Տարրական էկոնոմետրիկա

ՀՈՍ ԱՈՈՂՄ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԼՈՒՍԻՆԵ

ՂՈՒՇՉՅԱՆ

ՏԻԳՐԱՆ

ԹԵՐԶՅԱՆ

ԼՈՒՍԻՆԵ

ԴԱՎԹՅԱՆ

220.4 (077) ղ- 94

ԷԿՈՆՈՄԵՏ

ՏԱքքՕՈՒ1/0 հոտ քսնիաենո 7Տ

ՁՒՕԱՕԲՕեյ կ. ՏԸՕՄՈ

(5սռքօոէ/Թ՛ Ըռոսոյդ/ ՕՍԱՇՑՇԻ ծոճժ ՍՈԽԾՏԾ/ 16օ0իյոց) Թ/0ց/9Ռ, /ԽՈՕԲՁ եյ էհճ 8Ա՛6ծս ՕԲ ԷՕԱՇշեցոժ/ ծո. ԸՍս/Չ/ 4/Թ9)75ՕՒ էհճ ՍՈ/ՇՕ ՏէՅէ6Տ Օճքգոնր6ոէՕ/ 51316 (ԷԸձ), Սոց6 Ձ0հՕՌՒ/ՕՐ6 Բսեոցիւ-Իօյ5 461 0/ 1961 85 8 6ոՕ60, ծՈոԺ Օյ ՈՏ(ՅԾՕ եյ էհ6 Օքճո ՏՕԶԲՈ/ մոտեն թ (ՕՏ) տոմ Լիճ ԶԸ Էճսօշենո Թ/0)66Լ (ԸճՔ). 76 օքյոյ0ոՏ ճյք/6ՏՏ6Թ Ռ6/թյո Ձ/Շ

(հտ ՕՄցՅՈՒ26ՈՏ/ՁՍէԻ0ՒՏ

Օտտո ծոմ

00 ոօէ Ո6ԸՇՏՏՅՈՒՆ

6ք/6ՏՏ (ՌԾ Մ/6/5 ՕՐԲԸ4, Օ51 07 ԸԷՔ.

ԼՈՒՍԻՆԵ ՂՈՒՇՉՅԱՆ

ՏԻԳՐԱՆ ԹԵՐԶՅԱՆ

ԼՈՒՍԻՆԵ ԴԱՎԹՅԱՆ

ԶԵՍԹ ԵՐԵՎԱՆ

ՀՏԴ

ԳՄԴ

այն

.րատարակության են երաշխավորել երՊՏԻ ն Մաթեմատիկականմեթոդների ն Մակրոէկոնոմիկայի

մոդելավորման ամբիոնները Գրախուներ՝ տ.գ.դ.,

պրոֆ.

որութ»

Մ. Ա.

Ը."

Միտոյան Լազեր

Մասն. խմբագիր տ.գ.դ., պրոֆ. 3. Բ.

Ղուշչյան

է Համալսարանական Գիրքը հրատարակվել արտաժամյա ուսուցման ե

աջակցության (ԳԱՌՒԱ/ ՏՇՕՄ՛)

ծրագրիօժանդակությամբ:

Ղ 977

ՂուշչյանԼ.

Հ ն

Տարրական ուրիշ.

էկոնոմետրիկա: Լ, Դաթյան

Ուս. ծեռնարկ Գության որզան: ոբերջ Հարոն"2888 /Լ.

Տ:

ի ունք

ին

հավանակա-

կիրառվող Գրքում ներկայացվումեն էկոնոմետրիկայում հիմնավիճակագրության մաթեմատիկական նություններիտեսության ն լուսաբանվում հասկացությունները թեորեմները, չափ ն բազմաչափ մոդելներիվերլուծությանեղանակները: գծային

կան

ե.

որից հետո

/ /սփոփոխությանարդյունք

ՄԱՍԻՆ

գրքի լույսընծայումը հեղինակների մտածողության է ն

նոր գաղաւիարներըի մի

բերելու, հանրությանը ներկայացնելու նպատակ ունի: Գրքի ղինակներից երկուսը մագիստրոսի կոչումներ ստացել

հե-

են ԱՄՆ

համալսարաններում,որտեղ տնտեսագետկադրերիպատրաստման կրթականծրագրերըէապեստարբերվումեն մեր հանրապետությունում գործող ծրագրերից: եթե տնտեսագիտությանմասնագիտությունների ոլորտում մենք ուսուցանում ենք տեսական գիտելիքներ` հիմնականում որակական վերլուծությունների վրա

ընթերցողինծանոթացնել էկոնոճետրիկայի

տարրակա

ՀԵՂԻՆԱԿՆԵՐԻ

եներկ-

է տնտեսագիտական Նախատեսվում բարձրագույն ուսումնական հասնան տատություններիուսանողների, դասախոսների. ինչպես գործնական աշխատողների համար:

հիմնված, ապա ամերիկյանուսուցման համակարգըմեծ ուշադրություն է դարձնում տնտեսությանօրինաչափությունների քանակական վերլուծություններին ն ուսուցման

բոլոր

մակարդակ-

ներում (բակալավրիատ, մագիստրատուրա, դոկտորանտուրա) տարբեր խորությամբ ուսումնասիրվում է էկոնոմետրիկայիդան սընթացը:

Պեղինաննե ղինակները

ն եւ ցանկացել

են

Եռնան րնանի

ե ն պետակա

տնտեսագիտականինստիտուտին տնտեսագետ կադրեր պատրաստող

մյուս ԲՈՒՀ-երի համար ստեղծել «էկոնոմետրիկա»ա-

ռարկայիուսումնականձեռնարկ: Նրանց`

կապված է Ոռողոոդոըց

Ղ0:13(Թ2002 Բ.

|ՏՑՎ 99930-819-0-6

«ԶԵՍԹ»

նան

գիրք

հրատարակելու հնարավորությունը

ստացած ամերիկյանկրթության հետ, քանի

որ

Համալսարանական ն արտաժամյա ուսուցման աջակցության (ՎԱՌւԱ)ծրագիրը, ԱՄՆ պետդեպարտամենտի կրթությանն մշա-

ԳԱՈՒՑՔ

նման

հրատ., 2002

կութային հարաբերությունների բյուրոյի օժանդակությամբ,ֆինանսավորում է միայն ԱՄՆ-ում "ՍՏԵԼ" ծրագրով կրթություն ստացած մասնագետներիաշխատանքներիհրատարակումը: Գրքի առաջին մասը ն մատրիցայինհանրահաշվին վերաբերող հավելվածը շարադրել է Երեանի պետականտնտեսագի-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

տական ինստիտուտի Մաթեմատիկականմեթոդների

մոդե-

լավորման ամբիոնի դոցենտ, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտուքյունների թեկնածու Տ.

Ի.

Թերզյանը: Տ. Թերզյանը

շուրջ

հինգ

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹ

տարի դասավանդում է «էկոնոմետրիկա» առարկան, սկզբում՝

ինստիտուտի ինժեներատնտեսագիտական ֆակուլտետում, նան

նուհետն՝

այ-

մյուս ֆակուլտետներում:Հեղինակի համոզմամբ,

առանց հավանականություններիտեսության, մաթեմատիկական

վիճակագրությանն մատրիցային հանրահաշվիիմացության, էկոնոմետրիկայիուսումնասիրությունը թերի է ն ոչ հիմնավոր: Գրքի ներածությունը, երկրորդ մասը ն բազմակոլինեարությանն

ու

րադրել է

ավտոկոռելյացիայինվերաբերող հավելվածները շաԱՄՆ «Սենթրալ Միչիգան» համալսարանում «էկոնոմի-

կա» ծրագրով մագիստրոսիկոչում ստացած Լ. րորդ

Հ.

Ղուշչյանը, եր-

ԱՌԱՋԱԲԱՆ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՄԱՍ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԳԼՈՒԽ

1.1.

եմ, որ գրքի հրատարակումը մեծապես կնպաստի

փությունների մասին, որի հիման վրա է ցանկացած մոդելներ ու մեթոդներ: մաթեմատիկական Որքանով է

դա

հաջողվել հեղինակներին ն խմբագրին,կգնա-

ընթերցողները:Սակայն որնէ աշխատանք ընթերցողի դատին ներկայացնելուհամար անհրաժեշտ է նախ իրագործել այն, ոհատեն

րին ն ձեռնամուխենք եղել երիտասարդ հեղինակներիհետ:

Դուշչյան

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ

Պատահարներ

1.3.

Միացություններիտեսությանտարրերը

1.4.

Վավանականություններիդասականսահմանման

1.5.

Դ6 կիրառություններ վիճակագրականսահմանումը 39 Վավանականության

1.6. Պատահարի պայմանական հավանականությունը ն

Երիտասարդ մասնագետների նախաձեռնությունըխթանելու նպատակովես համաձայնվեցիիրականացնելդրա խմբագրման աշխատանքը, նկատի ունենալով, որ էկոնոմետրիկայիձեռնարկ շա-

փոփոխությանօրինաչահնարավոր օգտագործել

ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

որոշ

հեղինակների առջն դրված նպատակների իրագործմանը ն տվյալ առարկայի դասավանդմանշրջանակներիընդլայնմանը:

ԵՎ

1.2.Պատահարի հավանականությունը

ծրագրով մագիստրոսիկոչում ստացած Լ. Ա. Դավթյանը:

ներ տնտեսականերնույթների էության

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ծը` ԱՄՆ «Բոուլինգ Գրին Սթեյթ» համալսարանում «էկոնոմիկա»

րադրելիս առաջին հերթին անհրաժեշտ են ճշգրիտ պատկերացում-

մասը ն հետերոսկեդաստիկությանըվերաբերող հավելվա-

Վստահ

հավանականություններիբազմապատկման 1.7. :

1.8.

թեորեմը

Լրիվ հավանականությանն Բայեսի բանաձները

Երկրաչափականհավանականություններ

1.9. Գոնե

մեկ պատահարիերնալու

հավանականությունը

1:40Բերնուլիի փորձերը

շ ԳԼՈՒԽ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

2.1.

Պատահականմեծություններ

2.2.

Դիսկրետպատահականմեծություններ

2.3.

Անընդհատպատահականմեծություններ

2.4.

Երկչափպատահականմեծություններ Պատահական մեծությանֆունկցիայիբաշխումը

2-5. 2.6.

Հավանականությունների Լ. 77,Ստյուդենտի

Ֆիշերի բաշխումները Պատահական մեծությանմաթեմատիկական

2.7.

սպասումը ն դրա 2.8.

հատկությունները

Պատահական մեծությանդիսպերսիան

ն դրա

2.9.

հատկությունները

Պատահական մեծությանթվային այլ բնութագրիչներ 2.10.Երկչափ պատահականմեծության 2.11.

բնութագրիչները

Բազմաչափ նորմալպատահականմեծություն,

դրա

2.12. Մեծ

2.13. ԳԼՈՒԽ 3

հատկությունները թվերիօրենք:

Վերցվածքային(ընտրանքային) բազմություն,

հիմնականբնութագրիչները Փորձնական բաշխման ն խտությանֆունկցիա դրա

Յ.2. 3.3. 3.4. Յ.5.

ՄԱՍ լ

(հիստոգրամ)

Անհայտպարամետրերի գնահատումը Վստահելի միջակայք

ն դրանց Վիճակագրական վարկածներ ստուգումը

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՈՎ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ՄՈԴԵԼ ԳԼՈՒԽ 4

ԵՐԿՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

4.1.

ն ընտրանքի Վամախմբության ռեգրեսիայի

ենթադրությունները

գործակիցը Դետերմինացիայի

4.6.

Գաուս-Մարկովիթեորեմը 4.5. Սխալներիդիսպերսիայի գնահատումը 4.4.

ֆունկցիաներ

մեթոդը Փոքրագույն քառակուսիների Դասականգծայինռեգրեսիայիմոդելի

4.2. 4.3.

Ամփոփում

1Դ

ԳԼՈՒԽ 5

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

ՀԱՐՑԵՐ ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

Հավանականությունների

կենտրոնական ն սահմանային Սլուցկու թեորեմները Պայմանական մաթեմատիկական սպասում

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ 3.1.

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

5.1.

Դասականնորմալ գծայինռեգրեսիայիմոդել

5.2.

Վարկածիստուգում

5.3.

արդյունքների Ռեգրեսիայիվերլուծության

գնահատումը

Ամփոփում

ՀԱՐՑԵՐ ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

Հավելված 5.1.

ՄԱՍ |

ԲԱԶՄԱԿԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ

ԳԼՈՒԽ

ՄՈԴԵԼ

ռեգրեսիայի Բազմակի փոփոխականներով

6.1.

մոդելի ընդհանուր բնութագիրը 6.2.

Վարկածներ

Ամփոփում Հավելված 5.1.

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՄՈԴԵԼԻ ՖՈՒՆԿՑԻՈՆԱԼ ՁԵՎԵՐ

7-2. 73.

7.1.

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ԳԼՈՒԽ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՄՈԴԵԼ

Լոգարիթմականգծայինմոդել մոդել Մասնակիլոգարիթմական մոդելներ մեծության Հակադարձ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Ամփոփում

ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

ՀԱՐՑԵՐ

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

41.1. Գործողություններ մատրիցներիհետ

1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

Մատրիցիհետքը ե որոշիչը (դետերմինանտ) Մատրիցիռանգ Վակադարձմատրից արժեքներն Մատրիցիսեփական սեփականվեկտորներ Սիմետրիկմատրիցներ մատրիցներ Իդենպոտենտ

ՀԱՎԵԼՎԱԾ 1

ԱՌԱՋԱԲԱՆ

վը

տարիներինՀՀ-ում, շուկայական տնտեսությանն

անցմանը զուգընթաց, էկոնոմետրիկա գիտությունը

բուռն զարգացում է ապրում

աստիճանաբարժամանակակից

Բազմակոլինեարություն

Ավտոկոռելյացիա

ն մակրոտնտեսագիտության կողքին: միկրոտնտեսագիտության

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

կան համեմատաբարերիտասարդ գիտություն է: Գտնվելով մի

Աղյուսակ 1. Փ(«) ֆունկցիայիարժեքները Աղյուսակ 2. Փ (2) ֆունկցիայիարժեքները

շարք

մակրոտնտեսագիտություն, հավանականությունների տեսուք-

Ա.

Բ.կետերոսկեդաստիկություն Գ.

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

է բաշխմանկրիտիկական Աղյուսակ 3. Ստյուդենտի

կետերը Աղյուսակ 4. բաշխմանկրիտիկականկետերը

Ֆիշերի Բ

արժեքները

Աղյուսակ 7. առ

ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ

տեստի կրիտիկականարժեքները

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆՑԱՆԿ

Տնտեսագիտական գիտությունների շարքում էկոնոմետրի-

յուն,

բաշխմանկրիտիկականկետերը 272 Աղյուսակ 6.Դարբին-Վաթսոնի (ԾՄ/)Մ տեստի Աղյուսակ 5.

տնտեսագիտականկրթության մեջ գրավում իր արժանի տեղը

գիտությունների «եզրին» (տնտեսագիտությանտեսություն,

մաթեմատիկականն տնտեսական վիճակագրություն

այլն) հանդիսանում է անընդհատզարգացող

գիտություն, որի

ընդգրկման շրջանակների ամբողջականությունըդժվար է ներկայացնել համառոտ: Ըստ

էության էկոնոմետրիկան գործիքների համախմբութ'

յուն է, որի միջոցով, փորձնականտվյալներիվերլուծության արդյունքում,

ուսումնասիրվում

գնահատվում

են

տնտեսական

երնույթների քանակական կախվածություններիձներն ու չափը՝

հնարավորությունընձեռելովկանխատեսումներանել գիտական այս կամ այն երնույթի ապագա րաբերյալ:

տնտեսա-

(անցյալ) վարքի վե-

ԱՌԱՋԱԲԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Ներկայացնենք

տնտեսագիտության ն

էկոնոմետրիկայի

բնագավառի մի քանի խոշորագույն գիտնականներիբնութագրումներըէկոնոմետրիկագիտության վերաբերյալ.

«էկոնոմետրիկանթույլ

է տալիս քանակապես վերլուծել ի-

էկոնոմետրիկական են հա վանակամ կիրառվում հիմնականու վերլուծություններում վիճակագրության մատիկական ն մաթե տեսության հանգամանքը, Հաշվի առնելով այն

նությունների հար կ հեղինակները եղանակները,

են

որ

համարելգրքի առաջին ն մաթեմատեսությանը

րի հավանականություննե են մասում սահմանվում

րական տնտեսականերնույթները`հիմնվելով տեսության ժամա-

մասը նվիրել

նակակից նվաճումների ն եզրակացություն անելու հնարավորություն ընձեռող դիտարկմանմեթոդներիվրա» (Սամուելսոն):

ա յն թեորեմնեձնակերպվում հասկացությունները հաջորդ հիմնական շտ են գրքի որոնքանհրաժե

«էկոնոմետրիկայիհիմնական խնդիրըտեսական տնտեսագիտական դատողությունները էմպիրիկ (փորձով հաստատված)

բովանդակությամբհարստացնել ն

է»

(Կլեյն):

«էկոնոմետրիկայինպատակը տնտեսագիտական օրենքները

փորձով հաստատվածարդյունքներից բխեցնել ն է: Էկոնոմետ-

րիկան լրացնում է տնտեսագիտականտեսությունը արդեն ընդունված առնչություններըստուգելու

ճշգրտելու համար օգ-

տագործելովփաստացիտվյալներ» (Մալենվո): Այս գիրքը «էկոնոմետրիկա»առարկայի հայերեն լեզվով

ա-

ռաջին ձեռնարկն է: Վերնագիրը «Տարրական էկոնոմետրիկա» արդեն հուշում է,

որ

գրքի նպատակըսկզբնական

էկոնոմետրիկական հասկացություններինն

(տարրական)

բնութագրիչներին

պարզագույն էկոնոմետրիկական մոդելներինն դրանց ման

գնահատ-

եղանակին, ինչպես նան մոդելների գործակիցների վիճա-

կագրականվարկածներիստուգմանը ընթերցողինծանոթացնելն ն Գիրքը առաջին հերթին հասցեագրվածէ տնտեսագետներին հատկապեստնտեսագիտությունուսումնասիրողուսանողներին:

է:

Գիրքը բաղկացած է ներածությունից, երեք մասերիցն վելվածներից:

Ներածությունումներկայացվել

հա-

էկոնոմետրիկայի մեթոդաբանության հիմունքները,էկոնոմետրիկականմոդելի առանձն էկոնոմետրիկայումօգտագործվողտվյալնահատկությունները ների ձները ն աղբյուրները:

են

մ յս

տիկականվիճակագրությանը:

այն

րը

(առանցապացուցման),

համար:

մասերը մատչելիդարձնելու

սկսնակ ուսումնասիրող

ան

էկոնոմետրիկ ԳՐՔ ի առածանոթանալ

Այս պատճառով

կզբում

խորհուրդէ տրվում ընթերցողին ս

ջին մասին,հետո անցնելմյուս Պետք է նշել, որ

տեսությանըն

ուսումնասիրությանը:

մաս երի

առաջինմա սում

հա

վանականություններ վերաբերող

վիճակագրությանը մաթեմատիկական քան անհրաեն տրված, ությա մբ

ավելի խոր տեղեկությունները ի ժեշտ է ներկայացվողնյութ այն կայն հեղինակներն

համար:

յան ուսումնասիրութ

Սա-

տեղեկութլրացուցիչ կարծիքին ավելի հիմնավոր հե տագայում են, որ

կօգնեն յունները ընթերցողին

էկոնոմետրիկան: ուսումնասիրելու ված է էկոնոմետրիկայի ներկայաց

ւմ Գրքի երկրորդ մասո է երկու գլուխնեբաղկացած Այն մոդել ռեգրեսիա երկչափ մոդելը:1 է երկու փոփոխականներով րկչափ ռեգրեսիայի վերաբերու գլուխը գծայինմորից: Առաջին

պարզագույն Բացի այդ, գնահատմանը: դրանց ուսումնասիրությանը, կովիթեորեմը,որը էդելների

րող դասականպայմաններըբավարա ած է

ն ապացուցվ ձնակերպված

Գաուս-Մար

մեկն

է:

Երկրորդ

թեորեմներից առանցքային վերակոնոմետրիկայի ն ների նշանակալիության է գնահատակա նվիրված գլուխը որակի բնութագրիչների մոդելի

բերյալ վարկածիստուգմանը,

Ուսումնասիրվող կիրառությանը:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ն արհեստականորեն ված գնահատականների ստացված մեծություններիտնտեսագիտական մեկնաբանությունները:

Գրքի երրորդմասում մեկնաբանված են դասական պայմանները բավարարող գծային բազմաչափ մոդելի

հիմունքները`

համապատասխանվերլուծություններկատարելու հիմնական ն պայմաններով: հասկացություններով Լուսաբանվածեն վարկածների ստուգման առանձնահատկությունները բազմակի ռեգ-

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

րեսիայի մոդելի համար, ինչպես նան անհրաժեշտտեստերը, դրանցիցբխող եզրակացությունները:

Դասականգծային ռեգրեսիայիմոդելի

ենթադրությունների

պայմաններըստուգելու նպատակովհավելվածներում ներկաեն յացված բազմակոլինեարության, հետերոսկեդաստիկության,

ավտոկոռելյացիայիհիմնախնդիրներիհամառուտ էությունը դրանց հայտնաբերման եղանակները:

Տն

ինչպես գիտենք,

տնտեսության զարգացման օրինաչափությունները,

սակայն քանակականգնահատականչի տալիս դրանց: Այսպես,

Վեղինակներըշնորհակալ կլինեն գրքի կառուցվածքի,տեղ գտած վրիպումների,անհրաժեշտլրացուցիչ մեկնաբանություն-

ըստ

ների վերաբերյալտեղեկատվության,ինչպես նան կատարված

շուկայական գնին ն ուղիղ

դիտողությունների համար: ն առաջարկությունների

աին

միկրոտնտեսագիտությանտ̀վյալ ապրանքի

արար

հակադարձ համեմատական է տվյալ ապրանքատեսակիմիջի մտին: Ըստ

սպառողի եկահամեմատական մակրոտնտեսագիտության`ամբողջական պահան-

ջարկը հակադարձ համեմատական է

գների մակարդակին ն

պայմանավորվածէ դրամավարկայինն հարկաբյուջետային քաղաքականությամբ: Ինչպես տեսնում

ենք, տնտեսագիտության

տեսության դրույթները իրենց բնույթով որակական են: էկոնո-

մետրիկան Ուսումնասիրում է տնտեսականերնույթների քանակական օրինաչափությունները: Այն օգտագործելով վիճակագ-

րության, տնտեսամաթեմատիկական,մաթեմատիկականվիճակագրությանմեթոդները՝էմպիրիկգնահատական է տալիս տնտեսագիտության դրույթներին: Տնտեսագիտության տեսության եզ-

րակացություններըստուգելու նպատակով էկոնոմետրիկանօգտագործում է նան վիճակագրությանտվյալները: Ավելին եթե վի-

ճակագրականտվյալները ճիշտ չեն գնահատված,էկոնոմետրի-

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ճիշտ չեն գնահատված,էկոնոմետրիկանմշակումէ

րը

այդ

սխալ-

ն ճշտելու մեթոդներ: ները հայտնաբերելու

էկոնոմետրիկայիուսումնասիրության հիմնական գործիք ռեգրեսիայիվերլուծությունն է,

որը թույլ

է տալիս

պարզել

իը

փոփոխականիզգայունությունը այլ փոփոխականինկատմամբ: Ի

տարբերությունկոռելյացիայիվերլուծության, որը

ցույց

տա-

լիս երկու փոփոխականների միջն կապի աստիճանը,ռեգրեսիայի վերլուծությունըփորձում է գնահատել ն

արականի Սիրի

արժեքը մեկ

այլ

վուտրականի ձեգ վա.

հրեն

թյան

տրված արտածին(էկզո-

Պետք

ժամանակ ենթադրվում է,

կապը վիճակագրականէ,

ոչ

մեկ կանխատեսել

շառ որ

ռեգրեսիայի

մոդելիգործակիցները, հաշվարկել ստուգել մոդելը,

մասին: փոփոխության երնույթի

թե ֆունկցիոնալ, այսինքն փոփո-

դասընթացըկարելի է բաժանել երկու մաէկոնոմետրիկայի սի՝ տեսականն կիրառական: |

Տեսականըուսումնասիրում է որոշակի մեթոդներտնտեսական երնույթներըգնահատելու համար, մշակում է վիճակագրա-

ըստ

գործում է տեսականի եզրահանգումները տնտեսագիտության

բնագավառի ուսումնասիրության համար: Այսինքն` տեսա-

անը

մշակում է տեխնիկա,իսկ կիրառականըդա ,

Կո

օգտ

գործնականում: էկոնոմետրիկայիմեթոդաբանություն | ույթների

տեսում

տնտեսական եր-

գնահատման ն վերլուծության ժամանակ նախա-

է.

ընտրել մաթեմատիկական մոդել,

վերափոխելայն վիճակագրականմոդելի,

գտնել համապատասխան տվյալներ,

տնտեներկայացնել

մակրոտնտեսագիտական

բաժանվում տնտեսությունում փակ է

երեք խմբի

/«ՇՕՀԻՄ1ՀՇ,

որտեղ

է, գնումները: իսկ ներդրումները

սպառումը -ը՝ ներդրումները Օ-ն՝ պետական

Շ-ն

է ե կամտից,

Իր հերթին, սպառումըֆունկցիա

տոկոսադրույքից: փոխհարաբերութն սպառման եկամուտների Վետնաբար, մոհետնյալ մաթեմատիկական գնահատել ենք յունները կարող դելի օգնությամբ Ր

կան մոդելներ կիրառելով մաթեմատիկական վիճակագրական

վերլուծության մեթոդները:Կիրառականէկոնոմետրիկանօգտա-

Փորձենքնշվածհաջորդականությունը գիտենք, Ինչպես օրինակով: որնէ հասկացության սագիտական արդյունքը տեսության ազգային

փոփոխականների

ական խազաննորը պատահականբնույթ ունեն:

տնտեսական

կանխատեսումնե կատարել

ող

ԻՆ Է

ումն է,

ԳՆ են: Ընդ

գործակիցներն

մոդելի ն իսկ Թօ-ն Թ.-ն

որում, թօ-ն տվյալ

ազատ ֆունկցիայի է տա-

որը ցույց գործակիցը, անկյունային մեկ միավոր սպառումըեկամտի փոփոխվում

անդամնէ, իսկ թ. -ը է լիս, թե ինչպես

ունի ֆունկցիան ավելանալուդեպքում:Տվյալ կականտեսքը (գրաֆիկ1).

Այս

մ է, մոդելը ենթադրու

մաթեմատիկական

հետնյալ գրաՖֆիոր

ն սպառման

էկոնո-

կախվածություն: ունի որոշակի եկամտիմիջն գոյություն է, քանի որ տվյալ մոդելը թերի տեսանկյունից մետրիկական տարբեր խմբերի գրեթե հնարավորչէ, որ իրականկյանքում

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ էԿՌՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

որտեղ՝ 6-ն մոդելի սխալն է՝ այն

գործոնների հանրագու-

բոլոր

մարը, որոնք ազդում են սպառման վրա, սակայն որոշակիորեն

ընդգրկվածչեն մոդելում: Աղյուսակ1. Ե/ամուտներըն սպառմանծավալները(հազ.դրամ)

ք,

ԱԻ

Եկամուտներ

Սպառում :

սահմանային հակման Ֆունկցիան

մեկ միավորավելանալուդեպքում սպառման վարքագիծըայդ

խմբերիհամարտարբեր է: Եթե փորձենքպայմանականօրինակով ներկայացնելսպառումը տարբերեկամուտունեցող խմբերի

համար (տես աղյուսակ 1),

ապա

5.3

7.6

10.0

11.0

3.1

|16

|22

|35

|55

|85

|106

12:

|67

|86

|92

|648

|864

Միջին

2.7

18128

Գրաֆիկ 1. Սպառման

սպառման հակվածությունը հավասարլինի: Իրականումեկամտի

1.4

ո,

մուտ

| 276 | 402

ԿԱԾ

Ո2

| 122

կտեսնենք, որ միննույն եկա-

ունեցող խմբերի սպառման վարքագիծըտարբերվում է

րա

միմյանցից:Որոշակիդեպքերում, ավելի քիչ եկամուտ ունեցողի սպառումըկարող է գերազանցելշատ եկամուտունեցողի սպա-

"Ո .

ռումը: Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ չնայած տատանումներին, խմբերիմիջին սպառումըուղիղ համեմատական է նրանցե-

«.

կամուտներին:

Հաշվի առնելով սպառման ծավալներիտատանումները՝ կարելի է ներկայացնել սպառման սահմանայինհակմանէկո-

նոմետրիկական մոդելը (տե՛ս գրաֆիկ 2). Տ

ԿՒծ,

ի «

Գրա Սա/ րաֆիկ 2. Սպառման

սահմանային վիճակագրական յինհակման հակման վիճակագրակ

թյունը մայղվաժու

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Մոդելըկառուցելուցհետո այն պետք է գնահատելգ̀տնելով համապատասխան տվյալները: Տվյալների առկայությունը ն ճշտությունըէկոնոմետրիկական վերլուծության

նախապայմաններից մեկն

է-

Նշենք,

որ

տագործվողտվյալներըկարողեն լինել. 1.

՞.

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

բաժնում տրվում

ամենակարնոր

էկոնոմետրիկայում Օգ-

են

՛ոալիս

ո-

րոշակի ժամանակահատվածում տնտեսականերնույթի փոփո-

օրինաչափությունները:

խությանդինամիկայի

էկոնոմետրիկայի համարզանգվածայինտվյալներկարելի է

համարել գյուղատնտեսական

մշակաբույսերի միջին բերքատ-

վությանցուցանիշները՝կախվածհողի բերրիությունից, ոռոգման

ն այլն: հնարավորություններից

Խառը տվյալներիօրինակէ

առանձինընկերության բաժնետոմսերիկուրսիտատանումները ժամանակի Մեր

հանրապետությունում սպառման մասին տվյալների

պաշտոնականաղբյուրը յության

ընթացքում:

ՀՀ

ազգային

ծառավիճակագրական

են ազգային համախառն տվյալներն ներքին արդյունքի

(ՀՆԱ) արտադրությանն բաշխման վերաբերյալ:Չնայած ՀՆԱ տվյալները ներկայացվում են նան պետական այլ մարմինների ՀՀ կենտրոնական կողմից:Օրինակ, բանկի տարեկանհաշվետվություններիառաջին «Տնտեսության ընդհանուր

բնութագիրը»

վերլուծութհնարավոր կատարել էկոնոմետրիկական վրա ման յուններ տնտեսականզարգացման ընդհանուրքանակական է

Վերը նշված աղբյուրներից համապատասխան տվյալներ

հավաքագրելուցհետո`

վերլուծության միկարելի է ռեգրեսիայի

ջոցով գնահատել մոդելի գործակիցները:Գոյություն ունեն գոր-

տվյալներ,որոնք արտահայտում են նույն տնտեսականերնույթիբազմություններ,

Ժամանակայինը այն տվյալներնեն, որոնք ցույց

վճարային հաշվեկշռիտվյալները, որոնց հի-

րինաչափությունների բացահայտման համար:

ժամանակիընթաց-

խառը՝ տվյալներ,որոնք պարունակումեն երնույթներիտարածականն ժամանակային փոփոխությունները:

ն ՀՀ

իրավիճակի,13 պետամակրոտնտեսական

օ-

ժամանակայինշարքեր՝ տվյալներ,որոնք արտահայտում են տնտեսականերնույթի փոփոխությունը

քում, զանգվածայինշարքեր՝

կան բյուջեի

են

ծակիցների գնահատման մի քանի եղանակներ:Մենք կներկա-

յացնենք փոքրագույնքառակուսիներիմեթոդը, որը մեծ կիրա`

ռություն ունի էկոնոմետրիկայում:Գրականության մեջ հաճախ

օգտագործվում է մեթոդի անգլերեն հապավումը` ՕԼՏ

(Օոփոճո/

ԼԾՁՅՏէ ՏզսՅ:Թ):

Տվյալ մոդելը երկչափ ռեգրեսիայիմոդել է, քանի որ կախյալ եփոփոխականը՝սպառումը, բացատրվումէ մեկ փոփոխականի՝

կամուտներիօգնությամբ: Եթե փորձենք ներկայացնել ոչ թե ամբողջական, այլ ապ-

սպառումը, ապա, րանքատեսակի է յան` այն ուղիղ

ըստ

միկրոտնտեսագիտութ-

համեմատական սպառողիեկամտինն հակա-

դարձ համեմատականտվյալ ապրանքատեսակի միջին շուկայական գնին: Հետնաբար,տվյալ հիմնահարցիլուծման համար

կիրառվողմոդելը կունենա հետնյալ տեսքը. Տ

806.2

Տ. ՒՔ22Կ

որտեղ՝ 8ց-նկայուն սպառումն է,

ք,-ն սպառման սահմանայինհակումն է եկամտինկատմամբ, 8շ -ն՝ սպառման ծավալի կախվածություննէ ապրանքատեսակի

գնից, Քւ-ն մոդելի սխալն է:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Նշենք,

որ

այն մոդելը, որում կախյալ փոփոխականը բա-

կոչվում է բազմացատրվում է մեկից ավելի փոփոխականներով, չափ ռեգրեսիայիմոդել:

Տվյալ բանաձնըհաճախ կոչվում է վարքագծիբանաձն, քա-

նի

որ

արտահայտում է տվյալ ապրանքատեսակի նկատմամբ

ՄԱՍ |

ն ապրանքիգնից: սպառողիվարքագիծը՝կախվածիր եկամտից

Սպառողիվարքագիծը բացահայտ կերնա մոդելի գործակիցները

գնահատելուց հետո, սակայն նշենք,

որ

տեսականորենԵ.-ը

արտահայտում է դրական, իսկ Եշ-ը` բացասական կախվածություն:

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԵՎ

ՎԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Մոդելի գործակիցներըգնահատելուց հետո անհրաժեշտ է

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ստուգել` ստացված արդյունքները համապատասխանումեն արդյոք

տնտեսագիտության տեսականդրույթներին: Ռեգրեսիա-

յի վերլուծության արդյունքների համապատասխանելիությունը է տնտեսագիտականտեսությանը ստուգվում

"վիճակագրական

վարկածիտեստիմիջոցով:

Եթետվյալ մոդելը հաստատում

ԳԼՈՒԽ

նշվածվարկածը,այն կա-

ն տնտեսական է օգտագործելհետագականխատեսումների րելի

քաղաքականությանմշակմանհամար:

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

1.1.

Պատահարներ

ՀԻսումնասիրելիս

փորձերն դիտումներ:

ն ն

ուբնությանօրինաչափություններն սահմանելիս հարկ է լինում կատարել

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Միննույն պայմաններումկատարվող փորձերի արդյունքները կարող են տարբերլինել: Այլ կերպ ասած` փորձի կամ դիտման

արդյունքներըպատահականբնույթ ունեն, դրանք հնարավոր չէ միանշանակկանխատեսել: Պատահարի սահմանումը տալու համար անհրաժեշտ է տվյալ փորձին համապատասխանող տարրականպատահարների կամ ելքերի տարածությանգաղափարը: Սահմամում

Փորձի՝ իրար բացառող ելքերի կամայական

բազմությունը անվանում ենք տարրական պատահարների կամ ելքերի տարածություն, եթե փորձիցանկացածելք կարելի է

- բազմությանտարրերիմիջոցով:

ներկայացնել

նենք տարրականպատահարներ կամ ելքեր:

Դիտողություն.Փորձի` իրար բացառող ելքեր ասելով` նկատի ունենք փորձի այնպիսիելքեր, որոնք համատեղհանդեսգալ չեն կարող: Այստեղիցհետնում է, որ,

ըստ

էության, փորձիտար-

րականպատահարըկամ ելքը փորձիչտրոհվող ելքն է, ն (2 մությունը` փորձիբոլոր չտրոհվողելքերի բազմություն:

բազ-

1.Ենթադրենք`նետվածէ մետաղադրամը: Եթե մետաղադրամի մի երեսը նշանակենք Ճ-ով, իսկ մյուսը 8-ով, կազմվածկլինի փոխբացառող Ճն Ց ելքերից:

ապա

Օ-ն

2.Ենթադրենք՝նետված Քանի որ զառն ունի վեց նիսէ զառը:

տեր, ապա ակնհայտէ, որ (2-ն բաղկացածկլինի 6 տարրերից: Նշված երկու օրինակներն ունեն մի ընդհանրություն. երկուսում

էլ

(2-տարածությունը վերջավորէ: Սակայնպետքչէ կարծել.

գոյություն չունեն անվերջ տարածությամբ փորձեր: Բերենք այդպիսիփորձիօրինակ: որ

երնա Ճ-երեսը: Այս դեպքում որպես փորձի տարրականելք` կա-

րելի է ներկայացնել հետնյալ հաջորդականությունը՝(8,8,...,8,Ճ): Պարզ է,

որ

նշված հաջորդականություններնանվերջ շատ են,

բոլորն իրարիցտարբեր, ուստի այս դեպքում (2-ն չի կարող լինել

վերջավոր, այն անվերջ բազմությունէ:

Հետագայում կդիտարկենք միայն այն դեպքերը, երբ Օ-ն վերջավոր կամ հաշվելի բազմություն է: րով

տարածություններինանվանում են

Նման

տարրականելքե-

դիսկրետտարածություն-

ներ: շ.

Պատահար ասելով կհասկանանք2-ի ցան-

կացած ենթաբազմություն:

Պատահարներըընդհանրապեսնշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով:Ասում ենք՝Ճ

պատահարըտեղի է

ունեցել, եթե տեղի է ունեցել Ճ-ին պատկանողորնէ տարրական

պատահար: Սահմանում

2-ին համարժեք է հետնյալ` առավել տարած-

ված սահմանումը. Սահմանում

բերենք մի քանի օրինակ.

Յ.Ենթադրենք` մետաղադրամընետվում է այնքան, մինչն

Սահմանում

(2 բազմությանտարրերը նշանակենքՓ-ով ն դրանք անվա-

ՏԱՐՐԵՐԸ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

Փորձի կամ դիտմանյուրաքանչյուր հնարա-

վոր արդյունք անվանումենք պատահար: Սահմանում

ՅՑ

նԹ

պատահարներիգումար՝ՍՑ(4Հ8),

անվանում են այն պատահարը,որը բաղկացածէ Ճ-ին կամ 5-ին

պատկանողտարրականպատահարներից: Քանի

որ,

ըստ

սահմանում

2-ի, պատահար է Զ-ի կամա-

յական ենթաբազմությունը,ուստի պատահարըկարելի է նույնացնել բազմությանհետ, որն ավելի է հեշտացնումպատահար-

ների միջն գործողություններիկատարումը: Ճ

ն Ց պատահարներիգումարը ներկայացված է Նկ.

Սահմանում

1.1-ում:

3-ին համարժեքէ հետնյալ սահմանումը.

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Սահմանում 3

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Ճ ն 8

պատահարների գումար /ՍՑ-ն, պատահար է, որի դեպքումհանդես է գալիս ՃեՑ պատահարներից գոնե մեկը:

Նկ. 1.3-ում ներկայացված

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

/18

ՏԱՐՐԵՐԸ

տարբերությունը:

Նկ.1.3 Նկ. ն 1.1

Սահմանում

արտադրյալ`ՃՈՑ

ն Ց

պատահարների (88), անվանումեն այն պատահարը,որը բաղկացած է միաժամանակԲ-ին ն 8-ին պատկանողտարրականպատահարներից: Նկ. 1.2-ում պատկերված է ՃՈՑպատահարը:

Սահմանում

5-ին համարժեքԷ հետնյալ սահմանումը՝

Սահմանում

5. Ճ ն Ց

պատահարներիտարբերությունՃ8-ն

այն պատահարնէ, որի դեպքումՃ պատահարըհանդես է գալիս

առանցՑ պատահարի: Սահմանում

բազմությունը անվանում են հավաստի

պատահար: Օ -ն, որպես ենթաբազմություն,ինքնին պատահար է, այն-

ՃՈՑ

պիսի պատահար,որ փորձի յուրաքանչյուր ելքի դեպքում

րաժեշտաբարտեղի է ունենում, այստեդիցէլ առաջացել է անվահավաստի պատահար: նումը՝

Քանի որ Նկ.1.2 Սահմանում

4-ին համարժեք է հետնյալսահմանումը.

Սահմանում 4: Ճ ն Ց պատահարների արտադրյալ ՃՈՅ-ն,

պատահարէ, որն իրենիցներկայացնումԷ Ճ համատեղհանդեսգալը: Սահմանում

ՃԲ ն

անհ-

ն Ց

ՃՅ(Ճ-8), անվանում են այն պատահարը,որը բաղկացածէ Բ-ի այն տարրականպատահարներից, որոնք չեն պատկանում8-ին:

դատարկբազմությունը կարելի է համարել ցան-

կացած բազմության ենթաբազմություն, ուստի այն նույնպես պատահար է: Այս պատահարը,ի տարբերություն (2 -ի, փորձի յուրաքանչյուր ելքի դեպքում անհրաժեշտաբարտեղի չի նում:

պատահարների

պատահարների տարբերություն`

«7

Սահմանում

7 7

պատահարն անվանում են

պատահար: Սահմանում

84 Ճ

լիս

անհավաստի

պատահարըկոչվում է 8-ի մասնավոր

դեպք՝/Ճ «8, եթե Ճ պատահարիհանդես գալուց, նան Ց-ն:

ունե-

հանդես է

գա-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՀՎԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Սահմամճում9. Ճ ն 8

պատահարները կոչվում են համարժեք կամ հավասար,եթե Ճ-ն 5-ի մասնավոր դեպքն է, իսկ 8-ն՝Ճ-ի

մասնավորդեպքը: (ՃՀՑ,

Սահմանում 10ՕՃնեթ պատահարները կոչվում են անհամա-

տեղելի, եթե ՃՈ

Սահմանում 10-ը կարելիէ ձեակերպելնան Սահմանում 70: Ճ ն Յ

հետնյալկերպ`

պատահարները կոչվում են անհամատեղելի, եթե դրանցիցմեկի հանդեսգալը տվյալ փորձում բացառում է մյուսի հանդես գալը: Սահմանում

Ճ պատահարըկոչվում է

պատահարի

հակադիրպատահարկամ Բ-ի լրացում, եթե Ճ- Օտ: Նկար 1.4-ում ներկայացված է Ճ-ի հակադիրպատահարը:

ՏԱՐՐԵՐԸ

Ենթադրենք`նետված է երկու զառ: Որպեստարրականպատահարներիտարածություն` կարելի է դիտարկել (ւ|)

|-16

եքեՃճ-Շ8,8-Շ Ճ)

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

1Հ

16:

թվազույգերի բազմությունը, որոնց թիվը հավասար է

36-ի: ԴիտարկենքՃ-ՀվԲյ Այստեղ Ճ

3) նԿ8-0-6) պատահարները:

Վ(1,1):(1.2): (2,1)) տարրականպատահարների

-ն

բազմությունն է, իսկ 8-ն՝((1,6):

(2,6): (3,6): (4,6): (5,6):

(6,6)

տարրականպատահարներիբազմությունը: Ինչպես տեսնում ենք՝Ճ

ն Ց

պատահարներըմիաժամանակ

հանդես չեն կարող գալ: Այստեղիցհետնում

է, որ Ճ ն 8-ն անհա-

մատեղելիպատահարներեն: ԴիտարկենքՃՍՑ պատահարը:Ըստ սահմանման՝

ՍՑՀՎ1):(12):

(2,1): (16): 26): 56): (46):

(56)

հետնյալ տարրա(զույգ է)), այստեղ Շ-ն Ենթադրենք՝ՇՀՎ կան պատահարներիցբաղկացած պատահար է՝Վ(1,2):(1.4): (16): (22): (24), (3.2): (34): (3.6): (42): (4.4): (46): (5.2), 5.4): (56): (6.2): (6,4) Ճ ն Շ

Նկ.1. մահմանում ձում

12.

Ճ. Բ»...

Ճո պատահարները տվյալ փոր-

կազմում են լրիվ խումբ, եթե այդ պատահարներից առնըվազն մեկը անհրաժեշտաբար հանդեսէ գալիս:

հետնում է, որ եթե /., 42, Սահմանումից /խ պատահարներըկազմումեն լրիվ խումբ, նշանակումէ`նշված պատահարնե....

րը սպառում են ասած`

7, Ճշ,

փորձիբոլոր հնարավորարդյունքները:Այլ կերպ ՃՈ պատահարների լրիվ խումբկազմելը հա-

է՝ Ճ ՍՃ2Ս..ՍԽՀ-Օ:

մարժեք

(6,6)):

պատահարներիարտադրյալը

կլինի հետնյալ պատա-

ՃՇ-Վ(1.2)) հարը՝ Ճ

ն Շ

պատահարներիտարբերությունըկլինեն հետնյալ

պատահարը՝Ճ.ՇՀՎ(1.1): (2.1)): |

Շ պատահարիհակադիրպատահարըկլինի՝ (13): Շ»Վ(1,7:

(1,5): (2.7): (2,3): (2,5): (3,1): 03):

(35):

(4,1): (4,3): (4,5): (5.1): (5,3): (5,5): (6,1): (6,3): (6,5):

Պարզ է,

որ

խումբ ՇՍՇ»-Զ:

Շ պատահարներըկազմում

են

լրիվ

ՏԱՐՐԱԿԱՆԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Պատահարների գումարին, արտադրյալին ն

յանը

բնորոշ

են

տարբերութ-

հետնյալ ակնհայտ

(ընթերցողին առաջարկվումէ

1. ԲՍԲՀՃ

հատկությունները

ապացուցելինքնուրույն). '

ԲՍ2ՀՃ

/ՍԶ-Ձ

է, քան մյուսներինը: գերադասելի Օրինակ, եթե միատեսակ դետալներից բաղկացածխմբիցպատահականվերցնենքմի դելը

7 ԲՈԶ-Ճ

տալ, ապա

յուրաքանչյուրդետալիերնանգալը հավասարահնարավոր Է: Պարզէ, որ եթե դետալները միատեսակչլինեին ն իրարից տարբերդետալների քանակներըլինեին տարբեր, ապա յուրաքանչյուրդետալիերեան գալը հավասարահնարավոր չէր լի-

4ՈՃ-2

9. Ճ6-Չ

1014-Ճ

նի:

11.6Բ18-4ՃՈ8

Դհտողություն, 4-րդ հատ կությունից հետնում է, պատահարները կազմումեն լրիվ խումբ,

10-րդ րդ հ

որճն

8-րդ հատկությունից

պատահարները անհամատեղելի են,

իսկ

հետնում է, Ճ-ր եթե Ճ-ը ատվությունից Ճ-ի հակադիրն է, էլ կլինի

ապա Բ-ն

հետնյալձնով՝

պատահարները տվյալ փորձումհավասարահնարավորեն, եթե հիմք չկա պնդելու,որ դրանցիցմեկի հանդեսգա-

6.ԲՈ2-2

որ ճն

րավորությունը ամենայն խորությամբ հնարավորչէ սահմանել, բայց այնուամենայնիվ կարելիէ ներըմբռնելգաղափարիիմասԽ8,Շ...

5. ՃՈՃՀ/Ճ

հետնում է,

ՏԱՐՐԵՐԸ

1. Այստեղ Դիտողություն պատահարներիհավասարահնա-

տը

4.:ԲՍՃ-

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

որ

Ճ-ի

հակադիրը:

ենթադրենք՝տվյալ փորձում

Ղո տարրականպատահարներ են, որոնք հավասա-

որտեղՕՀ

րահնարավոր են,

ԹՈՓ-Թ|) -

Փա

1-1Ո

Օ-(օլՕ»....Թթ Օե..Ծո

զույգ

առ

կազմում

են

զուգ

.. անհամատեղելի

պատահարների լրիվ խումբ:

տարրական պատահարները կրճատ անվանենքփոր -

ձի տարրականելքեր:

Դիցուք, փորձի որնէ

թվով

ելքեր, օրինակ, տարրական

են որնէ Փկոսայ, ներկայացնում

1.2.Պատահարի

հավանականությունը

Նախդիտարկենք մի պարզագույնդեպք, երբ (7 բազմությունը վերջավոր է ն բաղկացած Էէանհամատեղե լի ն հավասարահնարավոր

տարրական պատահարներից:

դեպքերը,այսինքն՝ Օլ ՇԽ

ավարպաաժո- ՀԹթ Փլ,.....

թ,

պատահարի մասնավոր

ՕՔՃ ...օլ

ր ՓքոսՕյ 7:

ՕՃ:

տարրականելքերըՃ պատահարիհամար

վանենքնպաստավոր: Ակնհայտէ,

ն-

որ տվյալ դեպքում Ճ պատահարն ունի է թվով նպաստավոր ելքեր:

ՏԱՐԲԱԿԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

էԿՈՆՈՄԵՏԲԻԿԱ

պատահարիհավանակառնությունը: Սահմանում

Նշենք

այս

Ք(Զ)Հ՛

Թ(Թ)-0

Եթե ՃՇ

զույգ

Մասնավորդեպքում, երբ ոՀ2, բանաձնը կընդունի հետնյալ տեսքը՝

ԵՏ ՍՃ2)- ՔԱԿ)Ք(Ճ)-ՔԱԿՈՃ»ջ)

սահմանումից հետնող պատահարի հավանակա-

ղելի են

8-5

Ե(Ճ) ՀԲ(8)

առ

զույգ

անհամատե-

լրիվ խումբ են կազմում, ապա՝

Սա հետնում

ՀՂ, ցանկացածՃ

պատահարի համար:

ՍՀՔ(Ճ)

Եթե Ճ-8-»Ք(Ճ)ՀՔ(8)(հակառակը

ոչ

հետնում

միշտ է ճիշտ):

յավանականությունների գումարման թեռրեմ զույգ

Դիցուք, /.....

,Ճո պատահարներըզույգ

առ

զույգ

սարությունը`

Բ ):Բ(Ճչ)----»Բ0Կ) ՍՃչՍ-«Սճո)առ

զույգ

անհա-

մատեղելի պատահարներիցգոնե մեկի հանդես գալու հավանականությունը հավասար է

այդ

պատահարներիհավանականութ-

Այժմ սահմանենք պատահարի հավանականությունը՝մեղ-

մացնելովսահմանափակումները(2 տարածությանվրա: Ենթադրենք՝(2 Սահմանում.

գումարման թեռրեմ` ցանկացած Չավանականությունների համար. պատահւսրների

Դիցուք ունենք /., ...,Ճ, պատահարները:Այս պատահարնե-

հաշվել հետնյալ բանաձնով՝

հավանականությունըկարելի է

բազմությանվրա տրված է

ցասական Ք թվայինֆունկցիա, այնպիսին,որ

ոչ բա-

Ֆ՝Ք(օ)-1:

6«Զ

Սահմանում.

վերջավորկամ հաշվելի բազմություն է: Տարրական պատահարներիհավանականութ-ն

յունները տրված են, եթե (2

յունների գումարին:

րից գոնե մեկի հանդես գալու

հատկությունից,իսկ այս հատկությունից

է, որ հակադիր պատահարներիհամար տեղի ունի

Բ(ճ): Բլ)-1:

անհամա-

տեղելի են (ԿՈԽՀ-Թ,Թյ),այդ դեպքում տեղի ունի հետնյալհավա-

Յավասարությունը նշանակում է, որ զույգ

է 6-րդ

հետնյալհավասարությունը՝ առ

անհձամատեղելի պատահարներիհամար.

Բ.

Եթե /., .../'ո պատահարներըզույգ

Ք ,):Ք(Ճչ)-:--ԷՔՃո)-1:

ՀՀ

նության մի քանի հատկություններ՝ 1.

թ)

ՏՔՌՈԽՈԿԽ)---«ԴԻ Ք(ԿՈ--ՌՈ»):

Հաշվի առնելով 62-ին վերաբերող պայմանները`սահմանենքՃ

տարրականելքերի թվի հարաբերությանը՝Ք(Ճ)

ՏԱՐՐԵՐԸ

թ(ուՍՃ,Ս -ՍյԽ)-ՀՔ(Կ)-ԲլուՈ Դի

-ով: պատահարի հ հավանականությունը նշանակենք Ք(Ճ)-ով

(դասականսահմանում) Ճ պատահարիհավատվյալ փորձում հավասար է պատահարի հանականությաունը մար նպաստավոր տարրականելքերի թվի ն տվյալ փորձի բոլոր

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

են

պատահարիհավանականություն անվանում

հետնյալՔ(Ճ) թիվը՝ Ք(Ճ) -

»՝Ք(օ):

ՕՀՃ

Դիտողություն.Ղավանականությանվերջին սահմանումը դասական սահմանման համեմատ ավելի ընդհանրականէ: Այստեղ չի պարտադրված,որ բոլոր Ք(տ) հավանականություններըլինեն ի-

րար

հավասար, ինչպես նան, ի տարբերություն դասական սահ-

մանման, գործում է նան այն դեպքերում, երբ փորձիտարրական

ելքերի բազմությունը անվերջ հաշվելի բազմություն է: Սակայն

ունի մի շատ

այս սահմանումն

մեծ

թերություն.հավանականութ-

յան սահմանումըչի գործում, երբ (2-ն անվերջ ոչ հաշվելի

մություն է, օրինակ (0,1)

բազ-

միջակայքը: Այս դեպքի համար

կիրառվում է հավանականության Կոլմոգորովի աքսիոմատիկ՝

հավանականությանամենաընդհանուրհամարվողսահմանումը: Այդ սահմանումը ընկալելու համար անհրաժեշտ է ծանոթ լինել

Այս թվերը միշտ

թյունների: Այս պատճառով,չենք ներկայացնումհիշյալ (Եօքօ8208 Ըստ

են

սահմա-

գտնել, օրինակ

1986, Ր.4.,) գրքում: Ղօօքատ86ք0տոաօՇ1611,

Ճ. Ճ

Օրինակ, եթե հ/(0,1.2,...9), ապա ո(Խ)Հ10: միաԹեորեմ. Չհատվող Ճ ն Ց վերջավորբազմությունների վորման տարրերիքանակը հավասար է դրանց տարրերի քանակներիգումարին՝

ո(ՃՍՑ)Հո(Ճ)ո(8): համար Սահմանում ԿամայականՃ ն Ց բազմությունների

եթե ՃՈԹ- 2,

ԽԵ«Ց կարճ` Ճ«8-Վ(.Ե): Ավելի

վերջին սահմանման՝պատահարիհավանականության

Դիցուք, /1Ճշ, ...,Բո,

անհամատեղելիեն,

այդ

պատահարներըզույգ

առ

զույգ

դեպքում կիրառելի է հետնյալ հավասա-

րությունը`

ԻՍ""ր -

2), Օրինակ 1. Եթե Բ-(Թ.Ե,ՑՀ-Ե»7

այս-

տեղ պատահարներըվերջավորչեն:

1.3.

Միացություններիտեսությանտարրերը

Հավանականություններիդասականսահմանումըկիրառելու համար անհրաժեշտություն է առաջանում գտնել փորձի բոլոր

տարրականելքերի

պատահարինպաստավորելքերի թիվը:

ապա

«ԲՀ(Թ.8): (ՅԵ): (Ե,Յ): (Ե.Ե))

Ճ«8-(Թ,9: (879: (8.2): (59: (573: (52): Օրինակ շ. Պարի խձբակումկան երկու տղաներ`Բագրատն ու Նունեն: ու Դավիթը ն երեք աղջիկ՝Արմինեն,Մարիամն է հնարավոր նրանցից կազմել Գտնենք, թե քանի՞տարբերակով պարազույգ

Այս հատկությունը 6-րդ հատկությանընդհանրացումնէ.

բոլոր

հետնյալ հատկությունը: 9.

