Վիճակագրության ընդհանուր տեսություն

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՏՆՏԵՍԱԳԻՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Ա.Ն.ՊԵՏՐՈՍՅԱՆ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Ուսումնական ձեռնարկ

ԵՐԵՎԱՆ

ՏՆՏԵՍԱԳԵՏ

ՀՏԴ 31(07) ԳՄԴ 60. 6 y7 Պ 505

Հրատարակության է երաշխավորել ՀՊՏՀ գիտական խորհուրդը

Գրախոսներ՝ տ.գ.դ., պրոֆ. Արամ Առաքելյան ֆ.գ.թ., դոց. Տիգրան Թերզյան Խմ ագիր՝ դոց. Սիրանուշ Մանուկյան Մասնագետ խմ ագիր` տ.գ.թ., դոց. Հակո Հակո յան Պ 505

Պետրոսյան Ալեքսան Նապալի Վիճակագրության ընդհանուր տեսություն: Ուսումնական ձեռնարկ. - Եր.: Տնտեսագետ, 2008. - 282 էջ:

«Վիճակագրության ընդհանուր տեսություն» ուսումնական ձեռնարկը պարունակում է վիճակագրության տեսության հիմնական հասկացությունների, ացարձակ, հարա երական ն միջին մեծությունների, վիճակագրական աշխումների, ընտրանքային դիտարկման, սոցիալ-տնտեսական երնույթների փոխադարձ կապերի, դինամիկայի շարքերի, ինդեքսների ն դրանց օգտագործման վիճակագրական ուսումնասիրության մեթոդները: Թեմաներն ուղեկցվում են խնդիրների լուծումներով: Հավելվածում երված են հաշվարկային պարամետրերի գնահատման հատուկ աղյուսակներ: Ձեռնարկը նախատեսվում է տնտեսագիտության արձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների, ասպիրանտների, դասախոսների, ինչպես նան գործնական վիճակագրությամ զ աղվողների համար:

ԳՄԴ 60. 6 y7

|ՏBN 978-99941-51-76-9

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Երկու խոսք Հեղինակի կողմից

ԳԼՈՒԽ |. ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՊԵՍ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

1.1. Վիճակագրության ծագումը ն զարգացումը 1.2. Վիճակագրության առարկան, դրա հիմնական գծերը ն նութագրերը 1.3. Վիճակագրության մեթոդը ն խնդիրները 1.4. Վիճակագրության ընդհանուր տեսությունը որպես վիճակագրական գիտության ճյուղ

ԳԼՈՒԽ ||. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԴԻՏԱ

2.1. «Վիճակագրական դիտարկում» հասկացությունը ն անցկացման փուլերը 2.2. Վիճակագրական դիտարկման ծրագրամեթոդա անական ն կազմակերպական հարցերը 2.3. Վիճակագրական դիտարկումների ձները, տեսակները ն եղանակները

ԳԼՈՒԽ |||. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԴԻՏԱՐԿՄԱՆ ՏՎՅԱԼՆԵՐԻ

ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ԽՄԲԱՎՈՐՈՒՄ

3.1. Վիճակագրական տվյալների ամփոփում 3.2. Վիճակագրական տվյալների խմ ավորում 3.3. Վիճակագրական տվյալների ներկայացման աղյուսակային եղանակները 3.4. Վիճակագրական գծապատկերների կառուցման սկզ ունքները

ԳԼՈՒԽ |Մ. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐ

4.1. «Վիճակագրական ցուցանիշներ» հասկացությունը, արտահայտման ձները ն տեսակները 4.2. Բացարձակ մեծություններ 4.3. Հարա երական մեծություններ 4.4. Միջին մեծություններ Միջին թվա անականը, դրա հատկությունները Կշռված միջին թվա անականը Միջին թվա անականի հատկությունները 4.5. Միջին հարմոնիկը (ներդաշնակ), միջինների այլ տեսակները 4.6. Միջինների հաշվարկման եղանակները ................................. 74

ԳԼՈՒԽ Մ. ՏԱՏԱՆՄԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐԸ ԵՎ ՀԱՃԱԽԱՅԻՆ

ԲԱՇԽՄԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆԸ

5.1. Բաշխման կենտրոնի ցուցանիշները 5.2. Տատանման ցուցանիշները ն դրանց հաշվարկման մեթոդները Դիսպերսիայի մաթեմատիկական հատկությունները Տատանման հարա երական ցուցանիշները 5.3. Այլընտրանքային (ալտերնատիվ) հատկանիշի դիսպերսիան 5.4. Դիսպերսիայի տեսակները, դրանց գումարման կանոնը Հատկանիշի մասերի դիսպերսիաների գումարման կանոնը 5.5. Վարիացիոն աշխման շարքի կառուցվածքային նութագրերը 5.6. Բաշխման մոմենտները 5.7. Բաշխման ձնի ուսումնասիրությունը 5.8. Տեսական աշխվածությունը վարիացիայի շարքերի վերլուծությունում Բաշխման շարքերի հավասարեցումը (տեսական աշխվածության կառուցումը) Համաձայնության հայտանիշներ

ԳԼՈՒԽ Մ|. ԸՆՏՐԱՆՔԱՅԻՆ ԴԻՏԱՐԿՈՒՄ

6.1. Ընտրանքային դիտարկման տեսական հիմունքները ն նշանակությունը 6.2. Բուն-պատահական ընտրանք 6.3. Մեխանիկական ընտրանք 6.4. Տիպական ընտրանք 6.5. Սերիական ընտրանք 6.6. Փոքր ընտրանք

ԳԼՈՒԽ Մ||. ԿՈՌԵԼՅԱՑԻԱ-ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ

7.1. Պատճառ, ռեգրեսիա, կոռելյացիա 7.2. Կոռելյացիա-ռեգրեսիայի վերլուծության հիմնական խնդիրները 7.3. Զույգային ռեգրեսիա Պարա ոլի հավասարման պարամետրերի հաշվարկը Հիպեր ոլի հավասարման պարամետրերի հաշվարկը

7.4. Բազմակի ( ազմագործոն) ռեգրեսիա 7.5. Կապի նշանակալիության գնահատումը: Ռեգրեսիայի հավասարման հիման վրա որոշումների ընդունում 7.6. Կոռելյացիոն կապի ուսումնասիրման պարամետրական մեթոդները 7.7. Սոցիալական երնույթների կապի ուսումնասիրման մեթոդները 7.8. Կապի ոչ պարամետրական ցուցանիշներ Կապի ռանգային գործակիցները

ԳԼՈՒԽ Մ|||. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՇԱՐՔԵՐ

8.1. Դինամիկայի շարքերի հասկացությունը ն դասակարգումը 8.2. Դինամիկայի վերլուծության ցուցանիշները 8.3. Դինամիկայի շարքի միջին ցուցանիշները 8.4. Դինամիկայի շարքի աղադրիչները 8.5. Տրենդ: Տրենդի վերլուծության մեթոդները դինամիկայի շարքերում 8.6. Սեզոնային տատանումներ 8.7. Ավտոկոռելյացիա: Դար ին – Ուոթսոնի հայտանիշը 8.8. Դինամիկայի շարքերի կոռելյացիան 8.9. Կանխատեսման ն ինտերպոլյացիայի տարրերը

ԳԼՈՒԽ |X. ԻՆԴԵՔՍՆԵՐ

9.1. Տնտեսական ինդեքսների դասակարգումը 9.2. Անհատական ն ընդհանուր ինդեքսներ 9.3. Ագրեգատային ինդեքսները` որպես ինդեքսների նախնական ձն 9.4. Միջին ինդեքսներ 9.5. Ինդեքսների ազայի ն կշռի ընտրությունը 9.6. Կառուցվածքային տեղաշարժերի ինդեքսներ 9.7. Տարածքային համադրման ինդեքսներ 9.8. Տնտեսական ինդեքսների փոխադարձ կապերը 9.9. Լասպեյրեսի ն Պաաշեի ինդեքսների հատկությունները 9.10. Ֆիշերի կատարյալ ինդեքսը 9.11. Ինդեքս - դեֆլյատոր Հավելվածներ Օգտագործված գրականության ցանկ

© «Տնտեսագետ» հրատարակչություն, 2008թ.

ÜւԸոճõՍ »Ս ւ:Õ:Ս»éԸÏ »Õրճոë` ë:Սրճ ÁՍրտ:Ս:ոՃԸ ºւոճ4:0Ը ã»Ս4Ըճ7 8àÔàØà4 äºîðà8Ú²4Æ 4:0Í:é ÑԸտ:Ճ:ÏԸ7

ԵՐԿՈՒ ԽՈՍՔ

Մարդու գործունեության ոլոր նագավառներում է կիրառվում վիճակագրության գիտությունը: Դժվար է պատկերացնել, թե ինչպես կզարգանար գիտությունն ու տեխնիկան, արտադրությունն ու տնտեսությունը, տիեզերագնացությունը, եթե մարդը չղեկավարվեր վիճակագրության օրենքներով, հետազոտման վիճակագրական մեթոդներով: Փորձարար ֆիզիկոսն ու կենսա անը, ճարտարապետն ու տնտեսագետը, կոնստրուկտորն ու քաղաքագետը աշխատանքային գործունեության ընթացքում առաջնորդվում են վիճակագրության կիրառման անհրաժեշտությամ : Վիճակագրական գիտությունը հնարավորություն է տալիս ձեռք երել ն կուտակել գիտելիքներ զանգվածային՝ կրկնվող գործընթացների ն երնույթների մասին, նրանց ընթացիկ հաշվարկման կամ հատուկ կազմակերպված դիտումների ն հետազոտությունների միջոցով: Շուկայական տնտեսության անցման շրջանում վիճակագրության դերն ավելի է արձրացել. այն ոչ միայն շուկայական տնտեսության վերլուծության իրական գործիք է, այն սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների զարգացման մակարդակը գնահատող յուրատեսակ ար իտր` միաժամանակ հանդիսանալով շուկայական հարա երությունների ձնափոխման հզոր զենք: Շուկայական տնտեսության պայմաններում վիճակագրությունը լուծում է իր առջն դրված խնդիրները, առաջ քաշում որակական նոր մոտեցումներ` դրանց ձնակերպման մակարդակի արձրացման ուղղությամ : Վիճակագրության տեսությունը վիճակագրական համակարգերի միջուկն է, որն ապահովում է տեսական ն մեթոդական պատրաստությունը արձրակարգ վիճակագիրների, տնտեսագետների, ֆինանսիստների, մենեջերների, հաշվապահների, ժողովրդագիր-

ների, սոցիոլոգների համար: Վիճակագրության տեսության հիմնական խնդիրն է տիրապետել վիճակագրության գիտության հիմունքներին, վերլուծությանը, վերլուծության արդյունքների ընդհանրացման ն կանխատեսման հմտություններին: Վիճակագրությունը նան մարդկային գործունեության ոլորտ է, որի նպատակը զանգվածային տվյալների հավաքագրումը, մշակումն ու վերլուծությունն է: Վաստակաշատ գիտնականի ն դասախոսի այս ձեռնարկը, որ գրված է գիտատեսական պատշաճ մակարդակով, լավ նվեր է ոչ միայն ուսանողներին ն ասպիրանտներին, այլն երիտասարդ դասախոսներին, գործնական վիճակագրությամ զ աղվողներին: Պրոֆ. Գագիկ Դավթյան

ՀԵՂԻՆԱԿԻ ԿՈՂՄԻՑ

“Վիճակագրության տեսություն” ձեռնարկի առաջին հրատարակությունը արեհաջող քննություն ռնեց ն արագ սպառվեց` կատարելով առաքելությունը: Ձեռնարկի վերահրատարակման անհրաժեշտություն առաջացավ, քանի որ մեծ էր դրա նկատմամ պահանջարկը: Վիճակագրությունը եղել ն մնում է ցանկացած գիտական հետազոտության կամ գործնական աշխատանքի վերլուծության հիմնական գործիքը: Այն հարստանում ն կատարելագործվում է հասարակական կյանքում դրսնորվող տնտեսական, սոցիալական, ժողովրդագրական ն ազմատեսակ այլ երնույթների, գործընթացների փոփոխությանը զուգընթաց: Վիճակագրության տեսությունը մնայուն ն լայն կիրառություն ունեցող գիտություն է` առավել նս շուկայական տնտեսության պայմանններում: Սույն ձեռնարկի նպատակն է օգնել ոլոր նրանց, ովքեր զ աղվում են վիճակագրությամ ն իրենց հետազոտական աշխատանքներում օգտվում են վիճակագրության մեթոդներից: Ձեռնարկի առաջարկվող լրացված ն վերամշակված հրատարակությունը աղկացած է ինը գլխից: Առաջին գլխում հակիրճ լուսա անվում է վիճակագրական գիտության ծագման ն զարգացման պատմությունը, ացահայտվում են վիճակագրության առարկան, մեթոդը ն լուծվող խնդիրները: Երկրորդ գլուխը նվիրված է վիճակագրական դիտարկումների անցկացման, կազմակերպման ն դասակարգման մեթոդա անությանը: Երրորդ գլխում պարզա անվում են դիտարկումների արդյունքների (տվյալների) ամփոփման ու խմ ավորման մեթոդները, ինչպես նան ներկայացման ձներն ու եղանակները: Չորրորդ գլխում լուսա անվում են վիճակագրական ցուցանիշները, տրվում ցուցանիշների տեսական ն գործնական հիմնավորումները: Հինգերորդ գլխում դիտարկվում են տատանման ցուցանիշները ն հաճախային աշխման վերլուծությունը: Վեցերորդ գլուխը նվիրված է ընտրանքային դիտարկման ուսումնասիրությանը: Յոթերորդ գլխում տրված է սոցիալ-տնտեսական երնույթների փոխադարձ կապերի վիճակագրական վերլուծությունը, ացա-

հայտվել են պատճառահետնանքային կապերը, կապի սերտության աստիճանը, կառուցվել ռեգրեսիայի հավասարումները, պարզաանվել դրանց գործակիցների նշանակություններն ու իմաստը, ստուգվել է գործակիցների հավաստիության աստիճանը: Ութերորդ գլուխը նվիրված է սոցիալ-տնտեսական երնույթների դինամիկայի շարքերի վիճակագրական ուսումնասիրությանը: Իններորդ գլուխը նվիրված է տնտեսական ինդեքսների նշանակությանն ու կարնորությանը: Գործոնային վերլուծության հիման վրա ացահայտվել է ամեն մի գործոնի ազդեցության աստիճանը: Հավելվածում ներկայացված են գործնականում կիրառելի հատուկ աղյուսակներ:

ԳԼՈՒԽ |

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՊԵՍ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

1.1. Վիճակագրության ծագումը ն զարգացումը ”Վիճակագրություն” տերմինն ունի լատինական ծագում` “6tatu6”, որի առացի թարգմանությունը նշանակում է վիճակ, կարգավիճակ, դրություն: Ներկայումս այդ տերմինը օգտագործվում է երեք իմաստով` որպես գիտություն, պրակտիկա ն տեղեկատվություն: Վիճակագրությունն ունի ազմադարյա պատմություն: Դրա ծագումը պայմանավորված էր հասարակական պահանջմունքներով, օրինակ` հողատեսակների զ աղեցրած տարածությունները, անասունների գլխաքանակը, նակչության (ընտանիքների) ունեցվածքը, զինապարտների թվաքանակը հաշվառելու անհրաժեշտությամ : Չինաստանում նման աշխատանքներ կատարվել են դեռնս մ.թ. երկու հազար տարի առաջ: Հին Հռոմում հաշվառվում էին ազատ քաղաքացիները ն նրանց ունեցվածքը: Հասարակական արտադրության ն ներքին ու արտաքին առնտրի զարգացմանը զուգընթաց, աճեց վիճակագրական տեղեկատվության պահանջարկը, ընդլայնվեց վիճակագրության գործունեության ոլորտը, կատարելագործվեցին դրա հնարքներն ու մեթոդները: Հաշվառման վիճակագրական աշխատանքները աստիճանաար ներառեցին տեսական ընդհանրացումներ, ինչը հիմք հանդիսացավ վիճակագրական գիտության առաջացման համար: Ժամանակակից վիճակագրության ըմ ռնմանը մոտ էր ”քաղաքական թվա անության” անգլիական դպրոցը, որը ձնավորվել էր գերմանական նկարագրական դպրոցից 100 տարի առաջ ն որի հիմնադիրը անգլիացի հայտնի տնտեսագետ Վ. Պետտին էր (16231687 թթ.): Պետտիի աշխատանքներում ուրվագծվում էր սոցիալտնտեսական ուղղությունը, որի գաղափարը այս կամ այն երնույթի կոնկրետ գնահատումն էր թվերի միջոցով: 17-րդ դարի երկրորդ կեսին, գերմանացի գիտնական Գ. Կոնրինգի (1606-1681 թթ.) ջանքերով ստեղծվել էր, այսպես կոչված` ”պետականագիտության” դպրոցը: Պետականագիտության կողմնակիցների աշխատությունները նվիրված էին պետության, դրա կարգերի, նակչության կենցաղի ու արքերի, նական պայմանների, ֆինանսների ու անակի նկարագրությանը: Չնայած այս ուղղության ներկայացուցիչներն իրենց աշխատանքները համարում էին

վիճակագրական, սակայն դրա հետ չէր կարելի համաձայնվել, քանի որ դրանցում տրվում էր միայն պետության առերնույթ նկարագիրը: Այս դպրոցի տեսակետը շատ հեռու էր վիճակագրական գիտության ներկա ովանդակությունից: Դպրոցը գոյատնեց ավելի քան 150 տարի` չփոխելով տեսական հիմունքները: Պետականագետների ընտրած ուղղությունը հետագա զարգացում ստացավ գերմանացի գիտնական, իրավունքի պրոֆեսոր Գ. Ախենվալի (1719-1772 թթ.) ն Ա. Շլեցերի կողմից: Հենց Գ. Ախենվալն է առաջին անգամ, 1746 թ., գործածել ”վիճակագրություն” տերմինը ն Մար ուրգի, այնուհետն Գետտենգենի համալսարաններում սկսել կարդալ այդ անվանումով նոր ուսումնական դասընթացը: 19-րդ դարի երկրորդ կեսին ծնվեց վիճակագրական գիտության երրորդ` ”վիճակագրամաթեմատիկական” ուղղությունը: Դրա զարգացման գործում մեծ ներդրում ունեցավ ելգիացի վիճակագիր Ա.Կետլեն (1796-1874 թթ.): Նրա մեծ ավանդը զանգվածային երնույթներում դրսնորվող օրինաչափությունների ացահայտումն էր քանակական մեթոդների օգնությամ : Վիճակագրության մաթեմատիկական ուղղությունը զարգացվել է Ֆ. Բուլտոնի (1822-1911 թթ.), Կ. Պիրսոնի (1857-1936 թթ.), Վ. Գոսետի (1890-1962 թթ.), Մ. Միտչելի (1874-1948 թթ.) ն այլ գիտնականների աշխատություններում: Այս դպրոցի ներկայացուցիչները վիճակագրական գիտության հիմքը ն կիրառության ճյուղը համարում էին հավանականությունների տեսությունը: 19-րդ դարում վիճակագրական գիտության զարգացման գործում մեծ ներդրում ունեցան նան Ռուսաստանի ”ակադեմիական” դպրոցի ներկայացուցիչները (Ա. Չուպրով, Ն. Կա լուկով, Ա. Կաուֆման), որոնք ջանում էին պետության ուսումնասիրությունը փոխարինել հասարակության ուսումնասիրությամ : Սակայն մինչն 20-րդ դարի կեսը ն ոչ մի ուղղության ներկայացուցիչ հստակ չէր սահմանել վիճակագրության առարկան ն մեթոդը, առանց որոնց այն չէր կարող ճանաչվել որպես ինքնուրույն գիտություն: Որպես գիտություն` վիճակագրությունը սկսեց ձնավորվել 20 դարի 50-ական թվականներին: Դրա ծագման ն զարգացման գործընթացի վրա խորը ն դրական ազդեցություն են թողել խորհրդային ն ռուսական վիճակագրական դպրոցների ներկայացուցիչները (Վ. Նեմչինով, Վ. Ստարովսկի, Ա. Բոյարսկի, Բ. Յաստրեմսկի, Լ. Նեկրաշա ն ուրիշներ), որոնց մենագրությունները, դասագրքերը, ուսումնական ձեռնարկները ն տար եր նույթի գիտական աշխատությունները դարձել են վիճակագիրների ուղեցույցը: Վիճակագրություն են անվանում նան հասարակական կյանքի տար եր կողմերը նութագրող ազմապիսի թվային տվյալները:

1.2. Վիճակագրության առարկան, դրա հիմնական գծերը ն նութագրերը Յուրաքանչյուր գիտության ովանդակությունը որոշվում է այն անով, թե ինչ է այն ուսումնասիրում ն ինչպիսի մեթոդներ են օգտագործվում այդ նպատակը իրականացնելու համար, այսինքն` տվյալ գիտության առարկայով: Վիճակագրության ուսումնասիրության օ յեկտը հասարակությունն է, նրանում տեղի ունեցող երնույթներն ու գործընթացները: Սակայն միայն վիճակագրությունը չէ, որ ուսումնասիրում է հասարակական կյանքի երնույթները` դրանով զ աղվում են ոլոր հասարակական գիտությունները: Ընդ որում, դրանցից յուրաքանչյուրն ուսումնասիրում է հասարակական կյանքի կողմերից մեկը, որն էլ հանդիսանում է այդ գիտության առարկան: Հասարակական մյուս գիտություններից վիճակագրությունը տար երվում է յուրահատուկ առանձնահատկություններով: Առաջին առանձնահատկությունը` հասարակական երնույթների ն գործընթացների քանակական կողմի ուսումնասիրությունն է: Քանակական կողմ ասելով` պետք է նկատի ունենալ հասարակական երնույթների կոնկրետ չափերը (օրինակ` կոնկրետ պահի դրությամ երկրի նակչության թիվը կամ ՀՆԱ ծավալը տարեկան կտրվածքով): Սակայն հասարակական երնույթների քանակական նութագրերը ան աժան են ուսումնասիրվող օ յեկտների որակական առանձնահատկություններից (օրինակ` արձրագույն կրթություն ունեցողների թիվը նակչության ընդհանուր թվաքանակում): Հասարակական կյանքի երնույթները անցնում են զարգացման տար եր փուլեր: Ժամանակի ընթացքում փոփոխվում են ինչպես դրանց չափերը, այնպես էլ դրանց միջն գոյություն ունեցող հարաերակցությունները, որոնք միանման չեն տար եր տարածքներում ն օ յեկտներում: Այդ պատճառով էլ վիճակագրությունը հասարա-

կական երնույթների քանակական ն որակական նութագրիչները ուսումնասիրում է տեղի ն ժամանակի կոնկրետ պայմաններում:

Վիճակագրության երկրորդ առանձնահատկությունն այն է, որ ուսումնասիրում է ոչ միայն առանձին փաստեր, այլն մեծ թվով

զանգվածային սոցիալ-տնտեսական երնույթներ ու առանձին միավորներ ընդգրկող համակցություններ, որոնք նութագրվում են ինչպես անհատական, այնպես էլ` ընդհանրական հատկություններով: Այս դեպքում վիճակագրության խնդիրն է ընդհանրական ցուցանիշների միջոցով ացահայտել հասարակական կյանքում դրսնորվող օրինաչափությունները, որոնք հատուկ են ոչ թե առան-

ձին պատահական տարրերին, այլ երնույթների մեծ` զանգվածային համակցություններին: Վիճակագրությունն ուսումնասիրում է զանգվածային երնույթների օրինաչափությունները: Վիճակագրական օրինաչափությունը երնույթներում դրսնորվող պար երականությունն է, անընդհատությունը ն հաջորդականությունը: Վիճակագրական հետազոտության կոնկրետ օ յեկտը կոչվում է վիճակագրական համակցություն: Վիճակագրական համակցությունը ուսումնասիրվող երնույթի միավորների ազմությունն է, որոնք միավորվում են հետազոտության խնդրին համապատասխանող միննույն որակական հիմքով, կամ ըստ որնէ ընդհանրացնող հատկանիշի: Սակայն վիճակագրական համակցության կազմը չի կարող լինել անփոփոխ, որովհետն այն ձնավորվում է հետազոտության որոշակի նպատակներին համապատասխան: Վիճակագրության երրորդ առանձնահատկությունը` ուսումնասիրվող հասարակական երնույթների համակցություններին նորոշ երկու հատկություններն են` • միավորների որակական համասեռությունը (օրինակ` գյուղացիական տնտեսությունները) • ուսումնասիրվող հատկանիշների տատանումը (նույն օրինակը): Վիճակագրությունում հատկանիշը նութագրում է ուսումնասիրվող երնույթի նորոշ հատկությունը, որի շնորհիվ այն տար երվում է մյուս երնույթներից: Հատկանիշները լինում են ատրի ուտիվ (որակական) ն քանակական: Ատրի ուտիվ հատկանիշները չեն կարող արտահայտվել քանակապես (թվային արժեքներով), քանի որ ունեն իմաստային ովանդակություն (օրինակ` սեռը, սոցիալական ծագումը, մասնագիտությունը ն այլն): Եթե ատրի ուտիվ հատկանիշը կարող է ընդունել ընդամենը երկու հակադիր արժեքներից (նշանակություններից) միայն մեկը, ապա այն կոչվում է ալտերնատիվ հատկանիշ: Քանակական հատկանիշները արտահայտվում են թվային արժեքներով (օրինակ` տարիքը, աշխատավարձի չափը ն այլն:) Քանակական նութագրերը վիճակագրությունում արտահայտվում են որոշակի տեսակների թվերով ( ացարձակ արժեքներով, հարա երական, միջին ն այլն): Վիճակագրական ցուցանիշը հենց այն նութագիրն է, ըստ որի ամ ողջ համակցությունը կամ դրա միավորի արժեքները մեկնա անվում են տվյալ ցուցանիշին համապատասխանող չափման միավորներով (կգ, տոննա, մ, կմ, դրամ ն այլն): Վիճակագրական ցանկացած ցուցանիշ ունի ովանդակություն, որը չի կարող արտահայտվել ”չոր” կամ անորոշ թվերով: Այն

պետք է լինի որոշակի ոլոր առումներով` քանակական, որակական, ժամանակային ն տարածական: Օրինակ` 2005 թ. ՀՀ-ում կյանքի սպասվելիք տնողությունը կազմել է 73.5 տարի: Այս օրինակում քանակական կողմը 73.5 տարին է, որակականը` կյանքի սպասվելիք տնողությունը, ժամանակայինը` 2005 թ. ն տարածքայինը` ՀՀ: Եթե որոշակիության կողմերից որնէ մեկը ացակայում է, ապա վիճակագրական ցուցանիշը կորցնում է իմաստը: Եթե հասարակական կյանքում տեղի ունեցող արդ երնույթների նութագրման համար օգտագործվում են մի խում ցուցանիշներ, ապա դրանցով ձնավորվում է ցուցանիշների համակարգը: Նկատի ունենալով վերոհիշյալը` վիճակագրության առարկան կարելի է նութագրել հետնյալ կերպ. Վիճակագրությունը հասարակական գիտություն է, որն ուսումնասիրում է հասարակական կյանքում տեղի ունեցող զանգվածային սոցիալ-տնտեսական երնույթների ու գործընթացների քանակական ու որակական կողմերը` տեղի ն ժամանակի կոնկրետ պայմաններում: Ելնելով առարկայի հիմնական գծերից ն նութագրերից` կարող ենք որոշել “վիճակագրություն” գիտության հետնյալ ճանաչողական խնդիրները` • զանգվածային սոցիալ-տնտեսական երնույթների մակարդակի ն կառուցվածքի ուսումնասիրություն, • զանգվածային սոցիալ-տնտեսական երնույթների փոխկապակցության ուսումնասիրություն, • զանգվածային սոցիալ-տնտեսական երնույթների դինամիկայի ուսումնասիրություն: Այսպիսով, ինչպես ցանկացած գիտական, այնպես էլ վիճակագրական հետազոտության նպատակը զանգվածային երնույթների ու գործընթացների էության ն իրեն հատուկ օրինաչափությունների ացահայտումն է: Վիճակագրական օրինաչափությունների հետազոտության հիմքում ընկած է մեծ թվերի օրենքը:

1.3. Վիճակագրության մեթոդը ն խնդիրները Մեթոդը հետազոտության նպատակների իրականացմանն ուղղված ճանաչողական հնարք է, գիտելիքներ ձեռք երելու կարգավորված գործունեություն: Վիճակագրական գիտության տեսական հիմքը տնտեսագիտության տեսության դրույթներն են, որոնք հետազոտում ն ձնավորում են հասարակական կյանքում տեղի ունեցող սոցիալ-տնտեսական երնույթների զարգացման օրենքները: Իր հերթին, տնտեսագիտու-

թյան տեսությունն օգտագործում է վիճակագրական տեղեկատվությունները տեսական դրույթները ստուգելու, հիմնավորելու ն լուսա անելու համար: Վիճակագրության մեթոդա անական հիմքը ճանաչողության տեսությունն է, ըստ որի վիճակագրությունը սոցիալ-տնտեսական երնույթները ն գործընթացները վերլուծում է ոչ միայն մեկուսացված կամ անորոշության վիճակում, այլն փոխներգործության, փոխկապակցվածության, շարժման ն զարգացման գործընթացում: Վիճակագրական գիտության զարգացման համար հիմք են հանդիսացել նան փիլիսոփայությունը ն տրամա անությունը: Դիալեկտիկայի օրենքների ն կատեգորիաների գիտակցումը հնարավորություն է ընձեռում ճիշտ հասկանալ վիճակագրական հետազոտությանը ենթակա երնույթների էությունը ն համապատասխան գործիքներ ու մեթոդա անություն ընտրել դրանք ուսումնասիրելու համար: Այնպիսի կատեգորիաների մշակումը, ինչպիսիք են քանակը ն որակը, անհրաժեշտությունը ն պատահականությունը, օրինաչափությունը ն այլն, հնարավորություն են տալիս փիլիսոփայորեն իմաստավորել վիճակագրության առարկան, մեթոդները ն խնդիրները: Դրա հետ մեկտեղ, իր առարկան ուսումնասիրելու համար վիճակագրությունը մշակել է յուրահատուկ հնարքներ, որոնցով ն ձնավորվում է նրա մեթոդա անությունը: Որպես վիճակագրության մեթոդա անություն` հասկանում ենք հնարքների, եղանակների ն մեթոդների մի այնպիսի համակարգ, որը նշանակված է սոցիալ-տնտեսական երնույթների կառուցվածքում, դինամիկայում ն փոխկապակցություններում դրսնորվող քանակական օրինաչափությունների ուսումնասիրության համար: Վիճակագրական հետազոտությունը աղկացած է երեք հիմնական փուլերից. • վիճակագրական դիտարկում, • դիտարկման արդյունքների սկզ նական մշակում, ամփոփում ն խմ ավորում, • ամփոփված նյութերի վերլուծություն: Թվարկված ոլոր փուլերը փոխկապակցված են, ն որնէ մեկի ացակայությունը հանգեցնում է հետազոտության ամ ողջականության խախտմանը: Յուրաքանչյուր փուլում օգտագործվում են տվյալ փուլին հատուկ մեթոդներ` հաշվի առնելով աշխատանքների ովանդակությունը: Այսպես, դիտարկումը վիճակագրական հետազոտության առաջին փուլն է, որի նպատակն է` ուսումնասիրվող երնույթների ն գործընթացների վերա երյալ սկզ նական տվյալների հավաքագրումը: Այս փուլում օգտագործվում է զանգվածային դիտարկման

մեթոդը: Երկրորդ փուլում կիրառվում են վիճակագրական խմ ավորման, աղյուսակային ներկայացման ն գրաֆիկական պատկերման մեթոդները: Երրորդ` վերլուծական փուլում, ընդհանրական ցուցանիշների ստացման, դրանց մակարդակների, կառուցվածքի ն դինամիկայի վերլուծության նպատակով, օգտագործվում են ացարձակ, հարաերական ն միջին մեծությունների հաշվարկման մեթոդները: Ընդհանրական կամ միջին մեծություններում թաքնված մասնակի տար երությունները ացահայտվում են տատանման ցուցանիշներով: Այս փուլում օգտագործվում են նան դինամիկայի շարքերի ն՛ ազմագործոն վերլուծության, ինդեքսային, ն՛ կոռելյացիոն–ռեգրեսիոն մեթոդները: Վիճակագրության խնդիրները միշտ էլ խել են երկրում գործող տնտեսական համակարգի պահանջներից: Ներկայումս վիճակագրության կարնորագույն խնդիրներից մեկը համարվում է երկրի սոցիալ-տնտեսական վիճակի ազմակողմանի լուսա անումը, դրանում դրսնորվող այնպիսի օրինաչափությունների ացահայտումը, որոնք պայմանավորված են շուկայական հարա երություններին անցնելու, այսինքն` երկրի տնտեսական ն սոցիալական ոլորտներում կատարվող փոփոխությունները քանակապես ն օ յեկտիվորեն գնահատելու հետ: Երկրի տնտեսության կառավարման մեխանիզմում առանձնահատուկ տեղերից մեկը պատկանում է վիճակագրությանը, որովհետն տեղեկատվության կազմը, նրա որակը ն արդիականությունը հիմք են հանդիսանում կառավարական որոշումների ընդունման համար: Ելնելով կառավարման նույթի փոփոխություններից` Ազգային հաշիվների համակարգի (ԱՀՀ) ներդրումից, ձեռնարկությունների դերից ն ենթակայություններից, ձնավորվող միջտարածքային հարա երություններից ն արտաքին աշխարհի հետ ստեղծված նոր կապերից, վիճակագրությունը կոչված է լուծելու հետնյալ խնդիրները. ♦ Պետական կառավարման մարմինների, միջազգային կազմակերպությունների (ՄԱԿ, ԱՄՀ, ՀԲ), լայն հասարակության, գործարարների ն անհատ քաղաքացիների` արժանահավատ տեղեկատվության ապահովումը: ♦ Գիտականորեն հիմնավորված ցուցանիշների համակարգի օգտագործմամ ` հասարակական կյանքում տեղի ունեցող սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների ազմակողմանի հետազոտումը: ♦ Հասարակական զարգացման գործընթացներում դրսնորվող

օրինաչափությունների ն միտումների ընդհանրացումն ու կանխատեսումը: ♦ Վիճակագրական աշխատանքների համապատասխանեցումը միջազգային ստանդարտներին: ♦ Համատարած դիտարկումներից` ընտրանքային դիտարկումների մեթոդներին անցումը:

1.4. Վիճակագրության ընդհանուր տեսությունը որպես վիճակագրական գիտության ճյուղ Մինչ 20-րդ դարի սկիզ ը, գիտական աշխարհում վիճակագրությունը հայտնի էր մեկ ընդհանուր` ”վիճակագրություն” անվանումով: Վիճակագրական գիտության հետագա զարգացումը հանգեցրեց մի շարք ինքնուրույն ճյուղերի առաջացման: Դա ացատրվում էր հետազոտության նոր` որոշակի առարկաների ն նութագրման համար յուրահատուկ ցուցանիշների համակարգերի ծնունդով: 20-րդ դարի սկիզ ը նշանավորվեց մաթեմատիկական վիճակագրության ինտենսիվ զարգացումով ն դրա ապարատի լայն կիրառումով: 20-րդ դարի երկրորդ կեսում արտադրության զարգացումը ն սոցիալ-տնտեսական գործընթացները դարձան ավելի արդ ն ազմա նույթ: Ճյուղային, միջճյուղային ն միջտարածքային կապերի արդացումը պահանջում էր նոր ցուցանիշների մշակում ն մինչ այդ կիրառություն գտածների կատարելագործում: Այդ պայմաններում վիճակագրական գիտության զարգացումն ընթացավ ոչ միայն հետազոտության մեթոդների խորացման ն կատարելագործման, այլն մասնագիտացման ուղիով: Ծնունդ առան տնտեսության առանձին ճյուղերին ն սոցիալական հարա երություններին վերաերող ճյուղային վիճակագրություններ, ինչի արդյունքում վիճակագրությունը դարձավ ազմաճյուղ, սակայն չկորցրեց միասնականությունը: Ճյուղային վիճակագրություններից յուրաքանչյուրն ունի սեփական հետազոտության օ յեկտը ն ացահայտում է օգտագործվող ցուցանիշների էությունը, մշակում դրանց գիտական ն գործնական կիրառության կանոններն ու մեթոդները: Սակայն ոլոր ճյուղային վիճակագրություններում կիրառվում են վիճակագրության ընդհանուր տեսության սկզ ունքներն ու մեթոդները: Միասնական վիճակագրական գիտությունը ներկայացվում է երեք մակարդակներով: Առաջին մակարդակը վիճակագրության ընդհանուր տեսությունն է: Դա գիտություն է սոցիալ-տնտեսական երնույթների առավել

ընդհանուր սկ ունքների, կանոնների ն թվային լուսա անման օրենքների մասին: Այն տալիս է ընդհանրական իմաստ ունեցող վիճակագրական հասկացությունների, կատեգորիաների սահմանումը (օրինակ` ”օրինաչափություն”, ”ցուցանիշ”, ”հատկանիշ”, ”միջին մեծություն” ն այլն) ն մեթոդներ է մշակում սոցիալ-տնտեսական երնույթների ուսումնասիրության համար: Երկրորդ մակարդակում առանձնացվում են երկու խոշոր ընդհանրական ոլորտներ` տնտեսական ն սոցիալական վիճակագրությունները: Տնտեսական վիճակագրությունը ուսումնասիրում է տնտեսության նագավառի երնույթներն ու գործընթացները, տնտեսության ճյուղերի ն հասարակական վերարտադրության տարրերի կառուցվածքը, համամասնություններն ու փոխկապակցությունները: Սոցիալական վիճակագրությունն ուսումնասիրում է այնպիսի երնույթներն ու գործընթացները, որոնք նութագրում են մարդկանց ապրելակերպը, կենսագործունեության պայմանները, աշխատանքի ն ոչ արտադրական գործունեության ընթացքում ստեղծված (դրսնորված) փոխհարա երությունները: Երրորդ մակարդակում առանձնացվում են տնտեսական ն սոցիալական վիճակագրության ճյուղերը: Տնտեսական վիճակագրությունը ներառում է արդյունա երության, գյուղատնտեսության, ապրանքների ու ծառայությունների շուկայի ն արտադրական ոլորտի այլ ճյուղերի վիճակագրությունները: Սոցիալական վիճակագրությունը ներառում է նակչության կենսամակարդակի, ապահովագրության, մշակույթի, առողջապահության ն սոցիալական ոլորտի այլ ճյուղերի վիճակագրությունները: Վիճակագրությունը զարգանում է որպես միասնական գիտություն, ն յուրաքանչյուր ճյուղի զարգացումը օժանդակում է դրա ամ ողջական կատարելագործմանը: Վիճակագրության ընդհանուր տեսությունը վիճակագրական մյուս դասընթացների ուսումնասիրության առաջին փուլն է: Այն ոլոր վիճակագրությունների տեսական հիմքն է, որի կողմից մշակված վերլուծական մեթոդները, հասկացություններն ու կատեգորիաները որոշակի կիրառություն են գտնում դրանց դասավանդման ն հետազոտական աշխատանքներում: ”Վիճակագրության ընդհանուր տեսություն” առարկան ընգրկում է հետնյալ կարնորագույն աժինները. • վիճակագրական դիտարկումների, խմ ավորումների աղյուսակային ն գրաֆիկական պատկերումների մեթոդները, • ընդհանրական ցուցանիշների մեկնա անումը` ացարձակ, հարա երական ն միջին մեծությունների տեսքով,

• տատանվող շարքերի չափերի ն ինտենսիվության ցուցանիշների հաշվարկը, • ընտրանքային մեթոդը, դրա խնդիրները ն կիրառումը սոցիալ-տնտեսական հետազոտություններում, • դինամիկայի շարքերի հասկացությունը ն վերլուծական ցուցանիշները, • ինդեքսների մեթոդը ն դրա կիրառումը սոցիալ-տնտեսական երնույթների մակարդակների ն ծավալների վերլուծությունում` ժամանակի ն տարածության մեջ, • կոռելյացիոն ն ռեգրեսիոն մեթոդների կիրառումը վիճակագրական հետազոտություններում:

ԳԼՈՒԽ ||

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԴԻՏԱՐԿՈՒՄ

2.1. «Վիճակագրական դիտարկում» հասկացությունը ն անցկացման փուլերը Վիճակագրական դիտարկումը հետազոտության սկզ նական փուլն է: Այն հասարակական կյանքի երնույթների ն գործընթացների վերա երյալ զանգվածային սկզ նական տեղեկատվության հավաքագրման` գիտականորեն կազմակերպված ն միասնական ծրագրով իրականացվող հետազոտություն է: Սակայն ոչ ոլոր տեղեկությունների հավաքագրումն է համարվում վիճակագրական: Վիճակագրական են միայն այն դիտարկումները, որոնց ընթացքում ուսումնասիրվում են տնտեսական ն սոցիալական երնույթների այնպիսի օրինաչափություններ, որոնք համընդհանուր են այս կամ այն համակցության անդամների մեծ մասի համար: Տեղեկատվությունը պետական վիճակագրական մարմինների գործունեության հիմնական արդյունքն է: Ինչպես ն ցանկացած արդյունք, տեղեկատվությունն ունի արժեք: Հատկապես թանկ է գնահատվում այն տեղեկատվությունը, որը հավաքագրվում է վիճակագրական աշխատանքների ծրագրերից դուրս: Արժեքը մեծ է, եր տեղեկատվությունը արժանահավատ է (ստույգ) ն համադրելի: Արժանահավատության ապահովման ընդհանուր պահանջը դիտարկվող օ յեկտի ոլոր աղադրիչների վերա երյալ ամ ողջական ն ճշգրիտ գրառումն է: Այդ տվյալները պետք է ծառայեն այն նպատակներին, որոնց համար կատարվել է դիտարկումը: Որպես համադրելիություն, առաջին հերթին, պետք է հասկանալ տվյալների ընդհանրացման հնարավորությունները ժամանակի ն տարածության առումով, որի ապահովման համար էլ տվյալները պետք է հավաքագրվեն միաժամանակ ն միասնական մեթոդա անությամ : Վիճակագրական դիտարկում կարող են անցկացնել ոչ միայն պետական վիճակագրական մարմինները, այլն գիտահետազոտական ինստիտուտները, անկերի, որսաների ն ֆիրմաների վիճակագրական ծառայությունները: Վիճակագրական դիտարկման գործընթացն ընդգրկում է հետնյալ փուլերը. • դիտարկման նախապատրաստում,

• զանգվածային տվյալների հավաքագրում, • հավաքագրած տվյալների մեքենայական մշակում:

Վիճակագրական դիտարկման նախապատրաստման գործընթացն ընդգրկում է աշխատանքների տար եր տեսակներ: Սկզ ում անհրաժեշտ է որոշել մեթոդա անական հարցերը (դիտարկման նպատակը ն օ յեկտը, գրանցման ենթակա հատկանիշների կազմը, դիտարկման միավորի ընտրությունը ն այլն): Այս փուլում անհրաժեշտ է լուծել նան կազմակերպական նույթի հիմնախնդիրներ (օրինակ` դիտարկումը անցկացնող ծառայության կազմը, կադրերի նախապատրաստումը, օրացուցային պլանի կազմումը, փաստաթղթերի ազմացումը ն այլն):

Զանգվածային տվյալների հավաքագրման աշխատանքներն

անմիջականորեն կապված են ծառայողական մատյանների (տեղեկամատյանների) լրացման հետ: Այն սկսվում է գրառման թերթերը, լանկները, անկետաները (հարցաթեթերը) ցրելուց ն ավարտվում է դիտարկումը կազմակերպող ծառայության կողմից լրացված տեսքով դրանց հանձնումով: Վերջին` մեքենայական մշակման փուլում տվյալները ենթարկվում են թվա անական ն տրամա անական ստուգման, որն անհնար է իրականացնել առանց ցուցանիշների ն որակական հատկանիշների միջն փոխկապակցվածության իմացության: Վիճակագրական աշխատանքների օպերատիվությունը ն որակը կախված են տեղեկատվության հավաքագրման, փոխանցման, մշակման ն պահպանման տեխնոլոգիաներից: Այս աշխատանքներում մեծ է նորագույն հաշվողական տեխնիկայի ն ծրագրային ապահովման դերը: Վիճակագրական դիտարկման առանձին փուլերը (մասնավորապես առաջինը) ն վիճակագրական դիտարկումն ամ ողջությամ վերցրած, պահանջում են ֆինանսական, աշխատանքային ն ժամանակի զգալի ծախսումներ, իսկ համատարած դիտարկումների որոշ տեսակները (օրինակ` մարդահամարը)` մեծ ծախսումներ:

2.2. Վիճակագրական դիտարկման ծրագրամեթոդա անական ն կազմակերպական հարցերը Ցանկացած վիճակագրական դիտարկում անհրաժեշտ է սկսել դրա նպատակի ն կոնկրետ խնդիրների ճիշտ ձնակերպումից: Դիտարկման նպատակը երնույթների ն գործընթացների զարգացման օրինաչափությունների ացահայտման համար արժանահավատ տեղեկատվություն ստանալն է: Պետք է հստակ պատկե-

րացնել հետազոտության նպատակը, հակառակ դեպքում այն կարող է վերածվել ոչ պիտանի տվյալների հավաքագրման: Դիտարկման խնդիրները խում են դրա ծրագրից ն կազմակերպման ձներից: Այս փուլում որոշվում է նան հետագա աշխատանքների կազմը ն, առաջին հերթին, դիտարկման օ յեկտը ն միավորը: Դիտարկման օ յեկտը սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների համակցություն է, որը ենթակա է հետազոտության: Հետազոտության օ յեկտ կարող են հանդիսանալ ֆիզիկական անձինք (երկրի ն դրա առանձին տարածքների նակչությունը), ֆիզիկական միավորները (շենքեր, մեքենաներ, հաստոցներ), իրավա անական անձինք (ձեռնարկություններ, ֆերմերային տնտեսություններ, առնտրային անկեր) ն դրանց համակցությունները: Վիճակագրական դիտարկման օ յեկտը որոշելու համար անհրաժեշտ է հստակեցնել ուսումնասիրվող համակցության սահմանները: Այդ նպատակով օգտագործվում է որոշակի ցենզ (արտոնակարգ): Ցենզը սահմանափակող հատկանիշն է, որին պետք է համապատասխանեն համակցության ոլոր միավորները: Օրինակ, անհրաժեշտ է հաշվառել տեղակայված սարքավորումների քանակը: Այս դեպքում ցենզը ”տեղակայվածներն են”, անկախ այն անից, գործում են դրանք, նորոգվում, թե` ոչ: Վիճակագրական դիտարկման ոլոր օ յեկտները աղկացած են առանձին տարրերից` դիտարկման միավորներից: Դիտարկման օ յեկտը որոշելուց հետո անհրաժեշտ է ճշտել դիտարկման միավորները: Դիտարկման միավորը դիտարկվող օ յեկտի աղկացուցիչ տարր է ն հանդիսանում է գրառմանը ենթակա հատկանիշի կրող: Օրինակ, ժողովրդագրական հետազոտությունների ժամանակ դիտարկման միավոր կարող է հանդիսանալ մարդը կամ տնային տնտեսությունը: Դիտարկման միավորը որոշելու հետ մեկտեղ մշակվում է վիճակագրական դիտարկման ծրագիրը: Դիտարկման ծրագիրը հարցացուցակ է, ըստ որի հավաքագրվում են տեղեկությունները, կամ գրառման ենթակա հատկանիշների ն ցուցանիշների ցուցակ է (թվարկում): Դիտարկման ծրագիրը ձնավորվում է լանկի (անկետայի, տեղեկամատյանի) տեսքով, որում լրացվում են սկզ նական տեղեկությունները: Բլանկին կից ներկայացվում է հրահանգ, որում ացատրվում է հարցերի իմաստը ն լրացման կարգը: Դիտարկման ծրագրի հարցերի կազմը ն ովանդակությունը կախված է հետազոտության խնդիրներից ն ուսումնասիրվող հասարակական երնույթների առանձնահատկություններից: Վիճակագրական դիտարկման ծրագիրը պետք է ավարարի հետնյալ պահանջները.

♦ Ծրագրում պետք է ընդգրկվեն միայն այն հարցերը, որոնք անմիջականորեն կապված են տվյալ հետազոտության հետ: Հարկ չէ ծանրա եռնել ծրագիրը ավելորդ կամ երկրորդական նշանակություն ունեցող հարցերով: ♦ Ծրագրում պետք է ընդգրկվեն միայն այն հարցերը, որոնց վերա երյալ կարող են ստացվել ճիշտ (ստույգ) պատասխաններ: Այն պետք է հեշտությամ ընկալվի հարցվողի կողմից: ♦ Հարկ չէ ծրագրում ընդգրկել կասկածելի հարցեր, որոնց պատասխանները կարող են վնասել հարցվողներին: ♦ Արժանահավատ տեղեկություններ ստանալու համար ծրագրում ընդգրկվող հարցերը պետք է ներկայացվեն տրամաանական հաջորդականությամ , ընդ որում` ստացված տվյալները ստուգելու ն ճշգրտելու նպատակով հարցաշարում պետք է ընդգրկվեն վերահսկող նույթի հարցեր: ♦ Ստացված տեղեկությունների միօրինակությունը ապահովելու համար ծրագիրը ձնավորվում է տեղեկամատյանների տեսքով: Վիճակագրական տեղեկամատյանը դիտարկման ծրագիրը ն արդյունքները ովանդակող միատեսակ նմուշի փաստաթուղթ է: Վիճակագրական տեղեկամատյանի պարտադիր տարրերը տիտղոսային ն հասցեական մասերն են: Առաջինում գրվում է վիճակագրական դիտարկման ն այն նախաձեռնող մարմնի անվանումը, իսկ երկրորդում` հաշվետու միավորի հասցեն: Տեղեկամատյանը կարող է ունենալ տար եր անվանումներ. գրառման թերթ, հարցացուցակ ն այլն: Այն լինում է անհատական ն ցուցակային: Վիճակագրական դիտարկում կազմակերպելու համար կարնորագույն խնդիրներից մեկը` դիտարկման վայրի ն ժամանակի ընտրությունն է: Դիտարկման վայրի ընտրությունը կախված է դիտարկման նպատակից: Այն կարող է ընդգրկել երկրի ամ ողջ տարածքը (օրինակ` մարդահամարը), դրա որոշակի հատվածները (օրինակ` տնային տնտեսությունների ընտրանքային հետազոտությունը) ն այլն: Դիտարկման ժամանակն ընտրելու համար պահանջվում է լուծել երկու հարց` - որոշել դիտարկման կրիտիկական պահի կամ ժամանակի միջակայքի սահմանները, - որոշել դիտարկման ժամկետը (ժամանակամիջոցը): Կրիտիկական պահը այն կոնկրետ տարին, օրը ն ժամն է, որի դրությամ պետք է կատարվի ուսումնասիրվող համակցության յուրաքանչյուր միավորին վերա երող հատկանիշի գրառումը: Օրինակ` 2001թ. ՀՀ-ում անցկացված մարդահամարի կրիտիկական

պահը համարվեց հոկտեմ երի 10-ի 000 ժամը (նույնն է, ինչ ն հոկտեմ երի 9-ի ժամը 2400): Դիտարկման ժամկետը (ժամանակամիջոցը) այն ժամանակահատվածն է, որի ընթացքում պետք է կատարվի դիտարկումը: Վերոհիշյալ մարդահամարի դիտարկման ժամկետի տնողությունը սահմանված էր 10 օր (հոկտեմ երի 10-ից 19-ը ներառյալ):

2.3. Վիճակագրական դիտարկումների ձները, տեսակները ն եղանակները Վիճակագրության պրակտիկայում օգտագործվում են դիտարկումների կազմակերպական երեք ձներ. - հաշվետվություններ, - հատուկ կազմակերպվող վիճակագրական հետազոտություններ, - ռեգիստրներ: Հաշվետվությունը դիտարկումների կազմակերպական ձն է, որի կիրառության դեպքում դիտարկման ենթակա միավորները տեղեկություններ են ներկայացնում իրենց գործունեության մասին` կանոնագրված ձների ու տեղեկությունների տեսքով: Հաշվետվության առանձնահատկությունն այն է, որ պարտադիր է, փաստերով հիմնավորված ն իրավա անորեն հաստատված` կազմակերպության ղեկավարի ստորագրությամ : Հաշվետվությունը պաշտոնական փաստաթուղթ է, որը հիմնվում է սկզ նական հաշվառման տվյալների վրա: Ըստ ներկայացման ժամկետների հաշվետվությունները լինում են ամենօրյա, շա աթական, տասնօրյա, ամսական, եռամսյակային ն տարեկան: Ըստ տեղեկությունների ներկայացման եղանակի` հաշվետվությունները լինում են էլեկտրոնային, հեռագրության, հեռատիպային ն փոստային:

Հատուկ կազմակերպվող վիճակագրական հետազոտությունները անց են կացվում անհրաժեշտ տվյալների ացակայության

դեպքում, ճշտելու անհրաժեշտության կամ դրանց ստուգման նպատակով: Նման հետազոտության դասական օրինակը մարդահամարն է: Ռեգիստրային դիտարկումը վիճակագրական անընդմեջ հետազոտության ձն է: Դա համակարգ է, որը մշտապես հետնում է դիտարկման ենթակա միավորների զարգացման ընթացքին ն գնահատում տար եր գործոնների ներգործության աստիճանը ուսումնա-

սիրվող ցուցանիշների վրա: Դիտարկման յուրաքանչյուր միավորը ռեգիստրում նութագրվում է ցուցանիշների համապատասխան համակարգով, որոնցից մեկը դիտարկման ողջ ժամանակաշրջանում մնում է անփոփոխ (կամ գրառվում է ընդամենը մեկ անգամ), իսկ մյուսները, որոնց փոփոխության պար երականությունը հայտնի չէ, թարմացվում են փոփոխությանը զուգընթաց, այց պահպանվում մինչն դիտարկման աշխատանքների ավարտը: Վիճակագրական պրակտիկայում տար երվում են ռեգիստրի տեսակներ` նակչության ն ձեռնարկությունների: Բնակչության ռեգիստրը ընդգրկում է այնպիսի ընդհանրական ցուցանիշներ, ինչպիսիք են` սեռը, ծննդյան տարեթիվը ն վայրը, ամուսնության տարին, նակության վայրի փոփոխությունը ն այլն: Եթե նակիչը մահացել կամ տեղափոխվել է այլ երկիր, ապա նրան վերա երող տեղեկությունները հանվում են ռեգիստրից: Իսկ երկրի ներսում նակության վայրի փոփոխության դեպքում դիտարկվող անձին վերա երող տեղեկությունները փոխանցվում են նոր վայր: Ձեռնարկությունների ռեգիստրի տեղեկատվության ֆոնդը ներառում է. - ռեգիստրային կոդը, - ճյուղային ն տարածքային ենթակայությունը, - սեփականության ն կազմակերպական ձնը, - հասցեն, հեռախոսի ն ֆաքսի համարները, - տնտեսական ցուցանիշները: Վիճակագրական դիտարկումները ընդունված է աժանել տարեր տեսակների` ըստ հետնյալ հայտանիշների. • փաստերի գրառման ժամանակը, • համակցության միավորների ընդգրկման շրջանակը: Ըստ առաջին հատկանիշի` դիտարկումները լինում են ընթացիկ (անընդհատ) ն ընդհատվող: Վերջինները իրենց հերթին լինում են պար երական ն միանվագ: Ընթացիկ դիտարկումների ժամանակ փաստերի գրառումը տարվում է դրանց ծագման (տեղի ունենալու) պահով (օրինակ` ծնունդը, ամուսնությունը, մահը): Պար երական դիտարկումները կատարվում են ուսումնասիրվող օ յեկտի փոփոխությունները ացահայտելու նպատակով: Այդ իսկ պատճառով դրանք կազմակերպվում են մի քանի անգամ, այն էլ` ժամանակի տար եր պահերին: Միանվագ դիտարկումների նպատակը տեղեկությունների հավաքագրումն է որնէ երնույթի կամ գործընթացի վերա երյալ (հետազոտության պահի դրությամ ): Համակցության միավորների ընդգրկման տեսակետից` դիտար-

կումները լինում են համատարած ն ոչ համատարած: Համատարած են համարվում այն դիտարկումները, որոնց ընթացքում հաշվառվում են ուսումնասիրվող համակցության ոլոր միավորները: Հարկ է նշել, որ դիտարկման այսպիսի կազմակերպումը պահանջում է ֆինանսական ն աշխատանքային մեծ ծախսումներ: Այդ պատճառով դրանց մեծ մասը փոխարինվում է ոչ համատարած դիտարկումներով: Ոչ համատարած դիտարկումների միջոցով հաշվառվում է ուսումնասիրվող համակցության միավորների մի մասը այնպես, որ դիտարկման արդյունքներով հնարավոր լինի ստանալ ողջ համակցության նութագիրը: Գործնականում կիրառվում են ոչ համատարած դիտարկումների երեք տեսակներ` ընտրանքային, հիմնական զանգվածի ն մենագրական: Ընտրանքային դիտարկումերի դեպքում հաշվառվում են համակցության պատահական կարգով ընտրված մասի տվյալները, որոնց միջոցով տրվում է ողջ համակցության նութագրումը: Դիտարկման ենթակա միավորների թիվը որոշվում է ելնելով ուսումնասիրվող սոցիալ-տնտեսական երնույթների նույթից ն, ըստ դրա, ընտրանքը պետք է ընդգրկի համակցությունում գոյություն ունեցող ոլոր տիպերի միավորները: Հիմնական զանգվածի դիտարկման տեսակը կիրառելիս հետազոտության են ենթարկվում համակցության այնպիսի խոշոր միավորները, որոնք ունեն մեծ տեսակարար կշիռ` ըստ հիմնական ուսումնասիրվող հատկանիշի: Մենագրական դիտարկումները նախատեսում են ուսումնասիրվող համակցության առանձին միավորների մանրազնին հետազոտություն: Վիճակագրական տեղեկատվությունների ստացման եղանակները երեքն են` անմիջական, փաստաթղթային ն ուղղակի հարցման: Անմիջական դիտարկման եղանակը կիրառելու դեպքում համապատասխան գրանցումները կատարում են ռեգիստրատորները (մատենավարները)` չափման, կշռման, վերահաշվարկման ն ճշտության ստուգման միջոցով:

Տեղեկատվությունների հավաքագրման փաստաթղթային եղանակը նախատեսում է սկզ նական փաստաթղթերում այս կամ այն

փաստը հաստատող պար երական գրառումների կատարում: Հարցման եղանակի կիրառության դեպքում տեղեկությունները ստացվում են անմիջականորեն հարցվողից, անավոր հարցման արդյունքում: Վիճակագրության պրակտիկայում կիրառվում են հարցման էքսպեդիցիոն, ինքնագրառման, թղթակցական, անկե-

տային ն ծանուցման տարատեսակները: էքսպեդիցիոն եղանակի կիրառության դեպքում հատուկ նախապատրաստված հաշվարարներն անհրաժեշտ տեղեկատվությունները ստանում են հարցվողներից ն լրացնում դրանք հետազոտության լանկում (տեղեկամատյանում): Հաշվարարների աշխատանքը երաշխավորում է հարցերի միօրինակ ըմ ռնումը ն պատասխանների առավելագույն ճշտությունը: Ինքնագրառումը նախատեսում է հարցման թերթիկների լրացումը հարցվողների կողմից: Հաշվարարները աժանում են դրանք, ացատրում լրացման կարգը ն, այնուհետն, լրացնելուց հետո հավաքում ն հանձնում դիտարկումը կազմակերպող մարմնին: Թղթակցական եղանակի իմաստն այն է, որ դիտարկումը կազմակերպող մարմնին տեղեկությունները հայտնում (հաղորդում) են կամավոր թղթակիցները: Չնայած հարցման այս եղանակը քիչ ծախսեր է պահանջում, սակայն այն չի երաշխավորում ստացված տեղեկությունների արձր ճշտությունը ն որակը, քանի որ ոչ միշտ է հնարավոր տեղերում կատարել անհրաժեշտ մակարդակի ստուգումներ: Անկետային հարցման դեպքում որոշակի թվով մարդկանց աժանում են անկետաներ, որոնք լրացվում են կամավոր ն անանուն (անստորագիր) սկզ ունքներով: Դա, իհարկե, նվազեցնում է ստացվող տեղեկությունների լրիվությունն ու հավաստիությունը: Այդ պատճառով դիտարկման այս եղանակը կիրառվում է միայն այնպիսի հետազոտություններում, որոնցում չի պահանջվում արձր ճշտություն ն մոտավոր արդյունքները ավարար են: Ծանուցման (տեղեկացման) եղանակը նախատեսվում է այն դեպքերում, եր փաստերը գրանցելու համար պահանջվում է հարցման օ յեկտի ներկայությունը: Օրինակ` ամուսնության, ամուսնալուծության ակտերը: Դիտարկման այս կամ այն եղանակի ընտրությունը կատարելիս հարկավոր է հաշվի առնել այնպիսի հանգամանքներ, ինչպիսիք են դիտարկման ճշտությունը, դրա գործնական կիրառման համար անհրաժեշտ ֆինանսական հնարավորությունները ն այլն: Վիճակագրական դիտարկումների ձները, տեսակները ն եղանակները ներկայացված են աղյուսակ 2.1-ում:

1. Վիճակագրական հաշվետվություն 2. Հատուկ կազմակերպվող վիճակագրական հետազոտություն 3. Ռեգիստրներ

Վիճակագրական դիտարկումների կազմակերպման ձները

1. Ընթացիկ կամ անընդհատ 2. Ընդհատվող` ա) պար երա ար ) միանվագ

Ըստ փաստերի գրառման ժամանակի

1. Համատարած 2. Ոչ համատարած` ա) ընտրանքային ) հիմնական զանգվածի գ) մենագրական

Ըստ համակցության միավորների ընդգրկման

Վիճակագրական դիտարկումների տեսակները

1. Անմիջական 2. Փաստաթղթային 3. Հարցման ա) էքսպեդիցիոն ) ինքնագրառում գ) թղթակցական դ) անկետային ե) ծանուցման

Վիճակագրական դիտարկումների եղանակները

Աղյուսակ – սխեմա 2.1 Վիճակագրական դիտարկումների ձները, տեսակները ն եղանակները

ԳԼՈՒԽ |||

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԴԻՏԱՐԿՄԱՆ ՏՎՅԱԼՆԵՐԻ ԱՄՓՈՓՈՒՄ

ԵՎ ԽՄԲԱՎՈՐՈՒՄ

3.1. Վիճակագրական տվյալների ամփոփում Ինչպես հայտնի է, վիճակագրական դիտարկման ընթացքում հավաքագրված տեղեկատվությունները վերա երում են հետազոտվող օ յեկտի առանձին միավորներին, ըստ որի դեռնս հնարավոր չէ ամ ողջական եզրակացություն անել օ յեկտի մասին: Այդ պատճառով անց է կացվում վիճակագրական հետազոտության երկրորդ` ամփոփման փուլը: Այս փուլում սկզ նական տվյալների մշակման արդյունքների հիման վրա ստացվում են ընդհանրական վիճակագրական ցուցանիշներ, որոնց օգնությամ արդեն հնարավոր է դառնում ացահայտել սոցիալ-տնտեսական երնույթների էությունը ն ընդհանրական օրինաչափությունները: Այսպիսով, վիճակագրական ամփոփումը ուսումնասիրվող երնույթին նորոշ գծերի ն օրինաչափությունների ացահայտման նպատակով առանձին ցուցանիշներն ընդհանրացնող աշխատանքների (ստուգում, համակարգում, աղյուսակների կազմում, հանրագումարի երում ն այլն) համալիր է: Վիճակագրական ամփոփումը պետք է իրականացվի ըստ ծրագրի, որը մշակվում է մինչ տվյալների հավաքագրումը, այսինքն` գործնականում համընկնում է դիտարկման պլանի ն ծրագրի մշակման ժամանակաշրջանի հետ: Այդ փուլում կատարվում է ուսումնասիրվող երնույթների ն գործընթացների տեսական վերլուծություն, որպեսզի ամփոփման ընթացքում չանհետանա ոչ մի տեղեկատվություն ն ոլոր վիճակագրական ընդհանրացումները արտահայտեն օ յեկտը նութագրող կարնորագույն գծերը: Ամփոփման ծրագրում ընդգրկվում են խմ ավորման հատկանիշի ընտրության, խմ երի ն ենթախմ երի ձնավորման, ցուցանիշների համակարգերի ն աղյուսակների ձների մշակման հարցերը: Դրանք պետք է լուծում ստանան ոչ թե մեխանիկորեն, այլ հաշվի առնելով հետազոտության նպատակը, ուսումնասիրվող համակցության առանձնահատկությունները, ամփոփվող տվյալների նույթը, մշակման ձնը ն ամփոփումը իրականացնող մարմնի` հաշվողական տեխնիկայով ապահովվածության աստիճանը: Ելնելով նշված պահանջներից` վիճակագրական ամփոփման տեսակները գործնականում կարող են խմ ավորվել ըստ հետնյալ

հայտանիշների. 1. Ըստ կատարման տեխնիկայի կամ եղանակի` ամփոփումը կարող է կատարվել ձեռքով կամ մեքենայացված: • Ձեռքով ամփոփվում են հիմնական տվյալների փոքր քանակները: Նախ ծածկագրում են վիճակագրական հարցաթերթերը, այնուհետն դրանք խմ ավորում են ըստ որնէ հատկանիշի ն, վերջապես, կատարում ցուցանիշների հաշվարկումը: Ներկայումս ամփոփման այս տեսակը հազվադեպ է կիրառվում, քանի որ վիճակագրական հետազոտություններ անցկացնող գրեթե ոլոր մարմինները զինված են նորագույն հաշվողական տեխնիկայով: • Մեքենայացված ամփոփման դեպքում ոլոր գործողությունները կատարվում են համակարգիչների կիրառմամ : 2. Ըստ տվյալների մշակման խորության` ամփոփումը լինում է պարզ ն արդ: • Պարզ ամփոփումը նախատեսում է դիտարկվող համակցության միավորների ընդհանուր հանրագումարի երելը: • Բարդ ամփոփումը այնպիսի գործողությունների համալիր է, որն ընդգրկում է դիտարկման միավորների խմ ավորումը, ըստ առանձին խմ երի ն ամ ողջ օ յեկտի հանրագումարի հաշվարկը ն խմ ավորման ու ամփոփման արդյունքների ներկայացումը վիճակագրական աղյուսակների տեսքով: 3. Ըստ տվյալների մշակման ձնի` ամփոփումը լինում է կենտրոնացված ն ապակենտրոնացված: • Կենտրոնացված ամփոփման դեպքում ոլոր սկզ նական տվյալները կենտրոնացվում են մեկ կազմակերպությունում, որտեղ էլ իրականացվում են մշակման ոլոր փուլերը: • Ապակենտրոնացված ամփոփումը կատարվում է տար եր կազմակերպություններում` հաջորդական փուլերով: Ամփոփման պլանում շարադրվում են մի շարք կազմակերպական հարցեր` ամփոփման գործողությունները (աշխատանքները) իրականացնող մարմինների, դրանց կատարման ժամկետների, տվյալների գաղտնիության ն հրապարակայնության իրավունքի վերա երյալ:

3.2. Վիճակագրական տվյալների խմ ավորում Վիճակագրության կողմից ուսումնասիրվող զանգվածային երնույթներն ու գործընթացները հիմնականում ընթանում են համասեռ համակցություններում: Սակայն ոչ ոլոր դեպքերում է համակ-

ցությունը ձնավորող միավորների որակական համասեռությունը լինում ացարձակ: Դրանք կարող են համասեռ լինել որնէ մեկ հարա երությունում ն տար եր` մյուսներում: Հաշվի առնելով այս հանգամանքը` ուսումնասիրվող համակցությունը խմ ավորման միջոցով պետք է աժանվի մասնակի ենթահամակցությունների: Խմ ավորումը համակցության տրոհումն է համասեռ մասերի` ըստ որնէ հայտանիշի: Իսկ համակցության ոլոր միավորների առումով` խմ ավորումը առանձին միավորների միավորումն է խմերում` ըստ որնէ էական հատկանիշի համասեռության: Մեթոդաանական տեսակետից խմ ավորումը համարվում է վիճակագրական հետազոտության առավել արդ փուլերից մեկը: Խմ ավորման միջոցով լուծվում են հետնյալ երեք խնդիրները. - առանձնացվում են սոցիալ-տնտեսական երնույթի տիպերը, - ուսումնասիրվում են երնույթների կառուցվածքը ն դրանում տեղի ունեցող տեղաշարժերը, ացահայտվում են երնույթների միջն գոյություն ունեցող կապերը: Թվարկված խնդիրների լուծման համար կիրառվում են վիճակագրական խմ ավորման հետնյալ տեսակները` տիպական, կառուցվածքային ն վերլուծական: Տիպական խմ ավորումը տարասեռ համակցության մասնատումն է միավորների որակապես համասեռ խմ երի (օրինակ, ըստ հողի տեսակների` սնահող, կավահող, ավազահող, կամ ըստ անվորների որակավորման մակարդակների` արձր, միջին, ցածր): Տիպական խմ ավորման անհրաժեշտությունը առաջին հերթին պայմանավորված է ուսումնասիրվող երնույթների միջն գոյություն ունեցող որակական տար երություններով: Տիպական խմ ավորումների օրինակ կարող են հանդիսանալ տնտեսական օ յեկտների խմ ավորումն ըստ սեփականության ձների, տնտեսական ակտիվ նակչության տրոհումը զ աղվածների ն գործազուրկների, զ աղվածների աժանումը ֆիզիկական ն մտավոր աշխատանքով զ աղվողների ն այլն: Տիպական խմ ավորման մեկնա անությունը հիմնվում է ուսումնասիրվող երնույթների որակական տար երությունների դրսնորման պարզության մակարդակի վրա: Պարզ դրսնորման օրինակ կարող է ծառայել արդյունա երական ճյուղերի խմ ավորումը ըստ արտադրանքի տնտեսական նշանակության` արտադրության միջոցներ ն սպառման առարկաներ արտադրողների: Մեկ այլ օրինակ` մանրածախ ապրանքաշրջանառության աժանումը պարենային ն ոչ պարենային ապրանքների վաճառքի խմ երի: Սակայն լինում են դեպքեր, եր որակական տար երությունները այդքան

պարզորոշ չեն: Օրինակ, արդյունա երության ճյուղերում մանր, միջին ն խոշոր ձեռնարկությունների առանձնացման խնդիրը մեթոդա անական տեսակետից ավականին արդ է: Նման դեպքերում խնդրի հստակ ձնակերպման հիման վրա նախապես որոշվում են հնարավոր տիպերը ն միայն դրանից հետո` խմ ավորման հայտանիշը (արտադրության ծավալը, աշխատողների թիվը ն այլն): Սովորա ար տիպական խմ ավորումը լայնորեն կիրառվում է սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների հետազոտություններում, որտեղ հիմնական ուշադրությունը պետք է դարձնել դրանց տիպերի նմանեցմանը ն տեսական խորը վերլուծություններին: Կառուցվածքային է կոչվում այնպիսի խմ ավորումը, եր համասեռ համակցությունը աժանվում է խմ երի ըստ որնէ տատանվող հատկանիշի` միաժամանակ նութագրելով դրա կազմն ու կառուցվածքը: Կառուցվածքային խմ ավորման օրինակ կարող է ծառայել նակչության խմ ավորումը ըստ սեռի, տարիքի, ազգության, մեկ շնչին աժին ընկնող միջին եկամտի ն այլն: Եր կառուցվածքային խմ ավորման վերլուծությունը կատարվում է մի քանի ժամանակաշրջանների կամ ժամանակի պահերի կտրվածքով, ապա այն նութագրում է հասարակական երնույթներում դրսնորվող կառուցվածքային տեղաշարժերը ն զարգացման օրինաչափությունները: Հասարակական կյանքի երնույթները ն դրանք արտացոլող հատկանիշները սերտորեն փոխկապակցված են: Դրանց կապերը ուսումնասիրելու համար կիրառվում է վերլուծական խմ ավորման եղանակը: Վերլուծական են համարվում այն խմ ավորումները, որոնք ացահայտում են ուսումնասիրվող երնույթների ն դրանց հատկանիշների միջն գոյություն ունեցող փոխադարձ կապերը: Վերլուծական խմ ավորումը հատկանիշների ամ ողջ համակցությունը աժանում է երկու խմ երի` գործոնային ն արդյունքային: Գործոնային են կոչվում այն հատկանիշները, որոնք ազդեցություն են թողնում արդյունքային հատկանիշների վրա: Արդյունքային են այն հատկանիշները, որոնք փոփոխվում են գործոնային հատկանիշների ազդեցությամ : Գործոնային ն արդյունքային հատկանիշների փոխկապակցվածությունը դրսնորվում է նրանում, որ գործոնային հատկանիշների փոփոխության դեպքում սիստեմատիկ աճում կամ նվազում է արդյունքային հատկանիշի միջին արժեքը: Օրինակ, աշխատանքի արտադրողականությունը կախված է ձեռնարկության տեխնիկական հագեցվածության մակարդակից` որքան վերջինս արձր է, այնքան, մնացած հավասար պայմաններում, արձր կլինի ձեռնարկության աշխատողների արտադրողականությունը ն հակառակը:

Վերլուծական խմ ավորմանը նորոշ են հետնյալ առանձնահատկությունները. ♦ առաջին` խմ ավորման հիմքում դրվում է գործոնային հատկանիշը, ♦ երկրորդ` յուրաքանչյուր առանձնացված խում նութագրվում է արդյունքային հատկանիշի միջին արժեքով: Վերլուծական խմ ավորումը թույլ է տալիս ուսումնասիրել տատանվող հատկանիշների միջն գոյություն ունեցող ազմատեսակ կապերն ու կախվածությունները: Այդպիսի խմ ավորման առավելությունը կապերի վերլուծության մյուս մեթոդների (օրինակ` կոռելյացիոն-ռեգրեսիոն) նկատմամ այն է, որ դա կիրառելու համար չի պահանջվում որոշակի լրացուցիչ պայման, ացառությամ ուսումնասիրվող համակցության որակական համասեռության: Խմ ավորման գործընթացում հիմնական ուշադրությունը պետք է դարձնել խմ ավորման հայտանիշի ընտրությանը: Խմ ավորման հայտանիշը որոշակի (խմ ավորող) հատկանիշի այն արժեքն է (արժեքներն են), ըստ որի (որոնց) կատարվում է համակցության միավորների աժանումը առանձին խմ երի: Ըստ խմ ավորող հատկանիշի նույթի` տար երում են խմ ավորման երկու տեսակներ. • քանակական, • որակական (ատրի ուտային): Քանակական խմ ավորող հատկանիշն ունի թվային արտահայտություն: Օրինակ, նակչությունը խմ ավորվում է ըստ տարիքի, մեկ շնչին աժին ընկնող միջին եկամտի, ձեռնարկությունները` ըստ աշխատողների թվի, հիմնական ֆոնդերի արժեքի, արտադրանքի ծավալի ն այլն: Առանձնացված խմ երի թիվը կարող է որոշվել ուսումնասիրվող ցուցանիշի տատանման նույթով: Եթե խմ ավորման գործընթացում օգտագործվում է դիսկրետ (ընդհատ) արժեքներ ունեցող հատկանիշ, ապա ձնավորվող խմ երի թիվը պետք է համապատասխանի դրա արժեքների հնարավոր տար երակներին: Օրինակ, ուսանողների առաջադիմությունը գնահատվում է 2, 3, 4, 5 գնահատականներով: Սակայն շատ դեպքերում խմ ավորող հատկանիշը կարող է ընդունել ցանկացած արժեք (ամ ողջ կամ կոտորակային): Նման դեպքերում հատկանիշի արժեքները նույնպես աժանվում են առանձին խմ երի (խմ ավորման միջակայքերի)` կրկնելով կամ չկրկնելով յուրաքանչյուր խմ ի վերին ն ստորին սահմանները: Որակական խմ ավորումը նախատեսում է, որ առանձնացվող խմ երի թիվը խստորեն պետք է համապատասխանի խմ ավորող

հատկանիշի հնարավոր արժեքների թվին, այսինքն` հաստատուն մեծություն է: Օրինակ, եր նակչությունը խմ ավորվում է ըստ սեռի, ապա խմ երի թիվը համապատասխանում է այդ հատկանիշի հնարավոր արժեքների թվին` 2 (արական, իգական): Սակայն, հազվագյուտ դեպքերում, որակական հատկանիշը նույնպես կարող է ունենալ ազմաթիվ արժեքներ, որոնց թվարկումն աննպատակ է, ն վիճակագրությունը, ինչպես ն քանակական խմ ավորման դեպքում, դիմում է հատկանիշի արժեքների խմ ավորման եղանակին: Կախված զանգվածային երնույթների վերլուծության արդության աստիճանից` խմ ավորումը կարող է կատարվել ըստ մեկ կամ մի քանի հատկանիշների: Եթե խմ երը ձնավորվում են ըստ մեկ հատկանիշի, ապա նման խմ ավորումը կոչվում է պարզ (օրինակ` ըստ տարիքային խմ երի): Խմ ավորումը ըստ երկու կամ ավելի հատկանիշների` կոչվում է արդ կամ կոմ ինացված: Եթե պարզ եղանակով ձնավորված խմ երը այնուհետն աժանվում են ենթախմ երի` ըստ երկրորդ, երրորդ ն այլ հատկանիշների, այսինքն` խմ ավորման հիմքում ընկած են զուգակցված կարգով մի քանի հատկանիշներ, ապա այդպիսի խմ ավորումը կոչվում է կոմ ինացված (համակցված, զուգակցված): Օրինակ` եր նակչության տարիքային խմ ավորումը լրացվում է սեռական հատկանիշների ենթախմ երով, ապա արդյունքում ստացվում է կոմ ինացված խմ ավորում: Կոմ ինացված խմ ավորումը թույլ է տալիս ացահայտել ն համեմատել ուսումնասիրվող հատկանիշների միջն գոյություն ունեցող տար երությունը ն կապերը, ինչը հնարավոր չէ ացահայտել մեկուսացված խմ ավորներ կազմելու դեպքում: Այնուամենայնիվ, մի քանի հատկանիշներով կոմ ինացված խմ ավորումը որոշակի իմաստով կորցնում է նշանակությունը, քանի որ տեղեկատվության չափից դուրս մասնատումը քողարկում է օրինաչափությունների դրսնորումը: Նույնիսկ տեղեկատվության մեծ զանգվածի առկայությունը ստիպում է սահմանափակվել երկուսից չորս հատկանիշներով խմ ավորելով: Եր կառուցվածքային խմ ավորումը կատարվում է ըստ տատանվող քանակական հատկանիշների, ապա անհրաժեշտություն է առաջանում որոշել խմ երի թիվը ն խմ ավորման միջակայքերը: Միջակայքերը խմ ավորող հատկանիշի ընդգծված քանակական սահմաններ ունեցող արժեքների խմ եր են, որոնց համապատասխան, համակցությունների միավորները աժանվում են խմ երի: Որպես կանոն, միջակայքի մեծությունը չափվում է դրա մեծագույն ն փոքրագույն արժեքների տար երությամ :

