Խաչատրյան, Հրանտ Հարությունի

Մաթեմատիկա

Աշխատությունը նվիրված է գրաֆների միջակայքային կողային ներկումների ուսումնասիրությանը՝ գրաֆների տեսության այն ուղղությանը, որտեղ հետազոտվում են կողերի ներկման և գրաֆի կառուցվածքային հատկությունների միջև կապերը։ Միջակայքային կողային ներկումը կարելի է դիտարկել որպես գրաֆի կողերին ամբողջ թվերով գույների վերագրում, որի դեպքում յուրաքանչյուր գագաթին կից կողերի գույները որոշակի հաջորդական միջակայք են կազմում, իսկ տարբեր կողեր ստանում են տարբեր գույներ։ Այս պայմանը միավորում է դասական կողային ներկման և միջակայքային կառուցվածքի գաղափարները և առաջադրում է մի շարք հետաքրքիր կոմբինատորային խնդիրներ։ Ուսումնասիրության հիմնական նպատակներից է պարզել, թե գրաֆների որ դասերն են թույլ տալիս նման ներկումներ, ինչ պայմաններում են դրանք գոյություն ունենում և ինչպես կարելի է կառուցել համապատասխան ներկումներ։ Աշխատությունում կարող են ուսումնասիրվել գրաֆի գագաթների աստիճանները, կողերի քանակը, գրաֆի կապակցվածությունը, երկկողմանիությունը և այլ կառուցվածքային բնութագրեր՝ դրանց և միջակայքային կողային ներկման հնարավորության միջև օրինաչափություններ հայտնաբերելու նպատակով։ Հատուկ ուշադրություն է դարձվում գրաֆի ներկման թվին և այն սահմաններին, որոնք կարող են ստացվել տարբեր գրաֆների դասերի համար։ Կարող են ուսումնասիրվել նաև ծառերը, ցիկլերը, ամբողջական գրաֆները, երկկողմանի գրաֆները և այլ հատուկ կառուցվածք ունեցող գրաֆներ՝ պարզելու համար, թե դրանց դեպքում ինչպիսի պայմաններ են ապահովում միջակայքային ներկման գոյությունը։ Հետազոտության կարևոր բաղադրիչ է անհրաժեշտ և բավարար պայմանների ձևակերպումը, որոնց միջոցով հնարավոր է որոշել՝ տվյալ գրաֆը պատկանում է միջակայքային ներկում թույլատրող գրաֆների դասին, թե ոչ։ Աշխատությունում կարող են մշակվել նաև ներկումների կառուցման ալգորիթմներ, որոնց միջոցով տեսական արդյունքները վերածվում են գործնական հաշվարկային մեթոդների։ Կարևոր նշանակություն ունի տարբեր ներկումների համեմատությունը և այնպիսի ներկման որոնումը, որը բավարարում է լրացուցիչ օպտիմալության չափանիշների, օրինակ՝ օգտագործվող գույների քանակի նվազագույնի կամ առավելագույնի պայմաններին։ Նման խնդիրները կապված են նաև գրաֆների ժամանակացույցային մեկնաբանությունների հետ, քանի որ գույները որոշ կիրառություններում կարող են ներկայացնել ժամանակային միջակայքներ, ռեսուրսներ կամ գործողությունների հերթականություն։ Այդ պատճառով միջակայքային կողային ներկումների տեսական ուսումնասիրությունը կարող է կիրառական նշանակություն ունենալ դասացուցակների կազմման, արտադրական գործընթացների պլանավորման, հաղորդակցական ցանցերի կազմակերպման և այլ կոմբինատորային օպտիմալացման խնդիրներում։ Աշխատությունը կարող է ներառել ինչպես տեսական ապացույցներ, այնպես էլ օրինակներ և հակաօրինակներ, որոնք պարզաբանում են տարբեր գրաֆների համար ներկման հնարավորություններն ու սահմանափակումները։ Ուսումնասիրության արդյունքները կարող են նպաստել գրաֆների կառուցվածքային հատկությունների և ներկման խնդիրների միջև կապերի ավելի խոր ըմբռնմանը, ինչպես նաև նոր դասերի համար համապատասխան թեորեմների և ալգորիթմների մշակմանը։ Աշխատանքը կարող է օգտակար լինել մաթեմատիկոսներին, դիսկրետ մաթեմատիկայի և կոմբինատորիկայի մասնագետներին, ալգորիթմների տեսությամբ զբաղվող հետազոտողներին, ինչպես նաև համապատասխան գիտական ուղղությունների ուսանողներին և ասպիրանտներին։ Ընդհանուր առմամբ, ուսումնասիրությունը կենտրոնանում է գրաֆների կողերի միջակայքային ներկումների կառուցվածքի, գոյության պայմանների, բնութագրերի և կառուցման մեթոդների վրա՝ նպատակ ունենալով ընդլայնել գրաֆների ներկման տեսության արդյունքները և բացահայտել այդպիսի ներկումների հնարավոր տեսական ու գործնական կիրառությունները։