ապա

Դեկարտյան արտադրյալ /Խ«8ասելով հասկանում ենք հնարավոր(8.Ե) զույգերիբազմությունը,որտեղ 824.ԵՀԹ:

բոլոր,1-8 հատկությունները տեղի ունեն: Բացի այդ, տեղի ունի նան

չեն գտնվում: Դրա համար կիրառհեշտությամբ

տեսությունը: վում է միացությունների Ենթադրենք`Ճ-բազմությունըվերջավոր է: Բ-բազմության ո(Ճ)-ով: տարրերիքանակընշանակենք

բարձրագույն հանրահաշվից որոշակի նախնականհասկացունումը, իսկ ցանկացողները այն կարող

ԴԴ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

(մեկ տղա

մեկ աղջիկ):

կա երեք աղջիկ, ուրեմն պարազույգերը, Քանի որ խմբակում են (նշվում որոնց մասնակիցըկարող է լինել Բագրատը, երեքն են

անուններիսկզբնատառերը)` (Բ, Ա), (Բ, Մ), (Բ, Ն): նս Դավիթիմասնակցությամբկազմվող պարազույգերը

ե-

րեքն են՝ (Դ, Ա), Դ, Մ), (Դ, Ն): Վետնաբար, հնարավոր ։պարազույգերի քանակը կլինի՞2»:3-6: Եթե Ճ-ով նշանակենքխմբակիտղաներիբազմություՄ, Ն), նը՝Ճ-«Բ, Դի իսկ 8-ով՝աղջիկներինը՝Ց-(Ա,

ապա «8

բազ-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

մությունը

կլինի պարազույգերի բազմությունը,

թյ»

ո(Խ8)-ո(Ճ) Կարելի է

ինչպես

տալ,

ցույց

պարունակողբազմությանԲ տարբեր են ո տարրից տարրերից կազմված հավաքածուներըկոչվում Սահմանում

տե-

(1.1)

ո(8)

բ-

(1.1) բանաձնըճիշտ է կամայական

որ

Նաոան Ն"» Ը լ

ՄԽ»...

Ախ.

այն

Դեկարտյան 8շ,

...,Ձ0 հավաքա-

ծուների բազմությունը,որոնց համար 882662, Ի

թիվը կոչվում է (8յ,8շ,...,Յյ)

...,Յյ6/խ-

ընդ որում, 0 տարրից կազմվածկարգավորությունընդունվածէ համարել դատարկ բազմությունը,

Այստեղ Է-0,1,2,

ուստի

Բ.

...,ո,

Կարելի է ցույց

որ

տալ,

հետնյալ բանաձնով՝

հավաքածուի երկարություն,

Ոո-րդ կոորդինատ իսկ Յո-ը՝ հավաքածուի

ական կարգավորություններ: քանակը նշանաո տարրից է-ական կարգավորությունների ր:

թոր (8.,

կոչվում է

տարր

ռո

կում են՝ նֆ

վերջավորբազմություններիհամար:

Ճ նՑ

ՏԱՐՐԵՐԸ

ր 1) -

ոլ

ե.

Ճո րայի

Թեորեմ. Կամայական /,.,Ճշ, ...,ՃՃ վերջավորբազմությունների համար՝ր

ՈՀ1.2.3 որտեղ` ո-1-2.3

ճի-ն հնարավորէ հաշվել

|- ընդունված է

--«-ո,իսկ 0 լ-

համարել 1:

ո(Խ«Ճշշ (ՃԽլշճշչ...

«ԽՀո(խԽ)ո(Ճշ) Հ

Մասնավորապես,եթե

բոլոր

նշանակելովՃ"

նում են, ապա

ոՍԽ)

հաՕրինակ4. Գտնենք երեք թվանշանունեցող հեռախոսի մարներիքանակը: քանակը10 է, ապա հեռախոսիհաՔանի որ թվանշանների

(1.2)

Ճ, բազմությունները համընկՃ»«Ճ»--«Ճ,

կունենանք.

մարներիքանակըհավասար կլինի`

ԱՑ |

ո(Ճ)-(ո(Բ))": Օրին րինակ 3.

6.0

Գտնենքայն եռանիշ թվերի քանակը, որոնք չեն

02468)

կենտ թվանշաններ: նշանակենք Ճկեճ 6.8),

Քանի նշված շված

թվի առաջին թվանիշը չի կարող լինել 0, ուստի

որ

թվե ունեն թվերն

222245

հետնյալ տեսքը `

դեկարտյան արտադրյալի տեսքով, ուստի դրանց քանա-

կը կարելի է հաշվել (1.2) բանաձնիմիջոցով` ո(Խ«8.8)»ո(Ճ)

(ո(8))«4-5-5100

Սահմանում

ո-տարր

պարունակող բազմությանո-ական

անվանում կարգավորություններն

են

ո տեղափոխություններ

տարրից: '

քանակը նշանակումեն ո-տարրից տեղափոխությունների

թ.: Այն կարելի է հաշվել հետնյալ

որտեղ2468, 7268, 2568:

Այսպիսով,այդ թվերի բազմությունը կարելի է ներկայացնել ԽԾՅ»8

720: 7 Տ10:9-8նօ0-3) ՀԸ

Ճ3Հլ--ԶՆՀ-

Օրինակ

բանաձնով՝ ՔոՀո՛:

Գտնենք, թե գրադարակում5 գիրքը

քանի

կարելիէ դասավորել: տարբերակով կարՄենք պետք է գտնենք5 տարր պարունակող5-ական թիվը, այսինքն`5 տարրից կազմված տեղագավորությունների քանակը`Ք»-5/-1-2:3:4-5-120: փոխությունների

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

պարունակողբազմությանբ տարրից կոչվում են ո տարրիցհ -ական կազմված ենթաբազմությունները Սահմանում

տարր

զուգորդություններ: ո

են

քանակը նշանակում տարրիցԿ-ականզուգորդությունների '

ՇԲ: ր:

Զուգորդություններիթիվը կարելի է հաշվել հետնյալ

նաձնով՝ բ

ոնա

բազմություն,որը ր ի պարունաբազմութ) առարկաներ,ընդ որում`ի/

մի

ունենքմի Դ իցուք, ունենք ։

է Ի թվով որնէ տեսակի համասեռ

վող նկարը: Ծրարից պատահականհանված է 10 նկար: Գտնել որ դրանցմեջ կլինի փնտրվողնկարը: հավանականությունը, Լուժում. Այստեղփորձը 100 լուսանկարներից10 նկարի պա-

տահականընտրություննէ: Փորձի բոլոր տարրականելքերի թի-

կլինի վը հ հավասար

րի քանակըկլինի

հետնում Շ99: Այստեղից

ՇՅց 9(99-9) թլո)Շ100 լ

է, որ՝

9ե90-100

10): 10(100-

պետում է

Շր.Շ/արտադրյալի: կլինի`

Նշա

99|

յամբ, ուստի ո-տ-7

է, որ նման հատկությամբո-յակների թիվը հավասար

հ Մեզզ հե հետաքրքրող պատահարը

քերի թիվը: Եթե 10-ից մեկը փնտրվողնկարն է, ապա մնացած 9-ում չէ փնտրվողնկարը, ուստի նպաստավորտարրական ելքե-

որի մեջ ոո առարկաներօժտվածեն րունակող ենթաբազմություն, Ճ հատկանիշով:Գտնենք նկարագրված ո-յակներիքանակը: Քանի որ ո-յակում ոտ առարկաներօժտված են Ճ. հատկութհետնում

յո

-ի:

ԳաշվենքՃ պատահարիհամար նպաստավորտարրականել-

առարկաներօժտված չեն: Այստեղից

Շյ.ցը

նակենք Ճ-ով, այսինքն՝ 10 նկարներիմեջ կլինի փնտրվող նկա-

հատկանիշով,իսկ մնացած Պ-Ո/-Լ չեն: առարկաներնայդ հատկանիշով օժտված ո առարկաներպաէ այնպիսի Այդ բագմությունիցվերցվում

առարկաներ օժտված են

Դ7

/Խնդիր 1. Օրարում եղած 100 լուսանկարներիմեջ է փնտըր-

րը:

նակ 6. Օրինաց

կում

բա-

ՏԱՐՐԵՐԸ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

Խնդիր

օտար

Խմբում կա 12 ուսանող, որոնցից 8-ը տիրա-

լեգվի:

ցուցակի պատահականընտրված է

Ըստ

ուսանող: Գտնել հավանականությունը,որ նրանց մեջ կա

օտար

լեզվի իմացությամբ 5 ուսանող:

Պատահարինպաստավորտարրականելքերի քա-

Լուծում.

նակը գտնելու համար կարելի է օգտվել նախորդպարագրաֆի օրինակ 6-ից` ո-ի փոխարենտեղադրելով8, տ-ի փոխարեն5, Լ-ի

1.4.

դասականսահմանման Հավանականությունների

րոշ

որո

առություննե ր կիրառութ)

են՝ 4ն.7-

ու

Կունենանն ք

պատահարիհաԱյս պարագրաֆումկդիտարկենք,կոնկրետ

հավանականությունների հաշվումը՝`կիրառելով վանականության գումարման դասական սահմանումը, հավանականությունների թեորեմներնու հատկությունները,ինչպես նան տեսությանտարրերը:

փոխար

միացությունների

ի փոխարեն

Ըտ-Ը1--5-»ՕՆՕ

-շրլ-Զր

6.78 Ը

66:

Փորձի բոլոր տարրականելքերի քանակըկլինի` :

Շ.յշ-

404142

Որոնելիհավանականությունըհավասարկլինի՝

ՏԱԲՐԱԿԱՆ

..20

Ք(ՃՍՇ)ՀՔ(Ճ)ԷՔ(Շ)-Ք(ՃՈՇ),

14,

Խնդիր 3.

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Քսան

տոմսերից,որոնց համարներնեն

1, 2, 3....

պատահականվերցվել է մեկ տոմս: Որոշել. ա) վերցված տոմսիհամարի`3-ի կամ 7-ի վրա բաժանվելու

հավանականությունը, բ) վերցված տոմսի համարի՝3-ի կամ 4-ի բաժանվելու հա-

Պարզ Է

որ

ՔՕ-շըԹՄՈՇ)-շը:

ԲՈ)»

է,

Այստեղիցհետնում

որ

20 20. 2' ԵԱՍՕ)»-շը5

վանականությունը: Լուծում-

ա) Այն պատահարները, որոնց դեպքում վերցված տոմսի համարը կբաժանվի3-ի ն 7-ի, նշանակենք Ճ ն 8: Ակն-

հայտ է, որ փորձի պայմաններում,եթե վերցված տոմսի համարը բաժանվում է 3-ի,

չի բաժանվի 7-ի: ճիշտ է նան հակառակը: Կիրառենքհավանականությունների գումարմանթեորեմըՃ ն

ապա

պատահարներիհամար` անհամատեղելի ՔՃՍՑ)(

Ք()«Բ(): 6(Ճ):6(83)

ԱյստեղՃ պատահարիհամար նպաստավորտարրականելքերն են (3,6,9,12,15,18) 6 հատ, իսկ 8-ի համար (7,14)՝ 2 հատ, իսկ փորձիբոլոր տարրականելքերի թիվը 20 է:

Այսպիսով,որոնելիհավանականությունըհավասարկլինի՝

Բ(ՃՍ8)- 6 20 "20 "207 բ) Այս դեպքում ես նշանակենք Ճ ն Շ այն պատահարները,

որոնց դեպքում վերցվածտոմսի համարը բաժանվումէ 3-ին4-ի:

Պարզ է, որ գոյություն ունի այնպիսի տոմս` (օրինակ 12 համարի տոմսը), որի համարըբաժանվում է ինչպես 3-ի, այնպես էլ 4-ի, ուստի

այս դեպքում Ճ ն Շ

պատահարներըանհամատեղելիչեն:

Ք(ՃՍՇ) հավանականությունըգտնելու համար կիրառենքհավա-

նականություններիգումարման թեորեմը կամայական պատահարների համար`

սահմանումը վիճակագրական Վավանականության

1.5.

սահմա-

պարագրաֆում տրված հավանականության հանումների միջոցով հաճախ հնարավորչէ գտնել պատահարի քանի որ, նշված սահմանումներումկան փորվանականությունը,

որոբք միշտ չէ, որ ձի տարրականելքերի սահմանափակումներ, տվյալ փորձի հետ կապված տեղի են ունենում: Նման դեպքերում որոշելիս հիմնվում են նույն պատահարիհավանականությունը

արդյունքներիվրա`պահպանեփորձի նախորդ կատարումների լով փորձի կատարման պայմանները:Ենթադրենքնույն պայՃ պամաններումկատարվածո փորձերումմեզ հետաքրքրող ն է տահարը իրականացել

նգամ: անգամ:

եպքում Ա«յդ դեպք

ԱԼ --

հարաբեր

հանՃ րությունը կոչվում է ո փորձերիընթացքում պատահարի հատդես գալու հաճախություն:Նշենք հաճախությանմի քանի

կություններ՝ ո

1.ո

(ո»

ո)

հավասար Վավաստիպատահարիհաճախությունը

1-ի:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Եթե Ճ

ն Ց

պատահարներըանհամատեղելիեն

ր հաճախություն խությունըու տահարի ո պա

ն Ճ պա-

իսկ Ց պատահարինը հ 0 ոշ է, իսկ

ՊՍՑ-ի հաճախությունըհավասարկլինի Ճ

րի հաճախությունների գումարին՝ Մեծ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՎԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ն Ց

ո'

ա-

պատահարնե-

ուչոշ. ո

թվով փորձերից բաղկացած հաջորդականություննե-

րում, որոնք կատարվումեն միննույն պայմաններում,Ճ

պատա-

հարի հանդեսգալու

հաճախությունըգրեթե չի փոփոխվում. որ-

քան

մեծ է

փորձերի

թիվը յուրաքանչյուր հաջորդականությու-

նում, այնքանավելի փոքր են հաճախությանարժեքներիշեղում-

ները:

Ասվածը հաստատված է բազմաթիվ փորձերով. Դրանցից կարելի է նշել նորածիններիսեռի որոշման նպատակովտարբեր

սով, կարելի է

տալ

պատահարի հավանականությանվիճա-

կագրականսահմանումը: այն Սահմանում հ պատահարիհավանականությունը

հաս-

մեծությունն է, որի շուրջը տատանվում է պատահարի հաճախությունըմիննույն պայմաններումկատարվածմեծ թվով տատուն

տարբերսերիաներում: փորձերիցբաղկացած 1. Սահմանման մեջ նշված հաստատուն Դետողություն

մե-

ծությանգոյությունը ն միակությունըհետնում է Բեռնուլիի թեորեմից, որը կտրվի հետագայում: Դիտողություն 2. Ըստ նշված սահմանման`անհնարէ ճշգրիտ Սակայն այդ հավաորոշել պատահարիհավանականությունը:

մոտ արնականությանհամար կարելի է գտնել բավականաչափ ժեք, որն այնքան ավելի մոտ կլինի ճիշտ արժեքին, որքան մեծ է կատարվածփորձերիթիվը:

երկրներում կատարվածփորձերը: Պատահարի հաճախությունները դրսնորվել

են

այնպես, ինչպես նկարագրվածէ վերում:

Յայտնի է Բյուֆոնի փորձը: Մետաղադրամը4040 անգամ նետեն Պատահարիպայմանականհավանականությունը թեորեմը բազմապատկման հավանականությունների

լով պարզել է, որ «գերբը» պատկերողկողմի վրա մետաղադրա-

1.6.

մի ընկնելու հաճախությունը 0,5080 է, այսինքն՝ստացվել է մի

թիվ,

որը շատ մոտ է

նականությանըն

«գերբի» վրա ընկնելու պատահարիհավա-

այլն: Հիմնվելով հետնյալ երկու հանգամանք-

ների վրա կարելի է եզրահանգել. 1. մեծ

թվով փորձերիցբաղկացած հաջորդականություննե-

րում, հաճախությունըպահպանումէ համարյա միննույն արժեքը, 2.

երբ հնարավորէ

լինում հաշվել պատահարիհավանակա-

նությունը մեծ թվով փորձերի ժամանակ ստացված հաճախությունը, փորձերիթիվը մեծացնելիս, տատանվում է գտնված հավանականությանշուրջը: Ասվածը հիմք է տալիս ենթադրելու, որ քննարկվող Ճ

պատահարիհամար գոյություն ունի այնպիսի հաստատուն մեծություն, որի շուրջը տատանվումէ դրա հաճախությունը:Այսպի-

հավանականութպատահարիպայմանական պատահարիիրականացմանպայմանով, Ճ պատահարի

Սահմանում

յունը

է այն պայմանով,որ տեղի է ունեցել Ց հավանականությունն

պա-

տահարը:

պապատահարիպայմանականհավանականությունը՝Ց տահարի իրականացմանպայմանով նշանակենք Խջ(Ճ) կամ

Ք(ՃԹ): Ցույց տանք, որ Ք(Ճ)

բեր են ընդհանրապես:

տարՔջ(Ճ) հավանականությունները

է երկու զառ: Գտնենք հավաՕրինակ.Ենթադրենք՝ նետված նականությունըայն պատահարի, երբ զառերի վրա հայտնված

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԷԿՌՆՈՍԵՏՐԻԿԱ

Սահմանում. Ճ ն 8

նիշերի գումարը 3 է, ինչպեսնան նշված պատահարիպայճանական հավանականությունը`առաջին զառի վրա 1 հայտնվելու

տեղի ունի հետնյալ

պայմանուլ:

2.1

Ք(ճ)-Ք0((44 -3)-----36

Բե)-ԲԿ0-7-3)-

5՝

է |

նետման ժամանակ դեպքում «գերբ» ընկնելը, իսկ 8-ն՝երկրորդ անկախ Ճ ն Թ պատահարներն «գիր» ընկնելը: Ցույց տանք, որ

յան ստացումը: Քանի որ առաջինզառի վրա, ըստ պայմանի,արդեն հայտնվել է 1-ը, ուստի փործի տարրականելքերի թիվը 36ից փոքրացել ն դարձել է 6, իսկ նպաստավորելքերի թիվը դարձել է մեկը, այն է՝ 7-2: Այսպիսով,ըստ հավանականության դա-

սական սահմանման՝`պայմանական հավանականությունըհավասար 1/6:

Ինչպես տեսնում ենք, նշանակում, որ Ք(Ճ)

Ք(Ճ) Քգ(Ճ):Իհարկե, ստացվածըչի

Քր(Ճ) հավանականություններըչեն կարող

լինել իրարհավասար: Սահմանում.

Ճ ն Ց

պատահարները կոչվում են

անկախ,եթե

դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունըկախվածչէ, այն հանգամանքից`մյուսպատահարըտեղի է ունեցել, թե՝ոչ:

( | || Քջ(Ճ)-Ք(ճ), Ք.(Ճ)-Բ(Ճյ " | | | Քո(8)-668) "

ուն

են Ց

,5.Թ)-ԲԹ): |

այդ

Այստեղիցհետնում Ճ

ՃՈՅ)--շ:

է, որ

Ք(ՃՈՑ)--չ

անկախեն: ն8 պատահարներն Կարելի է

են, ապա

ցույց

տալ,

Պարզ է, որ

որ

անկախ կլինեն

եթե՛Ճ

նան

.թլբ)-1.

ԵՈ)-շՔ8)- շ:

-ԵՐ)ԲԹ)-

ն 8

շ-շ: ուրեմն

անկախ պատահարները

ճեՑՃԱՑ

պատահարները:

համատեղ

թեորեմ.Երկու պատահարների Բազմապատկման

հավասար է՞պատահարտեղի ունենալու հավանականությունը մյուս պատաբազմապատկած ներից մեկի

հավանականությունը պատահարի հավանականությամբ`առ հարի պայմանական

Մասնավորդեպքում,երբ

պատահարների անկախութսահմանումը՝

ուստիԲ

Բ ՈՅ)- Բ(.Ք,(8)- ԲԹ)-Բ:(6)

յան՝վերնում բերված սահմանմանըհամարժեք սահմանում կարելի է ապացուցել): Տանք

վասար4-ի,

այսինքն՝ տեղի ունենալու պայմանով,

Սահմանումիցհետնում է, որ

Գոյություն

ելքերի թիվը համար նպաստավոր Նախ ՃՈՑ պատահարի

ելքերի թիվը հահավասար է 1-ի, իսկ փորձիբոլոր տարրական

Ավելի մանրամասննկարագրենքվերջին հավանականութ

հավասարությունը`

Օրինակ.Ենթադրենք՝ Բ պատահարըիրենիցներկայացնում առաջինի մետաղադրամի սիմետրիկ երկու նետումներից

են-

կոչվում են անկախ, եթե պատահարները

Ք(ՃՈՅ)-Բ(Ճ)-6Թ):

Ճ-ով նշանակենք նշված պատահարը,2-ով`առաջին զառի վրա հայտնվածթիվը, `/-ով՝երկրորդզառի վրահայտնԼուծում

ված թիվը, 8-ով՝առաջին զառի վրա 1 բացվելու պատահարը:Այս նշանակումներիդեպքում`

ՏԱՐՐԵՐԸ

(դա

ապա

ն Ց

անկախ են, պատահարներն

ընդունումէ հետնյալ (1.3) հավասարությունը

Բ.

ՈՑ)Բ(6)Թ):

(13)

տեսքը`

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Ձնակերպվածբազմապատկմանթեորեմըկարելի է ընդհանրացնել երկուսիցավելի պատահարներիհամար՝ Թեորեմ. /,

Ճշ,

հետնյալ հավասարությունը.

(ՈՃ

Հ ԲԱԿ)Ք,,

("չ)-("չԲուոո, Ո---Ո/ո)

Ը-ՔԼՈԽՈ-Ո:,նխ)

Բլ, Ճշ,

Սահմանում

բո պատահարներըկոչվում են հա-

մախմբությանմեջ անկախ, եթե դրանցից յուրաքանչյուրի

մնա-

ցած պատահարներիցցանկացած խմբի իրականացմանպայ-

մանով, հավասարէ

այդ

պատահարիոչ պայմանականհավանա-

ՔուոուՌ-Ոունխ)ՔՍԿ) ձո Հ

ԷՀ

որ

եթե /Ճ,Ճշ, :-:,Ճո պատահարնե-

րն անկախ են համախմբությանմեջ,

տալ,

որ

ներկված են կարմիր, կանիստերը համապատասխանաբար է պույտ ն կանաչ, իսկ չորրորդ նիստըներկված նշված երեք գույ-

ներով:

ապա

է: Պարզ է, որ

Ճյ, Ճշ,

Սահմանում

թռՈՑ)--12-2-Բ(ԲԹ)

ՈՉ-- 22

Բ(Ճ

թվերի համար՝ Հլ

Հմշ Հ--ՀլյՀո,

)-123,--,ո

հետնյալ հավասարությունը՝

) Բր, ՈՃ, Ո--ՈՃ, Է Բ, ՔԱԿ,)--ԲԱ.

կ բնական տեղի ունի

Ճո Սյատահարները կոչվում են հա:::,:

համախմբությանմեջ պատահարնե-

մախմբությանմեջ անկախ, եթե կամայական|, շ,

Բ(Ճ)-Ի(8)-ԲԸ)-«-շ,

տեղի ունի հետնյալ

րի անկախության սահմանմանը համարժեքէ հետնյալ սահմա-

նումը՝

Ճ պատահար-

պակցությամբբերենքԲեռնշտեյնիօրինակը: հետնյալ փորձը: Դիցուք, հարթության Օրինակ.Դիտարկենք վրա նետվում է կանոնավորքառանիստ (տետրաեդր),որի երեք

Բ(ԽՈՃչՈ--"ՈՃո)Բ(Ճ)-Ք(ջչ)-«Բ0Կ): ցույց

մեջ, ապա դրանք զույգ ներն անկախ են համախմբության զույգ անկախեն: Պետք է հատուկ նշել, որ հակառակըոչ միշտ է ճիշտ, այառ անկախությունից չի զույգ զույգ սինքնպ̀ատահարների մեջ դրանց անկախությունը:Այս կահետնում համախմբության

հավասարությունը՝ Կու

Կարելի է

Ճշ,

Ճ-ով նշանակենքայն պատահարը,որի դեպքում, նետելուց հետո, դիմակողմըկլինի կարմիր գույնով ներկված նիստը, 8ով`երբ դիմակողմըկապույտ նիստնէ ն Շ-ով`երբ կանաչ նիստն

կանությանը,այսինքն՝

Սահմանումիցհետնում է,

եթե 7,

որ

առ

Ճո պատահարներիհամար տեղի ունի

Սահմանումից հետնում է,

Բ(Ճ)Բ(6)

Ք(ՑՈՇ)- 25225

Ք()Բ(Շ)

Այստեղիցհետնում է,

որ

Ճ, 8, Շ պատահարները զույգ

անկախ են: Ցույց տանք, մեջ անկախչեն: մախմբության

զույգ

Ակնհայտ կնհայ է,

որ

ՃԽ,8, Շ պատահարներըհա-

Ք(ՃՈՑՈՇ)-

առ

2 Ս

Բ(ՃՔ(8Ք(Շ)-

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Ինչպես տեսնում

ենք

Ք(Շ), ուստի Ք(.ՈՑՈՇ)»Բ(Ճ)6(թ)

ՏԱՐՐԵՐԸ

Ճ-ով նշանակենք այն պատահարը, որի դեպքում

Լուծում

սպիտակ գնդակ է: Հնարավոր են սափորում նախապեսեղած գնդակներիմասին հետնյալ ենթադրություննեհանված

Ճ, 8, Շ պատահարները համախմբության մեջ անկախչեն:

(վարկածները). Ցլ՝սպիտակ գնդակ չկար, 8շ՝մեկ սպիտակ գնդակ կար, 83`երկու սպիտակգնդակ կար: Քանի որ ունենք երը

րեք վարկած, որոնք կազմում են պատահարներիլրիվ խումբ ն են, ուստի՝ դրանք հավասարահնարավոր 1.7.

ն Բայեսի բանաձները Լրիվ հավանականության

Թեորեմ. Ենթադրենք՝Ճ-նորնէ րնէ զույգ

առ

զույգ

է,

պ պատահար Ծ., 8շ, ր է, Ց.յ, 8շ

Ք(8,) .8չ)- 8Թ.)-

Պայմանական հավանականությունը,որ կհանվի սպիտակ

8,- ը

գնդակ՝`այնպայմանով, որ սկզբում սափորում չի եղել սպիտակ

անհամատեղելի պատահարներեն, որոնք ունեն

դրականհավանականություն`Բ(8.)»0:

նո,

գնդակ.

ՃՇ

ՍՑ8. :

Այս պայմաններիդեպքում տեղի ունի հետնյալբանաձնը`

ջին անվանումըպատահականչէ, քանի

որ ըստ

թեորեմի

սպիտակ

գնդակ.

(1.5) բանաձննանվանում են լրիվ հավանականության բանաձն, Ցլ, -",8ր պատահարներն անվանում են վարկածներ:Վեր-

(")-գ-1:

գնդակ՝այն պայմանով, որ սկզբում սափորում կար

(15)

Պայմանական հավանականությունը,որ կհանվի սպիտակ

Ք(Ճ) 5:Բ8.)-Ք., (8),

ՋՐ

()-2:3

Պայմանական հավանականությունը,որ կհանվի սպիտակ

պայմա-

գնդակ՝այնպայմանով, որ սկզբում կար 2 սպիտակգնդակ.

նի՞Ճ պատահարըկարող է իրականանալԾ., :--,8ո -ից մեկի հետ,

Բո,(:)-1:

Ճ-ի համար Ծ.լ, :::,.8ո պատահարներըհանդեսեն գալիս այսինքն՝

Որոնելի հավանականությունը,որ կհանվի սպիտակգնդակ,

որպես վարկածներ:

Խնդիր 1. Երկու գնդակ պարունակողսափորի մեջ գցվել է սպիտակ գնդակ, որից հետո այնտեղիցպատահականհանվել է

մեկ գնդակ: Գտնել հավանականությունը, որ հանված գնդակը կլինի սպիտակ, եթե սափորում նախապեսգտնված գնդակների

գույնի մասին բոլոր հնարավոր ենթադրություններհավասա րահնարավորեն:

կարելի է հաշվել լրիվ հավանականությանբանաձնով,քանի որ բավարարված են բանաձնի կիրառելիության համար անհրաժեշտ բոլոր պայմանները(ստուգել ինքնուրույն)՝

Ք(ճ) 3'ՔԲլբչ (Բ)- 68լ)թը(Ճ)--6(8չ)-Ք,,(Ճ)-

ղ՞'"։ՔՁպՁպՁ

9 Ձ 0ՑՇՔՂԳԵ

Մ/ՆԵՆ`ԼՆՆՂՎ2

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ էԿՈՆՈՍԵՏՐԻԿԱ

Թեորեմ. Ենթադրենք` Ճ

ն 8., 8շ,

Ց պատահարներըբա-

րին ն, բացի այդ,

Ք(Ճ)»0: Այդ

դեպքում տեղի ունի հետնյալ

ԵՐԲ», ()-ԹԹշթը,(4)-Թ(8:)Բ5, (4) 05-0,7

5026 էՀ հիվանդությամբ,30965`Լ

հիվանդությամբ20

96՝խ/

վանդությամբ հիվանդներ:էՀ հիվանդությունըլրիվ բուժելու

հավասար են՝0,8-ի է դուրս

հա-

0,9-ի: Հիվանդանոցընդունվածհիվանդը գրվել: Գտնել հավանականությունը,որ նա հին

վանդ էր չ« հիվանդությամբ:

Ճ-ով նշանակենք այն պատահարը, որի դեպքում հիվանդանոցընդունվածհիվանդը առողջ է դուրս գրվել: 8., 8, 8» նշանակենք այն պատահարները,ըստ որոնց՝`համապատասհիվանդը հ հիվանդ հիվանդանոց ն էր « Լ, Խ/ խանաբար բար իվանդը հիվանդանոց ըընդունված նդունվ Լուծում.

է,

հիվանդություններով:Մեր

նպատակնէ գտնել

1.8.

հի-

վանականությունըհավասարէ 0,7-ի, Լ ն Խ| հիվանդությունների համար այդ հավանականություններըհամապատասխանաբար առողջ

Ք.(8.)հավանա-

կանությունը: Հեշտ է ստուգել, որ /Խ, 8., 8շ, 8» բավարարումեն նախորդթեորեմիպայմանները: 2,

()-07:6. 5(8չ)--3-.Ք(8.)10 5Ք, Յ

(Բ)-

08.

Ք,(Բ)-09: Ստացված հավանականությունները տեղադրելով Բայեսի բանաձնիմեջ, կունենանք.

Երկրաչափական հավանականություններ

Այս պարագրաֆում կքննարկենք այնպիսի փորձ, որի տարրականելքերի բազմությունըհաշվելիից ավելի բարձր կարգ ու-

բազմությունէ: Նկարագրենքփորձը. անվերջ Դիցուք, Մ կետը պատահական նետվում է ՃՑ

նեցող

հատվածի

վրա, որի երկարությունըհավասար է Լ-ի: Սահմանենք, թե ինչի է հավասար Ճ8 գտնվող ցանկացած ՇԾ հատվածիվրա հ/

հատվածի վրա կետի ընկնելու հավա-

նականությունը: Կատարենքհետնյալ բնական աքսիոմատիկենթադրություուղիղ հանը`ՇՔ հատվածի վրա ընկնելու հավանականությունը մեմատականէ այդ հատվածիերկարությանը,ն կախվածչէ ՇՕ-ի

դիրքիցՃՑ հատվածի վրա,այսինքն՝

Ք(ՄՀ ՇՕ)- ԹՀ,

Խնդրի տվյալներիցունենք, որ

5(8.)-

աԻՑ. 2թ8)ու()

Խնդիր 2. ատուկ հիվանդանոցեն ընդունվումմիջին հաշվով

11՝

05-07-03-08-02.08

բանաձնը(Բայեսիբանաժլ)՝

ԵՑ

Թ8.)-Բը, (Բ)

8.)-

Ք մք

վարարում են սույն պարագրաֆի նախորդ թեորեմիպայմաննե-

ՏԱՐՐԵՐԸ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

է, իսկ մեծություն է: Մասնավորդեպքում կունենանք

որտեղ՝»«-ը րտեղ 2-ըՇԶ տուն

ությունն է, հատվածի վածի ե երկարությունն

Թ(1 6/8)-:4.-1, Հ

որտեղից՝6 `

--լ-,

ե հ

հետնաբարԲ̀(մ՛«ՇՇ)--լ `

«Հ-ն հաստա-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Այն պատահարիհավանականությունը, որ

Սահմանում

պա-

տահաբարՃՑ հատվածի վրա նետված կետը կընկնիՇԾ հատվածի վրա, հավասարէ ՇՕ

ն ՃՑ

հատվածներիերկարություննե-

րի հարաբերությանը: Այս կերպ սահմանվածհավանականությունըկոչվում է երկ-

րաչափականհավանականություն:Հեշտ ստուգել, որ երկրաչաէ

փական հավանականություն, օժտված է հավանականության

դասականսահմանման հատկություններով: Համանման եղանակով կարելի է սահմանել երկրաչափական հավանականությունը հարթության ն տարածության մեջ, միայն թե այս դեպքում երկարությունբառը պետք է փոխարինվի համապատասխանաբար՝մակերեսն

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՎԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

էԿՈՆՈՍԵՏՐԻԿԱ

ծավալ

բառերով, այ-

սինքն՝եթե կետը րույթի մեջ, որի մակերեսը գոյություն ունի ն հավասարէ Տք-ի, իսկ ժ տիրույթըընկած է Ծ-ի մեջ, որի մակերեսըհավասարէ Տզ-

պատահականնետվում է հարթության Ծ տի-

ընդունենք,որ ժամը 12-ը 0 ժամն է, Պայճանական գալիս է 74 ժամին, երկրորիսկ 13-ը՝1-ը: Ենթադրենք`առաջինը ուսանողները դը" ժամին, ընդ որում՝0Հ«Հ1, 05751: Որպեսզի Լուծում.

հանդիպեն,անհրաժեշտ:է,

որ

, ի -ՊՀ--:

րդի

Կոորդինատային յի հար-

թությանվրա.

0Հ51

0Հ»«ՀՀ

ն40Հ7ՀՂՀ

թՏ

պայմաններըբավարարող տիրույթները համապատասխանան ՕԽԱՑԻԻ վեցանկՕՃՑՇ քառակուսին բար կլինեն՝1 կողմով յունը (տես նկ.1.5): -

հավանականությունը,որ կետը կընկնիժ տիրույթի մեջ, հավասար է Տզ-ի հարաբերությանըՏը-ի՝

ի,

ապա

ա«ժ-Տ:

ՔԱ

ց)-ՀԳ:

Նույն ձնով Շ ն ց.

մարմիններիհամար`

ՔԱՍՀց)--4, Մօ

Օ ն ց մարմինների որտեղ` Կ'շ ն ց համապատասխանաբար

ծավալներնեն: Խնդիր.(հանդիպմանխնդիր). Երկու ուսանող պայմանավորեն վել հանդիպել որոշակի վայրում՝օրվա 12 ն 13 ժամերի միջն:

« ժամ, որից

Առաջինեկողը սպասում է երկրորդին նում

հետո հեռա-

է: Գտնել հավանականությունը,որ հանդիպումըկկայանա,

եթե յուրաքանչյուր ուսանող պատահականէ ընտրում իր ակնթարթը12-ից մինչն 13-ը Ժամերիմիջակայքում:

գալու

Նկ. 1.5

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Խնդիրը վերաձնակերպենքհետնյալ կերպ: Ենթադրենք՝(չ. 9) կետը պատահականորեննետված է ՕՃ8ՑՇ քառակուսու մեջ:

Գտնել հավանականությունը, որ այն կընկնի ՕԽԽՑԵԼ ն յան մեջ: Հաշվենք Տօոտօ Տեսաւ: Քանի որ ՕՃՑՇ-ն քառակուսի է, ապա ՏՇրօՀ1: նկ.1.5-ից երնումէ, որ`

ձեՃԱՎ-ՃԼՇՀ

Տար

ՏՕԽԻԹԿ Բ8Շ - ՏՕոթօ

ճե

-9.

«1-2.32.-1: 325165

ՀՏ

ՇՀԿ 16:

ՕՑՇ

Ճն

ՏԱՐՐԵՐԸ

Ճ.ՈՃշՈ---ՈՃո պատահարներըհակադիրպա-

տահարներեն, ուստի՝

Բ(Ճ)-Ք(.ՈՃՀՈ--.ՈՃո)1

կողմով

Օգտագործելովերկրաչափականհավանականության սահմանումը` հարթության վրա պահանջվողհավանականությունը հավասարկլինի՝

ՏօՕԽւ

Պարզ է, որ

վեցանկ-

այստեղիցհետնում է, որ -2Տ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Կարելի է ցույց տալ,

որ,

եթե /Ճ., Ճշ,

մեջ անկախ են, համախճբության 1,2

ապա

Ճո, պատահարները

անկախ կլինեն նան

Ճո պատահարները,ուրեմն.

Ք(")-1-Ք( 36չ)..ՔԲ()-1-6յ-Ք,-.Ք.: Այսպիսով,ապացուցեցինք հետնյալ թեորեմը՝ Թեորեմ. Վամախմբությանմեջ անկախՄՃ,42, "Ճո

հարներիցգոնե մեկի հանդես վասար է 1-ի

գալու

Լպատա-

հավանականությունըհա-

-:-,Ճոպատահարներիհավանականություն/Ճ,4Ճշ

ների արտադրյալիտարբերությանը:

Խնդիր. Կամրջի քանդվելու համար բավականէ մեկ ավիացիոն ռումբ: Գտնել հավանականությունը,որ կամուրջըկքանդվի, եթե դրա վրա, իրարից անկախ, գցվեր

ռումբեր, որոնց՝կամր-

ջին դիպչելու հավանականություններըհամապատասխանաբար հավասարեն՝0,3: 0,4: 0,6: 0,7: Լուծում. 1.9. Գոնե

մեկ պատահարիերնալու

հավանականությունը Դիցուք, 41, 42,--", Ճո պատահարներըհամախմբությանմեջ անկախեն ն Ք(Ճ.)- Ք,,Ք(Ճշ)-Բ,,---,Ք(Ճ)- Ք,: Փորձի արդյունքում կարող են տեղիունենալ այդ բոլոր պադրանց մի մասը, կամ ոչ մեկը: տահարները կամ Բ-ով նշանակենքայն պատահարը,որն իրենից ներկայացնում է /.,

Ճշ,

Ճո պատահարներից գոնե մեկի հանդես գալը:

Ըստ

խնդրի պայմանի՝կամուրջը կքանդվի, եթե

ռումբերից գոնե մեկը դիպչի կամրջին: Պատահարներընշանակենք /., Ճշ, Բ: ն /Կ, որոնք համապատասխանաբար իրենցից ներկայացնումեն առաջին, երկրորդ,երրորդ ն չորրորդ ռումբերի դիպչելը կամրջին: Մեր խնդիրն է գտնել դրանցից գոնե մեկի՝կամրջին դիպչելու հավանականությունը:Նշված հավանականությունը, ըստ վերնում ասվածի,հավասարկլինի

թ (ո) Բ(ճչ) ու)Բլ -

-1-0-03Ո-04)/-06)0-07)-1-07-06-04-03

09496

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

1.10.

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Բերնուլիիփորձերը

ՏԱՐՐԵՐԸ

վերջինս ամբողջ թիվ է), եթե ոք-զ-ն ամբողջ չէ,

ապա

գոյություն

ունի պատահարիերնումների միայն մեկ ամենահավանական Սահմանում. Փորձերը կոչվում են անկախ,եթե, կամայական

փորձի ելքի հավանականությունըկախվածչէ մյուս փորձերում հանդեսեկող ելքերից: ո անգամնետվածէ կամ Օրինակ. Մետաղադրամը զառը անգամ նետվածէ:

ԴիտարկենքԾլ, Շշ,

Բր )-զ, որտեղ զ-1-Ք:

այդ

եթե ոք-զ-ն ամբողջ չէ,

Այժմ դիտարկենք Շ., Օշ,

/Խ(ՃՅ1, որում

Ք ՒՔշՀ---ՀՔՏ-7

Պահանջվում է որոշել Բ: պատահարի Պ։ անգամ, Ճշ

Քո (ու,

ոշ,

ԴիտարկվածփորձերիժամանակՃ պատահարը կարող ն տ-ը

կարող է ընդունել 0, 1, 2,

:-",ո

ոչ): Գտնվածէ, որ. ո)

Ք(ոտշ,--«ոջ)---------ԲՔՐ ուլոշ|:-Ոջ|

պատահարիերնումնե-

լով:

անգամ,

պա-

հավանականությունը: Այդ հավանականություն, նշանակենք

րի ամենահավանական թիվը: Պարզաբանենք,թե ի՞նչ ենք հասկանում պատահարիերնումներիամենահավանական թիվ ասե-

հանդեսգալ

Տ) պատահարի հավանականությունըկա-

Ք(ւ)- Բե -12,-:-.Տ

որն անվանումեն Բերնուլիիբանաձն:

ընդ

տահարի՝տշ անգամ,:::Ճչ պատահարի՝ տ, անգամ հանդես գալու 46)

Օո անկախ փորձեր, որոնցից

խում չունի փորձի համարից ն հավասար է Ի.-ի

անկախ

ով, ապա կարող ենք կիրառելհետնյալ բանաձնը՝

Այս բանաձնիմիջոցովորոշվում է

միջակայքումգոյություն կունենա

միակ ամբողջթիվը, քանի որ ոքՒք-(ոք-զ)-1:

փորձերում Ճ պատահարիտ անգամ տեղի ունենալու հավանականությունը: Եթե այդ հավանականությունընշանակենք Ք,(ո)-

Քո(ո)- Շրթոզ"-ո,

ապա

միջակայքին: Պետք է նշել,

յուրաքանչյուրն ունի Տ անհամատեղելիելքեր՝/Ճ., 42շ.---, 5,

Ենթադրենք՝Ք(Ճ)-Ք,

Պահանջվումէ որոշել

որ

Շո անկախփորձերը,որոնցիցյուրա-

քանչյուրն ունի երկու ելք՝Ճ կամ Ճ:

թիվ, որը պատկանում է (ոք-զ,ոքք)

Ակնհայտէ,

որ

ար-

(1.6)

ու

ցույց

տանք, թե ինչպես են գործում

(1.7) բանաձներըն ինչպես կարելի է գտնել պատահարի

ամենահավանական թիվը: Խնդիր

Ընտանիքում կա

երեխա: Գտնել հավանակա-

ժեքներից որնէ մեկը, ընդ որում յուրաքանչյուրը որոշակիհավանականությամբ,որը որոշվում է (1.6) բանաձնով: Պատահարի

նությունը,

հավանականությաունը կոչվում

դունել 0,51, աղջիկ ծնվելունը՝0,49):

երնումների այն թիվը, որին համապատասխանում է ամենամեծ

է պատահարիերնումներիամե-

դգահավանական թիվ: Եթե (ոք-զ)-ն ամբողջթիվ է, ապա գոյություն ունեն երկու ամենահավանականթվեր, դրանք են՝ոք-զ ն ոքՒք (ակնհայտ է որ

(1.

(1.7) բանաձնը(1.6)-ի ընդհանրացումնէ:

Խնդիրների միջոցով է

Ք» -.Ք5:

որ

նրանցից երկուսը

տղա

են, գտնել տղաների ամե-

նահավանականթիվը: (Տղա ծնվելու հավանականությունըընԼուծում.

տղա ծնվելը, Որպես Ճ պատահար՝`վերցնենք

Բ-

ը`ենթադրենք՝`աղջիկծնվելու պատահարնէ: Գտնենք հավանականությունը այն պատահարի,որ

անկախ փորձերում(փորձե-

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

րի անկախությունըենթադրվումէ) /Ճ

հանդես կգա 2 պատահարը

անգամ:ՕգտվելովԲերնուլիիբանաձնիցկունենանք՝

ո անՔ հավանականությունը Թեորեմ. Եթե Ճ պատահարի ու մեկից, կախ փորձերում հաստատուն է ն տարբեր է զրոյից

ապա

Բ.2)- 62(054թ -049թ-.-5--(054թ-(049թ 213)

տեղիունի հետնյալ հավասարությունը՝

0306:

Այժմ գտնենքտղաներիամենահավանական թիվը: ոՔ

--զ -5:051-

049- 2,06ամբողջչէ:

թիվը ոչ, Նշանակենք ամենահավանական նում ենք,

այսինքն ոց «

ըստ

վերնում ասվա-

սպիտակ,7 սն ն 8

ք:

կարմիրգնդակներպարունա-

Քչ

Այստեղ Քյ Բ(Ճլ) Քնպ)- 5.1 -

ՀՔ(ճչ)-ՔՍ )- շը:2

Բ:(2,2,2)-2-2.

վոքզ

կունենանք. Այս նշանակումներով

ո)»-ըԷ-«8)

-Բ(ճ9)Բ(կար)2:

Նշենք

ք) 2) 2

(21 -

0.11:

վումը դժվարանումէ (երբեմն` դառնումանհնար), երբ փորձերիո շատ

մեծ է:

Այդ պատճառովխիստ օգտակար է դառնում

Մուավր-Լապլասիլոկալ սահմանայինթեորեմը:

քզ

Ընդհանրապես (1.6) բանաձնով հավանականությանհաշ-

թիվը

շ,

«-Ո-ՐԹ.

Կիրառելով (1.7) բանաձնը` որոնելի հավանականությունը

կլինի՝

արտահայտությամբ:

Փ0չ)»Կատարենքհետնյալ նշանակումները՝

սպիտակ, սն ն կարմիր գնդակների`հավասարչափով հանդես ԻԼալու հավանականությունը: ' ' թոն Լուծում.

մեծ ո-ի համար բավականաչափ բավ

ամ-

պատահական6 գնդակներ: Որոշել

սափորից հանվում են

«թի

Վ2ոոքզ

Ինչպես տես(206:3.06):

նշված միջակայքումգոյություն ունի միայն մեկ

Խնդիր 2. 5

որր

Քո(ո)-ըկարելի է փոխարինել`

թիվ`3-ը, ուստի տշ-3:

բողջ

կող

Ք),

«ՈՔ-գոթ

հետ եմից հետնում Է, Թեորեմից

ոՔ-զ-8-0,5140,51»3.06:

ծի տ

2ոքզ

բաղ"Թ): Վ2ոոքզ .

10-(0551) (0.49):

են

Փնչ)ֆունկցիայիորոշ

ուններ՝ հ հատկություններ

օ0)»0,»-իբոլորարժեքներիհամար, ֆունկցիա վ էն հո օ()- 0 օ(օ0:)-ը ) ը նվազող ւ.

օ0:)-ըզույգ

ֆունկցիաէ՝

Փ(-»)- Փ6):

գտնում

«(9 ֆունկցիայիարժեքը, երբ տրված է »-ի արժեքը հավելված|): Եթե »»4, ապա օ(չ)-ըկարեաղյուսակից(տե՛ս

լի է ընդունել 0:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Խնդիր 3. Մեկ անգամ կրակելիս թիրախիխոցմանհավանականությունը հավասար է 0,8-ի: Գտնել հավանականությունը,որ

անգամ կրակելիսթիրախըկխոցվի ուղիղ 75 անգամ: Քանի

Լուծում.

օգտվենք Մուավր-Լապ-

որ ո-ը մեծ է՝ո-100,

նշանակումները՝ Քո(Բ,,

Ճշ)-ը հավանաԿատարենքհետնյալ Բ պաո կանություննէ այն պատահարի,որ անկախ փորձերում նոչ տահարը հանդես է եկել /«-ից ոչ պակաս անգամ

Ք.

001)

(շ5)»

ՓՆ)-

100թգ ՓԸ

Ք-0.8: զ-1-0.8-0.2: -

ո-ոք

վոքբզ .Վ100-08.02

»---«--125

5)»-լ

երբ

---01826

0,04565

ո-ի արժեքների հավանա-

ո-»»,

կանությունները ձգտում են զրոյի,

ապա

մեծ

թվով փորձերի ժա-

մանակ Ճ պատահարիտ անգամ իրականանալու հավանակա-

նությունը լինելով շատ փոքրը՝հետաքրքրությունչի ներկայաց-

Ավելի մեծ հետաքրքրություն Է ներկայացնում մեծ թվով թվի՝որոշ փորձերի ժամանակ Ճ պատահարի հանդես գալու Պտ նում:

կո ոԻ՞

նշանակալի դեր ունի Մուավր-Լապլասի ինտեգրալային թեորեմը:: Արտածենքայն նականությունը (0ՀՔՀ1), երբ

ո-».--

ապա

անկախփորձերում Ճ

հաստատուն

պատահարիՔ

տարբեր է 0-ից

հավասարաչափըստ 8-ի

Ե-ի

ու

հավա-

մեկից

(-օ ՀՅՀԵՀՀ»|,

տեղի ունի՝

ում

մի

Վոթզ

-ոք

,Ճշ

Եվոքզ

ոք:

-ՐԶո

նե--ք---

վոքզ

: »-ըՎ2ո:Թե

(19)

Հէշ)-Փ()- ՓԸ)

թեե Հո

(1.10)

Օգտվելով (1.10)-ից՝ ձնակերպենքՄուավր-Լապլասիինէ թեոտեգրալայինթեորեմիհետնանքը, որն ավելի հեշտացնում կոնկրետխնդիրներլուծելիս: րեմի կիրառությունը ապա Չետնանք. Եթե տեղի ունեն թեորեմի պայմանները, մեծ ո-երի համար. բավականաչափ

մեթ

Փ(Ե)- Փ(),

սահմաններումգտնվելու հավանականությունը:Այս առումով իր

Թեորեմ. Եթե

Հոք |րքզ

նԵ,որ բզ-Ձ

(1.9)-ը կգրվի հետնյալ տեսքով` Այս նշանակումներով

է, որր Քյցը Ք.Մ75)» որ

մշ: .

ենանք 22 Կունենանք

Փ0Ժ-ՓԼ 125)-Փ(25)- 01826:

թ Վ2ո

շշ

75-100.08

Հաշվի առնելով,

այնպիսի Գտնենք

աշխատա

Այստե յստեղից հետնում

ավելի,

քան «շ անգամ,

լասի լոկալ սահմանայինթեորեմից`

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ՎԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

որտեղ 8

ՀԵՐ

-ոք

Ե-

Շ--ոք. ոքզ

այս Փ04)- ֆունկցիանկոչվում է Լապլասի ֆունկցիա:Նշենք

ֆունկցիայիորոշ հատկություններ` 1.

Փ(0)-0

Փ(»)

-ը

աճող ֆունկցիաէ,

հոՓըյ--

Ո-»-»

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Փ(-ը

կենտֆունկցիաէ՝ Փ(-»)

Հ`ԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

-Փըժ:

Նկատի ունենալով3-րդ հատկությունը, գործնականումընդունված է, ՓՈ)

երբ «»4, Փ(չ)

որ

-ը

ընդունում են հավասար

ֆունկցիայիարժեքները կարելի

շ -ի:

է գտնել գրքի վերջում

ներկայացվածաղյուսակից(տես հավելված |1/):

Խնդիր 4. Պատահարիհանդես գալու հավանականությունը անկախ փորձերիցյուրաքանչյուրում 0.7 է: Գտնել հավանա-

կանությունը,որ պատահարըհանդես կգա փորձերիցմեծամաս-

նությունում:

Մերխնդիրն է որոշել Քշ.(11, 21), հավանականությունը: Օգտվենք Մուավր-Լապլասիինտեգրալայինթեորեմի հետնանքից: Խնդրիպայմաններիդեպքում` Լուծում.

22107

«-

Վ21:07-03 21-21.07

Վ21.07-03 Փ(-1.762) Փ(3)

ոՀ՛1

փորձից,այստեղ Ճ պատահարիհանդես գալու

հավանականությունընշանակենք Քլ կանությունը բաղկացած է

ոՀ2

-Ճ,

երկրորդ հաջորդա-

փորձերից,այս հաջորդականու-

թյան յուրաքանչյուր փորձում Ճ պատահարիհավանականությունը

հաստատուն

է, այն նշանակենք Ք.՛

կանությունը բաղկացած է Ճ

փորձերից,յուրաքանչյուր փորձում

նշանակենք Քղ պատահարիհավանականությունը

Այստեղ յուր

.»0

հաստատուն

հաջորդա-

ո-րդ

է:

Ինչպես տեսնում

այլն:

ենք, յուրաքանչ-

հաջորդականությունում պատահարիհավանականությունը

հաստատուն

է, իսկ հաջորդականությունիցհաջորդականություն

տեսքից անցնելիս փոփոխվումէ, ընդ որում՝`հավանականության է, որ եթե սերիայի փորձերի թիվը անվերջ մեծացնում

Քղ(ո) հավանականությունըորոշելու

համար

կիրառելի է Պուասոնի թեորեմը: --0.4608

Այստեղիցհետնում է, որ.

049865--(--

04608) 095945:

Վերջիներկու թեորեմներիմեջ ենքադրվումէր, որ Ճ պատահարի Ք հավանականությունը յուրաքանչյուր փորձում կախում չունի ո-ից, սակայն դա միշտ չէ, որ այդպես է: Այժմ դիտարկենք

այն դեպքը, երբ Ք-ն, անկախ մնալով փորձիհամարից(փորձերի տվյալ հաջորդականությունում), ձգտում է, զրոյի երբ,

թիվը ձգտում է

բաղկացած է

Այս դեպքում

0.49865

Բ»:1112-)»

ենք, ապա այն ձգտում է 0-ի:

գ ՝'

-Փ(1.762)

ՏԱՐՐԵՐԸ

ավելի մանրամասն: Ենթադրենքառաջին հաջորդականությունը

հետնում

լ7շ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

փորձերի անվերջության:Վերջին միտքը ներկայացնենք

Պուասոնի թեորեմ. Եթե պատահարիհավանակա ությունըո անկախ փորձերից բաղկացած հաջորդականությանյուրաքանչուր յուր

փոր փորձում նույննէ

վհավասար ր է--նՁ.»0),

տեղի ո ղի ) ապա

ուն

հետեյալ յալ հավասարությունը` հավասարությունը

հոԷր(ո)-6-

ո տ

(1.11)

Կիրառություններիժամանակ, երբ փորձերիթիվը բավականաչափ մեծ է,

Ք(ո)

հավանականությունըընդունվածէ վերցնել

Է. ոլ

մեծությանը հավասար,այսինքն`

ՏԱԲՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Դ)"

հո)

6-2

65:

Խնդիր 7. Դետալներպատրաստելիսխոտանիմիջին տոկո0,5 Չօ Է: Որոշել այն հավանականություսը տվյալ գործարանում նը, որ պատահականվերցված 500 դետալներիմեջ խոտան դե-

ԳԼՈՒԽ 2

տալներիթիվըչի անցնում4-ից: Լուծում.

Խնդրի պայմաններիցունենք,

որ

դետալի խոտան

0.5 հ հավանականությունը նականություն հ հավասար ա |ԵԽ------00

նե լինելու

ո-500, Ի)այստեղից 9 հետնում

206'

հա Օգտվելով ԳԱԼ 1-50.շթ: շցց

ո է,ԻՐԻ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

վանականությունների գումարմանթեորեմից ն (1.12) բանաձնից՝ կունենանք.

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԲԱՇԽՄԱՆ

ԵՎ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Ք(ո Հ4)-Բ(ո--0Ստ -1Ստ-2Ստ-3ՍոՀ4)Հ-

Ք(ո 0)-ՔԲ(ո -2)- (ո -3)-Բ(ո -4)-

2.5 ի

-2.5

Է6

2525. 2.5

Է6

2.5 5253Է6

2.55 Ա»

0.867:

2.1.

Պատահականմեծություններ

Սո յս

գրքում խնդիր չի դրվում հավանականությունների

հիմնականգաղափարների սահմանումները տալ խիստ մաթեմատիկական ճշգրտությամբ: Ընթերցողը, հնարավոր է, առաջին անգամ գործ ունի նման գաղափարորոշ

ունեցած մաթեմատիկականգիտելիքների՝

ների հետ

պատրաստ

չէ ընկալելու ճշգրիտ սահմանումները:

Նման

ըստ

գաղափարներիցէ

նան

«պատահականմեծություն»

հասկացությունը:Նկարագրենք,թե ինչ նում պատահական մեծությունները:

են

իրենցից ներկայաց-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Դիցուք, ունենք որնէ փորձի հետ կապվածտարրականպա-

տահարներիՕ բազմություն: Դիտարկենք որնէ 2«(օ) ֆունկցիա, որի որոշմանտիրույթը Օ -ն է, իսկ արժեքներընդունում է

Թ:-ից՝

թվերի բազմությունից, այսինքն` ցանկացած իրական բազմությունում գոյություն ունի միակ թիվը, այնպես օՀԶ

մար որ՝ 24(օ)Հ24: թ'

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

հա-

չ«

տահական մեծության կարնորագույնբնութագրիչը` բաշխման

ֆունկցիան:

պատահականմեծության բաշխման ֆունկցիա է կոչվում իրականթվերի բազմությանվրա տրված Բ) ֆունկցիան,որի արժեքներըորոշվում են հետեյալ հավասարությամբ` Սահմանում

Պատահականմեծությունը, թեն նման է սովորականֆունկցիային, սակայն ունի նան տարբերություն. այն փորձի ընթաց-

ընդունում որնէ արժեք` իր հնարավոր արժեքներիբազմությունից: Որպեսօրինակ կարելի է դիտարկել նետված զառի կետերի թիվը, շտապ օգնության օրվա կանչերի վիճա շահած գումարի չափը, որնէ ապրանքի թիվը, վիճակախաղով սպառման ծավալը, որեէ ապրանքի առաջարկը,պահանջարկըն այլն: Ավելի մանրամասնդիտարկենք զառի պարզագույնօրինակը: Մեզ հայտնի է, որ զառի հետ կապված փորձի տարրական

քում պատահականորենէ

«(Ց

ք09-Ք0«(օ)ՀԺ: դիտողություն1.

