùÁ ã¿: 3143. ¸Çóáõùª BV 0;1 ¨ f C 0;2 : ²å³óáõó»É, áñ
F x f x t d t
ýáõÝÏóÇ³Ý 0;1 -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3144. ÎÙݳ± ³ñ¹Ûáù ݳËáñ¹ ËݹñÇ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï, »Ã» ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ÷á˳ñ»Ý å³Ñ³Ýç»Ýù, áñ f -Á ÉÇÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï 0;2 -Ç íñ³ ¨
f x t d t
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 0;1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:
¶ÉáõË 13
Þ³ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñ üáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ R m ï ³ ñ ³ Í áõ Ã Û ³ Ý ï á å á É á · Ç ³ Ý : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í µáÉáñ
x ,..., x y ,..., y x y ,..., x y , x ,..., x x ,...,x R : îñí³Í x x , x ,..., x í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ x -Ý 1 i m ÏáãíáõÙ ¿ i -ñ¹ Ïááñ¹Çݳï: ì»ÏïáñÇ ÝáñÙÁ R -áõÙ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ x x x µ³Ý³Ó¨áí: ò³Ýϳó³Í x, y R í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ x y x y x y x y -Ý ÏáãíáõÙ x x1 , x 2 ,..., x m ϳñ·³íáñí³Í m -Û³ÏÝ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª R m -Á, m -ã³÷³ÝÇ
í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, áñáõÙ ·Í³ÛÇÝ ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. m
m
m
m
m
m
m
i
1 2
m
m
m 2
1 2
m
m 2
m
¿ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ: îñí³Í a R m í»ÏïáñÇ (Ï»ïÇ) ¨ 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
Ba; x R m : x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ a Ï»ÝïñáÝáí ¨ ß³é³íÕáí µ³ó ·áõݹ ( m -ã³÷³ÝÇ), áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ m
»Ý a Ï»ïÇ -ßñç³Ï³Ûù: ú·ï³·áñÍ»Éáí ßñç³Ï³ÛùÇ ·³Õ³÷³ñÁª R -áõÙ ÙïóíáõÙ »Ý µ³ó, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ñï³ùÇÝ, »½ñ³ÛÇÝ, Ïáõï³ÏÙ³Ý ¨ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝó ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÝ ³Ûëï»Õ áãÝãáí ã»Ý ï³ñµ»ñíáõÙ ·ÉáõË 1-áõÙ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ïñí³Í ÝáõÛݳÝáõÝ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó: سëݳm
íáñ³å»ë, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (ÁÝï³ÝÇùÁ) ÏáãíáõÙ ¿ K R µ³½ÙáõÃÛ³Ý µ³ó ͳÍÏáõÛÃ, »Ã» K : K -Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÙå³Ïï, »Ã» K -Ç ó³Ýϳó³Í µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ýç³ï»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ:
R m -áõÙ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ å³ñ½³·áõÛÝ ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý µ³ó ·áõݹÁ ¨ m -ã³÷³ÝÇ µ³ó ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁª
a
I a; b x1 ,..., x m : a i x i b i , i 1,..., m
i
ö³Ï, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý ÷³Ï ·áõݹÁª
Ba; r x R m : x a r , ëý»ñ³Ýª
S a; r x R m : x a r ¨ ÷³Ï ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁª
I a; b x1 ,..., x m : a i x i b i , i 1,..., m :
b i , i 1,..., m :
ò³Ýϳó³Í µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ x 0 -Ý, ϳÝí³Ý»Ýù x 0 -Ç ßñç³Ï³Ûù: ºñµ»ÙÝ x 0 -Ý áñå»ë Ý»ñùÇÝ Ï»ï å³ñáõݳÏáÕ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳÝí³Ý»Ýù x 0 -Ç ÷³Ï ßñç³Ï³Ûù: îñí³Í X R
m
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ diam X
sup
x1 x 2 -Á ÏáãíáõÙ ¿ ïñ³Ù³-
x1 , x 2 X
·ÇÍ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» Ýñ³ ïñ³Ù³·ÇÍÁ í»ñç³íáñ ¿: m
ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç ë ³ Ñ Ù ³ Ý Á : îñí³Í X R ¨ Y µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ F : X Y ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù ß³ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ( m ÷á÷á˳ϳÝÇ) ýáõÝÏódz ¨
Ñ³×³Ë Ï·ñ»Ýùª y F x F x ,..., x
m
, x x ,..., x X : ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ Y R
m
n 1 , F -Á ϳݳí³Ý»Ýù m ÷á÷á˳ϳÝÇ Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz: ºñµ»ÙÝ x ³ñ·áõÙ»ÝïÇ i -ñ¹
Ïááñ¹ÇݳïÁ ϳÝí³Ý»Ýù ýáõÝÏódzÛÇ i -ñ¹ ϳ٠x i ÷á÷á˳ϳÝ:
X R
m
, Y R n ¨ G : Y Z Z R p ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÙÁ (ÏáÙåá½ÇódzÝ)ª G F : X Z µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÝ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ z G F x , x X , îñí³Í F : X Y
µ³Ý³Ó¨áí:
i : R n R ýáõÝÏóÇ³Ý (åñáÛ»ÏïáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ) ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ i y y i ,
y y1 ,..., y n R n , µ³Ý³Ó¨áí: îñí³Í F : X R n ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ f i i F ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ i -ñ¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ýáõÝÏódz: ¸Çóáõù X R
m
¨ a -Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: b R n í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ F : X Y ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý a Ï»ïáõÙ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª lim F x , »Ã» x a
0 0 x X 0 x a m F x b n : ò³Ýϳó³Í B0; r ( 0 -Ý ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ ¿ª 0 0,..., 0 ) ÷³Ï ·Ý¹Ç Éñ³óáõÙÁ ÁݹáõÝíáõÙ ¿ áñå»ë -Ç ßñç³Ï³Ûù: -Á ѳٳñíáõÙ ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï, »Ã» Ýñ³ ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Ï»ï»ñ X -Çó: ²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ b R n í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ F : X R n ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý ³Ýí»ñçáõÙ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª lim F x , »Ã» x
0 0 x X
x F x b :
гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýí»ñç ë³ÑÙ³ÝÁ
a R m Ï»ïáõÙª
lim F x ¨ ³Ýí»ñçáõÙª lim F x : ÀݹëÙÇݪ ³Ýí»ñç ë³ÑÙ³Ý áõÝ»óáÕ ýáõÝÏódzÝ
x a
x
ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ù»Í, ÇëÏ 0 (½ñá) ë³ÑÙ³Ý áõÝ»óáÕ ýáõÝÏódzݪ ³Ýí»ñç ÷áùñ: ºÃ» ïñí³Í
F : X Rn
¨
G: X Rp
ýáõÝÏódzݻñÇ
ѳٳñ
lim x a
F x G x
0 , ³å³ ·ñáõÙ »Ýª
F x oG x ϳ٠F x o G x , x a : ê³ÑÙ³ÝáõÙ: îñí³Í f : X R
X R ýáõÝÏódzÛÇ ¨ a a ,a Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ
lim
lim f x1 , x 2 ¨
x1 a 1 x 2 a 2
lim f x1 , x 2
lim
x 2 a 2 x1 a 1
ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳçáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ : гçáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ»ßïáõ-
m
ÃÛ³Ùµ ÁݹѳÝñ³óíáõÙ ¿ ó³Ýϳó³Í F : X R n X R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ: Üϳï»Ýù, áñ ïíÛ³É Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ãÇ ³å³ÑáíáõÙ ³Û¹ Ï»ïáõ٠ѳçáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: »áñ»Ù: ºÃ» f : X R µ³óÇ ³Û¹, ó³Ýϳó³Í x 2 -Ç, x 2
x 1 a1
Ù³ÝÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨
lim
X R ýáõÝÏóÇ³Ý a a ,a Ï»ïáõÙ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý ¨, a , ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim f x , x í»ñç³íáñ ë³Ñlim lim f x , x ѳçáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, Áݹ áñáõÙª
x 2 a 2 x1 a 1
lim f x1 , x 2 lim f x :
x 2 a 2 x1 a 1
¸Çóáõù x n -Á R
m
x a
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: a R m í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ x n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý (í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý) ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª lim x n , »Ã» lim x n a 0 : ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x n , x n -Ý n
n
³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ù»Í ¨ ·ñáõÙª lim x n : n
ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÁ R
m
-áõÙ: àñå»ë½Ç x n R
m
n N
ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï (áõݻݳ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý), ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ x n -Á ÉÇÝÇ ýáõݹ³Ù»Ýï³É. 0 n0 k , n N k n n0 x k x n :
ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç ³ Ý Á Ý ¹ Ñ ³ ï áõ Ã Û áõ Ý Á : F : X R n
X R ýáõÝÏóÇ³Ý m
x 0 X Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï, »Ã»
0 0 x X
x x 0 F x F x 0 :
ºÃ» F -Ý x 0 -áõÙ ³ÝÁݹѳï ã¿, ³å³ ³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ˽íáÕ, ÇëÏ x 0 -Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù Ë½Ù³Ý Ï»ï: ²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ÉáÏ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºÃ» F : X R n ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 0 Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿. ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x 0 -Ç ßñç³Ï³Ûù , áñáõÙ F -Ç ÁݹáõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ºÃ» f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ f x 0 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
x 0 -Ç ßñç³Ï³Ûù, áñáõÙ f -Ç ÁݹáõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý: ºÃ» F : X R n ¨ G : X R n ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý x 0 Ï»ïáõÙ, ³å³ F G , R ýáõÝÏóÇ³Ý ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 0 -áõÙ: ºÃ» F ¨ G ýáõÝÏódzݻñÝ Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù »Ý ¨ x 0 -áõÙ ³ÝÁݹѳï, ³å³ Ýñ³Ýó û° ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, û° ù³Ýáñ¹Á, »Ã» í»ñçÇÝÇë ѳÛï³ñ³ñÁ ½ñá ãÇ ¹³éÝáõÙ, ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý x 0 -áõÙ:
ºÃ»
F : X Y
X R
m
, Y Rn
ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿
x 0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ
G : Y R p ýáõÝÏódzݪ y 0 F x 0 Ï»ïáõÙ, ³å³ G F : X R p µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 0 -áõÙ: üáõÝÏódzÝ, áñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ, ϳÝí³Ý»Ýù ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz: F : X Y ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ¹³ëÁ ÏÝ߳ݳϻÝù C X , Y : ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ Y R , C X , Y -Ç ÷á˳ñ»Ý ѳí³ë³ñ³å»ë Ïû·ï³·áñÍ»Ýù ݳ¨ C X Ý߳ݳÏáõÙÁ: гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ: F : X R n µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï, »Ã»
X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ m
X
0 0 x1 ,x 2 X x1 x 2 F x1 F x 2 : E R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ϳå³Ïóí³Í, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý B1 , B2 µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ Bi E , i 1,2 , E B1 B2 ¨ B1 B2 : ´³ó ¨ ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳÝí³Ý»Ýù ïÇñáõÛÃ:
¸Çóáõù X -Ý R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³Ûù ¿: C X ; R ýáõÝÏódzݪ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ R
A ¨ B Ï»ï»ñÁ: ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
ϳ٠׳ݳå³ñÑ R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÝáõÙ »Ý E R
m
m
m
m
-Ç Ù»ç, ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï Ïáñ
-áõÙ: ºÃ» X ; , ³å³ ϳë»Ýù, áñ ׳ݳå³ñÑÁ ÙdzóÝáõÙ ¿ R
m
-Ç µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ å³ïϳ-
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, å³Ûٳݳíáñí»Ýù ³ë»É, áñ ׳ݳå³ñÑÁ ÁÝÏ³Í ¿ E -áõÙ:
E R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í , »Ã» ó³Ýϳó³Í x1 , x 2 E Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ E -áõÙ ÁÝÏ³Í ¨ ³Û¹ Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ ×³Ý³å³ñÑ: ²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ·Éáµ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Çóáõù K R
ÏáÙå³Ïï ¿: ºÃ» F C K ; R
n
, ³å³
m
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
³) F -Á ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿; n
µ) F K -Ý ÏáÙå³Ïï ¿ R -áõÙ:
ºÃ» F C E; R å»ë ϳå³Ïóí³Í ¿:
n
¨ ER
m
n
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿, ³å³ F E -Ý R -áõÙ ÝáõÛÝ-
² 3145. ²å³óáõó»É R m -áõÙ í»ÏïáñÇ ÝáñÙÇ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) x 0 , x 0 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x 0 ; µ) x x , R ; ·) x y x y (»é³ÝÏÛ³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ), Áݹ áñáõ٠ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x ¨ y í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳÙáõÕÕí³Í »Ýª x y R :
3146. òáõÛó ï³É, áñ ·áõݹÁ ¨ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁ R m -áõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: 3147. ²å³óáõó»É, áñ X R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³) X -Á å³ñáõݳÏáÕ m -ã³÷³ÝÇ ·áõݹ; µ) X -Á å³ñáõݳÏáÕ m -ã³÷³ÝÇ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï; ·) M 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í x X í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ
x M :
3148. îñí³Í x x1 ,..., x m , y y1 ,..., y m í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ϳ٠ݻñùÇÝ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ m
x, y x i y i i 1
µ³Ý³Ó¨áí: ²å³óáõó»É ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) x, y y, x (ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ); µ) x1 x 2 , y x1 , y x 2 , y
x,y 1 y 2 x, y 1 x, y 2
(»ñϷͳÛÝáõÃÛáõÝ);
·) x, x 0 , Áݹ áñáõÙ x, x 0 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x 0 (¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³ÉáõÃÛáõÝ);
¹) x x, x ;
») x, y
xy xy
(µ¨»é³óÙ³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ);
½) x, y x y (Þí³ñóÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ): 3149. x, y R m í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ûñÃá·áÝ³É (áõÕճѳ۳ó), »Ã»
x, y 0 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x ¨ y í»ÏïáñÝ»ñÝ áõÕճѳ۳ó »Ý, ³å³
x y x y : ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ: ÊݹñáõÙ ·ñí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»Ïݳµ³Ý»É »ñÏñ³ã³÷áñ»Ý: 3150. ¸Çóáõù e i R m í»ÏïáñÇ µáÉáñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ 0 »Ý, µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ
i -ñ¹Ç, áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1 -Ç: êïáõ·»É, áñ e i : i 1,..., m ѳٳϳñ·Á ϳ½Ùí³Í ¿ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ûñÃá·áÝ³É í»ÏïáñÝ»ñÇó: 3151. ²å³óáõó»É, áñ a R m í»ÏïáñÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ R m ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ a 0 :
3152. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í x, y R m í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ
xy xy 2 x y
: Ø»Ïݳµ³Ý»É ·ñí³Í ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷áñ»Ý: 3153. ò³Ýϳó³Í x, y R m í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) x y x y ; µ) x y x y ; ·) max x i x m max x i : 1 i m
1 i m
3154. ²å³óáõó»É, áñ í»ÏïáñÝ»ñÇ x n x1n ,..., xnm
ÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ a a ,..., a
m
n N
ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ-
í»ÏïáñÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
³ÛÝ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ Áëï µáÉáñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ. lim xni a i , i 1,..., m : n
ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» lim x n , ³å³ ó³Ýϳó³Í i 1,..., m Çݹ»ùn
ëÇ Ñ³Ù³ñ lim
n
xni
3155. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x n
n N
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿,
³å³ ³ÛÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿. M 0 n N x n M : m
3156. ²å³óáõó»É, áñ R -áõÙ ó³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ½áõ·³Ù»ï »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: 3157. ¸Çóáõù x n -Á ¨ y n -Á R m -áõÙ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í , R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x n y n ¨ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, Áݹ áñáõÙª lim x n y n lim x n lim y n , n
n
xn , y n
n
lim x n , y n lim x n , lim y n :
n
n
n
3158. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ. ³) u x
y;
·) u 1 x 2 y 2 ;
µ) u 1 x 2 ¹) u
y2 1 ;
x y2 1
;
») u
x
½) u
x2 y 2 x ; 2x x2 y2
y 2 1 4 x2 y 2 ; ¿) u ln x y ;
y ; x Å) u ln 1 x 2 y 2 z 2 : Á) u arcsin
Ã) u ln xyz ;
z x, y c ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý z z x , y ýáõÝÏódzÛÇ Ù³Ï³ñ¹³ÏÇ ·Í»ñ:
3159. Üϳñ³·ñ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù³Ï³ñ¹³ÏÇ ·Í»ñÁ. ³) z x y
µ) z x 2 y 2 ;
·) z x 2 y 2 ;
¹) z x y ;
») z
x ; y
¿) z
xy ;
½) z
; x 2 y2
Á) z
y x2 : x2
u x, y , z c ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý u u x, y, z ýáõÝÏódzÛÇ Ù³Ï³ñ¹³ÏÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñ:
3160. Üϳñ³·ñ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù³Ï³ñ¹³ÏÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÁ. ³) u x y z ; µ) u x 2 y 2 z 2 ; ·) u x 2 y 2 z 2 ; 3161.
îñí³Í
¿
F : X Rn
lim F x b b1 ,..., b n x a
¹) u
X R m
x yz : x y z
ýáõÝÏódzÝ:
²å³óáõó»É,
áñ
³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ lim f i x bi , x a
i 1,..., n , áñï»Õ f F -Ý F -Ç i -ñ¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: i
i
¶ïÝ»É ïñí³Í f x, y »ñÏáõ ÷á÷á˳ϳÝÇ Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ Ýßí³Í a; b Ï»ïáõÙ (3162-3164). 3162. ³) f x, y µ) f x, y
ln x e y
, a; b 1;0 :
x2 y 2
sin xy , x 0 , a; b 0;1 : x
f x, y x
µ)
2 x
; a; b 0;0 ;
a; b 0;0 :
;
x y , a; b ; x xy y 2
3164. ³) f x, y µ) f x, y
2 2 2 x y
y
3163. ³) f x, y x y
x2 y 2 ; a; b : x4 y 4
·) f x, y x 2 y 2 e ¹) f x, y x y e x
x y
y
, x, y 0 ; a; b ;
; a; b :
x2
1 x y ») f x, y 1 , y 1 ; a; b : x ¶ïÝ»É a; b Ï»ïáõÙ f x, y ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ (3165-3169).
x2 y 2 ; a , b : x2 y 4 x µ) f x, y sin ; a , b : 2x y sin x y 3166. ³) f x, y ; a; b 0;0 ; 2x 3 y cos x cos y µ) f x, y ; a; b 0;0 : x2 y 2 3165. ³) f x, y
3167. ³) f x, y
sin x sin y x2 y 2
; a; b 0;0 ;
sin 3x tg 2 y ; a; b 0;0 : 6x 3y xy 3168. ³) f x, y tg ; a 0 , b ; xy 1 xy µ) f x, y
µ) f x, y
yx , x 0 ; a 0 , b : 1 yx
3169. f x, y log x x y , a; b 1;0 : 3170. êïáõ·»É, áñ f x, y
x y ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ x y
0;0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݪ lim lim f x, y 1 , lim lim f x, y 1 , x 0 y 0 y 0 x 0 ë³Ï³ÛÝ f x, y -Á 0;0 Ï»ïáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ: x2 y 2 ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ë³Ñ2 x 2 y 2 x y Ù³ÝÝ»ñÁ 0;0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý, ë³Ï³ÛÝ f -Ý 3171. êïáõ·»É, áñ f x, y
³Û¹ Ï»ïáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ:
sin ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý x y ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ 0;0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý, ë³Ï³ÛÝ lim f x, y 0 : 3172. òáõÛó ï³É, áñ f x, y x y sin
x; y 0;0
3173. îñí³Í ¿ f x, y x 2 e y x ýáõÝÏódzÝ: ò³Ýϳó³Í ³ÝÏÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ, »ñµ x; y Ï»ïÁ Ó·ïáõÙ ¿ ³Ýí»ñçÇ x t cos ,
y t sin t 0 ׳鳷³ÛÃáí. lim f t cos , t sin : t
γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù -áõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³Ù³ñ»É ³Ýí»ñç ÷áùñ: 3174. îñí³Í ¿ f x, y , z
x2 y y 2 z ýáõÝÏódzÝ: êïáõ·»É, áñ x; y; z x4 y2 z2
Ï»ïÁ ó³Ýϳó³Í x at , y bt , z ct t 0, a 2 b 2 c 2 0 ׳鳷³ÛÃáí
0;0;0 Ï»ïÇÝ Ó·ï»ÉÇë ýáõÝÏóÇ³Ý Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ: γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù 0;0;0 Ï»ïáõ٠ѳٳñ»É ³Ýí»ñç ÷áùñ:
f -Á
3175. ¸Çóáõù x0 Ï»ïáõÙ F : X R m ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ÇëÏ
G : X R m -Áª ³Ýí»ñç ÷áùñ: ²å³óáõó»É, áñ F, G ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ x0 Ï»ïáõÙ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:
3176. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í i 1,..., m Çݹ»ùëÇ Ñ³Ù³ñ i : R m R åñáÛ»ÏïáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
3177. òáõÛó ï³É, áñ F : X R n ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³Û¹ Ï»ïáõÙ Ýñ³ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ýáõÝÏódz-Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3178. ¸Çóáõù : R R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 R Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ f : R 2 R ýáõÝÏódzÝ, áñÁ áñáßíáõÙ ¿ f x, y x , x; y R 2 , µ³Ý³Ó¨áí, ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ x0 ; y Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
òáõóáõÙ: Üϳï»É, áñ f :
3179. ¸Çóáõù f : X R ¨ g : Y R ýáõÝÏódzݻñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ x0 X ¨ y0 Y Ï»ï»ñáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: ²å³óáõó»É, áñ X Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í f x g y ¨ f x g y ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ÇëÏ »Ã» g y 0 , ³å³ ݳ¨
f x ýáõÝÏódzÝ, x0 ; y0 Ï»ïáõÙ g y
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3180. êïáõ·»É, áñ
xy , x 2 y 2 0, f x, y x 2 y 2 0, x 2 y 2 0 ýáõÝÏóÇ³Ý y ÷á÷á˳ϳÝÇ ó³Ýϳó³Í ýÇùë³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ áñå»ë ÙdzÛÝ x ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódz ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, x -Ç ó³Ýϳó³Í ýÇùë³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ Áëï y -Ç ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ë³Ï³ÛÝ áñå»ë »ñÏáõ ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódz ³ÛÝ 0;0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁݹѳï ã¿: 3181. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : R 2 R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 ; y0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ h x f x, y0 ¨ g y f x0 , y Ù»Ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ x0 -áõÙ ¨ y0 -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: лﳽáï»É f x, y ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ, ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ Áëï x -Ç ¨ Áëï y -Ç (3182-3191). 3182. f x, y 3184. f x, y
x3 y 3 x3 y 2 , f , : 3183. f x , y , f 0,0 0 : x2 y 2 x2 y 2 sin xy x2 y 2
3185. f x, y x sin
, f 0,0 0 :
, f 0,0 0 : x y2
3186. f x, y x sin 3187. f x, y
y sin , f 0, y f x,0 0 : y x
ln 1 xy 2x2 y 2
, f 0,0 0 :
3188. f x, y sgn xy :
3189. f x, y sgn x 2 y 2 :
3190. ³) f x, y x y ;
µ) f x, y x y :
1, x; y Q ,
3191. f x, y
0, x; y R \ Q : 3192. êïáõ·»É, áñ u ax by c ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ ѳí³ë³-
ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: m
3193. ²å³óáõó»É, áñ R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ÏïáñÇÝ ³Û¹ í»Ïm ïáñÇ ÝáñÙÁ ѳٳå³ï³ë˳ݻóÝáÕ ýáõÝÏódzݪ f x x -Á, R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3194. êïáõ·»É, áñ f x x
ýáõÝÏóÇ³Ý R m -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹ-
ѳï ã¿: 3195. ¸Çóáõùª f x, y xy ,
x; y R 2 : гÙá½í»É, áñ ó³Ýϳó³Í y0 R x0 R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ hx f x, y0 g y f x0 , y ýáõÝÏóÇ³Ý R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ë³Ï³ÛÝ f x, y -Á R 2 -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿:
´ 3196. òáõÛó ï³É, áñ R m -áõÙ µ³ó ·áõݹÁ ¨ µ³ó ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ÇëÏ ÷³Ï ·áõݹÁ ¨ ÷³Ï ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁª ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: 3197. ²å³óáõó»É, áñ R m -áõÙ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙÁª ÷³Ï: 3198. ²å³óáõó»É, áñ R m -áõÙ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙÁ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁª ÷³Ï: γéáõó»É R m -áõÙ µ³ó (÷³Ï) µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, áñÇ Ñ³ïáõÙÁ (ÙdzíáñáõÙÁ) µ³ó (÷³Ï) µ³½ÙáõÃÛáõÝ ã¿: m
3199. ¸Çóáõùª X R : ²å³óáõó»É, áñ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý
³) Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª int X -Á, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; µ) »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª X -Á, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ·) Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª X -Á, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: 3200. ¸Çóáõùª X R m ¨ -Ý X -Á å³ñáõݳÏáÕ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ X , áñï»Õ X X X -Á X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÝ ¿: m
3201. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» G R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ó ¿, ÇëÏ F R -Áª ÷³Ï, ³å³ G \ F -Á µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ F \ G -ݪ ÷³Ï: m
3202. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ û° µ³ó ¿, û° ÷³Ï, ³å³ A R m ϳ٠A : ²Û¹ï»ÕÇó ëï³Ý³É, áñ R m -Á ϳå³Ïóí³Í ¿: 3203. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í Ba, r m ã³÷³ÝÇ ·Ý¹Ç ѳٳñ B a, r
Ba, r S a, r : m
3204. ²å³óáõó»É, áñ R -áõÙ ³) ó³Ýϳó³Í ÷³Ï ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï ÏáÙå³Ïï ¿; µ) ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ÷³Ï »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏáÙå³Ïï ¿; ·) ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï; ¹) µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ÛÝ ÷³Ï ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï: 3205. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, µ) µ³ó ¿, ·) ÏáÙå³Ïï ¿, ³å³ i A i 1,..., m åñáÛ»ÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ³) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, µ) µ³ó ¿, ·) ÏáÙå³Ïï ¿: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ ÝáõÛÝåÇëÇ åݹáõÙÁ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ã¿: 3206. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R m µ³½ÙáõÃÛ³Ý i A i 1,..., m åñáÛ»ÏódzݻñÁ R -áõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý, ³å³ A -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ÝáõÛåÇëÇ åݹáõÙÁ ³) µ³ó, µ) ÷³Ï, ·) ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ: 3207. îñí³Í A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ A B ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë µáÉáñ a; b ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñáÝóáõÙ a A, bB :
R m R n ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉáõÙ ·Í³ÛÇÝ ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý
x1; y1 x 2 ; y 2 x1 x 2 ; y1 y 2 , x; y x;y µ³Ý³Ó¨»ñáí, ÇëÏ ÝáñÙÁª
x, y
xm yn
µ³Ý³Ó¨áí ( x, x1 , x 2 R m , y, y1 , y 2 R n , R ): m
n
³) êïáõ·»É, áñ R R -Á m n -ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ÝáñÙ³íáñí³Í ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, áñáõÙ ÝáñÙÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ËݹÇñ 3145-áõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: µ) ºÉÝ»Éáí ÝáñÙÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª R m R n -áõÙ Ý»ñÙáõÍ»É Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùÇ ·³Õ³÷³ñÁ ¨, ³ÛÝáõÑ»ï¨, ë³ÑÙ³Ý»É ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý µáÉáñ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (µ³ó, ÷³Ï, ÏáÙå³Ïï, ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, »½ñ³ÛÇÝ, Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï»ñ ¨ ³ÛÉÝ): m n 3208. îñí³Í D R R µ³½ÙáõÃÛ³Ý åñáÛ»ÏódzݻñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ R m -Ç ¨ R n -Ç íñ³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.
y R
x; y D :
DR m x R m : y R n x; y D , DR n
n
: x R m
m
n
²å³óáõó»É, áñ »Ã» D -Ý R R -áõÙ ³) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, µ) µ³ó ¿, ·) ÏáÙå³Ïï ¿, ¹) ϳå³Ïóí³Í ¿, ³å³ DR m ¨ DR n åñáÛ»ÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ R m -áõÙ ¨ R n -áõÙ ³) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, µ) µ³ó ¿, ·) ÏáÙå³Ïï ¿, ¹) ϳå³Ïóí³Í ¿: γéáõó»É R 2 -áõÙ áã ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÇ åñáÛ»ÏódzݻñÁ Ox ¨ Oy ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ϳå³Ïóí³Í »Ý: 3209. ¸Çóáõùª A R m , B R n , Áݹ áñáõÙª A , B : ²å³óáõó»É, áñ
A B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ R m R n -áõÙ ³) µ³ó ¿, µ) ÷³Ï ¿, ·) ÏáÙå³Ïï ¿, ¹) ϳå³Ïóí³Í ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ R m -áõÙ ¨ R n -áõÙ ³) µ³ó ¿, µ) ÷³Ï ¿, ·) ÏáÙå³Ïï ¿, ¹) ϳå³Ïóí³Í ¿: 3210. ²å³óáõó»É, áñ ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿:
1 x
3211. ¸Çóáõùª E 0 1;1 , F x; y : y sin : êïáõ·»É, áñ E F µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿, µ³Ûó ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í ã¿: 3212. êïáõ·»É, áñ ·áõݹÁ ¨ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁ R m -áõ٠ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: 3213. òáõÛó ï³É, áñ S a, r ëý»ñ³Ý R m -áõ٠ϳå³Ïóí³Í ¿, ÇëÏ R m \ S a, r µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª áã:
3214. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ R m -áõ٠ϳå³Ïóí³Í »Ý ¨ A B , ³å³ A B -Ý ÝáõÛÝå»ë ϳå³Ïóí³Í ¿: 3215. ¸Çóáõù x0 -Ý X R m µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿, ÇëÏ x1 -Áª ³ñï³ùÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ R m -áõÙ x0 ¨ x1 Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ ó³Ýϳó³Í ׳ݳå³ñÑ ³ÝóÝáõÙ ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ïáí: 3216. ¸Çóáõù Ba n , rn -Á n N R m -áõÙ Ý»ñ¹ñí³Í ÷³Ï ·Ý¹»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿.
Ba1 , r1 B a 2 , r2 B a n , rn : ²å³óáõó»É, áñ
B a n , rn ;
³)
n 1
µ) »Ã» rn 0 n , ³å³
B a n , rn -Á
ϳ½Ùí³Í ¿ ÙdzÛÝ Ù»Ï
n 1
Ï»ïÇó: 3217. ¸Çóáõù R -áõÙ ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í K n n N ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í n N ÃíÇ Ñ³Ù³ñ m
n
K
:
i
i 1
²å³óáõó»É, áñ
³)
K i ; i 1
n
µ) »Ã» diam K i 0
i 1
n ,
³å³
Ki -Ý
ϳ½Ùí³Í ¿ ÙdzÛÝ
i 1
Ù»Ï Ï»ïÇó: 3218. îñí³Í A R m ( A ) µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ x R m Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ
A x inf x a aA
ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ x Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ A -Çó: ²å³óáõó»É, áñ A x 0 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x A : 3219. îñí³Í A, B R m áã ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ
A, B inf a b : a A, b B ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ:
²å³óáõó»É, áñ »Ã» A -Ý ÏáÙå³Ïï ¿, ÇëÏ B -ݪ ÷³Ï, ³å³ A, B 0 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ A B : γéáõó»É A ¨ B ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ A B , A, B 0 : 3220. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í A R m áã ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ 0
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ A -Ý å³ñáõݳÏáÕ ÷³Ï x µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª µ³ó:
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ F x R m : A x
µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ G x R m : A m
3221. ¸Çóáõù U R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ó ¿, ÇëÏ C U µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ÏáÙå³Ïï: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ D U ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÇ Ñ³Ù³ñ C µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ »Ý:
îñí³Í F : X R
X R ýáõÝÏódzÛÇ ¨ A X m
n
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ b R n í»Ï-
ïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a A Ï»ïáõÙ F ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý Áëï A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª lim F x , »Ã» x a , x A
0 0 x A 0 x a F x b :
¶ïÝ»É 0;0 Ï»ïáõÙ f x, y ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ Áëï Ýßí³Í A µ³½ÙáõÃÛ³Ý (3222-3223). 3222. f x, y
2 xy , x y2
³) A x; x : x R ;
µ) A x; x : x R : 2x
3223. f x, y e
x2 y
,
³) A x; x : x 0 ; µ) A
x;3x : x 0:
3224. ¸Çóáõù f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý 0;0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù, µ³óÇ
0;0
Ï»ïÇó, ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ïñí³Í k1 k 2 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý lim f x, k1 x b1 , lim f x, k 2 x b2 ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ¨ b1 b2 , x 0
x 0
³å³ ó³Ýϳó³Í b1 b b2 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
xn ; yn
³Ýí»ñç
÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ lim f xn , yn b : n
p
m
3225. îñí³Í ¿ F : G R G R R n ýáõÝÏódzÝ: γë»Ýù, áñ F -Á G -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Áëï x -Ǫ y -Ç Ýϳïٳٵ ѳí³ë³ñ³ã³÷, »Ã»
x 0 GR m 0 0 x; y G x x 0 F x, y F x 0 , y :
²å³óáõó»É, áñ »Ã» F -Á G ïÇñáõÛÃáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Áëï x -Ǫ y -Ç Ýϳïٳٵ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x -Ç Ñ³Ù³ñ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Áëï y -Ç, ³å³ ³ÛÝ G -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
3226. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F : G R p G R m R n ýáõÝÏóÇ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y -Ç Ñ³Ù³ñ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Áëï x -Ç, ÇëÏ Áëï y -Ç µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇݪ F x, y1 F x, y 2 p L y1 y 2 n L const ,
³å³ F C G; R p :
3227. ²å³óáõó»É ÚáõÝ·Ç Ã»áñ»ÙÁ. »Ã» f : G R ( G -Ý R -áõÙ ïÇñáõÛà ¿) ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ û° Áëï x -Ç, û° Áëï y -Ç ¨, µ³óÇ ³Û¹, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y -Ç Ñ³Ù³ñ Áëï x -Ç ÙáÝáïáÝ ¿, ³å³ f C G :
f C a; b c; d : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» n : a; b c; d
3228. ¸Çóáõùª
n N
ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿,
³å³ n x f x, n x x a; b ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, Áݹ áñáõÙª lim f x, n x f ( x, lim n x ) x a; b : n
n
p
G R
x a y b
m
R n ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ lim lim F x,y ¨ lim lim F x,y
3229. îñí³Í F : G R
y b x a
ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý F ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý (ÁݹѳÝñ³óí³Í ѳçáñ¹³Ï³Ý) ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ a; b R m R n Ï»ïáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F -Ý a; b -áõÙ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý ¨ ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim F x,y í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ y b
ݳ¨ lim lim F x,y ѳçáñ¹³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, Áݹ áñáõÙª x a y b
lim lim F x,y x a y b
lim
x;y a; b
F x, y :
3230. ²å³óáõó»É, áñ R m -áõÙ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ í»ÏïáñÁ Ãíáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: лﳽáï»É ¹ñ³Ýó ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: òáõóáõÙ: m
m
S :R R R
¸Çï³ñÏ»É m
¨ P: RR
³Û¹ m
R
·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ m
áñå»ë
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ
ýáõÝÏódzݻñ:
3231.
êïáõ·»É,
áñ
ëϳÉÛ³ñ
x; y R
f x,y x,y
m
R
m
³ñï³¹ñÛ³É
ϳ½Ù»Éáõ
·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª
, ó³Ýϳó³Í ÏáÙå³ÏïÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³-
m
m
ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, µ³Ûó R R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï ã¿: òáõÛó ï³É ݳ¨, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x -Ç ( y -Ç) ѳٳñ ³ÛÝ Áëï y -Ç ( x -Ç)
R m -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: m 3232. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í E R µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ E x
x R ýáõÝÏóÇ³Ý (ï»ë ËݹÇñ 3218) m
R m -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹ-
Ñ³ï ¿: m
3233. ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áã ¹³ï³ñÏ, ãѳïíáÕ, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: êïáõ·»É, áñ
f x
A x A x B x
x R m
ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: гÙá½í»É ݳ¨, áñ
³) f R m 0;1 ; µ) f A 0 , f B 1 ; ·) E f
1
0; 12 ¨ G f 1 12 ;1 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý, ãѳïíáÕ,
¨ áñ A E , B G :
3234. ¸Çóáõùª F , G C X , R n
X R m
¨ E -Ý X -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï
µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿. E X E : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F x G x x E , ³å³ F G : ²ÛÉ Ï»ñåª ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý ÙdzñÅ»ùáñ»Ý í»ñ³Ï³Ý·ÝíáõÙ ¿ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Çñ ÁݹáõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñáí:
3235. ²å³óáõó»É, áñ F : X R n X R m ýáõÝÏódzÛÇ íñ³ ¹ñí³Í Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ X -Ç íñ³ F -Ç Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³ÝÁ. 0 0 E X diamE diamF E : 3236. ¸Çóáõù E -Ý R m -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ f : E R ýáõÝÏóÇ³Ý E -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f -Ç ³ÝÁݹѳï ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝ ³ÙµáÕç R m -Ç íñ³, ³ÛÝ ¿É ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ: 3237. îñí³Í F : X R n ïáõÙ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿
X R ýáõÝÏódzÛÇ ï³ï³ÝáõÙÝ m
F x 0 lim diamF x : x X Bx 0 , 0
x 0 X Ï»-
µ³Ý³Ó¨áí: ²å³óáõó»É, áñ F -Ý x0 -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ F x 0 0 (³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ Áëï ´»éÇ):
3238. ²å³óáõó»É, áñ F : X R n X R m ýáõÝÏóÇ³Ý x0 X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í x n x 0 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ F x n F x 0 (³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ Áëï гÛÝ»Ç):
X R
3239. ²å³óáõó»É, áñ F : X R n
m
ýáõÝÏóÇ³Ý x0 X Ï»ïáõÙ
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ F x 0 Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í V ßñç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 Ï»ïÇ U ßñç³Ï³Ûù, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
F U X V :
3240. ²å³óáõó»É, áñ F C X ; R n ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í
G R µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ E R m µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ F 1 G E X : n
3241. ²å³óáõó»É, áñ f : R m R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
µ) x R
: f x a ¨ x R
: f x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï »Ý:
³) x R m : f x a ¨ x R m : f x a µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý; m
m
3242. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» X R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ f C X , ³å³ f -Ý áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ:
3243. ¸Çóáõù X R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í ¿ ¨ f C X , R n : ²å³óáõó»É, áñ f X -Á ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í ¿: 3244. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» X R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿, f C X ¨
a, b X Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ f a f b 0 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c X Ï»ï, áñ f c 0 : ¸Çóáõù X R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í F C X ; R n ýáõÝÏódz X -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ X -Á ÏáÙå³Ïï ¿, »Ã» ³ÛÝ ³) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿; µ) ½áõñÏ ¿ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñÇó: 3245.
