Ամիր, Էհսանի

Մաթեմատիկա

Այս գիտական աշխատանքը նվիրված է մեդիալանման հանրահաշիվների ներկայացումների ուսումնասիրությանը՝ բացահայտելով այդ կառուցվածքների հանրահաշվական հատկությունները, դրանց ներկայացման հնարավոր ձևերը և տարբեր մաթեմատիկական օբյեկտների միջոցով նկարագրման մեթոդները։ Հետազոտության հիմքում հանրահաշվական համակարգերի ուսումնասիրությունն է, որտեղ բազմության վրա սահմանված մեկ կամ մի քանի գործողություններ ենթարկվում են որոշակի նույնությունների, իսկ մեդիալությանը մոտ հատկությունները սահմանափակում են այդ գործողությունների փոխազդեցության ձևը։ Մեդիալ հանրահաշիվների համար բնորոշ հիմնական նույնություններից մեկը սովորաբար կապում է երկու երկուական գործողությունների կիրառման տարբեր դասավորությունները՝ թույլ տալով ուսումնասիրել գործողությունների ներքին կառուցվածքը և դրանց նկատմամբ գործող հոմոմորֆիզմները։ Այսպիսի համակարգերը հետաքրքրություն են ներկայացնում ունիվերսալ հանրահաշվի, խմբերի և կիսախմբերի տեսության, ինչպես նաև դիստրիբյուտիվ և քվազիխմբային կառուցվածքների հետ ունեցած կապերի պատճառով։ Աշխատության հիմնական խնդիրներից մեկը կարող է լինել մեդիալանման հանրահաշիվների ներկայացումը ավելի պարզ կամ արդեն հայտնի հանրահաշվական համակարգերի միջոցով։ Ներկայացում ասելով այստեղ կարող է հասկացվել տվյալ հանրահաշվի տարրերի և գործողությունների համապատասխանեցումը ֆունկցիաների, փոխակերպումների, մատրիցների կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտների հետ այնպես, որ սկզբնական հանրահաշվական գործողությունները պահպանվեն։ Նման ներկայացումը հնարավորություն է տալիս բարդ աբստրակտ կառուցվածքի ուսումնասիրությունը փոխակերպել ավելի տեսանելի կամ հաշվարկելի խնդրի։ Հետազոտության կարևոր ուղղություն կարող է լինել այն պայմանների բացահայտումը, որոնց դեպքում մեդիալանման հանրահաշիվը հնարավոր է ներկայացնել որոշակի ստանդարտ մոդելով։ Այդ նպատակով անհրաժեշտ է ուսումնասիրել հանրահաշվի գործողությունների հատկությունները, նույնությունների համակարգը, ենթահանրահաշիվները, հոմոմորֆիզմները և իզոմորֆիզմները։ Հատուկ ուշադրություն կարող է դարձվել այն հարցին, թե ինչպիսի կառուցվածքային ինվարիանտներ են պահպանվում ներկայացման ընթացքում և որքանով է ներկայացումը միարժեք։ Աշխատության մեջ կարող են ուսումնասիրվել նաև ազատ հանրահաշիվների և հարաբերությունների միջոցով կառուցվող ներկայացումները։ Ազատ օբյեկտը հնարավորություն է տալիս սկզբնական հանրահաշվական համակարգը կառուցել միայն տվյալ տեսակի գործողությունների և նույնությունների հիման վրա, իսկ հետագայում դրա նկատմամբ լրացուցիչ հարաբերություններ սահմանելով՝ ստանալ կոնկրետ հանրահաշիվներ։ Այս մոտեցումը կարևոր է ունիվերսալ հանրահաշվի տեսանկյունից, քանի որ թույլ է տալիս հասկանալ ամբողջ դասի ընդհանուր կառուցվածքային օրինաչափությունները։ Մեդիալ հատկությունների ուսումնասիրությունը կարող է կապվել նաև քվազիխմբային համակարգերի հետ։ Մեդիալ գործողությունները և մեդիալ քվազիխմբերը հայտնի են նրանով, որ որոշակի պայմաններում դրանց կառուցվածքը հնարավոր է նկարագրել ավելի տարրական հանրահաշվական բաղադրիչների միջոցով։ Այդ կապերի ուսումնասիրությունը կարող է հնարավորություն տալ որոշել, թե որ մեդիալանման հանրահաշիվներն ունեն հատուկ ներկայացումներ և ինչ պայմաններով կարելի է վերականգնել սկզբնական գործողությունը ներկայացնող օբյեկտների հատկություններից։ Կարևոր է նաև հոմոմորֆ պատկերների ուսումնասիրությունը։ Եթե երկու հանրահաշվական համակարգերի միջև գոյություն ունի գործողությունները պահպանող արտապատկերում, ապա այդ կապը կարող է օգտագործվել տվյալ համակարգի կառուցվածքը պարզեցնելու և դրա հիմնական հատկությունները ուսումնասիրելու համար։ Ներկայացումների տեսության շրջանակում կարող են հետազոտվել նաև ներկայացման միջուկը, պատկերը, հավասարարժեք ներկայացումները և այն պայմանները, որոնց դեպքում տարբեր ներկայացումներ իրականում նկարագրում են նույն հանրահաշվական կառուցվածքը։ Աշխատանքի տեսական նշանակությունը կայանում է մեդիալանման հանրահաշիվների կառուցվածքային հատկությունների համակարգման և դրանց ներկայացումների ընդհանուր տեսության զարգացման մեջ։ Նման հետազոտությունը կարող է ընդլայնել գիտելիքները այն հանրահաշվական համակարգերի մասին, որոնք չեն սահմանափակվում դասական խմբային կամ օղակային կառուցվածքներով, բայց միաժամանակ ունեն բավականաչափ խիստ նույնությունների համակարգ, որպեսզի դրանց համար հնարավոր լինի կառուցել ընդհանուր տեսական մոդելներ։ Հետազոտության արդյունքները կարող են կիրառելի լինել նաև մաթեմատիկական տրամաբանության և ունիվերսալ հանրահաշվի այն խնդիրներում, որտեղ անհրաժեշտ է դասակարգել նույնությունների միջոցով սահմանվող հանրահաշվական դասերը, ուսումնասիրել դրանց մոդելները և որոշել կառուցվածքային հատկությունների պահպանման պայմանները։ Ընդհանուր առմամբ, աշխատանքը մեդիալանման հանրահաշիվները դիտարկում է որպես աբստրակտ հանրահաշվական համակարգերի կարևոր դաս և կենտրոնանում է դրանց ներկայացման եղանակների, կառուցվածքային հատկությունների, հոմոմորֆ կապերի և այլ հանրահաշվական օբյեկտների հետ փոխհարաբերությունների բացահայտման վրա։ Նպատակն է ստանալ այդ համակարգերի ավելի ամբողջական կառուցվածքային նկարագրություն և ցույց տալ, թե ինչպես կարելի է դրանց վերացական գործողություններն արտահայտել ու ուսումնասիրել համապատասխան մաթեմատիկական ներկայացումների միջոցով։