9ՎՕ) Հ»-ը

իրենից ներկայացնումէ

պա-

տահար, այսինքն`այն օ -երի բազմությունը,որոնց համար տեղի ունի չ((ա)Հ« անհավասարությունը:

Դիտողություն2

Չ(Թ)Հ»դպատահարը կարելի

յացնել հետնյալ ձնով՝

74(օ) Հ (-«օ,»,այսինքն` ՒԷ)

ներկա-

բաշխման

ֆունկցիանպատահականմեծության Էօ,չ) միջակայքինպատէ: կանելու հավանականությունն

5, ե հյու աաա . բազմությունը 7մօ)-ս, այսինքն` 24(1)-1, վերցվում «2 2 րճ Ն գե. Աա ան չի Բունը ո ո ռոլած

Դիտողություն3. Որոշ հեղինակներբաշխման ֆունկցիան են սահմանում խիստ անհավասարության միջոցով՝ ոչ Բ0Ժ-Ք(4«(օ)Հ 2): Այս սահմանումը նույնպես ընդունելիէ, սակայն

Ընդհանրապես պատահական մեծությունը համարվում է տրված ն հավանականություններիտեսությանուսումնասիրման

ցիայիհատկություններից:

(1,2

-ն

ծությունըպատահականորեն ընդունումիր արժեքները:

առարկա, եթե տրված է այդ պատահականմեծությանհնարավոր

արժեքների բազմությունը ն այդ արժեքները ընդունելու հավանականությունները:Սակայն շատ հազվադեպ են տրված լինում վերը նշվածները. այդ է պատճառը, որ ուսումնասիրվում է

պա-

»«(օ)-նսովորականթվային արգումենտով ֆունկցիաներիցտարբերվում է նրանով, որ 2(Թ)-ի որոշման տիրույթը` 2 բազմությունը,ոչ միշտ է թվային բազմություն:

այսպես սահմանված բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները փոքր-ինչ տարբերվումեն վերը սահմանված բաշխմանֆունկ|

Նշենք պատահականմեծության բաշխման

ֆունկցիայի

հատկությունները. 1.0ՀԷՆ)Հ1:

Այս հատկություննակնհայտ է, քանի որ Բ6: -ը սահմանվում այն ճիշտ է նան դիտողություն է որպես հավանականություն. 3-ում նշված բաշխմանֆունկցիայիհամար: 2.

09-ը

չնվազող ֆունկցիա է, այսինքն՝ ցանկացած2

թվերիհամար »«Հ«շ պայմանիցհետնում է, որ

Բ(ոլ)ՀԲՆ.շ):

նշ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

Ըստ Ցույց տանք այս հատկությանճշմարտացիությունը:

հա-

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

293)

գումարման թեռրեմի` 24-2(օ) պատահավանականությունների

կանմեծությանարժեքի` շշ -ից փոքր լինելու հավանականությունը կլինի՝

Բ Հշշ)-Բ(« կամ

ՀոլՍ» ՏՀՀ»շ)- («Հո )«Ք(Վ ՀՀՀ»)

քնչ)- Է0ղ)-ՔնյՀՀՀշշ),

բայց

Ք(« ՀՀ«Հ»շ)Հ0, ուստի Է(շ)Հ Էն):

Այս հատկությունիցհետնում է, որ.

Ք0

ՀՀ

ԲՐ իւ«շ)- ԷՇշ)Էն):

«-ց

Բաշխմանֆունկցիայի համար տեղի ունեն հետնյալ հավա-

սարությունները հտ թօ

ԷՐ)-0, ԷՇ)»1:

կարելիէցույց

այ-

որ

տեղի ունի հետնյալ հավասարությունը`

հետնում հետնում որ, ընդհան ընդհանուր է,է, որ,

(24)

ապա

ք(ՐաՀ0)ՀԷ(ա)

(24)

բանաձնից կհետնի,

որ

Բ(«-»գ)-0: Այսպիսով, կարող ենք ձնակերպել բաշխման ֆունկցիայի հատկություններիցբխող մի շատ կարնորհետնանք: յունը կընդունի իր որնէ արժեքը, հավասար է

0)- ԷՆօ):

նից ) կությունից Այս հատկո

տալ,

մեծութՉետնեանք. կՀավանականությունը, որ պատահական

սինքն.

ման

առմամբ ,

բաշխման ֆունկցիան անընդհատ ֆունկցիա չէ, այն միայն ձախից անընդհատ է, օրինակ` գրաֆիկ 2.2-ում ներկայացված

ֆունկցիան.

Օգտվելով բաշխման երկրորդ ն երրորդ հատկություններից`

Եթե «ց կետը բաշխմանֆունկցիայի անընդհատությանկետ

(2.3)

Բաշխման ֆունկցիան ձախից անընդհատ ֆունկցիա է,

հրՒՆ)- ԷՆ

կետում անընդհատչէ:

(2.2)

ւր ՒՐ)- ԲԵ. 0)» ՒՆ),ուստի ֆունկցիան 2-0

Բ((-29)- ԲԸ չ0)-ԷՆ.):

Երրորդ հատկությունը նույնպես պահպանվումէ դիտողուքյուն 3-ում սահմանվածբաշխմանֆունկցիայիհամար: 4.

կետում ձախիցանընդհատէ, սակայնաջից անընդհատ

չէ քանի որ

(2.1)

Երկրորդ հատկությունը պահպանվումէ նան դիտողություն Յ-ում սահմանվածբաշխմանֆունկցիայի համար: Յ.

Գրաֆիկ 2.1

«չ)- ԷՆ«շ )- նւ).

կամ, որ նույնն է՝

այդ

կետում բաշխ-

ֆունկցիայիխզմանթռիչքին` Բ0օ«0)-Է6օ): Ձնակերպված հետնանքը հնարավորություն է տալիս

միայն հաշվել

Բ «խղ».)

Բ «(»օ).

60 Հօ)

նությունները:

հավանականությունը,այլ

ՀԵ ջի

ոչ

նան

հավանակա-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

հաշվենք Ք(4 Օրինակ` « իշլ:»«շ ) հավանականությունը՝

604 ի շ)- Բ0« ի«2)Ս եշ))-Բ0« իշ յխ«

4շ

2()-ն:

-Ք0««իլ»չ))ԷՔ0-7)-ք0նշ)-ք(գ)Է86Հ 0)-Բ6շ)-

ԲՆ:շ-Է0)-Էնա):

Համանման

նությունները.դրանք խորհուրդ է տրվում հաշվել ընթերցողին ինքնուրույն, այսինքն` արտահայտելբաշխմանֆունկցիայի միջոցով:

Պետք է նշել,

որ

բաշխմանֆունկցիայիչորրորդ

մեծություններ ունենան

որտեղ`

1 եքե

տարբեր պատահական

որ

նույն բաշխմանֆունկցիան: Բերենք մի

ՓՇՃ

206)

աշտ

Ք(ճ)-1/2:

Հեշտ է ստուգել,

որ

շԿ(օ)

0, եթե օտ

եթե ս

242-(օ)պատահականմեծություն-

ները լինելով տարբեր` ունեն նույն բաշխմանֆունկցիան՝

հատկությու-

Բ()-

եթե«ՀՕ0

շ. եթե0Հ:«Հ1: Ն

ընդունում է հետնյալ տեսքը՝

Ք0«-«օ)-Է(օ)-ԷՆ` -0):

Դիտարկենքհետնյալ պատահականմեծությունները.

աջից անընդհատֆունկցիա: Պարզ է, որ այս դեպքում փո-

խվումէ նան (2.4)-ը

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

օրինակ:

նը չի պահպանվումդուտոդություն3-ում սահմանվածբաշխման ֆունկցիայի համար. այստեղ բաշխման ֆունկցիան հանդիսանում է

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

Այլ կերպ ասած` հնարավոր է,

).4 Թ)

ձնով կարելի է հաշվել նան մյուս հավանակա-

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

եթե»

(2.5)

Այժմ ձնակերպենք հավանականությունների տեսության

առանցքայինթեորեմներիցմեկը: Թեորեմ. Եթե որնէ Բ(«) ֆունկցիա բավարարում է բաշխման

ֆունկցիայի(2-4) հատկությունները,ապա գոյություն ունի տարածություն ն վանականության

դրա

վրա որոշված 7«()

պա-

տահականմեծություն, այնպես որ Բ(«) ֆունկցիան հանդիսանում է «(օյ

2.2.

«2 հա-

պատահականմեծությանբաշխմանֆունկցիան:

Դիսկրետպատահականմեծություններ

Դիսկրետ պատահական մեծությունը սահմանելու համար

անհրաժեշտէ հասկանալ, թե հաշվելի բազմություններ:

որ

բազմություններնեն կոչվում

Դիտողություն1. Թեորեմում չի նշված բաշխմանֆունկցիայի առաջինհատկությունը, քանի որ այն հետնում է (2-4) հատկութ-

յունների պարզագույն դեպքերն են: Դրանք այնպիսի բազմութ-

յուններից: Վերնում առաջինհատկությունըտրված է

յուններ են, որոնց տարրերըկարելի է համարակալել կամ, ավելի

ուսուցողա-

կաննպատակներով:

խիստ` բազմությանտարրերը կարելի է դնել փոխմիարժեքհա-

Դիտողություն2. (Թեորեմում նշվում է, 2(օ) պատահականմեծություն,

Ընդհանրապեսհաշվելի բազմություններնանվերջ բազմութ-

որ

Բ(օ)-ն

ցիան է, սակայն չպետք է կարծել,

որ

դրա

գոյություն ունի

բաշխմանֆունկ-

գոյություն ունի միակ

մապատասխանությանմեջ բնականթվերի հետ: բողջ

այլն:

թվերի բազմությունը, :

թվերի ռացիոնալ

(Օրինակ`ամբազմությունը

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Սահմանենքդիսկրետպատահականմեծությունը: Սահմանում

2Հ»(թ)

պատահական մեծությունը կոչվում է

դիսկրետպատահական մեծություն, եթե

դրա

արժեքներիբազ-

մությունըվերջավորկամ հաշվելի բազմություն է: Որպես դիսկրետ պատահական մեծության պարզագույն

օրինակներ`կարելի է նշել նետվածզառի կետերի թիվը, ո փորձերում պատահարիհանդես գալու թիվը, որնէ սպասարկմանհամակարգում օրվա ընթացքում ներկայացված պահանջարկների թիվը նայլն: Սահմանում.

Դիսկրետպատահականմեծության բաշխման է օրենք կոչվում պատահականմեծության բոլոր հնարավորարժեքների ն

այդ

արժեքներըստանալու հավանականությունների

համախմճբությունը:

Այսպիսով,եթե 7«Հ7«(թ)պատահական մեծությանարժեքները նշանակենք.

Քոր ւ...

որտեղ` ՔՀԿ), տալ

27«պատահականմեծության

բաշխման օրենքը կարելի է

Ք|Բ,Բ,,-.Բո,--" որ

Ք, հավանականություններըբավարարում են

ՕՀԽԲՀՏ՛Ն Էհ-Ղ2,---,ո,---,

-1:

թվերի

(2.7)

պայ-

"ոո. "

զ |զյ,զշ,--:,զը,---

Կապ գոյություն ունի դիսկրետ պատահական մեծության

բաշխմանօրենքի ն բաշխմանֆունկցիայի միջն: Եթե տրված է դիսկրետպատահականմեծության բաշխմանօրենքը, ապա

դրա

բաշխմանֆունկցիան որոշվում է հետնյալ բանաձնով`

Բ )-

(28)

բոլոր շ

արժեքներիվրա, ո-ից:

ենթադրենք` տրված են դիսկրետ պատահականմե-

ք)

բաշխման ֆունկցիան

անհայտ Ծյ,

Քշ....

արժեք-

ները. գտնենք բաշխման օրենքը: Օգտվելով (2.4) բանաձնից՝ կունենանք`

-Բ(« ":)- ԷՐ. -0)-քԷ(ո): Տ

Դիտարկենքդիսկրետ պատահականմեծության բաշխման

հետնյալ պայմանները՝

ԷՀ

ՎՄՆ2ո

որդու»

Պարզ է,

հավանականություններինհամապատասխանող4.,շշ,...

հետնյալ աղյուսակիմիջոցով՝ «

զո

ծություն, որի բաշխմանօրենքն է՝

ծության .հՔ512,3.......ո,

մանները, ապա գոյություն ունի որնէ դիսկրետպատահականմե-

Այժմ

հաջորդականություն,որոնք բավարարում են (2.6)

-երը փոքր են րոնց համապատասխանող

իսկ համապատասխանհավանականությունները`

ապա`

հակառակը.եթե ունենք գլ, զշ,

նան

որտեղ` գումարը տարածվածէ է-ի այն

24:262,.....2ո--..

ապ

ճիշտ է

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

(2.6) `

ֆունկցիայի անալիտիկն գրաֆիկականտեսքը, երբ դրա արժեքների բազմությունը վերջավորէ, իսկ բաշխմանօրենքը՝ տրված.

24.22,"

ընդ որում՝ չ«ՉՇՀ...Հշո:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Բաշխման ֆունկցիայիանալիտիկտեսքը կլինի. Օ,

եթե

Ք,

եթե

Հ«Հշշ

թո14111

Բ,, եթե), Հ Հ)ՐԿյ

ՀՀՀ

Ք ՀՔչՀ--ՀՔՀԼ

Օրինակ '

գալու

եբեչ»շր

ոռ

տրվում է Ել

ԷՕ

ե որտեղ ԱԱԿ

ԱԱԿԱՅԳԱԿԱԿԱԱԱԿԱԱԿԱԱԱԱՉԱԿԱԿ

ԱՀԿ

1 ՁԶԱՁԱԶԱՎԱՂԱԿԱԶԱԱ

ոառաաաաաաաառաաաւաատառաւաաա

.---Կ

»«

:«

Գրաֆիկ2.2-ից երնում Է, որ դիսկրետպատահականմեծության բաշխման ֆունկցիան ունի հետնյալ առանձնահատկություն-

ները՝ 2. այն

գրաֆիկըաստիճանաձնէ, խզվում է

շշ,

'::շո

հետնյալ աղյուսակով՝

2, Շոգ",Օ1Քզ"՛,Օճք2զ" '

Շ- ո

ոլ

ոն-թ

-հե-0ո,ո

Հո

,ՇՈՔ",

Ք-

Մ) Քտ)

զ -1-Ք:

Այստեղ անհրաժեշտությունկա ստուգելու հետնյալ հավա-

Ք., Քշ,

Քո:

Բերենքդիսկրետ պատահական մեծությունների մի քանի օրինակներ, որոնք տրված են բաշխմանօրենքի միջոցով:

դրա

ձախ մասը հավասար է (ՔՀգ)՞, իսկ

վերջինսակնհայտաբարհավասար1-ի:

Ստացված հավանականություններիբաշխումըկոչվում է

հա-

վանականությունների բինոմականբաշխում: « 3. Օրինակ պատահականմեծությունն ունի Պուասոնի հավանականություններիբաշխումը, եթե դրա բաշխման օրենքը տրվում է հետնյալ աղյուսակով՝ «0, թ

կետերում ն խզմանթռիչքները

հավասար են՝ համապատասխանաբար

Բերնուլիի փորձերում Ճ պատահարիհանդես

Այն ճիշտ է, քանի որ

Գրաֆիկ 2.2

1. դրա

սարությունը՝ ՇքզշՀ Շ1Քզ" ՛ գ Շ2Ք2զ" 2 .....գ.ՇոՔ"1:

--Հ

թիվը պատահականմեծություն է, որի բաշխմանօրենքը

ո| 0,

իսկդրա գրաֆիկըկունենա հետնյալ տեսքը.

212345

ԱԼԸ

Է--ոԷ

կով`

ԻԱԱՀԱ---Հ------Հ--Բշ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

Օրինակ 1. Նետված զառի կետերի թիվը պատահականմեծություն է, որի բաշխմանօրենքը տրվում է հետնյալ աղյուսա-

Ք. Բշ, եթե«շ ՀՀՀ»ո

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Յ.,-"

1,2,

6-7 167 '

Ո,

7օ- 7." "2լ 3լ

յե

Հօ" »

ՉԽ

ԻՏԻղ

որտեղ` 1»0: Այստեղնույնպես

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

2.3.

Անընդհատպատահականմեծություններ

Սահմանում

28»(տ) ապատահական մեծությունը կոչվում է

ք0)- ինքս:

յուններիօրինակներ: 1.

Օրինակ

Պատահական մեծությունը |, Ել միջակայքում

հավասարաչափ բաշխում, եթե ունի հավանականությունների խտությանֆունկցիան ունի հետդրա հավանականությունների նյալ տեսքը լ

Սահմանումից հետնում

է, որ եթե

Ւ(«)

ֆունկցիան ունի

անընդհատածանցյալ, ապա` 104-Բ'(): 122 ֆունկցիան անվանում են 74-2(օ) պատահականմեծության խտությանֆունկցիա:Պարզ է,

որ -բ

60».

եթե «Հոծ

/9-4Ե-2'

0, եթե

որՔնօյ ՀՀՀ«շ)-ք6շ)-քԱկ)(տես «

ՀՀ

Հ»շ)5

յ (սժս-

Ստացվածիցհետնում

«շ

ինքսինս ի

ՀՅկամ

(2.10)

»»Ե

Ունենալով խտությանֆունկցիայի (2.10) տեսքը` կարող ենք

-1:

բանաձն

բաշխման տնել բաշխման գտնել

ֆունկցիան՝ ֆունկցի

1.1), այն արտահայտենք խտությանֆունկցիայիմիջոցով`

թ.

Բերենք մի քանի հայտնի անընդհատպատահականմեծութ-

անընդհատկամ բացարձականընդհատ,եթե գոյություն ունի մի որնէ 104)ոչ բացասականֆունկցիա, այնպիսին,որ

Հայտնի է,

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

(29)

է, որ »լՀ»«Հ«շ անհավասարության ի-

րականացմանհավանականությունըթվապես հավասար է այն կորագիծ սեղանի մակերեսին, որը սահմանափակվածէ 3109 «Յ:շ կետերով անցնող կորով, աբսցիսներիառանցքով ն Հյ, աբսցիսների առանցքին ուղղահայաց Նշված է կորագիծսեղանը ցույց տրված հետնյալ նկարում

ուղիղներով:

Բ()-

յես

եթեշՀՅ

«-Յ

եթեճՀ«ՀԵ:

-Տ-շ:

(2.11)

.,եթե«»Ե

Ենթադրենք`ք«,, շշ) միջակայքըորնէ միջակայք է |Ձ,Ե|միջա-

կայքի ներսում: Ըստ (2.9) բանաձնի`կունենանք.

«Հ

«.)- ինշ» յ ած Լ

Փ.-

Ե-Յ

("շ յ:

Այսպիսով,երբ շ« պատահականմեծությունը|, Ե) միջակայհավասարաչափ բաշխում, քում ունի հավանականությունների |, Ելի ներսում գտնվող միջակայքումընկնելու հավանականությունըուղիղ համեմատականէ այդ միջակայքիերկարութ-

ապա

յանը ն կախում չունի «

դրա

դիրքից |ճ,Ե) միջակայքիներսում:

Յուրաքանչյուր պատահականմեծություն կարելի է ձնափոխել այնպես, որ ստացված պատահականմեծությունը |0, 1)

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

միջակայքում ունենա հավանականությունների հավասարաչափ է բաշխում: Այդ վկայում հետնյալթեորեմը՝

թյուններիցեն

Թեորեմ. Դիցուք, 2452(օ)-ն կամայական պատահականմեծություն է՝ ՒՕ բաշխմանֆունկցիայով, այդ դեպքում 7-Բ0ՕՉ

տահական մեծություններն կրճատգրում են՝ 2«-Կ(Յ, օ):

պատահականմեծությունը |0,1) միջակայքումունի հավասարա-

չափ բաշխում:

Օրինակ 3. Առավել հաճախ հանդիպող պատահականմեծունորմալ բաշխված պատապարամետրերով հականմեծությունները,որոնք անվանում են նան Գաուսյան պաչ«

րի ցուցչային բաշխման, եթե

դրա

4 )- 10» Վ2ոօ

խտության ֆունկցիան ունի

պարզ է, որ

եթե«Հ0

2.4-ում:

1-6

պա-

"«Ըտ:»):

բաշխմանֆունկցիանկլինի`

Եռ "ս:

1»

Դժվար չէ ստուգել, որ Է(«) ֆունկցիան, իրոք, պատահական

մեծության բաշխման ֆունկցիա է, այսինքն` բավարարումէ

Բաշխմանֆունկցիայիտեսքըկլինի`

ն ՀՅ

(-82

Վ2ո6)

ՒՐԺ-

կոչվում է ցուցչային բաշխման պարամետր: Խտությանֆունկցիայիգրաֆիկի տեսքը պատկերնածէ գրաֆիկ

Բ )-

պատահականմեծությունը բաշխված է նորմալ 8 ն

16». եթե»»0'

որտեղ 1»0

տեսքը՝

հետնյալ տեսքը՝

րամետրերով, եթե դրա խտության ֆունկցիան ունի հետնյալ

Օրինակ 2. Հավանականությունների ցուցչային բաշխում: է պատահականմեծությունըենթարկվում հավանականություննե-

6)-

հատկությունները:

«0

Երբ 8-0, օ51,

Դեջեչ»0

են

պատահականմեծությունն անվանում

ապա

ստանդարտնորմալ պատահականմեծություն:

Կարելիէ

ցույց

տալ,

որ

նորմալ բաշխված պատահականմե-

ծության 7Հ1(«) խտության ֆունկցիան ունի մաքսիմում 2-8

տում ն Մոս

-7Թ)-

դրա

ԺՎ2ո

հո10)-0: -

Խտության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետնյալ

տեսքը (տե՛ս գրաֆիկ2.5):

պարամետրիփոփոխմանժամանակ կորը կտեղափոխվի աբսցիսներիառանցքով`չփոխելովիր ձնը: Յ

Գրաֆիկ 2.4

կե-

գրաֆիկը համաչափ է (սիմետ-

րիկ) 2«-Յ ուղղի նկատմամբ, ունի շրջման երկու կետ` 2-86

2-4

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

աք

ՍՀ

Գրաֆիկ2.5 Ծ

պարամետրըբնութագրումէ կորի փռվածությունըաբսցիս-

ների առանցքի նկատմամբ:Գրաֆիկ 2.6-ում ԾՓւՀօշ

տուն

բերված

են ծլ,

պարամետրերինհամապատասխանող կորերը`

օշ:

հաստա-

պարամետրերիդեպքում: ՃՁ /

Գրաֆիկ2.7.

Պարզագույնհաշվարկներիցհետո կարելի է գտնել նորմալ պատահականմեծության` որնէ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը,ընդ որում` այստեղ նշանակությունչունի միջակայքի բաց, փակ կամ կիսաբաց լինելը, քանի որ նորմալ պատահականմեծության բաշխման ֆունկցիան ամենուրեք անընդհատ է, այսինքն` պատահական մեծության որնէ արժեք ստանալու հավանականությունըհավասարէ զրոյի: Նշված հավանականությունըհաշվարկվում է հետնյալ բանաձնով՝

60գ«2

«ա)-Վ(" ԱԵ Բ. Ծ

որտեղ` Փ(»)-ը Լապլասի ֆունկցիանէ՝

Գրաֆիկ2.6

Ակնհայտէ,

որ

ստանդարտնորմալ պատահականմեծության

խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը կլինի համաչափ` օրդինատների առանցքի նկատմամբ ն կունենա գրաֆիկ 2.7-ում ված տեսքը:

պատկեր-

1«--

ՓՈ)-

2դ

)

շ2

Մասնավորդեպքում,երբ 2«ՀՅ-30, 22-83,

ԾԸ-39«2ՀՅ: այսինքն`

36)26) -

կունենանք`

0997,

պարամետրերովնորմալ բաշխման դեպքում

0,997 հավանականությամբ (այսինքն` համարյա հավաստի)

րելի է պնդել,

որ

պատահականմեծությունը կշեղվի

կա-

-ից

ոչ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ծության այս հատկությունը կոչվումէ «երեք սիգմայի»կանոն: Պատահականմեծություններիօրինակներում(դիսկրետկամ

0: Բ(-»,յ)- Բ0ւ-)- ԷԸ».-6)»-

բաշխմանֆունկցիաները,բաշխկախված են մեկ խտության ֆունկցիաները

օրենքները ն

ման

որ

Հայտնիէ, որ այդ պարամետրերը կամ մի քանիպարամետրերից:

որոշակիիմաստներ,այլ կերպ ասած` դրանք պատահաեն: կան մեծությանորոշակիբնութագրիչներ ունեն

2.4.

Երկչափպատահականմեծություններ մեծությունները: պատահական Երկու պատահական մեծություններիցկազմ-

Դիցուք,ունենք 24 ն Սահմանում:

համակարգըկոչվում է երկչափպատահականմեծութ-

ված (2,

յուն կամ պատահական վեկտոր:

Երկչափ պատահականմեծությունըհաճախ նշանակումեն մեկ տառով՝ 27Հ(2,՝Ռ:

մեծության բաշխման Երկչափ պատահական կախված Բ (:, )) ֆունկֆունկցիան » ն), փոփոխականներից ցիան է, որի արժեքներըորոշվում են հետնյալ կերպ՝

Կամայական շ -ի ն)/ -ի համար`

ավել, քան 36 մեծությամբ:Նորմալ բաշխվածպատահականմե-

անընդհատ)տեսնում ենք,

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Կամայական5 -ի ն)-ի համար (4

ԲՈԻ»)-բժ, ԷՐ,

Դ-ք,0),

«ն համապատասխանաբար որտեղ`Բ,(չ) ն Բ.()) ֆունկցիաները են, բաշխմանֆունկցիաներն մեծությունների պատահական 6.

ԷԼ(-տյ)

ԲԵ -Բ(,

-1,

Թ:

բաշխմաներկչափ` Ւ («, )) ֆունկՀավանականությունների

ցիայի միջոցով կարելիէ արտահայտելայն հավանականությումեծությունը կընկնիըւյ»շ) միջակայքում նը, որ « պատահական ն, միաժամանակ,՝՛-ը կընկնի 1/:, )շ) միջակայքում,այսինքն՝ ունեմեծություն կոորդինատներ կետը (պատահական ուղղանկյանմեջ: ցող) կընկնիգրաֆիկ 2.8-ում շտրիխավորված

ԽՇՀԴ

Սահմանում:

Բ(.7)-Ք(Հ»ՈՀՀՈՂ-:25:5:5,-6ՀՄՀՀ:

| ք

Բաշխմանֆունկցիանունի հետնյալ հատկությունները՝ 1.

0ՀԲՐ. 3) Հ1:

ֆունկցիան չնվազող ֆունկցիա է` ք()

Է(Կ,ՀԷՇՉ,

ՒՐ, /ժ ՀԷՆ,

3. Ըստ

ըստ

յուրաքանչյուր արգումենտի,

3), ««Չօ

72),

ՊՀ32:

յուրաքանչյուր արգումենտի` ձախիցանընդհատէ,

». Գ

2.8 րաֆիկ

կորոշվի հետնյալ բանաձնով՝ Նշված հավանականությունը

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ԷԿՌՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

/շ)- Բ(շ,72)- Բ0.72)-Է(Րշ,7:)-

ՔԸ Տ«Հ«ՈՒՖՏՄՎՀ

ԲՐ):

(2.12)

(2.12) բանաձնըհամեմատելիէ (2.1) բանաձնիհետ: Սահմանում.

24 ն`

պատահականմեծություններըկոչվում են

անկախ,եթե՝

նի պատահական մեծությունները, կարելի է դասակարգելըստ

դիսկրետն անընդհատպատահականմեծությունների: Եթե 2« ն

Սահմանում.

պատահականմեծություններըդիսկ-

րետ պատահականմեծություններ են,

ապա

(2, `) երկչափ պա-

տահական մեծությունը կոչվում է դիսկրետերկչափ պատահա-

կան մեծություն, որի բաշխման օրենք կոչվում է ն

դրա

արժեքների

համապատասխան հավանականությունների համախմբութ-

յունը, որը տրվում է հետնյալ աղյուսակով` «

ճի

742,

գ...

Ք,

Քշ,..

Բլ...

Քոլ

Քշ,

Ֆշշ..

Քշ,...

Քոշ

Ք.

Բշ...

Քա...

Քոլ

Քո,

Ք.ո, Քշոո,

ւ-ՔԲ«-ԿՐՎ-ւ)

Ակնհայտ է,

որ

ՕՀՔ.Հւ

1-12--ո

ՖՖբլ Է-1 .-1

-ԲՀ«-ո)

5հ-1ո,

Բա-ՔԱՈ-ա) 1-1ո

ապա՝ Հ

ԻԲ,

|-Ննո,

Ք,

ՀԲ,

ւո

Եթե հայտնի է դիսկրետ երկչափ պատահականմեծության

բաշխմանօրենքը, ապա ֆունկցիանկլինի.

ԷԴ

այդ

պատահականմեծությանբաշխման

ԻԲ

«2

որտեղ` գումարումը տարածվում է այն րոնց համար 2«4Հ., 7.«7: Դիսկրետ24 ն

|ն բ

արժեքներիվրա,

ո-

պատահականմեծություններիհամար տեղի ունի հետնյալթեռրեմը: "/

հետնյալ հավասարությունը`

Բ, ՀԲԲ.

1-1ո,

ե»-1ո:

Ուսումնասիրենքդիսկրետ երկչափ պատահական մեծության մի օրինակ: Նետում

ենք երկու զառ. դիցուք՝ 7-ը այն կետերի թիվն է, որ բացվում է առաջին զառի վրա, իսկ ՝-ը՝ այն կետերի թիվը, որ

որտեղ՝ թ1

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Թեորեմ. Որպեսզիդիսկրետ 24 ն (պատահականմեծությունները լինեն անկախ,անհրաժեշտ է ն բավարար,որ տեղի ունենա

թ.

Երկչափ պատահականմեծությունները, ինչպես մեկ չափա-

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

Եթե տրված է («, ՌԴ երկչափ պատահական մեծության բաշխմանօրենքը, կարելի է որոշել 24 ն պատահականմեծուքյուններից յուրաքանչյուրի բաշխմանօրենքը: Նշանակենք՝

Է())-Է09-Ւ0):

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Խ-12,--

-1:

ո:

բացվում է երկրորդ զառի վրա: Դիտարկվումէ (2, "դ երկչափ պատահականմեծությունը: Կառուցենք(2, Ո երկչափ պատահական մեծությանբաշխմանօրենքը: Պարզ է,

որ 74 ն /

աղյուսակներըկլինեն՝

պատահականմեծություններիբաշխման

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

«(123456

լնղիւն նակում

Հ-.,Է-16

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

| |ասս

ԷՐ)-

ի»

Ի՞-Ք.

ԱՆՆՅՅ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

(2)

Կ,

ֆունկցիան անվանում են երկչափ պատահականմե-

ծության խտությանֆունկցիա:

ՈՆՂ2345

զ:

Իս

6'6'6'6'6'6'

-Ք(«-1ՈՎ

Սահմանումից հետնում

| ի(ԱսյսՓ-1ն, եթե գո-

--00

-Թ--ջ:Ակնհայտ

1-16, «-16,

յություն ունի իսկ

պատահական

է, որ 24 ն `

ՀԵ)

ապա՝

խառը ածանցյալը

այն անընդհատ է,

)- 586, Օօ

Եթե հայտնի է (2, ՝Ռ անընդհատպատահականմեծության

մեծություններնանկախեն` Ք-Ք.Ք.:

Այսպիսով,բաշխմանօրենքը կտրվիհետնյալ աղյուսակով.

1/36

|136

1/36

(/1/36

1/36

է, որ

ՕՀ ՝Ռ-ի հնարավոր արժեքներնեն (է, Կ),

Ք.

Ս «16:

ՒԹ

Դ) բաշխման ֆունկցիան, ապա կարելի է գտնել

74 ն ՛

պա-

տահական մեծություններիբաշխմանն խտության ֆունկցիաները:

Այդ ֆունկցիաներն ունեն հետնյալտեսքը.

Է.Ը)-

յ ինդ

Խ/0)-

/ ինստծս,

(2.14)

5.6)-

Աա

(2.15)

00)-

ԱԾՇ

(2.16)

(2.13)

-օ2

Այժմ սահմանենք երկչափանընդհատպատահականմեծու-

թյունը: Սահմանում.

Երկչափ («Կ "0 պատահականմեծությունը կոչ-

վում է անընդհատ,եթե գոյություն ունի 16. /) պիսին, որ կամայական2-ի

ֆունկցիա, այն-

7-ի համար տեղի ունի.

Պատահականմեծությունների անկախությունըցույց տալու համար հաճախ օգտվում են հետնյալ թեորեմից: Թեորեմ. Եթե (2`)

երկչափպատահականմեծությունն

ա-

նընդհատէ, 10:,7) խտությանֆունկցիայով, ապա որպեսզի 24 ն" պատահականմեծությունները լինեն անկախ, անհրաժեշտ է ն

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

710.)- ե9-607 հավասարությու-

բավարար, որ տեղի ունենա

նը:

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԲՐ, շ,::12ո)-Բ0ԿՀՈ»

Հ»)

ՀշՈՀՃՈՀԿ

Հետագայում անհրաժեշ կլինի օգտագործել 7,

Որպես անընդհատ երկչափ պատահականմեծության օրինակ, դիտարկենքերկչափ նորմալ բաշխված պատահականմե-

ծությունը:

Երկչափ պատահական(24,`) մեծությունըբաշխվածէ նորմալ, եթե դրա հավանականություններիբաշխման խտության

ֆունկցիան ունի՝

6 .Դ`

լ |

-Ե) (/-Եյ

20-87

Ե, 9:»0, օշ»0 ն

Կարելի է ցույց Գ

Սահմանում:2Կ., Օօ, --", ո պատահականմեծություններնան-

կախ են, եքե կաճայականշո,

շշ,

։ո

թվերի համար տեղի ունի

հետնյալ համ ԻԹ յալ հավասարությունը`

0Կ):5.6ջ)

մն

Ծո):

ո,

որնէֆունկցիա: Դիտարկենք"՛-Փ04) պատահականմեծությունը:

ընդ որում` ||Հ1:

Սկզբում ենթադրենք, որ

տալ, որ.

րետ է.

| ին»

պատահականմեծությունների խտությանֆունկ-

ցիաները:Այդ խտությանֆունկցիաներն ունեն հետնյալտեսքը

6-ռի

անք 0)-

Ստացվածիցհետնում է,

որ 24 ն

Յի 262.

Վ2ոօշ

պատահականմեծություն-

(8, օն ները բաշխված են նորմալ, հաճապատասխանաբար`

պարամետրերով: Նմանատիպ ձնով սահմանվում

(Ե, շ)

մեծությունը` (2«., 2,

շո)

ն դրա

այստեղից կհետնի,

շ« որ

պատահականմեծությունը դիսկՓ0«) սալատահական մեծությունը

նույնպես կլինի դիսկրետ` Փ(24),Հ1,2,...,

Փ/-1:

Օգտվելով վերը նշված (2.15) ն (2-16) բանաձներից`կարելի է ստանալ 74 ն`

Պատահականմեծության ֆունկցիայի բաշխումը

Ենթադրենք` 24-ը պատահականմեծություն է, իսկ 7-օ(ժ՝

-տ-տ

0:6)«6)-

պատճառովսահմանենքայն:

2.5.

տեսքը, որը պարունակումէ հինգ պարամետրեր`

226.6շՎ1-12 շկ-ո2) 64

Ժ.Ծշ

Յ,

պատահական մեծությունների անկախությանգաղափարը, այդ

Էշ,

70,

ո-չափանի պատահական

բաշխմանֆունկցիան`

տեղ 24, Հ1,2, --- ո,

ո,...

արժեքներով,որ-

24 պատահականմեծությանարժեքները,իսկ

Փօ0Չ-իարժեքներնեն, ստանալու հավանականություններըկլի-

նեն՝ Բ(Ե0Ժօ0«:) թը« «)Լ

Եթե (4, -ը

2-Փ0ա-ը համանման

Ք,

1-12...

դիսկրետ պատահական մեծություն է, իսկ

երկու փոփոխականիցկախված ֆունկցիա,

ապա

ձնով Փօ0«,Ռ ` պատահականմեծության արժեքները

կլինեն` Փ0Օ«,Ռ):Թ1,2,...ո:

|-1,2,.....տ, իսկ համապատասխան

հավանականությունները`

Բ(ԹԵԵՌ-սո.).)- ԲՀ-«ՈՊյ Հ12,-:.-:::

,)- իլը

12-"ու-,

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Այժմ ենթադրենք`2-ը անընդհատպատահական մեծություն

Բլ00 բաշխմանֆունկցիայով:Ենթադրենք՝)-Փ0Ժ ֆունկցիան մոնոտոն է (աճող կամ նվազող), ուստի գոյություն ունի դրա հա-

է`

կադարձֆունկցիան` 2ՀՀ'()): Դիտարկենք`/ՀՓ(«) պատահական

մեծությունը ն գտնենք դրա բաշխման ֆունկցիան: Նշանակենք այն Բշ(/): Ըստ բաշխմանֆունկցիայի սահմանման՝

Բչ(/)- ԲԸ/Հ))-Բ00ԺՀ)3: Եթե `/-Փ(24)-ը աճող ֆունկցիա է,

ապա

Փ(4«)Հ/ անհավասա-

չոլ...

զ Հք

-ը

Բչ07)-604Հ()-

Բ2-

յան ֆունկցիան, Ք(Դ-ով՝ խտության ֆունկցիան,

-օ0Օ

ապա

պատահական մեծության

օգտվելով (217)

կստանանք. գոյություն ԵՑ)- 0/)-4'0): եթե

յալը,

հ()----

ՀԲն) Գ

բանաձնից՝

նանք.

Իչ0)-664 -«0)-1-ԻՐ0)-0):

Այս հավասարությունիցկհետնի, որ.

անընդհատեն

(2:18)

«ԵՐ -Հ.ու

ո) ն /

անկախ, 4

ն /

պատահական մեծություններն պատահական մեծությունների

ժու:

(6)- իոնժշն-»

րով,

ապա

ունեն

տալ,

որ

եթե երկու անկախպատահականմե-

Պուասոնի բաշխումը` մլ

են

ն մշ

պարամետրե-

դրանց գումարի (կոմպոզիցիայի) բաշխումը կլինի

Պուասոնի բաշխում, որի պարամետրըհավասարկլինի լ

7շ

Նույնատիպ արդյունք ստացվում է նան անկախ նորմալ բաշխված պատահական մեծությունների գումարի համար, այսինքն, եթե անկախպատահականմեծություններըբաշխված են նորմալ, համաւպատասխանաբար` (8.,9.)

դիսկրետ պատահականմեծությունները

անկախ են, ընդ որում` դրանց բաշխման օրենքները տրված

Հյ:

նշանակենք խտությանֆունկցիաները համապատասխանաբար 2-27 Ւ(Ջ, Ե): Այդ դեպքում պատահական մեծության (2) խտությանֆունկցիան որոշվում է հետնյալ բանաձնով՝

ծություններ

Ե(Դ)--հԹ(ԴխԽ(Դ: հետնյալ աղյուսակներով.

Կարելի է ցույց :

ԵՍ)

5՝6(«

Հիմա ենթադրենք` )«

ունի ՓԽ(յ)-ի ածանց-

Երկրորդ դեպքում, երբ Փօ(շց-ընվազող ֆունկցիա է, կունե-

Ենթադրենք` 24 ն

եթե Է(գ -ով նշանակենք4 պատահականմեծությանխտութ-

որտեղ2, -»

2.)-».Բ0:-«ՈՀ-Հ2յ

(2.17)

(07):

Հաշվենք Ք(2Հ-2,) հավանականությունները`

Ժ(/) անհավասարությանը:

Առաջինդեպքում կունենանք.

արժեքներիբազմությունըկլինի՝

ԻԼտ

նվազող ֆունկցիա է, ապա Փ(0օՀ/ անհավասարությու-

նը համարժեք է 2»

պատահականմեծությունը:

որ դրա -

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Մո

Դիտարկենք2» Ակնհայտէ,

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

յոոոցը

«ո

Բլբ,,....Ք'

րությունը համարժեք է 7«ՀՎ() անհավասարությանը, իսկ եթե ՀՓ(Հ)

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

(8յ,5շ) պարամետ-

րերով, ապա դրանց գումարը նույնպես բաշխվածկլինի նորմալ`

պարամետրերով: ե «Յգթուօշ|

Տ ԱԲՐԱԿԱՆ

Վերջում դիտարկենքնան երկու անկախ պատահական մեծությունների քանորդի բաշխումը: Դիցուք, տահական

մեծությունները

24 ն

անկախ

«լ 5Լ (Ժ--77ՎՏ շ7:էշ) ՛

պա-

-Ճ

2-7

պա-

տահական մեծությունը: Այս պատահական մեծության 1()

որոշվում 1 գամմա-ֆունկցիան որտեղ`

է.

|ԵՍԻՇՆԽ- ԽեՍինա)5:

երբ»»-0, 10050, երբ»Հ0

խտությանֆունկցիան կունենա հետնյալ տեսքը՝

(Ը)-

համապատասխանաբարունեն

ֆուն ները: Դիտարկվում է խտության ֆունկցիաները: խտության եճժ,Ե(/) 6ե0)

:»

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՍԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

իշօ"Փե

Ե0

Մասնավոր դեպքում, երբ հավասարությամբ:

Ր»

Էն

բնականթիվ է՝

Ր(0-(Է1)1: 2.

2.6.

բաշխում(Էբաշխում) Ստյուդենտի Ենթադրենք7̀40,7.

Ղավանականությունների Դ,

դեպքում` 1ր)--Ը--Զ----բ----

Այսպիսի բաշխումներ ունեցող պատահականմեծություննե-

կիրառվում մաթեմատիկական վիճակագրությանմեջ

ն, մասնավորապես, էկոնոմետրիկայում,երբ հարկ է լինում

ստու-

գել վիճակագրականվարկածներ. դրանք ծառայում են որպես վիճակագրականհայտանիշներ:

(01)

ՄԹ) ո

են

ազատութ-

Ստյուդենտիբաշխումկամ Էբաշխում:Հավայան աստիտճանով բաշխման խտության ֆունկցիան ունի նականությունների

ՔԸ)-

այ-

1-1ո:

Վետնյալ պատահականմեծությանը՝

մեծության բաշխմանըանվանում պատահական

ո,պատահական մեծություններն ան-

կախ, ստանդարտ,նորմալ պատահականմեծություններ են, սինքն` 2(

հետնյալ տեսքը՝

1.7 բաշխում Դիցուք, 7Կյ, 72,

այդ

են

ստանդարտ, նորմալ, անկախ

,ո-ը

մեծություններեն, պատահական

Ստյուդենտին Ֆիշերի բաշխումները

րը շատ

2-32

անվա-

րո

7՛ պատահականմեծություն, իսկ նրա բաշխմանը՝ ո ազատության աստիճանով ՛ բաշխում: Հայտնի է (ո) պատահանում են

կան մեծությանխտությանֆունկցիան, որն ունի հետնյալտեսքը՝

Ը-)չ|1---էշ -Բ-յ), :

(րո)շԻ

է: Ակնհայտէ, որ այն զույգ ֆունկցիա 3.

Ֆիշերի բաշխում(ք-բաշխում) Ենթադրենք2̀4: )

ակ

«Պո.

Ո-ը ստանդարտ, նորմալ, Է

անկախ պատահականմեծությունների համախճբություն մեծության՝ Վետնյալ պատահական

ՏԱՐՐԱԿԱՆ էԿՌՆՌՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Մշ) Ւ(Բո)-:--- դ Ր) ո1 լ»

կական սպասում կոչվում է

ժեքնեի

բաշխմանը անվանում են (տո,ո) ազատության աստիճաններով Ֆիշերի բաշխում կամ Բ-բաշխում: Դրա խտությանֆունկցիան ունի հետնյալտեսքը՝

Բ(Ց- ւլ չ

ո)/2| ոշ

ո՝շ

Ւ(ո/2)որ/2)

թԵ)-

2-7

(ո«--ո)""")2'

երը Բ 2-6:

այդ

մեծության բոլոր հնարավոր ար-

համապատասխան հավանականությունների ար-

տադրյալներիգումարը, պայմանով,որ զուգամետ է: Հակառակ դեպքում` գոյություն :«

Դիսկրետ պատահականմեծության մաթեմատի-

Սահմանում.

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

չունի:

այդ

գումարըբացարձակ

մաթեմատիկականսպասում

պատահական մեծության մաթեմատիկականսպասումը

նշանակենք Է(չ)-ով

(գոյություն ունի նան Խ(չ0 նշանակումը):

»՞Ց

0, երբ» Հ0:

Ըստ սահմանման`

կունենանք. Բ(Հ)-

ՀԲ, եթե ՀԲ,

Հ»:

Մասնավորդեպքում,երբ 2«-ըընդունում է վերջավորարժեք-

ներ, ապա 2.7.

Պատահականմեծությանմաթեմատիկական սպասումըն դրա հատկությունները

Մինչե այժմ պատահական մեծություններըբնութագրվում էին բաշխման ֆունկցիաների,բաշխման օրենքներին բաշխման խտությանֆունկցիաների միջոցով:Սակայնշ« պատահականմե-

համար գոյություն այլ` թվային բնութագրիչծության ներ: Այդ բնութագրիչներից է պատահականմեծության մաթեմաունեն

Թվարկենք որոշ

շատ

Ենթադրենք`24

«ե Ճ

պատահականմեծության բաշխման օրենքն

1242,:52:ղ,-:-, ՅԻ:

Ք|թ.,Բ,,-...Ք ու՞"՝

հայտնի դիսկրետ պատահական մեծութ-

Եթե շ« պատահականմեծությունն ունի հետնյալ բաշխման

4/0

թաթազթ:

ՅՅԻՀՄ:

ապա՝ Է(2:)-Ի:

հաճախ մաթեմատիկական սպասմանըանվանում

Նախ սահմանենք մաթեմատիկական սպասումն դիսկրետ պատահականմեծությունների համար:

օրենքը՝

նան

միջին արժեք:

Է6Հ- Ֆւբ,

յունների մաթեմատիկական սպասումները:

կտրվի, որ այն բնութագրում է պատահականմեծության միջին արժեքը: Այդ է պատ-

են

սպապատահականմեծության մաթեմատիկական

սումը միշտ գոյություն ունի ն հավասարէ՝

տիկական սպասումը: Հետագայումցույց ճառը, որ

Եթե չ, պատահականմեծությունն ունի հավանականութ-

յուններիբինոմականբաշխում(2.2), ապա` Բ»Հ-ոք: "

Ընդհանրապես,մաթեմատիկականսպասումը կարելի է սահմանել ցանկացած

պատահականմեծության համար մեկ բանաձնով, որ արտահայտվումէ Լեբեգի

ինտեգրալիմիջոցով, սակայնայդ սահմանումըիր բարդության պատճառովայս-

տեղ չի տրվի: |

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Եթե « պատահականմեծությունն ունի Պուասոնի բաշխու-

Ճ»0

պարամետրով( 2.2), ապա`

Է04)-1: է ի-

մաստ, այսինքն` հավասար է պատահականմեծության միջին արժեքին: րժեքի

Այժմ բերենք մի օրինակ,որն ավելի ցայտուն ցույց կտա մաչ շահումնե րը

աշխված բաշխվ

են

հետնյալ կերպ. ո.

շահում՝ յուրաքանչյուրը»։ դրամարժողությամբ,

Ռշ

շահում՝ յուրաքանչյուրը«շ դրամարժողությամբ,

խտությանֆունկցիայով: Սահմանում.

որտեղ`

ւտ

ԷՉ)- իմօ)Փ., "

պայմանով, որ ինտեգրալը բացարձակզուգամետ է, հակառակ

Թվարկենք մի քանի հայտնի անընդհատպատահական մեծություններիմաթեմատիկականսպասումները:

դրամարժողությամբ,

ԷՐ

շահումի միջին արժեքը: Տոմսի շահումի դրամական արժեքը

նշանակենք24 Այն պատահականմեծություն է, որի բաշխմանօ-

ապա.

ՅԵ. անն

Եթե

պատահականմեծությունն ունի հավանականութ-

յունների ցուցչային բաշխում Հ»Օ պարամետրով( 2.2),

րենքն է՝

Հաւա, ՀԱՐԻՐ

բե

Ք|ոյ,

Եթե շ« պատահականմեծությունը |Բ,Ե) միջակայքում ունի

հավասարաչափբաշխում (2.2),

Գտնենք վիճակախաղի տոմսի

ող ԷշՒ...ԷՈՈո-ոչ

անընդհատպատահականմեծության մաթե-

մատիկականսպասում կոչվում է հետնյալ մեծությունը`

1. »,

»«

դեպքում մաթեմատիկականսպասումգոյություն չունի:

շահում՝ յուրաքանչյուրը

ու

ոշ

Օ-:

շայ-»,

ԷՍ«)---:

-Յ-

Հար...

Այստեղ

Իո, մեծությունը

ու.

այս

ապա.

պատճառով

պարամետրը հաճախ անվանում

են

բաշխմանկենտրոն:

4. գու-

մարն է, իսկ ո-ը վիճակախաղի տոմսերի թիվը, ուստի Է(Հ)-ը տոմսի միջին շահումն է:

Եթե շ« պատահականմեծությունը բաշխված է նորմալ 8,

Է(«)ՀՅ,

Իո,

շահումների ընդհանուր

ապա.

(2.2), պարամետրերով

Այստեղիցհետնում է, որ

ԷՍՀ)- չ-

Ենթադրենք`շ« պատահականմեծությունը անընդհատէ՝ 10)

Համաոաար

ոլ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Այժմ սահմանենք անընդհատ պատահականմեծության մա-

թեմատիկականսպասման միջին արժեք լինելը: »5Վիճակախաղում իճակախաղ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

թեմատիկականսպասումը:

Այսպիսով,Պուասոնի բաշխման պարամետրըստանում

Օոհնակ: րինակ

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Եթե »« պատահական մեծությունն ունի

77 բաշխում՝

ազատությանաստիճանով ( 2.6), ապա`

Է(Գ-ո, 5.

Եթե շ« պատահական մեծությունն ունի Ստյուդենտի բաշ-

խում ( 2.6), ապա` Է(«)-0,

ՏԱԲԲԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

Եթե 74 պատահականմեծությունն ունի Ֆիշերի (Բ, տ) ազատության աստիճաններով ( 2.6), ապա. ո

ԷՐ-

բաշխում`

թ» 9.

Պատահական մեծությանմաթեմատիկականսպասումն ուն | հետնյալ հատկությունները` 1. Վաստատուն մեծությանմաթեմատիկական հասպասումը է

վասար հենց իրեն, այսինքն`

Է(Շ)ՀԸ, ԸՀՇՕոՏԷ

ԾՐՑՅո:

արտադրիչըկարելիէ դուս տիկականսպասման նշանի տակից, այսինքն`

րել

մաթե.

Է(Շ24)-ՇԷ(»Ժ:

Վերջավորթվով պատահական մեծությունների գումարի մաթեմատիկական սպասումըհավասար է այդ պատահականմե-

ծությունների մաթեմատիկական սպասումներիգումարին, այսինքն` 4.

0յ-Է(Կ):80օ):...«Է0՝):

Անկախպատահականմեծությունների արտադրյալի մա-

էադ ՄԱՆ ությունների մ

ե Իա րի արտադրյալին,

այսինքն :

Է«Ո-ԷՕԺ-Է(Ռ,

որտեղ`24 ն ծ.

Բ04ՀՀ 6.

Եթե

«ե

Պ պատահական մեծությունների համար

ԷՐ)

2Ձեբիշեիանհավասարությունը: Եթե պատահական 0-0,

Բ(ՕՀ

ապա`

Ք(4-0)-1: -0)-1:

մե-

ծությունըոչ բացասականէ՝ 2420, ապա Հ»0 թվի հակամայական

մար տեղի ունի հետնյալ

անհավասարությունը`

Եթե շ« պատահականմեծությունը դիսկրետէ, իսկ Փ ֆունկ-

պատահականմեծության հնարավորարժեք-

շ«

ների բազմության վրա, ապա ՓՕ«)պատահականմեծությանմաթեմատիկականսպասումըորոշվում է հետնյալ բանաձնով՝

2,ՓԵբ,

Է(604) -

որտեղ`

22,

բ,

ներն են, իսկ Իլ 10.

շո

թվերը 24 պատահական մեծության արժեք-

ԲԵ

Իո:

ո)

Եթե շ« պատահականմեծությունը անընդհատպատահա-

կան մեծություն է` 00 խտությանֆունկցիայով, իսկ Փ ֆունկցիան որոշված

2«

պատահական մեծության արժեքների բազմության

վրա անընդհատֆունկցիա է, յան

ապա

Փ04) պատահականմեծուք-

սպասումը որոշվում մաթեմատիկական

նաճնով Բ804իժ

հետնյալ

բա-

Դիտողություն,4-րդ հատկության մեջ հակառակպնդումը ոչ

ծությունները բաշխվածեն

/՛

ապա` Է(«)

Եթե2»0

«4

միշտ տեղի ունի: Այն տեղի ունի, երբ

պատահական մեծություններն անկախեն:

պատահական մեծությունների համար 1, ապա՝ ԷՉ Հ ԷՐՌ:

Եջ

Ե(«ՀՀ1,

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ԷՐ

ցիան որոշված է

Յ.

ԷՍԿՀՕ...

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ղ-2՝

ԳԻՐ

«2:

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

պատահականմե-

նորմալ, այսինքն` եթե 2« ն

հական մեծություններըբաշխվածեն

պատա-

նորմալն ԲՀՀ" )ՀԷ2«Բ,

ա-

պատահականմեծություններնանկախեն:

պա 2« ն

Եթե

24 ն ՛

պատահական մեծության

Է(66Ժ) - 5.օ6), "

արժեքները հաշվելի

եթե միայն

»'|90«յբ Հ»:

են,

ապա

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

2. 8.

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

Պատահական մեծությանդիսպերսիան ն դրա հատկություննե դր կութ)

բնութաբնութ

նը միջին արժեքից` մաթեմատիկականսպասումից:

օրենքը Վօ

վում պատահականմեծության` իր մաթեմատիկականսպասումից շեղման քառակուսու մաթեմատիկական սպասումը,

այ-

սինքն`

ԿՕՕՀԷՇՇՔ)Չ-,

Հաշվի առնելով նախորդ պարագրաֆումձնակերպվածմաթեմատիկականսպասման9 ն 10 հատկությունները` դիսկրետ 7«

պատահականմեծության դիսպերսիանկարելի է հաշվի հետնյալ

բանաձնով՝ Կ0Չ-56 Է096.,

պատահականմեծությունն ունի հավանականություններիբինոմականբաշխում ( 2.2), ապա՝ Մ(4)-ոքգզ: 2.

իսկ անընդհատ )«

պատահականմեծությունն ունի հավանակա(2.2), նությունների Պուասոնի բաշխում 1»Օ պարամետրերով »«

ապա՝ ԿՕ9-

Ս09- 366026)Ժ« -շ-

է:

Եթե » պատահականմեծությունն |Յ, Եյ միջակայքում

ունի հավասարաչափբաշխում (2.2), Եթե

պատահականմեծության խտության ֆունկցիան

Պատահականմեծությանդիսպերսիանհաշվելու համար երբեմն հարմար է, սահմանումիցստացված, հետնյալ բանաձնը՝

ապա`

Ն)ը

Մ0Հ)- 2:

պատահականմեծությունն ունի հավանակա72»0

պարամետրով(2.2),

Ս69--շ:

ապա՝

պատահականմե-

ծության դիսպերսիան

որտեղ` 1(2) -ը

նությունների ցուցչային բաշխում

պատահական մեծության արժեքներն են,

1-1ո,

Եթե

Ե1

Բ.-Ք(«-«պ)

զ:Ք-Ն

ապա՝ ԿՉ-քզ

«ո

ք' Ք|գ

կում են 04) կամ 0(29: Պատահական մեծության դիսպերսիա է կոչ-

պատա-

հականմեծությունների դիսպերսիաները: 1.Եթե 4 պատահականմեծությունն ունի հետնյալ բաշխման

Պատահական մեծությանդիսպերսիանսովորաբարնշանա-

Թվարկենք մի քանի հայտնի բաշխումներ ունեցող

գրիչներիցէ դիսպերսիան,որը ցույց է տալիս պատահականմեծության միջինքառակուսային ցրվածության(շեղման) աստիճա-

որտեղ`

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ԱՑԱՅԵՋԱՅԵՑՔ

րը

ային Պատահական մեծության կարնորագույն գույն թվային

Սահմանում.