Խմ երի թիվը ն միջակայքի մեծությունը որոշելիս առաջին հերթին պետք է հաշվի առնել ազմաթիվ հանգամանքներ` ելնելով հետազոտության նպատակներից ն ուսումնասիրվող հատկանիշի նշանակությունից: Խմ երի քանակը ն միջակայքերի մեծությունները սերտորեն կապված են: Որքան շատ են ձնավորվող խմ երը, այնքան փոքր են խմ ավորման միջակայքերը ն հակառակը: Խմ երի քանակը կախված է ուսումնասիրվող օ յեկտի միավորների թվից ն խմ ավորման հատկանիշի տատանման սահմաններից (թափից): Ոչ մեծ ծավալի համակցության համար չի կարելի ձնավորել մեծ թվով խմ եր, քանի որ խմ երում կընդգրկվեն փոքր թվով միավորներ: Խմ երի քանակը պետք է որոշել այնպես, որ յուրաքանչյուր խմ ում ընդգրկվեն ավարար թվով միավորներ, որպեսզի ապահովվի համապատասխանությունը մեծ թվերի օրենքի պահանջներին: Սակայն որոշ դեպքերում, հատկանիշների տատանումների մեծ թափի պատճառով, այդ պայմանը կարող է խախտվել: Ըստ միջակայքի մեծության` խմ ավորումը կարող է իրականացվել. - հավասար միջակայքերով խմ երի, - անհավասար միջակայքերով խմ երի, - հատուկ միջակայքերով խմ երի: Հավասար միջակայքերով խմ ավորումը նպատակահարմար է կիրառել այնպիսի դեպքերում, եր տատանումը դրսնորվում է նեղ սահմաններում ն աշխումը գործնականում համարվում է հավասարաչափ: Հավասար միջակայքերով խմ ավորման համար առաջին հերթին անհրաժեշտ է որոշել խմ երի օպտիմալ (նպատակահարմար) թիվը հետնյալ անաձնով` kՀ1 + 3.322⋅ lgո, որտեղ` k-ն խմ երի թիվն է, ո-ը` համակցության միավորների թիվը: Խմ երի թիվը կախված է համակցության ծավալից: Այն տալիս է լավ արդյունքներ, եթե աղկացած է մեծ թվով միավորներից, ն աշխումն ըստ հատկանիշի մոտ է նորմալ աշխմանը: Խմ երի թիվը որոշելուց հետո որոշում են խմ ավորման միջակայքերը: Ամեն միջակայք ունի մեծություն ն ստորին ու վերին սահմաններ: Ստորին սահմանը տվյալ խմ ին պատկանող միավորի խմ ավորող հատկանիշի նվազագույն, իսկ վերինը` առավելագույն արժեքն է: Ունենալով ուսումնասիրվող հատկանիշի տատանումների թափի մեծությունը ն խմ երի թիվը` կարելի է որոշել հավասար միջակայքերի լայնությունը հետնյալ անաձնով.

xոax − xոiո R = k k որտեղ` R Հ xոax - xոiո տատանման թափն է, xոax ն xոiո-ն` խմ ավորող հատկանիշի առավելագույն ն նվազագույն արժեքներն են, k-ն` խմ երի թիվն է, հ–ը` միջակայքի լայնությունն է: Առաջին միջակայքի ստորին սահմանը ընդունում ենք հատկանիշի նվազագույն արժեքին հավասար, իսկ վերին սահմանը կհամապատասխանի xi+հ արժեքին: Համապատասխանա ար, հաջորդա ար գումարելով միջակայքի լայնությունը, որոշում ենք նան մյուս խմ երի սահմանները` α2 Հ α1 + հ, α3 Հ α2 + հ Հ α1 + 2⋅հ, …, αո Հ αո-1 + հ Հ α1 + (ո-1)⋅հ, (α1, α2, …, αո – միջակայքերի սահմաններն են): Եթե համակցության միավորն ունի վերին սահմանի մեծությանը հավասար արժեք, ապա տվյալ արժեքը վերագրում ենք հաջորդ խմ ին, այսինքն` անորոշությունը ացառելու նպատակով օգտագործվում է միաձնության սկզ ունքը: Եթե հատկանիշի տատանման թափը մեծ է ն դրա արժեքները տատանվում են անհամաչափ (դա յուրահատուկ է շատ սոցիալտնտեսական երնույթների համար, հատկապես` մակրոտնտեսական ցուցանիշների), ապա պետք է կիրառել անհավասար միջակայքերով խմ ավորումը: Անհավասար միջակայքերը կարող են լինել պրոգրեսիվ աճող կամ նվազող (թվա անական կամ երկրաչափական պրոգրեսիայով փոփոխվող): Թվա անական պրոգրեսիայով փոփոխվող միջակայքերի լայնությունը որոշվում է հi+1 Հ հi + a անաձնով, որտեղ` a-ն հաստատուն թիվ է, ընդ որում դրական` պրոգրեսիվ աճող միջակայքերի ն ացասական` պրոգրեսիվ նվազողների դեպքում: Երկրաչափական պրոգրեսիայով փոփոխվող միջակայքերի լայնությունը որոշվում է հետնյալ անաձնով. հi+1 Հ հi⋅զ որտեղ` զ-ն հաստատուն դրական թիվ է, մեծ է մեկից աճող միջակայքերի ն փոքր է մեկից` նվազողների դեպքում: Օրինակ` մանր, միջին ն խոշոր խանութների ապրանքաշրջանառության տվյալներով, հավասարամեծ միջակայքեր կազմելը արդարացված չէ, քանի որ շրջանառության աճը կամ կրճատումը տասնյակ հազար դրամով էական նշանակություն ունի մանր խահ=

նութների ն նշանակություն չունի` խոշորների համար: Հետնա ար, միջակայքի լայնությունը մանր խանութների համար պետք է լինի ավելի նեղ, քան խոշորների: Այնպիսի խմ ավորումներում, որոնց նպատակը խմ երի որակական յուրօրինակությունը արտացոլելն է, օգտագործվում են հատուկ միջակայքեր, ն խմ երի քանակը սահմանվում է նպատակին համապատասխան: Օրինակ` տղամարդկանց աշխատանքային գործունեություն ծավալելու առնչությամ կիրառվում է հետնյալ տարիքային խմ երի աժանումը. • Մինչն 16 տարեկան - անաշխատունակներ (անչափահասներ) • 16 – 18 տարեկան – կիսաաշխատունակ տարիքի անձինք • 18 – 65 տարեկան - աշխատունակ տարիքի անձինք • 65 – 70 տարեկան – կիսաաշխատունակ տարիքի անձինք • 70 ն արձր - անաշխատունակներ: Առաջին ն վերջին միջակայքերը խմ ավորումներում կարող են լինել աց կամ փակ: Բաց է կոչվում այն միջակայքը, որի համար նշված է միայն մեկ սահմանը` վերին կամ ստորին: Փակ է կոչվում այն միջակայքը, որի երկու սահմաններն էլ նշված են: Բաց միջակայքի լայնությունը ընդունվում է հավասար սահմանակից միջակայքի լայնությանը, այսինքն` առաջին միջակայքինը` երկրորդի, իսկ վերջին միջակայքինը` նախավերջինի: Խմ ավորումները լինում են սկզ նական ն երկրորդվող: Այն խմ ավորումները, որոնք կատարվում են սկզ նական տվյալների հիման վրա, կոչվում են սկզ նական: Սակայն եր եմն սկզ նական խմ ավորումները չեն ավարարում վերլուծության պահանջներին, ինչի պատճառով էլ վիճակագրությունը դիմում է երկրորդվող խմ ավորումների: Երկրորդվող խմ ավորումը կատարվում է սկզ նական խմ ավորման տվյալների վերախմ ավորման միջոցով: Որպես կանոն, երկրորդվող խմ ավորումը հանգեցնում է խմ երի թվի փոփոխության: Նոր խմ երը կարող են ձնավորվել սկզ նական միջակայքերի միավորման (խոշորացման) ն մասնային վերախմ ավորման (յուրաքանչյուր խմ ին համակցության միավորների որոշակի մասը կցելու) եղանակներով:

3.3. Վիճակագրական տվյալների ներկայացման աղյուսակային եղանակները Տեղեկությունները ակնառու ն հակիրճ ձնով ներկայացնելու նպատակով լայնորեն կիրառվում են դրանց աղյուսակային ն գրաֆիկական պատկերման եղանակները (աղյուսակներ, գրաֆիկներ, հիստոգրամներ, գծապատկերներ ն այլն): Որպես կանոն, վիճակագրական դիտարկումների նյութերը ձնավորվում են աղյուսակների տեսքով, որոնք հանդիսանում են դրանց ներկայացման առավել հակիրճ ն ակնառու եղանակը: Վիճակագրական է կոչվում այն աղյուսակը, որը պարունակում է ուսումնասիրվող համակցության ամփոփ (հիմնականում թվային) նութագիրը` ըստ մեկ կամ մի քանի էական հատկանիշների: Վիճակագրական աղյուսակի մակետը (ձնը) ն ներառվող հիմնական տարրերը ներկայացված են գծապատկեր 3.1-ում: Տեղեկատվությունների աղյուսակային ներկայացման դեպքում համապատասխան տվյալները գրանցվում են տողերի ն սյունակների հատման տիրույթներում, որոնք կոչվում են վանդակներ: Այսպիսով, աղյուսակը` տողերի ն սյունակների համախում է, որը ձնավորում է դրա կմախքը: Աղյուսակի չափերը որոշվում են տողերի ն սյունակների քանակների արտադրյալով: Վիճակագրական աղյուսակները կարող են ունենալ վերնագրերի երեք տեսակներ` ընդհանուր, վերին ն կողմնային: Ընդհանուր վերնագիրը լուսա անում է ամ ողջ աղյուսակի ովանդակությունը ն սովորա ար տեղադրվում է մակետի վերին արտաքին մասի կենտրոնում: ²ղյուëակի անվանումը (ընդհանուր վերնագիր) Տողերի համարը

Տողերի μովանդակուÃյունը A

…

Սյունակների անվանումները …

Սյունակների հանրագումարը

Տողի անվանումը (կողմնային վերնագիր) … … Տողերի հանրագումարը

Գծապատկեր 3.1 Վերին (ստորոգյալ) վերնագրերը նութագրում են սյունակների, իսկ կողմնայինները (ենթակա)` տողերի ովանդակությունը: Վերնագրերով լրացված աղյուսակի կմախքը կազմում է դրա մակետը:

Եթե մակետի վանդակները լրացվում են ովանդակությամ ` համապատասխան տվյալներով, ապա ստացվում է ամ ողջական վիճակագրական աղյուսակ: Անհրաժեշտության դեպքում աղյուսակները կարող են ուղեկցվել ծանոթություններով` վերնագրերի ացատրություններով, որոշ ցուցանիշների հաշվարկման մեթոդիկայով, տեղեկատվության աղյուրների նպատակներով ն այլն: Ըստ տրամա անական ովանդակության` աղյուսակները կարելի է անվանել “վիճակագրական նախադասություններ”, որոնց հիմնական տարրերն են ենթական ն ստորոգյալը: Աղյուսակի ենթական ովանդակում է ցուցանիշների ցանկը, որը արտահայտվում է թվերով: Դրանք կարող են լինել մեկ կամ մի քանի համակցություններ, համակցությունների առանձին միավորներ, որոնք ներկայացվում են ըստ թվարկման կարգի կամ խմ ավորվում ըստ որնէ հատկանիշի (օրինակ` առանձին տարածքային միավորներ, ժամանակաշրջաններ ն այլն): Սովորա ար ենթական տեղադրվում է աղյուսակի ձախ մասում (որպես տողերի անվանումերի սյունակ): Աղյուսակի ստորոգյալը ցուցանիշների համակարգ է, որը նութագրում է ուսումնասիրության օ յեկտը, այսինքն` աղյուսակի ենթական: Ստորոգյալը ձնավորում է սյունակների վերնագրերը ն կազմում է դրանց ովանդակությունը` դասավորվելով ըստ ցուցանիշների տրամա անական հաջորդականության, ձախից աջ: Ելնելով հետազոտության նույթից` որոշ դեպքերում, ենթական ն ստորոգյալը կարող են փոխվել տեղերով: Կախված ենթակայի կառուցվածքից ն միավորների խմ ավորումից` տար երում են վիճակագրական աղյուսակների երեք տեսակներ` պարզ, խմ ային ն կոմ ինացված: Պարզ աղյուսակների ենթական ներկայացնում է համակցության որոշակի օ յեկտների կամ տարածքային միավորների պարզ ցանկ (անվանացանկ): Պարզ աղյուսակները լինում են մոնոգրաֆիկ ն ցանկային (թվարկման): Պարզ մոնոգրաֆիկ աղյուսակները նութագրում են ուսումնասիրվող համակցության ծավալի ոչ ոլոր միավորները, այլ միայն դրանց` ըստ որոշակի հատկանիշի ընտրված մի խում ը: Պարզ ցանկային աղյուսակների ենթական ովանդակում է ուսումնասիրվող համակցության միավորների ցանկը: Պարզ աղյուսակի ենթական կարելի է ձնակերպել ըստ տեսակային, տարածքային (օրինակ` նակչության թիվը ՀՀ-ում), ժամանակային ն այլ սկզ ունքների: Սակայն պարզ աղյուսակները հնարավորություն չեն տալիս ի հայտ երել ուսումնասիրվող երնույթների սոցիալ-տնտեսական տիպերը, դրանց կառուցվածքը, ինչպես

նան փոխադարձ կապը ն կապակցվածությունը նութագրող հատկանիշների միջն: Նման խնդիրները լուծվում են արդ` խմ ային ն, հատկապես, կոմ ինացված աղյուսակների օգնությամ : Խմ ային են կոչվում այնպիսի վիճակագրական աղյուսակները, որոնց ենթական ովանդակում է համակցության միավորների խմավորումը ըստ մեկ քանակական կամ ատրի ուտիվ հատկանիշի: Խմ ային աղյուսակի ստորոգյալը կազմված է ցուցանիշներից, որոնք անհրաժեշտ են ենթական նութագրելու համար: Խմ ային աղյուսակների պարզագույն տեսակներն են ատրի ուտիվ ն վարիացիոն աշխման շարքերը: Խմ ային աղյուսակները կարող են լինել ավելի արդ, եթե ստորոգյալում երվում են ոչ միայն ամեն խմ ի միավորների թիվը, այլն մի շարք այլ կարնոր ցուցանիշներ, որոնք որակապես ն քանակապես նութագրում են ենթակայի խմ երը: Այդպիսի աղյուսակները հաճախ օգտագործվում են խմ երում ընդհանրացնող ցուցանիշները համեմատելու նպատակով, քանի որ դա թույլ է տալիս կատարել որոշ գործնական եզրակացություններ: Սակայն խմ ային աղյուսակները թույլ են տալիս ի հայտ երել ն նութագրել երնույթների սոցիալ-տնտեսական տիպերը ն կառուցվածքը ըստ միայն մեկ հատկանիշի: Կոմ ինացված վիճակագրական աղյուսակների ենթական ովանդակում է համակցության միավորների խմ ավորումը միաժամանակ ըստ երկու կամ ավելի հատկանիշների: Այսպիսի աղյուսակներում ըստ մեկ հատկանիշի կազմված խմ երը այնուհետն ստորա աժանվում են ենթախմ երի` ըստ մեկ կամ մի քանի այլ հատկանիշների: Կոմ ինացված աղյուսակները թույլ են տալիս նութագրել խմերի տիպերը, առանձնացնել դրանք ըստ անհրաժեշտ հատկանիշների ն վերլուծել դրանց միջն եղած կապերը: Ստորոգյալի արդ մշակումը ենթադրում է հատկանիշի աժանումը ն ձնավորումը ըստ ենթախմ երի, ինչը թույլ է տալիս ավելի լրիվ ն մանրամասնորեն նութագրել ուսումնասիրվող օ յեկտը: Թվային տեղեկությունների ճիշտ ձնավորման դեպքում վիճակագրական աղյուսակը հանդիսանում է արդյունքային տվյալների ներկայացման ակնառու ն հակիրճ միջոց: Աղյուսակները ձնավորելու համար պետք է ղեկավարվել մի քանի հիմնական կանոններով: Աղյուսակը պետք է լինի սեղմ ն պարունակի միայն այն նախնական տվյալները, որոնք անմիջականորեն արտացոլում են հետազոտվող սոցիալ-տնտեսական երնույթները ստատիկայում ն դինամիկայում ն անհրաժեշտ են երնույթի ճանաչողության համար:

Տողերի ն սյունակների անվանումները պետք է ձնակերպվեն հակիրճ, հստակ ն արտացոլեն յուրաքանչյուր հատկանիշի նույթը, իրադարձությունների կատարման ժամանակը ն տեղը: Վերնագրերը ցանկալի է գրանցել ամ ողջությամ , առանց կրճատումների: Աղյուսակի տողերում աշխված տեղեկությունները պետք է ավարտվեն “Հանրագումար” կամ “Ամ ողջ” տողով: Խմ ային կամ կոմ ինացված աղյուսակներում անհրաժեշտ է նախատեսել ինչպես տողերի, այնպես էլ սյունակների հանրագումարները: Վիճակագրական աղյուսակի տողերն ու սյունակները համարակալվում են: Ենթակայի վերնագրերի սյունակը սովորա ար նշանակվում է տառով (մեծատառ), իսկ ստորոգյալի սյունակները համարակալվում են ըստ աճման կարգի (տես` գծապատկեր 3.1): Եթե տողի կամ սյունակի տվյալներն ունեն չափման միավորներ, ապա դրանք պարտադիր պետք է նշվեն: Սովորա ար չափման միավորները գրանցվում են փակագծերում կամ ստորակետից հետո, ընդ որում` օգտվում են դրանց կրճատ նշանակումներով (օրինակ` մ, կվտ/ժամ, կգ, վրկ ն այլն): Եթե անհրաժեշտ է կլորացնել որնէ սյունակի կամ տողի տվյալները, ապա հարկ է դա անել ճշտության միննույն չափով` տողի կամ սյունակի ոլոր վանդակներում (օրինակ` մինչն ամ ողջ կամ համապատասխան տասնորդական նիշը):

3.4. Վիճակագրական գծապատկերների կառուցման սկզ ունքները Վիճակագրական տեղեկատվությունները պատկերավոր ն ակնառու ներկայացնելու համար կիրառվում է գրաֆիկական (գծապատկերային) ներկայացման եղանակը: Վիճակագրական գրաֆիկը (գծապատկերը) որնէ սոցիալ-տնտեսական երնույթը նութագրող ցուցանիշների փոխկապվածության կամ արժեքների փոփոխության արտացոլումն է երկրաչափական պատկերների (կետերի, ուղիղների, կորերի ն այլն) միջոցով: Գրաֆիկների օգնությամ հնարավոր է ուսումնասիրել երնույթի զարգացման օրինաչափությունները, ացահայտել այն նութագրող ցուցանիշների միջն գոյություն ունեցող փոխադարձ կապերը ն դրանց նույթը, ի հայտ երել կապերի սերտության մակարդակները: Գրաֆիկը թույլ է տալիս առավել արտահայտիչ ձնով պատկերել համեմատվող նութագրիչները ն պարզա անել ուսումնասիրվող գործընթացին նորոշ հիմնական միտումները:

Գրաֆիկները լայնորեն կիրառվում են նան երնույթների կառուցվածքը, ժամանակի ն տարածության մեջ դրանց փոփոխությունները ուսումնասիրելու նպատակով: Յուրաքանչյուր գծապատկեր աղկացած է հետնյալ տարրերից. գրաֆիկական պատկեր, պատկերի դաշտ, տարածական կողմնորոշիչներ, որոշ դեպքերում մեկնա անություններ կամ ացատրություններ (այսպես կոչված` էքսպլիկացիա): Այնպիսի դեպքերում, եր ընդհանուր միտումները ն օրինաչափությունները պատկերացնելու համար կարնոր է իմանալ նան ուսումնասիրվող հատկանիշների արժեքային արտահայտությունները (մեծությունները), գրաֆիկում ընդգրկվում են նան համապատասխան չափման միավորներով (օրինակ` հատ, հազար դրամ ն այլն) արտահայտված մասշտա ային կողմնորոշիչները (մասշտա ային սանդղակները): Վիճակագրական գծապատկերի մասշտա ը թվային մեծությունը գրաֆիկականի վերափոխելու չափն է: Մասշտա ային սանդղակը ուղիղ է, որի առանձին կետերը կարող են վերծանվել որպես որոշակի չափման միավոր ունեցող մեծություններ: Սանդղակն ունի կարնոր նշանակություն երնույթների գրաֆիկական պատկերման համար: Այն ընդգրկում է երեք տարրեր` ուղիղ գիծ (կամ սանդղակի կրիչը), կրիչի վրա որոշակի քանակի, որոշակի հաջորդականությամ գծանշված կետեր ն կետերի թվային նշանակումները: Սանդղակի մասշտա ը կրիչի հատվածի (գրաֆիկական միջակայքի) երկարությունն է, որն ընդունվում է որպես համապատասխան չափման միավոր: Գրաֆիկական պատկերը ներկայացվում է երկրաչափական կետերի, ուղիղների, կորերի ն այլ պատկերների համակցությունների միջոցով: Այն տեղա աշխվում է գրաֆիկի դաշտում, այսինքն հարթության` համապատասխան չափեր ունեցող որոշակի (գրաֆիկի նշանակումից կախված) մասում: Ըստ ներկայացման ձնի` վիճակագրական գրաֆիկները լինում են գծային, հարթապատկերային ն ծավալային: Գծային գրաֆիկները օգտագործվում են հատկանիշների միջն եղած կապերի նույթը, ինչպես նան երնույթների զարգացման դինամիկան, այսինքն` երնույթների փոփոխությունների աշխման շարքերը ժամանակի ընթացքում կամ ըստ որոշակի գործընթացի կատարման փուլերի (օրինակ` պլանային առաջադրանքի կատարման) արտացոլելու համար: Գծային գրաֆիկներում, որպես ուսումնասիրվող երնույթի դիտողական պատկերման միջոց, ընտրվում են ուղիղները, եկյալները կամ կորագծերը: Ուղիղ գծային կապը հազվադեպ է հանդիպում վիճակագրական պրակտիկայում` այն համապատասխանում է համեմատվող հատկանիշների համա-

մասնական փոփոխություններին: Քանի որ սոցիալ-տնտեսական երնույթներին նորոշ է զարգացման անհավասարաչափություն, ապա առավել հաճախ հանդիպում են եկյալների միջոցով պատկերվող գծային կապերը: Ինչ վերա երում է կորագծերին, ապա դրանք նույնպես համեմատականորեն հազվադեպ են կիրառվում ն գլխավորապես օգտագործվում են այնպիսի հատկանիշների արտապատկերման համար, որոնց զարգացումը իրականանում է պարա ոլի, սինուսոիդի, հիպեր ոլի ն այլ կորերի տեսքով: Այդպիսի ցուցանիշները արտացոլում են անընդհատ հատկանիշի դինամիկան (օրինակ` հիմնական ֆոնդերի, ծախսերի, համախառն արտադրանքի ն այլն): Որպես օրինակ` գծապատկեր 3.2-ում ներկայացված է ձեռնարկության սահմանային ն միջին հաստատուն ծախսերի կախվածությունը արտադրանքի քանակից ն ապրանքի գնից: Այնպիսի դեպքերում, եր անհրաժեշտություն է առաջանում ակնառու ցուցադրել համանուն երնույթների քանակական համեմատելիությունը, կիրառվում են հարթապատկերները (դիագրամները): Ուսումնասիրվող երնույթները ներկայացվում են համապատասխան մակերես ունեցող հարթաչափական պատկերների (ուղղանկյունների, ազմանկյունների, շրջանների ն այլն) տեսքով: Գծապատկեր 3.2 Բեկյալի ն կորագծի օրինակ Սահմանային

Միջին հաստատուն

Բերենք օրինակ: Դիցուք` երկու տնտեսություններ ունեն, համապատասխանա ար, 225 ն 625 հա հողատարածքներ: Անհրաժեշտ է դիագրամի տեսքով պատկերել տնտեսությունների հողատարածքների մեծությունները` տեսողական համեմատություն կատարելու նպատակով: Այդպիսի պատկերման առաջին եղանակը` հողատա-

րածքները համապատասխան մակերեսներ ունեցող քառակուսիների, ուղղանկյունների կամ շրջանների տեսքով ներկայացնելն է (իհարկե, համապատասխան մասշտա ով), ընդ որում` դրանք կարելի է տեղադրել միմյանց մեջ կամ կողք կողքի (տես` գծապատկեր 3.3): Գծապատկեր 3.3 Տնտեսությունների հողատարածքների համեմատության դիագրամների օրինակներ մ

մ

||

|

|

||

մ

մ

Բերված օրինակը վերա երում է, այսպես կոչված` ստատիկ համեմատության դիագրամներին: Ստատիկ համեմատությունը ցուցադրում է երնույթների քանակական տար երությունը ն ոչ թե զարգացման դինամիկան (այսինքն` չի արտացոլում ժամանակի ընթացքում կատարվող փոփոխությունները): Նույն խմ ին են պատկանում նան սեկտորային դիագրամները, որոնք արտացոլում են երնույթների կառուցվածքային առանձնահատկությունները: Այդպիսի դեպքերում ամ ողջ երնույթի կառուցվածքը ընդունվում է հավասար 100 տոկոսի, իսկ դրա յուրաքանչյուր աղադրիչ մասը ընդհանուր քանակությունում արտապատկերվում է որպես շրջանի սեկտոր, որի աղեղի անկյունային չափը հավասար է տվյալ աղադրիչի տոկոսային պարունակություն անօ գամ 3.6 : Օրինակ, գծապատկեր 3.4-ում երված է սեկտորային դիագրամ, որն արտապատկերում է երկրի նակչության կառուցվածքը ըստ տարիքային խմ երի (ընդհանուրի տոկոսներով):

Գծապատկեր 3.4. Համեմատության շրջանաձն դիագրամի օրինակ

մին㨠16 ïարեկան 16 - 25

25 - 45 45-իի արÓր

Համեմատվող ցուցանիշների փոփոխությունները դինամիկայում (այսինքն` ժամանակի ընթացքում) ցուցադրելու համար օգտագործվում են, այսպես կոչված, հիստոգրամները (սյունակային դիագրամները), որոնցում համեմատվող ցուցանիշի արժեքները պատկերվում են ուղղանկյունների տեսքով: Բոլոր սյունակների լայնությունները հավասար են, իսկ արձրությունները ուղիղ համեմատական են պատկերվող ցուցանիշների արժեքներին: Գծապատկեր 3.5-ում ներկայացված է երեք երկրների նակչության թվաքանակների փոփոխության դինամիկան արտացոլող հիստոգրամի օրինակ: Այնպիսի դեպքերում, եր անհրաժեշտ է լինում գրաֆիկորեն արտապատկերել դիսկրետ, խմ ավորված աշխման շարքերը նորոշող տար եր նութագրիչները (միջինը, դիսպերսիան ն այլն), սովորա ար օգտագործվում են պոլիգոնները, կումուլյատիվ ն օգիվի կորերը: Բաշխման շարքերի նութագրիչները պատկերվում են եկյալների (այսպես կոչված` պոլիգոնների) տեսքով, որոնց հանգուցային կետերի ա սցիսները հավասար են հատկանիշի արժեքներին, իսկ օրդինատները նութագրիչի` դրանց համապատասխանող արժեքներին:

Գծապատկեր 3.5. Երեք երկրների նակչության թվաքանակների փոփոխության դինամիկայի համեմատական հիստոգրամի օրինակ

4,6 2,6

4,7

4,5

3,4

2,5

3,2

4,8

4,7 2,7 3,2

2,7 3,1

2,8 3

Երկիր 1

Երկիր 2

Երկիր 3

Գծապատկեր 3.6-ում ներկայացված է աշխան շարքի հաճախականությունների գրաֆիկական պատկերման (պոլիգոնի) օրինակ: Գծապատկեր 3.6. Պոլիգոնի օրինակ

1Յ

Յ0

Բաշխման շարքերի կուտակվող հաճախականությունները (ն, առհասարակ, նութագրիչների կուտակվող արժեքները) պատկերելու համար օգտագործվում են, այսպես կոչված, կումուլյատիվ կորերը: Նախորդ օրինակի խմ երի միջին հաճախականությունների կուտակված արժեքները (այսինքն` դրանց հաջորդական գումարները) արտապատկերող կումուլյատիվ կորը ներկայացված է գծապատկեր 3.7-ում:

Գծապատկեր 3.7. Կումուլյատիվ կորի օրինակ

Որոշակի աշխարհագրական տարածքում այս կամ այն երնույթի տարածման մակարդակը կամ աստիճանը նութագրելու համար օգտագործվում են վիճակագրական քարտեզները (քարտագրամները): Դրանք պատկերվում են սխեմատիկ աշխարհագրական քարտեզների տեսքով, որոնց վրա արտացոլվում են համապատասխան վիճակագրական տվյալները: Որպես տարածքային տեղա աշխումն արտահայտելու միջոց` վիճակագրական քարտեզներում օգտագործվում են երկրաչափական պատկերներ կամ ֆոնային գունազարդում (կետագծերի կամ տար երվող գույների միջոցով): Առաջին դեպքում քարտագրամները կոչվում են կետային, երկրորդում` ֆոնային: Գծապատկեր 3.8-ում ներկայացված են կետային ն ֆոնային քարտագրամների օրինակներ, որոնցում նակչության խտությունը որոշակի աշխարհագրական տարածքի շրջաններում պատկերված է տար եր քանակության կետերի կամ տար եր խտության կետագծերի միջոցով:

Գծապատկեր 3.8. Կետային ն ֆոնային վիճակագրական քարտեզի օրինակ ( նակչության խտության քարտագրամը)

•

•• •• •

•

մինչն

••

մինչն

մինչն

հազ հազ հազ

մինչն

մինչն

մինչն

Վիճակագրական քարտեզների երկրորդ մեծ խում ն են կազմում քարտեզ-դիագրամները, որոնք ներկայացնում են քարտագրամների ն դիագրամների համատեղություն (տես, օրինակ, գծապատկեր 3.9): Դրանք թույլ են տալիս պատկերել ավելի արդ աշխարհագրական-վիճակագրական կառուցվածքներ, քան սովորական քարտագրամները:

Գծապատկեր 3.9. Վիճակագրական քարտեզ-դիագրամի օրինակ

հազ. մարդ

Որպես արտահայտչական միջոցներ` քարտեզ-դիագրամներում օգտագործվում են տար եր երկրաչափական պատկերներ, որոնք տեղա աշխվում են սխեմատիկ աշխարհագրական քարտեզի համապատասխան տիրույթներում: Իհարկե, գծապատկերների տեսակները չեն սահմանափակվում վերը թվարկվածներով, սակայն վերջինները հանդիսանում են առավել տարածված ն հաճախ օգտագործվող:

ԳԼՈՒԽ |Մ

ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐ

4.1. «Վիճակագրական ցուցանիշներ» հասկացությունը, արտահայտման ձները ն տեսակները Անկախ նպատակից ն ծավալից, արտահայտման ձնից ն տեսակից` կամայական վիճակագրական հետազոտությունը ավարտվում է վիճակագրական ցուցանիշների հաշվարկներով ու վերլուծությամ : Վիճակագրական ցուցանիշը սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների քանակական նութագիր է` որակական որոշակիության պայմաններում: Ցուցանիշների որակական որոշակիությունը նշանակում է, որ դրանք անմիջականորեն կապված են ուսումնասիրվող երնույթի կամ գործընթացի ովանդակության, նրա էության հետ: Որպես կանոն, ուսումնասիրվող վիճակագրական գործընթացներն ու երնույթները ավականին արդ են ն չեն կարող անմիջականորեն նութագրվել մեկ` առանձին վերցրած ցուցանիշով: Դրանց նկարագրության համար հիմնականում օգտագործում են վիճակագրական ցուցանիշների համակարգերը: Վիճակագրական ցուցանիշների համակարգը փոխկապակցված ցուցանիշների համակցություն է` կառուցվածք, որը նպատակաուղղված է որոշակի միա- կամ ազմամակարդակ վիճակագրական խնդիրների լուծմանը: Ի տար երություն հատկանիշների, վիճակագրական ցուցանիշները ստացվում են հաշվարկային ճանապարհով: Դա կարող է լինել համակցության միավորների պարզ հաշվարկ, դրանց հատկանիշների արժեքների գումարում, մեկ կամ մի քանի մեծությունների համեմատում կամ հաշվարկների ավելի արդ տեսակ: Տար երում են վիճակագրական որոշակի ցուցանիշներ ն ցուցանիշ-կատեգորիաներ: Վիճակագրական որոշակի ցուցանիշները նութագրում են ուսումնասիրվող երնույթի կամ գործընթացի չափը (մեծությունը) տվյալ ժամանակահատվածում ն տվյալ վայրում: Այսպես, արդյունա երական-արտադրական ֆոնդերի արժեքի որոշակի մեծության (չափի) վերա երյալ պարտադիր պետք է նշել, թե ո՛ր ձեռնարկությանը կամ ճյուղին ն ժամանակի ո՛ր պահին է այն վերա երում: Ցուցանիշ-կատեգորիաներն արտացոլում են որոշակի միատեսակ վիճակագրական ցուցանիշների էությունը, դրանց ընդհանրա-

կան տար երիչ հատկությունը` առանց վայրը, ժամանակը ն թվային արժեքը նշելու: Օրինակ՝ Ճ ն B քաղաքների առնտրի ն հասարակական սննդի ձեռնարկությունների (հիմնարկությունների) մանրածախ ապրանքաշրջանառության 2004-2005 թթ. ցուցանիշները տար երվում են ըստ տեղի, ժամանակի ն որոշակի թվային արժեքների, սակայն ունեն միննույն էությունը, որն արտահայտվում է «Առնտրական կազմակերպությունների ն հասարակական սննդի մանրածախ ապրանքաշրջանառություն» ցուցանիշ-կատեգորիայով: Ըստ համակցության միավորների ընդգրկման` վիճակագրական ցուցանիշները լինում են անհատական ն հանրագումարային, իսկ ըստ արտահայտման ձնի` ացարձակ, հարա երական կամ միջին մեծություններ: Անհատական ցուցանիշները նութագրում են առանձին օ յեկտը կամ համակցության առանձին միավորը (ձեռնարկություն, անկ, տնային տնտեսություն ն այլն): Անհատական ացարձակ ցուցանիշներ են, օրինակ, ընտանիքի գումարային եկամուտը, ձեռնարկության աշխատողների թիվը: Երկու անհատական ացարձակ ցուցանիշների հարա երության հիման վրա ստացվում է անհատական հարա երական ցուցանիշը, որը նութագրում է միննույն օ յեկտը կամ միավորը: Վիճակագրությունում հաշվարկում են նան միջին անհատական ցուցանիշները` որոշակի ժամանակահատվածների կտրվածքով (օրինակ` ձեռնարկության աշխատողների միջին տարեկան թիվը): Հանրագումարային ցուցանիշները, ի տար երություն անհատականների, նութագրում են միավորների խմ երը` նկարագրելով վիճակագրության համակցության մասը կամ համակցությունն ամողջությամ : Դրանք, իրենց հերթին, լինում են ծավալային ն հաշվարկային: Ծավալային ցուցանիշները հաշվարկվում են համակցության հատկանիշի առանձին արժեքների գումարման միջոցով: Հաշվարկային ցուցանիշները (տար եր անաձներով հաշվարկված) օգտագործվում են վիճակագրական վերլուծության առանձին խնդիրները (օրինակ` վարիացիայի չափումը, կառուցվածքային տեղաշարժերի նութագրումը, փոխկախվածության գնահատումը ն այլն) լուծելու համար: Այդ խմ ում ընդգրկվում են ինդեքսները, կապի սերտության գործակիցները, ընտրանքի սխալը ն այլն: Հաշվարկային ցուցանիշները նույնպես լինում են ացարձակ, հարաերական կամ միջին: Բացի համակցության միավորի ընդգրկման ու արտահայտման ձնից, վիճակագրական ցուցանիշները դասակարգելու համար օգ-

տագործվում են մի շարք այլ չափանիշներ: Դասակարգման կարնոր չափանիշ է նան ժամանակի գործոնը: Սոցիալ-տնտեսական երնույթներն ու գործընթացները արտահայտվում են ժամանակի որոշակի պահի կամ որոշակի ժամանակաշրջանի վիճակագրական ցուցանիշներում: Մեկ կամ երկու ուսումնասիրվող օ յեկտների պատկանելիությունից կախված` տար երում են մենաօ յեկտային ն միջօ յեկտային ցուցանիշներ: Առաջին խում ը նութագրում է մեկ օ յեկտ, երկրորդը ստացվում է երկու տար եր օ յեկտները նութագրող արդյունքային մեծությունների համադրումից: Միջօ յեկտային ցուցանիշները նկարագրվում են հարա երական կամ միջին մեծությունների տեսքով: Տարածական որոշակիության տեսանկյունից` վիճակագրական ցուցանիշները լինում են ընդհանուր տարածքային, որոնք ուսումնասիրվող օ յեկտը (երնույթը) նութագրում են ամ ողջ երկրի մասշտա ով, կամ ռեգիոնալ ն լոկալ, որոնք համապատասխանաար վերա երում են որոշակի տարածաշրջաններին կամ առանձին օ յեկտներին:

4.2. Բացարձակ մեծություններ Վիճակագրական գումարային ընդհանրական ցուցանիշները արտահայտվում են ացարձակ մեծություններով, որոնք նութագրում են հասարակական երնույթների ն գործընթացների չափերը տարածական ն ժամանակային որոշակի պայմաններում: Բացարձակ մեծությունները լինում են անհատական ն գումարային: Անհատական ացարձակ ցուցանիշները ստացվում են անմիջականորեն վիճակագրական դիտարկման ընթացքում` որպես օ յեկտների այս կամ այն համակցության առանձին միավորների քանակական հատկանիշների չափերն արտահայտող ացարձակ մեծություններ: Գումարային ացարձակ մեծությունները նութագրում են վիճակագրական դիտարկման մեջ ընդգրկված օ յեկտների համակցության որոշակի հատկանիշի արժեքների հանրագումարը: Դրանք ստացվում են կա՛մ դիտարկման միավորների թվի ուղղակի հաշվարկումով, կա՛մ համակցության առանձին միավորների հատկանիշի արժեքների գումարման միջոցով: Բացարձակ մեծություններն անվանական թվեր են, որոնք ունեն ուղղակի չափողականության ու չափման միավորներ: Կախված սոցիալ-տնտեսական երնույթների ուսումնասիրության էությունից ն վերլուծության նպատակից` կիրառվում են նական, պայմանա-

կան- նական, արժեքային ն աշխատանքի չափման միավորներ: Բնական են կոչվում չափման այնպիսի միավորները, որոնք համապատասխանում են ուսումնասիրվող երնույթի նական հատկություններին ն արտահայտվում են երկարության, մակերեսի, ծավալի ն այլ միավորներով կամ երնույթի (օ յեկտի) միավորների քանակով: Միջազգային պրակտիկայում օգտագործում են չափման այնպիսի նական միավորներ, ինչպիսիք են` տոննա, կիլոմետր, քառակուսի մետր, խորանարդ մետր, մետր, մղոն, կիլոգրամ, լիտր ն այլն: (Նույն ժամանակաշրջանում, օրինակ, արտադրվել է 90 մլրդ կվտ/ժամ էլեկտրաէներգիա, 30 մլն տոննա նավթ ն 60 մլրդ խմ գազ ն այլն): Չափման նական միավորների խմ ին են պատկանում նան պայմանական- նական չափորոշիչները, որոնք օգտագործվում են, եր արտադրանքի որնէ տեսակն ունի մի քանի առանձնահատկություններ: Քանի որ չափման նական միավորներով արտահայտված արտադրանքների տար եր քանակների վերա երյալ տվյալների գումարումն անիմաստ է, սպառողական միանման նշանակության արտադրանքների ընդհանուր ծավալը ստանալու նպատակով վիճակագրությունում օգտագործում են չափի պայմանականնական միավորները: Այդ դեպքում, առաջին հերթին, գտնում են երման գործակիցները, որոնք արտահայտում են տար եր արտադրանքների չափման նական միավորների հարա երակցությունն ըստ որնէ հատկանիշի (սպառողական հատկությունների, աշխատատարության, ինքնարժեքի ն այլն): Ստացված գործակիցների միջոցով ոլոր այդ արտադրանքների տվյալ հատկանիշի արժեքները երվում են մեկ արտադրանքի (որի նական միավորը ընդունված է որպես չափի պայմանական միավոր) պայմանականնական միավորների: Տարատեսակ արտադրանքի ընդհանուր ծավալի հաշվարկման համար չափման պայմանական- նական միավորների օգտագործումը պիտանի չէ: Եր եմն չափման մեկ միավորի օգտագործումը ավարար չէ որնէ երնույթ ն գործընթաց նութագրելու համար: Այդպիսի դեպքերում հարկ է լինում օգտագործել միաժամանակ երկու կամ ավելի չափման միավորներ (օրինակ՝ էլեկտրաէներգիայի ծախսն արտահայտվում է կիլովատ-ժամերով): Շուկայական տնտեսության պայմաններում կարնոր նշանակություն ն կիրառություն ունեն չափման արժեքային միավորները, որոնք տալիս են սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների արժեքային (դրամական) գնահատականները: Այսպես, ազգային հաշիվների համակարգում կարնորագույն արժեքային ցուցանիշը, որը նութագրում է երկրի տնտեսության ընդհանուր զար-

գացման մակարդակը, ՀՆԱ-ն է (համախառն ներքին արդյունքը): Արժեզրկման արձր տեմպերի պայմաններում արժեքային ցուցանիշների վերլուծության ն համադրման գործընթացում անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ այդ ցուցանիշները դառնում են անհամադրելի (անհամատեղելի): Այսպես օրինակ, նպատակահարմար չէ համեմատել 2006 թ. ՀՆԱ մեծությունը 1990 թ. տվյալների հետ, քանի որ արժույթի ովանդակությունն այդ ժամանակահատվածում փոփոխվել է: Համարժեք համեմատության համար (որտեղ այն հնարավոր է) անհրաժեշտ է ցուցանիշների հաշվարկը կատարել համադրելի գներով: Աշխատանքի չափման միավորները թույլ են տալիս հաշվի առնել ինչպես ձեռնարկության աշխատանքի ընդհանուր ծախսումները, այնպես էլ առանձին տեխնոլոգիական գործընթացների աշխատատարությունը (մարդ-օր ն մարդ-ժամ): Գործնականում, անհրաժեշտ տեղեկատվությունը ացահայտելու նպատակով, ացարձակ մեծությունները ստանում են հաշվարկային ճանապարհով, օրինակ՝ հաշվեկշռի հիման վրա. Ç Í + Է = Ð + ÇÊ , որտեղ` ÇÍ-ը պահուստն է սկզ նական ժամանակաշրջանում, Է -ն`մուտքը այդ ժամանակաշրջանում, Ð -ը` ծախսը այդ ժամանակաշրջանում, ÇÊ -ն` պահուստը ժամանակաշրջանի վերջին: Վիճակագրությունում ացարձակ մեծությունները լայնորեն օգտագործվում են տնտեսական վիճակի ն հասարակական կյանքի երնույթների զարգացման գործընթացի վերլուծության ն կանխատեսման համար:

4.3. Հարա երական մեծություններ Առանձին վերցրած, ացարձակ մեծությունները անհրաժեշտ տեղեկություններ չեն տալիս ուսումնասիրվող երնույթների ն գործընթացների վերա երյալ: Դրանց հիման վրա հաշվարկում են հարա երական մեծությունները, որոնք նութագրվում են համեմատվող ացարձակ մեծությունների քանակական հարա երակցությամ : Ի տար երություն ացարձակ վիճակագրական ցուցանիշների, հարա երական մեծություններն ածանցյալ մեծություններ են, որոնք ստացվում են ոչ թե պարզ գումարման, այլ ացարձակ մեծությունների համադրման միջոցով, ն արտահայտում են որոշակի հասարակական երնույթների ու գործընթացների յուրահատուկ քանակական հարա երակցություն: Հարա երական մեծության հա-

մարիչը ցույց է տալիս համեմատվող մեծությունը, որն անվանում են հաշվետու կամ ընթացիկ, իսկ հայտարարը` համեմատման հիմք կամ համեմատման ազա: Այսպիսով, հաշվարկվող հարա երական մեծությունը ցույց է տալիս, թե քանի՞ անգամ է համեմատվող ացարձակ մեծությունը մեծ` որպես համեմատման հիմք ընդունած ացարձակ մեծությունից կամ նրա ո՞ր մասն է կազմում: Որպես կանոն, համեմատման ազան ընդունվում է 1, 100, 1000, 10000-ը: Եթե հիմքը հավասար է մեկի, հարա երական մեծությունը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է ընթացիկ մեծությունը մեծ ազայինից կամ դրա որ մասն է կազմում, ն արտահայտվում է գործակցի տեսքով: Եթե հիմքն ընդունվում է հավասար 100-ի, ապա հարա երական մեծությունն արտահայտվում է տոկոսներով (9), 1.000-ի դեպքում` պրոմիլներով (‰), իսկ 10.000-ի դեպքում` պրոդեցիմիլներով օ ( /օօօ): Հարա երական մեծությունները կարող են լինել համանուն ն տարանուն: Եթե համեմատվում են համանուն մեծությունները, ապա դրանք արտահայտվում են գործակիցներով, տոկոսներով, պրոմիլներով: Տարանուն մեծությունները համեմատելիս անվանական հարա երական մեծությունները կազմվում են համեմատվող անվանական մեծություններից, օրինակ՝ երկրի նակչության խտությունը` մարդ/կմ2, երքատվությունը` ց/հա ն այլն: Գործնականում կիրառվող վիճակագրական հատկանիշի հարա երական ոլոր մեծությունները կարելի է ստորա աժանել հետնյալ տեսակների` ա) դինամիկայի, ) պլանային առաջադրանքի, գ) պլանի կատարման, դ) կառուցվածքի, ե) կոորդինացման, զ) ինտենսիվության, է) համեմատության: Դինամիկայի հարա երական ցուցանիշը (ԴՀՑ) արտահայտում է երնույթների մակարդակների փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում: Այն հաշվարկվում է որպես տվյալ երնույթի տար եր ժամանակաշրջանների կամ պահերի մակարդակների հարա երություն: Դինամիկայի հարա երական ցուցանիշներն արտահայտվում են գործակիցներով կամ տոկոսներով: Այսպես`

ԴՀՑ =

Ընթացիկ ցուցանիշ Բազիսային ցուցանիշ

(9) կամ ԴՀՑ =

yi (9) : y0

Հաշվարկված մեծությունը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է ընթացիկ ցուցանիշը գերազանցում ազիսային ցուցանիշը, կամ դրա որ մասն է կազմում: Եթե ցուցանիշը արտահայտված է հարա երությամ , ապա կոչվում է աճի գործակից, իսկ եր այն ազմապատկվում է 1009-ով, ստացվում է աճի տեմպը: Օրինակ՝ 2004 թվականին գործարանը թողարկել է 300 հաստոց, իսկ 2005-ին` 330: Դինամիկայի հարա երական գործակիցը կազմում է 1.1 (330/300), աճի տեմպը` 1109, հետնա ար մեկ տարում թողարկումն ավելացել է 109-ով: Ֆինանսատնտեսական ոլորտի ոլոր սու յեկտները, սկսած փոքր ձեռնարկություններից, վերջացրած խոշոր կոնցեռններով, գործունեության հեռանկարային պլանները ըստ այս կամ այն չափանիշի կազմելիս, համեմատում են իրական նվաճումների (հասանելի) արդյունքները ակնկալվող մակարդակի հետ: Այդ նպատակով որոշում են պլանային առաջադրանքի ն պլանի իրականացման հարա երական ցուցանիշները: Պլանային առաջադրանքի հարա երական ցուցանիշը գալիք ժամանակաշրջանի համար պլանավորված մակարդակի (yi+1) հարա երությունն է ցուցանիշի նախորդ շրջանի մակարդակին (yi).

ՊԱՀՑ =

Ցուցանիշ, պլանավորված (i + 1) - րդ ժամանակաշրջանում Ցուցանիշ, հասնում է i - րդ ժամանակաշրջանում

ՊԱՀՑ =

yi+1 yi

(9) կամ`

(9) :

Պլանի կատարման հարա երական ցուցանիշը ընթացիկ ժամանակաշրջանի փաստացի նվաճման մակարդակի (yi+1) հարա երությունն է պլանավորված ցուցանիշի մակարդակին (yåÉ) այդ նույն ժամանակաշրջանում. ՊԿՀՑ =

Ցուցանիշ, հասնում է (i + 1) - րդ ժամանակաշրջանում Ցուցանիշ, պլանավորված (i + 1) - րդ ժամանակաշրջանում

(9),

կամ` ՊԿՀՑ =

y i+ 1 y պլ

(% ) :

Օրինակ՝ ունենք հետնյալ տվյալները ֆիրմայի ձեռնարկությունների վերա երյալ (տե՛ս աղյուսակ 4.1)

Աղյուսակ 4.1 Հարա երական ցուցանիշների հաշվարկման օրինակ Արտադրանքի Արտադրանքի փասՁեռնարՓաստացի իրացիրացման աճի տացի իրացված ծակությունները ված արտադրանքի վալը 2006թ. ֆիրմայում ծավալը 2005 թ. (մլն պլանային առաջադրամ) դրանքը 2006թ. (9) (մլն դրամ)

Ա Բ Գ

48.5

102.5

32.6 52.7 63.0

Որոշել (ֆիրմայի համար ամ ողջությամ ). 1. Պլանային առաջադրանքի չափը ըստ արտադրանքի իրացման ծավալի աճի 2006թ.: 2. Պլանի կատարման տոկոսը ըստ արտադրանքի իրացման ծավալի 2006թ.: 3. Իրացված արտադրանքի դինամիկայի ցուցանիշը: Լուծում. Պլանային առաջադրանքի հարա երական ցուցանիշը ստանալու համար տոկոսային արտահայտումից անցնենք արտադրանքի ծավալի փաստացի պլանային արտահայտմանը: Ֆիրմայի «Ա» ձեռնարկության 1049-ին համապատասխանում է 31,2 մլն դրամ, «Բ» ձեռնարկության 1069-ին` 51.41 մլն դրամ, իսկ «Գ» ձեռնարկության 102,59-ին` 61,5 մլն դրամ: Այսպիսով` ա) պլանային առաջադրանքի չափը ըստ արտադրանքի իրացման ծավալի աճի 2006թ. կկազմի` y պլ 31.2 + 51.41 + 61.5 144.11 ՊԱՀՄ = = = = 1.0405 (104.059), y0 30 + 48.5 + 60 138.5 ) պլանի կատարման տոկոսը` ըստ արտադրանքի իրացման ծավալի 2006թ.` y 1 32.6 + 52.7 + 63 148.3 ՊԿՀՄ = = = = 1.029 (102.9 9), y պլ 144.11 144.11 գ) դինամիկայի հարա երական ցուցանիշը` y 1 148.3 ԴՀՑ = = = 1.0707 (107.079), y 0 138.5 Պլանային առաջադրանքի, պլանի կատարման ն դինամիկայի հարա երական ցուցանիշների միջն գոյություն ունի փոխադարձ կապ.

ԴՀՑ = ՊԱՀՑ × ՊԿՀՑ :

Կառուցվածքի հարա երական ցուցանիշները (ԿՀՑ) ուսումնասիրվող օ յեկտի կառուցվածքի մասերի հարա երություններն են ամ ողջին. ԿՀՑ =

Ցուցանիշը ( նութագրում է համակցության մասը) Ցուցանիշը ( նութագրում է ամ ողջ համակցությունը)

:

Կառուցվածքի հարա երական ցուցանիշը հաշվարկելիս ամ-

ողջ Σfi ընդունում ենք որպես համեմատության ազա ն գտնում առանձին մասերի տեսակարար կշիռը (di) ամ ողջի նկատմամ ` di =

fi

∑ fi

100 9 :

Օրինակ` ըստ եռամսյակների ՀՀ նակչության դրամական եկամուտների վերա երյալ (1999-2000 թթ.) կան հետնյալ տվյալները (մլրդ դրամ) (տե՛ս աղյուսակ 4.2). Աղյուսակ 4.2 ՀՀ նակչության դրամական եկամուտները 1999-2000 թթ. Տարի

| 117.4 125.6

Եռամսյակներ || 133.2 160.4 138.3 191.4

Ընդամենը |Մ 216.0 243.0

627.0 698.3

Հաշվարկել նակչության դրամական եկամուտների կառուցվածքի հարա երական մեծությունները յուրաքանչյուր տարում, ըստ եռամսյակների: Լուծում. Հաշվարկենք դրամական եկամուտների կառուցվածքի հարա երական մեծությունները 1999 ն 2000 թթ.

1999 թ. d| =

117.4 ⋅ 1009 = 18.729 :

d|| =

133.2 ⋅ 1000 = 21.240 :

d||| = d|Մ =

2000 թ. d| =

125.6 ⋅ 1009 = 17.999 : 698.3

d|| =

138.3 ⋅ 1009 = 19.89 : 698.3

160.4 ⋅ 1009 = 25.589 :

d||| =

191.4 ⋅ 1009 = 27.419 : 698.3

⋅ 1009 = 34.459 :

d|Մ =

⋅ 1009 = 34.89 : 698.3

Հաշվարկված կառուցվածքի հարա երական մեծությունները ներկայացված են աղյուսակ 4.3-ում: Աղյուսակ 4.3 Դրամական եկամուտների կառուցվածքը ՀՀ-ում 1999-2000 թթ. ըստ եռամսյակների Եռամսյակ

Դրամական եկամուտների տեսակարար կշիռը (9)

1999 թ. 18.7 21.2 25.6 34.5

| || |Մ

2000 թ. 18.0 19.8 27.4 34.8

Աղյուսակի տվյալները վկայում են, որ ուսումնասիրվող դրամական եկամուտների տեսակարար կշիռները օրինաչափորեն աճում են առաջին եռամսյակից մինչն չորրորդ եռամսյակը: Կոորդինացման հարա երական ցուցանիշները (ԿՀՑ) նութագրում են համակցության առանձին մասերի հարա երակցությունը որպես համեմատության ազա ընդունված` դրանցից որնէ մեկի նկատմամ : Կոորդինացման հարա երական ցուցանիշները միննույն չափման միավոր ունեցող ացարձակ մեծությունների հարա երություններ են, որոնք արտահայտվում են տոկոսներով, պրոմիլներով (ոչ անվանական միավորներով). ԿՀՑ =

Ցուցանիշ ( նութագրում է համակցության i - րդ մասը) Ցուցանիշ ( նութագրում է որպես համեմատման ազա ընտրված համակցության մասը)

Սովորա ար որպես համեմատության ազա ընտրվում է այն մասը, որն ունի առավելագույն տեսակարար կշիռը կամ նախընտրելի է տնտեսական (սոցիալական) տեսակետից: Արդյունքում որոշվում է, թե որքա՞ն կառուցվածքային միավոր է համապատասխանում ազիսային կառուցվածքի մեկ միավորին: Օրինակ` ՀՀ-ում 2002 թ. (հազ. մարդ) տնտեսական ակտիվ նակչության միջին տարեկան թվի վերա երյալ ունենք հետնյալ տվյալները. տնտեսական ակտիվ նակչություն .......................... 1240.1, այդ թվում՝ զ աղվածներ..................................................................1106.4, գործազուրկներ................................................................133.7: Հաշվարկել` քանի՞ գործազուրկ է ընկնում ՀՀ տնտեսությունում ամեն 1.000 զ աղվածներին:

Լուծում. 133,7 ⋅ 1000 = 121 : 1106,4 Նշանակում է` տնտեսությունում զ աղված յուրաքանչյուր 1000 մարդուն ընկնում է 121 գործազուրկ: Ինտենսիվության հարա երական ցուցանիշները (ԻՀՑ) նութագրում են տվյալ երնույթի տարածվածությունը կամ զարգացման աստիճանը որոշակի միջավայրում. ԿՀՑ =

ԻՀՑ =

Ցուցանիշ ( նութագրում է Ճ երնույթը) Ցուցանիշ ( նութագրում է Ճ երնույթի տարածվածությունը)

Օրինակ` աղյուսակ 4.4-ում ներկայացված են տվյալները ՀՀ 1998-2002 թթ-ին նակչության նական շարժի վերա երյալ: Աղյուսակ 4.4 ՀՀ նակչության նական շարժը 1998-2002 Տարեթվերը

Բնակչության նական շարժը Բնակչության (հազ. մարդ) թվաքանակը Մահացածների Բնական (հազ. մարդ) Ծնվածների թիվը թիվը հավելաճը

3798.2 3803.4 3802.4 3212.9 3210.3

39.366 36.502 34.276 32.065 32.229

23.210 24.087 24.025 24.003 25.554

16.156 12.415 10.251 8.062 6.675

Վերոնշյալ տվյալների հիման վրա պահանջվում է որոշել նակչության ծննդի, մահացության ն նական հավելաճի ինտենսիվության հարա երական մեծությունները: Լուծում. Բնակչության նական վերարտադրության ինտենսիվության հարա երական մեծությունը որոշելու համար այդ գործընթացների ացարձակ մեծությունները հարա երենք նակչության ընդհանուր թվին՝ հազար մարդու հաշվով (արտահայտված պրոմիլներով): Այսպես, 1998թ. ծննդի ինտենսիվության հարա երական ցուցանիշը կլինի՝ (39.366 / 3798.2) × 1000 Հ 10.36 ‰, մահացությանը՝ (23.21/3798.2) x 1000Հ 6.11‰, նական հավելաճինը՝ (16.156/3798.2) x 1000 Հ 4.25‰: Նույն սկզ ունքով հաշվարկվում են նակչության` այլ տարիների նական շարժը նութագրող ինտենսիվության հարա երական մեծությունները (տե՛ս աղյուսակ 4.5):

Աղյուսակ 4.5 Ինտենսիվության հարա երական ցուցանիշները Տարեթվերը

Բնակչության նական շարժը 1000 մարդու հաշվով Ծնվածների թիվը

Մահացածների թիվը

Բնական հավելաճը

10.36 9.59 9.01 9.98 10.04

6.11 6.33 6.32 7.47 7.96

4.25 3.26 2.69 2.51 2.08

Համեմատման հարա երական ցուցանիշները (ՀՀՑ) նութագրում են համանուն ացարձակ ցուցանիշների հարա երությունը, որը համապատասխանում է նույն ժամանակաշրջանին կամ ժամանակի նույն պահին, սակայն տար եր օ յեկտների կամ տարածքների նկատմամ . ՀՀՑ =

Ցուցանիշ ( նութագրում է Ճ օ յեկտը) Ցուցանիշ ( նութագրում է B օ յեկտը)

:

Օրինակ` երկար տարիների ընթացքում ջրի պահեստավորումը Լադոգա լճում կազմում է 991 կմ3, իսկ Բայկալում՝ 23000 կմ3: Որոշել համեմատման հարա երական մեծությունը՝ համեմատման հիմք ընդունելով Լադոգա լճի ջրի պահեստավորումը: 23000 = 25,2 : Լուծում. ՀՀՑ = Հետնա ար, Բայկալ լճում ջրի պահեստավորումը 25.2 անգամ ավելի է, քան Լադոգա լճում:

4.4. Միջին մեծություններ Վիճակագրությունում հասարակական, այդ թվում` տնտեսական, գիտափորձարարական, արտադրական երնույթներն ուսումնասիրվում են ընդհանրական ցուցանիշների օգնությամ , որոնցից են միջին մեծությունները: Սոցիալ-տնտեսական հետազոտություններում վիճակագրական ցուցանիշների գնահատման ամենատարածված ձնը միջին մեծությունն է, որը վիճակագրական համակցության հատկանիշի ընդհանրական քանակական նութագրիչն է` տեղի ն ժամանակի որոշակի պայմաններում: Միջին մեծությունը վիճակագրական գիտության կարնորագույն

կատեգորիաներից է, ընդհանրական ցուցանիշների հիմնական ձնը: Միջին մեծության տեսքով հաշվարկված ցուցանիշը արտահայտում է նմանատիպ երնույթների նորոշ գծերը, տալիս դրանց ընդհանրական նութագրիչներն ըստ առանձին տատանվող ցուցանիշների: Միջին մեծությունը արտացոլում է այն ընդհանուրը, որը հատուկ է հետազոտվող համակցության ոլոր միավորներին: Համակցության հատկանիշի առանձին միավորների արժեքները կարող են տատանվել ինչպես հիմնական, այնպես էլ պատահական ազմաթիվ գործոնների ազդեցության ներքո: Միջին մեծություններում մարվում են համակցության միավորների անհատական տար երությունները: Դրանք արտահայտում են երնույթի ամ ողջ համակցությանը նորոշ ընդհանուր օրինաչափության գծերը: Այդ հատկությունը կանխորոշում է միջինների օգտագործումը վիճակագրական գիտության հիմնական մեթոդի որակում: Միջին մեծությունները ազմաթիվ են ն քանակապես արտահայտում են վիճակագրական համակցության որոշակի հատկություններ: Միջինների էությունն այն է, որ համակցության հատկանիշի պատահական գործոնների ազդեցությամ պայմանավորված առանձին միավորների շեղումները փոխադարձորեն չեզոքացվում են` ի հայտ երելով հիմնական գործոնների ազդեցությունը: Միջինների նորոշությունը անմիջականորեն կապված է վիճակագրական համակցության համասեռության հետ: Միջին մեծությունը արտացոլում է հատկանիշին նորոշ մակարդակը միայն այն դեպքում, եր հաշվարկվում է ըստ որակապես համասեռ համակցության տարրերի: Միջինների մեթոդը կիրառվում է խմ ավորման մեթոդի հետ շաղկապված. եթե համակցությունը համասեռ չէ, ընդհանուր միջինը անհրաժեշտ է փոխարինել կամ լրացնել խմ ային` ըստ քանակապես համասեռ խմ երի հաշվարկված միջիններով: Վիճակագրությունում գործնականում օգտագործվում են միջինների հետնյալ տեսակները. • թվա անական, • հարմոնիկ, • երկրաչափական, • քառակուսային, • խորանարդ, • ժամանակագրական, • աստիճանային, • կառուցվածքային՝ մեդիանան, մոդան:

Միջինները ( ացի մեդիանայից ն մոդայից) հաշվարկվում են երկու եղանակով` պարզ ն կշռված: Վիճակագրական պրակտիկայում ամենատարածված ն կիրառելի ձնը միջին թվա անականն է:

Միջին թվա անականը, դրա հատկությունները Միջին մեծությունների առավել տարածված տեսակն է միջին թվա անականը, որը հաշվարկվում է, եր միջինացվող հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ձնավորվում է որպես ուսումնասիրվող վիճակագրական համակցության առանձին արժեքների գումար: Հատկանիշը, ըստ որի հաշվարկվում է միջինը (նշանակվում է x նշանով), կոչվում է միջինացվող հատկանիշ: Միջինացվող հատկանիշի մեծությունը համակցության յուրաքանչյուր միավորի համար կոչվում է անհատական արժեք ն նշանակվում է xi-ով` x1 x2 …xո: Հաճախականությունը անհատական արժեքի կրկնումների թիվն է ն նշանակվում է fi-ով: Կախված սկզ նական տվյալների նույթից` միջին թվա անականը կարող է լինել պարզ (չխմ ավորված) ն կշռված (խմ ավորված): Պարզ միջին թվա անականից օգտվում են այն դեպքում, եր հատկանիշի (xi) յուրաքանչյուր արժեքն ունի միատեսակ հաճախականություն` չխմ ավորված տվյալներով: Եթե տրված xi համակցության հատկանիշի արժեքներն են x1 x2 …xո, միջին թվա անականը որոշվում է հատկանիշի արժեքների գումարի ն անդամների թվի հարա երությամ ` ո

x=

x1 + x2 + ... + xո = ո

∑

i=1

ո

xi

,

(4.1)

որտեղ` xi -ն i-րդ հատկանիշի արժեքն է, ո –ը` միավորների թիվը: Ապացույց. Համակցության անդամները փոխարինենք միջին արժեքով` x, x, x , ... x : x1 + x 2 + x 3 + ... + xո = x + x + x + ... + x: ո

∑

տվյալ դեպքում՝

i =1

ո

որտեղից՝ x =

∑ i=1

ո

xi

:

xi = ո x :

Օրինակ` աղյուսակ 4.6-ում ներկայացված են տվյալներ` ՀՀ-ում արտանետման անշարժ աղ յուրներից վնասակար նյութերի մթնոլորտային արտանետումների վերա երյալ (1996-2002 թթ., հազ. տոննա): Աղյուսակ 4.6 Արտանետումները անշարժ աղ յուրներից 1996-2002 թթ. (հազ. տ) Տարեթվեր

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Արտանետումներ

13.9 14.2

16.4 21.7

30.3 17.0

21.0

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա հաշվարկենք միջին թվա անականի արժեքը: Լուծում. ո

∑ xi

x = i=1 ո

=

13.9 + 14.2 + 16.4 + 21.7 + 30.3 + 17.0 + 21.0 = 19.214

Այսպիսով, վնասակար նյութերի անշարժ աղ յուրներից մթնոլորտային արտանետումների միջինը ըստ տարիների կազմում է 19.214 հազ. տոննա: Եր համակցությունը արտահայտվում է եռանիշ, քառանիշ կամ հնգանիշ թվերով, միջինի հաշվարկման համար նպատակահարմար է օգտվել պայմանական միջինից (պայմանական զրո): Որպես պայմանական միջին կարելի է ընտրել համակցության ցանկացած անհատական արժեքը` ացառելով եզրային արժեքները: Սակայն նախընտրելի է այնպիսի պայմանական միջինը, որից համակցության անհատական արժեքների շեղումները փոքրագույնն են: Պայմանական միջինի օգտագործումը հեշտացնում է միջին թվա անականի հաշվարկը` եռանիշ, քառանիշ, հնգանիշ թվերը դարձնելով միանիշ, երկնիշ ն այլն (դրանց հետ գործողություններ կատարելն ավելի դյուրին է): Օգտագործելով պայմանական միջինը` միջին թվա անականի հաշվարկման անաձնը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` ո

x=

∑ (x i − a) i=1

+a, (4.1ա) ո որտեղ` a-ն պայմանական միջինն է, xi -ն հատկանիշի արժեքն է, (xi – a) -ն պայմանական միջինից անհատական արժեքների

շեղումներն են: Օրինակ՝ ըստ աղյուսակ 4.6-ի տվյալների, որոշենք միջին թվաանականը` օգտագործելով պայմանական միջինի անաձնը: Լուծում. Որպես պայմանական միջին ընտրում ենք a Հ 17: Այնուհետն հաշվարկում ենք անհատական արժեքների շեղումները պայմանական միջինի արժեքից (xi - a) ն որոշում այդ շեղումների գումարը: Պարզության համար կազմենք հետնյալ աղյուսակը. xi xi - a

13.9 -3.1

14.2 -2.8

16.4 -0.6

21.7 4.7

30.3 13.3

17.0

21.0 գումար 4.0 15.5

Օգտվելով (4.1ա) անաձնից, կստանանք՝ x=

15.5 + 17 = 19.214 հազ.տ :

Կշռված միջին թվա անականը Կշռված միջին թվա անականը հաշվարկվում է այն դեպքերում, եր կրկնվում են հատկանիշի մեկ կամ մի քանի անհատական արժեքներ: Հաշվարկն իրականացնելու նպատակով տվյալները խմավորում են դիսկրետ կամ միջակայքային աշխման շարքերով: Եթե ունենք դիսկրետ աշխման շարք` xi fi

x1, x2, …, xո f1, f2, … , fո ,

ապա կշռված միջին թվա անականը հավասար է հատկանիշի արժեքների ն դրանց համապատասխան հաճախականությունների արտադրյալների գումարի ն հաճախականությունների գումարի հարա երությանը` ո

x f + x 2 f 2 + ....... + x ո fո x= 1 1 = f1 + f 2 + ....... + fո

∑

i=1 ո

x i fi

∑

i=1

(4.2) fi

որտեղ` xi -ն հատկանիշի արժեքն է, f i -ն` կրկնումների թիվը (կշիռը, հաճախականությունը): Առանձին դեպքերում կշիռները կարող են ներկայացվել ոչ թե ացարձակ, այլ հարա երական մեծություններով (տոկոսներով կամ միավորի մասերով): Կշռված միջին արժեքը տվյալ դեպքում կընդունի հետնյալ տեսքը.

x=∑

որտեղ` di Հ

fi

∑

fi

( xi ⋅

fi

∑

fi

) կամ

x = ∑ x i ⋅ di ,

(4.2ա)

:

Հաճախ տնտեսագիտական նույթի խնդիրներ լուծելիս միջին արժեքը որոշելիս անտեսվում են հատկանիշի արժեքների կշիռները, չնայած իրականում դրանք անհրաժեշտ են: Որպես հետնանք` դա հանգեցնում է իրական պատկերի աղավաղմանը` սխալի: Ենթադրենք, օրինակ, մեկ ամսվա ընթացքում անկ դրվող ավանդների աշխումն ըստ մեծությունների ունի հետնյալ տեսքը (հազ. դրամ) (տե՛ս աղյուսակ 4.7): Աղյուսակ 4.7 Բանկ դրվող ավանդների մեծությունը (հազ. դրամ) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 10 15 19 22 14 Աղյուսակի տվյալների հիման վրա հաշվարկել մեկ ամսվա ընթացքում անկ դրվող ավանդների միջին արժեքը: Լուծում. Միջին արժեքը որոշելու համար նպատակահարմար է օգտվել կշռված միջին թվա անականի (4.2) անաձնից: Հաշվարկների պարզության համար կազմենք աղյուսակ (տես` աղյուսակ 4.8), որի առաջին սյունակում գրվում են ավանդների մեծությունները՝ xi, երկրորդ սյունակում` ավանդատուների թիվը՝ fi իսկ երրորդում` դրանց արտադրյալները՝ xi ⋅ fi: Ավանդներ

Ավանդատուներ

Աղյուսակ 4.8 Հաշվարկային աղյուսակ fi

fi

xi

fi

xi fi

∑ fi

xi

0.04 0.1 0.15 0.19 0.22 0.14 0.07

0.4 1.5 4.75 6.6 4.9 2.8

∑ fi

0.06 2.7 0.03 1.5 Ընդամենը 28.15 Կշռված միջին թվա անականը՝ x= = 28.15 հազ. դրամ: Հետնություն՝ մեկ ամսվա ընթացքում անկ դրվող ավանդների միջին մեծությունը հավասար է 28.15 հազ. դրամի: fi Ըստ անաձն (4.2ա)-ի որոշում ենք հարա երությունը ∑ fi (սյուն. 4), որից հետո xi f i արտադրյալների գումարը (սյուն. 5), ∑ fi այնուհետն` կշռված միջին թվա անականի արժեքը. այն հավասար է 28.15 հազ դրամ: Եթե տրված է միջակայքային աշխման շարքը ն պահանջվում է որոշել միջին արժեքը, ապա անհրաժեշտ է անցում կատարել դրանց կենտրոնների արժեքներին` ստանալով դիսկրետ աշխման շարք: Միջակայքային աշխման շարքի միջին արժեքի հաշվարկումը որոշ չափով դժվարանում է, եր անհայտ են առաջին միջակայքի սկզ ի ն վերջին միջակայքի վերջի սահմանները: Այդ դեպքում պայմանականորեն ընդունում են, որ առաջին միջակայքի երկարությունը հավասար է հաջորդ միջակայքի երկարությանը, իսկ վերջին միջակայքինը` նախորդի երկարությանը: Այսպիսով, վերականգնվում են եզրային միջակայքերը: Օգտվելով կշռված միջին թվա անականի անաձնից` որոշում ենք միջին արժեքը. ∑ x ′i fi , x= (4. 2 ) ∑ fi որտեղ` x ′i -ը միջակայքերի կենտրոնի արժեքն է: Օրինակ` ձեռնարկության անվորների աշխումն ըստ տարիքի ունի հետնյալ տեսքը (աղյուսակ 4.9): Աղյուսակ 4.9 Ձեռնարկության անվորների աշխումն ըստ տարիքի Տարիքը Բանվորների թիվը մինչն 25 25-30 30-40

40-50 50-60 60-ից ավելի Ընդամենը

Որոշենք անվորների միջին տարիքը: Լուծում. Բանվորների միջին տարիքը որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել տարիքային միջակայքի կենտրոնի արժեքը: Այս դեպքում առաջին ն վերջին միջակայքերի լայնությունները պայմանականորեն ընդունված են երկրորդ ն նախավերջին միջակայքերի լայնություններին հավասար: Տվյալ օրինակում միջակայքի կենտ20 + 25 = 22.5 , երկրոնները կլինեն. առաջին միջակայքի համար` 25 + 30 = 27.5 ն այլն: Վերջին միջակայքի համար՝ րորդի՝ 60 + 70 = 65 : Ստանում ենք միջակայքի կենտրոնի հետնյալ ար2 ժեքները՝ x ′i 22.5, 27.5, 35, 45, 55, 65: Օգտվելով կշռված միջին արժեքի հաշվարկման (4.2 ) անաձնից որոշում ենք ձեռնարկության անվորների միջին տարիքը՝ 22.5 ⋅ 4 + 27.5 ⋅ 16 + 35 ⋅ 28 + 45 ⋅ 32 + 55 ⋅ 15 + 65 ⋅ 5 4100 = = 41 4 + 16 + 28 + 32 + 15 + 5 Միջակայքային աշխման շարքի համար միջին թվա անականը կարելի է որոշել «մոմենտների» կամ «պայմանական զրո» սկզ նակետի եղանակով, հետնյալ անաձնով` x′ − a ∑ ( i k ) ⋅ fi x= ⋅k + a, (4.3) ∑ fi x=

որտեղ` x ′i -ը միջակայքի կենտրոնի արժեքն է, a-ն` պայմանական միջինն է (տեսականորեն ընտրվում է այն թիվը, որի հաճախականությունը ամենամեծն է), k-ն` միջակայքի լայնությունն է (երկարությունը): Որոշ դեպքերում a-պայմանական միջինը ընտրելիս կարելի է շեղվել տեսականորեն ընտրված թվից: Եթե խմ երի թիվը կենտ է, նպատակահարմար է a-պայմանական միջինն ընտրել միջնաթիվը` հաշվի չառնելով հաճախականությունը. ստացվում է սիմետրիկություն «0» կետի նկատմամ , ն հաշվարկները դառնում են ավելի

պարզ: Օրինակ` մեկ ամսվա ընթացքում անկ դրվող ավանդների աշխումն ըստ միջակայքերի ունի աղյուսակ 4.10-ում ներկայացված տեսքը: Աղյուսակ 4.10 Ավանդների աշխումն ըստ միջակայքերի (հազ. դրամ) Ավանդներ Ավանդատուների թիվը

10-14 14-18 18-22 22-26 26-30 30-34 34-38 38-42 42-46

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա հաշվարկենք միջին թվա անականը` մոմենտների եղանակով: Լուծում. Լուծումը պարզեցնելու համար օգտվենք հաշվարկային աղյուսակից (տես` աղյուսակ 4.10.1): Աղյուսակ 4.10.1 Մոմենտների եղանակով միջին արժեքի հաշվարկը Ավանդներ (հազ.դրամ) xi

Ավանդա- Կենտրոնի արժեքը տուների x ′i թիվը fi

x ′i - a

x ′i − a k

x ′i − a ⋅ fi k

10 -14

14 -18

18 -22

22 - 26

26 - 30

30 - 34

34 - 38

38 - 42

42 - 46

Ընդամենը

-

-

-

Լուծման հաջորդականությունը հետնյալն է. 1. Որոշում ենք միջակայքերի կենտրոնների արժեքները՝ x ′i , որը հավասար է միջակայքի ստորին ն վերին սահմանների կիսագումարին (սյունակ 3):

2. Ընտրում ենք պայմանական միջինը` a Հ 28-ը, իսկ միջակայքի լայնությունը՝ k Հ 4: 3. Որոշում ենք միջակայքերի կենտրոնների արժեքների տարերությունները պայմանական միջին արժեքից (սյունակ 4): 4. Որոշում ենք պայմանական միջինից կենտրոնների արժեքների տար երությունների ն դրանց լայնությունների հարա երությունները (սյունակ 5): 5. Սյունակ 5-ի արժեքները ազմապատկում ենք ավանդատուների թվով (սյունակ 6), ն արդյունքները գումարում, որը հավասար է -36: 6. Օգտվելով (4.3) անաձնից` մոմենտների եղանակով հաշվարկում ենք միջին արժեքը: Այն հավասար կլինի՝ −36 x= ⋅ 4 + 28 = 26.56 հազ. դրամ: Այսպիսով, մեկ ամսվա ընթացքում անկում դրվող ավանդների միջին արժեքը կազմում է 26.56 հազ. դրամ: Եր հայտնի են խմ ային միջիններն ու հաճախականությունները, կարելի է որոշել ընդհանուր միջինը: Խմ ային միջինը կոչվում է տար երակների միջին թվա անական: Նույն հատկանիշի ամ ողջ համակցության միջին թվա անականը կոչվում է ընդհանուր միջին: Ենթադրենք` որնէ համակցություն աժանված է խմ երի, որոնց անվանում են չհատվող, եթե յուրաքանչյուր տար երակ պատկանում է միայն մեկ խմ ի: Ընդունենք, որ երեք արտադրամասերի աշխատողների միջին աշխատավարձը կազմում է համապատասխանա ար x1 , x 2 , x 3 հազ. դրամ (դրանք խմ ային միջիններն են): Ընդհանուր միջինն այս դեպքում կլինի ամ ողջ արտադրամասի անվորների աշխատավարձի միջինը: Ընդհանուր միջինն ըստ աշխատավարձի որոշվում է կշռված միջին թվա անականի անաձնով` x=

∑ x i fi , ∑ fi

(4.4)

որտեղ` x i -ն խմ ային միջիններն են, f i –ն` արտադրամասի անվորների թիվն է, x -ը` ընդհանուր միջինը: Թեորեմ. Եթե Տ համակցությունը աժանված է չհատվող Տ1, Տ2 ….Տi խմ երի, ապա ընդհանուր միջինը հավասար է խմ ային միջին թվա անականին, եր կշիռները խմ ի ծավալներն են:

Ապացույց. Ընդունենք` Տ1, Տ2 ….Տi աշխվածությունը, ինչպես նան Տ-ը, որոնք ներկայացված են հետնյալ աղյուսակով. xi x1 x2 . . . xk ընդ.

Բաշխման հաճախականությունները Տ1 ք1 ք2 . . . քk N 1 Հ Σ քi

Տ2 զ1 զ2 . . . զk N 2 Հ Σ զi

…

…

…

Տi l1 l2 . . . lk N i Հ Σ li

Տ ք1+ զ1+…+ l1Հ Ճ1 ք2+ զ2+…+ l2Հ Ճ2 . . . քk+ զk+…+ lkՀ Ճk N1+ N2+…+ NiՀ Ճ

Դիտարկված հատկանիշի խմ ային միջինները կլինեն` ∑ x i ք i = ∑ x i ք i : x = ∑ x i զi = ∑ x i զi : ...: x = ∑ x i li : x1 = k Nk N1 N2 ∑ քi ∑ զi Ընդհանուր միջինը կլինի` x (ք + զ + ... + l1) + x2 (ք2 + զ2 + ... + l2) + ... + xk (քk + զk + ... + lk ) = x= 1 1 1 N1 + N2 + ... + Nk

=

(x 1ք1 +

... + x 1l1 ) + (x 2 ք 2 + ... + x 2 l 2 ) + ... + (x k ք k + ... + x k l k ) = N1 + N 2 + ... + Nk

= Խմ ային

∑ xi li = x k Nk

∑ x iք i + ∑ x i զi + ... + ∑ x ili

(4.4.1)

N1 + N 2 + ... + Nk

միջինների

∑ xi քi = x 1N1 ,

∑ xi զi = x 2N 2 ,

…,

արժեքները տեղադրելով (4.4.1) անաձնում կստա-

նանք՝ + ... + x k Nk N + = x = x1 1 x 2 N2 N1 + N2 + ... + Nk

∑ xi Ni : ∑ Ni

(4.5)

Միջին թվա անականի հատկությունները Միջին թվա անականն ունի մաթեմատիկական հատկություններ, որոնք լիովին ացահայտում են դրա էությունը, որոշ դեպքերում կարնոր դեր են խաղում հաշվարկներ կատարելիս: Դիտարկենք միջին թվա անականի որոշ հատկությունները.

1. Համակցության միջին արժեքից անհատական արժեքների շեղումների գումարը հավասար է զրոյի.

∑ ( x i − x i )f i = 0 :

(4.6)

Հատկության մաթեմատիկական ապացույցը հետնյալն է.

