Վերլուծական երկրաչափություն
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- Հայերեն
- Առարկա:
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- 2026
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ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ
Վ. Ա. ՓԻԼԻՊՈՍՅԱՆ, Հ. Հ. ՕՀՆԻԿՅԱՆ
ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ
ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ
Դասագիրք
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Ðî¸ 514.12¥076.1¤ ¶Ø¸ 22.151.5ó7 ö 553 ՀՀ ԿԳ նախարարության կողմից հաստատվել է որպես բուհական դասագիրք
Ðñ³ï³ñ³ÏáõÃÛ³Ý ¿ »ñ³ß˳íáñ»É
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ì. ². öÆÈÆäàêÚ²Ü, Ð. Ð. úÐÜÆÎÚ²Ü ì»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ë³·Çñù/ ì. öÇÉÇåáëÛ³Ý, Ð. úÑÝÇÏÛ³Ý. -ºñ.: ºäÐ Ññ³ï., 2018 Ã., 224 ¿ç:
¸³ë³·ÇñùÁ ϳ½Ùí»É ¿ ºñ¨³ÝÇ å»ï³Ï³Ý ѳٳÉë³ñ³ÝÇ Ù³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ ¨ ٻ˳ÝÇϳÛÇ ý³ÏáõÉï»ïÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ³ÙμÇáÝáõÙ §ì»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõݦ ³é³ñϳÛÇ ¹³ë³í³Ý¹Ù³Ý ·áñÍáÕ Íñ³·ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¨ ݳ˳ï»ëí³Í ¿ ÐÐ μáõÑ»ñÇ μݳ·Çï³Ï³Ý ý³ÏáõÉï»ïÝ»ñáõÙ ëáíáñáÕ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
Ðî¸ 514.12¥076.1¤ ¶Ø¸ 22.151.5ó7
ISBN 978-5-8084-2330-5 ¡ ºäÐ Ññ³ï., 2018 ¡ ì. ². öÇÉÇåáëÛ³Ý, Ð. Ð. úÑÝÇÏÛ³Ý, 2018
´àì²Ü¸²ÎàôÂÚàôÜ Ü³Ë³μ³Ý .......................................................................................................... 5 ¶ÉáõË ³é³çÇÝ£ ì»Ïïáñ³Ï³Ý ѳßÇí ¢ 1. ì»ÏïáñÝ»ñ, ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñ................................................................. 8 ¢ 2. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ£ ²½³ï í»ÏïáñÁ áñå»ë ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ........................................................................... 11 ¢ 3. ì»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáõÙÝ áõ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ãíáí ............................ 19 ¢ 4. ì»ÏïáñÝ»ñÇ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¨ ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ........................ 25 ¢ 5. ¶Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñ, μ³½Çë, ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝ .................. 32 ¢ 6. ì»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ¨ Ýñ³ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ ................... 37 ¢ 7. ì»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ............................................... 42 ¢ 8. ì»ÏïáñÝ»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ...................................... 47 ¢ 9. ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ë³éÁ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ................................................... 51 ¶ÉáõË »ñÏñáñ¹: Îáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ¢ 10. гñÃáõÃÛ³Ý ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ£ гïí³ÍÇ μ³Å³ÝáõÙÁ ïñí³Í ѳñ³μ»ñáõÃÛ³Ùμ.............. 57 ¢ 11. ²ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÁ ...................................................................................................... 62 ¢ 12. гñÃáõÃÛ³Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÁ .......................................................................... 67 ¶ÉáõË »ññáñ¹: àõÕÇÕÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¢ 13. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ: гÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñ ................................................................................ 75 ¢ 14. àõÕÕÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý, ϳÝáÝ³Ï³Ý ¨ ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ........................................................................ 79 ¢ 15. ºñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷á˳¹³ñÓ ¹ÇñùÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ....................... 84 ¢ 16. àõÕÇÕÝ»ñÇ ÷áõÝç, ÷ÝçÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ................................................ 85 ¢ 17. àõÕÕáí áñáßíáÕ ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ................................................ 87 ¢ 18. ºñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ, ÙÇ áõÕÕÇó ÙÇÝ㨠ÙÛáõë áõÕÇÕÝ ÁÝÏ³Í ³ÝÏÛáõÝÁ......................................................................... 90 ¢ 19. àõÕÕÇ ÝáñÙ³íáñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÁ, Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ áõÕÕÇó................................................................................................................ 94 ¶ÉáõË ãáññáñ¹£ ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý ï»ëáõÃÛáõÝ ¢ 20. ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛáõÝÁ, Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ Ïáñ»ñ.................................. 97 ¢ 21. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ï»ë³Ï³íáñáõÙÝ Áëï ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ .......................................................................................... 105 ¢ 22. ¾ÉÇåë, ï»ëùÁ, Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ......................................113 ¢ 23. ¾ÉÇåëÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ, ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ................ 117 ¢ 24. ÐÇå»ñμáÉ, ï»ëùÁ, ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ......................................................122 ¢ 25. ÐÇå»ñμáÉÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ¨ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ .......... 125
¢ 26. ä³ñ³μáÉ, ï»ëùÁ, ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ..................................131 ¢ 27. ¾ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ·³·³ÃÇÝ ÏÇó Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ............................................................. 135 ¢ 28. ¾ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ 쨻é³ÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ .................................................................... 138 ¢ 29. ¾ÉÇåëÁ, ÑÇå»ñμáÉÁ ¨ å³ñ³μáÉÁ áñå»ë ÏáÝ³Ï³Ý Ñ³ïáõÛÃÝ»ñ .................................................................................................... 142 ¶ÉáõË ÑÇÝ·»ñáñ¹£ ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÁݹѳÝáõñ ï»ëáõÃÛáõÝ ¢ 30. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³ïáõÙÝ áõÕÕÇ Ñ»ï ......................................... 146 ¢ 31. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ .............148 ¢ 32. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ßáß³÷áÕÝ»ñÁ................................................ 151 ¢ 33. ¾ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ ßáß³÷áÕÝ»ñÇ ÏÇëáñ¹³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ...........................................................................................155 ¢ 34. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ................................................ 160 ¢ 35. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ïñ³Ù³·Í»ñÁ .................................................165 ¢ 36. öá˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñ ................................................................................. 169 ¢ 37. ÎáñÇ ïñ³Ù³·ÍÇ ¨ ³Û¹ ïñ³Ù³·ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ïáí ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ............................................173 ¢ 38. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ¨ Ýñ³Ýó ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÁ ............................................... 175 ¢ 39. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÝáõÛݳϳݳóÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ .......................180 ¢ 40. ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ..........................184 ¢ 41. »áñ»Ù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ¨ ÙdzÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ ........192 ¢ 42. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛ³Ý ¨ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.................................................................. 195 ¢ 43. Îáñ»ñÇ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áñáßáõÙÁ ........................................198 ¢ 44. ¶É˳íáñ ïñ³Ù³·Í»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ....................................... 202 ¢ 45. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÁ ...................... 204 ¢ 46. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÏÇë³ÇÝí³ñdzÝïÁ ...................................... 212 ¢ 47. ØdzϻÝïñáÝ Ïáñ»ñÇ ï»ë³ÏÇ ¨ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ áñáßáõÙÁ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñáí .............................................. 215 ¢ 48. ä³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÇ ï»ë³ÏÇ ¨ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ áñáßáõÙÁ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñáí ...............................................217 Èñ³óáõóÇã ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ .............................................................................223
ܲʲ´²Ü ä³ïٳϳÝáñ»Ý í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ³é³ç³ó»É ¿ áñå»ë »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý μ³ÅÇÝ, áñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ñ½³·áõÛÝ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÝ »Ýª Ï»ï»ñ, áõÕÇÕÝ»ñ, ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ, »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñ, »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñ£ ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý ÙÇçáóÝ»ñÁ »Õ»É »Ý Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á ¨ ï³ññ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßÇíÁ£ ijٳݳÏÇ ÁÝóóùáõÙ ³Ûë ³Ù»ÝÁ »ÝóñÏí»É ¿ áñáß³ÏÇ ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ£ سëݳíáñ³å»ë, ³ÛÅÙ ¹Åí³ñ ¿ å³ïÏ»ñ³óÝ»É í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóó ³é³Ýó í»Ïïáñ³Ï³Ý ѳßÇí, »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ, ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ μ³ÅÇÝÝ»ñÇ£ ì»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É μ³½Ù³ÃÇí ¹³ë³·ñù»ñÇó, ÝÛáõÃÇ μ³½Ù³½³Ý ¨ ÉdzñÅ»ù Áݹ·ñÏÙ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É »ñÏáõëÁª ä․ ê․ ²É»ùë³Ý¹ñáíÇ [1] ¨ Ø․ Ø․ äáëïÝÇÏáíÇ [2] ٻݳ·ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ âÝ³Û³Í »ñÏáõëÝ ¿É áõÝ»Ý ïå³íáñÇã ͳí³ÉÝ»ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³Ý μ³ÅÇÝÝ»ñ, áñáÝù ãÏ³Ý ÙÛáõëáõÙ£ Üϳï»Ýù, áñ û° Ù»ÏÁ ¨ û° ÙÛáõëÁ ݳ˳ï»ëí³Í ã»Ý áñå»ë ¹³ë³·Çñù ÙÇçÇÝ å³ïñ³ëïí³ÍáõÃÛ³Ý ëÏëÝ³Ï áõë³ÝáÕÇ Ñ³Ù³ñ£ Ø»ç μ»ñ»Ýù ÙÇ Ñ³ïí³Í [2] ·ñùÇ Ý³Ë³μ³ÝÇó. §… Настоящая книга не является учебником аналитической геометрии, следующим той или иной определенной программе. Она не предназначена также ни для первоначального изучения аналитической геометрии, ни для самообразования. Наибольшую пользу от нее получит способный и любознательний студент, уже прослушавший курс аналитической геометрии и желающий углубить и систематизировать свои знания, (а не заинтересованный только в сдаче экзамена) ...¦ ì»ñçÇÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñë ÝϳïíáõÙ ¿ ÙÇïáõÙ Ùdzíáñ»Éáõ í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ»ï ÙÇ ¹³ëÁÝóóáõÙ£ ²Ûë Ùáï»óáõÙÝ ³ñ¹³ñ³óí³Í ¿ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ËáëùÁ ·ÝáõÙ ¿ μ³½Ù³ã³÷ ¥3-Çó Ù»Í ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝáí¤ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³éáõó»Éáõ Ù³ëÇÝ, ù³ÝÇ áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ ¿³å»ë ٻͳÝáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹»ñÁ£ ØÇçÇÝ Ï³Ù ÷áùñ ųٳù³Ý³ÏÇ ¹»åùáõÙ ³Ûë Ùáï»óáõÙÁ ãÇ ³ñ¹³ñ³óÝáõÙ Çñ»Ý, ù³ÝÇ áñ í»ñáÑÇßÛ³É ÙdzíáñáõÙÁ ÷³ëïáñ»Ý ÏñáõÙ ¿ ٻ˳ÝÇÏ³Ï³Ý μÝáõÛÃ, ¨ ·áñÍݳϳÝáõÙ, áñå»ë ϳÝáÝ, »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ëïáñ³5
¹³ëíáõÙ ¿ ѳÝñ³Ñ³ßíÇÝ£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ¹³ëÁÝóóÇ ³í³ñïÇÝ ëï³óíáõÙ ¿ ÙÇ Çñ³íÇ׳Ï, »ñμ áõë³ÝáÕÁ ãÇ áõÝ»ÝáõÙ ³Ý·³Ù ÙÇ áñáß å³ïÏ»ñ³óáõÙ ï³ññ³Ï³ÝÇó ï³ñμ»ñíáÕ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý, Ýñ³Ýó ³é³ÝÓݳѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñ۳ɣ Ø»ñ ÏáÕÙÇó ³é³ç³ñÏíáÕ Ó»éݳñÏÁ ÷áñÓ ¿ ëï»ÕÍ»É ÙÇç³ÝÏÛ³É ¹³ë³·Çñù, áñÁ, ѳٳå³ï³ë˳ݻÉáí سûٳïÇϳÛÇ ¨ ٻ˳ÝÇϳÛÇ ý³ÏáõÉï»ïáõÙ Ý»ñϳÛáõÙë ·áñÍáÕ Íñ³·ñÇÝ, ÉÇÝÇ Ù³ïã»ÉÇ ¨ ÁÝûñóíáÕ£ ºÝó¹ñíáõÙ ¿, áñ ³ÛÝ Ûáõñ³óÝ»Éáõ ¹»åùáõÙ áõë³ÝáÕÝ ³Ûɨë Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ Ïáõݻݳ ÇÝùÝáõñáõÛÝ ÏáÕÙÝáñáßí»Éáõ ¨ Ëáñ³Ý³Éáõ í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ³ÛÉ, ³í»ÉÇ μ³ñ¹ μ³ÅÇÝÝ»ñÇ áõëáõÙݳëÇñáõÃÛ³Ý Ù»ç£ ¸³ëÁÝóóÁ ݳ˳ï»ëí³Í ¿ ³é³çÇÝ ÏáõñëÇ ³é³çÇÝ ÏÇë³ÙÛ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ¥ß³μ³Ã³Ï³Ý ÙÇ ¹³ë³ËáëáõÃÛáõÝ ¨ ÙÇ ·áñÍÝ³Ï³Ý å³ñ³åÙáõÝùª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ »ñÏáõ³Ï³Ý ųÙáí¤ ¨ μ³Õϳó³Í ¿ ÑÇÝ· ·ÉËÇóª í»Ïïáñ³Ï³Ý ѳßÇí, Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, áõÕÇÕÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³, »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý ï»ëáõÃÛáõÝ, »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÁݹѳÝáõñ ï»ëáõÃÛáõÝ£ ´Ý³Ï³Ý ¿, áñ ϳñáÕ ¿ ³é³ç³Ý³É áñáß É³ñí³ÍáõÃÛáõÝ ÝÛáõÃÁ ¹³ë³ËáëáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëùáí Ýßí³Í ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ μ³ßË»Éáõ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó£ гßíÇ ³éÝ»Éáí 볪 ¹³ë³·ñùáõÙ ß³ñ³¹ñ³ÝùÁ ϳï³ñ»É »Ýù ³ÛÝå»ë, áñ ¹³ë³ËáëÁ, ·ñ³ï³Ëï³ÏÇ íñ³ μ³ó³ïñ»Éáí ïíÛ³É Ñ³ñóÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ëÁ, ϳñáճݳ ¹»ï³ÉÝ»ñÁ ÃáÕÝ»É áõë³ÝáÕÇÝ ÇÝùÝáõñáõÛÝ ÁÝûñóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ úñÇݳϪ ¹³ë³·ñùáõÙ μ»ñí³Í »Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý μáÉáñ 1-8 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù³Ýñ³Ù³ëÝ ³å³óáõóáõÙÝ»ñÁ£ ¸³ë³ËáëÁ ϳñáÕ ¿ Çñ ѳۻóáÕáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõó»É ¹ñ³ÝóÇó Ù»Ï-»ñÏáõëÁª ÙÛáõëÝ»ñÁ ÃáÕÝ»Éáí áõë³ÝáÕÇÝ áñå»ë ÇÝùÝáõñáõÛÝ ³ß˳ï³Ýù£ γ٠μ³ó³ïñ»Éáí ¿ÉÇåëÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ¨ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ÑÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõ٠ϳñáÕ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ïí»É ѳٳå³ï³ëË³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó¨³Ï»ñåáõÙÝ»ñáíª Ùݳó³ÍÁ ÃáÕÝ»Éáí áõë³ÝáÕÇÝ£ гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ ³é³çÇÝ ÏÇë³ÙÛ³ÏáõÙ áõë³ÝáÕÁ ¹»é ãáõÝÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ·Çï»ÉÇùÝ»ñ ½áõ·³Ñ»é³μ³ñ ϳñ¹³óíáÕ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóóÇó, Ó·ï»É »Ýù ³å³Ñáí»É ¹³ë³·ñùÇ ³ÙμáÕç³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõ ³ÝϳËáõÃÛáõÝÁ£ ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ññ³Å³ñí»É »Ýù áñáß ËñÃÇÝ ï»ËÝÇÏ³Ï³Ý ÙÇçáóÝ»ñÇ û·ï³·áñÍáõÙÇóª ÷á˳ñÇÝ»Éáí ¹ñ³Ýù ï³ññ³Ï³Ý ¨ Ñ»ßï Ûáõñ³óíáÕ ÙÇçáóÝ»ñáí, ϳ٠¿É
³ÝÑñ³Å»ßï ÏáÕÙݳÏÇ ÝÛáõÃÁ ß³ñ³¹ñ»É »Ýù Ñݳñ³íáñÇÝë å³ñ½»óí³Í ï³ñμ»ñ³Ïáí£ úñÇݳϪ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ áõëáõÙݳëÇñáõÃÛáõÝÁ ß³ñ³¹ñ»ÉÇë ë³Ñٳݳ÷³Ïí»É »Ýù ÙdzÛÝ Ñ³Ù³ë»é ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ¹»åùáíª Ëáõë³÷»Éáí ³ÛÝ ³Ù»ÝÇó, ÇÝãÁ ϳåí³Í ¿ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Ç ϳ٠·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï£ Î³Ù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ ß³ñ³¹ñ»ÉÇë Ýå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ·ï³Ýù ¥³é³ÛÅÙ¤ Ëáõë³÷»É ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý û·ï³·áñÍáõÙÇóª ³å³óáõóáõÙÝ»ñÁ ϳï³ñ»Éáí ï³ññ³Ï³Ý ÙÇçáóÝ»ñáí£ ê³ ³ñ¹³ñ³óí³Í ¿ Ýñ³Ýáí, áñ ïíÛ³É ¹»åùáõÙ ÑÇÙݳϳÝÁ ÇÝí³ñdzÝïÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ ³å³óáõóÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁª »ñÏñáñ¹³Ï³Ý£ Ø»Ýù ϳñ¨áñáõÙ »Ýù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»ñÁ í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ ¨ ¹ñ³Ýù Ý»ñÙáõÍáõÙ »Ýù ù³ÛÉ ³é ù³ÛÉ Ñ»Ýó ëϽμÇó£ ÆëÏ ¹ñ³Ýó ï»ëáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·í³Í ß³ñ³¹ñÙ³ÝÁ ϳݹñ³¹³éݳÝù ¹³ë³·ñùÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëáõÙ, áñÁ ÉáõÛë Ïï»ëÝÇ, »ñμ ¹ñ³ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ μ³í³ñ³ñ
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²Ýßáõßï Ù»ñ Ùáï»óáõÙÝ»ñáõÙ ³éϳ »Ý áñáß ï³ññ»ñ, áñáÝù ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É íÇ×»ÉÇ£ ²ÛÝå»ë áñª ³é³ç³ñÏíáÕ ¹³ë³·ÇñùÁ å»ïù ¿ ¹Çï»É áñå»ë ï³ñμ»ñ³Ï ¨ áã û å³ñï³¹ñ³Ýù£ ²ñ¹Ûá±ù Ù»ñ ï³ñμ»ñ³ÏÁ É³í ¿, û í³ï, í»ñçÝ³Ï³Ý ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ áõë³ÝáÕÇÝ£ Üñ³Ýó ѳٳñ, áíù»ñ í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ÇÝùÝáõñáõÛÝ áõëáõÙݳëÇñ»Éáõ Ýå³ï³Ïáí ÏÁÝïñ»Ý Ù»ñ ¹³ë³·ÇñùÁ, ï»ùëïáõÙ μ»ñí³Í »Ý áã Ù»Í ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùμ ËݹÇñÝ»ñ, áñáÝù ϳ٠Éñ³óÝáõÙ »Ý ³ÛÝ, ϳ٠áõÝ»Ý ëïáõ·áÕ³Ï³Ý μÝáõÛÃ: ²é³ç³ñÏáõÙ »Ýù Ó»éùÇ ï³Ï áõÝ»Ý³É Ñ»ÕÇݳÏÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý [4] Ëݹñ³·ÇñùÁ, áñï»Õ μ»ñí³Í »Ý μ³½Ù³ÃÇí ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ¨ ÉáõÍÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÝ»ñ£ àñáß Ñ³ñó»ñÇ ³í»ÉÇ Ù³Ýñ³Ù³ëÝ Í³ÝáóݳÉáõ Ýå³ï³Ïáí ¹³ë³·ñùÇ í»ñçáõÙ ³é³ç³ñÏíáõÙ ¿ Éñ³óáõóÇã ·ñ³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ:
¶ÈàôÊ ²è²æÆÜ ìºÎîàð²Î²Ü вÞÆì ¢ 1. ìºÎîàðܺð, ²¼²î ìºÎîàðܺð ì»Ïïáñ³Ï³Ý ѳßíÇ ÑÇÙùáõÙ ÁÝÏ³Í »Ý ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÁ ¨ Ýñ³Ýó Ñ»ï ϳï³ñíáÕ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ÐÇÙÝ³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ãáñëÝ »Ý` í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáõÙÁ, μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ãíáí, ëϳÉÛ³ñ ¨ í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï³ñ·³íáñí³Í ϻﳽáõÛ·Á, áñáÝóÇó Ù»ÏÁ ѳٳñíáõÙ ¿ ³é³çÇÝÁ, ÇëÏ ÙÛáõëÁ` »ñÏñáñ¹Á, ÏáãíáõÙ ¿ í»Ïïáñ: ²Û¹ Ï»ï»ñÇó ³é³çÇÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý í»ÏïáñÇ ëϽμݳϻï, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` í»ñçݳϻï: ØdzóÝ»Éáí ëϽμݳϻïÁ í»ñçݳϻïÇݪ í»ÏïáñÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É áõÕÕáñ¹í³Í ѳïí³ÍÇ ï»ëù: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áñͳÍíáõÙ »Ý ( A, B) , AB ϳ٠AB Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ, áñï»Õ A -Ý í»ÏïáñÇ ëϽμݳϻïÝ ¿, ÇëÏ B -Ý` í»ñçݳϻïÁ: ì»Ïïáñ AB -Ç »ñϳñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ AB ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ AB -áí, | AB | -áí ϳ٠| AB | -áí: ºÃ» í»ÏïáñÇ ëϽμݳϻïÝ áõ í»ñç ݳϻïÁ ÝáõÛÝÝ »Ý, ³ÛëÇÝùݪ AA , BB , ® ï»ëùÇ ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇ í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳٳñíáõÙ ¿ 0: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ»ï áñáß³ÏÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ë³ÑٳݻÉáõ Ýå³ï³Ïáí Ý»ñÙáõÍíáõÙ ¿ ³½³ï í»ÏïáñÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ: ²½³ï í»ÏïáñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ϳ »ñÏáõ Ùáï»óáõÙ: ²é³çÇÝ »Õ³Ý³ÏÇ ¹»åùáõÙ, ÇÝãå»ë ¹åñáó³Ï³Ý ·áñÍáÕ ¹³ë³·ñù»ñáõÙ ¿, »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñ ѳٳñíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ,
»Ã» ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ Ýñ³Ýó ëϽμݳϻï»ñÝ áõ í»ñçݳϻï»ñÁ ÙdzóÝ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ, ¨ ϳ٠¿É Ýñ³Ýù ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ »ñϳñáõ8
ÃÛáõÝÝ»ñ ¨ áõÕÕí³Í »Ý ÝáõÛÝ ÏáÕÙÁ: ²ÛÝ, ÇÝã ëï³óíáõÙ ¿ ³Ûë ÝáõÛݳóáõÙÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ, ÏáãíáõÙ ¿ ³½³ï í»Ïïáñ: ²Ûë Ùáï»óáõÙÁ í»ÏïáñÇ Ñ³ëϳóáõÃÛ³Ý ÑÇÙݳíáñÙ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó ³ÛÝù³Ý ¿É ѳçáÕ ã¿: ºñÏñáñ¹ »Õ³Ý³ÏÇ ÑÇÙùáõÙ ÁÝÏ³Í ¿ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, ÇÝãå»ë Ýßí³Í ¿ í»ñÁ, ³å³ ¹ñ³Ýù ѳٳñíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù ¥Ñ³í³ë³ñ ѳٳñíáõÙ »Ý ÙdzÛÝ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ѳÙÁÝÏ³Í í»ÏïáñÝ»ñÁ¤: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³½³ï í»ÏïáñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë ÙÇÙÛ³Ýó ѳٳñÅ»ù μáÉáñ Ñݳñ³íáñ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙμáõÃÛáõÝ ¥Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë¤: Æñ»Ýù` í»ÏïáñÝ»ñÁ ¥áõÕÕáñ¹í³Í ѳïí³ÍÝ»ñÁ¤, ÏáãíáõÙ »Ý ïíÛ³É ³½³ï í»ÏïáñÇ Ý»ñϳ۳óáõóÇãÝ»ñ: ²½³ï í»ÏïáñÝ»ñÝ ³ñ¹»Ý ãáõÝ»Ý ëϽμÝ³Ï»ï ¨ í»ñçݳϻï: ²Û¹ ÇëÏ å³ï ׳éáí Ýñ³Ýó ѳٳñ ·áñͳÍíáõÙ »Ý a , b , ® Ý߳ݳÏáõÙ Ý»ñÁ: سëݳíáñ³å»ë AA , BB , ® ï»ëùÇ μáÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ѳٳñíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù: ¸ñ³Ýóáí áñáßíáÕ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ³½³ï í»Ïïáñ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ 0 -áí: Üß»Ýù, áñ ³½³ï í»ÏïáñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ý³¨ áñå»ë ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: ²½³ï í»ÏïáñÁ ÉÇáíÇÝ áñáßíáõÙ ¿ Çñ áñ¨¿ Ý»ñϳ۳ óáõóãáí: Ð³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáÕ §ïñí³Í ¿ a AB í»ÏïáñÁ¦ ³ñ ï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ å»ïù ¿ ϳñ¹³Éª §ïñí³Í ¿ a ³½³ï í»Ï ïáñÝ Çñ AB Ý»ñϳ۳óáõóãáí¦: ²ÛÝáõÑ»ï¨ §ÏÇñ³é»Ýù a í»ÏïáñÝ A Ï»ïÇó¦ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿` §¹Çï³ñÏ»Ýù a ³½³ï í»ÏïáñÇ ³ÛÝ Ý»ñϳ۳óáõóÇãÁ, áñÇ ëϽμݳϻïÁ A -Ý ¿¦: Üϳï»Ýù, áñ ó³Ýϳó³Í ³½³ï í»Ïïáñ ϳñáÕ ¿ ÏÇñ³éí»É ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇó: ºñÏáõ a ¨ b ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñ ѳí³ë³ñ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¥ÝáõÛÝÝ »Ý¤, »Ã» Ýñ³Ýù ϳ½Ùí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ý»ñϳ۳óáõóÇãÝ»ñÇó:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: ¶áñÍݳϳÝáõÙ a b ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ μ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ a -Ý ¨ b -Ý áõÝ»Ý áñ¨¿ ÁݹѳÝáõñ Ý»ñϳ۳óáõóÇã: ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ³å³óáõó»É í»ñÁ Ó¨³Ï»ñåí³ÍÁ: ØÇ ù³ÝÇ í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳ·ÇÍ ¥Ñ³Ù³Ñ³ñä, »Ã» ÙÇ Ï»ïÇó ÏÇñ³é»ÉÇë Ýñ³Ýù ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áñ¨¿ áõÕÕÇ ¥ÙÇ áñ¨¿ ѳñÃáõÃ۳ݤ íñ³: ºÃ» a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³å³ ·ñáõÙ »Ýù a || b : ¼ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÁ ѳٳñíáõÙ ¿ ѳٳ·ÇÍ ó³Ýϳó³Í í»ÏïáñÇÝ: ²ÛëáõÑ»ï¨ [ AB) ׳鳷³Ûà ³ë»Éáíª ÏѳëϳݳÝù AB áõÕÕÇ íñ³ ÁÝϳÍ, A ëϽμݳϻïáí ¥·³·³Ãáí¤ ³ÛÝ ×³é³·³ÛÃÁ, áñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ B Ï»ïÁ: ä³ñ½ ¿, áñ ÝáõÛÝ ëϽμݳϻïáí »ñÏáõ [ AB ) ¨ [ AC ) ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ÏѳÙÁÝÏÝ»Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ C [ AB) , ϳ٠B [ AC ) : àã ½ñáÛ³Ï³Ý a AB ¨ b AC »ñÏáõ ѳٳ·ÇÍ í»Ïïáñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳÙáõÕÕí³Í ¥Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a b ¤, »Ã» [ AB ) ¨ [ AC ) ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý, ¨ ÏáãíáõÙ »Ý ѳÏáõÕÕí³Í ¥Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a b ¤ ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ:
¢ 2. ºðÎð²â²ö²Î²Ü Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺ𣠲¼²î ìºÎîàðÀ àðäºê ¼àô¶²Ðºè îºÔ²öàÊàôÂÚàôÜ ì»ñ³¹³éݳÝù ¢ 1-áõÙ ùÝݳñÏí³Í ³½³ï í»ÏïáñÇ Ñ³ëϳóáõÃÛ³ÝÁ, áñï»Õ Ýßí»ó, áñ ³½³ï í»ÏïáñÁ ϳñáÕ ¿ ë³ÑÙ³Ýí»É ݳ¨ áñå»ë ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ£ ê³ å³ñ½³μ³Ý»Éáõ ѳٳñ ·³Ýù ÙÇ ÷áùñ Ñ»éíÇó£ ºñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝóóÁ ϳ½Ùí³Í ¿ »ñÏáõ μ³ÅÝÇóª ѳñóã³÷áõÃÛáõÝ ¨ ï³ñ³Í³ã³÷áõÃÛáõÝ, áñï»Õ áõëáõÙݳëÇñíáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÝ áõ Ýñ³Ýó ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñ ³ë»Éáíª Ñ³ëϳÝáõÙ »Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ áñáß³ÏÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ ³é³ÝÓݳóíáõÙ ¿ ÙÛáõë Ï»ï»ñÇó áñáß³ÏÇ Ñ³ïϳÝÇßÝ»ñáí, áñáÝó ³Ýí³ÝáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ£ Ð³×³Ë ³Û¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ »Ý Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí£ úñÇݳϪ O Ï»ÝïñáÝáí ¨ r ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ, áñå»ë »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ r Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ O Ï»ïÇó£ ²é³çÇÝ Ï³ñ¨áñ³·áõÛÝ ËݹÇñÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³éáõó»ÉÇë, »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛ³Ý Ý»ñÙáõÍáõÙÝ ¿£ ºñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ »ñÏáõ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñ ¥ûñÇݳϪ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñ¤ ѳٳñíáõÙ »Ý ÝáõÛݳϳݳóí³Í ¥Ñ³í³ë³ñ¤, »Ã» ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñ³¹ñáõÙáí ѳÙÁÝÏ»óÝ»É ÙÛáõëÇ Ñ»ï£ ì»ñ³¹ñáõÙáí ѳÙÁÝÏ»óÝ»É Ý߳ݳÏáõÙ ¿ å³ïÏ»ñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ, ï»Õ³÷áË»Éáí ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, ï»Õ³¹ñ»É ÙÛáõë å³ïÏ»ñÇ íñ³ ³ÛÝå»ë, áñ ÙÇ å³ïÏ»ñÇ Ï»ï»ñÁ ¹³éÝ³Ý Ï»ï»ñ ݳ¨ ÙÛáõë å³ïÏ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ѳϳé³ÏÁ£ Àݹ áñáõÙª »Ýó¹ñíáõÙ ¿, áñ ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý áÕç ÁÝóóùáõÙ ï»Õ³÷áËíáÕ å³ïÏ»ñÇ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÙÝáõÙ ¿
³Ý÷á÷áË£ ²Ûë ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ñëï³Ï»óáõÙÁ Ù»½ μ»ñáõÙ ¿ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛ³ÝÁ£ ¸Çóáõù X -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥Ï³Ù ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ μáÉáñ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ f -Á ÙÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¿, áñÁ X -Ç ³Ù»Ý ÙÇ x Ï»ïÇ ÙÇ áñáß³ÏÇ Ï³ÝáÝáí ѳٳå³ï³ë˳ݻóÝáõÙ ¿ ÝáñÇó X -Ç ÙÇ áñáß³ÏÇ Ï»ï, áñÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ f ( x) -áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ x Ï»ïÇ Ï»ñå³ñ£ ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ áõÝ»Ýù X μ³½ÙáõÃÛ³Ý f Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, ¨ ·ñ³éáõÙ »Ý ³ÛÝ f : X X £ ºÃ» x Ï»ïÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ f ( x) x , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ x Ï»ïÁ ÙÝáõÙ ¿ ³Ýß³ñÅ f Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ£ ºÃ» A -Ý X -Ç áñáß Ï»ï»ñÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ f ( A) -áí Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ X -Ç μáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·áÝ» ÙÇ Ï»ïÇ Ï»ñå³ñ ¿£ ²Û¹ B f ( A) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ñå³ñ f Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ£ ²ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ f Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ B »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³£ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: f : X X Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ X -Ç Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ å³Ñå³ÝáõÙ ¿ X -Ç ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£ ²ÛëÇÝùݪ »Ã» ( x1 , x2 ) -áí Ý߳ݳϻÝù x1 ¨ x2 Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿, áñ ÙÇßï ï»ÕÇ áõݻݳ ( x1 , x2 ) ( f ( x1 ), f ( x2 )) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²ÛÅ٠ϳñ»ÉÇ ¿ ×ßï»É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥Ï³Ù ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ Ù»ç »ñÏáõ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ ³ÛÝåÇëÇ Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÝ ³Û¹ å³ïÏ»ñÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ÙÛáõëÇ íñ³£
²Ûë ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ÇÙ³ëïáí, ³ñ¹»Ý ÇëÏ »ñÏáõ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÝ ³ñï³Í»ÉÇë ѳñó ¿ ³é³ç³ÝáõÙª ÇëÏ áñá±Ýù »Ý ¨ áñù³±Ý »Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ êïáñ¨ ÏÝϳñ³·ñ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ 1. гñÃáõÃÛ³Ý ¥ÇÝãå»ë ݳ¨ ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ f Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ÁÝóóùáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ μáÉáñ Ï»ï»ñÁ ï»Õ³÷áËíáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ ã³÷áí ¨ ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùμ£ ²ÛëÇÝùݪ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ A ¨ B Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» A1 f ( A) , ¨ B1 f ( B) , ³å³ AA1 BB1 , AA1 || BB1 :
ä³ñ½ ¿, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÙÇßï ( A, B) ( f ( A), f ( B)) , ¨ ѻ勉μ³ñ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿£ лßï ¿ Ýϳï»É, áñ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ áõÕÕ³ÏÇ ³éÝãáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³½³ï í»ÏïáñÇ Ñ»ï£ Æñáù, »Ã» áõÝ»Ýù a ³½³ï í»Ïïáñ, ³å³ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ ³Ù»Ý ÙÇ M Ï»ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÝ»Éáí a MN í»ÏïáñÇ N ͳÛñ³Ï»ïÁª ëï³ÝáõÙ »Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ£ ÖÇßï ¿ ݳ¨ ѳϳé³ÏÁª ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ ³Ù»Ý ÙÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ ³½³ï í»Ïïáñ áñ¨¿ AA1 Ý»ñϳ۳óáõóãáí, áñï»Õ A1 f ( A) £ 2. гñÃáõÃÛ³Ý Ñ³çáñ¹ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý åïáõÛïÝ»ñÝ »Ý Çñ Ï»ï»ñÇ ßáõñç£
гñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ A Ï»ïÇ ßáõñç áñ¨¿ ³ÝÏÛáõÝáí åïáõÛïÁ ųÙëɳùÇ åïáõÛïÇ Ï³Ù Ýñ³Ý ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ ÙÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ ÁÝóóùáõÙ A Ï»ïÁ ÙÝáõÙ ¿ ³Ýß³ñÅ, ÇëÏ ó³Ýϳó³Í ³ÛÉ B Ï»ïÇ B1 Ï»ñå³ñÁ ëï³óíáõÙ ¿ AB ß³é³íÕÇ åïïáõÙáí A Ï»ÝïñáÝÇ ßáõñç Ýßí³Í áõÕÕáõÃÛ³Ùμ ³ÝÏÛáõÝáí£
ø³ÝÇ áñ ∆ABC = ∆A1B1C1, áõëïÇ ( B, C ) ( B1 , C1 ) ó³Ýϳó³Í B ¨ C Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ: л勉μ³ñ Ï»ïÇ ßáõñç åïáõÛïÁ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿£ 3. гñÃáõÃÛ³Ý ÙÛáõë ϳñ¨áñ ï»ë³ÏÇ Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ£ ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ 먻é³Í ¿ ÇÝã áñ áõÕÇÕ, ³å³ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ³Û¹ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÙÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ -Ç μáÉáñ Ï»ï»ñÁ ÙÝáõÙ »Ý ³Ýß³ñÅ, ÇëÏ ó³Ýϳó³Í ³ÛÉ A Ï»ïÇ A1 Ï»ñå³ñÁ A -Ç Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÝ ¿ -Ç ÝϳïÙ³Ùμª AA1 , AA1 A0 ¨ AA0 A0 A1 ¥ï»°ë ÝϳñÁ¤:
ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ³å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ A ¨ B Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ( A, B) ( A1 , B1 ) , áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿£ ²Ý¹ñ³¹³éݳÉáí ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýϳñ³·ñ»Éáõ ËݹñÇݪ Ýϳï»Ýù, áñ ¹ñ³Ýù ã»Ý ëå³éíáõÙ í»ñÁ Ãí³ñÏ³Í »ñ»ù ï»ë³ÏÇ Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí, μ³Ûó ϳñáÕ »Ý Ý»ñϳ۳óí»É ¹ñ³Ýó ѳٳ¹ñáõÛÃÝ»ñáí£ ²ëí³ÍÁ ѳëϳݳÉÇ ¹³ñÓÝ»Éáõ ѳٳñ Ý³Ë å³ñ½³μ³Ý»Ýù »ñÏáõ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ£ ºÃ» áõÝ»Ýù X μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñª f : X X ¨ g : X X , Ý³Ë ÏÇñ³é»Éáí x X Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ f Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ¨ ³å³ f ( x) Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ g Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁª Ïëï³Ý³Ýù g ( f ( x)) X Ï»ïÁ£ гٳ¹ñ»Éáí x Ï»ïÇÝ g ( f ( x)) Ï»ïÁª Ïëï³Ý³Ýù ÙÇ Ýáñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ f g ëÇÙíáÉáí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ f ¨ g Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛà ¥·áõÙ³ñ¤£ ²ÛëåÇëáíª ( f g ) : X X ѳٳ¹ñáõÛÃÁ ó³Ýϳó³Í x X Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÝáõÙ ¿ g ( f ( x)) Ï»ïÁ£ ºàðºØ 1£ ºÃ» f -Á ¨ g -Ý X μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ Ýñ³Ýó f g ѳٳ¹ñáõÛÃÁ ¨ë ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿£ Æñáù, Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 , x2 X Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù (( g f )( x1 ), ( g f )( x2 )) ( g ( f ( x1 )), g ( f ( x2 )))
( f ( x1 ), f ( x2 )) ( x1 , x2 ) :□1 ²å³óáõóí³Í ûáñ»ÙÁ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë ³ñ¹»Ý ѳÛïÝÇ Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÝ»ñáí ëï³Ý³Éáõ Ýáñ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ£
²ÛëáõÑ»ï¨ □ ëÇÙíáÉÁ Ý߳ݳϻÉáõ ¿ ³å³óáõóÙ³Ý ³í³ñïÁ:
àñå»ë ûñÇÝ³Ï ¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõ ÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁª f -Á, áñáßí³Í ¿ a ³½³ï í»Ïïá ñáí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª g -Ý, áñáßí³Í ¿ b ³½³ï í»Ïïáñáí£ Ð³ñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ Ï³Ù³Û³Ï³Ý L Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝù M f ( L) ¨ N g ( M ) g ( f ( L)) ( g f )( L) £
γñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É ¥ï»°ë ³å³óáõóáõÙÁ ¢ 3-áõÙ¤, áñ ï³ñ μ»ñ L Ï»ï»ñáí ³é³ç³ó³Í μáÉáñ LN í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳñ Å»ù »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¨ áñáßáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ c LN ³½³ï í»ÏïáñÁ£ ²ÛëåÇëáíª f ¨ g ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ g f ѳٳ¹ñáõÛÃÁ ¥·áõÙ³ñÁ¤ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ª áñáßí³Í c ³½³ï í»Ïïáñáí£ àõëïÇ μÝ³Ï³Ý ¿ c í»ÏïáñÝ ³Ýí³Ý»É a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ, ÇëÏ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ, áñáí c -Ý ëï³óíáõÙ ¿ a -Ç ¨ b -Ç ÙÇçáóáíª í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý »é³ÝÏÛ³Ý Ï³ÝáÝ£ ²Ù÷á÷»Éáí ³Ûë ³Ù»ÝÁª ϳñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ¥Ù»ÏÁ Ù»ÏǤ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ μáÉáñ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¥ï³ñ³ÍáõÃ۳ݤ μáÉáñ ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ ÙÇ稣 Àݹ áñáõÙª ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÇÝ ¥·áõÙ³ñÇݤ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ, Ù»½ ÃáõÛÉ ï³Éáí áñáß ³½³ïáõÃÛáõÝ, ϳñáÕ »Ýù ÝáõÛݳóÝ»É ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï£ ì»ñ³¹³éݳÉáí ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýϳñ³·ñÙ³Ý ËݹñÇݪ Ýß»Ýù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý í»ñÁ Ãí³ñÏ³Í »ñ»ù ï»ë³ÏÇ Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïáí£ Ð³ñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É ¥áã ÙÇ³Ï »Õ³Ý³Ïáí¤ Ï³Ù áñå»ë ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¨ Ï»ïÇ ßáõñç åïáõÛïÇ, ϳ٠¿É áñå»ë ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý, Ï»ïÇ ßáõñç åïáõÛïÇ ¨ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³¹ñáõÛã ê³ Ù»Ýù ϳå³óáõó»Ýù ³í»ÉÇ áõߪ ¹³ë³·ñùÇ 2-ñ¹ Ù³ëáõÙ£ Üϳï»Ýù, áñ Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñǪ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ åïáõÛïÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ ϳñáÕ ¿ ³ñ¹»Ý ãÉÇÝ»É Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý åïáõÛï£ ÆÝãå»ë ݳ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ ³Ûɨë ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ ã¿ áñ¨¿ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ£ êñ³ Ñ»ï ϳåí³Íª ÁÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ³å³óáõó»É, áñª ³¤ ѳñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ¿, μ¤ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý åïáõÛï ¿ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ ßáõñç£ ²í³ñï»Éáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ³Ûë Ý»ñ³Í³Ï³ÝÁª ϳݷ ³éÝ»Ýù ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ Ï³ñ¨áñ ѳïÏáõÃÛ³Ý íñ³£ È»ÙÙ³: ¸Çóáõù f -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿£ ºÃ» A, B, C Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, Áݹ áñáõÙª B -Ý ·ïÝíáõÙ ¿ A ¨ C Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨, ³å³ A1 f ( A) , B1 f ( B) , C1 f (C ) Ï»ï»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, ¨ B1 Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ A1 ¨ C1 Ï»ï»ñÇ ÙÇ稣 ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª ÇÝã ѳñ³μ»ñáõÃÛ³Ùμ áñ B Ï»ïÁ μ³Å³ÝáõÙ ¿ AC ѳïí³ÍÁ, ÝáõÛÝ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ùμ B1 Ï»ïÁ μ³Å³ÝáõÙ ¿ A1C1 ѳïí³ÍÁ£
Æñáù, ù³ÝÇ áñ ( A, B) ( B, C ) ( A, C ) , áõëïÇ ( f ( A), f ( B)) ( f ( B), f (C )) ( f ( A), f (C )) , áñÇó ¿É Ñ»ï¨áõÙ ¿ É»ÙÙ³ÛÇ åݹáõÙÁ£ ºàðºØ 2£ гñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ó³Ýϳó³Í áõÕÕÇ Ï»ñå³ñÁ ÝáñÇó áõÕÇÕ ¿, ѳïí³ÍÇ Ï»ñå³ñÁª ѳïí³Í£ ¼áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï»ñå³ñÝ»ñÁ ÝáñÇó ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ »Ý, ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï»ñå³ñÝ»ñÁª ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñ£ »áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ É»ÙÙ³ÛÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ£ ÆÝã í»ñ³μ»ñáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï»ñå³ñÝ»ñÇÝ, ³å³ ¹ñ³Ýù ã»Ý ϳñáÕ Ñ³ïí»É£ гϳé³Ï ¹»åùáõÙ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ íñ³ Ï·ïÝí»Ý Ù»Ï³Ï³Ý Ï»ï»ñ, áñáÝù ϳñï³å³ïÏ»ñí»Ý ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï»ñå³ñÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇÝ£ ØÇÝã¹»é ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñÇ Ï»ñå³ñÝ»ñÁ ÙÇßï ï³ñμ»ñ »Ý£ àñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ ³Ûë ûáñ»ÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ í»ÏïáñÁ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ í»ÏïáñǪ å³Ñå³Ý»Éáí Ýñ³ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£ ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª Ïáé»Ïï Ó¨áí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ³½³ï í»ÏïáñÇ Ï»ñå³ñÁ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë ³½³ï í»Ïïáñ ¿£
¢ 3. ìºÎîàðܺðÆ ¶àôزðàôØÜ àô ´²¼Ø²ä²îÎàôØÀ Âìàì ºñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºñÏáõ` a LM ¨ b MN í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ ÏáãíáõÙ ¿ c LN í»ÏïáñÁ: a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a b -áí ¥Ñݳñ³íáñ »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ ï»°ë Ýϳñ 1-áõÙ¤:
Üϳñ 1 ê³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ïáé»Ïï ¿ ³ÛÝ ÇÙ³ëïáí, áñ a b -Ý Ï³Ëí³Í ã¿ a ¨ b ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ Ý»ñϳ۳óáõóãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, ¹Çóáõù ÙÇ ¹»åùáõÙ a LM , b MN , a b LN , ÇëÏ ÙÛáõë ¹»åùáõÙ a AB , b BC , a b AC ¥ï»°ë Ñݳñ³íáñ ¹»åù»ñÇó Ù»ÏÁ Ýϳñ 2-áõÙ¤:
Üϳñ 2
òáõÛó ï³Ýù, áñ LN -Á ¨ AC -Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý: àõÝ»Ýù a LM , a AB ¨ b MN , b BC : Àëï í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ýٳݪ ALMB -Ý ¨ BMNC -Ý ½áõ·³Ñ»é³·Í»ñ »Ý: ²Ûëï»ÕÇó` ALNC -Ý ¨ë ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿: л勉μ³ñ LN -Á ¨ AC -Ý Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý ÝáõÛݪ a b ³½³ï í»ÏïáñÁ: ê³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ïáé»ÏïáõÃÛ³Ý ³å³óáõóáõÙÁ Ùݳó³Í Ñݳñ³íáñ ¹»åù»ñáõÙª ϳËí³Í L , M , N , A , B , C Ï»ï»ñÇ ÷á˳¹³ñÓ ¹Çñù»ñÇó, ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇÝ: ²Ù»Ý ÙÇ a LM ³½³ï í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ýñ³ ѳϳ¹Çñ í»ÏïáñÁ, áñÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a -áí ¨ Ý»ñϳ Û³óíáõÙ ¿ ML í»Ïïáñáí: ²ÛëÇÝùݪ a ML : ê³ÑÙ³ÝáõÙ: àñ¨¿ k R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ¨ a í»ÏïáñÇ ³ñ»ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ï³¹ñÛ³É ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ í»ÏïáñÁ, áñÇ ë³ñ ¿ k ÃíÇ μ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÇ ¨ a í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ³Ûݪ ³¤ ѳÙáõÕÕí³Í ¿ a -ÇÝ, »ñμ k 0 ¨ a 0 , μ¤ Ñ³ÏáõÕÕí³Í ¿ a -ÇÝ, »ñμ k 0 ¨ a 0 , ·¤ ѳٳñíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ, »ñμ k 0 ϳ٠a 0 : k ÃíÇ ¨ a í»ÏïáñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ k a -áí: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ù³ëݳíáñ³å»ë Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (1) a a : ºàðºØ£ ì»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` 2¤ a b b a , 1¤ a (b c) (a b) c , 3¤ a 0 a , 4¤ a ( a ) 0 , 6¤ (k1 k2 )a k1 a k2 a , 5¤ k1 (k2 a) (k1k2 )a , 7¤ k (a b) k a kb , 8¤ 1 a a ,