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Եթե 4 պատահականմեծությունըբաշխվածէ նորմալ պարամետրերով(2.2), ապա՝ Կ(ՀՀ օ7: 6.

7. ո

Եթե »« պատահականմեծությունն ունի

7 բաշխում՝

ազատությանաստիճանով(2.6), ապա. Կ(4)Հշ2ո:

Եթե 24 պատահականմեծությունն ունի Ստյուդենտի բաշխումը՝ո ազատությանաստիճանով(2.6), ապա. 8.

Խ(Ց--7 ո-2

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Եթե

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

պատահականմեծությունն ունի Ֆիշերի բաշխում՝ (ո, ո) ազատության աստիճաններով ( 2.6), ապա. `

տր-4յր-2).

Պատահականմեծության դիսպերսիանունի հետնյալ 1.

մենտ:

Կամայական24 ն

Այս մեծությունն ավելի մանրամասնկներկայացնենքհա-

պարագրաֆում:

ջորդ

Չեբիշնի անհավասարությանայլ գրելածն

Կամայական2« պատահականմեծության համար ն կամայա-

Պատահականմեծության դիսպերսիանոչ բացասական է՝ Մ(22)Հ0,դիսպերսիան հավասար է 0-ի այն ն միայն այն դեպքում, երբ Ք0«-Շ)»1, որտեղ` Օ-ն հաստատուն է (կախված չէ Օօ -ից):

կան 85»0 թվի համարտեղի ունի հետնյալ անհավասարությունը

«օվ»

3. Վաստատուն

արտադրիչըկարելի է դուրս բերել դիսպերսիայինշանիտակիցքառակուսիաստիճանով,այսինքն`

ժեքը

Խ(620-Շ՞404):

յՀ

ՀԷ

չ«-Է2

Մ0Ժ,

ֆունկցիան ընդունում է իր փոքրագույն արհավասար է կետում ց0:-Կ(Ժ: ն

274պատահականմեծության

դիսպերսիայինտ̀/ո

Սահմանում: Պատահական մեծության դիսպերսիայի քառա-

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

հական մեծություններիմիջն կովարիացիակամ կոռելյացիոնմո-

Գաստատուն մեծությանդիսպերսիան հավասարզրոր

յի՝ Մ(Շ)Հ0:

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

մեծություններիհամար պատահական տեղի ունի հետնյալհավասարությունը՝

ՍՇՇՈՀԿՕՕՀՄԸՌՀ2 օօԿՕ0`Դ,

ն անվանում են 24 ն 7 պատաորտեղ` ՇօսՕՇ Ո-Ե(Օ-Է)ՕՐ-Է՝Ռ) 6.

ս0յ-.2-ՐՀո-շ),

հատկությունները`

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

կուսի արմատիարժեքըկոչվում է միջինքառակուսային շեղում:

Նշանակելովայն օ (24)կամ օ՝ կունենանք.

օ-օ(4 ) -ՎխԽՇ4):

Կ ԿամայականՇ

հաստատունիհամար տեղի ունի Կ/(24ԷՇ)ՀԿ( հավասարությունը: 5. Անկախ պատահական մեծություններիգումարի կամ |

տարբերությանդիսպերսիան հավասարէ դրանցդիսպերսիաների գումարին՝ այսինքն՝

ՄՕՀԺՌՀՄՕՕԻԿՄ(Ռ:

Կարելիէ ցույց

ծություններեն, ապա՝

տալ,

/չ Հ1

այլ Պատահական մեծությանթվային

բնութագրիչներ

Սահմանում.

Պատահականմեծության հ կարգի սկզբնական մոմենտ կոչվում է պատահականմեծության բ աստիճանիմաթե-

մատիկականսպասումը`

Մ.-ԷՕՀ),է»0,

որ եթե չե, օ,

«Հ

2.9.

....2Ը

Շ4. 5Կ̀ Ի-1

-ը

անկախպատահականմե-

1.2...

Եթե 2-ը դիսկրետպատահականմեծություն է՝

).4 21,242,::"7Ճը

Ք|Բ.Բ,.--.Ք.'

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ

ապա` Կ.

արտահայտության

մեջ համապատասխան չեզոքացնումեն միմյանց,ն երրորդ կարգիկենտրոնականճոմենտըհավասարվումէ զրոյի: Եթե երրորդ կարգիկենտրոնական մոմենտըզրոյի հավասար չէ` նշանակում է, որ պատահականմեծության բաշխումը համաչափ չէ: Ո Մ/րքանե րրորդ կարգիմոմենտը մոտ է 0-ի, այնքան պատ ահական մեծու բաշխումը չ-Է(« »-Է09 թյան բաշխումը ուղղի նկատմամբ է

«ՖոԿՔ:

Եթե 24-ըանընդհատպատահականմեծություն է` 10«)խտության ֆունկցիայով, ապա

ՎՐՍՅ:

Հ»

մ.-

Ակզբնական,ե

իյ

012...

րյ

ՀՖԿ -:

-ք

|2-Է046)

Շր

Հհ ը

-Է0/Ք,)

Մե-Շլ ՄՄ

ԵԿ

րիա ,

շ...

(սիմետրիկ)բաշխում «-Է(4) ուղղի նկատմամբ,այսինքն` յուրաքանչյուր 2-Էշ»« շեղման համար գոյություն ունի հավասարհավանականությամբդրանհակադիրշեղում, ապա՝

արարո

Էմի

Պատահական մեծության բաշխման ասիմետրի' րրորդ կարգի մոմենտի

չ« պատա-

յունը): Իրոք, եթե շ« պատահականմեծությունն ունի համաչափ

Մբ,

կոչվու

ՃԲ.

հական մեծության բաշխման համաչափությունը (սիմետրիկութ-

ոք

կենտրոնական րությունը միջին քառակուսային շեղմպն

րորդկարգի կենտրոնականմոմենտըբնութագրումէ

արը

ՀՕ

հարաբե-

խորանարդին՝

Մասնավորապես`լաՀ1, լոչՀ0, աշչԿ(4): Ընդհանրապեսեր-

ոխադարձարը փոխադարձա ենտնե

Սահմանում

ւլ-

մու

ան

ՀՇ2ՀՄՀՄ,.

Մե-2 Ը)

որտեղ` Շ: աւար '4-յ

իսկ անընդհատպատահական մեծությանհամար` Հ.

Դիսկրետպատահական մեծությանհամար կունենանք. ո

ԿԱ" ր

արտահայտվումեն միմյանցո վ: Տեղի ունեն հետնյալբանաձները՝

բար

կականսպասումը, այսինքն

ՀԷ«-ԷՇՀ,ւ-

մոտհամաչափությայըը: ը

Նկատենք, որ պատահականմեծության մաթեմատիկական սպասումն առաջինկարգիսկզբնականմոմենտն է: Սահմանում. Պատահական մեծության բ կարգի կենտրոնական մոմենտ կոչվում Է 27«-Է(Չշեղման Բ աստիճանիմաթեմատիբ,

գումարելին

ԲԱՇԽՄԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ 103

Բ64)56,

եթե

բպ

թե կորի «երկար մասը»գտնվում է

մաթեմատիկա սպաս

մից ձախ: Ասիմետրիան հավասար է 0-ի երբ բաշխճանկորը րը ի համաչափԷ «ՀԷ24 ուղղի նկատմամբ: :

Գործնականում ասիմետրիայի նշանըորոշում են մոդայի՝ (խտությանֆունկցիայի մաքսիմումի կետ) նկատմամբխտության ֆունկցիայի Գրաֆիկի Եթե նշված դիրքով: Գրաֆիկի «երկարմադասավորվածէ մոդայից աց, ապա /.»0, իսկ եթե դասավորված է մոդայիցձախ, ապա` /.ՀՕ (տես գրաֆիկ 2.9, գրաֆիկ

սը»

20):

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Նորմալ բաշխմանհամար Բ,-0, ուստի, եթե որնէ պատահական մեծության բաշխման էքսցեսը տարբեր է 0-ից, (երկարմաս)

այն

Եթե պատահականմեծությանբաշխմանէքսցեսը դրականէ,

բաշխմանկորն ունի ավելի բարձր ն «սուր» գագաթ, քան նորմալ կորը (նորմալ բաշխվածպատահականմեծության խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը), հակառակ դեպքում (Բ,«Օ) համեմատվող կորն ունի ավելի ցածր ն «հարթ» գագաթ, քան նորմալ կորը (տե՛ս գրաֆիկ 2.11, գրաֆիկ 2.12): ապա

ապա

տարբեր է նորմալից:

Խ/(մոդա)

Գրաֆիկ2.9

դրա

(«

ԱԵ:

կոր) (համեմատվող

(երկարմաս) Բ»ՀՕ

ր (մոդա)

(նորմալ կոր)

" 2.10 Գրաֆիկ

Չ Գրաֆիկ2.11

(Չ

Սահմանում. Պատահական մեծությանբաշխմանէքսցես ան-

վանում են հետնյալմեծությունը՝

Է, -

Գոլ

-3:

(համեմատվող

Այս բնութագրիչըցույց է տալիս պատահականմեծության բաշխման «վերելքի» մեծ կամ փոքր լինելը տվյալ պատահական

մեծության մաթեմատիկական սպասման ն դիսպերսիային հավասար պարամետրերով նորմալ բաշխմանհամեմատ:

(նորմալ կոր)

կոր)

ՐՐ

Հրա

ր" Գրաֆիկ2.12

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

Սահմանում:

Պատահականմեծության մեդիանա(միջնարժեք) կոչվում է այն շօ թիվը, որի համարտեղի ունեն հետնյալան-

շ»

ԷՐ. 0)» 1

որտեղ` Է(«ց0)»

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ւնո

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՄԷՆ): Մասնավոր դեպքում Մա-Է(ՀՀ)(«-0,1,2...)

մեծությունը « պատահականմեծությանհ-րդ կարգի մոմենտն է, իսկ ԿցոՀՔԸ/՞)

հավասարությունները՝

ԲՐ)

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

մեծությունը` ` պատահականմեծության տ-րդ կարգի մոմենտը: Կիրառություններիմեջ էական նշանակություն ունի (ո-0,1,2...)

հոԲՐ):

Մ.ՀԷ(«՝/)

71700

Մասնավորապես անընդհատ պատահականմեծությունների

մոմենտը:

Երկչափ 2ՀԸՀԿՌ պատահական մեծության

Սահմանում

համար,այն որոշվում է հետնյալհավասարությամբ՝

(«.տ)-րդ կարգի կենտրոնականմոմենտ

(-Է"՞

կոչվում է

(»«-Էչօ"ն

պատահական մեծությունների արտադրյալի մաթեմա-

տիկականսպասումը,այսինքն` Սահմանում.

կարգի կվանտիլ օ«(0,1), կոչվում է այն չ«, թիվը, որի համար Ւ(«)Հօ, Է(«.:0)Հօ: Եթե» պատահական օ

Իո

-ԷՐ-Է0ՉԻԸ/-ՔՈԴԲ)

Եթե երկչափ Հ-(24,/) պատահականմեծությունը դիսկրետ է

մեծությունն անընդհատ է, ապա շ«. կվանտիլը որոշվում է հետնյալ հավասարությամբ` ՒՍՀ)-օ: Ակնհայտէ, որ մեդիանան իրենիցներկայացնումէօ կարգիկվանտիլ:

Թի -1ո,)-1ՂՏ բաշխման օրենքով, ապա. խռո

-Ֆ-ֆ-ԻԿ -ԷՇԺԻ6յ

-ԷՐԻՏլ|.

Ե1

իսկ, եթե ՀՀ) 2.10.

Երկչափպատահականմեծությանբնութագրիչները

ք(2, 7) խտությամբ,ապա. Վ»

Ի«շ

Սահմանում

Երկչափ2-(,

էտ

պատահականմեծությանմաթեմատիկական սպասում կամ միջին կոչվում է հետնյալերկչափ

վեկտորը`Է(2)-(Բ6Օ, ԷՐՌ), որի կոորդինատներն են շ« ն 7 պատահականմեծությունների մաթեմատիկական սպասումները: Նկատենք,որ երկչափպատահականմեծությանմաթեմատիկականսպասումը, ի տարբերությունմեկ չափանիի,այլես թիվ չէ,

այն վեկտորէ (կամ թվազույգ): Սահմանում

Երկչափ 2-0,

պատահական մեծության (ետ)-րդ կարգի սկզբնականմոմենտ կոչվում 74"ն" պատահական մեծությունների արտադրյալիմիջինը,այսինքն՝

պատահականմեծությունը անընդհատ է՝

յ ն -ք0Չ)0 -ԷՐԴ" 16.727: ւ

ՆՐ

Մասնավոր դեպքում խանաբար 74 ն /

աօ

ն իօտ

մոմենտներըհամապատաս-

պատահական մեծությունների բ

կենտրոնականմոմենտներնեն, իսկ լօ ՛

ն օշ

կարգի

մոմենտները «ն

պատահականմեծություններիդիսպերսիաները: էկոնոմետրիկայումմեծ նշանակությունունի՝ առ

-82«-

Է6ՉՈ/-6(Դ)

մոմենտը, որին անվանում են

74 ն

պատահական մեծություննե-

րի միջն կովարիացիա կամ կոռելյացիոն մոմենտ:

Այսուհետն

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՌՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

մենք կօգտագործենքկովարիացիա տերմինըն այն կնշանակենք ՇօԿ(47Ռ լայ: Հ

Հեշտ է տեսնել, որ՝ Եթե

պատահականմեծություններն անկախ են,

վերջին բանաձնից է ճիշտ: միշտ Սահմանում

հետնում

եթե 34 ն

է, որ Շօս(չ,

ապա

Դ-

0, հակառակըոչ

պատահականմեծությունների միջն

կովարիացիանհավասարէ 0-ի, ապա

ասում

են, որ 24 ն

պա-

տահականմեծություններըչկոռելացված են: Թեորեմ. Եթե 2-0)

Երկչափ Հ-(24, `") պատահականմեծության կովարիացիոնմատրիցանվանում են հետնյալ մատրիցը`

| ոի

եյ

Ակնհայտ է,

Էշ

որ

կովարիացիոնմատրիցըսիմետրիկմատրից

է, այսինքն` Կ(2)-(Կ(2)), որտեղ (Մ(2))-ըկովարիացիոն մատրի-

ցի շրջված մատրիցն է: Կովարիացիոնմատրիցիգլխավորանկ-

յունագծի վրա գտնվում են երկչափ պատահականմեծության բաղադրիչների դիսպերսիաները,իսկ անկյունագծից դուրս՝ բաղադրիչներիմիջն կովարիացիաները: Օրինակ Ենթադրենք` երկչափ 2-ԹՇ՝)

պատահական մե-

ծությունը բաշխված է նորմալ (2.4 ): Օգտվելովերկչա հական մեծությանբնութագրիչների

ահմանումների:: կարեւի ատաէ

1»))-

2դօ.ԺՐ

Ը»

ապա` Ք(2)

Կ(2)-

(8.82):

Թոօշլ

Թօշ

օ2

վեկտորը նշանակենք «, ք(2) վեկտորը՝ 8, Կ(2)

Եթե («))

մատրիցը` ».

ենթադրենք, որ չ.

սինքն` չ|- Թօշ)՛ -ո(օօշ)

մատրիցիորոշիչը զրո չէ,

այ-

«0,

երկչափ պատահականմեծության խտության ֆունկցիան

ապա

կարելի Է գրել հետնյալ մատրիցայինտեսքով՝

(ե)---Ր-Տ 62«2 Յի ե-8 լ

շր -"

որտեղ՝

ն-ո)-6-5.7-8:) ,

բրի Ռ-Յլ

Ի"

2. մատրիցիհակադարձմատրիցնէ, այսինքն :

ն -րԽ2

դիսպերսիաչի սահմանվում,այն փոխարինվումէ կուլարիացիոն մատրիցուլ:

օշ

Այս նշանակումըչպետք է շփոթել դիսպերսիայի հետ: Ընդհանրապես երկչափ կամ ավելի բարձր չաւիողականությամբ պատահականմեծությունների համար

|Շ-Յլ) շն-72 2

Ժյօշ Պճ-ոն-ա,0-աԻի

երկչափ պատահականմեծությունը պատահականմեծությունները չկոռե-

Սահմանում.

սպասումը ն գտնել պատահականմեծությանմաթեմատիկական կովարիացիոն մատրիցը: Եթե 2 պատահական մեծության

բաշխվածէ նորմալ ն 74, / լացված են, ապա դրանքանկախեն:

ԽԸ)

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

խտությանֆունկցիանտրված է հետնյալ բանաձնով.

Շօ0«՝Ռ-ԷՕՀ՝Ո-Է0ԳՔԸՌ:

24 ն

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ԾյօչԱ-) ՛

օօ2Ա-ո) օ2ի մթ1մա

՛2 )

: "

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԷԿՌՆՈՍԵՏՐԻԿԱ

էկոնոմետրիկայիհիմնականխնդիրներիցմեկն

պարզել

պատահականմեծություններիկախվածությանձնը

գնա-

հատել կախվածությանչափը: Այս խնդիրըլուծելու համարպետք է

հասկանալ, որ երկու պատահականմեծություններ կամ կապ-

ված են ֆունկցիոնալ կախվածությամբգ̀ոյություն ունի Փ ֆունկցիա, այնպիսին, որ 4/-Փ0Ծ, կամ

կապվածեն ոչ

ֆունկցիոնալ

կախվածությամբ(նման կախվածությանը անվանում են վիճակագրական)կամ անկախեն: Երկու պատահական մեծությունների միջն ֆունկցիոնալ

կախվածությունըհազվադեպէ նում

այդ

հանդիպում,քանի

մեծություններիցգոնե մեկը գտնվում

որ

հիմնակա-

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ունների համա

ուտի"ու գործակիցը Կոռելյացիայի մեծություններ 24 ն" պատահական 1. Կամայական

-1ՀՈՍ4,Ռ51:

2»0, 8«0: մոտենում է մեկին, ՝Ր-Թ2ՀԺԵ,

ապա` Եթե 0«՝-1, ՝/ՀԹ2ԵՀԵ, եթե ո(՝Ռ--1, ապա՝ 2.

Որքան|ՈՇԷ՝()-ը

մեծանու

կախվածությունը հական մեծությունների բա ԼՀՀՈէը մոտ է 0-ին, այնքանկախվածությունը 4.

Եթե

պատա-

ան

ԻԹ :

ա կախ ն մեծություններն պատահական

շն

էն,

ապա՝ /04,՝Ռ-0:

պատահական

պատահագործոններիազդեցությաններքո, կան մեծությունների միջն առաջանում է վիճակագրական կախայս դեպքում 24 ն

հայտնի է, վածություն: Օրինակ, տնտեսագիտությունից

որ ապ-

2.11.

րանքի սպառման ծավալը կախված է գնից, սակայն փորձը ցույց է տալիս, որ գնի միննույն մակարդակինհամապատասխանում են

սպառման տարբեր ծավալներ, այսինքն` գնի

սպառման

միջն չկա ֆունկցիոնալ կախվածություն,այդ կախվածությունը

վիճակագրականէ: Սահմանում.

ծությունը

Ասում

են`

պատահականմեծությանկախվա-

պատահականմեծությունից կոռելյացիոն է, եթե գո-

յություն ունի ֆունկցիոնալ կախվածություն24-ի արժեքների ն դրանց համապատասխանող̀" պատահականմեծության արժեք-

ների միջինների միջն: Երկու`

24 ն /

պատահականմեծություններիմիջն գծային

կախվածությունըչափվում է կոռելյացիայիգործակիցիմիջոցով: Սահմանում.

24 ն /

պատահական մեծությունների կոռելյա-

ցիայի գործակիցէ կոչվում հետնյալ մեծությունը`

Շօս04.`Ո ՛60«՝)ՎԽՕ ԽԸ ) "

մեծություն, նորմալպատահական Բազմաչափ դրա

հատկությունները

2-04...) (ո-չափանի)՝ Սահմանում. Բազմաչափ

պա-

անվանումեն չվերասերված,

տահականմեծությանը(վեկտորին) մեծություն (վեկտոր),եթե դրա նորմալ բաշխվածպատահական հավաֆունկցիանտրվում է հետնյալ

բաշխմանխտության

սարությամբ՝ Հ

րթյորւ 1. -ո)չ»"6

որտեղ` »«Բ", Հք",

»-ն

որոշվածմատրիցէ (չ-2-

ոո

Տ|ՏՑՏՖՏՖՏՏ606096-

չափանիսիմետրիկ,դրական

2-0): առզրոյի, ապա դրանիցընդհանուր անկախեն (տե՛ս սույն մեծություններն

գործակիցըհավասար Եքե կոռելյացիայի մամբ չի հետնում,

որ շէ ն`

պատահական

առա ջին թեորեմը): պարագրաֆի

ոյ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

վեկտորըն Հ, մատրիցընորմալ բաշխման պարամետրերն Եթե ՀՕ, իսկ Հչ-| (միավոր մատրից), ապա պատահական տ

են:

մեծությանն անվանում

են

ստանդարտ նորմալ

պատահական

մեծություն: Սովորաբար2 պատահական մեծության` ոնչ պարամետրերով նորմալ բաշխված լինելը կրճատ գրում հետնյալձնով՝ 2-Ա(ո,, 2.):

Թվարկենք բազմաչափ նորմալ բաշխված պատահական մեծությանհիմնական հատկությունները. 1.

Խ(ո, Հ),

եթե 2-

Է(2)-ո,

Մ(2)» չ., որտեղ` Կ(2)-ը պատահականմեծության կովարիացիոնմատրիցնէ՝ /(2)ՀԷ((Հ-տ)(2-ո

ապա

ս-||

ապա

Եթե Ս

|ք )2

նորմալ բաշխված անկախ վեկտորներեն,

կլինեն անկախ: Եթե

պատահականմեծություն է, իսկ ԽԷը՝ ոշո-չափանի իդենպոտենտ մատրից, ապա

ապա

դրանք

ապա է

չափանի `"/ՀՃ7ՀԼ

պատահական մեծությունը բաշխված կլինի նորմալ ՃոՀԼ Բչ.Ճ' պարամետրերով:

ո-չափանի ստանդարտ նորմալ բաշխված պատահականմեծություն է՝ 2-65 Ժ 8, /Հ86 փ Ե, որտեղ` Ճ-ն քո 65-ը

չափանի մատրից է,

8-ն՝

Եթե 2-ը ո-չափանի

մեծություն է՝

նորմալ բաշխված պատահական

(2-ո)'5-'(2-ո)

Ֆ։ պարամետրերով,ապա

7՛-

բաշխմամբ՝

Եթե` շո. 7Կ......, «ո պատահականմեծություններըանկախ,

9. Յ

պարամետրերովնորմալ բաշխված մեկ չափանի պատա-

հական մեծություններ են, ապա`

-ՀՖ-4 ո

են

Է-1

5-4

Ի1

9-րդ հատկությանպայմաններիդեպքում

1Հ

մատրից,Լ-ը` հ-չափանիվեկտոր (561),

Եթե

պատահականմեծությունը բաշխված է7

չ՛Մ»

բաշխմամբ`՛ռու(Խ) ազատությանաստիճանով:

10.

պատահական մեծությունը ո-չափանի նորմալ բաշխված վեկտոր է՝ տ ն չ, պարամետրերով, Ճ-ն` Թո-չափանի

ստանդարտ նորմալ բաշխված

պատահականմեծություններնանկախ են:

վեկտորը նորմալ է բաշխված, իսնկ2ն«

պատահական մեծություններըչկոռելացված են, 5.

պատահական

ազատությանաստիճանով:

Դ):

կլինի նորմալ բա վեկտորընույնպես պես կլինի : նորմալ բաշխված

ւը ուչափանի

Եթե

պատահական մեծությունը բաշխված է

Նորմալ բաշխված վեկտորի կամայականենթավեկտորը նույնպես նորմալ է բաշխված: Եթե 2-ըն՝-ը

ՃՔ'Հ0:

4 ն

վեկտորները կլինեն անկախ միայն ն միայն այն դեպքում, երբ 71.

են

Մասնավորապես,

Շօս(«)Հճ8::

ապա

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

գշո-չափանի մատրից,ՅՀԲՅ, Ե-ՔՎ.

շեմ

պատահական մեծությունը բաշխված է

բաշխմամբո-1 ազատությանաստիճանով: 11.

9-րդ հատկությանպայմաններիդեպքում.

0 3ր լ

ԷՆ ՀՈԹ.

(« -Ժ

պատահականմեծությունը բաշխված է

Ստյուդենտիբաշխմամբ՝ո-1 ազատությանաստիճանով:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

2.12. Մեծ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

թվերի օրենք: Գավանականությունների

թվերի օրենք ասելով հասկանում ենք մի

նային թեորեմներ,որոնք հաստատում

սահմա-

շարք

են, որ միավորինմոտ հա-

թվով պատահականմեծությունների գումա-

մեծ

րին: Եթե 2«., 2,

7Կ,

պատահականմեծությունների հաջոր-

դականությանառաջին ո անդամներիմիջին թվաբանականիհամար գոյություն ունի

Յ.,

Յշ,

Յո,

յուն, այնպիսին, որ կամայական

թվային հաջորդականութ-

5»0

թվի համար տեղի ունի

հետնյալ հավասարությունը՝ կոՔ ո-»-5

ի |

ապա ասում

Մեծ

բ-Տ (2.19)

են, որ տեղի է ունեցել մեծ թվերիօրենքը:

տահական մեծությունների համար, Չեբիշնի թեորեմն է: Մինչնե

այն ձնակերպելըտանք հետնյալ սահմանումները: Պատահական մեծությունների2«, 24,

«.

հա-

ջորդականությունը համարյա հավաստի (հավաստի բառի փոխարեն հաճախ օգտագործվում է ամենուրեք բառը) զուգամիտում է շ«

մեծությանը,եթե պատահական

«ո « թ -» բյո Ո-»»շ -

-Ղ

Բ -Վ»»)-0

ո-»»

Կարելի է

ոռ)

" ա

մեծությունների 7, Սահմանում: Պատահական

Ղ15

կամայական :6»0 թվի համար

ցույց

տալ,

«ԿՀԿ

Քո

ո-»օ

(2.21)

5՞2|.վ ո-»օ

եթե պատահական մեծությունների

որ

(«ո հաջորդականությունը համարյա հավաստիզուգամիտում է 24 պատահականմեծությանը,ապա զուգամիտությունը տեդի ունի

հավանականության:Հակառակըոչ միշտ է ճիշտ: Այժմ ձենակերպենք Չեբիշնի թեորեմը՝

նան ըստ

Թեորեմ. Դիցուք, 7«., 7,

72,

անկախպատահականմե-

ծությունների հաջորդականությունէ, որոնց համար գոյություն նի մաթեմատիկականսպասում` Բ(ՕԿ)ՀՅ8յ,ՔՀ1,2,.... Հ

ու-

դիսպեր-

կամայականէ-ի համար,այդ դեպքում տեդի ու-

նի մեծ թվերի օրենքը` կամայական6»0 թվի համար հտ Ո-»օ5

թվերի օրենքի ամենաընդհանուրթեորեմը,անկախ պա-

Սահմանում:

հռ

սիա '/(«)ՀԵւ

Յ8լ88շ3 Ի8ղ|

«242:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

տեղի ունի հետնյալ հավասարությունը՝

վանականությամբտեդի կունենան որոշ պատահարներ, որոնք վերաբերումեն

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

2շ«պատահականմեծությանը, եթե

կենտրոնականսահմանայինն Սլուցկու թեորեմները Մեծ

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Իթ

-թԿ

Յլ

(2.22) աաա նաԱ

Դիտողություն 1. Թեորեմից հետնում

է, որ 7«., 22,

2«,

պատահականմեծություններիմիջին թվաբանականըըստ հավա-

նականությանզուգամիտում է հաճապատասխան մաթեմատիկական սպասումների` Յյ.,

նշանակում է,

որ

Յշ,

Յո,

միջին թվաբանականին,սա

բավականաչափմեծ ո-երի համար պատահա-

կան մեծությունների միջին թվաբանականըե մաթեմատիկական

սպասումներիմիջին թվաբանականը համարյահավասարեն:

(2.20)

Դիտողություն2. Եթե 7, 74...., 7,

անկախպատահական

մեծություններընույն ձնով են բաշխվածն գոյություն ունի դրանց 7«շ,

«ո,

հաջորդականությունը ըստ հավանականությանզուգամիտում է

մաթեմատիկական սպասումը` Է(Կ)ՀՅ, ճՀ1, 2, Մ(Օ«)ՀԵ, ճ-1,2,

ապա

դիսպերսիան

միավորի ձգտոդ հավանականությամբ

Ղ16

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ էԿՌՆՈՄԵՏԲԻԿԱ

կարելի է պնդել, որ 74, 7,

պատահականմեծություն-

ների միջին թվաբանականը քիչ է տարբերվումպատահականմե-

ծությունների մաթեմատիկական սպասումից,երբ ո-ը

մեծանում

սոռ|

Ժ24շՀ:5Հր

-Ձ

(2.23)

-1:

Չետնանք.(Բերնուլիիթեորեմ)- Եթե Բերնուլիի անկախ փորձերում Ճ պատահարի`յուրաքանչյուր փորձում տեղի ունենալու փորձերի թիվը`

-ը,

է ն

խապես տրված ցանկացած6 0

կո

որտեղ

անկախ

փորձերում: Կիրառություններում ավելի

օգտագործվում է Բերնու-

շատ

լիի թեորեմիապացույցիցհետնողհետնյալ բանաձնը՝ ո

ծությունները նույն ձնով

ո-ը

(2.25)

քզ

բավականաչափ մեծ

է:

դականությանառաջին անդամներիմիջին թվաբանականիհաո

72Կ,

են

անկախ պատահականմե-

բաշխված ն գոյություն ունի դրանց եՀ1, 2,

ապա՝

Կ,

անկախ պատահականմեծություն-

համապատասխան յ,

են`

8շ,

Յո,...մաթեմատիկական

6, սպասումներով, Ել, Եշ,..., Եր,...գդիսպերսիաներով,

կարգի բացարձակ կենտրոնական

Շշ,...,

Շո,

մոմենտներով :

Նշանակենք. Եշ: ...ՀԵլ:

Այդ դեպքում հավանականություններիտեսության առանցքային` կենտրոնականսահմանայինթեորեմը, որը ապացուցված -

Լյապունովի կողմից ն

այդ

պատճառովհա-

(2.25) բանաձնում Փ60շ

պատահականմեծություններիհաջոր-

նան

շիի:

Դիցուք, 2Կ.,22,

8.-Ել

ֆունկցիան Լապլասի ֆունկցիան է: Եքե 7«., 7,

մաթեմատիկական սպասումը`Է(Կ)-8,

է ակադեմիկոսԱ.Մ.

երբ

(226)

գի.ի-:

Էռռ| |

Ի"

Թեորեմ. Եթե «յ, 2,

երրորդ

իմ

են, որ տեղի ունի մեծ թվերի ու-

մաք

ներ

պատահարի երնումների թիվն է

Ե Լ--ԲՔ|Հո|Հ2Փ/6Ա--

ասում

թ Հ22շ::522242ՅլՀ8շ

"222

(2.24)

տո-ը Ճ

ո-»ո

ՏՎ,

թվային հաջորդականություն,

հետնյալ տեսքով՝

թվից, այսինքն՝

յուր-ր "| ո

Ձո,

ժեղացվածօրենքը: (2.26) հավասարությունըկարելի է գրել

ձգտում է անվերջության,ապա միավորի

ձին փորձում տեդի ունենալու հավանականությունից փոքր է նա-

ֆ.Վ)Շ 81482: Ձո ը լոՍՅ:22

հավասարությունը,ապա

հավասարէ Ք(0ՀՔՀ1), իսկ

ձգտող հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ պատահարի երնումներիհաճախությանշեղումը դրա` յուրաքանչյուր առան-

Ձշ,

այնպիսին, որ տեղի ունի բ

հավանականությունըհաստատուն

մար գոյություն ունի Ձյ,

անվերջորեն,այսինքն`կամայական6»0 թվի համար

ԵՎ ԲԱՇԽՍԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՍԵՇՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

պատահականձեծության հ կարգի բացարձակկենտրոնականմոմենտ

ասելով հասկանումենք

Է -թփ մեծությունը:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ճախ անվանում են Լյապունովի թեորեմ, կձնակերպվիհետնյալ

կող ո

շ"

բշ

5.4. -Յ.)

ր--

պայմանը (Լյապու

հավանականությունների բաշխման սահմանային ֆունկցիան, է երբ ո-ը ձգտում անվերջության,կլինի հավանականությունների ո

2.6.

կո Ք«-Հ--.--

պարամետրերով, այսինքն`

|2:)Հ Թ ')

բ(/

պատահականմեծության

8զ կունենանք.

6)Հ

նորմալբաշխմանֆունկցիան՝0ն1

Այժմ օգտագործելով Զեբիշնի անհավասարությունըհետնյալ

նովի պայման), ապա՝

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

տեսքով՝

Եթե կերպ՝ րպ` Թե Թեորեմ. թ տեղիղի ունի` ի՝

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

Օգտագործելով (2.27) հավասարությունը, կստանանք,

որ

Մու պատահականմեծությունները, երբ ո-ը ձգտում է անսահմա-

նության,

հավանականությանզուգամիտում

ըստ

են

զրոյի,

այ-

սինքն` կամայական 5»0 թվի համար տեղի ունի հետնյալ հավա-

սարությունը `

-Յ)

ՐԻ -

լ»

0-0 տոբ(իով»

զէ:

տ-12տ

կամ

Պարզաբանենք Լյապունովիպայմանիիմաստը:

Դիտարկենք. Յու

«.-Յ

ո-»» էեՀ-12,--ու-., "

ւպ

պատահականմեծությունները: Լյապունովիպայմանըայս նշանակումներովկգրվի հետնյալ կերպ.

6: Է(իով՝

դող

ո..) մեծություններիվրա դրվելով, պահանջում է,

կան հ-ի

բավականաչափմեծ ո-երի համար

Ճ.

որ

կամայա-

ՅԵպատա`:

Այսպիսով, կենտրոնական սահմանային թեորեմի իմաստն այս

պայմանը,անհրաժեշտէ,

ղի ունենա հետնյալ հավասարությունը` ո»

է, որ Լյապունովի պայմանը, 2«, (6-1, 2,

հական մեծություններըմոտ լինեն զրոյի:

ի )-օ։ ֆծ(ի,

Որպեսզիտեղի ունենա

փԽ-12,-Նո,

Այստեղից հետնում

յո

Ր"-ՀԱՀ2|-0, «Կ

հո Ք

այն է, որ տե-

որ

բավականաչափփոքր, բայց

մեծ թվով

պատահական

մեծությունների գումարի բաշխման սահմանային ֆունկցիան ստանդարտնորմալ բաշխմանֆունկցիա է:

(227

Այժմ ներկայացնենք նս մեկ սահմանային թեորեմ` Սլուցկու

թեորեմը,որը էկոնոմետրիկայումհաճախ է կիրառվում:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Դիցուք, տրված է պատահական մեծությունների է (հատ)

6) յ-Նե հաջորդականություններ`

ցնո,

շօ,

ֆունկ-

ցիան: Այդ դեպքում Սլուցկու թեռրեմը կձնակերպվիհետնյալ

կերպ.

Թե որեմ.

Ենթադրենք `

ՏՕ) պատահականմեծությունների լ

հաջորդականություններից յուրաքանչյուրը նության զուգամիտում 904,

հաստատունի` 24

«) ֆունկցիան անընդհատ է (Շ.,

72, ::"չ

Այդ դեպքում`

հավանակա-

ըստ -»

Ո-»օշ

Շս)-15

Շշ, ...Օժ կետում:

գեո »2...24:)-» ց(6.6ջ..-.6.): բ

գտած պայմանականհավանականությունները կարելի է ներկա-

յացնել հետնյալձնով՝

57, 2

են

պատահականմեծությունները դիսկրետ

Ըստ

Ճ.,

242,

Բ.

է(

«առար

1ոտ)ի ապա 7« պատահականմեծութ-

Բ Քա:

եթե 7«-»գ

(-1ո),

պատահականմեծության պայմանա-

37ո

Բ Եշ

ծո.

Ք.

Բ. Բ.`

1-1դ

Է Բ,

-Ք(՛-)լ)

Կ-1ո:

հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի`

կունենանք. Ք.

26 պատահականմեծությանպայմանականմա-

բանաձնով՝

Ք.,Քշ,-:Ք ԽԻջոոնիտ

Բ0«-«)

թեմատիկականսպասումը`"Հյ, պայմանով,որոշվում է հետնյալ

Լ 73277 -

Բյ

յան պայմանականբաշխմանօրենքը կլինի.

Սահմանում.

|Բ,,Բշ.....Բ..

որտեղ` Ք.

Բ,

Այսպիսով,եթե Հ.

տ»

214ր2շ,"14ր

թ"

կան բաշխմանօրենքը կլինի.

հետնյալբաշխմանօրենքներով` Ք

ո)-

թո

Պայմանականմաթեմատիկական սպասում

Ենթադրենք`2«

է, որ (2.28) հավասարության մեջ տեղ

Այստեղից հետնում

2.13.

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

-Ք04«-«ԿՈՀ-)-

Ք,Ք.

Հ-)յ)- թ

«-»յ):

(2.28)

-7)-

բը:

1-71

ձնով կարելի է սահմանել ` պատահականմեծության պայմանականմաթեմատիկական սպասումը՝ 24-» պայմանով` Նման

բրո» -Կ)Հ

Քլվ/)-՞

Հյ

Եւ

աի

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Սահմանում:

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

պատահականմեծությանպայմանականմա-

թեմատիկականսպասումը, երբ տրված ծությունը կամ ԷԿՈ,

է "/

պատահական մե-

պատահականմեծության պայմանով, իրենից

ներկայացնում է 4-ից

կախված պատահական մեծություն՝

ե-1տ թվերը, իսկ

որի արժեքներն են ՔԿ),

ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ

այդ

Սահմանում.

)չ

մաթեմատիկականսպասման` պայմանականմաթեմատիկական սպասումը` ԷՕ,

թիվ չէ, այն պատահականմեծություն է:

Այժմ ենթադրենք` 24

պատահական մեծություններն

անընդհատ են` համապատասխանաբարէԷ(չ«)ն Ե(/) խտության

ֆունկցիաներով:Նշանակենք 10433)-ով (2,Ռ երկչափ պատահական մեծությանխտությանֆունկցիան: Սահմանում

»«

պատահական մեծության պայմանական

խտության ֆունկցիա` /Հ/

պայմանով, անվանում են հետնյալ

ֆունկցիան՝

նն ՆՀ Նման

ՇԾ)

ձնով

20)»

Փ0)ՀԷ0ԿՀՊ»-))-թ 6047)օ:: ը

նով, անվանումեն Փ(՝") պատահականմեծությունը`

ԷԴ

«ԸԴ:

սպասմանորոշ Նշենք պայմանականմաթեմատիկական ռավել կիրառվողհատկություններ. 1.

Է(Է()-Ք0Ժ:

(Ը

Եթե

ա-

որտեղ ց-ն որնէ ֆունկցիա է, Ո-9(ՌՔՕ(ԴՌ, «2 ն Դ Հ

պատահական մեծություններն անկախ են,

Է(24):

պատահականմեծության 24Հ»« պայմանով՝

16.Դ

60)»0: )-- ը-ն Ա

(2.16)

բանաձներից` պայմանական

խտությանֆունկցիաներըկարելի է գրել հետնյալ ձնով` ,

օն

Ընդհանրապես24 պատահականմեծությանպայմանականմաթեմատիկա-

կան սպասումը`Բ(ԿԻՐ). ավելի ճշգրիտ սահմանվումէ Լեբեգի ինտեգրալիմիջոցով: Սակայնայդ սահմանումն այստեղչի ներկայացվիբարդությանպատճառով:

ն յգ.

պատահականմեծության պայմանականմա-

թեմատիկականսպասում` `" պատահական մեծության պայմա-

ո01--2.

Սահմանում

էլ անընդհատպատահականմեծություններիհամար:

սահմանվում է նան `

Օգտվելով (2.15)

են

Նշված հատկություններըճիշտ են ինչպես դիսկրետ,այնպես

պայմանականխտությանֆունկցիան`

ԵՑ:

Ղ23

թեմատիկական սպասում` 4-7 պայմանով, անվանում 7-ից կախվածֆունկցիան` հետնյալ

ապա` Է(24

ԵՀ մ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

պատահականմեծության պայմանականմա-

են Ք., թվերը: արժեքները ստանալու հավանականություններն

Դհտողություն.Ի տարբերություն »« պատահականմեծության

ԵՎ ԲԱՇԽՄԱՆ

ց--5).: րծ

(Ճ.. Բ ՕքՕՅԲՕ8

մ (Ճ Ցանկացողներն այնկարող են գտնել,օրինակ,հետնյալ գրքում` ,

Ղճօքող 8ճքօգ180Շ76ն,

Ր.,

Բու4,

8 2):

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ

Օրինակ, եթե շ« պատահականմեծությունը որնէ ապրանքիսպառումն

է, ապա 24-իհամար կատարվածփորձի էությունն այն է, որ

վերցնում ենք նախորդժամանակահատվածների սպառման ար-

ժեքները, որոնք ԳԼՈՒԽ 3

շ«

պատահականմեծության թվայինարժեքներն

Տնտեսագիտության մեջ «փորձ կատարել» նշանակում է՝

են:

վերցնել տվյալ մեծության նախորդ ժամանակահատվածի արժեքը:

Սահմանում. են

24, 74,

հաջորդականությունըանվանում

«ո

ծավալով պատահական վերցվածք (վերցվածքային բազ-

մություն կամ ընտրանք), եթե 7«., 72,

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

շո թվերը ստացվել են որ-

պես որնէ »շ« պատահական մեծության անկախ իրագործումներ

(ռեալիզացիա): Սահմանում.

7«

պատահականմեծության արժեքների բազ-

մությունը անվանումեն գլխավոր համախմճբություն:

Տրված սահմանումներիցհետնում 3.1.

վածքը գլխավորհամախմբությանորնէենթաբազմություննէ:

Վերցվածքային(ընտրանքային)բազմություն, դրա

Ենթադրենք՝ թադրենք 2«.,7, 2,72

հիմնականբնութագրիչները

խալին րագրվում

է իր

»Ճ

Ւ(«) բաշխմանֆունկցիայով: Եթե հայտ-

նի է բաշխման ֆունկցիան, ապա հնարավորէ որոշել պատահա-

կան մեծության` որնէ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը,

սկզբնականն

դիսպերսիան,ինչպես նան,

կենտրոնականմոմենտները:

Գործնականում, սովորաբար, հայտնի չի լինում մեզ տաքրքրող

2«

2« հաջորդակ ը2պ ՛ հաջորդականությունը

պատա-

հական մեծության նկատմամբ կատարվածփորձերի արդյունք-

պատահականմեծություն լրիվ նկա-

մաթեմատիկականսպասումը ն

է, որ պատահականվերց-

հե-

պատահականմեծության բաշխման ֆունկցիան,

հետնաբար հնարավորչի լինում գտնել շ« պատահականմեծության բնութագրիչները:Այս պատճառովհարկ է լինում պատահական մեծության նկատմամբփորձեր կամ դիտումներ կատարել:

ներն են: Պարզ է,

որ

փորձերից հետո

թվեր են, իսկ փորձից

առաջ

այդ

արդյունքներըհայտնի

դրանցից յուրաքանչյուրը, որպես

փորձի հնարավորարդյունք, պատահականմեծություն է, որն ունի նույն բաշխմանֆունկցիան ն հետնաբար`նույն բնութագրիչ-

ները, ինչ որ դիտարկվող»չ պատահականմեծությունը: Ընդ րում, փորձից առաջ »(., 24,

ո-

«Դ պատահական մեծություննե-

րի հաջորդականությունըկարող է դիտարկվել որպես անկախ պատահականմեծություններիհաջորդականություն:

Մաթեմատիկականվիճակագրության հիմնական խնդիրներից է, ելնելով փորձերի արդյունքներից, ստանալ վիճակագրա-

կան գնահատականներանհայտ բաշխման ֆունկցիայի, բնութագրիչներին պարամետրերիհամար:

կանում ենք կամայական ֆունկցիա` 7, 7«շ,

2«

վերցվածքա-

յին բազմությունիցկախված՝ |

մե

շն

Սահմանում

պատահականմեծության

»:

հետ

կատարված

որձե թվաբան նքների միջին նը` փորձերի արդյունքների միջինթվաբանականը Հ

ԿշՀշ-.....

ԱՊԻՐ"

յունը, որի բաշխման ֆունկցիան, հետնաբար դրա բնութագրիչներն անհայտ են: Նշված անհայտ մեծությունները գնահատելու համար անհրաժեշտությունէ առաջանում 2 պատահականմեծության նկատմամբկատարել ո անկախփորձեր՝

6. -Ժ («շԺ :

զգ

ո-1

6. Ժ

Երկչափ 2 պատահականմեծությանվերցվածասելով հասկանում ենք հետնյալ թվազույգը՝

քային միջին ՀԹ.)

լ ր

-ոթԿ-Ժ Դ

ՊՐ):

պատահականմեծության ո ծավալ ունեցող վերցվածքայինբազմություն: Սահմանում

2.-ՕՇ

Ստացված հաջորդականությունըանվանում են երկչափ 2

դեպքում.

0ԺՄՅՐ

22-0օ-՞)....,

անվանում են 2« պատահականմեծությանվերցվածքային միջին, իսկո»՛1

ճակագրականգնահատականներեն: Այժմ դիտարկենք 2- (2, /) երկչափ պատահականմեծութ-

220048),

-Հֆ»

ՏԱՐՐԵՐԸ

Հեշտ է նկատել, որ սահմանված բոլոր մեծությունները վի-

Վիճակագրականգնահատականասելով հաս-

Սահմանում.

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՍԵՏՐԻԿԱ

որտեղ՝

4-2Ֆ.գ, ՀՏՆ:

-շ

Մ-

Է-1

Ի-1

մեծությանը՝վերցվածքայինդիսպերսիա:՝ Համանման ձնով սահմանվում են շ« պատահականմեծութ-

պատահականմեծություններիվերցվածքային (ընտրանքային) կովարիացիա ասելով հասկանում են

յան վերցվածքային սկզբնական ն կենտրոնականմոմենտները,

հետնյալ մեծությունը՝

Սահմանում

ունեն հետնյալ տեսքը՝ որոնք համապատասխանաբար ո

Մ.Հ

2,»

-Չ 3:66 ո

հւ-

ՇօԿՕՇ՝)-Շչ.

սահմանման,

փոխարեն վերցված

ԷՎ)

հատկություններ:

քանի

որ

անու

Ֆի -Վ -

ցիոն մատրիցանվանում են հետնյալմատրիցը՝

տոարբերություն վերցվածքային դիսպերսիայի ընդունված

դիտարկվում է ուղղված վերցվածքային դիսպերսիան(--

ՖԻ ո

Երկչափ 7 պատահականմեծության կովարիա-

Սահմանում.

«Հ՛12,..

Տ. Այստեղ,

24 ն

Շո

-ի

այն ունի ավելի լավ վիճակագրական

Շո

որտեղ՝ՏՀ

ՏՎ ն

Տ2

24 ն մեծությունները համապատասխանաբար

՝/

պատահական մեծությունների վերցվածքայինդիսպերսիաներն են:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Սահմանում.

2». ն ՝/

Է ԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

պատահականմեծություններիվերցված-

քային կոռելյացիայիգործակիցանվանում են`

ԵՆ

«/

մեծությունը: թյունը

Տ.Տ,

ԷՐ

-. 53...

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ոՀ:1

Ւ՛(

(հիստոգրամ)

Ենթադրենք

«շչՀ.Տ)Գ

աու

ցիայի տեսքն անհայտ է: Կառուցենք անհայտ բաշխման ֆունկցիայի գնահատականը: Եթե վերցվածքայինբազմության տարրերըդա-

Սահմանում

սավորված

են աճման

կամ նվազման կարգով, ապա ստացված

հաջորդականությունըանվանում են վարիացիոնշարք: Առանց ընդհանրությունըխախտելու, ենթադրենք՝74, 2, 2.

վերցվածքային բազմությունը վարիացիոնշարք է: Ցանկա-

ցած ։« թվի համար տ (040-ովնշանակենքվարիացիոնշարքի այն տարրերի թիվը, որոնք փոքր են »-ից: Այդ տարրերիհաճախութ-

յունը կլինի՝

ո0ժ.Այսպիսով,շ« պատահականմեծությանփորձո

նական բաշխման ֆունկցիա անվանում են

ոն:

է6)--Ր-: Ակնհայտէ, որ

փորձնականբաշխման ֆունկցիան ունի նույն

կությունները, ինչ որ`

պատահականմեծության բաշխման ֆունկ-

հետնյալ ֆունկցիան

Ճշ

3.2. Փորձնականբաշխմանն խտությանֆունկցիա

«Կ

Ն...

ՏԱՐՐԵՐԸ

հատ-

պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան: Անհայտ բաշխման Ւ (2) ֆունկցիայի ն փորձնական բաշխմանֆունկցիայի միջն կապըհաստատվումէ հետնյալ թեո-. րեմի համաձայն: համաձայն

Գլիվենկոյի թեորեմ. Եթե Է(«) բաշխմանֆունկցիան անընդհատ է, ապա Ւ,(2-ի ն Ւ(Թ)-ի առավելագույնշեղման` ցանթվից փոքր լինելու հավանականությունը ձգտում է մեկի, երբ փորձերի ո թիվը ձգտում է անվերջության,այսինքն՝ կացած

հո Ո»

Տսք

1-2Հյ«տ

| Է)-ՒԷՐ)

|Հ

"| -1:

Գլիվենկոյի թեորեմից հետնում կանաչափ մեծ է,

ապա

է, որ եթե փորձերի թիվը բավա-

անհայտ Ւ(»)-ը կարելի է փոխարինել

Ւո(«)-ով: Այս իմաստով Ւո(«) փորձնական բաշխման ֆունկցիան

անհայտ ՒՐ) բաշխման ֆունկցիայի համար բավականին լավ գնահատականէ: Այժմ ենթադրենք, 24 պատահականմեծությունն անընդհատ պատահականմեծություն է,

ն դրա

Ւ(«) խտության ֆունկցիան

անհայտ է: Կառուցենք անհայտ խտության ֆունկցիայի համար ինչ-որ իմաստով ընդունելի գնահատականհ̀(62), որը կանվա-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ էԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

նենք

փորձնական խտությանֆունկցիա,

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

իսկ

գրաֆիկիը՝

դրա

հիստոգրամ: Գոյություն ունի (8, Ե) ճիջակայք, որտեղ ընկած են փորձերից

4 1- ԱԷ-6.3

որոնցիցյուռաքանչյուրի աա

դ -ով

ու

Ե-Ձ ՛

է: ու

(է

Հ-Է՞

12,

ԱՏ

բազմությանայն արժեքվերցվածքային նՀանակենք

ների թիվը, որոնք ե-րդ՝

51.2,

.դ

«|

միջակայքումեն: Այս դեպքում

իրենից կներկայացնի 2 հարաբերությունը

պատահականմեծության՝

ճախություն ը:

-ՂՎ

-Հ

6«|

միջակայքում ընկնելու հա-

մի) մոտավորտեսքը կլինի հետնյալը՝

երկարությամբ միջակայքերի

երկարությունը հ

ՏԱՐՐԵՐԸ

Փորձնական խտության ֆունկցիայի գրաֆիկի (հիստոգրա-

ստացված24. »«,.... չո արժեքներնը:Բաժանենք այն Ւ հավասար

6»)

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ասա,

Հեշտ է ստուգել, որ փորձնականխտությանֆունկցիան ունի

խտության ֆունկցիայի հատկությունհավանականությունների ները: 1.

«օ

Սահմառում :« պատահական մեծության փորձնական ն է հետնյալ խտության ֆունկցիան Ֆունկցիա կոչվում

|ո0ժ».-1:

(0,

ոլ

ՀՀՀ

Թեորեմ. Եթե 10) ֆունկցիան անընդհատ է,

«2

ԵՆ)- ՎՈՈՐՐՐՈՈՅՈՈՈՅՅՆ

Լւ,

«1լՀ«Հ)0

աաա

Լռո,

կամա

«լ.

փորձնական խտութ-

միջոցով:

Կգ

ՁՀ«Հ

(

յան ֆունկցիայի միջն կապը հաստատվում է հետնյալ թեորեմի

«ՀՅ

մ--Իլ

Անհայտ խտության 104) ֆունկցիայի

կան խտությանֆունկցիայի ն

«ՀԵ

փորձնա-

անհայտ խտությանֆունկցիայի ա-

ռավելագույն շեղման ցանկացած6

թվից փոքր լինելու

հա-

ո է մեկի, է երբ փորձերի վանականությունը ձգտում թիվը ձգտում

անվերջության,այսինքն

կանան

Հ):-Հ

ապա

յոթ

ո-»»

|1 -16) «Կիր լար, աթ

Գոյություն ունի այս գրվում է հետնյալ ձնով՝

թեորեմի ավելի խիստ պնդումը,

որը

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

հո Ո»

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

վ ՏսքԲ6)-00լ»0)-" երբ

Որպե

ո»:

Մ-ՀյԼՀ»Թ՛

Թեորեմից հետնում է, մեծ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

է, ապա

կարելի

որ

եթե փորձերիթիվը բավականաչափ

15) խտության ֆունկցիան փոխարինել

ոո Լ1Տ ս

ՏԱՐՐԵՐԸ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

դիտարկեն նահատական`՝ ն հ իտարկենք անհայտ բնութագրիչիգնահատականդ̀

վերցվածքայինմիջինը: Ցույց տանք,

որ

այն անշե-

ղելի գնահատականէ.

ԻՇՉ-ով: Այս իմաստով, Խ(2:2)-ըանհայտ խտության ֆունկցիայի

ԷՆ«)-

համար բավականաչափլավ գնահատականէ:

-52.գ

--5Ֆ

06)

ոշ.

ԷՍԿ)--

2.6

--Ո-ՅՀՅ: ՀՀ

սպասմանհատկութԱյստեղօգտվեցինք մաթեմատիկական յուններից ն նրանից, որ ընտրանքի անդամները բաշխված են մեծությունը: այնպես, ինչպես շ« պատահական Նույն ձեով կարելի է ցույց 3.3.

շ6

րից

անհայտ պարամետ-

սանան

համապատասխանվերցվածքայինբնութագրիչները:

Սահմանում

անհայտ պարամետրի 0-

անհայտ պարամետրերի 8 0.04.

ո)

ունի հետնյալ հավասարությունը՝

2)-6:

0`,

Ք կո

վի-

ճակագրական գնահատականըկոչվում է անշեղելի, եթե տեղի

ո-»»

եպքում Այս դեպքում

նույնպե նույնպես

Ընդհանրապես,եթե գնահատականըանշեղելի է, չի նշանա-

ցած

է, սակայն այդ գնահատականըոչ անշեղելի գնահատականների

նկատմամբունի այն առավելությունը,որ

Օգտվելով

այն անհայտ պարամետրի ամենալավ գնահատականն դրա

միջինը հավասար

գնահատվող մեծությանը: Այս տեսակետից, ուսումնասիրողը

փորձում է անհայտ պարամետրի համար կառուցել անշեղելի

գնահատական:

Օոհնակ. Ենթադրենք 2»«պատահական մեծության մաթեմա-

տիկականսպասումը անհայտ է

Էշ

արելի ասել,լ, կարելի

գ կայինգնաոր ունակային որ

թվի համար տեղի ունի'

» թ-գ ի

որ

չի

ուհատականներնամենալավնեն, սակայն եթե գնահատականը մեծ ո-երի համար ն ցանկանակային է, ապա բավականաչափ

ԷՐ)-Ց: կում,

0.Օ՝,--.24) վի-

ճակագրականգնահատականըկոչվում է ունակային, եթե

0 0):

Սահմանում

անհայտ դիսպերսիայի,24

պատահական մեծություններիկովարիացիային կոռելյացիայի գործակցի համար անշեղելի գնահատականներկհանդի-

պատահականմեծության բաշխման ֆունկցիայի

տեսքը հայտնի է, սակայն այն կախվածէ

որ

ն ,

Անհայտպարամետրերիգնահատումը

Դիցուք,

տալ,

-1:

մեծ

թվերի օրենքից՝ կարելի է

ցույց

տալ,

որ ան-

հայտ մաթեմատիկականսպասման,դիսպերսիայի,սկզբնական ն կենտրոնականմոմենտների,24 ն `՛ պատահականմեծությունների կովարիացիայի ն կոռելյացիայիգործակցի համար ունաեն համապատասխանվերցվածքային կային գնահատականներ

բնութագրիչները:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Սահմանում.