∑ (x i − x i ) fi = ∑ x i fi − ∑ x i fi

= x ⋅ ∑ fi − x ⋅ ∑ fi = 0 :

Այս հատկությունը ստուգիչ քայլ է միջին թվա անականի հաշվարկի ճշտությունը որոշելու համար: 2. Եթե ոլոր միջինացվող տար երակները փոքրացնենք կամ մեծացնենք միննույն a հաստատուն թվով, ապա միջին թվա անականը համապատասխանա ար կփոքրանա կամ կմեծանա նույն թվով: Ունենք xi ± a համակցությունը: Ապացուցենք, որ x i ± a = x ± a :

∑ ( x i ± a) f i ∑ fi

=

∑ x i fi ± a∑ fi ∑ fi

=

∑ x i fi ∑ fi

±

a∑ fi

∑ fi

= x ± a:

(4.7)

3. Եթե xi հատկանիշի ոլոր տար երակների արժեքները փոքրացնենք կամ մեծացնենք a անգամ, ապա միջինը նույնպես համապատասխանա ար կփոքրանա կամ կմեծանա a անգամ: x Ունենք i կամ xi ⋅ a համակցությունը. a xi 1 = x: Ցույց տանք, որ` a a ∑ (x i : a) fi = a ∑ x i fi = 1 ⋅ x : (4.8) a ∑f ∑f i

i

4. Եթե ոլոր կշիռները (հաճախականությունները) փոքրացնենք կամ մեծացնենք a անգամ, ապա միջին թվա անականի արժեքը չի փոփոխվի (կմնա նույնը): f Ունենք x i ( i ) համակցությունը. a ապացուցենք, որ` x i (

fi a

)=x:

f xi( i ) = a

fi

∑ xi( a ) fi

∑a

∑ x i fi = a =x: f ∑i a

(4.9)

Հետնություն. եթե ոլոր կշիռներն իրար հավասար են, կշռված ն պարզ միջին թվա անականները կունենան միննույն արժեքը: 5. Հատկանիշի միջին թվա անականից անհատական արժեքների ունեցած շեղումների քառակուսիների գումարը փոքր է անհատական արժեքների ցանկացած a թվից ունեցած շեղումների քառակուսիների գումարից: Ցույց տանք, որ`

∑ (xi − a)

fi > ∑ (x i − x ) fi :

Ապացույց.

∑ (x i − a)

fi = ∑ (x i − x + x − a) fi = ∑

[(x i − x) + (x − a)]2 fi =

[(xi − x)2 + 2 ⋅ (xi − x)(x − a) + (x − a)2 ] fi = = ∑(x i − x)2 fi + 2(x − a)∑(x i − x) fi + ∑(x − a)2 fi = ∑ (x i − x)2 fi + ∑ (x − a)2 fi =∑

∑ fi (x i − a) -ն, ∑ (x i − x) fi -ից = (x − a)2 ∑ fi մեծությամ :

Ակնհայտ է, որ

∑ (x − a)2 fi

=

մեծ է

Հետնա ար, հատկանիշի անհատական արժեքների կամայական a արժեքից ունեցած շեղումների քառակուսիների գումարը մեծ է նրանց միջին թվա անականից ունեցած շեղումների քառա-

∑(x − a)2 fi

կուսիների գումարից

կամ

(x − a)2 ∑ fi

մեծու-

թյամ : Այս հատկության հիման վրա կարող ենք հաշվարկել կենտրոնական մոմենտը, որը աշխման շարքի նութագրիչն է a Հ x -ի դեպքում: Հետնա ար`

μk

(x i − x)k fi ∑ = ∑ fi

որտեղ` k-ն մոմենտների կարգն է (երկրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը դիսպերսիան է), μk –ն` k կարգի կենտրոնական մոմենտն է:

4.5. Միջին հարմոնիկը (ներդաշնակ), միջինների այլ տեսակները Նկատի ունենալով, որ վիճակագրական միջինը արտահայտում է ուսումնասիրվող հասարակական երնույթների ն գործընթացների քանակական հատկությունները, կարնոր է ճիշտ ընտրել միջինների ձնը` ելնելով երնույթների ն նրանց հատկանիշների փոխկապակցվածությունից: Եր վիճակագրական տեղեկատվությունն ըստ համակցության առանձին տար երակների չի պարունակում հաճախականությունները, այլ ներկայացնում է որպես դրանց արտադրյալ` xifi, օգտագործվում է կշռված միջին հարմոնիկի անաձնը: Այդ նպատակով Խ նշանակենք Խi Հ xifi, որտեղից` fi = i : Այնուհետն ձնափոխենք xi կշռված միջին թվա անականն այնպես, որ առկա xi ն Խi արժեքներով հնարավոր լինի հաշվարկել միջինը, (4.2) անաձնում փոխարինելով xifi արտադրյալը Խi-ով, իսկ fi հաճախականությունները` Խi/xi-ով: Արդյունքում կստանանք` x=

∑ Խi Խ ∑ xi i

=

Խ1 + Խ 2 + ... + Խ ո , Խ1 Խ 2 Խո + + ... + x1 x2 xո

(4.10)

որտեղ՝ xi-ն հատկանիշի արժեքներն են: Ենթադրենք` ունենք ապրանքատեսակներ, որոնց գներն են` xi, x1, x2 ….xո, ն հայտնի են իրացման գումարները` Խi-ն: Միջին գինը հաշվարկվում է` աժանելով իրացման գումարները իրացվող միավորների թվի վրա: Իրացման գումարի արժեքը հայտնի է (համարիչը): Իրացվող միավորների թիվը (անհայտ մեծությունը` հայտարարը) որոշելու համար անհրաժեշտ է իրացվող գումարը աժանել առանձին ապրանքատեսակի գնի վրա: Օրինակ՝ որոշենք ապրանքի միջին գինը երեք քաղաքների համար` հետնյալ տվյալներով (տե՛ս աղյուսակ 4.11): Աղյուսակ 4.11 Ապրանքների միջին գները Քաղաքներ

Ապրանքի գինը (հազ. դրամ) xi

Իրացվող գումարը (հազ. դրամ)

Իրացվող միավորների թիվը` հաճախականությունը

Խi

Խi:xi

Ա Բ Գ

a Ե Շ

Ճ B Շ

Ճ:a B:Ե Շ:Շ Խ Ճ B Շ ∑ xi = a + Ե + Շ i

∑Խi Հ Ճ + B + Շ

Ապրանքների միջին գինը ըստ հաշվարկված տվյալների կլինի` Ճ +B+Շ : x= Ճ B Շ + + a Ե Շ Միջին հարմոնիկի փոխարեն միշտ կարելի է հաշվարկել միջին թվա անականը, այց անհրաժեշտ է սկզ ում որոշել հատկանիշի առանձին արժեքների կշիռները: Այն դեպքերում, եր երնույթի ծավալները ըստ առանձին հատկանիշների (Խi Հ xifi) հավասար են, օգտագործվում է պարզ միջին հարմոնիկը, որը որոշվում է ո x= (4.10.1) ∑x i անաձնով: Օրինակ՝ ձեռնարկության տեղամասում աշխատում են ո անվորներ, որոնք պատրաստում են դետալների նույն տեսակները ն ունեն միատեսակ առաջադրանք: Պարզ է, որ յուրաքանչյուրն իր առաջադրանքը կատարում է տար եր ժամկետներում՝ x1, x2 ….xո օրում: Պահանջվում է հաշվարկել տեղամասի առաջադրանքի կատարման միջին ժամկետը ն մեկ անվորի միջին արտադրողականությունը: Լուծում. Քանի որ անվորը առաջադրանքը (ընդունենք այն որպես միավոր` զ Հ 1) կատարում է x օրում, ապա արտադրողականությունը մեկ օրում (միավոր ժամանակահատվածում կատա1 աշխ. : Բանվորների միջին րած աշխատանքի մասը) կազմում է ( ) x

օր

արտադրողականության արժեքը կարող ենք որոշել պարզ միջին թվա անականի անաձնով՝ ո

xi

+ + ... + 1 i=1 xո x2 x : = = 1 ո ո x Համարիչի գումարը համապատասխանում է մեկ օրում ոլոր անվորների կատարած աշխատանքին: Բաժանելով այն անվոր-

∑

ների թվի վրա, կստանանք մեկ օրում մեկ անվորի կատարած միջին աշխատանքը: Դա, իր հերթին, հավասար է ամ ողջ աշխատանքի (զ Հ1) հարա երությանը առաջադրանքի կատարման միջին ժամկետին ( x ), որը նան տեղամասի առաջադրանքի կատարման միջին ժամկետն է: Քանի որ տեղամասի առաջադրանքը ո⋅ զ է, մեկ ո օրում կատարած աշխատանքը հավասար է , իսկ ոլոր անվորx ների մեկ օրում կատարած աշխատանքը կազմում է՝ ո + + ... + , հետնա ար՝ = + + ... + : xո xո x1 x 2 x x1 x 2 + + ... + 1 x1 x 2 xո = : x ո Հաշվարկենք այն միջին ժամկետը, որի ընթացքում ոլոր անվորները, աշխատելով միասին, կկատարեն մեկ անվորի առաջադրանքը` x=

ո = + + ... + x1 x 2 xո

ո ո

∑ i=1

xi

:

Կոտորակի հայտարարը ոլոր անվորների կողմից մեկ օրում կատարած աշխատանքն է: Հետնա ար, նույն աշխատանքի կատարման միջին հարմոնիկի ժամկետը ոլոր տրված x1, x2, …, xո ժամկետների միջին հարմոնիկ մեծությունն է: Մեկ այլ օրինակ՝ համակարգչով աշխատող երկու օպերատորներից առաջինը 3 ժամում մուտքագրում է 21 էջ, իսկ երկրորդը 4 ժամում՝ 32 էջ: Որոշենք այն ժամանակը, որի ընթացքում նրանք կմուտքագրեն 105 էջ` միասին աշխատելով: Լուծում. Առաջին օպերատորն աշխատել է x1Հ3 ժամ ն մուտքագրել ո1Հ21 էջ: Երկրորդ օպերատորն աշխատել է x2Հ4 ժամ՝ մուտքագրելով ո2Հ32 էջ: Երկուսը միասին աշխատելով՝ կարող էին մուտքագրել ոՀ105 էջ: Նախ՝ որոշում ենք օպերատորների միաժամանակ աշխատելու արտադրողականությունը՝ մեկ ժամում միասին կատարած աշխատանքը. ո1 ո2 21 32 ¿ç + = + = 7 + 8 = 15 ( ), x1 x 2 ժամ ն ապա՝ ոՀ105 էջ մուտքագրելու համար անհրաժեշտ ժամանակը`

ո

x=

=

105 105 = = 7 ժամ : 7 + 8 15

ո1 ո 2 + x1 x 2 Նշանակում է՝ միասին աշխատելով՝ օպերատորները 105 էջը կարող էին մուտքագրել 7 ժամում:

Միջին երկրաչափական Պարզ միջին երկրաչափականը որոշվում է հետնյալ անաձնով` x = ո x 1x 2 ...x ո = ո ∏ x i ,

(4.11)

իսկ կշռվածը` x = ∑

fi

f

x 11 x

f2

f ... x ոո = ∑

fi

f

∏ x ii

(4.11.1)

անաձնով, որտեղ՝ xi -ն հատկանիշի արժեքն է, fi -ն՝ հաճախականությունը: Միջին քառակուսային Հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկել միջին քառակուսայինը. ա. պարզ չխմ ավորված շարքի դեպքում`

∑ xi

x=

ո . խմ ավորված շարքի դեպքում (կշռված)`

∑ x i fi ∑ fi

(4.12)

x=

:

(4.13)

Այս միջինը լայնորեն կիրառվում է տատանման ցուցանիշների հաշվարկման համար: Վիճակագրական պրակտիկայում օգտագործվում են նան երրորդ ն արձր կարգի միջինները:

4.6. Միջինների հաշվարկման եղանակները Տնտեսագիտական հետազոտություններում, վիճակագրական նյութերի մշակման ժամանակ առաջանում են խնդիրներ, որոնց լուծման համար պահանջվում են տար եր միջիններ: Մաթեմատիկական վիճակագրությունը աստիճանային միջինից դուրս է երում տար եր միջիններ: Աստիճանային միջինն ունի հետնյալ տեսքը`

x=

k

∑ ∑ fi

x ki fi

⎛ ∑ xk f i i = ⎜⎜ ⎜ ∑f i ⎝

⎞k ⎟ ⎟⎟ : ⎠

(4.14)

k-ին տալով տար եր արժեքներ՝ կստանանք տար եր միջիններ: Դիտարկենք հետնյալ դեպքերը` 1. k Հ -1 դեպքում կստանանք կշռված հարմոնիկ միջինը. ⎛ ∑ x −1 f ⎞ i i ⎟ x = ⎜⎜ ⎜ ∑ f ⎟⎟ i ⎠ ⎝

−1

=

∑ fi ∑

fi xi

:

(4.15)

2. k Հ 0 արժեքի դեպքում ստացվում է 1∞ տեսքի անորոշությունը, որը հաշվել չենք կարող: Որպեսզի որոշենք x -ի արժեքը, լոգարիթմում ենք (4.14) արտահայտությունը ն անցնում սահմանի. եր k → 0 -ի, այդ դեպքում ստանում ենք

0 տեսքի անորոշություն:

Անորոշությունը որոշակի դարձնելու համար օգտվում ենք Լոպիտալի կանոնից` համարիչը ն հայտարարը ածանցելով առանձին-առանձին ն անցնելով սահմանի, եր k → 0 , կստանանք կշռված միջին երկրաչափականը` x = ∑

fi

f

x 11 x

f2

... x

fո ո

= ∑

fi

∏ x

fi i

:

(4.16)

3. kՀ1 արժեքի դեպքում կստանանք կշռված միջին թվա անականը` ∑ xi f i : x= (4.17) ∑ fi 4. kՀ2 դեպքում ստացվում է քառակուսային միջինը՝

∑ x i fi ∑ fi

x=

:

(4.18)

Աստիճանային միջինների հաշվարկման անաձները կարելի է ներկայացնել աղյուսակ 4.12-ի տեսքով: Որքան մեծ է k-ն, այնքան մեծ է համապատասխան միջինը. xհար Հ x երկ Հ x թվ Հ x քառ : Այս երնույթը կոչվում է մաժորիտարության սկզ ունք: Հարց է առաջանում` առանձին դեպքերում միջինների ո՞ր տեսակն է անհրաժեշտ կիրառել: Խնդիրը լուծվում է ուսումնասիրվող

համակցության որոշակի վերլուծությամ ` ելնելով ուսումնասիրվող երնույթի ովանդակությունից, արդյունքների իմաստավորման սկզ ունքներից: Միջինների ընտրությունը կլինի ճիշտ, եթե ստացվող արդյունքներն ունեն իրական տնտեսական իմաստ:

Աղյուսակ 4.12 Միջինների տեսակները k-ի արժեքը

Միջինների անվանումները

Միջինի անաձնը պարզ կշռված

K Հ -1

ո

xi

∑

Հարմոնիկ

i=1

KՀ0

Միջին երկրաչափական

x

ո

ո

x=

=ո

∏ xi

x=

Միջին թվա անական

x=

i =1 ո Խ

∑ xi

i =1

x =

∑ fi

i

∏ x

ո

ո

KՀ1

∑ Խi

∑ xi f i

∑ xi

x = i =1

i=1

ո

ո

∑ fi

i =1 ո

KՀ2

Միջին քառակուսային

x=

∑ xi

ո

i =1

ո

x=

∑ xi

i =1 ո

∑ fi

i =1

fi

fi i

ԳԼՈՒԽ Մ

ՏԱՏԱՆՄԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐԸ ԵՎ ՀԱՃԱԽԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆԸ

5.1. Բաշխման կենտրոնի ցուցանիշները Բաշխման կենտրոնի կարնոր նութագրիչ է միջին թվա անականը ( x ): Սկզ նական տվյալների շարքի միջին արժեքի հաշվարկման համար կիրառվում է պարզ միջին թվա անականի անաձնը. ո

∑ xi

(5.1) x = i=1 : ո Բաշխման շարքի դեպքում կիրառվում է կշռված միջին թվա անականի անաձնը. ո

∑ xi f i

x = i =1

ո

:

(5.2)

∑ fi

i =1

Ի տար երություն միջին թվա անականի, որը հաշվարկվում է՝ օգտագործելով հատկանիշի տար երակների ոլոր արժեքները, մոդան ն մեդիանան նութագրում են տար երակի արժեքը, որը կարգավորված վարիացիոն շարքում զ աղեցնում է որոշակի դիրք: Բաշխման մոդան (Խ0) ուսումնասիրվող հատկանիշի առավել հաճախ կրկնվող արժեքն է, այսինքն՝ հատկանիշի այն տար երակի, որը կրկնվում է ավելի շատ, քան մյուսները: Նշանակում է` դիսկրետ աշխման շարքի մոդան հատկանիշի այն արժեքն է, որի հաճախականությունն ամենամեծն է: Եթե տրված է միջակայքային աշխման շարք` հավասար միջակայքերով, ապա մոդալ միջակայքը կլինի այն միջակայքը, որի հաճախականությունն ամենամեծն է, իսկ անհավասար միջակայքերի դեպքում՝ որն ունի ամենամեծ խտությանը: Հավասար միջակայքերով աշխման շարքի մոդայի որոշման համար հաշվարկը կատարվում է (5.3), իսկ անհավասար միջակայքերի դեպքում` (5.3.1) անաձներով: fԽօ − fԽօ−1 Խ 0 = x Խօ + հԽօ , (5.3) (fԽօ − fԽօ −1 ) + (fԽօ − fԽօ +1 )

որտեղ՝ x Խօ -ն մոդալ միջակայքի ստորին սահմանն է, հԽօ -ն` մոդալ միջակայքի լայնությունը, fԽօ -ն՝ մոդալ միջակայքի հաճախականությունը, fԽօ −1 -ը՝ մինչմոդալ միջակայքի հաճախականությունը, fԽօ+1 -ը՝ հետմոդալ միջակայքի հաճախականությունը:

Խ 0 = x Խօ + հԽօ

( fԽօ

հԽօ

fԽօ f − Խօ−1 հԽօ հԽօ−1 , fԽօ−1 − ) + ( fԽօ − fԽօ+1 ) հԽօ−1 հԽօ հԽօ+1

(5.3.1)

որտեղ` x Խօ -ն մոդալ միջակայքի սկզ նական սահմանն է, որի դեպքում f/հ (հաճախականության ն միջակայքի լայնության) հարա երությունը հասնում է առավելագույն արժեքի, հԽօ-ն մոդալ միջակայքի լայնությունն է, հԽօ-1-ը՝ մինչմոդալ միջակայքի լայնությունը, հԽօ+1-ը՝ հետմոդալ միջակայքի լայնությունը, fԽօ-ն՝ մոդալ միջակայքի հաճախականությունը, fԽօ-1-ը՝ մինչմոդալ միջակայքի հաճախահանությունը, fԽօ+1-ը՝ հետմոդալ միջակայքի հաճախահանությունը: Օրինակ՝ դետալների որակը հետազոտելու նպատակով ձեռնարկությունում ստուգվել են 100 դետալներ (հետազոտության տվյալները ներկայացված են աղյուսակ 5.1-ում): Աղյուսակ 5.1 Դետալների որակի ստուգումը Դետալների խմ երն ըստ կշռի (գ)

xi 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120

Դետալների թիվը

fi

Կուտակված հաճախականություն

Տ

Կիրառելով (5.3) անաձնը՝ կատարենք միջակայքային աշխման շարքի մոդայի հաշվարկը հավասարահեռ միջակայքերի դեպքում: Լուծում. Մոդայի որոշման համար նախ անհրաժեշտ է որոշել մոդալ միջակայքը: Օրինակում դա 80-90 միջակայքն է, քանի որ ունի ամենամեծ հաճախականությունը՝ f Հ 24: Մոդալ միջակայքի ստորին սահմանը կլինի xԽօՀ 80, իսկ լայնությունը` հԽօՀ10, մոդալ միջակայքի հաճախականությունը` fԽօՀ24, մինչմոդալ միջակայքի հաճախականությունը` fԽօ-1Հ16, հետմոդալ միջակայքի հաճախականությունը`fԽօ+1Հ20: Արժեքները տեղադրելով (5.3) անաձնում՝ կստանանք. 24 − 16 Խ 0 = 80 + 10 ⋅ = 86 .66 : (24 − 16) + (24 − 20) Մոդան կիրառվում է փորձագիտական գնահատումների ժամանակ, օրինակ` կոշիկի կամ հագուստի մեծ պահանջարկ ունեցող չափսերի որոշման համար, ինչը հաշվի է առնվում արտադրության պլանավորման գործընթացում: Մեդիանա (միջնաթիվ): Վարիացիոն շարքի նութագրման համար օգտագործվում է միջնաթիվը, այսինքն` ուսումնասիրվող հատկանիշի արժեքը, որը գտվում է վարիացիոն կարգավորված շարքի կենտրոնում: Միջնաթվի կարնոր հատկությունն այն է, որ մեդիանայից հատկանիշի արժեքների ունեցած շեղումների ացարձակ արժեքների գումարը ավելի փոքր է, քան ցանկացած այլ մեծությունից.

Σ| xi - Խ6 | → ոiո:

Եթե վարիացիոն շարքը կարգավորված է ն աղկացած է կենտ (2ո+1) թվով տարրերից, մեդիանան կլինի կենտրոնի տարրը` (ո+1)-րդը: Եթե շարքը աղկացած է զույգ (2ո) թվով տարրերից, մեդիանան հավասար է կենտրոնի երկու տարրերի արժեքների կիսագումարին: Կենտ թվով տարրերի դեպքում մեդիանան որոշվում է հետնյալ անաձնով՝ Խ6Հ xո + 1, իսկ զույգ թվով տարրերի դեպքում` Խ6Հ (xո+ xո+1) / 2: Մեդիանայի դիրքը աշխման շարքում որոշվում է դրա համարով. NԽ6Հ (ո + 1) / 2, որտեղ` ո-ը համակցության միավորների թիվն է:

Դիտարկենք մեդիանայի հաշվարկը խմ ավորված շարքի համար ( աշխման շարք): Միջակայքային աշխման շարքի տվյալներով հնարավոր է որոշել այն միջակայքը, որում գտնվում է մեդիանան: Մեդիանայի մեծությունը որոշվում է հետնյալ անաձնով` ∑ fi − Տ Խ6 −1 , (5.4) Խ 6 = x Խ6 + հ Խ6 fԽ 6 որտեղ՝ xԽ6-ն մեդիանական միջակայքի ստորին սահմանն է, հԽ6-ն՝ մեդիանական միջակայքի լայնությունը, ՏԽ6-1-ն՝ մինչմեդիանական միջակայքերի հաճախականությունների կուտակված հաճախականությունն է, fԽ6-ն՝ մեդիանական միջակայքի հաճախականությունը: Օրինակ՝ օգտագործելով աղյուսակ 5.1-ի տվյալները` հաշվարկենք մեդիանան: Մեդիանական միջակայքը որոշելու համար անհրաժեշտ է որոշել, ո՞ր միջակայքում է կուտակված հաճախականության արժեքը հասնում 509-ի: Ըստ կուտակված հաճախականությունների (սյունակ 3)` որոշում ենք մեդիանան, որը գտնվում է 8090 միջակայքում: Այդ դեպքում մեդիանական միջակայքի ստորին սահմանը xԽ6Հ80 է, միջակայքի լայնությունը՝ հԽ6Հ10, հաճախականությունը՝ fԽ6Հ24, իսկ մինչմեդիանական միջակայքերի հաճախականությունների կուտակված հաճախականությունը՝ ՏԽ6-1Հ 36. 50 − 36 = 85,83 : Այսպիսով, դետալների 509-ը 85.83 գրամից թեթն է, իսկ մնացած 509-ը` ծանր: Մեդիանան օգտագործվում է արդյունա երական ձեռնարկություններում արտադրանքի որակի ն տեխնոլոգիական գործընթացների վիճակագրական վերահսկման ժամանակ: Միջակայքային աշխման շարքի մոդան ն մեդիանան կարելի է որոշել գրաֆիկի միջոցով (տե՛ս գծապատկեր 5.1): Մոդան որոշվում է ըստ աշխման հիստոգրամի. այդ նպատակով ընտրվում է ամենա արձր ուղղանկյունը, որը տվյալ դեպքում համապատասխանում է մոդալ միջակայքին: Մոդալ ուղղանկյան աջ գագաթը միացնում են նախորդ ուղղանկյան վերին աջ անկյանը, իսկ մոդալ ուղղանկյան ձախ գագաթը` հաջորդ ուղղանկյան վերին ձախ անկյանը: Խ 6 = 80 + 10

Գծապատկեր 5.1 Մոդայի որոշումը դետալների որակի աշխման հիստոգրամի միջոցով fi 1Յ Յ

Յ0

Խ0 Ստացված հատման կետից իջեցված ուղղահայացի ն ա սցիսների առանցքի հատման կետի ա սցիսը կլինի մոդան: Մեդիանան հաշվարկվում է կումուլյատիվ կորի օգնությամ (տես` գծապատկեր 5.2): Դրա որոշման համար սանդղակի վրա գտնում են 509-ը, զուգահեռ տանում ա սցիսների առանցքին` մինչն կումուլյատիվ կորը հատելը: Այնուհետն հատման կետից իջեցնում են ուղղահայաց ա սցիսների առանցքին: Հատման կետի ա սցիսը մեդիանան է: Այսպիսով, կարգավորված համակցության միավորների ընդհանրացնող նութագրիչներն են միջին թվա անականը, մոդան ն մեդիանան, որոնք ունեն իրենց առանձնահատկությունները: Բաշխման կենտրոնի հիմնական նութագրիչը միջին թվա անականն է: Դրա առանձնահատկությունն այն է, որ միջին արժեքից ոլոր շեղումների գումարը (դրական կամ ացասական) հավասար է զրոյի: Մեդիանայի առանձնահատկությունն այն է, որ վերոնշյալ շեղումների ացարձակ արժեքների գումարը ձգտում է նվազագույնի: Մոդան հատկանիշի առավել հաճախ հանդիպող արժեքն է:

Գծապատկեր 5.2 Մեդիանայի որոշումը կումուլյատիվ կորի օգնությամ

Կախված աշխումը հետազոտելու նպատակից` պետք է ընտրել վերը նշված նութագրիչներից որնէ մեկը, կամ համեմատման համար հաշվարկել ոլոր երեքն էլ: Բաշխման սիմետրիկության դեպքում ոլոր երեք պարամետրերը իրար հավասար են: Որքան մեծ է շեղվածությունը մոդայի ն միջին թվա անականի միջն, այնքան մեծ է շարքի ասիմետրիան: Նկատելի ասիմետրիայի դեպքում մոդայի ն միջինի միջն տար երությունը մոտավորապես երեք անգամ գերազանցում է մեդիանայի ն միջինի միջն եղած տար երությունը. (5.5) Խ0 − x = 3 ⋅ Խ6 − x

5.2. Տատանման ցուցանիշները ն դրանց հաշվարկման մեթոդները Միջին մեծությունը ուսումնասիրվող երնույթի ամ ողջ համակցության ընդհանրացնող նութագիրն է: Սակայն, աշխման շարքի միջին թվա անականը հաշվարկելիս հնարավոր չէ պատկերացնել, թե հատկանիշի առանձին արժեքներն ինչպե՞ս են խմ ված միջին արժեքի շուրջը: Առանձին դեպքերում հատկանիշի արժեքները մոտ են միջին թվա անականին, ն դրանից քիչ են տար երվում: Այս պարագայում միջինի օգնությամ կարելի է ավականաչափ իրական պատկերացում ստանալ ամ ողջ համակցության մասին: Սակայն, եր համակցության առանձին արժեքները հեռու են միջինից, իրական պատկերացում ստանալն անհնար է: Հետնա ար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել ոչ միայն միջինը, այլն համակցության տարրերի արժեքների շեղումները միջինից, քանի որ դրանց միջոցով է արտացոլվում երնույթի դիալեկտիկական զարգացման ողջ գործընթացը: Բաշխման շարքերն ուսումնասիրելիս կարնոր է որոշել հատկանիշի արժեքների խմ վածությունը միջին արժեքի շուրջը, դրանց շեղվածությունը ն ցրվածության աստիճանը: Տար եր համակցություններ կարող են ունենալ միննույն միջին մակարդակն ու ծավալը, սակայն տար երվեն տատանման աստիճանով: Վերջինս ուսումնասիրելու համար վիճակագրության տեսությունում օգտվում են տատանման ցուցանիշներից, որոնք աժանվում են երկու խմ ի՝ ացարձակ ն հարա երական: Բացարձակ ցուցանիշներին են վերա երում տատանման թափը, միջին գծային շեղումը, դիսպերսիան ն միջին քառակուսային շեղումը: Տատանման հարա երական ցուցանիշներն են օսցիլյացիայի, միջին գծային շեղման ն վարիացիայի գործակիցները: Հարա երական ցուցանիշները հաշվարկվում են որպես տատանման ացարձակ ցուցանիշների ն միջին թվա անականի հարա երություններ: Տատանման թափը: Պարզագույն ացարձակ ցուցանիշը տատանման թափն է (R): Այն ցույց է տալիս համակցության մեծագույն ն փոքրագույն արժեքների տար երության մեծությունը ն հաշվարկվում է որպես հատկանիշի առավելագույն (xոax) ն նվազագույն (xոiո) արժեքների տար երություն՝ R Հ xոax – xոiո : (5.6) Տատանման թափի մեծության իմացությունը կարնորվում է տնտեսական գործունեության կազմակերպման գործընթացում, ինչպես նան գիտական հետազոտություններում: Օրինակ՝ արտա-

դրանքի որակի ստուգման ժամանակ տատանման թափն օգտագործվում է արտադրական գործընթացի վրա պար երա ար ազդող պատճառները հայտնա երելու նպատակով: Ենթադրենք՝ ընտրվում են մի քանի դետալներ որոշակի ժամանակահատվածում, ապա կատարվում են դրանց չափումները: Ստացված տվյալների հիման վրա` հաշվարկվում է տատանման թափի ցուցանիշը, այնուհետն, հաշվարկված արդյունքների համադրությամ ` կարելի է դատել արտադրական գործընթացների ռեժիմների կայունության մասին: Տատանման թափի կիրառությունը զուրկ չէ նան թերություններից, քանի որ դրա մեծությունը ամ ողջությամ կախված է հատկանիշի եզրային արժեքներից ն հաշվի չեն առնվում համակցության սահմաններում տատանվող ցուցանիշի ոլոր փոփոխությունները: Որնէ շեշտակի տատանում կարող է խիստ փոխել տատանման թափի մեծությունը: Իհարկե անվանել դա թերություն այնքան էլ ճիշտ չէ, քանի որ հենց դրանով է պայմանանավորված ցուցանիշի նշանակումը` չափել եզրային կետերի հեռավորությունը: Բնականա ար, տատանման ուսումնասիրության ժամանակ չի կարելի սահմանափակվել միայն տատանման թափի չափումով: Սակայն դա չի ացառում այդ ցուցանիշի որոշման անհրաժեշտությունը ն չի նսեմացնում դրա նշանակությունը: Տատանման թափի իրական թերությունը այն իրավիճակն է, եր հատկանիշի շատ փոքր ն շատ մեծ արժեքները համեմատած համակցության հիմնական զանգվածի արժեքներին` կարող են պայմանավորվել զուտ պատահական իրավիճակներով: Օրինակ` տվյալ համակցությունը կարող է պարունակել այլ` նույնանման հատկանիշներով օժտված համակցության միավորներ: Այդպիսի դեպքերում տատանման թափը տալիս է հատկանիշի աղճատված տատանման ամպլիտուդան, ն չի համապատասխանում նորմալ չափերին: Այդ պատճառով մինչն տատանման թափի որոշելը անհրաժեշտ է համակցությունը մաքրել անոմալ դիտարկումներից: Հետնա ար, թեն տատանման թափը հատկանիշի արժեքների ցրվածության կարնոր ցուցանիշ է, այնուհանդերձ չի նութագրում տատանումը սպառիչ կերպով: Միջին գծային շեղում: Տարատեսակության վերլուծության համար անհրաժեշտ է ցուցանիշ, որն արտացոլի ձնափոխված հատկանիշի ոլոր տատանումները ն տա դրա ընդհանրացնող նութագիրը: Ձնափոխվող հատկանիշի դեպքում պետք է թույլատրել, որ համակցության ոլոր միավորները, այլ հավասար պայմաններում, տեղի ն ժամանակի ընթացքում ունենան զարգացման որոշակի միատեսակ մեծություն: Տրամա անական է, որպես այդպիսին պայմանականորեն ընտրվել հատկանիշի ոլոր արժեքների միջինը, քանի որ այն որոշա-

կի չափով չեզոքացնում է պատահական շեղումները երնույթի զարգացման օրինաչափությունից: Միջինը արտացոլում է տրված համակցության միավորների համասեռության տիպիկ չափը: Սակայն գոյության պայմանները որոշակի աստիճանով տար երվում են համակցության առանձին միավորների զարգացումից, ինչն իր ազդեցությունն է թողնում հատկանիշի արժեքների վրա: Միջին մեծությունն արտացոլում է այդ միջին պայմանը: Հետնա ար, միջինն ընդունվում է որպես ծանրության կենտրոն, որի շուրջը տեղի է ունենում տատանումն ու հատկանիշի արժեքների ցրվածությունը: Տատանումների ընդհանրացման համար անհրաժեշտ է դիմել միջին մեծության մեթոդին, ըստ այդմ փնտրել տատանումների միջին մեծությունը: Այդպիսի միջինը կոչվում է միջին գծային շեղում ( d ), որը հաշվարկվում է որպես միջին թվա անականից ( x ) անհատական արժեքների (xi) ունեցած շեղումների ացարձակ արժեքների (քանի որ հատկանիշի անհատական արժեքների միջին արժեքից ունեցած շեղումների գումարը հավասար է զրոյի) միջինը: Պարզ միջին գծային շեղումը որոշվում է ո

d=

∑| x i − x | i=1

ո անաձնով, իսկ կշռված միջին գծային շեղումը

(5.7)

ո

∑ | x i − x | fi

d = i=1

ո

(5.8)

∑ fi i=1

անաձնով: Միջին գծային շեղումը տալիս է համակցության արժեքների ցրվածության աստիճանի ընդհանրացնող նութագիրը: Օրինակ՝ ունենք հետնյալ տվյալները հացահատիկային կուլտուրաների երքատվության ն ցանված մակերեսի վերա երյալ (տե՛ս աղյուսակ 5.2):

Աղյուսակ 5.2 Հացահատիկային կուլտուրաների երքատվությունը Բերքատվություն (ց/հա)

Ցանված մակերեսը (հա)

xi

fi

Ա 9 -11 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21 21-23 Ընդամենը

Միջակայքի կենտրոնը

x′i

x′i f i

x ′i − x

x ′i − x fi

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա որոշել միջին գծային շեղման արժեքը: Միջին գծային շեղման հաշվարկման ալգորիթմը հետնյալն է. 1. Ա սյունակի տվյալներով որոշում ենք միջակայքի կենտրոնի արժեքը ( x′i ) ն գրանցում աղյուսակի 2-րդ սյունակում: 2. Որոշում ենք միջակայքերի կենտրոնների արժեքների ( x′i ) ն համապատասխան հաճախականությունների (fi) արտադրյալները (սյունակ 3) ն գումարում: Ստանում ենք` ∑ x′i fi = 1600 : Հաշվարկում ենք միջինը կշռված միջին թվա անականի անաձնով՝ ∑ x ′i f i = 1600 = 16 (ց/հա): x= ∑ f i 100 3. Գծային շեղումը հաշվարկելու համար գտնում ենք հատկանիշի միջակայքերի կենտրոնների միջինից ունեցած շեղումների ացարձակ արժեքները (սյունակ 4): 4. Հաշվարկում ենք շեղումների ացարձակ արժեքների ն դրանց համապատասխան հաճախականությունների արտադրյալների գումարը (սյունակ 5): Բերված օրինակում այն հավասար է 244-ի: Միջին գծային շեղումը կկազմի | x′ − x | fi 244 d= ∑ i = = 2.44 : ∑ fi

Համեմատելով միջին գծային շեղումը հատկանիշի միջին արժեքի հետ, տեսնում ենք, որ այն մեծ չէ. տար երվում է միջինից 13.56 հա-ով: Նշանակում է՝ տրված համակցությունը հատկանիշի նկատմամ համասեռ է, իսկ միջինը՝ տիպիկ: Այսպիսով, միջին գծային շեղումը համակցությունում տալիս է հատկանիշի տատանման աստիճանի ընդհանրացնող նութագիրը: Միջին գծային շեղման հաշվարկման ժամանակ թույլ է տրվում անճշտություն` մաթեմատիկական գործողության տեսանկյունից. խախտվում են հանրահաշվի օրենքները: Մաթեմատիկոսներն ու վիճակագիրները որոնում էին տատանումը գնահատելու այլ եղանակներ, քանի որ գործ ունեին միայն դրական մեծությունների հետ ն գտան շատ պարզ միջոց` ոլոր շեղումները արձրացնել քառակուսի: Այս մոտեցումը հետագայում հանգեցրեց գիտական մեծ արդյունքների: Պարզվում է, որ շեղումների երկրորդ աստիճանի օգտագործումը (տատանման ընդհանրացնող ցուցանիշը հաշվարկելու համար) ունի առանձնահատկություններ, որոնց հիման վրա հետագայում մշակվեցին հետազոտման նոր մեթոդներ: Ստացված տատանման չափը անվանվեց դիսպերսիա, որը ն նշանակվեց ք կամ σ 2-ով: Դիսպերսիան համակցության անհատական արժեքների միջինից ունեցած շեղումների քառակուսիների միջինն է: Այն հաշվարկվում է պարզ կամ կշռված դիսպերսիայի անաձներով՝ կախված սկզ նական տվյալներից: Վիճակագրության պրակտիկայում հաճախ են օգտվում դիսպերսիայից (ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջը) ն միջին քառակուսային շեղումից (σ): Դրանք լայնորեն կիրառվում են վիճակագրական վերլուծություններում ն մասնավորապես ազգային հաշիվների համակարգում: Չխմ ավորված պարզ վիճակագրական շարքի դեպքում դիսպերսիան որոշվում է հետնյալ անաձնով՝ ո

∑ (xi − x)2

σ 2 = i=1

: (5.9) ո Խմ ավորված կամ աշխման շարքի դեպքում կշռված դիսպերսիան ունի հետնյալ տեսքը՝ ո

∑ (x i − x) 2 f i

σ 2 = i=1

ո

∑ fi i=1

:

(5.10)

Դիսպերսիայի անաձնում հաշվարկվում են միջին արժեքից անհատական արժեքների շեղումների երկրորդ աստիճանները (քառակուսիները): Հետնա ար` գումարելիները ացասական չեն, ն որքան մեծ են այդ շեղումները, այնքան մեծ կլինի դիսպերսիան, ն հակառակը` որքան մեծ է դիսպերսիայի արժեքը, այնքան մեծ են պատահական մեծության արժեքների շեղումները միջինից, այսինքն` այնքան էլ մեծ է ցրվածությունը: Դիսպերսիայի հաշվարկը ըստ (5.10) անաձնի` կարելի է պարզեցնել: Քանի որ. ո

ո

∑ (x i − x) 2 f i = ∑ (x i i=1

ո

i=1

ո

− 2x i x + x 2 ) f i =

ո

ո

i=1

i=1

ո

ո

i=1

i=1

= ∑ x i fi − 2 x ∑ x i fi + x 2 ∑ fi = ∑ x i fi − 2x ⋅ x ∑ fi + x 2 ∑ fi = i=1

i=1

ո

ո

= ∑ x i fi − x 2 ∑ fi ,

i =1

i =1

ապա` ո

ո

ո

∑ (x i − x ) 2 f i ∑ x i f i − x 2 ∑ f i

σ 2 = i=1

ո

= i=1

∑ fi

i=1

ո

= x2 − x2 :

(5.11)

∑ fi

i=1

i=1

Դիսպերսիան հաշվարկելիս շատ դեպքերում հարմար է օգտվել անաձն (5.11)-ից: Դիսպերսիայի հաշվարկը կարելի է պարզեցնել. եթե ունենք հավասար միջակայքերով աշխման շարք, օգտվում ենք պայմանական զրոյի հաշվարկման եղանակից (մոմենտների եղանակ): Այդ մեթոդին դիմելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դիսպերսիայի մաթեմատիկական հատկությունները:

Դիսպերսիայի մաթեմատիկական հատկությունները 1. Հաստատուն մեծության դիսպերսիան հավասար է զրոյի.

σ 2a = 0 :

(5.12)

2. Եթե հատկանիշի արժեքները փոքրացնենք միննույն a հաստատուն թվով, ապա դիսպերսիայի մեծությունը մնում է անփոփոխ.

σ 2xi -a = σ 2x :

(5.13)

Ապացույց.

σ 2x -a = ∑ i

[(x i - a) - (x - a)] 2 fi

∑ fi

=

∑ [x i - a - x + a)] 2 fi = σ 2 : x ∑ fi

Նշանակում է՝ շեղման քառակուսիների միջինը կարելի է հաշվարկել ոչ միայն ըստ հատկանիշի տրված արժեքների, այլն ըստ դրանց շեղումների որնէ հաստատուն թվից: 3. Եթե հատկանիշի անհատական արժեքները աժանենք որնէ a հաստատուն թվի, ապա դիսպերսիան կփոքրանա a2 անգամ, իսկ միջին քառակուսային շեղումը՝ a անգամ.

σ 2x/a =

a

σ 2x :

(5.14)

Ապացույց. 1 ո xi x 2 ( − ) fi a 2 ∑ ( x i − x ) 2 fi 1 ∑ a a i=1 σ 2x/a = = = 2 a ∑ fi ∑ fi

σ x/a = σ 2x/a =

a

σ 2x ,

a

σ 2x = σ x :

Նշանակում է՝ հատկանիշի ոլոր արժեքները կարելի է աժանել որնէ հաստատուն թվի վրա, հաշվարկել միջին քառակուսային շեղումը, այնուհետն ազմապատկել հաստատուն թվով. (5.15) σ x = aσ x/a : 4. Եթե շեղման քառակուսու միջինը հաշվարկել ցանկացած a մեծությունից, որը որոշակի չափով տար երվում է միջին թվա անականից ( x ), ապա այն միշտ մեծ է միջին թվա անականից ունեցած շեղման քառակուսու միջինից.

σ 2a > σ 2x , (x i − a) 2 > (x i − x) 2 Ապացույց. (x i − a)2 fi ∑ [(x i − x) + (x − a)] fi ∑ (x i − a) = = = ∑ fi ∑ fi (x i − x)2 fi 2(x − a)∑ (x i − x) fi ∑ (x − a)2 fi ∑ = + + , ∑ fi ∑ fi ∑ fi

(5.16)

քանի որ

∑ (x i − x) fi

= 0 (միջին թվա անականի հատկություն),

ապա կստանանք՝

∑ (x i − a ) fi = ∑ (xi − x ) fi + ( x − a) 2 ∑ fi ∑ fi ∑ (x i − a) fi = σ 2 + ( x − a) 2 x ∑ fi

σ 2a = σ 2x + ( x − a) 2 Պարզվում է, որ a մեծությունից շեղման քառակուսիների միջինը

(x − a)2 -ով մեծ է միջին թվա

անականից ունեցած շեղման քառա-

կուսիների միջինից, այսինքն` ո

∑ ( x i − a)

σ 2x = i=1

fi

− ( x − a) 2 :

(5.17)

ո

∑ fi i=1

Նշանակում է՝ միջինից հաշվարկված դիսպերսիան միշտ փոքր է ցանկացած այլ մեծությունից հաշվարկված դիսպերսիայից, այսինքն՝ նվազագույնն է: Եթե (5.17) անաձնում տեղադրենք a Հ 0, կստանանք՝

σ 2x = x 2 − x 2 ,

(5.17.1)

կամ

∑ xi fi − ⎛⎜ ∑ xi fi ⎞⎟2 : ∑ fi ⎜⎝ ∑ fi ⎟⎠

σ 2x =

Հետնա ար՝ շեղման քառակուսիների միջինը հավասար է հատկանիշի արժեքների քառակուսիների միջինի ն հատկանիշի արժեքների միջինի քառակուսու տար երությանը: Դիսպերսիայի հաշվարկը պարզեցված եղանակով: Եթե տրված է հավասարամեծ միջակայքերով միջակայքային աշխման շարք ն պահանջվում է հաշվարկել դիսպերսիան, անհրաժեշտ է օգտվել վերջինիս հատկություններից: Հաշվարկը կարելի է կատարել պարզեցված եղանակով՝ օգտվելով ոչ թե xi (iՀ1, 2, 3, ..., ո) սկզ նական, այլ նոր տար երակներից՝

ui =

xi − a , k

(5.18)

որտեղ` a ն k-ն հաստատուն են: Համաձայն միջին թվա անականի ն դիսպերսիայի հատկությունների՝ x −a x−a u= i = (5.19) k k ն σ u2 = σ 2x-a =

σ 2x-a k2

k

=

σ 2x k2

,

(5.20)

որտեղից՝

x = uk + a

(5.19.1)

σ x = k σu

(5.20.1)

Հաշվի առնելով (5.17) ն (5.19) անաձները, ըստ (5.20.1)-ի ստանում ենք հետնյալ անաձնը՝ x −a 2 σ2x = k2(u2 − u2) = k2u2 − k2u2 = k2u2 − k2( ) = k2u2 − (x − a)2 , (5.21) k

∑ ui fi u= ∑ fi

որտեղ՝

∑ ui fi = ∑ fi

ն u

:

Տեղադրելով u -ի ն u2 -ի արժեքները (5.19.1) ն (5.21) անաձներում, կստանանք՝ x −a ∑ ( i k )⋅fi ui fi ∑ x= k + a կամ x = (5.22) k+a : ∑ fi ∑ fi

∑ ui fi k 2 − (x − a)2 σ 2x = ∑ fi

կամ σ2x =

∑(

xi − a 2 ) fi 2 k k − (x − a)2 f ∑i

(5.23)

որտեղ՝ k-ն միջակայքի լայնությունն է, a-ն՝ պայմանական զրոն, ն սովորա ար ընտրվում է այն միջակայքի կենտրոնի արժեքը, որի հաճախականությունը մեծագույնն է: Մոմենտների եղանակով միջին թվա անականի ն դիսպերսիայի հաշվարկները կատարվում են (5.22) ն (5.23) անաձներով: Օրինակ՝ որակի հետազոտման նպատակով ձեռնարկությունում ստուգվել են 100 դետալներ (արդյունքները տե՛ս աղյուսակ 5.3-ում): Աղյուսակ 5.3

Դետալների խմ երն ըստ կշռի Դետալների խմ երն ըստ կշռի (գ) Դետալների թիվը

40-50 50-60

60-70

70-80 80-90

90-100

100-110 110-120

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա որոշենք դիսպերսիան «մոմենտների» եղանակով: Լուծում. Խնդրի լուծման համար կազմենք հետնյալ հաշվարկային աղյուսակը (5.3.1). Աղյուսակ 5.3.1 Դիսպերսիայի հաշվարկը «մոմենտների» եղանակով ′ ′ ′ x ′i − a ( x i − a ) 2 ( x i − a ) f i ( x i − a ) 2 fi xi fi x′i x ′i − a k k k k 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 Ընդ.

1. Առաջին հերթին անհրաժեշտ է որոշել միջակայքերի կենտրոնների արժեքները ( x′i ), որոնք հավասար են միջակայքերի ստորին ն վերին սահմանների կիսագումարներին. առաջին միջակայքի համար այն հավասար է (40+50):2Հ45, երկրորդի` (50+60):2 Հ 55 ն այլն: Ստացված արդյունքները գրանցում ենք սյունակ 3-ում: 2. Ընտրում ենք պայմանական միջինը` a Հ 85 ն միջակայքի լայնությունը` k Հ10: 3. Որոշում ենք միջակայքի կենտրոնի ն պայմանական միջինի տար երությունները (սյունակ 4): 4. Սյունակ 4-ի արդյունքները աժանում ենք միջակայքի լայնության (k Հ 10) վրա ն արդյունքները գրանցում սյունակ 5-ում: 5. Սյունակ 5-ի արդյունքները արձրացնում ենք քառակուսի (սյունակ 6): 6. Միջին թվա անականը որոշելու համար (մոմենտների եղանակով) հաճախականության արժեքները (սյունակ 2) ազմապատկում ենք սյունակ 5-ի համապատասխան արժեքներով (սյունակ 7) ն գումարում`

⎛ x ′i − a ⎞ ⎟Ւ i = - 2 : ⎝ k ⎠

∑⎜ միջին թվա անականը՝

x=

⎛ x ′i − a ⎞ ⎟Ւ i ⎝ k ⎠ ⋅ k + a = - 2 ⋅ 10 + 85 = 84.8 գրամ: ∑ Ւi

∑⎜

7. Դիսպերսիան հաշվարկելու համար հաճախականության արժեքները (սյունակ 2) ազմապատկում ենք սյունակ 6-ի համապատասխան արժեքներով (սյունակ 8), ն արդյունքները գումարում` x ′i − a 2 ∑ ( k ) fi = 314 : Ստացված տվյալներով հաշվարկում ենք դիսպերսիան մոմենտների եղանակով` x′i − a 2 ( ) fi 2 ∑ k σ2 = ⋅ k − (x − a)2 = ⋅ 102 − (84.8 - 85)2 = 313.96 : ∑f i

Որոշ դեպքերում, եր միջակայքերի քանակը կենտ է, նպատակահարմար է մեջտեղի միջակայքի կենտրոնն ընդունել որպես պայմանական զրո, ստացվում է սիմետրիկ համակարգ, որի հաշվարկներն ավելի դյուրին են: Միջին քառակուսային շեղում (σ): Վիճակագրական շարքի ամենա նորոշիչ ցուցանիշը միջին քառակուսային շեղումն է, որը ցույց է տալիս հատկանիշի արժեքների ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջը: Եր ցրումը փոքր է, համակցության հատկանիշի արժեքները խմ ված են միջին արժեքի շուրջը, ն հակառակը, եր ցրումը մեծ է, համակցության հատկանիշի արժեքները խմ ված չեն միջին արժեքի շուրջը ն տատանումը մեծ է: Միջին քառակուսային շեղման օգտագործումը հնարավորություն է տալիս լուծելու տար եր խնդիրներ: Այսպես, օրինակ` σ ցուցանիշը օգտագործվում է այնպիսի սարքերի, գործիքների ն լա որատոր մեթոդների ճշտության չափման համար, որոնց օգնությամ կազմում են մարդկանց ֆիզիկական զարգացման ստանդարտները: Միջին քառակուսային շեղումն օգտագործվում է ստուգիչ ն փորձարարական խմ երում ստացված ընտրանքային համակցությունների հետազոտություններում միջին սխալը որոշելու, հետազոտության արդյունքները (եթե դրանք երված են միջին արժեքներով) գնահատելու նպատակով: Միջին քառակուսային շեղումը անվա-

նական մեծություն է, որն արտահայտվում է նույն չափման միավորներով, ինչ ն համակցության անդամները: Միջին քառակուսային շեղումը կամ ստանդարտ շեղումը նշանակում են σ -ով: Միջին քառակուսային շեղումը հավասար է քառակուսի արմատ դիսպերսիայից: Այն կարող է լինել պարզ (5.24) ն կշռված (5.25): ո

σ=

∑ (x i − x) 2 i=1

ո

:

(5.24)

ո

σ=

∑ (x i − x)2 fi i=1

ո

:

(5.25)

∑ fi i=1

Միջին քառակուսային շեղումը համակցությունում արժեքների տատանման չափերի ընդհանրացնող նութագրիչն է, որը միշտ մեծ է միջին գծային շեղումից՝ ըստ միջին մեծության հատկության մաժորիտարության: Եթե փաստացի աշխումը մոտ է նորմալ աշխմանը, միջին քառակուսային շեղման ն միջին գծային շեղման միջն գոյություն ունի մոտավոր հարա երակցություն՝ d Հ 0.8 σ կամ σ Հ 1.25 d : Միջին քառակուսային շեղումը կարնոր դեր է կատարում աշխման շարքերի վերլուծությունում: Նորմալ աշխման համար գոյություն ունի փոխադարձ կապ միջին քառակուսային շեղման ն դիտարկումների քանակի միջն: Ըստ այդմ՝ • x ±σ սահմաններում գտնվում է 0.683 կամ 68.39 դիտարկումների քանակը, • x ±2σ սահմաններում՝ 0.954 կամ 95.49, • x ±3σ սահմաններում՝ 0.997 կամ 99.79: Գործնականում գրեթե չեն հանդիպում շեղումներ, որոնք գերազանցում են ±3σ սահմանները: 3σ չափով շեղումը կարող է դիտարկվել որպես առավել հնարավորը: Դա կոչվում է երեք սիգմայի կանոն: Օրինակ՝ դիտարկենք դիսպերսիայի ն միջին քառակուսային շեղման հաշվարկը ըստ ՀՀ պետական յուջեի եկամուտների մասին երված հետնյալ տվյալների (տե՛ս աղյուսակ 5.4):

Աղյուսակ 5.4 Դիսպերսիայի հաշվարկը Տարեթիվը

Պետական յուջեի եկամուտները (մլրդ դրամ)

ա

Ընդամենը

xi − x

(x i − x) 2

Հաշվարկը կատարվում է հետնյալ քայլերով. ա) որոշում ենք սկզ նական տվյալների միջին թվա անականը (սյունակ 1)՝ x=

∑ xi = 850 = 170 մլրդ դրամ,

ո ) գտնում շեղումները ( xi − x ) ն գրանցում սյունակ 2-ում. շեղումները արձրացնում ենք քառակուսի (սյունակ 3) ն որոշում դրանց գումարը (այն հավասար է 2914-ի), գ) ստացված գումարը աժանելով համակցության միավորների թվի վրա` կստանանք դիսպերսիան. Հ 582.8, σ2 = դ) դիսպերսիայից քառակուսի արմատ հանելով՝ ստանում ենք միջին քառակուսային շեղումը.

σ = 582,8 = 24,14 մլրդ դրամ: Տատանման աստիճանը տվյալ համակցությունում միջին արժեքի՝ 170 մլրդ դրամի համեմատությամ մեծ չէ: Դա նշանակում է, որ համակցությունը համասեռ է:

Տատանման հարա երական ցուցանիշները Հարա երական ցուցանիշները հաշվարկելիս` որպես համեմատության հիմք ընդունվում է միջին թվա անականը: Հարա երական ցուցանիշները ստանում են տատանման թափը, միջին գծային շեղումը ն միջին քառակուսային շեղումը միջին թվա անականին հարա երելով: Դրանք արտահայտվում են տոկոսներով կամ հարա երական միավորներով ն ոչ միայն որոշում են տատանման համեմատական գնահատումը, այլն տալիս են համասեռության նութագիրը:

Նորմալ աշխմանը մոտ աշխման շարքերի համար համակցությունը համարվում է համասեռ, եթե տատանման գործակիցները չեն գերազանցում 339-ը: Տար երում են տատանման հետյալ հարա երական ցուցանիշները (նշանակում են Մ-ով). ՄR - օսցիլյացիայի գործակիցը` R ՄR = ⋅ 1009 : (5.26) x Տատանման գծային գործակիցը ( Մd )` d d ⋅ 1009 : (5.27) ⋅ 1009 կամ Մd = Խ6 x Գործնականում շատ հաճախ օգտագործվում է հարա երական տատանման ցուցանիշը՝ վարիացիայի գործակիցը (Մσ)` Մd =

Մσ =

σ

⋅ 1009 , (5.28) x Վարիացիայի գործակիցը ցույց է տալիս, թե միջին արժեքի ո՞ր տոկոսն է կազմում միջին քառակուսային շեղումը: Այն հնարավորություն է ընձեռում միմյանց հետ համեմատելու տար եր չափողականություն ունեցող համակցությունների տատանումները (տվյալ դեպքում, դիսպերսիան ն միջին քառակուսային շեղումը օգտակար չեն): Դիտարկենք այդ ցուցանիշների արժեքների մեկնա անությունը տնտեսագիտական հետազոտություններում՝ եթե Մσ ≤ 339, համակցությունը համարվում է համասեռ, այսինքն` անհատական արժեքների ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջը փոքր է, եթե Մσ » 339-ից, համակցությունը անհամասեռ է` ցրումը միջինի շուրջը մեծ է: Ճշգրիտ հետազոտություններում, որտեղ առկա են օ յեկտիվ չափումներ, վարիացիայի գործակցի արժեքները մեկնա անվում են հետնյալ կերպ՝ Մσ ≤ 109 - համակցությունը համարվում է համասեռ, Մσ »109 - համակցությունը համարվում է ոչ համասեռ: Հարկ է նշել, որ օսցիլյացիայի գործակիցը կարող է լինել մեկից մեծ: Ինչ վերա երում է տատանման գծային ն վարիացիայի գործակիցներին, դրանք միշտ փոքր են մեկից: Ըստ աղյուսակ 5.4-ի տվյալների` տատանման հարա երական ցուցանիշներն ունեն հետնյալ տեսքը՝

ՄR Հ 39.49, Մd Հ 10.829, Մσ Հ 14.29:

5.3. Այլընտրանքային (ալտերնատիվ) հատկանիշի դիսպերսիան Որոշ դեպքերում անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկելու այլընտրանքային հատկանիշի դիսպերսիան: Այլընտրանքային հատկանիշի դեպքում մի երնույթի հանդես գալը ացառվում է մյուսի հանդես գալով: Օրինակ` արտադրանքի խոտանը, գիտական աստիճան ունեցողների տոկոսը ուհերում, աշխատանքը ըստ մասնագիտության, այո կամ ոչ, լավ կամ վատ, ուժեղ կամ թույլ ն այլն: Ալտերնատիվ հատկանիշի առկայությունը նշանակվում է 1-ով, իսկ դրա ացակայությունը՝ 0-ով: Տվյալ հատկանիշն ունեցող միավորների մասը նշանակենք ք-ով, իսկ չունեցող միավորների մասը՝ զ-ով, ընդ որում` ք + զ Հ 1: Հաշվարկենք ալտերնատիվ հատկանիշի միջինը ն դիսպերսիան` օգտվելով ստորն ներկայացված աղյուսակի տվյալներից:

Հատկանիշի առկայությունը Հատկանիշի ացակայությունը Գումարը

( x i − x ) 2 ( x i − x ) 2 fi

xi

fi

x i fi

xi − x

ք

ք

1-քՀզ

զ

զ

0 – ք Հ -ք

ք

ք+զ

ք

քզ

զք

քզ(ք+զ)

Ալտերնատիվ հատկանիշի միջին արժեքը որոշվում է կշռված միջին թվա անականի անաձով՝ 1⋅ ք + 0 ⋅ զ xք = =ք: (5.29) ք+զ Ալտերնատիվ հատկանիշի դիսպերսիան որոշվում է հետնյալ անաձնով՝ (x − x)2 fi քզ(ք + զ) σ 2p = ∑ i = = քզ կամ σ 2p = ք(1 - ք) (5.30) ք+զ ∑ fi Այսպիսով, ալտերնատիվ հատկանիշի դիսպերսիան հավասար է մասի ն այդ մասը մինչն մեկը լրացնող թվի արտադրյալին` քզ: Ալտերնատիվ հատկանիշի միջին քառակուսային շեղումը հավա-

քզ : Հիշյալ դիսպերսիայի սահմանային արժեքը հավասար է 0.25, եր ք Հ 0.5: սար է

Ալտերնատիվ հատկանիշի տատանման ցուցանիշը լայնորեն կիրառվում է վիճակագրությունում, մասնավորապես՝ ընտրանքային դիտարկումների նախագծման, սոցիոլոգիական հետազոտությունների տվյալների մշակման, արտադրանքի որակի վիճակագրական հսկման ն շատ այլ պարագաներում: Օրինակ՝ 3 արտադրամասերում նույնանուն պատրաստի արտադրանքի որակի ստուգման ընթացքում հայտնա երվել է պիտանի ն խոտան արտադրանք (արդյունքները ներկայացված են աղյուսակ 5.5-ում): Պահանջվում է որոշել ամ ողջ արտադրամասին վերա երող հետնյալ ցուցանիշները. ա) պիտանի ն խոտան արտադրանքի միջին տոկոսը, ) պատրաստի արտադրանքի դիսպերսիան, միջին քառակուսային շեղումը, վարիացիայի գործակիցը: Աղյուսակ 5.5 Որակի ստուգման ներկայացված արտադրանքը Արտադրամասեր

Պատրաստի արտադրանք (հատ)

Այդ թվում պիտանի

խոտան

Գումարը

Երեք արտադրամասերում պիտանի արտադրանքի միջին տոկոսը հետնյալն է՝ 280 + 290 + 330 900 ք= = = 0,75 կամ 759, 420 + 380 + 400 1200 իսկ խոտանի միջինը՝ զ = 1 − ք = 1 − 0,75 = 0,25 կամ 259: Պատրաստի արտադրանքի տեսակարար կշռի դիսպերսիան հավասար է՝ σ 2 = քզ = 0,75 ⋅ 0,25 = 0,1875 , միջին քառակուսային շեղումը՝ σ = քզ = 0,1875 = 0,433 , պատրաստի արտադրանքի տեսակարար կշռի վարիացիայի գործակիցը թողարկված ընդհանուր արտադրանքի մեջ՝

σ 0,433 .1009 = 57,739 : ⋅ 1009 = ⋅ 1009 = 0,75 x ք Նշանակում է՝ որակի ստուգման ներկայացված արտադրանքները միատարր չեն, ցրումը միջին արժեքի շուրջը մեծ է: էնտրոպիա: էնտրոպիայի ցուցանիշը՝ Ւ-x - -ը, ընդհատ x պատահական մեծության անորոշության չափն է. այն հավասար է՝ Մ=

σ

ո

Ւ-x- = − ∑ քո 16g2 քո :

(5.31)

i=1

էնտրոպիան կախված չէ պատահական մեծության արժեքներից: Այն արտահայտվում է միայն դրանց հավանականություններով: Եթե ոլոր տար երակները հավասարահավանական են, էնտրոպիան կլինի առավելագույնը: Եթե ոլոր տար երակները, ացի մեկից, հավասար են զրոյի, ապա էնտրոպիան հավասար կլինի զրոյի: Ալտերնատիվ հատկանիշի էնտրոպիան (ոՀ2) հավասարահավանական աշխման (քՀ0,5) դեպքում հավասար է միավորի. Ւ- x - = − (0.5 16g 2 0.5 + 0.5 16g 2 0.5) = − 1 : Օրինակ՝ եղանակի դիտումներից պարզվում է, որ որոշակի վայրում հունիսի 10-ին տեղումներ լինելու հավանականությունը 0.6 է, իսկ չլինելունը՝ 0.4: Նույն վայրում դեկտեմ երի 10-ին անձրն գալու հավանականությունը 0.15 է, ձյուն գալու հավանականությունը՝ 0.65, իսկ առհասարակ տեղումներ չլինելու հավանականությունը՝ 0.2 է: Պարզենք, թե ո՞ր օրվա եղանակն է ավելի անորոշ: Լուծում. Հաշվարկվում են վերոնշյալ երկու օրերի եղանակի էնտրոպիաները՝ Ւ- x 1 - = − (0.6 16g 2 0.6 + 0.4 16g 2 0.4) = − 0.97 իթ, Ւ-x 2 - = − (0.1516g2 0.15 + 0.6516g2 0.65 + 0.216g2 0.2) = − 1.28 իթ: Ւ-x 2 - > Ւ-x1 - , նշանակում է՝ դեկտեմ երի 10-ին եղանակն ավելի անորոշ է, քան հունիսի 10-ին: Եթե տեղումներ լինելու կամ չլինելու հարց է առաջանում, ապա՝ Ւ- x ′2 - = − (0.8 16g 2 0.8 + 0.2 16g 2 0.2) = − 0.72 , Ւ- x 2 - < Ւ- x 1 - , նշանակում է դեկտեմ երի 10-ին տեղումներ լինելու անորոշությունն ավելի փոքր է: Բարդ համակարգի էնտրոպիան հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով՝ ո ո

Ւ(xy) = − ∑ ∑ քij 16g2 քij , i=1 j=1

(5.32)

որտեղ՝ քij-ն արդ համակարգի ցանկացած հնարավոր վիճակի հավանականությունն է: էնտրոպիայի ցուցանիշը թույլ է տալիս որոշել նան տեղեկատվության քանակը:

5.4. Դիսպերսիայի տեսակները, դրանց գումարման կանոնը Ուսումնասիրվող համակցության ցուցանիշների տատանումները պայմանավորված են տար եր գործոններով, որոնց մի մասը կարելի է առանձնացնել, եթե այն աժանենք համասեռ խմ երի` ըստ առանձին հատկանիշի: Այդ դեպքում ամ ողջ համակցության հատկանիշի տատանման ուսումնասիրման հետ մեկտեղ հնարավոր է ուսումնասիրել նան ներխմ ային ու միջխմ ային տատանումները: Ուսումնասիրելով համակցության տատանումը ամ ողջությամ ն հենվելով ընդհանուր դիսպերսիայի հաշվարկման վրա՝ հնարավոր չէ որոշել հատկանիշի անհատական գործոնների տատանումները նութագրող առանձին գործոնների ազդեցությունը: Համակցությունում կարելի է որոշել հատկանիշի տատանման երեք ցուցանիշներ. ընդհանուր դիսպերսիան (σ2), միջխմ ային դիսպերսիան (δ2) ն ներխմ ային դիսպերսիաների միջինը ( σ 2j ): Ընդհանուր դիսպերսիան նութագրում է հատկանիշի տատանումն ամ ողջ համակցությունում ոլոր գործոնների ազդեցության ներքո, ձնավորում տվյալ համակցության հատկանիշի միավորների մակարդակը, արտացոլում ոլոր հնարավոր գործոնների գումարային ազդեցությունը ընդհանուր տատանման վրա: Ընդհանուր դիսպերսիան հատկանիշի ընդհանուր միջինից առանձին տար երակների արժեքների շեղումների քառակուսիների միջինն է, որը հաշվարկվում է պարզ կամ կշռված դիսպերսիայի անաձնով (5.33)՝ k

σ 2x =

∑ (xi − x)2 fi i=1

k

∑ fi

,

(5.33)

i=1

որտեղ՝ xi -ն հատկանիշի արժեքներն են, fi-ն` հաճախականությունը, x -ը՝ ընդհանուր միջին թվա անականը, k-ն` խմ երի թիվը: Միջխմ ային դիսպերսիան (δ2) նութագրում է սիստեմատիկ տատանումները, որոնք ի հայտ են գալիս գործոնային հատկանիշի

ազդեցությամ ն ընկած են խմ ավորման հիմքում: Միջխմ ային դիսպերսիան հաշվարկվում է (5.34) անաձնով՝ k

δ 2x =

∑ ( x j − x) 2 f j j=1

,

k

(5.34)

∑ fj j=1

որտեղ՝ k -ն խմ երի թիվն է, f j -ն՝ միավորների թիվը խմ ում, x j -ն` մասնակի միջինը j-րդ խմ ում,

x -ը՝ համակցության միավորների ընդհանուր միջինը: Ներխմ ային դիսպերսիան արտացոլում է պատահական տատանումը, այսինքն՝ տատանման մասը, որն ի հայտ է գալիս չնախատեսված գործոնների ազդեցությամ ն կախված չէ գործոնային հատկանիշից, որն ընկած է խմ ավորման հիմքում: Այն հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով՝ fj

fi

σi2 =

∑ (xij − xi)2

∑ (xij − x j)2

j=1

, σ 2j = i=1

fi

fj

(5.35)

որտեղ՝ xij -ն յ-րդ խմ ի տար երակներն են, xյ -ն՝ յ-րդ խմ ի միջին արժեքը: Ներխմ ային դիսպերսիաների միջինը նութագրում է առանձին խմ երի ներսում գոյություն ունեցող հատկանիշի տատանման միջինը ն որոշվում է կշռված միջին թվա անականի անաձնով՝ k

σ2j =

∑ σ 2j fj j=1 k

:

(5.36)

∑ fj j=1

Ընդհանուր դիսպերսիայի ( σ

x ),

ներխմ ային դիսպերսիաների

միջինի ( σ 2j ) ն միջխմ ային դիսպերսիայի ( δ 2x ) միջն գոյություն ունի հարա երակցություն, որը կոչվում է դիսպերսիաների գումարման կանոն՝

σ 2x = σ 2j + δ2x :

(5.37)

Համաձայն դրա՝ ընդհանուր դիսպերսիան հավասար է, ի հաշիվ

խմ ավորման հատկանիշի դիսպերսիայի ն այլ ոլոր գործոնների ազդեցությամ երնան եկած դիսպերսիաների գումարին: Դիսպերսիաների գումարման կանոնից օգտվում են ցուցանիշների կապի սերտությունը հաշվելիս, դիսպերսիոն վերլուծությունում՝ տիպական ընտրանքի ճշտությունը գնահատելիս ն այլն: Վիճակագրական վերլուծությունում լայնորեն կիրառվում է էմպիրիկ դետերմինացիայի գործակիցը ( η 2 ): Այն միջխմ ային դիսպերսիայի մասն է ընդհանուր արդյունքային դիսպերսիայի նկատմամ ն նութագրում է հատկանիշի ազդեցությունը, որն ընկած է խմ ավորման հիմքում՝

η2 =

δ 2x : σ 2x

(5.38)

Քառակուսի արմատ էմպիրիկ դետերմինացիայի գործակցից` կոչվում է էմպիրիկ կոռելյացիոն հարա երություն ( η )՝

η=

δ 2x : σ 2x

(5.39)

էմպիրիկ կոռելյացիոն հարա երությունը փոփոխվում է «0»-ից «1» սահմանում, ընդ որում, եթե` η Հ 0. նշանակում է՝ խմ ավորման հատկանիշն ազդեցություն չի թողնում արդյունքային հատկանիշի վրա, η Հ1. արդյունքային հատկանիշը փոփոխվում է միայն խմ ավորման հիմքում ընկած հատկանիշից կախված, իսկ այլ գործոնային հատկանիշների ազդեցությունը հավասար է 0-ի: Միջանկյալ արժեքները գնահատվում են՝ կախված սահմանային արժեքների՝ դրանց մոտիկության աստիճանից: Օրինակ՝ դիտարկենք դիսպերսիաների գումարման կանոնը: Երկու արտադրամասերի անվորների աշխատանքային ստաժի վերա երյալ ունենք հետնյալ տվյալները (տե՛ս աղյուսակ 5.6): Որոշել դետերմինացիայի գործակիցը: Աղյուսակ 5.6 Արտադրամասի անվորների աշխատանքային ստաժը Աշխատանքի ստաժը (տարի)

0-5 5-10 10-15 15-20

Բանվորների թիվը | արտադրամաս || արտադրամաս

Ընդամենը

Խնդիրը կարելի է լուծել հետնյալ հաջորդականությամ . 1. Որոշվում է յուրաքանչյուր արտադրամասի անվորների աշխատանքային միջին ստաժը՝

∑ x′i f1i = 2.5 ⋅ 2 + 7.5 ⋅ 15 + 12.5 ⋅ 20 + 17.5 ⋅ 3 = 420 = 10.5 տարի: ∑ f1i ∑ x ′i f2i = 2.5 ⋅ 7 + 7.5 ⋅ 25 + 12.5 ⋅ 12 + 17.5 ⋅ 8 = 495 = 9.5 տարի: x2 = ∑ f2i x1 =

2. Որոշվում է երկու արտադրամասերի ստաժը միասին՝ x=

∑ x′i fi ∑ fi

=

անվորների միջին

2.5 ⋅ 9 + 7.5 ⋅ 40 + 12 .5 ⋅ 32 + 17 .5 ⋅ 11 = 9.94 : 9 + 40 + 32 + 11

կամ x=

∑ x i fi ∑ fi

=

10.5 ⋅ 40 + 9.5 ⋅ 52 = 9.94 ,( x ≈ 10 ) տարի:

3. Հաշվարկվում են առաջին ն երկրորդ արտադրամասերի անվորների աշխատանքային ստաժի ներխմ ային դիսպերսիաները ն ընդհանուր դիսպերսիան.

∑(x′1j −x1)

σ12

=

f1j

∑ f1j σ

=

(2.5− 10.5)2 ⋅ 2 + ... + (17.5− 10.5)2 ⋅ 3 = 490 = 12.25

∑ (x ′2j − x 2 ) = ∑ f2j

f2j

=

= 20.44 :

∑ (x ′i − x) fi = Ընդհանուր դիսպերսիան կլինի՝ σ = ∑ fi (2.5−10)2 ⋅ 9 +(7.5−10)2 ⋅ 40+ (12.5−10)2 ⋅ 32+ (17.5−10)2 ⋅11= 1575=17.12 =

x

Որոշվում է անվորների աշխատանքային ստաժի ներխմ ային դիսպերսիաների միջինը՝

∑ σ i fi ∑ fi

σi2 =

=

12.25 ⋅ 40 + 20.44 ⋅ 52 1553 = = 16.88 :

4. Որոշվում է արտադրամասի անվորների աշխատանքային ստաժի միջխմ ային դիսպերսիան՝

δ2x = ∑

(xi − x)2 fi (10.5−10)2 ⋅ 40 + (9.5−10)2 ⋅ 52 23 1 = = = = 0.25, 92 4 ∑ fi

ն ըստ դիսպերսիաների գումարման կանոնի` հաշվարկի ճշտությունը՝ 16.88+0.25Հ17.13: 5. Որոշվում է էմպիրիկ դետերմինացիայի գործակիցը՝ η2 =

δ2x 23 1575 = : = 0.25 : 17.12 = 0.0146 կամ 1.469: σ 2x 92 92

Դետերմինացիայի գործակիցը ցույց է տալիս, թե ընդհանուր դիսպերսիայի ո՞ր մասն է կազմում միջխմ ային դիսպերսիան, այսինքն՝ կախում ունի՞ անվորական ստաժը անվորների թվից, թե՞ ոչ: Այս օրինակում կախվածությունը ացակայում է, քանի որ η2 = 0.0146 արժեքը շատ փոքր է: Անհրաժեշտ է որոշել նան էմպիրիկ կոռելյացիայի հարա երությունը՝ η = 0.0146 = 0.1208 : Ստացված արդյունքն ապացուցում է, որ կապ գոյություն չունի անվորների ստաժի ն նրանց թվաքանակի միջն, քանի որ η -ն շատ փոքր թիվ է:

Հատկանիշի մասերի դիսպերսիաների գումարման կանոնը Դիսպերսիաների գումարման կանոնը տարածվում է նան հատկանիշի մասի դիսպերսիայի վրա: Մասի ներխմ ային դիսպերսիան որոշվում է (5.40) անաձնով.

σ P2i = Pi (1 − Pi ) ,

(5.40)

որտեղ` Pi-ն առանձին խմ երում ուսումնասիրվող հատկանիշի մասն է: Ներխմ ային դիսպերսիաների միջինի որոշման անաձնն ունի հետնյալ տեսքը՝ P (1 − Pi ) fi (5.41) σ P2i = ∑ i = Pi (1 − Pi ) : ∑ fi

Միջխմ ային դիսպերսիան որոշվում է հետնյալ անաձնով՝

δ P2i = ∑

(Pi − P )2 fi ∑ fi

:

(5.42)

որտեղ՝ fi -ն առանձին խմ երի միավորների թիվն է, P -ն՝ ուսումնասիրվող հատկանիշի մասը ամ ողջ համակցությունում: Հատկանիշի մասը համակցությունում որոշվում է կշռված միջին թվա անականի անաձնով՝ ∑ Pi fi : P= (5.43) ∑ fi Ընդհանուր դիսպերսիան որոշվում է (5.44) անաձնով. σ 2P = P (1 − P ) :

(5.44)

Դիտարկված դիսպերսիաները իրար հետ կապված են հետնյալ հավասարումով.