Ï³Ù³Û³Ï³Ý a , b , c í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý k1 , k 2 , k Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: 1¤ ¸Çóáõù a AB , b BC , c CD ¥ï»°ë Ýϳñ 3-Á¤:
Üϳñ 3 àõÝ»Ýù a (b c) AB ( BC CD ) AB BD AD , (a b) c ( AB BC ) CD AC CD AD : л勉μ³ñ` a (b c) (a b) c ª Áëï ¿ç 8-Ç ¹ÇïáÕáõÃÛ³Ý: 2¤ ²å³óáõÛóÝ ³ÏÝѳÛï ¿, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý: ºñμ a || b , ¹Çï³ñÏ»Éáí a AB , b AD í»ÏïáñÝ»ñÇ íñ³
ϳéáõóí³Í ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍÁ, ÇÝãå»ë å³ïÏ»ñí³Í ¿ Ýϳñ 4-áõÙ, ÙÇ ÏáÕÙÇó ÏáõݻݳÝù
Üϳñ 4
a b AB BC AC , ÙÛáõë ÏáÕÙÇó` b a AD DC AC : ²ÛëåÇëáíª a b b a : ²å³óáõóí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÇó áñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ ëï³ó íáõÙ ¿, áñ ÙǨÝáõÛÝ Ï»ïÇó ÏÇñ³éí³Í a AB ¨ b AD »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñáí ϳéáõóí³Í ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ AC ³ÝÏÛáõݳ·Í³ÛÇÝ í»Ïïáñáí Ý»ñϳ۳ó íáÕ ³½³ï í»ÏïáñÝ ¿ª a b AC : ²Ûë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý §í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇϳÝáݦ : 3¤ ¸Çóáõù a AB : ì»ñóÝ»Éáí 0 BB ª Ïëï³Ý³Ýù` a 0 AB BB AB a : 4¤ ºÃ» a AB , ³å³ a BA ¨ ѻ勉μ³ñ` a ( a ) AB BA AA 0 : 5¤ ºÃ» k1 , k 2 Ãí»ñÇó Ù»ÏÝáõÙ»ÏÁ ½ñá ¿, ϳ٠¿É a 0 , ³å³ ÏáõݻݳÝù 0 0 : гϳé³Ï ¹»åùáõÙ, »ñμ k1 0, k2 0 ¨ a 0 , ³å³ Ý³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ³Ûë ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ëáõÙ ·ñí³Í í»ÏïáñÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý, ³ÛÝáõÑ»ï¨ óáõÛó ï³Ýù, áñ Ýßí³Í í»ÏïáñÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ` ѳÙáõÕÕí³Í »Ý: àõÝ»Ýù k1 (k2 a) k1 (k2 a) k1 ( k2 a ( k1 k2 a (k1k2 )a : òáõÛó ï³Ýù, áñ k1 (k2 a) (k1k2 )a : ºñμ, ûñÇݳÏ, k1 0 , ÇëÏ k2 0 , ³å³ k2 a a k1 (k2 a) a : k1 (k2 a) k2 a ØÛáõë ÏáÕÙÇó` k1k2 0 (k1k2 )a a : л勉μ³ñ` k1 (k2 a ) (k1k2 )a : Øݳó³Í »ñ»ù ¹»åù»ñáõÙ ³å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ Ó¨áí:
6¤ ºÃ» a 0 , ϳ٠k1 ¨ k 2 Ãí»ñÇó Ù»ÏÝ áõ Ù»ÏÁ ½ñá ¿, ³å³ ³å³óáõÛóÝ ³ÏÝѳÛï ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù a 0 ¨ k1 0 , k2 0 ,
k1 k2 ¹»åù»ñÁ: àõÝ»Ýù k1 k2 0 , k1 k2 k1 k2 : л勉μ³ñª (k1 k2 )a k1 k2 a k1 k2 ) a k1 a k2 a k1 a k2 a , μ³óÇ ¹ñ³ÝÇóª (k1 k2 )a a : k1 0 k1 a a ØÛáõë ÏáÕÙÇó` ¨ ù³ÝÇ áñ k1 a k2 a , k2 0 k2 a a, ³å³ k1 a k2 a k1 a k2 a : ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª (k1 a k2 a ) a , ѻ勉μ³ñ` (k1 k2 )a k1 a k2 a : Øݳó³Í ¹»åù»ñáõÙ ³å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ Ó¨áí: 7¤ ºÃ» a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³å³ 7-Ç ³å³óáõÛóÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ 6-Çó: ºÃ» k 0, ³å³ ³å³óáõÛóÝ ³ÏÝѳÛï ¿: ¸Çóáõù k 0 , a || b , a AB ¨ b AD , ÇÝãå»ë å³ïÏ»ñí³Í ¿ Ýϳñ 5-áõÙ:
Üϳñ 5
ÎÇñ³é»Ýù A Ï»ïáõÙ kb í»ÏïáñÁ` kb AD1 , ÇëÏ D1 Ï» ïáõÙ ka í»ÏïáñÁ` ka D1C1 , ¨ óáõÛó ï³Ýù, áñ k (a b) AC1 : AD1 D1C1 ¸Çï³ñÏ»Ýù ∆ ADC-Ý ¨ ∆ AD1C1-Á: àõÝ»Ýù k ¨ AD DC CD C1 D1 : ø³ÝÇ áñ AD AD1 ¨ ÏÇñ³éí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ï»ïÇó, ³å³ D1 , A, D Ï»ï»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝ` D1 D -Ý CD ¨ C1 D1 ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïáÕ ¿, ѻ勉μ³ñ` ADC AD1C1 : ²ÛëåÇëáíª ∆ ADC-Ý ÝÙ³Ý ¿ ∆ AD1C1-ÇÝ: AC1 ²Ûëï»ÕÇó` k ¨ CAD C1 AD1 : AC ²ÛëåÇëáí` C1 AC C1 AD DAC C1 AD D1 AC1 D1 AD 1800 : êï³ó³Ýù` C1 , A, C Ï»ï»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³ ¨ AC1 k : àõñ»ÙÝ` k (a b) AC1 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó` ka kb AC1 , AC ѻ勉μ³ñª k ( a b) k a kb : ØÛáõëª k 0 ¹»åùáõÙ ³å³óáõÛóÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ Ó¨áí: 8¤ ²Ûë ѳïÏáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝѳÛï ¿: □ ²å³óáõóí³Í 1-8 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóóáõÙ ¹ñ³Ýù ¹ñí³Í »Ý ·Í³ÛÇÝ ¥í»Ïïáñ³Ï³Ý¤ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ÑÇÙùáõÙ:
¢ 4. ìºÎîàðܺðÆ ¶ÌàðºÜ βÊÚ²È ºì ²ÜÎ²Ê Ð²Ø²Î²ð¶ºð
a1 , a2 ,..., an -Á áñ¨¿ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ÇëÏ k1 , k2 ,..., kn -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: лï¨Û³É` k1 a1 k2 a2 ... kn an í»ÏïáñÁ Ïáã íáõÙ ¿ a1 , a2 ,..., an í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛáõÝ k1 , k2 ,..., kn ·áñͳÏÇóÝ»ñáí: ²ÛëáõÑ»ï í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ· ³ë»Éáíª ÏѳëϳݳÝù í»ÏïáñÝ»ñÇ ³Ù»Ý ÙÇ í»ñç³íáñ, ѳٳñ³Ï³Éí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ: гٳϳñ·áõÙ Ñݳñ³íáñ ¿ áñ¨¿ í»ÏïáñÇ Ï³Ù í»ÏïáñÝ»ñÇ ÏñÏÝáõÃÛáõÝ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ó³Ýϳó³Í Ù³ëÁ ϳÝí³Ý»Ýù Ýñ³ »Ýóѳٳϳñ·: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ áñ¨¿ a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ· n 1 ¹»åùáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·, »Ã» ѳٳϳñ·Ç í»ÏïáñÝ»ñÇó áã Ù»ÏÁ Ñݳñ³íáñ ã¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç ÙÛáõë í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛáõÝ: ØÇ í»ÏïáñÇó μ³Õϳó³Í ѳٳϳñ·Á ѳٳñíáõÙ ¿ ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·, »Ã» ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ·, »Ã» ³ÛÝ ³ÝÏ³Ë ã¿, ³ÛëÇÝùݪ »Ã» ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç í»ÏïáñÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ áñå»ë ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç ÙÛáõë í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛáõÝ: ØÇ í»ÏïáñÇó ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á ϳËÛ³É ¿, »Ã» ³Û¹ í»ÏïáñÁ ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿: ºàðºØ 1£ ì»ÏïáñÝ»ñÇ a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý k1 , k2 ,..., kn Ãí»ñ, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿, ¨ k1 a1 k2 a2 ... kn an 0 : ¸Çóáõù
²å³óáõÛóÝ ³ÏÝѳÛï ¿ n 1 ¹»åùáõÙ: ¸Çóáõù n 1 , ¨ í»ÏïáñÝ»ñÇ a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³ ϳñ· ¿: àõñ»ÙÝ Ýñ³ÝóÇó ÇÝã-áñ Ù»ÏÁ, ûñÇݳϪ a j -Ý, ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ÙÛáõëÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛ³Ùμ` a j k1 a1 ... k j 1 a j 1 k j 1 a j 1 ... kn a n :
²Ûë ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí (1)a j
í»ÏïáñÁª Ïëï³Ý³Ýù k1 a1 ... k j 1 a j 1 (1)a j k j 1 a j 1 ... kn a n 0 , áñï»Õ a j í»ÏïáñÇ ·áñͳÏÇóÁ 0 : ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù k1 a1 k2 a2 ... kn an 0 ¨ ûñÇݳÏ` k j 0 : ²Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù k j a j k1 a1 ... k j 1 a j 1 k j 1 a j 1 ... kn a n , ϳÙ
a j 1 a1 ... j 1 a j 1 j 1 a j 1 ... n a n ,
áñï»Õ i ki k j , i 1,..., j 1, j 1,..., n : ²ÛëÇÝùݪ a j í»ÏïáñÝ ³ñï³Ñ³Ûïí»ó ÙÛáõëÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛ³Ùμ: л勉μ³ñ í»ÏïáñÝ»ñÇ a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: □ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: ºÃ» í»ÏïáñÝ»ñÇ a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿, ³å³ ³Ù»Ý ÙÇ k1 a1 k2 a2 ... kn an 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ, áñï»Õ k1 , k2 ,..., kn Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿, ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÜϳï»Ýù, áñ ³ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ÃÛáõÝ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ ÙÇç¨: ÙdzÏÁ ãÉÇÝ»É: úñÇݳϪ 0, a , 2 a í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿, ¨ Ýñ³ ѳٳñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝ26
Ý»ñ »Ý 1 0 0 a 0 2 a 0 ¨ 0 0 2 a (1) 2a 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: лï¨áõÃÛáõÝ Ã»áñ»Ù 1-Çó: ì»ÏïáñÝ»ñÇ a1 , a2 ,..., an
ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ãáõÝÇ ·áÛáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÇÝ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝ£ ²ÛëÇÝùݪ k1 a1 k2 a2 ... kn an 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñݳñ³íáñ ¿ ÙdzÛÝ k1 k2 kn 0 ¹»åùáõÙ: Üß»Ýù í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý ¥³ÝϳËáõÃ۳ݤ ÙÇ ù³ÝÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ: гïÏáõÃÛáõÝ 1: ºÃ» í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ, ³å³ ³ÛÝ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù áõÝ»Ýù ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ å³ñáõ ݳÏáÕ a1 ,..., ai 1 , ai 0, ai 1 ,..., a n ѳٳϳñ·Á: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ 0 a1 ... 0 a i 1 1 0 0 ai 1 ... 0 a n 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝ ¿: л勉μ³ñ, Áëï ûáñ»Ù 1-Ç, Ýßí³Í ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: □ гïÏáõÃÛáõÝ 2: ºÃ» í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ýóѳٳϳñ·, ³å³ ³ÛÝ ¨ë ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ѳٳϳñ·Ç í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳñ³ ϳÉí³Í »Ý a1 , a2 ,..., an ³ÛÝå»ë, áñ ³é³çÇÝ j ѳï í»Ïïáñ Ý»ñÇó ϳ½Ùí³Í a1 , a2 ,..., a j , j n »Ýóѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿: Àëï ûáñ»Ù 1-Ǫ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý k1 , k2 ,..., k j Ãí»ñ, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿ ¨ k1 a1 k2 a2 ... k j a j 0 : ²Ûëï»ÕÇó ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É` k1 a1 k2 a 2 ... k j a j 0 a j 1 ... 0 a n 0 :
л勉μ³ñ, ¹³ñÓÛ³É Áëï ûáñ»Ù 1-Ç, a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: □ гïÏáõÃÛáõÝ 3: ºÃ» í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿, ³å³ Ýñ³ ó³Ýϳó³Í »Ýóѳٳϳñ· ¨ë ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: ²å³óáõóáõÙ: γï³ñ»Ýù ѳϳëáÕ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝ: ²ÛÝ ¿` í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·Á å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ýóѳٳϳñ·: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Áëï ѳïÏáõÃÛáõÝ 2-Ç, í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ·, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ ËݹñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: □ гïÏáõÃÛáõÝ 4: ¸Çóáõù a1 , a2 ,..., an í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ ϳñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ÇëÏ a1 , a2 ,..., an , b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³ ٳϳñ·Á` ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É: ²å³ b í»ÏïáñÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ a1 , a2 ,..., an í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛ³Ùμ, Áݹ áñáõÙª ÙÇ³Ï Ó¨áí: ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ a1 , a2 ,..., an , b ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿, ³å³ ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ǫ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ k1 a1 k2 a2 ... kn an kn 1 b 0 ·Í³ÛÇÝ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝ, áñï»Õ k1 ,..., kn , kn 1 Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛÇó: òáõÛó ï³Ýù, áñ kn 1 0 : Æñáù, »Ã» kn 1 0 , ³å³ k1 a1 k2 a2 ... kn an kn 1 b 0 k1 a1 k2 a2 ... kn an 0 kn 1 0 kn 1 0 k1 k2 ... kn 0 k1 k2 ... kn kn 1 0 : kn 1 0 êï³óí»ó ѳϳëáõÃÛáõÝ: àõñ»Ùݪ kn 1 0 : л勉μ³ñª k b 1 a1 2 a2 ... n an , áñï»Õ i i , i 1,..., n : kn 1
òáõÛó ï³Ýù, áñ ³Ûë Ý»ñϳ۳óáõÙÁ ÙdzÏÝ ¿: ¸Çóáõù b 1a1 2 a2 ... n an Ù»Ï ³ÛÉ Ý»ñϳ۳óáõÙ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ( 1 1)a1 ( 2 2 )a2 ... ( n n )an 0 : ø³ÝÇ áñ a1 , a2 ,..., an í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ ( 1 1) ( 2 2 ) ... ( n n ) 0 , áñï» ÕÇó ¿É` 1 1, 2 2 , ..., n n : ²ÛëÇÝùÝ` b í»ÏïáñÁ ÙÇ³Ï Ó¨áí ¿ Ý»ñϳ۳óíáõÙ a1 , a2 ,..., an í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛ³Ùμ: □ ì»ÏïáñÝ»ñÇ a1 , a2 ,..., an ѳٳϳñ·Ç ·Íáñ»Ý ϳËí³ÍáõÃÛáõÝÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ·Íáñ»Ý ³ÝϳËáõÃÛáõÝÁ n 1, 2,3, 4 ¹»åù»ñáõÙ »ñÏñ³ã³÷áñ»Ý Ù»Ïݳμ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: Àëï ë³ÑÙ³Ýٳݪ ÙÇ í»ÏïáñÇó μ³Õϳó³Í ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÁ ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿, ¨ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿: ºàðºØ 2£ ºñÏáõ í»ÏïáñÇó ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý: ²å³óáõóáõÙ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³·ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »ñÏáõ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñ ѳٳ·ÇÍ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ a kb ϳ٠b k a : ê³ ¿É Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ý: □ лï¨áõÃÛáõÝ: ºñÏáõ í»ÏïáñÇó ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ ã»Ý: ºàðºØ 3£ ºñ»ù í»ÏïáñÇó ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý:
²å³óáõóáõÙ: ºÝó¹ñ»Ýùª a , b ¨ c í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ý: ºÃ» a -Ý ¨ b -Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý, ³å³ Áëï ѳïÏáõÃÛáõÝ 4-Ǫ c -Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛ³Ùμª c a b : àñ¨¿ O Ï»ïÇó ÏÇñ³ é»Ýù a OA , b OB í»ÏïáñÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ a ¨ b í»Ï ïáñÝ»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñáí áñáßí³Í AOB ѳñ ÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, ³å³ c a b í»ÏïáñÁ ¨ë ÁÝÏ³Í ÏÉÇÝÇ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç: ºÃ» a, b ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿, ³å³ a || b ª Áëï ûáñ»Ù 2-Ç: ²Ûë ¹»åùáõÙ OA ¨ OB í»Ï ïáñÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, ѻ勉μ³ñ a, b ¨ c í»ÏïáñÝ»ñÁ, ·ïÝí»Éáí ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, Ï·ïÝí»Ý ݳ¨ ³Û¹ áõÕÕáí ³ÝóÝáÕ áñ¨¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç: ²ÛÅ٠ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù a OA , b OB , c OC í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý: ºÃ» Ýñ³ÝóÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³·ÇÍ, ³å³ ÏÉÇÝ»Ý ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É, ¨ ѻ勉μ³ñ, Áëï ѳïÏáõÃÛáõÝ 2-Ç, »ñ»ù í»ÏïáñÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É: ¸Çóáõù ³ÛÅÙ a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ѳٳ·ÇÍ ã»Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, C Ï»ïÇó ï³Ý»Éáí OA -ÇÝ ¨ OB -ÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù OA1CB1 ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 6-Á¤:
Üϳñ 6
²Ûëï»ÕÇóª c OC OA1 OB1 k 1 a k 2 b :
²ÛëÇÝùݪ í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ý: □ лï¨áõÃÛáõÝ: ºñ»ù í»ÏïáñÇó ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà ã»Ý: ºàðºØ 4£ î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ãáñë ¨ ³í»ÉÇ í»ÏïáñÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ· ·Íáñ»Ý ϳË۳ɿ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý a , b , c ¨ d í»ÏïáñÝ»ñÁ: ºÃ» Ýñ³ÝóÇó áñ¨¿ »ñ»ùÁ ѳٳѳñà »Ý, ³å³ Ýñ³Ýù ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ýª Áëï ûáñ»Ù 3-Ç: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³Û¹åÇëÇÝ »Ý ݳ¨ ïñí³Í ãáñë í»ÏïáñÝ»ñÁª Áëï ѳïÏáõÃÛáõÝ 2-Ç: ÆëÏ »Ã» Ýñ³ÝóÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ ѳٳѳñà ã»Ý, ³å³ ï³ñ³Íáõ ÃÛ³Ý áñ¨¿ O Ï»ïÇó ÏÇñ³é»Ýù a OA , b OB , c OC ¨ d OD í»ÏïáñÝ»ñÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ D Ï»ïÇó ï³ñí³Í OBC , OAC , OAB ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳï»Éáíª Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ OA , OB , OC áõÕÇÕÝ»ñÁ ÇÝã-áñ A1 , B1 , C 1 Ï»ï»ñáõ٠ϳé³ç³óÝ»Ý ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï ¥ï»°ë Ýϳñ 7-Á¤:
Üϳñ 7 ²Ûëï»ÕÇóª d OD OA1 OB1 OC 1 k 1 a k 2 b k 3 c : ²ÛëÇÝùݪ a , b , c , d í»ÏïáñÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É »Ý: □
¢ 5. ¶Ì²ÚÆÜ ´²¼Ø²ÒºìàôÂÚàôÜܺð, ´²¼Æê, â²öàԲβÜàôÂÚàôÜ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ áñ¨¿ V ѳٳËÙμáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ¥í»Ïïáñ³Ï³Ý¤ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ Çñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ»ï å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ݳ¨ μáÉáñ Ñݳñ³íáñ a b ï»ëùÇ í»ÏïáñÝ»ñÁ, áñï»Õ , R : ´»ñ»Ýù í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ: úñÇÝ³Ï 1£ ØdzÛÝ ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÇó ϳ½Ùí³Í ѳٳËáõÙμÁª V0 { 0} : ²ÏÝѳÛï ¿, áñ ³ÛÝ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: γë»Ýù, áñ a í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ l áõÕÕÇÝ ¥·ñíáõÙ ¿ a || l ¤, »Ã» a -Ý l áõÕÕÇ áñ¨¿ Ï»ïÇó ÏÇñ³é»ÉÇë Ýñ³ ͳÛñ³Ï»ïÁ ¨ë Ï·ïÝíÇ ³Û¹ áõÕÕÇ íñ³: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: γë»Ýù, áñ a í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ P ѳñ ÃáõÃÛ³ÝÁ ¥·ñíáõÙ ¿ a || P ¤, »Ã» ³ÛÝ Ñ³Ù³·ÇÍ ¿ ³Û¹ ѳñÃáõ ÃÛ³Ý Ù»ç ÁÝÏ³Í áñ¨¿ áõÕÕÇ, ³ÛëÇÝùݪ a -Ý P ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ Ï»ïÇó ÏÇñ³é»ÉÇë Ýñ³ ͳÛñ³Ï»ïÁ ¨ë Ï·ïÝíÇ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³: лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ` гïÏáõÃÛáõÝ 1£ ºÃ» a í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ l áõÕÕÇÝ ¥ P ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ¤, ³å³ k a -Ý ¨ë ѳٳ·ÇÍ ¿ l áõÕÕÇÝ ¥ P ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ¤: гïÏáõÃÛáõÝ 2£ ºÃ» a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý l áõÕÕÇÝ ¥ P ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ¤, ³å³ a b -Ý ¨ë ѳٳ·ÇÍ ¿ l áõÕÕÇÝ ¥ P ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ¤: úñÇÝ³Ï 2£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áñ¨¿ l áõÕÕÇÝ Ñ³Ù³·ÇÍ μáÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙμáõÃÛáõÝÁª Vl { a | a || l } :
úñÇÝ³Ï 3£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áñ¨¿ P ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ѳٳ·ÇÍ μáÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙμáõÃÛáõÝÁª VP { a | a || P } : 1-Çó ¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 2-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ гïÏáõÃÛáõÝ a, bVl ¥ a, b V p ¤ í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ , R Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a b Vl ¥ a b V p ¤: ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Vl -Á ÇÝãå»ë ݳ¨ V p -Ý ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ »Ý£ ¸ñ³Ýù ϳÝí³Ý»Ýù ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ l áõÕÕÇÝ ¥ P ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ¤ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ: Üϳï»Ýù, áñ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇÝ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý: ²ÛëÇÝùݪ »Ã» l1 || l2 , ³å³ Vl 1 Vl 2 : Üٳݳå»ë, ÝáõÛÝÝ »Ý ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ л勉μ³ñ ϳñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ Vl ¥ V p ¤ ï»ë³ÏÇ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝù³Ý »Ý, áñù³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áñ¨¿ 먻é³Í O Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÝ»ñÁ ¥Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ¤: úñÇÝ³Ï 4£ ¸Çóáõù V -Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ V -Ý ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿: ²Ûë μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÁ ϳÝí³Ý»Ýù ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ: ºàðºØ 1£ ì»ñÁ Ãí³ñÏí³Í 1-4 ûñÇݳÏÝ»ñáí ëå³éíáõÙ »Ý μáÉáñ Ñݳñ³íáñ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Æñáù, ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í W ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 0 í»ÏïáñÁ: ºÃ» W -Ý áõñÇß í»Ïïáñ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ, ³å³ ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ V0 -Ç Ñ»ï: ÆëÏ »Ã» W -Ý å³ñáõݳÏáõÙ ¿ áñ¨¿ a 0 í»Ïïáñ, ³å³ ³ÛÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Vl -Á, áñï»Õ l -Á O Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ a í»ÏïáñÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ ¿: ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ³Ûëï»Õ ¨ë ¹Çï³ñÏ»É »ñÏáõ ¹»åù ¨ ÝٳݳïÇå ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³í³ñïÇÝ Ñ³ëóÝ»É ³å³óáõÛóÁ:
²ÛëåÇëáíª Áëï ûáñ»Ù 1-Ǫ ó³Ýϳó³Í ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ÉÇáíÇÝ áñáßíáõÙ ¿ Çñ ѻݳñ³Ýáí, áñÁ O Ï»ïÝ ¿ V0 -Ç Ñ³Ù³ñ, l áõÕÇÕÁª Vl -Ç Ñ³Ù³ñ, P ѳñÃáõÃÛáõÝÁª V p -Ç Ñ³Ù³ñ ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁª V -Ç Ñ³Ù³ñ£ γë»Ýù, áñ V í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý e1 , e2 ,..., en ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ ³é³í»É³·áõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿, »Ã» ó³Ýϳó³Í a V í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ, e1 , e2 ,..., en , a ѳٳϳñ·Á ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ¶Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý μ³½Çë ¥Ñ»Ýù¤ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ ³Ù»Ý ÙÇ Ï³ñ·³íáñí³Í, ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ÏïáñÝ»ñÇ ³é³í»É³·áõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·: ÊݹÇñ 1-Çó ¨ Ã»áñ»ÙÝ»ñ 2, 3, 4-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý μáÉáñ μ³½ÇëÝ»ñÁ å³ñáõݳÏáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ãíáí í»ÏïáñÝ»ñ: ²Û¹ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝ: ä³ñ½»Ýù 1-4 ûñÇݳÏÝ»ñáõÙ Ýßí³Í í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝÁ: úñÇÝ³Ï 1-áõÙ V0 { 0} μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÁ áã ÙÇ μ³½Çë ãáõÝÇ: Üñ³ ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝÁ 0 ¿: úñÇÝ³Ï 2-áõÙ Vl μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í μ³½Çë ϳ½Ùí³Í ¿ ×Çßï Ù»Ï áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÇó: ²ÛëÇÝùݪ Vl -Ç ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝÁ 1 ¿: úñÇÝ³Ï 3-áõÙ V p μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í μ³½Çë ϳ½Ùí³Í ¿ ×Çßï »ñÏáõ áã ѳٳ·ÇÍ í»ÏïáñÝ»ñÇó: л勉μ³ñ Vp -Ç ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝÁ 2 ¿: úñÇÝ³Ï 4-áõÙ V μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í μ³½Çë ϳ½Ùí³Í ¿ ×Çßï »ñ»ù áã ѳٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñÇó: ²ÛëÇÝùݪ V -Ç ã³÷áճϳÝáõÃÛáõÝÁ 3 ¿: ºÃ» e1 , e2 ,..., en -Á áñ¨¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý μ³½Çë ¿ 1 n 3 , ³å³ ѳٳӳÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 4-Ǫ Ýñ³ ³Ù»Ý ÙÇ a
í»Ïïáñ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ áñå»ë μ³½Çë³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛáõÝ` a a1 e1 a2 e2 ... an en , ³ÛÝ ¿É ÙÇ³Ï Ó¨áí: ²Û¹ ½áõ·³ÏóáõÃÛ³Ý a1 , a2 , , an ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý a í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ ïíÛ³É μ³½ÇëÇ ÝϳïÙ³Ùμ: ²Ûë ÷³ëïÁ ·ñ³éíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë` a a1 ; a2 ; ... ; an : ì»ñÁ Ýßí³ÍÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ïíÛ³É μ³½ÇëÇ ÝϳïÙ³Ùμ áñáßíáõÙ »Ý ÙdzñÅ»ùáñ»Ý: a a1 ; a2 ;...; an , ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ »Ã» b b1 ; b2 ;...; bn ÝáõÛÝ μ³½ÇëÇ ÝϳïÙ³Ùμ, ³å³ a b a1 b1 , a2 b2 ,..., an bn :
ºàðºØ 2£ γٳ۳ϳÝ
a a1 ; a2 ;...; an , b b1 ; b2 ;...; bn í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ k R ÃíÇ Ñ³Ù³ñª 1¤ k a ka1 ; ka2 ;...; kan , 2¤ a b a1 b1 ; a2 b2 ;...; an bn : ²å³óáõóáõÙ: 1¤ ¸Çóáõù a a1 ; a2 ;...; an , ¨ k -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: Ü߳ݳÏáõÙ ¿ a a1 e1 a2 e2 ... an en ¨ ѻ勉μ³ñ` ka k (a1 e1 a2 e2 ... an en ) k (a1 e1 ) k (a2 e2 ) ... k (an en ) (ka1 )e1 (ka2 )e2 ... (kan )en : ²Ûëï»ÕÇó ¿É` k a ka1 ; ka2 ;...; kan : 2¤ ºÃ» a a1 ; a2 ;...; an ¨ b b1 ; b2 ;...; bn , ³å³ a a1 e1 a2 e2 ... an en , b b1 e1 b2 e2 ... bn en , ѻ勉μ³ñª a b (a1 e1 a2 e2 ... an en ) (b1 e1 b2 e2 ... bn en ) (a1 b1 )e1 (a2 b2 )e2 ... (an bn )en :
²ÛëÇÝùÝ`
a b a1 b1 ; a2 b2 ;...; an bn :□
ØÇÝ㨠ѳçáñ¹ ûáñ»ÙÇ Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ å³ñ½³μ³Ý»Ýù Ãí»ñÇ (a1 , a2 ,..., an ) ¨ (b1 , b2 ,..., bn ) »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ£ γë»Ýù, áñ Ãí»ñÇ »ñÏáõ (a1 , a2 ,..., an ) ¨ (b1 , b2 ,..., bn ) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù ï³ñμ»ñ »Ý (0, 0,..., 0) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó, ѳٻٳï³Ï³Ý »Ý, ¨ ·ñ³é»Éáõ »Ýù ¹³ a1 : b1 a2 : b2 ... an : bn ï»ëùáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ k 0 ÃÇí, áñ a1 kb1 , a2 kb2 , ® , an kbn ¥Ï³Ù b1 ka1 , b2 ka2 , ® , bn kan ¤£ Üϳï»Ýù, áñ »Ã» áñ¨¿ ai 0 , ³å³ ݳ¨
bi 0
¨
ѳϳé³ÏÁ£
úñÇݳϪ
(0, 0, 1, 0, 2)
¨
(0, 0, 3, 0,3 2) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٻٳï³Ï³Ý »Ý£ ²ÛëåÇëáíª a1 : b1 a2 : b2 ... an : bn ѳٻٳïáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ ÁݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ ãÇ »Ýó¹ñáõÙ, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a i -Ç ¹»åùáõÙ ÇÙ³ëï áõÝÇ ai : bi ѳñ³μ»ñáõÃÛáõݪ áñå»ë i bi ÃÇí£ ÂºàðºØ 3£ ºÃ» ÙǨÝáõÛÝ μ³½ÇëÇ ÝϳïÙ³Ùμ a a1 ; a2 ;...; an , b b1 ; b2 ;...; bn , ³å³ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a1 : b1 a2 : b2 ... an : bn : ²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, »ñÏáõ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñ ѳٳ·ÇÍ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k R ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ a kb ϳ٠b k a : ê³ ¿É ѳٳñÅ»ù ¿ a1 : b1 a2 : b2 ... an : bn
å³ÛÙ³ÝÇÝ:
□
¢ 6. ìºÎîàðÆ äðàÚºÎòÆ²Ü ºì Üð² вÜð²Ð²Þì²Î²Ü ²ðĺøÀ ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¥ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç¤ ïñí³Í ¿ áñ¨¿ áõÕÇÕ, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ϳñáÕ »Ýù ë³ÑÙ³Ý»É Ýñ³ åñáÛ»ÏóÇ³Ý áõÕÕÇ íñ³:
Üϳñ 8 ºÃ» a AB , ³å³ A ¨ B Ï»ï»ñáí ï³Ý»Ýù áõÕÕÇÝ áõÕճѳ۳ó áõÕÇÕÝ»ñ, áñáÝù áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A1 ¨ B1 Ï»ï»ñáõÙ: êï³óí³Í A1 B1 ѳïí³ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ AB ѳïí³ÍÇ åñáÛ»Ïódz áõÕÕÇ íñ³ ¨ Ýß³Ý³Ï íáõÙ ¿ª A1 B1 åñ AB -áí, ÇëÏ a1 A1 B1 í»ÏïáñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a í»ÏïáñÇ åñáÛ»Ïódz áõÕÕÇ íñ³ ¨ ·ñ³éáõÙ »Ý` a1 åñ a : лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ ë³Ñ Ù³ÝáõÙÁ Ïáé»Ïï ¿: ²ÛëÇÝùÝ` ëï³óí³Í a1 í»ÏïáñÁ ϳËí³Í ã¿ a í»ÏïáñÇ Ý»ñϳ۳óáõóãÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó ¥ï»°ë Ýϳñ 8-Á¤: Üϳï»Ýù, áñ ¨ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ åñ a åñ a : äñáÛ»ÏïÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª ³¤ åñ (a b) åñ a åñ b ,
μ¤ åñ (ka ) k åñ a , k R ÃíÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a, b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
Üϳñ 9 Æñáù, Ýϳñ 9-Çó ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ A, B, C Ï»ï»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª ³¤ åñ (a b) åñ AC = A1C1 = A1 B1 B1C 1 = åñ a åñ b , μ¤ åñ (k a) åñ AC A1C 1 k A1 B1 k åñ a : Ü»ñÙáõÍ»Ýù ³é³Ýóù ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ: ²Ù»Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³ ϳñ»ÉÇ ¿ Ýß»É ß³ñÅÙ³Ý Ñݳñ³íáñ »ñÏáõ áõÕÕáõÃÛáõݪ ³çÇó ¹»åÇ Ó³Ë ¨ Ó³ËÇó ¹»åÇ ³ç: ²é³Ýóù ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ áõÕÇÕÁ, áñÇ íñ³ Ýßí³Í ¿ Ýñ³ íñ³ ß³ñÅÙ³Ý Ñݳñ³íáñ »ñÏáõ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ£ Þ³ñÅÙ³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ Ýß»Éáõ ѳٳñ μ³í³Ï³Ý ¿ áõÕÕÇ íñ³ ÁÝïñ»É áñ¨¿ e , | e | 1 Ùdzíáñ í»Ïïáñ£ ²ÛëåÇëáíª ³Ù»Ý ÙÇ áõÕÕÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É »ñÏáõ ³é³Ýóùª (; e ) ¨ (; e ) : ¸Çóáõù 먻é³Í ¿ ÇÝã-áñ (; e ) ³é³Ýóù: ä³ñ½ ¿, áñ åñ a -Ý Ñ³Ù³·ÇÍ ¿ e -ÇÝ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: Î³Ù³Û³Ï³Ý a í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ åñ a x e í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý x ·áñͳÏÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ (; e ) ³é³ÝóùÇ íñ³ a í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñÅ»ù:
²ÛÝ ·ñ³éíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë` x Ñ.³.åñ ( ; e ) a : ²ÛëåÇëáí` Ñ.³.åñ ( ; e ) a x åñ a xe : ºàðºØ 1: äñáÛ»ÏódzÛÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª 1¤ Ñ.³.åñ ( ; e ) (a b ) Ñ.³.åñ ( ; e ) a Ñ.³.åñ ( ; e ) b , 2¤ Ñ.³.åñ ( ; e ) (k a ) k Ñ.³.åñ ( ; e ) a : ²å³óáõóáõÙ: 1¤ ºÃ» Ñ.³.åñ ( ; e ) a x , Ñ.³.åñ ( ; e ) b y , ³å³ åñ a xe , åñ b xe : гٳӳÛÝ åñáÛ»ÏódzÛÇ ³¤ ѳïÏáõÃ۳ݪ áõÝ»Ýù åñ (a b ) åñ a åñ b xe ye ( x y )e : àõëïÇ x y Ñ.³.åñ ( ; e ) (a b ) , ѻ勉μ³ñª Ñ.³.åñ ( ; e ) a Ñ.³.åñ (; e ) b Ñ.³.åñ ( ; e ) (a b ) : 2-Ý ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ Ó¨áíª û·ï³·áñÍ»Éáí åñáÛ»ÏódzÛÇ μ¤ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: □ ì»ñ³¹³éݳÉáí í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ í»ñÁ μ»ñí³Í ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁª Ýϳï»Ýù, áñ »Ã» áõÝ»Ýù »ñÏáõ ³é³ÝóùÝ»ñª áñáßí³Í ¨ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñáí ¨ e, ÙǨÝáõÛÝ | e | 1 í»Ïïáñáí, ³å³ Ñ.³.åñ ( ; e ) a Ñ.³.åñ ( ; e ) a Ï³Ù³Û³Ï³Ý a í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ: ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ß í³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ ÉÇáíÇÝ áñáßíáõÙ ¿ e Ùdzíáñ í»Ïïáñáí ¨ ϳËí³Í ã¿ áõÕÕÇó: ²Û¹ å³ï׳éáí ³ÛëáõÑ»ï¨ Ñ.³.åñ ( ; e ) a ÃÇíÁ å³ñ½³å»ë Ï·ñ»Ýù Ñ.³.åñ e a ï»ëùáí: ²ÛÅÙ í»ñÁ Ýßí³Í ûáñ»Ù 1-Á ÏÁݹáõÝÇ ³ÛëåÇëÇ ï»ëùª 1¤ Ñ.³.åñ e (a b ) Ñ.³.åñ e a Ñ.³.åñ e b , 2¤ Ñ.³.åñ e (k a ) k Ñ.³.åñ e a :
лﳷ³ÛáõÙ Ù»½ å»ïù »Ý ·³Éáõ »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝ ¨ í»ÏïáñÇ ûñà ѳëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ä³ñ½³μ³Ý»Ýù ¹ñ³Ýù: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½ Ù³Í ³ÝÏÛáõÝ, Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ (a, b) -áí, ÏáãíáõÙ ¿ AOB -Ý, áñï»Õ A, O, B -Ý áñ¨¿ »ñ»ù Ï»ï»ñ »Ý ³ÛÝå»ë, áñ OA a , OB b : ²ÛëåÇëáíª í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ áñáß»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¹ñ³Ýù ÏÇñ³é»É ÙÇ Ï»ïÇó£ ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (a, b) (b, a ) ¨ 0 (a, b) : ºÃ» a -Ý Ï³Ù b -Ý ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿, ³å³ Ýñ³Ýóáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝ ã»Ýù ë³ÑÙ³ÝáõÙ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ïáé»Ïï ¿ ³ÛÝ ÇÙ³ëïáí, áñ ϳËí³Í ã¿ ÏÇñ³éÙ³Ý Ï»ïÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» ¹Çï³ñÏ»Ýù a ¨ b ³½³ï í»ÏïáñÝ»ñÇ ³Ûɪ O1 A1 ¨ O1 B1 Ý»ñϳ۳óáõóÇãÝ»ñ ¥ï»°ë Ýϳñ 10-Á¤, ³å³ AOB A1O1 B1 ª áñå»ë ѳÙáõÕÕí³Í ÏáÕÙ»ñáí ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ:
Üϳñ 10 ºñμ»ÙÝ Ñ³ñÏ ¿ ÉÇÝáõÙ ¹Çï³ñÏ»É ïíÛ³É áã ½ñáÛ³Ï³Ý a í»ÏïáñÇÝ Ñ³ÙáõÕÕí³Í Ùdzíáñ í»ÏïáñÁ: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹
í»ÏïáñÇ ûñà ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ a 0 -áí: лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ 1 a 0 a : ²ÏÝѳÛï ¿, áñ »Ã» a 0 , b 0 , ³å³ |a| 0 0 0 0 (a , b ) (a , b ) (a , b ) (a , b ) : лï¨Û³É ûáñ»ÙÁ å³ñ½³μ³ÝáõÙ ¿ í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ: ºàðºØ 2£ ò³Ýϳó³Í a 0 í»ÏïáñÇ ¨ e Ùdzíáñ í»Ï ïáñÇ Ñ³Ù³ñ Ñ.³.åñ e a | a | cos(a , e ) : ²å³óáõóáõÙ: γËí³Í (a , e ) ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÇó ¥ëáõñ, μáõà ϳ٠áõÕÇÕ¤ª ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù Ñݳñ³íáñ ¹»åù»ñÁª
Üϳñ 11 Üϳñ 11-Çó ³ÏÝѳÛï ¿, áñ μáÉáñ »ñ»ù ¹»åù»ñáõÙ åñ e a OA1 xe , áñï»Õ x OA cos : ²ÛëåÇëáíª Ñ.³.åñ e a x | a | cos :□ лï¨áõÃÛáõÝ£ ºÃ» a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ Ñ.³.åñ b0 a | a | cos(a , b 0 ) | a | cos(a , b ) :
¢ 7. ìºÎîàðܺðÆ êβÈڲ𠴲¼Ø²ä²îÎàôØÀ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: àã ½ñáÛ³Ï³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ» ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É ÏáãíáõÙ ¿ |a || b | cos(a, b) ÃÇíÁ: ºÃ» a 0 ϳ٠b 0 , ³å³ Ýñ³Ýó ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½ñá ¿: êϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ ·áñͳÍíáõÙ »Ý (a, b) , a b , ÇÝãå»ë ݳ¨ a, b Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó áõÝ»Ýù | a || b | cos(a, b), »ñμ a 0 ¨ b 0 : (a , b ) 0, »ñμ a 0 ϳ٠b =0 ÜϳïÇ áõݻݳÉáí ¢ 6-Ç Ã»áñ»Ù 2-Ç Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁª a 0, b 0 ¹»åùáõÙ »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É ݳ¨ (a , b ) | a || b | cos(a, b) | a | Ñ.³.åñ a0 b | b | Ñ.³.åñ b 0 a (1)
ï»ëù»ñáí: ºàðºØ 1£ W ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ, áñå»ë W W R »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` 1¤ ( a, b) (b, a ) , 2¤ ( k a, b) k ( a, b) , 4¤ ( a, a ) | a |2 , 3¤ ( a b, c ) ( a, c ) (b, c ) , 5¤ ( f (a), f (b)) (a, b) , Ï³Ù³Û³Ï³Ý a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÇ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý k R ÃíÇ ¨ ïíÛ³É W ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ»Ý³ñ³ÝÇ ó³Ýϳó³Í f ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a 0 , ϳ٠b=0 , ϳ٠c 0 , ³å³ 1-5 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝѳÛï »Ý: ¸Çóáõù ³ÛÅÙ a 0 , b 0 , c 0 :
1-Á Ñ»ï¨áõÙ ¿ (a, b) (b, a ) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: 2¤ ú·ïí»Éáí (1) -Çóª Ïëï³Ý³Ýù (ka, b) (b, ka ) | b | Ñ.³.åñ b 0 (ka ) | b | k ( Ñ.³.åñ b0 a ) k (| b | Ñ.³.åñb0 a) k (a, b)
3¤ ÆÝãå»ë ݳËáñ¹ ¹»åùáõÙ, û·ïí»Éáí ¥1¤-Çó, Ïëï³Ý³Ýù (a b, c) | c | Ñ.³.åñ c0 (a b) | c | ( Ñ.³.åñ c0 a)| c | ( Ñ.³.åñ c0 b) (a, c) (b, c) : 4¤ àõÝ»Ýù (a, a ) | a || a | cos(a, a ) | a || a | cos 0 | a |2 : 5¤ ¸Çóáõù f -Á W ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ»Ý³ñ³ÝÇ áñ¨¿ ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿, A, B, C Ï»ï»ñÁ W -Ç Ñ»Ý³ñ³ÝÇ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³ ã·ïÝíáÕ Ï»ï»ñ »Ý, a AB , b AC , f ( A) A1 ,
f ( B) B1 , f (C ) C1 ¥ï»°ë Ýϳñ 12-Á¤:
Üϳñ 12 гñÃáõÃÛ³Ý Ç½áÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó áõÝ»Ýù AB A1 B1 , AC A1C1 ¨ BC B1C1 : ²Ûëï»ÕÇó` ∆ABC = ∆A1B1C1, áñï»ÕÇó ¿É` BAC B1 A1C1 : f (a) A1 B1 , f (b) A1C1 : ²ÛÝå»ë áñ` ØÛáõë ÏáÕÙÇóª ( f (a), f (b)) | f (a)|| f (b)| cos( f (a), f (b)) A1 B1 A1C1 cos(B1 A1C1 )
AB AC cos(BAC ) | a || b | cos(a, b) (a, b) : 1-5 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ »Ý ݳ¨, »ñμ a || b :□ ²å³óáõóí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÑÇÙݳϳÝ, ù³ÝÇ áñ Ýñ³Ýù ÉÇáíÇÝ áñáßáõÙ »Ý ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: ²Û¹ Ù³ëÇÝ ¿ íϳÛáõÙ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ: ºàðºØ 2 ¥ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÙdzÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇݤ: ºÝó¹ñ»Ýùª ÇÝã-áñ ÙÇ »Õ³Ý³Ïáí ïíÛ³É í»Ïïáñ³ Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ó³Ýϳó³Í ( a; b) ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóí³Í ¿ ÙÇ ÃÇí, áñÁ Ýß³ ݳÏí³Í ¿ a * b -áí, Áݹ áñáõÙª áõÝ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` 1¤ a b b a , 2¤ ( a b) * c ( a c ) (b c ) , 3¤ (k a ) b k (a b), k R, 4¤ a a | a |2 , 5¤ f ( a ) f (b) a b, áñï»Õ f -Á ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ»Ý³ñ³ÝÇ ó³Ýϳó³Í ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿: ²å³ Ýßí³Í ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ»ï, ³ÛëÇÝùݪ | a || b | cos(a , b ), »ñμ a 0 ¨ b 0 ab : 0, »ñμ a 0 ϳ٠b=0 ²å³óáõóáõ٠ϳï³ñ»Ýù »ñ»ù ÷áõÉáí ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó V p ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó V μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
àñáß ¹ñí³·Ý»ñÇ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ëáõë³÷»Éáõ Ýå³ï³Ïáí ³Ûë »ñÏáõ ¹»åù»ñÇ ³å³óáõóáõÙÝ»ñÁ Ïϳï³ñ»Ýù Ùdzųٳݳϣ ³¤ Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ »Ã» a 0 ϳ٠b 0 , ³å³ a b 0 : Æñáù, »Ã» a 0 , ÇëÏ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿, ³å³, û·ïí»Éáí ѳïÏáõÃÛáõÝ 2-Çó, Ïëï³Ý³Ýù 0 b (0 0) b (0 b) (0 b) 2(0 b) ,
áñï»ÕÇóª 0 b 0 : ÆëÏ »Ã» b 0 , a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¿, ³å³ Áëï ѳïÏáõÃÛáõÝ 1-Ç ¨ ݳËáñ¹ ¹»åùÇ` a 0 0 a 0 : μ¤ ºÝó¹ñ»Ýùª a b , óáõÛó ï³Ýù, áñ a b 0 : ¸Çóáõù a OA , b OB : Ü߳ݳϻÝù f -áí ( AOB ) ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ OB áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ, »ñμ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ÝáõÛÝ f -áí Ý߳ݳϻÝù ݳ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ OB áõÕÕáí ³ÝóÝáÕ ¨ OA -ÇÝ áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛ³Ý ÝϳïÙ³Ùμ, »ñμ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõ ÃÛáõÝÁ: ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É f ( a ) a, f (b) b : гçáñ¹³μ³ñ û·ïí»Éáí ѳïÏáõÃÛáõÝ 5-Çó, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3-Çóª Ïëï³Ý³Ýù a b f ( a ) f (b) ( a ) b (( 1)a ) b ( a b) , áñï»ÕÇó ¿Éª a b 0 : ·¤ ²ÛÅÙ »Ýó¹ñ»Ýùª a 0 ¨ b 0 »ñÏáõ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»Ï ïáñÝ»ñ »Ý: Ü»ñϳ۳óÝ»Ýù a í»ÏïáñÁ a a a ï»ëùáí, áñï»Õ a || b, a b : ø³ÝÇ áñ a || b , ³å³ a í»ÏïáñÁ ϳñáÕ »Ýù Ý»ñϳ۳óÝ»É a k b ï»ëùáí, áñï»Õ k | a | cos(a, b) , ÇëÏ b 0 -Ý b í»ÏïáñÇ ûñÃÝ ¿` b 0 b | b | , | b 0 |= 1 : л勉μ³ñ, ѳçáñ¹³μ³ñ û·ïí»Éáí 2¤, μ¤, 3¤, 4¤ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É a b ( a a ) b ( a b ) ( a b ) a b ( k b 0 ) (| b | b 0 ) 0 0 0 2 k | b | (b b ) (| a | cos(a, b)) | b | | b | | a | | b | cos(a, b) :□ ²ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ áõÕÕÇÝ ÏÇó í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝÁ, ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇݪ áñå»ë ËݹÇñ ÇÝùÝáõñáõÛÝ ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ: ²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ßíÙ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÇ ³ñï³ÍÙ³ÝÁ, »ñμ í»ÏïáñÝ»ñÁ ïñí³Í »Ý Ïáñ¹Çݳï45
Ý»ñáí ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áñ¨¿ (e1 ; e2 ; e3 ) μ³½ÇëáõÙ: ¸Çóáõù a a1 ; a2 ; a3 ¨ b b1 ; b2 ; b3 Ýßí³Í μ³½ÇëáõÙ: гßí»Ýù Ýñ³Ýó ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª û·ïí»Éáí ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ 1¤-4¤ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: àõÝ»Ýù` (a, b) (a1 e1 a2 e2 a3 e3 , b1 e1 b2 e2 b3 e3 ) (a1 e1 , b1 e1 ) (a1 e1 , b2 e2 ) (a1 e1 , b3 e3 ) (a2 e2 , b1 e1 ) (a2 e2 , b2 e2 ) (a2 e2 , b3 e3 ) (a3 e3 , b1 e1 ) (a3 e3 , b2 e2 ) (a3 e3 , b3 e3 ) a1b1 (e1 , e1 ) a1b2 (e1 , e2 ) a1b3 (e1 , e3 ) a2b1 (e2 , e1 ) a2b2 (e2 , e2 ) a2b3 (e2 , e3 ) a3b1 (e3 , e1 ) a3b2 (e3 , e2 ) a3b3 (e3 , e3 ) a1b1 (e1 , e1 ) a2b2 (e2 , e2 ) a3b3 (e3 , e3 ) (a1b2 a2b1 )(e1 , e2 ) (a2b3 a3b2 )(e2 , e3 ) (a3b1 a1b3 )(e3 , e1 ) : ²ÛëåÇëáíª Ï³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳßí»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ áõÝ»Ý³É (ei , e j ) ; i, j 1, 2,3 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ£ سëݳíáñ ¹»åùáõÙ, »ñμ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý (e1 ; e2 ; e3 ) μ³½ÇëÁ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í μ³½Çë ¿, ³ÛëÇÝùÝ` | e1 |=| e2 |=| e3 |= 1, 1, i j e1 e2 , e1 e3 , e2 e3 , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` (ei , e j ) , 0, i j ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù` ³¤ ( a, b) a1 b1 a2 b2 a3 b3 , μ¤ | a | (a, a ) a12 a2 2 a32 , a1 b1 a2 b2 a3 b3 ( a, b) ·¤ cos(a, b) , | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32 ¹¤ a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 0 :
¢ 8. ìºÎîàðܺðÆ ìºÎîàð²Î²Ü ´²¼Ø²ä²îÎàôØÀ