¶ 3246. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í G R m µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ·Ý¹»ñÇó (½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï»ñÇó) ϳ½Ùí³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙ: m
3247. ²å³óáõó»É, áñ R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ó³Ýϳó³Í µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙ: 3248. ä³Ûٳݳíáñí»Ýù ·ñ»É a Q m , »Ã» a R m í»ÏïáñÇ µáÉáñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:
²å³óáõó»É, áñ R -áõÙ ·Ý¹»ñÇ Ba, r : a Q m , r Q ¨ ½áõ·³Ñ»é³m
ÝÇëï»ñÇ I a; b : a,b Q
m
ÁÝï³ÝÇùÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
m
m
3249. ²å³óáõó»É, áñ R ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ë»å³ñ³µ»É ¿. R -áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï µ³½ÙáõÃÛáõÝ: m
3250. ²å³óáõó»É, áñ A R µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ³Ýí»ñç µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ýç³ï»É ѳßí»ÉÇ »ÝóͳÍÏáõÛÃ: 3251. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ͳÍÏáÕ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ A -Ý Í³ÍÏáÕ í»ñç³íáñ »ÝóÁÝï³ÝÇù, ³å³ A -Ý ÏáÙå³Ïï ¿: 3252. ²å³óáõó»É, áñ K R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ Ýñ³ ó³Ýϳó³Í ³Ýí»ñç µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ýç³ï»É ÇëÏ³Ï³Ý ( -Çó ï³ñµ»ñ) »ÝóͳÍÏáõÛÃ: 3253. ²å³óáõó»É, áñ K R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ í»ÏïáñÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í x n : n N K ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ K -ÇÝ å³ïϳÝáÕ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý: 3254. ¸Çóáõù K R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ͳÍÏáõÙ ¿ K -Ý: ²å³óáõó»É, áñ
r 0 a K B a; r : 3255. ¸Çóáõù K R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ E R n : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» G -Ý R m R n -áõÙ K E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáÕ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý G1 K µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ R m -áõÙ ¨ G2 E µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ R n -áõÙ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ G1 G2 G : 3256. ¸Çóáõù K -Ý R m -áõÙ ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ E R n : òáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í
A K E ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý åñáÛ»ÏóÇ³Ý R n -Ç íñ³ ÷³Ï ¿:
3257. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» K R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í A K R n ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý åñáÛ»ÏóÇ³Ý R n -Ç íñ³ ÷³Ï ¿, ³å³ K -Ý R m -áõÙ ÏáÙå³Ïï ¿: 3258. ²å³óáõó»É, áñ ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ ϳå³Ïóí³Í ¿: m
3259. ¸Çóáõù A R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿: êïáõ·»É, áñ »Ã» A B A , ³å³ B -Ý Ï³å³Ïóí³Í ¿: 3260. òáõÛó ï³É, áñ »Ã» A, B R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳå³Ïóí³Í »Ý ¨
A B , ³å³ A B -Ý Ï³å³Ïóí³Í ¿: 3261. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ÁÝï³ÝÇùÁ áõÝÇ áã ¹³ï³ñÏ Ñ³ïáõÙ, ³å³ ³Û¹ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁ ϳå³Ïóí³Í ¿: 3262. ²å³óáõó»É, áñ G R m µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ÛÝ ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í ¿: 3263. ²å³óáõó»É, áñ R -áõÙ m 2 ó³Ýϳó³Í M ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý m
Éñ³óáõÙÁª R m \ M -Á, ·Íáñ»Ý ϳå³Ïóí³Í ¿: 3264. îñí³Í a, b R m Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ta 1 t b : 0 t 1 µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³Í: ò³Ýϳó³Í a x 0 , x1 ,..., x k b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ xi , xi 1 i 0,1,..., k 1 ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³ÍÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ µ»ÏÛ³É: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» G R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿ ¨ µ³ó (ïÇñáõÛà ¿), ³å³ ó³Ýϳó³Í a, b G Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÙµáÕç³å»ë G -áõÙ ÁÝϳÍ, a , b ͳÛñ³Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ µ»ÏÛ³É: 3265. ¸Çóáõùª A, B R m : A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁª A B -Ý, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. A B a b : a A, b B : ²å³óáõó»É, áñ ³) »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ µ³ó ¿, ³å³ A B -Ý µ³ó ¿; µ) »Ã» A -Ý ÷³Ï ¿, ÇëÏ B -ݪ ÏáÙå³Ïï, ³å³ A B -Ý ÷³Ï ¿: ¸Çóáõù X -Á Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ ïñí³Í ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: p : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ X -áõÙ ë³ÑÙ³Ýí³Í ÝáñÙ, »Ã» ó³Ýϳó³Í x, y X í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ R ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ϳï³ñíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. 1. p x 0 , p x 0 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x 0 ; 2.
p x p x ;
3.
p x y p x p y :
X ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ýñ³ÝáõÙ ë³ÑÙ³Ýí³Í p ÝáñÙáí ÏáãíáõÙ ¿ ÝáñÙ³íáñí³Í ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª
X , p : ºÃ» Ëáëù
¿ ÉÇÝáõÙ R
m
ÝáñÙ³íáñí³Í ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ ¨
m
R -Ç ÏáÕùÇÝ Ñ³ïáõÏ Ýßí³Í ã¿ p ÝáñÙÁ, ³å³ »Ýó¹ñíáõÙ ¿, áñ p x x m Ð³×³Ë ³Û¹ ÝáñÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý R ÝáñÙáíª ¿íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:
m
x R : m
-áõÙ ëï³Ý¹³ñï ϳ٠¿íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙ, ÇëÏ R
m
-Ý ³Û¹
3266. ²å³óáõó»É, áñ R m -áõÙ ë³ÑÙ³Ýí³Í ó³Ýϳó³Í p ÝáñÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ ¹ñ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
x m px x m
x Rm :
m
3267. ¸Çóáõù p -Ý R -áõÙ ÝáñÙ ¿ (ëï³Ý¹³ñï ÝáñÙÇó ï³ñµ»ñ): a R m , p Ï»ïÇ -ßñç³Ï³ÛùÁ ë³ÑٳݻÝù
B* a, x R m : px a µ³Ý³Ó¨áí: îñí³Í A R
m
µ³½ÙáõÃÛ³Ý a Ï»ïÝ ³Ýí³Ý»Ýù ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
*-Ý»ñùÇÝ Ï»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ B* a, A : ²ÛÝáõÑ»ï¨, A µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»Ýù *-µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ *-Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ p -Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ R m -áõÙ ëï³Ý¹³ñï ÝáñÙÇݪ Ñ»ï¨Û³É ³éáõÙáí.
A R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ *-µ³ó ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ÛÝ R m -áõÙ µ³ó ¿: 3268. ¸Çóáõù 0;1 0;1 ù³é³Ïáõëáõ íñ³ áñáßí³Í f x, y Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏóÇ³Ý Ã»° Áëï x -Ç, û° Áëï y -Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ y , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f -Ý x; y Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3269. f : R m R m ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ë»ÕÙáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0;1 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ÃÇí,
³ÛÝåÇëÇÝ,
áñ ó³Ýϳó³Í
x, y R m
f x f y x y : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á ë»ÕÙáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï f x 0 x 0 , ³ÛÝ ¿É ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ »Ã» ·ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÷á˳ñÇÝ»Ýù f x f y x y ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝáí, ³å³ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ϳñáÕ ¿ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõݻݳÉ:
3270. ¸Çóáõù K R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : K K ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í x, y K x y Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x f y x y ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ³å³ f -Ý áõÝÇ ³Ýß³ñÅ
Ï»ï ¨ ³ÛÝ ¿É ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ:
3271. ¸Çóáõù K -Ý R -áõÙ ÏáÙå³Ïï ¿, f C K , K ¨ ó³Ýϳó³Í x, y K m
x y Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ f x f y max f x x , f y y : ²å³óáõó»É, áñ f -Ý áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï: 3272. f : X X
X R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ǽáÙ»ïñdz, »Ã» ó³Ýϳm
ó³Í x, y R m í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ f x f y x y : m
²å³óáõó»É, áñ »Ã» K R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ f : K K ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í x, y K í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
f x f y x y ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ³å³ f -Ý Ç½áÙ»ïñdz ¿: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ ËݹñÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ K µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÏáÙå³ÏïáõÃÛáõÝÝ ¿³Ï³Ý ¿: 3273. ¸Çóáõùª
f C R m , R n : ²å³óáõó»É, áñ R m -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï
ó³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý å³ïÏ»ñÁ f R m -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï ¿: 3274. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» f : R m R n ýáõÝÏóÇ³Ý R m -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï ó³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ R n -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ËÇï µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: E R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙ: F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ R
m
-áõÙ ÏáãíáõÙ ¿ G ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
3275. ²å³óáõó»É, áñ ³) ó³Ýϳó³Í ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; µ) ó³Ýϳó³Í µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ·) ó³Ýϳó³Í ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ¹) F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙÁ F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: 3276. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í G ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙ:
3277. òáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í F : R m R n ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ F ïÇåÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ (ѻ勉µ³ñ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ G ïÇåÇ ¿): 3278. ²å³óáõó»É, áñ F ïÇåÇ ó³Ýϳó³Í E R
m
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·á-
m
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f : R R ýáõÝÏódz, áñÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ E -Ý ¿:
m
3279. ¸Çóáõù U -Ý R -áõÙ µ³ó ·áõݹ ¿, f n C U
n N
¨ ó³Ýϳó³Í
x U í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ f n x f x n : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í F U ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x 0 F , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ lim f x f x 0 : x x 0 , xF
3280. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» K R
m
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ f C K , R n
ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áËÙdzñÅ»ù ¿, ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý f K R µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: úñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ K -Ç ÏáÙå³ÏïáõÃÛáõÝÝ ³Ûëï»Õ ¿³Ï³Ý ¿: 1
3281. òáõÛó ï³É, áñ C R m , R
n
m 2 ¹³ëÇ áã ÙÇ ýáõÝÏódz ÷áËÙdzñÅ»ù ã¿:
¶ÉáõË 14
Þ³ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ¹Çý»ñ»ÝóáõÙÁ ²Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzݻñ ü áõ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç ³ Í ³ Ý ó Û ³ É Á : سëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ: îñí³Í f : X R
X R ýáõÝÏódzÛÇ ¨ x x ,..., x int X Ï»ïÇ ( X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ïÇ) ѳٳñ f x ,..., x , x h , x ,..., x f x ,..., x ,..., x lim m
i 1
m
i
i
i 1
i
h
h 0
m ë³ÑÙ³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x0 ,...,x0
ݳÏíáõÙª
f x i
x 0 ,
Ï»ïáõÙ
m
i
m
i
f ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³É Áëï x i -Ç ¨ Ýß³-
i f x 0 , f x i x 0 ϳ٠f ix 0 :
´³ñÓñ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ: ºÃ»
x 0 int X Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ
f x i
f :X R
X R m
ýáõÝÏódzÝ
Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ í»ñçÇÝë Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳ó-
ÝáõÙ ¿ x ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódz: ²Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ Áëï x j -Ç ÏáãíáõÙ ¿
f ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³É Áëï x i , x j ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª
f 2 f i j i ji f f xj xi f ji : j x x x x ºñµ j i , ji f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ˳éÝ ³Í³ÝóÛ³É: гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ³í»ÉÇ µ³ñÓñ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ: »áñ»Ù
˳éÝ
X R ýáõÝÏódzÛÇ m
³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ
ij f ¨ ji f
ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý
i j
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ºÃ»
f :X R
˳éÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ x 0 int X Ï»ïÇ áñ¨¿
ßñç³Ï³ÛùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ x 0 -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý, ³å³ ij f x 0 ji f x 0 :
X R m µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódzݻñÇ ¹³ëÁ, áñáÝó ÁݹÑáõå ÙÇÝ㨠p -ñ¹ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÝ X -Ç íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý, Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ C
F:X R
n
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X : ÀݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ
C p X , R n -áí Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ ³ÛÝ
ýáõÝÏódzݻñÇ ¹³ëÁ, áñáÝó Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
å³ïϳÝáõÙ ¿ C
p
X ¹³ëÇÝ:
¸Çóáõùª f C
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G R ¨ m
x , x h ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³ÍÝ ³ÙµáÕç³å»ë 0 t 1 ýáõÝÏóÇ³Ý p ³Ý·³Ù
ÁÝÏ³Í ¿ G ïÇñáõÛÃáõÙ: ²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ t f x th
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ ó³Ýϳó³Í k p µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª
k t i1 i k f x th h i1 h ik , i1 ,..., i k
áñï»Õ ·áõÙ³ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ ¿ 1,..., m Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í µáÉáñ i1 ,..., ik ϳñ·³íáñí³Í ËÙµ»ñÇ íñ³: ²Ûë ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëÇÙíáÉÇÏ ·ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.
k t h11 h m m
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»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á: ºÃ» X -Ý R
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X , ³å³ ×ßÙ³ñÇï ¿ »ÛÉáñÇ ÉáÏ³É µ³Ý³Ó¨Ç Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³p
1 1 h 1 h m m k ! k 1
²Í³ÝóÛ³É ïñí³Í áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: ¸Çóáõùª
k
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X R m , x 0 int X : îñí³Í f : X R
ýáõÝÏódzÛÇ ¨ v R m í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ
f x 0 f x 0 tv f x 0 lim v t 0 t ë³ÑÙ³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x 0 Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É Áëï v í»ÏïáñÇ : ºñµ v -Ý Ùdzíáñ í»Ïïáñ ¿ª v 1 , ³Í³ÝóÛ³ÉÝ Áëï v -Ç Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Í³ÝóÛ³É v í»ÏïáñÇ áõÕÕáõ-
ÃÛ³Ùµ: ºÃ» f -Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÝ x 0 -Ç ßñç³Ï³ÛùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ x 0 -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý, ³å³
f x 0 f x 0 1 f x 0 m v v , v v1 ,..., v m : v x x m ¶Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ : ¸Çóáõù E -Ý ¨ F -Á ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: L : E F ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» ó³Ýϳó³Í x1 , x 2 E í»Ï-
ïáñÝ»ñÇ ¨ 1 , 2 R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
L 1x1 2 x 2 1 L x1 2 Lx 2 :
L : E F ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ L E, F -áí: ²ÛÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿. ó³Ýϳó³Í L1 , L2 L E , F ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ¨ 1 , 2 R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ 1 L1 2 L2 L E , F : ºÃ» x1 ,..., x m -Á ¨
y1 ,..., y n -Á ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ
E -áõÙ ¨ F -áõÙ µ³½ÇëÝ»ñ
»Ý, ³å³ L L E , F ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³ÝÁ ѳٳå³ï³ë˳ݻóíáõÙ ¿ n m ϳñ·Ç L aij
i 1,..., m, j 1,..., n Ù³ïñÇó, áñÇ ï³ññ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ý»ñϳ۳óáõÙÝ»ñÇó. Lx i
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³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ »Ý: ºÃ» ٳϻñ¨áõÛÃÁ ïñí³Í ¿ F x, y, z 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ¨ ³Û¹ ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ x0 ; y 0 ; z 0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Fx , Fy , Fz Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ³å³ x0 ; y 0 ; z 0 Ï»ïáõÙ ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. Fx x x0 Fy y y 0 Fz z z 0 0 : ¾ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñ: îñí³Í f : X R
X R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ m
x 0 int X Ï»ïÁ
ÏáãíáõÙ ¿ ÉáÏ³É ÙÇÝÇÙáõÙÇ (Ù³ùëÇÙáõÙÇ) Ï»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x 0 -Ç U x 0 X ßñç³Ï³Ûù, áñáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù f x f x 0 ( f x f x 0 ): ØÇÝÇÙáõÙÇ ¨ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ÙdzëÇÝ ÏáãíáõÙ »Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ: ¾ùëïñ»ÙáõÙÇ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ: ºÃ» f : X R
X R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ m
x 0 int X Ï»ïÁ ÉáÏ³É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿ ¨ x 0 -áõÙ f -Ý Áëï µáÉáñ ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ áõÝÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ, ³å³
f x
x0
f x m
x 0 0 :
ºÃ» x 0 X Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ ½ñá »Ý, ³å³ x 0 -Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï: ¾ùëïñ»ÙáõÙÇ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ: ¸Çóáõùª ѳٳñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿: ºÃ» m
h i , j 1
2 f x 0 i
x x
j
hih j
f C 2 X , ¨ x 0 int X Ï»ïÁ f -Ç
ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿, ³å³ x 0 -Ý ÉáÏ³É ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÇëÏ »Ã» ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿ h Ó¨Á, ³å³ x 0 -Ý ÉáÏ³É Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: ºÃ» h -Á ï³ñµ»ñ h -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, ³å³ x 0 -Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿: ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý (ѳñ³µ»ñ³Ï³Ý) ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñ: îñí³Í »Ý f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (ϳåÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ) Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Á.
X R m n
i x1 ,..., x m , x m 1 ,..., x m n 0 , i 1,..., n :
mn
²ëáõÙ »Ý, áñ ϳåÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ x 0 x0 ,..., x0
int X
Ï»ïÝ f
ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ñ³µ»ñ³Ï³Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ (Ù³ùëÇÙáõÙÇ) Ï»ï ¿, »Ã» x 0 Ï»ïÇ áñ¨¿ ßñç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ ³ÛÝ x Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ϳåÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ, ×ßÙ³ñÇï ¿ f x f x 0 f x f x 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: n
i 0 , ³å³, ѳٳӳÛÝ ³Ýµ³ x m j i, j 1
¸Çóáõùª i C X , i 1,..., n : ºÃ» det
ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëÇÝ Ã»áñ»ÙÇ, x 0 Ï»ïÇ ÇÝã-áñ ßñç³Ï³Ûùáõ٠ϳåÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó
x m 1 ,..., x m n
³ÝѳÛïÝ»ñÁ ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzݻñ.
áñáßíáõÙ
»Ý
áñå»ë
x1 ,..., x m
³ÝѳÛïÝ»ñÇó
ϳËí³Í
x m j j x1 ,..., x m , j 1,..., n : ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ,
x0
f x1 ,..., x m , x m 1 ,..., x m n
Ï»ïáõÙ
ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ñ³µ»ñ³Ï³Ý
m ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ñ»ï³½áïáõÙÁ ѳݷ»óíáõÙ ¿ x0 ,..., x0 Ï»ïáõÙ
g x1 ,..., x m f x1 ,..., x m , 1 x1 ,..., x m ,..., n x1 ,..., x m
µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÛÇ µ³ó³ñÓ³Ï ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ñ»ï³½áïÙ³ÝÁ: n
г׳Ë, »ñµ ,..., ýáõÝÏódzݻñÇ µ³ó³Ñ³Ûï ï»ëùÁ ëï³Ý³ÉÝ ³ÝÑݳñ ¿, f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ñ³µ»ñ³Ï³Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ȳ·ñ³ÝÅÇ ³Ýáñáß µ³½Ù³å³ïÏÇãÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á, áñÇ ¿áõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. Ý»ñÙáõÍ»Éáí ݳ˳å»ë ³ÝѳÛï 1 ,..., n µ³½Ù³å³ïÏÇãÝ»ñª ϳ½ÙáõÙ »Ý ȳ·ñ³ÝÅÇ F f 11 n n ûųݹ³Ï ýáõÝÏódzÝ: ºÃ»
f , 1 ,..., n C1 X , ³å³ ÉáõÍ»Éáí x1 ,..., x m n , 1 ,...,n ³ÝѳÛïÝ»ñáí
m 2 n ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñǪ
F i 0, i 1,..., m n, x i 0, i 1,..., n,
mn
ѳٳϳñ·Á, ·ïÝáõÙ »Ý û° 1 ,..., n µ³½Ù³å³ïÏÇãÝ»ñÁ, û° x 0 x0 ,..., x0
ÏñÇïÇϳϳÝ
Ï»ïÁ: ºÃ» ³Û¹ Ï»ïáõÙ F f 1 1 n n ûųݹ³Ï ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹Çý»2 ñ»ÝódzÉÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ d F h, h ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á d i x 0 h 0 i 1,..., n
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ h -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¹ñ³Ï³Ý (µ³ó³ë³Ï³Ý) áñáßÛ³É ¿, ³å³ x 0 -Ý f -Ç Ñ³Ù³ñ ѳñ³µ»ñ³Ï³Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ (Ù³ùëÇÙáõÙÇ) Ï»ï ¿:
² 3282. òáõÛó ï³É, áñ
d f x, b : dx 3283. гßí»É f x x, y -Á ¨ f y x, y -Á Ýßí³Í Ï»ïáõÙ. f x x, b
³) f x, y x 1e xy x y 1 y 3 1 sin x , M 1;1 ;
µ) f x, y 2 x 2 1 arctgy y 4 , M 1;1 ; ·) f x, y
xy , M 0;0 ;
¹) f x, y x y x y , M 0;0 : ¶ïÝ»É Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ (3284-3288). 3284. ³) f x, y x sin x y ; f x , f y , f xy , f xx ;
x ; f x , f y , f xx , f xy , f yy ; y x ; f x , f y , f xx , f xy , f yy ; x2 y 2
µ) f x, y xy ·) f x, y ¹) f x, y tg
x2 ; f x , f y , f xx , f xy , f yy : y
3285. ³) f x, y x y ; f xx , f xy , f yy ;
y ; f xx , f xy , f yy ; x x y ·) f x, y arctg ; f xx , f xy , f yy ; 1 xy x ¹) f x, y arcsin ; f xx , f xy , f yy : x2 y 2 µ) f x, y arctg
3286. ³) f x, y sin µ) f x, y
x , f xyy ; ; f xxx y
cos x 2 , f xxy : ; f xxx y
3287. ³) f x, y ln 1 2 x 3 y ;
4 f ; xy 3
µ) f x, y ln x y 2 ; ·) f x, y , z e x
y2 z2
y
;
3 f 3 f , ; xyz x 2 y
3 f : y 2 z
¹) f x, y , z x z ; n
m
3288. ³) f x, y x a y b , µ) f x, y
4 f ; x 2 y 2
mn f ; x n y m
x y mn f , ; x y x m y n
·) f x, y x 2 y 2 e x y ,
mn f ; x m y n
m n k f : x m y n z k 3289. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù f xy 0,0 f yx 0,0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, »ñµ ¹) f x, y xyze x y z ,
³) f x, y x 2
y 1
µ) f x, y arcsin
;
x2 1 ; y3
x2 y 2 2 xy, y x , , x y 2 0, xy ·) f x, y x 2 y 2 ¹) f x, y 0, x 2 y 2 0; xy , y x : 3290. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝDZ ³ñ¹Ûáù f xy 0,0 Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, »Ã»
2 xy , x 2 y 2 0, f x, y x 2 y 2 0, x 2 y 2 0 : ¶ïÝ»É u ýáõÝÏódzÛÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ (3291-3292).
3291. ³) u f x 2 y 2 z 2 ;
µ) u f x 2 y 2 ;
·) u xy f x y ;
¹) u f xy g x y :
x ; y
µ) u f x y , x y ; ·) u f sin x, cos y ; ¹) u f xy , x, y : 3293. ¸Çóáõù` f -Á »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz ¿, u f r , 3292. ³) u f x,
r x 2 y 2 z 2 : ²å³óáõó»É, áñ u f r
f r , r
áñï»Õ -Ý È³åɳëÇ ûå»ñ³ïáñÝ ¿. u 3294. êïáõ·»É, áñ u ln
x a 2 y b 2
2u 2 u 2u : x 2 y 2 z 2 ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ȳå-
2u 2u 0: x 2 y 2 3295. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» u u x, y ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ñÙáÝÇÏ ¿, ³å³ v u x y , x y ýáõÝÏóÇ³Ý ÝáõÛÝå»ë ѳñÙáÝÇÏ ¿: ¸Çóáõùª f -Á ¨ g -Ý »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñ »Ý: êïáõ·»É, áñ u ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ (3296-3299). 2u 2 u 3296. u f x at g x at , a : t 2 x 2 2u 2u 2u 3297. u xf x y yg x y , 0: xy y 2 x 2 ɳëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ (ѳñÙáÝÇÏ ¿).
2u y y 2 u 2 u xy y 0: xg , x xy x 2 y 2 x x
3298. u f
3299. u f x g y ,
u 2u u 2u : x xy y x 2
3300. ¸Çóáõù e1 ,..., e m -Á R m -áõÙ ëï³Ý¹³ñï µ³½ÇëÝ ¿: òáõÛó ï³É, áñ »Ã»
x0 int X
X R Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý m
ݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ, ³å³
f x 0 f x 0 , i 1,..., m : e i x i
f : X R ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ë-
3301. ¸Çóáõù f : X R
X R m
ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ
x0 int X Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: êïáõ·»É, áñ »Ã» v R m í»ÏïáñÁ ëï³Ý¹³ñï µ³½ÇëÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ (Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñÇ) Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 1 ,…, m ³ÝÏÛáõÝÝ»ñª
i arccos ³å³
v, e i v
, i 1,..., m ,
f x 0 f x 0 f x 0 cos 1 cos m , áñï»Õ v 0 -Ý v -ÇÝ Ñ³Ù1 v 0 x x m
áõÕÕí³Í Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ ¿: 3302. ¶ïÝ»É M 1;1 Ï»ïáõÙ Ox ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï 60 ³ÝÏÛáõÝ Ï³½ÙáÕ í»ÏïáñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ z x 2 y 2 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: 3303. ¶ïÝ»É M 1;1 Ï»ïáõÙ
Ox ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï
³ÝÏÛáõÝ Ï³½ÙáÕ í»ÏïáñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ z x 2 xy y 2 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: à±ñ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ³Û¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÁª ³) Ïáõݻݳ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ù; µ) Ïáõݻݳ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ù; ·) ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ 0 -Ç: 3304. ¶ïÝ»É M 1;1;1 Ï»ïáõÙ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ox , Oy ¨ Oz ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ , ¨ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ ϳ½ÙáÕ í»ÏïáñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ u xyz ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
3305. ²å³óáõó»É, áñ f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 ; y0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿
³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý
f x0 , y0 f x0 , y0 ¨ y x
Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙª
f x0 , y0 f x0 x, y0 y f x0 , y0 f x0 , y0 f x0 , y0 x y o , 0 , x y áñï»Õ x 2 y 2 :
3306.
²å³óáõó»É,
áñ
f : Rm Rn
»Ã»
ýáõÝÏódzÝ
µ³í³ñ³ñáõÙ
¿
f x o| x | ¨ f 0 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ³å³ f -Á 0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: ¶ïÝ»É f 0 -Ý: 3307. òáõÛó ï³É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ 0;0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã»Ý. µ) f x, y
³) f x, y 3 xy ; 3308. лﳽáï»É Ï»ïáõÙ.
f : R2 R
x2 y 2 :
ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛáõÝÁ
³) f x, y 3 x 3 y 3 ;
0;0
µ) f x, y 3 x 4 y 4 ;
21 2 x y , x 2 y 2 0, ·) f x, y e 0, x 2 y 2 0 :
¹) f x, y 3 x sin y :
3309. ¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝódzÉÁ ¨ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á. ³) f x, y x m y n ;
µ) f x, y e xy ;
·) f x, y
¹) f x, y ln x 2 y 2 ;
x2 y 2 ;
») f x, y , z xy yz zx ;
½) f x, y , z
z : x y2
x z 3310. ¶ïÝ»É df 1;1;1 -Á ¨ d f 1;1;1 -Á, »Ã» f x, y , z : y
3311. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x, y , z 3312. êïáõ·»É, áñ
x 2 y 2 z 2 , ³å³ d 2 f 0 :
0, »ñµ xy 0, f x, y 1, »ñµ xy 0 ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ 0;0 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý, µ³Ûó f -Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÝÁݹѳï ã¿: 3313. êïáõ·»É, áñ f x, y
xy ýáõÝÏóÇ³Ý 0;0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, áõÝÇ
f x0,0 ¨ f y 0,0 Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ, µ³Ûó 0;0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿:
3314. êïáõ·»É, áñ
xy , x 2 y 2 0, 2 f x, y x y 0, x 2 y 2 0 ýáõÝÏóÇ³Ý 0;0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, áõÝÇ f x x, y , f y x, y ë³Ñٳݳ÷³Ï Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ, µ³Ûó 0;0 Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: 3315. êïáõ·»É, áñ
, x 2 y 2 0, x y 0, x 2 y 2 0 ýáõÝÏódzÛÇ f x x, y , f y x, y Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ 0;0 Ï»ïáõ٠˽íáÕ
x
f x, y
y 2 sin
»Ý, ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï, ë³Ï³ÛÝ, ³ÛÝáõ³Ù»Ý³ÛÝÇí, f -Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: 3316. êïáõ·»É, áñ
f x, y x y
xy
ýáõÝÏóÇ³Ý 0;0 Ï»ïáõÙ ó³Ýϳó³Í áõÕÕáõÃÛ³Ùµ áõÝÇ ³Í³ÝóÛ³É, ë³Ï³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿: ¶ïÝ»É f : R 2 R ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (3317-3318). 3317. f x, y x y ; 3318. f x, y xy : ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí (3319-3322). 3319. f x, y sin xy :
z
3320. f x, y, z x y :
3321. F x, y , z x y ; z : 3322. F x, y cos x sin y ; x : Ü»ñϳ۳óÝ»É M Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝódzÉÝ»ñÁ áñå»ë h R m ϳ٠h; l R m R m ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇó ϳËí³Í ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ·Í³ÛÇÝ Ï³Ù »ñϷͳÛÇÝ ýáõÝÏódz (3323-3328). 3323. f x, y x 2 y 2 ; M a; b : 3324. f x, y , z xy yz zx ; M a; b; c : 3325. f x, y
x ; M x0 ; y0 : y
3326. f x, y cos e x y ; M x; y : 3327. f x, y e xy ; M x; y :
3328. f x, y , z
z ; M x0 ; y0 ; z0 : x y2
γ½Ù»É M Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á (3329-3330).
yz ; M 1;2;3 : x ¸Çóáõù f -Á »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: γ½Ù»É u ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏ-
3329. f x, y x ln xy ; M 1;1 :
3330. f x, y, z
ñáñ¹ ϳñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á (33313340).
y : x f t , t xyz : 3334. u f , , ax , by : f , , x y , x y : x f , , xy , : y f ,, , xy , x y , x y :
3331. u f t , t x y : 3333. u 3335. u 3336. u 3337. u
3332. u f t , t
3338. u f ,, , x 2 , y 2 , z 2 : 3339. u f 2 x,3 y ,4 z : ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ
3340. u f x y z, x 2 y 2 z 2 : Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ x cos , y sin
, Ó¨³÷áË»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ , , 0 ï»ëùÇ (3341-3342).
x y : 3342. xy y 2 xy 1 y 2 : x y ²ÝóÝ»Éáí u, v Ýáñ ³ÝÏ³Ë ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñǪ Ó¨³÷áË»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ u , v, z , zu , zv 0 ï»ëùÇ (3343-3344). z z 3343. 0; u x y , v x y : y x z z y 3344. x y z; ux, v : x y x Ü»ñÙáõÍ»Éáí u , v, w wu, v Ýáñ ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñ, Ó¨³÷áË»É ¹Çý»3341. y
ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (3345-3348). 3345.
2 z 2 z z z ; x u v , y u v , z we v u : x 2 xy x
3346. y
z z 1 1 x y x z ; u x 2 y 2 , v , w ln z x y : x y x y
3347. y
2 z z 2 2 ; yu x , v x , w xz y : y x y 2
3348.
2 z 2 z 2 z 0 ; u x y , v x y , w xy z : xy y 2 x 2 îñí³Í M Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñϳ۳óÝ»É Â»ÛÉáñÇ µ³-
ݳӨáí (3349-3351).
3349. f x, y x 1 x y , M 0;0 : 3350. f x, y x 2 y x 2 3xy 4 y 2 , M 1;2 : 3351. f x, y , z x 3 y 3 z 3 3xyz , M 1;1;1 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÉáÏ³É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ (3352-3367).