σ 2P = σ P2i + δ Օ2i :

(5.45)

Դիսպերսիաների այս հարա երակցությունը կոչվում է հատկանիշի մասի գումարման կանոն: Ունենալով երկու դիսպերսիաները՝ կարելի է որոշել երրորդը կամ ստուգել դրանց հաշվարկման ճշտությունը: Բերենք օրինակ: Աղյուսակ 5.7-ում ներկայացված են պայմանական ֆիրմայի երեք արտադրամասերի հիմնական անվորների տեսակարար կշիռները: Աղյուսակ 5.7 Ֆիրմայի հիմնական անվորների տեսակարար կշիռը Արտադրամաս

Ա Բ Գ Ընդամենը

Հիմնական անվորների տեսակարար կշիռը (9)

Բոլոր անվորների թիվը (մարդ)

Pi

fi

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա որոշենք. 1. Հիմնական անվորների տեսակարար կշռի դիսպերսիան ամ ողջ ֆիրմայում: 2. Մասի ներխմ ային ն միջխմ ային դիսպերսիաները: Լուծում. ա) Նախ որոշում ենք հիմնական անվորների մասը ամ ողջ ֆիրմայում ( անաձն 5.43)՝

0.7 ⋅ 100 + 0.6 ⋅ 150 + 0.8 ⋅ 250 360 = = 0.72 , ապա` ) Ամ ողջ ֆիրմայի հիմնական անվորների մասի ընդհանուր դիսպերսիան ( անաձն 5.44)՝ σ 2Օ = 0.72 ⋅ (1 − 0.72) = 0.2016 : P=

գ) Արտադրամասերի ներխմ ային դիսպերսիաները կկազմեն ( անաձն 5.40)՝

σ 2Օ1 Հ 0.7 (1- 0.7) Հ 0.21, σ 2Օ2 Հ 0.6 (1- 0.6) Հ 0.24, σ 2Օ3 Հ 0.8 (1- 0.8) Հ 0.16: դ) Արտադրամասերի ներխմ ային դիսպերսիաների միջինը ( անաձն 5.41)՝ 0.21 ⋅ 100 + 0.24 ⋅ 150 + 0.16 ⋅ 250 97 = = 0.194 , σ քi = ն վերջապես՝ ե) Միջխմ ային դիսպերսիան ( անաձն 5.42)՝ (0.7 − 0.72)2 100 + (0.6 − 0.72)2 150 + (0.8 − 0.72)2 250 = δ P2i = 3 .8 = = 0.0076 Ստուգում՝ 0.2016 Հ 0.194 + 0.0076:

5.5. Վարիացիոն աշխման շարքի կառուցվածքային նութագրերը Դիֆերենցիացիայի ցուցանիշները: Բաշխման կենտրոնի դիտարկված ընդհանրացնող ցուցանիշները ն տատանման աստիճանը պատկերացում չեն տալիս աշխման ձնի մասին, այսինքն՝ չեն ացահայտում հաճախականությունների հաջորդական փոփոխությունները: Բաշխման ձնի առանձնահատկությունների արտահայտման համար կիրառվում է դիֆերենցիացիայի ցուցանիշը, որը հիմնված է աշխման կառուցվածքային (ռանգային) ցուցանիշների վրա: Կառուցվածքային ցուցանիշներ: Կառուցվածքային ցուցանիշների համակարգում, որպես աշխման ձնի յուրահատկության ցուցանիշ, հանդես են գալիս տար երակներ, որոնք որոշակի դիրք են գրավում (յուրաքանչյուր չորրորդը, հինգերորդը, տասներորդը, քսանհինգերորդը ն այլն) վարիացիայի կարգավորված շարքում: Այդպիսի ցուցանիշները կրում են կվանտիլ (կամ գրադիենտ) ընդհանուր անվանումը:

Որոշ կվանտիլներ ունեն առանձին անվանումներ` կվարտիլներ, կվինտիլներ, դեցիլներ ն պերցենտիլներ: Կվարտիլները հատկանիշի արժեքներն են, որոնք կարգավորված համակցությունը աժանում են 4 հավասարամեծ մասերի: Տար երում են ստորին (Օ1) կվարտիլը, որն անջատում է համակցության 1/4 մասը՝ հատկանիշի ամենափոքր արժեքով, ն վերին կվարտիլը (Օ3), որը հատում է 1/4 մասը՝ հատկանիշի ամենամեծ արժեքով: Դա նշանակում է, որ համակցության միավորների 25 9-ի արժեքները փոքր են Օ1 –ից, 25 9-ը` գտնվում է Օ1 ն Օ2-ի, 259-ը` Օ2 ն Օ3-ի միջն, ն մնացած 25 9-ը գերազանցում է Օ3-ը: Երկրորդ կվարտիլը` Օ2-ը, մեդիանան է: Կվարտիլների հաշվարկը նման է մեդիանայի հաշվարկմանը՝ 1 / 4∑ fi − ՏQ −1 Օ1 = x Q + հQ1 , (5.46) fQ1 Օ 3 = x Օ + հՕ 3

3/4∑ fi − ՏՕ fՕ

3 −1

,

(5.47)

որտեղ՝ x Օ1 -ը միջակայքի ստորին սահմանն է. պարունակում է ստորին կվարտիլը (միջակայքը որոշվում է կուտակված հաճախականությունով, որը առաջինը գերազանցում է 25 9-ը), x Q 3 -ը միջակայքի ստորին սահմանն է. պարունակում է վերին կվարտիլը (միջակայքը որոշվում է կուտակված հաճախականությունով, որն առաջինը գերազանցում է 75 9-ը), հՕ -ն միջակայքի մեծությունն է, ՏQ −1 -ը միջակայքի կուտակված հաճախականությունն է,

նախորդում է այն միջակայքին, որը ովանդակում է ստորին կվարտիլը, S Q −1 -ը` նույնը վերին կվարտիլի համար,

fQ1 -ը միջակայքի հաճախականությունն է, որը

ովանդա-

կում է ստորին կվարտիլը, fQ 3 -ը՝ նույնը վերին կվարտիլի համար: Կվինտիլները համակցությունը աժանում են 5 հավասար մասերի: Դեցիլները (di) հատկանիշի այն արժեքներն են, որոնք կարգավորված շարքը աժանում են 10 հավասար մասերի. առաջին դեցիլը (d1) աժանում է համակցությանը համապատասխանա ար 1/10-ը, 9/10 հարա երակցությամ , երկրորդ դեցիլը (d2-ը)` 2/10-ը,

8/10 հարա երակցությամ ն այլն: Դեցիլների հաշվարկը կատարվում է նույն սկզ ունքով, ինչ ն մեդիանայի ն կվարտիլների հաշվարկը՝ 1 / 10 ∑ fi − Տ d −1 ♦| դեցիլ. (5.48) d1 = x d1 + հ d1 , fd1 ♦|| դեցիլ. ♦ ♦|X դեցիլ.

d2 = x d2 + հd2

2 / 10 ∑ fi − Տ d

2 −1

fd 2

... ... ... ... ... ... ... ... ... 9 / 10 ∑ fi − Տ d −1 d 9 = x d9 + հ d 9 , fd9

որտեղ՝ x d1 -ը առաջին դեցիլը

,

(5.49)

(5.50)

ովանդակող միջակայքի ստորին

սահմանն է, x d2 -ը` նույնն է երկրորդ դեցիլի համար, հd-ն` առաջին (երկրորդ, երրորդ) դեցիլը ովանդակող միջակայքի մեծությունն է, Տ d −1 , Տ d −1 , …, Տd −1 –ը` առաջին (երկրորդ ն այլն) դեցիլը

ովանդակող միջակայքին նախորդող միջակայքերի կուտակված հաճախականություններն են, fd1 , fd2 , …, fd9 -ը` առաջին, երկրորդ ն մյուս դեցիլները ովանդակող միջակայքերի հաճախականություններն են: Օրինակ՝ ունենք գյուղացիական տնտեսություններում ցորենի երքատվության (ց) վերա երյալ հետնյալ տվյալները (տե՛ս աղյուսակ 5.8): Աղյուսակ 5.8 Ցորենի երքատվության աշխումը Բերքատվություն (ց)

Տնտեսությունների թիվը

Կուտակված հաճախականություն

xi

fi

Տi

16-20 20-24 24-28 28-32 32-36 36-40 40-44 44-48

Ընդամենը

Ըստ աղյուսակ 5.8-ի տվյալների որոշել ստորին ն վերին կվարտիլները, ստորին ն վերին դեցիլները: Լուծում. Որոշենք Օ-ի տեղը առաջին ն երրորդ կվարտիլներում՝ ո + 1 100 + 1 NQ = = = 25.25: ո+1 100 + 1 NQ = ⋅3= ⋅ 3 = 75.75: Կվարտիլների հաշվարկը կատարվում է մեդիանայի հաշվարկման եղանակով. − 13 Օ 1 = 24 + 4 ⋅ 4 = 27 ց, 24 Հ Օ1 Հ 28 : 100 ⋅ 3 − 72 Օ 3 = 36 + 4 ⋅ 4 = 36.8 ց, 36 Հ Օ3 Հ 40: Առաջին կվարտիլը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել ∑ fi = 25.25 , նշանակում է, որ կվարտիլային միջակայքը: Քանի որ դա (ըստ կուտակված հաճախականությունների) 24-28-ի միջակայքն է: Տվյալ դեպքում` x Q1 Հ 24, հQ1 Հ 4, fQ1 Հ16, ՏQ −1 Հ13: Նշա1

նակում է գյուղացիական տնտեսությունների 25 9-ն ունի 27 ցենտներից պակաս երքատվություն, 25 9-ը` 27 ցենտներից արձր, իսկ մնացածը ունեն 27 ցենտներից մինջն 36.8 ցենտներ երքատվություն: Ստորին ն վերին դեցիլները հաշվարկում ենք մեդիանայի անաձնի օգնությամ ` դրա միջակայքը փոխարինելով այն միջակայքով, որտեղ գտնվում են տար երակները ն հատում 109 թվի հաճախականությունը՝ աշխման շարքի ստորին ն վերին սահմաններում: Ստորին դեցիլը (d1) ամենացածր երքատվությունն է (ց): Նախ որոշում ենք դեցիլը ( անաձնով), ապա դրա համարը` N d1 Հ (100+1) /10 Հ 10.1: Ընդ որում՝ առաջին (ստորին) դեցիլի հաշվարկի համար գտնում ենք 1/10 հաճախականությունների թիվը՝

∑ fi

=

= 10 :

Ըստ կուտակված հաճախականությունների՝ որոշում ենք դեցիլային միջակայքը. արդյո՞ք տար երակը համապատասխանում է այնպիսի հաճախականության, որը գտնվում է (20-24) ցենտներ

միջակայքում: Այս դեպքում x d1 Հ20, հ d 1 Հ 24-20 Հ 4, Տ d

1−1

fd1 Հ11:

Այստեղից`

ամենացածր

երքատվությունը

Հ 2,

կլինի`

d1Հ20+4(10-2)/11Հ20+32/11Հ22.91: 20Հ d1Հ24: Նշանակում է՝ գյուղացիական տնտեսությունների 109-ն ունի 22,9 ց ցածր, իսկ 909-ը՝ 22,9 ց-ից արձր երքատվություն: Իններորդ (վերին) դեցիլի համար գտնում ենք 9/10 հաճախականությամ թիվը. դեցիլի համարը` 100 + 1 Nd9 = ⋅ 9 = 90.9 , ∑ fi ⋅ 9 = 100 ⋅ 9 = 90 : իսկ հաճախականության թիվը կլինի՝ Ըստ կուտակված հաճախականության` գտնում ենք միջակայքը, որը համապատասխանում է (40-44) միջակայքին: Որոշում ենք x d9 Հ40, հ d9 Հ4, Տ d9 Հ87, fd 9 Հ10 արժեքները ն ըստ անաձնի հաշվարկում իններորդ դեցիլը` ամենա արձր երքատվությունը, որն է՝ 100 ⋅9−87 d 9 = 40+ 4⋅ 10 = 41.2 ց 40 Հ d9 Հ 44: Նշանակում է՝ գյուղացիական տնտեսությունների 909-ն ունի 41,2 ց ցածր, իսկ 10 9-ը՝ 41,2 արձր երքատվություն: Պերցենտիլը հատկանիշի այն արժեքն է, որը աշխման շարքը աժանում է 100 մասի: Պերցենտիլը կարելի է հաշվարկել հետնյալ անաձնով. Pո Հ Լ+ (Տ/f)⋅i, (5.51) որտեղ՝ Pո-ը ո-րդ պերցենտիլի արժեքն է, Լ-ը՝ միջակայքի ստորին սահմանը, Տ-ը՝ գնահատման թիվը, որն անհրաժեշտ է հորիզոնական առանցքի վրա տրված պերցենտիլին համապատասխանելուն, i-ն` Լ-ի ներքին սահմանի հեռավորությունն է Լ+1-ի վերին սահմանից (միջակայքի քայլը), f-ը` Լ-ից մինջն Լ+1 միջակայքում գտնվող թվերի գնահատականն է: Դիֆերենցիացիայի ցուցանիշները: Եր ուսումնասիրվում է վարիացիայի շարքը, հարկ է լինում որոշել դրա հարա երական նութագրերը (իհարկե, եթե նախապես հաշվարկված են կվարտիլն ու դեցիլը): Տվյալ դեպքում կարելի է որոշել դիֆերենցիացիայի գործակիցը (K): Դիֆերենցիացիայի գործակիցը հաշվարկվում է տար եր եղա-

նակներով: Եթե տրված են երրորդ (Օ3) ն առաջին (Օ1) կվարտիլները, վարիացիայի գործակցի հետ մեկտեղ կարելի է հաշվարկել դիֆերենցիացիայի գործակիցը հետնյալ անաձնով` Օ 1− 1 Օ3 − Օ1 Օ3 = : KՄ = (5.52) Օ Օ3 + Օ1 1+ 1 Օ3 Վարիացիայի ն դիֆերենցիացիայի գործակիցների միջն գոյություն ունի որոշակի կապ` Մ Հ1.5KՄ: Եթե համադրվում են 9-րդ (d9) ն 1-ին (d1) դեցիլները, ապա դիֆերենցիացիայի դեցիլային գործակիցը (Kd) հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով. Kd Հ d9 / d1: Դիֆերենցիացիայի ավելի ճշգրիտ մակարդակը կարելի է որոշել, եթե համադրվում են համակցության հատկանիշի միջին մակարդակի 10 9-ի ամենամեծ ն ամենափոքր արժեքները: Համեմատման այդպիսի ցուցանիշը կոչվում է դիֆերենցիացիայի ֆոնդային գործակից. xj ∑ xj ո∑ xոax j j (5.53) K= = = xոiո 1 x6 ∑ x ո∑

որտեղ՝

∑ x j -ն համակցությունում հատկանիշի 10 9-ի մեծագույն միավորների գումարային արժեքն է,

∑ x 6 -ը`

համակցությունում հատկանիշի 10 9-ի ամենա-

փոքր միավորների գումարային արժեքը, ո-ը՝ համակցությունում միավորների թիվը:

5.6. Բաշխման մոմենտները Բաշխման շարքերի միջին թվա անականն ու դիսպերսիան ավելի ընդհանուր հասկացության` վարիացիայի շարքի մոմենտների մասնավոր դեպքեր են: k-րդ կարգի մոմենտը կոչվում է xi տար երակների Ճ կամայական հաստատուն թվից ունեցած շեղումների k-րդ աստիճանի միջինը՝

Խk = (x i − Ճ )k : (5.54) Միջինների մեծությունը հաշվարկելիս` որպես կշիռ կարելի է ընդունել հաճախականությունը, խտությունը կամ հավանականությունը: Եթե որպես կշիռ ընդունվում է հաճախականությունը կամ տեսակարար կշիռը, մոմենտները կոչվում են փորձարարական, իսկ եր օգտագործվում է հավանականությունը՝ տեսական: Մոմենտների կարգը սահմանվում է k-ի մեծությամ : k-րդ կարգի փորձարարական մոմենտը որոշվում է որպես տարերակների Ճ մեծությունից ունեցած շեղումների k-րդ աստիճանների ու համապատասխան հաճախականությունների արտադրյալների գումարի հարա երությունը հաճախականությունների գումարին. k

ոk

(x − Ճ ) =∑ i ∑ fi

fi

:

(5.55)

Կախված Ճ հաստատուն մեծության ընտրությունից՝ տար երվում են երեք տիպի մոմենտներ. 1. Եթե Ճ Հ 0, կստանանք k-րդ կարգի սկզ նական մոմենտը՝ k

Խk

x f =∑ i i: ∑ fi

(5.56)

2. Ճ Հ x0-ի դեպքում կստանանք k-րդ կարգի պայմանական մոմենտը (ոk)՝ ∑ (x i − x 0 )k fi : (5.57) ո- = ∑ fi Պայմանական մոմենտի օգնությամ պարզեցվում է աշխման շարքի հիմնական նութագրերի հաշվարկը: k-ին տալով տար եր արժեքներ՝ կստանանք սկզ նական մոմենտներ x0-ի նկատմամ : Եթե ընդունեք, որ k Հ1, ապա՝ ∑ (x i − x 0 ) fi = ∑ x i fi − x 0 ∑ fi = x - x : (5.58) ո1 = ∑ fi ∑ fi ∑ fi Այստեղից հետնում է, որ x = x 0 + ո1 , այսինքն՝ միջին թվա անականը հավասար է ընտրանքի սկզ նական արժեքի ն առաջին կարգի սկզ նական մոմենտի գումարին: Եթե (xi - x0) շեղումներն ունեն ընդհանուր Շ ազմապատկիչ, ապա դրանց շեղումները կարելի է աժանել ազմապատկիչի վրա ն հաշվարկել ստացված մոմենտը, այնուհետն ազմապատկել համապատասխան աստիճանով՝

ո- =

∑( i

xi − x0 k ) fi Շ ⋅ Շk : ∑ fi

(5.59)

i

k-ին տալով 1 արժեքը, կստանանք x = x 0 + ո1Շ : 3. Եթե Ճ հաստատուն մեծությունը հավասար է միջին թվա անականին ( Ճ = x ), կստանանք k կարգի կենտրոնական մոմենտը (μk ) μ- =

∑ (x i − x)k fi ∑ fi

:

(5.60)

Վիճակագրության պրակտիկայում օգտվում են առաջին, երկրորդ, երրորդ ն չորրորդ կարգի մոմենտներից: Ակնառու լինելու համար մոմենտները ներկայացնենք աղյուսակի տեսքով (տե՛ս աղյուսակ 5.9): Աղյուսակ 5.9 Բաշխման մոմենտների տեսակները Մոմենտների տեսակները Կարգը (k)

Կենտրոնական

Սկզ նական

Խ1 =

∑ x i fi ∑ fi

Խ2 =

∑ x i fi ∑ fi

μ1 =

∑ (x i − x) fi ∑ fi

μ2 =

x f =∑ i i ∑ fi

Խ3

Խ4 =

μ3

μ4 =

Աղյուսակից երնում է, որ`

=0

∑ (x i − x)2 fi ∑ fi

∑ (x i − x)3 fi = ∑ fi

∑ x i fi ∑ fi

Պայմանական ոk

μk

Խk

∑ (x i − x) 4 fi ∑ fi

ո1 =

∑ (x i − x 0 ) fi ∑ fi

ո2

(x − x 0 ) =∑ i ∑ fi

ո3

(x − x 0 ) =∑ i ∑ fi

ո4

(x − x 0 ) =∑ i ∑ fi

fi

fi

fi

• առաջին կարգի սկզ նական մոմենտը հավասար է միջին թվա անականին՝ ո1 Հ x ն կիրառվում է որպես աշխման կենտրոնի ցուցանիշ, • երկրորդ, երրորդ ն չորրորդ կարգի սկզ նական մոմենտները չունեն ինքնուրույն նշանակություն, սակայն օգտագործվում են կենտրոնական մոմենտների հաշվարկը պարզեցնելու համար, • ունենալով առաջին ն երկորդ կարգի սկզ նական մոմենտներ՝ կարելի է որոշել դիսպերսիան՝

σ 2 = μ 2 = M 2 − M 12 ,

(5.61) • առաջին կարգի կենտրոնական մոմենտը հավասար է զրոյի (μ1Հ0), • երկրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը դիսպերսիան է ն ծառայում է որպես հատկանիշի տատանման հիմնական չափ (μ2Հσ2), • երրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը աշխման ասիմետրիայի չափն է. եթե աշխումը սիմետրիկ է, ապա այն հավասար է զրոյի, • չորրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտն օգտագործվում է էքսցեսի ցուցանիշը հաշվարկելիս, • առաջին, երկրորդ, երրորդ ն չորրորդ կարգի պայմանական մոմենտները չունեն ինքնուրույն նշանակություն, սակայն օգտագործվում են կենտրոնական մոմենտների պարզեցված հաշվարկման համար:

5.7. Բաշխման ձնի ուսումնասիրությունը Բաշխման ձնի յուրահատկությունների ընդհանրացումը նութագրելու համար օգտվում ենք աշխման կորերից, որոնք արտահայտվում են գրաֆիկորեն` պոլիգոնի ն հիստոգրամի տեսքով: Դրանք պատկերացում են տալիս ուսումնասիրվող երնույթի աշխման օրինաչափությունների մասին: Տար երում են փորձարարական ն տեսական աշխման կորերը: Փորձարարական աշխման կորը փաստացի աշխման կորն է, որը ստացվում է վիճակագրական դիտարկման նյութերի խմ ավորման արդյունքում ն արտացոլում է աշխման վրա ազդող հիմնական պատճառներն ու պատահական գործոնների ազդեցությունը: Ուսումնասիրվող երնույթի աշխման օրինաչափությունը պատահական գործոնների ազդեցությունից զերծ պահելու համար անհրաժեշտ է մեծացնել համակցության ծավալը` փոքրացնելով միջակայ-

քերի լայնությունը: Մաթեմատիկական վիճակագրությունն ապացուցում է, որ համակցության ծավալի մեծացման ն միջակայքերի լայնության փոքրացման դեպքում աշխման ազմանկյուններն ավելի են մոտենում որոշ սահմանային սահուն գծի, որն էլ աշխման կորն է: Տեսական աշխման կորն արտահայտում է ֆունկցիոնալ կապը տատանվող հատկանիշների փոփոխությունների միջն, որում ի հայտ են գալիս հիմնական, էական պատճառների ազդեցությունը, ն ացառվում է պատահական գործոնների ազդեցությունը: Այդ տեսակետից` տեսական աշխումն ունի կարնոր դեր, քանի որ հնարավորություն է ընձեռում օգտագործելու աշխման կորերը հաճախականությունների աշխման օրենքներն ուսումնասիրելու ն աշխումները համեմատելու համար: Բաշխման կորերը լինում են սիմետրիկ ն ասիմետրիկ, մեկ, երկու ն ազմագագաթ: Կախված այն անից, թե կորի որ ճյուղն է ուղղված աջ կամ ձախ` տար երում են աջակողմյան ն ձախակողմյան ասիմետրիաներ: Համասեռ համակցությունների դեպքում նութագրական է մեկ գագաթանի, իսկ անհամասեռ համակցությունների դեպքում` ազմագագաթ աշխումը: Երկու ն ավելի գագաթ ունեցող անհամասեռ համակցությունների պարագայում հարկ է լինում կատարել տվյալների վերախմ ավորում` ավելի համասեռ խմ եր առանձնացնելու նպատակով: Սիմետրիկ աշխման դեպքում ցանկացած երկու տարերակների հաճախականությունները կենտրոնից հավասարահեռ են ն երկու կողմերից միմյանց հավասար: Սիմետրիկ աշխման կորի գագաթը գտնվում է կենտրոնում, իսկ ասիմետրիկ աշխմանը` կենտրոնից տեղաշարժված է աջ (ձախակողմյան կամ ացասական ասիմետրիա) կամ ձախ` (աջակողմյան կամ դրական ասիմետրիա): Այդպիսի աշխման շարքի նութագրերն են. x Հ Խօ Հ Խ6: R Հ 6σ, σ Հ1.25d: Եթե նշված հարա երակցությունը խախտվում է, նշանակում է գոյություն ունի աշխման շարքի ասիմետրիա: Եթե ԽօՀ Խ6Հ x , ապա x - Խօ ն x - Խ6 տար երությունները դրական են, ասիմետրիան աջակողմյան է: Եր Խ0 »Խ6 » x , հակառակը` x - Խօ ն x -Խ6 տար երությունները ացասական են, իսկ ասիմետրիան ձախակողմյան է: Տար եր չափողականություն ունեցող մի քանի աշխումների ասիմետրիայի համեմատական ուսումնասիրման համար հաշվարկում են ասիմետրիայի հարա երական ցուցանիշը (a6)՝

a6 =

x − Խ0

σ

կամ a 6 =

x − Խ6

σ

:

(5.62)

Ասիմետրիայի ցուցանիշը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ ացասական: Դրական մեծությունը վկայում է աջակողմյան ասիմետրիայի մասին, իսկ ացասականը՝ ձախակողմյան: Ասիմետրիան դրական է, եթե աշխման կորի «երկար մասը» գտնվում է մոդայից աջ (a6>0), ացասական է, եթե կորի «երկար մասը» գտնվում է մոդայից ձախ (a6<0) (տե՛ս գծապատկերներ 5.3 ն 5.4): Բաշխման սիմետրիկության դեպքում երրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը (μ3) հավասար է 0-ի: Որքան մեծ է μ3-ը, այնքան մեծ է ասիմետրիան: Այդ առանձնահատկությունից օգտվում են ասիմետրիան նութագրելու համար: Ասիմետրիայի գործակիցը երրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտի (μ3) ն միջին քառակուսային շեղման ( σ ) խորանարդի հարա երությունն է՝ μ (5.63) a6 = 33 :

σ

Որքան համարիչը մոտ է զրոյին, այնքան փոքր է ասիմետրիան: Այս ցուցանիշը ավելի ստույգ է ն կիրառվում է ավելի հաճախ, քան նախորդները: Գծապատկեր 5.3 Բաշխման շարքի աջակողմյան ասիմետրիա f(x) a6»0

x

Գծապատկեր 5.4 Բաշխման շարքի ձախակողմյան ասիմետրիա f(x )

a6Հ0

x

Եթե ասիմետրիայի գործակիցը մեծ է 0.5-ից ( ացարձակ արժեքով), այն համարվում է նշանակալի, իսկ եթե փոքր է 0.25-ից` աննշան (չնչին): Ասիմետրիայի գոյության գնահատումը կատարվում է միջին քառակուսային սխալի հիման վրա` կախված դիտարկումների թվից (ո), ն հաշվարկվում է (5.64) անաձնով՝

σ Եթե

aՏ

σ aՏ

a6

=

6(ո − 1) (ո + 1)(ո + 3)

:

(5.64)

> 3 , ասիմետրիան ակնհայտ է, նշանակում է գլխավոր

համակցությունում հատկանիշի աշխումը սիմետրիկ չէ: Հակառակ դեպքում ասիմետրիա գոյություն չի ունենա, ն դրա առկայությունը կարող է ի հայտ գալ պատահական իրավիճակներում: էմպիրիկ աշխման վերլուծության հաջորդ քայլը էքսցեսի գագաթի սրության որոշումն է` նորմալ աշխման կորի համեմատ: Մաթեմատիկական վիճակագրությունն ապացուցել է, որ նորմալ աշխման կորի համար չորրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտի (μ4) հարա երությունը միջին քառակուսային շեղման չորրորդ աստիճանին ( σ 4), հավասար է երեքի: էքսցեսի գործակիցը որոշվում է (5.65) անաձնով.

6s =

μ4

σ4

− 3:

(5.65)

էքսցեսի գործակիցը կարող է լինել դրական, ինչը նութագրում է կորի գագաթի սրությունը, ն ացասական` գագաթի հարթ լինելը` նորմալ աշխման կորի համեմատությամ : Գծապատկեր 5.5-ում ներկայացված են երկու աշխումները. սուր գագաթի (66 » 0), ն հարթ գագաթի (66 Հ 0) առկայությունը: Նորմալ աշխման դեպքում 66Հ 0-ի: էքսցեսի միջին քառակուսային սխալը ( σ e ) հաշվարկվում է հեs

տնյալ անաձնով`

σ 6s =

24ո(ո − 2)(ո − 3)

(ո − 1)2(ո + 3)(ո + 5)

(5.66)

,

որտեղ` ո-ը դիտարկումների թիվն է: Այսպիսով, աշխումը կլինի նորմալ, եթե ասիմետրիայի (a6) ն էքսցեսի գործակիցները հավասար լինեն զրոյի` a6Հ 0: 66Հ 0: Գծապատկեր 5.5 Բաշխման սուր (66»0) ն հարթ (66Հ0) գագաթները f(x)

66»0

66Հ0

66Հ0

x

Լինդ երգը առաջարկել է ասիմետրիայի ն էքսցեսի որոշման պարզեցված անաձները: Ասիմետրիայի գործակիցը հաշվարկվում

է հետնյալ անաձնով` (5.67) a6 Հ P - 50, որտեղ` P-ն միջին թվա անականի արժեքը գերազանցող տար երակների տեսակարար կշիռն է (9-ով)` տրված շարքի տարերակների ընդհանուր քանակում, 50 9-ը նորմալ աշխման շարքի միջին թվա անականը գերազանցող տար երակների տեսակարար կշիռն է: էքսցեսի գործակցի հաշվարկման անաձնն է` 66Հ P - 38.29, (5.68) որտեղ` P-ն միջին քառակուսային շեղման կեսին հավասար միջակայքում (միջին արժեքի այս կամ այն կողմում) գտնվող տար երակների տեսակարար կշիռն է (9-ով)` տրված շարքի տար երակների ընդհանուր քանակում, 38.29-ը` միջին քառակուսային շեղման կեսին հավասար միջակայքում (միջին արժեքի այս կամ այն կողմում) գտնվող տար երակների մասը (9-ով)` նորմալ աշխման շարքի տար երակների ընդհանուր քանակում: Ասիմետրիայի ն էքսցեսի գործակիցները ունեն ոչ միայն նկարագրորեն ովանդակություն, այլն անմիջականորեն նութագրում են հատկանիշի աշխման ձնը ուսումնասիրվող համակցության սահմաններում: Հաճախ էքսցեսն ու ասիմետրիան որոշակիորեն ցույց են տալիս սոցիալ-տնտեսական երնույթների հետագա ուսումնասիրման ուղիները: Օրինակ` նշանակալի ացասական էքսցեսը կարող է հավաստել, որ հետազոտվող համակցությունը որակապես անհամասեռ է: Բացի այդ, գործակիցները թույլ են տալիս որոշել, թե հնարավո՞ր է արդյոք տվյալ էմպիրիկ աշխումը երել նորմալ աշխման կորին: Օրինակ` տրված է արտադրանքի պատրաստման օրական նորմայի կատարման ցուցանիշների աշխվածությունը (տե՛ս աղյուսակ 5.10): Որոշել ասիմետրիայի ն էքսցեսի գործակիցները: Խնդրի լուծման համար անհրաժեշտ է հաշվարկել երկրորդ, երրորդ ն չորրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտները (հաշվարկային տվյալները ներկայացված են 5.10 աղյուսակում):

Աղյուսակ 5.10 Արտադրանքի պատրաստման օրական նորմայի կատարումը Նորմայի կատարման տոկոսը

x i՛

Բանվորների թիվը

Միջակայքի կենտրոնը

fi

xi

Ա 94-96 96-98 98-100 100-102 102-104 104-106 106-108

Ընդամենը Աղյուսակի տվյալների նականը`

x=

xi fi 10106 հիման

∑ xi fi ∑ fi

=

288 -1728 144 -576 940 -504 վրա որոշում ենք միջին

10368 22000 թվա ա-

10106 = 101.06 ,

երկրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը`

μ2 = σ2 =

∑ (xi − x)2 fi ∑ fi

=

= 9.4,

երրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը`

μ3 =

∑ (xi − x)3 fi ∑ fi

=

− 504 = − 5.04 ,

չորրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը`

μ4 =

∑ (xi − x)4 fi ∑ fi

=

22000 = 220 :

Ունենալով այդ տվյալները` որոշում ենք ասիմետրիայի գործակիցը` 5.04 μ a6 = 33 = − = − 0.175, 28.82 σ իսկ էքսցեսի գործակիցը կկազմի`

μ4

= 2.4898 − 3 = − 0.5102 88 .36 Ասիմետրիայի ն էքսցեսի ացասական գործակիցները ցույց են տալիս, որ գոյություն ունի ըստ նույթի ն մեծության չնչին ասիմետրիա ն աշխվածության հարթ գագաթ: 66 =

σ4

−3=

5.8. Տեսական աշխվածությունը վարիացիայի շարքերի վերլուծությունում Բաշխման փորձարարական կորը հարթեցնելու ն տեսական կորի հետ համադրելու համար վիճակագրությունում հաճախ օգտվում են նորմալ աշխումից: Նորմալ աշխման ֆունկցիան ունի հետնյալ տեսքը` - 1 -2 y- = 6 2 , (5.68) 2π որտեղ` yt-ն նորմալ աշխման կորի օրդինատն է, x −x t= i -ը` նորմավորված շեղումը,

σ

6 Հ2.71828, π Հ 3.14-ը` մաթեմատիկական հաստատունները, x -ը` միջին արժեքը, xi –ն` հատկանիշի արժեքները, σ -ն` միջին քառակուսային շեղումը: Նորմալ աշխումը լիովին որոշվում է երկու պարամետրերով` թվա անական միջինով ( x ) ն միջին քառակուսային շեղումով ( σ ): Ինչքան մեծ լինի համատեղ գործող պատահական մեծությունների քանակը, այնքան մեծ կլինի համապատասխանությունը նորմալ աշխման օրենքին: Եթե պատահական պատճառներից ն ոչ մեկը չունի գերակշռող ազդեցություն մյուսների նկատմամ , ապա աշխման օրենքը շատ մոտ է նորմալին: Նորմալ աշխման կորը միագագաթ, միջին արժեքի նկատմամ սիմետրիկ պատկեր է ն ունի զանգակաձն տեսք: Դիտարկենք նորմալ աշխման կորի մի քանի հատկությունները. • f(t)-նորմալ աշխման ֆունկցիան զույգ է` f(-t) Հ f(t), հետնաար կորը սիմետրիկ է օրդինատների առանցքի նկատմամ , այսինքն` x Հ Խ6 Հ Խօ: • Ֆունկցիան ունի անսահման փոքր արժեք t Հ ±∞ դեպքում. դա նշանակում է, որ կորի ճյուղերը ասիմպտոտիկ ձնով մոտենում են ա սցիսների առանցքին` շարունակելով երկու

կողմերից ձգտել անսահմանության: Ֆունկցիան ունի մեծագույն արժեք t Հ 0-ի կամ xՀ x դեպքում. այդ արժեքը հավասար է

: 2π

• Ֆունկցիան ունի շրջման կետ t Հ ±1-ի դեպքում, որը գտնվում է կենտրոնի երկու կողմում միջին քառակուսային շեղմանը հավասար հեռավորության վրա: Հաշվարկները ցույց են տալիս, որ ոլոր տար երակների 68.39ը գտնվում է ( x ±σ) միջակայքում: ( x ±2σ) միջակայքում գտնվում է ոլոր տար երակների 95.49-ը, իսկ ( x ±3σ)-ում` 99.79-ը: • Կորով ն ա սցիսների առանցքով սահմանափակված մակերեսը հավասար է մեկի` t

Է(t) =

∫

2π - t

-

u2

du :

(5.69)

Բաշխման շարքերի հավասարեցումը (տեսական աշխվածության կառուցումը) Գործնականում մեծ հետաքրքրություն է առաջացնում այն հարցը, թե որքանո՞վ է վիճակագրական դիտարկման արդյունքում ստացված աշխումը համապատասխանում նորմալ աշխմանը: Հարցը լուծելու համար հարկավոր է հաշվարկել նորմալ աշխման տեսական հաճախականությունները: Վարիացիայի շարքի հարթեցումը ըստ նորմալ աշխման կորի` տեսական աշխվածության հաճախությունը, որոշվում է հետնյալ անաձնով` f(t) =

Nհ

σ

⋅

2π

-

t2

,

(5.70)

որտեղ` N ՀΣfi վարիացիայի շարքի հաճախականությունների գումարն է, հ-ը` միջակայքի լայնությունը , σ-ն` միջին քառակուսային շեղումը, x -x -ը` նորմավորված շեղումը, t= i

σ

1 6 ϕ(t) = 2π արժեքը որոշվում է աղյուսակից:

t2

-ի

(5.71)

Համաձայնության հայտանիշներ Բաշխման շարքի հարթեցումից, այսինքն` տեսական հաճախականությունը որոշելուց հետո, անհրաժեշտություն է առաջանում ստուգել` տեսական ու էմպիրիկ հաճախականությունների միջն եղած տար երությունը էակա՞ն է, թե՞ պատահական: Տեսական (fT) ն էմպիրիկ (fý) հաճախականությունների սերտության աստիճանը գնահատելու համար կարելի է կիրառել Պիրսոնի (χ2), Ռոմանովսկու (Շ), Յաստրեմսկու (Լ) կամ Կոլմոգորովի (λ) համաձայնության հայտանիշներից որնէ մեկը: Պիրսոնի հայտանիշը (χ2) fT ն fý հաճախականությունների միջն եղած շեղումների քառակուսու ն տեսական հաճախականության հարա երության գումարն է, որը որոշվում է հետնյալ անաձնով`

χ =Σ

(fЭ - fТ ) fT

,

(5.72)

որտեղ` fý-ն ն fT-ն էմպիրիկ ն տեսական հաճախականություններն են: χ2-ու փաստացի արժեքը համեմատում են սահմանային արժեքի հետ, որը որոշվում է հատուկ աղյուսակի օգնությամ ` կախված ազատության աստիճանների թվից ն նշանակալիության մակարդակից: Նշանակալիության մակարդակը ընտրվում է 0,05, 0,01, 0,001, իսկ ազատության աստիճանների թիվը (ν) հաշվարկվում է որպես աշխման շարքի խմ երի թվի (ո) ն մեկի տար երություն` հանած էմպիրիկ աշխման պարամետրերի թիվը ( x , σ): Այսպես, ըստ նորմալ աշխման կորի հարթեցման դեպքում ազատության աստիճանների թիվը հավասար կլինի` νՀո -1-2, ν Հ ո-3: Եթե χ հաշ. Հχ աղ , նշանակում է շեղումը տեսական ն էմպիրիկ կորերի հաճախականությունների միջն պատահական է: Ռոմանովսկու հայտանիշը (Շ): Աղյուսակի ացակայության դեպքում տեսական ն էմպիրիկ հաճախականությունների շեղվածությունը գնահատելու համար կարելի է օգտվել Ռոմանովսկու հայտանիշից, որը որոշվում է (5.73) անաձնով` Շ=

χ2 - ν

, (5.73) 2ν որտեղ` χ2-ին Պիրսոնի հայտանիշի արժեքն է` հաշվարկված (5.72) անաձնով, ν-ն` ազատության աստիճանների թիվը (նորմալ աշխման

վարկածի ստուգման դեպքում ν-ն հավասար է խմ երի թվից հանած երեք` νՀ ո-3): Եթե |Շ|≤ 3, շեղումը պատահական է, իսկ եթե |Շ|»3` հավաստի: Յաստրեմսկու հայտանիշը (Լ) կարելի է որոշել հետնյալ հարաերակցության հիման վրա. (f - f )2 ∑ эNքզT − k Լ= , (5.74) 2k + 4Օ որտեղ` N-ը համակցության ծավալն է, քզ-ն` ալտերնատիվ հատկանիշի դիսպերսիան, k-ն` խմ երի կամ տար երակների թիվն է, Օ-ն ընդունում է 0,6 արժեքը, եր տար երակների կամ խմ երի թիվը 8-ից մինչն 20 է: Եթե Լ»3, նշանակում է տեսական աշխումը համապատասխանում է էմպիրիկ աշխմանը: Կոլմոգորովի հայտանիշը (λ) հիմնվում է կուտակված հաճախականությունների միջն մաքսիմալ շեղման կամ տեսական ն էմպիրիկ աշխման հաճախականության վրա: ք , (5.75) λ= N որտեղ` ք-ն տեսական ն էմպիրիկ կուտակված հաճախականությունների միջն եղած շեղման մեծագույն արժեքն է,

NՀ∑fi-ն` դիտարկումների թիվը կամ էմպիրիկ հաճախականությունների գումարն է: Կոլմոգորովի հայտանիշից օգտվելու անհրաժեշտ պայմանն այն է, որ դիտարկումների թիվը լինի ավականաչափ մեծ (100-ից ոչ պակաս): Օրինակ` կատարվել է ընտրանքային ուսումնասիրություն տորֆի տեղամասի տարածման խորության փորձերի վերա երյալ: Արդյունքները ներկայացված են 5.11 աղյուսակում: Աղյուսակ 5.11 Հաշվարկային աղյուսակ Տորֆի տարածման խորությունը xi (սմ)

Փորձարկման թիվը fi

Կենտրոնի արժեքը

x′i

t2

x′i − x

x′ −x ϕ(t) = 1 6− 2 Nհ t= ϕ(t) fT

σ

2π

σ

70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150

-2.1 -1.5 -0.9 -0.3 0.3 0.9 1.5 2.1

0.044 0.1295 0.2661 0.3814 0.3814 0.2661 0.1295 0.044

2.64 7.78 15.99 22.9 22.9 15.99 7.78 2.64

Որոշել տեսական հաճախականությունները, ստուգել տեսական ն էմպիրիկ աշխվածությունների համաձայնությունը նորմալ աշխման հետ: Լուծում. Քանի որ նորմալ աշխման կորի կառուցումը կախված է երկու պարամետրերից` x ն σ -ից, ապա առաջին հերթին անհրաժեշտ է որոշել համապատասխան պարամետրերը: Միջին թվա անականի ն միջին քառակուսային շեղման հաշվարկը պետք է կատարել սովորական եղանակով: Տեսական աշխվածության հաճախականությունը գտնելու համար օգտվում ենք` Nհ

−

t2

=

100 ⋅ 10 = 60.09 հաստատուն մեծությունը, 16.64

Nհ

⋅ ϕ(t) անաձնից: σ 2π Նախօրոք հաշվարկվում են` ա) x Հ110 ն σ Հ16.64 արժեքները, ) գտնում շեղումները միջին արժեքից (սյունակ 4), գ) գտնում նորմավորված շեղումների արժեքները (սյունակ 5), դ) աղյուսակից որոշում ϕ(t) արժեքները (սյունակ 6), fT =

σ

⋅

ե) հաշվարկում

Nհ

σ

կամ fT =

զ) հաստատուն արժեքը ազմապատկելով ϕ(t) արժեքներով (սյունակ 7)` ստանում ենք տեսական հաճախականությունները (կլորացված): Որոշելու համար, թե հաճախականությունների այդ շեղումները էակա՞ն են, թե՞ պատահական, օգտվում ենք Պիրսոնի հայտանիշից`

χ =Σ

(fЭ - fТ ) fT

:

Տեսական ն էմպիրիկ հաճախականությունների շեղումները գնահատելու համար կարելի է օգտվել հետնյալ աղյուսակից (5.12):

Աղյուսակ 5.12 Հաշվարկային աղյուսակ fЭ

fT

fЭ - fT

(fЭ - fT)2

(fÝ - fT)2

0.5 0.25 0.043 0.5625 0.125 0,330

Ընդամենը

fT

փա

χ

Հ 1.813

Դիտարկված օրինակում շարքն ունի հաճախականությունների 8 խում , ազատության աստիճանների թիվը` νՀ 8 -3Հ 5: α Հ 0.05 նշանակալիության մակարդակի ն ազատության աստիճանների թվով որոշում ենք աղյուսակային արժեքը` χ2աղՀ11.07: Համեմատում ենք փաստացի ն աղյուսակային արժեքները, քանի որ χ2հաշվՀ χ2աղ. արժեքից (1.813Հ11.07), նշանակում է տեսական ն էմպիրիկ աշխվածության սերտության վարկածը ընդունվում է: Օգտվելով Ռոմանովսկու հայտանիշից` պարզենք. էակա՞ն է, թե ո՞չ` տեսական ն էմպիրիկ հաճախականությունների տար երությունը: Շ=

χ2 − ν 2ν

=

1.813 − 5 2⋅5

=

- 3.19

=

3.19 = 1.0087 3.1623

Քանի որ 1.0087 Հ 3, տեսական ն էմպիրիկ հաճախականությունների միջն եղած տար երությունները պատահական են: Այժմ փորձենք ստուգել վարկածը Կոլմոգորովի հայտանիշի օգնությամ ` ք λ= : N Այս նպատակով կազմում են կուտակված հաճախականությունների աղյուսակը (5.13) ն որոշում են տար երության մաքսիմալ շեղվածությունը նրանց միջն:

Աղյուսակ 5.13 Կոլմոգորովի հայատանիշի հաշվարկը

∑ fi

fЭ

fT

Կուտակված հաճախականություն փորձնական (Տ)

|

տեսական (Տ )

|Տ –Տ1| +2 +1

= 100

Առավել շեղումը` ք Հ 2, այդ դեպքում λ =

ք

=

= 0 .2 : N Ըստ աղյուսակի` P(λ) Հ P(0.2) Հ1, հետնա ար, վստահ կարելի է պնդել, որ fЭ ն fT միջն եղած շեղումը կրում է պատահական նույթ: Այսպիսով, ոլոր երեք հայտանիշներով էլ տեսական ն էմպիրիկ հաճախականությունների միջն եղած տար երությունը պատահական է, այսինքն` հաստատվում է առաջ քաշած վարկածը, ըստ որի` աշխումը ենթարկվում է Պուասոնի աշխման օրենքին:

ԳԼՈՒԽ Մ|

ԸՆՏՐԱՆՔԱՅԻՆ ԴԻՏԱՐԿՈՒՄ

6.1. Ընտրանքային դիտարկման տեսական հիմունքները ն նշանակությունը Վիճակագրական դիտարկումը կարելի է կազմակերպել համատարած ն ոչ համատարած եղանակով: Համատարած դիտարկումը նախատեսում է ուսումնասիրվող համակցության ոլոր միավորների ստուգումը ն կապված է նյութական մեծ ծախսերի ն դժվարությունների հետ: Համակցության միայն որոշ մասը ուսումնասիրելու ն դրա հատկությունների վերաերյալ եզրահանգումներ կատարելու համար, սովորա ար, օգտագործվում է ոչ համատարած դիտարկման եղանակը, որի առավել տարածված ձնը ընտրանքային դիտարկումն է: Ընտրանքային ոչ համատարած դիտարկման ընթացքում հետազոտվող միավորները ընտրվում են պատահական կարգով: Ստացված համակցությունը ուսումնասիրվում է, ն արդյունքները տարածվում են ամ ողջ սկզ նական համակցության վրա: Դիտարկումը կազմակերպվում է այնպես, որ միավորների ընտրված մասը փոքրացված մասշտա ով ներկայացնի ամ ողջ համակցությունը: Ըստ այդմ` համակցությունը, որից կատարվում է միավորների ընտրությունը, կոչվում է գլխավոր, իսկ դրա ոլոր ընդհանրացնող ցուցանիշները` գլխավոր ցուցանիշներ: Գլխավորից ընտրած համակցությունը անվանում են ընտրանքային համակցություն, իսկ դրա ընդհանրացնող ոլոր ցուցանիշները` ընտրանքային ցուցանիշներ: Ընտրանքային դիտարկումը նախընտրելի է համատարած դիտարկման նկատմամ ն ունի մի շարք առավելություններ: Դրանցից առավել էականներն են. • ժամանակի ն միջոցների տնտեսումը, որի արդյունքում կրճատվում է աշխատանքի ծավալը, • հետազոտվող օ յեկտների ոչնչացման վտանգը կամ վնասները նվազագույնի հասցնելը, • անհրաժեշտության դեպքում` դիտարկման յուրաքանչյուր միավորի մանրամասն ուսումնասիրման հնարավորությունը, եր անհնար է ընդգրկել համակցության ոլոր միավորները (օրինակ` ընտանեկան յուջեի ուսումնասիրությունը), • գրանցման ընթացքում հետազոտության ստույգ արդյունք-

ների ապահովումը` ի հաշիվ սխալների կրճատման: Ընտրանքային դիտարկման առավելությունը համատարածի նկատմամ կարելի է ապահովել, եթե այն կազմակերպվել ն անց է կացվել ընտրանքային տեսության մեթոդի գիտական սկզ ունքներին համապատասխան: Այդ սկզ ունքներն են. միավորների ընտրության պատահականությունը ն դրանց ավարար թվի ապահովումը: Ընտրանքային դիտարկման թերությունն է ներկայացուցչական սխալների առաջացումը, որոնք տեղի չեն ունենում համատարած դիտարկման դեպքում: Ներկայացուցչական սխալը ընտրանքային ընդհանրացնող ցուցանիշների ն գլխավոր համակցության համապատասխան ցուցանիշների միջն առաջացած տար երությունն է: Ընտրանքային համակցությունում միավորների ընտրությունը կարող է լինել կրկնվող ն չկրկնվող: Կրկնվող ընտրության դեպքում յուրաքանչյուր ընտրած տարր ուսումնասիրվում է ն վերադարձվում գլխավոր համակցություն: Հետագայում այն կարող է այլ տարրերի հետ կրկին ընդգրկվել ն հետազոտվել մի այլ ընտրանքում: Նշանակում է` որոշ տարրեր կարող են ընտրանքներում ընդգրկվել երկու ն ավելի անգամ, այսինքն` ուսումնասիրման ընթացքում կարող են համարվել որպես առանձին, անկախ դիտարկումներ: Ակնհայտ է, որ նման դեպքերում գլխավոր համակցության միավորների թիվը մնում է հաստատուն: Սովորա ար կրկնվող ընտրանքից օգտվում են, եր գլխավոր համակցության ծավալը հայտնի չէ, ն տեսականորեն հատկանիշի հնարավոր միավորների ոլոր կրկնվող արժեքներն արդեն ի հայտ են գալիս գրանցման ընթացքում: Չկրկնվող ընտրության դեպքում ընտրանքում ընդգրկված գլխավոր համակցության միավորները գրանցվելուց ն ուսումնասիրվելուց հետո չեն վերադարձվում գլխավոր համակցություն: Չկրկնվող ընտրությունը նպատակահարմար է ն գործնականում հնարավոր, եր գլխավոր համակցության ծավալը որոշակի է: Այդ դեպքում ստացված տվյալները, որպես կանոն, ավելի ստույգ են` կրկնվող ընտրանքի ճշտության համեմատ: Նշենք, որ ընտրանքային համակցությունում կարելի է ընտրել ոչ միայն առանձին, այլն խմ ային միավորներ: Առաջին դեպքում ընտրանքը կոչվում է անհատական, իսկ երկրորդում` խմ ային: Անհատական ընտրանքի համակցությունը կազմավորվում է առանձին միավորների հաջորդական ընտրման եղանակով, խմ ային ընտրանքինը` միավորների ամ ողջ խմ երի հետնողական ընտրումով, որից հետո հետազոտվում են ստացված խմ երի ոլոր միավորները:

Ընտրանքային դիտարկումներ անցկացնելիս սխալներն անխուսափելի են: Դրանք ստորա աժանվում են գրանցման ն ներկայացուցչական սխալների: Գրանցման սխալները դիտարկվող հատկանիշի արժեքների ոչ ճիշտ ացահայտման կամ սխալ գրանցման հետնանք են: Ներկայացուցչական սխալը պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ ընտրանքային համակցությունը չի կարող ոլոր պարամետրերով լիովին համապատասխանել գլխավոր համակցությանը: Ստացված տար երությունը կոչվում է ներկայացուցչական սխալ ն արտացոլում է այն մակարդակը, որով ընտրանքային համակցությունում ընտրված միավորները ներկայացնում են գլխավոր համակցությունը ամ ողջությամ : Ներկայացուցչական սխալները կարող են լինել սիստեմատիկ (պար երական) ն պատահական: Սիստեմատիկ ներկայացուցչական սխալները առաջանում են, եր խախտվում են ընտրանքային համակցության ձնավորման սկզ ունքները: Պատահական սխալները պայմանավորված են պատահական գործոններով ն չեն ազդում ուսումնասիրվող ցուցանիշի մեծության վրա: Բոլոր դեպքերում ընտրանքային ն գլխավոր համակցությունների նութագրիչների միջն կան տար երություններ: Ստացվող պատահական սխալը կարելի է վիճակագրորեն գնահատել ն հաշվի առնել ընտրանքային դիտարկման արդյունքների տարածումը ամ ողջ գլխավոր համակցության նկատմամ : Ընտրանքային դիտարկման սխալի գնահատումը հիմնվում է հավանականությունների տեսության թեորեմների վրա: Ընտրանքային դիտարկման տեսության ն մեթոդիկայի հետագա ուսումնասիրման համար պարզություն մտցնելու նպատակով անհրաժեշտ է օգտվել հետնյալ պայմանական նշանակումներից` N-ը` գլխավոր համակցության ծավալը (միավորների թիվը), Խ-ը` ուսումնասիրվող հատկանիշն ունեցող միավորների թիվը գլխավոր համակցությունում (օրինակ` քաղաքային նակչության, գյուղական նակչության, խոտանված արտադրանք հատկանիշները), x -ը` գլխավոր համակցության միջին արժեքն է կամ ուսումնասիրվող հատկանիշի միջին արժեքը` ըստ գլխավոր համակցության (միջին եկամուտ, ձեռնարկության անվորների միջին թվաքանակ), P-ն` ուսումնասիրվող հատկանիշն ունեցող միավորների տեսակարար կշիռը (գլխավոր մասը) գլխավոր համակցությունում (որոշվում է Խ/N հարա երությամ ), ո-ը` ընտրանքային համակցության ծավալը (միավորների

թիվը), ո-ը` ուսումնասիրվող հատկանիշն ունեցող միավորների թիվը ընտրանքային համակցությունում, ~ x -ը` ընտրանքային համակցության միջին արժեքը, Մ-ն` ուսումնասիրվող հատկանիշն ունեցող միավորների տեսակարար կշիռը (ընտրանքային մասը) ընտրանքային համակցությունում (որոշվում է ո/ո հարա երությամ ), μ-ն` ընտրանքի միջին սխալը, Δ-ն` ընտրանքի սահմանային սխալը, σ20 -ին` գլխավոր համակցության դիսպերսիան, Տ2 -ին` ընտրանքային համակցության դիսպերսիան, σ 0 -ն` գլխավոր համակցության միջին քառակուսային շեղումը, Տ-ը` ընտրանքային համակցության միջին քառակուսային շեղումը: Ընտրանքի սխալը կամ ընտրանքային համակցության միջին արժեքի շեղումը գլխավոր համակցության միջին արժեքից, ուղիղ համեմատական է գլխավոր համակցության ուսումնասիրվող հատկանիշի դիսպերսիային ն հակադարձ համեմատական` ընտրանքի ծավալին: Գլխավոր համակցության դիսպերսիան որոշվում է հետնյալ անաձնով.

(xi - x)2 ∑ : σ = N

(6.1)

Ընտրանքի միջին սխալը ընտրանքային միջինների ( ~ x ) միջին քառակուսային շեղումն է գլխավոր համակցության միջինից.

∑ (~xi - x)

μ=

, (6.2) K որտեղ` K-ն գլխավոր համակցության տվյալ ծավալից ընտրված ոլոր հնարավոր ընտրանքների քանակն է: Ընտրանքային համակցության ն ուսումնասիրվող գլխավոր համակցության դիսպերսիաների միջն գոյություն ունի հետնյալ փոխադարձ կապը` ∑ (~xi - x) = σ 20 : (6.3) K ո Ընտրանքի միջին սխալը կարելի է ներկայացնել այսպես`

μ= Ընտրանքային

դիտարկում

σ 02 ո

:

անցկացնելիս

(6.4) ուսումնասիրվող

հատկանիշի գլխավոր համակցության դիսպերսիան, որպես կանոն, անհայտ է: Միաժամանակ, ոլոր հնարավոր ընտրանքային դիսպերսիաների միջինի ն գլխավոր համակցության դիսպերսիայի միջն գոյություն ունի հետնյալ հարա երակցությունը`

σ 02 = σ 2 ո :

(6.5)

ո −1

Գործնականում գլխավոր համակցությունից որոշակի ժամանակահատվածում ընտրում են միայն մեկ ընտրանքային համակցություն ն հաշվարկում դրա դիսպերսիան ն միջին սխալը: Նկատի ունենալով, որ ընտրանքի մեծ ծավալի դեպքում ո/ո-1 հարա երությունը ձգտում է 1-ի, կրկնվող ընտրանքի միջին սխալը կարելի է հաշվարկել հետնյալ անաձնով. μ= σ , ո

(6.6)

որտեղ` σ 2 -ին ուսումնասիրվող հատկանիշի ընտրանքային համակցության դիսպերսիան է: Գլխավոր համակցության նութագրիչների հնարավոր սահմանների արժեքները որոշելիս անհրաժեշտ է հաշվարկել ընտրանքի սահմանային սխալի մեծությունը, կախված դրա միջին սխալի արժեքից ն հավանականության մակարդակից, այնպես, որ գլխավոր միջինը դուրս չգա դիտարկված սահմաններից` Δ = -μ : Համաձայն Ա. Մ. Լյապունովի թեորեմի` սահմանային սխալի այս կամ այն հավանականությունը, ընտրանքային համակցության մեծ թվով ծավալի դեպքում, ենթարկվում է նորմալ աշխման օրենքին ն կարող է որոշվել Լապլասի ինտեգրալի միջոցով.

[

]

t2

t − P ~ xi − x ≤ Δ = ⋅ ∫ 6 2 dt : (6.7) 2π − t Հավանականությունը t-ի տար եր արժեքների դեպքում որոշվում է հատուկ աղյուսակների օգնությամ : Ընտրանքային դիտարկման աղյուսակների ընդհանրացման դեպքում հաճախակի կիրառվում են հետնյալ արժեքները. t 1.96 ք 0.683 0.95 0.954 0.997 Օրինակ` եթե որոշում ենք ընտրանքի սահմանային սխալը tՀ2 դեպքում, ք Հ 0.954 հավանականությամ , կարելի է պնդել, որ ընտրանքային ն գլխավոր միջինների տար երությունը չի գերազանցի ընտրանքի միջին սխալի կրկնապատիկը: Գլխավոր մասի սահմանները որոշելիս սխալի հաշվարկը հիմնվում է Բեռնուլիի

թեորեմի վրա, համաձայն որի` ընտրանքի մեծ ծավալի դեպքում ուսումնասիրվող հատկանիշն ունեցող միավորների ընտրանքային (Մ) ն գլխավոր (P) մասերի միջն շեղման հավանականությունը ձգտում է 1-ի` P Մ − P < tμ → 1 :

[

]

Կախված գլխավոր համակցության կազմից ն կառուցվածքից` ընտրվում է ընտրանքի տեսակը կամ ընտրման եղանակը: Տարածված են ընտրանքի հետնյալ տեսակները` • ուն-պատահական ընտրանք, • մեխանիկական (սիստեմատիկ) ընտրանք, • տիպական ընտրանք, • սերիական ընտրանք: Միավորների ընտրությունը գլխավոր համակցությունից կարող է կատարվել զուգակցված (կոմ ինացված), ազմաստիճան ն ազմափուլային եղանակներով: Զուգակցված ընտրության դեպքում միավորվում են ընտրանքների մի քանի տեսակները: Օրինակ` կարելի է զուգակցել տիպական ն սերիական, սերիական ն ուն-պատահական ընտրանքները: Այդպիսի ընտրանքի սխալը որոշվում է ըստ ընտրության աստիճանների: Բազմաստիճան է կոչվում ընտրությունը, որի ընթացքում գլխավոր համակցությունից սկզ ում ընտրվում են (դուրս են հանվում) խոշոր խմ երը, այնուհետն ավելի փոքրերը ն այդպես շարունակ, մինչն ընտրվեն ոլոր այն միավորները, որոնք ենթակա են հետազոտության: Ի տար երություն ազմաստիճանի` ազմափուլային ընտրությունը ենթադրում է ընտրության միննույն միավորների պահպանումը հետազոտության ոլոր փուլերում, ընդ որում` յուրաքանչյուր փուլում վերցված միավորները ենթարկվում են հետազոտության (յուրաքանչյուր հաջորդող փուլում հետազոտության ծրագիրը ընդլայնվում է): Ընտրանքի ցանկացած ձնի կամ դրանց զուգակցության կիրառումը ենթադրում է անմիջականորեն այս կամ այն մեթոդի օգտագործում, որը հիմնվում է հատուկ ալգորիթմների, պատահականության սկզ ունքների իրականացման վրա:

6.2. Բուն-պատահական ընտրանք Բուն-պատահական է կոչվում այն ընտրանքը, որի դեպքում գլխավոր համակցությունից հետազոտման համար միավորների (միավորների խմ երի) ընտրությունը կատարվում է չկանխամտած-

ված, պատահական ձնով: Մինչ այդպիսի ընտրանք անցկացնելը, պետք է համոզվել, որ գլխավոր համակցության ոլոր միավորները, առանց ացառության, ընտրանքում ընդգրկվելու հավասար հնարավորություններ ունեն: Անհրաժեշտ է նան հստակ որոշել գլխավոր համակցության սահմաններն այնպես, որ նրանում առանձին միավորների ընդգրկելը կամ չընդգրկելը կասկած չհարուցի: Օրինակ` առնտրական կազմակերպությունների ուսումնասիրման ժամանակ կարնոր է որոշել` կընդգրկվե՞ն արդյոք գլխավոր համակցությունում առնտրական սրահները, պալատները, առնտրային կետերը ն նմանատիպ այլ օ յեկտները: Պատահականության սկզ ունքի կամ պատահական թվերի աղյուսակների օգտագործման հիման վրա ընտրությունն իրականացնելուց հետո անհրաժեշտ է որոշել գլխավոր համակցության նութագրիչները: Այդ նպատակով էլ որոշում են ընտրանքի միջին սխալն ու սահմանային սխալի արժեքները: Բուն-պատահական ընտրանքի դեպքում ընտրանքային միջինն ու ընտրանքային մասը փոփոխական մեծություններ են, որոնք որոշակի հավանականությամ կարող են ընդունել տար եր արժեքներ` տատանվելով համապատասխանա ար գլխավոր միջինի կամ ընտրանքային մասի արժեքների շուրջը: Բուն-պատահական ընտրանքի միջին սխալը որոշվում է`

μ ~x =

σ

(6.8) ո անաձնով, իսկ ընտրանքային մասի միջին սխալը հետնյալ անաձնով` Մ(1 − Մ ) : (6.9) μw = ո Հաշվի առնելով ընտրանքային մակարդակի հավանականությունն ու նրա համապատասխան t-ի արժեքը, որոշում են ընտրանքի սահմանային սխալը` Δ ~x = tμ ~x : (6.10) Տվյալ դեպքում կարելի է պնդել, որ գլխավոր համակցության միջին արժեքը տրված հավանականությամ գտնվում է հետնյալ սահմաններում` ~ (6.11) x − Δ ~x ≤ x ≤ ~ x + Δ ~x : Մասի դեպքում գլխավոր համակցության մասը փոփոխվում է հետնյալ սահմաններում` Մ − Δw ≤ P ≤ Մ + Δw : (6.12)

Բուն-պատահական չկրկնվող ընտրանքի միջին սխալը հաշվարկելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել չկրկնվող ընտրանքի ուղղումը` ո 1− -ը: N ո Քանի որ (1 − ) ազմապատկիչը միշտ փոքր է մեկից, ապա N ընտրանքի սխալը չկրկնվող ընտրանքի դեպքում փոքր է կրկնվող ընտրանքի սխալից: Չկրկնվող ընտրանքի դեպքում ուն-պատահական ընտրանքի միջին սխալի անաձները միջինի ն մասի համար ներկայացնում ենք հետնյալ տեսքով` μ ~x =

σ2 ո

⋅ (1 −

ո ), N

(6.13)

Մ(1 − Մ ) ո (6.14) ⋅ (1 − ) , ո N որտեղ` N-ը գլխավոր համակցության ծավալն է: Որքան մեծանա ընտրանքի ծավալը, այնքան փոքր կլինեն միջին սխալի ն սահմանային սխալի արժեքները: Սակայն անհրաժեշտ է նկատի ունենալ, որ կավելանան հետազոտության վրա կատարվող ծախսերը, կմեծանա նյութերի հավաքման ու մշակման ժամանակաշրջանը, կպահանջվեն լրացուցիչ ուժեր ն համապատասխան նյութատեխնիկական ապահովվածություն: Այդ պատճառով ընտրանքային դիտարկումները կազմակերպելիս անհրաժեշտ է որոշել ընտրանքի նվազագույն ծավալը, որը տրված հավանականությամ կարող է ապահովել վիճակագրական նութագրերի պահանջվող ճշտությունը: (6.10) անաձնը ներկայացնենք` μw =

Δ~x = t ⋅

σ

(6.15) ո տեսքով ն որոշենք ուն-պատահական կրկնվող ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը հետնյալ անաձնով` t2σ2 ո= 2 : (6.16) Δ~x Ստացված ո-ի արժեքը միշտ կլորացվում է (դեպի մեծը): Ինչպես երնում է (6.16) անաձնից, ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը կլինի այնքան մեծ, որքան արձր է տրված հավանականության մակարդակը, ն որքան մեծ է դիտարկվող հատկանիշի տատանումը ն, միաժամանակ, մեծացնելով ընտրանքի սահմանային սխալի թույլատրելի արժեքները, հանգեցնում է նրա անհրա-

ժեշտ ծավալի փոքրացմանը: Իսկ կրկնվող ուն-պատահական ընտրանքի ծավալը, մասը որոշելու դեպքում` կազմում է. t 2Մ(1 − Մ ) ո= : (6.17) Δ 2w Տեղադրելով չկրկնվող միջինի (6.13) ն մասի սխալի (6.14) արժեքները (6.10) անաձնի մեջ, կստանանք ուն-պատահական չկրկնվող ընտրանքի սահմանային սխալը` միջինի (6.18) ն մասի (6.19) համար` Δ ~x = t ⋅

σ2 ո

(1 − Nո) ո

(6.18)

Մ(1 − Մ ) (6.19) (1 − Nո) : ո Այստեղից` չկրկնվող ուն-պատահական ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը` միջինը որոշելու դեպքում հավասար կլինի` Δw = t ⋅

t 2σ2N , t σ + N Δ2~x

(6.20)

t 2 Մ (1 − Մ ) N : t 2 Մ (1 − Մ ) + N Δ 2w

(6.21)

ո=

2 2

իսկ մասը որոշելու դեպքում` ո=

Եթե ուսումնասիրվող այլընտրանքային հատկանիշի դիսպերսիան հայտնի չէ, կարելի է օգտվել դրա հնարավոր առավելագույն արժեքից` σ2w = Մ(1 − Մ) = 0.5(1 − 0.5) = 0.25 : (6.20) ն (6.21) անաձների առանձնահատկությունն այն է, որ գլխավոր համակցության ծավալը պետք է արտահայտվի միավորներով, այլ ոչ թե հազարներով կամ միլիոններով: Օրինակ` ուն-պատահական կրկնվող ընտրանքի հետազոտման գործընթացում դազգահաշինական գործարանի անվորների աշխատանքի ժամանակաչափի արդյունքները երված են աղյուսակ 6.1-ում: Աղյուսակ 6.1 Ժամանակաչափի ընտրանքային հետազոտության արդյունքները Մեկ դետալի պատրաստման վրա ժամանակի ծախսը (վրկ) Դետալների թիվը

50-60

60-70

70-80

80-90

90-00

Ընդամենը

(հատ)

Պահանջվում է 0.954 հավանականությամ որոշել. ա) անվորների աշխատանքի միջին ժամանակաչափի հնարավոր սահմանները, ) 80 վայրկյանից արձր ժամանակի ծախս ունեցող անվորների ընտրանքի մասի հնարավոր սահմանները: Ընտրանքի միջին սխալը որոշելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել ուսումնասիրվող հատկանիշի միջին մեծությունը ն դիսպերսիան (տե՛ս աղյուսակ 6.2): Աղյուսակ 6.2 Ժամանակաչափի միջինի ն դիսպերսիայի հաշվարկը Մեկ դետալի պատրաստման վրա ժամանակի ծախսը (վրկ)

xi 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Ընդամենը

ՄիջակայԴետալների քի կենտթիվը (հատ) րոնը

fi

x′i

x′i fi

( x′i )

( x′i ) fi

114075 196875 209525 54150 583700

Լուծում. Որոշում ենք միջին մեծությունը` x= = 75.8 վրկ, 583700 − 5745.64 = 91.36 վրկ: ն դիսպերսիան` σ2 = x2 − (x ) = Ընտրանքի միջին սխալը գնահատելիս` 91.36 μ ~x = = 0.9136 = 0.95 վրկ: Ընտրանքի սահմանային սխալը 0.954 հավանականությամ (tՀ2) կկազմի` Δ ~x = t ⋅ μ x = 2 ⋅ 0.95 = 1.90 վրկ: Ունենալով այս տվյալները` գնահատում ենք գլխավոր համակցության միջինի փոփոխման հնարավոր սահմանները` 75 .8 − 1 .9 ≤ x ≤ 75 .8 + 1 .9 ո կամ` 73 .9 ≤ x ≤ 77 .7 : Այսպիսով, ընտրանքային հետազոտության հիման վրա 0.954 հավանականությամ կարելի է պնդել, որ մեկ դետալի պատրաստ-

ման վրա ծախսված ժամանակաչափը տատանվում է 73.9-ից մինչն 77.7 վրկ սահմաններում: 80 վրկ-ից արձր ժամանակի ծախս ունեցող անվորների ընտրանքային մասը, ըստ խնդրի 29 + 6 35 = = 0.35 : պայմանի, հավասար է` Մ = մասի ընտրանքային դիսպերսիան` σ2Մ = Մ(1 − Մ) = 0.35 ⋅ 0.65 = 0.2275 :

0.2275 = 0.0477 : մասի սահմանային սխալը` Δ w = 2 ⋅ 0.0477 = 0.0954 : Հետնա ար, 0.954 հավանականությամ կարելի է հավաստել, որ մեկ դետալի վրա ծախսված 80 վրկ-ից արձր ժամանակաչափի վստահելի միջակայքը հետնյալն է` 0.35 − 0.0954 ≤ P ≤ 0.35 + 0.0954 : կամ` 0 .2546 ≤ P < 0 .4454 : Օրինակ, ենթադրենք` ըստ աղյուսակ 6.1-ի` տվյալները 109-ոց չկրկնվող ընտրանքային ուսումնասիրության արդյունք են (գլխավոր համակցության ծավալը կազմում է 1000 մարդ): Օգտագործելով հաշվարկված դիսպերսիայի արժեքը (աղյուսակ 6.2)` որոշենք ուն-պատահական ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը` ընդունելով, որ սահմանային սխալը 0.954 հավանականության դեպքում չի գերազանցում 2 վրկ: Պատահական չկրկնվող ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը ընտրանքային միջինը գնահատելու դեպքում հավասար կլինի` 22 ⋅ 91.36 ⋅ 1000 ո= 2 = 83.7 : 2 ⋅ 91.36 + 22 ⋅ 1000 Հաշվարկը ցույց է տալիս, որ տվյալ ճշտության հասնելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել 84 մարդուց ոչ պակաս ընտրանքը:

իսկ մասի միջին սխալը` μ w =

6.3. Մեխանիկական ընտրանք Որոշակի միջակայքի միջոցով մեխանիկորեն կատարվող միավորների ընտրությունը կոչվում է մեխանիկական ընտրանք: Այն կարող է կիրառվել, եր ընտրանքային համակցությունը ինչ-որ ձնով կարգավորված է որոշակի հաջորդականությամ ` աճման կամ նվազման կարգով: Ընտրություն կատարելիս ցանկալի է, որ համակցության ոլոր միավորները համարակալվեն 1-ից մինչն N-

ը: Մեխանիկական ընտրանքի դեպքում սահմանվում է ընտրության համամասնությունը, որը որոշվում է ընտրանքային համակցության ն գլխավոր համակցության ծավալների հարա երությամ ` ո/N: Օրինակ` գլխավոր համակցությունը աղկացած է 1000 միավորից: Դիցուք՝ պետք է ընտրել 50 միավոր, այդ դեպքում ընտրության համամասնությունը կկազմի 50/1000Հ1/20, այսինքն` 20 միավորից պետք է ընտրել մեկ միավորը (59-ոց ընտրանք): Անհրաժեշտ է որոշել նան ընտրանքի միջակայքի մեծությունը. այն հավասար է 1009-ի հարա երությունը ընտրության տոկոսին: Այսպես՝ 59-անոց ընտրության ժամանակ միջակայքը կազմում է 20 (1009 : 59Հ20), իսկ 109-անոցի դեպքում` 10(1009:109) միավոր: Մեխանիկական ընտրանքի միջակայքի մեծությունը սովորա ար որոշվում է ուսումնասիրվող հատկանիշի հետ կապված որնէ հանրագումարի ն ընտրման ենթակա միավորների թվի հարա երությամ : Այնպիսի դեպքերում, եր աժանման արդյունքում ստացվում է կոտորակ, հնարավոր չէ կազմակերպել ընտրությունը մեխանիկական եղանակով` խիստ կերպով պահպանելով ընտրության տոկոսը: Օրինակ՝ չի կարելի կազմակերպել 39-անոց կամ 69-անոց ընտրանք: Մեխանիկական ընտրության դեպքում գլխավոր համակցությունը կարելի է տեսակավորել կամ կարգավորել ըստ ուսումնասիրվող հատկանիշի կամ ըստ դրա հետ կոռելացված հատկանիշի մեծության, ինչը թույլ կտա մեծացնել ընտրանքի ներկայացուցչությունը: Սակայն այդ դեպքում մեծանում է սիստեմատիկ սխալի առաջացման վտանգը, որը կապված է ուսումնասիրվող հատկանիշի արժեքի նվազեցման (եր գրանցվում է յուրաքանչյուր միջակայքի առաջին տարրը) կամ աճի (եր գրանցվում է յուրաքանչյուր միջակայքի վերջին տարրը) հետ: Այդ պատճառով նպատակահարմար է յուրաքանչյուր միջակայքից ընտրել կենտրոնական (եթե միջակայքի մեծությունը կենտ թիվ է) կամ կենտրոնական երկու (եթե միջակայքի մեծությունը զույգ թիվ է) արժեքներից մեկը: Միավոր-տարրերի կարգավորված համարը, որից սկսվում է ընտրությունը, որոշվում է հետնյալ ձնով. եթե ընտրանքի միջակայքը նշանակենք K-ով, առաջին ընտրվող միավորի համարը K-ի կենտ արժեքների դեպքում հավասար կլինի (K+1)/2-ի, իսկ զույգ արժեքK+2 K կամ -ի: ների դեպքում` Օրինակ՝ 59-անոց ընտրանքի դեպքում ընտրանքի միջակայքը կազմում է 20 միավոր, այդ դեպքում ընտրանքի սկզ նական միավորի համարը կլինի 20/2Հ10 կամ (20+2)/2Հ11 (ընտրությունը կա-

րելի է սկսել 10-րդ կամ 11-րդ միավորից): Առաջին դեպքում ընտրանքում կընդգրկվեն 10, 30, 50, 70… համարները, երկրորդում` 11, 31, 51… համարները: Մեխանիկական ընտրանքը ուն-պատահականի նկատմամ ունի որոշ առավելություն, քանի որ ընտրանքի միավորներով ուսումնասիրվող հատկանիշը տալիս է գլխավոր համակցության միավորների աշխվածությանն ավելի մոտ աշխվածություն, ն ընտրանքն ավելի ներկայացուցչական է դառնում: Մեխանիկական ընտրանքում ավելի հեշտ է կազմակերպել ն միավորների ճիշտ ընտրություն կատարել, որի ճշտության գնահատումը կատարվում է ուն-պատահական չկրկնվող ընտրանքի անաձներով: Մեխանիկական ընտրանքի միջին, ինչպես նան ընտրանքային մասի սխալների ն դրա անհրաժեշտ ծավալի որոշման համար օգտվում ենք ուն-պատահական չկրկնվող ընտրանքի (6.13), (6.14), (6.20), (6.21) անաձներից: Որոշելով ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը ն այն համադրելով գլխավոր համակցության ծավալի հետ, որպես կանոն, պետք է կատարել համապատասխան կլորացումներ՝ ընտրանքի միջակայքը ամ ողջ թվերով ներկայացնելու համար: Օրինակ` մարզում գրանցվել են 1000 փոքր ձեռնարկություններ: Մեխանիկական ընտրությամ նրանցից քանի՞սը պետք է ընտրել՝ որոշելու զ աղվածության միջին թվաքանակը ±2 մարդ սահմանային սխալի դեպքում (P Հ 0.954): Ենթադրենք, ըստ նախնական ուսումնասիրության արդյունքների, հայտնի է, որ զ աղվածների միջին քառակուսային շեղումը 6 մարդ է: Լուծում. Կատարենք հաշվարկ՝ օգտվելով (6.20) անաձնից. 22 ⋅ 62 ⋅ 1000 36000 ո= 2 2 = = 34.749 ≈ 35 : 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 1000 1036 Նկատի ունենալով ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը (35 ձեռնարկություն)՝ որոշում ենք ընտրության միջակայքը. 1000/35 Հ 28.57: Այս եղանակով որոշված միջակայքը կլորացվում է դեպի փոքրը: Եթե կլորացումը կատարվում է դեպի մեծը, անցկացվող ընտրանքը չի հասնում անաձնով հաշվարկված անհրաժեշտ ծավալին: Հետնա ար, այս օրինակում փոքր ձեռնարկությունների ընդհանուր գրանցումից անհրաժեշտ է վերցնել յուրաքանչյուր 28րդ ձեռնարկությունը: Այս դեպքում ընտրության տոկոսը կազմում է 3.579 (1009/28):

6.4. Տիպական ընտրանք

Տիպական ընտրությունից նպատակահարմար է օգտվել, եր գլխավոր համակցության ոլոր միավորները կարելի է աժանել մի քանի խոշոր տիպախմ երի: Այն դեպքում, եր գլխավոր համակցությունը միատիպ չէ, ն դա ազդում է ուսումնասիրվող հատկանիշի մեծության վրա, կատարվում է դրա նախնական աժանումը միատեսակ տիպական խմ երի: Խմ ավորումը իրականացվում է ըստ ուսումնասիրվող (էական) հատկանիշների: Գլխավոր համակցության միավորների աժանումը մի քանի խոշոր խմ երի` իմաստ ունի միայն այնպիսի դեպքերում, եր ուսումնասիրվող հատկանիշի միջին արժեքները ըստ տիպախմ երի էապես տար երվում են: Օրինակ, հավաստենք, որ քաղաքային նակչության միջին եկամուտն ավելի արձր է, քան գյուղական նակչությանը: Միավորների ընտրումը յուրաքանչյուր տիպախմ ից կատարվում է ուն-պատահական կամ մեխանիկական եղանակով. վերցվում է որոշակի քանակության միավոր: Ընդ որում՝ ընտրանքային համակցության միավորների ընդհանուր քանակը տիպական խմ երի միջն սովորա ար աշխվում է ընդհանուր համակցության մեջ յուրաքանչյուր խմ ի տեսակարար կշռին համամասնորեն: Հնարավոր է նան անհամամասնական, այսպես կոչված` օպտիմալ ընտրանք` հաշվի առնելով ինչպես յուրաքանչյուր խմ ի տեսակարար կշիռը ընդհանուր համակցությունում, այնպես էլ հատկանիշի տատանումները ըստ խմ երի: Քանի որ ընտրանքային համակցությունում այս կամ այն հարա երակցությամ անպայման ընդգրկվում են ոլոր տիպախմ երի ներկայացուցիչները, գլխավոր համակցության տիպականացումը թույլ է տալիս ացառել միջխմ ային դիսպերսիաների ազդեցությունը ընտրանքի միջին սխալի վրա: Միաժամանակ, առանձնացված տիպախմ երում ուսումնասիրում են ոչ թե ոլոր, այլ միայն ընտրանքում ընդգրկված միավորները: Նշանակում է՝ ստացված սխալի վրա ազդում են միայն ներխմ ային տատանումները: Այդ պատճառով էլ տիպական ընտրանքի սխալը որոշվում է ոչ թե ընդհանուր դիսպերսիայով, այլ միայն դրա մասով` ներխմ ային դիսպերսիայի միջին արժեքով: Տիպական ընտրանքում միավորների ընտրումը կարող է կազմակերպվել կա՛մ տիպախմ երի ծավալին, կա՛մ հատկանիշի ներխմ ային գնահատումներին համեմատականորեն: Տիպական խմ ի ծավալին համեմատական միավորների թիվը որոշվում է հետնյալ արտահայտությամ `

ոi = ո

Ni , N

(6.22)

որտեղ` Ni-ն i-րդ խմ ի ծավալն է, ոi-ն՝ i-րդ խմ ի ընտրանքի ծավալը: Օրինակ` նակչության ընդհանուր թիվը Լոռու մարզում (2003 թ.) կազմում է 285 հազար մարդ, այդ թվում` քաղաքային նակչությունը` 168.4 հազար, գյուղականը` 116.6 հազար: Եթե ընտրանքային դիտարկման ընթացքում նախատեսվել է ուսումնասիրել 14.5 հազար նակիչ, ապա այդ թվաքանակը պետք է աժանել տիպախմ երի ծավալին համեմատականորեն: Լուծում. Տրված է՝ NՀ285 հազար, ոՀ14.5 հազար, N1Հ168.4 հազար, N2Հ116.6 հազար մարդ: Նշանակում է՝ պետք է ուսումնասիրել քաղաքային նակչությու168.4 = 8.568 հազար մարդ, գյուղական նակնից` ո1 = 14.5 116.6 = 5.932 հազար մարդ: չությունից` ո2 = 14.5 Տիպական ընտրանքի միջին սխալը որոշվում է հետնյալ անաձներով. • կրկնվող ընտրանք`

μ ~x =

σi2 ո

:

(6.23) • չկրկնվող ընտրանք`

μ ~x =

σi2 ո

(1 − Nո) :

(6.24)

որտեղ` σi2 -ն ներխմ ային դիսպերսիաների միջինն է: Օրինակ՝ կատարվել է ձեռնարկության անվորների 109-անոց չկրկնվող ընտրանք` արտադրամասերի չափերին համեմատական: Ընտրանքի անցկացման նպատակն է` որոշել ժամանակավոր անաշխատունակությունից առաջացած կորուստները (արդյունքները տե՛ս աղյուսակ 6.3-ում): Աղյուսակ 6.3 Ձեռնարկության անվորների աշխատանքի հետազոտության արդյունքները Արտադրամաս

Բանվորների ընդհանուր թիվը (մարդ)

Ուսումնասիրվել է

Ժամանակավոր անաշխատունակության օրերի թիվը տարվա ընթացքում միջին դիսպերսիա

Ընդամենը

10000

~ xi

σi2

Լուծում. Հաշվարկվում է ներխմ ային դիսպերսիաների միջինը`

σ i2 =

∑ σ i2 fi ∑ fi

=

9 ⋅ 300 + 16 ⋅ 500 + 25 ⋅ 1000 35700 = = 19 .83 : 300 + 500 + 1000

Որոշվում են ընտրանքի միջին ն սահմանային սխալների արժեքները (0.954 հավանականությամ ). μ ~x =

19.83 ⎛ 1800 ⎞ ⎜1 − ⎟ = 0.009915 = 0.0995 ≈ 0.1ո 1800 ⎝ 18000 ⎠

Δ~x = tμ~x = 2 ⋅ 0.1= 0.2: Որոշվում է ընտրանքային միջինը` ∑ ~xi fi = 12 ⋅ 300 + 15 ⋅ 500 + 18 ⋅ 1000 = 29100 = 16.166 : ~ x= ∑ fi Հաշվարկների հիման վրա 0.954 հավանականությամ կարելի է եզրակացնել, որ ժամանակավոր անաշխատունակ մեկ անվորի օրերի միջին թիվը ամ ողջ ձեռնարկությունում գտնվում է հետնյալ սահմաններում` 16 .17 − 0 .2 ≤ x ≤ 16 .17 + 0.2 15 .97 ≤ x ≤ 16 .37 : Տիպական ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը որոշվում է հետնյալ անաձներով.

• կրկնվող ընտրություն`

ո=

t 2 σi2 : Δ2~x

(6.25)

• չկրկնվող ընտրություն` ո =

t 2 σi2N t 2 σi2 + NΔ 2~x

:

(6.26) Օրինակ՝ ենթադրենք, ըստ աղյուսակ 6.3-ի տվյալների հաշվարկի՝ անհրաժեշտ է որոշել մեկ անվորի ժամանակավոր անաշխատունակության օրերի միջին թիվը 0.5 օր սահմանային սխալի դեպքում:

Ըստ աղյուսակի տվյալների` Δ~x Հ 0.5 արժեքի դեպքում. ո=

22 ⋅ 19.83 ⋅ 18000

= 311.79 մարդ: 22 ⋅ 19.83 + 0.52 ⋅ 18000 Այսպիսով, ստացվում է, որ պահանջվող ճշտությանը հասնելու համար անհրաժեշտ է ընտրանքային եղանակով ուսումնասիրել ոչ պակաս, քան 312 մարդ: Բաշխենք այդ թվաքանակը երեք արտադրամասերի միջն` չափերին համեմատական (համամասնորեն). 10000 ո1 = 312 = 52: ո2 = 312 = 86.65: ո3 = 312 = 173.3 : 18000 18000 18000

Հաշվարկը ցույց է տալիս, որ առաջին արտադրամասում անհրաժեշտ է հետազոտել 52 մարդ, երկրորդում` 87, երրորդում`173: Վերը դիտարկվեց տիպական ընտրանք, որը իրականացվել է տիպախմ երի ծավալներին համամասնորեն: Համաձայն տիպական ընտրանքի ձնավորման երկրորդ տարերակի` միավորների ընտրությունն իրականացվում է հատկանիշի տիպական խմ երի ներխմ ային վարիացիային (տատանմանը) համեմատական: Այս դեպքում ամեն մի խմ ից ընտրվող դիտարկումների թիվը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` σN ոi = ո i i , (6.27) ∑ σiNi որտեղ` σi -ն i-րդ խմ ի միջին քառակուսային շեղումն է: Այդպիսի տիպական անհամամասնական ընտրանքի միջին սխալը որոշվում է հետնյալ անաձներով.