ì»ÏïáñÝ»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¿, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó V ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝáõÙ: Ü³Ë ë³ÑٳݻÝù í»ÏïáñÝ»ñÇ ³ç »éÛ³Ï, Ó³Ë »éÛ³Ï Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÙÇ Ï»ïÇó ÏÇñ³éí³Í áã ѳٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñÇ a OA, b OB, c OC ϳñ·³íáñ í³Í »éÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ç »éÛ³Ï, »Ã» c í»ÏïáñÇ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ ·ïÝíáÕ ¹Çïáñ¹Á O, A, B Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç OA í»ÏïáñÇ Ï³ñ׳·áõÛÝ åïáõÛïÁ O Ï»ïÇ ßáõñç ÙÇÝ㨠OB -ÇÝ Ñ³ÙáõÕÕí³Í ¹³éݳÉÁ ï»ëÝáõÙ ¿ ųÙëɳùÇ åïáõÛïÇÝ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ: гϳé³Ï ¹»åùáõÙ, »ñμ OA -Çó ¹»åÇ OB ϳñ׳·áõÛÝ åïáõÛïÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ųÙëɳùÇ åïáõÛïÇ áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï, »éÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ó³Ë »éÛ³Ï: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³ÏÝѳÛï Ñ»ï¨áõÙ ¿. гïÏáõÃÛáõÝ 1. ºÃ» a, b, c »éÛ³ÏÝ ³ç »éÛ³Ï ¿, ³å³ b, c, a ¨ c, a, b »éÛ³ÏÝ»ñÁ ¨ë ³ç »éÛ³Ï »Ý, ÇëÏ b, a, c ; a, c, b ; c, b, a ; ÇÝãå»ë ݳ¨ a, b, c ; a, b, c ¨ a, b, c »éÛ³ÏÝ»ñÁ Ó³Ë »éÛ³ÏÝ»ñ »Ý: гïÏáõÃÛáõÝ 2. ºÃ» c1 ¨ c2 í»ÏïáñÝ»ñÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ýϳï Ù³Ùμ ÙǨÝáõÛÝ ÏÇë³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝáõÙ, ³å³ a, b, c1 ¨ a, b, c2 »éÛ³ÏÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ï³Ù »ñÏáõëÝ ¿É ³ç, ϳ٠»ñÏáõëÝ ¿É Ó³Ë »éÛ³ÏÝ»ñ »Ý: ºÃ» a, b, c »éÛ³ÏÁ ³ç ¥Ó³Ë¤ »éÛ³Ï ¿, ݳ¨ ³ëáõÙ »Ý, áñ ³ÛÝ áõÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ¥μ³ó³ë³Ï³Ý¤ ÏáÕÙÝáñáßáõÙ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ѳٳ·ÇÍ, ϳñ·³íáñí³Í »ñÏáõ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñ ï³¹ñÛ³É ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ c í»ÏïáñÁ, áñÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ, áõÕÕí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ í»Ï ïáñÝ»ñÇ ( a; b; c ) ϳñ·³íáñí³Í »éÛ³ÏÁ ³ç »éÛ³Ï ¿, ÇëÏ Ýñ³ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó ϳ½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ëÇÝáõëÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: ºÃ» a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³å³ Ýñ³Ýó í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³É ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÁ: ºñÏáõ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý [ a , b ] -áí ϳ٠a b -áí: ²ÛëåÇëáíª »Ã» a || b , ³å³ [a, b] a , [a, b] b : ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª ( a; b; [ a,b]) ϳñ·³íáñí³Í »éÛ³ÏÁ ³ç »éÛ³Ï ¿ ¨ |[a, b]|= | a | | b | sin(a, b) : ÆëÏ »Ã» a || b , ³å³ [a, b] 0 : ¸Çóáõù a ¨ b áã ѳٳ·ÇÍ í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÇñ³éí³Í »Ý ÙÇ Ï»ïÇó: Üñ³Ýóáí áñáßíáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ, áñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏÝ߳ݳϻÝù S ( a, b ) ¬áí: ä³ñ½ ¿, áñ S ( a, b ) S ( b, a) ¨ S ( ka, b ) | k | S ( a, b) : Üϳï»Ýù, áñ »ñÏáõ áã ѳٳ·ÇÍ í»ÏïáñÝ»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ Ãí³å»ë ѳí³ë³ñ ¿ Ýñ³Ýóáí áñáßí³Í ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÇÝ` |[a, b]| = S ( a, b ) : ºàðºØ£ ì»ÏïáñÝ»ñÇ í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ, áñå»ë V V V »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` 2¤ [ a b, c ] [ a , c ] [b, c ] , 1¤ [ a , b ] [b, a ] , 3¤ [ k a , b ] [ a , kb ] k [ a , b ] , 4¤ |[a, b]|2 ( a, a )(b, b) ( a, b) 2 :
²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³å³ Áëï ë³ÑÙ³Ýٳݪ áõÝ»Ýù [a, b] 0, [b, a ] 0 : л勉μ³ñ ³Ûë ¹»åùáõÙ 1-Á ×Çßï ¿: ØÛáõëª a || b ¹»åùáõÙ 1-Á ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ óáõÛó ï³Ýù, áñ ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñáõÙ ·ñí³Í í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳÙáõÕÕí³Í »Ý ¨ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ: ÎÇñ³é»Éáí a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ÙÇ Ï»ïÇóª Ïëï³Ý³Ýù, áñ [ a , b ] -Ý ¨ [b, a ] -Ý áõÕճѳ۳ó »Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñáí áñáß í³Í ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ¨ ѻ勉μ³ñ ѳٳ·ÇÍ »Ý` [b, a ] || [ a, b] : òáõÛó ï³Ýù, áñ Ýñ³Ýù ݳ¨ ѳÙáõÕÕí³Í »Ý: (a; b; [a, b]) -Ý ¨ (b; a; [b, a ]) -Ý ³ç »éÛ³ÏÝ»ñ »Ý, áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (b; a; [a, b]) -Ý ¨ (b; a; [b, a ]) -Ý ÏÉÇÝ»Ý Ó³Ë »éÛ³ÏÝ»ñ: л勉μ³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù [b, a] [a, b] : ØÛáõë ÏáÕÙÇó áõÝ»Ýù | [b, a]| =|[b, a ]| = S ( b, a) =S ( a, b )=|[a, b]| : гٳ¹ñ»Éáí ³Ûë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù [a, b] [b, a ] : 2-Á Ýå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ¿ ³å³óáõó»É ³í»ÉÇ áõߪ ¢ 9-áõÙ: 3¤ ºñμ a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »Ý, ÇëÏ k 0 , ϳ٠¿É a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ÇëÏ k -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ Áëï ë³ÑÙ³Ýٳݪ ëï³ÝáõÙ »Ýù 0 0 : ¸Çóáõù ³ÛÅÙ k 0 ¨ a || b : àõñ»Ùݪ k a a , ÇÝãå»ë ݳ¨ k[ a, b] [ a, b] : (a; b;[a, b]) -Ý ¨ (ka; b;[ka, b]) -Ý ³ç »éÛ³ÏÝ»ñ »Ý, áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (a; b; k [a, b]) -Ý ¨ (a; b; [ka, b]) -Ý ¨ë ³ç »éÛ³ÏÝ»ñ »Ý: ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ [ka, b] -Ý ¨ k[a, b] -Ý áõÕÕ³ ѳ۳ó »Ý a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñáí áñáßí³Í ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, Ñ»49
ï¨áõÙ ¿, áñ Ýñ³Ýù,
ÉÇÝ»Éáí ѳٳ·ÇÍ, ݳ¨ ѳÙáõÕÕí³Í »Ýª
[ ka, b] k [ a, b] : ØÛáõë ÏáÕÙÇóª |[ka, b]| =S ( ka, b )=kS ( a, b )=k|[a, b]|=| k[a, b]| : л勉μ³ñª k [ a, b] [ k a, b] : ÜÙ³Ý Ó¨áí ëï³ÝáõÙ »Ýù k[a, b] [a, kb] : ØÛáõëª k 0 ¨ a || b ¹»åùáõÙ, û·ïí»Éáí k | k | ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ¨ 1¤ ѳïÏáõÃÛáõÝÇó, ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É [ka, b] [ | k | a, b] [| k | a, b] | k | [a, b] k[a, b] : ²Ûëï»Õ Ù»Ýù ³ñ¹»Ý ³å³óáõóí³Í ݳËáñ¹ û·ïí»óÇÝù ¹»åùÇó ¨ [a, b] [a, b] ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, áñÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ³å³óáõó»É ÁÝûñóáÕÇݪ áñå»ë û·ï³Ï³ñ, áã ¹Åí³ñ ËݹÇñ: 3¤ àõÝ»Ýù |[a, b]|2 ( | a | | b | sin(a, b))2 | a |2 | b |2 sin 2 (a, b) =| a |2 | b |2 (1 cos 2 (a, b)) | a |2 | b |2 | a |2 | b |2 cos 2 ( a, b) ( a, a )(b, b) ( a, b) 2 :□ ²å³óáõóí³Í 1¤-4¤ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïáí£ Î³ñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÁÝïñí³Í ÏáÕÙÝáñáßÙ³Ý ÝϳïÙ³Ùμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ ÙÇ V V V ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 1-4 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ. ³¤ b, c ¨ [a,[b, c]] í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý, μ¤ ï»ÕÇ áõÝÇ [a,[b, c]] b(a, c) c(a, b) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ ¥§μ³ó ÙÇÝáõë ó³μ¦ μ³Ý³Ó¨¤:
¢ 9. ìºÎîàðܺðÆ Ê²èÀ ´²¼Ø²ä²îÎàôØÀ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñ»ù a, b, c ϳñ ·³íáñí³Í í»ÏïáñÝ»ñÇ Ë³éÁ ³ñï³¹ñÛ³É ÏáãíáõÙ ¿ ([ a,b],c ) ÃÇíÁ: ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ë³éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ( a, b, c ) áí ϳ٠abc -áí, ¨ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó áõÝ»Ýù (a, b, c) ([a,b],c ) : ¸Çóáõù a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÇñ³éí³Í »Ý ÙÇ Ï»ïÇó: ºàðºØ 1 ¥í»ÏïáñÝ»ñÇ Ë³éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»Ïݳμ³ÝáõÙÁ¤: ºÃ» a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý, ³å³ ( a, b, c ) ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0-Ç: ºÃ» a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà ã»Ý, ³å³ ( a, b, c ) ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ Ýñ³Ýóáí áñáßí³Í ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ V ( a, b, c ) ͳí³ÉÇݪ í»ñóí³Í ¹ñ³Ï³Ý Ýß³Ýáí, »ñμ a, b, c ϳñ·³íáñí³Í ³ç »éÛ³Ï ¿, ¨ í»ñóí³Í μ³ó³ë³Ï³Ý »éÛ³ÏÁ Ýß³Ýáí, »ñμ a, b, c ϳñ·³íáñí³Í »éÛ³ÏÁ Ó³Ë »éÛ³Ï ¿: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý: ºÃ» a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³å³ [a,b]=0 , ѻ勉μ³ñ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóëï³ÝáõÙ »Ýù (a, b, c) ([a,b],c ) (0, c) 0 : ºñμ a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ ã»Ý, ³å³ [a,b] -Ý, áõÕ Õ³Ñ³Û³ó ÉÇÝ»Éáí a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÝ Áݹ·ñÏáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ, ÏÉÇÝÇ áõÕճѳ۳ó ݳ¨ c í»ÏïáñÇÝ, ѻ勉μ³ñª (a, b, c) ([a,b],c ) 0 : ¸Çóáõù a, b, c í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà ã»Ý: ²Ûë ¹»åùáõÙ c OC í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ã¿ a OA ¨ b OB í»ÏïáñÝ»ñÝ Áݹ·ñÏáÕ AOB ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ: л勉μ³ñª [a,b] c ¨
([a,b], c) ³ÝÏÛáõÝÁ ϳ٠ëáõñ ¿, ϳ٠μáõÃ: ²ÛÝå»ë áñª
OH , »ñμ 2 , áñï»Õ OH -Á a, b, c í»Ïïáñ| c | cos OH , »ñμ Ý»ñáí áñáßí³Í OABCAO1 A1 B1C1 ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿ ¥ï»°ë Ýϳñ 13-Á¤:
Üϳñ 13 ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿Éª | c | | cos | OH : ú·ïí»Éáí ³Ûë ÷³ëïÇóª ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É | (a, b, c ) |=| ([a,b],c ) |=||[a,b] | | c | cos([a,b], c) |= =|[a,b] | | c | | cos |= S ( a, b ) OH V ( a, b, c ) : V ( a, b, c ), »ñμ 2 л勉μ³ñª ( a, b, c ) : V ( a, b, c ), »ñμ
²ÛÅÙ Ýϳï»Ýù, áñ ¹»åùáõÙ O Ï»ïÇó ÏÇñ³éí³Í [a,b] ¨ c í»ÏïáñÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ OACB ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ÝϳïÙ³Ùμ ÙǨÝáõÛÝ ÏÇë³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝáõÙ, ÇëÏ
¹»åùáõÙ Ýñ³Ýù ·ïÝíáõÙ »Ý ï³ñμ»ñ ÏÇë³2 ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ a, b,[a, b] »éÛ³ÏÝ ³ç »éÛ³Ï ¿, ³å³ ³é³çÇÝ ¹»åùáõÙ a, b, c »éÛ³ÏÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ ³ç »éÛ³Ï, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ ³ñ¹»Ý ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ó³Ë »éÛ³Ï: л勉μ³ñª V ( a, b, c ), »ñμ a, b, c »éÛ³ÏÝ ³ç »éÛ³Ï ¿, ( a, b, c ) :□ V ( a, b, c ), »ñμ a, b, c »éÛ³ÏÁ Ó³Ë »éÛ³Ï ¿ лï¨áõÃÛáõÝ: ºñ»ùª a , b , c í»ÏïáñÝ»ñ ѳٳѳñà »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ( a, b, c ) 0 : ºàðºØ 2£ ì»ÏïáñÝ»ñÇ Ë³éÁ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ, áñå»ë »é³ï»Õ V V V R ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` 1¤ ( a, b, c) (b, c, a ) (c, a, b) (b , a , c ) ( a , c , b ) ( c , b , a ) , 2¤ ( k a, c, b) ( a , kb, c ) ( a, b, kc ) k ( a , b, c ) , 3¤ (a1 a2 , b, c) (a1 , b, c) (a2 , b, c) , (a, b1 b2 , c) (a, b1 , c) (a, b2 , c) , (a, b, c1 c2 ) (a, b, c1 ) (a, b, c2 ) , Ï³Ù³Û³Ï³Ý a , b, c í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý k ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: 1-Á ³ÝÙÇç³å»ë ëï³óíáõÙ ¿ í»ÏïáñÝ»ñÇ ³ç ¨ Ó³Ë »éÛ³ÏÝ»ñÇ ¢ 8-Ç Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 1-Çó ¨ Ý³Ëáñ¹ ûáñ»ÙÇó: 2. ú·ïí»Éáí ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¨ í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É
k ( a, b, c ) k ([ a, b], c ) (k [a, b], c ) ([ k a, b], c ) ( ka, b, c ) : 3¤ ú·ïí»Éáí 1-Çó ¨ ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý μ³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇóª áõÝ»Ýù (a1 a2 , b, c) (b, c, a1 a2 ) ([b, c], a1 a2 ) ([b, c], a1 ) ([b, c], a2 ) (b, c, a1 ) (b, c, a2 ) (a1 , b, c) (a2 b, c) : ØÛáõë »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³å³óáõóáõÙÁ ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇݪ áñå»ë û·ï³Ï³ñ í³ñÅáõÃÛáõÝ: ²ÛÅÙ ³Ý¹ñ³¹³éݳÝù ¢ 8-áõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ýμ³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÇÝ: Ü߳ݳϻÝù m [a b, c] [a, c] [b, c] ¨ óáõÛó ï³Ýù, áñ m 0 : ú·ïí»Éáí ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý μ³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó ¨ Ã»áñ»Ù 2-Çóª ëï³ÝáõÙ »Ýù | m |2 (m, m) ([a b, c] [a, c] [b, c], m) ([a b, c], m) ([a, c], m) ([b, c ], m) ( a b, c, m) ( a, c, m) (b, c, m) (a, c, m) (b, c, m) ( a, c, m) (b, c, m) 0 :
m 0, ²Ûëï»ÕÇó ¿É` ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` [ a b , c ] [ a , c ] [b , c ] : ²ÛÅÙ í»Ïïáñ³Ï³Ý ¨ ˳éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³ñï³Í»Ýù ѳßíÙ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ï»ëùáí: ºàðºØ 3£ ºÃ» ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó V ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³ Ó¨áõÃÛ³Ý (e1 ; e2 ; e3 ) μ³½ÇëÁ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í ³ç μ³½Çë ¿, ³ÛëÇÝùÝ` | e1 |=| e2 |=| e3 |= 1, e1 e2 , [e1 , e2 ] e3 , ³å³ ϳٳ۳ Ï³Ý a a1 ; a2 ; a3 , b b1 ; b2 ; b3 , c c1 ; c2 ; c3 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ
[a, b] a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 , (a, b, c) a1b2 c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2 c1 a2b1c3 a1b3c2 :
²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ e1 , e2 , e3 -Á ³ç »éÛ³Ï ¿, ³å³ e2 , e3 , e1 ¨ e3 , e1 , e2 »éÛ³ÏÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ³ç »éÛ³ÏÝ»ñ »Ý: л 勉μ³ñª [e2 , e3 ] e1 , [e3 , e1 ] e2 : ú·ïí»Éáí í»Ïïáñ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ Ï³ï³ñ»Éáí Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñª ëï³ÝáõÙ »Ýù [a, b] [a1 e1 a2 e2 a3 e3 , b1 e1 b2 e2 b3 e3 ] [a1 e1 , b1 e1 ] [a1 e1 , b2 e2 ] [a1 e1 , b3 e3 ] [a2 e2 , b1 e1 ] [a2 e2 , b2 e2 ] [a2 e2 , b3 e3 ] [a3 e3 , b1 e1 ] [a3 e3 , b2 e2 ] [a3 e3 , b3 e3 ] a1b2 [e1 , e2 ] a1b3[e3 , e1 ] a2b1[e1 , e2 ] a2b3[e2 , e3 ] a3b1[e3 , e1 ] a3b2 [e2 , e3 ] (a1b2 a2b1 )[e1 , e2 ] (a2b3 a3b2 )[e2 , e3 ] (a3b1 a1b3 )[e3 , e1 ] : (a1b2 a2b1 )e3 (a2b3 a3b2 )e1 (a3b1 a1b3 )e2 : ²ÛëÇÝùÝ` [a, b] a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 :
ÆëÏ Ë³éÁ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù (a, b, c) ([a, b], c) (a2b3 a3b2 )c1 (a3b1 a1b3 )c2 (a1b2 a2b1 ) c3
a1b2 c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2 c1 a2b1c3 a1b3c2 :□ ú·ïí»Éáí 2-ñ¹ ¨ 3-ñ¹ ϳñ·Ç áñáßÇãÝ»ñÇóª [a, b] -Ç ¨ (a, b, c) -Ç Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É Ý³¨
a [ a, b] 2 b2
a3 a3 ; b3 b3
a1 a1 ; b1 b1
a2 b2
a1 ¨ (a, b, c) b1 c1
a2
a3
b2
b3
c2
c3
ï»ëù»ñáí: лï¨áõÃÛáõÝ: a a1 ; a2 ; a3 , b b1 ; b2 ; b3 , c c1 ; c2 ; c3 , í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ
a1
a2
a3
b1 c1
b2 c2
b3 0 : c3
²Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÝ áõÝ»Ý ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ ¨ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ Í³í³ÉÝ»ñÁ ѳßí»ÉÇë: سëݳíáñ³å»ë a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñáí áñáßí³Í ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù S ( a, b ) | [ a, b] |
a2 b2
a3 b3
a 3 b3
a1 a 1 b1 b1
ÆëÏ a, b, c í»ÏïáñÝ»ñáí áñáßí³Í V ( a, b, c ) ͳí³ÉÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù
V ( a, b, c ) | ( a, b, c ) |
|
a, b, c , d -Ý
a2 b2
:
½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ
a1 a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
|:
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÇÝã-áñ ÊݹÇñ: ¸Çóáõù í»ÏïáñÝ»ñ »Ý: ³¤ ú·ïí»Éáí §μ³ó ÙÇÝáõë ó³μ¦ μ³Ý³Ó¨Çóª ³å³óáõó»É (a, b, c )d ( b, c , d )a (c , d , a )b (d , a, b)c 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: μ¤ ú·ïí»Éáí ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ³å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a , b , c , d í»ÏïáñÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á ÙÇßï ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: ·¤ ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a, b, c , d í»ÏïáñÝ»ñÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ ѳٳѳñà ã»Ý, ³å³ μ³½Ù³å³ïÏãÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ í»ñÁ μ»ñí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýñ³Ýó ÙÇç¨ ÙÇ³Ï ·Í³ÛÇÝ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ ¿:
¶ÈàôÊ ºðÎðàð¸ Îàð¸Æܲî²ÚÆÜ Ð²Ø²Î²ð¶ºð ¢ 10. вðÂàôÂÚ²Ü ºì î²ð²ÌàôÂÚ²Ü ²üÆÜ²Î²Ü Îàð¸Æܲî²ÚÆÜ Ð²Ø²Î²ð¶ºð£ вîì²ÌÆ ´²Ä²ÜàôØÀ îðì²Ì в𲴺ðàôÂڲش ì»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ, áñå»ë »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý μ³ÅÇÝ, ³é³ç³ó»É ¿ 17-ñ¹ ¹³ñáõÙ, »ñμ è. ¸»Ï³ñïÁ 1637 ÃíÇÝ Ññ³ï³ñ³Ïí³Í Çñ «ºñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ» ·ñùáõÙ Ý»ñÙáõÍ»ó Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ: γë»Ýù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ (O; e1 , e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, »Ã» 먻é³Í »Ý áñ¨¿ O Ï»ï ¥ëϽμÝ³Ï»ï¤ ¨ ³Û¹ Ï»ïÇó ÏÇñ³éí³Í áñ¨¿ »ñÏáõ áã ѳٳ·ÇÍ e1 OE1 , e2 OE2 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ· ¥Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý μ³½Çë¤: êϽμݳϻïáí ¨ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ e1 ¨ e2 í»ÏïáñÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý OX ϳ٠³μëóÇëÝ»ñÇ ¨ OY ϳ٠ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñ: ºÃ» M -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ³å³ Ýñ³ OM ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ Ïáñ¹Ç ݳïÝ»ñÁ (e1 , e2 ) μ³½ÇëÇ ÝϳïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùݪ OM xe1 ye2 í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý x ¨ y ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ, ÏáãíáõÙ »Ý M Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ ¥Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ ³μëóÇë ¨ ûñ¹ÇÝ³ï¤ ïíÛ³É ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ:
Üϳñ 14
λïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Ý߳ݳÏíáõÙ »Ý M ( x; y ) -áí ϳ٠M ( x; y ) -áí: úñÇݳϪ O ëϽμݳϻïÇ Ñ³Ù³ñ OO 0 e1 0 e2 , ³ÛëÇÝùݪ O (0; 0) : ÆëÏ OE e1 e2 ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ E ͳÛñ³Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ýª E (1; 1) : ²Û¹ Ï»ïÁ ÁݹáõÝí³Í ¿ ³Ýí³Ý»É ïíÛ³É Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ùdzíáñ Ï»ï ¥ï»°ë Ýϳñ 14-Á¤: гñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ¨ í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳåí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áí` »Ã» M 1 ( x1 ; y1 ) ¨ M 2 ( x2 ; y2 ) , ³å³ M 1M 2 x2 x1 ; y2 y1 : Æñáù M 1M 2 OM 2 OM 1 ( x2 e1 y2 e2 ) ( x1 e1 y1 e2 ) ( x2 x1 )e1 ( y2 y1 )e2 , áñï»ÕÇó M 1M 2 x2 x1 ; y2 y1 : Îáñ¹Çݳï³ÛÇÝ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ïñáÑáõÙ »Ý ãáñë ïÇñáõÛÃÇ, áñáÝó ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ù³éáñ¹Ý»ñ: ²Û¹ ù³éáñ¹Ý»ñÇó ³é³çÇÝ ù³éáñ¹Ý ³ÛÝ ¿, áñáõÙ ÁÝÏ³Í Ï»ï»ñÇ »ñÏáõ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ ¿É ¹ñ³Ï³Ý »Ý: ºñÏñáñ¹ ù³éáñ¹áõÙ ÁÝÏ³Í Ï»ï»ñÇ ³μëóÇëÝ»ñÁ μ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, ÇëÏ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ` ¹ñ³Ï³Ý: ºññáñ¹ ù³éáñ¹áõÙ ÁÝÏ³Í Ï»ï»ñÇ »ñÏáõ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ ¿É μ³ó³ë³Ï³Ý »Ý: âáññáñ¹ ù³éáñ¹áõÙ ÁÝÏ³Í Ï»ï»ñÇ ³μëóÇëÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, ÇëÏ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ` μ³ó³ë³Ï³Ý ¥ï»°ë Ýϳñ 15-Á¤:
Üϳñ 15
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý (O; e1 , e2 , e3 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ϳ½Ùí³Í ¿ O Ï»ïÇó ¥ëϽμݳϻïÇó¤ ¨ ³Û¹ Ï» ïÇó ÏÇñ³éí³Í »ñ»ù áã ѳٳѳñà e1 , e2 , e3 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í »éÛ³ÏÇó ¥³ÛëÇÝùݪ ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁ ÏÇó ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛ³Ý μ³½ÇëÇó¤: êϽμݳϻïáí ¨ Ñ³Ù³å³ ï³ë˳ݳμ³ñ e1 , e2 ¨ e3 í»ÏïáñÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý OX , OY ¨ OZ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñ, ÇëÏ OX ¨ OY , OY ¨ OZ , OX ¨ OZ ³é³ÝóùÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ OXY , OYZ , OXZ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ: ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ OM ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùݪ OM xe1 ye2 ze3 í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý x , y ¨ z ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ, ÏáãíáõÙ »Ý M Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ ¥Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ ³μëóÇë, ûñ¹ÇÝ³ï ¨ ³åÉÇÏ³ï¤ ïíÛ³É Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ¨ í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳåí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áí` »Ã» M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) ¨ M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) , ³å³ M 1M 2 x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 : Îáñ¹Çݳï³ÛÇÝ OXY , OYZ ¨ OXZ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ïñáÑáõÙ »Ý áõà ïÇñáõÛÃÇ, áñáÝó ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ûÏï³ÝïÝ»ñ: ²Û¹ ûÏï³ÝïÝ»ñÁ μÝáõó·ñíáõÙ »Ý Çñ»Ýó Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñáí, ³é³çÇÝ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , »ñÏñáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , »ññáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , ãáññáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , ÑÇÝ·»ñáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , í»ó»ñáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , Ûáûñáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) , áõûñáñ¹ ûÏï³ÝïáõÙ` ( ; ; ) : ºñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ù»Ãá¹Á ϳ۳ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉáõÙ. Ï»ï»ñÁ ÷á˳ñÇÝíáõÙ »Ý Çñ»Ýó Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñáí ÙÇ Ãíáí áõÕÕÇ Ï»ï»ñÇ ¹»åùáõÙ, ϳñ·³íáñí³Í Ãí³½áõÛ·áí ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ ¹»åùáõÙ ¨ Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í »éÛ³Ïáí
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ ¹»åùáõÙ: ¶Í»ñÝ áõ ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñÁ ÷á˳ñÇÝíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ϳ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáí, áñáÝóáõÙ áñå»ë ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñ ѳݹ»ë »Ý ·³ÉÇë ïíÛ³É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÁ ϳ½ÙáÕ Ï»ï»ñÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨ ïíÛ³É å³ïÏ»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹áõñë »Ý μ»ñíáõÙª áõëáõÙݳëÇñ»Éáí ѳٳå³ï³ëË³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ϳ٠í»ñÉáõÍ³Ï³Ý ÙÇçáóÝ»ñáí: àñå»ë ³Û¹ Ù»Ãá¹Ç óáõó³¹ñáõÙª ëϽμÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ å³ñ½, μ³Ûó ϳñ¨áñ ËݹÇñª ѳïí³ÍÇ μ³Å³ÝáõÙÁ ïñí³Í ѳñ³μ»ñáõÃÛ³Ùμ: ¸Çï³ñÏ»Ýù áñ¨¿ A, B, C Ï»ï»ñ ( A B ) 먻é³Í áõÕÕÇ Ï³Ù Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ϳ٠¿É ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: γë»Ýù, áñ C Ï»ïÁ AB ѳïí³ÍÁ μ³ Å³ÝáõÙ ¿ ѳñ³μ»ñáõÃÛ³Ùμ, »Ã» AC CB : Üϳï»Éáí, áñ AC CB ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñݳñ³íáñ ã¿, ³ÛëáõÑ»ï¨ Ñ³Ù³ñ»Éáõ »Ýù, áñ 1 : ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ (O; e1 , e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) : Ø»ñ ËݹÇñÝ ¿ ·ïÝ»É C Ï»ïÇ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ: Ü³Ë ·ïÝ»Ýù A , B ¨ C Ï»ï»ñÇ ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³åÁ: àõÝ»Ýù AC AB AC CB AB CB CB AB 1 : CB 1 AB AC CB AC CB 1 AB
²Ûëï»ÕÇó` OC OA AC OA
1 OA OB 1 OA (OB OA) OA OB : 1 1 1 1
1 ²ÛëåÇëáí` OC OA OB : ø³ÝÇ áñ OA {x1 ; y1} , OB {x2 ; y2 } , ³å³ x x y y2 OC 1 ; 1 , 1 1 x x2 y y2 áñï»ÕÇó ¿Éª x 1 : ; y 1 1 1 ÜáõÛÝ Ï»ñå, »Ã» ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý (O; e1 , e2 , e3 ) ³ýÇݳϳÝ
Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ·Ç
ÝϳïÙ³Ùμ
A ( x1 ; y1 ; z1 ),
B ( x2 ; y2 ; z2 ) , C ( x; y; z ) , x x2 y y2 z z2 ³å³ x 1 : ; y 1 ; z 1 1 1 1 ²Ûëï»ÕÇó Ù³ëݳíáñ³å»ë í»ñóÝ»Éáí 1 ª ëï³ÝáõÙ »Ýù AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁª x1 x2 y1 y2 z1 z2 ; ; : 2 2 àõÕÕÇ íñ³ ¹Çï³ñÏíáÕ ( O; e ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ¹»åùÁ ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇÝ:
¢ 11. ²üÆÜ²Î²Ü Îàð¸Æܲî²ÚÆÜ Ð²Ø²Î²ð¶ºðÆ Òºì²öàÊàôÂÚ²Ü ´²Ü²ÒºìºðÀ ºñμ»ÙÝ áñáß »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ѳëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ý»ñÙáõÍáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ݳ˳å»ë ÁÝïñí³Í Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇçáóáí: ø³ÝÇ áñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ýáõ٠ϳËí³Í ã¿ á°ã ¹Çï³ñÏíáÕ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó, á°ã ¿É Ýñ³ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó, ³å³ ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ ¿ ³é³ç³ÝáõÙ ³å³óáõó»É ³Û¹ ³ÝϳËáõÃÛáõÝÁ ϳÙ, ÇÝãå»ë ÁݹáõÝí³Í ¿ ³ë»É, ëïáõ·»É ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ïáé»ÏïáõÃÛáõÝÁ: ¸³ ϳï³ñíáõÙ ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÇ ÙÇçáóáí, áñáÝù Ï³å »Ý Ñ³ëï³ïáõÙ ÝáõÛÝ Ï»ïÇ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ áõÝ»ó³Í Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙÇç¨: ²ñï³Í»Ýù ³Û¹ μ³Ý³Ó¨»ñÁ: ¸Çóáõù (O; e1 , e2 ) -Á ¨ (O; e1, e2 ) -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ »Ý, Áݹ áñáõÙª ѳÛïÝÇ ¿ ¹ñ³ÝóÇó »ñÏñáñ¹Ç ¹ÇñùÝ ³é³çÇÝÇÝϳïÙ³Ùμ: ºÝó¹ñ»Ýù` O (c1 ; c2 ) , e1 { c11 ; c21 } , e2 { c12 ; c22 } , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` OO c1 e1 c2 e2 , e1 c11 e1 c21 e2 ; e2 c12 e1 c22 e2 : ´³½Çë³ÛÇݪ e1, e2 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í
c11 C c12
c21 Ù³ïñÇóÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ( e μ³½ÇëÇó 1 , e2 ) c2 2
(e1, e2 ) μ³½ÇëÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇó: ø³ÝÇ áñ e1 || e2 , ³å³ c11 : c12 c21 : c22 c11 c12
ѻ勉μ³ñª
c21 0 : ²Ûë í»ñçÇÝ å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ C Ù³ïñÇóÁ c2 2
ÏáãíáõÙ ¿ ãí»ñ³ë»ñí³Í Ù³ïñÇó:
¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý M Ï»ïÝ áõÝÇ ( x; y ) , ¥³Ýí³Ý»Ýù M -Ç ÑÇݤ ¨ ( x; y) ¥³Ýí³Ý»Ýù M -Ç Ýáñ¤ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ Ñ³Ù³å³ ï³ë˳ݳμ³ñ (O; e1 , e2 ) ¨ (O; e1, e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ: àõÝ»Ýù OM xe1 ye2 ¨ OM xe1 ye2 ¥ï»°ë Ýϳñ 16-Á¤: Ø»ñ Ýå³ï³ÏÝ ¿ ·ïÝ»É Ï³åÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïÇ ÑÇÝ ¨ Ýáñ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ÙÇç¨:
Üϳñ 16
àõÝ»Ýù ݳ¨ OM OO OM (c1 e1 c2 e2 ) ( xe1 ye2 ) c1 e1 c2 e2 x(c11 e1 c21 e2 ) y(c12 e1 c22 e2 ) (c1 xc11 yc12 )e1 (c2 xc21 yc22 )e2 : ø³ÝÇ áñ ïíÛ³É μ³½ÇëÇ ÝϳïÙ³Ùμ í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÙdzÏÝ »Ý, ³å³ ³Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ Ýßí³Í ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ ( x; y ) ¨ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳåí³Í »Ý x c11 x c12 y c1 (2) y c21 x c22 y c2 μ³Ý³Ó¨»ñáí, áñáÝù ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ-
·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñ:
c11 c12 c1 лï¨Û³Éª Ù³ïñÇóÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý (O; e1 , e2 ) c21 c22 c2 ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó (O; e1, e2 ) ³ýÇ-
Ý³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇó: ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áõÝ»Ýù »ñ»ù ¥³ýÇݳϳݤ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñª (O; e1 , e2 ) , (O; e1, e2 , ) ¨ (O; e1, e2) £ ¸Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ÙÛáõëÇÝ »ñ»ù ³ÝóáõÙÝ»ñª ³é³çÇÝÇó »ñÏñáñ¹, »ñÏñáñ¹Çó »ññáñ¹ ¨ ³é³çÇÝÇó »ññáñ¹£ ¸Çóáõù ³Û¹ ³ÝóáõÙÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÝ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ x c11 x c12 y c1 x d11 x d12 y d1 ¥I¤, ¥II¤ ¨ y c21 x c22 y c2 y d 21 x d 22 y d 2 x b11 x b12 y b1 ¥III¤: ºÃ» ¥I¤ μ³Ý³Ó¨»ñáõÙ x -Ç ¨ y -Ç y b x b y b ÷á˳ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù Ýñ³Ýó ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¥II¤ μ³Ý³Ó¨»ñÇó ¨ Ï³ï³ñ»Ýù ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙdzóáõÙ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù ³ÝóáõÙ ³é³çÇÝÇó »ññáñ¹£ ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù å³ñ½»Éª ÇÝãå»±ë »Ý ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳåí³Í
c11 c 12
c21 , c2 2
d11 d 12
d 21 b11 ¨ d 2 2 b12
b21 Ù³ïñÇóÝ»ñÁ£ b2 2
¸Çóáõù (O; e1 , e2 , e3 ) -Á ¨ (O; e1, e2 , e3 ) -Á ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ »Ý, ¨ ѳÛïÝÇ ¿ ¥ï»°ë Ýϳñ 17-Á¤ Ýáñª (O; e1, e2 , e3 ) ѳٳϳñ·Ç ¹ÇñùÁ ÑÇݪ
Üϳñ 17 ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμª O (c1 ; c2 ; c3 ) , e1 { c11; c21; c31 } , e2 { c12 ; c22 ; c32 } , e3 { c13 ; c23 ; c33 } : ´³½Çë³ÛÇÝ e1, e2 , e3 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇó (O; e1 , e2 , e3 )
c11
c21
c31
c13
c33
c33
ϳ½Ùí³Í C c12 c2 2 c32 Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇÝ μ³½ÇëÇó Ýáñ μ³½ÇëÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇó: гٳӳÛÝ ¢ 9-Ç Ã»áñ»Ù 3-Ç Ñ»ï¨áõÃ۳ݪ ³ÛÝ ãí»ñ³ë»ñí³Í Ù³ïñÇó ¿ª | C | 0 : î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ ( x; y; z ) ¨ ( x; y ; z ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ ³Û¹ ѳٳϳñ·»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ, Ù»ÏÁ ÙÛáõëáí ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý ( 2 ) μ³Ý³Ó¨»ñÇÝ Ýٳݪ x c11 x c12 y c13 z c1 y c21 x c22 y c23 z c2 ( 3) z c x c y c z c
μ³Ý³Ó¨»ñáí, áñáÝù »Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ (O; e1 , e2 , e3 ) ¨ (O; e1, e2 , e3 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñ:
лï¨Û³Éª
c11 c12 c21 c2 2 c31 c32
c13 c1 c23 c2 c33 c3
Ù³ïñÇóÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý
(O; e1 , e2 , e3 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó (O; e1, e2 , e3 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇó: ø³ÝÇ áñ ( 3) μ³Ý³Ó¨»ñÇ ³ñï³ÍáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ( 2) μ³Ý³Ó¨»ñÇ ³ñï³ÍÙ³Ý ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ùμ ¨ áñ¨¿ μ³ñ¹áõÃÛáõÝ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇݪ áñå»ë û·ï³Ï³ñ í³ñÅáõÃÛáõÝ:
¢ 12. вðÂàôÂÚ²Ü àôÔÔ²ÜÎÚàôÜ Îàð¸Æܲî²ÚÆÜ Ð²Ø²Î²ð¶ºðÆ Òºì²öàÊàôÂÚ²Ü ´²Ü²ÒºìºðÀ
(O; e1 , e2 )
Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ( e1 , e2 ) μ³½ÇëÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ª | e1 |= | e2 |= 1 ¨ e1 e2 , ³å³ ³Û¹åÇëÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ï³Ù ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·: àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ M 1 ( x1 ; y1 ) ¨ M 2 ( x2 ; y2 ) Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÙÇçáóáíª M 1M 2 | M 1M 2 | ( M 1M 2 , M 1M 2 ) ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
ºÃ»
μ³Ý³Ó¨áí: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ (e1 e2 , e1 e3 , e2 e3 , | e1 |=| e2 |=| e3 |= 1) »ñÏáõ M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) ¨ M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ M 1M 2 | M 1M 2 |= ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
μ³Ý³Ó¨áí: ºÝó¹ñ»Ýùª ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý »ñÏáõª (O; e1 , e2 ) ¨ (O; e1, e2 ) áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ: ¸Çóáõù -Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÝÏÛáõÝÝ ¿, áñáí å»ïù ¿ åïï»É e1 í»ÏïáñÁ ųÙëɳùÇ åïáõÛïÇ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõ ÃÛ³Ùμ, ÙÇÝ㨠áñ ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝÇ e1 -Ç Ñ»ï: Üϳï»Ýù, áñ
00 3600 :
ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ( 2 ) Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¥ï»°ë ¢ 10¤ μáÉáñ ci j ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ³ñï³Ñ³Ûïí»É ÙÇ å³ñ³Ù»ïñáí, ³ÛÝ ¿ª -áí: ºÃ» e1 c11 e1 c21 e2 , e2 c12 e1 c22 e2 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳçáñ¹³μ³ñ ëϳÉÛ³ñ³å»ë μ³½Ù³ å³ïÏ»Ýù e1 ¨ e2 í»ÏïáñÝ»ñáí ¨ ѳßíÇ ³éÝ»Ýù, áñ | e1 |=| e2 |= 1 , e1 e2 , | e1 |=| e2 |= 1 , e1 e2 , ³å³ Ïëï³Ý³Ýù c i j ( e i , e j ) cos ( e i , e j ), i, j 1, 2 : Ø»ñ Ýå³ï³ÏÝ ¿ ci j ·áñͳÏÇóÝ»ñÝ ³ñï³Ñ³Ûï»É -Ç ÙÇçáóáí, áñÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Éáõ »Ýù »ñÏáõ ¹»åù: 1. ºñμ Ñݳñ³íáñ ¿ O Ï»ïáõÙ ÏÇñ³éí³Í e1 , e 2 í»ÏïáñÝ»ñÁ, ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áË»Éáí O Ï»ï, ³ÛÝáõÑ»ï¨ åïï»É O Ï»ïÇ ßáõñç ³ÛÝåÇëÇ ³ÝÏÛáõÝáí, áñ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ e1 í»Ï ïáñÁ ѳÙÁÝÏÝÇ e1 í»ÏïáñÇ Ñ»ï, ¨ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï e2 -Á ѳ٠ÁÝÏÝÇ e2 -Ç Ñ»ï: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ ( e1 , e2 ) ¨ ( e1, e2 ) μ³½ÇëÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ÏáÕÙÝáñáßáõÙÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 18-Á¤:
Üϳñ 18 ¶ïÝ»Ýù μ³½Çë³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í i, j 1, 2 ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁª ¹Çï³ñÏ»Éáí ãáñë »Ýó¹»åù. ³¤ ºñμ 0
, ³å³ áõÝ»Ýù
( e i , e j ) ,
( e 1 , e1 ) , ( e 1 , e2 ) , ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) : μ¤ ºñμ
, ³å³ áõÝ»Ýù
3 ( e 1 , e 1 ) , ( e 1 , e2 ) , ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) :
·¤ ºñμ
3 , ³å³ áõÝ»Ýù
3 ( e 1 , e1 ) 2 , ( e 1 , e2 ) , ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) 2 :
¹¤ ºñμ
3 2 , ³å³ áõÝ»Ýù 3 ( e 1 , e 1 ) 2 , ( e 1 , e2 ) , 5 ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) 2 :
´áÉáñ ãáñë »Ýó¹»åù»ñáõÙ, c i j ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù ÙǨÝáõÛÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁª c11 cos ( e 1 , e1 ) cos , c12 cos ( e 1 , e2 ) sin , c 21 cos ( e 2 , e1 ) sin . c 2 2 cos ( e 2 , e2 ) cos :
²ÛëåÇëáíª 1-ÇÝ ¹»åùáõÙ (2) μ³Ý³Ó¨»ñÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý
x x cos y sin c1 , 0 2 ( 4) y x sin y cos c2 ï»ëùÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ( e1 , e2 ) ûñÃáÝáñÙ³É μ³½ÇëÇó ( e1, e2 ) ûñÃáÝáñÙ³É μ³½ÇëÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ cos sin C ï»ëùÁ ¨ | C | 1 : sin cos 2. ºñμ Ñݳñ³íáñ ã¿ (e1 , e2 ) μ³½ÇëÁ, ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷á Ë»Éáí ¨ åïï»Éáí, ѳÙÁÝÏ»óÝ»É ( e1, e2 ) μ³½ÇëÇ Ñ»ï ³ÛÝå»ë, áñ e1 -Á ѳÙÁÝÏÝÇ e1 -Ç ¨ e2 -Á e2 -Ç Ñ»ï: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ ( e1 , e2 ) ¨ ( e1, e2 ) μ³½ÇëÝ»ñÝ áõÝ»Ý ï³ñμ»ñ ÏáÕÙÝáñáßáõÙÝ»ñ ¥ï»°ë Ýϳñ 19-Á¤:
Üϳñ 19
¶ïÝ»Ýù μ³½Çë³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁª ¹³ñÓÛ³É ¹Çï³ñÏ»Éáí ãáñë ¹»åù: ³¤ ºñμ 0
, ³å³ áõÝ»Ýù
( e 1 , e1 ) , ( e 1 , e2 ) , ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) :
μ¤ ºñμ
, ³å³ áõÝ»Ýù ( e 1 , e1 ) , ( e 1 , e2 ) , ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) :
·¤ ºñμ
3 , ³å³ áõÝ»Ýù ( e 1 , e1 ) 2 , ( e 1 , e2 ) , ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) :
¹¤ ºñμ
3 2 , ³å³ áõÝ»Ýù 5 ( e 1 , e1 ) 2 , ( e 1 , e2 ) , 5 ( e 2 , e1 ) , ( e 2 , e2 ) :
л勉μ³ñª c11 cos ( e 1 , e1 ) cos , c12 cos ( e 1 , e2 ) sin , c 21 cos ( e 2 , e1 ) sin , c 2 2 cos ( e 2 , e2 ) cos :
cos sin ²Ûë ¹»åùáõÙ C , | C | 1 : sin cos ²ÛëåÇëáíª 2-ñ¹ ¹»åùáõÙ (2) μ³Ý³Ó¨»ñÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý x x cos y sin c1 , 0 2 (5) y x sin y cos c2 ï»ëùÁ: Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ ( e1 , e2 ) ûñÃáÝáñÙ³É μ³½ÇëÇó ( e1, e2 ) ûñÃáÝáñÙ³É μ³½ÇëÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ
cos C sin
sin ï»ëùÁ ¨ | C | 1 : cos
ºñμ»ÙÝ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ÉÇÝáõÙ åïáõÛïÁ e1 í»ÏïáñÇó ÙÇÝ㨠e1
í»ÏïáñÁ ϳï³ñ»É ųÙëɳùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùμ: ²Ûë ¹»åùáõÙ åïáõÛïÇ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛ³ÝÁ í»ñ³·ñáõÙ »Ý μ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ý:
Üϳñ 20 ²ÏÝѳÛï ¿ ¥ï»°ë Ýϳñ 20-Á¤, áñ ( ) 2 , áñï»ÕÇó áõÝ»Ýù 2 , cos cos , sin sin : л勉μ³ñ (4) ¨ (5) μ³Ý³Ó¨»ñÁ å³Ñå³ÝáõÙ »Ý Çñ»Ýó ï»ëùÁ ݳ¨ -Ç μ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ì»ñÁ Ù»Ýù ï»ë³Ýù, áñ ÙÇ ûñÃá·áÝ³É μ³½ÇëÇó Ù»Ï ³ÛÉ ûñÃá·áÝ³É μ³½ÇëÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñÝ cos sin cos sin áõÝ»Ý C ϳ٠C ï»ëù, sin cos sin cos áñï»Õ 2 0 £ ²ÛëåÇëÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý 2 2 ã³÷ë»ñÇ ûñÃá·áÝ³É Ù³ïñÇóÝ»ñ ¨ ϳñáÕ »Ý Ý»ñϳ۳óí»É ÙÇ c11 c12 ÁݹѳÝáõñª ï»ëùáí, áñÇ ci j ï³ññ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ c c »Ý c112 c122 1 , c21 c22 1 , c11 c21 c12 c2 2 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ£
²Û¹ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ù³ïñÇóÇ ûñÃá·áݳÉáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñ ïáÕ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ Ù»Ïݳμ³ÝíáõÙ »Ý ³Ûëå»ë. Ù³ïñÇóÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïáÕÇ, ¹Çï³ñÏí³Í áñå»ë í»Ïïáñ, ëϳÉÛ³ñ ù³é³ÏáõëÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç, ÇëÏ ï³ñμ»ñ ïáÕ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0-Ç£ ²ÛëÇÝùݪ Ù³ïñÇóÇ §ïáÕ í»ÏïáñÝ»ñÁ¦ ÷áËáõÕճѳ۳ó Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý£
Üϳï»Ýù, áñ ûñÃá·áÝ³É Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ûñÃá·áݳÉáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñǪ c112 c21 1 , c122 c22 1 , c11 c12 c21 c2 2 0 £ гϳé³ÏÁ ÝáõÛÝå»ë ×Çßï ¿. »Ã» 2 2 ã³÷ë»ñÇ áñ¨¿ C (ci j ) Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁ ¥Ï³Ù ëÛáõÝ»ñÁ¤ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ûñÃá·áݳÉáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ³å³ ³ÛÝ ûñÃá·áÝ³É Ù³ïñÇó ¿£ ²å³óáõó»Ýù 볪 »Ýó¹ñ»Éáí, áñ Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ûñÃá·áݳÉáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ¥ïáÕ»ñÇ ¹»åùáõÙ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨áí¤£ лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ »Ã» c112 c21 1 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ÝÏÛáõÝ ³ÛÝå»ë, áñ 2 0 ¨ c11 cos , c21 sin : ø³ÝÇ áñ c11 ¨
c21
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Ù»ÏÁ
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¿
½ñáÛÇó,
³å³
c11 c12 c21 c2 2 0 , c112 c21 1 , c122 c22 1 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó Ñ»-
ï¨áõÙ ¿, áñ ÇÙ³ëï áõÝ»Ý c12 : c21 ¨ c22 : c11 ѳñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ Ü߳ݳϻÉáí c12 : c21 c22 : c11 k ª ëï³ÝáõÙ »Ýù
c12 k sin , c22 k cos : ²ÛÅÙ
c c 1
å³ÛÙ³ÝÇó
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cos Ü߳ݳÏáõÙ ¿, áñ C Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ sin cos sin ï»ëùÁ£ sin cos
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sin ϳ٠cos
¶ÈàôÊ ºððàð¸ àôÔÆÔÀ вðÂàôÂÚ²Ü ìð² ¢ 13. ºðÎð²â²ö²Î²Ü ä²îκðÆ Ð²ì²ê²ðØ²Ü Ð²êβòàôÂÚàôÜÀ: вÜð²Ð²Þì²Î²Ü Îàðºð
¸Çóáõù (O; e1 , e2 ) -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿, L -Á` ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ÇÝã-áñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñ ¥ûñÇݳϪ ·Çͤ, ¨ áõÝ»Ýù F ( x, y ) 0 ( 6 ) x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ áñ¨¿ ѳí³ë³ñáõÙ: ²Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ L å³ïÏ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý ïíÛ³É Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ, »Ã» ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ÙdzÛÝ ¨ ÙdzÛÝ L å³ïÏ»ñÇ μáÉáñ Ï»ï»ñÇ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ: úñÇݳϪ x 0 ¨ y 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ OY ¨ OX ³é³ÝóùÝ»ñÇ, ÇëÏ xy 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ OX OY -Ç Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿: ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ Ù»Ï ³ÛÉ` (O; e1, e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, ³å³ ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ϳåí³Í »Ý ³Û¹ ÝáõÛÝ Ï»ïÇ (O; e1 , e2 ) -Ç ÝϳïÙ³Ùμ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ñ»ï Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáí` x c11 x c12 y c1 y c21 x c22 y c2
¥ï»°ë ( 2 ) μ³Ý³Ó¨Á ¢ 11-áõÙ ¤: ²Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÁ ÃáõÛÉ »Ý ï³ÉÇë ëï³Ý³É L å³ïÏ»ñÇ F ( x, y) 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ: ¸ñ³ ѳٳñ μ³í³Ï³Ý ¿ ( 6 ) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x -Á ¨ y -Á ÷á˳ñÇÝ»É Çñ»Ýó ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñáíª
F ( x, y) F (c11 x c12 y c1 , c21 x c22 y c2 ) 0 : ø³ÝÇ áñ
c11
c12
0 å³ÛÙ³ÝÇ ßÝáñÑÇí x -Á ¨ y -Á
c21 c2 2
ÙdzñÅ»ùáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý x -áí ¨ y -áí, ³å³ ϳñáÕ »Ýù F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó ·Ý³É »ï, í»ñ³¹³éÝ³É ( 6) ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: л勉μ³ñ ѳñÃáõÃÛ³Ý (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ï»ïÇ ( x; y ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (O; e1 , e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ( 6 ) ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: гñÃáõÃÛ³Ý (O; e1 , e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ Ñ»ï¨Û³É` ai j xi y j 0 ( 7 ) i, j
ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ å³ïÏ»ñÁ, áñï»Õ ai j R Ãí»ñ »Ý, ÏáãíáõÙ ¿ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: гÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÇ Ï³ñ· ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ ( 7 ) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç F ( x, y ) ai j x i y j μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëi, j
ïÇ׳ÝÁ, ³ÛëÇÝùݪ ai j x y , ( ai j 0) Ùdzݹ³ÙÝ»ñÇ i j ³ëi
