Զաքարյան, Մանվել Աշոտի

Մաթեմատիկա

Աշխատությունը նվիրված է հարմոնիկ ֆունկցիաների կշռված տարածությունների ուսումնասիրությանը՝ կենտրոնանալով ինտեգրալային ներկայացումների և այդ տարածությունների երկակիության հատկությունների վրա։ Հետազոտությունը պատկանում է մաթեմատիկական անալիզի այն ուղղություններին, որտեղ ուսումնասիրվում են ֆունկցիաների դասերը, դրանց ինտեգրալային ներկայացման հնարավորությունները, նորմավորված տարածքների կառուցվածքը և համապատասխան երկակի տարածքների բնութագրումը։ Հարմոնիկ ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են Լապլասի հավասարմանը, կարևոր դեր ունեն ինչպես տեսական մաթեմատիկայում, այնպես էլ ֆիզիկայի մի շարք խնդիրներում, իսկ կշռված տարածությունների կիրառումը հնարավորություն է տալիս հաշվի առնել ֆունկցիայի վարքագծի տարբեր ինտենսիվությունը տարածության տարբեր հատվածներում։ Աշխատանքում ինտեգրալային ներկայացումները դիտարկվում են որպես հարմոնիկ ֆունկցիաների կառուցվածքն ու հատկությունները բացահայտող կարևոր գործիք։ Դրանց միջոցով հնարավոր է ֆունկցիաները ներկայացնել համապատասխան միջուկների, չափումների կամ սահմանային տվյալների ինտեգրալների միջոցով, ինչը թույլ է տալիս ուսումնասիրել դրանց աճը, սահմանային վարքը և պատկանելիությունը տարբեր ֆունկցիոնալ տարածություններին։ Առանձին կարևորություն ունի կշռված տարածությունների երկակիության խնդիրը, որի ուսումնասիրությունը կապված է այն հարցի հետ, թե տվյալ ֆունկցիոնալ տարածության վրա գործող շարունակական գծային ֆունկցիոնալների ամբողջությունը ինչ կառուցվածք ունի և ինչպես կարող է այն նույնականացվել մեկ այլ համապատասխան կշռված տարածության հետ։ Այսպիսի արդյունքները կարևոր են ֆունկցիոնալ անալիզի, հարմոնիկ անալիզի և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության համար, քանի որ երկակիության հատկությունները հնարավորություն են տալիս ավելի խորությամբ հասկանալ ֆունկցիոնալ տարածությունների կառուցվածքը և դրանցում սահմանված օպերատորների վարքագիծը։ Հետազոտության շրջանակում կարող են օգտագործվել չափի և ինտեգրման տեսության, Բանախի և Հիլբերտի տարածությունների, ինտեգրալային օպերատորների, կշռված նորմերի և հարմոնիկ ֆունկցիաների տեսության մեթոդներ։ Աշխատության արժեքը պայմանավորված է նրանով, որ ինտեգրալային ներկայացումների և երկակիության ուսումնասիրությունը ոչ միայն տալիս է առանձին մաթեմատիկական արդյունքներ, այլև կապ է ստեղծում ֆունկցիոնալ տարածությունների տարբեր տեսական մոտեցումների միջև։ Ստացված տեսական դրույթները կարող են կիրառելի լինել հարմոնիկ անալիզի հարակից խնդիրներում, մասնավորապես՝ ինտեգրալային օպերատորների ուսումնասիրության, սահմանային խնդիրների և կշռված ֆունկցիոնալ տարածությունների հատկությունների հետազոտության ժամանակ։ Ընդհանուր առմամբ, աշխատանքը մասնագիտացված մաթեմատիկական հետազոտություն է, որը խորացնում է հարմոնիկ ֆունկցիաների կշռված տարածությունների մասին պատկերացումները՝ միաժամանակ ուսումնասիրելով դրանց ինտեգրալային ներկայացման մեխանիզմներն ու երկակի կառուցվածքի հիմնական առանձնահատկությունները։