• կրկնվող

μ=

ընտրանք`

N

∑

σi2Ni2 ոi

:

(6.28)

• չկրկնվող

ընտրանք`

μ=

N

∑

σi2Ni2 ոi

(1 − Nոi ) : i

(6.29) Հատկանիշի տատանմանը համեմատական կատարված ընտրությունը տալիս է լավ արդյունքներ, սակայն գործնականում այն դժվար է, քանի որ տեղեկատվությունը տատանումների մասին անհրաժեշտ է ստանալ մինչն ընտրանքային դիտարկում անցկացնելը: Օգտվելով աղյուսակ 6.3-ի ներխմ ային դիսպերսիաների արժեքների տվյալներից` որոշենք ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալնե-

րը ըստ առանձին արտադրամասերի՝ համեմատական ուսումնասիրվող հատկանիշի տատանմանը (ընտրանքը կազմում է 109 կամ 1800 մարդ): Ըստ (6.27) անաձնի՝

∑ σiNi =

9 ⋅ 3000 + 16 ⋅ 5000 + 25 ⋅ 10000 =

= 9000 + 20000 + 50000 = 79000 3 ⋅ 3000 20000 ո1 = 1800 = 205 : ո2 = 1800 = 455.7 : 79000 79000 5 ⋅ 10000 ո3 = 1800 = 1139.2 : 79000 Ստացված տվյալներով կարելի է հաշվարկել չկրկնվող ընտրանքի միջին սխալը (6.29) անաձնով` μ ~x = =

368122

18000

18000

3110222.8

+ 797193 =

1763.6 18000

+ 1944907.8

=

= 0.098 :

Միջին սխալը ստացվեց շատ փոքր թիվ, հետնա ար սահմանային սխալը նույնպես կլինի փոքր, որը արտացոլվում է գլխավոր համակցության սահմաններում` Δ~x = tμ ~x = 2 ⋅ 0.098 = 0.196 16 .17 - 0.196 ≤ x ≤ 16 .17 + 0.196 15 .974 ≤ x ≤ 16 .366 Տիպական ընտրանքի մասի սխալը ն սահմանային սխալը կարելի է հաշվարկել հետնյալ անաձներով. • կրկնվող ընտրանք` μw =

Մ(1 − Մ ) , Δw = t ո

Մ(1 − Մ ) , ո

• չկրկնվող ընտրանք` Մ(1 − Մ ) ո Մ (1 − Մ ) ո (1 − ) , Δ w = t ⋅ (1 − ) : ո N ո N Սահմանային սխալի որոշման անաձներից կարելի է որոշել կրկնվող ն չկրկնվող տիպական ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալը` տրված հավանականությամ . • կրկնվող ընտրանք` μw =

ո=

• չկրկնվող ընտրանք` ո=

t 2 Մ(1 − Մ ) Δw

:

t 2 Մ(1 − Մ ) N

t 2 Մ(1 − Մ ) + NΔ 2w

:

6.5. Սերիական ընտրանք Սերիական ընտրանքը կիրառվում է, եր գլխավոր համակցության միավորները միավորված են փոքր խմ երում (սերիաներում): Այս դեպքում ուն-պատահական կամ մեխանիկական եղանակով ընտրվում են ոչ թե առանձին միավորները, այլ սերիաները, որոնցով իրականացվում է ուսումնասիրությունը: Առանձին դեպքերում սերիական ընտրանքն ունի ոչ այնքան մեթոդա անական, որքան կազմակերպական առավելություն մյուս ընտրանքային եղանակների ձնավորման նկատմամ : Սերիական ընտրանքի դեպքում խմ երի ներսում առանց ացառության ուսումնասիրում ենք հատկանիշի ոլոր միավորները, որոնց ներխմ ային տատանումը չի ազդում դիտարկման սխալի վրա: Միաժամանակ ուսումնասիրում ենք ոչ ոլոր խմ երը, այլ միայն նրանք, որոնք պատկանում են ընտրանքին: Սերիական ընտրանքի դեպքում խախտվում է գլխավոր համակցության սահմաններում ընտրված միավորների աշխման օրինաչափությունը, իսկ ընտրանքի սխալն ավելի մեծ է: Հետնա ար, ստացված նութագրիչների միջին սխալի վրա ազդում են միջխմ ային` դիսպերսիայով որոշվող տար երությունները: Սերիական ընտրանքի միջին սխալը հաշվարկվում է ըստ հետնյալ անաձների.

• կրկնվող ընտրանք`

μ=

δ2 , r

μ=

r δ2 1− ) , ( r R

(6.30) • չկրկնվող ընտրանք`

(6.31) որտեղ` r-ը ընտրանքային սերիաների թիվն է, R-ը՝ սերիաների ընդհանուր թիվը, δ2-ին՝ միջխմ ային դիսպերսիան:

Միջխմ ային դիսպերսիան հավասարամեծ խմ երի դեպքում հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` (~x − ~x )2 , (6.32) δ2 = ∑ i r որտեղ՝ ~ xi -ն i-րդ սերիայի միջին արժեքն է, ~ x -ը՝ ամ ողջ ընտրանքային համակցության ընդհանուր միջինը: Սերիական ընտրանքի անհրաժեշտ ծավալի որոշման համար, տրված սահմանային սխալի առկայության պայմաններում, օգտագործում ենք հետնյալ անաձները. t2δ2 r= 2 , • կրկնվող ընտրանք` Δ~x (6.33) t 2δ2R • չկրկնվող ընտրանք` : r= 2 2 t δ + RΔ2~x (6.34) Ընտրանքային մասի միջխմ ային դիսպերսիան որոշվում է`

(Մ − Մ) =∑ i

δ2w

(6.35)

r

անաձնով, որտեղ` Մi-ն միավորների մասն է i-րդ սերիայում, Մ-ն՝ միավորների մասը ամ ողջ ընտրանքային համակցությունում: Սերիական ընտրանքի մասի սխալն ունի հետնյալ տեսքը.

• կրկնվող

δ2w , r

μw =

ընտրություն`

(6.36)

• չկրկնվող ընտրություն` μ w =

δ2w (1 − Rr ) : r

(6.37) Սահմանային սխալը մասի դեպքում որոշվում է` Δ w = tμ w անաձնով:

• կրկնվող (6.39)

ընտրություն`

(6.38) Δw = t

δ2w , r

• չկրկնվող

Δw = t

ընտրություն`

δ2w (1 − Rr ) : r

(6.40) Ընտրանքային սերիաների անհրաժեշտ ծավալը.

• կրկնվող սերիաներ`

r=

t2δ2w , Δ2w

(6.41)

• չկրկնվող

r=

սերիաներ`

t 2δ2wR t 2δ2w

+ R ⋅ Δ 2w

:

(6.42) Օրինակ՝ ձեռնարկության պատրաստի արտադրանքը փաթեթավորված է 100 արկղերում, յուրաքանչյուրում` 50 դետալ: Հսկման նպատակով (պահպանելով տեխնոլոգիական գործընթացների պարամետրերը), անցկացվել է 59-անոց սերիական չկրկնվող ընտրանք, որի ընթացքում վերցվել է յուրաքանչյուր 20րդ արկղը: Արկղում դետալների միջին կշիռն ունի հետնյալ աշխումը` ~ x i 97, 103, 100, 98, 102 (գ): 0.954 հավանականությամ պահանջվում է որոշել արտադրանքի ամ ողջ խմ աքանակի միջին կշռի սահմանները: Լուծում. Հաշվարկենք ընտրանքային համակցության միջին կշիռը` 97 + 103 + 100 + 98 + 102 ~ x= = 100 գ: Որոշենք միջխմ ային դիսպերսիան` δ2= =

~ ~2 ∑(xi − x) ո

=

(97−100)2 + (103−100)2 + (100−100)2 + (98−100)2 + (102−100)2 =

= 5.2գ:

Որոշում ենք նան սերիական ընտրանքի միջին ն սահմանային սխալը՝ տրված հավանականությամ . 5.2 (1 − 0.05) = 0.994 ո μ= Δ ~x = 2 ⋅ 0.994 = 1.988 ≈ 2 ·: Գլխավոր համակցության միջին արժեքը գտնվում է`

100 − 2 ≤ x ≤ 100 + 2 կամ 98 ≤ x ≤ 102 սահմաններում: Հաշվարկը ցույց է տալիս, որ 0.954 հավանականությամ , արտադրանքի ամ ողջ խմ աքանակի միջին կշիռը գտնվում է 98 գրամից մինչն 102 գրամի սահմաններում: Ընդունենք, որ այս օրինակում պահանջվում է որոշել արտադրանքի միջին կշռի սահմանները 1 գ սահմանային սխալի դեպքում: Օգտագործելով վերոնշյալ կշռի տատանման տվյալները՝ որոշենք, թե չկրկնվող սերիական ընտրանքի դեպքում արտադրանքի քանի՞ արկղ պետք է հետազոտել, որպեսզի ընտրված հավանականությամ ստանանք տրված ճշտությամ արդյունք. 22 ⋅ 5.2 ⋅ 100 r= 2 = = 17.218 : .8 2 ⋅ 5.2 + 1 ⋅ 100 Կատարված հաշվարկը թույլ է տալիս հավաստելու, որ գլխավոր միջինի սահմանները տրված ճշտությամ որոշելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել 17 արկղ արտադրանք՝ ընտրված ուն-պատահական կամ մեխանիկական եղանակով:

6.6. Փոքր ընտրանք Ընտրանքը, որի ընթացքում դիտարկումը ընդգրկում է ոչ մեծ թվով միավորներ (ո Հ 30), ընդունված է անվանել փոքր ընտրանք. կիրառվում է այն դեպքերում, եր հնարավոր չէ կամ նպատակահարմար չէ օգտվել մեծ ընտրանքից: Փոքր ընտրանքի սահմանային սխալը որոշվում է` Δ МВ = tμ ΜΒ անաձնով, որտեղ` ԽB-ը փոքր ընտրանքն է: Փոքր ընտրանքի միջին սխալը`

μԽB =

Տ2 , ո

(6.44)

∑ (xi − ~x )

Տ2 =

, (6.45) ո−1 որտեղ` Տ -ին փոքր ընտրանքի դիսպերսիան է: ~ x -ն` ըստ ընտրանքի հատկանիշի միջին արժեքն է, ո-1-ը՝ ազատության աստիճանների թիվը, t-ն՝ փոքր ընտրանքի հավաստիության գործակիցը: Հավանականությունը, որ գլխավոր միջինը գտնվում է որոշակի սահմաններում, որոշվում է`

P(~ x − tμԽB ≤ x ≤ ~ x + tμԽB) = 2Տ(t) − 1

(6.46)

անաձնով, որտեղ՝ Տ(t)-ն Ստյուդենտի ֆունկցիայի արժեքն է: Վստահելիության գործակիցը հաշվարկելու համար որոշում ենք Տ(t) ֆունկցիայի արժեքը Տ(t)Հ(ք+1)/2 անաձնով: Այնուհետն Ստյուդենտի աշխման աղյուսակից, կախված Տ(t) ֆունկցիայի արժեքից ն ազատության աստիճանների թվից (νՀ ո-1), որոշում ենք t-ի արժեքը: Տ(t) ֆունկցիան օգտագործվում է նան որոշելու այն հավանականությունը, ըստ որի` նորմավորված շեղման ~ x−x փաստացի tք = արժեքը չի գերազանցում կամ գերազանցում μԽB է աղյուսակային արժեքը: Հավանականությունը, որ փաստացի հարա երակցությունը ( tք ) չի գերազանցում աղյուսակային արժեքի ացարձակ մեծությունը (t), որոշվում է հետնյալ անաձնով`

(

P tք < t

) = 2Տ(t) − 1 ,

(6.47)

իսկ հավանականությունը, որ փաստացի հարա երակցությունը գերազանցում է աղյուսակային արժեքի ացարձակ մեծությունը`

(

P tք > t

) = 2(1 − Տ(t))

(6.48)

ԳԼՈՒԽ Մ||

ԿՈՌԵԼՅԱՑԻԱ-ՌԵԳՐԵՍԻԱՅԻ

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ

7.1. Պատճառ, ռեգրեսիա, կոռելյացիա Վիճակագրական հետազոտությունների արդյունքում ացահայտված երնույթների միջն գոյություն ունեցող պատճառահետնանքային հարա երակցությունները թույլ են տալիս ի հայտ երել այն հատկանիշները, որոնք էական ազդեցություն են թողնում ուսումնասիրվող երնույթների ու գործընթացների փոփոխության վրա: Պատճառահետնանքային հարա երակցությունը երնույթների ն գործընթացների այնպիսի կապ է, եր դրանցից մեկի` պատճառի փոփոխությունը հանգեցնում է մյուսի` հետնանքի փոփոխությանը: Պատճառը պայմանների, հանգամանքների համակցությունն է, որի գործողությունը նպաստում է հետնանքի առաջ գալուն: Եթե երնույթների միջն իրոք գոյություն ունեն պատճառահետնանքային հարա երություններ, ապա այդ պայմանները պարտադիր կերպով պետք է իրականացվեն պատճառների գործողության հետ միասին: Պատճառահետնանքային կապերը համընդհանուր են ն ազմաովանդակ, ն դրանց ացահայտման համար անհրաժեշտ է ընտրել ն մեկուսացված ուսումնասիրել առանձին երնույթները: Կապերի ուսումնասիրության համար կարնոր նշանակություն ունի ժամանակային հաջորդականության ացահայտումը: Պատճառը միշտ պետք է նախորդի հետնանքին, սակայն ոչ ոլոր նախորդ իրադարձությունները պետք է դիտել որպես պատճառ, իսկ հաջորդները՝ հետնանք: Իրական սոցիալ-տնտեսական իրողության պատճառն ու հետնանքը անհրաժեշտ է դիտել որպես հարակից երնույթներ, որոնց հանդես գալը պայմանավորված է ուղեկցող ավելի պարզ պատճառների ն հետնանքների համալիրով: Պատճառների ու հետնանքների արդ խմ երի միջն լինում են ազմանշանակ կապեր, եր միննույն պատճառը կարող է հանգեցնել տար եր հետնանքների կամ մեկ գործողությունն ունի տար եր պատճառներ: Երնույթների միջն պատճառային կապը միարժեք որոշելու կամ որոշակի պատճառի հնարավոր հետնանքները կանխատեսելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրվող ժամանակային կամ տարածքային միջավայրում տեղի ունեցող ոլոր այլ երնույթների լրիվ անտեսումը (վերացարկումը դրանցից` ա ստրակցիան):

Վերջինի հնարքները հաճախ կիրառվում են երկու հատկանիշների փոխկախվածությունը (զույգային կոռելյացիան) ուսումնասիրելու նպատակով: Սակայն որքան արդ են ուսումնասիրվող երնույթները, այնքան դժվար է ի հայտ երել դրանց պատճառահետնանքային կապերը: Սոցիալ-տնտեսական երնույթները մեծ թվով պատճառների միաժամանակյա ներգործության արդյունք են: Հետնա ար, այդ երնույթներն ուսումնասիրելիս անհրաժեշտ է ացահայտել գլխավոր, հիմնական պատճառները` վերացարկվելով երկրորդականներից: Կապերի վիճակագրական ուսումնասիրման առաջին փուլը ուսումնասիրվող երնույթի որակական վերլուծությունն է տնտեսագիտության տեսության, սոցիոլոգիայի կամ կոնկրետ տնտեսական մեթոդների միջոցով: Երկրորդ փուլում անհրաժեշտ է կառուցել կապի մոդելը, որը հիմնվում է վիճակագրության մեթոդների վրա: Երրորդ` վերջին փուլը արդյունքների մեկնա անումն է, որը նույնպես կապված է ուսումնասիրվող երնույթի որակական առանձնահատկությունների հետ: Վիճակագրության նագավառում մշակվել են կապերի ուսումնասիրման ազմաթիվ մեթոդներ, որոնց ընտրությունը կախված է հետազոտության նպատակներից ն առաջադրված խնդիրներից: Հատկանիշների ն երնույթների միջն կապերը, նկատի ունենալով դրանց ազմազանությունը, դասակարգվում են ըստ տար եր հայտանիշների: Ըստ փոխկապվածության ուսումնասիրության համար ունեցած նշանակության՝ հատկանիշները, աժանվում են երկու դասի: Ըստ այդմ՝ • այն հատկանիշները, որոնք պայմանավորում են մյուս` դրանց հետ կապված հատկանիշների փոփոխությունը, կոչվում են գործոնային հատկանիշներ, • այն հատկանիշները, որոնք փոփոխվում են գործոնային հատկանիշների ազդեցության ներքո, կոչվում են արդյունքային: Վիճակագրությունում տար երում են ֆունկցիոնալ կապ ն ստոխաստիկ կախվածություն հասկացությունները: • Ֆունկցիոնալ է կոչվում կապը, որի դեպքում գործոնային հատկանիշի որոշակի արժեքին համապատասխանում է արդյունքային հատկանիշի մեկ ն միայն մեկ արժեք: Ֆունկցիոնալ կապը ի հայտ է գալիս դիտարկման ոլոր դեպքերում ն հետազոտվող համակցության յուրաքանչյուր որոշակի միավորի համար: • Եթե պատճառային կախվածությունը հանդես է գալիս ոչ թե

յուրաքանչյուր առանձին, այլ ընդհանուր դեպքում` միջինում մեծ թվով դիտարկումների ժամանակ, ապա այդպիսի կախվածությունը կոչվում է ստոխաստիկ: Ստոխաստիկ կապի մասնավոր դեպքը կոռելյացիոն կապն է, որի համար արդյունքային հատկանիշի միջին արժեքի փոփոխությունը պայմանավորված է գործոնային հատկանիշների փոփոխությամ : Երնույթների ն դրանց հատկանիշների միջն կապերը դասակարգվում են ըստ սերտության աստիճանի, ուղղվածության ն անալիտիկ արտահայտության: Ըստ սերտության աստիճանի՝ տար երում են կապի սերտության գնահատման քանակական հատկանիշները: Աղյուսակ 7.1 Կապի սերտության գնահատման քանակական հատկանիշները Կոռելյացիայի գործակցի մեծությունը մինչն | ± 0.3| | ± 0.3| - | ± 0.5| | ± 0.5| - | ± 0.7| | ± 0.7| - | ± 1|

Կապի նույթը Շմոյլովա Ռ. ն ուրիշներ Պետրոսյան Ա. (1975) (1999) թույլ գործնականում ացակայում է միջին թույլ նկատելի նկատելի ուժեղ ուժեղ

Ըստ ուղղվածության` կապերը լինում են ուղիղ ն հակադարձ: Ուղիղ կապի դեպքում գործոնային հատկանիշի արժեքների մեծացումը կամ փոքրացումը երում է արդյունքային հատկանիշի արժեքների մեծացման կամ փոքրացման, այսինքն` արդյունքային ն գործոնային հատկանիշներն ունեն նույն ուղղվածությունը: Հակադարձ կապի դեպքում արդյունքային հատկանիշի արժեքի մեծացումը երում է գործոնային հատկանիշի արժեքի փոքրացման, ն հակառակը, այսինքն` արդյունքային հատկանիշի արժեքները գործոնային հատկանիշի արժեքների համեմատությամ փոփոխվում են հակառակ ուղղությամ : Ըստ անալիտիկ արտահայտության` կապերը լինում են գծային (ուղղագիծ) ն ոչ գծային: Եթե երնույթների միջն վիճակագրական կապը մոտավոր արտահայտվում է ուղիղ գծի հավասարումով, այն անվանում են գծային կապ: Կապը կոչվում է ոչ գծային կամ կորագծային, եթե այն արտահայտված է որնէ կորի հավասարումով (պարա ոլ, հիպեր ոլ, աստիճանային, ցուցչային, էքսպոնենցիալ ն այլն): Կապի առկայությունը, դրա նույթն ու ուղղվածությունը ացահայտելու համար վիճակագրությունում կիրառում են տվյալները զուգահեռ շարքերի երման, անալիտիկ խմ ավորման, գրաֆիկա-

կան, կոռելյացիայի ն ռեգրեսիայի մեթոդները: Զուգահեռ շարքերի երման մեթոդը հիմնվում է երկու կամ մի քանի վիճակագրական շարքերի մեծությունների համադրման վրա: Այդպիսի համադրումը թույլ է տալիս հայտնա երել կապի գոյությունը ն գաղափար կազմել դրա նույթի մասին: Օրինակ` համեմատվում են x ն y մեծությունների փոփոխությունները: Եթե x-ի մեծության աճի հետ աճում է նան y-ը, ապա դրանց միջն գոյություն ունեցող կապը ուղիղ է, ն այն կարելի է նկարագրել ուղիղ գծի կամ երկրորդ կարգի պարա ոլի հավասարումով: Հատկանիշների միջն կապը կարելի է արտահայտել նան գրաֆիկորեն` կոռելյացիայի դաշտի օգնությամ : Կոորդինատային համակարգում ա սցիսների առանցքի վրա նշում ենք գործոնային հատկանիշի արժեքները, իսկ օրդինատների առանցքի վրա` արդյունքայինի: Կառուցում են համապատասխան կետերը: Սերտ կապի ացակայության դեպքում գրաֆիկի կետերի դասավորությունը կլինի անկանոն: Որքան սերտ է կապը հատկանիշների միջն, այնքան կետերը խիտ են խմ ավորվում կապի ձնը արտահայտող որոշակի գծի շուրջը: Սոցիալ-տնտեսական երնույթներին նութագրական է, որ արդյունքային հատկանիշի մակարդակը ձնավորող էական գործոններից ացի, դրանց վրա ազդում են նան ազմաթիվ այլ՝ պատահական ն չնախատեսված գործոններ: Այդ պատճառով երնույթների փոխադարձ կապը ունի կոռելյացիոն նույթ ն արտահայտվում է y x = f(x) ֆունկցիայի տեսքով: Կոռելյացիան վիճակագրական կախվածություն է խիստ ֆունկցիոնալ նույթ չունեցող պատահական մեծությունների միջն, որի դեպքում պատահական մեծություններից մեկի փոփոխությունը պայմանավորում է մյուս մեծության մաթեմատիկական սպասման փոփոխությունը: Վիճակագրությունում ընդունված է տար երել կախվածության հետնյալ տարատեսակները. • զույգային կոռելյացիա - կապ է երկու հատկանիշների միջն (արդյունքային ն գործոնային կամ երկու գործոնայինների), • մասնակի կոռելյացիա - կախվածություն է արդյունքային ն գործոնային հատկանիշներից մեկի միջն, եր մյուս գործոնային հատկանիշների արժեքները հաստատուն են ( ացառված է դրանց փոփոխությունը), • ազմակի կոռելյացիա - կախվածություն է արդյունքային ն երկու կամ ավելի գործոնային հատկանիշների միջն: Երկու հատկանիշների միջն կապի սերտությունը քանակապես արտահայտվում է կոռելյացիայի գործակցի միջոցով: Ներկայաց-

նելով հատկանիշների միջն կապի սերտության քանակական նութագիրը` կոռելյացիայի գործակիցը հնարավորություն է տալիս որոշելու գործոնային հատկանիշների օգտակարությունը ազմակի ռեգրեսիայի հավասարում կազմելու դեպքում: Կոռելյացիայի գործակցի մեծությունը թույլ է տալիս նան գնահատել ռեգրեսիայի հավասարման համապատասխանությունը ացահայտված պատճառահետնանքային կապերին: Կոռելյացիան ն ռեգրեսիան սերտորեն կապված են միմյանց հետ. առաջինը գնահատում է վիճակագրական կապի սերտությունը, երկրորդը հետազոտում է դրա ձնը: Ե՛վ մեկը, ն՛ մյուսը ծառայում են երնույթների միջն հարա երակցությունները ացահայտելու, կապի առկայությունը կամ ացակայությունը որոշելու համար: Ռեգրեսիայի վերլուծության էությունը կապի վերլուծական արտահայտման որոշումն է, եր մեկ (արդյունքային) մեծության փոփոխությունը պայմանավորված է մեկ կամ մի քանի անկախ մեծությունների (գործոնների) ազդեցությամ , իսկ ազմաթիվ այլ գործոնները, որոնք նույնպես ազդում են կախյալ մեծության վրա, ընդունվում են որպես հաստատուն ն միջին մեծություններ: Ըստ կախվածության ձնի` տար երում են. • գծային ռեգրեսիա, որն արտահայտվում է ուղիղ գծի (գծային ֆունկցիայի) հավասարումով. ŷ x = a0 + a1x , • ոչ գծային ռեգրեսիա, որն արտահայտվում է հետնյալ հավասարումների տեսքով. ŷ x = a0 + a1x + a2x2 ա) պարա ոլի

a1 ն այլն: x Ըստ կապի ուղղվածության` տար երում են. • ուղիղ ռեգրեսիա (դրական), եր անկախ մեծության արժեքի աճի կամ նվազման հետ մեկտեղ, համապատասխանա ար, աճում կամ նվազում է կախյալ մեծությունը, • հակադարձ ( ացասական) ռեգրեսիա, եր անկախ մեծության մեծացումը կամ փոքրացումը հանգեցնում է կախյալ մեծության, համապատասխանա ար` փոքրացմանը կամ մեծացմանը: Ուղիղ ն հակադարձ ռեգրեսիաները կարելի է ներկայացնել նան գրաֆիկների տեսքով: ) հիպեր ոլի

ŷ x = a0 +

7.2. Կոռելյացիա-ռեգրեսիայի վերլուծության

հիմնական խնդիրները Սոցիալ-տնտեսական զարգացումը նութագրող ն ազգային հաշիվների միասնական համակարգը կազմող ոլոր երնույթներն ու գործընթացները սերտորեն փոխկապակցված են միմյանց հետ: Կոռելյացիոն կախվածությունը հետազոտվում է կոռելյացիոն ն ռեգրեսիոն վերլուծության մեթոդների օգնությամ : Կոռելյացիայի վերլուծությունը ուսումնասիրում է հատկանիշների փոխկախվածությունը ն թույլ է տալիս գնահատել՝ • հատկանիշների միջն կապի սերտությունը` զույգային, մասնակի ն ազմակի կոռելյացիայի գործակիցների օգնությամ , • ռեգրեսիայի հավասարումը: Կոռելյացիոն վերլուծության կիրառության հիմնական նախադրյալն այն է, որ համակցության ոլոր գործոնային ն արդյունքային հատկանիշները պետք է ենթարկվեն կամ մոտ լինեն K-չափանի նորմալ աշխման օրենքին: Եթե հետազոտվող համակցության ծավալը` ո»50-ից, այդ դեպքում նորմալ աշխումը կարող է հաստատվել Պիրսոնի, Յաստրեմսկու, Կոլմոգորովի հայտանիշների հաշվարկների ն վերլուծության հիման վրա: Եր համակցության ծավալը` ոՀ50-ից, նախնական տվյալների աշխման օրենքը որոշվում է կոռելյացիայի դաշտի կառուցման հիման վրա: Եթե կետերի դասավորությունն ունի գծային միտում, նշանակում է նախնական տվյալների համակցությունը ( y, x1, x2...xK ) ենթարկվում է նորմալ աշխման օրենքին: Ռեգրեսիայի վերլուծության նպատակն է գնահատել արդյունքային հատկանիշի պայմանական միջին արժեքի ֆունկցիոնալ կախվածությունը գործոնային հատկանիշներից: Ռեգրեսիայի վերլուծության հիմնական նախադրյալն այն է, որ արդյունքային (y) հատկանիշը ենթարկվում է նորմալ աշխման օրենքին, իսկ գործոնային հատկանիշները ( x1, x2,..., xK ) կարող են ունենալ կամայական աշխման օրենք: Ռեգրեսիայի հավասարումը կամ ŷ x = f (x1, x 2,..., xK ) ֆունկցիայի տեսքով արտահայտվող սոցիալ-տնտեսական երնույթների կապերն արտահայտող վիճակագրական մոդելը ավարար չափով կհամապատասխանեն իրական մոդելավորվող երնույթին կամ գործընթացին, դրանց կառուցման հետնյալ պահանջները կատարելու դեպքում. ա) ուսումնասիրվող նախնական տվյալների համակցությունը պետք է լինի համասեռ ն մաթեմատիկորեն նկարագրվի անընդհատ ֆունկցիաներով,

) մոդելավորվող երնույթի պատճառահետնանքային կապերը պետք է հնարավոր լինի նկարագրել մեկ կամ մի քանի հավասարումներով, գ) ոլոր գործոնային հատկանիշները պետք է ունենան քանակական (թվային) արտահայտություն, դ) հետազոտվող ընտրանքային համակցության ծավալը պետք է լինի ավականաչափ մեծ, ե) երնույթների ն գործընթացների միջն գոյություն ունեցող պատճառահետնանքային կապերը պետք է նկարագրել գծային կամ գծայինի երվող կախվածություններով, զ) կապի մոդելի պարամետրերը չպետք է ունենան քանակական սահմանափակումներ, է) ուսումնասիրվող համակցության տարածքային ն ժամանակային կառուցվածքը պետք է լինի հաստատուն: Կոռելյացիոն-ռեգրեսիոն վերլուծության հիման վրա կառուցված փոխկախվածությունների մոդելի տեսական հիմնավորվածությունը ապահովվում է հետնյալ հիմնական պայմանների պահպանմամ . • ոլոր հատկանիշները ն դրանց համատեղ աշխումները պետք է ենթարկվեն նորմալ աշխման օրենքին, • մոդելավորվող հատկանիշի դիսպերսիան ոլոր դեպքերում պետք է մնա հաստատուն` այդ հատկանիշի մեծության ն գործոնային հատկանիշների արժեքների փոփոխության դեպքում, • առանձին դիտարկումները պետք է լինեն անկախ, այսինքն՝ iրդ դիտարկման արդյունքները չպետք է կապված լինեն նախորդների հետ, ն չպետք է պարունակեն տեղեկատվություն հաջորդ դիտարկումների վերա երյալ, ինչպես նան ազդել դրանց վրա: Այդ պայմանների ացակայությունը հանգեցնում է նրան, որ ռեգրեսիայի մոդելը ոչ համարժեք ձնով է արտացոլում վերլուծվող հատկանիշների միջն գոյություն ունեցող իրական կապերը: Ռեգրեսիայի հավասարման կառուցման հիմնական պրո լեմներից է նրա չափողականությունը, այսինքն` մոդելում ներառվող գործոնային հատկանիշների օպտիմալ թվի որոշումը: Մոդելի չափի կրճատումը երկրորդական, ոչ էական գործոնների կրճատման հաշվին` հնարավորություն է ընձեռում ստանալու հնարավորինս արագ որակյալ իրացվելի մոդելը: Միաժամանակ փոքր չափերի մոդելի կառուցումը կարող է հանգեցնել ուսումնասիրվող երնույթի ն գործընթացի ոչ ավարար լիարժեքությանը: Փորձը ցույց է տալիս, որ նպատակահարմար է օպտիմալ հարա երակցություն սահմանել մոդելում ընդգրկվող գործոնային հատկանիշների թվի ն ուսումնասիրվող համակցության ծավալի

միջն: Համաձայն այդ հայտանիշի՝ գործոնային հատկանիշների թիվը 5-6 անգամ փոքր պետք է լինի ուսումնասիրվող համակցության ծավալից:

7.3. Զույգային ռեգրեսիա Զույգային ռեգրեսիան նութագրում է գործոնային ն արդյունքային հատկանիշների միջն եղած կապը: Վերլուծական կապն այդ հատկանիշների միջն արտահայտվում է հետնյալ հավասարումներով. ŷ x = a0 + a1x : • ուղիղ գծի` • պարա ոլի`

ŷ x = a0 + a1x + a2x2 :

(7.1)

a1 : x Հավասարման ձնը կարելի է որոշել գրաֆիկորեն, սակայն գոյություն ունեն ընդհանուր դրույթներ, որոնք թույլ են տալիս ստանալ կապի հավասարումը` չօգտագործելով գրաֆիկական եղանակը: Եթե գործոնային ն արդյունքային հատկանիշներն աճում են համանման, մոտավորապես թվա անական պրոգրեսիայով, նշանակում է դրանց միջն գոյություն ունի գծային կապ, իսկ հակադարձ կապի դեպքում` հիպեր ոլիկ կապ: Եթե գործոնային հատկանիշը փոփոխվում է թվա անական պրոգրեսիայով, իսկ արդյունքայինը` նշանակալի արագ, ապա կիրառվում են պարա ոլային կամ աստիճանային կապերը: Ռեգրեսիայի հավասարման պարամետրերի գնահատումը կատարվում է փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով, որի հիմքում այն ենթադրությունն է, թե ուսումնասիրվող համակցության դիտարկումներն անկախ են: Այս մեթոդի էությունն այն է, որ նվազագույնի է հասցվում արդյունքային հատկանիշի փաստացի ն տեսական արժեքների տար երության քառակուսիների գումարը, որոնք ստացվում են ըստ ընտրված ռեգրեսիայի հավասարման` Տ = ∑ (y − ŷ x )2 → ոiո : • հիպեր ոլի`

ŷ x = a0 +

Ուղիղ կախվածության համար՝ Տ = ∑ (y − a0 − a1x)2 → ոiո : Դիտարկենք Տ-ը որպես ֆունկցիա a0 ն a1 պարամետրերից. a0 ն a1 գործակիցները ստանալու համար անհրաժեշտ է որոշել Տ-ի մասնակի ածանցյալները ըստ a0-ի ն ըստ a1-ի, ն դրանք հավասարեցնել զրոյի, այսինքն`

∂Տ ∂Տ = 0: = 0: ∂a1 ∂a0

⎧ ∂Տ ⎪ ∂a = ∑ 2(y − a0 − a1x)(−1) = 0 ⎪ 0 ⎨ ⎪ ∂Տ = 2(y − a − a x)(− x ) = 0 : ⎪⎩ ∂a1 ∑ Այստեղից՝ փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով զույգային գծային ռեգրեսիայի պարամետրերը որոշելիս նորմալ հավասարումների համակարգը կունենա հետնյալ տեսքը` ⎧ոa + a ∑ x = ∑ y ⎪ 0 (7.2) ⎨ ⎪⎩a0 ∑ x + a1∑ x = ∑ yx որտեղ` ո-ը ուսումնասիրվող համակցության ծավալն է (դիտարկումների միավորների թիվը): Լուծելով հավասարումների համակարգը` կստանանք. ⎧ ∑ y∑ x2 − ∑ yx∑ x ⎪a0 = ⎪⎪ ո∑ x 2 − ∑ x∑ x ⎨ ո∑ yx − ∑ x∑ y ⎪ : ⎪a1 = ո∑ x 2 − ∑ x∑ x ⎪⎩ Ռեգրեսիայի հավասարումներում a0 պարամետրը ցույց է տալիս չնախատեսված (հետազոտության համար չառանձնացված) գործոնների միջինացված ազդեցությունը արդյունքային հատկանիշի վրա, իսկ a1-ը (պարա ոլի հավասարման մեջ նան a2-ը) ռեգրեսիայի գործակիցն է, որը ցույց է տալիս, թե միջինում որքանով կփոփոխվի արդյունքային հատկանիշի արժեքը գործոնային հատկանիշի մեկ միավորով փոփոխման դեպքում: Օրինակ՝ շաքարի 8 գործարանների հիմնական արտադրական ֆոնդերի արժեքի x (մլն դրամական միավոր) ն օրական մշակվող շաքարի ճակնդեղի y (հազ. տ.) վերա երյալ կան հետնյալ տվյալները (տե՛ս աղյուսակ 7.2). Աղյուսակ 7.2 Գործարանների հիմնական արտադրական ֆոնդերը x y

8.9

2.3

2.4 9.9

2.9 10.3

2.9

3.7

3.7 12.8

Պահանջվում է կառուցել միագործոն ռեգրեսիայի մոդելը`

4.1 13.1

y-ի փոփոխությունն ըստ x-ի: Լուծում. Կազմենք հաշվարկային աղյուսակ (աղյուսակ 7.3): Աղյուսակ 7.3 Զույգային գծային ռեգրեսիայի հավասարման պարամետրերի հաշվարկը N

xi

yi

x2

xy

ŷ x

2.3 2.4 2.9 2.9 3.7 3.7 4.1

8.9 9.9 10.3 12.8 13.1

5.29 5.76 8.41 8.41 13.69 13.69 16.81 76.06

17.8 23.76 29.87 48.1 47.36 53.71 272.6

8.88 9.516 9.728 10.788 10.788 12.484 12.484 13.332

Ընդամենը

Այս օրինակում նորմալ հավասարումների համակարգը կունենա հետնյալ տեսքը` ⎧ոa + a ∑ x = ∑ y ⎪ 0 ⎨ ⎪⎩a0 ∑ x + a1∑ x = ∑ yx

⎧⎪8a0 + 24a1 = 88 ⎨ ⎪⎩24a0 + 76.06a1 = 272.6 : Լուծելով հավասարումների համակարգը՝ կստանանք. a0Հ4.64, a1Հ2.12: Հետնա ար` միագործոն ռեգրեսիայի մոդելը կլինի. ŷ x = 4.64 + 2.12x: Այսպիսով, հիմնական արտադրական ֆոնդերի արժեքի միավորի (հազ. դրամական միավոր) փոփոխությունը կ երի օրական մշակվող շաքարի ճակնդեղի ավելացմանը 2.12 միավորով (2.12 տ): Հաճախ ուսումնասիրություններն անցկացվում են ըստ դիտարկումների մեծ ծավալի: Այդ դեպքում նախնական տվյալները հարմար է ներկայացնել ամփոփ կոռելյացիոն աղյուսակի տեսքով: Այն կազմելու համար անհրաժեշտ է վիճակագրական տվյալները նախապես խմ ավորել ըստ երկու հատկանիշների, ն խմ ավորված տվյալները վերլուծության ենթարկել ինչպես ըստ x գործոնի, այնպես էլ ըստ արդյունքային հատկանիշի, այսինքն` զույգային ռեգրեսիայի հավասարումները նպատակահարմար է կառուցել խմ ա-

վորված տվյալների հիման վրա: Եթե x ն y հատկանիշների արժեքները տրված են որոշակի (a,Ե) միջակայքերով, ապա ամեն մի միջակայքի համար նախապես որոշում են միջակայքի կենտրոնը, այնուհետն կոռելյացնում են a+Ե a+Ե ն y՛Հ նշանակությունները, ն կառուցում դրանց ռեգx՛Հ րեսիայի հավասարումները: Խմ ավորված տվյալներով գծային միագործոն ռեգրեսիայի հավասարման պարամետրերը կարելի է որոշել հետնյալ նորմալ հավասարումների համակարգից` ⎧a ∑ f + a ∑ x f = ∑ y f x y ⎪ 0 (7.3) ⎨ ⎪a0 ∑ x fx + a1∑ x fx = ∑ yx fxy ⎩ Կամ հետնյալ անաձներով`

∑ yi fy ∑ x2 fx − ∑ xyi fxy ∑ x fx ∑ f ∑ x2 fx − ∑ x fx ∑ x fx ∑ f ∑ xyi fxy − ∑ yi fy ∑ x fx a1 = ∑ f ∑ x 2 fx − ∑ x fx ∑ x fx

a0 =

որտեղ` yi -ն խմ ային միջինն է: Ռեգրեսիայի հավասարման a0 պարամետրը կարելի է որոշել նան ստորն ներկայացված անաձնով` a0 = y - a1 x : Օրինակ՝ ձեռնարկությունների էլեկտրազինվածության ն աշխատանքի արտադրողականության (հատ) վերա երյալ կան հետնյալ տվյալները (տե՛ս աղյուսակ 7.4):

Աղյուսակ 7.4 Ձեռնարկությունների էլեկտրազինվածությունը ն աշխատանքի արտադրողականությունը էլեկտրազինվածությունը (կվտ/ժամ)

y

Աշխատանքի արտադրողականություն (հատ) x

x՛ 14-18 18-22 22-26 26-30 30-34 y՛

8-12 12-16 16-20 20-24 24-28

Ձեռնարկությունների թիվը fx

xfx x2fx

2560 3200

Ձեռնարկությունների թիվը

yfy

xyfxy

764 18216

fy

3072 21648

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա կազմենք միագործոն ռեգրեսիայի մոդելը՝ y-ի փոփոխությունն ըստ x-ի: Լուծում. Նորմալ հավասարումների համակարգում (7.3) տեղադրելով աղյուսակի հանրագումարային արժեքները` ⎧⎪40a0 + 908a1 = 764 ⎨ ⎪⎩908a0 + 21648 a1 = 18216 ն լուծելով համակարգը, ստանում ենք` a0 Հ - 0.0261 ն a1 Հ 0.84256 պարամետրերի արժեքները: Հետնա ար` ռեգրեսիայի հավասարումը կունենա հետնյալ տեսքը` ŷ x = − 0.0261 + 0.8426x : Ռեգրեսիայի հավասարման a1 Հ 0.84256 գործակիցը ցույց է տալիս, որ աշխատանքի արտադրողականությունը մեկ միավորով ավելացնելու դեպքում էլեկտրազինվածությունն ավելանում է 0.8426 կվտ/ժամով կամ 842.6 վտ/ժամ:

Պարա ոլի հավասարման պարամետրերի հաշվարկը

Եթե x ն y հատկանիշների միջն կապը կորագծային է ն արտահայտվում է երկրորդ կարգի պարա ոլի տեսքով` ŷ x = a0 + a1x + a2x2 , ապա խնդիրը a0, a1, a2 պարամետրերի որոշման մեջ է: Եր x ն y մեծությունների արժեքները ներկայացված են տվյալների երկու շարքով` x1, x2,..., xո y1, y2,..., yո ն դիտարկված տվյալները ացառապես արտահայտված են պարա ոլի հավասարմամ , ապա` yi − a0 − a1x1i − a2x1i2 = 0 : Սակայն գործնականում փաստացի ն տեսական կորերը տարերվում են որոշակի մեծությամ ` yi − a0 − a1x1i − a2x12i = Δi , որտեղ` Δi -ն տար երությունն է փաստացի ն կապի հավասարումից ստացված տվյալների միջն: Այդ պատճառով անհրաժեշտ է գտնել հավասարման այնպիսի գործակից, որի դեպքում ացարձակ սխալի գումարը լինի նվազագույն՝ ո

Տ = ∑ Δi → ոiո : i =1

Կամ էլ նվազագույնի հասցնել խորանարդ սխալների գումարը, ն այդ դեպքում կստանանք փոքրագույն խորանարդների մեթոդը՝ ո

Տ = ∑ Δi3 → ոiո : i=1

Եվ, վերջապես, նվազագույնի հասցնել առավելագույն ացարձակ սխալը` ոiո ոax Δi : i

Սակայն առավել արդյունավետ է սխալի գնահատումը փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով (ՓՔՄ): Դրա յուրահատկությունն այն է, որ նորմալ հավասարումների թիվը հավասարվում է անհայտ գործակիցների թվին: Երկրորդ կարգի պարա ոլի հավասարումն ունի երեք անհայտ ( a0, a1, a2 ) գործակիցներ: Այդ գործակիցները որոշելու համար անհրաժեշտ է ունենալ երեք հավասարումներ, որոնք ստացվում են փոքրագույն քառակուսիների մեթոդի օգնությամ `

ո

Տ = ∑ Δi2 = ∑ (y − a0 − a1x − a2x 2)2 → ոiո : i=1

Տ = f (a0, a1, a2 ) ֆունկցիան կլինի նվազագույն, եթե այդ ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները հավասարվեն զրոյի, այսինքն` ⎧ ∂Տ ⎪ ∂a = 2∑ (y − a0 − a1x − a2x )(− 1) = 0 ⎪ ⎪ ∂Տ ⎨ ∂a = 2∑ (y − a0 − a1x − a2x )(− x ) = 0 ⎪ 1 ⎪ ∂Տ = 2∑ (y − a0 − a1x − a2x 2)(−x 2) = 0 : ⎪ ⎩ ∂a2

Կատարելով ձնափոխումներ, կստանանք նորմալ հավասարումների հետնյալ համակարգը` ⎧ոa0 + a1∑ x + a2 ∑ x2 = ∑ y ⎪ ⎪ (7.4) ⎨a0 ∑ x + a1∑ x + a2 ∑ x = ∑ yx ⎪ ⎪⎩a0 ∑ x + a1∑ x + a2 ∑ x = ∑ yx : Լուծելով համակարգը` որոշում են a0, a1, a2 անհայտ պարամետրերի արժեքները ն կազմում ռեգրեսիայի հավասարումը: Ընդունենք` a0 = Ճ 0, a1 = Ճ1, a2 = Ճ 2, այդ դեպքում ռեգրեսիայի հավասարումը կունենա հետնյալ տեսքը` ŷ x = Ճ 0 + Ճ1x + Ճ 2x2 , ըստ որի հաշվարկում ենք ŷ x -ի տեսական արժեքները ն համեմատում դիտարկված փաստացի տվյալների հետ, որոշում Δi = yi − ŷ x տար երությունները, արձրացնում դրանք քառակուսի ն գումարում, ստանում մնացորդների քառակուսիների գումարը`

ո

∑ Δi2 :

i =1

Մնացորդների քառակուսիների գումարը համընկնում է հնարավոր նվազագույն մեծության հետ` ըստ ՓՔՄ-ի:

Հիպեր ոլի հավասարման պարամետրերի հաշվարկը Եթե գործոնային հատկանիշի աճման (նվազման) հետ փոքրանում (մեծանում) է նան արդյունքային հատկանիշը` ոչ անսահմանորեն, այլ ձգտում է ինչ-որ վերջավոր սահմանի, այդ դեպքում հատկանիշի վերլուծության համար կիրառվում է հիպեր ոլի տեսքի

հավասարումը.

: x Այս հավասարման պարամետրերի որոշման համար օգտվում են նորմալ հավասարումների համակարգից` ⎧ ⎪⎪ոa0 + a1∑ x = ∑ y ⎨ 1 2 ⎪a ⎪⎩ 0 ∑ x + a1∑ ( x ) = ∑ y x Փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով հիպեր ոլի հավասարման պարամետրերը որոշելու համար անհրաժեշտ է այն երել գծային տեսքի: Այդ նպատակով կատարում են փոփոխականների = x1 : Արդյունքում ստացվում է նորմալ հավասանշանակում` x րումների հետնյալ համակարգը` ⎧ոa + a ∑ x = ∑ y ⎪ 0 (7.5) ⎨ ⎪a ∑ x1 + a1∑ x1 = ∑ yx1 ⎩ 0 ŷ x = a0 + a1

Հիպեր ոլի հավասարման պարամետրերը կարելի է հաշվարկել ըստ հետնյալ անաձների` y x2 − x y x a0 = ∑ ∑ 21 ∑ 1 ∑ 1 ո∑ x1 − ∑ x1∑ x1 a1 =

ո∑ x1y − ∑ x1∑ y

:

ո∑ x12 − ∑ x1∑ x1 ՓՔՄ-ի կիրառումը ացատրվում է փորձի արդյունքներում անխուսափելի պատահական սխալների առկայությամ :

7.4. Բազմակի ( ազմագործոն) ռեգրեսիա Միմյանց հետ կապված երեք ն ավելի հատկանիշների միջն եղած կապը կոչվում է ազմակի կամ ազմագործոն ռեգրեսիա: Բազմագործոն ռեգրեսիայի մեթոդներով փոխկախվածությունների ուսումնասիրման դեպքում խնդիրը ձնակերպվում է ինչպես զույգային ռեգրեսիայի ժամանակ. այն է` որոշել կապը արդյունքային (y) ն գործոնային հատկանիշների (xi ) միջն անալիտիկ արտահայտությամ `

(7.6) ŷ x = f (x1, x 2...xK ) : Բազմակի ռեգրեսիայի մոդելների կառուցումն ընդգրկում է հետնյալ փուլերը. ա) կապի ձնի (ռեգրեսիայի հավասարման) ընտրումը, ) գործոնային հատկանիշների ընտրումը, գ) համակցության ավարար ծավալի ապահովումը չշեղված գնահատականներ ստանալու համար: Ռեգրեսիայի կապի ձնի ընտրությունը դժվարանում է նրանով, որ կապը հատկանիշների միջն տեսականորեն կարող է արտահայտվել մեծ թվով տար եր ֆունկցիաների միջոցով: Իսկ հավասարման տեսքի ընտրության արդությունը պայմանավորվում է այն հանգամանքով, որ կախվածության կամայական ձնի համար կարելի է ընտրել մի շարք` այդ կապերը որոշակի կերպով նկարագրող հավասարումներ: Ռեգրեսիայի հավասարման նախնական տեսքի որոշման առավել ընդունելի եղանակը տար եր հավասարումների հաջորդական դիտարկման (վերընտրման) մեթոդն է: Տրված մեթոդի էությունն այն է, որ որնէ սոցիալ-տնտեսական երնույթի կամ գործընթացի կապերը նութագրելու համար ընտրված մեծ թվով ռեգրեսիայի հավասարումները իրագործվում են (լուծվում) համակարգիչների օգնությամ ` վերընտրման հատուկ մշակված ալգորիթմով ն դրան հաջորդող վիճակագրական ստուգումով, գլխավորապես՝ Ստյուդենտի t-հայտանիշի ն Ֆիշեր-Սնեդեկորի Է-հայտանիշի հիման վրա: Վերընտրման մեթոդի օգտագործումը ավականին աշխատատար է ն կապված է մեծածավալ հաշվողական աշխատանքների հետ: Փոխկապվածության ազմագործոն մոդելների կառուցման փորձը ցույց է տվել, որ սոցիալ-տնտեսական երնույթների միջն իրականում գոյություն ունեցող կախվածությունը կարելի է նկարագրել մոդելների հինգ տեսակների կիրառությամ . ŷ1,2,...,k = a0 + a1x1 + a2x 2 + ... + ak xk : 1) գծային` 2) աստիճանային`

ŷ1,2,...,k = a0x1a1xa2 2 ...xkak :

3) ցուցչային`

ŷ1,2,...,k = 6a0 + a1x1 + a2x 2 + ... + ak xk :

4) պարա ոլային`

ŷ1,2,...,k = a0 + a1x12 + a2x22 + ... + akxk2 :

a1 a2 a + + ... + k : x1 x 2 xk Պարզության ն տնտեսագիտորեն տրամա անական մեկնա անության շնորհիվ գծային մոդելներն ունեն հիմնական նշանակու-

5) հիպեր ոլային`

ŷ1,2,...,k = a0 +

թյուն: Ոչ գծային մոդելները գծայնացման ճանապարհով երվում են գծային տեսքի: Արդեն ընտրված ազմակի ռեգրեսիայի հավասարման կառուցման կարնոր փուլ է գործոնային հատկանիշների ընտրումը ն դրանց հաջորդական ներառումը: Բազմակի ռեգրեսիայի հավասարման ձնավորման արդությունն այն է, որ գրեթե ոլոր գործոնային հատկանիշները կախված են մեկը մյուսից: Կարնոր է նան կապի մոդելի չափայնության, այսինքն` գործոնային հատկանիշների օպտիմալ քանակի որոշումը: Ի դեպ` որքան շատ գործոնային հատկանիշներ են ընդգրկված հավասարման մեջ, այնքան լավ է այն նկարագրում տվյալ երնույթը: Սակայն մեծ թվով գործոնային հատկանիշներ ընդգրկող մոդելը (եր ո»100-ից) դժվար իրացվելի է ն պահանջում է համակարգչային ժամանակի մեծ ծախսեր: Մոդելի չափերի կրճատումը` ի հաշիվ տնտեսագիտական ն վիճակագրական տեսանկյունից ոչ էական, երկրորդական գործոնների, նպաստում է մոդելի պարզեցմանը ն նրա որակի արձրացմանը: Սակայն ուսումնասիրվող երնույթների ն գործընթացների օրինաչափությունները գնահատելիս փոքր չափայնության ռեգրեսիայի մոդելի կառուցումը կարող է ավարար չլինել: Գործոնային հատկանիշների ընտրության պրո լեմը փոխկախվածությունների մոդելների կառուցման համար կարող է լուծվել էվրիստիկ կամ ազմաչափանի վիճակագրական մեթոդների վերլուծության հիման վրա: Փորձագիտական գնահատման մեթոդը՝ որպես հիմնական մակրոտնտեսական ցուցանիշների վերլուծության էվրիստիկ մեթոդ, հիմնված է ինտուիտիվ-տրամա անական նախադրյալների ն ովանդակային-որակական վերլուծության վրա: Փորձագիտական տեղեկատվության վերլուծությունը կատարվում է կապի ոչ պարամետրիկ ցուցանիշների (Սպիրմենի, Կենդալի ռանգային կոռելյացիայի ն կոնկորդացիայի գործակիցների) հաշվարկման ն վերլուծության հիման վրա: Գործոնային հատկանիշների ընտրության առավել նպատակահարմար եղանակն է քայլային ռեգրեսիան (քայլային ռեգրեսիոն վերլուծությունը): Մեթոդի էությունը հետնյալն է. գործոնները հաջորդա ար ընդգրկվում են ռեգրեսիայի հավասարման մեջ, ն ստուգվում է դրանց նշանակալիությունը: Բազմակի ռեգրեսիայի հավասարում կամ կապի մոդել է կոչվում արդյունքային ն մի շարք գործոնային հատկանիշների վերլուծական արտահայտման ձնը: Գծային ազմակի ռեգրեսիայի հավասարումն ունի հետնյալ

տեսքը`

ŷ1,2,3,...,k = a0 + a1x1 + a2x 2 + ... + ak xk ,

(7.7)

որտեղ` ŷ1,2,3,...,k -ն` արդյունքային հատկանիշի տեսական արժեքներն են, որոնք ստացվել են համապատասխան գործոնային հատկանիշները ռեգրեսիայի հավասարման մեջ տեղադրելու արդյունքում, x1, x2,..., xk -ն` գործոնային հատկանիշները, a1, a2,..., ak -ն` մոդելի պարամետրերը (ռեգրեսիայի գործակիցները): Մոդելի պարամետրերը կարելի է որոշել գրաֆիկական, փոքրագույն քառակուսիների ն այլ մեթոդներով: ՓՔՄ-ով նվազագույնի է հասցվում հետնյալ արտահայտությունը. ո

Տ = ∑ (y − a0 − a1x1 − a2x 2 − ... − ak xk )2 → ոiո ո i =1

∂Տ ∂Տ ∂Տ = 0: = 0, ..., = 0: ∂a0 ∂a0 ∂xk

Օրինակ՝ ըստ a 1 պարամետրի՝ ∂Տ = 2(y − a0 − a1x1 − a2 x 2 − ... − ak xk )(− x1) = 0 : ∂a1 ∑ Կատարելով համապատասխան ձնափոխություններ ըստ ai պարամետրերի ոլոր արժեքների՝ կստանանք. − 2∑ yx1 + 2a0 ∑ x1 + 2a1∑ x12 + 2a2 ∑ x 2x1 + ... + 2ak ∑ xk x1 = 0 ,

որտեղից` a0 ∑ x1 + a1∑ x12 + a2 ∑ x 2x1 + ... + ak ∑ xk x1 = ∑ yx1 :

Այսպիսի ձնափոխությունների արդյունքում կստանանք K անհայտներով (ըստ ai պարամետրերի քանակի) նորմալ հավասարումների համակարգը. ⎧ոa0 + a1∑ x1 + a2 ∑ x2 + ... + ak ∑ xk = ∑ y ⎪ ⎪a0 ∑ x1 + a1∑ x12 + a2 ∑ x2x1 + ... + ak ∑ xkx1 = ∑ yx1, (7.8) ⎨ ⎪ ⎪a ∑ x + a ∑ x x + a ∑ x x + ... + a ∑ x2 = ∑ yx k 1 k 2 k k k k ⎩ 0 Բազմակի ռեգրեսիայի հավասարումների կառուցման եղանակներից է կապի մոդելի կառուցումը ստանդարտացված մասշտաով: Եր գործոնային հատկանիշները տար եր են ըստ էության ն

ունեն տար եր չափման միավորներ, զգալիորեն դժվար է լինում գնահատել ռեգրեսիայի հավասարման մեջ ընդգրկված յուրաքանչյուր գործոնային հատկանիշի ազդեցությունը արդյունքային հատկանիշի վրա: Այդպիսի դեպքերում գործոնային հատկանիշների ազդեցության առավել ճշգրիտ գնահատման համար կիրառվում են ստանդարտացված մասշտա ի ազմակի ռեգրեսիայի մոդելներ, որոնցում ենթադրվում է, որ ուսումնասիրվող հատկանիշների ոլոր նշանակությունները վերածվում են ստանդարտների, ըստ հետնյալ անաձնի` x −x t= i , (7.9)

σ

որտեղ` xi-ն հատկանիշի արժեքն է նական մասշտա ով: Բազմակի ռեգրեսիայի հավասարումը ստանդարտացված մասշտա ում ունի հետնյալ տեսքը` t1,2,...,k = β1t1 + β2t 2 + ... + βk tk , (7.10) որտեղ` t1, t2,...tk -ն x1, x2,..., xk հատկանիշների ստանդարտացված արժեքներն են, t1,2,...,k -ն` ռեգրեսիայի հավասարումից ստացված համապատասխան արդյունքային հատկանիշի ստանդարտացված փոփոխականի միջին արժեքը, β1, β2,..., βո -ն` ռեգրեսիայի ստանդարտացված գործակիցները: Բազմագործոն ռեգրեսիայի մոդելի պարամետրերի որոշումը ստանդարտացված մասշտա ով կատարվում է ՓՔՄ-ով: Նորմալ հավասարումների համակարգը կունենա հետնյալ տեսքը` ⎧∑ tt1 = β1∑ t12 + β2 ∑ t 2t1 + ... + βk ∑ tk t1, ⎪ ⎪∑ tt 2 = β1∑ t1t 2 + β2 ∑ t 22 + ... + βk ∑ tk t 2, ⎪ (7.10.1) ⎨ ... ⎪ ... ⎪ ⎪∑ ttk = β1∑ t1tk + β2 ∑ t 2tk + ... + βk ∑ tk2, ⎩ որտեղ` t-ն արդյունքային հատկանիշի արժեքն է ստանդարտացված մասշտա ով: β1, β2, ..., βk գործակիցները հնարավորություն են տալիս համեմատականորեն գնահատելու յուրաքանչյուր գործոնային հատկանիշի ազդեցության աստիճանը արդյունքային (մոդելավորվող) հատկանիշի փոփոխության վրա:

Ստանդարտացված մասշտա ով հավասարումից հեշտ է անցնել նական մասշտա ով հավասարմանը: ai -ի գործակիցները ստացվում են հետնյալ հարա երակցությունից` ai = βi

σi , σy

(7.11)

իսկ a0 ազատ անդամը՝ հետնյալ արտահայտությունից. a0 = y − a1x1 − a2 x2 − ... − ak xk : Բերենք օրինակ: Աղյուսակ 7.5-ում ներկայացված են տվյալները թողարկվող արտադրանքի (y` տոննա), ներհերթափոխային պարապուրդների տնողության (x1` րոպե) ն անվորների արտադրական ստաժի (x2` տարի) վերա երյալ: Աղյուսակ 7.5 Արտադրանքի ծավալը, ներհերթափոխային պարապուրդները ն անվորների աշխատանքային ստաժը Բանվորների համարները

Ներհերթափոխային Թողարկվող արտապարապուրդի տնոդրանքը (տոննա) ղությունը (րոպե)

y

38.7 … … 38.9 … … … 40.4 39.5

Բանվորների արտադրական ստաժը (տարի)

x1

x2

… … … … …

… … … … …

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա կառուցենք կապի ազմագործոն մոդելը թողարկվող արտադրանքի (արդյունքային հատկանիշ), ներհերթափոխային պարապուրդների տնողության ն անվորների արտադրական ստաժի միջն: Լուծում. Ենթադրվում է, որ ուսումնասիրվող հատկանիշների միջն կապը գծային է, ն ռեգրեսիայի հավասարումն ունի հետնյալ տեսքը` ŷ x1x 2 = a0 + a1x1 + a2x 2 : Հաշվարկման անհրաժեշտ տվյալները ստանալու համար կազմենք հաշվարկային աղյուսակ (տե՛ս աղյուսակ 7.6):

Ներհերթափոխային պարապուրդ x1

x2

38.7 … … 38.9 … … … 40.4 39.5

… … … … …

… … … … …

1497.69 … … 1513.21 … … … 1632.16 1560.25 15526.1

39.4

1552.61 203 26.4 550.61 197.46 67.6

Արտադր. ստաժ

Թողարկվող արտադրանքը

Ընդ. Միջին արժեք

y Բանվորների համարները

Աղյուսակ 7.6 Բազմակի ռեգրեսիայի հավասարման պարամետրերի որոշման հաշվարկային աղյուսակ Հաշվարկային տվյալներ

y2

x12

x 22

yx1

… … … … …

… … … … …

580.5 … … 661.3 … … … 513.5 5506.1

yx 2

x1x2 ŷx1x2

116.1 … … … … … … … … … … 282.8 197.5 1974.6 676

38.841 38.912 … … 38.981 … … … 40.098 39.470 39.4

Նորմալ հավասարումների համակարգն ունի հետնյալ տեսքը` ⎧ոa0 + a1∑ x1 + a2 ∑ x 2 = ∑ y ⎪⎪ ⎨a0 ∑ x1 + a1∑ x1 + a2 ∑ x 2x1 = ∑ yx1 ⎪ ⎩⎪a0 ∑ x 2 + a2 ∑ x1x 2 + a2 ∑ x 2 = ∑ yx 2: ⎧10a0 + 140a1 + 50a2 = 394 ⎪ ⎨140a0 + 2030a1 + 676a2 = 5506.1 ⎪ ⎩50a0 + 676a1 + 264a2 = 1974.6 :

Լուծելով հավասարումների համակարգը` կստանանք. a0 = 39.335 , a1 = − 0.07 , a2 = 0.209 : Բազմակի ռեգրեսիայի մոդելը կստանա հետնյալ տեսքը`

ŷ x1x 2 = 39.335 − 0.07x1 + 0.209x2 :

a1 պարամետրը ցույց է տալիս, որ միջհերթափոխային պարապուրդների տնողությունը մեկ րոպե ավելացնելու դեպքում արտադրանքի արտադրությունը նվազում է 0.07 տոննայով: a2 պարամետրը ցույց է տալիս, որ անվորների արտադրական ստաժի ավելացումը մեկ տարով` 0.209 տոննայով ավելացնում է արտադրանքի արտադրությունը:

7.5. Կապի նշանակալիության գնահատումը: Ռեգրեսիայի հավասարման հիման վրա որոշումների ընդունում Ռեգրեսիայի հավասարումների հիման վրա կառուցված մոդելների համապատասխանության (ադեկվատության) ստուգումը սկսվում է ռեգրեսիայի յուրաքանչյուր գործակցի նշանակալիության ստուգումից: Դա իրականացվում է Ստյուդենտի t-հայտանիշի օգնությամ ` a tք = i , (7.12)

σ2ai

որտեղ`

σ2ai -ն ռեգրեսիայի գործակցի դիսպերսիան է:

Մոդելի պարամետրը համարվում է վիճակագրորեն նշանակալի, եթե. tք » tkք α, ν = ո − k − 1 , α որտեղ` -ն կապը չափող պարամետրերի` զրոյի հավասար լինելու վերա երյալ հիպոթեզի ստուգման չափանիշի նշանակալիության մակարդակն է, այսինքն` կապի վիճակագրականորեն էական լինելը հաստատվում է այդ զրոյական հիպոթեզի ժխտման դեպքում, ν Հ ո-k-1-ը` ազատության աստիճանների թիվը, որը նութագրում է համակցության ազատ տատանվող միավորների քանակը, ո-ը` համակցության ծավալը: Այդ արտահայտությունում առավել արդ է որոշել դիսպերսիան, որը կարող է հաշվարկվել երկակի եղանակով: էմպիրիկ մեթոդաանությամ ընդունված պարզագույն եղանակի իմաստը հետնյալն է. ռեգրեսիայի գործակցի դիսպերսիան կարող է մոտավոր հաշվարկվել հետնյալ արտահայտությունից`

(

)

σ2ai =

σ2y

, k որտեղ` σ2y -ն արդյունքային հատկանիշի դիսպերսիան է,

(7.13)

k-ն` հավասարման գործոնային հատկանիշների թիվը: Դիսպերսիայի մեծության ավելի ստույգ գնահատականը կարելի է ստանալ հետնյալ անաձնով`

σ2ai =

σy 1 − R2 σxi ո 1 − Ri2

,

(7.14)

որտեղ` Ri -ն ազմակի կոռելյացիայի գործակցի արժեքն է ըստ xi գործոնի` մյուս գործոնների հետ միասին: Ամ ողջ մոդելի համապատասխանության ստուգումն իրականացվում է Է-հայտանիշի ն ապրոքսիմացիայի միջին սխալի` ε -ի հաշվարկման օգնությամ : Ֆիշերի Է-հայտանիշի արժեքը որոշվում է հետնյալ անաձնով. ∑ ŷk2 + k Է= , ( ) − y ŷ k ո − k −1∑ i որտեղ` ŷ1,2,...,k -ն արդյունքային հատկանիշի տեսական արժեքն է, ո-ը` համակցության ծավալը, k-ն` մոդելում գործոնային հատկանիշների թիվը: Եթե Էք > Էα , եր նշանակալիության մակարդակը α Հ0.05 կամ

α Հ0.01, ապա ռեգրեսիայի հավասարման մեջ եղած ն իրականում գոյություն ունեցող կապերի անհամապատասխանության Ւ0 վարկածը ժխտվում է: Էα -ի արժեքը որոշվում է հատուկ աղյուսակներից` α Հ0.05 կամ α Հ0.01 նշանակալիության մակարդակի ն ν1Հk-1, ν2Հո-k ազատության աստիճանների թվի հիման վրա: Այստեղ` ո-ը դիտարկումների թիվն է, k-ն` հավասարման մեջ եղած գործոնային հատկանիշների թիվը: Ապրոքսիմացիայի միջին սխալի ( ε ) արժեքը չպետք է գերազանցի 12-159-ը. ε=

Առավել

y − ŷ1,2,...,k ⋅ 100 : ո∑ y

արդ է ռեգրեսիայի վերլուծության ավարտական

փուլը` հավասարման տնտեսագիտական մեկնա անումը: Կամայական մեկնա անում սկսվում է ռեգրեսիայի հավասարման ընդհանրական վիճակագրական գնահատումից: Միաժամանակ գնահատվում է մոդելում ընդգրկված գործոնային հատկանիշների նշանակալիությունը, այսինքն` պարզա անվում է, թե ինչպես են դրանք ազդում արդյունքային հատկանիշի վրա: Որքան մեծ է ռեգրեսիայի գործակցի արժեքը, այնքան նշանակալի է տրված գործոնային հատկանիշի ազդեցությունը մոդելավորվող հատկանիշի վրա: Ընդ որում` հատուկ կարնորություն ունի ռեգրեսիայի գործակցի նշանը, որը պարզա անում է տվյալ գործոնի ազդեցության նույթը արդյունքային հատկանիշի վրա: Եթե գործոնային հատկանիշն ունի դրական նշան, ապա այդ գործոնի աճը երում է նան արդյունքային հատկանիշի աճի: Բացասական նշանի դեպքում, դրա մեծացման հետ փոքրանում է արդյունքային հատկանիշը: Նշանների մեկնա անությունը լիովին որոշվում է մոդելավորվող հատկանիշի սոցիալ-տնտեսական ովանդակությամ : Ուսումնասիրվող երնույթին ռեգրեսիայի հավասարման համապատասխանության վերլուծության արդյունքում կարող են ստացվել հետնյալ հնարավոր տար երակները. Ըստ Է-հայտանիշի ստուգման արդյունքում պարզվել է, որ կառուցված մոդելը հիմնականում համարժեք է (ադեկվատ), իսկ ռեգրեսիայի ոլոր գործակիցները նշանակալի են: Այդպիսի մոդելը կարող է կիրառվել ն՛ որոշումների կայացման, ն՛ կանխատեսումների համար: Մոդելը ըստ Է-հայտանիշի ադեկվատ է, սակայն ռեգրեսիայի գործակիցների մի մասը նշանակալի չէ: Այդ դեպքում մոդելը կիրառելի է մի շարք որոշումների կայացման համար, իսկ կանխատեսման համար` ոչ: Մոդելը ըստ Է-հայտանիշի ադեկվատ է, սակայն ռեգրեսիայի ոլոր գործակիցները նշանակալի չեն: Այդպիսի մոդելը ամ ողջությամ համարվում է ոչ ադեկվատ: Դրա հիման վրա չեն ընդունվում որոշումներ, ն կանխատեսումներ չեն իրականացվում: Տնտեսական վերլուծության հնարավորություններն ընդլայնելու նպատակով կիրառվում են էլաստիկության մասնակի գործակիցները ( ∋x ), որոնք հաշվարկվում են հետնյալ անաձնով` i

xi , (7.15) y որտեղ` xi -ը համապատասխան գործոնային հատկանիշի միջին արժեքն է,

∋x Հ ai i

y -ը` արդյունքային հատկանիշի միջին արժեքը, ai -ն` համապատասխան գործոնային հատկանիշի ռեգրեսիայի գործակիցը: էլաստիկության գործակիցը ցույց է տալիս, թե միջինում քանի տոկոսով կփոխվի արդյունքային հատկանիշի արժեքը գործոնային հատկանիշը մեկ տոկոսի չափով փոփոխվելու դեպքում: Տնտեսական վերլուծության մյուս ցուցանիշը դետերմինացիայի մասնակի գործակիցն է` dxi = ryx β x , (7.16) i

i

որտեղ` dxi -ն դետերմինացիայի մասնակի գործակիցն է, ryx -ն` արդյունքային ն i-րդ գործոնային հատկանիշների i

միջն զույգային կոռելյացիայի գործակիցը, β x -ն` ազմակի ռեգրեսիայի հավասարման համապաi

տասխան գործակիցը` ստանդարտացված մասշտա ով: Դետերմինացիայի մասնակի գործակիցը ցույց է տալիս, թե արդյունքային հատկանիշի տատանման քանի տոկոսն է պայմանավորված ռեգրեսիայի հավասարման մեջ մտնող i-րդ հատկանիշի տատանումով: Բազմակի դետերմինացիայի գործակիցը (R2) ազմակի կոռելյացիայի գործակցի քառակուսի աստիճանն է: Այն նութագրում է, թե արդյունքային հատկանիշի տատանման ո՛ր մասն է պայմանավորված ազմագործոն ռեգրեսիայի մոդելում ընդգրկված գործոնային հատկանիշների փոփոխությամ : Մոդելավորվող հատկանիշի վրա առանձին գործոնային հատկանիշի ազդեցությունն առավել ճիշտ գնահատելու համար կիրառվում է Օ-գործակիցը, որը որոշվում է` Օx = ∋x v x (7.17) i

i

i

անաձնով, որտեղ` v x -ն համապատասխան գործոնային հատկաi

նիշի վարիացիայի գործակիցն է: Հաշվարկը կարող է լրացվել դետերմինացիայի մասնակի ն ազմակի գործակիցների որոշումով ն պարզա անմամ , ինչը հնարավորություն է տալիս ընդհանուր ձնով արտացոլել չափակցվող ցուցանիշի կապը գործոնային հատկանիշի հետ: Օրինակ` 7.5 աղյուսակի տվյալներով հաշվարկենք էլաստիկության, դետերմինացիայի ն Օ- մասնակի գործակիցները ներհերթափոխային պարապուրդի տնողության (x1) ն անվորների արտադրական ստաժի (x2) գործոնների համար: Լուծում. էլաստիկության մասնակի գործակիցը որոշվում է

(7.15) անաձնով: Ըստ ներհերթափոխային պարապուրդի տնողության էլաստիկության գործակիցը` x ∋1= a1 1 = −0.07 = −0.0248 , y 39.4 որտեղ ∋1 Հ - 0.0248 ցույց է տալիս, որ 1 9-ով պարապուրդների ավելացումը 2.48 9-ով կրճատում է արտադրանքի թողարկումը: Որոշենք արտադրանքի էլաստիկության գործակիցը` կախված անվորների արտադրական ստաժից. x ∋ 2 = a2 2 = 0.209 ⋅ = 0.0265 : y 39.4 ∋2 -էլաստիկության գործակիցը ցույց է տալիս, որ արտադրական ստաժի 19-ով ավելացման դեպքում թողարկվող արտադրանքը ավելանում է 2.659-ով: Որոշենք դետերմինացիայի մասնակի գործակիցը x1 ներհերթափոխային պարապուրդի տնողության գործոնի համար (7.16 անաձնով)` dx1 = ryx1βx1 : Բետա-գործակիցները որոշվում են βi = ai

σ xi անաձնով, իսկ σy

կոռելյացիայի գործակիցը` (7.19) անաձնով` yx − y ⋅ xi : ryx = i i

σ y σ xi

Գործակիցները (βi , ryx i ) հաշվարկելիս անհրաժեշտ է որոշել միջին քառակուսային շեղումները`

σx1 , σx2 ն σ y -ը.