j
ïÇ׳ÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ:
ºÃ» áñ¨¿ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ ïñí³Í ¿ Çñ ( 7 ) Ñ³í³ ë³ñáõÙáí ѳñÃáõÃÛ³Ý (O; e1 , e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ, ³å³ Ù»Ï ³ÛÉ (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ ÝáõÛÝ ÏáñÁ ϳñáÕ ¿ ïñí»É
F ( x, y) ai j (c11 x c12 y c1 )i (c21 x c22 y c2 ) j
i, j
ai j xi y j 0 (8 ) i, j
ѳí³ë³ñáõÙáí: ²Ûëï»ÕÇó, Ù³ëݳíáñ³å»ë, »½ñ³Ï³óÝáõÙ »Ýù, áñ ÏáñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÉÇÝ»ÉÁ ϳËí³Í ã¿ ¹Çï³ñÏíáÕ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó: ºàðºØ: гÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÇ Ï³ñ·Á ãÇ ÷áËíáõÙ ÙÇ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ó³Ýϳó³Í ³ÛÉ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝóÝ»ÉÇë: ²å³óáõóáõÙ: ä»ïù ¿ óáõÛó ï³Ýù, áñ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÇ ( 7 ) ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ëïÇ׳ÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ Ýñ³ ( 8 ) ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ëïÇ׳ÝÇÝ: ¸ñ³ ѳٳñ Ý³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ F ( x, y ) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ó³Ýϳó³Í ai j xi y j Ùdzݹ³ÙÇ ³ëïÇ׳ÝÁ ãÇ Ù»Í³ÝáõÙ x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÁ ( 2 ) -áí ÷á˳ñÇÝ»ÉÇë: Æñáù, F ( x, y ) μ³½Ù³Ý¹³ÙǪ ai j xi y j Ùdzݹ³ÙÇ Ù»ç í»ñÁ Ýßí³Í ï»Õ³¹ñáõÙÇó Ñ»ïá ëï³ÝáõÙ »Ýù
ai j (c11 x c12 y c1 )i (c21 x c22 y c2 ) j : ö³Ï³·Í»ñÁ μ³ó»Éáõó ¨ ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙdzóáõÙÇó Ñ»ïá Ïëï³Ý³Ýù bi j xi y j ï»ëùÇ Ùdzݹ³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ëïÇ׳ÝÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ i j -Ý, ³Û ëÇÝùÝ` ai j xi y j Ùdzݹ³ÙÇ ³ëïÇ׳ÝÇÝ: л勉μ³ñ (O; e1 , e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó Ù»Ï ³ÛÉ` (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳ77
ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝóÝ»ÉÇë F ( x, y ) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ׳ÝÁ ãÇ Ù»Í³ÝáõÙ: ØÛáõë ÏáÕÙÇóª ³ÛÝ ãÇ ¿É ϳñáÕ ÷áùñ³Ý³É, ù³ÝÇ áñ ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³ ϳñ·Çó (O; e1 , e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ³ÝóÝ»ÉÇë Ïٻͳݳ: л勉μ³ñ F ( x, y ) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ׳ÝÁ ÙÝáõÙ ¿ ÝáõÛÝÁ: □ êáõÛÝ ¹³ëÁÝóóáõÙ áõëáõÙݳëÇñí»Éáõ »Ý ÙdzÛÝ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý Ax By C 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí, áñï»Õ A 0 ϳ٠B 0 :
¢ 14 . àôÔÔÆ ä²ð²Øºîð²Î²Ü, βÜàÜ²Î²Ü ºì ÀܸвÜàôð вì²ê²ðàôØܺðÀ вðÂàôÂÚ²Ü ìð²
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïíÛ³É áõÕÕÇ áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³Ù³·ÇÍ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇÝ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ïñí³Í áõÕÕÇ áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÁ ÙdzÏÁ ã¿: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñ ѳٳ·ÇÍ »Ý: ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ÁÝïñí³Í ¿ (O; e1 , e2 ) ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·: ºàðºØ 1£ ºÃ» áõÕÇÕÁ ½áõ·³Ñ»é ã¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ, ÇëÏ a {a1 ; a2 } -Á Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ ¿, ³å³ k a2 : a1 ѳñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ѳëï³ïáõÝ ¿: ²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» a {a1 ; a2 } ¨ b {b1 ; b2 } ïñí³Í áõÕÕÇ »ñÏáõ áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ a || b , ³ÛëÇÝùݪ a b, 0 : ²Ûëï»ÕÇóª a1 b1 ¨ a2 b2 , áñï»ÕÇó ¿É` a2 : a1 b2 : b1 b2 : b1 : л勉μ³ñ` a2 : a1 b2 : b1 k const : □ ²Ûë k ѳëï³ïáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïíÛ³É áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ
·áñͳÏÇó: ºÃ» áõÕÇÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ, ³å³ Ýñ³ ѳٳñ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇó ãÇ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ: ºàðºØ 2: гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ó³Ýϳó³Í ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í áõÕÇÕ ïñíáõÙ ¿ (9) Ax By C 0 ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí, ¨ ѳϳé³ÏÁª ³Ù»Ý ÙÇ ³Û¹åÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ÇÝã-áñ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿: ²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ïáí ³ÝóÝáõÙ ¿ Ù»Ï ¨ ÙdzÛÝ Ù»Ï áõÕÇÕ: ØÛáõë ÏáÕÙÇóª Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ïáí áñáßíáõÙ ¿
áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ, áõÕÕÇ áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ: л勉μ³ñ ïñí³Í M 1 M 2 Ï»ï»ñáí áñáßí³Í áõÕÇÕÁ ϳñ»ÉÇ ¿ μÝáõó·ñ»É áñå»ë ³ÛÝåÇëÇ M Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ M 1M || M 1M 2 : гٳñÅ»ùáñ»Ý, áõÕÇÕÁ ïñíáõÙ ¿ ݳ¨ Çñ áñ¨¿ M 0 Ï»ïáí ¨ áñ¨¿ a áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñáí` ( M 0 ; a ) : ²Ûë ¹»å ùáõÙª M M 0 M || a : ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ ÙÇ ( M 0 ; a ) áõÕÇÕ: êï³Ý³Ýù Ýñ³ ѳí³ë³ñáõÙÁ: ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³Ý ïíÛ³É ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ M 0 ( x0 ; y0 ) , ÇëÏ a { p; q } , ³å³ ó³Ýϳó³Í M ( x; y ) Ï»ï å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ M 0 M ta , ÇÝã-áñ t R ÃíÇ ¹»åùáõÙ: ¶ñ»Éáí ³ÛÝ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñáíª ëï³ÝáõÙ »Ýù x x0 tp ,
y y0 tq, t R , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` x x0 pt , y y0 qt , t R : ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áõÕÕÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ, áñï»Õ t -Ý ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³Ù»ïñ: ¸ñ³ÝóáõÙ Ï»ïÇ x , y Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Ý»ñϳ۳óí³Í »Ý áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñ t ³ÝÏ³Ë ÷á÷á˳ϳÝÇó ¥å³ñ³Ù»ïñÇó¤: àõÕÕÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ³ñï³ùë»Éáí t -ݪ ëï³ÝáõÙ »Ýù qx py qx0 py0 , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª qx py py0 qx0 0 : (10) Ü߳ݳϻÉáí A q , B p, C py0 qx0 ª ëï³ÝáõÙ »Ýù Ax By C 0 , áñï»Õ ³ÏÝѳÛïáñ»Ý A 0 ϳ٠B 0 : ²ÛëåÇëáí` ³å³óáõó»óÇÝù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ѳñÃáõÃÛ³Ý
Ï³Ù³Û³Ï³Ý áõÕÇÕ ïñíáõÙ ¿ ( 9 ) ï»ëùÇ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ²ÛÅÙª ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ ( 9 ) ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñï»Õ áñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýùª A 0 : òáõÛó ï³Ýù, áñ ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ÇÝã-áñ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿: ì»ñÁ μ»ñí³Í (9) ¨ (10) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù»Ù³ïáõÙÁ ÑáõßáõÙ ¿ áñå»ë áñáÝ»ÉÇ áõÕÕÇ áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ í»ñóÝ»É a { B; A} í»ÏïáñÁ: àñå»ë áñáÝ»ÉÇ áõÕÕÇ M 0 Ï»ï í»ñóÝ»Ýù M 0 C A ;0 Ï»ïÁ: гÙá½í»Ýù, áñ ( 9 ) -Á ( M 0 ; a ) áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿: Æñáù, (10) -áõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí p B , q A , x0 C B ,
y0 0 , Ïëï³Ý³Ýù Ax By C 0 :□ ²ÛëåÇëáí` ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ïñíáõÙ ¿ ( 9) ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ²Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý
áõÕÕÇ ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙ:
ì»ñ³¹³éݳÝù áõÕÕÇ x x0 pt , y y0 qt , t R å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ: ä³ñ³Ù»ïñÇ ³ñï³ùëáõÙáí ëï³ÝáõÙ »Ýù x x0 y y0 , p q áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áõÕÕÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ: Üß»Ýù, áñ ³Ûë ѳí³ë³ñáõÙÁ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ ݳ¨, »ñμ p ¨ q Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ ¥áã »ñÏáõëÁ¤ ѳí³ë³ñ ¿ 0-Ç: x 1 y úñÇݳϪ ѳí³ë³ñáõÙÁ M 0 ( 1; 0) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ OY ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿: ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ x 1 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
سëݳíáñ³å»ë M 1 ( x1 ; y1 ) ¨ M 2 ( x2 ; y2 ) Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ »ñÏáõ Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ ( M1 ; M1M 2 ) áõÕÕÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿ x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É ݳ¨ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáíª x x1 t ( x2 x1 ) , y y1 t ( y2 y1 ) , t R : лßï ¿ Ýϳï»É, áñ »ñμ t (0; 1) , ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù M 1 -Ç ¨ M 2 -Ç ÙÇç¨ ÁÝÏ³Í Ï»ï»ñÁ ¨ ѳϳé³ÏÁ: Æñáù, ³ÏÝѳÛï ¿, áñ M ( x; y ) [ M 1 ; M 2 ] ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ M 1M MM 2 : àõÝ»Ýù M 1M {t ( x2 x1 ); t ( y2 y1 )} ¨ 1 t MM 2 {(1 t )( x2 x1 );(1 t )( y2 y1 )} M 1M , Áݹ áñáõÙª t 1 t 0 t (0;1) : ²Ûëï»ÕÇó [ M 1 ; M 2 ] ѳïí³ÍÇ Ñ³Ù³ñ t ëï³ÝáõÙ »Ýù x x1 t ( x2 x1 ) , y y1 t ( y2 y1 ) , t [0; 1] å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: ¸Çóáõù Ax By C 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ () áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, ÇëÏ a { a1 ; a2 } -Á ÇÝã-áñ í»Ïïáñ ¿: лï¨áõÃÛáõÝÝ»ñ ûáñ»ÙÇó: 1¤ a {B; A } í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ Ax By C 0 áõÕÕÇÝ, 2¤ a {a1 ; a2 } 0 í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ ( ) áõÕÕÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Aa1 Ba2 0 : (11) Æñáù, (11) å³ÛÙ³ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ {a1 ; a2 } ¨ {B; A} í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³·ÍáõÃÛ³ÝÁ£ 3¤ ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, ³å³
Aa1 Ba2 0 {a1 ; a2 } { A; B} : ²ÛëÇÝùÝ` áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ n { A; B} í»ÏïáñÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ax By C 0 áõÕÕÇÝ: ºÃ» áõÕÕÇ Ax By C 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç B 0 , ³å³ Ýñ³ ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É x C A ϳ٠x a ï»ëùáí: ²Û¹åÇëÇ áõÕÇÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ OY ³é³ÝóùÇÝ: ÆëÏ »Ã» B 0 , ³å³ ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É A C ï»ëùáí£ Â»áñ»Ù 1-Çó ¨ Ýñ³ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1-Çó y x B B A ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ·áñͳÏÇóÁ áõÕÕÇ k ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ B C ·áñͳÏÇóÝ ¿£ Ü߳ݳϻÉáí ݳ¨ b ª áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ B μ»ñíáõÙ ¿ y kx b ï»ëùÇÝ£ Üϳï»Ýù, áñ b -Ý áñáßáõÙ ¿ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÁ, áñÝ áõÕÇÕÁ ³Ýç³ïáõÙ ¿ OY ³é³ÝóùÇó£ ÊݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë Ñ³×³Ë Ñ³ñÏ ¿ ÉÇÝáõ٠ϳ½Ù»É áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ Ýñ³ ÙÇ Ï»ïáí ¨ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏóáí£ ÀÝûñóáÕÇÝ »Ýù ÃáÕÝáõ٠ѳÙá½í»É, áñ ïñí³Í M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ k ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏóáí áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿` y y0 k ( x x0 ) :
¢ 15. ºðÎàô àôÔÆÔܺðÆ öàʲ¸²ðÒ ¸ÆðøÀ вðÂàôÂÚ²Ü ìð² гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ñݳñ³íáñ »Ý ÷á˳¹³ñÓ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ý »ñ»ù ¹»åù` ѳïíáõÙ »Ý, ½áõ·³Ñ»é »Ý ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í »Ý: ¸ñ³Ýù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ¹»åù»ñÇݪ áõÕÇÕÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÙÇ ÁݹѳÝáõñ Ï»ï, ãáõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ Ï»ï ϳ٠ÝáõÛÝÝ »Ý: ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý A1 x B1 y C1 0 (1 ) ¨ A2 x B2 y C2 0 ( 2 ) áõÕÇÕÝ»ñÁ ÇÝã-áñ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ: ºàðºØ: гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í (1 ) ¨ ( 2 ) áõÕÇÕÝ»ñÁª ³¤ ѳïíáõÙ »Ý A1 : A2 B1 : B2 , μ¤ ½áõ·³Ñ»é »Ý A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 , ·¤ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 : ²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù A1 x B1 y C1 0 (12) A2 x B2 y C2 0 ѳٳϳñ·Á: ÆÝãå»ë ѳÛïÝÇ ¿ ѳÝñ³Ñ³ßíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝóóÇó, ³¤ »Ã» A1 : A2 B1 : B2 , ³å³ (12) ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ: л勉μ³ñ (1 ) ¨ ( 2 ) áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý: μ¤ ºÃ» A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 , ³å³ (12) ѳٳϳñ·Á ãáõÝÇ ÉáõÍáõÙ: л勉μ³ñ (1 ) ¨ ( 2 ) áõÕÇÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý: ·¤ ºÃ» A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 , ³å³ (12) ѳٳϳñ·Ç ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ݳ¨ ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý ÙÛáõëÇ Ñ³Ù³ñ: л勉μ³ñ (1 ) ¨ ( 2 ) áõÕÇÕÝ»ñÁ
ѳÙÁÝÏ³Í »Ý:
²ÛëåÇëáíª ³¤, μ¤, ·¤ ¹»åù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ å³ÛÙ³ÝÇ μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿, ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ѳϳëáÕ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ùμ: □
¢ 16. àôÔÆÔܺðÆ öàôÜæ, öÜæÆ Ð²ì²ê²ðàôØÀ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: гñÃáõÃÛ³Ý ïñí³Í Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ μáÉáñ áõÕÇÕÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷áõÝç, ÇëÏ ³Û¹ Ï»ïÁ` ÷ÝçÇ Ï»ÝïñáÝ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÷áõÝç ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ ³Û¹ ÷ÝçÇ Ï»ÝïñáÝáí, áñÁ ϳñáÕ ¿ ïñí»É ³Û¹ ÷ÝçÇÝ å³ïϳÝáÕ Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñáí: ºàðºØ£ ¸Çóáõù 1 -Á ¨ 2 -Á ÷ÝçÇÝ å³ïϳÝáÕ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ áõÕÇÕÝ»ñ »Ýª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A1 x B1 y C1 0 ¨ A2 x B2 y C2 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí: лï¨Û³Éª ( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0 (13) ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ -Ý ¨ -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý ¨ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ÷ÝçÇ áñ¨¿ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, ¨ ѳϳé³ÏÁ` ÷ÝçÇ ³Ù»Ý ÙÇ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõ٠ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É (13) ï»ëùáí: ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ (13) -Á x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿: ì»ñ³ËÙμ³íáñ»Éáí (13) -Á Áëï x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñǪ ëï³ÝáõÙ »Ýù ( A1 A2 ) x ( B1 B2 ) y C1 C2 0 (14) : ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁª (14) -Á x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ã¿: ²ÛëÇÝùÝ` A1 A2 0 , B1 B2 0 : ø³ÝÇ áñ ¨ Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ³Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù A1 : A2 B1 : B2 ( : ) : л勉μ³ñ, Áëï ݳËáñ¹ ûáñ»ÙÇ, 1 -Á ¨ 2 -Á ½áõ·³Ñ»é »Ý ϳÙ
ѳÙÁÝϳÍ, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ å³ÛÙ³ÝÇÝ:
²ÛëåÇëáí` (14) -Á x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿ ¨ ѻ勉μ³ñ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ áõÕÇÕ: гÙá½í»Ýù, áñ ³Û¹ áõÕÇÕÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ÷ÝçÇ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ÝïñáÝáí: àõÝ»Ýù
M 0 1 A1 x0 B1 y0 C1 0 M 0 2 A2 x0 B2 y0 C2 0
( A1 x0 B1 y0 C1 ) ( A2 x0 B2 y0 C2 ) 0
M 0 (13) :
²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ ÷ÝçÇÝ å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý ÙÇ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõ٠ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É (13) ï»ëùáí: ì»ñóÝ»Ýù M 0 -Çó ï³ñμ»ñ M 1 ( x1 ; y1 ) Ï»ï ¥ï»°ë Ýϳñ 21-Á¤:
Üϳñ 21 ø³ÝÇ áñ M 1 M 0 , ³å³ ( A2 x1 B2 y1 C2 ) ¨ ( A1 x1 B1 y1 C1 ) 0 Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý: л勉μ³ñ, Áëï í»ñÁ μ»ñí³Í ³å³óáõÛóÇ, ( A2 x1 B2 y1 C2 )( A1 x B1 y C1 ) ( A1 x1 B1 y1 C1 )( A2 x B2 y C2 ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, áñÇÝ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý M 0 ¨ M 1 Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ: ²ÛëÇÝùݪ ³Ûë ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ÷ÝçÇÝ å³ïϳÝáÕ áõÕÇÕÁ: □ ²Ûë ûáñ»ÙÇ ÇÙ³ëïáí (13) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷ÝçÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ:
¢ 17. àôÔÔàì àðàÞìàÔ ÎÆê²Ð²ðÂàôÂÚàôÜܺðÀ ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ áõÕÇÕÁ Ax By C 0 ѳí³ë³ñáõÙáí: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ѳñÃáõÃÛ³Ý M ( x; y ) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ` M F ( M ) Ax By C 0 : Ü߳ݳϻÝù ( ) -áí ¨ () -áí ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ Ax By C 0 ¨ Ax By C 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ μáÉáñ ( x; y ) ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` () M ( x; y ) | F ( M ) Ax By C 0 ,
() M ( x; y ) | F ( M ) Ax By C 0 :
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ( ) -Á ¨ () -Á ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ ¹ñ³Ï³Ý ¨ μ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñª ïñí³Í Ax By C 0 áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ: ø³ÝÇ áñ μáÉáñ k ( Ax By C ) 0 , k 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ å³ïÏ»ñáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ áõÕÇÕÁ, ³å³ áñå»ë Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñª () -Á ¨ () -Á ϳËí³Í ã»Ý áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý, ³ÛëÇÝùݪ k ÃíÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó ¨ ÏáãíáõÙ »Ý å³ñ½³å»ë ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ£ Üϳï»Ýù ݳ¨, áñ μ³ó³ë³Ï³Ý k -Ç ¹»åùáõ٠ݳËÏÇÝ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ÷á˳ϻñåíáõÙ ¿ μ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý, ÇëÏ μ³ó³ë³Ï³ÝÁª ¹ñ³Ï³ÝÇ£ ºàðºØ: ºÃ» áñ¨¿ »ñÏáõ Ï»ï å³ïϳÝáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ, ³å³ ³Û¹ Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ùμ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ÝáõÛÝ ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç: î³ñμ»ñ ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï Ï»ï, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ áõÕÕÇÝ: M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) ¨ ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù M ( x; y ) -Á [ M 1 ; M 2 ] ѳïí³ÍÇ
áñ¨¿ Ï»ï ¿: ²ÛëÇÝùÝ` x x1 t ( x2 x1 ) , y y1 t ( y2 y1 ) , áñï»Õ t [0; 1] : ²Û¹ ¹»åùáõÙ F ( M ) A( x1 t ( x2 x1 )) B( y1 t ( y2 y1 )) C (1 t ) F ( M 1 ) tF ( M 2 ) : Üϳï»Ýù, áñ t ¨ 1 t Ãí»ñÁ áã μ³ó³ë³Ï³Ý »Ý ¨ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï 0 ã»Ý: ºÃ» M 1 , M 2 P( ) , ³å³ F ( M 1 ) 0 , F ( M 2 ) 0 ¨ áõñ»ÙÝ F ( M ) 0 : ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ M () : ²ÛÅÙ »Ýó¹ñ»Ýùª M 1 ( x1 ; y1 ) ( ), M 2 ( x2 ; y2 ) () : òáõÛó ï³Ýù, áñ [ M 1 ; M 2 ] ѳïí³ÍÇ íñ³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï M 0 Ï»ï, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ áõÕÕÇÝ: ´³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ (1 t )( Ax1 By1 C ) t ( Ax2 By2 C ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï t0 (0; 1) ÉáõÍáõÙ: àõÝ»Ýù t ( F ( M 1 ) F ( M 2 )) F ( M 1 ) : ø³ÝÇ áñ F ( M 1 ) F ( M 2 ) F ( M 1 ) 0 áõëïÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ F (M1 ) ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙÁ, Áݹ áñáõÙª t0 (0; 1) :□ áõÝÇ t0 F (M1 ) F (M 2 ) ´»ñ»Ýù ³Ûë ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áñáß»Éáõ »Õ³Ý³Ï: I. ¸Çóáõù áõÕÇÕÁ ïñí³Í ¿ Ax By C 0 ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙáí: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ »Ã» ³Û¹ áõÕÕÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÇó ÏÇñ³é»Ýù n { A; B} í»Ï ïáñÁ` M 0 M 1 n , ³å³ Ýñ³ M 1 ( x1 ; y1 ) ͳÛñ³Ï»ïÁ Ïå³ï ϳÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Íª n í»ÏïáñÁ ÙÇßï áõÕÕí³Í ¿ ¹»åÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 22-Á¤:
Üϳñ 22
Æñáù, M 0 M n M ( x0 A; y0 B ) : ²Ûëï»ÕÇó áõÝ»Ýù
F ( M ) A( x0 A) B( y0 B) C ( Ax0 By0 C ) ( A2 B 2 ) 0 ( A2 B 2 ) A2 B 2 0 : л勉μ³ñ` M () : II. ºÃ» áõÕÕÇ Ax By C 0 ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç B 0 , ³å³ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç OY ³é³ÝóùÝ áõÕÕí³Í ¿ ¹»åÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 23-Á¤:
Üϳñ 23 Æñáù, »Ã» áõÕÕÇÝ å³ïϳÝáÕ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÇó ÏÇñ³ é»Ýù e2 {0; 1} í»ÏïáñÁ, ³å³ Ýñ³ M 1 ͳÛñ³Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõݻݳÝù M 1 ( x0 ; y0 1) : ²Ûëï»ÕÇó ¿É F ( M 1 ) Ax0 B ( y0 1) C ( Ax0 By0 C ) B B 0 : ²Ûë ¹»åùáõÙ ÝáõÛÝå»ë M 1 ( ) : ÜáõÛÝ Ï»ñå Ñ»ßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ »Ã» B 0 , ³å³ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç OY ³é³ÝóùÝ áõÕÕí³Í ¿ ¹»åÇ μ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ: ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ax By C1 0 ¨ Ax By C2 0 , C1 C2 ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ß»ñïáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ( Ax0 By0 C1 )( Ax0 By0 C2 ) 0 :
¢ 18. ºðÎàô àôÔÆÔܺðÆ Î²¼Ø²Ì ²ÜÎÚàôÜܺðÀ, ØÆ àôÔÔÆò ØÆÜâºì ØÚàôê àôÔÆÔÜ ÀÜÎ²Ì ²ÜÎÚàôÜÀ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³Ýó áñ¨¿ áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» áõÕÇÕÝ»ñÇ áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñÝ áõÕճѳ۳ó »Ý ÙÇÙÛ³Ýó, ³å³ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2 £ гϳé³Ï ¹»åùáõÙ áõÕÇÕÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý 1 ¨ 2 Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù ÙÇÙÛ³Ýó Éñ³óÝáõÙ »Ý ÙÇÝ㨠: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, »Ã» áõÕÇÕÝ»ñÁ ïñí³Í »Ý A1 x B1 y C1 0 ¨ A2 x B2 y C2 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí, ³å³ Ýñ³Ýó áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ a1 {B1 ; A1} ¨ a2 {B2 ; A2 } í»ÏïáñÝ»ñÁ: ä³ñ½ ¿, áñ a1 ¨ a2 í»ÏïáñÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë áõÕÕáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ »Ã», ûñÇݳÏ, 1 (a1 , a2 ) (a1 , a2 ) , ³å³ 2 (a1 , a2 ) (a1 , a2 ) £
(a ,a ) A1 A2 B1 B2 л勉μ³ñª cos 1, 2 1 2 : | a1 || a1 | A1 B12 A22 B22 Üßí³Í áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A1 A2 B1 B2 0 : سëݳíáñ³å»ë, »Ã» áõÕÇÕÝ»ñÁ ïñí³Í »Ý y k1 x b1 , y k2 x b2 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí, ³å³ A1 A2 B1 B2 0 å³ÛÙ³ÝÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ k1k2 1 0 ï»ëù£
л勉μ³ñ Ýñ³Ýù ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ k1k2 1 : ºÃ» ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó k k ã»Ý, ³å³ tg 1,2 2 1 : 1 k1k2 ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ù»ÏÁ å³Ûٳݳíáñí»Ýù ³Ýí³Ý»É ³é³çÇÝ áõÕÇÕ ¨ Ý߳ݳϻÝù -áí, ÇëÏ ÙÛáõëÁª »ñÏñáñ¹ áõÕÇÕ ¨ Ý߳ݳϻÝù -áí: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ØÇ áõÕÕÇó ÙÇÝ㨠ÙÛáõë áõÕÇÕÝ ÁÝÏ³Í ³ÝÏÛáõÝ,
Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ ( , ) ëÇÙíáÉáí, ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÝÏÛáõÝÁ, áñáí å»ïù ¿ åïï»É ³é³çÇÝ áõÕÇÕÁ Ýñ³Ýó ѳïÙ³Ý Ï»ïÇ ßáõñçÁ ųÙëɳùÇ åïáõÛïÇ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝÇ »ñÏñáñ¹ áõÕÕÇ Ñ»ï: ºÃ» áõÕÇÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý ϳ٠ѳÙÁÝϳÍ, ³å³ ÙÇ áõÕÕÇó ÙÇÝ㨠ÙÛáõë áõÕÇÕÝ ÁÝÏ³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ½ñáÛÇ Ñ³í³ë³ñ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ¥ï»°ë Ýϳñ 24-Á¤ª
Üϳñ 24
гïÏáõÃÛáõÝ 1. ºÃ» , ³å³ ( , ) ( , ) : гïÏáõÃÛáõÝ 2. ºÃ» և áõÕÇÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é ϳÙ
ѳÙÁÝÏ³Í ã»Ý, ³å³ ( , ) ( , ) : ºàðºØ ¥áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏóÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ¤: àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ y kx b áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁª k -Ý, ѳí³ë³ñ ¿
OX ³é³ÝóùÇó ÙÇÝ㨠³Û¹ áõÕÇÕÝ ÁÝÏ³Í ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÇÝ: ²å³óáõóáõÙ: ÞÝáñÑÇí í»ñÁ Ýßí³Í ѳïÏáõÃáõÝ 1-Ǫ μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»É Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí ³ÝóÝáÕ ¨ y kx b áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é y kx áõÕÕÇ Ñ³Ù³ñ£ ºñμ k 0 , åݹáõÙÝ ³ÏÝѳÛï ¿: ¸Çóáõù ³ÛÅÙ k 0 £ àõÕÕÇ íñ³ ÁÝïñ»Ýù O -Çó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ï ¥ï»°ë Ýϳñ 25-Á¤:
³¤ Üϳñ 25 μ¤ ºñμ k 0 , ³å³ x0 ¨ y0 Ãí»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, ¨ ѻ勉μ³ñ áõÕÇÕÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ I ¨ III ù³éáñ¹Ý»ñáí£ ÆÝãå»ë y »ñ¨áõÙ ¿ Ýϳñ 25-Ç ³-Çó, tg 0 k : x0 ØÛáõë ¹»åùáõÙ, »ñμ k 0 , ³å³ áõÕÇÕÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ II ¨ IV ù³éáñ¹Ý»ñáí, ¨ ÇÝãå»ë »ñ¨áõÙ ¿ Ýϳñ 25-Ç μ-Çó, y y tg tg 0 0 k :□ | x0 | x0 ²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »ñÏáõ ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñ` y k1 x b1 ¥I¤, y k2 x b2 ¥II¤: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇó ÙÇÝ㨠ÙÛáõëÝ ÁÝÏ³Í ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÁ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí: γËí³Í ¹Çï³ñÏíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ¹Çñù»ñÇóª Ñݳñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù, áñáÝù å³ïÏ»ñí³Í »Ý Ýϳñ 26-áõÙ:
Üϳñ 26
²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ (, ) 2 1 , ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ
(, ) 2 ( 1 ) ( 2 1 ) : ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É, »Ã» áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó ã»Ý, ³å³ tg 2 tg1 k2 k1 tg (, ) tg ( 2 1 ) : 1 tg1tg 2 1 k1k2 k k ²ÛëåÇëáíª »Ã» k1k2 1 , ³å³ tg (, ) 2 1 , ÇëÏ »Ã» 1 k1k2
k1k2 1 , ³å³ (, )
: ºÃ» áõÕÇÕÝ»ñÁ ïñí³Í »Ý A1 x B1 y C1 0 (I) ¨ A2 x B2 y C2 0 (II) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí, ÷áËáõÕճѳ۳ó A B A2 B1 ã»Ý, ³å³ Ñ»ßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ tg (, ) 1 2 : A1 A2 B1 B2 ÊݹÇñ: îñí³Í »Ý »é³ÝÏÛáõÝ Ï³½ÙáÕ »ñ»ù ѳٳñ³Ï³Éí³Í áõÕÇÕÝ»ñª I , II , III :
³¤ òáõÛó ï³É, áñ (, ) , (, ) , (, ) ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ϳ٠»é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ »Ý, ϳ٪ ³ñï³ùÇÝ: μ¤ ÐÇÙÝí»Éáí ³-Ç íñ³ª ³é³ç³ñÏ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ »Õ³Ý³Ï, »Ã» ѳÛïÝÇ »Ý Ýñ³ ÏáÕÙ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£
¢ 19. àôÔÔÆ Üàðزìàðì²Ì вì²ê²ðàôØÀ, κîÆ Ðºè²ìàðàôÂÚàôÜÜ àôÔÔÆò ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ ·áõÙ n { A; B} í»ÏïáñÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ax By C 0 áõÕÕÇÝ ¥ï»°ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2-Á ¢ 14-áõÙ¤: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇ ÝáñÙ³É í»Ïïáñ: ºÃ» áõÕÕÇ ÝáñÙ³É í»ÏïáñÁ Ùdzíáñ í»Ïïáñ ¿, ³ÛëÇÝùݪ | n | A2 B 2 1 , ³å³ Ax By C 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÕÇ ÝáñÙ³íáñí³Í ѳí³ë³ñáõÙ: àõÕÕÇ ó³Ýϳó³Í ѳí³ë³ñáõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ ÝáñÙ³íáñ»Éª A B C x y 0: A B A B A B2 ºàðºØ: ºÃ» Ax By C 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ áõÕÕÇ ÝáñÙ³íáñí³Í ѳí³ë³ñáõÙ ¿, ³å³ ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÇ h( M 0 ) Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ³Û¹ áõÕÕÇó áñáßíáõÙ ¿ h( M 0 ) | Ax0 By0 C | μ³Ý³Ó¨áí: ²å³óáõóáõÙ: M 0 Ï»ïÇó ï³Ý»Ýù M 0 M 1 , ¥ï»°ë Ýϳñ 27-Á¤:
Üϳñ 27
¸Çóáõù M 1 ( x1 ; y1 ) -Á ³Û¹ áõÕճѳ۳óÇ ÑÇÙùÝ ¿` M 1 : л勉μ³ñª Ax1 Bx1 C 0 : ø³ÝÇ áñ n { A; B} , ³å³ M 0 M 1 || n : гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ | n | 1 , Ïëï³Ý³Ýù h( M 0 ) | M 1M 0 | M 1M 0 , n A( x0 x1 ) B ( y0 y1 )
( Ax0 By0 C ) ( Ax1 By1 C ) | Ax0 By0 C | : □
лï¨áõÃÛáõÝ: àõÕÕÇ Ax By C 0 ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñÙ³Ý ¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÇ h( M 0 ) Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ³Û¹ áõÕÕÇó áñáßíáõÙ ¿ h( M 0 )
| Ax0 By0 C | A2 B 2
(15)
μ³Ý³Ó¨áí: ²Ûë μ³Ý³Ó¨Çó Ù³ëݳíáñ³å»ë Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÇ p Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ áõÕÕÇó áñáßíáõÙ ¿ |C | p μ³Ý³Ó¨áí£ ²ÛÅÙ í»ñ³¹³éݳÉáí áõÕÕǪ í»ñÁ A2 B 2 μ»ñí³Í »ñÏáõ ÝáñÙ³íáñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇݪ Ýϳï»Ýù, áñ ¹ñ³Ýù ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É A B |C | x y A B A B A2 B 2 ϳ٠A B x y p A2 B 2 A2 B 2 ï»ëù»ñáí£ ø³ÝÇ áñ ïíÛ³É A ¨ B Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ÝÏÛáõÝ, áñ 0 2 ¨
cos
A
, sin
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A2 B 2 A2 B 2 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý
, áõëïÇ áõÕÕÇ ÝáñÙ³íáñí³Í
cos x sin y p 0 ï»ëù»ñÁ£ Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáõÙ í»ñÁ Ýßí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ áõÕÕÇ n { A; B} ÝáñÙ³ÉÇ ¨ OX ³é³ÝóùÇ i {1; 0} ûñÃÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿£ ºñμ»ÙÝ áñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·»ñ³¹³ëáõÙ »Ý áõÕÕÇ ÝáñÙ³íáñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ·áñÍ³Í»É ÙdzÛÝ Ù»ÏÁª cos x sin y p 0 £ Üϳï»Ýù, áñ »Ã» áõÕÇÕÁ ãÇ ³ÝóÝáõÙ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïáí, ³å³ O Ï»ïÝ ³Ûë í»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ·ïÝíáõÙ ¿ μ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝáõÙ£
¶ÈàôÊ âàððà𸠺ðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ î²ðð²Î²Ü îºêàôÂÚàôÜ ¢ 20. ÎàØäȺøê вðÂàôÂÚàôÜÀ, Æð²Î²Ü ºì κÔÌ Îàðºð ÆÝãå»ë óáõÛó ïñí»ó ¢ 14-áõÙ, ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý ¨ ïñíáõÙ »Ý Ax By C 0 ¥ A 0 ϳ٠B 0 ¤ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí£ Àݹ áñáõÙª »ñÏáõ ³Û¹åÇëÇ A1 x B1 y C1 0 ¨ A2 x B2 y C2 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ áñáßáõÙ »Ý ÝáõÛÝ áõÕÇÕÁ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ ï³ñμ»ñíáõÙ »Ý ÙÇÙÛ³ÝóÇó Ãí³ÛÇÝ μ³½Ù³å³ïÏãáíª A1 x B1 y C1 k ( A2 x B2 y C2 ) , k 0: ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñÇ ï»ë³ÏÝ»ñÝ ³ñ¹»Ý ß³ï »Ý£ úñÇݳϪ xy 0 ¨ x 2 y 2 1 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ å³ïÏ»ñáõÙ »Ý »ñÏáõ ï³ñμ»ñ ï»ë³ÏÇ Ïáñ»ñ£ ¸ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¥ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ¤, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 1 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÝ ¿£ ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ μáÉáñ ï»ë³ÏÝ»ñÁ Ù»Ýù Ïáñáß»Ýù ѳçáñ¹ª ¢ 21-áõÙ£ ²ÛÅÙ Ñëï³Ï»óÝ»Ýù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÝáõÛݳϳݳóÙ³Ý ËݹÇñÁ£ Àëï ë³ÑÙ³Ýٳݪ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ ïñíáõÙ ¿ F ( x, y ) ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí, áñï»Õ a, b, c ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿: гñó ¿ Í³·áõÙª DZÝã ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ μ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ »ñÏáõ ³Û¹åÇëÇ F1 ( x, y ) a1 x 2 b1 xy c1 y 2 d1 x e1 y f1 0 ¨ F2 ( x, y ) a2 x 2 b2 xy c2 y 2 d 2 x e2 y f 2 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ Ïå³ïÏ»ñ»Ý ÙǨÝáõÛÝ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ£
ä³ñ½ ¿, áñ »Ã» ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ ï³ñμ»ñí»Ý Ãí³ÛÇÝ μ³½Ù³å³ïÏãáíª F1 ( x, y ) k F2 ( x, y ) , k 0 , ³å³ ¹ñ³Ýóáí å³ïÏ»ñíáÕ Ïáñ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý£ ØÇÝã¹»é ѳϳé³ÏÁ ÙÇßï ã¿, áñ ×Çßï ¿£ Æñáù, x 2 y 2 1 0 ¨ x 2 1 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ í»ñÁ ·ñí³Í å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ë³Ï³ÛÝ ¹ñ³Ýù å³ïÏ»ñáõÙ »Ý ÝáõÛÝ §ÏáñÁ¦, ³ÛÝ ¿ª ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ£ ²ÛëåÇëáíª áõÝ»Ýù »ñÏáõ ³ÝѳçáÕ å³Ñ£ ܳ˪ ÝáõÛݳϳݳóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³é³ç³ñÏíáÕ F1 ( x, y ) k F2 ( x, y ) å³ÛÙ³ÝÁ μ³í³ñ³ñ ¿, μ³Ûó ³ÝÑñ³Å»ßï ã¿£ ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳݹ»ë ¿ ·³ÉÇë áñå»ë Ïáñ, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ ·ÍÇ Ù»ñ å³ïÏ»ñ³óÙ³ÝÁ£ ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ³Ûë ³ÝѳçáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳÕóѳñíáõÙ »Ý, »Ã» Ù»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ¨ Ýñ³Ýó ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹Çï³ñÏáõÙ »Ýù áã û Çñ³Ï³Ý, ³ÛÉ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹³ßïáõÙ£ Æñáù, x2 y2 1 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý ÙÇ ( x; y) Ãí³½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñ ( x; y ) ( x i; y i ) Ãí³½áõÛ·Á, áñï»Õ i 2 1 , μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ x 2 y 2 1 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ£ л勉μ³ñ, »Ã» Ù»Ýù å³Ûٳݳíáñí»Ýù §Ï»ï»ñ¦ ³Ýí³Ý»É áã ÙdzÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í ( x; y ) Ãí³½áõÛ·»ñÁ, ³ÛÉ Ý³¨ ó³Ýϳó³Í z1 , z2 ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í ( z1 ; z2 ) Ãí³½áõÛ·»ñÁ, ³å³ x 2 y 2 1 0 ѳí³ë³ñáõÙáí å³ïÏ»ñíáÕ §Ïáñݦ ³ÛÉ¨ë ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ã¿£ ¸»é ³í»ÉÇÝ, ³ÛÝ Çñ Ù»ç å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Ù³ë, áñÇ §Ï»ï»ñÁ¦ ÷áËÙdzñÅ»ù ¥Ù»ÏÁ Ù»ÏǤ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ »Ý Çñ³Ï³Ý x 2 y 2 1 ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ï»ñÇÝ£ ²é³ç ³ÝóÝ»Éáíª ³ë»Ýù, áñ ³Ûë ÇÙ³ëïáí x 2 y 2 1 0 ÏáñÝ ³Ýí³ÝíáõÙ ¿ Ï»ÕÍ ¥»ñ¨³Ï³Û³Ï³Ý¤ ßñç³Ý³·ÇÍ£ ÜÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É ݳ¨ x 2 1 0 ѳí³ë³ñáõÙáí å³ïÏ»ñíáÕ ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ£ ø³ÝÇ áñ x 2 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹³ßïáõÙ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿
x 2 1 ( x i )( x i ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí, áõëïÇ áõÝ»Ýù ѳx i 0 í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ x 2 1 0 ѳٳñÅ»ùáõÃÛáõÝ£ лx i 0 勉μ³ñ ³Ûë ÏáñÁ ¨ë, áñå»ë Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³ÛÉ¨ë ¹³ï³ñÏ ã¿£ Üϳï»Ýù, áñ x 1 Çñ³Ï³Ý áõÕÕÇ ³Ù»Ý ÙÇ (1; y) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ( x; y ) (i; y) §Ï»ïǦ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x i 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, ÇëÏ x 1 Çñ³Ï³Ý áõÕÕÇ ³Ù»Ý ÙÇ (1; y) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ( x; y ) (i; y) §Ï»ïǦ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x i 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ£ л勉μ³ñ x 2 1 0 ѳí³ë³ñáõÙáí å³ïÏ»ñíáÕ ÏáñÁ, áñå»ë Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, μ³Õϳó³Í ¿ »ñÏáõ ãѳïíáÕ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ áñå»ë x 1 0 ¨ x 1 0 ½áõ·³Ñ»é Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏñÏÝûñÇÝ³Ï ¥ÇѳñÏ» ãÝáõÛݳóí»Éáí ¹ñ³Ýó ѻ藍 àõëïÇ μÝ³Ï³Ý ÏÉÇÝÇ x i 0 ¨ x i 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»É Ï»ÕÍ áõÕÇÕ, ÇëÏ x 2 1 0 ÏáñÁª ½áõ·³Ñ»é Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·£ ²í³ñï»Éáí ûñÇݳÏÝ»ñÇ ³Ûë ݳËÝ³Ï³Ý ùÝݳñÏáõÙÁª ëÏë»Ýù ï»ëáõÃÛ³Ý Ù³Ýñ³Ù³ëÝ ¨ ѳٳϳñ·í³Í ß³ñ³¹ñáõÙÁ£ ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ 먻é³Í ¿ ÙÇ áñ¨¿ OXY Ïáñ ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· O ëϽμݳϻïáí ¨ (e1 ; e2 ) μ³½Çëáí£ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ѳñÃáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ( x; y ) ϳñ·³íáñí³Í Ãí³½áõÛ·ª ϳ½Ùí³Í ³Û¹ Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇó, ¨ ѳϳé³ÏÁª ³Ù»Ý ÙÇ ³Û¹å»ëÇ Ãí³½áõÛ·Ç Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ÙÇ áñáß³ÏÇ Ï»ï£ Èñ³óÝ»Ýù μáÉáñ Çñ³Ï³Ý ϳñ·³íáñí³Í Ãí³½áõÛ·»ñÇ {( x; y )} μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ( z1 ; z2 ) ϳñ·³íáñí³Í Ãí³½áõÛ·»ñáí, áñï»Õ z1 -Á ¨ z2 -Á ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñ »Ý, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Çñ³Ï³Ý ÃÇí ã¿£ гëϳݳÉÇ ¿, áñ Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ( x; y ) Çñ³Ï³Ý
Ãí³½áõ۷Ǫ ( z1 ; z2 ) Ãí³½áõÛ·»ñÁ ã»Ý ³é³ç³ÝáõÙ ï»ëáÕ³μ³ñ ÁÝϳÉíáÕ Ï»ï»ñÇó£ ì»ñ³¹³éݳÉáí ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï ѳëϳóáõÃÛ³ÝÁª ³ÛëáõÑ»ï¨ ÏáÙåÉ»ùë Ï»ï ³ë»Éáí ÏѳëϳݳÝù ³Ù»Ý ÙÇ ( z1 ; z2 ) ϳñ·³íáñí³Í Ãí³½áõÛ·ª ϳ½Ùí³Í z1 , z2 ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇóª ³Ýí³Ý»Éáí ¹ñ³Ýù ( z1 ; z2 ) Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ OXY ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ£ Î³ë»Ýù, áñ M ( z1 ; z2 ) Ï»ïÁ Çñ³Ï³Ý Ï»ï ¿, »Ã» Ýñ³ z1 ¨ z2 Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ѳϳé³Ï ¹»åùáõ٠ϳë»Ýù, áñ ³ÛÝ Ï»ÕÍ Ï»ï ¿ ¥³í»ÉÇ ×Çßï
ÏÉÇÝÇ ³Ýí³Ý»É ³ÛÝ Ùï³ó³ÍÇÝ Ï³Ù »ñ¨³Ï³Û³Ï³Ý ϻ藍
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ÐÇß»Ýù, áñ M ( x; y ) Çñ³Ï³Ý Ï»ïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý áñå»ë Ýñ³ OM ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ OM xe1 ye2 í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñ£ Üϳï»Ýù, áñ ( z1 ; z2 ) Ï»ÕÍ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ÝÙ³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ£ ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛáõÝ ³ë»Éáíª ÏѳëϳݳÝù μáÉáñ ¥Ã»° Çñ³Ï³Ý, û° Ï»Õͤ ÏáÙåÉ»ùë Ï»ï»ñÇ {( z1 ; z2 )} μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ£ ²ÛëåÇëáíª Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ¥Ï³½Ùí³Í μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇó¤ ϳñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù³ë, ÇëÏ ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛáõÝÁª áñå»ë Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý ÁݹɳÛÝáõÙ£ ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç M 1 ( z1; z2 ) ëϽμݳϻïáí ¨ M 2 ( z1; z2) í»ñçݳϻïáí í»Ïïáñ ÏáãíáõÙ ( M 1 ; M 2 ) ϳñ·³íáñí³Í ϻﳽáõÛ·Á£ Æñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ùμ ( M 1 ; M 2 ) ϳñ·³íáñí³Í ϻﳽáõÛ·Á ¥í»ÏïáñÁ¤ ÏÝ߳ݳϻÝù M 1M 2 -áí£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ M 1M 2 í»ÏïáñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ ϳÝí³Ý»Ýù u z1 z1 , v z2 z2 ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÁ ¨ Ï·ñ³é»Ýù ¹³ M 1M 2 {u; v} ï»ëùáí£ ºñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù, »Ã» Ýñ³Ýù áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
ÆÝãå»ë Çñ³Ï³Ý, ³ÛÝå»ë ¿É ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ³½³ï í»ÏïáñÁª áñå»ë ÙÇÙÛ³Ýó ѳٳñÅ»ù μáÉáñ í»ÏïáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ£ ºñÏáõ M 1M 2 {u1 ; v1} ¨ N1 N 2 {u2 ; v2 } í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳ·ÇÍ, »Ã» ѳٻٳï³Ï³Ý »Ý Ýñ³Ýó Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁª u1 : u2 v1 : v2 : ²ÛÝáõÑ»ï¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç áõÕÕÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ£ ¸Çóáõù 먻é³Í »Ý ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõ ÃÛ³Ý ÙÇ M 0 ( z1 ; z2 ) Ï»ï ¨ ÙÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a {u; v} ³½³ï í»Ïïáñ£ ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç M 0 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ a áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñáí áõÕÇÕ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ μáÉáñ M ( z1 ; z2 ) Ï» ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ M 0 M ¨ a í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³ÛëÇÝùݪ ѳٻٳï³Ï³Ý »Ý Ýñ³Ýó Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t ÏáÙåÉ»ùë ÃÇí, áñ M 0M t a £ ÖÇßï ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ¢ 14-áõÙ, ³ñï³ÍíáõÙ »Ý áõÕÕÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý, ϳÝáÝ³Ï³Ý ¨ ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, ¨ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ£ ºàðºØ 1: ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ áõÕÇÕ ïñíáõÙ ¿ z1 , z2 ÏáÙåÉ»ùë ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Az1 Bz2 C 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí, áñï»Õ A -Ý, B -Ý ¨ C -Ý ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñ »Ý, A 0 ϳ٠B 0 , ¨ ѳϳé³ÏÁª ³Ù»Ý ÙÇ ³Û¹åÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ÇÝã-áñ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£ ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ½áõ·³Ñ»é ¥Ñ³ïíáÕ¤ áõÕÇÕÝ»ñ, »Ã» Ýñ³Ýó ÁݹѳÝáõñ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ï³ñÏ ¿ ¥μ³Õϳó³Í ¿ ÙÇ Ï»ïÇó¤£ Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ. ºàðºØ 2: ºñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñª A1 z1 B1 z2 C1 0 ¨ A2 z1 B2 z2 C2 0 , ³¤ ѳïíáõÙ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A1 : A2 B1 : B2 ,
μ¤ ½áõ·³Ñ»é »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 , ·¤ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 : ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë μáÉáñ ³ÛÝ ( z1 ; z2 ) ÏáÙåÉ»ùë Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó z1 ¨ z2 Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
a
ij
( z1 )i ( z2 ) j 0
(16)
i, j
μ³½Ù³Ý¹³Ù³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, áñï»Õ ai j ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ 먻éí³Í ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñ »Ý£ ÆÝãå»ë Çñ³Ï³Ý Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³Ûë ¹»åùáõÙ ¨ë ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ÏáñÇ Ï³ñ·Á áñå»ë max{i j} , »ñμ ai j 0 £ ä³ñ½ ¿, áñ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ í»ñÁ ë³ÑÙ³Ýí³Í áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý£ гÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ïáñ, »Ã» Ýñ³ ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (16) ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñï»Õ μáÉáñ ai j ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý£ гϳé³Ï ¹»åùáõÙ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï»ÕÍ Ïáñ£ Üß»Ýù, áñ ÁݹѳÝñ³å»ë Çñ³Ï³Ý ÏáñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ݳ¨ Ï»ÕÍ Ï»ï»ñ, ÇëÏ Ï»ÕÍ ÏáñÁ ϳñáÕ ¿ å³ñáõÝ³Ï»É Ý³¨ Çñ³Ï³Ý Ï»ï»ñ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇݳÏÝ»ñª z1 -Ç ¨ z2 -Ç ÷á˳ñ»Ý ·áñͳͻÉáí x ¨ y Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ£ 1¤ 5(2 3i ) x 3(2 3i ) y (2 3i ) 0 ÏáñÁ Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕ ¿, ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ïñí»É ݳ¨ Çñ³Ï³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí 5 x 3 y 1 0 ѳí³ë³ñáõÙáí£ 2¤ Æ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ Ý³Ëáñ¹ ûñÇݳÏǪ (2 3i ) x (3 4i ) y 1 5i 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Ï»ÕÍ áõÕÇÕ, áñÝ Çñ Ù»ç å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ÙÇ Çñ³Ï³Ý Ï»ïª (19; 13) : ÀݹѳÝñ³å»ë áõÕÕÇ
(a1 a2i ) x (b1 b2i ) y (c1 c2i ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ Ý»ñϳ۳óÝ»Éáí (a1 x b1 y c1 ) (a2 x b2 y c2 )i 0 ï»ëùáíª å³ñ½ ¿ ¹³éÝáõÙ, áñ ³Û¹ áõÕÕÇ Çñ³Ï³Ý ( x; y ) Ï»ï»ñÁ a x b1 y c1 0 áñáßíáõÙ »Ý áñå»ë 1 ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñ£ a2 x b2 y c2 0 л勉μ³ñ Ï»ÕÍ áõÕÕÇ Çñ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳ٠¹³ï³ñÏ ¿, ϳ٠å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ×Çßï Ù»Ï Ï»ï£ x2 y 2 3¤ 2 2 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ÏáñÁ, áñï»Õ a -Ý ¨ a b b -Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Çñ³Ï³Ý Ïáñ ¿, áñÁ ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É ݳ¨ áñå»ë »ñÏáõ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Çª x y x y i 0 ¨ i 0 Ï»ÕÍ Ïáñ»ñÇ ¥áõÕÇÕÝ»ñǤ ÙdzíáñáõÙ£ a b a b ¸ñ³Ýù ѳïíáõÙ »Ý (0;0) Çñ³Ï³Ý Ï»ïáõÙ£ ÀݹáõÝí³Í ¿ ³Û¹ ÏáñÝ ³Ýí³Ý»É ѳïíáÕ Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·£ 4¤ y 2 a 2 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a 0 -Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, å³ïÏ»ñáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Çñ³Ï³Ý Ïáñ£ ²ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É ݳ¨ áñå»ë »ñÏáõ ãѳïíáÕª y ai 0 ¨ y ai 0 áõÕÇÕÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·£ ²ÛÅÙ å³ñ½³μ³Ý»Ýù Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ£ ì»ñÁ Ù»Ýù ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ë³ÑٳݻóÇÝù Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ݳ˳å»ë 먻é³Í ÙÇ OXY ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇçáóáí£ ºÃ» áõÝ»Ýù Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý ÙÇ áõñÇß OX Y ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, ³å³, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ ( x; y ) ¨ ( x; y) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ ³Û¹ ѳٳϳñ·»ñáõÙ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳåí³Í »Ý x c11 x c12 y c1 , y c21 x c22 y c2
μ³Ý³Ó¨»ñáí£ ²ÛÅÙ ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M ( z1 ; z2 ) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ z1 -Á ¨ z2 -Á ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñ »Ý, ë³ÑٳݻÝù Ýñ³ ( z1; z2 ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ OX Y ѳٳϳñ·áõÙª áñáß»Éáí z1 -Á ¨ z2 -Á ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ z1 c11 z1 c12 z2 c1 , z2 c21 z1 c22 z2 c2 ѳٳϳñ·Çó£ ê³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ïáé»ÏïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝѳÛï ¿£ ²ÛëåÇëáíª Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ϳñáÕ »Ý ¹Çï³ñÏí»É áñå»ë Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ݳ¨ ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ£ ÆѳñÏ», ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ϳñáÕ »Ýù ë³ÑÙ³Ý»É Ý³¨ ³ÛÉ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ£ ê³Ï³ÛÝ Ù»Ýù ë³Ñٳݳ÷³Ïí»Éáõ »Ýù ÙdzÛÝ Çñ³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇó ·áÛ³óáÕ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáí£ ²Ûë ¹»åùáõ٠ϳñ¨áñ ѳݷ³Ù³Ýù ¿ ³ÛÝ, áñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñáõÙ μáÉáñ ci j , ci ·áñͳÏÇóÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý£ êñ³ ßÝáñÑÇí ÏáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý Çñ³Ï³Ý Ï»ï»ñÝ áõ Çñ³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ ÙÝáõÙ »Ý ³Û¹åÇëÇù ݳ¨ ÙÛáõë Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ£ ú·ïí»Éáí Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÇóª ×Çßï ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ¢ 13-áõÙ, ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ£ ºàðºØ 3: ÎáÙåÉ»ùë ѳñÃáõÃÛ³Ý (16) ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÁ μáÉáñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ ïñíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ³ëïÇ׳ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙáí£ Ð»ï¨³μ³ñ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÏáñÇ Ï³ñ·Á ÝáõÛÝÝ ¿ μáÉáñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ£
¢ 21. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ îºê²Î²ìàðàôØÜ Àêî βÜàÜ²Î²Ü Ð²ì²ê²ðàôØܺðÆ ÆÝãå»ë Ýßí»ó ¢ 20-áõÙ, áñ¨¿ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 ï»ëùÁ, áñï»Õ a, b, c ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿: лﳷ³ÛáõÙ ³ñï³ÍíáÕ μ³Ý³Ó¨»ñÇ ï»ëùÇ Ý»ñ¹³ßݳÏáõÃÛ³Ý ¨ ¹ñ³Ýù Ñ»ßï ÑÇß»Éáõ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó Ýå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ¿ ÏáñÇ ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙÁ ·ñ»É F ( x, y ) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a1 x 2a2 y a0 0 (17) ï»ëùáí, áñï»Õ a11 , a12 ¨ a 22 ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛÇó: ²Ûë ÏáñÇ ï»ë³ÏÁ ¨ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ñ½»ÉÇë ó³ÝϳÉÇ ¿ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³Û¹ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ å³ñáõݳÏÇ Ñݳñ³íáñÇÝë ùÇã Ãíáí Ùdzݹ³ÙÝ»ñ: ²Û¹åÇëÇ áñáß Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÏáñÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ, ÇëÏ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ·Áª ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·:
òáõÛó ï³Ýù, áñ »Ã» (17) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç a12 0 , ³å³ O ëϽμݳϻïÇ ßáõñç ÙÇ áñáß³ÏÇ ³ÝÏÛáõÝáí Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç åïïáõÙáí ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É Ýáñª OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÇ Ýáñ ѳí³ë³ñáõÙÁ ãÇ å³ñáõݳÏÇ a12 xy ï»ëùÇ Ùdzݹ³Ù, ³ÛëÇÝùݪ a12 0 : ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí ϳï³ñ»Ýù Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç åïáõÛï O Ï»ïÇ ßáõñç ³é³ÛÅÙ ³ÝѳÛï ³ÝÏÛáõÝáí ¥ï»°ë (4) μ³Ý³Ó¨Á ¢ 12-áõÙ¤` x x cos y sin , y x sin y cos : î»Õ³¹ñ»Éáí x ¬Ç ¨ y -Ç ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (17) -Ç Ù»çª ëï³ÝáõÙ »Ýù
F ( x cos y sin , x sin y cos ) a11 ( x cos y sin ) 2 2a12 ( x cos y sin )( x sin y cos ) a22 ( x sin y cos ) 2 2a1 ( x cos y sin ) 2a2 ( x sin y cos ) a0 0 : γÙ
y2 2a1x 2a2 y a0 0 , F ( x, y) a11 x2 2a12 xy a22 áñï»Õ a11 cos 2 2a12 cos sin a22 sin 2 , a11
a12 a11 cos sin a12 (cos 2 sin 2 ) a22 cos sin , a11 sin 2 2a12 cos sin a22 cos 2 , a22 a1 a1 cos a2 sin , a2 a1 sin a2 cos : ²ÛÅÙ å³ñ½»Ýù, û Ñݳñ³íá±ñ ¿ ÁÝïñ»É åïáõÛïÇ ³ÝÏÛáõÝ ³ÛÝå»ë, áñ ÉÇÝÇ a12 0 : ²ÛëÇÝùݪ å³Ñ³Ýç»Ýù, áñ -Ý μ³í³ñ³ñÇ a11 cos sin a12 (cos 2 sin 2 ) a22 cos sin 0 ϳ٠a12tg 2 (a11 a22 )tg a12 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ (a22 a11 ) 2 4a122 0 , ëï³ÝáõÙ »Ýù a22 a11 (a22 a11 ) 2 4a122 , 2a12 ѻ勉μ³ñ ³Û¹åÇëÇ ³ÝÏÛáõÝ ÙÇßï ϳñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É: ²ÛëåÇëáí, ϳï³ñ»Éáí í»ñÁ Ýßí³Í åïáõÛïÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ýáñ` OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· e1 {cos ; sin } , e2 { sin ; cos } μ³½Çë³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñáí, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x2 a22 y2 2a1x 2a2 y a0 0 (18) ï»ëù: ³í»ÉÇ å³ñ½ª a11 tg
гí³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï³·³ å³ñ½»óáõÙÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»Éª ¹Çï³ñÏ»Éáí »ñÏáõ ¹»åù: 0 , a22 0 : ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ÝI ÑÇÙÝ³Ï³Ý ¹»åù, »ñμ a11 ç³ï»Éáí ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ Áëï x -Ç ¨ y -Ǫ (18) ѳí³ë³2
a a y 2 a0 0 ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ μ»ñ»É a11 x 1 a22 a11 a22 a 2 a 2 ï»ëùÇ, áñï»Õ a0 a0 1 2 : a11 a22 ²ÛÝáõÑ»ï¨ ÁÝïñ»Éáí áñå»ë Ýáñ` OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ a a ѳٳϳñ·Ç ëϽμݳϻï O 1 ; 2 Ï»ïÁ ¨ ϳï³ñ»Éáí a22 a11 Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõݪ a a x x 1 , y y 2 , a11 a22 ëï³ÝáõÙ »Ýù ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ OX Y ѳٳϳñ·áõÙª y2 a0 0 a11 x2 a22 (19) : êï³óí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ »Ýó¹»åù: I ³. ºñμ a0 0 , ³å³ (19) -Á ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É
x2 y2 1 a a 0 0 a11 a22 ï»ëùáí: Ü߳ݳϻÉáí a 2
a0 a , b 2 0 ª ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É a11 a22
a0 a 1a 2 , 0 2b 2 , áñï»Õ 1 , 2 1 ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ a11 a22 a a ÷á˳ñÇÝáõÙ »Ý 0 ¨ 0 Ãí»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñÇÝ: гßíÇ a11 a22 ³éÝ»Éáí 볪 ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É x2 y2 1 (20) 1a 2 2 b 2 ï»ëùáí: ²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù 1 -Ç ¨ 2 -Ç μáÉáñ Ñݳñ³íáñ ï³ñμ»ñ³ÏÝ»ñÁ: 1. ºñμ 1 2 1 , ³å³ (20) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿
x2 y2 2 1 a2 b ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ÉÇåë: 2. ºñμ 1 2 1 , ³å³ (20) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x2 y2 2 1 a2 b ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï»ÕÍ ¿ÉÇåë: ²ÛÝ ãáõÝÇ áã ÙÇ Çñ³Ï³Ý Ï»ï: 3. ºñμ 1 1 , 2 1 , ³å³ (20) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x2 y2 1 a 2 b2 ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉ: ØÛáõëª 1 1 , 2 1 ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù x2 y2 1 a 2 b2 ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉ, ù³ÝÇ áñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ x y ,
y x í»ñ³Ýí³ÝáõÙáí ѳí³ë³ñáõÙÁ μ»ñíáõÙ ¿ ݳËáñ¹ ï»ëùÇݪ x2 y2 2 1: a2 b ì»ñ³¹³éݳÝù (19) ѳí³ë³ñÙ³Ý áõëáõÙݳëÇñáõÃÛ³ÝÁ ÙÛáõë ¹»åùáõÙ: I μ. ºñμ a0 0 , ³å³ (19) -Á ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É x2 y2 0 a11 a22 ï»ëùáí: Ü߳ݳϻÉáí a 2
ª ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É , b2 a11 a22
1a 2 , 2b 2 , áñï»Õ 1 , 2 1 : ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ÏáñÇ Ñ³ a11 a22 í³ë³ñáõÙÁ ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É x2 y2 0 (21) 1a 2 2 b 2 ï»ëùáí: γËí³Í 1 -Ç ¨ 2 -Ç Ñݳñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇóª ëï³ÝáõÙ »Ýùª 4. ºñμ 1 2 1 ϳ٠1 2 1 , ³å³ (21) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x2 y2 2 0 a2 b ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: Üϳï»Ýù, áñ y x i 0 x y a b 2 0 , (i 2 1) : a b x i y 0 a b
ÆÝãå»ë ³ñ¹»Ý ³ë»É »Ýù ¢ 20-áõÙ, ³Ûë ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳïíáÕ Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·: 5. ºñμ 1 1 , 2 1 ϳ٠1 1 , 2 1 , ³å³ (21) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x2 y2 0 a 2 b2 ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: Üϳï»Ýù, áñ x y a b 0 x y : 0 a 2 b2 x y 0 a b ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳïíáÕ Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·: ¨ a2 2 ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó áñ¨¿ II ÑÇÙÝ³Ï³Ý ¹»åù, »ñμ a11
0 : ²Ûë ¹»åùáõÙ (18) ѳí³ë³ 0 , a22 Ù»ÏÁ 0 ¿: ¸Çóáõù a11 y2 2a1x 2a2 y a0 0 ï»ëùÁ: ²Ýç³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ a22 ï»Éáí ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ y -Ç ÝϳïÙ³Ùμª Ïëï³Ý³Ýù
a y 2 2a1x a0 0 , a22 (22) a 22 ( a ) áñï»Õ a0 a0 2 : ²Ûë ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï³·³ å³ñ½»ó a22 Ù³Ý Ýå³ï³Ïáí ÝáõÛÝå»ë ϹÇï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ »Ýó¹»åù: II³. ºñμ a1 0 : γï³ñ»Ýù OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ½áõ·³Ñ»é a ï»Õ³÷áËáõÃÛáõݪ x x, y y 2 : Üáñª OX Y áõÕÕ³Ý a22 ÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ (22) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏÁݹáõÝÇ y2 a0 0 a22 (23)
ï»ëù: ²Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù Ïáñ»ñÇ »ñ»ù Ñݳñ³íáñ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ Ñ»ï¨Û³É Ñ»ñóϳÝáõÃÛ³Ùμ: 6. ºñμ a0 0 , ³å³ (23) ѳí³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù
y2 0 ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ áõÕÇÕª OX ³é³ÝóùÁ: ÀݹáõÝí³Í ¿ ³ÛÝ ³Ýí³Ý»É ÏñÏݳÏÇ áõÕÇÕ Ï³Ù Ñ³ÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¥Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ëïÇ׳ÝÇ å³ï׳éáí¤: a 7. ºñμ a0 0 ¨ 0 0 , ³å³ (23) ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ a22 Ý»ñϳ۳óÝ»É
y2 a 2 0
ϳÝáݳϳÝ
ï»ëùáí, áñï»Õ y a 0 a ѳٳa 2 0 : ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ a22 y a 0 ËÙμÇÝ, áñÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·: a 8. ºñμ a0 0 ¨ 0 0 , ³å³ (23) ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ a22
Ý»ñϳ۳óÝ»É y2 b 2 0 ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùáí, áñï»Õ y bi 0 a b 2 0 : ²Ûë ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ѳٳ a22 y bi 0 ËÙμÇÝ, áñÁ, ÇÝãå»ë ³Ýí³Ý»É »Ýù ¢ 18-áõÙ, å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·: ²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù IIμ »Ýó¹»åùÇÝ, »ñμ a1 0 : Ü»ñϳ۳ó2
a a y 2 2a1 x 0 0 Ý»Ýù (22) ѳí³ë³ñáõÙÁ a22 a22 2a1 ï»ëùáí ¨ ϳï³ñ»Ýù OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ½áõa a ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõݪ x x 0 , y y 2 μ³Ý³Ó¨» a22 2a1 ñáí: Üáñª OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ (22) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏÁݹáõÝÇ
y2 2a1x 0 a22 (24) a ï»ëù: Ü߳ݳϻÉáí p 1 ª Ïëï³Ý³Ýù y2 2 px Ñ³í³ a22 ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ p 0 : ºÃ» p 0 , ³å³ ϳï³ñ»Éáí OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ¨ë ÙÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ x x, y y μ³Ý³Ó¨»ñáíª Ïëï³Ý³Ýù Ýáñª OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ (24) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏÁݹáõÝÇ í»ñçÝ³Ï³Ý Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÁª 9. y2 2 px , p 0 : ²Û¹åÇëÇ ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ³å³óáõóí»ó Ñ»ï¨Û³ÉÁ: ºàðºØ ¥»ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ï»ë³Ï³íáñÙ³Ý Ù³ëÇݤ: ²Ù»Ý ÙÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ í»ñÁ Ýßí³Í 1-9 ï»ë³ÏÇ Ïáñ»ñÇó Ù»ÏÝ áõ Ù»ÏÁª ¿ÉÇåë, Ï»ÕÍ ¿ÉÇåë, ÑÇå»ñμáÉ, å³ñ³μáÉ Ï³Ù ¿É áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·ª Çñ³Ï³Ý ϳ٠ϻÕÍ, ѳïíáÕ, ½áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝϳÍ: ÆÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »Ýù, ³Ûë Ïáñ»ñÇó 5 ï»ë³ÏÝ»ñÁ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñ »Ý: êïáñ¨ ³é³ÝÓÇÝ-³é³ÝÓÇÝ ÏáõëáõÙݳëÇñ»Ýù ÙÛáõë Ïáñ»ñÁª ¿ÉÇåëÝ»ñÁ, ÑÇå»ñμáÉÝ»ñÝ áõ å³ñ³μáÉÝ»ñÁ:
¢ 22. ¾ÈÆäê, îºêøÀ, ÎƼ²Îºî²ÚÆÜ Ð²îÎàôÂÚàôÜÀ ¾ÉÇåëÁ ë³ÑÙ³Ýí»ó áñå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ x2 y 2 1 (25) a 2 b2 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ »Ã» ( x; y ) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇÝ, ³å³ ( x; y ) , ( x; y ) ¨ ( x; y ) Ï»ï»ñÁ ¨ë å³ïϳÝáõÙ »Ý Ýñ³Ý: ²ÛëÇÝùݪ ¿ÉÇåëÁ ѳٳã³÷ ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÇ ÝϳïÙ³Ùμ: гí³ë³ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ x a , y b : àõëïÇ ¿ÉÇåëÁ ݳ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï Ïáñ ¿ ¨ ·ïÝíáõÙ ¿
a x a , b y b áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ: ²Û¹ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »½ñ³·ÍÇ Ñ»ï ¿ÉÇåëÝ áõÝÇ ãáñë ÁݹѳÝáõñ Ï»ï»ñ` A(a;0) , B(a;0) , C (0; b) , D(0; b) , áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ ·³·³ÃÝ»ñ: Îáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇ Ï»ÝïñáÝ, ÇëÏ AB 2a ¨ CD 2b ѳïí³ÍÝ»ñÁ` ¿ÉÇåëÇ ³é³ÝóùÝ»ñ: гٳã³÷áõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí μ³í³Ï³Ý ¿ ¿ÉÇåëÇ ï»ëùÝ áõëáõÙݳëÇñ»É a x a ¨ y 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ¥25¤ ѳí³ë³ñáõÙÇó ϳñáÕ »Ýù y -Á ³ñï³Ñ³Ûï»É áñå»ë x -Ç ýáõÝÏódzª b 2 y a x2 : a bx ²Ûëï»ÕÇó y ' , a x a : ²ÛëÇÝùÝ` ¿ÉÇåëÁ a a2 x2 Ýßí³Í ïÇñáõÛÃáõÙ áÕáñÏ Ïáñ ¿: ø³ÝÇ áñ y '(0) 0 , áõñ»ÙÝ (0; a) ·³·³ÃáõÙ ¿ÉÇåëÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý y b, a x a ÏáÕÙÇÝ:
гٳã³÷áõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí ¿ÉÇåëÝ Çñ ÙÛáõë ·³·³ÃÝ»ñáõÙ ¨ë ßáß³÷áõÙ ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÏáÕÙ»ñÇÝ, ÇÝãå»ë å³ïÏ»ñí³Í ¿ Ýϳñ 28-áõÙ:
Üϳñ 28 سëݳíáñ ¹»åùáõÙ, »ñμ a b , (25) -Á ÁݹáõÝáõÙ ¿ x 2 y 2 a 2 ï»ëù, áñÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ O(0;0) Ï»ÝïñáÝáí ¨ a ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ: ºñμ a b , Ý߳ݳϻÉáí c a 2 b 2 ª ¹Çï³ñÏ»Ýù F1 (c; 0) ¨ F2 (c; 0) Ï»ï»ñÁ: ¸ñ³Ýù ·ïÝíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ Ù»Í ³é³ÝóùÇ íñ³ ¨ ÏáãíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ Ïǽ³Ï»ï»ñ: гñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ M ( x; y ) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ MF1 ¨ MF2 ѳïí³ÍÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý M ( x; y ) Ï»ïÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ß³é³íÇÕÝ»ñ: ¸ñ³Ýó »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
r1 ( x c) 2 y 2 ¨ r2 ( x c) 2 y 2 : ºàðºØ ¥¿ÉÇåëÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ¤: x2 y2 1 ¿ÉÇåëÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ μáÉáñ Ï»ï»ñÇ μ³½Ùáõa 2 b2 ÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝó Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ß³é³íÇÕÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ r1 r2 ·áõÙ³ñÁ ѳëï³ïáõÝ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ 2a -Ç: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù M ( x; y ) Ï»ïÁ (25) ¿ÉÇåëÇ áñ¨¿ Ï»ï ¿: òáõÛó ï³Ýù, áñ r1 r2 2a :
x2 (25) -Çó áõÝ»Ýù y 2 b 2 1 2 , ѻ勉μ³ñ a x2 r1 ( x c) 2 y 2 x 2 2 xc c 2 b 2 1 2 a
b2 c2 2 c 1 2 x 2 2 xc c 2 b 2 x 2 xc a 2 a x a a a c a x £ a c ÜÙ³Ý Ó¨áí ëï³ÝáõÙ »Ýù r2 a x : a c ø³ÝÇ áñ a x a , áõëïÇ c x c : ´³Ûó 0 c a , a c c c ѻ勉μ³ñ a x a : ²Ûëï»ÕÇóª a x 0, a x 0 ¨ a a a c c áõñ»ÙÝ r1 a x , r2 a x , áñï»ÕÇó ¿É` r1 r2 2a : a a ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù M ( x; y ) -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ Ï»ï ¿: àõÝ»Ýù
r1 ( x c) 2 y 2 , r2 ( x c) 2 y 2 : òáõÛó ï³Ýù, áñ r1 r2 2a å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í M Ï»ï å³ïϳÝáõÙ ¿
x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÇÝ: Æñáù, a 2 b2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a å³ÛÙ³ÝÇó áõÝ»Ýù
( x c) 2 y 2
2a ( x c ) 2 y 2
£
ä³ñ½»óÝ»Éáí ³Ûݪ ëï³ÝáõÙ »Ýù
a 2 cx a ( x c) 2 y 2 , áñï»ÕÇó ¿É` x 2 (a 2 c 2 ) a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) : ø³ÝÇ áñ b 2 a 2 c 2 , áõëïÇ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 , áñï»ÕÇó ¿É ëï³ÝáõÙ »Ýù x2 y2 1: a 2 b2 x2 y 2 ²ÛëÇÝùݪ M Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ 2 2 1 ¿ÉÇåëÇÝ: a b
□
¢ 23. ¾ÈÆäêÆ ¾øêòºÜîðÆêÆîºîÀ, ¸ÆðºÎîàðÚ²È Ð²îÎàôÂÚàôÜÀ
c ÃÇíÁ: ä³ñ½ ¿, a áñ 0 1 , Áݹ áñáõÙ` 0 ÙdzÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¾ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ å³ñ½³μ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»Ùáí: ºàðºØ 1: ºñÏáõ ¿ÉÇåëÝ»ñ ÝÙ³Ý »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³Ýù áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ: ܳËù³Ý ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ å³ñ½³μ³Ý»Ýù ³ÛÝ: ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ ÑÇÙÝí³Í ¿ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛ³Ý íñ³: ºñÏáõ å³ïÏ»ñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÝÙ³Ý, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÝ ³Û¹ å³ïÏ»ñÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ÙÛáõëÇ íñ³: ÆÝùÁ` ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, ϳñáÕ ¿ ë³ÑÙ³Ýí»É áñå»ë ǽáÙ»ïñÇÏ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¨ ÑáÙáï»ïdzÛÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: гñÃáõÃÛ³Ý ÑáÙáï»ïdz O Ï»ÝïñáÝáí ¨ k 0 ·áñͳÏóáí ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ ³ÛÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÝ ³Ù»Ý ÙÇ M Ï»ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ M * Ï»ï ³ÛÝå»ë, áñ` 1. ³Ýß³ñÅ ¿ ÃáÕÝáõÙ O Ï»ïÁ` O* O , 2. ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ OM * k OM : Üϳï»Ýù, áñ k 1 ¹»åùáõÙ ÑáÙáï»ïÇ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ ¿£ ºÃ» O -Ý Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÝ ¿, ³å³ OM * k OM å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ M ( x; y ) ¨ M * ( x; y) Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ϳåí³Í »Ý x k x , y k y μ³Ý³Ó¨»ñáí: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ ÑáÙáï»ïdzÛÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ` ¾ÉÇåëÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ï ÏáãíáõÙ ¿
³¤ ó³Ýϳó³Í áõÕÕÇ Ï»ñå³ñÁ ϳ٠Çñ»Ý ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕ
¿, ϳ٠¿É ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Çñ Ñ»ï,
μ¤ ó³Ýϳó³Í MN ѳïí³ÍÇ Ï»ñå³ñÁ M * N * ѳïí³ÍÝ ¿, Áݹ áñáõÙª | M * N * | k | MN | , ·¤ ó³Ýϳó³Í ABC »é³ÝÏÛáõÝ ¨ Ýñ³ A* B*C * Ï»ñå³ñÁ ÝÙ³Ý »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý:
²å³óáõó»Ýù
³-Ý£
ºÃ» áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ x y Ax By C 0 , ³å³ x ¨ y -Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ k k * Ax By kC 0 £ ²ÛëÇÝùÝ` -Á å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ Ax By kC 0 ѳí³ë³ñáõÙáí£ Ð»ï¨³μ³ñ ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ -Ç Ñ»ï, »ñμ C 0 ϳ٠k 1 , ¨ ½áõ·³Ñ»é ¿ -ÇÝ Ùݳó³Í ¹»åù»ñáõÙ£ ØÛáõëª μ¤, ·¤ åݹáõÙÝ»ñÇ ³å³óáõóáõÙÁ ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇÝ£ ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù í»ñÁ Ó¨³Ï»ñåí³Í ûáñ»ÙÁ: ¸Çóáõù áõÝ»Ýù ÙǨÝáõÛÝ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïáí »ñÏáõ ¿ÉÇåë: î»Õ³ß³ñÅÇ ¨ åïáõÛïÇ ÙÇçáóáí ϳñáÕ »Ýù Ýñ³Ýó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ѳÙÁÝÏ»óÝ»É Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÇ Ñ»ï ³ÛÝå»ë, áñ ¿ÉÇåëÝ»ñÇ Ù»Í ³é³ÝóùÝ»ñÁ ·ïÝí»Ý, ûñÇÝ³Ï OX , ³é³ÝóùÇ íñ³: ¸Çóáõù ³Ûë »ñÏáõ ¿ÉÇåëÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý x2 y 2 x2 y 2 1: ¨ a 2 b2 a12 b12 ºÃ» Ýñ³Ýó ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý, ³å³
a 2 b12 a 2 b2 1 1 a a1
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó
ëï³ÝáõÙ
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a1 b1 : a b
Ü߳ݳϻÉáí
a1 b1 ` Ïëï³Ý³Ýù a1 k a, b1 k b : a b ¸Çï³ñÏ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ÑáÙáï»ïdz O Ï»ÝïñáÝáí ¨ a b k 1 1 ·áñͳÏóáí: гñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý M ( x; y ) a b Ï»ïÇ ¨ Ýñ³ M * ( x; y) Ï»ñå³ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõݻݳÝù a b x 1 x , y 1 y : b a x2 y2 ²ÛÅÙ ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ M -Á å³ïϳÝáõÙ ¿ 2 2 1 a b * ¿ÉÇåëÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ M -Á å³ïϳÝáõÙ ¿ x 2 y 2 x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÇÝ: л勉μ³ñ 2 2 1 ¿ÉÇåëÇ Ï»ñå³ñÁ a b a12 b12 k
x 2 y 2 1 ¿ÉÇåëÝ ¿£ a12 b12 гϳé³ÏÝ ³ÏÝѳÛï ¿. »Ã» »ñÏáõ ¿ÉÇåëÝ»ñ ÝÙ³Ý »Ý, ³å³ Ýñ³Ýó ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñÁ ѳٻٳï³Ï³Ý »Ý, áõëïÇ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ: □ ¾ÉÇåëÝ áõÝÇ ¨ë ÙÇ μÝáõó·ñÇã ѳïÏáõÃÛáõݪ ¹³ Ýñ³ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ¿: ¾ÉÇåëÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ۳ó, Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÇó a Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ ¹Çñ»ÏïñÇëÝ»ñ: γÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ¹ñ³Ýù d1 ¨ d 2 áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý ¥ï»°ë Ýϳñ 29-Á¤ª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ x a ¨ x a ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí, Áݹ áñáõÙª ³ëáõÙ »Ý, áñ ¹ñ³ÝóÇó d1 -Á ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ F1 Ïǽ³Ï»ïÇÝ, ÇëÏ d 2 -Á` F2 Ïǽ³Ï»ïÇÝ:
Üϳñ 29
ºàðºØ 2 ¥¿ÉÇåëÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ¤: x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ a 2 b2 ¿, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ áñ¨¿ Ïǽ³Ï»ïÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ³Û¹ Ïǽ³Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¹Çñ»ÏïñÇëÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³ÝÁ ѳëï³ïáõÝ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ ¿ÉÇåëÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÇÝ: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù, ûñÇݳÏ, F1 Ïǽ³Ï»ïÇ ¨ Ýñ³Ý ѳٳå³ï³ëË³Ý (d1 ) ¹Çñ»ÏïñÇëÇ Ñ³Ù³ñ: Ü߳ݳϻÝù M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ (d1 ) ¹Çñ»ÏïñÇëÇó r 1 -áí: Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ 1 :
1
¸Çóáõù M -Á ¿ÉÇåëÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿: Àëï ݳËáñ¹ª ¢ 22-Ǫ áõÝ»Ýù xa c a x a x r1 a x a x , 1 MD h( M ) : a 1 0 л勉μ³ñ`
r1
1
:
²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ r M ( x; y ) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ 1 , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` r1 1 : òáõÛó
1
ï³Ýù, áñ ³Û¹ Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇÝ: àõÝ»Ýù r1 ( x c) 2 y 2 , ÇëÏ M ( x; y ) Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõa ÃÛáõÝÁ x áõÕÕÇó ϳñáÕ »Ýù ·ïÝ»É ¢ 19-áõÙ μ»ñí³Í ¥15¤
μ³Ý³Ó¨áíª 1 h( M )
xa 1 0
x
a2 : c
Îáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ï»ëùáí r1 1 å³ÛÙ³ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ c a2 c ( x c) y x a x a c a
å³ÛÙ³ÝÇÝ:
²Ûë ѳí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ ù³é³ÏáõëÇ μ³ñÓñ³óÝ»Éáíª ëï³ÝáõÙ »Ýù c2 x 2 2 xc c 2 y 2 a 2 2 xc 2 x 2 , a ³ÛëÇÝùÝ` c2 2 1 2 x y a c , a
x2 y 2 b2 2 1: x y b , áñï»ÕÇó ¿É` a 2 b2 a2 ²ÛëÇÝùݪ M ( x; y ) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇÝ: □ ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª
¢ 24. ÐÆäºð´àÈ, îºêøÀ, ²êÆØäîàîܺðÀ ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ ÑÇå»ñμáÉ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ x2 y 2 1 ¥26¤ a 2 b2 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ: ÆÝãå»ë ¨ ¿ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ, ÝáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ÑÇå»ñμáÉÁ ѳٳã³÷ ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÇ ÝϳïÙ³Ùμ: Îáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ Ï»ÝïñáÝ£ ÐÇå»ñμáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ x a , ÇëÏ y -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ ¿ª (; ) : àõëïÇ ÑÇå»ñμáÉÁ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï Ïáñ ¿ ¨ ·ïÝíáõÙ ¿ a x a ß»ñïÇó ¹áõñë: ²Û¹ ß»ñïÇ »½ñ³·ÍÇ Ñ»ï ÑÇå»ñμáÉÝ áõÝÇ »ñÏáõ ÁݹѳÝáõñ Ï»ï»ñ` (a;0) -Ý ¨ (a;0) -Ý, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ ·³·³ÃÝ»ñ: гٳã³÷áõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí μ³í³Ï³Ý ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ ï»ëùÁ áõëáõÙݳëÇñ»É Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ¥26¤ ѳí³ë³ñáõÙÇó ϳñáÕ »Ýù y -Á ³ñï³Ñ³Ûï»É áñå»ë b 2 x -Ç ýáõÝÏódzª y x a 2 ; x a ï»ëùáí: a ê³ ÙáÝáïáÝ ³×áÕ ýáõÝÏódz ¿, ¨ Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ.
ÐÇå»ñμáÉÁ ãÇ Ñ³ïáõÙ OY ³é³ÝóùÁ Çñ³Ï³Ý Ï»ï»ñáõÙ, ÇëÏ OX -Á ѳïáõÙ ¿ Çñ ·³·³ÃÝ»ñáõÙ: ²Û¹ ÇëÏ å³ï׳éáí x2 y 2 OX -Á ¨ OY -Á ÏáãíáõÙ »Ý 2 2 1 ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ³Ù³å³a b ï³ë˳ݳμ³ñ Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ ³é³ÝóùÝ»ñ, ÇëÏ 2a ¨ 2b Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ ÑÇå»ñμáÉÇ Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñ: ÆÝãå»ë ¨ ¿ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁª a x a , b y b £ ÐÇå»ñμáÉÇ b ÑÇÙÝ³Ï³Ý áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÝ Áݹ·ñÏáÕ y x a áõÕÇÕÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ýñ³ ³ëÇÙåïáïÝ»ñ: ¸ñ³Ýù ã»Ý ѳïáõÙ ÑÇå»ñμáÉÁ ¥ÑÇÙݳíáñ»ù ÇÝùÝáõñáõÛݤ: ²å³óáõó»Ýù, áñ »ñμ M ( x; y ) Ï»ïÝ ³ÝÁݹѳï ß³ñÅíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉáí ³ÛÝå»ë, áñ | x | , ³å³ Ýñ³ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÙÇ ³ëÇÙåïáïÇó Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ: гÙá½í»Ýù ¹ñ³ÝáõÙ bx ay 0 ³ëÇÙåïáïÇ ¨ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ ·ïÝíáÕ b M 0 x0 ; x0 2 a 2 Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ a Ýßí³Í ³ëÇÙåïáïÇó ¥ï»°ë (15) μ³Ý³Ó¨Á ¢ 19-áõÙ¤ ÏÉÇÝÇ
h( M 0 )
bx0 b x0 2 a 2 b2 a 2
л勉μ³ñª lim h( M 0 ) lim x0
x0
ba 2
b 2 a 2 x0 x0 2 a 2
ba 2
b 2 a 2 x0 x0 2 a 2
:
0:
²ÛÅ٠ϳï³ñ»Éáí ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμª ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù Ýϳñ 30-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ï»ëùÁ:
Üϳñ 30
¢ 25. ÐÆäºð´àÈÆ ÎƼ²Îºî²ÚÆÜ ºì ¸ÆðºÎîàðÚ²È Ð²îÎàôÂÚàôÜܺðÀ ÆÝãå»ë ¿ÉÇåëÁ, ÑÇå»ñμáÉÁ ÝáõÛÝå»ë ûÅïí³Í ¿ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ: Ü߳ݳϻÉáí c a 2 b 2 ª ¹Çï³ñÏ»Ýù F1 (c; 0) ¨ F2 (c; 0) Ï»ï»ñÁ: ¸ñ³Ýù ·ïÝíáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ Çñ³Ï³Ý ³é³ÝóùÇ íñ³ ¨ ÏáãíáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ Ïǽ³Ï»ï»ñ: гñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ M ( x; y ) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ MF1 ¨ MF2 ѳïí³ÍÝ»ñÁª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
r1 ( x c) 2 y 2 ¨ r2 ( x c) 2 y 2 »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñáí, ÏáãíáõÙ »Ý M Ï»ïÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ß³é³íÇÕÝ»ñ: ºàðºØ ¥ÑÇå»ñμáÉÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ¤: àõÕx2 y 2 Õ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ 2 2 1 ÑÇå»ña b μáÉÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ | r1 r2 | -Á ѳëï³ïáõÝ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ 2a -Ç: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù M ( x; y ) Ï»ïÁ ÑÇå»ñμáÉÇ áñ¨¿ Ï»ï ¿: òáõÛó ï³Ýù, áñ | r1 r2 | 2a :
x2 àõÝ»Ýù y b 2 1 , ѻ勉μ³ñª r1 ( x c) 2 y 2 a
x2 b2 2 ( x c) b 2 1 1 2 x 2 xc c 2 b 2 a a
c2 2 c c x 2 xc a 2 x a x a : a a a ÜÙ³Ý Ó¨áí ëï³ÝáõÙ »Ýù r2 ( x c) 2 y 2
x2 b2 ( x c) 2 b 2 2 1 1 2 x 2 2 xc c 2 b 2 a a
c2 2 c c x 2 xc a 2 x a x a : a a a ø³ÝÇ áñ c a ¨ | x | a , áõëïÇ c c a x a, »ñμ x a a x a, »ñμ x a , r2 : r1 c x a, »ñμ x a c x a, »ñμ x a a a 2a, »ñμ x a r1 r2 ²Ûëï»ÕÇóª : л勉μ³ñª 2a, »ñμ x a | r1 r2 | 2a : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù M ( x; y ) -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ Ï»ï ¿, r1 ( x c) 2 y 2 , r2 ( x c) 2 y 2 : òáõÛó ï³Ýù, áñ »Ã»
| r1 r2 | 2a , ³å³ M -Á å³ïϳÝáõÙ ¿ ÉÇÝ: Æñáù, áõÝ»Ýù
x2 y 2 1 ÑÇå»ñμáa 2 b2
| ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 | 2a
å³ÛÙ³ÝÇó
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a , ѻ勉μ³ñª
( x c) 2 y 2
2a ( x c) 2 y 2
:
ä³ñ½»óÝ»Éáí ³Ûݪ ëï³ÝáõÙ »Ýù
4cx 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 , áñï»ÕÇó ¿É` x 2 (c 2 a 2 ) a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) : ø³ÝÇ áñ c 2 a 2 b 2 , áõëïÇ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 , áñï»ÕÇó ¿É
x2 y2 1: a 2 b2 ²ÛëÇÝùݪ M Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇÝ: ÐÇå»ñμáÉÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ï
ëï³ÝáõÙ »Ýù
□ ÏáãíáõÙ
c a b 1 ÃÇíÁ: a a ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ ÑÇå»ñμáÉ ÝÙ³Ý »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³Ýù áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ: ÐÇå»ñμáÉÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ۳ó, Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÇó a Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ ¹Çñ»ÏïñÇëÝ»ñ: γÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ¹ñ³Ýù d1 ¨ d 2 áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ýª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ x a ¨ x a ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí: Àݹ áñáõÙª ³ëáõÙ »Ý, áñ ¹ñ³ÝóÇó d1 -Á ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ F1
¿
Ïǽ³Ï»ïÇÝ, ÇëÏ d 2 -Á` F2 Ïǽ³Ï»ïÇÝ ¥ï»°ë Ýϳñ 31-Á¤:
Üϳñ 31 ºàðºØ 2 ¥ÑÇå»ñμáÉÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ¤: x2 y 2 1 ÑÇå»ñμáÉÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ μ³½Ùáõa 2 b2 ÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ áñ¨¿ Ïǽ³Ï»ïÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ³Û¹ Ïǽ³Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¹Çñ»ÏïñÇëÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³ÝÁ ѳëï³ïáõÝ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÇÝ: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù, ûñÇݳÏ, F1 Ïǽ³Ï»ïÇ ¨ Ýñ³Ý ѳٳå³ï³ëË³Ý (d1 ) ¹Çñ»ÏïñÇëÇ Ñ³Ù³ñ ¥ï»°ë Ýϳñ 31-Á¤: Ü߳ݳϻÝù M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ (d1 ) ¹Çñ»ÏïñÇëÇó r 1 -áí: Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ 1 :
1
¸Çóáõù M -Á ÑÇå»ñμáÉÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿: àõÝ»Ýù a x c a x a : r1 x a a x , 1 MD h(M ) x a 1 0 л勉μ³ñ`
r1
1
:
²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ѳϳé³ÏÁ: ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ r1 M ( x; y ) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` r1 1 : òáõÛó
1 ï³Ýù, áñ ³Û¹ Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇÝ: àõÝ»Ýù x
r1 ( x c) 2 y 2 , 1 MD h( M ) ²ÛÅÙ
r1 1
a
1 0
å³ÛÙ³ÝÁ
x
a2 : c
ÏÁݹáõÝÇ
c a2 ï»ëùÁ: x a c ²Ûë ѳí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ ù³é³ÏáõëÇ μ³ñÓñ³óÝ»Éáíª c2 ëï³ÝáõÙ »Ýù x 2 2 xc c 2 y 2 a 2 2 xc 2 x 2 , ³ÛëÇÝùÝ` a c 2 b2 2 , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª x y 2 b2 , 2 1 x y c a a a ( x c) 2 y 2
x2 y2 1: a 2 b2 ²ÛëÇÝùݪ Ýßí³Í ѳïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í M Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇÝ: □ ÐÇå»ñμáÉÇ Ñ³Ù³ñ, μ³óÇ í»ñÁ ë³ÑÙ³Ýí³Í ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÉ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, áñáÝó ÝϳïÙ³Ùμ ¨ë ÑÇå»ñμáÉÝ áõÝÇ å³ñ½ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ: x2 y 2 àñå»ë ûñÇÝ³Ï Ï³½Ù»Ýù 2 2 1 ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ³í³ë³b a ñáõÙÁ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ (O; e1 , e2 ) ѳٳϳñ·áõÙ, áñÇ ³é³Ýóùáñï»ÕÇó ¿É`
Ý»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇ Ñ»ï: àñå»ë μ³½Çë³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñ í»ñóÝ»Ýù e1 a; b , e2 a; b :
OXY ¨ OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõ x ax ay ÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÇó áõÝ»Ýù : î»Õ³¹ñ»Éáí ¹ñ³Ýù y bx by
x2 y2 1 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù xy 1 4 , áñÁ a 2 b2 ÷³ëïáñ»Ý ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ OX Y ѳٳϳñ·áõÙ: ÐÇå»ñμáÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ, »Ã» a b : ²ÛÝ ïñíáõÙ ¿ x 2 y 2 a 2 ѳí³ë³ñáõÙáí: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ ÑÇå»ñμáÉÁ ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý: سëݳíáñ³å»ë, x 2 y 2 a 2 ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ e1 1 2 ; 1 2 ¨ ÑÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙ, í»ñóÝ»Éáí e2 1 2 ; 1 2 , ëï³ÝáõÙ »Ýù (O; e1 , e2 ) áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ-
¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ Ýñ³ ѳí³ë³ñáõÙÝ ¿ª xy a 2 2 : ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ ÑÇå»ñμáÉÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý, ÝϳïáõÙ »Ýù, áñ ïíÛ³É Ñ³í³ë³ñ³ÏáÕÙ ÑÇå»ñμáÉÁ áã ³ÛÉ ÇÝã ¿, ù³Ý y k x , k a 2 2 ѳϳ¹³ñÓ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£
¢ 26. ä²ð²´àÈ, îºêøÀ, ¸ÆðºÎîàðÚ²È Ð²îÎàôÂÚàôÜÀ ä³ñ³μáÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë Ïáñ, áñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ïñíáõÙ ¿ y 2 2 px, p 0 (27) ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ¸³ ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝóóÇó ɳí ѳÛïÝÇ y ax 2 å³ñ³μáÉÝ ¿ ¥÷áËí³Í »Ý x -Ç ¨ y -Ç ï»Õ»ñÁ ¨ ·áñͳÏóÇ ï»ëùÁ¤: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ »Ã» ( x; y ) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇÝ, ³å³ ( x; y ) Ï»ïÁ ¨ë å³ïϳÝáõÙ ¿ Ýñ³Ý: ²ÛëÇÝùݪ å³ñ³μáÉÁ ѳٳã³÷ ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ OX ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ùμ: гí³ë³ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ x 0 , ÇëÏ y -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ ¿ª (; ) : àõëïÇ å³ñ³μáÉÁ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï Ïáñ ¿ ¨ ·ïÝíáõÙ ¿ x 0 , y (; ) ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝáõÙ: Îáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÁ ÏáãíáõÙ p ¿ å³ñ³μáÉÇ ·³·³Ã, OX ³é³ÝóùÇ F ; 0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ 2 ¿ å³ñ³μáÉÇ Ïǽ³Ï»ï, OX ³é³ÝóùÁª Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ³é³Ýóù, ÇëÏ p 0 ÃÇíÁª å³ñ³μáÉÇ μÝáõó·ñÇã: гٳã³÷áõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí μ³í³Ï³Ý ¿ å³ñ³μáÉÇ ï»ëùÝ áõëáõÙݳëÇñ»É Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ: ²Ûë ¹»åùáõÙ (27) ѳí³ë³ñáõÙÇó ϳñáÕ »Ýù y -Á ³ñï³Ñ³Ûï»É áñå»ë x -Ç ýáõÝÏódzª y 2 px : ê³ ÙáÝáïáÝ ³×áÕ ýáõÝÏódz ¿, ¨ Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝÇ ³ÛëåÇëÇ ï»ëùª
¸Çï³ñÏ»Éáí x y 2 2 p ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁª ÏáõݻݳÝù x y p , x(0) 0 : ²Ûëï»Õ, ß»Õí»Éáí ÁݹáõÝí³Í ëáíáñáõÛÃÇó, y -Ý ¿ ѳٳñí»É ³ÝϳË, ÇëÏ x -Áª ϳËÛ³É ÷á÷á˳ϳÝ: л勉μ³ñ å³ñ³μáÉÁ O Ï»ïáõÙ ßáß³÷áõÙ ¿ OY ³é³ÝóùÁ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ å³ñ³μáÉÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù Ýϳñ 32-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ï»ëùÁ:
Üϳñ 32 ä³ñ³μáÉÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ۳ó, Ýñ³ p Ï»ÝïñáÝÇó p 2 Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ x áõÕÇÕÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñ³μáÉÇ ¹Çñ»ÏïñÇë ¥ï»°ë Ýϳñ 33-Á¤:
Üϳñ 33
ºàðºØ ¥å³ñ³μáÉÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ¤: y 2 2 px å³ñ³μáÉÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ Ïǽ³Ï»ïÇó ¨ ¹Çñ»ÏïñÇëÇó: ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ »Ã» M ( x; y ) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ r , ³å³ M -Á å³ïϳÝáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇÝ:
p p àõÝ»Ýù r x y 2 , x : л勉μ³ñ r 2 å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ª
p p p p x y x x y x y 2 px : òáõÛó ï³Ýù ѳϳé³ÏÁª »Ã» M ( x; y ) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
y 2 2 px å³ñ³μáÉÇÝ, ³å³ r : Ò¨³÷áË»Ýù r -Áª Ýñ³ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Éáí y 2 2 px .
p p2 p r x y 2 x 2 px 2 px x 2 2 p p x x : ²å³óáõóí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ å³ñ³μáÉÇ Ñ³Ù³ñ ¨ë ϳñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïª ѳٳñ»Éáí ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ 1-Ç: ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ å³ñ³μáÉ ÝÙ³Ý
»Ý ÙÇÙÛ³Ýó:
гٻٳï»Éáí ¿ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ ¹ñ³Ýù ϳñáÕ »Ý ë³ÑÙ³Ýí»É ÙÇ ÁݹѳÝáõñ Ùáï»óáõÙáí: ÀÝïñ»Éáí F Ï»ï, Ýñ³Ýáí ã³ÝóÝáÕ d áõÕÇÕ ¨ 0 ÃÇíª ¹Çï³ñÏ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ μáÉáñ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ F Ï»ïÇó Ýñ³ áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ d áõÕÕÇó áõÝ»ó³Í Ñ»é³íáñáõÃÛ³ÝÁ ѳëï³ïáõÝ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ
-Ç: ¾ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0 1 ¹»åùáõÙ Ýßí³Í Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ ¿ÉÇåë ¿, 1 ¹»åùáõÙª ÑÇå»ñμáÉ, ÇëÏ 1 ¹»åùáõÙª å³ñ³μáÉ ¥ï»°ë Ýϳñ 34-Á¤:
Üϳñ 34 ¶Í³·ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ å³ñ³μáÉÁ ÙÇ ÁݹѳÝáõñ F Ïǽ³Ï»ïáí ¨ ÁݹѳÝáõñ d ¹Çñ»ÏïñÇëáí ¿ÉÇåëÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ë³Ñٳݳ½³ïáõÙ ¿ ÝáõÛÝ F Ïǽ³Ï»ïáí ¨ d ¹Çñ»ÏïñÇëáí ÑÇå»ñμáÉÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇó: Üϳñ 34-Ç ÇÙ³ëïáí »ñμ»ÙÝ ³ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ å³ñ³μáÉÁ ¿ÉÇåë ¿, áñÇ »ñÏñáñ¹ Ïǽ³Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝáõÙ:
¢ 27. ¾ÈÆäêÆ, ÐÆäºð´àÈÆ ºì ä²ð²´àÈÆ Ð²ì²ê²ðàôØܺðÀ ¶²¶²ÂÆÜ ÎÆò Îàð¸Æܲî²ÚÆÜ Ð²Ø²Î²ð¶àôØ ¾ÉÇåë, ÑÇå»ñμáÉ ¨ å³ñ³μáÉ Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ Ïǽ³Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ áõÕÕÇÝ áõÕճѳ۳ó ɳñÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý Ï»ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáñÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ å³ñ³Ù»ïñ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ p -áí: ²Û¹ »ñ»ù Ïáñ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ý»ñÙáõÍíáõÙ ¿ ¨ë ÙÇ å³ñ³Ù»ïñª q 2 1 μ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ -Á ÏáñÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÝ ¿: ºàðºØ: ¾ÉÇåë, ÑÇå»ñμáÉ, å³ñ³μáÉ Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ ÏáñÁ ïñíáõÙ ¿ y2 2 px qx2 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ¿ÉÇåëÇ ¨ ÑÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙ, ¹Çï³ñÏ»Éáí Ýñ³Ýó ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ, Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ å³ñ³Ù»ïñÝ ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù a ¨ b ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñáí:
¾ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ, ï»Õ³¹ñ»Éáí
x2 y 2 1 ѳí³ë³ñÙ³Ý a 2 b2
c2 b2 : л勉μ³ñ M 1 ¨ a2 a Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
Ù»ç x c , Ïëï³Ý³Ýù y b 1
M2
M 1M 2 b 2 b2 b2 p : ÜáõÛÝ ·áñ; ¨ ; , áñï»ÕÇó ¿Éª c c a a a
x2 y 2 1 ÑÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙª a 2 b2 b2 p -Ç Ñ³Ù³ñ ÝáñÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ³ñÅ»ùÁ: a ä³ñ³μáÉÇ ¹»åùáõÙ, ï»Õ³¹ñ»Éáí Ýñ³ y 2 2 px ѳí³p ë³ñÙ³Ý Ù»ç x , ·ïÝáõÙ »Ýù M 1 ¨ M 2 Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹Çݳï2 p p Ý»ñÁª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ ; p ¨ ; p : Ü߳ݳ2 2 M 1M 2 ÏáõÙ ¿ª å³ñ³μáÉÇ ¹»åùáõÙ ÏáñÇ
p Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ
å³ñ³Ù»ïñÁ Ýñ³ y 2 2 px ѳí³ë³ñÙ³Ý μÝáõó·ñÇãÝ ¿: ²ÛÅÙ ³Ûë »ñ»ù Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ª O ëϽμݳϻïÁ ï»Õ³¹ñ»Éáí ïíÛ³É ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝïñí³Í ·³·³ÃáõÙ, ÇÝãå»ë óáõÛó ¿ ïñí³Í Ýϳñ 35-áõÙ: ÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳï³ñ»Éáí
Üϳñ 35 ¾ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ, ϳï³ñ»Éáí Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ x x a , y y μ³Ý³Ó¨»ñáí,
x2 y 2 1 ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù Ýñ³ a 2 b2 ( x a) 2 ( y) 2 ѳí³ë³ñáõÙÁ OX Y ѳٳϳñ·áõÙª 2 1 : ²Ûëa2 b ï»ÕÇóª
( x a ) 2 b2 2 b2 b2 2 y b 1 b 2 x 2 x b 2 px 2 x a2 a a a b 2 c2 a2 2 c2 2 2 px 2 x2 2 px x px 2 1 x a a a
2 px 2 1 x2 2 px qx2 : x2 y 2 1 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ï»Õ³a 2 b2 ¹ñ»Éáí x x a, y y ¨ ϳï³ñ»Éáí ÝáõÛݳÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù ( x a ) 2 b2 2 c2 a2 2 y 2 b 2 px x px x a2 a2 a ÐÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙ,
2 px qx2 : Üϳï»Ýù, áñ å³ñ³μáÉÇ ¹»åùáõÙ OX Y -Á ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ OXY -Ç Ñ»ï, ¨ ù³ÝÇ áñ q 0 , ³Ûë ¹»åùáõÙ ¨ë ûáñ»ÙÁ ×Çßï ¿: □
¢ 28. ¾ÈÆäêÆ, ÐÆäºð´àÈÆ ºì ä²ð²´àÈÆ Ð²ì²ê²ðàôØܺðÀ ´ºìºè²ÚÆÜ Îàð¸Æܲî²ÚÆÜ Ð²Ø²Î²ð¶àôØ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: γë»Ýù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ 쨻é³ÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ (O; ) ѳٳϳñ·Á, »Ã»ª ³¤ 먻é³Í ¿ ÙÇ Ï»ï` O -Ý, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý 쨻é, μ¤ ³Û¹ Ï»ïÇó ÏÇñ³éí³Í ¿ ׳鳷³ÛÃ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ 쨻é³ÛÇÝ ³é³Ýóù, ·¤ ³Û¹ ׳鳷³ÛÃÇ íñ³ ÁÝïñí³Í ¿ ã³÷Ù³Ý Ùdzíáñ, ¹¤ Ýßí³Í ¿ O Ï»ïÇ ßáõñç ׳鳷³ÛÃÇ åïáõÛïÇ »ñÏáõ Ñݳñ³íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁª ѳٳñ»Éáí ³ÛÝ åïáõÛïÇ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¥ûñÇݳÏ` O Ï»ïÇ ßáõñç ųÙëɳùÇ åïáõÛïÇ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÁ¤: ´¨»éÇó ï³ñμ»ñ ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ μ¨»é³ÛÇÝ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý áñå»ë ( r ; ) ϳñ·³íáñí³Í Ãí³½áõÛ·, áñï»Õ r -Á OM ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ -Ý ³ÛÝ ³ÝÏÛáõÝÝ ¿ (0 2 ) , áñáí å»ïù ¿ åïï»É -Á O Ï»ïÇ ßáõñçÁ ÁÝïñí³Í ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùμ, ÙÇÝ㨠áñ ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝÇ OM ׳鳷³ÛÃÇ Ñ»ï ¥ï»°ë Ýϳñ 36-Á¤:
Üϳñ 36 ´¨»éÇ, ³ÛëÇÝùݪ O Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ÙdzÛÝ ÙÇ μ¨»é³ÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï` r 0 , ÇëÏ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï ãÇ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ: îíÛ³É ( O; ) 쨻é³ÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳٳñ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ýñ³Ý ÏÇó OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ OX ³é³ÝóùÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
׳鳷³ÛÃáí ¨ áõÕÕí³Í ¿ ÝáõÛÝ ÏáÕÙÁ, ÇÝã ¨ -Á, ÇëÏ Ýñ³Ý áõÕճѳ۳ó OY ³é³ÝóùÝ ÁÝïñíáõÙ ¿ ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë å³ïÏ»ñí³Í ¿ Ýϳñ 37-áõÙ: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý M O Ï»ïÇ ( r ; ) 쨻é³ÛÇÝ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ¨ Ýñ³ ( x; y ) áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ϳåí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáí` x r cos , y r sin :
Üϳñ 37 ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù ݳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ, ¿ÉÇåëÁ, ÑÇå»ñμáÉÁ ¨ å³ñ³μáÉÁ ÏáñÇ ·³·³ÃÇÝ ÏÇó Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ïñíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ³Û¹ Ïáñ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ݳ¨ 쨻é³ÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ, »Ã» ¹Çï³ñÏíáÕ Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ѳïáõÏ ÁÝïñí³Í »Ý 쨻éÁ ¨ 쨻é³ÛÇÝ ×³é³·³ÛÃÁ: ¸Çóáõù áñå»ë 쨻é ÁÝïñí³Í ¿` ³¤ ¿ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ Ýñ³ ӳ˳ÏáÕÙÛ³Ý Ïǽ³Ï»ïÁ, μ¤ å³ñ³μáÉÇ ¹»åùáõÙ Ýñ³ ÙÇ³Ï Ïǽ³Ï»ïÁ, ·¤ ÑÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙ Ýñ³ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý Ïǽ³Ï»ïÁ, ÇëÏ μ¨»é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ ÁÝÏ³Í ¿ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ ¨ ãÇ Ñ³ïáõÙ ïíÛ³É Ïǽ³Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ¹Çñ»ÏïñÇëÁ: Àݹ áñáõÙª ÑÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙ ë³Ñٳݳ÷³Ïí»Éáõ »Ýù Ýñ³ ÙdzÛÝ ÙǪ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ×ÛáõÕÇ ¹Çï³ñÏáõÙáí:
´¨»é³ÛÇÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç í»ñáÑÇßÛ³É ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë μáÉáñ »ñ»ù Ïáñ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³ÍáõÙÁ ϳï³ñ»É ÙdzųٳݳÏ: гí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ ³ñï³Í»ÉÇë û·ïí»Éáõ »Ýù ¹Çï³ñÏíáÕ Ïáñ»ñÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: êïáñ¨ª Ýϳñ 38-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ÏáñÁ ËáñÑñ¹³ÝßáõÙ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ »ñ»ù ï»ë³ÏÇ Ïáñ»ñÇó ó³Ýϳó³ÍÁ:
Üϳñ 38 ¸Çóáõù d -Ý ÁÝïñí³Í Ïǽ³Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ¹Çñ»ÏïñÇëÝ ¿, M (r ; ) -Ý ÏáñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, M M ѳïí³ÍÁ ÏáñÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ É³ñÝ ¿, ÇëÏ p | M M | 2 ¨ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ ÏáñÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ å³ñ³Ù»ïñÁ ¨ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ: Àëï ÏáñÇ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃ۳ݪ M ¨ M Ï»ï»ñÇ MF M F , áñï»Õ MF r , MK , M F p : ѳٳñ MK M K r p л勉μ³ñª : ²Ûëï»ÕÇóª M K p : M K
ØÛáõë ÏáÕÙÇóª ÇÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »Ýù Ýϳñ 38-áõÙ, MK MN NK MN K M r cos p : àõñ»Ùݪ r r cos p : êï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÙÇó r -Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë ýáõÝÏódz -Çóª r p (1 cos ) (28) ï»ëùáí: ²ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ýß»É, áñ ãÝ³Û³Í ÙÇûñÇÝ³Ï ï»ëùÇݪ ¥28¤ ѳí³ë³ñáõÙÁ ¿ÉÇåë, ÑÇå»ñμáÉ ¨ å³ñ³μáÉ Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ Ïï³ñμ»ñíÇ ÙÛáõëÝ»ñÇó áã ÙdzÛÝ -Ç ³ñÅ»ùáí, ³Ûɨ 쨻é³ÛÇÝ ³ÝÏÛ³Ý ÷á÷áËÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí: ÜϳïÇ áõݻݳÉáí, áñ r 0 , (28) ѳí³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù 1 cos 0 : ¾ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ 0 1 , ³Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ -Ý ³ÝÏÛ³Ý ÷á÷áËÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ¿ª 0 2 : ÐÇå»ñμáÉÇ ¹»åùáõÙ Ýñ³ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ×ÛáõÕÇ 1 a a ѳٳñ ëï³ÝáõÙ »Ýù cos , ÇÝãÁ ѳٳñÅ»ù c a b2 ¿ Ýñ³Ý, áñ 2 , áñï»Õ arctg (b a ) , ÇëÏ å³ñ³μáÉÇ ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù cos 1 ¨ ѻ勉μ³ñ 0 2 :
êï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ÏÇñ³éíáõÙ »Ý »ñÏݳÛÇÝ Ù»Ë³ÝÇϳÛáõÙ ÙáÉáñ³ÏÝ»ñÇ ß³ñÅÙ³Ý Î»åÉ»ñÇ ûñ»ÝùÝ»ñÝ ³ñï³Í»ÉÇë:
¢ 29. ¾ÈÆäêÀ, ÐÆäºð´àÈÀ ºì ä²ð²´àÈÀ àðäºê ÎàÜ²Î²Ü Ð²îàôÚÂܺð ¾ÉÇåëÁ, ÑÇå»ñμáÉÁ, å³ñ³μáÉÁ, Ýñ³Ýó Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ¨ ¹Çñ»ÏïáñÛ³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳÛïÝÇ »Ý í³Õáõó` ¹»é ÙÇÝ㨠ٳûٳïÇϳÛáõÙ ï³é³ÛÇÝ ëÇÙíáÉÇϳÛÇ ¨ ³Ý³ÉÇïÇÏ Ù»Ãá¹Ý»ñÇ ëï»ÕÍáõÙÁ:
¸Çóáõù ïñí³Í »Ý O Ï»ïáõ٠ѳïíáÕ »ñÏáõ áõÕÇÕ, áñáÝù ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ »Ý ³ÝÏÛáõÝ, 0 2 : ºÃ» ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇó Ù»ÏÁ åïï»Ýù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÙÛáõëÇ ßáõñçÝ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýóáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ Ùݳ ³Ý÷á÷áË, ³å³ ³é³ç³ÝáõÙ ¿ ÙÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛà ϳ٠ÏáÝ: Üϳï»Ýù, áñ ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ, Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ ¹Çï³ñÏíáÕ ÏáÝÇ, »ñÏÏáÕÙ³ÝÇ §³Ýí»ñç ï³ñ³ÍíáÕ¦ ٳϻñ¨áõÛà ¿: ²Ýß³ñÅ áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÝÇ ³é³Ýóù, ß³ñÅ³Ï³Ý áõÕÕÇ ¹Çñù»ñÁ åïáõÛïÇ ÁÝóóùáõÙª ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñ, ³ÝÏÛáõÝÁª ÏáÝÇ μ³óí³Íù, O Ï»ïÁª ÏáÝÇ ·³·³Ã: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ÎáÝ³Ï³Ý Ñ³ïáõÛà ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ·ÇÍÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿ ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ Ýñ³ ·³·³Ãáí ã³ÝóÝáÕ áñ¨¿ ѳñÃáõÃÛ³Ùμ ѳï»ÉÇë: ¸Çóáõù ³é³ÝóùÁ ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ ³ÝÏÛáõÝ:
 º à ð º Ø: ÎáÝ³Ï³Ý Ñ³ïáõÛÃÁ ¹»åùáõÙ ¿ÉÇåë ¿, ÑÇå»ñμáÉ ¿, ÇëÏ ¹»åùáõÙª å³ñ³μáÉ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù ³ÛÝ ËáéáãÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ùμ: ä³ïÏ»ñ³óÝ»Ýù ³Û¹ ËáéáãáõÙ ï»Õ³¹ñí³Í ÙÇ ·áõݹ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßñç³Ý³·Íáí, ÇëÏ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁª ÇÝã-áñ F Ï»ïáõÙ: Þáß³÷Ù³Ý ßñç³Ý³·Íáí ï³Ý»Ýù ѳñÃáõÃÛáõÝ, áñÁ μݳϳݳμ³ñ ÏÉÇÝÇ áõÕճѳ۳ó ³é³ÝóùÇÝ: ¸Çóáõù d -Ý ¨ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý áõÕÇÕÝ ¿: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ï ÏáÝ³Ï³Ý Ñ³ïáõÛÃÇ íñ³, ÙdzóÝ»Ýù ³ÛÝ F Ï»ïÇÝ ¨ M -Çó Çç»óÝ»Ýù MP áõÕճѳ۳óÁ d áõÕÕÇÝ: Ü߳ݳϻÝù Q -áí MO ÍÝáñ¹Ç ѳïÙ³Ý Ï»ïÁ ßáß³÷Ù³Ý ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ»ï ¥ï»°ë Ýϳñ 42-Á¤:
Üϳñ 42
ø³ÝÇ áñ P ¨ Q Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, áñÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³é³ÝóùÇÝ, áõëïÇ Ýñ³Ýó åñáÛ»ÏódzݻñÁ ³é³ÝóùÇ íñ³ ÏѳÙÁÝÏÝ»Ý -Ç ¨ -Ç Ñ³ïÙ³Ý S Ï»ïÇ Ñ»ï: л勉μ³ñ MP -Ç ¨ MQ -Ç åñáÛ»ÏódzݻñÁ ³é³ÝóùÇ íñ³ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ÙÇÙÛ³Ýóª åñ MP åñ MQ SN :
ø³ÝÇ áñ MP d , áõëïÇ ( MP, ) ( , ) : ØÛáõë ÏáÕÙÇóª ( MQ, ) , ѻ勉μ³ñª
MP cos MQ cos MK SN , MK : àõÝ»Ýù ݳ¨ MQ MF ª áñå»ë M Ï»ïÇó ·Ý¹ÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñ: ²Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù r cos ( const ) , áñï»Õ r MF : cos ²ÛëåÇëáíª F -Á ¨ d -Ý Í³é³ÛáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ áñå»ë Ïǽ³Ï»ï ¨ ¹Çñ»ÏïñÇë ÏáÝ³Ï³Ý Ñ³ïáõÛÃÇ Ñ³Ù³ñ: л勉μ³ñ ³ÛÝ Ï³Ù ¿ÉÇåë ¿, ϳ٠ÑÇå»ñμáÉ, ϳ٠å³ñ³cos μáɪ ϳËí³Í ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó: cos ºÃ» , ³å³ cos cos , ѻ勉μ³ñ 1 , ¨ áõñ»ÙÝ Ñ³ïáõÛÃÝ ¿ÉÇåë ¿: ºÃ» , ³å³ cos cos , ѻ勉μ³ñ 1 , ¨ áõñ»ÙÝ Ñ³ïáõÛÃÁ ÑÇå»ñμáÉ ¿: ºÃ» ¥³Ûë ¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÇó Ù»ÏÇݤ, ³å³ cos cos , ѻ勉μ³ñ 1 , ¨ áõñ»ÙÝ Ñ³ïáõÛÃÁ å³ñ³μáÉ ¿: ÊݹÇñ: ÐÇÙÝí»Éáí ¿ÉÇåëÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý íñ³ª ³å³óáõó»É, áñ ¹»åùáõÙ ÏáÝ³Ï³Ý Ñ³ïáõÛÃÁ ¿ÉÇåë ¿: òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É ÏáÝÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ¨ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ F1 , F2 Ï»ï»ñáõÙ ßáß³÷áÕ »ñÏáõ ·Ý¹»ñ, ÇÝãå»ë óáõÛó ¿ ïñí³Í Ýϳñ 43-áõÙ:
Üϳñ 43 ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ·É³ÝÇ Ñ³ïáõÙÁ ó³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛ³Ùμ ϳ٠¿ÉÇåë ¿, ϳ٠¿É ½áõ·³Ñ»é, ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿:
¶ÈàôÊ ÐÆܶºðà𸠺ðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ ÀܸвÜàôð îºêàôÂÚàôÜ ¢ 30. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðÆ Ð²îàôØÜ àôÔÔÆ Ðºî ¸Çï³ñÏ»Ýù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙÁª F ( x, y ) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a1 x 2a2 y a0 0 £ (29) ²Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñ× Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É ( x, y) 2( x, y) a0 0
ï»ëùáí, áñï»Õ ( x, y ) a11 x 2 a12 xy a21 yx a22 y 2 , a12 a21 -Á
ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ, ÇëÏ ( x, y ) a1 x a2 y -Á ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý: ú·ï³·áñÍí»Éáõ »Ý ݳ¨ F1 ( x, y) a11 x a12 y a1 ¨ F2 ( x, y) a21 x a22 y a2 Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ: Üϳï»Ýù, áñ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ϳñáÕ »Ýù Ý»ñϳ۳óÝ»É ¨ë ÙÇ ï»ëùáíª F ( x, y ) x F1 ( x, y ) y F2 ( x, y ) a1 x a2 y a0 0 : (30) ä³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í x x0 t , y y0 t (31) áõÕÕÇ Ñ³ïáõÙÁ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ»ï áõëáõÙݳëÇñ»Éáõ ѳٳñ ѻﳽáï»Ýù (29) ¨ (31) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ѳٳϳñ·Á: î»Õ³¹ñ»Éáí (31) -Á (29) -Ç Ù»çª ëï³ÝáõÙ »Ýù t -Ç ÝϳïÙ³Ùμ (32) At 2 2 Bt C 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ
A ( , ) a11 2 2a12 a22 2 ,
B F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 )
(a11 x0 a12 y0 a1 ) (a12 x0 a22 y0 a2 ) , C F ( x0 , y0 ) a11 x0 2 2a12 x0 y0 a22 y0 2 2a1 x0 2a2 y0 a0 : ²ÛëåÇëáíª áõÕÕÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏáñÇ Ñ»ï áñáßíáõÙ ¿ (32) ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñáí, Áݹ áñáõÙª ³Û¹ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ϳËí³Í »Ý ÏáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ áõÕÕÇ ¹ÇñùÇó: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¥ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç¤ áõÕÕáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇÙÛ³Ýó ѳٳ·ÇÍ μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ³Ù»Ý ÙÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ä³ñ½ ¿, áñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÉÇáíÇÝ áñáßíáõÙ ¿ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñϳ۳óÝáÕ ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñáí: àõÕÕÇ áõÕÕáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ áñ¨¿ áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñáí áñáßíáÕ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ: гñó ¿ Í³·áõÙ, û áñù³±Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ï³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¥ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç¤£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ áõÕÕÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÝ»Éáí Çñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁª Ñ»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¥ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç¤ μáÉáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ¥ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç¤ áñ¨¿ 먻éí³Í Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ μáÉáñ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÙÇç¨: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: γë»Ýù, áñ a ; áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ïíÛ³É ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿, »Ã» ( , ) 0 , ¨ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿, »Ã» ( , ) 0 : ê³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ïáé»ÏïáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ (k , k )
k 2 ( , ) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: ²ÛÅÙ (32) -Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕÁ ÏáñÁ ѳïáõÙ ¿ »ñÏáõ Ï»ïáõÙ, áñáÝù Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ »Ý ϳ٠ѳÙÁÝϳÍ, Çñ³Ï³Ý »Ý ϳ٠ϻÕÍ: ²ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕÁ ϳ٠ѳïáõÙ ¿ ÏáñÁ ÙÇ Ï»ïáõÙ, ϳ٠ãÇ Ñ³ïáõÙ ÏáñÁ ¥³Ûë ¹»åùáõÙ ³Û¹ áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáï¤, ϳ٠¿É ³ÙμáÕçáíÇÝ ÙïÝáõÙ ¿ ÏáñÇ Ï³½ÙÇ Ù»ç:
¢ 31. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ ²êÆØäîàî²Î²Ü àôÔÔàôÂÚàôÜܺðÀ Üϳï»Ýù, áñ ¢ 30-áõÙ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ýí»ó ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÙÇçáóáí, ¹Çï³ñÏíáÕ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ: ºàðºØ: ÎáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ïíÛ³É a ; áõÕÕáõÃÛ³Ý ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ÉÇÝ»ÉÁ ϳËí³Í ã¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ûųݹ³Ï É»ÙÙ³: ºÝó¹ñ»Ýùª ïñí³Í »Ý »ñÏáõ (O; e1 , e2 ) ¨ (O ; e1 , e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ ( x; y) ¨ ( x; y) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÝ ³Û¹ ѳٳϳñ·»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ x c11 x c12 y c1 , ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ϳåí³Í »Ý y c21 x c22 y c2 μ³Ý³Ó¨»ñáí: È»ÙÙ³: ºÃ» a í»ÏïáñÁ ¹Çï³ñÏíáÕ (O; e1 , e2 ) ¨ (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ áõÝÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ ; ¨ ; Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ, ³å³
c11 c12 , c21 c2 2 : ¸Çóáõù a M 1M 2 , Áݹ áñáõÙª M 1 , M 2 Ï»ï»ñÁ (O; e1 , e2 ) ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ áõÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) , ÇëÏ (O ; e1 , e2 ) ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμª ( x1; y1) , ( x2 ; y2 ) Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñ: л勉μ³ñ x2 x1 , y2 y1 , x2 x1 , y2 y1 : Îáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÇó áõÝ»Ýù xi c11 xi c12 yi c1 , yi c21 xi c2 2 yi c2 , i 1, 2 : ²Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù x2 x1 c11 ( x2 x1 ) c12 ( y2 y1 ) , y2 y1 c21 ( x2 x1 ) c2 2 ( y2 y1 ) :
²ÛëÇÝùݪ c11 c12 , c21 c2 2 :□ ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ûáñ»ÙÁ: ¸Çóáõù ÏáñÁ (O; e1 , e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ïñí³Í ¿ F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 ѳí³ë³ñáõÙáí, ¨ a ; áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ÏáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùݪ ( , ) a11 2 2a12 a22 2 0 : êï³Ý³Ýù ³Û¹ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμª F ( x, y ) F (c11 x c12 y c1 , c21 x c2 2 y c2 ) x2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1x 2 a2 y a0 : a11
²ÏÝѳÛï ¿, áñ ( x, y) a11 x2 2a12 xy a22 y2 (c11 x c12 y, c21 x c22 y) : л勉μ³ñ, Áëï É»ÙÙ³ÛÇ, ëï³ÝáõÙ »Ýù
( , ) (c11 c12 , c21 c2 2 ) ( , ) 0 :
²ÛëåÇëáíª a ; áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕ ÕáõÃÛáõÝ ¿ ÏáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ݳ¨ (O; e1, e2 ) Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ: □ ²Ûë ûáñ»ÙÁ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë áõëáõÙݳëÇñ»Éáõ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ¹Çï³ñÏ»Éáí ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ó³Ýϳó³Í ѳñÙ³ñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ: ä³ñ½áõÃÛ³Ý ï»ë³Ï»ïÇó ³Ù»Ý³Ñ³ñÙ³ñÝ ÇѳñÏ» ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÝ »Ý: x2 y 2 x2 y 2 úñÇÝ³Ï 1£ 2 2 1 ¨ 2 2 0 Ïáñ»ñÇ ³ëÇÙåïáa b a b ï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ
( , )
2
2
2
2
0 ѳí³ë³ñáõÙáí: ²Ûëï»ÕÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ a 2 b2 ³Û¹ Ïáñ»ñÁ ãáõÝ»Ý ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ: x2 y2 x2 y 2 úñÇÝ³Ï 2£ 2 2 1 ¨ 2 2 0 Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ a b a b
( , )
0 ѳí³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ×Çßï a 2 b2 »ñÏáõ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõݪ b; a ¨ b; a : ²ÛëåÇëáíª ÑÇå»ñμáÉÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ, ¨ ¹ñ³Ýù Ýñ³ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý: ÆëÏ Ñ³ïíáÕ Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýñ³ ϳ½ÙÇ Ù»ç ÙïÝáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý: úñÇÝ³Ï 3£ y 2 a 2 , y 2 0, y 2 2 px Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ
( , ) 2 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ÙdzÛÝ ÙÇ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõݪ 1; 0 : ä³ñ³μáÉÝ áõÝÇ ÙÇ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ, ¨ ³ÛÝ Ýñ³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ ¿: ÊݹÇñ£ ²å³óáõó»É, áñ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇó ³ëÇÙåïáïÝ»ñ áõÝ»Ý ÙdzÛÝ ÑÇå»ñμáÉÝ»ñÁ, ½áõ·³Ñ»é Çñ³Ï³Ý ϳ٠½áõ·³Ñ»é Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ ¨ ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ: ¸ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ Ýϳñ³·ñ»ù μáÉáñ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ:
¢ 32. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ ÞàÞ²öàÔܺðÀ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ ¿ ÏáñÁ »ñÏáõ Ï»ïáõÙ` Çñ³Ï³Ý ϳ٠ϻÕÍ, Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ ϳ٠ѳÙÁÝϳÍ: ²Ûë í»ñçÇÝ ¹»åùáõÙ áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ßáß³÷áÕ ïíÛ³É Ï»ïáõÙ: ºÃ» áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ áõÕÕÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý x x0 t , y y0 t , ³å³ ³Û¹ áõÕÕÇ ¨ ÏáñÇ Ñ³ïÙ³Ý »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý At 2 2 Bt C 0 , A ( , ) 0 ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý t1 , t2 ³ñÙ³ïÝ»ñáí: ºÃ» áõÕÕÇ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÁ í»ñóÝ»Ýù ÏáñÇ íñ³, ³å³ C F ( x0 , y0 ) 0 : л勉μ³ñ ³Ûë ¹»åùáõÙ áõÕÕÇ ¨ ÏáñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ å³ñ³Ù»ïñÇ t1 , t2 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý At 2 2 Bt 0 ûñÇ ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñáí, Áݹ áñáõÙª t1 0 ³ñÙ³ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ M 0 Ï»ïÁ:
²ÛëåÇëáíª ÏáñÇÝ å³ïϳÝáÕ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ áõÕÇÕÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ ßáß³÷áÕ, »Ã» At 2 2 Bt 0 ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ýª t1 t2 0 , áñÝ ¿É ѳٳñÅ»ù ¿ B 0 , ³ÛëÇÝùݪ F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²Ûë-
ï»ÕÇó ¿É, »Ã» F1 ( x0 , y0 ) ¨ F2 ( x0 , y0 ) Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ³å³ áñáÝ»ÉÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝáõÙ »Ýù áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñª
; { F2 ( x0 , y0 );
F1 ( x0 , y0 ) } :
²ÛëåÇëáíª ÏáñÇ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí Ýñ³Ý ï³ñí³Í ßáß³x x0 y y0 ÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ ϳ٠ѳٳñÅ»ù F2 ( x0 , y0 ) F1 ( x0 , y0 ) ( x x0 ) F1 ( x0 , y0 ) ( y y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 (33) ѳí³ë³ñáõÙÁ: гßíÇ ³éÝ»Éáí (30) -Áª ëï³ÝáõÙ »Ýù F ( x0 , y0 ) x0 F1 ( x0 , y0 ) y0 F2 ( x0 , y0 ) a1 x0 a2 y0 a0 0 ¨ ¥33¤ ѳí³ë³ñáõÙÇó ßáß³÷áÕÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù ݳ¨ (a11x0 a12 y0 a1 ) x (a21 x0 a22 y0 a2 ) y a1 x0 a2 y0 a0 0 (34) ѳí³ë³ñáõÙÁ: àñå»ë ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ, ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³x2 y 2 x2 y2 ϳñ·»ñáõ٠ϳ½Ù»Ýù 2 2 1 ¿ÉÇåëÇ, 2 2 1 ÑÇå»ñμáÉÇ a b a b ¨ y 2 px å³ñ³μáÉÇ ßáß³÷áÕÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª ï³ñí³Í ÏáñÇÝ å³ïϳÝáÕ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí: ¾ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ a11 2 , a22 2 , a0 1 , ÇëÏ a12 a1 a2 0 : ú·ïí»Éáí (34) a b x y ѳí³ë³ñáõÙÇóª ëï³ÝáõÙ »Ýù 02 x 20 y 1 0 : ÜÙ³Ý Ó¨áí a b ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ ßáß³÷áÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ëï³óíáõÙ »Ý x y ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ 02 x 20 y 1 0 ¨ yy0 p( x x0 ) 0 a b ѳí³ë³ñáõÙÝ»ññÁ: ºÃ» F1 ( x0 , y0 ) ¨ F2 ( x0 , y0 ) Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿, ³å³ í»ñÁ ·ñí³Í (33) ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñå»ë áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, ÇÙ³ëï áõÝǪ ³ÝÏ³Ë ³ÛÝ μ³ÝÇóª ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ¿, û áã Ýñ³ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ïíÛ³É ÏáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ: ²Û¹ ÇëÏ å³ï׳éáí, ɳÛÝ ÇÙ³ëïáí »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇÝ ßáß³÷áÕ Ýñ³ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ (34) ѳí³ë³ñáõÙáí å³ïÏ»ñíáÕ áõÕÇÕÁ:
¸Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ ûñÇݳÏ: ¸Çóáõù M 0 Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
x2 y 2 0 ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·ÇÝ: ºÃ» M 0 -Ý ãÇ Ñ³ÙÁÝÏa 2 b2 ÝáõÙ Ýñ³Ýó ѳïÙ³Ý Ï»ïÇ Ñ»ï, ³å³ ³Û¹ Ï»ïáí ÏáñÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ëï³óíáõÙ ¿ (33) -Çó, x y
ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿
0 áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ýñ³ a b Ñ»ï, áñÇÝ å³ïϳÝáõÙ ¿ M 0 -Ý: Üϳï»Ýù, áñ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ ßáß³÷áÕÝ»ñ ã»Ý ëϽμáõÙ μ»ñí³Í ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó, μ³Ûó ѳٳñíáõÙ »Ý ßáß³÷áÕÝ»ñ ³ñ¹»Ý ɳÛÝ ÇÙ³ëïáí: ÆëÏ »Ã» M 0 -Ý Ýßí³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç Ñ³ïÙ³Ý
M 0 (0; 0) Ï»ïÝ ¿, ³å³ (33) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÇÙ³ëï³½ñÏíáõÙ ¿, ù³ÝÇ áñ F1 (0, 0) F2 (0, 0) 0 : ²ÛëÇÝùݪ ÏáñÇ ³Û¹åÇëÇ Ï»ïáí Ýñ³Ý ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ, ³Ý·³Ù ɳÛÝ ÇÙ³ëïáí: âïñáÑíáÕ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ, áñáÝó ѳٳñ F1 ( x0 , y0 ) -Ý ¨ F2 ( x0 , y0 ) -Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, (33) ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ ßáß³÷áÕÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝóóáõÙ ¹Çï³ñÏíáÕ y f ( x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ x0 ³μëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í y f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ßáß³÷áÕÇ Ñ»ï: êïáñ¨ μ»ñíáÕ ³å³óáõóáõÙÁ ¹áõñë ¿ ·³ÉÇë ³é³çÇÝ ÏáõñëÇ ³é³çÇÝ ÏÇë³ÙÛ³ÏÇ Íñ³·ñ³ÛÇÝ ßñç³Ý³ÏÝ»ñÇó, ¨ ¹»é¨ë ³Ýå³ïñ³ëï áõë³ÝáÕÁ ϳñáÕ ¿ ³é³ÛÅÙ ßñç³Ýó»É ³ÛÝ£ Üϳï»Ýù, áñ F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 1 F ( x, y ) , »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ, ù³ÝÇ áñ F1 ( x, y ) 2 x F 1 F ( x, y ) F F2 ( x, y ) , ³å³ ¨ Ãí»ñÁ Ùdzx ( x0 , y0 ) 2 y y ( x , y )
Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý: л勉μ³ñ, Áëï ³Ýμ³ó³Ñ³Ûï ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëÇÝ Ã»áñ»ÙÇ, M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÇ μ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ÏáñÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë y f ( x) μ³ó³Ñ³Ûï M0 ïñáõÙ: л勉μ³ñ Ï»ïÇ Ýßí³Í ßñç³Ï³ÛùáõÙ F ( x, f ( x)) 0 : ²Ûëï»ÕÇó, ѳßí»Éáí ¹Çý»ñ»ÝódzÉÁ, ëï³ÝáõÙ F F F F f ( x) 0 : ²ÛëÇÝùÝ` f ( x) : »Ýù , áñï»ÕÇó ¿É x y x y f ( x0 )
F F : F1 ( x0 , y0 ) : F2 ( x0 , y0 ) : x ( x0 , y0 ) y ( x , y ) 0 0
f ( x0 ) -Ç î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë ³ñÅ»ùÁ y f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»çª ëï³ÝáõÙ »Ýù F ( x , y ) y 1 0 0 ( x x0 ) y0 , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿` F2 ( x0 , y0 ) ( x x0 ) F1 ( x0 , y0 ) ( y y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 : ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ Ax By c 0 áõÕÇÕÁ ßáß³÷áõÙ ¿ x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a 2 b2 a 2 A2 b 2 B 2 C 2 :
¢ 33. ¾ÈÆäêÆ, ÐÆäºð´àÈÆ ºì ä²ð²´àÈÆ ÞàÞ²öàÔܺðÆ ÎÆêàð¸²ÚÆÜ Ð²îÎàôÂÚàôÜܺðÀ ºàðºØ 1: ¾ÉÇåëÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïáí ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ÏÇëáõÙ ¿ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ß³é³íÇÕÝ»ñáí
ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛ³Ý ÏÇó ³ÝÏÛáõÝÁ:
x2 y 2 1 ¿ÉÇåëÁ, Ýñ³ ²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù a 2 b2 x y M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ï³ñí³Í 02 x 20 y 1 0 ßáß³÷áÕÁ ¨ ßáa b x y ß³÷áÕÇ n 02 ; 20 ÝáñÙ³É í»ÏïáñÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 39-Á¤: a b
Üϳñ 39 Üϳï»Ýù, áñ M 0 M 1 n í»ÏïáñÇ M 1 ͳÛñ³Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ßáß³÷áÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, ÇëÏ O (0; 0) Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ μ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³Ñ³ñÃáõ ÃÛ³Ý Ù»ç, áõëïÇ n -Á ³ñï³ùÇÝ ÝáñÙ³É ¿: ²Ûë ѳݷ³Ù³ÝùÁ ¹»ñ ãÇ Ë³Õáõ٠ѻﳷ³ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ, ¨ Ù»Ýù ³ÛÝ ÝßáõÙ »Ýù ѳٻݳÛÝ ¹»åë:
òáõÛó ï³Ýù, áñ M 0 F 1 , n M 0 F 2 , n : àõÝ»Ýù M 0 F 1 {c x0 ; y0 }, M 0 F 2 {c x0 ; y0 } : ú·ïí»Éáí ¿ÉÇåëÇ Ñ³Ù³ñ ¢ 22-áõÙ ³ñï³Íí³Í r1 -Ç ¨ r2 -Ç ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ϳñáÕ »Ýù Ó¨³÷áË»É ³Ûëå»ëª x0 y0 cx0 x0 y0 (c x0 ) 2 y0 2 a 2 a 2 b2 a b cos M 0 F 1 , n | n | | M 0 F 1 | | n | r1 cx0 cx0 1 1 : a a | n | r1 | n | a c x a | n | 0 a ÜÙ³Ý Ó¨áíª ( x0 c) x0 y0 x0 y0 cx0 y0 2 a 2 b 2 a 2 a b cos M 0 F 2 , n | n | | M 0 F 2 | | n | r2 cx cx 1 20 1 20 a : a | n | r2 | n | a c x a | n | 0 a
»áñ»ÙÝ áõÝÇ ³ÛëåÇëÇ ýǽÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëï: ¾ÉÇåëÇ Ïǽ³Ï»ï»ñÇó Ù»ÏáõÙ ï»Õ³¹ñí³Í ÉáõÛëÇ ³ÕμÛáõñÇó ³ñÓ³ÏíáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ, ³Ý¹ñ³¹³éݳÉáí ¿ÉÇåëÇó, ѳí³ùíáõÙ »Ý Ýñ³ ÙÛáõë Ïǽ³Ï»ïáõÙ ¥ï»°ë Ýϳñ 39-Á¤: ºàðºØ 2: ÐÇå»ñμáÉÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïáí ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ÏÇëáõÙ ¿ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ß³é³íÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
²å³óáõóáõÙ:
x2 y 2 1 a 2 b2
¸Çï³ñÏ»Ýù
M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ï³ñí³Í
ÑÇå»ñμáÉÇ
x0 y x 20 y 1 0 ßáß³÷áÕÁ ¨ Ýñ³ a b
x y n 02 ; 20 ÝáñÙ³É í»ÏïáñÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 40-Á¤: b a
Üϳñ 40 ´³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ F1M 0 , n M 0 F 2 , n , ϳÙ
áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª
cos F1M 0 , n cos M 0 F 2 , n :
ú·ïí»Éáí ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ³Ù³ñ ¢ 25-áõÙ ³ñï³Íí³Í r1 -Ç ¨ r2 -Ç ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, »ñμ M 0 Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ýñ³ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ×ÛáõÕÇ íñ³ ¥ÙÛáõë ¹»åùáõÙ, »ñμ M 0 Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ×ÛáõÕÇ íñ³, ³å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨áí¤, ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É x0 y0 ( ) c x y 2 a b cos F1M 0 , n | F1M 0 | | n |
cx0 x02 y02 cx0 1 a 2 a 2 b2 a2 : c r1 | n | a n | | x a | n | a x y (c x0 ) 02 ( y0 ) 20 a b cos M 0 F1 , n | F1M 0 | | n |
cx0 x02 y02 cx0 2 2 1 a a b a :□ c r1 | n | a | n | x a | n | a »áñ»ÙÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É ³ÛëåÇëÇ Ù»Ïݳμ³ÝáõÃÛáõÝ: ÐÇå»ñμáÉÇ Ïǽ³Ï»ï»ñÇó Ù»ÏáõÙ ï»Õ³¹ñí³Í ÉáõÛëÇ ³ÕμÛáõñÇó ³ñÓ³ÏíáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ, ³Ý¹ñ³¹³éݳÉáí ÑÇå»ñμáÉÇó, ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý ³ÛÝå»ë, ϳñÍ»ë û ÉáõÛëÇ ³ÕμÛáõñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ ÙÛáõë Ïǽ³Ï»ïáõÙ ¥ï»°ë Ýϳñ 40-Á¤: ºàðºØ 3: ä³ñ³μáÉÇ ßáß³÷áÕÁ ÏÇëáõÙ ¿ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ ß³é³íÕáí ¨ ³Û¹ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ OX ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 41-Á¤:
Üϳñ 41
²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù y 2 2 px å³ñ³μáÉÇ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ï³ñí³Í px y0 y px0 0 ßáß³÷áÕÁ ¨ Ýñ³ n { p; y0 } Ý»ñùÇÝ ÝáñÙ³ÉÁ: ø³ÝÇ áñ e1 {1; 0} í»ÏïáñÁ -Ç áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ ¿, ³å³ (, n) ( e1 , n ) : òáõÛó ï³Ýù, áñ ( e1 , n ) ( M 0 F , n ) , áñ p ï»Õ M 0 F x0 ; y0 : 2 p àõÝ»Ýù cos ( e1 , n ) : |n| ØÛáõë ÏáÕÙÇóª p 2 p2 p x y px0 0 p : cos ( M 0 F , n ) p | M0F | | n | |n| x0 | n | »áñ»ÙÝ áõÝÇ ³ÛëåÇëÇ ýǽÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëï: ä³ñ³μáÉÇ Ïǽ³Ï»ïáõÙ ï»Õ³¹ñí³Í ÉáõÛëÇ ³ÕμÛáõñÇó ³ñÓ³ÏíáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ, ³Ý¹ñ³¹³éݳÉáí å³ñ³μáÉÇó, ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý å³ñ³μáÉÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕáõÃÛ³Ùμ: ä³ñ³μáÉÇ ³Ûë ѳïÏáõÃÛáõÝÁ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ï»ËÝÇϳÛáõÙ Éáõë³ñÓ³ÏÝ»ñ ¨ ³É»Ñ³í³ùÝ»ñ å³ïñ³ëï»ÉÇë:
¢ 34. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ ÎºÜîðàÜܺðÀ ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1: M 0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ, »Ã» ÏáñÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÁ M 0 -Ç ÝϳïÙ³Ùμ ÝáõÛÝå»ë å³ïϳÝáõÙ ¿ ÏáñÇÝ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: M 0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝ, »Ã» ³ÛÝ ÏÇëáõÙ ¿ ³Û¹ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ μáÉáñ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý É³ñ»ñÁ: гٻٳï»Éáí ³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁª ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÝ ÇѳñÏ» ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝ: øÇã ³í»ÉÇ áõß ÏѳÙá½í»Ýù, áñ ѳϳé³ÏÁ ÝáõÛÝå»ë ×Çßï ¿, ³ÛëÇÝùݪ ÏáñÇ ³Ù»Ý ÙÇ Ï»ÝïñáÝ Ý³¨ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ ¿, ¨ Ïëáíáñ»Ýù ·ïÝ»É ¹ñ³Ýù: ¸Çóáõù áõÝ»Ýù Ïáñ, áñÝ ÇÝã-áñ OXY ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñí³Í ¿ F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 ѳí³ë³ñáõÙáí, ¨ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕª ïñí³Í x x0 t , y y0 t å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí: ¸Çóáõù M 1 -Á ¨ M 2 -Á áõÕÕÇ ¨ ÏáñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÝ »Ýª Çñ³Ï³Ý ϳ٠ϻÕÍ: ²ÛëáõÑ»ï¨ M1M 2 ѳïí³ÍÁ ϳÝí³Ý»Ýù ѳïáõÙÇó ëï³óí³Í ɳñ ¥ M 1 M 2 ¹»åùÁ ãÇ μ³ó³éíáõÙ¤: Ü³Ë å³ñ½»Ýù, û DZÝã å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÁ ÏÉÇÝÇ M1M 2 ɳñÇ ÙÇçݳϻïÁ: ¸Çóáõù M 1 ( x1 ; y1 ) ¨ M 2 ( x2 ; y2 ) Ï»ï»ñÁ ѳٳå³ï³ë-
˳ÝáõÙ »Ý å³ñ³Ù»ïñÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ t1 ¨ t2 ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ, áñáÝù, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, At 2 2 Bt C 0 , A ( , ) 0 ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý: ²ÛëÇÝùݪ x1 x0 t1 , y1 y0 t1 ¨ x2 x0 t2 , y2 y0 t2 : Àëï ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ μ³Ý³Ó¨Çª x x t t y y2 t t x0 1 2 x0 1 2 , y0 1 y0 1 2 : ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ ¨ Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýù t1 t2 0 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, Áëï ìÇ»ïÇ B ûáñ»ÙÇ, t1 t2 : àõëïÇ áñå»ë½Ç M 0 -Ý ÉÇÝÇ ³Û¹ Ï»ïáí A ³ÝóÝáÕ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý { ; } áõÕÕáõÃÛ³Ý É³ñÇ ÙÇçݳϻï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ B F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 : (35) ºàðºØ 1: M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÁ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ
F1 ( x0 , y0 ) 0 ,
F2 ( x0 , y0 ) 0 : ²å³óáõóáõÙ: ä³ÛÙ³ÝÇ μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝѳÛï ¿, óáõÛó ï³Ýù ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ: ì»ñóÝ»Ýù ïíÛ³É ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ ï³ñμ»ñ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý 1 ; 1 ¨
2 ; 2
áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: ²Û¹åÇëÇù ϳÝ, ù³ÝÇ áñ ¥ï»°ë ¢ 30¤
ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÝÃÇí »Ý, ÇëÏ ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù ¥ï»°ë ¢ 31¤, ÏáñÁ ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É áã ³í»ÉÇ, ù³Ý »ñÏáõ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ: гٳӳÛÝ ¥35¤-Ǫ ³Û¹ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù F1 ( x0 , y0 )1 F2 ( x0 , y0 ) 1 0 : F1 ( x0 , y0 ) 2 F2 ( x0 , y0 ) 2 0 ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ 1 : 1 2 : 2 , ëï³ÝáõÙ »Ýù
F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 :□
лï¨áõÃÛáõÝ: ÎáñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ áã ³ÛÉ ÇÝã »Ý, ù³Ý a11 x a12 y a1 0 (36) a21 x a22 y a2 0 ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: a11 a12 0 , ³å³ ÏáñÝ áõÝÇ ÙÇ Ø³ëݳíáñ³å»ë, »ñμ a21 a22 Ï»ÝïñáÝ: ²Û¹åÇëÇ Ïáñ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ»ñ: Øݳó³Í Ïáñ»ñÇ Ñ³Ù³ñ 0 , ¨ ¹ñ³Ýù ÏáãíáõÙ »Ý å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñ: ²ÛÅÙ ³í³ñï»Ýù ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÇ ¨ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ` í»ñÁ μ»ñí³Í ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ³å³óáõóáõÙÁ£ ºàðºØ 2: ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ÝïñáÝ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ ¿: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù M 0 ( x0 ; y0 ) -Ý F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2a1 x 2 a2 y a0 0 ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝ ¿: γï³ñ»Ýù Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ` áñå»ë Ýáñª OX Y ѳٳϳñ·Ç ëϽμݳϻï ÁÝïñ»Éáí M 0 -Ý: Àëï Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ-
·»ñÇ
Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý
μ³Ý³Ó¨»ñÇ`
áõÝ»Ýù
x x x0 ,
y y y0 : л勉μ³ñ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ýáñ ѳٳϳñ·áõÙ å³ñ½»óáõÙÝ»ñÇó Ñ»ïá ÁݹáõÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ. F ( x , y ) F ( x x0 , y y0 ) a11 x2 2 a12 xy a22 y 2 2( a11 x0 a12 y0 a1 ) x 2( a21 x0 a22 y0 a2 ) y a11 x0 2 2 a12 x0 y0 a22 y0 2 2 a1 x0 2 a2 y0 a0 0 :
ø³ÝÇ áñ M 0 -Ý ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝ ¿, ³Ûëï»ÕÇó, ѳٳӳÛÝ ¥36¤-Ç, ëï³ÝáõÙ »Ýù (37) F ( x, y ) a11 x2 2 a12 xy a22 y 2 a0 0 , áñï»Õ Ýß³Ý³Ï»É »Ýù
a0 a11 x0 2 2 a12 x0 y0 a22 y0 2 2 a1 x0 2a2 y0 a0 : ²ÛÅÙ (37) -Çó Ñ»ßï ¿ Ýϳï»É, áñ ó³Ýϳó³Í ( x, y) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» F ( x, y) 0 , ³å³ ݳ¨ F ( x, y) 0 : л勉μ³ñ Ýáñ ѳٳϳñ·Ç (0; 0) ëϽμݳϻïÁ, ³ÛëÇÝùÝ` M 0 Ï»ïÁ,
ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ ¿: □ Üϳï»Ýù, áñ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ½áõï »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ¿, ¨ ѻ勉μ³ñ ³ÛÝ ³ÝÏ³Ë ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó: àõëïÇ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ·ïÝ»ÉÇë ϳñ»ÉÇ ¿ û·ïí»É ó³Ýϳó³Í ѳñÙ³ñ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó: x2 y2 2 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñï»Õ úñÇÝ³Ï 1: a2 b 1 , ÇëÏ 1 ϳ٠0 , Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ ¿ÉÇåëÝ»ñÁ, ÑÇå»ñμáÉÁ, ѳïíáÕ Çñ³Ï³Ý ¨ ѳïíáÕ Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ: ²Ûë Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ (36) 1 a 2 x 0 y 0 ѳٳϳñ·Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï»ëùÁ, áñï»ÕÇó 0 x 1 y 0 b2 x y 0 : л勉μ³ñ í»ñÁ Ãí³ñÏí³Í Ïáñ»ñÁ ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ»ñ »Ý, ÇëÏ ÇÝùÁ` Ï»ÝïñáÝÁ, ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëϽμݳϻïÝ ¿: úñÇÝ³Ï 2: ØÛáõëª å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÇó Çñ³Ï³Ý ϳ٠ϻÕÍ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ »Ý y 2 c 0 ÙdzóÛ³É Ñ³í³ë³ñáõÙáí: Üñ³Ýù μáÉáñÝ ¿É áõÝ»Ý ³ÝÃÇí Ï»ÝïñáÝÝ»ñ, áñáÝù ϳ½ÙáõÙ »Ý ÙÇ ³ÙμáÕç áõÕÇÕ: Æñáù, ³Ûë Ïáñ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ 0 x 0 y 0 (36) ѳٳϳñ·Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï»ëùÁ, áñÇ Éáõ0 x 1 y 0 ÍáõÙÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý y 0 áõÕÇÕÁ:
úñÇÝ³Ï 3: òáõÛó ï³Ýù, áñ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÇó í»ñçÇÝÁ, ³ÛÝ ¿ª å³ñ³μáÉÁ, ÙÇ³Ï »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÝ ¿, áñÁ Ï»ÝïñáÝ ãáõÝÇ: Æñáù, y 2 2 px 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ 0 x 0 y p 0 ¥36¤-Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï»ëùÁ, áñÝ ÇѳñÏ» ³Ý0 x 1 y 0 ѳٳï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿:
¢ 35. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ îð²Ø²¶ÌºðÀ ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÇ áõëáõÙݳëÇñÙ³Ý ¨ áñáÝÙ³Ý ËݹÇñÁ ÉáõÍíáõÙ ¿ ÏáñÇ ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³ëϳóáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí, áñÇ Ý»ñÙáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÑÇÙù ¿ ͳé³ÛáõÙ ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, Áëï áñǪ ³ÛÝ ÙÇÙÛ³Ýó ½áõ·³Ñ»é μáÉáñ ɳñ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÝ ¿: ºÃ» F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2a1 x 2 a2 y a0 0 »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ; -Ý ë¨»é³Í áñ¨¿ áã ³ëÇÙåïá-
ï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ³Û¹ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³Ñ»é μáÉáñ ɳñ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáñÇ ïíÛ³É áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÇÍ: γ½Ù»Ýù ÏáñÇ ïñí³Í áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý x x0 t , y y0 t áõÕÕÇ ¨ ÏáñÇ Ñ³ïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í ɳñÇ Ñ³Ù³ñ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÁ ÙÇçÝ³Ï»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ B F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 : л勉μ³ñ 먻é³Í ; áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³Ñ»é μáÉáñ ɳñ»ñÇ ÙÇçݳϻ-
ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ïñíáõÙ ¿ F1 ( x, y) F2 ( x, y) 0 , ³ÛëÇÝùݪ (a11 x a12 y a1 ) (a21 x a22 y a2 ) 0 ѳí³ë³ñáõÙáí, áñÁ í»ñ³ËÙμ³íáñ»Éáíª Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É (a11 a12 ) x (a21 a22 ) y a1 a2 0 (38) ï»ëùáí: òáõÛó ï³Ýù, áñ ÏáñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ áõÕÇÕ ¿: ¸ñ³ ѳٳñ ѳÙá½í»Ýù, áñ (38) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛÇó: ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁª a11 a12 0, a21 a22 0 :
êñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí -áí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª -áí ¨ ëï³óí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·áõÙ³ñ»Éáíª Ïëï³Ý³Ýù a11 2 2a12 a22 2 0 , áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ ( , ) 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ: îñ³Ù³·ÍÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 1. îíÛ³É ÏáñÇ ó³Ýϳó³Í ïñ³Ù³·ÇÍ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ýñ³ μáÉáñ Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí: 2. ¼áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ý áõÝÇ ÙÇ ïñ³Ù³·ÇÍ, ¨ ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ áõÕÕÇ Ñ»ï: 3. y 2 2 px å³ñ³μáÉÇ ïñ³Ù³·Í»ñÁ OX ³é³ÝóùÁ ¨ Ýñ³Ý ½áõ·³Ñ»é μáÉáñ áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý: Æñáù, (38) ѳí³ë³ñáõÙÝ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ y p 0 ï»ëù, áñï»Õ 0 ßÝáñÑÇí ( , ) 0 å³ÛÙ³ÝÇ: ÊݹÇñ: ÐÇÙÝí»Éáí ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³ª ³å³óáõó»É, áñ å³ñ³μáÉÁ Ï»ÝïñáÝ ãáõÝÇ£ ²ÛÅÙ Ýϳñ³·ñ»Ýù ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ»ñÇ ïñ³Ù³·Í»ñÁ£ ºàðºØ£ ØdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ μáÉáñ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕÝ»ñÁ, ¨ ÙdzÛÝ ¹ñ³Ýù, ³Û¹ ÏáñÇ ïñ³Ù³·Í»ñÝ »Ý: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ, ³ÛëÇÝùݪ a11a22 a122 0 ¨ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïÁ Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÝ ¿ª
a11 x0 a12 y0 a1 0, a21 x0 a22 y0 a2 0 : λÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ ó³Ýϳó³Í áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõ٠ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É m( x x0 ) n( y y0 ) 0 , ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª mx ny mx0 ny0 0
(39)
ï»ëùáí: ¸Çóáõù ³Û¹ áõÕÕÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùݪ (n, m) 0 : àñå»ë½Ç (39) ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñÇ ÏáñÇ ïñ³Ù³·ÇÍ, ³ÛëÇÝùݪ Ý»ñϳ۳óíÇ (38) ï»ëùáí, μ³í³Ï³Ý ¿, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ ³ÛÝåÇëÇ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý
;
áõÕÕáõ-
ÃÛáõÝ, áñ m a11 a12 , n a21 a22 , mx0 ny0 a1 a2 : Üϳï»Ýù, áñ a11a22 a122 0 å³ÛÙ³ÝÇ ßÝáñÑÇí ³é³çÇÝ »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó -Ý ¨ -Ý áñáßíáõÙ »Ý ÙdzñÅ»ùáñ»Ý: êïáõ·»Ýù »ññáñ¹ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ óáõÛó ï³Ýù, áñ ·ïÝí³Í ; áõÕÕáõÃÛáõÝÁ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿: àõÝ»Ýù mx0 ny0 (a11 a12 ) x0 (a21 a22 ) y0
(a11 x0 a21 y0 ) (a12 x0 a22 y0 ) (a1 a2 ) : ²ÛÅ٠ѳÙá½í»Ýù, áñ ( , ) 0 : ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁª m (a11 a12 ) ( , ) 0 : ²Û¹ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Çó n (a21 a22 ) ëï³ÝáõÙ »Ýù m n (a11 a12 ) (a21 a22 ) ( a11 2 2 a12 a22 2 ) ( , ) 0 : л勉μ³ñª : n : (m) : ÆëÏ ë³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ
n; m || ; ,
³ÛëÇÝùݪ (39) áõÕÕÇ
n; m
áõÕÕáõÃÛáõÝÁ
ÝáõÛÝå»ë ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ¿, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ å³ÛÙ³ÝÇÝ: »áñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÝ ³í³ñï»Éáõ ѳٳñ ÙÝáõÙ ¿ ѳÙá½í»É, áñ ÙdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É ïñ³Ù³·ÇÍ: ¾ÉÇåëÇ, Ï»ÕÍ ¿ÉÇåëÇ ¨ ѳïíáÕ Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç ¹»åùáõÙ ¹³ ³ÏÝѳÛï ¿, ù³ÝÇ áñ Ýñ³Ýù ãáõÝ»Ý ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ:
x2 y 2 x2 y 2 ¸Çï³ñÏ»Ýù 2 2 1 ÑÇå»ñμáÉÁ ¨ 2 2 0 ѳïíáÕ a b a b Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Á: ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý áõÕÇÕÝ»ñÁ bx ay 0 áõÕÇÕÝ»ñÝ »Ý: ÆëÏ ïñ³Ù³·ÍÇ (37) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x 2 y 0 ï»ëùÁ: òáõÛó ï³Ýù, ûñÇݳÏ, áñ bx ay 0 a b áõÕÇÕÁ ïñ³Ù³·ÇÍ ã¿: ºÝó¹ñ»Éáí ѳϳé³ÏÁª ïñ³Ù³·ÍÇ ¨ bx ay 0 áõÕÕÇ Ñ³ÙÁÝÏÝ»ÉÇáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù : a : b , ѻ勉μ³ñ a; b || ; : êï³óí»ó, áñ
; -Ý ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý í»Ïïáñ ¿: ÆëÏ ë³ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñ³Ù³·ÍÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ: ØÛáõëª bx ay 0 áõÕÕÇ ¹»åùÁ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ Ï»ñå: □ àñå»ë ûáñ»ÙÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõݪ ÁÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ÉáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ: ÊݹÇñ: гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ·Íí³Í ¿ ¿ÉÇåë, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ ãÇ Ýßí³Í: γñÏÇÝÇ ¨ ù³ÝáÝÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ϳéáõó»É ¥·ïݻɤ ³Û¹ ¿ÉÇåëÇ Ï»ÝïñáÝÁ:
¢ 36. öàʲ¸²ðÒ²´²ð вزÈàôÌ àôÔÔàôÂÚàôÜܺð, öàʲ¸²ðÒ²´²ð вزÈàôÌ îð²Ø²¶Ìºð ¸Çï³ñÏ»Ýù ÏáñÇ ; áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÇÍÁª (a11 a12 ) x (a21 a22 ) y a1 a2 0 ,
¨ Ýñ³ ѳٳñ áñå»ë áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ í»ñóÝ»Ýù ; -Á, áñï»Õ
a21 a22 , (a11 a12 ) :
ºÃ» ³Ûë ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Ýù
-áí, »ñÏñáñ¹Áª ( ) -áí ¨ ·áõÙ³ñ»Ýù ÙÇÙÛ³Ýó, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù
a11 a12 ( ) a22 0
(40)
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëÇÝùݪ ÏáñÇ ; áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ¨ Ýñ³ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (40) ѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: ²Ûë ÷³ëïÁ ÑÇÙù ¿ ͳé³ÛáõÙ Ñ»ï¨Û³É ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: îíÛ³É OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ »ñÏáõ ; ¨ ; áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ïíÛ³É »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ (40) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ïáé»Ïï ¿: ²ÛëÇÝùݪ »Ã» ; ¨ ; »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (40) å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ k ; , k 0 ¨ l ; , l 0 í»ÏïáñÝ»ñÁ ¨ë μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (40) å³ÛÙ³ÝÇÝ: Üϳï»Ýù ݳ¨, áñ »Ã» áñ¨¿ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ; ¨ ; áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýù ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ »Ý ݳ¨ ó³Ýϳó³Í ³Ûɪ OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£
²Ûëï»Õ Ù»Ýù ã»Ýù μ»ñÇ ³Û¹ ÷³ëïÇ áõÕÕ³ÏÇ ³å³óáõÛó£ Üß»Ýù ÙdzÛÝ, áñ ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ áõÕÕ³ÏÇ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ëïáñ¨ ïñí³Í ûáñ»Ù 3-Çó, áñáõÙ »ñÏáõ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ¹ñë¨áñíáõÙ ¿ áñå»ë ½áõï »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ѳïÏáõÃÛáõÝ ¨ ѻ勉μ³ñ ³ÝÏ³Ë ¿ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó£ ø³ÝÇ áñ (40) -Ç ï»ëùÁ ѳٳã³÷ ¿ Ýñ³ÝáõÙ , ¨ , Ãí³½áõÛ·»ñÇ Ù³ëݳÏóáõÃÛ³Ý ï»ë³Ï»ïÇó, ³å³ ÝϳïÇ áõݻݳÉáí »ñÏáõ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍáõÃÛáõÝÁª Ñ³×³Ë å³ñ½³å»ë ϳë»Ýù, áñ ïíÛ³É áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ¥ó³Ýϳó³ÍÁ¤ ѳٳÉáõÍ ¿ ÙÛáõë áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í ; áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ Ñ³Ù³ÉáõÍ ¿ Çñ»Ýáí áñáßíáÕ ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: ÆÝùÝ Çñ»Ý ѳٳÉáõÍ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÇÝùݳѳٳÉáõÍ áõÕÕáõÃÛáõÝ: ì»ñóÝ»Éáí ¨ ª (40) -Çó ëï³ÝáõÙ »Ýù a11 2 2a12 a22 2 0 : ²ÛëÇÝùݪ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÇÝùݳѳٳÉáõÍ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³ÛÝ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛÅÙ ïñí³Í ; áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»Ýù Ýñ³Ý ѳٳÉáõÍ μáÉáñ
;
áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí
¥40¤-Á Ý»ñϳ۳óÝ»Ýù (a11 a12 ) (a21 a22 ) 0 (41) ï»ëùáí: ²ÛÝ Ù³ëݳíáñ ¹»åùáõÙ, »ñμ a11 a12 0 (42) , a21 a22 0 ; áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ: ÆëÏ
(41) -Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ` ó³Ýϳó³Í áõÕÕáõÃÛáõÝ Ñ³Ù³ÉáõÍ ¿ ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ:
ºÃ» ; áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳïáõÏ ã¿, ³ÛëÇÝùÝ` a11 a12 ¨ a21 a22 Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ³å³ : (a21 a22 ) : (a11 a12 ) ѳñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ,
;
ѻ勉μ³ñ
ݳ¨
; -ÇÝ
ѳٳÉáõÍ
áõÕÕáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙdzñÅ»ùáñ»Ý:
ºàðºØ 1: гïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙdzÛÝ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ` ¹³ Ýñ³Ýó ¥ÙdzϤ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ ¿: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ; 0; 0 í»ÏïáñÁ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ÏáñÇ Ñ³ïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ£ ²å³ (42) ѳٳϳñ·Çó Ñ»a11 a12 0 : ²ÛëÇÝùÝ` ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ ï¨áõÙ ¿, áñ a21 a22 ϳñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É ÙdzÛÝ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (42) -Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ -áí ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` -áí ¨ ·áõÙ³ñ»Éáí ÙÇÙÛ³Ýó, ëï³ÝáõÙ »Ýù a11 2 2a12 a22 2 0 : ²ÛëÇÝùÝ` ³Ù»Ý ÙÇ Ñ³ïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿: ØÝáõÙ ¿ óáõÛó ï³É, áñ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý ÏáñÇ ÙÇ³Ï ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿: Æñáù, ù³ÝÇ áñ a11 x a12 y 0 å³ñ³μáÉ³Ï³Ý ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ 0 , áõëïÇ a21 x a22 y 0 ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ( x, y ) ÉáõÍáõÙ: ²Ûëï»ÕÇó` x(a11 x a12 y) y(a21 x a22 y) 0 , ѻ勉μ³ñª a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 0 :
²ÛëÇÝùÝ` x; y ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ¿: □ »áñ»Ù 1-Çó áñå»ë ѻ勉Ýù ëï³ÝáõÙ »Ýù.