ՅԿ:

Ց անհայտպարամետրիհամար

20)

գնահատականըկոչվում է էֆեկտիվ, եթե տեղի վիճակագրական ունի հետնյալ հավասարությունը՝

Է, 0«,--,24ո)-9)՛ ՊոԷ(Տ(Կ.,--.2ո)0), -

0 անհայտ ՓՕՀ.,---",24ո)-ը

պարամետրիկամայական

գնահատականնէ: Պետք է նշել, տիվ, ապա

դրա

որ

եթե

գնահատականըանշեղելի է

էֆեկ-

դիսպերսիանփոքրագույնն է անշեղելի գնահա-

տականներիդասում:

Սահմանվածերեք տիպի գնահատականներըմեկը մյուսի նկատմամբբացարձակառավելություն չունեն, եթե առաջանում է

միննույն անհայտ պարամետրի երկու վիճակագրականգնահատականներիմիջն ընտրությանհարց, օրինակ՝ մեկը անշեղելի է, իսկ մյուսը էֆեկտիվ, ապա ուսումնասիրողը պետք է ընտրի այն

գնահատականը,որի վիճակագրականհատկություններն ավելի շատ են

համապատասխանումլուծվող խնդրին:

Բնութագրենքսահմանվածվիճակագրականգնահատական-

ար

գնահատականնանշեղելի է, նշանակում է,

որ

վերց-

վածքի ծավալի մեծացման հիման վրա, միավորին մոտ հավանականությամբ կարելի է պնդել,

գնահատականըքիչ

որ

տարբերվումգնահատվողմեծությունից: Եթե գնահատականըունակային է,

ապա

ապահովումէ վերց-

վածքի ծավալի մեծացմանմիջոցով գնահատականին գնահատվող մեծության մոտարկմանճշգրտության մեծացումը: Եթե գնահատականըէֆեկտիվ է,

ապա

այն լավագույնն է՝ մի-

ջինքառակուսայինշեղման մինիմումի իմաստով:

նշենք նան, որ անշեղելիությունըն էֆեկտիվությունըկախված չեն ընտրանքի(վերցվածքի)ծավալից, ի տարբերություն հատկություն: դրան, ունակայնությունըասիմպտոտիկ անշեղելիությունը,որպես Ընդհանրապեսգնահատականի օրենք, ստուգվումէ ուղղակի հաշվարկներով,իսկ ունակայնումեծ թվերի թյունը ստուգելու համար անհրաժեշտէ օգտագործել կապված սահմանային թեորեմներ: Ավելի բարդ էֆեկտիվությանստուգումը: Այս խնդրի լուօէ գնահատականի կապ ունի Ռաո-Կրամերիանհավաման հետ անմիջականորեն հետ

օրենքի

այստեղ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

սարությունը:Ձնակերպենքայն՝ Դիցուք, ՔԸ. 0), ««ԲՐ Ռառ-երամերիանհավասարությունը. վեկտորի բաշխման շո) պատահական ֆունկցիան ե, »օ,

խտությանֆունկցիանէ կախված6 պարամետրից:Ենթադրենք: տեղի ունեն հետնյալ պայմանները՝ 1. Շ-

0:68" : Ք0«8)

0) բազմությունըկախվածչէ ծ պարա-

պայման): մետրից (ռեգուլյարության 2.

խտությանֆունկցիանկամայական«ՀՇ

Ք(0)

դիֆերենցելիէ ւո

ըստ

համար

8-ի ն՝

(թԺ իթ, վճորեւժի

ժթւ-

օ9

Հ»

դեպքումտեղի ունի հետնյալ անհավասաԱյսպայմանների

րությունը

իչԵ6)' ՍԹ)» 10) որտեղ` Ե(Ց)-ԷՐ)-Ց: լ

Հետնանք. Մասնավորդեպքում, երբ

անգնահատականն

կունենա հետնյալ շեղելի է, Ռաո-Կրամերիանհավասարությունը

տեսքը՝

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ս6»-7.: ո0)

բար

ցիայի քանակ (2, 2,

ո)

յան մեջ: Կարելի է ցույց

եթե 2,

պատահական միանման բաշխված 1046), »«Բ'

որ ն

ֆունկցիայով որտեղ

6-ի վերաբերյալ ինֆորմա-

բազմաչափ պատահականմեծութ-

տալ,

մեծություններնանկախ են

ոԹ)-ոլ(8),

1(օ)-ը

(բաշխման

օրենքով),

ապա

8-ի վերաբերյալ ինֆորմացիայի

է74պատահականմեծությանմեջ (0

քանակն

նո),

իչԵԹ) նչրթ

էթ

սպերսիայի ներքին ե եզրը կանի դիսպերսիայի ներքին տական ն

ի, եթե ուստի,

Ռաո-Կրամերիանհավասարության

մեջ տեղի ունի հավասարություն, ապա կարելի է պնդել, որ գնահատականըէֆեկտիվէ: Այժմ ձնակերպենքմի թեորեմ, որի միջոցով հնարավորէ իմանալ, թե տվյալ գնահատականնանհայտ պարամետրիհամար է, թե՝ ոչ: փոքրագույնդիսպերսիայով

Թեորեմ. Որպեսզի ծ գնահատականը տվյալ

պարամետրի

համար լինի փոքրագույնդիսպերսիայով,անհրաժեշտէ

բավա-

(«, 8) ֆունկցիաններկայացվիհետնյալ տեսքով

Ք(:.8)հ0թ""5, -

որտեղ Ճ-ն

8-ն

պատահականմեծության բայշխման ֆունկցիան սովորապարունակում է որոշակի հաւստատուններ, որոնք կոչվում

բաշխմանպարամետրեր: Քննարկենք

այդ

պարամետրերիգնահատականներիկա-

ռուցմանխնդիրը: Ենթադրենք 74 պատահական Սեծությունն ունի

0օ 6,, 62,

բաշխման ֆունկցիա, որի մեջ մտնող «0. պարամետրերնանհայւռ են, այդ պատահականմեո ծության նկատմամբկատարված անկախփորձերից ստացվել է որոշակի

«89

ծ,,ծշ,

վերցվածքային բազգԳությունը: Պահանջվում է կա-

242,..27.

ռուցել անհայտ 6, ծշ, ....,9. պարամետրերի համար գնահատականներ:

Ռաո-Կրամերիանհավասարությունըցույց է տալիս գնահա-

գնահատականնանշեղելի է

են

ո0)- Էբուն6)/60ի:

րար, որ Ք

1ո(0)մեծությունն անվանում են

խտության

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆՏԱՐՐԵՐԸ

կախված են միայն 6-ից, իսկ հ(ց-ը՝

միայն7-ից: թլու0) ֆունկցիան ընտրանքիտարրերովկազմված(24.,22. պատահական վեկտորիխտության ֆունկցիան է:

Ներկայացնենքայս խնդրիլուԾման երկու եղանակ: Առաջինեղանակըկոչվում է «Մոմենտներիեղանակ»:Այդ

իմանալովանհայտ մոմենտների գնահատականները,կարելի է ստայնալ նան անհայտ պարամետրերի գնահատականները:Հաշվի առնելով, որ մոմենտներն այդ ղանակի էությունն այն է,

որ,

պարամետրերից ֆունկցիաներեն, կունենանք. Բ00

(0.

8, ....8Ժ,

04) ՀԵ(6,, 8, ....8Ժ,

(3.1)

ՅԵՏ - ո, Թ.02...0.)(223...

Է «-

Թ6,..9.) ԿՄ ԾՆՅ2

26)

-34..: "շխ:

Այս հավասարություններում անհայտ միջին արժեքը, դիսպերսիան ն մոմենտները փոխարինելով համապատասխան

հայտնի գնահատականներով2.

ե-

ՏՀ, Մ, բ, մեծություններով,

կստանանքանհայտ 6,, 62, ...8. ապլարամետրերի համար հետնյալ հավասարումների համակարգը՝

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

«-

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

8Թ.02...0.)

Ենթադրենք՝(2«., 262,

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ

շո) պատահականմեծության խտութ-

յան ֆունկցիան (բաշխման օրենքը) Ք(2, յ,

Թ.0շ..0.|

Մ, Հո, որը

6., 02,

7-23...

Է,

(32)

9, -երի նկատմամբլուծելով կստանանքորոնելի

գնահատականները: Դիտողություն.նշենք,

որ

որը

է 0.,

6շ,...0.) ֆունկցիան է

0շ,...0,. անհայտ պարամետրերից:

Խտության ֆունկցիայի մեջ «-ի փոխարենտեղադրենք (2, 2,

վեկտորը

չո)

կատարենք

նեն

նշանակումները՝

հետնյալ

0., 0շ....02),

ՈԼ:

պատահականմեծությունը անվանում են ճշմարտանմա-

(3.2) համակարգիփոխարեն (3.1)-

մակարգ:

նության ֆունկցիա, իսկ 7-ը լոգարիթմականճշմարտանմանության ֆունկցիա:

Օրինակ. Ենթադրենք )« պատահական մեծությունն ունի ցուցչայինբաշխում

ԲԸ.0)-1-6 որ

Կ»,

որտեղ0»0 պարամետրնանհայտ է

ը'

4»

ԷՀՕ-

են

այն

Ց-ծկլ

մեծությունը, որը մաքսիմիզացնումէ

1/9, իսկ մաթեմատիկական սպասման

-մ հավասա-

ճշմար-

ֆունկցիան), այ-

Լ0«լչ...24.0.6շ....0. )- Ո«ԼՇԿ20շ..2610:02.-..0.) -

սինքն |

Գնահատականի

Ուստի մոմենտներիեղանակի համաձայն`4 րումից կունենանք,որ`

Մաքսիմալ ճշմարտանմանությանգնահատական անվանում

տանմանությանֆունկցիան (կամ, որ նույնն է

«Հ0

34: գնահատականը՝

ԽԼ

ինդեքսը անգլերեն հապավում

(Մատստ Լ1ծկհօօժ): ֆունկցիայի էքստրեմումիանհրաժեշտ պայմանիցօգտվե-

լով` ստացվումէ հետնյալ համակարգը՝ ՀԼ

ա.

իճ

օԼ

ե՞ն

Անհայտ պարամետրիգնահատականների կառուցման երկ-

եղանակը կոչվում է «ճշմարտանմանության մաքսիմումի եղանակ»:Այդ եղանակիսկզբունքն այն է, որ փորձերում ստացրորդ

ված »ն,72....»ո

արժեքներըհանդիսանումեն պատահական մեծության ամենահավանական արժեքները, այդ պատճառով անհայտ պարամետրերիամենալավգնահատականները կլինեն այն արժեքները, որոնց դեպքում փորձերում ստացված(չ«., )Շ, 70) արդյունքը կունենա մեծագույն հավանականությունը: ւա

կախված

Լ-Լ(ՕԿ»6...26.0..02....02-ՔՕԿ.)6,..6,

ից օգտվելով`կարելի էր կառուցել Բ հավասարումներով այլ հա-

Ունենք,

«ՏՔ՞,

Ղ39

Լուծելով համակարգըանհայտ 6:, 6շ, նկատմամբ`կստանանք

-0.04242..26), Ցշ 020Կ2շ...26)

Ց:

Հ0.0Կ202..26)

9. պարամետրերի

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

գնահատականները: Օրինակ. Ենթադրենք՝»« պատահականմեծությունն ունի նորմալբաշխում -

-Տ-օ)

Ք0Ե8,օ)որբ

150. -Ժ ում ո

օ՛

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ

Լո-Հց» -

Ընդհանրապես,մոմենտներիեղանակով ստացվածգնահատականները մեծամասամբլինում են ունակային, իսկ մաքսիմալ

ճշմարտանմանությանեղանակով ստացված գնահատականնե-

խտությանֆունկցիայով,որին 6 պարամետրերն անհայտեն: Դիցուք, ունենք զ, շ«,..,»0 վերցվածքային բազմությունը: ոԴիտարկենք (4, 72, ...)2) չափանի պատահական մեծության խտությանֆունկցիան (չ«, 2, 76) կետում, այն կու-

րը ունակային ն մեծ ո-երի դեպքում`էֆեկտիվ:

3.4.

Վստահելի միջակայք

նենա

հետնյալ տեսքը՝

50 2շ,...24ո8 օ)ԻՍԿ

2."

շեֆՐԿ«ի

ՑՈ

Դիցուք, պես կարելի

հետ-

անհրաժեշտ է լինում կառուցել այնպիսի տիրույթ, որի մեջ կընկնի անհայտ պարամետրը որոշակի հավանականությամբ:

կան հատկությունները:

Վերնում նշված որոշակի հավանականություննանվանում են հուսալիության մակարդակ:

համարժեքէ՝

Ենթադրենք՝7«., 7«շ, հական մեծության որնէ

2.0".-Յ)-0 Ց

ը օ3յԶ

է իսկ Ջ-

թ»

օ«

ապ

հաջորդականությունը7« պատա-

ծավալի վերցվածքայինբազմություն

(0,1):

Սահմանում.

համակարգին, որը լուծելով` կունենանք. Ձ-7

անհայտ պարամետրիհամար կառուցել, ինչ-որ

ղին չեն բավարարում ստացվածգնահատականիվիճակագրա-

տրվեց, թե ինչ-

Օրինակ, այսպիսի խնդիր կառաջանա, եթե ուսումնասիրո-

որը

է 0

պարա-

իմաստով,լավ վիճակագրականգնահատական,սակայն հաճախ

ճու

մեծության բաշխման 6

մետրն անհայտ է: նախորդ պարագրաֆումցույց

6շմարտանմանության սկզբունքիհամաձայն` լուծենք նյալ համակարգը՝

ճու

764պատահական

անհայտ պարամետրիհամար Ս,ՀՕՍոՕԿ,22,

7Գ ) բազմությունըկոչվում է վստահելիբազմություն ւ

հու-

սալիության մակարդակով,եթե տեղի ունի հետնյալ հավասա-

րությունը՝

Բ((06 Շոգ, 20,

այ

24 3-4:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՍԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Եթե 6 պարամետրըմեկ չափանի է,

ապա

Օ, բազմությունը

ընտրվում է որպես միջակայք ն այս պատճառով «վստահելի բազմություն» տերմինի փոխարենօգտագործում են «վստահելի միջակայք»տերմինը: Վստահելի միջակայքի կառուցման համար կիրառվում է հետնյալ ընդհանուր մոտեցումը:նախ փնտրվումէ այնպիսի հղ (զ,

ո, 9)

ֆունկցիա,որ հո (գ, 22.

2, 8) պատահականմե-

ծության բաշխումը կախված չլինի 6-ից: Այնուհետն, եթե գտնված է հղ ՕԿ,

ո, 0)

ֆունկցիան, որոշակի ՕՀ

(0,1) թվի համար դի-

տարկվումէ հետնյալ հավասարումը՝

եթե հայտնի է հՕԿ, 2Օ,

որ

պատահական մեծության բաշխումը, ապա

վասարումը բավարարող

20,0) կգտնվի վերջին հա.....

1. միջակայք (հնարավոր է, որ այն

չլինի միակը):

Եթե հո,

22.

26.0)

Լը առնչությունիցկարելի է

համար գտնել այնպիսի ՕոՕԿ, 22,

հոՕել.,70ո0)« ը «»0«Սր0Կ-..2դ),

շո) բազմություն,

ապա

36.

-ի որ

20)

բազմությունը կլինի 6 -ի վստահելի բազմությունը:Իսկ եթե հո(շ«.,

2, 9)

22...

առնչությունը հնարավոր չէ «լուծել» 6-ի

նկատմամբ, ապա անհրաժեշտ է փնտրել ուրիշ հղ (ե,

20, 0)

ֆունկցիա ն նույնը կատարելդրա նկատմամբ: Օոխհնակ.Կառուցենք վստահելի միջակայք նորմալ բաշխված սպասման

աը

համար,

Օ-ոյո

Տ,

)՞

ապատահականմեծությունն ունի Ստյուդենտի բաշխումը՝ո-1 զատության աստիճանով (այս պատահական մեծությունը մեո 6), պատահական վերնում նկարագրվածհ,(շօ, 24,

ծությունն է): (0,1) որոշակի հուսալիությանմակարդակէ:

Ենթադրենք՝օ«

գտնել այնպիսիէ, թիվ, որ՝

որտեղ 1ր -ը միջակայքէ: տալ,

Ա ոյր Ժ ո-1

ն հաՕգտագործելովՍտյուդենտիբաշխմանհամաչափությունը մապատասխանաղյուսակըկամ ծրագրայինփաթեթը՝կարելի է

իո0«....2ո:6)«1)-օ, Կարելի է ցույց

Հայտնի է, որ.

ՏԱՐՐԵՐԸ

Տոն

Նրան Աա ան

լ նույնպես երբդիսպերսիան անհայտ

Այսպիսով, ենթադրվումէ,

որ «-

է:

ԱՎ(895), իսկ 24, 2,....

հաջորդականությունը24 գլխավոր համախմբությանորնէ վերցվածքային բազմությունէ:

մոշ-ռ

ՀԵ

ց:

Լուծենք՝ Վո

-ռ

2-ի նկատմամբ, անհավասարությունը

Հե.

կունենանք. Յ6

ի»ոո Հ"| -

«Հ

ուստի՝

ՔՅօ|2-

Տե

Վո

Այստեղից հետնում

Տն).

Վո

է, որ

սպասմանհամար.

թ-յո Տե

«ւ

Հուլ մո

անհայտ

մաթեմատիկական

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

միջակայքը կլինի վստահելի միջակայք

հուսալիության

մա-

կարդակով:

զրոյականվարկածըմերժելու հիմքերչկան, վարկածըի օգուտ մրցակցողի: մերժել զրոյական

Քանի որ

վարկածըստուգելու վիճակագրական

կան է,

Վիճակագրական վարկածներն դրանցստուգումը

Վիճակագրականվարկածներկոչվում են այն ենթադրությունները,որոնք վերաբերում են պատահականմեծության անհայտ բաշխմանը, բաշխմանանհայտ պարամետրերին ն անհայտ բնութագրիչներին: Այստեղ կդիտարկենքմիայն անհայտ պարամետրերինկամ բնութագրիչներինվերաբերողվիճակագրական վարկածները: Սահմանում

Ընդհանրապես անհայտ դրվում է

երկու վարկած Էլ:

պարամետրի համար

Ւկ

067,

առաջա-

այստեղ 20

ՀՃ-ը որոշակի բազմություններ են, առաջին վարկածը ենթադրություն է (Իլ) այն մասին (:), որ անհայտ պարամետրըպատկանում է Հօ բազմությանը,իսկ երկրորդ վարկածը(Էլ), որ անհայտ պարամետրըպատկանում է Հլ բազմությանը:ՒԷ, վարկածնանվանում են զրոյական (հիմնական) վարկած, իսկ Էլ, վարկածը՝

մրցակցող(ալտերնատիվ)վարկած: Եթե ապա

Ւ:

բազմությունը բաղկացած է մեկ կետից ( 2Հ405)),

վարկածնանվանում են

պարզ

վարկած, հակա-

ռակ դեպքում՝ բարդ: Եթե մրցակցող վարկածը չի նշված, նալ, որ

ապա

պետք է հասկա-

որպես մրցակցող վարկած է վերցված զրոյական

վարկածիհակադիրենթադրությունը,Օրինակ. Եթե Էլ :0»3,

ապա

Ւկ:0Հ3:

Վիճակագրականվարկածներիստուգում կամ վիճակագրական տեստ անվանում են «յ, 22, «ո վերցվածքայինբազմութ....,

յան վրա հիմնված կամայականգործընթացը, որի արդյունքում

ստացվումեն հետնյալ լուծումները՝

որ

համար Օգ-

վերցվաօթը,ապա, բնապատահական հետ կապված,ստուգման լինեն սխալ լուծումներ:Սրա

տագործվում է 24, 3.5.

ՏԱՐՐԵՐԸ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

սխալներըկարող են լինել երկու տեսակի. վարկածը, 4. առաջինտեսակի սխալնայն է, երբ զրոյական լինելովճիշտ, մերժումենք, 2.

է զրոյաերկրորդ տեսակի սխալնայն է, երբ ընդունվում

կան սխալ վարկածը: հավանաԱռաջինն երկրորդ տեսակի սխալներ կատարելու

նշանակենք՝ համապատասխանաբար կանությունները

օՀՔԹԺԱԵՒԽ), .»8ՀՔ(ՒՍՒե),

անվանումեն տեստի նշանակալիության ռ հավանականությունը մակարդակ,իսկ 1-թ թիվը տեստի հզորություն: որ օ ն Թ թվերը Պարզ է, որ տեստը պետք է լինի այնպիսին, սակայնհնարավորչի լինում դրանքմինիլինեն առավելագույն, են տեսԱյդ պատճառովնախ ֆիքսում միզացնելմիաժամանակ: ինչ-որ թույլատրելիմակարմակարդակը տի նշանակալիության այնպիսիձն այնուհետնփորձումեն գտնել ստուգման

դակում,

է (նույնն է, որ երկրորդ կամ տեստ, որի հզորությունըմեծագույնն փոքրագույնն տեսակի սխալ կատարելուհավանականությունը

է):

համար կիրառվումէ տեստերի կառուցման Գործնականում ն կարելի է գտնել այնպիսի մոտեցումը:Ենթադրենք՝ հետնյալ մեծություն, որ, եթե ճիշտ է ՒՇ պատահական Հե0Կ,

ոներ իրակա նշանակալիության ր սիւ խնդիրներումընդունված Տնտեսագիտական ոռերում,

Գործնականում

Օ6լ0.1: 0,001):

կե

Ար

անականությա

է, որ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

վարկածը,ապա

դրա

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

բաշխմանֆունկցիան հայտնի է (կամ մոտ

ինչ-որ հայտնի բաշխման):ե, պատահականմեծությունը անվանում են

վիճակագրությունկամ վիճակագրականհայտանիշ: Որ-

պես ե հաճախ ընտրվում են նորմալ,

Ստյուդենտին Ֆիշերի

բաշխումներունեցողպատահականմեծությունները: Այնուհետն ե. պատահականմեծության հնարավորարժեքնե-

րի բազմությունըտրոհում են երկու չհատվող ենթաբազմություն-

ների, որոնցից մեկում հայտանիշի այն արժեքներն են, որոնց

ՄԱՍ |

դեպքում վարկածը մերժվում է, իսկ մյուսում` այն արժեքները,

որոնց դեպքում վարկածըընդունվում է: Առաջինենթաբազմությունը անվանում են

կրիտիկական տիրույթ, իսկ երկրորդը՝

վարկածի ընդունման տիրույթ: Նշված երկու տիրույթների բաժանման

(եզրային) կետերն անվանում են կրիտիկականկետեր:

Կրիտիկականտիրույթի ընտրությունը կախված է

ռօ

նշանակա-

լիության մակարդակից, ե վիճակագրությունից ն մրցակցող վարկածի տեսքից: Այդ մասին մանրամասն կներկայացվի գրքի երկրորդ մասում: թը,

ապա

ԵՐԿՈՒ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՈՎ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՄՈԴԵԼ

Եթե ընտրված է հ, կրիտիկականտիրույ-

դիտարկվում է Ք(եՀեե)

հավասարությունը:Եթե

մրցակցողի,հակառակ դեպքում հիմքեր չկան վարկածը մերժելու: Այստեղ ե դիտ -ը ո վիճակագրությանայն արժեքն է, որը ստացվել է վերցե

դիտ.

Կ, ապա վարկածըմերժվում է ի օգուտ

վածքի տարրերը,որպես թվեր, ե-ի մեջ տեղադրելուց:

Գոյություն ունի կապ վստահելի միջակայքի ն վերնում նկարագրվածվարկածիստուգման միջն: Իրոք, եթե 0 անհայտ

պա-

րամետրիհամար գտնված է Օղ վստահելի միջակայքը՝ 1-ռ

հու-

սալիությանմակարդակովն ենթադրենք՝դիտարկվումէ ՒԷ:0200 վարկածը, ապա վարկածը կընդունվի (մերժելու հիմքեր չկան), երբ 00-Օղ, հակառակդեպքում կմերժվի:

ն վիճաներկայացրելենք հավանականության կագրության տեսություններիհիմունքները, որոնք անհրա-

մասում

են էկոնոմետրիկայի դրույթները հասկանալու, ժեշտ նախապայման մոդելներըկառուցելու ն գնահատելուհամար: էկոնոմետրիկական

Երկրորդ մասում մեկնաբանվումէ ամենապարզ՝երկչափ ռեգրեսիայի մոդելը, որն օգտագործվումէ երկու փոփոխականների

հարաբերությունները բացահայտելու համար: Երկչափ է մեկ ուրիշ մոդելում մեկ փոփոխականը՝կախյալը, արտահայտվում օգնությամբ: անկախ կամ բացատրող փոփոխականի

միջե

ԵՐԿՉԱՓ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ԳԾԱՅԻՆ

ՄՈԴԵԼ

յուրաքանչյուր 24 փոփոխականի ՀՌՖ համար: Մաթեմատիկորեն է կարելի ներկայացնելայսպես.

Է(/|24)Հ80Հ որտեղ Է (|

ԳԼՈՒԽ 4

8.24

(4.1)

Կ -ն արտահայտում է `/-ի միջին կամ սպասվող

արժեքը պայմանավորված )«-ի տվյալ արժեքով, կամ "/-ի պայմանական սպասվող արժեքը (տե՛ս մաս |, 2.13): Նշենք, որ այս

դեպքում ենթադրվումէ,

որ

՝-ի յուրաքանչուր սպասվողպայմա-

նական արժեքըգծային ֆունկցիաէ»«-ից:

Ներածությունում նշված օրինակում համախմբությանռեգրեսիայի գիծը (ՀՌԳ) բնութագրումէ միջին սպառումը,այն դեպքում, երբ սպառումը տարբեր խմբերիհամար տատանվում Է միջինի շուրջը: ՎՌԳ-ն անցնում է -ի պայմանականմիջինով: Եթե

ԵՐԿՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

սկադեգրամի միջոցով փորձենք ներկայացնել ՀՌԳն, ապա կտեսնենք, որ այն /-ի միջին արժեքն է՝ տվյալ 2«-ի համար (տես

գրաֆիկ 4.1): Գետնաբար, `/-ի տատանումներըիր սպասվողարժեքից կարելի է ներկայացնել. 4.1.

ՊՀ Է(|4)հ5լ-

Գամախմբությանն ընտրանքիռեգրեսիայի

ֆունկցիաներ

(4.2)

ու

ՀՌՖ-ի սխալն է, այսինքն`սպառմանշեղումն է միջին արժեքից: ՀՌՖ-ի սխալըպատահականմեծություն է, որն ի-

րության առարկանվիճակագրականտվյալներն են, իսկ գործիքը ռեգրեսիայի վերլուծությունը: էկոնոմետրիկան որը

սովո-

րեցնումԷ, թե ինչպեսեզրակացություններանել համախմբության մասին՝ելնելով ընտրանքի տվյալներից: ռեգրեսիայիֆունկցիան (ՀՌՖ) արտահայՎամախմբության տում Է

ՀՈԿ

որտեղ 8.-ն

ուսումնասինչպես արդեն նշել ենք, էկոնոմետրիկայի

հիմնված է մաթեմատիկականվիճակագրությանվրա,

կախյալ փոփոխականի միջին կամ սպասվողարժեքը

րենից ներկայացնումէ մոդելում չընդգրկվածգործոններիազդե-

ցությունը:

Ներածությունում բերված օրինակում համախմբությունը բաղկացած է հինգ խմբից:Իրականում համախմբությունըգրեթե հնարավոր չէ դիտարկել ամբողջությամբ, հետնաբար այն գնահատելու համար օգտվումենք ընտրանքիտվյալներիցկամ ընտ-

րանքից, ընդ որում` էկոնոմետրիկան ենթադրումէ, պատահականէ:

որ

ընտրանքը

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԵՐԿԶԱՓ

էԿՌՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Է( ՄՔԵ

հավանականության պայմանական բաշխումով

ւ.

ՂՕ

՛2

ՍԿ միջինով:

124)58 նք

12.5

ՍՈԴԵԼ

անհայտ են: Համախմբության հետնաբար ՀՌԳ-ի գործակիցներն յուրաքանչյուրտրված2«-ի համար ւ -ն ստոխաստիկփոփոխա-

կան Է

ՀՌԳ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

Գրաֆիկ4.1.Սաառմանպայմանականբաշխումըտարբեր խմբերիհամար

Եթե ներածությունում ներկայացված օրինակը դիտարկենք

որպես համախմբություն, ապա րող

15"

տվյալ համախմբությունիցկա-

ենք պատահական որնէ ընտրանք կատարել (տես ՛

աղյու

սակ 4.1):

17Ք

|88

|110| 774

| 40 | 60

|80

|12|14։

(հազ. ռրամ) Եկամուտներ ՕՉ | 20 (հազ. դրամ)

դեպքում կարող ենք տարբեր ընտրանքներկազմել Տվյալ (տես գրաֆիկ 4.2), դրանցից որն ավելի կներկան

բայց

յացնի

ստույգ

իրական համախմբությունը՝դժվար է ասել: Միայն կարե-

լի է նշել, որ ընտրանքըիրական համախմբության մոտավորե-

ցումն է:

Համճախմճբության ռեգրեսիայիգիծը տեսականգաղափար է,

-Լ..

Գրաֆիկ4.2. Ռեգրեսիայիգիժը երկու տարբեր ընտրանքներիհամար

Աղյուսակ4.1. Սպառմանկախվածությունըեկամտից Սպառում (3)

Ընտրանքիռեգրեսիայիգիծը (ԸՌԳ) էմպիրիկ է: ԸՌԳ-ի յու՝/ րաքանչյուրտրված 2«-ի համար ընտրանքի կախյալ փոփոխաէ: կանը /-ի դիտարկելիկամ գնահատվածարդյունքն ԸՌԳ-ը կարելի է ներկայացնելհետնյալ տեսքով. Ս Եյ«Եցե»գ

(4.3)

ընտրանքիմնացորդնէ: Նշենք, որ, ի տարբերություն սխալի, մնացորդը դիտարկելիէ: Հետնաբար սխալը գնահատվում է մնացորդի միջոցով կամ ավելի ճիշտ` մոտավորեց-

որտեղ՝6.

վում է

դրա

միջոցով:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԵՐԿՉԱՓ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ՄՈԴԵԼ

Ենթադրենք`երկչափ համախմբությանռեգրեսիայի ֆունկ-

ցիանէ՝ ՅՍԿԻՏ

Ս Յ80

Քանի

այն դիտարկելիչէ, ուստի

որ

դա

գնահատումենք

ընտրանքիռեգրեսիայիֆունկցիայով (ւ ՏԵլֆ

-ը -ի որտեղ`

ռեգրեսիայիգծերը

Այսպիսով,կարող ենք եզրակացնել, որ ռեգրեսիայիվերլու-

ծությանհիմնական նպատակըընտրանքիռեգրեսիայի գծի հիման վրա համախմբությանռեգրեսիայի գծի գնահատումն է (տես գրաֆիկ 4.3): Ընդ որում, ԸՌԳ-ը կարող է գերազանցել ,

ԻԷ

6.2

գնահատվածարժեքնէ:

Այստեղից՝

ն ընտրանքի Գրաֆիկ 4.3. Չամայխսմբության

ՀՌԳ-ը ինչպես շզ-ումն զիջել

ԵԿԻ

ՀՌԳ-ն, ինչպես »«-ում, ն այդ

ւՀ

-Եց-ԵՉԿՀ-՝Ո-

(4.4)-ից երնում է,

որ

(4.4)

մնացորդներըիրականն

գնահատված

(-ի տատանումներն են: Մ

տա-

տանումներըանխուսափելիեն:

4.2.

Փոքրագույնքառակուսիներիմեթոդը

Ինչպես համոզվեցինք, համախմբությանռեգրեսիայիգիծը

կարելիէ

Գրաֆիկ4.4. Ընտրանքիռեգրեսիայիգիժը ն մնացորդների սփռվածությունը

գնահատել ընտրանքի ռեգրեսիայի գծի հիման վրա:

ունեն ԸՌԳ-ի գնահատմանմի քանի մեթոդներ:Մենք Գոյություն

կներկայացնենք փոքրագույն քառակուսիների մեթոդը, որը մշակվելէ գերմանացիմաթեմատիկոսԿարլ Գաուսի կողմից ն

Մեր հիմնականնպատակնէ ԸՌԳ-ն ընտրել այնպես, որ այն հնարավորինչափ մոտ լինի իրական "ին: Այդ նպատակով

մեծ կիրառությունունի էկոնոմետրիկայում:

ԸՌԳ-ն

պետք է կառուցել այնպես,

որ

մնացորդներիգումարը`

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

56:

Է-1

լինի որքան ո

56.»

է-1

է "իը

հնարավոր է

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ԵՐԿՉԱՓ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

փոքր: Չափանիշ ընդունելով

21" -Եջ -Ե«):

--2Ֆ

նվազագույնի հասցնելը

լին զրոյի ոյի այն այն հավասար վ լինի այ

հնարավոր է, որ

երբ դեպքում, պք րբ

մնացորդնե ցորդները

Ե1

գտնվեն լայն միջակայքերում(տե՛ս գրաֆիկ 4.4): Որպեսզի խու-

ՀՈ -Ֆել-Ելֆյ(-0 Է՛1

սափենք տվյալ հիմնախնդրից,կարող ենք օգտվել փոքրագույն

քառակուսիների չափանիշից, որի դեպքում ԸՌԳ-ը կռաստաո

»«-Հի-/.

է-1

միջին քառակուսային շեղումը՝

որ

5՝62 -ն

Տվյալ դեպքում

ռեգրեսիայիմնացորդներիքառա-

Ֆ"6լ

քառակուսի բարձրացնելու դեպ-

միջակայքերումեն: Այժմ գտնենք Եջ ն Ել գործակիցներն

.ծայսինքն`74

լինի նվազագույնը.

էՀ1

61 ՀՖ:

-»

է-1

Քանի որ

(Ո -եչ

ԵՉ`՛

զրոյի. Իր «ետ... ճեց Է-1

07»

Ո:

-Եջ

-Եշ()

(4.5)

3՝)(,

ապա՝

ԵՂ

Ել ԼԵԵ:

Եջ -ի ն Ել-ի ն ստացած հավասարումները հավասարեցնենք

-ոշ(,

ՆՈՂ ո

(4.7

552 -ռճ

Այդ նպատակով հավասարումը մասնակի ածանցենք ըստ

(/ոթ»«.

ԿՊ-

է-1

ոո

Յո

-՛

-Մ-ԵՏֆ» -ելջ:2.-0 -

այնպես, որ

միջին Հ-ն համապատասխան գործակիցների

Տեղադրելով ստացված Եց-ն 4.5-ի երկրորդ հավասարման զրոյի՛ կունենանք. մեջ ն հավասարեցնելով ո

ավելի մեծ կշիռ կստանանայն մնացորդները,որոնք ավե-

մեծ

(4.6)

-Վ-ԵՏԶ

-ն

է-1

լի

նի

են, արժեքներն

կուսին է, ընդ որում,

բաժանելովո-ի, ստանում ենք.

որտեղ Մ.

լինի ամենափոքրը: ո

քում

զրոյի Ել-ի համար մասնակիածանցյալը հավասարեցնելով

տագրվի այնպես,

Ղ55

ՄՈԴԵԼ

է-1

անվանումեն համահարթված Տվյալ Եշ, Եւ գործակիցներն քանի որ հաշվարկՕԼՏ (Օոժոոո/ ԼծՅՏէ Տզսոօ) գործակիցներ, չափանիշով: Դրանք կեված են փոքրագույնքառակուսիների համար տային գործակիցներեն, որովհետնտվյալ ընտրանքի ունեն

մեկ ստույգ արժեք:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Ղ56

Դիտողություն.ՕԼՏ դիր

4.3.

(4:83)

Նշանակենք՝ «-24

ո'շչո-՞Ր որտեղ շ»«-ն

ներկայացնում

դ-ն

համապատասխան

են

գնահատել` ո

-»

(7.- Եջ-

Ր"

Եր)

են

րի ազդեցությանչափն է `"/-ի վրա: Հետնաբար, մինչն որոշակի

պատկերացումչկազմենք սխալի վերաբերյալ, չենք կարող վստահ լինել որ ԸՌՖ-ը ճիշտ է բնութագրում ՀՌՖ-ը: Այդ նպատակով դասական գծայինռեգրեսիայի մոդելը (ԴԳՌՄ)որոշակի ֆունկցիային սխաենթադրություններէ կատարումռեգրեսիայի

Վերը նշված օրինակի նմանությամբհաշվարկված գործա-

կիցներն

կանից, այնպես էլ սխալից: Ինչպես արդեն նկատեցինք,2« բաչէ ի տարբեցատրող փուիոխականըիր բնույթով ստոխաստիկ

փոփոխականներությունսխալի, որը մոդելում չբացահայտված

փոփոխականներիշեղումը իրենց միջին արժեքից: Փորձենք

ոո

իրականՀՌԳ-ը:Մեզ համար քանով է ԸՌԳ-ըճիշտ ներկայացնում արդեն պարզ է, որ ՝/-ը կախյալ է ինչպես բացատրող փոփոխա"

ր.

(այսուհետն հակիրճության նպատակով

»՝

-ն

լի վերաբերյալ: Դասական գծային ռեգրեսիայիմոդելի

ԵջՀ«0, Ել-

շմ շշ"

Լ -

Հի -

բավականին հեշտացնում

վարկները:

ԹԹ

Հրց

(4.11)

ռւ

Ւճ.

ոչ

գծայինփոփոխականներով՝ բայց գծային պարամետրերով:

Ապացույց. Ինչպես գիտենք.

(4.10) ազատ

Այն կարող է լինել

(4.9)

նոր հավասարում,որի միջոցով կարելի է ներկայացնել`

Այս հավասարման մեջ

Ռեգրեսիայիմոդելը գծայինէ պարամետրերով.

Մ ՀՏ0 Իշ

Այսպիսով, ստացանք անկյունայինգործակցի գնահատման

46.

ենթադրություններն

են.

կներկայացնենքառանց ինդեքսների)

յւ Եզ

գործակիցները ստանալուց հետո հարց է ծագում` որ-

ՕԼՏ

եց -էլ/'

ենթադրությունները

(4.6) հա-

վասարումիցկստանանք. Մ-

ՄՈԴԵԼ

Դասականգծայինռեգրեսիայիմոդելի

մեթոդովգնահատված ԸՌԳ-ը պարտա-

34-ին 7-ի միջին արժեքները,քանի որ

հատում

ԵՐԿՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

անդամը բացակայում է,

որը

Ե"

ռեգրեսիայի արդյունքների հաշւ

Հա.

Ֆշ

Դ-ի շի

0-2

-7 չա ի -ԾԵ-2 չեի »եւ-Մ ՀԵ-Մ ա

ԵՐԿՉԱՓ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Եթե

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ՍՈԴԵԼ

նշանակենքՔ, այն կլինի ոչ ստոխաստիկ,

չա -:

-:2

քանի որ 2-ը ստոխաստիկչէ: Վետնաբար՝ Ել

ՖՈ

(4.12)

կամ ԵՀ

ԿՎ, ՀԱՇՎ

Քանի որ

Հ-ն

ստոխաստիկչէ,

ապա Ե-ն

գծային ֆունկցիա է

ընտրանքի`/-ից: Վետնաբար,ռեգրեսիայիմոդելը գծային է

պա-

րամետրերով: 2.

Սխալիմիջին կամ սպասվողարժեքըհավասար է զրոյի. (6)-0

»"

Այսինքն տրված 24-ի համար սխալի պայմանական միջին արժեքը հավասար է զրոյի: Ասվածնավելի պատկերավորկարող ենք ներկայացնել գրաֆիկի միջոցով (տես գրաֆիկ 4.5), տեղից երնում է,

որ

որ-

իչ

բաշխումը Գրաֆիկ4.5 Սխալի պայմանական Ս

եթե սխալը պարբերաբարազդեցություն չու-

նի "/-ի միջին արժեքի վրա,

ապա

դրա

դրական ն բացասական

արժեքներըմիմյանցչեզոքացնում են: 3 ,«-

նստոխաստիկչէ.

Ներածությունում ներկայացված օրինակից տեսնում որ

նախ 2-ի արժեքը պետք

ենք,

հաստատագրվիյուրաքանչյուր

խմբի համար, ապա դիտարկվի՝/-ի փոփոխությունը:Վետնաբար, ւ -ն հաստատուն է: 4.

Սխալիդիսպերսիան հոմոսկեդաստիկ (համացրիվ)է.

/2ղ6)-օՏրված 2« -ի համար սխալի դիսպերսիանհաստատուն է (տես գրաֆիկ4.6ա): սինքն՝հոմոսկեդաստիկ

է, այ-

(համացրիվ)բաշխում Գրաֆիկ4.6 ա) Սխալիհոմոսկեդաստիկ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԵՐԿՉԱՓ

ԷԿՈՆՈՄԵՏԲԻԿԱ

Եթե տրված 24-իհամար՝/-ի արժեքն իր միջին արժեքից տատանվում է ոչ հաստատուն դիսպերսիայով,այսինքն՝սխալի պայ-

6:8.)ՀՕ,

բոլոր

0Ը-

յ»: 0 արժեքներիհամար:

Սխալների միջնչկա ավտոկոռելյացիա.

ՇՕՄ՛(

ՄՈԴԵԼ

8,6

մանականդիսպերսիան տատանվում է «-ի հետ միասին, ապա այն հետերոսկեդաստիկ (տարացրիվ) է (տես գրաֆիկ 4.6 բ). 5.

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ժամանակ

Եթե սխալներիմիջն չկա հերթական կոռելյացիա կամ ավ-

տոկոռելյացիա, ապա սխալները միմյանցից կախյալ չեն, այսինքն անկախեն: Ավտոկոռելյացիանդիտարկումներիմիջն

եղած կոռելյացիան է ժամանակիընթացքում կամ տարածությու-

նում:

8,6

»:

.Յ

ժամանակ

Գրաֆիկ 4.7 ա) Դոականավտոկոռելյացիա Բ) Զրո կոռելյացիա բ) հետերոսկեդաստիկ 4.6. Սխալի (տարացրիվ) բաշխում

Գրաֆիկ

Եթե գրաֆիկի օգնությամբ մ օգն տեղադրենք սխալները ըստ ժամանակ ակի, կարողենք տեսնել, որ առաջինդեպքում սխալների

միջն կա դրական կախվածություն(գրաֆիկ 4.7 ա), իսկ երկրորդ եպքում դեպք

խալներըմիմյանցիցանկախեն (գրաֆիկ 4.7 բ): :

Դասական գծայինռեգրեսիայիմոդելը ենթադրում ե որ ռեգրեսիայիսխալներիմիջն չկա կոռելյացիա,քանի որ, եթե եր-

կու սխալներիմիջն կա դրականկամ բացասականկոռելյացիա, ապա '՛-ը կախյալ է ոչ միայն ճ.-ից, այլնան 6.յ -ից: Ճ.

մոդելը Ռեգրեսիայի

բնորոշված: միշտ է

Այսինքն ռեգրեսիայի մոդելը բնորոշմանշեղում կամ. բնորոշման սխալ չի պարունակում:Դա նշանակվումէ, որ մոդելը

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

ԵՐԿԶԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐ

ն պարզ է դրա ընդգրկումէ ճիշտ բացատրող փուիոխականներ, ֆունկցիոնալձնը: 7. Սոդելըչի պարունակումբազմակոլինեարություն, այսինքն` մոդելում ընդգրկված երկու փուոխականների միջն

չկա հաստատուն

4.4.

գծայինկախվածություն:

ՖԱԿՈ ՖԿ(Յ0ՀՑԺԿԻՏ)

Ել

՝ետնաբար Եւ-

ՖԱ

ոտ ն

ներում ՕԼՏ մեթոդովհաշվարկված իրական գործակիցներիվի-

ճակագրականհատկությունները ձնակերպվածեն Գաուս-Մարկովի թեորեմում: Մարկովիթեռրեմը.Դասական գծային ռեգրեսիայի

պայմաններումՕԼՏ մոդելի ենթադրությունների

գործակիցները

ՀԿ-

Եւ-թ ԲՈՐ

ներ են՝ անգլերենՑԼՍԷ (86Տէ Լ/ո6Յ: ՍոԵՑյՏտ6մԷՏեՅէօո5):

Կամ

գծայինեն

"անշեղելիեն

ոա-ջր

ԵԿ «)- 0 -

չա

ՏԵ Մ

,ապա

Հետնաբար՝

անշեղ գծային գործակիցներիմիջն ունեն նվազագույն դիսպերսիա,այսինքն` լավագույն գծային անշեղելի գործակիցՀետնաբար,ՕԼՏ Եջ ն Ել գործակիցները՝

«ՊՏ.

Իր հերթին` Ֆ՝Կժե

բոլոր

յԿ5

բ ՖԱԿ

քանի որ

Դասականգծայինռեգրեսիայիենթադրութունների պայման-

Ինչպեսգիտենք՝

Գաուս-Մարկովի թեորեմը

Գաուս

«Ֆե

Է.)»

քյ

«ԷՄտմ

չէ, ապա. Քանի որ է-ն ստոխաստիկ

8 «քնեմ

ԷԵ)

Է(ե.)

2-ի Է(ա) 0 ՀամաձայնԳԴՌՄ-իենթադրություն

ունեն

նվազագույնդիսպերսիա:

Ապացուցենք,որ Ել գործակիցնանշեղելի է, այսինքն՝

(4.13)

տեսքով՝ սպասմանարժեքների

Է(Ե9) Բո Հ

Դետնաբար

Է(Ե.՛)- քլ

Է(Ե.) Հթ.

Վամաձայն (4.12)-ի

Ինչն էլ

էր ապացուցել: պահանջվում

ԹՈ)

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԵՐԿՉԱՓ

Ապացուցենք,որ Ել գործակիցնունի նվազագույնդիսպերսիա: Դրա համար պետքէ պարզել, թե ինչի է հավասարԵ.-ի

դիսպերսիան:

Առաջինմասում նշված բնութագրության համաձայն՝

Կութլ) -

Քանի որ Է( Ե.) Հ8.,

Նշենք,

հետնաբար՝

ա:

Ել -8լ

ԿՅՐԵել -

զոլ,

ԿՅ

(Եւ)

...ֆփ

Կամ

շշ

չ.1Շ6ո:

թշ Յի

չէ -)Ս --Ֆ

Եշ15շ՞ 1616 Հ.

«ՉԱ

ԷՉ՛Է(67)

քիր)2

-օ

դիսպեր վազագույ Ե հետ, ենն

եր-

(տչ)...

Է(ՀԷ(6ոշ)2ԷԿՒՇՔ(Ելջշ) ՀԺ

2 ՄՄ/,

որ

Ե՝ -ն

սպասմանարժեքներիտեսքով՝

Բ(Ե՞) ել 1/Ժ

Ել 724

ՀՄՄԲ(6)

Վերջինգումարելին,ԴԳՌՄ-ի ենթադրությանհամաձայն, հավասար է զրոյի, քանի որ Է(8լ) Հ0: Վետնաբար. եւ ԱՈԿ Բ(Ե:) ՀԵւՄ/» .

Որպեսզի Ե-ն Հ

ենթադրվում է,

ԱՍԿ: 2.6 2(ԵգՀԵ.20:6) ԵգշՄԱչ Եւ2«

համաձայն ԳԴՌՄ-իենթադրություն5-ի՝ Է(ճո.յծո)

որ

«ժային Ն անշեղելի գործակիցէ: Ուստի

Կամ

որտեղ՝ Մմ. -ն ստոխաստիկչէ, քանի

յնո|բ|

թունո) | Հ

չա -:

Ընդունենք՝ Ե՝

Վամաձայն 4-ի՝իԿՅ/(Ե)-ՇՕոտաու յ ԴԳՌՄ-իի ենթադրություն ենթադրությ ոլե) -օ՛

Տե 7

գույն դիսպերսիայով:

Էլչ) 22

Հ...Հ«202 02340

թադրելով, որ վերջինս նույնպես գծային գործակից Է նվազա-

242Ե35շ53Ժէ 24.66

ԿշԷ(6) ծո) ԿԷ(Տո

շշ

«20

սիա, համեմատենք թ.-ի այլընտրանքային գործակցի

Կամ՝

«Հ

-ն ունի Որպեսզի ապացուցենք, որ Ե-ն

այսինքն

ԿՅԼԵ.)--|էշշ

միայն ԴԳՌՄ-իենթադրություններիպայմաննե-

որ -

«ութ|-Բ «տյ Է|»

2 «շ6յ6շ

շշ

«20՛

րում է. ԿՁո(Ել) ----ջ

Համաձայն4.13-ի՝ Հ

ՅԵ.)

ՄՈԴԵԼ

Հետնաբար՝

ԿՅՁկ(ել)-Ժ

ԷԵ,-Էլ)»|

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

զրոյին

լինի անշեղելի,

ՖՄմ-նպետք

հավասար լինի

2Մ2«-ն պետք է հավասարլինի մեկի: Այդ դեպքում

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԵՐԿՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

ԷԵ)-8. Այժմ`

իր միջին արժեքից ավելի ցրված է քան Է.-ինը:

բաշխումն

ԿՅո(Ե՞)ԿՅՈ(ՄՄ.՝/)ՖԱ -

Հետնաբար Ել-ը բոլոր անշեղելի գործակիցներիմիջն ունի նվա-

ԿՅ)

զագույն դիսպերսիա,ինչն էլ պահանջվումէր ապացուցել (տե՛ս գրաֆիկ 4.8):

Քանի որ,

ԿՅՈՐ/) ԿՅԱԼ)

օ2

ապա՝

-Կ սողԵ՞)օ75`Մ/2օ25՝|Մյլ -

Հյ

-ԽԵլյշ օ2Ֆ՝(Մ|լ -

(Մ-ԵԿ 29253

022:

Հավասարմանվերջինգումարելին հավասար է զրոյի,

որովհետն.

2:/)(-1,

Քանի որ

Մել

5Հ

31/26

»-Մ

չա -4

շշ

Գրաֆիկ4.8. ծ,-ր

ապա՝

2, Ե

-Ե-

ՅԱԻԵ Զ

Հոբ

ԿՅՐ(Ե.)-

Դետնաբար՝

Հ Մ (»«-Մ

ԿՁո(Ե՞)օ2»՝(Մ.-ԿիՀ

"բել

ՀԱ Է '

(4.15)

(4.15) հավասարմանառաջին գումարելին դրական է, կարող ենք ասել որ, ԿՅ(Ե)»ԿՅո(Ե:), այսինքնւ. Ե-ի Քանի

որ

(4.16)

որի ստանդարտսխալը՝

ԿՅ(Ե՞)- օ2Ֆ՝(7/ -Խզյ«02

է՝ -ի բաշխումների ցրվածությունը

Ինչպես տեսանք,

լ.

Բ «ԿՁՈԼԵԼ

վ 52"

(4.17)

Ե՛-ն բոլոր անշեղելիգործակիցնեՀամապատասխանաբար

րի մեջ ունի նվազագույնդիսպերսիա,որը հավասարէ. -

Ապացույցը,որ ե-ն նույնպես անշեղելի է` նվազագույնդիսպերսիայով,տես

ԽՈՐԸԼո

էջ.38: ոռառաաոթա, ԽԼ.,2000,

մո(եց) ն

--Ք.Ե-օ2

2».

(4.18)

մեթոդովգնահատփոքրագույնքառակուսիների միջն բոլոր անշեղ գծային գործակիցների ված գործակիցները Այսինքն`Եջ-ն, Ել-ը լավագույն ունեն նվազագույնդիսպերսիա:

Նշվեց,

որի ստանդարտսխալն ունի հետնյալ տեսքը՝

Տեջ ՎԿՅՈԵ0)-

եՆ "2

Համոզվեցինք, որ

ՕԼՏ

4.19)

նվազագույն դիսպերսիա:

դիսպերսիանգնահատելու Սակայն եց, Ել գործակիցների է սխալի դիսհամար անհրաժեշտէ պարզել,թե ինչի հավասար պերսիան՝օ՛: ԷՐ

Գործակիցներիդիսպերսիան հակառակ համեմատականէ

Ֆ542-ին:

Այսինքն`ինչքան

մեծ

լինեն »-ի փաստացիտատա-

որը

նումները կամ շզ-ի քանակները, այնքան Ել-ի դիսպերսիանփոքր

կլինի:

Նշենք նան,

որ

Քանի

որ

-2«ԿՅ(Ել)--Ճ

ել

մեթոդովսխալի դիսպերսիան, Փոքրագույնքառակուսիների է պայտրված2«-ի համար իրենից ներկայացնում6-ի ն-ի

ենք գտնելու համար օգտվենք մանական դիսպերսիան,

2." ապա

եչ

ել

կովարիացիանկախվածէ74 -ի նշանից: Եթե 74-ը բացասականէ, Ե, ն Ել կովարիացիանդրական է ն՝

Կ8՛րլ)-

հակառակը::

էլի, | Բե:| -Բլւ)

2), ն (տես ենթադրություն

-ն

ե դիտարկելի

է 6-ի միջոցով. չէ, այն մոտավորեցվում

(4.20)

դիսպերսիան դրական է,

հետնյալ յ

հավասարումից.

Քանի որ Բ(6)

ապա

եց,Ել գործակիցներըմիմյանցիցկախյալ են,

դրանց կախվածությանչափը որոշվում է հետնյալ բանաձնով՝

ՇօԿ(ԵցԵլ)

որ

են: գծայինանշեղելիգործակիցներ

մեթոդով հաշվարկված գործակից-

ն ունեն

ներն անշեղելի են

գնահատումը Սխալներիդիսպերսիայի

4.5.

5»

ԵՐԿԶԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Տ»

շշ ԺԷ

աստիճանը(0.8 (տե՛ս մաս |, Տվյալ դեպքումազատության քանակիցհա3.4). հավասար է (ո-2), այսինքն`դիտարկումների ունենք երկու րց ն Ց. գործակիցներ: նած երկու, քանի որ Հետնաբար կստանանք.

Տ2Օսյոոոմ.Զճոոօժ21 Է.

8տ51ԸՔՇՕՌՕՈՈՇԼո105.,

Խ16Օղոթ-Ւհւմ.. ԱՇԽ ՄՕԷ.

1995.

5-2

55:

(4.21)

ԵՐԿՉԱՓ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Աղյուսակ4.2. Ենամուտներին սպառմանծավալների հաշվարկումը

փոքրագույնքառակուսիներիմեթոդով

իճ

«(Ո

«՛

ՈՀԵց-ԷԵլ»4 6Հ-՝Ու-Ո

Պ-ՅՊ

1.34

0.26

0.068

-4.96

24.602

4.0

9.6

3.08

-0.64

0.41

-4.6

17.306

2/0

4.82

0.102

64.244

6.56

0.94

0.884

8.30

0.20

0.04

1.94

Յ.764

10.0

12.0

120.0

10.04

-0.04

0.002

3.44

11.834

159.6

11.78

-0.38

0.144

4.84

23.426

ՏՎ»

45.9

56.0

330»

Հ6Հ-

1.65

(ՈՅ

«86.06

-Պ

Նշենք,

Եջ ՀՄ

-Ել2

61 165

ՏԸ.Տ.ե

(4.22)

Տչ -ն նան գնահատմանստանդարտսխալն է, քա-

4.6.