σ x1 = x 2 − (x )2 = 203 − 142 = 2.646 րոպե: σ x 2 = 26.4 − 52 = 1.183 տարի:

σ y = 1552.61 − 39.42 = 0.5 տոննա: Որոշենք կոռելյացիայի գործակիցները` 550.61 − 14 ⋅ 39.4 ryx1 = = − 0.748: 2.646 ⋅ 0.5 197.46 − 5 ⋅ 39.4 ryx 2 = = 0.777 : 1.183 ⋅ 0.5 Այս դեպքում`

2.646 = − 0.37: 0.5 dx1 = − 0.748 ⋅ (−0.37) = 0.27676: dx1 = 0.277 : Հաշվարկենք dx2 դետերմինացիայի մասնակի գործակիցը x2 (արտադրական ստաժը) գործոնի համար. 1.183 dx2 = βx 2 ryx 2 , β x 2 = 0.209 ⋅ = 0.494 0 .5 dx 2 = ryx 2 β x 2 = 0.777 ⋅ 0.494 = 0.383838 = 0.384 :

β1 = − 0.07 ⋅

Բետա-գործակիցների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ աշխատանքի արտադրողականության վրա առավել զգալի ազդեցություն է գործում աշխատանքային ստաժը: dx1 մասնակի դետերմինացիայի գործակիցը վկայում է, որ 27.7 9-ով տատանումը պայմանավորված է միջհերթափոխային պարապուրդներով, իսկ dx2-ը վկայում է, որ տատանման 38.4 9-ը պայմանավորված է անվորների աշխատանքային ստաժով: 3) Որոշենք Օ-գործակիցը ներհերթափոխային պարապուրդի տնողության գործոնի համար` Օx1 = ∋x1 v x1

σ x1

2.646 ⋅ 1009 = 18.99 Օx1 = (− 0.0248) ⋅ 18.9 = − 0.4687 :

∋x1 = − 0.0248 , v x1 =

Օ-գործակիցը համար կկազմի`

x1

⋅ 100 =

անվորների արտադրական ստաժի գործոնի

Օx 2 = ∋x 2 v x 2 1.183 ⋅ 1009 = 23.669 = 0.0265 ⋅ 23.66 = 0.627 :

∋ x 2 = 0.0265 , v x 2 = Օx2

Եզրակացություն. առավել էական է x2 գործոնի (արտադրական ստաժի) ազդեցությունը: Ընդհանրապես դրական գնահատելով ռեգրեսիայի հավասարումների նշանակությունը, որպես կապի ադեկվատ մոդելների, հարկ է նշել նան դրանց ացասական հատկությունները: Այդ մոդելները լավ ապրոքսիմացիա են ունենում արդյունքային հատկանիշի այն նշանակությունների համար, որոնք գտնվում են հատկանիշի անհատական արժեքների կարգավորված շարքի կենտրոնում: Տվյալ նշանակությունների համար ապրոքսիմացիայի սխալը

չի գերազանցում 1-29-ը: Ելքային շարքի ծայրերում ապրոքսիմացիայի սխալները կարող են հասնել մինչն 509-ի: Ռեգրեսիայի հավասարումների հիման վրա հնարավոր չէ ստանալ մոդելավորվող ցուցանիշի օպտիմալ նշանակությունը. ռեգրեսիայի հավասարումների հիման վրա կառուցված մոդելներն ունեն թույլ էքստրապոլյացիոն հատկություններ, քանի որ չեն արտացոլում սոցիալտնտեսական երնույթների ն պրոցեսների զարգացման միտումները: Դրանք պիտանի են միայն հավանական նույթ կրող կարճաժամկետ կանխատեսումների համար: Ռեգրեսիայի մոդելների առավել լրիվ տնտեսական մեկնա անումը հնարավորություն է տալիս ացահայտելու տնտեսական սու յեկտների զարգացման պահուստները (ռեզերվները) ն արձրացնելու դրանց գործարար ակտիվությունը:

7.6. Կոռելյացիոն կապի ուսումնասիրման պարամետրական մեթոդները Կոռելյացիայի գոյության գնահատումը: Կապի սերտության ն ուղղվածության որոշումը սոցիալ-տնտեսական երնույթների ուսումնասիրման ն փոխկախվածության քանակական չափման կարնոր խնդիրն է: Հատկանիշների միջն կապի սերտության գնահատումը ենթադրում է որոշել, ինչքանով է համապատասխանում արդյունքային հատկանիշի տատանումը մեկ կամ մի քանի գործոնային հատկանիշների փոփոխությանը: Կապի սերտության գծային կախվածությունը որոշվում է կոռելյացիայի գործակցի օգնությամ : Վիճակագրության տեսությունում մշակվել ն գործնականում կիրառվում են տար եր հաշվարկային անաձներ. (x − x) ⋅ (yi − y) , (7.18) rxy = i

σxσy

որտեղ` rxy -ը գծային կոռելյացիայի գործակիցն է: Օգտվելով միջին թվա անականի հատկություններից ն (7.18) անաձնից` ստանում ենք. yx − x ⋅ y rxy = : (7.19)

σxσ y

Հետագա ձնափոխությունները թույլ են տալիս ստանալ գծային կոռելյացիայի հաշվարկման հետնյալ անաձները.

rxy =

կամ`

∑ (xi − x )(yi − y ) ,

(7.20)

ոσ x σ y

∑ (xi − x )(yi − y ) ∑ (xi − x ) ∑ (yi − y )

rxy =

,

(7.20.1)

որտեղ` ո-ը դիտարկումների թիվն է: Կատարելով հաշվարկը ըստ գումարային (ելակետային) փոփոխականների` կոռելյացիայի գծային գործակիցը կարելի է հաշվարկել նան հետնյալ անաձնով. ո∑xy−∑x∑y (7.21) rxy = 2⎤ 2⎤ ⎡ ⎡ ⎢⎣ո∑x − ∑x ⎥⎦.⎢⎣ո∑y − ∑y ⎥⎦ կամ

( )

( )

rxy =

∑ xy − ∑ x ⎡ ⎢ x2 − ⎢∑ ⎢⎣

∑y

ո ⎤⎡ ∑ x ⎥⎢ 2 . y − ո ⎥ ⎢∑ ⎥⎦ ⎣⎢

( )

(∑ y) ⎥

:

(7.22)

2⎤

ո

⎥ ⎦⎥

Կոռելյացիայի գործակիցը կարող է արտահայտվել նան դիսպերսիաների գումարելիների միջոցով` σ2 + σ2y − σ2x − y rxy = x : (7.23) 2σ xσ y Վերջին երեք անաձներից կարելի է օգտվել, եր դիտարկումների ծավալը` ո ≤ 20 ÷ 30: Կոռելյացիայի գծային գործակցի ն ռեգրեսիայի գործակցի միջն գոյություն ունի որոշակի կապ` aiσ x i , rxy = (7.24)

σy

որտեղ` ai -ն կապի հավասարման ռեգրեսիայի գործակիցն է, σx -ն` գործոնային հատկանիշի միջին քառակուսային շեղումը: i

Գծային կոռելյացիայի գործակիցը կարնոր նշանակություն ունի սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների այն ուսումնասիրություններում, որոնց աշխումը մոտ է նորմալ աշխման օրենքին: Հեշտ է ապացուցել, որ rxy = 0 պայմանի դեպքում x ն y փոփո-

խականներն անկախ են: Այդ պայմանի դեպքում ռեգրեսիայի գործակիցները նույնպես հավասար կլինեն զրոյի` axy Հ 0, ayx Հ 0, իսկ ռեգրեսիայի ուղիղները կլինեն փոխադարձ ուղղահայաց. առաջինը` զուգահեռ ա սցիսների առանցքին, իսկ երկրորդը` օրդինատների առանցքին: Եթե rxy = 1 , նշանակում է ոլոր կետերը գտնվում են ուղղի վրա, ն կախվածությունը դրանց միջն կլինի ֆունկցիոնալ: Այս դեպքում ռեգրեսիայի ուղիղները համընկնում են: Գծային կոռելյացիայի գործակիցը նորոշում է երկու պատահական մեծությունների կապի սերտությունը. ցույց է տրվում, որ կոռելյացիայի գործակիցը ացարձակ մեծությամ փոքր կամ հավասար է մեկի` |rxy| ≤ 1 կամ` - 1 ≤ rxy ≤ 1 : Կոռելյացիայի ն ռեգրեսիայի գործակիցների նշանները համընկնում են: Ընդ որում` կոռելյացիայի գործակցի արժեքների մեկնաանումը կարելի է ներկայացնել (7.7) աղյուսակի միջոցով: Կոռելյացիայի գծային գործակցի նշանակալիությունը ստուգվում է Ստյուդենտի t-հայտանիշի հիման վրա: Առաջ է քաշվում ն ստուգվում Ւ0 վարկածը` Ւ0 : rxy Հ 0, այսինքն` կոռելյացիայի գործակիցը` rxy Հ 0-ի: Այդ վարկածի ստուգման համար օգտվում են t-վիճակագրից` tP =

rxy

1−

rxy

(ո − 2)

=

rxy 1 − rxy

ո−2 :

(7.25)

Եթե հաշվարկված արժեքը` - P > - KP (α, ν =ո − 2) աղյուսակային արժեքից, ապա Ւ0 վարկածը ժխտվում է, ինչը վկայում է կոռելյացիայի գծային գործակցի նշանակալիության, հետնա ար` x ն y կախվածությունների միջն կապի առկայության մասին: Տվյալ հայտանիշից կարելի է օգտվել, եր համակցության ծավալը` ո < 50 ից: Բազմաթիվ դիտարկումների դեպքում (ո > 100 ) օգտագործվում է t-վիճակագրի հետնյալ անաձնը. r (7.26) tP = ո: 1 − r2 Աղյուսակ 7.7 Գծային կոռելյացիայի գործակցի գնահատումը Կապի գծային գործակցի արժեքը

Կապի նույթը

Կապի մեկնա անումը

rՀ0

ացակայում է

0≤ r≤1

ուղիղ

x-ի մեծացման հետ մեծանում է y-ը, ն հակառակը` x-ի փոքրացման հետ փոքրանում է y-ը:

-1 ≤ r ≤ 0

հակադարձ

x-ի մեծացման հետ y-ը փոքրանում է ն հակառակը` x-ի փոքրացման հետ մեծանում է y-ը:

ֆունկցիոնալ

Գործոնային հատկանիշի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է արդյունքային հատկանիշի մեկ որոշակի արժեք:

rՀ1

Կոռելյացիայի գծային գործակցի միջակայքերի ստույգության գնահատման համար օգտվում ենք Ֆիշերի 2- աշխումից` 1 1+ r 2 = lո : 2 1− r Առաջին հերթին գնահատվում է 2-ի միջակայքը` ⎡ 1 ⎤ 2 ∈ ⎢2′ ± t ν (7.27) ⎥, ո−3⎥ ⎣⎢ ⎦ որտեղ` t-ն նորմալ աշխման աղյուսակային արժեքն է` կախված ν = 1 − α ( α -ն հավանականության մակարդակն է), 2′ -ը` 2 = f (r ) աշխման աղյուսակային արժեքը ( 2′ -ֆունկցիան կենտ է` 2' = f (− r ) = − f (r ) ): 2-ցուցիչի առավելությունը r -ի նկատմամ այն է, որ 2-ի աշխումն արագ մոտենում է նորմալ աշխմանը, իսկ r -ի աշխումը` զգալիորեն շեղվում է նորմալ աշխումից: Այդ պատճառով փոքրաթիվ դիտարկումների ժամանակ 2-ի աշխումը տալիս է հուսալի արդյունք: Անցումը r -ից 2-ին կատարվում է հատուկ աղյուսակների օգնությամ : 2-ի միջին սխալը որոշվում է`

μչ=

ո −3

անաձնով,

իսկ ստույգությունը գնահատվում է`

- = չ հայտանիշով: μչ Օրինակ` ըստ աղյուսակ (7.2) տվյալների` հաշվարկենք գծային կոռելյացիայի գործակիցը (տես` աղյուսակ 7.3.1). Աղյուսակ 7.7.1 Կոռելյացիայի գործակցի հաշվարկը N

Հիմնական արտադրական

Օրական մշակվող

xi2

xiyi

y i2

Ընդ. Միջին արժեք

ֆոնդեր (մլն դրամ. միավոր) xi 2.3 2.4 2.9 2.9 3.7 3.7 4.1

ճակնդեղ (հազ. տ) yi 8.9 9.9 10.3 12.8 13.1

5.29 5.76 8.41 8.41 13.69 13.69 16.81 76.06

17.8 23.76 29.87 48.1 47.36 53.71 272.6

79.21 98.01 106.09 163.84 171.61 987.76

9.5075

34.075

123.47

Լուծում. Օգտվելով (7.19) անաձնից` rxy = որտեղ`

xy − x ⋅ y

σxσy

,

σx = x2 − (x )2 = 9.5075 − 9 = 0.5075 = 0.71 ,

σ y = 123.47 − 121 = 2.47 = 1.57 , xy = 34.07 , x = 3 , y = 11, 34.075 − 3 ⋅ 11 1.075 = = 0.96 , 0.71 ⋅ 1.57 1.1147 նշանակում է հիմնական արտադրական ֆոնդերի ն օրական մշակվող շաքարի ճակնդեղի քանակի միջն գոյություն ունի սերտ դրական կապ, այսինքն` արտադրական ֆոնդերի մեծացումը առաջ է երում մշակվող շաքարի ճակնդեղի քանակի ավելացում, ն հակառակը: Ստուգենք կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը. rxy 0.96 tP = ո−2 = 8 − 2 = 8.39 1 − rxy 1 − 0.962 ստանում ենք rxy =

α = 0.05 նշանակալիության մակարդակի ն νՀ 8 - 2 Հ 6 ազատության աստիճանների թվի դեպքում [ | 0 : r = 0 ] վարկածը ժխտվում է, քանի որ tP = 8.39 > tKP = 2.447 (հավելված 4), ինչը հավաստում է տվյալ կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը: Որոշենք կոռելյացիայի գծային գործակցի վստահելի միջակայքերը արտադրական ֆոնդերի ն օրական մշակվող շաքարի ճակնդեղի քանակի միջն: Վստահելի հավանականությունը կլինի ν = 0.95 ( α = 0.05 , ν = 1 − α ): Այս դեպքում t Հ 1.96 նորմալ աշխ-

ման օրենքի համար (տե՛ս հավելված 1) rxy = 0.96 , 2′ = 1.9459 (տե՛ս հավելված 6).

2′ − t ν

≤ 2 ≤ 2′ + t ν ո−3 ո−3

≤ 2 ≤ 1 .9459 + 1 .96 8−3 8−3 1 . 9459 − 0 . 8765 ≤ 2 ≤ 1 . 9459 + 0 . 8765 1 .0694 ≤ 2 ≤ 2 .8224 : Ըստ Ֆիշերի 2-ձնափոխության աղյուսակի` որոշում ենք r-ի սահմանները` 0.79 ≤ r ≤ 0.993 : Երկու հատկանիշների միջն գծային ն ոչ գծային կապի առկայության դեպքում սերտության չափը որոշելիս օգտվում են կոռելյացիոն հարա երությունից: Տար երում են էմպիրիկ ն տեսական հարա երությունները: էմպիրիկ կոռելյացիոն հարա երությունը հաշվարկվում է խմ ա1 .9459 − 1 .96

վորման տվյալների հիման վրա, եր δ 2 -ն նութագրում է արդյունքային հատկանիշի խմ ային միջինների շեղումները ընդհանուր միջինից. η=

σ2 − σi2 σ2 δ2 = 1 − i2 = , σ σ σ2

(7.28)

որտեղ` η -ն կոռելյացիոն հարա երությունն է, σ2-ն` ընդհանուր դիսպերսիան,

σi2 -ն` խմ ային դիսպերսիաների միջինը, δ2 -ն միջխմ ային դիսպերսիան է (խմ ային միջինների դիսպերսիան): Թվարկված ոլոր դիսպերսիաները արդյունքային հատկանիշի դիսպերսիաներն են: Տեսական կոռելյացիոն հարա երությունը որոշվում է հետնյալ անաձնով` η=

δ2

σ2

,

(7.29)

որտեղ` δ2-ն արդյունքային հատկանիշի հարթեցված, այսինքն` ըստ ռեգրեսիայի հավասարման հաշվարկված արժեքների դիսպերսիան է`

∑ (ŷ x − y )

δ=

ո

= δ2ŷ , x

σ -ն` արդյունքային հատկանիշի էմպիրիկ (փաստացի) դիսպերսիայի արժեքը`

(y − y ) σ= ∑ i = σ2y :

ո Տեղադրելով (7.29)` ստանում ենք հետնյալ անաձնը.

∑ (ŷ x − y ) ∑ (yi − y )

η=

,

(7.30)

որը ացատրվում է գործոնային հատկանիշի ազդեցությամ : Կոռելյացիոն հարա երության հաշվարկման հիմքում ընկած է դիսպերսիաների գումարման կանոնը`

σ2 = δ2 + σi2

(7.31)

որտեղ` σi2 -ն արտացոլում է արդյունքային հատկանիշի (y) տատանման աստիճանը` չնախատեսված ոլոր գործոնների ազդեցության ներքո, այսինքն` կրում է մնացորդային նույթ. σi2 = σост

∑ (y − ŷ x )

=

: ո Այսպիսով, կոռելյացիոն հարա երության անաձնը կընդունի հետնյալ տեսքը`

η=

δ2

σ2

=

σ 2 − σост σ2

= 1−

σост σ2

:

(7.32)

Կոռելյացիոն հարա երությունը կապի սերտության ավելի ունիվերսալ ցուցանիշ է` գծային կոռելյացիայի գործակցի համեմատությամ : Բազմակի կոռելյացիայի գործակիցը հաշվարկվում է ինչպես արդյունքային ն մի քանի գործոնային հատկանիշների, այնպես էլ գործոնային հատկանիշների յուրաքանչյուր զույգի միջն գծային կապի առկայություն դեպքում: Բազմակի կոռելյացիայի գործակիցը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` R y/x1x 2,...,x K =

δ2

σ2

= 1−

σост σ2

,

որտեղ` R-ը ազմակի կոռելյացիայի գործակիցն է,

δ2-ն` ըստ ազմակի ռեգրեսիայի հավասարման հաշվարկված` արդյունքային հատկանիշի տեսական արժեքների դիսպերսիան, σ ост -ն` մնացորդային դիսպերսիան, σ -ն` արդյունքային հատկանիշի ընդհանուր դիսպերսիան:

Արդյունքային (y) ն երկու գործոնային հատկանիշների (x1, x2) միջն կապի սերտությունը գնահատելու համար ազմակի կոռելյացիայի գործակիցը կարելի է որոշել` R y / x1x 2 =

ryx + ryx − 2ryx1ryx 2 rx1x 2

(7.33)

1 − rx21x 2

անաձնով, որտեղ` r-ը զույգային կոռելյացիայի գործակիցներն են հատկանիշների միջն: Բազմակի կոռելյացիայի գործակիցը կարելի է հաշվարկել` օգտագործելով զույգային կոռելյացիայի (rij) ն ռեգրեսիայի ստանդարտացված մասշտա ի (βi) գործակիցները`

R x1,x 2 ,...xK = β1ryx1 + β2ryx 2 + ... + βkryxK =

K

∑ βiryxi i=1

:

Բազմակի կոռելյացիայի գործակիցը փոփոխվում է 0-ից մինչն 1-ի սահմաններում` 0 ≤ R ≤ 1: Եթե R-ը ձգտում է 1-ի, նշանակում է հատկանիշների միջն գոյություն ունի սերտ կապ, որի խտությունը մեծ է: Սակավաթիվ դիտարկումների դեպքում կոռելյացիայի գործակցի արժեքը, որպես կանոն, չափից ավելի է մեծանում: Որպեսզի գնահատվի արդյունքային (մոդելավորվող) հատկանիշի ընդհանուր տատանումը` կախված գործոնային հատկանիշներից, ազմակի կոռելյացիայի գործակցի մեծությունը ճշգրտվում է հետնյալ արտահայտության հիման վրա` ո −1 Rˆ y/x1,x 2 ,...xK = 1 − 1 − R 2y/x1x 2 , (7.34) ո − k −1

(

)

որտեղ` R̂ -ը ճշգրտված նշանակությունն է, ո-ը` դիտարկումների թիվը, k-ն` գործոնային հատկանիշների թիվը:

R̂ y/x 1x 2 -ի ճշգրտումը չի կատարվում ո − k ≥ 20 պայմանի k դեպքում: Բազմակի կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը կարե-

լի է ստուգել Ֆիշեր-Սնեդեկորի Է-հայտանիշի հիման վրա. 1 2 R y/x1x 2 : (7.35) ԷP = 1 − R 2y/x1x 2 ո−3 Բազմակի կոռելյացիայի գործակցի ոչ նշանակալիության մասին վարկածը [Ւ0 : R Հ 0] ժխտվում է, եթե ԷP »ԷKP (α, ν1Հ2, ν2Հո-3): Բազմակի կոռելյացիայի գործակցի վստահելի սահմանների գնահատումը կատարվում է հետնյալ ձնով. R-ի մեծությունը հավասարեցվում է 2 մեծության հիպեր ոլիկ տանգենսին` R = tհ2 , 1 1+ R որտեղ` 2 = lո : 2 1− R 2-ի աշխման խտությունը մոտ է նորմալ աշխմանը` 1 1+ R R միջին արժեքի ն 2 = lո + 2 1 − R 2(N − 1)

(

)

դիսպերսիայի դեպքում: N−3 Հետնա ար` {− tσ 2 < 2 0 − 2 < tσ 2 } = φ(t ) :

σ22 =

Այստեղից` 2 − tσ 2 ≤ 2 0 ≤ 2 + tσ 2 , 21 = 2 - tσ 2 , 22 Հ 2 + tσ 2 : Ըստ Ֆիշերի 2-ձնափոխման աղյուսակի` գտնում ենք R-ի նշանակության վերին ն ստորին սահմանները` R1 Հ R Հ R2 Օրինակ` աղյուսակ 7.5-ի հաշվարկային տվյալներով` որոշենք ազմակի կոռելյացիայի գործակիցը ն դրա սխալը: Այդ նպատակով որոշենք նան զույգային կոռելյացիայի գործակիցները` կապի սերտության աստիճանը, արտադրանքի արտադրության, միջհերթափոխային պարապուրդի ն աշխատանքային ստաժի միջն. 550.61 − 14 ⋅ 39.4 197.46 − 5 ⋅ 39.4 ryx1 = = - 0.748: ryx 2 = = 0.777: 2.646 ⋅ 0.5 1.183 ⋅ 0.5 rx1x 2 =

67.6 − 14 ⋅ 5 = - 0.767 : 2.646 ⋅ 1.183

Կոռելյացիայի գործակիցների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ արտադրանքի ն միջհերթափոխային պարապուրդների տնողության միջն գոյություն ունի ացասական սերտ կոռելյացիոն կապ, իսկ արտադրանքի արտադրության ն արտադրական ստաժի միջն` դրական սերտ կապ: Զույգային կոռելյացիայի գործակիցների ազդեցությունը արդյունքային հատկանիշի վրա արտացոլվում է ոչ միայն հետազոտ-

վող գործոններով, այլ նան այլ գործոններով, որոնք չեն ընդգրկված գործոնային մոդելում: Բազմակի կոռելյացիայի գործակիցը որոշվում է (7.33) անաձնով. Ry/x x =

(− 0.748) 2+ 0.777 2− 2(− 0.748 )⋅ 0.777(− 0.767) = 1− (− 0.767)

0.6597= 0.8122

ո − k 10 − 2 8 = = = 4 < 20 պայմանի դեպքում կատարվում է k տվյալ կոռելյացիայի գործակցի ճշգրտումը. ո −1 R̂ y/x1,x 2 = 1 − 1 − R2y/x1,x 2 անաձնով, ո − k −1

(

(

Rˆ y/x1,x 2 = 1 − 1 − 0.8122

)1010− −2 1− 1 =

)

1 − 0.4375 = 0.5625 = 0.75 :

Ստուգենք ազմակի կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը Ֆիշեր-Սնեդեկորի Է-հայտանիշի օգնությամ (7.35 անաձն)` ⋅ 0.812 2 0.5 ⋅ 0.6597 0.33 = = = 6.79 : ԷP = 1 ⎛ 0.0486 ⎞ ⋅ (1 − 0.6597 ) ⎜ 1 − 0.812 ⎟ 10 − 3 ⎝ ⎠ Կոռելյացիայի գործակցի ոչ նշանակալիության մասին վարկածը ժխտվում է, քանի որ ԷP Հ 6.79 » ԷKP Հ 4.74 (α Հ 0.05, ν1 Հ 2, ν2 Հ 10 – 3 Հ 7): Որոշենք R-ի վստահելիության սահմանները գլխավոր համակցությունում: Այդ դեպքում վստահելի հավանականությունը կլինի` ν Հ 0.95 (α Հ 0.05,ν Հ 1 – α) tν Հ 1.96 (հավելված 1) RՀ0.812 2Հ1.127

σ2 =

= = 0.38 : −1.96 ⋅ 0.38 ≤ 20 − 2 ≤ 1.96 ⋅ 0.38 ո−3 10 − 3 −0.745 ≤ 2 0 − 2 ≤ 0.745 : 21 = 1.127 − 0.745 = 0.382 22 = 1.127 + 0.745 = 1.872 : 0.382 < 2 < 1.872 :

Ըստ Ֆիշերի 2-ձնափոխության աղյուսակի (հավելված 6)` ստացվում է 0.36 ≤ R ≤ 0.95: Կոռելյացիայի ինդեքսի հաշվարկը: Արտադրանքի, պարապուրդի ն ստաժի միջն կոռելյացիայի կապի սերտության գնահատման համար օգտագործելով աղյուսակ 7.6-ի տվյալները` հաշվարկենք

ընդհանրական կոռելյացիայի ինդեքսը հետնյալ անաձնով. R = 1−

σ2y −ŷ x x

1 2

σ2y

:

Այդ նպատակով կազմենք լրացուցիչ աղյուսակ (տե՛ս աղյուսակ 7.8).

y

x1

x2

38.7 … … 38.9 … … … 40.4 39.5

… … … … …

… … … … …

39.4

Արտադրական ստաժ

Ներհերթափոխային պարապուրդ

Ընդ. Միջին արժեք

Թողարկվող արտադրանքը

Բանվորների համարները

Աղյուսակ 7.8 Ընդհանուր ն մնացորդային դիսպերսիաների հաշվարկը

Հաշվարկային տվյալներ

y − y ( y − y )2 ŷ x1x 2

y- ŷ x1x 2

(y- ŷx x )

y − ŷ x1x 2 y

-0.4 -0.7

0.16 0.49

38.841 38.912

0.159 -0.212

0.025 0.045

0.004 0.0054

0.5

0.25

38.981

-0.081

0.007

0.002

0.1

0.01 2.5

40.098 39.470

0.302 0.03

0.091 0.0009 0.849

0.0074 0.0007 0.0814

0.25

39.4

0.0849

Կոռելյացիայի ինդեքսի հաշվարկման համար նախապես հաշվարկվում է ընդհանուր դիսպերսիան` σ2y , ն մնացորդային`

σ2y −ŷ X1X2 դիսպերսիան. σ2y = ∑ σ

y − ŷ X1X 2

(y − y )2 ո

∑ (y − ŷx x = ո

1 2

=

2.5 = 0.25

)2 = 0.849 = 0.0849 :

Կոռելյացիայի ինդեքսը` R = 1 − 0.0849 = 0.6604 = 0.8126 : 0.25 Բազմակի կոռելյացիայի գործակցի ն կոռելյացիայի ինդեքսի արժեքները (0.812 ն 0.813) վկայում են, որ հատկանիշների միջն գոյություն ունի սերտ կապ, իսկ այդ գործակիցների միջն շեղվածությունը փոքր է 0.001-ից, որը հաստատում է նրանց միջն գծային կապի առկայությունը: Ռեգրեսիայի մոդելի` ŷ x1x 2 = 39.335 − 0.07x1 + 0.209x 2 -ի համա-

պատասխանության (ադեկվատության) գնահատումը կատարվում է Ֆիշերի Է-հայտանիշի օգնությամ : Այդ նպատակով նախապես որոշում են գործոնային դիսպերսիան`

σ2ŷ X1X 2 = σ 2y − σ 2y − ŷ X1X 2 = 0.25 − 0.0849 = 0.165

σ2ŷ X1X 2

ԷP =

⋅

ո−ո

=

0.165 10 − 3 ⋅ = 6.8 :

σ2y − ŷ X1X 2 ո − 1 0.0849 3 − 1

ԷKP -ի աղյուսակային արժեքը` նշանակալիության մակարդակի

α Հ 0.05 ն ազատության աստիճանների ν1 Հ 2, ν2 Հ 10 – 3 Հ 7

դեպքում հավասար է 4.74 (հավելված 5)` ԷKP (α = 0.05, ν1 = 2, ν 2 = 7) = 4.74 : Քանի որ ԷP > ԷKP (6.8 > 4.74) , նշանակում է ռեգրեսիայի հավասարումը նշանակալի է (ադեկվատ): Բազմակի ռեգրեսիայի հավասարման պարամետրերի գնահատումը կատարվում է Ստյուդենտի t-հայտանիշի օգնությամ ` ta =

a1σx 1− rx2 x

1 2

σy 1− R2y/x x

= -0.998

ta =

⋅ ո − ո −1 =

− 0.07⋅ 2.646 1− (−0.767)2 0.5⋅ 1− 0.8122

0.209 ⋅ 1.183 1− (− 0.767 )2 0.5 ⋅ 1− 0.812 2

10 − 3 − 1 =

⋅ 6 = 1.332 :

Նշանակալիության 0.05 մակարդակի ն 6-ի հավասար ազատության աստիճանների դեպքում` հայտանիշի աղյուսակային արժեքը հավասար է 2.447 ( tKP (0.05, ν = 6) = 2.447 ) (հավելված 4): Քանի որ tP < tKP , նշանակում է` ռեգրեսիայի հավասարման a1 ն a2 պարամետրերի նշանակալիությունը կասկածելի է: Պատճառը` ոչ մեծ թվով դիտարկումներն են. դիտարկումների թիվը պետք է գերազանցի պարամետրերի թվին առնվազն 6 – 7 անգամ, այսինքն` տվյալ օրինակում դիտարկումների թիվը պետք է 18 միավորից փոքր չլինի: Բազմակի կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիության գնահատումը կատարվում է Ստյուդենտի t-հայտանիշի օգնությամ ` tR y

x1x 2

=

RyX

1X 2

ո − ո −1

1 − R 2y X X 1 2

=

0.812 10 − 3 − 1 1 − 0.8122

= 5.85 :

tKP (0.05, ν = 6) = 2.447 (հավելված 4): Քանի որ tP » tKP, նշանակում է ազմակի կոռելյացիայի գործակիցը նշանակալի է: Դետերմինացիայի գործակիցը` ք Հ 0.8122 Հ 0.6597, ցույց է տալիս, որ արտադրանքի տատանման 65.97 9-ը ացատրվում է ներհերթափոխային պարապուրդի ն աշխատանքային ստաժի տատանումով, իսկ 34.039-ը` այլ գործոններով: 0.0814 ⋅ 1009 = 0.89 , Ապրոքսիմացիայի միջին սխալը` ε = y − ŷ x1x 2 որտեղ ∑ = 0.0814 : y Կոռելյացիայի մասնակի գործակիցները նութագրում են x1 ն x2 երկու հատկանիշների միջն եղած կապի սերտության աստիճանը` մնացած (k-2) գործոնային հատկանիշների հաստատուն արժեքների դեպքում: Ենթադրենք ունենք երեք` x1, x2, x3 գործոնային հատկանիշներ, որոնց միջն գոյություն ունի կոռելյացիոն կապ, դրանց զույգային կոռելյացիայի գործակիցները նշանակենք rx1x 2 ,

rx1x 3 , rx2x 3 : Եթե գոյություն ունի սերտ կապ x1 ն x3, x2 ն x3 հատկանիշների միջն, կարելի է ենթադրել, որ սերտ կապ գոյություն կունենա նան x1 ն x2 գործոնային հատկանիշների միջն, ի հաշիվ այն անի, որ x3-հատկանիշը միաժամանակ ազդում է x1 ն x2 հատկանիշների վրա: Այս դեպքում պետք է գտնել x1 ն x2 –ի միջն կոռելյացիայի կապը` ացառելով x3-հատկանիշի ազդեցությունը: Այն գործակիցը, որում ացառվում է միայն մեկ գործոնային

հատկանիշի ազդեցությունը, կոչվում է առաջին կարգի մասնակի կոռելյացիայի գործակից: Ընդհանուր տեսքով առաջին կարգի կոռելյացիայի գործակիցը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով. r −r ⋅r r1,2,3,...,k = 1,2,3...,k −1 1,k,3,...,k −1 2,k,3,...,k −1 : 1 − r12,k,3,...,k −1 1 − r22,k,3,...,k −1

(

)(

)

Եր y արդյունքային հատկանիշը կախված է գործոնային` x1 ն x2 հատկանիշներից, կոռելյացիայի մասնակի գործակիցների հաշվարկի անաձները ընդունում են հետնյալ տեսքը.

ryx1 / x 2 = ryx 2 / x1 =

ryx1 − ryx 2 ⋅ rx1x 2 (1 − ryx ) (1 − rx21x 2 )

ryx 2 − ryx1 ⋅ rx 2x1 (1 − ryx ) (1 − rx22x1 )

,

(7.36)

,

որտեղ` r-րը կոռելյացիայի զույգային գործակիցներն են ինդեքսներում նշված փոփոխականների միջն: Առաջին դեպքում ացառվում է x2 գործոնային հատկանիշի ազդեցությունը, երկրորդում` x1-ինը: Կոռելյացիայի զույգային ն մասնակի գործակիցների նշանակությունները տար երվում են: Զույգային գործակիցը նութագրում է կապը հատկանիշների միջն` հաշվի չառնելով մնացած հատկանիշների ազդեցությունը, իսկ մասնակի գործակիցը հաշվի է առնում նան մնացած գործոնների առկայությունն ու ազդեցությունը: Կոռելյացիայի մասնակի գործակիցների նշանակալիության ստուգումն ու վստահելիության միջակայքի հաշվարկը նման է զույգային կոռելյացիայի հաշվարկին, միայն այն տար երությամ , որ ազատության աստիճանների թիվը` ν Հ ո - k –ի, որտեղ k-ն մասնակի կոռելյացիայի գործակցի կարգն է: Մասնակի կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիության ստուգումը կատարվում է հետնյալ անաձնով. ryx1 / x 2 tP(yx1 / x 2 ) = ⋅ ո−3 , 1 − ryx 1 / x2

tP(yx

)=

2 / x1

ryx 2 / x1 1 − ryx 2 / x1

⋅ ո−3 ,

rx1x 2 / y

tP(x1x 2 / y ) = Եթե`

1 − rx21x 2 / y

⋅ ո−3 :

t P (yx 1 / x 2 ) > t KP (α = 0 . 05 , ν = ո − 3 ), t P (x 1x 2 / y ) > t KP (α = 0 . 05 , ν = ո − 3 ),

| t P (yx 2 / x 1 ) |

> t KP

(α

= 0 . 05 , ν =

ո−

)

3 ,

նշանակում է երված գործակիցները նշանակալի են: Նշանակալի մասնակի կոռելյացիայի գործակցի վստահելի միջակայքը կլինի` 2′ − t ν ≤ 2 ≤ 2′ + t ν : ո−4 ո−4 Օգտվելով Ֆիշերի 2-ձնափոխման աղյուսակից` ստանում ենք կոռելյացիայի գործակիցը վստահելի միջակայքում: Օրինակ` աղյուսակ 7.6-ի հաշվարկային տվյալներով որոշենք մասնակի կոռելյացիայի գործակիցները: Կոռելյացիայի կապի սերտությունն ավելի ճշգրիտ գնահատելու համար հաշվարկվում է մասնակի կոռելյացիայի գործակիցներն ըստ (7.36) անաձնի` − 0.748 − 0.777(− 0.767) ryx1 / x 2 = = − 0.38 , [1 − 0.7772 ][1 − (−0.767)2 ] ryx 2 /x1 =

rx1x 2 / y =

(

) (− 0.767 ) = 0.48 , [1− (−0.748)2 ][1− (−0.767 )2 ] 0.777 − −0.748

− 0.767 − (−0.748) ⋅ 0.777

[1 − (−0.748)2 ][1 − 0.777 2 ]

= − 0.445 :

Մասնակի կոռելյացիայի գործակիցները ցույց են տալիս, որ անվորների աշխատանքային ստաժի ազդեցությունը արտադրանքի վրա, ացառելով միջհերթափոխային պարապուրդների տնողությունը` փոքր է, քան զույգային կոռելյացիայի դեպքում: Ստուգենք մասնակի կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը. tP(yx1 / x 2 ) =

−0.38 1 − (− 0.38)

⋅ 10 − 3 =

−0.38 −1.00548 ⋅ 2.646 = = − 1.087: 0.925 0.925

tP(yx 2 / x1 ) = tP(x x

)=

1 2 /y

0.48 1 − 0.48

⋅ 7=

−0.445 1− (− 0.445)

⋅ 7=

0.48 1 − 0.2304 −0.445 1− 0.198

⋅ 2.646 =

⋅ 2.646 =

0.48 ⋅ 2.646 = 1.443 : 0.88

−0.445 ⋅ 2.646 = − 1.314ո 0.895

tKP (α = 0.05, ν = ո − 3 = 7) = 2.365 (հավելված 4): Հետնա ար, երված ոլոր մասնակի կոռելյացիայի գործակիցները նշանակալի չեն:

7.7. Սոցիալական երնույթների կապի ուսումնասիրման մեթոդները Վիճակագրության կարնորագույն խնդիրներից է սոցիալական երնույթների վիճակագրական գնահատման մեթոդա անության մշակումը, ինչը դժվար է այն առումով, որ սոցիալական ազմաթիվ երնույթներ չունեն քանակական գնահատական ն չափման չեն ենթարկվում: Որպես կանոն, սոցիալական երնույթների, դրանց կապերի ու կախվածությունների վերլուծությունը պետք է սկսել կապերի գրաֆիկների կառուցումից: Կիրառվում են այդ կապերը նութագրող հետնյալ գրաֆիկները. «Շղթա». այս գրաֆիկի օգնությամ արտապատկերվում են սոցիալական երնույթների միջն եղած այնպիսի կապերը, որոնք ունեն միննույն էությունը ն հավասարապես նշանակալի են: «Աստղ». արտացոլում է այնպիսի սոցիալական երնույթների կախվածությունը, որոնք ձգտում են մեկ, առավել նշանակալիին: Այդ հատկանիշի ացառումը խախտում է մնացած հատկանիշների միջն եղած փոխկախվածությունները. «Ցանց». տվյալ դեպքում ընտրում են մի քանի նշանակալի հատկանիշներ, որոնք միմյանցից սերտորեն կախված են: Սոցիալական երնույթների ազմագործոն ( ազմաչափանի) կապերի քանակական նութագրման համար կիրառվում է կոռելյացիոն համաստեղությունների մեթոդը, որը հիմնված է տեղեկատվական գործակիցների հաշվարկման վրա: Այն հնարավորություն է տալիս փոխկապակցված հատկանիշները խմ ավորելու, այսպես կոչված` համաստեղության մեջ: Կոռելյացիոն համաստեղությունների կառուցման ալգորիթմը հիմնվում է նախնական մատրիցի տեղեկատվական գործակիցների առավելագույն արժեքների առանձնացման վրա: Առանձնացված համաստեղությունների հիման վրա կառուցվում է «համաստեղու-

թյան ծառը», որի էությունն այն է, որ գործոնային հատկանիշների միջն եղած ներհամաստեղային կապերը շատ սերտ են, իսկ միջհամաստեղային կապերը` թույլ: Տեղեկատվական գործակիցների հաշվարկումը սոցիալ-տնտեսական երնույթների միջն կապերի հետագա խորացված վերլուծության հիմքն է: Այդ կապերի քանակական գնահատականը տրվում է մի շարք գործակիցների հաշվարկման ն վերլուծության հիման վրա: Խոսքը քանակական հատկանիշների տատանումների միջն հարա երակցության առկայության դեպքում նրանց ասոցիացիայի, փոխկախվածության մասին է: Այս դեպքում կապի գնահատման համար կիրառում են մի շարք ցուցանիշներ: Ասոցիացիայի ն կոնտինգենցիայի գործակիցները: Երկու որակական հատկանիշների սերտ կապվածությունը որոշելու համար, որոնցից յուրաքանչյուրը աղկացած է միայն երկու խմ երից, կիրառում են ասոցիացիայի ն կոնտինգենցիայի գործակիցները: Կապի ուսումնասիրման ժամանակ թվային նյութը ներկայացվում է զուգակցման աղյուսակների տեսքով: Հաշվարկման համար կազմում են աղյուսակ, որը ցույց է տալիս կապը երկու այնպիսի երնույթների միջն, որոնցից յուրաքանչյուրը այլընտրանքային է, այսինքն` աղկացած է հատկանիշի երկու` միմյանցից որակապես տար երվող արժեքներից (օրինակ` լավ-վատ, այո-ոչ ն այլն): Աղյուսակ 7.9 Ասոցիացիայի ն կոնտինգենցիայի գործակիցների հաշվարկման աղյուսակ a Շ a+Շ

Ե d Ե+d

a+Ե Շ+d a+Ե+Շ+d

Գործակիցները հաշվարկվում են հետնյալ անաձներով. ad − ԵՇ Ka = • ասոցիացիայի` : (7.37) ad + ԵՇ

• կոնտինգենցիայի` K к =

ad − ԵՇ ( a + Ե )( Ե + d)( a + Շ )( Շ + d)

: (7.38)

Կոնտինգենցիայի գործակիցը միշտ փոքր է ասոցիացիայի գործակցից: Կապը համարվում է հաստատված, եթե` Ka ≥ 0.5 կամ Kк ≥ 0.3: Օրինակ` կատարվել է սոցիալական հետազոտություն, որի ար-

դյունքները սակ 7.10).

նութագրվում են հետնյալ տվյալներով (տե՛ս աղյու-

Աղյուսակ 7.10 Սոցիալական հետազոտության արդյունքները Ապահովված են աշխատանքով Գոհ են իրենց աշխատանքից Գոհ չեն իրենց աշխատանքից Ընդամենը

Տղամարդ

Կին

Ընդամենը

Որոշենք ասոցիացիայի ն կոնտինգենցիայի գործակիցները աշխատանքով ապահովվածության ն սեռի միջն. 270 ⋅ 120 − 30 ⋅ 80 30000 Ka = = = 0.86 : 270 ⋅ 120 + 30 ⋅ 80 34800

270 ⋅ 120 − 30 ⋅ 80 30000 = = 0.53 : 300 ⋅ 200 ⋅ 350 ⋅ 150 56100 Ստացված գործակիցները հաստատում են հետազոտվող հատկանիշների միջն կապի գոյության առկայությունը: Կոնտինգենցիայի գործակիցը ոլոր դեպքերում փոքր է ասոցիացիայի գործակցից ն տալիս է կապի սերտության ավելի վարկանիշային գնահատական: Եր որակական հատկանիշներից յուրաքանչյուրը աղկացած է երկուսից ավելի խմ երից, այդ դեպքում կապի սերտության գնահատման համար կարելի է կիրառել Պիրսոն-Չուպրովի փոխզուգակցվածության գործակիցը (տե՛ս աղյուսակ 7.11): Այդ գործակիցները որոշվում են հետնյալ անաձնով. Kк =

KΠ =

ϕ2 : KЧ = 1 + ϕ2

ϕ2

(K1 − 1)(K2 − 1)

,

(7.39)

որտեղ` K1-ը առաջին հատկանիշի (խմ երի) արժեքների թիվն է, K2-ը` երկրորդ հատկանիշի (խմ երի) արժեքների թիվը, ϕ2 -ն` փոխզուգակցվածության ցուցանիշը: ϕ2-ն որոշվում է որպես աղյուսակի ամեն վանդակի հաճախականության քառակուսիների ն համապատասխան սյունակի ու տողի հաճախականության արտադրյալների հարա երությունների գումարից հանած մեկ` ո2xy (7.39.1) ϕ2 = ∑ − 1, ոxոy Աղյուսակ 7.11

Փոխզուգակցվածության գործակցի հաշվարկման օժանդակ աղյուսակ x y

|

||

| || Ընդամենը

ոy

ոy

Ընդամենը

ոxy

ոx ոx ոx ո

ոy

Որքան Չուպրովի ն Պիրսոնի փոխզուգակցվածության գործակիցները մոտ են 1-ին, այնքան կապը սերտ է: Ըստ օժանդակ աղյուսակի` փոխզուգակցվածության գործակիցը կարելի է հաշվարկել ո2xy ո2xy ∑ ∑ ոx ոy =∑ 1 + ϕ2 = ∑ անաձնով: ոx ոy Օրինակ` կատարվել է ընտրանքային հետազոտություն արտադրության պայմանների փոփոխման ազդեցության ն արտադրությունում աշխատող անվորական կոլեկտիվի փոխհարա երությունների վերա երյալ: Հարցման են ենթարկվել 250 անվոր: Արդյունքները ներկայացված են աղյուսակ 7.12-ում: Աղյուսակ 7.12 Ընտրանքային հետազոտության արդյունքները Արտադրության պայմանները Համապատասխանում է պահանջներին Ոչ լրիվ է համապատասխանում Չի համապատասխանում Ընդամենը

Կոլեկտիվում փոխհարա երությունները Ան աԸնդաԼավ Բավարար վարար մենը

Պահանջվում է նութագրել հատկանիշների միջն եղած կապը փոխզուգակցվածության գործակցի օգնությամ : Լուծում. Ըստ (7.39.1) անաձնի` ϕ2 = (

+ + + + + + + 60 ⋅ 65 90 ⋅ 65 100 ⋅ 65 60 ⋅ 110 90 ⋅ 110 100 ⋅ 110 60 ⋅ 75 +

+ ) − 1 = 1.2003 − 1 = 0.2003 : 90 ⋅ 75 100 ⋅ 75

Փոխզուգակցվածության գործակիցը ըստ Պիրսոնի (7.39) կլինի`

0.2003 = 0.1669 = 0.408 : 1 + 0.2003 Ստացված արժեքը վկայում է, որ կապը արտադրության պայմանների ն անվորական կոլեկտիվի փոխհարա երություններում նկատելի է: Փոխզուգակցվածության գործակիցը ըստ Չուպրովի (7.39) կլինի` 0.2003 0.2003 = = 0.316 : K= (3 − 1)(3 − 1) KΠ =

Նշանակում է` կապը միջին է: Վիճակագրությունում գոյություն ունեն Չուպրովի գործակցի մոդիֆիկացիաներ, օրինակ` Պիրսոնի χ2-հայտանիշի հաշվարկման միջոցով: Փոխզուգակցվածության գործակիցը որոշվում է հետնյալ անաձնով.

KЧ =

χ2 ո + χ2

(7.40)

⎧⎪ ո2 ⎫⎪ որտեղ` χ2 = ո⎨∑ xy − 1⎬ - համաձայնության առավել տարածված ո ո x y ⎪⎩ ⎪⎭ հայտանիշն է, որն օգտագործվում է աշխման տեսակի վարկածի վիճակագրական ստուգման համար: Չուպրովի գործակիցը փոփոխվում է 0 ≤ KЧ ≤ 1 սահմաններում: Փոխզուգակցվածության գործակցի մյուս մոդիֆիկացիան`

K=

χ2

ո (K1 − 1)(K2 − 1)

-ն է,

(7.41)

որտեղ` K1-ը աղյուսակի տողերի թիվն է, K2-ը` սյունակների թիվը, ո-ը` դիտարկումների թիվը: Օրինակ` 7.12 աղյուսակի տվյալները հաշվի առնելով` որոշենք Չուպրովի փոխզուգակցվածության գործակցի մոդիֆիկացիան` ըստ Պիրսոնի χ2 հայտանիշի: Անհրաժեշտ է նախ որոշել` ⎧⎪ ո2xy ⎫⎪ χ2 = ո⎨∑ − 1⎬ = 250 ⋅ 0.2003 = 50.075 ⎪⎩ ոxոy ⎪⎭ արժեքը, այնուհետն ըստ (7.40), (7.41) անաձների` փոխզուգակցվածության գործակիցների մոդիֆիկացիան.

KЧ = KЧ =

50.075 50.075 = = 0.1669 = 0.408 , 250 + 50.075 300.075 50.075

(3 − 1)(3 − 1)

=

50.075 50.075 = = 0.316 : 250 ⋅ 2

Կապը միջին է: Կապի գնահատման համար առանձնահատուկ նշանակություն ունի կոռելյացիայի իսերիալ գործակիցը, որը հնարավորություն է տալիս գնահատելու այլընտրանքային որակական ն տատանվող քանակական հատկանիշների միջն եղած կապը: Այդ գործակիցը հաշվարկվում է ներքոնշյալ անաձնով` r=

y2 − y1 քզ ⋅ , σy

(7.42)

որտեղ` y1 ն y2 -ը խմ երի միջիններն են,

σy-ը` հատկանիշի փաստացի արժեքների ն միջին մակար-

դակի տար երությունների միջին քառակուսային շեղումը, ք-ն` առաջին խմ ի մասը, զ-ն` երկրորդ խմ ի մասը, 2-ը` 2 աշխման աղյուսակային արժեքը` կախված ք-ից: Օրինակ` 7.12.1 աղյուսակում ներկայացված են առնտրի նագավառի աշխատողների եկամուտների` նրանց կրթական մակարդակից կախվածության վերա երյալ տվյալները: Դրանց հիման վրա հաշվարկենք իսերիալ կոռելյացիայի գործակիցը: Աղյուսակ 7.12.1 Աշխատողների եկամուտների կախվածությունը կրթական մակարդակից Եկամուտների մակարդակ, հազ. դրամ Կրթություն Ավարտել են ուհը Չեն սովորել ուհում Ընդամենը

200-300

300-400 400-500 500-600

Լուծում. Որոշենք y1 ն y2 -ը: y1 Հ390.9, y2 Հ318.8:

y=

Ընդամենը

390.9 ⋅ 22 + 318.8 ⋅ 16 13700.6 = = 360.5:

= 0.58 զ Հ 0.42: 2աղյ.Հ0.3975 318 .8 − 390 .9 զ 0.42 ք ⋅ = 0.58 ⋅ = 0.61 : r = ⋅ 0.61 = 0.42 : 0.3975 104 .7

σy Հ104.7, ք =

7.8. Կապի ոչ պարամետրական ցուցանիշներ Սոցիալ-տնտեսական երնույթների վերլուծության ընթացքում հաճախ հարկ է լինում օգտվել տար եր պայմանական գնահատականներից, օրինակ` ռանգերի տար երության նշանից, իսկ առանձին հատկանիշների միջն փոխկախվածությունը կարելի է որոշել կապի ոչ պարամետրական գործակիցների օգնությամ : Տվյալ գործակիցները հաշվարկվում են պայմանով, որ ուսումնասիրվող հատկանիշները ենթարկվեն աշխման տար եր օրենքների: Երկու (x ն y) հատկանիշների միջն ոչ պարամետրական կապի պարզագույն գործակիցը Ֆեխների կոռելյացիայի գործակիցն է: Հաշվարկման հիմքում ընկած է ոչ թե x ն y հատկանիշների ացարձակ արժեքների, այլ դրանց միջինից ունեցած շեղումների համեմատման սկզ ունքը: Գործնականում Ֆեխների գործակցի օգտագործումը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ փորձնական հատկանիշի xi միջինից ունեցած շեղումները` (xi − x ) , կրում են պատահական նույթ ն պետք է պատահական ձնով շաղկապել տեսական հատկանիշի (yi) միջին արժեքից ունեցած շեղումների (yi − y ) հետ: Հաշվարկում են համընկնող ն չհամընկնող զույգերի նշանները ըստ (xi − x ) ն (yi − y) շեղումների: Ֆեխների գործակիցը Kϕ որոշվում է հետնյալ անաձնով`

( )

Շ −Ւ , (7.43) Շ+Ւ որտեղ` Շ-ն համընկնող շեղումների նշանների գումարն է, Ւ-ը` չհամընկնող շեղումների նշանների գումարը: Ֆեխների գործակիցը կարող է ընդունել ինչպես դրական, այնպես էլ ացասական արժեքներ` - 1 ≤ Kϕ ≤ 1: Kϕ Հ ± 1-ի դեպքում x ն y հատկանիշներն ունեն ֆունկցիոնալ կապ, Kϕ Հ 0-ի դեպքում կապը ացակայում է: Ֆեխների գործակցի միջանկյալ արժեքները նութագրում են կապի սերտության աստիճանը երկու հատկանիշների միջն: ՖեխKϕ =

ների գործակցի նշանը վկայում է հատկանիշների միջն եղած կապի ուղղվածությունը: Եթե Kϕ ∈ [− 1: 0] կապը հակադարձ է, այսինքն` x-ի աճման կամ նվազման հետ միաժամանակ նվազում կամ աճում է y-ը: Այս գործակցի թերությունն այն է, որ տար եր մեծությունների շեղումների ացարձակ արժեքները միջին արժեքից փաստացի հավասարեցվում են ըստ կշռի: Դա զգալի կրճատում է դրա գործնական կիրառումը:

Կապի ռանգային գործակիցները

Կարգավորումը (ռանգավորումը) ուսումնասիրության օ յեկտների հաջորդական դասակարգման ընթացակարգ է, որը կատարվում է նախընտրելիության սկզ ունքի հիման վրա: Ռանգը աճման կամ նվազման կարգով դասավորված հատկանիշի արժեքների հերթական համարն է կամ զ աղեցրած տեղը: Հատկանիշի արժեքների համարը, որոնք ունեն միննույն քանակական գնահատականը, ռանգը ընդունվում է հավասար` դրանց տրվող հաջորդական համարների միջին թվա անականին: Այդպիսի ռանգերը կոչվում են կապակցված: Կապի սերտության գնահատման ոչ պարամետրական մեթոդներից կարնոր նշանակություն ունեն Սպիրմենի ն Քենդալի ռանգային գործակիցները: Դրանք կարող են օգտագործվել ինչպես քանակական, այնպես էլ որակական հատկանիշների միջն կապի սերտությունը գնահատելու համար, պայմանով, որ դրանց արժեքները կարգավորված են ըստ հատկանիշի աճման կամ նվազման աստիճանի: Ռանգային կոռելյացիայի գործակիցը (Սպիրմենի գործակիցը) հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով (կապակցված ռանգեր չլինելու դեպքի համար). 6 d2 , (7.44) rՏ = 1 − ∑ ո(ո2 − 1) որտեղ` d-ն արդյունքային ն գործոնային հատկանիշների ռանգերի տար երությունն է, ո-ը` դիտարկումների թիվը (ռանգերի զույգերի թիվը): Սպիրմենի գործակիցը կարող է ընդունել ցանկացած արժեքներ [-1, 1] միջակայքում: Գործակցի հաշվարկը ավականին պարզ է, սակայն հաճախ թույլ տրված սխալի պատճառով մեծությունը պարամետրական զույգային կոռելյացիայի գործակցից տար երվում է 10-159-ի չափով: Սպիրմենի կոռելյացիայի գործակցի նկատմամ ճիշտ են այն դատողությունները, որոնք վերա երում են զույգային կոռելյացիայի գործակցին:

Սպիրմենի ռանգային կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը ստուգվում է Ստյուդենտի t-հայտանիշի միջոցով: Հայտանիշի հաշվարկային արժեքը որոշվում է հետնյալ անաձնով` ո−2 (7.45) tք = rՏ ⋅ : 1 − rՏ2 Կոռելյացիայի գործակցի արժեքը վիճակագրորեն համարվում է նշանակալի, եթե tP » tKP (α, ν =ո − 2) : Օրինակ` հացա ույսերի համար նախատեսված հանքային պարարտանյութերի քանակի ավելացման (x կգ/հա) ն հացա ույսերի երքատվության (y ց/հա) վերա երյալ ունենք ստորն երված տվյալները. xi 30 30 35 38 40 14.3 15 18.2 15 17 20 yi 13.5 Որոշենք Սպիրմենի կոռելյացիայի ռանգային գործակիցը x-ի ն y-ի միջն: Լուծում. Կազմենք հաշվարկային աղյուսակ (7.13)-ը: Երրորդ սյունակում աճման կարգով գրանցում ենք հանքային պարարտանյութի քանակի ռանգերը` dx, իսկ չորրորդ սյունակում` երքատվության ռանգերը` dy-ը: Կրկնվող արժեքների ռանգերը ընտրվում են որպես դրանց հերթական համարների միջին թվաանականը: Օրինակում 14 (կգ/հա) արդյունքը կրկնվում է երեք անգամ` զ աղեցնելով 2-րդ, 3-րդ ն 4-րդ ռանգերը: Միջին ռանգը 2+3+4 = 3 , նշանակում է 14 (կգ/հա) արժեքների հավասար կլինի ռանգը գրանցվում է հավասար 3-ի: Նույն սկզ ունքով ռանգերը հաշվակվում են երքատվության համար: Աղյուսակ 7.13 Սպիրմենի ռանգային կոռելյացիայի հաշվարկը Ռանգը

xi

yi

13.5 14.3 18.2

dx

dy

3.5 3.5 6.5 6.5

6.5

Ռանգերի տար երությունը

dՀ dx - dy 0.5 -1.5 -2.5

d2 0.25 2.25 6.25

6.5

1.5

2.25 Ընդամենը Որոշում ենք ռանգերի d Հ dx - dy տար երությունները (5-րդ սյունակ), որոնք արձրացնում ենք քառակուսի (6-րդ սյունակ) ն գումարում`

∑d

= 17 :

Օգտվելով (7.44) անաձնից` կստանանք. 6 d2 6 ⋅ 17 6 ⋅ 17 rՏ = 1 − ∑ = 1− = 1− = 0.897 : ⋅ 99 ո(ո − 1) 10(10 − 1) Տվյալ դեպքում կոռելյացիայի սերտ կապ գոյություն ունի երքատվության ն հանքային պարարտանյութի քանակի ավելացման միջն: Ստուգենք կոռելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը (7.45) անաձնով` 10 − 2 tP = 0.897 = 0.897 = 0.897 = 5.745 1 − 0.805 0.195 1 − 0.897 2 Ըստ աղյուսակի տվյալների որոշում ենք սահմանային (կրիտիկական) արժեքը` tKP (α = 0.05, ν = ո − 2) : tKP (α = 0.05, ν = 8) = 2.306 :

Քանի որ tP » tKP (5.745 > 2.306 ) , Սպիրմենի ռանգային կոռելյացիայի գործակիցը նշանակալի է (հավելված 4): Եր ըստ ուսումնասիրվող երնույթի` արժեքների համակցությունը պարունակում է կապակցված ռանգեր, Սպիրմենի կոռելյացիայի գործակիցը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` rՏ =

որտեղ` Tx / y =

ո 1 3 ( ո − ո) − ∑ di2 − Tx − Ty i=1

,

(7.46)

⎡1 3 ⎤ ⎡1 3 ⎤ ⎢ 6 (ո − ո) − 2Tx ⎥ ⋅ ⎢ 6 (ո − ո) − 2Ty ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 K 3 (t j − t j ) , 12 ∑ j =1

t-ն` j-րդ շարքի միանման ռանգերի թիվն է: Օրինակ` կապակցված ռանգերի դեպքում Սպիրմենի կոռելյացիայի գործակիցը ըստ 7.13 աղյուսակի տվյալների հավասար կլինի`

(1000− 10) − 17 − 1− 2.5 144.5 r6 = = = 0.895, 163⋅ 160 ⋅ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢6 (1000− 10) − 2 ⋅ 1⎥ ⋅ ⎢6 (1000− 10) − 2 ⋅ 2.5⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

որտեղ`

[(

) ( )] ) ( )]

1 3 (6 + 6) = 1 , 2 − 2 + 23 − 2 = 1 3 (24 + 6) = 2.5 , Ty = 3 − 3 + 23 − 2 = ∑ d2 = 17 , ո Հ 10: Tx =

[(

Կապակցված ռանգերի դեպքում սերտ կապ գոյություն ունի երքատվության ն հանքային պարարտանյութերի քանակի ավելացման միջն (r Հ0.895): Գործնականում, եթե Tx ն Ty մեծությունների տար երությունը ⎡1 3 ⎤ ⎢ 6 ո − ո ⎥ արժեքից էական չէ, կարելի է օգտվել (7.47) անաձնից` ⎣ ⎦

(

)

ո

∑

rՏ = 1 −

(

i= 1

d2

) (

ո 3 − ո − Tx + Ty

)

:

(7.47)

Վերը հաշվարկված տվյալների հիման վրա որոշենք r6-ի արժեքը` rՏ = 1 − = 1− = 1 − 0.105 = 0.895 : 1 3 165 − 3.5 10 − 10 − (1 + 2.5) Քենդալի կոռելյացիայի ռանգային գործակիցը նույնպես կարող է կիրառվել համասեռ օ յեկտները նութագրող` միննույն սկզ ունքով ռանգավորված քանակական ն որակական հատկանիշների միջն փոխկախվածությունն ուսումնասիրելու համար: Այս գործակիցն ունի տեսական առավելություն ռանգային կոռելյացիայի գործակցի համեմատ: Քենդալի ռանգային կոռելյացիայի գործակցի հաշվարկը կատարվում է հետնյալ անաձնով` 2Տ , (7.49) rK = ո(ո − 1) որտեղ` ՏՀք+զ-ն` ըստ երկրորդ հատկանիշի հաջորդականությունների ն շրջադասությունների թվերի տար երությունների գումարն է,

(

)

ո-ը` դիտարկումների թիվը: Տվյալ գործակցի հաշվարկումը կատարվում է հետնյալ հաջորդականությամ . 1. x-ի արժեքները կարգավորվում են աճման կամ նվազման կարգով: 2. y-ի արժեքները աշխվում են x-ի արժեքներին համապատասխան հաջորդականությամ : 3. y-ի յուրաքանչյուր ռանգի համար որոշվում է դրան հաջորդող ն մեծությունը գերազանցող ռանգերի թիվը: Այդ թվերը գումարելով` որոշում ենք P-ի մեծությունը որպես ըստ x-ի ն y-ի ռանգերի համապատասխանության չափանիշ (այն հաշվառվում է + նշանով): 4. Յուրաքանչյուր ռանգի համար որոշվում է իրենից հետո տեղակայված ն իր մեծությունից փոքր ռանգերի թիվը. գումարային մեծությունը նշանակվում է Օ-ով: Օ-ն հաշվելու համար կատարում ենք նույն գործողությունը, այց նախ հաշվվում է այն ռանգերի քանակը, որոնք իրենց մեծությամ փոքր են տվյալ ռանգին հաջորդող ռանգից ն նրանց վերագրում ացասական արժեք, որից հետո արդյունքները գումարվում են: 5. P-ի ն Օ-ի արժեքներով որոշում ենք Տ-ի մեծությունը: Օրինակ` աղյուսակ 7.13-ի հաշվարկային տվյալների հիման վրա որոշենք Քենդալի կոռելյացիայի գործակիցը: Լուծում. Խնդրի լուծման համար անհրաժեշտ է որոշել ռանգերը ն հաշվարկել ՏՀք+զ արժեքը: P-ի արժեքը որոշելու համար հաշվարկում ենք, թե սկզ ում գտնվող «մեկ» ռանգից քանի՞սն են մեծ: Բոլոր 9 ռանգերն էլ մեծ են «1» ռանգից: Հաջորդ ռանգը 3-ն է, որին գերազանցում են հաջորդող ոլոր 6 ռանգերը (նախորդները հաշվի չեն առնվում), 5 ռանգին գերազանցում են հաջորդ հինգ ռանգերը ն այլն: Այս դեպքում PՀ9+6+6+5+5+3+1+2+1+0Հ38: Օ-ի հաշվարկման համար կատարում ենք նույն գործողությունը, այց հաշվում ենք այն ռանգերի քանակը, որոնք իրենց մեծությամ փոքր են նախորդ ռանգից. Օ Հ - 0 – 0 – 0 -1- 0 - 0-2- 0 – 0 – 0 Հ -3 Տ Հ 38-3 Հ 35: Ահա այսպիսին է Քենդալի կոռելյացիայի գործակիցը (տե՛ս (7.49) անաձնը). 2 ⋅ 35 = = 0.78 : rK = 10(10 − 1) 90 Կոռելյացիայի գործակիցը նշանակալի է (0.78 > 0.5) :

Եթե ուսումնասիրվող համակցությունում կան կապակցված ռանգեր, ապա անհրաժեշտ է հաշվարկները կատարել` Տ անաձնով, (7.50) τ xy = ⎡ ո(ո − 1) ⎤ ⎡ ո(ո − 1) ⎤ − Մx ⎥ ⎢ − Մy ⎥ ⎢ 2 ⎣ ⎦⎣ ⎦

(

)

t t −1 : 2∑ j j Ըստ աղյուսակ 7.13 տվյալների` τ xy = = = = 0.83, .998 43 ⋅ 41 ⎡10(10 − 1) ⎤ ⎡10(10 − 1) ⎤ − 2⎥ ⋅ ⎢ − 4⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

որտեղ` Մx / y =

[2(2 − 1) + 2(2 − 1)] = 21 ⋅ 4 = 2 Մy = [3(3 − 1) + 2(2 − 1)] = 4 : τxy գործակիցը վկայում է, որ սերտ կապ գոյություն ունի հանքային պարարտանյութերի ավելացման ն երքատվության միջն: Սպիրմենի ն Քենդալի կոռելյացիաների ռանգային գործակիցների միջն գոյություն ունի հետնյալ առնչությունը` rK = rՏ : Հատկանիշների միջն կապը կարելի է համարել վիճակագրորեն նշանակալի, եթե Սպիրմենի ն Քենդալի կոռելյացիայի ռանգային գործակիցները մեծ են 0.5-ից: Կոնկորդացիայի գործակից: Կամայական թվով կարգավորված հատկանիշների միջն կապի սերտությունը որոշելու համար կիրառվում է ազմակի կոռելյացիայի ռանգային գործակիցը` կոնկորդացիայի գործակից (Մ), որը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` 12 ⋅ Տ , (7.51) Մ= 2 3 ո (ո − ո) որտեղ` ո-ը գործոնների թիվն է, ո-ը` դիտարկումների թիվը, Տ-ը` ըստ տողի ռանգերի գումարների քառակուսիների գումարի շեղումն է ռանգերի գումարի քառակուսու միջինից: Կոնկորդացիայի գործակցի նշանակալիությունը ստուգվում է որտեղ`

Մx =

Պիրսոնի χ2 հայտանիշի հիման վրա` 12 ⋅ Տ : χ2 = ոո(ո − 1)

(7.52)

(α = 0.05, ν = ո −1) , ապա կոռելյացիայի գործակցի Եթե χP2 > χ KP արժեքը նշանակալի է: Կապակցված ռանգերի առկայության դեպքում կոնկորդացիայի գործակիցը հաշվարկվում է` Տ Մ= անաձնով, (7.53) ո 1 2 3 ո ո − ո − ո ⋅ ∑ Tj j=1

(

Tj =

որտեղ`

ո

)

(

)

∑ t 3j − t j , j =1

tj -ն կապակցված ռանգերի թիվն է ըստ առանձին ցուցանիշների: Նշանակալիության ստուգումը կատարվում է ըստ հետնյալ անաձնի` Տ : (7.54) χ P2 = ո ո ⋅ ո(ո − 1) − Tj (ո − 1) ⋅ ∑ j=1 Կոնկորդացիայի գործակիցն ընդունում է ցանկացած արժեք [− 1;1] միջակայքում: Եթե հաշվարկային արժեքը χ ք2 մեծ է աղյուսակային

( ) արժեքից` χ K2 P

( )

χ P2

>

χ 2K P

(α =0.05, ν = ո −1) , ապա կոռե-

լյացիայի գործակիցը նշանակալի է: Այսպիսով, Սպիրմենի ն Քենդալի ռանգային կոռելյացիայի գործակիցների ն կոնկորդացիայի գործակցի օգտագործման առավելությունն այն է, որ դրանց օգնությամ կարելի է չափել ն գնահատել ինչպես որակական, այնպես էլ ռանգավորման ենթակա քանակական (ատրի ուտիվ) հատկանիշների միջն եղած կապերը: Օրինակ` ձեռնարկությունները հաշվետու տարում ունեն աղյուսակ 7.14-ում ներկայացված ցուցանիշները: Բերված տվյալների հիման վրա որոշենք y, x ն 2 ցուցանիշների միջն կախվածության սերտությունը` կոնկորդացիայի գործակցի օգնությամ : Աղյուսակ 7.14

Ռանգերի գումարի քառակուսին

Ռանգերի գումարը

Սարքավորումների տեսակարար կշիռը հիմնական ֆոնդերի արժեքով

Աշխատանքի զինվածությունը հիմնական կապիտալով (հազ. դրամ. միավ.)

Բանվորի տարեկան աշխատանքի արտադրողականությունը (հազ. դրամ. միավ.)

Ձեռնարկությունների համարը

Գործոնների ռանգավորումը

⎛m ⎞ ∑ R ij ⎜ ∑ R ij ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ m

Àնդ.

y

x

Ry

Rx

R2

15.2 12.8 13.8 14.0 16.3 12.6 13.2 12.9 13.1 12.5 15.7 13.5

0.39 0.29 0.34 0.36 0.47 0.28 0.32 0.29 0.33 0.28 0.40 0.34

3.5 7.5 1.5 3.5 1.5 7.5

7.5 21.5 7.5 9.5 7.5 22.5

56.25 462.25 56.25 90.25 56.25 506.25 5733.5

Լուծում. 1. Կարգավորում ենք երեք ցուցանիշներից յուրաքանչյուրը առանձին-առանձին: 2. Գտնում ենք յուրաքանչյուր տողի ռանգերի գումարը, նան ըստ ոլոր տողերի ընդհանուր գումարը: 3. Յուրաքանչյուր տողի ռանգերի գումարը արձրացնում ենք քառակուսի ն գտնում ոլոր 12 ձեռնարկությունների համար ընդհանուր գումարը: 4. Գտնում ենք Տ-ը` օգտվելով`

⎛ո Տ = ∑⎜ ∑ R ⎜ ⎝ ո

ij

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ո ո ⎞ ⎜ ⎟ R ∑ ∑ ⎜ ij ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎠ −⎝ ո

անաձնից:

R ij -ն` i-րդ ցուցանիշի ռանգն է j-րդ միավորի.

Տ = 5733 .5 −

(234)2 = 5733 .5 − 54756 = 5733 .5 − 4563 = 1170 .5

5. Հաշվարկում ենք կոնկորդացիայի գործակիցը. 12Տ 12 ⋅ 1170.5 1170 .5 1170 .5 Մ= 2 3 = = = = 0.909 ո ո − ո 32 ⋅ 12 122 − 1 9 ⋅ 143

(

)

(

)

Հատկանիշների միջն կապը սերտ է: Ստուգենք կոնկորդացիայի գործակցի նշանակալիությունը Պիրսոնի χ2 հայտանիշի օգնությամ ` (7.52) անաձնով. 12 ⋅ 1107 .5 1107 .5 χ P2 = = = 33.56 3 ⋅ 12(12 − 1) χ KP = 19.675 (α = 0.05, ν = ո − 1 = 11) :

Քանի որ 33 .56 > 19 .675 -ից, նշանակում է կոնկորդացիայի գործակիցը նշանակալի է, ն հատկանիշների միջն գոյություն ունի սերտ կապ: Թիվ 7.14 աղյուսակի տվյալներով հաշվարկենք կոնկորդացիայի գործակիցը կապակցված ռանգերի դեպքում` (7.53) անաձնով: Հաշվարկից ստացել ենք` ՏՀ1170.5 Ty = 0:

T2 =

Մ=

[(

) (

Tx = 0:

)]

) (

1 3 2 − 2 + 23 − 2 + 23 − 2 = = 1.5: ∑ Ti = Tx + Ty + T2 = 1.5 Տ

(

)

ո

1 2 3 ո ո − ո − ո∑ Tj

=

1170.5 = 1 2 3 ⋅ 3 12 − 12 − 3 ⋅ 1.5

(

)

j =1

=

1170.5 1170.5 = = 0.9126 : 9 ⋅ 143 − 4.5 1282.5

Կոնկորդացիայի գործակիցը ցույց է տալիս, որ սերտ կապ գոյություն ունի ուսումնասիրվող հատկանիշների միջն (ՄՀ0.9126): Պիրսոնի χ2-ու հաշվարկային արժեքը կոնկորդացիայի գործակցի նշանակալիությունը տվյալ օրինակում որոշելիս հավասար կլինի` χ P2 =

1170 .5 1170 .5 1170 .5 = = = 35 .76 : 3 33 − 0.273 ⋅ 3 ⋅ 12(12 − 1) − ⋅ 3 3 ⋅ 11 − 12 − 1 χ KP = 19.675 (α = 0.05, ν = ո − 1 = 11)

χ P2 = 35.76 > χ KP = 19.675 : Հաստատվում է կոնկորդացիայի գործակցի նշանակալիությունը ն վկայում, որ հատկանիշների միջն գոյություն ունի սերտ կապ:

ԳԼՈՒԽ Մ|||

ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՇԱՐՔԵՐ

8.1. Դինամիկայի շարքերի հասկացությունը ն դասակարգումը Սոցիալ-տնտեսական երնույթների ն գործընթացների շարժումն ու զարգացումը ժամանակի ընթացքում ընդունված է անվանել դինամիկա: Դրա ուսումնասիրման համար կառուցվում են դինամիկայի շարքեր, որոնք ժամանակի ընթացքում փոփոխվող ն ժամանակագրական (խրոնոլոգիական) հաջորդականությամ աշխված ցուցանիշների արժեքների շարքեր են: Դինամիկայի շարքը կազմավորող տարրերը շարքի մակարդակների ն ժամանակահատվածների (օրինակ` տարի, եռամսյակ, ամիս ն այլն) ցուցանիշներն են: Երնույթի մեծությունը, չափը նութագրող ցուցանիշի ամեն մի առանձին թվային արժեք կոչվում է մակարդակ: Սովորա ար մակարդակները նշանակում են yi-ով, իսկ ժամանակի պահերը` t-ով: Գոյություն ունեն դինամիկայի շարքերի տար եր տեսակներ, որոնք դասակարգվում են ըստ ստորն ներկայացված հատկանիշների: • Կախված մակարդակների արտահայտման եղանակներից` լինում են ացարձակ, հարա երական ն միջին մեծություններով շարքեր: • Կախված այն անից, թե շարքի մակարդակներն ինչպես են արտահայտում երնույթի վիճակը ժամանակի որոշակի պահին (ամսվա սկիզ , տարեսկիզ ) կամ դրա մեծությունը որոշակի ժամանակահատվածներում` տար երում են դինամիկայի պահային ն միջակայքային շարքեր: Դինամիկայի միջակայքային շարքի ացարձակ ցուցանիշների մակարդակները նութագրում են որնէ գործընթացի հանրագումարները որոշակի ժամանակահատվածում: Դրանք կարող են գումարվել, քանի որ կրկնակի հաշվարկ չեն պարունակում: Պահային դինամիկայի շարքի առանձին մակարդակների ացարձակ մեծությունները գումարելն անիմաստ է, քանի որ պարունակում է կրկնակի հաշվառման տարրեր: • Կախված ուսումնասիրվող գործնթացի հիմնական միտումի առկայությունից` դինամիկայի շարքերը ստորա աժանվում են ստացիոնար ն ոչ ստացիոնար շարքերի: Ընդ որում` եթե հատկանիշի մաթեմատիկական սպասումը ն դիսպերսիան հաստատուն են ն կախված չեն ժամանակից, գործընթացը կոչվում է ստացիոնար,

իսկ դինամիկայի շարքը` ստացիոնար շարք: Տնտեսական գործընթացները ժամանակի ընթացքում ստացիոնար չեն համարվում, քանի որ պարունակում են զարգացման հիմնական միտում, սակայն վերջինիս ացառման ճանապարհով այն կարելի է ձնափոխել ստացիոնարի: • Ըստ ցուցանիշների թվի` կարելի է առանձնացնել մեկուսացված ն համալիր ( ազմաչափ) դինամիկայի շարքեր: Եթե ըստ ժամանակի կատարվում է մեկ ցուցանիշի վերլուծություն, այդ դեպքում դինամիկայի շարքը մեկուսացված է, իսկ ազմաչափ շարքերում նույն երնույթը նութագրվում է ներկայացված մի շարք ցուցանիշների դինամիկայով:

8.2. Դինամիկայի վերլուծության ցուցանիշները Ժամանակի ընթացքում երնույթների զարգացման արագության ն ինտենսիվության վերլուծությունը պարզա անվում է վերլուծական ցուցանիշների օգնությամ , որոնք ստացվում են դինամիկայի շարքերի մակարդակների համեմատության արդյունքում: Այդ ցուցանիշներից են ացարձակ հավելաճը, աճի ն հավելաճի տեմպերը, մեկ տոկոս հավելաճի ացարձակ արժեքը: Դրանց մեծ մասի հաշվարկը հիմնվում է դինամիկայի շարքի մակարդակների` միմյանց հետ համեմատելու վրա: Մակարդակը, որի հետ կատարվում է համեմատությունը, կոչվում է ազիսային, իսկ համեմատվողը` հաշվետու: Շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ մակարդակը համեմատելով նախորդի հետ` ստանում ենք դինամիկայի շղթայական ցուցանիշները: Բացարձակ հավելաճ (Δy) է կոչվում դինամիկայի շարքի մակարդակների տար երությունը, որը ցույց է տալիս` քանի՞ միավորով է ավելացել (պակասել) շարքի մակարդակը որոշակի ժամանակահատվածում: Բացարձակ հավելաճը կարելի է հաշվարկել ինչպես սկզ նական, այնպես էլ անմիջապես նախորդ մակարդակի նկատմամ : Այդ պատճառով տար երում են դինամիկայի շարքի ազիսային ն շղթայական ացարձակ հավելաճերը: Բազիսային ացարձակ հավելաճը հավասար է համեմատվող (yi) ն ազիսային (yi-t) մակարդակների տար երությանը` արտահայտված նույն միավորներով, որոնցով չափվում են մակարդակները. (8.1) Δyi/i- t Հ yi - yi- t : Շղթայական ացարձակ հավելաճը հավասար է հաջորդ (yi) ն նախորդ (yi-1) մակարդակների տար երությանը`

(8.2) Δyi/i-1 Հ yi - yi-1: Աճի ն հավելաճի տեմպերը: Բացարձակ հավելաճն արտացոլում է աճի ացարձակ արագությունը: Դինամիկայի շարքի մակարդակների փոփոխության ինտենսիվությունը գնահատվում է ընթացիկ ն նախորդ կամ ազիսային մակարդակների հարա երությունով: Այդ ցուցանիշը ընդունված է անվանել աճի գործակից, իսկ տոկոսային արտահայտմամ այն կոչվում է աճի տեմպ: Բազիսային եղանակով աճի տեմպը հաշվարկվում է` համեմատվող մակարդակը (yi) ազիսայինին (y1) հարա երելով. Tք

i /1

=

yi ⋅ 100 9: y1

(8.3)

Եթե որպես ազիսային ընդունվում է անմիջապես նախորդող մակարդակը, ստանում ենք շղթայական աճի տեմպը. y (8.4) = i ⋅ 100 9, Tք i/i−1 yi−1 որտեղ` Tք-ն աճի տեմպն է: Աճի գործակիցը ցույց է տալիս, թե քանի՞ անգամ է համեմատվող մակարդակը մեծ (եթե գործակիցը մեկից մեծ է) ազիսայինից, կամ դրա ո՞ր մասն է կազմում (եթե մեկից փոքր է): Դինամիկայի շարքի մակարդակների ացարձակ հավելաճի մեծության փոփոխությունը հարա երական մեծություններով արտահայտելու նպատակով որոշվում է հավելաճի տեմպը, որը նույնպես լինում է ազիսային ն շղթայական: • Բազիսային հավելաճը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` Τոքy

i /1

=

Δy i / 1 y − y1 ⋅ 100 = i ⋅ 100 = (Τքy − 1) ⋅ 100: i /1 y1 y1

(8.5)

• Շղթայական հավելաճի հաշվարկման անաձնն է` Δy y − yi−1 Τոքy = i / i−1 ⋅ 100 = i ⋅ 100 = (Τքy − 1) ⋅ 100 , (8.6) i/i−1 i/i−1 yi−1 yi−1 որտեղ` Tոք-ն հավելաճի տեմպն է: Հավելաճի գործակիցը փոքր է աճի գործակցից մեկ միավորով, իսկ հավելաճի տեմպը աճի տեմպից` 100 9-ով, այսինքն` (8.7) Τոքy = Τքy − 1009 : i/i−1

i/i−1

Դինամիկայի շարքի 19 ացարձակ հավելաճի արժեքը որոշվում է ացարձակ հավելաճը հարա երելով հավելաճի տեմպին. Δyi/i−1 yi − yi−1 (8.8) Ճ|9| = = = y = 0,01yi−1 : Τոքyi/i−1 ⋅ 100 yi − yi−1 100 i−1 ⋅ 100 yi−1

Տվյալ ցուցանիշը տնտեսագիտական իմաստ ունի միայն շղթայական եղանակով հաշվարկելու դեպքում: Շղթայական ն ազիսային տեմպերի միջն գոյություն ունի որոշակի կապ. 1. Հաջորդական շղթայական աճի տեմպերի արտադրյալը հավասար է համապատասխան ժամանակաշրջանի ազիսային աճի տեմպին` y2 y3 y4 y y (8.9) ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ i = i : y1 y 2 y 3 yi−1 y1 2. Հաջորդ ազիսային աճի տեմպը նախորդ ազիսային աճի տեմպի վրա աժանելուց ստացված քանորդը հավասար է համապատասխան շղթայական աճի տեմպին. yi yi−1 y (8.10) : = i : y0 y0 yi−1 Հաջորդ ն նախորդ ացարձակ հավելաճերի տար երությունը վիճակագրությունում կոչվում է ացարձակ արագացում` (8.11) Δ′ = Δyi − Δyi−1 : Այն ցույց է տալիս, թե որքանո՞վ է տվյալ արագությունը մեծ (փոքր) նախորդից: Այսպիսով, ացարձակ արագացումը արագության փոփոխությունն է. այն կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ ացասական: Հարա երական արագացումը ացարձակ արագացման հարաերությունն է որպես ազիսային հանդիսացող ացարձակ հավելաճին ( Δ′ : Δyi ), այսինքն` հարա երական արագացումը ացարձակ հավելաճի տեմպն է, որը հաշվարկվում է միայն այն դեպքում, եր ացարձակ հավելաճը` որպես համեմատման հիմք, դրական է:

8.3. Դինամիկայի շարքի միջին ցուցանիշները Դինամիկայի շարքի միջին մակարդակը հաշվարկվում է միջին ժամանակագրականով: Միջին ժամանակագրականն այն միջինն է, որը հաշվարկվում է ժամանակի ընթացքում փոփոխվող արժեքներից ն ընդհանրացնում ժամանակագրական տատանումները: Պահային ն միջակայքային դինամիկայի շարքերի միջին մակարդակների հաշվառման մեթոդները տար եր են: Բացարձակ մեծություններով, հավասարահեռ մակարդակներով միջակայքային դինամիկայի շարքի միջին մակարդակը որոշվում է պարզ միջին թվա անականի անաձնով.

ո

∑ yi

y = i=1 : (8.12) ո Եթե միջակայքային դինամիկայի շարքն ունի անհավասարահեռ մակարդակներ, շարքի միջին մակարդակը որոշվում է կշռված միջին թվա անականի անաձնով. ո

∑ y it i

y = i =ո1

,

(8.13)

∑ ti

i =1

որտեղ` yi- ն դինամիկայի շարքի մակարդակն է, ո - ը` մակարդակների թիվը, ti - ն` մակարդակների միջն ժամանակահատվածի տնողությունը: Դինամիկայի պահային շարքի միջին մակարդակը այդպիսի եղանակով հաշվարկել չի կարելի, քանի որ առանձին մակարդակները պարունակում են կրկնակի հաշվարկի տարրեր: Հավասարահեռ մակարդակներով դինամիկայի պահային շարքի միջին մակարդակը որոշվում է պարզ միջին ժամանակագրականի անաձնով. 1 y + y + y + ... + y + 1 y ո−1 2 ո: y= 2 (8.14) ո −1 կամ` y1 + y ո ո − 1 + ∑ yi i= 2 : y= (8.15) ո−1 Անհավասարահեռ մակարդակներով դինամիկայի պահային շարքի միջին մակարդակը որոշվում է կշռված միջին ժամանակագրականի անաձնով. (y + y2 )t1 + (y2 + y3 )t2 + ... + (yո−1 + yո )tո−1 = y= 1 2 ⋅ (t1 + t 2 + ... + tո−1) ո−1

=

∑ (yi + yi+1)ti 2∑ ti

որտեղ` y1, y2, …, yո-ը դինամիկայի շարքի մակարդակներն են, ti -ն` մակարդակների միջն ժամանակաշրջանի տնողությունը: Անհավասարահեռ մակարդակներով դինամիկայի պահային

շարքի միջին մակարդակը կարելի է որոշել նան հետնյալ ձնով. y=

∑ yiti , ∑ ti

անա(8.16)

yi + yi+1 : Ըստ ժամանակի երնույթների փոփոխության արագության` ընդհանրացնող ցուցանիշը միջին ացարձակ հավելաճն է (Δ) : Այն հնարավորություն է տալիս պարզելու, թե միավոր ժամանակահատվածում միջինում որքանո՞վ պետք է ավելացնել շարքի մակարդակը ( ացարձակ արտահայտությամ ), որպեսզի որոշակի տրված քանակով պար երաշրջանների ընթացքում հնարավոր լինի սկզ նական մակարդակից հասնել արդյունքայինին: Բացարձակ հավելաճը միջակայքային ցուցանիշ է. դրա միջին մեծությունը հաշվարկվում է հաջորդական ն հավասար ժամանակահատվածների համար շղթայական հավելաճերից պարզ միջին թվա անականի անաձնով.