ºàðºØ 2: ØdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ ¹»åùáõÙ ó³Ýϳó³Í áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ÉáõÍÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý: Àݹ áñáõÙ` ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ÉáõÍÁ Ñ»Ýó ÇÝùÝ ¿, ÇëÏ áã ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ÉáõÍÇ Ñ³Ù³ÉáõÍÁ ëϽμÝ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ ¿: ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ØdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ »ñÏáõ ïñ³Ù³·Í»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñ, »Ã» Ýñ³Ýó áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ »Ý: ²Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ Ã»áñ»Ù 2-Çó Ý³Ë Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í ÙdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÝÃÇí ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùμ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÇ ½áõÛ·»ñ: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó` ºàðºØ 3: ØdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏÇëáõÙ ¿ ÙÛáõëÇÝ ½áõ·³Ñ»é ɳñ»ñÁ: ´»ñ»Ýù ûáñ»Ù 3-Ç ÏÇñ³éáõÃÛ³Ý ÙÇ ûñÇÝ³Ï ËݹñÇ ï»ëùáí: ÊݹÇñ: ²å³óáõó»É, áñ ¿ÉÇåëÇÝ Ý»ñ·Í³Í ó³Ýϳó³Í ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ Ï»ÝïñáÝáõÙ:
¢ 37. ÎàðÆ îð²Ø²¶ÌÆ ºì ²Ú¸ îð²Ø²¶ÌÆ Ì²Úð²Îºîàì î²ðì²Ì ÞàÞ²öàÔÆ àôÔÔàôÂÚàôÜܺðÆ Ð²Ø²ÈàôÌàôÂÚàôÜÀ ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ. ÇÝãå»±ë ϳñ»ÉÇ ¿ ϳñÏÇÝÇ ¨ ù³ÝáÝÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ¿ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ Ï³Ù å³ñ³μáÉÇ áñ¨¿ Ï»ïáí ï³Ý»É ÏáñÇÝ ßáß³÷áÕ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³ÉÁ: ºàðºØ: ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ãïñáÑíáÕ ÏáñÇ áñ¨¿ Ï»ïáí ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳٳÉáõÍ ¿ ³Û¹ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ¥ï»°ë Ýϳñ 44-Á¤:
Üϳñ 44 ²å³óáõóáõÙ: ¶ñ»Ýù ÏáñÇ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí ï³ñí³Í ßá-
ß³÷áÕÇ ¨ ³Û¹ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áñ¨¿ ; áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ` ( x x0 ) F1 ( x0 , y0 ) ( y y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 ,
F1 ( x, y) F2 ( x, y) 0 : ø³ÝÇ áñ ïñ³Ù³·ÇÍÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ M 0 ( x0 ; y0 ) Ï»ïáí, áõëïÇ F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
F2 ( x0 , y0 ) : F1 ( x0 , y0 ) ||{ ; } :
ØÛáõë ÏáÕÙÇóª ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ·Çï»Ýù, áñ F2 ( x0 , y0 ); F1 ( x0 , y0 ) í»ÏïáñÁ ßáß³÷áÕÇ áõÕÕáñ¹ í»Ïïáñ ¿:
²ÛëåÇëáíª ßáß³÷áÕÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ; áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï: □ àñå»ë ûáñ»ÙÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõݪ óáõÛó ï³Ýù, û ÇÝãå»ë ϳñÏÇÝÇ ¨ ù³ÝáÝÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ϳñ»ÉÇ ¿ ¿ÉÇåëÇÝ ï³Ý»É ïñí³Í a áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³Ñ»é ßáß³÷áÕ áõÕÇÕ ¥ï»°ë Ýϳñ 45-Á¤:
Üϳñ 45 Ü³Ë ï³Ý»Ýù ¿ÉÇåëÇ ïñí³Í áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³Ñ»é áñ¨¿ »ñÏáõª M1M 2 ¨ M 3 M 4 ɳñ»ñ ¨ ·ïÝ»Ýù ³Û¹ ɳñ»ñÇ O1 ¨ O2 ÙÇçݳϻï»ñÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨ ï³Ý»Ýù O1O2 áõÕÇÕÁ ¥ïñ³Ù³·ÇÍÁ¤, áñÁ ¹Çóáõù ¿ÉÇåëÁ ѳïáõÙ ¿ A ¨ B Ï»ï»ñáõÙ: ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá A ¨ B Ï»ï»ñáí ï³Ý»Ýù M1M 2 ɳñÇÝ ½áõ·³Ñ»é 1 ¨
2 áõÕÇÕÝ»ñÁ: ¸ñ³Ýù ¿É, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»ÙÇ, ÏÉÇÝ»Ý áñáÝ»ÉÇ
ßáß³÷áÕÝ»ñÁ: àñå»ë ûáñ»ÙÇ Ù»Ï ³ÛÉ ÏÇñ³éáõÃÛáõݪ ÁÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ÉáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ: ÊݹÇñ: ¾ÉÇåëÇÝ ³ñï³·Íí³Í ¿ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ, áñÇ AB , BC , CD , DA ÏáÕÙ»ñÁ ¿ÉÇåëÇÝ ßáß³÷áõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ P , Q , R , S Ï»ï»ñáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ PR ¨ QS ɳñ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ Ï»ÝïñáÝáõÙ:
¢ 38. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ Î²ÜàÜ²Î²Ü Ð²ì²ê²ðàôØܺðÀ ºì Üð²Üò öàʲ¸²ðÒ²´²ð вزÈàôÌ îð²Ø²¶ÌºðÀ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ¿ÉÇåëÇ, ÑÇå»ñμáÉÇ ¨ å³ñ³μáÉÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, áñáÝó ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ Ïáñ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ áõÝ»Ý å³ñ½³·áõÛÝ ï»ëù»ñª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ x2 y 2 x2 y 2 1 ¨ y 2 2 px : , a 2 b2 a 2 b2 Üϳï»Ýù, áñ ³Û¹ ѳٳϳñ·»ñáõÙ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý ¨ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ μ³óÇ Ýßí³Í Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇóª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÉ ¥áã áõÕÕ³ÝÏÛáõݤ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, áñáÝó ÝϳïÙ³Ùμ Ýßí³Í Ïáñ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý Ýßí³Í ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí: Àݹ áñáõÙª Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹³ñÓÛ³É ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ »Ý: ²ÛÅÙ Ýϳñ³·ñ»Ýù μáÉáñ ³Û¹åÇëÇ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ: ¸Çóáõù áõÝ»Ýù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ, áñÝ ÇÝã-áñ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ïñí³Í ¿ (29) ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñáõÙáíª a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a1 x 2a2 y a0 0 : γ½Ù»Ýù ÏáñÇ ³ÛÝ ïñ³Ù³·Í»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñáÝù ѳٳÉáõÍ »Ý OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: (a11 a12 ) x (a12 a22 ) y a1 a2 0 îñ³Ù³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç
1; 0
; -Ç
÷á˳ñ»Ý Ñ»ñÃáí í»ñóÝ»Éáí
¨ 0; 1 , ³ÛëÇÝùݪ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ a11 x a12 y a1 0 ¨
a12 x a22 y a2 0 áõÕÇÕÝ»ñÁ: ¸Çóáõù OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ݳ˳å»ë ÁÝïñí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ OY ³é³ÝóùÝ áõÝÇ ÏáñÇ ÝϳïÙ³Ùμ áã
³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ, ÇëÏ OX -Ý ³Û¹ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿: ø³ÝÇ áñ ó³Ýϳó³Í 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ áõÝÇ ·áÝ» ÙÇ ïñ³Ù³·ÇÍ, áõëïÇ ³Û¹åÇëÇ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ÙÇßï ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ²Ûë ¹»åùáõÙ OX -Ç Ñ³Ù³ñ áõÝ»ÝáõÙ »Ýù »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙ` y 0 ¨ a12 x a22 y a2 0 : л勉μ³ñ` a22 0 , a12 0 , a2 0 : ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Ýßí³Í Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ÏáñÇ (29) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëù` (43) a11 x 2 a22 y 2 2 a1 x a0 0 : Þ³ñáõݳϻÝùª ¹Çï³ñÏ»Éáí »ñÏáõ ¹»åù. 1¤ ¸Çóáõù ÏáñÁ ÙdzϻÝïñáÝ ¿` 0 : ²Ûë ¹»åùáõÙ OY ³é³ÝóùÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ OX ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÍÇÝ: ºÃ» áñå»ë Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëϽμݳϻï í»ñóÝ»Ýù ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÁ, ³å³ OY ³é³ÝóùÁ Ϲ³éݳ OX ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·ÇÍ: ²ÛÅÙ OY -Ç Ñ³Ù³ñ ¨ë áõÝ»Ýù »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙ` x 0 ¨ a11 x a12 y a1 0 , áñï»ÕÇó ¿É ëï³ÝáõÙ »Ýù a11 0 , a12 0 ,
a1 0 : л勉μ³ñ ³Û¹åÇëÇ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÇ (43) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ (44) a11 x 2 a22 y 2 a0 0 ï»ëùÁ: ²ÛëåÇëáíª ³å³óáõó»óÇÝù Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ: ºàðºØ 1: ºÃ» Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëϽμݳϻïÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ÙdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»ï, ÇëÏ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÁ ÏáñÇ ÙÇ ½áõÛ· ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹ ¥³ýÇݳϳݤ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ÙdzϻÝïñáÝ ÏáñÁ ïñíáõÙ ¿ a11 x 2 a22 y 2 a0 0 , a11 0, a22 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: سëݳíáñ³å»ë, »Ã» ÏáñÁ ¿ÉÇåë ¿, ³å³ Ýñ³ (44) ѳí³x2 y 2 ë³ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É 2 2 1 ï»ëùáí, áñï»Õ a1 b1
a1 -Á ¨ b1 -Á ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÇ ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý:
¢ 34-áõÙ ï»ë³Ýù, áñ ÙdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ, Ù³ëݳíáñ³å»ë ¿ÉÇåëÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÝÃÇí ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùμ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÇ ½áõÛ·»ñ: ¸ñ³Ýù ûÅïí³Í »Ý ݳ¨ ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí, áñáÝóÇó »ñÏáõëÁ μ»ñáõÙ »Ýù ëïáñ¨: x2 y2 ºàðºØ ¥²åáÉÉáÝÇ I ûáñ»Ù¤£ ºÃ» a1 -Á ¨ b1 -Á 2 2 1 a b ¿ÉÇåëÇ áñ¨¿ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÇ ÏÇë³é³ÝóùÝ»ñÝ »Ý, ³å³ a12 b12 a 2 b 2 :
x2 y2 ºàðºØ ¥²åáÉÉáÝÇ II ûáñ»Ù¤£ ºÃ» 2 2 1 ¿ÉÇåëÇÝ a b ³ñï³·Í³Í ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ÏÇó ÏáÕÙ»ñÝ áõÝ»Ý ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³å³ ³Û¹åÇëÇ ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 4ab -Ç: ²Ûë ûáñ»ÙÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É ³ÝÙÇç³Ï³Ý ѳßíáõÙÝ»ñáíª û·ïí»Éáí ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ¥²åáÉÉáÝÇ I ûáñ»ÙÇ ¹»åùáõÙ¤, ÇÝãå»ë ݳ¨ ïñ³Ù³·ÍÇ ¨ Ýñ³ ͳÛñ³Ï»ïáí ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ÉáõÍáõÃÛ³Ý ÷³ëïÇó ¥²åáÉÉáÝÇ II ûáñ»ÙÇ ¹»åùáõÙ¤: ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ÇÝùÝáõñáõÛÝ ³å³óáõó»É ³Ûë ûáñ»ÙÝ»ñÁ:
¸ñ³Ýó áõñÇß, ³í»ÉÇ Ï³ñ× ¨ ·»Õ»óÇÏ ³å³óáõÛóÝ»ñ ϳñ»ÉÇ ¿ ï³É ³ýÇÝ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ßñç³Ý³ÏáõÙ, áñÁ ß³ñ³¹ñí»Éáõ ¿ ¹³ëÁÝóóÇ II Ù³ëáõÙ: 2¤ ¸Çóáõù ³ÛÅÙ ÏáñÁ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ ¿ª a11a22 a122 0: ø³ÝÇ áñ a12 0 ¨ a22 0 , ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ a11 0 : àõëïÇ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÁݹáõÝáõÙ ¿ (45) a22 y 2 2 a1 x a0 0 , a22 0 ï»ëùÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñݳñ³íáñ »ñÏáõ »Ýó¹»åù»ñ. ³¤ ºñμ a1 0 : ²Ûë ¹»åùáõÙ (45) ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ
¿
a22 y 2 a0 0 ,
a22 0 ,
ϳÙ
áñ
ÝáõÛÝÝ
¿`
y a0 a22 0 ï»ëùÁ: ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ÏáñÁ ½áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿, ÇëÏ OX ¨ OY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÁ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, ÇÝãå»ë ·Í³·ñáõÙ:
²ÛëåÇëáíª »Ã» ÏáñÁ ½áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿, ³å³ Ýñ³ ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ y 2 a 2 0 ï»ëù ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ, áñï»Õ OX -Á ÏáñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿ ¥Ï»Ýïñáݳ·ÇÍÁ¤, ÇëÏ OY -Áª Ýñ³Ý ѳïáÕ áñ¨¿ áõÕÇÕ: μ¤ ºñμ a1 0 : ²Ûë ¹»åùÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ »Ý ÙÇ ï»ë³ÏÇ Ïáñ»ñª å³ñ³μáÉÝ»ñ: γï³ñ»Éáí Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ
a0 ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁª 2a1 Ýáñ` OX Y ѳٳϳñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ (45) ѳí³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ÏáñÇ a22 y 2 2a1 x 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳ٠Ýñ³Ý a ѳٳñÅ»ù` y2 2 px, p 1 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ: ²Ûë ѳa22 í³ë³ñáõÙÁ ï»ëùáí ÝÙ³Ý ¿ å³ñ³μáÉÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ: лßï ¿ a ѳÙá½í»É, áñ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÇ O 0 ; 0 ëϽμݳϻïÁ 2a1 ·ïÝíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇ íñ³: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇóª OX -Á ÏáñÇ ïñ³Ù³·ÇÍ ¿, ÇëÏ OY ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳٳÉáõÍ ¿ OX -Ç áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: ê³, Áëï ¢ 37-Ç Ã»áñ»ÙÇ, Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ OY -Á ßáß³÷áõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇÝ O Ï»ïáõÙ ¥ï»°ë ·Í³·ÇñÁ¤: ѳٳϳñ·Ç y y, x x
²ÛëåÇëáíª ³å³óáõó»óÇÝù Ñ»ï¨Û³ÉÁ: ºàðºØ 2: ºÃ» Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëϽμݳϻïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇ íñ³, ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ïñ³Ù³·ÇÍ ¿, ÇëÏ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁª ßáß³÷áÕ, ³å³ ³Û¹ ¥³ýÇݳϳݤ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ å³ñ³μáÉÁ ïñíáõÙ ¿ y2 2 px ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ÆÝùÝÇÝ Ñ³ëϳݳÉÇ ¿, áñ ¨° ³¤ ¨° μ¤ »Ýó¹»åù»ñáõÙ ïíÛ³É ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÝÃÇí ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùμª í»ñÁ Ýϳñ³·ñí³Í ïÇå»ñÇ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ:
¢ 39. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ ÜàôÚܲβܲòØ²Ü ä²ÚزÜÀ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñª A1 x B1 y C1 0 ¨ A2 x B2 y C2 0 , áñáßáõÙ »Ý ÝáõÛÝ áõÕÇÕÁ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k 0 ÃÇí, áñ A1 kA2 , B1 kB2 , C1 kC2 , ³ÛëÇÝùݪ A1 : A2 B1 : B2 C1 : C2 : ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¹ñ³ ÝٳݳÏÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿: ºàðºØ£ îíÛ³É OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ »ñÏáõ` F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 (46) ¨ (47) G ( x, y ) b11 x 2 2b12 xy b22 y 2 2b1 x 2b2 y b0 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ áñáßáõÙ »Ý ÝáõÛÝ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ F ( x , y ) k G ( x, y ) : ²ÛëÇÝùݪ »ñÏáõª (46) ¨ (47) Ïáñ»ñ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a11 : b11 a12 : b12 a22 : b22 a1 : b1 a2 : b2 a0 : b0 : ØÇÝã ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ Ý³Ë Ó¨³Ï»ñå»Ýù ¨ ³å³óáõó»Ýù É»ÙÙ³: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ù»Ï ³Ûɪ OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·: Îáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý x c11 x c12 y c1 , y c21 x c2 2 y c1 μ³Ý³Ó¨»ñÇó ï»Õ³¹ñ»Éáí x -Ç ¨ y -Ç ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (46) ¨ (47) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ù»çª å³ñ½»óáõÙÝ»ñÇó Ñ»ïá Ïëï³Ý³Ýù ÏáñÇ »ñÏáõª F ( x, y ) F (c11 x c12 y c1 , c21 x c2 2 y c1 ) x2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1x 2 a2 y a0 0 (48) a11
¨ G ( x, y ) G (c11 x c12 y c1 , c21 x c2 2 y c1 ) y 2 2b1x 2b2 y b0 0 (49) b11 x2 2b12 xy b22 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ OX Y ѳٳϳñ·áõÙ: È»ÙÙ³£ ºÃ» F ( x, y ) ¨ G ( x, y ) μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï³ñμ»ñíáõÙ »Ý ÙdzÛÝ Ãí³ÛÇÝ μ³½Ù³å³ïÏãáíª F ( x, y ) k G ( x, y ) , ³å³ F ( x, y) ¨ G( x, y) μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ë ï³ñμ»ñíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ Ãí³ÛÇÝ μ³½Ù³å³ïÏãáíª F ( x, y) k G( x, y) : Æñáù, Ýϳï»Ýù, áñ (48) ¨ (49) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáõÙ ai j , ai
¨ bi j , bi ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ (46) ¨ (47) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ai j , ai ¨ bi j , bi ·áñͳÏÇóÝ»ñáíª áñå»ë ³é³çÇÝ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ù³ë»é μ³½Ù³Ý¹³Ù2 a11 c112 a11 2c11c21 a12 c21 a22 Ý»ñ: úñÇݳϪ ¨ b11 c112 b11 2c11c21 b12 c21 b22 :
ù³ÝÇ áñ a11 kb11 , a12 kb12 , a2 2 kb2 2 , ëï³ÝáõÙ »Ýù a11 kb11 : ÜÙ³Ý Ó¨áí ëï³óíáõÙ »Ý Ùݳó³Í μáÉáñª ai j kbi j , ai kbi ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛÅ٠ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ³ÛÇ, μ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ ó³Ýϳó³Í 2-ñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ F ( x, y) ¨ G( x, y) μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï³ñμ»ñíáõÙ »Ý Ãí³ÛÇÝ μ³½Ù³å³ïÏãáí: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí ¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ¹»åù. 1. ÎáñÁ ÙdzϻÝïñáÝ ¿, ³ÛëÇÝùݪ ¿ÉÇåë ¿, ÑÇå»ñμáÉ Ï³Ù Ñ³ïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù ¥ï»°ë ¢ 36-Ç Ã»áñ»Ù 1-Á¤, ³Ûë ¹»åùáõÙ ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¥áã ÙdzϤ OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ O ëϽμݳϻïÁ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿, ÇëÏ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÁ ÏáñÇ ÙÇ ½áõÛ· ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ ïñ³Ù³·Í»ñ »Ý: àñ¨¿ ³Û¹åÇëÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ¥ï»°ë ¢ 38¤
²Ûëï»ÕÇó,
ÏáñÇ (46) ¨ (47) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ áõÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ y2 a0 0, a11 0, a22 0 ¨ b11 x2 b22 y 2 ݳμ³ñ a11 x2 a22 b0 0 , b11 0, b2 2 0 ï»ëù»ñ: ä³ñ½ ¿, áñ »Ã» a0 0 , ³å³ ¨ b0 0 : ÎáñÇ, Çñ³Ï³Ý ϳ٠ϻÕÍ, ѳïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ OX ¨ OY ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï áñáßa a íáõÙ »Ý ÇÝãå»ë y2 0 , x2 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó, a22 a11
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¸Çï³ñÏ»Éáí ÏáñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ OY ³é³ÝóùÇ Ñ»ïª x 0 x 0 a ¨ 2 b ѳٳñÅ»ù ѳٳϳñëï³ÝáõÙ »Ýù 2 y 0 y 0 a22 b22 ·»ñÁ, áñï»ÕÇó a2 2 : b2 2 a0 : b0 : μ¤ ä³ñ³μáÉÇ ¹»åùáõÙ (46) ¨ (47) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ y2 2a1x 0, a22 0, a1 0 , áõÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ a22
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¢ 40. ¶Ì²ÚÆÜ Ð²Ø²êºè вì²ê²ðàôØܺðÆ Ð²Ø²Î²ð¶ºð êïáñ¨ Ù»Ýù ϳå³óáõó»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñ, áñáÝù Ù»½ å»ïù »Ý ·³Éáõ ѳçáñ¹ª ¢ 41-áõÙ£ ¸Çóáõù áõÝ»Ýù n ³ÝѳÛïáí m ù³Ý³ÏÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ª c11 x1 c12 x2 ... c1n xn b1 c21 x1 c2 2 x2 ... c2 n xn b2 £ cm1 x1 cm 2 x2 ... cm n xn bm гٳϳñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ѳٳï»Õ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ ·áÝ» ÙÇ ÉáõÍáõÙ, ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýѳٳï»Õ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ гí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ »ñÏáõ ѳٳϳñ·»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù, »Ã» Ýñ³Ýù ѳٳï»Õ»ÉÇ »Ý ¨ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, ϳ٠»ñÏáõëÝ ¿É ³Ýѳٳï»Õ»ÉÇ »Ý£ лï¨Û³É »ñ»ù Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÃáõÛÉ »Ý ï³ÉÇë ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ³ÝóÝ»É Çñ»Ý ѳٳñÅ»ù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇ ³ÛÉ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç£ ¸ñ³Ýù »Ýª 1. гٳϳñ·Ç áñ¨¿ »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ Çñ»Ýó ï»Õ»ñáí£ 2. гٳϳñ·Ç áñ¨¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù μ³½Ù³å³ïÏáõÙ 0 -Çó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ Ãíáí£ 3. гٳϳñ·Ç áñ¨¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áõÙ³ñáõ٠ѳٳϳñ·Ç Ù»Ï ³ÛÉ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁª å³Ñå³Ý»Éáí ÙÛáõë μáÉáñ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ºÃ» ѳٳϳñ·áõÙ b1 b2 ... bm 0 , ³å³ ³Û¹åÇëÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ѳٳë»é ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·£ ²ÛëåÇëáíª Ñ³Ù³ë»é ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ï»ëùÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿ª
c11 x1 c12 x2 ... c1n xn 0 c21 x1 c2 2 x2 ... c2 n xn 0 : cm1 x1 cm 2 x2 ... cm n xn 0
(50)
²Ûë ѳٳϳñ·Á ÙÇßï ѳٳï»Õ»ÉÇ ¿, ù³ÝÇ áñ áõÝÇ, ûñÇݳÏ, x1 x2 ... xn 0 ¥½ñá۳ϳݤ ÉáõÍáõÙ£ ºÃ» ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç c11 c12 ... c1m 0 , ³å³ (50) -Á ѳٳñÅ»ù ¿ c21 x1 c22 x2 ... c2 n xn 0 cm1 x1 cm 2 x2 ... cm n xn 0 ѳٳϳñ·ÇÝ, áñï»Õ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ݳËÏÇÝÇ Ñ³Ù»Ù³ï Ù»Ïáí å³Ï³ë ¿£ ÆëÏ »Ã», ûñÇݳÏ, c11 0 , ³å³ ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ѳçáñ¹³μ³ñ
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(52)
ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ËݹñÇÝ, áñï»Õ (50) -Ç Ñ³Ù»Ù³ï û° ³ÝѳÛïÝ»ñÇ, û° ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ù»Ïáí å³Ï³ë ¿£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ºÃ» (50) ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç c11 c12 ... c1k 1 0 ¨ c1k 0 , ³å³ xk ³ÝѳÛïáí Ùdzݹ³ÙÝ»ñÁ, ï»Õ³÷áË»Éáí ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ëÏǽμ, Ïëï³Ý³Ýù ³Û¹ ÝáõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ýáñª c1k xk c11 x1 c12 x2 ... c1k 1 xk 1 c1k 1 xk 1 ... c2 n xn 0 c2 k xk c21 x1 c2 2 x2 ... c2 k 1 xk 1 c2 k 1 xk 1 ... c2 n xn 0 c x c x c x ... c x c x ... c x 0 m k 1 k 1 m k 1 k 1 mn n m k k m1 1 m 2 2 ï»ëù£ л勉μ³ñ ³Ûë ¹»åùáõÙ ¨ë ϳñáÕ »Ýù ϳï³ñ»É í»ñÁ μ»ñí³Í Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁª 2-ñ¹, 3-ñ¹, … , m -ñ¹ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáõÙ ³ñï³ùë»Éáí xk ³ÝѳÛïÁ£ êïáñ¨ ûáñ»ÙÝ»ñÇ ³å³óáõÛóÝ»ñáõÙ Ù»Ýù ³Ù»Ý ³Ý·³Ù Éé»ÉÛ³ÛÝ Ç ÝϳïÇ ÏáõݻݳÝù í»ñáÑÇßÛ³É Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁª ѳٳå³ï³ëË³Ý ï»Õ»ñáõÙ ¹Çï³ñÏ»Éáí ÙdzÛÝ c11 0 ¹»åùÁ£ ²ÛÅÙ Ý»ñÙáõÍ»Ýù ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ£ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºÃ» m 1 , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ (50) ѳٳϳñ·Ç áñ¨¿ ѳí³ë³ñáõÙ ·Íáñ»Ý ϳËÛ³É ¿ ѳٳϳñ·Ç ÙÛáõë ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó, »Ã» ³ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ëï³óí»É ÙÛáõëÝ»ñÇóª í»ñçÇÝÝ»ñë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñáß Ãí»ñáí ¨ ·áõÙ³ñ»Éáí ÙÇÙÛ³Ýó£ ²Ûë ¹»åùáõÙ ÇÝùÁª (50) ѳٳϳñ·Á, ÏáãíáõÙ ¿ ϳËÛ³É Ñ³Ù³Ï³ñ·£ гϳé³Ï ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·£ Ø»Ï Ñ³í³ë³ñáõÙ å³ñáõݳÏáÕ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·, »Ã» ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ½ñá ã¿£
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ºàðºØ 1: ºÃ» ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (50) ѳٳϳñ·áõÙ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³í»ÉÇ ¿ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇó ( n m ) , ³å³ ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ£ ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ÇݹáõÏódzÛÇ »Õ³Ý³Ïáíª Áëï ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇ£ ºñμ m 1 , ³å³ áõÝ»Ýù ÙdzÛÝ ÙÇ Ñ³í³ë³ñáõÙª c11 x1 c12 x2 ... c1n xn 0 , áñï»Õ n 1 £ Àݹ áñáõÙª »Ã» c11 c12 ... c1n 0 , ³å³ ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ, ûñÇݳÏ,
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x2 c11 ,
x3 ... xn 0 áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ£
²ÛÅÙ »Ýó¹ñ»Ýù, áñ ûáñ»ÙÇ åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ m 1 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í μáÉáñ ѳٳϳñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ¨ óáõÛó ï³Ýù, áñ ³ÛÝ ×Çßï ¿ ݳ¨ m ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳٳñ£ ¸Çóáõù (50) -Á ÙÇ ù³ÝÇ m ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í áñ¨¿ ѳٳϳñ· ¿£ ºÃ» ³Û¹ ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç c11 c12 ... c1n 0 , ³å³ ³ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ c21 x1 c22 x2 ... c2 n xn 0 c x c x ... c x 0 mn n m1 1 m 2 2
ѳٳϳñ·ÇÝ, áñáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ m 1 ¿£ àõëïÇ ³ÛÝ, Áëï ÇݹáõÏódzÛÇ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý, áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ£ ÆëÏ »Ã» c11 , c12 ,..., c1n ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, ûñÇݳϪ c11 -Á, ѳí³ë³ñ ã¿ 0-Ç, ³å³ (50) ѳٳϳñ·Á, Áëï É»ÙÙ³ÛÇ, ѳٳñÅ»ù ¿ (51) ѳٳϳñ·ÇÝ£ ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ù³ÝÇ áñ
(52) ѳٳϳñ·áõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ m 1 ¿, ³å³ ³ÛÝ, Áëï ÇݹáõÏódzÛÇ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý, áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï áã ½ñá۳ϳݪ x2 , x3 ,..., xn ÉáõÍáõÙ£ ¸ñ³ ÙÇçáóáí (51) ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ·ïÝ»Éáí ݳ¨ c12 c13 c1n x1 x2 x3 ... xn c11 c11 c11
³ñÅ»ùÁª
ÏáõݻݳÝù
(50)
ѳٳϳñ·Ç
áã
½ñá۳ϳݪ
x1 , x2 ,..., xn ÉáõÍáõÙ£□ ºàðºØ 2: ºÃ» ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (50) ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ¨ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ ÝáõÛÝÝ ¿ ( n m ) , ³å³ ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ÙdzÛÝ ÙǪ x1 x2 ... xn 0 ¥½ñá۳ϳݤ ÉáõÍáõÙ£
²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ÇݹáõÏódzÛÇ »Õ³Ý³Ïáíª Áëï ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇ£ ºñμ n 1 , ³å³ áõÝ»Ýù ÙdzÛÝ ÙÇ Ñ³í³ë³ñáõÙª c11 x1 0, c11 0 , áñï»ÕÇó x1 0 £ ºÝó¹ñ»Ýùª ûáñ»ÙÇ åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ n 1 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í μáÉáñ ѳٳϳñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ¨ óáõÛó ï³Ýù, áñ ³ÛÝ ×Çßï ¿ ݳ¨ n ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳٳñ£ ¸Çóáõù (50) -Á ³Û¹åÇëÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿£ ä³ñ½ ¿, áñ c11 , c12 ,..., c1n ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿, ù³ÝÇ áñ ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ, ÇÝãå»ë Ýßí»ó í»ñ¨áõÙ, ѳٳϳñ·Á ÏÉÇÝÇ Ï³Ë۳ɣ ä³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýùª c11 0 , ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù (51) ¨ (52) ѳٳϳñ·»ñÁ, áñáÝù ëï³óí»É »Ý (50) -Çó í»ñÁ Ýϳñ³·ñí³Í »Õ³Ý³Ïáí, n m ¹»åùáõÙ£ È»ÙÙ³ÛÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (52) ѳٳϳñ·Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿£ ºí ù³ÝÇ áñ ¹ñ³Ýáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ¨ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý n 1 -Ç, áõëïÇ ³ÛÝ, Áëï ÇݹáõÏódzÛÇ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý, áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ïª x2 x3 ... xn 0 ÉáõÍáõÙÁ£ ²ÛÅÙ (51) -Ç
³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ݳ¨, áñ x1 0 £ л勉μ³ñ (50) ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ïª ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ£□ ºàðºØ 3: ºÃ» (50) ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ù»Ïáí ³í»ÉÇ ¿ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇó ( n m 1) , ³å³ ѳٳϳñ·Ç ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý x1, x2 ,..., xn ¨ x1, x2,..., xn ÉáõÍáõÙÝ»ñ ѳٻٳï³Ï³Ý »Ý ÙÇÙÛ³Ýó£ ²ÛëÇÝùݪ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k 0 ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ x1 kx1 , x2 kx2 , ®, xn kxn : ²å³óáõóáõÙÁ ³Ûë ³Ý·³Ù ¿É Ïϳï³ñ»Ýù ÇݹáõÏódzÛÇ »Õ³Ý³Ïáíª Áëï ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ m ù³Ý³ÏÇ£ ºñμ m 1 , ³å³ n 2 , ¨ áõÝ»Ýù ÙdzÛÝ ÙÇ Ñ³í³ë³ñáõÙª c11 x1 c12 x2 0 , áñï»Õ c11 0 ϳ٠c12 0 £ ºÝó¹ñ»Éáí, ûñÇݳÏ, c12 0 , Ïëï³Ý³Ýù, áñ ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x1 c12 , x2 c11 áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ£ ºÃ» x1 , x2 -Á ÝáõÛÝå»ë ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ c11x1 c12 x2 0 £ ²Û-
k 0 ëÇÝùݪ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ c11 x1 : c12 x2 : c11 k £ л勉μ³ñ x1 kx1 , x2 kx2 £ ²ÛÅÙ »Ýó¹ñ»Ýùª ûáñ»ÙÇ åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ m ³ÝѳÛïáí m 1 ³ÝÏ³Ë Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í μáÉáñ ѳٳϳñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù n m 1 ³ÝѳÛïÝ»ñáí m ³ÝÏ³Ë Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í áñ¨¿ (50) ѳٳϳñ·£ ø³ÝÇ áñ c11 , c12 ,..., c1n ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿, ¨ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Éáí c11 0 , ϳñáÕ »Ýù ³ÝóÝ»É (51) ¨ (52) ѳٳϳñ·»ñÇÝ£ гٳӳÛÝ É»ÙÙ³ÛǪ (52) -Á ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿£ Üϳï»Ýù, áñ »Ã» x1 , x2 ,..., xm 1 -Á (50) -Ç áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ x2 ,..., xm 1 Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ï³ñμ»ñ ¿ 0-Çó£ Æñáù, »Ã» x2 x3 ... xm 1 0 , ³å³ x1 0 £ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ (50) -Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ÏÑ»ï¨Ç, áñ c11 0 , ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ Ù»ñ »Ýó¹ñáõÃÛ³ÝÁ£
¸Çóáõù ³ÛÅÙ x1, x2 ,..., xm 1 -Á ¨ x1, x2,..., xm 1 -Á (50) ѳٳϳñ·Ç áñ¨¿ »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý£ гٳӳÛÝ ùÇã ³é³ç ³ëí³ÍǪ x2 ,..., xm 1 -Á ¨ x2,..., xm 1 -Á ÏÉÇÝ»Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ (52) ѳٳϳñ·Ç ѳٳñ£ ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ѳٳϳñ·áõÙ ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ m ¿ ¨ Ù»Ïáí ³í»ÉÇ ¿ ѳٳϳñ·Ç ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇó, áõëïÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÇݹáõÏódzÛÇ »Ýó¹ñáõÃ۳ݪ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k 0 ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ x2 kx2 , ®, xm 1 kxm 1 : гßíÇ ³éÝ»Éáí 볪 (50) ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ݳ¨ k x1 (c12 x2 ... c1m1 xm 1 ) (c12 x2 ... c1m1 xm 1 ) kx1 :□ c11 c11
¢ 41. ºàðºØ ºðÎðàð¸ βð¶Æ Îàð Æ ¶àÚàôÂÚ²Ü ºì ØƲÎàôÂÚ²Ü Ø²êÆÜ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç Ïáñ»ñÇ, ³ÛëÇÝùݪ áõÕÇÕÝ»ñÇ ¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáõÙ ¿ áõÕÇÕ, ¨ ³ÛÝ ÙdzÏÝ ¿: ÜÙ³Ý μÝáõÛÃÇ Ñ³ñ³μ»ñ³ÏóáõÃÛáõÝ Ï»ï»ñÇ ¨ Ïáñ»ñÇ ÙÇç¨ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ºàðºØ£ гñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ÑÇÝ· Ï»ï»ñáí, áñáÝóÇó áã ÙÇ ãáñëÁ ã»Ý ·ïÝíáõÙ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, ³ÝóÝáõÙ ¿ 2-ñ¹
ϳñ·Ç Ïáñ, ¨ ³ÛÝ ÙdzÏÝ ¿:
¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áõÝ»Ýù Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ ÑÇÝ·ª M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ), M 3 ( x3 ; y3 ), M 4 ( x4 ; y4 ), M 5 ( x5 ; y5 ) Ï»ï»ñ, áñáÝóÇó áã ÙÇ ãáñëÁ ã»Ý ·ïÝíáõÙ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³£ ¸ñ³Ýóáí ³ÝóÝáÕ 2-ñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ μ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2-ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a1 x 2a2 y a0 0 (53) h³í³ë³ñáõÙ, áñÇÝ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ: î»Õ³¹ñ»Éáí Ï»ï»ñÇ Ïáñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (53) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù í»ó ³ÝѳÛïáí ÑÇÝ· ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ· a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a0 ³ÝѳÛïÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ x12 a11 2 x1 y1 a12 y12 a22 2 x1 a1 2 y1 a2 a0 0 2 x2 a11 2 x2 y2 a12 y2 a22 2 x2 a1 2 y2 a2 a0 0 : x2 a 2 x y a y 2 a 2 x a 2 y a a 0 5 5 5 11
(54)
Àëï ¢ 40-Ç Ã»áñ»Ù 1-Ǫ ³ÛÝ áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a11 , a12 , a2 2 , a1 , a2 , a0 ÉáõÍáõÙ: ØÝáõÙ ¿ óáõÛó ï³É, áñ a11 , a12 , a2 2 ·áñͳÏÇó-
Ý»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿:
ºÝó¹ñ»Ýùª a11 a12 a2 2 0 : ºÃ» a1 0 ϳ٠¿É a2 0 , ³å³ (53) ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ áõÕÇÕ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ μáÉáñ M 1 , M 2 ,..., M 5 Ï»ï»ñáí, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: ä³ñ½ ¿, áñ ÙÛáõëª a1 a2 0 ¹»åùáõÙ ³ñ¹»Ý a0 0 £ ÆëÏ ¹³ Ñݳñ³íáñ ã¿, ù³ÝÇ áñ (53) -Á Ïå³ïÏ»ñÇ ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ£ êÏë»Éáí ûáñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëǪ ÏáñÇ ÙdzÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõóáõÙÁª Ýϳï»Ýù, áñ μ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É (54) ѳٳϳñ·Ç ³ÝϳËáõÃÛáõÝÁ, ù³ÝÇ áñ ¹ñ³ÝÇó, Áëï ¢ 40-Ç Ã»áñ»Ù 3-Ç, ÏÑ»ï¨Ç, áñ (54) ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÁ ÙdzÏÝ ¿ μ³½Ù³å³ïÏãÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ, áñÇó ¿É ³ñ¹»Ý ÏÑ»ï¨Ç ÏáñÇ ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ£ γï³ñ»Ýù ѳϳëáÕ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù, ûñÇݳÏ, ¥54¤-Ç 5-ñ¹ h³í³ë³ñáõÙÁ ϳËÛ³É ¿ 1-4 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó: ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ M 1 , M 2 , M 3 , M 4 Ï»ï»ñáí, ³ÝóÝáõÙ ¿ ݳ¨ M 5 Ï»ïáí: ¸³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ß³ñáõݳϻÝù »ñÏáõ ¹»åùáí: 1. ºÝó¹ñ»Ýù` M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 Ï»ï»ñÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ ÁÝÏ³Í ã»Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³: ¸Çï³ñÏ»Ýù l1 M 1 M 2 , l2 M 3 M 4 áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Á: ²ÛÝ 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ ¿, áõëïÇ M 5 l1 ϳ٠M 5 l2 : ²ÛÅÙ, ¹Çï³ñÏ»Éáí ݳ¨ l3 M 1 M 3 , l4 M 2 M 4 áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í 2-ñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ, Ïëï³Ý³Ýù M 5 l3 ϳ٠M 5 l4 : γËí³Í M 5 Ï»ïÇ å³ïϳݻÉÇáõÃÛáõÝÇó ³Ûë ϳ٠³ÛÝ áõÕÕÇÝ` ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ãáñë Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ, ûñÇݳÏ` M 5 l1 M2 M1M5 , ³å³ : ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ »Ã» M 5 l3 M3 M1M5 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ÙÛáõë »ñ»ù Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª
M 5 l1 M 5 l2 M 5 l2 , , Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÝáõÛÝå»ë μ»ñáõÙ ¿ M 5 l4 M 5 l3 M 5 l4 ѳϳëáõÃÛ³Ý: 2. ºÝó¹ñ»Ýù, ûñÇݳÏ, M 1 , M 3 , M 4 Ï»ï»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ÙÇ áõÕÕǪ l5 -ÇÝ, ¨ μݳϳݳμ³ñ M 2 l5 , M 5 l5 : ¸Çï³ñÏ»Ýù l6 M 1 M 2 , l7 M 3 M 2 , l8 M 4 M 2 áõÕÇÕÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ M 5 -Á å³ïϳÝáõÙ ¿ (l5 , l6 ) , (l5 , l7 ) , (l5 , l8 ) áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ, áõëïÇ M 5 l6 , l7 , l8 : Ü߳ݳÏáõÙ ¿` M 5 -Á ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ M 2 -Ç Ñ»ï, ÇÝãÁ ѳϳëáõÙ ¿ ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: Üϳï»Ýù, áñ ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝóóùáõÙ Ù»Ýù ¨ë ÙÇ ³Ý·³Ù ëï³ó³Ýù 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÝáõÛݳϳݳóÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ ³ñ¹»Ý ³ÛÉ »Õ³Ý³Ïáí: ´³Ûó »Ã» § 39-áõÙ ³ñï³ÍáõÙÁ ϳï³ñí»ó ëáëÏ 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ßñç³Ý³ÏáõÙ, ³å³ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ û·ï³·áñÍí»ó Éñ³óáõóÇã ·áñÍÇù ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇó:
¢ 42. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðÆ ¶Èʲìàð àôÔÔàôÂÚ²Ü ºì ¶Èʲìàð îð²Ø²¶ÌÆ Ð²êβòàôÂÚàôÜܺðÀ êïáñ¨ ¹Çï³ñÏ»Éáõ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁª ³Ù»Ý ÙÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É Ýñ³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý μáÉáñ ³é³ÝóùÝ»ñÁ: ¸Çóáõù -Á ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù ¿: ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ÏáñÇÝ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í A Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷ A Ï»ïÁ -Ç ÝϳïÙ³Ùμ ÝáõÛÝå»ë å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ ÏáñÇÝ: ²Ûëï»Õ Ñݳñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù: I. ºÃ» AA ɳñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ¿, ³å³ AA áõÕÇÕÝ ÁÝÏ³Í ¿ ÏáñÇ Ï³½ÙÇ Ù»ç, ¨ ѻ勉μ³ñ ÏáñÁ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿ª ïñáÑíáÕ Ïáñ: ø³ÝÇ áñ áõÕÕÇ Ñ³Ù³ã³÷Á áñ¨¿ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ¹³ñÓÛ³É áõÕÇÕ ¿, áõëïÇ ïñáÑíáÕ Ïáñ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÁ ¹Åí³ñáõÃÛáõÝ ãÇ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ: лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ѳïíáÕ ÙÇÙÛ³Ýó áã áõÕճѳ۳ó L1 ¨ L2 áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ý áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù. ¹ñ³Ýù ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ 1 ¨ 2 ÏÇëáñ¹Ý»ñÝ »Ý: ºÃ» áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý, ³å³ Ýñ³Ýóáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇëáñ¹Ý»ñÇó μ³óǪ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù »Ý ݳ¨ Çñ»Ýùª ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ áõÝ»ÝáõÙ »Ýù ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ×Çßï ãáñëª 1 , 2 , L1 , L2 ³é³Ýóù:
¼áõ·³Ñ»é Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñ »Ý ÙdzÛÝ Ýñ³ ÙÇ³Ï ïñ³Ù³·ÇÍÁ ¨ ³Û¹ ïñ³Ù³·ÍÇÝ áõÕճѳ۳ó μáÉáñ áõÕÇÕÝ»ñÁ:
II. ºÃ» AA ɳñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ã¿, ³å³ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ, ÏÇë»Éáí Çñ»Ý áõÕճѳ۳ó μáÉáñ ɳñ»ñÇÝ, ѳٳñíáõÙ ¿ ïñ³Ù³·Çͪ ѳٳÉáõÍ Çñ»Ý áõÕճѳ۳ó áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: ²Û¹åÇëÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáñÇ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÇÍ: ²ÛëåÇëáíª ãïñáÑíáÕ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÁ áñáÝ»ÉÇë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ý³Ë ·ïÝ»É ³ÛÝ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ѳٳÉáõÍ »Ý Çñ»Ýó áõÕճѳ۳ó áõÕÕáõÃÛ³ÝÁ: ²Ù»Ý ÙÇ ³Û¹åÇëÇ áõÕÕáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáñÇ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ: Üϳï»Ýù Ñ»ï¨Û³ÉÁ. гïÏáõÃÛáõÝ 1£ ¶É˳íáñ áõÕÕáõÃÛ³ÝÝ áõÕճѳ۳ó áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿ ¥Ñ»ï¨áõÙ ¿ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó¤: гïÏáõÃÛáõÝ 2£ ÎáñÇ Ñ³ïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ¥»Ã» ³Û¹åÇëÇÝ Ï³¤ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿: гïÏáõÃÛáõÝ 3£ ò³Ýϳó³Í ÏáñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ·É˳íáñ ¿: гϳé³Ï åݹáõÙÁ ÙÇßï ã¿, áñ ×Çßï ¿, ³ÛëÇÝùݪ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ ãÉÇÝ»É ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³Ï 1: ¼áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç ¹»åùáõÙ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇÝ áõÕճѳ۳ó áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿ Ýñ³ ѳٳñ, ë³Ï³ÛÝ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇÝ áõÕճѳ۳ó áã ÙÇ áõÕÇÕ ïñ³Ù³·ÇÍ ã¿:
úñÇÝ³Ï 2: àõÕճѳ۳ó áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ë³Ï³ÛÝ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁïñ³Ù³·Í»ñ ã»Ý: úñÇÝ³Ï 3: ä³ñ³μáÉÇ Ñ³Ù³ñ Ýñ³ ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ۳ó áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ å³ñ³μáÉÇ ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ Ýñ³ ѳٳñ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ۳ó áã ÙÇ áõÕÇÕ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É å³ñ³μáÉÇ ïñ³Ù³·ÇÍ:
²Ù÷á÷»Éáí í»ñÁ ß³ñ³¹ñí³ÍÁª ·³ÉÇë »Ýù Ñ»ï¨Û³É »½ñ³Ï³óáõÃ۳ݣ âïñáÑíáÕ ÏáñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ å»ïù ¿ ·ïÝ»É Ýñ³ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ¹ñ³ÝóÇó ÁÝïñ»É Ýñ³Ýù, áñáÝù ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛáõÝ:
¢ 43. ÎàðºðÆ ¶Èʲìàð àôÔÔàôÂÚàôÜܺðÆ àðàÞàôØÀ ¸Çóáõù ; ¨ ; áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ ѳٳÉáõÍ »Ýª a11 a12 ( ) a22 0 ¨ ÷áËáõÕճѳ۳óª 0 : ø³ÝÇ áñ ÏáñÁ ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É áã ³í»ÉÇ, ù³Ý Ù»Ï Ñ³ïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ, áõëïÇ ¹Çï³ñÏíáÕ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ѳïáõÏ ã¿: ¸Çóáõù ¹³ ; -Ý ¿: àõÝ»Ýù : : ¨ : (a21 a22 ) : (a11 a12 ) , áñï»ÕÇóª : (a21 a22 ) : (a11 a12 ) : ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ a21 a22 , a11 a12 ϳ٠(a11 ) a12 0 (55) : a21 (a22 ) 0 ø³ÝÇ áñ (55) ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ( , ) áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ, ³å³
a11
a12
a21
a22
0 , ³ÛëÇÝùݪ
2 S 0, (56) áñï»Õ Ýß³Ý³Ï»É »Ýù S a11 a22 , a11a22 a12 : êï³óí³Í (56) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙ ¥³Ûë ³Ýí³ÝáõÙÁ Ïå³ñ½³μ³ÝíÇ ³í»ÉÇ áõߪ ¢ 45-áõÙ¤: ²ÛëåÇëáíª ÏáñÇ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ Ý³Ë ·ïÝáõÙ »Ýù μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, ³å³ ³Ù»Ý ÙÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ (55) ѳٳϳñ·Çó ·ïÝáõÙ »Ýù
ïíÛ³É ÉáõÍÙ³ÝÁ ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ ; ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÙÇßï Çñ³Ï³Ý »Ý: Æñáù, (56) ѳí³ë³ñáõÙÇó ·ïÝáõÙ »Ýù S S 2 4 (a11 a22 ) (a11 a22 ) 4a11a22 4a12 1,2
(a11 a22 ) (a11 a22 )2 4a122
¨ ù³ÝÇ áñ (a11 a22 ) 4a 0 , áõëïÇ (56) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÙÇßï áõÝÇ Ù»Ï Ï³Ù »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: ²ÛÅÙ ùÝݳñÏ»Ýù (55) ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí ¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ¹»åù. ³¤ ´Ýáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ ÉáõÍáõÙ, ÇÝãÇ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ a11 a2 2 , a12 0 : ²Ûë
¹»åùáõÙ 1 2 a11 a2 2 , ¨ (55) ѳٳϳñ·Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿
0 0 0 ï»ëù: ²ÛëÇÝùݪ ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ μáÉáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ 0 0 0 Ý»ñÁ ·É˳íáñ »Ý: гϳé³Ï åݹáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ×Çßï ¿, »Ã» ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ μáÉáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·É˳íáñ »Ý, ³å³ a11 a2 2 0, a12 0 : Æñáù, (55) ѳٳϳñ·áõÙ áñå»ë ; ¹Çï³ñÏ»Éáí 0; 1 ¨ 1; 0 áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù å³Ñ³ÝçÁ: ²ÛëåÇëáíª ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ μáÉáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·É˳íáñ »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a11 a2 2 0, a12 0 : ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ³Ûë ѳïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ¿ ÙdzÛÝ ÙÇ ï»ë³ÏÇ 2-ñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ: ºàðºØ: àñ¨¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç a11 a2 2 0 ¨ a12 0 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ÏáñÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ¿:
Æñáù, »Ã» a11 a2 2 0, a12 0 , ³å³ ÏáñÇ (29) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ a11 x 2 a11 y 2 2a1 x 2a2 y a0 0 ï»ëù: ´³Å³Ý»Éáí »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ a11 0 ÃíÇ íñ³ ¨ ³Ýç³ï»Éáí ÉñÇí
ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ
Áëï
x ‚
¨
y -Ǫ
Ïëï³Ý³Ýù
a12 a22 a1 a2 a0 : x y a0 , áñï»Õ a0 a112 a11 a11 êï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý ϳ٠ϻÕÍ ßñç³Ý³·ÇÍ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ a0 0 ϳ٠a0 0 ¹»åù»ñáõÙ: ÆëÏ a0 0 ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿
a a ÙÇ Ï»ïª 1 ; 2 , áñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë ½ñá ß³ a11 a11 é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ: гϳé³ÏÁ, »Ã» ÏáñÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ¿, ³å³ Ýñ³ ѳí³ë³ñáõÙÁ, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, áõÝÇ ( x a)2 ( y b)2 c ï»ëù, áñï»ÕÇó a11 a2 2 1, a12 0 :□ лï¨áõÃÛáõÝ£ ò³Ýϳó³Í áõÕÕáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ ÙdzÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ñ³Ù³ñ: μ¤ ´Ýáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙª 1 2 : îíÛ³É i ³ñÙ³ïÇ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ a11 i , a2 2 i , a12 Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ѳí³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ, (55) ѳٳϳñ·Çó ·ïÝíáõÙ ¿ ÙÇ³Ï ; ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõݪ áñáßí³Í
: ( a12 ) : ( a11 i ) ϳ٠: ( a2 2 i ) : ( a12 ) ѳñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí: ²ÛëåÇëáíª »Ã» »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ã¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ, áñáÝù ϳñáÕ »Ý Ý»ñϳ۳óí»É { a12 ; a11 i } , i 1, 2 ϳ٠{a2 2 1 ; a12 } , i 1, 2 í»ÏïáñÝ»ñáí: Üϳï»Ýù, áñ »Ã» ïíÛ³É ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ a12 0 ¨
1 , 2 ³ñÙ³ïÝ»ñÇó Ù»ÏÝ áõ Ù»ÏÁ, ûñÇݳϪ 1 -Á, ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ a11 -Ç Ñ»ï, ³å³ í»ñÁ μ»ñí³Í ѳñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³é³-
çÇÝÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ³Ýáñáß, ÇëÏ { a12 ; a11 1} í»ÏïáñÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ½ñá۳ϳÝ: ²Ûë ¹»åùáõÙ 1 ³ñÙ³ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ
;
·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ·ïÝáõÙ »Ýù »ñÏñáñ¹ ѳñ³μ»-
ñáõÃÛáõÝÇóª {a2 2 1 ; a12 } , áñï»Õ ³ñ¹»Ý a2 2 1 0 : Üß»Ýù ݳ¨, áñ μ¤ ¹»åùáõÙ ÏáñÇ »ñÏáõ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇßï ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý, ù³ÝÇ áñ {a12 ; a11 1} ¨ {a12 ; a11 2 } í»ÏïáñÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ {a2 2 1 ; a12 } ¨ { a12 ; a11 2 } í»ÏïáñÝ»ñÁ áõÕճѳ۳ó »Ý ÙÇÙÛ³Ýó:
¢ 44. ¶Èʲìàð îð²Ø²¶ÌºðÆ Ð²ì²ê²ðàôØܺðÀ ì»ñ³¹³éݳÝù ¢ 42-Ç ëϽμáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í ËݹñÇݪ ³Ù»Ý ÙÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ãïñáÑíáÕ ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É Ýñ³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý μáÉáñ ³é³ÝóùÝ»ñÁ: ²Ûëï»Õ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¹Çï³ñÏ»É »ñÏáõ ¹»åùª ϳËí³Í Ýñ³ÝÇóª ÏáñÁ ÙdzϻÝïñáÝ ¿, û å³ñ³μáɳϳÝ: 1. ÎáñÁ ÙdzϻÝïñáÝ ¿: ºÃ» ³ÛÝ ßñç³Ý³·ÇÍ ã¿, ³å³ ÏáñÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝ: ØdzϻÝïñáÝ ÏáñÁ ãáõÝÇ Ñ³ïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ, Ý߳ݳÏáõÙ ¿ª ¹Çï³ñÏíáÕ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳٳÉáõÍ ¿ ÙdzÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ÙÛáõëÇÝ: àõëïÇ ³Û¹ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áã Ù»ÏÁ ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ã¿ ¨ ѻ勉μ³ñ áñáßáõÙ ¿ ïñ³Ù³·ÍÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáíª Ýßí³Í ¹»åùáõÙ ÏáñÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÇÍ, áñáÝó ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý a12 F1 ( x, y ) ( a11 i ) F2 ( x, y ) 0, i 1, 2, ϳ٠( a2 2 i ) F1 ( x, y ) a12 F2 ( x, y ) 0, i 1, 2 : ºÃ» ÏáñÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ã¿, ³å³ 1 , 2 ³ñÙ³ïÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ a12 , ( a11 i ) , ( a2 2 i ) Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý: л勉μ³ñ ïíÛ³É i ³ñÙ³ïÇ Ñ³Ù³ñ ·ñí³Í »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ù»ÏÝ áõ Ù»ÏÁ ÙÇßï ÇÙ³ëï áõÝÇ: ÆëÏ ßñç³Ý³·ÍÇ ¹»åùáõÙ Ýñ³ μáÉáñ ïñ³Ù³·Í»ñÁ ¥Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ μáÉáñ áõÕÇÕÝ»ñÁ¤ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·Í»ñ »Ý: ²ÛëåÇëáíª ³å³óáõó»óÇÝù Ñ»ï¨Û³ÉÁ. ºàðºØ 1: ºÃ» ãïñáÑíáÕ ÏáñÁ ÙdzϻÝïñáÝ ¿ ¨ ßñç³Ý³·ÇÍ ã¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù, áñáÝù Ýñ³ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·Í»ñÝ »Ý: 2. ÎáñÁ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý ¿ª a11a22 a122 0 : Üñ³ μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 2 S 0 ï»ëù, áñï»Õ 1 0,
2 S a11 a2 2 : Àݹ áñáõÙª 1 0 ¹»åùáõÙ (55) ѳٳϳñ·Ý
a11 a12 0 ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï»ëù, áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ; a12 a2 2 0 ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ, ÉÇÝ»Éáí ѳïáõÏ áõÕÕáõÃÛáõÝ, ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ¿ ¥ï»°ë ¢ 36-Ç Ã»áñ»Ù 1-Á¤ ¨ ãÇ áñáßáõÙ ïñ³Ù³·ÇÍ: a2 2 a12 0 ÆëÏ 2 S ¹»åùáõÙ (55) ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ a12 a11 0 ï»ëù, áñï»ÕÇó : a12 : a2 2 a11 : a12 :
²Ûë ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ ³ñ¹»Ý ³ëÇÙåïáï³Ï³Ý ã¿ ¨ áñáßáõÙ ¿ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÇÍ: л勉μ³ñ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÝ áõÝ»Ý ÙdzÛÝ ÙÇ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·ÇÍ: ²Ûëï»ÕÇó Ù³ëݳíáñ³å»ë ëï³ÝáõÙ »Ýù. ºàðºØ 2£ âïñáÑíáÕ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÁ, ³ÛëÇÝùݪ å³ñ³μáÉÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÙdzÛÝ ÙÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù, áñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ a12 F1 ( x, y ) a2 2 F2 ( x, y ) 0 , ϳ٠a11 F1 ( x, y ) a12 F2 ( x, y ) 0 : Àݹ áñáõÙª ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÝ áõ Ù»ÏÁ ÙÇßï ÇÙ³ëï áõÝÇ:
¢ 45. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ úðÂà¶àÜ²È ÆÜì²ðƲÜîܺðÀ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù ¥ï»°ë ¢ 21¤, »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÝáõÛÝ ÏáñÁ ï³ñμ»ñ ³ýÇÝ³Ï³Ý Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõ٠ϳñáÕ ¿ ïñí»É ÙÇÙÛ³ÝóÇó ¿³å»ë ï³ñμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí£ Ð³ñó ¿ ³é³ç³ÝáõÙª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»±Ý ³ÛÝåÇëÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝó ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ѳßííáõÙ »Ý ó³Ýϳó³Í ÏáñÇ ó³Ýϳó³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí, ÇëÏ ëï³óíáÕ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ÉÇÝáõÙ »Ý ÝáõÛÝÁ ¥³Ý÷á÷áË »Ý¤ ïíÛ³É ÏáñÇ μáÉáñ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ²Û¹åÇëÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÏáñÇ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñ ¨ û·ÝáõÙ »Ý ÏáñÇ áñáß³ÏÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³ó³Ñ³ÛïÙ³ÝÁ£ سëݳíáñ³å»ë, ÇÝãå»ë Ïï»ëÝ»Ýù ѳçáñ¹ å³ñ³·ñ³ýÝ»ñáõÙ, »ÉÝ»Éáí ÏáñÇ ó³Ýϳó³Í ѳí³ë³ñáõÙÇó, ¹ñ³Ýó ÙÇçáóáí ϳñ»ÉÇ ¿ ß³ï ³ñ³·, ã¹ÇÙ»Éáí ٻͳͳí³É ѳßíáõÙÝ»ñÇ, áñáᯐ ÏáñÇ ï»ë³ÏÝ áõ Ýñ³ ÙÛáõë å³ñ³Ù»ïñ»ñÁ£ Ü³Ë Ñëï³Ï»óÝ»Ýù ÏáñÇ ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝï ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ£ ¸Çóáõù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÁ OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ïñí³Í ¿ ÁݹѳÝáõñ (29) ѳí³ë³ñáõÙáíª F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2a1 x 2 a2 y a0 0 : Ø»Ï ³ÛÉ` OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É (29) ѳí³ë³ñáõÙÇó, »Ã» Ýñ³ Ù»ç x -Ç ¨ y -Ç ÷á˳ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù Çñ»Ýó ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ó¨³÷á x c11 x c12 y c1 μ³Ý³Ó¨»ñÇó£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³ËáõÃÛ³Ý y c21 x c22 y c2 ï³ñ»Éáí å³ñ½»óáõÙÝ»ñª Ïëï³Ý³Ýù F ( x, y) F (c11 x c12 y c1 , c21 x c22 y c2 ) x2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1x 2 a2 y a0 0 a11 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ:
Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë »Õ³Ý³Ïáí F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳ½Ù»ÉÇë Ù»Ýù å»ïù ¿ ½»ñÍ ÙݳÝù Ýñ³ μáÉáñ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ áñ¨¿ k 1 ³ñï³¹ñÇãáí Ïñ׳ï»Éáõó: ²Ûë ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÙÁ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë, »ÉÝ»Éáí ÏáñÇ ÙÇ áñ¨¿ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó ¥ÙÇ áñ¨¿ 먻é³Í OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ¤, ëï³Ý³É ³Û¹ ÏáñÇ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßí³Í ѳí³ë³ñáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£ ÎáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ëï³Ý³Éáõ ³Ûë »Õ³Ý³ÏÁ ³ÛëáõÑ»ï¨ Ï³Ýí³Ý»Ýù μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ï£ Üß»Ýù ³Û¹ »Õ³Ý³ÏÇ »ñÏáõ ³é³ÝÓݳѳïÏáõÃÛáõÝ£ 1. ºÃ» F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ëï³óí»É ¿ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ³å³ Çñ Ñ»ñÃÇÝ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ëï³óíáõÙ ¿ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó ÝáõÛÝå»ë μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí£ 2. ºÃ» F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ëï³óí»É ¿ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ÇëÏ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁª F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ³å³ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ëï³óíáõÙ ¿ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí£ êñ³ÝóÇó 1-Á Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ c11 : c21 c12 : c2 2 å³ÛÙ³ÝÇ ßÝáñÑÇí x -Á ¨ y -Á ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (2) ѳٳϳñ·Çóª áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñ x -Çó ¨ y -Çó£ âÝ³Û³Í x -Ç ¨ y -Ç ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ x -Çó ¨ y -Çó μ³ó³Ñ³Ûï ï»ëùáí Ù»½ å»ïù ã»Ý ·³Éáõ, ³é³ç³ñÏáõÙ »Ýù ÁÝûñóáÕÇÝ, áñå»ë û·ï³Ï³ñ í³ñÅáõÃÛáõÝ, c11 c12 û·ïí»Éáí C Ù³ïñÇóÇ ûñÃá·áݳÉáõÃÛ³Ý å³Û c21 c22 Ù³ÝÝ»ñÇó ¥ï»°ë ¢ 12 ¤, ³ñï³Í»É x c11 x c21 y (c1c11 c2 c2 2 ) , y c12 x c2 2 y (c1c12 c2 c2 2 ) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£
ÆÝã í»ñ³μ»ñáõÙ ¿ 2-ÇÝ, ³å³ ³ÛÝ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ¢ 11-Ç ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝÇó£ ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ (29) ÁݹѳÝáõñ ѳí³ë³ñÙ³Ý a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a0 ·áñͳÏÇóÝ»ñÇó ϳËí³Í áñ¨¿ ² = ²(a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a0 ) ýáõÝÏódz ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝï ýáõÝÏódz ¥Ï³Ù å³ñ½³å»ë ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝï¤, »Ã» ³ÛÝ ³Ù»Ý ÙÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ãÇ ÷áËáõÙ Çñ ³ñÅ»ùÁ ÙÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ó³Ýϳó³Í ³ÛÉ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝóÝ»ÉÇë£ ²ÛëÇÝùݪ »Ã» ïíÛ³É ÏáñÇ F ( x, y ) 0 ¨ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ëï³óí»É ¿ ÙÛáõëÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ³å³ , a1, a2 , a0 ) : ²(a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a0 ) = ²(a11 , a12 , a22 ºàðºØ:
a11
a12
a21 a22 a1 a2
S a11 a22 ,
лï¨Û³É`
a11 a12 , a21 a22
a1 a2 ýáõÝÏódzݻñÁ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ûñÃáa0
·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝï ýáõÝÏódzݻñ »Ý: ØÇÝ㨠ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ ݳ˳å»ë ³å³óáõó»Ýù »ñÏáõ É»ÙÙ³£ È»ÙÙ³ 1: ¸Çóáõù OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ëï³óí»É ¿ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó OX ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ùμ£ ºÃ» ÏáñÇ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ ëï³óí»É ¿ ÏáñÇ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ³å³ S , ¨ ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª ѳßí³Í ÙÇ ¹»åùáõÙ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý, ÇëÏ ÙÛáõë ¹»åùáõÙ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí, ÝáõÛÝÝ »Ý, ³ÛëÇÝùݪ S S , , £
²å³óáõóáõÙ: î»Õ³¹ñ»Éáí Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý x x , y y μ³Ý³Ó¨»ñÁ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù F ( x, y) F ( x, y) a11 x2 2a12 xy a22 y2 2a1 x 2a2 y a0 0, áñï»ÕÇó a11 a11 , a12 a12 , a2 2 a2 2 , a1 a1 , a2 a2 , a0 a0 :
a22 S , ²ÛÅÙ ³ÏÝѳÛï ¿, áñ S a11 a22 a11
a12 a11 a12 a11 a12 a 11 , a22 a21 a22 a21 a21 a22
a11 a12 a22 a21 a1 a2
a1 a11 a12 a2 a21 a22 a0 a1 a2
a1
a11
a12
a2 a21 a22 a0 a1 a2
a1 a2 £ a0
È»ÙÙ³ 2: ºÝó¹ñ»Ýùª áõÝ»Ýù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ ¨ ³ÛÝåÇëÇ OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ ÏáñÁ áõÝÇ F ( x, y ) a11 x 2 a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ£ ¸Çóáõù áõÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ¹Çï³ñÏíáÕ ÏáñÇ x2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1x 2 a2 y a0 0 F ( x, y ) a11 հ³í³ë³ñáõÙÝ ëï³óí»É ¿ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí£ ²å³ S , ¨ ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª ѳßí³Í ÙÇ ¹»åùáõÙ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý, ÇëÏ ÙÛáõë ¹»åùáõÙ F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ» S , S a11 a22 a11 a22 ñáí, ÝáõÛÝÝ »Ý, ³ÛëÇÝùݪ
a11 a12 a1 a11 0 a1 a11 a12 a11 0 a22 a2 0 a22 a2 £ , a21 a22 a21 0 a22 a1 a2 a0 a1 a2 a0 ²å³óáõóáõÙ£ Üϳï»Ýù, áñ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É ³ÝóáõÙ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ· Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ÷áõÉ»ñáí£ êϽμáõÙ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ï»Õ³÷áË»Ýù ÇÝùÝ Çñ»Ý ½áõ·³Ñ»é ³ÛÝå»ë, áñ ï»Õ³÷áËí³Í Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëϽμݳϻïÁ ѳÙÁÝÏÝÇ O -Ç Ñ»ï£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ ëï³óí³Í Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ϳñ»ÉÇ ¿ ѳÙÁÝÏ»óÝ»É OX Y -Ç Ñ»ï ϳ٠ϳï³ñ»Éáí ÙdzÛÝ åïáõÛï O -Ç ßáõñç áñáß ³ÝÏÛáõÝáí, ϳ٠¿É, μ³óÇ åïáõÛïÇó, ϳï³ñ»Éáí ݳ¨ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ åïïí³Í ³é³ÝóùÝ»ñÇó Ù»ÏÇ ÝϳïÙ³Ùμ£ ê³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳï³ñ»É ³ÝóáõÙ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó F ( x, y) 0 ѳí³ë³ñáõÙ »ñÏáõ ù³ÛÉáí, áñáÝù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ »Ý Ýßí³Í »ñÏáõ ÷áõÉ»ñÇÝ£ л勉μ³ñ, É»ÙÙ³Ý ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ μ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ù³ÛÉáõÙ S , ¨ ýáõÝÏódzݻñÁ ã»Ý ÷áËáõÙ Çñ»Ýó ³ñÅ»ùÝ»ñÁ£ ܳË, ѳßí»Éáí S , ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ëï³ÝáõÙ »Ýù S a11 a2 2 , a11a2 2 , a11a22 a0 a11a22 a22 a12 £ ÆëÏ S , ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ F ( x , y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ѳßí»Éáõ Ýå³ï³Ïáí ¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ¹»åù£ I. ºÝó¹ñ»Ýùª OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ëï³óí»É ¿ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ùμª x x c1 , y y c2 £ î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë ³ñÅ»ùÝ»ñÁ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù F ( x, y) F ( x c1, y c2 ) a11 ( x c1 )2 a22 ( y c2 )2 2a1 ( x c1 ) x2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1x 2 a2 y a0 0 , 2 a2 ( y c2 ) a0 a11
a11 , a12 0 , a22 a22 , a1 a11c1 a1 , a2 a2 2 c2 a2 , áñï»Õ a11 a0 F (c1 , c2 ) a11c12 a22 c22 2 a1c1 2 a2 c2 a0 : л勉μ³ñª a22 a122 a11a22 £ S a11 a2 2 a11 a2 2 S , a11 гßí»Ýù -Ç ³ñÅ»ùÁ£ àõÝ»Ýù
a11 a21 a1
a12 a22 a2
a1 a11 a2 a0 a11c1 a1
a22 a22 c2 a2
a11c1 a1 a22 c2 a2 F (c1 , c2 )
a11a22 F (c1 , c2 ) a11 (a22 c2 a2 )2 a22 (a11c1 a1 ) 2 a11a22 ( F (c1 , c2 ) a11c12 a22 c22 2 a1c1 2 a2 c2 ) a11a22 a22 a12 a11a22 a0 a11a22 a22 a12 : II. ²ÛÅÙ »Ýó¹ñ»Ýùª OX Y ¨ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ëϽμݳϻï»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý£ ²Ûë ¹»åùáõÙ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÝ áõÝ»Ý x c11 x c12 y ,
y c21 x c22 y ï»ëùÁ£ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù ¥ï»°ë ¢ 12-Á¤, áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ¹»åùáõÙ ³Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý x x cos y sin x x cos y sin Ï³Ù μ¤ ³¤ y x sin y cos y x sin y cos μ³Ý³Ó¨»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ï£ êϽμáõÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù ³¤ »Ýó¹»åùÁ£ î»Õ³¹ñ»Éáí x-Ç ¨ y-Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù F ( x, y) F ( x cos y sin , x sin y cos ) a11 ( x cos y sin ) 2 a22 ( x sin y cos ) 2 2 a1 ( x cos y sin ) 2 a2 ( x sin y cos ) a0
x2 2 a12 xy a22 y 2 2 a1x 2 a2 y a0 0 , a11
a11 cos2 a22 sin 2 , a12 ( a2 2 a11 ) sin cos , áñï»Õ a11 a11 sin 2 a22 cos 2 , a1 a1 cos a2 sin , a22 a2 a1 sin a2 cos , a0 a0 : ²Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù S a11 a 2 2 a11 cos 2 a 2 2 sin 2 a11 sin 2 a 2 2 cos 2 a11 a2 2 S ,
a122 (a11 cos 2 a2 2 sin 2 )(a11 sin 2 a22 cos 2 ) a11 a22 (a22 a11 )2 sin 2 cos 2 a11a22 (sin 4 cos 4 2sin 2 cos 2 ) a11a2 2 :
гßí»Ýù a11 a12 a22 a21 a1 a2
-Áª a1 a2 a22 a1) a2 (a12 a1 a11 a2 ) a0 (a11 a22 a12 2 ) : a2 a1(a21
a0
ä³ñ½»óÝ»Éáí ³ç Ù³ëÇ ³é³çÇÝ »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª ëï³ÝáõÙ »Ýù a2 a22 a1) a2 (a12 a1 a11 a2 ) 2a1a2 a12 a12 a22 a22 a11 a1 (a21 2( a1 cos a2 sin )( a1 sin a2 cos )( a2 2 a11 ) sin cos
(a1 cos a2 sin ) 2 (a11 sin 2 a22 cos 2 ) (a1 sin a2 cos ) 2 (a11 cos 2 a22 sin 2 ) a11a22 a22 a12 : a122 a11a22 ѳí³ë³ú·ïí»Éáí í»ñÁ ³å³óáõóí³Í a11 a22 ñáõÃÛáõÝÇóª »ññáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù a12 2 ) a0 a11a22 £ a0 (a11 a22 ²ÛëåÇëáíª a0 a11a22 a11a22 a22 a12 £ ²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù μ¤ »Ýó¹»åùÁ, »ñμ x x cos y sin , y x sin y cos : ²Ûë ³ÝóáõÙÁ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ϳñáÕ »Ýù Ý»ñϳ۳óÝ»É áñå»ë »ñÏáõª x x cos y sin , y x sin y cos ¨ x x, y y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛã ¸ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç åïáõÛï O ëϽμݳϻïÇ ßáõñç ³ÝÏÛáõÝáí, áñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ Ýáñª OX Y Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·£ ºñÏñáñ¹ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý³óÝáõÙ ¿ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ OX ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ùμ, áñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ OX Y ѳٳϳñ·Á£
²ÛÅÙ S S , ¨ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ëï³óíáõÙ »Ý ³ñ¹»Ý ³å³óáõóí³Í ³¤ »Ýó¹»åùÇó ¨ É»ÙÙ³ 1-Çó£□ »áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ£ àõÝ»Ýù »ñÏáõ Ï³Ù³Û³Ï³Ý OX Y ¨ OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, áñáÝó ÝϳïÙ³Ùμ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÝ áõÝÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ F ( x , y ) 0 ¨ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ, Áݹ áñáõÙª ¹ñ³Ýù ëï³óí»É »Ý Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí£ ¸Çóáõù ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ S , ¨ ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ S , , ¨ S , £ ²å³óáõó»Ýù, áñ S S , , £ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù ¥ï»°ë ¢ 21-Á¤, ¹Çï³ñÏíáÕ ÏáñÇ F ( x , y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ F ( x, y ) a11 x 2 a22 y 2 2 a1 x 2 a2 y a0 0 ï»ëù£ ä³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ S , ¨ ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý߳ݳϻÝù ÝáõÛÝ S , ¨ ï³é»ñáí£ ø³ÝÇ áñ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ëï³óí»É ¿ F ( x , y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ³å³ Áëï É»ÙÙ³ 2-Ǫ S S , , £ ´³Ûó F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ëï³óíáõÙ ¿ F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, áõëïÇ S S , , £ л勉μ³ñ S S , , £□ лï¨áõÃÛáõÝ£ ²å³óáõóí³Í ûáñ»ÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ïíÛ³É ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ áñáß ÇÙ³ëïáí S , ¨ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÝÏ³Ë »Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇó£ л勉μ³ñ 2 S ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÏáñÇ 2 S 0 μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, ÉÇÝ»Éáí ³ÝÏ³Ë áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇó, áñáß ÇÙ³ëïáí μÝáõó·ñáõÙ »Ý Çñ»Ýª ÏáñÇÝ£ » ÇÝã ã³÷áí »Ý ¹ñ³Ýù μÝáõó·ñáõÙ ÏáñÇÝ, Ïï»ëÝ»Ýù ¢ 47-áõÙ£
¢ 46. ºðÎðàð¸ βð¶Æ ÎàðºðÆ ÎÆê²ÆÜì²ðƲÜîÀ лﳷ³ÛáõÙ Ù»½ å»ïù ¿ ·³Éáõ ¨ë ÙÇ ýáõÝÏódzª a11 a1 a22 a2 K : a1 a 0 a 2 a 0 Æ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ S , ¨ ýáõÝÏódzݻñǪ ³ÛÝ μáÉáñ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝï ã¿: γñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ K -Ý ãÇ ÷áËáõÙ Çñ ³ñÅ»ùÁ ó³Ýϳó³Í »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ÙÇ OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ÝáõÛÝ O ëϽμݳϻïáí Ù»Ï ³Ûɪ OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝóÝ»ÉÇë: ´³Ûó ϳñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É ݳ¨, áñ ³ÛÝ, ÁݹѳÝñ³å»ë ³ë³Í, ãÇ å³Ñå³ÝáõÙ Çñ ³ñÅ»ùÁ ó³Ýϳó³Í »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ²Û¹áõѳݹ»ñÓª ºàðºØ: ºÃ» ÏáñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ Ýñ³ ѳٳñ a11 a1 a22 a2 ýáõÝÏóÇ³Ý ãÇ ÷áËáõÙ 0 , ³å³ K a1 a 0 a 2 a 0 Çñ ³ñÅ»ùÁ ÙÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ó³Ýϳó³Í ³ÛÉ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝóÝ»ÉÇë: ²Ûë ûáñ»ÙÇ ÇÙ³ëïáí K -Ý ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ïáñ»ñÇ ÏÇë³ÇÝí³ñdzÝï: ²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝǪ 0 , áõëïÇ ÏáñÁ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ ¿: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù ¥ï»°ë ¢ 21-Á¤, ³Ûë ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÁ ïñíáõÙ ¿ 2 y 2 2 a1x a0 0, 2 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: Àݹ áñáõÙª ³ÝóáõÙÁ ëϽμÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ¹»åÇ ³Ûë ѳí³ë³ñáõ٠ϳï³ñí»É ¿ñ μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí:
л勉μ³ñ áõÝ»Ýù 0 2 a1 0
a1 0 a12 2 £ a0
²ÛÅÙ 0 å³ÛÙ³ÝÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù a1 0 : ²ÛëåÇëáíª 0 å³ÛÙ³ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ Ýñ³Ý, áñ OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÁ ïñíáõÙ ¿ F ( x, y ) 2 y 2 a0 0, 2 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ÆëÏ ë³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ¹Çï³ñÏíáÕ ÏáñÁ ½áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿: ö³ëïáñ»Ý ûáñ»ÙÁ åݹáõÙ ¿, áñ ½áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñ K -Ç ³ñÅ»ùÁ ÝáõÛÝÝ ¿ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñáõÙ: γï³ñ»Éáí ÝáõÛÝåÇëÇ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, ÇÝãå»ë ¢ 45-áõ٠ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝóóùáõÙ, ·³ÉÇë »Ýù »½ñ³Ï³óáõÃÛ³Ý, áñ ³Ûë ûáñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ μ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É K K ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáñÇ ó³Ýϳó³Í F ( x, y ) 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñÝ ëï³óíáõÙ ¿ F ( x, y ) 2 y 2 a0 , 2 0 ѳí³ë³ñáõÙÇó μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí£ Ü³Ë OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ·ïÝáõÙ »Ýù 0 0 2 0 2 a0 : K 0 a0 0 a0 ²ÛÝáõÑ»ï¨, û·ïí»Éáí OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó áñ¨¿ OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ³ÝóÙ³Ý x c11 x c12 y c1 , y c21 x c22 y c2 μ³Ý³Ó¨»ñÇó, ϳ½Ù»Ýù ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ OXY Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙª F ( x, y ) F (c11 x c12 y c1 , c21 x c22 y c2 ) 2 2 2 2 x 2c22 y 22c21c22 xy 2 c21 x c22 y c2 a0 2c21
22 c21c2 x 22 c22 c2 y 2 c22 a0 :
c11 c12 ø³ÝÇ áñ Ù³ïñÇóÝ ûñÃá·áÝ³É Ù³ïñÇó ¿, c21 c22 áõëïÇ c 221 c 222 1 ¥ï»°ë ¢ 12-Ç ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝÁ¤: ²ÛÅÙ áõÕÕ³ÏÇ Ñ³ßíáõÙáí ëï³ÝáõÙ »Ýù
K
2 c212 2c21c2 2 c222 2 c22 c2 )a0 K : 2 (c21 c22 2c21c2 2c2 a0 2c22c2 2c2 a0
¢ 47. ØƲκÜîðàÜ ÎàðºðÆ îºê²ÎÆ ºì βÜàÜ²Î²Ü Ð²ì²ê²ðØ²Ü ¶àð̲ÎÆòܺðÆ àðàÞàôØÀ ÆÜì²ðƲÜîܺðàì ¸Çóáõù OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2a1 x 2 a2 y a0 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í ÏáñÁ ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ ¿, ¨ ¹Çóáõù S , , -Ý ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ »Ýª ѳßí³Í ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ÙdzϻÝïñáÝ ÏáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ OX Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÏáñÁ ïñíáõÙ ¿ (20) y2 a0 0, a11 0, a22 0 a11 x2 a22 ѳí³ë³ñáõÙáí: ²Ûë ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ S , ¨ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ »Ý a11 0 0 a12 , 0 a22 a0 : a11 a22 0 a11 a22 S a11 a2 2 , 0 a22 0 a0 ø³ÝÇ áñ S S , , , áõëïÇ μÝáõó·ñÇã »é³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù 2 S 2 S a22 ) a11 a22 ( a11 )( a22 ) 2 (a12 ·áñͳÏÇóï»ëùÁ: ²ÛëÇÝùݪ (20) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç a11 ¨ a22 Ý»ñÁ ÏáñÇ 2 S 0 μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï Ý»ñÝ »Ý, ÇëÏ a0 : ²ÛëåÇëáíª ëï³ó³Ýù, áñ (20) ѳ í³ë³ñÙ³Ý, ѻ勉μ³ñ ݳ¨ ÏáñÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý μáÉáñ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ áñáᯐ ÏáñÇ ëϽμÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ ÙÇçáóáí S , ¨ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ:
ÎáñÇ ï»ë³ÏÁ ÝáõÛÝå»ë ϳñ»ÉÇ ¿ áñáᯐ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: Æñáù, (20) ѳí³ë³ñáõÙÁ Çñ³Ï³Ý ¿ÉÇåëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 1 -Á ¨ 2 -Á áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, ¨ ³Û¹ Ýß³ÝÁ ѳϳ¹Çñ ¿ a0 -Ç Ýß³ÝÇÝ: ²Ûë å³ÛÙ³ÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É 12 0 ¨ 1 Å»ù ¿ 0 , S
0 ѳٳϳñ·Ç ï»ëùáí, áñÁ ѳٳñ-
0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ£ ì»ñçݳϳݳå»ë` 1¤ ÏáñÁ ¿ÉÇåë ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, S 0 : ÜÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ÏáñÁª 2¤ Ï»ÕÍ ¿ÉÇåë ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, S 0 , 3¤ ÑÇå»ñμáÉ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, 0 , 4¤ ѳïíáÕ Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, 0 , 5¤ ѳïíáÕ Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, 0 :
¢ 48. ä²ð²´àÈ²Î²Ü ÎàðºðÆ îºê²ÎÆ ºì βÜàÜ²Î²Ü Ð²ì²ê²ðØ²Ü ¶àð̲ÎÆòܺðÆ àðàÞàôØÀ ÆÜì²ðƲÜîܺðàì ¸Çóáõù OXY áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝϳïÙ³Ùμ F ( x, y ) a11 x 2 2 a12 xy a22 y 2 2a1 x 2 a2 y a0 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í ÏáñÁ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ ¿, ¨ ¹Çóáõù S , , -Ý ûñÃá·áÝ³É ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ, ÇëÏ K -Ý ÏÇë³ÇÝí³ñdzÝïÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ »Ýª ѳßí³Í ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¥ï»°ë ¢ 21-Á¤ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ O X Y áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ Ïáñ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý ϳ٠y2 2a1x 0, a2 2 0, a1 0, a22 (57) ϳ٠¿É
(58) a2 2 y2 a0 0, a2 2 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí: êñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ å³ïÏ»ñáõÙ ¿ å³ñ³μáÉ: ²Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ѳßí»Éáí S , ¨ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª ëï³ÝáõÙ »Ýù 0 0 a1 0 0 0 , 0 a2 2 0 a2 2 a12 : S 0 a2 2 a2 2 , 0 a22 a1 0 a0 ²ÛëåÇëáí` a2 2 S S , a1 í³ë³ñáõÙÝ
ÁݹáõÝáõÙ
¿
, ¨ (57) ѳS S
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x ï»ëùÁ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ÷áË»Éáí S3 x ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁª ³Ûëï»ÕÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É ݳ¨ y2 2
å³ñ³μáÉÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ` y 2 px , áñï»Õ
p S 3 : ܳ¨ ëï³ÝáõÙ »Ýù` 6¤ ÏáñÁ å³ñ³μáÉ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, 0 : ¼áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ ¹»åùáõÙ a2 2 S , 0 , ¨ (58) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ Sy 2 a0 0 ï»ëùÁ: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ a0 -Á ϳñáÕ »Ýù ·ïÝ»É ³ñ¹»Ý K ÏÇë³ÇÝí³ñdzÝïÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ¥ S , ¨ ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñáí a0 -Á ãÇ ·ïÝíáõÙ¤: ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ ëï³ó»É »Ýù K 2 a0 S a0 , áñï»ÕÇó ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ a0 K S K S : ²ÛëåÇëáí` ½áõ·³Ñ»é ϳ٠ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ ¹»åùáõÙ (58) ѳí³ë³ñáõÙÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ y 2 K S 2 0 ϳÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÁ: àõëïÇ ÏáñÁ` 7¤ ½áõ·³Ñ»é Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, K 0 , 8¤ ½áõ·³Ñ»é Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 0, K 0 , 9¤ ѳÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ K 0 : êïáñ¨ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñáõÙ ³Ù÷á÷í³Í »Ý μáÉáñ Ïáñ»ñÇ ï»ë³ÏÝ»ñÝ áõ ¹ñ³Ýó ѳÛï³ÝÇßÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ Ýñ³Ýó ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁª áñáßí³Í ÇÝí³ñdzÝïÝ»ñáí ¨ ÏÇë³ÇÝí³ñdzÝïáí:
ÎáñÇ ï»ë³ÏÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³Ïáí.
№ î»ë³ÏÁ 1. ¾ÉÇåë 2. λÕÍ ¿ÉÇåë 3. гïíáÕ Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· 4. ÐÇå»ñμáÉ 5. гïíáÕ Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· 6. ä³ñ³μáÉ 7. ¼áõ·³Ñ»é Çñ³Ï³Ý áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· 8. ¼áõ·³Ñ»é Ï»ÕÍ áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ· 9. гÙÁÝÏ³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ½áõÛ·
гÛï³ÝÇßÁ 0 ,S 0 0 ,S 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, K 0 0, K 0 K 0
´áÉáñ ËÙμ»ñáõÙ 1 -Á ¨ 2 -Á 2 S 0 μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý ÙdzϻÝïñáÝ Ïáñ»ñ å³ñ³μáÉ³Ï³Ý Ïáñ»ñ 1 x 2 y a0 0 2 y 2 a1x 0 2 y 2 a0 0 1 2 0
1 2 a0
K
—
2 a12 0 —
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ì»ñçáõÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù ÏáñÇ ï»ë³ÏÇ ¨ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñáßÙ³Ý ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇݳÏ: úñÇÝ³Ï 1: ä³ñ½»Ýù 3x 2 2 xy 3 y 2 4 x 4 y 0 ÏáñÇ ï»ë³ÏÁ ¨ ·ïÝ»Ýù ݳ¨ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
3 4 2 3 1 8, 1 3 2 16 : àõÝ»Ýù S 3 3 6, 1 3 2 2 0 ø³ÝÇ áñ 0 ¨ S 0 , ³å³ ÏáñÁ ¿ÉÇåë ¿: ²ÛÝáõÑ»ï¨ 2 6 8 0 μÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÇó ·ïÝáõÙ »Ýù 1 2, 2 4 , ÇëÏ a0 2 : л勉μ³ñ ÏáñÇ (20) ѳí³ë³ñáõÙÝ ¿ 2 x 4 y 2 0 , ÇëÏ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³y 2 í³ë³ñáõÙÁª x2 1: 0,5 úñÇÝ³Ï 2: ä³ñ½»Ýù 4 x 2 4 xy y 2 2 x 14 y 7 0 ÏáñÇ ï»ë³ÏÁ ¨ ·ïÝ»Ýù Ýñ³ ϳÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ: 4 2 1 4 2 0 , 2 1 7 225 : àõÝ»Ýù S 4 1 5 , 2 1 1 7 7 ø³ÝÇ áñ 0, 0 , áõëïÇ ÏáñÁ å³ñ³μáÉ ¿: ¶ïÝ»Ýù Ýñ³ Ïǽ³Ï»ï³ÛÇÝ å³ñ³Ù»ïñÁª p
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ѳٳϳñ·Ç åïáõÛïª ·ïÝ»Éáí åïáõÛïÇ ³ÝÏÛáõÝ § 21-áõÙ μ»ñí³Í μ³Ý³Ó¨áí, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³ï³ñ»É Ïáñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ: Æñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ³Ûë »Õ³Ý³ÏÁ μ³í³Ï³Ý ³ß˳ï³ï³ñ ¿: ºñÏñáñ¹ »Õ³Ý³ÏÇ ¹»åùáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ·ïÝ»É ÏáñÇ ·É˳íáñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõ ·É˳íáñ ïñ³Ù³·Í»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÏáñÇ Ï»ÝïñáÝÁ: Ø»Ýù ³Ûëï»Õ ã»Ýù μ»ñáõ٠ѳٳå³ï³ëË³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ£ ÀÝûñóáÕÁ ϳñáÕ ¿ ͳÝáÃ³Ý³É ³Û¹åÇëÇ ûñÇݳÏÝ»ñǪ ÉáõÍí³Í û° ³é³çÇÝ ¨ û° »ñÏñáñ¹ »Õ³Ý³Ïáí [4] Ëݹñ³·ñùáõÙ£
Èð²òàôòÆâ ¶ð²Î²ÜàôÂÚàôÜ 1. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, Москва, 1968. 2. Постников М. М., Аналитическая геометрия, Москва 1973. 3. Энциклопедия элементарной математики, книга четвертая, Геометрия, 1963. 4. ì. ². öÇÉÇåáëÛ³Ý, Ð. Ð. úÑÝÇÏÛ³Ý, ì»ñÉáõÍ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ëݹñ³·Çñù, ³é³çÇÝ Ù³ë, ºñ¨³Ý, 2012:
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Համակարգչային ձևավորումը՝ Կ. Չալաբյանի Համակարգչային գծապատկերները՝ Վ. Փիլիպոսյանի Կազմի ձևավորումը՝ Ա. Պատվականյանի Հրատ. սրբագրումը՝ Հ. Ասլանյանի
Տպագրված է «Վարդան Մկրտչյան» ԱՁ-ում: ք. Երևան, Հր. Ներսիսյան 1/125
Ստորագրված է տպագրության՝ 06.12.2018: Չափսը՝ 60x84 1/16: Տպ. մամուլը՝ 14: Տպաքանակը՝ 100: ԵՊՀ հրատարակչություն ք. Երևան, 0025, Ալեք Մանուկյան 1 www.publishing.am
ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ
Վ. Ա. ՓԻԼԻՊՈՍՅԱՆ, Հ. Հ. ՕՀՆԻԿՅԱՆ
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Դասագիրք