µ) z x 2 xy y 2 2 x y :
3353. ³) z x 2 y 1 ;
µ) z x y 1 :
3354. ³) z x 3 y 3 3xy ;
µ) z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 :
3355. ³) z 2 x 4 y 4 x 2 2 y 2 ;
µ) z x 2 y 3 6 x y :
3352. ³) z x 2 y 1 ;
3356. ³) z xy
50 20 x y
µ) z xy 1
x 0, y 0 ;
x2 y2 a 2 b2
a 0, b 0 :
3357. ³) z 5 x 7 y 25e x µ) z x 2 y 2 e x
y2
xy y 2
;
:
3358. z x 2 xy y 2 4 ln x 10 ln y :
3359. z sin x cos y cosx y , 0 x 3360. z 1
x2 y2 :
;0 y : 2
3361. z xy ln x 2 y 2 :
3362. u x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z : 3363. u x 3 y 2 z 2 12 xy 2 z :
y2 z2 2 x 0, y 0, z 0 : 4x y z 3365. u xyz 4a x y z : 3364. u x
3366. êïáõ·»É, áñ z 1 e y cos x ye y ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ³Ýí»ñç Ãíáí Ù³ùëÇÙáõÙÝ»ñ ¨ ãáõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ:
3367. êïáõ·»É, áñ z y x 2 y 2x 2 ýáõÝÏóÇ³Ý 0;0 Ï»ïáõÙ ó³Ýϳó³Í x t sin , y t cos áõÕÇÕáí áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ, ë³Ï³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿: 3368. γ½Ù»É ïñí³Í M Ï»ïáõÙ ÏáñÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ.
a b c 2 2 2
³) x a sin 2 t , y b sin t cos t , z c cos 2 t ; M ; ; ; µ) y x , z x 2 ; M 1;1;1 : γ½Ù»É ٳϻñ¨áõÛÃÇ ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ ·ïÝ»É ÝáñÙ³ÉÇ áõÕÕáñ¹ ÏáëÇÝáõëÝ»ñÁ (3369-3372). 3369. z xy , M 2;1;2 : 3371. z sin
3370. z x 2 y 2 , M 1;1;2 :
x , M ;1;0 : y
3372. x 2 y 2 z 2 1 , M x0 ; y0 ; z0 :
´
3373. ¸Çóáõùª L L R m , R n : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í x R Lx M x :
m
í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ
²Ûëï»ÕÇó ѻ層óÝ»É, áñ ó³Ýϳó³Í L L R m , R n ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»m
ñáõÙ R -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3374. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í L : R m R n ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù` Lx L : سëݳíáñ³å»ë, i : R m R i
i
Ï»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ d :
i 1,..., m
åñáÛ»ÏïáÕ ³ñï³å³ï-
X R ýáõÝÏóÇ³Ý x m
3375. ¸Çóáõù f : X R ó»ÉÇ ¿: òáõÛó ï³É, áñ
int X Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ý-
f x 0 1 f x 0 m dx dx f x 0 , dx , x x m áñï»Õ Ý߳ݳÏí³Í ¿ª dx i d i i 1,..., m , dx dx1 ,..., dx m : df x 0
m
3376. êïáõ·»É, áñ f : X R X R ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»ÝódzÉÇ ï»ëùÁ ÏÙݳ ³Ý÷á÷áË, »Ã» x -Á ¹³éݳ Ù»Ï ³ÛÉ, t ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódz.
x t 1 t ,..., m t , i t C 1 R p , i 1,..., m : ²ÛÉ Ï»ñåª óáõÛó ï³É, áñ
f f dx1 m dx m , x x i i áñï»Õ dx i 1 dt 1 p dt p , i 1,..., m : t t 3377. ²å³óáõó»É, áñ F : X R n X R m ýáõÝÏóÇ³Ý x0 int X Ï»ïáõÙ d f
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ L L R m , R n ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ F x 0 h F x0 L h oh , h 0 : 3378. ²å³óáõó»É, áñ ïñí³Í Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3379. òáõÛó ï³É, áñ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÙdzÏÝ ¿: 3380. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F : X R
X R
Ï»ïáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í v R
m
m
ýáõÝÏóÇ³Ý x0 int X
í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ
f x 0 f x 0 v : v 3381. ¸Çóáõù f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý X R m µ³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ ¨ x 0 X : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
L L R m , R ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í v R m í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ
f x 0 L v , v ³å³ f -Ý x0 -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª f x 0 L :
3382. ¸Çóáõù R m -áõÙ p1 x , p2 x , p3 x ýáõÝÏódzݻñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå ë³ÑÙ³Ýí³Í ÝáñÙ»ñÝ »Ý.
p1 x
x x 1 2
m 2
,
p2 x x1 x m , p3 x max x i : 1 i m
¸ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóáõ٠ѳٳå³ï³ëË³Ý ÝáñÙÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: 3383. ¸Çóáõù f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý x0 ; y0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ
f f , ¨ x y
2 f Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ: ²å³óáõó»É ˳éÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ Ñ³í³ë³xy ñáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É áõŻճóáõÙÁ. »Ã»
2 f -Á x0 ; y0 xy
Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨
2 f Ù³ëݳÏÇ yx
³Í³ÝóÛ³ÉÁ, Áݹ áñáõÙª
2 f x0 , y0 2 f x0 , y0 : yx xy 3384. ¸Çóáõù G -Ý R m -áõÙ ïÇñáõÛà ¿ ¨ f C p G : ²å³óáõó»É ˳éÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. i1 ...i p f x ˳éÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ³ñÅ»ùÁ i1 ,..., i p Çݹ»ùëÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ÙÝáõÙ ¿ ³Ý÷á÷áË:
3385. t : R m
k
R µ³½Ù³·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ëÇÙ»ïñÇÏ, »Ã» í»Ï-
ïáñÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í v1 ,..., v k R m Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ
k
ß³ñí³ÍùÇ ¨ ó³Ýϳó³Í i, j Çݹ»ùë-
t v1 ,..., v i ,..., v j ,..., v k t v1 ,..., v j ,..., v i ,..., v k : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C
k
X
X R
m
, k 2 , ³å³ ó³Ýϳó³Í
x 0 X Ï»ïáõÙ d k f x 0 v1 ,..., v k µ³½Ù³·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ ¿: 3386. ¸Çóáõù X -Á R -áõÙ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ f C 1 X m
³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f -Á X -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:
3387. ²å³óáõó»É, áñ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý »ñÏñáñ¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñá ¿: 3388. ¸Çóáõù T : R m R m R n ýáõÝÏóÇ³Ý »ñϷͳÛÇÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³) lim
T h, k
0;
h, k µ) T a, b x, y T a, y T x, b ; ·) »Ã» p x, y xy , ³å³ pa, b x, y bx ay : h , k 0
3389. ¸Çóáõù D -Ý R m -áõÙ ïÇñáõÛà ¿: f : D R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ù³ë»é, »Ã»
x D R x D f x n f x : êïáõ·»É, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ ѳٳë»é »Ý ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³Ýó ѳٳë»éáõÃÛ³Ý ³ëïÇ׳ÝÁ. ³) f x, y , z xy yz xz ;
µ) f x, y , z, t
xy zt : xyz yzt
3390. ²å³óáõó»É, áñ f C 1 D ýáõÝÏóÇ³Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ù³ë»é ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ¾ÛÉ»ñÇ ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ.
f 1 f x ,..., x m x m m x1 ,..., x m nf x1 ,..., x m : x x 3391. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C 1 D ýáõÝÏóÇ³Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ù³ë»é ¿, ³å³ Ýñ³ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ n 1 -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ
x1
ѳٳë»é ýáõÝÏódzݻñ »Ý:
3392. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C p R m ýáõÝÏóÇ³Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ù³ë»é m
¿, ³å³ R -Ç íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù p
1 m f x1 ,..., x m p !Cnp f x1 ,..., x m : x 1 x m x x m 3393. ¸Çóáõù G -Ý R -áõÙ ïÇñáõÛà ¿, ÇëÏ f -Áª G -Ç íñ³ áñáßí³Í Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz: ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ. »Ã» x ¨ x h ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³ÍÝ ÁÝÏ³Í ¿ G -áõÙ, f -Ý ³Û¹ ѳïí³ÍÇ Ï»ï»ñáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ Ñ³ïí³ÍÇ Ý»ñëáõÙª 1 t x t x h : 0 t 1 µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ ѳïí³ÍÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
f x h f x f h :
3394. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F : G R n ýáõÝÏóÇ³Ý G R m ïÇñáõÛÃáõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù F x θ , áñï»Õ θ -Ý R -Çó R ÝáõÛݳµ³ñ ½ñá ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿, ³å³ F -Á G -Ç íñ³ ѳëï³ïáõÝ ¿: òáõÛó ï³É ݳ¨ m
n
ѳϳé³ÏÁ. »Ã» F : G R n ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, ³å³ G -Ç íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù F x θ :
3395. гÙá½í»É, áñ y y x
x R
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ y 2 y 0
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µÝáõó·ñÇã ýáõÝÏóÇ³Ý ¿:
y x -Á áñ¨¿ M R
3396. îñí³Í ¿ x 2 y 2 1 ѳí³ë³ñáõÙÁ: ³) гÙá½í»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ýí»ñç Ãíáí y y x 1 x 1 ýáõÝÏódzݻñ: µ) ä³ñ½»É, û ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇó áñá±Ýù »Ý ³ÝÁݹѳï: ·) òáõÛó ï³É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï y y x 1 x 1 ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz, áñÁ ݳ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ y 0 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¹) òáõÛó ï³É, áñ y 1 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÁ »ñÏáõëÝ »Ý: 3397. îñí³Í ¿ x 4 y 2 ѳí³ë³ñáõÙÁ: гÙá½í»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ýí»ñç Ãíáí y y x x R ýáõÝÏódzݻñ: ä³ñ½»É, û ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇ ¹³ëáõÙ ³) ù³ÝDZëÝ »Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ; µ) y 0 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ù³ÝDZ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz ϳ; ·) y 1 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ù³ÝDZ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz ϳ: ¹) гÙá½í»É, áñ 1;1 Ï»ïÇ µ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ÙdzÏÝ ¿: ¶ïÝ»É ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ y y x ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzÛÇ y ¨ y ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ (3398-3401). 3398. x 2 2 xy y 2 a 2 :
3399. ln x 2 y 2 arctg
3400. y sin y x 0 1 :
3401. x y y x
3402. ¶ïÝ»É y1 -Á, »Ã» x 2 y
2 2
3x 2 y y3 ¨
x y : y 1 1 :
3403. ¶ïÝ»É y0 -Ý, y0 -Ý, y0 -Ý, »Ã» y sin x x 2 y 3 1 :
y : x
¶ïÝ»É z z x, y ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ (3404-3407). 3404. x 2 y 2 z 2 a 2 ; 3405. arctg
2 z 2z , : x 2 xy
z z 2 z x y z; , : x x x 2
3406. x y z ln xyz 3407. x y y z 3 ;
x 0, y 0, z 0 ;
z 2 z 2 z , , : x y 2 xy
z z 2 z , , : x y xy
3408. Ø»Ïݳµ³Ý»É ¨ ÑÇÙݳíáñ»É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÁ. »Ã» f x, y , z 0 , ³å³
z y x 1 : y x z
z z -Á ¨ -Á, »Ã» F x y z, x 2 y 2 z 2 0 : y x z z 3410. ¶ïÝ»É -Á ¨ -Á, »Ã» F xz , yz 0 : y x 3411. ¶ïÝ»É ïñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÇó áñáßíáÕ z z x, y ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹
3409. ¶ïÝ»É
¹Çý»ñ»ÝódzÉÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á.
x y 0: z z 3412. ¸Çóáõù z z x, y -Á z 3 xz y 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó áñáßíáÕ ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ z 3, 2 2 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¶ïÝ»É ³) F x z, y z 0 ;
µ) F ,
d 2 z 3,2 -ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á: ¶ïÝ»É z 1,2 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ z z x, y ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ 1,2 Ï»ïáõÙ (3413-3414). 3413. x 2 2 y 2 3z 2 xy z 9 :
3414. 3 xyz x 2 z 2 5x y :
¶ïÝ»É ïñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó áñáßíáÕ x z ¨ y z ýáõÝÏódzݻñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ (3415-3416).
x y z 0, x y z 1 :
3415.
x 2 y 2 2 z 1,
3416.
x xy y z 1 :
3417. êïáõ·»É, áñ
xe u v 2uv 1, u u v ye 1 v 2 x ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó áñáßíáõÙ »Ý u u x, y ¨ v vx, y ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ u 1,2 0 ¨ v1,2 0 : ¶ïÝ»É du 1,2 -Á ¨ dv1,2 -Á: 3418. ¶ïÝ»É du -Ý ¨ dv -Ý, »Ã»
u v x y , sin u x : sin v y 3419. ¸Çóáõù F f 1 , f 2 C 1 R 2 , R 2 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
ÎáßÇ-èÇÙ³ÝÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.
f 1 f 2 f 1 f 2 , : x y y x êïáõ·»É, áñ F ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Û³ÏáµÇ³ÝÁ x0 Ï»ïáõÙ ½ñá ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ F x 0 θ : òáõÛó ï³É, áñ »Ã» F x 0 θ , ³å³ x0 -Ç ßñç³Ï³ÛùáõÙ F -Á ѳϳ¹³ñÓ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª F 1 ýáõÝÏóÇ³Ý ÝáõÛÝå»ë µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÎáßÇ-èÇÙ³ÝÇ
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:
3420. ¸Çóáõù z z x, y ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ x u, v , y u, v ,
z u, v ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó: ¶ïÝ»É
z z -Á ¨ -Á: y x
3421. ¸Çóáõù ٳϻñ¨áõÛÃÁ ïñí³Í ¿ x u v , y u 2 v 2 , z u 3 v 3 å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí: ¶ïÝ»É ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ßñç³Ï³Ûùáõ٠ٳϻñ¨áõÛÃÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë z f x, y ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ:
x; y X u, v ; Y u , v ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: ¶ïÝ»É u; v U x, y ;V x, y ѳϳ¹³ñÓ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Û³ÏáµÇ³ÝÁ: 3423. ¸Çóáõùª u f z , áñï»Õ z z x, y -Á z x y z ѳí³ë³ñáõÙÇó 3422.
îñí³Í
¿
áñáßíáÕ ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: ²å³óáõó»É ȳ·ñ³ÝÅÇ µ³Ý³Ó¨Áª
n u n 1 n u n 1 z : n x y x 3424. î»Õ³¹ñ»Éáí x r sin cos , y r sin sin , z r cos , Ó¨³÷áË»É
u
2u 2u 2 u u u u 2 2 , 1u x y z x y z
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 3425. ¸Çóáõù y y x x R ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ x ky y ѳí³ë³ñáõÙÇó, áñï»Õ k 0 , ÇëÏ -Ý -å³ñµ»ñ³Ï³Ý, ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódz ¿, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ x k : ²å³óáõó»É, áñ y
x x , áñï»Õ -Ý k k
å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿: 0;0 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñϳ۳óÝ»É Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨áí (3426-3433). 3426. f x, y
: 1 x y xy
3428. f x, y e x sin y :
3429. f x, y e x cos y :
3430. f x, y sin xshy :
3432. f x, y sin x y
3427. f x, y ln 1 x y :
3431. f x, y cos xchy :
:
3433. f x, y ln 1 x ln 1 y :
3434. ¶ñ»É f x, y e x y ýáõÝÏódzÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á 1;1 Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ: 3435. ¶ñ»É f x, y
x ýáõÝÏódzÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á 1;1 Ï»ïÇ ßñç³y
ϳÛùáõÙ: 3436. ¸Çóáõùª z z x, y -Á z 3 2 xz y 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó áñáßíáÕ ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ z 1,1 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¶ñ»É z ýáõÝÏódzÛÇ 1;1 Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûùáõ٠»ÛÉáñÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: лﳽáï»É ýáõÝÏódzÛÇ ÉáÏ³É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ (3437-3439). 3437. z x y 4 sin x sin y : 3438. u xy 2 z 3 a x 2 y 3z a 0 : 3439. u sin x sin y sin z sin x y z
x, y, z 0; :
¶ïÝ»É ïñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÇó áñáßíáÕ z z x, y ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»Ù³É ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (3440-3442). 3440. 2 x 2 2 y 2 z 2 8 yz z 8 0 : 3441. 5 z 2 4 zy y 2 2 y 3x 2 6 x 4 0 : 3442. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0 : ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ (3443-3455).
x y x y , x2 y 2 1 : 3444. z x 2 y 2 , 1: a b a b 3445. z x 2 12 xy 2 y 2 , 4 x 2 y 2 25 : 3446. z cos 2 x cos 2 y , x y : 3447. u 2 x y z 1 , x y 2 z 2 22 : 3443. z
3448. u x m y n z p , x y z a
m 0, n 0, p 0, a 0 :
x y z2 1 a b c 0 : a 2 b2 c2 3450. u xyz , x 2 y 2 z 2 1 , x y z 0 : 3449. u x 2 y 2 z 2 ,
3451. u xy yz , x 2 y 2 2 , y z 2 3452. u sin x sin y sin z , x y z
x 0, y 0, z 0 : x 0, y 0, z 0 :
3453. u x12 x22 xn2 ,
x1 x2 x n 1 a1 a2 an
3454. u x1p x2p xnp
p 1 ,
3455. u
x1 1 x2 2
xn n
,
ak 0, k 1,..., n :
x1 x2 xn a
xk 0 , k 1,..., n ,
a 0 :
x1 x2 xn a
a 0,
k 1, k 1,..., n : ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (3456-3459). 3456. z x 2 y 3 ; 0 x 1 , 0 y 1 x : 3457. z x 2 y 2 12 x 16 y ; x 2 y 2 25 : 3458. z x 2 xy y 2 ; x y 1 : 3459. u x 2 2 y 2 3z 2 ; x 2 y 2 z 2 100 :
3460. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x1 x2 xn 1 , áñï»Õ xk 0 , k 1,..., n , ³å³
x1 x2 xn n : àñå»ë ѻ勉Ýù ëï³Ý³É Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ¨ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÙÇçÇÝÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 3461. ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁª
xn y n x y 2
n
n 1, x 0, y 0 :
3462. ²å³óáõó»É ÐÛáɹ»ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁª
n
1 1 n p n q ai xi aip xiq ai 0, xi 0, i 1,..., n; p 1, p q 1 : i 1 i 1 i 1 3463. îñí³Í a ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ í»ñÉáõÍ»É n ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýó ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: 3464. îñí³Í a ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ í»ñÉáõÍ»É n ¹ñ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ÛÝå»ë, áñå»ë½Ç Ýñ³Ýó Ëáñ³Ý³ñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: 3465. x 2 y 2 z 2 1 ëý»ñ³ÛÇ íñ³ ·ïÝ»É Ï»ï, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ïñí³Í M i xi , yi , zi i 1,..., n Ï»ï»ñÇó ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: 3466. ¶ïÝ»É ïñí³Í 2 p å³ñ³·Íáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, áñÝ Çñ ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³óÝáõÙ ¿ ٻͳ·áõÛÝ Í³í³ÉÇ ·É³Ý: 3467. ¶ïÝ»É y x 2 å³ñ³µáÉÇ ¨ x y 2 0 áõÕÕÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ: 3468. ¶ïÝ»É M 0 x0 , y0 , z0 Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ax By Cz D 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÇó: 3469. ¶ïÝ»É
x x1 y y1 z z1 x x2 y y 2 z z 2 ¨ áõÕÇÕÝ»ñÇ m1 n1 p1 m2 n2 p2
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
¶ G R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõéáõóÇÏ, »Ã» ó³Ýϳó³Í x1 G , x 2 G Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 ¨ x 2 ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³ÍÁª ç³å»ë ÁÝÏ³Í ¿ G -áõÙ:
x1; x 2 1 x1 x 2 : 0 1 -Á,
³ÙµáÕ-
¸Çóáõù G R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõéáõóÇÏ ¿: f : G R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ áõéáõóÇÏ
ýáõÝÏódz, »Ã» ó³Ýϳó³Í x1 , x 2 G Ï»ï»ñÇ ¨ 0;1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
f 1 x1 x 2 1 f x1 f x 2 :
ºÃ» µáÉáñ x1 x 2 Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·ñí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ËÇëï ¿, ³å³ f -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ËÇëï áõéáõóÇÏ:
P : R m R ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ k -ñ¹ ϳñ·Ç ѳٳë»é µ³½Ù³Ý¹³Ù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ T : R m
k
R µ³½Ù³·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódz, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ P x T x,..., x :
3470. ¸Çóáõùª f C 1 G , áñï»Õ G -Ý R -áõÙ áõéáõóÇÏ ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõm
ó»É, áñ »Ã» f xi x 0 , ³å³ f -Ý x i -Çó ϳËí³Í ã¿: лï¨Û³É ûñÇݳÏáí ѳÙá½í»É, áñ G ³Ûëï»Õ ¿³Ï³Ý ¿.
ïÇñáõÛÃÇ áõéáõóÇÏáõÃÛáõÝÝ
G R 2 \ x;0 : x 0 ,
x 3 , x; y R c 2 , f x, y 0, x; y G \ Rc :
f : G R ýáõÝÏódzÝ, áñï»Õ G -Ý R 2 -áõÙ ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ f x, y -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Áëï x -Ç ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f y x, y ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ f -Á 3471. îñí³Í ¿
G -áõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3472. ¸Çóáõù G -Ý R m -áõÙ áõéáõóÇÏ ïÇñáõÛà ¿ ¨ f C 1 G : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f xi x i 1,..., m Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ G -áõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý, ³å³ f -Á G -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3473. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» F : X R n
X R , n 2 ýáõÝÏóÇ³Ý n
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ ³Ù»Ýáõñ»ù det F x 0 , ³å³ F -Á ÷áËÙdzñÅ»ù ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 3474. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ »Ã» F : X R n
X R ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çn
ý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ÷áËÙdzñÅ»ù ¨ F 1 -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ F 1 -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 3475. ¸Çóáõù X -Ý R n -áõÙ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ F : X R n ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áËÙdzñÅ»ù ¿ ¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» det F x 0 x X , ³å³ F : X F X ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¹Çý»áÙáñýǽ٠¿: 3476. ¸Çóáõù G -Ý ¨ D -Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ R m -áõÙ ¨ R n -áõÙ áã ¹³ï³ñÏ, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F : G D ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»áÙáñýǽ٠¿, ³å³ m n :
m
3477. ¸Çóáõù G -Ý R -áõÙ áõéáõóÇÏ ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ï³ñµ»ñ³ÏÁ. »Ã» F : G R n ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í a, b G Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ
F a F b a b sup F x : xG
²Ûëï»ÕÇó ѻ層óÝ»É, áñ »Ã» F -Ý áõÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ³ÛÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ. k R x1 , x 2 G F x1 F x 2 k x1 x 2 :
3478. îñí³Í x0 , x k R
Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ l x 0 ; x1 x k 1 ; x k µ»Ï-
m
k 1
Û³ÉÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë l i 0 xi 1 xi ·áõÙ³ñ: ¸Çóáõù G -Ý R -áõÙ ïÇñáõÛà ¿, a, b G , ÇëÏ G a, b -Ý G -áõÙ ÁÝÏ³Í ¨ a, b Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ µáÉáñ µ»ÏÛ³ÉÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: Ü߳ݳϻÝù m
dG a, b inf l : l G a, b : ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. »Ã» F : G R n ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í a, b G Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ F a F b dG a, b sup F x : xG
3479. ¸Çóáõù Bv, r -Á R -áõÙ ÷³Ï ·áõݹ ¿: ²å³óáõó»É èáÉÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨m
Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ. »Ã» F C B v, r , R ýáõÝÏóÇ³Ý ·Ý¹Ç »½ñÇ íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ½ñá ¿, ÇëÏ Ý»ñëáõÙª ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ξ Bv, r Ï»ï,
F ξ θ : ÖßÙ³ñÇï ¿ ³ñ¹Ûá±ù ËݹñÇ åݹáõÙÁ, »Ã»
³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
F C B v, r , R , n 1 : ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: n
3480. ¸Çóáõù G -Ý R m -áõÙ ïÇñáõÛà ¿, ÇëÏ F : G R n -Áª ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ
ýáõÝÏódz: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F : G L R m , R n ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ѳëï³ïáõÝ ¿, ³å³ F -Á ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódzÛÇ ¨ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ·áõÙ³ñ ¿: 3481. ¸Çóáõù I -Ý R m -áõÙ µ³ó ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï ¿ ¨ f C 1 I , f 0 0 : ²å³óáõó»É ²¹³Ù³ñÇ É»ÙÙ³Ý. ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý g1 ,..., g m C I ýáõÝÏódzݻñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ
m
f x1 ,..., x n x i g i x1 ,..., x n , i 1
Áݹ áñáõÙª
f 0 , i 1,..., m : x i 3482. îñí³Í ¿ A aij in, j 1 Ù³ïñÇóÁ: ²å³óáõó»É ²¹³Ù³ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõgi 0
ÃÛáõÝÁ. n
n
det A2 aij2 : i 1 j 1
3483. ¶ïÝ»É
a
ij
S 0,1 R n
n
Ùdzíáñ ëý»ñ³ÛÇ íñ³ x i , j 1 aij x i x j
a ji , i, j 1,..., n ëÇÙ»ïñÇÏ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ¿ùëïñ»Ù³É ³ñÅ»ùÝ»ñÁ:
3484. (ÐÛáõ·»ÝëÇ ËݹÇñ) îñí³Í a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇç¨ x1 ,..., xn Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»É ³ÛÝå»ë, áñ
x1 x2 xn a x1 x1 x2 xn b ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ ÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ: m 3485. ¸Çóáõù X -Á R -áõÙ áõéáõóÇÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ
f C 1 X ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í x0 , x X Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ f x f x0 f x 0 x x 0 :
3486. îñí³Í ¿ª f C 2 R m ¨
x h
f x i j h h , x R m , h h1 ,..., h m R m : i j x x i , j 1 m
²å³óáõó»É, áñ X R m áõéáõóÇÏ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ f -Á ÏÉÇÝÇ ËÇëï áõéáõóÇÏ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í x X Ï»ïáõÙ x h ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿: 3487. ¸Çóáõù X -Á R m -áõÙ µ³ó, áõéáõóÇÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ f : X R ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ¨ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» x 0 X Ï»ïÁ f -Ç Ñ³Ù³ñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿, ³å³ f -Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ: 3488. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í k -ñ¹ ϳñ·Ç ѳٳë»é µ³½Ù³Ý¹³Ù k -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ù³ë»é ýáõÝÏódz ¿. Px k Px :
3489. ò³Ýϳó³Í P : R m R k -ñ¹ ϳñ·Ç ѳٳë»é µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ
ϳéáõó»É S : R m
k
R ëÇÙ»ïñÇÏ µ³½Ù³·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódz (ï»ë ËݹÇñ 3385), ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Px S x,..., x : 3490. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P -Ý k -ñ¹ ϳñ·Ç ѳٳë»é µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³å³ Ýñ³ ³×Áª h Px Px h Px -Á, Áëï x -Ç k 1 -ñ¹ ϳñ·Ç ѳٳë»é µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: òáõÛó ï³É ݳ¨, áñ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ó³Ýϳó³Í h1 ,..., h k R m ³×»ñÇ Ñ³Ù³ñ
h1 h 2 h k Px k ! S h1 ,..., h k
(ï»ë ݳËáñ¹ ËݹÇñÁ) ¨ ³Û¹ï»ÕÇó ëï³Ý³É, áñ ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ P µ³½Ù³Ý¹³ÙÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ S µ³½Ù³·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ÙdzÏÝ ¿:
¶ÉáõË 15
ä³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ ¸Çóáõù f : a; b Y R ýáõÝÏóÇ³Ý y ÷á÷á˳ϳÝÇ (å³ñ³Ù»ïñÇ) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ a; b í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Áëï x -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ b
I y f x, y dx , y Y , a
ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³É: ä³Ûٳݳíáñí»Ýù y -Ç ( x -Ç) ó³Ýϳó³Í ýÇùë³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ ÙdzÛÝ x -Çó ( y -Çó) ϳËí³Í f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý Ýß³Ý³Ï»É f , y
f x, :
ºÃ» å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í y Y ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ f , y a; b , ³å³ I y -Á ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í èÇÙ³ÝÇ ÇÝï»·ñ³É: ÆëÏ »Ã» å³ñ³Ù»ïñÇ áñáß ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ f , y -Ý ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ÙdzÛÝ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïáí, ³å³ I y -Á ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³É: ¸Çóáõù X , Y R ¨ y 0 -Ý Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿: γë»Ýù, áñ
f : X Y R ýáõÝÏóÇ³Ý y -Á y 0 -Ç Ó·ï»ÉÇë A X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ Ó·ïáõÙ ¿ : A R ýáõÝÏódzÛÇÝ ¨ Ï·ñ»Ýùª f x, y x , y y , x A , »Ã»
0 0 x A 0 y y 0 f x , y x : гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁª y -Á ³Ýí»ñçÇ Ó·ï»ÉÇë: ä ³ ñ ³ Ù » ï ñ Ç ó Ï ³ Ë í ³ Í è Ç Ù ³ Ý Ç Ç Ý ï » · ñ ³ É Ç ý áõ Ý Ï ó Ç á Ý ³ É Ñ ³ ïÏ áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ Á : ê³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙ: ¸Çóáõù f : a; b Y R ýáõÝÏóÇ³Ý y ÷á÷á-
˳ϳÝÇ ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ a; b ѳïí³ÍáõÙ Áëï x -Ç èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»-
ÉÇ ¿: ºÃ» f x, y x , y y 0 , x a; b , ³å³ -Ý a; b -áõÙ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ ×ßÙ³ñÇï ¿ ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÁ. b
b
y y0 a
a
lim
b
f x, y dx x dx : f x, y dx ylim y
²ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù P -Ý
a
a; b c; d
áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ ¿: ºÃ»
f C P , ³å³
I y -Á c; d ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ¸Çý»ñ»ÝóáõÙ: ºÃ» f C P ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P -Ç íñ³ ³ÝÁݹѳï f y Ù³ëݳÏÇ
³Í³ÝóÛ³É, ³å³ I y -Á c; d -Ç íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ I y -Á ϳñ»ÉÇ ¿ ѳßí»É ȳ۵ÝÇóÇ Ï³ÝáÝáíª b
I y f y x , y dx : a
ÀݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ, »ñµ ÇÝï»·ñÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ y -Çó ϳËí³Í ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñ »Ýª y , y ,Áݹ áñáõÙª a y , y b , ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÁ. y
y
d f x, y dx f y , y y f y , y y f y x, y dx : dy y y
ÆÝï»·ñáõÙ: ºÃ» f C P , ³å³ I y -Á c; d ѳïí³ÍÇ íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª d
bd
c
a c
I y dy f x, y dy dx :
ÀݹáõÝí³Í ¿ Ý߳ݳϻɪ
b d
b
d
a c
a
c
f x, y dy dx dx f x, y dy :
ä ³ ñ ³ Ù » ï ñ Ç ó Ï ³ Ë í ³ Í ³ Ý Ç ë Ï ³ Ï ³ Ý Ç Ý ï » · ñ ³ É Ý » ñ : ÆÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù f : a; Y R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ
å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í y Y ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ
I y f x, y dx a
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ä³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í I y ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» b 0 b0 a; b b0 ; y Y f x, y dx f x, y dx : a a
Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ëïáñ¨ ß³ñ³¹ñíáÕ µáÉáñ ÷³ëï»ñÝ áõ åݹáõÙÝ»ñÁ, ³ÝÝß³Ý ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí ϳñáÕ »Ý Ó¨³Ï»ñåí»É Ù»ÏÇó ³í»ÉÇ »½³ÏÇáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñ: ÎáßÇÇ ëϽµáõÝùÁ: àñå»ë½Ç I y ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ.
b2 0 b a; b1 , b2 b; y Y f x, y dx : b1 ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í b a; ÃíÇ ¨ å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í y Y ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ f : a; Y R ýáõÝÏóÇ³Ý a; b ѳïí³ÍáõÙ Áëï x -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ºÃ» g : a; R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ a; Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù
f x, y g x ¨
a g x dx -Á ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ I y a f x, y dx -Á Y
-Ç íñ³ µ³ó³ñÓ³Ï ¨
ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ g -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f x, y -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇ Ù³Åáñ³Ýï: ²µ»ÉÇ ¨ ¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÁ: ¸Çóáõù f x, y ¨ g x , y ýáõÝÏódzݻñÁ å³ñ³Ù»ï-
ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y Y ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ó³Ýϳó³Í a; b a; ѳïí³ÍáõÙ Áëï x -Ç ÇÝ-
ï»·ñ»ÉÇ »Ý: ä³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É b áñå»ë½Ç f a
A1, A2 ¨ D1 , D2 ½áõÛ·»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³í³ñ³ñ ¿,
x, y g x, y dx -Á Y -Ç íñ³ ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï.
A1 )
f x, y dx -Á Y
-Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿,
a
A2 ) å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í y Y ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ g , y -Á a; -Ç íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M R ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ³Ù»Ýáõñ»ù g x, y M ;
D1 ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M R ѳëï³ïáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í b a; ÃíÇ ¨ å³ñ³Ù»ïñÇ µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ b
f x, y dx M
,
a
D2 ) å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í y Y ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ g , y -Á a; -Ç íñ³ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨, µ³óÇ ³Û¹, g x , y 0 , x , y Y : ä ³ ñ ³ Ù » ï ñ Ç ó Ï ³ Ë í ³ Í ³ Ý Ç ë Ï ³ Ï ³ Ý Ç Ý ï » · ñ ³ É Ç ý áõ Ý Ï ó Ç á Ý ³ É Ñ ³ ï Ï áõ Ã Û áõ Ý Ý » ñ Á : ê³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙ: ¸Çóáõù f : a; Y R Y R ýáõÝÏódzÝ
å³ñ³Ù»ïñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y Y ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ a; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Áëï x -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿, ÇëÏ y 0 -Ý Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ïáõï³ÏÙ³Ý Ï»ï ¿: ºÃ» ó³Ýϳó³Í a f x, y dx -Á Y
b a; ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
f x, y x ,
y y0 ,
x a; b ¨
-Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ x -Ý a; -Ç íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿,
Áݹ áñáõÙª
y y0 a
a
lim
f x, y dx x dx : f x, y dx ylim y
a
µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ I y
²ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝ: ºÃ» f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý a; c; d Áëï
y -Ç, ÇëÏ
a
f x, y dx -Á
c; d -Ç
íñ³
a f x , y dx ýáõÝÏóÇ³Ý c; d ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
¸Çý»ñ»ÝóáõÙ: ¸Çóáõù f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ a; c; d µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝÁݹѳï a f y x, y dx -Á c; d
f y x, y Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³É: ºÃ»
ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ
a f x, y dx -Á
½áõ-
·³Ù»ï ¿ y å³ñ³Ù»ïñÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ í»ñçÇÝë c; d -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, Áëï å³ñ³Ù»ïñǪ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, Áݹ áñáõÙ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³Í³ÝóÙ³Ý È³ÛµÝÇóÇ Ï³ÝáÝÁ. d f x, y dx f x, y dx : dy a a y
ÆÝï»·ñáõÙ: 1) ºÃ» f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý a; c; d µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ
I y
a
f x, y dx -Áª c; d -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï, ³å³ I y -Á c; d -Ç íñ³ ÇÝ-
ï»·ñ»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª d
d
c
a
a
c
dy f x, y dx dx f x, y dy :
2 c f x, y dy
a;1 c; 2
f x, y -Á
2) ºÃ»
µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿,
1 a f x, y dx ,
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ ó³Ýϳó³Í a; b a;1 , ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª ó³Ýϳó³Í
c; d c; 2 ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ 1
2
2
1
a
c
c
a
½áõ·³Ù»ï ¿ ¨, µ³óÇ ³Û¹, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
dx f x, y dy , dy f x, y dx
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ, ³å³ ×ßÙ³ñÇï ¿ Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ÇÝï»·ñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á. 2
1
1
2
c
a
a
c
dy f x, y dx dx f x, y dy :
² êïáõ·»É, áñ ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙÝ ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ¿ ¨ ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (3491-3494).
3491. lim
0
1 2 x 2 dx :
3492. lim
0
3493. lim xex dx : 1
3494. lim
n
x 2 2 dx :
1
dx
1 1
x n n
:
²å³óáõó»É å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ R -áõÙ (3495-3496).
3495. I y sin x ydx :
3496. I y
x2 dx : 1 x2 y 2 x4 1
гÙá½í»É, áñ ÇÝï»·ñ³ÉÝ Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ѳßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ (3497-3498).
1
3497. lim x cos xdx : 1
3498. lim
0
dx : 2
1 x
3499. êïáõ·»É, áñ f x 0 sgn x y dy ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ R -áõÙ: 3500. ¸Çóáõù f C 0;1 ýáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿: ²å³óáõó»É, áñ
I y
yf x dx y2
x
ýáõÝÏóÇ³Ý y 0 Ï»ïáõ٠˽íáÕ ¿: 3501. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù
lim f x, y dx lim f x, y dx y 0
y 0
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, »ñµ x2
x 2 ³) f x, y 2 e y : y
µ) f x, y
2 xy 2
x
y2
:
3502. гí³ë³±ñ »Ý ³ñ¹Ûáù
dy f x, y dx ¨
dx f x, y dy
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ, »ñµ ³) f x, y
x2 y2
x
y
2 2
µ) f x, y
;
x y : x y 3
¶ïÝ»É å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (3503-3508).
3503. I y sin xydx :
y
3505. I y
e yx 3504. I y dx : x 2y
ln 1 yx dx : x
3506. I y
ey
b y
sin xy 3507. I y dx : x a y
3508. I y
sin yx dx : x y
dx ln1 y x x : 2 2
ey
3509. ¸Çóáõùª I y 0 ln x 2 y 2 dx : γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù I 0 -Ý Ñ³ßí»É ȳ۵ÝÇóÇ Ï³ÝáÝáí:
3510.
îñí³Í
¿
f : a; Y R
ýáõÝÏódzÝ:
²å³óáõó»É,
áñ
»Ã»
a f x, y dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ a f x, y dx -Á Y -Ç íñ³ ÝáõÛÝå»ë ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿:
O·ïí»Éáí ÎáßÇÇ ëϽµáõÝùÇóª ³å³óáõó»É Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3511-3513).
3511. ³)
dx , 1 ; , 0 ; µ) x
dx
x ,
;1 , 0 :
3512.
e
x
sin xdx , 1; :
0 ,5
3513.
dx
x ln x , 1 ; , 0 :
3514. ¸Çóáõù
f : a; Y R
ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ
I y
a f x, y dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ Y µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ½áõ·³Ù»ï ¿, µ³Ûó áã ѳí³ë³ñ³ã³÷: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 0 0 ÃÇí ¨ ck , d k , yk
ck ,
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ dk
c
k
dk ,
yk Y
¨
f x, yk dx 0 :
²å³óáõó»É, áñ å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÁ Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áã ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¿ ½áõ·³Ù»ï (3515-3519).
3515. ³)
dx , ;1 : x
µ)
3518.
e
1; :
3516.
dx
x ,
x 2
dx , 0; :
dx , R : 4 x
3517.
sin x dx , 0;1 : x
3519.
ln x dx , 1; : x2
ú·ïí»Éáí ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇóª ³å³óáõó»É å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3520-3525).
3520.
2x
x e
dx , 0;1 :
3521.
3522.
cos x dx , R : 1 x2
ln 2 x sin x dx , 2; : x 1
3523.
x
1 1 dx , ; : 2 2
x 1
3524.
x sin x
1 x
dx , 1,5;0 :
dx
x x
3525.
1
, 0; : 1 2
²å³óáõó»É å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (3526-3528).
ln 1 x arctgyx dx , y 1;1 : x2
3526. f y
3527. f y
x y cos xy
3528. f y
1 x2 xdx
2 x
y
dx , y R :
, y 2; :
3529.
òáõÛó
ï³É,
áñ
f y
cos x dx 1 x y
y R
ýáõÝÏódzÝ
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿:
¾ÛÉ»ñÛ³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ: ä³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í Ñ»ï¨Û³É ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¿ÛÉ»ñÛ³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ (ýáõÝÏódzݻñ).
Bx, y t x 1 1 t y 1 dt , x, y 0 (µ»ï³-ýáõÝÏódz);
x
t
x 1 t
e dt , x 0 (·³ÙÙ³-ýáõÝÏódz):
ÖßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ. 1. x 1 xx ; 2. 3.
, 0 x 1 (Éñ³óÙ³Ý µ³Ý³Ó¨); sin x x y B x, y : x y
x 1 x
3530. êïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í m, n µÝ³Ï³Ý ¨ p, q ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) B p, q Bq, p ;
µ) n 1 n ! ;
·) Bm, n
¹) p n p n 1 p n 2 p 1 p p ; ») B1 2 ;1 2 ;
½) 1 2 ;
m 1!n 1! ; m n 1!
q 1 B p, q 1 p q 1
¿) B p, q
q 1 :
1 o x 0 ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á: x x 3532. ²å³óáõó»É, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý 0; -áõÙ ³Ýí»ñç ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ ¨ 3531. ²å³óáõó»É x
ѳßí»É n x -Á n N : гÙá½í»É, áñ -Ý 0; -áõÙ áõéáõóÇÏ ¿: 3533. γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙª B ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É Ñ»ï¨Û³É Ý»ñϳ۳óáõÙÝ»ñÁ.
³) B p, q
1 x
p 1
·) B p, q
x p 1
x
pq
x
1 x
dx ;
µ) B p, q
x p 1 x q 1 dx : 1 x p q
q 1
p q
dx :
²ñï³Ñ³Ûï»É ïñí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ¿ÛÉ»ñÛ³Ý ýáõÝÏódzݻñáí (35343537). 2
3534.
sin
p
x cos q xdx
min p, q 1 :
2
3535.
tg
1:
xdx
3536.
e
xn
dx
n 0 :
3537.
x
m xn
e
m 1 dx 0 : n
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3538-3544). a
3538.
x 2 a 2 x 2 dx
a 0 :
3539.
3540.
3542.
dx
2 x x 1dx :
3541.
x 2 2 x
x
1 x
:
dx :
dx
1 x
:
3543.
e
x2
dx :
2n x 2
x
3544.
e
n N :
dx
´ 3545. гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ. lim
2 R sin
R 0
e
d :
3546. ¸Çóáõùª f C a; b ¨ a c d b : ²å³óáõó»É, áñ
1d f t y f t dt f d f c : y 0 y c
lim
3547. îñí³Í ¿ f : a; b Y R ýáõÝÏódzÝ, g 1 a; b ¨ f x, y x ,
y y0 , x a; b : ²å³óáõó»É, f , y a; b , ³å³ b
lim
y y0
3548.
áñ
»Ã»
y -Ç
ѳٳñ
g 1 a; b ,
F y
ó³Ýϳó³Í
b
f x, y g x dx x g x dx :
a
îñí³Í
a
I a; b c; d ,
¿ª
f C I ,
b
a f x, y g x dx : ²å³óáõó»É, áñ ³) F C c; d ; b
µ) »Ã» f y C I , ³å³ F C 1 c; d ¨ F y a f y x, y g x dx ; d b d c F y dy a g xdx c f x, y dy :
·)
3549. ú·ïí»Éáí
·ñ³ÉÁ.
arctgx
x
1 x2
arctgx x
dy
1 x
y2
µ³Ý³Ó¨Çóª ѳßí»É Ñ»ï¨Û³É ÇÝï»-
dx :
3550. ÀݹÇÝï»·ñ³É ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñϳ۳óÝ»Éáí áñå»ë å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³É ¨ ϳï³ñ»Éáí ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ÇÝï»·ñáõÙª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ 0 a b .
³)
xb x a 1 xb x a 1 xb x a dx ; µ) sin ln dx ; ·) cos ln dx : ln x x ln x x ln x 0 0
2a
3551. îñí³Í ¿ª f C R ¨ F x
F C R : ¶ïÝ»É F x -Á: 3552. ¸Çóáõù f :RR
a
f x t dt a 0 : ²å³óáõó»É, áñ a
ýáõÝÏódzÝ
¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ
¿
¨
F y
y
x y f x dx : ¶ïÝ»É F y -Á:
b
3553. îñí³Í ¿ª f C a; b ¨ F y a f x x y dx : ¶ïÝ»É F y -Á: 3554. ¸Çóáõùª f C R ¨ F t
h2
h h 0 dy 0 f x y t dx h 0 :
¶ïÝ»É
F t -Ý: 3555. ¸Çóáõù`
x
n 1
f C a; b ¨ F x a x t
f t dt
n N :
¶ïÝ»É
F n x -Á: 3556. îñí³Í ¿ª C 1 0; a ¨ I t
x dx : ²å³óáõó»É, áñ tx
t
t
I t
0 x dx , t 0; a : t tx
òáõóáõÙ: î»Õ³¹ñ»É x ty :
3557. ¸Çóáõùª f C 0; a , 0; a ¨ x y 2 z 2 0 : ²å³óáõó»É, áñ
a
u x, y , z
f d
x
y2 z2
ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ñÙáÝÇÏ ¿.
2u 2u 2 u 0: x 2 y 2 z 2 3558. îñí³Í »Ý 2
2
E k
1 k sin d ,
F k
d 1 k 2 sin 2
, k 0;1 ,
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ ¿ÉÇåïÇÏ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ ³) E k
E k F k ; k
µ) F k
E k F k ; k k 1 k
E k E k 0; k 1 k2
·) E k k
») tE t dt
k
¹) tF t dt E k 1 k 2 F k ;
1 k 2 E k 1 k 2 F k :
3559. ²å³óáõó»É, áñ n Z Çݹ»ùëáí ´»ë»ÉÇ ýáõÝÏódzݪ
J n x
1 cosn x sin d -Ý, 0
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ x 2 J n x xJ n x x 2 n 2 J n x 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: 3560. êïáõ·»É, áñ 0 ¨ 1 Çݹ»ùëÝ»ñáí ´»ë»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñÁ (ï»ë ݳËáñ¹ ËݹÇñÁ) µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
x
0 xJ 0 x dx xJ1 x ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
3561. ²å³óáõó»É, áñ ³)
d n sin x 1 x n n n 1 y cos y dy n 2 dx x x 0
µ)
d n sin x : n dx x n 1
n N ;
ú·ïí»Éáí Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý È³ÛµÝÇóÇ Ï³ÝáÝÇóª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3562-3565). 2
ln y
3562.
sin 2 x dx
y 1 :
2
3564.
1 x cos y
x 1 : 3565.
cos y ln 1 x cos y dy
y 1 :
3563. ln 1 2 y cos x y 2 dx
arctg xtgy dy : tgy
3566. ²å³óáõó»É, áñ I 0 e x dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ ³) ó³Ýϳó³Í ; b 0 ѳïí³ÍÇ íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) 0; b ѳïí³Íáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 3567. êïáõ·»É, áñ
y2 x y
1
e
dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ 0;1 ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ѳí³ë³-
ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿, ë³Ï³ÛÝ ãáõÝÇ ÇÝï»·ñ»ÉÇ Ù³Åáñ³Ýï:
ú·ïí»Éáí ²µ»ÉÇ Ï³Ù ¸ÇñÇËÉ»Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÇóª ³å³óáõó»É ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3568-3571).
3568.
sin x dx , ; 0 : x
sin x x 3569. e dx , R : x
3571.
sin 2 x sin x dx ,
3572. ¸Çóáõù
0
3570.
cosx dx ,
1; :
1 0; : 2
f x dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ
x e f x dx ¨
e
x 2
f x dx
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ R -áõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï »Ý: 3573. ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í b ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f 0; b ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ b
F b e 0 x f x dx
ýáõÝÏóÇ³Ý 0; -áõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ
x
0
e
f x dx ÇÝ-
ï»·ñ³ÉÁ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 0 ; ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 3574. ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í b ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ f 0; b ¨ x
0
e
f x dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ
x
0
e
f x dx
ÇÝï»·ñ³ÉÁ 0 ; -áõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 3575. îñí³Í ¿` f C R ¨
0
t f t dt ÇÝï»·ñ³ÉÁ å³ñ³Ù»ïñÇ ¨
³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ ³ÛÝ ; -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: лﳽáï»É Ýßí³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3576-3581).
3576.
e x dx , R :
3577.
sin x 2 dx , p R : p x
3578.
e
x 2
3579.
x
p 1
ln 2
3580.
dx ³) A; B ; µ) R : dx ³) p 1; ; µ) p 0; : x
1 1 sin dx , 0;2 : x x
3582.
f : a; Y R
´»ñ»É
a f x, y dx -Á
3581.
sin x
ýáõÝÏódzÛÇ
x
dx , 0;1 :
ûñÇݳÏ,
³ÛÝåÇëÇÝ
Y -Ç íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ¿ ½áõ·³ÙÇïáõÙ, ÇëÏ
áñ
a f x, y dx -
Á` áã ѳí³ë³ñ³ã³÷: 3583. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï: ²å³óáõó»É, áñ
0 lim
f x dx f 0 : 2
x
3584. ¸Çóáõùª F 1 a; ¨ f : a; Y R ýáõÝÏóÇ³Ý ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ f x, y F x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ
a; b a; ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ f x, y x , »ñµ y y0 , x a; b , ³å³
»Ã»
ó³Ýϳó³Í
lim
y y0
a
a
f x, y dx x dx :
3585. ú·ïí»Éáí e
x2 lim 1 n n
x2
äáõ³ëáÝÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ. 3586. гßí»É lim
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ѳßí»É ¾ÛÉ»ñ-
e x dx :
e x dx : ²å³óáõó»É, áñ F -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
3588. òáõÛó ï³É, áñ F
n
dx
ë³ÑÙ³ÝÁ:
x 1
3587. ¸Çóáõùª F
0
Ñ³ï ¿:
f , y a; b ¨
1 sin x
x
dx ýáõÝÏóÇ³Ý 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁݹ-
3589. ¶ïÝ»É F
sin 1 2 x dx ýáõÝÏódzÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÁ: x
лﳽáï»É å³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ (3590-3591).
sin x
x x dx , 0;2 :
3590. F
3591. F
e x
sin x dx ,
0;1 :
3592. îñí³Í ¿ f : X Y R ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ f x, y x ,
y y0 , x X ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í yn Y \ y0 , yn y0 , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ g n x f x, y n ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ x -ÇÝ: 3593. ¸Çóáõù f : a; b c, R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ f , y Ca; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ f x, -Á ÙáÝáïáÝ Ó·ïáõÙ ¿ x ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇÝ, »ñµ y , ³å³ f x, y x , y , x a; b (¸ÇÝÇÇ Ã»áñ»Ù): 3594. îñí³Í ¿ f : a;1 c; 2 R ýáõÝÏódzÝ: ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ f , y C a;1 ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ýÇùë³Í x a;1 -Ç Ñ³Ù³ñ f x, -Ý ³×»Éáí Ó·ïáõÙ ¿ x ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇÝ, »ñµ y 2 : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ݳ¨
1
a
a x dx
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿
f x, y dx ÇÝï»·ñ³ÉÁ ¨ 1
lim
y 2
1
f x, y dx x dx :
a
a
3595. ¸Çóáõùª f C a; c; d , R : ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
I y f x, y dx a
ÇÝï»·ñ³ÉÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³) ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ¿ ½áõ·³Ù»ï;
d
d
c
a
c
I y dy dx f x, y dy :
µ)
3596. ¸Çóáõù f C a;1 b; 2 , R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ 1
I y
f x, y dx ¨ J x
a
2
f x, y dy b
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ b; 2 -áõÙ ¨ a;1 áõÙ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2
1
1
2
a
b
1
a
dx b 2 f x, y dy ÇÝï»·ñ³ÉÁ, ³å³
dy f x, y dx dx f x, y dy :
b
a
3597. ú·ïí»Éáí
dx x a 2 a
a 0
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ¨ ÏÇñ³é»Éáí
Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý È³ÛµÝÇóÇ Ï³ÝáÝÁª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
x
dx
a
n 1
3598. ú·ïí»Éáí
n N :
e ax e bx x
b
e
xy
a
dy ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ѳßí»É ÇÝï»-
·ñ³ÉÁ. ax
e
e bx dx x
3599. ¸Çóáõùª
a, b 0 :
f C R ¨ ó³Ýϳó³Í A 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É üñáõɳÝÇÇ µ³Ý³Ó¨Á.
f ax f bx b dx f 0 ln x a
a, b 0 :
3600. гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
³)
cos ax cos bx dx x
a, b 0 ;
µ)
sin ax sin bx dx x
a, b 0 ;
A
f x dx x
·)
arctgax arctgbx dx x
a, b 0 :
ÎÇñ³é»Éáí Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý È³ÛµÝÇóÇ Ï³ÝáÝÁª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ , 0 (3601-3605). x 2
3601.
e
x
3603.
e
3605. ³)
3602.
e x cos xdx : x
3604.
µ)
e x e x x 0
dx :
2
arctgx dx ; x 1 x2
e x dx : x
ln 1 2 x 2 dx : x2 x2 2 x
tgx dx :
3606. ²å³óáõó»É, áñ ¸ÇñÇËÉ»Ç ÇÝï»·ñ³ÉÁª
I
sin x dx -Á, x
R \ 0-áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, ë³Ï³ÛÝ I -Ý ãÇ Ï³ñ»ÉÇ Ñ³ßí»É ȳ۵ÝÇóÇ Ï³ÝáÝáí: 3607. γï³ñ»Éáí Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ¹Çý»ñ»ÝóáõÙª ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
sin x x e dx x
0 :
3608. êïáõ·»É, áñ ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ ³ÝóáõÙÁ ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ¿ ¨ ¸ÇñÇËÉ»Ç ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á.
sin x dx sgn : x
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3609-3614).
3609.
sin x 2 dx : x
3610.
3611.
1 cos x dx : x
sin x cos x 3613. dx : x
sin 3 x dx : x
3612.
sin x x cos x dx : x
sin x 3614. dx : x 0
3615. ú·ïí»Éáí
x 2 x 2 x 2 y 2 e dx e dx xe dy 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ¨ ÑÇÙݳíáñ»Éáí ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï Áëï å³ñ³Ù»ïñÇ ÇÝï»·ñÙ³Ý Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÁª ѳßí»É ¾ÛÉ»ñ-äáõ³ëáÝÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (ï»ë ËݹÇñ 3584): гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3616-3621).
3616.
e
ax 2bx c
x 2
3618.
e
3620.
dx a 0 :
3617.
x 2 a x
e
dx :
e x dx , 0 : x2
xe ax sin bxdx
e
3619.
ax 2
cos bxdx
a 0 :
a 0 :
3621.
x 2 n e x cos 2bxdx
n N :
3622. гßí»É ȳåɳëÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
L
cos x
1 x
dx :
òáõóáõÙ: ú·ïí»É L L
ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó ¨ 3608 ËݹñÇó: 2
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3623-3626).
3623.
3625.
cos x
1 x
2 2
3626.
x sin x dx : 1 x2
ax
sin 2 x dx : 1 x2
3624.
dx :
cos px dx a 0, ac b 2 0 : 2bx c
3627. ú·ïí»Éáí
x
e xy dy ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ѳßí»É üñ»Ý»ÉÇ
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ.
³) sin x dx
sin x dx : x
µ)
cos x dx :
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3628-3629).
3628.
sin ax
a 0 :
2bx c dx
3629.
sin x
cos 2axdx :
3630. îñí³Í f : R R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ
F p
e
pt
f t dt
p 0
ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ȳåɳëÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: ¶ïÝ»É f -Ç È³åɳëÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, »ñµ ³) f t t n
n N ;
µ) f t t ;
·) f t cos t ;
¹) f t n
3631. ¸Çóáõùª H n x 1 e »Ý): ²å³óáõó»É, áñ
H m x H n x e
x2
x2
e , n N x2
1 et : t
n
(лñÙÇïÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÝ
0, »ñµ m n; dx n 2 n ! , »ñµ m n :
3632. ¸Çóáõùª f 1 R ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ
u x, t
2a t
f e
x 2 4 a 2t
d , x R , t 0
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
u 2u a 2 2 ç»ñٳѳÕáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³í³t x
ë³ñÙ³ÝÁ ¨ u x, 0 f x ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ:
1n t x 1e t dt x 0 : 1 n 0 n !n x
3633. ²å³óáõó»É, áñ x
²ñï³Ñ³Ûï»É ¿ÛÉ»ñÛ³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñáí (3634-3643).
3634.
x p 1 dx q x
0 p q :
3635.
sin n 1 x dx 0 k 1, n 0 : 1 k cos xn
3636.
xm
a bx
n p
a, b, n 0 :
dx
b
3637.
x a m b xn dx 0 a b, c 0 : a x cm n 2
3638.
dx
1 x
p 1q
p 0 :
3640.
ln xdx
p 1
x e
3642.
p ax
x
p
1 3639. ln dx : x 0
a 0 :
3641.
ln x dx 0 p 1 : 1 x
3643.
x p 1 ln x dx 0 p 1 : 1 x x ln x
1 x
dx :
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (3644-3646).
3644.
3646.
1 2 : 4 2 1 x
dx
e x dx x 2 e x dx
3645.
8 2
dx 1 x4
x 2 dx 1 x4
:
:
ú·ïí»Éáí p t p 1e xt dt p 0 x
x 0
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ѳßí»É
ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3647-3648).
cos ax 3647. dx xp
0 p 1 :
3648.
sin ax dx xp
0 p 2 :
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3649-3653).
3649.
x p 1 x p dx 1 x
0 p 1 :
òáõóáõÙ: ÆÝï»·ñ³ÉÁ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë lim B p, B 1 p , ë³ÑÙ³Ý: 0
a 1
3650.
ln x dx :
3651.
3652.
ln x dx a 0 : a
ln x sin xdx :
3653.
ln x cos 2nxdx n N :
: ²å³óáõó»É ¾ÛÉ»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ. x x 1 t cos cos t sin dt x cos x ; ³) t e x µ) t x1e t cos sin t sin dt x sin x : 3654. ¸Çóáõùª 0 , x 0 ¨
¶ sin x dx : n 0 1 cos 2 nx 3656. ¶ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ f C R ýáõÝÏódzݻñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 3655. гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ. lim
x
f x
x y f y dy 1
ÇÝï»·ñ³É ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: 3657. ¸Çóáõù f n a; b n N ýáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
a; b
ѳïí³ÍÇ µáÉáñ
Ï»ï»ñáõÙ f n x x ¨ a; b , ³å³ b
b
a
a
lim f n x dx x dx :
n
3658. ¸Çóáõùª f n , F 1 a; b ¨ f n F Ç íñ³ Ï»ïáñ»Ý
n N : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b f n x x ¨ 1 a; b , ³å³
b
b
a
a
lim f n x dx x dx :
n
3659. îñí³Í ¿
f : a; b Y R ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ
f , y 1 a; b : ¸Çóáõùª F 1 a; b ¨ f x, y F x , x, y a; b Y : ²å³óáõó»É,
áñ
a; b -Ç
»Ã»
µáÉáñ
lim f x, y x
Ï»ï»ñáõÙ
y y0
¨
1 a; b , ³å³ b
lim
y y0
3660.
b
f x, y dx x dx :
a
a
F 1 a; b
¸Çóáõùª
¨
f : a; b Y R
ýáõÝÏódzÛÇ
ѳٳñ
f x, y F x , x; y a; b Y : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a; b -Ç íñ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
lim f x, y í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ó³Ýϳó³Í y -Ç
y y0
ѳٳñ f , y 1 a; b , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ lim
b f x, y dx
y y0 a
í»ñç³-
íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ: 3661. ¸Çóáõù f : a; b c; d R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í
y -Ç Ñ³Ù³ñ f , y , f y , y 1 a; b : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F 1 a; b ¨ b
f y x, y F x , x; y a; b c; d , ³å³ I y a f x, y dx ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙª b
I y f y x, y dx : a
3662. îñí³Í ¿ f : a; b c; d R ýáõÝÏódzÝ: ¸Çóáõù ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ f x, c; d ¨ ó³Ýϳó³Í y -Ç Ñ³Ù³ñ ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ d
b
b
d
c
a
a
c
f , y a; b :
dy f x, y dx dx f x, y dy :
3663. ¸Çóáõùª f 1 R : ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í A 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ A
dx f u cos xudu
sin Au f u u du :
3664. ¸Çóáõùª f 1 a; : ²å³óáõó»É, áñ
f t sin ptdt 0 ; p
³) lim
a
µ) lim
p
f t cos ptdt 0 : a
3665. ¸Çóáõùª f 1 R ¨ x0 , S R : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» áñ¨¿ h 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
h
f x0 t f x0 t 2S
t
dt ÇÝï»·ñ³ÉÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³
1 dx f u cos u x0 x du S 0
(¸ÇÝÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇß):
3666. ¸Çóáõù f 1 R ýáõÝÏóÇ³Ý x0 R Ï»ïáõÙ áõÝÇ í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É: ²å³óáõó»É, áñ f -Ý x0 Ï»ïáõÙ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ üáõñÇ»Ç ÇÝï»·ñ³Éáíª
f x0
a cos x0 b sin x0 d ,
áñï»Õ a
f u cos udu , b f u sin udu :
3667. ²å³óáõó»É ȻųݹñÇ µ³Ý³Ó¨Á.
1 a a 2a 1 2a , a 0 : 2 2 3668. ¸Çóáõùª C 1 0; , ó³Ýϳó³Í a 0; ÃíÇ Ñ³Ù³ñ a 0 ,
a 1 a a
1 a a 2a 1 2a : 2 2
¨
²å³óáõó»É,
áñ
a a : 3669. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý a -Ç Ñ³Ù³ñ n 1
k 1 : a k 0 k 3670. òáõÛó ï³É, áñ ln x ýáõÝÏóÇ³Ý 0; -áõÙ áõéáõóÇÏ ¿: 3671. ¸Çóáõù : 0; R ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ a 1 a a , 1 1 ¨ ln -Ý áõéáõóÇÏ ¿: ²å³óáõó»É, áñ a a : x 1 3672. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý x -Ç Ñ³Ù³ñ ln x : x 1 a lim n a 1 n
3673. ²å³óáõó»É, áñ
x 1 dx 1 , x e
x 1 dx * 0 , x e 1
áñï»Õ
-Ý
* n 1
èÇÙ³ÝÇ
Ó»ï³-ýáõÝÏódzÝ
¿ª
n 1
, n
1n 1 : n
²Ûëï»ÕÇó ëï³Ý³É, áñ lim
0 n 1
1n 1 1 : n
3674. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a -Ç Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿
x a x a x 1 o1 , x ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á: 3675. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇó ¨ n ! -Ç Ñ³Ù³ñ êïÇñÉÇÝ·Ç Ñ³ÛïÝÇ µ³Ý³Ó¨Çó (ï»ë ËݹÇñ 2663)ª ³å³óáõó»É êïÇñÉÇÝ·Ç µ³Ý³Ó¨Á ·³ÙÙ³ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ.
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¶ÉáõË 16
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·ñ³É), »Ã» ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ I a; b -Ç ó³Ýϳó³Í P ïñáÑÙ³Ý ¨ ¹ñ³Ý ѳٳå³ï³ëË³Ý i Ï»ï»ñÇ ó³Ýϳó³Í ÁÝïñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª
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1, x D, D x n 0, x R \ D : Üϳï»Ýù, áñ D -Ç ÇÝï»·ñ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ D 0 å³ÛÙ³ÝÇó: D ¹ ³ ë Ç Ï ³ é áõ ó í ³ Í ù Á : ¸Çóáõù D R n µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Äáñ¹³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ã³÷»ÉÇ ¿: ò³Ýϳó³Í f , g D ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ ³) f g D , R , Áݹ áñáõÙª
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f D1 D2 , ³å³ D1 , D2 ¨ D1 D2 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ f -Á èÇÙ³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿: ºÃ» ѳÛïÝÇ ¿ ݳ¨, áñ D1 D2 0 , ³å³
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ýáõÝÏódzݻñ »Ý, Áݹ áñáõÙª : ºÃ» D -Ý R -áõÙ ù³é³Ïáõë»ÉÇ ¿ ¨ , D , ³å³
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µ³Ý³Ó¨áí, áñáõÙ E u u u , G v v v , F u v u v u v :
² 3676. ¸Çóáõù
0, »ñµ 0 x 2 , f x, y 1, »ñµ x 1 : гÙá½í»É,áñ f -Ý ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ 0;1 0;1 ù³é³Ïáõëáõ íñ³ ¨ áñ : 0 x 1 f x, y dxdy 0 y 1
3677. ¸Çóáõù I -Ý R m -áõÙ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï ¿ , f -Áª I -Ç íñ³ áñáßí³Í Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz, ÇëÏ P -ݪ I -Ç ïñáÑáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ f -Ý I -Ç íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ÛÝ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ P ïñáÑÙ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ I k k 1,..., s ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ íñ³, Áݹ áñáõÙª s
f x dx f x dx : I
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3678. ¸Çóáõùª f x, y x R y , áñï»Õ -Ý ¸ÇñÇËÉ»Ç ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, ÇëÏ
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3680.
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f x, y dxdy D
ÏñÏݳÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ µ»ñ»É
ѳçáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ (3684-3688). 3684. D -Ý O0,0 , A1,0 , B1,1 ·³·³ÃÝ»ñáí »é³ÝÏÛáõÝÝ ¿: 3685. D -Ý O0,0 , A1,0 , B1, 2 , C 0,1 ·³·³ÃÝ»ñáí ë»Õ³ÝÝ ¿: 3686. D -Ý y x 2 , y 1 »½ñ»ñáí å³ñ³µáÉ³Ï³Ý ë»·Ù»ÝïÝ ¿: 3687. D -Ý x 2 y 2 1 ßñç³ÝÝ ¿: 3688. D -Ý y x 2 , y 2x 2 , y 1 , x 0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÝ ¿: гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3689-3694). 3689.
x sin x y dxdy ,
D 0; 0; 2 :
D
3690.
x
ye xy dxdy , D 0;1 0;2 :
D
3691.
x y dxdy ,
D
x, y : 0 x 1,0 y x :
D
xy dxdy , D x, y : 0 x 1, x y x : 3693. x yx dxdy , D x, y : y x y :
3692.
D
D
3694.
r
sin 2 drd , D r , : 0 r a,0 2 :
D
3695. гßí»É A
B
I dx f x, y dy
a
b
ÇÝï»·ñ³ÉÁ, »Ã» f x, y Fxy x, y : 3696. ²å³óáõó»É ¸ÇñÇËÉ»Ç µ³Ý³Ó¨Á. a
x
a
a
dx f x, y dy dy f x, y dx , a 0 :
y
öáË»É ÇÝï»·ñÙ³Ý Ï³ñ·Á (3697-3705).
3697.
2x
dx f x, y dy :
3698.
x
y
e
ln x
f x, y dy :
3701.
3703.
3704.
3700.
dx f x, y dy :
2x
x2
dx f x, y dy :
x3
x
3702. 2 x
x2
3 x
dx f x, y dy dx f x, y dy :
y 3
dy f x, y dx :
dx f x, y dy dx f x, y dy :
dy f x, y dx :
6 x
3699. dx
y
y 12
x3
3705.
1 4 x x 2 3
dx f x, y dy dx
f x, y dy :
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3706-3709). 3706.
xy dxdy ,
D -Ý y 2 2 px , x
D
p
p 0
Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í ïÇñáõÛÃÝ ¿: 3707.
x
y 2 dxdy , D -Ý y x , y x a , y a , y 3a a 0 áõÕÇÕ-
D
Ý»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍÝ ¿: 3708.
D
x2 dxdy , D -Ý y x , y 0 , xy 1 , x 2 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳy2 1
÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÝ ¿: 3709.
x
2 y 2 xy dxdy , D x; y : x y a:
D
îñí³Í D µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ
f x, y dxdy
ÏñÏݳÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉáõÙ ³ÝóÝ»É
D
x r cos , y r sin µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ¨ µ»ñ»É ³ÛÝ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ (3710-3713). 3710. D -Ý x 2 y 2 a 2 ßñç³ÝÝ ¿: 3711. D -Ý x 2 y 2 ax a 0 ßñç³ÝÝ ¿: 3712. D -Ý 0 x 1 , 0 y 1 x »é³ÝÏÛáõÝÝ ¿:
3713. D x, y : x 2 y 2 4 x, y x ßñç³Ý³ÛÇÝ ë»·Ù»ÝïÝ ¿: ²ÝóÝ»Éáí x r cos , y r sin µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3714-3716).
3714.
x 2 y 2 dxdy :
x2 y2 a2
3716.
D
1
3715.
sin
x 2 y 2 dxdy :
2 x 2 y 2 4 2
x2 y 2 x2 y 2 , D -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ 1 ¿ÉÇåëáí: dxdy a 2 b2 a 2 b2
¶ïÝ»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (37173724). 3717. x 0 , y 0 , x y 1 :
3718. y x , y 5 x , x 1 :
3719. xy a 2 , x y
x2 y 2 1: a 2 b2 3722. y x , y 2 x , x 4 :
a:
3720.
3721. 2 y x 2 , x y :
3723. x y x 2 a 2 , a 0 : 3724. 4 y x 2 4 x , x y 3 0 : ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ·ïÝ»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (3725-3728).
3727. x
3725. x 2 y 2
y2
2ax 3 :
2a 2 x 2 y 2 :
3728. x
3726. x 2 y 2
y2
x4 y4 :
2a 2 xy :
γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙª ·ïÝ»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (3729-3732). 3729. x y a , x y b , y x , y x 0 a b,0 : 3730. xy a 2 , xy 2a 2 , y x , y 2 x x 0, y 0 : 3731. y 2 2 px , y 2 2qx , x 2 2ry , x 2 2sy 0 p q,0 r s :
3732. a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 1 , d a1b2 a2b1 0 : ¶ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3733-3737). 3733. x y z 6 , x y 2 , x y , y 0 , z 0 :
x y z 1, x 0 , y 0, z 0: a b c 3735. z a x , z a x , x 2 y 2 a 2 : 3734.
3736. z x 2 y 2 , y x 2 , y 1 , z 0 : 3737. x 2 y 2 R 2 , x 2 z 2 R 2 : ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ·ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3738-3741). 3738. z 2 xy , x 2 y 2 a 2 :
3739. z x y , x 2 y 2
2 xy , z 0 x 0, y 0 :
3740. z x 2 y 2 , x 2 y 2 x , x 2 y 2 2 x , z 0 :
3741. x 2 y 2 az 0 , x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 , z 0 a 0 : γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙª ·ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3742-3745). 3742. z 2 xy , x y a , x y b 0 a b :
x , y 2x , z 0 : 3744. z xy , x 2 y , x 2 2 y , y 2 x , y 2 2 x , z 0 : 3743. z x 2 y 2 , xy a 2 , xy 2a 2 , y
3745. z 2 xy , xy 1 , xy 4 , y 2 x , y 2 3x , z 0 :
гßí»É ѳçáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3746-3747). 1 x 2
3746.
dx
1 x
R
a
dy dz :
3747.
dx
R
R2 x2
R x
dy
R2 x2 y2
x
y 2 dz :
гßí»É »é³ÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3748-3751). 3748.
2 3
xy z dxdydz ,
V -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ z xy , y x , x 1 ,
V
z 0 ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí: 3749.
xyzdxdydz , V x, y, z : x
y 2 z 2 1, x 0, y 0, z 0 :
V
3750.
zdxdydz , V -Ý
V
x2 y2 z 2 1 ¿ÉÇåëáǹáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í a 2 b2 c2
Ù³ñÙÝÇ í»ñÇÝ Ï»ëÝ ¿. z 0 : 3751.
xdxdydz , V -Ý
x 0 , y 0 , z 0 , y h , x z a ѳñÃáõÃÛáõÝ-
V
Ý»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í åñÇ½Ù³Ý ¿: , r, h ·É³Ý³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý x r cos , y r sin , z h ³ñï³D x, y , z å³ïÏ»ñٳٵ, áñÇ Û³ÏáµÇ³ÝÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. r: Dr , , ÀݹѳÝñ³óí³Í , , r ëý»ñÇÏ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý
x ar cos cos ,
y br sin cos , z cr sin ³ñï³å³ïÏ»ñٳٵ ( a -Ý, b -Ý, c -Ý, -Ý ¨ -Ý Ñ³ë ï³ïáõÝÝ»ñ »Ý) r 0 , 0 2 , , áñÇ Û³ÏáµÇ³ÝÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. D x, y , z abcr 2 cos 1 sin 1 cos 2 1 sin 1 : Dr , ,
²ÝóÝ»Éáí ëý»ñÇÏ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3752-3754). 3752.
x 2 y 2 z 2 dxdydz , V -Ý x 2 y 2 z 2 z ٳϻñ¨áõÛÃáí ë³ÑÙ³-
V
ݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÇÝÝ ¿:
3753.
x V
xyz dxdydz , V -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x 2 y 2 z 2 y2
a 2 xy
ٳϻñ¨áõÛÃáí ¨ z 0 ѳñÃáõÃÛ³Ùµ: 3754.
1
V
x2 y 2 z2 x2 y2 z 2 , -Ý 1 ¿ÉÇåëáÇ¹Ý ¿: dxdydz V a2 b2 c2 a 2 b2 c2
ºé³ÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÇ ÙÇçáóáí ·ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3755-3758). 3755. z x 2 y 2 , z 2 x 2 2 y 2 , y x , y x 2 : 3756. z x y , z xy , x y 1 , x 0 , y 0 : 3757. z x 2 y 2 , z 2 xy : 3758. z 6 x 2 y 2 , z x 2 y 2 : ²ÝóÝ»Éáí ëý»ñÇÏ Ï³Ù ·É³Ý³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ·ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3759-3762). 3759. x 2 y 2 z 2 2az , x 2 y 2 z 2 : 3760.
3761. x 2 y 2 z 2
x2 y2 z 2 1: a 2 b2 c2
axyz a 0 :
3762. x y z a 2 , x 2 y 2 z 2 b 2 , x 2 y 2 z 2 , z 0 0 a b : γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙ ·ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3763-3766).
3763. a1 x b1 y c1 z a2 x b2 y c2 z a3 x b3 y c3 z R 2 , »Ã»
a1
b1
c1
a2
b2
c2 0 :
a3 b3 c3 3764. x y z a , x y z 2a , x y z , x y 2 z , y x , y 3x : 3765. x 2 z 2 a 2 , x 2 z 2 b 2 , x 2 y 2 z 2 0 x 0 , 0 a b :
3766. x 2 y 2 z 2
a6 z 2 : x2 y 2
´ 3767. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ai bi , i 1,..., m , ³å³ a1 ; b1 am ; bm µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½ñá ͳí³ÉÇ ã¿: 3768. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ý»ñùÇÝ Ï»ï, ³å³ ³ÛÝ ½ñá ã³÷Ç ã¿: 3769. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R m µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Äáñ¹³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ã³÷»ÉÇ ¿ ¨ int A , ³å³ v A 0 : 3770. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ai R m , i 1, 2,... , µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ½ñá ã³÷, ³å³
i 1 Ai -Ý ÝáõÛÝå»ë áõÝÇ ½ñá ã³÷:
m
3771. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ½ñá ã³÷, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ½ñá ͳí³É: 3772. ³) ²å³óáõó»É, áñ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É ½ñá ͳí³É: µ) ´»ñ»É ½ñá ã³÷Ç ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÁ ãáõÝÇ ½ñá ͳí³É: 3773. ³) òáõÛó ï³É, áñ »Ã» v A 0 , ³å³ vA 0 ; µ) ´»ñ»É ½ñá ã³÷Ç µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÇ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½ñá ã³÷Ç ã¿: 3774. γéáõó»É µ³ó ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ Äáñ¹³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ã³÷»ÉÇ ã¿:
òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É A i 1 ai ; bi µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ ³ÛÝå»ë, áñ
A -Ý
å³ñáõݳÏáõÙ ¿
0;1 -ÇÝ
å³ïϳÝáÕ
ai ; bi -»ñÝ ÁÝïñí³Í »Ý
µáÉáñ
é³óÇáݳÉ
Ãí»ñÁ ¨
i 1
bi ai 1 : 3775. ¸Çóáõù C -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï, ½ñá ã³÷Ç µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ C -ݪ C -Ç µÝáõó·ñÇã ýáõÝÏódzÝ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A R n µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
x dx -Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: A
C
3776. ¸Çóáõù f a; b ýáõÝÏóÇ³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿: ²å³óáõó»É, áñ
A f x; y : 0 y f x ë»Õ³Ý³Ï»ñåÁ ù³é³Ïáõë»ÉÇ ¿, Áݹ áñáõÙ Ýñ³ ٳϻñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿
b
a f x dx -Ç:
3777. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f : A R ó³ë³Ï³Ý ¿ ¨
A R ÇÝï»·ñ»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³Ý áã µ³m
A f x dx 0 , ³å³ x A : f x 0 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ½ñá
ã³÷:
3778. ¸Çóáõù D R n µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Äáñ¹³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ã³÷»ÉÇ ¿ ¨ f , g D : ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ D -Ç íñ³ ѳٳñÛ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ѳí³ë³ñ »Ý, ³å³
D f D g :
3779. ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» f D ¨ g : D R ýáõÝÏóÇ³Ý D -Ç íñ³ ѳٳñÛ³ ³Ù»Ýáõñ»ù ѳí³ë³ñ ¿ f -ÇÝ, ³å³ g D : ´»ñ»É ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏ: 3780. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f D ¨ g : D R ë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódzÝ
f -Çó ï³ñµ»ñíáõÙ ¿ ÙdzÛÝ ½ñá ͳí³ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ g D : 3781. ²å³óáõó»É, áñ A ÷³Ï ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ Ù»ç ÁÝÏ³Í C µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ã³÷»ÉÇ ¿ Áëï Äáñ¹³ÝÇ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ³ÛÝåÇëÇ P ïñáÑáõÙ, áñ vS vS , S P 1
S P 2
áñï»Õ P -Á µ³Õϳó³Í ¿ P -ÇÝ å³ïϳÝáÕ ¨ C -Ç Ñ»ï ѳïíáÕ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï»ñÇó, ÇëÏ P 2 -Áª C -Ç Ù»ç å³ñáõݳÏíáÕÝ»ñÇó: 3782. òáõÛó ï³É, áñ »Ã» A -Ý ã³÷»ÉÇ ¿ Áëï Äáñ¹³ÝÇ, ³å³ ó³Ýϳó³Í 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ C A ÏáÙå³Ïï µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³ÛÝåÇëÇÝ áñ A A \ C x dx : 3783. ¸Çóáõù f , g C a, b : ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
b b b 2 f x g x dx f x dx g x dx : a a a
òáõóáõÙ:
b
b
a dxa f x g y f y g x
dy 0 :
3784. ä³ñ½»É ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ýß³ÝÁ. ³)
1 x 2 y 2 dxdy ;
x2 y2 4
µ)
arcsinx y dxdy :
0 x 1 1 y 1 x
3785. ¸Çóáõù
1 y 2 , »ñµ 0 x y 1, 1 f x, y 2 , »ñµ 0 y x 1, x 2 0, 0;1 áõ Ùݳó³Í Ï»ï»ñáõÙ :
²å³óáõó»É, áñ
³) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý
dx
f x, y dy ¨
f x, y dx
dy
ѳçáñ¹³Ï³Ý
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ, µ³Ûó Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ã»Ý; µ) f -Á 0;1 2 -áõ íñ³ ÇÝï»·ñ»ÉÇ ã¿: гçáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñáõÙ ÷áË»É ÇÝï»·ñÙ³Ý Ï³ñ·Á (3786-3789). 2a
3786.
3788.
f x, y dy , a 0 :
2 ax x
a
a2 x2
3787.
sin x
f x, y dy : dx
dx f x, y dy :
3789.
2
2 ax
dx
a2 x2 2a x
dx f x, y dy dx f x, y dy :
5 25 x 2
5 25 x 2
γï³ñ»É x r cos , y r sin ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙ ¨ ÷áË»É ÇÝï»·ñÙ³Ý Ï³ñ·Á (3790-3793).
3790.
dx f x, y dy :
3792.
dx f x, y dy :
3x
dx f
3791.
x 2 y 2 dy :
3793.
x
1 x 2
1 x
x2
dx f x, y dy :
²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ÏñÏݳÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ µ»ñ»É Ù»Ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³ÉÇ (3794-3797). 3794.
x 2 y 2 dxdy , D x; y : x 1, y x :
f D
3795.
y
f x dxdy , D x; y : x
y2 x :
D
3796.
f x D
3797.
f x D
xy dxdy , D y 2
x; y :
x y 1 :
x y 2 dxdy , D x; y : 0 x 1, y 3x :
²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñǪ ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3798-3801). 3798.
xy dxdy ,
D
x, y : a
x 2 y 2 4a 2 :
D
3799.
ax by dxdy ,
D
x, y : x
y2 R2 , x y 0 :
D
3800.
sgn ydxdy ,
D
x, y : x
y 2 1, y kx 0 :
D
3801.
D
y2 dxdy , D x2 y 2
x, y : x
y 2 ax, a 0 :
3802. S x, y : a x a h, b y b h a, b 0 ù³é³ÏáõëÇÝ u
y2 , x
v xy ýáõÝÏódzݻñáí Ó¨³÷áËíáõÙ ¿ S å³ïÏ»ñÇ: ¶ïÝ»É ³) S ¨ S å³ïÏ»ñÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ; µ) S ¨ S å³ïÏ»ñÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »ñµ h0: γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ Ýßí³Í ÷á˳ñÇÝáõÙÁª ÏñÏݳÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ µ»ñ»É ѳçáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ (3803-3805). 3803.
f x, y dxdy , D -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x 2 y ,
y 2x , x 2 y 2 ,
D
y y , v : x 2 x x2 y 2 f x, y dxdy , D x; y : 2 2 1 ; x ar cos , y br sin : a b
2 x y 4 ·Í»ñáí; u 3804.
D
3805.
f x, y dxdy ,
D -Ý
x y a
a 0 ,
x 0 , y 0 ·Í»ñáí
D
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÝ ¿; x u cos 4 v , y u sin 4 v : γï³ñ»Éáí ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝáõÙª ÏñÏݳÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ µ»ñ»É Ù»Ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³ÉÇ (3806-3808). 3806.
f x y dxdy ,
D x; y : 0 x a,0 y a x:
D
3807.
f ax by c dxdy a
x y 1
b2 0 :
f xy dxdy ,
3808.
D -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ xy 1 , xy 2 , y x ,
D
y 4 x x 0, y 0 ·Í»ñáí: гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3809-3814).
cosx y dxdy :
3809.
x 2 y 2 1
0 x 0 y
y x 2 dxdy :
3811.
3812.
x 1 0 y2
3813.
3810.
x
x y x 2 y 2 dxdy :
y 2 4 xy dxdy :
x y 1 x 0, y 0
xy dxdy ,
D
x; y : x
y 2 x2 y 2 , x 0 :
D
3814.
y
dxdy , D x; y : ay x 2 a 2 y 2 , a 0 : x y
D
гßí»É ˽íáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3815-3816).
sgn x
3815.
y 2 2 dxdy :
3816.
[ y x 2 ]dxdy :
x 2 y 4
x2 y2 4
3817. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» m, n N Ãí»ñÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ Ï»Ýï ¿, ³å³
x
m
y n dxdy 0 :
x 2 y 2 a 2
ÀݹѳÝñ³óí³Í
, r
µ»¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý
y br sin
r 0 ³ñï³å³ïÏ»ñٳٵ ( a -Ý, b -Ý, D x, y dzÝÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. abr cos 1 sin 1 : Dr ,
x ar cos ,
-Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý), áñÇ Û³Ïáµ-
гßí»É ïñí³Í ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (38183831). 3818. y 2 2 px p 2 , y 2 2qx q 2
p 0, q 0 :
3819. 2 x 2 y 2 x 1 , x y 1 :
x y a , x y a:
3820.
y 2 a 2 2ax , 0ab , 0m n:
3821.
3822. x 3 y 3
y 2 b 2 2bx ,
y 2 m 2 2mx ,
y 2 n 2 2nx ,
x 2 y 2 x 0, y 0 : 3823. x 4 y 4 2a 2 xy :
3824. x 3 y 3 axy :
3825. x 2 y 2
a x3 y 3 :
3826. x y
3828. 3
2 3
x y xy 3827. 2 : a b c
a x y :
x2 y 2 x 3 y : h2 k 2 a b
3829. x 2 y 2 ax a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 3ay :
x y 1, a b
3830.
y x y 4x y 2, , a 0, b 0 : b a b a b
x a
x y 8x y x 3 y 3 x 3 y 3 3831. 1 , 4 , , a b a b a b a b
x 0, y 0 :
¶ïÝ»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3832-3842). 3832. z xy , x y z 1 , z 0 : 3833. x 2 y 2 z 2 , x 2 y 2 ax , z 0 :
3834. x 2 y 2 cz , x 4 y 4 a 2 x 2 y 2 , z 0 :
3835. x y z a , x y a x :
3836. x 2 y 2 z 2 a 2 , x 2 y 2 2 2
a2 x2 y2 :
2 2
3837. x z a y c x , 0 x a : 3838. z x y ax by , z 0 , 1 x 2 y 2 4 , x 0 , y 0 , z 0 :
x2 y 2 2 xy 3839. z 2 xy , 2 2 2 , x 0 , y 0 , z 0 : b c a
z2 x x y x y 3840. 2 1 , , y 0 , z 0 : a a b c a b 3841. z x y , y a 2ax , y m 2mx , y 0 , z 0 :
x y z2 2 1, x 0 , y 0 , z 0 : a b c
3842.
гßí»É ٳϻñ»ëÁ (3843-3852).
x2 y 2 z 2 a2
3843.
ëý»ñ³ÛÇ
³ÛÝ
ÏïáñÝ»ñÇ,
áñáÝù
ÁÝϳÍ
»Ý
x y ax ·É³ÝÝ»ñÇó ¹áõñë: 3844. x 2 y 2 ax ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ ³ÛÝ ÏïáñÝ»ñÇ, áñáÝù ÁÝÏ³Í »Ý x 2 y 2 z 2 a 2 ëý»ñ³ÛÇ Ý»ñëáõÙ:
3845. az xy å³ñ³µáÉáÇ¹Ç ³ÛÝ ÏïáñÇ, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ x 2 y 2 ·É³ÝáõÙ:
3846. x 2 y 2 z 2 ÏáÝÇ ³ÛÝ Ù³ëÇ, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ x 2 y 2 ·É³ÝáõÙ:
2a 2 xy
2 xy , z 0 ,
3847. z x 2 y 2 x y ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ ÏïáñÇ, áñÇ Ï»ï»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 1 x 2 y 2 4 , x 0 , y 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ:
x2 y 2 x2 y 2 3848. 2 z ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ ÏïáñÇ, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ 2 2 a b b a x2 y 2 2 2 ·É³ÝÇ Ù»ç: a b
3849. x 2 y 2 ѳñÃáõÃÛáõÝáí:
z 1 ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ ÏïáñÁ, áñÁ Ïïñí³Í ¿ z 0
x y 2z 3850. 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ٳϻñ¨áõÛÃÇ: c a b x2 y 2 x2 y 2 3851. 2 z ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ ÏïáñÇ, áñÝ ÁÝÏ³Í 2 2 1 z 0 a b a b ·É³ÝáõÙ:
3852. x y 2 z 2 2a 2 ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ ÏïáñÇ, áñÇ Ï»ï»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x 0 , y 0 , z 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ:
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3853-3856). 3853.
dxdydz
1 x y z
, V -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x y z 1 , x 0 ,
V
y 0 , z 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
3854.
V
x2 y 2 z 2 x2 y 2 2 2 2 dxdydz , V -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ a b c a 2 b2
z 1 ¿ÉÇåëáǹáí: c2
3855.
x 2 y 2 dxdydz , V -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x 2 y 2 z 2 , z 1
V
ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí: 3856.
xyzdxdydz , V -Ý ÁÝÏ³Í ¿
x 0 , y 0 , z 0 ûÏï³ÝïáõÙ ¨ ë³Ñ-
V
x2 y2 x2 y2 , z , xy a 2 , xy b 2 , y x , m n y x 0 a b, 0 , 0 m n ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí: гßí»É F t -Ý (3857-3858) z
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
3857. F t
x 2 y 2 dxdy :
x t 2 y t 2 1
3858. ³) F t
f x
x y z t
µ) F t
y 2 z 2 dxdydz , f C R ;
f xyz dxdydz , V 0; t t
, f C 1 R :
Vt
3859. гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ
x
m
y n z p dxdydz , m, n, p Z :
x 2 y 2 z 2 1
3860. î»Õ³¹ñ»Éáí x y z , y z ¨ z ª ѳßí»É ¸ÇñÇËÉ»Ç ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
x
p
s
y q z r 1 x y z dxdydz , p 0 , q 0 , r 0 , s 0 ,
V
V -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí: î³ñµ»ñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ ÷áË»É ÇÝï»·ñÙ³Ý Ï³ñ·Á (3861-3863).
3861.
x y
dx dy f x, y, z dz :
1 x
1 x 2
3862.
dx
1
f x, y, z dz :
dy
1 x 2
3863.
x2 y2
x y
dx dy f x, y, z dz :
гçáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ÷á˳ñÇÝ»É Ù»Ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzÛÇ ÇÝï»·ñ³Éáí (3864-3865).
x
3864.
d d f d :
3865.
dx dy f z dz :
f x, y, z dxdydz
x y
ÇÝï»·ñ³ÉáõÙ ³ÝóÝ»É ëý»ñÇÏ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ¨
V
Ý»ñϳ۳óÝ»É Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñáí (3866-3868).
x, y, z : a 3867. V x, y , z : x 3868. V x, y , z : x 3866. V
z :
x 2 y 2 z 2 4a 2 , y 0 :
y 2 z 2 az , x 2 y 2
y 2 z 2 2az , x 2 y 2 z 2 :
3869. ¸Çóáõù V a; b R 2 Ù³ñÙÇÝÁ Ëáñ³Ý³ñ¹»ÉÇ ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ
x a; b ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ýñ³ Vx y; z : x; y; z V ѳïáõÛÃÁª ù³é³Ïáõë»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ V -Ç Í³í³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿
b a S x dx -Ç, áñï»Õ S x -Á Vx -Ç Ù³-
Ï»ñ»ëÝ ¿: 3870. (γí³É»ñÇÇ ëϽµáõÝùÁ) ¸Çóáõù A ¨ B Ù³ñÙÇÝÝ»ñÝ R 3 -áõÙ Ëáñ³Ý³ñ¹»ÉÇ »Ý, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x -Ç Ñ³Ù³ñ Ax y; z : x; y; z A ,
Bx y; z : x; y; z B ѳïáõÛÃÝ»ñÝ R 2 -áõÙª ù³é³Ïáõë»ÉÇ: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ Ax ¨ Bx ѳïáõÛÃÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ Ù³Ï»ñ»ëÁ, ³å³ A ¨ B Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ Í³í³ÉÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý: гßí»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (3871-3883).
3873. x 3875. x
3871. x 2 y 2 z 2
2 3
3874. x
a2 x2 y 2 :
3872. x 2 y 2 z 2
y2 z
2 3
az x 2 y 2 :
y2 z
y 2 z 2 a3 x3 y 3 z3 , x 0 , y 0 , z 0 :
a2 y2 z2 :
a 3 xyz :
3876. x 2 y 2 z 2
a6 : x2 y2
3877. x 2 y 2
z
a 3 x y :
x2 y 2 z4 3878. 2 2 4 1 : b c a
xyz x y z 3879. , x 0, y 0, z 0 : abc a b c x y 3 z 3880. 3 3 1, x 0, y 0 , z 0 : a b c
x 3 y 3 z 3 3881. 1 : a b c
x y x y z , x 0, y 0, z 0 , p 0, q 0 : p q a b c
3882.
x y z x y z 3883. , x 0 , y 0 , z 0 , p 0 : a b p a b c
̳ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ: D ѳñà å³ïÏ»ñÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ x0 , y 0 Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳßíáõÙ »Ý
x0
M
xdxdy , y0 M ydxdy D
µ³Ý³Ó¨»ñáí, áñï»Õ
D
x, y -Á
D
å³ïÏ»ñÇ ËïáõÃÛáõÝÝ ¿
x; y
Ï»ïáõÙ, ÇëÏ
M D dxdy -Áª ½³Ý·í³ÍÁ: V Ù³ñÙÝÇ x0 , y 0 , z0 ͳÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳßíáõÙ »Ý
x0
M
xdxdydz , y0 M ydxdydz , z0 M zdxdydz V
µ³Ý³Ó¨»ñáí, áñï»Õ
V
x, y , z -Á V
V
Ù³ñÙÝÇ ËïáõÃÛáõÝÝ ¿
x; y; z
Ï»ïáõÙ, ÇëÏ
M V dxdydz -Áª ½³Ý·í³ÍÁ: ÆÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñ: D ѳñà å³ïÏ»ñÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ ѳßíáõÙ »Ý
I x y 2 dxdy , I y x 2 dxdy D
µ³Ý³Ó¨»ñáí:
D
V Ù³ñÙÝÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ ѳßíáõÙ »Ý
I xy z 2 dxdydz , I yz x 2 dxdydz , I zx y 2 dxdydz V
V
V
µ³Ý³Ó¨»ñáí:
Ox, Oy , Oz ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ ѳßíáõÙ »Ý I x I xy I xz , I y I yx I yz , I z I zx I zy µ³Ý³Ó¨»ñáí:
3884-3903 ËݹÇñÝ»ñáõÙ ÁݹáõÝ»É 1 : гßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ѳٳë»é ѳñóÏÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (3884-3889). 3884. ay x 2 , x y 2a a 0 :
3885.
3886. x 4 y 4 x 2 y :
3887.
x y a , x 0 , y 0:
xy x y : ab a b
3888. x 3 y 3 3axy :
3889. x 2 y 2 2a 2 xy x 0, y 0 : 3890. гßí»É 2 Ï»ÝïñáÝ³Ï³Ý ³ÝÏÛáõÝáí ¨ a ß³é³íÕáí ë»·Ù»ÝïÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÁ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ: 3891. гßí»É
x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ a 2 b2
³é³ÝóùÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ: 3892. гßí»É a1 x b1 y h1 , a2 x b2 y h2 ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÁ Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ: 3893. гßí»É x 4 y 4 x 2 y 2 Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÁ Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ ¨ ³ÛÝ Ñ³Ù»Ù³ï»É x y x y 2 ·Íáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÇ Ñ»ï: гßí»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ѳٳë»é Ù³ñÙÝÇ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (3894-3898). 3894. h 2 x 2 y 2 a 2 z 2 , 0 z h :
3895. x y z 2
axyz , x 0 , y 0 , z 0 :
x2 y 2 z 2 xyz 3896. 2 2 2 , x 0 , y 0 , z 0 a 0, b 0, c 0 : abc b c a
xn y n z n 1 , x 0 , y 0 , z 0 n 0, x 0, y 0, z 0 : a n bn cn x2 y 2 z x y x y 3898. 2 2 , 1 , 1 , z 0 : c a b a b a b 3897.
гßí»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ѳٳë»é Ù³ñÙÝÇ ÇÝ»ñódzÛÇ ÙáÙ»ÝïÝ»ñÁ (3899-3903).
x2
y2 z2 x2 y2 z 2 2 2 2 2 2 , Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ b c a b c a
3899.
Ýϳïٳٵ:
x a
n
n
n
y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 n 0, x 0, y 0, z 0 b c
3900.
Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ: 3901. x 2 y 2 z 2 2 , x 2 y 2 z 2 z 0 Oz ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ:
3902. x 2 y 2 z 2 3903.
a z , Oz ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ:
x2 y2 z 2 , z h , Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ: a 2 b2 h 2
¶
3904. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f C R 2 , ³å³
u x, y
x
x y
d f , d 2 0 x y
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
2u 2u f ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: x 2 y 2
3905. ¸Çóáõù z f x, y ýáõÝÏódzÛÇ Ù³Ï³ñ¹³ÏÇ ·Í»ñÁª f x, y const ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ Ïáñ»ñÁ, å³ñ½, ÷³Ï Ïáñ»ñ »Ý, ÇëÏ G a, b ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ f x, y a ¨ f x, y b Ïáñ»ñáí: ²å³óáõó»É, áñ b
f x, y dxdy tS t dt ,
G a ,b
a
áñï»Õ S t -Ý f x, y a ¨ f x, y t Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿:
x2 y2 x2 y2 c ¿ÉÇåëÝ»ñáí ¨ c 2 i 1,2 cos vi sin vi ch ui sh ui ÑÇå»ñµáÉÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 0 u1 u2 , 0 v1 v2 , x 0, y 0 : 3906. гßí»É
3907. гßí»É
x2 y2 1 c2
c 2 2c 2 4c 2 5c 2 , , , , x 0, y 0 Ïáñ»ñáí 3 3
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ: 3908. гßí»É x 2 y 2 z 2 xy xz yz a 2 Ù³ñÙÇÝÁ x y z 0 ѳñÃáõÃÛáõÝáí ѳï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ: 3909. ¸Çóáõù D p p; p , ÇëÏ K p -Ý ¨ C p -ݪ D p -ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳2
ݳµ³ñ Ý»ñ·Í³Í ¨ ³ñï³·Í³Í ßñç³ÝÝ»ñÁ:
e
x2 y 2
dxdy
Kp
e Dp
x2 y 2
dxdy
e
x2 y 2
dxdy
Cp
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ p , ëï³Ý³É ¾ÛÉ»ñäáõ³ëáÝÇ ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³ñÅ»ùÁ (ï»ë ËݹÇñ 3585): 3910. гßí»É
1 1 1 0 ٳϻñ¨áõÛÃÁ z 1 2x y ѳñÃáõÃÛáõÝáí ѳx y z
ï»ÉÇë ëï³óíáÕ ë³Ñٳݳ÷³Ï ÏïáñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ: 3911. гßí»É x b a cos cos , y b a cos sin ,
z a sin 0 a b ïáñÇ ³ÛÝ ÏïáñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ 1 , 2 ÙÇçûñ»³Ï³Ýáí ¨ 1 , 2 ½áõ·³Ñ»é³Ï³ÝÝ»ñáí: ¶ïÝ»É ïáñÇ
ٳϻñ»ëÁ: ²ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³É: ¸Çóáõù G R n ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í Br B 0, r ·Ý¹Ç ѳٳñ G Br µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ã³÷»ÉÇ ¿: îñí³Í f : G R ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù G µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ, »Ã» ó³Ýϳó³Í
r -Ç Ñ³Ù³ñ f G Br ¨ sup
f :
0 r G B r
²Ûë å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ
lim f f r
G
G Br
ë³ÑÙ³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³É G µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ: гٳÝÙ³Ýáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ f -Á G µ³½ÙáõÃÛ³Ý áñ¨¿ Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
3912. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïáí ÇÝï»·ñ»ÉÇ ¿ G R n ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³
f f
³) lim
r
G Br
G
ë³ÑÙ³ÝÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ; µ) ã³÷»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í Dk Bk ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ lim
k G D k
f ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿
f -Ç ÇÝï»·ñ³ÉÇÝ G µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ: лﳽáï»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3913-3915).
3913.
dxdy
1 x
p
3915.
1 y q
x, y
1 x
0 y 1
y2
p
:
3914.
dxdy
p
x y 1
x y
q
p 0, q 0 :
dxdy , 0 m x, y M , C R :
3916. òáõÛó ï³É, áñ
x2 y 2
x
x 1, y 1
y2
dxdy
ÇÝï»·ñ³ÉÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ãݳ۳Í
x2 y2 dy ¨ x2 y 2
dx
x2 y 2 dx x2 y 2
dy
ѳçáñ¹³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý: лﳽáï»É ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3917-3919). 3917.
x D
dxdy , D y2
x
3918.
x 2 y 2 1
3919.
x D
x, y
xy y
dxdy p
x; y : y x , x
y
q
, D
2 p
y2 1 :
dxdy 0 m x, y M , C R 2 :
x; y : x y 1 p 0, q 0 :
лﳽáï»É »é³ÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ (3920-3922).
3920.
x
x, y , z
x y z 1
p
x y z 1
3922.
y z
2 p
dxdydz
3921.
q
x y z
dxdydz
x y z
r
dxdydz , 0 m x, y M , C R 3 :
p 0, q 0, r 0 :
, V x; y; z : x 1, y 1, z 1 :
p
V
3923. ¸Çóáõùª u C R , ï³ñµ»ñ ¿ ÝáõÛݳµ³ñ ½ñáÛÇó ¨
ux dx :
²å³óáõó»É, áñ
e
x y 2
u x u y dxdy 0 :
3924. ¸Çóáõù K C a; b a; b ¨ b
b
K n x, y K x, t1 K t1 , t2 K tn , y dt1 dtn :
a
a
²å³óáõó»É, áñ b
K n m 1 x, y K n x, t K m t , y dt :
a
3925. ¸Çóáõù f f x1 ,..., xn ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0 xi x i 1,..., n ïÇñáõÛÃáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ x1
x
x n1
x
x
dx dx fdx dx dx
n
n
xn
x n 1
fdx n 2 :
x2
3926. ¸Çóáõù f -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ t1
t
t n 1
dt dt
n
t 1 f t1 f t2 f tn dtn f d : n ! 0
3927. гßí»É ai1 x1 ain xn hi i 1,..., n ÑÇå»ñѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í n -ã³÷³ÝÇ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ, »Ã»
a11 a1n 0: an1 ann
3928. ²å³óáõó»É, áñ R n -áõÙ ó³Ýϳó³Í ·áõݹ ã³÷»ÉÇ ¿: ¶ïÝ»É r ß³é³íÕáí n -ã³÷³ÝÇ ·Ý¹Ç ͳí³ÉÁ: 3929. гßí»É
x1 x n 1 a1 an
ai 0 ,
xi 0 , i 1,..., n ,
ÑÇå»ñѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í n -ã³÷³ÝÇ µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ: 3930. гßí»É
x12 xn21 xn2 , xn an a12 an21 an2 ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í n -ã³÷³ÝÇ ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ:
x
3931.гßí»É
m
am
y
n
bn
z
p
cp
1
m, n, p, a, b, c 0
ٳϻñ¨áõÛÃáí ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ:
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3932-3935). 3932.
Dn x1,..., xn : x1 xn a, xi 0, i 1,..., n :
dx ,
Dn
3933.
x1 xn dx1 dxn ,
Dn
Dn x1 ,..., xn : x1 xn 1, xi 0, i 1,..., n : x12 xn2 dx1 dxn :
3934.
x12 x n2 R 2
3935.
dx1 dxn
x12 x n2 1
1 x12 xn2
:
²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (3936-3939). x1
x
3936.
x n 1
dx1 dx2
x1
x
x
f xn dxn
f u
x u n 1 du , n 1!
xn
1 x 2 2 n x u f u du , f C 0; x : 2 n! 0 p1 pn x1p1 1 xnp n 1dx1 dxn , pi 0 , i 1,..., n p1 pn 1
3937. x1dx1 x 2 dx 2 f x n 1 dx n 1
3938.
n
x i 0 , x i 1 i 1
(¸ÇñÇËÉ»Ç µ³Ý³Ó¨):
f C 0; x :
n
3939.
f x1 xn x1p1 1 xnp n 1dx1 dxn
n
x i 0 , x i 1 i 1
p1 pn f u u p1 p n 1du , pi 0 , i 1,..., n , f C 0;1 p1 pn 0
(ÈÇáõíÇÉÇ µ³Ý³Ó¨): òáõóáõÙ: ÎÇñ³é»É ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ ëϽµáõÝùÁ:
1 1
3940. ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
xy x 0 0 xy dxdy x dx :
3941. ¸Çóáõùª I n 0;1 : гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ. n
min xdx -Á, i
In
1 i n
-Ý R n -áõÙ i -ñ¹ åñáÛ»ÏïáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿: i
3942. гßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
lim max i x dx , I n 0;1 n :
n
I
1 i n
3943. îñí³Í ¿ f C 0;1 ¨ I n 0;1 n : ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) lim
n
µ) lim
n
n
1
1
f n xdx f 2 ; i 1
In
In
i
n n 1 i f x dx f : i 1 e
3944. ¸Çóáõùª f C R, R ,
n r
f x dx 1 ¨
f x f x dx dx
n
n
:
n
xi2 r 2 i 1
гßí»É lim n r -Á: n
3945. ¸Çóáõù A R n µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Äáñ¹³ÝÇ ÇÙ³ëïáí ã³÷»ÉÇ ¿ ¨ f A , f 0 : ²å³óáõó»É, áñ
lim n
n
f xdx n
D
inf sup f x :
E A x A \ E v E 0
3946. ²å³óáõó»É ê³ñ¹Ç Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ. »Ã» G -Ý R 3 -áõÙ ïÇñáõÛà ¿,
C 1 G , R 3 ¨ B t G : det t 0 , ³å³ B -Ý R 3 -áõÙ ½ñá ã³÷Ç µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²Û¹ï»ÕÇó ѻ層óÝ»É, áñ »é³ÏÇ ÇÝï»·ñ³ÉáõÙ ÷á÷á˳ϳÝÇ ÷á˳ñÇÝÙ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙáõÙ det t 0 ( -Ý ¹Çý»áÙáñýǽ٠¿ñ) å³ÛÙ³ÝÝ ¿³Ï³Ý ã¿:
¶ÉáõË 17
Îáñ³·ÇÍ ¨ ٳϻñ¨áõóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ ì»Ïïáñ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ï³ññ»ñÁ
² é ³ ç Ç Ý ï Ç å Ç Ï á ñ ³ · Ç Í Ç Ý ï » · ñ ³ É : : ; R
n
³ÝÁݹѳï ÏáñÁ
(׳ݳå³ñÑÁ) ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ Ïáñ, »Ã» ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙdzñÅ»ù ¿: Ð³×³Ë ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÏáñÇ ÏñÇã: ºÃ» ; ѳïí³ÍÇ
µáÉáñ P t 0 ,...,t p ïñáÑáõÙÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ
; P
p 1
ti 1 t i n
i 1
·áõÙ³ñÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³
-Ý ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÕ»ÉÇ Ïáñ, ÇëÏ
sup ; P -ݪ ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ: P
-Ý áõÕÕ»ÉÇ Ïáñ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í
ºÃ»
1; 1 ;
ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ
: 1 ; 1 R ÏáñÁª ÏáñÇ ³Õ»ÕÁ, ÝáõÛÝå»ë áõÕÕ»ÉÇ ¿: n
n
¸Çóáõù : ; R -Á å³ñ½, áõÕÕ»ÉÇ Ïáñ ¿, X -Á -Ç ÏñÇãÝ ¿, ÇëÏ f -Áª X -Ç íñ³ ÏáñÇ »ñϳÛÝùáí) áñáßí³Í Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz: γï³ñ»Éáí ; ѳïí³ÍÇ P t 0 ,...,t p ïñáÑáõÙ ¨ ïñáÑÙ³Ý ti ; ti 1 ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ÁÝïñ»Éáí ٻϳ-
(
Ï³Ý i Ï»ïª Ï³½ÙáõÙ »Ý p 1
f ; P, f i si i 0
ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñÁ, áñáõÙ si -Ý : ti ; t i 1 R ¸Çóáõù P -Ý P ïñáÑÙ³Ý ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
I lim P 0
f
n
³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿:
; P,
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ïáñáí f ýáõÝÏódzÛÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³É (³é³çÇÝ ïÇåÇ) ¨ Ý߳ݳÏíáõÙª
I fds f x ds f x1 ,..., x n ds :
²é³çÇÝ
ïÇåÇ
Ïáñ³·ÇÍ
ÇÝï»·ñ³ÉÇ
µ»ñáõÙÁ
èÇÙ³ÝÇ
ÇÝï»·ñ³ÉÇ: ºÃ»
1 ,..., n C1 ; , R n ¨ t 0 ( ÏáñÁ áÕáñÏ ¿), ÇëÏ f -Á -Ç »ñϳÛÝùáí áñáßí³Í ³ÝÁݹѳï Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódz ¿, ³å³ Ïáñáí f ýáõÝÏódzÛÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, Áݹ áñáõÙª
f x ds f 1 t ,..., n t 1 2 t n2 t dt :
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» 1 : 1 ; 1 R ÙǨÝáõÛÝ ÏñÇãÁ, ³å³ f xds f x ds : 1
n
¨ 2 : 2 ; 2 R
n
å³ñ½ áÕáñÏ Ïáñ»ñÝ áõÝ»Ý
2
n áõÕÕ»ÉÇ ÏáñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ å³ñ³Ù»ïñÇ ó³Ýϳó³Í 0 s n ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ : 0; s R ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ s -Ç, ³å³ s -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ºÃ» : 0; R
ÏáñÇ µÝ³Ï³Ý å³ñ³Ù»ïñ: ²Ûë ¹»åùáõÙª
f xds f s ds :
: ; R n
º ñ Ï ñ á ñ ¹ ï Ç å Ç Ï á ñ ³ · Ç Í Ç Ý ï » · ñ ³ É : îñí³Í »Ý
³Û¹ ÏáñÇ »ñϳÛÝùáí áñáßí³Í f Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏódzÝ: ;
ÏáñÁ ¨
ѳïí³ÍÇ P t 0 ,...,t p
ïñáÑ-Ù³ÝÁ ѳٳå³ï³ëË³Ý ÁÝïñ»Éáí i ti ; t i 1 Ï»ï»ñª ϳ½ÙáõÙ »Ý
S kf ; P,
p 1
f i xik
i 0
k
k
k
n
ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ·áõÙ³ñÁ, áñáõÙ xi ti 1 ti , k -Ý R -áõÙ k -ñ¹ åñáÛ»ÏïáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
I k lim S kf ; P, P 0
í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ïáñáí f ýáõÝÏódzÛÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³É (»ñÏñáñ¹ ïÇåÇ) ¨ Ý߳ݳÏáõÙª
I k fdx k f x dx k f x1 ,..., x n dx k :
ºÃ» ÏáñÇ »ñϳÛÝùáí ïñí³Í »Ý n ýáõÝÏódzݻñ, ³å³ ýǽÇÏ³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñáõÙ
Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáÕ
I 1 I n f1 x dx1 f n x dx n
·áõÙ³ñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý n f1 x dx f n xdx
:
ºñÏñáñ¹
ïÇåÇ
Ïáñ³·ÇÍ
ÇÝï»·ñ³ÉÇ
µ»ñáõÙÁ
èÇÙ³ÝÇ
ÇÝï»·ñ³ÉÇ:
ºÃ»
i i C1 ; , L -Á ÏáñÇ ÏñÇãÝ ¿ ¨ f C L , ³å³ f x dxi -Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, Áݹ áñáõÙª
i f xdx f t i t dt :
ÀݹѳÝáõñ ï»ëùáí, »Ã» C n
; , R , n
f i C L i 1,..., n , ³å³
n
n i f i x ,..., x dx f i 1 t ,..., n t i t dt :
i 1
i 1
¸Çóáõù 1 : 1 ; 1 R
n
¨ 2 : 2 ; 2 R
n
å³ñ½ áÕáñÏ Ïáñ»ñÝ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ L
ÏñÇãÁ ¨ f C L : ºÃ» ³) 1 1 2 2 ¨ 1 1 2 2 , ³å³
i i f xdx f xdx 1
µ) 1 1 2 2 ¨ 1 1 2 2 , ³å³
i i f xdx f x dx 1
;
2
:
2
²Ûë ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÝáõÛݳïÇå ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³é³çÇÝ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ, ÑÇÙù »Ý ï³ÉÇë ѳٳñ»Éáõ, áñ å³ñ½ Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñÁ ë³ÑÙ³Ýí³Í »Ý áã ³ÛÝù³Ý Ïáñáí, áñù³Ý -Ç ÏñÇãáí: ØdzÛÝ Ã», ÝϳïÇ áõݻݳÉáí µ) Ï»ïáõÙ ·ñí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ëáõÙ »Ý, áñ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ³é³çÇÝ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÇ, ÷áËáõÙ ¿ Çñ Ýß³ÝÁ, »ñµ ÏáñÇ ÏñÇãÇ íñ³ ÁÝïÁñí³Í áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÷áËíáõÙ ¿ ѳϳ¹Çñ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: ² é ³ ç Ç Ý ¨ » ñ Ï ñ á ñ ¹ ï Ç å Ç Ï á ñ ³ · Ç Í Ç Ý ï » · ñ ³ É Ý » ñ Ç Ï ³ å Á : îñí³Í áÕáñÏ ÏáñÇ ¨ Ýñ³ »ñϳÛÝùáí áñáßí³Í f1 ,..., f n ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ n f1dx f n dx f1 cos 1 f n cos n ds ,
áñï»Õ cos 1 -Á,…, cos n -Á Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ³×Ù³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ áõÕÕáñ¹ ÏáëÇÝáõëÝ»ñÝ »Ý:
Æ Ý ï » · ñ ³ É ÷ ³ Ï Ï á ñ á í : Ð ³ ñ à áõ Ã Û ³ Ý Ï á Õ Ù Ý á ñ á ß áõ Ù Á : R ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ëï³Ý¹³ñï µ³½ÇëÇ í»ÏïáñÝ»ñÝ ÁݹáõÝí³Í ¿ Ý߳ݳϻɪ i 1;0 ¨ j 0;1 , ÇëÏ
R 3 -ÇÝÁª i 1;0;0 , j 0;1;0 ¨ k 0;0;1 : R 2 ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ÝáõÛݳóÝ»ÉÇë i,j ϳñ·³íáñí³Í ѳٳϳñ·Á (ÇÝãå»ë ݳ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹Çï³ñÏíáÕ »ñ»ëÁ) ѳٳñáõÙ »Ý ³ç ÏáÕÙÝáñáßí³Í, »Ã» i í»ÏïáñÁ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³ÝÁ ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 90 -áí åïï»ÉÇë ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ j í»ÏïáñÇÝ: ²Ûë ¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³é³Ï »ñ»ëÁ ѳٳñíáõÙ ¿ Ó³Ë ÏáÕÙÝáñáßí³Í: ºé³ã³÷ ¿íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç i, j, k ѳٳϳñ·Á ѳٳñíáõÙ ¿ ³ç ÏáÕÙÝáñáßí³Í, »Ã» ³ÛÝ Ï³éáõóí³Í ¿ ѳٳӳÛÝ ³Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç ѳÛïÝÇ §Ëó³Ý³Ñ³ÝÇ Ï³ÝáÝǦ: ä³Ûٳݳíáñí»Ýù ³ÛëáõÑ»ï¨ R
¨ R
ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳñ»É ³ç ÏáÕÙÝáñáß-
í³Í:
ºÃ» ÏáñÇ ÏñÇãÝ ÁÝÏ³Í ¿ R -áõÙ, ³å³ -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ѳñà Ïáñ, ÇëÏ »Ã» R -áõÙª ï³ñ³Í³Ï³Ý Ïáñ:
: ; R n ³ÝÁݹѳï ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï Ïáñ, »Ã» : ÷³Ï ÏáñÁ
ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ Ïáñ, »Ã» : ; R
n
³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙdzñÅ»ù ¿:
Äáñ¹³ÝÇ Ã»áñ»ÙÁ: ò³Ýϳó³Í ѳñÃ, å³ñ½, ÷³Ï Ïáñáí ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ »ñÏáõ ãѳïíáÕ ïÇñáõÛÃÝ»ñÇ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ »½ñÁ -Ç ÏñÇãÝ ¿: ÀݹëÙÇÝ, ïÇñáõÛÃÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñï³ùÇÝ ïÇñáõÛÃ, ÇëÏ ÙÛáõëÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ïáñáí ϳ٠ÏáñÇ ÏñÇãáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃ:
¸Çóáõù G -Ý R -áõÙ Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿: ºÃ» ïÇñáõÛÃÇ »½ñáí ( -Ç ÏñÇãáí) áñáß³ÏÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»ÉÇë ß³ñÅÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ å³ÑÇÝ ¹Çïáñ¹Ç µ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ïÇñáõÛÃÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ýñ³ÝÇó Ó³Ë, ³å³ ß³ñÅÙ³Ý ³Û¹ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳٳñáõÙ »Ý ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ: àõéáõóÇÏ ïÇñáõÛÃÇ Ñ³Ù³ñ »½ñáí ß³ñÅÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ áõÕÕ³ÏÇ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³ÝÁ ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: ºÃ» ѳñÃ, å³ñ½, áÕáñÏ ÏáñÇ ÏñÇãÁ L -Ý ¿ ¨ f C L , ³å³ Ñ³×³Ë f x ds
·ñ»Éáõ ÷á˳ñ»Ý ·ñáõÙ »Ý
L f x ds :
ÆÝã í»ñ³µ»ñáõÙ ¿ ÝáõÛÝ Ïáñáí f ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹
ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÇÝ, ³å³ Ýñ³ ³ñÅ»ùÁ, ÇÝãå»ë Ýßí»ó, ϳñáÕ ¿ ÷áË»É Çñ Ýß³ÝÁª ϳË-
í³Í ÏñÇãÇ íñ³ ÁÝïñí³Í áõÕÕáõÃÛáõÝÇó: ºÃ» : ; R
å³ñ½, áÕáñÏ ÏáñÁ ÷³Ï ¿ ¨
t ; å³ñ³Ù»ïñÇ ³×Ù³ÝÁ ½áõ·ÁÝóó t Ï»ïÁ ÏñÇãÇ íñ³Ûáí ß³ñÅíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùµ, ³å³ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ýª i i f xdx f x dx
:
L
Î á ñ ³ · Ç Í Ç Ý ï » · ñ ³ É Ç ³ Ý Ï ³ Ë áõ Ã Û áõ Ý Á × ³ Ý ³ å ³ ñ Ñ Ç ó : ¸Çóáõù G -Ý
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ÇÝï»·ñ³ÉÝ áõݻݳ ÙǨÝáõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, ϳËí³Í ÙdzÛÝ A -Çó ¨ B -Çó, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ G -áõÙ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ x, y ýáõÝÏódz, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ³Ù»Ýáõñ»ùª
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R 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ç ÏáÕÙÝáñáßÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ S ٳϻñ¨áõÛÃÇ ¹Çï³ñÏíáÕ »ñ»ëÁ ѳٳñíáõÙ ¿ M S Ï»ïáõÙ ³ç ÏáÕÙÝáñáßí³Í, »Ã» M Ï»ïÇ µ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ ßñç³Ï³Ûùáõ٠ٳϻñ¨áõÛÃÇ ÏïáñÇ íñ³ ÁÝÏ³Í ÷³Ï Ïáñáí ¹Çï³ñÏíáÕ »ñ»ëÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ nM ÝáñÙ³ÉÇ ßáõñçÁ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÁݹáõÝíáõÙ ¿ áñå»ë ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ: سϻñ¨áõÛÃÁ ѳٳñíáõÙ ¿ ³ç ÏáÕÙÝáñáßí³Í, »Ã» ³ÛÝ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ³ç ÏáÕÙÝáñáßí³Í ¿:
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ëϳÉÛ³ñ Ù»ÍáõÃÛáõÝ (ͳí³É, ½³Ý·í³Í, ç»ñÙ³ëïÇ×³Ý ¨ ³ÛÉÝ), ϳ°Ù í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝ (áõÅ, ³ñ³·áõÃÛáõÝ, ³ñ³·³óáõÙ ¨ ³ÛÉÝ): ²Û¹ ϳå³ÏóáõÃÛ³Ùµ G ïÇñáõÛÃáõÙ áñáßí³Í u r
u x, y , z , r xi yj zk , Çñ³Ï³Ý³ñÅ»ù ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï, ÇëÏ ar P x, y , z i Qx, y , z j R x, y , z k ýáõÝÏódzݪ í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï: ºÝó¹ñíáõÙ ¿, áñ u ¨ a ýáõÝÏódzݻñÁ G -áõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý: ºÃ» u x, y , z ëϳÉÛ³ñ ¹³ßïÇ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ³å³ u x, y , z c ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý u ¹³ßïÇ Ù³Ï³ñ¹³ÏÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ: ¶ñ³¹Ç»Ýï: u ëϳÉÛ³ñ ¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñ
u u u grad u ; ; x y z ; ; ëÇÙíáÉÇÏ x y z
í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·ñ³¹Ç»Ýï: л層Éáí гÙÇÉïáÝÇݪ ÙïóÝáõÙ »Ý
í»ÏïáñÁ (³Ýí³ÝáõÙ »Ý ݳµÉ³), áñÇ ÙÇçáóáí u ¹³ßïÇ ·ñ³¹Ç»ÝïÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿
grad u u ï»ëùáí: ò³Ýϳó³Í n cos ; cos ; cos Ùdzíáñ í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñª
u u u u cos cos cos grad u , n : n x y z ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ïñí³Í Ï»ïáõÙ u ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ n -Ç áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ÏÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É, »Ã» n -Á ѳÙáõÕÕí³Í ¿ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹³ßïÇ ·ñ³¹Ç»ÝïÇÝ, Áݹ áñáõÙª
u u u u grad u : n n x y z Üϳï»Ýù ݳ¨, áñ ïñí³Í Ï»ïáõÙ u ¹³ßïÇ ·ñ³¹Ç»ÝïÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ ³Û¹ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ u x, y , z c ٳϳñ¹³ÏÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÝáñÙ³ÉÇÝ: max
ì»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ¹Çí»ñ·»ÝóÇ³Ý ¨ éáïáñÁ: ä³Ûٳݳíáñí»Ýù a, b R Ý»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ýß³Ý³Ï»É ¹³ßïÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïáõÙ
a, b : îñí³Í ar Pi Qj Rk
í»Ïïáñ-
í»Ïïáñ³Ï³Ý
P Q R x y z ëϳÉÛ³ñ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¹³ßïÇ ¹Çí»ñ·»Ýódz, ÇëÏ div a a
R Q P R Q P i k rot a , a j y z z x x y í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁª ¹³ßïÇ éáïáñ: ì»ÏïáñÇ ÑáëùÁ ٳϻñ¨áõÛÃáí: ¸Çóáõù ar Pi Qj Rk G R 3 ïÇñáõÛÃáõÙ ïñí³Í í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï ¿ ¨ S áÕáñÏ »ñÏ»ñ»ë ٳϻñ¨áõÛÃÁ ÁÝÏ³Í ¿ G -áõÙ: S ٳϻñ¨áõÛÃáí Ýñ³ áñáß³ÏÇ »ñ»ëÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ n cos ; cos ; cos Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ a í»ÏïáñÇ ÑáëùÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿
a,n dS P cos Q cos R cos dS S
S
µ³Ý³Ó¨áí: ú·ï³·áñÍ»Éáí ݳ¨ ¹Çí»ñ·»ÝódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁª ¶³áõë-úëïñá·ñ³¹ëÏáõ µ³Ý³Ó¨ÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É Ñ»ï¨Û³É í»Ïïáñ³Ï³Ý ï»ëùÁ.
div adxdydz a, n dS , V
S
áñï»Õ S -Á V Ù³ñÙÇÝÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏáÕ ÷³Ï, áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛà ¿, ÇëÏ n -Áª S -Ç ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³ÉÁ: ì»ÏïáñÇ ßñç³åïáõÛïÁ: G R 3 ïÇñáõÛÃáõÙ ïñí³Í ar Pi Qj Rk í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñ L G Ïáñáí
adr Pdx Qdy Rdz L
L
ÇÝï»·ñ³ÉÁ (¹³ßïÇ ³ß˳ï³ÝùÁ) ÏáãíáõÙ ¿ a í»ÏïáñÇ ·Í³ÛÇÝ ÇÝï»·ñ³É: ºÃ» L -Á ÷³Ï ÏáÝïáõñ ¿, ³å³ ·Í³ÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a í»ÏïáñÇ L ÏáÝïáõñáí ßñç³åïáõÛï: êïáùëÇ µ³Ý³Ó¨Á í»Ïïáñ³Ï³Ý ï»ëùáí Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. adr rot a, n dS , L
S
áñï»Õ L -Á S G ٳϻñ¨áõÛÃÇ »½ñ³·ÇÍÝ ¿, ÇëÏ n -Áª S -Ç ³ÛÝ »ñ»ëÇ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ, áñÇ ÏáÕÙÝáñáßٳٵ L ÏáÝïáõñáí ÇÝï»·ñáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: äáï»ÝóÇ³É ¹³ßï: ar í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ åáï»ÝóÇ³É ¹³ßï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ u r ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ³Ù»Ýáõñ»ù
grad u a : ²Ûë ¹»åùáõÙ u -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a ¹³ßïÇ åáï»ÝódzÉ: äáï»ÝóÇ³É ¹³ßïáõÙ a í»ÏïáñÇ ßñç³åïáõÛïÁ ó³Ýϳó³Í ÷³Ï ÏáÝïáõñáí ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¼áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ íñ³ ïñí³Í a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÁ ÏÉÇÝÇ åáï»ÝóÇ³É ¹³ßï ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³Ù»Ýáõñ»ù rot a 0 : êáÉ»Ýáǹ³ÛÇÝ ¹³ßï: a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëáÉ»Ýáǹ³ÛÇÝ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ÛÉ, b í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï, áñÇ éáïáñÁ a -Ý ¿. a rot b : àñå»ë½Ç a -Ý ÉÇÝÇ ëáÉ»Ýáǹ³ÛÇÝ ¹³ßï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ïÇñáõÛÃáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ù ï»ÕÇ áõݻݳ div a 0
å³ÛÙ³ÝÁ:
² гßí»É ³é³çÇÝ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3947-3958). 3947.
xds , -Ý 0;0 ¨ 1;1 Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ ¿:
3948.
3949.
x y2 4
, -Ý 0;0 ¨ 1;2 Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ ¿:
x y ds , -Ý 0;0 , 1;0 ¨ 0;1 ·³·³ÃÝ»ñáí »é³ÝÏÛ³Ý »½ñÝ ¿:
ds
3950.
xyds , -Ý
x y 1 ù³é³ÏáõëÇÝ ¿:
3951.
xyds , -Ý ¿ÉÇåëÇ ³Õ»ÕÝ ¿. x a cos t , y b sin t , 0 t 2 :
3952.
x ds , -Ý x
y 2 a 2 , y 0 ÏÇë³ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
y ds , -Ý x at sin t , y a1 cos t 0 t 2 ÏáñÝ ¿: 3954. x y ds , -Ý x a cos t t sin t , y asin t t cos t 0 t 2
3953.
ÏáñÝ ¿:
x z ds , -Ý x t , y 2 t , z t 0 t 1 ÏáñÝ ¿: 3956. x y z ds , -Ý x a cos t , y a sin t , z bt 0 t 2 3955.
ÏáñÝ ¿: 3957.
zds ,
-Ý x t cos t , y t sin t , z t
0 t t0 ÏáñÝ ¿:
x y ds ,
3958.
-Ý Ñ»ï¨Û³É ßñç³Ý³·ÍÇ
³Õ»ÕÝ ¿.
xt , y t,
1 z 1 2t 2 , 0 t : 2 ¶ïÝ»É ÏáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ (3959-3962). 3959. y 2 x 3 , 0 x 5 :
3960. y 1 ln cos x , 0 x
:
3961. x t cos t , y t sin t , z t , 0 t 2 : 3962. x e t cos t , y e t sin t , z e t , 0 t : гßí»É »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3963-3974). 3963.
xydx , -Ý ëÇÝáõëáÇ¹Ç ³Õ»ÕÝ ¿.
y sin x , 0 x :
3964.
1
x y dy , -Ý å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿. y x
, 1 x 2 :
xdy ydx , -Ý y x , 0 x 2 , ÏáñÝ ¿: 3966. xy y dx xdy , -Ý y 2 x , 0 x 1 , ÏáñÝ ¿: 3965.
3967.
x
y 2 dx x 2 y 2 dy , -Ý y 1 x 1 , 0 x 2 , ÏáñÝ ¿:
3968.
ydx xdy , -Ý x a cos t , y b sin t , 0 t 2 , ¿ÉÇåëÝ ¿:
3969.
2a y dx xdy ,
-Ý x a t sin t , y a1 cos t , 0 t 2 ,
óÇÏÉáÇ¹Ç Ï³Ù³ñÝ ¿: 3970.
y
z 2 dx 2 yzdy x 2 dz , -Ý x t , y t 2 , z t 3 , 0 t 1 , ÏáñÝ
¿: 3971.
ydx zdy xdz , -Ý x a cos t ,
y a sin t , z bt , 0 t 2 , ÏáñÝ
¿: 3972.
x y dx x y dy , x2 y2
L
3973.
L -Á x 2 y 2 a 2 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
dx dy , L -Á A1;0 , B0;1 , C 1;0 , D0;1 ·³·³ÃÝ»ñáí ù³é³x y L
Ïáõëáõ »½ñÝ ¿: 3974.
xdx ydy x y 1dz , L -Á A1;1;1 Ï»ïÁ B2;3;4 Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ L
ѳïí³ÍÝ ¿: гÙá½í»É, áñ ÁݹÇÝï»·ñ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ÉñÇí ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É ¨ ѳßí»É Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3975-3985). 2;3
3975.
xdy ydx :
3; 4
3976.
1; 2 2; 3
3977.
x y dx x y dy :
0;1
xdx ydy :
0;1 1;1
3978.
x y dx dy :
1;1
x2 ; y2
xdx y dy ,
3979.
x1 ; y1 3;0
x
3980.
-Ý ¨ -Ý ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ »Ý:
4 xy 3 dx 6 x 2 y 2 5 y 4 dy :
2;1 1;2
3981.
2;1
6;8
3982.
ydx xdy , x 0 áõÕÇÕÁ ãѳïáÕ Ïáñáí: x2
xdx ydy x2 y 2
1; 0
1;0
3983.
, 0;0 Ï»ïáí ã³ÝóÝáÕ å³ñ½ Ïáñáí:
xdy ydx
x y
, y x áõÕÇÕÁ ãѳïáÕ Ïáñáí:
0; 1
2;3;4
6;1;1
xdx y dy z dz :
3984.
3985.
1;1;1
yzdx xzdy xydz :
1;2;3
¶ïÝ»É Ý³ËݳϳÝÁ (3986-3991).
x 3988. du
3986. du x 2 y 2 dx 2 xydy :
3987. du
ydx xdy : 3x 2 xy 3 y 2
2 xy 5 y 2 dx x 2 2 xy y 2 dy
x y
:
3989. du e x e y x y 2 y dx e x e y x y 1 dy :
3990. du x 2 2 yz dx y 2 2 xz dy z 2 2 xy dz :
3991. du 1
x x 1 y xy dx 2 dy 2 dz : y z z z y
¶ñÇÝÇ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí ѳßí»É Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (3992-3996). 3992.
x y dx x
y 2 dy , L -Á 1;1 , 3;2 ¨ 3;5 ·³·³ÃÝ»ñáí »é³Ý-
L
ÏÛ³Ý »½ñÝ ¿: 3993.
xy dy x
ydx , L -Á x 2 y 2 a 2 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
L
3994.
x y dx x y dy , L
L -Á
x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÝ ¿: a 2 b2
e 1 cos y dx y sin y dy , x
3995.
L -Á
0 x ,
0 y sin x
L
ïÇñáõÛÃÇ »½ñÝ ¿: 3996.
ey
x2
cos 2 xydx sin 2 xydy ,
L -Á x 2 y 2 R 2 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
L
Îáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÇ ÙÇçáóáí ѳßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (3997-4003). 3997. y 2 1 x , x 1 , y 1 :
3998. y 2x 2 , x y 1 0 :
3999. x t 2 , y t 3 , x 1 : 4000. x a cos t , y b sin t 0 t 2 : 4001. x a cos 3 t , y b sin 3 t 0 t 2 :
4002. x y ax , y 0 : 4003. x 2 y 2 4 , x 2 2 y (å³ïÏ»ñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 0;0 Ï»ïÁ):
гßí»É ³é³çÇÝ ïÇåÇ Ù³Ï»ñ¨áõóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (4004-4009). 4004.
x y z dS , P -Ý P
³) x 2 y 4 z 4 , x 0 , y 0 , z 0 ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿; µ) x 2 y 2 z 2 1 , z 0 ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿: 4005.
x
y 2 dS , P -Ý
P
³) x 2 y 2 z 2 R 2 ëý»ñ³Ý ¿: µ) 4006.
x 2 y 2 z 1 ÏáÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿: dS
1 x y
, P -Ý x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 ù³é³ÝÇëïÇ
P
ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿: 4007.
xy zdS ,
P -Ý z x 2 y 2 å³ñ³µáÉáÇ¹Ç ³ÛÝ ÏïáñÝ ¿, áñÇ Ï»ï»ñÁ
P
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý z 1 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ:
4008.
dS
x2 y 2 z 2
P
, P -Ý x a cos u , y a sin u , z v ; 0 u 2 ,
0 v H ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿: 4009.
z dS , P -Ý x r cos sin , y r sin sin , z r cos ; 0 r a , P
0 2 ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿ ( 0; 2 , const ):
´ r r , 1 2 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í áÕáñÏ Ïáñ ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f x, y ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ L -Ç íñ³, ³å³ 4010. ¸Çóáõù L -Á µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ
2
f x, y ds
L
f r cos , r sin r r d :
гßí»É ³é³çÇÝ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (4011-4013). 4011.
x 2 y 2 ds , L -Á x 2 y 2 ax ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
L
4012.
y ds , L -Á x
y2
a 2 x 2 y 2 É»ÙÝÇëϳïÝ ¿:
y 2 z 2 a 2 , x y z 0 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
L
4013.
x ds , L -Á x L
гßí»É »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (4014-4015).
y z dx z x dy x y dz ,
4014.
L -Á
x2 y 2 z 2 a2 ,
L
y cos x sin 0 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿, áñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ 1;0;0 Ï»ïÇó ݳۻÉÇë, ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: 4015.
y dx z dy x dz ,
L -Á ìÇídzÝÇÇ ÏáñÝ ¿. x 2 y 2 z 2 a 2 ,
L
x 2 y 2 ax z 0, a 0 , áñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ 2a;0;0 Ï»ïÇó ݳۻÉÇë, ѳϳ¹Çñ ¿ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³Ý áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: 4016. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f -Ý ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿, ÇëÏ L -Á` Ïïáñ ³é Ïïáñ áÕáñÏ, ÷³Ï Ïáñ, ³å³
f x
y 2 xdx ydy 0 :
L
4017. ²å³óáõó»É
Pdx Qdy lM L
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ l -Á L -Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ M -Áª L ÏáñÇ
íñ³ P Q ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ: 4018. ²å³óáõó»É, áñ
x
lim
R
x2 y2 R2
ydx xdy
xy y 2
0:
4019. ¸Çóáõùª
I1
x y dx x y dy , AB
I2
x y dx x y dy ,
ApB
áñï»Õ AB -Ý A1;1 Ï»ïÁ B2;6 Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ ¿, ÇëÏ ApB -ݪ
A -Ý B -ÇÝ ÙdzóÝáÕ ¨ 0;0 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ, áõÕÕ³ÓÇ· ³é³Ýóùáí å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÁ: ¶ïÝ»É I1 I 2 -Á: 4020. гßí»É
xdy ydx x2 y 2
L
Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ L -Á å³ñ½, ÷³Ï, 0;0 Ï»ïáí ã³ÝóÝáÕ Ïáñ ¿: гßí»É ïñí³Í Ïáñ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (40214029).
a 0 (¸»Ï³ñïÇ ï»ñ¨):
4021. x 3 y 3 3axy
òáõóáõÙ: î»Õ³¹ñ»É y tx
4022. x y
2 2
:
a x y 2 (É»ÙÝÇëϳï):
òáõóáõÙ: î»Õ³¹ñ»É y xtg
:
4023. x y x y , x 0 , y 0 : n m 1
4024. x y n
ax n y m x 0, y 0, a 0, n 0, m 0 : n
x y 1 , x 0 , y 0 a 0, b 0, n 0 : a b
4025.
òáõóáõÙ: î»Õ³¹ñ»É x ar cos n
, y br sin n :
n
n
x y x 4026. a b a x a
2 n1
4027.
y b
2 n1
n 1
y b n
n 1
, x 0 , y 0 a 0, b 0, n 1 :
x y c a b
n
a 0, b 0, c 0, n 0
ÏáñÇ Ñ³Ý-
·áõÛóáí:
4028. x r n 1cos
t n 1 t n 1 cos t , y r n 1sin sin t , n N , n n n n
t 0;2n (¿åÇóÇÏÉáǹ): t n 1 t n 1 cos t , y r 1 n sin sin t, n 2 , n n n n n N , t 0;2n (ÑÇåáóÇÏÉáǹ):
4029. x r n 1 cos
4030. ¶ïÝ»É x 2 y 2 ax ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÁ Ïïñí³Í ¿ x 2 y 2 z 2 a 2 ëý»ñ³Ûáí: 4031. ²å³óáõó»É, áñ í»ñÇÝ ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝáõÙ ·ïÝíáÕ L å³ñ½, ÷³Ï ÏáñÁ Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ ѳßííáõÙ ¿
V y 2 dx
L
µ³Ý³Ó¨áí:
4032. ¸Çóáõùª
Ik
x
y 2 z 2 dS , k 1,2 ,
Pk
áñï»Õ P1 -Á x 2 y 2 z 2 a 2 ëý»ñ³Ý ¿, ÇëÏ P2 -Áª ³Û¹ ëý»ñ³ÛÇÝ Ý»ñ·Í³Í
x y z a áõóÝÇëïÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ: ¶ïÝ»É I1 I 2 -Á: 4033. гßí»É
zdS P
ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ P -Ý x 2 z 2 2az
ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ Ù³ëÝ ¿, áñÁ Ïïñí³Í ¿ z ñ¨áõÛÃáí: 4034. гßí»É
xy yz zx dS P
a 0
·É³Ý³-
x 2 y 2 ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»-
ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ P -Ý z
x 2 y 2 Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ Ù³ëÝ ¿, áñÁ Ïïñí³Í ¿ x 2 y 2 2ax ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí: 4035. ²å³óáõó»É äáõ³ëáÝÇ µ³Ý³Ó¨Á.
f ax by cz dS 2 f u P
1
a 2 b 2 c 2 du ,
P -Ý x y z 1 ëý»ñ³Ý ¿: гßí»É »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ Ù³Ï»ñ¨áõóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (4036-4040). 4036.
P -Ý z 2 x 2 y 2 , 0 z H ٳϻñ¨áõÛÃÇ ëïáñÇÝ »ñ»ëÝ ¿:
zdxdy , P
4037. ³)
z dxdy ;
zdxdy ,
µ)
P
P
P -Ý x y z R , y 0 ÏÇë³ëý»ñ³ÛÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿: 4038.
xdydz ydzdx zdxdy , P -Ý x
y 2 z 2 R 2 , ëý»ñ³ÛÇ ³ñï³ùÇÝ
P
»ñ»ëÝ ¿:
f x dydz g y dzdx hz dxdy , f -Á,
4039.
g -Ý ¨ h -Á ³ÝÁݹѳï
P
ýáõÝÏódzݻñ »Ý, P -Ý 0 x a , 0 y b , 0 z c ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿: 4040.
x dydz y dzdx z dxdy ,
½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ
P -Ý x a y b z c R 2
P
ëý»ñ³ÛÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿: 4041. ¸Çóáõù V R 3
·É³Ý³Ï»ñåÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
z x, y ,
z x, y , x; y D , ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñáí, Áݹ áñáõÙ ³Ù»Ýáõñ»ùª x, y x, y : ²å³óáõó»É ·É³Ý³Ï»ñåÇ Í³í³ÉÇ Ñ³Ù³ñ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á.
V
zdxdy , S
áñï»Õ S -Á ·É³Ý³Ï»ñåÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏáÕ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿:
êïáùëÇ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí ѳßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ (4042-4047). 4042.
ydx zdy xdz , L -Á
x 2 y 2 z 2 a 2 , x y z 0 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿,
L
áñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ, 1;0;0 Ï»ïÇó ݳۻÉÇë, ѳϳ¹Çñ ¿ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³Ý áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ:
y
4043.
z 2 dx z 2 x 2 dy x 2 y 2 dz ,
L -Á
x2 y 2 z 2 3 ,
L
x y z 2 ÏáñÝ ¿, áñáí ÇÝï»·ñáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿, 0;0;0 Ï»ïÇó ݳۻÉÇë, ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³ÝÁ ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: 4044.
x
yz dx y 2 xz dy z 2 xy dz , L -Á Aa;0;0 Ï»ïÁ Ba;0; h
L
Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ x a cos , y a sin , z
h åïáõï³Ï³·ÇÍÝ ¿: 2
òáõóáõÙ: ÎáñÁ Éñ³óÝ»É BA ѳïí³Íáí:
4045.
y z dx z x dy x y dz ,
L -Á x a sin 2 t , y 2a sin t cos t ,
L
z a cos 2 t 0 t ¿ÉÇåëÝ ¿:
y z dx z x dy x y dz ,
4046.
L -Á
x2 y 2 a2 ,
L
x z 1 a h
a 0, h 0 ¿ÉÇåëÝ ¿, áñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ, 0;0;0 Ï»ïÇó ݳۻÉÇë, ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³ÝÁ ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: 4047.
y
z 2 dx x 2 z 2 dy x 2 y 2 dz , áñï»Õ L -Á x 2 y 2 z 2
L
2 Rx , x 2 y 2 2rx , z 0 0 r R ٳϻñ¨áõÛÃÇ í»ñÇÝ »ñ»ëÇ »½ñÝ ¿, ßñç³ÝóÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
úëïñá·ñ³¹ëÏáõ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí ѳßí»É ٳϻñ¨áõÛóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ (4048-4050). 4048.
x dydz y dzdx z dxdy ,
P -Ý 0 x a , 0 y a , 0 z a Ëá-
P
ñ³Ý³ñ¹Ç »½ñÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿: 4049.
x dydz y dzdx z dxdy ,
P -Ý
P
³) x 2 y 2 z 2 a 2 ëý»ñ³ÛÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿; µ) x 2 y 2 z 2 , 0 z 1 ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿:
4050.
x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy ,
P -Ý x y z
P
y z x z x y 1 ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëÝ ¿: 4051. P áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ V ͳí³ÉÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á.
V
xdydz ydzdx zdxdy 3 P
x cos y cos z cos dS , P
áñï»Õ cos -Ý, cos -Ý ¨ cos -Ý P -Ç ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³ÉÇ áõÕÕáñ¹ ÏáëÇÝáõëÝ»ñÝ »Ý, Áݹ áñáõÙ Ó³Ë ÏáÕÙáõÙ ÇÝï»·ñáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ P ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³ñï³ùÇÝ »ñ»ëáí: 4052. ²å³óáõó»É, áñ z 2 x 2 y 2 ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí ¨ Ax By Cz D 0 ѳñÃáõÃÛáõÝáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿
SH -Ç, áñï»Õ S -Á ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿, ÇëÏ H -Áª µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ: гßí»É ïñí³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ (4053-4055).
x a cos u cos v b sin u sin v, 4053. z c ¨ y a cos u sin v b sin u cos v, z c sin u : x u cos v, 4054. x 0 , z 0 , y u sin v, u 0 a 0 : z u a cos v, x b a cos cos , 4055. y b a cos sin , 0 a b : z a sin ,
4056. ¶ïÝ»É u x 2 y 3 z xy 3 x 2 y 6 z ¹³ßïÇ ·ñ³¹Ç»ÝïÁ. ³)
O 0;0;0 Ï»ïáõÙ; µ) A2;0;1 Ï»ïáõÙ: à±ñ Ï»ïáõÙ ¿ ·ñ³¹Ç»ÝïÁ ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ: 4057. R 3 ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý á±ñ Ï»ïáõÙ ¿ u x 3 y 3 z 3 3 xyz ·ñ³¹Ç»ÝïÁª ³) áõÕճѳ۳ó Oz ³é³ÝóùÇÝ;
¹³ßïÇ
µ) ½áõ·³Ñ»é Oz ³é³ÝóùÇÝ; ·) ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ: 4058. îñí³Í ¿ u ln
x a 2 y b 2 z c 2
a, b, c R
ëϳÉÛ³ñ
¹³ßïÁ: à±ñ Ï»ï»ñáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï grad u 1 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 4059. ¶ïÝ»É A1;2;2 ¨ B 3;1;0 Ï»ï»ñáõÙ u
x ¹³ßïÇ ·ñ³¹Çx y2 z2
»ÝïÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ: 4060. ¸Çóáõù f : R 2 R ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í u ¨ v ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï»ñÇ Ñ³Ù³ñ
grad f u, v
f f grad u grad v : u v
4061. ¸Çóáõù u -Ý ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï ¿: òáõÛó ï³É, áñ ³) grad u M -Á ½áõ·³Ñ»é ¿ M R 3 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ u x, y, z u M ٳϳñ¹³ÏÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÝáñÙ³ÉÇÝ; µ) e cos ; cos ; cos í»ÏïáñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ u ¹³ßïÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ gradu , e -Ç; ·) e -Ç áõÕÕáõÃÛ³Ùµ u ¹³ßïÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ e -Ý Ñ³ÙáõÕÕí³Í ¿ grad u -ÇÝ:
x2 y 2 z2 a, b, c R ëϳÉÛ³ñ ¹³ßïÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ a2 b2 c2 M x; y; z Ï»ïáõÙ, r OM ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: ƱÝã å³ÛÙ³ÝÇ
4062. ¶ïÝ»É u
¹»åùáõÙ ³Û¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ÏÉÇÝÇ ·ñ³¹Ç»ÝïÇ Ù»ÍáõÃÛ³ÝÁ: 4063. ¸Çóáõùª r
x2 y2 z2 ¨ u
: ¶ïÝ»É u ¹³ßïÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ r
l cos ; cos ; cos Ùdzíáñ í»ÏïáñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: 4064. ¸Çóáõù u u x, y , z -Á ¨ v vx, y , z -Á ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï»ñ »Ý: ¶ïÝ»É u ¹³ßïÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ grad v -Ç áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: 4065. ¸Çóáõù f : R R ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿, r -Á x; y; z R 3 Ï»ïÇ
r r
ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÝ ¿ ¨ r r : ²å³óáõó»É, áñ f r f r :
4066. ¸Çóáõù f : R R 3 ¨ g : R R 3 ýáõÝÏódzݻñÁ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ »Ý, r -Á
x; y; z R 3
Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÝ ¿, r r : ²å³óáõó»É, áñ
³) f r , r f r f r , r µ) f r , g r
r ; r
f r , g r f r , g r r : r
4067. ¸Çóáõù D -Ý R -áõÙ áõéáõóÇÏ ïÇñáõÛà ¿, ÇëÏ u -ݪ D -Ç íñ³ ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» grad u M , ³å³ ó³Ýϳó³Í A, B D Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ u A u B M A B : 4068. ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï»ñ »Ý, u -Ý ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï ¿,
c R 3 ¨ , R : ²å³óáõó»É, áñ ³) div a b div a div b ; µ) div uc c, grad u ; ·) div ua u div a a; grad u ; ¹) div grad u u ( -Ý È³åɳëÇ ûå»ñ³ïáñÝ ¿): 4069. ¶ïÝ»É ïñí³Í A Ï»ïáõÙ a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ¹Çí»ñ·»ÝódzÝ. ³) a xi y 2 j z 3k , A1;0;3 ; µ) a
xi yj zk x2 y 2
, A3;4;5 :
4070. ¸Çóáõù a -Ý R 3 ïÇñáõÛÃáõÙ í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï ¿ ¨ M : ²å³óáõó»É, áñ
div aM lim
d 0
a, n dS , vD D
áñï»Õ D -Ý -áõÙ ïÇñáõÛà ¿ ¨ D , M D , D -Ý` D -Ç »½ñÁ, ÷³Ï áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛà ¿, d diamD , vD -Ý D -Ç Í³í³ÉÝ ¿, n -Áª D -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ: 4071. ²å³óáõó»É, áñ í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ¹Çí»ñ·»ÝóÇ³Ý Ï³Ëí³Í ã¿ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳٳϳñ·Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: 4072. ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï»ñ »Ý, u -ݪ ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï,
c R 3 ¨ , R : ²å³óáõó»É, áñ
³) rot a b rot a rot b ; µ) rot uc grad u, c ; ·) rot ua u rot a grad u, a ; ¹) rotc, a c div a c, a , áñï»Õ
c, a c1
a 2 a 3 a c c ; x y z
») rota, b a div b b div a b, a a, b ; ½) diva, b b, rot a a, rot b : 4073. гßí»É rot aM 0 -Ý, »ñµ
³) a xyzi 2 x 3 y z j x 2 z 2 k , M 0 1;3;2 ; µ) a
y z x i j k , M 0 1;2;2 : z x y
4074. ¸Çóáõù a x 2 y 2 i y 2 z 2 j z 2 x 2 k : гßí»É rot a1;2;3 ¨
rot b1;1;1 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ: 4075. ¸Çóáõù u -Ý ¨ v -Ý ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ ³) divu, v 0 ; µ) a u grad v ¨ rot a í»ÏïáñÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý: 4076. ¸Çóáõù u -Ý ëϳÉÛ³ñ ¹³ßï ¿, ÇëÏ a -ݪ í»Ïïáñ³Ï³Ý: êïáõ·»É, áñ ³) rot grad u 0 ; µ) div rot a 0 : гßí»É a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ÑáëùÁ S ٳϻñ¨áõÛÃáíª ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³ÉÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ (4077-4079). 4077. a yzi xzj xyk , S -Á x 2 y 2 p 2 , 0 z q ·É³ÝÇ ³) ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ ¿; µ) ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÝ ¿: 4078. a x 2 i y 2 j z 2k , S
x; y; z : x
y 2 z 2 1, x 0, y 0, z 0 :
4079. a x 3i y 3 j z 3k , S -Á x 2 y 2 z 2 x ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í ëý»ñ³Ý ¿: 4080. ¸Çóáõù a -Ý í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßï ¿ ïÇñáõÛÃáõÙ, G -Ý -áõÙ ïÇñáõÛà ¿, áñÇ »½ñÁª G -Ý, áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛà ¿ ¨ G : ²å³óáõó»É, áñ rot a -Ç ÑáëùÁ G ٳϻñ¨áõÛÃáí ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³ÉÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¶ïÝ»É L Ïáñáí a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ³ß˳ï³ÝùÁ ( a -Ç ·Í³ÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ) (4081-4083). 4081. a
i j k , L -Á M 1;1;1 Ï»ïÁ N 2;4;8 Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ y z x
ѳïí³ÍÝ ¿:
4082. a e y z i e z x j e x y k , L -Á O 0;0;0 Ï»ïÁ M 1;3;5 Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ ¿: 4083. a yi zj xk , L -Á A ;0;0 Ï»ïÁ B ;0;2 Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ. ³) x cos t , y sin t , z t ÏáñÝ ¿; µ) ѳïí³ÍÝ ¿: гݹÇë³Ýáõ±Ù ¿ ³ñ¹Ûáù a -Ý åáï»ÝóÇ³É ¹³ßï: ¶ïÝ»É ïñí³Í L Ïáñáí a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ßñç³åïáõÛïÁ (åïáõÛïÁ, 0;0;0 Ï»ïÇó ݳۻÉÇë, ϳï³ñíáõÙ ¿ ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ ß³ñÅÙ³ÝÁ ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ) (4084-4085). 4084. a z 2 i x 2 j y 2k , L
x; y; z : x
y 2 z 2 1, x y z 1 :
4085. a yi xj zk , L x; y; z : x y z 4, x y z , z 0 : 4086. ¶ïÝ»É a yi xj í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÇ ßñç³åïáõÛïÁ z 0 ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ·ïÝíáÕ Ïïáñ ³é Ïïáñ áÕáñÏ, å³ñ½, ÷³Ï L Ïáñáí, áñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ S ¿: гÙá½í»É, áñ a -Ý åáï»ÝóÇ³É ¹³ßï ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ åáï»ÝódzÉÁ (4087-4088).
4087. a yi xj e z k : 4088. a y z i z x j x y k : êïáõ·»É ëáÉ»Ýáǹ³ÛÇ±Ý ¿ ³ñ¹Ûáù a ¹³ßïÁ (4089-4091). 4089. a x 2 yzi xy 2 zj xyz 2k : 4091. a
4090. a xyk :
yi xj xyk : x2 y 2
4092. ¸Çóáõù G R 3 Ùdzϳå ïÇñáõÛÃáõÙ a í»Ïïáñ³Ï³Ý ¹³ßïÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ rot a 0 ¨ div a 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõó»É, áñ a -Ý åáï»ÝóÇ³É ¹³ßï ¿ ¨ áñ Ýñ³ åáï»ÝódzÉÁ G -áõ٠ѳñÙáÝÇÏ ýáõÝÏódz ¿:
a
y x i 2 j , 0 x 2 y 2 1 ¹³ßïÇ ûñÇݳÏáí ѳÙá½2 x y x y2
í»É, áñ ïÇñáõÛÃÇ ÙdzϳåáõÃÛáõÝÝ ³Ûëï»Õ ¿³Ï³Ý ¿:
¶ 4093. ¸Çóáõùª C 1 R ¨ AmB -Ý A x1 ; y1 , B x2 ; y2 Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ áÕáñÏ Ïáñ ¿, áñÁ ãÇ Ñ³ïíáõÙ AB ѳïí³ÍÇ Ñ»ï: гßí»É
y e AmB
x
my dx y e x m dy
Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, »Ã» AmB Ïáñáí ¨ AB ѳïí³Íáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ S ¿: 4094. гßí»É
I
2
L
XdY YdX X 2 Y 2
ad bc 0 ¨ L Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 0;0 Ï»ïÁ: ÇÝï»·ñ³ÉÁ, »Ã» X ax by , Y cx dy
å³ñ½, ÷³Ï
4095. гßí»É ݳËáñ¹ ËݹñáõÙ ³é³ç³¹ñí³Í L Ïáñáí I ÇÝï»·ñ³ÉÁ, »Ã» X x, y , Y x, y , Áݹ áñáõÙª x, y 0 ¨ x, y 0 Ïáñ»ñÁ L -Ç Ý»ñëáõÙ áõÝ»Ý Ñ³ïÙ³Ý xi ; yi i 1,..., n å³ñ½ Ï»ï»ñ: 4096. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» L -Á ÷³Ï Ïáñ ¿, ÇëÏ ν -ݪ ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñ, ³å³
ν, n ds 0 ,
L
áñï»Õ n -Á L -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÝ ¿: 4097. ¸Çóáõù L å³ñ½, ÷³Ï Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ P ¿: гßí»É
x n, i
y n, j ds -Á,
L
áñï»Õ n -Á L -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÝ ¿: 4098. гßí»É
U x, y ln ds r r L
x 2 y 2
ÇÝï»·ñ³ÉÁ, »Ã» L -Á
2 2 R 2 ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿: 4099. гßí»É ¶³áõëÇ Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁª
u x, y
L
r, n r
ds -Á,
áñï»Õ r -Á A x; y Ï»ïÁ L å³ñ½, ÷³Ï, áÕáñÏ ÏáñÇ ; ÷á÷áË³Ï³Ý Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ í»ÏïáñÝ ¿, ÇëÏ n -Áª ; Ï»ïáõÙ L -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ: 4100. ²å³óáõó»É, áñ u -Ý D R 2 ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ D -áõÙ ÁÝÏ³Í ó³Ýϳó³Í L áÕáñÏ, ÷³Ï ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ
u
n ds 0 , L
áñï»Õ n -Á L -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÝ ¿: 4101. ¸Çóáõù D -Ý R 2 -áõÙ L áÕáñÏ Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿, G ïÇñáõÛÃÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ D -Ý ¨ u C 2 G : ²å³óáõó»É
u 2 u 2 u dxdy uudxdy u ds x y n D D L µ³Ý³Ó¨Á, áñï»Õ -Ý È³åɳëÇ ûå»ñ³ïáñÝ ¿, ÇëÏ n -Áª L -Ç ³ñï³ùÇÝ
Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ: 4102. ¸Çóáõù D -Ý R 2 -áõÙ L áÕáñÏ Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É, áñ G D ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ýáõÝÏóÇ³Ý D -áõÙ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý í»ñ³Ï³Ý·ÝíáõÙ ¿ L -Ç íñ³ ÁݹáõÝ³Í Çñ ³ñÅ»ùÝ»ñáí: 4103. ²å³óáõó»É ¶ñÇÝÇ »ñÏñáñ¹ µ³Ý³Ó¨Á.
u v
u
v
dxdy
D
L
u n u
v n ds , v
áñï»Õ D -Ý R -áõÙ L áÕáñÏ Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿, u -Ý ¨ v -Ý
D -Ý å³ñáõݳÏáÕ ïÇñáõÛÃáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñ »Ý, ÇëÏ n -Á L ÏáñÇ ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÝ ¿: 4104. ¸Çóáõù D -Ý R 2 -áõÙ L Ïáñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿, ÇëÏ u -ݪ G D ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ýáõÝÏódz: ¶ñÇÝÇ »ñÏñáñ¹ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí u ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ëï³Ý³É 1 ln r u u x, y ln r ds u 2 L n n
Ý»ñϳ۳óáõÙÁ, áñï»Õ n -Á L -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÝ ¿, ÇëÏ r -Áª x; y Ï»ïÇ ¨ L ÏáñÇ ; ÷á÷áË³Ï³Ý Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ: 4105. ¸Çóáõù u x, y -Á G ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ýáõÝÏódz ¿: ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ. ó³Ýϳó³Í Bx0 ; y0 ; R G ßñç³ÝÇ Ñ³Ù³ñ
u x0 , y0
u x, y ds : 2R B
4106. ¸Çóáõù D -Ý R 2 -áõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ï ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É, áñ G D ïÇñáõÛÃÇ íñ³ ѳñÙáÝÇÏ ¨ ÝáõÛݳµ³ñ ѳëï³ïáõÝÇó ï³ñµ»ñ ýáõÝÏóÇ³Ý D -Ç Ï»ï»ñáõÙ ãÇ Ï³ñáÕ ÁݹáõÝ»É Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ:
4107. гßí»É
F t
f x, y, z ds
x y z t
ٳϻñ¨áõÛóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ
1 x 2 y 2 z 2 , »ñµ x 2 y 2 z 2 1, f x, y , z 0, »ñµ x y z 1 : 4108. гßí»É
F t
f x, y, z ds
x y z t 2
ٳϻñ¨áõÛóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ
x 2 y 2 , »ñµ z x 2 y 2 , f x, y , z 0, »ñµ z x 2 y 2 : 4109. гßí»É
F x, y , z , t
f , , ds P
ٳϻñ¨áõÛóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ, áñï»Õ P -Ý ëý»ñ³Ý ¿,
x 2 y 2 z 2 t 2
1, »ñµ 2 2 2 a 2 , f , , 0, »ñµ a , ¨
x2 y 2 z 2 a 0 :
4110. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» P -Ý å³ñ½, ÷³Ï ٳϻñ¨áõÛà ¿, e -Áª ó³Ýϳó³Í ѳëï³ïáõÝ í»Ïïáñ, ÇëÏ n -Á P -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ, ³å³
n, e dS 0 , P
áñï»Õ n -Á ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³ÉÇ Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ ¿: 4111. ²å³óáõó»É µ³Ý³Ó¨Á.
d f x, y, z , t dxdydz dt 2 2 2 2 x y z t
f x, y, z, t dS
x y z t
x y z t
f dxdydz t
t 0 :
4112. ¸Çóáõù P -Ý V Ù³ñÙÇÝÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏáÕ ÷³Ï, áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛà ¿, n -Áª ;; Ï»ïáõÙ P -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ, r -Áª x; y; z Ï»ïÁ
;; Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ í»ÏïáñÁ: ²å³óáõó»É µ³Ý³Ó¨Á.
r ddd 2 V
P
r, n r
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4113. гßí»É ¶³áõëÇ Ù³Ï»ñ¨áõóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
r, n
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dS -Á,
áñï»Õ P -Ý å³ñ½, ÷³Ï, áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛà ¿, n -Áª ;; Ï»ïáõÙ P -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ, r -Áª x; y; z Ï»ïÁ ;; Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ í»ÏïáñÁ: ¸Çï³ñÏ»É »ñÏáõ ¹»åù. P -áí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÁ ³) å³ñáõݳÏáõÙ ¿ x; y; z Ï»ïÁ; µ) ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ x; y; z Ï»ïÁ: 4114. ¸Çóáõù P áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ V ë³Ñٳݳ÷³Ï Ù³ñÙÝÇ »½ñÝ ¿, G ïÇñáõÛÃÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ V -Ý ¨ u C 2 G : ²å³óáõó»É, áñ ³)
u
n dS udxdydz ; P
V
u 2 u 2 u 2 dxdydz µ) uudxdydz x y z P V V µ³Ý³Ó¨»ñÁ, áñï»Õ -Ý È³åɳëÇ ûå»ñ³ïáñÝ ¿, n -Áª P -Ç ³ñï³ùÇÝ
u u dS n
Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ: 4115. ²å³óáõó»É ¶ñÇÝÇ »ñÏñáñ¹ µ³Ý³Ó¨Á.
V
u v u
v
dxdydz
P
u n u
v n dS , v
áñï»Õ P -Ý V R ïÇñáõÛÃÇ áÕáñÏ »½ñÝ ¿, n -Áª P -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÁ, ÇëÏ u -Ý ¨ v -Ý G V ïÇñáõÛÃáõÙ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ýáõÝÏódzݻñ »Ý: 4116. ¸Çóáõù V -Ý áÕáñÏ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã»
u -Ý G V ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ¿, ³å³ ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ.
³)
u
n dS 0 ; V
u 2 u 2 u 2 u dxdydz u µ) dS , x y z n V V áñï»Õ n -Á V -Ç ³ñï³ùÇÝ Ùdzíáñ ÝáñÙ³ÉÝ ¿:
ú·ïí»Éáí µ) µ³Ý³Ó¨Çó, ³å³óáõó»É, áñ ѳñÙáÝÇÏ ýáõÝÏóÇ³Ý ÙdzñÅ»ù í»ñ³Ï³Ý·ÝíáõÙ ¿ ïÇñáõÛÃÇ »½ñÇ íñ³ ÁݹáõÝ³Í Çñ ³ñÅ»ùÝ»ñáí: 4117. ¸Çóáõù V -Ý R 3 -áõÙ ÷³Ï, áÕáñÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» u -Ý G V ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ¿, ³å³
r, n 1 u u 3 dS , r n r V áñï»Õ r -Á V -Ç x; y; z Ï»ïÁ P -Ç ;; ÷á÷áË³Ï³Ý Ï»ïÇÝ ÙdzóÝáÕ í»ÏïáñÝ ¿, n -Áª ;; Ï»ïáõÙ V -Ç ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³ÉÁ: u x, y, z
4
4118. ¸Çóáõù u -Ý G R 3 ïÇñáõÛÃáõ٠ѳñÙáÝÇÏ ýáõÝÏódz ¿ ¨ Ba 0 r G : ²å³óáõó»É ÙÇçÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ.
u a 0
4r 2
ux, y, z dS , B
4119. ¸Çóáõù V -Ý R 3 -áõÙ ïÇñáõÛà ¿: ²å³óáõó»É, áñ V -áõ٠ѳñÙáÝÇÏ ¨ ѳëï³ïáõÝÇó ï³ñµ»ñ ýáõÝÏóÇ³Ý V -Ç Ï»ï»ñáõÙ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý»É Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù (Ù³ùëÇÙáõÙÇ ëϽµáõÝù):
ä³ï³ë˳ÝÝ»ñ ¶ÉáõË
: 2415. : 2416. : 2417. 1 : 2418. : 2420. 1 2 : 2421. : 1 q sin 2 2422. : 2423. ln : 2424. 1 : 2425. 1 : 2431. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï 2414.
¿: 2432. ³) î³ñ³Ù»ï ¿; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2433. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2434. ³) î³ñ³Ù»ï ¿; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2435. àã: 2439. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1 : 2440. î³ñ³Ù»ï ¿: 2441. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2442. î³ñ³Ù»ï ¿: 2443. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2444. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2445. î³ñ³Ù»ï ¿: 2446. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2447. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2448. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2449. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ q p 1 ; ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ q p 1 : 2450. î³ñ³Ù»ï ¿: 2451. î³ñ³Ù»ï ¿: 2452. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2453. î³ñ³Ù»ï ¿: 2454. î³ñ³Ù»ï ¿: 2455. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2456. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2463. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2464. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2465. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2466. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2467. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2468. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2469. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2470. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2471. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2472. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2473. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2474. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2475. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ;ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2476. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2477. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2478. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2489. àã: 2490. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 p 1 : 2491. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿: 2492. ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: 2493. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 : 2494. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿; ·) ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ¨ ½áõ·³Ù»ï, ¨ª ï³ñ³Ù»ï: 2494.1. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0,5 ; ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 0,5 ; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿; ·) ½áõ·³Ù»ï ¿; ¹) ½áõ·³Ù»ï ¿; ») ï³ñ³Ù»ï ¿; ½) ½áõ·³Ù»ï ¿; ¿) ½áõ·³Ù»ï ¿; Á) ½áõ·³Ù»ï ¿; Ã) ½áõ·³Ù»ï ¿; Å) ½áõ·³Ù»ï ¿; ų) ï³ñ³Ù»ï ¿; ŵ) ½áõ·³Ù»ï ¿: 2510. î³ñ³ÙÇïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ: 2511. î³ñ³Ù»ï ¿: 2512. î³ñ³ÙÇïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ: 2513. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2514. î³ñ³ÙÇïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ: 2515. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 2516. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2517. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2518. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2519. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
x 1 : 2520. 3 : 2521.
q 1 1 1 : 2522. 1 : 2523. : 2528. ³) k 2 k 1 q
γñáÕ ¿ ¨ ½áõ·³ÙÇï»É, ¨ ª ï³ñ³ÙÇï»É; µ) ï³ñ³Ù»ï ¿: 2529. ³) ¼áõ·³Ù»ï ¿; µ) ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ÇÝãå»ë ½áõ·³Ù»ï, ³ÛÝå»ë ¿É ï³ñ³Ù»ï:2533. ¼áõ·³Ù»ï
¿: 2534. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2542. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a e : 2543. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
p q 1 :2545. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p q 1 : 2546. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ q p : 2547. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ q p 1 : 2548. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2549. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ : 2551. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2552. î³ñ³Ù»ï ¿: 2566. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a : 2567. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2568. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 2 : 2569. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2570. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a c 0, 1 : 2571. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a b e ¨ c 0 ϳ٠a c 1 : 2572. d
p 1,5 : 2544. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
î³ñ³Ù»ï ¿: 2573. î³ñ³Ù»ï ¿: 2574. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2575. î³ñ³Ù»ï ¿: 2576. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2577. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a bc : 2578. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
: 2580. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ a b 1 : 2581. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2582. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ϳ٠p 1 , q 1 : 2583.
1 : 2579. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
¼áõ·³Ù»ï ¿: 2584. î³ñ³Ù»ï ¿: 2585. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2586. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2587. î³ñ³Ù»ï ¿: 2588. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2589. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2590. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
2 : 2599.
: 2600. : 2601. ln 2 : 2602. ³) ln 2 ; µ) ln 2 : 2604.
¼áõ·³Ù»ï ¿: 2605. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2606. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2607. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2608. àã: 2609. àã: 2613. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛٳݳϳÝ
p 1 : 2614. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ x k k Z ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ x k : 2615. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ4 ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 p 1 : 2616. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 2 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 p 2 : 2617. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³1 Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 2618. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿: 2619. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ2 ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 1 : 2620. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 1 : 2621. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 2 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 p 2 : 2622. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
p 1 : 2623. î³ñ³Ù»ï ¿: 2624. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 , å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 0 : 2625. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ q p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p q p 1 : 2626. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 , q 1 , å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 p q 1 : 2627. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 2628. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 2629. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 , Ù»ï ¿, »ñµ
q 1 , å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 0 p q 1 : 2640. 1 2 2 : 2641. : 2642. 2 : 2647. ³) àã; µ) ³Ûá; ·) ³Ûá; ¹) ³Ûá: 2648. ¼áõ·³Ù»ï ¿: ln 2 ln 3 2649. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ x 2 : 2650. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ x 1 ; »ñµ x 1 , ; »ñµ x 1 , ½áõ·³Ù»ï ¿, »Ã» p , q : 2651. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ x k , k Z : 2656. ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: 2657. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ; å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 2658. î³ñ³Ù»ï ¿: 2659. î³ñ³Ù»ï ¿: 2664. ³) 1 ; µ) e 2 ; ·) 1 : 2665. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2666. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 2667. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 2 : 2668. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 2 : 2677. ³) àã; µ) ³Ûá; ·) áã; ¹) áã: 2688. àã: ½áõ·³Ù»ï ¿, »Ã» p 1 , q
¶ÉáõË
k : k Z , 2
2722. ³) f x 0 , x 1;1 , f 1 1 ; µ) f x 0 , x R \
f 2k 1 , k Z ; ·) 2
f x 0 , x R \ 1 ,
f x x 2 ; µ) f x 2x 4 : 2724. ³)
f 1 1 : 2723. ³)
f x 0 , x 1;1 , f x
x 1 ,
; µ) f 0 0 : 2725. f x e x : 2726. f x 0 , x 2k ; 2k , k Z : 2727. ³) f x x ; µ) f x 1 , x 0 : 2728. ³) f x 0 , x 0; ; µ) f x 0 , x R : 2729. ³) f x 1 , x 1;1 ,
x 1, , f 1
f x x 2 , x ;1 1; ; µ) f x 1 , x R , f x e x , x ;0 : ln x 2730.³) f x ln x ; µ) f x , x 0 , f 0 0 : 2731.³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ2 ·³Ù»ï ¿ 1;1 -áõÙ; µ) µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1;1 -áõÙ; ·) µ³ó³ñÓ³Ï 1 e ½áõ·³Ù»ï ¿ 2 ;0 0; 2 -áõÙ, µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 2 ; 2 \ 0 áõÙ; ·) µ³-ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ;0 -áõÙ: 2733. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1;1 -áõÙ: 2732. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ; e -áõÙ; µ)
¿, »ñµ x 1 ; µ) µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1 -áõÙ: 2734. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 0; -áõÙ; µ) µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R -áõÙ: 2735. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R -áõÙ; µ) µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 2;2 -áõÙ: 2736. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R k : k Z ; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿
2k , 2k -áõÙ, k Z
µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿
2k , 2k -áõÙ: 2737.
³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³-
k Z
Ù»ï ¿ R -áõÙ; µ) µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R -áõÙ: 2738. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ e 2 ; e 2 -áõÙ; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿ ;1 1; -áõÙ, µ³-
ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿
;1 1; -áõÙ:
2739.
³) ä³ÛٳݳϳÝ
½áõ·³Ù»ï ¿ R -áõÙ; µ) å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ k -áõÙ, k Z : 2740. ³) ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 0,5; 3,5 -áõÙ; µ) ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1 -áõÙ, µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1 -áõÙ: 2751. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2752. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2753. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2754. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2755. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2756. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2761. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2762. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2763. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2764. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2765. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2766. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2767. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2768. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2769. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 2770. ³) ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿; µ) ˽íáÕ ¿ x 1 Ï»ïáõÙ: 2771. ʽíáÕ ¿ x 0 Ï»ïáõÙ: 2772. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 2776. ln 2 : 2777. 1 : 2778. 1 : 2779. 0,5 : 2780. 0,5 : 2784. ³) àã; µ) ³Ûá: 2785. 0 : 2786. 0 : 2787. 2 : 2788. 0 :
e 2 : 2790. 1 : 2793. ³) ln 1 x , x 1;1 ; µ) x 1 , x 1;1 ; e 1 3 ·) 2 xarctgx ln 1 x 2 , x 1;1 ; ¹) 21 x , x 1;1 : 2794. ³) R 1 , 1;1 ; µ) R 1 , 1;1 ; ·) R 1 , 1;1 ; ¹) R 1 ; 1;1 : 2795. ³) R 1 , 1 1 ; ; µ) R 3 ; 3;3 : 2796. ³) R 0 , 0 ; µ) R , ; : 2797. 2 2 1 4 2 R , ; : 2798. R 3 , 0;6 : 2799. R a , a; a : 2800. R , 3 3 3 a 2789.
1 1 a ; a : 2801. 0; : 2802. ;0,5 0,5; : 2803. 1; : 2804. x2n x 2n 1 , x R : 2807. , xR : k ; k , k Z : 2806. 4 n 1 2n 1 ! n 0 2n !
2808.
n 1
1 n 1
n 1
1 n0
2 n 1 2 n 22 n 1 x 2n x n 2 , x R : 2809. 1 1 , x R : 2810. 2n ! 2n ! n 1
2n 1 2 n x , x R : 2811. 2n !
n0
1n x 2 n , n!
x R : 2813.
x n , x 1;1 :
2814.
xn
n 2 ! ,
n2
n 10
x R : 2812.
n 1x n ,
x 1;1 : 2815.
n0
1 1 n 2 n 1 !! 3n x ; : 2816. 1 1 x , x 1;1 : 2n n ! 2 2 n 1 x 3 2 5 3n 4 3n xn n 1 2817. 2 x , x ; : 2818. 12 n2 n !3n 23n1 n 10 n n 1
x
2n 3 !! n 1! x n , n 2
ln 10 , x 10;10 : 2819.
n
1 2 x 2 n 1 2n 1 , x 1;1 : 2820. 3 x n , n 1 n0
n
2 n 1 1 x 2n5 1 1 n x ; : 2821. x n , x 1;1 : 2822. 1 , 2n 5n ! 2 2 n0 n0 xn x 2 n 1 n 1 , x R : 2824. 1 , x R : 2825. x R : 2823. 2n 12n 1! n 1 n n ! n 1
n 1
x 7 1 2n 3 !! 6n 1 2n 1 !! x 4 n 1 , x x , x ; : 2826. x n n 14 n 2 n !2 6n 1 n 1 4 n 12 n !
x 1;1 : 2827.
x 9 n 1
9n 1 ,
x 1;1 : 2828. 0, 2398 , 104 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ:
n0
2829. 0,0314462 , 107 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ: 2830. 0,957 , 103 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ:
3 cos 2 x cos 4 x : 2833. Tm x : n 1 2 sin nx 2834. sin 2n 1x ; : 2835. 1 : 2836. n n 1 2 n 1 n 1 2831. 0,079 , 103 -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ: 2832.
4 cos 2n 1x : 2837. n 0 2n 12
n 1
2 2 1 4 n2 n 1
cos nx : 2838.
n
1
n 1
n 1 12 2 2 2 sin p 1 n sin nx 2shp sin nx : 2839. 2840. 3 n 1 n p n n 1n 1 n sin nx : 2841. 1 1 cos x 2 1n 1 cos nx : 2842. sin x 2 n 2 n 1 n 1 n p
n
2 1 n 4 2 4 cos 2kx k cos 2k 1x sin nx : 2843. 1 : 2844. : k 0 2k 1 k 1 4 k 2 1 n 1 n 2
16 1 n sin 2nx : n 1 4n 2 1 2 n 1
2846.
2847.
n 1
2a 1 n 1
2a nx sin : n a
2848.
n 1 1 2 4 1 n cos nx n sin nx : 2849. cos 2nx : 2850. 2sh1 1 n 1 4n 2 1 n 2 1 2 n 1 ¼áõ·³Ù»ï ¿ R -áõÙ; µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 0; -áõÙ: 2851. ¼áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1 -áõÙ; µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1 -áõÙ: 2852. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 1;1 -áõÙ: 2853. ¼áõ·³Ù»ï ¿ 1;1 -áõÙ, µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 1;1 -áõÙ: 2854. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 1;1 -áõÙ: 2855. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 1; -áõÙ: 2856. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ R \ 1 -áõÙ: 2857. p 1 ¹»åùáõÙ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, ÇëÏ 0 p 1 ¹»åùáõÙ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿: 2858. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ 2 e; -áõÙ: 2859. ´³ó³ñ-
3 17 1 2 17 3 -áõÙ: 2860. ´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³; ; 6 3 Ù»ï ¿ k ; k -áõÙ: 2861. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2862. k Z 6 Ó³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿
гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2863. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2864. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2865. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2866. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2867. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2868. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2869. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2870. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2871. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2872. ³) гí³ë³ñ³x 1
ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2874.
x
f t dt : 2888.
гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2889. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2890. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2891. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2892. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2893. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2894. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 2895. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 2902. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 2903. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 2904. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 2905. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 2907. àã: 2913. àã:
2917. 2 : 2918. ²Ûá: 2919. ²Ûá: 2924. ln x 1
n 1
1 n 1
2 n 1 2n 1!! x 2 n 1 : 2925. n x 1 ; arcsin x x 2n 1 n 0 n 1 2 n !! 2 n 1
xn ; arctgx n
2;2 :
1 1 e e
2927. ; : 2928.
1;1 :
2929.
1;1 :
2930.
4;4 :
2926.
1;1 :
2931.
n 1
1 n 1 x n : 1 1 ; : 2932. 0;2 : 2933. 1;1 : 2934. 1;1 : 2937. 1 n! 3 3 n2 1 n x : 2938. 1 x 2939. x 2n 2 ! 2n 4! n 2 2 n !
2
1n 1 x 2n 1 :
4n n 1
n 1
1
2940.
n 1
1 2
1 2 n n 1 x n 1 :
2942.
1 n 1 x : n
n 1
1
2 2 n 1 n !2 2n 2 ! x 2n : n0
2941.
1 2
2945. 2;
1 ;2 ; 2 2948.
1 1 2
2x 2x 1 1 1 : 2947. sin x 2 cos 2nx : n 1 2 x 2 x 1 n 1 n 2a b sin sin nx a b 2 cos nx : 2949. : 2950. n n n 1 n 1 n
4 1 sin 2n 1x : n 0 2n 12
sin 2nx n : n 1
4 cos 2n 1x : n 1 2n 12
2951.
2952.
1 1n1 p2cos nx2 2 sin p : 2955. 2p n p n1 4 cos2n 1x 16n : 2956. sin x sin 2nx : 2957. ³) 2 n 1 2n 1 n1 4 n 1
2953.
n 1
1 4 n2 n 1
cos nx ;
µ)
2
n 1
n 1
1
sin nx
n
sin 2n 1x
2n 1
;
·)
n0
cos nx sin nx 4 2 2 2 2 4 2 4 : S1 , S2 ; S3 : 2958. ³) 1 ; µ) n n 1 n n 1
2 3 : 2961. ³) f x f x , f x f x ; µ) f x f x , n 8 1 f x f x : 2962. ³) cos2n 1x ; µ) 2n 13 n 1 2 n 1 2 1n sin 2n 1x : 2963. ³) an n , bn n ; µ) 3 2n 1 n 1 2 n 1 2 2 3 3 2 an n , bn n : 2972. : 2973. ³) ; µ) : 2976. k m : m Z , k Z : 2977. 0 : 2978. ln 2 : 2979. 0,5 : 2980. p ! : 2994. àã: 2 n n 1
q 2 xn 2997. 1 : 3017. n n 1 1 q 1 q 1 q
n 1
1 n 1
cos nx ; n
cos nx : n n 1
¶ÉáõË
3030. àã: 3031. 7 : 3032. 23 : 3033. 5;2;7 : 3049. àã: 3050. àã: 3059. 0 : 3060. 3 : 3061. 5 : 3062. 17 4 : 3090. úñÇݳÏ. cos 2 x p x qx , áñï»Õ
p x sin 2 x , »ñµ 0 x 2 , 1 cos 2 x , »ñµ 2 x ; qx cos 2 x , »ñµ 0 x 2 , 1 , »ñµ 2 x : 3091. úñÇݳÏ. sin x p x q x , áñï»Õ p x sin x , »ñµ 0 x 2 , 2 sin x , »ñµ 2 x 3 2 , 4 sin x , »ñµ 3 2 x 2 ; qx 0 , »ñµ 0 x 2 , 2 2 sin x , »ñµ 2 x 3 2 , 4 , »ñµ 3 2 x 2 : 3092. úñÇݳÏ. f x px qx , áñï»Õ p x x 2 , »ñµ 0 x 1 , 2 , »ñµ x 1 , 3 , »ñµ 1 x 2 ; qx 2x 2 , »ñµ 0 x 1 , 2 , »ñµ 1 x 2 : 3097. ³) 17 6 ; µ) 34 3 ; ·) 301 20 : 3098.
2 2 : 3099. 2 e e : 3100. 1 : 3101. 3 2 : 3119. ³) àã; µ) áã: 3126. ϳ٠0 : 3127. f x0 -Ý å»ïù ¿ ã·ïÝíÇ f x0 0 ¨ f x0 0 Ãí»ñÇ ÙÇç¨: 3136. a -Ý ¨ b -Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ A -áí ¨ B -áí ÷á˳ñÇÝ»ÉÇë ÇÝï»·ñ³ÉÇ ³ñÅ»ùÁ Ï÷áËíÇ f b B b f a A a áí: 3144. àã:
¶ÉáõË
3149. ²Ûá: 3154. àã: 3158. ³) y 0 ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ; µ) x 1 ;
y 1 ; ·) x 2 y 2 1 ßñç³ÝÁ; ¹) x 2 y 2 1 ßñç³ÝÇ ³ñï³ùÇÝ Ù³ëÁ; ») 1 x 2 y 2 4 ûÕ³ÏÁ; ½) x x 2 y 2 2 x ÉáõëÝÛ³ÏÁ; ¿) x y 0 ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ; Á) y x
x 0
³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ; Ã) ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ãáñë ûÏï³Ýï-
Ý»ñÁ; Å) x 2 y 2 z 2 1 »ñÏËáéáã ÑÇå»ñµáÉáÇ¹Ç Ý»ñùÇÝ Ù³ëÁ: 3159. ³) ¼áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ; µ) ÙdzϻÝïñáÝ ßñç³Ý³·Í»ñ; ·) »ñµ z 0 , y x áõÕÇÕÝ»ñÁ, »ñµ z 0 ÑÇå»ñµáÉÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù; ¹) ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ; ») 0;0 ·³·³Ãáí áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷áõÝç, ³é³Ýó Ox ³é³ÝóùÇ; ½) ¿ÉÇåëÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù; ¿) ³é³çÇÝ ¨ »ññáñ¹ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ÁÝÏ³Í ÑÇå»ñµáÉÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù; Á) ºñµ z 1 , å³ñ³µáÉÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù; »ñµ z 1 , Ox ³é³ÝóùÝ ³é³Ýó ëϽµÝ³Ï»ïÇ: 3160. ³) ¼áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù; µ) ÙdzϻÝïñáÝ ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù; ·) »ñÏËáéáã ÑÇå»ñµáÉáǹݻñÇ ÁÝï³ÝÇù, »ñµ u 0 ; ÙdzËáéáã ÑÇå»ñµáÉáǹݻñÇ ÁÝï³ÝÇù, »ñµ u 0 ; ÏáÝ, »ñµ u 0 ;
¹) ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, ³é³Ýó x y z 0 ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ: 3162. ³) ln 2 ; µ) 1 : 3163. ³) 1 ; µ) 1 : 3164. ³) 0 ; µ) 0 ; ·) 0 ; ¹) 0 ; ») e : 3165. ³) 1 ; 0 ; µ) 1 ; 0 : 3166. ³) 1 3 ; 1 2 ; µ) 1 2 ; 1 2 : 3167. ³) 1 ; 1 ; µ) 2 3 ;
1 2 : 3168. ³) 1 ; 0 ; µ) 1 2 ; 1 : 3169. ; 1 : 3173. 0 : àã: 3174. àã: 3182. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3183. 0;0 Ï»ïáõÙ Áëï x -Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, Áëï y -Ǫ ˽íáÕ: 3184. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3185. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3186. ʽíáÕ ¿ R \ 0 0 ¨ 0 R \ 0 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³: R \ 0 0 µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ Áëï x -Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, Áëï y -Ǫ ˽íáÕ; 0 R \ 0 µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ Áëï y -Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, Áëï x -Ǫ ˽íáÕ: 3187. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3188. ʽíáÕ ¿ R 0 ¨ 0 R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³: R \ 0 0 -Ç 0 R \ 0 Ç Ï»ï»ñáõÙ Áëï x -Ç ( y -Ç) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, Áëï y -Ç ( x -Ç)ª ˽íáÕ; 0;0 Ï»ïáõÙ ¨° Áëï x -Ç ¨° Áëï y -Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3189. y x ·Í»ñÇ Ï»ï»ñáõÙ ¨° Áëï x -Ç ¨ Áëï y -Ç Ë½íáÕ ¿: 3190. ³) ʽíáÕ ¿ R Z Z R µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: R \ Z Z Z R \ Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ Áëï x -Ç ( y -Ç) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, Áëï y -Ç ( x -Ç)ª ˽íáÕ: Z Z -Ç Ï»ï»ñáõÙ ¨° Áëï x -Ç ¨ Áëï y -Ç Ë½íáÕ ¿: µ) ʽíáÕ ¿ ¨ Áëï x -Ç ¨ Áëï y -Ç x; y : x y Z µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ: 3191. ²Ù»Ýáõñ»ù ˽íáÕ ¿: R I I R µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñáõÙ Áëï x -Ç ( y -Ç) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3206. ³), µ), ·) àã: 3222. ³) 1 ; µ) 1 : 3223. ³) 1 ; µ) e 1 : 3230. гí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý: 3274. àã:
¶ÉáõË 3283. ³) f x 1,1 1 ,
f y 1,1 0 ; µ) f x1,1 , f y 1,1 4 ; ·) f x0,0
f y 0,0 0 ; ¹) f x0,0 f y 0,0 0 3284. ³) f x sin x y x cos x y , f y x cos x y ,
f xy cos x y x sin x y ,
x sin x y ; µ) f x y ·)
f x
y2
x
y2
,
f xx 2 cosx y
x 2x , f y x 2 , f xx 0 , f xy 1 2 , f yy 3 ; y y y y
f y
xy
x
y2
,
f xx
3xy 2
x
y2
,
f xy
, f xx 2 y ;¹) f 2x 1 y x x y cos
y 2x2 y 2
x
y
yy
2 52
x
2 52
, f y
x2 y2
y
cos 2
,
x2 y
x2 2x 4x2 y f xy 2 3 , y x y x2 cos 2 cos 2 y y
x 8x y f xx 2 , y x y x2 cos 2 cos 2 y y tg
tg
x2 2x 2 2x4 y f yy 3 : 3285. ³) y y 2 x 2 x cos cos y y tg
1 y ln x x y 1 , f yy x y ln 2 x ;
f yy
2 xy
x
f xx
µ)
2x
; ·) f xx
y
2 2
2 2
xx
xy
2 2
2 2
x cos , y y3
f xxx
4x 3 cos x 2 2 x 2 sin x 2 , y
f xyy
f 4 y 8x2 y e x x 2 y
m
f xxy
24 y x y 2
µ)
x y
2 4
y z
y2
f xy
,
f yy
2y
1 y
2 2
2x y
x
y2
f xy
x2 y 2
x
y2
; ¹)
;
y xz
z
,
y 0 : 3286. ³)
2 sin x 2 4 x 2 cos x 2 : y2 ·)
xy 1 ; ¹)
x2 x 4x x 2 x cos 4 sin 3 cos ; y y y y y y5
; 1 2 x 3 y 4
x
f xxx
2 xy
, f xy 0 , f yy
1 x 2x y x y sgn y , f , f x y x y
f xx y y 1x y 2 ,
µ) 3287.
³)
3 f 8 xyze x y z , xyz
ln 2 x y ln x 2 z : 3288. ³) m !n ! ; µ)
2 1 m n 1!nx my ; e x y x 2 y 2 2mx ny mm 1 nn 1 ; x y m n 1
¹) x m y n z k e x y z : 3289. ³) ²Ûá; µ) ³Ûá; ·) áã; ¹) áã: 3290. àã: 3291.
u 2 f x y z 4 x f x y z , u 4 xyf x y z , u 2 f x y z 4 y f x y z , u 2 f x y z 4 z f x y z , u 4 xzf x y z , u 4 yzf x y z ; µ) u 2 xf x y , u 2 yf x y , u 2 f x y 4 x f x y , u 4 xyf x y , u 2 f x y 4 y f x y ; ·) u y f x y , u x f x y , ³) ux 2 xf x 2 y 2 z 2 , uy 2 yf x 2 y 2 z 2 , u z 2 zf x 2 y 2 z 2 ,
xy
xx
yy
zz
y
x
xx
xy
yz
xz
yy
y
x
uxx f x y , u xy 1 f x y , uyy f x y ; ¹) u x yf xy g x y f xy g x y ,
uy xf xy g x y f xy g x y ,
u xx
y 2 f xy g x y 2 yf xy g x y f xy g x y ,
uxy
f xy g x y xyf xy g x y x y f xy g x y f xy g x y x 2 f xy g x y 2 xf xy g x y f xy g x y : u yy
x 1 x ux f1 x, f 2 x, , y y y x 2 x 1 f12 x, 2 f 22 x, , y y y y
3292.
³)
x x x f x, , u xx f11 x, 2 2 y y y x x x x u xy 2 f12 x, 3 f 22 x, y y y y x 2x x 1 x x2 2 f 2 x, , u yy 4 f 22 x, 3 f 2 x, : µ) u x f1x y, x y y y y y y y f 2 x y, x y , u y f1x y, x y f 2 x y, x y , u xx uy
f11 x y , x y 2 f12 x y , x y f 22 x y , x y ,
f11 x y, x y uyy
f11 x y , x y f 22 x y , x y , 2 f12 x y , x y f 22 x y, x y ;
u xy
·)
u x cos xf1sin x, cos y ,
u y
sin yf 2sin x, cos y , u xx sin xf1sin x, cos y cos 2 xf11 sin x, cos y , cos yf 2sin x, cos y u xy cos x sin yf12 sin x, cos y , uyy sin 2 yf 22 sin x, cos y ; ¹) ux yf1xy , x, y f 2 xy, x, y , u y xf1xy , x, y
f 3 xy, x, y ,
u xx y 2 f11 xy, x, y 2 yf12 xy , x, y f 22 xy , x, y ,
u xy f1xy , x, y y xf11 xy, x, y f13 xy, x, y xf 21 xy , x, y f 23 xy, x, y , x 2 f11 xy , x, y 2 xf13 xy, x, y f33 xy, x, y : uyy
1 3 :
3302.
3303.
cos sin ; ³) 4 ; µ) 5 4 ; ·) 3 4 ¨ 7 4 : 3304. cos cos cos : 3306. f 0 -Ý n m ϳñ·Ç ½ñá³Ï³Ý Ù³ïñÇó ¿: 3308. ³) ¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿; µ) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿; ·) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿; ¹) ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿: 3309.
df x m 1 y n 1 mydx nxdy ,
³)
2mnxydxdy nn 1x dy ;
d 2 f x m2 y n2 mm 1y 2 dx 2
ydx xdy , d 2 f ydx xdy 2 ; xdx ydy 2 ,d f df e
µ)
e xy y 2 dx 2 21 xy dxdy x 2 dy 2 ;·) df df
¹)
xdx ydy , x2 y 2
d2 f
y
df
x
x
y 2 dz 2 z xdx ydy
y
2 2
y2
x 2 dx 2 dy 2 4 xydxdy
y2
;
»)
d 2 f 2dxdy dydz dzdx ; d2 f
,
x y
2 z 8 xydxdy 3 y 2 x 2 dy 2 4 x 2 y 2 xdx ydy dz
x
x2 y 2
x
df y z dx z x dy x y dz ,
xy
2 3
x
½)
2 z 3x 2 y 2 dx 2
y
:
2 3
3310.
df 1;1;1 dx dy , d 2 f 1;1;1 2dx dy dy dz : 3317. f a, b f : 3318. f a, b x, y bx ay : 3319. y cos xy , x cos xy : 3320.
zx y
z 1
yx y 1 x y ln x 0 z , x y ln x y : 3321. : 3322. 1 0 x cos y sin x sin y df a, b h 2ab 2 h1 : 3323.
z 1
, z x y
sin y sin x sin y 2a 2 bh2 , d 2 f a, b h, l 2b 2 h1l1 4abh1l2 4abh2l1 2a 2 h2l2 :
3324.
df a, b, c h b c h1 a c h2 a b h3 , d f a, b, c h, l h1l2 h1l3 x h2l1 h2l3 h3l1 h3l2 : 3325. df x0 , y0 h h1 02 h2 , y0 y0 2x d 2 f x0 , y0 h, l 2 h1l2 2 h2l1 30 h2l2 : 3326. df x, y h y0 y0 y0
d f x, y h, l cos e y e y sin e y e y h l cos e y e y sin e y e h l h l cos e y e ye x sin e x y h1 e x sin e x y h2 , x
x
2x
2x
x
x
x
x
1 2
df x, y h ye h1 xe h2 ; xy
x02
y02
h2
2x
h2 l2 :
3327.
2 xy
2 y0 z 0
d f x, y h, l y e h1l1 x e h2 l2 2 x0 z0 3328. df x0 , y0 , z0 h h 2 1 x02 y02
xy
e xy xye xy h1l2 h2l1 :
x
2 xy
h3 , d 2 f x0 , y0 z0 h, l y02
x02
2 z0 3x02 y0 h1l1 4 x0 y0 h1l2 4 x0 y0 h2l1 3 y02 x02 h2l2 2 3 x0 y0
2
x0 h1l3 x0 h3l1 y0 h2 l3 y0 h3l2
x02
y02
:
3329.
d 2 f 1,1h, h h12 2h1h2 h22 :
3330. d f 1,2,3h, h 12h12 6h1h2 4h1h3 2h2 h3 : 3331. d 2u x, y h, h
f x y h1 h2 :
3332.
d 2u x, y h, h f t
xh2 yh1 2 2 f t x4
h1 xh2 yh1 : 3333. d 2 u x, y, z h, h f t y 2 z 2 h12 x 2 z 2 h22 x 2 y 2 h32 x3 2 f t f t xyz zh1h2 yh1h3 xh2 h3 : 3334. d 2 u x , y h, h
a 2 f11 h12 2abf12 h1h2 b 2 f 22 h22 :
2 f12 h12 h22 f 22 h1 h2 :
d 2u x , y h, h f11 h1 h2
3335. 3336.
d 2 u x , y h, h f11 yh1 xh2
2 f12
y 2 h12 x 2 h22 yh1 xh2 2 f h h 2 f yh1 xh2 h2 : f 22 1 1 2 y y4 y3
3337.
d 2 u x, y, z h, h f11 y 2 2 f12 y 2 f13 y f 22 2 f 23 f 33 h12 2 f11 xy
x y f12 x y f13 f 22 f1 f33 h1h2 f11 x 2 2 f13 x 2 f12 x f 22 2 f 23
f33 h22
h22 2 f3 4 f33 z 2 h32 8 f12 xyh1h2 8 f13 xzh1h3 8 f 23 yzh2 h3 : d u x, y, z h, h 4
y 2 : 3338. d u x, y, z h, h 2 f1 4 f11 x 2 h12 2 f 2 4 f 22
f11 h12
9
f 22 h22
16
f33 h32
3339.
12 f12 h1h2 16 f13 h1h3
24 f 23 h2 h3 : 3340. d 2 u x, y, z h, h f11 h1 h2 h3 2 4 f12 h1 h2 h3
xh1 yh2 zh3 4 f 22 xh1 yh2 zh3 2 f 2 h12 h22 h32 : 3341. : 3342.
1 sin 2 2 2w : 3343. zv 0 : 3344. uzu z : 3345. sin 2 u 2
2w w 2w 2w 1 2 w : 3346. 0 : 3347. : 3348. : 3349. 1 2 x uv v u 2 u 2 2 2 x 2 2 xy y 2 : 3350. 8 3x 1 11 y 2 x 1 3 x 1 y 2
4 y 2 : 3351. 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 y 1z 1 z 1x 1 x 1 y 1 z 1 3x 1 y 1z 1 : 3352. ³) 0;1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; µ) 1;0 -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3353. ³) ¾ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ãáõÝÇ; µ) x y 1 0 áõÕÕÇ Ï»ï»ñÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3354. ³) 1;1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; µ) 1;1 -Á ¨ 1;1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3355. ³) 0;0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, 1 2 ;1 -Á ¨ 1 2 ;1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý; µ) 2;3 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, 0; y : y 0;6 -Ç Ï»ï»ñÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý, 0; y : y ;0 6; -Ç Ï»ï»ñÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3356. ³) 5;2 3
a b ;
-Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
3 3 1 Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3357. ³)
; -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ
Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; µ)
Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; µ)
0;0 -Ý
a b ; -Á 3 Ï»ï ¿,
1;3 -Á
ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, x 2 y 2 1 ßñç³Ý³·ÍÇ
; – 3 6 1 Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3360. 0;0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3361. ; 2e 2e Ï»ï»ñÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3358. 1;2 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3359.
1 ; -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3362. 1;2;3 -Á 2e 2e ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3363. 24;144;1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3364. 1 2 ;1;1 -Á x z ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3365. a; a; a -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3368. ³) 1, a c
Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
y
1 2 1 : ; ; 6 6
b x 1 y 1 z 1 ; µ) : 3369. z x 2 y 2 ; 2 2 1 ; ; : 3 3 3
z 2x 2 y 2 ;
3370.
: 3372. ; ; 2 2 2
c x02 y02 z02 :
áñï»Õ
x ,..., x : x m
i
z x y ;
3371.
xx0 yy0 zz0 1 ;
x ,..., x : x
R m \ 0 ,
3382.
m
i
0 ,
x j , i j : 3389. ³) 2 ; µ) 1 : 3396. µ) y 1 x 2 ,
y 1 x 2 : 3397. ³) ãáñë; µ) ãáñë; ·) »ñÏáõ: 3398.
y
x0 y0 z0 ; ; , c c c
y
x y , x y
2a 2 x y 2 x2 y2 : 3399. y , y : 3400. y , x y 1 cos y x y x y
y
sin y y 2 1 ln x : 3401. y , y y 2 y 1 ln x 2x y x 1 ln y 1 cos y
1 ln x 1 ln y x 1 ln y x 4 1 ln y
3
: 3402. 1 : 3403. y0 1 3 ,
2 z xy z x2 z2 , 3 : 3405. xy z x z z x 2 z 2 z 2 xz x x 2 z 2 2 zx 2 z x : 3406. x 2 x x z2
y0 2 3 , y0 7 27 : 3404.
z x 2 z 2 z , x x x 2 z 2
z z x 1 y 1 z z x 1 z z z 1 y 1 , , : 3407. xy xy x x 1 z y 1 z 3 y 1 z
z yx y 1 z , x y ln y
z x y ln x zy z 1 , y y z ln y
2 z x y 1 1 ln y x y y1 z ln x xy z F 2 xF2 z F 2 yF2 ln y y ln x ln y y z ln 2 y : 3409. 1 , 1 : 3410. x F1 2 zF2 y F1 2 zF2 z zF1 z zF2 , : 3411. ³) d 2 z x, y h, h x xF1 yF2 y xF1 yF2
F2 F11 2 F1F2F12 F1 F22 h1 h2 2 ; µ) d 2 z x, y h, h yh1 xh2 2 F1 F2 F F 2 F1F2F12 F12 F22 : 3412. d 2 z 3,2h, h 2 2h 2 5h h 2 11 1 2 xF1 yF23
2h22 : 3413.
zxx 0,4 ;
zxy 0,2 ;
zxx
3,152 : 3414. zyy
;
yz zx 3 : 3415. x zxy ; zyy , y , y x x y x y x y
1 3 y z z x x y :3416. y x y x , y x 2x y : 3417. du 1,2 dy , dv1,2 dx dy : 3418. du x, y sin v x cos v dx sin u x cos vdy , x cos v y cos u sin v y cos u dx sin u y cos u dy z 1 2 2 1 dvx, y : 3420. ; x cos v y cos u x 1 2 2 1
z 21 1 2 : 3421. y 1 2 2 1
u 2 r
1
u, v : u v: 3422. X Y X Y : 3424. u v v u
2 u 1 u 1 2u sin r , sin 2 2 r r sin
1 u 2 2 2 r r sin
u : 3426.
m
u 1u r m
k
x n y k n o x 2 y 2 2 :
k 0n 0
3427.
k 1
x k 2n1 y 2 n1 1 x y n o x 2 y 2 m2 :3428. m 2 1n n 2n 1!k 2n 1! n 1 k 1 n 0 m m k 2 k 2n 2 n m 1n x y o x 2 y 2 2 : 3429. o x 2 y 2 2 : 3430. 2n !k 2n ! k 0 n 0 m k 2 n 1 2 k 2 n1 m k m 1 x y : 3431. 1n o x 2 y 2 1n n ! k n ! k 0n 0 k 0 n 0 n 1
m
x 2n y 2k 2n o x 2 y 2 2n !2k 2n !
m
m
:
1
3432.
n
n0
x
2 n 1
y2 2n 1!
m 2 x n y k n : 3434. 3433. 1 o x y n k n k 2 n 1 m m m k x 1n y 1k n n 3435. 1 1 n !k n ! o x 1 y 1 2 : k 0n 0 n 1 m n n 1 y 1 y 1 x 1 o x 1 y 1 2 : 3436. z 1 2x 1 m 1 y 1 8x 1 10x 1 y 1 3 y 1 : 3437. Amn 1
o x 2 y 2
2 m 2
m k 1
:
k
m n ; 1m 1 m n m, n Z
Ï»ï»ñÁ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñ
2 »Ý; »ñµ m n -Á ½áõÛ· ¿ Amn -Á ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿, »ñµ m -Á ½áõÛ· ¿, n -Áª Ï»Ýï Amn -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; »ñµ n -Á ½áõÛ· ¿ ¨ m -Á Ï»Ýï Amn -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ a a a 7 7 7
Ï»ï ¿: 3438. ; ; -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿;
x;0; z : xz a x 3z 0
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý,
x;0; z : xz a x 3z 0
; ; -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ 2 2 2 Ï»ï ¿; 0;0;0 -Ý ¨ ; ; -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3440. z1min 1 , 0;2 µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3439.
Ï»ïáõÙ; zmin
zmax 8 7 ,
0;16 7
Ï»ïáõÙ: 3441.
4 , 1;9 Ï»ïáõÙ: 3442. 1;1 Ï»ïáõÙ
z1max 0 , z1min
2 ,
1;1 zmax
Ï»ïáõÙ;
6 : 3443.
b sgn ab a sgn ab -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; b sgn ab ; a sgn ab -Ý ; a 2 b2 a 2 b2 a b a b ab 2 a 2b -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3445. Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3444. 2 ; 2 a b a b 2;3 -Á ¨ 2;3 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý; 3 2 ;4 -Á ¨ 3 2 ;4 -Á Ù³ùëÇ-
k k ; -Á k Z Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, »ñµ 8 2 8 2 k -Ý ½áõÛ· ¿, ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, »ñµ k -Ý Ï»Ýï ¿: 3447. 4;2;1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; 4;2;1 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3448. x0 ; y0 ; z0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, x0 y0 z0 a áñï»Õ : 3449. a;0;0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿; m n p mn p ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: 3446.
0;0;c -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 3450. 2 1 1 ; ; -Á 6 6 6
1 1 2 ; ; -Á, 6 6 6
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Ï»ï»ñ
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zmax 125 ; zmin 75 : 3458. zmax 1 ; zmin 0 : 3459. umin 0 ; umax 300 : a 3463. ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý -Ç: 3464. ²ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý n n 2 1 n 1 n 1 n n -Ç: 3465. x a xk , y N yk , z N zk , áñï»Õ N xk N k 1 k 1 k 1 k 1
p 2p 2 y k zk : 3466. àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÝ »Ý ¨ : 3467. k 1 k 1 n
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Ax0 By0 Cz0 D 7 2 : 3468. : 3469. d A B C áñï»Õ
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3483. max max i , min min i , áñï»Õ 1 , 2 ,..., n Ãí»ñÁ 1 i n
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2e : 3497. 2 : 3498. : 3501. ³) àã; µ) e 1 y sin y cos y 1 e4 y e y áã: 3502. ³) àã; µ) áã: 3503. : 3504. : 3505. 2y y2 3491. 1 : 3492. 1 : 3493. 1 : 3494. ln
1 1 2 ln 1 y 2 2 sin 2 y 2 2 sin y 2 1 sin b y y : 3506. : 3507. y y y b y y 1 1 1 sin a y y : 3508. 1 ln 1 y 2e 2 y 1 ln 1 y 2 e 2 y : 3509. a y y y
àã: 3510. àã: 3532.
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3534.
1 p 1 q 1 B , : 3535. 2 2 2
1 1 1 1 1 1 m 1 : 3536. : 3537. : 3538. 2 2 2 2 cos n n n n
2 2 2 a 4 2 : 3539. : 3540. : 3541. : 3542. : 3543. : 3544. 9 3 3 3 2n 1!! : 3545. 0 : 3549. ln 1 2 : 3550. ³) ln b 1 ; µ) a 1 2 n 1 1 b 2b 2 arctg b 1 arctg a 1 ; ·) ln 2 : 3551. f x a f x a : 2 a 2b 2 2a 3552. 3 f y 2 yf y : 3553. 2 f y , »ñµ y a; b ; 0 , »ñµ y a; b : 3554.
y y2 1 f t 2h 2 f t h f t : 3555. n 1! f x : 3562. ln : 3563. h2 sgn x ln 1 x : 3576. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ0 : 3564. 2 arcsin x : 3565. ·³Ù»ï ã¿: 3577. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿: 3578. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 3579. ³) гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿; µ) ѳí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 3580. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ã¿: 3581. гí³ë³ñ³ã³÷ ½áõ·³Ù»ï ¿:3585.
: 3586. 1 : 3589. 1 : 3590.
1
2n 1 !! n 2 b ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3591. ²ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: 3597. a : 3598. ln : 3600. 2 2n !! a
³) ln
2 2 : 3603. b a 1 ; µ) 0 ; ·) ln : 3601. ln : 3602. 2 ln a 2 b 2
1 2 2 ln 1 : 3605. ³) ln 1 ; µ) ln 2 : ln 2 : 3604. 2 3602. arctg
: 3609. : 3610. sgn : 3611. : 3612. : 3613.
sgn sgn : e a
b 2 ac a
: 3617.
3 2 sgn :
3614.
2 |a | e : 3618.
3615.
:
3616.
b2
1 4a : 3619. e : 3620. 2 a
b 2 2 n b 4a n e : 3621. 1 2 n 1 e b :3622. e : 3623. sgn e : 3624. 4a a
1 e 2 : 3625. 1 e : 3626.
ac b 2
p
cos
bp a e a
ac b 2
: 3627. ³,µ)
ac b 2 sin sgn a : 3629. sin a 2 : 3630. ³) a a 1 n! 1 p ; µ) ; ·) ; ¹) ln 1 : 3634. : 3635. n 1 p 2p p p p p 1 q sin q
1 : 3628. 2 2
2n 1 n 1 k 2 2
n n B , : 2 2
Bm 1, n 1
a n
3636.
b a m n 1 : a c n 1 b c m 1
m 1 m 1 p n b n B
m 1 m 1 ,p : n n
3638.
3637.
1 1 1 B ,1 : 3639. p 1 : 3640. p p q
2 cos p d p 1 2 2 3 1 cos p 3641. : 3642. : 3643. : 3647. dp a p 1 sin 2 p sin 3 p
a
p 1
2 p cos
a p1
a 0 : 3648.
p
2 p sin
p
, »ñµ a 0 ; 0 , »ñµ a 0 : 3649.
ctgp : 3650. ln 2 : 3651. ln 2 aln a 1 : 3652. : 3655. 4n
2 : 3656. cos x :
¶ÉáõË 3679.
x 1
y
dx
3686.
40 11 5 40 11 : 3680. 2; 2 ; 13 : 3684. n 3n n 3n
dy f x, y dx : 3685.
1 1 ln : 3653. 2
x2
f x, y dx :
y
dx f x, y dy dy f x, y dx :
1
dx f x, y dy
f x, y dy dy f x, y dx dy
x
y
3687.
y 1
1 x 2
dx f x, y dy
1
1 x 2
1 y 2
dy 1
f x, y dx :
f x, y dy
x2
f x, y dx : 3689. 2 : 3690.
f x, y dx :
dx f x, y dy :
3698.
y 2
6 y
x
x2
y
y 2
3703.
3x
2 2 y y2
f x, y dx : 3706.
e
y
y
y
f x, y dx :
3702.
y
3 2 y
3704.
dy
2 y
dy f x, y dx :
dx f x, y dy :
dy f x, y dx : 3701.
12 x
dy f x, y dx
3699.
e
f x, y dx : 3700.
dy
x
dy
a 3 : 3695. F A, B F A, b F a, B F a, b : 3697. dy f x, y dx y 2
dy
: 3692. : 3693. :
2 : 3691.
y 2
3694.
dx f x, y dy
y
dy
2x 2
dx
3688.
1 y 2
dy f x, y dx :
3705.
y
p5 1 1 1 4 : 3707. 14a 4 : 3708. arctg ln : 3709. 2 3 6 5
y2 2
a : 3710.
2
a
a cos
d rf r cos , r sin dr : 3711. d rf r cos , r sin dr :
2 sin 4
2
3712.
d
rf r cos , r sin dr :
2
3713.
4 cos
d rf r cos , r sin dr :
4
2a : 3715. 6 2 : 3716. ab : 3717. : 3718. 2 : 3719. 15 2 : 3723. a 2 : 3724. : 3725. 2 ln 2 a : 3720. ab : 3721. : 3722. 8 b a :3730. a 2 ln 2 : 5 2 a : 3726. : 3727. 2a 2 : 3728. a 2 : 3729. 2 1 1
3714.
3731.
q p s r : 3732. : 3733. 16 : 3734. abc : 3735. 2a 3 : 3736. d
16 3 a 3 3 : 3737. R : 3738. 2 a 3 : 3739. : 3740. : 3741. : 3 4 b3 a3 9 4 a 3742. : 3743. a : 3744. : 3745. ln 3 : 3746. : 3747. abc 2 a 3h R 5 : 3748. : 3749. : 3750. : 3751. : 3752. : 3753. a4 2 abc : 3754. : 3755. : 3756. : 3757. : 3758. : 3759. a 3 : 4R 3 a 3760. abc : 3761. : 3762. 2 2 b 3 a 3 : 3763. : 3764. 3
49 3 a : 3765. b 3 a 3
2 2 3 : 3766. a 3 : 3784. ³) ´³ó³ë³Ï³Ý; µ) 4
a a 2 y 2 dy f x, y dx y 2 2a a a
¹ñ³Ï³Ý:
3786.
arcsin y
arcsin y
dy f x, y dx :
a2
4
a2
3788.
arcsin y
1
2
a2 y 2
dy f x, y dx
a 2 2 ay
10 y y 2
dy f x, y dx :
3789.
1 cos
2 arcsin y
a2 y2
a
2a 2a f x, y dx dy f x, y dx : a y 2 2a a2 y2 2a
dy f x, y dx dy f x, y dx :
3787.
3790.
y
1 sin
d rf r cos , r sin dr d rf r cos , r sin dr
rdr
2
arcsin
r
f r cos , r sin d rdr f r cos , r sin d :
3791.
arccos r
2
rf r cos , r sin dr rdr f r cos , r sin d :
d
2 sin 4
3
2 cos
4d 0 rf r dr 12
2 2
2r
2
3793.
2 2
arcsin
d rf r cos , r sin dr rdr sin
arccos
3792.
rf r dr 3 arccos r rf r dr :
cos
4
arccos 2r
1 4 r 2 1 2r
f r cos , r sin d
cos 2
arcsin
1 4 r 2 1 2r
f r cos , r sin d :
rdr
arccos
r
rf r dr : 3795.
3797.
2
3 4
rf r dr
b a R 3 :
cos 2 sin 4
sin 2 f d : 2
3798.
15 4 a :
3799.
3801.
a 2 :
3802.
³)
f tg cos 2 d : 3796. 2 2
1
4 arccos r rf r dr
3794.
1 arccos rf r dr : r 3 arcctg k :
3800.
6 b 2 bb h b h 2b h bb h ; aa h a a h b b h
µ)
3 b 2 : 2a
3803.
2
f ar cos , br sin d :
2v 2uv v 4 udu f , dv : 3804. ab rdr u v u v u v 3 12 2
3805. 4
3807. 2
1
a
a
sin 3 v cos 3 vdv uf u cos 4 v, u sin 4 v du : 3806.
a u f u du : 2 a
1 u 2 f a 2 b 2 u c du : 3808. ln 2 f u du : 3809. 2 : 3810.
9 5 3 1 2 3 9 a2 : 3811. : 3812. : 3813. : 3814. : 3815. 4 3 1 3 8 ln : 3816. 4 3 2 4 3 : 3818. p q pq : 3819.
6 3 a2 : 3820. :3821. b a n a 2 3822. ln 1 2 : 3823. : 3824. ab ab 21 a 2 b 2 3827. : 3828. ab : 30c 256 h 2 k 2
m a b m n ab mn : a2 5 2 : 3825. a : 3826. a 2 : 3 3 2 3829. a : 3830. ab :
3831.
4 a3 3a 4 189 1 12 2 ln 2 : 3833. : 3834. : arctg ab : 3832. 16 3 25 9 2 2c
3835.
16 3 40 32 ac 2 2 a : 3836. 3 a 3 : 3837. : 3838. a b :
ab am 1 3839. a m 3a 2 5am 3m 2 : : 3840. abc : 3841. 12 c 3 16 abc a2 3842. : 3843. 8a 2 : 3844. 8a 2 : 3845. 20 3 : 3846. 2 2 : 3 ab 3847. ln 1 : 3848. 20 3 : 3849. 3 2 2 a 2b 2 1 1 2 1 3 10 ln 3 10 : 3850. : 3851. abc 2 a b 2 a 2 b 2 c 2 c3
a 2 2 1 abarctg : 3852. 2a 2 : 3853. ln 2 : 3854. abc : 3855. : b 2 1 1 1 8 1 2 3856. 3857. 2 2 b a 1 2 2 4 ln : 32 m n x y F t 2 dxdy 3858. ³) F t 4t 2 f t 2 ; µ) F t x t 2 y t 2 1 x y
3 F t xyz f xyz dxdydz : 3859. t Vt
0 , »ñµ m , n ¨ p Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ Ï»Ýï
m 1!!n 1 !! p 1!! 4 , m n p 1!! mn p3 p 1q 1 r 1 3860. s 1 : p q r s 4 ¿;
»ñµ m , n ¨ p Ãí»ñÁ ½áõÛ· »Ý:
1 x x 1 x 3861. dx dz f x, y , z dy dz f x, y, z dy 0 0 x zx
1 y z 1 y dz dy f x, y , z dx dy f x, y , z dx : 0 z y z
z2 x2
z
z2 y2
dx dz f x, y, z dy dz dy f x, y, z dx :
3862.
x
1
z x
z
z y
x 2 1 x2 1 dx dz f x, y , z dy dz 0 0 x2
1 z f x, y, z dy dz dy 0 0 zx2
2 dy f x, y , z dx dz 1 z
dy
z y2 x
f x, y , z dx : 3864.
z y2
x 2 f d :
2
2
r dr cos d f r sin cos , r sin sin , r cos d : a
4
a cos
d sin d f r sin cos , r sin sin , r cos r dr :
f x, y, z dx
2
3867.
z 1
2 z 2 f z dz 2 z 2 f z dz : 2a
3866.
3865.
3863.
2
2
3868.
a cos
d sin d
f r sin cos , r sin sin , r cos r 2dr : 3871.
2a3 :
a 32 3 a3 a 3 : 3873. a : 3874. : 3875. : 3876. 2 a 3 : 3877. a 3 : abc 2 1 abc abc 4 3878. : 3879. : 3880. : 3881. abc : 3882. 2 4 554400 3872.
abc pq a abc p5c 4 p a 8a : 3883. : 3884. x0 , y0 : 3885. 60 aq bp p c p
a 2 2 3a 3b : 3886. x0 , y0 : 3887. x0 , y0 : 3888. 3 4a a 1 4 x0 y0 : 3889. x0 y0 : 3890. a 2 sin 2 9 3 x0 y0
ab3 a 3b 4h1h2 a12 h22 a22 h12 a 4 cos sin 3 : 3891. I x , Iy : 3892. : a1b2 a2 b1 3 9a ; : 3894. x0 0 , y0 0 , z0 h : 3895. x0 y0 z0 : 4 2 3 x y z 3 2 n 3 n x y z 9 3896. 0 0 0 : 3897. 0 0 0 : 3898. a b c 4 1 n 4 n a b c 448 3893.
x0 0 , I yz
a bc
y0 0 ,
z0
c : 3899.
I yz a 3bc
I xy I zx 1 2 1 n 3 n : 5 n ab3c abc 3 5n 2
I xy I zx 15 2 : 3900. ab 3c abc 3 256 2 3901.
Iz
4 4 2 5 :
a 5 abh 2 c2 :3903. I x b 4h 2 : 3906. v1 v2 sh2u2 sh 2u1 c u2 u1 sin 2v2 sin 2v1 : 3907. 10 2 arcsin : 3908. a 2 : 3910. 6 : 3911. a 2 1 b 2 1 asin 2 sin 1 ; 4 2 ab : 3913. 7 7 1 1 ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 ¨ q 1 : 3914. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 : 3915. p q 3902. I z
: 3917. ¼áõ·³Ù»ï ¿: 3918. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 1 1 3919. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 : 3920. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p : 3921. p q 1 1 1 ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1 : 3922. ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p 1 : 3927. p q r ¼áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ p
n
n 1
n
2 2 h1 hn a an 2 a1 an : 3928. r n : 3929. 1 : 3930. : 3931. 1 n 2 n! n 1 n 2 8abc 1 m 1 n 1 p an : 3932. : 3933. : 3934. mn mp np 1 m 1 n 1 p n! n 1! 2n 1 n 1
n2
R n 1 2 2 2n n 1 n 2 !!
n 1
n
R n 1 2 2 , »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿, 2n 2 , »ñµ n -Á ½áõÛ· n 1 n 2!!
n 1
¿: 3935.
: 3941. : 3942. 1 : 3944. 0 : n 1 n 1 2
¶ÉáõË 3947.
2 2 : 3948. ln
3952.
a 3 : 3953.
2 3a 2 4 2b 2
ab a 2 ab b 2 5 3 : 3949. 1 2 : 3950. 0 : 3951. : 3a b
256 3 a : 3954. 2 2 a 3 1 2 2 : 3955. 2 : 3956. 1 a 2 b 2 : 3957. 2 t0 2 2 2 : 3958. 2 1 : 3959. 3
: 3960. ln 2 1 : 3961. 2 ln 1 2 : 3962. 3 : 3963. : 3964. ln 4 : 3965. 8 : 3966. : 3967. : 3968. 2ab : 3969. 2a 2 : 3970.
: 3971. a 2 : 3972. 2 : 3973. 0 : 3974. 13 : 3975. 8 : 3976. 12 : 3977. 4 : 3978. 2 : 3979.
x y x x dx y y dy :
1:
3983.
u
2 2
3984.
arctg
3980. 62 : 3981. 1,5 : 3982. 9 :
53
:
3x y C : 2y 2
3985.
3986.
u
3988.
e x y x y 1 ye x C : 3990.
0:
x 3 3 xy 2 C :
2 y2 ln x y C : x y 2
3987. 3989.
x 1 3 x y 3 z 3 2 xyz C : 3991. x y
xy a 4 C : 3992. 44 : 3993. : 3994. 2ab : 3995. e 1 : 3996. 0 : z 3997. 1 3 : 3998. 1,125 : 3999. 0,8 : 4000. ab : 4001. 0,375ab : 4002. a 2 6 :
4003. 3 3 4 3 : 4004. ³)
7 21 ; µ) : 4005. ³) R 4 ; µ) 1 2 :
H a2 H 2 3 3 125 5 1 3 1 ln 2 : 4007. : 4008. 2a ln : a a 4 4009. sin cos 2 : 4011. 2a 2 : 4012. 2a 2 2 2 : 4013. a 3 : 4014. a 2 2a 2 sin : 4015. : 4019. 2 : 4020. 2 , »ñµ 0;0 -Ý å³ïϳ4 ÝáõÙ ¿ L -áí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ïÇñáõÛÃÇÝ ¨ 0 , »ñµ 0;0 -Ý ãÇ å³ïϳÝáõÙ 4006.
³Û¹
ïÇñáõÛÃÇÝ:
4021.
1,5a 2 :
4022.
a2 :
4023.
1 4 3 : 4024.
a2 B 2m 1,2n 1 , áñï»Õ B -Ý ¾ÛÉ»ñÇ µ»ïï³ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 4025. ab 2 1 n ab n 1 , áñï»Õ -Ý ¾ÛÉ»ñÇ ·³ÙÙ³ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 4026. 1 : 2n2 n n n sin n 4027.
abc 2 : 4028. r 2 n 1n 2 : 4029. r 2 n 1n 2 : 4030. 4a 2 : 22n 1
µ)
2 3 R :
7 2a 3 : 4034. 2a 4 : 4036. H 3 : 4037. ³) f a f g b g 0 4038. 4R 3 : 4039. abc a b
4032. 4 2 3 a 4 : 4033.
0;
hc h0 8 : 4040. a b c R 3 : 4042. a 2 3 : 4043. 40 3 : 4044. c
h3 : 4045. 0 : 4046. 2aa h : 4047. 2Rr 2 : 4048. 3a 4 : 4049. ³) 2,4a 5 ; µ) 4 2 b 2 a c : 4054. a 3 : 4055. 2 2a 2b : 4056. ³) 10 : 4050. 1 : 4053. 3 2 3;2;6 ; µ) 7;0;0 ; grad u 0 2;1;1 Ï»ïáõÙ: 4057. ³) z 2 xy ; µ)
x y 0 ¨ x y z ; ·) x y z : 4058. x a 2 y b 2 z c 2 1 : u 2u u , áñï»Õ r x y z ; grad u , r r r u cos »ñµ a b c : 4063. 2 , áñï»Õ -Ý l -Ç ¨ x; y; z Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ l r grad u , grad v í»ÏïáñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿: 4064. : 4069. ³) 28 ; µ) 18 125 : grad v 8 9
4059. arccos : 4062.
4073. ³) i j ; µ) 1,25i j 2,5k : 4074. 2 : 4077. ³) 0 ; µ) 0 : 4078. 3 8 :
4079. 5 : 4081. 188 21 : 4082. 0,75 3 e 4 12e 2 : 4083. ³) 2 ; µ)
4 3 : 4085. 4 : 4086. 2S : 4087. xy e z C : 4088. xy yz xz C : 4089. àã: 4090. ²Ûá: 4091. ²Ûá: 4093. mS e x2 y2 m e x1 y1 m y2 y1 x2 x1 y2 y1 : 4094. sgn ad bc : 4095. n D , I sgn : 4097. 2P : 4098. »ñµ U 2R ln R , D x, y x ; y i 1
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¶ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Á.Ï. Äåìèäîâè÷ // Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ìîñêâà “Íàóêà”, 1977. Í.Ì. Ãþíòåð, Ð.Î. Êóçüìèí // Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ìîñêâà “Ãîñòåõèçäàò”, 1957, ò.ò. 1-3. Ë.Ä. Êóäðÿâöåâ, À.Ä. Êóòàñîâ, Â.È. ×åõëîâ, Ì.È. Øàáóíèí // Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ìîñêâà “Íàóêà”, 1984, ò.ò. 1-3. È.Â. Âèíîãðàäîâà, Ñ.Í. Îëåõíèê, Â.À. Ñàäîâíè÷èé // Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ìîñêâà, Èçä. ÌÃÓ, 1988. Ã. Ïîëèà, Ã. Ñåãå // Çàäà÷è è òåîðåìû èç àíàëèçà. Ìîñêâà “Íàóêà”, 1978, ò.ò. 1-2. Á. Ãåëáàóì, Äæ. Îëìñòåä // Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå. Ìîñêâà “Ìèð”, 1967. Â.À. Ñàäîâíè÷èé, À.Ñ. Ïîäêîëçèí // Çàäà÷è ñòóíäåí÷åñêèõ îëèìïèàä ïî ìàòåìàòèêå. Ìîñêâà “Íàóêà”, 1978. Ì. Ñïèâàê // Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç íà ìíîãîîáðàçèÿõ. Ìîñêâà “Ìèð”, 1968. À.Å. Àâåòèñÿí, Ã.À. Òîíîÿí // ×èñëîâûå ðÿäû è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åðåâàí, Èçä. ÅÃÓ, 1978. À.Å. Àâåòèñÿí, Ñ.À. Àêîïÿí, Ã.À. Òîíîÿí // Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíîñòü, ïðîèçâîäíàÿ. Åðåâàí, Èçä. ÅÃÓ, 1981. À.Å. Àâåòèñÿí, Ñ.À. Àêîïÿí, Ã.À. Òîíîÿí // Èíòåãðàë. Åðåâàí, Èçä. ÅÃÓ, 1984. àõ. èáõ¹ÇÝ // سûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ÑÇÙáõÝùÝ»ñÁ. ºñ¨³Ý “ÈáõÛë”, 1975. ¶.². îáÝáÛ³Ý // àõë³ÝáÕ³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÙñóáõÛÃÝ»ñ. ºñ¨³Ý, ºäÐ, 1978. È.Ð. ¶³ÉëïÛ³Ý // î³ëÝ»ñÏáõ ËݹÇñ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉǽÇó. ºñ»í³Ý, ºäÐ, 1990.
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¶ÉáõË 10. Âí³ÛÇÝ ß³ñù»ñ ¨ ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ¶ÉáõË 11. üáõÝÏóÇáÝ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ß³ñù»ñ . . . . . . . . . . . . . . 39 ¶ÉáõË 12. ì»ñç³íáñ í³ñdzódzÛÇ ýáõÝÏódzݻñ, êïÇÉï»ëÇ ÇÝï»·ñ³É . . . 76 ¶ÉáõË 13. Þ³ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñ, ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 ¶ÉáõË 14. Þ³ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ¹Çý»ñ»ÝóáõÙÁ, ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzݻñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ¶ÉáõË 15. ä³ñ³Ù»ïñÇó ϳËí³Í ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ¶ÉáõË 16. Þ³ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ÇÝï»·ñáõÙÁ. . . . . . . . . . . . . 173 ¶ÉáõË 17. Îáñ³·ÇÍ ¨ ٳϻñ¨áõóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ, í»Ïïáñ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ï³ññ»ñÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 203 ä³ï³ë˳ÝÝ»ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 ¶ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
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