որտեղ` yi =

ո−1

∑ Δi / i−1 Δy = i=1 ո −1

(8.17)

կամ` yո − y1 (8.17.1) : ո −1 Հնարավոր է նան միջին ացարձակ հավելաճի հաշվարկը կումուլյատիվ տվյալներով. Δy =

ո

Δy =

2∑ (y i − ոy 1) i =1

ո(ո + 1)

:

(8.18)

Այս անաձները օգտագործում են` կախված հետազոտության նպատակից: Աճի միջին տարեկան տեմպը որոշում ենք միջին երկրաչափականի անաձնով. (8.19) Τք = ո Κ 2/1 ⋅ Κ 3/2 ⋅ ... ⋅ Κ ո/ո −1 = ո ΠΚ քi/i −1 , yi շղթայական աճի գործակիցն է, yi−1 ո- ն` աճի տեմպերի թիվը: (8.19) անաձնում աճի տեմպերը փոխարինելով դրանց հարա-

որտեղ` Κքi / i−1 =

երություններով` կստանանք`

y2 y3 y y ⋅ ⋅ ... ⋅ ո = ո , y1 y 2 yո−1 y1

Τք = ո−1

yո : y1

(8.19.1)

Ժամանակի անհավասարահեռ մակարդակներով դինամիկայի շարքում աճի միջին տեմպը հաշվարկվում է կշռված միջին երկրաչափականի անաձնով. Τ ք = ∑ t Κ1t1 Κ 2t 2 ⋅ ... ⋅ Κոt ո ,

(8.20)

որտեղ` t-ն ժամանակահատվածն է, որի ընթացքում պահպանվում է աճի տվյալ տեմպը,

Σt -ն` ժամանակահատվածների գումարը: Հավելաճի միջին տարեկան տեմպը հավասար է աճի միջին տեմպից հանած 1009. (8.21) Τոք = Τք − 100 9: 8.4. Դինամիկայի շարքի աղադրիչները Դինամիկայի շարքը կարող է ենթարկվել աստիճանական զարգացման` լինել տատանվող, ինչպես նան փոփոխվել այլ տեսակի տար եր գործոնների ազդեցությամ : էվոլյուցիոն նույթի ազդեցությունները զարգացման ընդհանուր ուղղությունը` ազմամյա էվոլյուցիան որոշող փոփոխություններն են, որն իր ճանապարհն է հարթում այլ համակարգված կամ պատահական տատանումների միջով: Դինամիկ շարքի այդպիսի փոփոխությունները կոչվում են զարգացման միտում (տենդենց) կամ տրենդ: Տատանվող նույթի ազդեցությունները լինում են պար երական (ցիկլային) ն սեզոնային: Պար երական ազդեցության ներքո ուսումնասիրվող հատկանիշի նշանակությունը մի ինչ-որ ժամանակի ընթացքում աճում է, հասնում որոշակի առավելագույնի, հետո նվազում է` հասնելով որոշակի նվազագույն արժեքի, այնուհետն նորից է աճում մինչ նախկին նշանակությունը, ն այդպես շարունակ: Ցիկլային տատանումները սխեմատիկորեն կարելի է ներկայացնել y Հ 6iոt սինուսոիդի տեսքով: Տնտեսական գործընթացներում դրանք մոտավորապես համապատասխանում են, այսպես կոչված` իրավիճակի ցիկլերին: Սեզոնային տատանումներն այն տատանումներն են, որոնք պար երա ար կրկնվում են յուրաքանչյուր տարվա, ամսվա ժամանակի որոշակի պահին կամ օրվա ժամին:

Դիտարկենք ոչ ռեգուլյար (կանոնավոր) տատանումները, որոնք սոցիալ-տնտեսական երնույթների համար կարելի է ստորա աժանել երկու խմ ի. ա) հանկարծակի սկսվող փոփոխություններ, որոնք հետնանք են, օրինակ, պատերազմների կամ նական աղետների, ) պատահական տատանումներ, որոնք մեծաքանակ, համեմատա ար թույլ, երկրորդական գործոնների ազդեցության արդյունք են: Առանձնացնենք դինամիկայի շարքի հիմնական չորս աղադրիչները. հիմնական տենդենցը (տրենդը` T), ցիկլային կամ իրավիճակային (K), սեզոնային (Տ), պատահական (Է) տատանումները: Եթե դինամիկայի շարքը տրոհենք ըստ առանձին աղադրամասերի, այն կարտահայտվի հետնյալ տեսքով` y = f(T, K, Տ, Է) : Ելնելով միմյանց միջն ունեցած փոխկապվածությունից` հնարավոր է կառուցել դինամիկայի շարքի ադդիտիվ կամ էլ մուլտիպլիկատիվ մոդել: Դինամիկայի շարքի ադդիտիվ մոդելը (y Հ T+K+Տ+Է) նութագրվում է գլխավորապես նրանով, որ ցիկլային ն սեզոնային տատանումների նույթը մնում է անփոփոխ: Մուլտիպլիկատիվ մոդելում (y Հ Tն Kն Տն Է) ցիկլային ն սեզոնային տատանումների նույթը մնում է կայուն (անփոփոխ) միայն տրենդի նկատմամ :

8.5. Տրենդ: Տրենդի վերլուծության մեթոդները դինամիկայի շարքերում Տրենդը դինամիկայի շարքի երկարաժամկետ (երկարատն) աղադրիչն է, որը նութագրում է դրա զարգացման հիմնական տենդենցը, ընդ որում` մնացած աղադրամասերը դիտարկվում են միայն որպես նրա որոշման ընթացակարգի խանգարողներ: Այն անից հետո, եր արդեն դինամիկայի շարքում հաստատվել ն սահմանվել է տենդենցի առկայությունը, հարթեցման մեթոդների օգնությամ կատարվում է նրա նկարագրումը ( նութագրումը): Հարթեցման մեթոդները աժանվում են 2 հիմնական խմ երի. ա) դինամիկայի շարքի առանձին անդամների հարթեցում կամ մեխանիկական հավասարեցում հարակից (հարնան) մակարդակների փաստացի նշանակությունների օգտագործմամ , ) հարթեցում կորի միջոցով, որը անց է կացվում կոնկրետ մակարդակների միջն այնպես, որ արտացոլի շարքին հատուկ տենդենցը` միաժամանակ ձեր ազատելով աննշան տատանումներից: Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը:

Միջինացման մեթոդը ըստ ձախ ն աջ կեսի: Դինամիկայի շարքը աժանվում է երկու մասի. յուրաքանչյուրի համար որոշվում է միջին թվա անականը, ն ստացված կետերով գրաֆիկի վրա տարվում տրենդի գիծը: Միջակայքերի խոշորացման մեթոդը: Եթե տնտեսական ցուցանիշների մակարդակները ուսումնասիրվեն ժամանակի կարճատն հատվածներում, ապա տար եր ուղղություններով գործող ազմաթիվ գործոնների ազդեցության հետնանքով դինամիկայի շարքերում կնկատվի այդ մակարդակների նվազում կամ աճ: Դա խանգարում է ընկալել ուսումնասիրվող երնույթի զարգացման հիմնական տենդենցը: Այդ իսկ պատճառով տրենդը ավելի ակնառու պատկերացնելու համար կիրառում են միջակայքերի խոշորացման մեթոդը, որը հիմնված է շարքի մակարդակներին վերա երվող ժամանակահատվածների խոշորացման վրա: Օրինակ` արտադրանքի օրական թողարկման շարքը փոխարինվում է արտադրանքի ամսական թողարկման շարքով: Պարզ սահող միջինի մեթոդը: Դինամիկայի շարքի հարթեցումը սահող միջինի օգնությամ այն է, որ հաշվարկվում է շարքի առաջինից սկսվող որոշակի թվով հաջորդական մակարդակների միջին մակարդակը, ապա հաշվարկվում է միջինը մակարդակների նույն քանակի համար` սկսած երկրորդից, հետո` երրորդից, ն այդպես շարունակ: Ստացվում է, որ միջին մակարդակները հաշվելիս կարծես «սահում են» դինամիկայի շարքի սկզ ից մինչն վերջը` ամեն անգամ հեռացնելով սկզ ի մեկ մակարդակը ն ընդգրկելով մեկ հաջորդը. այստեղից էլ` սահող միջին անվանումը: Սահող միջինի յուրաքանչյուր օղակ համապատասխան ժամանակաշրջանի միջին մակարդակն է, որը վերա երում է ընտրված ժամանակահատվածի կենտրոնին: Յուրաքանչյուր կոնկրետ (y1, y 2, y 3,..., yո ) դինամիկայի շարքի համար սահող միջինը հաշվարկվում է ստորն նկարագրված ալգորիթմով: 1. Որոշում են հարթեցման միջակայքը, այսինքն` նրանում ընդգրկվող մակարդակների թիվը ո(ո < ո) ` կիրառելով հետնյալ կանոնը. եթե անհրաժեշտ է հարթեցնել մանր, անկանոն տատանումները, հարթեցման միջակայքը վերցնում են մեծ, ն ընդհակառակը, հարթեցման միջակայքը փոքրացնում, եր անհրաժեշտ է պահպանել առավել մանր ալիքները ն ազատվել պար երա ար կրկնվող տատանումներից, որոնք առաջացել են, օրինակ, մակարդակների ավտոկոռելյացիայի հետնանքով: 2. Հարթեցման միջակայքը ձնավորող մակարդակների համար հաշվարկում են միջին արժեքը, որը միաժամանակ միջակայքի կենտրոնական մակարդակի հարթեցնող արժեքն է (պայմանով, որ ո-ը

կենտ թիվ է), ստորն ներկայացված

անաձներից որնէ մեկով.

t +ք

∑ yi

y t +ք − y t −ք −1 , (8.22) ո ո որտեղ` yi -ն i-րդ մակարդակի փաստացի արժեքն է, ո -ը` հարթեցման միջակայքում ներառված մակարդակների թիվը (ոՀ2ք+1), yt-ն` դինամիկայի շարքի ընթացիկ մակարդակը, i-ն` հարթեցման միջակայքում եղած մակարդակների հերթական համարը, ք - ն` կենտ ո-ի դեպքում հավասար է. ք Հ (ո-1)/2 : Սահող միջինի որոշումը զույգ թվով անդամ պարունակող դինամիկայի շարքի համար քիչ ավելի արդ է, քանի որ միջինը կարելի է վերա երել միայն հարթեցման միջակայքի կենտրոնում գտնվող երկու ժամանակահատվածների մեջտեղին: 3. Հարթեցման միջակայքը տեղաշարժում են դեպի աջ` մեկ կետով, այնուհետն (8.22) անաձնով հաշվարկում t+1-րդ անդամի համար հարթեցված արժեքը, նորից տեղաշարժ կատարում, ն այդպես շարունակ: Բերված կրկնական ընթացակարգի հաջորդական կիրառման արդյունքում ստանում են ո-(ո-1) նոր հարթեցված մակարդակներ: Շարքի առաջին ն վերջին ք անդամները տվյալ ալգորիթմի օգնությամ չի կարելի հարթեցնել, քանի որ դրանց նշանակությունները կորչում են: Տրենդի հավասարման ընտրությունը: Երնույթների` ըստ ժամանակի զարգացման հիմնական միտումը արտացոլելու (արտահայտելու) համար կիրառվում են տար եր աստիճանի ազմանդամներ, ցուցչային, լոգիստիկ կորեր, այլ ֆունկցիաներ: Բազմանդամները լինում են հետնյալ տեսքի. - առաջին աստիճանի ազմանդամ` ŷ t = a0 + a1t :

yt =

i= t −ք

կամ էլ y t = y t −1 +

- երկրորդ աստիճանի ազմանդամ` ŷt = a0 + a1t + a2t 2 : - երրորդ աստիճանի ազմանդամ` ŷ t = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 : - ո-երրորդ աստիճանի ազմանդամ` ŷt = a0 + a1t + a2t2 + ... + aոtո , որտեղ` a0, a1, a2, … aո -ը` ազմանդամների պարամետրերն են, t – ն` ժամանակի պայմանական նշանակումը: Վիճակագրության պրակտիկայում ցածր աստիճանի ազմանդամների պարամետրերը եր եմն ունենում են դինամիկայի շարքի

նութագրիչների կոնկրետ մեկնա անություն: Այսպես, a0 պարամետրը մեկնա անվում է որպես դինամիկայի շարքի միջին պայմանների նութագրիչ, իսկ a1, a2, a3-ները` արագացման փոփոխություն: Վիճակագրությունում մշակված է զարգացման մոդելի ազմանդամի աստիճանի ընտրության կարգ, որը հիմնված է դինամիկայի շարքերի մակարդակների վերջավոր տար երությունների որոշման վրա: Համաձայն կանոնի` առաջին աստիճանի ազմանդամը (ուղիղը) որպես մոդել կիրառվում է այնպիսի դինամիկայի շարքի համար, որի առաջին տար երությունները ( ացարձակ հավելաճերը) կայուն են, երկրորդ աստիճանի ազմանդամները կիրառվում են կայուն երկրորդ տար երություններ (արագացումներ) ունեցող դինամիկայի շարքի արտացոլման համար, երրորդ աստիճանի ազմանդամները` կայուն երրորդ տար երություններ ունեցող շարքերի համար ն այլն: Բազմանդամային մոդելներին նորոշ է ուղիղ կապի ացակայությունը ացարձակ հավելաճերի ն դինամիկայի շարքի մակարդակների հավելաճերի միջն: Երնույթի աճի գործընթացն արտացոլող ենթադրվող ֆունկցիան Ե t +Ե t կարող է լինել ŷ t = a0at1 կամ ŷ t = a0 ⋅ (a1) 1 2 տեսքի ցուցչային ֆունկցիա: Ցուցիչները նութագրում են այն հավելաճը, որը կախված է ֆունկցիայի հիմքի մեծությունից: Առանձին հավասարումներն արտացոլում են դինամիկայի տարեր տիպերը: Գործընթացի միանվագ աճը կամ նվազումը նութագրում են հետնյալ ֆունկցիաները. ա) գծային, ) պարա ոլիկ, գ) աստիճանային, դ) պարզ ցուցչային ն դրանից ածանցված լոգարիթմական գծային, ե) արդ ցուցչային ն դրանից ածանցված լոգարիթմական պարա ոլը, զ) հիպեր ոլիկ (հիմնականում նվազող պրոցեսներ), է) դրանց տեսակների համատեղումը: Այնպիսի դինամիկայի շարքերի մոդելավորման համար, որոնք շարքի սկզ ում ցուցա երում են արագ զարգացում, վերջում` զարգացման անկում, այսինքն` որոնք ձգտում են որոշակի սահմանային մեծության, կիրառվում են լոգիստիկ ֆունկցիաներ: Վերջիններս հաճախ արտահայտվում են հետնյալ տեսքով. K K կամ ŷ t = : ŷ t = −a0 t 1+ 6 1 + 10a0 + a1t որտեղ 6 -ն` նական լոգարիթմի հիմքն է: Բազմանդամների պարամետրերի հաշվարկը: Այն անից հետո, եր արդեն պարզա անված է զարգացման կորի նույթը, անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա պարամետրերը: Բազմանդամով կամ ցուցիչով արտահայտված տրենդի հավասարման պարամետրերի

որոշման պարզագույն մեթոդը հավասարումների համակարգի լուծումն է` ըստ դինամիկայի շարքի հայտնի մակարդակների: Ստորն երված են ուղիղ գծի, երկրորդ կարգի պարա ոլի ն ցուցչային հավասարումների պարամետրերի որոշման մեթոդա անությունը: Բազմանդամի հաջորդական պարամետրերը նշանակենք 40, a1, a2..., aո-ով: Այդ դեպքում նորմալ հավասարումների համակարգը ուղիղ գծի (ŷ t = a0 + a1t ) հավասարման պարամետրերի գնահատման համար կունենա հետնյալ տեսքը. ⎧⎪ոa0 + a1∑ t = ∑ y : ⎨ ⎪⎩a0 ∑ t + a1∑ t = ∑ yt

(8.23)

Լուծելով հավասարումների համակարգը` կստանանք a0 ն a1 պարամետրերի արժեքները. a0 =

∑ y∑ t 2 − ∑ t∑ yt : ո∑ t 2 − (∑ t )

a1 =

ո∑ yt − ∑ y∑ t ո∑ t 2 − (∑ t )

:

Երկրորդ կարգի պարա ոլի ŷ t = a0 + a1t + a2t 2 համար համանմանորեն կառուցենք նորմալ հավասարումների համակարգը. ⎧ոa0 + a1∑ t + a2 ∑ t 2 = ∑ y ⎪ ⎪ (8.24) ⎨a0 ∑ t + a1∑ t + a2 ∑ t = ∑ yt : ⎪ ⎪⎩a0 ∑ t + a1∑ t + a2 ∑ t = ∑ yt Գոյություն ունի նան պարամետրերի հաշվարկման ավելի պարզեցված եղանակ, որով նկատելիորեն տնտեսվում է ժամանակը: Համաձայն դրա, կոորդինատների սկիզ ը տեղափոխվում է դինամիկայի շարքի կենտրոն. այդ դեպքում պարզեցվում են հենց իրենք` նորմալ հավասարումները, փոքրացվում են հաշվարկին մասնակցող մեծությունների ացարձակ նշանակությունները: Իսկապես, եթե մինչն կոորդինատների սկիզ ը տեղափոխելը, t-ն հավասար էր 1,2,3,…ո, ապա տեղափոխությունից հետո t Հ …-4,-3,-2, 1,0,1,2,3,4,…, եթե, իհարկե, շարքն ունի կենտ թվով անդամներ: Եր անդամների թիվը զույգ է, ապա t Հ…-5,-3,-1,1,3,5,…: Նշանակում է` ∑ t ն ոլոր ∑ tք , որոնց ք-ն կենտ թիվ է, հավասար են 0-ի: Հետնա ար, հավասարումների ոլոր անդամները, որոնք պարունակում են այդպիսի աստիճաններով ∑ t , կարող են ացառվել: Այդ դեպքում ուղիղ գծի նորմալ հավասարումների պարզեցված համակարգը կստանա հետնյալ տեսքը.

⎧⎪ոa0 = ∑ y (8.25) ⎨ ⎪⎩a1∑ t = ∑ ty , իսկ երկրորդ կարգի պարա ոլի համար` ⎧ոa0 + a2 ∑ t 2 = ∑ y ⎪ ⎪ (8.26) ⎨a1∑ t = ∑ ty ⎪ ⎪⎩a0 ∑ t + a2 ∑ t = ∑ t y : Լուծելով (8.25) ն (8.26) հավասարումների համակարգը` անհայտ պարամետրերի նկատմամ , կստանանք ազմանդամի համապատասխան պարամետրերը: a1 պարամետրը արտահայտում է աճի սկզ նական արագությունը, իսկ a2 գործակիցը` հավելաճի փոփոխության հաստատուն արագությունը: Եթե երնույթի մակարդակն աճում է արագացումով, ապա դրա մեծությունը ուսումնասիրվող ժամանակաշրջանի միջինի համար հավասար կլինի 2a2 միավորի:

(

)

Դինամիկայի շարքը ըստ ցուցչային ŷ t = a 0 6 a 1 t հավասարման հարթեցնելիս, պարամետրերը հաշվարկելու համար, ելքային տվյալների լոգարիթմների նկատմամ կիրառվում է ՓՔՄ-ը: Այսինքն` հարկավոր է լուծել հետնյալ հավասարումների համակարգը. ⎧⎪∑ lոy = ոlոa0 + a1∑ t (8.27) ⎨ ⎪⎩∑ tlոy = lոa0 ∑ t + a1∑ t : Եթե ∑ t = 0 , ապա հավասարման lոa0 ն a1 պարամետրերը գտնում են հետնյալ անաձնից. lոy lոa0 = ∑ : a1 = ո

∑ tlոy : ∑ t2

Ցուցիչը արտացոլում է 6a1t միավորի հավասար կայուն հարաերական աճ:

8.6. Սեզոնային տատանումներ Սոցիալ-տնտեսական շատ երնույթների եռամսյակային կամ ամսական տվյալների դիտարկման ժամանակ հաճախ ի հայտ են գալիս մշտապես կրկնվող տատանումներ, որոնք տնական ժամանակաշրջանում էապես չեն փոփոխվում: Դրանք նակլիմայական պայ-

մանների, ընդհանուր տնտեսական ն ազմաթիվ այլ` մասամ կարգավորվող գործոնների ազդեցության հետնանք են: Տարվա ընթացքում տեղի ունեցող պար երական տատանումները, որոնք ունեն որոշակի հաստատուն պար երաշրջան, կոչվում են սեզոնային տատանումներ կամ սեզոնային ալիքներ, իսկ դինամիկայի շարքն այդ դեպքում անվանում են տրենդ-սեզոնային կամ պարզապես դինամիկայի սեզոնային շարք: Սեզոնային վերելքներն ու վայրէջքները հանգեցնում են տար եր անցանկալի արդյունքների: Այդ կապակցությամ , որպես կանոն, ձգտում են կա՛մ վերացնել, կա՛մ փոքրացնել (մեղմացնել) սեզոնային տատանումները: Սեզոնային տատանումները նութագրվում են հատուկ` սեզոնայնության ինդեքսներ (|6) կոչվող ցուցանիշներով, որոնք այս կամ այն ամսվա (եռամսյակի) փաստացի մակարդակի ն այդ նույն ամսվա (եռամսյակի) հավասարեցված մակարդակի տոկոսային հարա երությունն են. y |6 = i ⋅ 1009 : ŷ Սեզոնային տատանումների ացահայտման համար սովորա ար դիտարկում են մի քանի տարվա տվյալները, որոնք աշխվում են ըստ ամիսների: Մի քանի (սովորա ար` 3-4) տարվա տվյալները կիրառվում են կայուն սեզոնային ալիքը ացահայտելու նպատակով, որպեսզի ացառվի առանձին տարվա պատահական պայմանների ազդեցությունը: Առանձին տարիների պատահական ազդեցություններից ազատ ն սեզոնային տատանումների տիպական նույթը արտացոլող կայուն ինդեքսներ ստանալու համար նույնանուն ամիսների ինդեքսներից հաշվարկում են պարզ միջին թվա անականի ինդեքսը. | |6 = ∑ 6 : ո Եթե դինամիկայի շարքում աճման կամ նվազման պարզորոշ արտահայտված տենդենց չկա, ապա կարելի է որպես հավասարեցված մակարդակներ ընդունել ամ ողջ ուսումնասիրվող ժամանակաշրջանի ամսական մակարդակների միջինը: Այդ դեպքում ինդեքսի համարիչում նույնպես կարելի է վերցնել նույնանուն ամիսների մակարդակների միջինը. y (8.28) |6 = i ⋅ 100 9, y որտեղ` |6 -ը սեզոնայնության միջին ինդեքսն է, yi - ը` նույնանուն յուրաքանչյուր ամսվա մակարդակի միջին մեծությունը,

y - ը` ընդհանուր միջինը: Եթե վերցնում են եռամյա ժամանակաշրջան, ապա որպես հարթեցված մակարդակ հաշվարկում են 36-ամսյա մակարդակի միջինը (y ) : Այդ դեպքում ինդեքսի համարիչում նույնպես կարելի է վերցնել նույնանուն ամիսների միջինը, այսինքն` եռամյա ժամանակաշրջանի դեպքում` երեք հունվար ամիսների, երեք փետրվարների միջինը ն այլն: Եթե դինամիկայի շարքն ունի զարգացման միտում, ապա մինչն սեզոնային ալիքի հաշվարկելը անհրաժեշտ է փաստացի տվյալները մշակել այնպես, որ հնարավոր լինի ացահայտել ընդհանուր տենդենցը: Դրա համար սովորա ար դիմում են դինամիկայի շարքի վերլուծական հարթեցմանը: Ընդհանուր տեսքով սեզոնայնության ինդեքսի հաշվարկման անաձնը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` ⎡ y⎤ (8.29) |6 = ⎢∑ i ⎥ : ո : ⎣ ŷ t ⎦

8.7. Ավտոկոռելյացիա: Դար ին – Ուոթսոնի հայտանիշը Բազմաչափ ժամանակային շարքերը, որոնք արտահայտում են արդյունքային հատկանիշի կախվածությունը մեկ կամ մի քանի գործոնային հատկանիշներից, կոչվում են դինամիկայի կապակցված շարքեր: Դինամիկայի շարքերի մշակման համար փոքրագույն քառակուսիների մեթոդի (ՓՔՄ) կիրառումը չի պահանջում որնէ ենթադրություն նախնական տվյալների աշխման օրենքների մասին: Սակայն դինամիկայի կապակցված շարքերի մշակման ժամանակ ՓՔՄ-ը կիրառելու դեպքում պետք է հաշվի առնել ավտոկոռելյացիայի (ավտոռեգրեսիայի) առկայությունը, որը հաշվի չի առնվում միաչափ դինամիկայի շարքերը մշակելիս, քանզի դրա առկայությունը նպաստում է դիտարկվող սոցիալ-տնտեսական երնույթների զարգացման միտումը ժամանակի ընթացքում ավելի հստակ արտահայտելուն: Տնտեսական գործընթացների դինամիկայի շարքերի մակարդակների, հատկապես մոտիկ դասավորվածների միջն գոյություն ունի փոխադարձ կապ: Այն հարմար է ներկայացնել կոռելյացիոն փոխկախվածության տեսքով` y 1, y 2 , y 3 , ... , y ո շարքի ն այդ նույն շարքի` ժամանակի հ միավորով տեղաշարժված y 1+հ , y 2+հ , ... , y ո+հ մակարդակների միջն: Լ-ի ժամանակային տեղափոխումը կոչվում է

տեղաշարժ, իսկ ինքը` կապի երնույթը` ավտոկոռելյացիա: Ավտոկոռելյացիոն փոխկախվածությունը հատկապես էական է դինամիկայի շարքի հաջորդող ն նախորդող մակարդակների միջն: Քանի որ մաթեմատիկական վիճակագրության դասական մեթոդները կիրառելի են միայն այնպիսի դեպքերում, եր շարքի առանձին անդամներն անկախ են իրարից, ապա մի քանի փոխկապակցված դինամիկայի շարքերի վերլուծության դեպքում կարնոր է որոշել ավտոկոռելյացիայի առկայությունն ու աստիճանը: Տար երում են ավտոկոռելյացիայի երկու տեսակ. ա) մեկ կամ ավելի փոփոխականների դիտարկման ավտոկոռելյացիա, ) սխալների կամ տրենդից շեղումների ավտոկոռելյացիա: Վերջինիս առկայությունը հանգեցնում է ռեգրեսիայի գործակիցների միջին քառակուսային սխալի արժեքների աղճատմանը: Դա, իր հերթին, դժվարեցնում է ռեգրեսիայի գործակիցների վստահելիության միջակայքերի կառուցումը ն նշանակալիության ստուգումը: Ավտոկոռելյացիան չափվում է ոչ պար երական (ոչ ցիկլային) ավտոկոռելյացիայի գործակցի օգնությամ : Այն կարող է հաշվարկվել ոչ միայն հարնան մակարդակների, այսինքն` ժամանակի մեկ միավորով տեղաշարժված, այլն ժամանակի ցանկացած թվով (Լ) միավորներով տեղաշարժված մակարդակների միջն: Այդ տեղաշարժը, որը կոչվում է ժամանակի լագ, որոշում է նան ավտոկոռելյացիայի գործակցի կարգը. առաջին` ԼՀ1, երկրորդ` ԼՀ2 ն այլն: Հետազոտության համար առավել մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում առաջին կարգի ոչ ցիկլային գործակցի հաշվարկը, քանի որ վերլուծության արդյունքների ամենամեծ աղճատումները ի հայտ են գալիս շարքի սկզ նական (yt) ն ժամանակի մեկ միավորով տեղաշարժված (yt-1 կամ yt+1) մակարդակների միջն գոյություն ունեցող կոռելյացիայի համար: Տվյալ դեպքում ավտոկոռելյացիայի գործակիցը կարելի է ներկայացնել զույգային գծային կապի կոռելյացիայի գործակցի միջոցով. y ⋅ y − yt ⋅ y t +1 ra = t t +1 , (8.30) σ y t ⋅ σ y t +1 որտեղ` σ y - ն ն σy t

t +1

-ը, համապատասխանա ար, yt ն yt+1 շարքե-

րի միջին քառակուսային շեղումներն են: Եթե շարքի վերջին (yո) ն առաջին (y1) մակարդակների արժեքների տար երությունը փոքր է, ապա տեղաշարժված շարքը չի կարճանում, այն կարելի է պայմանականորեն լրացնել, ընդունելով, որ yո Հ y1: Այդ դեպքում yt = yt +1 ն σ y Հ σy , քանի որ դրանք հաշt

վարկվում են միննույն շարքի համար:

t +1

Այսպիսի փոխարինումից հետո ավտոկոռելյացիայի գործակցի հաշվարկման անաձնը կընդունի հետնյալ տեսքը` y ⋅ y − (yt ) (8.30.1) ra = t t +12

σy t

կամ`

∑ y t y t +1 − ո(yt ) ∑ y2t − ո(yt )

ra =

:

(8.30.2)

Ուսումնասիրվող դինամիկայի շարքում ավտոկոռելյացիայի առկայության կամ ացակայության մասին հետնություն կատարելու համար ավտոկոռելյացիայի գործակիցների փաստացի արժեքները համեմատում են աղյուսակային (կրիտիկական) արժեքների հետ` նշանակալիության 5 կամ 19-անոց մակարդակի համար (շարքի մակարդակների անկախության մասին զրոյական վարկածի ընդունման դեպքում` սխալը թույլ տալու հավանականության): Եթե ավտոկոռելյացիայի փաստացի արժեքը փոքր է աղյուսակայինից (raփ Հ raաղյ.), ապա ավտոկոռելյացիայի ացակայության վարկածը ընդունվում է, իսկ եր raփ » raաղյ, նշանակում է` դինամիկայի շարքում առկա է ավտոկոռելյացիան: Ավտոկոռելյացիան փոքրացնելու համար կիրառում են տար եր մեթոդներ, որոնց համարյա թե ոլորի նպատակը սկզ նական տվյալներից հիմնական միտումը (տրենդը) ացառելն է: Առավել տարածվածը Դար ին-Ուոթսոնի հայտանիշն է, որը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով. ո

d=

∑ (6t +1 − 6t )

t =1

t

∑

,

62t

որտեղ` 6 t = y t − ŷ t : Այս հայտանիշի կիրառության տեսական հիմնավորումը պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ դինամիկայի շարքերում ինչպես դիտարկումները, այնպես էլ դրանցից եղած շեղումները աշխված են ժամանակագրական հաջորդականությամ : Ընդունելով, որ մակարդակների շեղումները միտումից (այսպես կոչված՝ մնացորդները) պատահական են, 0-4 միջակայքում ընկած d-ի նշանակությունները միշտ էլ մոտ կլինեն 2-ին: Եթե ավտոկոռելյացիան դրական է, ապա d Հ 2, եթե ացասական` −2 ≤ d ≤ 4 : Հետնա ար, ըստ հայտանիշի ստացված գնահատականները ոչ թե կետային են (ըստ կետերի), այլ միջակայքային: Դրանց արժեք-

ները նշանակալիության երեք մակարդակների (αՀ0.01, αՀ0.025 ն αՀ0.05) համար երված են հատուկ աղյուսակներում` հաշվի առնելով դիտարկումների թիվը: Գոյություն ունեն մի շարք մեթոդներ դինամիկայի շարքերում ավտոկոռելյացիան (ավտոռեգրեսիայի) փոքրացնելու կամ ացառելու համար: Դրանք են՝ ա) ժամանակի` որպես լրացուցիչ գործոն, ներառման մեթոդը, ) հաջորդական տար երությունների մեթոդը, գ) ավտոռեգրեսիոն ձնափոխումների մեթոդը:

8.8. Դինամիկայի շարքերի կոռելյացիան Երնույթի՝ ըստ ժամանակի զարգացման ուսումնասիրության համար, եր եմն հարկ է լինում գնահատել տար եր ովանդակություն ունեցող, սակայն միմյանց հետ կապակցված, երկու կամ ավելի դինամիկայի շարքերի մակարդակների փոփոխության միջն եղած փոխկախվածության աստիճանը: Այդ խնդիրը լուծվում է դինամիկայի շարքերի մակարդակների կոռելավորման, տրենդից` փաստացի մակարդակների շեղումների կոռելավորման, հաջորդական տար երությունների կոռելավորման (այսինքն` կոռելյացիայի զույգային գործակցի հաշվարկման ճանապարհով) մեթոդներով: 1. Դինամիկայի շարքերի մակարդակների կոռելավորումը միայն այն դեպքում է ստույգ ցույց տալիս կապի խտության աստիճանը դինամիկայի շարքերի միջն, եր դրանցից յուրաքանչյուրում ացակայում է ավտոկոռելյացիան: Տվյալ դեպքում կոռելյացիայի գործակիցը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով. x y − xi ⋅ yi r= i i , (8.31) σx ⋅ σy որտեղ` xi-ն դինամիկայի գործոնային շարքի i-րդ մակարդակն է, yi-ն` դինամիկայի արդյունքային շարքի i-րդ մակարդակը: Հետնա ար, մինչն դինամիկայի շարքի կոռելավորումը (ըստ մակարդակների), անհրաժեշտ է ստուգել ավտոկոռելյացիայի առկայությունը կամ ացակայությունը շարքերից յուրաքանչյուրի ներքո: Շարքերից որնէ մեկի մակարդակների միջն ավտոկոռելյացիայի առկայության դեպքում այն պետք է վերացվի: 2. Հարթեցված մակարդակներից (տրենդից) եղած շեղումների համահարա երակցությունը: Այս մեթոդով կոռելավորվում են ոչ թե մակարդակները, այլ տրենդը արտացոլող` հարթեցված մակարդակների շեղումները փաստացիներից, այսինքն՝ մնացորդային մեծությունները: Այդ նպատակով դինամիկայի յուրաքանչյուր շարքը

հարթեցնում են որոշակի (իրեն նորոշ) վերլուծական անաձնով, դրանից հետո` էմպիրիկ մակարդակներից հանում հարթեցվածները (այսինքն՝ գտնում dx = xi − x̂ t : dy = yi − ŷ t ) ն, վերջապես, որոշում հաշվարկված շեղումների (dx ն dy) միջն եղած կապի խտությունն ըստ հետնյալ անաձնի. rd x d y =

∑ dx ⋅ dy : ∑ d2 x ⋅ ∑ d2 y

(8.32)

3. Հաջորդական տար երությունների համահարա երակցությունը: Ավտոկոռելյացիայի ազդեցությունը կարելի է ացառել՝ յուրաքանչյուր մակարդակից հանելով նրա նախորդ մակարդակը, այսինքն՝ գտնելով մակարդակների (yi − yi−1) տար երությունները: Հանրահաշվորեն հեշտ է ցույց տալ, որ մակարդակներից դրանց տար երություններին անցում կատարելով` ացառվում է ընդհանուր միտումի ազդեցությունը տատանման վրա: Ընդ որում՝ մակարդակների՝ ըստ ուղիղ գծի փոփոխության դեպքում կարելի է կոռելացնել առաջին տար երությունները, ըստ ո - րդ կարգի կորի փոփոխության դեպքում` ո-րդ տար երությունները: Տվյալ դեպքում անաձնը կունենա հետնյալ տեսքը.

rΔxΔy =

∑ Δx ⋅ Δy , ∑ Δ2x ⋅ ∑ Δ2y

(8.33)

որտեղ` Δ x = xi − xi−1, Δ y = yi − yi−1 :

8.9. Կանխատեսման ն ինտերպոլյացիայի տարրերը Սոցիալ-տնտեսական երնույթների դինամիկայի ուսումնասիրումը, զարգացման հիմնական տենդենցի ն փոխկախվածության մոդելների ացահայտումն ու նութագրումը հիմք են ստեղծում կանխատեսումներ իրականացնելու, այսինքն՝ տնտեսական երնույթի մակարդակի ապագա չափերը որոշելու համար: Կանխատեսման հարցերն ավելի արդիական են դառնում հատկապես սոցիալ-տնտեսական երնույթների հաշվառման ն վերլուծության՝ միջազգային մեթոդա անությանն անցման պայմաններում: Կանխատեսման մեթոդների համակարգում կարնոր տեղ են զ աղեցնում վիճակագրական մեթոդները: Կանխատեսման կիրառումը ենթադրում է, որ նախկինում (դինամիկ շարքի ներսում) գործող զարգացման օրինաչափությունը կպահպանվի նան կանխատեսվող (հեռանկարային) ապագայում, այսինքն՝ այն հիմնված է էքստրապոլյացիայի վրա: Ապագայի համար կատարվող էքստրա-

պոլյացիան կոչվում է հեռանկարային, իսկ անցյալինը` հետադարձ: Սովորա ար, դինամիկայի շարքերի էքստրապոլյացիա ասելիս, ավելի հաճախ հասկանում են հեռանկարային էքստրապոլյացիան: Ապագայի ուղղությամ միտումի տարածման տեսական հիմքը սոցիալ-տնտեսական երնույթների հայտնի հատկությունն է, որը կոչվում է իներցիոնություն: Հենց դա էլ հնարավորություն է տալիս վեր հանելու եղած փոխկախվածությունները ինչպես դինամիկայի շարքի մակարդակների, այնպես էլ մի խում դինամիկայի կապակցված շարքերի միջն: Եթե դինամիկայի շարքերի մակարդակները համադրելի (համեմատելի) են ն կիրառվել է միասնական մեթոդա անություն, դրանց հիման վրա կարելի է ստանալ շատ հուսալի կանխատեսումներ: էքստրապոլյացիայի կիրառումը կանխատեսումներում հիմնվում է հետնյալ նախադրյալների վրա. • ուսումնասիրվող երնույթի զարգացումը ամ ողջությամ վերցրած պետք է նկարագրել սահուն (հարթ) կորով, • երնույթի անցյալում ն ներկա զարգացման ընդհանուր միտումը չպետք է լուրջ փոփոխություններ կրի ապագայում: Որքան կարճ է էքստրապոլյացիայի ժամկետը, այնքան ավելի հուսալի ն ճիշտ (մնացած հավասար պայմաններում) արդյունքներ են տալիս կանխատեսումները, քանի որ կարճ ժամանակահատվածում երնույթի զարգացման պայմաններն ու դրա դինամիկայի նույթը չեն հասցնում արագ փոփոխվել: էքստրապոլյացիան` ընդհանուր տեսքով կարելի է արտահայտել հետնյալ անաձնով. ŷi+ T = f yi, T, aj ,

(

)

որտեղ` ŷi+ T - ն կանխատեսվող մակարդակն է, yi - ն` կանխատեսվող շարքի ընթացիկ մակարդակը, T - ն` էքստրապոլյացիայի ժամկետը, aj - ն` տրենդի հավասարման պարամետրը: Գործնականում հաճախ կիրառվում են էքստրապոլյացիայի հետնյալ տարրական մեթոդները. միջին ացարձակ հավելաճի, աճի միջին տեմպի ն էքստրապոլյացիա շարքերի՝ ըստ որնէ վերլուծական անաձնի հարթեցման հիման վրա: Կանխատեսումն ըստ միջին ացարձակ հավելաճի կարող է իրականացվել այնպիսի դեպքերում, եր կա վստահություն, որ ընդհանուր տենդենցը գծային է, այսինքն՝ մեթոդը հիմնված է մակարդակի հավասարաչափ փոփոխության մասին ենթադրության վրա (հավասարաչափ ասելով` հասկանում են ացարձակ հավելաճերի կայունությունը): Հետաքրքրող տենդենցը ցանկացած t տարեթվի համար վերլու-

ծորեն արտահայտելու նպատակով անհրաժեշտ է գտնել միջին ացարձակ հավելաճը, ն այն հաջորդականորեն ավելացնել շարքի վերջին մակարդակին այնքան անգամ, որքան պար երաշրջանների համար է էքստրապոլյացիայի ենթարկվում շարքը, այսինքն՝ ըստ հետնյալ անաձնի. ŷi+ t = yi + Δ ⋅ t , (8.34) որտեղ` ŷi + t -ը էքստրապոլյացիայի մակարդակն է, (i+t) -ն` այդ մակարդակի (տարվա) համարը, i-ն` ուսումնասիրվող ժամանակաշրջանի վերջին մակարդակի (տարվա) համարը, որի համար հաշվարկվել է Δ -ն, t -ն` կանխատեսման ժամկետն է, Δ -ն` միջին ացարձակ հավելաճը: Կանխատեսումն ըստ աճի միջին տեմպի իրականացվում է այն ժամանակ, եր շարքի ընդհանուր միտումը նութագրվում է ցուցչային (էքսպոնենցիալ) կորով: Տենդենցը գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել աճի միջին գործակիցը, արձրացրած էքստրապոլյացիայի ժամանակաշրջանին համապատասխան աստիճան, այսինքն՝ կիրառել հետնյալ անաձնը. ŷi+ t = yi ⋅ Kքt , (8.35) որտեղ` yi-ն դինամիկայի շարքի վերջին մակարդակն է, t – ն` կանխատեսման ժամկետը, Kք - ն` աճի միջին գործակիցը: Տրենդի էքստրապոլյացիայի դիտարկված եղանակները, պարզ լինելու հետ մեկտեղ, առավել մոտավոր են: Կանխատեսման մեթոդներից առավել տարածվածը տրենդի վերլուծական արտահայտությունն է: Ընդ որում՝ ուսումնասիրվող ժամանակահատվածի սահմաններից դուրս գալու համար ավական է շարունակել ժամանակի (t) անկախ փոփոխականի նշանակությունները: Կանխատեսման այդպիսի մոտեցումը ենթադրում է, որ երնույթը նութագրող մակարդակի մեծությունը ձնավորվում է ազմաթիվ գործոնների ազդեցության ներքո, ընդ որում՝ հնարավոր չէ առանձնացնել դրանցից ն ոչ մեկի ազդեցությունը: Այդ առումով զարգացման ընթացքը կապվում է ոչ թե որնէ որոշակի գործոնների, այլ ժամանակի ընթացքի հետ, այսինքն՝ y Հ f(t): էքստրապոլյացիան հնարավորություն է տալիս ստանալու կանխատեսման կետային նշանակությունը: Փաստացի տվյալների ն կանխատեսման կետային գնահատականների համընկնումը (որոնք ստացվել են տենդենցը նութագրող կորերի էքստրապոլյացիայի

ճանապարհով), քիչ հավանական է: Այդ պատճառով էլ ցանկացած վիճակագրական կանխատեսում մոտավոր է: Դրա համար էլ նպատակահարմար է որոշել կանխատեսման վստահելիության միջակայքը, որի մեծությունը որոշվում է հետնյալ անաձնով. ŷ t ± t α ⋅ σ y t , որտեղ`

σyt -ն տրենդի միջին քառակուսային սխալն է, ŷ t -ն` մակարդակի հաշվարկային նշանակությունը,

tα-ն` վստահելի մեծությունը: Դինամիկայի շարքերի վերլուծության ժամանակ եր եմն հարկ է լինում որոշել տվյալ շարքի ներսում գտնվող անհայտ մակարդակները, այսինքն՝ կատարել ինտերպոլյացիա: Ինչպես ն էքստրապոլյացիան, ինտերպոլյացիան կարող է կատարվել միջին ացարձակ հավելաճի ն միջին աճի տեմպի հիման վրա՝ վերլուծական հարթեցման օգնությամ : Ինտերպոլյացիայի դեպքում ենթադրվում է, որ ո՛չ ացահայտված միտումը, ո՛չ էլ դրա նույթը չեն կրել էական փոփոխություններ այն ժամանակահատվածում, որի մակարդակը (մակարդակները) մեզ հայտնի չեն:

ԳԼՈՒԽ |X

ԻՆԴԵՔՍՆԵՐ

9.1. Տնտեսական ինդեքսների դասակարգումը Ինդեքսը լատիներեն առ է, որն ունի մի քանի նշանակություն. «ցուցիչ», «ցուցանակ», «ցուցակագիր»: Ինդեքսը հարա երական ցուցանիշ է, որը նութագրում է ուսումնասիրվող երնույթի մեծությունների հարա երակցությունը ժամանակի, տարածության մեջ կամ որնէ չափանիշի համեմատությունը ցանկացած չափանմուշի հետ (պլան, կանխատեսում, նորմատիվ ն այլն): Միջազգային պրակտիկայում ընդունված է ինդեքսները նշանակել i ն | պայմանանիշերով (սիմվոլներով): «|» տառով նշանակում են ընդհանուր, իսկ «i» տառով` անհատական (մասնակի) ինդեքսները: Դրանք ուղեկցվում են ինդեքսավորվող ցուցանիշների տողատակ պայմանանիշով: Բազիսային ցուցանիշները (որոնց հետ կատարվում է համեմատությունը) ուղեկցվում են «0», իսկ հաշվետու (համեմատվող, ընթացիկ) ժամանակաշրջանի ցուցանիշները` «1» պայմանանիշով: Ինդեքսային մեթոդի օգտագործման ժամանակ կիրառվում է որոշակի տառային նշանակումների համակարգ, որի օգնությամ ինդեքսների անաձների կառուցումը ն գրառումը դառնում է հակիրճ: Յուրաքանչյուր ինդեքսավորվող ցուցանիշ, որի մակարդակների հարա երակցությամ նութագրվում է ինդեքսը, ընդունված է նշանակել որոշակի տառերով: Այսպես. զ-ն` թողարկված արտադրանքի կամ վաճառված ապրանքների տվյալ տեսակի քանակն է (ծավալը) նեղեն արտահայտությամ (ծավալային ցուցանիշ), P-ն` արտադրանքի կամ ապրանքի միավորի գինը (որակական ցուցանիշ), 2-ը` արտադրանքի միավորի ինքնարժեքը (որակական ցուցանիշ), tՀT:զ -ն` տվյալ տեսակի արտադրանքի միավորի արտադրության վրա աշխատաժամանակի (աշխատանքի) ծախսումները, այսինքն` արտադրանքի միավորի աշխատատարությունը (որակական ցուցանիշ), T-ն` տվյալ տեսակի արտադրանքի արտադրության վրա ժամանակի (աշխատանքի) ընդհանուր ծախսումները կամ ձեռնարկու-

թյան անվորների թվաքանակը, միջին ցուցակային թիվը, (ծավալային ցուցանիշ), Մ Հ զ:T-ն` տվյալ տեսակի արտադրանքի թողարկումը աշխատաժամանակի միավորի ընթացքում, այսինքն` աշխատանքի արտադրողականության մակարդակը արժեքային արտահայտությամ (որակական ցուցանիշ), Մ-ն` մեկ աշխատողի աշխատանքի արտադրողականությունն է նեղեն արտահայտությամ , կամ միավոր ժամանակում թողարկվող արտադրանքը (որակական ցուցանիշ), Է Հ 2զ -ն` տվյալ տեսակի արտադրանքի ընդհանուր ինքնարժեքը, այսինքն` այդ արտադրանքի արտադրության վրա կատարված դրամական ծախսումները (ծավալային ցուցանիշ), Օ Հ քզ -ն` տվյալ տեսակի թողարկված արտադրանքի կամ վաճառված ապրանքների ընդհանուր արժեքը կամ ապրանքաշրջանառությունը (ծավալային ցուցանիշ): Տնտեսական ինդեքսները կարելի է դասակարգել ըստ հետնյալ հատկանիշների. • երնույթների ընդգրկման աստիճանի, • համեմատման ազայի, • կշիռների ձնի (չափակցելիության), • կառուցման տեսքի, • հետազոտության օ յեկտի նույթի, • հետազոտության օ յեկտի, • երնույթների կազմի, • հաշվարկման ժամանակաշրջանի: Ըստ երնույթների ընդգրկման աստիճանի` ինդեքսները լինում են անհատական ն ամփոփ (ընդհանուր): Անհատական ինդեքսները նութագրում են երնույթի մակարդակների հարա երակցությունը ըստ համակցության առանձին տարրերի: Օրինակ` արտադրանքի առանձին տեսակների արտադրության ծավալների կամ տվյալ տեսակի արտադրանքի միավորի ինքնարժեքի մակարդակների հարա երակցությունը: Ամփոփ ինդեքսները նութագրում են արդ, մի քանի` անմիջականորեն չհամադրվող տար եր տեսակի միավորներից աղկացած երնույթի մակարդակների հարաերակցությունը: Եթե ինդեքսները ընդգրկում են արդ երնույթների ոչ ոլոր տարրերը, այլ միայն մի մասը, ապա կոչվում են խմ ային կամ սու ինդեքսներ (օրինակ` արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը կամ արտադրության առանձին ճյուղերի, գնի ինդեքսը` ըստ պարենային ն ոչ պարենային ապրանքների խմ երի): Ըստ համեմատական ազայի` ինդեքսները կարելի է աժանել երկու խմ ի` դինամիկ (ժամանակային) ն տարածքային:

Դինամիկ ինդեքսները հաշվարկելիս համեմատում ենք հաշվետու ժամանակաշրջանի ցուցանիշները նախորդ ժամանակաշրջանի ցուցանիշների հետ ( ազիս): Որպես ազիս կարելի է օգտագործել նան կանխատեսվող ն պլանային ցուցանիշները: Դինամիկ ինդեքսները լինում են ազիսային ն շղթայական: Տարածքային ինդեքսները կիրառվում են միջտարածաշրջանային համեմատությունների համար: Դրանք կարնոր դեր են խաղում միջազգային վիճակագրությունում` տար եր երկրների սոցիալ-տնտեսական զարգացման ցուցանիշները համեմատելիս: Ըստ կշիռների ձնի` ինդեքսները լինում են հաստատուն ն փոփոխական կշիռներով: Կախված կառուցման տեսքից` տար երում են ագրեգատային ն միջին ինդեքսներ: Միջին ինդեքսները լինում են թվա անական ն հարմոնիկ: Ընդհանուր ինդեքսների ագրեգատային տեսքը տնտեսական ինդեքսների հիմնական ձնն է: Միջին ինդեքսները ածանցված են, ստացվում են ագրեգատային ինդեքսների ձնափոխության արդյունքում: Ըստ հետազոտության օ յեկտի նույթի` ընդհանուր ինդեքսները ստորա աժանվում են քանակական (ծավալային) ն որակական ցուցանիշների: Ինդեքսների այդպիսի աժանման հիմքում ընկած է ինդեքսավորվող մեծության տեսքը: Ըստ հետազոտության օ յեկտի` ինդեքսները լինում են աշխատանքի արտադրողականության, ինքնարժեքի, արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի, արտադրանքի արժեքի ն այլն: Ըստ երնույթների կազմի` առանձնացվում են ինդեքսների երկու խմ եր` հաստատուն (ֆիքսված) կազմով ն փոփոխական կազմով: Ինդեքսների այդպիսի աժանումը նպաստում է դինամիկայի շարքի միջին ցուցանիշների վերլուծությանը: Ըստ ժամանակաշրջանի հաշվարկման` ինդեքսները լինում են տարեկան, եռամսյակային, ամսական ն շա աթական: Տնտեսական ինդեքսների օգնությամ լուծվում են հետնյալ խնդիրները. • սոցիալ-տնտեսական երնույթների դինամիկայի փոփոխությունը երկու ն ավելի ժամանակաշրջաներում, • միջին տնտեսական ցուցանիշների դինամիկայի փոփոխությունը, • տար եր տարածաշրջանների ցուցանիշների փոփոխման հարա երակցությունը, • ցուցանիշների մի տեսակի փոփոխության ազդեցության աս-

տիճանի որոշումը մյուսների դինամիկայի վրա, • մակրոտնտեսական ցուցանիշների արժեքների վերահաշվարկը փաստացի գներից համադրելի գների:

9.2. Անհատական ն ընդհանուր ինդեքսներ 1. Անհատական ինդեքսը սովորական հարա երական մեծություն է կամ դինամիկայի հարա երական մեծություն, որը ստացվում է միննույն երնույթի տար եր մակարդակների հարա երության արդյունքում: Անհատական ինդեքսները դինամիկայի, պլանի կատարման, համեմատման հարա երական մեծություններ են: Տնտեսական ուղղվածությունից կախված` լինում են արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի, ինքնարժեքի, գնի, աշխատատարության ն այլ անհատական ինդեքսներ: Ապրանքների ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը ( iզ ) հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` զ1 : (9.1) զ0 Այդ ինդեքսը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է ավելացել (պակասել) թողարկվող որնէ արտադրատեսակի արտադրությունը հաշվետու ժամանակաշրջանում ազիսայինի համեմատությամ , կամ քանի տոկոս է կազմում արտադրանքի թողարկման աճը (նվազումը): Որպես համեմատման ազա կարող են հանդես գալ նան պլանային ( զïë ), նորմատիվային ( զՒ ) կամ նմուշային ( զэ ) արժեքները: Բանաձնը, (9.1) համապատասխանա ար, կընդունի հետնյալ տեսքը` զ (9.2) iզ = 1 : զпл iզ =

iզ =

զ1 : զн

(9.3)

զ1 : (9.4) զэ Նույն սկզ ունքով կառուցվում են նան այլ ինդեքսները: Գնի անհատական ինդեքսը` ք (9.5) iP = 1 ք0 նութագրում է որոշակի ապրանքի գնի փոփոխությունը հաշվետու ժամանակաշրջանում ազիսայինի համեմատությամ : iզ =

Արտադրանքի միավորի ինքնարժեքի անհատական ինդեքսը` (9.6) i2 = 1 ցույց է տալիս արտադրանքի միավորի ինքնարժեքի փոփոխությունը հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսայինի համեմատությամ : Աշխատանքի արտադրողականությունը (Մ) կարող է չափվել միավոր ժամանակում թողարկվող արտադրանքի քանակով (զ) կամ միավոր արտադրանքի վրա ծախսված աշխատաժամանակով (T): Այս դեպքում կարելի է կառուցել. • աշխատանքի արտադրողականության ինդեքսը նեղեն արտահայտությամ ` Մ զ զ (9.7) iՄ = 1 = 1 : 0 , Մ0 T1 T0 • աշխատանքի արտադրողականության ինդեքսը ըստ աշխատատարության` t (9.8) iՄ = 0 , t1

Մ ⋅ t = 1, Մ = : t Աշխատանքի արտադրողականությունը նութագրելու համար հաճախ օգտագործում են մեկ անվորի արտադրանքի թողարկման անհատական ինդեքսը (արժեքային արտահայտությամ )` Մ զք զ ք (9.9) iՄ = 1 = 1 : 0 , Մ0 T1 T0 որտեղ` ք-ն համադրելի գինն է: (9.7) ն (9.9) անհատական ինդեքսները ցույց են տալիս, թե քանի՞ անգամ է, հաշվետու ժամանակաշրջանի համեմատությամ , մեծացել (փոքրացել) աշխատանքի արտադրողականությունը ազիսային ժամանակաշրջանում: Արտադրանքի արժեքի (ապրանքաշրջանառության) անհատական ինդեքսը ցույց է տալիս, թե քանի՞ անգամ է հաշվետու ժամանակաշրջանում փոփոխվել որնէ ապրանքի արժեքը կամ քանի՞ տոկոս է կազմում ապրանքի արժեքի աճը (նվազումը) ազիսային ժամանակաշրջանի համեմատությամ : Այն որոշվում է` զք անաձնով: (9.10) iքզ = 1 1 ք0զ0 Բանվորների թվաքանակի անհատական ինդեքսը կարելի է հաշվարկել հետնյալ անաձնով.

քանի որ`

T1 t1զ1 : (9.11) = T0 t 0զ0 Նույն սկզ ունքով կարելի է պարզա անել, թե հաշվետու ժամանակաշրջանում քանի՞ անգամ է փոփոխվել անվորների թվաքանակը ազիսայինի համեմատությամ , կամ քանի տոկոս է կազմում անվորների թվաքանակի աճը (նվազումը): Օրինակ` ապրանքների վաճառքի վերա երյալ տվյալները երված են աղյուսակ 9.1-ում: Աղյուսակի տվյալներով հաշվարկվել են անհատական ինդեքսները, որոնք ներկայացված են 7-9 սյունակներում: Վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ ավելի շատ մեծացել են Ա ապրանքի գինը` 1809, Բ ապրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը` 142.829 ն Ա ապրանքի ապրանքաշրջանառության ինդեքսը` 202.59: 2. Ընդհանուր ինդեքսները առավել հաճախ են օգտագործվում տնտեսագիտական հաշվարկներում: Տնտեսական երնույթները ն դրանց նութագրող ցուցանիշները կարող են լինել չափակցելի` ընդհանուր չափ ունեցող ն անչափակցելի: Չափակցելի ծավալային ցուցանիշները կարելի է անմիջականորեն գումարել, իսկ անչափակցելիները` ոչ: Անչափակցելի ծավալային ցուցանիշների ամփոփ ինդեքսների կառուցման դեպքում անմիջական գումարման անհնարինության հետնանքով` ընդհանուր հանրագումարների ստացման համար անհրաժեշտ է տար եր տեսակի արտադրանքները կամ ապրանքները նախապես երել չափակցելի տեսքի, այսինքն` չափակցել այս կամ այն չափակցման գործակիցների օգնությամ ` դրանով իսկ ապահովելով հետագա գումարման ն ամփոփ ինդեքսի կառուցման ու հաշվարկման հնարավորությունը: Այսպիսով, անչափակցելի ծավալային ցուցանիշների ամփոփ ինդեքսների կառուցումը պահանջում է հատուկ եղանակների օգտագործում, որոնք ն ինդեքսային մեթոդի առանձնահատկությունն են: Այդ կապակցությամ էլ անչափակցելի ծավալային ցուցանիշների ամփոփ ինդեքսները ոչ թե սովորական, այլ հատուկ հարա երական մեծություններ են: iT =

Աղյուսակ 9.1 Վաճառված ապրանքի քանակը ն գինը ԱրտաՎաճառված Վաճառված դրանքի ապրանքի արտադրանքի Անհատական ինդեքսներ միավորի քանակը արժեքը (հազ. դր. գինը (հազ. միավոր) (դրամական միավոր) Ապրանքմիավոր) ների Բազ. Հաշվ. Բազ. Հաշվ. Բազ. Հաշվ. Արտ. տեսակֆիզիԱրժեքի ները Գնի կական pq ծավաp ipq= 1 1 լը զ զ ք ք ք զ ք զ i= i

iզ = Ա Ա(կգ) Բ(կգ) Գ(լիտր) Ընդամ.

12600 23000

16200 16000 34840

զ

p

i

p0q0

p0

զ0

7Հ2:1 112.5 142.6

8Հ4:3 88.89

9Հ6:5 202.5 126.98

Աղյուսակ 9.1 (շարունակություն) Վաճառված արտադրանքի արժեքը հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսային գներով (հազ. միավոր)

iզք0զ0

ք0զ1 .

Ա(կգ) Բ(կգ) Գ(լիտր) Ընդամ.

10Հ2 3 18000 29640

ք 1զ 1 iք

Վաճառված արտադրանքի արժեքը ազիսային ժամանակաշրջանում` հաշվետու գներով (հազ. միավոր)

ք1զ0 .

11Հ7 5 18000 29640

12Հ6 : 7 18000 29640

.

13Հ4 1 14400 11200 28000

9.3. Ագրեգատային ինդեքսները` որպես ինդեքսների նախնական ձն Ագրեգատային ինդեքսը արդ հարա երական ցուցանիշ է, որը նութագրում է սոցիալ-տնտեսական երնույթների միջին փոփոխությունը` ներկայացված անչափակցելի տարրերից: Ագրեգատ նշանակում է գումարվող, գումարային: Ինդեքսի այդ ձնի յուրահատկությունն այն է, որ ագրեգատային տեսքով անմի-

ջականորեն համեմատվում են երկու համանուն ցուցանիշների գումարները: Ագրեգատային ինդեքսի համարիչը ն հայտարարը երկու մեծությունների արտադրյալների գումարներ են: Դրանցից մեկը փոփոխվում է (ինդեքսավորվող մեծություն), իսկ մյուսը ն՛ համարիչում, ն՛ հայտարարում մնում է անփոփոխ (ինդեքսի կշիռը): Ինդեքսավորվող մեծություն է կոչվում փոփոխվող հատկանիշը (ապրանքի գինը, վաճառված ապրանքների քանակը ն այլն): Ինդեքսի կշիռը մեծություն է, որը կատարում է ինդեքսավորվող հատկանիշների համաչափելիության գործակցի դեր: Ագրեգատային ինդեքսների կառուցման մեթոդիկան նախատեսում է ստորն թվարկված երեք հարցերի պատասխանները. • ո՞ր մեծությունը պետք է ինդեքսավորվի, • ըստ երնույթի տարասեռ տարրերի ինչպիսի՞ կազմի պետք է հաշվարկել ինդեքսը, • ի՞նչը պետք է ծառայի որպես կշիռ` ինդեքսները հաշվարկելիս: Կշիռների ընտրությունում անհրաժեշտ է ղեկավարվել հետնյալ կանոնով. քանակական ցուցանիշների ինդեքսները կառուցելիս ընտրում են ազիսային ժամանակաշրջանի կշիռները, իսկ որակական ցուցանիշների դեպքում` հաշվետու ժամանակաշրջանինը: Կառուցենք արտադրանքի արժեքի, արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն գնի ինդեքսները: Արտադրանքի արժեքը` նեղեն արտահայտությամ , արտադրանքի քանակի (զ) ն նրա գնի (ք) արտադրյալն է: Արտադրանքի արժեքը կամ ապրանքաշրջանառության ինդեքսը (|քզ) արտադրանքի` հաշվետու

(∑ ք զ ) ն 1 1

կաշրջանի ապրանքաշրջանառությունների թյունն է.

|քզ =

∑ ք1զ1 ∑ ք0զ0

:

ազիսային ժամանա-

(∑ ք զ ) հարա երու0 0

(9.12)

Այդպիսի ինդեքսը ցույց է տալիս, թե հաշվետու ժամանակաշրջանում ապրանքաշրջանառությունը ազիսային ժամանակաշրջանի համեմատ քանի՞ անգամ է մեծացել (փոքրացել), կամ քանի՞ տոկոս է կազմել ապրանքաշրջանառության աճը (նվազումը): Եթե արժեքի ինդեքսի մեծությունից հանենք 1009 (|քզ-100), ապա տար երությունը ցույց է տալիս, թե ազիսայինի համեմատ քանի՞ տոկոսով է աճել (նվազել) արտադրանքի արժեքը հաշվետու ժամանակաշրջանում: Ինդեքսի համարիչի ն հայտարարի տար երությունը` ∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ0 , նութագրում է ապրանքաշրջանառության ծավալի փոփոխությունը ( ացարձակ մեծությամ ), ն ցույց է

տալիս, թե հաշվետու ժամանակաշրջանում քանի՞ դրամական միավորով է ավելացել (պակասել) արտադրանքի արժեքը ազիսայինի համեմատ: Նույն սկզ ունքով` ինդեքսները կառուցվում են այն ցուցանիշների համար, որոնք երկու արտադրիչների արտադրյալ են, օրինակ` արտադրության ծախքերը (2զ), ժամանակի ծախսը արտադրանքի արտադրության վրա (tզ), համախառն երքը (уո), աշխատավարձի ֆոնդը (fT) ն այլն: Ըստ աղյուսակ 9.1-ի տվյալների որոշենք, օրինակ` արտադրանքի արժեքի ինդեքսը (ապրանքաշրջանառությունը)` 34840 |քզ = = 1.51478 կամ 151.59: 23000 Հետնա ար, արտադրանքի արժեքը հաշվետու ժամանակաշրջանում, ազիսային ժամանակաշրջանի համեմատությամ , աճել է մոտավորապես 1.5 անգամ (աճը կազմել է 151.59): Արտադրանքի արժեքը ավելացել է 51.59-ով (151.59-1009Հ51.59) կամ 11840 հազ. դրամական միավորով (34840-23000Հ11840դ.մ.): Ապրանքաշրջանառության արժեքը կախված է երկու գործոնների փոփոխություններից` արտադրանքի քանակի ն գնի: Այդ պատճառով անհրաժեշտ է կառուցել ֆիզիկական ծավալի ն գնի ագրեգատային ինդեքսները: Արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը քանակական ցուցանիշի ինդեքսն է, որի ինդեքսավորվող մեծությունը արտադրանքի քանակն է` նեղեն արտահայտությամ , իսկ կշիռը` գինն է: Ագրեգատային ինդեքսը կառուցելիս անհրաժեշտ է տարասեռ արտադրատեսակների անչափակցելի քանակները ազմապատկել դրանց գներով: Ստացված արտադրյալները (արժեքները) դառնում են չափակցելի, ն հարա երելով դրանք` կարելի է ստանալ ընդհանուր ինդեքսները: Քանի որ ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը քանակական ցուցանիշի ինդեքս է, ապա որպես կշիռ վերցնում են ազիսային ժամանակաշրջանի գինը: Այդ դեպքում ինդեքսը կունենա հետնյալ տեսքը` զք |զ = ∑ 1 0 , (9.13) զ ∑ 0ք 0 որտեղ` կոտորակի համարիչը պայմանական մեծություն է, որը ցույց է տալիս, թե որքան կլինի ապրանքաշրջանառությունը ընթացիկ ժամանակաշրջանում, պայմանով, որ կպահպանվեն ազիսային ժամանակաշրջանի մակարդակի գները, իսկ հայտարարը պարունակում է ազիսային ժամանակաշրջանի փաստացի ապրանքաշրջանառությունը: Եթե ուսումնասիրման օ յեկտը առանձին ձեռնարկություն է, ինդեքսը որոշվում է ըստ թողարկվող ապրանքի

համակցության, իսկ եր արդյունա երության ճյուղ է` ըստ դրանց խմ երի` վերլուծության նպատակից կախված: Եր ուսումնասիրման օ յեկտը որնէ տարածաշրջան է, ինդեքսը հաշվարկվում է ըստ դրա ձեռնարկություններում թողարկվող արտադրանքի: Ֆիզիկական ծավալի (9.13) ինդեքսը ցույց է տալիս, թե քանի՞ անգամ է մեծացել (փոքրացել) արտադրանքի արժեքը դրա արտադրության ծավալի աճի (նվազման) դեպքում, կամ քանի՞ տոկոս է կազմում արտադրանքի արժեքի աճը (նվազումը)` կախված ֆիզիկական ծավալի փոփոխության արդյունքից: Ֆիզիկական ծավալի ինդեքսի համարիչի ու հայտարարի տարերությունը` ∑ զ1ք0 − ∑ զ0ք0 , ցույց է տալիս, թե ինչպե՞ս է փոփոխվել ապրանքաշրջանառությունը ացարձակ արտահայտությամ ` ի հաշիվ վաճառված ապրանքների ֆիզիկական ծավալի աճի (նվազման): Արտադրանքի գնի փոփոխությունը հաշվետու ժամանակաշրջանում, ազիսայինի հետ համեմատած, չի ազդում ինդեքսի մեծության վրա: Ինդեքսի հաշվարկման համար օգտվենք աղյուսակ 9.1-ի տվյալներից. 29640 |զ = = 1.2887 կամ 128.879: 23000 Նշանակում է, հաշվետու ժամանակաշրջանում արտադրանքի արժեքը ազիսայինի համեմատությամ ավելացել է 1.29 անգամ, կամ արժեքի աճը կազմել է 128.879: Ինդեքսի համարիչի ն հայտարարի տար երությունը (2964023000Հ6640 հազ. դրամական միավոր) նշանակում է, որ արտադրանքի ծավալի 28.879-ով ավելանալու հաշվին (128.8791009Հ28.879) արտադրանքի արժեքը ացարձակ արտահայտությամ ավելացել է 6640 հազ. դրամական միավորով: Գնի ինդեքսը. Շուկայական տնտեսության պայմաններում արժեզրկման առավել տարածված ցուցանիշ հանդիսացող գնի ագրեգատային ինդեքսը կառուցելիս` ելնում են նույն նախադրյալներից, ինչ ն արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը կառուցելիս: Գնի ինդեքսը որակական ցուցանիշի ինդեքս է: Ինդեքսավորվող մեծությունը ապրանքի գինն է: Եր պետք է գնահատել միայն գների փոփոխությունը, վաճառված ապրանքների քանակը (ինդեքսի կշիռները) վերցվում է որնէ հաստատուն` սովորա ար ընթացիկ ժամանակաշրջանի մակարդակով: Բազմապատկելով ապրանքի միավորի գինը դրա քանակով, ստանում են մեծություն, որը կարող է գումարվել, ընդ որում` դա մյուս նույնանման մեծությունների հետ

չափակցելի ցուցանիշ է: Գնի ընդհանուր ինդեքսը ագրեգատային տեսքով որոշվում է հետնյալ անաձնով. ո

|ք =

∑ ք1iզ1i

i =1 ո

∑ քi զi

0 1

կամ |ք =

∑ ք1զ1 ∑ ք0զ1

:

(9.14)

i =1

Տվյալ ինդեքսի համարիչում հաշվետու ժամանակաշրջանի փաստացի ապրանքաշրջանառությունն է, իսկ հայտարարում` մեծություն է, որը ցույց է տալիս, թե որքա՞ն կլիներ պայմանական ապրանքաշրջանառությունը ընթացիկ ժամանակաշրջանում, եթե գները պահպանվեին ազիսային մակարդակում: Ինդեքսը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ կամ քանի տոկոսով է մեծացել (փոքրացել) արտադրանքի արժեքը գնի փոփոխության հետնանքով: Համարիչի ն հայտարարի տար երությունը` ∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ1 ցույց է տալիս, թե դրամական քանի միավորով է փոփոխվել արտադրանքի արժեքը գնի աճի (նվազման) արդյունքում: Ի դեպ` արտադրվող արտադրանքի քանակի փոփոխությունը հաշվետու ժամանակաշրջանում, ազիսայինի համեմատ, ինդեքսի մեծության վրա չի ազդում: Օրինակ` որոշենք գնի ինդեքսը` 9.1 աղյուսակի տվյալներով. 34840 |ք = = 1.1754 կամ 117.549: 29640 Այսպիսով, ըստ երեք ապրանքատեսակների, վաճառված ապրանքների գինը միջինում աճել է 1.1754 անգամ (կամ գնի աճը կազմել է 117.59): Գնի 17.549-ով աճի արդյունքում (117.5491009) հաշվետու ժամանակաշրջանում սպառողները վճարել են 5200 հազ. դրամական միավորով ավելի, քան ազիսային ժամանակաշրջանում (34840-29640): Ինչպես նշվել է, արտադրանքի արժեքի ինդեքսը կարելի է ներկայացնել որպես արտադրանքի քանակի ն դրա գնի արտադրյալ: Նման կապ գոյություն ունի նան արժեքի, ֆիզիկական ծավալի ն գնի ինդեքսների միջն. |քզ = |ք|զ (9.15) կամ`

∑ ք1զ1 ∑ ք 0զ0

=

∑ ք1զ1 ⋅ ∑ զ1ք 0 ∑ ք 0 զ1 ∑ զ 0ք 0

(9.16)

Յուրաքանչյուր ինդեքս- ազմապատկիչի համարիչի ն հայտարարի տար երությունն արտահայտում է ընդհանուր ացարձակ հավելաճի արժեքը որնէ գործոնի ազդեցության ներքո: Այդ տար երությունների հանրահաշվական գումարը հավասար է ապրանքի արժեքի ինդեքսի համարիչի ն հայտարարի տար երությանը. (∑ զ1ք 1 − ∑ ք 0 զ1 ) + (∑ զ1ք 0 − ∑ ք 0 զ 0 ) = ∑ ք 1զ1 − ∑ ք 0 զ 0 (9.17) (9.16) անաձնի տար երությունները տեղի են ունենում այն դեպքերում, եր ծավալային ցուցանիշի ինդեքսը հաշվարկելիս կշիռները ֆիքսված են ազիսային ժամանակաշրջանի մակարդակով, իսկ որակական ցուցանիշների ինդեքսները կառուցելիս` հաշվետու ժամանակաշրջանի: Օրինակ` որոշենք արժեքի ինդեքսը 9.1 աղյուսակի տվյալներով: Արժեքի ինդեքսը որոշում ենք (9.15) անաձնով` 1.2887 × 1.1754Հ1.5148 կամ 151.489, իսկ այդ տար երության հանրահաշվական գումարը որոշվում է (9.17) անաձնով, որը հավասար է 11840 (5200+6640) հազ. դրամական միավորի: Այլ ցուցանիշների ընդհանուր ինդեքսների անաձների մեկնաանումը ներկայացված են աղյուսակ 9.2-ում:

Աղյուսակ 9.2 Ընդհանուր ինդեքսների հաշվարկման հիմնական անաձները Անվանումը

Հաշվարկային անաձնը

Ի՞նչ է ցույց տալիս ինդեքսը

Ա

Քանի՞ անգամ է փոփոխվել արտադրանքի արժեքը նրա ծավալի փոփոխման արդյունքում, կամ քանի՞ տոկոս է կազմել արտադրանքի արժեքի աճը (նվազումը) ֆիզիկական ծավալի փոփոխման դեպքում Քանի՞ անգամ է փոփոխվել արտադրանքի արժեքը գնի փոփոխման արդյունքում, կամ քանի՞ տոկոս է կազմել արտադրանքի արժեքի աճը (նվազումը) գնի փոփոխման դեպքում Քանի՞ անգամ է աճել (նվազել) արտադրանքի արժեքը, կամ քանի՞ տոկոս է կազմել արտադրանքի արժեքի աճը (նվազումը) հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսայինի համեմատությամ Քանի՞ անգամ է փոփոխվել արտադրանքի արտադրության ծախքը արտադրանքի ծավալի փոփոխման արդյունքում, կամ քանի՞ տոկոս է կազմում արտադրանքի արտադրության ծախքերի ավելացումը (պակասեցումը) արտադրության ֆիզիկական ծավալի փոփոխման հետնանքով

Արտադրանքի ֆիզի∑ զ1ք 0 կական |զ = ∑ զ 0ք 0 ծավալի ինդեքսը

Գնի ինդեքսը

|ք =

∑ ք1զ1 ∑ ք 0 զ1

Արտադրանքի արժեքի (ապ∑ ք1զ1 րանքաշրջա- |քզ = ք0զ0 ∑ նառության) ինդեքսը

Ֆիզիկական ∑ զ120 ծավալի |զ = ինդեք∑ զ020 սը

Ի՞նչ է ցույց տալիս ինդեքսի արժեքը, որը փոքրացվում է 1009-ով

Ի՞նչ է ցույց տալիս համարիչի ն հայտարարի տար երությունը

Քանի՞ տոկոսով է Քանի՞ տոկոսով փոփոխվել է փոփոխվել արտադրանքի արտադրանքի արժեքը դրա արժեքը դրա ծավալի ծավալի աճման փոփոխության (նվազման) արդյունքում արդյունքում

Քանի՞ դրամական Քանի՞ տոկոսով է միավորով է փոփոխվել փոփոխվել արտադրանքի արտադրանքի արժեքը գնի արժեքը գնի փոփոխման աճման արդյունքում (նվազման) արդյունքում Քանի՞ դրամաՔանի՞ անգամ է կան միավորով է ավելացել աճել (նվազել) արտադրանքի (նվազել) արտադրանքի արժեքը արժեքը հաշվետու հաշվետու ժամաժամանակաշրջանում` ա- նակաշրջանում` ազիսայինի զիսայինի համեմատուհամեմատությամ թյամ

Քանի՞ դրամական Քանի՞ տոկոսով է միավորով է փոփոխվել փոփոխվել արտադրանքի արտադրանքի արտադրության արտադրության ծախքը` դրա ծախքը արտաարտադրության դրության ծավալի փոփոխծավալի ման արդյունքում մեծացման (փոքրացման) արդյունքում

Ա

Արտադրանքի ինքնարժեքի ինդեքսը

Արտադրության ծախքերի ինդեքսը

Արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը

Iչ =

|2զ =

|զ =

∑z1q1 ∑z0q1

∑21զ1 ∑20զ0

∑զ1t0 ∑զ0t0

Քանի՞անգամ է փոփոխվել արտադրանքի արտադրության ծախքը` արտադրանքի ինքնարժեքի փոփոխման արդյունքում, կամ քանի՞ տոկոս է կազմում արտադրանքի արտադրության ծախքերի ավելացումը (պակասեցումը) ինքնարժեքի փոփոխման արդյունքում Քանի՞ անգամ է աճել (նվազել) արտադրանքի արտադրության ծախքը կամ քանի՞ տոկոս է կազմում արտադրանքի արտադրության ծախքերի ավելացումը (պակասեցումը) հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսայինի համեմատությամ Քանի՞ անգամ է փոփոխվել արտադրանքի արտադրության վրա ժամանակի ծախսը, արտադրության ծավալի փոփոխման արդյունքում, կամ քանի տոկոս է կազմում արտադրանքի արտադրության վրա ժամանակի ծախսի ավելացումը (պակասեցումը) նրա արտադրության ֆիզիկական ծավալի փոփոխման հետնանքով

Քանի՞ դրամական Քանի՞ տոկոսով է միավորով է փոփոխվել փոփոխվել արտադրանքի արտադրության արտադրության ծախքը` արտածախքը` նրա դրանքի ինքնարժեքի փոինքնարժեքի փոխման արդյունավելացման քում (իջեցման) արդյունքում

Քանի՞ տոկոսով է ավելացել (պակասել) արտադրանքի արտադրության ծախքը հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսայինի համեմատությամ

Քանի՞ դրամական միավորով է ավելացել (պակասել) արտադրանքի արտադրության ծախքը հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսայինի համեմատությամ

Քանի՞ մարդ/ժամով է Քանի՞ տոկոսով է ավելացել փոփոխվել (պակասել) արտադրանքի արտադրանքի արտադրության արտադրության վրա ժամանակի վրա ժամանակի ծախսը` արտածախսը, նրա դրանքի արարտադրության տադրության ծավալի ծավալի մեփոփոխման արդյունքում ծացման (փոքրացման) արդյունքում

Ա Աշխատանքի արտադրողականության ինդեքսը ըստ աշխատանքի ծախսումների

Արտադրանքի արտադրության վրա ժամանակի ծախսի ինդեքսը

∑t զ |t = 0 1 ∑t1զ1

∑- q I = 11 -q ∑- 0q0

Քանի՞ անգամ է մեծացել (փոքրացնել) աշխատանքի արտադրողականությունը, կամ քանի՞ տոկոս է կազմում աշխատանքի իջեցումը հաշվետու ժամանակաշրջանում` ազիսայինի համեմատությամ

Կենդանի Քանի՞ տոկոսով է աշխատանքի փոփոխվել ծախսի աշխատանքի տնտեսման արտադրողակա(գերածախս) նությունը ացարձակ հաշվետու ժամա- չափը` կապված նակաշրջանում` նրա արտադրոազիսայինի ղականության համեմատությամ աճի (նվազման) հետ

Քանի՞ անգամ է փոՔանի՞ փոխվել ժամանակի Քանի՞ տոկոսով է մարդ/ժամով է ծախսն փոփոխվել ավելացել արտադրանքի արժամանակի (պակասել) տադրության վրա, ծախսը արտաարտադրանքի կամ քանի՞ տոկոս է դրանքի արտադրության կազմում արտաարտադության վրա ծախսը դրանքի արտադրուհաշվետու հաշվետու ժաթյան վրա ժամանակի վրա ժամանակամանակածախսի ավելացումը շրջանում` շրջանում` (պակասեցումը) ազիսայինի ազիսայինի հաշվետու համեմատուհամեմատուժամանակաշրջաթյամ թյամ : նում` ազիսայինի համեմատությամ

9.4. Միջին ինդեքսներ Այնպիսի դեպքերում, եր առկա տեղեկատվությունը ավարար չէ ընդհանուր ագրեգատային ինդեքսների հաշվարկման համար, վիճակագրությունում կիրառվում է ինդեքսների հաշվարկման այլ` կշռված միջին ինդեքսների հաշվարկման եղանակը: Այսպես, եր ացակայում են տվյալները գների վերա երյալ, սակայն կա տեղեկատվություն արտադրանքի հաշվետու ժամանակաշրջանի արժեքի մասին ն հայտնի են առանձին ապրանքների անհատական ինդեքսները, ապա գնի ընդհանուր ինդեքսը ագրեգատային տեսքով որոշել հնարավոր չէ, սակայն հնարավոր է հաշվարկել այն որպես անհատական ինդեքսների միջին: Ճիշտ նույն ձնով կարելի է որոշել արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ընդհանուր ինդեքսի կշռված միջին արժեքը, եր հայտնի չեն թողարկվող առանձին տեսակի արտադրանքների քանակները, այց հայտնի են անհատական ինդեքսները ն արտադրանքի արժեքը ազիսային ժամանակաշրջանում: Միջին ինդեքսը հաշվարկվում է որպես անհատական ինդեքսների միջինը: Քանի որ ագրեգատային ինդեքսները ընդհանուր ին-

դեքսների հիմնական ձնն են, միջին ինդեքսը պետք է լինի նույնական ագրեգատային ինդեքսին: Միջին ինդեքսների հաշվարկման դեպքում օգտագործում են միջինի երկու ձն` թվա անական ն հարմոնիկ: Միջին թվա անականի ինդեքսը ագրեգատային ինդեքսի նույնությունն է, եթե անհատական ինդեքսների կշիռները ագրեգատային ինդեքսի հայտարարի աղադրիչներն են: Միայն այդ դեպքում ինդեքսի մեծությունը հավասար կլինի միջին թվա անականի անաձնով հաշվարկված ագրեգատային ինդեքսին: Արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի միջին թվա անական ինդեքսը որոշում են հետնյալ անաձնով` ∑ iզք0զ0 : (9.18) |զ = ∑ ք0զ0 Քանի որ iզ ⋅ զ0 = զ1 , (9.13)