Դետերմինացիայիգործակիցը

Ռեգրեսիայիմոդելը կարելի է դիտարկել նան այն տեսանկյունից, թե ինչ չափով է 2- ի ինֆորմացիանբացատրում ն հետագայում կանխատեսում՝՛-ի վարքագիծը:Եթե /-ի տատանումնե-

10096-ովբացատրվումեն 2-ի ինֆորմացիայով(տե՛ս գրաֆիկ դ),

բոլո որ մերբոլոր

ենքենքասել, կարող ապա ասել,որ մեր ապա կարող

տարկումնե դիտարկ րը

որ

5-ի ինֆորմացիանընդհանրապես չբացատրի ՝՛-ի վարքագիծը գործակիցըցույց Դետերմինացիայի է

7660-7640 5660-7:64

տալիս, թե ինչ չափով

ընտրանքիռեգրեսիայի գիծը ընդգրկումտվյալները: Եթե բոլոր

դիտարկումներըռեգրեսիայի գծի վրա են,

033-560

-Ո«2

որ

չ»:

ընդգրկումէ տրված տվյալները: Եվ հակառակը, հնարավորէ,

թշօո)

(տե՛ս գրաֆիկ 4.9 ա ):

Տ2.Ի)

-ի կետային գործակիցնէ,

ընտրանքի ռեգրեսիայի գծի վրա են, այսինքն` այն ամբողջովին

-6.56-8-087--04

ո-2

--7(8)շ 0.87 -

շշ.

նի որ այն "/- ի շեղումն Է իր միջինպայմանականարժեքից:

4.9

-ո/ 4644-7.8.6.56

Ժ՛

որի ստանդարտսխալն է.

րը

«Ո

իրական, բայց անհայտ

-ն

Ո՛

Տ»

ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

.0003 ԾԿ"

0.24

Տե,

«0.49

ապա

դետերմինա-

ցիայի գործակիցըհավասար է մեկի (գրաֆիկ 4.9 դ): Հակառակ դեպքում, հավասար է զրոյի (գրաֆիկ 4.9 ա): Այսինքն` կարելի է

ՏչԵՐԸ-0055

եզրակացնել.ինչքան մնացորդներըմոտ

ռեգրեսիայիգծին,

են

այնքան դետերմինացիայիգործակիցնավելի մեծ է (տես գրա-

ֆիկ 4.9

)

հակառակը(տե՛ս գրաֆիկ 4.9

ն:

Հետնաբար՝

ԼԷ ՂՏՏ

ԷՏՏ

դ)՛-1

կայացնումենք. ՛

տեսքով

Հավասարության երկու կողմից

(՛ -Պ Մ.դյի լ

հանելով ՝/ կստանանք ,

ԲՏՏ

շ5.-0

հավասար է զրոյի,

Տսոո

(ԲօՏԱԱԿՅ|

օ|

է Տզսոո»Տ) ներկայացնումմոդելում -

1ՏՏ-ԷՏՏՀՈՏՏ,

հավասար Է

ՔԲՏՏ

ն -Դ

1ՏՏ ՏՈ -ի

Է-

ԲՏՏ -

1ՏՏ

ՀՈ Մ

Ե-Ն

(4.23)

գործակիցըդրաենք, դետերմինացիայի

7-ի

ն գնահատում կան է, գտնվում է զրոյից մեկ միջակայքում

այն մասը,

ՀՇ

Մել

Հավասարմանվերջին ջին գ գումարելին՝

ՉԱ 22

է Տզսոոօտ) ներկայացնումմոդելում

ն տալիս մոդելում բացատրվածդիսպերսիան,

-Ի,

Տսոո օէ

Ինչպես տեսնում

ՀԱ 2) ԻՖ:6լ 23

Է ՛-ի ընդհաՏզսոոօտ) ներկայացնում

իսկ դետերմինացիայի գործակիցն,ինչպեսարդենասվել է, ցույց

գումարի (22տեսքով՝կստանանք.

(Բշքլոօժ

Քանի որ

Երկու կողմից բարձրացնելովքառակուսի ն արտահայտելով

»|Ո-ՊՈ)Հ- յ

օք

չբացատրվածդիսպերսիան:

(«-7 -Ս-Չ 2:27

(1օա1 Տսո

բացատրվածդիսպերսիան,

Դետերմինացիայի գործակիցը հաշվելու համար(4.4)-ը ներԼՒ.

ԲՏՏ

ԷՏՏ

իր միջին արժեքից, նուր դիսպերսիան

արժեքները`

որտեղ՝

ա)

Գրաֆիկ4.9. Դետերմինացիայիգործակցի

ջի՞տ

չե՞մ

/72 Գ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

ԵՐԿՉԱՓ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

որովհետն.

որը

բացատրված

ռեգրեսիայիմոդելով (տես

գրաֆիկ 4.10): շատ գործակիցը Իր բնույթով դետերմինացիայի

մոտ է

առա-

որը կարեջին մասում ներկայացվածկոռելյացիայիգործակցին,

լի

գործակցիմիջոցով. հաշվել նան դետերմինացիայի

-ՅՎԹ

(4.24)

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԵՐԿՉԱՓ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Աղյուսակ 4.3.

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

ՆԱ-իօգտագործումը(1996 թ.

հաստատուն

ներդրումներ

84.6 134.3 219.0 223.3 87.1 137.0 266.6 232.5

1 եռ.

2 եռ.

Յ եռ. 4 եռ.

1 եռ.

2 եռ.

Յ եռ. 4 եռ.

4 եռ.

տարբերություն դետերմինացիայիգործակցի, կոռելյացիայիգործակիցըկարող է լինել ինչպես դրական,այնպես էլ բաԻ

1 եռ.

ցասական:Այն կարող է գտվել -1-ից

փոփոխականի դիսպերսիայի

որ

որ ցույց

համամասնություննէ

բացա-

տրված74 բացատրող փոփոխականով:

Օգտագոր-

59.0 24.2 45.3

66.8 12.0

261.0

43.9

4 եռ.

244.5

49.5

160.6 268.7

36.0 46.0

97.4

12.9

276.5

ՀՆ

-8.92

Հ0.24

ՀՆԱ

(4.819 ) (0.025)

մինացիայի գործակիցը, փորձենք գնահատել ներդրումների ն

Գ գոր Այդնպատակով

43.6

Փոքրագույն քառակուսիներիմեթոդովգնահատվածռեգրեեն՝ սիայի վերլուծությանարդյունքներն

վերջնականարդյունքի միջն կապը: ծենք աղյուսակ 4.3-ի տվյալները:

23.5

Յ եռ.

4 եռ.

Այժմ, երբ արդեն գիտենք` ինչպես գնահատել ռեգրեսիայիմոդելիգործակիցները ն կարող ենք հաշվել դետեր-

Օրինակ

12.7

Յ եռ.

տալիս, թե կախյալ

60.1

2 եռ.

դետերմինացիայի է

36.1

2 եռ.

1 եռ.

միջակայքում:Սակայն

ռեգրեսիայիվերլուծության տեսանկյունից գործակիցընախընտրելիէ, քանի

25.2

146.7 243.4 250.4 97.1

Յ եռ.

Գրաֆիկ4.10. )՛-ի շեղումները միջին արժեքից

10.5

Լեռ. 2 եռ.

գներով)

Համախառն

Համախառն ներքինարդյունք

Բ»0.8

Տչ «746

Հայաստան.Տնտեսական միտումներ.Եռամսյակայինթողարկում, Հունվար-

մարտ,2001

թ.:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Փակագծերում բերված

սխալները:Ինչպես տեսնում

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

են

ԵՐԿՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

գործակիցների ստանդարտ

ենք, Ել-0.24, այսինքն մեկ միավոր

վերջնականարդյունքի աճին համապատասխանն̀երդրումները կազմումեն 0.24:

3ԱՐՏԵՐ ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

Հարցեր

Ամփոփում

4.1.

Համախմբությանռեգրեսիայիգիծը տեսականգաղափար է ՀՌԳ-ի յուրաքանչյուր տրված 24-ի համար, սխալն ստոխաստիկ է, ե դրա հավանականության պայմանականբաշխումը համընկնում է

/-ի բաշխմանը:

Ընտրանքիռեգրեսիայիգիծը (ԸՌԳ) էմպիրիկէ, ԸՌԳ-ի մնացորդը

սխալի դիտարկվածարժեքն է: Ընտրանքի ռեգրեսիայի

ֆունկցիայի գործակիցներըհամախմբությանգործակիցներիկետային գնահատականներնեն: կՀետնաբար դրանցից յուրաքանչյուրը

պատահականմեծություն է համապատասխանմիջինով,

դիսպերսիայովն

ստանդարտսխալով:

Ռեգրեսիայիվերլուծության հիմքը դասականմոդելն է, որի ենթադրություններըկարնոր են վիճակագրականվերլուծության համար: Դասականռեգրեսիայի մոդելի ենթադրություններիպայ-

մաններում փոքրագույն քառակուսիներիմեթոդով գնահատված գործակիցներըբոլոր անշեղելի գծային գործակիցներիմիջն ունեն

նվազագույն դիսպերսիա,դրանք լավագույն գծային անշե-

ղելի գործակիցներեն: Դետերմինացիայի գործակիցը ցույց

տալիս, թե "/-ի

ա) բացատրող

գ) համախմբության ռեգրեսիայիգիծ դ) գծային ռեգրեսիայիմոդել ե) սխալի հոմոսկեդաստիկ բաշխում զ) ռեգրեսիայիմնացորդ(6) է) ընտրանքիռեգրեսիայիգիծ

ը) դետերմինացիայի գործակից 4.2.

Բացատրեք.

ա) Ինչո՞վ է տարբերվում ռեգրեսիայի սխալը ռեգրեսիայի

մնացորդից: բ) Ինչու՞

են

փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով գնա-

հատված ռեգրեսիայի գործակիցները համարվում լավագույն անշեղելի գործակիցներ: գ) Ինչո՞վ

են

պայմանականն ոչ

տարբերվում պատահական փոփոխականի

պայմանականսպասումները:

կոռելյացիայիգործակցից: 4.3.

Տվյալ դեպքում ենթադրվում է, որ ԴԳՌՄ-իենթադրություններըխախտվածչեն

փոփոխական

բ) կախյալփոփոխական

դ) Ինչո՞վ է տարբերվում դետերմինացիայիգործակիցը

տա-

տանումներիոր մասն է բացատրվում2«-իտատանումներով: -

Բացատրեքհետնյալ հասկացությունների իմաստը՝

Փորձեք բացահայտել,թե տեսականորենինչ նշան

պետք է ունենա

անկյունայինգործակիցըհետնյալ դեպքերում.

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԵՐԿՉԱՓ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

բ) ապրանքիպահանջարկ

4.7.

ե) փողիառաջարկ

տոկոսադրույք տոկոսադրույք

զ) նախագահի

ինֆլյացիայիտեմպեր

դ) փողիպահանջարկ

ընթացիկն արդյունքը` հաշվարկված

արդյունք

(ընթացիկգներով,

մլրդ դրամ)

ստացվել են

133.6

134.3

Ի»

3 եռ.

Ֆ»0/

ն Ե.-ը 24-իռեգրեԵթե ունենք 24 ն / փոփոխականներ,

բ) որ ԵւՀ 1/0 միայն այն դեպքում, երբ ո» Երկչափ ռեգրեսիայի մոդելի `

էջ

87.1

137.0 266.6

285.6 124.7

232.5

198.0

146.7

308.3

92.8

Յ եռ.

325.7

261.0

1եռ.

Յ եռ,

արտադրյալը, ա) ինչի՞է հավասարԵցն Ել գործակիցների

223.3

2 եռ.

ցույց տվեք

219.0

250.4

1 եռ.

4 եռ.

219.1 231.0 93.3 159.2 266.2

324.4

4 եռ.

սիայի անկյունայինգործակիցնէ՝ /-ից կախված, իսկ Եշ-ը ՝Ռի ռեգրեսիայիանկյունային գործակիցը 7-ից կախված, ապա

4.6.

1 եռ.

2 եռ.

Գնահատե՛ք ռեգրեսիայիգործակիցները: 4.5.

1 եռ.

4 եռ.

հետնյալարդյունքները՝

գներով)

2 եռ.

Յ եռ.

Վ-ի հինգ դիտարկումներիցհետո

(1996թ. հաստատուն 84.6

2 եռ.

Խնդիրներ

արդյունք

Յեռ.

գներուլ

Համախառններքին

.61եռ.

4 եռ.

»Էի

1996թ. հաստատուն

Համախառններքին

հեղինակություն

4.4.

Աղյուսակում տրված է 7996-2000Թթ.33 համախառններքին

եկամուտներ

գ) սպառում

ՄՈԴԵԼ

սխալներին ռեգրեսիայիմնացորդների վրա:

տոկոսադրույք ապրանքիգին

ա) ներդրումներ

ԳԾԱՅԻՆ

կունենառեգրեսիայիմոդելի գործակիցների,դրանցստանդարտ

Բացատրող փոփոխական

Կախյալ փոփոխական

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

4 եռ.

130.2

314.6

218.5

97.1

244.5

160.6

328.0

268.7

1: Ի

ԵԿ

երեքով բազմապատկելըինչպիսի ազդեցություն փոփոխականը

Հայաստան.Տնտեսականմիտումներ.Եռամսյակայինթողարկում, Հունվարմարտ,2001 թ.:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ա) տեղադրելովնախ՝ ընթացիկ գներով ՀՆԱ-ն նակի

ընդունելով, որ

ՀՆԱ-ն

ըստ ժամա-

կախյալ է ժամանակից, փոքրա-

գույն քառակուսիներիմեթոդովգնահատեք մոդելի գործակիցները, ապա

նույնը կատարեք հաստատուն

գներով ՀՆԱ-ի համար:

բ) գնահատված գործակիցներիհիման վրա բնութագրեք

ինֆլյացիայի տեմպի դինամիկան տրվածտարիներիհամար: 4.8.

ԳԼՈՒԽ 5

Աղյուսակ 4.2-ի արդյունքների հիման վրա գնահատեք

սպառման միջին էլաստիկությունը

տվյալների հիման վրա գնահատեք

Ներկայացված

49.

դետերմինացիայիգործակիցը, նախ

ազատ

անդամի առկայու-

ՏԻՐՈՒՅԹԻ ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

թյամբ, ապա՝ առանց ազատ անդամի: «

լե

65 53

իճակագրականեզրակացության օգնությամբկարելի է ստուգել` հնարավորէ արդյոք ընտրանքիհիման վրա գնահատելհամախմբությունը: Նախորդ Գլխում ցույց տվեցինք՝

ինչպես գնահատել ռեգրեսիայիգործակիցները,որոնք կետային

են, քանի որ յուրաքանչյուր ընտրանքիհամարունեն մեկ արժեք: Գնահատման տեսությունըբաղկացած է երկու մասից` կետային

տիրույթային: Վետնաբար, եթե գործակիցներիգնահատումը վիճակագրության մի կողմն Է, ապա վարկածի ստուգումը`մյուս

կողմը:

5.1.

Դասականնորմալգծային ռեգրեսիայիմոդել

ՕԼՏ

գործակիցներիվիճակագրական բահատկությունները ցահայտելուցհետո հարց է ծագում, թե դրանք ինչպիսի բաշխման ձն ունեն: Քանի որ

այդ

գործակիցներըգծային կախվա-

5-ից,

ապա

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

կարող ենք ասել, որ Եց, Ե.

գործակիցները

սխալից: Հետնաբար,գործակիցների բաշխման ձնը պարզելու հաճար անհրաժեշտ է սխալի բաշխմանվերաբերյալնս մեկ ենթադրությունանել: Նշենք, որ մինչն այժմ սխալի մասին ենթադրությունները վե-

գծային

ունեն կախվածություն

չ.Խ-8յ

օէ,

դիսպերսիայով:

Նշենք նան,

է այն բոլոր Ինչպես ասվել է, սխալը իրենից ներկայացնում որոնք ուղղակիորենընդգրկված գործոններիազդեցությունները,

ինքնին նորմալ է բաշխված,ապա մալ են բաշխված: Վետնաբար,եթե թօ միջինով ն

Ել, Ել գործակիցներընս նոր-

Պ(0:.օ՛), ապա Եց-ն նորմալ բաշխված է

Ծեօ՛դիսպերսիայով.

թարկվում զրո միջինով ն1 դիսպերսիայով. Հ-

-ք

5. -.,2-

Ստյուդենտիէ ւ.-" -2-ՀՈՅ

Եց -Քց

ՏԵ,

(0.1)

բաշխմանհամաձայն.

յ7

որ

նորմալացված ենթադրության պայմաննե-

-(Ո-2)6

Նորմալացված ենթադրությանպայմաններում ՕԼՏ կիցներնունեն

գործա-

հետնյալ հատկությունները.

անշեղելի են

ունեն

նվազագույնդիսպերսիա,

պարբերաբարեն, այսինքն` ինչքան

մեծ են են

ընտրանքիծա-

իրենց իրական ար-

ժեքներին:

գործակիցը ստանդարտացվածնորմալ բաշխման է եւ

-ք

աԵլ

վալներն, այնքան գործակիցներըմոտ

2-10)

ենթարկվում է7/՛ բաշխման՝(ո-2) ազատությանաստիճանով:

Եռ Վ(թօ,Ծ»օ՛),

որի

րում

2.2

որտեղ`

եշ»

սահմանայինթեորեմի(տե՛ս մաս |, 2.11)՝ սխալը նորմալ է բաշխված: Քանի որ յուրաքանչյուր գծային կախյալ փոփոխական

ՄՏՈՒԳՈՒՄ

Ծո)

եւ- Աք.

րաբերումէին դրա բնույթին,այլ ոչ թե դրա բաշխմանը: Դասականնորմալ գծային ռեգրեսիայի մոդելը ենթադրումէ, որ ամեն մի սխալ նորմալ է բաշխված զրո միջինով ն օ՛

չեն մոդելում: Եթե այդ գործոններիազդեցությունըփոքր է ն պատահական բնույթ ունի, ապա համաձայն կենտրոնական

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ

Վամապատասխանաբար Ել-ի համար՝

իր հերթին գծային կախվածութուն

ունեն /-ից,

ծություն ունի

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Այսպիսով, նորմալացված ենթադրության պայմաններում

են-

ՕԼՏ

գործակիցներնունեն

նվազագույն դիսպերսիա` անկախ

նրանից`գծային են, թե` ոչ: Այսինքն` նորմալացվածենթադրուքյան պայմաններումՕԼՏ-ի գործակիցները լավագույն անշեղելի

գործակիցներեն: Նշենք նան,

որ

նորմալացված ենթադրությունը հնարավո-

րություն է տալիս նորմալ,

բաշխումներնօգտագործել

վիճակագրական վարկածներըստուգելու համար:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

5.2.

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

Վարկածիստուգում

Արդենասվել է` Ել

2-ՀԵ

Վարկածի ստուգումը կարնոր դեր ունի վիճակագրություզետնաբարմեր հաջորդքայլն է՝ ներկայացնել,թե ինչպես կառուցել վստահելիության(վստահելի) տիրույթ ն վիճակագրորեն ստուգել վարկածը: նում:

Վարկածնստուգելիս հնարավորէ նախօրոք հստակ սպասումներ ունենալ գործակիցներիվերաբերյալ: Բնականաբար,

ուսումնասիրությանբնագավառըպետք է առաջարկի վարկածի բնույթը: Վարկածիստուգման հիմնականնպատակնէ` պարզել, թե գնահատվածարդյունքներնինչքանով են համապատասխանում

առաջարկվածվարկածին: Ինչպես արդեն նշել ենք, վիճակագրությունումառաջարկ-

ված վարկածնանվանվումէ զրոյական վարկած` Ւ, որն ստուգվում է ի հակադրումայլընտրանքայինի` Ւլ,-ի: մեծ Վիճակագրությունում

նում

պետք է կառուցվի տեսության սպասումներինհամապատասխան:

Չորրորդգլխում ներկայացված օրինակիհամար կարողենք կանխատեսել,որ համախառն ներդրումներըդրական կախվածություն ունեն վերջնականարդյունքից: Հետնաբարկարող ենք զրոյական վարկած առաջարկել` Ւ|ց:8.-0.3` ի հակադրում այլընտրանքայինիԷ̀լ,:8.»0.3 ՒԵ: 8.Հ

Այսինքն`

0.3

ՒԼ: 8.»-0.3

Տմյալ օրինակում գնահատվածԵ.-ը հավասար է 0.24 -ի, բայց 0.24-ը վիճակագրորենտարբեր է 0.3-ից, թե` ոչ, արդեն վարկածիստուգման հարց է:

ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ

ՍՏՈՒԳՈՒՄ

օծ. ), որի

Ա(րլ.

Հ-Ա(0,1)

ել-8լ ՏԵ,

եշ»

որտեղ`

Ընդունելով

Տ, գործակիցը գնահատվածստանդարտսխալնէ: «-

Ստյուդենտի է բաշխումով կառուցենք

վստահելի(ընդունման) տիրույթծ,-ի համար.

ՔԵ

շոլ»

ՓյՓլ Ժէ-շ,/2 "Տե,)-

որտեղ` 5օշ-ն Էի կրիտիկականկետն է`

»-/2

0.95

(5.1)

նշանակալիության

մակարդակով: Վստահելի տիրույթը կրիտիկականտիրույթից բաժանող կետերըկոչվում են կրիտիկականկետեր:

տարածում է

գտել զրոյական վարկածիառաջարկումը`Ւ/ը:8-0, քանի որ այն պարզում է` իրականում "/-ը կախյալ է 24-ից, թե` ոչ: Սակայնվարկածըհիմնակա-

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ

Վերը նշված հավասարումըթ.-ի ն

վստահելի տիրույթն է,

եթե զրոյական վարկածով առաջարկվածարժեքը վստահելի

միջակայքում է, տիրույթից

դուրս

ապա

պետք է ընդունել վարկածը: Վստահելի

գտնվող միջակայքն անվանվում է մերժման

կամ կրիտիկական տիրույթ, տիկական միջակայքում Է,

ապա

եթե առաջարկված 8)

-ը

կրի-

պետք է մերժել առաջարկված

վարկածը (տես գրաֆիկ 5.2): Անդրադառնալով մեր

օրինա-

բաշխման ֆունկցիայի աղյուսակից (տես հավելված |)

կին՝

«/2Հ

2.54օ-ի համարգտնենք

ազատության աստիճանովկրի-

տիկականԷի արժեքը, որը հավասար է

1.725:

Արդեն հաշվարկված արդյունքները տեղադրելով (5.1)-ում, կստանանք. թ(0.24-1.725:0.025 Հ.Հ Ե(-

0.20 Հբ.Հ

0.28)

0.2441.725:0.025)

0.95:

այսինքն, Հ0.95,

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Հետնաբար՝

ԵԼՒԼ725.

ւ.

Տէ,

//-ի

վստահելիմիջակայքը

զրոյական վարկածուլ առաջարկված 8լ-ը է (տես

գրաֆիկ 5.1),

ապա

վստա-

վարկածը

օ7 համար վստահելի միջակայք կառուցվում

է2/՛

բաշխումով, քանի որ, ինչպես գիտենք, նորմալացված ենթադրության պայմաններում.

Տ2

Ը-շ)-չ

«02 Ո-2):Տ8. ՀՈՐ-2) Տ:

որտեղ`71շ

16/2

ե՛/...ռ

0.95

21-«/2

-ն 7

Տե, ազաբացարձակարժեքը մեծ է համապատասխան

աստիճանով Էի

ոյական զրոյակ

մերժվումէ, վարկածը ր

եթեԵ,ա

բացարձակ արժեքը փոքր

ՏԵ,

բաշխմանկրիտիկականկետերնեն:

րենք այս

ժեքը մեծ

է-ի

ՏԵ,

են` Էն

վիճակագրորեննշանակալից

արժեքը զրոյականվարկածի մերժման պայմանէ: Ավելին, կարգի` 20-ից ավելի ազահամաձայն «2-5» նշանակալիության տության ն

ասում

առաջարկված վարկածը ընդունվում է: Եթե ուշադիր դիտարկենք Էի բաշխման աղյուսակը, ապա կնկատենք, որ տրված ազատությանաստիճանովԷի արժեքի մեծ լինելու հավանականությունըաստիճանաբարփոքրանումէ: Հետնաբար Էի

օգնությամբ կարելի է հեշտությամբ ստուգել առաջարկված զրոյական վարկածը: Արդեն ներկայացված օրինակով բացատեղանակիօգտագործումը: Գիտենք, որ նորմալացված ենթադրությանպայմաններում.

ապա

մեծ

որ

համապատասխան

կական տիրույթի սահմաններում Է, ն առաջարկված զրոյական վարկածը մերժվում է: Հակառակ դեպքում, երբ այն վստահելի

ներկայացված եղանակից բացի, վիճակագրուքյունում գոյություն ունի վարկածըստուգելու ես մեկ եղանակ,որի

Նշենք,

ապա

ազատության աստիճանով Էի կրիտիկականարժեքից, ապա զրոյականվարկածըընդունվումէ: Նշենք, որ Է ն վիճակագրորեննշանակալիցէ, եթե կրիտի-

չէ,

(5.2)

կրիտիկական արժեքից,

տության

տիրույթում է,

Հետնաբար` Ժ2- ի 9596 վստահելի տիրույթն է. թ

5-03

ե,

0.28

Գրաֆիկ 5.1.

Եւ- 8 Եթե

հելի միջակայքից դուրս մերժվում է:

-0.20

որ

ՍՏՈՒԳՈՒՄ

Նշենք,

ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ

(5.1) -ը

Եւ-1.725: Տե,

որ

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ

ուղղակիորեն հաշվարկելու կարիք չկա, քանի որ զրոյական վարկածով առաջարկված է, որ իրական 8.-0.3:

լ:

Քանի

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

օ-5

մակարդակովառաջարկնշանակալիության

ված զրոյականվարկածը`Ւլ:թյ-0, կարող է մերժվել, եթե Էի է

ար-

երկուսից:

Վերը նշված վարկածը երկկողմանիէ, քանի

որ

այլընտրան-

քային վարկածը որոշակիորենչի կանխորոշում`իրական 8.-ը մեծ է թե փոքր զրոյականվարկածովառաջարկվածարժեքից,

ՏԱԲԲԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՍԵՏՐԻԿԱ

այսինքն` նկատի է

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

առնում

հավանականության բաշխման երկու հակադիրմասերը(տես գրաֆիկ 5.2): «0

ԳԵԱՀԱՏՈՒՄ

եթե

րանի մոր

վստահելի

Գրաֆիկ5.2.

կՀչետշ

|Ւ

Թ-0

Ւր:

| էլը: թօ»0

ՍՀեԵրշ

ԱՀերշ

|Էր 8-0

կողմանի |լ: թօ«Օ

Մեստի վստահելին կրիտիկականտիրույթները

Վարկածըմիակողմանիէ, եթե այլընտրանքայինվարկածը կանխորոշումէ, որ իրական թ.-ը մեծ է զրոյական վարկածով

առաջարկված արժեքից: Այսպես օրինակ, վարկածնառաջարկումէ, որ Ւ0:8.-0.3, իսկ

Ւհ: 8.»0.3, ապա վարկածըաջակողմանի է (տես գրաֆիկ դեպքում այն ձախակողմանի Է

ՆՆ

Ք.«Օ

նշանակալիությունը: Ե. -ի համար՝ Է (0.24-0.3)/0.02Հ|-3:-3:

Քանի

որ

3»2.101-ից,

հետնաբար զրոյական վարկածը

մերժվում է, այսինքն` Ե.-ը վիճակագրորեննշանակալիցէ: Նույն մոտեցմամբհնարավոր է հեշտությամբ ստուգել Ծ՛ -ի

նշանակալիությունը,որի եզրակացության կանոնները ներկայացված են

ՒՍ:

ԵՀԵրշ

Այժմ կարող ենք տվյալ եղանակովստուգել գործակիցների

եթե զրոյական

այլընտրանքայինը՝

եթե

կՀ եյշո.շ

մանի Ւն: 8օ»0

ազատությանաստիճանովերկկողմանի

Մերժել Ւր,

թ:-0

Աջակող- Էյ: 8օ-0

Ձախա-

Ւր, |Վարկած

թ: Ւր8յ»0

Ւհ:8օ»0

տեստի եզրակացությանկանոնները

ի Հ Եյշոշ

ԻՇ: 86-0

տիրույթ

Մերժել

ծի ձնը

«2.101

ցության կանոնները8Թ.,8:-ի համար Վարկա-| Վարկած

-2.101

ՍՏՈՒԳՈՒՄ

Աղյուսակի օգնությամբ ներկայացնենք է տեստի եզրակաԱղյուսակ 5.1.

ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ

5.2

աղյուսակում:

Արդեն պարզ է,

որ

վարկածը կառուցելուց

հետո

դժվար չէ

ստուգելը, սակայն վարկածի մերժումը կամ ընդունումը կախված է նան օ-ի նշանակալիության մակարդակից (տես գրաֆիկ

վստահելի տիրույթ

կրիտիկական

տերութ

Գրաֆիկ5.3.

ազատության աստիճանով աջակողմանի տեստիկրիտիկական տիրույթը

5.4): Իրականում դժվար

ասել, թե «-ի որ մակարդակնէ նախ-

ընտրելի,քանի որ, եթե փորձենք նվազեցնել առաջին տեսակի սխալի հավանականությունը,երբ մերժվում է ճիշտ վարկածը, ապա երկրորդ տեսակի սխալի հավանականությունըմեծանում "Վ, երբ ընդունվումէ ոչ ճիշտ վարկածը:Հիմնախնդիրըլուծելու

նպատակովվիճակագրությունըառաջարկում է գտնել ք-ի

արժեքը,որը

մակարդակնէ: տեստի ստույգ նշանակալիության

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Աղյուսակ 5.2.

Վարկածիձեը

Երկկողմանի

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

27տեստի եզրակացության կանոնները Մերժել Էք, եթե Վարկած Է(:07» Օօ ՏԸ,Հ

(ր -2)-ջ 1պշո-շ

ԷՍ:02«շշ

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

ն Կարող ենք եզրակացնել,որ ինչքան մեծ է Էի արժեքը փոքր է թ-ի արժեքը, այնքան տեստը համապատասխանաբար

նշանակալիցէ: վիճակագրորեն

կամ

ո-

2-Ի»Լաո

Իք:0-5Օշ

Տ2

5.3.

Գնահատում ք

Հ1ռո-շ (ր 2)Էջ Էը:օ22Ժ02

Աջակողմանի

Էք:9-»0օդրա Ձախակողմանի

Իք:0՞ՀՕօ՛

մոԻնչպեսարդեն նշել ենք, գծային ռեգրեսիայիդասական կարնոր դեր ունեն գործակիցդելի (ԴԳՌՄ)ենթադրությունները

ք Ո-2)55« ՈՊ

Դետնաբար,թ-ն զրոյական վարկածը մերժելու նվազագույն մակարդակնէ: Մեր օրինակի դեպքում հավանականությունը, որ կլինի 9.83,

է-ն

տեստի

ազատության աստիճանով երկկողմանի

համար, 0.0001-ից փոքր է:

արդյունքների Ռեգրեսիայիվերլուծության

Հետնաբար ք-ի արժեքը, որն իրենից ներկայացնում է տեստի

ների նշանակալիությանհամար: Հետնաբար, գործակիցները են, արդգնահատելուցհետո կարնոր է ստուգել` բավարարում

խատ ել.

գործակիցներըպետք

հստակ նշանակալիությունը, բավականին փոքր է, այսինքն`

տեստըվիճակագրորեննշանակալիցէ:

ե`

Ոէ որը Դասական Հոպայմանները Ք յի արդյուն արդյուք ռեգրեսիայի "Գր Այդ նպատակովկարող ենք ռեգրեսիայի մոդելի արդյունքների լինելու վերաբերյալ որոշակի չափանիշներսահմաոք, ք,

է ունենան

ոչ:

տեսականորենճիշտ նշան

չափ,

տարբերանկյունային գործակիցըպետք է նշանակալիորեն

վի զրոյից, -

գործակցիմակարդակըպետք է լինի դետերմինացիայի բարձր, վականաչափ

ռեգրեսիայիմոդելը պետք է բավարարիԴԳՌՄ-իենթադրությունները, հետնաբար` մոդելի սխալները պետք է նորմալ բաշխվածլինեն, ն մոդելըչպետք է

Գրաֆիկ 5.4.

-2.101

-1.734

482մԷ

78 ազատության աստիճանով երկկողմանիվարկածի Է-ն

ճ-ի տարբերմակարդակներիդեպքում

պարունակի`

բնորոշմանսխալ,

-2.878

բա-

բազմակոլինեարություն, հետերոսկեդաստիկություն, ավտոկոռելյացիա:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Տարի/ամիս կան եկամուտները |

տակով, ռեգրեսիայիվերլուծության մնացորդներըկարելի է ներ-

ԱԻ սեպտեմբեր հոկտեմբեր

ո-

րոշակի կարծիք կազմել հավանականությանբաշխման խտունորմալ բաշխմանտեսքին, ապա կարելի է ենթադրել, որ սխալ-

ները նորմալ են բաշխված:

2000թ. հունվար

փետրվար

Օրինակ 2

Գնահատենքքեյնսյան սպառմանսահմանային հակումը ՀՀ համար, այնուհետն ստուգենք` բավարարումեն, արդյոք,

մարտ

ապրիլ մայիս

մոդելի

արդյունքներըդասականգծային մոդելի ենթադրությունները:

Սպառմանսահմանայինհակումը գնահատելու համար օգտպարակածտվյալներից(տե՛ս աղյուսակ5.3):

նակչության դրամա

Բնակչության

կան եկամուտները| դրամականծախսերը Տարի/ամիս (մլն դրամ)

1999թ. հունվար

փետրվար մարտ

ապրիլ մայիս հունիս

հուլիս

օգոստոս

37927.7

36321.4 43127.1 40587.4 45292.6 47413.6

52172.9

47973.3

(մլն դրամ)

43559.7 35628.7 43616.5 40477.5

39605.7

463208

446489

39915.0

41635.4

78272.5 105783.6

նոյեմբեր դեկտեմբեր

Նրա

312125

58990.8

հոկտեմբեր

ծախսերի դինամիկան

դրամականծախսերը

48068.6

67564.2

սեպտեմբեր

Աղյուսակ 5.3..

Բնակչությանդրամականեկամուտներին

Բնակչության

465333

51404.1 61501.4 62369.3

հուլիս օգոստոս

վենք ՀՀ ազգային վիճակագրականծառայության2000թ. հրա-

46970.9

հունիս

ՍՏՈՒԳՈՒՄ

ո58

Նոյեմբեր 602760 դեկտեմբեր 93274

թյան տեսքի վերաբերյալ:Նշենք, որ եթե բաշխմանտեսքը նման է

ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ

Բնակչության դրամա-

Սխալների նորմալ լինելու ենթադրությունըստուգելու նպա-

կայացնել հիստոգրամիմիջոցով, որը հնարավորությունկտա

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ

597323 530147

45457.9 50117.6

55873.2 60292.5 64794.5 57849.7

69322.6 105851.7

Փոքրագույն քառակուսիներիմեթոդովգնահատված ռեգրեսիայի արդյունքներն են (Խ/Ա՛ԼՃՑ ծրագրայինփաթեթիմիջոցով կատարված ռեգրեսիայիարդյունքներըներկայացվածեն տվյալ

գլխի հավելված 5.Ղ-ում).

44334.4

ԲԳԾ

46961.7

516102

Տե,» «(2109)

49597.8

16Դ

«093

ԲԴԵ

(0.0365)

(2542):

Ինչպեստեսնում ենք՝ ՝

ՀայաստանիՀանրապետությանսոցիալ-տնտեսականվիճակը

հունվար-դեկտեմբերին:

2000 թ.

սպառման սահմանային հակումը դրական է

հավասար է

էՔեյնսի դրույթին, 0.93, ինչը համապատասխանում

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

էԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ

անկյունային գործակցի արժեքը նշանակալիորենտարբեր-

վում է զրոյից, քանի

որ դրա Է

ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ

ՍՏՈՒԳՈՒՄ

Ամփոփում

ի արժեքը չափազանց մեծ է,

հետնաբար՝տեստընշանակալիցէ, Կետային

դետերմինացիայիգործակիցը հավասար է 0.97, հետնաբար

կարող ենք ասել,

որ

բնակչության դրամական ծախսերը

9746-ով բացատրվում են բնակչությանդրամականեկամուտ-

ներով,

յի մոդելիգործակիցները,երկրորդովեզրակացություն է կատարվում գործակիցներինշանակալիությանվերաբերյալ:

Վարկածը կարելի

ստուգել երկու եղանակով: Առաջինի

դեպքում վստահելի տիրույթ է կառուցվում համապատասխան

նորմալ են բաշխված,

գործակցի համար,

արժեքը գտնվում է

այդ

որ

մոդելը երկչափ է, ապա բազմակոլինեարության

հիմնախնդիրչի

հետնաբար մոդելը չի

պարունակում

հետերոսկեդաստի-

դեպքում` ընդունվում է:

որ

2.32 է, վիճակագրականը`

մոդելում չկա դրական կամ բա-

ցասականկոռելյացիա (տե՛ս հավելված 1 Գ), Այս ամենը վկայում է,

որ

սահմանայինհակումը ՀՀ համարհավասար է 0.93:

սպառ-

Այսինքն՝

եկամուտներըմեկ միավորով ավելանալու դեպքում ծախսումնեկավելանան 0.93-ով, կամ եկամուտները 1000 դրամով ավե-

լանալու դեպքում,ծախսումներըկկազմեն930 դրամ:

առա-

ապա

վարկածը մերժվում է, հակառակ

Առաջին կամ երկրորդ տեսակի սխալ թույլ փելու

համար անհրաժեշտ է

տի

արժեքը,

որը ցույց

տալուց

խուսա-

հաշվարկել վիճակագրությանտես-

տալիս զրոյական վարկածով առա-

ջարկվածարժեք ստանալու ստույգ հավանականությունը:

մոդելը բավարարումէ վերը նշված

չափանիշները:Հետնաբարկարող ենք եզրակացնել,որ

վարկածը մերժ-

ջարկվածարժեքը: Եթե ստացված արդյունքը գերազանցում է Էի

տեղադրելովմնացորդները ըստ ժամանակի կախվածության կհամոզվենք, որ մոդելում չկա ասվտոկոռելյացիա(տե՛ս նույնպես վկայում է,

ապա

արժեքի փոխարեն տեղադրելով զրոյական վարկածով կրիտիկականարժեքը,

որը

տիրույթից դուրս,

ջոցով ուղղակիորեն հաշվարկվում է Էի արժեքը` անհայտ 8-ի

կություն (տե՛ս հավելված ||Բ):

հավելված 5.1-ի գրաֆիկ (գ), Ձ/մ

ման

եթե զրոյական վարկածով առաջարկված

վում է: ՀԳակառակ դեպքում` ընդունվում է: Երկրորդեղանակի մի-

առաջանա(տե՛ս հավելված||Ա):

հավելված5.1-ի գրաֆիկ (բ) -Լի օգնությամբկարող ենք նկատել, որ մոդելի մնացորդները համաչափ են բաշխված,

րը

հավելված 5.1-ի գրաֆիկ (ա)-ում, համաձայն որի սխալները քանի

տիրույթային գնահատումը վիճակագրության

երկու բաղադրիչներնեն: Առաջինովգնահատվում են ռեգրեսիա-

ռեգրեսիայի մնացորդների հիստոգրամը ներկայացված է

Վարկածըստուգելուց հետո անհրաժեշտ է ստուգել, թե վարարում է,

արդյոք,

բա-

մոդելը գծային դասական ռեգրեսիայիմո-

դելի ենթադրությունները:Այդ նպատակովպետք է հայտնաբերել

խախտվածԳԴՌՄ-իենթադրություններիառկայությունը: ԳԴՌՄ-ի

ենթադրությունների խախտումներըհնարավոր է հայտնաբերել գրաֆիկիօգնությամբ, որը ներկայացվելԷ օրինակ 2-ում: Նշենք, որ

էկոնուետրիկայումառաջարկվում են խախտումներիհայտ-

նաբերմանբազմաթիվտեստեր,որոնցից մի քանիսը ներկայացրել ենք հավելվածներում:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏԲԻԿԱ

ՏԻՐՈՒՅԹԻ ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

Խնդիրներ

ՀԱՐՑԵՐ ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

դրանց համար կառուցեք9526 վստահելիտիրույթ: Ստուգեք վարկա-

Բացատրեքհետնյալ հասկացություններիիմաստը.

ծը՝ ԷԵ :8.Հ0,

գ) այլընտրանքայինվարկած

ե) մերժմանտիրույթ

ցեք Բացատրեք.

դասականնորմալ գծային ռեգրեսիայիմոդելից:

)

(8431)

ոՀ12

5.6.

Գլուխ 4-ում նշված օրինակի` Ե գործակցի համար կառու-

վստահելի տիրույթ ն ստուգեք զրոյական վարկածը:Նույն

5.7.

դոլարի, Եվրոյի ն ռուսական

հաշվարկայինփոլսարժեքներըՀՀ դրամով

որ

Հունվար

տեստը լինել նշանակալից,երբ օՀ596 ն

Մարտ

չլինել նշանակալից,երբ օՀ1092: նորմալության ենթադրու-

թյան պայմաններումմնացորդներիգումարը պետք է հավասար լինի

| 52

Փետրվար

կիցներըլինեն նշանակալից:

որ

1 ԱՍՆ

«ՈՌ

1 ԵՎՐՈ

դոլար

դետերմինացիայիգործակցի մա-

ենթադրել,

(2000 թ. տվյալներով)

Ամիս

կարդակըլինի բավականաչափցածր (զրոյին մոտ), սակայն գործա-

արդյոք,

ԱՍՆ

արդյոք,

. Աղյուսակումտրված են ռուբլու

համարել բավարար,եթե խախտվածէ նորմալությանպայմանը:

գ) Կարող է, արդյոք,

որ մա-

կարդակնէ նախընտրելին ինչու:

ռեգրեսիայիվերլուծությանարդյունքները

ա) Կարելի է, արդյոք,

զրոյի:

(

)

(

վերը նշված վարկածը: Ի՞նչ եք կարծում, տվյալ դեպքումօ-ի

Ի՞նչ եք կարծում.

դ) Կարելի է,

Հ-

215)

գործակցի համար կառուցեք 9026 վստահելի տիրույթ՝ ստուգելով

Ինչո՞վ է տարբերվում դասական գծային ռեգրեսիայիմոդելը

բ) Վնարավոր է,

Լրացրեք բաց թողնվածարդյունքները:

նշանակալիությանմակարդակ

է) երկկողմանիվարկած:

5.3.

ՏեւեՀ(0632)

դ) կրիտիկականկետեր

5.2.

Ռեգրեսիայի վերլուծությունից պարզվել են հետնյալ ար-

5.5.

բ) նշանակալիությանմակարդակ

ստույգ

էկ: բլ «0:

դյունքները`

ա) զրոյականվարկած

զ)

Ներածությունում բերված օրինակից կազմեք պատահա-

կան ընտրանք: Գնահատեք տվյալ ընտրանքի գործակիցներըն

Հարցեր 5.1.

5.4.

52691

7.86

527.417

53524

18.06

519.66

18.25

508.84

ՀայաստանիՀանրապետության սոցիալ-տնտեսականվիճակը, հունվարդեկտեմբեր,2000թ.:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Ամիս

1 ԱՍՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՏԻՐՈՒՅԹԻ

1ՌՌ

ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ԵՎ ՎԱՐԿԱԾԻ ՄՏՈՒԳՈՒՄ

1 ԵՎՐՈ

5.1

Մավելված

դոլար

Ապրիլ

530.90

18.48

503.99

Մայիս

534.14

18.79

482.97

ՎՀունիս

543.64

19.12

515.32

Հուլիս

548.11

19.58

516.27

Օգոստոս 540.49

19.46

490.18

Սեպտեմբեր 539.968 Վոկտեմբեր| 544.69

Նոյեմբեր 555.46 Դեկտեմբեր| 554.56

19.38 412.15 467.485

19.48

19.94 19.75

Բ6ց/6ՏՏ|ՕոՃՈՅՈ/Տ/Տ: ՇՕՈՏ

հօ

Էօգեօտտօո

Շօոտ

օզԱՏԵԼԾՈ

0,927

|ոՇ

Լոճ

ՔբԲԼ1ՇԷօՐ

ՇՕ6ք

Շօոտեճոէ

ՇօոՏտ

ԿՇԼՏԱՏ

Տե

Շօօք

0.92736

1.67

.0.109

25.42

0.03648

00.000

475.10

479.96

Ք-Տզ

ճոձ1751Տ

96.78

Ք-Տզ

ՏՕԱՐՇԹ

քբ

Քցոտտւօո

Քոտ14ս1/

96.65

ՄՅԼ18ոշծ

օք

ա) Յուրաքանչյուր փոխարժեքի համար հաշվարկեք մոդելի

գործակիցները. ՊՔ թյ 7Կ-Տ որտեղ`

(843)

Է1Տ

ՏՏ

6059521215

646.41

00.000

93174165

.206231633

Է ԷԷօԷ

Պ-ն փոխարժեքիփոփոխություննԷ` :

ըստ

ժամանակի,

2:-ն ժամանակն է (Է1,2,...12),

Սոստսճ1

սխալնէ: 6-նմոդելի

ՕԵՏ

բ) Ինչ եզրակացությունկարելի է անել յուրաքանչյուրփոխարժեքի վերաբերյալ:

ծակցի համար ստուգեք վարկածը, ըստ որի` այն հավասար չէ զրոյի:

փոխարժեքի գոր-

ծակցի հստակ նշանակալիությանմակարդակը:

6265752848

Օթտթաոսճէ1օոտ Շօոտ

1ոՇ

105784

105852

ՍսքԵւո-ԱՅԷՏօո

գ) Յուրաքանչյուր երկրի փոխարժեքի Ել անկյունային գոր-

դ) Ինչի է հավասար ռուսական ռուբլու

ՊօԵՅ1

Բ1Ե

ՏԻ

101619

ՏէՅէԼՏե1Շ

ԲԷ

2.32

Ք6Տ14ս81

ՏԷ

էԵ»տ14 1.79

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

օք էիճ ՒՍՏԾցքռոո

Բ6ՏԱԿՅ

(/0Տքօոջծ5 Շօոջ)

Աաաա տե«թ-նՏե՞ս

Ք6Տ/ԺԱՅ|

ՄԱՍ

կ |

ՇՏ(ԱԱՅԼՏ '/6ՈՏսՏ էհ6 ԲԼԱ6մ ԿՄՅԽ6Տ

(/Թ8ՔՉՌՏՑ

15ՇօոՏ)

հարեւա

ապատաս աատտա««««ՎԱՏտանրորուն տնաաաաաաննաոսի բանն ասամնուշ

Հրաթ

. ւ

ՄԱ

ԲԱԶՄԱԿԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՄՈԴԵԼ

քր

Պես «ար

աա աա՛ար, ՅՑ Բ/ԱԹՄ

Ծ6ՏԱԱՅԼՏ Ճ/6ՐՏՍսՏ

էհ. ՕՐԱ

օ/փ6 Օտ

(ՏքօոտտԷՏ ՇՕոՏ)

..օռ Տ:

թաւ

եկ անկախ փոփոխականովռեգրեսիայիմոդելը կիհարառվում է երկու քանակականփոփոխականների

ւրա

ամնրաամե-Հո Ր

արգեմնաա

«ա

«իռ-

րաբերակցության բացահայտմանհամար,սակայնդա չի նշանակում, որ ռեգրեսիայիհավասարումների միջոցովվերլուծությունը

Ե-ն

ԱՕո ԾԵՅՅՒ

ագո:

կարող է օգտագործվել միայն երկու փուխոխականների փոխկապվածությունը բացահայտելուհամար: Ստորն կներկայացվեն մեկիցավելի անկախփոփոխականներով ռեգրեսիայիմոդելի հիայսպես կոչված` բազմակիռեգրեսիան: մունքները,

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ԳԾԱՅԻՆ

ՄՈԴԵԼ

հանդես գալ որպես այլ փոփոխականներիցֆունկցիաներկամ ենթարկվելձնափոխությունների:

Պարզության համար բազմակի փոփոխականներովռեգրեսիայի մոդելը ներկայացնենք երեք փոփոխականներովմոդելի տեսքով.

ԳԼՈՒԽ 6

Թել

(6.2)

Թշշշլ Ի 6.

Այստեղ թ-ն կոչվում է ազատ

(Գուջարատի, Ջոնսոն) համարում են,

անդամ: Որոշ հեղինակներ որ այս

գործակիցըցույց

տալիս այն բոլոր փոփոխականների միջինացվածազդեցությու-

նը, որոնք չեն ցը

ընդգրկվել մոդելում: Ընդունված է

այս

գործակի-

ներկայացնել որպես կախյալ փոփոխականիմիջինացված

արժեք, երբ անկախփոփոխականներըհավասար են զրոյի կամ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ ՄՈԴԵԼ

Անկախ փոփոխականներիբազմապատկիչները

ֆիքսված

են:

կոչվում

մասնակի ռեգրեսիայիգործակիցներ:Հարկ է նշել,

են

որ

փոքրագույն քառակուսիների մեթոդի օգտագործմամբ ռեգրեսիայի գործակիցներիհաշվարկման ժամանակռեգրեսիայի մոդելի հիմնական ենթադրություններըպահպանվում են նան 6.1.

մակիփոփոխականներիդեպքում:

Բազմակիփոփոխականներով ռեգրեսիայի մոդելիընդհանուրբնութագիրը

Այս ենթադրություններըհաշվի առնելով` կարելի է պնդել, որ

կախյալ փոփոխականիմիջին պայմանականսպասվող արժեքը,

նթադրենքգ̀ոյություն ունեն իրարիցանկախՔ փոփոխականներ,որոնք ազդում են մեկ այլ փոփոխականի

վրա: Այսօրինակմոդելը կարելի է ներկայացնելհետնյալ կերպ.

Հ8ը Թել

Է8շշշլ Է...

(6.1)

6լ

որտեղ` ՛-ը կախյալ փոփոխականէ, իսկ

»«, շշ...

բազ-

»օ-ն անկախ

են, Բց, 8,, 8..-թ, -ն գործակիցներն փոփոխականներ են, իսկ 6.-ն մնացորդնէ: Ընդ որում, անկախ փոփոխականները կարող են

որը

պայմանավորվածէ անկախ փոփոխականներիֆիքսված

արժեքով, ներկայացվումէ այսպես.

Բ»)

Հց թյու

ՒՑշշշլ

Այսպիսով,կարելի է եզրահանգել,որ բազմակիռեգրեսիայի

վերլուծություններն անկախ փոփոխականներիպայմանական ֆիքսված արժեքների ռեգրեսիա են ն, փաստորեն,ներկայացնում են կախյալ փուիոխականիմիջինացված արժեքը անկախ

տվյալ արժեքներիդեպքում: փոփոխականների

ՏԱՐԲԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏԲԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

Ռեգրեսիայիգործակիցներիհաշվարկման համար կիրառվող մեթոդներից լայն տարածում ունի հաշվարկմանփոքրագույն

Է եց Հ ԵլշեյլՀԵշշօշլ 6լ

ՀՈ -եց

Ելշ«յ -Եշ)«շլ

(6.4)

(6:4)ը քառակուսի աստիճան բարձրացնելովկ̀ստանանք իրական -ին հաշվարկված`/ -ի բացարձակտարբերության

քառակուսիները,այնուհետն՝

55:

ՖՐ -եց -Եւչ(լ

Ինչպես նշվել

այդ -

քառակուսիների գումարը.

Եշ)(21)-

(6.5)

նախորդգլուխներում, փոքրագույնքառաուսիների մ մեթոդըմնացորդների կուսիների քառակուսիներիմինիմիզացման խնդիր է, որը լուծելու համար (6.5)-ը ածանցում ենք ըստ Եց,

Եւ, Եշ

Հէ,

-ելշել -Եշ»(2.)(7)-0 -

-վՎ)-

ՖԼ

2.5: 2»:(1:-Եց -Ելշել ճշչեշ շ

ԵցՖ-շօլչել

(6.Դ

ՀԵշֆ4260

Գումարմաննշանը վերաբերումէ յուրաքանչյուր փոփոխականի տվյալների բազմության ո տարրերին:Փոփոխականներից յուրաքանչյուրի համար կատարենք "լ

-.22շլ

«24

24.22.

որտեղ պարզ

76շլլ. -ն

-՞հ

նշանակումները,

համապատասխան փոփոխականների

թվաբանականմիջինն են: Լուծելով (6.7) հավասարումնե-

րի համակարգը,որը, փաստորեն, երեք հավասարումէ` երեք (եց, Ե., Եշ) անհայտով,կստանանք.

-Մ-ելչԿ14.

Եց

ոջ

-Եչ2« -օշՃշ

6.8 (6.8)

Թա522)-52720Ժ»2)

)-Շյշ (551)(Ֆ22

69)

)

(շ)Օ:214)-Օ7)2:22/

ճ5՝67«22 Ո -Եւ-ԵԺԸ.2.(1.-եց -ԵԹԿղ-Եշ»4)(24)-0 ՇՏ-Ել Ճ

գործակիցների 0-ի: ն հավասարեցնում

655622 2Ը՛-եց Վ

Հել 2426. 11762 Եց 242:ՀԵշ»20.

որտեղ Եշ, Ել, Եշ գործակիցներըհամապատասխանաբար ըլ, Թ.

6լ

5 (Կլ

(6.3)

կստացվի.

եց չԵլշ(լ ԺԵշշշ

8-ի հաշվարկված արժեքներնեն ընտրանքիհամար: Ե, Ե., Եշ-ը կարելի է հաշվարկել` կիրառելովՕԼՏ մեթոդը:Այսպես,(6.3)-ից

ՄՈԴԵԼ

Այնուհետն, պարզեցնելով(6.6)-ը կստանանք.

քառակուսիներիմեթոդը(ՕԼՏ): Այս մեթոդըենթադրումէ մնացորդներիքառակուսիների գումարիմինիմիզացում:(6.2) մոդելը է կարելի ներկայացնել. Ո

ՌԵԳԲԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

-Եշշ0.)(20.)-0

(6.6)

ե,2

Թ)»

(6.10)

2)-(ր

Ինչպես երնում է (6.9)

(6.10)

Եշ-ի հայտարարներընույնն են,

Ել-ի համվասարումներից,

երկուսն էլ հանդես են գալիս

որպես պարզ ռեգրեսիայիմոդելի լրացումներ: Բազմակիռեգրե-

սիայի գործակիցներիհաշվարկումը առավել

պարզ

պատկերաց-

նելու համար, բազմակիռեգրեսիայի մոդելը բնութագրող հավա-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԹԱ Ւ6շ

ՒՏ1

ԹԺԿա

.11 (6.11)

սարումներիհամակարգը հնարավորէ ներկայացնելմատրիցնե-

Ի.Ի ԺԷ

Է -..Է

ԹԹԿոՒ ծո

մոդերի միջոցով: Յուրաքանչյուրբազմակիփոփոխականներով թվից, կարելի է ներկայացնել անկախ փոփոխականների

ՒՔշեշլ

Հ8ցԻԲրաշ ԷՔջոշշ

ԱԵԵԵԾՇԾԵՇԵՀՀՀ

«8ց ԷՔցեր ՒՔշշշո

Հ80ԻՔցլ

հետնյալ տեսքով. /շ ՀԱԶԱ

/ը

«2

զ 2ռ -

2ա -

շո ո

Հը

Նշ

առանձին ներկայացնենք Կախյալ փոփոխականներն

ւ.-

-8.|

վեկտոր մատրիցի տեսքով, իսկ անկախ փոփոխականները` էբ չափանիմատրիցիտեսքով, որի ռանգը հավասար ո

Դ -

ոխ. ո

Բ-Թք համա(6.11) հավասարումների

(6.13) նշանա-

կոչվում է ընդհանուրգծային ռեգրեսիա-

որ

Շո

Այսինքն` ստացվում է,

որը

կարգը կարելիէ նույնացնել.

28-58 հետ, հավասարման ն

0յի մոդելի մատրիցայինարտահայտություն:Այսօրի ակ նշանա կումները զգալիորենկհեշտացնենմոդելում ռեգրեսիայիգործակիցների հաշվարկումները1-ից ավելի անկախ փոփոխականնե

րի դեպքում:

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

Օգտագործելով(6.5) հ րը` (6.4) հավասարմանքա

ՀՖ(ող-2

կայացնել հետնյալ տեսքով լ

քա (6.14)-ում` սխալնե

առարկա է ռեգրեսիայի8ց

րանքի համար) գործակից որ 24, 7, 8, Ե, »-ն հա նենալ, են ն 6

մոդելում

մա խան փոփոխականների

վերաբերում մախճբությանը,իսկ Ե-ն

«6-(/-28)/ 2824-8226 ,

-2)2(:2428-0

Ո/Է

րանքին՝:

ոոՏ(թ) Տ(թ) 658) շը

Ենթադրենք`Ե-ն հանդ համար, որը նշանակումէ՝

մանը.

չ«2Ե-2Պ Համաձայն Գաուս-Մարկովիթե մնացորդներիփոքրագույնքառա

նվազագույն վարիացիայովգծա հաստատունի վեկտորի` (ա), վարիացիանդասականգծային ռ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Այսպիսով, բազմակի փոփոխականներով ռեգրեսիայիմոդելում անկախ փոփոխականների գործակիցներըկարող ենք ներկայացնելհետնյալկերպ. ե-009 Ե-ն

(617

գալիս որպեսռեգրեսիայիհավասարմանգործակիցներիվեկտոր: Ե,-ը կախյալ փոփոխականիմիջին արժեքի

| 24)օ), չո անկախփոփոխականիմեկ միավորովփոփոխությաննկատմամբ,երբ 242անկախ փոփոխա-

փոփոխություննէ` Է(

կանըֆիքսված է: Այլ կերպ ասած՝ դա Ք(՝| 2«,»(շ) -ի անկյունային գործակիցնէ 7«.-ի նկատմամբ,երբ 22-ը ֆիքսված է` արտացոլելով 2,

անկախ փոփոխականիուղղակի ազդեցությունը կախյալ փոփոխականիմիջին արժեքի վրա: Նույն ձնով, Եշ-ը

կախյալ փոփոխականիմիջինացվածարժեքի փոփոխություննէ՝ 30 անկախ փոփոխականիմեկ միավորով փոփո-

խությաննկատմամբ,երբ 74, անկախփոփոխականըֆիքսված է: Այլ կերպ ասած, դա Է(/ | 24.22) -ի անկյունայինգործակիցն է 5Ճշ-ինկատմամբ,երբ 24-ը ֆիքսված է` արտացոլելով 2 անկախ փոփոխականիուղղակի ազդեցությունը կախյալ փոփոխականի

միջին արժեքի վրա: Վերը նշվածը հստակեցնելու համար դիՀՆԱ իրական արժեքի (՝) ֆունկտարկենք հետնյալ օրինակը` ցիոնալ կախվածությունըՎՆԱ ընթացիկգներով արժեքից (չգ) ն գների ինդեքսից ՕՀ): ՀՆԱ իրական արժեքը հաշվարկվում է` ել-

նելով ՎՆԱ ընթացիկգներով արժեքից ն գների ինդեքսի միջոցով հաշվարկվածգների դեֆլյատորի կիրառման միջոցով: Սակայն "

Երբ ընտրանքիտվյալներիՔիվը մեծանում է,

ԱԱ ն

առանազդեցությունը

յուրաքանչյուրի այս փոփոխականներից

կերպ: Ենթադրենքա̀նհրաձին կարող է հանդես գալ հետնյալ ՀՆԱ իրականարժեշտ է հասկանալգների աճի ազդեցությունը ժեքի վրա: Պետք է կատարելհետնյալ քայլերը.

ապա

Ք(՝|24.:4շ)

-ն

Օրինակիհամարհիմք հանդիսացողթվային տվյալներըներկայացվածեն հավելված 6.1-ում:

ՆԱ-ն

հավասարումի̀րականգներով 1.Կազմել ռեգրեսիայի օգանկախ փոփոխական որպես կախյալ, իսկ գների ինդեքսը՝ ՝

հանդես է

ԷՐ/ | 240),

ՄՈԴԵԼ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻԳԾԱՅԻՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

տագործելով. Մ

(6.18)

Եց Է Ելշ22. ԻՇ

է, որտեղ 242:-ն գների հավասարում ռեգրեսիայի

Սա պարզ

ինդեքսնէ:

գներով Կազմել ռեգրեսիայիհավասարումընթացիկ անկախ փոփոխաՀՆԱ-ն որպես կախյալ, իսկ գների ինդեքսը՝ 2.

ծելով. կան օգտագործելով

-Ել

(6:19)

Եշշ742. - 62.

է:

արժեք որտեղօշ-ն նույնպեսմնացորդային հետնում է, որ. Այսպիսով,(6.18)-ից (6.19)-ից

ն.

ծր Հ-Ես

(6.20)

Ելջշժ2- Պլ -Պ -

ծշւ ՀԿ.

Ել

Եշշ»2ւ

Ճ.-Ճո

(621) "

են (6.18) ն (6.19) ռեգրեսիա' ն «ր -ն հաշվարկվում որտեղՍ-ն

ների հավասարումներից:

8յ-0 Մ-ի արժեքն Է

առանց 742անկախ փոխսառը

ազո

փոփոխաէ` առանց 242չանկախ ցության,իսկ 6շւ-ն 2-ի արժեքն փաստուն 8, մնացորդները,

Այսպիսով, ազդեցության: կանի րեն,

ն «ո

ան: ազդեցությ

են առանց 7«շւփոփոխականի փոփոխականներն

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ռեգրեսիայի հավասարում ճյլ Կազմենք

կաններով. 8 1.

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

6շ. փոփոխա-

(6.22)

69լ

բանվում է որպես 34. փոփոխականի ուղղակի ազդեցություն 4/

որ

որոշակի մեթոդներովհաշվար-

կումը դեռ չի նշանակում, թե ստացված գործակիցներնամբող-

(6.22) հավասարման մեջ մեկնա-

ճ.-ը

ՍՈԴԵԼ

Վարկածներ

Պետք է նկատի ունենալ,

80 ԷՅլ6շլ

որտեղ 6:չ-ն մնացորդնէ:

-ի

վրա կամ կախյալփոփոխականի իրական անկյունայինգործա-

կիցը 24-ի նկատմամբ, այսինքն՝Ե,-ի հաշվարկված

արժեքը:

քով.

6.2.

ԳԾԱՅԻՆ

Երկրաչափորեն այն կարելի է ներկայացնելհեւոնյալ տես-

ջությամբ կամ մասնակիորեն կարող են արտացոլել կախյալ փոփոխականիվրա անկախփոփոխականներիազդեցությունը,եթե մոդելը չի բավարարում

դասականգծային մոդելի հիմնական

ենթադրությունները: Ինչպես արդեն ներկայացվել է, հիմնական ենթադրությունէ այն փաստը, որ մոդելի մնացորդայինարժեքները

պետք է ունենան նորմալ բաշխում` 0-ի հավասարմիջինով ն

կայուն վարիացիայով: Միննույն ենթադրությունները,նույնպես նշվել է, տարածվումեն բազմակիռեգրեսիայիմոդելի վրա:

Երկու փոփոխականով մոդելի համար նախ ն

առաջ

պեւոք է

հաշվարկել ռեգրեսիայիգործակիցներիվարիացիանն կայուն սխալը, որոնք կարող

որոշակի պատկերացումտալ ռեգրե-

սիայի գործակիցների՝տարբերընտրանքներիդեպքում ունեցած

.5 ..

են

փոփոխականությանվերաբերյալ: Այս ցուցանիշի հաշվարկումը

կատարվումէ երկու հիմնական՝ պարամետրերիիրականարժեքների համար վստահելի միջակայքեր սահմանելու ն վիճակագրական վարկածներիտեստավորմաննպատակով:Ռեգրեսիայի

Պօ

71"

գործակիցներիվարիացիանն կայուն սխալները հաշվարկվում են

ներքոնշյալ հավասարումներիմիջոցով, որոնք ստացվում են

(6.8), (6.9) Գրաֆիկ6.1. Իրականգներով ՀՆԱ փոփոխությունը` կայխված Ընթացիկգներով ՀՆԱ-ից

(6.10) հավասարումներից.

Է 2251 22222262 1 Վ են»ն62.

ԿՅ(Եց)»6`

-Ժաօմշ

ու.

|ո

ՏԵ, Վխճոեց)

(6.24)

Վ(1)502) 3

Կոո(Ել)

ի»(6.23)

(52)

«օ2

(6.25)

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՌՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

(6.26)

Տե, վՄողէ.) Հ

սողե,)

շո '

2»22)-Օ»գ5)

(ա)

ո-ը՝

(6.28)

(6.28) հավասարումներըհամապատասխա-

62-ը համախմբությանսխալի իրական վարիացիան

Տ-

(6.29)

փոփոխականներիցյուրաքանչյուրի բազմության տվյալների ն

որ

ազատութ-

ռեգրեսիայիգոր-

սենք, որ ազատությանաստիճանընվազում է` ելնելով մոդելում անկախփոփոխականներիթվից. օրինակ 3 անկախ փոփոխա(ո-4)-ի:

քայլեր. 7.

-վՏշ

ռեգրեսիայի կայուն

սխալն՝է,

որը ցույց

2.6.

«((-Պ) (ո

լու

Յ.

հետ.

5:62ՀՖԹ6.)- 6.07 -ելոլ եշ»ջ.)-

Երա -Եշշ7 Ր

եշ)

ոմ

Հանդես է գալիս միայն դրականարժեքով:

6լ«շ-

կամ դետերմինացիայիգորժակցի (Բ-)՝ 0-ի հավասար

Երկու կամ ավելի գործակիցներիհավասարությանստու-

գում:

Գործակիցների՝որոշակի պայմաններիբավարարելուստու-

գում:

այ-

(ինելու փաստիստուգում:

բանաձնով, որը կարելի է նույնացնել հետնյալ հավասարման

Փ6լյլ -ելֆօլոլ

Ամբողջականմոդելի նշանակալիության ստուգում,

սինքն՝ անկյունայինգործակիցների՝0-իհավասար լինե-

տատանումը: (6.29) հավասարման մեջ Ֆ՝62-ն մնացորդների ռ նե մարնէ, է,հ հաշվարկվու մէ քառակուսիների գումարն

Առանձին գործակիցների նշանակալիության ստուգում՝ վարկածիստուգումով:

տալիս հաշվարկված ռեգրեսիայի գծից 7 արժեքների կայուն

ՀՄ.

ճանն է աստիճանն է:

խան վարկածներիստուգումը ներառում է մի քանի հաջորդական

ծակիցների բացարձակտարբերություննէ: Ընդհանրացնելովա-

որտեղ Տչ-ը հանդես է գալիս որպես օ՛ -ի հաշվարկվածարժեք:

1ՏՏ-ԲՏՏ.

Ընդհանուր առմամբ, մոդելի, հետեաբար` համապատաս-

Նշենք, որ Տ,

սօ)-

յան աստիճանը ընտրանքի տվյալների թվի

է: Այս՝ իրականումանհայտ ցուցանիշը, է՝ հաշվարկվում շ

թիվը, իսկ 3-ը՝ մոդելի գործակիցներիթիվը:Նշենք,

նաբար ցույց են տալիս եց, Ել, Եշ գործակիցներիկայուն սխալներումներում

չեշծ

(6.29) հավասարմանմեջ (ո-3)-ը ազատության

(627)

-Ե

ՄՌԴԵԼ

-3)-

ՏԵ, Վխու(եշ) (6.24), (6.26)

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

(630)

ՈՌոոշակի սահմանափակումներինռեգրեսիայի մոդելի ստուգում համապատասխանության

Ռեգրեսիայիմոդելի ֆունկցիոնալ ձեի ստուգում:

հաջորդ մասում: Բացատրությունը

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

Ենթադրենքա̀նհրաժեշտէ ստուգել բազմակի ռեգրեսիայի անկախ փոփոխականներից որնէ մեկի ազդեցությունը կախյալ

փոփոխականի վրա: Այսինքն,պետք է ստուգել` արդյոք բազմակի ռեգրեսիայիգործակիցները տարբերվումեն 0-ից, թե՝ ոչ: Այս ենթադրությունն էլ հենց կհանդիսանազրոյական վարկած: Քանի որ Եց, Ել, Եշ-ը ունեն նորմալ բաշխում ե հաճապատասխանա-

բար 8., 8շ, 8»-ի հավասարմիջին, փոքրագույնքառակուսիների մեթոդիհիմնական(6.23), (6.25) ե (6.27) ենթադրությունները հա-

մադրելով օ՞-ին

Ե: -քր

Տ:

ե,

ազդեցությունը

էլու3)

(6.31)

էլո՞3)

(6.32)

էչ

ցուցանիշի վրա: Այս դեպքում

Էց:80

(6.35)

(6.36)

Էլ :8լ»0 0-ական վարկածը ցույց

է տալիս, որ,

ֆիքսելով գների ին-

քում, այսինքն, ՀՆԱ

կում

ընթացիկգներով արժեքի (24.) ազդեցությու-

ՀՆԱ

իրականգների Ը) վրա հավասարչէ

է, որ է

տեստը երկկողմանիէ`

0-ի,

որը

նշանա-

դրական կամ բացասական:

Այս վարկածըստուգելու համար կարող ենք օգտագործելէ է

տես-

կրիտիկականարժեքը Եց, Ել, Եշ գործակիցներիհամար -

էչ է

20շլԷ6լ

գներով(Ս ՀՆԱրրական գներով(| ՎՆԱրըթացիկ Գների ինդեքսլչ

ԴՈոճՃու

իրական գներուվ

ընթացիկ գներով

հաշվարկելով(6.31) (6.33) հավասարումներից՝

Ո -եց Հելշել Եշ

23:

ՀՆԱ

րանքայինվարկածը՝(6.36)-ի տեսքով.

տը`

Անդրադառնանք մեր օրինակին.

ե-

՛փիուհոխակա-

յին (ՒԼ) վարկածը ենթադրում է զրոյական վարկածի (Ւք) հեր-

բաշխման ազատության աստիճաննէ, երեք փոփոխականով բազմակիռեգրեսիայիմոդելի դեպքում:

որտեղ՝`՛:-

իրական գներով

0-ական վարկածը կներկայացվի(6.35)-ի տեսքով, իսկ այլընտ-

Տե,

որտեղ (ո-3)-ը

գների ինդեքս

դեցություն չունի ՀՆԱ իրականծավալի ("/) վրա: Այլընտրանքա-

Եշ -8շ

ՀՆԱ ըռբացիկ գներով ն

նի վրա: Մասնավորապես,պետք է հաշվարկել ՀՆԱ

նը -

ՄՈԴԵԼ

դեքս փոփոխականը(2), ՀՆԱ ընթացիկգներով արժեքը (24,) ազ-

Ել -թ.

է-

ԳԾԱՅԻՆ

փոփոխականներիազդեցությունը ՀՆԱ

(Ստյու-

Այսինքն` է-

Անհրաժեշտէ հաշվարկել

Տ2-ով փոխարինելու հնարավորությանհետ՝

կարելի է պնդել, որ ռեգրեսիայիգործակիցներնունեն դենտի)բաշխում:

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

նուա ութ Նու.

ծել

ՏԵ,

Տ,

083596

003287

25.43

(6.37):

որտեղ՝ 8.-0` համաձայն (6.35) հավասարման,(6.37) հավասարման

(6.34)

Եւլ-8լ

միջոցով հաշվարկված ն

ունի Ստյուդենտիբաշխում` 5-3-2

ազատությանաստիճանով: '

(6.37) հավասարմանհամար հիմք է հանդիսանումպայմանականօրինակ ՀՆԱ

իրական ծավալների վերաբերյալ, պայմանականտվյալների հիման վրա:

այդ

հաշվարկները կատարված

են

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

Զրոյական վարկածըհերքելու համար օգտագործվում են երկու հիմնականմոտեցումներ: է. Այն -

նշվե

վստահելի միջակայքերի միջոցուլ ստուգում,

Նշանակալիության ստուգման դեպքում, ինչպես արդեն Իթոոն է նշանակալիության մա-

խարու:

լց

բրոց)

-Է«

(6.38)

Այս մեթոդովստուգման ժամանակ փաստորենհաշվարկ-

վում է (6.31)-6.33) հավասարումների է միջոցուվհաշվարկված արժեքի`(6.38) հավասարումը բավարարելուպայմանը:Եթե այն չի բավարարվում, ապա հերքվում է զրոյական վարկածը,այն է՝ ռեգրեսիայիհամապատասխան գործակիցըչի բավարարիզրոյի

հավասարվելու պայմանը: Մեր օրինակիդեպքում ապա 2 ազատության

վասարումը Ե(-4.30

Հ էՀ

եթե ընդունենք՝օ-0.05

կամ.

25.43

Ե-ե որը

1-0

«լ

Հեք Հ թ. Հ Ել ե

"Տե ՀՏՈՀԵԼՒՆԽ

ո-

Տե)

(6.41)

51-ց

."Տբ,

26-85

ՈՑ"

8-ի համար 9596 վստահելիմիջակայքն է, ն նշանակում է,

զրոյական վարկածը կարող է հերքվել, եթե 8.-ը

այդ

որ

միջակա-

քում չէ: Վստահելի միջակայքերի օգտագործմանմիջոցով վարկածների ստուգման առավել գործնականմոտեցում է (6.37) հավաէ սարման միջոցով հաշվարկվածԷի արժեքի համեմատությունը

կրիտիկականարժեքի հետ: Այսպես, եթե հաշվարկվածԷի արժեքը ն

596,

գերազանցում է նշանակալիությանընտրված ս մակարդակը տվյալ ռեգրեսիայի մոդելի ազատության աստիճանին համա-

ական վարկածը: Համաձայնմեր օրինակիտվյալների.

էլրիտ. 4,30 Հ

(6.39)

կստացվի

ՏՐ

«ոց Ք(ե. է,-(ո-ե)

աաա

0.95

(6:39)-ում տեղադրելով(6.37)-ից հաշվարկված Էի Ե(-4.30

ել -8լ

ՄՈԴԵԼ

պատասխանողԷի կրիտիկականկետը, ապա կարելի է հերքել 0-

աստիճանիհամարկստացվի հետնյալհա-

4.30)

նշանակալիության ստուգում:

ԵՐ

Բ.-

ԳԾԱՅԻՆ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

արժեքը,

է լրիտ.

4,30

է հաշվարկված Հ

29.43,

հետնաբարկարելի է հերքել զրոյականվարկածը: Այսպիսով,նկարագրվածմեթոդներըկարելի է օգտագործել`

4.30) »

0.95

(6.40)

Այսինքն՝հերքվումէ զրոյական վարկածը: Վստահելիմիջակայքերի միջոցուլվարկածների

համար նս հիմք է հանդիսանում (6.38)-ը: Այն (6:32)-ի հետ, կստանանք.

ստուգման

համադրելով

յուրաքանչյուր գործակցի՝0-ի հավասարլինեստուգելու համար լու

վարկածը` կատարելով վերը նկարագրված հաջորդական

քայլերը: Վերոհիշյալ օրինակում գործակիցներիցյուրաքանչյուրը

նշանակալից է վիճակագրորեն,այսինքն` զգալիորեն տար-

բեր է 0-ից: Մոդելի նշանակալիությանստուգումը ենթադրում է ռեգրե-

սիայի մոդելի բոլոր գործակիցների՝0-ի հավասարլինելու փաս-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

տի ստուգում, իսկ մոդելի պիտանիությունըստուգելու համար հաշվի է առնվում բազմակի դետերմինացիայի գործակցի չափը:

Նախորդհատվածում նկարագրվածմեթոդըենթադրումէր մոդե-

լի գործակիցներիառանձին-առանձին ստուգում, որը չի կարող

ԻՐը.-ըչ-0

Է :8.28շ»0

ՏՏ

որ

1ՏՏ

(6.43)

վարկածիհետ, որտեղ Քշ-ըբազմակի ռեգրեսիայիհավասարման դետերմինացիայի(՛՛)

ընդհանուրքառակուսիների գումարին,

հաշվարկվածքառակուսիներիգումարին,

ՏՏ»

մնացորդներիքառակուսիներիգումարին:

Ք2-ը,երկու փոփոխականովռեգրեսիայիդետերմինացիայի

Ինչպես արդեն սահմանվել է, գործակիցըցույց է տալիս

կախյալ փոփո-

խականի վարիացիայի`անկախ փոփոխականով պայմանավորված լինելու աստիճանը կամ տոկոսը: Նույնը կարելի է ասել բազմակի ռեգրեսիայիհավասարումների մասին: Այսինքն,բազ-

մակի դետերմինացիայի գործակիցըցույց է տալիս տվյալ ռեգրեսիայի հավասարմանմեջ բոլոր անկախփոփոխականների կող-

մից կախյալ փոփոխականի վարիացիանբնութագրողմասը կամ

տոկոսը: Բազմակիդետերմինացիայի գործակիցը նշանակվում է

ԷՏՏ -

ՏՏ

բանաձնով,

որը

կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով.

թշ

Եշ, 4.:Ե22.7 00. չ

կամ

ՒՇ: Ք2-0

դետերմինացիայիգործակիցն է:

ԷՏՏՀ

(6.44)

ԲՏՏ

այն նույնանում է՝

հյ:87

հավասարությունը որտեղ`

Այսօրինակվարկածիստուգումը կոչվում է ընդհանուրմոդելի ստուգում, որը նշանակում է ստուգել 24, Շ անկախփոփոխականների ազդեցությունը " կախյալ փոփոխականիվրա:

Նշենք,

ԷՏՏ

գործակցի նման, հաշվարկվում է

(642)

ՄՈԴԵԼ

Բազմակի ռեգրեսիայիդեպքումնս տեղի ունի

բավարար համարվել նշանակալիությանմասին եզրակացություններ անելու համար: Այսինքն, եթե ռեգրեսիայիգործակիցներից յուրաքանչյուրը առանձին-առանձինհավասարչէ 0-ի, չի նշանակում,որ գործակիցներըմիասինհավասարչեն լինի 0-ի: Այսպիսով,պետքէ ստուգել հետնյալ վարկածը.

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

ռՏՏ

ջո

Նշենք,

որ

5՝61 թ

բազմակի դետերմինացիայիգործակիցն ունի

միայն դրականնշան ն կարող է գտնվել 0-ից 0-ից

(6.45)

միջակայքումկամ

միջակայքում՝ եթե արտահայտվում է

ցուցանիշի մեկ

այլ

տոկոսներով:Այս

կարնոր մեկնաբանություն է այն,

որ

Բ-ը

ընտրվածմոդելը համապատասխանում իրականությանը:Վերոհիշյալ օրինակումԲշ-9994: է տալիս, թե որքանով է

ցույց

Գործնականում շատ հաճախ են դեպքերը, երբ բազմակի

ռեգրեսիայիանկախ փոփոխականներից յուրաքանչյուրը կարող է

ազդեցություն չունենալ կախյալ փոփոխականիվրա, սակայն

բոլոր

անկախ փոփոխականներըմիասին կարող

են

ամբողջու-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

թյամբ բնութագրել կախյալ փոփոխականը:Սա նշանակում է,

որ

(6.42) կամ (6.43) վարկածիստուգման համար է տեստը կիրառելի

չէ:

(6.42) կամ (6.43) վարկածը ստուգելու համար սովորաբար

կիրառվում է վարիացիայիվերլուծության մեթոդը(ՃԱՕՊՃ),

որը,

փաստորեն, (6.45) հավասարմանառանձինտարրերի վերլուծու-

գելու համար պետք է նկատի ունենալ,

գումարը

էՏՏ

ԵլՖ7սԿ:"Եշծ.722

ԲՏՏ

Տշշ

ՀՏՏ

թյան

ների

աստիճանը

| միջինը

հյու թշչմտով

ո-Յ ո-

գումարի

ԲՏՏ2 ՄՏՏ)ո-3

ել"

Եշ»

Իշ 7 '

(«-1) ազատությանաստիճան,իսկ հայտարարում (ո-ճ)

գու-

ԷՏՏ/Խ-1̀ Խոյ

ՔՏՏո-ւ

5 օշյո-վ

6փոփոխա-

ազատու-

(647

(648)

Է-ի հաշվարկվածարժեքը կախյալ փոփոխականիանկախ

փոփոխականներով«բացատրվող» վարիացիայի հարաբերությունն է կախյալ փոփոխականի«չբացատրվող» վարիացիային: ն

(6.46)-ից կարելի է եզրակացնել, որ եթե ռեգրեսիայի

գործակիցներըհավասար են,

«Եշ 722./4-7

Բշ/-1 Ա-Բշ)/յո-ի

(6.47)

ՄՏՏ-ի համարազատությանաստիճանըմիշտ հավասարո-1, իսկ ՋՏՏ-ի ն ԲՏՏ-ի համարազատությանաստիճանըկախվածէ մոդելում ընդգրկված փոփոխականներիթվից:

(6.46)

թյան աստիճան:

սինքն` տվյալների այն քանակությունը, որի հիման վրա հաշ-

5./2

ընտրանք, ապա Է-ի հաշվարկվածարժեքը համարիչում կունենա

բՏՏ-2

ազատու-

կաններ, իսկ դրանցիցյուրաքանչյուրը՝ո անդամներիցկազմված

ճ-

ՈՅ»53-2

վարիացիայիվերլու-

Ընդհանրապես,եթե ռեգրեսիայիմոդելն ունի բ

մար ունի իր համապատասխանազատության աստիճանը, այ-

ԲՏՏ-

որ

թյան աստիճանովՖիշերի բաշխում.

ո-3

վարկվել է: Մեր օրինակի դեպքում այն կունենա հետնյալ տեսքը. ՏՏ" Ո1-5-4-4

մեթոդիհիմ-

խականը համարիչում ունի 2, իսկ հայտարարում՝ո-3

Տ 61

Ինչպես արդեն նշվել Է, քառակուսիներիյուրաքանչյուր

ՕԼՏ

ծության (ՃԱՕՄԲ) արդյունքում (6.46) -ով հաշվարկվածԷ փոփո-

փոփոխականովմոդելի համար

աղբյուրը

ՄՈԴԵԼ

նական ենթադրություններիցէ, (6.42) կամ (6.43) վարկածըստու-

Աղյուսակ6.1. Վարհացիայիվերլուծության 4Ճո/ՕՆ4 մեթոդը երեք

Քառակուսի-

ԳԾԱՅԻՆ

Ենթադրելով ԽՏՏ-ի նորմալ բաշխում, որը

թյունն է:

Վարիացիայի| Քառակուսիների | Անկախու-

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ապա

կախյալ փոփոխականիփո-

փոխվելու հատկությունը կախված է միայն մնացորդի վարիացիայից: Եթե ենթադրենք,որ Է-ն սխալ ենթադրություն է (6.42), ապա.

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Իշ

(6.49)

Է(--ջ)-Է(Տ)-օ

որ

ընտրվածռօ մակարդակըն տվյալ զանցում է նշանակալիության

ռեգրեսիայիմոդելի ազատության աստիճանինհամապատասխան Է-ի կրիտիկականարժեքը, ապա կարելի է հերքել զրոյական վարկածը:

Բի

(6.47) հավասարումներիցպարզ է դառնում ք-ի ն ուղղակի կապը, որտեղից կարելի է եզրակացնել, որ

որ

թ:Բ2-0 ունեն միննույն իմաստը:Սա նշանակումէ, :82-0 հերքելով Ւր: 8յ-82-0 վարկածը, կհերքենք նան ՒԼ

ՒՍ:8.-թշ-0

մոդելի ո-

անկախ փոփոխականների քանակից,

Մեր օրինակում Բ-1120.80,

որը

կրիտիկականարժեքը օ-0,05

զգալիորենգերազանցումէ

հատկությունը պայմանավորվածէ

նման

կայությամբ: Այսինքն` ստացվում է,

որ

տարբեր քանակությամբ

անկախ փոփոխականներովռեգրեսիայիմոդելները համեմատելիս հաշվի չի առնվումանկախփոփոխականների թիվը, որը

համեմատությունըդարձնում է բանաձնով հաշվարկվում

այդ

անիմաստ:Այս նպատակով(6.50)

հարմարեցված դետերմինացիայի

գործակիցը: Հարմարեցվածդետերմինացիայիգործակիցն ունի հետնյալ հատկությունները. ա) հ»1, Ք դելում

ՀԲ,

եթե անկախփոփոխականներիթիվը մո-

է, ապա հարմարեցվածդետերմինացիայիգործա-

աճում

կիցը փոքրանում է դետերմինացիայիգործակցից, գործակիցը կարող բ) հարմարեցվածդետերմինացիայի է լի-

վարկածը: Բ-19

դրա

որ

հաշվարկմանժամանակ ազատության աստիճանի բացա-

դրա

եթե (6.47)-ի միջոցով հաշվարկվածՒ-ի արժեքը գերա-

(6.45)

րակը, կախված

ՄՈԴԵԼ

մինացիայիՔ՛ գործակիցըմեծ կլինի: Ստացվում է,

նացիայի գործակցի

շշ

չեն պահպանվի,որի հետնան(6.49) հավասարությունները քով (6.46)-ում ն (6.47)-ում ք-ի համարիչը զգալիորենավելի կլինի հայտարարից:Վարկածըհերքելու համար պետք է հաշվի առնել,

ԳԾԱՅԻՆ

կբարձրանա,որը, իհարկե ճիշտ եզրակացություն չէ: Դետերմի-

ՀԵ22222)

ՅԱՆ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

նել բացասական,հատկապես,եթե փուիհոխականների տվյալնե-

րի թիվը փոքր է մոդելում ընդգրկվածփոփոխականներիքանա-

կից՝ ոՀի:

մակարդակում,հետնաբար

Ենթադրենք,բազմակի ռեգրեսիայիմոդելում պետք է

ստու-

վարկածը: կարելիէ հերքել զրոյական Բազմակի ռեգրեսիայի մոդելների ընդհանուր նշանակա-

գել

լիության ստուգման մեկ այլ՝ առավել կարնոր ցուցանիշ է համարվում, այսպես կոչված հարմարեցված դետերմինացիայի

արտադրականորնէ ֆունկցիայի սահմանափակումներիստուգ-

ործա ազմա գործակիցը բազմակի

Բշ -1- ԲՏՏ(ո-Ց

,-1-

ՀՏՏ/Ո(ո-1

ԻհՏաո-7)-1-0-8 բշ , ,

ՀՏՏո-Խ

կամ ավելի անկախ փոփոխականներիփոխհավասարու-

թյունը: Գործնականումայս ենթադրությունըկարելի է նույնացնել ման հետ:

Ենթադրենք,ունենք ռեգրեսիայիհետնյալ մոդելը.

"լ Հեզ ո-1

ոք

(6.50)

(6.45) հավասարումիցհետնում է, որ ռեգրեսիայիմոդելում թիվը, այնքան դետերինչքան մեծ է անկախ փոփոխականների

6: չԵլջել :Եշշօշլ

(6.51)

Զրոյական ն այլընտրանքայինվարկածներըհամապատասկունենան հետնյալ տեսքը. խանաբար

էօ :8-8չ

8/-Քչ-0

(6.52)

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Ւ :8128չ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ԳԾԱՅԻՆ

8Թյ-8չ»0

ՄՈԴԵԼ

(6.53)

(6.52)-ում ներկայացվածզրոյական վարկածը նշանակում է, որ

դեցություն

ունեն

կախյալ փոփոխականիվրա: Այս վարկածի

նս կօգտագործվիէ տեստը, իսկ անհրաժեշտ է ստուգման համար

կրիտիկականարժեքը կհաշվարկվի՝

Հ որը

Ամփոփում

(6.51) ռեգրեսիայի անկախփոփոխականներըհավասար ազ-

Է-

Ե. Ե)-(8-թչ)

Ե.-Եչ)ԻԸ

(6.54)

էր-3)։

պարզեցնելով կստացվի՝ է-

Եշ

մուծ):

1810):

(6.55)

էլո-3յ

260Կ(Ե.ծջ)

արժեքը համեմատելով է-ի ընտրված ռօ մակարդակումո-3 տության աստիճանով կրիտիկական արժեքի

հետ`

ազա-

կհերքենք

(6.52) վարկածը,եթե հաշվարկվածԷն մեծ է է կրիտիկականից: որ

ռեգրեսիայի գործակիցներիորոշակի

սահմանա-

փակումների համապատասխանությունըստուգվում է միննույն

տրամաբանությամբ:

նակով: Գլխի հիմնականնպատակնէր պատկերացումկազմել բազմակիռեգրեսիայիմոդելի մասին, ինչպես նան մեկնաբանել

բազմակի ռեգրեսիայիմոդելի գործակիցներիու դրանց նշանակալիությանհաշվարկմանսկզբունքը:

էական հատկանիշ նս ներկայացվեց այս գլխում. բազմակիռեգրեսիայիմոդելը գնահատելիսկարեոր է ընդհանուր ստուգումը: մոդելի նշանակալիության Մեկ

(6.54) կամ (6.55) հավասարումներիմիջոցով հաշվարկված է

Նշենք,

գծային բազմակի ռեգրեսիայի Այս գլխում ներկայացվեցին մոդելի հիմունքները ամենապարզ բազմակիռեգրեսիայիօրի-

այլ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Հավելված ճ.1

Ղիջ

Է6ցԷՅՏտ1օո

ՀՆԱ իրական Հ 837 Ք-6Վ1Շեօր

0,836 ՀՆԱ

ըռքացիկ

ընթացիկ

837,

Տի

-5,2724

ՆՈՂՈՊ

ՅՈՂ

ՇՇօ6ք

28,175

0,83596

գների ինդեքս

5.27 գների ինդեքս

ԳԼՈՒԽ 7

ՇՕԾԲ

Ազատանդամ ՀՆԱ

օզսձելօո

0,03287

0,001

-15,16

03478

ՅԵՑ

0,004

ՀԿՄ

ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ՄՈԴԵԼԻ

ՖՈւՆԿՑԻՌՆԱԼ

ՁԵՎԵՐ

ՃԱՕՄՃ

ՏՕԾԱԼՇՑ

Բ6ց-6ՏՏ1օդ

ՏՏՏԼՄԱՅԼ

Խուօը

29461

ՏՏ

12980,

11,6

122326

6490,2

1120,80

0,001

5/8

նչպես արդեն նշվել է նախորդ գլուխներում, ռեգրեսիայի հավասարումը կախյալ

անկախ փոփոխա-

կանների գծային փոխկախվածությունըներկայացնողհավասարում է: Սակայնիրականում, երկու կամ ավելի փոփոխականների

միջն ուղղակի գծային կախվածությունը հազվադեպ Է. որպես

Պայմանականօրինակիտվյալներ

կանոն, այդ կախվածություններըոչ գծային են: ՀՆԱիրական

ՀՆԱընթացիկ

Գներիինդեքս

Սղաճ

661.2 683.2 733.3 757.5 803.0

661.2 804.3 955.4 987.4 1033.3

138.1 157.2

5.5

ձնով հանդես գալը կոչվում

21.8 -1.3

յուն

171.8

2.0

հանդեսեն գալիս

70.5

0.4

կիրառվումեն հետնյալ ֆունկցիոնալ ձները. ամենաշատը

170.8

Ռեգրեսիայիմոդելում անկախ փոփոխականների ոչ գծային ըստ

մոդելի

ոչ

գծային արտահայտութ-

փոփոխականների:Ռեգրեսիայի մոդելը կոչվում է

գծային միայն ն

ոչ

միայն այն դեպքում, երբ մոդելի պարամետրերը ոչ

գծային կախվածությամբ:Գործնականում

Լոգարիթմականգծային մոդել,

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՖՈւՆԿՑԻՈՆԱԼ

Մասնակիլոգարիթմականմոդել,

Հակադարձմեծությանմոդելներ:

մոդելում ազատ անդամըձեռք է բերումերկրորլոգարիթմական դականնշանակություն: ո

|/ոՄ-ՕՀեւմոշ(Ժ6.

Լոգարիթմականգծային մոդել

71.

ՁԵՎԵՐ

թեո

Ենթադրենք` որնէ տնտեսական երնույթ ։տեսականորեն բնութագրելու համար օգտագործվում է

հետնյալ ֆունկցիոնալ

կախվածությանմոդելը.

Ո որը,

Եցշ(ոսծ'

(71)

բնականհիմքով լոգարիթմելով,կարող է ներկայացվել հետ-

նյալ տեսքով.

ո՞ր

տեց «Ել ոշ

լոչ«

Գրաֆիկ 7.1. ա) իրականֆունկցիա Բ) ֆունկցիայի գծային ռեգրեսիայիմոդելի տեսքու|ներկայացում

(7-2)

Է6լ

կամ

ուլ ՀԳՀԵլոյլ

(73)

6լ

7.2.

որտեղ զ ՀԱոԵց: Այս մոդելը գծային է ըստ պարամետրերի,այսինքն,

լոգա-

ռեգրեսիայիգործակիցներըկարելի րիթմելովփոփոխականները, է հաշվարկել ՕԼՏ

մեթոդով,քանի

որ

լոգարիթմելիս փոխվումեն

միայնփոփոխականների տվյալներիարժեքները: Այս մեթոդիկիրառմանդեպքում հատկանշականն այն է, ել գործակիցը ցույց 2«

որ

տալիս ՛ փոփոխականիէլաստիկությունը

փոփոխականինկատմամբ,այսինքն` "-ի տոկոսային արտա-

հայտությամբ փոփոխությունը 2-ի տոկոսային փոփոխության նկատմամբ: Սակայնհարկ է նշել,

էլաստիկություն 24

որ

մոդելը ենթադրումէ կայուն

միջն: Ասենք նան, փոփոխականների

որ

մոդել Մասնակիլոգարիթմական

հետաքրքրող ամենաէաՈրպես կանոն, տնտեսագետներին կան խնդիրներիցէ այս կամ այն ցուցանիշիաճի տեմպի որոշու-

մը: Այդպիսիմոդելը կարելի է ներկայացնելհետնյալ տեսքով.

(74)

ՄԱՄ որտեղ

՛-ը

մից (74)

Էժամանակում "4-ի աճն է: Լոգարիթմելովերկու կող-

հավասարությունը,մոդելը կարելի

ներկայացնել

հետնյալտեսքով.

-ոզց ՀԼո1-Ռ6լ

(7.5)

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՖՈւՆԿՑԻՈՆԱԼ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

որտեղ կատարելով րտեղկատարելով

Ե Եց -ոՉ/ո

նԵլ

Հո(1-ոդ րը -|ո(1Ւ՛)տեղադրումները՝ տեղադր

նել

այն,

արդյունքում կունենանք. ո՞՝

-Եց ՀԵԼ: 6լ որ այս

մոդելը նման Է յուրաքանչյուր

այլ

գծային մոդելի, այն առանձնահատկությամբ,որ կախյալ փոփո-

խականը ունի լոգարիթմականձն, իսկ

փոփոխականըցույց

տալիս ժամանակը ն ընդունում է 1,2,3....ո արժեքներ: Այս տիպի

մոդելներըկոչվում որ

են

: տտեց ջ-|տ է0-,

իսկ կախյալփոփոխականըձգտում է 8:-ի: Տնտեսագիտությանմեջ, որպես հակադարձմեծության մո-

(16)

Նկատի ունենանք,

անկախ փոփոխականիաճը :

որ

ՁԵՎԵՐ

դելի օրինակ, կարելի է ներկայացնելՖիլիպսի կորը: Գրաֆիկորեն հակադարձ մեծության մոդելները կարելի է

ներկայացնելհետնյալ տեսքով.

մասնակի լոգարիթմականմոդելներ,քանի

միայն մեկ փոփոխականէ հանդես գալիս լոգարիթմականփո-

խավերպմանտեսքով: Այս մոդելի ռեգրեսիայիգործակիցը իրենից ներկայացնում է

կայուն կամ հարաբերական փոփոխութ-

յուն /չ ժամանակիփոփոխությանը համապատասխան:Այսինքն ե, ռեգրեսիայիգործակիցը ` փոփոխականիհարաբերականփո-

փոխությանն է ժամանակիփոփոխությանքանակն է:

7.3.

Ղակադարձմեծության մոդելներ

Ներքոնշյալ տիպի մոդելները կոչվում

են

հակադարձ մե-

ծության մոդելներ. Դ

-Ցլ

6-Ի»

ան

Այս մոդելներըգծային են

ըստ

գործակիցների,չնայած

ըստ

անկախ փոփոխականների՝գծային չեն: (7.7) տիպի հակադարձ

մեծության մոդելի առանձնահատկություններից կարելի է նշել

Գրաֆիկ

7.2.

Ձակադարծմեծությանմոդելներ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՖՈւՆԿՑԻՈՆԱԼ

Ամփոփում

Նշեք

Է ն է

ՁԵՎԵՐ

տեստերիօգտագործմանառանձնահատկութ-

յունները բազմակիռեգրեսիայում 4.

Ներկայացվեցին բազմակի ռեգրեսիայի մոդելի տարբեր ու ֆունկցիոնալ ձներ, դրանց առանձնահատկություններն

րառման գործնական ոլորտները: Ֆունկցիոնալ ձների

կի-

ԲացատրեքԲ

Ք հարմարեցվածիտարբերությունները

օգտագործմանառանձնահատկությունները:

դասա-

կարգումըհամառոտ կարելի է ներկայացնելհետնյալ աղյուսակի

Խնդիրներ

տեսքով: Մոդելի տեսակը| Ֆունկցիոնալ ձնը

Գծային Լոգարիթմական |

գծային

Մասնակի ոգարիթմական լոգարիթմակ

-Եեցչել |ո՞/

էլաստիկությունը Ե

-Եց -ելո2

մեծության

Կատարելովվերլուծություն` ստացվելեն հետեյալ հիմնական

տվյալները

Մհ:

)5 1Թց86ՏՏ/օո Շ6զսՅեօո

Վերջնականսպառում

ո՞-եց

չել

Մ-եց ելո -

ԵւՕԳ

4.16 զուտ

ԷԶ

Ք/Տժ/Շէօր

Հակադարձ

Խնդիր

Հ-եւՀԵ ան

Շօ6Է

ՏՔՇօօ

Ազատանդամ

87183

15546

0.000

Մասնավորներդ.

3.7138

0.000

0.37

Զուտ

եկամոտ

րը

Սահմանեք բազմակիռեգրեսիահասկացությունը.ինչով

Նշեք է տեստիօգտագործմանառանձնահատկություննե-

բազմակիռեգրեսիայում:

ՔԽՏզ-81996

Ք-Տզ(ոժ))

80.596

ՃՈՅի/ՏՏօք ՄՅՈՅոօ6

Հարցեր

ՀՁԱՐՑԵՐ ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

այն տարբերվումպարզ ռեգրեսիայից:

3.71 Մասնավորներդրումներ Է

եկամուտ

Տ»Յ8428

87183

ՏՕԱՒՇՑ

Բ6ցոատաօո

1.67313Է-11

83656437058

Բ6ՏԱԿՅԲոօ

.36917602990

1476704120

Լօեյ

ԲՄ/Տ

ՏՏ

2.04230Է

Ծսծո-ՄՄՅԵՏՕօոՏՇԱՏԱԵՇ

1.38

56.65

0.000

ԲԱԶՄԱՉԱՓ ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ ՖՈւՆԿՑԻՈՆԱԼ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

բ) գնահատեք անկախ փոփոխականների նշանակալիությունը,

մլն դրամ| ծախսեր,| մլն դրամ| ներ, մլն դրամ մլն դրամ

գ) մեկնաբանեքանկախ փոփոխականների ազդեցությունըկախ-

փոփոխականիվրա: 165954

13145959

| 3436863 |

589577

42211.5

||1300158 |

174036.0

2117449.7

241640.4

գործելով աղյուսակիտվյալները: Մեկնաբանեքռեգրեսիայի

2000/2 2000/3

գործակիցներիսպասվողնշանները:

20004

36548105

Խնդիր 2

26001

Կազմեք տնտեսականվերլուծության ռեգրեսիայիմոդել` օգտա-

կան ՀՆԱ,

1996/1 1996/2 1996/3 1996/4 1997/1 1997/2

1997/3 1997/4

1998/1 1998/2 1998/3 1998/4

1999/1 1999/2 1999/3

| 133606.4 | 219061.0 | 226051.1 | 933348 | 159224.0 | 266218.9 | 285557.9 | 124683.7 | 198020.6 | 308304.3 | 3243/16.2 | 130215.9 | 216913.3 | 325719.0 | 82490.5

դրամ

9926.0

114983.1 155611.8 236645.9 231025. 142488.7

| | | |

202142.4 281733.5 296494.1

172961.6 244636.5 309968.0 334344.9 166121.8 229707.3 329640.2

| | | | | | | | |

329062.3

150636.9 234397.5

387696.0 402756.

337411.9

217876

60606.2

| 3704069 | | | | |

183700.0 261556.8 383487.4

404630.9

| | | |

676731 213872

| |

50775.7 17886.4

34478.8 417688.6 513509

15822.0

43659.4

34356.0

75116.6

63050.7

78852.5

64947.5

3868.0

24975.4

19045.4

36042.9

26932.9

61338.3

55641.3

14744.4

10000.4

24639.3

18555.3

48299.1

40897.1 55957.8

65667.8

2001/1 2001/2 2001/3 2001/4

Անվանա- |ՎերջնականիՂամախառն| Մասնավոր

մլն դրամ

Չ)5

ա) գնահատեք մոդելի նշանակալիությունը,

յալ

ՁԵՎԵՐ

16321.6

12029.6

28629.9

22405.9

58811.6

42560.6

79061.4

59404.4

19585.6

11510.6

43363.2

29697.2

59312.3

44224.3

Խնդիր 3 Համեմատեք հետնյալ գրաֆիկները. լ

ԱԾ

ՍԾ ՍԾ

ա)

ծախսերիֆունկցիոնալձնը, ա) որոշեք ամբողջական

բ) որոշեք սահմանայինն միջինծախսերիֆունկցիոնալծները:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՎՁԱՎԵԼՎԱՇ

Խնդիր 4

Ինչպիսիֆունկցինալ ձն է անհրաժեշտընտրելհետնյալ կախվածությունըբնութագրելուհամար. ա)

-է«(Լ)"

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

բ)«-

օգԻ Օշ

Խնդիր 5 1.1.

Գնահատեքմոդելը ն որոշեք ստորնբերվածօրինակիկախյալ փոփոխականիէլաստիկությունը:Բացատրեքմոդելի իմաս-

մ.

Շօօէ

ՏԷ ՇՕօօ(

Ազատանդամ 1.6367 Ժամանակ 0.017492 ՏՀ-0.3589

ուղղանկյունաՍահմանում. Թվերից կազմվածկամայական

սյուների աղյուսակը,որի տողերի թիվը հավասար ո-ի, իսկ տեն ո չափանիմատրից. թիվը՝ ո-ի անվանում են լատինական այՍովորաբար մատրիցներընշանակում

ձն

Լո(Շինարարության ծավալը տնտեսությունում) Բօժ.6Ծո

հետ մատրիցների Գործողություններ

1.64

0.0175

0.1321

0.000

0.007207

0.022

ՓՔ-Տզ-16.996

ՔԾ-Տզ(ոժ)

ժամանակ

բուբենիմեծատառերով,օրինակ

ՕքՄՅՈՅոՇ6

ՃՈՅԻ/Տ1Տ

Յո

Յշլ

822:

Ձշր

Յու

ՏՕս/Շ6

ՕԲ

ԲՏՏԱսՅ| Բոօ-

3.7357

1օե/

44945

Բ6ց/6ՏՏ/0ՕՈ1

Յկշ-րր

ՄԲՀ-

14.096

Յր

ՏՏ 07588

ԽՏ 07588

0.1288

5.89

ՊՃն

ել է.

ար

բ1տ-

Յոր

հավասարեն, եթե համընկՍահմանում Խ ն Ց մատրիցները

Յոշ"՞՞"'

կամ

ն հավասարեն դրանց չափողականությունները, թվերը(տարրերը): րիցներըկազմողհամապատասխան

նում

են

մատ-

(ել) մատրիցներնունեն նույն ապա դրանց գումար (տարբերուո « տ չափողականությունը, ունեցող ԽՀՀ թյուն) կոչվում է այնո» Պտ չափողականությունը Եյ տարրերիգուՇ»կ(օյ)մատրիցը, որի օյ տարրը հավասար յ Սահմանում. Եթե Ճ

(ճյ)

ե 8

է ն

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

)-Ղղո:

::մարին (տարբերությանը): 121ո,

ՒԲԶ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

Փու -Ես

ի"

Ձշլ Ձշշ Յշյ

էխ

Ելշ Ել:

Եշ: Եշշ Եշ:

Սահմանում ռ

ՅՁշլ Էեշլ

ՅյշԷելչ

ՅՁյյ

ՀԵելջ

ՅշշԷԵշշ

Յշյ

ԷԵշ:

թվի արտադրյալ

ճՃ8-|/0

1.0-0-0 0.1-0.0

( մի

-1:1:2-0

1-2:-0-0

11.30.17

0.2-0.0

0-3-0:1|Հ

-1-2-Է2:-0-123-2:1

(օյ), որի համար՝

1-1:

1-18

Օրինակ

Ճ- (8լ) մատրիցին չափողականությամբ կոչվումէ այն ո» տ չափողականությամբ

ո»

մատրիցըօճՀՇ

|է"

ՀԵ

ՏՎ

Օոռինակ. Ձյշ Յյր

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

"000Ւ-

ՇլՀօՅլ 1-՛Ղո, յ-1ո:

-1-2-3 |

Օրինակ.

վ ձլ

ճջ6ջ

Գ.

Սահմանում 4:

Գր

62:

Սահմանում.

Ւ| Օ:

Ճ'ճչ

ո»

լլ

Զ-ճ,Ճլշ

Զ:

06:67

62:42

ների թվին,

րից:

տ»

Ճ»|Յ

չափողականությամբ/՛-

Ձրշ

ոտն

"": Յոո

մատրիցը քառակուսային է ո

Թ-(ե) մատրիցները համապաոի

մատրիցներիարտադրյալ

ղականությունունեցող այն ճ8-ՇՀ(

մար՝

822 """""Յշո

Սահմանում,

Եթե (ա)

Յ ոո

ըոաաաաասկաաաանա

Յոլ

| մատրիցը:

տասխանաբարունեն Ճ. ն Ց

Սատրիցիշրջված մատրիցըկլինի

լ``՝`՝`՝Ս՝ՍՏՍՏՍՏքԾՄՌ՝`՝`՝

Սահմանում

ապա

ավել: 8շ

չափողականություններ, անվանումեն ոի չափո6)

մատրիցը,որի

սյու-

քառակուսային մատ-

Օրինակ

(8) մատրիցը,որի համար8'յՀ Յյ: Օրինակ. Ճ-

մատրիցն անվանում

ապա

են

չափողականությամբ ՃՀ(Յլ) մատրիցի

շրջված մատրիցկոչվում է այն

Եթե մատրիցի տողերի թիվը հավասար է

հա-

։«

ո չափողականությամբ:

չափանի քառակուսային մատրիցի ւն անվանում են մատրի-

աինԿՆԱ

Ձ11,822,.....Ձրո

ցի գլխավորանկյունագիծ: Սահմանում.

Քառակուսային մատրիցը կոչվում է անկյու-

նագծային,եթե դրա գլխավոր անկյունագծինչպատկանողտարրերը հավասար են զրոյի:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

Օրինակ.

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

Դիտողություն Ընդհանրապես, մատրիցներիարտադրյալը

|03

փոխատեղմանհատկությամբօժտված չէ

/Ճ8.84/:

Սահմանում.

Անկյունագծայինմատրիցը, որի գլխավոր անկյունագծինպատկանողտարրերըհավասարեն մեկի, կոչվումէ միավորմատրից: Միավորմատրիցըսովորաբարնշանակումեն

Օոինակ.

կամ Է:

0 1 0 | մատ րիցը 3

Մատրիցիհետքը ն որոշիչը(դետերմինանտ) Քառակուսային ճատրիցի հետք անվանում են

Սահմանում.

գլխավորանկյունագծիվրա գտնվողտարրերիգումարը՝

1Լ-|

1.2.

«3

Մ(ՃՀՅյ

չափանի միավոր միավոր րից է: չափանի մատրից

ՅշշՒ

Մատրիցի հետքը բավարարումէ հետնյալ հատկությունները

Սահմանում

Զրոյական մատրից կոչվում որի բոլոր տարրերըհավասարեն զրոյի:

է այն

Թվարկենք մատրիցներիգործողություններիհետ հիմնականհատկությունները՝ |,

ՃԻՅՑՀՅՀՃ

(Գ8)«Շ

օ(ԲՒՅ)- առ

ՃՒՕ-Ճ

(ԽԷՅ)-Բ/Ւք'

ծ.

(8724

ԱՅԼԻ-Ճ

Ճ(8-Շ)-

(ԻՔ8)Շ

10.

Ճ.(8Շ) Հ(Ճ8)Շ

11.

(Բ8)Հ 8,

Ճ0 Հ0:

մատրիցը, կապված

(ո)

Մ(գ)

ՍՈԴՀԵ(Խ,

Մ(ՃՀ8) ՀԱ(Ճ

Հո,

որտեղ Լ-ը

ոչ

չափանիմիավորմատրից

ՀօԵ(Ճ),

Սահմանում,

ո»

ՀՄ(8): -

չափանիՃ մատրիցիորոշիչ (դետերմի-

նանտ) |Ճ | Ժ6է(Ճ) անվանումեն Ճ մատրիցիցկախվածայն թվա-

յին ֆունկցիան, որը բավարարումէ հետնյալհատկությունները՝

ԲՅՒԲՇ Հ

17(Ճ8)ՀՄ(ԹՃ),

է,

Բ-(8«Ը)

օ8

Եթեո

Եթե ո

1, ապա

|Ճ|Հ

1, ապա

|ո|ֆո )" Ճլ|,որտեղ/'յ

Յյ::

ՃՇՒՈՑՇ

(Բ8Շ)»

լ.

ցը

(ո-1)» (ո-1) -չափանի մատրից է,

որը

ստացվումէ

մատրիմատրի-

ցից 1-րդտողը եյ-րդ սյունը ջնջելով: ՇՑ"

Ճ՛

մատրիցի որոշիչն անվանում են

նի մինոր:

մատրիցի ո-1 կարգա-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

Օրինակ Եթե

2, ապա

Նրո

եթե ո

1.3.

ճշ

8շ8շլ,

նումներով:

ՅՁյ

Ձշ.

Յշշ

ՅՁշվ| Ձլլ822833 Յլշ8շդ83. Հ

13821832

Սահմանում

83822831

Ձյշ821833

Թվարկենք մատրիցի որոշիչի

հետ

հատկությունները`

Յ18շյճ3շ:

Յլյ:

Ձշշ:

նագծայինմատրիցէ,

կապված հիմնական

|ՕՃ|Տօ՞րի

Ձոո, որտեղ Ճ -ն

ո-

չափանիանկյու-

|ի

եթե Ճ մատրիցիորնէ երկուտողի (սյան) տեղերը փոխենք,

ղերի (սյուների)գծային կոմբինացիան, ապա ցը

Ճ մ

ով

ԱԱ

ոն

մ է հետնյալ նշան չանակվում հետնյալ ձ-

րը.

՛Յու

(Ճ)

ռոն

(Ճ8)

եթե Ց մատրիցը

ստացվածմատրիցիորոշիչը հավասարկլինի || 7. եթե մատրիցիորնէ տողին (սյանը) գումարենքմյուս

ապա

մատրիցիռանգ կոչվում է մեծագույն կարգ

Մատրիցիռանգը բավարարումէ հետնյալ հատկություննե-

աԱվեվ 4.

ունեցող ոչ զրոյական մինորիկարգը:

|բՑ|- Ճ||Թ| Հ

մատրիցիռանգ կոչվում է դրա գծորեն ան-

կախ տողերի(սյուների) մեծագույնթիվը: Սահմանում

1. Ճ

Յր ՞

2. իՃ|

չափողականությամբմատ-

«ո

րից է: ՍահմանենքՃ մատրիցիռանգըերկու համարժեքսահմա-

ՅՁշ

Ձ3Յլ ՅՁյշ

Մատրիցիռանգ

Ենթադրենք՝Ճ մատրիցըո

Յ, ապա՝

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

՛ռոն

(Ճ8)

եթե

Յու

(8Ճ)

աո

«(յ

(ո, ո),

տո

ոո

(ու,

մատրիցը ո Հ

Պտ

կարգի է

ն ռու

(8)

ն ռու

(8)

տ,

ապա

կարգի է

ո,

ապա

(Ճ),

ու

Թո

(Ճ),

ռու

8),

ռու

(Ա)

)Հաո

«(Խոյ

ՃԲ):

տո-

ստացված մատրիկունենասկզբնականմատրիցի որոշիչին հավասար որոշիչ, 8. Ճ

մատրիցիորոշիչը հավասար է զրոյի այն ն միայնայն դեպքում,երբ մատրիցիտողերը(սյուները)գծորեն կախյալեն:'

Հ(Աո...Յատ»(Թա...Յտ....Յոչ(Յո..Յայ

կոչվում վեկտորները

ունի թվերի համախմբություն տեղեն երին եթե Գոյություն մեկը հավասարչէ զրոյի, այնպիսին, ունենա այդ թվերից

գոնե

հետնյալհավասարությունը օ. Յյ

գծորենանկախէ:

.շ,...ռո

Հռշ Ձշ Ժ....փՕո Ձո

Վակառակ դեւու: որ տեղի

1.4. Ղակադարձ կադարմատ Ենթադրենք` թադրենք

մատ

րից րիցը

մատ քառակուսայի րից է ոչ«ո

առակուսային

չափողականությամբ: Բ Սահմանում

երված, եթե եթ մատրիցնանվանում են չվերասերված, ո: ռու (Ճ) ունի հնարավորմեծագույն ռանգ, այսինքն` Հ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

Սահմանում. Ճ նում են այն

մատրիցիհակադարձմատրից /Ճ-՛,անվամատրիցը,որի համարտեղի ունի հետնյալհավասա-

վեկտորներ

Թեորեմ. ԿամայականՃ չվերասերված քառակուսայինմատրիցի համար գոյություն ունի Ճ՛' հակադարձմատ-

Ենթադրենք`Ճ մատրիցըո

ձո

-ա||

վում են

Յշ

0.....

Ձ2շ

0.....

վեկտորնանվա-

է, որ սեփական վեկտորներըորոշ-

հաստատուն

արտադրիչիճշտությամբ:

արտագրենքհետնյալտեսքով՝ հավասարությունը որը

վեկտորիբաղադրիչներինկատմամբ

գծային հավասարումների համակարգէ: Հայտնի է, համակարգնունի ոչ զրոյական լուծում, եթե |Բ-11 | 0: Հ

|Ճ-11|որոշիչը Հ-ի նկատմամբո-րդ աստիճանիբազմանդամէ: Սահմանում. |Բ-11 | 0 հավասարումնանվանում են բնու-

ապա

Յոո

ՊՃ

համասեռ

-82821-8շյ

չափանի

(1.1)

( Ճ21)8Հ0,

.-Յյշ

Յյլ.

մատրիցիսեփականվեկտոր, իսկ 7-թիվը՝2 սեփական

Սահմանումից հետնում

որ այդ

եթե Յյ«0.1-1ո

թե տեղի ունի հետնյալ հավասարությունը՝

(1)

8182շ

Ոչ զրոյական

ԲՅ ՀՁ

Ձշշ

նում են Ճ

Լ»1Ո, )-1ո

Յշլ

Սահմանում.

մատրիցիմինորնէ:

Յշ|

կարգի քառակուսայինմատ-

մատրիցիսեփականարժեք, եվեկտորինհամապատասխանող

Լ յա ճ Ճ

րից է:

րից, այն էլ միակը:Եթե հակադարձմատրիցիտարՁ՛- ով, ապա՝ րերը նշանակենք

որտեղ` |ճ|- ն Օրինակ.

Մատրիցիսեփականարժեքներն սեփական

1.5.

րությունը ՃՃՀ/ճՃ-1:

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

0.....

թագրիչ հավասարում,որի արմատները Ճ մատրիցիսեփական են: արժեքներն Ք

Օոխնակ.Ենթադրենք 2-1

Հակադարձ են` մատրիցիհատկություններն 1. Բ

Բ-7վ-

(Բ) Տր,

ԽՀՀ

(Բ-» (Խ)"

Թեորեմ.

Եթե գոյություն ունեն Ճ-'

ապա

(88):-28-6-:

| :)

3-1.

Ճ-

2-18-1)-2-7 -ծ-

-ծ-

-ՋՀ4-0

ՃՀ4 Ճ

մատրիցիտարբեր սեփականարժեքներին հա-

են գծորեն անկախ սեփական մապատասխանում

վեկտորներ:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Թեորեմ. Եթե Ճ մատրիցիբնութագրիչհավասարումնունի ո տարբեր իրական արմատներ, ապա Բ մատրիցը

կարելի է ներկայացնելհետնյալ տեսքով՝ որտեղ`

անկյունագծայինմատրիցէ, իսկ Շ-ն՝ չվերասերված

Ճ -ն

Սահմանում. Սատրիգըկոչվում է օրթոգոնալ մատրից,եթե դրա

համասյուները (տողերը) կազմում են օրթոնորմավորված

կարգ:

4Շ,

Բ-Ը

24Լ

ՍԱՏՐԻՑԱՅԻՆ ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

մատրից:

Թեորեմ.Եթե 8-ն օրթոգոնալմատրիցէ,

թ".

ապա

Թեորեմ. Օրթոգոնալմատրիցիորոշիչը հավասար է 1-ի կամ -1-ի: Թեորեմ. Ճ սիմետրիկմատրիցը կարելի է բերել անկյունագմիջոցով. ծային տեսքի(1.2) հավասարության

1.6.

Սիմետրիկմատրիցներ

Սահմանում,

Ց 8-4:

մատրիցըկոչվում է սիմետրիկ,եթե

Օրինակ.

կամայականմատրից է,

Ճ-ն

ապա

Ճ'Ճ-ն

սի-

Սիմետրիկ մատրիցի սեփական վեկտորները՝

1Հ-Նո,կարելի

տյ,

է ընտրել այնպես, որպեսզի

կազմենօրթոնորմավորվածհամակարգ ՁՅյ

0, Յ'Ձ

Ենթադրենք` 8-ն

1,1 2ի

մատրիցի միջոցով կա-

րելի է Ճ մատրիցըբերել անկյունագծայինտեսքի՝ Ճ» 8:48: են Ճ

Բ'Ճ մատրիցըոչ Օրինակ. ԿամայականՃ մատրիցիհամար ոչ զրոորոշված մատրից է: Քանի որ կամայական բացասական յականՅ վեկտորիհամար տեղի ունի.

0-2)

(8)Հ23520:

(Բ Բ)8Հ(ԲՅ)

Այստեղ

)

ՃՅ, իսկ 5

կուսին է, ուստի այն

անկյունագծայինմատրիցի անկյունագիծըկազմում

մատրիցիսեփականարժեքները:

(կամ 8՛Բ2Հ0):

8՛Բ2»0

չափանի մատրիցէ, որի սյուները Ճ

մատրիցիսեփական վեկտորներնեն:

Սիմետրիկո » ո չափանիՃ մատրիցըկոչվում որոշված, եթե կամայականո -չաէ դրական(ոչ բացասական) անհափանի ոչ զրոյականՃ վեկտորիհամար ճիշտ է հետնյալ

վասարությունը՝

մետրիկմատրիցէ:

Այստեղ Ճ

-848'շ,)Տ8555:

ԼՅ (13)

Տ:

Սահմանում

Թեորեմ.

մատրիցըկարելի է ներ-

Թեորեմ. Եթե

որ Ճ

Վերջինթեորեմիցհետնում է, կայացնելհետնյալ տեսքով՝

ոչ

-ը /

է: բացասական

Սահմանում: Ասում ենք՝ Ճ

ված է, (Ճ-8)

քառավեկտորիերկարության

որոշ0, եթե Ճ-ն ոչ բացասական

0, եթե Ճ-ն դրականորոշված էն

Ճ-8(Ճ»8Թ),

(դրական)որոշվածէ: մատրիցըոչ բացասական

եթե

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Թեորեմ. Եթե Ճ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

Յ.ՀԵ,,1-1ո որտեղ Յ.-ն

8, ապա

համապատասխանաբարՊՃն

Եւ-ն

մատրիցների

գլխավոր անկյունագծի տարրերն են: Եթեճ»8 Թեորեմ.

ն Շ»0

Թեորեմ. Եթե ճՃ» 8,

ապաճՀ«Շ»8:

երկու մատրիցներնէլ հակադարձելի Ճ7 :

են, ապա 8՛»

1.7.

Իդենպոտենտմատրիցներ

Սահմանում

ԽՄ

Է:

Խ-

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

Քանի

մատրիցը կոչվում է իդենպոտենտ,եթե

մեզ ավելի

որ

շատ

անհրաժեշտ են սիմետրիկ մատ-

րիցները, ուստի այսուհետն կենթադրվի,որ

Բ/

մատրիցը նան սի-

մետրիկէ:

Թեորեմ. Դրական (ոչ բացասական)որոշված մատրիցի սեփական արժեքներըդրական(ոչ բացասական)են:

վոր մատրիցները իդենպոտենտմատրիցներեն: Դիտարկենքի-

ԵնթադրենքՃ̀-ն

դենպոտենտմատրիցի օրինակ,

ոչ

բացասական որոշված սիմետրիկմատ-

Ակնհայտ է,

ՃՀ րից է: Օգտվելով (1.3) հավասարությունիցո̀ւնենք, որ Ճ Ց8ՃԹ': Հայտնի է, որ -ի անկյունագծայինտարրերը Ճ-ի սեփա-

միավորից:

կաՕարժեքներն են, հետնաբարդրանք կլինեն ոչ բացասական:

որը

Ճշ

8428,

0.......

Խշ-

Ճ/2- 0 12ականնանն

0.......0........12

տարբեր է զրոյականից ն

որը

ոշ

չափանիվեկտոր-սյունը,

(1, 1,.... 1):

«լ-ՀՏՏ: մատրիցը:Ցույց տանք, որ

ԽՄ

այն

տալ, որ

ր-1ՏՏ-ի -155: 25Տ'Է-Է -

Կարելի է Մ՛

ցույց

տալ,

լ.

որ

ոշ

ՏՏՏՏ'

15Տ' -հի

այն նան սիմետրիկ մատրից է՝

Է|:

Թեորեմ. Իդենպոտենտ մատրիցի սեփական արժեքները 0 կամ 1 են:

բլ լ

Կարելի է ցույց

չափողականությամբզրոյականն միա-

իդենպոտենտմատրիցէ.

չշ որտեղ

կազմված է մեկերիցՏ Դիտարկենք

ո «

Օրինակ. Նշանակենք Տ-ով

Սահմանենք Ճ մատրիցի 1/2. աստիճան`հետնյալ ձնով.

որ

-Ճ:

Թեորեմ. Իդենպոտենտմատրիցի ռանգը հավասար է հետքին:

դրա

ԲԱԶՄԱԿՈԼԻՆԵԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ՎԱՎԵԼՎԱԾ

Ա.

Բազմակոլինեարություն

Համաձայն Գաուս-Մարկովի թեորեմի` փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով գնահատված գործակիցներըբոլոր գծային գործակիցներիմիջն ունեն

անշեղ

նվազագույն դիսպերսիա,այ-

սինքն` լավագույն գծային անշեղելի գործակիցներեն: Նշենք,

բազմակոլինեարությանառկայության դեպքում թեորեմի

Ա.

Բազմակոլինեարություն

Բ.Վետերոսկեդաստիկություն Գ.

Ավտոկոռելյացիա

որ

պայ-

մաններըխախտվումեն:

Բազմակոլինեարությունըվկայում

է անկախ

փոփոխական-

ների միջն լրիվ կոլինեարության առկայության մասին: Իրականում,

բացատրող

փոփոխականների միջե հազվադեպ է լրիվ

կոլինեարությունհանդիպում,ավելի հաճախ փոփոխականների միջն ի հայտ է գալիս խիստգծային կախվածություն: Եթե մոդելում առկա է բազմակոլինեարություն,այսինքն` եր-

կու անկախ փոփոխականներնունեն հստակ գծային կախվա-

ծություն,

ապա

դրանց դիսպերսիան, հետնաբար ստանդարտ

սխալները, չափազանց մեծանում

են:

Արդյունքում` մոդելի գոր-

ծակիցներիգնահատվածԷի արժեքները նշանակալից չեն,

ա-

ռաջարկվածզրոյական վարկածը, ըստ որի` իրականգործակիցը

հավասար է զրոյի, հաճախակիընդունվում է: Բազմակոլեինեարությանհետնանքով մոդելի դետերմինա-

ցիայի գործակիցըկարող է բավականաչափմեծ լինել այն դեպքում, երբ գործակիցներիԷի վիճակագիրըլինի ոչ նշանակալից:

Այստեղիցկարող ենք եզրակացնել, որ բազմակոլինեարության առկայությանմասին են վկայում դետերմինացիայիբարձր

մա-

գնահատված Էի փոքր կարդակըհ̀ամապատասխանաբար

ար-

ժեքներով:Նշենք նան, որ բազմակոլինեարությանառկայության ժամանակմոդելի գործակիցներըկարող են սխալ նշաններ ունենալ:

ՀԵՏԵՐՈՍԿԵԴԱՍՏԻԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՏԱԲՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Բազմակոլինեարության առկայությունըստուգելու նպատակով կարելի է յուրաքանչյուր 24,փոփոխականիհամար կատարել ռեգրեսիա` ըստ մնացած 74 անկախ փոփոխականների,ն գնահատել դետերմինացիայիգործակիցը՝

Թշ-ն:Նշենք,

խան 7-ի համար`

կամ համապատասԲ2-ը,

որ այս

ռեգրեսիաներիցյուրա-

քանչյուրը կոչվում է օժանդակ ռեգրեսիա: Համաձայն ման ն

( տես փոխհարաբերությունների Թ2-ի

ր-քթ

ՐԳ

բաշխ-

գլուխ 6.2)՝

Մոդա /16-2)

ԿՐ

մեթոդիհիմնականենթադրություններիցէ

մո-

դելի մնացորդների`հավասար դիսպերսիայովտեղաբաշխումը:

.Է»123....ո

մոդելում, որտեղ այս ենթադրութԵրկու փոփոխականներով յունը պահպանվումէ, մնացորդներիկայուն դիսպերսիայովմո-

դելը գրաֆիկորենկարելի ներկայացնելհետնյալ կերպ.

քանակը: անկախփոփոխականների

ԳնահատվածԽ.-ն ենթարկվումէ

ռակուսիներիՕԼՏ

Բ(22)-օ2

որտեղ` ընտրանքի ծավալն է րտեղ՝ ո-ը ո-ըընտրանքի ծավալ է-ն՝

Ռեգրեսիայիգործակիցներիհաշվարկմանփոքրագույն քա-

Այն է.

0.)

ր-ու'

Բ.Վետերոսկեդաստիկություն

ճ-2

ն ո-եՒՂ

ազատության

աստիճաններովԲ բաշխման: Եթե գնահատվածԲ-ի արժեքը գերազանցում Է Բ-ի կրիտիկականարժեքը, ապա 72-երիմիջն

գո-

յություն ունի հստակ գծային կախվածություն, հակառակ դեպքում`

շ«

փոփոխականներիմիջն գծային կախվածությունգոյութ-

յուն չունի:

Նշենք նան,

որ

բազմակոլինեարությունըկարելի է ստուգել

«Կլեյնի նշանակալիության կարգի» օգնությամբ,

ըստ

որի, եթե

յուրաքանչյուր օժանդակ ռեգրեսիայի դետերմինացիայիգործակիցը չի գերազանցում ընդհանուր կամ նախնականռեգրեսիայի

դետերմինացիայիգործակիցը, ապա ռեգրեսիայիմոդելը

բազ-

մակոլինեարությանհիմնախնդիրչի պարունակում: Գրաֆիկ 1. Մեացորդներիհոմոսկեդաստիկդիսպերսիա

Այն երնույթը, երբ մնացորդներիհավասար դիսպերսիայի ենթադրությունըչի պահպանվում,կոչվում է հետերոսկեդաստիհետնյալ պատկերը. կություն, որը կունենագրաֆիկական

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

էԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՀԵՏԵՐՈՍԿԵԴԱՍՏԻԿՈՒԹՅՈՒՆ

Եց Ել

(1.2)

Փոքրագույն քառակուսիներիմեթոդովհաշվարկենքռեգրեսիայի ել գործակիցը ն դրա դիսպերսիան հետերոսկեդաստի-

կության պայմաններում` վեցերորդ գլխում ներկայացվածմեթոդով:

Ել

ք0ՒՌՇԿ

Գրաֆիկ 2. Մնացորդներիհետերոսկեդաստիկդիսպերսիա

Տնտեսագիտության տեսության մեջ հետերոսկեդաստիկ երնույթների համար կան բազմաթիվ նախապայմաններ, որոնք

հիմնականումպայմանավորվածեն տվյալ մոդելի համար հիմք Բացի այդ, անհավասարդիսպերսիահանդիսացող տեսությամբ: յի համար հիմք կարող է հանդիսանալ, այսպես կոչված` փոփոխականիտվյալներիբազմությունիցառանձնացվածտվյալների

առկայությունը:Գործնականումերբեմն հանդիպումեն դեպքեր, տվյալներիբազմությունիցորոշ տվյալներ ուերբ փոփոխականի նենում են խիստ առանձնացվածարժեք: Այս դեպքումտվյալ ցու-

ցանիշը պարզապեսկարելի է հեռացնել բազմությունից, եթե, իհարկե, տվյալների բազմությանանդամներիթիվը խիստ փոքր չէ:

Յուրաքանչյուր ռեգրեսիայի մոդելում հետերոսկեդաստիկության առկայության հետնանքները պատկերացնելու համար ենթադրենքո̀ւնենք պարզ ռեգրեսիայիմոդել.

222.

(13)

Հոր 2.2

ԿՅոել)-

(14)

014)-ը, անշուշտ, կայուն մնացորդների դեպքում, տարբերվում է Ել դիսպերսիայից. Իհարկե, եթե ենթադրենք` Փ2 -

ՏՀ, ապա

կլինեին նույնը: Ամեն դեպքում պետք է հիշել,

այս որ

բանաձները

անգամ հետե-

րոսկեդաստիկությանպայմաններումԵլ-ը անշեղելի է:

Յետերոսկեդաստիկությանառկայության դեպքում ռեգրեսիայի մոդելի գործակիցների,ինչպես նան ամբողջությամբմո-

դելի էն

տեստերըճիշտ արդյունքի չեն հանգեցնի:

Այսինքն` ռեգրեսիայի գործակիցների հաշվարկման միակ

միջոցը

ՃՄ/ԼՏ ն ՇԼՏ

մեթոդներնեն, որոնք այս գրքի շրջանակնե-

րում չեն ներկայացվում:

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՎԵՏԵՐՈՍԿԵԴԱՍՏԻԿՈՒԹՅՈՒՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Դետերոսկեդաստիկության հայտնաբերումը

հետագծի կարող են հետնել միայն անհավասար դիսպերսիա

Հետերոսկեդաստիկության հայտնաբերմանամենահեշտ ն պարզ մեթոդը,իհարկե,գրաֆիկականմոտեցումնէ: Դիտարկենք

ները, կախվածկախյալ փոփոխականիհաշվարկվածարժեքնե-

հետնյալ գրաֆիկները:

րում,

ունեցող տվյալները: Հետնաբար, եթե ռեգրեսիայիքառակուսիրից, ունեն հետագիծ` ինչպես ցույց է տրված բ) ապա

ե) գրաֆիկնե-

պետք է եզրակացնել, որ մոդելն ունի հետերոսկե-

դաստիկությանխնդիր:

Անշուշտ, կան հետերոսկեդաստիկության հայտնաբերման մի

մեթոդներ,որոնցից է Պարկի տեստը: Այս տեստովամ-

շարք

րապնդվումեն գրաֆիկականմեթոդներովկատարվածեզրակացությունները, հատկապեսայն դեպքում, երբ գրաֆիկից դժվար է

հետերոսկեդաստիկության առկայության մասին

եզրակա-

ցություն կատարել: Տեստը ենթադրում է ֆունկցիոնալ կախվածություն 62-ի ն չ«-ի միջն: Պարկը առաջարկումէ.

626"

(1.5)

կամ

|ոժշ-|ոօշ քլո

(1.6)

Կլ

որտեղ «'-ն ստոխաստիկդիսպերսիանէ: Քանի

որ

օ՞-ն սովո-

հայտնի չի լինում, Պարկը առաջարկում է օգտագործել ռեգրեսիայի մոդելի մնացորդներիքառակուսիները` որպես մորաբար

Գրաֆիկ3. Մոդելի մնացորդիկայվածությունը կախյալ փոփոխականի հաշվարկված արժեքից

Այս գրաֆիկներըկառուցված են տեսականորեն.ռեգրեսիայի մնացորդներիքառակուսիների (62)ն կախյալ փոփոխականի ,

)

հաշվարկված (11 արժեքներով: Գրաֆիկ 3 ա) -ն ցույց

տալիս,

որ

փոփոխականների բազ-

մությունը չունի բաշխմանորնէ հետագիծ, երբ բ)

ե) գրաֆիկնե-

րից յուրաքանչյուրիցհետնում է որնէ հետագիծ:Պարզ է, որ որնէ

տավոր արժեք.

-|Ոց2 |լո62

քոշլԷԿ-օԺթյոշլ

Կլ

(.Դ

Եթե գնահատված 8-ն վիճակագրորեննշանակալիցէ,

ապա

Այսպիսով մոդելը պարունակում է հետերոսկեդաստիկություն:

Պարկի տեստը ընթանում է երկու փուլով. նախ հաշվի չառնելով հետերոսկեդաստիկության առկայությունը, մնացորդների քառակուսիները,

ապա,

հաշվարկվումեն

(17)

հաշվարկվումեն ռեգրեսիայիգործակիցները:

մոդելի միջոցով,

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

Գ.

ԲԱԶՄԱԿՈԼԻՆԵԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

սիայի մոդելի գործակիցներըկորցնում են լավագույն գծային անշեղելի գործակից լինելու հատկությունը: Դրանք

Ավտոկոռելյացիա

անշեղելի են,

բայց

կուսիներիմեթոդովգնահատվածգործակիցների ն դիսպերսիան

Համաձայն գծային ռեգրեսիայի դասական մոդելի ենթադ-

րությունների` համախմբությանռեգրեսիայիֆունկցիայի սխալ-

ների միջն գոյություն չունի հերթականկոռելյացիա կամ ավտո-

գործակիցներըկարող են նշանակալիորեն տարբերվել իրական գործակիցներից: Ավտոկոռելյացիայի առկայության դեպքում

չկա դրականկամ բացասականկոռելյացիա: Հետնաբար,տվյալ այլ

դիտարկումներիսխալները ոչ

չենք կարող կառուցել վստահելի(ընդունման) տիրույթն

մի ազդեցություն չունեն:

վարկածը` հիմնվելով է

Ավտոկոռելյացիանդիտարկումների միջն եղած կոռելյացիայի կապն է ժամանակիընթացքումկամ տարածությանմեջ: Այն բնորոշ է ինչպես ժամանակայինշարքերին, այնպես էլ`

համապատասխան ստանդարտսխալը նշանակալիորեն կզիջեն գործակիցներիիրական արդյունքները,ն է վիճակագիրը բավա-

կանաչափմեծ կլինի իրական արժեքից: Այսինքն` գնահատված

կոռելյացիա, այսինքն` տվյալ դիտարկումներիսխալների միջն

դիտարկումներիսխալի վրա

ն Բ

տա-

Գոյություն

Ենթադրենք` ռեգրեսիայի սխալների միջն գոյություն ունի կախվածություն ն այդ կախվածությունըկարելի է ներկայացնել

ունեն

ավտոկոռելյացիայի մի հայտնաբերման

շարք տեստեր:Ներկայացնենք դրանցից

պարզագույնները:

որպես՝ ՀՂ4

ստուգել

տեստերիվրա: Վետնաբար,մոդելի հուսալիությանհամար անհրաժեշտէ, ռեգրեսիայիարդյունքները գնահատելուցհետո, անպայմանստուգել ավտոկոռելյացիայի առկայությունը:

րածքայինթվերին:

-1Հք

դարձյալ

նվազագույն դիսպերսիա, այհետնանքով փոքրագույն քառա-

արդեն չունեն

սինքն` արդյունավետ չեն, որի

Հք».

ՈւՑ)

Գրաֆիկականմեթոդ

գործակիցնէ, Տվյալ դեպքում թ-ն ավտոկովարիացիայի

Ավտոկոռելյացիան հնարավորէ հեշտությամբ հայտնաբերել Գրաֆիկիօգնությամբ` տեղադրելով գնահատված

»-ն՝ ստոխաստիկսխալն է:

(1.8)-ն հայտնի է որպես առաջին կարգի ավտոռեգրեսիայի

ժամանակի: Այդ դեպքում կնկատվի առկայությունըն բնույթը:

համակարգ՝/Ջ(1): Պետք է նշել,

ըստ

որ

ՃԱ(1)-ի դեպքում փոքրագույնքառակուսի-

ների մեթոդով գնահատվածգործակիցներըկորցնում են լավա-

գույն գծային անշեղելի գործակիցլինելու հատկությունը: Հետնաբար, կարող ենք եզրակացնել, որ ավտոկոռելյա-

ցիան հիմնախնդիրէ էկոնոմետրիկայիտեսանկյունից,քանի որ, երբ սխալների միջն կոռելյացիայիկապ է դիտարկվում, ռեգրե-

մնացորդները

ավտոկոռելյացիայի

Եթե մնացորդներըենթարկվումեն որոշակի համակարգված բաշխման (տես գրաֆիկ 4), ապա մոդելը կարողէ ավտոկոռելՍացիայիխնդիր պարունակել:Այսպեսօրինակ, առաջին դեպ-

քում

մնացորդների միջե նկատվումէ բացասական կախվածություն (տես գրաֆիկ 4 ա), իսկ երկրորդդեպքում կախվա-

ԱՎՏՈԿՈՌԵԼՅԱՑԻԱ

ՏԱԲՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ծությունը սկզբում դրական է, գրաֆիկ

(տես

բնույթ չունեն,

հետո

բ): Եվ քանի

ապա

որ

վերածվում է բացասականի

2.Հաջորդականության(սո)

տեստ

մնացորդները պատահական

մոդելը կարող է ունենալ ավտոկոռելյացիա-

յի խնդիր: Գակառակդեպքում, երբ մնացորդներիբաշխումըպատահական բնույթ ունի (տես գլուխ 4, գրաֆիկ 4.7բ), մոդելը չի

պարունակումավտոկոռելյացիա:

Գրաֆիկականմեթոդից բացի, ավտոկոռելյացիայիառկայությունը կարելի է ստուգել Բսռ

տեստի օգնությամբ: Հաջորդակա-

նության տեստի միջոցով ստուգենք ավտոկոռելյացիայի առկայությունը գլխում 5-ում սակ 1.1

ում

ներկայացված օրինակի համար: Աղյու-

ներկայացված են ռեգրեսիայի գնահատված մնա-

ցորդները, որի վերջին սյունակում տրված են

մնացորդների

այդ

նշանները: Այժմ ներկայացնենքռեգրեսիայի մնացորդներինշան-

ները հետնյալ ձնով՝ «0

՞.

Ժամանակ

ա,

՞»

) 0)

Թ)Ը0--)Ժ2Օ0Թ":ՕԹՕ(Օ)(

Եթե հաշվենք նշանների հաջորդականփոփոխությունները,

կտեսնենք, որ մեր օրինակում կա նակենք`

Իյ-

հաջորդականություն:Նշա-

ռեգրեսիայիծավալը, Խկ-դրականմնացորդները, Ւ|շ-բացասական մնացորդները,

է-

հաջորդականությանքանակը:

Աղյուսակ |.1. Գչու/ս

6.6

4-ում

ներկայացվածօրինակի` ռեգրեսիայի գնահատվածմնացորդները

ԵՆ

»»

օւ

ար Ժամանակ »»

Գրաֆիկ4. Ավտոկոռելյացիայիօրինակներ:

4867.69

. ՍՀՕ-6ԵՅ

Օ՞

6ճ

6-նշ.

23694405.94

-1573.69

486769

-6441.38

4144913768.:3

2476Ք00.216

102.778

-157369

167647

օ281085Ք1.661

10563.7284

-681.01

10278

-/8379

614326.7641

463774.6201

-3187.52

-68101

-506.51

258552.3801

1410203.75

-Ք27.155

-118752

660.37

436088.5369

277887.1225

-292.235

-527.155

234.92

551874064

885398.3729

1589.91

-292.235

1882.14

գ3542450.98

2527813.808

-546.14

158991

-2136.05

4562709.603

298268.8996

Ժ -

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԱՎՏՈԿՈՌԵԼՅԱՑԻԱ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

րն

6-նշ.

(07) Դարբին-Վաթսոնի

տեստ

102330

-546.14

1569.444

2463141.914

1047142.89

31538

102330

-707.92

501150.7264

99464.5444

480196

31538

4486.58

120129400.1

2305889.84

-1562.97

480196

-6364.93

40512333.9

2442875.221

714110

-156297

870407

7576083456

5099530921

-1826.53

714110

-896763

80418387.82

3336211.847

1100.45

-1826.53

2926.98

8567211.92

1210990.203

-1620.41

1100.45

-2720.86

7403079.14

2625728.568

-1071.88

-1620.41

548.53

300885.1609

1148926.734

-4680.11

107188

-3608.23

13019323.73

21903429.61

-1065.66

-4680.11

3614.45

13064248.8

1135631.236

-1381.20

-1065.66

-31554

99565.4916

190771344

լության շնորհիվ հնարավոր է ռեգրեսիայիվերլուծության ժամա-

-375.39

-1381.20

100582

1011673.872

140910.1444

նակ, մյուս գործակիցների հետ մեկտեղ, ներկայացնել

-6783.56

-37539

-6408.17

41064642.75

460165506

423267

-6/83.56

11016.41

121361289.3

17917103.78

479446412.8

206231624.3

Դարբին-ՎաթսոնիԺ տեստը ավտոկոռելյացիայի որոշման տեստն ամենատարածված էո

ՖԻ(6.-65:7

ՓՀԵ-.

Տվյալ տեստի համար ռեգրեսիայի մոդելո պետք է կայուն -

մեծություն

Տեստի առավելությունն այն է, որ հիմնված է

ունենա:

գնահատված մնացորդների կիրառման վրա: Տվյալ առավե-

գտնենք

օրինակի համար` ԽՀ24, Խ.Հ 9, Աշ- 15, Կ-12: Թառ տեստի աղյուսար

7-ի

գտնվում է

այդ

ընդունվումէ:

որ

դրա

կրիտիկականարժեքները հավա-

18-ի: Եթե իրական հաջորդականության քանակը

միջակայքում |7,18)

ապա

Գակառակդեպքում, երբ ե-ն

զրոյականվարկածը

փոքր (մեծ) է կամ հա-

վասար կրիտիկականարժեքին, վարկածը մերժվում է, այսինքն`

ռեգրեսիայիմոդելը ավտոկոռելյացիայիխնդիր է պարունակում:

վերը նշված օրինակում` հ-12 ն գտնվում է |7,18| միջակայքում, ապա ռեգրեսիայի մոդելը ավտոկոռելյացիայի

Քանի

որ

խնդիրչի պարունակում:

ԾՄ--ի միջոցով ավտոկոռելյացիայիառկայությունը ստուգելու

համարնախ բացենք (1.2) բանաձնիչակերտները. էո

կրիտիկականարժեքը ն ստուգենք գրոյական վարկածը, համաձայն որի` ռեգրեսիայիսխալներն անկախ են: Վերը նշված

են

Զ-ի

արժեքը:

էո

ՄՀ

էո

561 56-

Է2

226.6... Է2

Է2

շշ

դրա

սակից կգտնենք,

(12)

չ.5.

Այժմ Թառ տեստի աղյուսակից (տե՛ս հավելված

է, որը բնութագրվում է՝

Է-1

ո,

ծո Ի՞Եր դոր-2--Ըջ բոտ: ՀԱԼ-ք

ՐԱ,

2,6 26 շ

ա (113)

6: շ

Առաջին երկու գործակիցները կարող ենք մոտավորեցնել մեկի, քանի որ դրանք տարբերվում են դիտարկմանմեկ սխալի առկայությամբ, հետնաբար. Ժ

-2(1-թ)

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԲԱԶՄԱԿՈԼԻՆԵԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Եթե գնահատված ք-ի արժեքը հավասարէ զրոյի ն Ժ-ն մապատասխանաբարհավասար է երկուսի,

ավտոկոռելյացիա:Եթեգնահատվածք-ի արժեքը հավասար է մեկի, ն Ժ-0, ք

Հ-1,

ցիա:

մոդելի սխալների միջն կա բացասականկոռելյա-

որ

ի տարբերություն1, Բ կամ ոշ տեստի, Ժ տեստը չի

առաջարկում կոնկրետ կրիտիկականարժեք, որի հիման վրա

կարելի է մերժել կամ ընդունել վարկածը Է: չկա դրարոսնկամ բագասականավտոկոռելյացիա:

Դարբիճլ: ն Կաթսոռը առաջարկել են ստորին 2,

վերին Հ,

սահմաններ (սահմաններըաղյուսակի ձնով ամփոփել են Դարբի-

նը

Վաթսոնը, դրանք ներկայացվածեն հավելված |/-ում) կամ

կրիտիկականարժեքներ այնպես, ժեքը ընկնում է դելը կարող

այդ

որ

եթե գնահատված Ժ-ի

կրիտիկականարժեքներիցդուրս,

արմո-

ապա

պարունակելդրական կամ բացասականկոռելյա-

ցիա (տե՛ս պատկեր ||.1):

անորոշ

ճժերժել գոտի

մերժել

գոտի

վարկածը

ընդունել վարկածը լ

ԾՄ/

հավասար է 2.32. վիճակագիրը ո

5`,

մոդելի սխալներիմիջն կա դրականկոռելյացիա:Եթե

ԺՀ4.

Նշենք,

Աղյուսակ1.1-ի տվյալներով`(1.1)-ի միջոցով հաշվարկված

հա-

մոդելը չունի

ապա

«ս

4-Ժ

Պատկեր |.1

Ժ-

6լ-գի -

2:61

4719446412.8 ՞-

206231624.3

է-1

Տվյալ դեպքում ԾՄ/ աղյուսակից կգտնենք, որ մեկ փոփոհամար` 4/ -1.273, 6 51.446: Քախականով24 դիտարկումների

նի որ 2.32-ը ընդունելիտիրույթումէ, ապա զրոյականվարկածը, ավտոկոռելհամաձայնորի մոդելում չկա դրական,բացասական յացիա, ընդունվումէ, որը նշանակումէ, որ մոդելը ավտոկոռելյա-

ցիայի խնդիրչի պարունակում:

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

1. 2.

Յ. 4. 5.

6. 7.

Փ0 ֆունկցիայիարժեքները Փ0)

ֆունկցիայիարժեքները

է բաշխման Ստյուդենտի կրիտիկական կետերը

օ6)---5

1. Աղյուսակ «

Ֆունկցիայիարժեքները

0.0

0.3989

0.3988

0.3986

0.3984

0.3982

0.3980

0.3977

0.3973

0.1

0.3970

0.3965

0.3961

0.3956

0.3951

0.3945

0.3939

0.3932

0.3925

0.3918

0.2

0.3910

0.3902

0.3894

0.3885

0.3876

0.3867

0.3857

0.3847

0.3836

0.3825

0.3

0.3814

0.3802

0.3790

0.3778

0.3765

0.3752

0.3739

0.3726

0.3712

0.3697

0.3521

0.3503

03485

0.3467

03448

0.3429

03410

03391

0.:3372

0.3352

0.6

0.3332

0.3312

0.3292

0.3271

0.3251

0.3230

0.3209

0.3187

0.3166

0.3144

0.3123

0.3101

0.3079

0.3056

0.3034

0.3011

0.2989

0.2966

0.2943

0.2920

0.8

0.2897

0.2874

0.2850

0.2827

0.2803

0.2780

0.2756

0.2732

0.2709

0.2685

0.9

0.2661

0.2637

0.2613

0.2589

0.2565

0.2541

0.2516

0.2492

0.2468

0.2444

0.2420

0.2396

0.2371

0.2347

0.2323

0.2299

0.2275

0.2251

0.2227

0.2203

1.1

0.2179

02155

0.2131

0.2107

0.2083

0.2059

0.2036

0.2012

0.1989

0.1965

1.2

0.1942

0.1919

0.1895

0.1872

0.1849

0.1826

0.1804

0.1781

0.1758

0.1736

0.1714

0.1691

0.1669

01647

0.1626

0.1604

0.1582

0.1560

0.1539

0.1538

01497

01476

0.1456

0.1435

01415

0.1394

0.1374

0.1354

01334

0.1315

0.1295

0.1276

0.1257

0.1238

0.1219

0.1200

0.1182

0.1163

0.0114

0.1127

0.1109

0.1092

0.1074

0.1057

0.1040

0.1023

0.1006

0.0989

0.0973

0.0957

Ֆիշերի Է բաշխման կրիտիկական կետերը

0.0940

0.0925

0.0909

0.0893

0.0878

0.0863

0.0848

0.0833

0.0818

0.0804

0.0790

0.0775

0.0761

0.0748

0.0734

0.0721

0.0707

0.0694

0.0681

0.0669

Դարբին-Վաթսոնի (ԾՄ/) Ժ տեստիարժեքները

0.0656

0.0644

0.0632

0.0620

0.0608

0.0596

0.0584

0.0573

0.0562

0.0551

0.0540

0.0529

0.0519

0.0508

0.0498

0.0488

0.0478

0.0468

0.0459

0.0449

2.1

0.0440

0.0431

0.0422

0.0413

0.0404

0.0396

0.0387

0.0379

0.0371

0.0363

0.0355

0.0347

0.0332

0.0325

0.0317

0.0310

0.0303

0.0297

0.0290

0.0283

0.0277

0.0264

0.0258

0.0252

0.0246

0.0241

0.0235

0.0229

0.0224

0.219

0.0213

0.0208

0.0203

0.0198

0.0194

0.0189

0.0184

0.0180

00175

0.171

00171

00163

0.0158

0.0154

0.0181

0.0147

0.0143

0.0139

0.0136

0.0132

0.0129

0.0126

0.0122

00119

0.0116

0.0113

0.0110

0.0107

0.0104

0.0101

0.0099

0.0096

0.0093

0.0091

0.0088

0.0086

0.0084

0.0081

0.0079

0.0077

0.0075

0.0073

0.0071

0.0069

0.0067

0.0065

0.0063

0.0061

0.0060

0.0058

0.0056

0.0055

0.0053

0.0051

0.0050

0.0048

0.0047

0.0046

Յ0

0.0044

0.0043

0.0042

0.0040

0.0039

0.0038

0.0037

0.0036

0.0035

0.0034

0.0009

0.0008

0.0007

0.0006

0.0002

0.0001

Ճնռ

բաշխման կրիտիկական կետերը

տեստի

կրիտիկական արժեքները

Ր"

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

մղյուսակ 2. »

0.0 0.1

0.2

0:4

|0.5000 0.5040

|05398

էԿՈՆՈՄԵՏՐԻ

ՐԻԿՍ

թ: Վո.

Փ()--7|

0.5080

05120

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ

0.5160

սօ

05199

05239

0.07

05279

|008 |009

|05

05.

09.

08186

|07471

09290

0.5517

05557

0.5596

0.5636

0.5675

05714

05753

0.5832

05871

0.5910

05948

0.5987

0.6026

0.6064

06103

06141

|0.61790.6217

0.6255

0.6293

0.6331

0.6368

0.6406

06443

06480

06517

|06554 06591

0.6628

0.6664

0.6700

0.6736

0.6772

06808

06844

06879

|06915 06950

0.6985

0.7019

0.7054

0.7088

0.7123

0.7157

0.7190

0.7224

0.6

|0.7257 0.7291

0.7324

0.7357

0.7389

0.7422

0.7454

0.7486

07517

0.7549

0.703

0.7

|0.7580 07611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7764

0.7794

07823

0.7852

4.0

0.8

|0.7881 0.7910

07939

0.7967

07995

0.8023

0.8051

0.8078

08406

08133

0.9

|08159 018186

0.8212

0.8238

0.8264

0.8289

0.8315

08340

08365

0.8389

08413

018461

08485

0.8508

0.8531

08554

08577

08599

0 8624

|0.8643 0.8665

12108849 1.3

| 0.9032

Էա

0:5

1.1

28 ո

ԾԹ

05559

05478

08438

05319

0.5438

|05793

Աղյուսակ 3. Ստյուդենտի բաշխմանկրիտիկական կետերը՝

ֆունկցիայիարժեքները

ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

0.8686

0.8708

0.8729

018749

018770

0.8790

018810 0.8830

08869

08888

08907

08925

08944

08962

08980

08997

0.9015

0.9049

ՆՐԲ թր իր 236 02 29 3-6 3.707

08890

0.883

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

|070

22285

178.

3.055

|0964

08/70

12160

0.691

0.866

10690

ՅՑ

||0697

1:345 1.76 1.341

1.753

2.131

2.602

2:997

21420

2.947

0.9066

0.9082

0.9099

0.9115

0.9131

0.9147

0.9162

0.9177

1.40

2.110

2.567

|091920.9207

0.9222

0.9236

0.9251

0.9265

0.9279

0.9292

0.9306

0.9319

0.689

1.333

2.898

10688

Օ8625

11330

173:։'

21401

1.5

|0.9332 0.9345

0.9357

0.9370

0.9382

09394

0.9406

0.9418

09429

0.9441

՛9

|0688

172.

3209.

|0687

08606

132.

| 0686 |0686

08859

172.

|0.9452 0.9463

0.9474

09484

09495

0.9505

0.9515

0.9525

|09554 0.9564

0.9573

09582

0.9591

0.9599

0.9608

0.9616

1.8

|09641 09649

0.9656

0.9664

09671

0.9678

0.9686

09693

0.9535

0.9545

0.9625

0.9633

0.9699

0.9706

1.9

|09713 09719

0.9726

0.9732

09738

0.9744

0.9750

0.9756

09761

0.9767

2.0

|0.9772 0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

|0.198210.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

09854

2.2

|09861 0.9864

0.9868

0.9871

0.9875

0.9878

0.9881

0.9884

109893 0.9896

0.9898

0.9901

0.9904

0.9906

0.9909

0.9911

109918 0.9920

0.9922

0:9925

0.9927

0.9929

09931

09932

0.863

2: 0666ԱՆՏ»135 ր

2.787

1.706

2.056

2.479

2.779

205.՞

1701.

25.750

0.856

1.316

1.708

0.9857

0. 684

0.856

1.315

09887

0.9890

|0.684

09913

09916

0.63

0.9936

|0.683՝

16990

0.681

0.851

1.303

1:6972.021

0.845

1.290 1.660 1.984 2.364

2.5

|0.9938 0.9940

0.9941

0.9943

0.9945

0.9946

0.9948

0.9949

09951

0.9952

|09953 0.9955

0.9956

0.9957

09959

0.9960

09961

0.9962

0996363

09964

2.7

|0.9965 0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9974

2.8

|0.9974 09975

0.9976

0.9977

09977

0.9978

0.9979

0.9980

09980

0.9984

2.9

|0.9981 0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9985

09986

0.9986

3.0

|0.9987 0.9987

0.9987

0.9988

0.9989

»-

0.9989

09990

0.9990

Յ0

|0679

| 0676, 0.675

0.842

2.485

0. 684

ՐԳ 22 2.080

09934

129.

1.282

1.684

165.

1.645

2.423

2.626

1.960

2.326

2.576

են միակող"զ (նշանակալիության արժեքներըվերաբերվում մակարդակի) առաջին է: մանի, իսկ երկրորդը երկկողմանիտեստին, ո-ը ազատությանաստիճանն

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄ

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

Աղյուսակ4. 7 բաշխման կրիտիկական

կետերը

ՀԵ ո

0000039

4. 7՛ բաշխճանկրիտիկական Աղյուսակ կետերը (շարունակություն)

000016

000098

00039

0.0158:5

0.010025

0.020100

0.50636

0.071721

0.114833

021580

0.206990

0.29711

.0.48442

0411740

055430

0.7107

083121

0675727

087209

11455

123735

0.989265

1.23904

1635գ

168987

1344419

164648

2.67գ

1734926

217973

208791

271139

219995

255821

324697

260321

305347

39495

381575

307382

357056

տրգր

440379

55778

356503

410691

52260

500874

6.3038

8.4384

407468

466043

5.8919

460094

95.22935

65706

9.2991

562872

7.0415

626214

514224

581221

72609

690765

85466

79616

93122

10.085 12.792

0.1026 0.3518

2.7326 33254

569724

640776

756418

626481

701491

86718

8.23075

93905

0.2107

0.5844 1.0636

լօյցո

2.6746

2.2041 3.4546 2.8331 4.2549 3.4895

4.1682

77895

10865

58988

775841

11.037

743386

826040

10117

959083

803366

889720

1085.

102829

864272

954249

109823

13240

12338

16,344

14042

17240

14848

18137

11.651 14.562 12.443 15.452

926042

101957

116885

088623

108564

13091

12401

105197

115240

138484

131197

137867

149535

1գ6լ

167908

16.473

207065

221643

18.493

244331

20599

279907

297067

26509

323574

35.5346

374848

34764

404817

511720

535400

43.186

57.1532

63276

700648

60.392

742219

779295

15659

19.037 19939

244776

29.051 33.660 37689

42.9421

46459

52.294

64.278 823581

71.145 .90.1333

13233

27055

750239

13865

66349

78794

27726

46052

59915

10.597

41084

62514

78147

11345

12.838

753853

77794

94877

11143

13277

14.860

92364

11071

15086

784086

10645

12592

14450

16812

18.548

90372

12017

14067

16013

18.475

20.278

10219

13362

15507

17535

20090

21.955

11389

14684

16919

19023

|934:8

21.666

23.589

12549

15987

18307

20483

23209

25188

13701

17275

19675

21920

24725

26.757

14845

18549

21026

23337

26.217

28.300

15984

19812

22362

24736

27688

29.820

17117

21064

23685

26.120

29141

31.320

18245

22307

924996

27488

430578

32801

| 163386

19369

23542

26296

28845

32000

34267

20489

24769

27587

30.191

173385

933409

35.718

216056

25989

28889

31526

34805

|18335

37.156

22718

27204

30144

32852

36.191

38.582

23828

28412

31440

34.170

37566

39.997

24935

29615

32671

35479

938932

41.401

| 10341 | 11340 12340

| 14339 | 15338 |7 (20 (22 (23 |30

0959՝

|73441

11912

13.675

0.44549

| 14113339 3Յ

10.165

8.90655

(10

| 0995

83428

| 097.

|63458 (7

5.0706

0.50

(3 123660 |4 133567 5 |4355 (6 153481

1.9226

763173

1.2125

668438

0.5754

0.1015

| 19337 ||20337

26039

30813

33924

36781

40.289

42.796

27141

32007

35.173

38.076

233337

41638

44181

28241

33196

36415

39364

42980

Վ5559

293390

34382

37653

40647

44314

46.928

34800

40256

43773

46.979

50892

53.672

45616

51805

55.758

59342

63691

66.766

||2433 | 29336

|39335

| 49335 | 59335

21337

79.334

99334

56334

63167

67505

7 420

76.154

79.490

660981

74397

79082

383298

88380

91.952

88.130

96578

10188

10863

11233

11632

10914

11850

12434

12956

135.817 14017.

ՏԱՐԲԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ

Աղյուսակ5. Ֆիշերի Բ բաշխման կրիտիկականկետերը(օ-0.05)՝ -

"11

24»

6.61

5.79

5.59

|496

|1486,

|475

|460

|454

|449

|44,

|435

|432

|430 |428

| 426

|424

ՅՅ

|417

|408

|392

էլ-ը համարիչիազատության աստիճաննէ, էչ-ը հայտտարարի ազատության աստիճաննէ,

Աղյուսակ 5. Ֆիշերի Բ բաշխման կրիտիկականկետերը(օ-0.05)

(շարունակություն)

Հ :

ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

|20

|24:

|60

| 120

շա

շատ

շոգ

:94

37ց

ԾԹ

12799

2-|269

511260

1234"

՛9

|231

11228

122,

5-22

5-|220

241248

Թ-1248 ,

Ղ5

1.25

օ-

1.75

139.

Աղյուսակ7.

Աղյուսակ 6. Դարբին-Վաթսոնի (ԾՄ/) ժ տեստիարժեքները

Է-շ

ՐԱ

15:

175»

Է-4

ԷՏ

աՆ

յա

22.08

|108

11140

154:

21143 21115

231117

ոԽւշոջդգ

Նր

վա

ցր լ

Յա

112.

2.56

16865

1.26

11.

17.

917:

12.

124.

16,

1:33

17.

2.24

Յ6

17.

12:

17.

12.

179.091

21318

12.

2.16

1.39

13:

12.

17.

12.

13.

17.

14.

1:57

15.

17.

15.

13.

174:

1:93

1.60

15.

175,

15:

1.62

15.

90176

1.90

արժեքները տեստի կրիտիկական

ՅՅ

222.2929292.22:33

5.|

22233353

23193933

23339494

334945556.667

2|2

Ւ»|)72

ԼՐ)

թ|2 Ւ

ՒԹՐ:2 հից912

99.9

/Ց88

3/1

9Ց

301030 10

303031

3030 10 11 11

303011

34556.7589899

4566735:599

ՏԱՅ

3445958.7.-8

220060

455566.Վ.7.Յ

Ց834.566.7.798

44555696666Ց517171717

2344.556Ց66.7938

55555

ՒՅ|2

44444445

444455559:5

23939533

1.19

իք

85856113

թր)

/Ճսռ

առՈ. ոի (ր Ը 10615 5 1 : շ ո դի

ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

Աղյուսակ7.

Ջնռ

տեստիկրիտիկականարժեքները(շարունակություն)

ԱԶ

ոմ

3: |

58 30311

ԲԱՑ 7| Ց|

16.1

14:

3/8

93920

144,

ՈՑ |

ե.

5| ոց) Ւ

12. Ց)

ոբ ր»

16. ւ

19)

ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

171717.

2:25

Խ1 Խնոմքու

ՔՈՅ

բՇող

ՇԸ. /ՃՃ..

/Ճ1Թ838:

Եօքօտաօ8Ճ.

ԹՇ:ՐԱՅ

Շ.

(1քտաձուծտ

Խ1., :Օ111111,

՛Լ6օքոտ 8օքօտ18100162.

Ղօօքոմ

ՇԸ.

օՂՅՂԱՇ

8,1986 ԽԼ, Է1ճ7աճ,

Ճ.

ՄԵՔ.

քյու.

3:Օ1Օ

ՕՇԷՕՑԵԼ

ծ.

ԽԼ

3-6 11061671.

86քօ

ոՅո.

ԽԼ,

86քօ111061611. 2-6

1134.

ՒԼԹյուՑ,1964 ձ.

Ճ7քՇ

Լաճոճուօ

16օքտւ

Դ. ԽԼ, ԷԼՅ3ուծ, .

ՇՓԲՑՅՇՂԵՑԱ0ՕՑ 5.

78Ճ7Մքըոօօքուտ 856քօտ:18001621

Ճ.

ԽԼ,

ՂՇԿՃՅՆԱՎՇԸԽՕԽԸՆՅՆԼԸՐՒՅ.

234.

Ս.

Լճռեֆոու

օա

ուծմաօտ

ոօ

4-6

Ճճօծքծ.

Խ1., ԷԹՄ:Յ, 1971

Նոջտո

8. /Ճ., 103154

Ք.

ԽՓՇԽԿՅՒԼ

ոմն /ողւծո

Լ.

ձործծքծ.

3-6

13ր.

ԽԼ, քոոծ, 8.

ԽԼ

ԷԼՅ368,

ԹՅՇոՇՈՈՇ

Ղ1ՂՇՕքմօ

8քււՆ1,Է187-

էՅ,1969 9.

Խքուաք Լ.

Խ1ՅՐՇԵՅՂԱՎՇՇԽԱՇ

ՃՇՐՕԴԵԼ

Խ՛.. ՇՂԳՂԱԸ՛ 11114141.

ԽՈոք,1975 10.

Խոր»

2. 8., ԽՅւԵոսօտ

Խ/., 810161 քաա8,

11. Ի.,

/ՂՇ'ՊՕ,

16քօշօղոտտ Ճ.

Ճ.

Յոօ-

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

11.

ՃօՄոօքԻ. ոո

ԷԿՈՆՈՄԵՏՐԻԿԱ

ԾՔՇճՏԱՇ

հ/., 1էԼՓՔՃ-

Տ56ՕԻՕԿՇՆքՈա».

Ք/Տոնօ6

ԽԼ, 1997.

25.

12. (ՇՕ8ՇՆՕՒՆ շթ.

ՀամբարձումյանԳ. Հ.

Հավանականություններիտեսու-

հրատարակչություն,1977

Ա.Պողոսյան,Վ.Դավթյան. Հավանականություններիտեսության

վիճակագրությանխնդիրմաթեմատիկական

ների լուծման ձեռնարկ,Երնան.,Տնտեսագետ, 1997 15.

Շսյ8ռն, ՕՅոոօմճր Կ.: ԲՏտճոնՁ/Տ Օօ ԲՇՕոՕ/6(ո6Տ, 24 60., 1999. |Բոո/Մ/ՇՕրՅտ-Ւիյ,

16.

Շսյռն,

ճոօժո

ՔԹռտ:Շ քՔ.ճռոօօրՇՏ,

Կ.

3մ

69.,

1995.

ԽՇՇՐՅՁԿ-ՒՒԱ,

17.

Շոմրլհտ,Մոտ

Է., Ք. Շող6

Ւ|||Ձոմ

Շ6օոց6 ՕՇ. մսմց6:

Լօճրորոց ձճոժ Քիռշնցոց քԷՇօոօտճոօտ,

մօհո

ՄՈԲ

ՏՕօոՏ,Ա6տ `/օու, 1993. 18.

Հայաստան. Տնտեսական միտումներ. Եռամսյակային

թողարկում,հունվար-մարտ,2001 19.

Հայաստանի Հանրապետության սոցիալ-տնտեսական

վիճակը,2000 20.

օւ 21.

22.

թ.

հունվար-դեկտեմբերին

ԸԶ76Շոճ, ՒԼ. Մ/կռո.:

ՔԷՇօոօծ(ոՇ

/4Ո2/յ/ՏՏ, 4 64..Ա66

ՍոխոՏէ/, 2000.

ՇհԹռոց,Շ. ճՃքհճ.: Բսոժճծոէը/

Խ/6(հՕՕՏ ՕՒ Խ/Ձ(Ո6ՈՈՅԱՇՅ/

քՔՇՕոօ/1/6Տ,34 60., Ս/Շ-Յտ-ՒԼԼ,

1984.

Էոմ6ոՏ, Մ/ՁԱՇ-. /4քք/6Ժ ՔՇօոօտօոՇ

հոծ

Տճոծտ, մօհո

ՄՄ/7 ձ ՏօոՏտ,Ատ `/ՕՈ., 1995. 23.

մօհոտլօո, մօհո.

Շօրքճո», ԱՄ 24.

Կո,

ԲՇօոօ6ոՇ

18/6(ոօօ5. ՄՇՇՐՅՊ-Ւնն 8օօք

`/օ0Ու,1984.

ԼՁՅաւճոօճ

Ք.

(ո

/ԱՕԺԱՇիօո

քՔՇօոօր6(6Տ,

Էլի, ԲոցլթաօօժՇիքտ, Պ.)., 1974.

ՇՕ|ԱԵՇոցծո,Ճ. Խշօուճո,

27.

Օ/ ԲՇօոռօոծ1ո6Տ,24 69..,

էԱտլո,ԼՅարթոօօ Թ.: /4 721500/ Քրոնօօ

26.

թյուն, Երնան, «Լույս» 14.

Խ/1., Շծ-

1աՇՆոՒՑ,

13.

ԿՇՐՕՃԵԼ

ԹԵՕԵՕԿՇՐՔՔԱԿԾԸԾՔԾ

ԷՅի, Բոցլաօօժ ՇԱՅՏ, ԿՎ.)., 1962.

Տ.:70269

ՊցԹՏՏՕո

ոմկյտ)5,

ԱՇԱ `/օու, 1968.

ՇՓ|ԺԵ6ոց6-,Ճ. Տ.:

ՇՕԶԱՒՏ6 տ ԲՇօոօօէոճտ,

ՍորոՏ18/ք՛6ՏՏ, ՇՅՈեոցց6, ԽԹՏՏ.,

1991.

Էռո/ճոմ

Ղուշչյան Լուսինե Համազի Թերզյան Տի գրան Հարությունի Դավթյան Լուսինե

Ալեքսանդրի

Տարրական

Էկոնոմետրիկա

Մասն. Հ. Բ. խմբագիր`

Տեխ.խմբագիր` Ա.

Շարվածքը՝Ա. Սրբագրիչ

Ղուշչյան

Մանուչարյան Աբրահամյան,

Գ. Աղամալյան Ռ. Վարդանյան

Ձնավորումը Ա. Մանուչարյան, .

Գասպարյան

Թուղթ՝ օֆսեթ6084

1/16: Տպագ րություն՝ օֆսեթ:17,5 Պա տվեր՝ 56:

տպ. մալ):

Տպաքանակ՝ 1000:

«ԶԵՍԹ» հրատ., է «Ամարաս» Տպագրված

տպարանում Երնան, Տերյան44