անաձնը հեշտությամ

կարելի է

ձնափոխել (9.18) անաձնի: Որպես կշիռ` (9.18) անաձնում հանդես է գալիս արտադրանքի արժեքը ազիսային ժամանակաշրջանում: Աշխատանքի արտադրողականության միջին թվա անական ինդեքսը որոշվում է հետնյալ անաձնով` itզ iT |t = ∑ t 1 1 = ∑ t 1 : (9.19) ∑ t1զ1 ∑ T1 Քանի որ it t1 = t 0 , այդ ինդեքսի անաձնը կարելի է ձնափոխել արտադրանքի աշխատատարության ագրեգատային տեսքի: Այս պարագայում որպես կշիռ ընդունվում են արտադրանքի արտադրության վրա հաշվետու ժամանակաշրջանում կատարած ժամանակի ընդհանուր ծախսումները: Աշխատանքի արտադրողականության վերլուծության համար օգտագործվում է նան Ստրումիլինի միջին թվա անական ինդեքսը` ⎛զ զ ⎞ ∑ ⎜ T11 : T00 ⎟T1 ⎠ : |Մ = ⎝ (9.20) T ∑ 1

Այն ցույց է տալիս, թե միջինում քանի՞ անգամ է ավելացել (պակասել) աշխատանքի արտադրողականությունը, կամ քանի՞ տոկոս է կազմում դրա աճը (նվազումը)` ըստ ուսումնասիրվող համակցության ոլոր միավորների: Գործնականում միջին թվա անական ինդեքսները հաճախ կիրառվում են քանակական ցուցանիշների ամփոփ ինդեքսների հաշվարկման համար: Որակական ցուցանիշների վերլուծության ժա-

մանակ ինդեքսի տվյալ ձնը կիրառվում է վերը նշված երկու ինդեքսների հաշվարկման համար (9.19, 9.20): Այլ որակական ցուցանիշների (գին, ինքնարժեք ն այլն) ինդեքսները որոշվում են կշռված միջին հարմոնիկի անաձներով: Միջին հարմոնիկ ինդեքսը համարժեք է ագրեգատայինին, եթե անհատական ինդեքսները կշռված են ագրեգատային ինդեքսի համարիչի արտադրիչներով: Օրինակ` ինքնարժեքի ինդեքսը կարելի է հաշվարկել այսպես` 2զ (9.21) |2 = ∑ 1 1 , 2զ ∑ i12 1 իսկ գնի ինդեքսը` քզ |P = ∑ 1 1 : (9.22) ք1զ1 ∑ iք Այսպիսով, ինքնարժեքի միջին հարմոնիկ ինդեքսը որոշելիս, որպես կշիռ վերցնում են արտադրության վրա կատարած ծախսերը հաշվետու ժամանակաշրջանում, իսկ գնի ինդեքսը որոշելիս` արտադրանքի արժեքը հաշվետու ժամանակաշրջանում: Հաշվարկենք արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն գնի միջին ինդեքսները 9.1 աղյուսակի տվյալներով (11-12 սյունակներ): ∑ iզք0զ0 = 29640 = 1.2887 կամ 128.879 |զ = ∑ ք0զ0 23000 |ք =

∑ ք1զ1 քզ ∑ 1iք 1

=

34840 = 1.1754 կամ 117.549: 29640

Նույն արդյունքն էր ստացվել նան ագրեգատային ինդեքսները հաշվարկելիս: Միջին ինդեքսները լայնորեն օգտագործվում են արժեթղթերի շուկայի վերլուծության համար: Դրանցից առավել հայտնի են Դոու-æոնսի, Ստենդարտի ն Պուրայի ինդեքսները:

9.5. Ինդեքսների ազայի ն կշռի ընտրությունը Համեմատման ազայի ն կշռի ընտրությունը ինդեքսային համակարգի կառուցման կարնոր հարցերից է: Այն կարող է օգտագործվել սոցիալ-տնտեսական երնույթների դինամիկայի վերլուծության նպատակով` մի շարք հաջորդական ժամանակաշրջանների

կտրվածքով: Հաջորդա ար կառուցված ինդեքսների շարքը կոչվում է ինդեքսային համակարգ: Համեմատության ազայից կախված` ինդեքսային համակարգը կարող է լինել ազիսային ն շղթայական: Բազիսային ինդեքսների համակարգը միննույն երնույթի` համեմատման հաստատուն ազայով հաջորդա ար հաշվարկված ինդեքսների շարք է, այսինքն` ոլոր ինդեքսների հայտարարներում ազիսային ժամանակաշրջանի ինդեքսավորվող մեծությունները: Իսկ շղթայական ինդեքսների համակարգը միննույն երնույթի ինդեքսների շարքն է` հաշվարկված համեմատման փոփոխական ազայով, այսինքն` ամեն հաջորդ ժամանակաշրջանի մակարդակի հարա երությունը նախորդ ժամանակաշրջանի մակարդակին: Սոցիալ-տնտեսական հետազոտություններում ինդեքսների համակարգի ( ազիսային կամ շղթայական) ընտրությունը կատարվում է` վերլուծության նպատակից կախված: Բազիսային ինդեքսները տալիս են հետազոտվող երնույթի զարգացման ընդհանուր միտումի ավելի ակնառու նութագիրը, իսկ շղթայականը հստակ արտացոլում է մակարդակների փոփոխության հաջորդականությունը ժամանակի ընթացքում: Աղյուսակ 9.3 Անհատական ինդեքսների համակարգ Անհատական ինդեքսների անվանումը

Ինդեքսների համակարգը ազիսային

շղթայական

Արժեքի ինդեքսը

ք1զ1 , ք 2զ2 ,… , ք ո զ ո ք 0զ0 ք 0զ0 ք 0զ0

p1q1 , ք2զ2 , … , քոզո քո−1զո −1 p 0q 0 ք1զ1

Ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը

q1 , q 2 , q 3 , … , q ո q0 q0 q0 q0

q1 , q 2 , q3 , … , q ո q0 q 1 q2 q ո −1

p1 , p 2 , … , p ո p0 p0 p0

p1 , p2 , p 3 , … , p ո p 0 p1 p 2 p ո −1

Գնի ինդեքսը

Բազիսային ն շղթայական ինդեքսների համակարգերը կարող են կառուցվել ինչպես անհատական, այնպես էլ ընդհանուր ինդեքսների համար: Անհատական ինդեքսների համակարգը պարզ է կառուցման տեսակետից: Աղյուսակ 9.3-ում ներկայացված է արտադրանքի արժեքի, թողարկվող արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն արտադրանքի միավորի գնի անհատական ինդեքսների կառուցման օրինակը: Նույն սկզ ունքով կառուցում են նան այլ ցուցանիշների անհատական ինդեքսների համակարգերը: Բազիսային ն շղթայական ինդեքսների միջն գոյություն ունեն

կապերի որոշակի տեսակներ: 1. Եթե հայտնի են շղթայական ինդեքսները, ապա դրանց հաջորդական ազմապատկման եղանակով կարելի է ստանալ ազիսայինները. ք1 ք2 ք3 ք3 : ⋅ ⋅ = ք0 ք1 ք2 ք0 կամ` զ1 զ2 զ3 զ3 : ⋅ ⋅ = զ0 զ1 զ2 զ0 2. Ունենալով ազիսային ինդեքսների հաջորդական արժեքները` կարելի է որոշել շղթայական ինդեքսները` հաջորդ ազիսային ինդեքսը նախորդով աժանելով. զ ք2 ք1 ք2 զ զ : կամ` 2 : 1 = 2 : : = ք0 ք0 ք1 զ0 զ0 զ1 Բազիսային ն շղթայական ինդեքսների համակարգը կարելի է կառուցել նան ագրեգատային ինդեքսների համար: Արժեքի շղթայական ինդեքսների համակարգն ունի հետնյալ տեսքը. ∑ ք1զ1 , ∑ ք2զ2 , … , ∑ քոզո : ∑ ք0զ0 ∑ ք1զ1 ∑ քո−1զո−1 Իսկ արժեքի ազիսային ինդեքսների համակարգը` հետնյալ տեսքը` ∑ ք1զ1 , ∑ ք2զ2 , … , ∑ քոզո : ∑ ք0զ0 ∑ ք0զ0 ∑ ք0զ0 Ինդեքսների համակարգի ձնավորումը, օրինակ` գնի կամ ֆիզիկական ծավալի համար, տար երվում է վերը դիտարկված ինդեքսների համակարգից: Այդպիսի համակարգի կառուցման դեպքում կարելի է օգտվել կայուն ն փոփոխական կշիռներից: Կայուն կշիռներով ինդեքսների համակարգը միննույն երնույթի ամփոփ ինդեքսների համակարգ է, ընդ որում` դրանց կշիռները չեն փոփոխվում մեկ ինդեքսից մյուսին անցնելիս: Կայուն կշիռները թույլ են տալիս ացառել կառուցվածքի փոփոխության ազդեցությունը ինդեքսի մեծության վրա: Օրինակ` արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի հաստատուն կշիռներով (ք0) ազիսային ինդեքսների համակարգն ունի հետնյալ տեսքը` ∑ զ1ք0 , ∑ զ2ք0 , … , ∑ զոք0 , ∑ զ0ք0 ∑ զ0ք0 ∑ զ0ք0 իսկ այդ նույն հաստատուն կշիռներով շղթայական ինդեքսների համակարգը ներկայացվում է այսպես`

∑ զ1ք0 , ∑ զ2ք0 , … , ∑ զոք0 : ∑ զ0ք0 ∑ զ1ք0 ∑ զո−1ք0 Փոփոխական կշիռներով ինդեքսների համակարգը միննույն երնույթի ամփոփ ինդեքսների համակարգ է` մեկ ինդեքսից մյուսին անցնելիս փոփոխվող կշիռներով հաշվարկված: Փոփոխական կշիռները հաշվետու ժամանակաշրջանի կշիռներն են: Օրինակ` գնի փոփոխական կշիռներով ազիսային ինդեքսների համակարգն ունի հետնյալ տեսքը` ∑ ք1զ1 , ∑ ք2զ2 , … , ∑ քոզո : ∑ ք0զո ∑ ք0զ1 ∑ ք0զ2 Այս համակարգի տարրերը ինդեքս-դեֆլյատորներ են, որոնք անհրաժեշտ են ազգային հաշիվների համակարգում (ԱՀՀ) արժեքային ցուցանիշները համադրելի գներով վերահաշվարկելու համար: Գնի փոփոխական կշիռներով շղթայական ինդեքսների համակարգը կլինի հետնյալը` ∑ ք1զ1 , ∑ ք2զ2 , … , ∑ քոզո : ∑ ք0զ1 ∑ ք1զ2 ∑ քո−1զո Այս համակարգի առանձին ինդեքսներն օգտագործվում են` հաշվետու ժամանակաշրջանի արժեքային ցուցանիշները նախորդ ժամանակաշրջանի գներով վերահաշվարկելիս: Այլ ցուցանիշների ընդհանուր ինդեքսների համակարգերը կառուցվում են նույն սկզ ունքով: Ագրեգատային ինդեքսների համակարգերն ունեն նույն հատկությունները, ինչ ն անհատական ինդեքսներինը, այսինքն` իմանալով ազիսային ինդեքսները, կարելի է հաշվարկել շղթայականը, իսկ շղթայական ինդեքսների առկայության դեպքում հեշտ է ստանալ նրան համապատասխանող ազիսայինը:

9.6. Կառուցվածքային տեղաշարժերի ինդեքսներ Որակական ցուցանիշների դինամիկայի ուսումնասիրության դեպքում անհրաժեշտ է որոշել ինդեքսավորվող ցուցանիշի միջին մեծության փոփոխությունը, որը պայմանավորված է երկու գործոնների փոխազդեցությամ ` միավորների առանձին խմ երի ինդեքսավորվող ցուցանիշի արժեքի ն երնույթի կառուցվածքի փոփոխության: Որպես երնույթի կառուցվածքի փոփոխություն` ընդունվում է համակցության առանձին միավորների մասնա աժնի փոփոխությունը ընդհանուր թվաքանակում:

Այսպես, միջին աշխատավարձը ձեռնարկությունում կարող է աճել անվորների աշխատանքի վարձատրության արձրացման կամ արձր վարձատրվող աշխատակիցների մասնա աժնի մեծացման արդյունքում: Քանի որ ցուցանիշի միջին արժեքի փոփոխության վրա ազդում են երկու գործոններ, ապա առաջանում է ընդհանուր միջինի դինամիկայի վրա յուրաքանչյուր գործոնի ազդեցության աստիճանը որոշելու խնդիրը: Այդ խնդիրը լուծվում է ինդեքսային մեթոդի օգնությամ , այսինքն` փոխկապակցված ինդեքսների համակարգի կառուցման ճանապարհով, որտեղ միավորվում են երեք ինդեքսներ` փոփոխական կազմի, կայուն կազմի ն կառուցվածքային տեղաշարժերի: Երկու գործոնների միաժամանակյա ազդեցությունը դինամիկայի ընդհանուր միջին մակարդակի վրա պարզա անվում է փոփոխական կազմի ինդեքսի օգնությամ : Փոփոխական կազմի ինդեքսը ուսումնասիրվող երնույթի երկու տար եր ժամանակաշրջաններին վերա երող (փոփոխվող կշիռներով) միջին արժեքների հարա երակցությունն է: Ցանկացած որակական x ցուցանիշի համար փոփոխական կազմի ինդեքսն ունի հետնյալ տեսքը` xՄ x Մ x (9.23) |x = 1 = ∑ 1 1 : ∑ 0 0 : x0 ∑ Մ1 ∑ Մ0 որտեղ` x1-ը ն x0-ն` ինդեքսավորվող ցուցանիշի միջինացվող մակարդակներն են հաշվետու ն ազիսային ժամանակաշրջանում, Մ1-ը, Մ0-ն` կշիռներն են: Օրինակ` մի քանի ձեռնարկություններում թողարկվող միատեսակ արտադրանքի ինքնարժեքի փոփոխական կազմի ինդեքսը որոշվում է հետնյալ անաձնով` ∑ 21զ1 : ∑ 2 0զ0 : (9.24) |2 = 1 = ∑ զ1 ∑ զ0 Փոփոխական կազմի ինդեքսն արտացոլում է ոչ միայն ինդեքսավորվող մեծության (տվյալ դեպքում` ինքնարժեքի), այլն համակցության կառուցվածքի փոփոխությունը: Կայուն կազմի ինդեքսը կշռված միջինների հարա երակցությունն է նույն կշիռներով (կայուն կառուցվածքի դեպքում): Այն հաշվի է առնում միայն ինդեքսավորվող մեծության փոփոխությունը ն ցույց տալիս ուսումնասիրվող համակցության միավորի ցուցանիշի (x) միջինի փոփոխության չափը: Ընդհանուր տեսքով` կայուն կազմի ինդեքսը որոշվում է հետնյալ անաձնով`

|xկկ =

∑ x1Մ1 : ∑ x0Մ1 : ∑ Մ1 ∑ Մ1

(9.25)

Կայուն կազմի ինդեքսի հաշվարկման համար կարելի է օգտվել ագրեգատային ինդեքսի ձնից` xՄ (9.26) |xկկ = ∑ 1 1 : ∑ x 0Մ1 Արտադրանքի ինքնարժեքի կայուն կազմի ինդեքսն ունի հետնյալ տեսքը` 2զ 2 զ 2զ (9.27) |2 = ∑ 1 1 : ∑ 0 1 = ∑ 1 1 : զ զ ∑ 1 ∑ 1 ∑ 0զ1 Կառուցվածքային տեղաշարժերի ինդեքսը նութագրում է ուսումնասիրվող երնույթի կառուցվածքի փոփոխության ազդեցությունը ինդեքսավորվող միջին մակարդակի դինամիկայի վրա ն հաշվարկվում հետնյալ անաձնով` x Մ x Մ (9.28) |x կï = ∑ 0 1 : ∑ 0 0 : ∑ Մ1 ∑ Մ0 Արտադրանքի ինքնարժեքի կառուցվածքային տեղաշարժերի ինդեքսը կլինի` 2 զ 2 զ (9.29) |2կï = ∑ 0 1 : ∑ 0 0 : զ ∑ 1 ∑ զ0 Որակական ցուցանիշների միջին մակարդակի դինամիկայի վերլուծության դեպքում փոխկապակցված ինդեքսների համակարգը ունի հետնյալ տեսքը` |x = |xկկ|xկտ : (9.30) Որպես կառուցվածքային փոփոխություն` ընդունվում է համակցության առանձին խմ երի միավորների մասի փոփոխությունը դրանց ընդհանուր թվաքանակում (d): Միջին մակարդակի ինդեքսներում որպես կշիռ կարելի է ընդուՄi , որն նել համակցության միավորի տեսակարար կշիռը` d = ∑ Մ1 արտացոլում է ուսումնասիրվող համակցության կառուցվածքի փոփոխությունը: Այդ դեպքում փոխկապակցված ինդեքսների համակարգը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` xd x d xd (9.31) |x = ∑ 1 1 , |xկկ = ∑ 1 1 , |xկï = ∑ 0 1 ∑ x0d0 ∑ x 0d1 ∑ x0d0 Նմանա ար կառուցում են միջին մակարդակների այլ ինդեքսնե-

Ձեռնարկություններ

րը` գնի, ֆոնդահատույցի, աշխատանքի արտադրողականության ն այլն: Օրինակ` կան հետնյալ տվյալները երկու ձեռնարկությունների նույնանուն արտադրանքի ն դրա ինքնարժեքի վերա երյալ (տե՛ս աղյուսակ 9.4): Պետք է որոշել ինքնարժեքի անհատական, փոփոխական կազմի, կայուն կազմի ն կառուցվածքային տեղաշարժերի ինդեքսները: Լուծում: Երկրորդ եռամսյակում, առաջին եռամսյակի համեմատությամ , առաջին ձեռնարկությունում ինքնարժեքն ավելացել է 6.79-ով, իսկ երկրորդ ձեռնարկությունում` նվազել 2.869-ով: Աղյուսակ 9.4 Արտադրանքի քանակը ն ինքնարժեքը

Ա

Արտադրանքի քանակը (հատ) Եռամսյակ

|

||

|

Ինքնարժեքի անհատական ինդեքսը

||

զ1

i2 = 1

1.067 0.9714

զ0

Ընդ. 100

Միավոր արտադրանքի ինքնարժեքը (հազ. դրամ) Եռամսյակ

Արտադրության ծախքերը Եռամսյակ

|

||

20զ0

21զ1

20զ1

Հաշվարկենք փոփոխական կազմի ինդեքսը: Առաջին հերթին որոշում ենք միավոր արտադրանքի միջին ինքնարժեքը ազիսային ն հաշվետու ժամանակաշրջանում. 2 զ 20 = ∑ 0 0 = = 72.6 հազ. դրամական միավոր, ∑ զ0 100 21 =

∑ 21զ1 = 7520 = 75.2 հազ. դրամական միավոր: ∑ զ1 100

Ինքնարժեքի փոփոխական կազմի ինդեքսը հավասար կլինի` |2 = 21 : 2 0 = 75.2 : 72.6 = 1.0358 կամ 103.589: Նշանակում է` միավոր արտադրանքի ինքնարժեքը ըստ երկու ձեռնարկությունների ավելացել է 3.589-ով: Որոշենք ինքնարժեքի կայուն կազմի ինդեքսը` 2զ |2կկ = ∑ 1 1 = = 1.03 կամ 1039: ∑ 20զ1 7300 Այսպիսով, առաջին եռամսյակի համեմատությամ , երկրորդ եռամսյակում ինքնարժեքն ավելացել է 39-ով:

Այժմ որոշենք կառուցվածքի փոփոխության ազդեցությունը միջին ինքնարժեքի դինամիկայի վրա. 2 զ 2 զ 7300 7260 |2կï = ∑ 0 1 : ∑ 0 0 = : = 1.006 կամ 100.69: ∑ զ1 ∑ զ0 100 100 Միավոր արտադրանքի ինքնարժեքի միջինը ըստ երկու ձեռնարկությունների աճել է 0.69-ով, ի հաշիվ առանձին ձեռնարկությունների տեսակարար կշռի փոփոխության` ընդհանուր թողարկվող արտադրանքում:

9.7. Տարածքային համադրման ինդեքսներ Վիճակագրության պրակտիկայում հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում համեմատելու տնտեսական երնույթների մակարդակները տարածության մեջ` ըստ երկրների, տնտեսական շրջանների, մարզերի, այսինքն` հաշվարկելու տարածքային ինդեքսները: Դրանք կառուցելու ն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է որոշել համեմատման ազան ն կշիռները: Եթե համեմատում են տարեր` Ճ ն B երկրների նույնատիպ ապրանքների գները, անհրաժեշտ է կառուցել երկու ինդեքսներ` ք զ (9.32) |PՃ / B = ∑ Ճ Ճ ∑ զBզՃ ն |PB / Ճ =

∑ քBզB , ∑ քՃ զB

(9.33)

որտեղ` |PՃ / B ( |PB / Ճ ) ինդեքսը ցույց է տալիս, որ որպես երկրի երնույթների մակարդակների հարա երակցության համեմատության ազա են ընդունվել Ճ(B) տարածաշրջանի տվյալները: Այդ անաձները կարող են տալ ոլորովին տար եր պատկերացումներ երնույթի մակարդակների հարա երակցության մասին: Վիճակագրության տեսության պրակտիկայում հանդիպում են տարածքային ինդեքսների կառուցման տար եր մեթոդներ, այդ թվում` ստանդարտ կշիռների: Այդ մեթոդի էությունն այն է, որ ինդեքսավորվող մեծության արժեքը կշռվում է ոչ թե որնէ մեկ շրջանի կշռով, այլ ամ ողջ մարզերով, տնտեսական շրջաններով, հանրապետությունով, որտեղ գտնվում են համեմատվող շրջանները: Այդ դեպքում որպես կշիռ ընդունվում է արտադրանքի քանակը, որը վաճառվել է Ճ ն B շրջաններում`

|PՃ / B =

∑ քՃ (զՃ + զB ) : ∑ քB (զՃ + զB )

(9.34)

Ֆիզիկական ծավալի տարածքային ինդեքսներում որպես չափակցելի կշիռներ կարող են հանդես գալ միջին գները. զ ք (9.35) |զՃ / B = ∑ Ճ ∑ զBք կամ |զB / Ճ =

որտեղ` ք =

∑ զBք , ∑ զՃ ք

(9.36)

∑ ք1զ1 : ∑ զ1

Օրինակ` ապրանքների իրացման ծավալի ն գների վերա երյալ հայտնի են հետնյալ տվյալները ըստ երկու քաղաքների շուկաների (աղյուսակ 9.5): Աղյուսակ 9.5 Ճ ն B քաղաքներում իրացված ապրանքների քանակն ու գները Ապրանքի անվանումը

Ճ քաղաք Միավոր Իրացվել է ապրանքի գինը

Ճ Ա(կգ) Բ(հատ) Ընդ.

B քաղաք Միավոր ապրանքի Իրացվել է գինը

զՃ

քՃ

զB

քB

Աղյուսակ 9.5 (շարունակություն) Իրացված ապրանքի քանակը Ճ նB քաղաքներում

Ապրանքաշրջանառությունը Ճ քաղաք

B քաղաք

քՃ զՃ

քB զB

5Հ1 2 48000 52000

6Հ3 4 64800 69300

.

.

քBզՃ .

7Հ4 1 43200 46800

քՃ զB .

8Հ2 3 72000 77000

զՃ + զB

ք Ճ (զՃ + զB )

9Հ1+3

10Հ2 9 120000 129000

.

քB(զՃ + զB) .

10Հ4 9 108000 116100

Որոշենք գների տարածքային ինդեքսը: Հաշվարկելով ինդեքսները երկու անաձնով` կստանանք.

|PՃ / B =

∑ ք Ճ զՃ ∑ քBզՃ

=

52000 = 1 .11 , կամ 1119, 46800

69300 = 0 . 9 , կամ 909: 77000 Տարածքային ինդեքսները ցույց են տալիս, որ Ճ քաղաքի շուկաներում իրացված ապրանքների գները 119-ով արձր են B քաղաքում իրացվող ապրանքների գներից: Եթե համեմատում ենք B քաղաքի ապրանքների գները Ճ քաղաքի շուկաներում իրացվող ապրանքների գների հետ, տեսնում ենք, որ այն 109-ով ցածր է: Այսպիսով, ինդեքսների հաշվարկը թույլ չի տալիս որոշել, թե որ քաղաքում են գները արձր: Պատճառն այն է, որ տար եր քաղաքներում վաճառքի կառուցվածքը փոփոխական է: Այս օրինակում, որպես կշիռներ կարելի է օգտագործել իրացվող ապրանքի քանակը Ճ ն B քաղաքներում, այսինքն` ∑ ք Ճ(զՃ + զB) = 129000 = 1.111 կամ 111.19: |P = ∑ քB (զՃ + զB ) 116100 |P Ճ / B =

Նշանակում է` գները Ճ քաղաքում ավելի արձր են, քան B քաղաքում (միջինը 11.19-ով): 9.36 անաձնով հաշվարկենք միջին գները` ըստ առանձին ապրանքների. 4000 + 4500 8500 քՃ = = = 18.9 , 200 + 250 48000 + 68400 116400 քB = = = 388 120 + 180 200 ⋅ 18.9 + 120 ⋅ 388 3780 + 46560 50340 |զՃ/B = = = = 0.675 կամ 67.59 250 ⋅ 18.9 + 180 ⋅ 388 4725 + 69840 74565 Ապրանքի իրացման ծավալը, կշիռը Ճ քաղաքում միջինում 32.5 տոկոսով փոքր է, քան B քաղաքում: Ըստ 9.36 անաձնի` |զ B / Ճ Հ 1.481 կամ 148.1 9: Դա նշանակում է, որ B քաղաքում իրացվող ապրանքի ծավալը 48.1 տոկոսով մեծ է, քան Ճ քաղաքում:

9.8. Տնտեսական ինդեքսների փոխադարձ կապերը Կարնորագույն ինդեքսների միջն գոյություն ունեն փոխկապակցվածություններ, որոնց օգնությամ մեկ ինդեքսի հիման վրա կարելի է որոշել մեկ այլ ինդեքսը: Իմանալով շղթայական ինդեքսների արժեքները որնէ ժամանա-

կահատվածում` կարելի է որոշել ազիսային ինդեքսները, ն հակառակը, հայտնի ազիսային ինդեքսների հարա երության միջոցով ստանալ շղթայական ինդեքսները: Ինդեքսային մեթոդը նութագրում է ոչ միայն արդ երնույթների դինամիկան, այլն վերլուծում դրանց առանձին գործոնների ազդեցությունը: Վիճակագրական շատ ցուցանիշներ նութագրում են հասարակական երնույթների` որոշակի կապի մեջ գտնվող տար եր կողմերը: Օրինակ` արտադրանքի արժեքի ինդեքսի կապը արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն գնի ինդեքսի հետ, արտադրության ծախքերի ինդեքսի կապը արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն ինքնարժեքի ինդեքսի հետ ն այլն: Եթե կա 2 Հ xy արտադրյալը, ապա նույնպիսի կապ գոյություն ունի նան դրանում մասնակցող մեծությունների ինդեքսների միջն` |2 = |x|y , իսկ 2 =

x հարա երության դեպքում` y

|2 =

|x : |y

Նշանակում է` հատկանիշների ինդեքսներ ունեն միննույն առնչությունները, ինչ ն ուն հատկանիշները: Օրինակ` ապրանքաշրջանառության ինդեքսը` (9.37) |քզ = |ք|զ կամ

∑ ք1զ1 = ∑ ք1զ1 ⋅ ∑ զ1ք0 ∑ ք0զ0 ∑ ք0զ1 ∑ զ0ք0

,

արտադրության ծախքերի ինդեքսը` |2զ = |2|զ կամ

∑ 21զ1 = ∑ 21զ1 ⋅ ∑ 2 0զ1 : ∑ 20զ0 ∑ 20զ1 ∑ 20զ0

(9.37.1) (9.38) (9.38.1)

Ընդունենք` եթե ինքնարժեքն ավելացել է 129-ով, իսկ արտադրանքի քանակը նվազել 109-ով, ապա արտադրության ծախքերի ինդեքսը հավասար կլինի` .

1.12 0.9Հ1.008 կամ 100.89-ի: Արտադրանքի արտադրության վրա ժամանակի ծախսի ինդեքսը կարող է ստացվել արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսի ն աշխատատարության ինդեքսի հարա երությամ `

|tզ = |զ : |t

∑ t1զ1 = ∑ զ1t0 : ∑ t0զ1 : ∑ t0զ0 ∑ զ0t0 ∑ t1զ1

(9.39) (9.39.1)

Գոյություն ունի կարնոր փոխադարձ կապ արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն աշխատանքի արտադրողականության ինդեքսների միջն: Աշխատանքի արտադրողականության ինդեքսը հիմնականում հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` զք զք |Մ = ∑ 1 0 : ∑ 0 0 , (9.40) ∑ T1 ∑ T0 որը պատրաստի արտադրանքի (համադրելի գներով) միջին արժեքի հարա երությունն է ժամանակի միավորին հաշվետու ն ազիսային ժամանակաշրջանում: Արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը հավասար է աշխատանքի արտադրողականության ն աշխատաժամանակի ծախսի ինդեքսների արտադրյալին` ∑ զ1ք0 = ∑ T1 ⋅ ⎛⎜ ∑ զ1ք0 : ∑ զ0ք0 ⎞⎟ : (9.41) ∑ զ0ք0 ∑ T0 ⎜⎝ ∑ T1 ∑ T0 ⎟⎠ Այսպիսով, եթե անվորների թվաքանակն ավելացել է 159-ով, իսկ աշխատանքի արտադրողականությունը` 109-ով, ապա ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը հավասար կլինի` 1.15 . 1.1Հ1.265 կամ 126.59-ի: Նմանատիպ կապ գոյություն ունի նան աշխատավարձի ֆոնդի, միջին աշխատավարձի ն անվորների թվաքանակի միջն` |Է = |f ⋅ |T : (9.42)

∑ f1 T1 = ∑ f1 T1 ⋅ ∑ T1 f0 : ∑ f0 T0 ∑ f0 T1 ∑ T0 f0

(9.42.1)

Նույնպիսի փոխադարձ կապեր գոյություն ունեն նան այլ ինդեքսների միջն: Յուրաքանչյուր գործոնի ազդեցությունը որոշելու համար, կատարենք հետնյալ նշանակումները. անվորների թվաքանակը նշանակենք a-ով, մյուս գործոնը` մեկ անվորի պատրաստած արտադրանքը` Ե-ով: Արտադրանքի արժեքը հավասար կլինի aն Ե արտադրյալին, իսկ արժեքի ինդեքսը` անվորների թվաքանակի ն աշխատանքի արտադրողականության ինդեքսների արտադրյալին. a1Ե1 a1 Ե1 : (9.43) = ⋅ a0Ե0 a0 Ե0 Յուրաքանչյուր գործոնի ազդեցությունը թողարկվող ընդհանուր

արտադրանքի արժեքի վրա ացահայտելու համար, անհրաժեշտ է որոշել որնէ գործոնի դինամիկան` մյուս գործոնների անփոփոխ մնալու պայմանով: Այդ դեպքում (9.43) անաձնը կարելի է ներկայացնել երկու տար երակով` a1Ե1 a1Ե0 Ե1a1 : (9.44) 1. = ⋅ a0Ե0 a0Ե0 Ե0a1 a1Ե1 a1Ե1 Ե1a0 : = ⋅ a0Ե0 a0Ե1 Ե0a0 Երեք (a, Ե, Շ) գործոնների դեպքում` aԵՇ aԵ Շ aԵՇ |aԵՇ = ∑ 1 1 1 = ∑ 1 0 0 ⋅ ∑ 1 1 0 ⋅ a Ե Շ a Ե Շ a ∑ 0 0 0 ∑ 0 0 0 ∑ 1Ե0Շ0

2.

(9.45)

∑ a1Ե1Շ1 : ∑ a1Ե1Շ0

(9.46)

Առանձին գործոնների փոփոխության գնահատումը արդյունքային հատկանիշի ցուցանիշների վրա վիճակագրությունում ստացվում է փոխադարձ ինդեքսների կառուցման ճանապարհով: Խնդիրն այն է, որ հաշվարկվի արդ ցուցանիշների փոփոխությունը միայն մեկ գործոնի փոփոխության դեպքում` մյուս գործոնների մեծությունները պահպանելով որոշակի հաստատուն մակարդակում: Ինդեքսների հաշվարկման հիմքում ընկած է հետնյալ սկզ ունքը` հաստատո՞ւն են պահվում, արդյոք, ոլոր գործոնների արժեքները, ացի ուսումնասիրվողից: Ձնակերպենք երկու լրացուցիչ կանոններ, որոնք հնարավորություն են տալիս ապահովել պայմանները. 1) քանակական ցուցանիշների ինդեքսները հաշվարկելիս չափակցելիությունը (կշիռը) ընդունվում է ազիսային ժամանակաշրջանի մակարդակով, այսինքն` հաշվարկը կատարվում է Լասպեյրեսի անաձնով: 2) որակական ցուցանիշների ինդեքսները հաշվարկելիս` կշիռները համարիչում ն հայտարարում պահպանվում են հաշվետու ժամանակաշրջանի մակարդակով, այսինքն` օգտվում ենք Պաաշեի անաձնից: Ագրեգատային ինդեքսների անաձները հնարավորություն են տալիս աղադրելու արդյունքային ցուցանիշների ացարձակ հավելաճը ըստ գործոնների: Ապրանքաշրջանառության ացարձակ հավելաճը հավասար է` Δքզ = Δքզ(ք) + Δքզ(զ) , որտեղ` Δքզ-ն արտադրանքի արժեքի ացարձակ հավելաճն է, Δքզ(ք)-ն` արտադրանքի արժեքի ացարձակ հավելաճը` պայմանավորված արտադրանքի միավորի գնի փոփոխությամ ,

Δքզ(զ)-ն` արտադրանքի արժեքի ացարձակ հավելաճը` պայմանավորված արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի փոփոխությամ : Դիտարկված մեծություններից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է ագրեգատային ինդեքսների համարիչի ն հայտարարի տար երությանը` ∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ0 = (∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ1) + (∑ զ1ք0 − ∑ զ0ք0 ) : Միջին գնի փոփոխությունը որոշվում է փոփոխական կազմով ինդեքսի օգնությամ ` քզ քզ ք |P = 1 = ∑ 1 1 : ∑ 0 0 : ք0 զ ∑ 1 ∑ զ0 Որպես տեսակարար կշիռ ընդունելով` կստանանք` |P =

զ1 = dզ1 ն ∑ զ1

զ0 = dզ0 , ∑ զ0

∑ ք1dզ1 : ∑ ք0dզ0

Եթե հաշվարկը կատարենք միջին գներով, ապա` Δքզ = ք1∑ զ1 − ք0 ∑ զ0 : Եկամտի ացարձակ հավելաճը, պայմանավորված միջին գնի փոփոխությամ , կազմում է` Δքզ(ք) = (ք1 − ք0 )∑ զ1 :

Δpq(q) = (∑ զ1 − ∑ զ0 )ք0 : Արտադրության ծախքերի ացարձակ փոփոխությունը կկազմի` ± Δzq = z 1q 1 − z 0 q 0 , այդ թվում` 1. ի հաշիվ արտադրանքի արտադրության ծավալի փոփոխության` 2 զ Δ2զ(զ) = (∑ զ1 − ∑ զ0 ) ⋅ 20 = (∑ զ1 − ∑ զ0 ) ∑ 0 0 : ∑ զ0

∑

∑

2. ի հաշիվ արտադրանքի միավոր ինքնարժեքի փոփոխության` Δ2զ(2) = (21 − 20) ∑ զ1 : Համախառն երքի դեպքում ինդեքսը որոշվում է հետնյալ անաձնով` yΠ y Π yΠ |yΠ = ∑ 1 1 = ∑ 1 1 ⋅ ∑ 0 1 : y Π y Π y ∑ 0 0 ∑ 0 1 ∑ 0Π 0 Համախառն երքի ացարձակ փոփոխությունը`

ΔyΠ = ∑ y1Π1 − ∑ y 0Π0 , այդ թվում` 1) ի հաշիվ երքատվության փոփոխության` Δ y Π(y) = (y1 − y 0 )∑ Π 1 : 2) ի հաշիվ ցանքատարածության` Δ y Π ( Π- = (∑ Π 1 − ∑ Π 0 ) ⋅ y 0 : Բացարձակ մեծությունների փոփոխություններից կարելի է անցնել հարա երական մեծությունների որոշմանը: Յուրաքանչյուր գործոնի մասնակցությունը ապրանքաշրջանառության ընդհանուր հավելաճի ձնավորմանը հարա երական արտահայտությամ կարելի է որոշել` Δքզ(զ) ∑ զ1ք0 − ∑ ք0զ0 |զ − 1 , dΔքզ(զ) = = = Δքզ ∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ0 |քզ − 1 ն dΔքզ(ք) =

Δքզ(ք) = Δքզ

∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ1 = |քզ − |զ = |զ(|ք − 1) ∑ ք1զ1 − ∑ ք0զ0 |քզ − 1 |քզ − 1

անաձներով: Նույն սկզ ունքը կարելի է կիրառել այլ ինդեքսավորվող ցուցանիշների վերլուծության դեպքում:

9.9. Լասպեյրեսի ն Պաաշեի ինդեքսների հատկությունները Գնի ինդեքսի հաշվարկման առաջին անաձնը առաջարկվել է 1738 թ. ֆրանսիացի տնտեսագետ Դյուտոի կողմից. ք |ք = ∑ 1 ք ∑ 0 1764 թ. իտալացի Կարլին առաջարկեց գների ընդհանուր ինդեքսը որոշել որպես պարզ միջին թվա անական մեծություն գների անհատական ինդեքսներից. ք ∑ ք01 ∑ iք |ք = = : ո ո Եվ միայն վերջերս առաջարկվել են գնի ինդեքսի երկու անաձներ, որոնք ներկայումս օգտագործվում են արտասահմանյան ն Հայաստանի վիճակագրության պրակտիկայում: Առաջին անաձնի հեղինակը գերմանացի վիճակագիր Գ. Պաաշեն է`

|ք =

∑ ք1զ1 ∑ ք0զ1

,

իսկ երկրորդինը` է. Լասպեյրեսը. |ք =

∑ ք1զ0 ∑ ք0զ0

:

Երկու ինդեքսներում էլ ինդեքսավորվող մեծությունը գինն է, իսկ որպես կշիռ առաջին դեպքում ընդունվել է արտադրանքի քանակը ընթացիկ ժամանակաշրջանում, իսկ երկրորդում` արտադրանքի քանակը ազիսային ժամանակաշրջանում: Պաաշեի ն Լասպեյրեսի ինդեքսների նշանակությունները չեն համընկնում: Դա ացատրվում է այն հանգամանքով, որ ինդեքսներն ունեն տար եր տնտեսագիտական ովանդակություն: Գործնականում գնի ինդեքսները` հաշվարկված Պաաշեի անաձնով, ունեն ոչ մեծ նվազման, իսկ ըստ Լասպեյրեսի անաձնի` ինֆլյացիայի տեմպերի աճի միտում: Դիտարկենք Լասպեյրեսի ն Պաաշեի ինդեքսների հատկությունները: Կատարենք հետնյալ նշանակումները`

|քП , |Пզ - գնի ն ֆիզիկական ծավալի ինդեքսները` ընթացիկ կշիռներով (Պաաշեի ինդեքս),

|քЛ , |Лզ - գնի ն ֆիզիկական ծավալի ինդեքսները` ազիսային կշիռներով (Լասպեյրեսի ինդեքս): Աղյուսակ 9.6-ում երված են այդ ինդեքսների հաշվարկման անաձները: Աղյուսակ 9.6. Լասպեյրեսի ն Պաաշեի ինդեքսները Ինդեքսների անաձները Լասպեյրեսի ( ազիսային Պաաշեի (հաշվետու կշիռներով) կշիռներով)

Ինդեքսի անվանումը

∑ք0զ1 ∑ք0զ0 ∑ք1զ0 ∑ք0զ0

Ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը Գնի ինդեքսը

Հատկություն 1.

|քП =

∑ ք1զ1 ∑ ք0զ1

=

|քզ |Лզ

∑ ք1զ1 ∑ ք1զ0 ∑ ք1զ1 ∑ ք0զ1

=

∑ք1զ1 : ∑ք0զ1 ∑ք0զ0 ∑ք0զ0

Այսինքն` գնի ինդեքսը ըստ Պաաշեի անաձնի ներկայացնում է արտադրանքի արժեքի ինդեքսի հարա երությունը արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսին ըստ Լասպեյրեսի անաձնի: Հատկություն 2.

|քЛ ⋅ |Пզ Հ |քП ⋅ |Лզ Հ |քզ ,

∑ք1զ0 ն ∑ ք1զ1 ∑ք0զ0 ∑ ք1զ0

Հ

∑ ք1զ1 ն ∑ք0զ1 Հ ∑ ք1զ1 ∑ ք0զ1 ∑ք0զ0 ∑ք0զ0

Հատկություն 3. iքզ ք զ (ք / ք ) ք զ (ք / ք ) քզ |քЛ Հ ∑ 1 0 Հ ∑ 1 0 0 0 Հ ∑ 0 0 1 0 Հ ∑ ք 0 0 ∑ ք0զ0 ∑ք0զ0 ∑ ք0զ0 ∑ ք0զ0 Հատկություն 4. iքզ ք զ (զ / զ ) ք զ (զ / ք ) քզ |Лզ Հ ∑ 0 1 Հ ∑ 0 1 0 0 Հ ∑ 0 0 1 0 Հ ∑ զ 0 0 ք զ ք զ ք զ ∑ ք0զ0 ∑00 ∑ 00 ∑ 00 Հատկություն 5. iքզ ք զ (ք / ք ) ք զ (ք / ք ) քզ |քП Հ ∑ 1 1 Հ ∑ 1 1 0 0 Հ ∑ 0 1 1 0 Հ ∑ ք 0 1 ք զ ք զ ք զ ∑ ք0զ1 ∑ 01 ∑ 01 ∑ 01 Տվյալ դեպքում որպես կշիռ օգտագործվում է պայմանական արժեքը` ք0զ1 Հատկություն 6. i քզ ք զ (զ / զ ) ք զ (զ / զ ) քզ |Пզ Հ ∑ 1 1 Հ ∑ 1 1 0 0 Հ ∑ 1 0 1 0 Հ ∑ զ 1 0 : ք զ ք զ ք զ ∑ ք1զ0 ∑ 10 ∑ 10 ∑ 10 Որպես կշիռ այստեղ ընդունված է ազիսային ժամանակաշրջանի արտադրանքի արժեքը` հաշվարկված հաշվետու ժամանակաշրջանի գներով (ք1զ0): Հատկություն 7. Ըստ ազիսային ժամանակաշրջանի արժեքի մեծության ինդեքսի կշիռը որոշելու ժամանակ առաջանում է մշտական շեղում: Պատճառն այն է, որ գինը, որպես ազմապատկիչ, մտնում է կշռի մեջ ն կշիռների գների փոփոխությունների միջն գոյություն ունի կոռելյացիա.

|քП : |քЛ = 1 + ri i ⋅ vi ⋅ vi քզ ք զ որտեղ` ri i -ն կոռելյացիայի գործակիցն է` առանձին տեսակի արքզ տադրանքի ֆիզիկական ծավալի ն գնի անհատական ինդեքսների միջն,

vi -ն` գնի անհատական ինդեքսի վարիացիայի գործաք

կիցն է, vi -ն` արտադրանքի ֆիզիկական ծավալի անհատական զ

ինդեքսի վարիացիայի գործակիցն է: Կոռելյացիայի գործակիցը որոշվում է հետնյալ անաձնով`

riքiզ =

∑ (iք − |քЛ )(iզ − |զЛ )ք0զ0 σi σi ∑ ք0զ0 ք

,

զ

իսկ միջին քառակուսային շեղումները` ո

ո

σ iք =

∑ (iք − |քЛ )2 ք 0 զ 0

i=1

i

ո

:

∑ ք 0զ0

σ iզ =

∑ (iզi − |Лզ )2ք0զ0 i=1

i=1

i=1

Վարիացիայի գործակիցները.

vi = ք

ո

∑ ք0զ0

σiք |քЛ

ո vi = զ

σiզ |Лզ

Քանի որ վարիացիայի գործակիցները միշտ դրական են, իսկ ապրանքային շուկայում գնի ն ֆիզիկական ծավալի փոփոխությունների միջն կոռելյացիայի գործակցի մեծությունը սովորա ար ացասական է, ապա, ըստ Պաաշեի անաձնի, ինդեքսի արժեքը միշտ փոքր է ըստ Լասպեյրեսի ինդեքսի արժեքից:

9.10. Ֆիշերի կատարյալ ինդեքսը Ֆիշերի գնի ինդեքսը Լասպեյրեսի ն Պաաշեի գնի ագրեգատային ինդեքսների արտադրյալների միջին երկրաչափականն է`

|քФ = |քП ⋅ |քЛ =

∑ ք1զ0 ⋅ ∑ ք1զ1 ∑ ք0զ0 ∑ ք0զ1

Ֆիշերի առաջարկված տար երակի ֆիզիկական ծավալի ինդեքսը հաշվարկվում է հետնյալ անաձնով` П Л |Ф զ = |զ ⋅ |զ =

∑ ք0զ1 ⋅ ∑ ք1զ1 ∑ ք0զ0 ∑ ք1զ0

Ինդեքսների ներկայացումը երկրաչափական միջինի տեսքով`

ունի սկզ ունքային թերություն. զուրկ է որոշակի տնտեսագիտական ովանդակությունից: Այսպես, ի տար երություն Լասպեյրեսի կամ Պաաշեի ագրեգատային ինդեքսների, համարիչի ն հայտարարի տար երությունը ցույց չի տալիս ոչ մի իրական տնտեսում կամ կորուստ գների կամ ֆիզիկական ծավալների փոփոխություններից: Ինդեքսի հաշվարկի այդ անաձնը Ֆիշերը անվանեց կատարյալ, որովհետն ինդեքսը ժամանակի մեջ հակադարձ է, այսինքն` ազիսային ն հաշվետու ժամանակաշրջանների տեղափոխության արդյունքում ստացվող ինդեքսը հակադարձ է սկզ նական հաշվարկված ինդեքսին: Այդ պայմանին ավարարում է ցանկացած անհատական ինդեքս: Այսպես, գնի անհատական ինդեքսը կլինի` 1 ք0 ք : = iք = 1 , հակադարձ ինդեքսը կլինի` iք ք1 ք0 Ֆիշերի կատարյալ ինդեքսը ավարարում է հետնյալ պայմանը. ∑ ք1զ1 ⋅ ∑ ք1զ0 ⋅ ∑ ք0զ0 ⋅ ∑ ք0զ1 = 1: ∑ ք0զ1 ∑ ք0զ0 ∑ ք1զ0 ∑ ք1զ1 Հարկ է նշել, որ Ֆիշերի կատարյալ ինդեքսը հազվադեպ է օգտագործվում:

9.11. Ինդեքս - դեֆլյատոր Ազգային հաշիվների համակարգի կարնորագույն արժեքային ցուցանիշների (ազգային եկամուտ, համախառն ազգային եկամուտ ն այլն) հաշվարկը` փաստացիից համադրելի գների, իրականացվում է ինդեքս-դեֆլյատորի օգնությամ : Դեֆլյատորը գործակից է, որի օգնությամ հաշվետու ժամանակաշրջանի արժեքային ցուցանիշի մեծությունը (արժեքը) երվում է ազիսային արժեքային չափելիության: Օրինակ` ՀՆԱ ինդեքս-դեֆլյատորը գնի ինդեքս է, որը կիրառվում է ՀՆԱ անվանական ծավալը ճշգրտելու համար` հաշվի առնելով արժեզրկումը ն դրա հիման վրա` ՀՆԱ-ի իրական ծավալի ստացումը: Ինդեքս-դեֆլյատորը արտահայտում է հաշվետու ժամանակաշրջանի արտադրանքի փաստացի արժեքի հարա երությունը արտադրանքի արժեքին, որի կառուցվածքը նման է հաշվետու ժամանակաշրջանի կառուցվածքին, այց որոշված` ազիսային տարվա գներով: Ինդեքս-դեֆլյատորի հաշվարկի հիմքում ընկած է Պաաշեի ագրեգատային ինդեքսը` ընթացիկ կշիռներով: Ինդեքս-դեֆլյատորը 2005 թ. ՀՆԱ համար որոշվում է

|d = ∑

ք2005զ2005 ∑ ք0զ2005

անաձնով,

որտեղ` |d-ն ինդեքս-դեֆլյատորն է, զ2005-ն` արտադրանքի ծավալը 2005 թ., ք2005, ք0-ն` փաստացի գործող գները, համապատասխանա ար` 2005 ն ազիսային տարիներում: 2005 թ. իրական ՀՆԱ-ն որոշվում է R2005 Հ Օ2005:|d անաձնով, որտեղ` Օ2005- անվանական ՀՆԱ-ն է: Ինդեքս-դեֆլյատորի անաձնը կարելի է ներկայացնել նան հետնյալ տեսքով` |d = Օ2005 : R2005 Ինդեքս-դեֆլյատորը 2006 թ. համար կարող է հաշվարկվել հետնյալ անաձնով` ք զ |d = ∑ 2006 2006 , ∑ ք0զ2006 որտեղ` զ2006-ն արտադրանքի ծավալն է 2006 թ., ք2006 – 2006 թ. փաստացի գործող գները: Համեմատելով անաձները, հեշտ է նկատել, որ դրանցում օգտագործվում են տար եր կշիռներ: Այդ պատճառով ինդեքսդեֆլյատորը չի կարող օգտագործվել գնի դինամիկայի գնահատման համար երկու ժամանակաշրջաններում: Ինդեքս-դեֆլյատորը պատկերացում է տալիս միայն հաշվետու ն ազիսային ժամանակաշրջանների արտադրանքների արժեքային հարա երության մասին: Տվյալ դեպքում հաշվի չի առնվում հաշվետու ն ազիսային տարիների արտադրանքների կազմի ն կառուցվածքի տար երությունը: Այսպիսով, ինդեքս-դեֆլյատորը ինքնուրույն ցուցանիշ է: Վիճակագրության պրակտիկայում ինդեքս-դեֆլյատորները հաշվարկվում են ոչ միայն ամ ողջ տնտեսության ծավալով, այլն ըստ առանձին տարածքների, ապրանքային խմ երի, տնտեսության ճյուղերի ն այլն:

ՀԱՎԵԼՎԱԾՆԵՐ

Հավելված 1 Լապլասի կրկնակի նորմավորված ֆունկցիա

Φ(t) =

2π

t

∫6

−

t2

⋅ dt =

2π

+t − t 6 2

∫

⋅ dt

−t

t

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

úրդինաïի արժեùները ավեÉաիվաÍ են 10000 ան·ամ:

Հավելված 2 Φ(t) =

t 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 4.0

2π

t2 − 6 2

ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ

Օրդինատի արժեքները ավելացված են 10000 անգամ:

Հավելված 3

Պիրսոնի աշխում ( χ - աշխում)

χ աղյուս. արժեքները P( χ 2 > χ 2աÕյ ) հավանականության համար

Հավանականություն .999

.995

.99

.98

.975

0.0515 0.0439 0.0315 0.0362 0.0398 0.0020 0.0100 0.0201 0.0404 0.0506 0.0243 0.0717 0.115 0.185 0.216 0.0908 0.207 0.297 0.429 0.484

.95

.90

.80

.75

.70

.50

0.0039 0.0158 0.0642 0.102 0.148 0.103 0.211 0.446 0.575 0.713 0.352 0.584 1.005 1.213 1.424

0.455 1.386 2.366

0.711

1.064

1.649

1.923 2.195

3.357

0.210 0.412 0.554 0.381 0.676 0.872

0.752

0.831 1.145

1.610

2.343

2.675 3.000

4.351

1.134

1.237 1.635

2.204

3.070

3.455 3.828

5.348

0.598 1.989 1.239 0.857 1.344 1.646

1.564

1.690 2.167

2.833

3.822

4.255 4.671

6.346

2.032

2.180 2.733

3.490

4.594

5.071 5.527

7.344

1.152 1.735 2.088 1.479 2.156 2.558

2.532

2.700 3.325

4.168

5.380

5.899 6.393

8.343

3.059

3.247 3.640

4.865

6.179

6.787 7.267

1.834 2.603 3.053 2.214 3.074 3.571

3.609

3.816 4.575

5.578

6.989

4.178

4.404 5.226

6.304

7.807

2.617 3.565 4.107 3.041 4.075 4.660

4.765

9.299 9.926 12.340 9.467 10.165 10.821 13.339 6.262 7.261 8.547 10.307 11.036 11.721 14.339 6.908 7.962 9.312 11.152 11.912 12.624 15.338 7.564 8.672 10.085 12.002 12.892 13.531 16.338 8.231 9.390 10.865 12.857 13.675 14.440 17.338 8.907 10.117 11.651 13.716 14.562 15.352 18.338

3.483 4.601 5.229 3.942 5.142 5.812 4.416 5.697 6.408

5.368 5.985 6.614 7.255

4.905 6.265 7.015 5.407 6.844 7.633

7.906

5.921 7.434 8.260 6.447 8.034 8.897

9.237

8.567

5.009 5.892

7.042

5.629 6.571

7.790

9.342 7.584 8.148 10.341 8.438 9.034 11.340

8.634

9.591 10.871 12.443 14.578 15.452 9.915 10.283 11.591 13.240 15.445 16.344 6.983 8.643 9.542 10.600 10.982 12.338 14.041 16.314 17.240 7.529 9.260 10.196 11.293 11.688 13.091 14.848 17.187 18.137 8.035 9.886 10.856 11.992 12.401 8.649 10.520 11.524 12.697 13.120 9.222 11.160 12.198 13.409 13.844 9.803 11.808 12.879 14.125 14.573

16.266 19.337 17.182 20.337 18.101 21.337

19.021 22.337 13.848 15.659 18.062 19.037 19.943 23.337 14.611 16.173 18.940 19.939 20.887 24.337 15.379 17.292 19.820 20.848 21.792 25.336 16.151 18.114 20.703 21.749 22.719 26.336

10.391 12.461 13.565 14.547 15.308 16.928 18.937 21.588 22.657 23.617 27.336 10.986 13.121 14.256 15.574 16.047 17.708 19.768 22.475 23.567 24.577 28.336 11.588 13.787 14.953 16.306 16.791 18.493 20.599 23.364 24.478 25.508 29.336

Հավանականություն 0.30

0.25

0.20

0.10

0.05

0.025

0.02

0.01

0.005

0.001

1.074

1.323

1.642

2.706

3.841

5.024

5.412

6.635

7.879

10.827

2.408

2.773

3.219

4.605

5.991

7.378

7.824

9.210 10.597 13.815

3.665

4.108

4.642

6.251

7.815

9.348

9.837 11.345 12.838 16.268

4.878

5.385

5.989

7.779

9.488

11.143 11.668 13.277 14.860 18.465

6.064

6.626

7.289

9.236 11.070 12.839 13.388 15.086 16.750 20.517

7.231

7.841

8.558 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.457

8.383

9.037

9.803 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322

9.524 10.219 11.030 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.125

10.656 11.389 12.242 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.589 27.877

11.781 12.549 13.412 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188 29.588

12.899 13.701 14.631 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.757 31.264

14.011 14.845 15.812 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.300 32.909

15.119 15.984 16.985 19.812 22.362 24.736 25.472 27.688 29.819 34.528

16.222 17.117 18.151 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.319 36.123

17.322 18.245 19.311 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.801 37.697

18.418 19.369 20.465 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.267 39.252

19.511 20.489 21.615 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.718 40.790

20.601 21.605 22.760 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.156 42.312

21.689 22.718 23.900 27.204 30.144 32.852 33.687 38.191 38.582 43.820

22.775 23.628 25.038 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997 45.315

23.858 24.935 26.171 29.615 32.671 35.479 36.343 38.932 41.401 46.797

24.939 26.039 27.301 30.813 33.924 36.781 37.659 40.289 42.796 48.268

26.018 27.141 28.429 32.567 35.172 38.076 38.968 41.638 44.181 49.728

27.096 28.241 29.553 33.193 36.415 39.384 40.270 42.980 45.558 51.170

28.172 29.339 30.675 34.362 37.652 40.046 41.566 44.314 46.928 52.620

29.246 30.434 31.795 35.563 38.885 41.923 42.856 45.642 48.290 54.052

30.319 31.328 32.912 36.741 40.113 43.194 44.140 46.963 49.645 55.476

31.391 32.320 34.027 37.916 41.337 44.461 45.419 48.278 50.993 56.893

32.461 33.711 35.139 39.087 42.557 45.722 46.693 49.588 52.336 58.3025

33.530 34.800 36.250 40.256 43.773 46.979 47.962 50.692 53.672 9.703

Հավելված 4 Ստյուդենտի աշխում (t- աշխում) (α

∞

= Տ(t) = P( T > tաղ.)

հավանականություն

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.2

0.1

0.05

0.158 0.142 0.137 0.134 0.132 0.131 0.130 0.130 0.129 0.129 0.129 0.128 0.128 0.128 0.128 0.128 0.128 0.127 0.127 0.127

0.325 0.289 0.277 0.271 0.267 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260 0.260 0.259 0.259 0.258 0.258 0.258 0.257 0.257 0.257 0.257

0.510 0.445 0.424 0.414 0.406 0.404 0.402 0.399 0.398 0.327 0.396 0.395 0.394 0.393 0.393 0.392 0.392 0.392 0.391 0.391

0.727 0.617 0.584 0.569 0.559 0.553 0.549 0.546 0.543 0.542 0.543 0.539 0.539 0.537 0.536 0.535 0.534 0.534 0.533 0.533

1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.690 0.689 0.688 0.688 0.687

3.078 1.886 1.638 1.563 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.326 1.325

6.314 12.706 63.657 636.619 2.920 4.303 9.925 31.598 2.353 3.182 5.841 12.941 2.132 2.776 4.604 8.610 2.015 2.571 4.043 6.859 1.943 2.447 3.707 5.959 1.895 2.365 3.499 5.405 1.860 2.306 3.355 5.041 1.833 2.262 3.250 4.781 1.812 2.228 3.169 4.583 1.796 2.201 3.106 4.437 1.782 2.179 3.055 4.318 1.771 2.160 3.012 4.221 1.761 2.145 2.977 4.140 1.753 2.131 2.947 4.073 1.746 2.120 2.921 4.015 1.740 2.110 2.898 3.965 1.734 2.101 2.878 3.922 1.729 2.093 2.861 3.833 1.725 2.066 2.845 3.850

0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.126 0.126 0.126 0.126

0.257 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.255 0.254 0.254 0.253

0.391 0.390 0.390 0.390 0.390 0.390 0.389 0.389 0.389 0.389 0.388 0.387 0.386 0.385

0.532 0.532 0.532 0.531 0.531 0.531 0.531 0.530 0.530 0.530 0.529 0.527 0.526 0.524

0.686 0.686 0.685 0.685 0.684 0.684 0.684 0.683 0.683 0.683 0.681 0.679 0.677 0.674

1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.296 1.289 1.282

1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.671 1.658 1.645

2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.000 1.980 1.960

0.01

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.660 2.617 2.576

0.001

3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646 3.551 3.460 3.373 3.291

Հավելված 5 Ֆիշեր-Սնեդեկորի աշխում (Է- աշխում) P(Է»Է աղյուս.) պայմանին ավարարող Է (α, ν1, ν2) աղյուսակի արժեքները: Առաջին տողի արժեքները համապատասխանում են 0,05, երկրորդինը` 0,01 ն երրորդինը` 0,001 հավանականության, ν1-ը համարիչի ազատության աստիճանների թիվն է, ν2-ը` հայտարարի: ν1

∞

t

ν2 1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 238.9 243.9 249.0 253.3 12.71 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5981 6106 6234 6366 63.66 406523 500016 536700 56252 576449 585953 598149 610598 623432 636535 636.2

18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.37 19.41 19.45 19.50 4.30 98.49 99.01 00.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.42 99.46 99.50 9.92 998,46 999.00 999.20 999.20 999.20 999.20 999.40 999.60 999.40 999.40 31.00 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.84 8.74 8.64 8.53 3.18 34.12 30.81 29.46 28.71 28.24 27.91 27.49 27.05 26.60 26.12 5.84 67.47 148.51 141.10 137.10 134.60 132.90 130.60 128.30 125.90 123.50 12.94

7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.04 5.91 5.77 5.63 2.78 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.80 14.37 13.93 13.46 4.60 74.13 61.24 56.18 53.43 51.71 50.52 49.00 47.41 45.77 44.05 8.61

6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.82 4.68 4.53 4.36 2.57 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.27 9.89 9.47 9.02 4.03 47.04 36.61 33.20 31.09 20.75 28.83 27.64 26.42 25.14 23.78 6.86

5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.15 4.00 3.84 3.67 2.45 13.74 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.10 7.72 7.31 6.88 3.71 35.51 26.99 23.70 21.90 20.81 20.03 19.03 17.99 16.89 15.75 5.96

5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.73 3.57 3.41 3.23 2.36 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.84 6.47 6.07 5.65 3.50 29.22 21.69 18.77 17.19 16.21 15.52 14.63 13.71 12.73 11.70 5.40

5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.44 3.28 3.12 11.26 8.65 7.59 7.10 6.63 6.37 6.03 5.67 5.28 25.42 18.49 15.83 14.39 13.49 12.86 12.04 11.19 10.30

2.99 4.86 9.35

2.31 3.36 5.04

5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.23 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.47 22.86 16.39 13.90 12.56 11.71 11.13 10.37

2.71 4.31 7.81

2.26 3.25 4.78

3.07 5.11 9.57

2.90 4.73 8.72

4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 21.04 14.91 12.55 11.28 10.48

3.22 5.39 9.92

3.07 5.06 9.20

2.91 4.71 8.45

2.74 4.33 7.64

2.54 3.91 6.77

2.23 3.17 4.59

4.84 3.98 3.59 3.36 9.65 7.20 6.22 5.67 19.69 13.81 11.56 10.35

3.20 5.32 9.58

3.09 5.07 9.05

2.95 4.74 8.35

2.79 4.40 7.62

2.61 4.02 6.85

2.40 3.60 6.00

2.20 3.11 4.49

4.75 3.88 3.49 9.33 6.93 5.95 12 18.64 12.98 10.81

3.26 5.41 9.63

3.11 5.06 8.89

3.00 4.82 8.38

2.85 4.50 7.71

2.69 4.16 7.00

2.50 3.78 6.25

2.30 3.36 5.42

2.18 3.06 4.32

4.67 3.80 3.41 9.07 6.70 5.74 17.81 12.31 10.21

3.18 5.20 9.07

3.02 4.86 8.35

2.92 4.62 7.86

2.77 4.30 7.21

2.60 3.96 6.52

2.42 3.59 5.78

2.21 3.16 4.97

2.16 3.01 4.12

4.60 3.74 8.86 6.51 17.14 11.78

3.34 5.56 9.73

3.11 5.03 8.62

2.96 4.69 7.92

2.85 4.46 7.44

2.70 4.14 6.80

2.53 3.80 6.13

2.35 3.43 5.41

2.13 3.00 4.60

2.14 2.98 4.14

4.45 3.68 8.68 6.36 16.59 11.34

3.29 5.42 9.34

3.06 4.89 8.25

2.90 4.56 7.57

2.79 4.32 7.09

2.64 4.00 6.47

2.48 3.67 5.81

2.29 3.29 5.10

2.07 2.87 4.31

2.13 2.95 4.07

4.41 3.63 8.53 6.23 16.12 10.97

3.24 5.29 9.01

3.01 4.77 7.94

2.85 4.44 7.27

2.74 4.20 6.80

2.59 3.89 6.20

2.42 3.55 5.55

2.24 3.18 4.85

2.01 2.75 4.06

2.12 2.92 4.02

4.45 3.59 8.40 6.11 15.72 10.66

3.20 5.18 8.73

2.96 4.67 7.68

2.81 4.34 7.02

2.70 4.10 6.56

2.55 3.79 5.96

2.38 3.45 5.32

2.19 3.08 4.63

1.96 2.65 3.85

2.11 2.90 3.96

4.41 3.55 8.28 6.01 15.38 10.39

3.16 5.09 8.49

2.93 4.58 7.46

2.77 4.25 6.81

2.66 4.01 6.35

2.51 3.71 5.76

2.34 3.37 5.13

2.15 3.01 4.45

1.92 2.57 3.67

2.10 2.88 3.92

4.38 3.52 8.18 5.93 15.08 10.16

3.13 5.01 8.28

2.90 4.50 7.26

2.74 4.17 6.61

2.63 3.94 6.18

2.48 3.63 5.59

2.31 3.30 4.97

2.11 2.92 4.29

1.88 2.49 3.52

2.09 2.86 3.88

4.35 8.10 14.82

3.49 5.85 9.95

3.10 4.94 8.10

2.87 4.43 7.10

2.71 4.10 6.46

2.60 3.87 6.02

2.45 3.56 5.44

2.28 3.23 4.82

2.08 2.86 4.15

1.84 2.42 3.38

2.09 2.84 3.85

4.32 8.02 21 14.62

3.47 5.78 9.77

3.07 4.87 7.94

2.84 4.37 6.95

2.68 4.04 6.32

2.57 3.81 5.88

2.42 3.51 5.31

2.25 3.174.

2.05 2.80 4.03

1.82 2.36 3.26

2.08 2.83 3.82

4.30 7.94 14.38

3.44 5.72 9.61

3.05 4.82 7.80

2.82 4.31 6.81

2.66 3.99 6.19

2.55 3.75 5.76

2.40 3.45 5.19

2.23 3.12 4.58

2.03 2.75 3.92

1.78 2.30 3.15

2.07 2.82 3.79

4.28 7.88 14.19

3.42 5.66 9.46

3.03 4.76 7.67

2.80 4.26 6.70

2.64 3.94 6.08

2.53 5.56 2.51

2.38 3.41 5.09

2.20 3.07 4.48

2.00 2.70 3.82

1.76 2.26 3.05

2.07 2.83

4.26 7.82 14.03

3.40 5.61 9.34

3.01 4.72 7.55

2.78 4.22 6.59

2.62 3.90 5.98

2.51 3.67 5.55

2.36 3.36 4.99

2.18 3.03 4.39

1.98 2.66 3.84

1.73 2.21 2.97

2.06 2.80 3.75

4.24 7.77 13.88

3.38 5.57 9.22

2.99 4.68 7.45

2.76 4.18 6.49

2.60 3.86 5.89

2.49 3.63 5.46

2.34 3.32 4.91

2.16 2.99 4.31

1.96 2.62 3.66

1.71 2.17 2.87

2.06 2.79 3.72

4.22 7.72 13.74

3.37 5.53 9.12

2.98 4.64 7.36

2.74 4.14 6.41

2.59 3.82 5.80

2.47 3.59 5.38

2.32 3.29 4.83

2.15 2.96 4.24

1.95 2.58 3.59

1.69 2.13 2.82

2.06 2.78 3.71

4.21 7.68 13.61

3.35 5.49 9.02

2.96 4.60 7.27

2.73 4.11 6.33

2.57 3.78 5.73

2.46 3.56 5.31

2.30 3.26 4.76

2.13 2.93 4.17

1.93 2.55 3.52

1.67 2.10 2.76

2.05 2.77 3.69

4.19 7.64 13.50

3.34 5.45 8.93

2.95 4.57 7.18

2.71 4.07 6.25

2.56 3.75 5.66

2.44 3.53 5.24

2.29 3.23 4.69

2.12 2.90 4.11

1.91 2.52 3.46

1.65 2.06 2.70

2.05 2.76 3.67

4.18 7.60 13.39

3.33 5.42 8.85

2.93 4.54 7.12

2.70 4.04 6.19

2.54 3.73 5.59

2.43 3.50 5.18

2.28 3.20 4.65

2.10 2.87 4.05

1.90 2.49 3.41

1.64 2.03 2.64

2.05 2.76 3.67

4.17 7.56 13.26

3.32 5.39 8.77

2.92 4.51 7.05

2.69 4.02 6.12

2.53 3.70 5.53

2.42 3.47 5.12

2.27 3.17 4.58

2.09 2.84 4.00

1.89 2.47 3.36

1.62 2.01 2.59

2.04 2.75 3.64

4.00 7.08 11.97

3.15 4.98 7.76

2.76 4.13 6.17

2.52 3.65 5.31

2.37 3.34 4.76

2.25 3.12 4.37

2.10 2.82 3.87

1.92 2.50 3.31

1.70 2.12 2.76

1.39 1.60 1.90

2.00 2.66 3.36

∞

3.84 6.64 10.83

2.99 4.60 6.91

2.60 3.78 5.42

2.37 3.32 4.62

2.21 3.02 4.10

2.09 2.80 3.74

1.94 2.51 3.27

1.75 2.18 2.74

1.52 1.79 2.13

1.03 1.04 1.05

1.96 2.58 3.29

Հավելված 6 Ֆիշերի 2 - ձնափոխության աղյուսակ 0.0 0.0000 0.0101 0.0200 0.0300 0.0400 0.0501 0.0601 0.0701 0.0802 0.0902 0.1 0.1003 0.1104 0.1206 0.1308 0.1409 0.1511 0.1614 0.1717 0.1820 0.1923 0.2 0.2027 0.2132 0.2237 0.2342 0.2448 0.2554 0.2661 0.2769 0.2877 0.2986 0.3 0.3095 0.3205 0.3316 0.3428 0.3541 0.3654 0.3767 0.3884 0.4001 0.4118 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.4236 0.4356 0.4477 0.4599 0.4722 0.4847 0.4973 0.5101 0.5230 0.5361 0.5493 0.5627 0.5764 0.5901 0.6042 0.6184 0.6328 0.6475 0.6625 0.6777 0.6932 0.7089 0.7250 0.7414 0.7582 0.7753 0.7928 0.8107 0.8291 0.8480 0.8673 0.8872 0.9077 0.9287 0.9505 0.9730 0.9962 1.0203 1.0454 1.0714 1.0986 1.1270 1.1568 1.1881 1.2212 1.2562 1.2933 1.3331 1.3758 1.4219 1.4722 1.5275 1.5890 1.6584 1.7381 1.8318 1.9459 2.0923 2.2976 2.6467

0.9 2.6466 2.6996 2.7587 2.8257 2.9031 2.9945 3.1063 3.2504 3.4534 3.8002 0.99

Հավելված 7 Կոռելյացիայի գործակիցների 59-ոց ն 19-ոց հավանականության մակարդակների աղյուսակ ( ra )

Ընտրանքի չափը

ra -ի ացասական արժեքներ 59-ոց 19 –ոց 59-ոց 19 –ոց մակարդակ մակարդակ մակարդակ մակարդակ ra -ի դրական արժեքներ

0.253 0.354 0.370 0.371 0.366 0.360 0.353 0.348 0.341 0.335 0.328 0.299 0.276 0.257 0.242 0.229 0.218 0.208

0.297 0.447 0.510 0.531 0.533 0.525 0.515 0.505 0.495 0.485 0.475 0.432 0.398 0.370 0.347 0.329 0.313 0.301

-0.753 -0.708 0.674 -0.625 -0.593 -0.564 -0.539 -0.516 -0.497 -0.479 -0.462 -0.399 -0.356 -0.324 -0.300 -0.279 -0.262 -0.248

-0.798 -0.863 -0.799 -0.764 -0.737 -0.705 -0.679 -0.655 -0.634 -0.615 -0.597 -0.524 -0.473 -0.433 -0.401 -0.376 -0.256 -0.339

Հավելված 8 Դրական ավտոկոռելյացիայի համար Դար ին-ՈՒոթսոնի հայտանիշի աշխումը (59-ոց նշանակալիության մակարդակի համար)

ո

Մ1

Մ2

Մ3

Մ4

Մ5

d1

d2

d1

d2

d1

d2

d1

d2

d1

d2

1.08 1.10 1.13 1.16 1.18 1.20 1.22 1.24 1.26 1.27 1.29 1.30 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.43 1.44 1.48 1.50 1.53 1.55 1.57 1.58 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65

1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.45 1.46 1.47 1.48 1.48 1.49 1.50 1.50 1.51 1.51 1.52 1.52 1.53 1.54 1.54 1.54 1.57 1.59 1.60 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.69

0.95 0.98 1.02 1.05 1.08 1.10 1.13 1.15 1.17 1.19 1.21 1.22 1.24 1.26 1.27 1.28 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.43 1.46 1.49 1.51 1.54 1.55 1.57 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63

1.54 1.54 1.54 1.53 1.53 1.54 1.54 1.54 1.54 1.55 1.55 1.55 1.56 1.56 1.56 1.57 1.57 1.57 1.58 1.58 1.58 1.59 1.59 1.59 1.60 1.60 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.70 1.71 1.72

0.82 0.86 0.90 0.93 0.97 1.00 1.03 1.05 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.20 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.28 1.29 1.31 1.32 1.33 1.34 1.38 1.42 1.45 1.48 1.50 1.52 1.54 1.56 1.57 1.59 1.60 1.61

1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.68 1.67 1.66 1.66 1.66 1.66 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.63 1.65 1.65 1.65 1.66 1.66 1.66 1.66 1.67 1.67 1.68 1.69 1.70 1.70 1.71 1.72 1.72 1.73 1.73 1.74

0.69 0.74 0.78 0.82 0.86 0.90 0.93 0.96 0.99 1.01 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.19 1.21 1.22 1.24 1.25 1.26 1.27 1.29 1.34 1.38 1.41 1.44 1.47 1.49 1.51 1.53 1.55 1.57 1.58 1.59

1.97 1.93 1.90 1.87 1.85 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 1.76 1.75 1.74 1.74 1.74 1.73 1.73 1.73 1.73 1.73 1.72 1.72 1.72 1.72 1.72 1.72 1.72 1.73 1.73 1.74 1.74 1.74 1.75 1.75 1.75 1.76

0.56 0.62 0.67 0.71 0.75 0.79 0.83 0.86 0.90 0.93 0.95 0.98 1.01 1.03 1.05 1.07 1.09 1.11 1.13 1.15 1.16 1.18 1.19 1.21 1.22 1.23 1.29 1.34 1.38 1.41 1.44 1.46 1.49 1.51 1.52 1.54 1.56 1.57

2.21 2.15 2.10 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 1.92 1.90 1.89 1.89 1.86 1.85 1.84 1.83 1.83 1.82 1.81 1.81 1.80 1.80 1.80 1.79 1.79 1.79 1.78 1.77 1.77 1.77 1.77 1.77 1.77 1.77 1.77 1.78 1.78 1.78

ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

1. Ճ6641 Ð., Ն611116-4ñ664 61446ñ0. 1., “Ñ0406ñ0664”, 1980,

256 ñ. 2. Ճ4146666 Է.Օ., Ճ414664ÿ Ճ.Է., Լñ114104 1404140661-

ñ0406ñ06-4ñ664 111ÿ06ÿ 6 ô101ó60 4 ý611116-4ñ611 41466ç4. Ñ10441-166. 2-4 6ç4. 1., “Ñ0406ñ0664”, 1979, 447 ñ. 3. Ճ461ó Թ.Թ., Բ10046ÿ66ÿ 0ÿ414 46141666. 1ՆÑԷ, 1., 1987, 96 ñ. 4. Ãóñ4014 Ճ. 1., Օ4106ÿ ñ0406ñ0666, 1., “11606”, 1998, 248 ñ. 5. Ճó40144 Օ. Ճ., Ñ0406ñ06-4ñ664 140140 101411ç6014416ÿ, 1.,“11606”, 2003, 206 ñ. 6. Å66ñ4444 Է.Է., 1ç44Թ44 1.1., Լ4ù4ÿ 04106ÿ ñ0406ñ0666. 1., “Օ6141ñ0 6 ñ0406ñ0664”, 1998, 479 ñ. 7. Åô61144 1.Ð., 1400144 Å.Ճ., Ðó1ÿ1644 Ճ.1., Լ4ù4ÿ 04106ÿ ñ0406ñ0666. 1., “Է1ô04-1”, 1999, 441 ñ. 8. Բ4ç6146 Է.Ñ., Օ4106ÿ 61446ñ14 (1ñ114104 41101ñ0). 1., Ã1ññ0406ç440, 1963, 352 ñ. 9. Բ444Թ 1., Օ4106ÿ 61446ñ14 6 10460664 ý611116-4ñ6141 41466ç4. 1., “Օ6141ñ0 6 ñ0406ñ0664”, 1990, 303 ñ. 10. Բ144644ñ666 Ã.Ճ., Է1446ñ106 14014 4 ý61111664. 1., “Օ6141ñ0 6 ñ0406ñ0664”, 1989, 238 ñ. 11. Բ04140 1.Ø., Օ4106ÿ 4401ÿ011ñ046 6 14041406-4ñ64ÿ ñ0406ñ0664. 1., “11606”, 2000, 543 ñ. 12. 166040ÿ1 Ճ. Ñ., Օ01Թ61 Է. Է., Ճ6ñ140ñ611106 41466ç. 1., 1ՆÑԷ, 1990. 13. Ð1666666 1.Օ., Á616146-4ñ64ÿ ñ0406ñ0664. 161ñ6,1973, 319 ñ. 14. Ðÿóç14 1.1., Լ4ù4ÿ 04106ÿ ñ0406ñ0666. 1, “Օ6141ñ0 6 ñ0406ñ0664”, 1984, 342 ñ. 15. Ñ6ñü614 Ճ.Է., Բ10046ÿ6611106 41466ç 4 ý611116-4ñ666 6ññ64414416ÿ6. 1, “Ñ0406ñ0664”, 1975, 168 ñ. 16. Օ4ñ040 Ն., Ð416 Á., 140140 610046ÿ6611141 6 04404ñ6111141 41466ç4. “Օ6141ñ0 6 ñ0406ñ0664”, 1983, 302 ñ. 17. Օ041646ü Ճ.Ճ., Ճ44614 Å.Ճ., 140140 610046ÿ6611106 6 04404ñ611106 41466ç 4 ý611116-4ñ666 10661æ416ÿ6: Ó-44114 11ñ1464. 1., 1ՆÑԷ, 1987, 96 ñ.

18. Ø1166144 Ð.Ճ., 1614Թ661 Ճ.Ã., Ñ4414166144 1.Ճ., Øó446144

Å.Á., Օ4106ÿ ñ0406ñ0666. 1., “Օ6141ñ0 6 ñ0406ñ0664”, 2003, 655 ñ. 19. ×4000661 Å. 1., Ñ0406ñ06-4ñ664 140140 10111ç6014416ÿ. 1., “Ñ0406ñ0664”, 1975, 183 ñ. 20. Օ4106ÿ ñ0406ñ0666 (114. 044. Ã.Է. Ã011061). 1., “Է1ô04-1”, 2000. 21. Գմուրման Վ.Ե., Հավանականությունների տեսություն ն մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ձեռնարկ: Երնան, «Լույս», 1979. 22. Դավթյան Գ. Հ., էնտրոպիա հասկացությունը (փիլիսոփայականմեթոդա անական վերլուծություն), «Բան եր Երնանի համալսարանի», 1985, թիվ 1: 23. Դավթյան Գ. Հ., Մաթեմատիկական-տրամա անական տեսությունները ն փիլիսոփայությունը, Երնան, 200, 183 էջ: 24. Կոստանդյան Ա., Ֆահրադյան Մ., Վիճակագրության ընդհանուր տեսության խնդիրների ժողովածու, Երնան, 1993: 25. Պետրոսյան Ա. Ն., Մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդների կիրառումը սպորտային-մանկավարժական հետազոտություններում, ուսումնամեթոդական ձեռնարկ, Երնան, 1975, 107 էջ: 26. Պետրոսյան Ա. Ն., Վիճակագրության տեսության հիմնական անաձները, տեղեկատու, Երնան, 2004, 60 էջ: 27. Պետրոսյան Ա. Ն., Վիճակագրության տեսություն, ուսումնական ձեռնարկ, Երնան, 2005, 256 էջ: 28. Պողոսյան Ա., Դավթյան Վ., Հավանականությունների տեսության ն մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների ժողովածու: Երնան, 2002, 270 էջ: 29. Հարությունյան Ե. ն ուրիշներ, Հավանականություն ն վիճակագրություն, ՀՀ ԳԱԱ, «Գիտություն», Երնան, 2000: 30. Հակո յան Հ.Մ., Տեստեր վիճակագրությունից, Երնան, «Տնտեսագետ», 2004: