ELIB – Էլեկտրոնային Գրադարան | Գրքեր, նյութեր, հոդվածներ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԵՎ ԹՎԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՅՈՒՐԻ

ՄՈՎՍԻՍՅԱՆ

ՅՈՒՐԻ ՄՈՎՍԻՍՅԱՆ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԵՎ ԹՎԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Yerevan State University

Yu. M. Movsisyan

HIGHER ALGEBRA

NUMBER THEORY

Yerevan Yerevan State University Press

Åðåâàíñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò

Þ. Ì. Ìîâñèñÿí

ÂÛÑØÀß ÀËÃÅÁÐÀ

ÒÅÎÐÈß ×ÈÑÅË

Åðåâàí Èçäàòåëüñòâî Åðåâàíñêîãî ãîñóíèâåðñèòåòà

ºðºì²ÜÆ äºî²Î²Ü Ð²Ø²Èê²ð²Ü

Úáõ. Ø. ØáíëÇëÛ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ ºññáñ¹ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛáõÝ

ÂáõÛÉ³ïñí³Í ¿ ÐÐ ÎñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ý³Ë³ñ³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó áñå»ë ¹³ë³·Çñù Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÝ»ñÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ

ºðºì²Ü ºäÐ Ðð²î²ð²ÎâàôÂÚàôÜ

Ðî¸ 512:511(075.8) ¶Ø¸ 22.14+22.13 ó73 Ø 917

ÜíÇñáõÙ »Ù ÍÝáÕÝ»ñÇë ÑÇß³ï³ÏÇÝ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõ. Ø. Ø 917 ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ: ´áõÑ³Ï³Ý ¹³ë³·Çñù/ Úáõ. Ø. ØáíëÇëÛ³Ý.- ºññáñ¹ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛáõÝ.ºñ.: ºäÐ Ññ³ï., 2015, 944 ¿ç: §´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ¦ ¹³ë³·ÇñùÁ Ñ»ÕÇÝ³ÏÇ §´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí¦, 1983 Ã. áõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éÝ³ñÏÇ í»ñ³Ùß³Ïí³Í ¨ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í ï³ñμ»ñ³ÏÝ ¿: ²ÛÝ Ï³½Ùí³Í ¿ »ñ»ù Ù³ëÇó, áñáÝù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏáãíáõÙ »Ýª Ø³ë ². §Âí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ¦, Ø³ë ´. §¸³ë³Ï³Ý ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí¦, Ø³ë ¶. §Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ï³éáõóí³ÍùÝ»ñ¦: ¸³ë³·ÇñùÁ ëÏëíáõÙ ¿ §Ü³ËÝ³Ï³Ý (ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ) Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ¦ μ³ÅÝÇó: ¸³ë³·ñùáõÙ μ³óÇ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ¹³ë³Ï³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇó, Ñ³ñó»ñÇó ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇó ¹Çï³ñÏíáõÙ »Ý Ý³¨ Ãí»ñÇ ³ùëÇáÙ³ÛÇÝ ï»ëáõÃÛ³Ý, ÇÝãå»ë Ý³¨ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ í»ñ³μ»ñáÕ Ñ³ñó»ñ: Ð³ïáõÏ áõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ ¹³ñÓíáõÙ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μÝáõÛÃÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇÝ ¨ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ»ñÇÝ, áñáÝù μÝ³Ï³Ý Ñ»Ýù »Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ Ý³¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇ Ñ»ï³·³ ½³ñ·³óáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ í»ñ³μ»ñáõÙ »Ý ËÙμ»ñÇÝ, ûÕ³ÏÝ»ñÇÝ, ¹³ßï»ñÇÝ, Ï³í³ñÝ»ñÇÝ, μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇÝ: Ü³Ë³ï»ëíáõÙ ¿ Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÝ»ñÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ ¨ Ù»Ë³ÝÇÏ³ÛÇ, ÏÇñ³é³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ ¨ ÇÝýáñÙ³ïÇÏ³ÛÇ, ïÝï»ë³·ÇïáõÃÛ³Ý, ýÇ½ÇÏ³ÛÇ ¨ é³¹ÇáýÇ½ÇÏ³ÛÇ ý³ÏáõÉï»ïÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë Ý³¨ Ñ³ñ³ÏÇó Ù³ëÝ³·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ, ³ëåÇñ³ÝïÝ»ñÇ, ¹³ë³ËáëÝ»ñÇ, à´ü-Ç áõÝÏÝ¹ÇñÝ»ñÇ ¨ ·Çï³ßË³ïáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Ðî¸ 512:511(075.8) ¶Ø¸ 22.14+22.13 ó73

ISBN 978-5-8084-1980-3  ºäÐ Ññ³ï., 2015  ØáíëÇëÛ³Ý Úáõ., 2015

i t × Ï Õ × » i} Á i} Ï x»i} ·is h×·Ï×»×Ï ¶ÏÕf×Ïi}x f×s»×yi}Ái}ÏÏx ×xÕÁi}ÏÏx e i} · vrÖÖÙÖÀh jÎ¼j¾j{´Àj{hhÎ ÖÙj{´Àj{h hÎ ~¾Öº ÍÖhÎÖÍÖÑu u ÍÖhÎÖÍÖÑu ÍÖÎÖÎj{´Àj{h hÎ u ÍÖÖÎbj{´Àj{hhÎ uÎÍÖhj{ ÖÎvÖlÖvºÎj{ hÎ u ¿uÖ|jµj{´Àj{hhÎ ÖrhÖº u ºÖuÖÎÖ¿u ºÖÎÖ ujÎuÖ¼ ÖÙj{´Àj{hhÎ vjlj¸jÖºÖh vÖÎÖ¼j{´Àj{hhÎ

jk ÍrvÖº ÖÙj{´Àj{hhÎ

ix¹i i}Ái}ÏÏx Ü×ØÂi}Ái}ÏÏxd fw Í×x×Üxi}Ái}Ï f×Â×xci}Ái}Ï

uxf×Ï°i}Â Öxw×n×w»xi}ÂÏx Ði}Ï»yd×Ïx ×sÏ×»d »×x° Â×sÏ×»d »×t×x×½ »×x°×tixt×¹ Ü×ØÂi}Ái}ÏÏx ÖÏ×xc »wd tx×ÜxÁ×e Ï×swxÓv×xs»dd dx»fiÐ v×xs»dd ixÂÏx¶ ×Ï×·d º×ÏwixÓÑxÁiÕxÓpÏw×ÁÏd ixÂÏx¶ Í×x×Üxi}Ái}ÏÏxd ×xw×ÕxÁ×e f×»×Õ×x½ f×x×Üxi}Ái}Ï ×sÏ×»d »×x°×tixt×¹ Ü×ØÂi}Ái}ÏÏxd dØiÂixÐdØÂ¶ viniei°d× winiei°d×»×Ï w×x×¹i}Ái}Ï jm fsw×» IX]]\ Ï×Ü×ØÂi}Ái}ÏÏx u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx

× s Ö ´txd wsi}Ái}Ï e i} · Öj¾ ´uÎ hÖzjÎÈju ÖbÖhÖh Úuº¸Èr Úuº¸È ºÖhjh Ö¸jÎ´ Ö¾ÈÖvj{hÎ hÖzhÎ ÈÖrÎ jÎ¼j¾j{´Àj{hhÎ hÖzhÎ ÈÖrÎ Ív

Ùj{jÎÈÖºÖh jÎ¼j¾j{´Àj{hhÎ

×c×Ïi}Â ÂÏ×yixÕit Ü×c×Ïi}Â

juÖhÈÖºj{´Àj{h

× Õ×wi}ÂÏx Ï×y×ÁdÏ winiei°d× ix¹i i}Ái}ÏÏx ÂÏ×yÏxd Õ×sxd fw Ùi}°ixÕ×»×Ï °ix¹i i}Ái}Ï ¶ÏÕf×Ïx×yt×¹ Øi}°ixÕ×»×Ïi}Ái}Ï u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · Îºj{ Öj¾ ´uÎ ÖhÖ¼ hÈÍÖhj{Î

ÖbÖhÖÎÖÎ

Úuº¸Èr Ö¸jÎ´ jhÖk ÍÖjÎÈÖºÖhj{´Àj{h

u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx

e i} · |jµÖÈÖÎ¿ÖÖÎ lÖÎÙ Öj¾ ´uÎ khÖºÖh ´jÎ Ö¾ÈÖvj{hÎ hÖzjÎÈhÎ uÎÖÎÀÖ¸

|i·×Õ×x½×Ü×x n×xØ ×ÂÜi o txd f×w»i}Ái}ÏÏx¶ × Õ×wi}ÂÏxit f×t×s×xi}ÂÏx f×Â×»×x°x u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · Îºj{ Öj¾ ´uÎ ÖhÖ|jÎ hÈÍÖhj{Î ÖÙÖlÖvº u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · Öh Öj¾ ´uÎ ÖhÖ¼ hÈÍÖhj{Î ÖbÖhÖÎÖÎ u ÖhÖ|jÎ hÈÍÖhj{Î ÖÙÖlÖvº

u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · lÖÎÙ ´uÎ u¸rjh ´jÎ ´uÖÖhj{´ÀÖh ÍhÖºÖh ´jÎ Àjj{r j{hºzÖh

ÍÖhÎÖÍÖÑu

ÍhÖºÖh ´jÎ lÖÎÙ Íhju Ö¾ÈÖvj{hÎ uÎÖÎÀÖ¸

´td n×xØi}Á×Ï udesiÏd f×Áw×Ïd¶

Ï×»×Ï td txei}¹i}Ái}Ï¶ n×xØ ×xw×ÕxdmÏxd

ÁiÜdi}sd Ði}Ï»yd×Ï Í×Ïx×f×t×»×Ï Ü× Õ×wi}ÂÏx u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx ex×yi}ydm ×xÕÁi}ÏÏx

ÖÎ¿ÎÖj{Àh ÍÖhÎÖÍÖÑu u ´uÎ vrj{´Àj{h

e i} · lÖÎÙ ´uÎ ÖÑµj{ Úuº¸Èr ÚÀ¸Î Î´ÎÖh ljÀÖÀ ÈÎµ¸ j¸ÈÖµ ´jÎhÎ

u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx ex×yi}ydm ×xÕÁi}ÏÏx e i} · ÎÖºÖh ´u Öj¾ Ör ¸bÖhÈÎ ´jÎ u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · ÚÀ¸Î j{hºzÖh ÚÀ¸Î ÎÖÀ ¸j{ºÖr Öj{r Àjj{r ´jÎhÎ lruÈjlÖÎÙ ´uÎ

´uÖºÎl ÖÙj{´Àj{hhÎ u ÖÎvÖÈÎÀÖ¸ÖÀh j{hºzÖhÎ ºÖvÖÎÀÖ¸ u ÖÈº ´uÎ

ÚÁexd Ði}Ï»yd×Ád s×fÂ×Ïi}Â¶ ÚÁexd xÂ×Ád ixÂÏx¶

lsÕin×xØ editdÏ nsÕin×xØ ×xÂ×Áed tx

ÖÂÜi o td »×x° ¶sw wxt×¹ fÏd ¸i}»×sd ixÂ¶

ÚÁexd Ði}Ï»yd×Ád f×w»i}Ái}ÏÏx¶

´t×»xn Ü×ØÂi}Ái}ÏÏx ×xw×ÕxÁ×e×ÁdÏ Ði}Ï»yd×Ïx

+ Ði}Ï»yd×Ïx¶ º×w×xÁ×e tx

i}Ï»yd×Ïxd Èdxd·ed ×xw×ÕxÁ×e ÁiÜdi}sd ixÂ¶ xoÂ×Ï tx×ÜxÁ×e

ÖÂÜi o ×Õd» tx

×Õd» tx u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx ex×yi}ydm ×xÕÁi}ÏÏx e i} · ÎºÎjÎÈ ÖrvgÖh Ö¾ÈÖvj{hÎ ÖqÖºj{rÖÀh hÖz u jkhÖz ¸bÖhÈÎ lÖÀÖhÖhÑÖh ×p×»i}s×ÁdÏ ÂÏ×y imÂÏ×y ¸c×ÏÕxd n×ÁÂ×Ï×Ï×Ï¶ u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · ´uÎ vrj{´ÀÖh ºÎÖqj{´Àj{h Ö¾vhÖÎj{ ´ÀÖh ºÎlvjÎÖÖÀj{ u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · Ö¾Ö|ÖÎ ´uÎ vrÖÖÙÖÀh u ÖrjÖÀh ºÖqj{zj{hÎ uÎÖÎÀÖ¸

juÖhÈÖºj{´Àj{h

vs×Ü×ØÂ×ÁdÏ Âiwyi}Â ÖsdiÂ×ÁdÏ Âiwyi}Â u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx × s È×s×»×Ï °¹×ÁdÏ f×Ïx×f×dt e i} · v¾ÖÈÎj{´Àj{hhÎ u v¾Ö|jµj{´Àj{hhÎ

Ùi}Á° »Ïw w ×Õxi}Ái}ÏÏx

v ×©i·i}Ái}ÏÏx Õx×Ïy ×xw×ÕxÁ×e¶ Ñxoi}Ï yd»e×ÁdÏ w ×Õxi}Ái}ÏÏx

u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · ÖvÎzhÎ u jÎjÑkhÎ ×wxdyd °× ×©×x¶ ix¹i i}Ái}ÏÏx Â×wxdyÏxd fw Í×»×Õ×x½ed Â×wxdyÏx Öody »×Â ½×·dy f×»×Õ×x½ed i}

×Ï»Ái}Ï Â×wxdyÏx

×wxdyd ixidm¶ jxidmd txei}¹i}Ái}Ï¶ ¶sw Â×wxdyd wi d sÁ×Ï w×xxxd x×»×Ï °ix¹×»dyÏxit °¹×ÁdÏ f×t×s×xi}ÂÏxd f×Â×»×x°x ºx×Âxd ×i}sd ×Ï×»Ïx¶ ~ ×»d Õ×wd f×s»×yi}Ái}ÏÏx¶ È×wd ÜÏi}×°xdm¶

~ ×»Ïxd Õ×wxd dØiÂixÐdØÂ¶ ~ ×»Ïxd Õ×wxd tx× ixit×¹ Â×wxdyÏx ixidmÏx °¹×ÁdÏ f×t×s×xi}ÂÏxd f×Â×»×x°x u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · ºjl¸r ´uÎ r×fÂ×Ïi}Â¶ °ix¹i i}Ái}ÏÏx »iÂnes txd fw ºiÂnes td sitix×»×Ï ws¶ ÂiÕi}e¶ f×Â×ei}¹¶ ÏixÂ¶ ×x°i}ÂÏw¶ p×Ï»Ái}Ï×m×©×»×Ï ws¶ ºiÂnes tdy zxÕ ×swdÔ×Ïd ×xÂ×w f×Ïe¶ »dy zxÕ ×swdÔ×Ïd ×xÂ×wÏx Ï×·Ï×»×Ï ×xÂ×wÏx

ÖÎ¿ÎÖj{Àh ÍÖhÎÖÍÖÑu u ´uÎ vrj{´Àj{h

×i}sÁ×Ï ×ÂÜi o °×i}sÁ×Ï tx Ï×yixÕit Ü×c×ÏÂ×Ï ×e°ixdÂ¶ u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · ÖÙÖhÈÖhÎ hx×¹i}Ái}Ï ×ØÂ×ÏÕ×Âd s×fÂ×Ïi}Â¶ ix¹i i}Ái}ÏÏx Ü×ØÂ×ÏÕ×ÂÏxd fw Ï×yixÕit Ü×c×ÏÂ×Ï ×e°ixdÂ¶

×ØÂ×ÏÕ×ÂÏxd ×ÂÏ×Â¹ ¶ÏÕf×Ïi}x Ü×c×Ï×x×x |i·Õ×x½×Ü×x n×xØ Ü×ØÂ×ÏÕ×ÂÏx kÜxti

n×xØ Ü×ØÂ×ÏÕ×ÂÏx

×ØÂ×ÏÕ×Âd Ü×ØÂ×n×wd» ×xÂ×wÏx ×¹×ÏyÁ×e

´Áeixd Ü×Ï×½¶ Øxi ÜÏi}×°xdmit Õ×wd Õni}Â

q×ydiÏ×e »iwix×»Ïx Ði}Ï»yd×Ïx Ï×yÏxd ×» ÂÏ×yÏxd Õ×w ¶sw wxt×¹ Ü×ØÂ×ÏÕ×Âd È×wd n×xØ ¶ÏÕe×ÁÏi}ÂÏx ×ØÂ×ÏÕ×Âd txei}¹i}Á×Ï Õ×w¶ ºxiÏ»xd ×ei}×Ád ixÂÏx¶ u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx e i} · ¼ÖÀh uºvjÎÖºÖh vÖÎÖ¼j{´Àj{hhÎ ¹×ÁdÏ t»wix×»×Ï w×x×¹i}Á×Ï °× ×©×x¶ ¹×ÁdÏ »×·t×¹i}Ái}Ï ×Ï»×·i}Ái}Ï ¹×ÁdÏ »×·t×¹i}Á×Ï fdÂÏ×»×Ï ixÂ¶ Í×Â×»×x°d f×oixÕ×»×Ïi}Á×Ï fÏ p×Ï° ×wxdyd p×Ï° Öxw×ÕxÁ×e Â×wxdyd p×Ï°¶ j} ×Ï»Ái}Ï Â×wxdyd ×ody »×Â ½×·dy f×»×Õ×x½edi}Á×Ï f×Áw×Ïd¶

ºxiÏ»xÓº×needd ixÂ¶ ÍÏ×ÁdÏ Ï×Â×wxdy Â×wxdyd p×Ï° ¹×ÁdÏ t»wix×»×Ï w×x×¹i}Á×Ï fÏ m×©i ×»×Ïi}Ái}Ï Ï×w×x×¹i}Ái}Ï

juÖhÈÖºj{´Àj{h

¹×ÁdÏ f×t×s×xi}ÂÏxd f×Â×w ed f×Â×»×x°d ¶ÏÕf×Ïi}x ei}¹i}Â u»wixd »iixÕdÏ×wÏx »iixÕdÏ×wÏxd ½×©i·i}Ái}Ï¶ fÏd ©i©i·i}Á×Ï Õni}Â Ï×w×x×¹i}Ái}ÏÏxd f×wi}Â °i}Â×x i} d °i}Â×x ¹×ÁdÏ w×x×¹i}Ái}ÏÏxd dØiÂixÐdØÂ¶ Ïi}ÁÏ×½i}Ái}Ï¶ ¹×ÁdÏ ½x Ði}Ï»yd×Ïx Í×Â×ei}¹ w×x×¹i}Ái}Ï ×ÏixÕ »×Â Ð×»wix Ów×x×¹i}Ái}ÏÏx ¹×ÁdÏ ×xw×n×w»xi}ÂÏx ¹×ÁdÏ ×xw×n×w»xÂ×Ï Âdoi}»d n×w»xd »×n¶ ¹×ÁdÏ ×xw×n×w»xi}ÂÏxd °¹×ÁdÏ w×x×¹i}Ái}Ï

¹×ÁdÏ ×xw×n×w»xÂ×Ï Â×wxdy ¹×ÁdÏ ½×©i·i}Á×Ï ixidm fw ¹×ÁdÏ f×Ïx×f×dtÏx ¹×ÁdÏ f×Ïx×f×dtÏxd dØiÂixÐdØÂ¶ edd ixÂ¶ Øi}°ixÕ×»×Ï Âd×tixit °¹×ÁdÏ f×Ïx×f×dtÏxd f×Â×x x»°¹×ÁdÏ ½x x»°¹×ÁdÏ ½d Â×wxdy p×Ï° rdÂwxd» sdÂwxd» x»°¹×ÁdÏ ½x x»°¹×ÁdÏ ½d Âdoi}» Ï×w×x×¹i}Á×Ï xi°iÏ×e ex×yi}Â ×p×»i}s×ÁdÏ ½x Ïxyd×Ád xÏ¶ rdetswxd f×Áw×Ïd¶ ×p×»i}s×ÁdÏ ½d Üxi}Â¶ »×ÏiÏ×»×Ï wsd Út»edÕÁ×Ï Út»edÕsÁ×Ï w×x×¹i}Ái}ÏÏx lÁi}×°ix×sd ixÂ¶ ºidÓi}ÏÁ×»its»i} ×Ïf×t×s×xi}Ái}Ï¶ ~xi°i Ï×e×yÂ×Ï ¶Ï×y¶ Út»edÕÁ×Ï w×x×¹i}Ái}ÏÏxd dØiÂixÐdØÂ¶ ¹×ÁdÏ ½×©i·i}Á×Ï dÏt×xd×Ïw Ï×w×x×¹i}Ái}Ï s©×»×Ï ×xc s©×»×Ï t»wix Ü×y×si Ü×ØÂ×ÏÕ×Â ÜÏi}×°xdm Ü×ØÂ×ÏÕ×Â Í×ÂdewiÏÓedd ixÂ¶ ÖÏ»Ái}Ï×°¹×ÁdÏ Â×wxdyit °¹×ÁdÏ ½×©i·i}Ái}ÏÏx

¹×ÁdÏ w×x×¹i}Á×Ï txei}¹i}Â¶ dÏt×xd×Ïw Ï×w×x× ¹i}Ái}ÏÏxd i} d °i}Â×xd ÖxÂ×w×ÁdÏ Ï×w×x×¹i}Ái}ÏÏx

bixÕ×ÏÁ×Ï Â×wxdyÏx bixÕ×ÏÁ×Ï fÏ

u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx

ÖÎ¿ÎÖj{Àh ÍÖhÎÖÍÖÑu u ´uÎ vrj{´Àj{h

× s Í×Ïx×f×t×»×Ï »×pi}yt×¹Ïx e i} · µÎ ºds×·ÂÜd t×Ød·ÂÜd ·ÂÜd ×ÜeÁ×Ï ·ÂÜd °× ×©×xÏx¶ Ï×»ds×·ÂÜx Ï×·ÂÜx µÂÜxd »ds×·ÂÜxd dØiÂixÐdØÂ¶ edd ixÂ¶ Õx× f×»×Õ×x½i}Â¶ µÂÜd w×xxd ×ÂÜi o ×swdÔ×Ï »×x° d×¹dÏ Ï×·ÂÜx Âd×¹dÏ ·ÂÜx ¸×°x×Ïcd ixÂ¶ txo×tix Âd×¹dÏ ·ÂÜxi}Â ¿×· ×o f×x×»dy Õ×sx Ï×·ÂÜd Ïdm ¸×°x×Ïcd xÂ×Ád ixÂÏx¶ txo×tix ·ÂÜxi}Â Ït×xd×Ïw Ï×·ÂÜx ×ÏixÕ·ÂÜx ºii} ixÂ¶ txo×tix ×ÜeÁ×Ï ·ÂÜxi}Â µÂÜ×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØÂÏx ·ÂÜ×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØÂd Âdoi}» n×w»x edd ¶ÏÕf×Ïx×yt×¹ ixÂ¶ ÍiÂiÂixÐdØÂÏxd dØiÂixÐdØÂÏxd ixÂÏx¶ ·ÂÜxi}Â µÂÜxd ×twiÂixÐdØÂÏx ÏxdÏ ×twiÂixÐdØÂÏx µÂÜxd i} d »ds×i} d ×xw×ÕxÁ×eÏx µÂÜd ×ØÕyi}Ái}Ï¶ Ü×ØÂi}Á×Ï tx× j} ¹dx »×Ái}Ï×y Ïi Ï×·i}ÂÜ Õ×sxd f×t×s×xi}Â pÏs×ÁÕd eÂÂ¶ ºii} ixÂ¶ »×Â×Á×»×Ï txo×tix ·ÂÜd f×Â×x

uxo×tix ·ÂÜd »ÏwxiÏ¶ rdeitd ixÂÏx¶ 3/0 6\ORZ µÂÜxd ¹ÏdmÏxd Ü×ØÂi}Ái}Ï µÂÜd ×¹×ÏyÁ×e Èds»xw ei°×xdÂÏx ºds×·ÂÜ×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØÂÏx »ds×·ÂÜ×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØ Âd Âdoi}» »iÏ°xi}Ïyd× ×ÏixÕ»ds×·i}ÂÜ ºds×·ÂÜ×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØÂÏxd ixÂÏx¶ u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx ex×yi}ydm ×xÕÁi}ÏÏx

juÖhÈÖºj{´Àj{h

e i} · ~¾ÖºhÎ u ÈÖÑvÎ ~ ×»d Â×xÂÏd Õ×wd »ds× ×»d t×Ød ×»d °× ×©×xÏx¶ uxo×tix Õ×wx u×Ï Õx u×xÕÏd ixÂ¶ Ï× ×»d dÕ×ed ×ÏixÕ ×»d °× ×©×xÏx¶ e·×tix dÕ×eÏxit ×»Ïx ÖÂÏ×Â¹ ¶ÏÕf×Ïi}x Ü×c×Ï×x×x¶ ×ÂÏ×©ix ¶ÏÕf×Ïi}x Ü×ØÂ×n×wd»¶ t×Ü×Ïi}Á×Ï fdÂÏ×»×Ï ixÂd ¶ÏÕf×Ïx×yi}Â¶ °e·×tix dÕ×eÏxit ×»Ïxi}Â |i·×Õ×x½×Ü×x n×xØ w×xxx

Út»edÕÁ×Ï ×»Ïx ´t×Ü×Ï×»×Ï ×»Ïx xÂ×Ád ÚÁexd Ði}Ï»yd×Ïx¶ t×Ü×Ï×»×Ï ×»Ïxi}Â ~ ×»Ïxd tx× ixit×¹ ×xw×ÕxÁ×e×ÁdÏ Ði}Ï»yd×Ïx ~ ×»×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØÂÏx ~ ×»×ÁdÏ fiÂiÂixÐdØÂd Âdoi}»

ÍiÂiÂixÐdØÂÏxd dØiÂixÐdØÂÏxd ixÂÏx¶ ×»Ïxi}Â edd ixÂ¶ Øi}°ixÕ×»×Ï Âd×tixit ×»Ïxd f×Â×x l×xØ Â×sdÂ×e dÕ×eÏx u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx ex×yi}ydm ×xÕÁi}ÏÏx e i} · ºÖuÖÎhÎ ÖÑµÖºÖh u jÈj{¸ÀÖÎ ÈÈºhÈÀÖh ºÖuÖÎhÎ j{¸ÀÖh u È jÎÖh ÍÖhÎÖÍÖÑuhÎ

º×t×xd °× ×©×x¶

iÕi}eÁ×x ÈÕ»dÏÕÁ×Ï »×t×xÏx ×·×»×Ï »×t×xÏx i}eÁ×Ï f×Ïx×f×td °× ×©×x¶ º×t×xÏxd dØiÂixÐdØÂ¶ i}eÁ×Ï f×Ïx×f×dtÏxd dØiÂixÐdØÂ¶ º×t×xd dÕ×eÏx ÐdewxÏx l×xØ Â×sdÂ×e dÕ×eÏx ×·×»×Ï »×t×xd Üi}eÁ×Ï f×Ïx×f×td Ïx»×Á×yi}Â¶ Ï×Ü×ØÂi}Ái}ÏÏxit i}eÁ×Ï f×Ïx×f×td Ïx»×Á×yi}Â¶ winiei°d×»×Ï w×x×¹i}Á×Ï Ü×y©×» Ü×ØÂi}Ái}ÏÏxit

È ix°×Ïd f×Ïx×f×dtÏx

ÖÎ¿ÎÖj{Àh ÍÖhÎÖÍÖÑu u ´uÎ vrj{´Àj{h

»×t×xÏx Üi}eÁ×Ï f×Ïx×f×dtÏx ºiÏ°xi}Ïyd×Ïx ÍiÂiÂixÐdØÂÏxd ixÂ¶ »×t×xÏxi}Â u×xci}Ái}ÏÏx ·ÏÕdxÏx ex×yi}ydm ×xÕÁi}ÏÏx kei}¹t×¹ ·ÏÕdxÏx Öp×x»×Á×»×Ï y×Ï» ¸x×yi}ydm °x×»×Ïi}Ái}Ï

º ñ Ï áõ

Ë á ë ù

§´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ¦ ¹³ë³·ÇñùÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ñ»ÕÇÝ³ÏÇ §´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí¦, 1983 Ã. áõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éÝ³ñÏÇ í»ñ³Ùß³Ïí³Í ¨ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í ï³ñμ»ñ³ÏÁ: ¸³ë³·ÇñùÁ Ï³½Ùí³Í ¿ »ñ»ù Ù³ëÇó, áñáÝù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏáãíáõÙ »Ý‘ Ø³ë ². §Âí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ¦, Ø³ë ´. §¸³ë³Ï³Ý ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí¦, Ø³ë ¶. §Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ï³éáõóí³ÍùÝ»ñ¦: ²Ûë »ñ»ù Ù³ë»ñÁ ûñ·³Ý³å»ë Ï³åí³Í »Ý: ¸³ë³·ÇñùÁ ëÏëíáõÙ ¿ §Ü³ËÝ³Ï³Ý (ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ) Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ¦ μ³ÅÝÇó, áñÇ áñáß ·³Õ³÷³ñÝ»ñ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ áõÝ»Ý Ý³¨ ÇÝùÝáõñáõÛÝ Ñ»ï³ùñùñáõÃÛáõÝ (ûñÇÝ³Ï, ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ í»ñ³μ»ñÛ³É øÝ³ëï»ñî³ñëÏÇÇ Ã»áñ»ÙÁ Ñ³×³Ë ÏÇñ³éíáõÙ ¿ Ý³¨ ïñ³Ù³μ³Ý³Ï³Ý Íñ³·ñ³íáñÙ³Ý ë»Ù³ÝïÇÏ³ÛÇ Ñ³ñó»ñáõÙ): ²Ûë μ³ÅÝÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Ý¹ñ³¹³éÝ³É Áëï ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý: Ø³ë ²-Ý ÝíÇñí³Í ¿ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³ÝÁ, áñï»Õ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ¹³ë³Ï³Ý Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, Ñ³ñó»ñÇ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ùÝÝ³ñÏíáõÙ »Ý Ý³¨ Ãí»ñÇ ³ùëÇáÙ³ÛÇÝ ï»ëáõÃÛ³Ý, ÇÝãå»ë Ý³¨ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ í»ñ³μ»ñáÕ Ñ³ñó»ñ, áñáÝù ³ñ¹Ç³Ï³Ý »Ý: Ð³ïáõÏ áõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ ¹³ñÓíáõÙ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μÝáõÛÃÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇÝ, ÇÝãå»ë Ý³¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μÝáõÛÃÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ»ñÇÝ, áñáÝù μÝ³Ï³Ý Ñ»Ýù »Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ Ý³¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇ Ñ»ï³·³ ½³ñ·³óáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ í»ñ³μ»ñáõÙ »Ý ËÙμ»ñÇÝ, ûÕ³ÏÝ»ñÇÝ, ¹³ßï»ñÇÝ, Ï³í³ñÝ»ñÇÝ, μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇÝ: ¸³ëÁÝÃ³óÇ Íñ³·ñÇ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ÉÇÝ»Éáõ å³ï×³éáí ³É·áñÇÃÙÝ»ñÇ μ³ñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ í»ñ³μ»ñáÕ Ñ³ñó»ñÁ ÑÇÙÝ³Ï³ÝáõÙ ¹áõñë »Ý ÙÝ³ó»É Ù»ñ ¹Çï³ñÏáõÙÝ»ñÇó: ÜáõÛÝ å³ï×³éáí áñáß ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ μ»ñíáõÙ »Ý ³é³Ýó ³å³óáõóáõÙÝ»ñÇ Ï³Ù í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ ï»ëùáí: Àëï áñáõÙ, í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ ÙÇ ½·³ÉÇ Ù³ëÝ áõÕ»ÏóíáõÙ ¿ Ñ³Ý·³Ù³Ý³ÉÇó óáõóáõÙÝ»ñáí, áñáÝó áõëáõÙÝ³ëÇñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ û·ï³Ï³ñ ÁÝÃ»ñóáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ê³Ï³ÛÝ ¹³ë³·ÇñùÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ý³¨ Ýáñ Ùáï»óáõÙÝ»ñ, Ýáñ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñ (¹ñ³Ýù Ù³ïáõóíáÕ ÝÛáõÃÁ ¹³ñÓÝáõÙ »Ý Ù³ïã»ÉÇ, ÇëÏ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ»ñÇ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇóª ³í»ÉÇ ¹ÛáõñÇÝ ¨ ·ñ³íÇã) ¨ ãÉáõÍí³Í ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ Ó¨³Ï»ñåáõÙÝ»ñ, áñáÝó ÙÇ Ù³ëÁ ¹³ë³Ï³Ý ¿: ÖßïíáõÙ »Ý Ý³¨ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ññ³å³ñ³Ïí³Í ÙÇ ß³ñù ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ ¨ ³å³óáõóáõÙÝ»ñ: ²å³óáõóÙ³Ý í»ñçÁ Ï³Ù Ýñ³ μ³ó³Ï³ÛáõÃÛáõÝÁ ¹³ë³·ñùáõÙ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¤ Ýß³Ýáí:

ºðÎàô Êàêø

Üß»Ýù Ý³¨, áñ ËÙμ»ñÇ ¨ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý (Ï³Ù ËÙμÇ áõ ûÕ³ÏÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ) ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ß³ï ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ ¨ ·³Õ³÷³ñÝ»ñ ¹³éÝáõÙ »Ý ³í»ÉÇ å³ñ½, Ù³ïã»ÉÇ ¨ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ, ÇÝãå»ë Ó¨³Ï»ñåáõÙÝ»ñÇ, ³ÛÝå»ë ¿É ³å³óáõÛóÝ»ñÇ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó: ê³Ï³ÛÝ ³Ûëï»Õ, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí ËÙμÇ ¨ ûÕ³ÏÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ ³Ýëáíáñ ÉÇÝ»ÉÁ ëÏëÝ³Ï áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ù»Ýù Ëáõë³÷»É »Ýù Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ³í³Ý¹³Ï³Ý Ñ³ñó»ñáõÙ ËÙμÇ ¨ ûÕ³ÏÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ÃáÕÝ»Éáí ³ÛÝ ¹³ë³·ñùÇ í»ñçáõÙ (Ø³ë ¶), áñï»Õ ËÙμ»ñÇ ¨ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ »Ý Ý³¨ ï»ë³-Ãí³ÛÇÝ μÝáõÛÃÇ ÙÇ ß³ñù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ, áñáÝù áõÝ»Ý Ý³¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ýß³Ý³ÏáõÃÛáõÝ ¨ Ñ»ï³ùñùñáõÃÛáõÝ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ËÙμ»ñÇ ¨ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹Çñù»ñÇó Ñ³ëÏ³Ý³ÉÇ »Ý ¹³éÝáõÙ ÙÇ ß³ñù ¹³ë³Ï³Ý ï»ë³Ãí³ÛÇÝ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇ Çñ³Ï³Ý å³ï×³éÝ»ñÁ: úñÇÝ³Ï, å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ (¾íÏÉÇ¹»ë), áñáíÑ»ï¨ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿: ØÇÝã¹»é, Ãí³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ï»ë³-ùí³½ÇËÙμ³ÛÇÝ Ñ»ï³½áïáõÃÛáõÝÝ»ñ ÙÇÝã ³ÛÅÙ ã»Ý Ï³ï³ñí³Í: ì»ñçÇÝ ï³ëÝ³ÙÛ³ÏÝ»ñáõÙ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ ³×áÕ ·Çï³Ï³Ý Ñ»ï³ùñùñáõÃÛáõÝÁ å³ÛÙ³Ý³íáñí³Í ¿ Ý³¨ ¹ñ³Ýó ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñáíª ÏáÙåÛáõï»ñ³ÛÇÝ (Ñ³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ) ·ÇïáõÃÛ³Ý Ù»ç (ï»ëª D.E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, Seminumeric Algorithms, 3rd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass., 1998): ¸³ë³·ÇñùÁ Ý³¨ ÑáÕ ¿ Ý³Ë³å³ïñ³ëïáõÙ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ»ï³·³ Ïáõñë³ÛÇÝ, ³í³ñï³Ï³Ý ¨ Ñ»ï³½áï³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Ð»ÕÇÝ³Ï

¸³ë³·ñùÇ »ññáñ¹ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛ³Ý ³éÃÇí ×ßïí»É »Ý Ý³Ëáñ¹ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛ³Ý Ù»ç ï»Õ ·ï³Í íñÇå³ÏÝ»ñÁ:

Ð»ÕÇÝ³Ï

Ü³ËÝ³Ï³Ý

(ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ) Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ

¶ É áõ Ë 0 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ¶àðÌàÔàôÂÚàôÜÜºð: ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºðÆ úÔ²Î, Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ¾ -Ð²Üð²Ð²ÞÆì: Ð²ð²´ºðàôÂÚàôÜÜºð ºì Ð²Ø²ðÄºøàôÂÚàôÜÜºð: ìºðÐ²Ü¶àôØ: ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð ºì Òºì²öàÊàôÂÚàôÜÜºð: Ø²êÜ²ÎÆ ºì Î²ì²ð²Òºì Î²ð¶²ìàðì²Ì ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð: îàäàÈà¶Æ²Î²Ü î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð: àâ Ðêî²Î ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð 0.1. ¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: Ð³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¨ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ 0.1.1. ´³½ÙáõÃÛáõÝ, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ´³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÁÝ¹³ÏÝ»ñÇ (ûμÛ»ÏïÝ»ñÇ) Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³Ù³ËÙμáõÃÛáõÝ (Ñ³Ù³ËáõÙμ), ¹³ë: ²ÛÝ ÁÝ¹³ÏÝ»ñÁ (ï³é»ñÁ, Ýß³ÝÝ»ñÁ, ³é³ñÏ³Ý»ñÁ Ï³Ù ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ), áñáÝóÇó Ï³½Ùí³Í ¿ ïñí³Í (ïí³Í) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÏáãíáõÙ »Ý ¹ñ³ ï³ññ»ñ: ²ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ a-Ý A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ¿, Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ a 2 A Ï³Ù A 3 a ï»ëùáí, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ª a 62 A Ï³Ù ¹ A: ºÃ» a1 2 A; : : : ; an 2 A, ³å³ Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ª a1 ; : : : ; an 2 A: a2 ì»ñç³íáñ Ãíáí a1 ; : : : ; an ï³ññ»ñÇó Ï³½Ùí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª fa1 ; : : : ; an g: ÀÝ¹ áñáõÙ, Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ fag μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ÇÝùÁ a ï³ññÁ ÁÝ¹áõÝíáõÙ »Ý áñå»ë ï³ñμ»ñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÁÝ¹³ÏÝ»ñ (ûμÛ»ÏïÝ»ñ): ºÃ» P (x)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù ³ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ x-Á ûÅïí³Í ¿ P Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ³å³ fx j P (x)g Ó¨áí ÏÝß³Ý³ÏíÇ μáÉáñ ³ÛÝ x ÁÝ¹³ÏÝ»ñÇ (ûμÛ»ÏïÝ»ñÇ) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý P Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ÇëÏ fx 2 A j P (x)g Ó¨áí ÏÝß³Ý³ÏíÇ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý P Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ: ´³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ¨ë Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸Çï³ñÏíáõÙ ¿ Ý³¨ ³ÛÝåÇëÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ ãÇ ûÅïí³Í ¨ áã ÙÇ ï³ññáí: ²Û¹åÇëÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» ³ÛÝ Ï³½Ùí³Í ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇó Ï³Ù ¹³ï³ñÏ ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

ì»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ÏáÙμÇÝ³ïáñÇÏ³: A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ B μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ ·ñíáõÙ ¿ A μ B Ï³Ù B ¶ A, »Ã» ¹ñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ Ý³¨ B μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Çñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª A μ A ¨ ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» A μ B ¨ B μ C, ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ A μ C: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ ûÅïí³Í ¿ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý ¨ ÷áË³Ýó³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ºÃ» A μ B, ³å³ B-Ý ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç íñ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³Ù ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ: ºñÏáõ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñáõÙ »Ý A = B, »Ã» A μ B ¨ B μ A: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ A; B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã Ñ³í³ë³ñ (ï³ñμ»ñ) ¨ ·ñíáõÙ ¿ª A 6= B: ºñÏáõ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ »ñμ»ÙÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ¹ñ³Ýó ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: ¸³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ³ÛÝ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ; Ýß³Ýáí: ê³Ï³ÛÝ f;g μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñ¹»Ý ¹³ï³ñÏ ã¿: ØÇ¨ÝáõÛÝ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 2A -áí Ï³Ù pow(A)-áí: ì»ñç³íáñ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ· ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ jAj-áí: ºÃ» jAj = n, ³å³ í»ñç³íáñ A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ n-ï³ññ³ÝÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ½ñá: A μ³½ÙáõÃÛ³Ý x; y ï³ññ»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·Á ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É (x; y)-áí, áñáÝó Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (x; y) = (x0 ; y 0 ) () x = x0 ¨ y = y0 ; áñï»Õ §()¦ Ï³Ù §Ã!¦ Ýß³ÝÝ áõÝÇ §³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ¦ ÇÙ³ëïÁ: Ð³×³Ë û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ïñ³Ù³μ³Ý³Ï³Ý Ýß³ÝÝ»ñÁª =) Ï³Ù ¡! (§μËáõÙ ¿¦, §Ñ»ï¨áõÙ ¿¦), 8 (§ó³ÝÏ³ó³Í¦, §Ï³Ù³Û³Ï³Ý¦), 9 (§·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ¦, §áñ¨¿¦), 9! (§·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï¦), _ (§Ï³Ù¦), ^ (§¨¦): êáíáñ³μ³ñ, μáÉáñ μÝ³Ï³Ý1 Ãí»ñÇ, μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ, μáÉáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ¨ μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ 1 ¼ñáÝ

»ñμ»ÙÝ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ÃÇí, »ñμ»ÙÝª áã:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý N-áí, Z-áí, Q-áí ¨ R-áí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Z = f: : : ; ¡3; ¡2; ¡1; 0; 1; 2; 3; : : :g = f0; §1; §2; §3; : : :g ¨ ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí, áñáÝù Ñ³Ù³ñíáõÙ »Ý Ñ³ÛïÝÇ. 1) ºÃ» a; b 2 Z, ³å³ a + b 2 Z ¨ a ¢ b 2 Z (÷³ÏáõÃÛáõÝÁ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý (³ñï³¹ñÛ³ÉÇ) ÝÏ³ïÙ³Ùμ); 2) ºÃ» a; b 2 Z, ³å³ a + b = b + a ¨ a ¢ b = b ¢ a (·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ Ï³Ù ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ); 3) ºÃ» a; b; c 2 Z, ³å³ a + (b + c) = (a + b) + c ¨ a ¢ (b ¢ c) = (a ¢ b) ¢ c (·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ Ï³Ù ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ); 4) ºÃ» a; b; c 2 Z, ³å³ a(b + c) = ab + ac (μ³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ Ï³Ù ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ); 5) ºÃ» a 2 Z, ³å³ a + 0 = 0 + a = a ¨ a ¢ 1 = 1 ¢ a = a (ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ); 6) ºÃ» a 2 Z, ³å³ a+(¡a) = (¡a)+a = 0 (Ñ³Ï³¹ÇñÇ (Ñ³Ï³¹³ñÓÇ) ·áÛáõÃÛáõÝÁ ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ); 7) ºÃ» a 2 Z, ³å³ a ¢ 0 = 0 ¢ a = 0 (½ñáÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ); 8) ºÃ» a; b; c 2 Z, a 6= 0 ¨ ab = ac, ³å³ b = c (³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ïñ×³ïÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ); 9) ºÃ» a; b 2 Z ¨ a ¢ b = 0, ³å³ a = 0 Ï³Ù b = 0 (½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ): ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ßí»ÉÇ, »Ã» ¹ñ³ ï³ññ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»É μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

0.1.2. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ: ¸åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ »Ý μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ë³ÑÙ³ÝíáÕ ÙÇ ß³ñù ÑÇÙÝ³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: ÊáëùÁ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý, Ñ³ïÙ³Ý, Ñ³ÝÙ³Ý (ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý), ëÇÙ»ïñÇÏ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý (·áõÙ³ñÇ) ¨ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ù³ëÇÝ ¿: A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇó, áñáÝù å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý Ï³Ù A μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, Ï³Ù B μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ (ãÇ μ³ó³éíáõÙ Ý³¨ ï³ññÇ å³ïÏ³Ý»ÉÁ »ñÏáõ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ), ³ÛëÇÝùÝª A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇÝ: A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A [ B Ó¨áíª A [ B = fx j x 2 A Ï³Ù x 2 Bg : ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ »Ý Ýñ³ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ)ª A [ ; = A;

(ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù)

A [ A = A;

(ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ûñ»Ýù)

A [ B = B [ A;

(ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù)

A [ (B [ C) = (A [ B) [ C

(½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý A, B, C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ì»ñç³íáñ Ãíáí A1 ; : : : ; An μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇó, áñáÝù å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý A1 ; : : : ; An μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇÝ: Üß³Ý³ÏáõÙÁª n [ C = A1 [ ¢ ¢ ¢ [ An = Ai ; i=1

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãíáí Ai , i 2 I S μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ (Ýß³Ý³ÏáõÙÁª Ai )ª i2I

[

i2I

Ai = fx j 9i0 2 I; x 2 Ai0 g :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» I = N = f1; 2; : : :g, ³å³ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÁª S Ai : i=1

´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïÁ. A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÝ ³ÛÝ §³Ù»Ý³÷áùñ¦ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÝ ûÅïí³Í ¿ A ¨ B »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ²í»ÉÇ ×Çßï, C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) A μ C, B μ C; μ) »Ã» D μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ A μ D ¨ B μ D, ³å³ C μ D; Ð³çáñ¹ Ñ³ïáõÙÝ ¿:

ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ

μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

0.1.3. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ: A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇó, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý ¨0 A μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, ¨0 B μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ C = A \ B Ó¨áíª A \ B = fx j x 2 A ¨ x 2 Bg : ºÃ» A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ãáõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï³ññ»ñ, ³å³ A \ B = ;: ºñÏáõ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³ïíáÕ, »Ã» A \ B 6= ;: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ãÑ³ïíáÕ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ »Ý Ýñ³ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª A \ ; = ;; A \ A = A;

(½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÇ ûñ»Ýù)

(ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ûñ»Ýù)

A \ B = B \ A;

(ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù)

A \ (B \ C) = (A \ B) \ C

(½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý A, B, C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ì»ñç³íáñ Ãíáí A1 ; : : : ; An μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇó, áñáÝù

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý μáÉáñ A1 ; : : : ; An μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Üß³Ý³ÏáõÙÁª n \ Ai ; C = A1 \ ¢ ¢ ¢ \ An = i=1

ºÃ» A1 ; : : : ; An μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ãáõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï³ññ»ñ, ³å³ A1 \ ¢ ¢ ¢ \ An = ;: ºÃ» A1 \ ¢ ¢ ¢ \ An 6= ;, ³å³ ïñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³ïíáÕ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ¹ñ³Ýù ÏáãíáõÙ »Ý ãÑ³ïíáÕ: Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãíáí Ai , T i 2 I μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ (Ýß³Ý³ÏáõÙÁª Ai )ª i2I

i2I

Ai = fx j 8i 2 I; x 2 Ai g :

ºÃ» I = N = f1; 2; : : :g, ³å³ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÁª T Ai ;

i=1

´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÝ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïÁ. A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÝ ³ÛÝ §³Ù»Ý³Ù»Í¦ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²í»ÉÇ ×Çßï C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³’) C μ A, C μ B; μ’) »Ã» D μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ D μ A ¨ D μ B, ³å³ D μ C; ²ÛëåÇëáí, μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ¨ Ñ³ïáõÙÁ ¹³éÝáõÙ »Ý »ñÏ³ÏÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñ, ³ÛÝ ÇÙ³ëïáí, áñ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ëï³óíáõÙ ¿ ÙÛáõëÇóª »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý §μ¦ Ýß³ÝÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí ÁÝ¹·ñÏÙ³Ý §¶¦ Ýß³Ýáí: ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ¨ Ñ³ïáõÙÁ Ï³åí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É ûñ»ÝùÝ»ñáí (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí)ª ¾ A \ (A [ B) = A; (ÏÉ³ÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) A [ (A \ B) = A; A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C); A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

(μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ï³Ù³Û³Ï³Ý A, B, C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ÎÉ³ÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÇ Çñ³í³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ: Î³ë»Ýù, áñ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ L = fAi μ Aj i 2 Ig ¹³ëÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ A-Ç ïñáÑáõÙ, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ S áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ Ai 2 L, áñ x 2 Ai ¨ Ai \ Aj = ;, »Ã» i 6= j, i; j 2 I: Ai , ³ÛëÇÝùÝª A = i2I

0.1.4. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ: A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇó, áñáÝù ã»Ý å³ïÏ³ÝáõÙ B μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ C = A n B Ó¨áíª A n B = fx 2 A j x 62 Bg : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ A n B = A n (A \ B); A n A = ;; A n ; = A; ; n A = ;;

ºÃ» A μ B, ³å³ B n A ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹ Éñ³óáõÙ B μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ (Ù»ç) ¨ Ñ³×³Ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A-áí Ï³Ù A -áí, »Ã» B-Ý Ñ³ÛïÝÇ ¿ Ï³Ù ë¨»é³Í: ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ, Ñ³ïáõÙÁ ¨ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ë Ï³åí³Í »Ý ÙÇ ß³ñù ûñ»ÝùÝ»ñáí (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí)ª ¾ A \ (B n C) = (A \ B) n C; (½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) A n (B [ C) = (A n B) n C; A n (B [ C) = (A n B) \ (A n C); A n (B \ C) = (A n B) [ (A n C); (A [ B) n C = (A n C) [ (B n C); A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C); A n (B n C) = (A n B) [ (A \ C); (A n B) n C = (A n C) n (B n C)

> > > > > > = > > > > > > ;

(μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ)

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

(ëïáõ·áõÙÝ»ñÁ ÃáÕÝíáõÙ »Ý áñå»ë í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, B\C =B[C; = (¸» Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñ) B[C =B\C : ;

²ÝóÝ»Ýù »ñÏáõ ·³Õ³÷³ñÇÝ:

μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

ëÇÙ»ïñÇÏ

ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý

0.1.5. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ: A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ AªB Ó¨áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª A ª B = (A [ B) n (A \ B) = (A n B) [ (B n A); ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ »ñμ»ÙÝ ³Ýí³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ëÇÙ»ïñÇÏ ·áõÙ³ñª û·ï³·áñÍ»Éáí A © B Ýß³Ý³ÏáõÙÁ: Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ýª A ª ; = A;

(ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù)

A ª B = B ª A;

(ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù)

A ª (B ª C) = (A ª B) ª C; A ª A = ;;

(½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù)

(ÝÇÉåáï»ÝïáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù)

A \ (B ª C) = (A \ B) ª (A \ C);

(μ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýù)

ê³Ï³ÛÝ A [ (B ª C) 6= (A [ B) ª (A [ C); úñÇÝ³Ï, A [ (A ª A) = A, ÇëÏ (A [ A) ª (A [ A) = ;; ò³ÝÏ³ó³Í A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ X μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ A ª X = B: Æñáù, X = A ª B μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁª A ª X = A ª (A ª B) = (A ª A) ª B = ; ª B = B; ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» A ª X = B, ³å³ A ª (A ª X) = A ª B; (A ª A) ª X = A ª B;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

; ª X = A ª B; X =AªB : 0.1.6. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûÕ³Ï, ÏÇë³ûÕ³Ï, Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¨ ¾Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: ¸Çóáõù X-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: X-Ç »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ R áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûÕ³Ïª áñáßí³Í X-Ç íñ³, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) A; B 2 R ¡! A [ B 2 R, μ) A; B 2 R ¡! A n B 2 R:

´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ R ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñª ·) ; = A n A 2 R, áñï»Õ A 2 R; ¹) A \ B = A n (A n B) 2 R, áñï»Õ A; B 2 R; ») A ª B = (A n B) [ (B n A) 2 R, áñï»Õ A; B 2 R:

X μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ S áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª áñáßí³Í X-Ç íñ³, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³’) A; B 2 S ¡! A \ B 2 S, μ’) A 2 S ¡! A0 = X n A 2 S: ø³ÝÇ áñ S-Á ¹³ï³ñÏ ã¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A 2 S: Ð»ï¨³μ³ñ, A 2S¨

·’) ; = A \ A0 2 S, X = ;0 2 S;

¹’) A [ B = (A0 \ B 0 )0 2 S, »Ã» A; B 2 S; »’) A n B = A \ B 0 2 S, »Ã» A; B 2 S:

²ÛëåÇëáí, μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ý³¨ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûÕ³Ï ¿: X-Ç íñ³ áñáßí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ S Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª áñáßí³Í X-Ç íñ³, »Ã» S-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÇÝª

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

³”) Ai 2 S, i = 1; 2; : : : ¡!

i=1

Ai 2 S

(³ÛëÇÝùÝª S-Á ÷³Ï ¿ Çñ Ñ³ßí»ÉÇ Ãíáí ï³ññ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ S ¾Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÇÝª \

i=1

Ai =

Ã1 [

i=1

A0i

2 S;

»Ã» Ai 2 S; i = 1; 2; : : :

(³ÛëÇÝùÝª S-Á ÷³Ï ¿ Ý³¨ Çñ Ñ³ßí»ÉÇ Ãíáí ï³ññ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ): ØÇ¨ÝáõÛÝ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ¾Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ª áñáßí³Í XÇ íñ³: X μ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ S0 μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ μáÉáñ ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ S0 -áí ÍÝí³Í ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: X μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ K μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇë³ûÕ³Ïª áñáßí³Í X-Ç íñ³, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁª ³± ) ; 2 K, μ± ) A; B 2 K ¡! A \ B 2 K, ·± ) Î³Ù³Û³Ï³Ý A; B 2 K μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ³ÛÝåÇëÇ C1 ; : : : ; Cn 2 K μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ Ci \ n S Ci : Cj = ;, »Ã» i 6= j, ¨ A n B = i=1

úñÇÝ³Ï,

K = f[a; b) j a; b 2 Rg

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇë³ûÕ³Ïª áñáßí³Í μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» a > b ¹»åùáõÙ ÁÝ¹áõÝ»Ýùª [a; b) = ;: Àëï áñáõÙ, ³Ûë ÏÇë³ûÕ³ÏÁ ûÕ³Ï ã¿, áñáíÑ»ï¨ [0; 1)[[2; 3) 62 K:

0.1.7. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É: Ð³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¨ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù A-Ý ¨ B-Ý »ñÏáõ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, a 2 A, b 2 B: a ¨ b

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ï³ññ»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·Á, ÇÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿, Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ (a; b)-áí, áñáÝó (a; b) = (a0 ; b0 ) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ áñå»ë Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ (a; b) Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·Ç ³é³çÇÝ μ³Õ³¹ñÇã (Ïááñ¹ÇÝ³ï) Ï³Ù ëÏ½μÝ³ï³ññ, ÇëÏ b-Ýª Ýñ³ »ñÏñáñ¹ μ³Õ³¹ñÇã (Ïááñ¹ÇÝ³ï) Ï³Ù í»ñçÝ³ï³ññ: ÆÑ³ñÏ», ³Ûë ÁÝ¹³ÏÁ (·³Õ³÷³ñÁ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ý³¨ μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ ÑÇÙ³Ý íñ³, ÁÝ¹áõÝ»Éáíª (a; b) = ffag; fa; bgg ;

Î³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý (a; b) = (a0 ; b0 ) å³ÛÙ³ÝÝ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ μË»óíáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÇó, »ñÏáõ ¹»åùáíª a0 6= b0 : a0 = b0 , A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý (Ï³Ù áõÕÇÕ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A £ B Ó¨áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë (a; b) ï»ëùÇ μáÉáñ Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñï»Õ a 2 A, b 2 Bª A £ B = f(a; b) j a 2 A; b 2 Bg :

úñÇÝ³Ï, R £ R-Á Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ ¿: ; £ B = A £ ; = ;: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» A 6= B, ³å³ A £ B 6= B £ A; ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý, Ñ³ïÙ³Ý ¨ Ñ³ÝÙ³Ý Ñ»ï Ï³åí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñáí (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí)ª A £ (B [ C) = (A £ B) [ (A £ C); (B [ C) £ A = (B £ A) [ (C £ A);

A £ (B \ C) = (A £ B) \ (A £ C);

(B \ C) £ A = (B £ A) \ (C £ A); A £ (B n C) = (A £ B) n (A £ C);

(B n C) £ A = (B £ A) n (C £ A) :

ó³ÝÏ³ó³Í A, B, C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏÑ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý (μÇëÇÙ»ïñÇ³ÛÇ) Ï³Ù ÙÇçÇÝ³óÙ³Ý (Ù»¹Ç³ÉáõÃÛ³Ý) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝª (A \ B) £ (C \ D) = (A £ C) \ (B £ D) :

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

A1 ¨ A2 áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ A1 £ A2 ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® μ A1 £ A2 »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ áñáßí³Í A1 ¨ A2 μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³: ºÃ» A1 = A2 = A, ³å³ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª A £ A = A2 , ÇëÏ ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç): ºñÏáõ ® μ A £ B ¨ ¯ μ C £ D Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ »Ý ® = ¯, »Ã» A = C, B = D ¨ (x; y) 2 ® Ã! (x; y) 2 ¯ ; áñï»Õ x 2 A, y 2 B. ® μ A £ B Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ýáõÝÏóÇ³)ª A μ³½ÙáõÃÛáõÝÇó B μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ ·ñíáõÙ ¿ ® : A ! B, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ y 2 B ï³ññ, áñ (x; y) 2 ®: ²ÛëÇÝùÝª ® μ A £ B Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. 1 (¶áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 B ï³ññ, áñ (x; y) 2 ®; 2 (ØÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý): ºÃ» (x; y1 ) 2 ® ¨ (x; y2 ) 2 ®, ³å³ y1 = y2 , áñï»Õ x 2 A, y1 ; y2 2 B: ºÃ» ³Ûë ¹»åùáõÙ (x; y) 2 ®, ³å³ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ y ï³ññÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ y = ®(x) ï»ëùáí ¨ y-Á ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç å³ïÏ»ñ, ÇëÏ x-Á‘ y-Ç Ý³Ë³å³ïÏ»ñ: ò³ÝÏ³ó³Í B μ A, B 6= ;, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ® \ (B £ B) = ¯ μ B £ B Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç Ù³Ï³Íí³Í Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝª B μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝª áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) (x; x) 2 ® ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù é»ýÉ»ùëÇíáõÃÛáõÝ)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ) (x; y) 2 ® ! (y; x) 2 ®; (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³Ù ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ) ·) (x; y) 2 ®, (y; z) 2 ® ! (x; z) 2 ®: (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù ïñ³Ý½ÇïÇíáõÃÛáõÝ) úñÇÝ³Ï, ® = f(x; x)j x 2 Ag ¨ ® = A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý áñáßí³Í A-Ç íñ³, áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª ÙÇ³íáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ: êáíáñ³μ³ñ, ®-Ç ÷áË³ñ»Ý ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ §»¦ Ýß³ÝÁ, ÇëÏ (x; y) 2 ® å³ÛÙ³ÝÝ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ·ñíáõÙ ¿ x » y ï»ëùáí ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §xÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ y-ÇÝ¦, ÇëÏ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ëï³ÝáõÙ »Ý ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëù. ³) x » x; μ) x » y ! y » x; ·) x » y, y » z ! x » z: È»ÙÙ 0.1: ØÇ¨ÝáõÛÝ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ¤ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿ : ºÃ» §»¦-Á Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í A 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ÇëÏ a 2 A, ³å³ a ï³ññÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ (ß»ñïÁ) Áëï §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ [a]-áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª [a] = fx 2 A j x » ag μ A : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ [a] = 6 ;, áñáíÑ»ï¨ a » a ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, a 2 [a]: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ b 2 [a] ï³ññ ÏáãíáõÙ ¿ [a] Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇã: È»ÙÙ 0.2: 1) [a] = [b] ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a » b: 2) ºÃ» §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñ Ñ³ïíáõÙ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýù Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý: 3) f[a] j a 2 Ag μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ A-Ç ïñáÑáõÙ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A=» -áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ù³Ýáñ¹-μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³Ù ý³Ïïáñ-μ³½ÙáõÃÛáõÝ Áëï §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý: ²ÛëÇÝùÝª A-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ áñ¨¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëáõÙ: 4) ºí

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» L = fAi μ A j i 2 Ig Ñ³Ù³ËÙμáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ A-Ç ïñáÑáõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A-Ç íñ³ áñáßí³Í ³ÛÝåÇëÇ §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ, áñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ù³Ýáñ¹-μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ L-Ç Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: 1) Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁª

Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý

¹³ë»ñÇ

[a] = [b] Ã! a » b : Æñáù, »Ã» [a] = [b], ³å³ a 2 [a] å³ÛÙ³ÝÇó ÏμËÇª a 2 [b], ³ÛëÇÝùÝª a » b: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» a » b, ³å³ [a] μ [b] ¨ [b] μ [a]: ²å³óáõó»Ýù [a] μ [b] Ý»ñ¹ñáõÙÁ. »Ã» x 2 [a], ³å³ x » a ¨ ù³ÝÇ áñ a » b, ³å³ ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª x » b, ³ÛëÇÝùÝª x 2 [b]: 2) ¸Çóáõù [a] \[b] 6= ; ¨ x 2 [a] \[b]: àõëïÇ x 2 [a] ¨ x 2 [b], ³ÛëÇÝùÝª x » a, x » b: Ð³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a » x, x » b ¨ a » b, Ñ»ï¨³μ³ñ, [a] = [b]: 3)-Á . ¹³éÝáõÙ ¿ ³ÏÝÑ³Ûï: Æñáù, a 2 [a] ¨ »Ã» a 2 X ¨ a 2 Y , áñï»Õ A X; Y 2 », ³å³ a 2 X \Y , áñï»ÕÇóª X \Y 6= ; ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, X = Y : 4) ê³ÑÙ³Ý»Éáí x » y Ã! 9Ai 2 L;

x; y 2 Ai

Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ, áñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÁ ×Çßï Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý Ai μ A, i 2 I »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: ¤ È»ÙÙ 0.3: ò³ÝÏ³ó³Í B μ A, B 6= ;, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ ® μ A £ A Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ® \ (B £ B) = ¯ μ B £ B

Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ áñáßí³Í B -Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª B μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ®-Ç Ù³Ï³Íí³Í Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ë Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ : ¤ 0.1.8. ø³Ý³Ï³Ï³Ý ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñ: ì»ñç³íáñ Ãíáí ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ A1 ; : : : ; An í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý Ï³ñ·Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª jA1 [ ¢ ¢ ¢ [ An j = jA1 j + ¢ ¢ ¢ + jAn j :

(¶áõÙ³ñÙ³Ý ³ùëÇáÙ)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Î³Ù³Û³Ï³Ý A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ A n B ¨ A \ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã»Ý Ñ³ïíáõÙ ¨ A = (A n B) [ (A \ B) : Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ »Ý, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ùëÇáÙÇª jAj = jA n Bj + jA \ Bj; áñï»ÕÇóª jA n Bj = jAj ¡ jA \ Bj;

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» B μ A, ³å³ A \ B = B ¨ ÏáõÝ»Ý³Ýùª jA n Bj = jAj ¡ jBj; ø³ÝÇ áñ A n B ¨ B n A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã»Ý Ñ³ïíáõÙ ¨ A ª B = (A n B) [ (B n A); ³å³ í»ñç³íáñ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙª jA ª Bj = jA n Bj + jB n Aj = = jAj ¡ jA \ Bj + jBj ¡ jB \ Aj = jAj + jBj ¡ 2jA \ Bj :

ò³ÝÏ³ó³Í A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ A ¨ B n A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã»Ý Ñ³ïíáõÙ ¨ A [ B = A [ (B n A); Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ »Ý, ³å³ ÝáñÇó ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ùëÇáÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª jA [ Bj = jAj + jB n Aj = jAj + jBj ¡ jA \ Bj : Î³Ù³Û³Ï³Ý n-ï³ññ³ÝÇ í»ñç³íáñ A = fx1 ; : : : ; xn g μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ B1 ; : : : ; Bn μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, fx1 g £ B1 ; : : : ; fxn g £ Bn μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ã»Ý Ñ³ïíáõÙ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ j(fx1 g £ B1 ) [ ¢ ¢ ¢ [ (fxn g £ Bn )j =

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

= jfx1 g £ B1 j + ¢ ¢ ¢ + jfxn g £ Bn j = jB1 j + ¢ ¢ ¢ + jBn j :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» μáÉáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ m -ï³ññ³ÝÇ »Ý, ³å³ª

í»ñç³íáñ

B1 ; : : : ; Bn

j(fx1 g £ B1 ) [ ¢ ¢ ¢ [ (fxn g £ Bn )j = n ¢ m; áñï»ÕÇó B1 = ¢ ¢ ¢ = Bn = B ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª jA £ Bj = j(fx1 g £ B) [ ¢ ¢ ¢ [ (fxn g £ B)j = n ¢ m = jAj ¢ jBj :

0.2. ì»ñÑ³Ý·áõÙ ºÃ» ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ÷á÷áËÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý Ï³Ù μÝ³Ï³Ý å³ñ³Ù»ïñ: n μÝ³Ï³Ý å³ñ³Ù»ïñÇó Ï³Ëí³Í P (n) åÝ¹Ù³Ý Çñ³í³óÇáõÃÛ³Ý ëïáõ·áõÙÁ n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý (ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ, Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ) »Õ³Ý³Ïáí: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý (ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ) ëÏ½μáõÝùÁ (»Õ³Ý³ÏÁ): n-Çó Ï³Ëí³Í P (n) åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) P (n) åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ n = 1 ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª P (1)-Á ×Çßï ¿ (³Ûë å³ÛÙ³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý Ñ»Ýù); μ) ò³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, P (n) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï ÉÇÝ»Éáõó μËáõÙ ¿ P (n + 1) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ (³Ûë å³ÛÙ³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý Ï³Ù í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù ù³ÛÉ): Æñáù, »ÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m 2 N μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ P (m)-Á ×Çßï ã¿, ëï³ÝáõÙ »Ýùª K = fm 2 N j P (m)-Á ×Çßï ã¿g μ N áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ: ¸Çóáõù n0 + 1 ÃÇíÁ K-Ç ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ P (n0 + 1)-Á ×Çßï ã¿, ÇëÏ P (n0 )-Ý ×Çßï ¿ (n0 > 1, ù³ÝÇ áñ n0 + 1 6= 1, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³) å³ÛÙ³ÝÇ), áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ μ) å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùáõÙ μ) å³ÛÙ³ÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÷áË³ñÇÝ»É Ñ»ï¨Û³É μ’) å³ÛÙ³Ýáí. μ’) ò³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, P (1); P (2); : : : ; P (n) åÝ¹áõÙÝ»ñÇ ×Çßï ÉÇÝ»Éáõó μËáõÙ ¿ P (n + 1) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» P (k)-Ý ×Çßï ¿ μáÉáñ k 6 n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ P (n + 1)-Á ¨ë ×Çßï ¿ : úñÇÝ³Ï, í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù, áñ k-ï³ññ³ÝÇ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ 2A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 2k -Ç: Æñáù, k = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï k = n ¹»åùáõÙ, ³å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ×Çßï ¿ k = n + 1 ¹»åùáõÙ: ºÃ» A = fx1 ; : : : ; xn ; xn+1 g, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, xn+1 -Á ãå³ñáõÝ³ÏáÕ A-Ç μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 2n -Ç: ²Û¹ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³½ÙáõÙ ³í»É³óÝ»Éáí xn+1 -Á, Ïëï³Ý³Ýù A-Ç μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý xn+1 -Á, áñáÝó ù³Ý³ÏÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ 2n -Ç: Ð»ï¨³μ³ñ, A-Ç μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª 2n + 2n = 2 ¢ 2n = 2n+1 :

²Ûëï»Õ ¨ Ñ»ï³·³ÛáõÙ N-Ç Ñ³Ù³ñ Ï³ñ¨áñ ¹»ñ ¿ Ë³ÕáõÙ ³Ûëå»ë Ïáãí³Í §÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÇ ëÏ½μáõÝùÁ¦, Áëï áñÇ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ¹³ï³ñÏ K μ N »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ, ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝåÇëÇ n0 2 K ï³ññ, áñÁ ÷áùñ ¿ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ K-Ç μáÉáñ ï³ññ»ñÇó: ø³ÝÇ áñ §÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÇ ëÏ½μáõÝùÁ¦ ï»ÕÇ áõÝÇ (×Çßï ¿) Ý³¨ ³ÝμáÕç Ãí»ñÇ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ S μ Z »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ï³ñ³ÍíáõÙ ¿ Ý³¨ ³Û¹åÇëÇ S μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³ áñáßí³Í P (x) åÝ¹áõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (x-Á ÷á÷áËíáõÙ ¿ S-áõÙ): ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ Ñëï³Ïáñ»Ý Ó¨³Ï»ñåí»É ¨ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ ¶³ÉÇÉ»Ç, ä³ëÏ³ÉÇ ¨ ¹» Øáñ·³ÝÇ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñÇó: Ð³×³Ë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ ÏÇñ³é»É ³ÛÝåÇëÇ åÝ¹áõÙÝ»ñÇ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ) Ñ³Ù³ñ, áñáÝù Ï³Ëí³Í »Ý ÙÇ ù³ÝÇ μÝ³Ï³Ý å³ñ³Ù»ïñ»ñÇó: úñÇÝ³Ï, »Ã» P (n; m)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ an ¢ am = an+m ;

n; m 2 N;

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, ³å³ P (n; m) åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßï μáÉáñ n, m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. 1) P (1; 1)-Á ×Çßï ¿; 2) P (r; s) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï ÉÇÝ»Éáõó μËáõÙ ¿ P (r + 1; s) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï

ÉÇÝ»ÉÁ, r; s 2 N;

3) P (r; s) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï ÉÇÝ»Éáõó μËáõÙ ¿ P (r; s + 1) åÝ¹Ù³Ý ×Çßï

ÉÇÝ»ÉÁ, r; s 2 N:

²í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÇ Ñ»ï¨Û³É Ù»ÏÝ³μ³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ: ¸Çóáõù P (t) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ï³Ëí³Í ¿ t ÷á÷áË³Ï³ÝÇó, áñÁ ÷á÷áËíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý T μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙ ïñí³Í »Ý Tn μ T , n = 1; 2; : : :, »ñÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ T μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ t 2 T S ï³ññ ÁÝÏ³Í ¿ áñ¨¿ Tn μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç, ³ÛëÇÝùÝª T = n2N Tn , μ³óÇ ³Û¹ª T1 μ T2 μ T3 μ ¢ ¢ ¢ μ Tn μ ¢ ¢ ¢ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, P (t) åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßï μáÉáñ t 2 T ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. a) P (t)-Ý ×Çßï ¿ μáÉáñ t 2 T1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; b) »Ã» P (t)-Ý ×Çßï ¿ μáÉáñ t 2 Tk ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ ³ÛÝ ×Çßï ¿ Ý³¨ μáÉáñ t 2 Tk+1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, k 2 N:

úñÇÝ³Ï, »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý å³ñ³Ù»ïñÇó Ï³Ëí³Í í»ñáÑÇßÛ³É P (n; m) åÝ¹Ù³Ý ¹»åùáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É t = (n; m), T = f(n; m) j m; n 2 Ng, ÇëÏ Tk = f(n; m) j m; n 2 N; m 6 kg;

k = 1; 2; : : : ;

Ï³Ùª Tk = f(n; m) j m; n 2 N; m 6 k; n 6 kg;

k = 1; 2; : : : :

Ð³×³Ë í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³Ù ÁÝ¹³ÏÝ»ñÇ (ûμÛ»ÏïÝ»ñÇ) ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇ

Å³Ù³Ý³Ïª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå:

¸Çóáõù å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ÁÝ¹³ÏÝ»ñÇ (ûμÛ»ÏïÝ»ñÇ) a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: an ÁÝ¹³ÏÁ (ûμÛ»ÏïÁ) ÏÉÇÝÇ ë³ÑÙ³Ýí³Í μáÉáñ n 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ.

i) ê³ÑÙ³Ýí³Í ¿ a1 -Á; ii) ò³ÝÏ³ó³Í k 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ ak+1 -Á ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ a1 ; : : : ; ak ÁÝ¹³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ò³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ xn -Á ÏÉÇÝÇ ë³ÑÙ³Ýí³Í, »Ã» »ÝÃ³¹ñ»Ýùª x1 = x; xk+1 = xk ¢ x;

k2N:

2) ò³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ x1 2 A1 ; : : : ; xn 2 An ï³ññ»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ (x1 ; : : : ; xn )-áí ¨ ³ÛÝ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (x1 ) = x1 ; (x1 ; : : : ; xk+1 ) = ((x1 ; : : : ; xk ); xk+1 ) ;

k2N:

î»ÕÇ áõÝÇ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÁª

ÇëÏ

(x1 ; : : : ; xn ) = (x01 ; : : : ; x0n ) Ã! x1 = x01 ; : : : ; xn = x0n ; A1 £ ¢ ¢ ¢ £ An = f(x1 ; : : : ; xn ) j x1 2 A1 ; : : : ; xn 2 An g ;

n > 2;

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A1 ; : : : ; An μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý (Ï³Ù áõÕÇÕ) ³ñï³¹ñÛ³É: ºÃ» A1 = : : : = An = A, ³å³ A1 £ ¢ ¢ ¢ £ An ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ An -áí, ÇëÏ (x1 ; : : : ; xn ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É, áñ A1 ; : : : ; An í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³ñ·Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª jA1 £ ¢ ¢ ¢ £ An j = jA1 j ¢ jA2 j ¢ ¢ ¢ jAn j ;

n>2:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

0.3. ²ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ (ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ) 0.3.1. ²ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: ¸Çóáõù A-Ý ¨ B-Ý »ñÏáõ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: A áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí ¨ B Ñ³Ý·Ù³Ý ïÇñáõÛÃáí ® ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (ýáõÝÏóÇ³Ý) Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ® : A ! B Ó¨áí, áñÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ÝáõÙ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ®(x) 2 B ï³ññÁ; ®(x)-Á »ñμ»ÙÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ ®x-áí Ï³Ù (®)x-áí, ÇëÏ ® : A ! B Ýß³Ý³ÏÙ³Ý ÷áË³ñ»Ý »ñμ»ÙÝ ·ñáõÙ ® »Ýª A ! B ¨ ³ëáõÙ, áñ ® ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ·áñÍáõÙ ¿ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ï³Ùª A-Çó B: ºÃ» ®(x) = y, ³å³ ·ñáõÙ »Ý ® : x 7! y ¨ y-Á ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç å³ïÏ»ñ Ï³Ùª x-Ç ®-å³ïÏ»ñ, ÇëÏ x-Áª y-Ç Ý³Ë³å³ïÏ»ñ Ï³Ùª y-Ç ®-Ý³Ë³å³ïÏ»ñ: ºñÏáõ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñª ® : A ! B ¨ ¯ : C ! D ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ ® = ¯, »Ã» A = C, B = D ¨ ®(x) = ¯(x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ì»ñç³íáñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³ñÙ³ñ μ ¶ 1 2 3 4 ¿ å³ïÏ»ñ»É ³ÕÛáõë³Ï³ÛÇÝ Ó¨áí: úñÇÝ³Ïª ® = b1 b2 b3 b4 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ÙÇ ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñï»Õ A = f1; 2; 3; 4g, fb1 ; b2 ; b3 ; b4 g μ B, ÇëÏ ®(i) = bi , i = 1; 2; 3; 4: ºÃ» jAj = n > 1 ¨ jBj = m > 1, ³å³ ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ mn -Ç: Æñáù, »Ã» A = fx1 ; : : : ; xn g ¨ ® : A ! B, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí ®(x1 ) = y1 , : : :, ®(xn ) = yn , Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ (y1 ; : : : ; yn ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ ÃíÇÝ, áñï»Õ y1 ; : : : ; yn 2 B, ³ÛëÇÝùÝª áñáÝ»ÉÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª j |B £ ¢{z ¢ ¢ £ B} j = jBj ¢ jBj ¢ ¢ ¢ jBj = |m ¢ m{z¢ ¢ ¢ m} = mn : {z } | n

ò³ÝÏ³ó³Í ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ. x » y Ã! ®(x) = ®(y);

x; y 2 A :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ §»¦-Á Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿ ¨ ³Û¹ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç ÙÇçáõÏ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª (») = Ker(®): ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ó³ÝÏ³ó³Í §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ ± ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏ: Æñáù, í»ñóÝ»Ýù B = A » ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå‘ ®(x) = [x], áñï»Õ x 2 A: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ (x; y) 2 Ker(®) Ã! ®(x) = ®(y) Ã! [x] = [y] Ã! x » y : ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ Ñ»ï¨Û³É μÝáõÃ³·ñÙ³ÝÁ. áñå»ë½Ç μ μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ áñ¨¿ ® ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏ: ºÃ» ïñí³Í »Ý »ñÏáõ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñª ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C, ³å³ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³É (Ï³Ù »ñμ»ÙÝ Ñ³Ù³¹ñáõÃÛáõÝ, ëáõå»ñåá½ÇóÇ³) ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (® ¢ ¯)x = ¯(®x); áñï»Õ ®x-Á x-Ç å³ïÏ»ñÝ ¿ ® ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï: ÆëÏ »Ã» ® : A ! B ¨ ¯ : B 0 ! C 0 , áñï»Õ B 6= B 0 , ³å³ ³Û¹åÇëÇ ® ¨ ¯ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, Ù»ñ ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ, ãÇ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: úñÇÝ³Ï, »Ã» ® : A ! B, ÇëÏ "A : A ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª "A (x) = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ "A ¢ ® = ® ¢ "B = ®; áñÇ ëïáõ·áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý Ï³ï³ñíáõÙ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ »ñÏáõ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý í»ñáÑÇßÛ³É ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.1: ²ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ , ³ÛëÇÝùÝª (® ¢ ¯) ¢ ° = ® ¢ (¯ ¢ °)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý ® : A ! B , ¯ : B ! C ¨ ° : C ! D ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñáõÙ ·ñí³Í ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ ·áñÍáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ª A ! D: ²ÛÝáõÑ»ï¨ª ((® ¢ ¯) ¢ °) x = ° ((® ¢ ¯)x) = ° (¯(®x)) ; ¨ (® ¢ (¯ ¢ °)) x = (¯ ¢ °)(®x) = ° (¯(®x)) :

²ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ® : A ! B ¨ ¯ : C ! D ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ®¢¯ ¨ ¯ ¢® ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý, »Ã» B = C ¨ D = A, ³ÛëÇÝùÝª ® : A ! B ¨ ¯ : B ! A: ê³Ï³ÛÝ A 6= B ¹»åùáõÙ ® ¢ ¯ 6= ¯ ¢ ®, áñáíÑ»ï¨ ® ¢ ¯ : A ! A, ÇëÏ ¯ ¢ ® : B ! B: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ý³¨ A = B Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÙÇ¨ÝáõÛÝ ¿ ã»Ýù Ï³ñáÕ åÝ¹»É ®¢¯ =¯ ¢® Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Ï³Ù³Û³Ï³Ý ®; ¯ : A ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý (ï»Õ³÷áË»ÉÇ) ã¿ Ý³¨ ³Ûë ¹»åùáõÙ: úñÇÝ³Ï, »Ã» A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³éÝí³½Ý »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ¿ª a; b 2 A, a 6= b, ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáí ®(x) = a ¨ ¯(x) = b ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª (® ¢ ¯)x = ¯(®x) = ¯(a) = b; (¯ ¢ ®)x = ®(¯x) = ®(b) = a :

ì»ñç³íáñ Ãíáí ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n = (®1 ¢ ¢ ¢ ®n¡1 ) ¢ ®n ;

n>3:

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ® : A ! A ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ ®2 = ® ¢ ®, ÇëÏ ®n = ®n¡1 ¢ ®: 0.3.2. Ü»ñ¹ñáÕ Ï³Ù ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ: ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñáÕ Ï³Ù ÇÝÛ»ÏïÇí, »Ã» ®(x) = ®(y) ¡! x = y; áñï»Õ x; y 2 A:

(0.1)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÆÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý (0.1) å³ÛÙ³ÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÷áË³ñÇÝ»É Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³Ýáíª x 6= y ¡! ®(x) 6= ®(y); (0.2)

áñï»Õ x; y 2 A: Ð»ï¨³μ³ñ, áñå»ë½Ç ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ Ker(®) ÙÇçáõÏÁ ÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ: Üßí³Í (0.1) ¨ (0.2) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª (0.1)$(0.2): ²å³óáõó»Ýù, ûñÇÝ³Ï, áñ (0.1) å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ (0.2) å³ÛÙ³ÝÁ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí, Ã» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (0.1) å³ÛÙ³ÝÇÝ, μ³Ûó ãÇ μ³í³ñ³ñáõÙ (0.2) å³ÛÙ³ÝÇÝ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, ³Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y 2 A ï³ññ»ñ, áñ x 6= y, μ³Ûó ®(x) = ®(y): ê³Ï³ÛÝ (0.1) å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, »Ã» ®(x) = ®(y), ³å³ x = y, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ x 6= y å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ð³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.2: ºñÏáõ ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ÇÝÛ»ÏïÇí »Ý: êïáõ·»Ýù ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁª (® ¢ ¯)x = (® ¢ ¯)y ¡! x = y : Æñáù, »Ã» (® ¢ ¯)x = (® ¢ ¯)y, ³å³ ¯(®x) = ¯(®y) ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¯-Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ýª ®(x) = ®(y), áñï»ÕÇó Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ®-Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ýª x = y: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.3: ì»ñç³íáñ Ãíáí ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n : A1 ! An+1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ :

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): n = 2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: Î³ï³ñ»Éáí í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n = (®1 ¢ ¢ ¢ ®n¡1 ) ¢ ®n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ, áñå»ë »ñÏáõ ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: ¤

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.4: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÇÝÛ»ÏïÇí ¿ , ³å³ ®-Ý ÇÝÛ»ÏïÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÇÝÛ»ÏïÇí ¿, ³å³ª ®(x) = ®(y) ! ¯(®x) = ¯(®y) ! (® ¢ ¯)x = (® ¢ ¯)y ! x = y :

Î³éáõó»Ýù ® ¨ ¯ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝó ® ¢ ¯ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí, μ³Ûó ¯-Ý ãÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí: ¸Çóáõù ® : N ! N ¨ ¯ : N ! N ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ®(x) = 2x + 1; x 2 N; ¯(1) = ¯(2) = 1; ¯(x) = x;

x > 3; x 2 N;

²Û¹ ¹»åùáõÙ ® ¢ ¯ : N ! N ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí, áñáíÑ»ï¨ ® ¢ ¯ = ®, ë³Ï³ÛÝ ¯-Ý ÇÝÛ»ÏïÇí ã¿: ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ®0 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ® ¢ ®0 = "A ; ²Û¹ ¹»åùáõÙ ®0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓ: ºÃ» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³å³ Ýñ³ ®0 ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ μ ¶ 1 2 áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, »Ã» A = f1; 2g, B = f3; 4; 5g, ¨ ® = , 3 4 ³å³ ®-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó, ÁÝ¹ áñáõÙ Ýñ³ ®0 ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ áñáßíáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáíª μ ¶ μ ¶ 3 4 5 3 4 5 ; ®0 = : ®0 = 1 2 1 1 2 2 Â»áñ»Ù 0.1 (ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ

ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù ®(A) = f®(x) j x 2 Ag μ B ¨ ë¨»é»Ýù áñ¨¿ a 2 A ï³ññ: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åùª

³) ®(A) = B, ³ÛëÇÝùÝª B n ®(A) = ;: ²Ûë ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®(x) = y, ³ÛëÇÝùÝª y-Ý áõÝÇ Ý³Ë³å³ïÏ»ñ: μ) B n ®(A) 6= ;: ²Ûë ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 B n ®(A) ï³ññ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®(x) = y, ³ÛëÇÝùÝª y-Á ãáõÝÇ Ý³Ë³å³ïÏ»ñ: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ®0 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ½ x; »Ã» ®(x) = y; ®0 (y) = a; »Ã» y-Á ãáõÝÇ Ý³Ë³å³ïÏ»ñ;

Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ y 2 B ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ®0 (y)Á áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Æñáù, »Ã» ®(x1 ) = y ¨ ®(x2 ) = y, ³å³ ®(x1 ) = ®(x2 ) ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ®-Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ýª x1 = x2 : ²ÛÅÙ ëïáõ·»Ýù ® ¢ ®0 = "A Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. (® ¢ ®0 )x = ®0 (®x) = ®0 (y) = x = "A (x); áñï»Õ y = ®(x): ®0 -Ç Ï³éáõóáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ B n ®(A) 6= ; ¨ A 6= fag ¹»åùáõÙ ®0 -Á ãÇ áñáßíáõÙ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³ÛëÇÝùÝª ® ¢ ®0 = "A , áñ¨¿ ®0 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 0.4-Ç, ®-Ý ÏÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí (áñáíÑ»ï¨ "A -Ý ÇÝÛ»ÏïÇí ¿): ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.1: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý ³çÇó, ³å³ ¹ñ³Ýó ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¤ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.2: ºÃ» ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý ³çÇó, ³å³ ¹ñ³Ýó ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n : A1 ! An+1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó: ¤

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.3: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ®-Ý: ¤ Â»áñ»Ù 0.1-Ç ³å³óáõóáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ »Ã» ® : A ! B ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³éáõóí³Í ®0 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÙÇ³ÏÝ ¿, ³å³ Ï³Ù A-Ý Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ¿, Ï³Ù B = ®(A): ²ÛëåÇëáí Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: 0.3.3. ì»ñ³¹ñáÕ Ï³Ù ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ: ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáÕ (Í³ÍÏáÕ) Ï³Ù ëÛáõñ»ÏïÇí, »Ã» ®(A) = B, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®(x) = y: úñÇÝ³Ï, »Ã» §»¦-Á Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ÇëÏ B = A=» , ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáí ¼ : a ! [a] Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ (a 2 A), ëï³ÝáõÙ »Ýù ¼ : A ! B ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý (Ï³Ù ù³Ýáñ¹-) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¨ Ker(¼) = (»): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.5: ºñÏáõ ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÉÇÝÇ ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ëÛáõñ»ÏïÇí »Ý, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 C ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 B ï³ññ, áñ ¯(y) = z ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®(x) = y: Ð»ï¨³μ³ñ, ¯(®x) = z, ³ÛëÇÝùÝª (® ¢ ¯)x = z; ²ÛëåÇëáíª ® ¢ ¯ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.6: ì»ñç³íáñ Ãíáí ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n : A1 ! An+1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ :

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): n = 2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 0.5): ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï n-Çó ùÇã Ãíáí ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ïëï³Ý³Ýùª ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n = (®1 ¢ ¢ ¢ ®n¡1 ) ¢ ®n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ, ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É:

áñå»ë

»ñÏáõ

ëÛáõñ»ÏïÇí ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.7: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿ , ³å³ ¯ -Ý ëÛáõñ»ÏïÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 C ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ (®¢¯)x = z, ³ÛëÇÝùÝª ¯(®x) = z ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ¯(y) = z, áñï»Õ y = ®(x) 2 B: ²ÛëåÇëáí, ¯ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿: ¤

¸Åí³ñ ã¿ Ï³éáõó»É ® ¨ ¯ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝó ® ¢ ¯ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ ëÛáõñ»ÏïÇí, μ³Ûó ®-Ý ãÉÇÝÇ ëÛáõñ»ÏïÇí: úñÇÝ³Ïª A B C ±P P ±P P P PPq P PqP - ± ± ±

³ÛëÇÝùÝª A = fa; bg, B = fc; dg, C = fsg, ®(a) = ®(b) = c, ¯(c) = ¯(d) = s: êÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý

Ñ³Ûï³ÝÇßÇÝ

³ÝóÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ë Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ: ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ®00 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ®00 ¢ ® = "B ; ²Û¹ ¹»åùáõÙ ®00 -Á ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓ: ºÃ» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³å³ Ýñ³ ®00 Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÁ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, μ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¶ 1 2 ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, »Ã» A = f1; 2g, B = f3g ¨ ® = , ³å³ 3 3

®-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, ÁÝ¹ áñáõÙ Ýñ³ ®00 Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÁ

áñáßíáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáíª μ ¶ μ ¶ ; ® = : ® = Â»áñ»Ù 0.2 (ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ëÛáõñ»ÏïÇí ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ áñ

³ÛÝ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: Àëï ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®(x) = y: ê¨»é»Ýù ³Û¹åÇëÇ x-»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁª Ýß³Ý³Ï»Éáí Ýñ³Ý xy -áí ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ®00 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ®00 (y) = xy ; áñï»Õ ®(xy ) = y: êïáõ·»Ýù ®00 ¢ ® = "B Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. (®00 ¢ ®)y = ®(®00 y) = ®(xy ) = y = "B (y) : Àëï áñáõÙ, ®00 -Ç Ï³éáõóáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ ³ÛÝ ãÇ áñáßíáõÙ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, »Ã» ®-Ý ÇÝÛ»ÏïÇí ã¿: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ®00 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ®00 ¢ ® = "B , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 0.7-Ç, ®-Ý ÏÉÇÝÇ ëÛáõñ»ÏïÇí, áñáíÑ»ï¨ "B -Ý ëÛáõñ»ÏïÇí ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.4: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý Ó³ËÇó, ³å³ ¹ñ³Ýó ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¤ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.5: ºÃ» ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý Ó³ËÇó, ³å³ ¹ñ³Ýó ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n : A1 ! An+1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¤ Ó³ËÇó: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.6: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ¯ -Ý: ¤ ÆÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý ¨ ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó ³ÝÙÇç³å»ë ãÇ »ñ¨áõÙ áñ¨¿ ½áõ·³Ñ»éáõÃÛáõÝ Ï³Ù ÝÙ³ÝáõÃÛáõÝ ³Û¹ »ñÏáõ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: ê³Ï³ÛÝ Ã»áñ»Ù 0.1 ¨ Ã»áñ»Ù 0.2 Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇó μËáõÙ ¿ ³Û¹ »ñÏáõ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ »ñÏ³ÏÇáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝ ÇÙ³ëïáí, áñ ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ÇëÏ ÙÛáõëÁª Ó³Ë: Â»áñ»Ù 0.2-Ç ³å³óáõóáõÙÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨, áñ »Ã» ® : A ! B ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³éáõóí³Í ®00 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÙÇ³ÏÝ ¿, ³å³ ®-Ý Ý³¨ ÇÝÛ»ÏïÇí ¿: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ ·³Õ³÷³ñÇÝ: 0.3.4. öáËÙÇ³ñÅ»ù Ï³Ù μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ: ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ï³Ù μÇ»ÏïÇí, »Ã» ³ÛÝ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÇÝÛ»ÏïÇí ¿ ¨ ëÛáõñ»ÏïÇí: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.8: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ μÇ»ÏïÇí »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó ®¢¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ μÇ»ÏïÇí:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ 0.2 ¨ 0.5 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.9: ì»ñç³íáñ Ãíáí ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n : A1 ! An+1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó μÇ»ÏïÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ 0.3 ¨ 0.6 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.10: ºÃ» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μÇ»ÏïÇí ¿ , ³å³ ®-Ý ÏÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí, ÇëÏ ¯ -Ýª ëÛáõñ»ÏïÇí:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ 0.4 ¨ 0.7 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó:

® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ®¤ : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ½ ® ¢ ®¤ = "A ; ®¤ ¢ ® = "B :

Àëï áñáõÙ, Ýßí³Í »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí ®¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ (³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ) ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª ®¤ = ®¡1 : ²í»ÉÇÝ, »Ã» ® ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®0 : B ! A ¨ ®00 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ, áñ ½ ® ¢ ®0 = "A ; ®00 ¢ ® = "B ; ³å³ ®0 = ®00 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ®-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Æñáù,

®00 = ®00 ¢ "A = ®00 ¢ (® ¢ ®0 ) = (®00 ¢ ®) ¢ ®0 = "B ¢ ®0 = ®0 :

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

È»ÙÙ 0.4: ºÃ» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ Ýñ³ ®¤ = ®¡1 : B ! A Ñ³Ï³¹³ñÓ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ¡ ¢¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, Áëï áñáõÙª ®¡1 = ®:

²å³óáõóáõÙ: ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó:

´ËáõÙ

Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ

³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¤

Â»áñ»Ù 0.3 (μÇ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ μÇ»ÏïÇí ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ

ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ:

²å³óáõóáõÙ: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ (Ã»áñ»Ù 0.1), áñ ®-Ý ÇÝÛ»ÏïÇí ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ (Ã»áñ»Ù 0.2), áñ ®-Ý ëÛáõñ»ÏïÇí ¿: Ð»ï¨³μ³ñ ®-Ý μÇ»ÏïÇí ¿: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» ®-Ý μÇ»ÏïÇí ¿, ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ®-Ý ÏÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí ¨ ëÛáõñ»ÏïÇí: Ð»ï¨³μ³ñ (Ã»áñ»Ù 0.1), ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ ®0 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ® ¢ ®0 = "A ¨ (Ã»áñ»Ù 0.2) ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ ®00 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ®00 ¢ ® = "B : Ð»ï¨³μ³ñ, ÇÝãå»ë ³å³óáõóí»ó ¤ í»ñ¨áõÙ, ®0 = ®00 ¨ ®-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.7: 1) ºÃ» ®1 : A ! B ¨ ®2 : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó ®1 ¢ ®2 : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ áõ (®1 ¢ ®2 )¡1 = ®2¡1 ¢ ®¡1 1 ;

2) ºÃ» ®1 : A1 ! A2 , ®2 : A2 ! A3 , : : :, ®n : An ! An+1 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n : A1 ! An+1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ áõ ¡1 (®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n )¡1 = ®n¡1 ¢ ®¡1 n¡1 ¢ ¢ ¢ ®1 :

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» ®1 ¢ ®¤1 = "A , ®¤1 ¢ ®1 = "B , ®2 ¢ ®¤2 = "B , ®¤2 ¢ ®2 = "C , ³å³ ®1 ®2 ¢ ®¤2 ®¤1 = "A ; ®¤2 ®¤1 ¢ ®1 ®2 = "C : 2) Ð³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.11: ºÃ» A-Ý ¨ B -Ý n-ï³ññ³ÝÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª jAj = jBj = n > 1, ³å³ ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ª n(n ¡ 1) ¢ ¢ ¢ 2 ¢ 1 = n!

(Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §¿ Ý ý³ÏïáñÇ³É¦): ²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ¸Çóáõù A = fx1 ; : : : ; xn g, ÇëÏ B = fy1 ; : : : ; yn g: ºÃ» n = 1, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï n-Çó ÷áùñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ, Ñ³ßí»Ýù ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É n ¹»åù»ñÁª 1) ®(x1 ) = y1 , 2) ®(x1 ) = y2 , n) ®(x1 ) = yn : Ð³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý 1) å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μáÉáñ ® : A ! B ï»ëùÇ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª (n ¡ 1)!: ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ 2), : : :, n) ¹»åù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª (n ¡ 1)! + (n ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)! = (n ¡ 1)!n = n! : | {z }

® : A ! A ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ: n-ï³ññ³ÝÇ f1; 2; : : : ; ng μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ n -ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.8: n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n!-Ç:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ¸åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ®(x) = loga x : R+ ! R μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿ ®¤ (x) = ax : R ! R+ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñáíÑ»ï¨ª (® ¢ ®¤ )x = ®¤ (®x) = ®¤ (loga x) = aloga x = x = "R+ (x); (®¤ ¢ ®)x = ®(®¤ x) = ®(ax ) = loga ax = x = "R (x) ;

áñï»Õ a > 0 ¨ a 6= 1, ÇëÏ R+ -Á μáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: h ¼ ¼i ! [¡1; 1] μÇ»ÏïÇí 2) ®(x) = sin x : ¡ ; + ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿ h ¼ ¼i ¤ ® (x) = arcsin(x) : [¡1; 1] ! ¡ ; + ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñáíÑ»ï¨ª (® ¢ ®¤ )x = ®¤ (®x) = ®¤ (sin x) = arcsin(sin x) = x = "[¡ ¼ ;+ ¼ ] (x);

(® ¢ ®)x = ®(® x) = ®(arcsin x) = sin(arcsin x) = x = "[¡1;+1] (x) : 0.3.5. Ò¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ: ® : A ! A ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝª Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ ïñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Çñ Ù»ç: A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É FA -áí: Ò¨³÷áËáõÃÛ³Ý ³é³ÝÓÝ³Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³ÛÝ ¿, áñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ³½Ù³å³ïÏ»É Çñ Ñ»ïª ³ÛÝ ¿É ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý·³Ù, ³ÛëÇÝùÝª ÇÙ³ëï³ÉÇó ¿ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁª ®0 = "; ¢ ¢ ®}; ®k = ® | ¢{z

k = 1; 2; : : :

(Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ ®-Ç k ³ëïÇ×³Ý): Àëï áñáõÙ, í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ Ï³Ëí³Í ã¿ ÷³Ï³·Í»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÇó (μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ã»áñ»Ù 1.3-Çó): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ³ÏÝÑ³Ûï ¿ ¹³éÝáõÙ, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 2 FA Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª ®m ¢ ®n = ®m+n ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ n

(®m ) = ®m¢n ó³ÝÏ³ó³Í m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: Â»áñ»Ù 0.4: ì»ñç³íáñ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® : A ! A ÇÝÛ»ÏïÇí Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ëÛáõñ»ÏïÇí, Ñ»ï¨³μ³ñ ¨` μÇ»ÏïÇí:

²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ®-Ý ëÛáõñ»ÏïÇí ¿, ³ÛëÇÝùÝª áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 A ï³ññ, áñ ®(x0 ) = x: ¸Çï³ñÏ»Ýù ï³ññ»ñÇª x; ®(x); : : : ; ®k (x); : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ Ýßí³Í (³Ýí»ñç) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏÉÇÝ»Ý ÏñÏÝíáÕ ï³ññ»ñ: ¸Çóáõùª ®m (x) = ®n (x); áñï»Õ m > n; Ð»ï¨³μ³ñ, m ¡ n > 0 ¨

¡ ¢ ®n ®m¡n (x) = ®n (x) :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 0.3-Ç, í»ñç³íáñ Ãíáí ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÇÝÛ»ÏïÇí ¿, áõëïÇ ®n = |® ¢ ®{z¢ ¢ ¢ ®} ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí ¨ ëï³óí³Í n

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª

®m¡n (x) = x; Ï³Ù

¢ ¡ ® ®m¡n¡1 (x) = x;

m ¡ n ¡ 1 > 0;

®(x0 ) = x;

áñï»Õ x0 = ®m¡n¡1 (x):

Â»áñ»Ù 0.5: ì»ñç³íáñ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® : A ! A ëÛáõñ»ÏïÇí Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ÇÝÛ»ÏïÇí, Ñ»ï¨³μ³ñ ¨` μÇ»ÏïÇí:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

²å³óáõóáõÙ: ²Ûëï»Õ ³ñ¹»Ý Ïû·ïí»Ýù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 0.6-Çó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ áñÇ, í»ñç³íáñ Ãíáí ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ëÛáõñ»ÏïÇí ¿: ø³ÝÇ áñ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ª ®0 = "A ; ®; : : : ; ®k ; : : : ³Ýí»ñç Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏÉÇÝ»Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝª áñ¨¿ m 6= n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®m = ®n ;

áñï»Õ m > n;

Ð»ï¨³μ³ñ, ®m (a) = ®n (a) μáÉáñ a 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ®m¡n (®n (a)) = ®n (a) : ø³ÝÇ áñ ®n -Á ëÛáõñ»ÏïÇí ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 A ï³ññ, áñ ®n (a) = x; Ð»ï¨³μ³ñ, ®m¡n (x) = x Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ®m¡n = "A : ²ÛÅÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É ïñí³Í ® : A ! A Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ. Çñáù, »Ã» ®(x) = ®(y), ³å³ ®2 (x) = ®2 (y); : : : ; ¤ ®m¡n (x) = ®m¡n (y), ³ÛëÇÝùÝª "A (x) = "A (y) ¨ x = y: ºÃ» ® : A ! A Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ‘ ®2 = "A , ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ®-Ý ÏÉÇÝÇ μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Î³ë»Ýù, áñ ® : A ! A Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 A ï³ññ, áñ ®(a) = a: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, a 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç ³Ýß³ñÅ Ï»ï: î»ÕÇ áõÝÇ ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ μÝáõÛÃÇ Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ, áñÝ áõÝÇ Ý³¨ û·ï³Ï³ñ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ: Â»áñ»Ù 0.6: ºÃ» í»ñç³íáñ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ï»Ýï ¿ ¨ ® : A ! A Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ` ®2 = "A , ³å³ ® Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ® Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ãáõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï, ³ÛëÇÝùÝ ®(x) 6= x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çï³ñÏ»Ýù fx; ®(x)g ï»ëùÇ ½áõÛ·»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x 2 A: ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» fx; ®(x)g \ fy; ®(y)g 6= ;, ³å³ fx; ®(x)g = fy; ®(y)g: àõëïÇ, A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ïñáÑíáõÙ ¿ ãÑ³ïíáÕ ½áõÛ·»ñÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, n fx; ®(x)g ï»ëùÇ ½áõÛ·»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ -Ç, áñï»Õ n-Á A n μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿‘ n = jAj: ¸Çóáõù = k: Ð»ï¨³μ³ñ, n = 2k, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¤ Üßí³Í Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.9: ºÃ» í»ñç³íáñ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ® : A ! A Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ` ®2 = "A ¨ ®-Ý áõÝÇ Ï»Ýï (½áõÛ·) Ãíáí ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñ, ³å³ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ï»Ýï (½áõÛ·) ÃÇí ¿ : ¤ ºÝÃ³í»ñÝ³·ÇñÁ »½ñ³÷³Ï»Ýù ¶. Î³ÝïáñÇÝ (G. Cantor) å³ïÏ³ÝáÕ Ñ»ï¨Û³É ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñáí: ºñÏáõ A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ³½áñ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ ù³Ý³ÏÇ ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ (áõÝ»óáÕ) ¨ ·ñíáõÙ ¿ A » B, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ® : A ! B μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ê³ÑÙ³Ýí³Í §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿, áñáßí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÇ íñ³: ºÃ» A-Ý áñ¨¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ Ýñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ [A] Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ (Áëï ³Ûë §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý) ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 0.2-Çó μËáõÙ ¿, áñ ÙÇ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³½áñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý ûÅïí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ñ½áñáõÃÛ³Ùμ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáí ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ûÅïí³Í »Ý μáÉáñ Ñ³í³ë³ñ³½áñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ßí»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ Ãíáí Ñ³ßí»ÉÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÝáñÇó Ñ³ßí»ÉÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÝïÇÝáõÙ (continum - É³ï.): Â»áñ»Ù 0.7 (Î³Ýïáñ): ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Ï³Ù³Û³Ï³Ý A 6= ; μ³½ÙáõÃÛáõÝÇó 2A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç, ë³Ï³ÛÝ A ¨ 2A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ã»Ý:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óÝ»Éáí fag μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýù ÙÇ A ! 2A ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ¸Çóáõù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : A ! 2A μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Ü»ñÙáõÍ»Éáí M = fa 2 A j a 62 '(a)g μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 A ï³ññ, áñ '(a0 ) = M : ºÃ» a0 2 M, ³å³ Áëï M -Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª a0 62 '(a0 ) = M , ÇëÏ »Ã» a0 62 M, ³å³ a0 2 '(a0 ) = M : Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤ 0.3.6. ²ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ Ï³åÁ ¨ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ï³åÁ: îñí³Í ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ‘ Im(®) = f®(x)j x 2 Ag = ®(A) μ B »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç å³ïÏ»ñ Ï³Ù A-Ç å³ïÏ»ñ ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Ð»ï¨Û³É »ñÏáõ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇó μËáõÙ ¿, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ë»ñï Ï³å Im(®)-Ç ¨ Ker(®)-Ç ÙÇç¨: Â»áñ»Ù 0.8: ºÃ» ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ ± (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿ ¨ Ker(®) = (»), ³å³ B ¨ A » μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý: ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, ± ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : B ! A » ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ¼ = ® ¢ ¹, ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ (¹Ç³·ñ³ÙÁ)ª ® A B Z Z Z ¹ ¼ Z Z Z~ ? ± A » ,

áñï»Õ ¼Ý μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ¼(x) = [x]:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®(x) = y: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ¹(y) = [x], áñï»Õ ®(x) = y: Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ¹(y)Á Ï³Ëí³Í ã¿ ®(x) = y å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ xÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» Ý³¨ ®(x0 ) = y, ³å³ ®(x) = ®(x0 ) ¨±x » x0 , Ñ»ï¨³μ³ñ, [x] = [x0 ]: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í ¹ : B ! A » ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: ²å³óáõó»Ýù ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ. ¹(y1 ) = ¹(y2 ); y1 = ®(x1 ); y2 = ®(x2 ) ¡! [x1 ] = [x2 ] ¡! x1 » x2 ¡! ®(x1 ) = ®(x2 ) ¡! y1 = y2 :

Æ í»ñçá, ù³ÝÇ áñ ¹(y) = [x], áñï»Õ ®(x) = y, ³å³ ¹ (®(x)) = [x], Ñ»ï¨³μ³ñ, (® ¢ ¹)x = ¼(x) ¨ ® ¢ ¹ = ¼, áñï»ÕÇó ¿É μËáõÙ ¿ ¹Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ. ® ¢ ¹ = ¼; ® ¢ ¹0 = ¼ ¡! ® ¢ ¹ = ® ¢ ¹0 ¡! (® ¢ ¹)x = (® ¢ ¹0 )x ¡! ¹(®x) = ¹0 (®x) ¡! ¹(y) = ¹0 (y)

ó³ÝÏ³ó³Í y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

Â»áñ»Ù 0.9 (ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ï³åÁ): Î³Ù³Û³Ï³Ý ®1 : A ! B ¨ ®2 : A ! B0 í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker(®1 ) μ Ker(®2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ®3 : B ! B 0 í»ñ³¹ñáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ®1 ¢ ®3 = ®2 , ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ. ®1 A B Z Z Z ®3 ®2 Z Z Z~ ? : B0

Àëï áñáõÙ, ®3 Á ÏÉÇÝÇ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker(®1 ) = Ker(®2 ): ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ®1 : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí ) ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ ®1 (x) = y: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ®3 (y) = ®2 (x): Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ®3 (y)Á Ï³Ëí³Í ã¿ ®1 (x) = y å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ xÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» Ý³¨ ®1 (x0 ) = y, ³å³ ®1 (x) = ®1 (x0 ) ¨ (x; x0 ) = Ker(®1 ) μ Ker(®2 ), Ñ»ï¨³μ³ñ, (x; x0 ) 2 Ker(®2 ), ³ÛëÇÝùÝª ®2 (x) = ®2 (x0 ): ²ÛÝáõÑ»ï¨, ë³ÑÙ³Ýí³Í ®3 : B ! B0 ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý í»ñ³¹ñáÕ ÉÇÝ»ÉÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» z 2 B 0 ¨ z = ®2 (x), x 2 A, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí y = ®1 (x), Ïëï³Ý³Ýùª ®3 (y) = z, áñï»Õ y 2 B: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ®2 = ®1 ¢ ®3 : ø³ÝÇ áñ ®3 (y) = ®2 (x), áñï»Õ ®1 (x) = y, ³å³ ®3 (®1 (x)) = ®2 (x), ³ÛëÇÝùÝª (®1 ¢ ®3 ) x = ®2 (x) ¨ ®1 ¢®3 = ®2 : ²Ûëï»ÕÇó ¿É μËáõÙ ¿ ®3 Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ. ®1 ¢ ®3 = ®2 ; ®1 ¢ ®03 = ®2 ¡! ®1 ¢ ®3 = ®1 ¢ ®03 ¡! (®1 ¢ ®3 ) x = (®1 ¢ ®03 ) x ¡! ®3 (®1 (x)) = ®03 (®1 (x)) ¡! ®3 (y) = ®03 (y)

ó³ÝÏ³ó³Í y 2 B ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ØÝáõÙ ¿ ëï³Ý³É ®3 Ç ÷áËÙÇ³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ: ¸Çóáõù Ker(®1 ) = Ker(®2 ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ®3 (y1 ) = ®3 (y2 ); y1 = ®1 (x1 ); y2 = ®1 (x2 ) ¡! ®2 (x1 ) = ®2 (x2 ) ¡! ®1 (x1 ) = ®1 (x2 ) ¡! y1 = y2 ;

Ñ»ï¨³μ³ñ, ®3 Á Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿, ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ®3 Á Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ ¿, ³å³

³ÛëÇÝùÝª

®3 Á

(x1 ; x2 ) 2 Ker(®2 ) ¡! ®2 (x1 ) = ®2 (x2 ) ¡! ®3 (®1 (x1 )) = ®3 (®1 (x2 )) ¡! ®1 (x1 ) = ®1 (x2 ) ¡! (x1 ; x2 ) 2 Ker(®1 ) ;

³ÛëÇÝùÝª Ker(®1 ) μ Ker(®2 ) ¨ Ker(®1 ) = Ker(®2 ): ¤ ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ μËáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó:

0.4. Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·, Ù³ëÝ³ÏÇ ¨ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· Ï³Ù å³ñ½³å»ë Ï³ñ·ª áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» ®-Ý μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý, ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ0 ) (x; y) 2 ®, (y; x) 2 ® ! x = y

(Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ï³ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ)

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

²éÇÝùÝáõÃÛ³Ý ¨ ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇÏ³ñ·, ÇëÏ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý ¨ Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ åë¨¹áÏ³ñ·: ºÃ» ®-Ý Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿, ³å³ ëáíáñ³μ³ñ ®-Ç ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ §6¦ Ýß³ÝÁ, ÇëÏ (x; y) 2 ® å³ÛÙ³ÝÝ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ·ñíáõÙ ¿ x 6 y Ï³Ù y > x ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §x-Á ÷áùñ ¿ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ y-Çó¦ Ï³Ù §y-Á Ù»Í Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ ¿ x-Çó¦, ÇëÏ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ëï³ÝáõÙ »Ý ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëù. ³0 ) x 6 x; (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù é»ýÉ»ùëÇíáõÃÛáõÝ) μ0 ) x 6 y, y 6 x ! x = y; (Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ï³ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ) ·0 ) x 6 y, y 6 z ! ïñ³Ý½ÇïÇíáõÃÛáõÝ)

z: (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù

ºÃ» x 6 y ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ³å³ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ x 66 y Ï³Ù y 6> x: È»ÙÙ 0.5: ØÇ¨ÝáõÛÝ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ¤ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿ :

ºÃ» x1 6 x2 , x2 6 x3 , : : :, xn¡1 6 xn , ³å³ Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ª x1 6 x2 6 ¢ ¢ ¢ 6 xn¡1 6 xn : A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ íñ³ áñáßí³Í §6¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª A(6) Ï³Ù Ñ³Ù³éáï A-áí: ºÃ» x 6 y ¨ x 6= y, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ x < y Ï³Ù y > x ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §x-Á ËÇëï ÷áùñ ¿ y-Çó¦ Ï³Ù §y-Á ËÇëï Ù»Í ¿ x-Çó¦: àã ¹³ï³ñÏ H μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõéáõóÇÏ A-áõÙ, »Ã» a; b 2 H, x 2 A ¨ a 6 x 6 b å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó μËáõÙ ¿ª x 2 H: A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý B μ A áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝª ÝáõÛÝ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª B-áõÙ x 6 y ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A-áõÙ x 6 y, áñï»Õ x; y 2 B: ²í»ÉÇ ×Çßï ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

È»ÙÙ 0.6: ò³ÝÏ³ó³Í B μ A, B 6= ;, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ ® μ A £ A Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ ® \ (B £ B) = ¯ μ B £ B

Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· áñáßí³Í B-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª B μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ®-Ç Ù³Ï³Íí³Í Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ë ¤ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿ : ¸Çóáõù A(6) ½áõÛ·Á Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, X μ A, X 6= ; ¨ a 2 A: a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ X-Ç í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ, »Ã» x 6 a (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñª a 6 x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ X-Ç í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) ×ß·ñÇï »½ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ a = sup X Ï³Ù a = sup(X) (a = inf X Ï³Ù a = inf(X)), »Ã» ³) a-Ý í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ ¿ X-Ç Ñ³Ù³ñ; μ) X-Ç ó³ÝÏ³ó³Í c í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñÇ Ñ³Ù³ñª a 6 c (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñª c 6 a): ì»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ áõÝ»óáÕ X μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ: Ð³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ í»ñÇÝ ¨ ëïáñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, »Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý: ºÃ» X = fa1 ; : : : ; an g, ³å³ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ sup X = supfa1 ; : : : ; an g; inf X = inffa1 ; : : : ; an g :

úñÇÝ³Ï, »Ã» a 6 b, ³å³ supfa; bg = b, ÇëÏ inffa; bg = a: (ì»ñÇÝ ¨ ëïáñÇÝ (×ß·ñÇï) »½ñ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ý³¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý A(6) ½áõÛ·Ç ¹»åùáõÙ, áñï»Õ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¿:) A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í, »Ã» supfa; bg-Ý ¨ inffa; bg-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý A-áõÙª ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ï, ÙÇ¨ÝáõÛÝ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ 2Q Ñ³Ù³ËÙμáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝ‘ X1 6 X2 $ X1 μ X2 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ X1 ; X2 2 2Q : ²Ûë 2Q (6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ 2Q (μ)-áí: ²Ûëï»Õ, supfX1 ; X2 g = X1 [ X2 ;

X1 ; X2 2 2Q :

inffX1 ; X2 g = X1 \ X2 ;

²Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÁ ×Çßï »Ý Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: îñí³Í Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ í»ñç³íáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 2fin(Q) -áí ¨ ³Ûë μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝª ÝáõÛÝ §μ¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Î³ë»Ýù, áñ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý y 2 A ï³ññÁ Í³ÍÏáõÙ ¿ x 2 A ï³ññÇÝ Ï³Ù x-Á Í³ÍÏíáõÙ ¿ y-áí, »Ã» x < y ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ z 2 A ï³ññ, áñ x < z < y: Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ïÏ»ñíáõÙ »Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»çª ·ñ³ýÝ»ñÇ ï»ëùáí, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ å³ïÏ»ñíáõÙ »Ý áñå»ë Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñ ¨ ÏáãíáõÙ »Ý ·ñ³ýÇ ·³·³ÃÝ»ñ, ÇëÏ ·ñ³ýÇ ÏáÕ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. »Ã» y-Á Í³ÍÏáõÙ ¿ x-ÇÝ, ³å³ y ï³ññÁ å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ x ï³ññÇó í»ñ¨ ¨ x, y ï³ññ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óíáõÙ »Ý áõÕÕÇ Ñ³ïí³Íáí: úñÇÝ³Ï, »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ Q = fa; bg μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý 2Q (μ) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

´ ´ fag c QQ

fa; bg c ´ Q Q ´ Q

Q c ´ ;

Q c fbg ´ ´

¸Çï³ñÏ»Ýù A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ¹Çóáõù a; b 2 A, a 6 b: a ¨ b Í³Ûñ³Ï»ï»ñáí Ñ³ïí³Í ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ [a; b] = fx 2 A j a 6 x 6 bg μ A

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» a < b, ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É (a; b) = fx 2 A j a < x < bg ;

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

[a; b) = fx 2 A j a 6 x < bg ; (a; b] = fx 2 A j a < x 6 bg ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ a; b 2 [a; b]: [a; b] Ñ³ïí³ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» a < b ¨ [a; b] = fa; bg: [a; b] Ñ³ïí³ÍÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ b-Ý Í³ÍÏáõÙ ¿ a-ÇÝ: A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù»Ù³ï»ÉÇ, »Ã» a 6 b Ï³Ù b 6 a: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã Ñ³Ù»Ù³ï»ÉÇ: Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ (Ï³Ù ·Í³ÛÝáñ»Ý) Ï³ñ·³íáñí³Í Ï³Ù ßÕÃ³, »Ã» Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ï³ññ»ñ Ñ³Ù»Ù³ï»ÉÇ »Ý: úñÇÝ³Ï, R-Á Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ëáíáñ³Ï³Ý §6¦ Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ³Û¹åÇëÇÝ ¿: A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý u 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññ, »Ã» x 6 u ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» v 6 x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ v 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ï³ññÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: êáíáñ³μ³ñ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»Ï ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 1-áí, ÇëÏ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñá ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí: öáùñ³·áõÛÝ ¨ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññ»ñáí ûÅïí³Í Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï: a 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙ³É ï³ññ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ a < x: b 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇÝÇÙ³É ï³ññ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 A ï³ññ, áñ x < a: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ï³ññÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙ³É (ÙÇÝÇÙ³É) ï³ññÁ: ºÃ» Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ 0 ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññáí, ³å³ 0-ÇÝ Í³ÍÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ ÏáãíáõÙ ¿ ³ïáÙ: ÆëÏ »Ã» Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ 1 Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññáí, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ, áñÁ Í³ÍÏíáõÙ ¿ 1-áí ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏ³ÏÇ ³ïáÙ Ï³Ù Ïá³ïáÙ: A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿: ÜáõÛÝÇëÏ, í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³ñáÕ ¿ ãáõÝ»Ý³É Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ»ñ: ê³Ï³ÛÝ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ: Â»áñ»Ù 0.10: ì»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï Ñ³ï Ù³ùëÇÙ³É ¨ ·áÝ» Ù»Ï Ñ³ï ÙÇÝÇÙ³É ï³ññ:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ù³ùëÇÙ³É ï³ññÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù A(6) ½áõÛ·Á í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ a 2 A: ºÃ» a ï³ññÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a1 2 A ï³ññ, áñ a < a1 : ºÃ» a1 -Á Ù³ùëÇÙ³É ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ³å³óáõóí³Í: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a2 2 A ï³ññ, áñ a1 < a2 : ºí ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³Ý³Ýù a < a1 < a2 < ¢ ¢ ¢ ßÕÃ³Ý: ø³ÝÇ áñ A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ëï³óí³Í ßÕÃ³Ý ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ, áñÇ í»ñçÇÝ ï³ññÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÏÉÇÝÇ ¹Çï³ñÏíáÕ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ù³ùëÇÙ³É ï³ññ: ØÇÝÇÙ³É ï³ññÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.10: ºÃ» í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙ³É (ÙÇÝÇÙ³É) ï³ññáí, ³å³ ³Û¹ ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Ýñ³ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ï³ññÁ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù a-Ý A(6) í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙ³É ï³ññÝ ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 A ï³ññÇó ëÏëíáÕ x < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ (³×áÕ) ßÕÃ³Ý: ø³ÝÇ áñ A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ³Ûë ßÕÃ³Ý ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ¨ Ýñ³ í»ñçÇÝ xn ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù³ùëÇÙ³É ï³ññÁ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ù³ùëÇÙ³É ï³ññÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇª xn = a: Ð»ï¨³μ³ñ, x < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = a ¨ x 6 a: ²ÛëåÇëáí, a ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ¹Çï³ñÏíáÕ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññÁ: Ð³Ù³ÝÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ ÙÇ³Ï ÙÇÝÇÙ³É ï³ññáí ûÅïí³Í í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ý³¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññáí: ¤

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

È»ÙÙ 0.7: ºÃ» A(6) ½áõÛ·Á Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ , ³å³ sup X -Á ¨ inf X -Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X μ A í»ñç³íáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, í»ñç³íáñ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ : ºÃ» A(6) ½áõÛ·Á Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ supfa; bg-Ý (inffa; bg-Ý) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ sup(X)Á (inf (X)-Á) ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X μ A í»ñç³íáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: È»ÙÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï jXj = n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: ºÃ» n = 1 Ï³Ù n = 2, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ n-Çó ÷áùñ Ï³ñ· áõÝ»óáÕ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù jXj = n ¨ X = fx1 ; x2 ; : : : ; xn g: î»ÕÇ áõÝ»Ý sup X = sup fsupfx1 ; : : : ; xn¡1 g; xn g ¨

inf X = inf finffx1 ; : : : ; xn¡1 g; xn g

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: úñÇÝ³Ï, »Ã» supfx1 ; : : : ; xn¡1 g = a ¨ supfa; xn g = b, ³å³ xi 6 a 6 b, áñï»Õ i = 1; : : : ; n ¡ 1 ¨ xn 6 b: Ð»ï¨³μ³ñ, xi 6 b, áñï»Õ i = 1; : : : ; n, ³ÛëÇÝùÝª b-Ý X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: ¸Çóáõù xi 6 c, áñï»Õ i = 1; : : : ; n: Ð»ï¨³μ³ñ, a 6 c ¨ xn 6 c, ³ÛëÇÝùÝª c-Ý ÏÉÇÝÇ fa; xn g μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñÁ, áõëïÇª b 6 c: ²ÛëåÇëáí, b-Ý X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÝ ¿: ºÃ» A(6) ½áõÛ·Á í»ñç³íáñ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ sup A-Ý ÏÉÇÝÇ Ýñ³ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññÁ, ÇëÏ inf A-Ýª ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÁ: ¤ ²å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: Â»áñ»Ù 0.11: àñå»ë½Ç A(6) í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ûÅïí³Í Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññáí ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ inffa; bg-Ý ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù A(6) í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññáí ¨ ¹Çóáõù

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

inffa; bg-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É supfa; bg-Ç ·áÛáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Aba = fx 2 A j x > a; x > bg

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ¹³ï³ñÏ ã¿, áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ A-Ç Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññÁ: Aba -Ý ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝª ÝáõÛÝ §6¦ Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Â»áñ»Ù 0.10-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, Aba (6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇÝÇÙ³É ï³ññáí: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³Ï ÙÇÝÇÙ³É ï³ññáí: ¸Çóáõù ®; ¯ 2 Aba ï³ññ»ñÁ ÙÇÝÇÙ³É ï³ññ»ñ »Ý: Àëï Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ° 2 A ï³ññ, áñ ° = inff®; ¯g: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ® > a, ® > b, ¯ > a, ¯ > b, ³ÛëÇÝùÝª a ¨ b ï³ññ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý f®; ¯g »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ »½ñ»ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, a 6 ° ¨ b 6 °, ³ÛëÇÝùÝª ° 2 Aba : ê³Ï³ÛÝ, Áëï inff®; ¯g-Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ° 6 ®, ° 6 ¯ ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ®-Ç ¨ ¯-Ç ÙÇÝÇÙ³ÉáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇ, ° = ® ¨ ° = ¯: àõëïÇª ® = ¯ = °, ÇëÏ Áëï Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 0.10-Ç, Aba (6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇ³Ï ° 2 Aba ÙÇÝÇÙ³É ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ¹ñ³ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÁ, ³ÛëÇÝùÝª ° 6 x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Aba ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ° = supfa; bg Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, °-Ý fa; bg-Ç í»ñÇÝ »½ñ ¿, áñáíÑ»ï¨ ° 2 Aba : ÆëÏ »Ã» c > a ¨ c > b, ³å³ c 2 Aba ¨ ° 6 c, áñáíÑ»ï¨ °-Ý Aba μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÝ ¿: ¡ ¢ ºñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ inf Aba -Ýª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¡ b¢ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ: ¸Çóáõù ° = inf Aa : ø³ÝÇ áñ a; b 2 A ï³ññ»ñÁ Aba μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ »½ñ»ñ »Ý, ÇëÏ °-Ý Aba -Ç ëïáñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÝ ¿, ³å³ a 6 ° ¨ b 6 °: Ð»ï¨³μ³ñ, °-Ý fa; bg »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: ÆëÏ »Ã» c-Ý fa; bg-Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿, ³å³ c 2 Aba ¨ ° 6 c: ²ÛëåÇëáí, ° = supfa; bg: ¤ Â»áñ»Ù 0.12: àñå»ë½Ç A(6) í»ñç³íáñ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ûÅïí³Í ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññáí ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ supfa; bg-Ý ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 A ï³ññ»ñÇ ¤ Ñ³Ù³ñ: òáéÝÇ ³ùëÇáÙÁ (M. Zorn): ºÃ» A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÇÝ Ï³ñ·³íáñí³Í

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ûÅïí³Í ¿ í»ñÇÝ »½ñáí, ³å³ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ù³ùëÇÙ³É ï³ññáí, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m 2 A Ù³ùëÇÙ³É ï³ññ, áñ x 6 m:

0.5. ²Ýß³ñÅ Ï»ïÇ í»ñ³μ»ñÛ³É øÝ³ëï»ñî³ñëÏÇÇ ¨ ´ÇñÏÑáý-î³ñëÏÇÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ: ´³Ý³ËÇ ¨ Î³ÝïáñÞñÛá¹»ñ´»éÝßï³ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ ì»ñÑÇß»Ýù Ñ»ï¨Û³É ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ: ¸Çóáõù QÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: x0 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ f : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï, »Ã» f (x0 ) = x0 : ²Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ·áÛáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ: Â»áñ»Ù 0.13 (´ñ³áõ»ñ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ f : [a; b] ! [a; b] ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï (a 6 b):

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» f(a) 6= a ¨ f(b) 6= b, ³å³ g(x) = f (x) ¡ x ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý [a; b] μ R Ñ³ïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ ÏáõÝ»Ý³ ï³ñμ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñª g(a) > 0 ¨ g(b) < 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ´áÉó³ÝáÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 (a; b), áñ g(x0 ) = 0, ³ÛëÇÝùÝª f (x0 ) = x0 : ¤ b

a a

ê³Ï³ÛÝ Ã»áñ»Ù 0.15-Çó μËáõÙ ¿ Ý³¨, áñ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÁ ÙÝáõÙ ¿ áõÅÇ Ù»ç, »Ã» f : [a; b] ! [a; b] ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

÷áË³ñÇÝ»Ýù ³×áÕ ýáõÝÏóÇ³Ûáí‘ x 6 y ¡! f (x) 6 f (y); áñï»Õ x; y 2 [a; b]: Q(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» sup(X)Á ¨ inf(X)Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»Ù 0.14: Q(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ. 1) ¹ñ³ÝáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññ ¨ inf(X)Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ; 2) ¹ñ³ÝáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ ¨ sup(X)Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: 1) Üß³Ý³Ï»Ýù X 0 áí XÇ μáÉáñ í»ñÇÝ »½ñ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª X 0 = fa 2 Q j x 6 a; 8x 2 Xg ¨ ÝÏ³ï»Ýù, áñ X 0 6= ;, áñáíÑ»ï¨ QÇ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññÁ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ X 0 áõÙ: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ b = inf(X 0 ) 2 Q: ²å³óáõó»Ýù, áñ b = sup(X): Æñáù, ù³ÝÇ áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 X ï³ññ X 0 μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ »½ñ ¿, ³å³ x 6 b (³ÛëÇÝùÝª b 2 X 0 ): ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» c 2 Q ï³ññÁ XÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿, ³ÛëÇÝùÝª x 6 c ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ c 2 X 0 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, b 6 c: ²ÛëåÇëáí, b = sup(X): ¤ ¸Çóáõù, ïñí³Í »Ý Q(6) ¨ Q0 (6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙáÝáïáÝ Ï³Ù Ç½áïáÝ, »Ã» x 6 y ¡! '(x) 6 '(y); áñï»Õ x; y 2 Q: ¸Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É, áñ »ñÏáõ ÙáÝáïáÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÙáÝáïáÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ):

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

²Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ·áÛáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É Ñ»ï¨Û³É ¹³ë³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ øÝ³ëï»ñî³ñëÏÇÇ Ã»áñ»Ù (B. Knaster, A. Tarski), áñï»Õ F ix(')áí Ýß³Ý³Ïí³Í ¿ 'Ç μáÉáñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: Â»áñ»Ù 0.15 (øÝ³ëï»ñ, î³ñëÏÇ): ò³ÝÏ³ó³Í Q(6) ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! Q ÙáÝáïáÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï: 1) ¸»é ³í»ÉÇÝ, ® = sup fx 2 Q j x 6 '(x)g 2 Q

ï³ññÁ 'Ç ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ¨ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 'Ç μáÉáñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇó Ù»Í³·áõÛÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª a 6 ®, áñï»Õ aÝ 'Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ : 2) ²ÛÝáõÑ»ï¨, ¯ = inf fx 2 Q j '(x) 6 xg 2 Q

ï³ññÁ ÝáõÛÝå»ë 'Ç ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ¨ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 'Ç μáÉáñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ` ¯ 6 a, áñï»Õ a-Ý '-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ : 3) F ix(') Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù X = fx 2 Q j x 6 '(x)g ; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ X 6= ;, áñáíÑ»ï¨ 0 2 X, áñï»Õ 0 = inf(Q) ï³ññÁ QÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ® = sup(X) 2 Q: ò³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª x 6 ® ¨ x 6 '(x) 6 '(®), ³ÛëÇÝùÝª '(®)Ý XÇ í»ñÇÝ »½ñ ¿ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ® 6 '(®): àõëïÇ, '(®) 6 '('(®)) ¨ '(®) 2 X, áñï»ÕÇó '(®) 6 ® = sup(X): ²ÛëåÇëáí, '(®) = ®: ÆëÏ, »Ã» '(a) = a, áñï»Õ a 2 Q, ³å³ a 2 X ¨ a 6 ®: 2) ºñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ »ñÏ³ÏÇ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ²å³óáõó»Ýù 3)Á: ¸Çóáõù Y μ F ix('), Y 6= ; ¨ sup(Y ) = a: ¸Çï³ñÏ»Ýù [a; 1] = fx 2 Qj a 6 x 6 1g μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ 1 = sup(Q) ¨ Ýß³Ý³Ï»Ýù A = [a; 1]: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ºÃ» y 2 Y , ³å³ y 6 a ¨ y = '(y) 6 '(a),

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝª '(a)-Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿ Y -Ç Ñ³Ù³ñ, áõëïÇª a 6 '(a): ¸Çóáõù t 2 A: Ð»ï¨³μ³ñ, a 6 t ¨ a 6 '(a) 6 '(t), ³ÛëÇÝùÝª a 6 '(t) ¨ '(t) 2 A: ²ÛëåÇëáí, 'Ý A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ AÇ Ù»ç áõ A(6) ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É 2) åÝ¹áõÙÁ, ³ÛëÇÝùÝª b = inf fx 2 A j '(x) 6 xg 2 A ï³ññÁ 'Ç ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ¨ ÷áùñ ¿ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ AÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ 'Ç μáÉáñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇó: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ bÝ ÏÉÇÝÇ Y Ç í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÁ F ix(')áõÙ ¨ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: Æñáù, b-Ý Y -Ç í»ñÇÝ »½ñ ¿, áñáíÑ»ï¨ y 6 a 6 b ¨ y 6 b ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Y ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» b0 2 F ix(') ï³ññÁ Y -Ç í»ñÇÝ »½ñ ¿, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Y ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª y 6 b0 2 F ix(') ¡! a 6 b0 ¡! b0 2 A ¡! b 6 b0 : ¤

øÝ³ëï»ñî³ñëÏÇÇ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ μË»óÝ»É Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³ÛïÝÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ: Â»áñ»Ù 0.16 (´³Ý³Ë): ò³ÝÏ³ó³Í f : X ! Y ¨ g : Y ! X ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ X1 ; X2 μ X ¨ Y1 ; Y2 μ Y »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ f (X1 ) = Y1 ;

g(Y2 ) = X2 ;

áñï»Õ X = X1 [ X2 , X1 \ X2 = ;, Y = Y1 [ Y2 , Y1 \ Y2 = ;: μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ X μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ 2X Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ (ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ §μ¦ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ): ê³ÑÙ³Ý»Ýù ' : 2X ! 2X ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª '(S) = X n g(Y n f(S)); S μX : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ 'Ý ÙáÝáïáÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª S1 μ S2 ¡! '(S1 ) μ '(S2 ) :

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, 'Ý ÏáõÝ»Ý³ ³Ýß³ñÅ Ï»ï, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ S0 μ X, áñ '(S0 ) = S0 , Ï³Ùª X n g(Y n f (S0 )) = S0 : Üß³Ý³Ï»Éáíª S0 = X1 , f (S0 ) = Y1 , Y n Y1 = Y2 , g(Y2 ) = X2 , ³Ûëï»ÕÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª X n X2 = X1 : ¤

Â»áñ»Ù 0.17 (Î³Ýïáñ, ÞñÛá¹»ñ, ´»éÝßï³ÛÝ): ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý f : X ! Y ¨ g : Y ! X Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨ áñ¨¿ ' : X ! Y ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ X1 ; X2 μ X ¨ Y1 ; Y2 μ Y »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ f (X1 ) = Y1 , g(Y2 ) = X2 , áñï»Õ X = X1 [ X2 ; X1 \ X2 = ;; Y = Y1 [ Y2 ; Y1 \ Y2 = ; :

Ð»ï¨³μ³ñ, áñáÝ»ÉÇ ' : X ! Y ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ½ f(x); »Ã» x 2 X1 ; '(x) = ¤ y; »Ã» x 2 X2 ¨ g(y) = x; y 2 Y2 : A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñÇÝ (Ý»ñùÇÝ) ÉñÇí å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» Ýñ³ í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) ×ß·ñÇï »½ñ: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ´ÇñÏÑáý-î³ñëÏÇÇ Ã»áñ»Ù (G. Birkhoff) ¨ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ øÝ³ëï»ñ-î³ñëÏÇÇ Ã»áñ»ÙÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ:

Â»áñ»Ù 0.18 (´ÇñÏÑáý, î³ñëÏÇ): ò³ÝÏ³ó³Í A(6) í»ñÇÝ Ï³Ù Ý»ñùÇÝ ÉñÇí å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f : [a; b] ! [a; b] ÙáÝáïáÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï, áñï»Õ a 6 b, a; b 2 A: ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï` 1) »Ã» A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñÇÝ ÉñÇí å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ , ³å³ ® = supfx 2 [a; b] j x 6 f(x)g 2 [a; b]

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ï³ññÁ f -Ç ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ¨ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ f -Ç [a; b]-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ μáÉáñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇó Ù»Í³·áõÛÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ d 6 ®, áñï»Õ d-Ý [a; b]-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ f -Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ; 2) »Ã» A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñùÇÝ ÉñÇí å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ , ³å³ ¯ = inffx 2 [a; b] j f(x) 6 xg 2 [a; b]

ï³ññÁ f -Ç ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ¨ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ f -Ç [a; b]-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ μáÉáñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ ¯ 6 d, áñï»Õ d-Ý [a; b]-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ f -Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ : ²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» AÝ í»ñÇÝ ÉñÇí å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ¹Çï³ñÏáõÙ »Ýù M = fx 2 [a; b] j x 6 f (x)g áã ¹³ï³ñÏ (a 2 M ) ¨ b í»ñÇÝ »½ñ áõÝ»óáÕ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 = sup(M ) 2 A í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ x0 2 [a; b], áñáíÑ»ï¨ a 6 x 6 x0 ¨ x 6 b ó³ÝÏ³ó³Í x 2 M ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, f (x0 ) 2 [a; b]: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 M ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª x 6 x0 , x 6 f (x) 6 f (x0 ), Ñ»ï¨³μ³ñ, x0 6 f (x0 ) ¨ f (x0 ) 6 f (f (x0 )), ³ÛëÇÝùÝª f (x0 ) 2 M ¨ f (x0 ) 6 x0 : ²ÛëåÇëáí, x0 = f (x0 ): ÆëÏ, »Ã» f (d) = d, áñï»Õ d 2 [a; b], ³å³ d 6 f (d) ¨ d 2 M : Ð»ï¨³μ³ñ‘ d 6 ®: 2) Ü»ñùÇÝ ÉñÇí å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ M = fx 2 [a; b] j f (x) 6 xg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ¤ Î³ë»Ýù, áñ Q(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! Q ÙáÝáïáÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï: ØÇÝã ³ÛÅÙ ã»Ý μÝáõÃ³·ñí³Í μáÉáñ ³ÛÝ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 0.11: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í ¤ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ûÅïí³Í ¿ ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

0.6. Ð³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ® μ A £ B Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ®¡1 μ B £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (x; y) 2 ®¡1 Ã! (y; x) 2 ® ; áñï»Õ x 2 B, y 2 A: Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® μ A £ B ¢¡1 ¡ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ®¡1 = ® ¨ »Ã» ® μ ¯, ³å³ ®¡1 μ ¯ ¡1 : ºÃ» ®-Ç ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ §6¦ Ýß³ÝÁ, ³å³ ®¡1 -Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ §>¦ Ýß³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí‘ x > y Ã! y 6 x : ²ÏÝÑ³Ûï »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁ. 1) ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »Ã» ®¡1 μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿ μ³í³ñ³ñáõÙ ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÇÝ; 2) ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »Ã» ®¡1 μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿ μ³í³ñ³ñáõÙ ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÇÝ; 3) ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »Ã» ®¡1 μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿ μ³í³ñ³ñáõÙ ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÇÝ; 4) ® μ A£A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »Ã» ®¡1 μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿ μ³í³ñ³ñáõÙ ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÇÝ; 5) ò³ÝÏ³ó³Í ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ® \ ®¡1 Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ; 6) ºÃ» ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ùí³½ÇÏ³ñ· ¿, ³å³ ® \ ®¡1 Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºñÏáõ ® μ A £ B ¨ ¯ μ B £ C Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É (Ñ³Ù³¹ñáõÃÛáõÝ, ëáõå»ñåá½ÇóÇ³) ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ³ÛÝ ® ¢ ¯ μ A £ C Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ áñáßíáõÙ (ë³ÑÙ³ÝíáõÙ) ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (x; z) 2 ® ¢ ¯ Ã! 9y 2 B; (x; y) 2 ®; (y; z) 2 ¯ ; áñï»Õ x 2 A, z 2 C: î»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ). ® ¢ (¯ ¢ °) = (® ¢ ¯) ¢ ° ; (® ¢ ¯)¡1 = ¯ ¡1 ¢ ®¡1 ;

(® [ ¯)¡1 = ®¡1 [ ¯ ¡1 ; (® \ ¯)¡1 = ®¡1 \ ¯ ¡1 ; ®(¯ [ °) = ®¯ [ ®° ; (¯ [ °)® = ¯® [ °® ;

»Ã» Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñÁ áñáßí³Í »Ý: ²Ûë ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ μË»óíáõÙ »Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó: ê³Ï³ÛÝ, ®(¯ \ °) 6= ®¯ \ ®° ; (¯ \ °)® 6= ¯® \ °® :

úñÇÝ³Ï, »Ã» ® = f(2; 1); (2; 2)g μ N £ N, ¯ = f(1; 2)g μ N £ N,° = f(2; 2)g μ N£N, ³å³ ¯ \° = ;, ®(¯ \°) = ;, ®¯ = f(2; 2)g, ®° = f(2; 2)g, ®¯ \ ®° = f(2; 2)g ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ, ®(¯ \ °) 6= ®¯ \ ®° : ºÃ» ® μ A £ A, ³å³ ® ¢ ® ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ®2 -áí, ÇëÏ ®n = ®n¡1 ¢ ®: È»ÙÙ 0.8: 1) àñå»ë½Ç ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ "A μ ®;

®¡1 = ® ¨ ®2 = ® ;

áñï»Õ "A = f(x; x) j x 2 Ag Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

2) àñå»ë½Ç ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ "A μ ®;

®¡1 \ ® = "A

¨ ®2 = ® :

3) ºÃ» ® μ A £ A Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿ , ³å³ ®¡1 μ ¤ A £ A Ñ³Ï³¹³ñÓ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·: Â»áñ»Ù 0.19: àñå»ë½Ç »ñÏáõ ® μ A £ A ¨ ¯ μ A £ A Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ® ¢ ¯ μ A £ A ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ® ¢ ¯ = ¯ ¢ ®:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» ® ¢ ¯ μ A £ A ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ® ¢ ¯ = (® ¢ ¯)¡1 = ¯ ¡1 ¢ ®¡1 = ¯ ¢ ® :

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ®¢¯ = ¯ ¢®, ³å³ ®¢¯ μ A£A ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ "A μ ® ¢ ¯ ; (® ¢ ¯)¡1 = ¯ ¡1 ¢ ®¡1 = ¯ ¢ ® = ® ¢ ¯ ;

(® ¢ ¯)2 = (® ¢ ¯) ¢ (® ¢ ¯) = ® ¢ (¯ ¢ (® ¢ ¯)) = ® ¢ ((¯ ¢ ®) ¢ ¯) = ® ¢ ((® ¢ ¯) ¢ ¯) = = ® ¢ (® ¢ (¯ ¢ ¯)) = (® ¢ ®) ¢ (¯ ¢ ¯) = ®2 ¢ ¯ 2 = ® ¢ ¯

¨ ÙÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó:

Â»áñ»Ù 0.20: ºÃ» A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (ÉñÇí) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ , ³å³ A(>) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³Û¹åÇëÇÝ: ¤

0.7. Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ ¸Çóáõù A(6) ¨ A0 (6) ½áõÛ·»ñÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ' : A ! A0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñýÇ½Ù‘ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ³½ÙáõÃÛáõÝÇó A0 (6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³Ñ³ÝçÝ»ñÁ. ³) '-Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, μ) x 6 y Ã! '(x) 6 '(y), áñï»Õ x; y 2 A: A(6) ¨ A0 (6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ A ' A0 Ï³Ù A » = A0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : A ! A ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù): ê³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ (Ï³Ù §» =¦) Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ï³Ù Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: ÜáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý (Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ) ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç 'Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ ÙÝ³ó³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó: Æñáù, »Ã» 'x = 'y, ³å³ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ‘ 'x 6 'y ¨ 'y 6 'x, Ñ»ï¨³μ³ñ, x 6 y ¨ y 6 x, ³ÛëÇÝùÝª x = y: È»ÙÙ 0.9: Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) A ' A, μ) A ' A0 ¡! A0 ' A, ·) A ' A0 , A0 ' A00 ¡! A ' A00 :

²å³óáõóáõÙ: ³) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëï³ïíáõÙ ¿ ' = "A ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáóáí, áñï»Õ "A -Ý A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª "A (x) = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù μ)-Ý: ¸Çóáõù ' : A ! A0 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ x 6 y Ã! '(x) 6 '(y) : ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ u 6 v Ã! '¡1 (u) 6 '¡1 (v), áñï»Õ u; v 2 A0 : ÎáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢ ¡ ¢ '¡1 (u) 6 '¡1 (v) Ã! ' '¡1 (u) 6 ' '¡1 (v) Ã! ¡ ¡1 ¢ ¡ ¢ ' ¢ ' u 6 '¡1 ¢ ' v Ã! "B (u) 6 "B (v) Ã! u 6 v :

²ÛëåÇëáí,

u 6 v Ã! '¡1 (u) 6 '¡1 (v) ;

áñï»Õ '¡1 : B ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁª ÉÇÝ»Éáí ' : A ! B ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, ¨ë ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

²å³óáõó»Ýù ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·) å³ÛÙ³ÝÁ: ºÃ» A ' A0 ¨ A ' A00 , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ '1 : A ! A0 ¨ '2 : A0 ! A00 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ, áñ

x 6 y Ã! '1 (x) 6 '1 (y) ; u 6 v Ã! '2 (u) 6 '2 (v) ;

áñï»Õ x; y 2 A, ÇëÏ u; v 2 A0 : Ð»ï¨³μ³ñ, '1 ¢ '2 : A ! A00 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ('1 ¢ '2 ) x 6 ('1 ¢ '2 ) y Ã! '2 ('1 (x)) 6 6 '2 ('1 (y)) Ã! '1 (x) 6 '1 (y) Ã! x 6 y :

úñÇÝ³Ï, ºÃ» X ¨ Y μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª X » Y , ³å³ 2X ' 2Y , áñï»Õ 2X -Á ¹ÇïíáõÙ ¿ áñå»ë Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝª §μ¦ ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Æñáù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ f : X ! Y ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáí '(U ) = f (U );

; 6= U μ X ;

'(;) = ; ;

Ïëï³Ý³Ýù ³ÛÝåÇëÇ ' : 2X ! 2Y ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÇ ¹»åùáõÙª U1 μ U2 Ã! '(U1 ) μ '(U2 ) ;

U1 ; U2 2 2X :

²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ 2f in(X) ' 2fin(Y ) , »Ã» X » Y (ÑÇß»óÝ»Ýù, áñ 2X -Á X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ 2fin(X) -Á X-Ç μáÉáñ í»ñç³íáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿): ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ. »Ã» 2X ' 2Y , ³å³ X » Y : ºÃ» A(6) ½áõÛ·Á Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ A0 μ A, A0 6= ;, ³å³ A0 (6) ½áõÛ·Á ¨ë ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝª A0 -Á Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ª ÝáõÛÝ §6¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Î³ë»Ýù, áñ A(6 ) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ C(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ B μ C, B 6= ;, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ A ' B, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : A ! C ÇÝÛ»ÏïÇí (Ý»ñ¹ñáÕ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

x 6 y Ã! 'x 6 'y: ²Û¹åÇëÇ ' : A ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñáõÙ: ºÃ» ³Û¹ ¹»åùáõÙ Ý³¨ '(inf X) = inf '(X) (Ï³Ù '(sup X) = sup '(X)) ó³ÝÏ³ó³Í ; 6= X μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, »ñμ inf X-Á (Ï³Ù sup X-Á) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ A-Ý Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ C-Ç Ù»ç ³ÛÝå»ë, áñ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý A-Ç »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ëïáñÇÝ (Ï³Ù í»ñÇÝ) ×ß·ñÇï »½ñ»ñÁ: Â»áñ»Ù 0.21 (ø»ÉÇ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ 2A (μ) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç:

²å³óáõóáõÙ: a 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ja = fx 2 A j x 6 ag μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ja 6= ; ó³ÝÏ³ó³Í a 2 A ï³ññÇ ¹»åùáõÙ, áñáíÑ»ï¨ a 6 a, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇ: Üß³Ý³Ï»Ýùª B = fJa j a 2 Ag μ 2A ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ A ' B: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ' : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª a2A : '(a) = Ja ; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ '-Ý ëÛáõñ»ÏïÇí ¿, ³å³óáõó»Ýù '-Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ. '(a) = '(b) ¡! Ja = Jb ¡! a 6 b; b 6 a ¡! a = b : ²ÛëåÇëáí, '-Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿ ¨ ÙÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É '-Ç Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ. a 6 b Ã! Ja μ Jb Ã! '(a) μ '(b) :

Î³éáõóí³Í ' : A ! 2A Ý»ñ¹ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ø»ÉÇÇ Ý»ñ¹ñáõÙ (A. Cayley): Â»áñ»Ù 0.22: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ A(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ) Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ 2A (μ) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÛÝå»ë, áñ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý AÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ëïáñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñ»ñÁ:

²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÇÝ ³í»É³óÝ»É Ñ»ï¨Û³ÉÁ: ºÃ» ; 6= X μ A, X = fxi j i 2 Ig ¨ inf X-Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ,

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

³å³ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙáõÙ Ï³éáõóí³Í ' : A ! 2A ø»ÉÇÇ Ý»ñ¹ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª z 2 ' (inffxi j i 2 Ig) Ã! z 2 Jinffxi j i2Ig Ã! z 6 inffxi j i 2 Ig Ã! z 6 xi ; 8i 2 I Ã! z 2 Jxi ; 8i 2 I Ã! \ \ z2 Jxi Ã! z 2 '(xi ) Ã! z 2 inf '(X) ; i2I

i2I

áñï»Õ '(X) = f'(xi ) j i 2 Ig, ÇëÏ '(xi ) = Jxi , xi 2 X:

ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ ãÇ Ý»ñ¹ñíáõÙ 2A (μ) ï»ëùÇ áñ¨¿ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÛÝå»ë, áñ å³Ñå³Ýí»Ý Ýñ³ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÇÝãå»ë ëïáñÇÝ, ³ÛÝå»ë ¿É í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñ»ñÁ: úñÇÝ³Ï, ³Û¹åÇëÇÝ ¿ Ñ»ï¨Û³É ÑÇÝ· ï³ññ³ÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª

a ±¶ S

¶ S

± ¶ S

b± S

S ±¶

S ¶

cS± ¶ ,

áñÁ »ñ»ù ï³ññ³ÝÇ X = f1; 2; 3g μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ïñáÑáõÙÝ»ñÇ (Ï³Ù Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÝ»ñÇ) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ä³ï×³éÝ ³ÛÝ ¿, áñ ³Ûëï»Õª inf fa; supfb; cgg 6= sup finffa; bg; inffa; cgg :

0.8. îáåáÉá·Ç³, ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¸Çóáõù A-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ 2A -Á Ï³Ù pow(A)-Ý A-Ç μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ¿ μ pow(A) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç (íñ³ áñáßí³Í) ïáåáÉá·Ç³, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ïáåáÉá·Ç³ÛÇ ³ùëÇáÙÝ»ñ).

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³) A 2 ¿ ¨ ; 2 ¿ ; μ) ¿ -Ç Ù»ç ÙïÝáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ù³Ý³ÏÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ¿ -ÇÝ; ·) ¿ -Ç Ù»ç ÙïÝáÕ í»ñç³íáñ Ãíáí »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ¨ë å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ¿ -ÇÝ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, (A; ¿ ) ½áõÛ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, ÇëÏ ¿ -Ç ï³ññ»ñÁ ³Û¹ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Ð³×³Ë (A; ¿) ½áõÛ·Á Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A-áí: ºÃ» X μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³ó ¿ A-áõÙ, ³å³ Y = A n X Éñ³óáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï A-áõÙ, ³ÛëÇÝùÝª Y μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï A-áõÙ, »Ã» AnY Éñ³óáõÙÁ μ³ó ¿ A-áõÙ: Ð»ï¨³μ³ñ, ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³0 ) A ¨ ; μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï »Ý A-áõÙ; μ0 ) Î³Ù³Û³Ï³Ý ù³Ý³ÏÇ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿; ·0 ) ì»ñç³íáñ Ãíáí ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÝáñÇó ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: Æñáù, ³0 ) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó, ÇëÏ μ0 ) ¨ ·0 ) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý μ) ¨ ·) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó ¨ \ [ (A n Xi ) = A n Xi ; i2I

[

i2J

i2I

(A n Xi ) = A n

ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó (ûñ»ÝùÝ»ñÇó):

i2J

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1. ¸Çóáõù A-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ ¿ -Ý Ï³½Ùí³Í ¿ A-Ç μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ¿ -Ý ÏÉÇÝÇ ïáåáÉá·Ç³, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç ¹ÇëÏñ»ï ïáåáÉá·Ç³, ÇëÏ (A; ¿ ) ½áõÛ·Áª ¹ÇëÏñ»ï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: 2. ºÃ» ¿ = fA; ;g, ³å³ ¿ -Ý ÏÉÇÝÇ ïáåáÉá·Ç³, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ AÇ armb Ñ³Ï³¹ÇëÏñ»ï ïáåáÉá·Ç³, ÇëÏ (A; ¿ ) ½áõÛ·Áª Ñ³Ï³¹ÇëÏñ»ï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

3. ¸Çóáõù A = fa; bg, ÇëÏ ¿ = f;; A; fagg: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ¿ -Ý ÏÉÇÝÇ ïáåáÉá·Ç³, ÇëÏ (A; ¿ ) ½áõÛ·Áª ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù A-Ý ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ x 2 A: U μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç ßñç³Ï³Ûù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ X μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ x 2 X μ U: U μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ V μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ßñç³Ï³Ûù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ X μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ V μ X μ U : X μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ μ³ó A-áõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ X-Á Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññÇ ßñç³Ï³ÛùÝ ¿: x 2 A ï³ññÇ áñáß ù³Ý³ÏÇ ßñç³Ï³Ûù»ñÇ ¯x μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç ßñç³Ï³Ûù»ñÇ Ñ»Ýù (μ³½³), »Ã» xÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ¯x -ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ x-Ç áñ¨¿ ßñç³Ï³Ûù: ´³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»»ñÇ ¯ Ñ³Ù³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í ïáåáÉá·Ç³ÛÇ (Ï³Ù ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) Ñ»Ýù, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ¹³ï³ñÏ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¯-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ áñáß ù³Ý³ÏÇ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ: x0 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ x1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý (xn 2 A) ë³ÑÙ³Ý ¨ ·ñíáõÙ ¿ x0 = lim xn n!1 Ï³Ù xn ! x0 , »Ã» x0 -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ U0 ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª ëÏë³Í áñ¨¿ ï»ÕÇó, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n0 Ñ³Ù³ñ, áñ xn 2 U0 , »Ã» n > n0 : ²Ûëï»Õ n0 ÃÇíÁ Ï³Ëí³Í ¿ U0 ßñç³Ï³ÛùÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ëáíáñ³Ï³Ý Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÇ, »ñμ (·áÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ, ë³ÑÙ³ÝÁ (·áÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ) ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, Ñ³Ï³¹ÇëÏñ»ï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Çñ (ï³ññ»ñÇó Ï³½Ùí³Í) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý: A ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ð³áõë¹áñýÛ³Ý Ï³Ù T2 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» ¹ñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ x1 ; x2 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ U1 3 x1 ¨ U2 3 x2 ßñç³Ï³Ûù»ñ, áñ U1 \ U2 = ;, ³ÛëÇÝùÝª x1 6= x2 ï³ññ»ñÁ ûÅïí³Í »Ý ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ ßñç³Ï³Ûù»ñáí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³áõë¹áñýÛ³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý (ï³ññ»ñÇó Ï³½Ùí³Í) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): ºÃ» lim xn = x0 ¨ x0 6= xn , n 2 N, ³å³ ¹Çï³ñÏíáÕ n!1 ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ïáåáÉá·Ç³Ý ¹ÇëÏñ»ï ã¿, áñáíÑ»ï¨ ¹ÇëÏñ»ï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý fx0 g μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (ßñç³Ï³ÛùÁ) ãÇ å³ñáõÝ³ÏáõÙ xn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áñ¨¿ ï³ññ: Þ³ï Ñ³×³Ë ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ïáåáÉá·Ç³ÛÇ ïñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É »Õ³Ý³ÏÁ: Â»áñ»Ù 0.23: ¸Çóáõù A 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í A-Ç »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ Ox μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É 3 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí.

³) x-Á å³ïÏ³ÝáõÙ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ;

Ox -ÇÝ

å³ïÏ³ÝáÕ

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ

μ) ºÃ» U; V 2 Ox , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ W 2 Ox, áñ W μ U \V; ·) ºÃ» U 2 Ox ¨ y 2 U , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ V 2 Oy ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ V μ U: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» ¿ -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù ³ÛÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³½Ùí³Í ¿ A-Ç ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ¨ μáÉáñ ³ÛÝ X μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ux 2 Ox, áñ Ux μ X , ³å³ ¿ -Ý ÏÉÇÝÇ ïáåáÉá·Ç³, áñÇ Ñ³Ù³ñ Ox -Á ÏÉÇÝÇ S x-Ç ßñç³Ï³Ûù»ñÇ Ñ»Ýùª Ï³½Ùí³Í Ox -Áª ¿ ïáåáÉá·Ç³ÛÇ Ñ»Ýù: μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ÇëÏ ¯ = x2A

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ A 2 ¿ : ¸Çóáõù X1 ; X2 2 ¿ ¨ x 2 X1 \ X2 , ³ÛëÇÝùÝª x 2 X1 ¨ x 2 X2 : Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ Ux1 2 Ox ¨ Ux2 2 Ox , áñ Ux1 μ X1 , ÇëÏ Ux2 μ X2 : μ) å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ W 2 Ox , áñ W μ Ux1 \ Ux2 μ X1 \ X2 : àõëïÇª X1 \ X2 2 ¿ : S ¸Çóáõù X = Xi , áñï»Õ Xi 2 ¿ ¨ x 2 X, ³ÛëÇÝùÝª x 2 Xi0 , i2I

áñ¨¿ i0 2 I ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

Ux 2 Ox, áñ Ux μ Xi0 μ X: àõëïÇª X 2 ¿ : ²ÛëåÇëáí ¿ -Ý μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ïáåáÉá·Ç³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ·) å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ Ox μ ¿ μáÉáñ x 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù W -Ý x-Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý ßñç³Ï³Ûù ¿ª ¿ ïáåáÉá·Ç³ÛáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ X 2 ¿ , áñ x 2 X μ W : Ð³Ù³Ó³ÛÝ ¿ -Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Ux 2 Ox, áñ Ux μ X ¨ x 2 Ux μ W : Ð»ï¨³μ³ñ, ÏÉÇÝÇ x-Ç ßñç³Ï³Ûù»ñÇ Ï³éáõóí³Í ¿ ïáåáÉá·Ç³ÛáõÙ Ox μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ S Ox μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ Ñ»Ýù: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ¯ = x2A

ïáåáÉá·Ç³ÛÇ Ñ³Ù³ñ Ñ»Ýù ¿, áñáíÑ»ï¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ X 2 ¿ μ³ó μ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ux 2 Ox μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ x 2 Ux μ X: Ð»ï¨³μ³ñª [ X= Ux : ¤ x2X

îáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÛáõë ï³ññÁ ãå³ñáõÝ³ÏáÕ áñ¨¿ ßñç³Ï³Ûùáí: Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ T2 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: A ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ T3 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í Y μ A ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ ¹ñ³ÝÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A ï³ññ ûÅïí³Í »Ý ãÑ³ïíáÕ ßñç³Ï³Ûù»ñáí: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, T3 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ T1 ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ é»·áõÉÛ³ñ, »Ã» ³ÛÝ Ý³¨ T3 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: Â»áñ»Ù 0.24 (é»·áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ é»·áõÉÛ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í x-Ç ßñç³Ï³Ûù»ñÇ Ñ»Ýù: ¤ îáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ T4 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» ¹ñ³ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ãÑ³ïíáÕ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ûÅïí³Í »Ý (áõÝ»Ý) ãÑ³ïíáÕ μ³ó ßñç³Ï³Ûù»ñáí: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, T4 ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝáñÙ³É ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ Ý³¨ T4 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÝáñÙ³É ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ é»·áõÉÛ³ñ ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ é»·áõÉÛ³ñ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ð³áõë¹áñýÛ³Ý ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 0.25 (². Ü. îÇËáÝáí): ì»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ Ñ»Ýùáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ é»·áõÉÛ³ñ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ÝáñÙ³É ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : ¤ ¸Çóáõù A-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ RÁª μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ½ : A £ A ! R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»ïñÇÏ³ª áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (Ù»ïñÇÏ³ÛÇ ³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ). M1 ) ½(x; y) > 0 μáÉáñ x; y 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ½(x; y) = 0 Ã! x = y; M2 ) ½(x; y) = ½(y; x) μáÉáñ x; y 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; M3 ) ½(x; y) 6 ½(x; z) + ½(z; y) μáÉáñ x; y; z 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: (A; ½) ½áõÛ·Á ÏáãíáõÙ ¿ Ù»ïñÇÏ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» ½-Ý Ù»ïñÇÏ³ ¿ª áñáßí³Í A-Ç íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ï»ï»ñ, ÇëÏ ½(x; y) áã μ³ó³ë³Ï³Ý ÃÇíÁª x; y Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³Ï, »Ã» A = R, ½(x; y) = jx ¡ yj, ³å³ (A; ½) ½áõÛ·Á Ù»ïñÇÏ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: ¸Çóáõù (A; ½)-Ý Ù»ïñÇÏ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿; ¿½ -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù μáÉáñ ³ÛÝ U μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ. ó³ÝÏ³ó³Í a 2 U ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ " > 0 Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ fx 2 A j ½(x; a) < "g μ U : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ¿½ -Ý ïáåáÉá·Ç³ ¿ª áñáßí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ Ù»ïñÇÏ³Ûáí áñáßí³Í (ÍÝí³Í) ïáåáÉá·Ç³: (A; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»ïñÇÏ³óíáÕ (Ï³Ù Ù»ïñÇ½³óí³Í), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ³ÛÝåÇëÇ ½ Ù»ïñÇÏ³, áñ ¿ = ¿½ : Â»áñ»Ù 0.26 (àõñÁëáÝ): àñå»ë½Ç í»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ Ñ»Ýùáí ûÅïí³Í ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Ù»ïñÇÏ³óíáÕ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ ¤ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ÝáñÙ³É2 : 2 Â»áñ»ÙÝ»ñ 0.24, 0.25, 0.26-Ç ³å³óáõóáõÙÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É ïáåáÉá·Ç³ÛÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ó³ÝÏ³ó³Í Ó»éÝ³ñÏáõÙ (ï»ë, ûñÇÝ³Ï, Äæ. Êåëëè, Îáùàÿ òîïîëîãèÿ, Ì., 1968):

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

ºÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ S = fAi μ Aj i 2 Ig ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ S Ai = A: ºÃ» (A; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Í³ÍÏáõÛÃ, »Ã» i2I

S Í³ÍÏáõÛÃÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ai ï³ññ μ³ó (÷³Ï) μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ S-Á ÏáãíáõÙ ¿ μ³ó (÷³Ï) Í³ÍÏáõÛÃ: T μ S »ÝÃ³Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ S Í³ÍÏáõÛÃÇ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ, »Ã» T -Ý ÝáõÛÝå»ë (A; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Í³ÍÏáõÛÃ ¿: îáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÙå³Ïï ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý μ³ó Í³ÍÏáõÛÃÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É í»ñç³íáñ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ: ¸Çóáõù (A; ¿ )Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ B μ A »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¹³ï³ñÏ ã¿: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ¿B = fB \ U j U 2 ¿ g

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ BÇ ïáåáÉá·Ç³: (B; ¿B ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (A; ¿ )Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ²Ûë Ó¨áí, ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É áñå»ë ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 0.12: ÎáÙå³Ïï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÷³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ë ÏáÙå³Ïï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : ¤ ¸Çóáõù (A; ¿)-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: ¿ -áí ÍÝí³Í ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ (A; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáñ»ÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, ÇëÏ ¹ñ³ ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáñ»ÉÛ³Ý μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸Çóáõù A-Ý ¨ B-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: f : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï x0 2 A Ï»ïáõÙ, »Ã» y0 = f (x0 ) å³ïÏ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í V ßñç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x0 Ï»ïÇ ³ÛÝåÇëÇ U ßñç³Ï³Ûù, áñ f(U) μ V , áñï»Õ f (U ) = ff (x) j x 2 U g: f : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï, »Ã» ³ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A Ï»ïáõÙ: àñå»ë½Ç f : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ f ¡1 (V ) μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ A-Ç μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝª ó³ÝÏ³ó³Í V μ B μ³ó μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ f ¡1 (V ) = fx 2 A j f (x) 2 V g:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

0.9. àã Ñëï³Ï (fuzzy) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ êÏë»Ýù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ [0; 1] Ñ³ïí³ÍÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝó Ù»Í Ù³ëÁ (μ³ó³éáõÃÛ³Ùμ í»ñçÇÝ 10) ¨ 11) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ) Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ f0; 1g μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: Î³Ù³Û³Ï³Ý x; y 2 [0; 1] ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Éáíª x ^ y = minfx; yg ; x _ y = maxfx; yg ; x = 1¡x;

Ïëï³Ý³Ýùª 1) x ^ y = y ^ x, x _ y = y _ x, (ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) 2) (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z), (x _ y) _ z = x _ (y _ z), (½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) 3) x ^ x = x, x _ x = x, (ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) 4) x ^ (x _ y) = x, x _ (x ^ y) = x, (ÏÉ³ÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) 5) x ^ (y _ z) = (x ^ y) _ (x ^ z), x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z), (μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) 6) x _ 0 = x, x ^ 1 = x, (ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) 7) (x) = x, (ÇÝùÝ³Ù÷á÷áõÃÛ³Ý ûñ»Ýù) 8) x ^ y = x _ y, x _ y = x ^ y, (¸» Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñ) 9) x ^ x 6 y _ y Ã! (x ^ x) _ (y _ y) = y _ y, (øÉÇÝÇÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ) 10) = , (³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù) 11) (x _ x) _ = x _ x: (øÉÇÝÇÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ) 1)–8) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ: 1)–9) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý øÉÇÝÇÇ (S.C. Kleene) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ, ÇëÏ 1)–11) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ: ì»ñçÇÝ 10-ñ¹ ¨ 11-ñ¹ ûñ»ÝùÝ»ñÁ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ÁÝÃ»ñóíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a ï³ññ, áñ a = a;

(³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù)

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

(x _ x) _ a = x _ x : (øÉÇÝÇÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ)

²ÛëåÇëáí, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ [0; 1] Ñ³ïí³ÍÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ):

A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý £

μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ëáíáñ³μ³ñ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ fA£ : A ! f0; 1g ýáõÝÏóÇ³Ýª ½ 1; »Ã» x 2 £; £ fA (x) = 0; »Ã» x 2 A n £;

áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ £ μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý μÝáõÃ³·ñÇã Ï³Ù å³ïÏ³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý ýáõÝÏóÇ³: fA£ μÝáõÃ³·ñÇã ýáõÝÏóÇ³Ûáí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý í»ñ³Ï³Ý·ÝíáõÙ ¿ £ μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, ï³É £ μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ï³É £ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ©¡ ¢ ª fA μÝáõÃ³·ñÇã ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ù μ áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª £ x; fA (x) j x 2 A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ fA ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏ: àõëïÇ, A μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ëÏ³Ý³É Ý³¨ f : A ! f0; 1g ï»ëùÇ ó³ÝÏ³ó³Í ýáõÝÏóÇ³: ê³Ï³ÛÝ »ñμ»ÙÝ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ (Ï³½ÙÁ) Ñëï³Ïáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, á±ñÝ ¿ Éë³ñ³ÝáõÙ ·ïÝíáÕ ³ÛÝ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áíù»ñ Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ¹³ë³ËáëáõÃÛáõÝÁ, Ï³Ù á±ñÝ ¿ Ð³Û³ëï³ÝÇ ·»Õ»óÇÏ Í³ÕÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ3 : ²ÛëåÇëÇ ¹»åù»ñáõÙ ÙÇ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ëáë»É ÝÏ³ñ³·ñíáÕ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ ïñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññÇ å³ïÏ³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý ³ëïÇ×³ÝÇ (ã³÷Ç) Ù³ëÇÝ: ²ÛëåÇëÇ §»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ¦ ÏáãíáõÙ »Ý áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ëáíáñ³Ï³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, áñáÝó Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³¨ ³Ýí³Ý»É Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, »ñμ Ñëï³Ïáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ ¹ñ³ Ï³éáõóí³ÍùÁ (Ï³½ÙÁ), ³ÛëÇÝùÝª Ñëï³Ïáñ»Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É (åÝ¹»É) å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ Ã» áã ¹Çï³ñÏíáÕ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ ïñí³Í A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ï³ññÁ: ¸³ë³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ý Ï³éáõóí³Í ¿ ¨ ½³ñ·³ÝáõÙ ¿ Ñëï³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ÑÇÙ³Ý íñ³: ê³Ï³ÛÝ ÏáÙåÛáõï»ñ³ÛÇÝ ·ÇïáõÃÛ³Ý ½³ñ·³óÙ³Ý Ñ»ï Ù»Ïï»Õ, ³ÏïÇíáñ»Ý ½³ñ·³ÝáõÙ ¿ Ý³¨ áã Ñëï³Ï (fuzzy) μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ í»ñçÇÝÇë ÑÇÙ³Ý íñ³ Ý³¨ μ³½Ù³ÃÇí áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: î»ë, ûñÇÝ³Ï, John Yen and 3 ²Û¹åÇëÇÝ

¿ Ý³¨ μáÉáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (è³ëë»É, Î³Ýïáñ):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Reza Langari Fuzzy Logic: intelligence, control and information, 1999 by Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey. ²ÝóÝ»Ýù ×ß·ñÇï ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇ: ¸Çóáõù A-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ fA : A ! [0; 1] ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ýáõÝÏóÇ³) ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ºñμ»ÙÝ fA ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÷áË³ñ»Ý ¹ñ³ f(x; fA (x)) j x 2 Ag ·ñ³ýÇÏÝ ¿ ÏáãíáõÙ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ: àã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ áõëáõÙÝ³ëÇñíáõÙ ¿ ëÏë³Í 1965 Ã.: (Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ [0; 1] Ñ³ïí³ÍÇ ÷áË³ñ»Ý í»ñóÝ»Éáí ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï³éáõóí³Íù áõÝ»óáÕ μ³½ÙáõÃÛáõÝ (ûñÇÝ³Ï, μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ, ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (ï»ë 20.3-Á), Ï³Ù Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ), Ñ³Ý·áõÙ »Ýù áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ·³Õ³÷³ñÇ:) ºÃ» fA (x) 2 f0; 1g, ³å³ fA -Ý ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ A-Ç áñ¨¿ ëáíáñ³Ï³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý μÝáõÃ³·ñÇã ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëáíáñ³Ï³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É áñå»ë áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³íáñ ¹»åù: ¸Çóáõù fA -Ý ¨ gA -Ý A μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ñÏáõ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: Î³ë»Ýù, áñ fA -Ý ÁÝÏ³Í ¿ gA -áõÙ (Ï³Ù gA -Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ fA -Ý) ¨ Ï·ñ»Ýùª fA 6 gA Ï³Ù gA > fA , »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, fA (x) 6 gA (x) (áñå»ë Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·: fA -Ý ÏáãíáõÙ ¿ gA -Ç Éñ³óáõÙ ¨ ·ñíáõÙ ¿ fA = gA , »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª fA (x) = 1 ¡ gA (x) = gA (x) ; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (g A ) = gA : A μ³½ÙáõÃÛ³Ý fA ¨ gA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÛÝ hA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ hA (x) = min ffA (x); gA (x)g = fA (x) ^ gA (x) ;

x 2 A;

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

μ³Ý³Ó¨áí: ²ÛÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ hA = fA \ gA Ó¨áí ¨ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÛÝ §³Ù»Ý³Ù»Í¦ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÁÝÏ³Í ¿ fA -áõÙ ¨ gA -áõÙ: fA ¨ gA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ hA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ hA (x) = max ffA (x); gA (x)g = fA (x) _ gA (x) ;

x 2 A;

μ³Ý³Ó¨áí: ²ÛÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ hA = fA [ gA Ó¨áí ¨ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÛÝ §³Ù»Ý³÷áùñ¦ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ fA -Ý ¨ gA -Ý: ²ÛëåÇëáí, ÙÇ¨ÝáõÛÝ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ (ë³ÑÙ³Ýí³Í §6¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ), áñï»Õ supffA ; gA g = fA [ gA , ÇëÏ infffA ; gA g = fA \ gA : ºñÏáõ fA ¨ gA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ëÇÙ»ïñÇÏ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª fA n gA = fA \ gA ; fA ª gA = (fA n gA ) [ (gA n fA ) ;

êáíáñ³Ï³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

ÑÇÙÝ³Ï³Ý

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ý³¨ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, áñáÝù Çñ³Ï³ÝáõÙ Å³é³Ý·íáõÙ »Ý [0; 1] Ñ³ïí³ÍÇ í»ñáÑÇßÛ³É Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó. ) fA \ gA = gA \ fA ; ( ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA [ gA = gA [ fA ; ) (fA \ gA ) \ ¹A = fA \ (gA \ ¹A ) ; ( ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) (fA [ gA ) [ ¹A = fA [ (gA [ ¹A ) ; ) fA \ fA = fA ; ( ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA [ fA = fA ; ) fA \ (fA [ gA ) = fA ; ( ÏÉ³ÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA [ (fA \ gA ) = fA ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

fA \ (gA [ ¹A ) = (fA \ gA ) [ (fA \ ¹A ) ;

)

( μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA [ (gA \ ¹A ) = (fA [ gA ) \ (fA [ ¹A ) ; ) fA \ gA = f A [ gA ; ( ¸» Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñ) fA [ gA = f A \ g A : ¸Çï³ñÏ»Éáí A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁª 0A ¨ 1A , áñï»Õ 0A (x) = 0 ¨ 1A (x) = 1 μáÉáñ x 2 A ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¹0A = 1A ;

fA [ 0A = fA ;

ÙÇÝã¹»éª »Ã» fA 6= 0A ; 1A :

fA \ 1A = fA ;

¹ 1A = 0A ; (ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ)

fA [ 1A = 1A ;

fA \ 0A = 0A ;

fA \ f A 6= 0A ;

fA [ f A 6= 1A ;

Â»áñ»Ù 0.27: A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áñÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ f (a) = , a 2 A, å³ÛÙ³Ýáí áñáßíáÕ f : A ! [0; 1] áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ [0; 1] Ñ³ïí³ÍÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

¤ ²ÛëåÇëáí, áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ»ÝùÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ [0; 1] Ñ³ïí³ÍÝ ¿ª Çñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí: àã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³éáõóí³ÍùÇó »ÉÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ýáñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: hA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ fA ¨ gA áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É (·áõÙ³ñ) ¨ ·ñíáõÙ ¿ hA = fA ¢ gA (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñª hA = fA + gA ), »Ã» hA (x) = fA (x) ¢ gA (x) 2 [0; 1]

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

(Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñª hA (x) = fA (x) + gA (x) ¡ fA (x) ¢ gA (x) 2 [0; 1]) : ²Ûëï»Õ Ç ÝÏ³ïÇ »Ýù áõÝ»ÝáõÙ ³ÛÝ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁ, áñ a; b 2 [0; 1] ¡! a + b ¡ a ¢ b 2 [0; 1]; Æñáù, Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáí a-Ý a = 1 ¡ " ï»ëùáí, áñï»Õ 0 6 " 6 1, ÏáõÝ»Ý³Ýùª a + b ¡ ab = 1 ¡ " + b ¡ (1 ¡ ")b = 1 ¡ " + "b = 1 ¡ "(1 ¡ b) 2 [0; 1] : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É

ÑÇÙÝ³Ï³Ý

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ)ª fA ¢ 1A = fA , fA + 0A ) = fA , (ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA ¢ gA = gA ¢ fA ; ( ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA + gA = gA + fA ; ) (fA ¢ gA ) ¢ ¹A = fA ¢ (gA ¢ ¹A ) ; ( ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) (fA + gA ) + ¹A = fA + (gA + ¹A ) ; ) fA ¢ gA = f A + g A ; ( ¸» Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñ) fA + gA = f A ¢ g A ; > fA ¢ (gA [ ¹A ) = (fA ¢ gA ) [ (fA ¢ ¹A ) ; > > > > = fA ¢ (gA \ ¹A ) = (fA ¢ gA ) \ (fA ¢ ¹A ) ; ( μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) fA + (gA [ ¹A ) = (fA + gA ) [ (fA + ¹A ) ; > > > > > f + (g \ ¹ ) = (f + g ) \ (f + ¹ ) : ; A

ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ fA , gA ¨ ¹A áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ fA ¢ (gA + ¹A ) 6= (fA ¢ gA ) + (fA ¢ ¹A ) ; áñáíÑ»ï¨ª a ¢ (b + c ¡ bc) 6= ab + ac ¡ (ab)(ac);

»Ã» a2 6= a: ºÃ» [0; 1]A -áí »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

Ýß³Ý³Ï»Ýù A-Ç μáÉáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ³å³

áã Ñëï³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

f : B ! [0; 1]A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ýáõÝÏóÇ³) ÏáãíáõÙ ¿ B-Ç »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ÀÝïñ»Éáí §É³í¦ A μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ §É³í¦ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. êïáõ·»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª A \ (A [ B) = A; A [ (A \ B) = A;

(ÏÉ³ÝÙ³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ)

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C); A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C); A \ (B n C) = (A \ B) n C; = A n (B [ C) = (A n B) n C; ; A ª (B ª C) = (A ª B) ª C;

A n (B [ C) = (A n B) \ (A n C); A n (B \ C) = (A n B) [ (A n C); (A [ B) n C = (A n C) [ (B n C); A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C); A n (B n C) = (A n B) [ (A \ C); (A n B) n C = (A n C) n (B n C); A \ (B ª C) = (A \ B) ª (A \ C); A £ (B [ C) = (A £ B) [ (A £ C); (B [ C) £ A = (B £ A) [ (C £ A); A £ (B \ C) = (A £ B) \ (A £ C); (B \ C) £ A = (B £ A) \ (C £ A); A £ (B n C) = (A £ B) n (A £ C); (B n C) £ A = (B £ A) n (C £ A)

(μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ)

(½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ) > > > > > > > > = > > > > > > > > ;

> > > > > > = > > > > > > ;

μáÉáñ A; B; C μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

(μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñ)

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

2. ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª Ã ! [ [ ® (A1 [ A2 ) = ® (A1 ) [ ® (A2 ) ; ® Ai = ® (Ai ) ; i2I

® (A1 \ A2 ) μ ® (A1 ) \ ® (A2 ) ; ®

i2I

® (Ai ) ;

i2I

® (A1 ) n ® (A2 ) μ ® (A1 n A2 ) ;

áñï»Õ A1 ; A2 ; Ai μ A, i 2 I:

3. Î³Ù³Û³Ï³Ý ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¨ C μ B »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ®¡1 (C) μ A »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ®¡1 (C) = fx 2 A j ®(x) 2 Cg : ²å³óáõó»ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ®¡1 (B1 [ B2 ) = ®¡1 (B1 ) [ ®¡1 (B2 ) ; Ã ! [ [ ¡1 ® Bi = ®¡1 (Bi ) ; i2I

¡1

i2I

¡1

(B1 \ B2 ) = ® (B1 ) \ ®¡1 (B2 ) ; Ã ! \ \ ¡1 Bi = ®¡1 (Bi ) ; ® i2I

i2I

®¡1 (B1 n B2 ) = ®¡1 (B1 ) n ®¡1 (B2 ) ;

áñï»Õ B1 ; B2 ; Bi μ B, i 2 I:

4. ¸Çóáõù R0+ -Á μáÉáñ áã μ³ó³ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ ¨ f (x) = x2 , áñï»Õ x 2 R: ³) ²å³óáõó»É, áñ f : R0+ ! R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, μ³Ûó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ Ó³ËÇó: Î³éáõó»É (Ýß»É) f -Ç »ñÏáõ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ) ²å³óáõó»É, áñ f : R ! R0+ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ ³çÇó, μ³Ûó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó: Î³éáõó»É (Ýß»É) f -Ç »ñÏáõ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñ: ·) ²å³óáõó»É, áñ f : R0+ ! R0+ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ¹) ²å³óáõó»É, áñ f : N ! N ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, μ³Ûó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ Ó³ËÇó: Î³éáõó»É (Ýß»É) f -Ç »ñÏáõ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñ: 5. ú·ïí»Éáí í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³ÏÇó, μË»óÝ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇóª

·áõÙ³ñÙ³Ý

³ùëÇáÙÁ

A \ B = ; ! jA [ Bj = jAj + jBj;

áñï»Õ A-Ý ¨ B-Ý í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý:

6. ²å³óáõó»É »ñ»ù í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý Ï³ñ·Ç Ñ³ßíÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨Áª jA [B [Cj = jAj +jBj +jCj ¡jA \Bj ¡ jA\ Cj ¡ jB \Cj +jA \B \Cj : 7. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É A1 ; : : : ; An í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý Ï³ñ·Ç Ñ³ßíÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É

μ³Ý³Ó¨Áª

¯ ¯n n ¯[ ¯ X X X ¯ ¯ jAi j¡ jAi \ Aj j+ jAi \ Aj \ Ak j¡¢ ¢ ¢ ¯ Ai ¯ = ¯ ¯ i=1

i=1

16i<j6n

16i<j<k6n

¢ ¢ ¢ + (¡1)n¡1 jA1 \ ¢ ¢ ¢ \ An j :

8. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ëïáõ·»É Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁª (x1 ; : : : ; xn ) = (x01 ; : : : ; x0n ) Ã! x1 = x01 ; : : : ; xn = x0n : 9. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ A1 ; : : : ; An í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ A1 £ ¢ ¢ ¢ £ An ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³ñ·Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª

áñï»Õ n > 2:

jA1 £ ¢ ¢ ¢ £ An j = jA1 j ¢ jA2 j ¢ ¢ ¢ jAn j;

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

10. A = f1; 2; 3g μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ï³éáõó»ù Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ ® μ A £ A ¨ ¯ μ A £ A ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñ ® ¢ ¯ 6= ¯ ¢ ®: 11. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ. áñå»ë½Ç ® μ A £ B Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ® ¢ ®¡1 = "A ; ®¡1 ¢ ® = "B ;

áñï»Õ ®¡1 -Á ®-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿: 12. Î³éáõó»É T3 -ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ã¿:

³ÛÝåÇëÇ

ûñÇÝ³Ï,

áñÁ

T1 -

13. Î³éáõó»É T4 -ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ã¿:

³ÛÝåÇëÇ

ûñÇÝ³Ï,

áñÁ

T1 -

14. ²å³óáõó»É, áñ Ù»ïñÇÏ³óíáÕ ¿:

¹ÇëÏñ»ï

ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý

ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ

15. ºÃ» (A; ½)-Ý Ù»ïñÇÏ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ (A; ¿½ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ð³áõë¹áñýÛ³Ý ¿: 16. ú·ïí»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³å³óáõó»É, áñ ³çÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »ñÏáõ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó ¨ ¯ 0 ¢ ®0 = (® ¢ ¯)0 ; ³ÛëÇÝùÝª ¯ 0 ¢ ®0 -Á ÏÉÇÝÇ ® ¢ ¯ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: 17. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Ãíáí ³çÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó ¨ ®0n ¢ ®0n¡1 ¢ ¢ ¢ ®01 = (®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n )0 ; ³ÛëÇÝùÝª ®0n ¢ ®0n¡1 ¢ ¢ ¢ ®01 -Á ÏÉÇÝÇ ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18. ú·ïí»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³å³óáõó»É, áñ Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »ñÏáõ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó ¨ ¯ 00 ¢ ®00 = (® ¢ ¯)00 ; ³ÛëÇÝùÝª ¯ 00 ¢ ®00 -Á ÏÉÇÝÇ ® ¢ ¯ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: 19. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Ãíáí Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó ¨ ®00n ¢ ®00n¡1 ¢ ¢ ¢ ®001 = (®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n )00 ; ³ÛëÇÝùÝª ®00n ¢ ®00n¡1 ¢ ¢ ¢ ®001 -Á ÏÉÇÝÇ ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: 20. ú·ïí»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³å³óáõó»É, áñ »Ã» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³å³ ®-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó: 21. ú·ïí»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³å³óáõó»É, áñ »Ã» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³å³ ¯-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó: 22. ú·ïí»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³å³óáõó»É, áñ »Ã» ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ® ¢ ¯ : A ! C ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ ®-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ÇëÏ ¯-Ýª Ó³ËÇó: 23. ¸Çóáõù ® : A ! B ¨ ¯ : B ! C ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý ³çÇó; ® ¹ -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù ®-Ç μáÉáñ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ® ¹ = f®0 : B ! A j ® ¢ ®0 = "A g : ¸Çóáõù

ª © ¹̄ ¢ ® ¹ : ¹ = ¯ 0 ¢ ®0 : ¯ 0 2 ¹̄; ®0 2 ®

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¹̄ ¢ ® ¹ μ ® ¢ ¯:

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

´ÝáõÃ³·ñ»É μáÉáñ ³ÛÝ ®, ¯ ³çÇó ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñª

Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ

® ¢ ¯ = ¹̄ ¢ ® ¹

(ûñÇÝ³Ï, »Ã» ®-Ý ¨ ¯-Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) »Ý, ³å³ ®, ¯ ½áõÛ·Á Ñ»Ýó ³Û¹åÇëÇÝ ¿): 24. Ü³Ëáñ¹ ËÝ¹ÇñÁ í»ñ³Ó¨³Ï»ñå»É ¨ ÉáõÍ»É Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 25. ²å³óáõó»É ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ. áñå»ë½Ç ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ®-Ý μ³í³ñ³ñÇ

Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÇÝª

áñï»Õ ¯; ° : C ! A:

¯ ¢ ® = ° ¢ ® ! ¯ = °;

26. ²å³óáõó»É ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ. áñå»ë½Ç ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ëÛáõñ»ÏïÇí, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ

áñï»Õ ¯; ° : B ! C:

® ¢ ¯ = ® ¢ ° ! ¯ = °;

27. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ýí»ñç μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ Çñ áñ¨¿ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: 28. Î³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³Ýó ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ (Ï³Ù ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ãáõÝ»óáÕ), »Ã» n = 1 Ï³Ù Ýñ³ μ³Õ³¹ñÇãÝ»ñÁ (Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ) ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ï³ñμ»ñ »Ý: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñ áõÝ»óáÕ (Ï³Ù ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí): ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ m-ï³ññ³ÝÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ¨ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ãáõÝ»óáÕ μáÉáñ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª

áñï»Õ 1 6 n 6 m:

m(m ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (m ¡ n + 1);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

29. ºÃ» jAj = n > 1 ¨ jBj = m > n , ³å³ ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª m(m ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (m ¡ n + 1) : 30. n-ï³ññ³ÝÇ

μáÉáñ k-ï³ññ³ÝÇ μ ¶ n »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ -áí: ²å³óáõó»É k

Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨Áª

n k

μ³½ÙáõÃÛ³Ý

n! ; k!(n ¡ k)!

áñï»Õ 0 6 k 6 n ¨ 0! = 1 :

31. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» jAj = n ¨ jBj = m 6 n, ³å³ ® : A ! B ï»ëùÇ μáÉáñ ëÛáõñ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª m¡1 X

(¡1)

i=0

m i

(m ¡ i)n :

32. ²å³óáõó»É, áñ n-ï³ññ³ÝÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝ»óáÕ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª μ ¶ n 1 n! 1 ¡ + ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1) : 1! 2! 3! n! 33. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μ

n k

n n¡k

(ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù)

34. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μ

n+1 k

áñï»Õ 1 6 k 6 n:

n k

n k¡1

;

(ä³ëÏ³ÉÇ ûñ»Ýù)

¶ÉáõË 0 ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²ä²îÎºðàôØÜºð

35. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ

μ³Ý³Ó¨Áª

x +

(x + y)n = μ n¡1 x y + ¢¢¢ +

Ð³Ù³éáïª (x + y)n =

n n¡1

n¡1

n n

yn;

¶ n μ X n xn¡k y k ; k k=0

áñï»Õ x; y 2 R, n 2 N:

36. ²å³óáõó»É, áñ μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ n n n n n + + + + ¢¢¢ + = 2n n ¨ μ

+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)

n n

= 0;

³ÛëÇÝùÝª 1+n+ ¨

n(n ¡ 1) n(n ¡ 1)(n ¡ 2) + + ¢ ¢ ¢ + 1 = 2n 1¢2 1¢2¢3

n(n ¡ 1) n(n ¡ 1)(n ¡ 2) ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1)n = 0 : 1¢2 1¢2¢3 (òáõóáõÙ. ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ Ù»ç ï»Õ³¹ñ»É x = 1, y = 1 ¨ x = 1, y = ¡1): 1¡n+

Ø³ë ²

Âí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ

¶ É áõ Ë 1 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜØ²Ü

¾ìÎÈÆ¸ºêÆ (¾ìÎÈÆ¸Æ) Î²ÜàÜÀ (²È¶àðÆÂØÀ):

´²Ô¸²îàôØÜºð, ØÜ²òøÜºðÆ ¸²êºð, ¶àðÌàÔàôÂÚàôÜÜºð ØÜ²òøÜºðÆ ¸²êºðÆ Ðºî: ¼àô¶àð¸²Î²Ü ¶àðÌàÔàôÂÚàôÜÜºð 1.1. ´³Å³ÝáõÙ ¨ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝáõÙ ºÃ» jaj-Ý a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ μ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ ¿ (Ùá¹áõÉÁ), ³ÛëÇÝùÝª ½ < a; »Ã» a > 0; a; »Ã» a > 0; jaj = = 0; »Ã» a = 0; ¡a; »Ã» a < 0; : ¡a; »Ã» a < 0;

³å³ jaj > 0 ¨ jaj = 0 ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a = 0: ÎáõÝ»Ý³Ýù Ý³¨ ja ¢ bj = jaj ¢ jbj ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 R Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ü»ñÙáõÍ»Éáí a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ýß³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ ¨ Ýß³Ý³Ï»Éáí Ýñ³Ý sign(a)-áíª < 1; »Ã» a > 0; sign(a) = 0; »Ã» a = 0; : ¡1; »Ã» a < 0; ÏáõÝ»Ý³Ýùª

jaj = a ¢ sign(a); ¨

a = jaj ¢ sign(a) sign(a ¢ b) = sign(a) ¢ sign(b)

ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 R Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Î³ë»Ýù, áñ a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b ³ÙμáÕç ÃíÇ íñ³ ¨ Ï·ñ»Ýù a=b Ï³Ù bna, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ a = b ¢ c (³Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý Ý³¨, áñ a-Ý ³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç ¿ μ³Å³ÝíáõÙ b-Ç íñ³): a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ μ³Å³Ý»ÉÇ Ï³Ù b-Ç å³ïÇÏ (»ñμ»ÙÝ Ý³¨ μ³½Ù³å³ïÇÏ), b-Ýª a-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ, ± ² ÇëÏ c-Ý ù³Ýáñ¹ (»Ã» b 6= 0): Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ª a ¡b Ï³Ù b¡ a ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

¿ª a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ b-Ç íñ³: ºÃ» a = bc ¨ b 6= 0, ³å³ c-Ý áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ 1-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ a¢x = 1: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ §1-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ²ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõÛ·, »Ã» ³ÛÝ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç íñ³, ¨ Ï»Ýïª Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ: Ð»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μ³Å³ÝÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: 1± ¼ñáÝ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í ³ÙμáÕç ÃíÇ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ¨ ½ñáÛÇ) íñ³: 2± ºÃ» a 6= 0 ¨ b = 0, ³å³ a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ b-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ ½ñáÛÇ íñ³: 3± ºÃ» a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³, ³å³ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¡b-Ç ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ Ý³¨ jbj-Ç íñ³: 4± Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ a ³ÙμáÕç ÃÇí μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ ¨ 1-Ç íñ³: 5± ºÃ» a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³ ¨ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ c-Ç íñ³, ³å³ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ c-Ç íñ³: 6± ºÃ» a-Ý ¨ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ »Ý c-Ç íñ³, ³å³ ax § by-Á ÝáõÛÝå»ë Ïμ³Å³ÝíÇ c-Ç íñ³, áñï»Õ x; y 2 Z: 7± ºÃ» a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³ ¨ jaj < jbj, ³å³ a = 0:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a = b ¢ c, áñï»Õ c 2 Z ¨ 0 6 jaj < jbj, ³å³ª jb ¢ cj = jaj < jbj; jbj ¢ jcj < jbj :

ì»ñçÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ïñ×³ï»Éáí jbj > 0 ³ÙμáÕç ¹ñ³Ï³Ý Ãíáí, Ïëï³Ý³Ýù jcj < 1: Ð»ï¨³μ³ñ jcj = 0 ¨ c = 0: àõëïÇ a = b ¢ c = b ¢ 0 = 0: 8± ºÃ» a 6= 0 ¨ a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³, ³å³ jaj > jbj:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 7± -Çó:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

9± ºÃ» b ³ÙμáÕç ÃÇíÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ b = §1:

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8± -Çª j1j > jbj, áñï»Õ b 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñª jbj = 1 ¨ b = §1:

10± ºÃ» a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³ ¨ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç íñ³, ³å³ a = b Ï³Ù a = ¡b, ³ÛëÇÝùÝª jaj = jbj:

²å³óáõóáõÙ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ t; s 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = bt ¨ b = as: Ð»ï¨³μ³ñª a = ast, a ¡ ast = 0, a(1 ¡ st) = 0, áñï»ÕÇó Ï³Ù a = 0 = 0 ¢ s = b Ï³Ù st = 1, ³ÛëÇÝùÝª s = §1 (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9± ) ¨ b = §a:

11± ê³ÑÙ³Ý»Éáí a; b 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ± a ¹ b Ã! b a ;

ëï³ÝáõÙ »Ýù ÙÇ §¹¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ, áñÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ:

12± ê³ÑÙ³Ý»Éáí a; b 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ± a ¹ b Ã! b a ;

ëï³ÝáõÙ »Ýù ÙÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý ¨ ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, μ³Ûó ãÇ μ³í³ñ³ñáõÙ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ¨ Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

²å³óáõó»Ýù ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ûñ»ÝùÁ (Ï³ÝáÝÁ, ³É·áñÇÃÙÁ, ÁÝÃ³ó³ÝÇÝ), áñÁ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù Ó¨³Ï»ñåí»É ¿ (§»ñÏñ³ã³÷áñ»Ý¦) ¨ ³å³óáõóí»É ÑáõÛÝ Ñ³ÛïÝÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¾íÏÉÇ¹»ëÇ (¾íÏÉÇ¹Ç) ÏáÕÙÇó, Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛáõÝÇó ³é³ç 3-ñ¹ ¹³ñáõÙª Çñ §êÏ½μáõÝùÝ»ñ¦ Ñ³Ýñ³Ñ³Ûï ³ßË³ïáõÃÛ³Ý Ù»ç (·Çñù VII, Ã»áñ»ÙÝ»ñ 1, 2): Â»áñ»Ù 1.1 (¾íÏÉÇ¹»ë): ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b 6= 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = bq + r ¨ 0 6 r < jbj;

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ·áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÁª û·ïí»Éáí ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÇ ëÏ½μáõÝùÇó: ¸Çï³ñÏ»Ýù a ¡ bx ï»ëùÇ μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x-Á ÷á÷áËíáõÙ ¿ Z μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»çª M = fa ¡ bx j x 2 Zg;

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ M μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý áã μ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñáíÑ»ï¨ a ¡ bx > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Z μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ ÉáõÍáõÙÝ»ñ (ûñÇÝ³Ï, »Ã» a > 0, ³å³ x = 0, ÇëÏ »Ã» a < 0, ³å³ x = ab): Üß³Ý³Ï»Éáí M μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ ÷áùñ³·áõÛÝ áã μ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙμáÕç ÃÇíÁ r-áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª r = a ¡ bx0 > 0;

áñï»Õ x0 = q 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñª a = bq + r: ²å³óáõó»Ýù r < jbj ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí r > jbj ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª r ¡ jbj = r1 > 0; r1 < r; ¨

r1 = r ¡ jbj = a ¡ bx0 ¡ b ¢ sign(b) = a ¡ b(x0 + sign(b)) 2 M ;

²ÛëåÇëáí 0 6 r1 < r ¨ r1 2 M , áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ r-Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõóáõÙ ¿ r < jbj ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¶áÛáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ¶áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÁ ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ q 0 ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ q0 6

a < q0 + 1; jbj

Ð»ï¨³μ³ñª q 0 jbj 6 a < q0 jbj + jbj; 0 6 a ¡ q 0 jbj < jbj;

Ýß³Ý³Ï»Éáíª r = a ¡ q 0 jbj, Ïëï³Ý³Ýùª

a = q 0 jbj + r = q 0 b ¢ sign(b) + r = bq + r; áñï»Õ q = q 0 ¢ sign(b), 0 6 r < jbj;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõó»Ýù q ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» a = bq1 + r1 ; a = bq2 + r2 ; ³å³ q1 = q2 ¨ r1 = r2 : Çñáùª

áñï»Õ 0 6 r1 < jbj; áñï»Õ 0 6 r2 < jbj;

bq1 + r1 = bq2 + r2 ; b(q1 ¡ q2 ) = r2 ¡ r1 ;

áñï»Õ jr2 ¡ r1 j < jbj: ø³ÝÇ áñ jr2 ¡ r1 j < jbj ¨ (r2 ¡ r1 )-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³, ³å³ Áëï Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý 7± -Ç r2 ¡ r1 = 0, Ñ»ï¨³μ³ñ r2 = r1 : àñÇó Ñ»ïá ëï³ÝáõÙ »Ýùª b(q1 ¡ q2 ) = 0;

áñï»Õ, Áëï å³ÛÙ³ÝÇ, b 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñª q1 ¡ q2 = 0 ¨ q1 = q2 :

a ³ÙμáÕç ÃíÇ

a = bq + r;

0 6 r < jbj

Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý Ù»ç a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ μ³Å³Ý»ÉÇ, b-Ýª μ³Å³Ý³ñ³ñ, q-Ýª (áã ÉñÇí) ù³Ýáñ¹, ÇëÏ r-Á ÙÝ³óáñ¹ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ a mod(b)-áí Ï³Ù a(mod b)-áí: úñÇÝ³Ï, 8(mod 3) = 2, 9(mod 4) = 1, ... b = 2 ¹»åùáõÙ Ã»áñ»Ù 1.1-Ý ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí Ï³Ù ½áõÛ· ¿ Ï³Ù Ï»Ýï:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 1.1: ºÃ» ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ K μ Z áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ Ï³Ù K = f0g Ï³Ù K Ý Ï³½Ùí³Í ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý b ï³ññÇ (ÃíÇ) μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇó, ³ÛëÇÝùÝª K = fbq j q 2 Zg :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» K 6= f0g, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a 2 K, a 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, a ¡ a = 0 2 K, 0 ¡ a = ¡a 2 K ¨ KÝ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ jaj > 0 ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ: Üß³Ý³Ï»Ýù báí KÇ Ï³½ÙáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýù nb 2 K, áñï»Õ n 2 N: Ð»ï¨³μ³ñ, mb 2 K, áñï»Õ m 2 Z: àõëïÇª fbqj q 2 Zg μ K: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ñ³Ï³é³ÏÁ: ¸Çóáõù c 2 K ¨ c = bq+r, áñï»Õ 0 6 r < b: ºÝÃ³¹ñ»Éáí r 6= 0, ëï³ÝáõÙ »Ýù 0 < r < b ¨ r = c ¡ bq 2 K, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ bÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ: ¤

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 1.2: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b 6= 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = bq + r;

áñï»Õ jrj < jbj ¨ r, b Ãí»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ (»Ã» r 6= 0): ²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 1.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a = bq + r;

0 6 r < jbj :

ºÃ» b > 0, ³å³ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ³å³óáõóí³Í: ¸Çóáõù b < 0 ¨ r 6= 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ jbj = ¡b ¨ r < ¡b, r1 = r + b < 0: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, b < b + r; ¡b > ¡(b + r); ¨

jbj > jb + rj = jr1 j a = bq + r = bq ¡ b + b + r = b(q ¡ 1) + (b + r) = b(q ¡ 1) + r1 :

ØÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇ ³å³óáõóáõÙÁ ÏñÏÝáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 1.1-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇ ³å³óáõóáõÙÁ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 1.3: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b 6= 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = bq + r;

jbj jbj <r6 ;

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a = bq + r; áñï»Õ jrj < jbj ¨ r, b ³ÙμáÕç Ãí»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ (»Ã» jbj jbj r 6= 0): ºÃ» ³Ûëï»Õ ¡ < r 6 , ³å³ ·áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÁ ÏÉÇÝÇ jbj jbj ¨ jr ¡ bj = , »Ã» r ¡ ³å³óáõóí³Í: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª jr ¡ bj 6 jbj jbj ¨ b > 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ¡ < r ¡ b 6 a = bq + r = bq + b ¡ b + r = b(q + 1) + (r ¡ b) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ØÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇ ³å³óáõóáõÙÁ ÏñÏÝáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 1.1-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇ ³å³óáõóáõÙÁ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 1.4: ¸Çóáõù a-Ý ¨ b-Ý ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, b > 1: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ c0 ; c1 ; : : : ; ck ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = ck bk + ck¡1 bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + c1 b + c0 ; áñï»Õ 0 6 ci < b, i = 0; 1; : : : ; k ¨ ck 6= 0:

²å³óáõóáõÙ: ØÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÇó (Ã»áñ»Ù 1.1) μËáõÙ a ¡ c0 ¿, áñ a = bq1 + c0 , áñï»Õ 0 6 c0 < b ¨ q1 = < a: ºÃ» q1 > b, ³å³ b ÝáñÇó μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª q1 = bq2 +c1 , áñï»Õ 0 6 c1 < b ¨ q2 < q1 : ºÃ» q2 > b, ³å³ ß³ñáõÝ³Ï»Éáí Ýßí³Í »Õ³Ý³Ïáí, ëï³ÝáõÙ »Ýù ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª q1 > q2 > ¢ ¢ ¢ ; áñÝ ³Ýí»ñç ÉÇÝ»É ãÇ Ï³ñáÕ: ²ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ k Ñ³Ù³ñ, áñÇ ¹»åùáõÙª qk < b, ÇëÏ qk¡1 > b: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù

Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝª

a = bq1 + c0 ; q1 = bq2 + c1 ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ; qk¡2 = bqk¡1 + ck¡2 ; qk¡1 = bqk + ck¡1 ; qk = b ¢ 0 + ck : Ð»ï¨³μ³ñ, qk 6= 0, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝª ck¡1 = qk¡1 > b : ²ÛÅÙ ·ñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ³ñï³ùë»Éáí qk ; qk¡1 ; : : : ; q1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýùª a = ck bk + ¢ ¢ ¢ + c1 b + c0 ; áñï»Õ 0 6 ci < b, i = 0; 1; : : : ; k ¨ ck 6= 0:

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ci ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù áõÝ»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª a = dk bk + ¢ ¢ ¢ + d1 b + d0 ; áñï»Õ 0 6 di < b, i = 0; 1; : : : ; k ¨ dk 6= 0: ø³ÝÇ áñ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª a = bx + c0 ;

áñï»Õ 0 6 c0 < b;

a = by + d0 ;

áñï»Õ 0 6 d0 < b;

³å³ c0 = d0 (Ã»áñ»Ù 1.1): ²ÛÝáõÑ»ï¨ª a ¡ c0 = bu + c1 ; b

áñï»Õ 0 6 c1 < b;

a ¡ c0 = bv + d1 ; áñï»Õ 0 6 d1 < b; b áõëïÇ c1 = d1 (Ã»áñ»Ù 1.1), ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: Æ í»ñçá ëï³ÝáõÙ »Ýù ci = di Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μáÉáñ i = 0; 1; : : : ; k ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ²å³óáõóí³Í Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ a μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ý»ñÏ³Û³óáõÙ b-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ¨ Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ª a = (ck ck¡1 ¢ ¢ ¢ c1 c0 )b ; áñï»Õ c0 ; c1 ; : : : ; ck Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³Û¹ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ, ÇëÏ k-Ýª Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³Ï, 2-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ 43-Á Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª 43 = (101011)2 ; áñáíÑ»ï¨ 43 = 1 ¢ 25 + 0 ¢ 24 + 1 ¢ 23 + 0 ¢ 22 + 1 ¢ 2 + 1; ÇëÏ 3-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙª 43 = (1121)3 ; áñáíÑ»ï¨ 43 = 1 ¢ 33 + 1 ¢ 32 + 2 ¢ 3 + 1 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» x 2 Z, x 6= 0, ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáí ±(x)-Á áñå»ë jxj-Ç 2³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ áõÝ»ó³Í Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ ¨, »ÉÝ»Éáí Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1.3-Çó, Ï³ñáÕ »Ýù åÝ¹»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a ¨ b 6= 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ q ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = bq + r;

áñï»Õ Ï³Ù r = 0, Ï³Ù ±(r) < ±(b): Æñáù, jrj 6

jbj Ã! ±(r) < ±(b) :

Àëï áñáõÙ, Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ q ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñÝ ³ñ¹»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ã»Ý áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, a = 30, b = 4 ¹»åùáõÙª 30 = 4 ¢ 8 ¡ 2; 30 = 4 ¢ 7 + 2;

q = 8; q = 7;

r = ¡2; r=2

jbj : ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ 2±(x) 6 jxj < 2±(x)+1 : ê³ÑÙ³Ýí³Í ±(x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³é³ÝÓÝ³Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ ï»ë ·ÉáõË 19-Ç í»ñçáõÙ ½»ï»Õí³Í 12-ñ¹ ËÝ¹ÇñÁ:

¨ jrj 6

1.2. ´³Õ¹³ïáõÙÝ»ñ: ØÝ³óù³ÛÇÝ ïáåáÉá·Ç³ ²ÝóÝ»Ýù μ³Õ¹³ïÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÇÝ: ¸Çóáõù n-Á (áã ½ñáÛ³Ï³Ý) μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, áñÁ Ñ»ï¨Û³É ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ùá¹áõÉ, Ñ»Ý³ÃÇí Ï³Ù Ñ»Ýù: a ¨ b Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï Ùá¹áõÉ n-Ç ¨ ·ñíáõÙ ¿ a ´ b(mod n); »Ã» Ýñ³Ýó a ¡ b ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ n-Ç íñ³: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï Ùá¹áõÉ n-Ç ¨ ·ñíáõÙ ¿ª a 6´ b(mod n): ²Ûë Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³Ï, »Ã» a = b(mod n), ³å³ a ´ b(mod n):

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 1.1: àñå»ë½Ç a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÉÇÝ»Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï Ùá¹áõÉ n-Ç ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ a = nq + r;

b = nq1 + r;

0 6 r < n;

²ÛëÇÝùÝª a ´ b(mod n) Ã! a(mod n) = b(mod n): ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a ´ b(mod n);

³å³ a ¡ b = nt, t 2 Z; ¸Çóáõùª

a = nq + r;

0 6 r < n;

²Û¹ ¹»åùáõÙª b = a ¡ nt = nq + r ¡ nt = n(q ¡ t) + r = nq1 + r; áñï»Õ q1 = q ¡ t 2 Z: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» a = nq + r;

b = nq1 + r;

³å³ a ¡ b = nq ¡ nq1 = n(q ¡ q1 ) ¨ a ´ b(mod n): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 1.1-Ý ³å³óáõóí³Í ¿: ´³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:

¤ »Ý

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 1.2: a ´ a(mod n) (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ); ºÃ» a ´ b(mod n), ³å³ b ´ a(mod n) (ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ); ºÃ» a ´ b(mod n) ¨ b ´ c(mod n), ³å³ a ´ c(mod n) (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ): ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³ó, μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ ª áñáßí³Í Z μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

²å³óáõóáõÙ: a ¡ a = 0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³: ºÃ» a¡b ³ÙμáÕç ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ n-Ç íñ³, ³å³ b¡a = ¡(a¡b) ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ n-Ç íñ³: ºÃ» a ¡ b ¨ b ¡ c ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý n-Ç íñ³, ³å³ a ¡ c = (a ¡ b) + (b ¡ c) ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ n-Ç íñ³: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 1.3: ºÃ» a1 ´ b1 (mod n) ¨ a2 ´ b2 (mod n), ³å³ a1 § a2 ´ b1 § b2 (mod n) ¨ a1 a2 ´ b1 b2 (mod n): ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, »Ã» a1 ´ b1 (mod n), : : :, an ´ bn (mod n), ³å³ a1 + ¢ ¢ ¢ + an ´ b1 + ¢ ¢ ¢ + bn (mod n) ¨ a1 ¢ ¢ ¢ an ´ b1 ¢ ¢ ¢ bn (mod n), ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ùá¹áõÉáí μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ·áõÙ³ñ»É ¨ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù μ³½Ù³å³ïÏ»É:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a1 ¡ b1 ¨ a2 ¡ b2 ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý n-Ç íñ³, ³å³ (a1 § a2 ) ¡ (b1 § b2 ) = (a1 ¡ b1 ) § (a2 ¡ b2 ) ¨ a1 a2 ¡ b1 b2 = a1 a2 ¡ a1 b2 + a1 b2 ¡ b1 b2 = a1 (a2 ¡ b2 ) + b2 (a1 ¡ b1 ) ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ¨ë Ïμ³Å³Ýí»Ý n-Ç íñ³: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùÇ ³å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 1.5: ´³Õ¹³ïÙ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³í»É³óÝ»É ÙÇ¨ÝáõÛÝ ³ÙμáÕç ÃÇíÁª ³é³Ýó ÷áË»Éáõ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ùá¹áõÉÁ: ´³Õ¹³ïÙ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ³½Ù³å³ïÏ»É ÙÇ¨ÝáõÛÝ ³ÙμáÕç Ãíáíª ³é³Ýó ÷áË»Éáõ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ùá¹áõÉÁ: ´³Õ¹³ïÙ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ³ñÓñ³óÝ»É ÙÇ¨ÝáõÛÝ μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³Ýª ³é³Ýó ÷áË»Éáõ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ùá¹áõÉÁ: ´³Õ¹³ïÙ³Ý áñ¨¿ ÏáÕÙáõÙ »Õ³Í ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï»Õ³÷áË»É μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÙÛáõë ÏáÕÙª ÷áË»Éáí ·áõÙ³ñ»Éáõ Ýß³ÝÁ ¨ ã÷áË»Éáí μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ùá¹áõÉÁ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 1.6: ºÃ» a ´ b(mod m), ³å³ ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ó³ÝÏ³ó³Í f (x) = c0 + c1 x + ¢ ¢ ¢ + cn xn μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñª

f (a) ´ f (b)(mod m) :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a ´ b(mod m), ³å³ ak ´ bk (mod m), ck ak ´ ck bk (mod m) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª c0 + c1 a + ¢ ¢ ¢ + cn an ´ c0 + c1 b + ¢ ¢ ¢ + cn bn (mod m) :

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

ú·ïí»Éáí ³Ûë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ý·»É Ãí»ñÇ μ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ÙÇ ß³ñù Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇ: úñÇÝ³Ï, »Ã» 10-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ a μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª a = ak 10k + ak¡1 10k¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 ¢ 10 + a0 ; ¨ u-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù a-Ç μáÉáñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª u=

k X

ai ;

i=0

ÇëÏ v-áíª v=

k X (¡1)i ai ; i=0

³å³ª

0) a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 10-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a0 -Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 10-Ç, ³ÛëÇÝùÝ, »ñμ a0 = 0: a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 5-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a0 -Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç, ³ÛëÇÝùÝ, »ñμ a0 = 0 Ï³Ù a0 = 5: 1) a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 3-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ u-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: 2) a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 9-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ u-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç: 3) a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 11-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ v-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 11-Ç: 4) a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 2s -Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a μÝ³Ï³Ý ÃíÇ í»ñçÇÝ s Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í as¡1 as¡2 : : : a1 a0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2s -Ç íñ³: Æñáù, »Ã» f (x) = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + ak¡1 xk¡1 + ak xk ; ³å³ f (10) = a, f (1) = u, f(¡1) = v: ø³ÝÇ áñ 10 ´ 1(mod 9), ³å³ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1.6)ª f (10) ´ f (1)(mod 9), ³ÛëÇÝùÝª a ´ u(mod 9) ¨ a ¡

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

u = 9l, l 2 N: Ð»ï¨³μ³ñ, a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 9-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ u-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç: a ¡ u = 9l Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ý³¨ μËáõÙ ¿, áñ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 3-Ç (íñ³) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ u-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: ø³ÝÇ áñ 10 ´ (¡1)(mod 11), ³å³ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1.6)ª f(10) ´ f (¡1)(mod 11), ³ÛëÇÝùÝª a ´ v(mod 11), a ¡ v = 11t, t 2 N: Ð»ï¨³μ³ñ, a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 11-Ç (íñ³) ³ÛÝ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ v-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 11-Ç: ì»ñçÇÝ åÝ¹Ù³Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ μ³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª a ¡ as¡1 as¡2 : : : a1 a0 = 10s ¢ w = 2s ¢ m; w; m 2 N : ê¨»é»Ýù n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ [a] ¹³ëÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª [a] = fx 2 Z j x ´ a(mod n)g; áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ÃíÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Áëï n Ñ»ÝùÇ (Ñ»Ý³ÃíÇ, Ùá¹áõÉÇ) Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª a-Ç ¹³ë (Áëï n Ñ»ÝùÇ Ï³Ù n-Ç): [a] ¹³ëÁ a-Ç Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÝ ¿ Áëï μ³Õ¹³ïÙ³Ý §´¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý: [a] ¹³ëÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ¹³ëÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇã Ï³Ù ÙÝ³óù: È»ÙÙ 1.1: ØÇ¨ÝáõÛÝ n Ñ»Ýùáí ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁª [a] = [b] Ã! a ´ b(mod n) :

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ É»ÙÙ 0.2-Çó:

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n Ùá¹áõÉÇ Ñ³Ù³ñª [0] = fnq j q 2 Zg ; [1] = fnq + 1 j q 2 Zg ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ [n ¡ 1] = fnq + (n ¡ 1) j q 2 Zg ; Ð³×³Ë [0]; [1]; : : : ; [m] ¹³ë»ñÁ Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ýª 0; 1; : : : ; m: È»ÙÙ 1.2: Àëï n Ñ»ÝùÇ [0]; [1]; : : : ; [n ¡ 1] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã»Ý Ñ³ïíáõÙ ¨ Áëï n Ñ»ÝùÇ ó³ÝÏ³ó³Í [a] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ýßí³Í ¹³ë»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ï:

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

²å³óáõóáõÙ: äÝ¹Ù³Ý ³é³çÇÝ Ù³ëÁ μËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 1.1-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇó, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁª Ã»áñ»Ù 1.1-Ç ·áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÇó: Æñáù, »Ã» 0 6 i; j 6 n ¡ 1, i 6= j ¨ x 2 [i] \ [j], ³å³ x = nq + i ¨ x = nq 0 + j, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 1.1-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ: ÆëÏ, »Ã» a = nq + r, 0 6 r 6 n ¡ 1, ³å³ a ¡ r = nq, ³ÛëÇÝùÝª a ´ r(mod n) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ [a] = [r] (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ È»ÙÙ 1.1-Ç): ¤ [0]; [1]; : : : ; [n ¡ 1] ¹³ë»ñÇó Ù»Ï³Ï³Ý í»ñóñ³Í ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ÉñÇí Ñ³Ù³Ï³ñ·ª Áëï n Ñ»ÝùÇ (Ùá¹áõÉÇ): ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, »Ã» a 2 Z, n 2 N, ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáí (n) = fnt j t 2 Zg ¨ a + (n) = fa + nt j t 2 Zg μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª [a] = a + (n), áñï»Õ [a]-Á a ÃíÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÝ ¿ Áëï n Ñ»ÝùÇ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ Ox = fx + (n) j n 2 Ng μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (x 2 Z) μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ã»áñ»Ù 0.23-Ç »ñ»ù

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

³) x-Á å³ïÏ³ÝáõÙ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ;

Ox -ÇÝ

å³ïÏ³ÝáÕ

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ

μ) ºÃ» U; V 2 Ox , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ W 2 Ox , áñ W μ U \ V : Æñáù, »Ã» U = x + (n) ¨ V = x + (m), ³å³ W = x + (mn); ·) ºÃ» U 2 Ox ¨ y 2 U , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ V 2 Oy ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ V μ U : Æñáù, »Ã» U = x + (n) ¨ y = x + nt, ³å³ V = y + (n) μ U : Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 0.23-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Z-Ç íñ³ áñáßí³Í ³ÛÝåÇëÇ ¿ ïáåáÉá·Ç³, áñ Ox μ ¿ μáÉáñ x 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ÀÝ¹ áñáõÙ, Ox -Á ÏÉÇÝÇ x-Ç ßñç³Ï³Ûù»ñÇ Ñ»Ýù, áñÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿, S ÇëÏ ¯ = Ox -Áª ¿ ïáåáÉá·Ç³ÛÇ Ñ»Ýù, áñÁ ÝáõÛÝå»ë Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ²Ûë x2Z

¿ ïáåáÉá·Ç³Ý ÏáãíáõÙ ¿ Z-Ç ÙÝ³óù³ÛÇÝ Ï³Ù åáÉÇ³¹ÇÏ ïáåáÉá·Ç³: (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ù»ïñÇ½³óíáÕ ¿:

Æñáù, μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÝáñÙ³É ¿ ¨ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 0.26-Çó: ÆëÏ ¹Çï³ñÏíáÕ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÝáñÙ³É ÉÇÝ»ÉÁ ³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 0.25Ç, μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³ÛÝ é»·áõÉÛ³ñ ¿: Ü³Ë ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ T1 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ (³ÛÝ ÝáõÛÝÇëÏ T2 ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿): ²ÛÝáõÑ»ï¨, ù³ÝÇ áñ

n¡1 [ a=0

fa + (n)g

¨ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ μ³ó ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x + (n) μ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ n ¡ 1 Ñ³ï μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý Éñ³óÙ³ÝÁ (Z-áõÙ) ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x + (n) μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ý³¨ ÷³Ï ¿: àõëïÇ Ox -Á, μáÉáñ x 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ï³½Ùí³Í ¿ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 0.24-Çó:

ì»ñÝ³·ñÇ í»ñçáõÙ ³å³óáõó»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ, áñÁ Ñ³×³Ë ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë Ïáãí³Í ¹ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ áõëáõÙÝ³ëÇñáõÃÛ³Ý Å³Ù³Ý³Ï: Â»áñ»Ù 1.2: ¸Çóáõù r; t 2 N ¨ r2 > t: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ 0 6 x < r; 0 6 y < r :

a ´ xr + y(mod t);

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 1.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a = tq + l;

0 6 l < t;

l = xr + y;

06y<r:

ºñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ x > 0: Æñáù, »Ã» l < r, ³å³ x = 0 ¨ y = l, ÇëÏ l > r ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù l > y ¨ x=

l¡y >0: r

Ð»ï¨³μ³ñ, a ´ l(mod t), ³ÛëÇÝùÝª a ´ xr + y(mod t), áñï»Õ 0 6 l y y y < r, 0 6 < 1, 0 6 = x + ¨ r r r 06x6

l t r2 < 6 =r: r r r

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

1.3. ¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ Ñ»ï ²ÛÅÙ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ÙÇ¨ÝáõÛÝ n Ñ»Ýùáí (Ñ»Ý³Ãíáí, Ùá¹áõÉáí) ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý (³ñï³¹ñÛ³É) Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª [a] + [b] = [a + b]; [a] ¢ [b] = [a ¢ b] :

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 1.3-Çó ¨ É»ÙÙ 1.1-Çó μËáõÙ ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í ã»Ý ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» [a] = [a0 ] ¨ [b] = [b0 ], ³å³ [a+b] = [a0 +b0 ] ¨ [a¢b] = [a0 ¢b0 ]: Æñáù, »Ã» [a] = [a0 ] ¨ [b] = [b0 ], ³å³ Áëï É»ÙÙ 1.1-Çª a ´ a0 (mod n) ¨ b ´ b0 (mod n), ÇëÏ Áëï Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý 1.3Çª a + b ´ a0 + b0 (mod n) ¨ a ¢ b ´ a0 ¢ b0 (mod n), Ñ»ï¨³μ³ñ Áëï É»ÙÙ 1.1-Çª [a + b] = [a0 + b0 ] ¨ [a ¢ b] = [a0 ¢ b0 ]: úñÇÝ³Ï, »Ã» n = 2, ³å³ [1] + [1] = [0], ÇëÏ, »Ã» n = 3, ³å³ [1] + [1] = [2], [2] ¢ [2] = [1], : : : ØÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 1. ØÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ýª

μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý

([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]) ; Æñáùª

([a] ¢ [b]) ¢ [c] = [a] ¢ ([b] ¢ [c]) ;

([a] + [b]) + [c] = [a + b] + [c] = [(a + b) + c] = [a + (b + c)] = = [a] + [b + c] = [a] + ([b] + [c]) : ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëïáõ·íáõÙ ¿ ÙÝ³óùÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: 2. ØÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý »Ýª [a] + [b] = [b] + [a]; [a] ¢ [b] = [b] ¢ [a] :

¹³ë»ñÇ

μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

3. ØÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ (³ñï³¹ñÛ³ÉÁ) ûÅïí³Í »Ý ÙÇ³íáñáíª [a] + [0] = [0] + [a] = [a]; [a] ¢ [1] = [1] ¢ [a] = [a] : 4. ØÝ³óùÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ [a] ¹³ë ·áõÙ³ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ áõÝÇ

Ñ³Ï³¹Çñª

[a] + [¡a] = [¡a] + [a] = [0] : Àëï áñáõÙ, ·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ [a] ¹³ëÇ Ñ³Ï³¹ÇñÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ³ÛÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡[a]-áí: ²ÛëåÇëáíª ¡[a] = [¡a]: 5. ØÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ (³ñï³¹ñÛ³ÉÁ) Ï³åí³Í »Ý Ó³Ë ¨ ³ç μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñáíª [a] ([b] + [c]) = [a][b] + [a][c]; ([a] + [b]) [c] = [a][c] + [b][c] :

úñÇÝ³Ï: Î³½Ù»Ýù ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ Áëï n = 4 Ñ»ÝùÇª + [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [1] [2] [3]

[1] [1] [2] [3] [0]

[2] [2] [3] [0] [1]

[3] [3] [0] [1] [2]

¢ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [0] [0] [0]

·áõÙ³ñÙ³Ý [1] [0] [1] [2] [3]

[2] [0] [2] [0] [2]

[3] [0] [3] [2] [1]

Àëï n Ñ»ÝùÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Zn -áí Ï³Ù Z=(n)-áíª Zn = f[0]; : : : ; [n ¡ 1]g = Z=(n) [1] ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³íáñ ¹³ë, [0] ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ¹³ë, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ýª [a] 6= [0]: àñå»ë½Ç [a] 2 Zn ¹³ëÁ ÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ a-Ý ãμ³Å³ÝíÇ n-Ç íñ³:

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

[a] 2 Zn ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ (Áëï n Ñ»ÝùÇ, Ñ»Ý³ÃíÇ, Ùá¹áõÉÇ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ [a0 ] 2 Zn ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë, áñ [a] ¢ [a0 ] = [a0 ] ¢ [a] = [1]; ²Ûëï»Õ [a0 ] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ [a] ¹³ëÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ (¹³ë) ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª [a0 ] = [a]¡1 : Æñáù, »Ã» [a] ¢ [a0 ] = [1]

³å³

[a00 ] ¢ [a] = [1];

[a00 ] = [a00 ] ¢ [1] = [a00 ] ([a] ¢ [a0 ]) = ([a00 ] ¢ [a]) ¢ [a0 ] = [1] ¢ [a0 ] = [a0 ] : àñå»ë Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ³ÏÝÑ³Ûï ûñÇÝ³ÏÝ»ñ Ýß»Ýù [1] ¨ [n ¡ 1] ¹³ë»ñÁ; Æñáùª [1] ¢ [1] = [1];

³ÛëÇÝùÝª

[n ¡ 1] ¢ [n ¡ 1] = [(n ¡ 1)(n ¡ 1)] = £ 2 ¤ £ ¤ = n ¡ 2n + 1 = n2 ¡ 2n + [1] = [0] + [1] = [1]; [1]¡1 = [1]

¨ [n ¡ 1]¡1 = [n ¡ 1];

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ, ûñÇÝ³Ï, n = 3 ¹»åùáõÙ Zn Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙ Zn -Á áõÝÇ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñª [1] ¨ [2] = [n ¡ 1] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ, áñáÝù ÇÝãå»ë ÝÏ³ï»óÇÝù Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý: ºÃ» n > 1, ³å³ [0] 2 Zn ½ñáÛ³Ï³Ý ¹³ëÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿, áñáíÑ»ï¨ n > 1 ¹»åùáõÙ [0] 6= [1] ¨ »ÝÃ³¹ñ»Éáí ½ñáÛ³Ï³Ý ¹³ëÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÉÇÝ»ÉÁ, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ýª [0] ¢ [b] = [1];

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

[0 ¢ b] = [1]; [0] = [1]; ÆëÏ »Ã» n = 1, ³å³ [0] = [1] ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ½ñáÛ³Ï³Ý ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 1.4: ³) ºÃ» [a]; [b] 2 Zn ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó [a] ¢ [b] 2 Zn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: μ) ºÃ» [a] 2 Zn ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ [a]¡1 2 Zn ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ÁÝ¹ áñáõÙª ¡ ¡1 ¢¡1 [a] = [a] :

²å³óáõóáõÙ: ³) ºÃ» [a] ¢ [a0 ] = [1] ¨ [b] ¢ [b0 ] = [1], ³å³ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ([a] ¢ [b]) ([b0 ] ¢ [a0 ]) = [a] ¢ ([b] ¢ ([b0 ] ¢ [a0 ])) = = [a] ¢ (([b] ¢ [b0 ]) ¢ [a0 ]) = [a] ¢ ([1] ¢ [a0 ]) = [a] ¢ [a0 ] = [1];

μ) åÝ¹áõÙÁ μËáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó:

Zn -Ç μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¹³ë»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Z¤n -áí:

1.4. ¼áõ·áñ¹³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¨ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Î³ë»Ýù, áñ Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í (Ï³Ù ïñí³Í, áñáßí³Í) ¿ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, »Ã» Q-Çó í»ñóí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y ï³ññ»ñÇ (x; y) Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ z 2 Q ï³ññ, ³ÛëÇÝùÝª ïñí³Í ¿ áñ¨¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙª Q £ Q ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç: êáíáñ³μ³ñ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ±, ¤, ¢, £, , £, : : : Ï³Ù ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ +, #, ©, ¢, : : : Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñ (·ñ»É³Ó¨»ñ): ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ z-Á ÏáãíáõÙ ¿ x ¨ y ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É (μ³½Ù³å³ïÏáõÙ) ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

·ñíáõÙ ¿ª z = x ± y, z = x ¤ y, z = x ¢ y, : : :. ²Ûë ¹»åùáõÙ x; y-Á ÏáãíáõÙ »Ý ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ: ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ z-Á ÏáãíáõÙ ¿ x ¨ y ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñ ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ·ñíáõÙ ¿ª z = x + y, z = x#y, z = x © y, : : :. ²Ûë ¹»åùáõÙ x; y-Á ÏáãíáõÙ »Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñ: ºÃ» Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ³å³ û·ïí»Éáí ÷³Ï³·Í»ñÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³½Ù»É Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý³¨ í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñ: úñÇÝ³Ï, x ± (y ± z), x ± (y ± (z ± u)), x ± ((y ± z) ± u), : : :. Î³ë»Ýù, áñ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ï³ññ, áñ x ± e = e ± x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ·áÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ e ï³ññÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÙÇ³íáñ: Æñáù, »Ã» e1 ; e2 2 Q ï³ññ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x±e1 = e1 ±x = x ¨ x±e2 = e2 ±x = x å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝª ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ ¹»åùáõÙ, ³å³ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Éáí x = e2 , Ïëï³Ý³Ýùª e1 ± e2 = e2 , ÇëÏ »ñÏñáñ¹áõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí x = e1 , ëï³ÝáõÙ »Ýùª e1 ± e2 = e1 : Ð»ï¨³μ³ñª e1 = e1 ± e2 = e2 : Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í (Ï³Ù ïñí³Í) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³éáï ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ: Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý (½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý) ûñ»ÝùÇÝ (ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ)ª (x ± y) ± z = x ± (y ± z) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½áõ·áñ¹³Ï³Ý: úñÇÝ³Ï, ³ÙμáÕç (é³óÇáÝ³É, Çñ³Ï³Ý) Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ý, ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ý: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ Q = Z (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Q, R), ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ûñÇÝ³ÏáõÙª Q = Zn : ²ÙμáÕç (é³óÇáÝ³É, Çñ³Ï³Ý) Ãí»ñÇ Ñ³ÝáõÙÁ ³ñ¹»Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ã¿: ºñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³μ³Ý³Ï³ÝÁ ¨ë ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ã¿, x+y ³ÛëÇÝùÝª R-Ç Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x ± y = , ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ã¿: ê³Ï³ÛÝ Ñ³ÝáõÙÁ ¨ ÙÇçÇÝ Ãí³μ³Ý³Ï³ÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁª (x ± y) ± (u ± v) = (x ± u) ± (y ± v) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

´áÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É (Çñ³Ï³Ý) Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í μ³Å³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ¨ë ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ã¿: Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿, áñ ³ÛÝ ÝáõÛÝå»ë μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (x ± y) ± (u ± v) = (x ± u) ± (y ± v) ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ: ¼áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÇ ßÝáñÑÇí (x±y)±z = x±(y±z) ï³ññÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇª x±y±z: ÜáõÛÝ å³ï×³éáí, »Ã» Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³å³ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 ; x2 ; x3 ; x4 ï³ññ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ Ï³½Ùí³Í μáÉáñ 5 ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÙÇÙÛ³Ýó Ñ³í³ë³ñª ((x1 ± x2 ) ± x3 ) ± x4 = (x1 ± (x2 ± x3 )) ± x4 = x1 ± ((x2 ± x3 ) ± x4 ) = = x1 ± (x2 ± (x3 ± x4 )) = (x1 ± x2 ) ± (x3 ± x4 ) :

Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ x1 ; x2 ; : : : ; xn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ μ ëï³óíáÕ ¶ μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ μ ¶ 2n ¡ 2 m ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª , áñï»Õ = n¡1 k n m(m ¡ 1)(m ¡ 2) : : : (m ¡ k + 1) , ÇëÏ k! = 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ k, 1 6 k 6 m: μ ¶ k! m k -áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝ ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ Cm k m ï³ññ»ñÇó μ k-³Ï³Ý¶Ï³Ù ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇó: 2n ¡ 2 an = ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ø³Ã³É³ÝÇ n-ñ¹ ÃÇí (E. C. Catan¡1 n lan (1814-1894)) ¨ Ñ³×³Ë ¿ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ Ñ»ï³½áïáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ4 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª μ ¶ 1 4¢3 a3 = ¢ = ¢ = 2; 3 1¢2 4 Ð³ÛïÝÇ ¿ Ý³¨ ø³Ã³É³ÝÇ Ñ»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ (1844 Ã.). ³å³óáõó»É, áñ 0,1 ¨ 8, 9 ½áõÛ·»ñÁ ³ÙμáÕç Ñ³çáñ¹³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇ³Ï ½áõÛ·»ñÝ »Ý, áñáÝù Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ù»ÏÇó Ù»Í ³ëïÇ×³ÝÝ»ñ (P. Ribenboim, Catalan’s conjecture, Amer. Math. Monthly, 103(1996), p.p. 529–538): ²Ûë ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍí»É ¿ í»ñç»ñë (P. Mihailescu, 2002):

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

μ ¶ 1 6¢5¢4 ¢ = ¢ = 5; 4 1¢2¢3 μ ¶ 1 8¢7¢6¢5 = ¢ = 14 : a5 = ¢ 5 1¢2¢3¢4 a4 =

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ): Â»áñ»Ù 1.3: ºÃ» Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ , ³å³ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 ; : : : ; xn ï³ññ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáÕ μáÉáñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ³í³ë³ñ »Ý ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí ¿ É ³Û¹ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇª x1 ± x2 ± ¢ ¢ ¢ ± xn , áñï»Õ n > 3:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë n > 2 ¹»åùáõÙ Ý»ñÙáõÍ»Ýù y1 ; y2 ; : : : ; yn 2 Q Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (¢ ¢ ¢ ((y1 ± y2 ) ± y3 ) ± ¢ ¢ ¢ ± yn¡1 ) ± yn ; ²ÛÅÙ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù, áñ n > 3 ¹»åùáõÙ ïñí³Í x1 ; : : : ; xn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñï³¹ñÛ³É Ñ³í³ë³ñ ¿ ¹ñ³Ýó Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: Æñáù, n = 3 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñÏáõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñ, Ù»ÏÁ Ï³ÝáÝ³Ï³ÝÝ ¿ª (x1 ± x2 ) ± x3 , ÇëÏ ÙÛáõëÁª x1 ± (x2 ± x3 ), áñáÝù Ñ³í³ë³ñ »Ýª ßÝáñÑÇí ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ó¨³Ï»ñåí³Í åÝ¹áõÙÁ ×Çßï n-Çó ùÇã Ãíáí ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ¹Çï³ñÏ»Ýù x1 ; : : : ; xn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ Ï³½Ùí³Í ³ñï³¹ñÛ³Éª (x1 ± : : : ± xk ) ± (xk+1 ± : : : ± xn ) : Üßí³Í ³é³çÇÝª x1 ± : : : ± xk ¨ »ñÏñáñ¹ª xk+1 ± : : : ± xn ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ·ñí³Í »Ý ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÷áùñ ¿ n-Çó ¨ Áëï Ï³ï³ñí³Í »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ³éÝí³½Ý »ñÏáõ ³ñï³¹ñÇã

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

å³ñáõÝ³Ï»Éáõ ¹»åùáõÙ, ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ Ï³Ëí³Í ã¿ ÷³Ï³·Í»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÇó: øÝÝ³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ »ÝÃ³¹»åù»ñÁª ³) k = n ¡ 1, ³ÛëÇÝùÝª »ñÏñáñ¹ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ¿: Î³ï³ñí³Í í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ n ¡ 1 Ãíáí ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ x1 ±¢ ¢ ¢±xn¡1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ï³ÝáÝ³Ï³ÝÇÝ, ÇëÏ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ³çÇó μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí xn -áí ÝáñÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³É: μ) 1 6 k < n ¡ 1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ »ñÏñáñ¹ª xk+1 ± : : : ± xn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ ³éÝí³½Ý »ñÏáõ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ: Àëï Ï³ï³ñí³Í í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, Ý³Ë xk+1 ± : : : ± xn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ÝáÝ³Ï³ÝÇÝ ¨ ³ÛÝáõÑ»ï¨ û·ïí»Éáí ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª (x1 ± : : : ± xk )±(xk+1 ± : : : ± xn ) = (x1 ± : : : ± xk )±((xk+1 ± : : : ± xn¡1 ) ± xn ) = ((x1 ± : : : ± xk ) ± (xk+1 ± : : : ± xn¡1 )) ± xn ;

ØÝáõÙ ¿ n ¡ 1 ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ

(x1 ± : : : ± xk ) ± (xk+1 ± : : : ± xn¡1 ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ·ñ»É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùáí:

Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª [a1 ] + ¢ ¢ ¢ + [an ] = [a1 + ¢ ¢ ¢ + an ]; [a1 ] ¢ [a2 ] ¢ ¢ ¢ [an ] = [a1 a2 ¢ ¢ ¢ an ]

ó³ÝÏ³ó³Í [a1 ]; : : : ; [an ] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ Ñ³Ù³ñª Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç: ºÃ» (áã ¹³ï³ñÏ) Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³å³ ¹ñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññÇ ó³ÝÏ³ó³Í μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª an = a ¢ ¢ ± a}; | ± ¢{z n

áñï»Õ a 2 Q, n > 1 (Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ a-Ç n ³ëïÇ×³Ý Ï³Ù n-ñ¹ ³ëïÇ×³Ý): ºÃ» Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ûÅïí³Í

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

¿ e ÙÇ³íáñáí, ³å³ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ Ý³¨ a± = e ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ) ³ÏÝÑ³Ûï »Ýª an ± am = an+m ; (an )m = an¢m ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n; m 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¶áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç Å³Ù³Ý³Ï e ÙÇ³íáñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí, an -Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ na ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ a-Ç n-å³ïÇÏ, ÇëÏ Ýßí³Í Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝ»Ýª 0a = 0; na + ma = (n + m)a; m(na) = (m ¢ n)a;

úñÇÝ³Ï, n[a] = [0], áñï»Õ [a]-Ý ó³ÝÏ³ó³Í ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë ¿ª Áëï Ùá¹áõÉ n-Ç: ÀÝ¹ áñáõÙ, n-Á Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿: Æñáùª ¢ ¢ + a}] = [na] = [0]; n[a] = [a] + ¢ ¢ ¢ + [a] = [a | + ¢{z {z } | n

ºÃ» s 2 N, 0 < s < n, ³å³

¢ ¢ + 1}] = [s] 6= [0]; s[1] = [1] + ¢ ¢ ¢ + [1] = [1 | + ¢{z {z } | s

ÜÙ³Ý³ïÇå Ñ³ñóÇ ùÝÝ³ñÏáõÙÁ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó ([a]s = [1]) μ»ñáõÙ ¿ È. ¾ÛÉ»ñÇ ¨ ä. ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÇÝ (·ÉáõË 9), ÇëÏ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙª ËÙμ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ä. È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇÝ (·ÉáõË 18): ê³Ï³ÛÝ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿, áñ å³ïÙ³Ï³Ýáñ»Ý ËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÁ Í³·»É ¿ μ³ñÓñ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ÉáõÍ»Éáõ ËÝ¹ñÇó (². èáõýýÇÝÇ, Ü. ²μ»É, ¾. ¶³Éáõ³, ². È. ÎáßÇ, È. êÇÉáí, . . .): ØÇÝã¹»é μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÁ ¹Çï³ñÏí»É »Ý ÑÇÝ âÇÝ³ëï³ÝáõÙ (¹»é¨ë Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛ³Ý I ¹³ñáõÙ), áñáÝù ÝáõÛÝå»ë Ñ³Ý·»óÝáõÙ »Ý í»ñç³íáñ ËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÇÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í 4t + 3 ï»ëùÇ ³ÙμáÕç ÃÇí ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáí: ºÃ» n1 ¨ n2 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ »ñÏáõ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáí, ³å³ ¹ñ³Ýó n1 ¢ n2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ûÅïí³Í ¿ ³Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ (Diophantus): ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ãáñë ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ³Ù³ñ (Euler, 1743): (òáõóáõÙ. »Ã» n1 = x21 + y12 , n2 = x22 + y22 , ³å³ n1 ¢ n2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + (x1 y2 ¡ y1 x2 ) ): 2. ¸Çóáõù ó³ÝÏ³ó³Í a > b > 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª r0 = a; r1 = b; rk+1 = rk¡1 (mod rk ); ³ÛëÇÝùÝª rk¡1 = qk rk + rk+1 ; áñï»Õ rk 6= 0, k = 1; 2; : : : ; n, ¨ r0 > r1 > r2 > ¢ ¢ ¢ > rn > rn+1 = 0: ²å³óáõó»É, áñ qk > 1, áñï»Õ k = 1; : : : ; n ¡ 1, ÇëÏ qn > 2:

3. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁª ½ 1 ´ x(mod 2); 1 ´ x(mod 3); ³ÙμáÕç Ãí»ñáí (x 2 Z): ÜáõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ÉáõÍ»É Ý³¨ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí (x 2 N): 4. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª < 1 ´ x(mod 2); 1 ´ x(mod 3); : 1 ´ x(mod 5);

³ÙμáÕç Ãí»ñáí (x 2 Z): ÜáõÛÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ÉáõÍ»É Ý³¨ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí (x 2 N):

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð

5. ²å³óáõó»É, áñ 1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1) ´ 0(mod n) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n-Á Ï»Ýï ¿: 6. ²å³óáõó»É, áñ 12 + 22 + 32 + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)2 ´ 0(mod n) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n ´ §1(mod 6) (Fibonacci): (òáõóáõÙ. ²å³óáõóí»ÉÇù μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ (n ¡ 1)n(2n ¡ 1) ): Ñ³í³ë³ñ ¿ª 7. ²å³óáõó»É, áñ 13 + 23 + 33 + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)3 ´ 0(mod n) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n 6´ 2(mod 4) (Aryabhata, Bachet): (òáõóáõÙ. ²å³óáõóí»ÉÇù μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ó³Ë μ ¶2 (n ¡ 1)n ): Ù³ëÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª 8. àñáß»É Z4 μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ: 9. ²å³óáõó»É, áñ Z5 μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ¡ ¢24 ¢3 ´ 10. ¶ïÝ»É 397 ÃíÇ í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ: (òáõóáõÙ. 397 = 34 124 ¢ 3(mod 10)): 11. ²å³óáõó»É, áñ 52n + 3 ¢ 25n¡2 ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 7-Ç íñ³ (n 2 N): 12. ²å³óáõó»É, áñ 3n+2 + 42n+1 ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 13-Ç íñ³ (n 2 N):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

13. ²å³óáõó»É, áñ 52n + 7 ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç íñ³ (n 2 N): 14. ²å³óáõó»É, áñ 33n+1 + 2n+1 ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç íñ³ (n 2 N): 15. Ü»ñÏ³Û³óÝ»É (201201)3 ÃÇíÁ 10-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ: 16. àñáß»É 1! + 2! + ¢ + 100! ÃÇíÁ 15-Ç íñ³ μ³Å³Ý»Éáõó ëï³óíáÕ ÙÝ³óáñ¹Á: (òáõóáõÙ. 5! ´ 0(mod 15)): 17. ¸Çóáõù ¿ -Ý Z-Ç ÙÝ³óù³ÛÇÝ ïáåáÉá·Ç³Ý ¿, a 2 Z, ÇëÏ xn = a + n!;

n>1:

²å³óáõó»É, áñ (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»çª lim xn = a;

n!1

Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª lim n! = 0 :

n!1

²Ûëï»ÕÇó μË»óÝ»É, áñ ¿ ïáåáÉá·Ç³Ý ¹ÇëÏñ»ï ã¿: 18. ²å³óáõó»É, áñ Ð³áõë¹áñýÛ³Ý ¿:

(Z; ¿ )

ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý

ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ

19. ²å³óáõó»É, áñ (μ³ó) μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ® = fi + (n!) j n 2 N; 0 6 i 6 n! ¡ 1g Ñ³Ù³ËáõÙμÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»Ýù: ºÃ» ³Û¹ Ñ»ÝùÇ »ñÏáõ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ Ñ³ïíáõÙ »Ý, ³å³ ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ÙÛáõëÇÝ: 20. ²å³óáõó»É, áñ (Z; ¿) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç n! ¨

n=1

n¢

(n2 + 1)n! ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É

n=1

·áõÙ³ñÝ»ñÁª X

n=1

n ¢ n! = ¡1;

¶ÉáõË 1 ØÜ²òàð¸àì ´²Ä²ÜàôØ, ´²Ô¸²îàôØÜºð X

(n2 + 1)n! = 0 :

n=1

ÀÝ¹ áñáõÙ, x 2 Z ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿

n=1

an ß³ñùÇ ·áõÙ³ñ (an 2 Z)

(Z; ¿) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ ·ñíáõÙ ¿ x = »Ã» (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»çª

an ,

n=1

x = lim xn ; x!1

áñï»Õ xn = a1 + ¢ ¢ ¢ + an (ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ ·áõÙ³ñ):

¶ É áõ Ë 2 ºðÎàô ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ðÀ: ¾ìÎÈÆ¸ºêÆ ²È¶àðÆÂØÀ: üÆ´àÜ²âÆÆ Ð²æàð¸²Î²ÜàôÂÚàôÜÀ ºÃ» c ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ c-Ý ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ²À´ (a; b)-áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª (a; b)-áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» (a; b)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñáíÑ»ï¨ 1-Á ÉÇÝ»Éáí ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ó³ÝÏ³ó³Í ³ÙμáÕç a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª (a; b) > 1: ²ÛëåÇëáí, d μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) d-Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿ a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ, μ) »Ã» c-Ý a-Ç ¨ b-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³å³ c 6 d; ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ØÛáõë ³ÏÝÑ³Ûï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁª ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ¿ª (a; b) = (b; a): ²í»ÉÇ ×Çßï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (a; b) ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨ b ¨ a ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (b; a) ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¨ ¹ñ³Ýù ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.1: a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (a; b) ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý ¨ b-Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ã»Ý, ³ÛëÇÝùÝ »ñμ a2 + b2 6= 0:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a = 0 ¨ b = 0, ³å³ ¹ñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï, áñÁ ãáõÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ï³ññ: ¸Çóáõù a2 + b2 6= 0, ³ÛëÇÝùÝ Ï³Ù a 6= 0 Ï³Ù b 6= 0: ºÝÃ³¹ñ»Éáí a 6= 0, Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ jcj 6 jaj ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8± , ·ÉáõË 1): ²ÛëåÇëáí, »Ã» a 6= 0, ³å³ ¡jaj 6 c 6 jaj, ³ÛëÇÝùÝ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (μáÉáñ) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ³ÛÝ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ï³ññ: ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ »Ýù Ñ³Ý·áõÙ Ý³¨ b 6= 0 ¹»åùáõÙ: ¤ úñÇÝ³Ï, »Ã» a2 + b2 6= 0 ¨ a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç íñ³, ³å³ (a; b) = jbj, áñï»Õ a; b 2 Z: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» a 6= 0, ³å³ (a; a) = jaj: ²ÝóÝ»Ýù ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÇ ³å³óáõóÙ³ÝÁ:

Â»áñ»Ù 2.1: a2 + b2 6= 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ u ¨ v ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ (a; b) = au + bv ;

áñï»Õ u, v ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý a, b ½áõÛ·Ç ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ: ²í»ÉÇ ×Çßïª (a; b) = min fax + by j x; y 2 Z; ax + by > 0g :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ»ï¨Û³É μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª M = fax + by j x; y 2 Zg : ²Ûë μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ï³Ý Ý³¨ ¹ñ³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñ (ûñÇÝ³Ïª ax+by-Á, »ñμ x = a, y = b): Üß³Ý³Ï»Éáí M-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÁ d-áí, ÏáõÝ»Ý³Ýù d > 0 ¨ d = au + bv; áñï»Õ u; v 2 Z: ²å³óáõó»Ýù d = (a; b) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁª ³) d-Ý a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿; μ) »Ã» c-Ý a-Ç ¨ b-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³å³ c 6 d:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³Ù³Ó³ÛÝ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÇª a = dq + r;

0 6 r < d;

ºÃ» ³Ûëï»Õ »ÝÃ³¹ñ»Ýù r 6= 0, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù 0 < r < d ¨ r = a ¡ dq = a ¡ (au + bv)q = a(1 ¡ uq) + b(¡vq) 2 M : ²ÛëåÇëáíª r 2 M ¨ 0 < r < d, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ d-Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ r 6= 0 »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ëË³É ¿: àõëïÇ r = 0 ¨ a = dq, ³ÛëÇÝùÝ a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ d-Ç íñ³: ÜÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýù Ý³¨, áñ b-Ý ¨ë μ³Å³ÝíáõÙ ¿ d-Ç íñ³: ¸Çóáõù c-Ý a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: ºÃ» c < 0, ³å³ c < d: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³ñáÕ »Ýù »ÝÃ³¹ñ»É, áñ c > 0: ø³ÝÇ áñ a = c ¢ a1 ¨ b = c ¢ b1 , ³å³ »ÉÝ»Éáí d = au + bv Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ïëï³Ý³Ýù, áñ d-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ c-Ç íñ³: àõëïÇ, d > c (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¤ ·ÉáõË 1-Ç Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8± -Ç):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 2.1: ºÃ» a2 + b2 6= 0, ³å³ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ b-Ç μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ íñ³: ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 2.1-áõÙ ³å³óáõó³Í (a; b) = au + bv Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 2.2: àñå»ë½Ç ax + by = c Ñ³í³ë³ñáõÙÝ (a2 + b2 6= 0, a; b; c 2 Z) áõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç Ãí»ñáí ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ c-Ý μ³Å³ÝíÇ (a; b)-Ç íñ³: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» d = (a; b) ¨ ax + by = c Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç Ãí»ñáí ÉáõÍáõÙ (x; y 2 Z), ³å³ c-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ d-Ç íñ³, áñáíÑ»ï¨ d-Ç íñ³ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý a-Ý áõ b-Ý: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» c-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ d-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ c = d ¢ k, áñï»Õ k 2 Z, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2.1-Ç, c = d ¢ k = (au + bv)k = auk + bvk = ax + by, áñï»Õ x; y 2 Z, áñáíÑ»ï¨ x = uk, y = vk: ¤ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª μ ¶ ³ b a´ b; k 2 Z; d = (a; b); au + bv = u ¡ k a+ v+k d d

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

μËáõÙ ¿, áñ ïñí³Í a; b ½áõÛ·Ç ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ã»Ý áñáßíáõÙ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» c-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ d-Ç íñ³, ³å³ c = ax + by Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³Ýí»ñç Ãíáí (x; y) ÉáõÍáõÙÝ»ñ, áñï»Õ x; y 2 Z: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» (a; b) = 1, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í c 2 Z ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ax + by = c Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³Ýí»ñç Ãíáí (x; y) ÉáõÍáõÙÝ»ñ, áñï»Õ x; y 2 Z:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.2: a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿

³) a ¨ ¡b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, (a; ¡b)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ ª (a; b) = (a; ¡b);

μ) a ¨ jbj ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, (¡a; b)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª (a; b) = (¡a; b);

·) ¡a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, (¡a; b)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª (a; b) = (¡a; b);

¹) jaj ¨ ¡b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, (¡a; ¡b)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª (a; b) = (¡a; ¡b);

») ¡a ¨ ¡b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, (¡a; ¡b)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª (a; b) = (¡a; ¡b);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

½) jaj ¨ jbj ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, (jaj, jbj)-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª (a; b) = (jaj; jbj) :

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõó»Ýù, ûñÇÝ³Ï, Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ½) Ù³ëÁ: ½) Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ μËáõÙ ¿ ¹ñ³ ³é³çÇÝ Ù³ëÇó: ÆëÏ ³é³çÇÝ Ù³ëÇ åÝ¹áõÙÁ μËáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇóª ½ ½ jaj = a ¢ sign(a); a = jaj ¢ sign(a); jbj = b ¢ sign(b); b = jbj ¢ sign(b) : ²é³çÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ÏÉÇÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ jaj ¨ jbj ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ÏáõÝ»Ý³Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁª jaj ¨ jbj ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ÏÉÇÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ì»ñçÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ »ñÏáõ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ÇñÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿ »ñÏáõ áã μ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ñÇÝ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (jaj; 0) = jaj = (0; jaj) ; áñï»Õ a 6= 0; Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÝáõÙ ¿ ÝÏ³ñ³·ñ»É »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý (³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý) Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ »Õ³Ý³ÏÁ: ºñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ »Õ³Ý³ÏÁ (³É·áñÇÃÙÁ) ïñí»É ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ÏáÕÙÇó ¨ Ñ³ÛïÝÇ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙ ³ÝáõÝáí: ²ÛÝ Ñ»ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ñ½ ¹ÇïáÕáõÃÛ³Ý íñ³. Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.3: ºÃ» a, r ³ÙμáÕç ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a ´ r(mod b), ³ÛëÇÝùÝ a = bq + r, áñï»Õ q 2 Z, ³å³ a ¨ b Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ b ¨ r Ãí»ñÇ

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï; Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, (b; r)-Á ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (a; b)-Ý ¨ (a; b) = (b; r) : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a = bq+r ¨ c-Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³å³ a = c ¢ a1 , b = c ¢ b1 ¨ r = a ¡ bq = c ¢ a1 ¡ cb1 q = c(a1 ¡ b1 q);

áñï»Õ a1 ; b1 ; a1 ¡ b1 q 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñ, c-Ý ÏÉÇÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ b ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁª b ¨ r ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ÏÉÇÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ a = bq + r å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ²ÛÅÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñ³¹ñ»É (ÝÏ³ñ³·ñ»É) »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ Ñ»ï¨Û³É ³É·áñÇÃÙÁ, áñÝ ³ñ¹Ç³Ï³Ý ¿ Ý³¨ ³ÛÅÙ: ú·ïí»Ýù ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÇó (Ã»áñ»Ù 1.1)ª a = bq1 + r2 ;

0 6 r2 < b;

(I ù³ÛÉ)

Üß³Ý³Ï»Éáí r0 = a, r1 = b, ³é³çÇÝ ù³ÛÉÁ Ï·ñíÇ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª r0 = r1 q1 +r2 : ºÃ» ³Ûëï»Õ r2 = 0, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù (a; b) = b: ÆëÏ »Ã» r2 6= 0, ³å³ ÝáñÇó »Ýù û·ïíáõÙ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÇóª b = r1 = r2 q 2 + r3 ;

0 6 r3 < r2 ;

(II ù³ÛÉ)

ºÃ» ³Ûëï»Õ r3 = 0, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý 2.3-Ç ÏáõÝ»Ý³Ýùª (a; b) = (b; r2 ) = r2 ; ÆëÏ »Ã» r3 6= 0, ³å³ ÝáñÇó »Ýù ·ñáõÙª r2 = r3 q3 + r4 ;

0 6 r4 < r3 ;

(III ù³ÛÉ)

¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ø³ÝÇ áñ b > r2 > r3 > ¢ ¢ ¢ > 0, ³å³ í»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá (³Ù»Ý³ß³ïÁ b Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá) ÏáõÝ»Ý³Ýùª rn¡1 = rn qn + rn+1 ;

0 = rn+1 < rn ;

(n-ñ¹ ù³ÛÉ)

²ÛëåÇëáí, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 2.3-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª (a; b) = (b; r2 ) = (r2 ; r3 ) = ¢ ¢ ¢ = (rn¡2 ; rn¡1 ) = (rn¡1 ; rn ) = (rn ; 0) = rn ;

Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ.

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.4 (¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÁ): a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ÝÏ³ñ³·ñí³Í »Õ³Ý³ÏÇ (¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇ) Ý³Ë³í»ñçÇÝ ù³ÛÉáõÙ ëï³óíáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý rn ÙÝ³óáñ¹ÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ n-Á ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáõÙ å³Ñ³ÝçíáÕ ù³ÛÉ»ñÇ ÃÇíÝ ¿ ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇ μ³ñ¹áõÃÛáõÝ: ¤ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇó û·ïí»Éáí ÝáñÇó Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.1ÇÝ. a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ μáÉáñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: àñå»ë ûñÇÝ³Ï ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí (Ï³ÝáÝáí) Ñ³ßí»Ýù 11 ¨ 30 Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁª 30 = 11 ¢ 2 + 8; 11 = 8 ¢ 1 + 3; 8 = 3 ¢ 2 + 2; 3 = 2 ¢ 1 + 1; 2 = 1 ¢ 2 + 0; àõëïÇª (11; 30) = (30; 11) = 1 : Â»áñ»Ù 2.1-ÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ý·»É Ý³¨ »ÉÝ»Éáí ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇó, ³ÛëÇÝùÝª ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»É (Ñ³ßí»É) Ý³¨ a, b ½áõÛ·Ç ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ a 6= 0 ¹»åùáõÙª (a; 0) = jaj = au + 0 ¢ v; áñï»Õ u = sign(a), v 2 Z: ÆëÏ »Ã» a 6= 0 ¨ b 6= 0, ³å³ Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí (a; b) = (jaj; jbj) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ·ñ»Ýù ¾íÏÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÁ jaj ¨ jbj μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

Ñ³Ù³ñª jaj = jbj ¢ q1 + r2 ; jbj = r2 q2 + r3 ; r2 = r3 q 3 + r4 ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ; rn¡3 = rn¡2 qn¡2 + rn¡1 ; rn¡2 = rn¡1 qn¡1 + rn ; rn¡1 = rn qn ; àñï»ÕÇóª (jaj; jbj) = rn = rn¡2 + rn¡1 (¡qn¡1 ) =

= rn¡3 x + rn¡2 y = ¢ ¢ ¢ = jaju + jbjv;

u; v 2 Z :

Ð³çáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ó¨³Ï»ñåÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý»ñÙáõÍ»Ýù μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ»ï¨Û³É f0 ; f1 ; : : : ; fm ; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ f0 = 0;

f1 = 1;

ÇëÏ m > 2 ¹»åùáõÙª fm = fm¡1 + fm¡2 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, f2 = 1, f3 = 2, f4 = 3, f5 = 5, : : : ²Ûë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ üÇμáÝ³ãÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ÇëÏ Ýñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ üÇμáÝ³ãÇÇ Ãí»ñ, Ç å³ïÇí XII-XIII ¹³ñ»ñÇ Çï³É³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë È»áÝ³ñ¹á üÇμáÝ³ãÇÇ, áñÝ ³é³çÇÝÝ ¿ û·ïí»É ³Ûë Ãí»ñÇó: ²é³çÇÝ Ñ³Û³óùÇó üÇμáÝ³ãÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ÃíáõÙ ß³ï μÝ³Ï³Ý, ë³Ï³ÛÝ μ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇó ¨ ÏáÙåÛáõï»ñ³ÛÇÝ ·ÇïáõÃÛáõÝÇó, ³ÛÝ Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáõÙ ¿ Ý³¨ ³ñí»ëïáõÙ, ×³ñï³ñ³å»ïáõÃÛ³Ý ¨ Ï»Ýë³μ³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç, ¨ ³ÛÉáõñ: Â»áñ»Ù 2.2: ò³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ a > b > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ×Çßï n Ñ³ï ù³ÛÉ»ñ, ³ÛëÇÝùÝ (a; b) = rn : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» a > b > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ×Çßï n Ãíáí ù³ÛÉ»ñ, ³å³ a > fn+2 ¨ b > fn+1 , áñï»Õ fn+1 , fn+2 -Á üÇμáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÝ »Ý:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÇ ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ áñå»ë a, b Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ñ»Ýó üÇμáÝ³ãÇÇ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁª a = fn+2 ¨ b = fn+1 : Æñáùª fn+2 = fn+1 + fn ; áñï»Õ fn < fn+1 ; fn+1 = fn + fn¡1 ; áñï»Õ fn¡1 < fn ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ f4 = f3 + f2 ; áñï»Õ f2 < f3 ; f3 = f2 + f1 = f2 + f2 = f2 ¢ 2; ³ÛëÇÝùÝª ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (³Ûëï»Õ q1 = ¢ ¢ ¢ = qn = 1)ª (fn+2 ; fn+1 ) = f2 = 1 ¨ ³Ûë ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ Ñ³ëÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí Çñáù å³Ñ³Ýçí»ó ×Çßï n Ñ³ï ù³ÛÉ»ñ: ²ÝóÝ»Ýù »ñÏñáñ¹ Ù³ëÇ ³å³óáõóÙ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ rn = (a; b), ³å³ rn > 1 ¨ rn < rn¡1 , ³ÛëÇÝùÝ rn¡1 > 2 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª rn > f2 ¨ rn¡1 > f3 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ri¡1 = ri qi + ri+1 > ri + ri+1 ; ù³ÝÇ áñ ³Ûëï»Õ qi > 1, áñáíÑ»ï¨ a > b > 0 (ï»ë Ý³¨ É»ÙÙ 8.3-Á): ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù rn¡i > f2+i ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, μáÉáñ i = 0; 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Æñáù, i = 0; 1 ¹»åùáõÙ ·ñí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿: ²ÛÝáõÑ»ï¨, »ÝÃ³¹ñ»Éáí ³ÛÝ ×Çßï (i + 1)-Çó ÷áùñ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»Ýù (i + 1)-Ç Ñ³Ù³ñ. rn¡(i+1) = r(n¡i)¡1 > rn¡i + rn¡i+1 = rn¡i + rn¡(i¡1) > > f2+i + f2+(i¡1) = f2+i + f1+i = f3+i = f2+(i+1) ; ²ÛëåÇëáí, i = n ¨ i = n ¡ 1 ¹»åù»ñáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a = r0 > fn+2 ; b = r1 > fn+1 :

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ Ý³¨ ³å³óáõó»É üÇμáÝ³ãÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n-ñ¹ fn ³Ý¹³ÙÇ áñáßÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨Á, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ´ÇÝ»ÃÇ Ï³Ù È³Ù»Ç μ³Ý³Ó¨ª p ¢n ¡ p ¢n ¡ 1+ 5 ¡ 1¡ 5 p fn = 2n 5 (ÜÇÏáÉ³ë (1728), ´ÇÝ»Ã (1843), È³Ù» (1844)): Æñáù, n = 0 ¹»åùáõÙ ·ñí³Í μ³Ý³Ó¨Á ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿: ¸Çóáõùª p ¢k ¡ p ¢k ¡ 1+ 5 ¡ 1¡ 5 p fk = 2k 5 ¨ ³å³óáõó»Ýù p ¢k+1 ¡ p ¢k+1 ¡ 1+ 5 ¡ 1¡ 5 p fk+1 = 2k+1 5 μ³Ý³Ó¨Á: p ¢k¡1 ¡ p ¢k¡1 ¡ p ¢k p ¢k ¡ ¡ 1+ 5 ¡ 1¡ 5 1+ 5 ¡ 1¡ 5 p p fk+1 = fk¡1 +fk = + = 2k¡1 5 2k 5 h¡ h¡ p ¢k ¡ p ¢k¡1 i p ¢k i p ¢k¡1 ¡ +2 1+ 5 ¡ 1¡ 5 ¡ 1¡ 5 4 1+ 5 p = = 2k+1 5 £ ¡ p ¢ ¡ p ¢¤ h¡ p ¢k¡1 ¡ p ¢k¡1 i £¡ p ¢ ¡ p ¢¤ + 1+ 5 + 1¡ 5 ¢ 1+ 5 ¡ 1¡ 5 ¡ 1+ 5 1¡ 5 p = 2k+1 5 h¡ p ¢k ¡ p ¢k i ¡ p ¢k+1 ¡ p ¢k+1 ¢ 1+ 5 ¡ 1¡ 5 1+ 5 ¡ 1¡ 5 p = ; 2k+1 5 ´³Ý³Ó¨Ý ³å³óáõóí³Í ¿: Üß³Ý³Ï»Éáíª p p 1¡ 5 1+ 5 ; ¾= ; ¿= ÏáõÝ»Ý³Ýùª fn =

¿ n ¡ ¾n ; ¿ ¡¾

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

p p 3+ 5 1+ 5 = = ¿ 2; 1+¿ = 1+ p p 3¡ 5 1¡ 5 = = ¾ 2; 1+¾ = 1+ ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ fn > ¿ n¡2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ n > 2: Æñáù, n = 3 ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ×Çßï ¿, p 1+ 5 = ¿ : ºÝÃ³¹ñ»Éáí fn¡2 > ¿ n¡4 , fn¡1 > ¿ n¡3 áñáíÑ»ï¨ f3 = 2 > ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª fn = fn¡1 + fn+2 > ¿ n¡4 + ¿ n¡3 = ¿ n¡4 (1 + ¿ ) = ¿ n¡4 ¢ ¿ 2 = ¿ n¡2 ; ºÃ» a > b > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ×Çßï n Ãíáí ù³ÛÉ»ñ, ³å³ Ã»áñ»Ù 2.2-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª b > fn+1 : ²ÛÅÙ û·ïí»Éáí fn+1 > ¿ n¡1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ïëï³Ý³Ýùª b > fn+1 > ¿ n¡1 ; b > ¿ n¡1 ; lg b > (n ¡ 1) lg ¿; n¡1<

lg b ; lg ¿

p p 1+ 5 ê³Ï³ÛÝ lg ¿ > , ³ÛëÇÝùÝ > 5 10 Ï³Ù Ñ»ï¨³μ³ñª n ¡ 1 < 5 lg b;

p !5 1+ 5 > 10,

n < 5 lg b + 1 : ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ (¶. È³Ù», 1844 Ã.). 5 Æñáùª

p 5 > 2:2,

p 1+ 5

> 1:6, (1:6)2 = 2:56 > 2:5, (1:6)4 > (2:5)2 = 6:25, (1:6)5 > ³ p ´5 > (1:6)5 > 10: 6:25 ¢ 1:6 = 10 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ 1+2 5

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

a > b > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáÕ ù³ÛÉ»ñÇ n ÃÇíÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ n < 5 lg b + 1 : Æñ³Ï³ÝáõÙ ³Ûëï»Õ ï»ÕÇ áõÝÇ ³í»ÉÇ ËÇëï ·Ý³Ñ³ï³Ï³Ýª n < 5 lg b, áñÁ Ñ»ï³·³ÛáõÙ μ³ñ»É³íí»É ¿ æ. ¸ÇùëáÝÇ (J. Dixon) ÏáÕÙÇó (1970 Ã.): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.5: ò³ÝÏ³ó³Í a; b; c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ c > 0 ¨ a2 + b2 6= 0, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª c ¢ (a; b) = (ca; cb);

²å³óáõóáõÙ: Üß³Ý³Ï»Ýù d = (a; b) ¨ ³å³óáõó»Ýù c ¢ d = (ca; cb) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ d-Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿ a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ, ³å³ c ¢ d-Ý ÏÉÇÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ca-Ç ¨ cb-Ç Ñ³Ù³ñ: ú·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 2.1-áõÙ ³å³óáõóí³Í d = au + bv Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó, Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»Éª cd = (ca)u + (cb)v ¨ ³ë»É, áñ cd-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ca ¨ cb ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ k 6 c ¢ d; ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 2.3: ºÃ» a; b; c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a2 + b2 6= 0, c > 0 ¨ c-Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿ a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ, ³å³ μ ¶ a b (a; b) ; : = c c c μ ¶ a b ; = 1, ³å³ (a; b) = c: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» c c ²å³óáõóáõÙ: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª μ ¶ μ ¶ b a b a ; c¢ = c¢ ; c¢ = (a; b); c c c c

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝª

a b ; c c

(a; b) : c

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.6 (³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ): ò³ÝÏ³ó³Í a; b; c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ a2 + b2 6= 0 ¨ b2 + c2 6= 0, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª (a; (b; c)) = ((a; b); c);

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ a2 + b2 6= 0 ¨ b2 + c2 6= 0 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý: ²å³óáõó»Ýù ¹ñ³Ýó Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Üß³Ý³Ï»Éáí d0 = (b; c) ¨ d = (a; d0 ) ëï³Ý³Ýù d = ((a; b); c) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ, áñ d-Ý a-Ç ¨ d0 -Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³å³ d-Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÏÉÇÝÇ a-Ç b-Ç ¨ c-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, d-Ý ÏÉÇÝÇ Ý³¨ (a; b)-Ç ¨ c-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ (áñáíÑ»ï¨ (a; b) ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ b-Ç μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ íñ³): ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» d00 Á (a; b)-Ç ¨ c-Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÏÉÇÝÇ a-Ç, b-Ç ¨ c-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, d00 -Á ÏÉÇÝÇ Ý³¨ a-Ç ¨ (b; c)-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: àõëïÇ d00 6 d: ¤

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ¸Çóáõù (a; b) = au+bv, áñï»Õ a; b; u; v 2 Z ¨ a2 +b2 6= 0: ²å³óáõó»É (u; v) = 1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 2. ¸Çóáõù ó³ÝÏ³ó³Í a > b > 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª r0 = a; r1 = b;

rk+1 = rk¡1 (mod rk ); rk 6= 0; rk¡1 = qk rk + rk+1 ; k = 1; : : : ; n;

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

d = (a; b) = rn > rn+1 = 0 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ¹Çóáõùª x0 = 1; x1 = 0; y0 = 0; y1 = 1 xk+1 = qk xk + xk¡1 ; yk+1 = qk yk + yk¡1 ; áñï»Õ k = 1; 2; : : : ; n: ²å³óáõó»É (N. Saunderson, 1740), áñ rk = (¡1)k xk a + (¡1)k+1 yk b; áñï»Õ k = 0; 1; : : : ; n + 1: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, rn = (¡1)n xn a + (¡1)n+1 yn b : 3. ¸Çóáõù a = 120 ¨ b = 35: ºÉÝ»Éáí Ý³Ëáñ¹ í³ñÅáõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇó, Ñ³ßí»É x = (¡1)n xn ¨ y = (¡1)n+1 yn Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ëï³Ý³É (a; b) = rn = xa + yb Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ: 4. ¸Çóáõù a; b 2 N ¨ a > b > 0: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q1 ; r1 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1.3)ª a = bq1 + r1 ;

b b < r1 6 ;

ºÃ» r1 6= 0, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ q2 ; r2 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ jr1 j jr j < r2 6 1 ; b = r1 q2 + r2 ; ¡ ºÃ» r2 6= 0, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ q3 ; r3 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ jr2 j jr2 j < r3 6 ; r1 = r2 q3 + r3 ; ¡

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºí ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï . . . ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ rn = 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» n > 1, ³å³ (a; b) = jrn¡1 j : 5. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª (2n; 2n + 2) = 2; 6. ²å³óáõó»É, áñ 4-Á ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É 12x + 18y ï»ëùáí, áñï»Õ x; y 2 Z: (òáõóáõÙ. ï»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.2-Á): 7. ²å³óáõó»É, áñ 7-Á ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É 18209x + 19043y ï»ëùáí, áñï»Õ x; y 2 Z: 8. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª ½ x + y = 120; (x; y) = 30 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí (x; y 2 N): (òáõóáõÙ. (x; y)

Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝª

9. ²å³óáõó»É, áñ

å³ÛÙ³ÝÁ

< x = 30u; y = 30v; : (u; v) = 1; ½

Ñ³Ù³ñÅ»ù

Ñ»ï¨Û³É

(x; y) = 3; x + y = 65

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ãáõÝÇ ³ÙμáÕç Ãí»ñáí ÉáõÍáõÙÝ»ñ: 10. ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a, b, c, d ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª (((a; b); c); d) = ((a; (b; c)); d) = (a; ((b; c); d)) = = (a; (b; (c; d))) = ((a; b); (c; d)) :

¶ÉáõË 2 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ð

11. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ L1 ; L2 ; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÈáõÏ³ëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ (E. Lucas), »Ã» L1 = 1;

L2 = 3;

Ln = Ln¡1 + Ln¡2 ;

n>3:

²å³óáõó»É, áñ ³Ûë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ï³åÁ üÇμáÝ³ãÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï ïñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Ln+2 = fn + fn+2 ; áñï»Õ f1 ; f2 ; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

n > 1;

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ

üÇμáÝ³ãÇÇ

12. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ (ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý) Ý»ñÏ³Û³óÝ»É üÇμáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáíª n = fn1 + fn2 + ¢ ¢ ¢ + fnk ; áñï»Õ n1 > n2 + 2, n2 > n3 + 2, : : :, nk¡1 > nk + 2, nk > 2: 13. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª n X i=1

fi = fn+2 ¡ 1 :

14. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª n>1

fn¡1 fn+1 ¡ fn2 = (¡1)n ; (G. D. Cassini (1680), R. Simson (1753)): 15. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñÁª

(E. Lucas):

fn+1 + fn2 = f2n+1 ;

n > 1;

fn+1 ¡ fn¡1 = f2n ;

n>2

¶ É áõ Ë 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð: âÆÜ²Î²Ü ÂºàðºØÀ ´²Ô¸²îàôØÜºðÆ (ØÜ²òàð¸ÜºðÆ) ìºð²´ºðÚ²È 3.1. öáË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ºñÏáõ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ (÷áË³¹³ñÓ) å³ñ½, »Ã» ¹ñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ù»ÏÇª (a; b) = 1: ²Ûë ÷³ëïÁ »ñμ»ÙÝ ÝßíáõÙ ¿ Ý³¨ a ? b Ó¨áí: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.3-Çó μËáõÙ ¿, áñ »Ã» m μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ¨ a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ a-Ç Ñ»ï Áëï (Ùá¹áõÉ) m-Ç μ³Õ¹³ï»ÉÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c ³ÙμáÕç ÃÇí ¨ë ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ m-Ç Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª (a; m) = 1; ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:

c ´ a(mod m) ! (c; m) = 1 :

÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ

å³ñ½áõÃÛ³Ý

Ñ»ï¨Û³É

Â»áñ»Ù 3.1: a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x ¨ y ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ ax + by = 1 :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 2.1-Çó, »ñμ d = 1: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ : Ü³Ë, »Ã» ax+by = 1 áñ¨¿ x, y ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ a-Ý ¨ bÝ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½ñá ÉÇÝ»É ã»Ý Ï³ñáÕ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ¹ñ³Ýó (a; b) = d ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: àõëïÇ, ax-Á ¨ by-Á Ïμ³Å³Ýí»Ý d-Ç íñ³, Ñ»ï¨³μ³ñ ax + by = 1-Á ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ d-Ç íñ³: ²ÛëåÇëáí, d-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, d = 1 (·ÉáõË 1, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9± ): ¤ μ ¶ a b ; Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 3.1: ºÃ» d = (a; b), ³å³ = 1: ÖÇßï ¿ Ý³¨ d d Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ (ï»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.3-Á):

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

²å³óáõóáõÙ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x, y ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ ax+by = d b a (Ã»áñ»Ù 2.1): Ð»ï¨³μ³ñ, x + y = 1: ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É Ã»áñ»Ù 3.1 d d Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ¤ ²é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý Ýß»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý ÷³ëïÁ (¸ÇñÇËÉ»). ºÃ» u, v-Ý (å³ï³Ñ³Ï³Ý í»ñóñ³Í) »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ³å³ Ñ³í³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝ μ³ÝÇ, áñ ¹ñ³Ýù ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, Ñ³í³ë³ñ ¿ 2 ¼ 0:6079: ²í»ÉÇ ×Çßï, »Ã» ¼ Hn = f(u; v) j 1 6 u 6 n; 1 6 v 6 n; (u; v) = 1g ; ³å³

jHn j = 2; n2 ¼ áñï»Õ jHn j-Á Hn μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Ý ¿: lim

n!1

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1: ºÃ» a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ b1 , b2 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï, ³å³ a-Ý ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ ¹ñ³Ýó b1 ¢b2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ b1 , b2 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ b1 ¢ b2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ b1 , b2 ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇª (a; b1 ) = 1 ¨ (a; b2 ) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ (Ã»áñ»Ù 3.1), ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ x1 , y1 ¨ x2 , y2 ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ ax1 + b1 y1 = 1 ¨ ax2 + b2 y2 = 1; ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí ·ñí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ïëï³Ý³Ýùª (ax1 + b1 y1 )(ax2 + b2 y2 ) = 1 ¢ 1; ax1 ax2 + ax1 b2 y2 + b1 y1 ax2 + b1 y1 b2 y2 = 1; a(x1 ax2 + x1 b2 y2 + b1 y1 x2 ) + b1 b2 y1 y2 = 1; áñï»Õ x1 ax2 + x1 b2 y2 + b1 y1 x2 ¨ y1 y2 Ãí»ñÁ ³ÙμáÕç »Ý: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó: äÝ¹Ù³Ý »ñÏñáñ¹ Ù³ëÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2: ºÃ» a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ b1 ; b2 ; : : : ; bn ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï, ³å³ a-Ý ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ ¹ñ³Ýó b1 ¢ b2 ¢ : : : ¢ bn ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï, áñï»Õ n > 2:

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ºÃ» n = 2, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý: ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï n ¡ 1 ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³å³óáõó»Ýù ³ÛÝ n ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇ a-Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ b1 -Ç Ñ»ï, ÇëÏ Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý a-Ý ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ b2 ¢ : : : ¢ bn ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý a-Ý ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ b1 ¢ b2 ¢ : : : ¢ bn = b1 ¢ (b2 ¢ : : : ¢ bn ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.3: ºÃ» a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ b1 ; : : : ; bm ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó ó³ÝÏ³ó³ÍÇ Ñ»ï, ³å³ a1 ¢: : :¢an ¨ b1 ¢: : :¢bm ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë n ³Ý·³Ù û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ b1 ¢ : : : ¢ bm ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï, áñÇó Ñ»ïá ÝáñÇó ÏÇñ³é»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ b1 ¢ : : : ¢ bm ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ a1 ¢ : : : ¢ an ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 3.2: ºÃ» a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ an ¨ bm Ãí»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ª ó³ÝÏ³ó³Í n, m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: ²å³óáõóáõÙ: êï³óíáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, »Ã» í»ñóÝ»Ýùª a1 = ¢ ¢ ¢ = an = a ¨ b1 = ¢ ¢ ¢ = bm = b: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 3.3: ºÃ» é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ ³ÙμáÕç ã¿ , ³å³ Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÁ ¨ë ãÇ ÉÇÝÇ ³ÙμáÕç ÃÇí: p p Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» m c 62 Z, ³å³ m c 62 Q, áñï»Õ c 2 Z: a ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù -Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿, áñï»Õ a, b-Ý ³ÙμáÕç b a »Ý, b > 0 ¨ m-Á μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ¸Çóáõù -Ý ³ÙμáÕç ã¿ b (Ñ»ï¨³μ³ñ b 6= 1) ¨ a, b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

(Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ýñ³Ýó ÏÏñ×³ï»ÇÝù Çñ»Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ a ´m am = m Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ μ³Å³Ý³ñ³ñáí): b b ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý 3.2-Ç) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ am -Á ãÇ Ï³ñáÕ μ³Å³Ýí»É bm -Ç íñ³ (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ¤ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝùª (am ; bm ) = bm > 1):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 3.4: ²ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ f (x) = xn + an¡1 xn¡1 + an¡2 xn¡2 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0

μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï ³ÙμáÕç ¿ : Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹åÇëÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï Ï³Ù ³ÙμáÕç ÃÇí ¿ Ï³Ùª Çé³óÇáÝ³É: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ® 2 Q é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ ïñí³Í f(x) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ³ñÙ³ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª f (®) = 0: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ® 2 Z: a ¸Çóáõù ® = , áñï»Õ a; b 2 Z, b > 0 ¨ (a; b) = 1: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ b 3.2-Çó μËáõÙ ¿ª (an ; b) = 1, ÇëÏ f (®) = 0 å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ª ³ a ´n ³ a ´n¡1 ³ a ´n¡2 a + an¡1 + an¡2 + ¢ ¢ ¢ + a1 + a0 = 0 : b b b b Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí bn -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª an + an¡1 ban¡1 + an¡2 b2 an¡2 + ¢ ¢ ¢ + a1 bn¡1 a + a0 bn = 0; an = b(¡an¡1 an¡1 ¡ an¡2 ban¡2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a1 bn¡2 a ¡ a0 bn¡1 );

³ÛëÇÝùÝª an -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b-Ç (íñ³) ¨ ù³ÝÇ áñ (an ; b) = 1, ³å³ b = 1 a ¤ ¨ ® = = a 2 Z: b ê³Ï³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.4-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ×Çßï ã¿, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñáÝù ã»Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ (ûñÇÝ³Ï, ¼ ¨ e Ãí»ñÁ): ²Û¹åÇëÇ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ, ÇëÏ ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝù Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ, ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4 (¾íÏÉÇ¹»ë): ºÃ» »ñÏáõ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ a ¢ b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ c ³ÙμáÕç ÃíÇ íñ³ ¨ a-Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ c-Ç Ñ»ï, ³å³ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ c-Ç íñ³:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇ, (a; c) = 1, áõëïÇ, Ã»áñ»Ù 3.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÏáõÝ»Ý³Ýù ³ÛÝåÇëÇ x, y ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ ax + cy = 1; Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí b-áí Ïëï³Ý³Ýùª (ab)x + c(by) = b; áñï»Õ Ó³Ë Ù³ëÇ »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý c-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÝ ¿É Ïμ³Å³ÝíÇ c-Ç íñ³: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.5 (¾íÏÉÇ¹»ë): ºÃ» a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ b ¨ c ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ³å³ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó b ¢ c ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³:

²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇª a = b ¢ b1 ; a = c ¢ c1 ;

áñï»Õ b1 , c1 -Á ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý: àõëïÇ, b ¢ b1 = c ¢ c1 ; áñï»Õ (b; c) = 1; Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, b1 -Á Ïμ³Å³ÝíÇ c-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ b1 = c¢c2 , áñï»Õ c2 -Á ³ÙμáÕç ¿: ²ÛëåÇëáíª a = b ¢ b1 = b(c ¢ c2 ) = (bc)c2 : Ð³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿:

a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ãí»ñÁ) ÏáãíáõÙ »Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, »Ã» ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ ÙÝ³ó³Í ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ïª (ai ; aj ) = 1, áñï»Õ i 6= j ¨ i; j = 1; : : : ; n: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.6: ºÃ» a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ³å³ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó a1 ¢ : : : ¢ an ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³:

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ºÃ» n = 2, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ª Áëï Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» ³ÛÝ ×Çßï ¿ n ¡ 1 Ñ³ï ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ¸Çóáõù a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ a1 ¢ : : : ¢ an¡1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³: ø³ÝÇ áñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2–Ç, an -Á ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ a1 ¢ : : : ¢ an¡1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï, ³å³ ÙÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: ¤ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÙμáÕç-³ñÅ»ù, »Ã» x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 Z: Ø»Ï Ï³Ù ÙÇ ù³ÝÇ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇó (÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó) Ï³Ëí³Í Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç) ³ÙμáÕç³ñÅ»ù ÉáõÍáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ: Ð³í³ë³ñÙ³Ý (Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç) μáÉáñ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ÇñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ËÝ¹Çñ, ÇëÏ »Ã» ÉáõÍíáÕ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç) Ù»ç Ù³ëÝ³ÏóáÕ μáÉáñ Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÁ ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ (Ñ³Ù³Ï³ñ·): ÈáõÍ»É ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ áñáß»É ¹ñ³ ÉáõÍ»ÉÇáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³ μáÉáñ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý, »Ã» xi > 0, i = 1; 2; : : : ; n ¨ª áã μ³ó³ë³Ï³Ý, »Ã» xi > 0, i = 1; 2; : : : ; n: a1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn = b Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ ai 2 Z, ai 6= 0, i = 1; 2 : : : ; n, ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ·Í³ÛÇÝ: úñÇÝ³Ï, xn + yn = z n , n > 1, Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áã ·Í³ÛÇÝ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ü»ñÙ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ: n = 2 ¹»åùáõÙ ³Ûë Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¹Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿ (x = 3, y = 4, z = 5): ØÇÝã¨ 1994 Ã. Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³Ñ³ÛïÝÇ ãÉáõÍí³Í ËÝ¹ÇñÁ í»ñ³μ»ñáõÙ ¿ñ Ñ»Ýó ³Ûë ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ·áÛáõÃÛ³ÝÁ n > 3 ¹»åùáõÙ, áñÁ Ó¨³Ï»ñåí»É ¿ñ 1637 Ã. ýñ³ÝëÇ³óÇ Ñ³ÛïÝÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë (¨ Çñ³í³μ³Ý) ä. ü»ñÙ³ÛÇ (Pierre de Fermat, 1601-1665) ÏáÕÙÇóª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. ü»ñÙ³ÛÇ Ù»Í (Ï³Ù í»ñçÇÝ) Ã»áñ»ÙÁ: ²å³óáõó»É, áñ xn + y n = z n

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ n > 3 ¹»åùáõÙ ãáõÝÇ (x; y; z) ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ (xyz 6= 0): ä. ü»ñÙ³ÛÇÝ Ñ³çáÕí»É ¿ ÉáõÍ»É ³Ûë ËÝ¹ÇñÁ ÙÇ³ÛÝ n = 4 ¹»åùáõÙ ¨ ë³ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ÙÇ³Ï ¹»åùÝ ¿, »ñμ ü»ñÙ³ÛÇ Ù»Í Ã»áñ»ÙÁ ÉáõÍíáõÙ ¿ ï³ññ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ÜáõÛÝÇëÏ n = 3 ¹»åùáõÙ, ËÝ¹ÇñÁ ï³ññ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ãÇ ÉáõÍíáõÙ (¾ÛÉ»ñ (1768), ¶³áõë): n = 5 ¹»åùÇ ÉáõÍáõÙÁ (¸ÇñÇËÉ» (1825), È»Å³Ý¹ñ) ³ñ¹»Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ»É μ³í³Ï³Ý μ³ñ¹: ²Ûë Ã»áñ»ÙÇ í»ñçÝ³Ï³Ý ³å³óáõóáõÙÁ ëï³óí»É ¿ 1994 Ã. äñÇÝëïáÝÇ Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÇ åñáý»ëáñ ¾Ý¹ñÛáõ àõ³ÉëÇ ÏáÕÙÇó (Andrew Wiles) ¨ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ XX ¹³ñáõÙ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ·ÇïáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í Ñ³çáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: ØÇÝã ³Û¹, 1983 Ã. ÝáõÛÝ Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÇ åñáý»ëáñ ¶. ü³ÉÃÇÝ·ëÁ (Gerd Faltings) ³å³óáõó»É ¿ñ È. Øáñ¹»ÉÉÇ í³ñÏ³ÍÁ (Louis Mordell), áñ ü»ñÙ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý μáÉáñ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, »Ã» n > 3: Ü»ñÏ³ÛáõÙë ¹ñí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ËÝ¹ÇñÁ (Andrew Beal, 1994), áñÁ ¹»é¨ë ãÇ ÉáõÍí³Í. ²å³óáõó»É, áñ xm + yn = z r Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ (x; y; z) ¹ñ³Ï³Ý ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ, áñï»Õ ((x; y); z) = 1, ÇëÏ m; n; r > 3: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ù»Ï ³ÝÑ³Ûïáí a1 x1 = b ·Í³ÛÇÝ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (a1 ; b 2 Z, a1 6= 0) ÏáõÝ»Ý³ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a1 -Ç íñ³: ºí ³Û¹ ¹»åùáõÙ b 2 Z: ²ÝóÝ»Éáí »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí ³ÛÝ ÏáõÝ»Ý³ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙª x1 = a1 ·Í³ÛÇÝ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¹»åùÇÝ, Ý³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.2-Ç, ax + by = c Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ c-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ (a; b) = d-Ç íñ³ (a; b; c 2 Z, a2 + b2 6= 0): Àëï áñáõÙ, ³Ûë ¹»åùáõÙ Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³Ýí»ñç Ãíáí ÉáõÍáõÙÝ»ñ, áñáíÑ»ï¨ »Ã» (x0 ; y0 ) ½áõÛ·Á Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñÙ³Ý¶áñ¨¿ (Ù³ëÝ³íáñ) μ b a ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ x0 ¡ k ; y0 + k ½áõÛ·Á (k 2 Z) d d ¨ë ÏÉÇÝÇ ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ: î»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ:

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.7: (Brahmagupta, Aryabhata): ºÃ» a; b; c 2 Z, a; b 6= 0 ¨ ax + by = c Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ áñ¨¿ (x0 ; y0 ) ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ, ³å³ ¹ñ³ ó³ÝÏ³ó³Í (x; y) ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª b a x = x0 ¡ k y = y0 + k; d d áñï»Õ k 2 Z, d = (a; b): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» (a; b) = 1, ³å³ x = x0 ¡ bk;

y = y0 + ak;

k2Z:

²å³óáõóáõÙ: c = ax0 + by0 = μax + ¶by, a(x0 ¡ x) = b(y ¡ a b a b ; y0 ), (x0 ¡ x) = (y ¡ y0 ), áñï»Õ = 1: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç d d d d Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ k 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ a b b b b a x0 ¡ x = k , x = x0 ¡ k; ²ÛÝáõÑ»ï¨ª k = (y ¡ y0 ), y ¡ y0 = k, d d d d d d a ¤ y = y0 + k: d

3.2. ´³Õ¹³ïáõÙÝ»ñáí Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ¨ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.8: ºÃ» ca1 ´ ca2 (mod m) ¨ (c; m) = 1, ³å³ a1 ´ a2 (mod m):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ca1 ¡ ca2 = c(a1 ¡ a2 ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ m-Ç íñ³ ¨ (c; m) = 1, ³å³ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a1 ¡ a2 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ Ïμ³Å³ÝíÇ m-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª a1 ´ a2 (mod m): ¤ x0 ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» ax0 ´ b(mod m): Üßí³Í μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉáõÍ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ: Ð³Ù³ÝÙ³Ý ÇÙ³ëïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ÙÇ ù³ÝÇ ÷á÷áË³Ï³ÝÇó Ï³Ëí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÇÝãå»ë Ý³¨ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÁ ¨ ÉáõÍ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» ax ´ 1(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ áõÝÇ ÉáõÍáõÙ, ³å³ a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç, ÇëÏ x-Áª a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç:

Â»áñ»Ù 3.2: àñå»ë½Ç ax ´ 1(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÉÇÝÇ ÉáõÍ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ a ¨ m Ãí»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ª (a; m) = 1, áñï»Õ a 2 Z:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ax0 ´ b(mod m), ³å³ ax0 ¡ 1 = mt, áñï»Õ t 2 Z; Ð»ï¨³μ³ñ, ax0 + m(¡t) = 1 ¨ (a; m) = 1 Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3.1-Ç: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» (a; m) = 1, ³å³ Áëï Ã»áñ»Ù 3.1-Ç ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ u, v ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ au + mv = 1: Ð»ï¨³μ³ñª au¡1 = m(¡v), ³ÛëÇÝùÝ au ´ 1(mod m) ¨ u-Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ax ´ 1(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 3.5: àñï»ë½Ç [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ a ¨ m Ãí»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½: Ð»ï¨³μ³ñ, a-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ

ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ:

²å³óáõóáõÙ: [a] ¢ [a0 ] = [1] () [a ¢ a0 ] = [1] () a ¢ a0 ´ 1(mod m) () (a; m) = 1 : ¤ [x0 ] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» [x0 ] ¹³ëÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí ÉáõÍáõÙ ¿ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» ax0 ´ b(mod m) ¨ x1 ´ x0 (mod m), ³å³ ax1 ´ ax0 (mod m) ³ÛëÇÝùÝ ax1 ´ b(mod m) (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 1.2): ²ÛëåÇëáí, »Ã» x0 -Ý ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ x0 -Ç Ñ»ï Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç μ³Õ¹³ï»ÉÇ ó³ÝÏ³ó³Í x1 ³ÙμáÕç ÃÇí ¨ë ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ ÝáõÛÝ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²ÛÉ Ï»ñå, »Ã» x0 -Ý ÉáõÍáõÙ ¿ ax0 ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ [x0 ] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ ÝáõÛÝ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»Ù 3.3 (C. Bachet, 1612): ºÃ» (a; m) = 1, a 2 Z, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í b ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÉáõÍ»ÉÇ ¿ : ÀÝ¹ áñáõÙ, ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ (Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç) áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý (ÙÇ³ÏÝ ¿ ):

²å³óáõóáõÙ: »Ã» (a; m) = 1, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3.2-Ç ax ´ 1(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ: ¸Çóáõùª x = a0 , ³ÛëÇÝùÝ aa0 ´ 1(mod m): ²Û¹ ¹»åùáõÙª aa0 b ´ b(mod m), ³ÛëÇÝùÝª a0 ¢ b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» x0 -Ý ³Û¹ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ ax0 ´ b(mod m) ¨ aa0 x0 ´ a0 b(mod m): ØÛáõë ÏáÕÙÇóª aa0 ´

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

1(mod m) ¨ aa0 x0 ´ x0 (mod m): ²ÛëåÇëáíª x0 ´ a0 b(mod m), ³ÛëÇÝùÝ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý x0 ÉáõÍáõÙ μ³Õ¹³ï»ÉÇ ¿ ¹ñ³ a0 b ÉáõÍÙ³Ý Ñ»ï ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª [x0 ] = [a0 b] 2 Zm : ¤

Â»áñ»Ù 3.4: ºÃ» (a; m) = d, ³å³ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÉáõÍ»ÉÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ d-Ç íñ³: ²Û¹ å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ Ýßí³Í μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ×Çßï d Ñ³ï ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñ Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç (áñáÝó ÙÇ³íáñáõÙÁ m Ï³½ÙáõÙ ¿ ÙÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Áëï Ùá¹áõÉ -Ç): d ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (a; m) = d ¨ ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ x0 ÉáõÍáõÙÁ, ³å³ ax0 ¡ b = mt, áñï»Õ t 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñ, b = ax0 ¡ mt ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ Ïμ³Å³ÝíÇ d-Ç íñ³: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» b = ds ¨ d = au + mv (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2.1-Ç), ³å³ ds = aus + mvs, ³ÛëÇÝùÝª b = aus + mvs; aus ¡ b = m(¡vs) :

Ð»ï¨³μ³ñ, ax ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ x0 = us ÉáõÍáõÙÁ: ²ÛÅÙ å³ñ½»Ýù μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »Ã» ³ÛÝ ÉáõÍ»ÉÇ ¿: ¸Çóáõù a = da1 , b = db1 ¨ m = dm1 ; Àëï Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.1-Çª (a1 ; m1 ) = 1, ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, ax0 ´ b(mod m) () a1 x0 ´ b1 (mod m1 ) :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3.3-Ç, a1 x ´ b1 (mod m1 ) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÇ³Ï ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ Áëï Ùá¹áõÉ m1 -Ç ÏÉÇÝÇ [a01 b1 ] 2 Zm1 ¹³ëÁ, áñï»Õ a1 a01 ´ 1(mod m1 ): Àëï (Ùá¹áõÉ m1 -Ç) ÙÝ³óùÝ»ñÇ

¹³ëÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª

[a01 b1 ] = fx 2 Z j x ´ a01 b1 (mod m1 )g ;

³ÛëÇÝùÝ x ¡ a01 b1 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ m1 -Ç íñ³ª x ¡ a01 b1 = m1 q;

q2Z:

²ÛÅÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1.1-Ç, ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É ¹»åù»ñÁª q = dt; t 2 Z; q = dt + 1; t 2 Z; .. . q = dt + (d ¡ 1); t 2 Z;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨³μ³ñ x ¡ a01 b1 = m1 q, q 2 Z å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ x ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É ¹»åù»ñÁª x ¡ a01 b1 = m1 q = m1 dt = mt; x ¡ a01 b1 = m1 q = m1 (dt + 1) = m1 dt + m1 = mt + m1 ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ x ¡ a01 b1 = m1 q = m1 (dt + (d ¡ 1)) = m1 dt + m1 (d ¡ 1) = mt + (d ¡ 1)m1 Ï³Ùª x ¡ a01 b1 = mt; x ¡ (a01 b1 + m1 ) = mt; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ x ¡ (a01 b1 + (d ¡ 1)m1 ) = mt;

àõëïÇ, x ¡ a01 b1 = m1 q, q 2 Z å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ x ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÁ Áëï Ùá¹áõÉ m-Çª x ´ a01 b1 (mod m); x ´ (a01 b1 + m1 )(mod m); ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ x ´ (a01 b1 + (d ¡ 1)m1 )(mod m); Àëï áñáõÙ, Ýßí³Í μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ã»Ý Ï³ñáÕ, áñáíÑ»ï¨ i 6= j ¹»åùáõÙ (a01 b1 + im1 ) ¡ (a01 b1 + jm1 ) = (i ¡ j)m1 6= 0 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ m-Ç íñ³ (ji ¡ jj < d ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ j(i ¡ j)m1 j < d ¢ m1 = m): ²ÛëåÇëáí, ¹Çï³ñÏíáÕ ax ´ b(mod m) ÉáõÍ»ÉÇ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ëï³óíáõÙ »Ý ³Û¹ μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ¨ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ×Çßï d = (a; m) Ñ³ï ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñ Áëï Ùá¹áõÉ m-Çª [a01 b1 ]; [a01 b1 + m1 ]; [a01 b1 + 2m1 ]; : : : ; [a01 b1 + (d ¡ 1)m1 ] : Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿:

²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ ³Ûëå»ë Ïáãí³Í âÇÝ³Ï³Ý

Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ËÝ¹ñÇÝ:

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

Â»áñ»Ù 3.5 (âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù): ºÃ» m1 ; m2 ; : : : ; mn μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ (n > 2) ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í a1 ; a2 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ âÇÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·)ª x ´ a1 (mod m1 ); > > < x ´ a2 (mod m2 ); ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ > > : x ´ an (mod mn )

áõÝÇ ÉáõÍáõÙ: Àëï áñáõÙ, »Ã» x0 -Ý Ýßí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ ¿ ¨ x1 ´ x0 (mod m1 m2 : : : mn ), ³å³ x1 -Á ¨ë ÏÉÇÝÇ Ýßí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ; ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» x, x0 -Á Ýßí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏáõ ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ x ´ x0 (mod m1 m2 : : : mn ), ³ÛëÇÝùÝ ÉáõÍáõÙÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Áëï m = m1 ¢ m2 ¢ : : : ¢ mn Ùá¹áõÉÇ (Ñ»ÝùÇ): ²ÛÉ Ï»ñå, ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë Ñ³ëï³ï»Ýù ÉáõÍÙ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ: Üß³Ý³Ï»Éáíª ki = m1 ¢ : : : ¢ mi¡1 ¢ mi+1 ¢ : : : ¢ mn ;

i = 1; : : : n;

Ïëï³Ý³Ýù (ki ; mi ) = 1 (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2): Ð»ï¨³μ³ñ, Ã»áñ»Ù 3.2-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ki xi ´ 1(mod mi ) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ: àñï»ÕÇóª ki xi ai ´ ai (mod mi ), ³ÛëÇÝùÝª ki zi ´ ai (mod mi ), áñï»Õ zi = xi ai , i = 1; : : : ; n: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ kj zj ´ 0(mod mi );

i 6= j;

áñáíÑ»ï¨ kj -Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ mi -Ç íñ³, »Ã» i 6= j: Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ i = 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª k1 z1 + k2 z2 + ¢ ¢ ¢ + kn zn ´ ai (mod mi ); ³ÛëÇÝùÝ x = k1 z1 + k2 z2 + ¢ ¢ ¢ + kn zn ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ ïñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ, áñáíÑ»ï¨ª k1 z1 + ¢ ¢ ¢ + ki¡1 zi¡1 + ki zi + ki+1 zi+1 + ¢ ¢ ¢ + kn zn ´ 0 + ¢ ¢ ¢ +0 + ai + 0 + ¢ ¢ ¢ + 0(mod mi ) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÈáõÍÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛ³ÝÁ í»ñ³μ»ñáÕ Ù³ëÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Æñáù, »Ã» x0 -Ý Ýßí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ ¿ ¨ x1 ´ x0 (modm1 m2 ¢ ¢ ¢ mn ), ³å³ x1 ´ x0 (mod mi ), i = 1; : : : ; n, ¨ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ ÷áË³Ýó³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 1.2) ÏáõÝ»Ý³Ýù x1 ´ ai (mod mi ), i = 1; : : : ; n: ÆëÏ »Ã» x, x0 -Á Ýßí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏáõ ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ x ¡ x0 ´ 0(mod mi ), i = 1; : : : ; n, ¨ ù³ÝÇ áñ m1 ; m2 ; ¢ ¢ ¢ ; mn μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ (n > 2) ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.6-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, x ¡ x0 ´ 0(mod m1 m2 ¢ ¢ ¢ mn ), ³ÛëÇÝùÝ x ´ x0 (mod m1 m2 ¢ ¢ ¢ mn ): ¤

âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ý³¨ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ âÇÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ³É·áñÇÃÙ: àñå»ë ûñÇÝ³Ï ÉáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ. ·ïÝ»É ³ÛÝ ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñÁ μ³Å³Ý»Éáí 3-Ç ëï³óíáõÙ ¿ 2 ÙÝ³óáñ¹, μ³Å³Ý»Éáí 4Ç ëï³óíáõÙ ¿ 3 ÙÝ³óáñ¹ ¨ μ³Å³Ý»Éáí 5-Ç ëï³óíáõÙ ¿ 1 ÙÝ³óáñ¹: ²ÛëåÇëáí, å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ÉáõÍ»É μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É âÇÝ³Ï³Ý

Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª

< x ´ 2(mod 3); x ´ 3(mod 4); : x ´ 1(mod 5);

áñï»Õ 3, 4 ¨ 5 Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý: ²Ûëï»Õ a1 = 2, a2 = 3, a3 = 1, m1 = 3, m2 = 4, m3 = 5, m = m1 ¢m2 ¢m3 = 3¢ 4 ¢ 5 = 60, k1 = 4¢ 5 = 20, k2 = 3 ¢ 5 = 15, k3 = 3¢ 4 = 12: Ð³çáñ¹ ù³ÛÉáõÙ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ÉáõÍ»É ki xi ´ 1(mod mi ) μ³Õ¹³ïáõÙÁ (i = 1; 2; 3): i = 1 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª 20x1 ´ 1(mod 3); 2x1 ´ 1(mod 3); x1 ´ 2(mod 3); ÜáõÛÝ Ï»ñå ëï³ÝáõÙ »Ýùª x2 ´ 3(mod 4), x3 ´ 3(mod 5): Ð»ï¨³μ³ñª x = k1 x1 a1 + k2 x2 a2 + k3 x3 a3 = 20 ¢ 2 ¢ 2 + 15 ¢ 3 ¢ 3 + 12 ¢ 3 ¢ 1 = = 80 + 135 + 36 = 251 ´ 11(mod 60) :

¶áñÍ³Í³Ï³Ý ¿ Ý³¨ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ âÇÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

ÉáõÍÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ³É·áñÇÃÙÁ. x1 = a1 (mod m1 ); x2 = N2 (C2 (a2 ¡ x1 )mod m2 ) + x1 ; x3 = N3 (C3 (a3 ¡ x2 )mod m3 ) + x2 ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ x = xn = Nn (Cn (an ¡ xn¡1 )mod mn ) + xn¡1 ; áñï»Õ Ni = m1 ¢ m2 ¢ : : : ¢ mi¡1 , ÇëÏ Ci ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ci Ni ´ 1(mod mi ) å³ÛÙ³ÝÇÝ ¨ ëï³óíáõÙ »Ý ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáíª áñå»ë Ni ¨ mi ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ: Üß»Ýù Ý³¨ μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ: Â»áñ»Ù 3.6 (Yi Xing, 700): àñå»ë½Ç μ³Õ¹³ïáõÙ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (n > 2) x ´ a1 (mod m1 ); > > < x ´ a2 (mod m2 ); > ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ > : x ´ an (mod mn )

áõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï > ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ai ¡ aj ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíÇ (mi ; mj ) ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³ª μáÉáñ i, j ½áõÛ·»ñÇ ¹»åùáõÙ, áñï»Õ 1 6 i < j 6 n: ÈáõÍÙ³Ý ·áÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¤ ³ÛÝ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Áëï m = (m1 ; m2 ; : : : ; mn ) Ùá¹áõÉÇ:

âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É ¿ áï³Ý³íáñÝ»ñÇ ï»ëùáíª ·ñí³Í Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛ³Ý I ¹³ñáõÙª âÇÝ Ñ³ÛïÝÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë êáõÝ ò½áõÇ ÏáÕÙÇó: Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿, áñ ³Ûë Ã»áñ»ÙÁ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ Ý³¨ ËÙμ»ñÇ ¨ ûÕ³ÏÝ»ñÇ É»½íáí, ÇÝãÁ íÏ³ÛáõÙ ¿ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ß³ï í³Õ ³ÏáõÝùÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ½áõÛ·Á ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿: (òáõóáõÙ. (m + 1) ¡ m = 1):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2. ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿:

Ï»Ýï

Ãí»ñÇ

½áõÛ·Á

3. ²å³óáõó»É, áñ 22m + 7 ¨ 33m + 10 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ½áõÛ·Á (m 2 Z) ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿: ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»É 2m + 1 ¨ 9m + 4 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¡ ¢ n 4. ²å³óáõó»É, áñ n; 22 + 1 = 1, áñï»Õ n = 1; 2; : : :: 5. ²å³óáõó»É, áñ a 6= b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí ³ÛÝåÇëÇ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ (a + n; b + n) = 1:

6. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 6 μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ Ù»ÏÇó Ù»Í ¨ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: 7. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 17 μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñ»ù Ù»ÏÇó Ù»Í ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: 8. ¸Çóáõù m-Á μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ ïñí³Í m-Ç Ñ»ï: 9. ¸Çóáõù a; b 6= 0, a; b 2 Z, d = (a; b) ¨ ¹Çóáõù u0 ; v0 2 Z ½áõÛ·Á a; b ½áõÛ·Ç ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª d = au0 + bv0 : ²å³óáõó»É, áñ a; b ½áõÛ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í u; v ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª u = u0 ¡ k

b ; d

v = v0 + k

a ; d

10. ºÃ» a; b; c 2 Z, ³å³

μ ca ´ cb(mod n) Ã! a ´ b mod

11. ú·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.7-Çó, ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª

k2Z: n (n; c)

ÉáõÍ»É

2x + 3y = 5; 12x + 9y = 21; 6x + 10y = 18 :

Ñ»ï¨Û³É

·Í³ÛÇÝ

¶ÉáõË 3 öàÊ²¸²ðÒ²´²ð ä²ð¼ ²Ø´àÔæ Âìºð

12. ú·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.7-Çó, ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁª

ÉáõÍ»É

Ñ»ï¨Û³É

·Í³ÛÇÝ

9x1 + 12x2 + 5x3 = 11; (òáõóáõÙ. ù³ÝÇ áñ (9; 12) = 3, ³å³ 9x1 +12x2 = 3y Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙª ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ ¹»åùáõÙ: ²Û¹ å³ï×³éáí Ý³Ë ÉáõÍ»Ýù 3y + 5x3 = 11 ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, û·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.7-Çóª y = y0 ¡ 5k;

x3 = x0 + 3k;

áñï»Õ k 2 Z, ÇëÏ (x0 ; y0 )-Ý Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ (Ù³ëÝ³ÏÇ) ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.2): ì»ñóÝ»Éáí (x0 ; y0 ) = (2; 1), Ïëï³Ý³Ýùª y = 1 ¡ 5k;

x3 = 2 + 3k;

k2Z:

²ÛÅÙ ÉáõÍ»Ýù 9x1 + 12x2 = 3y Ï³Ù 3x1 + 4x2 = y ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ y = 1 ¡ 5k, k 2 Z: ÜÏ³ï»Éáí 3x1 + 4x2 = 1 ¡ 5k, k 2 Z Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (x±1 ; x±2 ) = (3 ¡ 3k; ¡2 + k) (Ù³ëÝ³ÏÇ) ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª x1 = 3 ¡ 3k ¡ 4k0 ; x2 = ¡2 + k + 3k0 ;

k0 2 Z :

²ÛëåÇëáí, ëÏ½μÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ýª x1 = 3 ¡ 3k ¡ 4k0 ; x2 = ¡2 + k + 3k0 ; x3 = 2 + 3k; 13. ú·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.7-Çó, ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª

ÉáõÍ»É

k; k0 2 Z ) :

Ñ»ï¨Û³É

·Í³ÛÇÝ

8x1 ¡ 4x2 + 10x3 = 6; 3x1 + 5x2 + 2x3 + 8x4 = 15 : 14. ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É áã ·Í³ÛÇÝ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙª 9x2 + 2 = y 2 : (òáõóáõÙ. »ÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª 9x2 +2 ´ y 2 (mod 3), 2 ´ y 2 (mod 3), áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

15. ÈáõÍ»É

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:

5x ´ 12(mod 16); 16x ´ 27(mod 29); 22x ´ 5(mod 12)

16. ÈáõÍ»É 2x + y ´ 4(mod 7); 4x + 2y ´ 6(mod 8)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: (òáõóáõÙ. ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ·ñ»É 2x ´ 4 ¡ y(mod 7) ï»ëùáí ¨ y = 0; 1; : : : ; 6 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ÉáõÍ»É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ): 17. ÈáõÍ»É μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É âÇÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁª ½ x ´ 3(mod 4); x ´ 1(mod 3); < x ´ 2(mod 5); x ´ 1(mod 6); : x ´ 3(mod 7) :

18. ÈáõÍ»É μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª < 2x ´ 1(mod 3); 3x ´ 2(mod 5); : 5x ´ 4(mod 7);

Ý³Ë Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ μ»ñ»Éáí x ´ a(mod b) ï»ëùÇ (û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 3.2-Çó):

¶ É áõ Ë 4 ºðÎàô ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎÀ q ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ (å³ïÇÏ), »Ã» q-Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï a-Ç ¨ b-Ç å³ïÇÏÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ b-Ç íñ³: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ¹ñ³Ýó ÙÇ³Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ ÏÉÇÝÇ ½ñáÝ, áñáíÑ»ï¨ ÙÇ³Ï ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ½ñáÛÇ íñ³ ½ñáÝ ¿ª 0 = 0 ¢ c: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ »ñμ a 6= 0 ¨ b 6= 0, ¹ñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ μÝ³Ï³Ý (³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý) ÃÇí; ²Û¹åÇëÇÝ ¿, ûñÇÝ³Ï, ja ¢ bj = a ¢ b ¢ sign(a ¢ b) > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ: ê³Ï³ÛÝ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ (Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ) ï³ññ: ²ÛëåÇëáí Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ (Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³ÝÁ): ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a, b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ a, b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ À²´ [a; b]-áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª [a; b]-áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ [a; b] = [b; a] ¨ [a; a] = jaj: Ð³çáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ¨ë ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 4.1: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿

³) a ¨ ¡b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï; μ) a ¨ jbj ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï; ·) ¡a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï;

¶ÉáõË 4 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎ

¹) jaj ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï; ») ¡a ¨ ¡b ³ÙμáÕç μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï;

Ãí»ñÇ

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ

½) jaj ¨ jbj μÝ³Ï³Ý μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï:

Ãí»ñÇ

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ

Ð»ï¨³μ³ñª [a; b] = [a; ¡b] = [a; jbj] = [¡a; b] = [jaj; b] = [¡a; ¡b] = [jaj; jbj] : ¤ ²ÝóÝ»Ýù áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ (μ³½ÙáõÃÛ³Ý) ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛ³ÝÁ, áñï»ÕÇó ¨ Ïëï³óíÇ ¹ñ³Ýó ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ áñáßÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ: Â»áñ»Ù 4.1: àñå»ë½Ç q ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ t ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ q=

ab ¢ t; d

áñï»Õ d = (a; b): ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ t ³ÙμáÕç ÃíÇ ¹»åùáõÙ ab ¢ t ï»ëùÇ ÃÇíÁ ³ÙμáÕç ¿ ¨ ³ÛÝ ÙÇßï μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ b-Ç íñ³: d Æñáù, ù³ÝÇ áñ d-Ý a-Ç ¨ b-Ç (³Ù»Ý³Ù»Í) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ a1 ¨ b1 ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a = da1 ;

b = db1 ;

Ð»ï¨³μ³ñª ab ¢ t = a(b1 t) = b(a1 t); d áñï»Õ b1 t-Ý ¨ a1 t-Ý ¨ë ³ÙμáÕç »Ý: ²ÛëåÇëáí, μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ²å³óáõó»Ýù ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¸Çóáõù q-Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñμÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¶ a b ; μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿ ¨ ¹Çóáõù d = (a; b); ²Û¹ ¹»åùáõÙ =1 d d (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1) ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ k1 , k2 , a1 ¨ b1 ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ q = ak1 = bk2 , a = da1 ¨ b = db1 ; Ð»ï¨³μ³ñ ak1 = bk2 ;

¨ ù³ÝÇ áñ

a b ; d d

b a k1 = k2 d d = 1, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç, k1 -Á

b b = b1 -Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ k1 = ¢ t áñ¨¿ t ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: d d ²ÛëåÇëáíª b q = a ¢ k1 = a ¢ t; t 2 Z : ¤ d

Ïμ³Å³ÝíÇ

àñå»ë ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

³ÝÙÇç³Ï³Ý

Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ

ëï³ÝáõÙ

»Ýù

Ñ»ï¨Û³É

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.1: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ M μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ¾ ½ ab ¢t j t2Z ; M= d áñï»Õ d = (a; b):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.2: ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª [a; b] =

jabj a¢b sign(a ¢ b) = (a; b) (a; b)

(Ñ»ï¨³μ³ñ [a; b]-Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»É (Ñ³ßí»É) û·ïí»Éáí ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇó): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» a-Ý ¨ b-Ý μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ³å³ [a; b] =

a¢b : (a; b)

¶ÉáõË 4 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎ

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ q ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ áõÝÇ q=

ab ¢ t; d

d = (a; b)

ï»ëùÁ, áñï»Õ t-Ý ³ÙμáÕç ÃÇí ¿, ³å³ μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ÏÉÇÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇª ¯ ¯ ¯ ab ¯ jabj jabj ¯ jqj = ¯ ¢ t¯¯ = ¢ jtj > : d d d

Ð»ï¨³μ³ñ,

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý,

Áëï

³Ù»Ý³÷áùñ

[a; b] =

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

μ³½Ù³å³ïÇÏÇ

jabj ab = sign(a ¢ b) : d d

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.3: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ q ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó [a; b] ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ íñ³: ²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 4.1-Ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ q= áñï»Õ

ab ¢ sign(a ¢ b) t t ab ¢t= ¢ = [a; b] ¢ ; d d sign(a ¢ b) sign(a ¢ b)

t = §t ÃÇíÁ ¨ë ³ÙμáÕç ¿: sign(a ¢ b)

²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: Æñáù, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ, Ý³Ë ·ñáõÙ »Ýù q = [a; b] ¢ l + r, 0 6 r < [a; b], ¨ ³å³óáõóáõÙ, áñ ³Ûëï»Õ r = 0, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ r-Á ÏÉÇÝÇ [a; b]-Çó ÷áùñ ¹ñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ a-Ç ¨ b-Ç Ñ³Ù³ñ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ [a; b]-Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.4: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ [a; b] = ja ¢ bj = ab ¢ sign(a ¢ b) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ [a; b] = a ¢ b :

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ d = (a; b) = 1, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.2-Çª jabj = ja ¢ bj : ¤ [a; b] = d [a; b] [a; b] Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.5: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ a b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» x-Á ¹ñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ x x ´ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ; = 1, ³å³ x = [a; b]: Ñ³Ù³ñ ¨ a b ²å³óáõóáõÙ: ºÉÝ»Éáí [a; b] =

a¢b ¢ sign(a ¢ b); d

d = (a; b)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª b b [a; b] = ¢ sign(a ¢ b) = § ; a d d a a [a; b] = ¢ sign(a ¢ b) = § : b d d ØÛáõë ÏáÕÙÇóª

μ ¶ μ ¶ a b a b § ;§ ; = =1: d d d d

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» x = ¶ [a; b] ¢ μ t, áñï»Õ t > 0, ³å³¶ Áëï μ [a; b] ¢ t [a; b] ¢ t ab sign(a; b) ab sign(a; b) ; ;

å³ÛÙ³ÝÇª

= 1, t = 1, b¶ da db μ ¶ a μ a b b a ; t § ; § = 1, t = 1, t = 1 ¨ x = [a; b]: ¤ d d d d

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.6: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¨ k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [ak; bk] = k ¢ [a; b] :

¶ÉáõË 4 ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» d = (ak; bk), ³å³ [ak; bk] =

jak ¢ bkj k2 ja ¢ bj ja ¢ bj jak ¢ bkj = = =k = k ¢ [a; b] : d (ak; bk) k ¢ (a; b) (a; b)

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.7: ºÃ» áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³, ³å³ [a; b]-Ý ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ k-Ç íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ∙ ¸ [a; b] a b = ; : k k k ²å³óáõóáõÙ: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ýª ∙ ¸ ∙ ¸ b a b a ; k¢ = k¢ ; k¢ = [a; b]; k k k k ³ÛëÇÝùÝ [a; b]-Ý ¨ë μ³Å³ÝíáõÙ ¿ k-Ç íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙª ∙ ¸ a b [a; b] = ; : k k k

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 4.2 (³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ): Î³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a, b ¨ c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [a; [b; c]] = [[a; b]; c] :

²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ a ¨ [b; c] ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ [a; b] ¨ c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Æñáù, »Ã» q ³ÙμáÕç ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ [b; c]-Ç íñ³, ³å³ ³ÛÝ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ b-Ç ¨ c-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, q-Ý ÉÇÝ»Éáí a-Ç ¨ b-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ, Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó [a; b] ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ íñ³ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.3): ÜáõÛÝ³ÝÙ³Ý ù³ÛÉ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ [a; b] ¨ c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿ Ý³¨ a ¨ [b; c] ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ [a; b]-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ (a; b)-Ç íñ³: 2. ²å³óáõó»É, áñ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (a; b) = [a; b] ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a = b: 3. àñáß»É [221; 324]-Áª û·ïí»Éáí Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.2-Çó ¨ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇó: 4. ò³ÝÏ³ó³Í n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [n; n + 1] = n(n + 1); 5. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª ½ (x; y) = 12; [x; y] = 360; μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí (x; y 2 N): 6. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª ½ xy = 20; [x; y] = 10; μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí (x; y 2 N): 7. ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a, b, c, d ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª [[[a; b] ; c] ; d] = [[a; [b; c]] ; d] = [a; [[b; c] ; d]] = [a; [b; [c; d]]] = [[a; b] ; [c; d]] :

¶ É áõ Ë 5 ØÆ ø²ÜÆ ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²ØºÜ²ØºÌ ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²Ä²Ü²ð²ðÀ ºì ²ØºÜ²öàøð ÀÜ¸Ð²Üàôð ´²¼Ø²ä²îÆÎÀ c ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (n > 2) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ, »Ã» c-Ý μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ³ÙμáÕç ÃíÇ μáÉáñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, Ñ»ï¨³μ³ñ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ï³ññ, áñÁ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ²À´(a1 ; : : : ; an )-áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª (a1 ; : : : ; an )-áí: ²ÏÑ³Ûï ¿, áñ (a1 ; : : : ; an ) > 1: ²ÛëåÇëáí d > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁª ³1 ) d-Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ; ³2 ) »Ã» d0 ³ÙμáÕç ÃÇíÁ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³å³ d0 6 d: q ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (n > 2) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ, »Ã» q-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ μÝ³Ï³Ý (³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý) ÃÇí: ²Û¹åÇëÇÝ ¿, ûñÇÝ³Ï, ja1 ¢ : : : ¢ an j = a1 ¢ : : : ¢ an ¢ sign(a1 ¢ ¢ ¢ an ) > 0

μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:

àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ¨ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ a1 ; : : : ; an

¶ÉáõË 5 ØÆ ø²ÜÆ ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²À´ ºì À²´

³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ À²´ [a1 ; : : : ; an ]-áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª [a1 ; : : : ; an ]-áí: ²ÛëåÇëáí m > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ μ1 ) m-Á ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ; μ2 ) a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m0 > 0 ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ m 6 m0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñç³íáñ Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ áñáßÙ³Ý ËÝ¹ÇñÁ Ñ³Ý·»óíáõÙ ¿ »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ñÇÝ, áñÝ ³ñ¹»Ý ùÝÝ³ñÏí»É ¿ ·ÉáõË 2-áõÙ: Æñáù, »Ã» Ýß³Ý³Ï»Ýùª (a1 ; a2 ) = d2 ; (d2 ; a3 ) = d3 ; ¢¢¢ ¢¢¢ (dn¡1 ; an ) = dn ; ³å³ª dn = (a1 ; : : : ; an ): ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ï³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: Ü³Ë Da1 ;:::;an -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (n > 1): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Da -Ý a-Ç μáÉáñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.1: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Da1 ;:::;an = Ddn¡1 ;an = Ddn

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, (a1 ; : : : ; an ) = (dn¡1 ; an ) = dn , áñï»Õ n > 3; àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³: ²å³óáõóáõÙ: ºñÏñáñ¹ Ddn¡1 ;an = Ddn

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ßÝáñÑÇí Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.1-Ç: ²é³çÇÝ Da1 ;:::;an = Ddn¡1 ;an

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: n = 3 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù Da1 ;a2 ;a3 = Dd2 ;a3 ; áñÁ ×Çßï ¿: Æñáù, ³ÏÝÑ³Ûï ¿ª

ÇëÏ Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁª

Dd2 ;a3 μ Da1 ;a2 ;a3 ; Da1 ;a2 ;a3 μ Dd2 ;a3 ;

ÝáñÇó μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 2.1-Çó, áñ a1 , a2 -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ÏÉÇÝÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ (a1 ; a2 ) = d2 -Ç Ñ³Ù³ñ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí ³å³óáõóí»ÉÇù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï n ¡ 1 Ñ³ï ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª

ÏáõÝ»Ý³Ýùª

Da1 ;:::;an¡1 = Ddn¡2 ;an¡1 = Ddn¡1 ; Ddn¡1 ;an μ Da1 ;:::;an

¨ ²ÛëåÇëáíª

Da1 ;:::;an μ Ddn¡1 ;an ; Da1 ;:::;an = Ddn¡1 ;an ;

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ÝÏ³ñ³·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ í»ñç³íáñ Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ: Æñáù, »Ã» Ýß³Ý³Ï»Ýùª [a1 ; a2 ] = m2 ; [m2 ; a3 ] = m3 ; ¢¢¢ ¢¢¢ [mn¡1 ; an ] = mn ; ³å³ª mn = [a1 ; : : : ; an ]; ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ¿É ¿ ³å³óáõóíáõÙ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: Ü³Ë Ma1 ;:::;an -áí Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ýù a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (n > 1): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ma -Ý a-Ç μáÉáñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿:

¶ÉáõË 5 ØÆ ø²ÜÆ ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²À´ ºì À²´

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.2: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Ma1 ;:::;an = Mmn¡1 ;an = Mmn :

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, [a1 ; : : : ; an ] = [mn¡1 ; an ] = mn , áñï»Õ n > 3: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ íñ³: ²å³óáõóáõÙ: ÎñÏÝíáõÙ »Ý Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý ù³ÛÉ»ñÁ: ºñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ßÝáñÑÇí Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.3-Ç, ÇëÏ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëïáõ·íáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.3: ¼áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ a1 ; : : : ; an áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [a1 ; : : : ; a2 ] = ja1 ¢ a2 ¢ : : : ¢ an j ;

áñï»Õ n > 2: ²å³óáõóáõÙ: Æñáù, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.4-Ç, m2 = [a1 ; a2 ] = ja1 ¢ a2 j : ²ÛëåÇëáí Ó¨³Ï»ñåí³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ n = 2 ¹»åùáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí ³ÛÝ ×Çßï n ¡ 1 Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ a1 ; : : : ; an¡1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª mn = [mn¡1 ; an ] = jmn¡1 ¢ an j = ja1 ¢ a2 ¢ : : : ¢ an¡1 ¢ an j ; Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.4-Ç ¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2-Ç, Áëï áñÇ an -Á ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¤ Ý³¨ a1 ¢ ¢ ¢ an¡1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.4: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x1 ; : : : ; xn ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ (a1 ; : : : ; an ) = a1 x1 + ¢ ¢ ¢ + an xn ;

n>2:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²í»ÉÇ ×Çßïª (a1 ; : : : ; an ) = = min fa1 x1 + ¢ ¢ ¢ + an xn j x1 ; : : : ; xn 2 Z; a1 x1 + ¢ ¢ ¢ + an xn > 0g :

²å³óáõóáõÙ: ä»ïù ¿ ÏñÏÝ»É Ã»áñ»Ù 2.1-Ç ³å³óáõóáõÙÁ, í»ñóÝ»Éáí ª M = fa1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn j x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 Zg :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, »Ã» (a1 ; : : : ; an ) = 1 : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.5: àã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x1 ; : : : ; xn ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ a1 x1 + ¢ ¢ ¢ + an xn = 1:

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 3.1-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.6: ºÃ» d-Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ an a1 ³ÙμáÕç ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ , ³å³ d d Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½:

²å³óáõóáõÙ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 3.1-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿ ¨ μËáõÙ ¿ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 5.5-Çó: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.7: ò³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c > 0 ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª c ¢ (a1 ; : : : ; an ) = (ca1 ; : : : ; can ) :

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 2.5-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.8: ºÃ» áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý c > 0 ³ÙμáÕç ÃíÇ íñ³, ³å³ (a1 ; : : : ; an )-Á ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ c-Ç íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª an ´ (a1 ; : : : ; an ) ³ a1 = : c c c

¶ÉáõË 5 ØÆ ø²ÜÆ ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²À´ ºì À²´

²å³óáõóáõÙ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 2.3-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.9: ò³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ c > 0 ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª c ¢ [a1 ; : : : ; an ] = [ca1 ; : : : ; can ] :

²å³óáõóáõÙ: Ð³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ßï ¿ ³å³óáõó»É ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¸Çóáõù m = [a1 ; : : : ; an ], ³Û¹ ¹»åùáõÙ cm-Á ÏÉÇÝÇ ca1 ; : : : ; can ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ: ø³ÝÇ áñ cm > 0, ³å³ ÙÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ cm-Çó ÷áùñ ¨ ca1 ; : : : ; can ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ q > 0 ³ÙμáÕç ÃÇí: Æñáù, »Ã» q > 0 ¨ q-Ý ca1 ; : : : ; can ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ t1 ; : : : ; tn ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ q = (ca1 )t1 ; q = (can )tn ; Ð»ï¨³μ³ñª áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýùª

c (a1 t1 ) = ¢ ¢ ¢ = c (an tn ) ; a1 t1 = ¢ ¢ ¢ = an tn ;

³ÛëÇÝùÝ, a1 t1 -Á ÏÉÇÝÇ a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ (¹ñ³Ï³Ý) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ: àõëïÇ, ³ÛÝ Ïμ³Å³ÝíÇ [a1 ; : : : ; an ] = m-Ç íñ³ª

áñï»ÕÇóª

a1 t1 = m ¢ t;

t 2 Z; t > 1;

ca1 t1 = cmt; ³ÛëÇÝùÝª q = (cm) ¢ t > cm :

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.10: ºÃ» áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý c > 0 ³ÙμáÕç ÃíÇ íñ³, ³å³ [a1 ; : : : ; an ]-Á ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ c-Ç íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª an i [a1 ; : : : ; an ] h a1 = : c c c

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 4.7-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

ì»ñç³íáñ Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ï³åÁ μ³ó³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ. Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 5.11: Î³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [a1 ; : : : ; an ] =

ja1 ¢ : : : ¢ an j ; (A1 ; : : : ; An )

n > 2;

áñï»Õª

a1 ¢ : : : ¢ an ; a1 a1 ¢ : : : ¢ an ; A2 = a2 ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ a1 ¢ : : : ¢ an : An = an Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, n = 2 ¹»åùáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨áõÃáõÝ 4.2-Çó Ñ³ÛïÝÇ μ³Ý³Ó¨Á, ÇëÏ n = 3 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª A1 =

[a1 ; a2 ; a3 ] =

ja1 a2 a3 j : (a2 a3 ; a1 a3 ; a1 a2 )

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù d = (A1 ; : : : ; An ) ¨

ja1 ¢ ¢ ¢ an j = x: ø³ÝÇ áñ d

A1 sign(a1 A1 ); d A2 x = a2 sign(a2 A2 ); d ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ An sign(an An ); x = an d ³å³ x-Á a1 ; : : : ; an ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 5.2), x-Á Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ [a1 ; : : : ; an ] = mÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ x = m ¢ t, áñï»Õ t > 1: ²ÛëåÇëáí ÏáõÝ»Ý³Ýùª x = a1

m A1 = t sign(a1 A1 ); d a1

¶ÉáõË 5 ØÆ ø²ÜÆ ²Ø´àÔæ ÂìºðÆ ²À´ ºì À²´

m A2 = t sign(a2 A2 ); d a2 ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢

An m = t sign(an An ); d an àõëïÇ, t μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ An A1 ; ::: ; ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 5.6-Ç) d d ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ t = 1 ¨ x = m, ³ÛëÇÝùÝª ja1 ¢ ¢ ¢ an j = [a1 ; : : : ; an ] : d

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ (a1 ; a2 ; a3 ) = (a1 ; (a2 ; a3 )) ; [a1 ; a2 ; a3 ] = [a1 ; [a2 ; a3 ]] ; 2. ²å³óáõó»É, áñ (a1 ; a2 ; a3 ; a4 ) = ((a1 ; a2 ); (a3 ; a4 )) ; [a1 ; a2 ; a3 ; a4 ] = [[a1 ; a2 ]; [a3 ; a4 ]] ; 3. ²å³óáõó»É, áñ (a1 ; a2 ; a3 ; a4 ) = ((a1 ; a2 ); a3 ; a4 ) ; [a1 ; a2 ; a3 ; a4 ] = [[a1 ; a2 ]; a3 ; a4 ] ; 4. ²å³óáõó»É, áñ (a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ) = ((a1 ; a2 ); a3 ; : : : ; an ) ; [a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ] = [[a1 ; a2 ]; a3 ; : : : ; an ] :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

5. 15, 42, 70 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿, ë³Ï³ÛÝ ¹ñ³ ó³ÝÏ³ó³Í ½áõÛ·Á ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ã¿: Î³éáõó»É ãáñë (¨ ÑÇÝ·) áã ½ñáÛ³Ï³Ý μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Û¹åÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ¶áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ñ¹Ûáù n áã ½ñáÛ³Ï³Ý μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Û¹åÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª ó³ÝÏ³ó³Í n > 3 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ: 6. àñå»ë½Ç a1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn = b ·Í³ÛÇÝ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áõÝ»Ý³ ¸Çáý³ÝïÛ³Ý ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ b-Ý μ³Å³ÝíÇ d = (a1 ; a2 ; : : : ; an )-Ç íñ³: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³Ýí»ñç Ãíáí ÉáõÍáõÙÝ»ñ: 7. ¸Çóáõù d = (a1 ; a2 ; : : : ; an ; m), áñï»Õ m 2 N, ai 6= 0, i = 1; : : : ; n: àñå»ë½Ç

a1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn ´ b(mod m)

μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ b-Ý μ³Å³ÝíÇ d-Ç íñ³:

¶ É áõ Ë 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: Âì²´²ÜàôÂÚ²Ü ÐÆØÜ²Î²Ü ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü: Ð²Üð²Ð²ÞìÆ ÐÆØÜ²Î²Ü ÂºàðºØÀ ä²ð¼ ÐºÜøàì ´²Ô¸²îàôØÜºðÆ ìºð²´ºðÚ²È 6.1. ÂíÇ å³ñ½áõÃÛ³Ý ìÇÉëáÝÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ ´Ý³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³óáÕ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ: Ø»ÏÇó Ù»Í p μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ ÃÇí, »Ã» ³ÛÝ μ³óÇ 1-Çó ¨ p-Çó áõñÇß μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝ p-Ý áõÝÇ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñª 1-Á ¨ p-Ý: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ 2-Á ÙÇ³Ï ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇíÝ ¿: Ø»ÏÇó Ù»Í μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³Õ³¹ñÛ³É, »Ã» ³ÛÝ å³ñ½ ÃÇí ã¿ (1-Á ãÇ Ñ³Ù³ñíáõÙ å³ñ½ Ï³Ù μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí): ²ÛëåÇëáí, n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³Õ³¹ñÛ³É, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ ³ÛÝåÇëÇ n1 μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñ, áñ 1 < n1 < n: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μáÉáñ μ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» a 2 N, a > 1, ³å³ a ¢ x-Á ÏÉÇÝÇ μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíª μáÉáñ x 2 N, x > 1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²é³çÇÝ ³Ý·³Ù ¾íÏÉÇ¹»ëÝ ¿ ³å³óáõó»É, áñ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ (Ã»áñ»Ù 7.1): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏáõ Ï»Ýï å³ñ½ Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ½áõÛ· ÃÇí ¿: ê³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ñ¹Ûáù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· ÃÇí Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí: ä³ñ½ ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³óáÕ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.1: ºÃ» p-Ý áñ¨¿ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ù»ÏÇó Ù»Í ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ , ³å³ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ : Ð»ï¨³μ³ñ, Ù»ÏÇó Ù»Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μÝ³Ï³Ý ÃÇí (áõëïÇ ¨ §1-Çó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí) μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, p Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí μ³Å³ÝíáõÙ ¿ n-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, ¹Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ã¿, ³ÛëÇÝùÝ ³ÛÝ áõÝÇ 1 < a < p

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 180

å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ a μ³Å³Ý³ñ³ñ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ a-Ý ÏÉÇÝÇ Ý³¨ n-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ p-Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: Ð³ïÏáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ Ù³ëÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ¸Çóáõù n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿ ¨ n = a ¢ b, áñï»Õ p 1 < a < n, 1 < b < n ¨ ¹Çóáõù a 6 b: àõëïÇ a 6 n, áñáíÑ»ï¨ p p Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝª n = ab > n ¢ n = n: p ¸Çóáõù p-Ý a-Ç áñ¨¿ å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: Ð»ï¨³μ³ñª p 6 a 6 n, p ¤ p 6 n: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.2: a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ¨ p å³ñ½ ÃÇíÁ Ï³Ù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, Ï³Ù a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù (a; p) = 1 Ï³Ù (a; p) = p: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: p å³ñ½ ÃíÇ ÙÇ³Ï μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 1-Á ¨ p-Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³Ù (a; p) = 1, Ï³Ù (a; p) = p: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 6.1: ºÃ» μ³Õ¹³ïÙ³Ý m Ùá¹áõÉÁ å³ñ½ ÃÇí ¿ , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: ²å³óáõóáõÙ: î»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.5-Á:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3 (¾íÏÉÇ¹»ë): ºÃ» »ñÏáõ a ¨ b ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ a ¢ b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ p-Ç Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ Áëï Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª (a; p) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç, b-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: ºñÏñáñ¹ Ù³ëÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤ Ð»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ

³å³óáõóíáõÙ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.4: ºÃ» í»ñç³íáñ Ãíáí ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ ³Û¹ å³ñ½ ÃíÇ íñ³ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» í»ñç³íáñ Ãíáí å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ ¤ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ p-Ç Ñ»ï:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 6.1 (ìÇÉëáÝ (1770 Ã.), È³·ñ³ÝÅ (1771 Ã.)): àñå»ë½Ç m > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÉÇÝÇ å³ñ½ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (m ¡ 1)! ´ ¡1(mod m), ³ÛëÇÝùÝ (m ¡ 1)! + 1 ·áõÙ³ñÁ μ³Å³ÝíÇ m-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» m > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³å³ Áëï Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 6.1-Ç, Zm = f[0]; [1]; : : : ; [m ¡ 1]g

μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: àñáß»Ýù Zm -Ç μáÉáñ ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý [a] ï³ññ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Çñ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ Ñ»ï: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ [1]¡1 = [1] ¨ [m ¡ 1]¡1 = [m ¡ 1]: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» [a] = [a]¡1 , ³å³ Áëï Ñ³Ï³¹³ñÓÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý [a] ¢ [a] = [1], ³ÛëÇÝùÝª £ 2¤ £a2 ¤ = [1] ; £a2 + [¡1]¤ = [0] ; = [0] ; ¤ £a2 + (¡1) a ¡ 1 = [0] ; [(a ¡ 1)(a + 1)] = [0] ; ²ÛëåÇëáí, (a ¡ 1)(a + 1) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ïμ³Å³ÝíÇ m å³ñ½ ÃíÇ íñ³: àõëïÇ, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ïμ³Å³ÝíÇ m-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, a ¡ 1 = mt Ï³Ù a + 1 = ms, ³ÛëÇÝùÝª [a] = [1] Ï³Ù [a] = [¡1] = [m ¡ 1]: ²ÛëåÇëáí Zm -Ç ÙÛáõë μáÉáñ [2]; [3]; : : : ; [m ¡ 2] ï³ññ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ å³ïÏ»ñ³óÝ»É ãÑ³ïíáÕ ½áõÛ·»ñáí ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ·Ç Ù»ç ÁÝÏ³Í ÉÇÝ»Ý ÙÇÙÛ³Ýó ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ñ³Ï³¹³ñÓ ï³ññ»ñÁ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¹ñ³Ýó μáÉáñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ïï³ [1] ¹³ëÁª [2] ¢ [3] ¢ : : : ¢ [m ¡ 2] = [1]; àñï»ÕÇóª [2] ¢ [3] ¢ : : : ¢ [m ¡ 2] ¢ [m ¡ 1] = [m ¡ 1]; [2 ¢ 3 ¢ : : : ¢ (m ¡ 1)] + [1] = [m ¡ 1] + [1]; [(m ¡ 1)! + 1] = [m] = [0]

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 182

¨ (m ¡ 1)! + 1 ·áõÙ³ñÁ Ïμ³Å³ÝíÇ m-Ç íñ³: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿. áñáíÑ»ï¨, »Ã» m μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ã¿, ³å³ m = m1 ¢ m2 , áñï»Õ 1 < m1 , m2 < m, ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, m1 -Á áñå»ë ³ñï³¹ñÇã ÏÙ³ëÝ³ÏóÇ 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ (m ¡ 1) ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª (m ¡ 1)! = m1 t

¨ (m ¡ 1)! + 1 ·áõÙ³ñÝ ³ñ¹»Ý ãÇ μ³Å³ÝíÇ m1 -Ç íñ³, ³é³í»É ¨ëª m-Ç íñ³: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 6.2 (È³ÛμÝÇó): àñå»ë½Ç m > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÉÇÝÇ å³ñ½ ¤ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (m ¡ 2)! ´ 1(mod m): ¸»é¨ë Ñ³ÛïÝÇ ã¿ í»ñç³íáñ ¿ Ã» ³Ýí»ñç μáÉáñ ³ÛÝ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É n! + 1 ï»ëùáí, ë³Ï³ÛÝ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿, áñ n! + 1 ï»ëùÇ μ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: ¡ p å³ñ½ ¢ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ìÇÉëáÝÇ å³ñ½ ÃÇí, »Ã» (p ¡ 1)! ´ ¡1 mod p2 : ØÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É »Ý ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñ»ù Ñ³ï ìÇÉëáÝÇ å³ñ½ Ãí»ñª 5, 13 ¨ 563: Ð³Ù³Ï³ñ·ÇãÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóí»É ¿ Ý³¨, áñ 5 ¢ 108 -Çó ÷áùñ áõñÇß ìÇÉëáÝÇ å³ñ½ Ãí»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý: ê³Ï³ÛÝ Ñ³ÛïÝÇ ã¿, í»ñç³íáñ ¿ Ã» ³Ýí»ñç μáÉáñ ìÇÉëáÝÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (ù³Ý³ÏÁ):

6.2. ´Ý³Ï³Ý ÃíÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ: ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.5: ºÃ» p1 ¢ ¢ ¢ pm = q1 ¢ ¢ ¢ ql ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³å³, Áëï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.4-Ç, q å³ñ½ Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ p1 -Ç Ñ»ï: ¸Çóáõù qi1 = p1 ; Îñ×³ï»Éáí Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ qi1 = p1 -áí ¨ ÝáñÇó ÏÇñ³é»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.4-Á Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ qi2 å³ñ½ ÃÇí, áñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ p2 -Ç Ñ»ï ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ²ÛÅÙ, »Ã» m 6= l, ³å³ Ï³Ù m < l, Ï³Ù m > l: ²é³çÇÝ (»ñÏñáñ¹) ¹»åùáõÙ Ýßí³Í Ïñ×³ïáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨³Ýùáí Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ³ç) Ù³ëáõÙ Ïëå³éí»Ý μáÉáñ p (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ q) å³ñ½ Ãí»ñÁ, ÇëÏ ³ç (Ó³Ë) Ù³ëáõÙ ¹»é¨ë ÏÙÝ³Ý Ù»Ï Ï³Ù ³í»ÉÇ å³ñ½ Ãí»ñ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ å³ñ½ ÃÇíÁ (ÉÇÝ»Éáí Ù»Í Ù»ÏÇó) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿: àõëïÇª m = l: ¤ Ð³çáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù ¨ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù Ó¨³Ï»ñåí»É ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ÏáÕÙÇó (§êÏ½μáõÝùÝ»ñ¦, ·Çñù IX, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 14): Â»áñ»Ù 6.2 (Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÁ): Ø»ÏÇó Ù»Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³Ù å³ñ½ ¿ , Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ÀÝ¹ áñáõÙ, ³Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË»ÉÇáõÃÛ³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» n = p1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm ; n = q1 ¢ q2 ¢ : : : ¢ ql ;

áñï»Õ p1 ; : : : ; pm , q1 ; : : : ; ql μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý, ³å³ m = l ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ÛÝåÇëÇ i1 ; : : : ; im 2 f1; : : : ; mg Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ p1 = qi1 ; : : : ; pm = qim : ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ: n = 2 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ÃÇí ¿: ¸Çóáõù n > 2 ¨ »ÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» n ÃíÇó ÷áùñ ¨ Ù»ÏÇó Ù»Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³Ù å³ñ½ ¿ Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ ÝáõÛÝ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»Ýù n-Ç Ñ³Ù³ñ: ºÃ» n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ³å³óáõóí³Í: ¸Çóáõù n-Á å³ñ½ ÃÇí ã¿ (ù³ÝÇ áñ n > 1, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ μ³Õ³¹ñÛ³É), ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ¹ñ³ ³ÛÝåÇëÇ n1 , n2 μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ, áñ n = n1 ¢ n2 ;

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 184

áñï»Õ 1 < n1 ; n2 < n; Àëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, n1 ¨ n2 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³Ù å³ñ½ ¿, Ï³Ù Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³Éª n1 = p1 ¢ : : : ¢ pk ;

k > 1;

n2 = q1 ¢ : : : ¢ qs ;

s > 1;

áñï»Õ p1 ; : : : ; pk ¨ q1 ; : : : ; qs μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñª n = n1 ¢ n2 = p1 ¢ : : : ¢ pk ¢ q1 ¢ : : : ¢ qs ¨ ·áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ì»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: ¤ êï³Ý³É ïñí³Í Ù»Í μÝ³Ï³Ý ÃíÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ, áã ¹ÛáõñÇÝ ËÝ¹Çñ ¿: úñÇÝ³Ï, 125 ¨ ³í»ÉÇ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý ÝÇß»ñáí μÝ³Ï³Ý ÃíÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇãÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ, Ïå³Ñ³ÝçíÇ ï³ñÇÝ»ñÇ ³ÝÁÝ¹Ù»ç ³ßË³ï³Ýù: n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ n = p1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pk ;

pi -Ý å³ñ½ ¿; i = 1; : : : ; k ;

í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ÉÇÝ»Ý Ý³¨ Ñ³í³ë³ñ å³ñ½ Ãí»ñ: ØÇÙÛ³Ýó Ñ³í³ë³ñ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ·ñ»Éáí p® ï»ëùáí, Ïëï³Ý³Ýù n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ³Ûëå»ë Ïáãí³Í Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª ®2 ®m n = p® 1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm ; áñï»Õ p1 < p2 < ¢ ¢ ¢ < pm å³ñ½ Ãí»ñÝ ³ñ¹»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý, ®1 > 0; ®2 > 0; : : : ; ®m > 0; Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 6= 0; §1 ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù ¹ñ³ Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª ®2 ®m a = sgn(a) ¢ p® 1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm ; áñï»Õ p1 < p2 < ¢ ¢ ¢ < pm , ÇëÏ ®1 > 0; ®2 > 0; : : : ; ®m > 0: ´Ý³Ï³Ý ÃíÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ñ»ï ë»ñïáñ»Ý Ï³åí³Í ¿ ³Ûëå»ë Ïáãí³Í ¹ : N ! Z ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª 1; »ñμ n = 1; > > > > < (¡1)k ; »ñμ n = p1 ¢ ¢ ¢ pk ; áñï»Õ μáÉáñ pi Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý, ¹(n) = pi 6= pj ; »Ã» i 6= j; > > > 0; »ñμ n-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ > : íñ³ :

ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÛ³Ý: úñÇÝ³Ï, ¹(2) = ¡1, ¹(3) = ¡1, ¹(4) = 0, ¹(5) = ¡1, ¹(6) = 1, ¹(7) = ¡1, ¹(8) = 0, : : :

ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ¹ Ýß³Ý³ÏáõÙÁ ³é³ç³ñÏí»É ¿ ü. Ø»ñÃ»ÝëÇ ÏáÕÙÇó (1874 Ã.): Â»áñ»Ù 6.3 (¾ÛÉ»ñ (1748 Ã.), ². ØÛáμÇáõë (1832 Ã.)): ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ m, n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ¹(n ¢ m) = ¹(n) ¢ ¹(m) :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» n = 1 Ï³Ù m = 1, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿: ºÃ» n 6= 1, m 6= 1 ¨ (m; n) = 1, ³å³ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ: 1. ¹(n) 6= 0, ¹(m) 6= 0, ³ÛëÇÝùÝ n = p1 ¢ : : : ¢ pk , m = q1 ¢ : : : ¢ qs , áñï»Õ pi (¨ qj ) å³ñ½ Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ï³ñμ»ñ »Ý ¨ pi 6= qj , áñáíÑ»ï¨ (n; m) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, ¹(n) = (¡1)k , ¹(m) = (¡1)s , ¹(n ¢ m) = (¡1)k+s , áõëïÇ ¹(n ¢ m) = ¹(n) ¢ ¹(m); 2. ¹(n) = 0 Ï³Ù ¹(m) = 0, Ñ»ï¨³μ³ñª ¹(n ¢ m) = 0 ¨ ¹(n ¢ m) = ¹(n) ¢ ¹(m) : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.6: àñå»ë½Ç d μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÉÇÝÇ ®2 ®m n = p® 1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 186

Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ d = p¯1 1 ¢ p¯2 2 ¢ : : : ¢ p¯mm ;

áñï»Õ 0 6 ¯1 6 ®1 , 0 6 ¯2 6 ®2 , : : :, 0 6 ¯m 6 ®m ; ²å³óáõóáõÙ: ØÇ ÏáÕÙÇó ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ýßí³Í ï»ëùÇ d ÃÇíÁ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: Æñáù, Ýß³Ý³Ï»Éáí ®1 ¡ ¯1 = k1 , ®2 ¡ ¯2 = k2 , : : :, ®m ¡ ¯m = km , ÏáõÝ»Ý³Ýùª n = d ¢ pk11 ¢ pk2 2 ¢ : : : ¢ pkmm ; áñï»Õ k1 > 0, k2 > 0, : : :, km > 0; ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» d-Ý n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³å³ d-Ý ÏáõÝ»Ý³ Ýßí³Í ï»ëùÁ (Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 6.2-Çó): ¤ ®m 1 ®2 Â»áñ»Ù 6.4: ºÃ» d1 ; d2 ; : : : ; dk Ãí»ñÁ n = p® 1 p2 ¢ ¢ ¢ pm Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ μ ¶μ ¶ μ ¶ ¹(dk ) ¹(d1 ) ¹(d2 ) + + ¢¢¢ + = 1¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ ; d1 d2 dk p1 p2 pm

Ð³Ù³éáïª X

n=d;d>0

μ ¶μ ¶ μ ¶ ¹(d) = 1¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ : d p1 p2 pm

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μ ¶μ ¶ μ ¶ 1¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ = x1 x2 xn n X 1 X X + ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1)n : =1¡ xi xi xj xi xj xl x1 x2 ¢ ¢ ¢ xn i=1

ÃíÇ

i<j

i<j<l

ø³ÝÇ áñ ¹(d) = 0, »Ã» d-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p å³ñ½ ù³é³Ïáõëáõ íñ³, ³å³ μ³Ý³Ó¨Ý ³å³óáõó»ÉÇë Ï³ñ»ÉÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí»É μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñáíª X

ÙÇ³ÛÝ

n=d;d>0

p1 p2 ¢ ¢ ¢ pm

¹(d) = d

μÝ³Ï³Ý

p1 p2 ¢¢¢pm =d;d>0

ÃíÇ

μÝ³Ï³Ý

¹(d) ; d

ÇëÏ p1 p2 ¢ ¢ ¢ pm ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.6)ª 1-Á, pi å³ñ½ Ãí»ñÁ (i = 1; 2; : : : ; m), pi pj ï»ëùÇ μáÉáñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ (i < j), pi pj pl ï»ëùÇ μáÉáñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ (i < j < l), ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: Ð»ï¨³μ³ñª X

p1 p2 ¢¢¢p m =d;d>0

m X X ¹(d) 1 X 1 =1¡ + ¡ + ¢¢¢ d pi pi pj pi pj pl i=1

+(¡1) = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pm n

i<j

1¡ p1

¶μ

1¡ p2

i<j<l

¢¢¢ 1 ¡ pm

Æ ÉñáõÙÝ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇ Ýß»Ýù Ý³¨, áñ X ¹(n)

n=1

ÇëÏ

X ¹(n)

n=1

= 0;

: ¼2

²í³ñï»Éáí Ý»ñÏ³ å³ñ³·ñ³ýÁ, ëï³Ý³Ýù Ý³¨ ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ áñáßÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÝ»ñÁ: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ù»ÏÇó Ù»Í »ñÏáõ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ç, ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, áñå»ë ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ ³í»É³óÝ»Éáí å³ñ½ Ãí»ñÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ³ëïÇ×³ÝÝ»ñ, Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»Éª ®2 ®m a = p® 1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm ; b = p¯1 1 ¢ p¯2 2 ¢ : : : ¢ p¯mm ;

áñï»Õ ®i > 0, ¯i > 0, i = 1; : : : ; m, p1 < p2 < : : : < pm : î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ:

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 188

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.7: ºÃ» Ù»ÏÇó Ù»Í a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a = ¯1 ¯2 ®2 ®m ¯m p® 1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm ¨ b = p1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm , ³å³ minf®1 ;¯1 g

(a; b) = p1

maxf®1 ;¯1 g

[a; b] = p1

minf®2 ;¯2 g

¢ p2

maxf®2 ;¯2 g

¢ p2

minf®m ;¯m g ¢ : : : ¢ pm =

m ;¯m g ¢ : : : ¢ pmaxf® = m

áñï»Õª minf®; ¯g = ® ¨ maxf®; ¯g = ¯, »Ã» ® 6 ¯ ;

m Y

minf®i ;¯i g

;

i=1

maxf®i ;¯i g

;

i=1

²å³óáõóáõÙ: ²é³çÇÝ μ³Ý³Ó¨Á μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ

m Q

i=1

minf®i ;¯i g

μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ¨ ³ÛÝ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ b-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³: m Q maxf®i ;¯i g pi ºñÏñáñ¹ μ³Ý³Ó¨Á μËáõÙ ¿ ³ÛÝ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÇó, áñ i=1

μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç ¨ b-Ç íñ³, ¨ a-Ç ¨ b-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ m Q maxf®i ;¯i g pi ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μÝ³Ï³Ý μ³½Ù³å³ïÇÏ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ i=1

μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³:

úñÇÝ³Ï, 36 = 2 ¢ 3 = 2 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 11 ; 110 = 2 ¢ 5 ¢ 11 = 21 ¢ 30 ¢ 51 ¢ 111 : ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ (36; 110) = 21 ¢30 ¢50 ¢110 = 2, [36; 110] = 22 ¢32 ¢51 ¢111 = 1980.

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 6.3: Ø»ÏÇó Ù»Í a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ a = m0 ¢ m1 ; b = n0 ¢ n1

í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ (n0 ; m0 ) = 1, ÇëÏ [a; b] = m0 ¢ n0 :

úñÇÝ³Ï, »Ã» a = 23 ¢ 5 ¢ 74 , b = 22 ¢ 34 ¢ 53 , ³å³ m0 = 23 ¢ 74 , n0 = 34 ¢ 53 , m1 = 5, n1 = 22 : ú·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.7-áõÙ ëï³óí³Í μ³Ý³Ó¨»ñÇó ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ Ï³åÁ μ³ó³Ñ³ÛïáÕ μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 6.5: ò³ÝÏ³ó³Í a, b, c μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [(a; b); c] = ([a; c]; [b; c]) :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù a, b ¨ c μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª p1 < p2 < : : : < pm ®i > 0; i = 1; : : : ; m;

®2 ®m a = p® 1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ pm ;

¯i > 0; i = 1; : : : ; m;

b = p¯1 1 ¢ p¯2 2 ¢ : : : ¢ p¯mm ; c=

p°1 1

²Û¹ ¹»åùáõÙª

p°22

¢ ::: ¢

m Y

(a; b) =

°i > 0; i = 1; : : : ; m;

p°mm ;

i ;¯i g pminf® ; i

i=1

[(a; b); c] =

m Y

maxfminf®i ;¯i g;°i g

;

i=1

[a; c] =

m Y

pimaxf®i ;°i g ;

i=1

[b; c] =

m Y

maxf¯i ;°i g

;

i=1

([a; c]; [b; c]) =

m Y

minfmaxf®i ;°i g;maxf¯i ;°i gg

;

i=1

ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ

maxfminf®i ; ¯i g; °i g = minfmaxf®i ; °i g; maxf¯i ; °i gg : ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëïáõ·íáõÙ ¿ μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ¹»åù»ñÇ ùÝÝ³ñÏáõÙáíª ®i 6 ¯i 6 °i ; ®i 6 °i 6 ¯i ; °i 6 ®i 6 ¯i ; °i 6 ¯i 6 ®i ;

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 190

¯i 6 ®i 6 °i ; ¯i 6 °i 6 ®i ; úñÇÝ³Ï, ãáññáñ¹ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª minf®i ; ¯i g = ¯i ; maxfminf®i ; ¯i g; °i g = maxf¯i ; °i g = ¯i ; maxf®i ; °i g = ®i ; maxf¯i ; °i g = ¯i ; min fmaxf®i ; °i g; maxf¯i ; °i gg = minf®i ; ¯i g = ¯i :

Â»áñ»Ù 6.6: ò³ÝÏ³ó³Í a, b, c μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ([a; b]; c) = [(a; c); (b; c)] :

²å³óáõóáõÙ: ÎñÏÝáõÙ »Ýù Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ù³ÛÉ»ñÁ, í»ñçáõÙ Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí minfmaxf®i ; ¯i g; °i g = max fminf®i ; °i g; minf¯i ; °i gg ¤

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí (a; b)-Ç ¨ [a; b]-Ç í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ), Ï³ñ»ÉÇ ¿ »½ñ³Ï³óÝ»É, áñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿ª (a; b) ¨ [a; b] ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (ï»ëª 20.3-Á): ºÃ» μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¹Çï³ñÏ»Ýù μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁª x 4 y Ã! y=x;

áñï»Õ x; y 2 N;

³å³ ³ÛÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·, ³ÛëÇÝùÝª 1) x 4 x Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, 2) x 4 y, y 4 x ! x = y, 3) x 4 y, y 4 z ! x 4 z; Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿, áñ ³Ûë Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³éÝáõÙ ¿ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áõñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ í»ñÇÝ ¨ ëïáñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª supfx; yg = [x; y]; inffx; yg = (x; y) : ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ª ³) x 4 [x; y], y 4 [x; y], μ) x 4 c, y 4 c ! [x; y] 4 c, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ³’) (x; y) 4 x, (x; y) 4 y, μ’) c 4 x, c 4 y ! c 4 (x; y):

6.3. Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñ ²ÝóÝ»Ýù å³ñ½ Ñ»Ýùáí (Ñ»Ý³Ãíáí, Ùá¹áõÉáí) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇÝ: an xn + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 ´ 0(mod m)

(6.1)

ï»ëùÇ μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙ, áñï»Õ a0 ; a1 ; : : : ; an ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ m μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ»ÝùÝ ¿: ºÃ» an 6´ 0(mod m), ³ÛëÇÝùÝ an -Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ m-Ç íñ³, ³å³ n-Á ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ³ëïÇ×³Ý, ÇëÏ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÝ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ: ºÃ» m μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³å³ (6.1) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ Ñ»Ýùáí: x0 ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ (6.1) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» an xn0 + ¢ ¢ ¢ + a1 x0 + a0 ´ 0(mod m);

Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉáõÍ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ: Àëï m Ñ»ÝùÇ [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ (6.1) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» [a] ¹³ëÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí ÉáõÍáõÙ ¿ Ýßí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» x0 ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÉáõÍáõÙ ¿ (6.1) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ [x0 ] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 192

¹³ëÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ Ýßí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: Æñáù, »Ã» x1 2 [x0 ], ³ÛëÇÝùÝ x1 ´ x0 (mod m), ³å³ xk1 ´ xk0 (mod m) ¨ axk1 ´ axk0 (mod m): Ð»ï¨³μ³ñ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1.6)ª an xn1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x1 + a0 ´ an xn0 + ¢ ¢ ¢ + a1 x0 + a0 (mod m) ¨ an xn1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x1 + a0 ´ 0(mod m) :

Â»áñ»Ù 6.7 (È³·ñ³ÝÅ): ä³ñ½ Ñ»Ýùáí n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á:

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): n = 0; 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: Æñáù, n = 0 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù a0 ´ 0(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ, áñÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ, áñáíÑ»ï¨ ³ëïÇ×³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ a0 6´ 0(mod p); ÆëÏ n = 1 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù a1 x + a0 ´ 0(mod p), Ï³Ù a1 x ´ ¡a0 (mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ, áñï»Õ a1 6´ 0(mod p), ³ÛëÇÝùÝ (a1 ; p) = 1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3.3-Ç ³Û¹ μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÉáõÍ»ÉÇ ¿ ¨ ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÙÇ³ÏÝ ¿: Î³ï³ñ»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝ ¨ ¹Çóáõù å³ñ½ Ñ»Ýùáí an xn + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 ´ 0(mod p)

(6.2)

Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÁ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ¿: ºÃ» (6.2) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ãáõÝÇ áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ, ³å³ Ã»áñ»ÙÇ åÝ¹áõÙÁ ÝáñÇó ×Çßï ¿: ¸Çóáõù (6.2) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ áñ¨¿ x0 ÉáõÍáõÙª an xn0 + ¢ ¢ ¢ + a1 x0 + a0 ´ 0(mod p);

(6.3)

Ð³Ý»Ýù (6.2) μ³Õ¹³ïáõÙÇó (6.3) μ³Õ¹³ïáõÙÁ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 1.3)ª an (xn ¡ xn0 ) + ¢ ¢ ¢ + a1 (x ¡ x0 ) ´ 0(mod p) ¨ û·ïí»Éáí ¢ ¡ x + xk¡1 xk ¡ xk0 = (x ¡ x0 ) xk¡1 + x0 xk¡2 + ¢ ¢ ¢ + xk¡2

í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¢ ¡ (x ¡ x0 ) bn¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 ´ 0(mod p);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ bn¡1 ; : : : ; b0 ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý (Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª bn¡1 = an ): Ð»ï¨³μ³ñ (6.2) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ù»Ï ³ÛÉ x1 ÉáõÍáõÙ, áñï»Õ x1 6´ x0 (mod p) ÏÉÇÝÇ ³ñ¹»Ý ÉáõÍáõÙ bn¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 ´ 0(mod p)

(6.4)

μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: Æñáù, ¢ ¡ (x1 ¡ x0 ) bn¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 ´ 0(mod p)

μ³Õ¹³ïáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ åÇïÇ μ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: ê³Ï³ÛÝ x1 6´ x0 (mod p) å³ÛÙ³ÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ x1 ¡ x0 ³ñï³¹ñÇãÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, Ñ»ï¨³μ³ñ »ñÏñáñ¹ ³ñï³¹ñÇãÝ ¿ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³ª bn¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 ´ 0(mod p); ø³ÝÇ áñ (6.4) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ³ëïÇ×³ÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ (n ¡ 1)-Ç, ³å³ Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý (6.4) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ (n ¡ 1)-Á: ²ÛëåÇëáí ëÏ½μÝ³Ï³Ý (6.2) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á: ¤ ºÃ» μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ»ÝùÁ å³ñ½ ÃÇí ã¿, ³å³ Ã»áñ»Ù 6.5-Ç åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ã¿: úñÇÝ³Ï, »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ x2 ¡ 1 ´ 0(mod 8) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ »Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ [1], [3], [5] ¨ [7] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 6.4: ºÃ» å³ñ½ Ñ»Ýùáí an xn0 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 ´ 0(mod p)

Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ Ù»Í ¿ n-Çó, ³å³ μ³Õ¹³ïÙ³Ý μáÉáñ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ïμ³Å³Ýí»Ý p-Ç íñ³: ºÃ» Ýßí³Í Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý ²å³óáõóáõÙ: ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ãμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, ³å³ ³ÛÝ ÏáõÝ»Ý³

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 194

³ëïÇ×³Ý ¨ ³ëïÇ×³ÝÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóÇ n-Á: Ð»ï¨³μ³ñ Ã»áñ»Ù 6.5-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ýñ³ Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ ¨ë ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ! ¤

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ, Éñ³óáõóÇã ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ 1. μ ²å³óáõó»É, áñ »Ã» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, ÇëÏ 1 6 k 6 p ¡ 1, ³å³ ¶ p -Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³: k 2. ú·ïí»Éáí ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇó ¨ Ý³Ëáñ¹ í³ñÅáõÃÛáõÝÇó, ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É μ³Õ¹³ïáõÙÁª (a + b)p ´ ap + bp (mod p); áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, a; b 2 Z: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í (É»ÙÙ 1.1), Zp -áõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [(a + b)p ] = [ap + bp ] ; Ï³Ùª ([a] + [b])p = [a]p + [b]p : 3. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É μ³Õ¹³ïáõÙÁª (a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an )p ´ ap1 + ap2 + ¢ ¢ ¢ + apn (mod p); áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, a1 ; a2 ; : : : ; an 2 Z: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í (É»ÙÙ 1.1), Zp -áõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [(a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an )p ] = [ap1 + ap2 + ¢ ¢ ¢ + apn ] ; Ï³Ùª ([a1 ] + [a2 ] + ¢ ¢ ¢ + [an ])p = [a1 ]p + [a2 ]p + ¢ ¢ ¢ + [an ]p :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

4. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É μ³Õ¹³ïáõÙÁª n

(a + b)p ´ ap + bp (mod p); áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, a; b 2 Z, n 2 N: Ð»ï¨³μ³ñ, n

p ap = ((a ¡ b) + b) ´ (a ¡ b)p + bp (mod p)

(a ¡ b)p ´ ap ¡ bp (mod p) :

²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í (É»ÙÙ 1.1), Zp -áõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª h i h n i n n (a + b)p = ap + bp ; Ï³Ùª

(a ¡ b)p

i n

h n i n = ap ¡ bp ; n

([a] + [b])p = [a]p + [b]p ; pn

([a] ¡ [b])

= [a]p ¡ [b]p :

5. ²å³óáõó»É, áñ 3, 5, 7 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ »ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³Ý Ï»Ýï ¨ å³ñ½ Ãí»ñÇó Ï³½Ùí³Í ÙÇ³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ¿: 6. ºÃ» p > 3 ¨ p + 2 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý, ³å³ 2(p + 1) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 12-Ç íñ³: 7. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» n2 + 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ (n > 1) å³ñ½ ¿, ³å³ ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É 4k + 1 ï»ëùáí (k 2 N): 8. ²å³óáõó»É, áñ 9 ¢ 243k + 2 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿: (òáõóáõÙ. 243 ´ 1(mod 11)): 9. ²å³óáõó»É, áñ 8 ¢ 322k + 3 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿: (òáõóáõÙ. 32 ´ ¡1(mod 11)): 10. ¶ïÝ»É μáÉáñ ³ÛÝ n > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ n, n + 10 ¨ n + 14 Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý å³ñ½: (òáõóáõÙ. n-Á Ý»ñÏ³Û³óÝ»É 3q + r, 0 6 r 6 2 ï»ëùáí):

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 196

11. ²å³óáõó»É, áñ 3m + 2 ï»ëùÇ (m > 1) μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ ¨ å³ñ½ ÃíÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: 12. ¶ïÝ»É μáÉáñ ³ÛÝ p å³ñ½ Ãí»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ 2p2 + 1 ÃÇíÁ ¨ë å³ñ½ ¿: (òáõóáõÙ. »Ã» p > 3, ³å³ p = 3q + 1 Ï³Ù p = 3q + 2): 13. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» p > 3 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³å³ 2(p ¡ 3)! ´ ¡1(mod p) : (òáõóáõÙ. 2(p ¡ 3)! ´ (p ¡ 1)!(mod p)): 14. ºÃ» n > 4 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿, ³å³ (n ¡ 1)! ´ 0(mod n) : 15. ²å³óáõó»É, áñ p > 2 å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ μμ

¶ ¶2 p+1 p¡1 ! ´ (¡1) 2 (mod p) :

(òáõóáõÙ. μμ

¶ ¶2 p¡1 p¡1 p¡1 ¢ ¢¢¢3 ¢ 2 ¢ 1 = ! = 1 ¢ 2 ¢ 3¢¢¢ Ã ! ¡ p¡1 p¡1 ¡3 ¡2 ¡1 = 1 ¢ 2 ¢ 3¢¢¢ ¢ ¢ ¢ ´ ¡1 ¡1 ¡1 ¡1 ¡ ¢ p¡1 p¡3 p¡2 p¡1 p¡1 p¡ 2 ¢ ¢ ¢ (mod p) ´ ´ 1 ¢ 2 ¢ 3¢¢¢ ¡1 ¡1 ¡1 ¡1 μ ¶ p¡1 p¡1 p¡1 ¢ + 1 ¢ ¢ ¢ (p¡3)(p¡2)(p¡1)(mod p) = ´ (¡1) 2 1¢2¢3 ¢ ¢ ¢ ´ (¡1)

p¡1

¢ (p ¡ 1)!(mod p)

ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É ìÇÉëáÝÇ Ã»áñ»ÙÇó):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

16. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 2n > (1 + n)k , ³å³ 1; 2; 3; : : : ; 2n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³éÝí³½Ý k + 1 Ñ³ï å³ñ½ Ãí»ñ: (òáõóáõÙ. ¹Çóáõù p1 ; p2 ; : : : ; pl -Á 1; 2; 3; : : : ; 2n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ m 2 f1; 2; 3; : : : ; 2n g μÝ³Ï³Ý ÃÇí ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª ®l n 1 ®2 m = p® 1 p2 ¢ ¢ ¢ pl 6 2 ; i 6 2n ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ®i 6 n, ®i 2 áñï»Õ 2®i 6 p® i f0; 1; : : : ; ng: ²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ®i Ï³ñáÕ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É n + 1 Ñ³ï ³ñÅ»ùÝ»ñ, ÇëÏ ³Û¹ ¹»åùáõÙ m-Á ÏÁÝ¹áõÝÇ (n + 1)(n + 1) ¢ ¢ ¢ (n + 1) = (n + 1)l Ñ³ï ³ñÅ»ùÝ»ñ: àõëïÇª {z } |

(n + 1)l > 2n > (n + 1)k , áñï»ÕÇóª l > k, ³ÛëÇÝùÝª l > k + 1):

17. ¸Çóáõù !(n)-Á n > 2 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μáÉáñ å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ÃÇíÝ ¿, ÇëÏ d1 ; d2 ; : : : ; dk -Ý n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª j¹(d1 )j + j¹(d2 )j + ¢ ¢ ¢ + j¹(dk )j = 2!(n) ; áñï»Õ ¹-Ý ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: Ð³Ù³éáïª

n=d;d>0

j¹(d)j = 2!(n) :

18. ²å³óáõó»É, áñ ¹(n)¹(n + 1)¹(n + 2)¹(n + 3) = 0 : 19. ²å³óáõó»É, áñ X

¹(k!) = 1 :

k=1

20. ¸Çóáõù k > 0 ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ½áõÛ· ¿, ÇëÏ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª n = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pk :

¶ÉáõË 6 ä²ð¼ Âìºð: ìÆÈêàÜÆ ÂºàðºØÀ: ØÚà´ÆàôêÆ üàôÜÎòÆ²Ü 198

²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª X ¹(d) = 0 : p n=d;0<d< n

21. ²å³óáõó»É, áñ 10n + 3 (n = 1; 2; : : :) μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ãíáí μ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñ: ê³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿, í»ñç³íáñ ¿ Ã» ³Ýí»ñç ³Ûë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: 22. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí f(x) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ > 1, ³å³ f (x) ´ 0(mod p) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙª ³Ýí»ñç Ãíáí p å³ñ½ Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: 23. ú·ïí»Éáí Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó ³å³óáõó»É, áñ

p-Ý

å³ñ½ ¿

1¡

³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: 24. ú·ïí»Éáí Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó ³å³óáõó»É, áñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: 25. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ å³ñ½ ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ãáñë μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: 26. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ãáñë μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí (Lagrange, 1770): 27. ²å³óáõó»É, áñ p ´ 1(mod 4) ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p å³ñ½ ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:

¶ É áõ Ë 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ: ¾ìÎÈÆ¸ºêÆ, ¾ÚÈºðÆ, ´ºðÂð²ÜÆ, äàÚ²ÚÆ, ¸ÆðÆÊÈºÆ, ¶àÈ¸´²ÊÆ ÂºàðºØÜºðÀ àñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿, Ñ³ÛïÝÇ ¿ »Õ»É ¹»é¨ë ³ÝïÇÏ ³ßË³ñÑáõÙ: ²é³çÇÝ ³Ý·³Ù ³Û¹ ÷³ëïÁ ³å³óáõóí»É ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ÏáÕÙÇó, Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛáõÝÇó ³é³ç 3-ñ¹ ¹³ñáõÙª Çñ §êÏ½μáõÝùÝ»ñ¦ ³ßË³ïáõÃÛ³Ý Ù»ç (·Çñù IX, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 20): Â»áñ»Ù 7.1 (¾íÏÉÇ¹»ë): ä³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ :

²å³óáõóáõÙ (¾íÏÉÇ¹»ë): ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ Ïëï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù p1 < p2 < ¢ ¢ ¢ < pn μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ýª ¹³ë³íáñí³Í ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ù»ÏÇó Ù»Í q = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn + 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.1-Ç, Ïμ³Å³ÝíÇ áñ¨¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³: ê³Ï³ÛÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³Û¹ p å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É p1 ; p2 ; : : : ; pn å³ñ½ Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝù p = pi ¨ q = pi t; 1 6 i 6 n; q = p1 ¢ ¢ ¢ pn + 1; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÇÝ (Ã»áñ»Ù 1.1), ³í»ÉÇ ×Çßï ¹ñ³ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: Î³Ù áñÁ Ñ³Ý·»óÝáõÙ ¿ pi å³ñ½ ÃíÇ

Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÉÇÝ»ÉáõÝª

pi t = p1 ¢ ¢ ¢ pn + 1; pi (t ¡ p1 ¢ ¢ ¢ pi¡1 pi+1 ¢ ¢ ¢ pn ) = 1;

áñÁ ÝáõÛÝå»ë ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿6 :

6 î»ë

Ý³¨ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ã»áñ»Ù 19.16-Á, áñï»ÕÇó »ñ¨áõÙ ¿ Ý³¨ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÇ ³Ýí»ñç ÉÇÝ»Éáõ Çñ³Ï³Ý å³ï×³éÁ (Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿):

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

Ü»ñÏ³ÛáõÙë ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ã»áñ»Ù 7.1-Ç μ³½Ù³ÃÇí áõß³·ñ³í ³å³óáõóáõÙÝ»ñ: úñÇÝ³Ï, Ã»áñ»Ù 7.1-Ç Ñ»ï¨Û³É ³å³óáõóáõÙÝ áõÝÇ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý μÝáõÛÃ: ¸Çï³ñÏ»Ýù (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ ¿ -Ý ZÇ ÙÝ³óù³ÛÇÝ ïáåáÉá·Ç³Ý ¿, áñáõÙ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù (·ÉáõË 1), x + (n) μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (x 2 Z, n 2 N) μ³ó »Ý ¨ ÷³Ï: ¸Çóáõù å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ ¹Çóáõù p1 ; p2 ; : : : ; pn μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ý: ø³ÝÇ áñ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÝáñÇó ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ F = (p1 ) [ (p2 ) [ : : : [ (pn ) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Z n F Éñ³óáõÙÁ ÏÉÇÝÇ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ (Z; ¿)-áõÙ: ê³Ï³ÛÝ, ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.1-Çó μËáõÙ ¿, áñ Z n F = f+1; ¡1g, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿, áñáíÑ»ï¨ (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ áã ¹³ï³ñÏ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç »Ý: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Ð»Ýí»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ íñ³, È. ¾ÛÉ»ñÁ (1748 Ã.) ïí»É ¿ Ã»áñ»Ù 7.1-Ç ³ÛÉ ³å³óáõóáõÙ, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ¸Çóáõù å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ ¹Çóáõù p1 ; p2 ; : : : ; pn μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ý: ²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÇ μ³Ý³Ó¨áí ÏáõÝ»Ý³Ýùª + 2 + ¢¢¢ ; 1 =1+ p1 p1 1 ¡ p1 =1+ + 2 + ¢¢¢ ; p2 p2 1 ¡ p12

¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ 1 = 1 + p + p2 + ¢ ¢ ¢ : 1 ¡ pn n n

ø³ÝÇ áñ ·ñí³Í ½áõ·³Ù»ï Ãí³ÛÇÝ ß³ñù»ñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ß³ñù»ñÁ μ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï »Ý), ³å³ ¹ñ³Ýó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù μ³½Ù³å³ïÏ»É (Îáßáõ Ó¨áí) ¨ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³Ý³Ýù ½áõ·³Ù»ï ß³ñùª n Y

X ®1 ®2 ®n ; 1 = p p ¡ 2 ¢ ¢ ¢ pn pi ® ;® ;:::;® i=1

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ ®1 ; ®2 ; : : : ; ®n -Á ÙÇÙÛ³ÝóÇó ³ÝÏ³Ë ëï³ÝáõÙ »Ý μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ áã μ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: Àëï »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁ ëå³éíáõÙ »Ý p1 ; p2 ; : : : ; pn å³ñ½ Ãí»ñáí, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 6.2), Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ m μÝ³Ï³Ý ÃÇí ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ ëï³óí³Í Ãí³ÛÇÝ ß³ñùÇ áñ¨¿ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ Ñ»ï: ø³ÝÇ áñ ëï³óí³Í ß³ñùÁ ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¿, ³å³ (èÇÙ³ÝÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ) ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ ¨ P ·áõÙ³ñÁ ãÇ ÷áËíÇ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³Ý³Ýù m Ñ³ñÙáÝÇÏ ß³ñùÁ, áñÁ ³ÛëåÇëáí å»ïù ¿ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï ¨

m=0

X ; 1 = m ¡ pi i=1 m=0 n Y

ê³Ï³ÛÝ, ÇÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿,

m=0

Ñ³ñÙáÝÇÏ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóáõÙ ¿, áñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: Æñ³Ï³ÝáõÙ ¾ÛÉ»ñÁ ¹Çï³ñÏ»É ¿ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ýª ³(s) = 1 +

X + + ¢ ¢ ¢ + + ¢ ¢ ¢ = s 2s 3s ns n n=1

Ï³Ù³Û³Ï³Ý s > 1 Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, áñÁ ³ÛÅÙ ÏáãíáõÙ ¿ ¾ÛÉ»ñÇ P Ó»ï³-ýáõÝÏóÇ³: s > 1 ¹»åùáõÙ ns ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ (μËáõÙ n=1

¿, ûñÇÝ³Ï, ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó): ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, »Ã» s-Á ÏáÙåÉ»ùë ÃÇí ¿, ³(s) ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ èÇÙ³ÝÇ Ó»ï³-ýáõÝÏóÇ³: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ, áñÇó ÝáõÛÝå»ë Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: ¾ÛÉ»ñÇ ³(s) Ó»ï³-ýáõÝÏóÇ³Ý μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁª ¶¡1 Yμ ³(s) = ; 1¡ s p p áñï»Õ s > 1, ÇëÏ p-Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝ

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

s > 1 ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μ ¶¡1 μ ¶¡1 μ ¶¡1 X = ¡ ¢¢¢ ; ¡ ¡ ns 2s 3s 5s n=1

áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¾ÛÉ»ñÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ (Ï³Ù μ³Ý³Ó¨): Æñáùª ³(s) = 1 + s + s + s + s + ¢ ¢ ¢ = μ ¶ = 1 + s + s + ¢ ¢ ¢ + s 1 + s + s + ¢ ¢ ¢ = 1 + s + s + ¢ ¢ ¢ + s ³(s);

Ð»ï¨³μ³ñª μ μ ¶ ¶ ³(s) 1 ¡ s = 1 + s + s + ¢ ¢ ¢ = 1 + s + s + ¢ ¢ ¢ + s ³(s) 1 ¡ s ; ¶μ ¶ μ 1 ¡ s = 1 + s + s + ¢¢¢ ³(s) 1 ¡ s ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: Æ í»ñçá ëï³ÝáõÙ »Ýùª ¶ Yμ ³(s) 1¡ s =1 p p ¨ ³(s) =

Yμ p

1¡ s p

¶¡1

ºÃ» ëï³óí³Í μ³Ý³Ó¨áõÙ s-Á Ó·ï»óÝ»Ýù 1-Ç, ³å³ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ ÏÓ·ïÇ 1: Ð»ï¨³μ³ñ, å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É í»ñç³íáñ, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ ÏÓ·ïÇ í»ñç³íáñ ÃíÇ: Â»áñ»Ù 7.2 (¾ÛÉ»ñ, 1737 Ã): ´áÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇó Ï³½Ùí³Í ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿ , ³ÛëÇÝùÝ

p-Ý

ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿ :

å³ñ½ ¿

1 1 1 1 = + + + + ¢¢¢ p 2 3 5 7

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù m-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ p1 ; p2 ; : : : ; pn Á μáÉáñ ³ÛÝ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ý, áñáÝù ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ m-Áª pi 6 m;

i = 1; : : : ; n;

ÆÝãå»ë ³ñ¹»Ý Ñ³ÛïÝÇ ¿ª n X Y ®1 ®2 ®n ; 1 = 1 = p p ¡ ¡ 2 ¢ ¢ ¢ pn pi pi ®1 ;®2 ;:::;®n 1 i=1 6m

®n 1 ®2 ²Ûë ¹»åùáõÙ p® ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ Ïå³ñáõÝ³Ï»Ý m-Á 1 p2 ¢ ¢ ¢ pn ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ áñáß ³ÛÉ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ (ë³Ï³ÛÝ áã μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáíÑ»ï¨ Ã»áñ»Ù 7.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿): Ð»ï¨³μ³ñª m

X1 : > k 1 ¡ p1i 6m k=1

ºÃ» ³Ûëï»Õ m ! 1, ³å³ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ Ó·ïáõÙ ¿ ï³ñ³Ù»ï Ñ³ñÙáÝÇÏ ß³ñùÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, Ó³Ë Ù³ëáõÙ ëï³óíáÕ Y

¡ pi i=1 ³Ýí»ñç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ï³ñ³Ù»ï (+1 ·áõÙ³ñáí): ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ ï³ñ³Ù»ï Ý³¨ μ ¶ X ¡ ln 1 ¡ pi i=1 μ ¶ ß³ñùÁ (+1 ·áõÙ³ñáí): ÜÏ³ï»Ýù, áñ ln 1 ¡ < 0: pi < 1, ³å³ ²ÛÝáõÑ»ï¨, ù³ÝÇ áñ pi μ ¶ ¡ ln 1 ¡ = pi μ ¶2 μ ¶3 μ ¶2 μ ¶3 1 1 1 1 pi + + + ¢¢¢ < + + + ¢¢¢ = ; = pi 2 pi 3 pi pi pi pi 1 ¡ p1i

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

ºÃ» pi > 2, ³å³ 1 ¡

> ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª pi pi

1¡ ²ÛëåÇëáí, 2 ¢

X p i i=1

; pi

ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó, Ù»Í

¶ ß³ñùÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó: ln 1 ¡ »Ý ¡ pi i=1 ê³Ï³ÛÝ í»ñçÇÝ ß³ñùÁ, ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù, ï³ñ³Ù»ï ¿, Ñ»ï¨³μ³ñ X ÏÉÇÝÇ ï³ñ³Ù»ï Ý³¨ 2 ¢ ß³ñùÁ, ÇëÏ í»ñçÇÝ ß³ñùÇ p i=1 i X ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨ ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: ¤ p i=1 i X

1860 Ã. èÇÙ³ÝÇ ÏáÕÙÇó Ó¨³Ï»ñåí»É ¿ Çñ Ñ³ÛïÝÇ í³ñÏ³ÍÁ (ÑÇåáÃ»½Á), Ñ³Ù³Ó³ÛÝ áñÇ ³(s) èÇÙ³ÝÇ Ó»ï³-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ μáÉáñ ³ÛÝ s = x + iy ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÁ (½ñáÝ»ñÁ), áñáÝó x = Re (s) Çñ³Ï³Ý Ù³ë»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý [0; 1] Ñ³ïí³ÍÇÝ, ³Ýå³ÛÙ³Ý ÁÝÏ³Í »Ý x = áõÕÕÇ íñ³: ²Ûë åñáμÉ»ÙÁ, áñå»ë Ï³ñ¨áñ³·áõÛÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ, 1900 Ã. Ó¨³Ï»ñåí»É ¿ Ý³¨ ¸. ÐÇÉμ»ñÃÇ ÏáÕÙÇóª Çñ 23 ãÉáõÍí³Í Ñ³Ýñ³Ñ³Ûï åñáμÉ»ÙÝ»ñÇ ß³ñùáõÙ: x = áõÕÕÇ íñ³ ³ñ¹»Ý Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É »Ý (¶. Ð³ñ¹Ç) èÇÙ³ÝÇ Ó»ï³-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýí»ñç Ãíáí ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñ, ë³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ èÇÙ³ÝÇ í³ñÏ³ÍÁ ãÇ ³å³óáõóí³Í (Ï³Ù Ñ»ñùí³Í): n-ñ¹ å³ñ½ ÃÇíÁ (Áëï Ù»ÍáõÃÛ³Ý) Ýß³Ý³Ï»Éáí pn -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, : : :: ¸Çóáõù Ã(k) = p1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pk + 1: k-Ç ï³ñμ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ã(k)-Ý Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ÇÝãå»ë å³ñ½, ³ÛÝå»ë ¿É μ³Õ³¹ñÛ³É: ê³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ í»ñç³íáñ ¿, Ã»± ³Ýí»ñç Ã(k) ï»ëùÇ å³ñ½ (μ³Õ³¹ñÛ³É) μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.1: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª pn+1 < p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn ;

áñï»Õ n > 1:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» n > 1, ³å³ p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn ¡ 1 > 1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.1) ³ÛÝ Ïμ³Å³ÝíÇ áñ¨¿ pk å³ñ½ ÃíÇ íñ³ª p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn ¡ 1 = pk ¢ q; áñï»Õ q > 1; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³Ûëï»Õ k > n, ³ÛëÇÝùÝ pk å³ñ½ ÃÇíÁ ãÇ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ p1 ; p2 ; : : : ; pn å³ñ½ Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ï: ²ÛëåÇëáíª n + 1 6 k, pn+1 6 pk 6 pk ¢ q = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn ¡ 1 < p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn :

¶Ý³Ñ³ï»Ýù n-ñ¹ pn å³ñ½ ÃíÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.2: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª pn 6 22

n¡1

;

ÁÝ¹ áñáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ n = 1 ¹»åùáõÙ:

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): p1 = 22 ; ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ pn < 22

n¡1

;

áñï»Õ n > 2; Æñáùª p2 = 3 < 4 = 22 ¨ »Ã»

pi < 22

i¡1

;

i = 2; 3; : : : ; n;

³å³, û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª

n¡1

pn+1 < p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn < 2 ¢ 22 ¢ 22 ¢ ¢ ¢ 22

n¡1

= 21+2+¢¢¢+2

=22

¡1

< 22 : ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.3: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª pn > 2n;

áñï»Õ n > 5: ²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): p5 = 11 > 10 = 2 ¢ 5; ºÝÃ³¹ñ»Éáí pi > 2i;

i = 5; 6; : : : ; n;

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

¨ û·ïí»Éáí pn+1 ¡ pn > 2 ³ÏÝÑ³Ûï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª pn+1 ¡ 2n > 2; Ï³Ù pn+1 > 2 + 2n = 2(n + 1) :

ØÇ³íáñ»Éáí í»ñçÇÝ »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, n-ñ¹ å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÁª 2n < pn < 22

n¡1

;

áñï»Õ n > 5; ÖÇßï ¿ Ý³¨ pn < 2n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÝ»ñ »Ý ëï³óíáõÙ â»μÇß¨Ç Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó. ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®; ¯ 2 R ¹ñ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ, áñ ®n ln n < pn < ¯n ln n: ä³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ¾íÏÉÇ¹»ëÇ åÝ¹áõÙÝ áõÝÇ ÙÇ ß³ñù ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ»ñ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇÙÛ³Ýó Ñ³çáñ¹áÕ n Ñ³ï μ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñ: ²Û¹åÇëÇÝ »Ý, ûñÇÝ³Ï, (n + 1)! + 2; (n + 1)! + 3; : : : ; (n + 1)! + (n + 1) μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç íñ³, »ñÏñáñ¹Á 3-Ç íñ³ ¨ ³ÛÉÝ: ¸»é ³í»ÉÇÝ, Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÝ ³Ýí»ñç ¿, áñáíÑ»ï¨ Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª s(n + 1)! + 2; s(n + 1)! + 3; : : : ; s(n + 1)! + (n + 1) ó³ÝÏ³ó³Í s = 2; 3; : : : μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.4 (´»ñÃñ³Ý (1845 Ã.), â»μÇß¨ (1852 Ã.)): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 2 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n ¨ n! = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ n Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ å³ñ½ ÃÇí:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» n > 2, ³å³ n! ¡ 1 > 1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ p å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñ: ø³ÝÇ áñ p 6 n! ¡ 1, ³å³ p < n!; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ p 6 n ¹»åùáõÙ n!-Á Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: ê³Ï³ÛÝ Ù»½ Ùáïª n! ¡ 1 = pq, ³ÛëÇÝùÝª n! = pq + 1, áñï»Õ 1 < p, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ n! = p ¢ t å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, p > n: ²ÛëåÇëáíª n < p < n!, áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.5: ºÃ» a > 1 ¨ n > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (an + 1)-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ , ³å³ a-Ý ½áõÛ· >, ÇëÏ n = 2m , áñï»Õ m > 0:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a-Ý Ï»Ýï ¿, ³å³ an -Á ¨ë ÏÉÇÝÇ Ï»Ýï, áõëïÇ (an +1)Á ÏÉÇÝÇ ½áõÛ·, Ù»Í 3-Çó ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ áã å³ñ½: ²ÛëåÇëáí a-Ý ½áõÛ· ¿: ºÃ» n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÉÇÝÇ Ï»Ýï, ³å³ ¡ ¢ n a + 1 = (a + 1) an¡1 ¡ an¡2 + ¢ ¢ ¢ ¡ a + 1 ; 1 < a + 1 < an + 1;

³ÛëÇÝùÝª (an + 1)-Á ÏÉÇÝÇ μ³Õ³¹ñÛ³É: àõëïÇ n > 1 ¹»åùáõÙ n-Á ÏÉÇÝÇ ½áõÛ· ÃÇí: ¸Çóáõù n = 2m ¢ q, áñï»Õ m > 1 ¨ q-Ý Ï»Ýï ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ q = 1: Æñáù, »Ã» q > 1, ³å³ ³ m ´q ³ m ´ m an + 1 = a2 ¢q + 1 = a2 + 1 = a2 + 1 (¢ ¢ ¢ ); m

áñï»Õ 1 < a2 + 1 < an + 1, ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ (an + 1)-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 7.1: ºÃ» 2n + 1 ï»ëùÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿ , ³å³ ³ÛÝ m ¤ ÏÉÇÝÇ 22 + 1 ï»ëùÇ, m > 0: Ð³Ý·áõÙ »Ýù ü»ñÙ³ÛÇ ÃíÇ ·³Õ³÷³ñÇÝ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ m > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ m

Fm = 22 + 1 ï»ëùÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇí: ä. ü»ñÙ³Ý ëË³ÉÙ³Ùμ Ï³ñÍ»É ¿, Ã» Fm Ãí»ñÁ μáñáñ m μÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ å³ñ½ »Ý: ê³Ï³ÛÝ ³Ûë åÝ¹áõÙÁ ÉÇÝ»Éáí ×Çßï m = 0; 1; 2; 3; 4 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ×Çßï ã¿ ³ñ¹»Ý m = 5 ¹»åùáõÙ (È. ¾ÛÉ»ñ, 1732 Ã.), áñáíÑ»ï¨ F0 = 2 + 1 = 3; F1 = 22 + 1 = 5; F2 = 22 + 1 = 17; F3 = 22 + 1 = 257; F4 = 22 + 1 = 65537 Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý, ÇëÏ F5 -Á ³ñ¹»Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 641-Ç íñ³: Æñáùª 641 = 54 + 24 = 5 ¢ 27 +¡ 1; ¢ 24 ; 54 ¢ 228 + 24 ¢ 2¡28 = 228 54¢+ ¡ ¢ 54 ¢ 228 ¡¡ 1 = 52¢¢ ¡214 ¡ 1 5¢2¡ ¢ 214 + 1 =¢ = 5 ¢ 27 + 1 5 ¢ 27 ¡ 1 52 ¢ 214 + 1 :

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

¢ ¡ ¡ ¢ Ð»ï¨³μ³ñ, 54 ¢ 228 + 24 ¢ 228 ¡ 54 ¢ 228 ¡ 1 = 232 + 1 = F5 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ 641-Ç: F5 = 641 ¢ 6700417 = 641 ¢ ¢ ¡ 2 409 + 25562 : 1880 Ã. ³å³óáõóí»É ¿ (Landry, Le Lasseur), áñ F6 -Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ª ëï³Ý³Éáí Ý³¨ ¹ñ³ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ: 1905 Ã. ³å³óáõóí»É ¿ (Morehead, Western) F7 -Ç μ³Õ³¹ñÛ³É ÉÇÝ»ÉÁ, áñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ëï³óí»É ¿ ³ñ¹»Ý 1970 Ã. (Brillhart, Morrison): 1909 Ã. ³å³óáõóí»É ¿ F8 -Ç μ³Õ³¹ñÛ³É ÉÇÝ»ÉÁ (Morehead, Western), áñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ëï³óí»É ¿ 1980 Ã. (Brent, Pollard): F9 -Ç í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ëï³óí»É ¿ ÙÇ³ÛÝ 1990 Ã. (Lenstra, Mannasse, Pollard), áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 155 Ãí³ÝÇß: F24 -Á ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇíÝ ¿, áñÇ Ñ³Ù³ñ ¹»é¨ë Ñ³ÛïÝÇ ã¿ Ýñ³ å³ñ½ Ï³Ù μ³Õ³¹ñÛ³É ÉÇÝ»ÉÁ: ØÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿, Ã» m-Ç ÇÝãåÇëÇ± ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ Fm ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ÃÇí: Ð»ï¨Û³É »ñÏáõ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ÙÝáõÙ »Ý ãÉáõÍí³Í. áñáÝù »Ý ³ÛÝ Fm ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÁ, áñáÝù ã»Ý μ³Å³ÝíáõÙ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³ ¨ í»ñç³íáñ ¿, Ã»± ³Ýí»ñç μáÉáñ ü»ñÙ³ÛÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: Ð³ïÏ³å»ë í»ñçÇÝë Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ»É ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ãÉáõÍí³Í ÑÇÙÝ³Ï³Ý ËÝ¹ÇñÁ: ´³óÇ F0 , F1 , F2 , F3 ¨ F4 ü»ñÙ³ÛÇ å³ñ½ Ãí»ñÇó, ÙÇÝã ³ÛÅÙ áñ¨¿ ³ÛÉ ü»ñÙ³ÛÇ å³ñ½ ÃÇí ãÇ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É: ²Û¹ å³ï×³éáí, ß³ï Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñ Ï³ñÍáõÙ »Ý Ã» μ³óÇ ³Ûë ÑÇÝ· å³ñ½ ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÇó, áõñÇß å³ñ½ ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý: ü»ñÙ³ÛÇ å³ñ½ Ãí»ñÁ ë»ñïáñ»Ý Ï³åí³Í »Ý ¶³áõëÇ ÏáÕÙÇó ³å³óáõóí³Í (1796 Ã.) Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ñ»ï. áñå»ë½Ç ÑÝ³ñ³íáñ ÉÇÝÇ Ï³ñÏÇÝÇ ¨ ù³ÝáÝÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ Ï³éáõó»É Ï³ÝáÝ³íáñ n-³ÝÏÛáõÝ μ³½Ù³ÝÏÛáõÝ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ï³Ù n = 2k Ï³Ù n = 2t ¢ p1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ ps ; áñï»Õ t-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ p1 ; p2 ; : : : ; ps -Á ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ å³ñ½ ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñ »Ý: ä³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ»ï Ï³åí³Í »Ý Ý³¨ ÙÇ ß³ñù ³ÛÉ Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý åñáμÉ»ÙÝ»ñ, áñáÝó Ó¨³Ï»ñåáõÙÝ»ñÁ ÉÇÝ»Éáí ¹ÛáõñÇÝ ¨ ·ñ³íÇã, ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã»Ý: úñÇÝ³Ï, 3 ¨ 5, 5 ¨ 7, 11 ¨ 13, 17 ¨ 19, : : : Ñ³çáñ¹³Ï³Ý Ï»Ýï Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñ »Ý,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý »ñÏíáñÛ³Ï å³ñ½ Ãí»ñ: ê³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ í»ñç³íáñ ¿, Ã»± ³Ýí»ñç ³Û¹åÇëÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: ØÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³Ý Ï»Ýï å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ·Áª 318032361 ¢ 2107001 § 1

Ãí»ñÝ »Ý ¨ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É »Ý 2001 Ãí³Ï³ÝÇÝ (D. Underbakke, P. Carmody). ì. ´ñáõÝÁ (1919 Ã.) ³å³óáõó»É ¿, áñ »Ã» ÝáõÛÝÇëÏ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý Ï»Ýï å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç, ³å³ ¹ñ³Ýó Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í μ ¶ μ ¶ μ ¶ 1 1 1 1 + + + + + + ¢¢¢ 3 5 5 7 11 13

ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ Ñ³í³ë³ñª 1:902160 : : :, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ´ñáõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝ: àñå»ë½Ç (n; n + 2) ½áõÛ·Á ÉÇÝÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ· ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (4((n¡1)!+1)+n)-Á μ³Å³ÝíÇ n(n+2)-Ç íñ³ (P. Clement, 1949). ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ í³ñÏ³Í, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ áñÇ ïñí³Í n ½áõÛ· μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ñ³ï ³ÛÝåÇëÇ p å³ñ½ Ãí»ñ, áñ (p + n)-Á ¨ë å³ñ½ ÃÇí ¿: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ Ý³¨ Ù»Ï áõñÇß ãÉáõÍí³Í Ñ³ÛïÝÇ ËÝ¹Çñª ¶áÉ¹μ³ËÇ åñáμÉ»ÙÁ (1742 Ã.). Î³ñ»ÉÇ ¿ ³ñ¹Ûáù 2-Çó Ù»Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· ÃÇí Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: úñÇÝ³Ï, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, : : :, 100 = 97 + 3, : : :: ²Ûë áõÕÕáõÃÛ³Ùμ ëï³óí³Í ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý È. ¶. ÞÝÇñ»ÉÙ³ÝÇÝ ¨ Æ. Ø. ìÇÝá·ñ³¹áíÇÝ: ¶. Ð³ñ¹ÇÝ (1877-1947) ¶áÉ¹μ³ËÇ åñáμÉ»ÙÁ Ñ³Ù³ñáõÙ ¿ñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ ³Ù»Ý³¹Åí³ñÇÝ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ËÝ¹ÇñÁ: ÜÏ³ñ³·ñ»É ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ a; b; c ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μáÉáñ ³ÛÝ »éÛ³ÏÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ax + by = c ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ å³ñ½ Ãí»ñ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ x; y ÉáõÍáõÙÝ»ñ:

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.6: ºÃ» a > 1 ¨ n > 1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (an ¡ 1)-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ , ³å³ a = 2, ÇëÏ n-Á Ñ³í³ë³ñ ¿ å³ñ½ ÃíÇ:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ (an ¡ 1)-Á å³ñ½ ÃÇí ¿, ¡ ¢ an ¡ 1 = (a ¡ 1) an¡1 + an¡2 + ¢ ¢ ¢ + a + 1

¨ »ñÏñáñ¹ ³ñï³¹ñÇãÁ Ù»Í ¿ 1-Çó, ³å³ a ¡ 1 = 1, Ñ»ï¨³μ³ñ a = 1 + 1 = 2: ÆëÏ »Ã» n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ª n = s ¢ t, 1 < s < n, 1 < t < n, ³å³ 2n ¡ 1 = 2st ¡ 1 = (2s )t ¡ 1 = (2s ¡ 1) (¢ ¢ ¢ );

áñï»Õ 1 < 2s ¡ 1 < 2n ¡ 1, ³ÛëÇÝùÝ (2n ¡ 1)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ μ³Õ³¹ñÛ³É: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» (2n ¡ 1)-Á å³ñ½ ÃÇí ¿, ³å³ n-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ÃÇí: ¤ ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ø»ñë»ÝÝÇ (M. Mersenne) ÃíÇ ·³Õ³÷³ñÇÝ. Mn = 2n ¡ 1 ï»ëùÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñï»Õ n > 2, ÏáãíáõÙ ¿ Ø»ñë»ÝÝÇ ÃÇí: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.6-Çó μËáõÙ ¿, áñ Ø»ñë»ÝÝÇ Mn ÃíÇ å³ñ½ ÉÇÝ»Éáõ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ n-Ç å³ñ½ ÉÇÝ»ÉÝ ¿: ê³Ï³ÛÝ ³Ûë å³ÛÙ³ÝÁ μ³í³ñ³ñ ã¿, áñáíÑ»ï¨ M11 = 211 ¡ 1 = 2047 = 23 ¢ 89 : 1644 Ã. ýñ³ÝëÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë Ø. Ø»ñë»ÝÝÁ åÝ¹áõÙ ¿, Ã» 2n ¡ 1 ï»ëùÇ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁ ëï³óíáõÙ »Ý n-Ç Ñ»ï¨Û³É ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙª 2; 3; 5; 7; 13; 17; 19; 31; 67; 127; 257 : 1772 Ã. ¾ÛÉ»ñÝ ³å³óáõóáõÙ ¿, áñ Çñáù 231 ¡ 1 = 2147483647 ÃÇíÁ å³ñ½ ¿: 1780 Ã. ÈáõÏ³ëÝ ³å³óáõóáõÙ ¿, áñ 2127 ¡ 1 ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ÇëÏ 267 ¡ 1 ÃÇíÁª áã, áñÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ëï³ó»É ¿ øáÉÁ (F.N. Cole, 1903): 1883 Ã. 261 ¡ 1 ÃíÇ å³ñ½ ÉÇÝ»ÉÁ ³å³óáõó»É ¿ ¶. ä»ñíáõßÇÝÁ, áñÝ ³å³óáõó»É ¿ Ý³¨ F12 ¨ F23 ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÇ μ³Õ³¹ñÛ³É ÉÇÝ»ÉÁ: 1911-1914 Ã.Ã. ö³áõ»ñëÁ (R. E. Powers) ³å³óáõóáõÙ ¿, áñ 289 ¡ 1 ¨ 2107 ¡ 1 Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý, ÇëÏ 1922-ÇÝ Îñ³ÛãÇÏÁ ³å³óáõóáõÙ ¿, áñ 2257 ¡ 1 ÃÇíÁ å³ñ½ ã¿: Ü»ñÏ³ÛáõÙë (2002 Ã.) Ñ³ÛïÝÇ »Ý ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 38 Ñ³ï Ø»ñë»ÝÝÇ å³ñ½ Ãí»ñ, áñáÝóÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ M6972593 ÃÇíÝ ¿ (N. Hajratwala,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

G. Woltman, S. Kurowski), áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ý³¨ Ý»ñÏ³ÛáõÙë Ñ³ÛïÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í å³ñ½ ÃÇíÁ: Ð³ÛïÝÇ »Ý Ù»Í å³ñ½ Ãí»ñÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·áñÍ³ñ³ñáõÃÛ³Ý, μ³ÝÏ³ÛÇÝ ¨ ýÇÝ³Ýë³Ï³Ý Ñ³ñó»ñÇ ·³ÕïÝ³·ñáõÃÛ³Ý ËÝ¹ÇñÝ»ñáõÙ: ØÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ í»ñç³íáñ ¿, Ã»± ³Ýí»ñç μáÉáñ Ø»ñë»ÝÝÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ (μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ): ²é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý Ýß»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: Â»áñ»Ù 7.3 (ÈáõÏ³ë (1876 Ã.), È»ÑÙ»ñ (1930 Ã.)): ¸Çóáõù Mn = 2n ¡ 1, áñï»Õ n > 3 ¨ å³ñ½ ¿ : Î³½Ù»Ýù Ñ»ï¨Û³É Li Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÈáõÏ³ë-È»ÑÙ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª ¡ ¢ L0 = 4; : : : ; Li+1 = L2i ¡ 2 (mod Mn ); : : :

(³ÛëÇÝùÝ áñå»ë Li+1 í»ñóíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÙÝ³óáñ¹Á, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ L2i ¡2 ÃÇíÁ Mn -Ç íñ³ μ³Å³Ý»Éáõó): Mn -Á ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ÃÇí ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ln¡1 = 0 :

úñÇÝ³Ï, ÈáõÏ³ë-È»ÑÙ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª M5 = 25 ¡ 1 ÃíÇ ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ 4, 14, 8, 0: Ð»ï¨³μ³ñ M5 -Á å³ñ½ ÃÇí ¿, áñáíÑ»ï¨ L4 = 0: ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, áñÇó ÝáõÛÝå»ë μËáõÙ ¿, áñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.7 (äáÛ³): ºÃ» m 6= n, ³å³ Fm ¨ Fn ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ýª (Fm ; Fn ) = 1 :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» m 6= n, ³å³ Ï³Ù m > n Ï³Ù m < n: ¸Çóáõù m > n: ²Û¹ ¹»åùáõÙª m = n + k, áñï»Õ k > 1, ¨ ³ n ´2k m n+k n k Fm = 22 + 1 = 22 + 1 = 22 ¢2 + 1 = 22 + 1;

ºÉÝ»Éáí ³Ûë ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÇó, Ý³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ (Fm ¡ 2)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Fn -Ç íñ³: μ³ ´ k¡1 ¶ μ³ ´ k¡1 ¶ ³ n ´2k ³ n ´2k 2n 2n Fm ¡2 = 2 +1¡2 = 2 ¡1 = ¡1 ¢ 2 +1 ;

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

ºíë k ¡ 1 ³Ý·³Ù ÏÇñ³é»Éáí a2 ¡ b2 = (a ¡ b)(a + b) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýùª ¶ ³ n ´³ n ´ μ³ n ´2k¡1 Fm ¡ 2 = 22 + 1 22 ¡ 1 ¢ ¢ ¢ 22 + 1 = Fn ¢ q;

¸Çóáõù (Fm ; Fn ) = d: ø³ÝÇ áñ (Fm ¡ 2)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Fn -Ç íñ³, ³å³ (Fm ¡ 2)-Á Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ d-Ç íñ³: àõëïÇ d-Ç íñ³ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ 2-Á: Ð»ï¨³μ³ñ, d = 1 Ï³Ù d = 2: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ ü»ñÙ³ÛÇ Ãí»ñÁ Ï»Ýï »Ý, ³å³ d 6= 2: ²ÛëåÇëáí, d = 1 ¨ (Fm ; Fn ) = 1; ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ùÝÝ³ñÏíáõÙ ¿ Ý³¨ m < n ¹»åùÁ: ¤ î»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 7.4 (äáÛ³): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ³ÙμáÕç ÃíÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m 6= n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ³ m ´ ½ 1; »Ã» a-Ý ½áõÛ· ¿; n a2 + 1; a2 + 1 = 2; »Ã» a-Ý Ï»Ýï >;

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ, å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ¾íÏÉÇ¹»ëÇ Ã»áñ»ÙÇ ³Ù»Ý³Ñ³ÛïÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: Â»áñ»Ù 7.5 (È»Å³Ý¹ñ, ¸ÇñÇËÉ»): ºÃ» ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí (³Ýí»ñç) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ¨ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ ³Û¹ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ : ²ÛëÇÝùÝ, »Ã» (s; l) = 1, ³å³ s; s + l; s + 2l; : : : Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ù³Ý³ÏÇ å³ñ½ Ãí»ñ 7 : ²å³óáõó»Ýù ¹»åù»ñáõÙ:

È»Å³Ý¹ñ-¸ÇñÇËÉ»Ç

Ã»áñ»ÙÁ

ÙÇ

ß³ñù

Ù³ëÝ³íáñ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.8: 4n + 3 ï»ëùÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç (n = 0; 1; 2; : : :) å³ñáõÝ³ÏíáõÙ »Ý ³Ýí»ñç ù³Ý³ÏÇ å³ñ½ Ãí»ñ: 7 ²Ûë

Ã»áñ»ÙÇ Ù³Ýñ³Ù³ëÝ ³å³óáõóáõÙÁ ï»0 ë, ûñÇÝ³Ï, Ñ»ï¨Û³É ·ñùáõÙª

Æ. Ï. Ñåðð, Êóðñ àðèôìåòèêè, Ì., 1972 ã.

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Ýù ÙÇ Ýáñ M μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª M = 4(n!) ¡ 1 = 4(n! ¡ 1) + 3 : Ð»ï¨³μ³ñ M -Á å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ù³ÝÇ áñ M > 1, ³å³ M -Á í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª M = p1 ¢ p2 ¢ : : : ¢ ps ; ÁÝ¹ áñáõÙ, ³Ûë í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ·ïÝíáÕ μáÉáñ pi å³ñ½ Ãí»ñÁ Ù»Í »Ý n-Çó, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª pi 6 n å³ñ½ ÃÇíÁ áñå»ë ³ñï³¹ñÇã ÏÙ³ëÝ³Ïó»ñ Ý³¨ n! = 1¢2 ¢ ¢ ¢ n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ pi -Ý ÏÉÇÝ»ñ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ 1-Ç Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ 1 = 4(n!) ¡ M; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛÅÙ, û·ïí»Éáí ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÇó (Ã»áñ»Ù 1.1), μ³ó³Ñ³Ûï»Ýù M -Ç í»ñÉáõÍáõÃÛ³ÝÁ Ù³ëÝ³ÏóáÕ pi å³ñ½ Ãí»ñÇ ï»ëùÁ: ò³ÝÏ³ó³Í p μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁª p = 4k; p = 4k + 1; p = 4k + 2; p = 4k + 3; ê³Ï³ÛÝ p å³ñ½ ÃíÇ ¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ μ³ó³éíáõÙ ¿, ÇëÏ »ññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ÙÇ³ÛÝ p = 2 ¹»åùáõÙ: ø³ÝÇ áñ M-Á Ï»Ýï ¿, ³å³ ¹ñ³ pi å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ 2 ÉÇÝ»É ãÇ Ï³ñáÕ: ²ÛëåÇëáí, Ï³Ù pi = 4k + 1, Ï³Ù pi = 4k + 3: ºÃ» M -Ç μáÉáñ pi å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ÉÇÝ»ÇÝ pi = 4k + 1 ï»ëùÇ, ³å³ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝ»ñ 4k + 1 ï»ëùÇ, Ñ»ï¨³μ³ñ M -Á ¨ë ÏÉÇÝ»ñ 4k + 1 ï»ëùÇ, áñÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ: Æñáù, »Ã» M = 4k + 1, ³å³ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝù 4m + 3 = 4k + 1; áñï»ÕÇó 2(k ¡ m) = 1;

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: àõëïÇ M -Ç pi å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ÏÉÇÝÇ pi = 4k + 3 ï»ëùÇ: ²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·ï³Ýù ³ÛÝåÇëÇ pi > n å³ñ½ ÃÇí, áñÁ ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³Ù ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ñ½ ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.9: 6n + 5 ï»ëùÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç (n = 0; 1; 2; : : :) å³ñáõÝ³ÏíáõÙ »Ý ³Ýí»ñç ù³Ý³ÏÇ å³ñ½ Ãí»ñ: ÎñÏÝáõÙ »Ýù Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý ²å³óáõóáõÙ: ù³ÛÉ»ñÁ, í»ñóÝ»Éáíª M = 6(n!) ¡ 1 : ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 7.10: 3n + 2 ï»ëùÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç (n = 0; 1; 2; : : :) å³ñáõÝ³ÏíáõÙ »Ý ³Ýí»ñç ù³Ý³ÏÇ å³ñ½ Ãí»ñ:

²å³óáõóáõÙ:ÎñÏÝáõÙ »Ýù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 7.8-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ù³ÛÉ»ñÁ, í»ñóÝ»Éáíª M = 3(n!) ¡ 1 : ¤

ØÇ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ ¨ëª Ã»áñ»Ù 7.5-Ç Ï³å³ÏóáõÃÛ³Ùμ: Ü³Ëª s; s + l; s + 2l; : : :

Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý, áñï»Õ (s; l) = 1, ³Ýí³Ý»Ýù È»Å³Ý¹ñ¸ÇñÇËÉ»Ç Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³: ú·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 7.5-Çó, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí È»Å³Ý¹ñ-¸ÇñÇËÉ»Ç Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñ å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ãíáí ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ Ãí»ñ: ê³Ï³ÛÝ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ ûÅïí³Í »Ý ³ñ¹Ûáù ÝáõÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ È»Å³Ý¹ñ-¸ÇñÇËÉ»Ç μáÉáñ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñÁ (áñáÝó μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿): Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 7.6 (ø. ¶áÉ¹μ³Ë): ºÃ» ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí f(x) = a0 xn + a1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1 x + an μ³½Ù³Ý¹³ÙáõÙ a0 > 0 ¨ n > 1, ³å³ f (1); f (2); : : : ; f (n); : : :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ãíáí μ³Õ³¹ñÛ³É ³Ý¹³ÙÝ»ñ (μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ): ²å³óáõóáõÙ: Îû·ïí»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáÕ ÷³ëï»ñÇó: ºÃ» a0 > 0, ³å³ lim f(x) = x!+1

+1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x1 2 R, áñ x > x1 ¹»åùáõÙ f (x) > 1: ¶áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨ ³ÛÝåÇëÇ x2 2 R, áñ x > x2 ¹»åùáõÙ f 0 (x) > 0: ²ÛëåÇëáí, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 N μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ x > x0 ¹»åùáõÙ f (x) > 1 ¨ f 0 (x) > 0: Üß³Ý³Ï»Ýù f (x0 ) = A ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù f (x0 + At) ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁª t = 1; 2; : : : ¹»åù»ñáõÙ: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Ûë ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿: ú·ïí»Ýù μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Â»ÛÉáñÇ μ³Ý³Ó¨Çóª f (x0 + h) = f (x0 ) +

f 00 (x0 ) 2 f 0 (x0 ) f (n) (x0 ) n h+ h + ¢¢¢ + h ; 1! 2! n!

àõëïÇª f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (At)2 + ¢ ¢ ¢ + (At)n 2! n! ¨ ù³ÝÇ áñ ³ç Ù³ëÇ μáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý A-Ç íñ³, ³å³ f (x0 + At)-Ý ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ A > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³: ²ÛëåÇëáí, f (x0 +At) μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ t-Ç ï³ñμ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýù ï³ñμ»ñ μ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñ: Æñáù, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ f 0 (x) > 0 å³ÛÙ³ÝÇ, f(x) μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x > x0 ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ ³×áÕ, Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª f (x0 + At) = f(x0 ) + f 0 (x0 ) ¢ At +

t1 < t2 ! x0 + At1 < x0 + At2 ! f (x0 + At1 ) < f(x0 + At2 ) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 7.2 (¶áÉ¹μ³Ë): ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ³ÛÝåÇëÇ f (x) μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÁ x-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ å³ñ½ ÃíÇ: ²í»ÉÇ ×Çßï, ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ³ÛÝåÇëÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñÅ»ù Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ å³ñ½ ÃíÇ: ¤ ê³Ï³ÛÝ ÑÇß³ñÅ³Ý »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ. ³) x2 + x + 17 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ å³ñ½ ³ñÅ»ùÝ»ñ, »ñμ x = 0; 1; : : : ; 15, ÙÇÝã¹»é x = 16 ¹»åùáõÙ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ (¾ÛÉ»ñ, 1772 Ã.):

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

μ) x2 ¡ x + 41 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ å³ñ½ ³ñÅ»ùÝ»ñ, »ñμ x = 0; 1; : : : ; 40, ÙÇÝã¹»é x = 41 ¹»åùáõÙ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ (¾ÛÉ»ñ): ·) x2 + x + 41 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ å³ñ½ ³ñÅ»ùÝ»ñ, »ñμ x = 0; §1; : : : ; §39; ¡40; ¡41, ÙÇÝã¹»é x = 40 ¹»åùáõÙ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ (¾ÛÉ»ñ, È»Å³Ý¹ñ): ¹) x2 ¡ 79x + 1601 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ å³ñ½ ³ñÅ»ùÝ»ñ, »ñμ x = 0; 1; : : : ; 79, ÙÇÝã¹»é x = 80 ¹»åùáõÙ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ (¾. ´. ¾ëùáÃÃ, 1899 Ã.): ») ¸ÇñÇËÉ»Ç Ã»áñ»ÙÇó (Ã»áñ»Ù 7.5) Ï³ñ»ÉÇ ¿ μË»óÝ»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ³ÛÝåÇëÇ f (x) μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ f(1) < f(2) < ¢ ¢ ¢ < f(n) ¨ ³Û¹ Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ å³ñ½ ¿: ÐÇß³ï³Ï»Ýù Ý³¨ Ð³ñ¹ÇÇ ¨ ÈÇÃÃÉíáõ¹Ç Ñ»ï¨Û³É åñáμÉ»ÙÁª ¹ñí³Í 1922 Ã.: ì»ñç³íá±ñ ¿, Ã»± ³Ýí»ñç x2 + 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñï»Õ x 2 N: ºÃ» ¼(x)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù x Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, ³ÛëÇÝùÝ ¼(x) = jfp 2 Nj 1 < p 6 x ¨ p-Ý å³ñ½ ¿ gj ; ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª lim

x!1

¼(x) = 0; x

áñÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù ³å³óáõó»É ¿ È. ¾ÛÉ»ñÁ ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ μ³í³Ï³Ý §Ñ»éíáõÙ¦, å³ñ½ Ãí»ñÁ μ³ßËíáõÙ »Ý ß³ï Ýáëñ: î»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª lim

x!1

¼(x) ln x = 1; x

áñÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù ³å³óáõóí»É ¿ Ð³¹³Ù³ñÇ ¨ ì³ÉÉ»-äáõëë»ÝÇ ÏáÕÙÇó (1896 Ã.): ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, Ù»Í x-»ñÇ ¹»åùáõÙ ¼(x) ln x ¨ x Ãí»ñÁ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ»É Ùáï³íáñ³å»ë Ñ³í³ë³ñª x ¼(x) ¼ : ln x ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³å³óáõóáõÙÁ ëáíáñ³μ³ñ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ èÇÙ³ÝÇ Ó»ï³-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙÇçáóáíª ÏáÙåÉ»ùë ³Ý³ÉÇ½Ç Ù»Ãá¹Ý»ñáí, ë³Ï³ÛÝ ². ê»Éμ»ñ·Ç ¨ ä. ¾ñ¹ÛáßÇ ÏáÕÙÇó ³é³ç³ñÏí»É ¿ ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ý³¨ §ï³ññ³Ï³Ý¦ »Õ³Ý³Ï (1949 Ã.): ²ÛÝáõÑ»ï¨, ÝÏ³ïí»É ¿ Ý³¨ ³Ûë ³å³óáõóÙ³Ý Ñ»ï³·³ å³ñ½»óáõÙÝ»ñ (². ¶. äáëïÝÇÏáí, Ü. ä. èáÙ³Ýáí):

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ, Éñ³óáõóÇã ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É n = ab2 ï»ëùáí, áñï»Õ a; b 2 N ¨ a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³: ²Ûëï»ÕÇó μË»óÝ»É, áñ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: ®m 1 ®2 (òáõóáõÙ. ¹Çóáõù n = p® ¨ ®i = 2¯i + ri , áñï»Õ 1 p2 ¢ ¢ ¢ pm r1 r2 ri = 0 Ï³Ù 1; ÀÝ¹áõÝ»Éáíª a = p1 p2 ¢ ¢ ¢ prmm ¨ b = p¯1 1 p¯2 2 ¢ ¢ ¢ p¯mm ÏáõÝ»Ý³Ýùª n = a ¢ b2 ):

2. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 3 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n ¨ 2n ¡ 2 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·áÝ» ÙÇ å³ñ½ ÃÇí (â»μÇß¨, 1850Ã.): Ð»ï¨³μ³ñ, ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n ¨ 2n Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·áÝ» ÙÇ å³ñ½ ÃÇí (´»ñÃñ³Ý, 1845Ã.): 3. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 5 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n ¨ 2n Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ·áÝ» »ñÏáõ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ å³ñ½ Ãí»ñ: 4. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n!-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1 óáõóÇãáí áñ¨¿ å³ñ½ ÃÇí: 5. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n!-Á ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ 1-Çó Ù»Í μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí áñ¨¿ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ³ëïÇ×³Ý:

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

6. ²å³óáõó»É, áñ pk+1 < 2pk , áñï»Õ pi -Ý i-ñ¹ å³ñ½ ÃÇíÝ ¿: ¸»é ³í»ÉÇÝ pk+2 < 2pk , »Ã» k > 3: 7. ²å³óáõó»É, áñ pk+1 + pk+2 6 p1 p2 ¢ ¢ ¢ pk , áñï»Õ k > 3: 8. ²å³óáõó»É, áñ n > 2 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áùñ ¿ 4n -Çó: 9. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É pn+1 < p1 + ¢ ¢ ¢ + pn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ pi -Ý i-ñ¹ å³ñ½ ÃÇíÝ ¿, ÇëÏ n > 3: m

10. ²å³óáõó»É, áñ Fm = 22 + 1 ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇíÁ, áñï»Õ m > 1, ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: 11. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ m > 2 ¹»åùáõÙ Fm ý»ñÙ³ÛÇ ÃÇíÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 7-áí: 12. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É, áñ m > 1 ¹»åùáõÙ Fm ý»ñÙ³ÛÇ ÃÇíÝ áõÝÇ 12k + 5 ï»ëùÁ (k 2 N): 13. ²å³óáõó»É, áñ áñ¨¿ ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇí ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ: 14. ²å³óáõó»É, áñ áñ¨¿ ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇí ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ëáñ³Ý³ñ¹: n

(òáõóáõÙ. »Ã» Fn = 22 + 1 = (2k + 1)3 , ³å³ ¡ ¢ n 22 = 2k 4k2 + 6k + 3 ;

áñï»Õ 4k2 + 6k + 3-Á Ï»Ýï ÃÇí ¿: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ãí³μ³ÝáõÃÛáõÝ

ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó):

15. ²å³óáõó»É, áñ n > 1 ¹»åùáõÙ Fn ý»ñÙ³ÛÇ ÃÇíÁ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñáíª Fn = F0 ¢ F1 ¢ ¢ ¢ Fn¡1 + 2; Fn = Fn¡1 ¡ 2Fn¡1 + 2 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

16. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ a; a + b; a + 2b; : : : ; a + nb; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (Ãí³μ³Ý³Ï³Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ãíáí μ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñ:

åñá·ñ»ëÇ³Ý)

(òáõóáõÙ. »Ã» a + nb = p μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³å³ a + (n + p)b ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ μ³Õ³¹ñÛ³É: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 7.5-Çó): 17. ú·ïí»Éáí ÈáõÏ³ë-È»ÑÙ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ³å³óáõó»É, áñ Ø»ñë»ÝÝÇ M7 ÃÇíÁ å³ñ½ ¿: 18. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» s ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Re (s) > 1, ³å³ ³(s) =

Yμ p

1¡ s p

¶¡1

;

áñï»Õ p-Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ íñ³: 19. ²å³óáõó»É, áñ

X ¹(n) = ; ³(s) n=1 ns

áñï»Õ s > 1 (ÏáÙåÉ»ùë s-Ç ¹»åùáõÙ Re (s) > 1): 20. ²å³óáõó»É, áñ ¼(x) > ln(ln x), »Ã» x > 2: 21. ²å³óáõó»É, áñ ¼(x) > log4 x, áñï»Õ x > 1: 22. ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c1 > 0 Ñ³ëï³ïáõÝ (Çñ³Ï³Ý ÃÇí), áñ ¼(x) < c1

x ; ln x

»Ã» x > 2 :

(â»μÇß¨Ç ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ)

23. ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c2 > 0 Ñ³ëï³ïáõÝ (Çñ³Ï³Ý ÃÇí), áñ ¼(x) > c2

x ; ln x

»Ã» x > 2 :

(â»μÇß¨Ç ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ)

¶ÉáõË 7 ä²ð¼ ÂìºðÆ ´²ÞÊàôØÀ ...

24. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 14 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ¼(n) 6

n¡1

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¼2 ÃíÇ Çé³óÇáÝ³ÉáõÃÛáõÝÇó, ³å³óáõó»É å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÇ ³Ýí»ñç ÉÇÝ»ÉÁ:

25. ºÉÝ»Éáí ³(2) =

26. ¸Çóáõù ¿ -Ý Z μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÝ³óù³ÛÇÝ ïáåáÉá·Ç³Ý ¿: ²å³óáõó»É, áñ §1-Á μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ Ï³½ÙáõÙ ¿ (Z; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ:

¶ É áõ Ë 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ³ÙμáÕç Ù³ë ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í k ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ x-Á, ³ÛëÇÝùÝª k 6 x < k + 1; x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ³ÙμáÕç Ù³ëÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ [x]-áí: ²ÛëåÇëáí, x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ [x] ³ÙμáÕç Ù³ëÁ ³ÛÝ ³ÙμáÕç ÃÇíÝ ¿, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÇÝª [x] 6 x < [x] + 1; ÎáÙåÛáõï»ñ³ÛÇÝ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ù»ç [x]-Á Ñ³×³Ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ bxcáí, ÇëÏ dxe-áí Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ s ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñÇÝ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ x-Á, ³ÛëÇÝùÝª s ¡ 1 < x 6 s; ²ÛëåÇëáíª bxc = max fk 2 Z j k 6 xg ; dxe = min fk 2 Z j k > xg :

È»ÙÙ 8.1: ò³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ¨ k ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª bxc = k Ã! x ¡ 1 < k 6 x; dxe = k Ã! x 6 k < x + 1;

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, bxc = dxe ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x-Á ³ÙμáÕç ÃÇí ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿: È»ÙÙ 8.2: ò³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ¨ n ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª x < n Ã! bxc < n; n < x Ã! n < dxe;

x 6 n Ã! dxe 6 n;

n 6 x Ã! n 6 bxc :

¶ÉáõË 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿:

x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ïáïáñ³Ï³ÛÇÝ Ù³ë ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ fxg-áíª

ÏáãíáõÙ

x ¡ [x] = fxg; Ð»ï¨³μ³ñª 0 6 fxg < 1 ¨ x = [x] + fxg: úñÇÝ³Ïª [6; 3] = 6; f6; 3g = 0:3; [¡6; 3] = ¡7; f¡6; 3g = 0:7; d6; 3e = 7; d¡6; 3e = ¡6; È»ÙÙ 8.3: ºÃ» a; b 2 Z, b > 0 ¨ (Ã»áñ»Ù 1.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ)ª a = bq + r;

³å³

=q ; b nao r = : b b r a =q+ ; b b

r¡b a =q+1+ ; b b ²ÛëåÇëáíª q6 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ,

0 6 r < b;

hai

²å³óáõóáõÙ: Æñáùª

r <1; b

¡1 6

r¡b <0 : b

a <q+1 b

hai b

= q;

a a hai nao r = ¡q = ¡ = : b b b b b Î³ñ»ÉÇ ¿ñ í³ñí»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª a hai nao = + ; b b b

x ¡ [x]

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

nao +b ; b b nao nao < b, áñáíÑ»ï¨ 0 6 < 1: ²ÛÅÙ û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù áñï»Õ 0 6 b b b 1.1-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª nao hai ; r=b ; q= b b a=b

áñï»ÕÇó ¿Éª

hai

r nao = : b b

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 8.1: ò³ÝÏ³ó³Í m ³ÙμáÕç ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª [x + m] = [x] + m:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, É»ÙÙ 8.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª x + m ¡ 1 < [x + m] 6 x + m; x ¡ 1 < [x + m] ¡ m 6 x

¨ ù³ÝÇ áñ [x + m] ¡ m ÃÇíÁ ³ÙμáÕç ¿, ³å³ [x + m] ¡ m = [x], áñï»ÕÇóª [x + m] = [x] + m = [x] + [m]: ¤ àñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 8.1: ò³ÝÏ³ó³Í m ³ÙμáÕç ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ fx + mg = fxg: ²å³óáõóáõÙ: Æñáùª

fx+mg = x+m¡[x+m] = x+m¡[x]¡m = x¡[x] = fxg = fxg+fmg : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 8.2: ò³ÝÏ³ó³Í x ¨ y Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [x + y] > [x] + [y] :

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñª [x] 6 x ¨ [y] 6 y, ³å³ [x] + [y] 6 x + y, ³ÛëÇÝùÝ [x]+[y]-Á x+y-ÇÝ ã·»ñ³½³ÝóáÕ ³ÙμáÕç ÃÇí ¿: ê³Ï³ÛÝ [x+y]-Á x+y-ÇÝ ã·»ñ³½³ÝóáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙμáÕç ÃÇíÝ ¿, Ñ»ï¨³μ³ñ [x] + [y] 6 [x + y] :

¶ÉáõË 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 8.3: ò³ÝÏ³ó³Í x1 ; x2 ; : : : ; xn Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª [x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn ] > [x1 ] + [x2 ] + ¢ ¢ ¢ + [xn ] :

²å³óáõóáõÙ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 8.4: ¸Çóáõù x-Á Çñ³Ï³Ý, ÇëÏ n-Á μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: ²ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñÇ n-å³ïÇÏÁ (³ÛëÇÝùÝ na-Ý) ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ x-Á, áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª hxi : a= n

²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇª

an 6 x < (a + 1)n; a∙

x < a+1 n

¨ Ñ»ï¨³μ³ñª a=

hxi

: n àñå»ë Ñ»ï¨³Ýù ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 8.2: ò³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª h x i ∙ [x] ¸ = : n n

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ [x]-Ç ¨ x-Ç ÙÇã¨ ãÏ³ áñ¨¿ ³ÙμáÕç ÃÇí, ³å³ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñÇ n-å³ïÇÏÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ [x]-Á, ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙμáÕç ÃÇíÁ áñÇ n-å³ïÇÏÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ x-Á: ²ÛëåÇëáí, û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª h x i ∙ [x] ¸ = : ¤ n n ²ÛÅÙ áñáß»Ýù ³ÛÝ óáõóÇãÁ, áñáí p 6 n å³ñ½ ÃÇíÁ Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ n! = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³ÝÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 8.1 (È»Å³Ý¹ñ, 1808 Ã.): ¸Çóáõù n > 2 ¨ p 6 n; ²ÛÝ ® óáõóÇãÁ, áñáí p å³ñ½ ÃÇíÁ Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ n!-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ùμª ∙ ¸ X ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ k ∙ n n n n ; + 2 + ¢¢¢ + k = ®= p p p pi i=1

áñï»Õ pk -Á p-Ç¢ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³ÝÝ ¿ , áñÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á ¡ k p 6 n < pk+1 ; ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ¹Åí³ñ ã¿ áñáß»É k-Ý.

pk 6 n < pk+1 ; k ln p 6 ln n < (k + 1) ln p; ln n k6 < (k + 1); ln p ∙ ¸ ln n k= ; ln p

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8.4-Ç, ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í

∙ ¸ ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, áñÇ pn ÃÇíÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, n!å³ïÇÏÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á, ÏÉÇÝÇ p Ç ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ Ñ³Ù³ñíáÕ 1; 2; : : : ; n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó p-Ç íñ³ Ïμ³Å³Ýí»Ý ÙÇ³ÛÝ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁª ∙ ¸ n p; 2p; : : : ; ¢ p; p ∙ ¸ n áñáÝó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ -ÇÝ: ê³Ï³ÛÝ ¹ñ³Ýó Ù»ç Ï³Ý Ý³¨ p ³ÛÝåÇëÇÝ»ñÁ, áñáÝù μ³Å³ÝíáõÙ »Ý p2 ; : : : ; pk ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ íñ³: Üßí³Í Ãí»ñÇó p2 íñ³ Ïμ³Å³Ýí»Ý ÙÇ³ÛÝ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁª ∙ ¸ n p ; 2 ¢ p ; : : : ; 2 ¢ p2 ; p ∙ ¸ n áñáÝó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ -ÇÝ, ÇëÏ ¹ñ³ÝóÇó p3 -Ç íñ³ p2 Ïμ³Å³Ýí»Ý ÙÇ³ÛÝ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁª ∙ ¸ n p ; 2 ¢ p ; : : : ; 3 ¢ p3 ; p

¶ÉáõË 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ

¨ ³ÛÉÝ ; : : : ; pk -Ç íñ³ Ïμ³Å³Ýí»Ý ÙÇ³ÛÝ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÁª ∙ ¸ n pk ; 2 ¢ pk ; : : : ; k ¢ pk ; p áñáÝó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿

∙

¸ n -ÇÝ: pk

∙ ¸ n ²ÛëåÇëáí n! ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ Ãíáí ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ p∙ ¸ n Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý p-Ç íñ³, áñáÝóÇó ÁÝ¹³Ù»ÝÁ p2 ∙ ¸ n μ³Å³ÝíáõÙ »Ý Ý³¨ p2 íñ³, 3 Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý Ý³¨ p ∙ ¸ n p -Ç íñ³, : : : ; k Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý Ý³¨ pk -Ç íñ³: p ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ n n n àõëïÇ, ³Û¹ Ãíáí ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ÁÝ¹³Ù»ÝÁ ¡ 2 Ãíáí p p p ³Ý¹³ÙÝ»ñ ∙ ¸ ∙ ¸Ïμ³Å³Ýí»Ý p-Ç íñ³, μ³Ûó ã»Ý μ³Å³ÝíÇ p íñ³, ÁÝ¹³Ù»ÝÁ n n ¡ 3 Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ Ïμ³Å³Ýí»Ý p2 íñ³, μ³Ûó ã»Ý μ³Å³ÝíÇ p2 p ∙ ¸ n p -Ç íñ³, : : :, ÁÝ¹³Ù»ÝÁ k Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ Ïμ³Å³Ýí»Ý pk -Ç íñ³: p Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» n!-Á í»ñÉáõÍ»Ýù å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ³ÛëÇÝùÝ Ýñ³ μáÉáñ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ í»ñÉáõÍ»Ýù å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ³å³ p å³ñ½ ÃÇíÁ ³Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Ïëï³óíÇ Ñ»ï¨Û³É ³ëïÇ×³Ýáíª p ¢ ¢ ¢ p ¢ p2 ¢ ¢ ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pk¡1 ¢ ¢ ¢ pk¡1 ¢ pk ¢ ¢ ¢ pk = | {z } | {z } | {z } | {z } h i h i h i h i h i h i n n n n n n n ¡ 3 ¡ k [ p ]¡ p2 p2 p pk¡1 p pk h

n ]¡ = p[ p

n p2

i ³h +2

n p2

i h ¡

n p3

i´ ³h +¢¢¢+(k¡1)

n p2

i h

[ n ]+ =p p

n pk

n pk¡1 k h P

= pi=1

i h ¡ n pi

n pk

i´ h +k

n pk

;

àñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇÝ.

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 8.3: ºÃ» n > 2 ¨ p1 ; p2 ; : : : ; ps å³ñ½ Ãí»ñÁ n-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ý, ³å³ k1 P

∙

n! = p1t=1

n pt

k2 P

¢ p2t=1

∙

n pt

ks P

∙

¢ ¢ ¢ pst=1

n pt s

;

áñï»Õ pki i 6 n < piki +1 , i = 1; 2; : : : ; s; ²å³óáõóáõÙ: n!-Á ãÇ Ï³ñáÕ μ³Å³Ýí»É n < p å³ñ½ ÃíÇ íñ³, áñáíÑ»ï¨ n! = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó áã Ù»ÏÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ ³Û¹åÇëÇ p-Ç íñ³: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: ¤ úñÇÝ³Ïª 6! = 2[ 2 ]+[ 22 ] ¢ 3[ 3 ] ¢ 5[ 5 ] = 23+1 ¢ 32 ¢ 51 = 24 ¢ 32 ¢ 5;

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 8.4: n!-Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ 2n -Ç íñ³: ²å³óáõóáõÙ: n = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: n > 2 ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 8.1-Ç, n!-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç 2-Á áñå»ë å³ñ½ ÃÇí Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É óáõóÇãáíª hni n hni h n i n n ®= + 2 + ¢¢¢ + k 6 + 2 + ¢¢¢ + k = 2 2 ³¡ ¢k ´ Ã ! μ ¶k n 2 ¡1 = = n ¡ <n: ¤ ¡ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 8.5: (2n)!-Ý ³ñ¹»Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2n -Ç íñ³: ²å³óáõóáõÙ: ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ 2n 2n 2n ®= + 2 + ¢ ¢ ¢ + k = [n] + (¢ ¢ ¢ ) = n + (¢ ¢ ¢ ) :

ÎÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ñ³×³Ë û·ï³Ï³ñ ¿ ÉÇÝáõÙ Ý³¨ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùáï³Ï³ ³ÙμáÕç ÃíÇ ·³Õ³÷³ñÁ, áñÁ Ï³åí³Í ¿ bxc ¨ dxe ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ»ï: x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùáï³Ï³ ³ÙμáÕç ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ [x]0 -áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ½ [x] ; »Ã» [x] 6 x < [x] + 12 ; [x] = [x] + 1; »Ã» [x] + 12 6 x < [x] + 1 :

¶ÉáõË 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ

ê³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ fxg0 ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª fxg0 = x ¡ [x]0 ; áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùáï³Ï³ Ïáïáñ³Ï³ÛÇÝ Ù³ë: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ jfxg0 j 6 :

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ºÃ» f : R+ ! R+ ýáõÝÏóÇ³Ý (R+ -Á μáÉáñ áã μ³ó³ë³Ï³Ý Ï³Ù ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿) ãÝí³½áÕ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ³×áÕ) áõ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³ ¿ ¨ f(x) 2 N ! x 2 N; ³å³ [f ([x])] = [f (x)] : Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª hp i p ³) n [x] = [ n x], n 2 N, x 2 R+ ;

μ) [loga [x]] = [loga x], a 2 N, a > 1:

(òáõóáõÙ. »Ã» x 2 N, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÃ» x 62 N, ³å³ [x] < x: Ð»ï¨³μ³ñ, f ([x]) 6 f (x): ²ÛÝáõÑ»ï¨, ³ÙμáÕç ã¿);

[f ([x])] 6 [f (x)] < f (x) (áñáíÑ»ï¨ f (x)-Á

²Ûëï»Õ »ÝÃ³¹ñ»Éáí [f ([x])] < [f (x)] ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, ³Û¹ ¹»åùáõÙª [f ([x])] + 1 6 [f(x)] < f (x); f ([x]) < [f ([x])] + 1 6 [f (x)] < f (x); ²ÛÅÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ´áÉó³ÝáÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ [[x]; x] Ñ³ïí³ÍÇ íñ³. ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ y 2 [[x]; x], áñ f (y) = [f (x)] 2 N: Ð»ï¨³μ³ñ, f (y) 2 N ¨ y 2 N, áõëïÇª y = [x] ¨ f(y) < f (y): Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2. Ü³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ ëï³Ý³É μ³Ý³Ó¨ df (dxe)e-Ç Ñ³ßíÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: 3. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. hp i p ³) 3 [x] = [ 3 x]; h p i p μ) 2n+1 [x] = [ 2n+1 x]:

4. ²å³óáõó»É, ¨ m 6= 0 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ∙ áñ¸ó³ÝÏ³ó³Í x; y hÇñ³Ï³Ý hxi hyi x+y xi hyi + Ï³Ùª + + 1: Ñ³Ù³ñ, -Á Ñ³í³ë³ñ ¿ª m m m m m h i h i x+y x y x y (òáõóáõÙ. = + = + ¯, áñï»Õ 0 6 m m m m m ® < ¸1, 0 6 ¯ < 1, 0 6 ® + ¯ < 2: Ð»ï¨³μ³ñ, ∙ hxi hy i x+y + + [® + ¯], áñï»Õ [® + ¯] = 0 Ï³Ù 1): = m m m

5. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ½ 0; »Ã» x 2 Z; [x] + [¡x] = ¡1; »Ã» x 62 Z;

(òáõóáõÙ. »Ã» x 2 Z, ³å³ [¡x] = ¡[x], ÇëÏ »Ã» x 62 Z, ³å³ [¡x] = ¡[x] ¡ 1):

6. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a ¨ m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª h a i a¡r = ; m m áñï»Õ r = a(mod m):

7. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» p > 2 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³å³ 8 p¡1 > < 4 ; »Ã» p = 4q + 1; hpi > = > > : p ¡ 3 ; »Ã» p = 4q + 3 :

8. ºÃ» m ³ÙμáÕç ÃÇíÁ Ï»Ýï ¿, ³å³ hmi m ¡ 1 = :

¶ÉáõË 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ

9. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª £

¤ x2 = 2;

£ 2¤ x =x:

10. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ∙ ¸ [x] + x + = [2x]; (òáõóáõÙ. x = [x] + ®, áñï»Õ 0 6 ® < 1): 11. Î³éáõó»É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁª hxi ; y= £ ¤ y = x2 ; y = [cos x] :

12. ú·ïí»Éáí È»Å³Ý¹ñÇ Ã»áñ»ÙÇó, ëï³Ý³É 11!-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª 11! = 28 ¢ 34 ¢ 5 ¢ 7 ¢ 11 : 13. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ n!-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 57 -Ç íñ³: 14. ¸Çóáõù m 2 N: ¶ïÝ»É m-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ: (òáõóáõÙ. »Ã» m-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÁ Ýß³Ý³Ï»Ýùª p1 < p2 < ¢ ¢ ¢ < pk 6 m, ÇëÏ μ ∙ ¸¶ ln m xi xi +1 pi 6 m < pi ; xi 2 N xi = ; ln pi ³å³ áñáÝ»ÉÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇª px1 1 ¢ px2 2 ¢ ¢ ¢ pxk k ):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

15. ú·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùÇó ¨ â»μÇß¨Ç ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ³å³óáõó»É áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c > 0 Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ [1; 2; : : : ; n] < cn ó³ÝÏ³ó³Í n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: 16. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª n X

¹(k)

k=1

hni k

= 1;

áñï»Õ ¹-Ý ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 17. ²å³óáõó»É, áñ ¿ (1) + ¿ (2) + ¢ ¢ ¢ + ¿ (n) =

hni

+ ¢¢¢ +

hni n

;

áñï»Õ ¿ (n)-Á n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ÃÇíÝ ¿: 18. ²å³óáõó»É, áñ ¾(1) + ¾(2) + ¢ ¢ ¢ + ¾(n) = 1 ¢

hni

+2¢

h ni

+ ¢¢¢ + n ¢

hni n

;

áñï»Õ ¾(n)-Á n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿: n < p 6 n å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ p å³ñ½ 3μ ¶ 2n ÃÇíÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ: n

19. ºÃ» n > 2, ³å³

20. ²å³óáõó»É, áñ n < p < 2n å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ p å³ñ½ μ ¶ 2n ÃÇíÁ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç n Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ 1 óáõóÇãáí: μ ¶ 2n 21. ºÃ» μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³ ¨ n μ ¶ p 2n p > 2n, ³å³ p-Ý -Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç n Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ 1 óáõóÇãáí:

¶ÉáõË 8 Æð²Î²Ü ÂìÆ ²Ø´àÔæ Ø²ê: ÈºÄ²Ü¸ðÆ ÂºàðºØÀ

22. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 10 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n!Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 1 óáõóÇãáí ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ·áÝ» »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñ: 23. ²å³óáõó»É, áñ x > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ 2-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ áõÝ»ó³Í Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ [log2 x]-Ç Ñ»ï:

¶ É áõ Ë 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü: ¾ÚÈºðÆ, üºðØ²ÚÆ, ÈàôÎ²êÆ, ¶²àôêÆ, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÜºðÀ: äêºì¸àä²ð¼ Âìºð: Âì²Îºðä ´²¼ØàôÂÚàôÜÜºð ºì ²ðî²¸ðÚ²È²ÚÆÜ üàôÜÎòÆ²Üºð: Î²î²ðÚ²È ºì p-²¸ÆÎ Âìºð 9.1. ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ, ¾ÛÉ»ñÇ ¨ ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ: äë¨¹áå³ñ½ ¨ ÉÇáíÇÝ åë¨¹áå³ñ½ (ø³ñÙ³ÛùÉÇ) Ãí»ñ ¸Çóáõù m-Á ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: '(m)-áí Ï³Ù ©(m)áí Ýß³Ý³Ï»Ýù ³ÛÝ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ m-Á ¨ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý ¹ñ³ Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª '(m) = jfx 2 Z j 1 6 x 6 m; (x; m) = 1gj : úñÇÝ³Ï, '(1) = 1, '(2) = 1, '(3) = 2, '(4) = 2, '(5) = 4, '(6) = 2, '(7) = 6, : : : ²ÛëåÇëáí, ëï³óíáõÙ ¿ ÙÇ ' : N ! N ýáõÝÏóÇ³ (³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ), áñÁ μáÉáñ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Çñ Ù»çª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. m ! '(m), m 2 N: ²Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ (1760 Ã.), Ï³Ù ³í»ÉÇ ×Çßï ¾ÛÉ»ñÇ ' ýáõÝÏóÇ³: ø³ÝÇ, áñ N μ Z, ³å³ Ñ³×³Ë ¾ÛÉ»ñÇ ' : N ! N ýáõÝÏóÇ³Ý û·ï³Ï³ñ ¿ ¹Çï»É Ý³¨ áñå»ë ' : N ! Z ýáõÝÏóÇ³ (ï»0 ë 9.10, 9.12 Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ m > 2 ¹»åùáõÙª '(m) 6 m ¡ 1 ¨ m = p å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñª '(p) = p ¡ 1, áñáíÑ»ï¨ 1; 2; : : : ; p ¡ 1 Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ p-Ç Ñ»ï, ÇëÏ (p; p) = p > 1: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» '(m) = m ¡ 1, ³å³ m-Á å³ñ½ ÃÇí ¿: ØÇÝã ³ÛÅÙ ãÇ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É ³ÛÝåÇëÇ m μ³Õ³¹ñÛ³É ÃíÇ ûñÇÝ³Ï, áñ (m ¡ 1)-Á μ³Å³ÝíÇ '(m)-Ç íñ³ (È»ÑÙ»ñÇ ËÝ¹ÇñÁ, 1932 Ã.): ØÇÝã ³ÛÅÙ ãÇ ÉáõÍí³Í Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ (ø³ñÙ³ÛùÉ, 1922 Ã.). ó³ÝÏ³ó³Í n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ñ¹Ûáù ³ÛÝåÇëÇ m 6= n μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ '(m) = '(n):

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 234

[a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ m-Ç Ñ»ï ¨ ·ñíáõÙ ¿ ([a]; m) = 1, »Ã» [a] ¹³ëÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ m-Ç Ñ»ï: ºÃ» (a; m) = 1, ³å³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 2.3) ([a]; m) = 1: ²ÛëåÇëáí, '(m)-Á Ñ³í³ë³ñ ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý m-Ç Ñ»ï: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.5-Ç, '(m)-Á ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ [0]; [1]; : : : ; [m ¡ 1] 2 Zm Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¹³ë»ñÇ ÃíÇÝ: ºÃ» (a; m) = 1, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3.1-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ ax + my = 1, Ï³Ù ax ´ 1(mod m): Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ åÝ¹áõÙ ¿, áñ áñå»ë Ýßí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ý³¨ x = a'(m)¡1 ÃÇíÁ: Â»áñ»Ù 9.1 (¾ÛÉ»ñ, 1760 Ã.): ºÃ» (a; m) = 1, ³å³ a'(m) ´ 1(mod m), ³ÛëÇÝùÝ a'(m) ¡ 1 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ m-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a = 0, ³å³ m = 1 ¨ Ã»áñ»ÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù a 6= 0 ¨ ¹Çóáõù [a1 ]; [a2 ]; : : : ; [ak ] ¹³ë»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ μáÉáñ ³ÛÝ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÝ »Ý Áëï Ùá¹áõÉ m-Ç, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý m-Ç Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª k = '(m): ¸Çï³ñÏ»Ýù [aa1 ]; [aa2 ]; : : : ; [aak ] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÁ, áñï»Õ (a; m) = 1, a 2 Z: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ³Û¹ ¹³ë»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÝáõÛÝå»ë ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ m-Ç Ñ»ï ¨ ¹ñ³Ýù ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý: Æñáù, »Ã» aai ´ aaj (mod m), ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.8-Ç, Ïëï³Ý³ÛÇÝùª ai ´ aj (mod m), áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛëåÇëáíª f[aa1 ]; : : : ; [aak ]g = f[a1 ]; : : : ; [ak ]g ¨ [aa1 ] ¢ [aa2 ] ¢ ¢ ¢ [aak ] = [a1 ][a2 ] ¢ ¢ ¢ [ak ]; [aa1 ¢ aa2 ¢ ¢ ¢ aak ] = [a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ ak ] :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨³μ³ñª [ak a1 a2 ¢ ¢ ¢ ak ] = [a1 a2 ¢ ¢ ¢ ak ];

ak a1 a2 ¢ ¢ ¢ ak ´ a1 a2 ¢ ¢ ¢ ak (mod m) :

ø³ÝÇ áñ a1 a2 ¢ ¢ ¢ ak ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ m-Ç Ñ»ï (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2), ³å³ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.8-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ak ´ 1(mod m); ¤

áñï»Õ k = '(m):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 9.1 (ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÁ, 1640 Ã.): ºÃ» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ ap¡1 ´ 1(mod p) :

²å³óáõóáõÙ: Àëï ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇª (a; p) = 1 ¨ '(p) = p ¡ 1: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 9.1-Çó: ¤ Ð³×³Ë ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÁ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. ó³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ap ´ a(mod p); ºí, Ñ»ï¨³μ³ñ, »Ã» an 6´ a(mod n), ³å³ n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ : ÆÑ³ñÏ», ³Ûë Ó¨³Ï»ñåáõÙáí ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ (a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an )p ´ ap1 + ap2 + ¢ ¢ ¢ + apn (mod p);

a1 ; a2 ; : : : ; an 2 Z;

μ³Ý³Ó¨Çó, »Ã» í»ñóÝ»Ýùª a1 = a2 = ¢ ¢ ¢ = an = 1 ¨ a1 = a2 = ¢ ¢ ¢ = an = ¡1: ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇó (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí) μËáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ åÝ¹áõÙ. »Ã» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ , ³å³ k

ap ´ a(mod p);

k 2 N; a 2 Z :

Ø»Ýù Ýß»óÇÝù ¾ÛÉ»ñÇ ¨ ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÝ»ñÇ ³í³Ý¹³Ï³Ý ³å³óáõóáõÙÝ»ñÁ: ê³Ï³ÛÝ, Ñ³×³Ë ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÁ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ (¹ÇÝ³ÙÇÏ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ) ³Ýß³ñÅ ¨ å³ñμ»ñ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ Ñ»ï³½áï»Éáõ Ñ³Ù³ñ (ï»ëª W. E. Briggs,

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 236

W. L. Briggs, Anatomy of a Circle Map, Math. Magazine 72(1999), 166-175) ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, »ÉÝ»Éáí gn : [0; 1] ! [0; 1], n 2 N ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇª > < n ¢ x; »Ã» 0 6 x 6 ; n gn (x) = j j +1 > : n ¢ x ¡ j; »Ã» <x6 ; n n

³Ýß³ñÅ ¨ å³ñμ»ñ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, Ï³ñ»ÉÇ ¿ μË»óÝ»É ¾ÛÉ»ñÇ ¨ ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ (M. Frame, B. Johnson, J. Sauerberg, Fixed points and Fermat: A Dinamical Systems Approach to Number Theory, The American Mathematical Monthly, 2000, vol. 107, N 5, 422–428): ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ×Çßï ã¿: úñÇÝ³Ï, 390 ´ 1(mod 91), ë³Ï³ÛÝ 91-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿ (91 = 7 ¢ 13), Ï³Ù 2341 ´ 2(mod 341), μ³Ûó 341 = 11 ¢ 31: ²å³óáõó»Ýù í»ñçÇÝ μ³Õ¹³ïáõÙÁ, û·ïí»Éáí ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇó (ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨ ³é³çÇÝ μ³Õ¹³ïáõÙÁ)ª

¡ ¢34 2341 ´ 210 ¢ 2(mod 11) ´ (1)34 ¢ 2(mod 11) ´ 2(mod 11); ¡ ¢11 11 ¢ 2 (mod 31) ´ (1)11 ¢ 211 (mod 31) ´ 211 (mod 31) ´ 2341 ´ 230 ¡ ¢2 ´ 25 ¢ 2(mod 31) ´ (1)2 ¢ 2(mod 31) ´ 2(mod 31) :

²ÛëåÇëáí, 2341 ¡ 2 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 11Ç ¨ 31-Ç (íñ³), ¨ ù³ÝÇ áñ (11; 31) = 1, ³å³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.5) ³ÛÝ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó 11 ¢ 31 = 341 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝª 2341 ´ 2(mod 341) : ²Ûë μ³Õ¹³ïáõÙÁ, áñ 1819 Ã. ëï³ó»É ¿ ü. ê³ñÛáõëÁ (F. Sarrus), Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ý³¨ Ýñ³Ýáí, áñ ³ÛÝ ÅËïáõÙ ¿ Ý³¨ ³í»ÉÇ ù³Ý 2000 ï³ñÇ ³é³ç âÇÝ³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñÇ ÏáÕÙÇó Ó¨³Ï»ñåí³Í Ñ»ï¨Û³É í³ñÏ³ÍÁ (»ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ). »Ã» 2n ´ 2(mod n), ³å³ n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿: ²Ûë åÝ¹áõÙÁ 1680 Ã. í»ñ³Ó¨³Ï»ñåí»É ¿ Ý³¨ È³ÛμÝÇóÇ ÏáÕÙÇó: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¸Çóáõù n-Á ¨ a-Ý μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿: n μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ åë¨¹áå³ñ½ Áëï a Ñ»ÝùÇ (Ï³Ù a μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ), »Ã» an ´ a(mod n) :

n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ åë¨¹áå³ñ½, »Ã» ³ÛÝ åë¨¹áå³ñ½ ¿ Áëï áñ¨¿ Ñ»ÝùÇ: ²ÛëåÇëáí, 341-Á åë¨¹áå³ñ½ ¿ Áëï 2 Ñ»ÝùÇ, áñÁ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí³Í ³é³çÇÝ åë¨¹áå³ñ½ ÃÇíÝ ¿: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ 561 ¨ 645 Ãí»ñÁ ÝáõÛÝå»ë åë¨¹áå³ñ½ »Ý Áëï 2 Ñ»ÝùÇ: ²í»ÉÇ ¹Åí³ñ ¿ Ñ³ÛïÝ³μ»ñ»É ½áõÛ· åë¨¹áå³ñ½ Ãí»ñ: ²é³çÇÝ ³Û¹åÇëÇ ÃÇíÁª 161038 = 2 ¢ 73 ¢ 1103 Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É ¿ 1950 Ã. ¸. È»ÑÙ»ñÇ ÏáÕÙÇó, áñÇó Ñ»ïá ³å³óáõóí»É ¿ (N. G. W. H. Beeger, On Even Numbers m Dividing 2m ¡ 2, American Mathematical Monthly, 58(1951), 553-555), áñ μáÉáñ ½áõÛ· åë¨¹áå³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: ÜáõÛÝåÇëÇ ³ñ¹ÛáõÝù ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ï»Ýï åë¨¹áå³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.1 (º. Ø³Éá, 1903 Ã.): ºÃ» n > 3 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ åë¨¹áå³ñ½ ¿ Áëï 2 Ñ»ÝùÇ, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ¿ Ý³¨ 2n ¡ 1 ÃÇíÁ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù n-Á åë¨¹áå³ñ½ ¿ Áëï 2 Ñ»ÝùÇª 2n ´ 2(mod n);

³ÛëÇÝùÝª 2n ¡ 2 = nk, áñï»Õ k 2 N, Ñ»ï¨³μ³ñª 2n ¡ 1 = nk + 1: ø³ÝÇ áñ n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ 2n ¡ 1 ÃÇíÁ, áñáíÑ»ï¨ª n = s ¢ t; 1 < s < n ! 2n ¡ 1 = 2s¢t ¡ 1 = (2s )t ¡ 1 = (2s ¡ 1) (¢ ¢ ¢ ); ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ

¡1

´ 2 (mod (2n ¡ 1)) :

Æñáùª n

¡1

³ ´ k ¡ 2 ´ 2nk+1 ¡ 2 = 2 (2n ) ¡ 1 = 2 (2n ¡ 1) (¢ ¢ ¢ ) :

´³Õ³¹ñÛ³É n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉÇáíÇÝ åë¨¹áå³ñ½ Ï³Ù ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇí (R. D. Carmichael, 1912), »Ã» n-Á åë¨¹áå³ñ½ ¿ 1 <

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 238

a < n ¨ (a; n) = 1 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í a μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: úñÇÝ³Ï, 561-Á ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇí ¿ (¨ ë³ ³Ù»Ý³÷áùñ ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇíÝ ¿): Æñáù, å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ a561 ´ a(mod 561) μáÉáñ ³ÛÝåÇëÇ a μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñ 1 < a < 561 ¨ (a; 561) = 1: ø³ÝÇ áñ 561 = 3 ¢ 11 ¢ 17 ¨ (a; 561) = 1, ³å³ (a; 3) = 1, (a; 11) = 1 ¨ (a; 17) = 1: ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a2 ´ 1(mod 3); a10 ´ 1(mod 11);

a16 ´ 1(mod 17);

¡ ¢ a2 ¡ 1 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç, a10 ¡ 1 -Áª 11-Ç, ÇëÏ ¢ ¡³ÛëÇÝùÝ a16 ¡ 1 -Áª 17-Ç íñ³: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ïª h¡ ¢56 i ¡ ¢ ¡ ¢ a561 ¡ a = a a560 ¡ 1 = a a10 ¡ 1 = a a10 ¡ 1 (: : :); h¡ ¢35 i ¡ ¢ a16 ¡ 1 = a a16 ¡ 1 (: : :); h¡ ¢280 i ¡ ¢ ¡ 1 = a a2 ¡ 1 (: : :) : a561 ¡ a = a a2

a561 ¡ a = a

²ÛëåÇëáí, a561 ¡a ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3, 11 ¨ 17 (÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ) å³ñ½ Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, Ñ»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ 561 = 3 ¢ 11 ¢ 17 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.6): Ð³çáñ¹ ø³ñÙ³ÛùÉÇ Ãí»ñÝ »Ýª 1105 = 5 ¢ 13 ¢ 17; 1729 = 7 ¢ 13 ¢ 19; 2465 = 5 ¢ 17 ¢ 29; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢

Ð³Ù»Ù³ï³μ³ñ í»ñç»ñë ³å³óáõóí»É ¿ (Alford W. R., Granville A., Pomerance C., There are infinitely many Carmichael numbers, Ann. Math.,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

140, 1994, p. 703–722), áñ μáÉáñ ø³ñÙ³ÛùÉÇ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝp³Ýí»ñç ¿, ÇëÏ n-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ μáÉáñ ø³ñÙ³ÛùÉÇ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 6 n2 : ²é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý Ù³Ýñ³Ù³ëÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³ Ï³Ý· ³éÝ»Éáõ Ýß»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ. áñå»ë½Ç n > 3 μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇíÁ ÉÇÝÇ ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇí ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ãμ³Å³ÝíÇ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³ ¨ n-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñª (p ¡ 1)-Á ÉÇÝÇ (n ¡ 1)-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ (A. Korselt): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ³Ûë Ñ³Ûï³ÝÇßÇó μËáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ø³ÛÙ³ÛùÉÇ ÃÇí Ï»Ýï ¿ ¨ Ñ³í³ë³ñ ¿ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³éÝí³½Ý 3 Ñ³ï å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: Æñáù, »Ã» n-Á ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇí ¿ ¨ n = p1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pm , áñï»Õ pi -Ý å³ñ½ ¿ (i = 1; : : : ; n), pi 6= pj (i 6= j), ³å³ Ý³Ë m > 2, áñáíÑ»ï¨ n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿: ¸Çóáõù p1 = 2: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ó¨³Ï»ñåí³Í Ñ³Ûï³ÝÇßÇª n ¡ 1 = (p2 ¡ 1)t: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ ÏÉÇÝÇ ½áõÛ· ÃÇí, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁª áã: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤ ÆëÏ, »Ã» n = p1 p2 , áñï»Õ p1 < p2 , ³å³ 0 < p1 ¡ 1 < p2 ¡ 1 ¨ n ¡ 1 = p1 p2 ¡ 1 = (p2 ¡ 1)p1 + p1 ¡ 1; ³ÛëÇÝùÝ, Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, (p1 ¡ 1)-Á Ïμ³Å³ÝíÇ (p2 ¡ 1)-Ç íñ³: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

9.2. ²ÙμáÕç ÃíÇ Ï³ñ· Áëï ïñí³Í Ñ»ÝùÇ: ÈáõÏ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ ¸Çóáõù n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ¨ a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý: Àëï ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇª a'(n) ´ 1(mod n): ²ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ k > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ak ´ 1(mod n), ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ï³ñ· Áëï Ùá¹áõÉ n-Ç (Ï³Ù Áëï n Ñ»ÝùÇ, Ñ»Ý³ÃíÇ) ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª k = ordn (a): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» b ´ a(mod n), ³å³ ordn (b) = ordn (a): È»ÙÙ 9.1: ºÃ» (a; n) = 1, ³å³ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁ. 1) ºÃ» am ´ 1(mod n), ³å³ m-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ordn (a)-Ç íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿ , áñ '(n)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ordn (a)-Ç íñ³; ordn (a) : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ordn (am ) = 2) ordn (am ) = (ordn (a); m) ordn (a) () (ordn (a); m) = 1;

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 240

3) ºÃ» (b; n) = 1 ¨ (ordn (a); ordn (b)) = 1, ³å³ ordn (a ¢ b) = ordn (a) ¢ ordn (b);

4) ºÃ» (bi ; n) = 1, i = 1; : : : ; k ¨ ordn (b1 ); : : : ; ordn (bk ) Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ ordn (b1 ¢ ¢ ¢ bk ) = ordn (b1 ) ¢ ¢ ¢ ordn (bk ):

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» am ´ 1(mod n) ¨ k = ordn (a), ³å³ Áëï ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÇª¡ m¢ = kq + r, 0 6 r < k, ¨, q Ñ»ï¨³μ³ñ, am = akq+r = akq ar = ak ar , áñï»ÕÇóª ar ´ 1(mod n): ºÃ» ³Ûëï»Õ r > 0, ³å³ ëï³óí³Í ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ÏÑ³Ï³ëÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ, Ñ»ï¨³μ³ñ r = 0 ¨ m = kq: 2) ¸Çóáõù k = ordn (a), d = (k; m): Ð»ï¨³μ³ñ, k = du, m = dv ¨ ¡ ¢m k (am ) d = ak d ´ 1(mod n);

ºÝÃ³¹ñ»Éáí áñ¨¿ t > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª (am )t ´ 1(mod n);

ÏáõÝ»Ý³Ýùª amt ´ 1(mod n) ¨ Áëï 1) Ï»ïÇ mt-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ k-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª mt = ks, áñ¨¿ s > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, dvt = dus, vt = us ¨ ù³ÝÇ áñ (u; v) = 1, ³å³ t-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ u-Ç íñ³: àõëïÇ k t>u= : d 3) ºÃ» k = ordn (a), s = ordn (b), ³å³ ¡ ¢s (ab)ks = aks ¢ bks = ak ¢ (bs )k ´ 1(mod n) :

Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É ÙÇç³ÝÏÛ³É ÷³ëïÁ: ºÃ» c ´ ai (mod n) ¨ c ´ bj (mod n), ³å³ c ´ 1(mod n): Æñáù, ¡ ¢i j ck ´ ak (mod n) ´ 1(mod n) ¨ cs ´ (bs ) (mod n) ´ 1(mod n): àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 1) Ï»ïÇª k ¨ s ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÁ Ïμ³Å³Ýí»Ý ordn (c)-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ ordn (c) = 1 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, c ´ 1(mod n): ¸Çóáõù ³ÛÅÙ (ab)t ´ 1(mod n), å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ t > k ¢ s: Æñáù, at bt ´ 1(mod n) ¨ at bt b'(n)t¡t ´ b'(n)¢t¡t (mod n); at b'(n)¢t ´ b'(n)¢t¡t (mod n);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¨, Áëï ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 9.1), at ´ bt'(n)¡t (mod n) : Üß³Ý³Ï»Éáí c = at , ÏáõÝ»Ý³Ýùª c ´ at (mod n) ¨ c ´ bt'(n)¡t (mod n); àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñáÑÇßÛ³É ÙÇç³ÝÏÛ³É ÷³ëïÇ, c ´ 1(mod n): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, bt'(n)¡t ´ 1(mod n); bt'(n)¡t ¢ bt ´ bt (mod n); bt'(n) ´ bt (mod n); ´t ³ b'(n) ´ bt (mod n); 1 ´ bt (mod n) :

²ÛëåÇëáí, at ´ 1(mod n), bt ´ 1(mod n) ¨ t-Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ïμ³Å³ÝíÇ k-Ç ¨ s-Ç íñ³, áõëïÇ Ý³¨ k ¢ s-Ç íñ³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.5) ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, t > k ¢ s: 4) ²å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ Â»áñ»Ù 9.2 (ÈáõÏ³ë, 1891 Ã.): ºÃ» n > 3 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ an¡1 ´ 1(mod n)

¨ (n ¡ 1)-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñª a

n¡1 p

6´ 1(mod n);

³å³ n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ : ²å³óáõóáõÙ: an¡1 ´ 1(mod n) å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ (Ã»áñ»Ù 3.1), áñ (a; n) = 1, ÇëÏ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ 1) Ï»ïÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, (n ¡ 1)-Á Ïμ³Å³ÝíÇ n¡1 ordn (a) Ï³ñ·Ç íñ³: îñí³Í a p 6´ 1(mod n) å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 242

n¡1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ k = ordn (a) Ï³ñ·Ç íñ³, áñáíÑ»ï¨ p n¡1 = k ¢ q, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝùª p ¡ ¢q n¡1 a p = akq = ak ´ 1(mod n);

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛëåÇëáí, (n ¡ 1)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ k = ordn (a)Ç íñ³, μ³Ûó (n ¡ 1)-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñ, n¡1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ k = ordn (a)-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, p (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.6) n ¡ 1 = ordn (a): ø³ÝÇ áñ '(n) 6 n ¡ 1 ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 9.1-Ç 1) Ï»ïÇ, '(n)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ordn (a) = n¡ 1 ÃíÇ íñ³, ³å³ '(n) = n ¡ 1, ÇëÏ ³Ûëï»ÕÇó ¿É Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿: ¤ ÈáõÏ³ëÇ Ã»áñ»Ùáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É Ý³¨ n = 231 ¡1 Ø»ñë»ÝÝÇ ÃíÇ å³ñ½ ÉÇÝ»ÉÁ (¾ÛÉ»ñ), ÁÝïñ»Éáí a = 7, ÇëÏ n ¡ 1 = 2 ¢ 32 ¢ 7 ¢ 11 ¢ 31 ¢ 151 ¢ 331: Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ:

Â»áñ»Ù 9.3: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ n ¡ 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª ®2 ®k n ¡ 1 = p® 1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pk :

ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ i = 1; : : : ; k ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ai μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ain¡1 ´ 1(mod n); ¨

n¡1

³å³ n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ :

ai pi 6´ 1(mod n);

²å³óáõóáõÙ: ºñÏñáñ¹ å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ (Ã»áñ»Ù 3.1), áñ (ai ; n) = 1 ¨ (n ¡ 1)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ordn (ai ) = mi -Ç íñ³ (É»ÙÙ 9.1): ºññáñ¹ n¡1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ mi = å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ pi i ordn (ai ) Ï³ñ·Ç íñ³: àõëïÇ, mi -Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p® i -Ç íñ³: ¸Çóáõùª m1 ® p1 1

b1 = a1

mk ® p k k

; : : : ; bk = ak

;

a = b1 ¢ b2 ¢ ¢ ¢ bk :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 9.1-Ç 2) Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª ®k ordn (b1 ) = p® 1 ; : : : ; ordn (bk ) = pk

¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 9.1-Ç 4) Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ordn (a) = ordn (b1 ¢ b2 ¢ ¢ ¢ bk ) = ordn (b1 ) ¢ ordn (b2 ) ¢ ¢ ¢ ordn (bk ) = ®2 ®k = p® 1 ¢ p2 ¢ pk = n ¡ 1;

³ÛëÇÝùÝª ordn (a) = n ¡ 1: ²ÛÝáõÑ»ï¨ ÏñÏÝáõÙ »Ýù Ã»áñ»Ù 9.2-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ß³ñáõÝ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¤ Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ áõÝÇ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μÝáõÛÃ: Â»áñ»Ù 9.4: ¸Çóáõù n ¡ 1 = F1 R1 , áñï»Õ (F1 ; R1 ) = 1, ¨ ¹Çóáõù F1 -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ pi å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ai μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ μ n¡1 ¶ pi an¡1 ´ 1(mod n); a ¡ 1; n =1: i i p ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» F1 > n, ³å³ n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ (Brillhart J., Lehmer D. H., Selfridge J. L., New primality criteria and factorizations of 2m § 1, Math. Comput., 1975, v. 29, N 130, p. 620-647):8

²ÝóÝ»Ýù ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ý·³Ù³Ý³ÉÇó áõëáõÙÝ³ëÇñáõÃÛ³ÝÁ:

9.3. ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.2: ò³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ' (pn ) = pn ¡ pn¡1 :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë ' (pn )-Á ½áõÛ· ÃÇí ¿ , »Ã» n > 2: 8 ²Ûëï»Õ

¡ ¢1 p 3 -áí: n-Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÷áË³ñÇÝ»É ³í»ÉÇ ÷áùñ Ãíáíª n

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 244

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù 1; 2; : : : ; pn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ å³ñ½»Ýù ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý pn -Ç Ñ»ï: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ μ³í³Ï³Ý ¿ å³ñ½»É ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù μ³Å³ÝíáõÙ »Ý p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ áõÝ»Ý l ¢ p ï»ëùÁ, áñï»Õ l ¢ p 6 pn : ²ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙμáÕç l ÃÇíÁ, áñÇ p-å³ïÇÏÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ pn -Á, ÏÉÇÝÇ pn¡1 ÃÇíÁ (áñÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8.3-Çó): ²ÛëåÇëáí, 1; 2; : : : ; pn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 1 ¢ p; 2 ¢ p; : : : ; pn¡1 ¢ p ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù μ³Å³ÝíáõÙ »Ý p-Ç íñ³ ×Çßï Ñ³í³ë³ñ ¿ pn¡1 -Ç: àõëïÇ, ³Û¹ ß³ñùÇ ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ pn -Ç Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñª ' (pn ) = pn ¡ pn¡1 : ¤ ²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ó¨³Ï»ñåÙ³ÝÁ ¨ ³å³óáõóÙ³ÝÁ. Â»áñ»Ù 9.5 (âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù): ºÃ» m; n ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³

1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ

'(m ¢ n) = '(m) ¢ '(n);

³ÛëÇÝùÝª ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ 1; 2; : : : ; m ¢ n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç m ¢ n -Ç Ñ»ï ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ '(m) ¢ '(n)-ÇÝ: ²å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ 1-Çó ÙÇÝã¨ m ¢ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»Ýù Áëï Ñ»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏÇª m+1 2m + 1 (n ¡ 1)m + 1

m+2 2m + 2 (n ¡ 1)m + 2

m+3 2m + 3 (n ¡ 1)m + 3

m m + m = 2m 2m + m = 3m nm

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÕÛáõë³ÏÇ ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³ÏÇ Ãí»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý Zm -Ç [1] ¹³ëÇÝ (ï³ññÇÝ), »ñÏñáñ¹ ëÛáõÝ³ÏÇ Ãí»ñÁª Zm -Ç [2] ¹³ëÇÝ, ¨ ³ÛÉÝ, í»ñçÇÝ ëÛáõÝ³ÏÇ Ãí»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý Zm -Ç [0] ¹³ëÇÝ: '(m)-Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 1; 2; : : : ; m Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ÛÝ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý m-Ç Ñ»ï, Ï³Ùª [0]; [1]; : : : ; [m ¡ 1] 2 Zm

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¹³ë»ñÇ ÃíÇÝ: ÜáõÛÝÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ '(n)-ÇÝ ¨ '(n ¢ m)-ÇÝ: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï 1 6 a 6 mn ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ mn-Ç Ñ»ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ m; n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1): ÜÏ³ï»Ýù, áñ ³ÕÛáõë³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛáõÝ³Ï å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ n Ñ³ï Ãí»ñ, áñáÝù ½áõÛ· ³é ½áõÛ· μ³Õ¹³ï»ÉÇ ã»Ý Áëï Ùá¹áõÉ n-Ç: Æñáù, »Ã» im+k ´ jm+k(mod n), ³å³ (i ¡ j)m ´ 0(mod n), ³ÛëÇÝùÝ (i ¡ j)m ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ n-Ç íñ³: àõëïÇ, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, (i ¡ j)-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ n-Ç íñ³, áñï»Õ ji ¡ jj < n, áñáíÑ»ï¨ 0 6 i, j < n, ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, i ¡ j = 0, i = j: ²ÛëåÇëáí, ³ÕÛáõë³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛáõÝ³ÏáõÙ Ïå³ñáõÝ³ÏíÇ '(n) Ñ³ï Ãí»ñ, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý n-Ç Ñ»ï: ê³Ï³ÛÝ, ÇÝãå»ë ÝÏ³ï»óÇÝù, ³ÕÛáõë³ÏáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ×Çßï '(m) Ñ³ï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝó μáÉáñ Ãí»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý m-Ç Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ»Ýó ³Û¹ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáõÙ ¿É Ï·ïÝí»Ý ³ÕÛáõë³ÏÇ μáÉáñ ³ÛÝ a Ãí»ñÁ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý m-Ç ¨ n-Ç Ñ»ï: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ, ³Û¹åÇëÇ a Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ëï³óíáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñ '(n) ¢ '(m)-Ç:

ºñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙ: ²Ûë ³å³óáõóáõÙÁ Ñ»ÝíáõÙ ¿ âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 3.5) íñ³: [x] 2 Zm ï³ññÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù Ý³¨ [x]m -áí ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù Zm £ Zn = f(u; v) j u 2 Zm ; v 2 Zn g ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñáõÙ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Áëï Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý μ³Õ³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª (u1 ; v1 ) ¢ (u2 ; v2 ) = (u1 u2 ; v1 v2 ) :

²Ûë ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ ¨ ûÅïí³Í ([1]m ; [1]n ) ÙÇ³íáñáí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (u1 ; v1 ) ¢ (u2 ; v2 ) = (u2 ; v2 ) ¢ (u1 ; v1 ) = ([1]m ; [1]n )

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 246

³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ½ u1 u2 = u2 u1 = [1]m ; v1 v2 = v2 v1 = [1]n ; ²ÛëÇÝùÝ (u; v) 2 Zm £ Zn ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ u 2 Zm ¨ v 2 Zn ï³ññ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, μáÉáñ (u; v) 2 Zm £Zn Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ '(m)¢ '(n)-Ç: ØÝáõÙ ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ Zm¢n -Ç μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ, ³ÛëÇÝùÝ '(m ¢ n)-Á, Ñ³í³ë³ñ ¿ Zm £ Zn -Ç μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ÃíÇÝ: Zm¢n ¨ Zm £ Zn μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³ñ·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý: ²Û¹ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ï³éáõó»Ýù ³ÛÝåÇëÇ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ Ù³Ï³ÍáõÙ ¿ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: Zm¢n ! Zm £ Zn ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª [x]m¢n ! ([x]m ; [x]n ) : Ü³Ë ³Ûë Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óáõÙÁ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» [x]m¢n = [y]m¢n , ³å³ x ¡ y=m ¢ n, Ñ»ï¨³μ³ñ, x ¡ y=m ¨ x ¡ y=n, ³ÛëÇÝùÝ [x]m = [y]m ¨ [x]n = [y]n : ²ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ. »Ã» ([x]m ; [x]n ) = ([y]m ; [y]n ) ; ³å³ [x]m = [y]m , [x]n = [y]n ¨ x ¡ y=m, x ¡ y=n: Ð»ï¨³μ³ñ, x ¡ y=m ¢ n (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.5) ¨ [x]m¢n = [y]m¢n : ²ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ. ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Z, áñ ([a]m ; [b]n ) = ([x]m ; [x]n ), áñáíÑ»ï¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3.5-Ç, ½ x ´ a(mod m); x ´ b(mod n) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ ÉáõÍáõÙ: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ [x]m¢n -Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ [x]m -Á ¨ [x]n -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, áñáíÑ»ï¨ x-Á ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ mn-Ç Ñ»ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x-Á ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ m-Ç ¨ n-Ç Ñ»ï (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1): ²ÛëåÇëáí,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ï³éáõóí³Í Zm¢n ! Zm £ Zn μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ù³Ï³ÍáõÙ ¿ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Zm¢n -Ç ¨ Zm £ Zn -Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨9 : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.3: ºÃ» a1 ; a2 ; : : : ; an μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ '(a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an ) = '(a1 ) ¢ '(a2 ) ¢ ¢ ¢ '(an );

áñï»Õ n > 2 : ²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): n = 2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ñ¹»Ý ³å³óáõóí³Í ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï n-Çó ùÇã Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ áõ û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª '(a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an ) = ' ((a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an¡1 )an ) = = '(a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an¡1 ) ¢ '(an ) = '(a1 ) ¢ '(a2 ) ¢ ¢ ¢ '(an¡1 ) ¢ '(an );

áñáíÑ»ï¨ an -Á, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2-Ç, ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an¡1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: ¤

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë ó³ÝÏ³ó³Í n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áñáß»É ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ '(n) ³ñÅ»ùÁ, ³ñï³Ñ³Ûï»Éáí Ýñ³Ý n-áí ¨ n-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³ÝÁ Ù³ëÝ³ÏóáÕ å³ñ½ Ãí»ñáí: Â»áñ»Ù 9.6: ºÃ» n > 2 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ áõÝÇ ®2 ®k n = p® 1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pk

Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ¢ ¡ ®2 ¢ ¡ ®k ¢ ¡ 1 ®1 ¡1 2 ¡1 k ¡1 p2 ¡ p® ¢ ¢ ¢ pk ¡ p® = '(n) = p® 1 ¡ p1 k μ ¶μ ¶ μ ¶ X ¹(d) ; =n 1¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ =n p1 p2 pk d n=d;d>0

9 î»ë

Ý³¨ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ã»áñ»Ù 19.21-Ç ³å³óáõóáõÙÁ:

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 248

áñï»Õ ¹-Ý ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ (·ÉáõË 6): Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª ³) '(n)-Á ½áõÛ· ÃÇí ¿ , »Ã» n > 2; μ) ºÃ» m-Á n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ , ³å³ '(m) -Á ÏÉÇÝÇ '(n)-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: ²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ®2 ®k n1 = p® 1 ; n2 = p2 ; : : : ; nk = pk

Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý ¨ n = n1 ¢ n2 ¢ ¢ ¢ nk ; Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®2 ®k '(n) = '(n1 ) ¢ '(n2 ) ¢ ¢ ¢ '(nk ) = ' (p® 1 ) ¢ ' (p2 ) ¢ ¢ ¢ ' (pk ) ;

áñï»ÕÇó, Áëï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.3-Ç, Ïëï³Ý³Ýùª ¢ ¡ ®2 ¢ ¡ k ¢ ¡ 1 ®1 ¡1 ®k ¡1 p2 ¡ p2®2 ¡1 ¢ ¢ ¢ p® = '(n) = p® 1 ¡ p1 k ¡ pk ¶ μ ¶ ®k = 1¡ ¢ ¢ ¢ pk 1 ¡ = p2 pk μ ¶μ ¶ μ ¶ ®1 ®2 ®k 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ = = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pk 1 ¡ p1 p2 pk ¶μ ¶ μ ¶ μ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ ; =n 1¡ p1 p2 pk p®

1¡ p1

p®

ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É Ã»áñ»Ù 6.4-Á, ÇëÏ ³) ¨ μ) åÝ¹áõÙÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý ³å³óáõóí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: ¤ ²å³óáõó»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.4: ò³ÝÏ³ó³Í m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª '(m ¢ n) = '(m) ¢ '(n) ¢

d ; '(d)

áñï»Õ d = (m; n): ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» m = 1 Ï³Ù n = 1, ³å³ ·ñí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿: ¸Çóáõù m > 1 ¨ n > 1: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

1) m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã»Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ Ãí»ñ; ²Û¹ ¹»åùáõÙ (m; n) = 1 ¨ åÝ¹íáÕ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 9.5-Ç Ñ»ï: 2) m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ å³ñ½ Ãí»ñ: ¸Çóáõù m-Á ¨ n-Á áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ¯t ® k ¯1 ¯2 1 ®2 m = p® 1 p2 ¢ ¢ ¢ pk q1 q2 ¢ ¢ ¢ qt ;

n = q1±1 q2±2 ¢ ¢ ¢ qt±t l°1 1 l2°2 ¢ ¢ ¢ l°s s ;

áñï»Õ q1 ; q2 ; : : : ; qt å³ñ½ Ãí»ñÁ Ù³ëÝ³ÏóáõÙ »Ý »ñÏáõ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ®k ¯1 +±1 m ¢ n = p® ¢ ¢ ¢ qt¯t +±t ¢ l°1 1 ¢ ¢ ¢ ls°s ; 1 ¢ ¢ ¢ pk q1 minf¯1 ;±1 g

d = (m; n) = q1

minf¯2 ;±2 g

¢ q2

minf¯t ;±t g

¢ ¢ ¢ qt

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª μ ¶ μ ¶μ ¶ '(m ¢ n) = m ¢ n 1 ¡ ¢¢¢ 1 ¡ 1¡ p1 pk q1 μ ¶μ ¶ μ ¶ ¢¢¢ 1 ¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ = qt l1 ls μ ¶ μ ¶μ ¶ μ ¶ =m 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ £ p1 pk q1 qt μ ¶ μ ¶μ ¶ μ ¶ £n 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ £ q1 qt l1 ls d d ´ ³ ´ = '(m) ¢ '(n) ¢ ; £ ³ '(d) d 1 ¡ 1 ¢¢¢ 1 ¡ 1 q1

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí Ý³¨ n ¢ m = (n; m) ¢ [n; m] Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.2), Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 9.2: ò³ÝÏ³ó³Í m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª '(n) ¢ '(m) = ' ((n; m)) ¢ ' ([n; m])

10 Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ã. À. Êóäðåâàòîâ, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè ÷èñåë, Ì., 1970,ËÝ¹ñ³·ñùÇ 146-ñ¹ ËÝ¹ñÇ åÝ¹áõÙÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ:

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 250

²å³óáõóáõÙ: ØÇ ÏáÕÙÇó (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.4)ª ' (n ¢ m) = ' (n) ¢ ' (m) ¢

d ; ' (d)

d = (n; m);

ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª ' (n ¢ m) = ' ((n; m) ¢ [n; m]) = ' ((n; m)) ¢ ' ([n; m]) ¢

(n; m) = (n; m) ¢ ' ([n; m]) ; ' ((n; m))

Ð»ï¨³μ³ñ, ' (n) ¢ ' (m) ¢

d = (n; m) ¢ ' ([n; m]) ; ' (d)

' (n) ¢ ' (m) ¢

= ' ([n; m]) ; ' (d)

'(n) ¢ '(m) = ' ((n; m)) ¢ ' ([n; m]) :

Ð»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¶³áõëÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ: Â»áñ»Ù 9.7 (¶³áõë): ºÃ» d1 ; d2 ; : : : ; dk Ãí»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ª '(d1 ) + '(d2 ) + ¢ ¢ ¢ + '(dk ) = n; P Ð³Ù³éáïª '(d) = n:

(¶³áõëÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ)

n=d;d>0

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù

®2 ®m n = p® 1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pm

í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í n >

1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý

í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ ¿, áñï»Õ p1 ; p2 ; : : : ; pm -Á ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.6-Ç, n-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ d > 1 μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñ áõÝÇ d = p¯1 1 ¢ p¯2 2 ¢ ¢ ¢ p¯mm ï»ëùÁ, áñï»Õ 0 6 ¯1 6 ®1 , 0 6 ¯2 6 ®2 , : : : ; 0 6 ¯m 6 ®m : Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» d1 ; d2 ; : : : ; dk -Ý n -Ç μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 1 + p2 + p22 + ¢ ¢ ¢ + p® 1 + p1 + p21 + ¢ ¢ ¢ + p®

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¢ ¡ m = d1 + d2 + ¢ ¢ ¢ + dk ; ¢ ¢ ¢ 1 + pm + p2m + ¢ ¢ ¢ + p® m

ÇëÏ û·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.3-Çó μËáÕ ³ ´ ´ ³ ´ ³ ¡ ¢ ' p¯1 1 ¢ ' p¯2 2 ¢ ¢ ¢ ' p¯mm = ' p¯1 1 ¢ p¯2 2 ¢ ¢ ¢ p¯mm

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, Ïëï³Ý³Ýùª ¡ ¡ ¢ '(1) + ' (p1 ) + ' p21 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ®2 +' (p® 1 )) ¢ '(1) + ' (p2 ) + ' p2 + ¢ ¢ ¢ + ' (p2 ) ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ m ¢ ¢ ¢ '(1) + ' (pm ) + ' p2m + ¢ ¢ ¢ + ' (p® m ) = ' (d1 ) + ' (d2 ) + ¢ ¢ ¢ + ' (dk ) ;

ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.2-Çª

¡ ¢ i '(1) + ' (pi ) + ' p2i + ¢ ¢ ¢ + ' (p® i ) = ¢ ¡ ®i ¢ ¡ 2 i ¡1 i = p® = 1 + (pi ¡ 1) + pi ¡ pi + ¢ ¢ ¢ + pi ¡ p® i ; i

²ÛëåÇëáíª

®2 ®m p® 1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pm = ' (d1 ) + ' (d2 ) + ¢ ¢ ¢ + ' (dk ) ;

³ÛëÇÝùÝª n = ' (d1 ) + ' (d2 ) + ¢ ¢ ¢ + ' (dk ) :

ºñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ï³É Ã»áñ»Ù 9.7-Ç Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É 1 2 n¡1 n ï³ññ³Ï³Ý ³å³óáõóáõÙÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù ; ;:::; ; n n n n Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ (é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ), áñáÝó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ns Ç: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ïáïáñ³Ï, áñï»Õ 1 6 s 6 n, Ïñ×³ï»Éáí (s; n)-áí n a1 a2 an¡1 an Ïëï³Ý³Ýù ; ;:::; ; Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ, áñï»Õ (ai ; bi ) = 1, b1 b2 bn¡1 bn i = 1; : : : ; n (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.1): ²Ûëï»Õ b1 ; b2 ; : : : ; bn¡1 ; bn μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ n-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ »Ý: ÀÝ¹ áñáõÙ n-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ d μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñ b1 ; b2 ; : : : ; bn¡1 ; bn Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ ÏÑ³Ý¹ÇåÇ, ³ÛÝ ¿É '(d) ³Ý·³Ù: Æñáù, »Ã» n = d ¢ d0 ¨ l ¢ d0 l ¢ d0 l = 1 6 l 6 d, (l; d) = 1, ³å³ l ¢ d0 6 d ¢ d0 = n ¨ = : n d¢d d ø³ÝÇ áñ ¹Çï³ñÏíáÕ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç, ³å³ª X n= '(d) : n=d;d>0

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 252

Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿11 :

Â»áñ»Ù 9.8: ºÃ» d1 ; d2 ; : : : ; dk Ãí»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ ØÛáμÇáõëÇ ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ (·ÉáõË 6) Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª

Ð³Ù³éáïª

¹(d1 ) + ¹(d2 ) + ¢ ¢ ¢ + ¹(dk ) = 0;

¹(d) = 0:

n=d;d>0

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 6.3-Ç ØÛáμÇáõëÇ ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏñÏÝ»É Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ ³å³óáõóáõÙÁª Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí ¡ ¢ i ¹ (1) + ¹ (pi ) + ¹ p2i + ¢ ¢ ¢ + ¹ (p® i ) = 1 + (¡1) + 0 + ¢ ¢ ¢ + 0 = 0

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

9.4. Âí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ: ¿ ¨ ¾ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ: Î³ï³ñÛ³É Ãí»ñ ¾ÛÉ»ñÇ ¨ ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÙÇ ß³ñù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ μÝ³Ï³Ý ×³Ý³å³ñÑáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óÝ»É: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ý³Ë Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ¹ñ³ ÑÇÙ³Ý íñ³ Ý³¨ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ·³Õ³÷³ñÁ: àã ¹³ï³ñÏ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ¹ñ³ Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í »Ý ·áõÙ³ñÙ³Ýª + ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ýª ¢ ³ÛÝåÇëÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ). 1. ¶áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ý, ³ÛëÇÝùÝª

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

(x + y) + z = x + (y + z); (x ¢ y) ¢ z = x ¢ (y ¢ z)

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

11 ºÉÝ»Éáí

Ã»áñ»Ù 9.7-Ç »ñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙÇó, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É ¾ÛÉ»ñÇ ' ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ýáñ ³å³óáõóáõÙ (ï»ëª í³ñÅáõÃÛáõÝ 21-Á ³Ûë ·ÉËÇ í»ñçáõÙ ¨ ¹ñ³ ÉáõÍÙ³Ý óáõóáõÙÁ):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2. ¶áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý »Ý, ³ÛëÇÝùÝª x + y = y + x; x¢y =y¢x

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 3. ¶áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí: ²Û¹ ÙÇ³íáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, Áëï áñáõÙ, ·áõÙ³ñÙ³Ý ÙÇ³íáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñá ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí, ÇëÏ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÙÇ³íáñÁª Ù»Ï ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 1-áí, ³ÛëÇÝùÝª x + 0 = 0 + x = x; x¢1=1¢x=x

ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ºÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ Ý³¨, áñ 0 6= 1 ¨ x ¢ 0 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: 4. ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¨ ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý (Ï³Ù μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý) ûñ»Ýùáí (ÝáõÛÝáõÃÛ³Ùμ), ³ÛëÇÝùÝª x ¢ (y + z) = (x ¢ y) + (x ¢ z) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

êáíáñ³μ³ñ μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ ³Ûëå»ëª x(y + z) = xy + xz: úñÇÝ³Ï, N, Z, Q, R, Zn μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ12 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ºÃ» Q1 ¨ Q2 μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ Q1 £ Q2 = f(a; b) j a 2 Q1 ; b 2 Q2 g μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ) í»ñ³ÍíáõÙ ¿ Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý, »Ã» ë³ÑÙ³Ý»Ýùª (a1 ; b1 ) + (a2 ; b2 ) = (a1 + a2 ; b1 + b2 );

12 ²Ûëï»Õ

(a1 ; b1 ) ¢ (a2 ; b2 ) = (a1 ¢ a2 ; b1 ¢ b2 ) :

»ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿, áñ 0 2 N:

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 254

Âí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý x; y ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (x + y)-Á ¨ (x ¢ y)-Á Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏáãíáõÙ »Ý x; y ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É: ú·ïí»Éáí ÷³Ï³·Í»ñÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³½Ù»É Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª x + (y + z), x ¢ ((y ¢ z) ¢ u), : : : ¶áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ (Ã»áñ»Ù 1.3), áñ Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 ; : : : ; xn ï³ññ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ Ï³½Ùí³Í μáÉáñ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ (³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ) ÙÇÙÛ³Ýó Ñ³í³ë³ñ »Ý ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí ³Û¹ ·áõÙ³ñÝ»ñÇó (³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ýª x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñª x1 ¢ x2 ¢ ¢ ¢ xn ): ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ)ª x(y1 + ¢ ¢ ¢ + xn ) = xy1 + ¢ ¢ ¢ + xyn :

¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý, »Ã» μ(x) = 0 μáÉáñ x 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ ·ñíáõÙ ¿ª μ 6= 0: μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝª ³) μ(1) = 1 (¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, μ 6= 0);

μ) μ(n ¢ m) = μ(n) ¢ μ(m), áñï»Õ (n; m) = 1, n; m 2 N:

úñÇÝ³Ï, μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª μ(x) = 1, ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ: ºÃ» Q = R, t 2 R ¨ μ(x) = xt ó³ÝÏ³ó³Í x 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ μ-Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ ¿: ¾ÛÉ»ñÇ ¨ ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ »Ý (Q = Z): ºÃ» å³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù Q Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ýß³Ý³Ï»Éª I(k) = |1 + 1 +{z¢ ¢ ¢ + 1} = k ± 1; k

Ýß³ÝÁ ãß÷áÃ»É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï: 13 ±

Ãí³Ï»ñå

k 2 N;

μ³½ÙáõÃÛ³Ý

μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³å³ Ïëï³Ý³Ýù I : N ! Q ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý ® : N ! N ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Éáí μ® : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª μ® (n) = ®(n) ± 1; Ïëï³Ý³Ýù ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³: Æñáù, μ® (1) = 1 ¨ »Ã» (n; m) = 1, ³å³ μ® (n ¢ m) = ®(n ¢ m) ± 1 = (®(n) ¢ ®(m)) ± 1 = = (®(n) ± 1) ¢ (®(m) ± 1) = μ® (n) ¢ μ® (m) :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» áñå»ë ® í»ñóÝ»Ýù ¾ÛÉ»ñÇ ' ýáõÝÏóÇ³Ý, ³å³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý μ' ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÏáãíÇ ¾ÛÉ»ñÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³: ºÃ» Q-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ < 0; »ñμ n-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p μ(n) = å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³ , : 1; Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ,

³å³ Ï³éáõóí³Í μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ: ²í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ûñÇÝ³ÏÁ. ë¨»é»Ýù áñ¨¿ a 2 Q ï³ññ ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù μa : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª 1; »ñμ n = 1; > > > > ak ; »ñμ n = p1 ¢ ¢ ¢ pk ; áñï»Õ μáÉáñ pi Ãí»ñÁ < μa (n) = ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý, > > > 0; »ñμ n-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p > : å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³ : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í μa : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ (ï»ë Ã»áñ»Ù 6.3-Ç ³å³óáõóáõÙÁ): μa -Çó, a = 1 ¹»åùáõÙ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ý³Ëáñ¹ ûñÇÝ³ÏÁ, ÇëÏ Q = Z ¨ a = ¡1 ¹»åùáõÙª ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý: ²Ûë å³ï×³éáí, μa : N ! Q ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý μÝ³Ï³Ý ¿ ³Ýí³Ý»É ØÛáμÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ýáõÝÏóÇ³: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.5: ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ : ºÃ» μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ , ³å³ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 256

1) μ(1) = 1; 2) ºÃ» a1 ; a2 ; : : : ; am 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ μ(a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ am ) = μ(a1 ) ¢ μ(a2 ) ¢ ¢ ¢ μ(am );

áñï»Õ m > 2: ²å³óáõóáõÙ: Àëï ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª μ(1) = 1: 2) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 9.3: ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ : àñå»ë½Ç μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁª 1 ± ) μ(1) = 1: 2 ± ) n = p®1 1 ¢ p®2 2 ¢ ¢ ¢ p®mm Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ®2 ®m μ(n) = μ (p® 1 ) ¢ μ (p2 ) ¢ ¢ ¢ μ (pm ) :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù a; b 2 N ¨ (a; b) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, a, b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ®k a = p® 1 ¢ ¢ ¢ pk ; ®

k+1 s ¢ ¢ ¢ p® b = pk+1 s ;

áñï»Õ pi 6= pj , i; j = 1; : : : ; s, i 6= j: ²ÛÅÙ 2± ) å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ¡ ®k+1 ¢ ®1 ®k ®s ®s μ (a ¢ b) = μ (p® 1 ¢ ¢ ¢ ps ) = μ (p1 ) ¢ ¢ ¢ μ (pk ) ¢ μ pk+1 ¢ ¢ ¢ μ (ps ) = ¢ ¡ ®k+1 ®k ®s = μ(a) ¢ μ(b); = μ (p® 1 ¢ ¢ ¢ pk ) ¢ μ pk+1 ¢ ¢ ¢ ps

êï³óí³Í Ñ³Ûï³ÝÇßÁ ï³ÉÇë ¿ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ï³éáõóÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ »Õ³Ý³ÏÁ: àñ¨¿ μ : N ! Q ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ë å»ïù ¿ ë³ÑÙ³Ý»É μ(1) = 1, ³å³

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»É ¡ ¢ μ pk -Áª áñå»ë Q Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ï³ññ: àñÇó ®t Ñ»ïá, ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ n = p® 1 ¢ ¢ ¢ pt , ë³ÑÙ³ÝáõÙ »Ýùª ®t μ(n) = μ (p® 1 ) ¢ ¢ ¢ μ (pt ) : Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 9.3-Ç, μ-Ý ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³: Ð³çáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ ïñí³Í ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÙÇçáóáí ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ:

¿ ÁÝÓ»éáõÙ ëï³Ý³É Ýáñ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.6: ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ : ºÃ» μ1 ; μ2 ; : : : ; μn : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ »Ý, ³å³ μ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª μ(x) = μ1 (x) ¢ μ2 (x) ¢ ¢ ¢ μn (x);

x 2 N;

¨ë ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ: ²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ºÃ» n = 2, ³å³ μ(1) = μ1 (1) ¢ μ2 (1) = 1 ¢ 1 = 1: ²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» (a; b) = 1, ³å³ μ(a ¢ b) = μ1 (a ¢ b) ¢ μ2 (a ¢ b) = μ1 (a)μ1 (b) ¢ μ2 (a)μ2 (b) = = μ1 (a)μ2 (a) ¢ μ1 (b)μ2 (b) = μ(a) ¢ μ(b);

Î³ï³ñ»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝ ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù μ(x) = μ1 (x) ¢ ¢ ¢ μn (x), x 2 N, ýáõÝÏóÇ³Ý: Àëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý μ0 (x) = μ1 (x) ¢ ¢ ¢ μn¡1 (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ, áõëïÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ¤ μ(x) = μ 0 (x) ¢ μn (x) ýáõÝÏóÇ³Ý: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.7: ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ a 2 Q: ºÃ» d1 ; : : : ; dk Ãí»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý ¨ n = p®1 1 ¢ ¢ ¢ p®mm , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í μ : N ! Q ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñª ®m μ (d1 )+¢ ¢ ¢+μ (dk ) = (1 + μ (p1 ) + ¢ ¢ ¢ + μ (p® 1 )) ¢ ¢ ¢ (1 + μ (pm ) + ¢ ¢ ¢ + μ (pm )) :

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 258

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ØÛáμÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª μa (d1 ) + ¢ ¢ ¢ + μa (dk ) = (1 + a)m : ²ÛëåÇëáíª

μa (d) =

n=d;d>0

1; »Ã» n = 1; ®m (1 + a)m ; »Ã» n > 1 ¨ n = p® 1 ¢ ¢ ¢ pm :

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 9.7-Ç ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

³å³óáõóÙ³Ý

ëÏ½μÝ³Ù³ëÇ ¤

Ð³çáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ù»ç ÝßíáõÙ ¿ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.7Ç ÏÇñ³éáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ¹»åù: ò³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ¿(n)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, ÇëÏ ¾(n)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù nÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ: êï³ÝáõÙ »Ýù ¿ : N ! N ¨ ¾ : N ! N Ñ³Ýñ³Ñ³Ûï ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ: úñÇÝ³Ïª ¿ (1) = 1; ¿ (2) = 2; ¿ (3) = 2; ¿ (4) = 3; ¾(1) = 1; ¾(2) = 1 + 2 = 3; ¾(3) = 1 + 3 = 4; ¾(4) = 1 + 2 + 4 = 7; : : : ®m Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.8: n = p® Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùμ 1 ¢ ¢ ¢ pm ûÅïí³Í ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª

¿ (n) = (1 + ®1 ) (1 + ®2 ) ¢ ¢ ¢ (1 + ®m ) ; ¾(n) =

1 +1 2 +1 p® p®m +1 ¡ 1 ¡ 1 p® ¡1 ¢ 2 ¢¢¢ m : p1 ¡ 1 p2 ¡ 1 pm ¡ 1

²å³óáõóáõÙ: ê³ÑÙ³Ý»Ýù μ1 : N ! N ¨ μ2 : N ! N ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª μ1 (x) = 1 ¨ μ2 (x) = x ó³ÝÏ³ó³Í x μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μ1 , μ2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ »Ý ¨ »Ã» d1 ; : : : ; dk Ãí»ñÁ n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ û·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.7-Çó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¿ (n) = k = 1 + 1{z ¢ ¢ ¢ + 1} = μ1 (d1 ) + ¢ ¢ ¢ + μ1 (dk ) = | k

®m = (1 + μ1 (p1 ) + ¢ ¢ ¢ + μ1 (p® 1 )) ¢ ¢ ¢ (1 + μ1 (pm ) + ¢ ¢ ¢ + μ1 (pm )) =

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

= (1 + ®1 ) ¢ ¢ ¢ (1 + ®m ) ; ¾(n) = d1 + ¢ ¢ ¢ + dk = μ2 (d1 ) + ¢ ¢ ¢ + μ2 (dk ) =

®m = (1 + μ2 (p1 ) + ¢ ¢ ¢ + μ2 (p® 1 )) ¢ ¢ ¢ (1 + μ2 (pm ) + ¢ ¢ ¢ + μ2 (pm )) = ®m = (1 + p1 + ¢ ¢ ¢ + p® 1 ) ¢ ¢ ¢ (1 + pm + ¢ ¢ ¢ + pm ) =

1 +1 p®m +1 ¡ 1 p® ¡1 ¢¢¢ m ; p1 ¡ 1 pm ¡ 1 ¤

¡ ¢ úñÇÝ³Ï, ¿ (120) = ¿ 23 ¢ 31 ¢ 51 = (1 + 3)(1 + 1)(1 + 1) = 16; 24 ¡ 1 32 ¡ 1 52 ¡ 1 ¢ ¢ = 15 ¢ 4 ¢ 6 = 360: ¾(120) = 2¡1 3¡1 5¡1

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 9.4: ¿ (p® ) = ® + 1, ¾ (p® ) =

p®+1 ¡ 1 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, p¡1

®1 ®m ®m ¿ (p® 1 ¢ ¢ ¢ pm ) = ¿ (p1 ) ¢ ¢ ¢ ¿ (pm ) ;

®1 ®m ®m ¾ (p® 1 ¢ ¢ ¢ pm ) = ¾ (p1 ) ¢ ¢ ¢ ¾ (pm ) ;

³ÛëÇÝùÝ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 9.4-Ç, ¿ ¨ ¾ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ: ¤ Ð»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ ÙÇÝã ³ÛÅÙ ãÇ ÉáõÍí³Í. ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ñ¹Ûáù ³Ýí»ñç Ãíáí μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ (m; n) ½áõÛ·»ñ, áñ '(m) = ¾(n): úñÇÝ³Ïª '(780) = ¾(105): n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³ï³ñÛ³É, »Ã» ¾(n) = 2n: úñÇÝ³Ï, 6-Á Ï³ï³ñÛ³É ÃÇí ¿, áñáíÑ»ï¨ ¾(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 ¢ 6: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù Ó¨áí Ý»ñÏ³Û³óí³Í ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ §êÏ½μáõÝùÝ»ñ¦ ³ßË³ïáõÃÛ³Ý Ù»ç (·Çñù IX): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.9 (²ñËÇ¹³ë, ¾íÏÉÇ¹»ë): ºÃ» 2n ¡1 ÃÇíÁ å³ñ½ ¿ , ³å³ 2n¡1 (2n ¡ 1) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ï³ï³ñÛ³É ÃÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: 2n¡1 -Ç μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ýª 1; 2; 22 ; : : : ; 2n¡1 Ãí»ñÁ, ÇëÏ 2n ¡ 1 ÃíÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ýª 1, 2n ¡ 1 Ãí»ñÁ, ù³ÝÇ áñ (2n ¡ 1)-Á å³ñ½ ¿: ²ÛëåÇëáí, 2n¡1 ¨ 2n ¡1 Ãí»ñÇ ÙÇ³Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç: ²ÛëÇÝùÝ ³Û¹ Ãí»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, áñÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇóª 2n¡1 x + (2n ¡ 1) y = 1;

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 260

»Ã» x = 2, y = ¡1: Ð»ï¨³μ³ñª ¢ ¢ ¡ ¡ ¾ 2n¡1 (2n ¡ 1) = ¾ 2n¡1 ¾ (2n ¡ 1) = ¢ ¡ = 1 + 2 + 22 + ¢ ¢ ¢ + 2n¡1 ((2n ¡ 1) + 1) = =

2n ¡ 1 n ¢ 2 = (2n ¡ 1) 2n = 2 ¢ 2n¡1 (2n ¡ 1) : 2¡1

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.9-Ç ³å³óáõóáõÙÇó Ùáï 2000 ï³ñÇ Ñ»ïá È. ¾ÛÉ»ñÇ ÏáÕÙÇó ³å³óáõóí»É ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ï³¹³ñÓ åÝ¹áõÙÁ: Â»áñ»Ù 9.9 (¾ÛÉ»ñ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ m > 0 ½áõÛ· Ï³ï³ñÛ³É ÃÇí áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª 2n¡1 (2n ¡ 1) ; n > 2;

áñï»Õ 2n ¡ 1 ÃÇíÁ å³ñ½ ¿ :

²å³óáõóáõÙ:¡ ¸Çóáõù m = 2k ¢ t, áñï»Õ k; t 2 N, k > 1 ¨ t-Ý Ï»Ýï ¿: ¢ k Ð»ï¨³μ³ñ, 2 ; t = 1 ¨ ¢ ¡ ¢ ¡ ¾(m) = ¾ 2k ¢ t = ¾ 2k ¢ ¾(t) =

¢ ¡ ¢ ¡ 2k+1 ¡ 1 ¢ ¾(t) = 2k+1 ¡ 1 ¾(t); = 1 + 2 + 22 + ¢ ¢ ¢ + 2k ¢ ¾(t) = 2¡1 ¡ ¢ ø³ÝÇ áñ m-Á Ï³ï³ñÛ³É ¿, ³å³ ¾(m) = 2m = 2 2k ¢ t = 2k+1 ¢ t: àõëïÇª ¡ k+1 ¢ ¡ 1 ¾(t) = 2k+1 ¢ t ¢ ¡ ¨, ù³ÝÇ áñ 2k+1 ¡ 1; 2k+1 = 1, ³å³ ¾(t)-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ 2k+1 -Ç íñ³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4), ³ÛëÇÝùÝª ¾(t) = 2k+1 ¢ l; ²ÛëåÇëáí, Ï³Ù

l 2 N;

¢ ¡ k+1 ¡ 1 ¢ 2k+1 ¢ l = 2k+1 ¢ t ¡ k+1 ¢ ¡1 l =t:

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ l = 1: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù l > 1: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, û·ïí»Éáí í»ñçÇÝ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ t-Ý ûÅïí³Í ¿ ³éÝí³½Ý »ñ»ù ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ¹ñ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñáíª 1, t, l: Ð»ï¨³μ³ñª ¾(t) > 1 + t + l; ê³Ï³ÛÝ ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª ¡ ¢ ¾(t) = 2k+1 ¢ l = 2k+1 ¡ 1 l + l = t + l;

Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëáí l = 1,

t = 2k+1 ¡ 1; ¾(t) = 2k+1 = t + 1; ³ÛëÇÝùÝª t-Ç ÙÇ³Ï μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 1 ¨ t Ãí»ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, t = 2k+1 ¡ 1 ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ÇëÏ ¡ ¢ ¤ m = 2k ¢ t = 2k 2k+1 ¡ 1 : ²ÛëåÇëáí, ½áõÛ· Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñÁ Ï³åí³Í »Ý Mn = 2n ¡ 1 ï»ëùÇ å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ»ï, áñáÝó 7-ñ¹ ·ÉËáõÙ Ù»Ýù ³Ýí³Ý»É »Ýù Ø»ñë»ÝÝÇ Ãí»ñ: ºí ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ »Ý ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 38 Ñ³ï ½áõÛ· Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñ, áñáÝù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý 38 Ñ³ï Ñ³ÛïÝÇ Ø»ñë»ÝÝÇ å³ñ½ Ãí»ñÇÝ: ²é³çÇÝ 5 ½áõÛ· Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñÝ »Ýª 6, 28, 496, 8128 ¨ 33550336 Ãí»ñÁ, áñáÝù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý n = 2; 3; 5; 7; 13 å³ñ½ Ãí»ñÇÝ: ²é³çÇÝ 4 Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñÁ Ñ³ÛïÝÇ »Ý »Õ»É ¹»é¨ë ³ÝïÇÏ ³ßË³ñÑáõÙ (Nichomachus, Introductio Arithmeticae): ØÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ í»ñç³íáñ ¿ Ã» ³Ýí»ñç μáÉáñ Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ: ØÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ñ¹Ûáù áñ¨¿ Ï»Ýï Ï³ï³ñÛ³É ÃÇí: ²Ûë ËÝ¹ÇñÝ ³ÛÅÙ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³Ñ³ÛïÝÇ ãÉáõÍí³Í åñáμÉ»ÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: Î³ï³ñÛ³É ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ»ï Ï³åí³Í Ýß»Ýù Ý³¨, áñ ÙÇÝã ³ÛÅÙ Ñ³ÛïÝÇ ã¿ áõÝÇ ³ñ¹Ûáù ¾(n) = 2n+ 1 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áñ¨¿ μÝ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ (n 2 N):

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 262

9.5. üáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ¸ÇñÇËÉ»Ç ³ñï³¹ñÛ³É: ØÛáμÇáõëÇ Ã»áñ»ÙÁ ßñçÙ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: Î³ë»Ýù, áñ Q-Ý ûÅïí³Í ¿ ¡1-áí Ï³Ùª ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ 1 + x = 0, áñï»Õ 0-Ý ¨ 1-Á Q-Ç ½ñáÝ ¨ Ù»ÏÝ »Ý14 : ²Ûë Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ÉáõÍáõÙÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª x = ¡1: ²ÛëåÇëáíª 1 + (¡1) = 0: úñÇÝ³Ï, Zn Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª ¡1 = [n ¡ 1]: ºÃ» ¡1 2 Q, ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáí ¡x = (¡1) ¢ x ¨ x ¡ y = x + (¡y);

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª

x; y 2 Q;

a(x ¡ y) = a(x + (¡1)y) = ax + a(¡1)y = ax + (¡1)ay = ax ¡ ay; x ¡ x = x + (¡x) = x + (¡1)x = 1x + (¡1)x = (1 + (¡1))x = 0x = 0;

áñï»Õ a; x; y 2 Q: ²ÛëÇÝùÝ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª a(x ¡ y) = ax ¡ ay ¨ x ¡ x = 0: ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ûÕ³ÏÝ»ñ, áñáÝó áõëáõÙÝ³ëÇñáõÃÛáõÝÁ Ïß³ñáõÝ³ÏíÇ ·ÉáõË 19-áõÙ: ºÃ» Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ñ»ï¨Û³É ¹ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ª 1; »ñμ n = 1; > > > k > (¡1) ; »ñμ n = p1 ¢ ¢ ¢ pk ; áñï»Õ μáÉáñ pi Ãí»ñÁ < å³ñ½ »Ý ¨ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ, ¹(n) = > > > 0; »ñμ n-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p > : å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³ : ²ÛëåÇëáí, ¹ = μa , áñï»Õ a = ¡1:

x-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÝ ¿³Ï³Ý ã¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» Q = Z, ³å³ ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï (·ÉáõË 6): ºÃ» Q = Z2 , ³å³ ¡1 = 1, áñáíÑ»ï¨ 1 + 1 = 0, ¨ ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ûë ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª < 0; »ñμ n-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p ¹(n) = å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ íñ³ , : 1; Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ: ¸Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 1) ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ¹(n ¢ m) = ¹(n) ¢ ¹(m); áñï»Õ (n; m) = 1, n; m 2 N (ï»ë Ã»áñ»Ù 6.3-Ç ³å³óáõóáõÙÁ); 2) ºÃ» d1 ; d2 ; : : : ; dk Ãí»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ¹(d1 ) + ¹(d2 ) + ¢ ¢ ¢ + ¹(dk ) = 0 (ï»ë Ã»áñ»Ù 9.8-Ç ³å³óáõóáõÙÁ ¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.7-Á): ²ÛëåÇëáíª ½ X 1; »Ã» n = 1; ¹(d) = 0; »Ã» n > 1 : n=d;d>0

Àëï áñáõÙ, ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ¹ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý (ï»ë Ã»áñ»Ù 9.13-Á): ¸Çóáõù Q-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ºñÏáõ f : N ! Q, g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ¸ÇñÇËÉ»Ç f ± g : N ! Q ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ³n´ X ; n 2 N; f (d)g f ± g(n) = d n=d;d>0

³ÛëÇÝùÝª ·áõÙ³ñÁ Ñ³ßííáõÙ ¿ Áëï n-Ç μáÉáñ d1 ; : : : ; dk μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇª μ ¶ μ ¶ μ ¶ n n n f ± g(n) = f(d1 )g + f (d2 )g + ¢ ¢ ¢ + f (dk )g ; d1 d2 dk

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 264

Ï³Ù Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»Éª

f ± g(n) =

d1 ¢ d2 = n d1 > 0; d2 > 0

f (d1 )g(d2 ) = g ± f (n) :

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨ ¸ÇñÇËÉ»Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ)ª (f ±g)±h = f ±(g ±h), áñáíÑ»ï¨ X (f ± g) ± h(n) = f ± (g ± h)(n) = f (d1 )g(d2 )h(d3 ) d1 d2 d3 = n d1 > 0; d2 > 0; d3 > 0

ó³ÝÏ³ó³Í f; g; h : N ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ (ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ) Ñ³Ù³ñ: Ü»ñÙáõÍ»Ýù I0 ; I1 : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª I1 (n) = 1; n 2 N; ½ 1; »Ã» n = 1; I0 (n) = 0; »Ã» n > 1;

I0 ýáõÝÏóÇ³Ý »ñμ»ÙÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ¸Çñ³ÏÇ ýáõÝÏóÇ³ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ±1 -áí: ò³ÝÏ³ó³Í f : N ! Q ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª f ± I0 = I0 ± f = f; áñÁ μËáõÙ ¿ ¸ÇñÇËÉ»Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó:

È»ÙÙ 9.2: ºÃ» Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ³å³ ¹ ± I1 = I1 ± ¹ = I0 ;

áñï»Õ ¹ : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ : ²å³óáõóáõÙ: Æñáùª ¹±I1 (n) =

n=d;d>0

¹(d) =

1; »Ã» n = 1; = I0 (n) : 0; »Ã» n > 1

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 9.10 (ØÛáμÇáõëÇ Ã»áñ»ÙÁ (μ³Ý³Ó¨Á) ßñçÙ³Ý Ï³Ù Ñ³Ï³¹³ñÓÙ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É): ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ: f; g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ f = g ± I1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ g = f ± ¹: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Íª ³n´ ³n´ X X X = : f (n) = g(d) Ã! g(n) = f (d)¹ ¹(d)f d d n=d;d>0

n=d;d>0

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» f = g ± I1 , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 9.2-Ç ÏáõÝ»Ý³Ýùª f ± ¹ = (g ± I1 ) ± ¹ = g ± (I1 ± ¹) = g ± I0 = g; ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» g = f ± ¹, ³å³ ¤

g ± I1 = (f ± ¹) ± I1 = f ± (¹ ± I1 ) = f ± I0 = f :

Â»áñ»Ù 9.11: ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ : ºÃ» f; g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó F = f ± g ¸ÇñÇËÉ»Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (m; n) = 1, ³å³ m ¢ n=d Ã! d = d1 ¢ d2 ; áñï»Õ d > 0, d1 > 0, d2 > 0, m=d1 , n=d2 , (d1 ; d2 ) = 1, Ð»ï¨³μ³ñª F (m ¢ n) = f ± g(m ¢ n) =

f(d1 d2 )g

m=d1 ;n=d2

m=d1

f (d1 )g

mn=d

f (d)g

³ mn ´ d

m n ; d1 d2

mn d1 d2

¶ μ ¶ m A@X n A f(d2 )g = F (m)F (n) : d1 d2

m=d1 ;n=d2

n=d2

f (d1 )f (d2 )g

= 1:

m d1

¶ μ ¶ n g = d2 ¤

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 266

Â»áñ»Ù 9.12: ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, f : N ! Q, ÇëÏ X F (n) = f (d); n=d;d>0

²Û¹ ¹»åùáõÙ, f -Á ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ F -Á ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» f -Á ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿, ³å³ ¹Çï³ñÏ»Éáí Ý³¨ I1 (n) = 1, n 2 N, ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý, ÏáõÝ»Ý³Ýùª F = f ± I1 , áñáíÑ»ï¨ ³n´ X X X F (n) = = f ±I1 (n); n 2 N; f (d) = f (d)¢1 = f (d)¢I1 d n=d;d>0

n=d;d>0

Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 9.11-Ç, F -Á ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» F = f ± I1 ¨ F -Á ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 9.10-Çª f = F ± ¹, áñï»Õ ¹ ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Áëï Ã»áñ»Ù 9.11-Ç, f-Á ÏÉÇÝÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ: ¤ Â»áñ»Ù 9.13 (ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý

í»ñ³μ»ñÛ³É): ºÃ» Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ¨ g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ½ X 1; »Ã» n = 1; g(d) = = I0 (n) 0; »Ã» n > 1 n=d;d>0

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ g(n) = ¹(n) μáÉáñ n 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª g = ¹: ²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 9.10-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ³n´ X g(n) = = ¹(n) : ¹(d)I0 d n=d;d>0

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 9.5: ºÃ» Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ³å³ g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ ØÛáμÇáõëÇ ¹ : N ! Q Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ÛÇÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ X g(d) = I0 (n) n=d;d>0

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

9.6. ²ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñ ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿: ²ÙμáÕç Ãí»ñÇ fxn g = fx0 ; x1 ; : : : ; xn ; : : :g Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ xn ´ xn¡1 (mod pn ) ;

n > 1;

ÏáãíáõÙ ¿ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí: ºñÏáõ fxn g ¨ fx0n g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ª fxn g = fx0n g, »Ã» ¡ ¢ xn ´ x0n mod pn+1 ; n > 0 :

Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ïñí³Í »ñÏáõ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ª fxn g 6= fx0n g: ²Ûë »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³Ýí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) fxn g = fxn g, (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ) μ) fxn g = fyn g ! fyn g = fxn g, (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³Ý ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ) ·)fxn g = fyn g, fyn g = fzn g ! fxn g = fzn g: (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) êáíáñ³μ³ñ μáÉáñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Op -áí: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óíáõÙ ¿ fx; x; : : : ; x; : : :g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ fxg -áí: ºÃ» x 6= y, ³å³ fxg 6= fyg, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝùª x ´ y(mod pn ) μáÉáñ n > 1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: àõëïÇ x ¡ y=pn , áñï»Õ μ³í³Ï³Ý Ù»Í n-»ñÇ ¹»åùáõÙª jx ¡ yj < pn ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 7± , ·ÉáõË 1), x ¡ y = 0 Ï³Ù x = y: ²ÛëåÇëáí, μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É (¹Çï»É) áñå»ë μáÉáñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Op μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù³ëª Z μ Op ó³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ ¹»åùáõÙ:

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 268

²ÙμáÕç Ãí»ñÇ ëáíáñ³Ï³Ý Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ íñ³ª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: fxn g ¨ fyn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É »Ý ÏáãíáõÙ fxn + yn g ¨ fxn yn g Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ fxn g ¨ fyn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏáãíáõÙ »Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñ ¨ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ³ÙμáÕç p³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñ »Ý ¨ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª xn + yn ´ xn¡1 + yn¡1 (mod pn ), xn yn ´ xn¡1 yn¡1 (mod pn ), fxn + yn g = fx0n + yn0 g ¨ fxn yn g = fx0n yn0 g, »Ã» fxn g = fx0n g ¨ fyn g = fyn0 g: x0n¢(mod pn+1 ) Æñáù, »Ã» fxn g = fx0n g ¨ fyn g = fyn0 g, ³å³ ¡ xn ´n+1 n+1 ¨ xn yn ´ ¨ yn ¡´ yn (mod¢p ): àõëïÇ, xn + yn ´ xn + yn mod p x0n yn0 mod pn+1 μáÉáñ n > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáíª fxn + yn g = fx0n + yn0 g ¨ fxn yn g = fx0n yn0 g

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý: ²ÛÝáõÑ»ï¨ª (xn + yn ) ¡ (xn¡1 + yn¡1 ) = (xn ¡ xn¡1 ) + (yn ¡ yn¡1 ), xn yn ¡ xn¡1 yn¡1 = xn yn ¡ xn¡1 yn + xn¡1 yn ¡ xn¡1 yn¡1 = = yn (xn ¡ xn¡1 ) + xn¡1 (yn ¡ yn¡1 ) :

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ý³¨, áñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý »Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ý, Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛ³Ùμ, ûÅïí³Í »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ f0g ¨ f1g ÙÇ³íáñÝ»ñáí: ÀÝ¹ áñáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ fx0n g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí, áñ fxn g + fx0n g = f0g : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ x0n = ¡xn : fx0n g-Á ÏáãíáõÙ ¿ fxn g-Ç Ñ³Ï³¹Çñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡fxn g-áí: ²ÛëåÇëáíª ¡fxn g = f¡xn g: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ¡(¡®) = ®, (¡®)¯ = ®(¡¯) = ¡(®¯), áñï»Õ ®; ¯ 2 Op : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ëáíáñ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ³ÙμáÕç p³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³Å³ÝÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ. Ï³ë»Ýù áñ ® = fxn g ³ÙμáÕç

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¯ = fyn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ íñ³, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ° = fzn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí, áñ ® = ¯ ¢ °: ²Ûë ¹»åùáõÙ ®-Ý ÏáãíáõÙ ¿ μ³Å³Ý»ÉÇ, ÇëÏ ¯-Ý (ÇÝãå»ë Ý³¨ °-Ý) μ³Å³Ý³ñ³ñ: ²ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ 1-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: Â»áñ»Ù 9.14: àñå»ë½Ç ® = fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ x0 6´ 0(modp): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, x 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x 6´ 0(mod p):

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù ® = fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ¯ = fyn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí, áñ ® ¢ ¯ = 1, ³ÛëÇÝùÝª xn yn ´ 1 (mod pn ) ;

n = 0; 1; : : : :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, x0 y0 ´ 1 (mod pn ) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ x0 6´ 0 (mod pn ): ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ Ù»çª x0 ´ 0 (mod p): ²ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª xn ´ xn¡1 (mod pn ) ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: àõëïÇª x1 ´ x0 (mod p) ; x2 ´ x1 (mod p) ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ xn ´ xn¡1 (mod p) :

Ð»ï¨³μ³ñ, xn ´ x0 (mod p) ¨ ù³ÝÇ áñ x0 6´ 0 (mod p), ³å³ 0 (mod p) ¨ (xn ; p) = 1: àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2-Ç, ¢ ¡xn 6´ n+1 = 1, ³ÛëÇÝùÝ (Ã»áñ»Ù 3.1) ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ yn xn ; p ¨ tn+1 ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ xn yn + pn+1 tn+1 = 1;

³ÛëÇÝùÝª

xn yn ¡ 1 = pn+1 (¡tn+1 ) ; ¢ ¡ xn yn ´ 1 mod pn+1 ;

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 270

áñï»ÕÇóª xn¡1 yn¡1 ´ 1 (mod pn )

xn yn ´ 1 (mod pn ) :

²ÛëåÇëáí, xn yn ´ xn¡1 yn¡1 (mod pn ) ¨ ù³ÝÇ áñ xn ´ xn¡1 (mod pn ) xn yn ¡ xn¡1 yn¡1 = xn yn ¡ xn yn¡1 + xn yn¡1 ¡ xn¡1 yn¡1 = = xn (yn ¡ yn¡1 ) + yn¡1 (xn ¡ xn¡1 );

³å³ yn ´ yn¡1 (mod pn ), ³ÛëÇÝùÝ fyn g Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ p-³¹ÇÏ ÃÇí ¨ fxn g ¢ fyn g = 1: ¤ Â»áñ»Ù 9.15: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 6= 0 ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ ® = pm ¢ "

ï»ëùáí, áñï»Õ E -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿ , ÇëÏ m > 0:

²å³óáõóáõÙ: Ü»ñÏ³Û³óÙ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» ®-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿, ³å³ ® = pm ¢ " Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßïª m = 0 ¨ " = ® ¹»åùáõÙ: ¸Çóáõù ® = fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿, ³ÛëÇÝùÝ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 9.14-Ç , x0 ´ 0 (mod p): ø³ÝÇ áñ Ý³¨ ® 6= 0, ³å³ ³ÙμáÕç ¡ p-³¹ÇÏ¢ Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ý³Ó³ÛÝª xn ´ 0 mod pn+1 μ³Õ¹³ïáõÙÁ ï»ÕÇ ãÇ áõÝ»Ý³ μáÉáñ n > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù m-Á ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿, áñÇ Ñ³Ù³ñ ¢ ¡ xm 6´ 0 mod pm+1 : Ð»ï¨³μ³ñª

xm¡1 ´ 0 (mod pm )

¨ ù³ÝÇ áñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª xm+s ´ xm¡1 (mod pm ) ; ³å³ xm+s ´ 0 (mod pm ) ;

s > 0;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝ xm+s -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ pm -Ç íñ³: ¸Çï³ñÏ»Éáí ³ÙμáÕç ÃÇíÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª

xm+s = ys pm

¢ ¡ pm ys ¡ pm ys¡1 = xm+s ¡ xm+s¡1 ´ 0 mod pm+s ; pm (ys ¡ ys¡1 ) = pm+s ¢ ts ;

ts 2 Z;

³ÛëÇÝùÝ ys ´ ys¡1 (mod ps ), s > 0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ fys g = " Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³ÙμáÕç p-³Ï³Ý ¢ ¡ xm xm ÃÇí: ø³ÝÇ áñ y0 = m ¨ xm 6´ 0 mod pm+1 , ³å³ m 6´ 0 (mod p), p p ³ÛëÇÝùÝ y0 6´ 0 (mod p): Ð»ï¨³μ³ñ, Ã»áñ»Ù 9.14-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, E-Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí: Æ í»ñçá, ¡ ¢ pm ys = xm+s ´ xs mod ps+1 μ³Õ¹³ïáõÙÇó μËáõÙ ¿

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

pm ¢ " = ®

Ü»ñÏ³Û³óÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® = fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÝ áõÝÇ Ý³¨ ® = pk ¢ ± Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ, áñï»Õ ±-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿, ÇëÏ k > 0: ºÃ» ± = fzn g, ³å³ ª © fpm ys g = pk zs ¨ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý

Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

¡ ¢ pm ys ´ pk zs mod ps+1 ; s > 0 : ¡ ¢ ¨ pm ys+k ´ pk zm mod pm+1 ´ Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, pm ym ¡ ¢ k s+k+1 m : ê³Ï³ÛÝ ® = p ¢ " Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï, p zs+k mod p m-Á ÁÝïñí»ó áñå»ë ¢ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ¡ xm 6´ 0 mod pm+1 : ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, »ñÏáõ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó áõÝ»Ýùª ¡ ¢ pm ym ´ xm mod pm+1 : ¢ ¡ ²ÛëåÇëáí, pk zm 6´¢0 mod pm+1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª k 6 m: ²ÛÅÙ pm ys+k ´ ¡ pk zs+k mod ps+k+1 μ³Õ¹³ïáõÙÁ Ïñ×³ï»Éáí pk -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢ pm¡k ys+k ´ zs+k mod ps+1 :

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 272

ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª

¡ ¢ zs+k ´ zs mod ps+1 ;

¨ Ñ»ï¨³μ³ñª

¡ ¢ pm¡k ys+k ´ zs mod ps+1 ;

áñï»ÕÇó m ¡ k > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý·»óÝáõÙ ¿ zs ´ 0(mod p), s > 0 μ³Õ¹³ïÙ³ÝÁ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 9.14-ÇÝ: ²ÛëåÇëáí, m ¡ k = 0 ¨ m = k: àñÇó Ñ»ïá, í»ñáÑÇßÛ³É ¡ ¢ pm ys+k ´ pk zs+k mod ps+k+1

μ³Õ¹³ïáõÙÇó Ñ³Ý·áõÙ »Ýù

¡ ¢ ys+k ´ zs+k mod ps+1

μ³Õ¹³ïÙ³ÝÁ, ÇëÏ ³ÛÝáõÑ»ï¨ (k = 0 ¹»åùáõÙ) Ý³¨ ¡ ¢ ys ´ zs mod ps+1

μ³Õ¹³ïÙ³ÝÁ, áñÁ Ñ»Ýó Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ " = ± Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Â»áñ»Ù 9.16: ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® 6= 0 ¨ ¯ 6= 0, ³å³ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ m ¨ k μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ® = pm ";

¯ = pk ±;

áñï»Õ " ¨ ± ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ "0 ¨ ± 0 ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñ, áñ " ¢ "0 = 1 ¨ ± ¢ ± 0 = 1: ºÃ» ³ÛÅÙ ® ¢ ¯ = 0, ³å³ pm " ¢ pk ± = 0; pm+k "± ¢ "0 ± 0 = 0 ¢ "0 ± 0 ; pm+k ¢ ""0 ¢ ±± 0 = 0; pm+k = 0;

áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ª áñå»ë »ñÏáõ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 9.16-Á: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.10: àñå»ë½Ç áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® = pm ¢ " ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ μ³Å³ÝíÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¯ = pn ¢ ± ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ íñ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ m > n (³Ûëï»Õ "-Á ¨ ± -Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñ »Ý):

²å³óáõóáõÙ: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ® = pm ¢ ", ¯ = pn ¢± ¨ m > n, ³å³ ® = pn ¢ ± ¢ pm¡n ¢ " ¢ ± 0 = ¯ ¢ °; áñï»Õ ± ¢ ± 0 = 1, ÇëÏ ° = pm¡n ¢ " ¢ ± 0 2 Op : ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» ® = ¯ ¢ °, ³å³ ° 6= 0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ° = pk ¢ ¾, áñï»Õ ¾-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ÇëÏ k > 0 (Ã»áñ»Ù 9.15): Ð»ï¨³μ³ñ, pm ¢ " = pn ± ¢ pk ¿ = pn+k ¢ ±¿ ¨ ³ÛÅÙ Ã»áñ»Ù 9.15-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇó ÏμËÇ m = Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»ÕÇó ¿Éª m > n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

n + k ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.11: àñå»ë½Ç áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® = fxn g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ μ³Å³ÝíÇ pk -Ç íñ³, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ¢ ¡ xn ´ 0 mod pn+1 ; n = 0; 1; : : : ; k ¡ 1 :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® 6= 0, ³å³ Ã»áñ»Ù 9.15-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ® = pm ¢ ", áñï»Õ m-Á ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ áã μ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙμáÕç ÃÇíÝ ¿, áñÇ Ñ³Ù³ñª ¢ ¡ xm 6´ 0 mod pm+1 :

ØÛáõë ÏáÕÙÇó, Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, áñå»ë½Ç ®-Ý μ³Å³ÝíÇ pk -Ç íñ³, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ m > k, ³ÛëÇÝùÝª x0 ´ 0 (mod p) ; ¢ ¡ x1 ´ 0 mod p2 ;

¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢ ¡ xk¡1 ´ 0 mod pk :

²ÝóÝ»Ýù »ñÏáõ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³Õ¹³ïÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÇÝ: Ü³Ë Ý»ñÙáõÍ»Ýù »ñÏáõ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý (Ñ³ÝÙ³Ý) ·³Õ³÷³ñÁ, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ® ¡ ¯ = ® + (¡¯) :

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 274

²ÛëåÇëáí, ¨

®¡® = 0 ®(¯ ¡ °) = ®¯ ¡ ®° :

¸Çóáõù ïñí³Í »Ý ®, ¯, ° ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÁ, áñï»Õ ° 6= 0: ® ¨ ¯ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï ° Ñ»ÝùÇ (Ùá¹áõÉÇ), »Ã» ® ¡ ¯ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ °-Ç íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·ñíáõÙ ¿ª ® ´ ¯(mod °) :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í §´¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿: [®] = fx 2 Op j x ´ ®(mod °)g μ Op »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Áëï °-Ç: [®] = [¯] Ã! ® ´ ¯(mod °) : ø³ÝÇ áñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ¡ ¯ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ Ïμ³Å³ÝíÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ° = pn ¢ " ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ íñ³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ®¡¯-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ pn -Ç íñ³, ³å³ áñå»ë ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ»Ýù (Ùá¹áõÉ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É pn -Á: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.12: ¸Çóáõù n > 1 ¨ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ : Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí μ³Õ¹³ï»ÉÇ ¿ áñ¨¿ ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ»ï Áëï pn Ñ»ÝùÇ: ºñÏáõ ³ÙμáÕç Ãí»ñ ÏÉÇÝ»Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ áñå»ë ³ÙμáÕç p³¹ÇÏ Ãí»ñ Áëï pn Ñ»ÝùÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³Ýù μ³Õ¹³ï»ÉÇ »Ý Áëï pn Ñ»ÝùÇ áñå»ë ³ÙμáÕç Ãí»ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Op μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Áëï pn Ñ»ÝùÇ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ pn -Ç:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ³é³çÇÝ åÝ¹áõÙÁ: ¸Çóáõù ® 2 Op ¨ ¹Çóáõù ® = fxn g: ¸Çï³ñÏ»Ýù xn¡1 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ¯ = fxn¡1 ; xn¡1 ; : : : ; xn¡1 ; : : :g ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ ¨ ³å³óáõó»Ýù ® ´ ¯(mod pn ) μ³Õ¹³ïáõÙÁ: ø³ÝÇ áñª ® ¡ ¯ = fx0 ¡ xn¡1 ; x1 ¡ xn¡1 ; : : :g

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.11-Ç, å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É ¢ ¡ xk ¡ xn¡1 ´ 0 mod pk+1 ; k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1

μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÁ: Üßí³Í μ³Õ¹³ïáõÙÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿ k = n ¡ ¡1 ¹»åùáõÙ, ÇëÏ k = n ¡ 2 ¹»åùáõÙ μËáõÙ ¿ xn¡1 ´ ¢ xn¡2 mod pn¡1 μ³Õ¹³ïáõÙÇó, áñÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³ÙμáÕç p³¹ÇÏ ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý: ¸Çóáõù k = n ¡ 3: ø³ÝÇ áñ ¡ ¢ xn¡1 ´ xn¡2 mod pn¡1 ; ¡ ¢ xn¡2 ´ xn¡3 mod pn¡2 ; ¡ ¢ ¡ ¢ ³å³ xn¡1 ´ x¡n¡2 mod¢pn¡2 ¨ xn¡3 ´ xn¡1 mod pn¡2 , ³ÛëÇÝùÝ xn¡3 ¡ xn¡1 ´ 0 mod pn¡2 : ºí ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï : : : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý »ñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÁ: ¸Çóáõù x; y 2 Z, x ¡ y 6= 0, ® = fxg, ¯ = fyg: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» »ñÏáõ ³ÙμáÕç Ãí»ñ μ³Õ¹³ï»ÉÇ »Ý Z-áõÙ, ³å³ Ýñ³Ýù μ³Õ¹³ï»ÉÇ »Ý Ý³¨ Op -áõÙ, áñáíÑ»ï¨ »Ã» x ¡ y = t ¢ z, ³å³ fx ¡ yg = ft ¢ zg, fxg ¡ fyg = ftg ¢ fzg: ´³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ ³å³óáõó»É, áñ »Ã» ®, ¯ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÁ μ³Õ¹³ï»ÉÇ »Ý Op -áõÙ, ³å³ x; y-Á ÏÉÇÝ»Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Ý³¨ Z-áõÙ, ³ÛëÇÝùÝ »Ã» ® ¡ ¯ = pn ¢ ¿; áñï»Õ ¿ 2 Op , ³å³ x ¡ y = pn ¢ z, áñï»Õ z 2 Z: Æñáù, ¹Çóáõù x ¡ y = pm ¢ a, áñï»Õ a 2 Z ¨ a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ a 6´ 0(mod p): Ð»ï¨³μ³ñ, fx ¡ yg = fpm ¢ ag, fxg ¡ fyg = fpm g ¢ fag, ³ÛëÇÝùÝ ® ¡ ¯ = pm ¢ ¾, áñï»Õ ¾ = fag ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 9.14-Ç, ¾-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ²ÛëåÇëáí, pm ¢ ¾ = pn ¢ ¿; pm = pn ¢ ¿ ¾0 ;

áñï»Õ ¾ ¢ ¾0 = 1: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 9.10-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ³ÛÅÙ Ïëï³Ý³Ýùª m > n: ²ÛëåÇëáí, m ¡ n > 0 ¨ x ¡ y = pm ¢ a = pn ¢ pm¡n ¢ a = pn ¢ z; áñï»Õ z = pm¡n ¢ a 2 Z:

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 276

9.7. p-³¹ÇÏ Ãí»ñ ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿: (®; pk ) ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ·, áñï»Õ ®-Ý ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿ (® 2 Op ), k > 0, ÏáãíáõÙ ¿ p-³¹ÇÏ ÃÇí: ºñÏáõ (®; pk ) ¨ (¯; pm ) p-³¹ÇÏ Ãí»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ, »Ã» (Op -áõÙ) ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ® ¢ pm = ¯ ¢ pk : êáíáñ³μ³ñ (®; pk ) ® ½áõÛ·Á Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ (·ñíáõÙ) ¿ Ïáïáñ³Ï³ÛÇÝ ï»ëùáíª k , ÇëÏ μáÉáñ p p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Rp -áí: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óíáõÙ ¿ ® ® p-³¹ÇÏ ÃíÇ Ñ»ï ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ μáÉáñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ = p μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ áñå»ë μáÉáñ p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Rp μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù³ëª Op μ Rp : ¶áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Rp -áõÙ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáíª ¯ ®pm + ¯pk ® + = ; pk pm pk+m ¯ ®¯ ® ¢ m = k+m : k p p p ¸Åí³ñ ã¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ »ñÏáõ p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝ ® ¯ ®0 ¯0 + = + pk pm pk pm0 ¨

® ¯ ®0 ¯0 ¢ m = k 0 ¢ m0 ; k p p p p

®0 ¯ ¯0 ® k0 = , = = ®0 pk , ¯pm = ¯ 0 pm ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ 0 : Æñáù, ®p k k m m p p p p ®¯ ¢ pk +m = ®0 ¯ 0 pk+m ,

»Ã»

®pk +m+m = ®0 pk+m+m ;

¯pm +k+k = ¯ 0 pm+k+k ;

®pk +m+m + ¯pm +k+k = ®0 pk+m+m + ¯ 0 pm+k+k ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

´ ¡ m ¢ 0 0 ³ ®p + ¯pk pk +m = ®0 pm + ¯ 0 pk pk+m :

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ý³¨, áñ p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý »Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ý, Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛ³Ùμ, ûÅïí³Í »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ 0 ¨ p ® ÙÇ³íáñÝ»ñáí: ÀÝ¹ áñáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k p-³¹ÇÏ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ p0 p ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ u p-³¹ÇÏ ÃÇí, áñ ® +u = 0 : k p p ® ¡® : ²Ûë p-³¹ÇÏ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ k p-³¹ÇÏ ÃíÇ pk p ® ¡® ® Ñ³Ï³¹Çñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡ k -áí: ²ÛëåÇëáíª ¡ k = k : p p p ® ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k 6= 0 p-³¹ÇÏ ÃÇí Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, p p ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ v p-³¹ÇÏ ÃÇí, áñ ® ¢v = 0 : k p p

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ u =

® 6= 0 , ³å³ ® 6= 0 ¨ (Ã»áñ»Ù 9.15) ® = ps ¢ ", k p p áñï»Õ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿ ¨ " ¢ "0 = 1, áñï»Õ "0 "0 2 Op : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, v = s¡k , »Ã» s > k, ¨ v = pk¡s ¢ "0 , p »Ã» k > s: v-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ® ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ k p-³¹ÇÏ ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ ¨ p μ ¶¡1 ® Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª v = : pk Æñáù, »Ã»

Â»áñ»Ù 9.17: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¹ p-³¹ÇÏ ÃÇí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ ¹ = pm ¢ "

ï»ëùáí, áñï»Õ m 2 Z, ÇëÏ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿ :

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 278

® , áñï»Õ ® 2 Op ¨ ® 6= 0: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù pk 9.15-Çª ® = pn ¢ ", áñï»Õ n > 0, ÇëÏ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p® ³¹ÇÏ ÃÇí ¿: Üß³Ý³Ï»Éáíª m = n ¡ k, ÏáõÝ»Ý³Ýù m 2 Z ¨ k = pm ¢ "ª p Ñ³Ù³Ó³ÛÝ »ñÏáõ p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù ¹ = pm ¢ " ¨ ¹ = pm ¢ "0 , áñï»Õ m; m0 2 Z ¨ "; "0 -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñ »Ý: ²å³óáõó»Ýù m = m0 ¨ " = "0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Çóáõù m 6= m0 ¨ ¹Çóáõù m < m0 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ÏáõÝ»Ý³Ýù m0 ¡ m > 0 ¨

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ¹ =

pm ¢ " = pm ¢ "0 ;

pm ¡m ¢ "0 = p0 ¢ ";

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 9.15-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: ²ÛëåÇëáí m0 = m Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿, ¨ û·ïí»Éáí pm ¢ " = pm ¢ "0

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ý³¨ " = "0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ, Éñ³óáõóÇã ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» fxn g-Á ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí ¿, ³å³ f¡xn g-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí (p-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý å³ñ½ ÃÇí ¿): ® 2. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k p-³¹ÇÏ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ p Ñ»ï¨Û³É Ý»ñ³Ï³Û³óáõÙÁª ® = ® ¢ (pk )¡1 : pk 3. ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Rp , x 6= 1, áñ xp = 1, áñï»Õ p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿: 4. ¶ïÝ»Éª ³) 2-Ç Ï³ñ·Á Áëï Ùá¹áõÉ 11-Ç; μ) 3-Ç Ï³ñ·Á Áëï Ùá¹áõÉ 10-Ç; ·) 8-Ç Ï³ñ·Á Áëï Ùá¹áõÉ 15-Ç:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

5. ²å³óáõó»É, áñ 7 ¢ 23 ¢ 41 = 6601-Á ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇí ¿: 6. Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É ¶³áõëÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ (Ã»áñ»Ù 9.7) ¾ÛÉ»ñÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ: 7. ²å³óáõó»É, áñ '(n2 ) = n ¢ '(n), áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿:

²ÛÝáõÑ»ï¨ ³å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª μ' (n2 ) = I(n) ¢ μ' (n);

áñï»Õ μ' : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ¾ÛÉ»ñÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, ÇëÏ I(n) = n ± 1:

8. ºÃ» n = 22k+1 , áñï»Õ k > 1, ³å³ '(n)-Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí ³ÛÝåÇëÇ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ '(n)-Á μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿: 9. ÈáõÍ»É 41x ´ 53(mod 62) Ñ³í³ë³ñáõÙÁª û·ïí»Éáí ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇó ('(62) = 30; (41; 62) = 1): 10. ²å³óáõó»É, áñ '(2n) =

< '(n); :

»Ã» n-Á Ï»Ýï ¿;

2'(n); »Ã» n-Á ½áõÛ· ¿;

áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ý³¨ ¾ÛÉ»ñÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ: 11. ²å³óáõó»É, áñ f (n) = n2 ¢ ¾(n) ¢ '(n) ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿: 12. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» (m; n) = 1, m; n 2 N, ³å³ m'(n) + n'(m) ´ 1(mod mn), áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: 13. ²å³óáõó»É, áñ ¾(m) = 2m ¡ 1 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³Ýí»ñç Ãíáí μÝ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ: (òáõóáõÙ. m = 2n , n 2 N): ²Û¹åÇëÇ m > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ »ñμ»ÙÝ ÏáãíáõÙ »Ý ·ñ»Ã»-Ï³ï³ñÛ³É:

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 280

14. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» n-Á Ï³ï³ñÛ³É ÃÇí ¿ ¨ d1 ; d2 ; : : : ; dk μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý, ³å³ + + ¢¢¢ + =2: d1 d2 dk 15. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» n1 ; n2 ; : : : ; nm μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ½áõÛ· Ï³ï³ñÛ³É Ãí»ñ »Ý, ³å³ '(n1 n2 ¢ ¢ ¢ nm ) = 2m¡1 '(n1 )'(n2 ) ¢ ¢ ¢ '(nm ) : 16. n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·»ñÏ³ï³ñÛ³É, »Ã» ¾(¾(n)) = 2n: úñÇÝ³Ï, 16-Á ·»ñÏ³ï³ñÛ³É ÃÇí ¿: ²å³óáõó»É, áñ 2m ¡ 1 ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ 2m¡1 ÃÇíÁ ·»ñÏ³ï³ñÛ³É ¿: ê³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ áñ¨¿ Ï»Ýï ·»ñÏ³ï³ñÛ³É μÝ³Ï³Ý ÃÇí ãÇ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É: 17. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª (d1 ¢ d2 ¢ ¢ ¢ dk )2 = n¿ (n) ; áñï»Õ d1 < d2 < ¢ ¢ ¢ < dk Ãí»ñÁ n-Ç μáÉáñp μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, d1 ¢ d2 ¢ ¢ ¢ dk = n¿ (n) :

(òáõóáõÙ. ¿ (n) = k, d1 dk = d2 dk¡1 = ¢ ¢ ¢ = dk d1 ; > > < »Ã» k = 2t; n= d d = d d = ¢ ¢ ¢ = dt¡1 dt+1 = d2t = dt+1 dt¡1 = ¢ ¢ ¢ = dk d1 ; > 2 k¡1 > : 1 k »Ã» k = 2t ¡ 1; ¨

(d1 ¢ d2 ¢ ¢ ¢ dk )2 = (d1 ¢ d2 ¢ ¢ ¢ dk ) (d1 ¢ d2 ¢ ¢ ¢ dk ) =

= (d1 dk ) (d2 dk¡1 ) ¢ ¢ ¢ (dk d1 ) = |n ¢ n{z¢ ¢ ¢ n} = nk

18. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» (n ¡ 1)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '(n)-Ç íñ³ (n > 1), ³å³ n = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pk , áñï»Õ p1 ; p2 ; : : : ; pk Ãí»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ¾íÏÉÇ¹»ëÛ³Ý ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(òáõóáõÙ. »Ã» n = p2 m, m 2 N, áñï»Õ p-Ý áñ¨¿ å³ñ½ ÃÇí ¿, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 9.6-Ç, '(n)-Á Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, (n ¡ 1)-Á Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³ª n ¡ 1 = pq; p2 m ¡ 1 = pq; p(pm ¡ q) = 1; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó): ê³Ï³ÛÝ ÇÝãå»ë Ýß»É »Ýù, ÙÇÝã ³ÛÅÙ ãÇ ÉáõÍí³Í Ñ»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ (È»ÑÙ»ñ, 1932 Ã.). ³å³óáõó»É (Ï³Ù Ñ»ñù»É), áñ »Ã» (n ¡ 1)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '(n)-Ç íñ³, ³å³ n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³ÛëÇÝùÝª '(n) = n ¡ 1: 19. ¸Çóáõù Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ª ûÅïí³Í ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ÇëÏ f : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿: ®2 ®m ²å³óáõó»É, áñ n = p® 1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pm > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª X

¹(d)f (d) =

m Y i=1

n=d;d>0

(1 ¡ f (pi )) ;

áñï»Õ ¹-Ý ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: (òáõóáõÙ. Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ n-Çó Ï³Ëí³Í ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ ¿, Ñ»ï¨³μ³ñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É m = 1 ¹»åùáõÙ): 20. ²å³óáõó»É ¾ ¨ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁª û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 9.12-Çó: 21. ú·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 9.7-Ç »ñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙÇó ¨ Ã»áñ»Ù 9.12Çó, ëï³Ý³É ¾ÛÉ»ñÇ ' ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ¨ μ ¶μ ¶ μ ¶ '(n) = n 1 ¡ 1¡ ¢¢¢ 1 ¡ p1 p2 pm

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª û·ïí»Éáí Ý³¨ Ã»áñ»Ù 9.10-Çó ¨ Ã»áñ»Ù 6.4®m 1 ®2 Çó, áñï»Õ n = p® 1 p2 ¢ ¢ ¢ pm > 1: P P '(d), ³å³ I(n) = '(d), (òáõóáõÙ. ù³ÝÇ áñ n = n=d;d>0

n=d;d>0

áñï»Õ I(n) = n ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 282

9.10-Ç '(n) = Ã»áñ»Ù 6.4-Á):

¹(d)I

n=d;d>0

22. ²å³óáõó»É, áñ

³n´

n=d;d>0

(òáõóáõÙ. ¿ (n) =

n=d;d>0

³n´ d

¹(d) : ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É d

¿ (n) = 1 :

I1 (d), áñï»Õ I1 (n) = 1, n 2 N: ØÝáõÙ ¿

û·ïí»É Ã»áñ»Ù 9.10-Çó): 23. ²å³óáõó»É, áñ

n=d;d>0

(òáõóáõÙ. ¾(n) =

n=d;d>0

³n´ d

¾(d) = n :

I(d), áñï»Õ I(n) = n, n 2 N: ØÝáõÙ ¿

û·ïí»É Ã»áñ»Ù 9.10-Çó): 24. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ³n´ X ¢d: ¹ '(n) = d n=d;d>0

(òáõóáõÙ. Áëï Ã»áñ»Ù 9.7-Çª I(n) =

'(d), áñï»Õ I(n) = n,

n=d;d>0

n 2 N: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 9.10-Çó):

25. ¸Çóáõù k 2 Z, k > 0: ê³ÑÙ³Ý»Ýù 'k : N ! N ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª X 'k (n) = dk ; n2N: 16d6n;(d;n)=1

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ '0 (n) = '(n), áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: ²å³óáõó»É ¶³áõëÇ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý (Ã»áñ»Ù 9.7) Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁª X

n=d;d>0

1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk 'k (d) = : dk nk

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

26. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ñ¹Ûáù ³ÛÝåÇëÇ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ '(a) + '(b) = 2n; áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: ¾ñ¹ÛáßÇ ¨ Øá½»ñÇ ÏáÕÙÇó ¹ñí³Í ³Ûë ËÝ¹ÇñÁ ¹»é¨ë ãÇ ÉáõÍí³Í: 27. ¸Çóáõù n = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pm , áñï»Õ p1 ; p2 ; : : : ; pm -Á ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý: ²å³óáõó»É ¿ (n) = 2m Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: p 28. ²å³óáõó»É ¿ (n) 6 2 n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 29. ²å³óáõó»É ¿ (n) 6 ¿ (2n ¡ 1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

30. ²å³óáõó»É ¿ (mn) 6 ¿ (m)¿ (n) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 31. ¸Çóáõù n 2 N: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª X X @ ¿ (d)A = (¿ (d))3 : n=d;d>0

n=d;d>0

32. ²å³óáõó»É n 6 ¾(n) 6 n2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: n + n2 1+n ¢n = 6 n2 ): (òáõóáõÙ. ¾(n) 6 1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + n = 33. ¸Çóáõù n 2 N: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª X 1 ¾(n) = : n d n=d;d>0

34. ¸Çóáõù n 2 N: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª n

¾(n!) X 1 > : n! i i=1

35. ¸Çóáõù n; k 2 N: ê³ÑÙ³Ý»Ýùª ¾k (n) =

dk :

n=d;d>0

²å³óáõó»É, áñ ¾k : N ! N ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ (¾1 (n) = ¾(n)):

¶ÉáõË 9 ¾ÚÈºðÆ üàôÜÎòÆ²Ü, ØÚà´ÆàôêÆ ÂºàðºØÀ, p-²¸ÆÎ Âìºð 284

36. ¶ïÝ»É μáÉáñ ³ÛÝ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñª '(n) + ¾(n) = n¿ (n) : ²Ûë ËÝ¹ÇñÁ ÙÇÝã ³ÛÅÙ ãÇ ÉáõÍí³Í: 37. ú·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 9.6-Çó ³å³óáõó»É, áñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿: (òáõóáõÙ. ¸Çóáõù å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ p1 ; p2 ; : : : ; pn -Á μáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÝ »Ý, ÇëÏ m = p1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pn : Â»áñ»Ù 9.6-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª '(m) = (p1 ¡ 1)(p2 ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (pn ¡ 1) : ê³Ï³ÛÝ, ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, ¾ÛÉ»ñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª '(m) = 1, áñáíÑ»ï¨ ÃÇí áõÝÇ å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¹»åùáõÙ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ p1 ; p2 ; : : : ; pn ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, (t; m) 6= 1: àõëïÇª

' ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ t > 1 μÝ³Ï³Ý (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.1), áñÁ ³Û¹ å³ñ½ Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ï

(p1 ¡ 1)(p2 ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (pn ¡ 1) = 1; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, Ù»Í ¿ Ù»ÏÇó): 38. ÜÏ³ñ³·ñ»É ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ýª Q = Z3 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: 39. ÜÏ³ñ³·ñ»É ØÛáμÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Q = Z2 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: 40. ÜÏ³ñ³·ñ»É ØÛáμÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Q = Z3 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: 41. ÜÏ³ñ³·ñ»É ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ýª Q = Z4 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: 42. ÜÏ³ñ³·ñ»É ØÛáμÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Q = Z4 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: 43. ÜÏ³ñ³·ñ»É ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³Ýª Q = Z2 £ Z2 Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ:

¶ É áõ Ë 10 ºðÎðàð¸ ²êîÆÖ²ÜÆ ´²Ô¸²îàôØÜºð: ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø: ÈºÄ²Ü¸ðÆ

ä²ÚØ²Ü²ÜÞ²Ü

10.1. ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¨ áã-ÙÝ³óù ¸Çï³ñÏ»Ýù xn ´ a(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ, áñï»Õ a 2 Z, m 2 N ¨ (a; m) = 1: ²ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ »ñÏ³Ý¹³Ù μ³Õ¹³ïáõÙ: ºÃ» ³Ûë μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ ÉáõÍáõÙ, ³å³ a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ÙÝ³óù Áëï m-Ç: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ áã-ÙÝ³óù Áëï m-Ç: n = 2 ¹»åùáõÙ, n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ÙÝ³óùÁ (áã-ÙÝ³óùÁ) Áëï m-Ç ÏáãíáõÙ ¿ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù (áã-ÙÝ³óù) Áëï m-Ç: úñÇÝ³Ï, 4-Á ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï 7-Ç, ÇëÏ 3-Á ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù ¿ Áëï 7-Ç, áñáíÑ»ï¨ x2 ´ 4(mod 7) μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ (x = 2), ÇëÏ x2 ´ 3(mod 7) μ³Õ¹³ïáõÙÁª áã: ²Ûëï»Õ ÑÇÙÝ³Ï³ÝáõÙ ÏáõëáõÙÝ³ëÇñí»Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óùÝ»ñ ¨ áã-ÙÝ³óùÝ»ñ Áëï p 6= 2 å³ñ½ Ãí»ñÇ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» x0 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ÉáõÍáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ í»ñáÑÇßÛ³É »ñÏ³Ý¹³Ù μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ [x0 ] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝ [x0 ]-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí ÉáõÍáõÙ ¿ Ýßí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»Ù 10.1: ºÃ» a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p 6= 2 å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝ (a; p) = 1, ³å³ x2 ´ a(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ Ï³Ù ãáõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ, Ï³Ù Ýñ³ ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ ×Çßï Ñ³í³ë³ñ ¿ 2-Ç:

²å³óáõóáõÙ: ØÇ ÏáÕÙÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 6.6-Ç, x2 ´ a(mod p) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ 2-Á: ¸Çóáõù a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï ïñí³Í p 6= 2 å³ñ½ ÃíÇ, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x1 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇí, áñ x21 ´ a(mod p): ø³ÝÇ áñ (¡x1 )2 = x21 , ³å³ (¡x1 )2 ´ a(mod p): ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ¡x1 6´ x1 (mod p): Æñáù, »Ã» x1 ´ ¡x1 (mod p),

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

³å³ 2x1 ´ 0(mod p), ³ÛëÇÝùÝ 2x1 -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³ ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3-Ç, Ï³Ù 2-Ý ¿ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, Ï³Ù x1 -Á: ê³Ï³ÛÝ p 6= 2 å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ p > 2 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ 2-Á ãÇ Ï³ñáÕ μ³Å³Ýí»É p-Ç íñ³: ÆëÏ »Ã» x1 -Á μ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª x1 ´ 0(mod p), ³å³ x21 ´ 0(mod p) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª a ´ 0(mod p), ³ÛëÇÝùÝ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¤ ¸Çóáõù a 2 Z, m 2 N ¨ (a; m) = 1: [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù (áã-ÙÝ³óù) Áëï m-Ç, »Ã» [a]ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕç ÃÇí ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù (áãÙÝ³óù) ¿ Áëï m-Ç: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï m-Ç, ³å³ [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù Áëï m-Ç: Æñáù, »Ã» (a; m) = 1, x2 ´ a(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ áõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ ¨ b ´ a(mod m), ³å³ (b; m) = 1 ¨ x2 ´ b(mod m) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ÝáõÛÝ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» a ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù ¿ Áëï mÇ, ³å³ [a] 2 Zm ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù Áëï m-Ç: p¡1 Ñ³ïÁ ÏÉÇÝÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù Áëï p 6= 2 å³ñ½ ÃíÇ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, p¡1 Ñ³ïÁ ÏÉÇÝÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù Áëï ³Û¹ p-Ç: ×Çßï Â»áñ»Ù 10.2: [1], [2], : : :, [p ¡ 1] 2 Zp ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇó ×Çßï

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ¸ ∙ [¡x] ¸ = ∙ [p ¡ x], ¸³å³ ∙ [¡1] ¸ = ∙ [p ¡ 1], p¡1 p¡1 p+1 p¡1 +1 [¡2] = [p ¡ 2], : : :, ¡ = p¡ = = 2¸ ∙ 2¸ 2¾ ½ ∙ p¡1 p¡1 ¨ f[1]; [2]; : : : ; [p ¡ 1]g = [1]; : : : ; ; ¡ ; : : : ; [¡1] ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ x ´ a(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ p¡1 , ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a ´ x2 (mod p), áñï»Õ x = §1; §2; : : : ; § p¡1 Ï³Ù x = 1; 2; : : : ; , áñáíÑ»ï¨ x2 = (¡x)2 : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, 2¶ μ p¡1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï áñ 12 ; 22 ; : : : ; p¡1 μ³Õ¹³ï»ÉÇ ã»Ý: Æñáù, »Ã» 1 6 k < l 6 ¨ k2 ´ l2 (mod p), ³å³ x2 ´ k2 (mod p)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ x = ¡k; k; l; ¡l ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, áñáÝù ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï μ³Õ¹³ï»ÉÇ ã»Ý Áëï p-Ç, ÇëÏ ë³ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 6.6-ÇÝ: ¤ ²ÛÅÙ ³ÏÝÑ³Ûï ¿ ¹³éÝáõÙ, Ã» ÇÝãáõ í»ñáÑÇßÛ³É x2 ´ 3(mod 7) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ãáõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ: àñáíÑ»ï¨ ³Ûë ¹»åùáõÙª p = 7, p¡1 = 3, a = 3, ë³Ï³ÛÝ a 6´ x2 (mod 7), x = 1; 2; 3 ¹»åù»ñáõÙ: Â»áñ»Ù 10.3 (¾ÛÉ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ºÃ» a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p 6= 2 å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ x2 ´ a(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ

³) ÏáõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a 1(mod p) ¨

p¡1

μ) ãÇ áõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a ¡1(mod p):

p¡1

´ ´

²å³óáõóáõÙ: ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ μ 9.1)¶Ñ³Ù³Ó³ÛÝª p¡1 p¡1 p¡1 ´ 1(mod p) Ï³Ù a ¡ 1 ´ 0(mod p): ø³ÝÇ áñ a ¢ 2 = p ¡ 1. ³å³ ³Ûëï»ÕÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ´ ³ p¡1 ´ ³ p¡1 a 2 ¡ 1 a 2 + 1 ´ 0(mod p)

´ ³ p¡1 ´ ³ p¡1 Ï³Ù a 2 ¡ 1 a 2 + 1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³Ù ³é³çÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ ¿ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, Ï³Ùª »ñÏñáñ¹ (ë³Ï³ÛÝ »ñÏáõ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï p-Ç íñ³ μ³Å³Ýí»É ã»Ý Ï³ñáÕ, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÙÇÙÛ³ÝóÇó Ñ³Ý»Éáí Ïëï³Ý³ÛÇÝù, áñ 2-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿, áñáíÑ»ï¨ p > 2): ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a

p¡1

´ 1(mod p);

ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª a

p¡1

´ ¡1(mod p) :

ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³é³çÇÝ ¹»åùÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç: Ð»ï¨³μ³ñ, »ñÏñáñ¹ ¹»åùÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç:

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

¸Çóáõù a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç, ³ÛëÇÝùÝ x2 ´ a(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ûÅïí³Í ¿ x1 ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙáí, ³ÛëÇÝùÝ x21 ´ a(mod p), Ï³Ù a ´ x21 (mod p), áñï»Õ (x1 ; p) = 1 (áñáíÑ»ï¨, »Ã» x1 -Á (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ x21 -Ý) μ³Å³Ýí»ñ p-Ç íñ³, ³å³ a-Ý ¨ë Ïμ³Å³Ýí»ñ p-Ç íñ³, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ): àõëïÇª a

p¡1

¡ ¢ p¡1 ´ x21 2 (mod p);

p¡1

´ xp¡1 (mod p);

p¡1

´ 1(mod p)

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ: ²ÛëÇÝùÝ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù Áëï p 6= 2 å³ñ½ p¡1 ÃíÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ x 2 ´ 1(mod p) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 10.2-Ç, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ýßí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙ p¡1 Ñ³ï ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³éÝí³½Ý p¡1 Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 6.7-Ç, ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μ³Õ¹³ïáõÙÁ (Áëï p å³ñ½ Ñ»ÝùÇ) ãÇ Ï³ñáÕ áõñÇß ÉáõÍáõÙÝ»ñ áõÝ»Ý³É, ³ÛëÇÝùÝ p¡1 ÙÝ³ó³Í Ñ³ï ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ p¡1 ¹³ë»ñÁ x 2 ´ 1(mod p) μ³Õ¹³ïÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ ã»Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a ³ÙμáÕç p¡1 ÃÇí ãÇ μ³í³ñ³ñÇ x 2 ´ 1(mod p) μ³Õ¹³ïÙ³ÝÁ, ³ÛÉ Ïμ³í³ñ³ñÇ p¡1 ¤ x 2 ´ ¡1(mod p) μ³Õ¹³ïÙ³ÝÁ:

10.2. È»Å³Ý¹ñÇ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÁ ¸Çóáõù a 2 Z, ÇëÏ p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ (p 6= 2) ¨ ¹Çóáõù a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝ (a; p) = 1:μa ¶ÃíÇ È»Å³Ý¹ñÇ a å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÁ Áëï p å³ñ½ ÃíÇ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ó¨áí (áñï»Õ p a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÇ Ñ³Ù³ñÇã, ÇëÏ p-Ýª Ñ³Ûï³ñ³ñ) ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª μ ¶ ½ a 1; »Ã» a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç; = ¡1; »Ã» a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç : p

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ ¶ a = 1 ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x2 ´ a(mod p) p μ ¶ a μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ, ¨ = ¡1 ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ p ¹»åùáõÙ, »ñμ x2 ´ a(modμp) ¶μ³Õ¹³ïáõÙÁ μ ¶ãáõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ: úñÇÝ³Ï, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª = 1, ÇëÏ = ¡1: ú·ïí»Éáí È»Å³Ý¹ñÇ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÇó, ¾ÛÉ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ (Ã»áñ»Ù 10.3) Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñ³Ó¨³Ï»ñå»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ²ÛëÇÝùÝ,

Â»áñ»Ù 10.4 (¾ÛÉ»ñÇ μ³Ý³Ó¨Á): ºÃ» a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p 6= 2 å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ μ ¶ p¡1 a a ´ (mod p); p

Ï³Ùª

μ ¶ p¡1 a ´ a 2 (mod p) : p

μ ¶ úñÇÝ³Ï, û·ïí»Éáí ³Ûë μ³Ý³Ó¨Çó, Ñ³ßí»Ýù -Á, ³ÛëÇÝùÝ μ ¶ å³ñ½»Ýù, Ã» = §1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇó áñÝ ¿ ×Çßï. μ ¶ 7¡1 ´ 3 2 (mod 7); 7¡1

= 33 = 27 ´ ¡1(mod 7); μ ¶ μ ¶ ³ÛëÇÝùÝª ´ ¡1(mod 7) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ = ¡1, áñáíÑ»ï¨ 1 6´ ¡1(mod 7):

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 10.1: ºÃ» p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ , ÇëÏ a; b 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ã»Ý μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ª μ ¶ 1) = 1; p μ 2¶ a 2) = 1; p

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

μ ¶ μ ¶ a b , »Ã» a ´ b(mod p); = p p ½ μ ¶ p¡1 ¡1 1; »Ã» p ´ 1(mod 4); 4) = (¡1) 2 = ¡1; »Ã» p ´ 3(mod 4); p

a¢b p

μ ¶ μ ¶ a b ¢ ; p p

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »ñÏáõ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óùÝ»ñÇ (áãÙÝ³óùÝ»ñÇ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ , ÇëÏ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óùÇ ¨ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óùÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ áã-ÙÝ³óù ¿ ; μ 2¶ μ ¶ ab a 6) ; = p p μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an a1 a2 an 7) , = ¢ ¢ p p p p »Ã» a1 ; a2 ; : : : ; an 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ã»Ý μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³; Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, μ n ¶ μ ¶n a a : = p p

²å³óáõóáõÙ: 2) -Á ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ x2 ´ a2 (mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ x = a ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙÁ: 2) -Çó, a = 1 ¹»åùáõÙ, μËáõÙ ¿ 1) -Á: 3) -Á ÝáõÛÝå»ë ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» a ´ b(mod p), ³å³ x2 ´ a(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x2 ´ b(mod p) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ: ²å³óáõó»Ýù 4)Á: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ¾ÛÉ»ñÇ μ³Ý³Ó¨Ç (Ã»áñ»Ù 10.4), μ ¶ p¡1 ¡1 ´ (¡1) 2 (mod p); p μ ¶ p¡1 ¡1 áñï»Õ = §1 ¨ (¡1) 2 = §1: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ 1 6´ (¡1)(mod p), p ³å³ μ ¶ p¡1 ¡1 = (¡1) 2 : p

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

6) -Á μËáõÙ ¿ 5) -Çó ¨ 2) -Çó: ²å³óáõó»Ýù 5) -Á: ÜáñÇó û·ïí»Éáí ¾ÛÉ»ñÇ μ³Ý³Ó¨Çó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª μ ¶ p¡1 ab ´ (ab) 2 (mod p); p áñï»Õª (ab) ³ÛëÇÝùÝª

p¡1

¢b

p¡1

μ ¶ μ ¶ a b ¢ (mod p); p p

¶ μ ¶ μ ¶ a¢b a b ´ ¢ (mod p) : p p p μ ¶ μ ¶ μ ¶ ab a b Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí = §1 ¨ ¢ = §1 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, Ñ³Ý·áõÙ p p p »Ýù å³Ñ³ÝçíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁª ¶ μ ¶ μ ¶ μ a b a¢b = ¢ : p p p 7)-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇª ®n 1 ®2 a = §2®0 p® 1 p2 ¢ ¢ ¢ pn ;

áñï»Õ p! ; p2 ; : : : ; pn å³ñ½ Ãí»ñÁ p-Çó ï³ñμ»ñ Ï»Ýï Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ ®0 ; ®1 ; : : : ; ®n -Á áã μ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý: ú·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 10.1-Ç 7) -ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª μ ¶ μ μ ¶®n ¶ μ ¶®0 μ ¶®1 a p1 pn §1 ¢ : = ¢ p p p p p μ ¶ μ ¶ μ ¶ a §1 ²ÛëåÇëáí, -Ý Ñ³ßí»Éáõ Ñ³Ù³ñ, μ³í³Ï³Ý ¿ áõÝ»Ý³É , p p p μ ¶ q ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñï»Õ q-Ý ¨ë Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ q 6= p: ê³Ï³ÛÝ μ ¶p a -Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É Ý³¨ ³ÝÙÇç³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, û·ïí»Éáí p ¶³áõëÇ ÏáÕÙÇó ³å³óáõóí³Í Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó:

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

È»ÙÙ 10.1 (¶³áõëÇ É»ÙÙÁ): ºÃ» p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ , ÇëÏ a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ μ ¶ a = (¡1)n ; p ¸ ∙ (p ¡ 1) a 2 Zp ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ »Õ³Í áñï»Õ n-Á [a], [2a], [3a], : : :, p ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿ , áñáÝù Ù»Í »Ý 2 Çó: ¸ ∙ (p ¡ 1) a 2 Zp ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù r1 ; r2 ; : : : ; rn -Á [a], [2a], [3a], : : :, ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ »Õ³Í ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÝ p »Ý, áñáÝù Ù»Í »Ý -Çó ¨ ¹Çóáõù s1 ; s2 ; : : : ; sm -Á ³Û¹ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ »Õ³Í ³ÛÝ áã μ³ó³ë³Ï³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ÙμáÕç Ãí»ñÝ »Ý, p p áñáÝù ÷áùñ »Ý -Çó (Ï»Ýï p å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ -Á ³ÙμáÕç ÃÇí ã¿): ø³ÝÇ áñ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ Áëï å³ÛÙ³ÝÇ a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p(p ¡ 1) Ç íñ³, ³å³ 2a; 3a; : : : ; a Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÁ ãÇ μ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª si 6= 0, i = 1; 2; : : : ; m: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ r1 ; r2 ; : : : ; rn ; s1 ; s2 ; : : : ; sm áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¸ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ ¹Çï³ñÏíáÕ ∙ (p ¡ 1) a 2 Zp ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ, áñÁ [a], [2a], [3a], : : :, p¡1 Ñ³í³ë³ñ ¿ª : ²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ, áñáÝó p¡1 ù³Ý³ÏÁ ÝáõÛÝå»ë - ¿ª p ¡ r1 ; p ¡ r2 ; : : : ; p ¡ rn ; s1 ; s2 ; : : : ; sm p¡1 -Á »Õ³Í μáÉáñ μÝ³Ï³Ý ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ ëñ³Ýù Ñ»Ýó 1-Çó ÙÇÝã¨ Ãí»ñÝ »Ý: ¸Çóáõù p = 2k + 1, k 2 N : p ø³ÝÇ áñ 0 < si < = k + , ³å³ 0 < si < k + , ³ÛëÇÝùÝ p¡1 p p 1 6 si 6 k = : ø³ÝÇ áñ p > rj > , ¡p < ¡rj < ¡ ,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

p p 0 < p ¡ rj < = k + , ³ÛëÇÝùÝ p ¡ p < p ¡ rj < p ¡ , p¡1 1 6 p ¡ rj 6 k = : ²ÛÅÙ μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñ μ³Õ¹³ï»ÉÇ ã»Ý Áëï p Ñ»Ý³ÃíÇ (Ùá¹áõÉÇ): Æñáù, Ý³Ë ³é³çÇÝ n ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ù»ç ãÏ³Ý ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï μ³Õ¹³ï»ÉÇ »ñÏáõ Ãí»ñ, áñáíÑ»ï¨, »Ã» p ¡ ri ´ p ¡ rj (mod p), áñï»Õ i 6= j, ³å³ ri ´ rj (mod p), áñï»Õ p¡1 , ki 6= kj ¨ ri ´ ki a(mod p), rj ´ kj a(mod p), 1 6 ki ; kj 6 Ñ»ï¨³μ³ñ aki ´ akj (mod p): ê³Ï³ÛÝ, ù³ÝÇ áñ a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ ³Ûëï»ÕÇó, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.8-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ki ´ kj (mod p), áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñçÇÝ m ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ù»ç ãÏ³Ý ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï μ³Õ¹³ï»ÉÇ »ñÏáõ Ãí»ñ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ³é³çÇÝ n ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ μ³Õ¹³ï»ÉÇ ã¿ í»ñçÇÝ m ³ÙμáÕç Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ï: ²ÛëåÇëáí, ³å³

p ¡ r1 ; p ¡ r2 ; : : : ; p ¡ rn ; s1 ; s2 ; : : : ; sm p¡1 -Á »Õ³Í μáÉáñ μÝ³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý 1-Çó ÙÇÝã¨ Ãí»ñÁª ·ñí³Í áñ¨¿ Ñ»ñÃ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùμ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, μ ¶ p¡1 p¡1 (p ¡ r1 )(p ¡ r2 ) ¢ ¢ ¢ (p ¡ rn )s1 s2 ¢ ¢ ¢ sm = 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ ¢ ¢ = !; μ ¶ p¡1 !(mod p); (p ¡ r1 )(p ¡ r2 ) ¢ ¢ ¢ (p ¡ rn )s1 s2 ¢ ¢ ¢ sm ´ ¶ μ p¡1 !(mod p); (¡1)n r1 r2 ¢ ¢ ¢ rn s1 s2 ¢ ¢ ¢ sm ´ ú·ïí»Éáí ri ¨ sj Ãí»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª μ ¶ μ ¶ p¡1 p¡1 (¡1)n a(2a)(3a) ¢ ¢ ¢ a´ !(mod p); Ï³Ùª n

(¡1) a

p¡1

¶ μ ¶ p¡1 p¡1 !´ !(mod p);

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

¶ p¡1 !-Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³ (áñáíÑ»ï¨, p¡1 ¨ k = p ¢ t, áñï»Õ t 2 N, ³å³ p > 2k + 1 ¨ k = pt > »Ã» 1 6 k 6 (2k + 1)t, áñï»ÕÇó k(1 ¡ 2t) > t ¨ ëï³óí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ μ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁ ¹ñ³Ï³Ý), ³å³, ÝáñÇó Ã»áñ»Ù 3.2-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, p¡1 (¡1)n a 2 ´ 1(mod p); ¨ ù³ÝÇ áñ

Ï³Ùª

p¡1

´ (¡1)n (mod p)

¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¾ÛÉ»ñÇ μ³Ý³Ó¨Ç (Ã»áñ»Ù 10.4), ÏáõÝ»Ý³Ýùª μ ¶ a ´ (¡1)n (mod p) : p μ ¶ a ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ = §1 ¨ (¡1)n = §1, ÏáõÝ»Ý³Ýùª p μ ¶ a = (¡1)n : p

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 10.1: ºÃ» p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇíμ ¿¶, ÇëÏ a-Ý Ï»Ýï a ³ÙμáÕç ÃÇí ¿ ¨ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ = (¡1)N , áñï»Õ p p¡1 ¸ 2 ∙ X ja N= : p j=1 Å³Ù³Ý³Ï, ¹Çóáõù ²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ¨ ¶³áõëÇ É»ÙÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ¸ ∙ p¡1 ¢ a ÙÝ³óùÝ»ñÇ r1 ; r2 ; : : : ; rn ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ [a], [2a], [3a], : : :, ¹³ë»ñáõÙ å³ñáõÝ³ÏíáÕ μáÉáñ ³ÛÝ ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÝ »Ý, p áñáÝù Ù»Í »Ý -Çó, ÇëÏ s1 ; s2 ; : : : ; sm ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ μáÉáñ ³ÛÝ áã μ³ó³ë³Ï³Ý ÷áùñ³·áõÝ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÝ »Ý, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏíáõÙ »Ý p ÝáõÛÝ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ ¨ ÷áùñ »Ý -Çó: ²ÛëÇÝùÝ ri ¨ sk Ãí»ñÁ ëï³óíáõÙ »Ý áñå»ë ÙÝ³óáñ¹Ý»ñ, »ñμ ja-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³. ja = p ¢ qj + tj ;

1 6 tj < p;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ j = 1; 2; : : : ; É»ÙÙ 8.3-Çª

Ð»ï¨³μ³ñª

p¡1 , tj = r1 ; r2 ; : : : ; rn ; s1 ; s2 ; : : : ; sm : Ð³Ù³Ó³ÛÝ ∙ ¸ ja qj = : p ja = p

p¡1

j=1

∙

¸ ja + tj p

p¡1 ∙ ¸ X n m X X ja ja = p ri + sk : + p

j=1

i=1

k=1

ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù ¶³áõëÇ É»ÙÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï, p¡r1 ; p¡ r2 ; : : : ; p ¡ rn ; s1 ; s2 ; : : : ; sm ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý 1-Çó ÙÇÝã¨ p¡1 -Á »Õ³Í μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, p¡1

j=1

n m n m X X X X (p ¡ rj ) + sk = pn ¡ rj + sj : j=1

k=1

j=1

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýùª p¡1 ∙ ¸ n X X ja ja ¡ j= p rj ; ¡ pn + 2 p j=1 j=1 j=1 j=1 p¡1

p¡1

p¡1 ∙ ¸ n X X ja j= p rj : (a ¡ 1) ¡ pn + 2 p j=1 j=1 j=1 p¡1

ø³ÝÇ áñ (a ¡ 1)-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç, ³å³

p¡1 ∙ ¸ X ja p ¡ pn ´ 0(mod 2) p j=1

¨ ù³ÝÇ áñ ³Ûëï»Õ p-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ 2-Ç, ³å³ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 6.4)ª ¸ 2 ∙ X ja p¡1

j=1

¡ n ´ 0(mod 2);

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

Ï³Ù ∙ ¸ X ja p¡1

j=1

´ n(mod 2) :

Ð»ï¨³μ³ñ, n = N + 2k, k 2 Z ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¶³áõëÇ É»ÙÙÇª μ ¶ a = (¡1)n = (¡1)N +2k = (¡1)N ¢ (¡1)2k = (¡1)N : p

μ ¶ -Á: ²Ûëï»Õª a = úñÇÝ³Ï, û·ïí»Éáí ¶³áõëÇ É»ÙÙÇó, Ñ³ßí»Ýù p 6, p = 13, = 6; 5 ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÝ »Ýª [6], [2¢6], ¸ ∙ p¡1 ¢ 6 = [6 ¢ 6]: : : :, ø³ÝÇ áñª 6 ´ 6(mod 13); 2 ¢ 6 = 12 ´ 12(mod 13); 3 ¢ 6 = 18 ´ 5(mod 13); 4 ¢ 6 = 24 ´ 11(mod 13); 5 ¢ 6 = 30 ´ 4(mod 13); 6 ¢ 6 = 36 ´ 10(mod 13); ³å³ ¹Çï³ñÏíáÕ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ »Õ³Í ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý p Ãí»ñÝ »Ýª 6, 12, 5, 11, 4 ¨ 10 Ãí»ñÁ, áñáÝóÇó -Çó Ù»Í »Ýª 12, 11 ¨¶ 10 Ãí»ñÁ: ²ÛëåÇëáí, n = 3 ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¶³áõëÇ É»ÙÙÇª μ = (¡1)3 = ¡1, ³ÛëÇÝùÝ x2 ´ 6(mod 13) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ãáõÝÇ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ: Â»áñ»Ù 10.5: ºÃ» p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ , ³å³ ½ μ ¶ p2 ¡1 1; »Ã» p ´ 1(mod 8) Ï³Ù p ´ 7(mod 8); = (¡1) 8 = ¡1; »Ã» p ´ 3(mod 8) Ï³Ù p ´ 5(mod 8) : p

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ ¶ ²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ¶³áõëÇ É»ÙÙÇª = (¡1)n , áñï»Õ n-Á [2], [2¢ p ¸ ∙ (p ¡ 1) ¢ 2 2 Zp ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ »Õ³Í ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý 2], [3 ¢ 2], : : :, p ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿, áñáÝù Ù»Í »Ý -Çó: ø³ÝÇ áñ 2¸ ∙ (p ¡ 1) p¡1 ¢ 2 = p ¡ 1 < p, ³å³ [2], [2 ¢ 2], [3 ¢ 2], : : :, ¢ 2 ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ »Õ³Í ÷áùñ³·áõÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ Ñ»Ýó 2, 2 ¢ 2, 3 ¢ 2, (p ¡ 1) : : :, ¢ 2 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÝ »Ý: ²Û¹ å³ï×³éáí, μ³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ å³ñ½»É, Ã» Ýßí³Í ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇó ù³ÝÇëÝ p »Ý Ù»Í -Çó: Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí p p k ¢ 2 < Ã! k < (p ¡ 1) ¢2 å³ÛÙ³ÝÁ, Ý³Ë Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ 2, 2 ¢ 2, 3 ¢ 2, : : :, p μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ -Çó ÷áùñ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ p -Çó, Ñ³í³ë³ñ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í k μÝ³Ï³Ý ÃíÇÝ, áñÁ ÷áùñ ¿ hpi : Ð»ï¨³μ³ñ, Ýßí³Í Ãí»ñÇ ß³ñùáõÙ Ïå³ñáõÝ³Ïí»Ý ³ÛëÇÝùÝ k = p p ¡ 1 hpi ¡ ù³Ý³ÏÇ ³ÛÝåÇëÇ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝù Ù»Í »Ý -Çó: p ¡ 1 hpi ²ÛëåÇëáí, n = ¡ ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¶³áõëÇ É»ÙÙÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª μ ¶ p¡1 p = (¡1) 2 ¡[ 4 ] : p Â»áñ»Ù 10.5-Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ÙÝáõÙ ¿ ³ÛÅÙ ³å³óáõó»É p ¡ 1 h p i p2 ¡ 1 ¡ ´ (mod 2)

μ³Õ¹³ïáõÙÁ, áñï»Õ Ï»Ýï p å³ñ½ ÃÇíÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇÝª ³) p ´ 1(mod 8),

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

μ) p ´ 7(mod 8), ·) p ´ 3(mod 8), ¹) p ´ 5(mod 8): Æñáù, »Ã» p ´ 1(mod 8), ³å³ p = 8k + 1, k 2 Z ¨ ∙ ¸ p ¡ 1 h p i 8k + 1 ¡ 1 8k + 1 ¡ = ¡ = 4k ¡ 2k = 2k ´ 0(mod 2); (8k + 1)2 ¡ 1 p2 ¡ 1 = = 8k2 + 2k ´ 0(mod 2); ³ÛëÇÝùÝ ³) ¹»åùáõÙª p ¡ 1 h p i p2 ¡ 1 ¡ ´ (mod 2) :

ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ »Ýù Ñ³Ý·áõÙ Ý³¨ μ), ·) ¨ ¹) ¹»åù»ñáõÙ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ½ p2 ¡ 1 0(mod 2); »Ã» p ´ 1(mod 8) Ï³Ù p ´ 7(mod 8); ´ 1(mod 2); »Ã» p ´ 3(mod 8) Ï³Ù p ´ 5(mod 8); áñï»ÕÇó ¨ μËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 10.5-Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù ÝÏ³ïí»É ¿ ¾ÛÉ»ñÇ (1772 Ã.) ¨ È»Å³Ý¹ñÇ (1785 Ã.) ÏáÕÙÇó, ë³Ï³ÛÝ ËÇëï ³å³óáõóí»É ¿ ¶³áõëÇ (1796 Ã.) ÏáÕÙÇó: ¶³áõëÇó Ñ»ïá, ³ÛÝ í»ñ³³å³óáõóí»É ¿ ³í»ÉÇ ù³Ý 190 ï³ñμ»ñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí ¨ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí»É ¿ Ú³ÏáμÇÇ, ÎáõÙÙ»ñÇ, ¸. ÐÇÉμ»ñÃÇ, ¾. ²ñÃÇÝÇ, Ð³ëë»Ç, Þ³ý³ñ¨ÇãÇ, ìáëïáÏáíÇ ÏáÕÙÇó (F. Lemmermeyer, Reciprocity Laws, Springer-Verlag, Berlin, 2000)15 : Â»áñ»Ù 10.6 (ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÁ): ºÃ» p-Ý ¨ q-Ý ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ Ï»Ýï å³ñ½ Ãí»ñ »Ý, ³å³ ½ μ ¶ μ ¶ p¡1 q¡1 p q 1; »Ã» p ´ 1(mod 4) Ï³Ù q ´ 1(mod 4); ¢ = (¡1) 2 ¢ 2 = ¡1; »Ã» p ´ 3(mod 4) ¨ q ´ 3(mod 4) : q p 15 Ì³·áõÙáí Ñ³Û³½·Ç ¾ÙÇÉ ²ñÃÇÝÁ (1898-1962) XX ¹³ñÇ ³Ù»Ý³Ëáßáñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿ ¨ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ¹³ë³Ï³ÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ ¶ μ ¶ p q Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» p ´ 1(mod 4), Ï³Ù q ´ 1(mod 4), ³å³ , = q p μ ¶ μ ¶ p q : ÇëÏ »Ã» p ´ 3(mod 4) ¨ q ´ 3(mod 4), ³å³ =¡ q p

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 10.1-Ç, μ ¶ q = (¡1)N1 ; p μ ¶ p = (¡1)N2 ; q

¸ 2 ∙ X j¢q

;

¸ 2 ∙ X j ¢p

;

p¡1

áñï»Õ N1 =

j=1

q¡1

áñï»Õ N2 =

j=1

Ð»ï¨³μ³ñ,

μ ¶ μ ¶ p q ¢ = (¡1)N2 ¢ (¡1)N1 = (¡1)N1 +N2 : q p ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ N1 + N2 =

p¡1 q¡1 ¢ :

²Û¹ Ýå³ï³Ïáí (»ÝÃ³¹ñ»Éáí p > q), áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ, »ñÏáõ ï³ñμ»ñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí Ñ³ßí»Ýù OABC y q

q¡1

S r

r C

1 2

K r

L r r B A r

p¡1

p>q

áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý

Ý»ñëáõÙ ·ïÝíáÕ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ ÃÇíÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý (³é³Ýó OA ¨ OC Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

íñ³ ·ïÝíáÕ ÝÙ³Ý³ïÇå Ï»ï»ñÇ): ²Û¹åÇëÇ Ï»ï»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý p¡1 q¡1 ³ÙμáÕç Ï»ï»ñ: ØÇ ÏáÕÙÇó ¹ñ³Ýó ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª ¢ : q OS áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ ¿ª : Ð»ï¨³μ³ñ, L Ï»ïÇ p ûñ¹ÇÝ³ïÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª y= ¨ ù³ÝÇ áñ

q q q p¡1 ¢ = ¡ p 2 2p

q < 1, ³å³ p q q q q+1 q ¡1 q ¡1 < ¡ < < = + 1; 2 2p

³ÛëÇÝùÝ L Ï»ïÇ ûñ¹ÇÝ³ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ »ñÏáõ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ÙÇç¨: Ð»ï¨³μ³ñ, ³ÙμáÕç Ï»ï»ñÇ ÃÇíÁ OAL »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç ÏÉÇÝÇ ÝáõÛÝÁ ÇÝã áñ OABK ë»Õ³ÝÇ Ù»ç: ²ÛÝáõÑ»ï¨ ÝÏ³ï»Ýù, áñ μ³óÇ ëÏ½μÝ³Ï»ïÇó, OL áõÕÕÇ íñ³ ãÏ³Ý áõñÇß ³ÙμáÕç Ï»ï»ñ, áñáíÑ»ï¨ p¡1 q x = 1; 2; : : : ; ¹»åùáõÙ, y = x-Á ãÇ ¹³éÝáõÙ ³ÙμáÕç ÃÇí: p OAL »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç »Õ³Í μáÉáñ áñáÝ»ÉÇ ³ÙμáÕç Ï»ï»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª ∙

p¡1 ∙ ¸ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ X q¢1 qj q ¢2 q p¡1 ¢ + + ¢¢¢ + = = N1 ; p p p p j=1

p¡1 »Ã» Ñ³ßíáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Áëï x = 1, x = 2, : : :, x = áõÕÇÕÝ»ñÇ: Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí, OKC »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç »Õ³Í μáÉáñ áñáÝ»ÉÇ ³ÙμáÕç Ï»ï»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª ∙

q¡1 ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ X ¸ 2 ∙ p¢1 j¢p q¢2 p q¡1 ¢ + + ¢¢¢ + = = N2 : q q q j=1

²ÛëåÇëáí, Ñ³í³ë³ñ»óÝ»Éáí »ñÏáõ ï³ñμ»ñ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí OABC áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ ·ïÝíáÕ ³ÙμáÕç Ï»ï»ñÇ ÃÇíÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª N1 + N2 =

p¡1 q¡1 ¢ :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿, a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³ ¨ ¹Çóáõù a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç: ²å³óáõó»É, áñ ¡a-Ý ¨ë ÏÉÇÝÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù Áëï p-Ç ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ p ´ 1(mod 4): 2. ¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ a; b 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÁ ã»Ý μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù μáÉáñ x2 ´ a(mod p); x2 ´ b(mod p);

x2 ´ ab(mod p)

μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙÝ»ñáí, ¹ñ³ÝóÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÝ ¿ ûÅïí³Í ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙáí:

Ï³Ù

3. ¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿, a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: ²å³óáõó»É, áñ x2 ´ a(mod pn ), n > 1 μ³Õ¹³ïáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ³ÙμáÕç ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï p-Ç: 4. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a ³ÙμáÕç ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí ³ÛÝåÇëÇ p å³ñ½ Ãí»ñ, áñáÝó ÝÏ³ïÙ³Ùμ a-Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ÙÝ³óù: 5. ú·ïí»Éáí

μ³Ý³Ó¨Çó, Ñ³ßí»É μ ¶ μ ¶ μ ¶ ¡4 ¡6 å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÁª , , :

6. ú·ïí»Éáí

¾ÛÉ»ñÇ

¶³áõëÇμ É»ÙÙÇó, ¶ μ ¶Ñ³ßí»É μ ¶ , , : å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÁª

È»Å³Ý¹ñÇ

Ñ»ï¨Û³É

È»Å³Ý¹ñÇ

Ñ»ï¨Û³É

7. ¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ a 2 Z ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ 2a 3a (p ¡ 1)a a + + + ¢¢¢ + =0: p p p p

¶ÉáõË 10 ø²è²Îàôê²ÚÆÜ ØÜ²òø ºì àâ-ØÜ²òø

8. ¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ 2¢3 3¢4 (p ¡ 2)(p ¡ 1) 1¢2 + + + ¢¢¢ + = ¡1 : p p p p 9. ¸Çóáõù p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿, ÇëÏ c ³ÙμáÕç ÃÇíÁ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ÙÝ³óù ¿ Áëï p Ñ»ÝùÇ: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ ï³ñμ»ñ p-³¹ÇÏ Ãí»ñ, áñáÝó ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý c-Ç: 10. ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ p ´ 1(mod 4): ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª p¡1 μ ¶ X a =0: p a=1 11. ¸Çóáõù n-Á Ù»ÏÇó Ù»Í Ï»Ýï μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ ûÅïí³Í n = pk11 ¢ pk2 2 ¢ ¢ ¢ pkr r Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùμ ¨ ¹Çóáõù a 2 Z, (a; n) = 1 (¨ Ñ»ï¨³μ³ñ Ý³¨ (a; pi ) = 1, i = 1; 2; : : : ; k): a ³ÙμáÕç³ÃíÇ a´ Ú³ÏáμÇÇ å³ÛÙ³Ýß³ÝÁ Áëï n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ n áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª μ ¶kr ³ a ´ μ a ¶k1 μ a ¶k2 a = ¢ ; n p1 p2 pr μ ¶ a áñï»Õ ÃÇíÁ a ³ÙμáÕç ÃíÇ È»Å³Ý¹ñÇ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ ¿ pi Áëï pi å³ñ½ ÃíÇ: ²å³óáõó»É Ú³ÏáμÇÇ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³ a ´ μ a0 ¶ = (a) , »Ã» a ´ a0 (mod n); n n μ ¶ (b) = 1; n μ ¶ n¡1 ¡1 (c) = (¡1) 2 ; n ³a ¢ a ¢ ¢ ¢ a ´ ³a ´ ³a ´ ³a ´ s s = ¢ , áñï»Õ (ai ; n) = 1, i = (d) n n n n 1; 2; : : : ; s;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³a ¢ a ¢ ¢ ¢ a ´ ³a ´ ³a ´ ³a ´ s s = ¢ , áñï»Õ (a; ni ) = 1, i = n n n n 1; 2; : : : ; s; μ ¶ n2 ¡1 (f) = (¡1) 2 ; n ³m´ ³ n ´ n¡1 m¡1 ¢ = (¡1) 2 ¢ 2 , áñï»Õ m; n-Á Ù»ÏÇó Ù»Í ¨ Ï»Ýï (g) n m ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: ³a´ = ¡1, ³å³ x2 ´ a(mod n) μ³Õ¹³ïáõÙÁ ãáõÝÇ ³ÙμáÕç 12. ºÃ» n ÉáõÍáõÙ: Ð»ï¨³μ³ñ, ³ a ´ »Ã» x ´ a(mod n) μ³Õ¹³ïáõÙÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç = 1: ÉáõÍáõÙ, ³å³ n (e)

¶ É áõ Ë 11 ÂìºðÆ îºêàôÂÚ²Ü ÎÆð²èàôÂÚàôÜÀ ¶²ÔîÜ²¶ðàôÂÚ²Ü Øºæ (ÎðÆäîà¶ð²üÆ²ÚàôØ)

Ð³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ

(ÏáÙåÛáõï»ñ³ÛÇÝ) ·ÇïáõÃÛ³Ý ¨ Ýñ³ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ï³ñ¨áñ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ï»Õ»Ï³ïíáõÃÛ³Ý ¨ ¹ñ³Ýó ÷áË³Ý³ÏáõÙÝ»ñÇ ·³ÕïÝÇáõÃÛ³Ý ³å³ÑáíáõÙÝ ¿: A; B; : : : Ï³½Ù³Ï»ñåáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, ýÇñÙ³Ý»ñÇ, μ³ÝÏ»ñÇ, ³ÝÓ»ñÇ, : : : ÙÇç¨ ï»Õ»Ï³ïíáõÃÛ³Ý ·³ÕïÝÇ ÷áË³Ý³ÏáõÙ (·³ÕïÝÇ Ý³Ù³Ï³·ñáõÃÛáõÝ, ·³ÕïÝ³·ñáõÃÛáõÝ) Ï³½Ù³Ï»ñå»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í³ñí»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: A; B; : : : ÏáÕÙ»ñÁ ÁÝïñáõÙ »Ý ÙÇ μ³í³Ï³Ý Ù»Í p å³ñ½ ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ '(p) = p ¡ 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å³ñ½ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ÛïÝÇ ¿, Ï³Ù ¹Åí³ñ ã¿ ·ïÝ»É: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É ¨ û·ïí»É Ý³¨ '(p ¡ 1) ÃíÇó, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: Ð³çáñ¹ ù³ÛÉáõÙ ÏáÕÙ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÙÛáõëÝ»ñÇó ³ÝÏ³Ë ÁÝïñáõÙ ¿ ÙÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ '(p) = p ¡ 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ»ï: ¸Çóáõù ÁÝïñí³Í μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÝ »Ýª a; b; : : : ²ÛÝáõÑ»ï¨, A ÏáÕÙÁ ·ïÝáõÙ ¿ ® μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ³ÛÝå»ë, áñ a ¢ ® ´ 1(mod '(p)) 0 < ® < p ¡ 1;

(11.1)

Àëï áñáõÙ, ÇÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿ Ã»áñ»Ù 3.3-Çó, ®-Ý áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 9.1), ® = a'(p¡1)¡1 (mod (p ¡ 1)) : Æñáù, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1.1-Çª a'(p¡1)¡1 = (p ¡ 1) ¢ q + ®; 0 < ® < p ¡ 1 ¢ ¡ (³Ûëï»Õ ® 6= 0, áñáíÑ»ï¨ a'(p¡1)¡1 ; p ¡ 1 = 1, ù³ÝÇ áñ (a; p ¡ 1) = 1 (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.2)): Ð»ï¨³μ³ñ, ´ ³ a ¢ ® = a a'(p¡1)¡1 ¡ (p ¡ 1)q = a'(p¡1) ¡ a(p ¡ 1)q ´ 1(mod '(p)); áñáíÑ»ï¨

a'(p¡1) ´ 1(mod (p ¡ 1));

¶ÉáõË 11 ÎÆð²èàôÂÚàôÜÀ ¶²ÔîÜ²¶ðàôÂÚ²Ü Øºæ

a(p ¡ 1)q ´ 0(mod (p ¡ 1)) :

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí B ÏáÕÙÁ ·ïÝáõÙ ¿ ³ÛÝåÇëÇ ¯ μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ b ¢ ¯ ´ 1(mod '(p));

0<¯ <p¡1:

(11.2)

²Ûë ¹»åùáõÙ, a ¨ ® Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý A ÏáÕÙÇ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñ, ÇëÏ b ¨ ¯ Ãí»ñÁª B ÏáÕÙÇ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñ (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹): ¸Çóáõù A ÏáÕÙÁ áñáß»É ¿ m μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ áõÕ³ñÏ»É B ÏáÕÙÇÝ, áñï»Õ 0 < m < p ¡ 1 (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ m-Á ïñáÑíáõÙ ¿ Ù³ë»ñÇ): ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí A ÏáÕÙÁ m ÃÇíÁ Ý³Ë ·³ÕïÝ³·ñáõÙ ¿ Çñ ³é³çÇÝ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇ ÙÇçáóáíª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. m ÃÇíÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ ma -Á p-Ç íñ³ μ³Å³Ý»Éáõó ëï³óíáÕ ÙÝ³óáñ¹áí, ³ÛëÇÝùÝ‘ m1 = ma (mod p)

(11.3)

Ãíáí ¨ ëï³óí³Í m1 ÃÇíÁ Ñ³Õáñ¹íáõÙ ¿ B ÏáÕÙÇÝ: B ÏáÕÙÁ ëï³Ý³Éáí m1 ÃÇíÁ, Çñ Ñ»ñÃÇÝ ·³ÕïÝ³·ñáõÙ ¿ ³ÛÝ Çñ ³é³çÇÝ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇ ÙÇçáóáí, ³ÛëÇÝùÝ m1 ÃÇíÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ m2 = mb1 (mod p)

(11.4)

Ãíáí ¨ ëï³óí³Í m2 ÃÇíÁ »ï ¿ áõÕ³ñÏíáõÙ A ÏáÕÙÇÝ: A ÏáÕÙÁ ëï³Ý³Éáí m2 ÃÇíÁ, ³ÛÅÙ ³ÛÝ Í³ÍÏ³·ñáõÙ ¿ Çñ »ñÏñáñ¹ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇ ÙÇçáóáí ¨ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É m3 = m® 2 (mod p)

(11.5)

ÃÇíÁ ¨ ÝáñÇó ëï³óí³Í m3 ÃÇíÝ áõÕ³ñÏáõÙ ¿ B ÏáÕÙÇÝ: ì»ñçÇÝë ëï³Ý³Éáí m3 ÃÇíÁ ·³ÕïÝ³½»ñÍáõÙ ¿ ³ÛÝª Çñ »ñÏñáñ¹ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝ ëï³ÝáõÙ ¿ m4 = m¯3 (mod p)

(11.6)

ÃÇíÁ, áñÁ å³ñ½íáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ñ»Ýó m μÝ³Ï³Ý ÃíÇÝ:

²å³óáõóáõÙ:

Ð³Ù³Ó³ÛÝ

(11.3), (11.4) ¨ (11.5) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 9.1)ª m4 ´ mab®¯ (mod p);

mab®¯ ´ mab®¯(mod '(p)) (mod p)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, m4 ´ mab®¯(mod '(p)) (mod p) :

Æñáù, ¹Çóáõù r = ab®¯(mod (p¡ 1)), ³ÛëÇÝùÝ ab®¯ = k(p ¡ 1) + r, áñï»Õ 0 6 r < p ¡ 1: ²Û¹ ¹»åùáõÙª ¢k ¡ mab®¯ = mk(p¡1)+r = mk(p¡1) ¢ mr = mp¡1 ¢ mr ´ mr (mod p); ØÛáõë ÏáÕÙÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (11.1) ¨ (11.2) μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇª ab®¯ ´ 1(mod '(p)); Ï³Ù 1 = ab®¯(mod '(p)) : Ð»ï¨³μ³ñª m4 ´ m(mod p)

¨, ù³ÝÇ áñ 0 < m; m4 < p, ³å³ jm4 ¡ mj < p ¨ m4 ¡ m = 0, m4 = m: ¶³ÕïÝ³·ñáõÃÛ³Ý ß³ñ³¹ñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (»Õ³Ý³ÏÁ) ÏáãíáõÙ ¿ ·³ÕïÝ³·ñáõÃÛáõÝª ³é³Ýó ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñÇ Ñ³Õáñ¹Ù³Ý (ÇÙ³óáõÃÛ³Ý, ÷áË³Ý³ÏÙ³Ý): ¶³ÕïÝ³·ñáõÃÛ³Ý Ñ³çáñ¹ »Õ³Ý³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³ó μ³Ý³ÉÇáí (Ï³Ù μ³Ý³ÉÇÝ»ñáí) ·³ÕïÝ³·ñáõÃÛáõÝ (W. Diffie, M.E. Hellman, New directions in crytography, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. II-22, 11, 1976, p. 644–654; J.H. Ellis, The possibility of secure non-secret digital encryption, CESG Report, January 1970), áñÇ ¿áõÃÛáõÝÁ Ï³Û³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉáõÙ: A ¨ B ÏáÕÙ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó ³ÝÏ³Ë, ÁÝïñáõÙ ¿ »ñÏáõ Ù»Í å³ñ½ Ãí»ñ, Ï³½ÙáõÙ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, Ñ³ÛïÝÇ μ³Ý³Ó¨áí (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.3) áñáßáõÙ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÁ ³Û¹ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÁÝïñáõÙ ³ÛÝåÇëÇ ÙÇ μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ ëï³óí³Í ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÇ Ñ»ï ¨ ÷áùñ ¿ ¹ñ³ÝÇó: Ð³Ù³éáïª A : p1 ; p2 ; rA = p1 ¢ p2 ; '(rA ); (a; '(rA )) = 1; 0 < a < '(rA ); B : q1 ; q2 ; rB = q1 ¢ q2 ; '(rB ); (b; '(rB )) = 1; 0 < b < '(rB ) :

²ÛÝáõÑ»ï¨, ïå³·ñíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë Ïáãí³Í Ñ»é³Ëáë³ÛÇÝ (Ñ³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ Ï³Ù ÇÝï»ñÝ»ï³ÛÇÝ) ·ñùáõÛÏ, áñÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª

¶ÉáõË 11 ÎÆð²èàôÂÚàôÜÀ ¶²ÔîÜ²¶ðàôÂÚ²Ü Øºæ

A : rA ; a B : rB ; b

áñÁ Ñ³ë³Ý»ÉÇ ¿ μáÉáñ Ýñ³Ýó, áíù»ñ Ùï³¹ñí³Í »Ý ·³ÕïÝÇ Ñ³Õáñ¹³·ñáõÃÛáõÝ áõÕ³ñÏ»Éáõ A, B ÏáÕÙ»ñÇÝ: rA ¨ a μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý A ÏáÕÙÇ μ³ó μ³Ý³ÉÇÝ»ñ, ÇëÏ rB ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁª B ÏáÕÙÇ μ³ó μ³Ý³ÉÇÝ»ñ: Ð³çáñ¹ ù³ÛÉáõÙ, ÏáÕÙ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·ïÝáõÙ ¿ Çñ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: A ¨ B ÏáÕÙ»ñÁ ·ïÝáõÙ »Ý ® ¨ ¯ ·³ÕïÝÇ Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ a ¢ ® ´ 1(mod '(rA ));

0 < ® < '(rA );

b ¢ ¯ ´ 1(mod '(rB ));

0 < ¯ < '(rB ) :

® ¨ ¯ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ A ¨ B ÏáÕÙ»ñÇ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñ: ¸Çóáõù A ÏáÕÙÁ áñáß»É ¿ m ·³ÕïÝÇ ÃÇíÝ áõÕ³ñÏ»É B ÏáÕÙÇÝ, áñï»Õ 0 < m < rB ¨ (m; rB ) = 1: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí, Ý³Ë A-Ý ·³ÕïÝ³·ñáõÙ ¿ m-Áª B-Ç μ³ó μ³Ý³ÉÇÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª m1 = mb (mod rB ) : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ëï³óí³Í m1 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ áõÕ³ñÏíáõÙ ¿ B-ÇÝ: B-Ý ëï³Ý³Éáí m1 -Á, Çñ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ·³ÕïÝ³½»ñÍáõÙ ¿ ³ÛÝ, ³ÛëÇÝùÝª ëï³ÝáõÙ ¿ m2 = m¯1 (mod rB ) ÃÇíÁ, áñÁ å³ñ½íáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ñ»Ýó m μÝ³Ï³Ý ÃíÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ (m; rB ) Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (Ã»áñ»Ù 9.1), ÏáõÝ»Ý³Ýùª

1, ³å³ ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ

m2 ´ mb¯ (mod rB ) ´ mb¯(mod '(rB )) (mod rB ) : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ù³ÝÇ áñ 1 ´ b ¢ ¯(mod '(rB ));

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³å³ Ð»ï¨³μ³ñª

1 = b ¢ ¯(mod '(rB )); m2 ´ m(mod rB )

¨, ù³ÝÇ áñ 0 < m; m2 < rB , ³å³ jm2 ¡ mj < rB ¨ m2 ¡ m = 0, m2 = m: ø³ÝÇ áñ ·³ÕïÝ³·ñáõÃÛ³Ý Ýßí³Í »Õ³Ý³ÏáõÙ (³É·áñÇÃÙáõÙ) áõÕ³ñÏáÕ A ÏáÕÙÇ ïíÛ³ÉÝ»ñÁ ã»Ý ÏÇñ³éíáõÙ (û·ï³·áñÍíáõÙ), ³å³ ëï³óáÕ B ÏáÕÙÁ ãÇ Ï³ñáÕ ï»Õ»Ï³Ý³É Ã» áí ¿ ·³ÕïÝÇ ï»Õ»Ï³ïíáõÃÛ³Ý

Ñ»ÕÇÝ³ÏÁ:

¶³ÕïÝ³·ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ É»ÏïñáÝ³ÛÇÝ (Ñ³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ, ÇÝï»ñÝ»ï³ÛÇÝ) ëïáñ³·ñáõÃÛáõÝ, ³ñ¹»Ý ½»ñÍ ¿ Ýßí³Í Ã»ñáõÃÛáõÝÇó: ¶³ÕïÝ³·ñáõÃÛ³Ý Ý³Ëáñ¹ »Õ³Ý³ÏÇ Ñ»é³Ëáë³ÛÇÝ ·ñùáõÛÏÁ ¨ A, B ÏáÕÙ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ®, ¯ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñÁ áõÝ»Ý³Éáõ ¹»åùáõÙ, ¹Çóáõù A ÏáÕÙÁ Ùï³¹Çñ ¿ m ·³ÕïÝÇ ÃÇíÝ áõÕ³ñÏ»É B ÏáÕÙÇÝ, áñï»Õ m < rA ¨ (m; rA ) = 1: ¸Çóáõùª 0 < rA 6 rB ¨ (m® (mod rA ); rB ) = 1: A ÏáÕÙÁ m-Á Ý³Ë ·³ÕïÝ³·ñáõÙ ¿ Çñ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ, ëï³Ý³Éáí Ñ»ï¨Û³É ÃÇíÁª m1 = m® (mod rA ); ³å³ª Ý³¨ B ÏáÕÙÇ μ³ó μ³Ý³ÉÇÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμª m2 = mb1 (mod rB ) : ²ÛÝáõÑ»ï¨, B ÏáÕÙÁ ëï³Ý³Éáí m2 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ·³ÕïÝ³½»ñÍáõÙ ¿ ³ÛÝ »ñÏáõ ù³ÛÉáíª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: Ü³Ë B-Ý û·ïíáõÙ ¿ Çñ ¯ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÇó ¨ ëï³ÝáõÙ Ñ»ï¨Û³É ÃÇíÁª m3 = m¯2 (mod rB ); ÇëÏ ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ý³¨ A-Ç μ³ó μ³Ý³ÉÇÇóª ëï³Ý³Éáí m4 = ma3 (mod rA ) ÃÇíÁ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ m4 = m áõÕ³ñÏí³Í ÃÇíÁ:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ (m1 ; rB ) = 1, ÏáõÝ»Ý³Ýùª m3 ´ mb¯ 1 (mod rB );

b¯(mod '(rB ))

mb¯ 1 ´ m1

(mod rB ) :

¶ÉáõË 11 ÎÆð²èàôÂÚàôÜÀ ¶²ÔîÜ²¶ðàôÂÚ²Ü Øºæ

²ÛëåÇëáí, b¯(mod '(rB )) (mod rB ) : m3 ´ m1

ø³ÝÇ áñ, b¯(mod '(rB )) = 1, ³å³

m3 ´ m1 (mod rB ); áñï»Õ 0 < m3 < rB , 0 < m1 < rA 6 rB : àõëïÇª m3 = m1 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ù³ÝÇ áñ m3 = m1 , ¨ (m; rA ) = 1, ³å³ ÝáñÇó ¾ÛÉ»ñÇ

Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

m4 = ma1 (mod rA ); ma1 ´ ma® (mod rA ); ma® ´ ma®(

mod '(rA ))

(mod rA ) :

Ð»ï¨³μ³ñ, m4 ´ ma®( mod '(rA)) (mod rA ), áñï»Õ a®( mod '(rA )) = 1: ²ÛëåÇëáíª m4 ´ m(mod rA ), áñï»Õ 0 < m4 ; m < rA : àõëïÇª m4 = m:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ¸Çóáõù A ¨ B μ³ÝÏ»ñÁ áñáß»É »Ý ëï»ÕÍ»É (áõÝ»Ý³É) ·³ÕïÝÇ Ï³åª ³é³Ýó ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñÇ Ñ³Õáñ¹Ù³Ý: ºí ¹Çóáõù ³Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ýñ³Ýù ÁÝïñ»É »Ý p = 23 å³ñ½ ÃÇíÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, A μ³ÝÏÁ ÁÝïñ»É ¿ a = 5 ÃÇíÁ, ÇëÏ B μ³ÝÏÁª b = 7 ÃÇíÁ: ¶ïÝ»É A ¨ B μ³ÝÏ»ñÇ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ»ñÁ: 2. ¸Çóáõù A ¨ B μ³ÝÏ»ñÁ áñáß»É »Ý ëï»ÕÍ»É μ³ó μ³Ý³ÉÇÝ»ñáí ·³ÕïÝ³·ñáõÃÛáõÝ ¨ ¹Çóáõù Ýñ³Ýù Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó ³ÝÏ³Ë ÁÝïñ»É »Ý p1 = 7, p2 = 23 ¨ q1 = 11, q2 = 17 å³ñ½ Ãí»ñÇ ½áõÛ·»ñÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, A-Ý ÁÝïñáõÙ ¿ a = 7, ÇëÏ B-Ýª b = 9 Ãí»ñÁ: ¶ïÝ»É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ»é³Ëáë³ÛÇÝ (ÇÝï»ñÝ»ï³ÛÇÝ) ·ñùáõÛÏÁ ¨ ÏáÕÙ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ·³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇÝ:

¶ É áõ Ë 12 ¶²Ô²ö²ð ÂìºðÆ îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºðÆ ìºð²´ºðÚ²È 12.1. î»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ùáï»óáõÙ Ü³Ëáñ¹ í»ñÝ³·ñ»ñáõÙ ½³ñ·³óí³Í Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ Ñ³Ù³ñí»É Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý (Ï³Ù Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý) ËÇëï Ï³éáõóáõÙ: ÆÝãÁ å³ÛÙ³Ý³íáñí³Í ¿ áã ÙÇ³ÛÝ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ùμ, ³ÛÉ¨ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇ μ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ùμ, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ý³¨ ³Û¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, μ³ßË³Ï³Ý ¨ ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÉÇ³ñÅ»ù ÑÇÙÝ³íáñáõÙÝ»ñÇ μ³ó³Ï³ÛáõÃÛ³Ùμ: ²Û¹ ³Ù»ÝÇ Ñ»ï ³éÝãí»ÉÇë Ù»Ýù Ñ»ÝíáõÙ ¿ÇÝù ³ÛÝ å³ïÏ»ñ³óáõÙÝ»ñÇ íñ³, áñáÝù ëï»ÕÍíáõÙ »Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ï³Ù ³éûñÛ³ ÏÛ³ÝùÇó: ´Ý³Ï³Ý ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý å³ñ½³·áõÛÝ »Õ³Ý³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏÝ áõÝÇ ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ μÝáõÛÃ ¨ ³é³ç³ñÏí»É ¿ ¶. üñ»·»Ç ÏáÕÙÇó, XIX ¹³ñÇ í»ñçÇÝª áñå»ë í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝ: Àëï áñáõÙ, í»ñç³íáñ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ã¿ Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ Çñ áñ¨¿ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ: ¸³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ áñå»ë §½ñá¦ μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí, Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ áñå»ë §Ù»Ï¦ μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 1-áí, »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ áñå»ë §»ñÏáõ¦ μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 2-áí, ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ºÝÃ³¹ñíáõÙ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ÝóÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ Ù»ç ï³ÝáÕ ÇÝÛ»ÏïÇí (Ý»ñ¹ñáÕ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ¸Çóáõù [A]-Ý A í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ ¿: ºñÏáõ m = [A] ¨ n = [B] μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ m = n, »Ã» Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý A ¨ B μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁª A » B, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ® : A ! B μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Ð³Ï³é³Ï

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

¹»åùáõÙ, m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ m 6= n: ´Ç»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó μËáõÙ ¿, áñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý »ñ»ù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª ³) m = m ó³ÝÏ³ó³Í m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù é»ýÉ»ùëÇíáõÃÛáõÝ); μ) m = n ! n = m (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ Ï³Ù ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ); ·) m = n, n = k ! m = k (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù ïñ³Ý½ÇïÇíáõÃÛáõÝ): m = [A] μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷áùñ n = [B] μÝ³Ï³Ý ÃíÇó ¨ ·ñíáõÙ ¿ m < n, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ® : A ! B ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ μÇ»ÏïÇí ã¿, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ B0 μ B »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ B0 6= B ¨ A » B0 : ºÃ» m < n, ³å³ n-Á ÏáãíáõÙ ¿ Ù»Í m-Çó16 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, m = [A] μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷áùñ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ n = [B] μÝ³Ï³Ý ÃíÇó ¨ ·ñíáõÙ ¿ m 6 n, »Ã» m < n Ï³Ù m = n, ³ÛëÇÝùÝ »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ® : A ! B ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ê³ÑÙ³Ýí³Í §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ÇëÏ §<¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ: §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Î³ÝïáñÞñÛá¹»ñ-´»éÝßï³ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÇó (Ã»áñ»Ù 0.17): ºÃ» m = [A] ¨ n = [B], ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª m ¢ n = [A £ B], ÇëÏ »Ã» Ý³¨ A \B = ;, ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª m+n = [A[B]: m¢n-Á ÏáãíáõÙ ¿ m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É, ÇëÏ m + n-Áª ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñ: m-Á ¨ n-Á ÏáãíáõÙ »Ý m¢ n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ, ÇëÏ m + n ·áõÙ³ñÇª ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñ: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ë³ÑÙ³Ýí³Í ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ·áõÙ³ñÁ Áëï ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Æñáù, »Ã» A » A0 ¨ B » B 0 , ³å³ A £ B » A0 £ B 0 , ÇëÏ »Ã» Ý³¨ A \ B = ; ¨ A0 \ B 0 = ;, ³å³ A [ B » A0 [ B 0 : ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ïñí³Í

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

[A [ B] = [A] + [B];

»Ã» A \ B = ;;

16 ºÝÃ³¹ñíáõÙ ¿, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ® : ; ! B ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ B = ; ¹»åùáõÙ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ μÇ»ÏïÇí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ø³ÝÇ áñª

[A £ B] = [A] ¢ [B] : A [ ; = A; A [ B = B [ A; A [ (B [ C) = (A [ B) [ C; A £ (B [ C) = (A £ B) [ (A £ C); A £ B » B £ A; A £ (B £ C) » (A £ B) £ C; A £ fbg » A;

³å³ª

A £ ; = ;; m + 0 = m; m + n = n + m; m + (n + k) = (m + n) + k; m(n + k) = mn + mk; m ¢ n = n ¢ m; m ¢ (n ¢ k) = (m ¢ n) ¢ k; m ¢ 1 = m; m¢0 = 0

ó³ÝÏ³ó³Í m; n; k μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù m = [A] ¨ n = [B] μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ m 6 n, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ® : A ! B ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ n ¨ m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª n ¡ m = [B n ®(A)]: îñí³Í n, m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ n ¡ m ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (³ÛëÇÝùÝ, »Ã» m 6 n): Æñáù, »Ã» ïñí³Í »Ý A, B, A0 ¨ B 0 í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ® : A ! B, ¯ : A0 ! B 0 ÇÝÛ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ, áñï»Õ A » A0 ¨ B » B0 , ³å³ B n ®(A) » B 0 n ¯(A0 ) :

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

ºÃ» m 6 n ¨ n ¡ m = k, ³å³ n-Á ÏáãíáõÙ ¿ Ýí³½»ÉÇ, m-Áª Ñ³Ý»ÉÇ, ÇëÏ k-Ýª ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ¨ n = m + k: Æñáù, »Ã» m = [A], n = [B], k = [B n ®(A)], áñï»Õ ® : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ÇÝÛ»ÏïÇí ¿, ³å³ B = ®(A) [ (B n ®(A)) ; áñï»Õ ®(A) \ (B n ®(A)) = ;, A » ®(A) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª n = [B] = [®(A) [ (B n ®(A))] = = [®(A)] + [(B n ®(A))] = [A] + [B n ®(A)] = m + k :

²ÛëÇÝùÝ, »Ã» m 6 n, ³å³ (n ¡ m) + m = n: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ó³ÝÏ³ó³Í m, n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ m 6 m+ n ¨ (m+ n) ¡ n = m: ºÃ» n 6= 0, ³å³ m < m+ n; Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ýß³Ý³Ï»Éáí m0 = m + 1 ¨ ³Ýí³Ý»Éáí Ýñ³Ý m-Ç Ñ³çáñ¹Á, ÏáõÝ»Ý³Ýù m < m0 ¨ m0 = n0 ¡! m = n : Àëï áñáõÙ, 0-Ý ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ áñ¨¿ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³çáñ¹Á, ÇëÏ ó³ÝÏ³ó³Í n 6= 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³çáñ¹Áª n = (n ¡ 1) + 1 = (n ¡ 1)0 , áñï»Õ n > 1: ²ÛëåÇëáí, 0 < 1 < 2 < 3 < : : : < n < n + 1 < : : : ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ë³ÑÙ³Ýí³Í μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹³ë³íáñ»É ³é³ÝóùÇ íñ³ª Áëï ³×Ù³Ý: ò³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ m ¨ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁª m < n, m = n, m > n: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ¹³ï³ñÏ K »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ, ³ÛëÇÝùÝ‘ ³ÛÝåÇëÇ k0 2 K ï³ññ, áñÁ ÷áùñ ¿ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ K-Ç μáÉáñ Ãí»ñÇó: Ð»ï¨³μ³ñ, ë³ÑÙ³Ýí³Í μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ:

12.2. ²ùëÇáÙ³ÛÇÝ Ùáï»óáõÙ Âí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ËÇëï Ï³éáõóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ³ùëÇáÙ³ÛÇÝ (³ùëÇáÙ³ïÇÏ) »Õ³Ý³ÏÁª μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ ÙÇçáóáí, ïñí»É »Ý (XIX ¹³ñÇ í»ñçÇÝ, XX ¹³ñÇ ëÏ½μÇÝ) ä»³ÝáÛÇ (1891Ã.) ¨ ¸»¹»ùÇÝ¹Ç (1901Ã.) ÏáÕÙÇó: Î³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ P μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ïñí³Í ¿ ÙÇ ¾ : P ! P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ýáõÝÏóÇ³), áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (ä»³ÝáÛÇ ³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ).

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(P1 ) ¾(m) = ¾(n) ! m = n, áñï»Õ m; n 2 P (³ÛëÇÝùÝ ¾-Ý ÇÝÛ»ÏïÇí ¿); (P2 ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P -Ç ³ÛÝåÇëÇ ï³ññ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí (¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §½ñá¦) ¨ áñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n 2 P , áñ 0 = ¾(n) (³ÛëÇÝùÝ 0-Ý ãáõÝÇ Ý³Ë³å³ïÏ»ñ); (P3 ) (ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý ³ùëÇáÙ): ºÃ» M μ P »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª ³) 0 2 M,

μ) n 2 M ! ¾(n) 2 M ,

³å³ M = P : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, P -Ç ï³ññ»ñÝ ³Ýí³ÝíáõÙ »Ý μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, ÇëÏ ¾ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁª Ñ³çáñ¹ÇÝ ³ÝóÝ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, Ýß³Ý³Ï»Éáí ¾(n) = n0 (Áëï áñáõÙ n0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ n-Ç Ñ³çáñ¹Á): ¼ñáÛÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.1: ¼ñáÛÇó ï³ñμ»ñ P -Ç Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ýñ³ áñ¨¿ ï³ññÇ Ñ³çáñ¹Á:

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ

ï³ññ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» M-Á Ï³½Ùí³Í ¿ 0-Çó ¨ P -Ç μáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇó, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ P -Ç áñ¨¿ ï³ññÇ Ñ³çáñ¹Ý ¿, ³å³ M-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (P3 )-Ç ³) ¨ μ) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, M = P ; ²ÛëåÇëáí, P -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ ¿ 0-Ç, Ï³Ù Ýñ³ áñ¨¿ ï³ññÇ Ñ³çáñ¹Ý ¿: ¤ ¼ñáÛÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëï³ï»Éáõó Ñ»ïá, P -Ç Ù»ç Ý»ñÙáõÍíáõÙ »Ý §Ù»ÏÁ¦ (Ýß³Ý³ÏáõÙÁª 1), §»ñÏáõëÁ¦ (Ýß³Ý³ÏáõÙÁª 2), §»ñ»ùÁ¦ (Ýß³Ý³ÏáõÙÁª 3) ¨ ³ÛÉ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. 1 = 00 ; 2 = 10 = (00 )0 = 000 ; 3 = 20 = (000 )0 = 0000 ; .. . ²ÛëåÇëáí, ëï³ÝáõÙ »Ýù 0; 1; 2; 3; : : : μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÁ, áñáÝóáí ëå³éíáõÙ ¿ P -Ý: Æñáùª M = f0; 1; 2; 3; : : :g μ P;

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

¨ M -Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (P3 ) ³ùëÇáÙÇ ³) ¨ μ) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, M = P : ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý ³ùëÇáÙÇó ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ ¿ Ý³¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý Ñ»ï¨Û³É ëÏ½μáõÝùÁ (»Õ³Ý³ÏÁ). n-Çó Ï³Ëí³Í A(n) åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ μáÉáñ n 2 P ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³1 ) A(n) åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ n = 0 ¹»åùáõÙ; μ1 ) A(n)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»Éáõó μËáõÙ ¿ A(n0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁª ó³ÝÏ³ó³Í n 2 P ï³ññÇ ¹»åùáõÙ: Æñáù, »Ã» M = fn 2 P j A(n)-Á ×Çßï ¿g;

³å³ M -Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (P3 ) ³ùëÇáÙÇ ³) ¨ μ) å³Ñ³ÝçÝ»ñÇÝ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, M = P , ³ÛëÇÝùÝª A(n) åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ μáÉáñ n 2 P ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ (»Õ³Ý³ÏÁ) ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝù (»Õ³Ý³Ï) Áëï n-Ç, Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª í»ñÑ³Ý·áõÙ Áëï n-Ç: ú·ïí»Éáí (P1 ) – (P3 ) ³ùëÇáÙÝ»ñÇó, μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ P μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ý»ñÙáõÍíáõÙ »Ý ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, §÷áùñÇ¦ ¨ §Ù»ÍÇ¦ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ ¨ ³å³óáõóíáõÙ »Ý μáÉáñ ³ÛÝ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù Ñ³ÛïÝÇ »Ý Ãí³μ³ÝáõÃÛáõÝÇó (¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó): êÏë»Ýù ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ (μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý) ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇóª a + 0 = a; a + b0 = (a + b)0 ; ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

a ¢ 0 = 0; a ¢ b0 = ab + a

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) 2 + 2 = 2 + 10 = (2 + 1)0 = (2 + 00 ) = ((2 + 0)0 )0 = (20 ) = 30 = 4; 2) 5 + 4 = 5 + 30 = (5 + 3)0 = (5 + 20 )0 = ((5 + 2)0 )0 = ((5 + 10 )0 )0 = (((5 + 1)0 )0 )0 = (((5 + 00 )0 )0 )0 = ((((5 + 0)0 )0 )0 )0 = (((50 )0 )0 )0 = ((60 )0 )0 = (70 )0 = 80 = 9; 3) a0 = (a + 0)0 = a + 00 = a + 1:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

4) ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ a0 = 1 + a Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, a + 1 = 1 + a: ²Ûëï»Õ ï»ÕÇÝ ¿ í»ñÑÇß»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³ÛïÝÇ Ëáëù»ñÁ, áñ §º·Çåï³óÇÝ»ñÇ ¨ ´³μ»ÉáÝóÇÝ»ñÇ ÏáÕÙÇó ³ÙμáÕç, é³óÇáÝ³É ¨ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ý»ñÙáõÍáõÙÇó ³í»ÉÇ ù³Ý 6000 ï³ñÇ Ñ»ïá, Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñÁ 19-ñ¹ ¹³ñÇ 90-³Ï³Ý Ãí³Ï³ÝÝ»ñÇÝ í»ñç³å»ë ³å³óáõó»óÇÝ, áñ 2 + 2 = 4¦: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³¨ ³å³óáõó»É ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.2: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ³ÛëÇÝùÝª

a + (b + c) = (a + b) + c (½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

¨ a + b = b + a (ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

ó³ÝÏ³ó³Í a; b; c 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõó»Ýù ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, ¹Çï»Éáí Ýñ³Ý áñå»ë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝª Ï³Ëí³Í c ÷á÷áË³Ï³ÝÇó: ê¨»é»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý c 2 P ï³ññ ¨ A(c)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ 8a 2 P; 8b 2 P

(a + (b + c) = (a + b) + c) :

ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ A(c)-Ý ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í c 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³é»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁ Áëï c-Ç: A(0)-Ý ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ a + (b + 0) = (a + b) + 0 : ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» A(c)-Ý ×Çßï ¿, ³ÛëÇÝùÝ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ a + (b + c) = (a + b) + c ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ ×Çßï ¿ Ý³¨ A(c0 )-Á, ³ÛëÇÝùÝª a + (b + c0 ) = (a + b) + c0

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 P ï³ññ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Æñáù, a + (b + c0 ) = a + (b + c)0 = (a + (b + c))0 = ((a + b) + c)0 = (a + b) + c0 ; ¼áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ²å³óáõó»Ýù ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ b = 0 ¹»åùáõÙ: ²Û¹ å³ï×³éáí a+0 =0+a Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù B(a)-áí ¨ ÏÇñ³é»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÁª Áëï a-Ç: B(0)-Ý ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ 0 + 0 = 0 + 0; ºÝÃ³¹ñ»Éáí B(a)-Ý ×Çßï, ³å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ×Çßï ÏÉÇÝÇ Ý³¨ B(a0 )-Á. a0 + 0 = a0 = (a + 0)0 = (0 + a)0 = 0 + a0 : ²ÛÅÙ ë¨»é»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý b 2 P ï³ññ ¨ 8a 2 P

(a + b = b + a)

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù C(b)-áí: C(0)-Ý ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí, áñ C(b)-Ý ×Çßï ¿, ³å³óáõó»Ýù C(b0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ. a + b0 = (a + b)0 = (b + a)0 = b + a0 = b + (1 + a) = (b + 1) + a = = (b + 00 ) + a = (b + 0)0 + a = b0 + a ó³ÝÏ³ó³Í a 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.3: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ·áõÙ³ñÁ Ï³åí³Í »Ý Ó³Ë ¨ ³ç μ³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí, ³ÛëÇÝùÝª a(b + c) = ab + ac;

(Ó³Ë μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

(a + b)c = ac + bc (³ç μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b; c 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A(c)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù 8a 2 P; 8b 2 P

(a(b + c) = ab + ac)

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ c 2 P , ³å³ A(0)-Ý, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, ÏÉÇÝÇ ×Çßï: ºÝÃ³¹ñ»Éáí A(c)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, ³ÛÅÙ ëï³Ý³Ýù Ý³¨ A(c0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ. a(b + c0 ) = a(b + c)0 = a(b + c) + a = (ab + ac) + a = ab + (ac + a) = ab + ac0 ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Ð³Ù³ÝÙ³Ý

»Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

Ý³¨

³ç ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.4: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ³ÛëÇÝùÝª a ¢ (b ¢ c) = (a ¢ b) ¢ c

¨ a¢b=b¢a

Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b; c 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù c 2 P : ºÃ» A(c)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù 8a 2 P; 8b 2 P

(a ¢ (b ¢ c) = (a ¢ b) ¢ c)

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, ³å³ A(0)-Ý, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, ÏÉÇÝÇ ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí A(c)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, ëï³Ý³Ýù Ý³¨ A(c0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ (û·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 12.3-Çó). a ¢ (b ¢ c0 ) = a ¢ (b ¢ c + b) = a(bc) + ab = (ab)c + ab = (ab) ¢ c0 ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ü³Ë í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý a ¢ 0 = 0 ¢ a ¨ a ¢ 1 = 1 ¢ a Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» B(b)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù 8a 2 P

(a ¢ b = b ¢ a)

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ b 2 P , ³å³ B(0)-Ý ×Çßï ¿, ÇëÏ B(b)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»Éáõó μËáõÙ ¿ Ý³¨ B(b0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, áñáíÑ»ï¨ Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí ³ç μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª a ¢ b0 = ab + a = ab + a ¢ 1 = ba + 1 ¢ a = (b + 1)a = b0 ¢ a ó³ÝÏ³ó³Í a 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÇ, B(b)-Ý ×Çßï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý b 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: àõëïÇ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ë ³å³óáõóí³Í ¿: ¤ ²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù §÷áùñÇ¦ ¨ §Ù»ÍÇ¦ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ºÃ» a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ k 6= 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ b = a + k, ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ a-Ý ÷áùñ ¿ b-Çó ¨ Ï·ñ»Ýùª a < b: a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÷áùñ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ b-Çó ¨ ·ñíáõÙ ¿ a 6 b, »Ã» a < b Ï³Ù a = b: ºÃ» a < b, ³å³ b-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ù»Í a-Çó ¨ ·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ b > a, ÇëÏ »Ã» a 6 b, ³å³ b-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ù»Í Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ a-Çó ¨ ·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ b > a: ºÃ» a 6= 0, ³å³ a > 0, áñáíÑ»ï¨ a = 0 + a (³Ûëï»Õ k = a): ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ n < n + 1 = n0 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, 0 < 1 < 2 < 3 < ¢ ¢ ¢ < n < n + 1 < ¢¢¢: ºÃ» a > b, ³å³ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ (Ñ³ÝáõÙ) ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ k 2 P μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ a = b + k: Ð»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.5:

áñï»Õ a; b; c 2 P :

a + c = b + c ! a = b;

²å³óáõóáõÙ: ÎÇñ³é»Ýù Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμª

í»ñÑ³Ý·Ù³Ý

8a 2 P; 8b 2 P

»Õ³Ý³ÏÁ

Ñ»ï¨Û³É

A(c)

(a + c = b + c ! a = b) :

²ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý A(0)-Ý ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ a+0=b+0!a=b : ºÝÃ³¹ñ»Éáí A(c)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, ³å³óáõó»Ýù A(c0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ. a + c0 = b + c0 ! (a + c)0 = (b + c)0 ! a + c = b + c ! a = b;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.5-Çó μËáõÙ ¿ Ý³¨, áñ a < a ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, »Ã» a 2 P : ºÃ» a > b, ³å³ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ a ¡ b Ó¨áí: ²ÛëåÇëáíª b + (a ¡ b) = a: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, a ¡ a = 0: ºÃ» a 6= 0, ³å³ a > 0 ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 12.1-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ b 2 P , áñ b0 = a: ²ÛëåÇëáíª b + 1 = a ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ a > 1 ¨ a ¡ 1 = b > 0: ºÃ» a < b, ³å³ b = a + k, k 6= 0, áñï»ÕÇó k ¡ 1 > 0 ¨ b = a + (1 + (k ¡ 1)) = (a + 1) + (k ¡ 1), ³ÛëÇÝùÝ a0 = a + 1 6 b: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.6: (1) ºÃ» a < b ¨ b < c , ³å³ a < c; (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) (2) ºÃ» a 6 b ¨ b 6 c, ³å³ a 6 c; (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) (3) ºÃ» a 6 b ¨ b 6 a, ³å³ a = b; (Ñ³Ï³ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ) (4) a 6 a ó³ÝÏ³ó³Í a 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ) ²ÛëåÇëáí, §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· >ª áñáßí³Í P μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

²å³óáõóáõÙ: (1) ºÃ» a < b, ³å³ b = a + k, áñï»Õ k 6= 0: ºÃ» b < c, ³å³ c = b + s, áñï»Õ s 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, c = (a + k) + s = a + (k + s), áñï»Õ k + s 6= 0: Æñáù, »Ã» s 6= 0, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý 12.1-Ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t 2 P , áñ t0 = s: Ð»ï¨³μ³ñª k + s = k + t0 = (k + t)0 6= 0 (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (P2 ) ³ùëÇáÙÇ): (2)-Á ¨ (4)-Á ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ²å³óáõó»Ýù (3)-Á: ºÃ» a = b + k ¨ b = a + s, ³å³ a = (a + s) + k = a + (s + k): ²Ûëï»ÕÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 12.5-Çª s + k = 0, áñï»ÕÇó μËáõÙ ¿ s = 0 ¨ k = 0 (áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ÇÝãå»ë ¨ ùÇã ³é³ç, ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝù s + k 6= 0): ²ÛëåÇëáíª a = b: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.7: Î³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁª a < b, a = b, a > b:

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.5-Çó ¨ 12.6-Çó μËáõÙ ¿, áñ Ýßí³Í ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ã»Ý

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

Ï³ñáÕ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ Ýßí³Í ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ: A(b)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁª 8a 2 P (a = b Ï³Ù 9k 2 P nf0g(a + k = b) Ï³Ù 9s 2 P nf0g(a = b + s)) ; áñï»Õ b 2 P : ²ÛÅÙ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù, áñ A(b)-Ý ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í b 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: A(0)-Ý ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» b = 0, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í a-Ç Ñ³Ù³ñ Ï³Ù a = 0, Ï³Ù a 6= 0: ºÃ» a 6= 0, ³å³ a = 0 + s, áñï»Õ s = a 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» b = 0, ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ A(b)-Ç ³é³çÇÝ Ï³Ù »ññáñ¹ ³éÝãáõÃÛáõÝÁ: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Éáí A(b)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, ³å³óáõó»Ýù A(b0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ: Æñáù, »Ã» a = b, ³å³ a + 1 = a0 = b0 (ï»ÕÇ áõÝÇ A(b0 )-Ç »ñÏñáñ¹ ³éÝãáõÃÛáõÝÁ): ºÃ» a+ k = b, ³å³ (a+ k)0 = b0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ a0 + k = b0 , ³ÛëÇÝùÝ a + (1 + k) = b0 (ï»ÕÇ áõÝÇ A(b0 )-Ç »ñÏñáñ¹ ³éÝãáõÃÛáõÝÁ): ÆëÏ »Ã» a = b + s, ³å³ a0 = (b + s)0 = (s + b)0 = s + b0 = b0 + s; ²Ûëï»Õ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ÝÃ³¹»åù»ñÁ: ³) s = 1; ²Ûë ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (P1 ) ³ùëÇáÙÇ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a = b0 (ï»ÕÇ áõÝÇ A(b0 )-Ç ³é³çÇÝ ³éÝãáõÃÛáõÝÁ): μ) s 6= 1; ²Ûë ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 12.1-Ç ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ t 6= 0, áñ t0 = s: Ð»ï¨³μ³ñª a0 = b0 + s = b0 + t0 = (b0 + t)0 ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (P1 ) ³ùëÇáÙÇª a = b0 + t, áñï»Õ t 6= 0 (ï»ÕÇ áõÝÇ A(b0 )-Ç »ññáñ¹ ³éÝãáõÃÛáõÝÁ): ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 12.1: Î³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï³Ù a 6 b Ï³Ù b 6 a: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.8: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ P μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ¹³ï³ñÏ K μ P »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ, ³ÛëÇÝùÝ ³ÛÝåÇëÇ k0 2 K ï³ññ, áñÁ ÷áùñ ¿ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ K Ç μáÉáñ ï³ññ»ñÇó: (²ÛÉ Ï»ñåª μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇáíÇÝ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ :)

²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù áã ¹³ï³ñÏ K μ P »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ãáõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ a2K !b6a

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ýß³Ý³Ï»Éáí A(b)-áí, áñï»Õ b 2 P , í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù, áñ A(b)-Ý ×Çßï ¿ μáÉáñ b 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, A(0)-Ý ³ÏÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí A(b)-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ, ³å³óáõó»Ýù A(b0 )-Ç ×Çßï ÉÇÝ»ÉÁ: ù³ÝÇ áñ A(b)-Ý »ÝÃ³¹ñ»É »Ýù ×Çßï, ³å³ a 2 K ! b 6 a;

Ð»ï¨³μ³ñ b 62 K ¨ b 6= a, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ b-Ý ÏÉÇÝ»ñ K-Ç ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÁ: àõëïÇ a 2 K ! b < a; Ñ»ï¨³μ³ñ a 2 K ! b0 = b + 1 6 a

¨ A(b0 )-Á ×Çßï ¿: ²ÛëåÇëáí A(b)-Ý ×Çßï ¿ μáÉáñ b 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÅÙ ëï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ K 6= ;, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a 2 K : A(b) μ³Ý³Ó¨Ç Ù»ç í»ñóÝ»Éáí b = a0 = a + 1 ÏáõÝ»Ý³Ýùª a 2 K ! a + 1 6 a; ³ÛëÇÝùÝ a μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ëï³ÝáõÙ »Ýù a + 1 6 a, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: Æñáù, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí Ý³¨ a 6 a + 1 å³ÛÙ³ÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª a + 1 = a: ¤ Æ í»ñçá ³å³óáõó»Ýù, áñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ: ¸Çóáõù P -Ý ¨ P ¤ -Á μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ¾ : P ! P ¨ ¾¤ : P ¤ ! P ¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý ä»³ÝáÛÇ »ñ»ù ³ùëÇáÙÝ»ñÁª ÇÝãå»ë P , ³ÛÝå»ë ¿É P ¤ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: P ¨ P ¤ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ³Ó¨ Ï³Ù Ç½áÙáñý ¨ ·ñíáõÙ ¿ª P ' P ¤ , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : P ! P ¤ μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ '[¾(x)] = ¾ ¤ ['(x)]; μ) '(0) = 0¤ ;

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

²Û¹ ¹»åùáõÙ, ' : P ! P ¤ μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ç½áÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 12.9: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ P μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ Ç½áÙáñý »Ý:

¨ P¤

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù P = f0; 1; 2; : : :g ¨ P ¤ = f0¤ ; 1¤ ; 2¤ ; : : :g: ê³ÑÙ³Ý»Éáí ' : P ! P ¤ μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª '(0) = 0¤ ; '(1) = 1¤ ; '(2) = 2¤ ; : : : í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ '[¾(x)] = ¾¤ ['(x)] ¤

å³ÛÙ³ÝÁ:

²ÛëåÇëáí Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (ß³ñùÁ) áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ÀÝ¹ áñáõÙ, ' Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ ³Ûëï»Õ ÝáõÛÝÇëÏ ÙÇ³ÏÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» ' : P ! P ¤ ¨ '1 : P ! P ¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñ »Ý, ³å³ '(x) = '1 (x) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 P ï³ññÇ ¹»åùáõÙ: Æñáù, '(0) = 0¤ = '1 (0): ¸Çóáõù '(a) = '1 (a), a 2 P : ²Û¹ ¹»åùáõÙ ¾¤ ['(a)] = ¾¤ ['1 (a)] ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ '[¾(a)] = '1 [¾(a)], ³ÛëÇÝùÝ '(a0 ) = '1 (a0 ): àõëïÇ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝùÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ '(x) = '1 (x) μáÉáñ x 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, áã ¹³ï³ñÏ P μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¾ : P ! P ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý (ýáõÝÏóÇ³ÛÇ) Ñ»ï Ù»Ïï»Õ (Ï³Ù ÝÏ³ïÙ³Ùμ) ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ¹ÇÝ³ÙÇÏ (ß³ñÅáõÝ) Ñ³Ù³Ï³ñ· ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ P (¾)áí: ì»ñçÇÝÝ»ñÇë Ñ»ï³½áïáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ áã ÙÇ³ÛÝ Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó, ³ÛÉ¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·ÇïáõÃÛ³Ý ¨ Ýñ³ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 P μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª a ¢ 1 = a:

2. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 P , a 6= 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª a = |1 + ¢{z ¢ ¢ + 1}: a

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

3. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P , b 6= 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a¢b=a ¢ ¢ + a} : | + ¢{z b

4. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª b 6= 0 ! a 6= a + b : 5. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a+b 6= 0, »Ã» a 6= 0 Ï³Ù b 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» a + b = 0, ³å³ a = 0 ¨ b = 0: 6. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a 6= 0; b 6= 0 ! a ¢ b 6= 0 : 7. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b; c 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a ¢ c = b ¢ c ! a = b; áñï»Õ c 6= 0: 8. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b; c 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ). (a + b) ¡ b = a; a ¡ (b ¡ c) = (a + c) ¡ b; a ¡ (b + c) = (a ¡ b) ¡ c; (a + b) ¡ c = (a ¡ c) + b; (a + b) ¡ c = a + (b ¡ c); (a + b) ¡ (c + d) = (a ¡ c) + (b ¡ d); (a ¡ b) ¡ (c ¡ d) = (a ¡ c) ¡ (b ¡ d) : 9. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b; c 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a <b!a+c<b+c:

¶ÉáõË 12 îºê²-´²¼Ø²ÚÆÜ ºì ²øêÆàØ²ÚÆÜ Î²èàôòàôØÜºð

10. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b; c 2 P , c 6= 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a < b ¡! a ¢ c < b ¢ c : 11. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b; c 2 P μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª a 6 b; b < c ¡! a < c; a < b; b 6 c ¡! a < c :

Ø³ë ´

¸³ë³Ï³Ý ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí

¶ É áõ Ë 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð ºì îºÔ²öàÊàôÂÚàôÜÜºð 13.1. ¼áõÛ· ¨ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñ ® : A ! A ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ: A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É SA -áí: n-ï³ññ³ÝÇ A = f1; 2; : : : ; ng μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ, Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª n-ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ: n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Sn -áí: Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ jSn j = n! (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 0.8): Î³ë»Ýù, áñ (i; j) Ãí³½áõÛ·Á (Ï³Ù ½áõÛ·Á), áñï»Õ i; j 2 f1; : : : ; ng, i 6= j, Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ (Ï³ï³ñáõÙ) ¿ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ (Ù»ç), »Ã» i < j, μ³Ûó ®(i) > ®(j): ºÃ» (i; j) Ãí³½áõÛ·Á Ï³ï³ñáõÙ ¿ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ (i; j)-Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù Ý³¨ (®-Ç) Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ, Ï³Ù Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ®-áõÙ: (i; i + 1) ï»ëùÇ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ññ³Ï³Ý: ºÃ» ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ μáÉáñ Ãí³½áõÛ·»ñÇ ÃÇíÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù I(®)-áí, ³å³ (¡1)I(®) ³ëïÇ×³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ýß³Ý ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª sgn (®) = (¡1)I(®) ; ²ÛëåÇëáí, ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ sgn : Sn ! f1; ¡1g ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ½áõÛ·áõÃÛ³Ý ýáõÝÏóÇ³: n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ® ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõÛ·, »Ã» Ýñ³ Ýß³ÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Çª sgn (®) = 1, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ Ãí³½áõÛ·»ñ ãÏ³Ý (I(®) = 0), Ï³Ù ¹ñ³Ýó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½áõÛ· ÃíÇ: n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ® ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï»Ýï, »Ã» sgn (®) = ¡1, ³ÛëÇÝùÝª ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ Ãí³½áõÛ·»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ï»Ýï ÃÇí ¿: úñÇÝ³Ï, μ ¶ 1; 2; : : : ; n "= 1; 2; : : : ; n

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ ãÏ³ Ýñ³ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ áñ¨¿ Ãí³½áõÛ·: ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ãÏ³ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ áñ¨¿ Ãí³½áõÛ·, ³å³ ®Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿: Æñáù, ³å³óáõó»Ýù ®(1) = 1, ®(2) = 2, : : :, ®(n) = n Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºÃ» ®(1) = k > 1, ³å³ ®-Ç ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ i > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ®(i) = 1: àõëïÇ, (1; i) Ãí³½áõÛ·Á Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ¿: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Ð»ï¨³μ³ñª ®(1) = 1: àñÇó Ñ»ïá, Ñ³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ëï³óíáõÙ »Ý Ý³¨ ÙÝ³ó³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛëåÇëáíª I(®) = 0 Ã! ® = "; ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ i; j 2 f1; : : : ; ng, i 6= j, Ãí»ñ, áñ ®(i) = j; ®(j) = i; ®(x) = x μáÉáñ x 2 f1; : : : ; ng, x 6= i; j Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ ® = (i; j): ºÃ» ® = (i; i+1), ³å³ ³Û¹åÇëÇ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ññ³Ï³Ý: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Çñ Ñ»ïª ®¡1 = ®, áñáíÑ»ï¨ ® ¢ ® = ":

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 13.1: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® = (i; j) ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ , áñáíÑ»ï¨ Ýñ³ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 2(j ¡ i) ¡ 1 Ï»Ýï ÃíÇÝ (i < j ):

²å³óáõóáõÙ: äÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿ ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Æñáù, »Ã» j = i + 1-Ç, ³ÛëÇÝùÝª μ ¶ 1; : : : ; i ¡ 1; i; i + 1; i + 2; : : : ; n ®= ; 1; : : : ; i ¡ 1; i + 1; i; i + 2; : : : ; n

³å³ ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÙÇ³Ï Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ Ãí³½áõÛ·Á (i; i + 1) ½áõÛ·Ý ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÝóÝ»Ýù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùÇÝ: ¸Çóáõù ® = (i; j), áñï»Õ i < j ¨ j ¡ i > 1, ³ÛëÇÝùÝª μ ¶ 1; : : : ; i ¡ 1; i; i + 1; : : : ; j ¡ 1; j; j + 1; : : : ; n ®= ; 1; : : : ; i ¡ 1; j; i + 1; : : : ; j ¡ 1; i; j + 1; : : : ; n ²Ûë ¹»åùáõÙ ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ μáÉáñ Ãí³½áõÛ·»ñÝ »Ýª (i; i + 1); : : : ; (i; j ¡ 1); (i; j); (i + 1; j); : : : ; (j ¡ 1; j);

áñáÝó ÃÇíÁ Ï»Ýï ¿ ¨ Ñ³í³ë³ñ ¿ª

(j ¡ i) + (j ¡ 1 ¡ i) = 2(j ¡ i) ¡ 1 :

úñÇÝ³Ï, ® = (1; 8) ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª 2(8 ¡ 1) ¡ 1 = 13: Â»áñ»Ù 13.1: ÜáõÛÝ³Ï³Ý (ÙÇ³íáñ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ , Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¸»é ³í»ÉÇÝ, ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ï³Ù ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ , Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ I(®) Ãíáí ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ:

²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: ¸Çóáõù ® 2 Sn , ® 6= ": Ð»ï¨³μ³ñ, n > 1 ¨ I(®) > 1, ³ÛëÇÝùÝª ®-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ®-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨ ï³ññ³Ï³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ: Æñáù, ¹Çóáõù ®-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ (i; j) Ï³ñ·Ç Ë³Ë³ïáõÙ, μ³Ûó ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ áñ¨¿ ï³ññ³Ï³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ: àõëïÇª i < j ¡! i < i + 1 < ¢ ¢ ¢ < j ¡ 1 < j ¡! ¡! ®(i) < ®(i + 1) < ¢ ¢ ¢ < ®(j ¡ 1) < ®(j) ¡! ®(i) < ®(j);

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ (i; j) Ãí³½áõÛ·Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí, ®-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ï³ññ³Ï³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª áñ¨¿ (i; i + 1) ï»ëùÇ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ:

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

²ÛÅÙ ÝÏ³ï»Ýù, áñ ®=

1; : : : ; n a1 ; : : : ; an

ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ó³ËÇó μ³½Ù³å³ïÏ»É áñ¨¿ ¯ = (i; i + 1) ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ùμ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ®-Ç »ñÏñáñ¹ ïáÕáõÙ ï»Õ³÷áË»É ai ¨ ai+1 ï³ññ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª μ ¶ 1; : : : ; i ¡ 1; i; i + 1; i + 2; : : : ; n ; a1 ; : : : ; ai¡1 ; ai+1 ; ai ; ai+2 ; : : : ; an áñáíÑ»ï¨ª (¯ ¢ ®)i = ®(¯i) = ®(i + 1) = ai+1 , (¯ ¢ ®)(i + 1) = ®(¯(i + 1)) = ®(i) = ai , (¯ ¢ ®)x = ®(¯x) = ®(x), »Ã» x 6= i; i + 1; ²ñ¹ÛáõÝùáõÙª ½ I(®) + 1; »Ã» (i; i + 1) Ãí³½áõÛ·Á ®-Ç Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ã¿; I(¯¢®) = I(®) ¡ 1; Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ; (13.1) Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» (i1 ; i1 +1) Ãí³½áõÛ·Á ®-Ç áñ¨¿ ï³ññ³Ï³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ¿, ³å³ ®-Ý Ó³ËÇó μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ®1 = (i1 ; i1 + 1) ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ùμ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ÙÇ Ýáñ ®1 ¢ ® ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ, áñÇ Ù»ç (i1 ; i1 + 1) Ãí³½áõÛ·Ý ³ñ¹»Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ ã¿ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ®1 ¢® ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ù»Ïáí å³Ï³ë ù³Ý ®-Ç Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁª I(®1 ¢ ®) = I(®) ¡ 1 : ºÃ» ³Ûëï»Õ ®1 ¢ ® 6= ", ³ÛëÇÝùÝª I(®) ¡ 1 6= 0, ³å³ ÏñÏÝ»Éáí Ï³ï³ñí³Í ù³ÛÉÁ, ·ïÝáõÙ »Ýù ÙÇ ³ÛÝåÇëÇ Ýáñ ®2 = (i2 ; i2 + 1) ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ, áñ I(®2 ®1 ®) = I(®1 ®) ¡ 1 = I(®) ¡ 2 ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ø³ÝÇ áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ù³ÛÉÇó Ñ»ïá ëï³óí³Í ³ñï³¹ñÛ³É ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ù»Ïáí å³Ï³ë ¿ Ý³Ëáñ¹ ù³ÛÉáõÙ áõÝ»ó³Í ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÃíÇó, ³å³ Ç í»ñçá k = I(®) Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá Ï·ïÝ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; : : : ; ®k ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ I (®k ¢ ®k¡1 ¢ ¢ ¢ ®1 ¢ ®) = 0; ³ÛëÇÝùÝª ®k ¢ ®k¡1 ¢ ¢ ¢ ®1 ¢ ® = ": ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ ®¡1 = ®i ³ÛëÇÝùÝª i ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ÇÝùÝ ¿, ³å³ ¡1 ® = ®1¡1 ¢ ®¡1 2 ¢ ¢ ¢ ®k = ®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®k ;

áñï»Õ k = I(®):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.1: ÜáõÛÝ³Ï³Ý (ÙÇ³íáñ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ½áõÛ· Ãíáí ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¸»é ³í»ÉÇÝ, ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ½áõÛ· Ãíáí ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.2: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ Ï»Ýï Ãíáí ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¸»é ³í»ÉÇÝ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ , Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ Ï»Ýï Ãíáí ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¤ Ð³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÝ»ñÁ Ñ³ëÏ³Ý³ÉÇ ¹³ñÓÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ë åÇïÇ ëï³Ý³Ýù ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ýß³ÝÇ áñáßÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ: ØÇÝã ³Û¹ ¹Çï³ñÏ»Ýù ûñÇÝ³Ï: μ ¶ 1 2 3 4 5 úñÇÝ³Ï, »Ã» ® = , ³å³ ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ 2 5 3 1 4 Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ï³ï³ñáÕ Ãí³½áõÛ·»ñÝ »Ýª (1; 4), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 4), ³ÛëÇÝùÝª I(®) = 5 ¨ ® -Ý Ï»Ýï ¿: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³ßí»Éáí Ñ»ï¨Û³É ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁª Áëï ï³ññ³Ï³Ý Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýù. μ ¶ μ ¶ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (2; 3) ¢ = ; 2 5 3 1 4 2 3 5 1 4 μ ¶ μ ¶ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (3; 4) ¢ = ; 2 3 5 1 4 2 3 1 5 4

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

(2; 3) ¢ (1; 2) ¢ (4; 5) ¢

Ð»ï¨³μ³ñª μ 1 2 3 2 5 3

1 2 3 2 3 1

4 5 5 4

1 2 3 2 1 3

4 5 5 4

1 2 3 4 1 2 3 5

4 5 1 4

= =

1 2 3 4 2 1 3 5

1 2 3 4 1 2 3 5

; ;

= (2; 3) ¢ (3; 4) ¢ (2; 3) ¢ (1; 2) ¢ (4; 5);

® ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ³Ûë í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 13.1-Ç ³å³óáõóÙ³ÝÁ: ê³Ï³ÛÝ ¹³ ®-Ç ÙÇ³Ï í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ã¿ Áëï ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: úñÇÝ³Ïª μ ¶ 1 2 3 4 5 = (1; 2) ¢ (1; 5) ¢ (1; 4) : 2 5 3 1 4 Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³ñó ¿ Í³·áõÙ Ý³¨, Ã» ÇÝã Ï³å ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ® ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ï³ñμ»ñ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: ²Ûë ¨ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ýß³ÝÇ Ï³ÝáÝÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ë»ñïáñ»Ý Ï³åí³Í »Ý: Æ í»ñçá å³ñ½íáõÙ ¿, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ® ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý μáÉáñ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃíÇ ½áõÛ·áõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝÝ ¿, ÇëÏ I(®)-Ý ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ÛÝ ÷áùñ³·áõÛÝ (ÙÇÝÇÙ³É) ÃÇíÝ ¿, áñáÝó ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ïñí³Í ®-Ý: êÏë»Ýù í»ñçÇÝ åÝ¹Ù³Ý ÑÇÙÝ³íáñáõÙÇó: ¤ Â»áñ»Ù 13.2 (ÙÇÝÇÙ³ÉáõÃÛ³Ý Ï³Ù ûåïÇÙ³ÉáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É): ºÃ» ® 2 Sn , ® 6= " ¨ ® = ¯1 ¢ ¢ ¢ ¯m ;

áñï»Õ ¯j ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ m > I(®), ÇëÏ m ¡ I(®) > 0 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ½áõÛ· ÃÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® = ¯1 ¢ ¢ ¢ ¯m , ³å³ ¯m ¢ ¢ ¢ ¯1 ® = ": Ð³Ù³Ó³ÛÝ (13.1) μ³Ý³Ó¨Ç, ® ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ó³ËÇó áñ¨¿ ¯ ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛ³Ùμ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõó ®-Ç Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ï³Ù 1-áí ³í»É³ÝáõÙ ¿, Ï³Ù 1-áí å³Ï³ëáõÙ: ¸Çóáõù t Ñ³ï

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ó³ËÇó μ³½Ù³å³ïÏí³Í ¯i ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ 1-áí ³í»É³óÝáõÙ »Ý »Õ³Í Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í m ¡ t Ñ³ï ¯j ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ 1-áí å³Ï³ë»óÝáõÙ »Ý »Õ³Í Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙª I (¯m ¢ ¢ ¢ ¯1 ®) = I("); I(®) + t ¡ (m ¡ t) = 0; m ¡ I(®) = 2t > 0 :

Â»áñ»Ù 13.3: Î³Ù³Û³Ï³Ý ®; ¯ 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ sgn (® ¢ ¯) = sgn (®) ¢ sgn (¯) :

²å³óáõóáõÙ: ²é³Ýó ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ Ë³Ëï»Éáõ Ï³ñáÕ »Ýù »ÝÃ³¹ñ»É, áñ ® 6= " (áñáíÑ»ï¨ ® = " ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿): øÝÝ³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ¹»åù: ³) ® = (i; i + 1); ²Ûë ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (13.1) μ³Ý³Ó¨Çª ½ I(¯) + 1; »Ã» ¯(i) < ¯(i + 1); I(® ¢ ¯) = I(¯) ¡ 1; »Ã» ¯(i) > ¯(i + 1); ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, sgn (® ¢ ¯) = (¡1)I(®¢¯) = (¡1)I(¯)§1 = (¡1)§1 ¢ (¡1)I(¯) = = (¡1) ¢ (¡1)I(¯) = sgn (®) ¢ sgn (¯);

μ) ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 13.1-Ç, ® ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ í»ñ³Í»Éáí k = I(®) Ãíáí ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ® = ®1 ¢ ¢ ¢ ®k ¨ ³ëïÇ×³Ý³μ³ñ û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ ¹»åùÇó áõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 13.1-Çó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª sgn (® ¢ ¯) = sgn (®1 ¢ ¢ ¢ ®k ¢ ¯) = sgn (®1 ) ¢ sgn (®2 ¢ ¢ ¢ ®k ¢ ¯) = = (¡1) ¢ sgn (®2 ¢ ¢ ¢ ®k ¢ ¯) = (¡1)2 ¢ sgn (®3 ¢ ¢ ¢ ®k ¢ ¯) = ¢ ¢ ¢ = (¡1)I(®) ¢ sgn (¯) = sgn (®) ¢ sgn (¯) :

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.3: Î³Ù³Û³Ï³Ý ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª sgn ® = sgn (®¡1 ), ³ÛëÇÝùÝª ®-Ý ½áõÛ· ¿ (Ï»Ýï ¿ ) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ½áõÛ· ¿ (Ï»Ýï ¿ ) ®¡1 -Á: ²å³óáõóáõÙ: 1 = sgn " = sgn (® ¢ ®¡1 ) = sgn (®) ¢ sgn (®¡1 ) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.4: ì»ñç³íáí Ãíáí Ï³Ù³Û³Ï³Ý ®1 ; : : : ; ®m 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª sgn (®1 ¢ ¢ ¢ ®m ) = sgn (®1 ) ¢ ¢ ¢ sgn (®m ) :

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.5: ºñÏáõ (Ï³Ù ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë í»ñç³íáñ Ãíáí) n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ : ºñÏáõ (Ï³Ù ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë ½áõÛ· Ãíáí) n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ : Î»Ýï Ãíáí n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ : àñå»ë½Ç ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõÛ· (Ï»Ýï) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ í»ñ³ÍíÇ ½áõÛ· (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ï»Ýï) Ãíáí ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¤ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ An -áí: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 13.2: n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ½áõÛ· ¨ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ n! ù³Ý³ÏÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý (n > 1), ³ÛëÇÝùÝª jAn j = jSn n An j = ;

²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Ï³éáõó»É áñ¨¿ f : An ¡! Sn n An ;

n > 1;

μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 2 An ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù f(®) = ® ¢ (1; 2) 2 Sn n An ; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ f -Á ÇÝÛ»ÏïÇí (Ý»ñ¹ñáÕ) ¿ª f (®1 ) = f (®2 ) ¡! ®1 = ®2 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñáíÑ»ï¨ª ®1 ¢(1; 2) = ®2 ¢(1; 2) ¡! ®1 ¢(1; 2)¢(1; 2)¡1 = ®2 ¢(1; 2)¢(1; 2)¡1 ¡! ®1 = ®2 : f -Á Ý³¨ ëÛáõñ»ÏïÇí (í»ñ³¹ñáÕ) ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¯ 2 Sn n An Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ® 2 An ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ, áñ f (®) = ¯: Æñáù, ÁÝïñ»Éáí ® = ¯ ¢ (1; 2), ÏáõÝ»Ý³Ýùª ® 2 An ¨ f (®) = ® ¢ (1; 2) = ¯ ¢ (1; 2) ¢ (1; 2) = ¯ ¢ " = ¯ : ¤

13.2. î»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ, ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ²ÝóÝ»Ýù ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇÝ: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ (i1 ; i2 ; : : : ; in ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ) ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ, áñ ®(1) = i1 , ®(2) = i2 , : : :, ®(n) = in : ²Ûë ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É (i1 ; i2 ; : : : ; in ) = [®]: i1 ; i2 ; : : : ; in Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý (i1 ; i2 ; : : : ; in ) n-ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ: ºñÏáõ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª [®] ¢ [¯] = [® ¢ ¯] :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝª ([®] ¢ [¯]) ¢ [°] = [®] ¢ ([¯] ¢ [°]) :

[®] n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõÛ· (Ï»Ýï), »Ã» ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ½áõÛ· (Ï»Ýï) ¿: ¼áõÛ· ¨ Ï»Ýï ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í μáÉáñ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý ½áõÛ· ¨ Ï»Ýï n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »ñÏáõ (Ï³Ù í»ñç³íáñ Ãíáí) ½áõÛ· n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõÛ· nï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ¿: n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ [®] ¢ ["] = ["] ¢ [®] = [®]

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

¨ »Ã» ® ¢ ®¡1 = ®¡1 ¢ ® = ", ³å³ ¤ £ ¤ £ [®] ¢ ®¡1 = ®¡1 ¢ [®] = ["];

áñï»Õ ["] = (1; 2; : : : ; n): ²ÛÉ Ï»ñå, μáÉáñ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÙÇ³íáñ ¨ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ´áÉáñ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù Pn -áí, ÇëÏ μáÉáñ ½áõÛ· n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª Tn -áí: Î³ë»Ýù, áñ (ik ; is ) Ãí³½áõÛ·Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ (Ï³ï³ñáõÙ) ¿ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ (i1 ; i2 ; : : : ; in ) n-ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ù»ç, »Ã» k < s, μ³Ûó ik > is : ºÃ» (i1 ; i2 ; : : : ; in ) = [®] n-ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ù»ç Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ μáÉáñ Ãí³½áõÛ·»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù I[®]áí, ³å³ I[®] = I(®), áñáíÑ»ï¨ (ik ; is ) Ãí³½áõÛ·Á Ï³ï³ñáõÙ ¿ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙ [®] n-ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ (k; s) Ãí³½áõÛ·Á Ï³ï³ñáõÙ ¿ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÝ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Ð»ï¨³μ³ñ, (¡1)I[®] = (¡1)I(®) : (ik ; ik+1 ) ï»ëùÇ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ññ³Ï³Ý: 1) ´áÉáñ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n!-Ç, ³ÛëÇÝùÝª μáÉáñ n-ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ: ¤ 2) ´áÉáñ ½áõÛ· n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ μáÉáñ Ï»Ýï n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ (n > 2): ¤ 3) ºÃ» n-ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ù»ç Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ï»Õ»ñÁ ÷áË»Ýù, ³å³ ¹ñ³ÝÇó Ï÷áËíÇ Ýñ³ ½áõÛ·áõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª Ï»Ýï n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ Ï¹³éÝ³ ½áõÛ·, ÇëÏ ½áõÛ·Áª Ï»Ýï: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (i1 ; : : : ; ik ; : : : ; is : : : ; in ) = [®], ³å³ (i1 ; : : : ; is ; : : : ; ik : : : ; in ) = [¯ ¢ ®] = [¯] ¢ [®], áñï»Õ ¯ = (k; s), ¨ sgn(¯ ¢ ®) = sgn(¯) ¢ sgn(®) = ¡sgn(®): ¤ 4) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ [®] n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿ ëï³óí»É Ï³Ù³Û³Ï³Ý [¯] n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó, í»ñçÇÝÇë Ù»ç Ýñ³ ÙÇ ù³ÝÇ (Ñ³ñ¨³Ý) ï³ññ»ñÇ ï»Õ»ñÁ ÷áË»Éáí: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ° = ® ¢ ¯ ¡1 2 Sn , ³å³ ° ¢ ¯ = ®, [° ¢ ¯] = [®] ¨ [°] ¢ [¯] = [®]: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 13.1-Çó ¨ ° 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ í»ñ³Í»É ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª ° = °1 ¢ ¢ ¢ °l ; àõëïÇª [°1 ] ¢ ¢ ¢ [°l ] ¢ [¯] = [®] :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

13.3. ÞñçáõÝ (óÇÏÉ³ÛÇÝ) ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñ x 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® 2 SA ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ß³ñÅáõÝ Ï»ï (ï³ññ), »Ã» ®(x) 6= x: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, x 2 A ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® 2 SA ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï (®(x) = x): ® 2 SA ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý μáÉáñ ß³ñÅáõÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù mob(®)-áíª mob(®) = fx 2 A j®(x) 6= xg μ A; ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ mob(®) = ; Ã! ® = " :

®; ¯ 2 SA ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³ÝÏ³Ë, »Ã» Ýñ³Ýó ß³ñÅáõÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã»Ý Ñ³ïíáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª mob(®) \ mob(¯) = ; : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 13.3: 1) mob(®)-Ý Ï³ÛáõÝ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) ¿ ®-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª x 2 mob(®) ¡! ®(x) 2 mob(®);

2) mob(®¡1 ) = mob(®) :

²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù mob(®) 6= ; ¨ x 2 mob(®): ²å³óáõó»Ýù, áñ ®(x) 2 mob(®): ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, ®(®x) = ®(x) å³ÛÙ³ÝÇó, ®-Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®(x) = x; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ x 2 mob(®) å³ÛÙ³ÝÇÝ: 2) ®(x) = x Ã! ®¡1 (®x) = ®¡1 (x) Ã! x = ®¡1 (x); ²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª x2 = mob(®) Ã! x 2 = mob(®¡1 ); Ð»ï¨³μ³ñª mob(®¡1 ) = mob(®) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.6: ºÃ» mob(®) 6= ;, ³å³ mob(®)-Ý ³éÝí³½Ý »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ¿ :

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» mob(®) 6= ;, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a 2 mob(®): Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 13.3-Ç, ®(a) 2 mob(®), áñï»Õ ®(a) 6= a, ³ÛëÇÝùÝª mob(®)-Ý ÏÉÇÝÇ ³éÝí³½Ý »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 13.4: ºÃ» A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ® ¨ ¯ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÝÏ³Ë »Ý, ³ÛëÇÝùÝª mob(®) \ mob(¯) = ;, ³å³

1) ® ¢ ¯ = ¯ ¢ ®; 2) mob(® ¢ ¯) = mob(®) [ mob(¯); ²å³óáõóáõÙ: 1) ²å³óáõó»Ýù (® ¢ ¯)x = (¯ ¢ ®)x Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 A ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» x 2 mob(®), ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 13.3-Ç ®(x) 2 mob(®): Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï ®-Ç áõ ¯-Ç ³ÝÏ³ËáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇ, x; ®(x) 2 = mob(¯), ³ÛëÇÝùÝª ¯(x) = x, ¯(®x) = ®(x) ¨ (® ¢ ¯)x = ¯(®x) = ®(x); (13.2) (¯ ¢ ®)x = ®(¯x) = ®(x);

(13.3)

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ùÝÝ³ñÏíáõÙ ¿ Ý³¨ x 2 mob(¯) ¹»åùÁ: ÆëÏ x 2 = mob(®) [ mob(¯) ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ ³Ûë ¹»åùáõÙ x 2 = mob(®) ¨ x 2 = mob(¯), ³ÛëÇÝùÝª ®(x) = x ¨ ¯(x) = x, Ñ»ï¨³μ³ñª (® ¢ ¯)x = ¯(®x) = ¯(x) = x; (¯ ¢ ®)x = ®(¯x) = ®(x) = x;

2) ºÃ» x 2 = mob(®) [ mob(¯), ³å³ ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù (® ¢ ¯)x = x, ³ÛëÇÝùÝª x 2 = mob(® ¢ ¯): àõëïÇ, »Ã» x 2 mob(® ¢ ¯), ³å³ x 2 mob(®) [ mob(¯): ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» x 2 mob(®) [ mob(¯), ³å³ x 2 mob(® ¢ ¯): Æñáù, ¹Çóáõù x 2 mob(®): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (13.2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ýª (®¢¯)x = ®(x) 6= x, ³ÛëÇÝùÝª x 2 mob(®¢¯): Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóáõÙ »Ýù Ý³¨, áñ »Ã» x 2 mob(¯), ³å³ x 2 mob(® ¢ ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 13.7: ºÃ» A μ³½ÙáõÃÛ³Ý ®1 ; ®2 ; : : : ; ®n ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ³ÝÏ³Ë »Ý, ³ÛëÇÝùÝª mob(®i ) \ mob(®j ) = ;, ³ñï»Õ i 6= j ¨ i; j 2 f1; : : : ; ng, ³å³ mob(®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n ) = mob(®1 ) [ mob(®2 ) [ ¢ ¢ ¢ [ mob(®n ) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): n = 2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» n-Çó ùÇã Ãíáí ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ³ÝÏ³Ë ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙª mob(®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n¡1 ) = mob(®1 ) [ mob(®2 ) [ ¢ ¢ ¢ [ mob(®n¡1 ) ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ®1 ; ®2 ; : : : ; ®n¡1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ®n -Á ÏÉÇÝ»Ý ³ÝÏ³Ë: àõëïÇª mob(®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n ) = mob ((®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n¡1 ) ¢ ®n ) = = mob(®1 ¢ ®2 ¢ ¢ ¢ ®n¡1 ) [ mob(®n ) = = mob(®1 ) [ ¢ ¢ ¢ [ mob(®n¡1 ) [ mob(®n ) :

® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ (n > 1) ÏáãíáõÙ ¿ ßñçáõÝ (óÇÏÉ³ÛÇÝ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ÛÝåÇëÇ i1 ; i2 ; : : : ; ik μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ (k > 1), áñ 1 6 i1 ; i2 ; : : : ; ik 6 n ¨ ®(i1 ) = i2 ; ®(i2 ) = i3 ; .. . ®(ik¡1 ) = ik ; ®(ik ) = i1 ; ÇëÏ ®(x) = x Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 6= i1 ; : : : ; ik μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ (1 6 x 6 n): ²Û¹ ¹»åùáõÙ ® 2 Sn ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ® = (i1 ; i2 ; : : : ; ik ) Ó¨áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» ® = (i1 ; i2 ; : : : ; ik ), ³å³ © ª mob(®) = fi1 ; i2 ; : : : ; ik g = i1 ; ®(i1 ); : : : ; ®k¡1 (i1 ) = © ª © ª = i2 ; ®(i2 ); : : : ; ®k¡1 (i2 ) = ¢ ¢ ¢ = ik ; ®(ik ); : : : ; ®k¡1 (ik ) ;

ÇëÏ k-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ® ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ¢ ¢ ®} = " ®k = ® | ¢{z k

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

¨ Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ®¡1 = ®k¡1 ; ÞñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ¨ë ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» ® = (i1 ; i2 ; : : : ; ik ), ³å³ ®¡1 = (ik ; ik¡1 ; : : : ; i2 ; i1 ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ Ï³Ù Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: ²í»ÉÇ ×Çßï, 2 »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùμ ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í ¹»åù»ñáõÙ (k > 2)ª (i1 ; i2 ; : : : ; ik ) = (i1 ; i2 ) ¢ (i1 ; i3 ) ¢ ¢ ¢ (i1 ; ik ) ; áñÇ ëïáõ·áõÙÁ ÝáõÛÝå»ë Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ áñå»ë »ñÏáõ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³Ï, Ó³Ë Ù³ëáõÙ i2 -Á ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ i3 -ÇÝ, ÇëÏ ³ç Ù³ëÇ ³é³çÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙáí i2 -Á Ý³Ë ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ i1 -ÇÝ, »ñÏñáñ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙáí ëï³óí³Í i1 -Á ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ i3 -ÇÝ, áñÁ ³ç Ù³ëÇ ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñáí ãÇ ÷áËíáõÙ: ²ÛëåÇëáí, ³ç Ù³ëÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ i2 -Á ÝáõÛÝå»ë ³ñï³å³ïÏ»ñí»ó i3 -ÇÝ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ® = (i1 ; i2 ; : : : ; ik ) ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ½áõÛ· ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ k-Ý Ï»Ýï ¿ (Ï³Ù k ¡ 1 ÃÇíÁ ½áõÛ· Â»áñ»Ù 13.4: ÜáõÛÝ³Ï³Ý (ÙÇ³íáñ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ Ï³Ù ßñçáõÝ ¿ , Ï³Ù í»ñ³ÍíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí (½áõÛ· ³é ½áõÛ·) ³ÝÏ³Ë ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ÀÝ¹ áñáõÙ, ³Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË»ÉÇáõÃÛ³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý:

²å³óáõóáõÙ: ® 6= " ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï m® = jmob(®)j > 2 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ (ï»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 13.6-Á): ºÃ» m® = 2, ³ÛëÇÝùÝª mod(®) = fi2 ; i2 g, ³å³ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ®-Ý ÏÉÇÝÇ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝª ® = (i1 ; i2 ), áñÁ 2 »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùμ ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿: ¸Çóáõù m > 2 ¨ ¹Çóáõù í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ® 2 Sn ¨ ® 6= " ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñ 2 6 m® < m: ¸Çóáõù ³ÛÅÙ ® 2 Sn , ® 6= " ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ m® = m: ¸Çï³ñÏ»Ýù áñ¨¿ a 2 mob(®) 6= ; ï³ññ: ø³ÝÇ áñ a; ®(a); ®2 (a); : : : ; ®i (a); : : :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ ï³ññ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý mob(®) í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 13.3), ³å³ Ýßí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ Ù»ç ÏÉÇÝ»Ý Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙÝ»ñ: ¸Çóáõù a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a) ï³ññ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý, ÇëÏ Ñ³çáñ¹ ®k (a) ï³ññÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ý³Ëáñ¹ ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ý³Ë k > 1, áñáíÑ»ï¨ ®(a) 6= a, ¡ÇëÏ ®k¢(a) = a:¡ Æñáù,¢ »Ã» ®k (a) = ®l (a), áñï»Õ k > l > 0, ³å³ ®¡1 ®k (a) = ®¡1 ®l (a) ¨ ®k¡1 (a) = ®l¡1 (a), áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ k-Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, í»ñáÑÇßÛ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇª a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a); a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a); a; : : : Ü»ñÙáõÍ»Éáí Ñ»ï¨Û³É ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁª ¡ ¢ ®1 = a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a)

¨ Ï³½Ù»Éáí ¯1 = ®¡1 ¢ ® ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝÏ³ïáõÙ »Ýù, áñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñ a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a) ï³ññ»ñÁ©¯1 ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ª k¡1 »Ý ¨ mob(¯1 ) = mob(®) n a; ®(a); : : : ; ® (a) : ºÃ» mob(¯1 ) = ;, ³å³ ¯1 = " ¨ ® = ®1 : ºÃ» mob(¯1 ) 6= ;, ³å³ jmob(¯1 )j = m® ¡ k < m ¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ï³Ù ¯1 Á ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿, Ï³Ù ³ÛÝ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ³ÝÏ³Ë ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª ¯1 = ®2 ¢ ¢ ¢ ®t ; Ð»ï¨³μ³ñ, ® = ®1 ¯1 = ®1 ®2 ¢ ¢ ¢ ®t ;

ÁÝ¹ áñáõÙ, t > 1 ¹»åùáõÙ ®1 ; : : : ; ®t ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý (½áõÛ· ³é ½áõÛ·) ³ÝÏ³Ë, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 13.7-Çª mob(®2 ) [ ¢ ¢ ¢ [ mob(®t ) = mob(¯1 ); © ª ÇëÏ ù³ÝÇ áñ mob(® = a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a) ¨ mob(¯1 ) \ 1) © ª a; ®(a); : : : ; ®k¡1 (a) = ;, ³å³ mob(®1 ) \ mob(®i ) = ;, áñï»Õ i = 2; : : : ; t; Â»áñ»ÙÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ:

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

¸Çóáõù ÙÇ¨ÝáõÛÝ ® í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñª Áëï ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª

Sn ³ÝÏ³Ë

ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ »ñÏáõ ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

® = ®1 ¢ ¢ ¢ ®t ; ® = ¯1 ¢ ¢ ¢ ¯s :

²å³óáõó»Ýù, áñ t = s ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ÛÝåÇëÇ j1 ; : : : ; jt 2 f1; : : : ; tg Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ ®1 = ¯j1 ; : : : ; ®t = ¯jt : ¸Çóáõù t 6= s ¨ t < s: êï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ºÃ» a 2 mob(®1 ), ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 13.3-Ç a 2 mob(®) ¨ a 2 mob(¯j1 ) áñ¨¿ j1 2 f1; : : : ; sg ÝßÇãÇ ¹»åùáõÙ: ²é³Ýó ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ Ë³Ëï»Éáõ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ j1 = 1, ³ÛëÇÝùÝª a 2 mob(¯1 ) (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ¹ñ³Ý ÏÑ³ëÝ»ÇÝù Ï³ï³ñ»Éáí ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ¯j ³ÝÏ³Ë ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 13.4-Ç): ²å³óáõó»Ýù ®1 = ¯1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ 13.2 Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ýª ®(a) = ®1 (a); ®(a) = ¯1 (a); ³ÛëÇÝùÝª ®1 (a) = ¯1 (a) 2 mob(®1 ) \ mob(¯1 ): ÜáñÇó ÝáõÛÝ å³ï×³éáíª ® (®1 (a)) = ®1 (®1 (a)) = ®12 (a) ¨ ® (¯1 (a)) = ¯1 (¯1 (a)) = ¯12 (a); ³ÛëÇÝùÝª ®21 (a) = ¯12 (a) 2 mob(®1 )\mob(¯1 ): Þ³ñáõÝ³Ï»Éáí, Ñ³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ïëï³Ý³Ýùª ®i1 (a) = ¯1i (a) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ i μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñª ®i1 (a) = a Ã! ¯1i (a) = a; ¡ ¢ ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ ®1 = a; ®1 (a); : : : ; ®k¡1 (a) ¨ ¯1 = ¡ ¢ a; ¯1 (a); : : : ; ¯1l¡1 (a) , áñï»Õ k, l μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ®1 ¨ ¯1 ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý, ³å³ k = l ¨ ®1 = ¯1 : ²ÛÅÙ ®1 ¢ ¢ ¢ ®t = ¯1 ¢ ¢ ¢ ¯s

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¡1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ Ó³ËÇó μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ®¡1 1 = ¯1 áí Ïëï³Ý³Ýùª ®2 ¢ ¢ ¢ ®t = ¯2 ¢ ¢ ¢ ¯s ;

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ñÃáí Ïñ×³ï»Éáí ®2 -áí, : : :, ®t -áí, í»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏÑ³ëÝ»Ýù ÙÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý, áñÇ Ó³Ë Ù³ëÁ " ÝáõÛÝ³Ï³Ý ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëáõÙ ¹»é¨ë ÏÙÝ³Ý ¯j ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ, áñáÝó ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ß³ñÅáõÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 13.7-Ç ãÇ ÉÇÝÇ ¹³ï³ñÏ, ÙÇÝã¹»é mob(") = ;: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóáõÙ ¿ Ã»áñ»ÙÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÁ: ¤ úñÇÝ³Ïª μ

1 2 2 7

3 4 5 6 4 5 3 6

= (1; 2; 7) ¢ (3; 4; 5);

áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝÃ³óùÇ: Æñáù, »Ã» μ ¶ 1 2 3 4 5 6 7 ®= ; 2 7 4 5 3 6 1

³å³ mob(®) = f1; 2; 3; 4; 5; 7g: ÀÝïñ»Éáí, ûñÇÝ³Ï, a = 1 2 mob(®) ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®(1) = 2, ®2 (1) = ®(2) = 7, ®3 (1) = ®(7) = 1: Ð»ï¨³μ³ñª μ ¶ 1 2 3 4 5 6 7 ; ®1 = (1; 2; 7) = 2 7 3 4 5 6 1 ¨ ®¡1 àõëïÇª

1 2 7 1

¯1 = ®¡1 1 ¢®=

3 4 5 6 3 4 5 6

1 2 1 2

3 4 5 4 5 3

= (1; 7; 2);

6 7 6 7

²ÛëåÇëáíª ® = ®1 ¢ ¯1 = (1; 2; 7) ¢ (3; 4; 5) :

= (3; 4; 5);

¶ÉáõË 13 îºÔ²¸ðàôÂÚàôÜÜºð

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ·ïÝ»É 6-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁª μ ¶ μ ¶ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ¢X ¢ = 2 3 4 1 6 5 3 4 1 5 2 6 =

1 2 3 5 3 2

2. ¶ïÝ»É ®101 Á, »Ã» μ 1 2 3 4 ®= 3 4 5 1 3. ¶ïÝ»É ®100 Á, »Ã» μ 1 2 3 4 ®= 1 3 5 2 4. ¶ïÝ»É ®144 Á, »Ã» μ 1 2 3 4 ®= 3 5 4 6

4 5 6 4 6 1

5 6 7 7 6 2

8 9 9 8

5 6 7 4 7 8

8 9 6 9

5 6 7 9 7 2

8 9 1 8

5. àñáß»É (1; 3; 2) ¨ (2; 3; 1) ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: 6. àñáß»É ®=

n n ¡ 1 n ¡ 2 ¢¢¢

ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ:

n¡1

7. àñáß»É n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:

¶ É áõ Ë 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð 14.1. Ø³ïñÇóÇ ·³Õ³÷³ñÁ: ¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ»ï n £ m Ñ³ï aij Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ A = (a11 ; : : : ; a1m ; : : : ; an1 ; : : : ; anm ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª Ý»ñÏ³Û³óí³Í n Ñ³ï ïáÕ»ñáí ¨ m Ñ³ï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí áõ ·ñí³Í

a11 ; : : : ; a1m A = @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A an1 ; : : : ; anm

³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí, ÏáãíáõÙ ¿ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇó, ÇëÏ aij 2 R Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (i = 1; : : : ; n; j = 1; : : : ; m) ÏáãíáõÙ »Ý A Ù³ïñÇóÇ ï³ññ»ñ, áñáÝù »ñμ»ÙÝ ·ñíáõÙ »Ý ³é³Ýó (³Ýç³ïáÕ) ëïáñ³Ï»ïÝ»ñÇ: ÀÝ¹ áñáõÙ, aij -Ý »ñμ»ÙÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ai;j -áí ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §³-Ç-ÅÇ¦ (ûñÇÝ³Ï, a11 -Á Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §³-Ù»Ï-Ù»Ï¦, μ³Ûó áã Ã» §³-ï³ëÝÙ»Ï¦): aij ï³ññÇ ³é³çÇÝ i ÝßÇãÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïáÕÇ ÝßÇã ¨ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ³ÛÝ ïáÕÇ Ñ³Ù³ñÁ, áñáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ ïíÛ³É ï³ññÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ j ÝßÇãÁª ëÛáõÝ³ÏÇ ÝßÇã ¨ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ³ÛÝ ëÛáõÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÁ, áñáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÇ ï³ññÁ: ºÃ» n = 1, ³å³ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ïáÕ Ï³Ù í»Ïïáñ, ³í»ÉÇ ×Çßï m-ïáÕ Ï³Ù m-í»Ïïáñª A = (a11 ; : : : ; a1m ): Ai = (ai1 ; : : : ; aim ) ïáÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ n£m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ i-ñ¹ ïáÕ, ÇëÏ i = 1; 2; : : : ¹»åùáõÙª ³é³çÇÝ ïáÕ, »ñÏñáñ¹ ïáÕ, : : :: ºÃ» m = 1, ³å³ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÛáõÝ³Ï, Ï³Ù n-ëÛáõÝ³Ïª a11 B . C A = @ .. A ; an1

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

ÇëÏ n-Á ÏáãíáõÙ ¿ ëÛáõÝ³ÏÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ (»ñμ»ÙÝ ëÛáõÝ³ÏÁ, ÇÝãå»ë ¨ ïáÕÁ, ÝßíáõÙ ¿ ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇ): Ð»ï¨Û³É a1i C B A0i = @ ... A ani

ëÛáõÝ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñáÑÇßÛ³É n£m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ i-ñ¹ ëÛáõÝ³Ï, ÇëÏ i = 1; 2; : : : ¹»åùáõÙª ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³Ï, »ñÏñáñ¹ ëÛáõÝ³Ï, : : :: ÀÝ¹áõÝí³Í ¿ Ý³¨ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ï³ñμ»ñ³ÏÝ»ñÁª A = (aij )n£m , A = (aij ), Áëï ïáÕ»ñÇª A1 C B A = @ ... A Ï³Ù Áëï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇª A = (A01 ; : : : ; A0m ):

An ºñÏáõ n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) ¨ B = (bij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÝßÇãÝ»ñáí aij ¨ bij ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñ: ºñÏáõ Ù³ïñÇóÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ã³÷³ÝÇ, »Ã» Ýñ³Ýù áõÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ù³Ý³ÏÇ ïáÕ»ñ ¨ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ù³Ý³ÏÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñ: Î³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ:

È»ÙÙ 14.1: àñå»ë½Ç »ñÏáõ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¤ ï³ññ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ: A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A = B Ó¨áí, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ª A 6= B: n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ: n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ï³Ù ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ, »Ã» n = m; n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ a11 ; : : : ; ann ï³ññ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ (Ï³½ÙáõÙ) ¿ Ýñ³ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÇÍ: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ, »Ã» Ýñ³ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ: ²ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÏ³ÉÛ³ñ, »Ã» Ýñ³ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ íñ³ ¹³ë³íáñí³Í μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý: ºí í»ñç³å»ë, n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñÇÝ (Ý»ñùÇÝ)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨, »Ã» Ýñ³ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇó Ý»ñù¨ (í»ñ¨) ·ïÝíáÕ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ³ÛëÇÝùÝª aij = 0, »Ã» i > j (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ, aij = 0, »Ã» i < j): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇó í»ñÇÝ ¨ Ý»ñùÇÝ (ëïáñÇÝ) »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ ¿: ºÉÝ»Éáí Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáÕ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ý³¨ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ»ï: êÏë»Ýù ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÇó, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ »ñÏáõ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (ÙÇç¨): n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) ¨ B = (bij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ n £ m-ã³÷³ÝÇ C = (cij ) Ù³ïñÇóÁ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³í³ë³ñ ¿ A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝª cij = aij + bij ; ²Ûë ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ª C = A + B: ²ÛëåÇëáíª

1 0 1 0 b11 ; : : : ; b1m a11 + b11 ; : : : ; a1m + b1m a11 ; : : : ; a1m @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A+@ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A = @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A : an1 ; : : : ; anm bn1 ; : : : ; bnm an1 + bn1 ; : : : ; anm + bnm

²Ûëï»ÕÇó, Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, ëï³ÝáõÙ »Ýù »ñÏáõ m-ïáÕ»ñÇ, Ï³Ù »ñÏáõ n-ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁª (a11 ; : : : ; a1m ) + (b11 ; : : : ; b1m ) = (a11 + b11 ; : : : ; a1m + b1m ) ; 1 0 a11 B .. C B @ . A+@ an1

1 0 b11 a11 + b11 C .. C = B .. A : . A @ . bn1 an1 + bn1

Âí³ñÏ»Ýù Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý å³ñ½³·áõÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝó ³å³óáõÛóÝ»ñÁ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý ¨ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáõÙ »Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: 1. Ø³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝª n £ mã³÷³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª A + B = B + A;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

2. Ø³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝª n£m-ã³÷³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í A, B ¨ C Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª A + (B + C) = (A + B) + C ; 3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n £ m-ã³÷³ÝÇ X Ù³ïñÇó, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñª A + X = X +A = A; ²Û¹ n £ m-ã³÷³ÝÇ X Ù³ïñÇóÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ýª 0; : : : ; 0 X = @ ¢¢¢ ¢¢¢ A 0; : : : ; 0

¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ n £ m-ã³÷³ÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇó áõ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ On£m -áí, Ï³Ù å³ñ½³å»ë O-áí: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ B 6= O Ù³ïñÇó ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: 4. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n £ m-ã³÷³ÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A0 Ù³ïñÇó, áñ A + A0 = A0 + A = O ;

Àëï áñáõÙ, A0 Ù³ïñÇóÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ï³¹Çñ Ù³ïñÇó áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡A-áíª ¡a11 ; : : : ; ¡a1m A ; ¡A = @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡an1 ; : : : ; ¡anm »Ã»

a11 ; : : : ; a1m A = @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A : an1 ; : : : ; anm

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¡(A + B) = (¡A) + (¡B): Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ μËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 1.3-Çó: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.1: ØÇ¨ÝáõÛÝ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ A1 ; : : : ; As Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáÕ μáÉáñ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ³í³ë³ñ »Ý ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí ¿ É ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇª A1 + ¢ ¢ ¢ + As , áñï»Õ s > 3: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ê³ÑÙ³Ý»Ýù ÃíÇ (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ù³ïñÇóáí: ºÃ» c-Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ a11 ; : : : ; a1m A = @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A ; an1 ; : : : ; anm ³å³

ca11 ; : : : ; ca1m c ¢ A = @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A : can1 ; : : : ; canm

c ¢ A-Ý Ñ³×³Ë ÝßíáõÙ ¿ ³é³Ýó μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ýß³ÝÇª cA, áñÇ Ñ»ï¨³Ýùáí ËÝ³ÛíáõÙ »Ý μ³½Ù³ÃÇí ÷³Ï³·Í»ñ: úñÇÝ³Ï, c1 A +c2 B-Ý Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ª (c1 ¢ A) + (c2 ¢ B): ò³ÝÏ³ó³Í n £ m-ã³÷³ÝÇ A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý c1 , c2 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ³ÝÙÇç³å»ë ëï³óíáõÙ »Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇóª (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A; c1 (A + B) = c1 A + c1 B; (c1 c2 )A = c1 (c2 A); 1¢A=A: (¡1) ¢ A = ¡A; (¡c1 )A = ¡(c1 A) :

ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³é³çÇÝ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ¹»åùÇ íñ³ª (c1 + ¢ ¢ ¢ + ck )A = c1 A + ¢ ¢ ¢ + ck A; c1 (A1 + ¢ ¢ ¢ + Ak ) = c1 A1 + ¢ ¢ ¢ + c1 Ak :

¸Çóáõù A; A1 ; : : : ; As Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÙÇ¨ÝáõÛÝ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý: Î³ë»Ýù, áñ A Ù³ïñÇóÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý (·Íáñ»Ý) ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ A1 ; : : : ; As Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÙÇçáóáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ c1 ; : : : ; cs Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ A = c1 A1 + ¢ ¢ ¢ + cs As :

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

s = 1 ¹»åùáõÙ A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý A1 Ù³ïñÇóÇÝ: n £ m-ã³÷³ÝÇ A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý, »Ã» Ï³Ù A-Ý ¿ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý B-ÇÝ Ï³Ù B-Ý ¿ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý A-ÇÝ: n £ m-ã³÷³ÝÇ B1 ; : : : ; Bk Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý (·Íáñ»Ý) Ï³ËÛ³É, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; : : : ; ®k Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿ ¨ ®1 B1 + ¢ ¢ ¢ + ®k Bk = 0 :

Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, n £ m-ã³÷³ÝÇ B1 ; : : : ; Bk Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý (·Íáñ»Ý) ³ÝÏ³Ë, ³ÛëÇÝùÝª »ñμ ®1 B1 + ¢ ¢ ¢ + ®k Bk = 0 ¡! ®1 = ¢ ¢ ¢ = ®k = 0 :

È»ÙÙ 14.2: àñå»ë½Ç n £ m-ã³÷³ÝÇ B1 ; : : : ; Bk Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (k > 1) ÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³Û¹ Ù³ïñÇóÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíÇ ¤ ÙÛáõë Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ²ÝóÝ»Ýùª Çñ³Ï³Ý Ãí»ñáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý (³ñï³¹ñÛ³É) ·áñÍáÕáõÃÛ³ÝÁ: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí »ñÏáõ A = (aij ) ¨ B = (bij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A Ù³ïñÇóÁ n £ mã³÷³ÝÇ ¿, ÇëÏ B Ù³ïñÇóÁ m £ k-ã³÷³ÝÇ, ³ÛëÇÝùÝ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ B Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇ ÃíÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ A ¢ B ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ³ÛÝ C = (cij ) Ù³ïñÇóÁ, áñÁ n £ k-ã³÷³ÝÇ ¿, ÇëÏ ¹ñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ cij ï³ññ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ¢ ¢ ¢ + aim bmj =

m X

ai® b®j :

®=1

ºÃ» áñáßí³Í »Ý A ¢ B ¨ B ¢ A ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ, ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª A-Ç ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ B-Ç ïáÕ»ñÇ ÃíÇÝ, ÇëÏ B-Ç ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÃÇíÁª A-Ç ïáÕ»ñÇ ÃíÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñª A ¢ B ¨ B ¢ A ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ, ë³Ï³ÛÝ ï³ñμ»ñ ã³÷»ñÇ, »Ã» A-Ý ¨ B-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ã»Ý: ØÇ¨ÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç »ñÏáõ A ¨ B ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý (ï»Õ³÷áË»ÉÇ), »Ã» A ¢ B = B ¢ A;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

úñÇÝ³Ï, Ï³Ù³Û³Ï³Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñª A ¢ E = E ¢ A = A; áñï»Õ E-Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÝ ¿ª 1 0 0 ¢¢¢ 0 B 0 1 0 ¢¢¢ 0 C C E=B @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A; 0 0 0 ¢¢¢ 1

³ÛëÇÝùÝª ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý Ù»ÏÇ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ï³ññ»ñÁª ½ñáÛÇ: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù En -áí, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª A ¢ Em = En ¢ A = A: ò³ÝÏ³ó³Í n > 2 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ¹Åí³ñ ã¿ Ï³éáõó»É n-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñ A ¢ B 6= B ¢ A: úñÇÝ³Ï, 1 0 1 0 1 0 1 0 ¢¢¢ 0 0 0 ¢¢¢ 0 0 0 ¢¢¢ 0 1 0 ¢¢¢ 0 B 0 0 ¢¢¢ 0 C B 0 0 ¢¢¢ 0 C B 0 0 ¢¢¢ 0 C B 0 0 ¢¢¢ 0 C C B B C B C B C @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A ¢ @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A 6= @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A ¢ @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A : 0 0 ¢¢¢ 0 1 0 ¢¢¢ 0 1 0 ¢¢¢ 0 0 0 ¢¢¢ 0 Ð»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáõÙ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇóª

»Ý

(cA)B = A(cB) = c(A ¢ B); (A1 + A2 )B = A1 B + A2 B; A(B1 + B2 ) = AB1 + AB2 ; áñï»Õ A, A1 , A2 Ù³ïñÇóÝ»ñÁ n £ m-ã³÷³ÝÇ, B, B1 , B2 Ù³ïñÇóÝ»ñÁ m £ k-ã³÷³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý, ÇëÏ c-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí í»ñçÇÝ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ¹»åùÇ íñ³ª (A1 + ¢ ¢ ¢ + At )B = A1 B + ¢ ¢ ¢ + At B;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

A(B1 + ¢ ¢ ¢ + Bt ) = AB1 + ¢ ¢ ¢ + ABt :

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ:

³ñï³¹ñÛ³ÉÇ

Â»áñ»Ù 14.1: ò³ÝÏ³ó³Í A, B, C Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù)

A ¢ (B ¢ C) = (A ¢ B) ¢ C;

áñï»Õ A-Ý n £ m-ã³÷³ÝÇ, B -Ý m £ k-ã³÷³ÝÇ, ÇëÏ C -Ý k £ s-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý: ²í»ÉÇ ×Çßï, ó³ÝÏ³ó³Í A, B ¨ C Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ áñáßí³Í ¿ (³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ), ³å³ ÙÛáõë ÏáÕÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ áñáßí³Í ¨ Ýñ³Ýù ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù A = (aij )n£m , B = (bij )m£k , C = (cij )k£s , A ¢ B = (dij )n£k , (A ¢ B) ¢ C = (uij )n£s , B ¢ C = (vij )m£s , A ¢ (B ¢ C) = (wij )n£s : ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É uij = wij Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª μáÉáñ i = 1; : : : ; n ¨ j = 1; : : : ; s ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Æñáù, Ãm ! k k X X X X dil clj = ait btl clj = ait btl clj ; uij = l=1

wij =

m X t=1

t=1

l=1

ait vtj =

m X

ait

t=1

Ã k X l=1

l;t

btl clj

ait btl clj :

l;t

²å³óáõóí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÇó, í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ (μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý) ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.2: ºÃ» A1 Ù³ïñÇóÁ m1 £ m2 -ã³÷³ÝÇ ¿ , A2 Ù³ïñÇóÁ m2 £ m3 -ã³÷³ÝÇ ¿ , : : :, An Ù³ïñÇóÁ mn £ mn+1 -ã³÷³ÝÇ ¿ , ³å³ A1 ; A2 ; : : : ; An Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÷³Ï³·Í»ñÇ ï³ñμ»ñ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáÕ μáÉáñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ³í³ë³ñ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇª A1 ¢A2 ¢ ¢ ¢ An , áñï»Õ n > 3: ¤ Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í A Ù³ïñÇóÇ μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÁª A0 = En ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ak = A | ¢ A{z¢ ¢ ¢ A}; k > 0 : k

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ

Ak1 ¢ Ak2 = Ak1 +k2 ; ¡ k1 ¢k2 = Ak1 ¢k2 : A

²ÝóÝ»Ýù ßñçí³Í Ù³ïñÇóÇ ·³Õ³÷³ñÇÝ: ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁ ¹³ñÓÝ»Ýù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ñÝ»ñÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñ (³ÛëÇÝùÝª ³é³çÇÝ ïáÕÁ ¹³ñÓÝ»Ýù ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³Ï, »ñÏñáñ¹ ïáÕÁª »ñÏñáñ¹ ëÛáõÝ³Ï, : : :), ³å³ ëï³óí³Í m £ n-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç ßñçí³Í Ù³ïñÇó ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ AT -áí: ²ÛëåÇëáí, m £ n-ã³÷³ÝÇ S = (sij ) Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ ßñçí³Í Ù³ïñÇó, »Ã» sij = aji , áñï»Õ i = 1; : : : ; m ¨ j = 1; : : : ; n: Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ýª ¡ T ¢T A = A;

(A + B)T = AT + B T ; (®A)T = ®AT ó³ÝÏ³ó³Í n £ m-ã³÷³ÝÇ A, B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ. Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.3: ò³ÝÏ³ó³Í A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (A ¢ B)T = B T ¢ AT ;

áñï»Õ A-Ý n £ m-ã³÷³ÝÇ ¿ , ÇëÏ B -Ý m £ k-ã³÷³ÝÇ: ²í»ÉÇ ×Çßï, »Ã» Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ áñáßí³Í ¿ , ³å³ ÙÛáõë ÏáÕÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ áñáßí³Í ¨ Ýñ³Ýù ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ »Ã» Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ áñáßí³Í ¿ ¨ A Ù³ïñÇóÁ n £ m-ã³÷³ÝÇ ¿, ³å³ B-Ý ÏÉÇÝÇ m£k-ã³÷³ÝÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÙÇ ÏáÕÙÁ áñáßí³Í ¿, ³å³ ÙÛáõë ÏáÕÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ áñáßí³Í: ²å³óáõó»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõùª A = (aij ) ; B = (bij ) ;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

AT = C = (cij ) ; AB = F = (fij ) ; ²Û¹ ¹»åùáõÙª gji =

m X t=1

djt cti =

m X

B T = D = (dij ) ; B T ¢ AT = G = (gij ) ;

btj ait =

t=1

m X

ait btj = fij ;

t=1

áñï»Õ i = 1; : : : ; n ¨ j = 1; : : : ; k: ²ÛëåÇëáíª G = FT; ³ÛëÇÝùÝª

B T ¢ AT = (A ¢ B)T :

n-Ý¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÇÙ»ïñÇÏ (Ï³Ù ßñçáõÝ), »Ã» ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Çñ ßñçí³Í Ù³ïñÇóÇ Ñ»ïª AT = A ; ¨ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ (Ï³Ù ß»ÕßñçáõÝ), »Ã» AT = ¡A : n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃá·áÝ³É, »Ã» A ¢ AT = AT ¢ A = E : n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ ûñÃá·áÝ³É Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ On (R)-áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³) En 2 On (R), μ) A 2 On (R) ¡! AT 2 On (R), ·) A; B 2 On (R) ¡! A ¢ B 2 On (R):

14.2. Ð³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿. ³) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A0 Ù³ïñÇó, áñ A ¢ A0 = En ; μ) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A00 Ù³ïñÇó, áñ A00 ¢ A = En ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

·) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç B Ù³ïñÇó, áñ A ¢ B = B ¢ A = En :

Àëï áñáõÙ, í»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝáí n-ñ¹ Ï³ñ·Ç B Ù³ïñÇóÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ (Ù³ïñÇó) áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª B = A¡1 ; ¸»é ³í»ÉÇÝ, »Ã» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó áõ Ó³ËÇó, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Æñáù, »Ã» A ¢ A0 = En ¨ A00 ¢ A = En , ³å³ A00 = A00 ¢ En = A00 (A ¢ A0 ) = (A00 ¢ A) ¢ A0 = En ¢ A0 = A0 :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» A ¢ B = B ¢ A = E ¨ A ¢ B¤ = B¤ ¢ A = E, ³å³ B = B¤: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É GLn (R)-áí: úñÇÝ³Ï, ó³ÝÏ³ó³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ûñÃá·áÝ³É A Ù³ïñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, Áëï áñáõÙª A¡1 = AT : ØÇÝã¹»é, »Ã» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕ (ëÛáõÝ³Ï) ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ A-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ ³çÇó (Ó³ËÇó), áñáíÑ»ï¨ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕÇ ¹»åùáõÙ, A ¢ A0 = En Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ áõÝ»óáÕ A¢A0 Ù³ïñÇóÁ, ÇëÏ ½ñáÛ³Ï³Ý ëÛáõÝ³ÏÇ ¹»åùáõÙ, A00 ¢ A = En

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù ½ñáÛ³Ï³Ý ëÛáõÝ³Ï áõÝ»óáÕ A00 ¢ A Ù³ïñÇóÁ: ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ý:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.4: ³) ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ ¹ñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓ A¡1 Ù³ïñÇóÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ÁÝ¹ áñáõÙª ¡ ¡1 ¢¡1 A = A;

μ) ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó A ¢ B ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ÁÝ¹ áñáõÙª (A ¢ B)¡1 = B ¡1 ¢ A¡1 ;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

·) ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A1 ; A2 ; : : : ; Am Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ Am ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ÁÝ¹ áñáõÙª ¡1 ¡1 (A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ Am )¡1 = A¡1 : m ¢ Am¡1 ¢ ¢ ¢ A1

²å³óáõóáõÙ: ³) ¨ μ) åÝ¹áõÙÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó (áõ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÇó): ·) åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù Ï³ñ¨áñ ¹³ë»ñÁ (áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ï³ññ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñ): 1) Î³Ù³Û³Ï³Ý ® Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í i 6= j ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª j B 1 B B pp ®m Tij (®) = iB B pp @ p

C C C C ; C A

³ÛëÇÝùÝª ³Ûë Ù³ïñÇóÇ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý Ù»ÏÇ, i-ñ¹ ïáÕÇ ¨ j-ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÇ Ñ³ïÙ³Ý ï»ÕáõÙ Ï³Ý·Ý³Í ¿ ® ÃÇíÁ, ÇëÏ Ýñ³ ÙÛáõë μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ: ²ÛëåÇëáí, Tij (®) Ù³ïñÇóÇ tpq ï³ññ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª

tpq

< 1; »Ã» p = q; ®; »Ã» p = i; q = j; = : 0; ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ¹»åù»ñáõÙ :

2) ò³ÝÏ³ó³Í ® 6= 0 Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý i ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª i B 1 p p B p B Li (®) = iB ®m B @ 1 p p p

C C C C ; C A

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝª Li (®) Ù³ïñÇóÇ < ®; 1; `pq = : 0;

`pq ï³ññ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª »Ã» p = q = i; »Ã» p = q 6= i; ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ¹»åù»ñáõÙ :

3)ò³ÝÏ³ó³Í i 6= j ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª i j p B C p p B C B C m m C iB B C B C p Sij = B C ; p p B C B C m m C jB B C @ A 1p p p áñÇ spq ï³ññ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª < 1; »Ã» p = q 6= i; j; 1; »Ã» p = i; q = j; Ï³Ù p = j; q = i; spq = : 0; ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ¹»åù»ñáõÙ :

È»ÙÙ 14.3: n£m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ó³ËÇó (³çÇó) μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ n-ñ¹ (m-ñ¹) Ï³ñ·Ç Tij (®) Ù³ïñÇóáí Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ A-Ç i-ñ¹ ïáÕÇÝ (j ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÇÝ) ³í»É³óÝ»É Ýñ³ j -ñ¹ ïáÕÁ (i-ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÁ) Ý³Ë³å»ë ³ÛÝ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ®-áí: Tij (®) Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ÁÝ¹ áñáõÙª (Tij (®))¡1 = Tij (¡®)

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» B = Tij (®) ¢ A, ³å³ tii aiq + tij ajq = aiq + ®ajq ; > > < »Ã» p = i; bpq = tp1 a1q + tp2 a2q + ¢ ¢ ¢ + tpn anq = t a = a > pp pq pq ; > : »Ã» p 6= i;

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýù ³çÇó μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ: ²å³óáõó»Ýù »ñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÁª Tij (¡®) ¢ Tij (®) = Tij (®) ¢ Tij (¡®) = En ;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Æñáù,

Ó³ËÇó μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ ¶Tij (®)-áí μ j Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ Tij (¡®)-Ç i-ñ¹ 0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0; ¡®; 0; : : : ; 0 ïáÕÇÝ i ³í»É³óÝ»É Ýñ³ j-ñ¹ ïáÕÁª Ý³Ë³å»ë ³ÛÝ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ®-áíª Ã ! Ã ! Tij (¡®)

®¢

Ù³ïñÇóÇ

0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0 j

0; : : : ; 0; ®; 0; : : : ; 0 ; j

Ð»ï¨³μ³ñ, Tij (®) ¢ Tij (¡®) ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ i-ñ¹ ïáÕÁ ÏÉÇÝÇ ÝáõÛÝÁ ÇÝã áñ En -Ç i-ñ¹ ïáÕÁ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í ïáÕ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý Tij (¡®)-Ç Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ïáÕ»ñÇ Ñ»ï: ²ÛëåÇëáíª Tij (®) ¢ Tij (¡®) = En ; Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ Tij (¡®) ¢ Tij (®) = En ¤

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

È»ÙÙ 14.4: n£m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ó³ËÇó (³çÇó) μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ n-ñ¹ (m-ñ¹) Ï³ñ·Ç Li (®) Ù³ïñÇóáí Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ A-Ç i-ñ¹ ïáÕÁ (ëÛáõÝ³ÏÁ) μ³½Ù³å³ïÏ»É ¡ ¢ ®-áí: Li (®) Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ÁÝ¹ áñáõÙª (Li (®))¡1 = Li ®¡1 :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» C = Li (®) ¢ A, ³å³

cpq = `p1 a1q + `p2 a2q + ¢ ¢ ¢ + `pn anq =

®aiq ; »Ã» p = i; apq ; »Ã» p 6= i :

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýù ³çÇó μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨ ¡ ¢ ¡ ¢ Li ®¡1 ¢ Li (®) = Li (®) ¢ Li ®¡1 = En Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

È»ÙÙ 14.5: n£m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ó³ËÇó (³çÇó) μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ n-ñ¹ (m-ñ¹) Ï³ñ·Ç Sij Ù³ïñÇóáí Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ A-Ç i-ñ¹ ¨ j -ñ¹ ïáÕ»ñÇ (ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ) ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ: Sij Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ÁÝ¹ áñáõÙª ¡1 Sij = Sij ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» D = Sij ¢ A, ³å³ dpq = sp1 a1q + sp2 a2q + ¢ ¢ ¢ + spn anq

< sij ajq = ajq ; »Ã» p = i; sji aiq = aiq ; »Ã» p = j; = : spp apq = apq ; »Ã» p = 6 i; j :

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýù ³çÇó μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ: Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ëï³óí³Í Ï³ÝáÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, »ñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ³ÏÝÑ³Ûïª Sij ¢ Sij = En :

ø³ÝÇ áñ Tij (®), Li (®) ¨ Sij ï»ëùÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýó í»ñç³íáñ Ãíáí ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃáõÝ 14.4-Ç, ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝ»Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ nñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñ: Þáõïáí ÏÑ³Ùá½í»Ýù, áñ ×Çßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇó Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ > Ýßí³Í ï»ëùÇ í»ñç³íáñ Ãíáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: I) ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕÇÝ ·áõÙ³ñíáõÙ ¿ Ýñ³ Ù»Ï ³ÛÉ ïáÕ, í»ñçÇÝë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñ¨¿ Ãíáí, ³å³ ³Ûë Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (Ù³ïñÇóÇ) ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: II) ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕ μ³½Ù³å³ïÏíáõÙ ¿ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ãíáí, ³å³ ³Ûë Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (Ù³ïñÇóÇ) ïáÕ»ñÇ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: III) n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ »ñÏáõ ïáÕ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (Ù³ïñÇóÇ) ïáÕ»ñÇ »ññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Ø³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí: È»ÙÙ 14.6: Ø³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇ »ññáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ëï³óíáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, ¹Çóáõù A Ù³ïñÇóÇ Ù»ç å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Ï³ï³ñ»É Ýñ³ i-ñ¹ ¨ j-ñ¹ ïáÕ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ¨ ¹Çóáõù ®i -Ý Ýñ³ i-ñ¹

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

ïáÕÝ ¿, ÇëÏ ®j -Ýª j-ñ¹ ïáÕÝ ¿: i-ñ¹ ïáÕÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù j-ñ¹Áª í»ñçÇÝë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (¡1)-áí, Ïëï³Ý³Ýùª ®i ¡ ®j : ²ÛÅÙ j-ñ¹ ïáÕÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù ëï³óí³Í i-ñ¹Á, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®j +(®i ¡ ®j ) = ®i : àñÇó Ñ»ïá Ýáñ i-ñ¹ÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù Ýáñ j-ñ¹Á, í»ñçÇÝë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (¡1)-áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª (®i ¡ ®j ) ¡ ®i = ¡®j : ºí í»ñç³å»ë, ëï³óí³Í i-ñ¹ ïáÕÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (¡1)-áí, ÏáõÝ»Ý³Ýù å³Ñ³ÝçíáÕ ³ñ¹ÛáõÝùÁ: ¤ Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí É»ÙÙ³Ý»ñ 14.3, 14.4 ¨ 14.5-Áª Ï³ï³ñí³Í ù³ÛÉ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÏáõÝ»Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Sij A = Li (¡1) ¢ Tij (¡1) ¢ Tji (1) ¢ Tij (¡1) ¢ A : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, A = E ¹»åùáõÙ, Ïëï³Ý³Ýùª Sij = Li (¡1) ¢ Tij (¡1) ¢ Tji (1) ¢ Tij (¡1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Â»áñ»Ù 14.2: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇó ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇóÇ Ï³Ù ³ÛÝåÇëÇ Ù³ïñÇóÇ, áñÇ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý 1-Ç, ÇëÏ ¹ñ³ÝÇó Ý»ñù¨ª ½ñáÝ»ñÇ (n > 2):

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ºÃ» n = 2, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: Æñáù, »Ã» μ ¶ a11 ; a12 A= a21 ; a22

¨ A-Ç ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³ÏÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ã¿, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ a11 6= 0, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏÏ³ï³ñ»ÇÝù ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïáÕ»ñÇ ÙÇç¨ (É»ÙÙ 14.6): ²é³çÇÝ ïáÕÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí a¡1 11 -áí ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª μ ¶ 1; b12 ; a21 ; a22 áñÇó Ñ»ïá »ñÏñáñ¹ ïáÕÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí ³é³çÇÝÁª í»ñçÇÝë Ý³Ë³å»ë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ¡a21 -áí, Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª ¶ μ 1; b12 ; 0; b22

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÛÅÙ, »Ã» b22 = 0, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿, ÇëÏ »Ã» b22 6= 0, ³å³ »ñÏñáñ¹ ïáÕÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí b¡1 22 -áí Ïëï³Ý³Ýù å³Ñ³ÝçíáÕ ï»ëùÇ Ù³ïñÇóª μ ¶ 1; b12 ; 0; 1 ÆëÏ »Ã» »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³ÏÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿ª A=

0; a12 0; a22

;

³å³ a12 = 0 ¹»åùáõÙ A-Ç ³é³çÇÝ ïáÕÁ ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ (a12 6= 0), »ñÏñáñ¹ ïáÕÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí ³é³çÇÝÁ, Ý³Ë³å»ë í»ñçÇÝë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ¡a22 ¢ a¡1 12 -áí, ÝáñÇó Ïëï³Ý³Ýù å³Ñ³ÝçíáÕ ï»ëùÇ Ù³ïñÇóª μ

0; a12 0; 0

Î³ï³ñ»Éáí í»ñÑ³Ý·Ù³Ý ¹Çï³ñÏ»Ýù n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ³ÛÝåÇëÇ

;

(í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ)

»ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝ,

a11 ; ¢ ¢ ¢ ; a1n C B A = @ ... A an1 ; ¢ ¢ ¢ ; ann

Ù³ïñÇó, áñÇ ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³ÏÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ã¿: Î³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ a11 6= 0 (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏÏ³ï³ñ»ÇÝù ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ Ù³ïñÇóÇ »ñÏáõ ïáÕ»ñÇ ÙÇç¨): ²ÛÝáõÑ»ï¨, A-Ç ³é³çÇÝ ïáÕÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí a¡1 11 -áí Ïëï³Ý³Ýù

1; B a21 ; B @ ¢¢¢ an1 ;

¢ ¢ ¢ ; b1n ¢ ¢ ¢ ; a2n C C A an2 ; ¢ ¢ ¢ ; ann b12 ; a22 ;

Ù³ïñÇóÁ, áñÇ ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³ÏÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ, ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó, ³é³çÇÝ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¹³ñÓíáõÙ »Ý

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

½ñáÝ»ñª

1; 0; 0;

B B @

¢ ¢ ¢ ; b1n ¢ ¢ ¢ ; b2n C C; A bn2 ; ¢ ¢ ¢ ; bnn b12 ; b22 ;

àñÇó Ñ»ïá ÏÇñ³éáõÙ »Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁª (n ¡ 1)-ñ¹ Ï³ñ·Ç b22 ; ¢ ¢ ¢ ; b2n @ ¢¢¢ ¢¢¢ A bn2 ; ¢ ¢ ¢ ; bnn

Ù³ïñÇóÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ØÝáõÙ ¿ ùÝÝ³ñÏ»É ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ ëÏ½μÝ³Ï³Ý A Ù³ïñÇóÇ ³é³çÇÝ ëÛáõÝ³ÏÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿ª

0; a12 ; ¢ ¢ ¢ ; a1n B C A = @ ... A; 0; an2 ; ¢ ¢ ¢ ; ann

áñï»Õ (n ¡ 1)-ñ¹ Ï³ñ·Ç

B B=@

a12 ; .. .

¢¢¢ ;

a1n

an¡1;2 ; ¢ ¢ ¢ ; an¡1;n

C A

Ù³ïñÇóÁ, Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇóÇ, Ï³Ù ³ÛÝåÇëÇ Ù³ïñÇóÇ, áñÇ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý Ù»ÏÇ, ÇëÏ Ýñ³ÝÇó Ý»ñù¨ª ½ñáÝ»ñÇ: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ an2 ; : : : ; ann ï³ññ»ñÁ ¹³ñÓíáõÙ »Ý ½ñáÝ»ñª ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.1: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇó ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇóÇ, Ï³Ù En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ 1; a12 ; ¢ ¢ ¢ ; a1n¡1 ; a1n B 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; a2n¡1 ; a2n B @ ¢¢¢ ¢¢¢ 0; 0; ¢ ¢ ¢ ; 0;

C C A

ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇó ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ μ»ñíáõÙ ¿ En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝ: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 14.2-Çó: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.2: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇó, n > m ¹»åùáõÙ, ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇóÇ: ²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇª

áñï»Õ m-ñ¹ Ï³ñ·Ç

a11 ; ¢ ¢ ¢ ; a1m B .. B . B A=B B am1 ; ¢ ¢ ¢ ; amn B . @ .. an1 ; ¢ ¢ ¢ ; ann

C C C C; C C A

a11 ; ¢ ¢ ¢ ; a1m B C B = @ ... A am1 ; ¢ ¢ ¢ ; amm

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÁ, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý, ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇóÇ Ï³Ù Em ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝ: ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ A Ù³ïñÇóÇ ³ÛÝ ïáÕ»ñÁ áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý B-Çó ¹áõñë (ûñÇÝ³Ï í»ñçÇÝÁ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹³ñÓÝ»É ½ñáÛ³Ï³Ýª û·ïí»Éáí ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.3: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇó ïáÕ»ñÇ (ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ) ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ í»ñÇÝ »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ ï»ëùÇ: ¤

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Â»áñ»Ù 14.3: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí (ëÛáõÝ³Ïáí) Ù³ïñÇóÇ, ³å³ A-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ ³çÇó (Ó³ËÇó):

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù A-Ý ïñí³Í Ù³ïñÇóÝ ¿ ¨ ¹Çóáõù A-Çó ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ëï³ó»É »Ýù ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí (ëÛáõÝ³Ïáí) B Ù³ïñÇóÁ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ³Ý»ñ 14.3-Ç ¨ 14.4-Ç, Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É, áñ B = S ¢ A; áñï»Õ S-Á ÉÇÝ»Éáí Tij (®) ¨ Li (®) ï»ëùÇ í»ñç³íáñ Ãíáí Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É, ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Éáí A-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ ³çÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, »Ã» A ¢ A0 = En ;

¢ ¡ ³å³ B A0 S ¡1 Ù³ïñÇóÁ ÙÇ ÏáÕÙÇó ÏáõÝ»Ý³ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ, ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇó Ñ³í³ë³ñ ¿ ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝª ¢ ¡ ¢ ¡ B A0 S ¡1 = (SA) A0 ¢ S ¡1 = En ; ÆëÏ »Ã» B-Ý ½ñáÛ³Ï³Ý ëÛáõÝ³Ïáí Ù³ïñÇó ¢¿ ¨ A-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ¡ Ó³ËÇó, ³ÛëÇÝùÝ A00 ¢ A = En , ³å³ A00 S ¡1 B Ù³ïñÇóÁ ÙÇ ÏáÕÙÇó ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ëÛáõÝ³Ïáí, ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇó Ñ³í³ë³ñ ¿ ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝª ¡ 00 ¡1 ¢ ¡ ¢ A S B = A00 ¢ S ¡1 (S ¢ A) = En ; Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

Â»áñ»Ù 14.4: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝ, ³å³ ³ÛÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ : ÀÝ¹ áñáõÙ, A¡1 Á ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Ï³ï³ñíáÕ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Tij (®) ¨ Li (®) ï»ëùÇ (í»ñç³íáñ Ãíáí) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ïñí³Í A Ù³ïñÇóÁ ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ En ÙÇ³íáñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ù³ïñÇóÇÝ, ³å³ S ¢ A = En , áñï»Õ S-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó ¿, áñáíÑ»ï¨ S = Sm ¢ Sm¡1 ¢ ¢ ¢ S2 ¢ S1 , ÇëÏ Sk -Ý Tij (®), Li (®) ï»ëùÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: àñï»ÕÇóª S¡1 (S ¢ A) = S¡1 ¢ En ; A = S ¡1 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, A-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙª A¡1 = S :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.4: ºÃ» »ñÏáõ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ A ¢ B = En ; Ï³Ù B ¢ A = En ;

³å³ A-Ý (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ B-Ý) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³ÛëÇÝùÝ` »Ã» nñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó Ï³Ù Ó³ËÇó, ³å³ ³ÛÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù A ¢ B = En ; Ü³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ A Ù³ïñÇóÁ ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíáõÙ ¿ En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 14.1-Ç, A-Ý Ïμ»ñíÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí ÙÇ C Ù³ïñÇóÇ, ÇëÏ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14.3-Ç ³ÛÝ ãÇ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó: 2) B¢A = En ¹»åùáõÙ B-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ

B-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Áëï 1)-Ç: àõëïÇª A = B¡1 ¨ A-Ý ÏÉÇÝÇ

Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.5: àñå»ë½Ç n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ»ñíÇ En ÙÇ³íáñ ¤ Ù³ïñÇóÇÝ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.6: àñå»ë½Ç n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Tij (®) ¨ Li (®) ï»ëùÇ (í»ñç³íáñ Ãíáí) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¤

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ ïñí³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ (¨ ³å³ Ýñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ) áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ, ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ A Ù³ïñÇóÁ μ»ñíáõÙ ¿ En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇÝ Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇóÇ: ÀÝ¹ áñáõÙ, »Ã» En = Sm ¢ Sm¡1 ¢ ¢ ¢ S2 ¢ S1 ¢ A ; áñï»Õ Sk -Ý Tij (®) Ï³Ù Li (®) ï»ëùÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿, ³å³ A-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ¨ A¡1 = Sm ¢ Sm¡1 ¢ ¢ ¢ S2 ¢ S1 = Sm ¢ Sm¡1 ¢ ¢ ¢ S2 ¢ S1 ¢ En ; ³ÛëÇÝùÝ A Ù³ïñÇóÇ A¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É Ý³¨ En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇóª Ï³ï³ñ»Éáí ïáÕ»ñÇ ÝáõÛÝ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝ ÝáõÛÝ Ñ»ñÃ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùμ, áñáÝù ÏÇñ³éí»É »Ý A-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ En -Á ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ï: ¶ïÝ»Ýù μ ¶ 2 4 A= 3 1

Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ Ù³ïñÇóÁ: Î³ï³ñ»Ýù ïáÕ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 2 4 1 0 1 2 12 1 2 12 0 @ A @ A @ ¡! ¡! 3 1 0 1 0 ¡5 ¡ 32 3 1 0 1 1 2 1 0 ¡ 10 1 2 12 0 A ¡! @ A : ²ÛëåÇëáíª @ 0 1 10 ¡ 15 ¡ 15 0 1 10 A¡1

B ¡ 10 =@

5 C A: ¡

Ñ»ï¨Û³É

¡!

Ø³ïñÇóÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ áñáßÙ³Ý ÝÏ³ñ³·ñí³Í »Õ³Ý³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¶³áõëÇ »Õ³Ý³Ï: ²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª μ³ó³ë³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ, áñáíÑ»ï¨ Ù³ïñÇóÇ μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÝ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ñ¹»Ý ë³ÑÙ³Ýí»É ¿ 14.1 í»ñÝ³·ñáõÙ: ¸Çóáõù A-Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó ¿, ÇëÏ k-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ê³ÑÙ³Ý»Ýùª ¡1 ¢{z ¢ ¢ A¡1} ; A¡k = A | k

áñï»Õ A -Á A-Ç ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿: àã ½ñáÛ³Ï³Ý (³ÛëÇÝùÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ) Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ å³ñ½³·áõÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ íñ³: ¡1

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.5: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ A Ù³ïñÇóÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ¢m ¡ (Am )¡1 = A¡m = A¡1 : ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.6: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ A Ù³ïñÇóÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m1 , m2 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Am1 ¢ Am2 = Am1 +m2 : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.7: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ A Ù³ïñÇóÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m1 ; m2 ; : : : ; ml ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Am1 ¢ Am2 ¢ ¢ ¢ Aml = Am1 +m2 +¢¢¢+ml ;

áñï»Õ l > 2:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.8: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ A Ù³ïñÇóÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m1 , m2 ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª (Am1 )m2 = Am1 ¢m2 : ¤

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

14.3. ²çÇó Ï³Ù Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m £ n-ã³÷³ÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A0 Ù³ïñÇó, áñ A ¢ A0 = En ; áñï»Õ En -Á n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ A0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓ, áñÁ, ë³Ï³ÛÝ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m £ n-ã³÷³ÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A00 Ù³ïñÇó, áñ A00 ¢ A = Em ; ²Ûë ¹»åùáõÙ A00 -Á ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, μ ¶ 2 0 0 A= 0 3 0 Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, μ³Ûó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ Ó³ËÇó: ÆëÏ Ýñ³ ßñçí³Í 2 0 AT = @ 0 3 A ; 0 0

Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, μ³Ûó ãÇ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ

³çÇó: ²Ûëï»Õ A-Ç ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿ª

A0 = @ 0; 13 A c1 ; c2

Ù³ïñÇóÁ, ÇëÏ AT -Ç Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿ª

μ 1 ¡ T ¢00 ; 0 T A = (A ) = 0;

0; c1 3 ; c2

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ù³ïñÇóÁ, áñáíÑ»ï¨ª μ μ

2 0 0 0 3 0 2;

;

¢ @ 0; c1 ; ¶ 0; c1 @ ¢ 3 ; c2

;

μ ¶ 1 0 A = : 0 1

ÞÝáñÑÇí c1 ¨ c2 ï³ññ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÁÝïñáõÃÛ³Ý, ³Ûë ûñÇÝ³ÏÝ»ñáõÙ ³ç ¨ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ã»Ý áñáßíáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.9: 1) ºñÏáõ A ¨ B ³çÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ A ¢ B ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ÁÝ¹ áñáõÙª B 0 ¢ A0 = (A ¢ B)0 ;

³ÛëÇÝùÝª B 0 ¢ A0 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ A ¢ B ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ; 2) ºñÏáõ A ¨ B Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ A ¢ B ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ÁÝ¹ áñáõÙª B00 ¢ A00 = (A ¢ B)00 ;

³ÛëÇÝùÝª B00 ¢ A00 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ A ¢ B Ù³ïñÇóÇ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ; 3) ì»ñç³íáñ Ãíáí A1 ; A2 ; : : : ; An ³çÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ An ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ÁÝ¹ áñáõÙª A0n ¢ A0n¡1 ¢ ¢ ¢ A01 = (A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ An )0 ;

³ÛëÇÝùÝª A0n ¢ A0n¡1 ¢ ¢ ¢ A01 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ An ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ; 4) ì»ñç³íáñ Ãíáí A1 ; A2 ; : : : ; An Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ An ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ÁÝ¹ áñáõÙª A00n ¢ A00n¡1 ¢ ¢ ¢ A001 = (A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ An )00 ;

³ÛëÇÝùÝª A00n ¢ A00n¡1 ¢ ¢ ¢ A001 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ A1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ An ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇó Ù»ÏÁ:

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù n £ m-ã³÷³ÝÇ A ¨ m £ k-ã³÷³ÝÇ B Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý ³çÇó, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ m £ n-ã³÷³ÝÇ A0 ¨ k £ m-ã³÷³ÝÇ B0 Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñ A ¢ A0 = En ;

B ¢ B 0 = Em :

Ð»ï¨³μ³ñª (A ¢ B) ¢ (B0 ¢ A0 ) = A((BB 0 )A0 ) = A(Em A0 ) = AA0 = En ; 2) Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨, áñ »ñÏáõ Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó: 3) ¨ 4) åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³å³óáõóíáõÙ »Ý í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.10: ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó (Ó³ËÇó), ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ B n-ëÛáõÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ A ¢ X = B Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý (³Ù»Ý³ß³ïÁ) Ù»Ï ÉáõÍáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³å³ A ¢ A0 = En áñ¨¿ m £ n-ã³÷³ÝÇ A0 Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ: ÀÝïñ»Éáí X = A0 ¢ B, ÏáõÝ»Ý³Ýùª A ¢ X = A(A0 ¢ B) = (A ¢ A0 )B = En ¢ B = B ; ³ÛëÇÝùÝª A ¢ X = B Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ÉáõÍáõÙ: ÆëÏ, »Ã» A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³ÛëÇÝùÝª A00 ¢ A = Em áñ¨¿ m £ nã³÷³ÝÇ A00 Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ ¨ A ¢ X = B Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ áñ¨¿ X ÉáõÍáõÙ, ³å³ A00 (A ¢ X) = A00 ¢ B ; (A00 A) ¢ X = A00 ¢ B ; Em ¢ X = A00 ¢ B ; X = A00 ¢ B ; ²ÛëåÇëáí, A¢X = B Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ X ÉáõÍáõÙ Ñ³í³ë³ñ ¿ A00 ¢ B-ÇÝ: àõëïÇ, A ¢ X = B Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (»Ã» A-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó) Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ³Ù»Ý³ß³ïÁ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

´»ñ»Ýù Ó³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ A Ù³ïñÇóÇ ûñÇÝ³Ï, áñÇ ¹»åùáõÙ A ¢ X = B Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) ãáõÝÇ ÉáõÍáõÙ: Ð»Ýó ³Û¹åÇëÇÝ ¿, ûñÇÝ³Ï, í»ñáÑÇßÛ³É 2 0 @ 0 3 A 0 0

Ù³ïñÇóÁ: Æñáù,

< 2x1 + 0x2 = 1 0x1 + 3x2 = 2 : 0x1 + 0x2 = 3

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ãáõÝÇ ÉáõÍáõÙ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.10-Á ÙÝáõÙ ¿ áõÅÇ Ù»ç, »Ã» X ³ÝÑ³Ûï Ù³ïñÇóÁ ¨ B-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý m £ k ¨ n £ k-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.11: àñå»ë½Ç n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ßñçí³Í AT

Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A ¢ B = En , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 14.4-Ç ÏáõÝ»Ý³Ýùª (A ¢ B)T = (En )T ; B T ¢ AT = En ;

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» C ¢ AT = En ;, ³å³

¡ ¢T C ¢ AT = (En )T ; ¡ T ¢T A ¢ C T = En ; A ¢ C T = En :

n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m £ n-ã³÷³ÝÇ B Ù³ïñÇó, áñ A ¢ B = En ¨ B ¢ A = Em :

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

²Ûë ¹»åùáõÙ m£ n-ã³÷³ÝÇ B Ù³ïñÇóÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ (Ù³ïñÇó) áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª B = A¡1 : ¸»é ³í»ÉÇÝ, »Ã» n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³å³ Ýñ³ ³ç ¨ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ Ïáñáßí»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý (Ñ»ï¨³μ³ñ, A-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ): Æñáù, »Ã» A ¢ A0 = En ¨ A00 ¢ A = Em , ³å³, ÇÝãå»ë ¨ í»ñ¨áõÙ, A00 = A00 ¢ En = A00 ¢ (A ¢ A0 ) = (A00 ¢ A) ¢ A0 = Em ¢ A0 = A0 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» A ¢ B = En ;

B ¢ A = Em

¨ A ¢ B 0 = En ;

B 0 ¢ A = Em ;

³å³ ³é³çÇÝ ¨ ãáññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÏμËÇ B = B0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ê³Ï³ÛÝ å³ñ½íáõÙ ¿, áñ μ³óÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÝ»ñÇó áõñÇß Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý: Â»áñ»Ù 14.5: ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³å³ n 6 m:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù n£m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³ÛëÇÝùÝ A ¢ A0 = En , ¨ ¹Çóáõù n > m: ²Ûë ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 14.2-Ç, ïáÕ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ»ñáí A Ù³ïñÇóÁ μ»ñíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí n £ mã³÷³ÝÇ C Ù³ïñÇóÇ: àõëïÇ, C = S ¢ A, áñï»Õ S-Á n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó ¿, ¨ Ù»Ýù Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ýª CA0 S¡1 = SAA0 S ¡1 = S ¢ En ¢ S ¡1 = En ; áñáíÑ»ï¨ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕáí Ù³ïñÇó ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁª áã: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.7: ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³å³ m 6 n:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ m £ n-ã³÷³ÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A00 Ù³ïñÇó, áñ A00 ¢ A = Em : Ð»ï¨³μ³ñ, A00 Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇª m 6 n: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.8: ºÃ» n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ n = m, ³ÛëÇÝùÝª A-Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇó ¿ : ¤

14.4. Ø³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ì»ñÑÇß»Ýù sgn : Sn ! f§1g ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÁª ½ 1; »Ã» ¾ 2 An ; sgn(¾) = ¡1; »Ã» ¾ 2 Sn n An ; ³ÛëÇÝùÝª ½áõÛ· (Ï»Ýï) ¾ ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª sgn(¾) = 1 (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñª sgn(¾) = ¡1): ÆÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿ª sgn(¾) = ¢ ¡ sgn ¾¡1 ¨ sgn(® ¢ ¯) = sgn(®) ¢ sgn(¯): Î³Ù³Û³Ï³Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç a11 ; : : : ; a1n A = @ ::: ::: ::: A an1 ; : : : ; ann Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ jAj-áí Ï³Ù det(A)-áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª X jAj = sgn(¾) ¢ a1;¾(1) ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) ; ¾2Sn

áñï»Õ ¾-Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Sn μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ (determinant – ³Ý·É.): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» ¾-Ý ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ a1;¾(1) ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ í»ñóíáõÙ »Ý Ù³ïñÇóÇ ³Ù»Ý ëÛáõÝ³ÏÇó (ÇÝãå»ë ¨ ³Ù»Ý ïáÕÇó) Ù»Ï³Ï³Ý: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ n Ñ³ï ï³ññ»ñÇ a1;i1 ¢ a2;i2 ¢ ¢ ¢ an;in ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÝ ÁÝïñí³Í »Ý Ù»Ï³Ï³Ýª Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó, ³å³ ¾ =

1; 2; : : : ; n i1 ; i2 ; : : : ; in

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ

ÏÉÇÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³Ï, n = 1 ¹»åùáõÙª A = (a11 ), S1 = f"g, áñï»Õ "(1) = 1, sgn(") = 1 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, det(A) = a11 : n = 2 ¹»åùáõÙª μ ¶ a11 ; a12 A= ; a21 ; a22

S2 = f"; ®g, áñï»Õ ® = (1; 2), sgn(®) = ¡1 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ,

det(A) = sgn(") ¢ a1;"(1) ¢ a2;"(2) + sgn(®) ¢ a1;®(1) ¢ a2;®(2) = a11 a22 ¡ a12 ¢ a21 : n = 3 ¹»åùáõÙª

a11 ; a12 ; a13 A = @ a21 ; a22 ; a23 A ; a31 ; a32 ; a33

ÇëÏ S3 = f"; ®; ¯; °; ±; ¿g, áñï»Õ ® = (1; 2);

sgn(®) = ¡1;

¯ = (1; 3);

sgn(¯) = ¡1;

° = (2; 3);

sgn(°) = ¡1;

± = (1; 2; 3);

sgn(±) = 1;

¿ = (1; 3; 2);

sgn(¿ ) = 1;

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, det(A) = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 ¡a13 a22 a31 ¡a12 a21 a33 ¡a11 a23 a32 ; áñï»Õ ¹ñ³Ï³Ý Ýß³Ýáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ï³½ÙíáõÙ »Ý Áëï Ñ»ï¨Û³É ûñ»ÝùÇª d

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÇëÏ μ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ýáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª Áëï Ñ»ï¨Û³É ûñ»ÝùÇª d

²ÛÅÙ Ñ³ßí»Ýù í»ñÇÝ »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ a11 ; a12 ; : : : ; a1n B 0; a22 ; : : : ; a2n A=B @ ::: ::: ::: ::: 0; 0; : : : ; ann

C C A

Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ: ä³ñ½íáõÙ ¿, ³Ûë ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª det(A) = a11 ¢ a22 ¢ ¢ ¢ ann :

Ü³Ë³å»ë ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ:

È»ÙÙ 14.7: ºÃ» ¾ 2 Sn ¨ ¾ 6= ", ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ i μÝ³Ï³Ý ÃÇí (2 6 i 6 n), áñ ¾(i) < i:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ¾(n) 6= n, ³å³ i = n: ¸Çóáõù ¾(n) = n: ºÃ» ¾(n¡1) 6= n ¡ 1, ³å³ i = n ¡ 1: ÆëÏ »Ã» ¾(n ¡ 1) = n ¡ 1, ³å³ ³ÝóÝáõÙ »Ýù ¾(n ¡ 2)-Ç ¹Çï³ñÏÙ³ÝÁ ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ¤

ú·ïí»Éáí ³å³óáõóí³Í É»ÙÙÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýù í»ñÇÝ »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ. X sgn(¾) ¢ a1;¾(1) ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) = det(A) = a11 ¢ a22 ¢ ¢ ¢ ann + ¾2Sn ; ¾6="

áñáíÑ»ï¨

= a11 ¢ a22 ¢ ¢ ¢ ann ;

¾2Sn ; ¾6="

sgn(¾) ¢ a1;¾(1) ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) = 0 :

àñáßÇãÇ Ñ³ßíÙ³Ý ÝáõÛÝ μ³Ý³Ó¨Á ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ Ý»ñùÇÝ »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ å»ïù ¿ ³ñ¹»Ý Ñ»Ýí»É Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇ íñ³:

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

È»ÙÙ 14.8: ºÃ» ¾ 2 Sn ¨ ¾ 6= ", ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ j μÝ³Ï³Ý ¤ ÃÇí (1 6 j 6 n ¡ 1), áñ ¾(j) > j : àñáßÇãÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ »Ý Ýñ³ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.12: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ³å³ Ýñ³ áñáßÇãÁ ¨ë Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.13: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕ μ³½Ù³å³ïÏíáõÙ ¿ áñ¨¿ Çñ³Ï³Ý Ãíáí, ³å³ Ýñ³ áñáßÇãÁ ¨ë Ïμ³½Ù³å³ïÏíÇ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ãíáí: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Íª »1 »1 B .. C B .. C B . C B . C B C C B B »i C ; C = ® ¢ det det B ® » i C B C B B . C B . C @ .. A @ .. A »n »n

áñï»Õ »1 ; : : : ; »i ; : : : ; »n -Á ¹Çï³ñÏíáÕ Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÝ »Ý:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.14: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕ Ñ³í³ë³ñ ¿ »ñÏáõ Ï³Ù í»ñç³íáñ Ãíáí Ï³Ù³Û³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ, ³å³ ³Û¹åÇëÇ Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª .. .. .. . C B . C B . C B C = det B ´i C + ¢ ¢ ¢ + det B ¹i C : ¤ det B ´ + ¢ ¢ ¢ + ¹ i i A @ A @ A @ .. .. .. . . .

ì»ñçÇÝ »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ Ç ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí ³ëáõÙ »Ý, áñ Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ýáõÝÏóÇ³) ¿ª Áëï Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïáÕÇ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¿ 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý ¨ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç »1 B C A = @ ... A »n

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Ýù (Ï³éáõó»Ýù) ¿ (A) Ù³ïñÇóÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª »¿ (1) B C ¿(A) = @ ... A : »¿ (n)

Â»áñ»Ù 14.6: Î³Ù³Û³Ï³Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¿ 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª j¿ (A)j = sgn(¿ ) ¢ jAj :

²å³óáõóáõÙ: Ð³ßí»Ýù ¿ (A) Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁª »¿ (1) X B C j¿ (A)j = det @ ... A = sgn(¾) ¢ a¿ (1);¾(1) ¢ a¿ (2);¾(2) ¢ ¢ ¢ a¿ (n);¾(n) ; ¾2Sn »¿ (n) ¡ ¢ ¡ ¢ ºÃ» ¿ (m) = i, ¡³å³¢m = ¿ ¡1 (i) ¨ ¾(m) = ¾¡ ¿ ¡1 (i)¢ = ¿ ¡1 ¢ ¾ i: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ¾ = ¿ ¿ ¡1 ¾ ¨ sgn¾ = sgn(¿ ) ¢ sgn ¿ ¡1 ¢ ¾ : Ð»ï¨³μ³ñ, j¿ (A)j =

¾2Sn

¡ ¢ sgn(¿) ¢ sgn ¿ ¡1 ¾ ¢ a1;(¿ ¡1 ¾)1 ¢ a2;(¿ ¡1 ¾)2 ¢ ¢ ¢ an;(¿ ¡1 ¾)n =

= sgn(¿ ) ¢

°2Sn

sgn(°) ¢ a1;°(1) ¢ a2;°(2) ¢ ¢ ¢ an;°(n) = sgn(¿ ) ¢ jAj;

áñáíÑ»ï¨ »ñμ ¾-Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ Sn μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ° = ¿ ¡1 ¢ ¾ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñíáõÙ ¿ Sn -Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý ® ï³ññÇÝ (° = ¤ ® 2 Sn , »Ã» ¾ = ¿ ¢ ®): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.15: ºñÏáõ Ñ³í³ë³ñ ïáÕ»ñ áõÝ»óáÕ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (n > 1):

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Ñ³í³ë³ñ »Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ i-ñ¹ ¨ j-ñ¹ ïáÕ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª ai;k = aj;k : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, jAj áñáßÇãÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ sgn(¾)a1;¾(1) ¢ ¢ ¢ ai;¾(i) ¢ ¢ ¢ aj;¾(j) ¢ ¢ ¢ an;¾(n)

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

³Ý¹³ÙÇÝ, áñï»Õ ¾ 2 An , ·áõÙ³ñ»Éáí sgn(¾0 )a1;¾0 (1) ¢ ¢ ¢ ai;¾0 (i) ¢ ¢ ¢ aj;¾0 (j) ¢ ¢ ¢ an;¾ 0 (n) ³Ý¹³ÙÁ, áñï»Õ ¾ 0 = (i; j) ¢ ¾ 2 Sn n An , Ïëï³Ý³Ýù ½ñá, áñáíÑ»ï¨ sgn(¾ 0 ) = ¡sgn(¾), a1;¾0 (1) = a1;¾(1) , ::: ::: ::: ai¡1;¾0 (i¡1) = ai¡1;¾(i¡1) , ai;¾0 (i) = ai;¾(j) = aj;¾(j) , ai+1;¾0 (i+1) = ai+1;¾(i+1) , ::: ::: ::: aj¡1;¾ 0 (j¡1) = aj¡1;¾(j¡1) , aj;¾0 (j) = aj;¾(i) = ai;¾(i) , aj+1;¾0 (j+1) = aj+1;¾(j+1) , ::: ::: ::: an;¾0 (n) = an;¾(n) : ²ÛëåÇëáí, jAj áñáßÇãÇ μáÉáñ n! ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ËÙμ³íáñ»É Áëï ³ÛÝåÇëÇ ½áõÛ·»ñÇ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ ½ñá ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, jAj = 0: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.16: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ Ù»ç Ï³ï³ñ»Ýù »ñÏáõ ïáÕ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ, ³å³ ¹ñ³ÝÇó Ï÷áËíÇ Ýñ³ áñáßÇãÇ ÙÇ³ÛÝ Ýß³ÝÁ (n > 1):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» 0 . . B . B »i B B A = B ... B B »j @ .. .

C C C C C ; C C A

0 . . B . B »j B B B = B ... B B »i @ .. .

C C C C C ; C C A

³å³ B = ¿ (A), áñï»Õ ¿ = (i; j): Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14.6Ç, jBj = j¿ (A)j = sgn(¿ ) ¢ jAj = ¡jAj : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.17: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ûÅïí³Í ¿ »ñÏáõ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ïáÕ»ñáí, ³å³ ¹ñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (n > 1) : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.18: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ¹ñ³ ÙÇ ù³ÝÇ áõñÇß ïáÕ»ñÇ ÙÇçáóáí, ³å³ ³Û¹ Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (n > 1) : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.19: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ãÇ ÷áËíÇ, »Ã» ¹ñ³ áñ¨¿ ïáÕÇÝ ³í»É³óÝ»Ýù Ù³ïñÇóÇ Ù»Ï áõñÇß ïáÕª Ý³Ë³å»ë ³ÛÝ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñ¨¿ Ãíáí (n > 1) : ¤ Â»áñ»Ù 14.7: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ñÏáõ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ñï³¹ñÇã Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª jA ¢ Bj = jAj ¢ jBj :

²å³óáõóáõÙ: »ÝÃ³¹ñ»Ýù A = (aij ) ¨ B = (bij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÁ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç »Ý ¨ C = A ¢ B = (cij ): B Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù ´1 ; : : : ; ´n -áí, áñï»Õ ´i = (bi1 ; : : : ; bin ) ; ¨ ·ñ»Ýùª

´1 C B B = @ ... A : ´n

C Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù »1 ; : : : ; »n -áí: àõëïÇ, »1 B . C C = @ .. A ; »n

áñï»Õ »1 = (ci1 ; : : : ; cin ): ø³ÝÇ, áñª

c11 = a11 b11 + a12 b21 + ¢ ¢ ¢ + a1n bn1 ;

c1n = a11 b1n + a12 b2n + ¢ ¢ ¢ + a1n bnn ;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

³å³ »1 = a11 ´1 + ¢ ¢ ¢ + a1n ´n : ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëï³óíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª »2 = a21 ´1 + ¢ ¢ ¢ + a2n ´n ;

»n = an1 ´1 + ¢ ¢ ¢ + ann ´n :

²ÛÅÙ áñáß»Ýù C ³ñï³¹ñÛ³É Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ. »1 a11 ´1 + ¢ ¢ ¢ + a1n ´n B .. C jCj = jA ¢ Bj = det @ . A = det @ ::: ::: ::: A = an1 ´1 + ¢ ¢ ¢ + ann ´n »n a1n ´n a11 ´1 B a21 ´1 + ¢ ¢ ¢ + a2n ´n B a21 ´1 + ¢ ¢ ¢ + a2n ´n C C + ¢ ¢ ¢ + det B = det B A @ @ ::: ::: ::: ::: ::: ::: an1 ´1 + ¢ ¢ ¢ + ann ´n an1 ´1 + ¢ ¢ ¢ + ann ´n

C C; A

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí, ³é³ç³ó³Í áñáßÇãÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ í»ñ »Ýù ³ÍáõÙ Áëï »ñÏñáñ¹ ïáÕ»ñÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ, áñÇó Ñ»ïá ëï³óí³Í áñáßÇãÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁª Áëï »ññáñ¹ ïáÕ»ñÇ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï ... : Æ í»ñçá ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁª ´j 1 X C B jA ¢ Bj = a1;j1 ¢ ¢ ¢ an;jn ¢ det @ ... A ; j1 ;:::;jn ´j n

áñï»Õ j1 ; : : : ; jn ï³ññ»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ³ÝÏ³Ë ëï³ÝáõÙ »Ý 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: ºÃ» j1 ; : : : ; jn ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ù»ç ÉÇÝ»Ý ÏñÏÝíáÕÝ»ñ, ³å³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ´j1 C B det @ ... A ´jn

áñáßÇãÁ

ÏÉÇÝÇ

·áõÙ³ñÁ

Ï³ñ»ÉÇ

Ñ³í³ë³ñ ¿

Ñ³ßí»É

½ñáÛÇ:

ÙÇ³ÛÝ

²Û¹

å³ï×³éáí,

Áëï

³ÛÝåÇëÇ

j1 ;:::;jn

(j1 ; : : : ; jn )

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, áñáÝó Ù»ç ãÏ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, μ ¶ 1; 2; : : : ; n ¾= j1 ; j2 ; : : : ; jn

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14.6-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ´¾(1) X C B jA ¢ Bj = a1;¾(1) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) ¢ det @ ... A = ¾2Sn ´¾(n) ´1 X C B a1;¾(1) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) ¢ sgn(¾)det @ ... A = = ¾2Sn ´n ´1 B .. C X = det @ . A sgn(¾) ¢ a1;¾(1) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) = jAj ¢ jBj : ¤ ¾2Sn ´n

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.20: ì»ñç³íáñ Ãíáí n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ñï³¹ñÇã Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª jA1 ¢ A2 ¢ ¢ ¢ Am j = jA1 j ¢ jA2 j ¢ ¢ ¢ jAm j;

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

m>2: ¤

Â»áñ»Ù 14.8: ÞñçÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ãÇ ÷áËíáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª jAT j = jAj :

²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù A = (aij ) ¨ AT = (a¤ij ), áñï»Õ a¤ij = aji : Ð³ßí»Ýù AT ßñçí³Í Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ. X X sgn(¾) ¢ a¤1;¾(1) ¢ ¢ ¢ a¤n;¾(n) = sgn(¾) ¢ a¾(1);1 ¢ ¢ ¢ a¾(n);n : jAT j = ¾2Sn

¾2Sn

ºÃ» ¾(m) = i, ³å³ m = ¾¡1 (i) ¨ Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí sgn(¾) = sgn(¾ ¡1 ) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýùª X sgn(¾¡1 ) ¢ a1;¾ ¡1 (1) ¢ ¢ ¢ an;¾¡1 (n) = jAT j = ¾2Sn

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

°2Sn

sgn(°) ¢ a1;°(1) ¢ ¢ ¢ an;°(n) = jAj ;

áñáíÑ»ï¨ ° = ¾ ¡1 ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñáÕ ¿ Ñ³í³ë³ñí»É Sn μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ï³ññÇÝ: ¤ ²å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÁ ÑÝ³ñ³íáñÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É Ó¨³Ï»ñåí³Í μáÉáñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñ³Ó¨³Ï»ñå»É Ý³¨ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.21: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ëÛáõÝ³ÏÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ³å³ ¹ñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.22: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ëÛáõÝ³Ï μ³½Ù³å³ïÏíáõÙ ¿ áñ¨¿ Çñ³Ï³Ý Ãíáí, ³å³ ¹ñ³ áñáßÇãÁ ¨ë Ïμ³½Ù³å³ïÏíÇ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ãíáí: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.23: det (´1 ; : : : ; »i + ¢ ¢ ¢ + ¹i ; : : : ; ´n ) = = det (´1 ; : : : ; »i ; : : : ; ´n ) + ¢ ¢ ¢ + det (´1 ; : : : ; ¹i ; : : : ; ´n ):

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.24: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ûÅïí³Í ¿ Ñ³í³ë³ñ ¤ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí, ³å³ ¹ñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (n > 1) : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.25: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ûÅïí³Í ¿ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí, ³å³ ¹ñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (n > 1) : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.26: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ëÛáõÝ³Ï ·Í³ÛÝáñ»Ý (·Íáñ»Ý) ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ Ýñ³ ÙÇ ù³ÝÇ áõñÇß ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí, ³å³ ¹ñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (n > 1) : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.27: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ãÇ ÷áËíÇ, »Ã» ¹ñ³ áñ¨¿ ëÛáõÝ³ÏÇÝ ³í»É³óÝ»Ýù Ù³ïñÇóÇ Ù»Ï áõñÇß ëÛáõÝ³Ïª Ý³Ë³å»ë ³ÛÝ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñ¨¿ Ãíáí (n > 1) : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.28: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ Ù»ç Ï³ï³ñ»Ýù ¹ñ³ »ñÏáõ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ, ³å³ ¹ñ³ÝÇó Ï÷áËíÇ Ýñ³ áñáßÇãÇ ÙÇ³ÛÝ Ýß³ÝÁ (n > 1) : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

14.5. àñáßÇãÇ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ Áëï Ù³ïñÇóÇ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇ n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ »ÝÃ³Ù³ïñÇó ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ³ÛÝ Ù³ïñÇóÁ, áñÇ ï³ññ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý A Ù³ïñÇóÇ ÙÇ ù³ÝÇ ïáÕ»ñÇ ¨ ÙÇ ù³ÝÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ï»Õ»ñáõÙ: ºÃ» í»ñóí³Í ïáÕ»ñÇ Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù i1 < i2 < ¢ ¢ ¢ < ik , ÇëÏ í»ñóí³Í ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù j1 < j2 < ¢ ¢ ¢ < jl , ³å³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇª ai1 j1 ; ai1 j2 ; : : : ; ai1 jl B ai2 j1 ; ai2 j2 ; : : : ; ai2 jl C B C : @ ::: ::: A aik j1 ; aik j2 ; : : : ; aik jl Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, A Ù³ïñÇóÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïáÕ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛáõÝ³Ï ÏÉÇÝÇ Çñ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ: ¸Çóáõù A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ¿: Mij -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù A-Ç ³ÛÝ (n¡1)-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ A-Çó Ñ»é³óÝ»Éáí Ýñ³ i-ñ¹ ïáÕÁ ¨ j-ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÁ, ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝ ïáÕÁ ¨ ëÛáõÝ³ÏÁ, áñáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ aij ï³ññÁ: jMij j áñáßÇãÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ (n ¡ 1) -ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇÝáñ, Ï³Ù aij ï³ññÇ ÙÇÝáñ A Ù³ïñÇóáõÙ, ÇëÏ Aij = (¡1)i+j jMij j

Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ aij ï³ññÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇã A Ù³ïñÇóáõÙ: È»ÙÙ 14.9: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ ³é³çÇÝ ïáÕáõÙ (ëÛáõÝ³ÏáõÙ) a11 -Çó μ³óÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ³å³ jAj = a11 ¢ A11 :

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Áëï ïáÕÇ: ¸Çóáõùª a11 ; 0; : : : ; B a21 ; a22 ; : : : ; a2n C C : A=B @ ::: ::: ::: A an1 ; an2 ; : : : ; ann ºÃ» ¾ Sn ¨ ¾(1)6=1, ³å³ μ ¶ 1; 2; : : : ; n ¾= 1; i2 ; : : : ; in

a1;¾(1) =0: Sn

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ

ï»Õ³¹ñáõÃÛ³ÝÁ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

¶ 1; :::; n ¡ 1 2 Sn¡1 i2 ¡ 1; : : : ; in ¡ 1 ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ: Àëï áñáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ° 2 Sn¡1 ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ëï³óíáõÙ ¿ ³Û¹ Ó¨áí: Æñáù, »Ã» μ ¶ 1; 2; : : : ; n ¡ 1 °= 2 Sn¡1 ; j1 ; j2 ; : : : ; jn¡1 Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óÝ»Ýù °

³å³ ³ÛÝ Ïëï³óí» Ñ»ï¨Û³É μ ¶ 1; 2; n ¾= 2 Sn 1; j1 + 1; : : : ; jn¡1 + 1 ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÇó: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ sgn(¾) = sgn(°), áñáíÑ»ï¨ ¾ ¨ ° ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³ñ·Ç Ë³ËïáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý: ¸Çóáõùª

M11 ³ÛëÇÝùÝª

1 0 c1;n¡1 c11 ; a22 ; : : : ; a2n A ; = @ ::: ::: ::: A = @ ::: an2 ; : : : ; ann cn¡1;1 ; : : : ; cn¡1;n¡1

a2;¾(2) = .. .

c1;°(1) ;

an;¾(n) = cn¡1;°(n¡1) : Ð»ï¨³μ³ñª jAj = =

¾2Sn

sgn(¾) ¢ a1;¾(1) ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) =

¾2Sn ;¾(1)6=1

= a11 ¢ = a11 ¢

°2Sn¡1

sgn(¾) ¢ a11 ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) =

¾2Sn ;¾(1)6=1

sgn(¾) ¢ a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) =

sgn(°) ¢ c1;°(1) ¢ ¢ ¢ cn¡1;°(n¡1) = a11 ¢ jM11 j = a11 ¢ A11 : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

È»ÙÙ 14.10: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ i-ñ¹ ïáÕáõÙ (j -ñ¹ ëÛáõÝ³ÏáõÙ) aij -Çó μ³óÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ³å³ jAj = aij ¢ Aij :

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ý·»óíáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇÝ: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Áëï ïáÕÇ: ¸Çóáõùª a11 ; a1n B ::: ::: C B C A=B ; : : : ; 0 C 0; : : : ; a ij B C : @ ::: ::: A an1 ; ann

î»Õ³÷áË»Ýù i-ñ¹ ïáÕÁ (i ¡ 1)-ñ¹ ïáÕÇ Ñ»ï, ³ÛÝáõÑ»ï¨ (i ¡ 2)ñ¹ ïáÕÇ Ñ»ï, ..., ³é³çÇÝ ïáÕÇ Ñ»ï: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ A Ù³ïñÇóÇ iñ¹ ïáÕÁ Ï¹³éÝ³ ëï³óíáÕ A0 Ù³ïñÇóÇ ³é³çÇÝ ïáÕ, áñÇ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³Ýçí»ó i¡1 Ñ³ï ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ A Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇ ÙÇç¨: ø³ÝÇ áñ ïáÕ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ÁÝÃ³óùáõÙ ÷áËíáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÇ ÙÇ³ÛÝ Ýß³ÝÁ, ³å³ jA0 j = (¡1)i¡1 jAj :

²ÛÝáõÑ»ï¨, ëï³óí³Í A0 Ù³ïñÇóÇ Ù»ç j-ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÁ Ñ»ñÃáí ï»Õ³÷áË»Éáí Çñ Ý³Ëáñ¹ j ¡ 1 Ñ³ï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ»ï, Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª aij ; 0; : : : ; B a1j ; a11 ; : : : ; a1n C C : A00 = B @ ::: ::: ::: ::: A anj ; an1 : : : ; ann

ØÇ ÏáÕÙÇóª

jA00 j = (¡1)j¡1 jA0 j = (¡1)j¡1 (¡1)i¡1 jAj = (¡1)i+j¡2 jAj = (¡1)i+j jAj ;

ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ, j; jA00 j = aij jM11

j-Á aij ï³ññÇ ÙÇÝáñÝ ¿ A00 Ù³ïñÇóáõÙ, áñÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ áñï»Õ jM11 aij ï³ññÇ jMij j ÙÇÝáñÇÝ ëÏ½μÝ³Ï³Ý A Ù³ïñÇóáõÙ: ²ÛëåÇëáíª

aij jMij j = (¡1)i+j jAj

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, (¡1)i+j aij jMij j = (¡1)2(i+j) jAj ; jAj = (¡1)i+j aij jMij j = aij Aij :

Â»áñ»Ù 14.9: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝª jAj = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ¢ ¢ ¢ + ain Ain (jAj = a1i A1i + a2i A2i + ¢ ¢ ¢ + ani Ani ) ;

áñï»Õ i = 1; 2; : : : ; n:

²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Áëï i-ñ¹ ïáÕÇ: ²å³óáõóáõÙ: Ü»ñÏ³Û³óÝ»Éáí Ù³ïñÇóÇ i-ñ¹ ïáÕÁ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáíª (ai1 ; ai2 ; : : : ; ain ) = (ai1 ; 0; : : : ; 0) + (0; ai2 ; : : : ; 0) + ¢ ¢ ¢ + (0; : : : ; 0; ain ) ; ÏáõÝ»Ý³Ýùª jAj = jA1 j + jA2 j + ¢ ¢ ¢ + jAn j ;

áñï»Õ A1 ; A2 ; : : : ; An Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ëï³óíáõÙ »Ý A-Çó ÷áË³ñÇÝ»Éáí Ýñ³ i-ñ¹ ïáÕÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ (ai1 ; 0; : : : ; 0), (0; ai2 ; : : : ; 0), : : :, (0; : : : ; 0; ain ) ïáÕ»ñáí: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.29 (ï³ññ»ñÇ ¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ»ñÇ ûñÃá·áÝ³ÉáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ) : n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ áñ¨¿ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇ ¨ Ù»Ï ³ÛÉ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇª ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ¢ ¢ ¢ + ain Ajn = 0; »Ã» i 6= j (a1i A1j + a2i A2j + ¢ ¢ ¢ + ani Anj = 0;

»Ã» i 6= j) :

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» »ñÏáõ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñ ï³ñμ»ñíáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñáí, ³å³ ³Û¹ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ»ñÁ »ñÏáõ Ù³ïñÇóÝ»ñáõÙ ¿É ÏÉÇÝ»Ý ÝáõÛÝÁ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý (Ñ³ßíÙ³Ý) Ù»ç ³Û¹ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÁ ã»Ý Ù³ëÝ³ÏóáõÙ (çÝçíáõÙ »Ý): îñí³Í A Ù³ïñÇóÇ j-ñ¹ ïáÕÁ (ëÛáõÝ³ÏÁ) ÷áË³ñÇÝ»Éáí i-ñ¹

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ïáÕáí (ëÛáõÝ³Ïáí), áñï»Õ i 6= j, Ïëï³Ý³Ýù ÙÇ A0 Ù³ïñÇó, áñÁ ÏáõÝ»Ý³ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñ ïáÕ»ñ (ëÛáõÝ³ÏÝ»ñ): Ð»ï¨³μ³ñ, jA0 j = 0: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, jA0 j-Á í»ñÉáõÍ»Éáí Áëï A0 -Ç j-ñ¹ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇ, Ïëï³Ý³Ýùª ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ¢ ¢ ¢ + ain Ajn = 0 (a1i A1j + a2i A2j + ¢ ¢ ¢ + ani Anj = 0) :

Â»áñ»Ù 14.10 (Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó (Ó³ËÇó), ³å³ Ýñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ³ÛÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ : ²ÛÉ Ï»ñå, n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ det(A) 6= 0:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A0 Ù³ïñÇó, áñ A ¢ A0 = En , ³å³ det(A ¢ A0 ) = det(En ) ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14.7-Çª det(A) ¢ det(A0 ) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, det(A) 6= 0: ÜáõÛÝÁ Ïëï³óí»ñ, »Ã» A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝ»ñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» d = det(A) 6= 0, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáíª

B B B B A =B B B @

A11 A21 A ; ; : : : ; n1 d d d A A12 A22 ; ; : : : ; n2 d d d ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ Ann A1n A2n ; ; :::; d d d

C C C C C C C A

¨ û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 14.9-Çó áõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 14.29-Çó, Ïëï³Ý³Ýùª A ¢ A0 = A0 ¢ A = En :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.9 (Ñ³Ï³¹³ñÓ Ù³ïñÇóÇ Ñ³ßíÙ³Ý μ³Ý³Ó¨Á): ºÃ» nñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ det(A¡1 ) = (det A)¡1 ¨

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

A¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª A11 A21 An1 ; ; :::; B d d C B A12 Ad22 An2 C C B ; ; :::; B d d C A¡1 = B d C; C B C B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A @ Ann A1n A2n ; ; :::; d d d

(14.1)

áñï»Õ d = det(A) 6= 0: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, μ ¶¡1 μ ¶ a b d ¡b ; = c d ad ¡ bc ¡c a »Ã» ad ¡ bc 6= 0:

A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÙμáÕç³ñÅ»ù, »Ã» Ýñ³ ï³ññ»ñÁ ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.10: n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ³ÙμáÕç³ñÅ»ù A Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÇ A¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ÏÉÇÝÇ ³ÙμáÕç³ñÅ»ù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¤ ¹»åùáõÙ, »ñμ det(A) = §1: Ð³×³Ë n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³ë»ñí³Í, »Ã» Ýñ³ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ¨ ãí»ñ³ë»ñí³Íª Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ:

14.6. Æñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ: Îñ³Ù»ñÇ ¨ ¶³áõëÇ »Õ³Ý³ÏÝ»ñÁ Ø»Ï ³ÝÑ³Ûïáí ax = b ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí ¨ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ½ ax + by = l; cx + dy = f ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ÉáõÍíáõÙ »Ý ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ: ²Ûëï»Õ, ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÝ áõ Ù»Ãá¹Ý»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ íñ³:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¸Çï³ñÏ»Ýù n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí m Ñ³ï ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª < a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1 ; ::: ::: ::: ::: ::: : am1 x1 + am2 x2 + ¢ ¢ ¢ + amn xn = bm ;

(14.2)

áñï»Õ x1 ; : : : ; xn ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ aij ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ (i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; n) ¨ b1 ; : : : ; bm ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ëáíáñ³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ »Ý: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ (®1 ; : : : ; ®n ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ai1 x1 + ¢ ¢ ¢ + ain xn = bi ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Éáí x1 = ®1 , : : :, xn = ®n (¨ Ï³ï³ñ»Éáí Ó³Ë Ù³ëÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ) ëï³ÝáõÙ »Ýù ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãÇ áõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ai1 = ¢ ¢ ¢ = ain = 0, ÇëÏ bi 6= 0: bi = 0 ¹»åùáõÙ Ýßí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ù³ë»é: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ (®1 ; : : : ; ®n ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³ÛÝ ÉáõÍáõÙ ¿ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: ÈáõÍ»É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É (áñáß»É, ÝÏ³ñ³·ñ»É) ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: Ð³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ÉáõÍ»ÉÇ Ï³Ù Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ (Ñ³Ù³ï»Õ), »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑ³Ù³ï»Õ»ÉÇ: Æ ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý, μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¨ ÃÇíÁ (Ó³ËÇó) Ù³ïñÇóáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí.

a11 B C B x1 @ ... A + ¢ ¢ ¢ + xn @ am1

1 0 a1n C B .. A=@ . amn

b1 .. C ; . A bm

(14.3)

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Ï³Ù

1 0 x 1 0 b 1 a11 ; : : : ; a1n .. C = B .. C : @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A¢ B @ . A @ . A am1 ; : : : ; amn xn bm

Üß³Ý³Ï»Éáíª

(14.4)

a11 ; : : : ; a1n A = @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A ; am1 ; : : : ; amn

x1 B C X = @ ... A xn

b1 B . C ¨ B = @ .. A ; bm

(14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÁÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³éáï Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùÁ. A¢X = B;

(14.5)

áñï»Õ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í m £ n-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇó, ÇëÏ

a11 ; : : : ; a1n ; b1 A~ = @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A am1 ; : : : ; amn ; bm

Ù³ïñÇóÁª ¹ñ³ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ù³ïñÇó: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ (®1 ; : : : ; ®n ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ (14.3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã»

a11 B C B ®1 @ ... A + ¢ ¢ ¢ + ®n @ am1

1 0 a1n C B .. A=@ . amn

b1 .. C ; . A bm

¯1 C B ÇëÏ ¯ = @ ... A ëÛáõÝ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ (14.4) Ï³Ù (14.5) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¯n ÉáõÍáõÙ, »Ã» A ¢ ¯ = B:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

È»ÙÙ 14.11: 1) àñå»ë½Ç (®1 ; : : : ; ®n )-Á ÉÇÝÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (®1 ; : : : ; ®n )-Á ÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ (14.3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ; 2) àñå»ë½Ç (®1 ; : : : ; ®n )-Á0 ÉÇÝÇ1 (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ ®1 B .. C ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ @ . A ëÛáõÝ³ÏÁ ÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ (14.5)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

®n

ºÃ» b1 = ¢ ¢ ¢ = bm = 0, ³ÛëÇÝùÝª B = 0, ³å³ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ù³ë»é, ³í»ÉÇ ×Çßï n ³ÝÑ³Ûïáí m ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·; Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ áã Ñ³Ù³ë»é: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ < a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = 0; (14:20 ) ::: ::: ::: ::: : am1 x1 + ¢ ¢ ¢ + amn xn = 0; Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÝáõÛÝå»ë Ñ³×³Ë ·ñíáõÙ ï»ëùáíª 1 0 a11 a1n B .. C B .. C B .. x1 @ . A + ¢ ¢ ¢ + xn @ . A=@ . am1

1 0 a11 ; : : : ; a1n @ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ A ¢ B @ am1 ; : : : ; amn

Ï³Ùª

amn

1 0 x1 .. C = B . A @ xn

A¢X = 0 ;

¿ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ

C A ;

.. C ; . A

(14:30 )

(14:40 )

(14:50 )

¨ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý (Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2’) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÙÇßï ûÅïí³Í ¿ (0; : : : ; 0) ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙáí:

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.30: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2') Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Nn μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ n-ïáÕ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª X; Y 2 Nn ¡! X + Y 2 Nn ; X 2 Nn ¡! ®X 2 Nn

ó³ÝÏ³ó³Í ® Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: Î³ï³ñíáõÙ ¿ ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.31: ºÃ» Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ûÅïí³Í ¿ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙáí, ³å³ Ýñ³ μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÝ ³Ýí»ñç ¿ : ²ÛëÇÝùÝª Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ï³Ù áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï (½ñáÛ³Ï³Ý) ÉáõÍáõÙ, Ï³Ù Ýñ³ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÝ ³Ýí»ñç ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» X = (x1 ; : : : ; xn ) 6= 0, ³å³ áñ¨¿ xi 6= 0 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, »Ã» ® 6= ¯, ³å³ ®xi 6= ¯xi , áõëïÇª ®X 6= ¯X, áñï»Õ ®; ¯ 2 R: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: ¤ Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ (´1 ; : : : ; ´n ) = ´ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÇ ¨ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ áñ¨¿ N »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ´ + N ·áõÙ³ñ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ´ + ¹ ï»ëùÇ μáÉáñ Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ ¹-Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ N-áõÙ‘ ´ + N = f´ + ¹ j ¹ 2 Ng ; Â»áñ»Ù 14.11: ºÃ» ´ -Ý ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ ¿ , Mn -Á Ýñ³ μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ , ÇëÏ Nn -Á Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ³å³ Mn = ´ + Nn : (14.6)

²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ý»ñ¹ñáõÙÝ»ñÁª Mn μ ´ + Nn ; ´ + Nn μ Mn ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ò³ÝÏ³ó³Í ¾ 2 Mn ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ¾ ¡ ´ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ (14.2)-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ (14.2’) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñª ¾¡´ 2 Nn ; Üß³Ý³Ï»Éáíª ¹ = ¾¡´ 2 Nn , Ïëï³Ý³Ýùª ¾ = ´ + ¹ 2 ´ + Nn : ²ÛëåÇëáíª Mn μ ´ + Nn ; Ð³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: úñÇÝ³Ï, Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáíª A(´ + ¹) = A´ + A¹ = B + 0 = B, ³ÛëÇÝùÝª ´ + ¹ 2 Mn , áñï»Õ ¹ 2 Nn : ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.11: Æñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ï³Ù ãáõÝÇ ÉáõÍáõÙ, Ï³Ù áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ, Ï³Ù áõÝÇ ³Ýí»ñç Ãíáí ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ (14.6) μ³Ý³Ó¨Çó ¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 14.31-Çó: ¤ ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ áñáßÛ³É, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ; Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýáñáß: Â»áñ»Ù 14.12 (Îñ³Ù»ñ): ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í b1 ; : : : ; bn Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ < a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1 ; (14.7) ::: ::: ::: : an1 x1 + ¢ ¢ ¢ + ann xn = bn

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ áñáßÛ³É: Àëï áñáõÙ, ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇ³Ï (x1 ; : : : ; xn ) ÉáõÍáõÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáíª xi =

áñï»Õ

det(Ai ) ; det(A)

i = 1; 2; : : : ; n ;

(14.8)

ëï³óíáõÙ0 ¿ 1 A-Çóª Ýñ³ i-ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÁ b1 B C ÷áË³ñÇÝ»Éáí ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ @ ... A ëÛáõÝ³Ïáí: bn ²Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Îñ³Ù»ñÇ μ³Ý³Ó¨»ñ: Ai

Ù³ïñÇóÁ

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏíáÕ (14.7) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñáßÛ³É ÉÇÝ»Éáõ ÷³ëïÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 14.10-Çó: Àëï áñáõÙ, »Ã» (14.7) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·ñ»Ýù A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª X = A¡1 ¢ B: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É A¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓ Ù³ïñÇóÇ Ñ³ßíÙ³Ý (14.1) μ³Ý³Ó¨Çó ¨ Ã»áñ»Ù 14.9-Çó: ¤

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.12: ºÃ» n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí n ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ãáõÝÇ ÉáõÍáõÙ, ³å³ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.13: ºÃ» n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí n ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ Ù»ÏÇó ³í»ÉÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ, ³å³ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.14: ºÃ» n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí n ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ, ³å³ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ¤ ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý Îñ³Ù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ ÑÇÙÝ³Ï³ÝáõÙ áõÝÇ ï»ë³Ï³Ý, ù³Ý ·áñÍÝ³Ï³Ý Ýß³Ý³ÏáõÃÛáõÝ, ù³ÝÇ áñ μ³ñÓñ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙÁ Ï³åí³Í ¿

ÑëÏ³Û³Ï³Ý

Ãíáí Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý É³í³·áõÛÝ »Õ³Ý³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏÁ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ¶³áõëÇ »Õ³Ý³ÏÝ ¿ : ØÇ¨ÝáõÛÝ x1 ; x2 ; : : : ; xn ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í »ñÏáõ (a) ¨ (b) ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù ¨ ·ñíáõÙ ¿ (a) » (b), »Ã» ¹ñ³Ýù Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ »Ý ¨ áõÝ»Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ÝáõÛÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ï³Ù »ñÏáõ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÝ ¿É ³ÝÑ³Ù³ï»Õ»ÉÇ »Ý: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³) (a) » (a), μ) (a) » (b) ¡! (b) » (a), ·) (a) » (b), (b) » (c) ¡! (a) » (c): Î³ë»Ýù, áñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáõÙ ¿. I) ³é³çÇÝ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, μ³óÇ áñ¨¿ i-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó, ÃáÕÝíáõÙ »Ý ÝáõÛÝÁ, ÇëÏ i-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙáíª (ai1 + ¸ak1 ) x1 + ¢ ¢ ¢ + (ain + ¸akn ) xn = bi + ¸bk ; áñï»Õ ¸ 2 R, k 6= i, 1 6 k 6 m: ²ÛÉ Ï»ñå, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ iñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ·áõÙ³ñíáõÙ ¿ Ýñ³ Ù»Ï ³ÛÉ Ñ³í³ë³ñáõÙ, í»ñçÇÝë Ý³Ë³å»ë μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñ¨¿ ¸ Ãíáí;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

II) »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, μ³óÇ áñ¨¿ i-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó, ÃáÕÝíáõÙ »Ý ÝáõÛÝÁ, ÇëÏ i-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙáíª ¸ai1 x1 + ¢ ¢ ¢ + ¸ain xn = ¸bi ;

áñï»Õ ¸ 2 R, ¸ 6= 0: ²ÛÉ Ï»ñå, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ i-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙ μ³½Ù³å³ïÏíáõÙ ¿ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¸ Ãíáí; III) »ññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ »ñÏáõ i-ñ¹ ¨ k-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ï»Õ»ñÁ ÷áËíáõÙ »Ý, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ÃáÕÝíáõÙ »Ý Çñ»Ýó ï»Õ»ñáõÙ (i 6= k): ²å³óáõó»Ýù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É μ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ: Â»áñ»Ù 14.13: ºÃ» ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíÇ ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹ Ï³Ù »ññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, ³å³ ëï³óíáÕ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ù (14.2) ëÏ½μÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: III. ºññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: II. ºñÏñáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ ai1 ®1 + ¢ ¢ ¢ + ain ®n = bi Ã! ¸ai1 ®1 + ¢ ¢ ¢ + ¸ain ®n = ¸bi ;

¸ 6= 0 :

I. ²é³çÇÝ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¨ë åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ < (ai1 +¸ak1 ) ®1 +¢ ¢ ¢+ (ain +¸akn ) ®n = < ai1 ®1 +¢ ¢ ¢+ain ®n = bi ; = bi +¸bk ; $ : : ak1 ®1 +¢ ¢ ¢+akn ®n = bk ak1 ®1 +¢ ¢ ¢+akn ®n = bk : ¤ ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ¶³áõëÇ »Õ³Ý³ÏÇ (³É·áñÇÃÙÇ) Å³Ù³Ý³Ï, ïñí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí, μ»ñíáõÙ ¿ Çñ»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù Ù»Ï ³ÛÉ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç, áñÇ μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ: ÜÏ³ñ³·ñ»Ýù ·Í³ÛÇÝ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ¶³áõëÇ »Õ³Ý³ÏÁ (14.2) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ: êÏ½μÇó ÝÏ³ï»Ýù, áñ ai1 ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É ï³ñμ»ñ ½ñáÛÇó, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÇÙ³ëï ã»ñ áõÝ»Ý³ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ù»ç Ýß»Éáõ x1 ³ÝÑ³ÛïÁ: Î³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ a11 6= 0 (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ïï»Õ³÷áË»Ýù ³ÛÝåÇëÇ j-ñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï, áñÇ Ñ³Ù³ñ aj1 6= 0): ²ÛÅÙ ³ñï³ùë»Ýù x1 ³ÝÑ³ÛïÁ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇóªëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ, i-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó (i = 2; : : : ; m) Ñ³Ý»Ýù ³é³çÇÝÁ Ý³Ë³å»ë ³ÛÝ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí ¸i = ai1 ¢ a¡1 11 ·áñÍ³Ïóáí: ²Ûë Ó¨áí ³é³ç³ÝáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ýáñ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñï»Õ x1 ³ÝÑ³ÛïÁ Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ Ýñ³ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç: ê³Ï³ÛÝ ÑÝ³ñ³íáñ ¿, áñ Ï³ï³ñíáÕ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí ³ÝÑ»ï³Ý³Ý Ý³¨ áõñÇß ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ: ¸Çóáõù, xk -Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ÝßÇãáí ³ÝÑ³ÛïÝ ¿, áñÁ ÙïÝáõÙ ¿ ³é³ç³ó³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»çª ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ëï³óí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª +a1n xn = b1 ; a11 x1 + > > < a02k xk + ¢ ¢ ¢ +a02n xn = b02 ; (14:³) > > : a0mk xk + ¢ ¢ ¢ +a0mn xn = b0m : Àëï áñáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14.13-Ç, (14.³) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ù (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Éáí, áñ a02k 6= 0, ë¨»éáõÙ »Ýù (14.³) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ý³¨ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ ÙÝ³ó³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñáõÙ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝª xk ³ÝÑ³ÛïÁ, ëÏë³Í »ññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó, ³ñï³ùë»Éáõ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝª a11 x1 + ¢ ¢ ¢ +a1n xn = b1 ; > > > > a02k xk + ¢ ¢ ¢ +a02n xn = b02 ; < a03` x` + ¢ ¢ ¢ +a03n xn = b003 ; (14:μ) > > > ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ > : a0m` x` + ¢ ¢ ¢ +a0mn xn = b00m ; áñï»Õ ` > k > 1, a11 6= 0, a02k 6= 0:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²Ûë Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝ»Éáí Ñ³Ù³ñÅ»ù Ý³Ëáñ¹ (14.³) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ, ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ù Ý³¨ ëÏ½μÝ³Ï³Ý (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ: ÎñÏÝ»Éáí ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ³ñï³ùëÙ³Ý ÝÏ³ñ³·ñí³Í ù³ÛÉ»ñÁ, Ç í»ñçá Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çª > a11 x1 + ¢ ¢ ¢ +a1n xn = b1 ; > > > > ¢ ¢ ¢ +a02n xn = b02 ; a02k xk + > > > > ¢ ¢ ¢ +a03n xn = b003 ; a03` x` + > > < (14:·) > a ~ x + ¢ ¢ ¢ +~ arn xn = ~br ; rs s > > > > 0 = ¹br+1 ; > > > > > > : 0 = ¹bm ;

áñï»Õ a11 6= 0, a02k 6= 0, a003` 6= 0, : : :, ¹ ars 6= 0, 1 < k < ` < ¢ ¢ ¢ < s: ²Ûë Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ë»Õ³Ý³Ó¨ Ï³Ù ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ (Ñ³Ù³Ï³ñ·), ÇëÏ r = n ¹»åùáõÙª »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ ï»ëùÇ: ÐÝ³ñ³íáñ ¿, áñ (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙª r = m, ³ÛëÇÝùÝª 0 = ¹bt ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë ãÉÇÝÇ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ÉÇÝÇ 0 = ¹bt ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙª áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¹bt ³½³ï ³Ý¹³Ùáí, ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (Ýñ³ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ Ý³¨ ëÏ½μÝ³Ï³Ý (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) ÏÉÇÝÇ áã Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ: ÆëÏ, »Ã» (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ³Û¹åÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ãÏ³, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ: Æñáù, ¹Çóáõù t > r ¹»åùáõÙ ¹bt ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ½ñáÛ³Ï³Ý »Ý (Ï³Ù 0 = ¹bt ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë ãÏ³): ²ÛÝ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÁ, áñáÝóáí ëÏëíáõÙ »Ý (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ r Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª x1 ; xk ; x` ; : : : ; xs -Á ÏáãíáõÙ »Ý ·ÉË³íáñ Ï³Ù ³é³ç³ï³ñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í μáÉáñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÁ (»Ã» ³Û¹åÇëÇù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý)ª ³½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ: ²½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇÝ ï³Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ ¨ ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ï»Õ³¹ñ»Ýù (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ù»ç: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, r-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏÁÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª axs = b, áñï»Õ a = a ~rs 6= 0 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ ûÅïí³Í ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ÉáõÍáõÙáí: àñÇó Ñ»ïá, Ç ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³ÝÉáí xs ³ÝÑ³ÛïÇ ëï³óí³Í ³ñÅ»ùÁ, r ¡ 1-ñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»É ÙÛáõë ·ÉË³íáñ ³ÝÑ³ÛïÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ñÅ»ùÁ ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï ... : ²ëïÇ×³Ý³μ³ñ μ³ñÓñ³Ý³Éáí (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí, ëï³ÝáõÙ »Ýù μáÉáñ ·ÉË³íáñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ: Â»áñ»Ù 14.14 (¶³áõëÇ ³É·áñÇÃÙÁ): àñå»ë½Ç ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ (14.·) ë»Õ³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ μ»ñ»Éáõó Ñ»ïá Ýñ³ÝáõÙ ãÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³½³ï ³Ý¹³Ùáí ³ÛÝåÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñÇ μáÉáñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ½ñáÝ»ñ »Ý: ÀÝ¹ëÙÇÝ, »Ã» ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ, ³å³ (14.·) ë»Õ³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ Ù»ç ³½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇÝ (»Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý) ïñí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ·ÉË³íáñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, (14.2) Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ áñáßÛ³É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³ÝÇó ëï³óíáÕ (14.·) ë»Õ³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ Ù»ç ãÏ³Ý ³½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝª r = n (»ñμ ¤ (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ ï»ëùÇ ¿ ):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 14.15: 1) ºÃ» ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.2) Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÃíÇÝ, ³å³ ¹ñ³ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÝ ³Ýí»ñç ¿ : 2) ºÃ» ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÃíÇÝ, ³å³ ¹ñ³ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÝ ³Ýí»ñç ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ´áÉáñ ¹»åù»ñáõÙ, (14.·) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ù»çª r 6 m: ²Û¹ å³ï×³éáí, m < n å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ r < n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, (14.·) ë»Õ³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³½³ï ³ÝÑ³Ûï, áñÇ ï³ñμ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ ÏÑ³Ù³å³ï³ëË³Ý»Ý ï³ñμ»ñ ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ¤ Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Îñ³Ù»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 14.12) Ñ³Ï³¹³ñÓáõÙÁ: Â»áñ»Ù 14.15: ºÃ» n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí n ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á áñáßÛ³É ¿ , ³å³ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ (¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ÏáõÝ»Ý³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý áñáßÇã):

²å³óáõóáõÙ: ²Ûë å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, ïñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ïμ»ñíÇ »é³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ ï»ëùÇ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ý³¨ = b¤1 ; x1 > > < = b¤2 ; x2 > > : xn = b¤n

(14:¹)

ï»ëùÇ: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáÕ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý Ýñ³ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáÕ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 14.4-Çó:

ºñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Å³Ù³Ý³Ï, ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ï³ñáÕ ¿ ÷áËí»É ÙÇ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® 2 R ³ñï³¹ñÇãáí, ÇëÏ (14.¹) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñááßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ù»ÏÇ, ³å³ ëÏ½μÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó (Ã»áñ»Ù 14.10): ¤ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, Ýñ³ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ãÇ ÷áËíáõÙ, ³å³ Îñ³Ù»ñÇ (14.8) μ³Ý³Ó¨»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³¨ ³å³óáõó»Éª ëïáõ·»Éáí ¹ñ³Ýó ÙÇ³ÛÝ (14.¹) ï»ëùÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ. b¤ det(Ai ) = i = b¤i : xi = det(A)

14.7. úÕ³ÏÇ ¨ ¹³ßïÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ: úÕ³ÏÝ»ñÇ ¨ ¹³ßï»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ àã ¹³ï³ñÏ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ ë³ÑÙ³Ýí»É ¿ 1.4 í»ñÝ³·ñáõÙ: àã ¹³ï³ñÏ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ Ù»ç áñáßí³Í »ñÏáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ (áñáÝóÇó Ù»ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ §·áõÙ³ñ¦ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ + Ýß³Ýáí, ÇëÏ ÙÛáõëÁª §³ñï³¹ñÛ³É¦ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¢ Ýß³Ýáí) ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³Ï ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q(+; ¢)-áí, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ (áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ûÕ³Ï³ÛÇÝ ³ùëÇáÙÝ»ñ).

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

1. ¶áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª (x + y) + z = x + (y + z) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; 2. ¶áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª x+y = y+x ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; 3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0 2 Q ï³ññ, áñ x+0=x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; 4. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ¡a 2 Q ï³ññ, áñ a + (¡a) = 0; 5. Ò³Ë ¨ ³ç μ³ßË³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁª x(y + z) = xy + xz; (y + z)x = yx + zx ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 0 ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³ÏÇ ½ñá Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ, ÇëÏ ¡a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ñ³Ï³¹Çñ ï³ññ: úÕ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ »Ý Ýñ³ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 1) a + x = a + y ! (¡a) + (a + x) = (¡a) + (a + y) ! ((¡a) + a) + x = ((¡a) + a) + y ! 0 + x = 0 + y ! x + 0 = y + 0 ! x = y: Ð»ï¨³μ³ñ, ûÕ³ÏÇ ½ñáÝ ¨ ï³ññÇ Ñ³Ï³¹ÇñÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, áñå»ë a+x = a ¨ a+x = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, a ¢ 0 = 0, áñáíÑ»ï¨ a ¢ 0 + 0 = a ¢ 0 = a(0 + 0) = a ¢ 0 + a ¢ 0 ¨ 0 ¢ a = 0, áñáíÑ»ï¨ 0 ¢ a + 0 = 0 ¢ a = (0 + 0)a = 0 ¢ a + 0 ¢ a: ê³Ï³ÛÝ ûÕ³ÏÇ ½ñáÛÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÝÏ³ï»É Ý³¨ ³ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ýª 02 = 02 + 01 = 01 + 02 = 01 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2) Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª x = (¡a) + b ! a + x = a + ((¡a) + b) = (a + (¡a)) + b = 0 + b = b; ³ÛëÇÝùÝª a + x = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x = (¡a) + b ÉáõÍáõÙÁ ¨, Ý³Ëáñ¹

Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ³Û¹ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÏÁ:

3) ¡(¡a) = a, a(¡b) = (¡a)b = ¡(ab) ¨ (¡a)(¡b) = ab, áñáíÑ»ï¨ 0 = a ¢ 0 = a(b + (¡b)) = ab + a(¡b), 0 = 0 ¢ b = (a + (¡a))b = ab + (¡a)b, (¡a)(¡b) = ¡(a(¡b)) = ¡(¡(ab)) = ab: 4) ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª x(y1 + ¢ ¢ ¢ + yn ) = xy1 + ¢ ¢ ¢ + xyn ; (x1 + ¢ ¢ ¢ + xm )y = x1 y + ¢ ¢ ¢ + xm y;

áñÇó Ñ»ïá ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª (x1 + ¢ ¢ ¢ + xm )(y1 + ¢ ¢ ¢ + yn ) = x1 y1 + ¢ ¢ ¢ + x1 yn + ¢ ¢ ¢ + xm y1 + ¢ ¢ ¢ + xm yn : 5) ¶áõÙ³ñÝ³Ù ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í a ï³ññÇ ³ÙμáÕç å³ïÇÏÇ ·³Õ³÷³ñÁª na = a ¢ ¢ + a; | + ¢{z }

n>0;

0a = 0;

(¡n)a == (¡a) + ¢ ¢ ¢ + (¡a); n > 0 : | {z } n

î»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª

(m1 + m2 )a = m1 a + m2 a; (m1 ¢ m2 )a = m1 (m2 a)

ó³ÝÏ³ó³Í m1 ; m2 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Z(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ûÕ³Ï; 2) ´áÉáñ ½áõÛ· Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÕ³Ï ¿ª ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõÛ· Ãí»ñÇ ûÕ³Ï;

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

3) Zn (+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³Ï; 4) ´áÉáñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÕ³Ï ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ûÕ³Ï; 5) Op (+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, áñï»Õ Op -Ý μáÉáñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ ûÕ³Ï; 6) ¡1-áí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ûÕ³Ï ¿: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿.

³) ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, »Ã»

(x ¢ y) ¢ z = x ¢ (y ¢ z) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; μ) ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, »Ã» x¢y =y¢x

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; ·) ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) ûÕ³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ï³ññ, áñ x¢e = e¢x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; e-Ý (ÇÝãå»ë ¨ ½ñáÝ) áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñ: ØÇ³íáñáí ûÕ³ÏáõÙ ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý x + y = y + x å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ûÕ³ÏÇ ÙÛáõë ³ùëÇáÙÝ»ñÇó, áñáíÑ»ï¨ x + x + y + y = (e + e)(x + y) = x + y + x + y : ¹) ¹³ßï, »Ã» ³ÛÝ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, e 6= 0 ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a 2 Q ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 Q ï³ññ, áñ a ¢ a0 = a0 ¢ a = e ; ²Ûë ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ a0 Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ a¡1 -áí:

Q ï³ññÁ ëáíáñ³μ³ñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

») ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ, »Ã» a ¢ b = 0 ! a = 0 Ï³Ù b = 0 ; Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñáí:

ûÕ³ÏÁ

ÏáãíáõÙ

ûÅïí³Í

½ñáÛÇ

½) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý Ï³Ù ³ÙμáÕç³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ, »Ã» ³ÛÝ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ¿, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ e 6= 0 ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.32: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ßï ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ûÕ³Ï ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ¹³ßïÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» a¢b = 0 ¨ a 6= 0, b 6= 0, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ a¡1 -Á ¨ a¡1 (a ¢ b) = a¡1 ¢ 0 ! (a¡1 ¢ a) ¢ b = 0 ! e ¢ b = 0 ! b = 0; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ b ï³ññÇ ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ:

¸³ßïÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ»ï Ï³åí³Í, e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ a 2 Q ï³ññÁ ³Ýí³Ý»Ýù Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 Q ï³ññ, áñ a ¢ a0 = a0 ¢ a = e : ÆÝãå»ë ¨ í»ñ¨áõÙª ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏáõÙ a0 ï³ññÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ a¡1 -áí, áñáíÑ»ï¨ »Ã» a-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ a ¢ x = a ¢ y ¡! x = y : ²Û¹åÇëÇ ûÕ³ÏáõÙ, »ñÏáõ a ¨ b Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ a ¢ b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ÁÝ¹ áñáõÙª (a ¢ b)¡1 = b¡1 ¢ a¡1 : ºÃ» ûÕ³ÏÁ Ý³¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿, ³å³ (a ¢ b)¡1 = a¡1 ¢ b¡1 :

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏáõÙ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ¹³ßïáõÙ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ýñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a ï³ññÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. an = a | ¢ a{z¢ ¢ ¢ a};

n > 0;

a0 = e;

¡1 ¡1 ¡1 a¡n = a | ¢ a {z ¢ ¢ ¢ a };

n>0:

î»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. am1 ¢ am2 = am1 +m2 ; m2

(am1 )

= am1 m2

ó³ÝÏ³ó³Í m1 ; m2 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ûÕ³ÏÁ Ý³¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿, ³å³ (a ¢ b)m = am ¢ bm : Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ Ï³Ù ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ûÕ³ÏÁ Ï³Ù ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç: Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á (Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ) ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ï³Ù ¹³ßïÇ Ï³ñ· (Ñ½áñáõÃÛáõÝ): Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý b 2 Q ï³ññ, áñ a ¢ b = 0 Ï³Ù b ¢ a = 0: Â»áñ»Ù 14.16: ì»ñç³íáñ, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³ÏÇ a 6= 0 ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»Ýù, áñ »Ã» a 6= 0 ï³ññÁ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³å³ ³ÛÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù a ¢ b = 0, áñï»Õ b 6= 0, ¨ ¹Çóáõù a-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 Q ï³ññ, áñ a ¢ a0 = a0 ¢ a = e, áñï»Õ e-Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙª 0 = a0 ¢ 0 = a0 ¢ (a ¢ b) = (a0 ¢ a) ¢ b = e ¢ b = b :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù Q = fa1 ; a2 ; : : : ; an g, a 2 Q, a 6= 0 ¨ a-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿: Î³½Ù»Ýù a ¢ a1 ; a ¢ a2 ; : : : ; a ¢ an ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ: ºÃ» ëï³óí³Í ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ, ³å³ fa ¢ a1 ; a ¢ a2 ; : : : ; a ¢ an g = fa1 ; a2 ; : : : ; an g ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, a ¢ ai = e, ³ÛëÇÝùÝª a-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ: àõëïÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ai 6= aj ï³ññ»ñ, áñ a ¢ ai = a ¢ aj , áñï»ÕÇó ¿Éª a (ai + (¡aj )) = 0, ³ÛëÇÝùÝª a¢ b = 0, áñï»Õ b = ai +(¡aj ) 6= 0, b 2 Q: ¤ Â»áñ»Ù 14.17: 1) ì»ñç³íáñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¹³ßï ¿ : 2) ºÃ» q -Ý í»ñç³íáñ F ¹³ßïÇ Ï³ñ·Ý ¿ , ³å³ ®q¡1 = 1 ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® 2 F ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ 1-Á F ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿ , ÇëÏ ®q = ® ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 F ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: 1) Ü³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿, áñ í»ñç³íáñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï: 2) ¸Çóáõù F ¹³ßïÇ Ï³ñ·Áª jF j = q, ® 2 F , ® 6= 0 ¨ ¹Çóáõù F n f0g = fc1 ; c2 ; : : : ; cq¡1 g: ø³ÝÇ áñ ci ® 6= cj ®, »Ã» i 6= j, ³å³ F n f0g = f®c1 ; ®c2 ; : : : ; ®cq¡1 g: Ð»ï¨³μ³ñ, c1 c2 ¢ ¢ ¢ cq¡1 = ®c1 ®c2 ¢ ¢ ¢ ®cq¡1 ¨ ®q¡1 = 1, áñï»Õ 1-Á F ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ²ÛëåÇëáí, F ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª ®q¡1 = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, ®q = ® ³ñ¹»Ý F ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ® ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ úñÇÝ³Ï, Q(+; ¢)-Á, R(+; ¢)-Á, Rp (+; ¢)-Á ³Ýí»ñç ¹³ßï»ñ »Ý, áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, ÇëÏ Rp -Ý μáÉáñ p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ºñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ¾ ½μ ¶¯ a; b ¯¯ a; b 2 R CR = ¡b; a ¯

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ³Ýí»ñç ¹³ßïÇ ûñÇÝ³Ï ¿ (Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ): Z2 (+; ¢)-Á, Z3 (+; ¢)Á í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñ »Ý, ÇëÏ Z4 (+; ¢)-Áª áã, áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñáíª [2] ¢ [2] = [0]:

Â»áñ»Ù 14.18: 1) àñå»ë½Ç Zn (+; ¢) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ [a] 2 Zn ï³ññÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (a; n) = 1, ³ÛëÇÝùÝª Zn ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

'(n)-Ç, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ : 2) ØÝ³óùÝ»ñÇ Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ :

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» (a; n) = 1, ³å³ ax + ny = 1, áñï»Õ x; y 2 Z. Ð»ï¨³μ³ñ, [ax + ny] = [1], [ax] + [ny] = [1] ; [a][x] = [1] : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» [a][x] = [1], ³å³ [ax] = [1] ¨ ax ¡ 1 = nt, áñï»Õ t 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñ, ax + n(¡t) = 1 ¨ (a; n) = 1(ï»ë Ý³¨ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.5-Á): 2) ºÃ» n-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ¿ ¨ n = n1 ¢ n2 , áñï»Õ 1 < n1 ; n2 < n, ³å³ [n1 ] 6= [0], [n2 ] 6= [0], μ³Ûó [n1 ] ¢ [n2 ] = [n1 ¢ n2 ] = [n] = [0]; ³ÛëÇÝùÝª Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÁ ûÅïí³Í ¿ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñáí ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¹³ßï ã¿: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» n = p ÃÇíÁ å³ñ½ ¿, ³å³ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ e = [1] ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Zp (+; ¢) ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ¿, áñáíÑ»ï¨ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 1)-Ç: ¤ ²ÛëåÇëáí, ëï³ÝáõÙ »Ýù ³Ýí»ñç Ãíáí í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñª Z2 = Z2 (+; ¢); Z3 = Z3 (+; ¢); Z5 = Z5 (+; ¢); : : : ê³Ï³ÛÝ ëñ³Ýóáí í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñÁ ã»Ý ëå³éíáõÙ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N (áã ½ñáÛ³Ï³Ý) μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ pn Ï³ñ·Ç í»ñç³íáñ ¹³ßï (Ã»áñ»Ù 16.30): ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pn -Ç, áñï»Õ p-Ý å³ñ½, ÇëÏ n-Á μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý (Ã»áñ»Ù 17.11): ºñÏáõ Q(+; ¢) ¨ Q0 (+; ¢) ûÕ³ÏÝ»ñ Ï³Ù ¹³ßï»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ³Ó¨ Ï³Ù Ç½áÙáñý ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q0 Ï³Ù Q » = Q0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! Q ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ '(x + y) = '(x) + '(y)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¨ '(x ¢ y) = '(x) ¢ '(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ' : Q ! Q0 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñýÇ½Ù: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ Ï³Ù ¹³ßïÁ Çñ Ù»ç ³ñï³å³ïÏ»ñáÕ ' : Q ! Q Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢)-Ç ³íïáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÇÝùÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É (E.H. Moore), áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñ Ç½áÙáñý »Ý: ì»ñç³íáñ ¹³ßï»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ¶³Éáõ³ÛÇ ¹³ßï»ñ, Ç å³ïÇí ýñ³ÝëÇ³óÇ Ñ³Ýñ³×³Ý³ã ·ÇïÝ³Ï³Ý ¾. ¶³Éáõ³ÛÇ, áñÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ÑÇÙù »Ý Ñ³Ý¹Çë³ó»É Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·ÇïáõÃÛ³Ý ½³ñ·³óÝ³Ù Ñ³Ù³ñ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ³) Q ' Q, μ) Q ' Q0 ! Q0 ' Q, ·) Q ' Q0 ; Q0 ' Q00 ! Q ' Q00 : ºÃ» ' : Q ! Q0 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿, ³å³ Q0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ Q-Ç Ç½áÙáñý å³ïÏ»ñ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ºÃ» Q(+; ¢)-Á ½áõ·áñ¹³Ï³Ý (ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í) ûÕ³Ï ¿, ³å³ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ç½áÙáñý å³ïÏ»ñ ¨ë ½áõ·áñ¹³Ï³Ý (ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í) ûÕ³Ï ¿: ºÃ» Q(+; ¢)-Á ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ³å³ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ç½áÙáñý å³ïÏ»ñ ¨ë ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿: ºÃ» Q(+; ¢)-Á ¹³ßï ¿, ³å³ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ç½áÙáñý å³ïÏ»ñ ¨ë ¹³ßï ¿: Æ½áÙáñý ûÕ³ÏÝ»ñÝ (¹³ßï»ñÝ) ûÅïí³Í »Ý ÝáõÛÝ §Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí¦, ³Û¹ å³ï×³éáí Ç½áÙáñý ûÕ³ÏÝ»ñÁ (¹³ßï»ñÁ) ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý Ñ³í³ë³ñ ûÕ³ÏÝ»ñ (¹³ßï»ñ): úÕ³ÏÇ Ù»ç ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ÇëÏ ¹³ßïÇ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Ù»ç Ý³¨ ù³Ýáñ¹Ç (Ïáïáñ³ÏÇ) ·³Õ³÷³ñª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. a ¡ b = a + (¡b); a = a ¢ b¡1 ; b

»Ã» b 6= 0 :

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ñ³ÝÙ³Ý ¨ ù³Ýáñ¹Ç Ñ»ï¨Û³É (¹åñáó³Ï³Ý) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. a(b ¡ c) = ab ¡ ac; (b ¡ c)a = ba ¡ ca; c a = Ã! ad = bc; b d a c ad + bc + = ; b d bd ¡a a a = ; ¡ = b b ¡b a c a¢c ¢ = ; b d b¢d a a¢c = ; b b¢c ³ a ´¡1 b = ; b a a a¢d b ; c = b¢c d

áñï»Õ b 6= 0; d 6= 0; »Ã» b 6= 0; d 6= 0; »Ã» b 6= 0; »Ã» b 6= 0; d 6= 0; »Ã» b 6= 0; c 6= 0; »Ã» a 6= 0; b 6= 0; »Ã» b 6= 0; d 6= 0; c 6= 0 :

Î³ë»Ýù, áñ e ÙÇ³íáñáí Q(+; ¢) ¹³ßïÝ áõÝÇ ½ñá μÝáõÃ³·ñÇã Ï³Ù Ýñ³ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ ¨ Ï·ñ»Ýù char(Q) = 0, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ e + ¢{z ¢ ¢ + e} 6= 0 : | n

Q(+; ¢) ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ n > 0 μÝáõÃ³·ñÇã áõÝ»óáÕ ¨ ·ñíáõÙ ¿ char(Q) = n > 0, »Ã» n-Á ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿, áñÇ ¹»åùáõÙ e| + ¢ ¢ ¢ + e = 0 : {z } n

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.33: ¸³ßïÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ å³ñ½ ÃíÇ:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, ù³ÝÇ áñ ¹³ßïáõÙª e 6= 0, ³å³ char(Q) = n > 2 ¨ »Ã» n = n1 ¢ n2 , áñï»Õ 1 < n1 ; n2 < n, ³å³ (e| + ¢ ¢ ¢ + e)(e + ¢ ¢ ¢ + e) = e + ¢ ¢ ¢ + e = 0 : | {z } {z } | {z } n1

Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³Ù ³é³çÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ ¿ ½ñá, Ï³Ùª »ñÏñáñ¹, áñáíÑ»ï¨ ¹³ßïÁ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ûÕ³Ï ¿: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

úñÇÝ³Ï, Zp (+; ¢) ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ p å³ñ½ ÃíÇÝ, ÇëÏ Q(+; ¢) ¨ R(+; ¢) Ãí³ÛÇÝ ¹³ßï»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ½ñá μÝáõÃ³·ñÇã: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ í»ñáÑÇßÛ³É CR ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ ¨ë Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ûÕ³ÏÇ »ÝÃ³ûÕ³Ï ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q0 6 Q, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁª

x; y 2 Q0 ¡! x ¡ y 2 Q0 ¨ x; y 2 Q0 ¡! x ¢ y 2 Q0 : ²é³çÇÝ å³ÛÙ³ÝÇó, x = y ¹»åùáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýù 0 2 Q0 , ÇëÏ x = 0 ¹»åùáõÙ‘ ¡y 2 Q0 , »Ã» y 2 Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, x; y 2 Q0 ¡! x; ¡y 2 Q0 ¡! x ¡ (¡y) 2 Q0 ¡! x + y 2 Q0 : ²ÛëåÇëáí, ëÏ½μÝ³Ï³Ý Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç áñáßí³Í + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É Ý³¨ áñå»ë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáßí³Í Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ûÕ³Ï³ÛÇÝ ³ùëÇáÙÝ»ñÁ ÇÝùÝÁëïÇÝùÛ³Ý (Ù»Ë³ÝÇÏáñ»Ý) ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³Ý Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª Q0 (+; ¢)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ûÕ³Ï: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó »ÝÃ³ûÕ³Ï ¿: ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ Q0 6 Q: Q0 »ÝÃ³ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ »ÝÃ³¹³ßï, »Ã» Q0 (+; ¢) ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ¿, ³ÛëÇÝùÝª Q0 (+; ¢)-Á e 6= 0 ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý áõ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

ûÕ³Ï ¿, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q0 ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 Q0 ï³ññ, áñ x ¢ x0 = x0 ¢ x = e : ºÃ» Q0 6 Q, ³å³ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ¹³ßïÁ) ÏáãíáõÙ ¿ Q0 (+; ¢) ûÕ³ÏÇ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ¹³ßïÇ) ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ: úñÇÝ³Ï, R(+; ¢) Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Q(+; ¢) é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ: ¸³ßïÇ ÙÇ³íáñÁ Ïå³ïÏ³ÝÇ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³¹³ßïÇÝ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ÏÉÇÝÇ ÙÇ³íáñ Ý³¨ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñ: ØÇÝã¹»é ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) Ï³ñáÕ ¿ ãå³ïÏ³Ý»É Çñ »ÝÃ³¹³ßïÇÝ ¨, ³Û¹ å³ï×³éáí, ÙÇ¨ÝáõÛÝ ûÕ³ÏÇ »ñÏáõ »ÝÃ³¹³ßï»ñ Ï³ñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É ï³ñμ»ñ ÙÇ³íáñÝ»ñ áõ ³Û¹åÇëÇ »ÝÃ³¹³ßï»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ (ÉÇÝ»Éáí »ÝÃ³ûÕ³Ï) ãÇ ÉÇÝÇ »ÝÃ³¹³ßï: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ù³Ý³ÏÇ »ÝÃ³¹³ßï»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó »ÝÃ³¹³ßï ¿, ÇëÏ ïñí³Í ¹³ßïÇ μáÉáñ »ÝÃ³¹³ßï»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ¹³ßïÇ å³ñ½ »ÝÃ³¹³ßï (ï»ë Ý³¨ É»ÙÙ 18.1-Á): ¸Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É, áñ »Ã» ¹³ßïÝ áõÝÇ ½ñá μÝáõÃ³·ñÇã, ³å³ Ýñ³ å³ñ½ »ÝÃ³¹³ßïÝ Ç½áÙáñý ¿ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Q(+; ¢) ¹³ßïÇÝ, ÇëÏ »Ã» ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ p > 0 å³ñ½ ÃíÇÝ, ³å³ Ýñ³ å³ñ½ »ÝÃ³¹³ßïÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñý Zp (+; ¢) ¹³ßïÇÝ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q(+; ¢) ¨ Zp (+; ¢) ¹³ßï»ñÁ ãáõÝ»Ý Çñ»ÝóÇó ï³ñμ»ñ »ÝÃ³¹³ßï»ñ:

14.8. úÕ³ÏÝ»ñÇ ¨ ¹³ßï»ñÇ íñ³ áñáßí³Í Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñáßÇãÝ»ñ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ Ø³ïñÇóÝ»ñÇ, áñáßÇãÝ»ñÇ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ÙÇÝã ³ÛÅÙ ëï³óí³Í ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý ûÕ³ÏÝ»ñÇ ¨ ¹³ßï»ñÇ íñ³ áñáßí³Í Ù³ïñÇóÝ»ñÇ , áñáßÇãÝ»ñÇ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ íñ³: ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, áñÁ Ñ³Ù³éáï ÏÝß³Ý³Ï»Ýù Ý³¨ Q-áí: n £ m Ñ³ï aij 2 Q ï³ññ»ñÇ A = (a11 ; : : : ; a1m ; : : : ; an1 ; : : : ; anm )

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª Ý»ñÏ³Û³óí³Í n Ñ³ï ïáÕ»ñáí áõ m Ñ³ï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí ¨ ·ñí³Í

a11 ; : : : ; a1m A = @ ::: ::: ::: A an1 ; : : : ; anm ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí, ÏáãíáõÙ ¿ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇó (Ï³Ù Ñ³Ù³éáï Ù³ïñÇó) áñáßí³Í Q ûÕ³ÏÇ íñ³, ÇëÏ aij 2 Q ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý A Ù³ïñÇóÇ ï³ññ»ñ, áñáÝù »ñμ»ÙÝ ·ñíáõÙ »Ý ³é³Ýó (³Ýç³ïáÕ) ëïáñ³Ï»ïÝ»ñÇ: Üßí³Í A Ù³ïñÇóÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ (·ñíáõÙ) ¿ Ý³¨ A = (aij )n£m Ï³Ù Ñ³Ù³éáï A = (aij ) ï»ëùáí: ºñÏáõ n £ m-ã³÷³ÝÇ A = (aij ) ¨ B = (bij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÝßÇãÝ»ñáí aij ¨ bij ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñ: Î³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ. áñå»ë½Ç »ñÏáõ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ: A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A = B Ó¨áí, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ª A 6= B: Q ûÕ³ÏÇ íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Qn£m -áí: n = m ¹»åùáõÙ n £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ï³Ù ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ, ÇëÏ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ n £ m-ã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ: ØÇÝã ³ÛÅÙ Ù»Ýù áõëáõÙÝ³ëÇñ»É »Ýù Ù³ïñÇóÝ»ñ áñáßí³Í Q = R Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³: Q = R ¹»åùáõÙ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ùμ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q ûÕ³ÏÇ íñ³ áñáßí³Í Ù³ïñÇóÝ»ñÇ íñ³: C = (cij )n£m Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ A = (aij )n£m ¨ B = (bij )n£m Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ C = A + B, »Ã» cij = aij + bij μáÉáñ i = 1; : : : ; n ¨ j = 1; : : : ; m ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: B = (Bij )n£m Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ r 2 Q ï³ññÇ ¨ A = (aij )n£m Ù³ïñÇóÇ (Ó³Ë) ³ñï³¹ñÛ³É ¨ ·ñíáõÙ ¿ B = rA, »Ã» bij = r ¢ aij μáÉáñ i = 1; : : : ; n ¨ j = 1; : : : ; m ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: C = (cij )n£m Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ A = (aij )n£k ¨ B = (bij )k£m

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ C = A ¢ B, »Ã» cij =

k X

ais bsj

s=1

μáÉáñ i = 1; : : : ; n ¨ j = 1; : : : ; m ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: B = (bij )m£n Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ A = (aij )n£m Ù³ïñÇóÇ ßñçí³Í Ù³ïñÇó ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ B = AT , »Ã» bij = aji μáÉáñ i = 1; : : : ; m ¨ j = 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.34: Q ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í r1 ; r2 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í A; B; C 2 Qn£m Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª (r1 r2 )A = r1 (r2 A) ; (r1 + r2 )A = r1 A + r2 A ; (A + B)T = AT + B T ; (rA)T = rAT ; (A + B) + C = A + (B + C) ; A+B = B +A; A + 0 = 0 +A = A;

áñï»Õ 0 2 Q ½ñáÛÇÝ,

n£m

Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý Q ûÕ³ÏÇ A + (¡A) = (¡A) + A = 0 ;

áñï»Õ ¡A = (¡aij )n£m , »Ã» A = (aij )n£m :

0 2 Qn£m Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇó, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ A 6= 0 Ù³ïñÇó ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý (Ù³ïñÇó): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 14.35: 1) ºÃ» Q ûÕ³ÏÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í A 2 Qn£m , B 2 Qm£k ¨ C 2 Qk£s Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (A ¢ B) ¢ C = A ¢ (B ¢ C) ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2) ºÃ» Q ûÕ³ÏÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í A 2 Qn£m ¨ B 2 Qm£k Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (A ¢ B)T = BT ¢ AT ;

3) ò³ÝÏ³ó³Í A 2 Qn£m ¨ B; C 2 Qm£k Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª A(B + C) = AB + AC ;

4) ò³ÝÏ³ó³Í A; B 2 Qn£m ¨ C 2 Qm£k Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (A + B)C = AC + BC :

Â»áñ»Ù 14.19: 1) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Qn£n μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ûÕ³Ï ¿ ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ûÕ³ÏÇ íñ³ áñáßí³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ûÕ³Ï; 2) Qn£n ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Q-Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ ; 3) Qn£n ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Q ûÕ³ÏÁ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Qn£n ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÁ ÏÉÇÝÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ ÙÇ³ïñÇóÁ, ³ÛëÇÝùÝª 1; 0; : : : ; 0 B 0; 1; : : : ; 0 C n£n C En = B @ ::::::::: A 2 Q 0; 0; : : : ; 1

Ù³ïñÇóÁ, áñï»Õ 1-Á Q-Ç ÙÇ³íáñÝ ¿ ; 4) n > 1 ¹»åùáõÙ Qn£n ûÕ³ÏÁ áõÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ, »Ã» jQj > 1: Ð»ï¨³μ³ñ, n > 1 ¹»åùáõÙ Qn£n ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ã¿ ó³ÝÏ³ó³Í Q-Ç Ñ³Ù³ñ: ¤

¸Çóáõù Q-Ý ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³Ï ¿: A 2 Qn£n Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ áñå»ë Qn£n ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³ÏÇ ï³ññ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A0 2 Qn£n Ù³ïñÇó, áñ A ¢ A0 = A0 ¢ A = En ; áñï»Õ En -Á n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÝ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Qn£n ûÕ³ÏÇ ¹»åáõÙ A0 Ù³ïñÇóÁ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ A¡1 -áí áõ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ Ù³ïñÇó: ¸Çóáõù Q-Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ 1 ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³Ï ¿: ê³ÑÙ³Ý»Ýù A = (aij )n£n 2 Qn£n Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ áñå»ë Q ûÕ³ÏÇ Ñ»ï¨Û³É ï³ññª X jAj = sgn(¾)a1;¾(1) a2;¾(2) ¢ ¢ ¢ an;¾(n) 2 Q ; ¾2Sn

áñï»Õ ¾-Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Sn μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: jAj Ýß³Ý³ÏÙ³Ý ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ det(A) Ï³Ù det A: Q = R ¹»åùáõÙ áñáßÇãÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÝ Çñ»Ýó ³å³óáõóáõÙÝ»ñáí ¨ ³ÝÑñ³Å»ßï Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñáí ÑÇÙÝ³Ï³ÝáõÙ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý ³Ûë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùÇ íñ³ª Ý»ñ³éÛ³É Ù³ïñÇóÇ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ»ñÇ Ñ»ï Ï³åí³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ áñáßÇãÝ»ñÇ Ù»½ Ñ³ÛïÝÇ μáÉáñ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ÙÝáõÙ »Ý áõÅÇ Ù»ç): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: Â»áñ»Ù 14.20: ¸Çóáõù Q-Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³Ï ¿ : àñå»ë½Ç A 2 Qn£n Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ jAj áñáßÇãÁ ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Q ûÕ³ÏÇ áñ¨¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙª A 2 Qn£n Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ jAj áñáßÇãÁ ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Q ¹³ßïÇ áñ¨¿ áã ¤ ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÇ: Q = R ¹»åùáõÙ ëï³óí³Í Ñ³Ï³¹³ñÓ Ù³ïñÇóÇ Ñ³ßÙ³Ý μ³Ý³Ó¨Á ÙÝáõÙ ¿ áõÅÇ Ù»ç Ý³¨ ³Ûë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª

A¡1

A11 ; A21 ; : : : ; An1 B A12 ; A22 ; : : : ; An2 C C; = jAj¡1 B @ ::: ::: A A1n ; A2n ; : : : ; Ann

áñï»Õ Aij -Ý A = (aij )n£n 2 Qn£n Ù³ïñÇóÇ aij 2 Q ï³ññÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ ¿: ²Ûëï»Õ, A11 ; A21 ; : : : ; An1 B A12 ; A22 ; : : : ; An2 _ A =B @ ::: A1n ; A2n ; : : : ; Ann

C C 2 Qn£n A

Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ A-Ç Ïóáñ¹ Ù³ïñÇó, áñÇ Ñ³Ù³ñª

jAj; 0; : : : ; 0 B 0; jAj; : : : ; 0 C C A ¢ A_ = A_ ¢ A = B @ ::: ::: ::: ::: A : 0; 0; : : : ; jAj

n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí m Ñ³ï ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É

Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª

< a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1 ; (14.9) ::: ::: ::: ::: : am1 x1 + ¢ ¢ ¢ + amn xn = bm

ÏáãíáõÙ ¿ áñáßí³Í Q ûÕ³ÏÇ íñ³, »Ã» ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ aij ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ (i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; n) ¨ b1 ; : : : ; bm ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý Q ûÕ³ÏÇÝ: Q ûÕ³ÏÇ ï³ññ»ñÇ ° = (®1 ; : : : ; ®n ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ai1 x1 + ¢ ¢ ¢ + ain xn = bi

·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Éáí x1 = ®1 ; : : : ; xn = ®n ¨ Q-áõÙ Ï³ï³ñ»Éáí Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ Q ûÕ³ÏáõÙ: ° = (®1 ; : : : ; ®n ) 2 Q1£n ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ (14.9) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³ÛÝ ÉáõÍáõÙ ¿ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: ÈáõÍ»É ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.9) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É (áñáß»É, ÝÏ³ñ³·ñ»É) ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: Ð³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ÉáõÍ»ÉÇ Ï³Ù Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑ³Ù³ï»Õ»ÉÇ: Q ûÕ³ÏÇ íñ³ áñáßí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.9) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ù³ë»é, »Ã» b1 = ¢ ¢ ¢ = bm = 0, áñï»Õ

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

0-Ý Q ûÕ³ÏÇ ½ñáÝ ¿: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÙÇßï ûÅïí³Í ¿ ° = (0; : : : ; 0) ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙáí: ° 6= (0; : : : ; 0) ÉáõÍáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (14.9) Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ áñáßÛ³É, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýáñáß: Â»áñ»Ù 14.21 (Îñ³Ù»ñ): ¸Çóáõù Q-Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³Ï ¿ : ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij )n£n 2 Qn£n Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í b1 ; : : : ; bn 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ < a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1 ; ::: ::: ::: ::: : an1 x1 + ¢ ¢ ¢ + ann xn = bn

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ áñáßÛ³É: Àëï áñáõÙ, ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇ³Ï (®1 ; : : : ; ®n ) 2 Q1£n ÉáõÍáõÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª ®i = jAj¡1 ¢ jAi j

i = 1; : : : ; n ;

áñï»Õ Ai 2 Qn£n Ù³ïñÇóÁ ëï³óíáõÙ 1¿ A-Çó Ýñ³ i-ñ¹ ëÛáõÝ³ÏÁ b1 B C ¤ ÷áË³ñÇÝ»Éáí ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ @ ... A ëÛáõÝ³Ïáí: bn ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñ (Q = R ¹»åùáõÙ) Ñ³ÛïÝÇ ¶³áõëÇ ³É·áñÇÃÙÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÇó áñáß»É »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç X Ù³ïñÇóÁ‘ μ ¶ μ ¶ 2 5 4 ¡6 a) ¢X = ; 2 3 2 1 μ ¶ μ ¶ μ ¶ ¡3 1 ¡2 3 2 1 b) ¢X ¢ = : 3 4 5 ¡3 3 ¡1

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2. Ð»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó áñáß»É »ñÏñáñ¹ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ‘ 8 μ ¶ μ ¶ μ 2 1 3 1 2 8 > > X + Y = < μ ¶ μ ¶ 1 μ5 ¡1 > > : X+ Y = ¡1 1 ¡1 1

Ï³ñ·Ç ¶

;

¡1

¡4

3. ²å³óáõó»É, áñ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ûÕ³ÏáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁª ab = e ¡! ba = e : 4. ²å³óáõó»É, áñ Çñ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ RR = ff j f : R ! Rg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñáí ûÕ³Ï ¿ª Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f + g)x = f (x) + g(x) ; (f ¢ g)x = f (x) ¢ g(x) : 5. ²å³óáõó»É, áñ Z2 ¹³ßïáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨Áª (a + b)2 = a2 + b2 ;

a; b 2 Z2 ;

áñÁ ×Çßï ¿ Ý³¨ 2 μÝáõÃ³·ñÇãáí ó³ÝÏ³ó³Í ¹³ßïáõÙ: 6. ²å³óáõó»É, áñ Z3 ¹³ßïáõÙª (a + b)2 6= a2 + b2 ; (a + b)3 = a3 + b3 : 7. ²å³óáõó»É, áñ ãáñë ï³ññ³ÝÇ f0; e; a; bg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¹³ßï ¿ª

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

+ e a b

e a b

e e b a

a a b e

¢ e a b

b b a e 0 ,

e e a b

a a b e

b b e a :

8. ²å³óáõó»É, áñ 2-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ½μ ¶¯ ¾ ¯ a b ¯ a; b 2 Z2 F4 = b a+b ¯

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 4 ï³ññ³ÝÇ ¹³ßï ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²å³óáõó»É Ý³¨ áñ ³Ûë F4 ¹³ßïÁ Ç½áÙáñý ¿ Ý³Ëáñ¹ í³ñÅáõÃÛ³Ý ãáñë ï³ññ³ÝÇ ¹³ßïÇÝ:

9. ²å³óáõó»É, áñ 2-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ½μ ¶¯ ¾ a b ¯¯ a; b Z F9 = ¡b a ¯

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 9 ï³ññ³ÝÇ ¹³ßï ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ:

10. ²å³óáõó»É, áñ ûÕ³ÏÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿, »Ã» x2 = x Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: 11. àñáß»É Z4 , Z6 , Z8 , Z9 , Z10 , Z12 ûÕ³ÏÝ»ñÇ ³) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÁ; μ) áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÁ; ·) ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ: 12. Ð³ßí»É Z2 -áõÙ, Z3 -áõÙ, Z5 -áõÙ, Z7 -áõÙ, Z13 -áõÙ ¨ Z19 -áõÙª 81 +

¡ 33 ;

áñï»Õ a = [a] 2 Zn , n = 2; 3; 5; 7; 13; 19:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

13. ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Z3 -áõÙ, Z5 -áõÙ ¨ Z7 -áõÙª < x + 2z = 1 ; y + 2z = 2 ; : 2x + z = ¡1 :

14. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª

B B det B B @

1; a1 ; a21 ;

1; a2 ; a22 ;

: : : ; an : : : ; a2n n¡1 n¡1 ; a ; : : : ; a an¡1 n

C Y C C= (ai ¡ aj ) : C A 16i<j6n

²Ûë áñáßÇãÁ ÏáãíáõÙ ¿ ì³Ý¹»ñÙáÝ¹Ç áñáßÇã (A. Vandermonde, 1735–1796): 15. ø³ÝÇ ÉáõÍáõÙ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É Z2 Ï³Ù Z3 ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí n ¡ 1 Ñ³ï ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á: 16. ²å³óáõó»É, áñ Q ûÕ³ÏÇ íñ³ áñáßí³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Qn£n ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ï³Ù 1) n = 1 ¨ Q-Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, Ï³Ù 2) n > 1 ¨ Q-Ý ½ñáÛ³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³Éáí ûÕ³Ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª x ¢ y = 0 ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 17. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Q1 (+; ¢)-Á ¨ Q2 (+; ¢)-Á ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý, ³å³ Q1 £ Q2 ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ûÕ³Ïª Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (x1 ; x2 ) + (y1 ; y2 ) = (x1 + y1 ; x2 + y2 ); (x1 ; x2 ) ¢ (y1 ; y2 ) = (x1 ¢ y1 ; x2 ¢ y2 ) : Àëï áñáõÙ, Q01 = f(x1 ; 0) j x1 2 Q1 g ¨ Q02 = f(0; x2 ) j x2 2 Q2 g μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Q1 £ Q2 ûÕ³ÏÇ »ÝÃ³ûÕ³ÏÝ»ñ: ºÃ» Q1 ¨ Q2 ûÕ³ÏÝ»ñÁ ûÅïí³Í »Ý e1 2 Q1 ¨ e2 2 Q2 ÙÇ³íáñÝ»ñáí, ³å³ (e1 ; e2 ), (e1 ; 0) ¨ (0; e2 ) ½áõÛ·»ñ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Q1 £ Q2 , Q01 ¨ Q02 ûÕ³ÏÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ:

¶ÉáõË 14 Ø²îðÆòÜºð ºì àðàÞÆâÜºð

18. ²å³óáõó»É, áñ m-ï³ññ³ÝÇ í»ñç³íáñ ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í a ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª a | +a+ {z¢ ¢ ¢ + a} = 0: m

19. Z4 ûÕ³ÏáõÙª

det

[2] ; [2] [2] ; [0]

= [0] ;

ë³Ï³ÛÝ ³å³óáõó»É, áñ ¹»ï³ñÏíáÕ Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ã»Ý: Z13 ¹³ßïáõÙª μ ¶ [6] ; [9] det = [0] : [1] ; [8]

ÎÉÇÝ»±Ý ³ñ¹Ûáù Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ³Ûë Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁ:

ïáÕ»ñÁ

¶ É áõ Ë 15 ÎàØäÈºøê Âìºð 15.1. ê³ÑÙ³ÝáõÙÁ ¨ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ»ï Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ó³ÝÏ³ó³Í ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ μ³í³ñ³ñ ã»Ý: úñÇÝ³Ï, x2 + 1 = 0 ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ: ²ÛÅÙ ËÝ¹Çñ ¿ ¹ñíáõÙ, ·ïÝ»É Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R(+; ¢) ¹³ßïÇ ³ÛÝåÇëÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë ÉÇÝÇ ¹³ßï ¨ å³ñáõÝ³ÏÇ Ýßí³Í ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ (áõ ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ÉÇÝÇ §÷áùñ³·áõÛÝÁ¦, ³ÛëÇÝùÝª ãáõÝ»Ý³ Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ûÅïí³Í áõñÇß »ÝÃ³¹³ßï): Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ (a; b) Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ) ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) ; (a; b) ¢ (c; d) = (ac ¡ bd; ad + bc) :

a Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ (a; b) ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Çñ³Ï³Ý Ù³ë, ÇëÏ b-Ýª Ï»ÕÍ Ù³ë: ´áÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É C-áíª C = f(a; b) j a; b 2 Rg :

²ÛÅÙ Ï³å³óáõó»Ýù, áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ëáíáñ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ý³¨ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³: ²í»ÉÇ ×Çßï, ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ßï ¿ª ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.1: ò³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 C ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ® + ¯ = ¯ + ® (·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® = (a; b) ¨ ¯ = (c; d), ³å³ ® + ¯ = (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) = (c + a; d + b) = (c; d) + (a; b) = ¯ + ®: ¤

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.2: ò³ÝÏ³ó³Í ®; ¯; ° 2 C ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª (®+ ¯) + ° = ® + (¯ + °) (·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® = (a; b), ¯ = (c; d) ¨ ° = (s; t), ³å³ (® + ¯) + ° = ((a; b) + (c; d)) + (s; t) = ((a + c) + s; (b + d) + t) = (a + (c + s); b + (d + t)) = (a; b) + ((c; d) + (s; t)) = ® + (¯ + °) :

Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ n® = ® + ¢ ¢ ¢ + ® | {z } n

·áõÙ³ñÁ‘ ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n > 0: ²ÛëÇÝùÝ‘ ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ μÝ³Ï³Ý å³ïÇÏÇ Ï³Ù n-å³ïÇÏÇ ·³Õ³÷³ñÁ, »ñμ n > 0: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.3: ò³ÝÏ³ó³Í ® = (a; b) 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñª (a; b) + (0; 0) = (a; b): ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ (0; 0) ½áõÛ·Á áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ª (0; 0) = 0 áõ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñá ÏáÙåÉ»ùë ÃÇí: ¤ ê³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ½ñá å³ïÇÏÁ‘ 0® = 0 ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.4: ò³ÝÏ³ó³Í ® = (a; b) 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñª (a; b) + (¡a; ¡b) = (0; 0): ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ (¡a; ¡b) ½áõÛ·Á áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ª (¡a; ¡b) = ¡® áõ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç Ñ³Ï³¹Çñ ÏáÙåÉ»ùë ÃÇí: ¤ Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ (¡n)® = (¡®) + ¢ ¢ ¢ + (¡®) {z } | n

·áõÙ³ñÁ‘ ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n > 0: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýù ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ³ÙμáÕç å³ïÇÏÇ ·³Õ³÷³ñÁ: Àëï áñáõÙ, ï»ÕÇ áõÝ»Ý m1 ® + m2 ® = (m1 + m2 )® ¨ m1 (m2 ®) = (m1 ¢ m2 )® Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ‘ ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í m1 ; m2 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.5: ò³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 C ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ®¢¯ = ¯ ¢ ® (μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® = (a; b) ¨ ¯ = (c; d), ³å³

® ¢ ¯ = (a; b) ¢ (c; d) = (ac ¡ bd; ad + bc) = = (ca ¡ db; cb + da) = (c; d) ¢ (a; b) = ¯ ¢ ® :

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.6: ò³ÝÏ³ó³Í ®; ¯; ° 2 C ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª (® ¢ ¯) ¢ ° = ® ¢ (¯ ¢ °) (μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® = (a; b), ¯ = (c; d), ° = (s; t), ³å³

(®¢¯)¢° = (ac¡bd; ad+bc)¢(s; t) = ((ac¡bd)s¡(ad+bc)t; (ac¡bd)t+(ad+bc)s) = = (acs ¡ bds ¡ adt ¡ bct; act ¡ bdt + ads + bcs);

®¢(¯¢°) = (a; b)(cs¡dt; ct+ds) = (a(cs¡dt)¡b(ct+ds); a(ct+ds)+b(cs¡dt)) = = (acs ¡ adt ¡ bct ¡ bds; act + ads + bcs ¡ bdt) :

Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ ¢ ¢ ¢ ®} ®n = |® ¢ ¢{z n

³ñï³¹ñÛ³ÉÁ‘ ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n > 0: ²ÛëÇÝùÝ‘ ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ μÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.7: ò³ÝÏ³ó³Í ®; ¯; ° 2 C ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ®(¯ + °) = ®¯ + ®° ;

(Ó³Ë μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

(¯ + °)® = ¯® + °® :

(³ç μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

²å³óáõóáõÙ: ÞÝáñÑÇí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ (ûñÇÝ³Ï, ³é³çÇÝÁ): ºÃ» ® = (a; b), ¯ = (c; d) ¨ ° = (s; t), ³å³ ®(¯ + °) = (a; b) ¢ (c + s; d + t) = (a(c + s) ¡ b(d + t); a(d + t) + b(c + s)) = = (ac + as ¡ bd ¡ bt; ad + at + bc + bs);

®¯ + ®° = (ac ¡ bd; ad + bc) + (as ¡ bt; at + bs) = = (ac ¡ bd + as ¡ bt; ad + bc + at + bs) :

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.8: ò³ÝÏ³ó³Í ® = (a; b) 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñª (a; b) ¢ (1; 0) = (a; b): ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ (1; 0) ½áõÛ·Á áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ª (1; 0) = 1 áõ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»Ï ÏáÙåÉ»ùë ¤ ÃÇí: ê³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ®0 = 1 ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, Ï³½ÙáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³Ïª C(+; ¢): ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³Ûë ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ÉáõÍ»É (a; b) ¢ (x; y) = (1; 0) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a2 + b2 6= 0: ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ b a ¨y=¡ 2 ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñå»ë ëï³óíáõÙ »Ý x = 2 a +b a + b2 ½ ax ¡ by = 1; bx + ay = 0 Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇ³Ï (x; y) ÉáõÍáõÙ (Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ý³¨ Îñ³Ù»ñÇ Ï³ÝáÝÇó): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.9: ò³ÝÏ³ó³Í ® = (a; b) 6= (0; 0) ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñª μ ¶ a ¡b (a; b) ¢ ; = (1; 0) : ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ a2 + b2 a2 + b2 μ ¶ a ¡b ® = ; a2 + b2 a2 + b2

ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ®¡1 -áí: ¤ Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ ¡1 ¡1 ¡1 ®¡n = ® | ¢ ® {z ¢ ¢ ¢ ® } n

³ñï³¹ñÛ³ÉÁ‘ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, n > 0: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ: Àëï áñáõÙ, ëï³óíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ‘ ®m1 ¢ ®m2 = ®m1 +m2 ;

(®m1 )m2 = ®m1 m2

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í m1 ; m2 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ: Â»áñ»Ù 15.1: ´áÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½ñá μÝáõÃ³·ñÇãáí ¹³ßï ¿ ª ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ¤ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ëáë»É Ý³¨ »ñÏáõ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý ¨ ù³Ýáñ¹Ç (Ïáïáñ³ÏÇ) Ù³ëÇÝ, áñáíÑ»ï¨ ³Ûë »ñÏáõ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ Ý»ñÙáõÍí»É ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ. ® ¡ ¯ = ® + (¡¯); ® = ® ¢ ¯ ¡1 ; ¯

áñï»Õ ¯ 6= 0 :

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.10: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(+; ¢) ¹³ßïÝ Ç½áÙáñý ¿ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ CR (+; ¢) ¹³ßïÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: àñáÝ»ÉÇ ' : C ! CR Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª μ ¶ a b ' : (a; b) ¡! : ¡b a

²Ûë ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿ ¨ μ³í³ñ³ñáõÙ

¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

'(® + ¯) = '(®) + '(¯) ¨ '(® ¢ ¯) = '(®) ¢ '(¯)

ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 C ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ μ ¶ a b ºñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç A = Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® = (a; b) ¡b a ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëù: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùÁ ·ïÝíáõÙ ¿ §Ñ³Ù³Ó³ÛÝáõÃÛ³Ý¦ Ù»ç ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ³ëïÇ×³Ý

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

μ³ñÓñ³óÝ»Éáõ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: úñÇÝ³Ï, (1; ¡1)8 = (16; 0), áñáíÑ»ï¨ μ ¶8 μ ¶ 1 ¡1 16 0 = : 1 1 0 16

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ Øáõ³íñÇ (A. De Moivre, 1667-1754) μ³Ý³Ó¨ª ·ñí³Í Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.11 (Øáõ³íñÇ μ³Ý³Ó¨Á, 1707Ã.) : ò³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ¶ μ ¶m μ cos(m®) sin(m®) cos ® sin ® = : ¡sin(m®) cos(m®) ¡sin ® cos ®

²å³óáõóáõÙ: m > 0 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: m < 0 ¹»åùáõÙª m = ¡jmj = (¡1) ¢ jmj ¨ û·ïí»Éáí (14.1) μ³Ý³Ó¨Çó ÏáõÝ»Ý³Ýù. μ μ

cos ® sin ® ¡sin ® cos ®

¶m

¶jmj

Ãμ

cos ® sin ® ¡sin ® cos ®

¶¡1 !jmj

¶jmj cos(¡®) sin(¡®) = = = ¡sin(¡®) cos(¡®) μ ¶ μ ¶ cos(¡jmj®) sin(¡jmj®) cos(m®) sin(m®) = = : ¡sin(¡jmj®) cos(¡jmj®) ¡sin(m®) cos(m®) cos(®) ¡sin(®) sin(®) cos(®)

15.2. ÎáÙåÉ»ùë ÃíÇ ëáíáñ³Ï³Ý ï»ëùÁ, Ùá¹áõÉÁ, Ñ³Ù³ÉáõÍÁ, ÝáñÙÁ, ³ñ·áõÙ»ÝïÁ ¨ »é³ÝÏÛáõÝ³ã³÷³Ï³Ý ï»ëùÁ: ÎáÙåÉ»ùë ÃíÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ï Ñ³Ý»ÉÁ êáíáñ³μ³ñ (a; 0) ï»ëùÇ ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óíáõÙ ¿ a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿, áñ (a; 0) = a: Àëï áñáõÙ, ³Ûë ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óáõÙÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáÕ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï, áñáíÑ»ï¨‘ (a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0); (a; 0) ¢ (b; 0) = (a ¢ b; 0);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(a; 0) ¡ (b; 0) = (a ¡ b; 0); (a; 0) ³ a ´ = ; 0 ; b 6= 0 ; (b; 0) b

³ÛëÇÝùÝª (a; 0) ï»ëùÇ μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(+; ¢) ¹³ßïÇ »ÝÃ³¹³ßï (áñÝ Ç½áÙáñý ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R(+; ¢) ¹³ßïÇÝ): Ð»ï¨³μ³ñ, ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(+; ¢) ¹³ßïÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R(+; ¢) ¹³ßïÁª áñå»ë »ÝÃ³¹³ßï: Üß³Ý³Ï»Éáí Ý³¨ i = (0; 1), ÏáõÝ»Ý³Ýùª (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi ; áñï»Õ i2 = i ¢ i = (0; 1)(0; 1) = (0 ¡ 1; 0 + 0) = (¡1; 0) = ¡1; ³ÛëÇÝùÝª i ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí x2 + 1 = 0 ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ (³ñÙ³ï): ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù ® = (a; b) ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ëáíáñ³Ï³Ý Ï³Ù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ï»ëùÇÝ (·ñ»É³Ó¨ÇÝ)ª ® = a + bi = a + ib, áñï»Õ i ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ Ï»ÕÍ ÙÇ³íáñ, ÇëÏ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹áõÝí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁª a = Re(®), b = Im(®): ® = bi ï»ëùÇ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ Ï»ÕÍ Ãí»ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» áñ¨¿ K 6 C »ÝÃ³¹³ßï å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ R-Á ¨ i-Ý, ³å³ ³ÛÝ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Ý³¨ μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÁ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, K = C: ²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïÁ, ¹³ßï»ñÇ Ù»ç, áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ýª Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 15.2: ¸Çóáõù P (+; ¢) ¹³ßïÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ R-Á áñå»ë »ÝÃ³¹³ßï ¨ j 2 + 1 = 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ áñ¨¿ j 2 P ï³ññ: ºÃ» P (+; ¢) ¹³ßïÁ ãáõÝÇ Ýßí³Í »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ »ÝÃ³¹³ßï, ³å³ P ' C, ³ÛëÇÝùÝª P (+; ¢) ¹³ßïÝ Ç½áÙáñý ¿ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(+; ¢) ¹³ßïÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» P 0 = fa + bj ja; b 2 Rg;

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

³å³ P (+; ¢) ¹³ßïÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ j 2 = ¡1 å³ÛÙ³ÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª a1 + b1 j = a2 + b2 j Ã! a1 = a2 ; b1 = b2 ; (a1 + b1 j) + (a2 + b2 j) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )j; (a1 + b1 j) ¢ (a2 + b2 j) = (a1 a2 ¡ b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )j; (a + bj)¡1

¡(a + bj) = (¡a) + (¡b)j; μ ¶ a b = 2 + ¡ j; »Ã» a2 + b2 6= 0 : a + b2 a2 + b2

Üßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³å³óáõóÙ³Ý Ï³ñÇù áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ ³é³çÇÝÁª a1 + b1 j = a2 + b2 j ! a1 ¡ a2 = (b2 ¡ b1 )j ! (a1 ¡ a2 )2 = ¡(b2 ¡ b1 )2 ! a1 ¡ a2 = 0; b2 ¡ b1 = 0 ! a1 = a2 ; b1 = b2 : àõëïÇ, P 0 -Á ÏÉÇÝÇ P (+; ¢) ¹³ßïÇ »ÝÃ³¹³ßï, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ R-Á ¨ j-Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ, P 0 = P : ê³ÑÙ³Ý»Éáíª f (a + bj) = a + bi ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, Ïëï³Ý³Ýù áñáÝ»ÉÇ f : P ! C Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ, ³ÛëÇÝùÝª f -Á ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿ ¨ ï»ÕÇ áõÝ»Ý f(u + v) = f (u) + f(v); f (u ¢ v) = f (u) ¢ f(v)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ó³ÝÏ³ó³Í u; v 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

ºÃ» Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ÁÝïñ»Ýù áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ (¹»Ï³ñïÛ³Ý) Ïááñ¹ÇÝ³ï³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·, ³å³ ® = a + ib ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç) Ïå³ïÏ»ñíÇ áñå»ë Ï»ï, áñÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ (¹»Ï³ñïÛ³Ý) Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÝ »Ý a-Ý ¨ b-Ý: ²ÛëåÇëáí, ëï³óíáõÙ ¿ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝª μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¨ Ïááñ¹ÇÝ³ï³Ï³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ Ïå³ïÏ»ñí»Ý ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï»ï»ñáí, ÇëÏ Ï»ÕÍ Ãí»ñÁª ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï»ï»ñáí: ¼ñáÛÇÝ ÏÑ³Ù³å³ï³ëË³ÝÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½μÝ³Ï»ïÁ: ú·ï³Ï³ñ ¿ Ý³¨ ® = a + ib ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ å³ïÏ»ñ»É áñå»ë ® ~ í»Ïïáñ, áñÁ ÙÇ³óÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½μÝ³Ï»ïÁ (a; b) ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí Ï»ïÇ Ñ»ïª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

r ' a k

~ ³ÛëÇÝùÝª ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ²Û¹ ¹»åùáõÙª ® + ¯ = ® ~ + ¯, §Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿¦ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ»ï: ® ~ í»ÏïáñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® = a + ib ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ùá¹áõÉ (Ï³Ù μ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ù) ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ j®j-áíª j®j =

a2 + b2 > 0

¨ j®j = 0 $ ® = 0: Æñ³Ï³Ý ÃíÇ ÏáÙåÉ»ùë ÇÙ³ëïáí Ùá¹áõÉÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Û¹ ÃíÇ Çñ³Ï³Ý ÇÙ³ëïáí Ùá¹áõÉÇ Ñ»ï, áñáíÑ»ï¨ª p p jaj = ja + 0ij = a2 + 02 = a2 :

²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨ j®j = j ¡ ®j Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ó³ÝÏ³ó³Í ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ¹»åùáõÙ: È»ÙÙ 15.1 (ºé³ÝÏÛ³Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ): Î³Ù³Û³Ï³Ý ®, ¯ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª 1) j® + ¯j 6 j®j + j¯j, 2) j® ¡ ¯j 6 j®j + j¯j, 3) j® + ¯j > j®j ¡ j¯j, 4) j® ¡ ¯j > j®j ¡ j¯j, 5) j® + ¯j > jj®j ¡ j¯jj, 6) j® ¡ ¯j > jj®j ¡ j¯jj:

²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù ® = a + bi, ÇëÏ ¯ = c + di: ø³ÝÇ áñ (ac + bd)2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ¡ (ad ¡ bc)2 6 (a2 + b2 )(c2 + d2 );

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

³å³ ac + bd 6 Ð»ï¨³μ³ñ,

p p a2 + b2 ¢ c2 + d2 = j®j ¢ j¯j :

(a + c)2 + (b + d)2 6 (a2 + b2 ) + (c2 + d2 ) + 2j®j ¢ j¯j = (j®j + j¯j)2 ; ³ÛëÇÝùÝª ¨

j® + ¯j2 6 (j®j + j¯j)

j® + ¯j 6 j®j + j¯j :

Àëï áñáõÙ, Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ad ¡ bc = 0, ³ÛëÇÝùÝª »ñμ ® = ¸ ¢ ¯ Ï³Ù ¯ = ¸ ¢ ® áñ¨¿ ¸ Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: 2) j® ¡ ¯j = j® + (¡¯)j 6 j®j + j ¡ ¯j = j®j + j¯j: 3) ú·ïí»Éáí 2)-Çó ÏáõÝ»Ý³Ýùª j®j = j(® + ¯) ¡ ¯j 6 j® + ¯j + j¯j ; áñï»ÕÇó j® + ¯j > j®j ¡ j¯j: 4) j® ¡ ¯j = j® + (¡¯)j > j®j ¡ j ¡ ¯j = j®j ¡ j¯j: 5) j® + ¯j > j®j ¡ j¯j ¨ j® + ¯j = j¯ + ®j > j¯j ¡ j®j: Ð»ï¨³μ³ñª j® + ¯j > jj®j ¡ j¯jj: 6) j® ¡ ¯j = j® + (¡¯)j > jj®j ¡ j ¡ ¯jj = jj®j ¡ j¯jj: ¤ ® ¹ = a ¡ bi ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® = a + bi ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ÉáõÍ: È»ÙÙ 15.2: Î³Ù³Û³Ï³Ý ®, ¯ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñª ®+¯ = ® ¹ + ¹̄, ®¢¯ =® ¹ ¢ ¹̄, ¹ = ®, ® ® ¹ = ® Ã! ®-Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿ , j®j = 1 Ã! 9®¡1 ¨ ®¡1 = ® ¹, j¹ ®j = j®j, ¹ = j®j2 , ¹ = 2a, »Ã» Re(®) = a:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 15.1: z ! z¹ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ ¤ ³íïáÙáñýÇ½Ù ¿ : ºÃ» ® 6= 0, ³å³ ® ~ í»ÏïáñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï ÏáãíáõÙ ¿ ®-Ç ³ñ·áõÙ»Ýï ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ arg(®)-áí: ¼ñáÛÇ ³ñ·áõÙ»ÝïÁ ãÇ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ: àã ½ñáÛ³Ï³Ý ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ³ñ·áõÙ»ÝïÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ, ³ÛÝ áñáßíáõÙ ¿ 2¼k ·áõÙ³ñ»Éáõ ×ßïáõÃÛ³Ùμ, áñï»Õ k 2 Z: ºÃ» ® 6= 0, ® = a + ib, j®j = r ¨ arg(®) = ', ³å³ a = r cos ' ¨ b = r sin '; áñï»ÕÇóª ® = r(cos ' + i sin ') : ²Ûë ï»ëùÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ »é³ÝÏÛáõÝ³ã³÷³Ï³Ý ï»ëù, ÇëÏ (r; ') ½áõÛ·Áª Ýñ³ μ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ: ³ ¼´ ¼ , arg (®) ¹ = ¡arg(®): úñÇÝ³Ï, i = 1 cos + i sin ²ÛëåÇëáíª r1 (cos '1 + i sin '1 ) = r2 (cos '2 + i sin '2 ) Ã! r1 = r2 ¨ '1 = '2 +2¼k; k 2 Z; áñï»Õ r1 ; r2 6= 0: ¸Çóáõù n 2 N , ® 2 C: ´áÉáñ ³ÛÝ z ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ z n = ®, ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ï ® p p ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇó ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ n ®-áí: n ® μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÙåÉ»ùë ÃÇí ¨ë ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ï ®p Çó: ºÃ» ® = 0, ³å³ n ® = f0g ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ: p p n = 2 ¹»åùáõÙª n ®-Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ ®: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó μËáõÙ ¿, áñ ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ »é³ÝÏÛáõÝ³ã³÷³Ï³Ý ï»ëùÁ ·ïÝíáõÙ ¿ §ÉÇáíÇÝ Ñ³Ù³Ó³ÛÝáõÃÛ³Ý¦ Ù»ç ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý, ù³Ýáñ¹Ç, ³ëïÇ×³Ý μ³ñÓñ³óÝ»Éáõ ¨ ³ñÙ³ï Ñ³Ý»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: Â»áñ»Ù 15.3 (Øáõ³íñ): àã ½ñáÛ³Ï³Ý ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 1) r1 (cos '1 + i sin '1 ) ¢ r2 (cos '2 + i sin '2 ) = r1 r2 (cos('1 + '2 ) + i sin('1 + '2 ));

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

2) (r(cos ' + i sin '))¡1 = (cos(¡') + i sin(¡')); r r1 r1 (cos '1 + i sin '1 ) = (cos('1 ¡ '2 ) + i sin('1 ¡ '2 )); 3) r2 (cos '2 + i sin '2 ) r2 4) r1 (cos '1 + i sin '1 ) ¢ ¢ ¢ rn (cos 'n + i sin 'n ) = = r1 ¢ ¢ ¢ rn (cos('1 + ¢ ¢ ¢ + 'n ) + i sin('1 + ¢ ¢ ¢ + 'n )); 5) (r(cos ' + i sin '))n = rn (cos(n') + i sin(n')), áñï»Õ n 2 N; 6) (r(cos ' + i sin '))m = rm (cos(m') + i sin(m')), áñï»Õ m 2 Z; (Øáõ³íñÇ μ³Ý³Ó¨Á) ½ ¾ μ ¶¯ p p ' + 2¼k ¯¯ ' + 2¼k n n + i sin 7) r(cos ' + i sin ') = r cos ¯ k2Z : n n

²å³óáõóáõÙ: 1)-Á ¨ 2)-Á ëï³óíáõÙ »Ý ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: 3)-Á μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ ® = ® ¢ ¯ ¡1 ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: 4)-Á ëï³óíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¯ 5)-Á μËáõÙ ¿ 4)-Çó, »ñμ ¹Çï³ñÏíáÕ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý: 6)Á μËáõÙ ¿ 5)-Çó, 2)-Çó ¨ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÇóª ¢ ¢ ®}; ®n = ® | ¢{z

n > 0;

®0 = 1;

¡1 ®¡n = ® ¢ ¢ ®¡1}; | ¢{z

n>0:

²å³óáõó»Ýù 7)-Á: ¸Çóáõù ® 6= 0, ® = r(cos ' + i sin ') ¨ z n = ®, áñï»Õ z 2 C: Ð»ï¨³μ³ñ, z 6= 0 ¨ ¹Çóáõù z = r0 (cos '0 + i sin '0 ): àõëïÇ, 5)-Ç

Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

(r0 )n (cos(n'0 ) + i sin(n'0 )) = r(cos ' + i sin ') p n

' + 2¼k ¨ n ¾ ½ μ ¶¯ p p ' + 2¼k ¯¯ ' + 2¼k n n + i sin r(cos ' + i sin ') = r cos ¯ k2Z ; n n p áñï»Õ n r-Á r ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý (³ÛëÇÝùÝª Çñ³Ï³Ý ¨ ¹ñ³Ï³Ý) ³ñÙ³ïÝ ¿, áñÁ ÙÇßï ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ¤ ¨ (r0 )n = r, n'0 = ' + 2¼k, k 2 Z: ²ÛëåÇëáí, r0 =

r, '0 =

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» Ýß³Ý³Ï»Ýùª

zk =

¶ μ p ' + 2¼k ' + 2¼k n + i sin ; r cos n n

³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª zk = zk0 Ã! k ´ k0 (mod n) Ã! [k] = [k0 ] : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ® 6= 0 ¹»åùáõÙª z n = ® Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ n Ñ³ï zk ÉáõÍáõÙÝ»ñáí, áñáÝù ëï³óíáõÙ »Ý, ûñÇÝ³Ï, k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ.

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 15.2: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® = r(cos ' + i sin ') ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñª p n

r(cos ' + i sin ') =

μ ¶¯ p ' + 2¼k ¯¯ ' + 2¼k n + i sin r cos ¯ n n

k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1g :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª p n

¯ ¾ 2¼k ¯¯ 2¼k + i sin k = 0; 1; : : : ; n ¡ : cos n n ¯

ºÃ» n > 3, ³å³ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ³Ûë ³ñÙ³ïÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý (0; 0) Ï»ÝïñáÝáí ¨ ÙÇ³íáñ ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ³ÛÝ Ï³ÝáÝ³íáñ n-³ÝÏÛáõÝ μ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñáõÙ, áñÇ ÙÇ ·³·³ÃÁ (1; 0) Ï»ïÝ ¿ : ¤ ) ( p p p p p ¡1 + i 3 ¡1 ¡ i 3 ; , 41= úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) 1 = f§1g, 1 = 1; f§1; §ig : 2) cos(2x) + i sin(2x) = (cos x + i sin x)2 = = cos2 x + 2i sin x cos x + i2 sin2 x = cos2 x ¡ sin2 x + i(2 sin x cos x), áñï»ÕÇóª cos(2x) = cos2 x ¡ sin2 x;

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

sin(2x) = 2 sin x cos x : 3) cos(3x) + i sin(3x) = (cos x + i sin x)3 = = cos3 x + 3i cos2 x sin x + 3i2 sin2 x cos x + i3 sin3 x = = cos3 x ¡ 3 cos x sin2 x + i(3 cos2 x sin x ¡ sin3 x), áñï»ÕÇóª cos(3x) = cos3 x ¡ 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x ¡ 3 cos x; sin(3x) = 3 cos2 x sin x ¡ sin3 x = 3 sin x ¡ 4 sin3 x : μ ¶n : ò³ÝÏ³ó³Í x 2 R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ 4) ¸Çóáõù e = lim 1 + n!1 n ix Ñ³Ù³ñ e ³ëïÇ×³ÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Áëï È. ¾ÛÉ»ñÇª eix = cos x + i sin x :

(¾ÛÉ»ñÇ μ³Ý³Ó¨Á)

Ð»ï¨³μ³ñ, ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ® = j®j ¢ ei¢arg(®) : 5) e¼i = cos ¼ + i sin ¼ = ¡1, e2¼i = cos 2¼ + i sin 2¼ = 1: ® 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ÝáñÙÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ N r(®)-áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª N r(®) = j®j2 = ® ¢ ® ¹ > 0: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ N r(® ¢ ¯) = N r(®) ¢ Nr(¯) :

15.3. Ø»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ ¨ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ ºÃ» X; Y μ C, ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª X ¢ Y = fx ¢ y j x 2 X; y 2 Y g: Üß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ª ® ¢ Y = f®g¢ Y , »Ã» ® 2 C: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ 1¢ X = X, X ¢ Y = Y ¢ X ¨ (X ¢ Y ) ¢ Z = X ¢ (Y ¢ Z): p Àëï n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ïÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, n 1-Á xn = 1 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª xn = 1 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÙåÉ»ùë ÉáõÍáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ï: Üß³Ý³Ï»Éáíª "k = cos

2¼k 2¼k + i sin ; n n

k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ïëï³Ý³Ýùª

p n 1 = f"0 ; "1 ; : : : ; "n¡1 g ;

2¼ 2¼ áñï»Õ "0 = 1, "1 = cos + i sin , ÇëÏ ("1 )k = "k , k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1 n n (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Øáõ³íñÇ μ³Ý³Ó¨Ç), ³ÛëÇÝùÝª p ª © n : 1 = 1; "1 ; "21 ; : : : ; "n¡1

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.12: ºÃ» ®n0 = ®, áñï»Õ ® 6= 0, ³å³ p p n ® = ®0 ¢ n 1 :

p p n ²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ®0 6= 0: ²å³óáõó»Ýù ® μ ®0 ¢ n 1 ¡ ¢ p n ¡1 Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ºÃ» ¯ 2 n ®, ³å³ ¯ n =p® ¨ ®¡1 = (®0n ) ¢ ¯ np= 0 ¢¯ n ¡1 ®¡1 ¢ ® = 1, ³ÛëÇÝùÝª " = ®0 p¢ ¯ 2 1 ¨ ¯ = ®0 ¢ ", áñï»Õ " 2p n 1: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ¯ 2 ®0 ¢ n 1, ³å³ ¯ = ®0 ¢ ", áñï»Õ " 2 n 1, ¨ p ¯ n = (®0 ¢ ")n = ®n0 ¢ "n = ® ¢ 1 = ®, ³ÛëÇÝùÝª ¯ 2 n ®: ¤ p p Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.13: 1) ºÃ» "i ; "j 2 n 1, ³å³ "i ¢ "j 2 n 1; 1 p S p S n n 1, ³å³ "i ¢ "j 2 1; 1') ºÃ» "i ; "j 2 n=1 n=1 p p n n 2) ºÃ» " 2 1, ³å³ "¡1 2 1; S p S p n n 1, ³å³ "¡1 2 1; 2') ºÃ» " 2 n=1 n=1 p p 3) ºÃ» " 2 n 1, ³å³ "m 2 n 1 ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñ; 1 p 1 p S S n n 1, ³å³ "m 2 1 ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ³ÙμáÕç 3') ºÃ» " 2

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

n=1

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» "ni = 1 ¨ "nj = 1, ³å³ ("i ¢ "j )n = "ni ¢ "nj = 1 ¢ 1 = 1: nm m 1’) ºÃ» "ni = 1 ¨ "m = "nm ¢ "nm = ("ni ) ¢ j = 1, ³å³ ("i ¢ "j ) i j ¡ m ¢n "j = 1 ¢ 1 = 1: 2) ºÃ» "n = 1, ³å³ (" ¢ "¡1 )n = 1n , "n ¢ ("¡1 )n = 1 ¨ ("¡1 )n = 1: 3) ºÃ» "n = 1, ³å³ ("m )n = "m¢n = ("n )m = 1: ØÝ³ó³Í 2’) ¨ 3’) åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ¤ " 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ï³ñ· ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý q ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñª "q = 1: " ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ï³ñ·Á

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

p ! ¡1 + i 3 = 3, ÏÝß³Ý³Ï»Ýù o(")-áí: úñÇÝ³Ï, o(1) = 1, o(¡1) = 2, o o(i) = 4, : : :: àñå»ë½Ç " 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÝ áõÝ»Ý³ Ï³ñ· ³ÝÑñ³Å»ßï 1 p S n ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ " 2 1: Ã

n=1

¸Çóáõù n > 1: Ø»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³ËÝ³Ï³Ý, »Ã» Ýñ³ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç, ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ Ù»ÏÇó m-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ñÙ³ï áñ¨¿ m < n ¨ m > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÉ Ï»ñå, " 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, »Ã» "n = 1 ¨ "m 6= 1 ó³ÝÏ³ó³Í m < n ¨ m > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ï, 2¼ 2¼ "1 = cos + i sin n n ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ù»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, áñáíÑ»ï¨ o("1 ) = n, ³ÛëÇÝùÝª "n1 = 1 ¨ "m 1 6= 1, »Ã» 0 < m < n, ù³ÝÇ 2¼m < 2¼: n = 1; 2 ¹»åùáõÙ, ë³ ÙÇ³Ï Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ áñ 0 < n ¿: ê³Ï³ÛÝ n > 2 ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ý³¨ ³ÛÉ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ (μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 15.3-Çó): ºÃ» "-Á Ù»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³ "0 = 1; "; "2 ; : : : ; "n¡1 ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, p ª © n 1 = "0 = 1; "; "2 ; : : : ; "n¡1 :

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ "-Á ÏÉÇÝÇ Ù»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.14: ºÃ» o(") = n ¨ "m = 1, ³å³ m-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ n-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù m = nq + r, áñï»Õ 0 6 r < n: ºÃ» r 6= 0, ³å³ 0 < r < n, r = m ¡ nq ¨ "r = "m¡nq = "m ¢ ("n )¡q = 1; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ o(") = n å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, r = 0 ¨ m = nq:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 15.15: ºÃ» o(") = n, ³å³ o("k ) =

n ; (n; k)

k2Z:

²å³óáõóáõÙ: êïáõ·»Ýù ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. n k ³) ("k ) (n;k) = ("n ) (n;k) = 1; n : Æñáù, "km = 1 ¨ μ) ºÃ» ("k )m = 1, m > 0, m 2 Z, ³å³ m > n; k

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª km = nq, q 2 Z: ºÃ» d = (n; k), ³å³ ¶ μ n k n k ; = 1 ¨ m = q Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ d d d .d n n 3.4-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù m n å³ÛÙ³ÝÁ, áñï»ÕÇó ¿É μËáõÙ ¿ m > = d d (n; k) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 15.3: ºÃ» o(") = n, ³å³ o("k ) = n Ã! (k; n) = 1 :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, o("k1 ) = n $ (k; n) = 1, ¨ Ù»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ '(n)-Ç, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ : ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 15.4: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙª "k = cos

2¼k 2¼k + i sin = "k1 n n

n ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ù»ÏÇó -ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, d ¤ áñï»Õ d = (k; n): Â»áñ»Ù 15.4: ºÃ» o(") = m, o(±) = n ¨ (m; n) = 1, ³å³ o(" ¢ ±) = o(") ¢ o(±) :

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (" ¢ ±)m¢n = "m¢n ¢ ± m¢n = ("m )n ¢ (± n )m = 1 ¢ 1 = 1 :

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» ° = "i ¨ ° = ± j , ³å³ ° = 1, áñáíÑ»ï¨ ° m = ("m )i = 1; ° n = (± n )j = 1 ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 15.14-Ç, m ¨ n ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÁ Ïμ³Å³Ýí»Ý o(°) = k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, k = 1 ¨ ° k = ° 1 = 1, ³ÛëÇÝùÝª ° = 1: ¸Çóáõù ³ÛÅÙª (" ¢ ±)t = 1, áñï»Õ t-Ý ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ t > m ¢ n: Æñáù, Ý³Ë ÏáõÝ»Ý³Ýùª "t ¢ ± t = 1 ¨ "t = ± ¡t Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Üß³Ý³Ï»Éáíª "t = ± ¡t = ° Ïëï³Ý³Ýù, ÇÝãå»ë ¨ í»ñ¨áõÙ, ° = 1: àõëïÇ, "t = 1 ¨ ± t = 1: àñï»ÕÇó, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 15.14-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, t-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ m ¨ n ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ¹ñ³Ýó m ¢ n ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³: ²ÛëåÇëáí, t > m ¢ n: ¤

Ø»ÏÇó n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ¡ p ¢¤ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¡ p ¢¤ μáÉáñ Ý³ËÝ³Ï³Ý μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù n 1 -áí: ²ÛëåÇëáí, n 1 μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ '(n)-Ç, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, ¨ ³ p ´¤ n "2 1 Ã! o(") = n :

Â»áñ»Ù p 15.5: p ºÃ» (m; n) = 1, ³å³ n 1) m \ 1 = f1g p p p, m n m¢n 2) ¡ p1 ¢¢ 1¡ = p ¢¤ 1,¡ p ¢¤ ¤ 3) m 1 ¢ n 1 = m¢n 1 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, 3)-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÝáñÇó Ñ³Ý·áõÙ »Ýù ¾ÛÉ»ñÇ ' ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³ÝÁª '(m) ¢ '(n) = '(m ¢ n);

»Ã» (m; n) = 1: p p ²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» ® 2 m 1 \ n 1, ³å³ ®m = 1, ®n = 1 ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 15.14-Ç, m ¨ n ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÁ Ïμ³Å³Ýí»Ý o(®) μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, o(®) = 1 ¨ ® = 1: 2) ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÝ ÁÝÏ³Í ¿ ³ç Ù³ëÇ Ù»ç, áñáíÑ»ï¨, »Ã» "m = 1 ¨ ± n = 1, ³å³ (" ¢ ±)m¢n = "m¢n ¢ ± m¢n = 1:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

p ¸Çóáõù ¾m¢n = 1 ¨ mx + ny = 1, x; y 2 Z: ²Û¹ ¹»åùáõÙª °1 = ¾m 2 n 1, p °2 = ¾ n 2 m 1 ¨ p p ¾ = ¾1 = ¾mx+ny = ¾mx ¢ ¾ny = (¾ m )x ¢ (¾ n )y = °1x ¢ °2y 2 n 1 ¢ m 1 : ¡ p ¢¤ ¡ p ¢¤ 3) ºÃ» " 2 m 1 , ± 2 n 1 , ³å³ o(") = m, o(±) = n ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¡ p ¢¤ Ã»áñ»Ù 15.4-Ç, o(" ¢ ±) = o(") ¢ o(±) = m ¢ n, ³ÛëÇÝùÝª " ¢ ± 2 m¢n 1 : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁª ³ p ´¤ ³ p ´¤ ³ p ´¤ m¢n m n 1 μ 1 ¢ 1 : ¡ p ¢¤ Ð³Ù³Ó³ÛÝ 2)-Ç, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 m¢n 1 ÏáÙåÉ»ùë ÃÇí p Ï³ñ»ÉÇ p¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É z = x ¢ y ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí, áñï»Õ x 2 m 1 ¨ y 2 n 1: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ o(x) = m ¨ o(y) = n: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, o(x) = k 6 m ¨ o(y) = s 6 n áõ z ks = (x ¢ y)ks = xks ¢ yks = (xk )s ¢ (y s )k = 1 ¢ 1 = 1 ¨, »Ã» k 6 m ¨ s 6 n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ñ ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ, ³å³ z ks = 1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏÑ³Ï³ë»ñ o(z) = m ¢ n å³ÛÙ³ÝÇÝ: 1) Ñ³í³ë³ñáõÃáõÝÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨, áñ Ã : ("; ±) ! " ¢± Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ª ³ p ´¤ ³ p ´¤ ³ p ´¤ ³ p ´¤ m 1 £ n 1 ¡! m 1 ¢ n 1 ; ³ÛëÇÝùÝª

¯³ p ´¤ ³ p ´¤ ¯ ¯³ p ´¤ ³ p ´¤ ¯ ¯³ p ´¤ ¯ ¯ m ¯ ¯ m ¯ ¯ m¢n ¯ n n 1 £ 1 ¯=¯ 1 ¢ 1 ¯=¯ 1 ¯ ¯ '(m) ¢ '(n) = '(m ¢ n) :

15.4. ¶³áõëÛ³Ý ¨ ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñ: ØÝ³óáñ¹áí

μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÁ

® = a + ib ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿. ³) ·³áõëÛ³Ý ÃÇí, »Ã» a-Ý ¨ b-Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª a; b 2

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

μ) ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý ÃÇí, »Ã» a-Ý ¨ b-Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª a; b 2 Z: ´áÉáñ ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q[i]-áí, ÇëÏ μáÉáñ ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª Z[i]-áí: Q[i] μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ ¹³ßïª ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ÇëÏ Z[i] μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ûÕ³Ï ¿, áñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÝ »Ý §1 ¨ §i ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÁ: Æñáù, Ý³Ë ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ýßí³Í Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Z[i] ûÕ³ÏáõÙ, ÇëÏ »Ã» ® ¢ ¯ = 1, áñï»Õ ®; ¯ 2 Z[i] ¨ ® = x + iy, ³å³ N r(®) ¢ N r(¯) = Nr(® ¢ ¯) = N r(1) = 1; Ð»ï¨³μ³ñ, N r(®) = 1 ¨ Ñ³Ý·áõÙ »Ýù x2 + y 2 = 1 Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, áñÇ ³ÙμáÕç³ñÅ»ù ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ýª (1; 0), (¡1; 0), (0; 1) ¨ (0; ¡1) ½áõÛ·»ñÁ: ²ÛëåÇëáí, ® = §1; §i: ²ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ ûÕ³ÏÁ ß³ï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ÝÙ³Ý ¿ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ûÕ³ÏÇÝ, áñÇ å³ï×³éÝ Áëï ¿áõÃÛ³Ý Ã³ùÝí³Í ¿ ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ³É·áñÇÃÙÇ Ù»ç: Â»áñ»Ù 15.6 (³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÁ): ò³ÝÏ³ó³Í ® ¨ ¯ 6= 0 ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ¾ ¨ ½ ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñ, áñ ® = ¯¾ + ½;

áñï»Õ 0 6 N r(½) < Nr(¯) : ²å³óáõóáõÙ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ ® ¢ ¯ ¡1 = x + iy : ¨ jy ¡ vj 6 : Üß³Ý³Ï»Éáí ¾ = u + iv ¨ ½ = ® ¡ ¾¯, ëï³ÝáõÙ »Ýù ³ÛÝåÇëÇ ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñ, áñ ® = ¯¾ + ½ ¨ ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ 0 6 N r(½) = Nr(®¡¾¯) = N r ¯ ®¯ ¡1 ¡ ¾ = N r(¯)¢N r ®¯ ¡1 ¡ ¾ =

¸Çóáõù u-Ý ¨ v-Ý ³ÛÝåÇëÇ ³ÙμáÕç Ãí»ñ »Ý, áñ jx ¡ uj 6

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ ¶ ¢ ¡ 1 1 N r(¯) + < N r(¯) : ¤ = Nr(¯)¢ (x ¡ u)2 + (y ¡ u)2 6 N r(¯) = 4 4 úñÇÝ³Ï: ºÃ» ® = 1 + 2i, ÇëÏ ¯ = 3 + i, ³å³ ® ¢ ¯ ¡1 = (1 + 2i)(3 + i)¡1 = =

(1 + 2i)(3 ¡ i) 1 + 2i = = 3+i (3 + i)(3 ¡ i)

1 1 5 + 5i 3 ¡ i + 6i ¡ 2i2 = + i = 32 ¡ i2 2 2

¨, Áëï Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÇ, áñå»ë ¾ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ÇÝãå»ë ¾1 = 1+ 0i = 1, ³ÛÝå»ë ¿É ¾2 = 0 + 1i = i ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, ½-Ç Ñ³Ù³ñ ¿É Ïëï³óí»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ÑÝ³ñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª ½1 = ® ¡ ¾1 ¯ = 1 + 2i ¡ 3 ¡ i = ¡2 + i ¨ ½2 = ® ¡ ¾2 ¯ = 1 + 2i ¡ 3i + 1 = 2 ¡ i :

²ÛëåÇëáí, ® ¨ ¯ 6= 0 ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñáí ¾ ¨ ½ ³ÙμáÕç ·³áõëÛ³Ý Ãí»ñÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ã»Ý áñáßíáõÙ: Ð³Ù³ÝÙ³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ ¨ ¹³ßï»ñ p Ï³éáõóíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³ÉpÏ»ñå: d 62 Z, Ñ»ï¨³μ³ñ, d 62 Q ¸Çóáõù d 2 Z, d 6= 0 ¨ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.3): Àëï áñáõÙ, d-Ý Ï³ñáÕ p¿ ÉÇÝ»É ÇÝãå»ë ¹ñ³Ï³Ý, ³ÛÝå»ë ¿É μ³ó³ë³Ï³Ý: ºÃ» d > 0, ³å³ p d ³ë»Éáí p Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ³ñÙ³ïÁ, ÇëÏ d < 0 ¹»åùáõÙª d = i jdj: ê³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª hp i n o p Q d = a + b d j a; b 2 Q ; hp i n o p Z d = a + b d j a; b 2 Z : hp i hp i ÜÏ³ï»Ýù, áñ Q d (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ Z d ) μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p ï³ññ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¿ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ a + b d ï»ëùáíª p p p a1 + b1 d = a2 + b2 d ¡! a1 ¡ a2 = (b2 ¡ b1 ) d ¡! b2 ¡ b1 = 0; a1 ¡ a2 = 0 ¡! b1 = b2 ; a1 = a2 :

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

hp i Q d μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ßï ¿ª Çñ³Ï³Ý Ï³Ù ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñáíÑ»ï¨ ³ p p ´ ³ p ´ a1 + b1 d § a2 + b2 d = (a1 + a2 ) § (b1 + b2 ) d; ³ p p ´³ p ´ a1 + b1 d a2 + b2 d = (a1 a2 + b1 b2 d) + (a1 b2 + a2 b1 ) d; ³ p ´¡1 a+b d =

a ¡b p + 2 d; ¡ db a ¡ db2

p áñï»Õ a + b d 6= 0; ²Ûë ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ¹³ßïª ÍÝí³Í d ³ÙμáÕç Ãíáí: p ® = a + b d ÃíÇ ÝáñÙ ¿ ÏáãíáõÙ Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É ÃÇíÁª ³ p ´³ p ´ N r(®) = a2 ¡ db2 = a + b d a ¡ b d = ® ¢ f (®);

p áñï»Õ f(®) = a ¡ b d ¨

f(® + ¯) = f (®) + f(¯); f(® ¢ ¯) = f (®) ¢ f (¯) :

Ð»ï¨³μ³ñ,

Nr(®) = 0 Ã! ® = 0; N r(® ¢ ¯) = ®¯f (®¯) = ®¯f(®)f (¯) = ®f (®) ¢ ¯f(¯) = N r(®) ¢ N r(¯) :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë,

N r(®) ¢ N r(®¡1 ) = N r(® ¢ ®¡1 ) = N r(1) = 1 :

hp i Z d μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ûÕ³Ï ¿ (³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿)ª Çñ³Ï³Ý Ï³Ù ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Ãíáí: ²Ûë ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ûÕ³Ïª ÍÝí³Í d £³ÙμáÕç p ¤ £p ¤ úñÇÝ³Ï, d = ¡1; ¡3; ¡5 ¹»åù»ñáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýù Z[i], Z i 3 ¨ Z i 5 ûÕ³ÏÝ»ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í ó³ÝÏ³ó³Í A 2 Cn£m Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ B; C 2 Rn£m Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñ A = B + iC: p 2. Ð³ßí»É i-Ý: 3. ²å³óáõó»É, áñ p

1 ¢

p p 1 = 1;

1¢

p 1 :

p 4. ²å³óáõó»É, áñ n 1 μ C »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, »Ã» n > 1: 5. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» o(®) = n, ³å³ o(®) = n: 6. ²å³óáõó»É, áñ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý μ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ Ý³¨ ÏáÙåÉ»ùë ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 7. ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»É ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ μ³Ý³Ó¨Á ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙª ¶ n μ X n (® + ¯) = ®n¡k ¯ k ; k n

k=0

áñï»Õ ®; ¯ 2 C, n > 1: 8. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ³ÛÝåÇëÇ fn μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª cos(n x) = fn (cos x) : ²í»ÉÇ ×Çßïª [ n2 ] μ ¶ X ¡ ¢k n k (¡1) cos(n x) = cosn¡2k x 1 ¡ cos2 x : 2k k=0

¶ÉáõË 15 ÎàØäÈºøê Âìºð

9. ²å³óáõó»É, áñ ÙÇ³íáñ ß³é³íÕáí ßñç³ÝÇÝ Ý»ñ·Íí³Í Ï³ÝáÝ³íáñ 34-³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª p ¯1 ¡ ¯12 ¡ 4¯2 ; a34 = áñï»Õ ¯1 = ÇëÏ

®1 +

p ®21 + 4 ;

¯2 =

®2 +

p ®22 + 4 ;

p p ¡1 + 17 ¡1 ¡ 17 ; ®2 = : ®1 = ²ÛëåÇëáí, a34 -Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É Ï³ñÏÇÝÇ ¨ ù³ÝáÝÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³ñÏÇÝÇ ¨ ù³ÝáÝÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É Ý³¨ a17 -Á, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ³íáñ ß³é³íÕáí ßñç³ÝÇÝ Ý»ñ·Íí³Í Ï³ÝáÝ³íáñ 17-³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÁ (¶³áõë):

¶ É áõ Ë 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð 16.1. Ü»ñ³ÍáõÃÛáõÝ

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ

ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë

¹åñáó³Ï³Ý

¹³ëÁÝÃ³óáõÙ

μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ

f (x) = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn ï»ëùÇ f : R ! R ýáõÝÏóÇ³, áñï»Õ a0 ; a1 ; : : : ; an Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý f (Ï³Ù f (x)) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ Ï³Ù Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ, ai xi ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý f -Ç ³Ý¹³ÙÝ»ñ, ÇëÏ a0 -Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³½³ï ³Ý¹³Ù: ºÃ» an 6= 0, ³å³ an xn -Á ÏáãíáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³· ³Ý¹³Ù, an -Áª ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇó, ÇëÏ n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁª f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³Ý ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ deg(f)áí: ºñÏáõ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÝáõÛÝ ÝßÇãáí ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ: àõëïÇ, »ñÏáõ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ f = g Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ áñå»ë f : R ! R ¨ g : R ! R ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ïñí³Í μ³½Ù³Ý¹³Ùáí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ, áñáíÑ»ï¨ f (x) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³í»É³óÝ»É ½ñáÛ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ai xi ³Ý¹³ÙÝ»ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, »ñÏáõ f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ³í³ë³ñ Ãíáí ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí: ºÃ» f ¨ g μ³½³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ³å³, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, f (x) = g(x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª f = g: ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ, áñÇ ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ»Ýí»É μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý íñ³: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙÁ. È»ÙÙ 16.1: ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 6= 0 Çñ³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ h μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï, ³å³ h(0) = 0:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ®n ! 0 ¨ ®n 6= 0, ®n 2 R, ³å³ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª h(®n ) ! h(0) ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, h(0) = 0, áñáíÑ»ï¨ h(®n ) = 0, n = 1; 2; : : :: ¤

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

È»ÙÙ 16.2: ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 2 R Çñ³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ h(x) = c0 + c1 x + ¢ ¢ ¢ + cm xm

μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï, ³å³ c0 = c1 = ¢ ¢ ¢ = cm = 0:

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ºÃ» m = 0, ³å³ åÝ¹áõÙÝ, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, ×Çßï ¿: ¸Çóáõù ³ÛÝ ×Çßï ¿ m-Çó ÷áùñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: ø³ÝÇ áñ h(0) = c0 , ³å³ c0 = 0: Ð»ï¨³μ³ñª ¢ ¡ h(x) = c1 x + ¢ ¢ ¢ + cm xm = x c1 + c2 x + ¢ ¢ ¢ + cm xm¡1 = x ¢ h1 (x); ºÃ» ® 6= 0, ³å³

h(®) = ® ¢ h1 (®) = 0 ¡! h1 (®) = 0; ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® 6= 0 Çñ³Ï³Ý ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ h1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï: àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 16.1-Ç, Ý³¨ h1 (0) = 0 ¨ í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª c1 = c2 = ¢ ¢ ¢ = cm = 0: ¤ Â»áñ»Ù 16.1: ºÃ» f = g, ³ÛëÇÝùÝª f (®) = g(®) ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù h(x) = f (x) ¡ g(x) μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: ø³ÝÇ áñ h(®) = f (®) ¡ g(®) = 0 ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 16.2-Ç, h μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ μáÉáñ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ: ¤ ²Ûë Ùáï»óáõÙÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ Ý³¨ ÏáÙåÉ»ùë ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ê³Ï³ÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ýßí³Í ¹åñáó³Ï³Ý Ùáï»óáõÙÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÁÝ¹áõÝ»ÉÇ Ñ³Ù³ñí»É, ûñÇÝ³Ï, í»ñç³íáñ ¹³ßïÇó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Z2 (+; ¢) ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ, »Ã» f (x) = x2

¨ g(x) = x;

³å³ f(®) = g(®) ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 Z2 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, μÝ³Ï³Ý ¿ ³Ûë »ñÏáõ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñ»É ï³ñμ»ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ: ÜÙ³Ý³ïÇå μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áõÝ»Ý ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ: úñÇÝ³Ï, Zp (+; ¢) ¡ ¢ í»ñç³íáñ ¹³ßïáõÙ f = xp ¡ x = x xp¡1 ¡ 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ ¹³ßïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ (μËáõÙ ¿ ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇó): ²ÛëåÇëáí, ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ ¿ ³é³ç³ÝáõÙ í»ñ³Ý³Û»É μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¹åñáó³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ ³ÛÝå»ë, áñ ³ÛÝ, ÙÇ ÏáÕÙÇó, ÁÝ¹áõÝ»ÉÇ Ñ³Ù³ñíÇ ó³ÝÏ³ó³Í ¹³ßïÇó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ÇëÏ, ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, ëï³óíáÕ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÝ ÁÝ¹·ñÏ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¹åñáó³Ï³Ý ·Çï»ÉÇùÝ»ñÝ áõ å³ïÏ»ñ³óáõÙÝ»ñÁ: ²Ûë Ýå³ï³ÏÝ»ñÝ Çñ³·áñÍ»ÉÇ »Ý ¹³éÝáõÙ, »ñμ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ Ý»ñÙáõÍíáõÙ ¿ áñå»ë Çñ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

16.2. ´³½Ù³Ý¹³ÙÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ: ¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ»ï: ØÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÁ ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, áñÁ Ñ³Ù³éáï ÏÝß³Ý³Ï»Ýù Ý³¨ K-áí: K-Ç ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÁ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù 0-áí, ÇëÏ ÙÇ³íáñÁª e-áí Ï³Ù 1-áí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, K-Ý Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ¹³ßï: ® = (a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; ai ; : : :) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áñáßí³Í K-Ç íñ³ Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª K-Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, »Ã» ai 2 K μáÉáñ i = 0; 1; 2; : : : ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ai 2 K ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ®-Ç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ: ¶ñí³Í ® Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ýß»É Ý³¨ ® = (ai ) Ñ³Ù³éáï ï»ëùáí: ø³ÝÇ áñ K-Ç íñ³ áñáßí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É Ý³¨ áñå»ë ® : N ! K ï»ëùÇ ýáõÝÏóÇ³ (³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ), áñï»Õ ®(0) = a0 , ®(1) = a1 , ®(2) = a2 , : : :, ³ÛëÇÝùÝª ®(i) = ai μáÉáñ i > 0 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ »ñÏáõ K-Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ëÏ³Ý³É áñå»ë Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: ²ÛÉ Ï»ñå, ® = (ai ) ¨ ¯ = (bi ) »ñÏáõ K-Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ ® = ¯, »Ã» ai = bi μáÉáñ i > 0 ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ® ¨ ¯ K-Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ ® 6= ¯: ØÇ¨ÝáõÛÝ ÝßÇãáí

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

ai ¨ bi ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ® ¨ ¯ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ: K ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ íñ³ áñáßí³Í ® = (a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; ai ; : : :) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½Ù³Ý¹³Ùª áñáßí³Í K-Ç íñ³ Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª K-μ³½Ù³Ý¹³Ù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ai = 0 μáÉáñ i > m ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ® = (a0 ; a1 ; : : : ; am¡1 ; 0; 0; : : :) : ²ÛëåÇëáí, μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ: (0; 0; : : : ; 0; : : :) ï»ëùÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³Ù ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: ºÃ» ® = (a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; ai ; : : :) μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ an 6= 0, áñ ai = 0 μáÉáñ i > n ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ an -Á ÏáãíáõÙ ¿ ® μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³· ·áñÍ³ÏÇó Ï³Ù ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇó, ÇëÏ nÁª ®-Ç ³ëïÇ×³Ý ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª n = deg(®): ¼ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÇÝ ³ëïÇ×³Ý ãÇ í»ñ³·ñíáõÙ: ²ÛëåÇëáí, deg(®) = maxfk j ak 6= 0g: ºñÏáõ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ) ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ºÃ» ® = (a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; ai ; : : :) ¨ ¯ = (b0 ; b1 ; b2 ; : : : ; bi ; : : :) ; ³å³ ® + ¯ = (a0 + b0 ; a1 + b1 ; a2 + b2 ; : : : ; ai + bi ; : : :) ¨ ® ¢ ¯ = (c0 ; c1 ; c2 ; : : : ; ck ; : : :) ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ c0 = a0 b0 ; c1 = a0 b1 + a1 b0 ; c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ; ::: ::: ::: P ai bj ; ck = a0 bk + a1 bk¡1 + a2 bk¡2 + ¢ ¢ ¢ + ak b0 = i+j=k

::: ::: :::

³ÛëÇÝùÝª ® ¢ ¯ = (a0 b0 ; a0 b1 + a1 b0 ; a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ; : : :): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏáõ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý: ²í»ÉÇ ×Çßï, »Ã» ai = 0 μáÉáñ i > m ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ bi = 0 μáÉáñ i > n ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ ai + bi = 0 μáÉáñ i > maxfm; ng ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ci = 0 μáÉáñ i > m + n ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: È»ÙÙ 16.3: ºÃ» K -Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® ¨ ¯ K -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª 1) deg(® + ¯) 6 maxfdeg(®); deg(¯)g (»Ã» Ó³Ë Ù³ëÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ); 2) deg(® ¢ ¯) = deg(®) + deg(¯); 3) ´áÉáñ K -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ ª K -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ K -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³Ï:

²å³óáõóáõÙ: 1) Æñáù, »Ã» ® ¨ ¯ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý n-Ç ¨ Ýñ³Ýó ³í³· ³Ù¹³ÙÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý an = ¡bn ³éÝãáõÃÛ³Ùμ, ³å³ª deg(® + ¯) < n = maxfdeg(®); deg(¯)g Ï³Ù ® + ¯ = 0: ØÝ³ó³Í ¹»åù»ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ deg(® + ¯) = maxfdeg(®); deg(¯)g Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: 2) ºÃ» deg(®) = m ¨ deg(¯) = n, ³å³ deg(®¢¯) = m+n, áñáíÑ»ï¨ cm+n = am ¢ bn 6= 0, ÇëÏ ci = 0 μáÉáñ i > m + n ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 3) ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ (1; 0; 0; : : : ; 0; : : :) μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÁ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 1-áí: ¡® = (¡a0 ; ¡a1 ; ¡a2 ; : : : ; ¡ai ; : : :) μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® = (a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; ai ; : : :) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ï³¹Çñ μ³½Ù³Ý¹³Ù, ÇëÏ

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

® ¡ ¯ = ® + (¡¯) μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ® ¨ ¯ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ: ÆÝãå»ë ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏáõÙ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª ®n = |® ¢ ®{z¢ ¢ ¢ ®}; ®0 = 1 : n

àñå»ë½Ç Ñ³Ý·»Ýù μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ëáíáñ³Ï³Ý Ï³ï³ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁª

·ñ»É³Ó¨ÇÝ,

x = (0; 1; 0; 0; : : :); r = (r; 0; 0; : : : ) ;

r2K :

ì»ñçÇÝ Ýß³Ý³ÏáõÙÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ K ûÕ³ÏÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª (r1 ; 0; 0; : : : ) + (r2 ; 0; 0; : : : ) = (r1 + r2 ; 0; 0; : : : ) ; (r1 ; 0; 0; : : : ) ¢ (r2 ; 0; 0; : : : ) = (r1 ¢ r2 ; 0; 0; : : : ) :

È»ÙÙ 16.4: 1) ò³ÝÏ³ó³Í ® = (a0 ; a1 ; a2 ; : : :) K -μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñª x® = (0; a0 ; a1 ; a2 ; : : :); r® = (ra0 ; ra1 ; ra2 ; : : :);

2) ºÃ» n > 1, ³å³ xn = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : :); | {z } n

3) ò³ÝÏ³ó³Í ® = (a0 ; a1 ; : : : ; an ; 0; 0; : : :) K -μ³½Ù³Ý¹³Ù Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáíª ® = a0 + a1 x + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn ;

áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³Ý¹³Ï³Ý (ëáíáñ³Ï³Ý) ·ñ»É³Ó¨ ¨ n P P ®i xi Ï³Ù ³í»ÉÇ ×ß·ñÇïª ® = ®i xi Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ® = i=0

i>0

ï»ëùáí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» ¯ = b0 + b1 x + b2 x2 + ¢ ¢ ¢ + bm xm , ³å³ ®+¯ =

t X (ai + bi )xi ; i=0

t = maxfm; ng;

x0 = 1;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

®¢¯ = a0 b0 +(a0 b1 +a1 b0 )x+¢ ¢ ¢+(an¡1 bm +an bm¡1 )xm+n¡1 +an bm xm+n = Ã i ! m+n X X = ak bi¡k xi : i=0

k=0

²å³óáõóáõÙ: 1) ¨ 2) åÝ¹áõÙÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: 3) ® = (a0 ; a1 ; : : : ; an ; 0; 0; : : :) = (a0 ; 0; 0; : : :) + (0; a1 ; 0; 0; : : :)+ ¢ ¢ ¢ + (0; : : : ; 0; an ; 0; : : :) = a0 (1; 0; 0; : : :) + a1 (0; 1; 0; 0; : : :)+ ¢ ¢ ¢ + an (0; : : : ; 0; 1; 0; : : :) = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn : ¤

3) Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí ® μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³×³Ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ ®(x)-áí, ÇëÏ x-Á ÏáãíáõÙ ¿ §÷á÷áË³Ï³Ý¦ Ï³Ù §³ÝÑ³Ûï¦: a0 ·áñÍ³ÏÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ®(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³Ù, ai xi ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ýñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñ, ÇëÏ an xn -Áª ³í³· ³Ý¹³Ù, »Ã» an 6= 0: àã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÝÇï³ñ (unit = ÙÇ³íáñ), »Ã» Ýñ³ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç, áñï»Õ 1-Á ¹Çï³ñÏíáÕ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ®(x) = a0 ï»ëùÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝ, áñÁ ÏÉÇÝÇ ½ñá ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù, »Ã» a0 6= 0: 1 (³é³çÇÝ) ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ï³Ù »ñμ»ÙÝ »ñÏ³Ý¹³Ù, 2 (»ñÏñáñ¹) ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁª ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ï³Ù »ñμ»ÙÝ »é³Ý¹³Ù, ÇëÏ 3 (»ññáñ¹) ³ëïÇ×ëÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁª Ëáñ³Ý³ñ¹ μ³½Ù³Ý¹³Ù: f = ai xi ï»ëùÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³Ý¹³Ù, áñÁ i = 0 ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñ ¿ a0 -ÇÝ, áñáíÑ»ï¨, ÇÝãå»ë Ýß»óÇÝù, ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ª x0 = 1: K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ K[x]-áí: ²ÛëåÇëáí K[x] μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ª μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: K[x] ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ K-Çó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ¨ Ù»Ï ÷á÷áË³Ï³ÝÇó Ï³Ëí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³Ï: ºÃ» Q = K[x], ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É Q[y] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ, áñï»Õ y-Á ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Q-Ç íñ³ ³ÛÝå»ë ÇÝãå»ë x-Áª K-Ç íñ³: Q[y] ûÕ³ÏÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ K[x; y]-áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ K-Çó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ¨ x áõ y ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³Ï: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ n ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁª K [x1 ; x2 ; : : : ; xn ] = (K [x1 ; : : : ; xn¡1 ]) [xn ] : ²ÛëåÇëáí, »Ã» K-Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ³å³ K [x1 ; x2 ; : : : ; xn ] ûÕ³ÏÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ: K [x1 ; x2 ; : : : ; xn ] μ³½ÙáõÃÛ³Ý (ûÕ³ÏÇ) ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý x1 ; x2 ; : : : ; xn ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ: úñÇÝ³Ï, f (x; y) = y 3 + ax2 + by 2 + cxy + dx + sy + t = = (t + dx + ax2 ) + (s + cx)y + by2 + y 3 2 Q[y];

áñï»Õ Q = K[x], a; b; c; d; s; t 2 K:

Â»áñ»Ù 16.2 (μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É): ºÃ» K -Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ , f; g 2 K[x], g 6= 0 ¨ gÇ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ K -áõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q; r 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f = gq + r;

áñï»Õ Ï³Ù r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g): (²Ûëï»Õ q-Ý ¨ r-Á ÏáãíáõÙ »Ý f -Á g-Ç íñ³ μ³Å³Ý»Éáõó ëï³óíáÕ áã ÉñÇí ù³Ýáñ¹ ¨ ÙÝ³óáñ¹:) ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù q ¨ r μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, f = gq1 + r1 ¨ f = gq2 + r2 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ g(q1 ¡ q2 ) = r2 ¡ r1 ¨, »Ã» q1 ¡ q2 6= 0, ³å³ ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ãÇ ÉÇÝÇ deg(g)-Çó, ÇëÏ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÇ ³ëïÇ×³ÝÁ Ï³Ù ËÇëï ÷áùñ ¿ deg(g)-Çó Ï³Ùª r2 ¡ r1 = 0: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ q1 ¡q2 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª q1 = q2 , áñï»ÕÇó ¿É Ñ»ï¨áõÙ ¿ r2 ¡ r1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª r1 = r2 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÝóÝ»Ýù q ¨ r μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÇÝ: ºÃ» deg(f ) < deg(g) Ï³Ù f = 0, ³å³ q = 0 ¨ r = f, áñáíÑ»ï¨ f =g¢0+f : ÆëÏ »Ã» f 6= 0 ¨ deg(f ) > deg(g), ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï f 6= 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ n = deg(f ) ³ëïÇ×³ÝÇ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý Ñ»ÝùÁ n = 0 ÃÇíÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ deg(f ) = 0 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù deg(g) = 0, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» f = a 6= 0, ³å³ g = b 6= 0, áñï»Õ a; b 2 K, ¨ f = g(b¡1 a) + 0 : Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ‘ q = b¡1 a ¨ r = 0: ºÝÃ³¹ñ»Ýù n-Çó ÷áùñ ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ f 6= 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ¸Çóáõù f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn ;

an 6= 0;

g = b0 + b1 x + ¢ ¢ ¢ + bm xm ;

bm 6= 0;

¨ áñï»Õ n > m: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ï³Ù

n¡m f ¡ an b¡1 g = f1 m x

μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ¿ n-Çó, Ï³Ù f1 = 0: ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ q1 ¨ r K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f1 = gq1 + r, áñï»Õ Ï³Ù r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g): Ð»ï¨³μ³ñ, n¡m n¡m f = an b¡1 g + f1 = an b¡1 g + gq1 + r = m x m x ¢ ¡ n¡m + q1 + r = gq + r; = g an b¡1 m x

n¡m áñï»Õ q = an b¡1 + q1 : ¤ m x êï³óí³Í Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝÃ³óùÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ §³ÝÏÛáõÝáí¦ μ³Å³ÝÙ³Ý ÁÝÃ³óùÇ Ñ»ï: úñÇÝ³Ï,

5x4 + 3x3 + x2 + 11x + 6 = (x2 + x + 1)(5x2 ¡ 2x ¡ 2) + 15x + 8 ; áñáíÑ»ï¨ª

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

5x4 + 3x3 + x2 + 11x + 6

x2 + x + 1

5x4 + 5x3 + 5x2

5x2 ¡ 2x ¡ 2

¡2x3 ¡ 4x2 + 11x ¡2x3 ¡ 2x2 ¡ 2x ¡

¡2x2 + 13x + 6 ¡2x2 ¡ 2x ¡ 2 15x + 8

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.1: ºÃ» K -Ý ¹³ßï ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í f; g 2 K[x], g 6= 0, μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q; r 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f = gq + r;

áñï»Õ Ï³Ù r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g):

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.2: 1) ºÃ» K 6 K 0 , ³ÛëÇÝùÝª K 0 ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ K ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ, ³å³ K[x] 6 K 0 [x]: 2) ºÃ» f; g 2 K[x], g 6= 0, ¨ f = gq + r;

áñï»Õ q; r 2 K[x];

f = gq0 + r0 ; áñï»Õ q 0 ; r0 2 K 0 [x];

r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g);

r0 = 0 Ï³Ù deg(r0 ) < deg(g);

³å³ q = q 0 ¨ r = r0 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» f = gq + r;

áñï»Õ q; r 2 K[x]; f = gq 0 ;

³å³ q0 2 K[x]:

r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g);

q 0 2 K 0 [x];

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.3: ºÃ» K -Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í c 2 K Ñ³ëï³ïáõÝÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³Ù ¨ r 2 K Ñ³ëï³ïáõÝ, áñ f = (x ¡ c)q + r :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn , ³å³ Ñ³Ù»Ù³ï»Éáí f = (x ¡ c)q + r Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù q = b0 + b1 x + ¢ ¢ ¢ + bn¡1 xn¡1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ¨ r Ñ³ëï³ïáõÝÁ. an = bn¡1 an¡1 = bn¡2 ¡ cbn¡1 an¡2 = bn¡3 ¡ cbn¡2 ::: ::: a1 = b0 ¡ cb1 a0 = r ¡ cb0

! ! ! ! !

bn¡1 = an ; bn¡2 = an¡1 + cbn¡1 ; bn¡3 = an¡2 + cbn¡2 ; ::: ::: b0 = a1 + cb1 ; r = a0 + cb0 :

¶áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ áñáßÙ³Ý ³Ûë »Õ³Ý³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÐáñÝ»ñÇ μ³Ý³Ó¨»ñ Ï³Ù ÐáñÝ»ñÇ ëË»Ù³: ºÃ» K-Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, c 2 K ¨ f 2 K[x], áñï»Õ f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn ; ³å³ f (c) = a0 + a1 c + ¢ ¢ ¢ + an cn 2 K ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ù c 2 K Ï»ïáõÙ: c 2 K ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ f 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï, »Ã» f (c) = 0: f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ f = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï Ï³Ù ÉáõÍáõÙ, ÇëÏ f = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ, »Ã» f -Á n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» f = f1 + f2 ¨ g = f1 ¢ f2 ; ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í c 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª f (c) = f1 (c) + f2 (c) ¨ g(c) = f1 (c) ¢ f2 (c) :

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ »Ã» f1 = f2 , ³å³ f1 (c) = f2 (c) ó³ÝÏ³ó³Í c 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ñ³Ï³é³Ï Ñ³ñóÁ, áñÁ å³ñ½³μ³ÝíáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 16.5-áõÙ ¨ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 16.4-áõÙ: ºÃ» ®; ¯ 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ° 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ ® = ¯ ¢ °, ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ ® μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¯ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ´»½áõÇ Ã»áñ»Ù ¨ Ñ³×³Ë ÏÇñ³éíáõÙ ¿: Â»áñ»Ù 16.3 (´»½áõ): àñå»ë½Ç áã ½ñáÛ³Ï³Ý ® 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³Å³ÝíÇ x ¡ c »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ c-Ý ÉÇÝÇ ®-Ç ³ñÙ³ï, áñï»Õ c 2 K :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» ® = (x ¡ c) ¢ °, ³å³ ®(c) = (c ¡ c) ¢ °(c) = 0: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ®(c) = 0, ³å³ ® = (x ¡ c)q + r Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª r = ®(c) = 0, ³ÛëÇÝùÝª ® = (x ¡ c) ¢ q: ¤ Â»áñ»Ù 16.4: ºÃ» K -Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ , ³å³ nñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý f 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á:

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n = deg(f ) > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý Ñ»ÝùÁ n = 0 ÃÇíÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ f = a0 6= 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãáõÝÇ ³ñÙ³ï: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» n-Çó ÷áùñ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ã»áñ»ÙÇ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ¸Çóáõù deg(f ) = n > 1: ºÃ» f -Á ãáõÝÇ áñ¨¿ ³ñÙ³ï, ³å³ Ã»áñ»ÙÇ åÝ¹áõÙÁ Ýñ³ Ñ³Ù³ñ ÏÉÇÝÇ ×Çßï: ¸Çóáõù f μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ áñ¨¿ c1 2 K ³ñÙ³ï: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª f = (x ¡ c1 )q ; áñï»Õ q = b0 + b1 x + ¢ ¢ ¢ + bn¡1 xn¡1 2 K[x]: ºÃ» c2 2 K ï³ññÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÁ ¨ c2 6= c1 , ³å³ (c2 ¡ c1 )q(c2 ) = f (c2 ) = 0 ¡! q(c2 ) = 0 ; ³ÛëÇÝùÝª c1 -Çó ï³ñμ»ñ f -Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÙ³ï Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³ñÙ³ï Ý³¨ q μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: ê³Ï³ÛÝ Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý q-Ç ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

·»ñ³½³ÝóáõÙ n¡1-Á: Ð»ï¨³μ³ñ, f -Ç ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóÇ n-Á: ¤ úñÇÝ³Ï, Z8 (+; ¢) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ã¿, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ 2 ³ëïÇ×³ÝÇ f = (¡1) + x2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³Û¹ ûÕ³ÏáõÙ ÏáõÝ»Ý³ñ ³Ù»Ý³ß³ïÁ 2 ³ñÙ³ï: ê³Ï³ÛÝ Z8 ûÕ³ÏáõÙ f = (¡1) + x2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ãáñë ³ñÙ³ïª [1], [3], [5], [7] (ÇëÏ g = x3 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁª [0], [2], [4], [6] ³ñÙ³ïÝ»ñÁ): Â»áñ»Ù 16.5 (´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ºÃ» K ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ãíáí ï³ññ»ñ ¨ f1 ; f2 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ó³ÝÏ³ó³Í c 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ f1 = f2 , ³ÛëÇÝùÝª f1 , f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» F = f1 ¡ f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¿ ¨ n = deg(F ) > 0, ³å³ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ c1 ; c2 ; : : : ; cn+1 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª F (c1 ) = f1 (c1 ) ¡ f2 (c1 ) = 0; F (c2 ) = f1 (c2 ) ¡ f2 (c2 ) = 0; ::: ::: F (cn+1 ) = f1 (cn+1 ) ¡ f2 (cn+1 ) = 0; ³ÛëÇÝùÝª n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý F 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáõÝ»Ý³ n-Çó ß³ï ³ñÙ³ïÝ»ñ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, F = f1 ¡ f2 = 0 ¨ f1 = f2 : ¤

ê³Ï³ÛÝ í»ñç³íáñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÇ (¹³ßï»ñÇ) Ñ³Ù³ñ ³å³óáõóí³Í Ñ³Ûï³ÝÇßÁ ×Çßï ã¿: úñÇÝ³Ï, Z2 (+; ¢) ¹³ßïáõÙ f1 = x ¨ f2 = x2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ f1 (c) = f2 (c) ó³ÝÏ³ó³Í c 2 Z2 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ãÝ³Û³Íª f1 6= f2 : ØÇÝã¹»é ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.4: ºÃ» K -Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ , áã ½ñáÛ³Ï³Ý f1 ; f2 2 K[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ 6 n ¨ f1 , f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ³ñÅ»ùÝ»ñª K ûÕ³ÏÇ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ n + 1 Ï»ï»ñáõÙ, ³å³ f1 = f2 : ¤

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ ³í»ÉÇ Ñ»ßï ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÏáÙåÉ»ùë ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ, áñÝ ³å³óáõóí»É ¿ ¶³áõëÇ ÏáÕÙÇóª 22 ï³ñ»Ï³Ý Ñ³ë³ÏáõÙ: Ü»ñÏ³ÛáõÙë Ñ³ÛïÝÇ ¿ ³Ûë ¹³ë³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ ³í»ÉÇ ù³Ý 100 ³å³óáõóáõÙÝ»ñ: Â»áñ»Ù 16.6 (¶³áõë, 1799): Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ÏáÙåÉ»ùë ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ó³ÝÏ³ó³Í μ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ï (³ÛëÇÝùÝª ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ³ñÙ³ï): ¤ ú·ïí»Éáí ³Ûë ¨ ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÇó, ÏáÙåÉ»ùë ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ¨ deg(f ) > 2 ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í f μ³½Ù³Ý¹³Ù Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí: ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: Ø»Ýù K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·³Õ³÷³ñÁ ë³ÑÙ³Ý»óÇÝù ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ K-Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÕ³Ï ¿, áñÁ ãáõÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ: ºÃ» K(+; ¢)-Á áã Ã» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ³ÛÉ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, ³å³ ×Çßï ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·³Õ³÷³ñÁ, Ýñ³ ³ëïÇ×³ÝÁ, ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¨ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ áõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ëï³óíáÕ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ. 1. ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ K-Ý ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí; 2. ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ³ÛÝ ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿;

ÙÇ³ÛÝ

³ÛÝ

¹»åùáõÙ,

»ñμ

K-Ý

3. ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ K-Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿; 4. ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ K-Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿: ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ¹»åùáõÙ ¨ë ëï³óíáõÙ ¿ K-μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ëáíáñ³Ï³Ý (³í³Ý¹³Ï³Ý) ·ñ»É³Ó¨Á,

»Ã» Ýß³Ý³Ï»Ýùª

a = (a; 0; 0; : : :); a 2 K;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

xn = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : :); | {z }

n>1:

àñÇó Ñ»ïá ¹Åí³ñ ã¿ Ý³¨ ÝÏ³ï»É, áñ

xi ¢ xj = xi+j ;

¢ ¡ i j¢ k ¡ x ¢ x ¢ x = xi+j+k = xi ¢ xj ¢ xk ; xn = x | ¢ x{z¢ ¢ ¢ x}; n

a ¢ x = xi ¢ a;

áñï»Õ x = x1 , a 2 K: ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ (¹³ßïÇ) íñ³ áñáßí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý í»ñáÑÇßÛ³É ³É·áñÇÃÙÁ (Ã»áñ»Ù 16.2), ³Ûë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, í»ñ ¿ ³ÍíáõÙ §Ó³ËÇó¦ ¨ §³çÇó¦ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ³) ¨ μ) ³É·áñÇÃÙÝ»ñÇÝ: Â»áñ»Ù 16.7: ºÃ» K(+; ¢)-Á áã ½ñáÛ³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ , f -Á ¨ g-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý K -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, áñï»Õ g 6= 0 ¨ g-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ K -áõÙ, ³å³ ³) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q ¨ r K μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f = gq + r;

áñï»Õ Ï³Ù r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g); μ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ q0 ¨ r0 K μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f = q 0 g + r0 ; áñï»Õ Ï³Ù r0 = 0 Ï³Ù deg(r0 ) < deg(g):

ºÃ» ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý K ûÕ³ÏÁ ÉÇÝÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ³å³ Ýßí³Í ³) ¨ μ) ³É·áñÇÃÙÝ»ñÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝ»Ý:

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

16.3. ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¸Çóáõù P -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï ¿ª 1 ÙÇ³íáñáí, P [x]-Á P ¹³ßïÇó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ f; g 2 P [x]: Î³ë»Ýù, áñ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ h 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ f = g ¢ h: ²Ûë ¹»åùáõÙ g-Ý ÏáãíáõÙ ¿ f -Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ, ÇëÏ f -Á μ³Å³Ý»ÉÇ ± Ï³Ù g-Ç ² f g Ï³Ù g f μ³½Ù³å³ïÇÏ (Ï³Ù å³ïÇÏ) ¨ ³Û¹ ÷³ëïÁ ·ñ³éíáõÙ ¿ ± ² Ó¨áí: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ·ñíáõÙ ¿ f ¡g Ï³Ù g¡ f ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ f -Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ g-Ç íñ³: ºÃ» g 6= 0, ³å³ h-Á áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý f ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ù³Ýáñ¹ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ó¨áí: Æñáù, g f = g ¢ h1 = g ¢ h2 ¡! g(h1 ¡ h2 ) = 0 ¡! h1 ¡ h2 = 0 ¡! h1 = h2 : f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ 1-Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ h 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ f ¢ h = 1: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, áñáíÑ»ï¨ c ¢ c¡1 = 1, áñï»Õ c 2 P , c 6= 0:

È»ÙÙ 16.5: 1) ¼ñáÝ μ³Å³ÝíáõÙ ± ± ¿ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³; 2) ºÃ» f g, ³å³ f¢h g¢h ó³ÝÏ³ó³Í h 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ; ± ± ± 3) ºÃ» f1± g ¨ f2 g, ³å³ f1 §f2 g ; 4) ºÃ» f ±g ¨ f ±6= 0, ³å³ g± 6= 0 ¨ deg(f) > deg(g); 5) ºÃ» f ±g ¨ g h, ³å³ f h; ± 6) ºÃ» f g ¨ c 2 P , c 6= 0, ³å³ f c¢g; 7) ºÃ» f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ f = c 6= 0, áñï»Õ c 2 P ; ± ± 8) ºÃ» f g ¨ g f , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c 2 P , c 6= 0 ï³ññ, áñ f = c ¢ g:

²å³óáõóáõÙ: 7) ºÃ» f ¢ h = 1, ³å³ f 6= 0 ¨ h 6= 0: ¸Çóáõù deg f 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñª 0 = deg(1) = deg(f ¢ h) = deg(f) + deg(h) > deg(f ) > 0 :

êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ deg(f) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª f = c 6= 0, áñï»Õ c 2 P :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

8) ºÃ» f = g ¢ h1 ¨ g = f ¢ h2 , ³å³ f = f h2 h1 ¨ f (1 ¡ h2 h1 ) = 0: ºÃ» f = 0, ³å³ g = f ¢ h2 = 0 ¨ f = c ¢ g, áñáíÑ»ï¨ 0 = c ¢ 0 ó³ÝÏ³ó³Í c 6= 0 ¨ c 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» 1 ¡ h2 h1 = 0, ³å³ h2 h1 = 1 ¨ h1 -Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ 7) Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª h1 = c 6= 0: àõëïÇ, f = g ¢ h1 = g ¢ c : ØÝ³ó³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ¤ d 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ f 2 P [x] ¨ g 2 »Ã» d-Ý f -Ç ¨ gP [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ± ± μ³Å³Ý³ñ³ñ, Ç μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª f d ¨ g d: f -Ç ¨ g-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ Ù»ç ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í d áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³Ù ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ï³Ù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ù»Ý³Ù»Í μ³Å³Ý³ñ³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ d (f; g) Ó¨áí: ºÃ» f = 0 ¨ g = 0, ³å³, ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý, f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãáõÝ»Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í ¹»åù»ñáõÙª áõÝ»Ý (μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ 4) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó): È»ÙÙ 16.6: 9) ºÃ» d1 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ f 2 P [x] ¨ g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ ¨ c 2 P , c 6= 0, ³å³ d2 = c ¢ d1 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³Û¹ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: 10) ºÃ» f = gq + r, ³å³ f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ, ÇÝã áñª g ¨ r μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ, ÇÝã áñª g ¨ r μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: ¤ ²ÛëåÇëáí ïñí³Í f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ³ÏÁ ã¿: Â»áñ»Ù 16.8: f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ d ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ·Í³ÛÇÝ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª d = f u + gv;

áñï»Õ u; v 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý f , g ½áõÛ·Ç ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ:

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù P -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª hf; gi = ff f1 + gg1 j f1 ; g1 2 P [x]g ; áñï»Õ f1 ¨ g1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ³ÝÏ³Ë ÷á÷áËíáõÙ »Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ P [x] μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, f; g 2 hf; gi: d0 -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù hf; gi μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, áñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ d0 -Ý ïñí³Í f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ¨ g Ñ³Ù³ñ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: Æñáù, d±0 -Ý f ± μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª f d0 ¨ g d0 : úñÇÝ³Ï, »Ã» f = d0 q + r; áñï»Õ r 6= 0, ³å³ deg(r) < deg(d0 ) ¨ r = f ¡ d0 q 2 hf; gi, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ d0 -Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, r = 0 ¨ ±f = d0 q, ³ÛëÇÝùÝª ± f d : ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ g d ³éÝãáõÃÛáõÝÁ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ d0 -Ý áõÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³ÝÁª f -Ç ¨ g-Ç μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ Ù»ç: ø³ÝÇ áñ d0 2 hf; gi, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ f 0 ; g 0 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ d0 = f f 0 + gg0 : ºÃ» ± 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ f f 0 + gg 0 = d0 áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ deg(d0 ) > deg(±) (É»ÙÙ 16.5, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 4)): ¸Çóáõù d-Ý f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ d0 = ff 0 + gg0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ïμ³Å³ÝíÇ d-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª d0 = dq 0 , áñï»Õ q 0 2 P [x], ¨ ù³ÝÇ áñ deg(d0 ) = deg(d), ³å³ deg(q 0 ) = 0, ³ÛëÇÝùÝª q 0 = c 6= 0, áñï»Õ c 2 P : ²ÛëåÇëáíª ff 0 + gg0 = d0 = d ¢ c; áñï»ÕÇóª

¡ ¢ ¡ ¢ d = f f 0 c¡1 + g g0 c¡1 = fu + gv;

áñï»Õ u = f 0 c¡1 ¨ v = g0 c¡1 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.5: 1) f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ d ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ÏÉÇÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ d-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³Û¹ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³; 2) ºÃ» d-Ý ¨ d0 -Á ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ »Ý f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c 2 P , c 6= 0 ï³ññ, áñ d = c ¢ d0 ; 3) hf; gi μ P [x] μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ³ëïÇ×³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ; 4) hf; giμP [x] μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ P μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó, áñáÝù Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ¤ áñ¨¿ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñ: f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ½áõ·áñ¹í³Í ¨ ·ñíáõÙ ¿ f »g, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c 2 P , c 6= 0 ï³ññ, áñ f = c ¢ g: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ f; g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ã½áõ·áñ¹í³Í Ï³Ù áã ½áõ·áñ¹í³Í: úñÇÝ³Ï, »Ã» f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ g-Ç íñ³, ÇëÏ g-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ f -Ç íñ³, ³å³ f » g (μËáõÙ ¿ É»ÙÙ 16.5-Ç 8)-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó): ê³ÑÙ³Ýí³Í §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ P -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 16.7: P -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) f » f ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ; μ) f » g ¡! g » f ; ·) f » g; g » h ¡! f » h:

²å³óáõóáõÙ: ³) ´ËáõÙ ¿ f = 1 ¢ f Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: μ) ºÃ» f = c ¢ g, áñï»Õ c 2 P ¨ c 6= 0, ³å³ g = c¡1 ¢ f : ·) ºÃ» f = c1 ¢ g ¨ g = c2 ¢ h, áñï»Õ c1 ; c2 2 P ¨ c1 6= 0, c2 6= 0, ³å³ ¤ f = c1 c2 ¢ h, áñï»Õ c1 ¢ c2 2 P ¨ c1 ¢ c2 6= 0: ºÉÝ»Éáí P -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÇó, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ÛÅÙ ³ë»É, áñ f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ P -μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ½áõ·áñ¹Ù³Ý (Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý) ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, áñáíÑ»ï¨ ²) d (f; g), d0 » d ¡! d0 (f; g),

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

´) d (f; g), d0 (f; g) ¡! d0 » d: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏñÏÝ»Éáí »ñÏáõ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³ÙÝáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ Ñ³ÛïÝÇ ³É·áñÇÃÙÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù f; g 2 P [x] áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¨ ³Û¹ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ (áñáß»Éáõ) ³É·áñÇÃÙÝ»ñ: ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÁ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÉÝ»Éáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙÇó, Ïëï³Ý³Ýùª f = q 1 g + r1 ; g = q2 r1 + r2 ; r1 = q3 r2 + r3 ; ¢¢¢ ¢¢¢ rn¡3 = qn¡1 rn¡2 + rn¡1 ; rn¡2 = qn rn¡1 + rn ; rn¡1 = qn+1 rn + rn+1 ;

r1 = 6 0; r2 = 6 0; r3 = 6 0; rn¡1 6= 0; rn 6= 0; rn+1 = 0;

Ð»ï¨³μ³ñª rn (f; g): ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ deg(g) > deg(r1 ) > deg(r2 ) > deg(r3 ) > ¢ ¢ ¢ , ³å³ í»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá Ïëï³óíÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ÙÝ³óáñ¹ª rn+1 = 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ åÝ¹íáõÙ ¿, áñ rn (f; g): Æñáù, Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí Ý»ñù¨Çó í»ñ¨ ß³ñÅí»Éáí ÝÏ³ïáõÙ »Ýù, áñ rn -Á g-Ç ¨ f -Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ÇëÏª í»ñ¨Çó Ý»ñù¨ ß³ñÅí»Éáí ÝÏ³ïáõÙ »Ýù, áñ »Ã» h-Á f -Ç ¨ g-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ μ³Å³Ý³ñ³ñ Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í ri μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ, Ù³ëÝ³íáñ³å»ë Ý³¨ rn -Ç Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, rn -Á f , g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ Ù»ç áõÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª rn (f; g): ²ÛÝáõÑ»ï¨, rn = rn¡2 ¡ qn rn¡1 = = rn¡2 ¡ qn (rn¡3 ¡ qn¡1 rn¡2 ) = = (1 + qn¡1 ) rn¡2 ¡ qn rn¡3 = = (1 + qn¡1 ) (rn¡4 ¡ qn¡2 rn¡3 ) ¡ qn rn¡3 = = (1 + qn¡1 ) rn¡4 ¡ [(1 + qn¡1 ) qn¡2 + qn ] rn¡3 = ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ = f u + gv :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 16.9 (¾íÏÉÇ¹»ë): ºÃ» P -Ý ¹³ßï ¿ , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³É·áñÇÃÙÝ»ñ, áñáÝóáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ P μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¨ ¹ñ³Ýó ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ: ¤ ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÁ ï³ÉÇë ¿ Ù»Ï Éñ³óáõóÇã ¨ û·ï³Ï³ñ ³ñ¹ÛáõÝù ¨ë, áñÇ Ó¨³Ï»ñåÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý³Ë å³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³Ýí³ÝÙ³Ý Ù»ç: ºÃ» d; f; g 2 P [x] ¨ d (f; g), ³å³ d μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ f , g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.6: ¸Çóáõù P -Ý ¹³ßï ¿ , d; f; g 2 P [x] ¨ d (f; g): ºÃ» P 0 ¹³ßïÁ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÝ ¿ , ³å³ d-Ý ÏÉÇÝÇ f , g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ý³¨ P 0 ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ »ñÏáõ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ áñáßÙ³Ý ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇó: Æñáù, ·ñ»Éáí f , g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ P [x]-áõÙ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª f = q 1 g + r1 ; áñï»Õ q1 ; r1 2 P [x], ÇëÏ P 0 [x]-áõÙª f = q10 g + r10 ; áñï»Õ q10 ; r10 2 P 0 [x]: ê³Ï³ÛÝ f = q1 g + r1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ P 0 [x]-áõÙ, áñáíÑ»ï¨ P 6 P 0 , Ñ»ï¨³μ³ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ã»áñ»ÙÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª q10 = q1 ¨ r10 = r: ²ÛëåÇëáí, f , g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ·ñí³Í P [x]-áõÙ ¨ P 0 [x]áõÙ ëï³óíáõÙ »Ý ÝáõÛÝÁ: ¤ ¸Çóáõù n 2 N ¨ n > 2: d 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ f1 ; f2 ; : : : ; fn 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ, »Ã» ± ± d-Ý f f f1 ;±f2 ; : : : ; fn μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª 1 d, 2 d, : : : fn d: f1 ; f2 ; : : : ; fn μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ Ù»ç ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ d áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

¿ Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ d (f1 ; f2 ; : : : ; fn ) Ó¨áí: ºñÏáõ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í μáÉáñ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý n μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ íñ³: àñå»ë ûñÇÝ³Ï Ó¨³Ï»ñå»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 16.10: f1 ; f2 ; : : : ; fn 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ d ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ u1 ; u2 ; : : : ; un 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ d = f1 u1 + f2 u2 + ¢ ¢ ¢ + fn un ;

áñï»Õ u1 ; u2 ; : : : ; un μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ:

ÏáãíáõÙ

»Ý

f1 ; f2 ; : : : ; fn ¤

ì»ñç³íáñ Ãíáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ÇñÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿ »ñÏáõ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ¹»åùÇÝ, áñáíÑ»ï¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ n > 3 ¹»åùáõÙª d (f1 ; f2 ; : : : ; fn ) Ã! d ((f1 ; f2 ; : : : ; fn¡1 ); fn ) Ã! d (: : : ((f1 ; f2 ); f3 ) : : : ; fn ) :

16.4. öáË¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ Þ³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ýù ¹Çï³ñÏ»É μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñª áñáßí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý P ¹³ßïÇ íñ³, áñÇ ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ: ºñÏáõ f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¨ ·ñíáõÙ ¿ (f; g) = 1 Ï³Ù f ?g, »Ã» Ýñ³Ýó μáÉáñ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹åÇëÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ: ÆÑ³ñÏ», ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç μ³í³Ï³Ý ¿ å³Ñ³Ýç»É, áñ f, g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ áñ¨¿ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÇ (ûñÇÝ³Ï 1-Ç): Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ï·ñ»Ýùª (f; g) 6= 1:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.6-Çó μËáõÙ ¿, áñ f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ å³Ñå³ÝíáõÙ ¿ P

¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï:

Â»áñ»Ù 16.11 (μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç f; g ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ f 0 ; g0 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f f 0 + gg 0 = 1 :

²å³óáõóáõÙ: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» f f 0 + gg 0 = 1, ³å³ f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ P [x] ûÕ³ÏáõÙ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý c 2 P Ñ³ëï³ïáõÝÇ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» (f; g) = 1, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.8Ç, c = fu + gv; áñï»Õ c 2 P; c 6= 0 : Ð»ï¨³μ³ñ,

³ÛëÇÝùÝª

¢ ¡ ¢ ¡ cc¡1 = f uc¡1 + g vc¡1 ; 1 = f f 0 + gg0 ;

áñï»Õ f 0 = uc¡1 2 P [x], g 0 = vc¡1 2 P [x]:

f g Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.7 ºÃ» d (f; g), ³å³ ¨ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý d d ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½: ¤ Â»áñ»Ù 16.12: ºÃ» μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ f1 f2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ f3 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³ ¨ (f1 ; f3 ) = 1, ³å³ f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ f3 -Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ f10 ¨ f30 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f1 f10 + f3 f30 = 1: Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí f2 -áí Ïëï³Ý³Ýùª f1 f2 f10 + f3 f2 f30 = f2 ;

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

áñï»Õ »ñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ f3 -Ç íñ³, ÇëÏ ³é³çÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ f3 -Ç íñ³ª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, ¹ñ³Ýó f2 ·áõÙ³ñÁ ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ f3 -Ç íñ³: ¤ Â»áñ»Ù 16.13: ºÃ» f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ g1 ¨ g2 ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ³å³ f -Á Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó g1 ¢ g2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³:

²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇª f = g1 q1 ¨ f = g2 q2 : Ð»ï¨³μ³ñ, g1 q1 = g2 q2 , áñï»Õ (g1 ; g2 ) = 1: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇª q1 -Á Ïμ³Å³ÝíÇ g2 -Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª q1 = g2 q3 : àõëïÇ, f = g1 ¢ q1 = g1 (g2 q3 ) = (g1 g2 )q3 :

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.1: ºÃ» f1 ¨ f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý g μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ»ï, ³å³ ¹ñ³Ýó f1 ¢ f2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ g-Ç Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ f10 , f20 , g0 ¨ g 00 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f1 f10 + gg 0 = 1; f2 f20 + gg 00 = 1 : Ð»ï¨³μ³ñ, 1 = 1 ¢ 1 = (f1 f10 + gg0 ) (f2 f20 + gg00 ) =

= f1 f2 (f10 f20 ) + g (g 0 f2 f20 + g0 gg00 + f1 f10 g 00 ) : ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.2: ºÃ» f1 ; f2 ; : : : ; fn μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ»ï, ³å³ ¹ñ³Ýó f1 ¢ f2 ¢ ¢ ¢ fn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ g-Ç Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.3: ºÃ» f1 ; f2 ; : : : ; fn μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ g1 ; g2 ; : : : ; gm μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï, ³å³ f1 ¢f2 ¢ ¢ ¢ fn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ g1 ¢ g2 ¢ ¢ ¢ gm ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý f1 ¢ f2 ¢ ¢ ¢ fn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ g1 ; g2 ; : : : ; gm μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, ÝáõÛÝ å³ï×³éáí, f1 ¢ f2 ¢ ¢ ¢ fn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ g1 ¢ g2 ¢ ¢ ¢ gm ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.8 ºÃ» f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ f n ¨ gm μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ª ó³ÝÏ³ó³Í m; n > 1 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, »Ã» f1 = f2 = ¢ ¢ ¢ = ¤ fn = f ¨ g1 = g2 = ¢ ¢ ¢ = gn = g ¹»åùáõÙ:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.4: ºÃ» f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ g1 ; g2 ; : : : ; gm μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ³å³ f -Á Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó g1 ¢ g2 ¢ ¢ ¢ gm ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.5: ºÃ» f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýù ãáõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñÙ³ï ÇÝãå»ë P ¹³ßïáõÙ, ³ÛÝå»ë ¿ É P ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í P 0 ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý Ù»ç:

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛ³Ý ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ μËáõÙ ¿ ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇó: ´»ñ»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³å³óáõóáõÙÁ: ¸Çóáõù x0 2 P ï³ññÁ f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñÙ³ïÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª f(x0 ) = g(x0 ) = 0: ø³ÝÇ áñ (f; g) = 1, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ f 0 ; g0 2 P [x] μ³½³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f f 0 + gg 0 = 1 : Ð»ï¨³μ³ñ, f(x0 )f 0 (x0 ) + g(x0 )g0 (x0 ) = 1 ; ³ÛëÇÝùÝª 0 = 1: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ÜáõÛÝ ³å³óáõóáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏñÏÝ»É P ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í P 0

ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

¤ ì»ñç³íáñ Ãíáí f1 ; : : : ; fn 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ (n > 2) ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, »Ã» 1 (f1 ; : : : ; fn ): ºñÏáõ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý ³Ûë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùÇ íñ³:

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

16.5. âμ»ñíáÕ (å³ñ½) μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ âμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ å³ñ½ ÃíÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý ÝÙ³Ý³ÏÁ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ù»ç: Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ãμ»ñíáÕ Ï³Ù å³ñ½ P ¹³ßïáõÙ (Ï³Ù P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ), »Ã» f -Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ ³ÛÝåÇëÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³, áñÇ Ñ³Ù³ñ 0 < deg(g) < deg(f ): Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ»ñíáÕ P ¹³ßïáõÙ (Ï³Ù P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ): ²ÛëåÇëáí Ñ³ëï³ïáõÝÁ ãÇ Ñ³Ù³ñíáõÙ μ»ñíáÕ Ï³Ù ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) f = 1 + x2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ»ñíáÕ ¿ Z2 ¹³ßïáõÙ (áñáíÑ»ï¨ Z2 -áõÙª 1 + x2 = (1 + x)2 ), ë³Ï³ÛÝ ãμ»ñíáÕ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R ¹³ßïáõÙ (áñáíÑ»ï¨ ãáõÝÇ ³ñÙ³ï R-áõÙ): 2) f = x2 ¡ 2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Q ¹³ßïáõÙ (áñáíÑ»ï¨ ãáõÝÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï), ë³Ï³ÛÝ μ»ñíáÕ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ p p ¢ ¡ ¢¡ R ¹³ßïáõÙ, áñáíÑ»ï¨ x2 ¡ 2 = x ¡ 2 x + 2 : 3) 1-Çó Ù»Í ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ ¨ ÏáÙåÉ»ùë ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ó³ÝÏ³ó³Í f μ³½Ù³Ý¹³Ù μ»ñíáÕ ¿ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïáõÙ (μËáõÙ ¿ ¶³áõëÇ Ã»áñ»ÙÇó (Ã»áñ»Ù 16.6)): È»ÙÙ 16.8: 1) ºÃ» deg(f ) = 1, ³å³ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ P ¹³ßïáõÙ; 2) ºÃ» f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ (μ»ñíáÕ) ¿ P ¹³ßïáõÙ ¨ ¸ 2 P , ¸ 6= 0, ³å³ ¸f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ãμ»ñíáÕ (μ»ñíáÕ) P ¹³ßïáõÙ; 3) P ¹³ßïáõÙ ³ñÙ³ï áõÝ»óáÕ ¨ deg(f ) > 2 ³ëïÇ×³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù μ»ñíáÕ ¿ P -áõÙ (μËáõÙ ¿ ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇó); 4) Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ μ»ñíáÕ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí, áñáÝó ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ ËÇëï ÷áùñ »Ý deg(f)-Çó; 5) Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ ãμ»ñíáÕ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f = g ¢ h ¡! deg(g) = 0 Ï³Ù deg(h) = 0 ;

áñï»Õ g; h 2 P [x]:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.6: àñå»ë½Ç 2 Ï³Ù 3 ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÉÇÝÇ ãμ»ñíáÕ P ¹³ßïáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ãáõÝ»Ý³ ³ñÙ³ï P ¹³ßïáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ 2 Ï³Ù 3 ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ μ»ñíáÕ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ áñ¨¿ g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹åÇëÇ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ μ»ñíáÕ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f -Á áõÝÇ ³ñÙ³ï P ¹³ßïáõÙ (áñáíÑ»ï¨ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÙÇßï áõÝÇ c 2 P ³ñÙ³ï): ¤

úñÇÝ³Ï, x2 + x+1, x3 + x+1, x3 +x2 +1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ »Ý P = Z2 ¹³ßïáõÙ, áñáíÑ»ï¨ Ýñ³Ýù ãáõÝ»Ý ³ñÙ³ï Z2 -áõÙ: ê³Ï³ÛÝ ¢2 ¡ f = x2 + x + 1 = x4 + x2 + 1 ; ¢¡ ¢ ¡ g = x2 + x + 1 x3 + x + 1

μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÉÇÝ»Éáí μ»ñíáÕ P = Z2 ¹³ßïáõÙ, ãáõÝ»Ý ³ñÙ³ï Z2 ¹³ßïáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ³å³óáõóí³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ n > 4 ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: x2 +1, x2 +x¡1, x2 ¡x¡1, x2 ¡ x + 1, x3 + x2 ¡ x + 1, x3 ¡ x2 + 1, x3 + x2 + x ¡ 1, x3 ¡ x2 ¡ x ¡ 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ »Ý P = Z3 ¹³ßïáõÙ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³Ýù ãáõÝ»Ý ³ñÙ³ï Z3 -áõÙ: ú·ïí»Éáí ¶³áõëÇ Ã»áñ»ÙÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ μÝáõÃ³·ñ»É Ý³¨ μáÉáñ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁª Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R ¹³ßïáõÙ: Â»áñ»Ù 16.14: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μáÉáñ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, μáÉáñ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³ó³ë³Ï³Ý ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³Ýïáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ ÙÇ³ÛÝ ¹ñ³Ýù:

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ýßí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ »Ý RáõÙ: ²å³óáõó»Ýù, áñ R-áõÙ áõñÇß ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ ãÏ³Ý: ¸Çóáõù f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ n > 1 ³ëïÇ×³ÝÇ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ R-áõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ f -Á ãáõÝÇ ³ñÙ³ï R-áõÙ (É»ÙÙ 16.9), ë³Ï³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.6-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, f-Á ÏáõÝ»Ý³ ® = a + bi 2 C ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ï, áñï»Õ b 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ,

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

® ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ® 2 C Ñ³Ù³ÉáõÍÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³ñÙ³ï f-Ç Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ n f (®) = a0 + a1 ® + ¢ ¢ ¢ + an (®) = a0 + a1 ® + ¢ ¢ ¢ + an (®n ) =

= a0 + a1 ® + ¢ ¢ ¢ + an ®n = a0 + a1 ® + ¢ ¢ ¢ + an ®n = f (®) = 0 = 0 :

Àëï ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇ, f -Á Ïμ³Å³ÝíÇ x ¡ ® ¨ x ¡ ® μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ íñ³, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.13-Ç, f -Á C-áõÙ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó ' = (x ¡ ®) (x ¡ ®) = x2 ¡ (® + ®) x+ ®® ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, áñï»Õ ® + ® = 2a, ®® = a2 + b2 2 R, ³ÛëÇÝùÝª ' 2 R[x]: ø³ÝÇ áñ f = ' ¢ q, áñï»Õ q 2 C[x], ³å³ q 2 R[x] (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 16.2): ºÃ» ³ÛÅÙ n > 2, ³å³ f -Á ÏÉÇÝÇ μ»ñíáÕ R-áõÙ, ù³ÝÇ áñ deg(') = 2: Ð»ï¨³μ³ñ, n = 2 ¨ deg(q) = 0, ³ÛëÇÝùÝª q = c 2 R, c 6= 0, ¨ f = ' ¢ c = cx2 ¡ c (® + ®) x + c®® = cx2 ¡ 2cax + ca2 + cb2 : ØÝáõÙ ¿ Ñ³ßí»É f -Ç ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁª D(f) = ¡4c2 b2 < 0:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.9: Î»Ýï ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ó³ÝÏ³ó³Í μ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: ²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ n = 2k + 1 ³ëïÇ×³ÝÇ: ºÃ» n = 1, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» n-Çó ÷áùñ Ï»Ýï ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μáÉáñ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ ¨ deg(f ) = n = 2k + 1 > 3: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, f -Á ÏÉÇÝÇ μ»ñíáÕ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, f = f1 ¢ f2 , áñï»Õ deg(f1 ) < n, deg(f2 ) < n, ¨ f1 , f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ù»ÏÇ (¹Çóáõù f1 -Ç) ³ëïÇ×³ÝÁ ÏÉÇÝÇ Ï»Ýï: àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, f1 -Á ÏáõÝ»Ý³ x0 2 R Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, áñÁ ÏÉÇÝÇ ³ñÙ³ï Ý³¨ f -Ç Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ f (x0 ) = f1 (x0 ) ¢ f2 (x0 ) = 0 ¢ f2 (x0 ) = 0: ¤ ²Ûë ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μË»óÝ»É Ý³¨ Ñ³çáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó, ³ÛëÇÝùÝª Ã»áñ»Ù 16.15-Çó: Æñáù, deg(f ) > 3 Ï»Ýï ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, ³Û¹ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª f = f1 ¢ f2 ¢ ¢ ¢ fk ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ f1 ; f2 ; : : : ; fk ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, Ã»áñ»Ù 16.14-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, Ï³Ù ³é³çÇÝ Ï³Ù »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý: ê³Ï³ÛÝ, ù³ÝÇ áñ f-Ç ³ëïÇ×³ÝÁ Ï»Ýï ÃÇí ¿, ³å³ f1 ; f2 ; : : : ; fk μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ß³ñùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ·áÝ» Ù»Ï ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿É Ñ»Ýó ÏÉÇÝÇ ³ñÙ³ï Ý³¨ f -Ç Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ f (x0 ) = f1 (x0 ) ¢ f2 (x0 ) ¢ ¢ ¢ fk (x0 ): Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 16.9-Á μË»óíáõÙ ¿ ´áÉó³Ýá–ÎáßÇÇ ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÇ Ã»áñ»ÙÇó: Æñáù, »Ã» f 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ Ï»Ýï ÃÇí ¿ ¨ Ýñ³ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ lim f (x) = +1;

x!+1

lim f(x) = ¡1 :

x!¡1

Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ a < b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ f (a) < 0 < f(b) ¨, ´áÉó³Ýá–ÎáßÇÇ ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ c 2 (a; b) Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ f (c) = 0 (áñáíÑ»ï¨ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³ ¿): ²í»ÉÇ μ³ñ¹ ¿ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Q ¹³ßïáõÙ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛ³Ý ËÝ¹ÇñÁ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Q ¹³ßïáõÙ ãμ»ñíáÕ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù: úñÇÝ³Ï, ³Û¹åÇëÇÝ ¿ f = xn ¡ p

μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ (¾Û½»Ýßï»ÛÝ): ê³Ï³ÛÝ ÙÇÝã ³ÛÅÙ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Q ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÛïÝÇ ã¿: Þ³ï ³í»ÉÇ μ³ñ¹ ¿ í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñáõÙ μáÉáñ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μÝáõÃ³·ñÙ³Ý ËÝ¹ÇñÁ: ²Ûëï»Õ ¨ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ ¹³ßïáõÙ ãμ»ñíáÕ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù (Ã»áñ»Ù 19.5): ê³Ï³ÛÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ËÝ¹ñÇ ÉáõÍáõÙÁ μ³ó ¿ Ý³¨ ³Ûë Ï³ñ¨áñ ¹»åùáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.7 ºÃ» f 2 P [x] ¨ ' μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ P ¹³ßïáõÙ, ³å³ Ï³Ù f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '-Ç íñ³ Ï³Ù (f; ') = 1:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù d (f; ') ¨ ' = d ¢ q1 , f = d ¢ q2 : ø³ÝÇ áñ '-Ý ãμ»ñíáÕ ¿, ³å³ Ï³Ù deg(d) = 0 Ï³Ù deg(q1 ) = 0: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙª

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

d = c 6= 0, c 2 P ¨ (f; ')¡ = 1: ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª q1 = c 6= 0, c 2 P ¨ ¢ d = ' ¢ c¡1 , f = d ¢ q2 = ' c¡1 ¢ q2 , ³ÛëÇÝùÝª f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '-Ç íñ³: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.8: ºÃ» '1 ; '2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ »Ý P ¹³ßïáõÙ, ³å³ Ï³Ù ('1 ; '2 ) = 1 Ï³Ù '1 = '2 ¢ c, áñï»Õ c 2 P , c 6= 0 (³ÛëÇÝùÝª '1 , '2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ½áõ·áñ¹í³Í »Ý): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» '1 ; '2 ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ áõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñÙ³ï P ¹³ßïÇ áñ¨¿ P 0 ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý Ù»ç, ³å³ Ýñ³Ýù ½áõ·áñ¹í³Í »Ý:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, »Ã» ('1 ; '2 ) 6= 1, ³å³ '1 -Á Ïμ³Å³ÝíÇ '2 -Ç íñ³ª '1 = '2 ¢ q: ²Ûëï»ÕÇó, ù³ÝÇ áñ '1 -Á ãμ»ñíáÕ ¿, Ïëï³Ý³Ýù q = c 2 P , c 6= 0: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.5-Çó: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.9: ºÃ» μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ f1 ¢ f2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ' ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³, ³å³ f1 , f2 ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ïμ³Å³ÝíÇ '-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: Î³Ù f1 -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '-Ç íñ³ Ï³Ù (f1 ; ') = 1 (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.7): ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ f2 -Á Ïμ³Å³ÝíÇ '-Ç íñ³ª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.12-Ç: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.10: ºÃ» í»ñç³íáñ Ãíáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ f1 ¢ f2 ¢ ¢ ¢ fn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ' ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³, ³å³ f1 ; f2 ; : : : ; fn ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ïμ³Å³ÝíÇ '-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.11: ºÃ» P 0 ¹³ßïÁ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÝ ¿ ¨ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ ' 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ x0 2 P 0 ³ñÙ³ï, ³å³ f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: f; ' 2 P 0 [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ã»Ý, áñáíÑ»ï¨ »ñÏáõëÝ ¿É, Áëï ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇ, μ³Å³ÝíáõÙ »Ý x¡x0 2 P 0 [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.7-Ç, f-Á Ïμ³Å³ÝíÇ '-Ç íñ³: ¤ È»ÙÙ 16.9: Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù μ³Å³ÝíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ áñ¨¿ ' 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: àñå»ë ' Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É f -Ç ³Ù»Ý³÷áùñ ¹ñ³Ï³Ý ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ áñ¨¿ μ³Å³Ý³ñ³ñ, áñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.12: Î³Ù³Û³Ï³Ý P μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ :

¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ

²å³óáõóáõÙ (¾íÏÉÇ¹»ë): ¸Çóáõù áñ¨¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ ¹Çóáõù ¹ñ³Ýù »Ý '1 ; '2 ; : : : ; 'n μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù f = '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n + 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, áñï»Õ 1-Á P ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ø³ÝÇ áñ f-Á Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ¿, ³å³, Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, f-Á Ïμ³Å³ÝíÇ P -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ áñ¨¿ ' 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³: ¤ ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ' 6= '1 ; '2 ; : : : ; 'n : Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.10: ºÃ» P ¹³ßïÁ í»ñç³íáñ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ P -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ ¨ n > m ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù, ³ÛëÇÝùÝª ³Ûë ¹»åùáõÙ, ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ã¿ í»ñ¨Çó: ¤ Â»áñ»Ù 16.15: Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù Ï³Ù ãμ»ñíáÕ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ ¿ P -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: Àëï áñáõÙ, ³Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³ÏÝ ¿ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË»ÉÇáõÃÛ³Ý ¨ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» f = '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n = '01 ¢ '02 ¢ ¢ ¢ '0m ;

áñï»Õ '1 ; '2 ; : : : ; 'n ; '01 ; '02 ; : : : ; '0m μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ãμ»ñíáÕ ¿ P -áõÙ, ³å³ n = m ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ³ÛÝåÇëÇ i1 ; i2 ; : : : ; in 2 f1; 2; : : : ; ng Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ '1 = c1 '0i1 , '2 = c2 '0i2 , : : :, 'n = cn '0in , áñï»Õ c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 P : ²å³óáõóáõÙ: ì»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï k = deg(f) > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: ºÃ» k = 1, ³å³ f-Á ãμ»ñíáÕ ¿: ¸Çóáõù k > 2 ¨ ¹Çóáõù í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ k-Çó ÷áùñ ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» f-Á

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

ãμ»ñíáÕ ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, Áëï Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ, f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ ' ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³ª f = ' ¢ f1 : ø³ÝÇ áñ f -Á μ»ñíáÕ ¿, ³å³ f1 6= c 2 P ¨ 0 < deg(f1 ) < deg(f ) = k: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, Ï³Ù f1 -Á ãμ»ñíáÕ ¿ Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ ¿ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª f1 = '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ '` : ²ñ¹áõÝùáõÙª

f = ' ¢ f1 = ' ¢ '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ '` ;

áñï»Õ μáÉáñ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ »Ý: ì»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë Ï³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï k = deg(f ) > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: ºÃ» k = 1, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù k > 2 ¨ k-Çó ÷áùñ ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ºÃ» f -Á ãμ»ñíáÕ ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù f -Á μ»ñíáÕ ¿ ¨ f = '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n = '01 ¢ '02 ¢ ¢ ¢ '0m : Ð»ï¨³μ³ñ, ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ '01 ¢ '02 ¢ ¢ ¢ '0m ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ '1 ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.10-Ç, '01 ; '02 ; : : : ; '0m ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ïμ³Å³ÝíÇ '1 -Ç íñ³: ¸Çóáõù ³Û¹ ³ñï³¹ñÇãÁ '0i1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿ª '0i1 = '1 ¢q: àñï»ÕÇóª q = c 2 P , c 6= 0, ¨ '1 = c¡1 ¢ '0i1 = c1 '0i1 , áñï»Õ c1 = c¡1 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, f = '1 ¢ f1 , áñï»Õ f1 -Á ï³ñμ»ñ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ¨ 0 < deg(f1 ) < deg(f ) = k: ²ÛëåÇëáí, f1 -Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù »ñÏáõ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñª f1 = '2 ¢ ¢ ¢ 'n = (c'02 ) ¢ ¢ ¢ '0m ; áñï»Õ μáÉáñ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ¨ë ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÇó: ¤ ºÃ» μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÙÇ¨ÝáõÛÝ '1 ãμ»ñíáÕ ¨ áõÝÇï³ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ»ï ½áõ·áñ¹í³Í μáÉáñ n1 Ñ³ï ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ·ñ»Ýù c1 ¢ 'n1 1 ï»ëùáí, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.15-Ç, Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª f = c ¢ 'n1 1 ¢ 'n2 2 ¢ ¢ ¢ 'ns s ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ '1 ; '2 ; : : : ; 's 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝÙ»ñÝ ³ñ¹»Ý ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ, áõÝÇï³ñ ¨ ã½áõ·áñ¹í³Í ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, c 2 P , c 6= 0: ²Ûë í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ P ¹³ßïáõÙ: úñÇÝ³Ï, ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ f = 2x2 + 2x + 4 3x2 + 3x + 6 (x + 1) x2 + x + 2 (2x + 2) 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ ¿ª ¡ ¢3 f = 12 x2 + x + 2 (x + 1)2 :

16.6. ´³½Ù³Ý¹³ÙÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñ ¨ ³Í³ÝóÛ³É: Â»ÛÉáñÇ μ³Ý³Ó¨Á ½ñá μÝáõÃ³·ñÇãáí ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ

Àëï ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇ‘ P ¹³ßïÇ c ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ³ñÙ³ï f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ x ¡ c »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝª f = (x ¡ c)q, áñï»Õ q 2 P [x]: ê³Ï³ÛÝ f -Á »ñμ»ÙÝ Ï³ñáÕ ¿ μ³Å³Ýí»É Ý³¨ x ¡ c »ñÏ³Ý¹³ÙÇ ³í»ÉÇ μ³ñÓñ ³ëïÇ×³ÝÇ íñ³: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³ÝÁ: ¸Çóáõù k 2 N ¨ k > 1: c 2 P ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ k-å³ïÇÏ ³ñÙ³ï, »Ã» f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ (x ¡ c)k -Ç íñ³, μ³Ûó ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ (x ¡ c)k+1 -Ç íñ³: ºÃ» k > 1, ³å³ c-Ý ÏáãíáõÙ ¿ f -Ç μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï; k = 1 ¹»åùáõÙ c-Ý ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ ³ñÙ³ï, k = 2 ¹»åùáõÙª ÏñÏÝ³ÏÇ (ÏñÏÝ³å³ïÇÏ) ³ñÙ³ï, ÇëÏ k = 3 ¹»åùáõÙª »é³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï: ºÃ» c-Ý f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ k-å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿, ³å³ k μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ c ³ñÙ³ïÇ å³ïÇÏáõÃÛáõÝ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý Ý³¨, áñ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ k Ñ³ï Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ Ï³Ù ÏñÏÝíáÕ ³ñÙ³ïÝ»ñ: È»ÙÙ 16.10: 1) c 2 P ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ k-å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f = (x ¡ c)k q ;

áñï»Õ q(c) 6= 0: 2) c 2 P ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f = (x ¡ c)2 q :

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

Â»áñ»Ù 16.16: ºÃ» Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ P ¹³ßïáõÙ áõÝÇ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ c1 ; c2 ; : : : ; cm 2 P ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, áñáÝó å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý k1 ; k2 ; : : : ; km -Ç, ³å³ f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ (x ¡ c1 )k1 ¢ (x ¡ c2 )k2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ cm )km

³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª k1 +k2 +¢ ¢ ¢+km 6 deg(f ), ³ÛëÇÝùÝª ¹³ßïáõÙ n > 0 ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ áõÝ»ó³Í μáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ, Ñ³ßí³Í Çñ»Ýó å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí, ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ n-Á: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ci 6= cj , ³å³ x ¡ ci ¨ x ¡ cj μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½: Àëï Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 16.8-Ç, (x ¡ ci )ki ¨ (x ¡ cj )kj μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.4-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, f-Á Ïμ³Å³ÝíÇ (x ¡ c1 )k1 ¢ (x ¡ c2 )k2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ cm )km ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝª f = (x ¡ c1 )k1 ¢ (x ¡ c2 )k2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ cm )km ¢ q ¨ deg(f ) = k1 + k2 + ¢ ¢ ¢ + km + deg(q):

Â»áñ»Ù 16.16-Á ÏÙÝ³ ×Çßï Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ P ¹³ßïÇ ÷áË³ñ»Ý í»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ: ê³Ï³ÛÝ, ûñÇÝ³Ï, Z8 ûÕ³ÏÇ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ×Çßï ã¿: Â»áñ»Ù 16.17: ºÃ» ® 2 C ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ f 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ k¹ Ñ³Ù³ÉáõÍÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ f -Ç k-å³ïÇÏ å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿ , ³å³ ® ³ñÙ³ïÁ (k > 1):

²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, »Ã» ®-Ý f -Ç ³ñÙ³ïÝ ¿, ³å³ Ýñ³ ® ¹ Ñ³Ù³ÉáõÍÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ f-Ç ³ñÙ³ï ¨ f -Á Ïμ³Å³ÝíÇ ' = (x ¡ ®) (x ¡ ®) ¹ = x2 ¡ (® + ® ¹ ) x + ®¹ ® 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³ (ï»ë Ã»áñ»Ù 16.14-Ç ³å³óáõóáõÙÁ), ³ÛëÇÝùÝª f = ' ¢ q, áñï»Õ q 2 R[x]: ²Ûëï»ÕÇó μËáõÙ ¿, áñ »Ã» ®-Ý f -Ç μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ¿, ³å³ ®-Ý ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ³ñÙ³ï q μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, ® ¹ Ñ³Ù³ÉáõÍÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³ñÙ³ï q-Ç Ñ³Ù³ñ: àõëïÇ, ® ¹ -Á ÏÉÇÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï f -Ç Ñ³Ù³ñ: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É Ý³¨ ® ¨ ® ¹ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ f = a0 +a1 x+¢ ¢ ¢ +an xn 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ, ³å³ f = an (x ¡ c1 )(x ¡ c2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn ) ; áñï»Õ c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 P : Æñáù, f = (b1 + b01 x)(b2 + b02 x) ¢ ¢ ¢ (bn + b0n x) = μ ¶ μ ¶ b b = b01 b02 ¢ ¢ ¢ b0n x + 10 ¢ ¢ ¢ x + n0 = c(x ¡ c1 )(x ¡ c2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn ); b1 bn bi = bi (b0i )¡1 , c = b01 b02 ¢ ¢ ¢ b0n = an , ÇëÏ c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 P b0i ï³ññ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý f -Ç ³ñÙ³ïÝ»ñÁ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ¹Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª áñï»Õ ¡ci =

(x ¡ c1 )(x ¡ c2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn ) = (¡1)n c1 c2 ¢ ¢ ¢ cn + (¡1)n¡1 (c1 c2 ¢ ¢ ¢ cn¡1 + c1 c2 ¢ ¢ ¢ cn¡2 cn + ¢ ¢ ¢ + c2 c3 ¢ ¢ ¢ cn ) x + ¢ ¢ ¢ ¡ (c1 c2 c3 + c1 c2 c4 + ¢ ¢ ¢ + cn¡2 cn¡1 cn ) xn¡3 +

+ (c1 c2 + c1 c3 + ¢ ¢ ¢ + c1 cn + c2 c3 + ¢ ¢ ¢ + cn¡1 cn ) xn¡2 ¡ ¡ (c1 + c2 + ¢ ¢ ¢ + cn ) xn¡1 + xn ;

²ÛÝáõÑ»ï¨, Ñ³Ù»Ù³ï»Éáí

a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn = an (x ¡ c1 )(x ¡ c2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn ); Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñÁª an¡1 , c1 + c2 + ¢ ¢ ¢ + cn = ¡ an an¡2 , c1 c2 + c1 c3 + ¢ ¢ ¢ + cn¡1 cn = an

·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ,

an¡3 c1 c2 c3 + c1 c2 c4 + ¢ ¢ ¢ + cn¡2 cn¡1 cn = ¡ , an ::: X ::: an¡k ci1 ci2 ¢ ¢ ¢ cik = (¡1)k , an

i1 <i2 <¢¢¢<ik

an 6= 0 ; Ïëï³Ý³Ýù

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

a0 c1 c2 ¢ ¢ ¢ cn = (¡1)n , an áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ìÇ»ïÇ μ³Ý³Ó¨»ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) (x ¡ c1 )(x ¡ c2 ) = c1 c2 ¡ (c1 + c2 )x + x2 ; 2) (x ¡ c1 )(x ¡ c2 )(x ¡ c3 ) = ¡c1 c2 c3 + (c1 c2 + c1 c3 + c2 c3 )x ¡ (c1 + c2 + c3 )x2 + x3 ; 3) ¶ïÝ»Ýù ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí f = a0 + a1 x + a2 x + a3 x3 + 2x4 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ 2-Á ÉÇÝÇ ÏñÏÝ³ÏÇ ³ñÙ³ï, ÇëÏ 1-Á ¨ 3-Á å³ñ½ ³ñÙ³ïÝ»ñ: ìÇ»ïÇ μ³Ý³Ó¨»ñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a3 2+2+1+3 = ¡ , a2 2¢2+2¢1+2¢3+2¢1+2¢3+1¢3 = , a1 2¢2¢1+2¢2¢3+2¢1¢3+2¢1¢3 = ¡ , 4 a0 2 ¢ 2 ¢ 1 ¢ 3 = (¡1) , áñï»ÕÇóª a3 = ¡16, a2 = 46, a1 = ¡56, a0 = 24 ¨ f = 24 ¡ 56x + 46x2 ¡ 16x3 + 2x4 : ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ Çñ ³ñÙ³ïÝ»ñáí ¨ ¹ñ³Ýó å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ, áñáíÑ»ï¨ »Ã» μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³½Ù³å³ïÏ»Ýù c 6= 0 Ñ³ëï³ïáõÝáí, ³å³ ¹ñ³ÝÇó μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ¹ñ³Ýó å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ã»Ý ÷áËíÇ: ²ÛëåÇëáí, ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ (Ñ³ßí³Í Çñ»Ýó å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí) Ñ³í³ë³ñ ¿ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÇÝ, ìÇ»ïÇ μ³Ý³Ó¨»ñÁ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ »Ý ï³ÉÇë áõÝÇï³ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ ³ñï³Ñ³Ûï»É Ýñ³ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçáóáíª ¹Çï³ñÏíáÕ P ¹³ßïÇ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ Ñ³Ï³¹ÇñÇ ÙÇçáóáí: ´Ý³Ï³Ýáñ»Ý Í³·áõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ Ñ³ñóÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ñ¹Ûá±ù μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ ³ñï³Ñ³Ûï»É Ýñ³ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ²Ûë Ï³ñ¨áí ¨ å³ïÙ³Ï³Ý Ñ³ñóÇ å³ï³ëË³ÝÁ Ï³Ëí³Í ¿ ÃáõÛÉ³ïñ»ÉÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: Î³ë»Ýù, áñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÉáõÍ»ÉÇ ¿ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí, »Ã» Ýñ³ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ëï³óíáõÙ »Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇóª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

·áõÙ³ñÙ³Ý, Ñ³ÝÙ³Ý, μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý, μ³Å³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáí ¨ ³ñÙ³ï Ñ³Ý»Éáí: ¸åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý μ³Ý³Ó¨»ñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý, áñ (Çñ³Ï³Ý Ï³Ù ÏáÙåÉ»ùë) Ãí³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÉáõÍ»ÉÇ ¿ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí: 16-ñ¹ ¹³ñáõÙ ÝÙ³Ý³ïÇå μ³Ý³Ó¨»ñ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí»É »Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëùÇ 3-ñ¹ ¨ 4-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (æ. Î³ñ¹³Ýá, È. ü»ññ³ñÇ, ê. ¹»É ü»ññá, Ü. î³ñï³ÉÇ³): ²í»ÉÇ ×Çßï, ³Û¹ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ μ»ñíáõÙ ¿ x3 + px + q ï»ëùÇ, áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý s s r r p2 p2 q q q2 q2 + + ¡ ¡ + x= ¡ + μ³Ý³Ó¨áí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Î³ñ¹³ÝáÛÇ μ³Ý³Ó¨: 1545Ã. Ññ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ æ»ñáÉ³Ùá Î³ñ¹³ÝáÛÇ §Ù»Í ³ñí»ëï¦ ·ÇñùÁª ÝíÇñí³Í 3-ñ¹ ¨ 4-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇÝ, áñÇ Ù³ëÇÝ 20-ñ¹ ¹³ñáõÙ ü. øÉ³ÛÝÁ ·ñ»É ¿ §³Û¹ μ³ñÓñ³ëïÇ×³Ý ³ñÅ»ù³íáñ ëï»ÕÍ³·áñÍáõÃÛáõÝÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ë³ÕÙ¦: 1827Ã. Ñéã³Ï³íáñ Ýáñí»· Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë Ü. ²μ»ÉÁ ³å³óáõóáõÙ ¿, áñ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëùÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, n > 5 ¹»åùáõÙ, ÉáõÍ»ÉÇ ã¿ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí: 1831Ã. ï³Õ³Ý¹³íáñ ýñ³ÝëÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¾í³ñÇëï ¶³Éáõ³ÛÇ ÏáÕÙÇó ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ñ³Ûï³ÝÇßª Ãí³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ÉáõÍ»ÉÇáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë å³ñ½íáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 5 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ãÉáõÍíáÕ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù: ²Û¹åÇëÇÝ ¿, ûñÇÝ³Ï, n(n ¡ 1) 1 2 n(n ¡ 1)(n ¡ 2) n x+ ¢ x ¡ ¢ x3 + ¢ ¢ ¢ 1¢2 1¢2 1¢2¢3 1¢2¢3 xn +(¡1)n 1 ¢ 2¢¢¢n μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: ²μ»ÉÇ ¨ ¶³Éáõ³ÛÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ¨ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ Ù»Í ³½¹»óáõÃÛáõÝ »Ý áõÝ»ó»É Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ Ñ»ï³·³ ½³ñ·³óÙ³Ý íñ³, Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ÑÇÙù »Ý Ñ³Ý¹Çë³ó»É Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ Ýñ³ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: f =1¡

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

´³½Ù³Ý¹³ÙÇ å³ñ½ ¨ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³Ýç³ïÙ³Ý ³Ù»Ý³³ñ¹ÛáõÝ³í»ï »Õ³Ý³ÏÁ Ï³åí³Í ¿ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ñ»ï: ¸Çóáõù P -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï ¿, áñÇ ÙÇ³íáñÁ Ýß³Ý³Ïí³Í ¿ 1áí, ÇëÏ f 2 P [x]: ºÃ» f = a0 + a1 x + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn ; ³å³ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³½Ù³Ý¹³ÙÁª f 0 = 0 + a1 + 2a2 x + ¢ ¢ ¢ + nan xn¡1 = a1 + 2a2 x + ¢ ¢ ¢ + nan xn¡1 2 P [x] ; áñï»Õ ka = (1| + ¢ ¢ ¢ + 1)a = a + ¢ ¢ ¢ + a 2 P , ³ÛëÇÝùÝª k ·áñÍ³ÏÇóÁ {z } | {z } k

¹³ßïÇ 1| + ¢ ¢ ¢ + 1 ï³ññÝ ¿: {z }

úñÇÝ³Ï, f = 3 + 2x + x2 + 4x3 2 Z3 [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ f 0 = 2 + 2x + 12x2 = 2 + 2x 2 Z3 [x]

μ³½Ù³Ý¹³ÙÇÝ, áñáíÑ»ï¨ Z3 -áõÙª 12 = [12] = [0] = 0: Ð³ëï³ïáõÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³ÛëÇÝùÝª c0 = 0, áñï»Õ c 2 P : (x+c)0 = 1, Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª x0 = 1:

È»ÙÙ 16.11: Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñª deg(f ) = deg(f ) ¡ 1, »Ã» P ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³ÛëÇÝùÝª char(P ) = 0:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» deg(f ) = n > 1, ³å³ f = a0 +a1 x+¢ ¢ ¢+an xn , an 6= 0, ¨ f 0 = a1 + 2a2 x + ¢ ¢ ¢ + nan xn¡1 : ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ nan 6= 0: Æñáù, an 6= 0 ¨ n = 1 + ¢ ¢ ¢ + 1 6= 0ª Áëï char(P ) = 0 å³ÛÙ³ÝÇ, ÇëÏ ¹³ßïÁ | {z } ãáõÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ:

ºÃ» P = R, ³å³ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýßí³Í ·³Õ³÷³ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ ë³ÑÙ³ÝíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ñ»ï áñå»ë ë³ÑÙ³ÝÇª f (x + 4x) ¡ f (x) ; 4x!0 4x lim

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÇÝãÁ ÇÙ³ëï³½ñÏíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý P ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙª ³é³Ýó ïáåáÉá·Ç³ÛÇ ³éÏ³ÛáõÃÛ³Ý: ´³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Â»áñ»Ù 16.18: 1) (f1 + f2 )0 = f10 + f20 , (f1 + ¢ ¢ ¢ + fn )0 = f10 + ¢ ¢ ¢ + fn0 ; 2) (cf )0 = cf 0 ; 3) (c1 f1 + c2 f2 )0 = c1 f10 + c2 f20 , (c1 f1 + ¢ ¢ ¢ + cn fn )0 = c1 f10 + ¢ ¢ ¢ + cn fn0 ; 4) (f1 f2 )0 = f10 f2 + f1 f20 , (f1 f2 ¢ ¢ ¢ fk )0 = f10 f2 ¢ ¢ ¢ fk + f1 f20 f3 ¢ ¢ ¢ fk + ¢ ¢ ¢ + f1 ¢ ¢ ¢ fk¡1 fk0 , ¡ ¢0 (f k )0 = kf k¡1 f 0 , Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª (x + c)k = k(x + c)k¡1 ; 5) ºÃ» D : P [x] ! P [x] ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝª ³) D(x) = 1, áñï»Õ 1-Á P ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿ , μ) D(cf ) = cD(f ), c 2 P , D(f1 + f2 ) = D(f1 ) + D(f2 ), ·) D(f1 f2 ) = D(f1 )f2 + f1 D(f2 ), ³å³ D(f) = f 0 ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë D ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ ¹Çý»ñ»ÝóáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: 1) ¨ 2) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ »Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó, ÇëÏ 3) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ 1) ¨ 2) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: ²å³óáõó»Ýù 4)-Á: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ¡ k ¢0 ¡ ¢0 ax ¢ bxm = abxk+m = (k + m)abxk+m¡1 = = kaxk¡1 ¢ bxm + axk ¢ mbxm¡1 = (axk )0 bxm + axk (bxm )0 :

²Ûëï»ÕÇó, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

(f1 ¢ f2 ) = ((a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn ) (b0 + b1 x + ¢ ¢ ¢ + bm xm )) = =

Ã n X k=0

ak x ¢

m X `=0

b` x

n X m X ¡¡ ¢¡ ¢¢0 ak xk b` x` = k=0 `=0

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

n X m ³ X ¡ ¢0 ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢0 ´ ak xk b` x` + ak xk b` x` = k=0 `=0

n X

k=0

m n m ¡ ¢0 X ¡ `¢ X ¡ ¢X ¡ ` ¢0 ak xk b` x + ak xk b` x = f10 f2 + f1 f20 : `=0

k=0

`=0

4)-Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: êñ³ÝÇó ¿É ëï³óíáõÙ ¿ 4)-Ç »ññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, »ñμ f1 = f2 = ¢ ¢ ¢ = fk = f : ²å³óáõó»Ýù 5)-Á: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ μ)-Ç »ñÏñáñ¹ å³ÛÙ³ÝÇó í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýùª D(f1 + ¢ ¢ ¢ + fk ) = D(f1 ) + ¢ ¢ ¢ + D(fk ) : ²ÛÝáõÑ»ï¨ª D(1) = D(1 ¢ 1) = (D1) ¢ 1 + 1 ¢ (D1) = D1 + D1 ; áñï»ÕÇóª D(1) = 0: àñÇó Ñ»ïá ÏáõÝ»Ý³Ýùª D(c) = D(c ¢ 1) = c ¢ D(1) = c ¢ 0 = 0, áñï»Õ c 2 P : ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù D(xn ) = nxn¡1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: n = 1 ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ×Çßï ¿ª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³) å³ÛÙ³ÝÇ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï n-Çó ÷áùñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ, Ïëï³Ý³Ýùª ¢ ¡ ¢ ¡ D (xn ) = D xn¡1 ¢ x = Dxn¡1 x+xn¡1 (Dx) = (n¡1)xn¡2 ¢x+xn¡1 ¢1 = = (n ¡ 1)xn¡1 + 1 ¢ xn¡1 = ((n ¡ 1) + 1) xn¡1 = nxn¡1 :

²ÛëåÇëáí, »Ã» f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn , ³å³ ¡ ¢ D(f) = D (a0 ) + a1 D(x) + a2 D x2 + ¢ ¢ ¢ + an D (xn ) =

= 0 + a1 + a2 2x + ¢ ¢ ¢ + an nxn¡1 = a1 + 2a2 x + ¢ ¢ ¢ + nan xn¡1 = f 0 : ¤

²Í³ÝóÛ³ÉÇ ·³Õ³÷³ñÁ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ÇñÁ Ñ³Ý·»óÝ»É Ù»Ï ³ÛÉ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ËÝ¹ñÇÝ:

Â»áñ»Ù 16.19: 1) f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ c 2 P ³ñÙ³ïÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f 0 (c) 6= 0;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2) f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ c 2 P ³ñÙ³ïÁ ÏÉÇÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f 0 (c) = 0; 3) f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ μáÉáñ c 2 P μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ d (f; f 0 ) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ μáÉáñ c 2 P ³ñÙ³ïÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, f -Á ãÇ áõÝ»Ý³ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f ¨ f 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý; 4) ºÃ» char(P ) = 0, ³å³ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k-å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ÏÉÇÝÇ f 0 2 P [x] ³Í³ÝóÛ³ÉÇ (k ¡ 1)-å³ïÇÏ ³ñÙ³ï (k > 2): ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» k > 1 ¨ c 2 P ï³ññÁ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ kå³ïÇÏ ³ñÙ³ï ¿, ³å³ f = (x ¡ c)k g;

áñï»Õ g(c) 6= 0 :

Ð»ï¨³μ³ñ, f 0 = k(x ¡ c)k¡1 g + (x ¡ c)k g 0 :

ºÃ» ³Ûëï»Õ k = 1, ³ÛëÇÝùÝª c-Ý f -Ç å³ñ½ ³ñÙ³ïÝ ¿, ³å³ f 0 = g + (x ¡ c)g 0

¨ f 0 (c) = g(c) 6= 0 :

k > 2 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª f 0 (c) = k(c ¡ c)k¡1 g(c) + (c ¡ c)k g0 (c) = 0 : àõëïÇ, f 0 (c) 6= 0 å³ÛÙ³ÝÇó ÏμËÇª k = 1: ²ÛëåÇëáí, 1) ¨ 2) åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³å³óáõóí³Í »Ý: ²å³óáõó»Ýù 3) åÝ¹áõÙÁª û·ïí»Éáí 2)-Çó ¨ ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇó. . . . f (c) = f 0 (c) = 0 Ã! f x ¡ c; f x ¡ c Ã! d x ¡ c Ã! d(c) = 0 ;

áñï»Õ d (f; f 0 ): 4)-Ç ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÝÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» f = (x ¡ c)k g, áñï»Õ g(c) 6= 0, ³å³ f 0 = (x ¡ c)k¡1 F , áñï»Õ F = kg + (x ¡ c)g0 ¨ F (c) = kg(c) 6= 0, áñáíÑ»ï¨ k = |1 + ¢ ¢ ¢ + 1 6= 0ª Áëï char(P ) 6= 0 å³ÛÙ³ÝÇ: ¤ {z }

úñÇÝ³Ï, áñáß»Ýù f = x4 ¡ 3x3 + 3x2 ¡ 3x + 2 2 Z5 [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ: Ü³Ë ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙáí áñáßáõÙ

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

»Ýù f ¨ f 0 = 4x3 ¡ 9x2 + 6x ¡ 3 = 4x3 ¡ 4x2 + x ¡ 3 2 Z5 [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁª x ¡ 2 (f; f 0 ): Ð»ï¨³μ³ñ, ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, 2 = [2] 2 Z5 ï³ññÁ f-Ç ÙÇ³Ï μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª f -Á Ïμ³Å³ÝíÇ (x ¡ 2)2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³. f = (x ¡ 2)2 (x2 + x + 3) : ²ÛÝáõÑ»ï¨, g = x2 + x + 3 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Z5 -áõÙ áõÝÇ 1 ¨ 3 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, áñáíÑ»ï¨ g(0) 6= 0, g(1) = 0, g(2) 6= 0, g(3) = 0 ¨ g(4) 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, x2 + x + 3 = (x ¡ 1)(x ¡ 3) ¨ f = (x ¡ 2)2 (x ¡ 1)(x ¡ 3) :

ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï

ëï³ó³Ýù f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ

Ï³ÝáÝ³Ï³Ý

í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇ í»ñçÇÝ 4) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý Ë³ËïíáõÙ ¿ char(P ) > 0 ¹»åùáõÙ: úñÇÝ³Ï, P = Zp ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ, áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, xp 2 Zp [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇª (xp )0 = pxp¡1 = 0, áñáíÑ»ï¨ p ·áñÍ³ÏÇóÁ Zp -áõÙ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ä³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÇ Ù»ç: (f 0 )0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ »ñÏñáñ¹ (Ï³ñ·Ç) ³Í³ÝóÛ³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ f 00 -áí: (f 00 )0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ »ññáñ¹ (Ï³ñ·Ç) ³Í³ÝóÛ³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ f 000 -áí, ¨ ³ÛÉÝ: f (k) -áí ÏÝß³Ý³ÏíÇ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ k-ñ¹ (Ï³ñ·Ç) ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, áñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª ´0 ³ f (k) = f (k¡1) :

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ, μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Â»ÛÉáñÇ μ³Ý³Ó¨Ý ³å³óáõóíáõÙ ¿ P = R Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ: ê³Ï³ÛÝ ³Û¹ μ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ Ý³¨ ½ñá μÝáõÃ³·ñÇãáí ó³Ý³Ï³ó³Í P ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ, áñÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ û·ïí»É μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áñáß»Éáõ (Ñ³ßí»Éáõ) Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»Ù 16.20 (Â»ÛÉáñ): Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý c 2 P Ñ³ëï³ïáõÝÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ b0 ; b1 ; : : : ; bn 2 P ï³ññ»ñ, áñ f = b0 + b1 (x ¡ c) + b2 (x ¡ c)2 + ¢ ¢ ¢ + bn (x ¡ c)n ;

áñï»Õ b0 = f (c), b1 = f 0 (c): ºÃ» char(P ) = 0, ³å³ bk = 2; : : : ; n, ³ÛëÇÝùÝª f = f (c) +

(16.1)

f (k) (c) ,k= k!

f 00 (c) f 0 (c) f (n) (x ¡ c) + (x ¡ c)2 + ¢ ¢ ¢ + (x ¡ c)n ; 1! 2! n!

(16.2)

áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Â»ÛÉáñÇ μ³Ý³Ó¨ª ·ñí³Í c ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: (16.1) μ³Ý³Ó¨Ý ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n = deg(f )-Ç: ºÃ» n = 1, ³ÛëÇÝùÝª f = a0 + a1 x, ³å³ f = a0 +a1 c+ a1 (x ¡ c), áñï»Õ a0 + a1 c = b0 , a1 = b1 : ¸Çóáõù deg(f ) = n > 1 ¨ (16.1) μ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ n-Çó ÷áùñ ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª f = (x ¡ c)q + f (c) ; áñï»Õ deg(q) = n ¡ 1 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, q μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ (16.1) í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ª q = b0 + b1 (x ¡ c) + ¢ ¢ ¢ + bn¡1 (x ¡ c)n¡1 : î»Õ³¹ñ»Éáí q-Ç ³Ûë í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ f = (x ¡ c)q + f (c) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù f -Ç å³Ñ³ÝçíáÕ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ (Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ): ²å³óáõó»Ýù b0 ; b1 ; : : : ; bn ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõùª f = b0 + b1 (x ¡ c) + ¢ + bn (x ¡ c)n = b00 + b01 (x ¡ c) + ¢ ¢ ¢ + b0n (x ¡ c)n : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, 0 = (b0 ¡ b00 ) + (b1 ¡ b01 ) x + ¢ ¢ ¢ + (bn ¡ b0n ) (x ¡ c)n

(16.3)

¨ »Ã» áñ¨¿ bi ¡b0i 6= 0, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí m = max fi j bi ¡ b0i 6= 0g, (16.3) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù m-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù,

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëáõÙ ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, bi ¡ b0i = 0 μáÉáñ i = 0; 1; : : : ; n ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª b0 = b00 , b1 = b01 , : : :, bn = b0n : (16.1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª b0 = f(c) ¨ f 0 = b1 + 2b2 (x ¡ c) + ¢ ¢ ¢ + nan (x ¡ c)n¡1 , áñï»ÕÇóª b1 = f 0 (c): ¸Çóáõù char(P ) = 0: (16.1) μ³Ý³Ó¨Çó ·ïÝ»Éáí f -Ç k-ñ¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª f (k) (c) = k!bk ;

k = 1; 2; : : : ; n ;

áñï»Õ k! = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ k 2 P : Àëï char(P ) = 0 å³ÛÙ³ÝÇª k! 6= 0, ³ÛëÇÝùÝª bk = (k!)¡1 f (k) (c) =

f (k) (c) k!

¨ (16.2) í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿:

ºÃ» c 2 P ï³ññÁ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ³ñÙ³ï ã¿, ³å³ ¹ñ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f -Ç 0-å³ïÇÏ ³ñÙ³ï:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.11: f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ c 2 P ³ñÙ³ïÇ å³ïÇÏáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ (16.1) í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏóÇ ÝßÇãÇÝ: ¤ ÜÏ³ï»Ýù, áñ ïñí³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¨ c 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (16.1) í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ c-Ç å³ïÇÏáõÃÛáõÝÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³É·áñÇÃÙáí: Æñáù, f = (x ¡ c)q + f (c) ;

áñï»Õ f (c) = b0 2 P ;

q = (x ¡ c)q1 + q(c) ; áñï»Õ q(c) = b1 2 P ; q1 = (x ¡ c)q2 + q1 (c) ; áñï»Õ q1 (c) = b2 2 P ; ::: ::: :::

16.7. è³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñ (ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ) ¸Çóáõù P -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï ¿: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ (f; g) ½áõÛ·Á, áñï»Õ f; g 2 P [x] ¨ g 6= 0, ÏáãíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ áñáßí³Í é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï Ï³Ù é³óÇáÝ³É ýáõÝÏóÇ³: Ð³ñÙ³ñáõÃÛ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

f Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ºñÏáõ g é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f2 f1 = Ã! f1 g2 = f2 g1 : g1 g2

Ñ³Ù³ñ (f; g) ½áõÛ·Á Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿

P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ áñáßí³Í μáÉáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ P (x)-áí: È»ÙÙ 16.12: è³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª f f f = 2 K(x) é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ; ó³ÝÏ³ó³Í ³) g g g (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ) f2 f2 f1 f1 = ¡! = ; (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ) μ) g1 g2 g2 g1 f2 f2 f3 f1 f3 f1 ·) = ; = ¡! = : (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) g1 g2 g2 g3 g1 g3

²å³óáõóáõÙ: ³) ¨ μ) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ï»ÕÇ áõÝ»Ý: ²å³óáõó»Ýù ·)-Ý: ¸Çóáõù f1 g2 = f2 g1 ¨ f2 g3 = f3 g2 , ³ÛëÇÝùÝª f1 g2 ¡ f2 g1 = 0 ¨ f2 g3 ¡ f3 g2 = 0: Ð»ï¨³μ³ñ, g2 (f1 g3 ¡ f3 g1 ) = g2 f1 g3 ¡ g2 f3 g1 = g2 f1 g3 ¡ g2 f3 g1 + g1 f2 g3 ¡ g1 f2 g3 = = g3 (f1 g2 ¡ f2 g1 ) + g1 (f2 g3 ¡ f3 g2 ) = g3 ¢ 0 + g1 ¢ 0 = 0 ;

ø³ÝÇ áñ P [x]-Á ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ ¨ g2 6= 0, ³å³ g2 (f1 g3 ¡ f3 g1 ) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ª f1 g3 ¡ f3 g1 = 0 ¨ f1 f3 = : ¤ f1 g3 = f3 g1 : àõëïÇ, g1 g3 fh f = ó³ÝÏ³ó³Í h 2 P [x], h 6= 0, μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ úñÇÝ³Ï, g gh h Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, = ¨ = , áñï»Õ 1-Á P ¹³ßïÇ h h ÙÇ³íáñÝ ¿: ê³ÑÙ³Ý»Ýù é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f1 g2 + f2 g1 f1 f2 + = ; g1 g2 g1 g2

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

f1 f2 f1 f2 ¢ = : g1 g2 g1 g2 Ø³ëÝ³íáñ³å»ë,

f1 g + f2 g (f1 + f2 ) g f1 + f2 f1 f2 + = = = : g g gg gg g

Ü³Ë å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ áõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ãÇ ÷áËíÇ, »Ã» é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ f f0 f f0 ÷áË³ñÇÝí»Ý Çñ»Ýó Ñ³í³ë³ñÝ»ñáí: Æñáù, »Ã» 1 = 10 ¨ 2 = 20 , g1 g1 g2 g2 ³å³ Áëï ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª f1 g2 + f2 g1 f1 f2 + = ; g1 g2 g1 g2 f1 f2 f1 f2 ¢ = ; g1 g2 g1 g2

f10 f20 f10 g20 + f20 g10 + = ; g10 g20 g10 g20 f10 f20 f0f0 ¢ 0 = 10 20 g1 g2 g1 g2

¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª f 0 g0 + f 0 g0 f1 g2 + f2 g1 = 1 20 0 2 1 ; g1 g2 g1 g2

f1 f2 f0f0 = 10 20 : g1 g2 g1 g2

Æñáù, ëïáõ·»Ýù ·ñí³Í é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. g10 g20 (f1 g2 + f2 g1 ) ¡ g1 g2 (f10 g20 + f20 g10 ) = = g10 g20 f1 g2 + g10 g20 f2 g1 ¡ g1 g2 f10 g20 ¡ g1 g2 f20 g10 =

= g10 g2 (f1 g10 ¡ f10 g1 ) + g10 g1 (f2 g20 ¡ f20 g2 ) = g10 g2 ¢ 0 + g10 g1 ¢ 0 = 0 + 0 = 0 ; f1 f2 g10 g20 ¡ f10 f20 g1 g2 = f1 f2 g10 g20 ¡ f2 g20 f10 g1 + f2 g20 f10 g1 ¡ f10 f20 g1 g2 =

= f2 g20 (f1 g10 ¡ f10 g1 ) + f10 g1 (f2 g20 ¡ f20 g2 ) = f2 g20 ¢ 0 + f10 g1 ¢ 0 = 0 + 0 = 0 :

Â»áñ»Ù 16.21: è³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ P (x) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ßï ¿ ª é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ:

²å³óáõóáõÙ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ áõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý »Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýùáíª ¶ μ f1 f3 f2 f3 f1 f2 f3 + = ¢ + ¢ : g1 g2 g3 g1 g3 g2 g3

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2 P (x) ï³ññÁ Ï³ï³ñáõÙ ¿ ½ñáÛÇ ¹»ñÁ, ÇëÏ 2 P (x) ï³ññÁª ÙÇ³íáñÇ ¹»ñÁ, áñáíÑ»ï¨ f f + = ; g g

f 1 f ¢ = : g 1 g

f ¡f 2 P (x) ï³ññÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 2 P (x) ï³ññÇ Ñ³Ï³¹ÇñÁ, g g áñáíÑ»ï¨ ¡f f g ¡ fg f + = = 2 = ; g g g¢g g f g f ÇëÏ »Ã» 6= , ³ÛëÇÝùÝª f 6= 0, ³å³ -Á ÏÉÇÝÇ -Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ, g f g áñáíÑ»ï¨ f ¢g f g ¢ = = : ¤ g f f ¢g ø³ÝÇ áñ, f f1 = 2 Ã! f1 ¢ 1 = f2 ¢ 1 Ã! f1 = f2 ; f1 + f1 ¢

f2 f1 + f2 = ; f2 f1 ¢ f2 = ;

f é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óÝ»É f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ»ï, áñÇ Ñ»ï¨³Ýùáí P (x) ¹³ßïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ P [x] ûÕ³ÏÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙª ³å³

f f f ³ g ´¡1 = ¢ = 1 g ; g f Ïáïáñ³ÏÁ ëï³ÝáõÙ ¿ §μáí³Ý¹³ÏáõÃÛáõÝ¦, P (x) ¹³ßïáõÙ g ¹³éÝ³Éáí f ¨ g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: f é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, ëáíáñ³μ³ñ, f-Á ÏáãíáõÙ ¿ g f 6= , ³ÛëÇÝùÝª f 6= 0, ³å³ Ñ³Ù³ñÇã, ÇëÏ g-Ýª Ñ³Ûï³ñ³ñ: ºÃ» g ³ÛëÇÝùÝª

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

f é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý, ÇëÏ deg(f ) ¡ deg(g) g f ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁª áã ½ñáÛ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ ³ëïÇ×³Ý ¨ g μ ¶ f Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ deg -áí: g

È»ÙÙ 16.13: ºñÏáõ Ñ³í³ë³ñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª áã ½ñáÛ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ ³ëïÇ×³ÝÁ Ï³Ëí³Í ã¿ Ýñ³ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» deg

f1 g1

f1 f = 2 , áñï»Õ f1 6= 0 ¨ f2 6= 0, ³å³ f1 g2 = f2 g1 ¨ g1 g2

= deg(f1 ) ¡ deg(g1 ) = deg(f1 ) + deg(g2 ) ¡ deg(g2 ) ¡ deg(g1 ) =

= deg(f1 g2 ) ¡ deg(g2 ) ¡ deg(g1 ) = deg(f2 g1 ) ¡ deg(g2 ) ¡ deg(g1 ) = μ ¶ f2 = deg(f2 ) + deg(g1 ) ¡ deg(g2 ) ¡ deg(g1 ) = deg(f2 ) ¡ deg(g2 ) = deg : g2 ¤ f 2 P (x) é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ, »Ã» f ¨ g f g μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ g é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ïñ×³ï»ÉÇ: f 2 P (x) é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï g Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ, áñÇ Ñ³Ù³ñÇãÝ áõ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ýª ÙÇ¨ÝáõÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.13: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» d (f; g), ³å³ f = d ¢ f1 , g = d ¢ g1 ¨ d ¢ f1 f1 f = = ; g d ¢ g1 g1 áñï»Õ (f1 ; g1 ) = 1: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ³Û¹ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõùª f1 f2 f f = = ¨ ; g g1 g g2

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ (f1 ; g1 ) = 1 ¨ (f2 ; g2 ) = 1: ²Û¹ ¹»åùáõÙª f1 f2 = ; g1 g2 ³ÛëÇÝùÝª f1 g2 = f2 g1 : ²Ûëï»ÕÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.12-Ç, g2 -Á Ïμ³Å³ÝíÇ g1 -Ç íñ³, ÇëÏ g1 -Á Ïμ³Å³ÝíÇ g2 -Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ c 2 P , c 6= 0, Ñ³ëï³ïáõÝ, áñ g1 = c ¢ g2 (μËáõÙ ¿ É»ÙÙ 16.5-Ç 8)-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó): î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë ³ñ¹ÛáõÝùÁ f1 g2 = f2 g1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýùª f1 g2 = f2 cg2 , áñï»ÕÇóª ¤ f1 = cf2 , áñáíÑ»ï¨ g2 6= 0:

f 2 P (x) é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³ÝáÝ³íáñ, »Ã» f = 0 g μ ¶ f Ï³Ù deg(f ) < deg(g) (³ÛëÇÝùÝª deg < 0): g

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.14: Î³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñ »Ý: f f1 2 P (x) ¨ 2 g1 g2 Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª

²å³óáõóáõÙ:

2 P (x) Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É

f1 g2 § f2 g1 f1 f2 § = ; g1 g2 g1 g2 áñï»Õ Ï³Ùª f1 g2 § f2 g1 = 0 Ï³Ùª deg (f1 g2 § f2 g1 ) < deg(g1 g2 ): ²ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¹»åùáõÙª f1 f2 f1 f2 ¢ = ; g1 g2 g1 g2 áñï»Õ »Ã» f1 ; f2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ f1 f2 = 0, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª deg(f1 f2 ) = deg(f1 ) + deg(f2 ) < deg(g1 ) + deg(g2 ) = deg(g1 g2 ) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.12: P (x) ¹³ßïÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ μáÉáñ Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ûÕ³Ï ¿ ª é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ¤

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

ÜÏ³ï»Ýù, áñ Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ 1 1 ¹»åùáõÙ, Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿ (ûñÇÝ³Ïª + = 1): 2 2 f 2 P (x) é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï g ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¨ Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.15: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù f; g 2 P [x] ¨ g 6= 0: f-Á ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³Ý»Ýù g-Ç íñ³. f = gq + r ;

áñï»Õ r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(g) :

Ð»ï¨³μ³ñ, gq + r r f = =q+ ; g g g r é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ Ï³ÝáÝ³íáñ ¿: ²Ûëï»Õ q 2 P [x] g f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ ³ÙμáÕç Ù³ë: ²ÛÅÙ g ³å³óáõó»Ýù Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» Ý³¨ r0 f = q0 + 0 ; g g áñï»Õ

áñï»Õ q 0 2 P [x], ÇëÏ

r0 é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ Ï³ÝáÝ³íáñ ¿, ³å³ g0 q+

r0 r = q0 + 0 ; g g

q ¡ q0 =

r0 r ¡ ; g0 g

áñï»Õ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï ¿ r0 r (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.14): ºÃ» 0 ¡ 6= , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ g g áã ½ñáÛ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª r0 r q ¡ q0 = 0¡ ; g g

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ Ó³Ë Ù³ëÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ã¿ 0-Çó, ÇëÏ ³ç Ù³ëÇ ³ëïÇ×³ÝÁ r r0 = 0 ¨ ÷áùñ ¿ 0-Çó, ÇÝãÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ É»ÙÙ 16.13-ÇÝ: àõëïÇ, 0 ¡ g g r0 r ¤ q ¡ q 0 = 0: Ð»ï¨³μ³ñ, 0 = ¨ q = q 0 : g g f 2 K(x) Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ g å³ñ½³·áõÛÝ, »ñμ g = 'n , n > 1, áñï»Õ '-Ý ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ÇëÏ deg(f) < deg('), »Ã» f 6= 0: ²ÛÅÙ ³ÝóÝ»Ýù é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ, áñÁ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ Ý³¨ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ, é³óÇáÝ³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÇÝï»·ñÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ïª P = R ¹»åùáõÙ: f 2 P (x) ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ÝáÝ³íáñ g1 g2 g1 ¨ g2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï, áñï»Õ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ g1 ¨ g2 Ñ³Ûï³ñ³ñÝ»ñáí »ñÏáõ Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÝÏ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáíª f1 f2 f = + : g1 g2 g1 g2 f 2) 2 P (x) ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ÝáÝ³íáñ g1 g2 ¢ ¢ ¢ gn é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï, áñï»Õ g1 ; g2 ; : : : ; gn μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý , ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ g1 ; g2 ; : : : ; gn Ñ³Ûï³ñ³ñÝ»ñáí Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáíª Â»áñ»Ù 16.22: 1)

f1 f2 fn f = + + ¢¢¢ + : g1 g2 ¢ ¢ ¢ gn g1 g2 gn f 2 P (x) ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É 'm Ïáïáñ³Ï, áñï»Õ '-Ý ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ , ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ 'm ; 'm¡1 ; : : : ; ' Ñ³Ûï³ñ³ñÝ»ñáí å³ñ½³·áõÛÝ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáíª

f1 f2 fm f : = m + m¡1 + ¢ ¢ ¢ + m ' ' ' '

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

f 2 P (x) Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³Ï g ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ å³ñ½³·áõÛÝ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí: ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, »Ã» g-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ f mn ¢ 'm Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ¿ ª g = 'm 2 ¢ ¢ ¢ 'n , ³å³ g ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ '1 ; '21 ; : : : ; 'm '2 ; '22 ; : : : ; 'm 1 , 2 , mn : : :, 'n ; 'n ; : : : ; 'n Ñ³Ûï³ñ³ñÝ»ñáí å³ñ½³·áõÛÝ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:

4) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ

²å³óáõóáõÙ: 1) ø³ÝÇ áñ (g1 ; g2 ) = 1, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ g10 ; g20 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ g1 g10 + g2 g20 = 1 : ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, f g20 -Á ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³Ý»Éáí g1 -Ç íñ³, ÏáõÝ»Ý³Ýùª f g20 = g1 q + f1 ;

áñï»Õ f1 = 0 Ï³Ù deg(f1 ) < deg(g1 ) :

Ð»ï¨³μ³ñ, f ¢1 f (g1 g10 + g2 g20 ) f g0 f g0 f = = = 1+ 2 = g1 g2 g1 g2 g1 g2 g2 g1 =

f g10 f1 f g0 + qg2 f1 +q+ = 1 + : g2 g1 g2 g1

²Ûëï»Õ »ñÏñáñ¹ Ïáïáñ³ÏÁ Ï³ÝáÝ³íáñ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ³é³çÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝª áñå»ë »ñÏáõ Ï³ÝáÝ³íáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëáí, f1 f2 f = + ; g1 g2 g1 g2 f1 f2 ¨ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ Ï³ÝáÝ³íáñ »Ý: ²å³óáõó»Ýù g1 g2 ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõùª áñï»Õ

f1 f2 f0 f0 f = + = 10 + 20 ; g1 g2 g1 g2 g1 g2

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ μáÉáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ Ï³ÝáÝ³íáñ »Ý: ²Ûëï»ÕÇó Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ï³ÝáÝ³íáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁª f1 ¡ f10 f 0 ¡ f2 = 2 ; g1 g2 ³ÛëÇÝùÝª (f1 ¡ f10 ) g2 = (f20 ¡ f2 ) g1 ;

áñï»Õ (g1 ; g2 ) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ (Ã»áñ»Ù 16.12), f1 ¡ f10 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ïμ³Å³ÝíÇ g1 -Ç íñ³: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» f1 ¡f10 6= 0, ³å³ deg (f1 ¡ f10 ) < f1 ¡ f10 deg(g1 ) (ù³ÝÇ áñ Ïáïáñ³ÏÁ Ï³ÝáÝ³íáñ ¿), ÇëÏ ³Ûë ¹»åùáõÙ g1 f1 ¡ f1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãÇ Ï³ñáÕ μ³Å³Ýí»É g1 -Ç íñ³: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóáõÙ ¿ f1 ¡ f10 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»ÕÇó ¿É μËáõÙ ¿ f2 ¡ f20 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, f1 = f10 ¨ f2 = f20 : 2) ²å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: 3) ²å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï m > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: Æñáù, m = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù ³ÛÝ ×Çßï ¿ m-Çó ÷áùñ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ: ºÃ» f -Á ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³Ý»Ýù '-Ç íñ³ª f = 'q1 + f1 ;

áñï»Õ f1 = 0 Ï³Ù deg(f1 ) < deg(') ;

³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª f1 q1 f = m + m¡1 ; 'm ' ' q1 f f1 é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ, áñå»ë m ¨ m Ï³ÝáÝ³íáñ 'm¡1 ' ' é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ, ¨ë ÏÉÇÝÇ Ï³ÝáÝ³íáñ: Àëï áñáõÙ, ³Ûë Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ÙÇ³ÏÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» Ý³¨

áñï»Õ

f f10 q10 = m + m¡1 ; m ' ' ' áñï»Õ f10 = 0 Ï³Ù deg(f10 ) < deg('), ³å³ f = 'q10 + f10 q1 Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É 'm¡1 Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³é»É í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ:

¨ q10 = q, f10 = f (Ã»áñ»Ù 16.2): ØÝáõÙ ¿

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

4) Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ: Â»áñ»ÙÇ Ó¨³Ï»ñåÙ³Ý Ù»ç, ³é³Ýó ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ Ë³Ëï»Éáõ, g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ áõÝÇï³ñ, ³ÛëÇÝùÝª Ýñ³ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ í»ñóíáõÙ ¿ 1 2 P : ú·ïí»Ýù g-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÇóª m2 mn g = 'm 1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n ; áñï»Õ '1 ; '2 ; : : : ; 'n 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ, ã½áõ·áñ¹í³Í ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý m2 mn (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.8): Ð»ï¨³μ³ñ, 'm μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ 1 ; '2 ; : : : ; 'n ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 16.8): àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 2) åÝ¹Ù³Ýª f f f1 f2 fn = m1 m2 mn = m1 + m2 + ¢ ¢ ¢ + mn ; g '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n '1 '2 'n áñï»Õ ³ç Ù³ëÇ μáÉáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Ï³ÝáÝ³íáñ »Ý: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É 3) åÝ¹áõÙÇó: Ü»ñÏ³Û³óÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ 2), 3) åÝ¹áõÙÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ù³ë»ñÇó: ¤ úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ºÃ» g 2 P [x] áõÝÇï³ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª g = (x ¡ c1 )m1 ¢ (x ¡ c2 )m2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn )mn ;

ci 2 P ;

f 2 P (x) Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É g í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª Áëï å³ñ½³·áõÛÝ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ. ³å³

c11 c1m1 c21 c2 m2 f = + ¢¢¢ + + + ¢¢¢ + + ¢¢¢ g (x ¡ c1 )m1 x ¡ c1 (x ¡ c2 )m2 x ¡ c2 ¢¢¢ +

cnmn cn1 + ¢¢¢ + ; (x ¡ cn )mn x ¡ cn

áñï»Õ cimi 2 P : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» g μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ P ¹³ßïáõÙ ãáõÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñ ¨ g = (x ¡ c1 ) ¢ (x ¡ c2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn );

ci 2 P ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

f 2 P (x) Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù g Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª

³å³

a1 a2 an f = + + ¢¢¢ + ; g x ¡ c1 x ¡ c2 x ¡ cn

áñï»Õ a1 ; a2 ; : : : ; an 2 P , ci 6= cj , »Ã» i 6= j: ²Ûëï»ÕÇó, μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ g-áí, Ïëï³Ý³Ýùª f (ci ) = ai (ci ¡ c1 ) ¢ ¢ ¢ (ci ¡ ci¡1 )(ci ¡ ci+1 ) ¢ ¢ ¢ (ci ¡ cn ) = ai g 0 (ci ) ;

áñï»Õ g0 (ci ) 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ai =

f (ci ) g 0 (ci )

X f f (ci ) = : g g (ci )(x ¡ ci ) i=1

²Ûë μ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ È³·ñ³ÝÅÇ μ³Ý³Ó¨: 2) ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿, áñ Zp ¹³ßïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ g = xp ¡ x 2 Zp [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Zp ¹³ßïáõÙ xp ¡ x μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãáõÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï (Ã»áñ»Ù 16.16): Üß³Ý³Ï»Éáí [k] 2 Zp ¹³ëÁ k-áí ¨ û·ïí»Éáí ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇó áõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.4-Çó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª xp ¡ x = x(x ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (x ¡ (p ¡ 1)) :

àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ È³·ñ³ÝÅÇ ëï³óí³Í μ³Ý³Ó¨Ç, p¡1

X 1 = ¡ ; xp ¡ x x¡k k=0

áñáíÑ»ï¨ f = 1, ÇëÏ g = (x ¡ x) = pxp¡1 ¡ 1 = ¡1: 3) Â»áñ»Ù 16.19-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ g = xn ¡ 1 2 C[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïáõÙ ãáõÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï ¨ xn ¡ 1p = (x ¡ "0 )(x ¡ "1 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ "n ), áñï»Õ f"0 ; "1 ; : : : ; "n¡1 g = n 1 μ C: Ð»ï¨³μ³ñ, È³·ñ³ÝÅÇ μ³Ý³Ó¨Ç û·ÝáõÃÛ³Ùμ ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ n 2 C(x) Ï³ÝáÝ³íáñ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÇ Ñ»ï¨Û³É x ¡1 í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª

n¡1 n¡1 1X 1 X "i = : = xn ¡ 1 n i=0 "n¡1 n i=0 x ¡ "i (x ¡ "i ) i

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

16.8. ØÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³Ï ¨ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïª Áëï ïñí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¸Çóáõù P -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï ¿ ¨ ¹Çóáõù ïñí³Í ¿ h 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, áñÝ ³Ûëï»Õ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Ýí³Ý»É Ñ»Ýù Ï³Ù Ùá¹áõÉ: ºñÏáõ f1 ; f2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï h μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ f1 ´ f2 (mod h), »Ã» f1 ¡ f2 = f1 + (¡f2 ) ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ h-Ç íñ³: ê³ÑÙ³Ýí³Í §´¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 16.14: ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) f ´ f (mod h) ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ; (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ) μ) f1 ´ f2 (mod h) ¡! f2 ´ f1 (mod h); (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ) ·) f1 ´ f2 (mod h); f2 ´ f3 (mod h) ¡! f1 ´ f3 (mod h): ¤ (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) È»ÙÙ 16.15: àñå»ë½Ç f1 ; f2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï h 6= 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ f1 = hq1 + r ; f2 = hq2 + r ;

áñï»Õ r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(h): úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ºÃ» h = 0, ³å³ f1 ´ f2 (mod h) Ã! f1 = f2 ; 2) ºÃ» h = c 2 P , c 6= 0, ³å³ f1 ´ f2 (mod h) Ã! f1 ; f2 2 P [x] : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.16: ºÃ» f1 ´ f2 (mod h) ¨ f3 ´ f4 (mod h), ³å³ f1 § f3 ´ f2 § f4 (mod h) ¨ f1 f3 ´ f2 f4 (mod h) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²é³çÇÝ μ³Õ¹³ïáõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª f1 f3 ¡ f2 f4 = f1 f3 ¡ f2 f3 + f2 f3 ¡ f2 f4 = (f1 ¡ f2 )f3 + f2 (f3 ¡ f4 ) : ¤

f P [x] ï³ññÇ

Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý, ÏÉÇÝÇª

Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý

¹³ëÁ,

Áëï

[f ] = fg 2 P [x] j g ´ f(mod h)g : [f] Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ¹³ëÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇã Ï³Ù ÙÝ³óù, ÇëÏ [f ]-Á ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë: Àëï áñáõÙª [f ] = [f 0 ] Ã! f ´ f 0 (mod h) : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë,

f 0 2 [f ] ¡! f 0 ´ f (mod h) ¡! [f 0 ] = [f] : êï³óíáÕ μáÉáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇ . Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ P [x] (h)-áí, ³ÛëÇÝùÝª . P [x] (h) = f[f] j f 2 P [x]g :

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

Ð³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇ ³Ûë μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ý»Ýù ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý (³ñï³¹ñÛ³ÉÇ) Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª [f1 ] + [f2 ] = [f1 + f2 ] ; [f1 ] ¢ [f2 ] = [f1 ¢ f2 ] :

Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇ ³Ûë ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í ã»Ý Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» [f1 ] = [f10 ] ¨ [f2 ] = [f20 ], ³å³ f1 ´ f10 (mod h), f2 ´ f20 (mod h) ¨, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.16-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, f1 + f2 ´ f10 + f20 (mod h) ; ³ÛëÇÝùÝª

f1 ¢ f2 ´ f10 ¢ f20 (mod h) ; [f1 + f2 ] = [f10 + f20 ] ; [f1 ¢ f2 ] = [f10 ¢ f20 ] :

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

. Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.17: P [x] (h) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ûÕ³Ï ¿ ª Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë ûÕ³ÏÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ , ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ÏáãíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³Ýí³Í ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³Ïª Áëï ïñí³Í h μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ:

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý »Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýùáíª [f1 ] ([f2 ] + [f3 ]) = [f1 ][f2 ] + [f1 ][f3 ] : [0] ¹³ëÁ Ï³ï³ñáõÙ ¿ ½ñáÛÇ ¹»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª [f ] + [0] = [f + 0] = [f] : [¡f ] ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇ [f ]-Ç Ñ³Ï³¹ÇñÁ, áñáíÑ»ï¨ [f] + [¡f] = [f + (¡f)] = [0] : [1] ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇ ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÁ, áñáíÑ»ï¨ [f ] ¢ [1] = [f ¢ 1] = [f ] :

È»ÙÙ 16.16: 1) ºÃ» g 2 [f ], ³å³ d (g; h) Ã! d (f; h) : . 2) àñå»ë½Ç P [x] (h) ûÕ³ÏÇ [f ] ï³ññÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ f ¨ h μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½:

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõó»Ýù 1)-Á: ºÃ» g 2 [f ], ³å³ g ´ f (mod h), ³ÛëÇÝùÝª g ¡ f = hq, q 2 P [x], ¨ g = f + hq: ÆëÏ í»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ f , h ½áõÛ·Ç μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ g, h ½áõÛ·Ç μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý . Ñ»ï: ²å³óáõó»Ýù 2)-Á: ºÃ» [f ] 2 P [x] (h) ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ . . P [x] (h) ûÕ³ÏáõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ [f 0 ] 2 P [x] (h) ï³ññ, áñ [f ][f 0 ] = [1], ³ÛëÇÝùÝª [f ¢ f 0 ] = [1] ¨ f f 0 ´ 1(mod h),

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝª ff 0 ¡ 1 = hq Ï³Ù f f 0 + h(¡q) = 1 ¨ (f; h) = 1 (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ): Ð³Ï³é³Ï ù³ÛÉ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ.¿, áñ »Ã» (f; h) = 1, ³å³ [f ] 2 . P [x] (h) ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ P [x] (h) ûÕ³ÏáõÙ: ¤ . Â»áñ»Ù 16.23: P [x] (h) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ h-Á ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ : ²Ûë ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³Ýí³Í ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïª Áëï ïñí³Í h ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù h 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ ¨ [f] 2 . P [x] (h), áñï»Õ [f] 6= [0], ³ÛëÇÝùÝª f -Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ h-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.7-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, (f; h) = 1: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É É»ÙÙ 16.16-Çó: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, h μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ï³Ù Ñ³ëï³ïáõÝ ¿ Ï³Ù μ»ñíáÕ: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ Ï³Ùª .h = 0 Ï³Ùª h = c 2 P , c 6= 0: ºÃ» h = c 2 P , c 6= 0, ³å³ P [x] (h) ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ¨, . Ñ»ï¨³μ³ñ, ¹³ßï ã¿: ÆëÏ »Ã» h = 0, ³å³ P [x] (h) ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ã¿, áñáíÑ»ï¨ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ [f ] ï³ññ, áñï»Õ f -Á ï³ñμ»ñ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝÇó, Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿: ¸Çóáõù h-Á μ»ñíáÕ ¿, ³ÛëÇÝùÝª h = f1 ¢ f2 , áñï»Õ 0 < deg(f1 ) < deg(h), 0 < deg(f2 ) < deg(h): Ð»ï¨³μ³ñ, [f1 ] 6= [0], [f2 ] 6= [0] ¨ .

[f1 ] ¢ [f2 ] = [f1 ¢ f2 ] = [h] = [0] ;

³ÛëÇÝùÝª P [x] (h) ûÕ³ÏÝ, ³Ûë ¹»åùáõÙ, áõÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¹³ßï ã¿: ¤ . ø³ÝÇ áñ P [x] (h) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïáõÙª [c1 ] = [c2 ] Ã! c1 = c2 ; [c1 ] + [c2 ] = [c1 + c2 ] ; [c1 ] ¢ [c2 ] = [c1 ¢ c2 ] ;

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

. P [x] (h) ï³ññÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ . ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óÝ»É c 2 P ï³ññÇ Ñ»ï, áñÇ Ñ»ï¨³Ýùáí P [x] (h) ¹³ßïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ:

áñï»Õ c1 ; c2

P , ³å³ [c]

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ø³ÝÇ . áñ h = 1 + x + x μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ Z2 ¹³ßïáõÙ, ³å³ Z2 [x] (1 + x + x2 ) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï: Àëï áñáõÙ, . Z2 [x] (1 + x + x2 ) = f[0]; [1]; [x]; [x + 1]g :

²Ûëï»Õ Ù»Ýù û·ïí»óÇÝù ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ »Ã» ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý

Å³Ù³Ý³Ïª

f = hq + r;

áñï»Õ r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(h) ;

³å³ [f ] = [r]: ²ÛëåÇëáí, ÙÝáõÙ ¿ Ñ³ßí»É ëï³óíáÕ r 2 Z2 [x] ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÁ: ¸ñ³Ýù »Ýª 0, 1, x, x + 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: 2) ø³ÝÇ áñ h = 1 + . x + x μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ Z2 ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ Z2 [x] (1 + x + x3 ) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ¨ë ¹³ßï ¿: Àëï áñáõÙ, . © ª Z2 [x] (1 + x + x3 ) = [0]; [1]; [x]; [x + 1]; [x2 ]; [x2 + 1]; [x2 + x]; [x2 + x + 1] : 3) ºÃ» jP j = p, ÇëÏ h . 2 P [x] ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç, ³å³ P [x] (h) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïÇ Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇª pn , áñáíÑ»ï¨ h-Ç íñ³ μ³Å³Ý»Éáõó ëï³óíáÕ μáÉáñ r = b0 + b1 x + ¢ ¢ ¢ + bn¡1 xn¡1 ;

bi 2 P ;

ï»ëùÇ ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ μáÉáñ (b0 ; b1 ; : : : ; bn¡1 ) Ï³ñ·³íáñí³Í n-Û³ÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ, áñï»Õ b0 ; b1 ; : : : ; bn¡1 ï³ññ»ñÁ ÷á÷áËíáõÙ »Ý P μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: 4) ø³ÝÇ áñ h = . 1 + x2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R ¹³ßïáõÙ, ³å³ R[x] (1 + x2 ) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ¿ ¨ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñý ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª . R[x] (1 + x2 ) ' C :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Æñáù, ó³ÝÏ³ó³Í f 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ a; b 2 R ½áõÛ·, áñ f = (1 + x2 )q + (ax + b) ; áñï»ÕÇó [f ] = [ax + b] ¨ ¸ : [f ] ! (a; b) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ . R[x] ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙª (1 + x ) ! C: Àëï áñáõÙ, ¸(u + v) = ¸(u) + ¸(v) ¨ ¸(u ¢ v) = ¸(u) ¢ ¸(v) . ó³ÝÏ³ó³Í u; v 2 R[x] (1 + x2 ) ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 5) ò³ÝÏ³ó³Í P ¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñª . P [x] (x) ' P :

16.9. ¸³ßïÇ å³ñ½ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÝ»ñ ¸Çóáõù F ¹³ßïÁ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÝ ¿ ¨ ® 2 F : F -Ç μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³¹³ßï»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý P -Ý ¨ ®-Ý, ¨ë ÏÉÇÝÇ F -Ç »ÝÃ³¹³ßï ¨ ³Û¹ »ÝÃ³¹³ßïÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ PF [®]-áí: PF [®] 6 F »ÝÃ³¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ å³ñ½ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ ® 2 F ï³ññÇ ÙÇçáóáí (û·ÝáõÃÛ³Ùμ): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ PF [®]-Ý ÁÝÏ³Í ¿ F -Ç μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³¹³ßï»ñÇ Ù»ç, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý P -Ý ¨ ®-Ý, ³ÛëÇÝùÝª PF [®]Ý P -Ý ¨ ®-Ý å³ñáõÝ³ÏáÕ F -Ç ÷áùñ³·áõÛÝ (ÙÇÝÇÙ³É) »ÝÃ³¹³ßïÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» P1 6 PF [®] »ÝÃ³¹³ßïÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ P -Ý ¨ ®-Ý, ³å³ P1 = PF [®]: È»ÙÙ 16.17: ºÃ» F ¹³ßïÁ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÝ ¿ ¨ ® 2 F , ³å³ ¯ ¾ ½ ¯ f(®) 2 F ¯¯ f; g 2 P [x]; g(®) 6= 0 : PF [®] = g(®)

²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. F -Ç »ÝÃ³¹³ßï ¿, å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ P -Ý ¨ ®-Ý, ÁÝÏ³Í ¿ P -Ý ¨ ®-Ý å³ñáõÝ³ÏáÕ F -Ç ó³ÝÏ³ó³Í »ÝÃ³¹³ßïÇ Ù»ç: Ø³ëÙÝ³íáñ³å»ë, Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ ÁÝÏ³Í ¿ PF [®]-Ç Ù»ç: ¤

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

® 2 F ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï P 6 F ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ³ÛÝåÇëÇ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ f (®) = 0: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª ®-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý P 6 F ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: ø³ÝÇ áñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿, ³å³ ÏÉÇÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ Ý³¨ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Q[x] μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ØÛáõë ÏáÕÝÇó, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý f 2 Q[x] μ³½Ù³Ý¹³Ù R-áõÙ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³ñÙ³ïÝ»ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, R-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ù»Ý³ß³ïÁ Ñ³ßí»ÉÇ Ãíáí ï³ññ»ñ, áñáÝù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý »Ý Q-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ø³ÝÇ áñ R-Á Ñ³ßí»ÉÇ ã¿, ³å³ R-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ï³ññ»ñ, áñáÝù ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï »Ý Qp Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Û¹åÇëÇÝ »Ý, ûñÇÝ³Ï, ¼, e, 2 2 Ãí»ñÁ: PF [®] å³ñ½ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï, »Ã» ® 2 F ï³ññÁ ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï ¿ P 6 F ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ª Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý, »Ã» ® 2 F ï³ññÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ¿ P 6 F ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ¸³ßïÇ å³ñ½ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÝ»ñÁ ÝÏ³ñ³·ñíáõÙ (μÝáõÃ³·ñíáõÙ) »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åùáí: Â»áñ»Ù 16.24: 1) P 6 F ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í PF [®] ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ç½áÙáñý ¿ é³óÇáÝ³É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ P (x) ¹³ßïÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª PF [®] ' P (x)

ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 F ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: 2) P 6 F ¹³ßïÇ . ó³ÝÏ³ó³Í PF [®] Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ç½áÙáñý ¿ P [x] (') ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïÇÝ, áñï»Õ ' 2 P [x]

μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ '(®) = 0 (ûñÇÝ³Ï, áñå»ë ' Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ³ÛÝ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ '(®) = 0):

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» ®-Ý ïñ³Ýëó»Ý¹»Ýï ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ g(®) 6= 0 ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: f f (®) -Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ó³ÝÏ³ó³Í 2 P (x) é³óÇáÝ³É Ð»ï¨³μ³ñ, g(®) g Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ: ØÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É, áñ ¹:

f (®) f ¡! g g(®)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿ P (x) ¨ PF [®] (ï»ë Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÁ) ¹³ßï»ñÇ ÙÇç¨, ³ÛëÇÝùÝª ë³ÑÙ³Ýí³Í ¹ : P (x) ! PF [®] ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ¿ ¨ ¹(u + v) = ¹(u) + ¹(v) ; ¹(u ¢ v) = ¹(u) ¢ ¹(v) :

úñÇÝ³Ï, ëïáõ·»Ýù ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ, »ÉÝ»Éáí ®-Ç ïñ³Ýëó»Ý¹»ÝïáõÃÛáõÝÇó. μ ¶ μ ¶ f1 f (®) f2 f1 (®) ¹ = 2 ¡! =¹ ¡! g1 g2 g1 (®) g2 (®) ¡! f1 (®)¢(g1 (®))¡1 = f2 (®)¢(g2 (®))¡1 ¡! f1 (®)¢g2 (®) = f2 (®)¢g1 (®) ¡! ¡! f1 (®) g2 (®) ¡ f2 (®) g1 (®) = 0 ¡! (f1 g2 ¡ f2 g1 )® = 0 ¡! ¡! f1 g2 ¡ f2 g1 = 0 ¡!

f1 f2 = : g1 g2

¹ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ ÙÛáõë »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ: 2) ¸Çóáõù ® 2 F ï³ññÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ¿ P 6 F ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ f (®) = 0, áñï»Õ f 2 P [x], f 6= c 2 P : ø³ÝÇ áñ (Ã»áñ»Ù 16.5), f = '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n , áñï»Õ '1 ¢ '2 ¢ ¢ ¢ 'n 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ãμ»ñíáÕ »Ý P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ f (®) = '1 (®)¢ '2 (®) ¢ ¢ ¢ 'n (®) = 0, áñï»ÕÇó 'i (®) = 0 áñ¨¿ i = 1; 2; : : : ; n ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ: ²ÛëåÇëáí, Ï³ñáÕ »Ýù »ÝÃ³¹ñ»É, áñ ® Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÙÇßï ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ' 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ '(®) = 0: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³Û¹åÇëÇ ' ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, áñáíÑ»ï¨ »Ã» '(®) = '0 (®) = 0, ³ÛëÇÝùÝª ' ¨ '0 ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ® 2 F ³ñÙ³ï, ³å³ Ýñ³Ýù ÏÉÇÝ»Ý ½áõ·áñ¹í³Í (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.8): . Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.23-Ç, P [x] (') ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ¯ ¾ ½ ¯ f (®) ¯ 2 F ¯ f; g 2 P [x]; g(®) 6= 0 = ff (®) 2 F j f 2 P [x]g : g(®)

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

²ç Ù³ëÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÁÝÏ³Í ¿ Ó³Ë Ù³ëÇ Ù»ç: ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ø³ÝÇ áñ g(®) 6= 0, ³å³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.7) g ¨ ' μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ g0 ; '0 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ gg 0 + ''0 = 1 f (®) = f(®)g 0 (®): ¨ g(®)g0 (®) + '(®)'0 (®) = 1 Ï³Ù g(®)g0 (®) = 1 ¨ g(®) f (®) Ïáïáñ³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ f ¢ g0 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ àõëïÇ, g(®) ³ñÅ»ùÇÝ ® 2 F Ï»ïáõÙ: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 16.17-Ç, PF [®] = ff (®) 2 F j f 2 P [x]g : ²ÛÝáõÑ»ï¨, f1 ; f2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª f1 (®) = f2 (®) Ã! f1 ´ f2 (mod ') : Æñáù, »Ã» f1 ´ f2 (mod '), ³å³ f1 ¡ f2 = 'q ¨

f1 (®) ¡ f2 (®) = '(®) q(®) = 0 : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» f1 (®) ¡ f2 (®) = 0, ³å³ f1 ¡ f2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáõÝ»Ý³ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ® 2 F ³ñÙ³ï ' 2 P [x] ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ»ï ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, f1 ¡ f2 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ïμ³Å³ÝíÇ '-Ç íñ³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 16.7): ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ¹ : [f ] ! f(®) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ . Ç½áÙáñýÇ½Ù P [x] (') ¨ PF [®] ¹³ßï»ñÇ ÙÇç¨: ¤

16.10. ´³½Ù³Ý¹³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßï: ÎñáÝ»Ï»ñÇ ¨ ¶³Éáõ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ ºÃ» f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ deg(f ) > 2, ³å³ ³ÛÝ ãáõÝÇ ³ñÙ³ï P -áõÙ: Â»áñ»Ù 16.25: P ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃáõÛÝ áõÝÇ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåÇëÇ .F ¹³ßï, áñï»Õ f -Ý áõÝÇ ³ñÙ³ï: àñå»ë F Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É P [x] (f ) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïÁ:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, »Ã» f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ . ãμ»ñíáÕ ¿ P ¹³ßïáõÙ, ³å³ P [x] (f ) ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ¹³ßï ¿ (Ã»áñ»Ù 16.23), ÇëÏ ® = [x] 2

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

. P [x] (f ) ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ³ñÙ³ï f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ 0 = [0] = [f] = [a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn ] = [a0 ] + [a1 x] + ¢ ¢ ¢ + [an xn ] = = a0 + a1 [x] + ¢ ¢ ¢ + an [x]n = f ([x]) = f(®) :

Â»áñ»Ù 16.24-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

. F = P [x] (f ) = PF [®] :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.13 : ò³ÝÏ³ó³Í P ¹³ßïÇ ¨ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåñëÇ F ¹³ßï, áñï»Õ f -Ý áõÝÇ ³ñÙ³ï: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ P ¹³ßïáõÙª f = c ¢ 'n1 1 ¢ 'n2 2 ¢ ¢ ¢ 'ns s : Ð³Ù³Ó³ÛÝ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ F > P ¹³ßï ¨ ³ÛÝåÇëÇ c1 2 F ï³ññ, áñ '1 (c1 ) = 0: Ð»ï¨³μ³ñ f (c1 ) = 0: ¤

Â»áñ»Ù 16.26 (ÎñáÝ»Ï»ñ): ò³ÝÏ³ó³Í P ¹³ßïÇ ¨ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåÇëÇ P 0 ¹³ßï, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f -Á í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ³ÛëÇÝùÝª f = c(x ¡ c1 )(x ¡ c2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn ) ;

áñï»Õ c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 P 0 , n = deg(f ) > 1:

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n = deg(f ) > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: ºÃ» n = 1, ³å³ f-Á ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É P 0 = P : ºÃ» n = deg(f ) > 1, ³å³ f -Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ ' 2 P [x] ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³ (É»ÙÙ 16.9), ³ÛëÇÝùÝª f = ' ¢ q: ê³Ï³ÛÝ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.25-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ F > P ¹³ßï, áñÁ å³ñáõÝ³ÏááõÙ ¿ '-Ç áñ¨¿ c ³ñÙ³ï: Ð»ï¨³μ³ñ, ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, F [x]-áõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ' = (x ¡ c)q1 ¨ f = ' ¢ q = (x ¡ c)q1 q, áñï»Õ 0 < deg(q1 q) = n ¡ 1 < n: ØÝáõÙ ¿ q1 q μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏÇñ³é»É í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ: ¤

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

P ¹³ßïÇ F ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßï, »Ã» F -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ f -Á í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ F -Á ãáõÝÇ ÝáõÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ »ÝÃ³¹³ßï:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.14: Ð³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßï: ²å³óáõóáõÙ: Àëï ÎñáÝ»Ï»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P ¹³ßïÇ ³ÛÝåÇëÇ P 0 ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f -Á í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª f = c(x ¡ c1 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ cn ), áñï»Õ c1 ; : : : ; cn 2 P 0 , n = deg(f): àñáÝ»ÉÇ F ¹³ßïÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ P 0 Ç μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³¹³ßï»ñÇ Ñ³ïÙ³ÝÁ, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý P -Ý ¨ c1 ; : : : ; cn 2 P 0 ï³ññ»ñÁ: ¤

²Ûë ï»ë³Ï»ïÇó û·ï³Ï³ñ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ: f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë»å³ñ³μ»É, »Ã» ³ÛÝ ãáõÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï P ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý Ù»ç: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ë»å³ñ³μ»É:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.18: f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ ë»å³ñ³μ»É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ f ¨ f 0 μ³½Ù³Ý¹³Ù»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 16.19-Çó ¨ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 16.6-Çó:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 16.19: ¼ñá μÝáõÃ³·ñÇãáí ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ ¤ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ë»å³ñ³μ»É ¿ : P ¹³ßïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý ÷³Ï, »Ã» Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù P ¹³ßïáõÙ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ³ñÙ³ï, ³ÛëÇÝùÝª Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù P [x]-áõÙ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ²ÛëåÇëáí, μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý ÷³Ï ¿ (Ã»áñ»Ù 16.6): ê³Ï³ÛÝ í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý ÷³Ï ã»Ý: Æñáù, »Ã» P ¹³ßïÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ P = fa0 ; a1 ; : : : ; an g, ³å³ f = (x ¡ a0 )(x ¡ a1 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ an ) + 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãáõÝÇ ³ñÙ³ï P -áõÙ, áñï»Õ 1-Á P ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ²é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý Ýß»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 16.27 (Þï»ÛÝÇó): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ßï Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý ÷³Ï ¹³ßïÇ »ÝÃ³¹³ßï, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý ÷³Ï ¹³ßïÇ: ¤ P ¹³ßïÇ P 0 ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ, »Ã» P 0 ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï:

Â»áñ»Ù 16.28 (Þï»ÛÝÇó): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ P ¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P -Ç Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåÇëÇ P 0 ¹³ßï, áñÁ Ý³¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý ÷³Ï ¿ : ¤

Ü³Ëù³Ý ¶³Éáõ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÇÝ ³ÝóÝ»ÉÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ³å³óáõó»É ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ μ³Ý³Ó¨Áª Ï³Ù³Û³Ï³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³ÏáõÙ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßïáõÙ): ò³ÝÏ³ó³Í n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ 0 6 k 6 n, ë³ÑÙ³Ý»Ýùª μ ¶ n! n! n = ; áñï»Õ 0! = 1 : = k k!(n ¡ k)! (n ¡ k)!(n ¡ (n ¡ k))! ³n´ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇó: ²Ûë k È»ÙÙ 16.18: î»ÕÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª μ ¶ μáõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ¶ n n 1) ; (êÇÙ»ïñÇÏáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù) = k n¡k μ ¶ μ ¶ μ ¶ n+1 n n 2) , (ä³ëÏ³ÉÇ ûñ»Ýù) = + k k k¡1 áñï»Õ 1 6 k 6 n: μ ¶ n ²å³óáõóáõÙ: 1)-Ç ³å³óáõóáõÙÁ Ýßí³Í ¿

-Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç:

k ²å³óáõó»Ýù 2)-Á: μ ¶ μ ¶ n! n! n n + = + = k k¡1 k! (n ¡ k)! (k ¡ 1)! (n ¡ k + 1)! n! (n ¡ k + 1 + k) n! (n ¡ k + 1) + n! k = = k! (n ¡ k + 1)! k! (n ¡ k + 1)! μ ¶ (n + 1)! n! (n + 1) n+1 = = : = k k! (n ¡ k + 1)! k! (n + 1 ¡ k)! =

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

¶ n »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÁ μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ ª k ó³ÝÏ³ó³Í n > 0 ¨ ó³ÝÏ³ó³Í 0 6 k 6 n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 2) ºÃ» K -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 K ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ n n n n (x+y)n = xn + xn¡1 y + ¢ ¢ ¢+ xy n¡1 + yn : n¡1 n Â»áñ»Ù 16.29: 1)

Ð³Ù³éáïª (x + y)n =

¶ n μ X n xn¡k y k : k k=0

²Ûë μ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ (Ï³Ù »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ) μ³Ý³Ó¨: μ ¶ p 3) ºÃ» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ , ÇëÏ 1 6 k 6 p ¡ 1, ³å³ k »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, p μÝáõÃ³·ñÇãáí P ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (x + y)p = xp + y p , (üñáμ»ÝÇáõëÇ ûñ»Ýù) n n n (x + y)p = xp + y p , (üñáμ»ÝÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ûñ»Ýù) Ï³Ù³Û³Ï³Ý n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: μ ¶ n ²å³óáõóáõÙ: 1) ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÁ k μ ¶ n μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, »Ã» n = 0 Ï³Ù k = 0 (³Û¹ »ñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿Éª = 1): k ØÝ³ó³Í ¹»åù»ñáõÙ 1) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ë A(n)áí Ýß³Ý³Ï»Ýù Ñ»ï¨Û³ÉμåÝ¹áõÙÁª §n-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ ó³ÝÏ³ó³Í k > 1 ¶ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ -Ý μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿¦: ²ÛÅÙ, í»ñÑ³Ý·Ù³Ý k »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù, áñ A(n) åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ª ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 ¹»åùáõÙ: Æñáù, n = 1 ¹»åùáõÙ A(n)-Á ×Çßï ¿ ¨ »Ã» A(n)-Á ×Çßï ¿ n-Çó ÷áùñ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³å³ A(n)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ×Çßï, áñáíÑ»ï¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ä³ëÏ³ÉÇ ûñ»ÝùÇ, μ ¶ μ ¶ μ ¶ n n¡1 n¡1 = + ; k k k¡1

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ ³ç Ù³ëÇ »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÝ ¿É μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: 2) ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ μ³Ý³Ó¨Ý ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: n = 1 ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿: ¸Çóáõù n > 1 ¨ ¹Çóáõù μ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ n-Çó ÷áùñ μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³ßí»Ýù (x + y)n -Áª û·ïí»Éáí ûÕ³ÏÇ ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó. μμ ¶ μ ¶ n¡1 n¡1 xn¡1 + xn¡2 y + ¢ ¢ ¢ (x+y)n = (x+y)(x+y)n¡1 = (x+y) μ

¶ μ ¶ ¶ μ ¶ n¡1 n¡1 n¡1 n¡1 n + y xn¡1 y + ¢ ¢ ¢ = x + n¡1 μ ¶ μ ¶ μ ¶ n¡1 n¡1 n¡1 xn¡1 y + xn¡2 y 2 + ¢ ¢ ¢ + xy n¡1 + n¡1 μ ¶ μμ ¶ μ ¶¶ μ ¶ n¡1 n¡1 n¡1 n¡1 n n x + + xn¡1 y+ + y = n¡1 μμ ¶ μ ¶¶ n¡1 n¡1 + + xn¡2 y 2 + ¢ ¢ ¢ μ ¶ μμ ¶ μ ¶¶ n¡1 n¡1 n¡1 n¡1 + yn = + + xy n¡1 n¡1 n¡2 μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ n n n n n n¡1 n¡1 x y + ¢¢¢ + xy + yn : = x + n¡1 n

ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëï³óí»ó Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ä³ëÏ³ÉÇ ûñ»ÝùÇ: 3) ²å³óáõó»Ýù, áñ μ ¶ p¢t p(p ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (p ¡ k + 1) p = = k 1 ¢ 2¢¢¢k s

μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñï»Õ t = (p ¡ 1)(p ¡ 2) ¢ ¢ ¢ (p ¡ k + 1), s = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ k, p¢t μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³: Æñáù, »Ã» = m, ³å³ p ¢ t = m ¢ s, ³ÛëÇÝùÝ s m¢ s ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³, áñï»Õ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.4-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, s-Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, áñáíÑ»ï¨ s = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ k: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, m-Á Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³:

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

ºÃ» P ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ p å³ñ½ ÃíÇÝ, ³å³ ¢ ¢ + 1) = a(0| + ¢ ¢ ¢ + 0) = a ¢ 0 = 0, áñï»Õ (`p)a = a ¢ ¢ + a} = a(1| + ¢{z } {z } | + ¢{z a 2 P, ¨

(x + y)p =

¶ p μ X p xp¡k y k = xp + yp ; k

k=0

áñáíÑ»ï¨, ³Ûë ¹»åùáõÙ, ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³Ù³ÛÇÝ μ³Ý³Ó¨Ç ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ, μ³ó³éáõÃÛ³Ùμ ³é³çÇÝÇó ¨ í»ñçÇÝÇó, Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ: üñáμ»ÝÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ûñ»ÝùÁ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n-Ç: ¤ Â»áñ»Ù 16.30 (¶³Éáõ³): ò³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ ¹³ßï, áñÇ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ×Çßï Ñ³í³ë³ñ ¿ pn -Ç:

²å³óáõóáõÙ: Üß³Ý³Ï»Ýù q = pn ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù f = xq ¡ x 2 Zp [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: ÎñáÝ»Ï»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Zp ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåÇëÇ F ¹³ßï, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f -Á í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: S-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù f-Ç μáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ F ¹³ßïáõÙª S = fc 2 F j f (c) = 0g : ø³ÝÇ áñ f 0 = qxq¡1 ¡ 1 = pn xq¡1 ¡ 1 = 0 ¡ 1 = ¡1, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.19-Ç, f -Á ãáõÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï, ³ÛëÇÝùÝª f -Ç μáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ å³ñ½ »Ý: ²ÛëåÇëáí, F ¹³ßïáõÙ f-Ý áõÝÇ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ q Ñ³ï ³ñÙ³ïÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝ S μ F »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½Ùí³Í ¿ ×Çßï q = pn ï³ññ»ñÇó: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ S-Á F Ç »ÝÃ³¹³ßï ¿, ³ÛëÇÝùÝ S-Á ¹³ßï ¿ F -Ç + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Æñáù, »Ã» ®; ¯ 2 S, ³å³ ®q ¡ ® = 0, ¯ q ¡ ¯ = 0 ¨ ®q = ®, ¯ q = ¯: Ð»ï¨³μ³ñ, (® ¢ ¯)q = ®q ¢ ¯ q = ® ¢ ¯ ; ¨, üñáμ»ÝÇáõëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ûñ»ÝùÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, (® ¡ ¯)q = (® + (¡¯))q = ®q + (¡¯)q = ®q + (¡(¯)q ) = ® + (¡¯) = ® ¡ ¯ ; ³ÛëÇÝùÝª ® ¢ ¯ 2 S ¨ ® ¡ ¯ 2 S: ÆëÏ »Ã» ° 2 S ¨ ° 6= 0, ³å³ ° q = ° Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ ° q¡1 = 1 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª ° ¢

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

° q¡2 = 1 ¨ ° ¡1 = ° q¡2 2 S, ù³ÝÇ áñ S-Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (q = pn > 2): ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 16.15 ºÃ» p-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ , 1 6 n-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý μÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ , ÇëÏ q = pn , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f = xq ¡ x 2 Zp [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßïª Ï³½Ùí³Í q Ãíáí ï³ññ»ñÇó: ²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É, áñ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï Ï³éáõóí³Í S ¹³ßïÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Zp μ F ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ, ³ÛëÇÝùÝª Zp μ S: Æñáù, Áëï ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ, »Ã» ® 2 Zp ¨ ® 6= 0, ³å³ ®p¡1 = 1, áñï»Õ 1-Á Zp -Ç ÙÇ³íáñÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ®p = ® ³ñ¹»Ý ´ áñï»ÕÇó ³ ´ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 Zp ï³ññÇ ³ Ñ³Ù³ñ,

n¡1

®p = ®p = ®, ®p = ®p = ®p = ®, : : :, ®p = ®p = ®p = ®, q ³ÛëÇÝùÝª f (®) = ® ¡ ® = 0 ¨ ® 2 S ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 Zp ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ²ÛëåÇëáí, Zp μ S: ²Ûë Ý»ñ¹ñáõÙÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ã»áñ»Ù 14.17-Çó:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ 1. ¸Çóáõù P -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ P [x] ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ã¿:

¿:

²å³óáõó»É,

2. ¸Çóáõù P -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï ¿: ®; ¯ 2 P [x] ¨ ® = ê³ÑÙ³Ý»Ýùª

®(¯) =

n X i=0

n P

áñ

ai xi :

i=0

ai ¯ i 2 P [x] :

²å³óáõó»É ³Í³ÝóÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝÁª

(®(¯)) = ®0 (¯) ¢ ¯ 0 : 3. ²å³óáõó»É, áñ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ

»Ã» ®; ¯ å³ñ½ »Ý,

P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ³å³ ®(°); ¯(°) P [x]

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ª ó³ÝÏ³ó³Í ° 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: 4. ²å³óáõó»É, áñ Z4 [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ Ï³½Ùí³Í »Ý μáÉáñ ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó, áñáÝó ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ½áõÛ· »Ý: 5. ²å³óáõó»É, áñ f 2 Z4 [x] ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Z4 [x] ûÕ³ÏáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ ³½³ï ³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1 Ï³Ù 3, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ½áõÛ· »Ý: 6. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ® 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ»ñíáÕ ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ¿ Ý³¨ ®(¯) 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁª Ñ³ëï³ïáõÝÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í ¯ 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ: 7. ²å³óáõó»É, áñ . . . Z3 [x] (x2 + 1) ' Z3 [x] (x2 + x ¡ 1) ' Z3 [x] (x2 ¡ x ¡ 1) : 8. ²å³óáõó»É, áñ . . Z3 [x] (x3 ¡ x ¡ 1) ' Z3 [x] (x3 ¡ x2 + x + 1) :

9. ²å³óáõó»É, áñ

. P [x] (x + 1) ' P :

10. ²å³óáõó»É, áñ p μÝáõÃ³·ñÇãáí P ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í x1 ; x2 ; : : : ; xm 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª p (x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xm ) = xp1 + xp2 + ¢ ¢ ¢ + xpm :

11. ²å³óáõó»É, áñ p μÝáõÃ³·ñÇãáí P ¹³ßïÇ ó³ÝÏ³ó³Í x1 ; x2 ; : : : ; xm 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª pn

(x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xm )

= xp1 + xp2 + ¢ ¢ ¢ + xpm ;

ó³ÝÏ³ó³Í n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

12. ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, Q(+; ¢)-Á ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, áñï»Õ px = 0 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª n n n (x + y)p = xp + y p ; ó³ÝÏ³ó³Í n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: 13. ²å³óáõó»É, áñ ¶³áõëÛ³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ f = 1 + x2 2 Q[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßï: 14. ²å³óáõó»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C ¹³ßïÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ f = 1 + x2 2 R[x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßï:

15. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» F -Á í»ñç³íáñ ¹³ßï ¿ Ï³½Ùí³Í pn Ãíáí nt ï³ññ»ñÇó, ³å³ ®p = ® ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 F ï³ññÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í t > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: 16. ì»ñç³íáñ ¹³ßïÇ ë»å³ñ³μ»É ¿:

ÝÏ³ïÙ³Ùμ

ãμ»ñíáÕ

μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ

17. ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, q = pn , n 2 N , Fq -Ý q ï³ññ³ÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ ¹³ßï ¿, ÇëÏ ªq (n)-Á Fq í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ μáÉáñ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ãμ»ñíáÕ ¨ áõÝÇï³ñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª 1 X n ªq (n) = ¹(d) q d ; n n=d ; d>0

áñï»Õ ¹-Ý ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: úñÇÝ³Ï, ª2 (2) = (22 ¡ 2) = 1 ; ª2 (3) = (23 ¡ 2) = 2 ; ª2 (4) = (24 ¡ 2) = 3 ; ª2 (5) = (25 ¡ 2) = 6 ; ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢

¶ÉáõË 16 ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð

18. ÜÏ³ñ³·ñ»É μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μáÉáñ ³ÛÝ (n; m) ½áõÛ·»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ xn + xm + 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ Z2 Ï³Ù Z3 ¹³ßïáõÙ (ãÉáõÍí³Í ËÝ¹Çñ): 19. ÜÏ³ñ³·ñ»É μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μáÉáñ ³ÛÝ (n; m; k) »éÛ³ÏÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ xn + xm + xk + 1 μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ Z2 Ï³Ù Z3 ¹³ßïáõÙ (ãÉáõÍí³Í ËÝ¹Çñ): 20. ²å³óáõó»É, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßï»ñ Ç½áÙáñý »Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñ Ç½áÙáñý »Ý:

¶ É áõ Ë 17 ¶Ì²ÚÆÜ (ìºÎîàð²Î²Ü) î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð 17.1. ¶Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ: ¶Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝ ¨ ³ÝÏ³ËáõÃÛáõÝ: ¶Í³ÛÇÝ

Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÁ

Î¹Çï³ñÏ»Ýù ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: ²Ûëï»Õ P ¹³ßïÇ ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ (å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É P = R): Ð³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ýù ÁÝ¹³ÏÝ»ñÇ, ³ÛëÇÝùÝª ûμÛ»ÏïÝ»ñÇ (Ãí»ñÇ, í»ÏïáñÝ»ñÇ, Ù³ïñÇóÝ»ñÇ, μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ, ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ¨ ³ÛÉÝ), áñáÝó ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáõÙ »Ý ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: Î³ë»Ýù, áñ 1) Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç (Ñ»ï) ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ (®; x) Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ u 2 Q ï³ññ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª u = ®x; 2) Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ·áõÙ³ñÙ³Ý (·áõÙ³ñ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ (x; y) Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ v 2 Q ï³ññ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª v = x + y: Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É áõÃ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ (³ùëÇáÙÝ»ñÁ). (1) (x + y) + z = x + (y + z) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (·áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ); (2) x + y = y + x ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ); (3) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0 2 Q ï³ññ, áñ x+0 = 0+x = x

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³Ûë 0 2 Q ï³ññÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ½ñá Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ: Æñáù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í »ñÏáõ 01 ¨ 02 ï³ññ»ñ, ³å³ 01 = 01 + 02 = 02 ; (4) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 Q ï³ññ, áñ x + x0 = x0 + x = 0 : ¶áõÙ³ñÙ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ ³Ûë x0 2 Q ï³ññÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ xÇ Ñ³Ï³¹Çñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª x0 = ¡x: Ð»ï¨³μ³ñ, x0 -Ç Ñ³Ï³¹ÇñÝ ¿É ÏÉÇÝÇ x-Áª ¡(x0 ) = x, ³ÛëÇÝùÝª ¡(¡x) = x; (5) ®(¯x) = (®¯)x ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; (6) ®(x + y) = ®x + ®y ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; (7) (®+¯)x = ®x+¯x ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; (8) 1x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ 1Á P ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ²Ûë ¹»åùáõÙ QÝ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝª ïñí³Í ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ; Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù Q(+)Á ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝª áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ (ÝÏ³ïÙ³Ùμ); QÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) àõÕÕÇ íñ³ ·ïÝíáÕ μáÉáñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ª í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ í»ÏïáñÁ (Ó³ËÇó) Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2) Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç) ·ïÝíáÕ μáÉáñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ª ÝáõÛÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ; 3) Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí μáÉáñ nëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Rn μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ª nëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ nëÛáõÝ³ÏÁ (Ó³ËÇó) Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ë¨»éí³Í ¿); 4) Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí μáÉáñ nïáÕ»ñÇ Rn μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ª nïáÕ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ nïáÕÁ (Ó³ËÇó) Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ë¨»éí³Í ¿); 5) Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí μáÉáñ n £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Rn£m μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ù³ïñÇóÁ (Ó³ËÇó) Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (n; m 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ë¨»éí³Í »Ý); 6) ÜáõÛÝ Ó¨áí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ P ¹³ßïÇ ï³ññ»ñáí (³ÛëÇÝùÝª P Ç íñ³ áñáßí³Í) μáÉáñ n £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ P n£m ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁª Ï³Ù³Û³Ï³Ý P ¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ëï³ÝáõÙ »Ýù P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ nëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ P n ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¨ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ nïáÕ»ñÇ Pn ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁª Ï³Ù³Û³Ï³Ý P ¹³ßïÇ Ñ³Ù³ñ; 7) P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ª μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ (Ó³ËÇó) ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 8) Ø»Ï ï³ññÇó Ï³½Ùí³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: 9) ºÃ» F (+; ¢)Á ¹³ßï ¿, ³å³ F Á ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ áñáßí³Í Çñ íñ³, áñï»Õ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý F ¹³ßïÇ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï (®x = ® ¢ x): ÜÏ³ï»Ýù, áñ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý x+ y = y+x ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ÙÛáõë ³ùëÇáÙÝ»ñÇó: Æñáù, x + x + y + y = (1 + 1)(x + y) = x + y + x + y : ºÃ» QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ³å³

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ, áñáÝù Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ »Ý í»ÏïáñÝ»ñ, ÇëÏ ÇÝùÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁª í»Ïïáñ³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿: ¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ, μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí, Ý»ñÙáõÍíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. x ¡ y = x + (¡y) : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, x ¡ x = x + (¡x) = 0: È»ÙÙ 17.1: ºÃ» QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ

³) 0x = 0 = ®0, (Ó³ËÇó ·ñí³Í 0Ý ½ñá ëÏ³ÉÛ³ñÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª P ¹³ßïÇ ½ñáÝ ¿ ) μ) (¡1)x = ¡x, ·) ¡(®x) = (¡®)x = ®(¡x), (¡®)(¡x) = ®x, ¹) (® ¡ ¯)x = ®x ¡ ¯x, ») ®(x ¡ y) = ®x ¡ ®y , ½) ® 6= 0; x 6= 0 ¡! ®x 6= 0 Ï³Ù áñ ÝáõÛÝÝ ¿ ª ®x = 0 ¡! ® = 0 Ï³Ù x = 0:

²å³óáõóáõÙ: ³) ®x = (® + 0)x = ®x + 0x: êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí ¡(®x), Ïëï³Ý³Ýùª 0x = 0: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ ®0 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: μ) 0 = 0x = (1 + (¡1))x = 1x + (¡1)x = x + (¡1)x: Ð»ï¨³μ³ñ, ¡x = (¡1)x: ·) 0 = 0x = (®+ (¡®))x = ®x + (¡®)x: Ð»ï¨³μ³ñ, ¡(®x) = (¡®)x: ²ÛÝáõÑ»ï¨, 0 = ®0 = ®(x + (¡x)) = ®x + ®(¡x): Ð»ï¨³μ³ñ, ¡(®x) = ®(¡x): ºí (¡®)(¡x) = ¡(®(¡x)) = ¡(¡(®x)) = ®x: ¹) (® ¡ ¯)x = (® + (¡¯))x = ®x + (¡¯)x = ®x + (¡(¯x)) = ®x ¡ ¯x: ») ®(x ¡ y) = ®(x + (¡y)) = ®x + ®(¡y) = ®x + (¡(®y)) = ®x ¡ ®y:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

½) ¸Çóáõù ®x = 0 ¨ ® 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï ¹³ßïÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ®¡1 2 P Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ¨ ®¡1 (®x) = ®¡1 0 = 0 ; ¡ ¡1 ¢ ® ® x = 0; 1x = 0 ; x=0 : ²ÛëåÇëáí, »Ã» ®x = 0, ³å³ Ï³Ù ® = 0 Ï³Ù x = 0:

ø³ÝÇ áñ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³å³ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) ·áõÙ³ñÁ Ï³Ëí³Í ã¿ ÷³Ï³·Í»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÇó ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí ·ñíáõÙ ¿ ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇ (Ã»áñ»Ù 1.3): Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí. (®1 ®2 : : : ®n ) x = ®1 (®2 (: : : ®n¡1 (®n x) : : :)) ; ® (x1 + ¢ ¢ ¢ + xn ) = ®x1 + ¢ ¢ ¢ + ®xn ; (®1 + ¢ ¢ ¢ + ®n ) x = ®1 x + ¢ ¢ ¢ + ®n x :

¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ý»ñÙáõÍíáõÙ »Ý Ýñ³Ýó ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý ¨ ³ÝÏ³ËáõÃÛ³Ý Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ü³Ë Ï³ë»Ýù, áñ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý x 2 Q ï³ññÁ (í»ÏïáñÁ) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ Ýñ³ x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 Q ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) ÙÇçáóáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; ®2 ; : : : ; ®n 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ, áñ x = ®1 x1 + ®2 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®n xn : ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ x1 ; x2 ; : : : ; xn ï³ññ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ½áõ·³ÏóáõÃÛáõÝ (ÏáÙμÇÝ³óÇ³): Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) y1 ; y2 ; : : : ; ym í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

·Í³ÛÝáñ»Ý (·Íáñ»Ý) Ï³ËÛ³É (Ï³Ëí³Í), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; ®2 ; : : : ; ®m 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿ ¨ ®1 y 1 + ®2 y 2 + ¢ ¢ ¢ + ®m y m = 0 (³Ûë ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝ): Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, QÇ ï³ññ»ñÇ y1 ; y2 ; : : : ; ym í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý (·Íáñ»Ý) ³ÝÏ³Ë, ³ÛëÇÝùÝª »ñμ ®1 y1 + ®2 y2 + ¢ ¢ ¢ + ®m ym = 0 ¡! ®1 = ®2 = ¢ ¢ ¢ = ®m = 0 : úñÇÝ³Ï, ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿: ºÃ» y1 ; y2 ; : : : ; ym í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý (Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç) ÙÇ ù³ÝÇ ï³ññ»ñÇ Ñ»é³óáõÙÇó ëï³óíáõÙ ¿ yi1 ; : : : ; yin Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, ³å³ »ñÏñáñ¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³çÇÝÇ »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ (»ÝÃ³Ñ³Ù³Ï³ñ·), ÇëÏ ³é³çÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹Ç í»ñç³íáñ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ (Áëï áñáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ Çñ »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ Çñ í»ñç³íáñ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ): ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ ¨ë ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿, ÇëÏ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ë ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: È»ÙÙ 17.2: 1) àñå»ë½Ç Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ y1 ; y2 ; : : : ; ym Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ yi (i = 1; 2; : : : ; m) ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíÇ ÙÛáõëÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: 2) ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ y1 ; y2 ; : : : ; ym Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ÇëÏ y1 ; y2 ; : : : ; ym ; ym+1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ , ³å³ ym+1 2 Q ï³ññÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ y1 ; y2 ; : : : ; ym ï³ññ»ñÇ ÙÇçáóáí:

²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù ®1 y1 + ®2 y2 + ¢ ¢ ¢ + ®m ym = 0 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ ®1 ; ®2 ; : : : ; ®m 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿: ºÃ» ®i 6= 0, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ®i¡1 2 P Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ¨ ¡1 ®¡1 i (®1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ®i yi + ¢ ¢ ¢ + ®m ym ) = ®i 0 = 0 ; ¡1 ®i¡1 (®1 y1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®¡1 i (®i yi ) + ¢ ¢ ¢ + ®i (®m ym ) = 0 ; ¢ ¡ ¡ ¡1 ¢ ¡ ¡1 ¢ ®i ®1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ®¡1 i ®i yi + ¢ ¢ ¢ + ®i ®m ym = 0 ; ¢ ¡ ¡ ¡1 ¢ ®i ®1 y1 + ¢ ¢ ¢ + yi + ¢ ¢ ¢ + ®¡1 i ®m y m = 0 ;

Ð»ï¨³μ³ñ,

yi = ¯1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ¯i¡1 yi¡1 + ¯i+1 yi+1 + ¢ ¢ ¢ + ¯m ym ; áñï»Õ ¯1 = ¡®i¡1 ®1 , : : :, ¯m = ¡®¡1 i ®m : Ð³Ï³é³ÏÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: 2) ¸Çóáõù ®1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ®m ym + ®m+1 ym+1 = 0 ; áñï»Õ ®1 ; : : : ; ®m ; ®m+1 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿: ºÃ» ³Ûëï»Õ ®m+1 = 0, ³å³ y1 ; y2 ; : : : ; ym Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝ»ñ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, ®m+1 6= 0 ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ®¡1 m+1 2 P Ñ³Ï³¹³ñÓÁ, áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ, ÇÝãå»ë ¨ ùÇã ³é³ç, ëï³ÝáõÙ »Ýùª ¡1 ®¡1 m+1 (®1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ®m ym + ®m+1 ym+1 ) = ®m+1 0 = 0 ;

¡ ¡1 ¢ ¢ ¡ ¡1 ®m+1 ®1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ®m+1 ®m ym + ym+1 = 0 ym+1 = °1 y1 + ¢ ¢ ¢ + °m ym ;

¡1 ¡1 ®1 , : : :, °m = ¡®m+1 ®m : ¤ áñï»Õ °1 = ¡®m+1 Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù:

Â»áñ»Ù 17.1 (ÑÇÙÝ³Ï³Ý): ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý y1 ; y2 ; : : : ; ym ; ym+1 ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ QÇ x1 ; x2 ; : : : ; xm ï³ññ»ñÇ ÙÇçáóáí, ³å³ y1 ; y2 ; : : : ; ym ; ym+1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): ºÃ» m = 1, ³å³ Áëï å³ÛÙ³ÝÇª y1 = ®1 x1 ;

y2 = ®2 x1 :

¸Çóáõù ®1 = 0: ²Ûë ¹»åùáõÙª y1 = 0 ¨ y1 , y2 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É: ®1 6= 0 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝÁª (¡®2 ) y1 + ®1 y2 = (¡®2 ) (®1 x1 ) + ®1 (®2 x1 ) = 0 : ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï m ¡ 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ, ³å³óáõó»Ýù ³ÛÝ m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇª y1 = ®11 x1 + ®12 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®1m xm ; y2 = ®21 x1 + ®22 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®2m xm ;

ym+1 = ®m+1;1 x1 + ®m+1;2 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®m+1;m xm :

ºÃ» ®11 = ®12 = ¢ ¢ ¢ = ®1m = 0, ³å³ y1 = 0 ¨ y1 ; y2 ; : : : ; ym+1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» ®1i (i = 1; 2; : : : ; m) ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿: ¸Çóáõù ®11 6= 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, û·ïí»Éáí ®¡1 11 -Çó, ëÏë³Í »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ³ñï³ùëáõÙ »Ýù x1 Áª ¢ ¡ ¡1 z2 = y2 ¡ ®11 ®21 y1 = ®022 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®02m xm ;

zm+1

::: ::: ::: ¢ ¡ ¡1 = ym+1 ¡ ®11 ®m+1;1 y1 = ®0m+1;2 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®0m+1;m xm :

Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, z2 ; : : : ; zm+1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ ¯2 ; : : : ; ¯m+1 ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿ ¨ ¯2 z2 + ¢ ¢ ¢ + ¯m+1 zm+1 = 0 : ²ÛÅÙ, ï»Õ³¹ñ»Éáí z2 ; : : : ; zm+1 ï³ññ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýùª °1 y1 + ¯2 y2 + ¢ ¢ ¢ + ¯m+1 ym+1 = 0 ; ³ÛëÇÝùÝª y1 ; y2 ; : : : ; ym+1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.1: ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý y1 ; y2 ; : : : ; yk ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ QÇ x1 ; x2 ; : : : ; xm ï³ññ»ñÇ ÙÇçáóáí ¨ k > m, ³å³ y1 ; y2 ; : : : ; yk Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ : ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.2: ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý y1 ; y2 ; : : : ; yk ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ QÇ x1 ; x2 ; : : : ; xm ï³ññ»ñÇ ÙÇçáóáí ¨ y1 ; y2 ; : : : ; yk Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ³å³ k 6 m: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.3: n+1 Ñ³ï nëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ (nïáÕ»ñÇ) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ P n áõÙ (Pn áõÙ): ²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ nëÛáõÝ³Ï áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª 0 1 0 1 0 1 ®1 B 0 C B 1 C B 0 C B ®2 C C B C B C B C B B .. C = ®1 B .. C + ®2 B .. C + ¢ ¢ ¢ + ®n B .. C @ . A @ . A @ . A @ . A ®n

(= ®1 x1 + ®2 x2 + ¢ ¢ ¢ + ®n xn ): ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý

ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.4: n-Çó ß³ï Ãíáí n-ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ (n-ïáÕ»ñÇ) ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ P n -áõÙ (Pn -áõÙ): ¤ àñå»ë ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ ¹Çï³ñÏ»Ýù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = 0 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + ¢ ¢ ¢ + a2n xn = 0 ; (17.1) > > : am1 x1 + am2 x2 + ¢ ¢ ¢ + amn xn = 0 ; áñï»Õ aij 2 P , i = 1; : : : ; m, j = 1; : : : ; n:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.5: ºÃ» ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.1) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ùÇã ¿ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÃíÇó, ³å³ ³Û¹åÇëÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ûÅïí³Í ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙáí:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (17.1) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ù»ç n > m, ³å³ n Ñ³ï mëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í B B B @

a11 a21 .. . am1

C C C ;::: A

B B ;B @

a1n a2n .. . anm

C C C A

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.4-Ç, ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; : : : ; ®n 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ, áñáÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñá ã¿ ¨ 1 0 1 a11 a1n B a21 C B a2n C B 0 C B C B C B C ®1 B . C + ¢ ¢ ¢ + ®n B . C = B . C : @ .. A @ .. A @ .. A am1 amn ²ÛëåÇëáí,

a11 ®1 + ¢ ¢ ¢ + a1n ®n = 0 ; > > < a21 ®1 + ¢ ¢ ¢ + a2n ®n = 0 ; > > : am1 ®1 + ¢ ¢ ¢ + amn ®n = 0 ;

³ÛëÇÝùÝª (®1 ; : : : ; ®n ) áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉáõÍáõÙ ¿ (17.1) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ: ¤ P = R ¹»åùáõÙ Q ·Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý, ÇëÏ P = C ¹»åùáõÙª ÏáÙåÉ»ùë ·Í³ÛÇÝ (í»ÏïáñáÏ³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:

17.2. Ð³Ù³Ï³ñ·Ç (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý) Ñ»Ýù ¨ é³Ý· Î³ë»Ýù, áñ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ y1 ; y2 ; : : : ; yk

(17.2)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ QÇ ï³ññ»ñÇ x1 ; x2 ; : : : ; xm (17.3)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí, »Ã» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (17.3)Ç ÙÇçáóáí: (17.2) ¨ (17.3) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù ¨ ·ñíáõÙ ¿ (17.2)»(17.3), »Ã» ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ÙÛáõëÇ ÙÇçáóáí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ³Ûë ·³Õ³÷³ñÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª (I) » (I), (³éÇÝùÝáõÃÛáõÝ) (I) » (II) ¡! (II) » (I), (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ) (I) » (II), (II) » (III) ¡! (I) » (III): (÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.1: ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ (17.2) ¨ (17.3) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý ¨ Ñ³Ù³ñÅ»ù, ³å³ k = m:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.2Çó:

(17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý yi1 ; yi2 ; : : : ; yit

(17:20 )

»ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (17.2)Ç Ñ»Ýù Ï³Ù ³é³í»É³å»ë (Ù³ùëÇÙ³É) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ¨ Ýñ³ ÙÇçáóáí ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (17.2)Á: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.2: (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù (17.2)-Ç Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ (17.2)Ç Ñ»ÝùÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÇó Ï³½Ùí³Í »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù (17.2)-Ç Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ (17.2)Ç Ñ»ÝùÇ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ïñí³Í (I) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (17.2)Ç Ñ»Ýù ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áñ¨¿ yi ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý ãÇ ³ñï³Ñ³ÛïíÇ (I) »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí: Ð»ï¨³μ³ñ, (I) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ³í»É³óÝ»Éáí ³Û¹ yi ï³ññÁ, Ïëï³Ý³Ýù (17.2)Ç Ýáñ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

»ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ºÃ» ³Ûë Ýáñ (II) »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (17.2)Ç Ñ»Ýù ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ÝáñÇó ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ yj ï³ññ, áñ (II)ÇÝ ³í»É³óÝ»Éáí ³Ûë yj ï³ññÁ, Ïëï³Ý³Ýù (17.2)Ç Ù»Ï ³ÛÉ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ì»ñç³íáñ Ãíáí ÝÙ³Ý³ïÇå ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏÑ³Ý·»Ýù (17.2)Ç Ñ»ÝùÇ: ¤ Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ù»Ý ÙÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ (³ÛëÇÝùÝª áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ) ûÅïí³Í ¿ Ñ»Ýùáí ¨ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ»ÝùÇ: àõëïÇ, ÙÇ¨ÝáõÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ñ»Ýù»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ûÅïí³Í »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ù³Ý³ÏÇ ï³ññ»ñáí (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.1): ²Û¹ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·: ¼ñáÛ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý (³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý, áñÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ) é³Ý·Á ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ï³ññ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á ãÇ ÷áËíÇ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.3: 1) ºÃ» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ rÇ, ³å³ rÇó ß³ï Ãíáí ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ ; 2) ºÃ» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ rÇ, ³å³ r Ãíáí ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù:

²å³óáõóáõÙ: 1)Á μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.1Çó, ÇëÏ 2)Á μËáõÙ ¿ 1)Çóª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 17.2-Ç: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.4: ºÃ» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (17.3) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí, ³å³ (17.2)Ç é³Ý·Á ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ (17.3)Ç é³Ý·ÇÝ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ñ³Ù³ñÅ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ é³Ý·»ñ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, (17.3)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ (17.2)Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ù Çñ (17:20 ) Ñ»ÝùÇÝ, áñÝ Áëï ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ (17.3)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ÝùÇ ÙÇçáóáí: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.2Çó: ¤ Î³ë»Ýù, áñ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáõÙ ¿. I) ³é³çÇÝ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ ï³ññ»ñÁ, μ³óÇ áñ¨¿ iñ¹ ï³ññÇó, ÃáÕÝíáõÙ »Ý ÝáõÛÝÁ, ÇëÏ iñ¹ ï³ññÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ yi + ¸yj ï³ññáí, áñï»Õ ¸ 2 P , j 6= i, 1 6 j 6 k: ²ÛÉ Ï»ñå, Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áñ¨¿ i-ñ¹ ï³ññÇÝ ·áõÙ³ñíáõÙ ¿ Ýñ³ Ù»Ï ³ÛÉ ï³ññ, í»ñçÇÝë Ý³Ë³å»ë (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñ¨¿ ¸ ëÏ³ÉÛ³ñáí: II) »ñÏñáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý μáÉáñ ï³ññ»ñÁ, μ³óÇ áñ¨¿ iñ¹ ï³ññÇó, ÃáÕÝíáõÙ »Ý ÝáõÛÝÁ, ÇëÏ iñ¹ ï³ññÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ ¸yi ï³ññáí, áñï»Õ ¸ 2 P , ¸ 6= 0: ²ÛÉ Ï»ñå, Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áñ¨¿ iñ¹ ï³ññ (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏíáõÙ ¿ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¸ ëÏ³ÉÛ³ñáí: III) »ññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áñ¨¿ »ñÏáõ iñ¹ ¨ jñ¹ ï³ññ»ñÇ ï»Õ»ñÁ ÷áËíáõÙ »Ý, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í ï³ññ»ñÁ ÃáÕÝíáõÙ »Ý Çñ»Ýó ï»Õ»ñáõÙ (i 6= j): È»ÙÙ 17.3: ºÃ» (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíÇ ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹ Ï³Ù »ññáñ¹ ïÇåÇ (ï»ë³ÏÇ) ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, ³å³ ëï³óíáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ù (17.2) ëÏ½μÝ³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ÏáõÝ»Ý³ (17.2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·ÇÝ Ñ³í³ë³ñ é³Ý·: ²ÛÉ Ï»ñå, ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á ãÇ ÷áËíáõÙ: ¤

17.3. Ø³ïñÇóÇ é³Ý· ²ÝóÝ»Ýù Ù³ïñÇóÇ é³Ý·ÇÝ: n £ mã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇó Ï³½Ùí³Í (a11 ; a12 ; : : : ; a1m ) ; (a21 ; a22 ; : : : ; a2m ) ; : : : ; (an1 ; an2 ; : : : ; anm ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á (Pm áõÙ) ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ é³Ý· Ï³Ù é³Ý· Áëï ïáÕ»ñÇ, ÇëÏ Ýñ³ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó (ëÛáõÝ»ñÇó)

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ï³½Ùí³Í

B B B @

a11 a21 .. . an1

1 0 C C C A

B B ;B @

a12 a22 .. . an2

B C B C C ;:::;B @ A

a1m a2m .. . anm

C C C A

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á (P n áõÙ) ÏáãíáõÙ ¿ AÇ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý· Ï³Ù é³Ý· Áëï ëÛáõÝ»ñÇ (ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ): A Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ é³Ý·Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ýß³Ý³Ï»É rank ï (A)áí, ÇëÏ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·Áª rank ë(A)áí: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ¼ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ; 2) nñ¹ Ï³ñ·Ç En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý nÇ: 3) n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý n-Ç (áñáíÑ»ï¨ det(A) 6= 0): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ n £ mã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñª rank ï (A) 6 m (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.3) ¨ rank ï (A) 6 n, ³ÛëÇÝùÝª rank ï (A) 6 minfm; ng: ÜáõÛÝåÇëÇ ³éÝãáõÃÛáõÝ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·Ç Ñ³Ù³ñª rank ë (A) 6 minfm; ng: È»ÙÙ 17.4: 1) B1 ; B2 ; : : : ; Bk nïáÕ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ B1T ; B2T ; : : : ; BkT nëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ ; 2) B1 ; B2 ; : : : ; Bk nïáÕ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ B1T ; B2T ; : : : ; BkT nëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ; 3) ò³ÝÏ³ó³Í n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñª rank ï (A) = rank ë (AT ) ; rank ë (A) = rank ï (AT ) ;

áñï»Õ AT Ý AÇ ßñçí³Í Ù³ïñÇóÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ®1 B2 + ®2 B2 + ¢ ¢ ¢ + ®k Bk = (0; 0; : : : ; 0) Ã! | {z } n

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

B B ®1 B1T + ®2 B2T + ¢ ¢ ¢ + ®k BkT = B @

.. .

> > > C= C C n : A> > > ;

Â»áñ»Ù 17.2: n £ mã³÷³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý: ²Û¹ é³Ý·»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ é³Ý· ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ rank(A)áí:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù rÁ ¨ kÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÝ »Ýª rank ï (A) = r, rank ë(A) = k (½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿): ø³ÝÇ áñ ïáÕ»ñÇ (ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ) ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ (ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ) é³Ý·Á ãÇ ÷áËíáõÙ, ³å³ Ï³ñáÕ »Ýù »ÝÃ³¹ñ»É, áñ A Ù³ïñÇóÇ ëÏ½μÇ r ïáÕ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í n ¡ r ïáÕ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý ëÏ½μÇ r ïáÕ»ñÇ ÙÇçáóáíª Ar+1 = ¯r+1;1 A1 + ¯r+1;2 A2 + ¢ ¢ ¢ + ¯r+1;r Ar ;

An = ¯n;1 A1 + ¯n;2 A2 + ¢ ¢ ¢ + ¯n;r Ar ;

áñï»Õ A1 ; A2 ; : : : ; An Á ïñí³Í A = (aij ) Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÝ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»Éª

A1 B .. B . B B Ar A=B B Ar+1 B B . @ .. An

C C C C C : C C C A

Üß³Ý³Ï»Éáíª A1 Ar+1 ¯r+1;1 B C B C B = @ ... A ; C = @ ... A ; T = @ : : : ¯n1 ; Ar An

: : : ; ¯r+1;1 ::: A ; ¯nr

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ïëï³Ý³Ýùª C = T ¢ B, ÇëÏ AÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³éáï Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª μ ¶ μ ¶ B B A= = : C TB

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ k ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·Á: ¸Çóáõù A01 ; A02 ; : : : ; A0m ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÁ A Ù³ïñÇóÇ, ÇëÏ A001 ; A002 ; : : : ; A00m ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÁª B Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÝ »Ý: ¸Çóáõù A01 ; A02 ; : : : ; A0k Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ÝùÝ ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ A001 ; A002 ; : : : ; A00k Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ B Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ÝùÁ: ´³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ A001 ; A002 ; : : : ; A00k Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: Æñáù, »Ã» ®1 A001 + ®2 A002 + ¢ ¢ ¢ + ®k A00k = 0 ; ³å³ ®1 A001 + ®2 A002 + ¢ ¢ ¢ + ®k A00k + 0A00k+1 + ¢ ¢ ¢ + 0A00m = 0 : Ð»ï¨³μ³ñ, B ¢ ® = 0;

áñï»Õ

àõëïÇ, A¢® = ³ÛëÇÝùÝª

0 ® B ®2 B .. B . B ® = B ®k B 0 B @ .. . B TB

¢® =

C C C C C : C C A B¢® T (B ¢ ®)

= 0;

®1 A01 + ®2 A02 + ¢ ¢ ¢ + ®k A0k + 0A0k+1 + ¢ ¢ ¢ + 0A0m = 0 ; ®1 A01 + ®2 A02 + ¢ ¢ ¢ + ®k A0k = 0 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨³μ³ñ, ®1 = ®2 = ¢ ¢ ¢ = ®k = 0: ²ÛÅÙ, Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.3Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª k 6 r: ºÃ» ÝáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÇñ³é»Ýù A Ù³ïñÇóÇ ßñçí³Í AT Ù³ïñÇóÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (É»ÙÙ 17.4), ³å³ Ïëï³Ý³Ýù Ý³¨ r 6 k ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, r = k ¨ Ã»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.6: Ø³ïñÇóÇ é³Ý·Á ãÇ ÷áËíáõÙ Ýñ³ ßñçÙ³Ý ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª rank(A) = rank(AT ): ¤ n £ mã³÷³ÝÇ A 2 P n£m Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ÏáãíáõÙ Ýñ³ ïáÕ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³ï³ñíáÕ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª I) Ù³ïñÇóÇ ÙÇ ïáÕÇÝ Ù»Ï ³ÛÉ ïáÕ ·áõÙ³ñ»ÉÁª í»ñçÇÝë Ý³Ë³å»ë (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí áñ¨¿ ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñáí; II) Ù³ïñÇóÇ ÙÇ ïáÕÇ (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñáí; III) Ù³ïñÇóÇ »ñÏáõ ïáÕ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ: P = R ¹»åùáõÙ, ³Ûë Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹Çï³ñÏí»É »Ý 14.2 í»ñÝ³·ñáõÙ ¨ ³ÛÝï»Õ ³å³óáõóí³Í ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÝáõÙ »Ý áõÅÇ Ù»ç Ý³¨ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ (³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý P ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ): Ð³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 17.3Ç, Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á Ñ³ßí»Éáõ Ñ³Ù³ñ, Ýñ³Ý ïáÕ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ Ý³Ë³å»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ»ñ»É å³ñ½ ï»ëùÇ: (®i1 ; ®i2 ; : : : ; ®in ) 2 Pn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÏáãíáõÙ ¿ ³é³ç³ï³ñ ï³ññ, ÇëÏ k = min fs 2 N j ®is 6= 0g ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³ç³ï³ñ ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: n £ mã³÷³ÝÇ A = (aij ) 2 P n£m Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ (ï»ëùÇ), »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) A Ù³ïñÇóÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý, ·ïÝíáõÙ »Ý Ù³ïñÇóÇ í»ñçáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» áñ¨¿ ïáÕ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ Ýñ³ÝÇó Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ μáÉáñ ïáÕ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ½ñáÛ³Ï³Ý »Ý; μ) A Ù³ïñÇóÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ (»Ã» ³Û¹åÇëÇù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý) ³é³ç³ï³ñ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëáí, áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ Ù³ïñÇóÁ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ.

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

B B B B @

a1j1

a2j2

::: ::: ::: ::: ::: ::: amjm

C C C; C A

áñï»Õ a1j1 ; a2j2 ; : : : ; amjm ï³ññ»ñÁ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ ³é³ç³ï³ñÝ»ñÝ »Ý ¨ Ñ³í³ë³ñ ã»Ý ½ñáÛÇ, ¹ñ³ÝóÇó Ó³Ë ¨ Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, ÇëÏ j1 < j2 < ¢ ¢ ¢ < jm :

È»ÙÙ 17.5: ²ëïÇ×³Ý³Ó¨ Ù³ïñÇóÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ : Ð»ï¨³μ³ñ, áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ ÃíÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Â»áñ»Ù 17.3: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n £ mã³÷³ÝÇ A 2 P Ù³ïñÇó ïáÕ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ»ñ»É ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëù: Àëï áñáõÙ, A Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ ÃíÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» AÝ ½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇó ¿, ³å³ ³ÛÝ ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ ¿: ºÃ» A 6= 0, ³å³ ¹Çóáõù j1 Á Ýñ³ ³é³çÇÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ëÛ³Ý Ñ³Ù³ñÝ ¿: ²ÝÑñ³Å³ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ïáÕ»ñÇ ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý û·ÝáõÃÛ³Ùμ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ëÝ»É Ýñ³Ý, áñ a1j1 6= 0: àñÇó Ñ»ïá, ïáÕ»ñÇ 1) ï»ë³ÏÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ, a1j1 ï³ññÇó Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ ¹³ñÓíáõÙ »Ý ½ñá: êï³óí³Í Ù³ïñÇóáõÙ ³Ýï»ë»Éáí ³é³çÇÝ ïáÕÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù (n ¡ 1) £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇó, áñÇ ³é³çÇÝ j1 ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÁ ½ñáÛ³Ï³Ý »Ý: ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏñÏÝ»Éáí ³Ûë Ù³ïñÇóÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, Ç í»ñçá Ñ³Ý·áõÙ »Ýù ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ Ù³ïñÇóÇ: ºñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó ¨ É»ÙÙ 17.3-Çó: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.7: n£ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëùáõÙ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ïáÕ»ñÇ ÃÇíÁ ÝáõÛÝÝ ¿ : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.5: àñå»ë½Ç ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.1) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝ»Ý³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í a11 ; a12 ; : : : ; a1n B a21 ; a22 ; : : : ; a2n C C A=B @ ::: ::: A am1 ; am2 ; : : : ; amn

Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ÉÇÝÇ ÷áùñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÃíÇóª rank(A) < n:

²å³óáõóáõÙ: àñå»ë½Ç (17.1) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝ»Ý³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É: ì»ñçÇÝë ¿É Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ A Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ÷áùñ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÃíÇó: ¤

17.4. ²ñï³¹ñÛ³É Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á: àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ù³ïñÇóÇ ³çÇó (Ï³Ù Ó³ËÇó) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ Â»áñ»Ù 17.4: ²ñï³¹ñÛ³É Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á Ù»Í ã¿ ³ñï³¹ñÇã Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÇóª rank(A ¢ B) 6 rank(A), rank(A ¢ B) 6 rank(B), ³ÛÇëÝùÝª rank(A ¢ B) 6 minfrank(A); rank(B)g

ó³ÝÏ³ó³Í n £ mã³÷³ÝÇ A ¨ ó³ÝÏ³ó³Í m £ kã³÷³ÝÇ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù A = (aij )Ý n £ m-ã³÷³ÝÇ, ÇëÏ B = (bij )Ý m £ kã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý, C = A ¢ B ¨ C = (cij ): Ð»ï¨³μ³ñ, n £ kã³÷³ÝÇ C Ù³ïñÇóÇ cij ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ¢ ¢ ¢ + aim bmj ; áñï»Õ i = 1; : : : ; n; j = 1; : : : ; k: î³Éáí i = 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª c1j a11 a12 a1m B .. C B . C B . C B . C @ . A = b1j @ .. A + b2j @ .. A + ¢ ¢ ¢ + bmj @ .. A ; cnj an1 an2 anm

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

³ÛëÇÝùÝª C Ù³ïñÇóÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛáõÝ³Ï ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.2Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, rank(C) 6 rank(A): î³Éáí cij ï³ññÇ j ÝßÇãÇÝ j = 1; : : : ; k ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýùª (ci1 ; : : : ; cik ) = ai1 (b11 ; : : : ; b1k ) + ¢ ¢ ¢ + aim (bm1 ; : : : ; bmk ) ; ²ÛëåÇëáí, C Ù³ïñÇóÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïáÕ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ B Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ ïáÕ»ñÇ ÙÇçáóáí: Ð»ï¨³μ³ñ, rank(C) 6 rank(B) (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.2): ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.8: ºÃ» n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ Ó³ËÇó Ï³Ù ³çÇó μ³½Ù³å³ïÏ»Ýù Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóáí, ³å³ A Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ãÇ ÷áËíÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» AÝ nñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó ¿ , ³å³ ¡ ¢ n = rank(A) = rank A2 = ¢ ¢ ¢ ; ¡ ¢ ¡ ¢ n = rank A¡1 = rank A¡2 = ¢ ¢ ¢ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» C = A ¢ B, áñï»Õ BÝ mñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ mñ¹ Ï³ñ·Ç B0 Ù³ïñÇó, áñ B ¢ B0 = Em : Ð»ï¨³μ³ñ, CB 0 = (AB)B 0 = A(BB0 ) = AEm = A ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, rank(C) 6 rank(A) ; rank(A) 6 rank(C) ;

³ÛëÇÝùÝª rank(C) = rank(A): ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ùÝÝ³ñÏíáõÙ ¿ Ý³¨ A Ù³ïñÇóÁ Ó³ËÇó B Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ¹»åùÁ: ºñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ, μ³í³Ï³Ý ¿ Ñ³ßíÇ ³éÝ»É A ¢ A¡1 = En ¨ rank (En ) = n Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¤

A 2 P n£m Ù³ïñÇóÁ (³ÛëÇÝùÝª P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÁ) ÏáãíáõÙ ¿ ³) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A0 2 P m£n Ù³ïñÇó, áñ A ¢ A0 = En ; μ) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A00 2 P m£n Ù³ïñÇó, áñ A00 ¢ A = Em :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 17.5: àñå»ë½Ç A 2 P n£m Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ é³Ý·Á ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Çñ ïáÕ»ñÇ ÃíÇÝª rank(A) = n:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» n £ mã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó, ³å³, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m £ nã³÷³ÝÇ A0 = (bij ) Ù³ïñÇó, áñ A ¢ A0 = En : Ð»ï¨³μ³ñ, nñ¹ Ï³ñ·Ç En ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª 0 1 0 1 B 0 C B .. C B C B C (17.4) B . C ;::: ;B . C ; @ .. A @ 0 A ÉÇÝ»Éáí ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáíª 0 1 a11 B a21 B 0 C B B C B .. C = b11 B .. @ . @ . A

an1

a11 B .. C B a21 B . C B B C = b1n B .. @ 0 A @ . an1

·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ AÇ

C B C B C + ¢ ¢ ¢ + bm1 B A @

a1m a2m .. . anm

a1m C B a2m C B C + ¢ ¢ ¢ + bmn B .. A @ .

anm

C C C ; A

C C C : A

ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, AÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛáõÝ³Ï, ÉÇÝ»Éáí nëÛáõÝ³Ï,

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.3Ç ³å³óáõóÙ³Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ (17.4) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí: ²ÛëåÇëáí, A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ (17.4) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ é³Ý·»ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.4): ê³Ï³ÛÝ (17.4) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ nÇ, áõëïÇª rank(A) = n: ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: Æñáù, A ¢ A0 = En Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ n 6 rank(A) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ n = rank(A):

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» rank(A) = n, ³å³ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»Ýùª Ï³½Ùí³Í n Ñ³ï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó: àõëïÇ, Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.3Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ nëÛáõÝ³Ï ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ ³Û¹ Ñ»ÝùÇ ÙÇçáóáí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, (17.4) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ ³Û¹ Ñ»ÝùÇ ÙÇçáóáí, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ý³¨ A Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáíª 0 1 a11 a1m B 0 C B a21 C B a2m C B C B C B C B .. C = ¸11 B .. C + ¢ ¢ ¢ + ¸1m B .. C ; @ . A @ . A @ . A an1 anm ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 1 a11 a1m B .. C B a21 C B a2m C B . C B C B C B C = ¸n1 B . C + ¢ ¢ ¢ + ¸nm B . C : @ 0 A @ .. A @ .. A an1 anm Üß³Ý³Ï»Éáíª

¸11 ; : : : ; ¸n1 B = @ ::: ::: A ¸1m ; : : : ; ¸nm

Ïëï³Ý³Ýùª A ¢ B = En , ³ÛëÇÝùÝª AÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó:

Â»áñ»Ù 17.6: àñå»ë½Ç A 2 P

Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ

Ó³ËÇó ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ é³Ý·Á ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Çñ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÃíÇÝª rank(A) = m: n£m

²å³óáõóáõÙ: A 2 P n£m Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ ßñçí³Í AT 2 P m£n Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.9: àñå»ë½Ç A 2 P n£m Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó ¨ Ó³ËÇó ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ n = rank(A) = m ;

³ÛëÇÝùÝ` áñ A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇó: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

17.5. ÎñáÝ»Ï»ñÎ³å»ÉÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ÉáõÍ»ÉÇ Ï³Ù Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ: ²ÝóÝ»Ýù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ·áÛáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÇÝª < a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1 ; (17.5) ::: ::: ::: ::: : am1 x1 + ¢ ¢ ¢ + amn xn = bm ; áñï»Õ aij ; bk 2 P , k; i = 1; : : : ; m, j = 1; : : : ; n, ÇëÏ

a11 ; : : : ; A = @ ::: am1 ; : : : ;

a1n ::: A amn

a11 ; : : : ; a1n ¨ A¹ = @ : : : am1 ; : : : ; amn

b1 ::: A bm

Ù³ïñÇóÝ»ñÁ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ, ÏáãíáõÙ »Ý (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç

ÑÇÙÝ³Ï³Ý ¨ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ù³ïñÇóÝ»ñ:

Â»áñ»Ù 17.7 (ÎñáÝ»Ï»ñ, Î³å»ÉÉÇ): àñå»ë½Ç ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ (³ÛëÇÝùÝª ÉÇÝÇ ÉáõÍ»ÉÇ) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ¨¡ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í ¢ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñª rank(A) = rank A¹ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ ÉáõÍáõÙ, ³å³ Ýñ³ ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ b1 C B B = @ ... A bm

ëÛáõÝ³ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: àõëïÇ, A¹ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³ñÅ»ù A Ù³ïñÇóÇ ¡ ¢ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.4), rank A¹ = rank(A): ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» A ¨ A¹ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ³å³ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ»Ýù ÏÉÇÝÇ ³Û¹åÇëÇÝ Ý³¨ A¹ Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ï³½Ùí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.3): ²ÛëåÇëáí, A¹ Ù³ïñÇóÇ í»ñçÇÝ B ëÛáõÝ³ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ»Ýùáí, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ý³¨ AÇ μáÉáñ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí: ²Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í (®1 ; : : : ; ®n ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.10: ºÃ» A1 = (a11 ; : : : ; a1n ), : : :, Am = (am1 ; : : : ; amn ) nïáÕ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ³å³

P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·Í³ÛÇÝ

Ï³Ù³Û³Ï³Ý b1 ; : : : ; bm ¤ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ ÉáõÍáõÙ: Üß³Ý³Ï»Éáí

x1 C B X = @ ... A ; xn

(17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³éáï Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï»ëùÁª A¢X = B : (17.6)

Àëï áñáõÙ, áñå»ë½Ç (®1 ; : : : ; ®n ) 2 Pn nÛ³ÏÁ ÉÇÝÇ (17.5) 0 ÉáõÍáõÙ ®1 C B Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ @ ... A ëÛáõÝ³ÏÁ ÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ (17.6) Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

®n

17.6. Ð»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇó ¨ Ù³ïñÇóÇ é³Ý· ¸Çï³ñÏ»Ýù n £ m ã³÷³ÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý A = (aij ) 2 P n£m Ù³ïñÇó: A Ù³ïñÇóÇ Ù»ç ë¨»é»Ýù k ù³Ý³ÏÇ ïáÕ»ñ ¨ ÝáõÛÝù³Ý ¿É ëÛáõÝ³ÏÝ»ñª k 6 minfn; mg: ÀÝïñí³Í ïáÕ»ñÇ ¨ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñáõÙ ·ïÝíáÕ Ù³ïñÇóÇ ï³ññ»ñÇó Ï³½ÙáõÙ »Ýù ÙÇ B ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇó (³é³Ýó Ë³Ëï»Éáõ ï³ññ»ñÇ ÙÇÙÛ³Ýó ÝÏ³ïÙ³Ùμ áõÝ»ó³Í ¹ÇñùÁ), áñÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ kÇ: ²Ûë B Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý A Ù³ïñÇóÇ kñ¹ Ï³ñ·Ç »ÝÃ³Ù³ïñÇó ¨ ·ñíáõÙ ¿ B 6 A: ºÃ» ÁÝïñí³Í (ë¨»éí³Í) ïáÕ»ñÇ ¨ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÝ»ñÝ »Ý 1 6 i1 < i2 < ¢ ¢ ¢ < ik 6 n ¨ 1 6 j1 < j2 < ¢ ¢ ¢ < jk 6 m Ãí»ñÁ, ³å³ kñ¹ Ï³ñ·Ç B »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ »ñμ»ÙÝ Ñ³Ù³éáï

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª B=A

i1 ; i2 ; : : : ; ik j1 ; j2 ; : : : ; jk

;

ÇëÏ Ýñ³ áñáßÇãÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ kñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇÝáñ: ¸Çóáõù B ¨ C ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÙÇ¨ÝáõÛÝ n£mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý: C »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ kñ¹ Ï³ñ·Ç B »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇÝ »ñÇ½áÕ Ï³Ù ßñç³÷³ÏáÕ, »Ã» B 6 C ¨ C »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ k + 1: A Ù³ïñÇóÇ B (ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ) »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ Ï³Ýí³Ý»Ýù Ñ»Ýù³ÛÇÝ, »Ã» det(B) 6= 0 ¨ BÇÝ »ñÇ½áÕ AÇ μáÉáñ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ Ï³Ù BÝ ãáõÝÇ »ñÇ½áÕ »ÝÃ³Ù³ïñÇó ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë: úñÇÝ³Ï, 1 0 0 A=@ 0 0 0 A 0 2 3 Ù³ïñÇóÝ ûÅïí³Í ¿ »ñÏáõ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñáíª μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ 1; 3 1 0 1; 3 1 0 A = ; A = ; 1; 2 0 2 1; 3 0 3

ÇëÏ ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÇ ÙÇ³Ï Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ ÇÝùÝ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÁ ãÇ ûÅïí³Í Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí: È»ÙÙ 17.6: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇó ûÅïí³Í ¿ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A 6= 0, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ áñ¨¿ a áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù, Ï³Ù (a)ÇÝ »ñÇ½áÕ 2ñ¹ Ï³ñ·Ç AÇ μáÉáñ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñÝ áõÝ»Ý ½ñá áñáßÇã Ï³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2ñ¹ Ï³ñ·Ç (a)ÇÝ »ñÇ½áÕ ³ÛÝåÇëÇ C1 6 A »ÝÃ³Ù³ïñÇó, áñÇ áñáßÇãÁ 6= 0: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ (a) 6 A »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù³ÛÇÝ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ ëÏëáõÙ »Ýù ¹Çï³ñÏ»É C1 »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇÝ »ñÇ½áÕ AÇ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñÁ (»Ã» ³Û¹åÇëÇù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý): ºÃ» C1 »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇÝ »ñÇ½áÕ AÇ μáÉáñ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñÝ áõÝ»Ý ½ñá áñáßÇã, ³å³ C1 Á ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇó AÇ Ñ³Ù³ñ, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ C1 ÇÝ »ñÇ½áÕ ³ÛÝåÇëÇ C2 6 A

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

»ÝÃ³Ù³ïñÇó, áñÇ áñáßÇãÁ 6= 0: ì»ñç³íáñ Ãíáí ÝÙ³Ý³ïÇå ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù AÇ áñ¨¿ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ: ¤ Ð»ï¨Û³É μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ ÝßÇãª ind(A) = max fk 2 N j k > 1 ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k-ñ¹ Ï³ñ·Ç ³ÛÝåÇëÇ B 6 A »ÝÃ³Ù³ïñÇó, áñ det(B) 6= 0g ; ³ÛëÇÝùÝª Ù³ïñÇóÇ ÝßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ýñ³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý áñáßÇã áõÝ»óáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í Ï³ñ·Ç »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ Ï³ñ·ÇÝ: È»ÙÙ 17.7: k = ind(A) ÝßÇãáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý áñáßÇã áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í kñ¹ Ï³ñ·Ç B 6 A

»ÝÃ³Ù³ïñÇó ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù³ÛÇÝ:

¤ Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó ÝáõÛÝå»ë μËáõÙ ¿, áñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý A Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý (AÇ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ Ï³ñ·ÇÝ): Â»áñ»Ù 17.8: 1) àã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí ³ÝóÝáÕ AÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ÇëÏ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇçáóáí ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ AÇ ó³ÝÏ³ó³Í ëÛáõÝ³Ï (»Ã» ³Û¹åÇëÇÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): 2) àã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí ³ÝóÝáÕ AÇ ïáÕ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ÇëÏ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇçáóáí ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ AÇ ó³ÝÏ³ó³Í ïáÕ (»Ã» ³Û¹åÇëÇÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ):

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» A 6= 0, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ýñ³ áñ¨¿ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇó (É»ÙÙ 17.6): äÝ¹Ù³Ý ÙÇ Ù³ëÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Æñáù, »Ã» B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí ³ÝóÝáÕ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝ»ñ

·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É, ³å³ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ÏÉÇÝ»ñ Ý³¨ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ

»ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ÏÉÇÝ»ñ Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ýñ³

ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ:

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ A 6= 0 Ù³ïñÇóÇ ó³ÝÏ³ó³Í ëÛáõÝ³Ï ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ Ýñ³ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÝóÝáÕ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ä³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» kñ¹ Ï³ñ·Ç B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ ·ñ³íáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ í»ñÇÝ

Ó³Ë ³ÝÏÛáõÝÁª

B B A=B B @

a11 ; : : : ; a1k ; : : : ; a1m ::: ::: ::: ::: ak1 ; : : : ; akk ; : : : ; akm ::: ::: ::: ::: an1 ; : : : ; ank ; : : : ; anm

¸Çï³ñÏ»Ýù (k + 1)ñ¹ Ï³ñ·Ç a11 ; : : : ; a1k ; a1j B ::: ::: ::: Bij = B @ ak1 ; : : : ; akk ; akj ai1 ; : : : ; aik ; aij

C C C : C A

C C A

Ù³ïñÇóÁ, áñï»Õ 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ i; j ÝßÇãÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙª jBij j = 0: Æñáù, »Ã» 1 6 i 6 k Ï³Ù 1 6 j 6 k, ³å³ jBij j = 0 áñå»ë »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñ ïáÕ»ñáí Ï³Ù »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñáí Ù³ïñÇóÇ áñáßÇã, ÇëÏ k < i 6 n ¨ k < j 6 m ¹»åùáõÙ Bij Ý ÏÉÇÝÇ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇÝ »ñÇ½áÕ AÇ »ÝÃ³Ù³ïñÇó ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, jBij j = 0: ì»ñÉáõÍ»Éáí Bij Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Áëï Çñ í»ñçÇÝ ïáÕÇ ï³ññ»ñÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ai1 D1 + ¢ ¢ ¢ + aik Dk + aij D = 0 ; áñï»Õ D = jBj 6= 0, ÇëÏ D1 ; : : : ; Dk Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõóÇãÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í ã»Ý iÇó: Ð»ï¨³μ³ñ, ¢ ¢ ¡ ¡ aij = ¡D¡1 D1 ai1 + ¢ ¢ ¢ + ¡D¡1 Dk aik ; áñï»ÕÇó, i = 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁª a11 a1j ¢ ¡ B .. B .. C ¡1 @ . A = ¡D D1 @ . anj an1

¹»åùáõÙ, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù å³Ñ³ÝçíáÕ a1k ¢ ¡ B . C C A + ¢ ¢ ¢ + ¡D ¡1 Dk @ .. A : ank

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

ÖÇßï ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÁ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.11: àã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ ïáÕ³ÛÇÝ ¨ ëÛáõÝ³Ï³ÛÇÝ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý Çñ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»Ýù³ÛÇÝ ¤ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ Ï³ñ·ÇÝ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.12: àã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ï³ñ·Á: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.13: àã ½ñáÛ³Ï³Ý n £ mã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ¤ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ ÝßÇãÇÝª rank(A) = ind(A) : Â»áñ»Ù 17.9 (Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÇ ½ñá ÉÇÝ»Éáõ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): nñ¹ Ï³ñ·Ç A 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ AÇ ïáÕ»ñÇ (ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù det(A) = 0: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åùª A = 0 Ï³Ù A 6= 0: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ n > 2 ¨ AÝ ûÅïí³Í ¿ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí, áñÇ Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ÷áùñ nÇó: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇó ¹áõñë ¹ïÝíáÕ AÇ ëÛáõÝ³Ï (ïáÕ), áñÝ Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ B Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóáí ³ÝóÝáÕ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ (ïáÕ»ñÇ) ÙÇçáóáí: ²ÛëåÇëáí, A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ (ïáÕ»ñÇ) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» nñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇó (ïáÕ»ñÇó) Ï³½Ùí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿, ³å³ Ï³Ù A = 0 ¨ det(A) = 0, Ï³Ù A 6= 0 ¨ AÇ Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ÷áùñ nÇó: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙª ind(A) < n ¨ det(A) = 0 (ï»ë Ý³¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 14.18Á): ¤

17.7. ¶Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»Ýù ¨ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ºÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¸Çóáõù QÝ ·Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ (å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É P = R): Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ e1 ; e2 ; : : : ; en (17.7)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) ÏáãíáõÙ ¿ QÇ Ñ»Ýù (μ³½³, μ³½Çë) Ï³Ù Ïááñ¹ÇÝ³ï³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·, »Ã» ³ÛÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ ¨ QÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññ (í»Ïïáñ) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (17.7)-Ç ÙÇçáóáí: ºÃ» (17.7)Á Ñ»Ýù ¿, ³å³ Ýñ³ ï³ññ»ñÇ ï³ñμ»ñ ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»çáóáí Ï³ñáÕ »Ýù ëï³Ý³É ¨ë n! Ñ³ï Ñ»Ýù»ñ: È»ÙÙ 17.8: ºÃ» (17.7) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ¨

Q ·Í³ÛÇÝ

x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ; x = ®01 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®0n en ;

áñï»Õ x 2 Q, ®1 ; : : : ; ®n ; ®01 ; : : : ; ®0n 2 P , ³å³ ®1 = ®01 , : : :, ®n = ®0n (³ÛëÇÝùÝª ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ (í»Ïïáñ) ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¿ í»ñÉáõÍíáõÙ Çñ Ñ»ÝùÇ ÙÇçáóáí): ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en = ®01 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®0n en ; ³å³ (®1 ¡ ®01 ) e1 + ¢ ¢ ¢ + (®n ¡ ®n0 ) en = 0 ;

áñï»ÕÇó ®1 ¡®01 = 0, : : :, ®n ¡ ®0n = 0, áñáíÑ»ï¨ e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ¤ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: ²ÛëåÇëáí, ®1 = ®10 , : : :, ®n = ®0n : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.6: ØÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ñ»Ýù»ñÁ (»Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý) å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ù³Ý³ÏÇ ï³ññ»ñ: ²Û¹ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ dim(Q)-áí Ï³Ù dim Q-áí:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù (17.7) ¨ f1 ; f2 ; : : : ; fm

(17.8)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ñ»Ýù»ñ »Ý: ø³ÝÇ áñ (17.7)-Á Ñ»Ýù ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³Ýãáõñ fi (i = 1; : : : ; m) ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ (17.7)-Ç ÙÇçáóáí: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï (17.8)-Á

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

ÝáõÛÝå»ë Ñ»Ýù ¿ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ej ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ (17.8)Ç ÙÇçáóáí: àõëïÇ (17.7) ¨ (17.8) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý ¨ Ñ³Ù³ñÅ»ù: Ð»ï¨³μ³ñ, n = m (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 17.1): ¤ úñÇÝ³Ï, dimRn = dimRn = n, dimRn£m = n ¢ m: ¼ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ: ºÃ» dim Q = n, ³å³ Q-Ý ÏáãíáõÙ ¿ n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ, »Ã» ³ÛÝ n-ã³÷³ÝÇ ¿ áñ¨¿ n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ã³÷³ÝÇ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.1-Çó μËáõÙ ¿, áñ n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n-Çó ß³ï Ãíáí ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ (n > 1): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.7: n-ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n-ï³ññ³ÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Q-Ç Ñ»Ýù ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ïñí³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f1 ; f2 ; : : : ; fn ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Q-Ç Ñ»Ýù ãÉÇÝÇ, ³å³ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áñ¨¿ f ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý ãÇ ³ñï³Ñ³ÛïíÇ ³Û¹ f1 ; f2 ; : : : ; fn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, f1 ; f2 ; : : : ; fn ; f Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝ»ñ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 17.1-ÇÝ: ¤ ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, áñÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ã¿: ²Û¹åÇëÇÝ ¿, ûñÇÝ³Ï, P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý 1; x; x2 ; : : : ; xn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ª ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ: Â»áñ»Ù 17.10: àã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë t1 ; t2 ; : : : ; tm

·Í³ÛÇÝ (17.9)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³Ï³ñ· Ï³Ù Q-Ç Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨

Q-Ç Ñ»ÝùÇ, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» (17.9)-Á Q-Ç Ñ»Ýù ã¿ , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý í»ñç³íáñ ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùμ ³ÛÝåÇëÇ a1 ; : : : ; a` 2 Q ï³ññ»ñ, áñ t1 ; : : : ; tm ; a1 ; : : : ; a` Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Q-Ç Ñ»Ýù ¿ : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ· Ï³Ù

Q-Ç Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ Q-Ç Ñ»ÝùÇ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (17.9) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Q-Ç Ñ»Ýù ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, Q-Ç áñ¨¿ a1 ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý ãÇ ³ñï³Ñ³ÛïíÇ (17.9) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí: Ð»ï¨³μ³ñ, t1 ; t2 ; : : : ; tm ; a1

(17.10)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë: ºÃ» ³Ûë Ýáñ (17.10) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Q-Ç Ñ»Ýù ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ÝáñÇó ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ Q-Ç ³ÛÝåÇëÇ a2 ï³ññ, áñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ãÇ ³ñï³Ñ³ÛïíÇ (17.10)-Ç ÙÇçáóáí: Ð»ï¨³μ³ñ, t1 ; t2 ; : : : ; tm ; a1 ; a2 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ì»ñç³íáñ Ãíáí ÝÙ³Ý³ïÇå ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏÑ³Ý·»Ýù Q-Ç Ñ»ÝùÇ, áñáíÑ»ï¨ dim Q = n > 0 áñ¨¿ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ ³Û¹ ¹»åùáõÙ Q-Ç n + 1 ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.14: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : ¤ Â»áñ»Ù 17.11: ì»ñç³íáñ ¹³ßïÇ Ï³ñ·Á (³ÛëÇÝùÝª ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ) Ñ³í³ë³ñ ¿ å³ñ½ ÃíÇ ³ëïÇ×³ÝÇ:

²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ F (+; ¢) í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ñ³í³ë³ñ ¿ áñ¨¿ p å³ñ½ ÃíÇ, ³ÛëÇÝùÝª e 6= 0 2e = e + e 6= 0; ::: ::: ::: (p ¡ 1)e = e + ¢ ¢ ¢ + e 6= 0; | {z } p¡1

pe = e| + ¢ ¢ ¢ + e = 0; {z } p

áñï»Õ e-Ý F ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: F 0 = f0; e; 2e; : : : ; (p¡1)eg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ F -Ç »ÝÃ³¹³ßï, áñÝ Ç½áÙáñý ¿ Zp ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïÇÝ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, F -Ý Çñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ áñáßí³Í F 0 ¹³ßïÇ íñ³: ø³ÝÇ áñ F -Á í»ñç³íáñ ¿, ³å³, Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù dim(F ) = n: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ n 6= 0, áñáíÑ»ï¨ F 6= f0g: ºÃ» e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á F -Ç Ñ»Ýù ¿, ³å³ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ÙÇ³ñÅ»ù í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ (É»ÙÙª 17.8)ª x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ; áñï»Õ ®1 ; : : : ; ®n ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý F 0 μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, áñÇ ¤ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ p-Ç: Ð»ï¨³μ³ñ, jF j = pn :

¸Çóáõù Q-Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: àã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ ·ñíáõÙ (Ýß³Ý³ÏíáõÙ ) ¿ Q0 6 Q, »Ã» Q0 -Á ÷³Ï ¿ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª ³) x; y 2 Q0 ¡! x + y 2 Q0 , μ) x 2 Q0 ; ® 2 P ¡! ®x 2 Q0 : ²Ûë »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÙÇ³íáñíáõÙ »Ý Ù»Ï å³ÛÙ³ÝÇ Ù»çª ·) x; y 2 Q0 ; ®; ¯ 2 P ¡! ®x + ¯y 2 Q0 : μ) å³ÛÙ³ÝÇ Ù»ç í»ñóÝ»Éáí ® = 0 ëï³ÝáõÙ »Ýùª 0 2 Q0 , ÇëÏ ® = ¡1 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡x 2 Q0 , »Ã» x 2 Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ áõÃ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ (³ùëÇáÙÝ»ñÁ): ²ÛëåÇëáí, Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q0 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Q-Ç ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: úñÇÝ³Ï, »Ã» A 2 P n£m , ³å³ μáÉáñ ³ÛÝ x 2 P m ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ A ¢ x = 0, ÏáãíáõÙ ¿ n £ m-ã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ ÙÇçáõÏ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ker(A)-áíª Ker(A) = fx 2 P m j A ¢ x = 0g : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ Ker(A)-Ý P m -Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ûÅïí³Í ¿ Q0 = f0g ¨ Q0 = Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáí: È»ÙÙ 17.9: ºÃ» Q-Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ ¨ s1 ; s2 ; : : : ; sm 2 Q, ³å³ Q0 = f®1 s1 + ®2 s2 + ¢ ¢ ¢ + ®m sm j ®1 2 P; ®2 2 P; : : : ; ®m 2 P g μ Q

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ²Ûë Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ s1 ; s2 ; : : : ; sm 2 Q ï³ññ»ñáí ÍÝí³Í

·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ª

Q0 = hs1 ; s2 ; : : : ; sm i Ï³Ù Q0 = (s1 ; s2 ; : : : ; sm ) :

ºÃ» Q = (s1 ; s2 ; : : : ; sm ), ³å³ s1 ; s2 ; : : : ; sm í»ñç³íáñ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÍÝáñ¹Ý»ñÇ (ÍÝÇãÝ»ñÇ) Ñ³Ù³Ï³ñ·, ÇëÏ ¹ñ³ ï³ññ»ñÁª Q-Ç ÍÝáñ¹Ý»ñ (ÍÝÇãÝ»ñ) Ï³Ù ÍÝáñ¹ (ÍÝÇã) ï³ññ»ñ: úñÇÝ³Ï, »Ã» e1 ; : : : ; en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ Q = (e1 ; : : : ; en ) ¨ Ýß³Ý³Ï»Éáí Q0 = (e1 ; : : : ; em ), áñï»Õ 1 6 m < n, Ïëï³Ý³Ýù dim(Q0 ) = m ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùμ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: Â»áñ»Ù 17.12: 1) ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ë í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ¨ dim(Q0 ) 6 dim(Q), ÇëÏ Q0 6= Q ¹»åùáõÙª dim(Q0 ) < dim(Q); 2) àñå»ë½Ç ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ûÅïí³Í ÉÇÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áí;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

3) àã ½ñáÛ³Ï³Ý Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É Q-Ç Ñ»Ýù Ñ³Ý¹Çë³óáÕ »ÝÃ³Ñ³Ù³Ï³ñ·: ²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù dim Q = n: ºÃ» Q0 = f0g, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù Q0 6= f0g: ì»ñóÝ»Ýù Q0 -Ç áñ¨¿ f1 6= 0 ï³ññ: ºÃ» f1 -Çó Ï³½Ùí³Í Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q0 -Ç Ñ³Ù³ñ, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ f2 2 Q0 ï³ññ, áñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ãÇ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ f1 Ç ÙÇçáóáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Q0 -Ç f1 , f2 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë: ºÃ» ³Ûë f1 , f2 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q0 -Ç Ñ³Ù³ñ, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ f3 2 Q0 ï³ññ, áñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ãÇ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ f1 , f2 Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇçáóáí, ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ì»ñç³íáñ Ãíáí ÝÙ³Ý³ïÇå ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏÑ³Ý·»Ýù Q0 -Ç Ñ»ÝùÇ, áñáíÑ»ï¨ Q0 -Ç ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ù³Ï³ñ· ÏÉÇÝÇ ³Û¹åÇëÇÝ Ý³¨ Q-Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n + 1 Ñ³ï ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿: 2) ºÃ» dim Q = n > 0, ³å³ Q-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ»Ýù ÏÉÇÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·, ÇëÏ dim Q = 0 ¹»åùáõÙ 0 2 Q ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Q = f0g ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á: ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ: ¸Çóáõù Q 6= f0g ¨ Q-Ý ûÅïí³Í ¿ ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áíª Q = (s1 ; s2 ; : : : ; sm ): Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ s1 ; s2 ; : : : ; sm ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: ºÃ» s1 ; s2 ; : : : ; sm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á

·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q-Ç Ñ³Ù³ñ ¨

dim Q = m: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, s1 ; s2 ; : : : ; sm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¨ Ýñ³ ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ ÙÛáõëÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ¸Çóáõù sm -Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ s1 ; s2 ; : : : ; sm¡1 Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇçáóáí ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Q = (s1 ; s2 ; : : : ; sm¡1 ): ºÃ» s1 ; s2 ; : : : ; sm¡1 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q-Ç Ñ³Ù³ñ ¨ dim Q = m¡ 1: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, s1 ; s2 ; : : : ; sm¡1 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¨ Ýñ³ ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ ÙÛáõëÝ»ñÇ ÙÇçáóáí, ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ì»ñç³íáñ Ãíáí ÝÙ³Ý³ïÇå ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá s1 ; s2 ; : : : ; sm Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó Ï³é³ÝÓÝ³óíÇ ÙÇ »ÝÃ³Ñ³Ù³Ï³ñ· áñÁ Ñ»Ýù ¿ Q-Ç Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ: 3)-Á μËáõÙ ¿ 2)-Ç ³å³óáõóáõÙÇó:

n-ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ (n ¡ 1)-ã³÷³ÝÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Q-Ç ·»ñÑ³ñÃáõÃÛáõÝ (ÑÇå»ñÑ³ñÃáõÃÛáõÝ), ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 1-ã³÷³ÝÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÇÕ ·ÇÍ:

17.8. ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙ ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï»ëùáí ¨ ® = (®1 ; : : : ; ®n ) 2 Pn n-Û³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ A ¢ ®T = B: ²ÛëåÇëáí, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ÁÝÃ³óùÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÝÏ³ñ³·ñ»É Ý³¨ Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáí: A ¢ X = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ñ³Ù³ë»é Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ: LA -áí Ï³Ù LA n -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù A ¢ X = 0 Ñ³Ù³ë»é Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª ¯ 1 0 19 ¯ ®1 ®1 0 > > ¯ < = B .. C B .. C B .. C A n¯ L = @ . A 2 P ¯ A¢@ . A = @ . A : ¯ > > : ; ¯ ®n ®n n È»ÙÙ 17.10: LA n -Ý P -Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ª ó³ÝÏ³ó³Í m £ nm£n Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ: ¡Ð»ï¨³μ³ñ, LA ã³÷³ÝÇ A 2 P n -Ý í»ñç³íáñ ¢ A ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ¨ dim Ln 6 n: A ²å³óáõóáõÙ: Æñáù, Ý³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ LA n 6= ;, áñáíÑ»ï¨ 0 2 Ln : ºÃ» A h1 ; h2 2 Ln ¨ ® 2 P , ³å³

A (h1 + h2 ) = Ah1 + Ah2 = 0 + 0 = 0 ; A (®h1 ) = ® (Ah1 ) = ®0 = 0 ; A Ð»ï¨³μ³ñ, h1 + h2 2 LA n ¨ ®h1 2 Ln :

LA n í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»Ýù ÏáãíáõÙ ¿ A ¢ X = 0 Ñ³Ù³ë»é Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ»Ýù³ÛÇÝ Ï³Ù ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²ÛÅÙ SA -áí Ï³Ù SnA -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª ¯ ¯ ®1 ®1 > > ¯ = < B .. C B .. C A n¯ Sn = @ . A 2 P ¯ A ¢ @ . A = B : ¯ > > ; : ¯ ®n ®n

È»ÙÙ 17.11: ºÃ» h1 ; h2 2 SnA , ³å³ h1 ¡ h2 2 LA n:

²å³óáõóáõÙ: Àëï å³ÛÙ³ÝÇ, A ¢ h1 = B ¨ A ¢ h2 = B: Ð»ï¨³μ³ñ, A (h1 ¡ h2 ) = Ah1 ¡ Ah2 = B ¡ B = 0 :

ª © A n Üß³Ý³Ï»Ýùª h + LA n = h + ¹ j ¹ 2 Ln , áñï»Õ h 2 P :

Â»áñ»Ù 17.13: ºÃ» h1 -Á A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª A ¢ h1 = B , ³å³ SnA = h1 + LA n : A ²å³óáõóáõÙ: h1 + LA n μ Sn Ý»ñ¹ñáõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨

A (h1 + ¹) = Ah1 + A¹ = B + 0 = B ; A áñï»Õ ¹ 2 LA n : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» h2 2 Sn , ³å³, Áëï Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ, A ¤ h2 ¡ h1 = ¹ 2 Ln ¨ h2 = h1 + ¹, ³ÛëÇÝùÝª SnA μ h1 + LA n:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.15: ºÃ» h1 -Á A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý A áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ ¿ , ÇëÏ c1 ; : : : ; ck 2 LA n Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Ln ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í h 2 SnA ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; : : : ; ®k 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ, áñ h = h1 + ®1 c1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ck :

²Ûë h1 + ®1 c1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ck ï»ëùÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¢ X = B Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙ, áñï»Õ h1 -Á A ¢ X = B Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ ¿, ®1 ; : : : ; ®k 2 P , ÇëÏ c1 ; : : : ; ck Ñ³Ù³Ï³ñ·Á A ¢ X = 0 Ñ³Ù³ë»é Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ñ»Ýù³ÛÇÝ Ï³Ù ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ê³Ï³ÛÝ, ·áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ÁÝÃ³óùÁ ß³ñ³¹ñíáõÙ ¿ áã Ã» Ù³ïñÇó³ÛÇÝ, ³ÛÉ ëáíáñ³Ï³Ý ï»ëùáí: àñáß»Ýù (Ñ³ßí»Ýù) LA n í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Â»áñ»Ù 17.14: dim(LA n ) = n ¡ r , áñï»Õ r Á A Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Ý ¿ , ÇëÏ n-Á Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÃÇíÁ:

²å³óáõóáõÙ: r = 0 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù r > 0: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (Ï³Ù, áñ ÝáõÛÝÝ ¿, A ¢ X = 0 Ñ³Ù³ë»é Ù³ïñÇó³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáíª x1 A01 + x2 A02 + ¢ ¢ ¢ + xn A0n = 0 ;

(17.11)

áñï»Õ A01 ; A02 ; : : : ; A0n Á A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÝ »Ý: (®1 ; ®2 ; : : : ; ®n ) 2 Pn nÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ (17.11) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» ®1 A01 + ®2 A02 + ¢ ¢ ¢ + ®n A0n = 0 : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ® = (®1 ; ®2 ; : : : ; ®n ) 2 Pn nÛ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ (17.11) ®1 B ®2 C C B Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ®T = B . C 2 @ .. A ëÛáõÝ³ÏÁ ¸Çóáõù ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÁ ÙÇçáóáíª P

³ÛëÇÝùÝª

®n A ¢ X = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿ (³ÛëÇÝùÝª A ¢ ® = 0): A01 ; A02 ; : : : ; A0r Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ»ÝùÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, A0r+1 ; : : : ; A0n ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³Ûïí»Ý A01 ; A02 ; : : : ; A0r ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ T

A0r+1 = ¯r+1;1 A01 + ¢ ¢ ¢ + ¯r+1;r A0r ; ::: ::: ::: ::: ::: A0n = ¯n;1 A01 + ¢ ¢ ¢ + ¯n;r A0r ;

¯r+1;1 A01 + ¢ ¢ ¢ + ¯r+1;r A0r + (¡1)A0r+1 + 0A0r+2 + ¢ ¢ ¢ + 0A0n = 0 ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ¯n;1 A01 + ¢ ¢ ¢ + ¯n;r A0r + 0A0r+1 + 0A0r+2 + ¢ ¢ ¢ + (¡1)A0n = 0 :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²Ûëï»ÕÇó μËáõÙ ¿, áñ

tr+1

B B B B =B B B B @

¯r+1;1 .. . ¯r+1;r ¡1 .. .

B C B C B C B C C ; : : : ; tn = B B C B C B C @ A

¯n;1 .. . ¯n;r .. . ¡1

C C C C C C C C A

ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý A ¢ X = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ²ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ tr+1 ; : : : ; tn ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ A ¢ X = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ s 2 P n ÉáõÍáõÙ ·Í³ÛÝáñ»Ý 1³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ tr+1 ; : : : ; tn ¸1 C B ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ¸Çóáõù s = @ ... A ¨ y = s+¸r+1 tr+1 +¢ ¢ ¢+¸n tn , ¸n áñÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ ÉáõÍáõÙ A ¢ X = 0 Ñ³Ù³ë»é Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ: Àëï áñáõÙ, y ÉáõÍáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª 0 ¹ 1 B .. C B . C B ¹r C C y=B B 0 C; B C @ .. A .

áñï»Õ

¹1 = ¸1 + ¸r+1 ¯r+1;1 + ¢ ¢ ¢ + ¸n ¯n;1 ; ::: ::: ::: ::: ::: ¹r = ¸r + ¸r+1 ¯r+1;r + ¢ ¢ ¢ + ¸n ¯n;r :

ê³Ï³ÛÝ, ù³ÝÇ áñ yÁ ÉáõÍáõÙ ¿ A ¢ X = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¹1 A01 + ¹2 A02 + ¢ ¢ ¢ + ¹r A0r + 0A0r+1 + ¢ ¢ ¢ + 0A0n = 0 ;

áñï»ÕÇó ¹1 = ¹2 = ¢ ¢ ¢ = ¹r = 0, áñáíÑ»ï¨ A01 ; A02 ; : : : ; A0r Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: ²ÛëåÇëáí, y = 0 ¨ s = (¡¸r+1 ) tr+1 + ¢ ¢ ¢ + (¡¸n ) tn :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ì»ñçáõÙ Ýß»Ýù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ»ï¨Û³É ³É·áñÇÃÙÁ: Ü³Ë ÎñáÝ»Ï»ñÎ³å»ÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ áñáßáõÙ »Ýù ïñí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ (Ñ³Ù³ï»Õ»ÉÇáõÃÛáõÝÁ): ¸Çóáõù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ÉÇ ¿ ¨ ¹Çóáõù Ýñ³ ÑÇÙÝ³Ï³Ý A ¨ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í A0 Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý kÇ: ²é³Ýó ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ Ë³Ëï»Éáõ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÁ ½μ³Õ»óÝáõÙ ¿ A (¨ A0 ) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ í»ñÇÝ Ó³Ë ³ÝÏÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ Ã»áñ»Ù 17.8Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, A0 ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ù³ïñÇóÇ í»ñçÇÝ m ¡ k ïáÕ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ Ýñ³ ³é³çÇÝ k ïáÕ»ñÇ ÙÇçáóáí, ³å³ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç í»ñçÇÝ m¡k Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ k Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: Ð»ï¨³μ³ñ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ïª

Ï³Ù

< a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1k xk + a1;k+1 xk+1 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1 ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: : ak1 x1 + ¢ ¢ ¢ + akk xk + ak;k+1 xk+1 + ¢ ¢ ¢ + akn xn = bk ; < a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1k xk = b1 ¡ a1;k+1 xk+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a1n xn ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: : ak1 x1 + ¢ ¢ ¢ + akk xk = bk ¡ ak;k+1 xk+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ akn xn :

²Ûëï»Õ xk+1 ; : : : ; xn ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÝ ³Ýí³Ý»Éáí ³½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ ¨ ¹ñ³Ýó ï³Éáí Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ ¹Çï³ñÏíáÕ P ¹³ßïÇó, ÉáõÍáõÙ »Ýù ëï³óí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª Áëï x1 ; : : : ; xk ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ·ÉË³íáñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñ (ûñÇÝ³Ï, Îñ³Ù»ñÇ »Õ³Ý³Ïáí, áñáíÑ»ï¨

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ñ»Ýù³ÛÇÝ »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª

a11 ; : : : ; a1k det @ : : : : : : : : : A 6= 0): ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ ak1 ; : : : ; akk Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³ÝÁª

< a11 x1 + ¢ ¢ ¢ + a1k xk = ¡a1;k+1 xk+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a1n xn ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: : ak1 x1 + ¢ ¢ ¢ + akk xk = ¡ak;k+1 xk+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ akn xn : Àëï áñáõÙ,

::: ; xn = 0 ; xk+1 = 1; xk+2 = 0; ::: ; xn = 0 ; xk+1 = 0; xk+2 = 1; xk+1 = 0; xn¡1 = 0; xn = 1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ëï³óíáÕ n ¡ k Ñ³ï ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÏÏ³½Ù»Ý Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç

Ñ»Ýù³ÛÇÝ

(ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É) ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ÁÝïñ»Éáí (17.5) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ, ·ïÝáõÙ »Ýù Ý³¨ Ýñ³ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.15): àñå»ë ûñÇÝ³Ï áñáß»Ýù ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁª 2x1 + x2 ¡ x3 ¡ x4 + x5 = 1 ; > > < x1 ¡ x2 + x3 + x4 ¡ 2x5 = 0 ; (17.12) 3x > 1 + 3x2 ¡ 3x3 ¡ 3x4 + 4x5 = 2 ; > : 4x1 + 5x2 ¡ 5x3 ¡ 5x4 + 7x5 = 3 :

Ð³Ù³Ï³ñ·Ç

ÁÝ¹É³ÛÝí³Í

Ù³ïñÇóÁ ïáÕ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ μ»ñ»Ýù ³ëïÇ×³Ý³Ó¨ ï»ëùÇ. 1 ¡1 ¡1 1 1 1 ¡1 1 ¡2 0 B 1 ¡1 B 1 ¡2 0 C 1 ¡1 ¡1 1 1 C B C » B 2 C » @ 3 A @ 3 ¡3 ¡3 4 2 3 ¡3 ¡3 4 2 A 5 ¡5 ¡5 7 3 5 ¡5 ¡5 7 3 1 ¡1 1 ¡2 0 1 ¡1 1 ¡2 B 0 B 3 ¡3 ¡3 5 1 C 1 ¡1 ¡1 5=3 1=3 C C » B 0 C: » B @ 0 @ 0 6 ¡6 ¡6 10 2 A 0 A 9 ¡9 ¡9 15 3

²ÛëåÇëáí, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý ¨ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý 2Ç: ²Ûëï»Õ, x1 , x2 ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

·ÉË³íáñ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÁ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í x3 , x4 , x5 ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÁª ³½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÁ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç

ÉáõÍÙ³ÝÁª

< x1 ¡ x2 + x3 + x4 ¡ 2x5 = 0 ; (17.13) : x2 ¡ x3 ¡ x4 + x5 = ; áñï»ÕÇóª x2 = + x3 + x4 ¡ x5 ; 1 x5 x1 = x2 ¡ x3 ¡ x4 + 2x5 = + x3 + x4 ¡ x5 ¡ x3 ¡ x4 + 2x5 = + ; ³ÛëÇÝùÝª (17.12) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ª ½μ ¾ ¶¯ ¯ 1 x5 1 ¯ + ; + x3 + x4 ¡ x5 ; x3 ; x4 ; x5 ¯ x3 ; x4 ; x5 2 R : 3 3 Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ (17.12) Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ 2x1 + x2 ¡ x3 ¡ x4 + x5 = 0 ; > > < x1 ¡ x2 + x3 + x4 ¡ 2x5 = 0 ; 3x > 1 + 3x2 ¡ 3x3 ¡ 3x4 + 4x5 = 0 ; > : 4x1 + 5x2 ¡ 5x3 ¡ 5x4 + 7x5 = 0

(17.14)

Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ª ¾ ¶¯ ½μ ¯ x5 ; x3 + x4 ¡ x5 ; x3 ; x4 ; x5 ¯¯ x3 ; x4 ; x5 2 R :

ºÃ» x3 = x4¶= x5 = 0, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù (17.12) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç h1 = μ 1 1 ; ; 0; 0; 0 ÉáõÍáõÙÁ, ÇëÏ ³½³ï ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñÅ»ùÝ»ñÇ 3 3 ¹»åùáõÙª x3 = 1; x4 = 0; x5 = 0 ; x3 = 0; x4 = 1; x5 = 0 ; x3 = 0; x4 = 0; x5 = 1 ; ëï³ÝáõÙ »Ýù (17.14) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç (ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É) ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª c1 = (0; 1; 1; 0; 0) ;

Ñ»Ýù³ÛÇÝ

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

c2 = (0; 1; 0; 1; 0) ; ¶ μ ; ¡ ; 0; 0; 1 : c3 =

Ð»ï¨³μ³ñ, (17.12) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç h ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.15)ª h = h1 + ®1 c1 + ®2 c2 + ®3 c3 = =

¶ ¶ μ 1 1 ; ; 0; 0; 0 +®1 (0; 1; 1; 0; 0)+®2 (0; 1; 0; 1; 0)+®3 ; ¡ ; 0; 0; 1 ; 3 3

áñï»Õ ®1 ; ®2 ; ®3 2 R:

17.9. ì»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ ¨ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Ñ»ÝùÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¸Çóáõù QÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ e1 ; e2 ; : : : ; en Á Ñ»Ýù (Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·) ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ, áñÁ Ñ³Ù³éáï ÏÝß³Ý³Ï»Ýù (ei )áí: Àëï Ñ»ÝùÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, QÇ ó³ÝÏ³ó³Í x ï³ññ (í»Ïïáñ) ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (ei )Ç ÙÇçáóáí, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ®1 ; ®2 ; : : : ; ®n 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñ, áñ x = ®1 e 1 + ®2 e 2 + ¢ ¢ ¢ + ®n e n : ²Ûëï»Õ ®1 ; ®2 ; : : : ; ®n ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý (É»ÙÙ 17.8) ¨ ÏáãíáõÙ »Ý x í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ (x)(ei ) = (®1 ; ®2 ; : : : ; ®n ): x-Ç í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³éáï Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª e1 C B x= ®i ei = (®1 ; : : : ; ®n ) ² @ ... A ; i=1 en n X

áñï»Õ ² μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí (ûñ»Ýùáí): ÜáõÛÝ ÇÙ³ëïÝ áõÝÇ Ý³¨ U ² e Ï³Ù U ² a ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñï»Õ U Ý m £ nã³÷³ÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ù³ïñÇó ¿ª áñáßí³Í e1 B .. e=@ . en

ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ P a1 C B .. A; a=@ . an

¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ C A;

a1 ; : : : ; an 2 Q :

È»ÙÙ 17.12: ºÃ» U , V Ù³ïñÇóÝ»ñÁ m £ nã³÷³ÝÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý áñáßí³Í ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ P ¹³ßïÇ íñ³ ¨ U ² e = V ² e, ³å³ U = V :

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇª ui1 e1 + ui2 e2 + ¢ ¢ ¢ + uin en = vi1 e1 + vi2 e2 + ¢ ¢ ¢ + vin en ; (ui1 ¡ vi1 ) e1 + (ui2 ¡ vi2 ) e2 + ¢ ¢ ¢ + (uin ¡ vin ) en = 0 :

Ð»ï¨³μ³ñ, ui1 ¡ vi1 = 0, ui2 ¡ vi2 = 0, : : :, uin ¡ vin = 0 ¨ ui1 = vi1 , ui2 = vi2 , : : :, uin = vin : ¤ È»ÙÙ 17.13: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í a = (a1 ; : : : ; ak )T ëÛáõÝ³ÏÇ ¨ ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý m £ nã³÷³ÝÇ A = (®ij ) áõ n £ kã³÷³ÝÇ B = (¯ij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª A ² (B ² a) = (A ¢ B) ² a: ¤ ¸Çóáõù Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç e1 ; e2 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ÁÝïñí³Í ¿ Ý³¨ Ù»Ï áõñÇß Ñ»Ýù ¨ëª e01 ; e02 ; : : : ; e0n , áñÁ Ñ³Ù³éáï ÏÝß³Ý³Ï»Ýù (e0i )áí, ¨ ¹Çóáõù e01 = t11 e1 + ¢ ¢ ¢ + t1n en ; ::: ::: ::: ::: e0n = tn1 e1 + ¢ ¢ ¢ + tnn en ;

(17.15)

e1 = t011 e01 + ¢ ¢ ¢ + t01n e0n ; ::: ::: ::: ::: en = t0n1 e01 + ¢ ¢ ¢ + t0nn e0n ;

(17.16)

ÇëÏ

áñï»Õ ¡ = (tij ) ¨ ¡0 = (t0ij ) Ù³ïñÇóÝ»ñÁ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ, ÏáãíáõÙ »Ý (ei ) Ñ»ÝùÇó (e0i ) Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇó ¨ (e0i ) Ñ»ÝùÇó (ei ) Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇó: ú·ïí»Éáí í»ñáÑÇßÛ³É ² μ³½Ù³å³ïÏáõÙÇó,

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ (17.15) ¨ (17.16) Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáíª

áñï»Õ e0 Ñ³Ù³Ó³ÛÝ,

e0 = ¡ ² e ¨ e = ¡0 ² e0 ;

e01 C B = @ ... A = (e01 ; : : : ; e0n )T : Ð»ï¨³μ³ñ, É»ÙÙ 17.13Ç e0n E ² e0 = e0 = ¡ ² (¡0 ² e0 ) = (¡ ¢ ¡0 ) ² e0 ; E ² e = e = ¡0 ² (¡ ² e) = (¡0 ¢ ¡) ² e ;

áñï»ÕÇó, É»ÙÙ 17.12Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, E = ¡ ¢ ¡0 , E = ¡0 ¢ ¡, ³ÛëÇÝùÝª nñ¹ Ï³ñ·Ç ¡ ¨ ¡0 ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý áõ ¡0 = ¡¡1 : ²ÛëåÇëáí, e0 = ¡ ² e ¡! e = ¡¡1 ² e0 :

²ÛÅÙ å³ñ½»Ýù, Ã» ÇÝãå»ë »Ý ÷á÷áËíáõÙ x í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ (ei ) Ñ»ÝùÇó (e0i ) Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý ¹»åùáõÙ. e1 C B x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en = (®1 ; : : : ; ®n ) ² @ ... A = en

(®1 ; : : : ; ®n ) ² e = (®1 ; : : : ; ®n ) ² (¡0 ² e0 ) = ((®1 ; : : : ; ®n ) ¢ ¡0 ) ² e0 ; 0 0 1 e1 B .. C 0 0 0 0 x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en = (®1 ; : : : ; ®n ) ² @ . A = (®01 ; : : : ; ®0n ) ² e0 ; e0n

áñï»ÕÇó

((®1 ; : : : ; ®n ) ² ¡0 ) ² e0 = (®01 ; : : : ; ®0n ) ² e0

¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 17.12Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýùª

(®1 ; : : : ; ®n ) ² ¡0 = (®10 ; : : : ; ®0n ) Ï³Ù (®1 ; : : : ; ®n ) = (®01 ; : : : ; ®0n ) ² (¡0 )¡1 = (®01 ; : : : ; ®0n ) ² ¡ ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝª

²Ûë å³ï×³éáí

®1 = t11 ®01 + t21 ®02 + ¢ ¢ ¢ + tn1 ®0n ; ::: ::: ::: ::: ®n = t1n ®01 + t2n ®02 + ¢ ¢ ¢ + tnn ®0n : t11 ; t21 ; ¢ ¢ ¢ ; tn1 A ¡T = @ : : : : : : : : : t1n ; t2n ; ¢ ¢ ¢ ; tnn

Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇó, áñÁ (ei ) Ñ»ÝùÇó (e0i ) Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÇ ßñçí³ÍÝ ¿: Üáñ (e0i ) Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ xÇ áõÝ»ó³Í Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ÑÇÝ ¡ ¡1 ¢T ¡ ¢¡1 = ¡ Ù³ïñÇóÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí Ï³ñï³Ñ³Ûïí»Ý ¡T û·ÝáõÃÛ³Ùμ: Î³ñ¨áñ ¿ Ý³¨, áñ ´¡1 ¡ ³ ¢¡1 ¡ T ¢¡1 ¡ T ¢¡1 (¡1 ¢ ¡2 )T = ¡T2 ¢ ¡T1 = ¡1 ¢ ¡2 :

Â»áñ»Ù 17.15: ¸Çóáõù QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ª e1 ; e2 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí: àñå»ë½Ç QÇ ï³ññ»ñÇ a1 ; a2 ; : : : ; ak Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³Ýó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í k £ nã³÷³ÝÇ (a1 )(ei ) B (a2 )(e ) C i B C A=B C @ A (ak )(ei )

Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ kÇ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù (a1 )(ei ) = (®11 ; : : : ; ®1n ) ; (a2 )(ei ) = (®21 ; : : : ; ®2n ) ; ::: ::: ::: ::: (ak )(ei ) = (®k1 ; : : : ; ®kn ) ; ³ÛëÇÝùÝª at = ®t1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®tn en , áñï»Õ t = 1; 2; : : : ; k: Ð»ï¨³μ³ñ,

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ak = 0 Ã! ®1 (®11 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®1n en ) + ¢ ¢ ¢ + ®k (®k1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®kn en ) = 0 Ã! (®1 ®11 + ¢ ¢ ¢ + ®k ®k1 ) e1 + ¢ ¢ ¢ + (®1 ®1n + ¢ ¢ ¢ + ®k ®kn ) en = 0 Ã! ®1 ®11 + ¢ ¢ ¢ + ®k ®k1 = 0 ; : : : ; ®1 ®1n + ¢ ¢ ¢ + ®k ®kn = 0 Ã! ¤ ®1 (®11 ; : : : ; ®1n ) + ¢ ¢ ¢ + ®k (®k1 ; : : : ; ®kn ) = 0 :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.16: ¸Çóáõù QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ e1 ; e2 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí ¨ nñ¹ Ï³ñ·Ç A = (aij ) 2 P n£n Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý áñáßÇã: ºÃ» e01 = a11 e1 + ¢ ¢ ¢ + a1n en ; e02 = a21 e1 + ¢ ¢ ¢ + a2n en ; ::: ::: ::: ::: e0n = an1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ann en ;

³å³ QÇ ï³ññ»ñÇ e01 ; e02 ; : : : ; e0n Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ¤ ³ÛëÇÝùÝª Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ:

17.10. ºÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ, ·áõÙ³ñ ¨ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ¸Çóáõù QÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ Q1 ; Q2 6 Q: Q1 ¨ Q2 »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ: È»ÙÙ 17.14: 1) ºÃ» Q1 6 Q ¨ Q2 6 Q, ³å³ Q1 \ Q2 6 Q, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ; 2) ºÃ» Q1 6 Q; : : : ; Qk 6 Q, ³å³ Q1 \ ¢ ¢ ¢ \ Qk 6 Q, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ; 3) ØÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: 6 ;, áñáíÑ»ï¨ 0 2 Q1 , 0 2 Q2 ²å³óáõóáõÙ: 1) ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Q1 \ Q2 = ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, 0 2 Q1 \ Q2 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» x; y 2 Q1 \ Q2 ¨ ®; ¯ 2 P ,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³å³ x; y 2 Q1 , x; y 2 Q2 ¨ ®x + ¯y 2 Q1 , ®x + ¯y 2 Q2 , ³ÛëÇÝùÝª ®x + ¯y 2 Q1 \ Q2 : 2)Á ¨ 3)-Á ³å³óáõóíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.17: Q1 \ Q2 6 Q1 , Q1 \ Q2 6 Q2 ¨ Q1 \ Q2 Á QÇ ³ÛÝ

§³Ù»Ý³Ù»Í¦ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ ¿ , áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÁÝÏ³Í ¿ Q1 Ç

¨ Q2 Ç Ù»ç (³ÛëÇÝùÝª »Ã» Q0 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª Q0 μ Q1 ¨ Q0 μ Q2 , ³å³ Q0 μ Q1 \ Q2 ): ¤ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Q1 ; Q2 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q1 + Q2 áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Q1 + Q2 = fu + v j u 2 Q1 ; v 2 Q2 g : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Q1 μ Q1 +Q2 , Q2 μ Q1 +Q2 , Q1 +Q1 = Q1 ¨ Q1 +Q2 = Q2 Ã! Q1 μ Q2 :

È»ÙÙ 17.15: 1) ºÃ» Q1 6 Q ¨ Q2 6 Q, ³å³ Q1 + Q2 6 Q, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÝáñÇó Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ; 2) Q1 + Q2 = Q2 + Q1 ¨ (Q1 + Q2 ) + Q3 = Q1 + (Q2 + Q3 ), ³ÛëÇÝùÝª »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý: ¤ Ð»ï¨³μ³ñ, Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí Q1 ; : : : ; Qk 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ï³Ëí³Í ã¿ ÷³Ï³·Í»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÇó (Ã»áñ»Ù 1.3) ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇª Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk : ²ÛëåÇëáí, í»ñç³íáñ Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk = fu1 + ¢ ¢ ¢ + uk j u1 2 Q1 ; : : : ; uk 2 Qk g ; áñÁ ÏÉÇÝÇ Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ QÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ ³Û¹ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ QÇ ³ÛÝ §³Ù»Ý³÷áùñ¦ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (³ÛëÇÝùÝª »Ã» Q0 6 Q ¨ Q1 μ Q0 , : : :, Qk μ Q0 , ³å³ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk μ Q0 ): Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q1 © ¢ ¢ ¢ © Qk , »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ï³ññ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

¿ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ u1 + ¢ ¢ ¢ + uk ï»ëùáí, áñï»Õ u1 2 Q1 ; : : : ; uk 2 Qk : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÝ áõÕÇÕ ¿, ³å³ Q1 + Q2 , Q1 + Q2 + Q3 ; : : : ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÝ»ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ : 1) f0g + Q = f0g © Q; 2) Ð³ñÃáõÃÛáõÝÁ ¹Çï»Éáí áñå»ë Çñ íñ³ ·ïÝíáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, ÇëÏ áõÕÇÕÁª áñå»ë Çñ íñ³ ·ïÝíáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, Ï³ñáÕ »Ýù åÝ¹»É, áñ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Ñ³ïíáÕ (μ³Ûó áã Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ) áõÕÇÕÝ»ñÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ; 3) ºÃ» Q 6= f0g, ³å³ Q + Q ·áõÙ³ñÁ ãÇ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ, áñáíÑ»ï¨, »Ã» a 6= 0 ¨ a 2 Q, ³å³ a + a = b ¨ 0 + b = b, áñï»Õ b 2 Q: È»ÙÙ 17.16: ºÃ» Q = Q1 © ¢ ¢ ¢ © Qk , ÇëÏ Qi = Qi1 © ¢ ¢ ¢ © Qi`i , áñï»Õ i = 1; : : : ; k, ³å³ Q = Q11 © ¢ ¢ ¢ © Q1`1 © ¢ ¢ ¢ © Qk1 © ¢ ¢ ¢ © Qk`k :

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.8:àñå»ë½Ç »ñÏáõ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + Q2 ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q1 \ Q2 = f0g:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q1 + Q2 ·áõÙ³ñÝ áõÕÇÕ ¿ ¨ z 2 Q1 \ Q2 , ³å³ z + (¡z) = 0, áñï»Õ z 2 Q1 , ¡z 2 Q2 , ¨ 0 + 0 = 0: Ð»ï¨³μ³ñ, z = 0: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q1 \ Q2 = f0g ¨ z = u1 + u2 = u01 + u02 , áñï»Õ u1 ; u01 2 Q1 , u2 ; u02 2 Q2 , ³å³ u1 ¡ u01 = u02 ¡ u2 2 Q1 \ Q2 = f0g: Ð»ï¨³μ³ñ, u1 ¡ u01 = 0 ¨ u2 ¡ u02 = 0, ³ÛëÇÝùÝ‘ u1 = u01 ¨ u2 = u02 : àõëïÇª Q1 + Q2 = Q1 © Q2 : ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.9: àñå»ë½Ç í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + Q2 ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q1 , Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»Ýù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q1 + Q2 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q1 + Q2 = Q1 © Q2 ¨ ¹Çóáõù e1 ; : : : ; ek Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q1 -Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ fk+1 ; : : : ; fn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q2 -Ç Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q1 + Q2 ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñï³Ñ³ÛïíÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

e1 ; : : : ; ek ; fk+1 ; : : : ; fn ÙÇ³íáñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ý³¨ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿. ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ek + ¯k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + ¯n fn = 0; ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ek = (¡¯k+1 )fk+1 + ¢ ¢ ¢ + (¡¯n )fn 2 Q1 \ Q2 :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ñ³Ûï³ÝÇßÇª Q1 \Q2 = f0g: Ð»ï¨³μ³ñ, ®1 e1 +¢ ¢ ¢+ ®k ek = 0 ¨ (¡¯k+1 )fk+1 + ¢ ¢ ¢ + (¡¯n )fn = 0: àõëïÇª ®1 = ¢ ¢ ¢ = ®k = 0, ¡¯k+1 = ¢ ¢ ¢ = ¡¯n = 0 ¨ ¯k+1 = ¢ ¢ ¢ = ¯n = 0: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.18: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 © Q2 áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ·áõÙ³ñ»ÉÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ` dim(Q1 © Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q1 = f0g Ï³Ù Q2 = f0g, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ »Ã» Q1 6= f0g ¨ Q2 6= f0g, ³å³ û·ïíáõÙ »Ýù Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.19: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ûÅïí³Í ¿ Éñ³óáõÙáí, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Q-Ç ³ÛÝåÇëÇ Q00 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, áñ Q0 © Q00 = Q: ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ Q-Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ Q0 -Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ³Û¹åÇëÇÝ: ºÃ» Q0 = f0g; Q, ³å³ Q00 = Q; f0g: ¸Çóáõù Q0 6= f0g; Q ¨ e1 ; : : : ; ek Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q0 -Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ e1 ; : : : ; ek ; fk+1 ; : : : ; fn Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q-Ç Ñ³Ù³ñ: ¤ Üß³Ý³Ï»Éáí Q00 = (fk+1 ; : : : ; fn ) ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ Q = Q0 © Q00 : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.10: àñå»ë½Ç í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»Ýù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.20: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Q1 © ¢ ¢ ¢ © Qk áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ·áõÙ³ñ»ÉÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝª dim(Q1 © ¢ ¢ ¢ © Qk ) = dim(Q1 ) + ¢ ¢ ¢ + dim(Qk ) :

²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»É áã ½ñáÛ³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ÆëÏ ³Û¹ ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: ¤ ¸Çóáõù QÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ Q0 Á Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, Q0 Á ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¨ ¹Çóáõù e1 ; : : : ; ek Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q0 Ç Ñ³Ù³ñ: ÀÝ¹É³ÛÝ»Ýù (ß³ñáõÝ³Ï»Ýù) ³Û¹ Ñ»ÝùÁ ÙÇÝã¨ QÇ Ñ»ÝùÇª e1 ; : : : ; ek ; fk+1 ; : : : ; fn : Î³ë»Ýù, áñ QÇ Ñ»ÝùÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»ï, »Ã» ³Û¹ Ñ»ÝùÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Q0 Ç áñ¨¿ Ñ»ÝùÇ ß³ñáõÝ³ÏáõÃÛáõÝÁ

(ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ):

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) QÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Q Ç Ñ»ï Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í

QÇ Ñ»Ýù:

2) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ Çñ Q1 = (e1 ), : : :, Qn = (en ) »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: È»ÙÙ 17.17: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý Q1 ; Q2 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ»Ýù, áñÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ Q1 ¨ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. ³) Q1 \ Q2 = f0g, μ) Q1 \ Q2 6= f0g: Ü³Ë åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»Ýù ³é³çÇÝ ¹»åùáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 17.12Ç, Q1 ¨ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; ek Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Q1 Ç Ñ»ÝùÝ ¿, ÇëÏ f1 ; : : : ; fs Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Q2 Ç Ñ»ÝùÝ ¿: ²ÛÅÙ μ³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É, áñ e1 ; : : : ; ek ; f1 ; : : : ; fs

(17.17)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÙÇ³íáñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ÇÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿, ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É ÙÇÝã¨ QÇ Ñ»ÝùÇ: ²ÛÅÙ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»Ýù »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ý³¨ Q1 \ Q2 6= Q1 ¨ Q1 \ Q2 6= Q2 : ¸Çóáõù a1 ; : : : ; ak Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q1 \Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, a1 ; : : : ; ak ; bk+1 ; : : : ; bs Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q1 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ a1 ; : : : ; ak ; ck+1 ; : : : ; ct Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ´³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ ÝÏ³ï»É, áñ a1 ; : : : ; ak ; bk+1 ; : : : ; bs ; ck+1 ; : : : ; ct (17.18) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: Q1 \ Q2 = Q1 Ï³Ù Q1 \ Q2 = Q2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤ Â»áñ»Ù 17.16: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ó³ÝÏ³ó³Í Q1 ¨ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáÃõÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª

ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý

dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ dim(Q1 \ Q2 ) :

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» Q1 \ Q2 = f0g, ³å³ Q1 + Q2 = Q1 © Q2 ¨ dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q1 © Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) = = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ 0 = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ dim(Q1 \ Q2 );

2) ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙª Q1 \ Q2 6= f0g: ²Ûëï»Õ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ÝÃ³¹»åù»ñÁ. ³) Q1 μ Q2 : Ð»ï¨³μ³ñ, Q1 + Q2 = Q2 , Q1 \ Q2 = Q1 ¨ dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ dim(Q1 ) = = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ dim(Q1 \ Q2 );

μ) Q2 μ Q1 : Ð³Ý·áõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ ¹»åùÇ ùÝÝ³ñÏÙ³ÝÁ: ·) Q1 6μ Q2 ¨ Q2 6μ Q1 , ³ÛëÇÝùÝª Ñ³ïáõÙ Ï³, ë³Ï³ÛÝ ¹ñ³ÝóÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ãÇ ÁÝÏ³Í ÙÛáõëÇ Ù»ç: ¸Çóáõù dim(Q1 \ Q2 ) = k > 0;

dim(Q1 ) = n > 0;

dim(Q2 ) = m > 0;

áñï»Õ k < n ¨ k < m: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; ek Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q1 \ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, e1 ; : : : ; ek ; fk+1 ; : : : ; fn

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q1 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ e1 ; : : : ; ek ; gk+1 ; : : : ; gm Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ³í³ñïí³Í, »Ã» ³å³óáõó»Ýù, áñ e1 ; : : : ; ek ; fk+1 ; : : : ; fn ; gk+1 ; : : : ; gm

(17.19)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q1 + Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q1 + Q2 ï³ññ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (17.19) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ (17.19) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿. ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ek + ¯k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + ¯n fn + °k+1 gk+1 + ¢ ¢ ¢ + °m gm = 0; ®1 e1 +¢ ¢ ¢+®k ek +¯k+1 fk+1 +¢ ¢ ¢+¯n fn = (¡°k+1 )gk+1 +¢ ¢ ¢+(¡°m )gm 2 Q1 \Q2 :

àõëïÇª

(¡°k+1 )gk+1 + ¢ ¢ ¢ + (¡°m )gm = ±1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ±k ek ; ±1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ±k ek + °k+1 gk+1 + ¢ ¢ ¢ + °m gm = 0

¨ °k+1 = ¢ ¢ ¢ = °m = 0 (= ±1 = ¢ ¢ ¢ = ±k ): Ð»ï¨³μ³ñ,

®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ek + ¯k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + ¯n fn = 0 ¨ ®1 = ¢ ¢ ¢ ®k = ¯k+1 = ¢ ¢ ¢ = ¯n = 0:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.21: ºÃ» í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Q1 ¨ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 );

³å³ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + Q2 ·áõÙ³ñÁ ÏÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ: ²å³óáõóáõÙ: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ‘ dim(Q1 + Q2 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ dim(Q1 \ Q2 ) : ú·ïí»Éáí ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª dim(Q1 \Q2 ) = 0 ¨ Q1 \Q2 = f0g: ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + Q2 ·áõÙ³ñÁ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ÉÇÝ»Éáõ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.22: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Q1 , Q2 ¨ Q3 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª dim(Q1 + Q2 + Q3 ) = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) + dim(Q3 )¡ ¡dim(Q1 \ Q2 ) ¡ dim ((Q1 + Q2 ) \ Q3 ) :

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇª dim(Q1 + Q2 + Q3 ) = dim ((Q1 + Q2 ) + Q3 ) = = dim(Q1 + Q2 ) + dim(Q3 ) ¡ dim ((Q1 + Q2 ) \ Q3 ) = = dim(Q1 ) + dim(Q2 ) ¡ dim (Q1 \ Q2 ) + dim(Q3 ) ¡ dim ((Q1 + Q2 ) \ Q3 ) : ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.23: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª dim(Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ) = dim(Q1 ) + ¢ ¢ ¢ + dim(Qk )¡ ¡dim(Q1 \Q2 )¡dim ((Q1 + Q2 ) \ Q3 )¡¢ ¢ ¢¡dim ((Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk¡1 ) \ Qk ) :

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, »Ã» x1 + ¢ ¢ ¢ + xk = 0 ¡! x1 = ¢ ¢ ¢ = xk = 0 ; áñï»Õ x1 2 Q1 , : : :, xk 2 Qk : Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.11: àñå»ë½Ç í»ñç³íáñ Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

ÉÇÝ»Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý ¨ z = u1 + ¢ ¢ ¢ + uk , z = u01 + ¢ ¢ ¢ + u0k , áñï»Õ u1 ; u01 2 Q1 , : : :, uk ; u0k 2 Qk , ³å³ (u1 ¡ u01 ) + ¢ ¢ ¢ + (uk ¡ u0k ) = 0

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

¨ u1 ¡ u01 = 0, : : :, uk ¡ u0k = 0, áñï»ÕÇó u1 = u01 , : : :, uk = u0k : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ï³ññ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¿ í»ñÉáõÍíáõÙ z = u1 + ¢ ¢ ¢ + uk ï»ëùáí, áñï»Õ u1 2 Q1 , : : :, uk 2 Qk , ¨ x1 +¢ ¢ ¢+xk = 0, áñï»Õ x1 2 Q1 , : : :, xk 2 Qk , ³å³ x1 = 0, : : :, xk = 0, ³ÛëÇÝùÝª Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.12: àñå»ë½Ç í»ñç³íáñ Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Qi »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³ïáõÙÁ ÙÝ³ó³Í »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ»ï ÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ýª Qi \ (Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qi¡1 + Qi+1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ) = f0g;

áñï»Õ i = 1; : : : ; k: ²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» ·áõÙ³ñÝ áõÕÇÕ ¿ ¨ z 2 Qi \ (Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qi¡1 + Qi+1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ) = f0g, ³å³ z = u1 + ¢ ¢ ¢ + ui¡1 + ui+1 + ¢ ¢ ¢ + uk ¨ z ¡ u1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ +ui¡1 ¡ ui+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ uk = 0, áñï»ÕÇó z = 0: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Qi \ (Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qi¡1 + Qi+1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ) = f0g; áñï»Õ i = 1; : : : ; k, ³å³ u1 + ¢ ¢ ¢ + ui¡1 + ui + ui+1 + ¢ ¢ ¢ + uk = 0 å³ÛÙ³ÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ui = u1 + ¢ ¢ ¢ + ui¡1 + ui+1 + ¢ ¢ ¢ + uk ; áñï»ÕÇó ui = 0, i = 1; : : : ; k:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.13:àñå»ë½Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³ïáõÙÁ Ý³Ëáñ¹ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ»ï ÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý, ³ÛëÇÝùÝª Q1 \ Q2 = f0g; (Q1 + Q2 ) \ Q3 = f0g; : : : (Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk¡1 ) \ Qk = f0g :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ åÝ¹áõÙÇó: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: k = 2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: »ÝÃ³¹ñ»Ýù åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ k ¡ 1 Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ³å³óáõó»Ýù k Ãíáí »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» u1 + ¢ ¢ ¢ + uk¡1 + uk = 0, ³å³ (Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk¡1 ) \ Qk = f0g å³ÛÙ³ÝÇó ÏμËÇ, áñ uk = 0 ¨ u1 + ¢ ¢ ¢ + uk¡1 = 0: Ð³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·³ÛÇÝ ¤ »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ u1 = 0; : : : ; uk¡1 = 0: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.24: ºÃ» í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Q1 ; : : : ; Qk »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª dim(Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ) = dim(Q1 ) + ¢ ¢ ¢ + dim(Qk );

³å³ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ·áõÙ³ñÁ ÏÉÇÝÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª

í»ñç³íáñ

ã³÷³ÝÇ

·Í³ÛÇÝ

dim(Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk ) = dim(Q1 ) + ¢ ¢ ¢ + dim(Qk )¡ ¡dim(Q1 \ Q2 ) ¡ dim((Q1 + Q2 ) \ Q3 ) ¡ ¢ ¢ ¢ dim((Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk¡1 ) \ Qk ) :

Ð»Ñ¨³μ³ñª dim(Q1 \ Q2 ) = f0g, dim((Q1 + Q2 ) \ Q3 ) = f0g, ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ dim((Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk¡1 ) \ Qk ) = f0g, àõëïÇª Q1 \ Q2 = f0g, (Q1 + Q2 ) \ Q3 = f0g, : : :, (Q1 + ¢ ¢ ¢ + Qk¡1 ) \ Qk = f0g: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùÇó: ¤

17.11. ¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÁ) ¸Çóáõù QÝ ¨ Q0 Á »ñÏáõ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³ (å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É P = R): ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ç½áÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ QÇó Q0 (Ï³Ù Q ¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨), »Ã» 'Ý μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²) 'Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ´) '(x + y) = '(x) + '(y) μáÉáñ x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ¶) '(®x) = ®'(x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: ì»ñçÇÝ »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÙÇ³íáñíáõÙ »Ý Ù»Ï

å³ÛÙ³ÝÇ Ù»çª

¸) '(®x + ¯y) = ®'(x) + ¯'(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ê³ÑÙ³ÝÙ³Ý ´) å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ª '(0) = '(0 + 0) = '(0) + '(0) ¨ '(0) = 00 , áñï»Õ 00 Á Q0 Ç ½ñáÝ ¿: ²ÛÝáõÑ»ï¨, 00 = '(0) = '(x + (¡x)) = '(x) + '(¡x) ¨ '(¡x) = ¡'(x): ²Ûë »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ μËáõÙ »Ý Ý³¨ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ·) å³ÛÙ³ÝÇó‘ ® = 0 ¨ ® = ¡1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ ' (x1 + ¢ ¢ ¢ + xn ) = '(x1 ) + ¢ ¢ ¢ + '(xn ) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í x1 ; : : : ; xn 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ï, »Ã» Q = Rn , Q0 = ff 2 R[x] j deg(f ) 6 n ¡ 1 Ï³Ù f = 0g, ÇëÏ ' : (a0 ; : : : ; an¡1 ) ! a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an¡1 xn¡1 , ³å³ 'Ý ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç: Q ¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q ' Q0 Ï³Ù Q » = Q0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q0 Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ): ê³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ï³Ù §» =¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 17.18: ¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) Q ' Q ó³ÝÏ³ó³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ; μ) Q ' Q0 ¡! Q0 ' Q; ·) Q ' Q0 , Q0 ' Q00 ¡! Q ' Q00 :

²å³óáõóáõÙ: ³) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ "Q : Q ! Q ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿: μ) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ »Ã» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ¿ Ý³¨ '¡1 : Q0 ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñáíÑ»ï¨ '(®x + ¯y) = ®'(x) + ¯'(y)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

å³ÛÙ³ÝÇó x = '¡1 (x0 ), y = '¡1 (y 0 ) ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ' ®'¡1 (x0 ) + ¯'¡1 (y 0 ) = ®' '¡1 (x0 ) + ¯' '¡1 (y 0 ) ; ¡ ¢ ' ®'¡1 (x0 ) + ¯'¡1 (y 0 ) = ®x0 + ¯y 0 ; ®'¡1 (x0 ) + ¯'¡1 (y 0 ) = '¡1 (®x0 + ¯y 0 ) ;

áñï»Õ x0 ; y 0 2 Q0 : ·) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ »Ã» ' : Q ! Q0 ¨ '0 : Q0 ! Q00 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó ' ¢ '0 : Q ! Q00 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ¨ ''0 (®x + ¯y) = '0 ('(®x + ¯y)) = = '0 (®'(x) + ¯'(y)) = ®'0 ('(x)) + ¯'0 ('(y)) = ®''0 (x) + ¯''0 (y) : ¤ Â»áñ»Ù 17.17 (í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ØÇ¨ÝáõÛÝ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í »ñÏáõ Q ¨ Q0 í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏÉÇÝ»Ý Ç½áÙáñý (ÝáõÛÝ³Ó¨) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³Ýù áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª Q ' Q0 Ã! dim(Q) = dim(Q0 ) :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q ' Q0 , dim(Q) = n ¨ ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ¿ Q ¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: ºÃ» n = 0, ³ÛëÇÝùÝª Q = f0g, ³å³ Q0 Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝª dim(Q0 ) = 0 = dim(Q): ¸Çóáõù n > 0 ¨ e1 ; : : : ; en í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù, áñ '(e1 ); : : : ; '(en ) í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q0 Ç Ñ³Ù³ñ: Æñáù, »Ã» ®1 '(e1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®n '(en ) = 00 ; ³å³ ' (®1 e1 ) + ¢ ¢ ¢ + ' (®n en ) = '(0) ; ' (®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ) = '(0) :

ø³ÝÇ áñ 'Ý Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿, ³Ûëï»ÕÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®1 e 1 + ¢ ¢ ¢ + ®n e n = 0

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

¨ ®1 = ¢ ¢ ¢ = ®n = 0: àõëïÇ, '(e1 ); : : : ; '(en ) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 'Ç í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉáõÝ, ó³ÝÏ³ó³Í x0 2 Q0 í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q í»Ïïáñ, áñ '(x) = x0 : ¸Çóáõù x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en , áñï»Õ ®1 ; : : : ; ®n 2 P : Ð»ï¨³μ³ñ, x0 = '(x) = ' (®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ) = ®1 '(e1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®n '(en ) : ²ÛëåÇëáí dim(Q0 ) = n = dim(Q): ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» dim(Q) = dim(Q0 ), ³å³ Q ' Q0 : Æñáù, ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. I) dim(Q) = dim(Q0 ) = 0 ¨ ³Ûë ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿; II) dim(Q) = dim(Q0 ) = n > 0: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; en áõ f1 ; : : : ; fn Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ Ñ»Ýù»ñ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Q ¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Éáí '(x) = ®1 f1 + ¢ ¢ ¢ + ®n fn 2 Q0 ; ëï³ÝáõÙ »Ýù ' : Q ! Q0 ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÁ (Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ), áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ¨ '(®x + ¯y) = ®'(x) + ¯'(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤

17.12. ¶Í³ÛÇÝ Ó¨»ñ (ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ): Ð³Ù³ÉáõÍ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¸Çóáõù QÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ (å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É P = R): ' : Q ! P ýáõÝÏóÇ³Ý (³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ) ÏáãíáõÙ ¿ QÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨ Ï³Ù ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

'(x + y) = '(x) + '(y) ; '(¸x) = ¸'(x)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ÙÇ³íáñíáõÙ »Ý Ù»Ï å³ÛÙ³ÝÇ Ù»çª '(®x + ¯y) = ®'(x) + ¯'(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ »Ý '(0) = 0 ¨ '(¡x) = ¡'(x) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÇëÏ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Ý³¨ '(x1 + ¢ ¢ ¢ + xn ) = '(x1 ) + ¢ ¢ ¢ + '(xn )

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x; x1 ; : : : ; xn 2 Q: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ L(Q; P )áí Ï³Ù Hom(Q; P ): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Hom(Q; P ) 6= ;, áñáíÑ»ï¨ '(x) = 0 å³ÛÙ³Ýáí áñáßíáÕ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ QÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨: È»ÙÙ 17.19: ¶Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Hom(Q; P ) áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝª Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ. ('1 + '2 )(x) = '1 (x) + '2 (x); (®')(x) = ® ¢ '(x);

áñï»Õ x 2 Q, ® 2 P , '; '1 ; '2 2 Hom(Q; P ):

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ '1 + '2 2 Hom(Q; P ) ¨ ®' 2 Hom(Q; P ), »Ã» '; '1 ; '2 2 Hom(Q; P ) ¨ ® 2 P : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ëïáõ·íáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý áõÃ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ‘ Ýßí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ È»ÙÙ 17.20: 1) ºÃ» X 6= ;, ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ F (X; P ) = ff j f : X ! P g

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ` ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f1 + f2 )x = f1 (x) + f2 (x) ; (®f)x = ® ¢ f (x) ;

áñï»Õ x 2 X , ® 2 P , f; f1 ; f2 2 F (X; P ): 2) Hom(Q; P ) 6 F (Q; P ), ³ÛëÇÝùÝª Hom(Q; P )Ý F (Q; P ) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ' : f ! f (x0 ) ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ x0 Ý XÇ ë¨»éí³Í (ýÇùëí³Í) Ï»ï ¿, ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨ F (X; P ) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: 2) C[a; b]áí ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ [a; b] Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï μáÉáñ Çñ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ C[a; b] 6 F ([a; b]; R) ¨ ' : f ¡!

f (x) dx

ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨ C[a; b] ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: 3) C 1 (R)áí Ýß³Ý³Ï»Ýù f : R ! R ï»ëùÇ μáÉáñ ³ÛÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù áõÝ»Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ C 1 (R) 6 F (R; R) ¨ ' : f ¡! f 0 (x0 );

x0 2 R ;

ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨ C 1 (R) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ (x0 Ý ë¨»éí³Í ¿): Hom(Q; P ) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ QÇ Ñ³Ù³ÉáõÍ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q¤ áíª Hom(Q; P ) = Q¤ : Q¤ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ »ñμ»ÙÝ ÏáãíáõÙ »Ý QÇ Ïáí»ÏïáñÝ»ñ, ÇëÏ '(x)Á ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ' Ïáí»ÏïáñÇ ¨ x í»ÏïáñÇ ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É:

¼ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý

ÙÇ³Ï ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á: Ð³çáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ μÝáõÃ³·ñíáõÙ »Ý n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÁ‘ n > 1 ¹»åùáõÙ: Â»áñ»Ù 17.18: ¸Çóáõù QÝ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³; 1) QÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! P ·Í³ÛÇÝ Ó¨ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª '(x) = ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®n an ;

áñï»Õ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en , a1 = '(e1 ), : : :, an = '(en ); 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ó³ÝÏ³ó³Í a1 ; : : : ; an 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! P ·Í³ÛÇÝ Ó¨, áñ '(e1 ) = a1 , : : :, '(en ) = an :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: 1) åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ²å³óáõó»Ýù 2) åÝ¹áõÙÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýùª '(x) = ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®n an 2 P : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý '(x + y) = '(x) + '(y) ¨ '(¸x) = ¸'(x) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ '(e1 ) = a1 ; : : : ; '(en ) = an : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É 'Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù '(e1 ) = '0 (e1 ) = a1 , : : :, '(en ) = '0 (en ) = an , áñï»Õ '0 Á ¨ë QÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, '(x) = ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®n an = ®1 '0 (e1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®n '0 (en ) = = '0 (®1 e1 ) + ¢ ¢ ¢ + '0 (®n en ) = '0 (®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ) = '0 (x)

ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: àõëïÇ, ' = '0 : ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.25: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ç½áÙáñý ¿ Çñ Ñ³Ù³ÉáõÍ Q¤ ï³ñ³ÍáõÃÛ³ÝÁª Q ' Q¤ : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q = f0g, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÃ» dim(Q) = n > 0 ¨ e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á QÇ Ñ»Ýù ¿, ³å³ Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, QÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨ áñáßíáõÙ ¿ '(x) = ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®n an μ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en , a1 = '(e1 ), : : :, an = '(en ): ²ÛÅÙ ' ! (a1 ; : : : ; an ) Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ) Q¤ ¨ Pn nïáÕ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: ø³ÝÇ áñ dim(Pn ) = n, ³å³ dim(Q¤ ) = n: ¤ Ð»ï¨³μ³ñ, dim(Q¤ ) = dim(Q) ¨ Q ' Q¤ :

ºÃ» QÝ ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ Ýñ³ Q¤ Ñ³Ù³ÉáõÍ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ®1 ; : : : ; ®n Á x 2 Q í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÝ »Ý ë¨»éí³Í e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ; ³å³ "i (x) = ®i , i = 1; : : : ; n, ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ (e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ) ¨ ¹ñ³Ýù

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

ÏÉÇÝ»Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñ QÇ Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ½ 1; »Ã» i = j ; "i (ej ) = = ±ij (ÎñáÝ»Ï»ñÇ ëÇÙíáÉÁ (Ýß³ÝÁ)) : 0; »Ã» i = 6 j ²Ûë Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 17.19: "1 ; : : : ; "n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q¤ Ñ³Ù³ÉáõÍ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇÝ Ñ³Ù³ÉáõÍ Ñ»Ýù:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ "1 ; : : : ; "n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: Æñáù, »Ã» ¯1 "1 + ¢ ¢ ¢ + ¯n "n = O ; áñï»Õ O : Q ! P ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßíáõÙ ¿ O(x) = 0 å³ÛÙ³Ýáí (x 2 Q), ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª (¯1 "1 + ¢ ¢ ¢ + ¯n "n ) (x) = O(x) = 0 ; ¯1 "1 (x) + ¢ ¢ ¢ + ¯n "n (x) = 0 :

²Ûëï»Õ í»ñóÝ»Éáí x = ei , ÏáõÝ»Ý³Ýùª

¯1 "1 (ei ) + ¢ ¢ ¢ + ¯n "n (ei ) = 0 ; ¯1 0 + ¢ ¢ ¢ + ¯i¡1 0 + ¯i 1 + ¯i+1 0 + ¢ ¢ ¢ + ¯n 0 = 0 ;

³ÛëÇÝùÝª ¯i = 0 ó³ÝÏ³ó³Í i = 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í f 2 Q¤ ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ "1 ; : : : ; "n ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ÙÇçáóáí: Î³Ù³Û³Ï³Ý x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ, Ñ³ßí»Ýù f (x)Áª f (x) = f (®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ) = ®1 f(e1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®n f (en ) = f1 ®1 + ¢ ¢ ¢ + fn ®n = f1 "1 (x) + ¢ ¢ ¢ + fn "n (x) = (f1 "1 + ¢ ¢ ¢ + fn "n ) (x) ;

áñï»Õ fi = f (ei ), i = 1; : : : ; n: àõëïÇ,

f = f1 "1 + ¢ ¢ ¢ + fn "n :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ ¤

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q ' Q¤¤ = (Q¤ ) , áñáíÑ»ï¨ Q ' Q¤ , Q¤ ' Q¤¤ : ê³Ï³ÛÝ Q ' Q¤¤ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ëï³ï»É Ý³¨ μÝ³Ï³Ý ×³Ý³å³ñÑáí: Æñáù, ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Éáí fx : Q¤ ! P ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ fx(') = '(x) ;

' 2 Q¤ ;

Ïëï³Ý³Ýù ·Í³ÛÇÝ Ó¨, ³ÛëÇÝùÝª fx 2 Hom(Q¤ ; P ) = Q¤¤ :

Â»áñ»Ù 17.20: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ © : x ! fx ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ) Q ¨ Q¤¤ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, QÇ ó³ÝÏ³ó³Í ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñª fx+y (') = '(x + y) = '(x) + '(y) = fx(') + fy (') = (fx + fy )(') ; f¸x (') = '(¸x) = ¸'(x) = ¸fx (') = (¸fx )(') ; ³ÛëÇÝùÝª fx+y = fx + fy , f¸x = ¸fx ¨ ©(x + y) = fx+y = fx + fy = ©(x) + ©(y) ; ©(¸x) = f¸x = ¸fx = ¸©(x) ; áñï»Õ x; y 2 Q, ¸ 2 P : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ © : x ! fx ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿: Q = f0g ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¹Çóáõù dim(Q) = n > 0 ¨ e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ "1 ; : : : ; "n Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ÉáõÍ Ñ»ÝùÝ ¿ Q¤ áõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙª fei ("j ) = "j (ei ) = ±ij ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, fe1 ; : : : fen Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù Q¤¤ Ç Ñ³Ù³ñ, áñÁ Q¤ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý "1 ; : : : ; "n Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³ÉáõÍÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» x 2 Q ¨ x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en , ³å³ ©(x) = © (®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en ) = ®1 ©(e1 )+¢ ¢ ¢+®n ©(en ) = ®1 fe1 +¢ ¢ ¢+®n fen : ²Ûëï»ÕÇó μËáõÙ ¿, áñ ©Á ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, áñáíÑ»ï¨ x 6= y ¡! ©(x) 6= ©(y)

¨ ó³ÝÏ³ó³Í g 2 Q¤¤ , g = ®1 fe1 + ¢ ¢ ¢ + ®n fen ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ©(x) = g, ¤ áñï»Õ x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

17.13. ø³Ýáñ¹ (Ï³Ù ý³Ïïáñ) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ ¸Çóáõù QÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ Q0 Á QÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: Üß³Ý³Ï»Ýùª Q± 0 = fx + Q0 j x 2 Qg ; Q áñï»Õ

x + Q0 = fx + u j u 2 Q0 g μ Q

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x í»ÏïáñÇ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë Áëï Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ: xÁ ÏáãíáõÙ ¿ x+Q0 Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇã: úñÇÝ³Ï, 0 + Q0 = Q0 = x + Q0 , »Ã» x 2 Q0 : ºÃ» t 2 x + Q0 , ³å³ t + Q0 = x + Q0 : ²ÛëåÇëáí, ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ï³ñμ»ñ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñ: È»ÙÙ 17.21 (Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): Ð»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý. 1) x + Q0 = y + Q0 , 2) x ¡ y 2 Q0 , 3) (x + Q0 ) \ (y + Q0 ) 6= ;, áñï»Õ x; y 2 Q:

²å³óáõóáõÙ: 1)! 2): ø³ÝÇ áñ 0 2 Q0 , ³å³ x = x + 0 2 x + Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, x 2 y + Q0 , x = y + u, u 2 Q0 ¨ x ¡ y = u 2 Q0 : 2)! 3): x 2 x + Q0 , ÇëÏ x ¡ y 2 Q0 å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ x ¡ y = u, áñï»Õ u 2 Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, x = y + u 2 y + Q0 : ²ÛëåÇëáí, x 2 (x + Q0 ) \ (y + Q0 ), ³ÛëÇÝùÝª (x + Q0 ) \ (y + Q0 ) 6= ;: 3)! 1): ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ z 2 (x+Q0 )\(y +Q0 ): Ð»ï¨³μ³ñ, z 2 x+Q0 ¨ z 2 y + Q0 , ³ÛëÇÝùÝª z = x + u ¨ z = y + v, áñï»Õ u; v 2 Q0 : àõëïÇ, x + u = y + v, áñï»ÕÇó x = y + (v ¡ u) = y + a ; y = x + (u ¡ v) = x + (¡a) ;

áñï»Õ a = v ¡ u 2 Q0 : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù x + Q0 = y + Q0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù t 2 x+Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, t = x+w = y+a+w = y + w0 2 y + Q0 , áñï»Õ w 2 Q0 , w0 = a + w 2 Q0 : ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ¤ ³å³óáõóíáõÙ ¿ y + Q0 μ x + Q0 Ý»ñ¹ñáõÙÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.26: (a + x) + Q0 = a + Q0 , »Ã» x 2 Q0 , a 2 Q: ¤ ± Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.27: ´áÉáñ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Q Q0 = fx + Q0 j x 2 Qg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ Q-Ç ïñáÑáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ` Q-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ áñ¨¿ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÇ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.28: Ð»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý. 1') x + Q0 6= y + Q0 , 2') x ¡ y 62 Q0 , 3') (x + Q0 ) \ (y + Q0 ) = ;, áñï»Õ x; y 2 Q Â»áñ»Ù 17.21(Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý H1 ; H2 Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª

¤ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Q

x + H1 = y + H2 Ã! H1 = H2 ; x ¡ y 2 H1 = H2 ;

áñï»Õ x; y 2 Q: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» x + H1 = y + H2 , ³å³ x 2 y + H2 , y 2 x + H1 : Ð»ï¨³μ³ñ, x = y + h00 , y = x + h0 , áñï»Õ h0 2 H1 , h00 2 H2 : àõëïÇ x¡y 2 H1 \H2 ¨ y ¡x 2 H1 \H2 : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù H1 μ H2 Ý»ñ¹ñáõÙÁ (ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí Ï³å³óáõóíÇ Ý³¨ H2 μ H1 Ý»ñ¹ñáõÙÁ): ¸Çóáõù h1 2 H1 : Ð»ï¨³μ³ñ x + h1 2 x + H1 = y + H2 ¨ x + h1 = y + h¤ , áñï»Õ ¤ h¤ 2 H2 : àõëïÇ, h1 = (y ¡ x) + h¤ 2 H2 : ²ÛÅÙ

Q± 0 = fx + Q0 j x 2 Qg Q

μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. (x + Q0 ) + (y + Q0 ) = (x + y) + Q0 ; ¸(x + Q0 ) = ¸x + Q0 ; áñï»Õ x; y 2 Q ¨ ¸ 2 P : Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í ã»Ý Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

È»ÙÙ 17.22: ºÃ» x + Q0 = x0 + Q0 ¨ y + Q0 = y 0 + Q0 , ³å³ (x + y) + Q0 = (x0 + y 0 ) + Q0 ¨ ¸x + Q0 = ¸x0 + Q0 ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ú·ïí»Ýù Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó: ºÃ» x + Q0 = x0 + Q0 ¨ y + Q0 = y 0 + Q0 , ³å³ x ¡ x0 2 Q0 , y ¡ y 0 2 Q0 ¨ (x + y) ¡ (x0 + y 0 ) = (x ¡ x0 ) + (y ¡ y 0 ) 2 Q0 , ¸x ¡ ¸x0 = ¸(x ¡ x0 ) 2 Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, (x + y) + Q0 = (x0 + y 0 ) + Q0 ; ¸x + Q0 = ¸x0 + Q0 :

Â»áñ»Ù 17.22: ºÃ» QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ ± Q íñ³ ¨ Q 6 Q, ³å³ Q = fx + Q j x 2 Qg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ª Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý í»ñáÑÇßÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ï³Ù ý³Ïïáñ-ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Áëï Q0 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý:

²å³óáõóáõÙ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ áõÃ ³ùëÇáÙÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É áõÃ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. (1) ((x + Q0 ) + (y + Q0 )) + (z + Q0 ) = (x + Q0 ) + ((y + Q0 ) + (z + Q0 )); (2) (x + Q0 ) + (y + Q0 ) = (y + Q0 ) + (x + Q0 ); (3) (x + Q0 ) + (0 + Q0 ) = (0 + Q0 ) + (x + Q0 ) = x + Q0 ; (4) (x + Q0 ) + (¡x + Q0 ) = (¡x + Q0 ) + (x + Q0 ) = 0 + Q0 ; (5) ®(¯(x + Q0 )) = ®¯(x + Q0 ); (6) ®((x + Q0 ) + (y + Q0 )) = ®(x + Q0 ) + ®(y + Q0 ); (7) (® + ¯)(x + Q0 ) = ®(x + Q0 ) + ¯(x + Q0 ); (8) 1(x + Q0 ) = x + Q0 : ¤ Â»áñ»Ù 17.23: ºÃ» QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ± Q 0 ¿ ¨ dim(Q) = n, ÇëÏ Q0 6 Q ¨ dim(Q0 ) = m, ³å³ ¡ Q± ¢Q ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¨ dim Q0 = n ¡ m:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: 1. ºÃ» Q0 = f0g, ³å³ x + Q0 = fxg, ÇëÏ Q± 0 = f fxg j x 2 Qg : Q

²Ûëï»Õ ¨ë ÑÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¡»ÝÃ³¹»åùª Q = f0g Ï³Ù Q 6= ± ¢ f0g: ²é³çÇÝ »ÝÃ³¹»åùáõÙª dim Q Q0 = 0 = dim(Q) ¡ dim(Q0 ): ¿ ºñÏñáñ¹ »ÝÃ³¹»åùáõÙ, »Ã» e1 ; : : : ; en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù Q± 0 ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù QÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ fe1 g; : : : ; fen g Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Q ¡ ± ¢ ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª dim Q Q0 = n = dim(Q) ¡ dim(Q0 ): ºÃ» Q0 = Q, ³å³ Q=Q0 = fQg ¨ dim(Q=Q0 ) = 0 = n ¡ n = dim Q ¡ dim Q0 : 2. ¸Çóáõù Q0 6= f0g; Q: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, Q0 Á ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ ¹Çóáõù f1 ; : : : ; fm Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q0 Ç Ñ³Ù³ñ (m < n): Þ³ñáõÝ³Ï»Ýù (ÁÝ¹É³ÛÝ»Ýù) f1 ; : : : ; fm ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙÇÝã¨

QÇ Ñ»ÝùÇª

f1 ; : : : ; fm ; fm+1 ; : : : ; fn : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ¹Åí³ñ ã¿ ³å³óáõó»É, áñ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ fm+1 + Q0 ; : : : ; fn + Q0 ± Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù Q Q0 ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ¢

¡ ± ÏÉÇÝÇ

¤ Ð»ï¨³μ³ñ, dim Q Q0 = n ¡ m: ± ê³ÑÙ³Ý»Ýù (Ï³éáõó»Ýù) ¼ : Q ! Q Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ¼(x) = x + Q0 ; x2Q : ²Ûë ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý Ï³Ù ù³Ýáñ¹ (ý³Ïïáñ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: È»ÙÙ 17.23: ò³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñª ¼(x + y) = ¼(x) + ¼(y) ; ¼(¸x) = ¸¼(x) :

ºñμ»ÙÝ ¼ Ýß³Ý³ÏÙ³Ý ÷áË³ñ»Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ û·ïí»É ¼Q0 Ýß³Ý³ÏáõÙÇó: È»ÙÙ 17.24: ¼Q0 (x) = Q0 Ã! x 2 Q0 :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¼Q0 μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÙÇßï í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: È»ÙÙ 17.25: ¼Q0 μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿ (Q0 = f0g): Ð»ï¨³μ³ñ, ¼Q0 μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Q0 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿ : ¤

17.14. ¶Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ: ¶Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ Ï³åÁ ¸Çóáõù Q-Ý ¨ SÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³ (å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É P = R): ' : Q ! S ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó S ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. '(x + y) = '(x) + '(y) ; '(®x) = ®'(x) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÙÇ³íáñíáõÙ

»Ý Ù»Ï å³ÛÙ³ÝÇ Ù»çª

'(®x + ¯y) = ®'(x) + ¯'(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ï³ñμ»ñíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý) ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ýñ³Ýáí, áñ ³Ûëï»Õ ãÇ å³Ñ³ÝçíáõÙ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ: ' : Q ! Q ï»ëùÇ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ Ï³Ù ·Í³ÛÇÝ ûå»ñ³ïáñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ²Í³ÝóÙ³Ý (f + g)0 = f 0 + g0 ; (®f)0 = ®f 0

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³ÛïÝÇ Ï³ÝáÝÝ»ñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý, áñ f ! f 0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿. ³) P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó Çñ Ù»ç; μ) C 1 [a; b] ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó C[a; b] ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, áñï»Õ C[a; b]Ý [a; b] Ñ³ïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï μáÉáñ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ, ÇëÏ C 1 [a; b]Ý [a; b] Ñ³ïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É áõÝ»óáÕ μáÉáñ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿; 2) ' : (®1 ; : : : ; ®n ) ! (®1 ; : : : ; ®n¡1 ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Pn Çó Pn¡1 Ç Ù»ç (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, Rn Çó Rn¡1 Ç Ù»ç); 3) ' : (®1 ; : : : ; ®n ) ! (®1 ; : : : ; ®n¡1 ; 0) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Pn Ç ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, Rn Ç ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ); ± 4) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¼Q0 : Q ! Q Q0 μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿; Zb f (x) dx ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇ 5) ' : f ! a

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ C[a; b]Çó RÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñª áñáßí³Í RÇ íñ³):

Ù»ç

(áñå»ë

·Í³ÛÇÝ

È»ÙÙ 17.26: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñª '(0) = 0 ; '(¡x) = ¡'(x) ; '(x ¡ y) = '(x) ¡ '(y) ; '(x1 + : : : + xn ) = '(x1 ) + : : : + '(xn )

ó³ÝÏ³ó³Í x; y , x1 ; : : : ; xn 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ μÝáõÃ³·ñíáõÙ »Ý μáÉáñ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ, »ñμ QÝ nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ (n > 0): Â»áñ»Ù 17.24: ¸Çóáõù QÝ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ; 1) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª '(x) = ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®n an ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

áñï»Õ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en , a1 = '(e1 ), : : :, an = '(en ); 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ó³ÝÏ³ó³Í a1 ; : : : ; an 2 S í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ '(e1 ) = a1 , : : :, '(en ) = an : ²å³óáõóáõÙ: 1) åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ²å³óáõó»Ýù 2) åÝ¹áõÙÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýùª '(x) = ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®n an 2 S : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý '(x + y) = '(x) + '(y) ¨ '(¸x) = ¸'(x) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ '(e1 ) = a1 , : : :, '(en ) = an : ØÝáõÙ ¿ Ý³¨ ÝÏ³ï»É 'Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¤ Î³Ù³Û³Ï³Ý ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Im(') = f'(x) j x 2 Qg = '(Q) μ S »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ 'Ç å³ïÏ»ñ, ÇëÏ Ker(') = fx 2 Q j '(x) = 0g μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ 'Ç ±ÙÇçáõÏ Ï³Ù ÏáñÇ½: úñÇÝ³Ï, Ker (¼Q0 ) = Q0 , ÇëÏ Im (¼Q0 ) = Q Q0 : Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏ (Q0 = Ker(¼Q0 )): ê³Ï³ÛÝ ³Ûëï»Õ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝ ãÏ³: È»ÙÙ 17.27: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý å³ïÏ»ñÁ ¨ ÙÇçáõÏÁ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª Im(') 6 S ¨ Ker(') 6 Q:

²å³óáõóáõÙ: úñÇÝ³Ï, ³å³óáõó»Ýù »ñÏñáñ¹Á: ºÃ» x; y 2 Ker('), ³ÛëÇÝùÝª '(x) = 0 ¨ '(y) = 0, ³å³ '(x + y) = '(x) + '(y) = 0 + 0 = 0 ; '(®x) = ®'(x) = ®0 = 0 ; ³ÛëÇÝùÝª x + y 2 Ker(') ¨ ®x 2 Ker(') ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

È»ÙÙ 17.28: 1) àñå»ë½Ç ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ker(') = f0g; 2) àñå»ë½Ç ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Im(') = S:

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý»ñ¹ñáÕ ¿, ³å³ Ker(') = f0g, áñáíÑ»ï¨ '(0) = 0, ³ÛëÇÝùÝª f0g μ Ker(') ¨ x 6= 0 ¡! '(x) 6= '(0) = 0 ;

x2Q :

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Ker(') = f0g, ³å³ '(x) = '(y) ¡! '(x) ¡ '(y) = 0 ¡! '(x ¡ y) = 0 ¡! x ¡ y 2 Ker(') = f0g ¡! x ¡ y = 0 ¡! x = y ;

³ÛëÇÝùÝª 'Ý Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿:

Â»áñ»Ù 17.25: ºÃ» QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙ Im(')Ý ¨ Ker(')Ý ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝ»Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ dim(Ker(')) + dim(Im(')) = dim(Q) :

Ð»ï¨³μ³ñ, Q = Ker(') © H , áñï»Õ H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ Ç½áÙáñý ¿ Im(')-ÇÝ: dim(Im('))-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ' ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý é³Ý·, ÇëÏ dim(Ker('))-Ýª ³ñ³ï: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù dim(Q) = n: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åùª Ker(') = f0g Ï³Ù Ker(') 6= f0g: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙª Im(') ' Q, Ñ»ï¨³μ³ñ, dim(Im(')) = dim(Q): ¸Çóáõù Ker(') 6= f0g ¨ í»ÏïáñÝ»ñÇ e1 ; : : : ; ek Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Ker(') 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ³Ûëï»Õ Ker(') = Q, ³å³ Im(') = f0g ¨ åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßï: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ‘ Ker(') 6= Q: ²Ûë ¹»åùáõÙ ß³ñáõÝ³Ï»Ýù (ÁÝ¹É³ÛÝ»Ýù) e1 ; : : : ; ek Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙÇÝã¨ QÇ Ñ»ÝùÇª e1 ; : : : ; ek ; fk+1 ; : : : ; fn :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõó»Ýù, áñ '(fk+1 ); : : : ; '(fn ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Im(') 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Æñáù, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 Im(') ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q, x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®k ek + ®k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + ®n fn , áñ '(x) = y: Ð»ï¨³μ³ñ, y = ®k+1 '(fk+1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®n '(fn ) :

ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É '(fk+1 ); : : : ; '(fn ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³ËáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, »Ã» °k+1 '(fk+1 ) + ¢ ¢ ¢ + °n '(fn ) = 0 ; ³å³ °k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + °n fn 2 Ker('): Ð»ï¨³μ³ñ, °k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + °n fn = ¯1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ¯k ek ; °k+1 fk+1 + ¢ ¢ ¢ + °n fn + (¡¯1 )e1 + ¢ ¢ ¢ + (¡¯k )ek = 0

¨ °k+1 = ¢ ¢ ¢ = °n = ¡¯1 = ¢ ¢ ¢ = ¡¯k = 0: ²ÛëåÇëáí, dim(Im(')) = n ¡ k = dim(Q) ¡ dim(Ker(')): ¤

àñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ, ³Ûë Ã»áñ»ÙÇó ÝáñÇó ëï³óíáõÙ ¿ ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ, ± »Ã» áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ í»ñóÝ»Ýù ¼Q0 : Q ! Q Q0 μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: Æñáù, »Ã» QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ dim (Ker (¼Q0 )) + dim (Im (¼Q0 )) = dim(Q) ; ± áñï»Õ Ker (¼Q0 ) = Q0 , Im (¼Q0 ) = Q Q0 : àõëïÇ ¡ ± ¢ dim Q Q0 = dim(Q) ¡ dim(Q0 ) :

²å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇó áñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ LA ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ (Ã»áñ»Ù 17.14): ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ý³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ m £ nã³÷³ÝÇ A = (aij ) 2 P m£n Ù³ïñÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É Ý³¨ áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ P n Çó P m Ç Ù»çª ®1 ®1 B . C B . C A : @ .. A ¡! A ¢ @ .. A ; ®n

®n

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ù³ÝÇ áñ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 P n ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. A(x + y) = A(x) + A(y) ; A(®x) = ®A(x) : ø³ÝÇ áñ Ker(A) 6 P n ¨ Im(A) 6 P m , ³å³ Ker(A) ¨ Im(A) »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ¿ Ý³¨, áñ Ker(A) = LA : Ð»ï¨³μ³ñ, ¢

¡ A²ÏÝÑ³Ûï

dim(Ker(A)) = dim L : Â»áñ»Ù 17.26: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ m £ nã³÷³ÝÇ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñª dim(Im(A)) = rank(A):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A01 ; A02 ; : : : ; A0n ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÁ A Ù³ïñÇóÇ ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÝ »Ý, ³å³ 1¯ ¯ ®1 > > ¯ < = B .. C ¯ Im(A) = A ¢ @ . A ¯ ®1 ; : : : ; ®n 2 P = ¯ > > : ; ¯ ®n = f®1 A01 + ®2 A02 + ¢ ¢ ¢ + ®n A0n j ®1 ; : : : ; ®n 2 P g = (A01 ; A02 ; : : : ; A0n ) ;

³ÛëÇÝùÝª Im(A)Ý Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ A01 ; A02 ; : : : ; A0n ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃÇ Ñ»ï: Ð»ï¨³μ³ñ, Im(A)Ç ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ A01 ; A02 ; : : : ; A0n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý é³Ý·Ç Ñ»ï, ÇÝãÁ Ñ»Ýó A Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Ý ¿: ¤ ¡ A¢ ¡ A¢ ²ÛëåÇëáí, dim L + rank(A) = n ¨ dim L = n ¡ rank(A):

Â»áñ»Ù 17.27: ºÃ» Q ¨ S ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª dim(Q) = dim(S) = n, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý. 1) 'Ý Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿ ; 2) 'Ý í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿ ; 3) 'Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿ :

²å³óáõóáõÙ: 1)! 2): ºÃ» 'Ý Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿, ³å³ ker(') = f0g ¨ dim(Ker(')) + dim(Im(')) = dim(Q) = n

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

μ³Ý³Ó¨Çó Ïëï³Ý³Ýùª dim(Im(')) = n = dim(S): Ð»ï¨³μ³ñ, Im(') = S, ³ÛëÇÝùÝª 'Ý í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ 2)! 3) åÝ¹áõÙÁ: ¤ È»ÙÙ 17.29: ºñÏáõ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ÝáñÇó ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª »Ã» ' : Q ! S ¨ ¹ : S ! V ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ' ¢ ¹ : Q ! V ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, '¹(®x + ¯y) = ¹('(®x + ¯y)) = = ¹(®'(x) + ¯'(y)) = ®¹('x) + ¯¹('y) = ®(('¹)x) + ¯(('¹)y) : ¤ ²ÝóÝ»Ýù ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ Ï³åÇÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q ¨ S ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, áñï»Õ ãÇ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¹Çï³ñÏíáÕ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ÉÇÝ»ÉÁ: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ μÝáõÃ³·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ) Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ñï³¹ñÇãÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ: ²í»ÉÇ ×Çßï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñ³¹ñáÕ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ñï³¹ñÇãÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ»ï: Â»áñ»Ù 17.28 (·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ Ï³åÁ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ): ¸Çóáõù Q-Ý ¨ S-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñª S ' Q/ Q0 , áñï»Õ Q0 = Ker('): ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker(') ± = Q , ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ Q ³ÛÝåÇëÇ ¹ : S ! Q Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ), áñ ¼ = ' ¢ ¹, ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

' Q Z

Z ¼Z

S ¹

? Q± 0 Q

;

áñï»Õ ¼Ý μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿ (¼(x) = x + Q0 ): ²å³óáõóáõÙ: ò³ÝÏ³ó³Í y 2 S í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q í»Ïïáñ, áñ '(x) = y: ê³ÑÙ³Ý»Ýùª ¹(y) = x + Q0 , áñï»Õ '(x) = y: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ¹(y)Á Ï³Ëí³Í ã¿ '(x) = y Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ xÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» Ý³¨ '(x1 ) = y, ³å³ '(x) = '(x1 ), ³ÛëÇÝùÝª '(x¡x1 ) = 0, x¡ x1 2 Ker(') = Q0 ¨ x + Q0 = x1 + Q0 (É»ÙÙ 17.21): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¹Ý í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿, ³å³óáõó»Ýù Ýñ³ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ: ¸Çóáõù ¹(y) = ¹(z), áñï»Õ y = '(x), ÇëÏ z = '(t), áñï»Õ x; t 2 Q: Ð»ï¨³μ³ñ, x+Q0 = t+Q0 , x¡t 2 Q0 = Ker('), '(x ¡ t) = 0, '(x) ¡ '(t) = 0, '(x) = '(t) ¨ y = z: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ¹Ý ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ¸Çóáõù y; z 2 S ¨ '(x) = y, '(t) = z, áñï»Õ x; t 2 Q: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, y + z = '(x) + '(t) = '(x + t), '(¸x) = ¸'(x) = ¸y: Ð»ï¨³μ³ñ, ¹(y + z) = (x + t) + Q0 = (x + Q0 ) + (t + Q0 ) = ¹(y) + ¹(z) ; ¹(¸y) = ¸x + Q0 = ¸(x + Q0 ) = ¸¹(y) ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: êïáõ·»Ýù ¼ = ' ¢ ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, Áëï ¹Ç ë³ÑÙ³Ý»Ýùª ¹(y) = x + Q0 , áñï»Õ '(x) = y: àõëïÇ, ¹('(x)) = ¼(x), (' ¢ ¹)x = ¼(x) ¨ ' ¢ ¹ = ¼: Æ í»ñçá, ³å³óáõó»Ýù ¹Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» ¼ = ' ¢ ¹ ¨ ¼ = ' ¢ ¹0 , ³å³ ' ¢ ¹ = ' ¢ ¹0 , ³ÛëÇÝùÝª (' ¢ ¹)x = (' ¢ ¹0 )x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, ¹('x) = ¹0 ('x) ¨ ¹(y) = ¹0 (y) ó³ÝÏ³ó³Í y 2 S í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ Â»áñ»Ù 17.29 (·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ï³åÁ): ¸Çóáõù Q-Ý, S1 -Á ¨ S2 -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý '1 :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Q ! S1 ¨ '2 : Q ! S2 í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker('1 ) μ Ker('2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ '3 : S1 ! S2 í»ñ³¹ñáÕ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ '1 ¢'3 = '2 , ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛ³ÝÁª '1 Q S1 Z Z '2Z '3 Z Z : Z~ ? S2

Àëï áñáõÙ, '3 Á ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker('1 ) = Ker('2 ): ²å³óáõóáõÙ: î»ë Ã»áñ»Ù 0.9Ç ³å³óáõóáõÙÁ:

ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó:

17.15. ¶Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ¶Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ù³ïñÇó: ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý áñáßÇã ¨ Ñ»ïù ¸Çóáõù QÝ ¨ SÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ X 6= ;: Üß³Ý³Ï»Ýùª Hom(Q; S) = f' : Q ! S j 'Ý ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ g 6= ;; F (X; S) = ff j f : X ! Sg 6= ;: È»ÙÙ 17.30: Hom(Q; S) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ áñáßí³Í P Ç íñ³ª ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ. ('1 + '2 )x = '1 (x) + '2 (x) ; (®')x = ®'(x) ;

áñï»Õ x 2 Q, ® 2 P , '; '1 ; '2 2 Hom(Q; S):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, Ý³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ '1 + '2 2 Hom(Q; S) ¨ ®' 2 Hom(Q; S), »Ã» '; '1 ; '2 2 Hom(Q; S), ® 2 P . ('1 + '2 )(¯x + °y) = '1 (¯x + °y) + '2 (¯x + °y) = = '1 (¯x) + '1 (°y) + '2 (¯x) + '2 (°y) = = ¯'1 (x) + °'1 (y) + ¯'2 (x) + °'2 (y) = = ¯ ('1 (x) + '2 (x)) + ° ('1 (y) + '2 (y)) = = ¯ (('1 + '2 ) (x)) + ° (('1 + '2 ) (y)) ; (®')(¯x + °y) = ®'(¯x + °y) = = ® (¯'(x) + °'(y)) = ®¯'(x) + ®°'(y) = = ¯(®'(x)) + °(®'(y)) = ¯ ((®')x) + ° ((®')y) : ØÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý áõÃ ³ùëÇáÙÝ»ñÁ: ¤ Hom(Q; Q)Ç Ñ³Ù³ñ ·áñÍ³ÍíáõÙ ¿ Ý³¨ End(Q) Ýß³Ý³ÏáõÙÁ: È»ÙÙ 17.31: F (X; S) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ áñáßí³Í P -Ç íñ³ª ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí (Ó³ËÇó) μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x); (®f )(x) = ®f (x);

áñï»Õ x 2 X , ® 2 P , f; f1 ; f2 2 F (X; S): Àëï áñáõÙª Hom(Q; S) 6 F (Q; S): ¤ ¸Çóáõù QÝ ¨ SÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ýª dim(Q) = n > 0, dim(S) = m > 0: ºÃ» e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ, f1 ; : : : ; fm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ SÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ ' : Q ! S ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿¨ '(e1 ) = ®11 f1 + ®12 f2 + ¢ ¢ ¢ + ®1m fm ; (17.20) ::: ::: ::: ::: '(en ) = ®n1 f1 + ®n2 f2 + ¢ ¢ ¢ + ®nm fm ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

³å³ ³Ûë í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í n£mã³÷³ÝÇ ®11 ; : : : ; ®1m A = @ : : : : : : : : : A 2 P n£m ®n1 ; : : : ; ®nm

Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ù³ïñÇóª ë¨»éí³Í (ei ) ¨ (fj ) Ñ»Ýù»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ÀÝ¹áõÝ»Éáíª e1 f1 'e1 C C C B B B e = @ ... A ; f = @ ... A ; '(e) = @ ... A en

'en

¨ û·ïí»Éáí ² ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó, (17.20) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³éáï Ù³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùÁª '(e) = A ² f :

²Ûë ¹»åùáõÙ, ' ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý A Ù³ïñÇóÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡ ¢ Ý³¨ 'fe áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáï (')áí: ºÃ» Q = S, ÇëÏ e = f , ³å³ ('ee ) Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' : Q ! Q ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇó e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²ÛëåÇëáí, nñ¹ Ï³ñ·Ç A 2 P n£n Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ nã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ' : Q ! Q ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇó e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, »Ã» '(e) = A ² e : ä³ñ½ ¿, áñ Q ¨ S í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ñ»Ýù»ñÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ù³ïñÇóÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ÷áËíÇ: ê³Ï³ÛÝ å³ñ½íáõÙ ¿, áñ Ñ»Ýù»ñÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ãÇ ÷áËíáõÙ Ý³¨ ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á: ²í»ÉÇ ×Çßï ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 17.30: ¸Çóáõù Q-Ý ¨ S -Á í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ýª áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í (ei ) Ñ»ÝùÇ, S ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í (fj ) Ñ»ÝùÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ' : ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñª ¡ ¢ rank 'fe = dim(Im(')) :

S ·Í³ÛÇÝ

²å³óáõóáõÙ:ø³ÝÇ áñ Im(') 6 S »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ 'e1 ; : : : ; 'en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃÇ Ñ»ïª Im(') = ('(e1 ); : : : ; '(en )); ³å³ ÙÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, ¡ f ¢áñ '(e1 ); : : : ; '(en ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

é³Ý·Á Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ

¿ 'e Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Ç Ñ»ï: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ, ¡ ¢ Ýß³Ý³Ï»Éáí 'fe Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁª ['(e1 )]; : : : ; ['(en )], ³å³óáõó»Ýù, áñ '(ei1 ); : : : ; '(eik ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ['(ei1 )]; : : : ; ['(eik )] Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿: Æñáùª ®1 '(ei1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®k '(eik ) = 0 Ã! ®1 (ai1 ;1 f1 + ¢ ¢ ¢ + ai1 ;m fm ) + ¢ ¢ ¢ + ®k (aik ;1 f1 + ¢ ¢ ¢ + aik ;m fm ) = 0 Ã! (®1 ai1 ;1 + ¢ ¢ ¢ + ®k aik ;1 ) f1 + ¢ ¢ ¢ + (®1 ai1 ;m + ¢ ¢ ¢ + ®k aik ;m ) fm = 0 Ã!8 < ®1 ai1 ;1 + ¢ ¢ ¢ + ®k aik ;1 = 0; ::: ::: ::: Ã! : ®1 ai1 ;m + ¢ ¢ ¢ + ®k aik ;m = 0; ®1 (ai1 ;1 ; : : : ; ai1 ;m ) + ¢ ¢ ¢ + ®k (aik ;1 ; : : : ; aik ;m ) = (0; : : : ; 0) Ã! ®1 ['(ei1 )] + ¢ ¢ ¢ + ®k ['(eik )] = (0; : : : ; 0) : Ð»ï¨³μ³ñ, '(ei1 ); : : : ; '(eik ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ['(ei1 )]; : : : ; ['(eik )] Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ '(ei1 ); : : : ; '(eik ) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ['(ei1 )]; : : : ; ['(eik )] Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.29: ' : Q ! S ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ Q-Ç ó³ÝÏ³ó³Í (ei ) ¨ S -Ç ó³ÝÏ³ó³Í (fj ) Ñ»Ýù»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ýñ³ áõÝ»ó³Í Ù³ïñÇóÇ é³Ý·ÇÝ: ¤ Â»áñ»Ù 17.31: ¸Çóáõù QÝ ¨ S Á áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ýª áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³: ºÃ»

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

QÝ nã³÷³ÝÇ ¿ ª e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí, ÇëÏ S Á mã³÷³ÝÇ ¿ ª f1 ; : : : ; fm Ñ»Ýùáí, ³å³ ¡ ¢ © : ' ¡! 'fe

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ) Hom(Q; S) ¨ P n£m ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, dim(Hom(Q; S)) = n ¢ m = dim(Q) ¢ dim(S), ÇëÏ dim(Hom(Q; Q)) = n2 : ²å³óáõóáõÙ: ò³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñª (¸')e1 = ¸'(e1 ) = ¸®11 f1 + ¸®12 f2 + ¢ ¢ ¢ + ¸®1m fm ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: (¸')en = ¸'(en ) = ¸®n1 f1 + ¸®n2 f2 + ¢ ¢ ¢ + ¸®nm fm ; ³ÛëÇÝùÝª ©(¸') = ¸©('): ºÃ» Ã 2 Hom(Q; S) ¨

³å³

Ã(e1 ) = ¯11 f1 + ¯12 f2 + ¢ ¢ ¢ + ¯1m fm ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: Ã(en ) = ¯n1 f1 + ¯n2 f2 + ¢ ¢ ¢ + ¯nm fm ;

(' + Ã)e1 = '(e1 ) + Ã(e1 ) = = (®11 + ¯11 ) f1 + (®12 + ¯12 ) f2 + ¢ ¢ ¢ + (®1m + ¯1m ) fm ; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: (' + Ã)en = '(en ) + Ã(en ) = = (®n1 + ¯n1 ) f1 + (®n2 + ¯n2 ) f2 + ¢ ¢ ¢ + (®nm + ¯1m ) fm ; ²ÛëÇÝùÝª ©(' + Ã) = ©(') + ©(Ã): ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É © : Hom(Q; S) ! P n£m ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁª »ÉÝ»Éáí Ã»áñ»Ù 17.24Çó: ¤ ¸Çóáõù QÝ, SÁ ¨ V Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ýª áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³: ¸Çóáõù QÝ nã³÷³ÝÇ ¿ª e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí, SÁ mã³÷³ÝÇ ¿ª f1 ; : : : ; fm Ñ»Ýùáí, ÇëÏ V Ý kã³÷³ÝÇ ¿ª g1 ; : : : ; gk Ñ»Ýùáí, ÇëÏ ' : Q ! S ¨ Ã : S ! V ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ »Ý: Üßí³Í (ë¨»éí³Í) Ñ»Ýù»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ', Ã ¨ ' ¢ Ã ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ýß³Ý³Ï»Ýù (')áí, (Ã)áí ¨ (' ¢ Ã)áí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 17.32: (' ¢ Ã) = (') ¢ (Ã):

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù (') = A, (Ã) = B, (' ¢ Ã) = C: Ð»ï¨³μ³ñ, A, B ¨ C Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏÉÇÝ»Ý n £ mã³÷³ÝÇ, m £ kã³÷³ÝÇ ¨ n £ kã³÷³ÝÇ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª '(e) = A ² f, Ã(f) = B ² g, (' ¢ Ã)e = C ² g, áñï»Õ f1 g1 'e1 e1 B . C B . C B . C B . C e = @ .. A ; f = @ .. A ; g = @ .. A ; '(e) = @ .. A ; en fm gk 'en 1 0 Ãf1 (' ¢ Ã)e1 Ã('e1 ) C C B B C B .. .. Ã(f) = @ ... A ; ('¢Ã)e = @ A=@ A = Ã('e) : . . Ã('en ) Ãfm (' ¢ Ã)en Ãy1 y1 C C B B ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, »Ã» y = @ ... A, ³å³ Ã(y) = @ ... A: yn Ãyn Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ã(A ² f ) = A ² Ã(f ): àõëïÇ, Ã('e) = C ² g ; Ã(A ² f ) = C ² g ; A ² Ã(f ) = C ² g ; A ² (B ² g) = C ² g ; ¨ A ¢ B = C (É»ÙÙ 17.12):

(A ¢ B) ² g = C ² g ;

î»ëÝ»Ýù, Ã» ÇÝã ûñ»Ýùáí ¿ ÷áËíáõÙ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ù³ïñÇóÁª Ñ»Ýù»ñÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: Â»áñ»Ù 17.33: ¸Çóáõù ' 2 Hom(Q; S), áñï»Õ QÝ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ e1 ; : : : ; en ¨ e01 ; : : : ; e0n Ñ»Ýù»ñáí, ÇëÏ S Á P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í mã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ f1 ; : : : ; fm ¨ f10 ; : : : ; fm Ñ»Ýù»ñáí: ºÃ» '(e) = A ² f ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

'(e0 ) = B ² f 0 ; e0 = T ² e ;

f0 = ¡ ² f ;

áñï»Õ A; B 2 P n£m ,

e1 B . C B T 2 P n£n , ¡ 2 P m£m , e = @ .. A, e0 = @ en f10 .. C, ³å³ B = T ¢ A ¢ ¡¡1 : . A

f1 B .. C 0 B f = @ . A, f = @ fm fm

e01 .. C, . A

e0n

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, T ¨ ¡ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý: '(e0 ) = '(T ² e) = T ² '(e) = T ² (A ² f ) = (T ¢ A) ² f : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, '(e0 ) = B ² f 0 = B ² (¡ ² f ) = (B ¢ ¡) ² f : Ð»ï¨³μ³ñ (B ¢ ¡) ² f = (T ¢ A) ² f ¤ ¨ B ¢ ¡ = T ¢ A (É»ÙÙ 17.12), áñï»ÕÇóª B = T ¢ A ¢ ¡¡1 : ²å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇó ÝáñÇó ¿ μËáõÙ A ¨ B Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (Ã»áñ»Ù 17.30): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ëï³ÝáõÙ »Ýù ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É ûñ»ÝùÁª Ñ»ÝùÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.30: ¸Çóáõù ' 2 Hom(Q; Q), áñï»Õ QÝ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ e1 ; : : : ; en ¨ e01 ; : : : ; e0n Ñ»Ýù»ñáí: ºÃ» '(e) = A ² e, '(e0 ) = B ² e0 , e0 = T ² e, áñï»Õ A; B; T 2 P n£n , ³å³ B = T ¢ A ¢ T ¡1 :

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó f = e, f 0 = e0 ¹»åùáõÙ: ¤ n£n n£n ºñÏáõ A 2 P ¨ B 2 P Ù³ïñÇóÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÝÙ³Ý ¨ ·ñíáõÙ ¿ A » B, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ T 2 P n£n Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó, áñ B = T ¢ A ¢ T ¡1 : ²Ûë §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 17.32: Ø³ïñÇóÝ»ñÇ

ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý

Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) A » A ó³ÝÏ³ó³Í A 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ; μ) A » B ¡! B » A; ·) A » B , B » C ¡! A » C :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ A = E ¢ A ¢ E ¡1 , áñï»Õ EÝ nñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÝ ¿, ³å³ A » A: μ) ºÃ» A » B, ³å³ B = T ¢ A ¢ T ¡1 áñ¨¿ T 2 P n£n Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, A = T ¡1 ¢ B ¢ (T ¡1 )¡1 : ·) ºÃ» A » B ¨ B » C, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ T1 ; T2 2 P n£n Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñ B = T1 ¢ A ¢ T1¡1 , C = T2 ¢ A ¢ T2¡1 : Ð»ï¨³μ³ñ, C = T2 T1 AT1¡1 T2¡1 = (T2 T1 )A(T2 T1 )¡1 : ¤

ø³ÝÇ áñ ÝÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÙáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» dim(Q) = n > 0, ³å³ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý áñáßÇãÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇã ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ det(')áí: ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ A 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ Ñ»ïù ¿ ÏáãíáõÙ Ýñ³ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ μáÉáñ ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ tr(A)áíª tr(A) = a11 + a22 + ¢ ¢ ¢ + ann 2 P ; áñï»Õ A = (aij ) (trace – Ñ»ïù): È»ÙÙ 17.33: A ! tr(A) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ P n£n

·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨, ³ÛëÇÝùÝª

tr(A + B) = tr(A) + tr(B) ; tr(¸A) = ¸ tr(A)

ó³ÝÏ³ó³Í A; B 2 P

Ñ³Ù³ñ:

n£n

Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ ¤

È»ÙÙ 17.34: ò³ÝÏ³ó³Í A; B 2 P n£n Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª tr(A ¢ B) = tr(B ¢ A):

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A = (aij ), B = (bij ), A ¢ B = C = (cij ), B ¢ A = D = (dij ), ³å³ cii = ai1 b1i + ai2 b2i + ¢ ¢ ¢ + ain bni ; dii = bi1 a1i + bi2 a2i + ¢ ¢ ¢ + bin ani ;

áñï»Õ i = 1; : : : ; n: Ð»ï¨³μ³ñ,

tr(A ¢ B) = c11 + c22 + ¢ ¢ ¢ + cnn =

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

= a11 b11 + a12 b21 + ¢ ¢ ¢ + a1n bn1 + ¢ ¢ ¢ +an1 b1n + an2 b2n + ¢ ¢ ¢ + ann bnn = = b11 a11 + ¢ ¢ ¢ + b1n an1 + ¢ ¢ ¢ + bn1 a1n + ¢ ¢ ¢ + bnn ann = = d11 + d22 + ¢ ¢ ¢ + dnn = tr(B ¢ A) :

Â»áñ»Ù 17.34: ÜÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ»ïù»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ú·ïí»Ýù í»ñçÇÝ É»ÙÙÇó: ºÃ» B = T ¢ A ¢ T ¡1 , ³å³ ¢ ¡ ¡ ¢ tr(B) = tr (T A)T ¡1 = tr T ¡1 (T A) = ¡¡ ¢ ¢ = tr T ¡1 T A = tr(EA) = tr(A) :

Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: ºÃ» dim(Q) = n > 0, ³å³ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ»ïùÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áñå»ë Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ Ñ»ïù ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ tr(')áí:

17.16. ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ: ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ð³×³Ë ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ ¿ ³é³ç³ÝáõÙ ¹Çï³ñÏ»É ³ÛÝåÇëÇ ·Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ Q (áñáßí³Í ïñí³Í P ¹³ßïÇ íñ³), áñï»Õ μ³óÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ³éÏ³ ¿ Ý³¨ Q-Ç íñ³ (Ù»ç) áñáßí³Í μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, áñÁ Ï³åí³Í ¿ Q-Ç ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï Ñ»ï¨Û³É μÝ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáíª x(y + z) = xy + xz;

(y + z)x = yx + zx;

(®x) ¢ y = x ¢ (®y) = ®(x ¢ y)

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É μÝ³Ï³Ý ·³Õ³÷³ñÇÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ (ÝÏ³ïÙ³Ùμ), »Ã» Q(+)-Á ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P -Ç íñ³ ¨ μáÉáñ x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ®(x ¢ y) = (®x) ¢ y = x ¢ (®y)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: úñÇÝ³Ï, P ¹³ßïÇ ï³ññ»ñáí (³ÛëÇÝùÝ P -Ç íñ³ áñáßí³Í) n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ P n£n μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿‘ áñáßí³Í Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R ¹³ßïÇ íñ³: ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, »Ã» P ¹³ßïÁ Q ¹³ßïÇ »ÝÃ³¹³ßïÝ ¿, ³å³ Q-Ý ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: È»ÙÙ 17.35: ºÃ» Q -Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ³å³ Q-Ç μáÉáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Hom(Q; Q) = f' : Q ! Qj '-Ý ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ g

·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ï¹³éÝ³ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª áñáßí³Í P -Ç íñ³, »Ã» ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ý³¨ '1 ¢ '2 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ áñå»ë ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³Éª ('1 ¢ '2 )(x) = '2 ('1 x);

áñï»Õ x 2 Q, '1 ; '2 2 Hom(Q; Q): ²å³óáõóáõÙ:Æñáù, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù Hom(Q; Q)-Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμª

·Í³ÛÇÝ

('1 + '2 )(x) = '1 (x) = +'2 (x); (®')(x) = ®'(x); áñï»Õ x 2 Q, '; '1 ; '2 2 Hom(Q; Q): Ð³ÛïÝÇ ¿ Ý³¨, áñ '1 ¢ '2 2 Hom(Q; Q), »Ã» '1 ; '2 2 Hom(Q; Q): ²ÛÝáõÑ»ï¨, (®('1 ¢ '2 ))(x) = ®(('1 ¢ '2 )(x)) = ®('2 ('1 (x)));

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

((®'1 ) ¢ '2 )(x) = '2 ((®'1 )(x)) = '2 (®('1 (x))) = ®('2 ('1 (x))); ('1 ¢ (®'2 ))(x) = (®'2 )('1 (x)) = ®('2 ('1 (x)))

ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ,

®('1 ¢ '2 ) = (®'1 ) ¢ '2 = '1 ¢ (®'2 ) ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í '1 ; '2 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý Ý³¨ª ('1 + '2 ) ¢ '3 = '1 '3 + '2 '3 ; '1 ('2 + '3 ) = '1 '2 + '1 '3 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ó³ÝÏ³ó³Í '1 ; '2 ; '3 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ n-ã³÷³ÝÇ, »Ã» ³ÛÝ áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ n-ã³÷³ÝÇ ¿ (n > 0): ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿‘ ³) í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ, »Ã» ³ÛÝ áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¿; μ) ½ñáÛ³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý; ·) ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ áñå»ë ûÕ³Ï ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿; ¹) ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í), »Ã» ³ÛÝ áñå»ë ûÕ³Ï ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) ûÕ³Ï ¿: ¸Çóáõù Q-Ý ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: àã ¹³ï³ñÏ H μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» ³ÛÝ Q-Ç »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ¨ »ÝÃ³ûÕ³Ï: Ð»ï¨³μ³ñ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ H »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q-Ç ³ç (Ó³Ë) Ç¹»³É, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í a 2 H ¨ ó³ÝÏ³ó³Í b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ a ¢ b 2 H (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ b ¢ a 2 H): H »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q-Ç Ç¹»³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ H E Q, »Ã» ³ÛÝ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Q-Ç Ó³Ë ¨ ³ç Ç¹»³É ¿: ¸Çóáõù H1 E Q ¨ H2 E Q:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ê³ÑÙ³Ý»Ýùª H1 + H2 = fx + y j x 2 H1 ; y 2 H2 g; H1 ¡ H2 = fx ¡ y j x 2 H1 ; y 2 H2 g;

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ H1 ¡ H2 = H1 + H2 E Q ¨ H1 \ H2 E Q: ºÃ» H E Q, ³å³ Q/ H = fx + H j x 2 Qg ù³Ýáñ¹-ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý»Éáí.

í»ñ³ÍíáõÙ

(x + H) ¢ (y + H) = (x ¢ y) + H;

·Í³ÛÇÝ

Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇª

x; y 2 Q :

Ð³×³Ë (x ¢ y)-Ç ÷áË³ñ»Ý, ÇÝãå»ë ¨ ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ, Ñ³Ù³éáï ·ñíáõÙ ¿ xy: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ùμ Çñáù ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³Ëí³Í ã¿ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇóª x + H = x0 + H; y + H = y 0 + H ¡! (x ¢ y) + H = (x0 ¢ y 0 ) + H; áñï»Õ x; x0 ; y; y 0 2 Q: Æñáù, x0 = x + h1 , y0 = y + h2 , áñï»Õ h1 ; h2 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, x0 ¢ y 0 = (x + h1 ) ¢ (y + h2 ) = xy + xh2 + h1 y + h1 h2 : Æ¹»³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª xh2 + h1 y + h1 h2 = h ï³ññÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ H-ÇÝ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, x0 y 0 ¡ xy = h ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ‘ (x0 ¢ y 0 ) + H = (x ¢ y) + H Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ³å³óáõóí³Íª Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ: ØÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É ë³ÑÙ³Ýí³Í μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍ»ÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï Ï³åí³Í ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ)ª (x + H)((y + H) + (z + H)) = (x + H)(y + H) + (x + H)(z + H); ((y + H) + (z + H))(x + H) = (y + H)(x + H) + (z + H)(x + H);

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

®((x + H)(y + H)) = (®(x + H))(y + H) = (x + H)(®(y + H)) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: êï³óí³Í Q/ H ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ù³Ýáñ¹-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ï³Ù ý³Ïïáñ-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Áëï

H E Q Ç¹»³ÉÇ:

¸Çóáõù Q-Ý ¨ Q0 -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý‘ áñáßí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³: ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙª Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇó Q0 ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÇ Ù»ç, Ï³Ù Ñ³Ù³éáï‘ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» '(x + y) = '(x) + '(y); '(®x) = ®'(x); '(x ¢ y) = '(x) ¢ '(y)

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ï, ¼(x) = x + H μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÝÇ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇó Q/ H ù³Ýáñ¹Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, áñï»Õ H E Q: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): ÆÝãå»ë ¨ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙª Im(') = f'(x) j x 2 Qg = '(Q) μ Q0 »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý å³ïÏ»ñ, ÇëÏ Ker(') = fx 2 Q j '(x) = 0g μ Q

áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏ: ê³Ï³ÛÝ ³ÛÅÙ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ³í»ÉÇÝ, áñ 1) Im(')-Ý Q0 ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿; 2) Ker(')-Ý Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ç¹»³É ¿: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ' : Q ! Q0 ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ, »Ã» '-Ý Ý³¨ μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ºÃ»

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿, ³å³ '¡1 : Q0 ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ³Û¹åÇëÇÝ: ºñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): ºñÏáõ Q ¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q0 (Ï³Ù Q » = Q0 ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ): ²Ûë §'¦ (Ï³Ù §» Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 17.36: ¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ) Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) Q ' Q ó³ÝÏ³ó³Í Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ³Ù³ñ; μ) Q ' Q0 ! Q0 ' Q; ·) Q ' Q0 , Q0 ' Q00 ! Q ' Q00 : ¤ Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ μ³ó³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇçáõÏÇ ¨ å³ïÏ»ñÇ Ï³åÁ‘ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Â»áñ»Ù 17.35: ¸Çóáõù Q-Ý ¨ Q0 -Á

Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ

Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ' : Q ! Q0 ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ` Q0 ' Q/ H , áñï»Õ H = Ker('): ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ' : Q ! Q0 ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker(') = H , ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : Q0 ! Q/ H Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ), áñ ' ¢ ¹ = ¼, ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁª ' Q Z

Z ¼Z

Q0 ¹

? Q± H

;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

áñï»Õ ¼-Ý μÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ (¼(x) = x + H): ²å³óáõóáõÙ: ¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõÛóÇÝ ÙÝáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ ³í»É³óÝ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ¹(x0 ¢ y 0 ) = ¹(x0 ) ¢ ¹(y0 )

ó³ÝÏ³ó³Í x0 ; y0 2 Q0 ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù x0 = '(x), y 0 = '(y), áñï»Õ x; y 2 Q: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, x0 ¢ y0 = '(x) ¢ '(y) = '(x ¢ y): Ð»ï¨³μ³ñ, ¹(x0 ¢ y 0 ) = (x ¢ y) + H = (x + H) ¢ (y + H) = ¹(x0 ) ¢ ¹(y 0 ) :

Â»áñ»Ù 17.36: ¸Çóáõù Q-Ý, Q1 -Á ¨ Q2 -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) '1 : Q ! Q1 ¨ '2 : Q ! Q2 ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker('1 ) μ Ker('2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ '3 : Q1 ! Q2 í»ñ³¹ñáÕ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ '1 ¢ '3 = '2 , ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁª '1 Q Z

Z '2Z

Q1 '3

? Q2

Àëï áñáõÙ, '3 -Á ÏÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker('1 ) = Ker('2 ): î»ë ²å³óáõóáõÙ: ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³å³óáõóáõÙÁ:

·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ù

·Í³ÛÇÝ Ã»áñ»ÙÇ ¤

²ÛÅÙ μÝáõÃ³·ñ»Ýù Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁª Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ, »Ã» Q-Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: ºÃ»

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Q-Ý ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª dim(Q) = 0, ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý, ÇëÏ n-ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ, »Ã» n > 1: Â»áñ»Ù 17.37: ºÃ» Q-Ý e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí n-ã³÷³ÝÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ª áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ³å³

·Í³ÛÇÝ

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) Hom(Q; Q) ¨ P n£n ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÙÇç¨, ³ÛëÇÝùÝª Hom(Q; Q) ' P n£n :

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ í»ñÝ³·ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇó:

Ð³çáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ø»ÉÇÇ Ã»áñ»Ùª ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáõÙ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ μÝáõÃ³·ñíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: Â»áñ»Ù 17.38 (ø»ÉÇ): P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ç½áÙáñý ¿ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ P n£n ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ áñ¨¿ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q-Ý n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ª áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù 'a 2 Hom(Q; Q) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. 'a (x) = x ¢ a;

x2Q:

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ 'Q = f'a j a 2 Qg μ Hom(Q; Q) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, ÇëÏ © : a ! 'a ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Q ¨ 'Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Î³ë»Ýù, áñ Q ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q0 ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ áñ¨¿ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ' : Q ! Q0 ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ì»ñçÇÝ Ã»áñ»ÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñ³Ó¨³Ï»ñå»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: Â»áñ»Ù 17.39 (ø»ÉÇ): P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ P n£n ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç: ¤

17.17. ºñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñ: ºñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù³ïñÇó ¨ é³Ý· ¸Çóáõù QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿‘ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ Q £ Q = f(x; y) j x; y 2 Qg : ºÃ» f : Q £ Q ! P ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙª f : (x; y) ! z, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ f (x; y) = z, áñï»Õ x; y 2 Q, z 2 P : f (x; y) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç xÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ³é³çÇÝ ³ñ·áõÙ»Ýï (Ïááñ¹ÇÝ³ï), ÇëÏ yÁª »ñÏñáñ¹: f : Q £ Q ! P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (ýáõÝÏóÇ³Ý) ÏáãíáõÙ

¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨, »Ã» f Á ·Í³ÛÇÝ ¿ Çñ

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª ³) f (x1 + x2 ; y) = f (x1 ; y) + f (x2 ; y), f (®x; y) = ®f (x; y), μ) f (x; y1 + y2 ) = f(x; y1 ) + f(x; y2 ), f (x; ®y) = ®f (x; y), áñï»Õ x; y; x1 ; x2 ; y1 ; y2 2 Q, ® 2 P : ê³ÑÙ³ÝÙ³Ý ³) å³ÛÙ³ÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÷áË³ñÇÝ»É f (®x1 + ¯x2 ; y) = ®f (x1 ; y) + ¯f(x2 ; y) å³ÛÙ³Ýáí, ÇëÏ μ) å³ÛÙ³ÝÁª f (x; ®y1 + ¯y2 ) = ®f (x; y1 ) + ¯f (x; y2 ) å³ÛÙ³Ýáí, áñï»Õ x; y; x1 ; x2 ; y1 ; y2 2 Q, ®; ¯ 2 P : ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ f (0; y) = f (x; 0) = 0, f (¡x; y) = f (x; ¡y) = ¡f(x; y), ÇëÏ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É f (x1 + ¢ ¢ ¢ + xn ; y) = f (x1 ; y) + ¢ ¢ ¢ + f (xn ; y) ; f (x; y1 + ¢ ¢ ¢ + yn ) = f (x; y1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (x; yn )

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ó³ÝÏ³ó³Í x; y; x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; yn 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: P = R ¹»åùáõÙ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý, ÇëÏ P = C ¹»åùáõÙª ÏáÙåÉ»ùë: ØÇ¨ÝáõÛÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ f ¨ g »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ f = g, »Ã» f(x; y) = g(x; y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) f (x; y) = 0 (x; y 2 Q) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝáí áñáßíáÕ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ó³ÝÏ³ó³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²Ûë »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: 2) Ð³ñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ‘ ³ ´ ¡ ¢ f a ¹; ¹b = j¹ aj j¹bj cos ¹ ac ; ¹b ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿: 3) Q = P2 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ‘ μ ¶ ®1 ; ®2 f ((®1 ; ®2 ) ; (¯1 ; ¯2 )) = det 2P ¯1 ; ¯2 ûñ»Ýùáí áñáßíáÕ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨: 4) Q = C[a; b] ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ‘

f (f1 ; f2 ) =

g(x)f1 (x)f2 (x) dx

ûñ»Ýùáí áñáßíáÕ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ (³Ûëï»Õ g 2 C[a; b] ýáõÝÏóÇ³Ý ë¨»éí³Í ¿ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ ÏáñÇ½): 5) Q = P n£n ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ‘ f (A; B) = tr(A ¢ B) 2 P ûñ»Ýùáí áñáßí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ÏÉÇÝÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨: È»ÙÙ 17.37: P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

ÝáõÛÝ ¹³ßïÇ íñ³ª »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f + g)(x; y) = f (x; y) + g(x; y) ; (¸f )(x; y) = ¸f (x; y)

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ²Ûë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Hom(Q; Q; P )-áí: ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ýñ³ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Hom(Q; Q; P ) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý: Â»áñ»Ù 17.40: nã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Hom(Q; Q; P ) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ n2 ã³÷³ÝÇ:

²å³óáõóáõÙ: n = 0 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù dim(Q) = n > 0 ¨ ¹Çóáõù e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á QÇ Ñ»Ýù ¿: ºÃ» x; y 2 Q ¨ x = x1 e1 +¢ ¢ ¢+xn en , y = y1 e1 +¢ ¢ ¢+yn en , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª f (x; y) = f (x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en ; y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en ) = f (x1 e1 ; y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn en ; y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en ) = = f (x1 e1 ; y1 e1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (x1 e1 ; yn en ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn en ; y1 e1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn en ; yn en ) = = x1 y1 f (e1 ; e1 ) + ¢ ¢ ¢ + x1 yn f (e1 ; en ) + ¢ ¢ ¢ +xn y1 f (en ; e1 ) + ¢ ¢ ¢ + xn yn f (en ; en ) = =

n X

i;j=1

xi yj f (ei ; ej ) =

n X

xi yj aij ;

(17.21)

i;j=1

áñï»Õ aij = f (ei ; ej ), i; j = 1; : : : ; n: ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ý»ñÏ³Û³óáõÙ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (Ñ»ÝùáõÙ): Ü»ñÙáõÍ»Éáí Ñ»ï¨Û³É »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÁª `ij (x; y) = xi yj ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ i; j = 1; : : : ; n, x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , y = y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en , ÏáõÝ»Ý³Ýùª n X aij `ij (x; y) ; f (x; y) = i;j=1

³ÛëÇÝùÝª

n X

aij `ij :

i;j=1

ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ `ij »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: Æñáù, »Ã»

³å³

®11 `11 + ®12 `12 + ¢ ¢ ¢ + ®nn `nn = 0 ; ®11 `11 (x; y) + ®12 `12 (x; y) + ¢ ¢ ¢ + ®nn `nn (x; y) = 0

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûëï»Õ í»ñóÝ»Éáí x = ei , y = ej , Ý³Ë Ïëï³Ý³Ýùª ½ 1 ; »Ã» k = i; s = j; `ks (ei ; ej ) = 0 ; Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ :

Ð»ï¨³μ³ñ, ®ij ¢ 1 = 0, áñï»Õ 1Á ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: àõëïÇ, ®ij = 0 μáÉáñ i; j = 1; : : : ; n ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ²ÛëåÇëáí, `11 ; : : : ; `1n ; : : : ; `n1 ; : : : ; `nn Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ QÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª QÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ

ÏÉÇÝÇ n2 ã³÷³ÝÇ:

¤ (17.21) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý aij ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í a11 ; : : : ; a1n A = @ : : : : : : : : : A 2 P n£n an1 ; : : : ; ann

Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù³ïñÇóª e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³Ù f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ¶ñ³ÙÇ Ù³ïñÇó: ºÃ» Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ Ù³ïñÇóÁ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óÝ»Ýù Çñ ï³ññÇ Ñ»ï ¨ Ýß³Ý³Ï»Ýùª y1 x1 B . C B . C X = @ .. A ; Y = @ .. A ; xn

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

³å³ (17.21) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí‘ f (x; y) = X T AY : ì»ñóÝ»Ýù QÇ Ù»Ï ³ÛÉ Ñ»Ýùª e01 ; : : : ; e0n ¨ ¹Çóáõù e01 = t11 e1 + ¢ ¢ ¢ + t1n en ; ::: ::: ::: ::: e0n = tn1 e1 + ¢ ¢ ¢ + tnn en ; ÇëÏ x = x01 e01 + ¢ ¢ ¢ + x0n e0n ;

y = y10 e01 + ¢ ¢ ¢ + yn0 e0n :

Üß³Ý³Ï»Ýù e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇó e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÁª t11 ; : : : ; t1n ¡ = @ ::: ::: ::: A tn1 ; : : : ; tnn ¡ ¢ ¨ áñáß»Ýù f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç A0 = a0ij Ù³ïñÇóÁ e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: f(x; y) =

n X

i;j=1

áñï»Õ

n X ¢ ¡ x0i yj0 f e0i ; e0j = x0i yj0 a0ij ; i;j=1

¢ ¡ a0ij = f e0i ; e0j = f (ti1 e1 + ¢ ¢ ¢ + tin en ; tj1 e1 + ¢ ¢ ¢ + tjn en ) = = ti1 tj1 f (e1 ; e1 ) + ¢ ¢ ¢ + ti1 tjn f (e1 ; en ) + ¢ ¢ ¢ +tin tj1 f(en ; e1 ) + ¢ ¢ ¢ + tin tjn f (en ; en ) = = ti1 tj1 a11 + ¢ ¢ ¢ + ti1 tjn a1n + ¢ ¢ ¢ + tin tj1 an1 + ¢ ¢ ¢ + tin tjn ann = = ti1 (a11 tj1 + ¢ ¢ ¢ + a1n tjn ) + ¢ ¢ ¢ + tin (an1 tj1 + ¢ ¢ ¢ + ann tjn ) ;

Ð»ï¨³μ³ñª

a011 ; : : : ; a01n @ : : : : : : : : : A = ¡A¡T : a0n1 ; : : : ; a0nn

Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ.

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 17.41: ºÃ» AÝ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f Ç áõÝ»ó³Í A0 Ù³ïñÇóÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª A0 = ¡A¡T ;

áñï»Õ ¡Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇó e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¤ Ù³ïñÇóÝ ¿ : ø³ÝÇ áñ A ¨ ¡A¡T Ù³ïñÇóÝ»ñÇ é³Ý·»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý (áñáíÑ»ï¨ ¡ ¨ ¡T Ù³ïñÇóÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.9)), ³å³ Ñ³Ý·áõÙ »Ýù »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç é³Ý·Ç Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç é³Ý· ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ QÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ýñ³ áõÝ»ó³Í Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ rank(f )áí: ºñÏáõ A; B 2 P n£n Ù³ïñÇóÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÏáÝ·ñáõ»Ýï ¨ ·ñíáõÙ ¿ A ¼ B, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ¡ 2 P n£n Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó, áñ B = ¡A¡T ; áñï»Õ ¡T Ý ¡Ç ßñçí³Í Ù³ïñÇóÝ ¿: ²Ûë §¼¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝïáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 17.38: Ø³ïñÇóÝ»ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝïáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) A ¼ A ó³ÝÏ³ó³Í A 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñ; μ) A ¼ B ¡! B ¼ A; ¤ ·) A ¼ B, B ¼ C ¡! A ¼ C : Ð³Ýñ³Ñ³ßíÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ·³Õ³÷³ñÁ: ¸Çóáõù Q1 -Á, Q2 -Á ¨ Q-Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ÇëÏ Q1 £ Q2 = f(x; y) j x 2 Q1 ; y 2 Q2 g : ºÃ» f : Q1 £ Q2 ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙª f : (x; y) ! z, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ z = f (x; y), áñï»Õ x 2 Q1 , y 2 Q2 , z 2 Q: f (x; y) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç x-Á ÏáãíáõÙ ¿ f -Ç ³é³çÇÝ ³ñ·áõÙ»Ýï, ÇëÏ y-Áª »ñÏñáñ¹: f : Q1 £ Q2 ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (ýáõÝÏóÇ³Ý) ÏáãíáõÙ ¿

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Q1 , Q2 , Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» f-Á ·Í³ÛÇÝ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ºÃ» Q1 = Q2 = Q, ³å³ Q1 , Q2 , Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÁÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª f : Q £ Q ! Q: ²Ûë ¹»åùáõÙ f-Á ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Q1 , Q2 , Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáÉáñ »ñÏ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Hom(Q1 ; Q2 ; Q)-áí, ÇëÏ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª Hom(Q; Q; Q)-áí: ºÃ» Q1 = Q2 , ÇëÏ Q = P , ³å³ »ñÏ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³ÝÁ: Â»áñ»Ù 17.42: 1) ØÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Q1 , Q2 , Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáÉáñ »ñÏ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Hom(Q1 ; Q2 ; Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ Hom(Q; Q; Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

»ñÏ·Í³ÛÇÝ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý (áñáßí³Í ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³)` »ñÏ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f + g)(x; y) = f(x; y) + g(x; y); (¸f )(x; y) = ¸f (x; y) :

2) ºÃ» Q1 , Q2 , Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ »Ý, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Hom(Q1 ; Q2 ; Q) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¨ dim (Hom(Q1 ; Q2 ; Q)) = dim(Q1 ) ¢ dim(Q2 ) ¢ dim(Q) :

3) Hom(Q1 ; Q2 ; Q) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ f : Q1 £ Q2 ! Q ï»ëùÇ μáÉáñ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¤ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ n-·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ: ¸Çóáõù Q1 ; : : : ; Qn ¨ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áñáßí³Í »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ Q1 £ ¢ ¢ ¢ £ Qn = f(x1 ; : : : ; xn ) j x1 2 Q1 ; : : : ; xn 2 Qn g :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» f : Q1 £ ¢ ¢ ¢ £ Qn ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙª f : (x1 ; : : : ; xn ) ! z, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ z = f (x1 ; : : : ; xn ), áñï»Õ x1 2 Q1 ; : : : ; xn 2 Qn , z 2 Q: f (x1 ; : : : ; xn ) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç xi -Ý ÏáãíáõÙ ¿ f -Ç i-ñ¹ ³ñ·áõÙ»Ýï, áñï»Õ i = 1; : : : ; n: f : Q1 £ ¢ ¢ ¢ £ Qn ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (ýáõÝÏóÇ³Ý) ÏáãíáõÙ ¿ Q1 ; : : : ; Qn ; Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ n-·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» f-Á ·Í³ÛÇÝ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ºÃ» Q1 = ¢ ¢ ¢ = Qn = Q, ³å³ f -Á ÏáãíáõÙ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n-·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ: Q1 ; : : : ; Qn ; Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáÉáñ n·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Hom(Q1 ; : : : ; Qn ; Q)-áí, ÇëÏ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ n-·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª Hom(Q; : : : ; Q; Q)-áí: | {z } n

î»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

Â»áñ»Ù 17.43: 1) ØÇ¨ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Q1 ; : : : ; Qn ; Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáÉáñ n-·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Hom(Q1 ; : : : ; Qn ; Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ

n-·Í³ÛÇÝ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Hom(Q; : : : ; Q; Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ | {z } n

·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý (áñáßí³Í ÝáõÛÝ P ¹³ßïÇ íñ³)` n·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ ëÏ³ÉÛ³ñáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f + g)(x1 ; : : : ; xn ) = f(x1 ; : : : ; xn ) + g(x1 ; : : : ; xn ); (¸f )(x1 ; : : : ; xn ) = ¸f(x1 ; : : : ; xn ) :

2) ºÃ» Q1 ; : : : ; Qn ; Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ »Ý, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Hom(Q1 ; : : : ; Qn ; Q) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¨ dim (Hom(Q1 ; : : : ; Qn ; Q)) = dim(Q1 ) ¢ ¢ ¢ dim(Qn ) ¢ dim(Q) :

3) Hom(Q1 ; : : : ; Qn ; Q) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ f : Q1 £ ¢ ¢ ¢ £ Qn ! Q ï»ëùÇ μáÉáñ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

17.18. êÇÙ»ïñÇÏ ¨ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñ: ºñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÙÇçáõÏ: ºÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ûñÃá·áÝ³É Éñ³óáõÙ ¸Çóáõù QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿‘ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: QÇ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿. ³) ëÇÙ»ïñÇÏ, »Ã» f (x; y) = f (y; x) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; μ) ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ, »Ã» f (x; y) = ¡f(y; x) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; ·) ëÇÙ»ïñÇÏ Áëï ½ñáÛÇ, »Ã» f(x; y) = 0 Ã! f (y; x) = 0 ; áñï»Õ x; y 2 Q:

úñÇÝ³Ï, »Ã» f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ëÇÙ»ïñÇÏ Ï³Ù ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ ¿, ³å³ ³ÛÝ ëÇÙ»ïñÇÏ ¿ Áëï ½ñáÛÇ: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý x ¨ y ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ûñÃá·áÝ³É f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ ·ñíáõÙ ¿ x ? y, »Ã» f(x; y) = 0:

úñÇÝ³Ï, »Ã» P ¹³ßïáõÙ 1 + 1 6= 0, áñï»Õ 1Á P Ç ÙÇ³íáñÝ ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x í»Ïïáñ ûñÃá·áÝ³É ¿ Çñ»Ý (x ? x) ó³ÝÏ³ó³Í f ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Æñáù, f (x; x) = ¡f (x; x), f(x; x) + f (x; x) = 0, (1 + 1)f (x; x) = 0, áñï»Õ 1 + 1 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, f(x; x) = 0: ºÃ» f Á ëÇÙ»ïñÇÏ ¿ Áëï ½ñáÛÇ, ³å³ x ? y Ã! y ? x :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏÉÇÝÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »ñμ ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ýñ³ áõÝ»ó³Í A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ ëÇÙ»ïñÇÏ, ³ÛëÇÝùÝª AT = A: Æñáù, f(x; y) = f (y; x) Ã! aij = f (ei ; ej ) = f (ej ; ei ) = aji :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÛÝáõÑ»ï¨, f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏÉÇÝÇ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »ñμ ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ýñ³ áõÝ»ó³Í A Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ, ³ÛëÇÝùÝª AT = ¡A: È»ÙÙ 17.39: 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ QÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ; 2) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ QÇ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¤ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : Â»áñ»Ù 17.44: ºÃ» P ¹³ßïáõÙ 1 + 1 6= 0, ³å³ P Ç íñ³ áñáßí³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¨ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: Üß³Ý³Ï»Ýùª 2 = 1 + 1 6= 0, áñï»Õ 1Á P ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É áñ¨¿ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ¨ áñ¨¿ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí, áñáíÑ»ï¨ f (x; y) = 2¡1 (f (x; y) + f (y; x)) + 2¡1 (f (x; y) ¡ f (y; x)) ; áñï»Õ Ýß³Ý³Ï»Éáíª f1 (x; y) = 2¡1 (f(x; y) + f (y; x)) ;

f2 (x; y) = 2¡1 (f (x; y) ¡ f (y; x)) ;

ëï³ÝáõÙ »Ýù f1 ëÇÙ»ïñÇÏ ¨ f2 ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ f = f1 + f2 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ëÇÙ»ïñÇÏ ¿ ¨ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ, ³å³ ³ÛÝ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿: Æñáù, »Ã» f (x; y) = f (y; x) ¨ f (x; y) = ¡f (y; x), ³å³ f (y; x) = ¡f (y; x), ³ÛëÇÝùÝª 2f (y; x) = 0, áñï»Õ 2 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, f (y; x) = 0 ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.31: Æñ³Ï³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¨ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇÝ: ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.32: ÎáÙåÉ»ùë »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¨ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇÝ: ¤ Â»áñ»Ù 17.45: 1) nã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Cn2 + n = n(n + 1)Ç, áñÇ Ñ³Ù³ñ áñå»ë Ñ»Ýù Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É Ñ»ï¨Û³É `ij (x; y) = xi yj + xj yi ;

`ii (x; y) = xi yi

ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ i; j = 1; : : : ; n ¨ i < j : 2) ºÃ» P ¹³ßïáõÙ 1+1 6= 0, ³å³ P Ç íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n(n ¡ 1) Ç, áñÇ Ñ³Ù³ñ áñå»ë ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Cn2 = Ñ»Ýù Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É qij = xi yj ¡ xj yi

ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ i; j = 1; : : : ; n ¨ i < j : ²å³óáõóáõÙ: 1) n = 0 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÃ» n > 0 ¨ e1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ QÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª f (x; y) =

aik (xi yk + xk yi ) +

i<k

n X

aii xi yi ;

i=1

áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , y = y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en , aij = f(ei ; ej ) = f(ej ; ei ) = aji : Àëï áñáõÙ, `ik (x; y) = xi yk + xk yi ;

i < k;

`ii (x; y) = xi yi μ³Ý³Ó¨»ñáí áñáßíáÕ `ik , `ii (i < k) »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÁ ëÇÙ»ïñÇÏ »Ý ¨ n(n ¡ 1) + n-Ç: ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, áñáÝó ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Cn2 + n =

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

2) n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÛÃáõÝÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ n(n ¡ 1) n(n + 1) = : Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ f Ã»áñ»ÙÇ, ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª n2 ¡ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª X f (x; y) = aik (xi yk ¡ xk yi ) ; i<k

áñáíÑ»ï¨ aii = 0, ÇëÏ aki = ¡aik , »Ã» i 6= k: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ qik (x; y) = xi yk ¡ xk yi ;

i <k;

μ³Ý³Ó¨áí áñáßíáÕ qik »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÁ ß»ÕëÇÙ»ïñÇÏ »Ý ¨ ·Í³ÛÝáñ»Ý n(n ¡ 1) -Ç: ¤ ³ÝÏ³Ë, áñáÝó ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Cn2 = Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÙÇçáõÏ (ÏáñÇ½) ¿ ÏáãíáõÙ Ker(f ) = fy 2 Q j f (x; y) = 0 ; 8x 2 Qg μ Q

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ 0 2 Ker(f ), ³å³ Ker(f ) 6= ;: ²í»ÉÇ ×Çßï ÏÉÇÝ»ñ Ker(f )Á ³Ýí³Ý»É fÇ Ó³Ë ÙÇçáõÏ (Ñ³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³Ý»Éáí f Ç ³ç ÙÇçáõÏÁ): ê³Ï³ÛÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ëï³óíáÕ Ó³Ë ¨ ³ç ÙÇçáõÏÝ»ñÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝ»Ý Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ: ²Û¹ å³ï×³éáí, Ù»Ýù áõëáõÙÝ³ëÇñáõÙ »Ýù

¹ñ³ÝóÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ:

È»ÙÙ 17.40: Ker(f ) 6 Q, ³ÛëÇÝùÝª Ker(f)Á QÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» y1 ; y2 2 Ker(f ), ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª f (x; y1 ) = 0 = f(x; y2 ): Ð³ï¨³μ³ñ, f (x; ®y1 + ¯y2 ) = ®f (x; y1 ) + ¯f (x; y2 ) = 0 ; ³ÛëÇÝùÝª ®y1 + ¯y2 2 Ker(f ) ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ãí»ñ³ë»ñí³Í, »Ã» Ker(f ) = f0g: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³ë»ñí³Í: È»ÙÙ 17.41: ºÃ» QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí, ³å³ Ker(f) = fy 2 Q j f (ei ; y) = 0 ; i = 1; : : : ; ng :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõóáõÙ: ò³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en ¨ f (ei ; y) = 0, i = 1; : : : ; n, ÏáõÝ»Ý³Ýùª f (x; y) = f (x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en ; y) = x1 f (e1 ; y) + ¢ ¢ ¢ + xn f(en ; y) = 0 : ¤ ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, »Ã» y = y1 e1 +¢ ¢ ¢+yn en 2 Ker(f ), ³å³ f (ei ; y) = 0 å³ÛÙ³ÝÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª f (ei ; y) = f (ei ; y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en ) = y1 f (ei ; e1 ) + ¢ ¢ ¢ + yn f (ei ; en ) = = ai1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ain yn = 0 :

Ð»ï¨³μ³ñ, i = 1; : : : ; n ¹»åùáõÙ Ñ³Ý·áõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ. < a11 y1 + ¢ ¢ ¢ + a1n yn = 0 ; ::: ::: ::: : an1 y1 + ¢ ¢ ¢ + ann yn = 0 ; áñï»Õ

»Ýù

·Í³ÛÇÝ

(17.22)

a11 ; : : : ; a1n A = @ ::: ::: ::: A an1 ; : : : ; ann

Ù³ïñÇóÁ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, (17.22) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ LA ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª dim(LA ) = n ¡ rank(A) : y1 C B ê³Ï³ÛÝ, LA ' Ker(f), áñáíÑ»ï¨ © : y ! @ ... A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ

yn ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ùª © : Ker(f ) ! LA : Ð»ï¨³μ³ñ, dim(LA ) = dim(Ker(f)): ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ: Â»áñ»Ù 17.46: nã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í f

»ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñª

dim (Ker(f )) = n ¡ rank(f );

áñï»Õ n > 1:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ U 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ûñÃá·áÝ³É Éñ³óáõÙ ¿ ÏáãíáõÙ U ? = fy 2 Q j f (x; y) = 0 ; 8x 2 U g μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: úñÇÝ³Ï, Q? = Ker(f ): È»ÙÙ 17.42: ò³ÝÏ³ó³Í U 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ U ? 6 Q: ¤ Â»áñ»Ù 17.47: ºÃ» QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ¨ U 6 Q, ³å³ ¡ ¢ dim U ? > dim(Q) ¡ dim(U ) :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» U = f0g, Q, ¡ ³å³ ¢ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ U = f0g ¹»åùáõÙª U ? = Q ¨ dim U ? = dim (Q), ÇëÏ U = Q ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª dim(U ? ) > 0: ¸Çóáõù U 6= f0g, Q ¨ ¹Çóáõù e1 ; : : : ; ek Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ U Ç Ñ³Ù³ñ: Èñ³óÝ»Ýù e1 ; : : : ; ek Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÙÇÝã¨ QÇ Ñ»ÝùÇª e1 ; : : : ; ek ; ek+1 ; : : : ; en : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ y 2 U ? Ã! f (ei ; y) = 0 ;

i = 1; : : : ; k :

ºÃ» y = y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en 2 U ? , ³å³ f (ei ; y) = 0, i = 1; : : : ; k, Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª < a11 y1 + ¢ ¢ ¢ + a1n yn = 0 ; ::: ::: ::: (17.23) : ak1 y1 + ¢ ¢ ¢ + akn yn = 0 ; ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñï»Õ aij = f(ei ; ej ): Üß³Ý³Ï»Éáíª

a11 ; : : : ; a1n B = @ ::: ::: ::: A ; ak1 ; : : : ; akn

ÇëÏ LB áí (17.23) Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª B 6 A ¨ dim(LB ) = n ¡ rank(B) :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

y1 C B ê³Ï³ÛÝ, U ? ' LB , áñáíÑ»ï¨ © : y ! @ ... A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ yn ¡ ¢ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ùª © : U ? ! LB : Ð»ï¨³μ³ñ, dim U ? = dim(LB ): ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, rank(B) 6 k: ²ÛëåÇëáí, ¡ ¢ ¤ dim U ? = n ¡ rank(B) > n ¡ k = dim(Q) ¡ dim(U ) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.33: ºÃ» í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ãí»ñ³ë»ñí³Í ¿ , ³ÛëÇÝùÝª Ker(f ) = f0g ¨ U 6 Q, ³å³ ¡ ¢ dim U ? = dim(Q) ¡ dim(U ) : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» dim(Q) = n, ³å³

dim (Ker(f)) = n ¡ rank(f ) ; áñï»Õ rank(f ) = rank(A), ÇëÏ AÝ f Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ Q-Ç ë¨»éí³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ø³ÝÇ áñ ³Ûëï»Õª dim (Ker(f )) = 0, ³å³ n = rank(A): Ð»ï¨³μ³ñ, Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝÃ³óùáõÙ Ýß³Ý³Ïí³Í B 6 A »ÝÃ³Ù³ïñÇóÇ ïáÕ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, ³ÛëÇÝùÝª rank(B) = k = dim(U ): àõëïÇ, ¡ ¢ ¤ dim U ? = n ¡ k = dim(Q) ¡ dim(U ) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.34: ºÃ» í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ãí»ñ³ë»ñí³Í ¿ áõ ëÇÙ»ïñÇÏ Áëï ½ñáÛÇ ¨ U 6 Q, ³å³ ¡ ? ¢? U =U :

²å³óáõóáõÙ: ú·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ù»ç ³å³óáõóí³Í μ³Ý³Ó¨Çó, Ý³Ë ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢? dim U ? = n ¡ (n ¡ k) = k = dim(U ) ;

¡ ¢? áñï»Õ dim(Q) = n, ÇëÏ dim(U ) = k: ê³Ï³ÛÝ, U μ U ? , áñáíÑ»ï¨ »Ã» x 2 U , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í y 2 U ? ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª f (x; y) = 0: àõëïÇ, ¡ ¢? f(y; x) = 0 ó³ÝÏ³ó³Í y 2 U ? ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, x 2 U ? : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

17.19. ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñ: ÆÝ»ñóÇ³ÛÇ ûñ»ÝùÁ: êÇÉí»ëïñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç μ»ñáõÙÁ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÇ ¸Çóáõù P ¹³ßïáõÙ 1 + 1 6= 0, áñï»Õ 1Á P Ç ÙÇ³íáñÝ ¿ (ûñÇÝ³Ï, P = R Ï³Ù P = C, μ³Ûó P 6= Z2 ), ¨ ¹Çóáõù QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ f : Q £ Q ! P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ QÇ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿: f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨ ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ f ¤ : Q ! P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f ¤ (x) = f (x; x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñ: q : Q ! P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ QÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨, áñ q = f ¤ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ qÇ μ¨»é³ÛÇÝ Ó¨: ºÃ» P = R, ³å³ q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý, ÇëÏ P = C ¹»åùáõÙ qÝ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÙåÉ»ùë ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨: È»ÙÙ 17.43: ºÃ» q Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨ ¿ ¨ q = f ¤ , ³å³ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f (x; y) = 2¡1 (q(x + y) ¡ q(x) ¡ q(y)) ;

(17.24)

áñï»Õ 2 = 1 + 1 2 P , x; y 2 Q: ²ÛëÇÝùÝª ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨áí Ýñ³ μ¨»é³ÛÇÝ Ó¨Á í»ñ³Ï³Ý·ÝíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ²å³óáõóáõÙ: Æñáù, û·ïí»Éáí f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª 2¡1 (q(x + y) ¡ q(x) ¡ q(y)) = 2¡1 (f(x + y; x + y) ¡ f (x; x) ¡ f (y; y)) = = 2¡1 (f (x; x) + f (x; y) + f(y; x) + f(y; y) ¡ f (x; x) ¡ f (y; y)) = = 2¡1 (2f (x; y)) = f (x; y) :

Â»áñ»Ù 17.48: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμª (q1 + q2 )x = q1 (x) + q2 (x) ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

(¸q)x = ¸q(x) ;

áñï»Õ x 2 Q, ¸ 2 P : © : f ! f ¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÇó Ýñ³ μáÉáñ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç: Ð»ï¨³μ³ñ, nã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n(n + 1) Ç: ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Cn2 + n = ²å³óáõóáõÙ: QÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ F (Q; P ) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: Æñáù, »Ã» q1 = f1¤ ¨ q2 = f2¤ , áñï»Õ f1 Á ¨ f2 Á QÇ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñ »Ý, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª (q1 + q2 )x = q1 (x) + q2 (x) = f1¤ (x) + f2¤ (x) = f1 (x; x) + f2 (x; x) = (f1 + f2 )(x; x) = (f1 + f2 )¤ x ; áñï»Õ f1 + f2 Á QÇ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿, ÇëÏ »Ã» q = f ¤ , áñï»Õ fÁ QÇ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª (¸q)x = ¸q(x) = ¸f ¤ (x) = ¸f (x; x) = (¸f )(x; x) = (¸f)¤ (x) ; áñï»Õ ¸f Á ¨ë QÇ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿: ²ÛëåÇëáí, q1 + q2 Á ¨ ¸qÝ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñ »Ý: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, ³å³óáõóí»ó ¤ (f1 + f2 ) = f1¤ + f2¤ ;

(¸f )¤ = ¸f ¤ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ QÇ ó³ÝÏ³ó³Í f, f1 , f2 ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª © (f1 + f2 ) = ©(f1 ) + ©(f2 ) ; ©(¸f ) = ¸©(f ) : ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ © : f ! f ¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿ ¨ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 17.45Çó: Æñáù, © ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ëÛáõñ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó‘ f ¤ = g ¤ ¡! f ¤ (x) = g¤ (x);

f ¤ (y) = g¤ (y);

f ¤ (x + y) = g¤ (x + y) ¡!

2¡1 (f ¤ (x + y) ¡ f ¤ (x) ¡ f ¤ (y)) = 2¡1 (g ¤ (x + y) ¡ g¤ (x) ¡ g¤ (y)) ¡! f (x; y) = g(x; y) ¡! f = g :

Q í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃá·áÝ³É f : Q £ Q ! P »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ, »Ã» f (ei ; ej ) = 0, áñï»Õ i 6= j, i; j = 1; : : : ; n: ²Û¹åÇëÇ Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª f (x; y) = a11 x1 y1 + a22 x2 y2 + ¢ ¢ ¢ + ann xn yn ;

(17.25)

áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ f »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù, ³ÛëÇÝùÝª ûñÃá·áÝ³É Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ fÇ Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëùÇ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, áã ½ñáÛ³Ï³Ý aii = f (ei ; ei ) ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ f Ç é³Ý·ÇÝ: Â»áñ»Ù 17.49: nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ûñÃá·áÝ³É Ñ»Ýù:

²å³óáõóáõÙ: äÝ¹áõÙÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï dim(Q) = n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: n = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ¸Çóáõù n > 1 ¨ nÇó ÷áùñ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ºÃ» f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ f (x; y) = 0 ¹»åùáõÙ Ý³¨ f (ei ; ej ) = 0 (x; y 2 Q): ¸Çóáõù f 6= 0, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y 2 Q ï³ññ»ñ, áñ f (x; y) 6= 0: (17.24) μ³Ù³Ó¨Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, q = f ¤ 6= 0, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ s1 2 Q ï³ññ, áñ q(s1 ) = f (s1 ; s1 ) 6= 0: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ s1 6= 0 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, s1 Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: Üß³Ý³Ï»Ýù U = (s1 ) 6 Q ¨ ÝÏ³ï»Ýù, áñ U \ U ? = f0g: Æñáù, »Ã» x 2 U \ U ? , ³å³ x = ¸s1 ¨ x ? s1 , ³ÛëÇÝùÝª f (¸s1 ; s1 ) = 0,

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

¸f (s1 ; s1 ) = 0 ¨ ¸ = 0, áñáíÑ»ï¨ f (s1 ; s1 ) 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, x = 0: Àëï Ã»áñ»Ù 17.47Ç, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ dim(Q) 6 dim(U ) + dim U ? ¡ dim U \ U ? = dim U + U ? : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ù³ÝÇ áñ U + U ? 6 Q, ³å³ ¡ ¢ dim U + U ? 6 dim (Q) :

²ÛëåÇëáí,

¡ ¢ dim (Q) = dim U + U ?

¨ Q¡ =¢ U © U ? : ø³ÝÇ áñ dim(U ) = 1, dim(Q) = n, ³å³ = n ¡ 1 ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, dim U ? U ? 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáõÝ»Ý³ s2 ; : : : ; sn ûñÃá·áÝ³É Ñ»Ýù fÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (áñå»ë U ? »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç): Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ûë Ñ»ÝùÇÝ ³í»É³óÝ»Éáí s1 Á Ïëï³Ý³Ýù QÇ s1 ; s2 ; : : : ; sn ûñÃá·áÝ³É Ñ»ÝùÁ f Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.35: nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ»Ýù, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f Ý áõÝÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù, ³ÛëÇÝùÝª ¤ áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f -Ç Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëùÇ: nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç A Ù³ïñÇóÁ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù³ïñÇó ÝáõÛÝ Ñ»ÝùáõÙ: A Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç é³Ý·:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.36: nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýù, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ q Ç Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëùÇ: ²í»ÉÇ ×Çßï ³Û¹åÇëÇ Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμª q(x) = q(e1 )x21 + q(e2 )x22 + ¢ ¢ ¢ + q(en )x2n ;

áñï»Õ x 2 Q, x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , q(ei) = f (ei ; ei ), i = 1; : : : ; n:

ºÃ» e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñª q(x) = a1 x21 + ¢ ¢ ¢ + an x2n ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , ai 2 P , i = 1; : : : ; n, ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ áõÝÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: ²Ûë ¹»åùáõÙ, áã ½ñáÛ³Ï³Ý ai = q(ei ) ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ qÇ é³Ý·ÇÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.37: ò³ÝÏ³ó³Í A 2 P n£n ëÇÙ»ïñÇÏ Ù³ïñÇó ÏáÝ·ñáõ»Ýï ¿ áñ¨¿ B 2 P n£n ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÇ: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A = (aij ), AT = A ¨ QÝ c1 ; : : : ; cn Ñ»Ýùáí ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q, x = x1 c1 +¢ ¢ ¢+xn cn , y = y1 c1 +¢ ¢ ¢+yn cn ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Éáí f (x; y) =

n X

aij xi yj ;

i;j=1

Ïëï³Ý³Ýù f : Q £ Q ! P ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á, áñÇ Ù³ïñÇóÁ c1 ; : : : ; cn Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýó AÝ: Àëï ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýù, áñÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ Ï³éáõóí³Í f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: f Ç B Ù³ïñÇóÁ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ ÏÉÇÝÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëùÇ ¨ A áõ B Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÏáÝ·ñáõ»Ýïª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 17.41-Ç: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.38: nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ»Ýù, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ý áõÝÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù: Ð³Ù³éáï, ó³ÝÏ³ó³Í ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ»ñ»É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÇ: ¤ Üß»Ýù f ¤ (x)

f (x; x)

n P

i;j=1

ai;j xi xj

ï»ëùáí ïñí³Í

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÇ μ»ñ»Éáõ Ñ»ï¨Û³É ·áñÍÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³ÏÁ (³É·áñÇÃÙÁ): ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù: I) îñí³Í ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù»ç a11 = a22 = ¢ ¢ ¢ = ann = 0, ÇëÏ áñ¨¿ aij 6= 0, áñï»½ i 6= j: àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ¹Çóáõù a1;2 6= 0: ÀÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ Ñ»Ýù, áñáõÙ x-Ç z1 ; z2 ; : : : ; zn Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý ëÏ½μÝ³Ï³Ý x1 ; x2 ; : : : ; xn Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ñ»ï Ñ»ï¨Û³É

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ï»ñå‘ x1 = z1 ¡ z2

x2 = z1 + z2 ; x3 = z 3 ; .. .

xn = z n ; áñï»Õ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ù Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý áñáßÇã‘ ¯ ¯ ¯ 1 ¡1 0 ::: 0 ¯¯ ¯ ¯ 1 0 ::: 0 ¯¯ ¯ ¯ 0 1 ::: 0 ¯¯ = 1 + 1 6= 0 : ¯ ¯ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ::: 1 ¯

²Û¹ ¹»åùáõÙ ïñí³Í ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç 2a12 x1 x2 ³Ý¹³ÙÁ ÏÁÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ. 2a12 x1 x2 = 2a12 (z1 ¡ z2 )(z1 + z2 ) = 2a12 z12 ¡ 2a12 z22 ;

³ÛëÇÝùÝ‘ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨áõÙ ³ÛÅÙ í»ÏïáñÇ áñ¨¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÇ ù³é³Ïáõëáõ ·áñÍ³ÏÇóÁ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛÇó (2 = 1 + 1 6= 0); II) îñí³Í ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨áõÙ a11 ; a22 ; : : : ; ann ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛÇó: ¸Çóáõù a11 6= 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ‘ f (x; x) ¡ a¡1 11 (a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn ) = g

ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ ÙÇ³ÛÝ x2 ; x3 ; : : : ; xn Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ: àñï»ÕÇó‘

f (x; x) = a¡1 11 (a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn ) + g : Üß³Ý³Ï»Éáí‘ y1 = a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn ; y2 = x2 ; .. . yn = xn ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ïëï³Ý³Ýù‘ f (x; x) = a¡1 11 y1 + g;

áñï»Õ g ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ y2 ; : : : ; yn Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨ I) Ï³Ù II) ¹»åù»ñáõÙ Ýßí³Í Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÇñ³éíáõÙ »Ý g ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ²ÛëåÇëáí, í»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏÑ³Ý·»Ýù ïñí³Í f (x; x) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÇÝ: ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ 1 + 1 = 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ, Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.38-Á ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ ãáõÝÇ: úñÇÝ³Ï, Z2 ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ f (x; x) = x1 x2 ï»ëùÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ μ»ñ»É Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëùÇ, áñáíÑ»ï¨ »Ã» áñ¨¿ Ñ»ÝùáõÙ f (x; x) = x1 x2 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ý áõÝ»Ý³ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý ï»ëù, ³å³ ÙÇ ÏáÕÙÇó‘ x1 = b11 y1 + b12 y2 ; x2 = b21 y1 + b22 y2 ; áñï»Õ

ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÙÇó‘

¯ ¯ b11 ¯ ¯ b21

¯ b12 ¯¯ = b11 b22 ¡ b12 b21 6= 0 ; b22 ¯

f (x; x) = x1 x2 = (b11 y1 + b12 y2 )(b21 y1 + b22 y2 ) = = b11 b21 y12 + (b11 b22 + b12 b21 )y1 y2 + b12 b22 y22 ; áñï»Õ b11 b22 + b12 b21 = 0: Ð»ï¨³μ³ñ, b11 b22 ¡ b12 b21 = 0, áñáíÑ»ï¨ Z2 ¹³ßïáõÙ‘ a = ¡a: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù P = C (³ÛëÇÝùÝª ¹Çï³ñÏ»Ýù ÏáÙåÉ»ùë »ñÏ·Í³ÛÇÝ ¨ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, §ÝáñÙ³íáñ»Éáí¦ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýù³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñÁ, (17.25) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý aii ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹³ñÓÝ»É 1: Æñáù, ³ÝóÝ»Ýù Ù»Ï ³ÛÉ e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇª 8 ¡ < paii ¢¡1 ei ; »Ã» aii 6= 0 ; ei = : e; »Ã» aii = 0 ; i

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

p áñï»Õ aii áí Ýß³Ý³Ïí³Í ¿ z 2 = aii Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ ÏáÙåÉ»ùë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ: àõëïÇ, e1 ; : : : ; en ûñÃá·áÝ³É Ñ»ÝùÇó e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý ¡ Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇó, áñÇ ¡p ¢¡1 ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³í³ë³ñ ¿ aii Ç Ï³Ù 1Ç: ²ÛëåÇëáí, det(¡) 6= 0 ¨ e01 ; : : : ; e0n Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù ¹Çï³ñÏíáÕ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.16): Àëï áñáõÙ, ëï³óí³Í e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ûñÃá·áÝ³É, áñáíÑ»ï¨ ¡ ¢ f e0i ; e0j = ®ij f(ei ; ej ) = 0 ; i 6= j ;

ÇëÏ

< 1 ; »Ã» aii = 6 0; f (e0i ; e0i ) = : 0 ; »Ã» a = 0 : ii

Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.39: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ e01 ; : : : ; e0n (ûñÃá·áÝ³É) Ñ»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q, x = x1 e01 + ¢ ¢ ¢ + xn e0n , y = y1 e01 + ¢ ¢ ¢ + yn e0n ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) Ñ³Ù³ñª f (x; y) = x1 y1 + ¢ ¢ ¢ + xr yr ;

r 6 n;

áñï»Õ rÁ f Ç é³Ý·Ý ¿ :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.40: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ e01 ; : : : ; e0n Ñ»Ýù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q, x = x1 e01 + ¢ ¢ ¢ + xn e0n ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñª q(x) = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2r ;

áñï»Õ rÁ qÇ é³Ý·Ý ¿ :

r 6 n; ¤

¸Çóáõù P = R (³ÛëÇÝùÝª ¹Çï³ñÏ»Ýù Çñ³Ï³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ ¨ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨»ñ): ²Ûë ¹»åùáõÙ §ÝáñÙ³íáñ»Éáí¦ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýù³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñÁ, (17.25) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý aii

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹³ñÓÝ»É 1 Ï³Ù ¡1: Æñáù, ³Ûë ¹»åùáõÙ ³ÝóÝáõÙ »Ýù ³ÛÝ e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇÝ, áñï»Õ 8 ³p ´¡1 < jaii j ei ; »Ã» aii 6= 0 ; ei = : e; »Ã» aii = 0 : i Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.41: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ e01 ; : : : ; e0n (ûñÃá·áÝ³É) Ñ»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q, x = x1 e01 + ¢ ¢ ¢ + xn e0n , y = y1 e01 + ¢ ¢ ¢ + yn e0n ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) Ñ³Ù³ñª f (x; y) = x1 y1 +¢ ¢ ¢+xk yk ¡xk+1 yk+1 ¡¢ ¢ ¢¡xk+` yk+` ;

k+` 6 n ; (17.26)

áñï»Õ k + ` = rank(f ):

f Çñ³Ï³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç (17.26) ï»ëùÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ ÝáñÙ³É ï»ëù, ÇëÏ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ù³ïñÇóÁª ÝáñÙ³É Ù³ïñÇó: ²ÛëåÇëáí, ÝáñÙ³É Ù³ïñÇó ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÁ, áñÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëùÁª .. C B . C B C B C B C B ¡1 C B .. C B . C B C B ¡1 C B C B C B .. A @ . : Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.42: ò³ÝÏ³ó³Í A 2 Rn£n ëÇÙ»ïñÇÏ Ù³ïñÇó ÏáÝ·ñáõ»Ýï ¿ áñ¨¿ B 2 Rn£n ÝáñÙ³É Ù³ïñÇóÇ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.43: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í nã³÷³ÝÇ (n > 1) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ e01 ; : : : ; e0n Ñ»Ýù, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q, x = x1 e01 + ¢ ¢ ¢ + xn e0n ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñª q(x) = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2k ¡ x2k+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ x2k+` ;

k +` 6 n;

(17.27)

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

áñï»Õ k + ` = rank(q):

(17.27) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ q Çñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝáñÙ³É ï»ëù, e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÁª ÝáñÙ³É Ñ»Ýù, ÇëÏ k ¨ ` Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ¹ñ³Ï³Ý ¨ μ³ó³ë³Ï³Ý ÝßÇãÝ»ñ Ýßí³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: (k; `) ½áõÛ·Á ÏáãíáõÙ ¿ qÇ ÝßÇã Ï³Ù ëÇ·Ý³ïáõñ³ Ýßí³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É (μ³ó³ë³Ï³Ý áñáßÛ³É) Q1 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» q(x) > 0 (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ, q(x) < 0) ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q1 ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñ (q(0) = 0): Q1 = Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý íñ³ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É (μ³ó³ë³Ï³Ý áñáßÛ³É) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ Q-Ç ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É (μ³ó³ë³Ï³Ý áñáßÛ³É) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨: È»ÙÙ 17.44: ¸Çóáõù QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : ºÃ» (k; `)Á q : Q ! R Çñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝßÇãÝ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý) ¿¡ e01 ; : : : ; e0n ÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ ¢ Q1 = (e01 ; : : : ; e0k ), ÇëÏ Q2 = e0k+1 ; : : : ; e0k+` , ³å³ q Ý ÏÉÇÝÇ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É Q1 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ μ³ó³ë³Ï³Ý áñáßÛ³É Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý íñ³: ¤ È»ÙÙ 17.45: ¸Çóáõù QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : ºÃ» (k; `)Á q : Q ! R Çñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝßÇãÝ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý) ¿ ¨ qÝ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É (μ³ó³ë³Ï³Ý áñáßÛ³É) ¿ U 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ dim(U ) 6 k (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ, dim(U ) 6 `):

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù dim(Q) = n ¨ (k; `)Á q Çñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝßÇãÝ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý) ¡ 0 ¿ e1 ; : : : 0; e¢n ÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ 0ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ÇëÏ Q1 = (e1 ; : : : ; ek ), Q1 = ek+1 ; : : : ; en : ºÃ» x 2 U \ Q1 ¨ x 6= 0, ³å³ x 2 U , x 2 Q01 ¨ ÙÇ ÏáÕÙÇóª q(x) > 0, ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª q(x) 6 0: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, U \ Q01 = f0g: ¸Çï³ñÏ»Ýù U + Q01 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ: ØÇ ÏáÕÙÇóª dim (U + Q01 ) 6 dim(Q) = n, ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª dim (U + Q01 ) = dim(U ) + dim(Q01 ) ¡ dim (U \ Q01 ) = dim(U ) + n ¡ k ¡ 0: àõëïÇ, dim(U ) 6 k: ÖÇßï ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí Ï³å³óáõóíÇ U Ç íñ³ μ³ó³ë³Ï³Ý áñáßÛ³É ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ¹»åùÁ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 17.50 (Æñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÇÝ»ñóÇ³ÛÇ ûñ»ÝùÁ): Æñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ÝßÇãÁ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý) Ï³Ëí³Í ã¿ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù q Çñ³Ï³Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÙÇ ÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ áõÝÇ (k; `) ÝßÇãÁ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý), ÇëÏ Ù»Ï ³ÛÉ ÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμª (k0 ; `0 ) ÝßÇãÁ, áñï»Õ rank(q) = k + ` = k0 + `0 : ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É (k; `) = (k0 ; `0 ) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, »Ã» k < k0 , ³å³ ` > `0 , áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ í»ñçÇÝ É»ÙÙÇÝ: ÜáõÛÝåÇëÇ Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ý »Ýù Ñ³Ý·áõÙ Ý³¨ k > k0 ¹»åùáõÙ: Ð»ï¨³μ³ñ, k = k0 , áñï»ÕÇó μËáõÙ ¿ ¤ Ý³¨ ` = `0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: È»ÙÙ 17.46: àñå»ë½Ç í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÉÇÝÇ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ÝßÇãÁ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý) ÉÇÝÇ (n; 0) ï»ëùÇ, áñï»Õ n = dim(Q) > 0:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù dim (Q) = n > 0: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» QÇ e1 ; : : : ; en ÝáñÙ³É Ñ»ÝùáõÙª q(x) = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2n ; áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , ³å³ q(x) > 0, »Ã» x 6= 0, x 2 Q: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù QÇ e1 ; : : : ; en ÝáñÙ³É Ñ»ÝùáõÙ q ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ý áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª q(x) = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2k ¡ x2k+1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ x2k+` ; áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , k + ` = rank(q) 6 n: ºÃ» ` > 0, ³å³ ÁÝïñ»Éáí x = 0e1 + ¢ ¢ ¢ + 0ek + ek+1 + ¢ ¢ ¢ + en 6= 0, ÏáõÝ»Ý³Ýùª q(x) = 02 + ¢ ¢ ¢ + 02 ¡ 12 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ 12 < 0 ; | {z } | {z } k

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ qÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, ` = 0, ³ÛëÇÝùÝª qÇ ÝßÇãÁ (ëÇ·Ý³ïáõñ³Ý) ÏáõÝ»Ý³ (k; 0) ï»ëùÁ: ºÃ» ³Ûëï»Õ k < n, ³å³ xÇ ÝáõÛÝ ÁÝïñáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª q(x) = 0, áñÁ ÝáõÛÝå»ë Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ qÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáíª k = n: ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.44: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý q ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñª rank(q) = dim(Q): ¤ È»ÙÙ 17.47: ºÃ» í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿ , ³å³ QÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ qÇ áõÝ»ó³Í Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó μËáõÙ ¿, áñ QÇ ÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ qÇ A Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1Ç: ê³Ï³ÛÝ, ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ qÇ áõÝ»ó³Í B Ù³ïñÇóÁ ÏáÝ·ñáõ»Ýï ¿ AÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ C Ù³ïñÇó, áñ

B = CAC T :

Ð»ï¨³μ³ñ, B ¨ A Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, áñáíÑ»ï¨ det(B) = det(CAC T ) = det(C)det(A)det(C T ) = (det(C))2 > 0: ¤ ¸Çóáõù QÝ nã³÷³ÝÇ Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí, f Á QÇ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿, ÇëÏ a11 ; : : : ; a1n A = @ : : : : : : : : : A 2 Rn£n an1 ; : : : ; ann

Ù³ïñÇóÁ f Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª aij = f (ei ; ej ) 2 R: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, AÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ù³ïñÇóÁ ÝáõÛÝ Ñ»ÝùáõÙ: ºÃ» 1 6 k 6 n, ³å³ a11 ; : : : ; a1k ±k = det @ : : : : : : : : : A ak1 ; : : : ; akk

áñáßÇãÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ k-ñ¹ ·ÉË³íáñ Ï³Ù ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ÙÇÝáñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ±1 = a11 , ÇëÏ ±n = jAj: ±1 ; : : : ; ±n áñáßÇãÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç ·ÉË³íáñ Ï³Ù ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ÙÇÝáñÝ»ñª e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ:

Â»áñ»Ù 17.51 (êÇÉí»ëïñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù QÝ nã³÷³ÝÇ Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

1) ºÃ» QÇ q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ýñ³ áõÝ»ó³Í μáÉáñ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ

ÙÇÝáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ¹ñ³Ï³Ý;

2) ºÃ» q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç QÇ áñ¨¿ Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ áõÝ»ó³Í μáÉáñ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ÙÇÝáñÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ qÝ ÏÉÇÝÇ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É: ²å³óáõóáõÙ: 1)Á ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï nÇ: n = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ ³Ûë ¹»åùáõÙª x = x1 e1 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñ ¨ q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª q(x) = f(x; x) = f (x1 e1 ; x1 e1 ) = f (e1 ; e1 )x21 = a11 x21 : ¸Çóáõù åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ nÇó ÷áùñ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ¹Çóáõù q(x) = f(x; x) =

n X

aij xi xj ;

i;j=1

áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , aij = f (ei ; ej ), ÇëÏ e1 ; : : : ; en Á QÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»Ýù ¿: Üß³Ý³Ï»Ýù Q0 = (e1 ; : : : ; en¡1 ) ¨ ·ñ»Ýùª q(x) =

n¡1 X

aij xi xj + 2

i;j=1

n¡1 X

ain xi xn + ann x2n :

i=1

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ dim(Q0 ) = n ¡ 1 ¨ q 0 (x0 ) =

n¡1 X

aij xi xj

i;j=1

μ³Ý³Ó¨áí áñáßíáÕ q 0 : Q ! R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Q0 Ç ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨, áñï»Õ x0 2 Q0 , x0 = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn¡1 en¡1 : ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ³Ûë q 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» q 0 (x0 ) 6 0 áñ¨¿ x0 2 Q0 , x0 = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn¡1 en¡1 6= 0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ q(x) 6 0, áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn¡1 en¡1 + 0xn 6= 0: Àëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý q 0 Ç μáÉáñ ±1 ; : : : ; ±n¡1 ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ÙÇÝáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ¹ñ³Ï³Ý, ÇëÏ ±n Ç ¹ñ³Ï³Ý ÉÇÝ»ÉÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇó:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

2) ¸Çóáõù q = f ¤ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Ç áñ¨¿ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ áõÝ»ó³Í μáÉáñ ±1 ; : : : ; ±n = jAj ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ÙÇÝáñÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ qÝ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿: ²Ûë åÝ¹áõÙÁ ÝáõÛÝå»ë Ï³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï nÇ: n = 1 ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ nÇó ÷áùñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ ¨ q(x) = f (x; x) =

n¡1 X

aij xi xj + 2

i;j=1

n¡1 X

ain xi xn + ann x2n ;

i=1

áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , aij = f (ei ; ej ): ºÃ» Q0 = (e1 ; : : : ; en¡1 ), ³å³ dim(Q0 ) = n ¡ 1, Q = Q0 © (en ) ¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý

Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

n¡1 X q 0 (x0 ) = aij xi xj i;j=1

μ³Ý³Ó¨áí áñáßíáÕ q : Q ! R ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÏÉÇÝÇ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É, áñï»Õ x0 2 Q0 , x0 = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn¡1 en¡1 : Ð»ï¨³μ³ñ, q 0 Á Q0 Ç áñ¨¿ e01 ; : : : ; e0n¡1 Ñ»ÝùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ÝáñÙ³É ï»ëùÁ (É»ÙÙ 17.46)ª ¢2 ¡ q 0 (x0 ) = (x01 ) + ¢ ¢ ¢ + x0n¡1 ;

áñï»Õ x0 = x01 e01 +¢ ¢ ¢+x0n¡1 e0n¡1 : ¸Çï³ñÏ»Ýù QÇ e01 ; : : : ; e0n¡1 ; e0n Ñ»ÝùÁ, áñï»Õ e0n = en : ²Ûë Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμª ¢2 ¡ q(x) = (x01 ) + ¢ ¢ ¢ + x0n¡1 + ¢ ¡ +2 b1n x01 x0n + b2n x02 x0n + ¢ ¢ ¢ + bn¡1;n x0n¡1 x0n + ann (x0n ) ; ¢ ¡ áñï»Õ x = x01 e01 + ¢ ¢ ¢ + x0n¡1 e0n¡1 + x0n e0n , bij = f e0i ; e0j : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ¢2 ¡ q(x) = (x01 + b1n x0n ) + (x02 + b2n x0n ) + ¢ ¢ ¢ + x0n¡1 + bn¡1;n x0n + b (x0n ) ;

áñï»Õ b = ann ¡b21n ¡b22n ¡¢ ¢ ¢¡b2n¡1;n : ²ÛÅÙ Ï³ï³ñ»Ýù ³ÝóáõÙ e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇó ³ÛÝåÇëÇ e001 ; : : : ; e00n Ñ»ÝùÇ, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ x = x001 e001 + ¢ ¢ ¢ + x00n e00n í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª x001 = x01 + b1n x0n ; x002 = x02 + b2n x0n ; ::: ::: ::: ::: x00n¡1 = x0n¡1 + bn¡1;n x0n ; x00n = x0n ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²Ûëï»Õ, xÇ x01 ; : : : ; x0n Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇó x001 ; : : : ; x00n Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇÝ ³ÝóÙ³Ý 1; 0; : : : ; 0; b1n C B 0; 1; : : : ; 0; b2n C B C : : : : : : : : : : : : B =B C B @ 0; 0; : : : ; 1; bn¡1;n A 0; 0; : : : ; 0; 1

Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1Ç: Ð»ï¨³μ³ñ, BÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ¨ ¡ ¡1 ¢T B = (tij ) Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ e01 ; : : : ; e0n Ñ»ÝùÇó Ýáñ e001 ; : : : ; e00n Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÁ, ³ÛëÇÝùÝª e001 = t11 e01 + ¢ ¢ ¢ + t1n e0n ; ::: ::: ::: ::: en = tn1 e01 + ¢ ¢ ¢ + tnn e0n : ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ, ÁÝïñí³Í e001 ; : : : ; e00n Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¢2 ¡ q(x) = (x001 ) + ¢ ¢ ¢ + x00n¡1 + b (x00n ) ;

³ÛëÇÝùÝª qÇ e001 ; : : : ; e00n Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ áõÝ»ó³Í ¢ Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ bÇ: ê³Ï³ÛÝ, ¢ ¨ ëÏ½μÝ³Ï³Ý A Ù³ïñÇóÝ»ñÁ ÏáÝ·ñáõ»Ýï »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, ¹ñ³Ýó áñáßÇãÝ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª b > 0 ¨ q ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ÏÉÇÝÇ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É: ¤

17.20. ¾íÏÉÇ¹Û³Ý (¾íÏÉÇ¹»ëÛ³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ: äÛáõÃ³·áñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ, ÎáßÇ´áõÝÛ³ÏáíëÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: úñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óùÁ: ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f : Q £ Q ! R ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É, »Ã» ¹ñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ f ¤ : Q ! R ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ó¨Á ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É ¿: Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í f : Q £ Q ! R ëÇÙ»ïñÇÏ ¨ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ÏáãíáõÙ ¿ QÇ (íñ³ áñáßí³Í) ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É, ³ÛëÇÝùÝª f : Q £ Q ! R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (ýáõÝÏóÇ³Ý) ÏáãíáõÙ ¿ QÇ ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) f (x1 + x2 ; y) = f (x1 ; y) + f (x2 ; y),

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

f (®x; y) = ®f(x; y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; x1 ; x2 2 Q ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 R ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ (·Í³ÛÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ýª Áëï ³é³çÇÝ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ); μ) f (x; y) = f (y; x) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) Ñ³Ù³ñ (Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï³Ù ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý); ·) f (x; x) > 0 ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñ (f (0; 0) = 0), ³ÛëÇÝùÝª f (x; x) > 0 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ f (x; x) = 0 Ã! x = 0 (¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³ÉáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý): ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» f -Á ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É ¿, ³å³ f (x; 0) = f(0; x) = 0; f(¡x; y) = f (x; ¡y) = ¡f (x; y); f (x1 ¡ x2 ; y) = f (x1 ; y) ¡ f(x2 ; y) :

Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ Çñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý Ï³Ù ¾íÏÉÇ¹»ëÛ³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ (Q; f )áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáï Qáí: ºÃ» (Q; f )Á ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ QÝ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝª f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³Éáí Ï³Ù f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ (í»ÏïáñÝ»ñÁ) ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ (í»ÏïáñÝ»ñ): Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»ÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»Ýù (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ (Q; f )Ç ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ QÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÏáãíÇ nã³÷³ÝÇ, »Ã» nã³÷³ÝÇ ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ: (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³Ù ·Íáñ»Ý Ï³ËÛ³É (³ÝÏ³Ë), »Ã» ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á

·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É (³ÝÏ³Ë) ¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç:

ºÃ» Q0 μ Q, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f : Q £ Q ! R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Ù³Ï³ÍáõÙ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙª Q0 £ Q0 ! R, áñÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ f ï³éáí: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» (Q; f )Á ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ¨ Q0 6 Q, ³å³ (Q0 ; f )Á ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ²Ûë å³ï×³éáí, Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q0 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ áñå»ë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: Ð»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõ í»ñÝ³·ñ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ·³Õ³÷³ñÝñÇó ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇó: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.14: êÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ãí»ñ³ë»ñí³Í »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ù³ñª Ker(f ) = fy 2 Q j f (x; y) = 0; 8x 2 Qg : Ð»ï¨³μ³ñ, x = y ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù f (y; y) = 0 ¨ y = 0: ²ÛëåÇëáí, Ker(f) = f0g: ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.15: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ (Q; f )

¾íÏÉÇ¹Û³Ý

ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í U 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª (U ? )? = U; (¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ))

áñï»Õ U ? -Á U -Ç ûñÃá·áÝ³É Éñ³óáõÙÝ ¿ f -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²å³óáõóáõÙ: f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ãí»ñ³ë»ñí³Í ¨ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ ¨ ëÇÙ»ïñÇÏ ¿ Áëï ½ñáÛÇ, ÇëÏ ³Ûë ¹»åùÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.34): ¤ Â»áñ»Ù 17.52: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í U 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¨ ¹ñ³ ûñÃá·áÝ³É Éñ³óÙ³Ý áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇÝª Q = U © U? :

²å³óáõóáõÙ: âí»ñ³ë»ñí³Í »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨Ç ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýùª dim(U ? ) = dim(Q) ¡ dim(U ), ³ÛëÇÝùÝª dim(Q) = dim(U ) + dim(U ? ): ê³Ï³ÛÝ ³Ûë ¹»åùáõÙ Ý³¨ª U \ U ? = f0g, áñáíÑ»ï¨, »Ã» x 2 U \ U ? , ³å³ x 2 U ¨ x 2 U ? : Ð»ï¨³μ³ñ, f (x; x) = 0 ¨ x = 0: àõëïÇ, dim(Q) = dim(U) + dim(U ? ) ¡ dim(U \ U ? ) = dim(U + U ? ); ¨ ù³ÝÇ áñ U + U ? 6 Q, ³å³ Q = U + U ? , áñï»Õ U \ U ? = f0g: ²ÛëåÇëáí, Q = U © U ? : ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.16: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ûñÃá·áÝ³É Ñ»Ýù Çñ f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ:

²å³óáõóáõÙ: f ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ëÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿, ÇëÏ ³Û¹ ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿ (Ã»áñ»Ù 17.49): ¤ (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý x ¨ y ï³ññ»ñÁ (í»ÏïáñÝ»ñÁ) ÏáãíáõÙ »Ý ûñÃá·áÝ³É ¨ ·ñíáõÙ ¿ x ? y, »Ã» f (x; y) = 0, ÇëÏ ï³ññ»ñÇ (í»ÏïáñÝ»ñÇ) x1 ; : : : ; xk Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃá·áÝ³É, »Ã» f(xi ; xj ) = 0, áñï»Õ i 6= j ¨ i; j = 1; : : : ; k, ³ÛëÇÝùÝª »ñμ x1 ; : : : ; xk Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç í»ÏïáñÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ûñÃá·áÝ³É »Ý: È»ÙÙ 17.48 (ÑÇÙÝ³Ï³Ý): (Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a1 ; : : : ; ak ûñÃá·áÝ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ :

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): k = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ Ù»Ï áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù k > 1 ¨ åÝ¹áõÙÝ ×Çßï ¿ k ¡ 1 Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ ¹»åùáõÙ áõ ³å³óáõó»Ýù k Ãíáí áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 ak¡1 + ®k ak = 0 : Ð»ï¨³μ³ñ, f (®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 ak¡1 + ®k ak ; ak ) = f (0; ak ) = 0; áñï»ÕÇóª ®1 f (a1 ; ak ) + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 f (ak¡1 ; ak ) + ®k f (ak ; ak ) = 0 ¨ ®k f (ak ; ak ) = 0, áñï»Õ f(ak ; ak ) > 0: àõëïÇ, ®k = 0: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙª ®1 a1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 ak¡1 = 0 ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, ®1 = ¢ ¢ ¢ = ®k¡1 = 0:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.45: n-ã³÷³ÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n Ñ³ï áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûñÃá·áÝ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· Ñ»Ýù ¿ : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(Q; f ) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ a1 ; : : : ; am 2 Q Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝáñÙ³íáñí³Í, »Ã» f(ai ; ai ) = 1 ó³ÝÏ³ó³Í i = 1; : : : ; m ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í (Ï³Ù ûñÃáÝáñÙ³É) , »Ã» ³ÛÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ ¨ ÝáñÙ³íáñí³Í: Ð»ÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í (Ï³Ù ûñÃáÝáñÙ³É) , »Ã» ³ÛÝ Ý³¨ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.17: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý (Q; f) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í Ñ»Ýù:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Q-Ý áõÝÇ ûñÃá·áÝ³É Ñ»Ýù: ¸Çóáõù Q-Ç e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÝ ³Û¹åÇëÇÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ e1 ; : : : ; en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý, ÇëÏ e1 en ; : : : ; e0n = p f(e1 ; e1 ) f (en ; en )

e01 = p

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í: Ð»ï¨³μ³ñ, e01 ; : : : ; e0n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í Ñ»Ýùª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñçÇÝ É»ÙÙÇ: ¤ ºÃ» f Á ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³É ¿, ³å³ f (x; y)Á ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³Ï»É (x; y)áí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, (x; x)Á ÏáãíáõÙ ¿ (xÇ) ëÏ³ÉÛ³ñ ù³é³ÏáõëÇ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Ð³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç) ·ïÝíáÕ μáÉáñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ (x; y) = jxj ¢ jyj ¢ cos(d x; y)

ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³Éáí: 2) Rn ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ (x; y) = x1 y1 + ¢ ¢ ¢ + xn yn

ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³Éáí, áñï»Õ x = (x1 ; : : : ; xn ), y = (y1 ; : : : ; yn ): Rn Á ¨ë ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ÝáõÛÝ0ëÏ³ÉÛ³ñ 1 ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ 1 ÝÏ³ïÙ³Ùμª y1 x1 C B C B (x; y) = x1 y1 + ¢ ¢ ¢ + xn yn , »Ã» x = @ ... A, y = @ ... A: xn

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

3) [a; b] μ R Ñ³ïí³ÍáõÙ (a < b) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ C[a; b] ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿

(f; g) =

f (x) g(x) dx

ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³Éáí: Æñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ (Ï³Ù n-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ Ýßí³Í ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 4) e1 ; : : : ; en Ñ»Ýùáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ã³÷³ÝÇ Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ (x; y) = ®1 ¯1 + ¢ ¢ ¢ + ®n ¯n ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³Éáí, áñï»Õ x = ®1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n en , y = ¯1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ¯n en : ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ýñ³ í»ÏïáñÇ (ï³ññÇ) »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÝáñÙÇ, ÇÝãå»ë Ý³¨ »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ, áñáÝù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³Ý·áõÙ »Ý ¹åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ¸Çóáõù QÝ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, x 2 Q ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù ÝáñÙÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ jxjáí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. p jxj = (x; x) :

Ð»ï¨³μ³ñ, ³) jxj > 0 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñ: Àëï áñáõÙ, jxj = 0 ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x = 0; μ) j ¡ xj = jxj ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) Ñ³Ù³ñ; ·) j®xj = j®j¢jxj ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Qpï³ññÇ (í»ÏïáñÇ) ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 R ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ j®j = ®2 : äÛáõÃ³·áñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ: ºÃ» Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý x ¨ y í»ÏïáñÝ»ñÁ (ï³ññ»ñÁ) ûñÃá·áÝ³É »Ý, ³å³ jx § yj2 = jxj2 + jyj2 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» (x; y) = 0, ³å³ jx + yj2 = (x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y) = = (x; x) + (y; y) = jxj2 + jyj2 :

²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» (x; y) = 0, ³å³ (x; ¡y) = ¡(x; y) = 0 ¨ jx ¡ yj2 = jx + (¡y)j2 = jxj2 + j ¡ yj2 = jxj2 + jyj2 :

äÛáõÃ³·áñ³ëÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ã»áñ»ÙÁ: ºÃ» Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) x1 ; : : : ; xk Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ûñÃá·áÝ³É ¿ , ³å³ jx1 + ¢ ¢ ¢ + xk j2 = jx1 j2 + ¢ ¢ ¢ + jxk j2 :

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): k = 1; 2 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù k > 2 ¨ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ k-Çó ùÇã Ãíáí í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ÜÏ³ï»Éáí xk ¨ x1 +¢ ¢ ¢+xk¡1 í»ÏïáñÝ»ñÇ ûñÃá·áÝ³ÉáõÃÛáõÝÁ ((xk ; x1 + ¢ ¢ ¢ + xk¡1 ) = (xk ; x1 ) + ¢ ¢ ¢ + (xk ; xk¡1 ) = 0 + ¢ ¢ ¢ + 0 = 0) ¨ û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª

jx1 + ¢ ¢ ¢ + xk j2 = j(x1 + ¢ ¢ ¢ + xk¡1 ) + xk j =

= jx1 + ¢ ¢ ¢ + xk¡1 j2 + jxk j2 = jx1 j2 + ¢ ¢ ¢ jxk¡1 j2 + jxk j2 :

Â»áñ»Ù 17.53 (ÎáßÇ´áõÝÛ³ÏáíëÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ): Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ñ³Ù³ñª j(x; y)j 6 jxj ¢ jyj ;

áñÇ Ó³Ë Ù³ëáõÙ Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùá¹áõÉÝ ¿ : Àëï áñáõÙ, Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x, y Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» x, y Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿, ³å³ y = ¸x Ï³Ù x = ¸y: ¸Çóáõù y = ¸x: ²Û¹ ¹»åùáõÙª j(x; y)j = j(x; ¸x)j = j¸j ¢ j(x; x)j = j¸j ¢ jxj2 =

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

= jxj ¢ (j¸j ¢ jxj) = jxj ¢ jyj :

ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ïëï³óíÇ Ý³¨ x = ¸y ¹»åùáõÙ: ºÃ» x, y Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù x; y 2 Q ï³ññ»ñáí ÍÝí³Í hx; yi ·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃÇ Ñ³Ù³ñ: QÇ ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝ»Éáí ëÇÙ»ïñÇÏ ¨ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³É »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨, ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Q0 = hx; yi »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ê³Ï³ÛÝ ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ù³ïñÇóÁ x, y Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏÉÇÝÇª μ ¶ (x; x) ; (x; y) ; (x; y) ; (y; y) áñÇ áñáßÇãÁ ÏÉÇÝÇ ËÇëï ¹ñ³Ï³Ý (É»ÙÙ 17.51): (x;px)(y; y)¡ p Ð»ï¨³μ³ñ, p (x; y)2 > 0, (x; x)(y; y) > (x; y)2 , áñï»ÕÇóª (x; y)2 < (x; x) (y; y) :

ºñÏñáñ¹ ³å³óáõóáõÙ: ºÃ» x, y Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ x 6= 0 ¨ tx + y 6= 0 ó³ÝÏ³ó³Í t 2 R Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ: àõëïÇ‘ (x; x) > 0 ¨ jtx + yj2 = (tx + y; tx + y) = t2 (x; x) + 2t(x; y) + (y; y) > 0 :

Ð»ï¨³μ³ñ, ëï³óí³Í ù³é³ÏáõëÇ »é³Ý¹³ÙÇ ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁ ÏÉÇÝÇ μ³ó³ë³Ï³Ýª D = (x; y)2 ¡ (x; x)(y; y) = (x; y)2 ¡ jxj2 jyj2 < 0 :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.46 (ºé³ÝÏÛ³Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ): Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ñ³Ù³ñª jx § yj 6 jxj + jyj :

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, jx + yj2 = (x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y) = = jxj2 + 2(x; y) + jyj2 6 jxj2 + 2jxj ¢ jyj + jyj2 = (jxj + jyj) : q p Ð»ï¨³μ³ñ, jx + yj2 6 (jxj + jyj) ¨ jx + yj 6 jxj + jyj: ²ÛÝáõÑ»ï¨,

jx ¡ yj = jx + (¡y)j 6 jxj + j ¡ yj = jxj + jyj :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.47: ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª jx § yj > jxj ¡ jyj :

ó³ÝÏ³ó³Í

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, jxj = j(x ¡ y) + yj 6 jx ¡ yj + jyj; áñï»ÕÇó jx ¡ yj > jxj ¡ jyj, ÇëÏ jx + yj = jx ¡ (¡y)j > jxj ¡ j ¡ yj = jxj ¡ jyj :

¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ½(x; y) = jx ¡ yj > 0 Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x ¨ y í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.48: Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ½ : Q £ Q ! R ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ù»ïñÇÏ³ÛÇ ³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª M1 ) ½(x; y) > 0 ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ½(x; y) = 0 Ã! x = y ; M2 ) ½(x; y) = ½(y; x) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; M3 ) ½(x; z) 6 ½(x; y) + ½(y; z) ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: M1 ) ¨ M2 ) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý ¨ μËáõÙ »Ý ÝáñÙÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: M3 ) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇóª ½(x; z) = jx ¡ zj = j(x ¡ y) + (y ¡ z)j 6 6 jx ¡ yj + jy ¡ zj = ½(x; y) + ½(y; z) :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.49: Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ñ³Ù³ñª ¡1 6

(x; y) 61 : jxj ¢ jyj

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ð»ï¨³μ³ñ, ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý x ¨ y áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ï³½Ù³Í x d ; y ³ÝÏÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª cos(d x; y) =

(x; y) ; jxj ¢ jyj

06x d ;y 6 ¼ :

ÎáëÇÝáõëÝ»ñÇ Ã»áñ»ÙÁ: Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ñ³Ù³ñª jx ¡ yj2 = jxj2 + jyj2 ¡ 2jxj jyjcos';

áñï»Õ ' = x d ; y: ²å³óáõóáõÙ: Æñáù,

jx ¡ yj2 = (x ¡ y; x ¡ y) = (x; x) + (y; y) ¡ 2(x; y) = jxj2 + jyj2 ¡ 2jxj jyjcos' : ¤ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) a1 ; : : : ; ak Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñ (a1 ; a1 ); : : : ; (a1 ; ak ) G(a1 ; : : : ; ak ) = @ : : : : : : : : : : : : A 2 Rk£k (ak ; a1 ); : : : ; (ak ; ak )

Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¶ñ³ÙÇ Ù³ïñÇó: ÎáßÇ´áõÝÇ³ÏáíëÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ù³ëÝ³íáñ ¹»åùÁ: Â»áñ»Ù 17.54: Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý a1 ; : : : ; ak í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ñ³Ù³ñª det (G(a1 ; : : : ; ak )) > 0 :

Àëï áñáõÙ, Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a1 ; : : : ; ak Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a1 ; : : : ; ak Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿, ³ÛëÇÝùÝª ¸a1 + ¢ ¢ ¢ + ¸k ak = 0, áñï»Õ áñ¨¿ ¸i 6= 0, ³å³ < ¸1 (a1 ; a1 ) + ¢ ¢ ¢ + ¸k (a1 ; ak ) = 0 ; ::: ::: ::: ::: : ¸1 (ak ; a1 ) + ¢ ¢ ¢ + ¸k (ak ; ak ) = 0 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ëï³ÝáõÙ »Ýù ¸1 G1 + ¢ ¢ ¢ + ¸k Gk = 0 ·Í³ÛÇÝ Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝÁ G(a1 ; : : : ; ak ) Ù³ïñÇóÇ G1 ; : : : ; Gk ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ÙÇç¨: Ð»ï¨³μ³ñ, det (G(a1 ; : : : ; ak )) = 0: ºÃ» a1 ; : : : ; ak Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù ha1 ; : : : ; ak i 6

Q ·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ QÇ ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ

³Û¹åÇëÇÝ Ý³¨ ha1 ; : : : ; ak i »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñÇ ¹ñ³Ï³Ý áñáßÛ³ÉáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ det (G(a1 ; : : : ; ak )) > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤ Î³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ûñÃáÝáñÙ³É Ï³Ù ûñÃáÝáñÙ³íáñí³Í, »Ã» ³ÛÝ ûñÃá·áÝ³É ¿, ÇëÏ í»ÏïáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1Çª jai j = 1, i = 1; : : : ; n, ³ÛëÇÝùÝª (ai ; aj ) = ±ij , áñï»Õ ±ij Ý ÎñáÝ»Ï»ñÇ ëÇÙíáÉÝ ¿: È»ÙÙ 17.49: àñå»ë½Ç ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÁ ÉÇÝÇ ûñÃáÝáñÙ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª (x; y) = x1 y1 + ¢ ¢ ¢ + xn yn ;

áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en , y = y1 e1 + ¢ ¢ ¢ + yn en :

È»ÙÙ 17.50: àñå»ë½Ç ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÁ ÉÇÝÇ ûñÃáÝáñÙ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ï³ññÇ ëÏ³ÉÛ³ñ ù³é³ÏáõëÇÝ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁª (x; x) = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2n ;

áñï»Õ x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en : ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ (ei ; ei ) = 1, ³ÛëÇÝùÝª jei j = 1, i = 1; : : : ; n: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É (ei ; ej ) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ i 6= j: Æñáù, ù³ÝÇ áñ (ei + ej ; ei + ej ) = 12 + 12 = 2, ³å³ (ei ; ei ) + 2(ei ; ej ) + (ej ; ej ) = 2 ¨ (ei ; ej ) = 0, áñï»Õ i 6= j: ¤ ÆÝãå»ë ÝÏ³ï»óÇÝù í»ñ¨áõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ûÅïí³Í ¿ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù»ñáí: ê³Ï³ÛÝ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ï³éáõóÙ³Ý å³ñ½³·áõÛÝ »Õ³Ý³ÏÁ ëï³óíáõÙ ¿, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ûñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óùÇ (åñáó»ëÇ) ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ¶ñ³Ù-ÞÙÇ¹ïÇ ûñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óù: úñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óùÁ: ¸Çóáõù f1 ; : : : ; fm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ) Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: ÀÝïñ»Ýù e1 = f1 , ÇëÏ e2 = f2 + ®e1 ; Áëï áñáõÙ, ® ÃÇíÝ ÁÝïñáõÙ »Ýù ³ÛÝå»ë, áñ e1 ¨ e2 í»ÏïáñÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ûñÃá·áÝ³Éª (e1 ; e2 ) = 0 ; (e1 ; f2 + ®e1 ) = 0 ; (e1 ; f2 ) + ®(e1 ; e1 ) = 0 ; áñï»ÕÇó

(e1 ; f2 ) ; (e1 ; e1 )

áñï»Õ (e1 ; e1 ) 6= 0, áñáíÑ»ï¨ e1 = f1 6= 0: ø³ÝÇ áñ f1 , f2 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ e2 6= 0: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; em¡1 áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÝ ³ñ¹»Ý Ï³éáõóí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ûñÃá·áÝ³É ¿ Çñ μáÉáñ Ý³Ëáñ¹ í»ÏïáñÝ»ñÇÝ: Î³éáõó»Ýù em = fm + ¸1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ¸m¡1 em¡1 ¨ ¸1 ; : : : ; ¸m¡1 Ãí»ñÝ ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝå»ë, áñ em Á ÉÇÝÇ ûñÃá·áÝ³É e1 ; : : : ; em¡1 í»ÏïáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª (em ; ei ) = 0 ; (fm ; ei ) + ¸i (ei ; ei ) = 0 ; áñï»ÕÇó ¸i = ¡

(fm ; ei ) ; (ei ; ei )

áñï»Õ (ei ; ei ) 6= 0, áñáíÑ»ï¨ ei 6= 0, i = 1; : : : ; m ¡ 1: ø³ÝÇ áñ ëÏ½μÝ³Ï³Ý f1 ; : : : ; fm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³ em 6= 0: êï³óí³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ e1 ; : : : ; em ûñÃá·áÝ³É

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÑÇÙÝ³Ï³Ý É»ÙÙÇ, ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë:

Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» í»ÏïáñÝ»ñÇ ëÏ½μÝ³Ï³Ý f1 ; : : : ; fm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ Ï³éáõóí³Í e1 ; : : : ; em Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ ûñÃá·áÝ³É Ñ»Ýù QÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ³ÛÅÙ §ÝáñÙ³íáñ»Ýù¦ ëï³óí³Í e1 ; : : : ; em Ñ»ÝùÁ, §μ³Å³Ý»Éáí¦ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ Çñ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ ëï³óí³Í e01 =

e1 em : : : ; e0m = je1 j jem j

Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ³ñ¹»Ý ÏÉÇÝÇ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ »Ã» f1 ; : : : ; fm ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëÏ½μÇ k í»ÏïáñÝ»ñÁ ÉÇÝ»ÇÝ ûñÃá·áÝ³É, ³å³ ûñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óùÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³Ý³ÛÇÝùª e1 = f1 , : : :, ek = fk , ÇëÏ »Ã» μ³óÇ ³Û¹ ëÏ½μÇ k í»ÏïáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝ»ñ Ñ³í³ë³ñ 1Ç, ³å³ Ïëï³Ý³ÛÇÝùª e01 = f1 , : : :, e0k = fk : ²ÛëåÇëáí, áñå»ë ûñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óùÇ Ñ»ï¨³Ýù, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ: Â»áñ»Ù 17.55: 1) ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ Ï³Ù QÇ Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹·ñÏ»É QÇ áñ¨¿ ûñÃá·áÝ³É Ñ»ÝùáõÙ; 2) ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý 1 »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùμ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»Ïïáñ Ï³Ù QÇ Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹·ñÏ»É QÇ áñ¨¿ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»ÝùáõÙ; 3) ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ûñÃá·áÝ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· Ï³Ù QÇ ûñÃá·áÝ³É Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É (ÁÝ¹É³ÛÝ»É) ÙÇÝã¨ QÇ ûñÃá·áÝ³É Ñ»ÝùÇ; 4) ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ûñÃáÝáñÙ³É Ñ³Ù³Ï³ñ· Ï³Ù QÇ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù ¿ Ï³Ù ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É (ÁÝ¹É³ÛÝ»É) ÙÇÝã¨ QÇ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.18: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»Ï ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇó ÙÛáõë ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇÝ ³ÝóÙ³Ý Ù³ïñÇóÁ ûñÃá·áÝ³É ¿ :

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñí³Í »Ý e1 ; : : : ; en ¨ e01 ; : : : ; e0n ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù»ñÁ ¨ ¹Çóáõùª e01 = t11 e1 + ¢ ¢ ¢ + t1n en ; ::: ::: ::: ::: e0n = tn1 e1 + ¢ ¢ ¢ + tnn en :

ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ¡ = (tij ) 2 Rn£n Ù³ïñÇóÁ ûñÃá·áÝ³É ¿, ³ÛëÇÝùÝª ¡ ¢ ¡T = ¡T ¢ ¡ = En : ²Ûë å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó. (e0i ; e0i ) = t2i1 + ¢ ¢ ¢ + t2in = 1 ; (e0i ; e0j ) = ti1 tj1 + ¢ ¢ ¢ + tin tjn = 0

áñï»Õ i; j = 1; : : : ; n:

i 6= j ;

²ÝóÝ»Ýù

¾íÏÉÇ¹Û³Ý

ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇÝ (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³ÝÁ): ¸Çóáõù QÝ ¨ Q0 Á ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ç½áÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ QÇó Q0 , »Ã» ³) 'Ý Ç½áÙáñýÇ½Ù (ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ) ¿ Q ¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨; μ) ('x; 'y) = (x; y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ (ï³ññ»ñÇ) Ñ³Ù³ñ: ê³ÑÙ³ÝÙ³Ý í»ñçÇÝ å³ÛÙ³ÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÷áË³ñÇÝ»É ³í»ÉÇ ÃáõÛÉ å³ÛÙ³Ýáíª ('x; 'x) = (x; x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, ('(x + y); '(x + y)) = (x + y; x + y) ¡! ('x; 'y) = (x; y) : ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿, ³å³ : Q0 ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù: ' ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): ºñÏáõ Q ¨ Q0 ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ý ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q0 Ï³Ù Q » = Q0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¡1

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñ¨¿ ' : Q ! Q0 Ç½áÙáñýÇ½Ù: ²Ûë §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 17.51:

¾íÏÉÇ¹Û³Ý

ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³) Q ' Q ó³ÝÏ³ó³Í Q ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ; μ) Q ' Q0 ¡! Q0 ' Q; ¤ ·) Q ' Q0 , Q0 ' Q00 ¡! Q ' Q00 : Â»áñ»Ù 17.56 (ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç »ñÏáõ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ ÉÇÝ»Ý Ç½áÙáñý (ÝáõÛÝ³Ó¨) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ¹ñ³Ýó ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ. Q ' Q0 Ã! dim(Q) = dim(Q0 ) :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó, ÇëÏ μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»ÝùÇ ·áÛáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, ¹Çóáõù dim(Q) = dim(Q0 ) = n: ºÃ» n = 0, ³å³ »ñÏáõ Q ¨ Q0 ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ½ñáÛ³Ï³Ý, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¨ Ç½áÙáñý (ÝáõÛÝ³Ó¨): ºÃ» n > 0, ³å³ nã³÷³ÝÇ Q ¨ Q0 ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ e1 ; : : : ; en ¨ e01 ; : : : ; e0n ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù»ñ: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ '(x) = x1 e01 + ¢ ¢ ¢ + xn e0n 2 Q0 μ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ x 2 Q, x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù Q ¨ Q0 ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨: ²ÛëåÇëáí, Q ' Q0 : ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

17.21. ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù, ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ, μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù,μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³Ù: Ð³ÙÇÉïáÝø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ Ð»ÝùÇ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ Ñ³×³Ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ μ»ñ»É ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëùÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ³Û¹åÇëÇ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ÁÝÓ»éÝíáõÙ, »Ã» ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ùμ (Ï³Ù »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáí): ¸Çóáõù P Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹³ßï ¿, ÇëÏ QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P Ç íñ³ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É P = R Ï³Ù P = C): ¸Çóáõù Q0 Á QÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ ' : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ QÇ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª '(x + y) = '(x) + '(y) ; '(®x) = ®'(x) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q í»ÏïáñÝ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: QÇ μáÉáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ End(Q)áí Ï³Ù Hom(Q; Q)áí, áñÇ ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n2 , »Ã» QÝ nã³÷³ÝÇ ¿ (Ã»áñ»Ù 17.31): Q0 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÇÝí³ñÇ³Ýï ' : Q ! Q ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ï³Ù 'Ç ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» '(x) 2 Q0 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q0 í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª '(Q0 ) μ Q0 : Ð³Ù³éáï, Q0 Á ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ò³ÝÏ³ó³Í Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Q0 = f0g ¨ Q0 = Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÇÝí³ñÇ³Ýï »Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! Q ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ;

2) ºÃ» Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý '¸ : Q ! Q ·Í³ÛÇÝ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ '¸ (x) = ¸x, x 2 Q, ûñ»Ýùáí, ³å³ QÇ ó³ÝÏ³ó³Í Q0 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ÏÉÇÝÇ '¸ -ÇÝí³ñÇ³Ýï: '¸ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸ ·áñÍ³Ïóáí ÝÙ³ÝáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q0 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ 'Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É áñå»ë ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ Ý³¨ Q0 ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª ' : Q0 ! Q0 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q í»Ïïáñ, áñ '(x) = ¸x: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ 'Ç ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ: àã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 'Ç áñ¨¿ ¸ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ: ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μáÉáñ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹ñ³ ëå»Ïïñ (Éáõë³Ï): ¼áõ·³Ñ»é Ý»ñÙáõÍíáõÙ ¿ Ý³¨ Ù³ïñÇóÇ ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÇ ¨ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ: ºÃ» A 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ñª A ¢ x = ¸x, áñï»Õ x 2 P n£1 , x 6= 0 ¨ ¸ 2 P , ³å³ xÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ, ÇëÏ ¸ ëÏ³ÉÛ³ñÁ ¹ñ³ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù: úñÇÝ³Ï: ø³ÝÇ áñ (e¸x )0 = ¸e¸x , ³å³ e¸x ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³ÝóÙ³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿ ¨ ³Ûëï»Õ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¸ Çñ³Ï³Ý ÃÇí ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù ¿: x 2 Q í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï, »Ã» '(x) = x: ºÃ» ³Ûëï»Õ x 6= 0, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ 'Ç áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï: úñÇÝ³Ï, R3 Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x = (®; 0; 0) í»Ïïáñ ÏÉÇÝÇ '1 : (®1 ; ®2 ; ®3 ) ! (®1 ; 0; 0) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ: È»ÙÙ 17.52: àñå»ë½Ç 1 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÁ ÉÇÝÇ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ áõÝ»Ý³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï: ¤

È»ÙÙ 17.53: ê¨»éí³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ '-Ç μáÉáñ ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ Ï³½ÙáõÙ ¿ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, áñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ker(' ¡ ¸") 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»ï, áñï»Õ "-Á Q-Ç ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿ : Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ã³÷áÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ n ¡ rank(' ¡ ¸") ÃíÇÝ, »Ã» n = dim(Q):

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, '(x) = ¸x Ã! (' ¡ ¸")x = 0; áñï»Õ x 2 Q:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ker(' ¡ ¸") »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ '-Ç ë»÷³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:

¸–ÇÝ

Â»áñ»Ù 17.57: ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ¸1 ; : : : ; ¸k 2 P ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ 'Ç ë»÷³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý (¸i 6= ¸j , »Ã» i 6= j ):

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): k = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù k > 1 ¨ kÇó ùÇã Ãíáí ë»÷³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿: ºÃ» v1 + ¢ ¢ ¢ + vk¡1 + vk = 0;

(17.28)

áñï»Õ vi 2 Ker(' ¡ ¸i "), i = 1; : : : ; k, ³å³ '(v1 + ¢ ¢ ¢ + vk¡1 + vk ) = '(0) = 0; '(v1 ) + ¢ ¢ ¢ + '(vk¡1 ) + '(vk ) = 0; ¸1 v1 + ¢ ¢ ¢ + ¸k¡1 vk¡1 + ¸xvk = 0 : êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ³Ý»Éáí (17.28)Á μ³½Ù³å³ïÏ³Í ¸k áí, Ïëï³Ý³Ýùª (¸1 ¡ ¸k )v1 + ¢ ¢ ¢ + (¸k¡1 ¡ ¸k )vk¡1 = 0, áñï»ÕÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý ÏáõÝ»Ý³Ýùª (¸i ¡ ¸k )vi = 0 ¨ vi = 0, i = 1; : : : ; k ¡ 1: ²ÛÅÙ (17.28)Çó ÏáõÝ»Ý³Ýù Ý³¨ vk = 0: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 17.19: 1) ºÃ» áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q í»ÏïáñÁ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ ¿ , ³å³ (x) 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ QÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ; 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q0 Á QÇ 1ã³÷³ÝÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 Q0 í»Ïïáñ ÏÉÇÝÇ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ:

²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» '(x) = ¸x ¨ y 2 (x), ³ÛëÇÝùÝª y = ®x, ³å³ '(y) = '(®x) = ®'(x) = (®¸)x 2 (x): àõëïÇ, Ù»Ï ï³ññáí ÍÝí³Í (x) ·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃÁ QÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: 2) ºÃ» dim(Q0 ) = 1 ¨ eÝ Q0 Ç Ñ»ÝùÝ ¿, ³å³ Q0 = (e): ¸Çóáõù x 2 Q0 ¨ x 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, x = ¯e, '(e) 2 Q0 , ³ÛëÇÝùÝª '(e) = °e ¨ '(x) = ¯'(e) = (¯°)e = °(¯e) = °x :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Î¹Çï³ñÏ»Ýù Ù³ïñÇóÝ»ñ áñáßí³Í P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝª Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñáÝó ï³ññ»ñÁ P Çó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, ÇÝãå»ë Ý³¨ Ù³ïñÇóÝ»ñ‘ áñáßí³Í ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Hom(Q; Q) ûÕ³ÏÇ íñ³: ²Û¹åÇëÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý Ãí³ÛÇÝ ï³ññ»ñáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñáßÇãÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ê³ÑÙ³Ý»Ýù μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÇ ·³Õ³÷³ñÁ‘ ïñí³Í ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý íñ³: ¸Çóáõù f 2 P [x], f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn , ÇëÏ ' 2 Hom(Q; Q): Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý f(') = a0 " + a1 ' + ¢ ¢ ¢ + an 'n = a0 " + (a1 ")' + ¢ ¢ ¢ + (an ")'n = = a0 " + '(a1 ") + ¢ ¢ ¢ + 'n (an ")

·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ù ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý íñ³, áñï»Õ "Á QÇ ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿, ÇëÏ 'k = ' ¢ ' ¢ ¢ ¢ ', ('1 ¢ '2 )(t) = '2 ('1 t), ('1 + '2 )(t) = '1 (t) + '2 (t), | {z } k

t 2 Q:

È»ÙÙ 17.54: 1) ºÃ» f = g, ³å³ f (') = g('); 2) ºÃ» f = g + h, ³å³ f (') = g(') + h('); 3) ºÃ» f = g ¢ h, ³å³ f(') = g(') ¢ h('):

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, fij 2 P [x], i; j = 1; : : : ; n, μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç (fij ) Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÇ ³ñÅ»ùÁ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý íñ³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå‘ (det(fij )) (') = det (fij (')) ; áñáíÑ»ï¨ Ã ! X X sgn ¾ ¢ f1;¾(1) ¢ ¢ ¢ fn;¾(n) (') = sgn ¾ ¢ f1;¾(1) (') ¢ ¢ ¢ fn;¾(n) (') : ¾2Sn

¾2Sn

A¡xE Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ A = (aij ) 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ μÝáõÃ³·ñÇã Ù³ïñÇó, áñï»Õ a11 ¡ x; a12 ; : : : ; a1n C B a21 ; a22 ¡ x; : : : ; a2n C ; A ¡ xE = B A @ ::: an1 ; an2 ; : : : ; ann ¡ x

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

ÇëÏ det(A ¡ xE) áñáßÇãÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³Ùª det(A ¡ xE) 2μP [x]: ¶ a b úñÇÝ³Ï, A = ¹»åùáõÙ, det(A ¡ xE) = c d μ ¶ a ¡ x; b det = x2 ¡ (a + d)x + (ad ¡ bc) = x2 ¡ tr(A)x + det(A): c d¡x ÜÏ³ï»Ýù, áñ A 2 P n£n Ù³ïñÇóÇ μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ xÇó Ï³Ëí³Í nñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ª det(A ¡ xE) = (¡1)n xn + (¡1)n¡1 tr(A)xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + det(A) : È»ÙÙ 17.55: ÜÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª

μÝáõÃ³·ñÇã

μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ

A » B ¡! det(A ¡ xE) = det(B ¡ xE) :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» A » B, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ T 2 P n£n Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó, áñ B = T ¢ A ¢ T ¡1 : Ð»ï¨³μ³ñ, ¢ ¡ ¢ ¡ det(A ¡ xE) = det T ¡1 BT ¡ xE = det T ¡1 (B ¡ xE)T = ¢ ¡ ¢ ¡ det T ¡1 det(B ¡ xE)det(T ) = det T ¡1 ¢ T det(B ¡ xE) = det(B ¡ xE) : ¤ Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³Ù ³ë»Éáí ÏÑ³ëÏ³Ý³Ýù QÇ ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ 'Ç áõÝ»ó³Í Ù³ïñÇóÇ μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³ÝÁ μ³ó³ëáÕ Ï³Ù ½ñá ¹³ñÓÝáÕ, »Ã» f (') = 0, áñï»Õ 0Ý Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ½ñáÛ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª 0(x) = 0 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³ÝÁ μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³å³ Ñ³Ù³éáï Ï³ë»Ýù Ý³¨, áñ fÁ μ³ó³ëáõÙ ¿ 'ÇÝ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³ó³ëáõÙ ¿ μáÉáñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: È»ÙÙ 17.56: ºÃ» f; g 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³ÝÁ μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, ³å³ f +g, f ¡g, f ¢h, ¸f

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý 'ÇÝ μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ (h 2 P [x], ¸ 2 P ) ³ÛëÇÝùÝ` '-ÇÝ μ³ó³ëáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ P [x] ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ç¹»³É ¿ : ¤ Â»áñ»Ù 17.58: P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 'ÇÝ μ³ó³ëáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» dim(Q) = 0, ³å³ Q = f0g ¨ QÇ ÙÇ³Ï ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛ³Ï³ÝÝ ¿, áñÇÝ μ³ó³ëáõÙ ¿ ³é³Ýó ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù: ¸Çóáõù dim(Q) = n > 0: ²Ûë ¹»åùáõÙ, dim(Hom(Q; Q)) = n2 : Ð»ï¨³μ³ñ, Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n2 + 1 Ãíáí ï³ññ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É ¿: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» ' 2 Hom(Q; Q), ³å³ "; '; '2 ; : : : ; 'n

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ËÛ³É, ³ÛëÇÝùÝª

®0 " + ®1 ' + ®2 '2 + ¢ ¢ ¢ + ®n2 'n = 0 ; áñï»Õ áñ¨¿ ®i 6= 0: ²ÛëåÇëáí, áã ½ñáÛ³Ï³Ý

f = ®0 + ®1 x + ¢ ¢ ¢ + ®n2 xn 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ μ³ó³ëáõÙ ¿ 'ÇÝ:

Æñ³Ï³ÝáõÙ, ùÇã Ñ»ïá Ï³å³óáõó»Ýù Ð³ÙÇÉïáÝ-ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ, áñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ n-ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ '-ÇÝ μ³ó³ëáÕ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μ³½Ù³Ý¹³Ù: àã ½ñáÛ³Ï³Ý f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ Ï³Ù ÙÇÝÇÙ³É μ³½Ù³Ý¹³Ù, »Ã» f Á μ³ó³ëáõÙ ¿ 'ÇÝ ¨ 'ÇÝ μ³ó³ëáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ù»ç áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ëïÇ×³Ý, ³ÛëÇÝùÝª ³) f (') = 0, μ) g(') = 0, g 2 P [x], g 6= 0 ¡! deg(f ) 6 deg(g):

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ü³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù ÙÇßï ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ »Ã» fÁ 'Ç Ñ³Ù³ñ ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³å³ ¸fÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ 'Ç ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù: È»ÙÙ 17.57: 1) ºÃ» f Á 'Ç ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ ¨ g(') = 0, ³ÛëÇÝùÝª g Ý μ³ó³ëáõÙ ¿ 'ÇÝ, ³å³ gÝ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ f Ç íñ³: 2) Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ÙÇ¨ÝáõÛÝ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý »ñÏáõ f1 , f2 ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ ï³ñμ»ñíáõÙ »Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ëÏ³ÉÛ³ñáí, ³ÛëÇÝùÝª f1 = ¸f2 , áñï»Õ ¸ 2 P , ¸ 6= 0:

²å³óáõóáõÙ: 1) ú·ïí»Ýù μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ã»áñ»ÙÇóª g = fq + r;

áñï»Õ r = 0 Ï³Ù deg(r) < deg(f ): ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Ûëï»Õ r = 0: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, »Ã» r 6= 0, ³å³ deg(r) < deg(f ) ¨ r(') = g(') ¡ f (')q(') = 0 : 2) ºñÏáõ f1 , f2 ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª deg(f1 ) = deg(f2 ) ¨ f1 = f2 q, q 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, deg(q) = 0 ¨ q = ¸ 2 P , ¸ 6= 0: ¤ Â»áñ»Ù 17.59: ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý f 2 P [x] ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ (P ¹³ßïáõÙ) ¨ 'Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÁ 'Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý t 2 Q í»Ïïáñ, áñ '(t) = ¸t Ï³Ù (' ¡ ¸")t = 0: ²å³óáõó»Ýù f (¸) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ '(t) = ¸t, ³å³ '2 (t) = '('(t)) = '(¸t) = ¸'(t) = ¸2 t ; ::: ::: ::: ::: 'k (t) = ¸k t : Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ h 2 P [x], h = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + ak xk μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ, h(') = a0 " + a1 ' + ¢ ¢ ¢ + ak 'k ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¢ ¡ h(')(t) = a0 t + a1 ¸t + ¢ ¢ ¢ ak ¸k t = a0 + a1 ¸ + ¢ ¢ ¢ ak ¸k t = h(¸)t :

ºÃ» h = f , ³å³ f (') = 0 ¨ f (¸)t = 0, áñï»ÕÇó f (¸) = 0, áñáíÑ»ï¨ t 6= 0: ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» f (¸) = 0, ¸ 2 P , ³å³ ¸Ý ÏÉÇÝÇ 'Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù: Æñáù, ù³ÝÇ áñ f (¸) = 0, ³å³ f = (x¡¸)q, áñï»Õ deg(q) < deg(f ) Ï³Ù q = c 2 P , c 6= 0, »Ã» deg(f ) = 1: ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿Éª q(') 6= 0, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t 2 Q, t = 6 0, áñ t1 = q(')(t) 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, 0 = f (') = (' ¡ ¸") ¢ q(') = q(') ¢ (' ¡ ¸"); (' ¡ ¸")(q(')(t)) = 0; (' ¡ ¸")(t1 ) = 0; '(t1 ) ¡ ¸t1 = 0; '(t1 ) = ¸t1 ; ³ÛëÇÝùÝª ¸Ý ÏÉÇÝÇ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.50: ÎáÙåÉ»ùë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï Ñ³ï ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ, Ñ»ï¨³μ³ñ Ý³¨ ·áÝ» Ù»Ï Ñ³ï 1-ã³÷³ÝÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ¤ ê³Ï³ÛÝ Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ Ï³ñáÕ ¿ ãáõÝ»Ý³É ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ (ûñÇ³Ý³Ï, Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý åïáõÛïÁ ® 6= 0; ¼ ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï):

Â»áñ»Ù 17.60: ¸Çóáõù QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : àñå»ë½Ç ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÁ ÉÇÝÇ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ¸Ý ÉÇÝÇ 'Ç μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ QÇ Ñ»Ýù ¿: ºÃ» ¸Ý 'Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý t 2 Q í»Ïïáñ, áñ '(t) = ¸t Ï³Ùª (' ¡ ¸")t = 0: Üß³Ý³Ï»Éáí 'Ç Ù³ïñÇóÁ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ A = (aij )áí, ÇëÏ t = t1 e1 + ¢ ¢ ¢ + tn en , Ïëï³Ý³Ýùª t1 'e1 + ¢ ¢ ¢ + tn 'en = ¸t1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ¸tn en ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

t1 (a11 e1 + ¢ ¢ ¢ + a1n en )+¢ ¢ ¢+tn (an1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ann en ) = ¸t1 e1 +¢ ¢ ¢+¸tn en ; Ï³Ùª

³ÛëÇÝùÝª

a11 t1 + ¢ ¢ ¢ + an1 tn = ¸t1 ; ::: ::: ::: ::: a1n t1 + ¢ ¢ ¢ + ann tn = ¸tn ; < (a11 ¡ ¸) t1 + ¢ ¢ ¢ + an1 tn = 0; ::: ::: ::: ::: ::: : a1n t1 + ¢ ¢ ¢ + (ann ¡ ¸) tn = 0

Ñ³Ù³ë»é Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý (t1 ; : : : ; tn ) ÉáõÍáõÙ: àõëïÇ, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç B = AT ¡ ¸E ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÇ áñáßÇãÁ ÏÉÇÝÇ ½ñá: Ð»ï¨³μ³ñ, BT = (AT )T ¡ ¸E T = A ¡ ¸E ¨ det(B T ) = det(B) = 0, ³ÛëÇÝùÝª det(A ¡ ¸E) = 0: ²ÛëåÇëáí, ¸Ý 'Ç μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿: Ð³Ï³¹³ñÓ ù³ÛÉ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ: ¤ ¸Çï³ñÏ»Ýù ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñáí n£mã³÷³ÝÇ A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ, aij ) Ù³ïñÇóÁ, áñï»Õ ¹ aij Á aij ÏáÙåÉ»ùë ÃíÇ ³ÛëÇÝùÝª A 2 Cn£m : A¹ = (¹ Ñ³Ù³ÉáõÍÝ ¿, ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇ Ñ³Ù³ÉáõÍ Ù³ïñÇó: Üß³Ý³Ï»Ýùª ¡ ¢T A¤ = A¹ = (AT ) :

Ð»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý. 1. (A¤ )¤ = A; 2. ºÃ» A + B ·áõÙ³ñÁ áñáßí³Í ¿, ³å³ (A + B)¤ = A¤ + B ¤ ; 3. ºÃ» A ¢ B ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ áñáßí³Í ¿, ³å³ (A ¢ B)¤ = B¤ ¢ A¤ ; ¹ B¤ ; 4. (®B)¤ = ® 5. ºÃ» AÝ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ A¤ Á ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¨ (A¤ )¡1 = (A¡1 )¤ : Ü»ñÙáõÍ»Ýù ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ ¹³ëÁ: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñáí nñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ñÙÇïÛ³Ý, »Ã» A¤ = A: úñÇÝ³Ï, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñáí ó³ÝÏ³ó³Í ëÇÙ»ïñÇÏ Ù³ïñÇó

ÏÉÇÝÇ Ñ»ñÙÇïÛ³Ý:

Â»áñ»Ù 17.61: Ð»ñÙÇïÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ μáÉáñ (ÏáÙåÉ»ùë) ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñáí

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í ëÇÙ»ïñÇÏ Ù³ïñÇó áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ: ²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» ¸ ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ A 2 Cn£n Ñ»ñÙÇïÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ ¿, ³å³ Ax = ¸x, áñï»Õ x 2 Cn£1 , x 6= 0: àñï»ÕÇó, x¤ A¤ = ¹̧ x¤ , ³ÛëÇÝùÝª x¤ A = ¹̧ x¤ : àõëïÇ, x¤ Ax = ¹̧x¤ x ¨ x¤ Ax = x¤ ¸x = ¸x¤ x: ²ÛëåÇëáí, ¹̧x¤ x = ¸x¤ x ¨ ( ¹̧ ¡ ¸)x¤ x = 0, áñï»Õ ¤ x¤ x 6= 0, áñáíÑ»ï¨ x 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ¹̧ ¡ ¸ = 0 ¨ ¹̧ = ¸:

Î¹Çï³ñÏ»Ýù Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñÇ ï³ññ»ñÁ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ¸Çóáõù ' 2 Hom(Q; Q), ÇëÏ

·Í³ÛÇÝ

P ['] = ff (') j f 2 P [x]g μ Hom(Q; Q) : ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ P ['] μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ª ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, Áëï áñáõÙ‘ f1 (') + f2 (') = (f1 + f2 )'; f1 (') ¢ f2 (') = (f1 ¢ f2 )' : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, a" ¢ ' = a', a1 " ¢ a2 " ¢ ¢ ¢ an " = (a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an ) ", a1 " + a2 " + ¢ ¢ ¢ + an " = (a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an ) ", áñï»Õ a; a1 ; : : : ; an 2 P : ºÃ»

f11 ('); : : : ; f1n (') A ; A=@ ::: ::: ::: fn1 ('); : : : ; fnn (')

³ÛëÇÝùÝª A Ù³ïñÇóÁ P ['] ûÕ³ÏÇ íñ³ áñáßí³Í nñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇó ¿, ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ AÇ áñáßÇãÁª Ù»½ Í³ÝáÃ »Õ³Ý³Ïáí. det(A) =

¾2Sn

sgn(¾) ¢ f1;¾(1) (') ¢ ¢ ¢ fn;¾(n) (') 2 P ['];

²Ûë áñáßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÙÝáõÙ »Ý áõÅÇ Ù»ç ëáíáñ³Ï³Ý áñáßÇãÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛëåÇëÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ (Ñ»ï) ëáíáñ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝáõÙ »Ýù Ý³¨ ·áõÙ³ñÙ³Ý, μ³½Ùå³ïÏÙ³Ý ¨ f(')áí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ³Ûëï»Õ ÝáõÛÝå»ë ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ AÇ A_ Ïóáñ¹ Ù³ïñÇóÁ (ï»ë 14.8 í»ñÝ³·ÇñÁ), áñÇ Ñ³Ù³ñª det(A) B C .. A ¢ A_ = A_ ¢ A = @ A : . det(A)

P [']n£n áí Ýß³Ý³Ï»Ýù μáÉáñ ³ÛÝ nñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ï³ññ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý P ['] μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ (ûÕ³ÏÇÝ): ºÃ» A 2 P [']n£n , A = (fij (')) ¨ a1 ; : : : ; an 2 Q, ³å³ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå‘ 1 0 a1 f11 (')(a1 ) + ¢ ¢ ¢ + f1n (')(an ) B .. C @ ::: ::: ::: ::: ::: ::: A : A±@ . A= fn1 (')(a1 ) + ¢ ¢ ¢ + fnn (')(an ) an È»ÙÙ 17.58: ºÃ» A; B 2 P [']n£n ¨ a1 ; : : : ; an 2 Q, ³å³ a1 a1 C B B CC B (A ¢ B) ± @ ... A = A ± @B ± @ ... AA : an

ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ¨ f 2 P [x], f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ + an xn , ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ 'Ý f Ç ³ñÙ³ï ¿, »Ã» f-Á μ³ó³ëáõÙ ¿ '-ÇÝª f (') = 0 ; ³ÛëÇÝùÝª a0 " + a1 ' + ¢ ¢ ¢ + an 'n = 0 :

Â»áñ»Ù 17.62 (Ð³ÙÇÉïáÝø»ÉÇ): àã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ Çñ μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù e1 ; : : : ; en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ QÇ Ñ»Ýù ¿, ÇëÏ A = (aij ) Ù³ïñÇóÁ 'Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ Ýßí³Í Ñ»ÝùáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ 'Ý det(A ¡ xE) μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿: ø³ÝÇ áñ 'e1 = a11 e1 + ¢ ¢ ¢ + a1n en ; ::: ::: ::: ::: ::: 'en = an1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ann en ;

³å³

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

< (a11 " ¡ ') e1 + (a12 ") e2 + ¢ ¢ ¢ + (a1n ") en = 0; ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: : (an1 ") e1 + (an2 ") e2 + ¢ ¢ ¢ + (ann " ¡ ') en = 0 :

¸Çï³ñÏ»Éáí Ù³ïñÇóÁª

·Í³ÛÇÝ

Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó

Ï³½Ùí³Í

Ñ»ï¨Û³É

a11 " ¡ '; a12 "; : : : ; a1n " A ; ::: ::: B = @ ::: an2 "; : : : ; ann " ¡ ' an1 ";

ÏáõÝ»Ý³Ýùª

e1 B C B ± @ ... A = 0 : en

Ð»ï¨³μ³ñ,

³ÛëÇÝùÝª

e1 CC B B B _ ± @B ± @ ... AA = B _ ± 0 = 0; en e1 C B (B_ ¢ B) ± @ ... A = 0;

B @

det(B)

e1 C B .. C A ± @ . A = 0; det(B) en

en 1 0

< det(B)(e1 ) = 0 ; ::: ::: ::: : det(B)(en ) = 0 :

àõëïÇ, ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q, x = x1 e1 + ¢ ¢ ¢ + xn en í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ, det(B)(x) = x1 det(B)(e1 ) + ¢ ¢ ¢ + xn det(B)(en ) = 0 ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

³ÛëÇÝùÝª det(B) = 0: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ det(B)Ý Ñ»Ýó ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÝ ¿ 'Ç íñ³ª 0 = det(B) = (det(A ¡ xE)) (') :

²ÛÅÙ ë³ÑÙ³Ý»Ý»ù μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÇ ·³Õ³÷³ñÁ ïñí³Í nñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÇ íñ³: ¸Çóáõù f 2 P [x] ¨ f = a0 + a1 x + ¢ ¢ ¢ am xm , ÇëÏ A 2 P n£n : Ð»ï¨Û³É n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ‘ f(A) = a0 E + a1 A + ¢ ¢ ¢ + am Am =

= a0 E + (a1 E)A + ¢ ¢ ¢ + (am E)Am =

= a0 E + A(a1 E) + ¢ ¢ ¢ + Am (am E)

ÏáãíáõÙ ¿ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ù A Ù³ïñÇóÇ íñ³, áñï»Õ E-Ý nñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ Ù³ïñÇóÝ ¿, ÇëÏ Am = A | ¢ A{z¢ ¢ ¢ A}: ºÃ» f (A) = 0, m

áñï»Õ 0-Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÝ ¿, ³å³ f μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ A Ù³ïñÇóÇÝ μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù, Ï³Ù A-Ý ÏáãíáõÙ ¿ f-Ç ³ñÙ³ï: ÆÝãå»ë ¨ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç A Ù³ïñÇó Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý f μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï, áñÇ ³ëïÇ×³ÝÁ 6 n2 : ê³Ï³ÛÝ Ð³ÙÇÉïáÝ-ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.51: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ A 2 P n£n Ù³ïñÇó Çñ μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿ , ³ÛëÇÝùÝª »Ã» f = (¡1)n xn + (¡1)n¡1 b1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + bn

μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ A-Ç μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿ , ³å³ (¡1)n An + (¡1)n¡1 b1 An¡1 + ¢ ¢ ¢ + bn E = 0 :

²å³óáõóáõÙ: ú·ïí»Ýù Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó ¨ ÏÇñ³é»Ýù Ã»áñ»Ù 17.37Á: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

17.22. ²ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇóáí ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¶Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý í»ñÉáõÍáõÙÁ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇ: ²ñÙ³ï³ÛÇÝ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ: Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñ: Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù ¸Çóáõù QÝ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³: È»ÙÙ 17.59: ºÃ» ¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸k 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÁ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ »Ý (³ÛëÇÝùÝª ¸i 6= ¸j , »Ã» i 6= j ), ÇëÏ u1 ; u2 ; : : : ; uk 2 Q áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÁ ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ u1 ; u2 ; : : : ; uk Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ :

²å³óáõóáõÙ (í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ï): k = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ kÇó ùÇã Ãíáí ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³å³óáõó»Ýù kÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù ®1 u1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 uk¡1 + ®k uk = 0;

(17.29)

Ð»ï¨³μ³ñ, ' (®1 u1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 uk¡1 + ®k uk ) = '(0) = 0; ®1 '(u1 ) + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 '(uk¡1 ) + ®k '(uk ) = 0; ®1 ¸1 u1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 ¸k¡1 uk¡1 + ®k ¸k uk = 0 :

(17.30)

(17.29) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ó³ËÇó μ³½Ù³å³ïÏ»Ýù ¸k áí ¨ Ñ³Ý»Ýù (17.30)Çóª ®1 (¸1 ¡ ¸k )u1 + ¢ ¢ ¢ + ®k¡1 (¸k¡1 ¡ ¸k )uk¡1 = 0; ø³ÝÇ áñ, Áëï í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿, ³å³

u1 ; u2 ; : : : ; uk¡1

®1 (¸1 ¡ ¸k ) = ¢ ¢ ¢ = ®k¡1 (¸k¡1 ¡ ¸k ) = 0; áñï»ÕÇó ®1 = ¢ ¢ ¢ = ®k¡1 = 0, áñáíÑ»ï¨ ¸i ¡ ¸k 6= 0, »Ã» i 6= k: àñÇó Ñ»ïá, (17.29) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ®k uk = 0, áñï»Õ uk 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, Ý³¨ ®k = 0: ¤

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.52: 1) ºÃ» dim(Q) = n > 0 ¨ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ n Ñ³ï ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸n 2 P ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, ³å³ ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý u1 ; u2 ; : : : ; un 2 Q ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ QÇ Ñ»Ýù, ÇëÏ ³Û¹ Ñ»ÝùáõÙ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý

A Ù³ïñÇóÁ ÏáõÝ»Ý³ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëùª

B B A=B @

¸1 ¸2

. ¸n

C C C : A

2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» n-ã³÷³ÝÇ (n > 0) Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùáõÙ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÝ áõÝÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëù, ³å³ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÁ Ï³½Ùí³Í ¿ 'Ç ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÇó: ¤ ¸Çóáõù QÝ nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ' 2 Hom(Q; Q), Q1 Á QÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, Q = Q1 ©Q2 ¨ e1 ; : : : ; ek Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Q1 Ç Ñ»Ýù ¿, ÇëÏ e1 ; : : : ; ek ; ek+1 ; : : : ; en Ñ³Ù³Ï³ñ·Á QÇ Ñ»Ýù ¿: ø³ÝÇ áñ 'e1 ; : : : ; 'ek 2 Q1 , ³å³ 'e1 = ®11 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®1k ek + 0ek+1 + ¢ ¢ ¢ + 0en ; ::: ::: ::: ::: ::: 'ek = ®k1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®kk ek + 0ek+1 + ¢ ¢ ¢ + 0en ; 'ek+1 = ®k+1;1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®k+1;k ek + ®k+1;k+1 ek+1 + ¢ ¢ ¢ + ®k+1;n en ; ::: ::: ::: ::: ::: 'en = ®n1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ®nk ek + ®n;k+1 ek+1 + ¢ ¢ ¢ + ®n;n en ; ³ÛëÇÝùÝª ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ Ýßí³Í Ñ»ÝùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª k A C B C B kB C ; A @

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ A1 Á ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÝ ¿ Q1 Ç e1 ; : : : ; ek Ñ»ÝùáõÙ, ÇëÏ 0áí Ýß³Ý³Ïí³Í ¿ (k; n ¡ k)ã³÷³ÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý Ù³ïñÇóÁ: ¸Çóáõù QÝ nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ' 2 Hom(Q; Q), Q = Q1 © Q2 , áñï»Õ Q1 ; Q2 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »Ý: ºÃ» e1 ; : : : ; ek Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q1 Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ f1 ; : : : ; fm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q2 Ç Ñ³Ù³ñ, ³å³ e1 ; : : : ; ek ; f1 ; : : : ; fm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù QÇ Ñ³Ù³ñ (k + m = n) ¨ 'Ç Ù³ïñÇóÁ ³Û¹ Ñ»ÝùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùª B B B @

C C C ; A

áñï»Õ A1 Á 'Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ Q1 Ç e1 ; : : : ; ek Ñ»ÝùáõÙ, ÇëÏ A2 Á 'Ç Ù³ïñÇóÝ ¿ Q2 Ç f1 ; : : : ; fm Ñ»ÝùáõÙ: Ð»ï¨Û³É ï»ëùÇ B B B @

A1 A3

C C C : A

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½Ç³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇó, áñï»Õ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ »ñÏ³ÛÝùáí ¹³ë³íáñí³Í í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÝ»ñ »Ý, ÇëÏ ¹ñ³ÝóÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ ½ñáÝ»ñ »Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇó ùí³½Ç³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ¿: È»ÙÙ 17.60: ¸Çóáõù QÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ : àñå»ë½Ç ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ QÇ áñ¨¿ Ñ»ÝùáõÙ áõÝ»Ý³ ùí³½Ç³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëù ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ QÝ í»ñÉáõÍíÇ Çñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ' 2

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ QÇ áñ¨¿ Ñ»ÝùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ ï»ëù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ QÝ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ Çñ 1ã³÷³ÝÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¤ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇ: mñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ (mñ¹ Ï³ñ·Ç) Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³Ï, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª ¸ 1 C B . C B ¸ .. C : Gm (¸) = B C B .. @ . 1 A ¸

²ÛëåÇëÇ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ¸ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³Ï: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, G1 (¸) = (¸), ÇëÏ μ ¶ ¸ 1 0 ¸ 1 ; G3 (¸) = @ 0 ¸ 1 A : G2 (¸) = 0 ¸ 0 0 ¸

øí³½Ç³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇó, »Ã» Ýñ³ ·ÉË³íáñ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ »ñÏ³ÛÝùáí ¹³ë³íáñí³Í μáÉáñ í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÝ»ñ »Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÝÏÛáõÝ³·Í³ÛÇÝ Ù³ïñÇó Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇó ¿, áñÇ μáÉáñ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÝ»ñÝ áõÝ»Ý 1 Ï³ñ·: Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù, »Ã» 'Ç Ù³ïñÇóÁ e1 ; : : : ; en Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇó ¿: îñí³Í ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»ÝùÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ¨ Ï³éáõóÙ³Ý Ñ³ñóÁ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõëáõÙÝ³ëÇñáõÃÛ³Ý

ÑÇÙÝ³Ï³Ý ËÝ¹ÇñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ:

Â»áñ»Ù 17.63: ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý f 2 P [x] μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ »ñÏáõ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ³ÛëÇÝùÝª f = f1 ¢ f2 ;

áñï»Õ (f1 ; f2 ) = 1 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¨ Q1 = Ker (f1 (')), Q2 = Ker (f2 (')), ³å³ Q1 ; Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý 'ÇÝí³ñÇ³Ýï ¨

Q = Q1 © Q2 :

²å³óáõóáõÙ: ò³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª x 2 Qi Ã! fi (')(x) = 0;

i = 1; 2 :

Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù '(Qi ) μ Qi Ý»ñ¹ñáõÙÁ, áñï»Õ i = 1; 2: Æñáù, »Ã» x 2 Qi , ³å³ fi (')('(x)) = (' ¢ fi (')) (x) = (fi (') ¢ ') (x) = ' (fi (')(x)) = '(0) = 0 : ø³ÝÇ áñ (f1 ; f2 ) = 1, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ g1 ; g2 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ f1 g1 + f2 g2 = 1 : Ð»ï¨³μ³ñ, f1 (')g1 (') + f2 (')g2 (') = " ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñª (f1 (')g1 (')) (x) + (f2 (')g2 (')) (x) = x; áñï»Õ x1 = (f2 (')g2 (')) x 2 Q1 , ÇëÏ x2 = (f1 (')g1 (')) x 2 Q2 : Æñáù, f1 (')(x1 ) = f1 (') ((f2 (')g2 (')) (x)) = (f2 (')g2 (')f1 (')) (x) = = (f1 (')f2 (')g2 (')) (x) = g2 (') ((f1 (') ¢ f2 (')) (x)) = = g2 (') (f(')(x)) = g2 (')(0) = 0 : ÜáõÛÝåÇëÇ ù³ÛÉ»ñáí ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ x2 2 Q2 Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x1 2 Q1 ¨ x2 2 Q2 ï³ññ»ñ, áñ x = x1 +x2 : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ Q1 \Q2 = f0g: Æñáù, »Ã» x 2 Q1 \ Q2 , ³å³ x 2 Q1 ¨ x 2 Q2 , ³ÛëÇÝùÝª fi (')(x) = 0, i = 1; 2: Ð»ï¨³μ³ñ, x = (f1 (')g1 (')) (x) + (f2 (')g2 (')) (x) = = g1 (') (f1 (')(x))+g2 (') (f2 (')(x)) = g1 (')(0)+g2 (')(0) = 0+0 = 0 : ¤ ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Â»áñ»Ù 17.64: ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý f 2 P [x] μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ³ÛëÇÝùÝª f = f1 ¢ f2 ¢ ¢ ¢ fk ;

áñï»Õ (fi ; fj ) = 1; »Ã» i 6= j;

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.53: ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý f 2 P [x] μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ f = (x ¡ ¸1 )s1 (x ¡ ¸2 )s2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ ¸k )sk

ï»ëùáí, áñï»Õ ¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸k 2 P , ¸i 6= ¸j , »Ã» i 6= j , ¨ Qi = fx 2 Q j (' ¡ ¸i ")si (x) = 0g ;

i = 1; : : : ; k;

³å³ Qi 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý 'ÇÝí³ñÇ³Ýï ¨ Q = Q1 © Q2 © ¢ ¢ ¢ © Qk : ¤ ²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ð³ÙÇÉïáÝø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÇª f (') = 0: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: ¸Çóáõù ' 2 Hom(Q; Q): a 2 Q í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ³ñÙ³ï³ÛÇÝ 'í»Ïïáñ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ (' ¡ ¸")m (a) = 0: ¸ ëÏ³ÉÛ³ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ μáÉáñ ³ñÙ³ï³ÛÇÝ 'í»ÏïáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù Q' ¸ áí Ï³Ù Ñ³Ù³éáï Q¸ áí: ø³ÝÇ áñ 0 2 Q¸ , ³å³ Q¸ 6= ; ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: a 2 Q í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñÙ³ï³ÛÇÝ í»Ïïáñ, »Ã» a 2 Q¸ áñ¨¿ ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ ³ñÙ³ï³ÛÇÝ í»Ïïáñ ¿: È»ÙÙ 17.61: Q¸ Ý QÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í ¸ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, Q¸ 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï Ý³¨ ' ¡ ¹" ¨ (' ¡ ¹")m ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñï»Õ ¹ 2 P , ÇëÏ m 2 N: ²Ûë Q¸ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ³ñÙ³ï³ÛÇÝ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a1 ; a2 2 Q¸ , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ k1 , k2 μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ (' ¡ ¸")k1 (a1 ) = 0 ¨ (' ¡ ¸")k2 (a2 ) = 0: Üß³Ý³Ï»Ýùª k = maxfk1 ; k2 g: ²Û¹ ¹»åùáõÙ (' ¡ ¸")k (ai ) = 0 , áñï»Õ i = 1; 2, ¨ (' ¡ ¸")k (a1 + a2 ) = (' ¡ ¸")k (a1 ) + (' ¡ ¸")k (a2 ) = 0 + 0 = 0 : ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, ¡ ¢ (' ¡ ¸")k1 (®a1 ) = ® (' ¡ ¸")k1 (a1 ) = ®0 = 0 :

Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Q¸ 'ÇÝí³ñÇ³ÝïáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù a 2 Q¸ ¨ (' ¡ ¸")k (a) = 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ¢ ¡ ¡ ¢ (' ¡ ¸")k ('a) = ' ¢ (' ¡ ¸")k (a) = (' ¡ ¸")k ¢ ' (a) = ¢ ¡ = ' (' ¡ ¸")k (a) = '(0) = 0; ¤

³ÛëÇÝùÝª 'a 2 Q¸

È»ÙÙ 17.62 (³ñÙ³ï³ÛÇÝ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÉÇÝ»Éáõ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç Q¸ Ý ÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ¸Ý ÉÇÝÇ 'Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a 2 Q¸ , a 6= 0, ³å³ (' ¡ ¸")m (a) = 0 áñ¨¿ m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ m > 0 ¨ ¹Çóáõù m0 Ý ³Ûë å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ÷áùñ³·áõÛÝ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿: m0 = 1 ¹»åùáõÙ aÝ ÏÉÇÝÇ ¸ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ, ÇëÏ m0 > 1 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ùª ¡ ¢ 0 = (' ¡ ¸")m0 (a) = (' ¡ ¸") (' ¡ ¸")m0 ¡1 (a) = (' ¡ ¸")(a1 );

áñï»Õ a1 = (' ¡ ¸")m0 ¡1 (a) 6= 0, ³ÛëÇÝùÝª a1 Á ÏÉÇÝÇ ¸ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ë»÷³Ï³Ý í»Ïïáñ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ¸Ý 'Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q, a 6= 0, í»Ïïáñ, áñ '(a) = ¸a, ³ÛëÇÝùÝª ('¡¸")a = 0 ¨ a 2 Q¸ , áñï»Õ a 6= 0: ¤

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí (ï»ë Ã»áñ»Ù 17.57-Ç ³å³óáõóáõÙÁ):

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

Â»áñ»Ù 17.65: ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ¸1 ; : : : ; ¸k ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ³ñÙ³ï³ÛÇÝ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý (¸i 6= ¸j , »Ã» i 6= j ): ¤ Â»áñ»Ù 17.66: ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý f 2 P [x] μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ f = (x ¡ ¸1 )s1 (x ¡ ¸2 )s2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ ¸k )sk

²å³óáõóáõÙ: Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.53áõÙ Ï³ï³ñí³Í Qi Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ, μ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ Qi = Q¸i , áñï»Õ i = 1; : : : ; k: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Qi μ Q¸i : Ð³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÝ ³å³óáõó»Ýù, ûñÇÝ³Ï, i = 1 ¹»åùáõÙ: ¸Çóáõù a 2 Q¸1 μ Q: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.53Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ a1 2 Q1 , a2 2 Q2 , : : :, ak 2 Qk í»ÏïáñÝ»ñ, áñ a = a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + ak : Üß³Ý³Ï»Éáíª a0 = a2 + ¢ ¢ ¢ + ak , ÏáõÝ»Ý³Ýùª a = a1 + a0 Ï³Ù a0 = a¡a1 2 Q¸1 , áñáíÑ»ï¨ a1 2 Q1 μ Q¸1 : Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ m μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ (' ¡ ¸1 ")m (a0 ) = 0; áñï»Õ a0 = a2 + ¢ ¢ ¢ + ak 2 Q2 © ¢ ¢ ¢ © Qk : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ù³ÝÇ áñ ((' ¡ ¸2 ")s2 ¢ ¢ ¢ (' ¡ ¸k ")sk ) ai = 0;

i = 2; : : : ; k;

³å³ ³ÛëÇÝùÝª

((' ¡ ¸2 ")s2 ¢ ¢ ¢ (' ¡ ¸k ")sk ) (a2 + ¢ ¢ ¢ + ak ) = 0; ((' ¡ ¸2 ")s2 ¢ ¢ ¢ (' ¡ ¸k ")sk ) (a0 ) = 0 :

Üß³Ý³Ï»Éáí g1 = (x ¡ ¸1 )m ¨ g2 = (x ¡ ¸2 )s2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ ¸k )sk , ÏáõÝ»Ý³Ýùª g1 (')(a0 ) = 0, g2 (')(a0 ) = 0 ¨ (g1 ; g2 ) = 1, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ g10 ; g20 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñ g1 g10 + g2 g20 = 1 Ï³Ù g1 (')g10 (') + g2 (')g20 (') = ": Ð³ßí»Ýù a0 Á. a0 = "(a0 ) = (g1 (')g10 (') + g2 (')g20 (')) (a0 ) =

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

= (g1 (')g10 (')) (a0 ) + (g2 (')g20 (')) (a0 ) = = g10 (') (g1 (')(a0 )) + g20 (') (g2 (')(a0 )) = 0 + 0 = 0 : ¤

²ÛëåÇëáí, a = a1 + a0 = a1 + 0 = a1 2 Q1 :

¸Çóáõù QÝ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ' 2 Hom(Q; Q), ¸ 2 P , a 2 Q¸ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ min fm 2 N j (' ¡ ¸")m (a) = 0g μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ17 ÏáãíáõÙ ¿ a ³ñÙ³ï³ÛÇÝ í»ÏïáñÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ jajáí: úñÇÝ³Ï, j0j = 0: ò³ÝÏ³ó³Í i = 0; 1; 2; : : : μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýùª Hi = fa 2 Q¸ j jaj 6 ig μ Q¸ : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ H0 μ H1 μ H2 ½ ¢ ¢ ¢ È»ÙÙ 17.63: Hi 6 Q¸ ó³ÝÏ³ó³Í i μÝ³Ï³Ý Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, H0 6 H1 6 H2 6 ¢ ¢ ¢ 6 Q¸ :

ÃíÇ

Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» x; y 2 Hi , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í ®; ¯ 2 P ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª ¡ ¢ ¡ ¢ (' ¡ ¸")i (®x + ¯y) = ® (' ¡ ¸")i (x) + ¯ (' ¡ ¸")i (y) = = ®0 + ¯0 = 0 + 0 = 0 :

Î·ñ»Ýù Hi < Hj , »Ã» Hi 6 Hj ¨ Hi 6= Hj : È»ÙÙ 17.64: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ i > 0 μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ Hi = Hi+1 :

²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Ïëï³Ý³Ýùª Hi 6 Hi+1 , áñï»Õ Hi 6= Hi+1 , i 2 N, ³ÛëÇÝùÝª í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ Q¸ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏáõÝ»Ý³Ýù ³Ýí»ñç Ãíáí ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³×áÕ ßÕÃ³‘ H0 < H1 < H2 < ¢ ¢ ¢ < Hi < ¤ Hi+1 < ¢ ¢ ¢ : È»ÙÙ 17.65: ºÃ» Hi = Hi+1 , ³å³ Hi = Hi+j ó³ÝÏ³ó³Í j μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: 17 ²Ûëï»Õ

½ñáÝ ¨ë Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ÃÇí:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõó»Ýù Hi = Hi+2 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëï³óíáõÙ »Ý ÙÝ³ó³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ): ø³ÝÇ áñ Hi = Hi+1 , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Hi+1 í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñª (' ¡ ¸")i+1 (a) = 0 Ã! (' ¡ ¸")i (a) = 0 : ¸Çóáõù a 2 Hi+2 : ²Û¹ ¹»åùáõÙª (' ¡ ¸")a 2 Hi+1 ¨ 0 = (' ¡ ¸")i+2 (a) = (' ¡ ¸")i+1 ((' ¡ ¸")(a)) = = (' ¡ ¸")i ((' ¡ ¸")(a)) = (' ¡ ¸")i+1 (a);

³ÛëÇÝùÝª a 2 Hi+1 = Hi : Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ:

È»ÙÙ 17.66: ºÃ» m = min fi 2 N j Hi = Hi+1 g ;

³å³ H0 < H1 < H2 < ¢ ¢ ¢ < Hm¡1 < Hm = Q¸ :

È»ÙÙ 17.67: ºÃ» Q0 6 Q ¨ e1 ; : : : ; es Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Q0 Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ e1 ; : : : ; es ; f1 ; : : : ; ft Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ QÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ Q0 Ç ó³ÝÏ³ó³Í e01 ; : : : ; e0s Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³ñ e01 ; : : : ; e0s ; f1 ; : : : ; ft Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýù QÇ Ñ³Ù³ñ:

Æñ³Ï³ÝáõÙ, ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ï³åí³Í ¿ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Ñ»ÝùÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý Ñ»ï: a1 ; a2 ; : : : ; ak 2 Q Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (Ñ³Ù³Ï³ñ·Á) ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Áëï H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ± »Ã» a1 + H, a2 + H, : : :, ak + H Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ Q H ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç: a1 ; a2 ; : : : ; an 2 Q Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Ñ»Ýù Áëï H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï³Ù H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ± ÝÏ³ïÙ³Ùμ, »Ã» a1 + H, a2 + H, : : :, an + H Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Q H ù³Ýáñ¹ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: àñå»ë½Ç í»ÏïáñÝ»ñÇ a1 ; a2 ; : : : ; ak 2 Q Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Áëï H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ®1 ; ®2 ; : : : ; ®k ëÏ³ÉÛ³ñÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª

®1 a1 + ®2 a2 + ¢ ¢ ¢ ®k ak 2 H Ã! ®1 = ®2 = ¢ ¢ ¢ = ®k = 0 : àñå»ë½Ç í»ÏïáñÝ»ñÇ a1 ; a2 ; : : : ; ak 2 Q Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Áëï H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ HÇ ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; et Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³ñ e1 ; : : : ; et ; a1 ; a2 ; : : : ; ak Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë: Ð»ï¨³μ³ñ, áñå»ë½Ç í»ÏïáñÝ»ñÇ a1 ; a2 ; : : : ; an 2 Q Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Ñ»Ýù Áëï H 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ HÇ ó³ÝÏ³ó³Í e1 ; : : : ; et Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³ñ e1 ; : : : ; et ; a1 ; : : : ; an

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉÇÝÇ Ñ»Ýù QÇ Ñ³Ù³ñ:

Â»áñ»Ù 17.67 (ÑÇÙÝ³Ï³Ý): ¸Çóáõù QÝ nã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ (n > 0): ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý f 2 P [x] μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ f = (x ¡ ¸1 )s1 (x ¡ ¸2 )s2 ¢ ¢ ¢ (x ¡ ¸k )sk

ï»ëùáí, áñï»Õ ¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸k 2 P , ¸i 6= ¸j , »Ã» i 6= j , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ QÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ»Ýù, áñáõÙ 'Ç Ù³ïñÇóÁ Äáñ¹³ÝÛ³Ý ¿ , ³ÛëÇÝùÝª QáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù: ²å³óáõóáõÙ: Àëï Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 17.53Ç, Q = Q1 © Q2 © ¢ ¢ ¢ © Qk , áñï»Õ Qi = Ker ((' ¡ ¸i ")si ) = Q¸i (Ã»áñ»Ù 17.66), '(Qi ) μ Qi : Üß³Ý³Ï»Ýùª Q¸i = Q¸ ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Hj »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Çóáõù‘ m = min fj 2 N j Hj = Hj+1 g : ²Û¹ ¹»åùáõÙ (É»ÙÙ 17.66), Q¸ = Hm : Üß³Ý³Ï»Ýù g¸ áí ' ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³ÏáõÙÁ Q¸ = Hm 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý íñ³ª g¸ = 'jQ¸ : Q¸ ! Q¸ : Îëï³Ý³Ýùª g¸ 2 Hom(Q¸ ; Q¸ ): àõÝ»Ýùª H0 < H1 < H2 < ¢ ¢ ¢ < Hm = Q¸ ;

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

²å³óáõó»Ýù, áñ gÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ xm μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÏÉÇÝÇ gÇ ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù: Æñáù, gm (a) = 0 ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q¸ í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ »Ã» hg Ý ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ gÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ xm Á Ïμ³Å³ÝíÇ hg Ç íñ³, Ñ»ï¨³μ³ñ, hg = ¹xt , áñï»Õ ¹ 2 P , ¹ 6= 0, ÇëÏ t 6 m: ê³Ï³ÛÝ t < m ¹»åùáõÙª Ht < Hm = Q¸ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, hg Ý ãÇ ÉÇÝÇ g : Q¸ ! Q¸ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý μ³ó³ëáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù: àõëïÇ, t = m ¨ hg = ¹xm : Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 17.59Ç, gÇ ÙÇ³Ï ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ ÏÉÇÝÇ 0Ý: ²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù Hm = Q¸ 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù h1 ; : : : ; h`1 2 Hm Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»Ýù ¿ Hm¡1 Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ h1 ; : : : ; h`1 ; f1 ; : : : ; ft1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Hm Ç Ñ³Ù³ñ: Ð³çáñ¹ ù³ÛÉáõÙ, h1 ; : : : ; h`1 Ñ»ÝùÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ Hm¡1 Ç Ù»Ï ³ÛÉ Ñ»Ýùáí: Æñáù, Hm¡2 Ç ó³ÝÏ³ó³Í b1 ; : : : ; b`2 Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³ñ, b1 ; : : : ; b`2 ; g(f1 ); : : : ; g (ft1 ) 2 Hm¡1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë, áñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É ÙÇÝã¨ Hm¡1 Ç Ñ»ÝùÇª b1 ; : : : ; b`2 ; g(f1 ); : : : ; g (ft1 ) ; ft1 +1 ; : : : ; ft2 : ÜÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ï³éáõó»Éáí Ñ»Ýù»ñ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ëï³ÝáõÙ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ»ÝùÁª

Hm¡2 ; Hm¡3 ; : : : ; H1 »Ýù Hm = Q¸

f1 ; : : : ; ft1 ; g(f1 ); : : : ; g (ft1 ) ; ft1 +1 ; : : : ; ft2 ; ::: ::: ::: ::: g m¡1 (f1 ); : : : ; gm¡1 (ft1 ) ; gm¡2 (ft1 +1 ) ; : : : ; gm¡2 (ft2 ) ; : : : ; ftm¡1 +1 ; : : : ; ftm : ²Ûë Ñ»ÝùÁ í»ñ³¹³ë³íáñ»Ýù Áëï ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇ ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù ëï³óí³Í ëÛáõÝ³ÏÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·Í³ÛÇÝ Ã³Õ³ÝÃÝ»ñÁª G1 = hf1 ; g(f1 ); : : : ; gm¡1 (f1 )i; G2 = hf2 ; g(f2 ); : : : ; gm¡1 (f2 )i; ::: ::: ::: :::

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý áñï»Õ μáÉáñ Gi gÇÝí³ñÇ³Ýï »Ý, ÇëÏ Gi Ç Ýßí³Í Ñ»ÝùáõÙ gÇ Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³Ï: Àëï áñáõÙ, ëï³óíáÕ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ¸ = 0ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ: ø³ÝÇ áñ g = g¸ ¡ ¸", ³å³ Ï³éáõóí³Í Ñ»ÝùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ g¸ = g + ¸": Q¸ ! Q¸ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇó: Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ³íáñ»Éáí μáÉáñ Q¸ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ï³éáõóí³Í Ñ»Ýù»ñÁ Ïëï³Ý³Ýù Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù ëÏ½μÝ³Ï³Ý ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.54 (Äáñ¹³Ý): ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ÏáÙåÉ»ùë ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ¤ áõÝÇ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.55: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ù³ïñÇó ÝÙ³Ý ¿ áñ¨¿ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ: ¤ ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝÇÉåáï»Ýï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ 'n = 0: ²Û¹åÇëÇ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' ÝÇÉåáï»Ýï ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÝÇÉåáï»ÝïáõÃÛ³Ý óáõóÇã: úñÇÝ³Ï, deg(f ) 6 n ¡ 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μáÉáñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÙ³Ý '(f ) = f 0 ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÝÇÉåáï»Ýï ¿: ÐÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝÃ³óùáõÙ, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, ³å³óáõóí»É ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.56: ì»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÝÇÉåáï»Ýï ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù: ¤ A 2 P m£m Ù³ïñÇóÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝÇÉåáï»Ýï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ An = 0: ²Û¹åÇëÇ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ' ÝÇÉåáï»Ýï Ù³ïñÇóÇ ÝÇÉåáï»ÝïáõÃÛ³Ý óáõóÇã: úñÇÝ³Ï, Gm (0) Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÁ ÝÇÉåáï»Ýï Ù³ïñÇó ¿, áñáíÑ»ï¨ (Gm (0))m = 0:

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

È»ÙÙ 17.68: ºÃ» A Ù³ïñÇóÁ ÝÇÉåáï»Ýï ¿ , ³å³ Ýñ³ ÙÇ³Ï ë»÷³Ï³Ý ¤ ³ñÅ»ùÁ 0Ý ¿ :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 17.57: Úáõñ³ùÝãÛáõñ ÝÇÉåáï»Ýï Ù³ïñÇó ÝÙ³Ý ¿ áñ¨¿ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ: ¤ È»ÙÙ 17.69: ºÃ» ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÝÇÉåáï»Ýï ¿ ª n ÝÇÉåáï»ÝïáõÃÛ³Ý óáõóÇãáí ¨ 'n¡1 (») 6= 0, » 2 Q, ³å³ »; '(»); '2 (»); : : : ; 'n¡1 (»)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ¿ , ÇëÏ ¹ñ³Ýáí ÍÝí³Í ¤ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 'ÇÝí³ñÇ³Ýï:

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ ¶ a 0 ï»ëùÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ L ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý 0 b áñ¨¿ Ñ»Ýù, áñï»Õ a; b 2 Z2 : μ ¶ a b 2. ¶ïÝ»É ï»ëùÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ H ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý b a áñ¨¿ Ñ»Ýù, áñï»Õ a; b 2 Z2 :

1. ¶ïÝ»É

3. ²å³óáõó»É, áñ Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ë³ÑÙ³Ýí³Í L ¨ H ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÝ Ç½áÙáñý »Ý ¨ Ï³éáõó»É áñ¨¿ ' : L ! H Ç½áÙáñýÇ½Ù: 4. 1 ¨ 2 í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÉáõÍ»É ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a; b 2 R, ³ÛëÇÝùÝª ½μ ¶¯ ¾ a 0 ¯¯ L0 = a; b R 6 R2£2 0 b ¯ ¨

H =

½μ

a b b a

¾ ¶¯ ¯ ¯ a; b 2 R 6 R2£2 ¯

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ²å³óáõó»É, áñ a0 + L0 = a1 + L0 , ÇëÏ a0 + H 0 6= a1 + H 0 , áñï»Õ μ ¶ μ ¶ 3 4 1 4 ; a1 = : a0 = 5 ¡4 5 0 5. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Q-Ý 2-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ Ýñ³ Q1 ; Q2 6 Q 1-ã³÷³ÝÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý, ³å³ Q = Q1 © Q2 :

6. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Q-Ý 3-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ Ýñ³ Q1 ; Q2 6 Q 2-ã³÷³ÝÇ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý, ³å³ Q = Q1 \ Q2 »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ 1-ã³÷³ÝÇ ¿, ÇëÏ Q = Q1 + Q2 :

7. ²å³óáõó»É, áñ ' : Q ! Q ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ù³ïñÇóÇ é³Ý·Á ¨ '-Ç é³Ý·Á Ñ³í³ë³ñ »Ý: 8. ú·ïí»Éáí ûñÃá·áÝ³É³óÙ³Ý ÁÝÃ³óùÇó, Ï³éáõó»É ûñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ F3 = ff 2 R[x]j deg(f ) 6 2g ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ ëÏ³ÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª (f; g) =

f (x)g(x) dx :

9. ¶ïÝ»É Q Çñ³Ï³Ý ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ' 2 Hom(Q; Q) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ë»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¨ ë»÷³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÁ, »Ã» 'Ý QÇ áñ¨¿ Ñ»ÝùáõÙ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ù³ïñÇóÁª μ ¶ 1 2 A= : 3 4 10. ú·ïí»Éáí ÎáßÇ´áõÝÛ³ÏáíëÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ëï³Ý³É 0 b Z Zb Zb @ f (x)g(x) dxA 6 (f(x)) dx ¢ (g(x))2 dx a

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ f , g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ [a; b] μ R Ñ³ïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ »Ý (a < b):

¶ÉáõË 17 ¶Ì²ÚÆÜ î²ð²ÌàôÂÚàôÜÜºð

11. ºÃ» A 2 P n£n Ù³ïñÇóÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª det(A) 6= 0, ÇëÏ Ýñ³ μÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿ª f (x) = xn + b1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + bn¡1 x + bn ; ³å³ A¡1 = ¡

¢ 1 ¡ n¡1 A + b1 An¡2 + ¢ ¢ ¢ + bn¡2 A + bn¡1 E : bn

12. ¶ïÝ»É ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ:

·Í³ÛÇÝ

Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý

÷áùñ³·áõÛÝ

13. ¶ïÝ»É ÙÇ³íáñ (ÝáõÛÝ³Ï³Ý) ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: 14. ¶ïÝ»É ¸ ·áñÍ³Ïóáí ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: 15. ²å³óáõó»É, áñ (x ¡ ¸)m μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Gm (¸) Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÇ ÷áùñ³·áõÛÝ μ³½Ù³Ý¹³Ù: 16. ºÃ» »ñÏáõ Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñ ÝÙ³Ý »Ý, ³å³ ³Û¹ Ù³ïñÇóÝ»ñÁ μ³ÕÏ³ó³Í »Ý ÝáõÛÝ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÝ»ñÇó ¨ Ï³ñáÕ »Ý ï³ñμ»ñí»É ÙÇ³ÛÝ Äáñ¹³ÝÛ³Ý í³Ý¹³ÏÝ»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛ³Ùμ:

Ø³ë ¶

Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ï³éáõóí³ÍùÝ»ñ

¶ É áõ Ë 18 ÊØ´ºð 18.1. ÎÇë³ËÙμÇ, ùí³½ÇËÙμÇ, ËÙμÇ ¨ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ 18.1.1. Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ¨ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ: ¸Çóáõù Q 6= ;, Qn = Q £ Q £ ¢ ¢ ¢ £ Q, n 2 N : | {z } ò³ÝÏ³ó³Í f : Qn ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ýáõÝÏóÇ³) ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ñ³Ù³éáï ·áñÍáÕáõÃÛáõÝª áñáßí³Í Ï³Ù ë³ÑÙ³Ýí³Í Q-Ç íñ³ (Ù»ç), n > 1: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, n-Á ÏáãíáõÙ ¿ f ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ï»Õ³ÛÝáõÃÛáõÝ, ÇëÏ f -Áª n-ï»Õ³ÝÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ: Àëï áñáõÙ, »Ã» f : (x1 ; : : : ; xn ) ! z, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ z = f(x1 ; : : : ; xn ): n = 2 ¹»åùáõÙ f -Á ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, ÇëÏ n = 1 ¹»åùáõÙ Ñ³Ý·áõÙ »Ýù μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇÝ: Ð³×³Ë ¹Çï³ñÏíáõÙ »Ý Ý³¨ ½ñáï»Õ³ÝÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ½ñá-ï»Õ³ÝÇ (Ñ³Ù³éáïª 0-ï»Õ³ÝÇ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛ³Ý áñ¨¿ ï³ññÇ ë¨»éáõÙÁ (ýÇùëáõÙÁ): Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ § μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª (Q; §) Ï³Ù Q(§): ºÃ» § μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ § = ff1 ; f2 ; : : : ; fm g, ³å³ Q(§)-Ý Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª Q(f1 ; f2 ; : : : ; fm ): Q (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ §) μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Q(§) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ (·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ), ÇëÏ Q-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ Q(§) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ»Ýù³ÛÇÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝ: Ð»Ýù³ÛÇÝ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ (Ï³ñ·Á) ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝ (Ï³ñ·): Ð³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» í»ñç³íáñ ¿ Ýñ³ Ñ»Ýù³ÛÇÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ¨ ³Ýí»ñçª Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ: ÀÝ¹ áñáõÙ, »Ã» Ñ»Ýù³ÛÇÝ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç, ³å³ í»ñç³íáñ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ n-ï³ññ³ÝÇ: ºñÏáõ (Q; §) ¨ (Q0 ; §0 ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ, »Ã» Q = Q0 ¨ § = §0 : Q(§) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ñ³×³Ë Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏíáõÙ ·Í³ÛÇÝ (í»Ïïáñ³Ï³Ý) ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ¿ Ý³¨ Q-áí: úñÇÝ³Ï, Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, áñÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½Ùí³Í ¿

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ù»Ï + »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÇó ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® ëÏ³ÉÛ³ñÇÝ (ÃíÇÝ) Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ®(x) = ®x 1-ï»Õ³ÝÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: Ð³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏï»Õ (μÇÝ³ñ), »Ã» »ñÏï»Õ »Ý Ýñ³ μáÉáñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: úñÇÝ³Ï, R(+; ¢; ¡)-Á, N(+; ¢; ±; ¤)-Á, áñï»Õ m ± n = (m; n), m ¤ n = [m; n], »ñÏï»Õ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý: ²ÛëáõÑ»ï áõëáõÙÝ³ëÇñíáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÁ ÑÇÙÝ³Ï³ÝáõÙ ÏÉÇÝ»Ý »ñÏï»Õ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ, áñáÝù μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Éñ³óáõóÇã ³ùëÇáÙÝ»ñÇ (å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ, ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ): ²Û¹ å³ï×³éáí, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí ³ÛëáõÑ»ï ÏÑ³ëÏ³óíÇ Ñ»Ýó »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ (ï»ë Ý³¨ 1.4-Á), »Ã» ãÇ ÝßíáõÙ Ñ³Ï³é³ÏÁ: ºÃ» f -Á ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ ± Ï³Ù + Ýß³Ýáí, ³å³ f (x; y)-Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ x ± y Ï³Ùª x + y: Ø»Ï ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q(±)áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ËÙμ³Ï»ñå, ÇëÏ »ñÏáõ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ñ³×³Ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q(+; ¢)-áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏËÙμ³Ï»ñå: ì»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³ÝíáÕ (Ï³Ù ³ñ¹»Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ³×³Ë ïñíáõÙ (Ï³Ù Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ) ¿ Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áñÍ³ÍíáÕ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇ Ó¨áíª ± a1 a2 an

a1 a1 ± a1 a2 ± a1 an ± a1

a2 a1 ± a2 a2 ± a2 an ± a2

an a1 ± an a2 ± an an ± an :

Ä³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ïñÙ³Ý ³Ûë §μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý¦ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ø»ÉÇÇ (A. Cayley) ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñ Ï³Ù »ñμ»ÙÝ É³ïÇÝ³Ï³Ý ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ: ø³ÝÇ áñ »ñÏáõ A, B í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áñÍáÕ μáÉáñ f : A ! B ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ jBjjAj (ï»ë 0.3-Á), ³å³ n-ï³ññ³ÝÇ Q í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ (»ñÏï»Õ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª nn : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 22 = 16, ÇëÏ ³ñ¹»Ý »ñ»ù ï³ññ³ÝÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ª 3 = 19683 ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸Çóáõù ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûÅïí³Í ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ï³ññ, áñ a ± e = a

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ e ± a = a) Ï³Ù³Û³Ï³Ý a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: e 2 Q ï³ññÁ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ÏáãíáõÙ ¿ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ï³Ù Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÇ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñ: úñÇÝ³Ï, 0-Ý Q = Z μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í Ñ³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ³ç ÙÇ³íáñÝ ¿: ¶áñÍáÕáõÃÛ³Ý Ï³Ù ËÙμ³Ï»ñåÇ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñÁ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ÏÉÇÝÇ Ýñ³ íñ³ áñáßí³Í x ± y = x (Ï³Ù x ± y = y) ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ³ç (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ó³Ë) ÙÇ³íáñÁ: ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÁ ÏáãíáõÙ ¿ (ûÅïí³Í) ÙÇ³íáñáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ï³ññ, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ³ç ¨ Ó³Ë ÙÇ³íáñ ¿: ²Ûë ¹»åùáõÙ, e-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ±Ç ÙÇ³íáñ: ºÃ» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ûÅïí³Í ¿ áñ¨¿ e ³ç ÙÇ³íáñáí ¨ áñ¨¿ e0 Ó³Ë ÙÇ³íáñáí, ³å³ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó μËáõÙ ¿, áñ Ýñ³Ýù ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ, áñáíÑ»ï¨ e = e0 ± e = e0 ; ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ûÅïí³Í ÙÇ³íáñáí: ²Ûëï»ÕÇó Ý³¨ μËáõÙ ¿, áñ »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí, ³å³ ³ÛÝ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ¶áñÍáÕáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ ÙÇ³íáñÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) Ñ³×³Ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ e-áí Ï³Ù »ñμ»ÙÝ 1-áí, ÇëÏ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ ÙÇ³íáñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí: ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª x±y =y±x ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª x ± (y ± z) = (x ± y) ± z ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

18.1.2. ÎÇë³ËÙμÇ, ËÙμÇ, ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ, ùí³½ÇËÙμÇ ¨ Éáõå³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ: Q(±)-Á ÏáãíáõÙ ¿ ÏÇë³ËáõÙμ, »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿: Q(±) ÏÇë³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿.

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

³) ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) Ï³Ù ÙáÝáÇ¹, »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí; μ) ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í), »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñáí: ºÃ» Q(±)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ³å³ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏÇë³ËáõÙμ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) N(+)-Á ¨ N(¢)-Á ÏÇë³ËÙμ»ñ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ N(¢)Á e = 1 ÙÇ³íáñáí (ûÅïí³Í) ÏÇë³ËáõÙμ ¿ (»Ã» 0 2 N, ³å³ N(+)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ÙÇ³íáñáí ÏÇë³ËáõÙμ): ´áÉáñ ½áõÛ· μÝ³Ï³Ý (³ÙμáÕç) Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÇë³ËáõÙμ ¿ª ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÝ ³ñ¹»Ý ãÇ ûÅïí³Í ÙÇ³íáñáí: 2) X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ® : X ! X Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ FX μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë ÏÇë³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËáõÙμ: 3) X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 4) X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 5) Î³Ù³Û³Ï³Ý U μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 2U -áí, ÏÉÇÝÇ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμª ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÙ³Ý (Ñ³ïÙ³Ý) ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 6) N(±)-Á ¨ N(¤)-Á ÏÇë³ËÙμ»ñ »Ý, áñï»Õ m±n = (m; n)-Á »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿, ÇëÏ m¤n = [m; n]-Á »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ ¿: 7) Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí (ï³ññ»ñáí) n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Rn£n μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: (ÜáõÛÝÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ Ý³¨ ïñí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ P n£n μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:) 8) Z(¡)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ã¿, áñáíÑ»ï¨ Ñ³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ã¿: Q(±) ÏÇë³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿: e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿.

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³°) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 Q ï³ññ, áñ a ± a0 = e;

μ°) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a00 2 Q, ï³ññ, áñ a00 ± a = e; ·°) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a¤ 2 Q ï³ññ, áñ a ± a¤ = a¤ ± a = e :

¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ »Ã» e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ a 2 Q ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó ¨ Ó³ËÇó, ³å³ a-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, áñáíÑ»ï¨ a ± a0 = e ¨ a00 ± a = e å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó μËáõÙ ¿ª a00 = a00 ± e = a00 ± (a ± a0 ) = (a00 ± a) ± a0 = e ± a0 = a0 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ a ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ a¤ ï³ññÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ ï³ññ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ a¡1 -áí: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» a-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ Ýñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ¡ ¢¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ áõ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ñ×³éáí‘ a¡1 = a: ê³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨, áñ áñå»ë½Ç ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ a; b 2 Q ï³ññ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ a ± b 2 Q ¨ b ± a 2 Q ï³ññ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Àëï áñáõÙ, ³Û¹ ¹»åùáõÙª (a ± b)¡1 = b¡1 ± a¡1 :

¶áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ a¡1 -Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ ¡a ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ñ³Ï³¹Çñ (ï³ññ): Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÁÝ¹áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ‘ ¡ (¡a) = a;

¡ (a + b) = (¡b) + (¡a) :

ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ÏÇë³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ËáõÙμ, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ºÃ» Q(±)-Á ËáõÙμ ¿, ³å³ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ËáõÙμ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ÇëÏ ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝª áñáßí³Í Q

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç): ²ÛëåÇëáí, Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ËáõÙμ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ËÙμ³ÛÇÝ ³ùëÇáÙÝ»ñ. 1) »Ã» x; y 2 Q, ³å³ x ± y 2 Q (·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý Ï³Ù ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý); 2) x ± (y ± z) = (x ± y) ± z Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý); 3) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ï³ññ, áñ e ± x = x ± e = x Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý); 4) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x¡1 2 Q ï³ññ, áñ x±x¡1 = x¡1 ±x = e (Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý): ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »Ã» Q(±)-Á ËáõÙμ ¿, ³å³ ¡1

(x1 ± x2 ± ¢ ¢ ¢ ± xm )

¡1 ¡1 = x¡1 m ± xm¡1 ± ¢ ¢ ¢ ± x1 ;

áñï»Õ x1 ; : : : ; xm 2 Q, m 2 N, m > 2: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó μËáõÙ ¿, áñ ËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ (³ùëÇáÙÝ»ñÁ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¿³å»ë ùã³óÝ»É: Â»áñ»Ù 18.1 (L. Dickson): ºÃ» ÏÇë³ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝåÇëÇ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñáí, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏÇë³ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ³çÇó (Ó³ËÇó), ³å³ ³ÛÝ ËáõÙμ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù e-Ý Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ ³ç ÙÇ³íáñÝ ¿ ¨ ¹Çóáõù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 Q ï³ññ, áñ a±a0 = e: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ Q(±)-Á ËáõÙμ ¿: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ e 2 Q ³ç ÙÇ³íáñÁ ÏÉÇÝÇ Q(±)-Ç Ý³¨ Ó³Ë ÙÇ³íáñÁ, ³ÛëÇÝùÝª e ± a = a Ï³Ù³Û³Ï³Ý a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, e ± a ± a0 = e ± e = e = a ± a0 ; ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ ³çÇó μ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (a0 )0 = a00 áí, Ïëï³Ý³Ýùª e ± a ± a0 ± a00 = a ± a0 ± a00 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

e ± a ± e = a ± e; e±a = a:

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ a-Ç a ³ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ Ý³¨ a-Ç Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿. a0 ± a ± a0 = a0 ± e = a0 ;

a0 ± a ± a0 ± a00 = a0 ± a00 ; a0 ± a ± e = e; a0 ± a = e :

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ Ó³Ë ÙÇ³íáñÇ ¨ ¹ñ³ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ: ¤ úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ ® : X ! X μÇ»ÏïÇí (Ï³Ù ÷áËÙÇ³ñÅ»ù) Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ (ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ) SX μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμ: ºÃ» X μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ X = f1; : : : ; ng, ÇëÏ SX -Á Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Sn -áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμ: Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ jSn j = n!, ÇëÏ Sn -Ç ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñ: 2) ÆÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿, n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ An -áí: An -Á ËáõÙμ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñáíÑ»ï¨ »ñÏáõ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿, ÝáõÛÝ³Ï³Ý (ÙÇ³íáñ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ½áõÛ· ¿ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ¨ë ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿: ²Ûë ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμ: 3) ´áÉáñ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Pn μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ª nï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 4) ´áÉáñ ½áõÛ· n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Tn μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ª nï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 5) Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí (ï³ññ»ñáí) n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë ËáõÙμÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ GLn (R)-áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ÉñÇí ·Í³ÛÇÝ ËáõÙμ: Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí (ï³ññ»ñáí) n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ 1 áñáßÇãáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë ËáõÙμÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ SLn (R)áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ïáõÏ ·Í³ÛÇÝ ËáõÙμ: (ÜáõÛÝÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ Ý³¨ ïñí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ ¨ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ 1 áñáßÇãáí Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, áñáÝù, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ, Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý GLn (P )-áí ¨ SLn (P )-áí:) 6) Ø»Ï ï³ññ³ÝÇ ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³íáñ Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ËáõÙμ: Q(±) ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³μ»ÉÛ³Ý (N. Abel) Ï³Ù ï»Õ³÷áË³Ï³Ý (ÏáÙáõï³ïÇí), »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ³μ»ÉÛ³Ý: Ð³×³Ë ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ + Ýß³Ýáí, ÙÇ³íáñÁª 0-áí, ÇëÏ a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ Ñ³Ï³¹Çñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡a-áí: úñÇÝ³Ï, 2U (ª)-Á, Z(+)-Á, Op (+)-Á, Zn (+)-Á, Q(+)-Á, Q? (¢)-Á, R(+)p n ? ? Á, Rp (+)-Á, R (¢)-Á, C(+)-Á, C (¢)-Á, 1-Á ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñ »Ý (³Ûëï»Õ Q? -Á, R? -Á, C? -Á μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É, Çñ³Ï³Ý, ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ý): ºÃ» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, ³å³ Z¤p (¢)-Á ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿, áñï»Õ Z¤p = Zp n f[0]g: SX ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ jXj 6 2, ÇëÏ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n 6 3 (μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ã»áñ»Ù 18.13-Çó): Æñ³Ï³Ý Ãí»ñáí (ï³ññ»ñáí) n £ m-ã³÷³ÝÇ μáÉáñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ Rn£m μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿ª Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: (ÜáõÛÝÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ Ý³¨ ïñí³Í P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í n £ m-ã³÷³ÝÇ μáÉáñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ P n£m μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:) Â»áñ»Ù 18.2 (ØÛáμÇáõë): ºÃ» Q(+)-Á ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿ , ÇëÏ ¹ : N ! Z ýáõÝÏóÇ³Ý ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í f; g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ã»áñ»Ù 9.10-Ç åÝ¹áõÙÁ, ³ÛëÇÝùÝª ³n´ X X ; f (n) = g(d) Ã! g(n) = ¹(d)f d n=d;d>0

n=d;d>0

áñï»Õ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª »Ã» ¹(d) = 1; < a; ¹(d)a = 0; »Ã» ¹(d) = 0; : ¡a; »Ã» ¹(d) = ¡1 :

(²ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ï³ñμ»ñ³Ï). »Ã» Q(±)-Á ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿ , ÇëÏ ¹ : N ! Z ýáõÝÏóÇ³Ý ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

f; g : N ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ã»áñ»Ù 9.10-Ç åÝ¹áõÙÁª Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïáí. f (n) =

n=d;d>0

g(d) Ã! g(n) =

n=d;d>0

³ n ´¹(d)

áñï»Õ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª »Ã» ¹(d) = 1; < a; a¹(d) = e; »Ã» ¹(d) = 0; : ¡1 a ; »Ã» ¹(d) = ¡1 :

;

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 9.10-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Q(±)-Á ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇËáõÙμ, »Ã» Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ a±x =b

y±a =b

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ (ûÅïí³Í ¿) Q-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ÙÇ³Ï (ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ) ÉáõÍáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ c 2 Q ¨ d 2 Q ï³ññ»ñ, áñ a±c =b ¨ d±a = b :

úñÇÝ³Ï, Z(¡)-Á, Op (¡)-Á, Q(¡)-Á, R(¡)-Á, C(¡)-Á, Rp (¡)-Á, Q? (=)Á, R? (=)-Á ¨ C? (=)-Á ùí³½ÇËÙμ»ñ »Ý, áñï»Õ §=¦ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝáõÙÝ ¿: ºÃ» Q(±)-Á ùí³½ÇËáõÙμ ¿, ³å³ ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇËÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ: Q(±) ùí³½ÇËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ Éáõå³ (Ï³Ù ÙÇ³íáñáí ùí³½ÇËáõÙμ), »Ã» ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí: Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ïñ×³ïáõÙáí (μ³Å³ÝáõÙáí) ûÅïí³Í, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ a ± x = b ¨ y ± a = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³ß³ïÁ (³Ù»Ý³ùÇãÁ) Ù»Ï ÉáõÍáõÙ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.1: øí³½ÇËÙμÇ Ù»ç Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñ»É Ïñ×³ïáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» Q(±)-Á ùí³½ÇËáõÙμ ¿ , ³å³ a ± x1 = a ± x2 ¡! x1 = x2 ; y1 ± a = y2 ± a ¡! y1 = y2 ;

(Ïñ×³ïáõÙ Ó³ËÇó) (Ïñ×³ïáõÙ ³çÇó)

áñï»Õ a; x1 ; x2 ; y1 ; y2 2 Q: Îñ×³ïáõÙáí ûÅïí³Í í»ñç³íáñ ËÙμ³Ï»ñåÁ ùí³½ÇËáõÙμ ¿ : ´³Å³ÝáõÙáí ûÅïí³Í í»ñç³íáñ ËÙμ³Ï»ñåÁ ùí³½ÇËáõÙμ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: Üß³Ý³Ï»Éáí a ± x1 = a ± x2 = b, ëï³ÝáõÙ »Ýù a ± x = b Ñ³í³ë³ñÙ³Ý x = x1 ¨ x = x2 ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, ÇëÏ ùí³½ÇËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª a ± x = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÉáõÍáõÙáí, Ñ»ï¨³μ³ñª x1 = x2 : ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÇñ³é»Éáí y ± a = b Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ³çÇó Ïñ×³ïÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: Ð³ïÏáõÃÛ³Ý »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ Ù³ë»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ μËáõÙ »Ý Ã»áñ»Ù 0.4Çó ¨ Ã»áñ»Ù 0.5-Çó: Æñáù, Ïñ×³ïáõÙáí ûÅïí³Í Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÇ ¹»åùáõÙ ®a (x) = a ± x ¨ ¯a (y) = y ± a ûñ»ÝùÝ»ñáí áñáßíáÕ ®a : Q ! Q ¨ ¯a : Q ! Q Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÇÝÛ»ÏïÇí: ºí ù³ÝÇ áñ Q-Ý í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ®a ¨ ¯a Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ý³¨ ëÛáõñ»ÏïÇí: Ð»ï¨³μ³ñ, a ± x = b ¨ y ± a = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏáõÝ»Ý³ ÉáõÍáõÙ Q μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ (ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ): ÆëÏ μ³Å³ÝáõÙáí ûÅïí³Í Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÇ ¹»åùáõÙ ®a ¨ ¯a Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ëÛáõñ»ÏïÇí: Ð»ï¨³μ³ñ, í»ñç³íáñ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ®a ¨ ¯a Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ý³¨ ÇÝÛ»ÏïÇí: ²ÛëåÇëáí, a ± x = b ¨ y ± a = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏáõÝ»Ý³ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ Q μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ: ¤ ÄËïûñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Îñ×³ïáõÙáí ûÅïí³Í N(+) ³Ýí»ñç ËÙμ³Ï»ñåÁ (ÏÇë³ËáõÙμÁ) ùí³½ÇËáõÙμ ã¿: 2) N(±) ËÙμ³Ï»ñåÁ, áñï»Õ x ± y = jx ¡ yj, x; y 2 N, ÏÉÇÝÇ μ³Å³ÝáõÙáí ûÅïí³Í ³Ýí»ñç ËÙμ³Ï»ñå, áñÁ, ë³Ï³ÛÝ, ùí³½ÇËáõÙμ ã¿: 18.1.3. ÊÙμÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ùí³½ÇËÙμÇ ÙÇçáóáí: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ËáõÙμÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ý³¨ áñå»ë ³ÛÝåÇëÇ ÏÇë³ËáõÙμ, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ùí³½ÇËáõÙμ ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.3: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ËáõÙμ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ ùí³½ÇËáõÙμ ¿ : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ùí³½ÇËáõÙμ ËáõÙμ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí ¨ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ : ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç ËÙμ³Ï»ñåÁ ÉÇÝÇ ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμ ¨ ùí³½ÇËáõÙμ:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ »Ã» Q(±)-Á ËáõÙμ ¿, ³å³ ³ÛÝ ùí³½ÇËáõÙμ ¿: Æñáù, ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ x = a¡1 ±b 2 Q ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ a ± x = b Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ, áñáíÑ»ï¨ ¢ ¡ ¢ ¡ a ± x = a ± a¡1 ± b = a ± a¡1 ± b = e ± b = b;

ºí ³Û¹ ÉáõÍáõÙÁ ÙÇ³ÏÝ ¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» x0 2 Q ï³ññÁ a ± x = b Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ a ± x0 = b; a¡1 ± (a ± x0 ) = a¡1 ± b; ¡ ¡1 ¢ 0 a ± a ± x = a¡1 ± b; e ± x0 = a¡1 ± b; x0 = a¡1 ± b :

ÜáõÛÝ Ï»ñå Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù, áñ Q(±) ËÙμáõÙ y ± a = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÉáõÍáõÙ, ³ÛÝ ¿É ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁª y = b ± a¡1 : ²å³óáõó»Ýù Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÁ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ Q(±)-Á ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí: ¸Çóáõù Q(±)-Á ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ ùí³½ÇËáõÙμ ¿, a 2 Q: øí³½ÇËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ a ± x = a Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³ x = ea 2 Q ÉáõÍáõÙ: ²å³óáõó»Ýù, áñ ea -Ý Q(±) ùí³½ÇËÙμÇ ³ç ÙÇ³íáñÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª b±ea = b ó³ÝÏ³ó³Í b 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, ùí³½ÇËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ b ï³ññÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É b = y ± a ï»ëùáí, ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª b ± ea = (y ± a) ± ea = y ± (a ± ea ) = y ± a = b : ²ÛÝáõÑ»ï¨, y ± a = a Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ýß³Ý³Ï»Éáí y = fa áí, ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ fa -Ý Q(±) ùí³½ÇËÙμÇ Ó³Ë

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ÙÇ³íáñÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª fa ± b = b ó³ÝÏ³ó³Í b 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáí b-Ý b = a ± x ï»ëùáí, Ïëï³Ý³Ýùª fa ± b = fa ± (a ± x) = (fa ± a) ± x = a ± x = b : ê³Ï³ÛÝ Q(±)-Ç fa = e1 Ó³Ë ÙÇ³íáñÁ ¨ ea = e2 ³ç ÙÇ³íáñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý (ÇÝãå»ë ÝÏ³ï»óÇÝù í»ñ¨áõÙ)ª e1 = e1 ± e2 = e2 : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ e = e1 = e2 2 Q ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ùí³½ÇËÙμÇ (Éáõå³ÛÇ) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: Æñáù, ùí³½ÇËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ a ± x = e ¨ y ± a = e Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ûÅïí³Í ¿ Q-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ÉáõÍáõÙáí: ²é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ýß³Ý³Ï»Éáí x = a0 -áí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ÇÝÁª y = a00 -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ½ a ± a0 = e; a00 ± a = e; ê³Ï³ÛÝ, ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù í»ñ¨áõÙ, ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç, ³Ûëï»ÕÇó μËáõÙ ¿ a0 = a00 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Â»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ åÝ¹áõÙÝ ³í»ÉÇ Ñ»ßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ëï³Ý³É Ñ»Ýí»Éáí ¸ÇùëáÝÇ Ã»áñ»ÙÇ íñ³ (Ã»áñ»Ù 18.1): ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.1 (E. Huntington): ºÃ» Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ a±x=b ¨

y±a=b

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ûÅïí³Í ¿ Q-ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ÉáõÍáõÙáí, ³å³ Q(±)-Á ËáõÙμ ¿ : ²ÛëÇÝùÝ` μ³Å³ÝáõÝáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏÇë³ËáõÙμ ËáõÙμ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 18.3-Ç ³å³óáõóáõÙÇó:

18.1.4. ²μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ùí³½ÇËÙμÇ ÙÇçáóáí: ²μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç »Õ³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÙÇ³íáñ»É Ù»Ï ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ù»ç:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.4: àñå»ë½Ç Q(±) ùí³½ÇËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (x ± y) ± z = x ± (z ± y)

(18.1)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ ó³ÝÏ³ó³Í Q(±) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ Ù»ç ï»ÕÇ áõÝÇ (18.1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ (ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ)ª (x ± y) ± z = x ± (y ± z) = x ± (z ± y) :

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù Q(±) ùí³½ÇËÙμáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ (18.1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ a 2 Q: a ± x = a Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ýß³Ý³Ï»Éáí x = ea -áí ÏáõÝ»Ý³Ýù ((18.1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç í»ñóÝ»Éáí y = ea )ª (a ± ea ) ± c = a ± (c ± ea ); a ± c = a ± (c ± ea )

¨ Ï³ï³ñ»Éáí Ïñ×³ïáõÙ (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý 18.1-Ç), Ïëï³Ý³Ýùª c = c ± ea ó³ÝÏ³ó³Í c 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: àõëïÇ, (18.1) ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ Q(±) ùí³½ÇËáõÙμÁ ûÅïí³Í ¿ ea 2 Q ³ç ÙÇ³íáñáí: ²ÛÅÙ ÝÏ³ï»Ýù, áñ ea -Ý Q(±)-Ç Ý³¨ Ó³Ë ÙÇ³íáñÝ ¿: (18.1) ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ù»ç í»ñóÝ»Éáí z = ea Ïëï³Ý³Ýùª (x ± y) ± ea = x ± (ea ± y); x ± y = x ± (ea ± y); y = ea ± y

ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: àñÇó Ñ»ïá ³å³óáõóíáõÙ ¿ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª (18.1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç í»ñóÝ»Éáí x = ea . (ea ± y) ± z = ea ± (z ± y); y ± z = z ± y;

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ÇëÏ »ÉÝ»Éáí ëñ³ÝÇóª Ý³¨ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ. (x ± y) ± z = x ± (z ± y) = x ± (y ± z) : ²ÛëåÇëáí, Q(±) ùí³½ÇËÙμÇ ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, Ñ»ï¨³μ³ñ Q(±)-Á ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.3-Ç): ¤ ÜáõÛÝ³ÝÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ. Â»áñ»Ù 18.5: àñå»ë½Ç Q(±) ùí³½ÇËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (x ± y) ± z = y ± (x ± z)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

(18.2) ¤

Â»áñ»Ù 18.6: àñå»ë½Ç Q(±) ùí³½ÇËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (x ± y) ± z = y ± (z ± x)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

(18.3) ¤

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.2: ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ËÙμ³Ï»ñåÇ Ñ³Ù³ñ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý.

1) ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿ ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý; 2) Q(±)-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (18.1) ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ; 3) Q(±)-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (18.2) ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ; 4) Q(±)-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (18.3) ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ:

18.1.5. øí³½ÇËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ùí³½ÇËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ »ñ»ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ûÅïí³Í ³ÛÝåÇëÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ·³Õ³÷³ñÇ, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ý³¨ ãáñë ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.7: ¸Çóáõù A ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: àñå»ë½Ç Q(A) ËÙμ³Ï»ñåÁ ÉÇÝÇ ùí³½ÇËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ³ÛÝåÇëÇ B ¨ C ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ãáñë ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª A(x; B(x; y)) = y; B(x; A(x; y)) = y; A(C(y; x); x) = y; C(A(y; x); x) = y

(ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ):

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q(A)-Ý ùí³½ÇËáõÙμ ¿, ³å³ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ý³Ó³ÛÝ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ A(a; x) = b; A(y; a) = b Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ x 2 Q ¨ y 2 Q ÉáõÍáõÙÝ»ñ: Üß³Ý³Ï»Éáíª x = B(a; b) ¨ y = C(b; a), Ïëï³Ý³Ýù Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í B ¨ C ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ýßí³Í ãáñë ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Æñáù, ³é³çÇÝ ¨ »ññáñ¹ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μËáõÙ »Ý B ¨ C ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó: ²å³óáõó»Ýù »ñÏñáñ¹ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù B(x; A(x; y)) = z: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª A(x; B(x; A(x; y))) = A(x; z); ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³é³çÇÝ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ýª A(x; y) = A(x; z);

áñï»ÕÇó y = z (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ùí³½ÇËÙμÇ Ïñ×³ïÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý): ²ÛëåÇëáí, B(x; A(x; y)) = y: Ð³Ù³ÝÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ ãáññáñ¹ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í A, B, C ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ýßí³Í ãáñë ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ,

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

³å³ Q(A)-Ý ùí³½ÇËáõÙμ ¿: Æñáù, ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ B(a; b)-Ý ÏÉÇÝÇ A(a; x) = b Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ: ¸Çóáõù A(a; x1 ) = A(a; x2 ) = b: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, B(a; A(a; x1 )) = B(a; A(a; x2 )) ¨ »ñÏñáñ¹ ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª x1 = x2 : ÜÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ A(y; a) = b Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¤ ºÃ» Q(A)-Ý ùí³½ÇËáõÙμ ¿, ³å³ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ B ¨ C ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏáãíáõÙ »Ý A-Ç ³ç ¨ Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñ áõ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ýª B = A¡1 , C =¡1 A: ¢ ¡ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.3: ºÃ» Q(A)-Ý ùí³½ÇËáõÙμ ¿ , ³å³ Q A¡1 -Á ¨ ¡¡1 ¢ Q A -Á ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ùí³½ÇËÙμ»ñ: Àëï áñáõÙª ¡ ¡1 ¢¡1 A = A;

¡1 ¡1

¢ A = A;

¡¡1 ¡ ¡1 ¢¢¡1 ¡1 ³¡¡1 ¢¡1 ´ = A¤ ; A = A

áñï»Õ A¤ (x; y) = A(y; x): Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ Ï³ñáÕ »Ý

ÉÇÝ»É ÙÇ³ÛÝ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÁª

A¡1 ;

¡1

¡ ¡1 ¢ A ;

¡¡1 ¢¡1 A ;

¡¡1 ¡ ¡1 ¢¢¡1 A :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

ºÃ» A ùí³½ÇËÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ±-áí Ï³Ù Ï»ïáí, ³å³ A¡1 ¨ ¡1 A ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý §n¦-áí ¨ §=¦-áí: Q áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù FQ -áí ¨ ³Ûë μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª A ¢ B(x; y) = A(x; B(x; y)); A ± B(x; y) = A(B(x; y); y);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ A; B 2 FQ , x; y 2 Q: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý, áñ FQ (¢)-Á ¨ FQ (±)-Á ÙÇ³íáñáí ÏÇë³ËÙμ»ñ »Ý, áõñ áñå»ë ÙÇ³íáñÝ»ñ Ñ³Ý¹»ë »Ý ·³ÉÇë Ñ»ï¨Û³É ±22 ¨ ±21 ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª

±21 (x; y) = x; ±22 (x; y) = y; áñï»Õ x; y 2 Q: ²Ûë »ñÏáõ ÏÇë³ËÙμ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ÏáãíáõÙ »Ý »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ÏÇë³ËÙμ»ñ: ²ÛÅÙ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ (Ñ³Ûï³ÝÇßÁ) Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñ³Ó¨³Ï»ñå»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: Â»áñ»Ù 18.8: àñå»ë½Ç Q(A) ËÙμ³Ï»ñåÁ ÉÇÝÇ ùí³½ÇËáõÙμ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ A 2 FQ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ FQ (¢) ¨ FQ (±) ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËÙμ»ñáõÙ: Àëï áñáõÙ, »Ã» Q(A)-Ý ùí³½ÇËáõÙμ ¿ , ³å³ A¡1 -Á ÏÉÇÝÇ A-Ç

(¢) ÏÇë³ËÙμáõÙ, ÇëÏ ¡1 A-Á ÏÉÇÝÇ A-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ

Ñ³Ï³¹³ñÓÁ FQ

FQ (±) ÏÇë³ËÙμáõÙ: ¤

ì»ñçáõÙ Ýß»Ýù, áñ Ç ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí Ã»áñ»Ù 18.7-Á, »ñμ»ÙÝ ùí³½ÇËáõÙμÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ áñå»ë »ñ»ù »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí Q(A; B; C) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áñÇ Ù»ç ï»ÕÇ áõÝ»Ý ³Û¹ Ã»áñ»ÙáõÙ Ýßí³Í μáÉáñ ãáñë ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ 3 ï³ññ³ÝÇ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÑÝ³ñ³íáñ ¿ Ï³éáõó»É (ë³ÑÙ³Ý»É) ÁÝ¹³Ù»ÝÁ 12 ùí³½ÇËÙμ»ñ, ÇëÏ ³ñ¹»Ý 4 ï³ññ³ÝÇ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ª 576 ùí³½ÇËÙμ»ñ: ²Ûë ÃÇíÁ Ù»Í ³ñ³·áõÃÛ³Ùμ ³×áõÙ ¿:

18.2. ºÝÃ³ÏÇë³ËÙμ»ñ ¨ »ÝÃ³ËÙμ»ñ 18.2.1.

ºÝÃ³ÏÇë³ËÙμÇ

»ÝÃ³ËÙμÇ

·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ: ê³ÑÙ³Ý»Ýù »ÝÃ³ÏÇë³ËÙμÇ ¨ »ÝÃ³ËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç (Ñ³Ù³ñ): ¸Çóáõù Q(±)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ÇëÏ Q0 μ Q, Q0 6= ;: Î³ë»Ýù, áñ Q0 -Á Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿ ¨ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù Q0 . Q, »Ã» ³ÛÝ ÷³Ï ¿ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª Q0 -Á Çñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ a, b ï³ññ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ý³¨ ¹ñ³Ýó a ± b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª a; b 2 Q0 ¡! a ± b 2 Q0 :

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²Û¹ ¹»åùáõÙ, Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ± ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É Ý³¨ áñå»ë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ áñáßí³Í Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ Q0 (±)-Á ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμ, áñáíÑ»ï¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ ³Ûëï»Õ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ÇÝùÝÁëïÇÝùÛ³Ý: ºÃ» Q0 (±) ÏÇë³ËáõÙμÁ Ý³¨ ËáõÙμ ¿, ³å³ Q0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q0 6 Q: úñÇÝ³Ï, SLn (R) 6 GLn (R), An 6 Sn , nZ 6 Z, áñï»Õ nZ = fnx j x 2 Zg, n 2 N: ²ÛëåÇëáí, Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÏáãíÇ Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) Q0 -Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ a, b ï³ññ»ñÇ a ± b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ; μ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q0 ï³ññ, áñ e ± a = a ± e = a ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (e-Ý ÏáãíáõÙ ¿ »ÝÃ³ËÙμÇ ÙÇ³íáñ); ·) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q0 ï³ññ, áñ a ± a0 = a0 ± a = e: §.¦ ¨ §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù (³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý, Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ¨ ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛ³Ý) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(±) ÏÇë³ËáõÙμ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ, ûñÇÝ³Ï Q0 = Q: ØÇÝã¹»é ÏÇë³ËáõÙμÁ Ï³ñáÕ ¿ ãáõÝ»Ý³É »ÝÃ³ËáõÙμ: úñÇÝ³Ï, μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N(+) ÏÇë³ËáõÙμÁ, áñï»Õ 0 2 = N,³Û¹åÇëÇÝ ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(±) ËáõÙμ, jQj > 2 ¹»åùáõÙ, áõÝÇ ³éÝí³½Ý »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñª Q0 = feg ¨ Q00 = Q, áñï»Õ e-Ý ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ØÇ¨ÝáõÛÝ ÏÇë³ËÙμÇ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ »ÝÃ³ËÙμ»ñ Ï³ñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É ï³ñμ»ñ ÙÇ³íáñÝ»ñ: úñÇÝ³Ï, Z(¢) ÏÇë³ËÙμÇ Q0 = f0g ¨ Q00 = f1; ¡1g »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ³Û¹åÇëÇÝ »Ý: ê³Ï³ÛÝ, »Ã» ÏÇë³ËÙμÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñ Ñ³ïíáõÙ »Ý (³ÛëÇÝùÝª Ñ³ïáõÙÁ ¹³ï³ñÏ ã¿), ³å³ ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ: È»ÙÙ 18.1: ºÃ» ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÏÇë³ËÙμÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñ Ñ³ïíáõÙ »Ý, ³å³ ³Û¹ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(±)-Á ïñí³Í ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿, Q1 6 Q, Q2 6 Q, Q1 \ Q2 6= ;, a 2 Q1 \ Q2 , e 2 Q1 ï³ññÁ Q1 (±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ÇëÏ f 2 Q2 ï³ññÁ Q2 (±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: Üß³Ý³Ï»Éáí a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ Q1 (±) ËÙμáõÙ a0 -áí, ÇëÏ Q2 (±) ËÙμáõÙª a00 -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ a ± a0 = a0 ± a = e; a ± e = e ± a = a;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

a ± a00 = a00 ± a = f; a ± f = f ± a = a : Ð»ï¨³μ³ñ, e = a ± a0 = (f ± a) ± a0 = f ± (a ± a0 ) = f ± e = (a00 ± a) ± e = = a00 ± (a ± e) = a00 ± a = f :

ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (ÝáõÛÝÇëÏ ÙÇ³íáñáí) ÏÇë³ËáõÙμ, áñÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ÙÇ³íáñÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³ÛÝåÇëÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ÏÇë³ËÙμ»ñáí, áñáÝó Ñ³ïáõÙÁ ¹³ï³ñÏ ã¿: úñÇÝ³Ï, R £ R-Á (1; 1) ÙÇ³íáñáí ÏÇë³ËáõÙμ ¿, Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμª (x; y) ¢ (u; v) = (x ¢ u; y ¢ v); áñÝ ûÅïí³Í ¿ (1; 0) ¨ (0; 1) ÙÇ³íáñÝ»ñáí R± = f(x; 0) j x 2 Rg ¨ R± = f(0; x) j x 2 Rg »ÝÃ³ÏÇë³ËÙμ»ñáí, áñáÝó Ñ³ïáõÙÁ ¹³ï³ñÏ ã¿: Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ e 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ, »Ã» e ± e = e: úñÇÝ³Ï, Z(¢) ÏÇë³ËÙμÇ 0 ¨ 1 ï³ññ»ñÁ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ »Ý: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÏÇë³ËÙμ»ñ, áñáÝó μáÉáñ ï³ññ»ñÁ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ »Ý (ûñÇÝ³Ï, Q(±)-Á, áñï»Õ x ± y = y), ë³Ï³ÛÝ ËÙμÇ ÙÇ³Ï ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÁ ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: Æñáù, »Ã» Q(±)-Á ËáõÙμ ¿, e 2 Q ï³ññÁ Ýñ³ ÙÇ³íáñÝ ¿, ÇëÏ f 2 Q ¨ f ± f = f , ³å³ f ± f = f ± e, áñï»ÕÇóª f = e: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ËÙμÇ e ÙÇ³íáñÁ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËÙμÇ f ÙÇ³íáñÇ Ñ»ï ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ËÙμÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ¹³ï³ñÏ ã¿: ºÃ» Q = N, ÇëÏ x ± y ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³Ý»Ýù áñå»ë x, y μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ (³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ), ³å³ N(±)-Á ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 2.6, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 4.2), áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, N(±)-Á ËáõÙμ ã¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.4: àñå»ë½Ç Q(±) ÏÇë³ËáõÙμÝ áõÝ»Ý³ »ÝÃ³ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ áõÝ»Ý³ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q(±) ÏÇë³ËáõÙμÝ áõÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, ³å³ ³Û¹ ËÙμÇ e ÙÇ³íáñÁ ÏÉÇÝÇ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ e 2 Q ï³ññÝ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ¿, ³å³ Q0 = feg μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ: ¤

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Â»áñ»Ù 18.9: ÎÇë³ËÙμÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ÏÇë³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ ¿ , »Ã» ³ÛÝ ¹³ï³ñÏ ã¿ : ÎÇë³ËÙμÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, »Ã» ³ÛÝ ¹³ï³ñÏ ã¿ : ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ÏÇë³ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ (»ÝÃ³ÏÇë³ËÙμ»ñÇ) Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ: Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ Hi , i 2 N S »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ (»ÝÃ³ÏÇë³ËÙμ»ñÇ) Hi ÙÇ³íáñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ

(»ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ), »Ã»

i=1

H1 μ H2 μ ¢ ¢ ¢ μ Hn μ ¢ ¢ ¢

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q(±)-Á ïñí³Í ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿, Q1 6 Q, Q2 6 Q, Q1 \ Q2 6= ;, a 2 Q1 \ Q2 , e 2 Q1 ï³ññÁ Q1 (±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ÇëÏ f 2 Q2 ï³ññÁ Q2 (±)-Ç ÙÇ³íáñÝ ¿, ³å³ (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 18.1)-Çª e = f 2 Q1 \Q2 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ýß³Ý³Ï»Éáí a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÁ Q1 (±) ËÙμáõÙ a0 -áí, ÇëÏ Q2 (±) ËÙμáõÙª a00 -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª a ± a0 = a0 ± a = e; a ± a00 = a00 ± a = e :

Ð»ï¨³μ³ñ, a0 = a00 2 Q1 \ Q2 : ØÝ³ó³Í åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ¤ àñå»ë ûñÇÝ³Ï ¹Çï³ñÏ»Ýù μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(¢) (³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ) ÏÇë³ËáõÙμÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n 2 N μÝ³Ï³Ý p n ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 1 = f"0 = 1; "1 ; : : : ; "n¡1 g μ C »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ "k = cos

2¼k 2¼k + i sin ; n n

k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1;

p Ï³½ÙáõÙ ¿ C(¢) ÏÇë³ËÙμÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ÝÃ³ËáõÙμª n 1 6 C: ²ÏÝÑ³Ûï p p p p S k nk 1 ï»ë³¿, áñ n 1 μ n 1 μ ¢ ¢ ¢ μ n 1 μ ¢ ¢ ¢ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, k=1

μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÏÉÇÝÇp C(¢)-Ç »ÝÃ³ËáõÙμ, áñÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Cn1 -áí Ï³Ù n 1-áí: ê³Ï³ÛÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ËÙμÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙÁ Ï³ñáÕ ¿ ãÉÇÝ»É »ÝÃ³ËáõÙμ: úñÇÝ³Ï, S3 ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙÁ »ÝÃ³ËáõÙμ ã¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q0 -Á μ³í³ñ³ñÇ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) Q0 -Á å³ñáõÝ³ÏÇ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, μ) Q0 -Á å³ñáõÝ³ÏÇ Q(±) ËÙμÇ e ÙÇ³íáñÁ, ·) Q0 -Á Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ å³ñáõÝ³ÏÇ Ý³¨ ¹ñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ Q(±) ËÙμáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.5: àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q0 Á μ³í³ñ³ñÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇÝ. »1 ) x; y 2 Q0 ¡! x ± y ¡1 2 Q0 , »2 ) x; y 2 Q0 ¡! x¡1 ± y 2 Q0 , áñï»Õ a¡1 -Á a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿ Q(±) ËÙμáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: »1 ): ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q0 6 Q, ³å³ e 2 Q0 ¨ a¡1 2 Q0 , »Ã» a 2 Q0 , ÇëÏ e-Ý Q(±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» x; y 2 Q0 , ³å³ x; y ¡1 2 Q0 ¨ x ± y ¡1 2 Q0 : ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ïí³Í »1 ) å³ÛÙ³ÝÇ Ù»ç í»ñóÝ»Ýù x = y, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù e 2 Q0 , áñï»Õ e-Ý Q(±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ÇëÏ x = e ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù y¡1 2 Q0 , áñï»Õ y 2 Q0 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, ¢¡1 ¡ 2 Q0 ¡! x ± y 2 Q0 : x; y 2 Q0 ¡! x; y ¡1 2 Q0 ¡! x ± y ¡1

²ÛëåÇëáí, áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ËáõÙμ ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ¤ 18.2.2. ØÇ³íáñáí ÏÇë³ËÙμÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ: ÎÇë³ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμ: Ü»ñÙáõÍ»Ýù ÏÇë³ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ Q0 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμ Q(±) ÏÇë³ËÙμáõÙ, »Ã» Q0 -Á ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ÁÝ¹·ñÏ»É Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ Q(±)-Ç áñ¨¿ H »ÝÃ³ËÙμáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª Q0 μ H 6 Q ¡! Q0 = H : úñÇÝ³Ï, Z(¢) ÏÇë³ËÙμÇ Q0 = f0g »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿, ÇëÏ Q0 = f1g »ÝÃ³ËáõÙμÁ áã, áñáíÑ»ï¨ í»ñçÇÝë ÁÝ¹·ñÏíáõÙ ¿ H = f1; ¡1g »ÝÃ³ËÝμáõÙ: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ áõÝÇ ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μÝáõÛÃ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Â»áñ»Ù 18.10: e ÙÇ³íáñáí Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ

ûÅïí³Í

Q(±)

ÏÇë³ËÙμÇ

μáÉáñ

Q¤ = fa 2 Qj 9a0 2 Q; a ± a0 = a0 ± a = eg

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Q(±)-Ç »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ : Àëï áñáõÙ, Q¤ -Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ Ñ»ï Ñ³ïíáÕ Q(±)-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËáõÙμ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q¤ »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ Q(±) ÏÇë³ËÙμáõÙ: ²å³óáõóáõÙ: Q¤ 6= ;, áñáíÑ»ï¨ e 2 Q¤ : Q¤ . Q, áñáíÑ»ï¨ a; b 2 Q¤ ¡! a ± b 2 Q¤ ¨ (a ± b)0 = b0 ± a0 : ²ÛÝáõÑ»ï¨, Q¤ 6 Q, áñáíÑ»ï¨ a 2 Q¤ ¡! a0 2 Q¤ ; áñï»Õ (a0 )0 = a: ¸Çóáõù G 6 Q ¨ G \Q¤ 6= ;, a 2 G \Q¤ : ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É G μ Q¤ Ý»ñ¹ñáõÙÁ: Ü³Ë, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 18.1-Ç, »Ã» f 2 G ï³ññÁ G(±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ³å³ f = e (ë³Ï³ÛÝ ³Ûë ¹»åùáõÙ, e = f Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëï³óíáõÙ ¿ ³í»ÉÇ Ñ»ßïª e = a ± a0 = (f ± a) ± a0 = f ± (a ± a0 ) = f ± e = f ) : ¸Çóáõù x 2 G: ø³ÝÇ áñ G(±)-Á e ÙÇ³íáñáí ËáõÙμ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x1 2 G μ Q, áñ x ± x1 = x1 ± x = e; Ñ»ï¨³μ³ñ, x Q¤ : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Q¤ »ÝÃ³ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³ÉáõÃÛáõÝÁ Q(±) ÏÇë³ËÙμáõÙ: ºÃ» Q¤ μ H 6 Q, ³å³ Q¤ \ H = Q¤ 6= ; ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ åÝ¹Ù³Ýª H μ Q¤ : ²ÛëåÇëáíª ¤ Q¤ = H: 18.2.3. ÎÇë³ËÙμÇ

ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ

ï³ññÇÝ ¸Çóáõù Q(±) Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμÁ: ÏÇë³ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ e ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññáí, ³ÛëÇÝùÝª e ± e = e: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Qe = fa 2 Qj a ± e = e ± a = ag

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Q(±)-Ç »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμª ûÅïí³Í e ÙÇ³íáñáí: Æñáù, Ý³Ë Qe 6= ;, áñáíÑ»ï¨ e 2 Qe : ºÃ» a; b 2 Qe , ³å³ (a ± b) ± e = a ± (b ± e) = a ± b; e ± (a ± b) = (e ± a) ± b = a ± b

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, a ± b 2 Qe : ²ÛëåÇëáí, Qe . Q ¨ ûÅïí³Í ¿ e ÙÇ³íáñáí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, áñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ, áñï»Õ Q¤e -Á Qe (±) ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.2: ºÃ» Q(±)-Á e ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿ , ³å³ Qe . Q, ÇëÏ Q¤e 6 Qe : Àëï áñáõÙ, Q¤e -Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ Ñ»ï Ñ³ïíáÕ Qe (±)-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËáõÙμ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q¤e »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ Qe (±) ÙÇ³íáñáí ¤ ûÅïí³Í ÏÇë³ËÙμáõÙ: ¸»é ³í»ÉÇÝ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ: Â»áñ»Ù 18.11: ºÃ» Q(±)-Á e ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿ , ³å³ Q¤e 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ Ñ»ï Ñ³ïíáÕ Q(±)-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËáõÙμ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q¤e »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ Q(±) ÏÇë³ËÙμáõÙ: Àëï áñáõÙ, »Ã» e1 6= e2 , ³å³ Q¤e1 \ Q¤e2 = ;, áñï»Õ e1 ; e2 2 Q ï³ññ»ñÁ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù G 6 Q ¨ G \ Q¤e 6= ;, a 2 G \ Q¤e : ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É G μ Q¤e Ý»ñ¹ñáõÙÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ, ÇÝãå»ë ¨ Ã»áñ»Ù 18.10áõÙ, μ³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É, áñ G(±) ËÙμÇ f 2 G ÙÇ³íáñÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 18.1-Ç, Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ e 2 Q ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÇ Ñ»ï, áñáíÑ»ï¨ e-Ý Q¤e (±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, G μ Q¤e : ²ÛÝáõÑ»ï¨, Q¤e »ÝÃ³ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³ÉáõÃÛáõÝÁ Q(±) ÏÇë³ËÙμáõÙ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ×Çßï ÝáõÛÝ Ï»ñå, ÇÝãå»ë Q¤ -Ç Ù³ùëÇÙ³ÉáõÃÛáõÝÁ Ã»áñ»Ù 18.10-áõÙ: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ e1 ; e2 2 Q ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª e1 6= e2 ¡! Q¤e1 \ Q¤e2 = ; :

ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, »Ã» Q¤e1 \ Q¤e2 6= ;, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù Q¤e1 μ Q¤e2 , ³ÛëÇÝùÝª Q¤e1 6 Q¤e2 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Q¤e1 (±) ¨ Q¤e2 (±) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ e1 ¨ e2 ÙÇ³íáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñª

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

e1 = e2 : ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÏÇë³ËÙμÇ »ñÏáõ Ñ³ïíáÕ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤ Q¤e 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ e 2 ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ »ÝÃ³ËáõÙμ:

18.2.4. ÎÇë³ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ μÝáõÃ³·ñáõÙÁ: ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ e ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Q¤e »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ ïñí³Í ÏÇë³ËÙμáõÙ: ä³ñ½íáõÙ ¿ ×Çßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ÏÇë³ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμ áõÝÇ ³Û¹ ï»ëùÁ, ³ÛëÇÝùÝª ÏÇë³ËÙμáõÙ áõñÇß Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý: Â»áñ»Ù 18.12: ò³ÝÏ³ó³Í Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q0 6 Q Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ, áñ Q0 = Q¤e :

²å³óáõóáõÙ : Æñáù, Q0 (±) ËÙμÇ e 2 Q0 ÙÇ³íáñÁ ÏÉÇÝÇ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ Q(±)-áõÙ, Ñ»ï¨³μ³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É Q¤e 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñÁ Ñ³ïíáõÙ ¿ Q0 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ»ï, áñáíÑ»ï¨ e 2 Q0 \ Q¤e : àõëïÇ, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÇ, Q0 μ Q¤e μ Q ¨ ù³ÝÇ áñ Q0 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ Q(±)-áõÙ, ³å³ Q0 = Q¤e : e ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤ 18.2.5. ÊÙμÇ Ï»ÝïñáÝ ¨ ÝáñÙ³É³óÝáÕ »ÝÃ³ËáõÙμ (ÝáñÙ³ÉÇ½³ïáñ): ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿: Q(±) ËÙμÇ Ï»ÝïñáÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Z(Q)-áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Z(Q) = fa 2 Qj a ± x = x ± a ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñg : È»ÙÙ 18.2: ÊÙμÇ Ï»ÝïñáÝÁ »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ , ³í»ÉÇ ×Çßïª Z(Q) 6 Q:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë Z(Q) 6= ;, áñáíÑ»ï¨ e 2 Z(Q): ²ÛÝáõÑ»ï¨ª a; b 2 Z(Q) ¡! a ± b 2 Z(Q) ¨ a 2 Z(Q) ¡! a¡1 2 Z(Q);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñáíÑ»ï¨ª (a ± b) ± x = a ± (b ± x) = a ± (x ± b) = (a ± x) ± b = (x ± a) ± b = x ± (a ± b); ¤

a ± x = x ± a ¡! x = a¡1 ± x ± a ¡! x ± a¡1 = a¡1 ± x :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Q(±) ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »ñμ Z(Q) = Q: ØÛáõë Í³Ûñ³Ñ»Õ ¹»åùáõÙ, »ñμ Z(Q) = feg, Q(±) ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³Ýó Ï»ÝïñáÝÇ Ï³Ù Ï»ÝïñáÝ ãáõÝ»óáÕ: Â»áñ»Ù 18.13: ºÃ» n > 3, ³å³ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÝ ³é³Ýó Ï»ÝïñáÝÇ ¿ , ÇëÏ n > 4 ¹»åùáõÙ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ ¨ë ³é³Ýó Ï»ÝïñáÝÇ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ® 2 Sn , ® 6= ", ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ i 6= j Ãí»ñ, áñ ®(i) = j, 1 6 i; j 6 n: ø³ÝÇ áñ n > 3, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ ³ÛÝåÇëÇ ¯ 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ, áñ ¯ = (j; k), áñï»Õ k 6= j ¨ k 6= i: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ® 6= ¯ ¨ (® ¢ ¯)i = ¯(®i) = ¯(j) = k; (¯ ¢ ®)i = ®(¯i) = ®(i) = j;

³ÛëÇÝùÝª ® ¢ ¯ 6= ¯ ¢ ® ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ® 2 = Z(Sn ): ²å³óáõó»Ýù Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: ÞÝáñÑÇí n > 4 å³ÛÙ³ÝÇ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý ® 2 An , ® 6= " ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï Ù»Ïï»Õ, áñï»Õ ®(i) = j, i 6= j, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ° 2 An ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁª ° = (j; k; s) = (j; k) ¢ (j; s); áñï»Õ i; j; k; s Ãí»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý: ²ÛÝáõÑ»ï¨, (® ¢ °)i = °(®i) = °(j) = k; (° ¢ ®)i = ®(°i) = ®(i) = j ;

àõëïÇ, ® ¢ ° 6= ° ¢ ® ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, ® 2 = Z(An ):

³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ:

¡1

Ha =

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

È»ÙÙ 18.3: a¡1 Ha 6 Q ¨ NQ (H) 6 Q ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ ¨

ó³ÝÏ³ó³Í H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» u; v 2 a¡1 Ha, ³å³ u = a¡1 ± x ± a, v = a¡1 ± y ± a, áñï»Õ x; y 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, u ± v = a¡1 ± x ± a ± a¡1 ± y ± a = a¡1 ± (x ± y) ± a 2 a¡1 Ha; áñáíÑ»ï¨ x ± y 2 H: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ¢¡1 ¡ ¢¡1 ¡ = a¡1 ± x¡1 ± a¡1 = a¡1 ± x¡1 ± a 2 a¡1 Ha; u¡1 = a¡1 ± x ± a

áñáíÑ»ï¨ x¡1 2 H: NQ (H) 6 Q Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤

ì»ñçÇÝ ¹»åùáõÙ ³í»ÉÇ ¹ÛáõñÇÝ ¿ í³ñí»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ºÃ» Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý X; Y μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù X ¢ Y = fx ¢ y j x 2 X; y 2 Y g ; ³å³ ³Ûë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ³ÛëÇÝùÝª (X ¢ Y ) ¢ Z = X ¢ (Y ¢ Z) ó³ÝÏ³ó³Í X; Y; Z μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, ÁÝÑ³Ýñ³óí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»ÝùÇ (Ã»áñ»Ù 1.3) Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ X1 ¢ X2 ¢ ¢ ¢ Xn ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ï³Ëí³Í ã¿ ÷³Ï³·Í»ñÇ ¹³ë³íáñáõÃÛáõÝÇó: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q(¢) ËÙμáõÙª ª © a¡1 Ha = a¡1 ¢ H ¢ fag ¨, »Ã» a¡1 Ha = H, b¡1 Hb = H, ³å³ ¢ © ª © ª ¡ (ab)¡1 H(ab) = b¡1 a¡1 H(ab) = b¡1 ¢ a¡1 ¢ H ¢ fag ¢ fbg = © ª = b¡1 ¢ H ¢ fbg = H; ¡ ¡1 ¢¡1 ª © ª © ª © a Ha¡1 = aHa¡1 = fag¢H¢ a¡1 = fag¢ a¡1 ¢H¢fag¢ a¡1 = H : NQ (H) 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ H-Ç ÝáñÙ³É³óÝáÕ »ÝÃ³ËáõÙμ (ÝáñÙ³ÉÇ½³ïáñ) Q(¢) ËÙμáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ H 6 NQ (H):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18.2.6. Àëï

»ÝÃ³ËÙμÇ

Ñ³ÙáõÕÕí³Í (ÏáÕÙÝáñáßí³Í) Ñ»Ýù»ñ: ¸Çóáõù Q-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿‘ áñáßí³Í P ¹³ßïÇ íñ³, ÇëÏ H(¢)-Á n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ áñ¨¿ ËáõÙμ ¿, ³ÛëÇÝùÝª H 6 GLn (P ): ºÃ» e1 ; : : : ; en Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Q-Ç Ñ»Ýù ¿, ÇëÏ A 2 H, A = (aij ), ³å³ Q-Ç ï³ññ»ñÇ e01 ; : : : ; e0n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ e01 = a11 e1 + ¢ ¢ ¢ + a1n en ; ::: ::: ::: e0n = an1 e1 + ¢ ¢ ¢ + ann en ; ¨ë ÏÉÇÝÇ Q-Ç Ñ»Ýù: Ø³ïñÇó³ÛÇÝ ï»ëùáíª e0 = A ² e, áñï»Õ 0 0 1 e1 e1 C B C B e0 = @ ... A ; e = @ ... A : e0n

Q-Ç »ñÏáõ e ¨ e0 Ñ»Ýù»ñ Ï³Ýí³Ý»Ýù H-Ñ³Ù³ñÅ»ù ¨ Ï·ñ»Ýù e»e0 , »Ã» H

e0 = A ² e, áñï»Õ A 2 H:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.6: ºÃ» H

GLn (P ), ³å³ ë³ÑÙ³Ýí³Í §»¦ H

Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ ª áñáßí³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý n-ã³÷³ÝÇ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ñ»Ýù»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³ÛëÇÝùÝª ³) e»e, Q-Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³ñ, H

μ) e»e0 ¡! e0 »e, H

·) e»e0 ; e0 »e00 ¡! e»e00 ,: H

²å³óáõóáõÙ: e»e, áñáíÑ»ï¨ e = E ¢ e, áñï»Õ E-Ý n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³íáñ H

Ù³ïñÇóÝ ¿ ¨ E 2 H: ºÃ» e»e0 , ³å³ e0 = A ² e, áñï»ÕÇó e = A¡1 ² e ¨ H

A¡1 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, e0 »e: ¸Çóáõù e»e0 ¨ e0 »e00 : Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ H

ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ A1 2 H ¨ A2 2 H Ù³ïñÇóÝ»ñ, áñ e0 = A1 ² e ¨ e00 = A2 ² e0 : ÎáõÝ»Ý³Ýùª e00 = A2 ² (A1 ² e) = (A2 ¢ A1 ) ² e, áñï»Õ ¤ A2 ¢ A1 2 H: àõëïÇª e»e00 : H

²Ûë Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ HÑ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ, áñï»Õ H 6 GLn (P ): Àëï áñáõÙ, e

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ñ»ÝùÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇª H(e) = fA ² e j A 2 Hg Ñ»Ýù»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ØÇ¨ÝáõÛÝ H(e) Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ »ñÏáõ Ñ»Ýù»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³ÙáõÕÕí³Í Ï³Ù ÏáÕÙÝáñáßí³Í Áëï H 6 GLn (P ) »ÝÃ³ËÙμÇ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, Ñ»Ýù»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³ÏáõÕÕí³Í Áëï H 6 GLn (P ) »ÝÃ³ËÙμÇ: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýù áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»Ýù»ñÇ ¹³ë³Ï³ñ·áõÙª ïñí³Í ËÙμÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ: úñÇÝ³Ï: ¸Çóáõù H 6 GLn (P ) »ÝÃ³ËáõÙμÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª H = fA 2 GLn (P ) jdet(A) > 0g 6 GLn (P );

ÇëÏ Q-Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý n-ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Ûë H »ÝÃ³ËÙμÇ ¹»åùáõÙ Q-Ç μáÉáñ Ñ»Ýù»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý »ñÏáõ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇ Áëï H-Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý: ¸Çóáõù H(e)-Ý ³Û¹ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÝ ¿, ÇëÏ e0 62 H(e), áñï»Õ e0 Á Q-Ç áñ¨¿ Ñ»Ýù ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ý³¨ H(e0 ) Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ Q-Ç ó³ÝÏ³ó³Í e00 Ñ»Ýù ÁÝÏ³Í ¿ ³Û¹ »ñÏáõ ¹³ë»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏáõÙ: Æñáù, »Ã» e0 62 H(e), ³å³ e0 = B ² e; áñï»Õ B-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇó ¿ ¨ det(B) < 0: ¸Çóáõùª e00 = C ² e; e00 = D ² e0 = D ² (B ² e) = (DB) ² e : ²ÛëåÇëáí, C = DB: ºÃ» e00 62 H(e), ³å³ det(C) < 0 ¨, ù³ÝÇ áñ, det(C) = det(D) ¢ det(B), ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª det(D) > 0: Ð»ï¨³μ³ñ, e00 2 H(e0 ):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18.3. ÊÙμ»ñÇ ¨ ÏÇë³ËÙμ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ: ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ ¨ ¹ñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓáõÙÁ ¸Çóáõù Q(¢)-Á ¨ Q0 (±)-Á ÏÇë³ËÙμ»ñ, ùí³½ÇËÙμ»ñ, ËÙμ»ñ Ï³Ù ËÙμ³Ï»ñå»ñ »Ý: âÇ μ³ó³éíáõÙ, áñ ¹ñ³ÝóÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ ÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμ, ùí³½ÇËáõÙμ, ËáõÙμ Ï³Ù ËÙμ³Ï»ñå: ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÑáÙáÙáñýÇ½Ù)ª Q(¢)Çó Q0 (±)-Ç Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ. '(x ¢ y) = '(x) ± '(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ³Û¹ ¹»åùáõÙ ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, ³å³ '-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, Ç½áÙáñýÇ½Ù): Q(¢)-Á ¨ Q0 (±)-Á ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q0 Ï³Ù Q » = Q0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ºñμ»ÙÝ ·ñíáõÙ ¿‘ Q(¢) ' Q0 (±) Ï³Ù Q(¢) » = Q0 (±): ²Ûë §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý (Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý) Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: ' : Q ! Q0 ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÙáÝáÙáñýÇ½Ù, »Ã» '-Ý Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ' : Q ! Q0 ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ¾åÇÙáñýÇ½Ù, »Ã» '-Ý Ý³¨ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: Ð»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý. ³) ºÃ» Q(¢) ' Q0 (±) ¨ Q(¢)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ³å³ Q0 (±)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμ; μ) ºÃ» Q(¢) ' Q0 (±) ¨ Q(¢)-Á ùí³½ÇËáõÙμ ¿, ³å³ Q0 (±)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ùí³½ÇËáõÙμ; ·) ºÃ» Q(¢) ' Q0 (±) ¨ Q(¢)-Á ËáõÙμ ¿, ³å³ Q0 (±)-Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ËáõÙμ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Sn ' Pn ¨ An ' Tn , ³ÛëÇÝùÝª n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÝ Ç½áÙáñý ¿ μáÉáñ n-ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Pn ËÙμÇÝ ¨ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ μáÉáñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÝ Ç½áÙáñý ¿ μáÉáñ ½áõÛ· nï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÝñÇ Tn ËÙμÇÝ: (¢) ¨ FQ (±) ÏÇë³ËÙμ»ñÝ 2) ºñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñáÑÇßÛ³É FQ ¤ Ç½áÙáñý »Ý, áñáíÑ»ï¨ ' : A ! A ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñï»Õ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

A¤ (x; y) = A(y; x), ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ FQ (¢) ÏÇë³ËÙμÇó FQ (±) ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç, ù³ÝÇ áñ '-Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ¿ ¨

(A ¢ B)¤ = A¤ ± B¤

ó³ÝÏ³ó³Í A; B 2 FQ

ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, (A ¢ B)¤ (x; y) = (A ¢ B)(y; x) = A(y; B(y; x)) = A¤ (B¤ (x; y); y) = (A¤ ± B ¤ ) (x; y), áñï»Õ x; y 2 Q: ²ÛëåÇëáí, FQ (¢) ' FQ x+y x y 3) a = a ¢ a ¹åñáó³Ï³Ý μ³Ý³Ó¨Á, áñï»Õ a > 0, a 6= 1, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ ' : x ! ax ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿ μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËÙμÇó μáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇ Ù»çª R(+) ' R+ (¢): 4) det(A ¢ B) = det(A) ¢ det(B) μ³Ý³Ó¨Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ ' : A ! det(A) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ μáÉáñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ÏÇë³ËÙμÇó μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç (ÝáõÛÝ μ³Ý³Ó¨áí áñáßíáõÙ ¿ Ý³¨ ÑáÙáÙáñýÇ½Ùª μáÉáñ nñ¹ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ GLn (R) ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇó μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇ Ù»ç): ²Ûë ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ det-áí:

È»ÙÙ 18.4: Æ½áÙáñýáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý »ñ»ù

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝª

³) Q ' Q, μ) »Ã» Q ' Q0 , ³å³ Q0 ' Q, ·) »Ã» Q ' Q0 ¨ Q0 ' Q00 , ³å³ Q ' Q00 :

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, ³) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ "Q : Q ! Q ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: μ) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ »Ã» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ¿ Ý³¨ '¡1 : Q0 ! Q ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñáíÑ»ï¨ '(x ¢ y) = '(x) ± '(y);

x; y 2 Q;

å³ÛÙ³ÝÇó x = '¡1 (x0 ), y = '¡1 (y 0 ) ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ' '¡1 (x0 ) ¢ '¡1 (y 0 ) = ' '¡1 (x0 ) ± ' '¡1 (y 0 ) ; ¡ ¢ ' '¡1 (x0 ) ¢ '¡1 (y 0 ) = x0 ± y0 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

'¡1 (x0 ) ¢ '¡1 (y0 ) = '¡1 (x0 ± y 0 ) ;

áñï»Õ x0 ; y 0 2 Q0 : ·) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ »Ã» ' : Q ! Q0 ¨ '0 : Q0 ! Q00 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó ' ¢ '0 : Q ! Q00 ÷áËÙÇ³ñÅ»ù ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñáíÑ»ï¨ (' ¢ '0 )(x ¢ y) = '0 ('(x ¢ y)) = '0 ('x ± 'y) = áñï»Õ x; y 2 Q:

= '0 ('x) ¤ '0 ('y) = (' ¢ '0 )x ¤ (' ¢ '0 )y;

½ Q Ï³Ù Î³ë»Ýù, áñ Q(¢)-Á Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q (±)-Ç Ù»ç ¨ Ï·ñ»Ýù Q ! ½ Q(¢) ! Q (±), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q ÙáÝáÙáñýÇ½Ù, ³ÛëÇÝùÝ‘ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¨ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, »Ã» Q(¢)-Á ÏÇë³ËáõÙμ (ËáõÙμ, ùí³½ÇËáõÙμ) ¿, ³å³

'(Q) = f'(x) j x 2 Qg μ Q0 »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμ (ËáõÙμ, ùí³½ÇËáõÙμ) ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ ¨ Q ' '(Q): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q0 (±) ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç, »Ã» ÁÝ¹áõÝ»Ýù Q0 = Q [ feg, e 62 Q, ¨ x; y 2 Q0 ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýùª < x ¢ y; »Ã» x; y 2 Q; x±y = x; »Ã» x 2 Q0 ; y = e; : y; »Ã» y 2 Q0 ; x = e : ²Ûëï»Õ áñå»ë ' : Q ! Q0 Ý»ñ¹ñáÕ ¨ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É "Q ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ:

Â»áñ»Ù 18.14 (ø»ÉÇ, 1854Ã.): ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý FQ ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμ Ç½áÙáñý ¿ FQ ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμÇ áñ¨¿ »ÝÃ³ÏÇë³ËÙμÇ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ËáõÙμ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý SQ ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ËáõÙμ Ç½áÙáñý ¿ SQ ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ áñ¨¿

»ÝÃ³ËÙμÇ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(¢)-Á e 2 Q ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ÏÇë³ËáõÙμ ¿, a 2 Q: ê³ÑÙ³Ý»Ýù Ra : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (³ç ï»Õ³ß³ñÅ) Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Ra (x) = x ¢ a; x 2 Q : î»ÕÇ áõÝÇ

Ra ¢ Rb = Ra¢b

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª (Ra ¢ Rb ) x = Rb (Ra (x)) = Rb (x ¢ a) = (x ¢ a)b = x ¢ (a ¢ b) = Ra¢b (x) : a 2 Qg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÇë³ËáõÙμ ¿ Ð»ï¨³μ³ñ, RQ = fRa j ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª RQ . FQ : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ Q(¢)-Á Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ FQ ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμáõÙ: àñáÝ»ÉÇ ' : Q ! FQ Ý»ñ¹ñáÕ ¨ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª '(a) = Ra ; ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ Çñáù Ý»ñ¹ñáÕ ¿, ³ÛëÇÝùÝª '(a) = '(b) ¡! a = b; áñáíÑ»ï¨ Ra = Rb ¡! Ra (x) = Rb (x) ¡! Ra (e) = Rb (e) ¡! e ¢ a = e ¢ b ¡! a = b; ¨ áñáíÑ»ï¨

'(a ¢ b) = '(a) ¢ '(b); Ra¢b = Ra ¢ Rb :

²ÛëåÇëáí Q ' RQ : ÊÙμÇ ¹»åùáõÙ μ³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í Ra ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ÁÝÏ³Í

»Ý SQ -Ç Ù»ç, ³ÛëÇÝùÝª ' : Q ! SQ μ FQ , RQ 6 SQ , »Ã» Q(¢)-Á

½ FQ (¢), »Ã» Q(¢)-Á ÙÇ³íáñáí ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ËáõÙμ ¿: ²ÛëåÇëáí, Q(¢) ! ½ ¤ ÇëÏ Q(¢) ! SQ (¢), »Ã» Q(¢)-Á ËáõÙμ ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.3: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏÇë³ËáõÙμ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ áñ¨¿ ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμáõÙ: ²í»ÉÇ ×Çßï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ FX ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμáõÙ, áñï»Õ X = Q [ feg, e 62 Q, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμ Ç½áÙáñý ¿ FX ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμÇ áñ¨¿ »ÝÃ³ÏÇë³ËÙμÇ: ²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q [ feg(±) ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç: ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÁ ¨ ÝÏ³ï»É, áñ Ý»ñ¹ñÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÷áË³Ýó³Ï³Ý ¿, ½ Q2 ¨ Q2 ½ Q3 , ³å³ Q1 ½ Q3 : ¤ ³ÛëÇÝùÝ‘ »Ã» Q1 ! ! !

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» Q(¢) ËÙμ³Ï»ñåÇ Ñ³Ù³ñ Ra (x) = x ¢ a, áñï»Õ x; a 2 Q, ¨ ' : a ! Ra ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ Q(¢) ËÙμ³Ï»ñåÇó FQ ëÇÙ»ïñÇÏ ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç, ³å³ Q(¢)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» Q(¢) ùí³½ÇËÙμÇ Ñ³Ù³ñ ' : a ! Ra ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ Q(¢) ùí³½ÇËÙμÇó SQ ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ Ù»ç, ³å³ Q(¢)-Á ËáõÙμ ¿: Ð³çáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ï³ÉÇë ¿ ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÙ³Ý Ù»Ï ³ÛÉ ï³ñμ»ñ³Ï: Â»áñ»Ù 18.15 (ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ï³¹³ñÓáõÙÁ): ºÃ» ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(¢) ËÙμ³Ï»ñåÇ Ra : x ! x ¢ a ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ (³ç ï»Õ³ß³ñÅ»ñÇ) RQ = fRa j a 2 Qg

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÇë³ËáõÙμ ¿ ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ Q(¢)-Á ÙÇ³íáñáí ÏÇë³ËáõÙμ ¿ : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» Q(¢) Éáõå³ÛÇ Ra : x ! x ¢ a ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ (³ç ï»Õ³ß³ñÅ»ñÇ) RQ = fRa j a 2 Qg

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÇë³ËáõÙμ ¿ ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ Q(¢)-Á ËáõÙμ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù e-Ý Q(¢)-Ç ÙÇ³íáñÝ ¿: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Ra (e) = Rb (e) ¡! Ra = Rb : Æñáù, Ra (e) = Rb (e) ¡! e ¢ a = e ¢ b ¡! a = b ¡! Ra = Rb :

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ò³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (Ra ¢ Rb ) e = Rb (Ra (e)) = (e ¢ a) ¢ b = a ¢ b; Ra¢b (e) = e ¢ (a ¢ b) = a ¢ b; ø³ÝÇ áñ, Áëï Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ, Ra ¢ Rb 2 RQ áõ (Ra ¢ Rb ) e = Ra¢b (e), ³å³ Ra ¢ Rb = Ra¢b , ³ÛëÇÝùÝª (Ra ¢ Rb ) x = (Ra¢b ) x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëåÇëáí, Rb (Ra (x)) = (Ra¢b ) x; (x ¢ a) ¢ b = x ¢ (a ¢ b) ¤

¨ Q(¢)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.4: ºÃ» Q(¢) Éáõå³ÛÇ Ra ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ (³ç ï»Õ³ß³ñÅ»ñÇ)

x ¢ a

RQ = fRa j a 2 Qg

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÇë³ËáõÙμ ¿ ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³å³ RQ -Ý ËáõÙμ ¿ : ¤ ÊÙμÇ (ÏÇë³ËÙμÇ, ùí³½ÇËÙμÇ) ³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, áñáí ûÅïí³Í ¿ Ý³¨ ³Û¹ ËÙμÇÝ (ÏÇë³ËÙμÇÝ, ùí³½ÇËÙμÇÝ) Ç½áÙáñý ó³ÝÏ³ó³Í ËáõÙμ (ÏÇë³ËáõÙμ, ùí³½ÇËáõÙμ), ÏáãíáõÙ ¿ ËÙμÇ (ÏÇë³ËÙμÇ, ùí³½ÇËÙμÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ, Ï³Ù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÇÝí³ñÇ³Ýï: úñÇÝ³Ï, ËÙμÇ (ÏÇë³ËÙμÇ, ùí³½ÇËÙμÇ) Ï³ñ·Á (Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ), Ýñ³ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÇÝí³ñÇ³ÝïÝ»ñ »Ý: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏáõ Ç½áÙáñý ËÙμ»ñ (ÏÇë³ËÙμ»ñ, ùí³½ÇËÙμ»ñ) ÏáõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý Q1 , Q01 , Q2 , Q02 ËÙμ»ñÁ (ÏÇë³ËÙμ»ñÁ, ùí³½ÇËÙμ»ñÁ): ºñÏáõ f : Q1 ! Q2 ¨ f 0 : Q01 ! Q02 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù ¨ ·ñíáõÙ ¿ f » f 0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ' : Q1 ! Q01 ¨ Ã : Q2 ! Q02 Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñ, áñ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ Ñ»ï¨Û³É ¹Ç³·ñ³ÙÁª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

f Q1

Q2 Ã

? Q01

? Q02

³ÛëÇÝùÝª f ¢ Ã = ' ¢ f 0 , Ï³Ù f 0 = '¡1 ¢ f ¢ Ã: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý

μáÉáñ »ñ»ù

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ

(³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ): f : Q1 ! Q2 ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý áñ¨¿ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý, »Ã» ³Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ¿ Ý³¨ f -ÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáñ»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù ó³ÝÏ³ó³Í ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: úñÇÝ³Ï, ¹Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É, áñ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ (ÑáÙáÙáñýÇ½Ù) ÉÇÝ»Éáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛÅÙ ËÙμ»ñÇ (ÏÇë³ËÙμ»ñÇ, ùí³½ÇËÙμ»ñÇ) ï»ëáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μÝáõÃ³·ñ»É áñå»ë ·ÇïáõÃÛáõÝ, áñÝ áõëáõÙÝ³ëÇñáõÙ ¿ ËÙμ»ñÇ (ÏÇë³ËÙμ»ñÇ, ùí³½ÇËÙμ»ñÇ) ¨ ¹ñ³Ýó ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

18.4. ÊÙμÇ ï³ññÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³Ý ¨ Ï³ñ·: ØÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμ»ñ ¨ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñ: È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñáõÙ 18.4.1. ÊÙμÇ ï³ññÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³Ý ¨ Ï³ñ·, ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμ»ñ: ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ (e 2 Q ÙÇ³íáñáí), a 2 Q, n 2 N, n 6= 0: ê³ÑÙ³Ý»Ýù a ï³ññÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª an = a | ± a ±{z¢ ¢ ¢ ± a}; n

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

a± = e;

¡ ¡1 ¢n ¡1 ¡1 ¡1 ± a ± ¢ ¢ ¢ ± a = a ; a¡n = a | {z } n

áñï»Õ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ·ñí³Í »Ý ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1.3-Ç: ²ÛëåÇëáí, ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ËÙμÇ a ï³ññÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ, ³ÛëÇÝùÝ‘ am -Á, áñï»Õ m 2 Z: ÊÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç Å³Ù³Ý³Ï am -Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñíáõÙ ¿ ma ¨ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §a-Ç m-å³ïÇÏ¦, áñï»Õ m 2 Z:

È»ÙÙ 18.5: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ Ù»çª ¡1

(am )

= a¡m

¡ ¡1 ¢m a = a¡m

ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ÊÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ` ¡(ma) = (¡m)a;

m(¡a) = (¡m)a :

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñ»Ýù »ñ»ù ³ëïÇ×³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý.

¹»åùáíª

³ÙμáÕç

²) m > 0 ¹»åùáõÙª ¡1

(am )

¡1 = (a ¢ ¢ ± a})¡1 = a ¢ ¢ ± a¡1} = a¡m ; | ± ¢{z | ± ¢{z m

´) m = 0 ¹»åùáõÙª (am )¡1 = a¡m , áñáíÑ»ï¨ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý ËÙμÇ e ÙÇ³íáñÇÝ; ¶) m < 0 ¹»åùáõÙ, m = ¡jmj ¨ ´¡1 ³ ¢¡1 ¢¡1 ¡ ¡ ¡1 ¡1 = (a ¢ ¢ ± a¡1})¡1 = a¡1 ± ¢ ¢ ¢ ± a¡1 = (am ) = a¡jmj | ± ¢{z | {z } jmj

=a ¢ ¢ ± a} = ajmj = a¡m ; | ± ¢{z jmj

jmj

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.7: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ Ù»çª am ± an = am+n

ó³ÝÏ³ó³Í m; n 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ÊÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ` ma + na = (m + n)a :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» m = 0 Ï³Ù n = 0, ³å³ ·ñí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÇëÏ m 6= 0 ¨ n 6= 0 ¹»åùáõÙ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ÝÃ³¹»åù»ñÁ. ³) m > 0, n > 0; μ) m > 0, n < 0; ·) m < 0, n > 0; ¹) m < 0, n < 0: ³) ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ²å³óáõó»Ýù ³ÛÝ μ) ¹»åùáõÙ. ¢ ¢ ± a} ¢ |a¡1 ± ¢{z ¢ ¢ ± a¡1} = am ± an = am ± a¡jnj = a | ± ¢{z m

jnj

m¡jnj > ; »Ã» m > jnj; < a e; »Ã» m = jnj; = am+n : = > : ¡a¡1 ¢jnj¡m ; »Ã» jnj > m

ÜáõÛÝ Ï»ñå åÝ¹áõÙÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ ÙÝ³ó³Í »ñÏáõ ¹»åù»ñáõÙ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.8: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ Ù»çª am1 ± am2 ± ¢ ¢ ¢ ± amn = am1 +m2 +¢¢¢+mn

ó³ÝÏ³ó³Í m1 ; m2 ; : : : ; mn 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ÊÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ` m1 a + m2 a + ¢ ¢ ¢ + mn a = (m1 + m2 + ¢ ¢ ¢ + mn )a :

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n > 2 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.9: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ Ù»çª (am )n = amn

ó³ÝÏ³ó³Í m; n 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ÊÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ·ñ»É³Ó¨Ç ¹»åùáõÙ` n(ma) = (nm)a :

²å³óáõóáõÙ: 1) n Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇóª

0 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹

m m (am )n = a ± ¢ ¢ ¢ ± am} = am+m+¢¢¢+m = amn : | ± a {z n

2) n = 0 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ý·áõÙ ¿ e = e Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: 3) n < 0 ¹»åùáõÙ, n = ¡jnj ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 18.5-Çª

´jnj ¡ ³ ¢jnj (am )n = (am )¡jnj = (am )¡1 = a¡m = a¡m¢jnj = a¡m(¡n) = amn : ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.10: àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ í»ñç³íáñ áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q0 -Á ÉÇÝÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ, ³ÛëÇÝùÝª Q0 -Á ÉÇÝÇ ÷³Ï ± ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμª x; y 2 Q0 ¡! x ± y 2 Q0 :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q0 -Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ ³ÛÝ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Ý³¨ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª x1 ; : : : ; xn 2 Q0 ¡! x1 ± ¢ ¢ ¢ ± xn = (x1 ± ¢ ¢ ¢ ± xn¡1 ) ± xn 2 Q0 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» x 2 Q0 , ³å³ xn 2 Q0 , n 2 N, ¨ í»ñç³íáñ Q0 »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ x; x2 ; : : : ; xn ; : : :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³Ýí»ñç Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏÉÇÝ»Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝª xt = xs ;

t > s;

xt¡s = x0 = e; xn = e; ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, e = x 2 Q , x ¿: n

¡1

n = t ¡ s > 0;

= xn¡1 2 Q0 : ²ÛëåÇëáí Q0 (±)-Á ËáõÙμ ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.11: Q(±) ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, (a) = fam j m 2 Zg

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(±) ËÙμÇ a ï³ññáí ÍÝí³Í ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμ, ÇëÏ a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ ÍÝÇã Ï³Ù ÍÝáñ¹ ï³ññ: ²å³óáõóáõÙ: (a) μ Q áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ »ÝÃ³ËáõÙμ ÉÇÝ»Éáõ å³ÛÙ³ÝÇÝ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.5), áñáíÑ»ï¨ »Ã» x; y 2 (a), ³å³ x = am1 , y = am2 , m1 ; m2 2 Z ¨ ¡1 x ± y¡1 = am1 ± (am2 ) = am1 ± a¡m2 = am1 +(¡m2 ) = am1 ¡m2 2 (a) : ¤

ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. I) Q(±) ËÙμÇ a 2 Q ï³ññÇ μáÉáñ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª m 6= n ¡! am 6= an ;

m; n 2 Z;

²Ûë ¹»åùáõÙ, a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ï³ñ· áõÝ»óáÕ Ï³Ù ³Ýí»ñç Ï³ñ·³ÝÇ ¨ ·ñíáõÙ ¿ jaj = 1: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ³Ûë ¹»åùáõÙ, (a) ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ËáõÙμ ¨ (a) = (b) $ b = a Ï³Ù b = a¡1 , áñï»Õ b 2 Q: Æñáù, »Ã» H = (a), ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ H = (a¡1 ): ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» H = (a) = (b), ³å³ a = bm ¨ b = an , Ñ»ï¨³μ³ñ a = (an )m = anm , áñï»ÕÇó nm = 1 ¨ n = §1, ³ÛëÇÝùÝ‘ b = a§1 : II) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ m 6= n ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ am = an : ¸Çóáõù m > n: Ð»ï¨³μ³ñ, am ± a¡n = an ± a¡n ;

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

am¡n = a0 ; aq = e; áñï»Õ q 2 Z, q > 0: ²Ûë ¹»åùõÙ Q(±) ËÙμÇ a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ Ï³ñ· áõÝ»óáÕ Ï³Ù í»ñç³íáñ Ï³ñ·³ÝÇ, ÇëÏ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý q ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ aq = e, ÏáãíáõÙ ¿ a ï³ññÇ (í»ñç³íáñ) Ï³ñ· ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª q = jaj Ï³Ù q = o(a) (order μ³éÇó): ²ÛëåÇëáí, n ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(±) ËÙμÇ a ï³ññÇ Ï³ñ·, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) an = e, μ) am = e, m > 0, m 2 Z ¡! m > n: úñÇÝ³Ï, Z(+) ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ ÏÉÇÝÇ ³Ýí»ñç Ï³ñ·³ÝÇ: ÊÙμÇ ÙÇ³íáñÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Çª jej = 1: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ËÙμÇ Ù»ç jaj = 1, ³å³ a1 = e, ³ÛëÇÝùÝª a = e: ì»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ï³ññ ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ Ï³ñ·³ÝÇ: ÊáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñμ»ñ³Ï³Ý, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ áõÝÇ í»ñç³íáñ Ï³ñ·: ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿; ä³ñμ»ñ³Ï³Ý ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ p-ËáõÙμ, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññÇ Ï³ñ· Ñ³í³ë³ñ ¿ p-Ç áñ¨¿ ³ëïÇ×³ÝÇ: ÊáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³Ýó áÉáñÙ³Ý, »Ã» Ýñ³ ÙÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ³Ýí»ñç Ï³ñ·³ÝÇ ¿: Q(±) ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³ÍÇÝ (Ï³Ù óÇÏÉ³ÛÇÝ) ËáõÙμ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Çñ ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q ï³ññ, áñ Q = (a): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(±) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ ÍÝÇã Ï³Ù ÍÝáñ¹ ï³ññ: ø³ÝÇ áñ (a) μ Q, ³å³ ³Ûëï»Õ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁª Q μ (a), ³ÛëÇÝùÝª Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q ï³ññ áõÝÇ z = am , m 2 Z, Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ: ÊáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇÙÇ³ÍÇÝ (Ï³Ù ùí³½ÇóÇÏÉ³ÛÇÝ), »Ã» ³ÛÝ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿, ë³Ï³ÛÝ Ýñ³ Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËáõÙμ

ÙÇ³ÍÇÝ ¿:

p úñÇÝ³Ï, Z(+), nZ(+), Zn (+), ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ n 1 (¢)p ËÙμ»ñÁ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñ »Ý, áñáíÑ»ï¨ Z = (1), nZ = (n), Zn = ([1]) ¨ n 1 = ("1 ), 2¼ 2¼ + i sin : Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ áñï»Õ "1 = cos n n

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ, áñï»Õ ÍÝÇã ï³ññÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÝ ³μ»ÉÛ³Ý »Ý, áñáíÑ»ï¨ »Ã» x; y 2 Q = (a), ³å³ x = am1 , y = am2 ¨ x±y = am1 ±am2 = am1 +m2 = am2 +m1 = am2 ± am1 = y ± x: ê³Ï³ÛÝ Ñ³Ï³é³ÏÁ ×Çßï ã¿, áñáíÑ»ï¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ãáñë ï³ññ³ÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ, áñÁ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.12: ºÃ» Q(±) ËÙμÇ a ï³ññÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ Ï³ñ·ª jaj = n, ³å³ a0 = e; a; a2 ; : : : ; an¡1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý ¨ ª © (a) = e; a; a2 ; : : : ; an¡1 ;

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ï³ññÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ»Ýáí ÍÝí³Í ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·ÇÝ ¨ xn = e Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 (a) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» jaj = n:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ai = aj , áñï»Õ 0 6 i < j < n, ³å³ 0 < j ¡ i < n ¨ aj¡i = e, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í jaj = n å³ÛÙ³ÝÇÝ: ª © ØÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿ e; a; a2 ; : : : ; an¡1 μ (a) Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ª ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁª (a) μ © e; a; a2 ; : : : ; an¡1 : ºÃ» x 2 (a), ³å³ x = am , m 2 Z: Â»áñ»Ù 1.1-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª m = nq + r, áñï»Õ 0 6 r < n: Ð»ï¨³μ³ñ, x = am = anq+r = anq ± ar = (an )q ± ar = eq ± ar = e ± ar = ª © = ar 2 e; a; a2 ; : : : ; an¡1 :

Æ í»ñçá, ï»ÕÇ áõÝÇ xn = e Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Ï³Ù³Û³Ï³Ý x = ai ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ ¡ ¢n xn = ai = ain = (an )i = ei = e : ¤

18.4.2. ÊÙμÇ ï³ññÇ Ï³ñ·Ç ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ É»ÙÙ 9.1-Ç ¨ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 15.14-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.13: ºÃ» Q(±) ËÙμÇ Ù»çª am = e, m 2 Z, ³å³ m-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a-Ç Ï³ñ·Ç íñ³ª m / jaj:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù jaj = n ¨ m = nq + r, áñï»Õ 0 6 r < n: ºÃ» r 6= 0, ³å³ 0 < r < n, r = m ¡ nq ¨ ¡q ar = am¡nq = am ± a¡nq = e ± (an ) = e ± e = e;

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ jaj = n å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, r = 0 ¨ m = nq:

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ:

Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ

15.15-Ç

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.14: ºÃ» Q(±) ËÙμÇ Ù»ç jaj = n , ³å³ ¯ k¯ ¯a ¯ =

n ; (n; k)

k2Z:

²å³óáõóáõÙ: êïáõ·»Ýù ï³ññÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ¡ ¢ n k n (n;k) = e; ³) ak (n;k) ¢m(a ) ¡ k= = e, m > 0, m 2 Z, ³å³ akm = e ¨ μ) ºÃ» a

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª km = nq, q 2 Z: ºÃ» d = (n; k), μ ¶ n n k k ; ³å³ = 1 (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1) ¨ m = q Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, d d d d Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù m / n å³ÛÙ³ÝÁ, áñï»ÕÇó ¿É d n n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤ μËáõÙ ¿ m > = d (n; k) Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.5: ºÃ» Q(±) ËÙμÇ Ù»çª jaj = n, ³å³ jak j = n Ã! (n; k) = 1: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, n-ñ¹ Ï³ñ·Ç í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ μáÉáñ ÍÝÇã ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ '(n)-Ç, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ¤ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ : Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 15.4-Ç ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ: Â»áñ»Ù 18.16: ºÃ» Q(±) ËÙμÇ a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ (í»ñç³íáñ) Ï³ñ·»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý ¨ a ± b = b ± a, ³å³ ja ± bj = jaj ¢ jbj ;

(a ± b) = (a) ± (b) Xa±b = Xa ± Xb ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ Xc -Ý (c) í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ μáÉáñ ÍÝÇã ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, '(k ¢ t) = '(k) ¢ '(t), »Ã» (k; t) = 1 (ÝáñÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù ¾ÛÉ»ñÇ ' ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ): ²å³óáõóáõÙ: Üß³Ý³Ï»Ýùª jaj = k, jbj = t ¨ ³å³óáõó»Ýù ja ± bj = k¢t Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª »ÉÝ»Éáí ï³ññÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: Ð³Ù³Ó³ÛÝ a ± b = b ± a å³ÛÙ³ÝÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ³) (a ± b)kt = (a ± b) ± (a ± b) ± ¢ ¢ ¢ ± (a ± b) = a ± ¢¢¢ ± a±b ± ¢¢¢ ± b = {z } | {z } | {z } | kt kt kt ¡ k ¢t kt kt t k = a ± b = a ± (b ) = e ± e = e : àñå»ë½Ç ëïáõ·»Ýù ï³ññÇ Ï³ñ·Ç ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μ) (a ± b)m = e, m > 0, m 2 Z ¡! m > k ¢ t å³ÛÙ³ÝÁ, Ý³Ë ³å³óáõó»Ýù (a) \ (b) = feg Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» c 2 (a) \ (b), ³å³ c 2 (a), c 2 (b) ¨ c = ai , c = bj , áñï»Õ i; j 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñ, ¡ ¢k ¡ ¢i ck = ai = aik = ak = ei = e;

¡ ¢t ¡ ¢j ct = bj = bjt = bt = ej = e : ± ± ²Ûëï»ÕÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.13-Çª k jcj ¨ t jcj: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ (k; t) = 1, ³å³ jcj = 1 ¨ c = e: êïáõ·»Ýù μ) å³ÛÙ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ a±b = b±a, ³å³ (a±b)m = am ±bm ¨ (a ± b)m = e ! am ± bm = e ! am = b¡m 2 (a) \ (b) = feg ! am = e, b¡m = e = bm , áñï»ÕÇó, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.13-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, m / k ¨ m / t , ³ÛëÇÝùÝª m-Á k ¨ t μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ ¿: àõëïÇ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.3), m / [k, t], áñï»Õ [k; t] = k ¢ t (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 4.4), ¨ m > k ¢ t: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ù³ÝÇ áñ j(a)j = jaj = k ¨ j(b)j = jbj = t, ³å³ j(a)±(b)j 6 k ¢ t, áñï»Õ (a) ± (b) = fx ± y j x 2 (a); y 2 (b)g :

ê³Ï³ÛÝª j(a ± b)j = ja ± bj = jaj ¢ jbj = k ¢ t ¨ (a ± b) μ (a) ± (b), ù³ÝÇ áñ a ± b = b ± a: Ð»ï¨³μ³ñ, (a ± b) = (a) ± (b): ºÃ» Xa -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

(a) ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ μáÉáñ ÍÝÇã ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª Xa = fx 2 (a) j (x) = (a)g = fx 2 (a) j jxj = kg, ³å³ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª Xa ± Xb = Xa±b ; áñï»Õ jXa ± Xb j = jXa £ Xb j: Æñáù, Ý³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Xa ± Xb μ Xa±b , áñáíÑ»ï¨, »Ã» u 2 Xa ¨ v 2 Xb , ³å³ u±v 2 Xa ±Xb μ (a) ±(b) = (a±b), juj = k, jvj = t, u±v = v ±u ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ju ±vj = juj ¢ jvj = k ¢ t, ³ÛëÇÝùÝª (u ± v) = (a ± b) ¨ u ± v 2 Xa±b : ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁª Xa±b μ Xa ±Xb : ºÃ» w 2 Xa±b μ (a ± b) = (a) ± (b), ³å³ w = x ± y, áñï»Õ x 2 (a) ¨ y 2 (b): ´³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ ³å³óáõó»É, áñ jxj = k ¨ jyj = t: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Ïëï³Ý³Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, jxj = k0 6 k, jyj = t0 6 t áõ ³ 0 ´t0 ³ 0 ´k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ± yt =e : wk t = (x ± y)k t = xk t ± y k t = xk

²ÛÅÙ, »Ã» k0 6 k ¨ t0 6 t ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ÉÇÝÇ 0 0 ËÇëï, ³å³ ëï³óí³Í wk t = e Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏÑ³Ï³ëÇ jwj = k ¢ t

å³ÛÙ³ÝÇÝ:

ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ Ã : (u; v) ! u ± v Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ª Xa £ Xb ! Xa ± Xb , ³ÛëÇÝùÝª jXa ±Xb j = jXa £Xb j: Ð»ï¨³μ³ñ, jXa±b j = jXa ±Xb j = jXa j¢jXb j ¨, û·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýù '(k ¢ t) = '(k) ¢ '(t) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.6: ºÃ» Q(±) ËÙμÇ a; b 2 Q ï³ññ»ñÝ áõÝ»Ý í»ñç³íáñ Ï³ñ·»ñ, a ± b = b ± a ¨ (a) \ (b) = feg; ³å³ a ± b ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ï³ñ·»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇÝª ja ± bj = [jaj; jbj] :

ê³Ï³ÛÝ ³Ûë μ³Ý³Ó¨Á ³é³Ýó ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïÙ³ÝÁ í»ñ³μ»ñáÕ å³ÛÙ³ÝÇ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ ãáõÝÇ (ÝáõÛÝÇëÏ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñáõÙ): úñÇÝ³Ï, 10-ñ¹ Ï³ñ·Ç Q = (a) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμáõÙª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

jaj = ja3 j = ja7 j = ja9 j = 10 (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.5), ë³Ï³ÛÝ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.14)ª ¯ ¯ ¯ ¯ ¯a ± a3 ¯ = ¯a4 ¯ = 10 = 10 = 5 6= [10; 10] : (10; 4)

²Ûë ï»ë³Ï»ïÇó Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ, áñÝ áõÝÇ Ý³¨ û·ï³Ï³ñ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.15: Q(±) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ í»ñç³íáñ Ï³ñ·»ñ áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ Ï³ñ· áõÝ»óáÕ ³ÛÝåÇëÇ c 2 Q ï³ññ, áñ jcj = [jaj; jbj]:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù jaj = k ¨ jbj = t: ºÃ» (k; t) = 1, ³å³ c = a ± b (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.16-Ç): ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, û·ïíáõÙ »Ýù Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 6.3-Çó, áñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý k; t μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ k = m0 ¢ m1 ; ¨

t = n0 ¢ n1

í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñ (m0 ; n0 ) = 1, ÇëÏ [k; t] = m0 ¢ n0 : àñáß»Ýù am1 ¨ bn1 ï³ññ»ñÇ Ï³ñ·»ñÁª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.14-Ç. jam1 j = jbn1 j =

k k = = m0 ; (k; m1 ) m1 t t = = n0 : (t; n1 ) n1

²ÛëåÇëáí, ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ am1 ¨ bn1 ï³ññ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.16-Çª jam1 ± bn1 j = jam1 j ¢ jbn1 j = m0 ¢ n0 = [k; t] :

Ï³ñ·»ñÁ ¤

18.4.3. ØÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñ: È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ñ³·ñ»Ýù ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÝ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ: È»ÙÙ 18.6: ØÇ¨ÝáõÛÝ Ï³ñ·Ç (Ñ½áñáõÃÛ³Ý) ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñ Ç½áÙáñý »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ Ç½áÙáñý ¿ Z(+) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ, ÇëÏ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ Ç½áÙáñý ¿ Zn (+) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q = (a), Q0 = (b) ¨ jQj = jQ0 j, ³å³ ÑÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù: 1) jQj = jQ0 j = n > 1: ²Ûë ¹»åùáõÙª © ª Q = e; a; : : : ; an¡1 ; ª © Q0 = e0 ; b; : : : ; bn¡1

¨ ' : ai ! bi , i = 0; 1; : : : ; n ¡ 1, ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ áñáÝ»ÉÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ: 2) jQj = jQ0 j = 1: ²Ûë ¹»åùáõÙª © ª Q = ai ji 2 Z ; áñï»Õ ai 6= aj ; »Ã» i 6= j; © ª Q0 = bi ji 2 Z ; áñï»Õ bi 6= bj ; »Ã» i 6= j;

¤ ¨ ' : ai ! bi , i 2 Z, ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù: p n úñÇÝ³Ï, 1 ' Zn , nZ ' Z ó³ÝÏ³ó³Í n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, nZ ' mZ ó³ÝÏ³ó³Í n, m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÅÙ Ý»ñÙáõÍ»Ýù ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμÇ ·³Õ³÷³ñÁ: ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿: H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙ³É Q(±) ËÙμáõÙ, »Ã» H 6= Q ¨ H-Á ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ÁÝ¹·ñÏ»É Çñ»ÝÇó ¨ Q-Çó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ »ÝÃ³ËÙμáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª H 6 H 0 6 Q ¡! H 0 = H Ï³Ù H 0 = Q : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³éÝí³½Ý »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ ËáõÙμ ûÅïí³Í ¿ áñ¨¿ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμáí: Æñáù, »Ã» ³Û¹åÇëÇ Q(±) ËÙμÇ H = feg »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ã¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Q0 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ H 6= Q0 6= Q: ºÃ» Q0 »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ù³ùëÇÙ³É ã¿ Q(±) ËÙμáõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Q00 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ Q0 6 Q00 ¨ Q0 6= Q00 6= Q: »í ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï . . . : ø³ÝÇ áñ ëÏ½μÝ³Ï³Ý Q(±) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ³Ûë ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏÁÝ¹Ñ³ïí»Ý ¨ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³Ý³Ýù Q(±) í»ñç³íáñ ËÙμÇ áñ¨¿ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμ: ê³Ï³ÛÝ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ËÙμÇ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, 4-ñ¹ Ï³ñ·Ç áã ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÝ áõÝÇ 3 Ñ³ï »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñ, ÇëÏ 6-ñ¹ Ï³ñ·Ç Z6 (+) ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ 2-ñ¹ ¨ 3-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñáí: ÜáõÛÝÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ Ý³¨ S3 ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇÝ: ØÇÝã¹»é Z2 (+), Z3 (+), Z4 (+), Z5 (+), Z7 (+), Z8 (+), Z9 (+) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñáí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.17: ØÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ÝÃ³ËáõÙμ ¨ë ÙÇ³ÍÇÝ

ËáõÙμ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(±)-Á ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿ ÍÝí³Í a ï³ññáíª Q = (a) ¨ ¹Çóáõù H 6 Q: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ b 2 H ï³ññ, áñ H = (b): ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ: ³) H = feg = (e) ¨ b = e: μ) H 6= feg: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ z 2 H ï³ññ, áñ z 6= e: Ð»ï¨³μ³ñ, z = ak , k 6= 0: ²Ûëï»Õ Ï³ñáÕ »Ýù Ý³¨ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ k > 0, áñáíÑ»ï¨, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, Ï¹Çï³ñÏ»ÇÝù z ¡1 = a¡k 2 H ï³ññÁ, áñï»Õ ¡k > 0: Üß³Ý³Ï»Ýù k0 -áí ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ak0 2 H ¨ ¢ ¡ ³å³óáõó»Ýù, áñ b = ak0 , ³ÛëÇÝùÝª¡ H ¢= ak0 : ¡ ¢ ø³ÝÇ áñ ak0 2 H, ³å³ ak0 μ H: êïáõ·»Ýù H μ ak0 Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ºÃ» z 2 H 6 Q = (a), ³å³ z = am , áñï»Õ m 2 Z, m = k0 q + r, 0 6 r < k0 : »Ã» ³Ûëï»Õ r 6= 0, ³å³ 0 < r < k0 , r = m ¡ k0 q ¨ ¡ ¢¡q ar = am¡k0 q = am ± ak0 2H; áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ k0 -Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, r = 0, m = k0 q ¨ ¡ ¢q ¡ ¢ z = am = ak0 q = ak0 2 ak0 :

úñÇÝ³Ï, Z(+), nZ(+), Zn (+) ¨

ÏÉÇÝ»Ý ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñ:

p n

1(¢) ËÙμ»ñÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ

Â»áñ»Ù 18.18 (È³·ñ³ÝÅ): 1) ì»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Ç íñ³: ì»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Ç íñ³: 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³, ³å³ ³Û¹ ËÙμÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ m Ï³ñ·Ç »ÝÃ³ËáõÙμ: 3) ì»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμÝ Çñ Ï³ñ·áí áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: 4) ºÃ» í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pk -Ç, áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ , ³å³ ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμáí, áñÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pk¡1 -Ç, k > 1:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù Q = (a), jQj = n ¨ H 6 Q: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ n / jH j: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.12-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª jaj = n ¨ an = e: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. ³) H = feg, jHj = 1 ¨ n / jH j; μ) H 6= feg ¨, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ, áñÇ Ñ³Ù³ñ áñå»ë ÍÝÇã ï³ññ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É b = ak0 2 H ï³ññÁ, áñï»Õ k0 -Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÝ ¿, áñÇ Ñ³Ù³ñ ak0 2 H: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ n-Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ k0 -Ç íñ³: ¸Çóáõù n = k0 q+r, 0 6 r < k0 : ºÃ» ³Ûëï»Õ r 6= 0, ³å³ 0 < r < k0 , r = n ¡ k0 q ¨ ¡ ¢¡q ¡ ¢¡q ¡ k0 ¢¡q = e ± ak0 = a 2 H; ar = an¡k0 q = an ± ak0 áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ k0 -Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, r = 0 ¨ n = k0 q: ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.14-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ¯ ¯ n n = =q: jHj = ¯ak0 ¯ = (n; k0 ) k0

1) åÝ¹Ù³Ý ³é³çÇÝ Ù³ëÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ²Ûëï»Õ ÝÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ μ) ¹»åùáõÙª ¡ ¢ ³ n´ H = (b) = ak0 = a q ;

áñï»Õ n = jQj, ÇëÏ q = jHj: Àëï áñáõÙ, ³Ûë μ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ Ý³¨ ³) ¹»åùáõÙ, »ñμ jHj = 1: ²ÛëåÇëáí, »Ã» Q(±)-Á n-ñ¹ Ï³ñ·Ç í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿ª ÍÝí³Í a 2 Q ï³ññáí, ÇëÏ H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ q-Ç, ³å³ H ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ³ n´ H = aq :

àõëïÇ, ³å³óáõóí³Í ¿ Ý³¨ Ã»áñ»ÙÇ 3) åÝ¹áõÙÁ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù 1) åÝ¹Ù³Ý »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ ËáõÙμ ¿, jQj = n, ÇëÏ Ýñ³ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ª H = (a) ¨ jHj = jaj = k: Ð»ï¨³μ³ñ, © ª H = e; a; a2 ; : : : ; ak¡1 : ºÃ» x1 2 Q ¨ x1 2 = H, ³å³ H \ x1 H = ;, áñï»Õ ª © x1 H = x1 ; x1 ± a; x1 ± a2 ; : : : ; x1 ± ak¡1 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ jx1 Hj = jHj = k: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ = H [ x1 H, ³å³ H ¨ x1 H μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó x2 2 Q ï³ññ, áñ x2 2 Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ãÇ Ñ³ïíÇ ª © x2 H = x2 ; x2 ± a; x2 ± a2 ; : : : ; x2 ± ak¡1 μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï: ø³ÝÇ áñ Q-Ý í»ñç³íáñ ¿, ³å³ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Û¹åÇëÇ ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá ÏáõÝ»Ý³Ýùª Q = H [ x1 H [ x2 H [ ¢ ¢ ¢ [ xs¡1 H; áñï»Õ H, x1 H, x2 H, : : :, xs¡1 H μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã»Ý Ñ³ïíáõÙ ¨ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ k-Ç: Ð»ï¨³μ³ñª n = jQj = jHj + jx1 Hj + jx2 Hj + ¢ ¢ ¢ + jxs¡1 Hj = k | + k + k{z+ ¢ ¢ ¢ + k} = k ¢ s ; s

³ÛëÇÝùÝª í»ñç³íáñ Q(±) ËÙμÇ n Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ k Ï³ñ·Ç íñ³: ²å³óáõó»Ýù 2)-Á: ¸Çóáõù Q = (a), jQj = n = m ¢ t ¨ H = (at ): ÎáõÝ»Ý³Ýùª ¯ ¯ n n = =m: jHj = ¯at ¯ = (n; t) t

²å³óáõó»Ýù 4)-Á: ¸Çóáõù jQj = n = pk , áñï»Õ p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ pk -Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ý 1; p; p2 ; : : : ; pk¡1 ; pk Ãí»ñÁ, ³å³, Áëï 2) ¨ 3) åÝ¹áõÙÝ»ñÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ Hi 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ jHi j = pi , áñï»Õ i = 0; 1; : : : ; k: Àëï áñáõÙ, 1) åÝ¹Ù³Ý ßÝáñÑÇí, Ýßí³Í »ÝÃ³ËÙμ»ñáí ëå³éíáõÙ »Ý Q(±) ËÙμÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ¨ feg = H0 6 H1 6 ¢ ¢ ¢ 6 Hk¡1 6 Hk = Q : ²ÛëåÇëáí, Hk¡1 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ Q(±) ËÙμÇ ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñÝ Çñ Ñ»ñÃÇÝ Ý³¨ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Q(±) ËÙμÇ Q-Çó ï³ñμ»ñ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ: ¤ Â»áñ»Ù 18.19: ÎáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Cp1 (¢) ËáõÙμÁ, áñï»Õ Cp1 =

1 p S pk

k=1

ÙÇ³ÍÇÝ ã¿ , ë³Ï³ÛÝ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ H 6 Cp1 »ÝÃ³ËáõÙμ, áñï»Õ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

p k f1g 6= H 6= Cp1 , ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¨ H = p 1 áñ¨¿ k 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ (p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ ): Ð»ï¨³μ³ñ, Cp1 (¢) ËáõÙμÁ

ùí³½ÇÙÇ³ÍÇÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» g 2 Cp1 =

k=1

Cpk , áñï»Õ Cpk =

1 ¨ g 6= e,

³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ k 2 N, áñ g 2 Cpk n Cpk¡1 , áñï»Õ C1 = f1g: ²ÛÝáõÑ»ï¨, (g) μ Cpk ¨ Cp1 6= (g): Ð»ï¨³μ³ñ, Cp1 (¢) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, Cpk¡1 6 Cpk »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ Cpk (¢) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ (ÙÇ³Ï) Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμÁ ¨ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Cpk ËÙμÇ Cpk -Çó ï³ñμ»ñ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ, ÇëÏ (g) 6 Cpk »ÝÃ³ËÙμÇ = Cpk¡1 : Ð»ï¨³μ³ñ, (g) = Cpk : Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýùª (g) 6μ Cpk¡1 , ù³ÝÇ áñ g 2 ²ÛÅÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ Cp1 (¢) ËáõÙμÁ ãáõÝÇ Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ ³Ýí»ñç »ÝÃ³ËáõÙμ: ¸Çóáõù H 6 Cp1 »ÝÃ³ËáõÙμÁ ³Ýí»ñç ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ³Ýí»ñç Ãíáí gi 2 H, i 2 N, ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³Ýí»ñç Ãíáí ³ÛÝåÇëÇ ki μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ gi 2 Cpki n Cpki ¡1 : Ð»ï¨³μ³ñ, (gi ) = Cpki áõ H¶

[

(gi ) =

gi 2H

[

Cpki =

i=1

[

Cpk = Cp1

k=1

¨ H = Cp1 : ÆëÏ »Ã» H 6 Cp1 »ÝÃ³ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ l 2 N μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ H μ Cpl ¨ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ¤ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª H = Cpk , áñï»Õ k 6 l: 18.4.4. ì»ñç³íáñ ËÙμÇ ÙÇ³ÍÇÝ ÉÇÝ»Éáõ μ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ: Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ý³¨ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É »Õ³Ý³ÏÁ, áñÝ áõÝÇ Ý³¨ û·ï³Ï³ñ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ: Â»áñ»Ù 18.20: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Q(±) í»ñç³íáñ ËÙμáõÙ, n-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ d μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³ß³ïÁ Ù»Ï Ñ³ï (³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Ï³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ×Çßï 1 Ñ³ï) d-ñ¹ Ï³ñ·Ç H 6 Q ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμ, ³å³ Q(±) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ å³ñ½ ÃíÇ, ³å³ ³ÛÝ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ:

Ü³Ë

μ³½ÙáõÃÛ³Ý

íñ³

ë³ÑÙ³Ý»Ýù

Ñ»ï¨Û³É

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ. a » b Ã! (a) = (b) : ²Ûëï»Õª [a] = fx 2 Qj x » ag Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ Ï³½Ùí³Í ¿ (a) 6 Q ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ μáÉáñ ÍÝÇã ï³ññ»ñÇó: ºÃ» j(a)j = d, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.5-Ç, j[a]j = '(d), áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: ¸Çóáõù §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ μáÉáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÝ »Ýª [a1 ]; [a2 ]; : : : ; [ak ]: Ð»ï¨³μ³ñ (É»ÙÙ 0.2)ª Q = [a1 ] [ [a2 ] [ ¢ ¢ ¢ [ [ak ]; jQj = j[a1 ]j + j[a2 ]j + ¢ ¢ ¢ + j[ak ]j; n = '(d1 ) + '(d2 ) + ¢ ¢ ¢ + '(dk );

áñï»Õ j(ai )j = di ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.18-Ç, n / di , i = 1; 2; : : : ; k: ºÃ» d1 ; d2 ; : : : ; dk μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí ãëå³éí»Ý n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ, ³å³ û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 9.7-Çó, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ýª X n = '(d1 ) + '(d2 ) + ¢ ¢ ¢ + '(dk ) < '(d) = n : n=d;d>0

àõëïÇ, d1 ; d2 ; : : : ; dk μÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí ëå³éíáõÙ »Ý n-Ç μáÉáñ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ; Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ i 2 f1; : : : ; kg Ñ³Ù³ñ, áñ di = n, ³ÛëÇÝùÝª j(ai )j = n ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, (ai ) = Q, ³ÛëÇÝùÝª Q(±) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿: Â»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ å³ñ½ ÃÇíÝ áõÝÇ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñª 1-Á ¨ ÇÝùÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ï»ÕÇ áõÝÇ: ¤ Â»áñ»Ù 18.21: ºÃ» n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Q(±) í»ñç³íáñ ËÙμáõÙ, n-Ç ó³ÝÏ³ó³Í d μÝ³Ï³Ý μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñ xd = e Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ d-Ý, ³å³ Q(±) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q(±) ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ÛÇÝ d Ï³ñ·Ç »ñÏáõ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ H1 6 Q ¨ H2 6 Q ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÝμ»ñ, ³å³

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

jH1 [ H2 j > d: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý a 2 H1 [H2 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª a 2 H1 Ï³Ù a 2 H2 ; ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿Éª ad = e (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.12), ³ÛëÇÝùÝª xd = e Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ûÅïí³Í ÏÉÇÝ»ñ d-Çó ß³ï Ãíáí ÉáõÍáõÙÝ»ñáí: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤ ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 18.20-Çó:18

18.5. Ò³Ë ¨ ³ç Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñ: ºÝÃ³ËÙμÇ ÝßÇã: È³·ñ³ÝÅÇ ¨ ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ í»ñç³íáñ ËÙμ»ñáõÙ: ÆÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñ, ù³Ýáñ¹-ËÙμ»ñ: ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñáõÙ 18.5.1. î³ññÇ Ó³Ë ¨ ³ç Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñ Áëï »ÝÃ³ËÙμÇ: ºÝÃ³ËÙμÇ Ó³Ë ¨ ³ç ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: È³·ñ³ÝÅÇ ¨ ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ í»ñç³íáñ ËÙμ»ñáõÙ: ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, H 6 Q ¨ a 2 Q: a ï³ññÇ Ó³Ë ¨ ³ç Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÁ Áëï H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý aH-áí áõ Ha-áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå (¾. ¶³Éáõ³, 1830 Ã.)ª aH = fa ± hj h 2 Hg; Ha = fh ± aj h 2 Hg :

aH (Ï³Ù Ha) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÇ Ñ³Ù³ñ a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ¹³ëÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇã: úñÇÝ³Ï, eH = H = He, hH = H = Hh, (a ± h)H = aH, H(h ± a) = Ha ó³ÝÏ³ó³Í h 2 H, a 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» t 2 aH, ³å³ tH = aH, ÇëÏ »Ã» t 2 Ha, ³å³ Ht = Ha: Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ï³ñμ»ñ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.16 (Ð³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): 1) aH = bH Ã! a¡1 ± b 2 H , 2) Ha = Hb Ã! a ± b¡1 2 H , áñï»Õ a; b 2 Q, H 6 Q:

²å³óáõóáõÙ: 1) ø³ÝÇ áñ e 2 H, a = a ± e, ³å³ a 2 aH: ²ÛÝáõÑ»ï¨, b 2 bH = aH ¡! b 2 aH ¡! b = a ± h;

h 2 H ¡! a¡1 ± b = h 2 H :

18 ²μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ÝáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³¨ Ñ³ëÝ»É û·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.16-Çó:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» a¡1 ± b 2 H 6 Q, ³å³ a¡1 ± b = h 2 H, b = a ± h, a = b ± h¡1 : ²Ûë Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñÇó μËáõÙ »Ý aH μ bH ¨ bH μ aH Ý»ñ¹ñáõÙÝ»ñÁ: Æñáù, ¢ ¢ ¡ ¡ x 2 aH ¡! x = a±h1 ; h1 2 H ¡! x = b ± h¡1 ±h1 = b± h¡1 ± h1 2 bH; y 2 bH ¡! y = b ± h2 ;

h2 2 H ¡! y = (a ± h) ± h2 = a ± (h ± h2 ) 2 aH :

2) Ñ³Ûï³ÝÇßÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.17: ºÃ» »ñÏáõ Ó³Ë (³ç) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñ Ñ³ïíáõÙ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýù Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª aH \ bH 6= ; ¡! aH = bH; (Ha \ Hb 6= ; ¡! Ha = Hb) :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» aH \ bH 6= ;, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c 2 aH \ bH: ²ÛÝáõÑ»ï¨, c 2 aH \ bH ! c 2 aH; c 2 bH ! c = a ± h1 ; c = b ± h2 ; h1 ; h2 2 H ! a ¢ h1 = b ± h2 ! a¡1 ± b = h1 ± h¡1 2 2 H;

ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: (ºñÏñáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí:)

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.18:ºñÏáõ Ó³Ë (³ç) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñ Ï³Ù ã»Ý Ñ³ïíáõÙ Ï³Ù Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.19: Q(±) ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ áñ¨¿ Ó³Ë (³ç) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÇª Áëï ïí³Í H 6

Q »ÝÃ³ËÙμÇ, ³ÛëÇÝùÝª

± Q H = faHj a 2 Qg l

± Q H = fHaj a 2 Qg r

μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ïñáÑáõÙ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª a 2 aH (¨ a 2 Ha), áñï»Õ aH (¨ Ha) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ýª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.17-Ç: ¤ ± Q H μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ (Ï³ñ·Á) ÏáãíáõÙ ¿ H 6 Q l ± »ÝÃ³ËÙμÇ Ó³Ë ÝßÇã Q(±) ËÙμáõÙ, ÇëÏ Q Hr μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ (Ï³ñ·Á)ª H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ ³ç ÝßÇã Q(±) ËÙμáõÙ: È»ÙÙ 18.7: Àëï H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ μáÉáñ Ó³Ë ¨ ³ç Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ (ÝáõÛÝ ù³Ý³ÏÇ ï³ññ»ñ), ³ÛëÇÝùÝª jaHj = jHaj = jHj

ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ê³ÑÙ³Ý»Éáí ¹1 : H ! aH ¨ ¹2 : H ! Ha ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ¹1 (h) = a ± h; ¹2 (h) = h ± a;

ëï³ÝáõÙ »Ýù μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñ:

È»ÙÙ 18.8: ò³ÝÏ³ó³Í Q(±) ËÙμáõÙ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¯ H ¯ ± ¯ ¯6 Q ¯ Q± ¯ ¯Q ¯ »ÝÃ³ËÙμÇ Ó³Ë ¨ ³ç ÝßÇãÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ýª ¯ Hl ¯ = ¯ Hr ¯, ³Û¹ å³ï×³éáí ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏáãíáõÙ ¿ H »ÝÃ³ËÙμÇ ÝßÇã ïñí³Í Q(±) ËÙμáõÙ ¨ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ (Q : H)-áí Ï³Ù jQ : Hj-áí:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ± Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ÇëÏ H 6 Q: ± Q(±)-Á Q Q ê³ÑÙ³Ý»Éáí ¹ : Hl ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Hr ! ¹(Ha) = a¡1 H;

a 2 Q;

ëï³ÝáõÙ »Ýù μÇ»ÏïÇí ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Æñáù, ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿ ¨ ÇÝÛ»ÏïÇí, áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.16-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¢¡1 ¡1 ¡ ¹(Ha) = ¹(Hb) ! a¡1 H = b¡1 H ! a¡1 ±b 2H ! a ± b¡1 2 H ! Ha = Hb :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.22 (È³·ñ³ÝÅ): ì»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Ç ¨ Ýñ³ ÝßÇãÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Ç ¨ ÝßÇãÇ íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù í»ñç³íáñ ËáõÙμ ¿, jQj = n, H 6 Q, jHj = ¯ ± Q(±)-Á ¯ ± ¯ ¯ ¯Q ¯Q ¯ ¯ k, ¯ Hr ¯: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.19-Çª Hl ¯ = t = ¯ Q = H [ a1 H [ ¢ ¢ ¢ [ at¡1 H;

áñï»Õ Ýßí³Í Ó³Ë Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã»Ý Ñ³ïíáõÙ: ú·ïí»Éáí É»ÙÙ 18.7-Çó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¤

n = jQj = jHj + ja1 Hj + ¢ ¢ ¢ + jat¡1 Hj = k ¢ t :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.7: ì»ñç³íáñ ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññÇ Ï³ñ·Ç íñ³:

Ï³ñ·Á

μ³Å³ÝíáõÙ

Çñ

²å³óáõóáõÙ: î³ññÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ»Ýáí ÍÝí³Í ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·ÇÝ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.12), ÇëÏ Áëï Ã»áñ»Ù 18.22-Ç í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Ç íñ³: ¤ Ò¨³Ï»ñå»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁª áñå»ë Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ È³Ý·³ÝÅÇ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇó, áñÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÁ Ñ³ÛïÝÇ ¿ Ã»áñ»Ù 18.20-Çó, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁª Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.5-Çó:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.8: ºÃ» í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ å³ñ½ ÃíÇ, ³å³ ³ÛÝ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ ¨ ÍÝíáõÙ ¿ ÙÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññáí: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(±)-Á í»ñç³íáñ ËáõÙμ ¿ ¨ ¹Çóáõù jQj = p: ø³ÝÇ áñ p > 2, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a 2 Q, a 6= e: î»ÕÇ áõÝÇ Q = (a) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, »Ã» Q 6= (a), ³å³ p å³ñ½ ÃÇíÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.22-Ç, Ïμ³Å³ÝíÇ m = j(a)j 6= 1; p μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤ Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ä. ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÇ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 9.1) ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.9 (ä. ü»ñÙ³): n-ñ¹ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª xn = e:

Ï³ñ·Ç

í»ñç³íáñ

ËÙμÇ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù jxj = k: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.7-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ n = k ¢ q, q 2 N, ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¡ ¢q ¤ xn = xkq = xk = eq = e : ê³Ï³ÛÝ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, í»ñç³íáñ ËÙμÇ n Ï³ñ·Á xn = e ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ã¿: úñÇÝ³Ï, 4-ñ¹ Ï³ñ·Ç áã ÙÇ³ÍÇÝ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ x2 = e ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ:

18.5.2. 12-ñ¹ Ï³ñ·Ç A4 Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ ãáõÝÇ 6-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ÝÃ³ËáõÙμ: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 18.23: ± ËÙμáõÙ H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ ÝßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ± ºÃ» Q(±) 2-Ç, ³å³ Q Hl = Q Hr ¨ x2 2 H ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, 12-ñ¹ Ï³ñ·Ç A4 Ýß³Ý³÷áË ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ 6-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ÝÃ³ËáõÙμ: ¯ ± ¯ ¯ ± ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ¯ Q Hl ¯ = ¯ Q Hr ¯ = 2, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.19-Çª ± ± Q H = fH; Q n Hg = Q H : l r

= H, ³ÛëÇÝùÝª

²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» x 2 H, ³å³ x2 2 H 6 Q: ¸Çóáõù x 2 x 2 Q n H = aH, áñï»Õ a 2 = H, Ñ»ï¨³μ³ñª x = a ± h1 , h1 2 H: ºÃ» ³Ûë ¹»åùáõÙª x2 2 = H, ³å³ x2 2 Q n H = aH, ³ÛëÇÝùÝª x2 = a ± h2 , h2 2 H: àõëïÇ, ¡1 ± a ± h2 = h¡1 x = x¡1 ± x2 = h¡1 1 ±a 1 ± h2 2 H :

Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ A4 Ýß³Ý³÷áË ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ H 6 A4 »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ jHj = 6: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ³Û¹åÇëÇ H 6 A4 »ÝÃ³ËáõÙμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: Àëï Ã»áñ»Ù 18.22-Ç, ³Û¹åÇëÇ H »ÝÃ³ËÙμÇ ÝßÇãÁ A4 ËÙμáõÙ jA4 j = = 2: Ð»ï¨³μ³ñ, x2 2 H ó³ÝÏ³ó³Í x 2 A4 ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª jHj ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ® = (i; j; k) = (i; j)(i; k) 2 A4 , áñï»Õ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ i; j; k Ãí»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý ¡ ¢2 f1; 2; 3; 4g μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ ¨ ®3 = ", ³å³ ® = " ¢ ® = ®3 ¢ ® = ®4 = ®2 2 H: ²ÛëåÇëáí, 6 Ï³ñ· áõÝ»óáÕ H »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Ñ»ï¨Û³É 8 ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(1; 2; 3); (1; 4; 2), (1; 3; 2); (1; 4; 3), (1; 2; 4); (2; 3; 4), (1; 3; 4); (2; 4; 3): Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

²ÛëåÇëáí, Ã»áñ»Ù 18.22-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓáõÙÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» Q(±) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³, ³å³ ³Ûëï»ÕÇó ¹»é¨ë ãÇ μËáõÙ, áñ Q(±) ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ m Ï³ñ·Ç H 6 Q »ÝÃ³ËÙμáí: 18.5.3. ÆÝí³ñÇ³Ýï (Ï³ÛáõÝ) »ÝÃ³ËÙμ»ñ ¯ ¯ÝáñÙ³É ¯ ¯ ± Ï³Ù ¯ ¯ ± ¯ ¯ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ : ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù (É»ÙÙ 18.8)ª ¯ Q Hl ¯ = ¯ Q Hr ¯ ó³ÝÏ³ó³Í Q(±) ËÙμÇ ¨ Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í ±

±H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ:

ê³Ï³ÛÝ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, Q Hl 6= Q Hr (ûñÇÝ³Ï, »Ã» Q = S3 , ÇëÏ H = f"; (1; 2)g): Q(±) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ (Ï³ÛáõÝ) ± ¿ ÇÝí³ñÇ³Ýï ± Q(±) ËÙμáõÙ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ H E Q, »Ã» Q Hl = Q Hr : ²Ûë ¹»åùáõÙ, ± ± ± Q H = Q H μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÝß³Ý³ÏíÇ Q H -áí: ÆÝí³ñÇ³Ýï l r »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ÝáñÙ³É μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ Ï³Ù ÝáñÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ H = feg »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñª ± ± Q H = fxHj x 2 Qg = ffxgj x 2 Qg = Q H : l r

2) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ H = Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñª

± ± Q H = fxHj x 2 Qg = fQg = Q H : l r

3) Q = Sn ËÙμÇ Ù»ç Ýñ³ H = An »ÝÃ³ËÙμÇ ÝßÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ª n! jSn j = n! = 2 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ (Ã»áñ»Ù 18.23), An E Sn : jAn j 4) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμÇ ¨ Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý H 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñª H E NQ (H), áñáíÑ»ï¨ xH = Hx, »Ã» x 2 NQ (H): 5) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ËÙμáõÙ H = Z(Q) »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÇÝí³ñÇ³Ýï ¿ª Z(Q) E Q: ¸»é ³í»ÉÇÝ, »Ã» H 6 Z(Q), ³å³ H E Q, áñáíÑ»ï¨ xH = Hx, »Ã» x 2 Q, H 6 Z(Q): 6) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(±) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ ÇÝí³ñÇ³Ýï ¿ª H E Q:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.20 (»ÝÃ³ËÙμÇ ÇÝí³ñÇ³ÝïáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï Q(±) ËÙμáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ xH = Hx ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» H E G 6 Q, ³å³

G μ NQ (H), ³ÛëÇÝùÝª NQ (H)-Á H -Á å³ñáõÝ³ÏáÕ Q-Ç ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í

»ÝÃ³ËáõÙμÝ ¿ , áñÇ Ù»ç ÇÝí³ñÇ³Ýï ¿ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ:

²å³óáõóáõÙ: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ³å³óáõó»Ýù ± ± ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» Q Hl = Q Hr , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ± ± xH 2 Q Hl ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Hy 2 Q Hr , áñ xH = Hy: ø³ÝÇ áñ x 2 xH = Hy, ³å³ x 2 Hy \ Hx ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.18)ª Hy = Hx: àõëïÇ xH = Hx ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: äÝ¹Ù³Ý »ñÏñáñ¹ Ù³ëÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤ Â»áñ»Ù 18.24 (»ÝÃ³ËÙμÇ ÇÝí³ñÇ³ÝïáõÃÛ³Ý »ñÏñáñ¹ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï Q(±) ËÙμáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ x ± h ± x¡1 2 H ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í h 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» H E Q, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, xH = Hx ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, ó³ÝÏ³ó³Í h 2 H ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ h0 2 H ï³ññ, áñ x ± h = h0 ± x, ³ÛëÇÝùÝª x ± h ± x¡1 = h0 2 H: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» x ± h ± x¡1 2 H, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí x ± h ± x¡1 = h1 2 H, ëï³ÝáõÙ »Ýù x ± h = h1 ± x, ³ÛëÇÝùÝª xH μ Hx: ²Ûëï»Õ x-Á ÷áË³ñÇÝ»Éáí x¡1 -áí, ÏáõÝ»Ý³Ýù x¡1 H μ Hx¡1 , ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í h 2 H ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ h2 2 H ï³ññ, áñ x¡1 ± h = h2 ± x¡1 , áñï»ÕÇóª h ± x = x ± h2 ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Hx μ xH: ²ÛëåÇëáí, xH = Hx ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ÙÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.10: ØÇ¨ÝáõÛÝ Q(±) ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ Q(±) ËÙμáõÙ: ¤ úñÇÝ³Ï, SLn (R) E GLn (R): Q(±) ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» ³ÛÝ ãáõÝÇ áõñÇß ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñ, μ³óÇ H1 = feg ¨ H2 = Q ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ å³ñ½ ¿, »Ã» n > 5 (¾. ¶³Éáõ³): 18.5.4. ø³Ýáñ¹-ËÙμ»ñ Ï³Ù ý³Ïïáñ-ËÙμ»ñ: ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ: ¸Çóáõù Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿: S(Q)-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù Q-Ç μáÉáñ áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ S(Q)-Ç Ù»ç ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª X ¢ Y = fx ¢ yj x 2 X; y 2 Y g 2 S(Q); áñï»Õ X; Y 2 S(Q): úñÇÝ³Ï, »Ã» a 2 Q, X = fag, H 6 Q, Y = H, ³å³ X ¢ Y = aH, Y ¢ X = Ha: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝª ï»ÕÇ áõÝÇ (X ¢ Y ) ¢ Z = X ¢ (Y ¢ Z) ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ó³ÝÏ³ó³Í X; Y; Z 2 S(Q) ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ ËÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý: àõëïÇ, S(Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËáõÙμª ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ËÙμÇ áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇë³ËáõÙμ: S(Q)(¢) ÏÇë³ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ e¹ = feg ÙÇ³íáñáí, áñáíÑ»ï¨ feg ¢ X = X ¢ feg = X ó³ÝÏ³ó³Í X 2 S(Q) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÝÏ³ñ³·ñíáõÙ ¿ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμª S(Q)¤ = ffxgj x 2 Qg ;

¨ Ç½áÙáñý ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý Q(¢) ËÙμÇÝ: ê³Ï³ÛÝ S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý

ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ

ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ »ÝÃ³ËÙμÇ ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛáõÝÁ Ï³Ëí³Í ¿ ÇÝãå»ë ëÏ½μÝ³Ï³Ý ËÙμÇó, ³ÛÝå»ë ¿É ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÇó: ºÃ» H 6 Q ¨ X = Y = H, ³å³ X ¢ Y = H ¢ H = H, ³ÛëÇÝùÝª H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ ¿ª S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ: ê³Ï³ÛÝ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ »ÝÃ³ËáõÙμ ã¿: úñÇÝ³Ï, »Ã» Q = S3 , H = f"; (1; 2)g, K = f"; (1; 3)g, ³å³ H ¢ K = f"; (1; 2); (1; 3); (1; 2; 3)g ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ãÇ ÉÇÝÇ S3 ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμ (ÇÝãÁ ÏÑ³Ï³ë»ñ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇÝ (Ã»áñ»Ù 18.22), áñáíÑ»ï¨ 6-Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ 4-Ç):

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.21: àñå»ë½Ç Q(¢) ËÙμÇ H 6 Q ¨ K 6 Q »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ H ¢ K ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ Q(¢) ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ H¢K = K¢H : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» H ¨ K »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ÇÝí³ñÇ³Ýï ¿ Q(¢) ËÙμáõÙ, ³å³ H ¢ K 6 Q, ÇëÏ »Ã» H E Q ¨ K E Q, ³å³ H ¢ K E Q:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù H ¢ K 6 Q: ø³ÝÇ áñ K μ H ¢ K ¨ H μ H ¢ K, ³å³ K ¢ H μ H ¢ K, ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í k 2 K ¨ ó³ÝÏ³ó³Í h 2 H ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ h0 2 H ¨ k0 2 K ï³ññ»ñ, áñ k ¢ h = h0 ¢ k0 ; (k ¢ h)¡1 = (h0 ¢ k0 )¡1 ;

h¡1 ¢ k¡1 = (k0 )¡1 ¢ (h0 )¡1

¨ H ¢ K μ K ¢ H: Ð»ï¨³μ³ñ, H ¢ K = K ¢ H: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» H ¢ K = K ¢ H, ³å³ H ¢ K 6 Q, ³ÛëÇÝùÝª x ¢ y ¡1 2 H ¢ K, áñï»Õ x; y 2 H ¢ K: Æñáù, »Ã» x = h1 ¢ k1 , y = h2 ¢ k2 , ³å³ ¡1 x ¢ y ¡1 = h1 ¢ k1 ¢ k2¡1 ¢ h¡1 2 = h1 ¢ k3 ¢ h2 = h1 ¢ h3 ¢ k4 = h4 ¢ k4 2 H ¢ K;

áñï»Õ k3 = k1 ¢ k2¡1 , k3 h¡1 2 = h3 ¢ k4 (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ K ¢ H = H ¢ K å³ÛÙ³ÝÇ) ¨ h1 ¢ h3 = h4 2 H: ²å³óáõó»Ýù Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: ºÃ», ûñÇÝ³Ï, H E Q, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.20-Çª Hx = xH ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª Hk = kH ó³ÝÏ³ó³Í k 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¨ H¢K = K ¢H: Ð»ï¨³μ³ñ, H¢K 6 Q: ÆëÏ, »Ã» H E Q ¨ K E Q, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Éáí fxg; H; K 2 S(Q) »ñ»ù ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ S(Q) ÏÇë³ËÙμáõÙ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª x(H ¢ K) = (xH) ¢ K = (Hx) ¢ K = H ¢ (xK) = H ¢ (Kx) = (H ¢ K)x ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.20-Ç, H ¢ K E Q:

²ÝóÝ»Ýù ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ Ï³éáõóÙ³ÝÁ (O. HÄ older, 1889):

Â»áñ»Ù 18.25: ºÃ» Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ , ÇëÏ H E Q, ³å³ ± Q H = fxHj x 2 Qg μ S(Q)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í Q(¢) ËÙμÇ ù³Ýáñ¹-ËáõÙμ Ï³Ù ý³Ïïáñ-ËáõÙμª Áëï H E Q ÇÝí³ñÇ³Ýï

»ÝÃ³ËÙμÇ:

± Q H 6 S(Q) »ÝÃ³ËÙμÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ, ÙÇ³íáñÁ ¨ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª xH ¢ yH = (x ¢ y)H; eH = H; ¢ ¡ (xH) = x¡1 H; ± áñï»Õ x; y 2 Q: Àëï áñáõÙ, Q H ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ S(Q) ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññÇÝ

¿ S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ H

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ S(Q)¤H »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ»ï (ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñª ï»ë 18.2.3 »ÝÃ³í»ñÝ³·ÇñÁ): ± ²å³óáõóáõÙ: Q H μ S(Q) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ëïáõ·»Ýù ËÙμ³ÛÇÝ ³ùëÇáÙÝ»ñÁ. ± ± ³) xH ¢ yH 2 Q H , áñï»Õ xH; yH 2 Q H : Æñáù, ¡1

xH ¢ yH = fxg ¢ H ¢ fyg ¢ H = fxg ¢ Hy ¢ H = fxg ¢ yH ¢ H = = fxg ¢ fyg ¢ H ¢ H = fx ¢ yg ¢ H = (x ¢ y)H;

áñáíÑ»ï¨ Hy = yH ¨ H ¢ H = H: μ) ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝÏ³ïí»ó ± í»ñ¨áõÙ: ·) [e] = eH = H Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇ Q H (¢) ÏÇë³ËÙμÇ ÙÇ³íáñÁ, áñáíÑ»ï¨ª eH ¢ xH = (e ¢ x)H = xH; xH ¢ eH = (x ¢ e)H = xH : ± Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ xH ï³ññÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ¹)¡ Q ¢H (¢) ÏÇë³ËÙμÇ ± ÏÉÇÝÇ x¡1 H 2 Q H ï³ññÁ, áñáíÑ»ï¨ ¢ ¡ xH ¢ x¡1 H = x ¢ x¡1 H = eH; ¡ ¢ x¡1 H ¢ xH = x¡1 ¢ x H = eH;

³ÛëÇÝùÝª (xH)¡1 = x¡1 H:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ H S(Q) ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ±ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ S(Q)¤H »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Q H ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ Ñ»ï: Æñáù, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý S(Q)¤H »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ï³½Ùí³Í ¿ S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ ³ÛÝ X 2 S(Q) ï³ññ»ñÇó, áñáÝó Ñ³Ù³ñª X ¢ H = H ¢ X = X ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Y 2 S(Q) ï³ññ, áñ X ± ¢ Y = Y ¢ X = H, Y ¢ H = H ¢ Y = Y : Ð»ï¨³μ³ñ, ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Q H μ S(Q)¤H : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ºÃ» X 2 S(Q)¤H ¨ x 2 X, ³å³ X ¢ H = X å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ xH μ X, ÇëÏ X ¢ Y = H å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ xY μ H Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ºÃ» y 2 Y , ³å³ í»ñçÇÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýù x ¢ y = h 2 H ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª x¡1 = y ¢ h¡1 2 Y ¢ H = Y , ³ÛëÇÝùÝª x¡1 2 Y : ¸Çóáõù t 2 X: ²Û¹ ¹»åùáõÙª x¡1 ¢ t 2± Y ¢ X = H ¨ t 2 xH, ³ÛëÇÝùÝª X μ xH: ²ÛëåÇëáí, X = xH ¨ X 2 Q H : ¤ ± úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) C R ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ Ï³½Ùí³Í ¿ Çñ³Ï³Ý ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇó; ¤± C ¤ 2) ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ Ï³½Ùí³Í ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ R ëÏ½μÝ³Ï»ïÇó »ÉÝáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÇó; ¤± 3) C S 1 ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ, áñï»Õ S 1 = fz 2 C j jzj = 1g, Ï³½Ùí³Í ¿ Ñ³Ù³Ï»ÝïñáÝ ßñç³Ý³·Í»ñÇó, áñáÝó Ï»ÝïñáÝÁ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½μÝ³Ï»ïÝ ¿;± 4) GLn (R) SLn (R) ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ Ï³½Ùí³Í ¿ ÝáõÛÝ áñáßÇãÝ áõÝ»óáÕ Ù³ïñÇóÝ»ñÇó:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.11: ºÃ» Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ , H E Q, ³å³ ± Q H (¢) ù³Ýáñ¹-ËÙμáõÙª x1 H ¢ x2 H ¢ ¢ ¢ xn H = (x1 ¢ x2 ¢ ¢ ¢ xn )H; (xH)m = (xm ) H

ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ³ÙμáÕç ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ²é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n-Ç, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ¹»åù»ñÁ: ³) m > 0: ²Ûë ¹»åùáõÙª m (xH)m = xH {z ¢ ¢ ¢ xH} = (x | ¢ xH | ¢ x{z¢ ¢ ¢ x})H = (x ) H; m

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ) m = 0: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ± ³å³óáõóíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý Q H ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ ÙÇ³íáñÇÝ: ·) m < 0: ²Ûë ¹»åùáõÙ, m = ¡jmj ¨ ¢jmj ¡ (xH)m = (xH)¡jmj = (xH)¡1 =

´ ³ ¢jmj ¡ ¡1 ¢jmj ¡ = x H = x¡jmj H = (xm ) H : = x¡1 H

± Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.22: ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ , ³å³ Ýñ³ μáÉáñ Q H ù³Ýáñ¹-ËÙμ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÁ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ ¨ H 6 Q, ³å³ H E Q ¨ xH ¢ yH = (x ¢ y)H = (y ¢ x)H = yH ¢ xH; ¤ ± Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.23: ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ , ³å³ Ýñ³ μáÉáñ Q H ù³Ýáñ¹-ËÙμ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÙÇ³ÍÇÝ: áñï»Õ x; y 2 Q:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ª Q = (a) ¨ H 6± Q, ³å³ H E Q, áñáíÑ»ï¨ Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿: ²å³óáõó»Ýù Q H = (aH) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» x 2 Q, x = am , ³å³ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.11-Ç ¤ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª xH = (am ) H = (aH)m , m 2 Z: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.24: ºÃ» Q(¢) ËÙμÇ ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ Áëï Çñ Z(Q) Ï»ÝïñáÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ , ³å³ Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ : ± ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù H = Z(Q) ¨ Q H = (aH), a 2 Q: ²å³óáõó»Ýù x ¢ y = y ¢ x Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ± ¡ ¢ Ñ³Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ ¡xH;¢ yH 2 Q H = (aH), ³å³ xH = (aH)i = ai H, yH = (aH)j = aj H, áñï»Õ i; j 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñ, x = ai ¢ h1 , y = aj ¢ h2 , áñï»Õ h1 ; h2 2 H = Z(Q), ai ¢ aj = aj ¢ ai ¨ x ¢ y = ai ¢ h1 ¢ aj ¢ h2 = aj ¢ h2 ¢ ai ¢ h1 = y ¢ x :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.12: ºÃ» Q(¢) ËÙμÇ ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ Áëï Çñ H 6 Z(Q) ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμÇ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ , ³å³ Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ : ¤

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.13: ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ã¿ , ³å³ Ýñ³ ù³Ýáñ¹ËáõÙμÁ Áëï Çñ H 6 Z(Q) ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμÇ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É ÙÇ³ÍÇÝ: ¤ Â»áñ»Ù 18.26 (ÎáßÇ): ºÃ» p å³ñ½ ÃÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ Ï³ñ·Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ, ³å³ ³Û¹ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ p Ï³ñ·Ç áñ¨¿ ï³ññ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ p Ï³ñ·Ç áñ¨¿ »ÝÃ³ËáõÙμ):

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(¢)-Á í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿ª jQj = n > 2: Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ: n = 2 ¹»åùáõÙ Ã»áñ»ÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ p = 2 å³ñ½ ÃÇíÁ ÙÇ³Ï å³ñ½ ÃÇíÝ ¿, áñÇ íñ³ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ n = 2-Á, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç Q(¢) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ ï³ññÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 2-Ç: ºÝÃ³¹ñ»Ýù n-Çó ÷áùñ Ï³ñ· áõÝ»óáÕ μáÉáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ã»áñ»ÙÇ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¨ ³å³óáõó»Ýù ³ÛÝ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q(¢) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ: ¸Çóáõù a 2 Q, a 6= e, jaj = k > 1 ¨ ¹Çóáõù H = (a): Ð»ï¨³μ³ñ, jHj = k ¨ H E Q ù³ÝÇ áñ Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. ³) k-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ p å³ñ½ ÃíÇ íñ³ª k = p ¢ t: Üß³Ý³Ï»Éáíª b = at , ÏáõÝ»Ý³Ýùª jbj = p: μ) k-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³:¯ ê³Ï³ÛÝ, Áëï È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ ± ¯ (Ã»áñ»Ù 18.22)ª n = k ¢ s, áñï»Õ ¯ Q H ¯ = s < n (áñáíÑ»ï¨ k > 1) ¨ s-Á Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 6.3): ± Ð³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ bH 2 Q H ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ jbHj =± p: ¸Çóáõù jbj = m, b 2 Q: Ð»ï¨³μ³ñ, (bH)m = (bm ) H = eH = H ¨ Q H m /p ù³Ýáñ¹-ËÙμáõÙ Ï³ñáÕ »Ýù ÏÇñ³é»É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.13-Á: àõëïÇ, ¯ l¯ l ¯ ¯ ¨ m = p ¢ l, l 2 N: Üß³Ý³Ï»Éáíª c = b 2 Q, ÏáõÝ»Ý³Ýùª jcj = b = p: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.14: ì»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý p-ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pk Ç, áñï»Õ k 2 N:

²å³óáõóáõÙ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, p-ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ p-Ç áñ¨¿ ³ëïÇ×³ÝÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý pËÙμÇ n Ï³ñ·Á, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý 18.7-Ç, Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ n-Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Çó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ íñ³ ¨ ³ÛÝáõÑ»ï¨ û·ïí»É Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Æñáù, »Ã» n-Á μ³Å³Ýí»ñ áñ¨¿ q 6= p å³ñ½ ÃíÇ íñ³, ³å³ Ã»áñ»Ù 18.26-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ¹Çï³ñÏíáÕ ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ñ ³ÛÝåÇëÇ c ï³ññ, áñ jcj = q: ê³Ï³ÛÝ, ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, Áëï p-ËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª ¤ jcj = pt , t > 1: ²ÛëåÇëáí, q = pt : Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.15: p ¢ q Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ , »Ã» p 6= q μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý: ²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.26-Ç ïñí³Í p ¢ q Ï³ñ·Ç Q(¢) ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμÁ ÏáõÝ»Ý³ p Ï³ñ·Ç áñ¨¿ a 2 Q ï³ññ ¨ q Ï³ñ·Ç áñ¨¿ b 2 Q ï³ññ, áñï»Õ (p; q) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.16-Ç ja ¢ bj = jaj ¢ jbj = p ¢ q ¨ Q = (a ¢ b): ¤

ÆÝãå»ë Ýß»É »Ýù, »Ã» ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿, ³å³ Ýñ³ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ + Ýß³Ýáí, ÙÇ³íáñÁª 0-áí, a¡1 -Áª ¡a-áí, ± ÇëÏ aH Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ëÁª a + H-áí: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ, Q H ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ, ÙÇ³íáñÁ ¨ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÁ (Ñ³Ï³¹ÇñÝ»ñÁ) Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ïáñáßí»Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (x + H) + (y + H) = (x + y) + H; 0 + H = H; ¡(a + H) = (¡a) + H :

18.6. ÊÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ, ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ ¨ å³ïÏ»ñ: ø»ÉÇÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ã»áñ»ÙÁ: ÐáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ¨ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ ËÙμ»ñáõÙ ¸Çóáõù Q(¢)-Á ¨ Q0 (±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËÙμ»ñ »Ý: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙª Q(¢) ËÙμÇó Q0 (±) ËÙμÇ Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ. '(x ¢ y) = '(x) ± '(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý Ý³¨, áñ ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ ËÙμ»ñÇ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ËÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: ÊÙμ»ñÇ ÙÇç¨ ·áñÍáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù: ¸Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: Æñáù, »Ã» ' : Q ! Q0 ¨ '0 : Q0 ! Q00 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ' ¢ '0 : Q ! Q00 ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñáíÑ»ï¨ ('¢'0 )(x¢y) = '0 ('(x¢y)) = '0 ('x±'y) = '0 ('x)¤'0 ('y) = ('¢'0 )x¤('¢'0 )y ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ËÙμ³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ù, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª '(x) = '(y) ¡! x = y;

áñï»Õ x; y 2 Q: ºñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ËÙμ³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ËÙμ³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ËÙμ³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ '(x) = y: ºñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù, Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ï»ë Ý³¨ 18.3-Á), »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ý»ñ¹ñáÕ ¨ í»ñ³¹ñáÕ ¿: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Ð³ÛïÝÇ Z1

(f (x) + g(x)) dx =

f (x) dx +

μ³Ý³Ó¨Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ ' : f !

g(x) dx

f (x) dx ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ª Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ [0; 1] Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ áñáßí³Í μáÉáñ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï (Ï³Ù ÇÝï»·ñ»ÉÇ) Çñ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËÙμÇó μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R(+) ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËÙμÇ Ù»ç: 2) sgn(® ¢ ¯) = sgn(®) ¢ sgn(¯) μ³Ý³Ó¨Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ ' : ® ! sgn(®) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ μáÉáñ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇó »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ H = f1; ¡1g ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇ Ù»ç: ²Ûë ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ sgn-áí Ï³Ù (sgn)n -áí:

ºÃ» Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ÇëÏ H E Q, ³å³

¼(x) = xH, x 2 Q,μ³Ý³Ó¨áí (³ñï³å³ïÏ»ñáõÙáí) áñáßíáõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ùª Q(¢) ËÙμÇó Q=H ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ Ù»ç, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý (Ï³Ù ù³Ýáñ¹-) ÑáÙáÙáñýÇ½Ù: ¼ : Q ! Q=H μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ ¼H -áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù) ¿: øÇã Ñ»ïá ÏÑ³Ùá½í»Ýù, áñ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÁ, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, ëå³éíáõÙ »Ý μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñáí (ï»°ë ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ): È»ÙÙ 18.9: ºÃ» Q(¢)-Á ¨ Q0 (±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËÙμ»ñ »Ýª e ¨ e0 ÙÇ³íáñÝ»ñáí, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

1) '(e) = e0 ; 2) '(x¡1 ) = ('(x))¡1 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; 3) '(x1 ¢ x2 ¢ ¢ ¢ xn ) = '(x1 ) ± '(x2 ) ± ¢ ¢ ¢ ± '(xn ) ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, '(xm ) = ('x)m

ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; 4) ºÃ» H 6 Q, ³å³ '(H) = f'(h) j h 2 Hg 6 Q0 ; '(H)-Á ÏáãíáõÙ ¿ H -Ç ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñ, Ï³Ù ³í»ÉÇ ×Çßï H -Ç '-ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

5) ºÃ» H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ , ³å³ '(H) 6 Q0 »ÝÃ³ËáõÙμÁ

¨ë ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý;

6) ºÃ» H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ , ³å³ '(H) 6 Q0 »ÝÃ³ËáõÙμÁ

¨ë ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ;

7) ºÃ» H E Q, ³å³ '(H) E '(Q); 8) ºÃ» H 0 6 Q0 , ³å³ '¡1 (H 0 ) = fh 2 Q j '(h) 2 H 0 g 6 Q;

9) ºÃ» H 0 E Q0 , ³å³ '¡1 (H 0 ) E Q: ²å³óáõóáõÙ: 1) ºÃ» x ¢ e = e ¢ x = x, ³å³ 'x ¢ 'e = 'e ¢ 'x = 'x : 2) ºÃ» x ¢ x¡1 = x¡1 ¢ x = e, ³å³

¡ ¢ ¡ ¢ 'x ¢ ' x¡1 = ' x¡1 ¢ '(x) = 'e = e0 :

3) ²é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ëï³ïíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, áñå»ë Ñ»ï¨³Ýù, »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßï Ï³Ù³Û³Ï³Ý m 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ: ¸Çóáõù m 2 Z ¨ m < 0: Ð»ï¨³μ³ñ, m = ¡jmj ¨ μ³ ´ ´¡1 ¶ ³ ³ ´´¡1 ³ ' (xm ) = ' x¡jmj = ' xjmj = = ' xjmj ´¡1 ³ jmj ¡jmj m = ('x) = ('x) : = ('x)

4) ºÃ» x1 = '(h1 ), x2 = '(h2 ), h1 ; h2 2 H 6 Q, ³å³ h1 ¢ h¡1 2 2H ¨

¢ ¡ ¢ ¡ ¡1 x1 ±x¡1 = ' h1 ¢ h¡1 2 '(H) : = '(h1 )±' h¡1 2 = '(h1 )±('(h2 ))

5) ²ÏÝÑ³Ûï ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

6) ºÃ» H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ ¨ H = (a), a 2 Q, ³å³ '(H) = ('a): Æñáù, Ï³Ù³Û³Ï³Ý x0 2 '(H) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù x0 = '(h), h 2 H, áñï»Õ h = am , m 2 Z: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 3) Ñ³ïÏáõÃÛ³Ýª x0 = '(am ) = ('a)m : 7) ºÃ» h0 2 '(H), x0 2 '(Q), ³å³ h0 = '(h), x0 = '(x), áñï»Õ h 2 H ¨ x 2 Q: Ð»ï¨³μ³ñ, x ¢ h ¢ x¡1 2 H E Q ¨ ¢ ¡ x0 ± h0 ± (x0 )¡1 = '(x) ± '(h) ± ('x)¡1 = '(x) ± '(h) ± ' x¡1 = = '(x ¢ h ¢ x¡1 ) 2 '(H) :

¡1 8) ºÃ» x1 2 '¡1 (H (H 0 ), ³å³ '(x1 ) 2 H 0 ¨ '(x2 ) 2 H 0 : ¡ )¡1¨¢ x2 2 ' ¡1 Ð»ï¨³μ³ñ, ' x2 = ('x2 ) 2 H 0 ¨ ¢ ¢ ¡ ¡ = '(x1 ) ± ' x¡1 2 H 0; ' x1 ¢ x¡1 ¡1 (H 0 ): ³ÛëÇÝùÝª x1 ¢ x¡1 2 2'

9) ºÃ» h 2 '¡1 (H 0 ) ¨ x 2 Q, ³å³ '(h) 2 H 0 , 'x 2 Q0 ¨ ¢ ¡ ¢ ¡ ' x ¢ h ¢ x¡1 = '(x)±'(h)±' x¡1 = '(x)±'(h)±('x)¡1 2 H 0 E Q0 ; ³ÛëÇÝùÝª x ¢ h ¢ x¡1 2 '¡1 (H 0 ):

' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏÁ ¨ å³ïÏ»ñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý Ker(')-áí ¨ Im(')-áí áõ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Ker(') = fx 2 Q j 'x = e0 g ; Im(') = f'x j x 2 Qg = '(Q) :

'(Q)-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ Q ËÙμÇ ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñ: Ker(')-Ç ¨ Im(')-Ç ë»ñï Ï³åÁ, áñ Ñ³ëï³ïí»É ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ÙÝáõÙ ¿ áõÅÇ Ù»ç Ý³¨ ³Ûëï»Õ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) '(x) = xn μ³Ý³Ó¨áí áñáßíáÕ ' : C¤ ! C¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ª C¤ (¢) ËÙμÇó Çñ Ù»ç, áñÇ p n Ñ³Ù³ñ Ker(') = 1, ÇëÏ Im(') = C¤ ; 2) Ker(det) = SLn (R), ÇëÏ Im (det) = R¤ ; 3) Ker ((sgn)n ) = An , ÇëÏ Im ((sgn)n ) = f1; ¡1g, »Ã» n > 2:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

È»ÙÙ 18.10: 1) ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏÁ Q(¢) ËÙμÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ ª Ker(') E Q: 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Q(¢) ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý H E Q ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¼H : Q ! Q=H μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏª Ker (¼H ) = H : ²ÛëåÇëáí, H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ Q(¢) ËÙμÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Q0 (±) ËáõÙμ ¨ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñ H = Ker('), ³ÛëÇÝùÝª »ñμ H -Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ: ¢ ¡ ²å³óáõóáõÙ: 1) x 2 Q, h 2 Ker(') ! ' xhx¡1 = 'x'h'(x¡1 ) = 'x ¢ e0 ¢ ('x)¡1 = e0 ! xhx¡1 2 Ker('): ØÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É Ker(') 6 Q Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: ¤ 2) x 2 Ker(¼H ) $ ¼H (x) = H $ xH = H $ x 2 H : ºÃ» '(a) = a0 , ³å³

'¡1 (a0 ) = fx 2 Q j 'x = a0 g = aKer(') : ' : Q ! Q0 ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏÉÇÝÇ Ý»ñ¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker(') = feg:

Â»áñ»Ù 18.27 (ø»ÉÇÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» Q(¢)-Á ËáõÙμ ¿ , H 6 Q, ÇëÏ X = Q=Hr , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! SX ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñÇ ÙÇçáõÏÁ ÁÝÏ³Í ¿ H -áõÙ ¨ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Q(¢)-Ç μáÉáñ ³ÛÝ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ, áñáÝù ÁÝÏ³Í »Ý H -áõÙ: (H = feg ¹»åùáõÙ ³Ûë Ã»áñ»ÙÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï:)

²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ¿a : X ! X ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñï»Õ X = Q=Hr , Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ¿a (Hx) = H(xa);

x2Q:

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¿a -Ý í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: ²å³óáõó»Ýù Ýñ³ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ. ¿a (Hx) = ¿a (Hy) ! H(xa) = = H(ya) ! (xa)(ya)¡1 2 H ! xy ¡1 2 H ! Hx = Hy :

²ÛëåÇëáí, ¿a -Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, ³ÛëÇÝùÝª ¿a ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù Ý³¨ ¿a ¢ ¿b = ¿a¢b

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, (¿a ¢ ¿b ) Hx = ¿b (¿a (Hx)) = ¿b (H(xa)) = H((x¢a)b) = H(x¢(a¢b)) = ¿a¢b (Hx) : Ð»ï¨³μ³ñ, ë³ÑÙ³Ý»Éáí ' : a ! ¿a ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáõÝ»Ý³Ýù ' : Q ! SX ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ Ï³éáõóí³Í ' ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ã»áñ»ÙÇ »ñÏáõ åÝ¹áõÙÝ»ñÇÝ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ Ker(') μ H. a 2 Ker(') ! '(a) = "X ! ¿a = "X ! ¿a (Hx) = Hx ! ¿a (H) = H ! Ha = H ! a 2 H :

¸Çóáõù H E Q ¨ H 0 μ H: ²å³óáõó»Ýù, áñ H 0 μ Ker('): ø³ÝÇ áñ xH 0 = H 0 x, x 2 Q, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a 2 H 0 ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a¤ 2 H 0 μ H ï³ññ, áñ xa = a¤ x: àõëïÇ

¿a (Hx) = H(xa) = H(a¤ x) = Hx ¨ '(a) = "X , ³ÛëÇÝùÝª a 2 Ker('), áñï»Õ "X -Á X = Q=Hr μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿: ¤ Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»Ù (C. Jordan, 1870), áõñ Ñ³ëï³ïíáõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏÇ, å³ïÏ»ñÇ, ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ, ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμÇ, μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ¨ ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ÉÇÝ»ÉÁ: Â»áñ»Ù 18.28 (ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËÙμ³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù ¿ Q(¢) ¨ Q0 (±) ËÙμ»ñÇ ÙÇç¨, ÇëÏ Ker(') = H , ³å³ Q0 ' Q=H : ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : Q0 ! Q=H ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù, áñ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁª ' Q Z

Z ¼Z

Q0 ¹

? Q=H

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

³ÛëÇÝùÝª ¼ = ' ¢ ¹, áñï»Õ ¼ -Ý μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿ áñáÝ»ÉÇ ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ï³éáõóÙ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ ¿, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x0 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ '(x) = x0 : ê³ÑÙ³Ý»Ýùª ¹(x0 ) = xH; áñï»Õ '(x) = x0 : Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ¹-Ý Çñáù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª áñ ¹(x0 )-Á Ï³Ëí³Í ã¿ '(x) = x0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ x-Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: ¸Çóáõù Ý³¨ '(y) = x0 , y 2 Q: Ð»ï¨³μ³ñ, '(x) = '(y); e0 = ('x)¡1 ± '(y) = '(x¡1 ) ± '(y) = '(x¡1 ¢ y); ³ÛëÇÝùÝª x¡1 ¢ y 2 Ker(') = H ¨ xH = yH (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ »ñÏáõ Ó³Ë Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ): ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿ª ¹(x0 ) = ¹(y 0 ) ¡! x0 = y 0 : ¸Çóáõù x0 = '(x), y 0 = '(y), x; y 2 Q: ÎáõÝ»Ý³Ýùª ¹(x0 ) = ¹(y 0 ) ! xH = yH ! x¡1 ¢ y 2 H = Ker(') ! '(x¡1 ¢ y) = e0 ! ! '(x¡1 ) ± '(y) = e0 ! ('x)¡1 ± '(y) = e0 ! 'y = 'x ! x0 = y 0 :

²å³óáõó»Ýù, áñ ¹-Ý ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿: ø³ÝÇ áñ x0 ± y 0 = '(x) ± '(y) = '(x ¢ y), ³å³ ¹(x0 ± y 0 ) = (x ¢ y)H = xH ¢ yH = ¹(x0 ) ¢ ¹(y 0 ) : ²ÛëåÇëáí, ¹-Ý Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿: Æ í»ñçá ÝÏ³ï»Ýù, áñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ å³ïÏ»ñí³Í »é³ÝÏÛáõÝÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ª ¹(x0 ) = xH; 'x = x0 ! ¹('x) = xH ! (' ¢ ¹)x = ¼(x) ! ' ¢ ¹ = ¼; áñï»ÕÇó ¿É μËáõÙ ¿ ¹Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ. ' ¢ ¹ = ¼; ' ¢ ¹0 = ¼ ¡! ' ¢ ¹ = ' ¢ ¹0 ¡! (' ¢ ¹)x = (' ¢ ¹0 )x

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¡! ¹('x) = ¹0 ('x) ¡! ¹(x0 ) = ¹0 (x0 )

ó³ÝÏ³ó³Í x0 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.16: ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ Q(¢) ¨ Q0 (±) ËÙμ»ñÇ ÙÇç¨, ÇëÏ Ker(') = H , ³å³ '(Q) ' Q=H : ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : '(Q) ! Q=H ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù, áñ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁª ' Q '(Q) Z Z ¼Z ¹ Z Z Z~ ? Q=H , ³ÛëÇÝùÝª ¼ = ' ¢ ¹: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» Q(¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ , ³å³ jQj = jIm(')j ¢ jKer(')j: ¤

úñÇÝ³Ï: àñáß»Ýù (μÝáõÃ³·ñ»Ýù) R=Z ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ: S1 -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù 1 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³ ·ïÝíáÕ μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμÁ ¨ f (x) = e2¼ix = cos 2¼x + i sin 2¼x ûñ»Ýùáí ë³ÑÙ³Ý»Ýù f : R ! S 1 ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½ÙÁ, áñÇ ÙÇçáõÏÁª Ker(f) = Z: Ð»ï¨³μ³ñ, ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª R=Z ' S 1 : Â»áñ»Ù 18.29 (ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ): Î³Ù³Û³Ï³Ý '1 : Q ! Q0 ¨ '2 : Q ! Q00 ËÙμ³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker('1 ) μ Ker('2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ '3 : Q0 ! Q00 ËÙμ³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, áñ '1 ¢ '3 = '2 , ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ. '1 Q Q0 Z Z '2Z '3 Z Z Z~ ? : Q00

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Àëï áñáõÙ, '3 Á ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker('1 ) = Ker('2 ): ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ '1 : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ y 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ '1 (x) = y: ê³ÑÙ³Ý»Ýùª '3 (y) = '2 (x): Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ '3 (y)-Á Ï³Ëí³Í ã¿ '1 (x) = y å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ x-Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» '1 (x0¡) = y, ¢³å³ ¡ ¡1 ¢ Ý³¨ ¡1 ¢ '1 (x ) = '1 x¡1 ¢ x0 = e0 , '1 (x) = '1 (x ) ¨ ('1 (x)) ¢ '1 (x ) = '1 x ¡1 ¡1 ³ÛëÇÝùÝª x ¡¢ x 2 Ker(' ¢ x0 2 Ker('2 ), 1 ) μ Ker('2 ): Ð»ï¨³μ³ñ, x ¢ ¡1 ³ÛëÇÝùÝª '2 x ¢ x = e (e 2 Q ¨ e 2 Q ï³ññ»ñÁ Q0 ¨ Q00 ËÙμ»ñÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÝ »Ý) ¨ '2 (x) = '2 (x0 ): ²ÛÝáõÑ»ï¨, '3 -Ç í»ñ³¹ñáÕ ÉÇÝ»ÉÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» z 2 Q00 ¨ z = '2 (x), x 2 Q, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí '1 (x) = y, ÏáõÝ»Ý³Ýùª '3 (y) = z, áñï»Õ y 2 Q0 : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ '3 -Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÑáÙáÙáñýáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝª '3 (y1 ¢ y2 ) = '3 (y1 ) ¢ '3 (y2 ); áñï»Õ y1 ; y2 2 Q0 : ¸Çóáõù y1 = '1 (x1 ) ¨ y2 = '1 (x2 ): ²Û¹ ¹»åùáõÙª y1 ¢ y2 = '1 (x1 ) ¢ '1 (x2 ) = '1 (x1 ¢ x2 ) ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, '3 (y1 ¢ y2 ) = '2 (x1 ¢ x2 ) = '2 (x1 ) ¢ '2 (x2 ) = '3 (y1 ) ¢ '3 (y2 ) : Æ í»ñçá, ù³ÝÇ áñª '3 (y) = '2 (x), áñï»Õ y = '1 (x), ³å³ '3 ('1 (x)) = '2 (x), ³ÛëÇÝùÝª ('1 ¢ '3 )x = '2 (x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¨ '1 ¢ '3 = '2 , áñï»ÕÇó ¿É μËáõÙ ¿ '3 Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ. '1 ¢ '3 = '2 ; '1 ¢ '03 = '2 ¡! '1 ¢ '3 = '1 ¢ '03 ¡! ('1 ¢ '3 )x = ('1 ¢ '03 )x ¡! '3 ('1 x) = '03 ('1 x) ¡! '3 (y) = '03 (y) ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ØÝáõÙ ¿ ëï³Ý³É '3 Ç ÷áËÙÇ³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý (μÇ»ÏïÇíáõÃÛ³Ý) å³ÛÙ³ÝÁ: ¸Çóáõù Ker('1 ) = Ker('2 ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, '3 (y1 ) = '3 (y2 ); y1 = '1 (x1 ); y2 = '1 (x2 ) ¡! '2 (x1 ) = '2 (x2 ) ¡! ¡ ¢ ¡ ¡1 ¢ '2 x¡1 1 ¢ x2 = e ¡! '1 x1 ¢ x2 = e ¡! '1 (x1 ) = '1 (x2 ) ¡! y1 = y2 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ»ï¨³μ³ñ, '3 Á Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿, ³ÛëÇÝùÝª '3 Á ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» '3 Á Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ ¿, ³å³ x 2 Ker('2 ) ¡! '2 (x) = e00 = '2 (e) ¡! '3 ('1 (x)) = '3 ('1 (e)) ¡! '1 (x) = '1 (e) = e0 ¡! x 2 Ker('1 );

³ÛëÇÝùÝª Ker('2 ) μ Ker('1 ) ¨ Ker('1 ) = Ker('2 ):

ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ μËáõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: Â»áñ»Ù 18.30 (ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ , K 6 Q, ÇëÏ H E Q, ³å³ H ¢ K 6 Q, H E H ¢ K, H \ K E K ¨ K=H \ K ' H ¢ K=H :

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ Ç í»ñçá Ñ³Ý·áõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇÝ: ø³ÝÇ áñ H E Q, ³å³ H ¢ K = K ¢ H 6 Q (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.21) ¨ H-Á ÏÉÇÝÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï Çñ»Ý å³ñáõÝ³ÏáÕ Q-Ç ó³ÝÏ³ó³Í »ÝÃ³ËÙμáõÙ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, H E H ¢ K: ²å³óáõó»Ýù H \ K E K Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ (ãÝ³Û³Í ³ÛÝ Ïëï³óíÇ Ý³¨ ÇÝùÝÁëïÇÝùÛ³Ý‘ áñå»ë ÑáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ): ºÃ» h 2 H \ K, ÇëÏ x 2 K, ³å³ xhx¡1 2 H E Q, xhx¡1 2 K ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, xhx¡1 2 H \K,

³ÛëÇÝùÝª H \ K E K:

ºÃ» x 2 H ¢ K = K ¢ H, ³å³ x = k ¢ h, k 2 K, h 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, xH = (k ¢ h)H = kH;

k2K :

²ÛÅÙ Ï³éáõó»Ýù f : K ! H ¢ K=H ³ñï³å³ïÏ»ñáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f (k) = kH, k 2 K: ø³ÝÇ áñ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 H ¢ K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ xH = kH, k 2 K, ³å³ f ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ f -Á ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ª f (k1 ¢ k2 ) = (k1 ¢ k2 )H = k1 H ¢ k2 H = f(k1 ) ¢ f (k2 ) : ²ÛëåÇëáí, f ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½Ù ¿ ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇª H ¢ K=H ' K=Ker(f ) :

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ØÝáõÙ ¿ áñáß»É (Ñ³ßí»É) Ker(f ) ÙÇçáõÏÁ. k 2 Ker(f) $ k 2 K; f (k) = e0 $ k 2 K; kH = H $ $ k 2 K; k 2 H $ k 2 K \ H;

³ÛëÇÝùÝª Ker(f ) = K \ H:

Â»áñ»Ù 18.31 (ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ , H; K E Q ¨ K μ H , ³å³ K E H , H=K E Q=K ¨ . ± Q=K H=K ' Q H :

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ K E H: ê³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É f : Q=K ! Q=H ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁª f (xK) = xH, x 2 Q: Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ³Ûë Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óáõÙÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» xK = x0 K, ³å³ xH = x0 H: Æñáù, xK = x0 K ! x¡1 ¢ x0 2 K μ H ! x¡1 ¢ x0 2 H ! xH = x0 H : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ f ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ ¿, ³å³óáõó»Ýù ¹ñ³ ÑáÙáÙáñý ÉÇÝ»ÉÁ. f (xK ¢ yK) = f ((x ¢ y)K) = (x ¢ y)H = xH ¢ yH = f (xK) ¢ f (yK) : àõëïÇ, Ï³éáõóí³Í ¿ f : Q=K ! Q=H ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½ÙÁ ¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ .ÏÇñ³é»É ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁª ± Q H ' Q=K Ker(f ): ØÝáõÙ ¿ áñáß»É Ker(f ) ÙÇçáõÏÁ. xK 2 Ker(f ) $ f (xK) = H $ xH = H $ x 2 H D K $ xK 2 H=K;

³ÛëÇÝùÝª Ker(f ) = H=K E Q=K ¨ . ± Q H ' Q=K H=K :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18.7. ÊÙμ»ñÇ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ ¨ Ý»ñùÇÝ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ ÊÙμÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ Çñ Ù»ç ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÇÝùÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝª ' : Q ! Q ï»ëùÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÇÝùÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ: Q(¢) ËÙμÇ μáÉáñ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Aut Q-áí: È»ÙÙ 18.11: 1) Aut Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ ª ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³í»ÉÇ ×Çßïª Aut Q 6 SQ : 2) ºÃ» Q ' Q0 , ³å³ Aut Q ' Aut Q0 :

²å³óáõóáõÙ: 1) Aut Q-Ç Ñ³Ù³ñ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý ËÙμÇ ³ùëÇáÙÝ»ñÁ: 2) ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, ïñí³Í Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ ¿, ³å³ áñáÝ»ÉÇ ¹ : Aut Q ! Aut Q0 Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨áíª ¹(®) = '¡1 ¢ ® ¢ ' : Q0 ! Q0 , áñï»Õ ® 2 Aut Q: ¤ ¸Çóáõù Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ÇëÏ a 2 Q: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ®a : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ®a (x) = a¡1 ¢ x ¢ a;

x2Q:

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ®a 2 Aut Q ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ®a -Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿ ¨ ¡ ¢¡ ¢ ®a (x ¢ y) = a¡1 (xy)a = a¡1 xa a¡1 ya = ®a (x) ¢ ®a (y) :

²Ûë ®a ³íïáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ Ý»ñùÇÝ ³íïáÙáñýÇ½Ùª ÍÝí³Í a 2 Q ï³ññáí: Q(¢) ËÙμÇ μáÉáñ Ý»ñùÇÝ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É Int Q-áíª Int Q = f®a j a 2 Qg : Â»áñ»Ù 18.32: Int Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª Int Q 6 Aut Q: ²í»ÉÇ ×Çßïª Int Q E Aut Q ¨ ± Int Q ' Q Z(Q) :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Int Sn ' Sn , »Ã» n > 3, ¨ Int An ' An , »Ã» n > 4:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ®e = " 2 Int Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª ®a ¢ ®b = ®a¢b 2 Int Q : Ð»ï¨³μ³ñ, b = a¡1 ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª (®a )¡1 = ®a¡1 2 Int Q: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ' ¢ ®a ¢ '¡1 = ®'¡1 (a) 2 Int Q ó³ÝÏ³ó³Í ' 2 Aut Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ã : a ! ®a Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ùª Q(¢) ËÙμÇó Int Q ËÙμÇ Ù»ç (íñ³), áñÇ ÙÇçáõÏÁª Ker(Ã) = Z(Q), áñáíÑ»ï¨ a 2 Ker(Ã) Ã! ®a = " Ã! a ¢ x = x ¢ a;

8x 2 Q Ã! a 2 Z(Q) :

ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ: ì»ñçÇÝ »ñÏáõ Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ μ³í³Ï³Ý ¿ í»ñÑÇß»É Z(Sn ) = f"g; »Ã» n > 3; ¨

μ³Ý³Ó¨»ñÁ:

Z(An ) = f"g;

»Ã» n > 4; ¤

Ð»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿, áñ Aut S3 ' S3 , áñáíÑ»ï¨ Aut S3 = Int S3 : úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ²Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñÏáõ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñáíª ³) ®(x) = x, μ) ®(x) = x¡1 : ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç ® : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ Q(¢) ³Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½Ù ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ®(x) = x;

8x 2 Q;

Ï³Ù ®(x) = x¡1 ;

8x 2 Q :

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ³å³óáõó»Ýù ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ, áñ Q(¢) ³Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ »ñÏáõ ÍÝÇã ï³ññ»ñáí, áñáíÑ»ï¨ Q = (a) = (b) Ã! b = a§1 ¨ Q = ®(Q) = (®a), ³å³ ÑÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²) ºÃ» ®a = a, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ x = ai , i 2 Z ¨ ®(x) = ®(ai ) = (®a)i = ai = x: ´) ºÃ» ®a = a¡1 , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ x = ai , i 2 Z ¨ ®(x) = ®(ai ) = (®a)i = (a¡1 )i = a¡i = (ai )¡1 = x¡1 : 2) ºÃ» Q = (a) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç, ³ÛëÇÝùÝª jaj = n, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ ûÅïí³Í ÁÝ¹³Ù»ÝÁ '(n) Ñ³ï ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñáí, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: Æñáù, »Ã» ®(x) = xm , áñï»Õ 1 6 m 6 n ¨ (m; n) = 1, ³å³ ® : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Q ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½Ù, áñáíÑ»ï¨ ®(x ¢ y) = (x ¢ y)m = xm ¢ y m = ®(x) ¢ ®(y) ¨ ®-Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ®-Ç í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ: ø³ÝÇ áñ mu + nv = 1, áñï»Õ u; v 2 Z, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ b 2 Q = (a) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢m tv b = at = at¢1 = at(mu+nv) = atmu ¢ atnv = atu ¢ (an ) = ¡ ¢m = atu ¢ e = xm = ®(x);

áñï»Õ x = atu 2 Q: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ®-Ç Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÁ: ¸Çóáõù ®(x) = ®(y), áñï»Õ x; y 2 Q = fe; a; : : : ; an¡1 g, x = ai , y = aj , 0 6 i; j 6 n ¡ 1, ji ¡ jj < n: Ð»ï¨³μ³ñ, ¡ ¢m ¡ j ¢m = a ¡! aim¡jm = xm = y m ¡! ai

. . . = e ¡! m(i ¡ j) n ¡! i ¡ j n ¡! ji ¡ jj n ¡! i ¡ j = = 0 ¡! i = j ¡! x = y :

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ® : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Q = (a) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½Ù ¿, ³å³ ®-Ý Q ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ a ÍÝÇã ï³ññÁ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ ÍÝÇã ï³ññÇ íñ³, ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝåÇëÇ am 2 Q ï³ññÇ íñ³, áñï»Õ (n; m) = 1, 1 6 m 6 n: Ð»ï¨³μ³ñ, ¡ ¢m ¡ ¢ i i = xm ; x 2 Q : ®(x) = ® ai = (®a) = (am ) = ami = ai

²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.25: àñå»ë½Ç ® : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ í»ñç³íáñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Q ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½Ù ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ` ®(x) = xm ;

áñï»Õ 1 6 m 6 n, (m; n) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, n-ñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ '(n)-Ç, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ¤ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ : ÊáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³ï³ñÛ³É, »Ã» ³ÛÝ ãÇ ûÅïí³Í Ï»ÝïñáÝáí, ÇëÏ μáÉáñ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÁ Ý»ñùÇÝ »Ý: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ Ï³ï³ñÛ³É, »Ã» n = 3, n = 4, n = 5, Ï³Ù n > 6: Â»áñ»Ù 18.33: Î»ÝïñáÝ ãáõÝ»óáÕ ËÙμÇ μáÉáñ ³íïáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ËáõÙμÁ ¨ë Ï»ÝïñáÝ ãáõÝ»óáÕ ËáõÙμ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ »Ã» Z(Q) = feg, ³å³ Z(Aut Q) = f"g: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ïñí³Í Q(¢) ËÙμÇ Ñ³Ù³ñª Z(Aut Q) 6= f"g, áñï»Õ "-Á Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ ' 2 Z(Aut Q) ³íïáÙáñýÇ½Ù, áñ ' 6= ", ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q ï³ññ, áñ '(a) 6= a: ø³ÝÇ áñª ' ¢ ®a = ®a ¢ ', ³å³ (' ¢ ®a ) x = (®a ¢ ') x; ®a ('x) = '(®a (x)); ¡ ¢ a¡1 ¢ 'x ¢ a = ' a¡1 ¢ x ¢ a = ('a)¡1 ¢ 'x ¢ 'a :

Üß³Ý³Ï»Éáí '(x) = u, ÏáõÝ»Ý³Ýùª

'(a) ¢ a¡1 ¢ u = u ¢ '(a) ¢ a¡1 ¨ '(a) ¢ a¡1 2 Z(Q) = feg, áñáíÑ»ï¨ u = 'x ï³ññÁ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ï³ññ ¿: Ð»ï¨³μ³ñª '(a)¢a¡1 = e ¨ 'a = a: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18.8. ÊÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ¨ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñ 18.8.1. ÊÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: ¸Çóáõù H-Á ¨ K-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ËÙμ»ñ »Ý, áñáÝó ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ñ½áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù ÙÇ¨ÝáõÛÝ ¢ Ýß³Ýáí: ¸Çï³ñÏ»Ýù H ¨ K μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª H £ K = f(h; k)j h 2 H; k 2 Kg : ²Ûë μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ Ù»ç ë³ÑÙ³ÝíáÕ Ñ»ï¨Û³É ¢ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ËÙμÇª (h; k) ¢ (h0 ; k0 ) = (h ¢ h0 ; k ¢ k0 ); áñï»Õ

¢ ¡ (h; k)¡1 = h¡1 ; k¡1 :

ºÃ» e-Ý H ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ÇëÏ e0 -Á K ËÙμÇ ÙÇ³íáñÁ, ³å³ (e; e0 ) ½áõÛ·Á ÏÉÇÝÇ H £ K ËÙμÇ ÙÇ³íáñÁ: Î³éáõóí³Í H £ K ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ H ¨ K ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É: ºÃ» H ¨ K ËÙμ»ñÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýß³Ý³Ïí³Í »Ý + Ýß³Ýáí, ³å³ H £ K áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ ¨ Ñ³×³Ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ H © K Ó¨áí: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Z2 £ Z3 ' Z6 ; 2) Z2 £ Z2 ËáõÙμÁ Ç½áÙáñý ¿ ãáñë ï³ññ³ÝÇ áã ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ:

È»ÙÙ 18.12: 1) H £ K ' K £ H ; (H £ K) £ G ' H £ (K £ G); 2) ºÃ» e-Ý H ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿ , ÇëÏ e0 -Á K ËÙμÇ ÙÇ³íáñÁ, ³å³ H £ fe0 g ' H , feg £ K ' K ; 3) ºÃ» H ' H 0 ¨ K ' K 0 , ³å³ H £ K ' H 0 £ K 0 ; 4) H £ K ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ H ¨ K ËÙμ»ñÝ ³μ»ÉÛ³Ý »Ý:

²å³óáõóáõÙ: 1) àñáÝ»ÉÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÁ Ï³éáõóíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ' : (h; k) ¡! (k; h); h 2 H; k 2 K ; Ã : ((h; k); g) ¡! (h; (k; g));

h 2 H; k 2 K; g 2 G :

2) àñáÝ»ÉÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

3) ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý '1 : H ! H 0 ¨ '2 : K ! K 0 Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÁ, ³å³ áñáÝ»ÉÇ ' : H £ K ! H 0 £ K 0 Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ Ï³éáõóíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ' : (h; k) ¡! ('1 (h); '2 (k));

h 2 H; k 2 K :

4) ²å³óáõÛóÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.26:¸Çóáõù H -Á ¨ K -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ËÙμ»ñ »Ý, H1 E H ¨ K1 E K : ²Û¹ ¹»åùáõÙª H1 £ K1 E H £ K ¨ . ± ± H £ K H £ K ' H H1 £ K K1 : . . Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, H £ K H £ fe0 g ' K , H £ K feg £ K ' H : ± ± ²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù ¼ : H ! H H1 ¨ ¼ : K± ! K±K1 μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÁ ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù f : H £ K ! H H1 £ K K1 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f : (h; k) ¡! (¼(h); ¼(k)) = (hH1 ; kK1 ) ; áñï»Õ h 2 H, k 2 K: ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ f-Á ÏÉÇÝÇ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù), áñÇ ÙÇçáõÏÁª Ker(f ) = H1 £ K1 : ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ: ¤ Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.27:ÊÙμ»ñÇ H £ K áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³ÛÝåÇëÇ H 0 ' H ¨ K 0 ' K ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñ, áñ H 0 \ K 0 = f(e; e0 )g, ÇëÏ H £ K = H 0 ¢ K 0 :

²å³óáõóáõÙ: H 0 ¨ K 0 ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ÁÝïñíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª H 0 = f(h; e0 )j h 2 Hg μ H £ K; K 0 = f(e; k)j k 2 Kg μ H £ K :

Üßí³Í »ñÏáõ åÝ¹áõÙÝ»ñÝ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ëïáõ·íáõÙ »Ý ³ÝÙÇç³å»ë: ¤ î»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁª Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïáí. Â»áñ»Ù 18.34: ºÃ» G ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝåÇëÇ H ¨ K ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñáí, áñ H \ K = feg ¨ G = H ¢ K , ³å³ G ' H £ K , ³ÛëÇÝùÝª G ËáõÙμÝ Ç½áÙáñý ¿ H ¨ K ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, G ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñÉáõÍ»ÉÇ H ¨ K ËÙμ»ñÇ ÙÇçáóáí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ØÇ³Ý·³ÙÇó Ï³éáõó»Ýù f ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f : (x; y) ! x ¢ y;

H £ K

x 2 H; y 2 K;

³) f ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿, áñáíÑ»ï¨ f ((x; y)) = f ((x0 ; y 0 )) ¡! x¢y = x0 ¢y 0 ¡! (x0 )¡1 ¢x = y0 ¢y ¡1 2 H\K = feg ¡! (x0 )¡1 ¢ x = e; y 0 ¢ y ¡1 = e ¡! x = x0 ; y = y 0 ¡! (x; y) = (x0 ; y 0 ) :

μ) G = H ¢K Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ f ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: ·) ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É f(u ¢ v) = f (u) ¢ f (v) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, »Ã» u = (x; y), v = (x0 ; y0 ), ³å³ u ¢ v = (x ¢ x0 ; y ¢ y 0 ), f (u) = x¢ y, f (v) = x0 ¢ y 0 , f (u) ¢ f(v) = xy ¢ x0 y 0 , f(u¢ v) = xx0 ¢ yy 0 : ´³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í s 2 H ¨ ó³ÝÏ³ó³Í t 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª s ¢ t = t ¢ s: Æñáù, ù³ÝÇ áñ H E G ¨ K E G, ³å³ ¡ ¢ ¡ ¢ s ts¡1 t¡1 = sts¡1 t¡1 2 H \ K = feg ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ,

sts¡1 t¡1 = e; s¢t= t¢s :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.17: ¸Çóáõù G-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ Çñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý H; K 6 G »ÝÃ³ËÙμ»ñáí: àñå»ë½Ç f : (x; y) ! x ¢ y , x 2 H , y 2 G ûñ»Ýùáí áñáßíáÕ f : H £ K ! G ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ. 1) ÉÇÝÇ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ H \ K = feg;

2) ÉÇÝÇ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ G = H ¢ K;

3) μ³í³ñ³ñÇ f(u ¢ v) = f(u) ¢ f (v) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ (ó³ÝÏ³ó³Í u; v 2 H £ K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ x ¢ y = y ¢ x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 H ¨ ó³ÝÏ³ó³Í y 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

úñÇÝ³Ï, »Ã» (m; n) = 1, ³å³ Zm¢n ' Zm £ Zn , Ï³Ù »Ã» A = (a) í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ m¢ n-Ç, ³å³ A ' Zm £Zn , áñï»Õ (m; n) = 1: Æñáù, jAj = jaj = m ¢ n: Üß³Ý³Ï»Éáí H = (an ) E A ¨ K = (am ) E A ÏáõÝ»Ý³Ýùª jHj = m, jKj = n, H \ K = feg ¨ ù³ÝÇ áñ nx + my = 1, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 A = (a) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»Éª z = at = at(nx+my) = atnx ¢ atmy = (an )xt ¢ (am )yt 2 H ¢ K ; ³ÛëÇÝùÝª A = H ¢ K: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 18.34-Çó (¨ É»ÙÙ 18.12-Çó): ºÃ» (m; n) = d > 1, ³å³ m¢n < m ¢ n ¨ Zm £ Zn ËÙμÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý d (a; b) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.9)ª (a; b) + (a; b) + ¢ ¢ ¢ + (a; b) = | {z } mn d

³n d

(ma);

´ m (nb) = (0; 0) : d

àõëïÇ, Zm £Zn ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ÉÇÝ»É ãÇ Ï³ñáÕ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É Ç½áÙáñý Zm¢n (+) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ: ²ÛëåÇëáí, Zm¢n ' Zm £ Zn Ã! (m; n) = 1 : ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ. Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.28: ºñÏáõ H , K í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ H £ K áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³Ýó jHj ¨ jKj Ï³ñ·»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý: ¤ àã ½ñáÛ³Ï³Ý Q ËáõÙμÁ (jQj > 1) ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ (Áëï áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý H ¨ K ËÙμ»ñ, áñ Q ' H £ K: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Q ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ Ï³Ù Ï³ë»Ýù, áñ ³ÛÝ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ ã¿ : úñÇÝ³Ï, S3 ËáõÙμÁ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ ã¿: Â»áñ»Ù 18.35: ²Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÁ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ ã¿ : àã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÁ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ ã¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ å³ñ½ ÃíÇ ³ëïÇ×³ÝÇ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Z(+) ³Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÁ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ ã¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» H 6 Z, K 6 Z, ³å³ H = (m), K = (n) ¨ m ¢ n 2 H \ K: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» jHj > 1 ¨ jKj > 1, ³å³ m 6= 0, n 6= 0, m ¢ n 6= 0 ¨ jH \ Kj > 1, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.27-ÇÝ: ºÃ» Q í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pn , ³å³ Ýñ³ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÝ »Ýª feg = H0 6 H1 6 ¢ ¢ ¢ 6 Hn¡1 6 Hn = Q; áñï»Õ jHi j = pi , 0 6 i 6 n (Ã»áñ»Ù 18.18): Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ ¨ë ËáõÙμÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ: ÆëÏ, »Ã» í»ñç³íáñ A = (a) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jAj = pk1 1 ¢ pk22 ¢ ¢ ¢ pks s , s > 2, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí n = pk1 1 , m = pk22 ¢ ¢ ¢ pks s , ÏáõÝ»Ý³Ýùª (m; n) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, A ' Zm £ Zn : ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.18: ºñÏáõ ³Ýí»ñç ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ã¿ : ¤

ºÃ» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, ÇëÏ A-Ý í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿, áñÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pn , n > 1, ³å³ A-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ Ý³ËÝ³Ï³Ý ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ Áëï p å³ñ½ ÃíÇ Ï³Ù p å³ñ½ ÃíÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ¨ÝáõÛÝ p å³ñ½ ÃíÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ý³ËÝ³Ï³Ý ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ: ºñÏáõ ï³ñμ»ñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ Ý³ËÝ³Ï³Ý ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿, áñáíÑ»ï¨ Zpn ¢qn ' Zpn £ Zq n ; ù³ÝÇ áñ (pn ; q n ) = 1, »Ã» p 6= q μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý: ì»ñç³íáñ Ãíáí H1 ; H2 ; : : : ; Hn ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ¸Çï³ñÏáõÙ »Ýù H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ ËáõÙμ Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμª (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ¢ (x01 ; x02 ; : : : ; x0n ) = (x1 ¢ x01 ; x2 ¢ x02 ; : : : ; xn ¢ x0n ) : Î³éáõóí³Í H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ H1 ; H2 ; : : : ; Hn ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É: ºÃ» H1 ; H2 ; : : : ; Hn

ËÙμ»ñÝ ³μ»ÉÛ³Ý »Ý ¨ ËÙμ³ÛÇÝ

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýß³Ý³Ïí³Í »Ý + Ýß³Ýáí, ³å³ ¹ñ³Ýó áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ÝÏ³ïíáõÙ ¿, áñ ËÙμ»ñÇ H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª 1) ºÃ» Hi0 = f(e1 ; : : : ; ei¡1 ; xi ; ei+1 ; : : : ; en ) j xi 2 Hi g ;

áñï»Õ ei -Ý Hi ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ³å³ Hi0 ' Hi ¨ Hi0 E H1 £H2 £¢ ¢ ¢£Hn , áñï»Õ i = 1; 2; : : : ; n; 2) H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn = H10 ¢ H20 ¢ ¢ ¢ Hn0 ; 3) Hi0 \ H10 ¢ H20 ¢ ¢ ¢ Hi¡1 ¢ Hi+1 ¢ ¢ ¢ Hn0 = feg, áñï»Õ e = (e1 ; : : : ; en ), i = 1; 2; : : : ; n: ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁª Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïáí. Â»áñ»Ù 18.36: ºÃ» e ÙÇ³íáñáí G ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝåÇëÇ H1 ; H2 ; : : : ; Hn ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñáí, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ i = 1; 2; : : : ; n ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñª Hi \ H1 ¢ H2 ¢ ¢ ¢ Hi¡1 ¢ Hi+1 ¢ ¢ ¢ Hn = feg ¨ G = H1 ¢ H2 ¢ ¢ ¢ Hn , ³å³ G ' H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn :

²å³óáõóáõÙ: îñí³Í Hi \ H1 ¢ H2 ¢ ¢ ¢ Hi¡1 ¢ Hi+1 ¢ ¢ ¢ Hn = feg å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ Hi \ Hj = feg, »Ã» i 6= j: Ð»ï¨³μ³ñ, x ¢ y = y ¢ x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Hi ¨ ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Hj ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ i 6= j: Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý»óÝ»Éáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn ï³ññÇÝ x1 ¢ x2 ¢ ¢ ¢ xn 2 G ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù å³Ñ³ÝçíáÕ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ: ¤

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.29: ºÃ» H1 E K1 , H2 E K2 , : : :, Hn E Kn , ³å³ H1 £ H2 £ ¢ ¢ ¢ £ Hn E K1 £ K2 £ ¢ ¢ ¢ £ Kn ¨ . ³ . ´ ³ . ´ K1 £K2 £¢ ¢ ¢£Kn H1 £H2 £¢ ¢ ¢£Hn ' K1 H1 £ ¢ ¢ ¢ £ Kn Hn : . ²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù ¼ : Ki ! Ki Hi μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ³ . ´ ³ . ´ f : K1 £ K2 £ ¢ ¢ ¢ £ Kn ¡! K1 H1 £ ¢ ¢ ¢ £ Kn Hn ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

f : (k1 ; : : : ; kn ) ¡! (¼(k1 ); : : : ; ¼(kn )) = (k1 H1 ; : : : ; kn Hn ) ;

áñï»Õ ki 2 Ki : ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ, f -Á ÏÉÇÝÇ í»ñ³¹ñáÕ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù), áñÇ ÙÇçáõÏÁª Ker(f) = H1 £¢ ¢ ¢£Hn : ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.37 (í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÁ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ Ï³Ù ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿ , Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí í»ñç³íáñ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñÇÝ: ²í»ÉÇ ×Çßï, ÙÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ Ï³Ù Ý³ËÝ³Ï³Ý ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿ Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí Ý³ËÝ³Ï³Ý ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: ¤ 18.8.2. ÊÙμ»ñÇ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: ²ÝóÝ»Ýù ËÙμ»ñÇ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ: ¸Çóáõù H-Á ¨ K-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ËÙμ»ñ »Ý, ÇëÏ ' : K ! Aut H ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿: '-Ç û·ÝáõÃÛ³Ùμ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ H £ K ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª (h1 ; k1 ) ¢ (h2 ; k2 ) = (h1 ¢ ' (k1 ) (h2 ) ; k1 ¢ k2 ) : ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù, áñ H £ K μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ËÙμÇª (e; e0 ) ÙÇ³íáñáí ¨ ¢¡ ¢ ¢ ¡ ¡ (h; k)¡1 = ' k¡1 h¡1 ; k¡1 Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñáí: êï³óí³Í ËáõÙμÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ H h K Ó¨áí '

¨ ÏáãíáõÙ ¿ H ¨ K ËÙμ»ñÇ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³Éª Áëï ' ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í k 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª '(k) = ", ³å³ ËÙμ»ñÇ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ: î³ñμ»ñ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý ï³ñμ»ñ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñ: G ËáõÙμÁ Ï³Ýí³Ý»Ýù H ¨ K ËÙμ»ñÇ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É ¨ Ï·ñ»Ýù G = H h K, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : K ! Aut H ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñ G = H h K: '

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.30: ºÃ» G ËáõÙμÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ H ¨ K ËÙμ»ñÇ ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ H 0 E G ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ¨ K 0 6 G »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ H 0 \ K 0 = f(e; e0 )g ¨ G = H 0 ¢ K 0:

²å³óáõóáõÙ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : K ! Aut H ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñ G = H h K: àñáÝ»ÉÇ H 0 ¨ K 0 '

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

»ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ÁÝïñíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª H 0 = f(h; e0 ) j h 2 Hg ; K 0 = f(e; k) j k 2 Kg : êïáõ·»Ýù H 0 E G Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» x 2 G, x = (h; k) ¨ h¤ = (h ; e ) 2 H 0 , ³å³

xh¤ x¡1 = (h; k)(h0 ; e)(h; k)¡1 = ¢¡ ¢ ¢ ¡ ¡ = (h; k)(h0 ; e) ' k¡1 h¡1 ; k¡1 = (h2 ; e0 ) 2 H 0 :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ K 0 6 G ¨ G = H 0 ¢ K 0 , áñáíÑ»ï¨

(h; e0 ) ¢ (e; k) = (h ¢ '(e0 )(e); e0 ¢ k) = (h ¢ "(e); k) = (h ¢ e; k) = (h; k) : ¤ î»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁª Ñ»ï¨Û³É ÇÙ³ëïáí. Â»áñ»Ù 18.38: ºÃ» G ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝåÇëÇ H E G ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμáí ¨ K 6 G »ÝÃ³ËÙμáí, áñ H \ K = feg ¨ G = H ¢ K , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ±' : K ! Aut H ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñ G ' H h K : ´³óÇ ³Û¹ª G H ' K : '

²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ k 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ®k : H ! H ³íïáÙáñýÇ½ÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ®k (h) = khk¡1 2 H E G, ÇëÏ ' : K ! Aut H ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ë³ÑÙ³Ý»Ýù '(k) = ®k 2 Aut H, k 2 K, μ³Ý³Ó¨áí: ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³½Ù»Ýù H h K '

ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ÝÏ³ï»Ýù G ' H h K Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝÁ: '

àñå»ë å³Ñ³ÝçíáÕ Ç½áÙáñýÇ½Ù ³Ûëï»Õ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ã : (h; k) ! h ¢ k ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÇ í»ñ³¹ñáÕ ÉÇÝ»ÉÁ μËáõÙ ¿ G = H ¢ K Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ÇëÏ Ý»ñ¹ñáÕ ÉÇÝ»ÉÁª H \ K = feg Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: êïáõ·»Ýù ÑáÙáÙáñýáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ. Ã ((h1 ; k1 ) ¢ (h2 ; k2 )) = Ã ((h1 ¢ ' (k1 ) (h2 ) ; k1 ¢ k2 )) = ¢¢ ¡¡ = Ã h1 k1 h2 k1¡1 ; k1 k2 = h1 k1 h2 k1¡1 k1 k2 = h1 k1 h2 k2 = = Ã ((h1 ; k1 )) ¢ Ã ((h2 ; k2 )) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

± ²å³óáõó»Ýù G H ' K Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝÁª û·ïí»Éáí ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇó. . . ± ± G H = H ¢ K H ' K H \ K = K (e) ' K : ¤

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) S3 ' A3 h ((1; 2)), ÙÇÝã¹»é S3 ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ï³ñ³ÉáõÍ»ÉÇ ã¿ Áëï ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ÏÉÇÝ»ñ ³μ»ÉÛ³Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, S3 ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ: 2) ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙª Sn ' An h (®), áñï»Õ ® = (1; 2): 3) S4 ' V4 h S3 , áñï»Õ V4 -Á x2 = e ÝáõÛÝáõÃ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ ãáññáñ¹ Ï³ñ·Ç ËáõÙμÝ ¿ (áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ øÉ»ÛÝÇ ãáññáñ¹³ÛÇÝ ËáõÙμ): Â»áñ»Ù 18.39: ºÃ» H ' H 0 , K ' K 0 ¨ ' : K ! Aut H ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ , ³å³ H h K ' H 0 h K 0 , áñï»Õ Ã : K 0 ! Aut H 0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ '

áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª

Ã = ° ¡1 ¢ ' ¢ ¹;

¹(®) = ¯ ¡1 ¢ ® ¢ ¯;

ÇëÏ ¯ : H ! H 0 , ° : K ! K 0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ïñí³Í Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÝ »Ý, ® 2 Aut H : ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, Ã ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ áñáßíáõÙ ¿ ³ÛÝå»ë, áñ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÉÇÝÇ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ¹Ç³·ñ³ÙÁª ' K

¹ ? K0

³ÛëÇÝùÝª ° ¢ Ã = ' ¢ ¹:

Aut H

? Ã

Aut H 0

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: àñáÝ»ÉÇ ± : H h K ! H 0 h K 0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª

± : (h; k) ¡! (¯(h); °(k)) ; áñÇ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ÉÇÝ»ÉÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ØÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É ±-Ç ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, (h1 ; k1 ) ¢ (h2 ; k2 ) = (h1 ¢ '(k1 )(h2 ); k1 ¢ k2 ) ; ± ((h1 ; k1 )) ¢ ± ((h2 ; k2 )) = = (¯ (h1 ) ; ° (k1 ))¢(¯ (h2 ) ; ° (k2 )) = (¯ (h1 ) ¢ Ã (° (k1 )) (¯ (h2 )) ; ° (k1 ) ° (k2 )) = = (¯ (h1 ) ¢ (' ¢ ±) (k1 ) (¯ (h2 )) ; ° (k1 ) ° (k2 )) = = (¯ (h1 ) ¢ ± (' (k1 )) (¯ (h2 )) ; ° (k1 ) ° (k2 )) = ¡ ¡ ¢ ¢ = ¯ (h1 ) ¢ ¯ ¡1 ¢ ' (k1 ) ¢ ¯ (¯ (h2 )) ; ° (k1 ) ° (k2 ) = = (¯ (h1 ) ¢ ¯ (' (k1 ) (h2 )) ; ° (k1 ) ° (k2 )) =

=± ((h1 ¢ ' (k1 ) (h2 ) ; k1 ¢ k2 )) =± ((h1 ; k1 ) ¢ (h2 ; k2 )) :

18.9. ÊÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: àõÕ»ÍÇñ, Ï³ÛáõÝ³óÝáÕ »ÝÃ³ËáõÙμ ¨ ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ: ´»éÝë³Û¹Ç ¨ üñáμ»ÝÛáõëÇ É»ÙÙÁ ¸Çóáõù Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ª e 2 Q ÙÇ³íáñáí, ÇëÏ X-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ºÃ» f : X £ Q ! X ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙ f : (x; a) ! y, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ y = f (x; a) Ï³Ù y = x ± a, »ñμ f -Ç ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ± Ýß³Ý³ÏáõÙÁ (Ýß³ÝÁ): (±) : X £ Q ! X ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ (³ç) ³½¹»óáõÃÛáõÝ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) x ± (a ¢ b) = (x ± a) ± b, μ) x ± e = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Î³ë»Ýù, áñ Q(¢) ËáõÙμÝ ³½¹áõÙ ¿ X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï³Ù ïñí³Í ¿ Q(¢) ËÙμÇ áñ¨¿ ³½¹»óáõÃÛáõÝ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ºÃ»

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

G(¢) ËáõÙμÝ ³½¹áõÙ ¿ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ X-Á ÏáãíáõÙ ¿ Gμ³½ÙáõÃÛáõÝ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ºÃ» Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q(¢) ËÙμÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÁÝïñ»Ýù X = Q ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù x ± a = x ¢ a, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï Çñ (Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý) íñ³: 2) ºÃ» Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, H 6 Q, ÇëÏ X = Q=Hr ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Hx ± a = H(x ¢ a), ³å³ Ïëï³Ý³Ýù Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï X = Q=Hr μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: Æñáù, ³) Hx±(a¢b) = H(x¢(a¢b)) = H((x¢a)¢b) = H(x¢a)±b = (Hx±a)±b, μ) Hx ± e = H(x ¢ e) = Hx:

3) ºÃ» Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q(¢) ËÙμÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÁÝïñ»Ýù X = Q

¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù x ± a = a¡1 xa, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù ³½¹»óáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝ Çñ íñ³ª Ñ³Ù³ÉáõÍÝ»ñáí: Æñáù, ³) x ± (a ¢ b) = (ab)¡1 x(ab) = b¡1 a¡1 xab = b¡1 (x ± a)b = (x ± a) ± b, μ) x ± e = e¡1 xe = x:

4) Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(¢) ËÙμÇ Ýß³Ý³Ï»Ýù Sub(Q)-áíª

μáÉáñ

»ÝÃ³ËÙμ»ñÇ

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

³å³ Ïëï³Ý³Ýù Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï Çñ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, áñáíÑ»ï¨. ³) H±(a¢b) = (ab)¡1 H(ab) = b¡1 a¡1 Hab = b¡1 (H±a)b = (H±a)±b, μ) H ± e = e¡1 He = H: 5) ºÃ» Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ x ± a ûñ»Ýùáí, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í Y μ X (áã ¹³ï³ñÏ) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Éáí Y ± a = fy ± a j y 2 Y g μ X;

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Ïëï³Ý³Ýù Q(¢) ËÙμÇ Ýáñ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï X-Ç μáÉáñ (áã ¹³ï³ñÏ) »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: 6) ºÃ» Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ x ± a ûñ»Ýùáí, ³å³ ³Ûë ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ Ù³Ï³ÍáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ Ýáñ ³½¹»óáõÃÛáõÝ X (n) = X £ ¢ ¢ ¢ £ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, Ñ»ï¨Û³É | {z } Ï»ñå.

(x1 ; : : : ; xn ) ± a = (x1 ± a; : : : ; xn ± a) 2 X (n) :

Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇó μËáõÙ ¿, áñ ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ μÝáõÃ³·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ: Â»áñ»Ù 18.40: Q(¢) ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³½¹»óáõÃÛáõÝ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ù³Ï³ÍáõÙ ¿ ³Û¹ ËÙμÇ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù SX ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ Ù»ç: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Q(¢) ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù SX ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ Ù»ç Ù³Ï³ÍáõÙ ¿ ³Û¹ ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ Q(¢) ËÙμÇ (±) ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X-Ç íñ³: ê³ÑÙ³Ý»Ýù Ra : X ! X ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (³ç ï»Õ³ß³ñÅÁ) Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Ra (x) = x ± a; x 2 X; a 2 Q : ÜÏ³ï»Ýù, áñ Ra -Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, áñáíÑ»ï¨ª

Ra (x) = Ra (y) ¡! x ± a = y ± a ¡! (x ± a) ± a¡1 = (y ± a) ± a¡1 ¡! ¢ ¡ ¡! x ± (a ¢ a¡1 ) = y ± a ¢ a¡1 ¡! x ± e = y ± e ¡! x = y

¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý y 2 X ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ÁÝïñ»Éáí x = y ±a¡1 ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¢ ¡ ¡ ¢ Ra (x) = x ± a = y ± a¡1 ± a = y ± a¡1 ¢ a = y ± e = y : ²ÛëåÇëáí, Ra 2 SX ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨ª Ra¢b = Ra ¢ Rb ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ª Ra¢b (x) = x ± (a ¢ b) = (x ± a) ± b = Ra (x) ± b = Rb (Ra (x)) = (Ra ¢ Rb ) x :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ê³ÑÙ³Ý»Éáí ' : Q ! SX ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁª '(a) = Ra ûñ»Ýùáí, ÝÏ³ï»Ýù, áñ ³ÛÝ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿. '(a ¢ b) = Ra¢b = Ra ¢ Rb = '(a) ¢ '(b) : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Q(¢) ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ' : Q ! SX ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Éáíª x ± a = '(a)(x) 2 X, áñï»Õ a 2 Q, x 2 X, ëï³ÝáõÙ »Ýù Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, áñáíÑ»ï¨. ³) x ± (a ¢ b) = '(a ¢ b)(x) = ('(a) ¢ '(b)) x = '(b) ('(a)x) = '(b)(x ± a) = (x ± a) ± b, μ) x ± e = '(e)(x) = "(x) = x:

¸Çóáõù Q(¢) ËáõÙμÝ ³½¹áõÙ ¿ X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, x 2 X: Ü»ñÙáõÍ»Ýù ï³ññÇ áõÕ»ÍñÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. O(x) = fx ± a j a 2 Qg μ X »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ x ï³ññÇ áõÕ»ÍÇñ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ x 2 O(x): ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ μáÉáñ áõÕ»Íñ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý ïñáÑáõÙ: ÐÇÙÝ³íáñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁª x » y Ã! y = x ± a áñ¨¿ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; áñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý áõÕ»Íñ»ñÇ Ñ»ï: Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. 1. x » x, ù³ÝÇ áñ x = x ± e; 2. x » y ! y » x, ù³ÝÇ áñ y = x ± a ! x = y ± a¡1 ; 3. x » y, y » z ! x » z, ù³ÝÇ áñ z = y ± b = (x ± a) ± b = x ± (a ¢ b):

ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ

y 2 [x] Ã! y » x Ã! x » y Ã! y = x ± a Ã! y 2 O(x); ³ÛëÇÝùÝª [x] = O(x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

È»ÙÙ 18.13: ºÃ» X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ³½¹áÕ Q(¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ áõÕ»ÍÇñ ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ, áñÇ Ï³ñ·Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ Ï³ñ·Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ: ²Ûë åÝ¹Ù³Ý ³å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý³Ë Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ù»Ï áõñÇß »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ë: x 2 X ï³ññÇ Ï³ÛáõÝ³óÝáÕ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (ëï³μÇÉÇ½³ïáñ) Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ St(x)-áí ¨ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª St(x) = fa 2 Q j x ± a = xg μ Q : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ St(x) 6= ;, ù³ÝÇ áñ e 2 St(x):

È»ÙÙ 18.14: Î³Ù³Û³Ï³Ý x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª St(x) 6 Q:

²å³óáõóáõÙ: êïáõ·»Ýù »ÝÃ³ËáõÙμ ÉÇÝ»Éáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ.

a; b 2 St(x) ¡! x ± (a ¢ b) = (x ± a) ± b = x ± b = x ¡! a ¢ b 2 St(x); ¢ ¡ a 2 St(x) ¡! x±a = x ¡! (x±a) ±a¡1 = x±a¡1 ¡! x± a ¢ a¡1 = x±a¡1

¡! x ± e = x ± a¡1 ¡! x ± a¡1 = x ¡! a¡1 2 St(x) :

St(x) »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ Ç½áïñáåáõÃÛ³Ý) »ÝÃ³ËáõÙμ:

x-Ç

Ï³ÛáõÝ³óÝáÕ

(Ï³Ù

È»ÙÙ 18.15: Î³Ù³Û³Ï³Ý x 2 X ï³ññÇ áõÕ»ÍñÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ (Ï³ñ·Á) Ñ³í³ë³ñ ¿ ÝáõÛÝ ï³ññÇ Ï³ÛáõÝ³óÝáÕ »ÝÃ³ËÙμÇ ÝßÇãÇÝ Q(¢) ËÙμáõÙª jO(x)j = (Q : St(x)) :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» Q(¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ , ³å³ jO(x)j =

jQj : jSt(x)j

²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Ï³éáõó»É ¹ : O(x) ! Q=St(x)r ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Üß³Ý³Ï»Ýù H = St(x) ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ¹(x ± a) = Ha, áñï»Õ a 2 Q: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝáí Çñáù áñáßíáõÙ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ. ¢ ¡ x±a = x±b ¡! x = (x±b)±a¡1 = x± b ¢ a¡1 ¡! b¢a¡1 2 H ¡! Hb = Ha : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ¹ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¿. ¹(x ± a) = ¹(x ± b) ¡! Ha = Hb ¡! a ¢ b¡1 2 H = St(x) ¡!

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¢ ¡ x ± a ¢ b¡1 = x ¡! x ± a = x ± b :

ú·ïí»Éáí Ý³¨ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇó, ³Ûëï»ÕÇó áñå»ë Ñ»ï¨³Ýù ëï³ÝáõÙ »Ýù É»ÙÙ 18.13-Ç ³å³óáõóáõÙÁ: ø³ÝÇ áñ X μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ïñáÑíáõÙ ¿ Çñ ï³ññ»ñÇ áõÕ»Íñ»ñáí, ³å³ í»ñç³íáñ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É, áñ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ μáÉáñ áõÕ»Íñ»ñÇ Ï³ñ·»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝª X jXj = jO(xi )j : xi

²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñÁ Ñ³×³Ë ·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª X (Q : St(xi )) : jXj = xi

¸³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç »ñμ»ÙÝ ³é³ÝÓÝ³óíáõÙ »Ý μáÉáñ ³ÛÝ áõÕ»Íñ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Çª O(xi ) = fxi g: ºÃ» m-áí Ýß³Ý³Ï»Ýù Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ μáÉáñ áõÕ»Íñ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, ³å³ ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÁÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª X jO(xi )j : jXj = m + O(xi )6=fxi g

ÜÏ³ï»Ýù, áñ O(x) = fxg Ã! x ± a = x;

8a 2 Q :

²Ûë ¹»åùáõÙ x 2 X ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï (ï³ññ): Üß³Ý³Ï»Ýù Ý³¨ª F ix(a) = fx 2 X j x ± a = xg : Â»áñ»Ù 18.41 (´»éÝë³Û¹Ç ¨ üñáμ»ÝÛáõëÇ É»ÙÙÁ) : ºÃ» Q(¢) í»ñç³íáñ ËáõÙμÁ ³½¹áõÙ ¿ í»ñç³íáñ X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ÇëÏ N -Á X μ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ áõÕ»Íñ»ñÇ ÃÇíÝ ¿ , ³å³ N=

1 X ¢ jF ix(a)j : jQj a2Q

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõóáõÙ: X £ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Çï³ñÏ»Ýù μáÉáñ ³ÛÝ (x; a) ½áõÛ·»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ x ± a = x: ¸Çóáõù μáÉáñ ³Û¹åÇëÇ ½áõÛ·»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ r-Ç: Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÇ ÏáÕÙÇóª X r= jF ix(a)j; a2Q

ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª r=

x2X

jSt(x)j =

àõëïÇª jQj ¢

x2X

X jQj = jQj ¢ : jO(x)j jO(x)j x2X

X = jF ix(a)j : jO(x)j a2Q

ê³Ï³ÛÝ, »Ã» y 2 O(x), ³å³ O(y) = O(x) ¨ jO(x)j = n ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª X = + ¢ ¢ ¢ + = 1; jO(y)j |n {z n} y2O(x)

¨ å³ïÏ»ñ³óÝ»Éáí X-Á ïñáÑí³Í Áëï N Ãíáí áõÕ»Íñ»ñÇ, Ïëï³Ý³Ýùª X

x2X

²ÛëåÇëáíª

= 1 + ¢¢¢ + 1 = N : jO(x)j | {z } N

jQj ¢ N = ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, N=

a2Q

jF ix(a)j

1 X ¢ jF ix(a)j ; jQj a2Q

¸Çóáõù G(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ÇëÏ X-Á ¨ Y -Á Gμ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: f : X ! Y ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ùíÇí³ñÇ³Ýï (G-¿ùíÇí³ñÇ³Ýï) Ï³Ù G-³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³½¹»óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨), »Ã» f (x ± a) = f (x) ± a

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ¨ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 G ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª f ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ï»Õ³÷áË»ÉÇ ¿ G(¢) ËÙμÇ ïñí³Í ³½¹»óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: ºÃ» f : X ! Y ¿ùíÇí³ñÇ³Ýï ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ùíÇÇ½áÙáñýÇ½Ù Ï³Ù Ñ³Ù³éáïª ¿ùíÇÙáñýÇ½Ù: ÜáõÛÝ³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¿ùíÇÙáñýÇ½Ù ¿: ºñÏáõ ¿ùíÇí³ñÇ³Ýï ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¿ùíÇí³ñÇ³Ýï ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ºñÏáõ X, Y G-μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ¿ùíÇÙáñý ¨ ·ñíáõÙ ¿ X ' Y Ï³Ù X » = Y , »Ã» ¹ñ³Ýó ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ¿ùíÇÙáñýÇ½Ù: ¾ùíÇÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý

μáÉáñ »ñ»ù

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

G(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÏáãíáõÙ ¿ ïñ³Ý½ÇïÇí, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y 2 X ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 G ï³ññ, áñ x ±a = y (³ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý ¹Çï³ñÏíáÕ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ÇÙ³ëïáí): G(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÏáãíáõÙ ¿ ×ß·ñÇï Ï³Ù ¿ý»ÏïÇí, »Ã» '(a) = Ra , a 2 G, ûñ»Ýùáí áñáßíáÕ ' : G ! SX ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ Ý»ñ¹ñáÕ ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ker(') = feg: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ×ß·ñÇï Ï³Ù áã ¿ý»ÏïÇí:

18.10. ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ: ì»ñç³íáñ p-ËÙμÇ Ï»ÝïñáÝÁ Â»áñ»Ù 18.42 (ÎáßÇ) : ºÃ» p å³ñ½ ÃÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ, ³å³ ³Û¹ ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ p Ï³ñ·Ç áñ¨¿ ï³ññ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ p Ï³ñ·Ç áñ¨¿ »ÝÃ³ËáõÙμ):

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù í»ñç³íáñ Q(¢) ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jQj = n ¨ n = p ¢ m, m > 1: Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï mÇ: m = 1 ¹»åùáõÙ Ã»áñ»ÙÇ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù m-Çó ÷áùñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ã»áñ»ÙÁ ×Çßï ¿, ³å³óáõó»Ýù ³ÛÝ m-Ç Ñ³Ù³ñ: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. ³) Q = Z(Q), ³ÛëÇÝùÝª Q(¢) ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿: ²Ûë ¹»åùáõÙ Ã»áñ»ÙÝ ³ñ¹»Ý ³å³óáõóí³Í ¿ (Ã»áñ»Ù 18.26): μ) Q 6= Z(Q), ³ÛëÇÝùÝª Z(Q) < Q ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ xi 2 Q, áñ xi 62 Z(Q): ²Ûë ¹»åùÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù Q(¢)

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÝ Çñ íñ³ª Ñ³Ù³ÉáõÍÝ»ñáí, ³ÛëÇÝùÝª X = Q, ÇëÏ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ x ± a = a¡1 xa ûñ»Ýùáí: ²Ûë ³½¹»óáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·ñ»Ýù ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁª X X jO(xi )j = jZ(Q)j + jO(xi )j jQj = xi

O(xi )6=fxi g

Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ

O(xi ) = fxi g Ã! xi ± a = xi 8a 2 Q Ã! a¡1 xi a = xi ; 8a 2 Q Ã! xi a = axi ; 8a 2 Q Ã! xi 2 Z(Q);

³ÛëÇÝùÝª Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ áõÕ»Íñ»ñÇ m ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ Z(Q) Ï»ÝïñáÝÇ Ï³ñ·ÇÝ: ø³ÝÇ áñ (Q : St(xi )) = jO(xi )j > 1. ³å³ St(xi ) 6= Q, ³ÛëÇÝùÝª St(xi ) < Q: Ð»ï¨³μ³ñ, jSt(xi )j < jQj = p ¢ m: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ »ÝÃ³¹»åù»ñÁ. ³’) St(xi ) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª jSt(xi )j = p ¢ m0 < p ¢ m ¨ m0 < m: ²Ûë ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßïª Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý: μ’) St(xi ) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó áã Ù»ÏÇ Ï³ñ·Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ Áëï È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇª jQj = jSt(xi )j ¢ (Q : St(xi )) ; ³å³ ³Ûë ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ (Q : St(xi )) ³ñï³¹ñÇã Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç jZ(Q)j ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³ ¨ Z(Q) < Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝÇ ×Çßï, áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿ (Ï³Ù Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý): ¤ ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ pn Ï³ñ· áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ ËáõÙμ pËáõÙμ ¿ (p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿): ÖÇßï ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.19: ì»ñç³íáñ p-ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pk -Ç, áñï»Õ k 2 N: ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó:

Â»áñ»Ù 18.43: ØÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ í»ñç³íáñ p-ËáõÙμÝ áõÝÇ Ï»ÝïñáÝ, ³ÛëÇÝùÝª Z(Q) 6= feg, áñï»Õ Q(¢)-Á ÙÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ p-ËáõÙμ ¿ :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù jQj = pk , k > 1: ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. ³) Q = Z(Q), ³Ûë ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ Q 6= feg: μ) Q 6= Z(Q), ³ÛëÇÝùÝª Z(Q) < Q ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ xi 2 Q, áñ xi 62 Z(Q): ²Ûë ¹»åùÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÝ Çñ íñ³ª Ñ³Ù³ÉáõÍÝ»ñáí ¨ ³Û¹ ³½¹»óáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÝáñÇó ·ñ»Ýù ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁª X jQj = jZ(Q)j + jO(xi )j : O(xi )6=fxi g

ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ jO(xi )j ·áõÙ³ñ»ÉÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Q(¢) ËÙμÇ Ï³ñ·Ç μ³Å³Ý³ñ³ñ, ³ÛëÇÝùÝª jO(xi )j = pki , áñï»Õ ki > 1: Ð»ï¨³μ³ñ, jZ(Q)j-Ý ¨ë Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª Z(Q)-Ý ³éÝí³½Ý p-ï³ññ³ÝÇ ¿: àõëïÇ Z(Q) 6= feg: ¤ Â»áñ»Ù 18.44: ºÃ» í»ñç³íáñ p-ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ p2 , ³å³ ³Û¹åÇëÇ ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ : ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, ³Û¹åÇëÇ Q(¢) ËáõÙμÁ Ï³Ù ÙÇ³ÍÇÝ ¿ (¨ Ñ»ï¨³μ³ñ Ç½áÙáñý ¿ Zp2 (+) ËÙμÇÝ) Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ pñ¹ Ï³ñ·Ç »ñÏáõ ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝª Q ' Zp £ Zp : (ê³Ï³ÛÝ ó³ÝÏ³ó³Í p å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ p3 Ï³ñ·Ç áã ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ:)

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Q(¢) ËÙμÇ Z(Q) Ï»ÝïñáÝÁ: ø³ÝÇ áñ Z(Q) E Q ¨ jQj = p2 , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ, jZ(Q)j-Ý Ï³ñáÕ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É 1, p, p2 ³ñÅ»ùÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ: Àëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇª jZ(Q)j 6= 1: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ jZ(Q)j 6= p: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª jQ=Z(Q)j =

p2 jQj = =p: jZ(Q)j p

Ð»ï¨³μ³ñ, Q=Z(Q) ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ (Ã»áñ»Ù 18.20, Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.8), ³Û¹ ¹»åùáõÙ Q(¢) ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý, Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.24, ³ÛëÇÝùÝª jZ(Q)j = jQj = p2 : Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: ¸Çóáõù Q(¢) ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿ ¨ a 2 Q, a 6= e: ¸Çï³ñÏ»Ýù H = (a) 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ: Àëï È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇª jHj = p, ù³ÝÇ áñ H 6= feg ¨ H 6= Q: ø³ÝÇ áñ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Q n H 6= ;, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ b 2 Q n H: øÝÝ³ñÏ»Ýù K = (b) 6 Q ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ jKj = p, H \ K = feg, H E Q, K E Q: ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ H ¢ K = fh ¢ k j h 2 H; k 2 Kg = Q; áñáíÑ»ï¨ h ¢ k = h0 ¢ k0 ¡! (h0 )¡1 ¢ h = k0 ¢ k¡1 2 H \ K = feg ¡! (h0 )¡1 ¢ h = e; k0 ¢ k = e ¡! h = h0 ; k = k0 ;

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, jH ¢ Kj = jHj ¢ jKj = p ¢ p = p2 = jQj: ²ÛëåÇëáí (Ã»áñ»Ù 18.34), Q ' H £ K ' Zp £ Zp , ù³ÝÇ áñ H ' Zp ¨ K ' Zp (É»ÙÙ 18.12): ( ºÃ» p = 2, ³å³ p3 = 8 Ï³ñ·Ç áã ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ûñÇÝ³Ï Ï³ñáÕ ¿ Í³é³Û»É ùí³ï»ñÝÇáÝÝ»ñÇ ËáõÙμÁ, ³ÛëÇÝùÝª 2-ñ¹ Ï³ñ·Ç μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ 1 0 i 0 0 1 0 i § ; § ; § ; § 0 1 0 ¡i ¡1 0 i 0 Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμÁ (i2 = ¡1), ÇëÏ p 6= 2 ¹»åùáõÙ p3 Ï³ñ·Ç áã ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ûñÇÝ³Ï ¿ 3-ñ¹ Ï³ñ·Ç 1 a b @ 0 1 c A ; a; b; c 2 Zp ; 0 0 1 Ù³ïñÇóÝ»ñÇ 1 1 @ 0 1 0 0

³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμÁ: ºí, ûñÇÝ³Ï, 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 A ¢ @ 0 1 1 A 6= @ 0 1 1 A ¢ @ 0 1 1 A 0 0 1 0 0 1 0 0 1

áõ Ï³éáõóí³Í ËÙμáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ xp = e ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿:) ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18.11. êÇÉáíÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ (P.L.M. Sylow, 1832–1918) ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿: Q(¢) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ p-»ÝÃ³ËáõÙμ, »Ã» ³ÛÝ p-ËáõÙμ ¿: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, í»ñç³íáñ p»ÝÃ³ËÙμÇ Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ pk , k 2 N: Q(¢) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ p-ëÇÉáíÛ³Ý Ï³Ý ëÇÉáíÛ³Ý p-»ÝÃ³ËáõÙμ Q(¢) ËÙμáõÙ, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

³) H-Á p-»ÝÃ³ËáõÙμ ¿; μ) H p-»ÝÃ³ËáõÙμÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ÁÝ¹·ñÏ»É Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ Q(¢)-Ç

Ù»Ï ³ÛÉ p-»ÝÃ³ËÙμÇ Ù»ç:

Q(¢) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÇÉáíÛ³Ý, »Ã» ³ÛÝ pëÇÉáíÛ³Ý ¿ áñ¨¿ p å³ñ½ ÃíÇ ¹»åùáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ í»ñç³íáñ ËÙμáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p-»ÝÃ³ËáõÙμ (ûñÇÝ³Ï, H = (e)) ³ëïÇ×³Ý³Ï³Ý ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý ÙÇçáóáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ëÝ»É ÙÇÝã¨ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, í»ñç³íáñ ËÙμ»ñáõÙ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ØÝáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ (³í»ÉÇ ×Çßï Ýñ³Ýó Ï³ñ·Ç, Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý ¨ ù³Ý³ÏÇ Ñ³ñó»ñÁ): ¸Çóáõù í»ñç³íáñ Q(¢) ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jQj = pn ¢ t, áñï»Õ (p; t) = 1, ³ÛëÇÝùÝª t-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ pn -Á p-Ç ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³ÝÝ ¿, áñÇ íñ³ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ jQj-Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇó μËáõÙ ¿, áñ jHj = pn Ï³ñ· áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ ÏÉÇÝÇ p-ëÇÉáíÛ³Ý (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ): Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ý³¨ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÙ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó: Â»áñ»Ù 18.45 (êÇÉáíÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ, 1872 Ã.) : ºÃ» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿ ¨ Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ pn -Ç íñ³, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ jHj = pn : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» jQj = pn ¢ t, áñï»Õ (p; t) = 1, ³å³ Q(¢) ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ pn Ï³ñ·Ç p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËáõÙμ:

²å³óáõóáõÙ: Î³ñ»ÉÇ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ n > 1: Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõó»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n-Ç: n = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 18.42): ¸Çóáõù n-Çó ÷áùñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ã»áñ»ÙÁ ×Çßï ¿, ³å³óáõó»Ýù ³ÛÝ n-Ç Ñ³Ù³ñ: ºÃ» Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ pn -Ç íñ³, ³å³ ³ÛÝ Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ pn¡1 -Ç íñ³, Ñ»ï¨³μ³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ jHj = pn¡1 : ø³ÝÇ, áñ jQj = jHj ¢ (Q : H), ³å³ (Q : H) ÝßÇãÁ Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: ¸Çï³ñÏ»Ýù H »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ»ï¨Û³É ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X = Q=Hr μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ª Hx ± h = H(x ¢ h);

h 2 H; x 2 Q;

¨ ·ñ»Ýù ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³Ûë ³½¹»óáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª X X jO(xi )j = m + jO(xi )j : jXj = xi

O(xi )6=fxi g

²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³, áñáíÑ»ï¨ jXj = jQ=Hr j = (Q : H): ø³ÝÇ áñ jO(xi )j = pki , ³å³ X jO(xi )j = pk1 + pk2 + ¢ ¢ ¢ + pks O(xi )6=fxi g

·áõÙ³ñÁ ÝáõÛÝå»ë Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, áñáíÑ»ï¨ ki > 1: Ð»ï¨³μ³ñ, m-Á ÝáõÛÝå»ë Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: ÜÏ³ñ³·ñ»Ýù ¹Çï³ñÏíáÕ í»ñç³íáñ H »ÝÃ³ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ. Hx ± h = Hx; 8h 2 H Ã! H(x ¢ h) = Hx; 8h 2 H Ã! Ã! xHx¡1 = H Ã! x 2 NQ (H) Ã! Hx 2 NQ (H)=H :

²ÛëåÇëáí, jNQ (H)=Hj = m, áñÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³ ¨ ³ÛÅÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ NQ (H)=H ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ: ¶áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Hb 2 NQ (H)=H ï³ññ, áñ jHbj = p, b 2 NQ (H): Ü»ñÙáõÍ»Ýù K = (Hb) 6 NQ (H)=H ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμÁ ¨ ÁÝïñ»Ýù H 0 = ¼¡1 (K) = fx 2 NQ (H) j ¼(x) 2 Kg 6 NQ (H) »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñï»Õ ¼ : NQ (H) ¡! NQ (H)=H ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ ¿: ÊÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª K ' H 0 =H ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, jH 0 j = jHj ¢ jKj = pn¡1 ¢ p = pn : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.20: ºÃ» Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ pn Ç íñ³ ¨ i < n, ³å³ pi Ï³ñ· áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹·ñÏ»É ³ÛÝåÇëÇ H 0 6 Q »ÝÃ³ËÙμáõÙ, áñ jH 0 j = pi+1 ¨ H E H 0 : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» jQj = pn ¢ t, áñï»Õ (p; t) = 1, ³å³ Q(¢) ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËáõÙμ ÏÉÇÝÇ pn Ï³ñ·Ç: ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý Ù»çª H 6 H 0 6 NQ (H);

áñï»Õ H E NQ (H) :

Ð»ï¨³μ³ñ, H E H 0 :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.21: ºÃ» Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ pn Ç íñ³, ³å³ ³Û¹ ËÙμÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª feg = H0 < H1 < ¢ ¢ ¢ < Hn¡1 < Hn ;

áñï»Õ jHi j = pi , Hi E Hi+1 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ jHi+1 =Hi j = p, ³ÛëÇÝùÝª Hi+1 =Hi ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ μáÉáñ i = 0; 1; : : : ; n ¡ 1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¤ ¹»åùáõÙ: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.22: ºÃ» Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jQj = pn , ³å³ Ýñ³ μáÉáñ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ÏáõÝ»Ý³Ý ÝáõÛÝ pn¡1 Ï³ñ·Á ¨ μáÉáñÝ ¿ É ÏÉÇÝ»Ý ÇÝí³ñÇ³Ýï Q(¢) ËÙμáõÙ: (¸»é ³í»ÉÇÝ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k < n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ pk Ï³ñ·Ç H E Q ÇÝí³ñÇ³Ýï ¤ »ÝÃ³ËáõÙμ:) ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù, »Ã» Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jQj = pn ¢ t, áñï»Õ (p; t) = 1, ³å³ ³Ûë ËÙμÇ μáÉáñ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý μáÉáñ ³ÛÝ H 6 Q »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ, áñáÝó Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pn : Àëï áñáõÙ, »Ã» H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ p-ëÇÉáíÛ³Ý ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ xHx¡1 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ (x 2 Q), áñáíÑ»ï¨ jxHx¡1 j = jHj = pn : Ð³çáñ¹ ³ñ¹ÛáõÝùÇó μËáõÙ ¿, áñ áõñÇß p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý: ºñÏáõ H; H 0 2 Q »ÝÃ³ËÙμ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³ÉáõÍ Q(¢) ËÙμáõÙ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ H 0 = x¡1 Hx:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Â»áñ»Ù 18.46 (êÇÉáíÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ) : ºÃ» Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jQj = pn ¢ t, áñï»Õ (p; t) = 1, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý H 0 6 Q p-»ÝÃ³ËÙμÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý H 6 Q p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q ï³ññ, áñ H 0 μ a¡1 Ha :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Q(¢) ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñ Ñ³Ù³ÉáõÍ »Ý Q(¢)-áõÙ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ç½áÙáñý »Ý (áõ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ï³ñ·Á19 ): ²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù H 0 6 Q »ÝÃ³ËÙμÇ Ñ»ï¨Û³É ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X = Q=Hr μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³. Ha ± h0 = H(ah0 ); áñï»Õ a 2 Q, h0 2 H 0 : ¶ñ»Ýù ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³Ûë ³½¹»óáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª X jXj = jO(xi )j = pk1 + pk2 + ¢ ¢ ¢ + pks : xi

ØÛáõë ÏáÕÙÇóª jXj =

Ð»ï¨³μ³ñ,

pn ¢ t jQj = n = t, áñï»Õ t-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: jHj p t = pk1 + pk2 + ¢ ¢ ¢ + pks

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç áñ¨¿ ki = 0, ³ÛëÇÝùÝª O(xi ) = fxi g: ²ÛëåÇëáí H 0 »ÝÃ³ËÙμÇ ¹Çï³ñÏíáÕ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ ûÅïí³Í ¿ áñ¨¿ xi 2 X ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí: ¸Çóáõù xi = Ha, a 2 Q: ²Û¹ ¹»åùáõÙª Ha ± h0 = Ha; 8h0 2 H 0 ¡! H(ah0 ) = Ha; 8h0 2 H 0 ¡! ah0 = ha; 8h0 2 H ¡! aH 0 μ Ha ¡! H 0 μ a¡1 Ha :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» H 0 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ¨ë p-ëÇÉáíÛ³Ý ¿, ³å³ H 0 = a¡1 Ha 6 Q, ù³ÝÇ áñ a¡1 Ha »ÝÃ³ËáõÙμÁ p-»ÝÃ³ËáõÙμ ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 18.23: ì»ñç³íáñ Q(¢) ËÙμÇ H 6 Q p-ëÇÉáíÛ³Ý

»ÝÃ³ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³Ï p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËáõÙμÝ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »ñμ H E Q: ¤ 19 ÇÝãÁ

Ñ³ÛïÝÇ ¿ Ý³¨ êÇÉáíÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨³ÝùÇó:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.47 (êÇÉáíÇ »ññáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ) : ¸Çóáõù Q(¢) í»ñç³íáñ ËÙμÇ Ï³ñ·Áª jQj = pn ¢t, áñï»Õ (p; t) = 1 ¨ ¹Çóáõù H -Á Q(¢)-Ç áñ¨¿ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ Q(¢) ËÙμÇ μáÉáñ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ (Q : NQ (H)) ÝßÇãÇÝ, áñÁ μ³Õ¹³ï»ÉÇ ¿ 1-Ç Ñ»ï Áëï p å³ñ½ ÃíÇª (Q : NQ (H)) ´ 1(mod p) :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Sylp (Q)-Ý Q(¢) ËÙμÇ μáÉáñ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù Q(¢) ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÝ Çñ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ X = fH 0 μ Q j H 0 6 Qg μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ª Ñ³Ù³ÉáõÍÝ»ñáí. H 0 ± a = a¡1 H 0 a; áñï»Õ H 0 2 X, a 2 Q: àñáß»Ýù O(x) áõÕ»ÍÇñÁ x = H 6 Q ¹»åùáõÙ, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí êÇÉáíÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ. O(x) = O(H) = fH ± aj a 2 Qg = fa¡1 Ha j a 2 Qg = Sylp (Q) : ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ñ³ßí»Ýù St(x)-Áª ÝáñÇó x = H ¹»åùáõÙ. St(x) = St(H) = fa 2 Q j H ± a = Hg = fa 2 Q j a¡1 Ha = Hg = NQ (H) : Ð»ï¨³μ³ñ, jSylp (Q)j = jO(H)j = (Q : St(H)) = (Q : NQ (H)) : Â»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÝ ³å³óáõóí³Í ¿, ÙÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ýñ³ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: øÝÝ³ñÏ»Ýù H 6 Q p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμÇ ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ X 0 = Sylp (Q) μ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ª Ñ³Ù³ÉáõÍÝ»ñáí. G ± h = h¡1 Gh 2 X 0 ;

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

áñï»Õ G 2 X 0 , h 2 H: ²Ûë ³½¹»óáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·ñ»Ýù ¹³ë»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁª X X jO(xi )j = m + jO(xi )j; jX 0 j = xi

O(xi )6=fxi g

áñï»Õ m-Á ùÝÝ³ñÏíáÕ ³½¹»óáõÃÛ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇ ÃÇíÝ ¿: ²Ûë Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ Q(¢) ËÙμÇ μáÉáñ p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ P ù³Ý³ÏÝ ¿, jO(xi )j ·áõÙ³ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·áõÙ³ñ»ÉÇ O(xi )6=fxi g

Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³½¹áÕ H ËÙμÇ Ï³ñ·Ç μ³Å³Ý³ñ³ñª jO(xi )j = pi , P jO(xi )j ·áõÙ³ñÁ Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³: i > 1: Ð»ï¨³μ³ñ, O(xi )6=fxi g

ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ m = 1: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ H-Á ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿, áñáíÑ»ï¨ H ± h = h¡1 Hh = H;

8h 2 H :

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ³Ûë ³½¹»óáõÃÛáõÝÁ μ³óÇ H-Çó áõñÇß ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ: Æñáù, ¹Çóáõù G 2 X 0 ï³ññÁ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª G ± h = G, 8h 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, h¡1 Gh = G, 8h 2 H ¨ H μ NQ (G): ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, G E NQ (G): ø³ÝÇ áñ H; G 6 Q »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ p-ëÇÉáíÛ³Ý »Ý Q(¢) ËÙμáõÙ, ³å³ Ýñ³Ýù ÏÉÇÝ»Ý p-ëÇÉáíÛ³Ý Ý³¨ Çñ»Ýó å³ñáõÝ³ÏáÕ NQ (G) 6 Q »ÝÃ³ËÙμáõÙ: àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ êÇÉáíÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, H ¨ G p-ëÇÉáíÛ³Ý »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³ÉáõÍ NQ (G) ËÙμáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 NQ (G) ï³ññ, áñ H = a¡1 Ga = G; ù³ÝÇ áñ G E NQ (G):

18.12. ÊÙμÇ ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ÊÙμÇ ³Í³ÝóÛ³É 18.12.1. ÌÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ÇëÏ X-Á Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ª X μ Q, X 6= ;: Î³ë»Ýù, áñ Q(¢) ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ X »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ Ï³Ù X »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÍÝáõÙ ¿ Q(¢) ËáõÙμÁ ¨ Ï·ñ»Ýù Q = (X), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ Q(¢) ËÙμÇ ³ÛÝåÇëÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ H 6= Q ¨ X μ H (³ÛëÇÝùÝª Q(¢) ËáõÙμÁ X-Á å³ñáõÝ³ÏáÕ Çñ ³Ù»Ý³÷áùñ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

»ÝÃ³ËáõÙμÝ ¿): ²Ûë ¹»åùáõÙ, X »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í ËÙμÇ ÍÝÇãÝ»ñÇ (Ï³Ù ÍÝáñ¹Ý»ñÇ) μ³½ÙáõÃÛáõÝ, ÇëÏ Ýñ³ ï³ññ»ñÁª ËÙμÇ ÍÝÇãÝ»ñ (ÍÝáñ¹Ý»ñ) Ï³Ù ÍÝÇã (ÍÝáñ¹) ï³ññ»ñ: úñÇÝ³Ï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(¢) ËáõÙμ ûÅïí³Í ¿ áñ¨¿ ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμª X = Q Ï³Ù X = Qnfeg: Q = (a) ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμÁ ûÅïí³Í ¿ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ X = fag ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ËáõÙμÁ ûÅïí³Í ¿ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ X = fag ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ,

³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμª Q = (a):

Â»áñ»Ù 18.48: àñå»ë½Ç Q(¢) ËáõÙμÁ ÍÝíÇ Çñ áã ¹³ï³ñÏ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Q = fa"11 ¢ a"22 ¢ ¢ ¢ a"nn j a1 ; a2 ; : : : ; an 2 X; "1 ; "2 ; : : : ; "n = §1; n = 1; 2; : : :g :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù G-áí, ³å³ ¹Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ X μ G 6 Q: àõëïÇ, »Ã» Q = (X), ³å³ Q = G: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ñ³Ï³é³ÏÁ: ¸Çóáõù Q = G: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, X μ Q: ¸Çóáõù H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ X μ H: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, G μ H ¨ ù³ÝÇ áñ G = Q, ³å³ H = Q: ²ÛëåÇëáí, ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ, áñ

H 6= Q ¨ X μ H, ³ÛëÇÝùÝª Q = (X):

¤ úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ø³ÝÇ áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ¿ (Ã»áñ»Ù 13.1), ³å³ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ Çñ Ï³½ÙÇ Ù»ç »Õ³Í μáÉáñ ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: 2) Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí (i; j) = (1; i)(1; j)(1; i) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ Ý³¨ (1; 2); (1; 3); : : : ; (1; n) ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ù³ÝÇ áñ (1; k) = (1; 2)(2; 3) ¢ ¢ ¢ (k ¡ 1; k)(k ¡ 1; k ¡ 2) ¢ ¢ ¢ (3; 2)(2; 1); ³å³ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ Ý³¨ (1; 2); (2; 3); : : : ; (n ¡ 1; n) ï»ëùÇ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, ÇÝãÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ã»áñ»Ù 13.1-Çó: 3) àõß³·ñ³í ¿ Ý³¨ ³ÛÝ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁ, áñ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ÍÝÇãÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ X μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ jXj 6 2:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

Æñáù, n 6 2 ¹»åùáõÙ Sn ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿, ÇëÏ n > 3 ¹»åùáõÙ Sn ËáõÙμÁ ÏÍÝíÇ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμª ® = (1; 2) ¨ ¯ = (1; 2; : : : ; n) = (1; 2)(1; 3) ¢ ¢ ¢ (1; n); áñáíÑ»ï¨ ¯ ¡1 ®¯ = (2; 3); ¯ ¡2 ®¯ 2 = (3; 4); .. . ¯ ¡(n¡2) ®¯ (n¡2) = (n ¡ 1; n);

ÇëÏ (1; 2); (2; 3); : : : ; (n ¡ 1; n) ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ (ï³ññ³Ï³Ý ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ) μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, ÍÝíáõÙ ¿ Sn ËáõÙμÁ: 4) ¼áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ n 6 3 ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ, ÇëÏ n > 3 ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ÍÝíáõÙ ¿ Çñ Ï³½ÙÇ Ù»ç »Õ³Í μáÉáñ (i; j; k) ï»ëùÇ ßñçáõÝ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: Æñáù, ÇÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿ (Ã»áñ»Ù 13.1), ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ½áõÛ· Ãíáí ¹Çñù³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ (i; j)(i; k) = (i; j; k); (i; j)(k; l) = (i; l; j)(j; k; l) : 5) ò³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç μáÉáñ Ù³ïñÇóÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ Çñ Ï³½ÙÇ Ù»ç »Õ³Í μáÉáñ ³ÛÝ n-ñ¹ Ï³ñ·Ç Ù³ïñÇóÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, áñáÝó áñáÍÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç (H. Bass): Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.31: ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ¨ ' : Q ! Q0 , Ã : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³å³ Ýñ³Ýù ÏÑ³ÙÁÝÏÝ»Ý ³Ù»Ýáõñ»ù, ³ÛëÇÝùÝª ³ÙμáÕç Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

²å³óáõóáõÙ: Î³Ù³Û³Ï³Ý z 2 Q = (X) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³ßí»Ýù 'z 2 Q0 ¨ Ãz 2 Q0 ï³ññ»ñÁª û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 18.48-Çó: ºÝÃ³¹ñ»Éáí z = x"11 ¢ x"22 ¢ ¢ ¢ x"nn , áñï»Õ x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 X, ÇëÏ "i = §1, i = 1; 2; : : : ; n, ÏáõÝ»Ý³Ýùª 'z = ' (x"11 ¢ x"22 ¢ ¢ ¢ x"nn ) = ' (x"11 ) ¢ ' (x"22 ) ¢ ¢ ¢ ' (x"nn ) =

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

= ('x1 )

¢ ('x2 ) 2 ¢ ¢ ¢ ('xn )

= (Ãx1 )

¢ (Ãx2 ) 2 ¢ ¢ ¢ (Ãxn )

= Ã (x"11 ) ¢ Ã (x"22 ) ¢ ¢ ¢ Ã (x"nn ) = Ã (x"11 ¢ x"22 ¢ ¢ ¢ x"nn ) = Ãz :

= ¤

Î³ë»Ýù, áñ Q(¢) ËáõÙμÁ ûÅïí³Í ¿ í»ñç³íáñ (Ãíáí) ÍÝÇãÝ»ñáí Ï³Ù ÍÝÇãÝ»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ í»ñç³íáñ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ Q = (X): ÀÝ¹ áñáõÙ, »Ã» X = fa1 ; : : : ; an g, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ Ý³¨ Q = (a1 ; : : : ; an ): ÌÝÇãÝ»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ í»ñç³íáñ-ÍÝí³Í ËáõÙμ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 18.32: ì»ñç³íáñ ÍÝÇãÝ»ñáí ûÅïí³Í ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñ ¨ë í»ñç³íáñ ÍÝÇãÝ»ñáí ûÅïí³Í ËáõÙμ ¿ : ²í»ÉÇ ×Çßï, »Ã» Q = (a1 ; : : : ; an ), ³å³ 'Q = ('a1 ; : : : ; 'an ) Ï³Ù³Û³Ï³Ý ' : Q ! Q0 ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí (û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 18.48-Çó): ¤ ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ïñí³Í Q(¢) ËÙμÇ ¨ ïñí³Í Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÙÇßï ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, áñÁ ÍÝíáõÙ ¿ X-áíª Q0 = (X): ²Û¹ Q0 Ñ³í³ë³ñ ¿ Q(¢) ËÙμÇ μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý X-Áª \ H: Q0 =

áã ¹³ï³ñÏ X μ

³ÛÝåÇëÇ Q0 6 Q

6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ñ³ïÙ³ÝÁ, áñáÝù

XμH6Q

îñí³Í Q(¢) ËÙμÇ X μ Q ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇÝÇÙ³É Ï³Ù ãμ»ñíáÕ, »Ã» Ýñ³ áñ¨¿ Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ãÇ ÍÝíáõÙ Q(¢) ËáõÙμÁ: úñÇÝ³Ï, ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇÝÇÙ³É ¿: Z(+) ËÙμÇ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ë ÙÇÝÇÙ³É »Ýª Z = (2; 3) = (3; 4) = ¢ ¢ ¢ :

n > 3 ¹»åùáõÙ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÙÇÝÇÙ³É ¿, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ¹»åùáõÙ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿, ³ÛÝ ÝáõÛÝÇëÏ ³μ»ÉÛ³Ý ã¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ ÍÝÇãÝ»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ËáõÙμ ûÅïí³Í ¿ Ý³¨ ÍÝÇãÝ»ñÇ ÙÇÝÇÙ³É μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç ËÙμ»ñ, áñáÝù ã»Ý ûÅïí³Í ÍÝÇãÝ»ñÇ ÙÇÝÇÙ³É μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

úñÇÝ³Ï: ´áÉáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËáõÙμÁ ãÇ ûÅïí³Í ÍÝÇãÝ»ñÇ ÙÇÝÇÙ³É μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹ ËáõÙμÁ ãÇ ûÅïí³Í Ý³¨ ÍÝÇãÝ»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ: Æñáù, ¹Çóáõù X-Á ¹Çï³ñÏíáÕ Q(+) ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ ÍÝÇãÝ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ a 2 X: ê³ÑÙ³Ý»Ýù H = (X 0 ) »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñï»Õ X 0 = X nfag: ø³ÝÇ áñ Q(+) ËáõÙμÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ÙÇ³ÍÇÝ ã¿, ³å³ X 0 6= ;: Î³Ù³Û³Ï³Ý b 2 X 0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ m; k 2 Z ³ÙμáÕç Ãí»ñ, áñ ka = mb 2 H

p r (»Ã» a = , b = , ³å³ k = pt, m = rq): ØÛáõë ÏáÕÙÇó, û·ïí»Éáí t q Ã»áñ»Ù 18.48-Çó, a 2 Q = (X) ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É k í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁª a = sa + h; k áñï»Õ s 2 Z, ÇëÏ h 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, a = s(ka) + kh 2 H ¨ H = Q: ÆÝãå»ë »ñ¨áõÙ ¿ Z(+) ËÙμÇ ûñÇÝ³ÏÇó , ÍÝÇãÝ»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ËÙμÇ »ñÏáõ ï³ñμ»ñ ÙÇÝÇÙ³É ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ Ï³ñáÕ »Ý å³ñáõÝ³Ï»É ï³ñμ»ñ ù³Ý³ÏÇ ï³ññ»ñ: ØÇÝã¹»é, »Ã» ËáõÙμÁ ãÇ ûÅïí³Í ÍÝÇãÝ»ñÇ í»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, ³å³ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 18.49: ºÃ» ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ÍÝÇãÝ»ñÇ ³Ýí»ñç X ÙÇÝÇÙ³É μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, ³å³ Ýñ³ ÍÝÇãÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Y ÙÇÝÇÙ³É μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¨ë ³Ýí»ñç ¿ ¨ jXj = jY j:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ Q = (X) ¨ Q = (Y ), ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ý 18.48-Ç, ó³ÝÏ³ó³Í y 2 Y ï³ññ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáíª y = x"11 ¢ ¢ ¢ x"nn ; x1 ; : : : ; xn 2 X : S Üß³Ý³Ï»Éáíª Wy = fx1 ; : : : ; xn g ¨ W = Wy , ÏáõÝ»Ý³Ýùª Q = (W ), áñï»Õ W

y2Y

μ X: Ð»ï¨³μ³ñ, ßÝáñÑÇí X-Ç ÙÇÝÇÙ³ÉáõÃÛ³Ýª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

W = X: ºÃ» Y μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝ»ñ í»ñç³íáñ, ³å³ W »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝ»ñ í»ñç³íáñ ¨ ßÝáñÑÇí W = X Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý í»ñç³íáñ ÏÉÇÝ»ñ Ý³¨ X »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: àõëïÇ ÍÝÇãÝ»ñÇ Y ÙÇÝÇÙ³É μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç ¿ ¨ jY j > jW j = jXj: êÇÙ»ïñÇÏ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ jY j 6 jXj ³éÝãáõÃÛáõÝÁ: ²ÛÅÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Î³Ýïáñ-ÞñÛá¹»ñ´»éÝßï³ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýù jXj = jY j Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¤ ²é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý Ýß»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ. Â»áñ»Ù 18.50 (í»ñç³íáñ-ÍÝí³Í ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμ»ñÇ

ÑÇÙÝ³Ï³Ý

Ã»áñ»ÙÁ): ì»ñç³íáñ ÍÝÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ Ï³Ù ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿ Ï³Ù Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ í»ñç³íáñ Ãíáí ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ (³ñï³¹ñÛ³É): ¤ 18.12.2. ÊÙμÇ ³Í³ÝóÛ³É: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Q(¢) ËÙμÇ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ï»Õ³÷áË»ÉÇ (³ÛÇëÝùÝ a ¢ b = b ¢ a) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a¡1 b¡1 ab = e: ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b ï³ññ»ñÇ ï»Õ³÷áËÇã (ÏáÙáõï³ïáñ) ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ [a; b]-áí: Q(¢) ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³É Ï³Ù ï»Õ³÷áËÇã (ÏáÙáõï³ïáñ) ¿ ÏáãíáõÙ Ýñ³ ³ÛÝ »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñÁ ÍÝíáõÙ ¿ Ýñ³ μáÉáñ ï»Õ³÷áËÇãÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q(1) -áí Ï³Ù Q0 -áíª Q(1) = ([a; b] j a; b 2 Q) : úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ÊáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñáÛ³Ï³Ý (»ÝÃ³ËáõÙμ) ¿: 2) Sn0 = An , »Ã» n > 3: Æñáù, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ®; ¯ 2 Sn ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª [®; ¯] = ®¡1 ¯ ¡1 ®¯ ï»Õ³÷áËÇãÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝ ¿ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ Sn0 μ An : Ð³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁª An μ Sn0 ³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ÝÏ³ï»Ýù, áñ (i; j)¡1 (i; k)¡1 (i; j)(i; k) = (i; j; k)(i; j; k) = (i; k; j)

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

¨ í»ñÑÇß»Ýù ³ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ ÍÝíáõÙ ¿ Çñ Ï³½ÙÇ Ù»ç »Õ³Í (i; j; k) ï»ëùÇ μáÉáñ ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ, ± »Ã» n > 3: S ÜÏ³ï»Ýù, áñ Sn E Sn ¨ n Sn0 ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ, ÉÇÝ»Éáí »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ, ³μ»ÉÛ³Ý ¿: ²Ûë »ñÏáõ ÷³ëï»ñÁ ×Çßï »Ý μáÉáñ ¹»åù»ñáõÙ: Â»áñ»Ù 18.51: ÊÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ ¨ Ñ³Ùå³ï³ëË³Ý ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ ³μ»ÉÛ³Ý ¿ : ÊÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÁÝÏ³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ù»ç, áñáÝó ÝÏ³ïÙ³Ùμ ïñí³Í ËÙμÇ ù³Ýáñ¹-ËÙμ»ñÝ ³μ»ÉÛ³Ý »Ý: ÆÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ : Q(¢) ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμ ÇÝí³ñÇ³Ýï ¿ Q(¢) ËÙμáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: Ð»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇóª ¡ ¢¡1 [a; b]¡1 = a¡1 b¡1 ab = b¡1 a¡1 ba = [b; a];

x¡1 [a; b]x = x¡1 a¡1 b¡1 abx = x¡1 a¡1 x ¢ x¡1 b¡1 x ¢ x¡1 ax ¢ x¡1 bx = ¤ £ = x¡1 ax; x¡1 bx

μËáõÙ ¿, áñ »Ã» z 2 Q(1) ¨ z = [a1 ; b1 ] ¢ ¢ ¢ [an ; bn ], ³å³ £ ¤ £ ¤ x¡1 zx = x¡1 a1 x; x¡1 b1 x ¢ ¢ ¢ x¡1 an x; x¡1 bn x 2 Q(1) :

Ð»ï¨³μ³ñ, ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ ¿ª Q(1) E Q: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª aQ(1) ¢ bQ(1) = (a ¢ b)Q(1) = (ba[a; b])Q(1) = (b ¢ a)Q(1) = bQ(1) ¢ aQ(1) ; ù³ÝÇ áñ [a;±b] 2 Q(1) : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ: ºÃ» H E Q ¨ Q H ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÝ ³μ»ÉÛ³Ý ¿, ³å³ ¡ ¢ H = [aH; bH] = a¡1 H ¢ b¡1 H ¢ aH ¢ bH = a¡1 b¡1 ab H = [a; b]H;

áõëïÇ [a; b] 2 H Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ Q(1) μ H: ì»ñÁ Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ý³¨, áñ »Ã» G E Q, ³å³ G(1) E Q, ÇëÏ »Ã» Q(1) 6 H 6 Q ¨ x 2 Q, h 2 H, ³å³ ¢ £ ¤ ¡ xh¡1 x¡1 = xhx¡1 h¡1 h = x¡1 ; h¡1 h 2 Q(1) H = H : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¢(1) ¡ Ð³ßí»Éáí Q(1) ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Q(2) = Q(1) ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ïñí³Í Q(¢) ËÙμÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: Þ³ñáõÝ³Ï»Éáí ³Ûë ÁÝÃ³óùÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É ïñí³Í Q(¢) ËÙμÇ ³í»ÉÇ μ³ñÓñ Ï³ñ·Ç

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁª

Q D Q(1) D Q(2) D ¢ ¢ ¢ ; ¢(1) ¡ : áñï»Õ Q(i+1) = Q(i) ²Ûë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í Q(¢) ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ß³ñù: Q(¢) ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉáõÍ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ Q(n) = (e): ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÁ ÉáõÍ»ÉÇ ¿, ³å³ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ n μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ Q(n) = (e), ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í ËÙμÇ ÉáõÍ»ÉÇáõÃÛ³Ý óáõóÇã: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ß³ñùÝ ¿ª S4 D A4 D V D (e); áñï»Õ V -Ý ãáññáñ¹ Ï³ñ·Ç áã ÙÇ³ÍÇÝ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμÝ ¿: 2) ºÃ» Q(¢) ËáõÙμÁ å³ñ½ ¿, ³å³ Q(1) = (e) Ï³Ù Q(1) = Q, áñáíÑ»ï¨ å³ñ½ ËáõÙμÁ ãÇ ûÅïí³Í ³ÛÉ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñáí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, áã ³μ»ÉÛ³Ý å³ñ½ ËÙμÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ»Ý: Ð»ï¨³μ³ñ A(1) = An , »Ã» n > 5: ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç An n Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ÉáõÍ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ n 6 4: 3) àñå»ë½Ç ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ÉáõÍ»ÉÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ n 6 4: Æñáù, n = 1; 2; 3; 4 ¹»åù»ñáõÙ Sn(1) = An ; ÇëÏ ³Ûë ¹»åù»ñáõÙ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ ÉáõÍ»ÉÇ ¿, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ýßí³Í ¹»åù»ñáõÙ, ÏÉÇÝÇ ÉáõÍ»ÉÇ Ý³¨ Sn -Á: ê³Ï³ÛÝ n > 5 ¹»åùáõÙ Sn ëÇÙ»ïñÇÏ ËáõÙμÁ ÉáõÍ»ÉÇ ã¿, ù³ÝÇ áñ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ³Û¹åÇëÇÝ ¿ An Ýß³Ý³÷áË ËáõÙμÁ, áñáíÑ»ï¨ (2) An = A(1) n = An = ¢ ¢ ¢ :

¶³Éáõ³ÛÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ù»ç S5 ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ ÉáõÍ»ÉÇ ãÉÇÝ»Éáõó μË»óíáõÙ ¿, ûñÇÝ³Ï, x5 ¡ x ¡ 1 = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍ»ÉÇ ãÉÇÝ»ÉÁ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ: ÆëÏ n 6 4 ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ÉáõÍ»ÉÇ ÉÇÝ»Éáõ ÷³ëïÇ Çñ³Ï³Ý å³ï×³éÝ ¿ S4 ëÇÙ»ïñÇÏ ËÙμÇ ¨ Ýñ³ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ÉáõÍ»ÉÇ ÉÇÝ»ÉÁ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

18.13. ¸ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙÝ»ñ ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, a 2 Q, ÇëÏ e-Ý ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙμáÕç ¨ ¹ñ³Ï³Ý n ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ an = e, ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ï³ñ· ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª n = jaj: ºÃ» Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, a; b 2 Q, ÇëÏ jaj = n, ³å³ l μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ b-Ç ¹ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙ Áëï a ÑÇÙùÇ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª l = d loga b, »Ã» al = b;

06l<n:

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ a; b 2 Q ï³ññ»ñáí l = d loga b ¹ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: úñÇÝ³Ï, d loga a = 1, »Ã» a 6= e, ¨ d loga e = 0 ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ Ï³ñ· áõÝ»óáÕ a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ¸åñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ ï³ññ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñ³ÍíáõÙ »Ý Ý³¨ ¹ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ íñ³ª 1. d loga b1 = d loga b2 Ã! b1 = b2 , 2. ad loga b = b, 3. d loga (b1 ¢ b2 ) = d loga b1 + d loga b2 , »Ã» d loga b1 + d loga b2 < jaj, ¡ ¢ = d loga b1 ¡ d loga b2 , »Ã» 0 6 d loga b1 ¡ d loga b2 , 4. d loga b1 ¢ b¡1 ¡ ¡1 ¢ 5. d loga b1 ¢ b2 = d loga b2 ¡ d loga b1 , »Ã» 0 6 d loga b2 ¡ d loga b1 , 6. d loga (bm ) = m ¢ d loga b, m 2 N, »Ã» m ¢ d loga b < jaj

7. ad logc b = bd logc a , »Ã» d logc b ¢ d logc a < jcj, 8. d loga b ¢ d logc a = d logc b, »Ã» d loga b ¢ d logc a < jcj: ÎÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó, í»ñç³íáñ ËÙμ»ñáõÙ ¹ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ Ñ³ßí»Éáõ ËÝ¹ÇñÁ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ ËÙμ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ï³ñ¨áñ³·áõÛÝ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿, áñ Ñ³ßí»Éáõ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³É·áñÇÃÙÝ»ñÁ áõÝ»Ý³Ý ÑÝ³ñ³íáñÇÝ ã³÷ ùÇã Ãíáí ù³ÛÉ»ñ: ²Ûë ï»ë³Ï»ïÇó Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý »Ý Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.52 (². ú. ¶»ÉýáÝ¹, 1962Ã.): ºÃ» Q(±)-Á í»ñç³íáñ ËáõÙμ ¿ , a; b 2 Q, jaj = n ¨ l = d loga b, ³å³ l ÃÇíÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É Q(±) ËÙμÇ p Ù»ç Ï³ï³ñ»Éáí ³Ù»Ý³ß³ïÁ 2( n+log2 n)¡1 Ñ³ï μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ: Â»áñ»Ù 18.53 (ì. Æ. Ü»ã³¨, 1965Ã.): ºÃ» Q(±)-Á í»ñç³íáñ ËáõÙμ ¿ , a; b 2 Q, jaj = n = n1 ¢ n2 , 1 < n1 < n, 1 < n2 < n ¨ l = d loga b, ³å³ l p ÃÇíÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É Q(±) ËÙμÇ Ù»ç Ï³ï³ñ»Éáí ³Ù»Ý³ß³ïÁ 2( n1 + p n2 ) + 6 log2 n + log2 n1 ¡ 1 Ñ³ï μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ:

18.14. ÎÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ, ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ ¨ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³, ù³Ýáñ¹-ÏÇë³ËáõÙμ: ÎÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ ¸Çóáõù Q(¢)-Á ¨ Q0 (±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÏÇë³ËÙμ»ñ »Ý: ' : Q ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇó Q0 (±) ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ.

'(x ¢ y) = '(x) ± '(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý Ý³¨, áñ ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ ÏÇë³ËÙμ»ñÇ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: ÎÇë³ËÙμ»ñÇ ÙÇç¨ ·áñÍáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù: »Ã» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿, ³å³ '(Q) = f'(x)jx 2 Qg μ Q0

áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Q0 (±) ÏÇë³ËÙμÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ, ³ÛëÇÝùÝ‘ '(Q)-Ý Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: ¸Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ' : Q ! Q0 ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ù, »Ã» '

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ºñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ý»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ' : Q ! Q0 ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ¿ åÙáñýÇ½Ù, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ºñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÙáñýÇ½Ý»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ' : Q ! Q0 ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý Ç½áÙáñýÇ½Ù, Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, ÝáõÛÝ³Ó¨áõÛáõÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ºñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ: ºñÏáõ Q(¢) ¨ Q0 (±) ÏÇë³ËÙμ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q0 Ï³Ù Q » = Q0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù: È»ÙÙ 18.16: Æ½áÙáñýáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¤ ¸Çóáõù Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿: Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ Ïáñ·ñáõ»ÝóÇ³, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ. x » y; u » v ¡! x ¢ u » y ¢ v; áñï»Õ x; y; u; v 2 Q: ØÇ¨ÝáõÛÝ ÏÇë³ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ¿: ì»ñÑÇß»Ýù ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ker(') μ Q £ Q ÙÇçáõÏÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ‘ (x; y) 2 Ker(') Ã! '(x) = '(y);

x; y 2 Q;

áñÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿‘ áñáßí³Í Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

È»ÙÙ 18.17: ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ ` Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇó Q0 (±) ÏÇë³ËÙμÇ Ù»ç, ³å³ Ýñ³ Ker(') ÙÇçáõÏÁ ÏÉÇÝÇ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» Ýß³Ý³Ï»Ýù Ker(') = (») ¨ »ÝÃ³¹ñ»Ýù‘ x » y, u » v, ³å³ '(x) = '(y) ¨ '(u) = '(v): Ð»ï¨³μ³ñ, '(x ¢ u) = '(x) ¢ '(u) = '(y) ¢ '(v) = '(y ¢ v); ¤

áñï»ÕÇó‘ x ¢ u » y ¢ v:

ºÃ» Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ¿, ³å³ ± Q » = f[a]ja 2 Qg

ù³Ýáñ¹-μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ‘ [a] ¢ [b] = [a ¢ b]; áñï»Õ a; b 2 Q: ÎáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ ³Ûë ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³Ëí³Í ã¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» [x] = [y] ¨ [u] = [v], ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ x » y ¨ u » v. Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, Ïëï³Ý³Ýù‘ x ¢ u » y ¢ v, áõëïÇ [x ¢ u] = [y ¢ v]: ê³ÑÙ³Ýí³Í ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿‘ ([x] ¢ [y]) ¢ [z] = [x] ¢ ([y] ¢ [z]) ± ó³ÝÏ³ó³Í [x]; [y]; [z] 2 Q » ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ± ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ù»Ï ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Q »(¢) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ, áñÁ ÏÇë³ËáõÙμ ¿: ²Ûë ÏÇë³ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ù³Ýáñ¹-ÏÇë³ËáõÙμ Ï³Ù Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ý³ÏïáñÏÇë³ËáõÙμ Áëï ïñí³Í §»¦ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ÛÇ:± ¼(x) = [x] ûñ»Ýùáí áñáßíáÕ ¼ : Q ! Q » ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½Ù, áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿ ¨ ¼(x ¢ y) = [x ¢ y] = [x] ¢ [y] = ¼(x) ¢ ¼(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²Ûë ¼ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ (¿åÇÙáñýÇ½ÙÁ) ÏáãíáõÙ ¿ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù) ¨ »ñμ»ÙÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¼» -áí: êïáõ·»Ýù Ker(¼» ) = (») Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. (x; y) 2 Ker(¼» ) Ã! ¼» (x) = ¼» (y) Ã! [x] = [y] Ã! x » y : ²ÛëÇåÇëáí, Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í §»¦ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ±

Q » ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ μÝ³Ï³Ý

Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¼» : Q ! ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ. áñå»ë½Ç Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Q0 (±) ÏÇë³ËáõÙμ ¨ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! Q0 ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñ Ker(') = (»), ³ÛëÇÝùÝ‘ »ñμ §»¦-Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ: Â»áñ»Ù 18.54 (ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù Q(¢)-Á ¨ Q0 (±)-Á ó³ÝÏ³ó³Í ÏÇë³ËÙμ»ñ »Ý: ºÃ» ' : Q ! ¿ åÇÙáñýÇ½Ù ¿ , Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ± áñï»Õ Ker(') = (»), ³å³ Q0 ' Q »: ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, ·áÛáõÃÛáõÝ ± áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : Q0 ! Q » ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù, áñ ¼ = ' ¢ ¹, ³ÛëÇÝùÝ` ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ (¹Ç³·ñ³ÙÁ). ' Q Z

Z ¼Z

Q0 ¹

? Q= »

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ëÛáõñ»ÏïÇí (í»ñ³¹ñáÕ) ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ '(x) = z: ê³ÑÙ³ÝáõÙ »Ýù ¹(z) = [x], áñï»Õ '(x) = z: Ü³Ë ÝÏ³ïáõÙ »Ýù, áñ ¹-Ý Çñáù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝ‘ ¹(z)-Á Ï³Ëí³Í ã¿ '(x) = z å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ xÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ³å³óáõóíáõÙ ¿ ¹-Ç μÇ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ ¨ ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ í»ñçáõÙ‘ ¼ = ' ¢ ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ¹ -Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 18.55 (ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ): ò³ÝÏ³ó³Í Q(¢), Q0 (±) ¨ Q00 (¤) ÏÇë³ËÙμ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý '1 : Q ! Q0 ¨ '2 : Q ! Q00 ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker('1 ) μ Ker('2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ '3 : Q0 ! Q00 ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, áñ '1 ¢ '3 = '2 , ³ÛëÇÝùÝ` ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ (¹Ç³·ñ³ÙÁ). '1 Q Z

Z '2Z

Q0 '3

Àëï áñáõÙ, '3 -Á ÏÉÇÝÇ ÏÇë³ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker('1 ) = Ker('2 ): ²å³óáõóáõÙ: î»ë Ã»áñ»Ù 0.9-Ç ³å³óáõóáõÙÁ:

ºÃ» Q(¢)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ³å³ A μ Q ¨ B μ Q áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³ÝáõÙ »Ýù‘ A ¢ B = fa ¢ bja 2 A; b 2 Bg :

Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý áã ¹³ï³ñÏ I μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ Ç¹»³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ I E Q, »Ã» I ¢ Q μ I ¨ Q ¢ I μ I: ØÇ¨ÝáõÛÝ ÏÇë³ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç¹»³É, »Ã» ³Û¹ Ñ³ïáõÙÁ ¹³ï³ñÏ ã¿: ÎÇë³ËÙμ»ñáõÙ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñÇ Ï³éáõóÙ³Ý ï³ñ³Íí³Í

»Õ³Ý³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿.

¸Çóáõù Q(¢)-Á ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ÇëÏ I E Q: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ½ μ Q £ Q Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå‘ (x; y) 2 ½ Ã! x; y 2 I

Ï³Ù x = y;

áñï»Õ x; y 2 Q: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ½-Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í ½ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ Ý³¨ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ¿: ± Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý Q ½ ù³Ýáñ¹-ÏÇë³ËáõÙμÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ ± Q I -áí ¨ ÏáãíáõÙ ¿ èÇëÇ ù³Ýáñ¹-ÏÇë³ËáõÙμ Áëï I Ç¹»³ÉÇ (D. Rees):

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ, Éñ³óáõóÇã ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ 2 Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í ùí³½ÇËáõÙμ ËáõÙμ ¿: 2. ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 3 Ï³ñ·Ç ùí³½ÇËáõÙμ, áñÁ ËáõÙμ ã¿: 3. ²å³óáõó»É, áñ 2 Ï³ñ·Ç ÏÇë³ËáõÙμÝ Ç½áÙáñý ¿ Ñ»ï¨Û³É ÑÇÝ· ÏÇë³ËÙμ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇÝ‘ 1) Q = fa; bg, x ¢ y = y;

2) Q = fa; bg, x ¢ y = x;

3) Q = fa; bg, x ¢ y = a;

4) Q = fa; bg, a2 = a, b2 = b, a ¢ b = b ¢ a = a (½ñáÛáí ÏÇë³ËáõÙμ);

5) Q = fa; bg, a2 = a, a ¢ b = b ¢ a = b, b2 = a (ËáõÙμ):

4. ²å³óáõó»É, áñ 4 Ï³ñ·Ç ó³ÝÏ³ó³Í ËáõÙμ Ï³Ù ÙÇ³ÍÇÝ ¿ Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ ãáñë-ï³ññ³ÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý (μ³Ûó

áã ÙÇ³ÍÇÝ) ËÙμÇÝ‘

¢ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e :

5. àñáß»É [17] 2 Z82 ï³ññÇ Ï³ñ·Áª û·ïí»Éáí Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.14-Çó ([17] = 17[1]): 6. àñáß»É ®=

1 2 3 2 3 1

4 5 6 7 4 6 7 8

2 S8

ï»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Áª û·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 18.16-Çó (® = (1; 2; 3) ¢ (5; 6; 7; 8)) ¨ ¹ñ³Ýáí ÍÝí³Í ÙÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμÁ: 7. àñáß»É

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³) Z2 (+), Z3 (+), Z4 (+), Z5 (+), Z6 (+), Z7 (+) ¨ Z87 (+) ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ¨ ÍÝÇã ï³ññ»ñÁ: p p p p p p p μ) 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1 ¨ 87 1 ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ ¨ ÍÝÇã ï³ññ»ñÁ: 8. ²å³óáõó»É, áñ Z¤2 (¢), Z¤3 (¢), Z¤5 (¢), Z¤7 (¢), Z¤11 (¢), Z¤13 (¢) ËÙμ»ñÁ ÙÇ³ÍÇÝ »Ý, áñï»Õ Z¤n = Zn n f[0]g: àñáß»É ³Ûë ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμ»ñÇ μáÉáñ ÍÝÇã ï³ññ»ñÁ: 9. ²å³óáõó»É, áñ n 6 7 ¹»åùáõÙ Zn (¢) ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿: 10. ²å³óáõó»É, áñ Z8 (¢) ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿ ¨ Ç½áÙáñý ¿ 4 Ï³ñ·Ç áã ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ: ï³ññ»ñÇ 11. ²å³óáõó»É, áñ Z9 (¢) ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ p ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ ¨ Ç½áÙáñý ¿ 6 Ï³ñ·Ç 6 1 ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ: ï³ññ»ñÇ 12. ²å³óáõó»É, áñ Z10 (¢) ÏÇë³ËÙμÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ p ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ ¨ Ç½áÙáñý ¿ 4 Ï³ñ·Ç 1 ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇÝ: 13. àñáß»É Z12 (¢) ÏÇë³ËÙμÇ [4] ¨ [9] ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ »ÝÃ³ËÙμ»ñÁ: 14. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª x2 = e, ³å³ Q(±)-Á ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿: ò³ÝÏ³ó³Í p > 2 å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xp = e ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ áã ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ: 15. ¶ïÝ»É ËÙμÇó ï³ñμ»ñ ³ÛÝåÇëÇ ÏÇë³ËÙμÇ ûñÇÝ³Ï, áñÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝåÇëÇ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñáí, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏÇë³ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ Ó³ËÇó (³çÇó): 16. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ÏÇë³ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñáí, ³å³ μáÉáñ ³ç (Ó³Ë) ÙÇ³íáñÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ: 17. ºÃ» Q(±) ÏÇë³ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ Ó³Ë Ïñ×³ïÙ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμª a ± x = a ± y ¡! x = y;

a; x; y 2 Q;

¨ e 2 Q ï³ññÝ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ¿, ³å³ e-Ý ÏÉÇÝÇ Q(±) ÏÇë³ËÙμÇ Ó³Ë ÙÇ³íáñÁ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

18. ²å³óáõó»É, áñ 8-ñ¹ Ï³ñ·Ç áã ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 4ñ¹ Ï³ñ·Ç ï³ññ: 19. ²å³óáõó»É, áñ 6-ñ¹ Ï³ñ·Ç áã ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 3ñ¹ Ï³ñ·Ç ï³ññ: 20. ²å³óáõó»É, áñ 1; 2; 3; 4 Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Éáõå³ ËáõÙμ ¿: 21. Î³éáõó»É 5-ñ¹ Ï³ñ·Ç ³ÛÝåÇëÇ Éáõå³ÛÇ ûñÇÝ³Ï, áñÁ ËáõÙμ ã¿ ¨ áñÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³íáñÇó ï³ñμ»ñ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ï³ññ (a2 =e, a6=e): ²Ûëï»ÕÇó μË»óÝ»É, áñ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ (Ã»áñ»Ù 18.22) í»ñç³íáñ Éáõå³Ý»ñÇ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝª í»ñç³íáñ Éáõå³ÛÇ Ï³ñ·Á Ï³ñáÕ ¿ ãμ³Å³Ýí»É Ýñ³ »ÝÃ³Éáõå³ÛÇ Ï³ñ·Ç íñ³ (»ÝÃ³Éáõå³ÛÇ ·³Õ³÷³ñÁ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ ÇÝùÝÁëïÇÝùÛ³Ý Ñ³ëÏ³Ý³ÉÇ): 22. ²å³óáõó»É, áñ ËÙμÇ a ± b ¨ b ± a ï³ññ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ï³ñ·Á: Ð»ï¨³μ³ñ, ÝáõÛÝ Ï³ñ·Á ÏáõÝ»Ý³Ý Ý³¨ ËÙμÇ a ± b ± c, b ± c ± a ¨ c ± a ± b ï³ññ»ñÁ: 23. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» p < q μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ å³ñ½ »Ý, ³å³ p ¢ q Ï³ñ·Ç ËáõÙμÁ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ q-ñ¹ Ï³ñ·Ç »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñ: 24. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» í»ñç³íáñ Q(±) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Q(±) ËÙμÇ m Ï³ñ·Ç »ÝÃ³ËáõÙμ: 25. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» í»ñç³íáñ ËÙμÇ n Ï³ñ·Á μ³Å³ÝíáõÙ ¿ m μÝ³Ï³Ý ÃíÇ íñ³ ¨ ³Û¹ ËÙμáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ m-ï³ññ³ÝÇ »ÝÃ³ËáõÙμ, ³å³ n > 12: 26. ú·ïí»Éáí Ã»áñ»Ù 18.21-Çó ³å³óáõó»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(¢) ÏÇë³ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ »ÝÃ³ËáõÙμ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ (Ñ³Ù»Ù³ï»É Ã»áñ»Ù 18.18-Ç í»ñçÇÝ åÝ¹Ù³Ý Ñ»ï): 27. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ÙÇ¨ÝáõÛÝ ËÙμÇ »ñÏáõ »ÝÃ³ËÙμ»ñ ûÅïí³Í »Ý í»ñç³íáñ ÝßÇãÝ»ñáí, ³å³ Ýñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ ¨ë ûÅïí³Í ¿ í»ñç³íáñ ÝßÇãáí (äáõ³ÝÏ³ñ»):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

28. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Q(±) ËÙμÇ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Çñ H1 ; : : : ; Hn »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ í»ñç³íáñ Ãíáí Ó³Ë Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý Ñ»ï, ³å³ Hi »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ ÝßÇãÁ Q(±) ËÙμáõÙ í»ñç³íáñ ¿ (D. Passman). 29. ¸Çóáõù Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, H 6 Q, a 2 Q: ²å³óáõó»É, áñ a 2 NQ (H) Ã! aH = Ha : 30. ¸Çóáõù Q(¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ª H 6 Q Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ÝÃ³ËÙμáí: ²å³óáõó»É, áñ Q ËÙμÇ áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ S(Q) ÏÇë³ËÙμÇ H S(Q)

ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ

ï³ññÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ S(Q)¤H »ÝÃ³ËáõÙμÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ NQ (H)/H ý³Ïïáñ-ËÙμÇ Ñ»ï, áñï»Õ NQ (H)-Á H-Ç ÝáñÙ³É³óÝáÕ »ÝÃ³ËáõÙμÝ ¿ Q(¢) ËÙμáõÙ: (òáõóáõÙ. ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ NQ (H)/H μ S(Q)¤H : ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É Ñ³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ºÃ» X 2 S(Q)¤H ¨ x; t 2 X, ³å³ ÇÝãå»ë ¨ Ã»áñ»Ù 18.25-Ç ³å³óáõóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï, Ïëï³Ý³Ýù X = xH: ²ÛÝáõÑ»ï¨, H ¢ X = X å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, Hx μ X: ²ÛÝáõÑ»ï¨, t ¢ x¡1 2 X ¢ Y = H ¨ t 2 Hx, ³ÛëÇÝùÝª X μ Hx: ²ÛëåÇëáí, Ý³¨ X = Hx: àõëïÇ, Hx = xH: Ð»ï¨³μ³ñ, X = xH, áñï»Õ x 2 NQ (H), ¨ X 2 NQ (H)/H :) 31. Î³éáõó»É ³ÛÝåÇëÇ Q(±) ËÙμÇ ûñÇÝ³Ï, áñÝ ûÅïí³Í ÉÇÝÇ ³ÛÝåÇëÇ H E K E Q »ÝÃ³ËÙμ»ñáí, áñ H-Á ÇÝí³ñÇ³Ýï ã¿ Q(±) ËÙμáõÙ: 32. àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ H 6 Q »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÉÇÝÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï Q(±) ËÙμáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ x¡1 ± h ± x 2 H ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í h 2 H ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 33. ¸Çóáõù Q(±) -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿ª Ï³Ù³Û³Ï³Ý H 6 Q »ÝÃ³ËÙμáí: àñå»ë½Ç H E Q ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ xH = x0 H; yH = y 0 H ¡! (x ± y)H = (x0 ± y 0 )H; áñï»Õ x; x0 ; y; y 0 2 Q: Ð»ï¨³μ³ñ, áñå»ë½Ç xH ¤±yH = (x ± y)H, x; y 2 Q, ë³ÑÙ³ÝáõÙáí áñáßíÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ Q Hl = fxHj x 2 Qg μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ H E Q:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

(òáõóáõÙ. ºÃ» H E Q ¨ xH = x0 H, yH = y 0 H, ³å³ x = x0 ± h1 , y = y0 ± h2 , áñï»Õ h1 ; h2 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 18.24-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¢ ¡ x ± y = x0 ± h1 ± y 0 h2 = x0 ± y 0 ± (y 0 )¡1 ± h1 ± y 0 ± h2 = = x0 ± y 0 ± h3 ± h2 = x0 ± y 0 ± h4 ;

áñï»Õ h3 = (y 0 )¡1 ± h1 ± y0 2 H, h4 = h3 ± h2 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, (x ± y)H = (x0 ± y 0 ± h4 ) H = (x0 ± y 0 ) H : ¡1 ¡1 ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ ¢ ¡ ¢ xH = (x ± h)H ¨ x¡ H = x¡1 ¢H, ³å³ ¡ ¡1 ¡1 H = x±h±x H, ³ÛëÇÝùÝª eH = x ± h ± x H ¨ x± x±x h ± x¡1 2 H ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ¨ ó³ÝÏ³ó³Í h 2 H ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 18.24-Çó:)

34. ºÃ» Q(±) í»ñç³íáñ ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ feg-Ç, ³å³ Ù³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËÙμ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ÏÉÇÝÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï Q(±) ËÙμáõÙ (ØÇÉÉ»ñ, Øáñ»Ýá): 35. ºÃ» Q(±)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, H 6 K 6 Q ¨ (Q : K), (Q : H), (K : H) ÝßÇãÝ»ñÇó »ñÏáõëÁ í»ñç³íáñ »Ý, ³å³ »ññáñ¹ ÝßÇãÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ¨ (Q : H) = (Q : K) ¢ (K : H) : 36. ú·ïí»Éáí ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇó ³å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ p-ËÙμÇ Ï³ñ·Á Ñ³í³ë³ñ ¿ pk -Ç, áñï»Õ k 2 N: 37. ¸Çóáõù Q(±)-Á ËáõÙμ ¿, ÇëÏ ¿ -Ý ïáåáÉá·Ç³ ¿ª áñáßí³Í Q-Ç íñ³: Q(±; ¿) »éÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ËáõÙμ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) (x; y) ! x ± y ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó x ± y ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý U ßñç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý x-Ç ¨ y-Ç Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ³ÛÝåÇëÇ V ¨ W ßñç³Ï³Ûù»ñ, áñ V ±W μ U;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μ) x ! x¡1 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 Q ï³ññÇ ¨ Ýñ³ x¡1 2 Q Ñ³Ï³¹³ñÓÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý U ßñç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x-Ç ³ÛÝåÇëÇ V ßñç³Ï³Ûù, áñ V ¡1 μ U , áñï»Õ © ª V ¡1 = x¡1 j x 2 V :

²å³óáõó»É, áñ Z(+; ¿ ) »éÛ³ÏÁ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, áñï»Õ ¿ -Ý Z-Ç ÙÝ³óù³ÛÇÝ ïáåáÉá·Ç³Ý ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Q(±; ¿ ) »éÛ³ÏÁ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ³å³ (Q; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ T3 -ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: 38. ¸Çóáõù Q(±)-Á ËáõÙμ ¿, ÇëÏ ”6” Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿ª áñáßí³Í Q-Ç íñ³: Q(±; 6) »éÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ. a 6 b ¡! a ± c 6 b ± c;

c ± a 6 c ± b;

áñï»Õ a; b; c 2 Q: úñÇÝ³Ï, Z(+; 6), Q(+; 6), R(+; 6), R+ (¢; 6 ) »éÛ³ÏÝ»ñÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËÙμ»ñ »Ý, áñï»Õ ”6” Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ãí»ñÇ μÝ³Ï³Ý Ï³ñ·Ý ¿: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Q(±; 6) »éÛ³ÏÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ ¿, ³å³ 1) a < b ¡! c¡1 ± a ± c < c¡1 ± b ± c,

2) a < b ¡! b¡1 < a¡1 ,

3) a < b; c < d ¡! ac < bd, áñï»Õ a; b; c; d 2 Q:

a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý, »Ã» a > e, áñï»Õ e-Ý Q(±) ËÙμÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ a 6 b Ã! b ± a¡1 > e;

³ÛëÇÝùÝª ”6” Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Á ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ:

¶ÉáõË 18 ÊØ´ºð

²å³óáõó»É, áñ Q(±; 6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËÙμÇ μáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ P μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. (1) P ± P μ P , ³ÛëÇÝùÝª P (±)-Á Q(±) ËÙμÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿; (2) P \ P ¡1 = feg;

(3) x¡1 ± P ± x μ P Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(±) ËÙμÇ P μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (1)–(3) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Q(±; 6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ, áñÇ μáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ P -Ç Ñ»ï: 39. Q(±; 6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý (Ï³Ù ·Í³ÛÇÝ) Ï³ñ·³íáñí³Í, »Ã» ”6” Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Á ·Í³ÛÇÝ Ï³ñ· ¿, ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª Ï³Ù x 6 y Ï³Ù y 6 x: ²å³óáõó»É, áñ Q(±; 6) ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í ËÙμáõÙ (1)–(3) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ (4) Q = P [ P ¡1

å³ÛÙ³ÝÁ: Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ:

40. ¸Çóáõù C(+)-Á μáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ (·áõÙ³ñ³ÛÇÝ) ËáõÙμÝ ¿, ¨ a + bi 6 a0 + b0 i Ã! a < a0

Ï³Ù a = a0 ; b 6 b0 :

²å³óáõó»É, áñ C(+; 6) »éÛ³ÏÁ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ ¿: 41. ¸Çóáõù Q(¢; 6) »éÛ³ÏÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ ¿, ÇëÏ H μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áõéáõóÇÏ ¿ Q(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ H-Á Q(±) ËÙμÇ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμÝ ¿: ± Q H (¢) ý³Ïïáñ-ËÙμáõÙ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Á.

aH 6 bH Ã! a0 6 b0 áñ¨¿ a0 2 aH ¨ b0 2 bH ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; ± ²å³óáõó»É, áñ Q H (¢; 6) »éÛ³ÏÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ ¿ (áñÇ ï³ññ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë áõéáõóÇÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý):

¶ É áõ Ë 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð 19.1. úÕ³ÏÇ, Ù³ñÙÝÇ, ¹³ßïÇ, ÏÇë³ûÕ³ÏÇ, ùí³½ÇûÕ³ÏÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ: ì»ñç³íáñ ¹³ßï»ñ: ì³Ý ¹»ñ ì³ñ¹»ÝÇ Ã»áñ»ÙÁ úÕ³ÏÇ ¨ ¹³ßïÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ Ý»ñÙáõÍí»É »Ý 14.7 í»ñÝ³·ñáõÙ: Q(+; ¢)-Á, ³ÛëÇÝùÝª Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í (áñáßí³Í) »ñÏáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ, áñáÝóÇó Ù»ÏÝ ³Ýí³ÝíáõÙ ¿ ·áõÙ³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ + Ýß³Ýáí, ÇëÏ ÙÛáõëÁª ³ñï³¹ñÛ³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¢ Ýß³Ýáí, ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³Ï, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) Q(+)-Ý ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿; μ) + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý Ó³Ë ¨ ³ç μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáíª (Ó³Ë μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

x(y + z) = xy + xz; (y + z)x = yx + zx

(³ç μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

ºÃ» Q(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, ³å³ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ûÕ³Ï³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñª áñáßí³Í Q-Ç íñ³ (Ù»ç): Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Q(+) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ÙÇ³íáñÁ ëáíáñ³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ½ñáÛáíª 0, áñÝ Áëï ÙÇ³íáñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μÝáõÃ³·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª x+0 = 0+x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ Q(+) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ï³¹ÇñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¡x-áí, áñÝ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μÝáõÃ³·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª x + (¡x) = (¡x) + x = 0; áñï»ÕÇó Ñ³Ï³¹ÇñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ‘ ¡(¡x) = x: úÕ³ÏÇ ½ñáÛÇó ï³ñμ»ñ μáÉáñ ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ýñ³ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñ:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

È»ÙÙ 19.1: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª x ¢ 0 = 0 ¢ x = 0; x(¡y) = (¡x)y = ¡(xy); (¡x)(¡y) = xy :

²å³óáõóáõÙ: Æñáùª x ¢ a = x(a + 0) = xa + x0; ¡(xa) + xa = ¡(xa) + xa + x0; 0 = 0 + x0 = x0 : ºÉÝ»Éáí ax = (a + 0)x = ax + 0x Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, Ïëï³Ý³Ýù 0x = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, y + (¡y) = 0; x(y + (¡y)) = x0 = 0; xy + x(¡y) = 0;

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ

x(¡y) = ¡(xy) :

ëï³óíáõÙ

Ý³¨

(¡x)y

(¡x)(¡y) = ¡(x(¡y)) = ¡(¡(xy)) = xy :

¡(xy) ¤

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É Ý³¨ Ñ³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª x ¡ y = x + (¡y);

x; y 2 Q :

ÀÝ¹ áñáõÙ, Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙÁ: È»ÙÙ 19.2: ºÃ» Q(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿ , ³å³ Q(¡)-Á ÏÉÇÝÇ ùí³½ÇËáõÙμ ¨ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª x(y ¡ z) = xy ¡ xz;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(x ¡ y)z = xz ¡ yz; (x ¡ y) ¡ (u ¡ v) = (x ¡ u) ¡ (y ¡ v) :

¸»é ³í»ÉÇÝ, Ï³Ù³Û³Ï³Ý f; g 2 f+; ¡g ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁª f (g(x; y); g(u; v)) = g (f (x; u); f(y; v)) ;

áñÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ f ¨ g ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³μ»ÉÛ³ÝáõÃÛ³Ý (»ñÏëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛ³Ý, Ù»¹Ç³ÉáõÃÛ³Ý Ï³Ù ¿ ÝïñáåÇÏáõÃÛ³Ý) å³ÛÙ³Ý: ²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª a ¡ x = b Ã! x = a ¡ b ; y ¡ a = b Ã! y = a + b :

Ð»ï¨³μ³ñ, Q(¡)-Á ùí³½ÇËáõÙμ ¿: ØÝ³ó³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³å³óáõóíáõÙ »Ý ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý, »Ã» Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 1ï³ññ³ÝÇ ¿ª Q = f0g: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý: ²ÛÝáõÑ»ï¨, í»ñÑÇß»Ýù ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ¨áñ³·áõÛÝ ¹³ë»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í, »Ã» Ýñ³ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÙÇ³íáñ, ³ÛëÇÝùÝ‘ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ e 2 Q ï³ññ, áñ x¢e = e¢x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ ¹»åùáõÙ:²Ûë ¹»åùáõÙ e-Ý áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³Ýó ÙÇ³íáñÇ: úñÇÝ³Ï, ³é³Ýó ÙÇ³íáñÇ ¿ μáÉáñ ½áõÛ· Ãí»ñÇ ûÕ³ÏÁ: àñå»ë½Ç ûÕ³ÏÁ ÉÇÝÇ ½ñáÛ³Ï³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ûÅïí³Í e = 0 ÙÇ³íáñáí: úÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, »Ã» Ýñ³ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ï»Õ³÷áË³Ï³Ý: úÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, »Ã» Ýñ³ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ áã ½áõ·áñ¹³Ï³Ý: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ (ûÅïí³Í) ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñáí, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ýñ³ ³ÛÝåÇëÇ a; b 2 Q áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñ, áñ a ¢

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

b = 0 (¨ ³Ûë ¹»åùáõÙ a; b áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ): Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇª (Ï³Ù ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ ãáõÝ»óáÕ)ª a ¢ b = 0 ! a = 0 Ï³Ù b = 0; áñï»Õ a; b 2 Q:

È»ÙÙ 19.3: ¼ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ ãáõÝ»óáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñ»É Ïñ×³ïáõÙ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññáí, ³ÛëÇÝùÝª a ¢ x = a ¢ y ¡! x = y;

áñï»Õ a; x; y 2 Q, a 6= 0:

x ¢ a = y ¢ a ¡! x = y;

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» a 6= 0, ³å³ ax = ay ¡! a(x ¡ y) = 0 ¡! x ¡ y = 0 ¡! x = y :

àã ½ñáÛ³Ï³Ý ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý Ï³Ù ³ÙμáÕç³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ãáñë å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, áõÝÇ ÙÇ³íáñ ¨ ãáõÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ: úñÇÝ³Ï, μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z(+; ¢) ûÕ³ÏÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ μáÉáñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Op (+; ¢) ûÕ³ÏÁ ³Û¹åÇëÇÝ »Ý (Ã»áñ»Ù 9.16): Ü»ñÙáõÍ»Ýù μ³Å³ÝÙ³Ý ¨ μ³Õ¹³ïÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ: Î³ë»Ýù, áñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ï³ññÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Ýñ³ b ï³ññÇ íñ³ ¨ Ï·ñ»Ýù a / b , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c 2 K ï³ññ, áñ a = b ¢ c: ²Û¹ ¹»åùáõÙ a-Ý ÏáãíáõÙ ¿ μ³Å³Ý»ÉÇ, b-Ý μ³Å³Ý³ñ³ñ, ÇëÏ c-Ý ù³Ýáñ¹ (»Ã» b 6= 0): ºÃ» b 6= 0, ³å³ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ c-Ý áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ²ÛÝáõÑ»ï¨, x; y 2 K ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï a 2 K Ñ»ÝùÇ (ï³ññÇ) ¨ ·ñíáõÙ ¿ x ´ y(mod a); »Ã» x{y / a : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μ³Õ¹³ïÙ³Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í §´¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ [x] = ft 2 Kj t ´ x(mod a)g

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Áëï a Ñ»ÝùÇ: Àëï áñáõÙ, x-Á ÏáãíáõÙ ¿ [x] ¹³ëÇ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇã: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ [x] = [y] Ã! x ´ y(mod a) : ²ÛëåÇëáí, ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ï³ñμ»ñ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñ: ´áÉáñ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Áëï a 2 K Ñ»ÝùÇ ± Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ K (a)-áí, ³ÛëÇÝùÝª ± K (a) = f[x]j x 2 Kg :

´Ý³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ (μ³½Ù³å³ïÏáõÙÁ)ª [x] + [y] = [x + y]; [x] ¢ [y] = [x ¢ y];

¨ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ³Ûë ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ù ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ëí³Í ã»Ý ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: ± ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ K (a) (+; ¢)-Á ¹³éÝáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ [e] ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³Ï, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³Ïª Áëï a Ñ»ÝùÇ: e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ a 2 Q ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a0 2 Q ï³ññ, áñ a ¢ a0 = a0 ¢ a = e : ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏáõÙ a0 ï³ññÁ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³) áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ª a0 = a¡1 ¨ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ (ï³ññ) ïñí³Í ûÕ³ÏáõÙ: ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ÁÝ¹ áñáõÙª ¡1 (a1 ¢ a2 )¡1 = a¡1 2 ¢ a1 ; ¡1 ¡1 ¡1 (a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ an )¡1 = a¡1 n ¢ an¡1 ¢ ¢ ¢ a2 ¢ a1 :

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

È»ÙÙ 19.4: ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ Q£ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ ª ûÕ³ÏÇ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Û¹ Q£ (¢) ËáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμ Ï³Ù ïñí³Í ¤ ûÕ³ÏÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμ (Ñ³Ù³éáïª ¾ÛÉ»ñÇ ËáõÙμ): Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14.18-Ç (ï»ë Ý³¨ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.5-Á), Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÇ [a] 2 Zn ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ (a; n) = 1, ³ÛëÇÝùÝª Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ '(n)-Ç, áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿: àõëïÇ, '(n) jZ£ = [1], n j = '(n) ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.9-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª [a] »Ã» (a; n) = 1: ²ÛëåÇëáí, ÝáñÇó Ñ³Ý·áõÙ »Ýù ¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÇÝ (Ã»áñ»Ù 9.1): àã ½ñáÛ³Ï³Ý Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ñÙÇÝ, »Ã» Ýñ³ μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ Q¤ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ª ûÕ³ÏÇ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: àã ½ñáÛ³Ï³Ý Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹³ßï, »Ã» Ýñ³ μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ Q¤ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿ª ûÕ³ÏÇ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹³ßïÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμ: Ð»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ßï ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ÇëÏ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ²é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý Ýß»Ýù Ñ»ï¨Û³É ¹³ë³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 19.1: ì»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ýí³Í (ïñí³Í) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ñÙÇÝ ¹³ßï ¿ , ³ÛëÇÝùÝª í»ñç³íáñ Ù³ñÙÇÝÁ ¹³ßï ¿ (ì»¹¹»ñμ³éÝ): ºÃ» Q(+; ¢) ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í a 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n(a) > 1 μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ an(a) = a, ³å³ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ (æ»ÏáμëáÝ): ¤ ì»ñÑÇß»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ (Ã»áñ»Ù 14.17, Ã»áñ»Ù 14.18) : Â»áñ»Ù 19.2: ì»ñç³íáñ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ýí³Í (ïñí³Í) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¹³ßï ¿ , ³ÛëÇÝùÝª í»ñç³íáñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¹³ßï ¿ : ºÃ» q-Ý í»ñç³íáñ F ¹³ßïÇ Ï³ñ·Ý ¿ , ³å³ aq = a ó³ÝÏ³ó³Í a 2 F ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ØÝ³óùÝ»ñÇ Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ¹³ßï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n-Á å³ñ½ ÃÇí ¿ : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²Ûë åÝ¹Ù³Ý »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ μËáõÙ ¿ Ý³¨ ËÝμ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 18.9 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, í»ñç³íáñ F ¹³ßïÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇ Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ q ¡ 1-Ç: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, aq¡1 = e ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý a 2 F ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»ÕÇóª aq = a ³ñ¹»Ý ó³ÝÏ³ó³Í a 2 F ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù å³ñ½ Ãí»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ìÇÉëáÝÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ: Â»áñ»Ù 19.3 (ìÇÉëáÝ): ì»ñç³íáñ ¹³ßïÇ μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ¡eÇ, áñï»Õ eÝ ¹³ßïÇ ÙÇ³íáñÝ ¿:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù F (+; ¢)Á í»ñç³íáñ ¹³ßï ¿: ºÃ» jF j 6 3, ³å³ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ºÃ» jF j > 3 ¨ x 2 F , x 6= 0, e, ¡e, ³å³ x 6= x¡1 ¨ fx; x¡1 g ï»ëùÇ μáÉáñ 2ï³ññ³ÝÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÏ³½Ù»Ý F nf0; e; ¡eg = fx1 ; : : : ; xt g μ³½ÙáõÃÛ³Ý ïñáÑáõÙ, áñáíÑ»ï¨ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 F nf0; e; ¡eg ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª x 2 fx; x¡1 g ¨, »Ã» fx; x¡1 g\fy; y ¡1 g 6= ;, ³å³ fx; x¡1 g = fy; y ¡1 g: Ð»ï¨³μ³ñ, x1 ¢ ¢ ¢ xt = e; x1 ¢ ¢ ¢ xt ¢ e ¢ (¡e) = ¡e : ÜÏ³ï»Ýù, áñ char(F ) = 2 ¹»åùáõÙª e = ¡e, ÇëÏ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙª e 6= ¡e: (Ð»ï¨³μ³ñ, ½áõÛ· Ãíáí ï³ññ»ñ áõÝ»óáÕ ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 2Ç, ÇëÏ Ï»Ýï Ãíáí ï³ññ»ñ áõÝ»óáÕ ¹³ßïÇ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ 2Ç:) ¤ ²å³óáõó»Ýù í»ñç³íáñ ¹³ßï»ñÇÝ í»ñ³μ»ñáÕ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹³ë³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ, áñáÝù Ñ³ÛïÝÇ »Ý Ý³¨ Çñ»Ýó ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñáí: Â»áñ»Ù 19.4: ¸³ßïÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ »ÝÃ³ËáõÙμ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ ¿ : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ ËáõÙμ:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 18.21-Çó, ù³ÝÇ áñ ¹³ßïÇ Ù»ç μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÃÇíÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ: ¤

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ n = 2; 4; pk ; 2pk , Z£ n áñï»Õ p-Ý Ï»Ýï å³ñ½ ÃÇí ¿: ì»ñç³íáñ F ¹³ßïÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ åñÇÙÇïÇí, »Ã» ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ÍÝÇã ï³ññ F -Ç ÙÇ³ÍÇÝ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμÇ Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»Ù 19.5: ò³ÝÏ³ó³Í P í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ ãμ»ñíáÕ n-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ' 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³Ù:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ P ¹³ßïÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ Ýñ³ μÝáõÃ³·ñÇãÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ áñ¨¿ p å³ñ½ ÃíÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, jP j = pt , áñï»Õ t 2 N (Ã»áñ»Ù 17.11): Üß³Ý³Ï»Ýùª q = ptn ¨ ¹Çï³ñÏ»Ýù f = xq ¡ x 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ÎñáÝ»Ï»ñÇ Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 16.25), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ P ¹³ßïÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåÇëÇ P 0 ¹³ßï, áñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ f -Á í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: F -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù f -Ç μáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ P 0 ¹³ßïáõÙª F = fc 2 P 0 j f (c) = 0g :

ø³ÝÇ áñ f 0 = qxq¡1 ¡ 1 = ¡1, ³å³ f-Á ãáõÝÇ μ³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï (Ã»áñ»Ù 16.19), ³ÛëÇÝùÝª jF j = q: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ¹Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ F -Á P 0 -Ç »ÝÃ³¹³ßï ¿ ¨ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ P -Ý, ³ÛëÇÝùÝª tn ®p = ® ó³ÝÏ³ó³Í ® 2 P ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (³ÛëåÇëáí, F -Á ÏÉÇÝÇ ¹Çï³ñÏíáÕ f 2 P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ¹³ßïÁ): ø³ÝÇ áñ F ¹³ßïÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ áñ¨¿ ®0 2 F åñÇÙÇïÇí ï³ññáí (Ã»áñ»Ù 19.4), áñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñáí ëå³éíáõÙ »Ý F -Ç μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, F -Á ÏÉÇÝÇ P -Ç å³ñ½ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ ®0 2 F Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ï³ññÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª F -Á ÏÉÇÝÇ

P -Ç Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁª F = P

.F [®0 ]: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16.24-Ç, F = PF [®0 ] ¹³ßïÁ Ç½áÙáñý ¿ P [x] (') ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïÇÝ, áñï»Õ ' 2 P [x]¯ μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãμ»ñíáÕ ¿ P -áõÙ ¨ '(®0 ) = 0: ø³ÝÇ áñ ¯ . ¯ ¯ deg(') deg(') jF j = q = ptn ¨ ¯ P [x] (')¯ = (pt ) , ³å³ ptn = (pt ) , áñï»ÕÇó deg(') = n: ¤ Q(+; ¢)-Á ÏáãíáõÙ ¿ ÏÇë³ûÕ³Ï, »Ã» Q(+)-Á ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿, ÇëÏ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý Ó³Ë ¨ ³ç μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

úñÇÝ³Ï, N(+; ¢)-Á, 2N(+; ¢)-Á, 3N(+; ¢)-Á, : : : ÏÇë³ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý, áñï»Õ mN = fmn j n 2 Ng: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏÇë³ûÕ³Ï ¿: ºÃ» Q(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³ÏÇ Q(+) ÏÇë³ËáõÙμÝ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí, ³å³ ³ÛÝ, ÇÝãå»ë ¨ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 0-áí, ÇëÏ Q n f0g-áí Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q-Ç μáÉáñ x 6= 0 (áã ½ñáÛ³Ï³Ý) ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» Q(+)-Á ãÇ ûÅïí³Í ÙÇ³íáñáí, ³å³ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ª Q n f0g = Q: Q(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏÇë³Ù³ñÙÇÝ (ÏÇë³¹³ßï), »Ã» Q n f0g μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ (³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿) ÏÇë³ûÕ³ÏÇ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: úñÇÝ³Ï Q+ (+; ¢)-Á, R+ (+; ¢)-Á ÏÇë³¹³ßï»ñ »Ý, áñï»Õ Q+ -Á (R+ Á) μáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý Ï³Ù áã μ³ó³ë³Ï³Ý é³óÇáÝ³É (Çñ³Ï³Ý) Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³ÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ ÏÇë³¹³ßïÇ (¹³ßïÇ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Q0 (#; ±) ÏÇë³¹³ßï (¹³ßï), áñ Q μ Q0 ¨ x + y = x#y; x¢y =x±y ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ Ï³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³ÏÁ ÁÝ¹É³ÛÝíáõÙ ¿ ÙÇÝã¨ Q0 (#; ±) ÏÇë³¹³ßïÇ (¹³ßïÇ): êáíáñ³μ³ñ, Q-Ç ¨ Q0 -Ç Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ Ýß³Ýáí: Ð³Ù³ÝÙ³Ý ÇÙ³ëïáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Ý³¨ ÏÇë³ËÙμÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ

ÙÇÝã¨ ËÙμÇ:

úñÇÝ³Ï, å³ïÙ³Ï³Ýáñ»Ý N(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³ÏÁ ÁÝ¹É³ÛÝí»É ¿ ÙÇÝã¨ Q+ (+; ¢) ÏÇë³¹³ßïÇ, ÇëÏ Q+ (+; ¢) ÏÇë³¹³ßïÁª ÙÇÝã¨ Q(+; ¢) ¹³ßïÇ: Â»áñ»Ù 19.6 (ì³Ý ¹»ñ ì³ñ¹»Ý): 1) Îñ×³ïáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ÁÝ¹É³ÛÝíáõÙ ¿ ÙÇÝã¨ ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ: 2) ºÃ» Q(¢)-Á Ïñ×³ïáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿ , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³Ï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ ÏÇë³¹³ßïÇ: 3) ºÃ» Q(+)-Á Ïñ×³ïáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿ , ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) ÏÇë³¹³ßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ ¹³ßïÇ: 4) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ ¹³ßïÇ: 5)

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

¼áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûÕ³Ï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ ¹³ßïÇ: ²å³óáõóáõÙ: 1) ¸Çóáõù Q(+)-Á ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿ª ûÅïí³Í Ïñ×³ïáõÙÝ»ñáí, ³ÛëÇÝùÝª a + x = a + y ¡! x = y; áñï»Õ a; x; y 2 Q: Î³½Ù»Ýù Q2 = Q £ Q μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ Ýñ³ Ù»ç ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ. (a; b) » (c; d) Ã! a + d = b + c; áñï»Õ a; b; c; d Q: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿: Æñáù, Ýñ³ ³éÇÝùÝáõÃÛáõÝÁ ¨ ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝÁ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý, ³å³óáõó»Ýù ÷áË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù (a; b) » (c; d) ¨ (c; d) » (u; v): Ð»ï¨³μ³ñ, a + d = b + c, c + v = d + u ¨ a + d + c + v = b + c + d + u: Î³ï³ñ»Éáí Ïñ×³ïáõÙ, ³Ûëï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýùª a + v = b + u, ³ÛëÇÝùÝª (a; b) » (u; v): (a; b) ½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ ³Ûëï»Õ Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ýß³Ý³Ï»É (a; b)-áí: ²ÛëåÇëáí, Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³½Ù»É Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ù³Ýáñ¹-μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ¯ o n ± ¯ Q0 = Q2 » = (a; b)¯ (a; b) 2 Q2 :

²Ûë Q0 ù³Ýáñ¹-μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÛÅÙ ë³ÑÙ³Ý»Ýù ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝª (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

¨ Ý³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ³Ûë ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³Ëí³Í ã¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» (a; b) » (a0 ; b0 ) ¨ (c; d) » (c0 ; d0 ), ³å³ a + b0 = b + a0 , c + d0 = d + c0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª (a + c) + (b0 + d0 ) = (b + d) + (a0 + c0 ), ³ÛëÇÝùÝª (a + c; b + d) » (a0 + c0 ; b0 + d0 ): Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨, áñ Q0 (+)-Á ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ëï³óí³Í ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμÁ ËáõÙμ ¿: Æñáù, áñå»ë Q0 (+)-Ç ÙÇ³íáñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É (x; x) = (y; y) Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ, áñáíÑ»ï¨ª (a; b) + (x; x) = (a + x; b + x) = (a; b);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ÇëÏ ¡(a; b) = (b; a), áñáíÑ»ï¨ª (a; b) + (b; a) = (a + b; b + a) = (x; x) : ØÝáõÙ ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óÝ»É Q0 -Ç (a + x; x) ï³ññÇ Ñ»ï: ²Û¹ ¹»åùáõÙª a 6= b ¡! (a + x; x) 6= (b + x; x); (a + b + x; x) = (a + x; x) + (b + x; x); ³ÛëÇÝùÝª Q (+) ËáõÙμÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý Q(+) ÏÇë³ËÙμÇ

ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ:

2) ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ³ÛÝåÇëÇ ÏÇë³ûÕ³Ï ¿, áñï»Õ Q(¢)-Á Ïñ×³ïáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿: Ð³Ù³Ó³ÛÝ 1) åÝ¹Ù³Ý, Q(¢) ÏÇë³ËáõÙμÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ Q0 (¢) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ: 1) åÝ¹Ù³Ý ³å³óáõóÙ³Ý ÁÝÃ³óùáõÙ ëï³óíáÕ Q0 (¢) ÏÇë³ËÙμÇ hai -áí: Ï³Ù³Û³Ï³Ý (a; b) ï³ññÁ ³Ûëï»Õ Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ýß³Ý³Ï»É b Ð»ï¨³μ³ñª hai h c i = Ã! a ¢ d = b ¢ c; b d hai h c i ha ¢ ci ¢ = : b d b¢d ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Q0 -áõÙ ë³ÑÙ³Ý»É ³ÛÝåÇëÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ, áñ Q0 (+; ¢)-Á ÉÇÝÇ ÏÇë³¹³ßï: ê³ÑÙ³Ý»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª h a i h c i ∙ ad + bc ¸ + = ; b d bd Ý³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ³Ûë ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª ·áõÙ³ñÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³Ëí³Í ã¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñáõÙ (·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñáõÙ) Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨, áñ Q0 (+)-Á ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿ ¨ Q0 -Ç íñ³ ë³ÑÙ³Ýí³Í ·áõÙ³ñÙ³Ý áõ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýùáí: ø³ÝÇ áñ Q(¢) ÏÇë³ËÙμÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññ ha ¢ xi ï³ññÇ Ñ»ï, ³å³ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óíáõÙ ¿ Q (¢) ÏÇë³ËÙμÇ x ³Ûëï»Õ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ý³¨ ÝÏ³ï»É ∙ ¸ h i ∙ ¸ bx (a + b)x ax + = x x x

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, Q0 (+; ¢)-Á ÏÇë³¹³ßï ¿ ¨ ³Ûë ÏÇë³¹³ßïÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý Q(+; ¢) ÏÇë³ûÕ³ÏÇ

ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ:

3) ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ³ÛÝåÇëÇ ÏÇë³¹³ßï ¿, áñï»Õ Q(+)-Á Ïñ×³ïáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÏÇë³ËáõÙμ ¿: 1) åÝ¹Ù³Ý

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Q(+) ÏÇë³ËáõÙμÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ Q0 (+) ËÙμÇ,

áñÇ (a; b) ï³ññ»ñÁ ·áõÙ³ñíáõÙ »Ý Áëï (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) μ³Ý³Ó¨Ç: Q0 -Ç Ù»ç ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (a; b) ¢ (c; d) = (ac + bd; ad + bc) :

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ Q0 (+; ¢)-Á áñáÝ»ÉÇ ¹³ßïÝ ¿: 4) ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, Q0 = Q n f0g ¨ Q1 = Q £ Q0 : ²Ûë Q1 μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁª (a; b) » (c; d) Ã! ad = bc : Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ Çñáù Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿: Üß³Ý³Ï»Éáí (a; b) ½áõÛ·Ç Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ [a; b]-áí, ÏáõÝ»Ý³Ýùª [a; b] = [c; d] Ã! ad = bc : Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý ù³Ýáñ¹-μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù Q0 -áíª Q0 = Q1 /» = f[a; b]j (a; b) 2 Q1 g ¨ Q0 -Ç Ù»ç ë³ÑÙ³Ý»Ýù ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª [a; b] + [c; d] = [ad + bc; bd]; [a; b] ¢ [c; d] = [ac; bd] :

í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ¹³ßïÇ (ëïáõ·Ù³Ý ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ Q0 -Á Ù³Ýñ³Ù³ëÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÃáÕÝíáõÙ ¿ ÁÝÃ»ñóáÕÇÝ), ÇëÏ »Ã» Q-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óíÇ Q0 -Ç [a; e] ï³ññÇ Ñ»ï

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

(e-Ý Q(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿), ³å³ Q0 (+; ¢) ¹³ßïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ Q(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙÁ: 5) ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ûÕ³Ï ¿: ÎñÏÝ»Éáí 4)-Ç ³å³óáõóáõÙÁ, ÝÏ³ïáõÙ »Ýù, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ Q0 -Ç ÙÇ³íáñÇ ¹»ñÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ó³ÝÏ³ó³Í [`; `] ½áõÛ·, áñï»Õ ` 2 Q, ` 6= 0, ÇëÏ Q-Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 Q ï³ññ å»ïù ¿ ÝáõÛÝ³Ï³Ý³óíÇ Q0 -Ç [a`; `] ï³ññÇ Ñ»ï: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.1: àñå»ë½Ç ûÕ³ÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ÉÇÝÇ ÁÝ¹É³ÛÝ»É ÙÇÝã¨ áñ¨¿ ¹³ßïÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ãáõÝ»Ý³ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ: ¤ Q(+; ¢)-Á ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇûÕ³Ï, »Ã» Q(+)-Á ùí³½ÇËáõÙμ ¿, ÇëÏ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý Ó³Ë ¨ ³ç μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí: úñÇÝ³Ï, Z(¡; ¢)-Á ùí³½ÇûÕ³Ï ¿: ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, »Ã» Q(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, ³å³ Q(¡; ¢)-Á ÏÉÇÝÇ ùí³½ÇûÕ³Ï: Q(+) ùí³½ÇËÙμÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ Ýñ³ 0 2 Q Ó³Ë (Ï³Ù ³ç) ÙÇ³íáñÁ, ·áÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ùí³½ÇûÕ³Ï ¿ ¨ ¹Çóáõù Q(+) ùí³½ÇËáõÙμÁ ûÅïí³Í ¿ 0 2 Q Ó³Ë (Ï³Ù ³ç) ÙÇ³íáñáí: ÆÝãå»ë ¨ í»ñ¨áõÙ, Q n f0g-áí Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q-Ç μáÉáñ x 6= 0 ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Q(+; ¢) ùí³½ÇûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇÙ³ñÙÇÝ (ùí³½Ç¹³ßï), »Ã» Q n f0g μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ (³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿) ùí³½ÇûÕ³ÏÇ ³ñï³¹ñÛ³É ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ºÃ» Q(+; ¢)-Á Ù³ñÙÇÝ (¹³ßï) ¿, ³å³ Q(¡; ¢)-Á ùí³½ÇÙ³ñÙÇÝ (ùí³½Ç¹³ßï) ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ñÙÇÝ ùí³½ÇÙ³ñÙÇÝ ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ßï ùí³½Ç¹³ßï ¿ ¨ ÏÇë³¹³ßï: úñÇÝ³Ï, Z2 (¡; ¢)-Á, Z3 (¡; ¢)-Á, Q(¡; ¢)-Á, R(¡; ¢)-Á, C(¡; ¢)-Á ùí³½Ç¹³ßï»ñ »Ý:

19.2. ºÝÃ³ûÕ³ÏÇ, Ç¹»³ÉÇ ¨ ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÇ ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ áã ¹³ï³ñÏ K 0 μ K »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ K-Ç »ÝÃ³ûÕ³Ï ¨ ·ñíáõÙ ¿ K 0 6 K, »Ã» ³ÛÝ Çñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x; y 2 K 0 ï³ññ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ý³¨ Ýñ³Ýó x ¡ y ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ x ¢ y ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª x; y 2 K 0 ¡! x ¡ y; x ¢ y 2 K 0 :

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Ð»ï¨³μ³ñ, K 0 6 K »ÝÃ³ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ûÕ³Ïª ëÏ½μÝ³Ï³Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñáíÑ»ï¨ K 0 -Á ÏÉÇÝÇ K(+) ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμ: úñÇÝ³Ï, Z(+) ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ÝÃ³ËáõÙμ ÏÉÇÝÇ Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ »ÝÃ³ûÕ³Ï: ¸Åí³ñ ã¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí »ÝÃ³ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ »ÝÃ³ûÕ³Ï ¿: K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ áã ¹³ï³ñÏ K 0 μ K »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ûÕ³ÏÇ Ç¹»³É ¨ ·ñíáõÙ ¿ K 0 E K, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. 1) K 0 6 K, ³ÛëÇÝùÝª K 0 -Á K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ »ÝÃ³ûÕ³Ï ¿, 2) x ¢ z 2 K 0 ¨ z ¢ x 2 K 0 , »Ã» x 2 K 0 , z 2 K: úñÇÝ³Ï, »Ã» K 0 = f0g Ï³Ù K 0 = K, ³å³ K 0 E K: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ K 0 Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª ÙÇ³íáñ: úÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» ³ÛÝ ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇó μ³óÇ áõñÇß Ç¹»³ÉÝ»ñáí ãÇ ûÅïí³Í: úñÇÝ³Ï, μáÉáñ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ¹³ßï»ñÁ) å³ñ½ ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý: Æñáù, »Ã» K(+; ¢)-Á Ù³ñÙÇÝ ¿ ¨ K 0 E K, K 0 6= f0g, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ h 2 K 0 , h 6= 0 ï³ññ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýùª x = (xh)h¡1 2 K 0 ;

³ÛëÇÝùÝª K 0 = K:

ØÇ¨ÝáõÛÝ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ K1 ¨ K2 Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª K1 + K2 = fx + yj x 2 K1 ; y 2 K2 g; K1 ¡ K2 = fx ¡ yj x 2 K1 ; y 2 K2 g :

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ í»ñç³íáñ Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª K1 +K2 +¢ ¢ ¢+Kn = fx1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn j x1 2 K1 ; x2 2 K2 ; : : : ; xn 2 Kn g :

K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ K1 ¨ K2 Ç¹»³ÉÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, »Ã» K1 + K2 = K: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ K1 ¡ K2 = K1 + K2 :

È»ÙÙ 19.5: ØÇ¨ÝáõÛÝ ûÕ³ÏÇ »ñÏáõ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ Ñ³ïáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë Ç¹»³ÉÝ»ñ »Ý: ò³ÝÏ³ó³Í Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ Ç¹»³É ¿ , í»ñç³íáñ Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÝáñÇó Ç¹»³É ¿ :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: Æ¹»³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý 1) ¨ 2) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ »Ý »ñÏáõ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ, ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý, ÇÝãå»ë Ý³¨ í»ñç³íáñ Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ºÃ» ¹Çï³ñÏíáÕ K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³å³ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (a) = fx ¢ aj x 2 Kg μ K

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ç¹»³É: ²Û¹ Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ï³ññáí ÍÝí³Í ·ÉË³íáñ Ç¹»³É: ÜÏ³ï»Ýù Ý³¨, áñ e 2 K ÙÇ³íáñÇ ³éÏ³ÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ (a) Ç¹»³ÉÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ a ï³ññÁ ¨ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ a ï³ññÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ §³Ù»Ý³÷áùñ¦ Ç¹»³ÉÁ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ ÏÑ³ÙÁÝÏÝÇ a ï³ññÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ μáÉáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ñ»ï: úñÇÝ³Ï, »Ã» "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ ¿, ³å³ (") = K, áñáíÑ»ï¨ e 2 ("): K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ H E K Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·ÉË³íáñ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ áñ¨¿ a 2 K ï³ññáí ÍÝí³Í ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÇ Ñ»ïª H = (a): úñÇÝ³Ï, ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÁ ·ÉË³íáñ »Ý: ²Û¹åÇëÇÝ ¿ Ý³¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ßï: ºÃ» K(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ H E K, ³å³ H-Á ÉÇÝ»Éáí K(+) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ »ÝÃ³ËáõÙμÁ, ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Ýñ³ ÇÝí³ñÇ³Ýï ± »ÝÃ³ËáõÙμÁ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É (Ï³½Ù»É) K H (+) ù³Ýáñ¹-ËáõÙμÁ, áñï»Õ (x + H) + (y + H) = (x + y) + H;

x; y 2 K :

± K H = fx + Hj x 2 Kg μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ³ñï³¹ñÛ³É (μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª (x + H) ¢ (y + H) = (x ¢ y) + H;

x; y 2 K;

Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ³Ûë μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ëí³Í ã¿ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇóª x + H = x0 + H; y + H = y 0 + H ¡! (x ¢ y) + H = (x0 ¢ y 0 ) + H : Æñáù, »Ã» x+ H = x0 + H ¨ y + H = y 0 + H, ³å³ x = x0 + h1 , y = y 0 + h2 , h1 ; h2 2 H ¨ x¢y = (x0 +h1 )(y 0 +h2 ) = x0 y 0 + x0 h2 + h1 y 0 +h1 h2 = x0 y0 +h3 ,

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

áñï»Õ h3 = x0 h2 + h1 y0 + h1 h2 2 H Áëï Ç¹»³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý: àõëïÇ, (x ¢ y) + H = (x0 y 0 + h3 ) + H = (x0 ¢ y 0 ) + H: ± Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨, áñ K H μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý μ³ßË³Ï³Ý ± ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ²ÛëåÇëáí, K H (+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, áñÁ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ù³Ýáñ¹-ûÕ³Ï Ï³Ù ý³Ïïáñ-ûÕ³Ï Áëï H E K Ç¹»³ÉÇ: úñÇÝ³Ï, Z/(m)(+; ¢) = Zm (+; ¢), áñï»Õ m 2 N, (m) = fmx j x 2 Zg: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁ. ± 1) ºÃ» K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ³å³ Ýñ³ μáÉáñ K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ, áñï»Õ H E K: ± 2) ºÃ» K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿, ³å³ Ýñ³ μáÉáñ K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ, áñï»Õ H E K: ± 3) ºÃ» K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí, ³å³ Ýñ³ μáÉáñ K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ûÅïí³Í ÙÇ³íáñáí, áñï»Õ H E K: 4) Ø³ñÙÝÇ (¹³ßïÇ) ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ Ï³Ù Ù³ñÙÇÝ (¹³ßï) ¿: ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ H E K: x; y 2 K ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý μ³Õ¹³ï»ÉÇ Áëï H Ñ»ÝùÇ (Ùá¹áõÉÇ) ¨ ·ñíáõÙ ¿ x ´ y(mod H);

»Ã» x¡y 2 H: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿, áñ ë³ÑÙ³Ýí³Í μ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ [x] = ft 2 Kj t ´ x(mod H)g μ K

Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ë Áëï H Ñ»ÝùÇ: Àëï áñáõÙª [x] = [y] Ã! x ´ y(mod H) ¨ [x] = x + H :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

19.3. ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñ: ²Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ, ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ ¨ Ãí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ: öáË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ï³ññ»ñ ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ç¹»³É ·ÉË³íáñ ¿: úñÇÝ³Ï, Z, Z[i], P [x] ûÕ³ÏÝ»ñÁ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý, áñï»Õ P -Ý ¹³ßï ¿ (μËáõÙ ¿ ³Û¹ ûÕ³ÏÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ³å³óáõóí³Í ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇó): ²Ûë ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç ÙÇ³íáñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³Ë³å»ë ãå³Ñ³Ýç»É, ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ μËáõÙ ¿ ÙÝ³ó³Í ³ùëÇáÙÝ»ñÇ ³éÏ³ÛáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ, ÉÇÝ»Éáí Çñ Ç¹»³ÉÁ, å»ïù ¿ ÉÇÝÇ ·ÉË³íáñ Ç¹»³É: ²ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 K ï³ññ, áñ K = (a): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ b 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ¨ f 2 K ï³ññ»ñ, áñ b = a ¢ x, a = a ¢ f : Ð»ï¨³μ³ñ, b ¢ f = (a ¢ x) ¢ f = a ¢ (x ¢ f ) = a ¢ (f ¢ x) = (a ¢ f ) ¢ x = a ¢ x = b ¨ f 2 K ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ¹»ï³ñÏíáÕ ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÁ: ºÃ» K(+; ¢)-Á ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ÇëÏ a1 ; a2 ; : : : ; an 2 K, ³å³ (a1 ; a2 ; : : : ; an ) = fa1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn j x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 Kg μ K »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÉÇÝ»Éáí (a1 ); (a2 ); : : : ; (an ) ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, ÏÉÇÝÇ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ç¹»³ÉÁ ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ a1 ; a2 ; : : : ; an 2 K ï³ññ»ñáí ÍÝí³Í Ç¹»³É: Î³ë»Ýù, áñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ½áõ·áñ¹í³Í »Ý ¨ Ï·ñ»Ýù a » b, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ³ÛÝåÇëÇ ± 2 K Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ, áñ a =b¢± : Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ûÕ³ÏÇ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý áã ½áõ·áñ¹í³Í Ï³Ù ã½áõ·áñ¹í³Í ¨ ·ñíáõÙ ¿ a 6» b: ê³ÑÙ³Ýí³Í §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ (áñáßí³Í K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ):

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

È»ÙÙ 19.6: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ ¿ , áñÇ μáÉáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý í»ñç³íáñ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ a 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñª a = a ¢ e, áñï»Õ e-Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿, ³å³ a » a: ºÃ» a » b, ³å³ a = b ¢ ±, áñï»Õ ±-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ± 0 2 K ï³ññ, áñ ± ¢ ± 0 = e: Ð»ï¨³μ³ñ, a ¢ ± 0 = b ¨ b » a: Æ í»ñçá, Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ §»¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ûÅïí³Í ¿ Ý³¨ ÷áË³Ýó³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ. »Ã» a » b ¨ b » c, ³ÛëÇÝùÝª a = b ¢ ±1 , b = c ¢ ±2 , áñï»Õ ±1 ¢ ±10 = e ¨ ±2 ¢ ±20 = e, ³å³ a = c ¢ (±2 ±1 ), áñï»Õ (±2 ±1 )(±10 ±20 ) = e, áõëïÇ a » c: ¤ È»ÙÙ 19.7: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ a=b ¨ b=a, ³å³ a » b:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ a = b ¢ c ¨ b = a ¢ l, ³å³ a = alc ¨ a(e ¡ lc) = 0: ²ÛÅÙ, »Ã» a = 0, ³å³ª b = a ¢ l = 0 ¨ ³ÏÝ»ñ¨áñ»Ýª a » b, ÇëÏ »Ã» a 6= 0, ³å³ e ¡ lc = 0 ¨ e = lc: ²ÛëåÇëáí, c ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ a = b ¢ c Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª a » b: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.2: ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ (a) = (b) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a » b:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» (a) = (b), ³å³ a 2 (b) ¨ b 2 (a), ³ÛëÇÝùÝª a=b ¨ b=a ¨ Áëï Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ a » b: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» a » b ¨ x 2 (a), ³å³ a = b ¢ ±, áñï»Õ ±-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ¨ x = a ¢ t = (b±)t = b(±t) 2 (b), ³ÛëÇÝùÝª (a) μ (b): Ð³Ï³é³Ï Ý»ñ¹ñáõÙÁ ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ¤ Î³ë»Ýù, áñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ d 2 K ï³ññÁ Ýñ³ a; b 2 K ï³ññ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ ¿ , »Ã» a=d ¨ b=d: ºí d 2 K ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ a; b 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ù»Ý³Ù»Í (Ï³Ù ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ) μ³Å³Ý³ñ³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿ d (a; b), »Ã» 1. d -Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, 2. d -Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ íñ³:

ï³ññ»ñÇ

μáÉáñ

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ûÕ³ÏÇ í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Z(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ (³ÙμáÕç Ãí»ñÇ) ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ù»Ý³Ù»Í μ³Å³Ý³ñ³ñÁ áñáßíáõÙ ¿ Ýß³ÝÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ ¨ ¹ñ³ Ñ³ßíáõÙÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ Ñ³ÛïÝÇ »Õ³Ý³ÏÝ»ñáí (·ÉáõË 2, ·ÉáõË 5): ¸³ßïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ù»Ý³Ù»Í μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: ²Ûë ËñÃÇÝ Çñ³íÇ×³ÏÇÝ ÉáõÛë ¿ ë÷éáõÙ ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» d (a; b) ¨ d0 » d, ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ d0 (a; b): ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙª d (a; b) ¨ d0 (a; b), ³å³ d=d0 , d0 =d ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ (É»ÙÙ 19.7)ª d » d0 : ²ÛëåÇëáí, »Ã» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ù»Ý³Ù»Í μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ ³ÛÝ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Â»áñ»Ù 19.7 (¾. ÜÛáÃ»ñ): ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ï³ññ»ñ ûÅïí³Í »Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñáí, áñÁ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù K(+; ¢) ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 K ï³ññ»ñáí ÍÝí³Í ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª (a) + (b) = ¢; áñÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 19.5-Ç, ÏÉÇÝÇ Ç¹»³Éª ¢ E K: ø³ÝÇ áñ ¹Çï³ñÏíáÕ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ç¹»³É ·ÉË³íáñ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ d 2 K ï³ññ, áñ ¢ = (d), ³ÛëÇÝùÝª (a) + (b) = (d) : Ð³Ùá½í»Ýù, áñ ³Ûë Ó¨áí ÁÝïñí³Í d 2 K ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ: Æñáù, ù³ÝÇ áñ a 2 (a) μ (a) + (b) = (d) ¨ b 2 (b) μ (a) + (b) = (d);

³å³ a = dx ¨ b = dy, áñï»Õ x; y 2 K, ³ÛëÇÝùÝª d-Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» a=d0 ¨ b=d0 ,

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

áõëïÇ a = d0 s ¨ b = d0 t: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí d 2 (d) = (a) + (b) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª d = au + bv;

u; v 2 K :

àñï»ÕÇó, d = d0 su + d0 tv = d0 (su + tv) = d0 w;

w2K :

²ÛëåÇëáí, d ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ a ¨ b ï³ññ»ñÇ ¤ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ d0 ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.3: ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ a ¨ b ï³ññ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í d ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ûÕ³ÏÇ ³ÛÝåÇëÇ u ¨ v ï³ññ»ñ, áñ d = au + bv :

K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ (·ñíáõÙ) ¿ (a; b) = e, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y 2 K ï³ññ»ñ, áñ ax + by = e; áñï»Õ e-Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: Â»áñ»Ù 19.8: àñå»ë½Ç ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ûÕ³ÏÇ e ÙÇ³íáñÁ ÉÇÝÇ a ¨ b ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ, ³ÛëÇÝùÝ` e (a; b) :

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.1: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ï³ññÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ Ýñ³ b ¨ c ï³ññ»ñÇ Ñ»ï, ³å³ a-Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ Ý³¨ ¹ñ³Ýó b ¢ c ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.1-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.2: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ï³ññÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ Ýñ³ b1 ; b2 ; : : : ; bn ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï, ³å³ a-Ý ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ Ý³¨ ¹ñ³Ýó b1 ¢ b2 ¢ ¢ ¢ bn ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï, áñï»Õ n > 2:

²å³óáõóáõÙ: ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.3: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a1 ; a2 ; : : : ; an ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ Ýñ³ b1 ; b2 ; : : : ; bm ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï, ³å³ a1 a2 ¢ ¢ ¢ an ¨ b1 b2 ¢ ¢ ¢ bm ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½:

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.3-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.4: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ an ¨ bm ï³ññ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ª ó³ÝÏ³ó³Í n; m μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó, »Ã» a1 = a2 = ¢ ¢ ¢ = ¤ an = a ¨ b1 = b2 = ¢ ¢ ¢ = bm = b:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.5: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ¨ b ï³ññ»ñÇ a ¢ b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ c ï³ññÇ íñ³ ¨ a-Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿ c-Ç Ñ»ï, ³å³ b ï³ññÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ c-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.4-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.6: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a ï³ññÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ b ¨ c ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³, ³å³ a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ Ý³¨ ¹ñ³Ýó b ¢ c ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³: ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ í»ñç³íáñ Ãíáí ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 3.5-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.7 (âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù): ºÃ» K(+; ¢)-Á ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ , ÇëÏ a1 ; : : : ; an 2 K ï³ññ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 ; : : : ; xn 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï·ïÝíÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ, áñ x ´ x1 (mod a1 ); ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢

x ´ xn (mod an ) :

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 3.5-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿: ¤ Î³ë»Ýù, áñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ q 2 K ï³ññÁ Ýñ³ a; b 2 K ï³ññ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ ¿, »Ã» q=a ¨ q=b: ºí q 2 K ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ a; b 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ (Ï³Ù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ù»Ý³÷áùñ) μ³½Ù³å³ïÇÏ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ q [a; b], »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. 1’) q-Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿; 2’) a áõ b ï³ññ»ñÇ μáÉáñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÁ μ³Å³ÝíáõÙ »Ý q-Ç íñ³: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ í»ñç³íáñ Ãíáí ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ: ºÃ» q [a; b] ¨ q0 » q, ³å³ q 0 [a; b]: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙª q [a; b] ¨ q 0 [a; b], ³å³ q 0 » q: ²ÛëåÇëáí, »Ã» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ ³ÛÝ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Â»áñ»Ù 19.9: ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ñÏáõ a; b 2 K ï³ññ»ñ ûÅïí³Í »Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏáí, áñÁ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Àëï áñáõÙ, »Ã» d (a; b) (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 19.7 -Ç) ¨ a ¢ b = d ¢ q;

³å³ q [a; b] :

Ð»ï¨³μ³ñ a ¨ b ï³ññ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½áõ·áñ¹í³Í ¿ a ¢ b-Ç Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ (a) ¨ (b) ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ç¹»³É, Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ·ÉË³íáñ Ç¹»³Éª (a) \ (b) = (q);

q2K :

²Ûëï»ÕÇó μËáõÙ ¿, áñ q-Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ ¿: Æñáù, (q) μ (a) \ (b) Ý»ñ¹ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ q-Ý a áõ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ ¿, ÇëÏ (a) \ (b) μ (q) Ý»ñ¹ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ a áõ b ï³ññ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í q0 ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ q-Ç íñ³:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» a = 0 Ï³Ù b = 0, ³å³ 0-Ý ÏÉÇÝÇ Ýñ³Ýó ÙÇ³Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁª 0[0; 0] ¨ 0 = d ¢ 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ a ¢ b = d ¢ q, áñï»Õ q [a; b]: ¸Çóáõù a 6= 0, b 6= 0, d(a; b) ¨ ¹Çóáõù a ¢ b = d ¢ q, áñï»Õ q 2 K ¨ d 6= 0: ²å³óáõó»Ýù, áñ q[a; b]: ø³ÝÇ áñ K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ³é³Ýó ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ¿ ¨ a=d áõ b=d, ³å³ a ¢ b = d ¢ q Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ q=a ¨ q=b: úñÇÝ³Ï, a = d ¢ a0 å³ÛÙ³ÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª da0 b = dq, d(a0 b¡q) = 0, áñï»ÕÇó (ù³ÝÇ áñ d 6= 0)ª a0 b¡q = 0 ¨ a0 b = q: ²ÛëåÇëáí, q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ 1’) å³ÛÙ³ÝÁ: ØÝáõÙ ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ q ï³ññÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ý³¨ 2’) å³ÛÙ³ÝÇÝ: ¸Çóáõù fÁ a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª f = a ¢ s ¨ f = b ¢ t, áñï»Õ s; t 2 K: ø³ÝÇ áñ d = ax + by, x; y 2 K (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 19.3) ¨ a = d ¢ a0 , b = d ¢ b0 , áñï»Õ a0 ; b0 2 K, ³å³ d = da0 x + db0 y ¨ Ïñ×³ï»Éáí d 6= 0 ï³ññáí, Ïëï³Ý³Ýùª e = a0 x + b0 y; áñï»Õ e-Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿: ²ÛëåÇëáí, a0 ¨ b0 ï³ññ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½: ²ÛÝáõÑ»ï¨, a ¢ s = b ¢ t; d ¢ a0 ¢ s = d ¢ b0 ¢ t;

d 6= 0;

a ¢s = b ¢t

¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 19.5-Ç, s-Á Ïμ³Å³ÝíÇ b0 -Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª s = b0 ¢l, l 2 K: àõëïÇ, sd = lb0 d = l ¢ b, f ¢ d = (as)d = a(sd) = alb = ab¢l = dql ¨ f = q ¢ l, ³ÛëÇÝùÝª f =q: ¤ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ p 2 K ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ Ï³Ù ¿ ùëïñ»Ù³É (Áëï Ü. ´áõñμ³ÏÇÇ), »Ã» ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáíª ³) p 6= 0, μ) p ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿, ·) p ï³ññÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ p = a¢ b í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç a; b ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

úñÇÝ³Ï, ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z(+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ å³ñ½ ï³ññÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ýß³ÝÇ ×ßïáõÃÛ³Ùμ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ å³ñ½ ÃíÇ ·³Õ³÷³ñÇ Ñ»ï: ºÃ» p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Op (+; ¢) ûÕ³ÏÇ å³ñ½ ï³ññÁ, ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ. ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ Ãí»ñÇ Op (+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ å³ñ½ ï³ññ ½áõ·áñ¹í³Í ¿ p-Ç Ñ»ï (μËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 9.15-Çó): ¸³ßïÇ Ù»ç å³ñ½ ï³ññ»ñ ãÏ³Ý: ºÃ» P -Ý ¹³ßï ¿, ³å³ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ P [x] ûÕ³ÏáõÙ å³ñ½ ï³ññÇ ·³Õ³÷³ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·³Õ³÷³ñÇ Ñ»ï: È»ÙÙ 19.8: ºÃ» ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ p ï³ññÁ å³ñ½ ¿ , ³å³ Ýñ³ Ñ»ï ½áõ·áñ¹í³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ q ï³ññ ¨ë ÏÉÇÝÇ å³ñ½:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ q » p, ³å³ª q = p±, áñï»Õ p 6= 0, ± 6= 0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª q 6= 0: ºÃ» q ï³ññÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª p = q ¢ ± ¡1 , áñï»Õ ± ¢ ± ¡1 = e, ¨ p-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇª áñå»ë »ñÏáõ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ p-Ç ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» q = a ¢ b; áñï»Õ a ¨ b ï³ññ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã»Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, p± = a ¢ b Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª ¡ ¢ p = ± ¡1 a b;

áñï»Õ ± ¡1 a ¨ b ï³ññ»ñÁ ¨ë ÏÉÇÝ»Ý áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ p-Ç å³ñ½ ï³ññ ÉÇÝ»ÉáõÝ: ¤ È»ÙÙ 19.9: ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ a ï³ññÁ ãÇ μ³Å³ÝíÇ Ýñ³ p å³ñ½ ï³ññÇ íñ³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a ¨ p ï³ññ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: a ¨ p ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ (áñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 19.7-Ç) Ýß³Ý³Ï»Ýù d-áí: ø³ÝÇ áñ p = d ¢ l ï³ññÁ å³ñ½ ¿, ³å³ Ï³Ù d-Ý ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, Ï³Ùª l-Á; ê³Ï³ÛÝ »ñÏñáñ¹ ¹»åùÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ãÇ Ï³ñáÕ, áñáíÑ»ï¨ a=d ¨ d=p å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó ÏÑ»ï¨»ñ a=p ÷³ëïÁ, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: Ð»ï¨³μ³ñ, d-Ý ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¨ e (a; p): ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 19.8-Çó: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 19.10 (¾íÏÉÇ¹»ë): ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ a ¨ b ï³ññ»ñÇ a¢b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Ýñ³ p å³ñ½ ï³ññÇ íñ³ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a; b ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù a ¢ b=p, μ³Ûó a-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³: Àëï Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ a ¨ p ï³ññ»ñÁ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½, ³ÛëÇÝùÝª au + pv = e; àñï»ÕÇóª (ab)u + p(vb) = b ¤

¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, b=p:

²å³óáõóí³Í åÝ¹áõÙÁ ÙÝáõÙ ¿ áõÅÇ Ù»ç Ý³¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ ³å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí (ÇÝ¹áõÏóÇ³Ûáí): Â»áñ»Ù 19.11 (¾. ÜÛáÃ»ñ): ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí K(+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ

Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ³Ù»Ý ÙÇ ³×áÕ ßÕÃ³ª

(a1 ) μ (a2 ) μ ¢ ¢ ¢ μ (an ) μ : : :

ÁÝ¹Ñ³ïíáõÙ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ m Ñ³Ù³ñ, áñ (am ) = (am+1 ) = (am+2 ) = ¢ ¢ ¢

²å³óáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ¢ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ¢ = (a1 ) [ (a2 ) [ ¢ ¢ ¢ [ (an ) [ ¢ ¢ ¢ =

[

(ai )

i=1

¨ Ý³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ¢-Ý ëÏ½μÝ³Ï³Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ç¹»³ÉÝ ¿: Æñáù, »Ã» x; y 2 ¢ ¨ r 2 K, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ i ¨ j Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ x 2 (ai ) ¨ y 2 (aj ): ÀÝ¹ëÙÇÝ i 6 j ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª x; y 2 (aj ), ÇëÏ i > j ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª x; y 2 (ai ): ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª x ¡ y 2 (aj ), ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª x ¡ y 2 (ai ): ²ÛëåÇëáí, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙª x ¡ y 2 ¢: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, x ¢ r 2 (ai ) μ ¢: àõëïÇ ¢-Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ç¹»³ÉÝ ¿:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

ø³ÝÇ áñ K(+; ¢)-Á ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 K ï³ññ, áñ ¢ = (a): Ð»ï¨³μ³ñ, (a) =

[

(ai )

i=1

¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ m Ñ³Ù³ñ, áñ a 2 (am ), ³ÛëÇÝùÝª a=am , áñï»ÕÇó μËáõÙ ¿ (a) μ (am ) Ý»ñ¹ñáõÙÁ: ²ÛëåÇëáíª (a) = (am ) = ¤ (am+1 ) = ¢ ¢ ¢ :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.4: ºÃ» ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ ï³ññ»ñÇ a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : :

³Ýí»ñç Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ai =ai+1 Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ (i = 1; 2; : : :), ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ m Ñ³Ù³ñ, áñ am » am+1 » am+2 » ¢ ¢ ¢ ²å³óáõóáõÙ: îñí³Í å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ (a1 ) μ (a2 ) μ ¢ ¢ ¢ μ (an ) μ : : : ¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ m Ñ³Ù³ñ, áñ (am ) = (am+1 ) = (am+2 ) = ¢ ¢ ¢ : Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¤ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 19.2-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýùª am » am+1 » am+2 » ¢ ¢ ¢ : Â»áñ»Ù 19.12: ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Ýñ³ áñ¨¿ å³ñ½ ï³ññÇ íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åùª ³) a ï³ññÁ å³ñ½ ¿ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ýñ³ Ñ³Ù³ñ Ã»áñ»ÙÇ »½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ (a = a ¢ e); μ) a ï³ññÁ å³ñ½ ã¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ »ñÏáõ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª a = a1 ¢ b1 , áñï»Õ a1 6= 0, b1 6= 0: ºÃ» a1 ï³ññÁ ÉÇÝÇ å³ñ½, ³å³ Ã»áñ»ÙÁ ÏÉÇÝÇ ³å³óáõóí³Í, ÇëÏ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a1 = a2 ¢ b2 , áñï»Õ a2 6= 0, b2 6= 0 ï³ññ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã»Ý: ºÃ» a2 -Á ÉÇÝ»ñ å³ñ½, ³å³ åÝ¹áõÙÁ ÏÉÇÝ»ñ ³å³óáõóí³Í, ÇëÏ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a2 = a3 ¢b3 ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ²ÛÅÙ Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³Ûë ßÕÃ³Ý ³Ýí»ñçáñ»Ý ß³ñáõÝ³Ïí»É ãÇ Ï³ñáÕ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ n Ñ³Ù³ñ, áñ an = an+1 ¢ bn+1 ;

an+1 6= 0; bn+1 6= 0;

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç an+1 -Á å³ñ½ ï³ññ ¿: Æñáù, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, Ïëï³Ý³ÛÇÝù áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : : ³Ýí»ñç Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ a1 =a2 , a2 =a3 , : : : ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 19.3), ëÏë³Í áñ¨¿ m Ñ³Ù³ñÇó am » am+1 » am+2 » ¢ ¢ ¢ : ²ÛëåÇëáí, ÙÇ ÏáÕÙÇó am = am+1 ¢ ±, áñï»Õ ±-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇó am = am+1 ¢ bm+1 , áñï»Õ bm+1 -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ: ¤ Â»áñ»Ù 19.13 (¶³áõë): ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ:

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» a 6= 0 ¨ a-Ý áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p1 å³ñ½ ï³ññÇ íñ³ª a = p1 ¢ b1 , áñï»Õ b1 6= 0: ºÃ» b1 -Á ÉÇÝ»ñ Ý³¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ³å³ ÝáñÇó Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª b1 = p2 ¢ b2 , áñï»Õ p2 -Á å³ñ½ ¿, ÇëÏ b2 6= 0: ºÃ» b2 -Á ÉÇÝ»ñ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, ³å³ Ýñ³Ý ÝáõÛÝå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ï³ñ³ÉáõÍ»É Ñ³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí, ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ÆÝãå»ë ¨ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï, ¹Åí³ñ ã¿ ³ÛÅÙ Ñ³Ùá½í»É, áñ ³Ûë »ñ¨áõÛÃÁ ³Ýí»ñçáñ»Ý ß³ñáõÝ³Ïí»É ãÇ Ï³ñáÕ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ n Ñ³Ù³ñ, áñ bn = pn+1 ¢ bn+1 , áñï»Õ pn+1 -Á å³ñ½ ï³ññ ¿, ÇëÏ bn+1 6= 0 ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ²ÛëåÇëáíª a = p1 b = p1 p2 b = ¢ ¢ ¢ = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn+1 bn+1 = p1 p2 ¢ ¢ ¢ p¤n+1 ; áñï»Õ p¤n+1 = pn+1 ¢ bn+1 ï³ññÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 19.8-Ç, ¨ë ÏÉÇÝÇ å³ñ½, ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ ½áõ·áñ¹í³Í ¿ pn+1 å³ñ½ ï³ññÇ Ñ»ïª p¤n+1 » pn+1 : ¤

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Â»áñ»Ù 19.14: Â»áñ»Ù 19.13-áõÙ ³å³óáõóí³Í í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÛëÇÝùÝª »Ã» ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a ï³ññÁ ûÅïí³Í ¿ »ñÏáõ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ»ñáíª a = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn = q1 q2 ¢ ¢ ¢ qm ;

áñï»Õ pi ¨ qj ï³ññ»ñÁ å³ñ½ »Ý, ³å³ n = m ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ® : f1; 2; : : : ; ng ! f1; 2; : : : ; ng ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ pi » q®(i) , i = 1; 2; : : : ; n: ²å³óáõóáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù n > m, ³Û¹ ¹»åùáõÙ p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn = q1 q2 ¢ ¢ ¢ qm Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ (Ã»áñ»Ù 19.10), áñ qj ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ (¹Çóáõù q1 -Á) μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p1 å³ñ½ ï³ññÇ íñ³ª q1 =p1 : ´³Ûó ù³ÝÇ áñ q1 -Á ¨ë å³ñ½ ï³ññ ¿, ³å³ q1 = "1 ¢ p1 , áñï»Õ "1 -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, Ñ»ï¨³μ³ñª q1 » p1 : ú·ïí»Éáí q1 -Ç ëï³óí³Í Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýùª p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn = "1 p1 q2 ¢ ¢ ¢ qm ; áñï»ÕÇóª p2 ¢ ¢ ¢ pm = "1 q2 ¢ ¢ ¢ qm : êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó ³ÛÅÙ μËáõÙ ¿, áñ ÙÝ³ó³Í q ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ (¹Çóáõù q2 -Á) μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p2 -Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, q2 = "2 ¢ p2 , áñï»Õ "2 -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ²ÛÅÙ »ÉÝ»Éáí q2 -Ç ³Ûë Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁª p2 ¢ ¢ ¢ pm = "1 "2 p2 q3 ¢ ¢ ¢ qm ; áñï»ÕÇóª p3 ¢ ¢ ¢ pm = "1 "2 q3 ¢ ¢ ¢ qm , ¨ ³Ûëå»ë ß³ñáõÝ³Ï: ì»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá, Ç í»ñçá ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÇó Ï³ñï³ùëí»Ý μáÉáñ q ï³ññ»ñÁ ¨ Ï³é³ç³Ý³ pm+1 ¢ ¢ ¢ pn = "1 ¢ ¢ ¢ "m = ± Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ "1 ; : : : ; "m ï³ññ»ñÁ, ÇÝãå»ë ¨ Ýñ³Ýó ± ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, ÙÝ³ó³Í p å³ñ½¡ ï³ññ»ñÇó ¢Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: úñÇÝ³Ï, pm+1 pm+2 ¢ ¢ ¢ pn ± ¡1 = e: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³Ù³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ùÝÝ³ñÏíáõÙ ¿ Ý³¨ n < m ¹»åùÁ: ²ÛëåÇëáí, n = m ¨ Ã»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ¤ ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏáãíáõÙ ¿ ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ ³Û¹ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý (ï»ë Ã»áñ»Ù 19.14-Ç Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ): ²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï: ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï, áñÁ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï ã¿: úñÇÝ³Ï, ³ÙμáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Z[x] ûÕ³ÏÁ, Ï³Ù P ¹³ßïÇó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ¨ »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ P [x; y] ûÕ³ÏÁ ³Û¹åÇëÇÝ »Ý: ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏáãíáõÙ ¿ ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³Ï, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³Ï, áñÁ ë³Ï³ÛÝ ý³ÏïáñÇ³É ã¿: úñÇÝ³Ï, ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ hp i n o p Z i 5 = x + yi 5j x; y 2 Z ûÕ³ÏÁ ³Û¹åÇëÇÝ ¿:

Â»áñ»Ù 19.15: àñå»ë½Ç K(+; ¢) ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³ÏÁ ÉÇÝÇ ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ (áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ å³ÛÙ³Ý). »Ã» a ¢ b 2 K ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p 2 K å³ñ½ ï³ññÇ íñ³, ³å³ a; b 2 K ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù ab = pc, c 2 K ¨ ¹Çóáõùª a = p1 ¢ ¢ ¢ pk ;

b = q1 ¢ ¢ ¢ qs ;

c = t1 ¢ ¢ ¢ tl ;

áñï»Õ pi , qj ¨ tm ï³ññ»ñÁ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ å³ñ½ ï³ññ»ñÝ »Ý: ²ÛëåÇëáí, p1 ¢ ¢ ¢ pk ¢ q1 ¢ ¢ ¢ qs = p ¢ t1 ¢ ¢ ¢ tl

¨ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ý³ÏïáñÇ³ÉáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ i = 1; : : : ; k Ï³Ù j = 1; : : : ; s ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ p » pi Ï³Ù p » qj , ³ÛëÇÝùÝª pi =p Ï³Ù qj =p: Ð»ï¨³μ³ñ, a=p Ï³Ù b=p:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»Ýù K(+; ¢) ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³ÏÇ ý³ÏïáñÇ³ÉáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ a ¢ b=p ! a=p Ï³Ù b=p :

ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a ï³ññ ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¿ í»ñÉáõÍíáõÙ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáíª Áëï n μÝ³Ï³Ý ÃíÇ, áñï»Õ n-Á áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÇ áñ¨¿ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç »Õ³Í å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿: n = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨, »Ã» p = q1 ¢ ¢ ¢ qr ;

áñï»Õ r > 2 ¨ q1 ; : : : ; qr -Á å³ñ½ ï³ññ»ñ »Ý, ³å³ Áëï ïí³Í å³ÛÙ³ÝÇ, qj ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ (¹Çóáõù q1 -Á) Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª q1 = "1 ¢ p, áñï»Õ "1 -Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ (ù³ÝÇ áñ q1 -Á ¨ë å³ñ½ ¿): Ð»ï¨³μ³ñ, p = "1 pq2 ¢ ¢ ¢ qr ; Ïñ×³ï»Éáí p-áí, Ïëï³Ý³Ýùª

e = "1 q2 ¢ ¢ ¢ qr ;

³ÛëÇÝùÝª ÙÝ³ó³Í qj å³ñ½ ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ¹³éÝáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛëåÇëáí, r = 1: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» μáÉáñ ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÁ, áñáÝó áñ¨¿ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Ù³ëÝ³ÏóáõÙ »Ý n-Çó ùÇã Ãíáí å³ñ½ ï³ññ»ñ, ûÅïí³Í »Ý ½áõ·áñ¹Ù³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùμ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùμ: ²å³óáõó»Ýù ³Ûë åÝ¹áõÙÁ μáÉáñ ³ÛÝ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó áñ¨¿ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Ù³ëÝ³ÏóáõÙ »Ý n Ãíáí å³ñ½ ï³ññ»ñ: ¸Çóáõùª a = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn = q1 q2 ¢ ¢ ¢ qm ;

m > n;

áñï»Õ pi ¨ qj ï³ññ»ñÁ å³ñ½ »Ý: Â»áñ»ÙáõÙ ïí³Í å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿, áñ qj ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ (¹Çóáõù qm -Á) μ³Å³ÝíáõÙ ¿ pn -Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª qm = " ¢ pn , áñï»Õ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁª p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn¡1 = " ¢ q1 q2 ¢ ¢ ¢ qm¡1 = q1¤ q2 ¢ ¢ ¢ qm¡1 ;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¨ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ýª m¡1 = n¡1, áñï»ÕÇó m = n ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý å³ñ½ ï³ññ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ½áõ·áñ¹í³Í: ¤ ºÃ» K(+; ¢)-Á ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï ¿, ³å³ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a 2 K ï³ññ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇª a = p1 p2 ¢ ¢ ¢ pn : Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëáõÙ ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ÉÇÝ»Ý ½áõ·áñ¹í³Í ï³ññ»ñ: ¸Çóáõù ëÏ½μÇ s ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ½áõ·áñ¹í³Í ã»Ý, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í å³ñ½ ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ½áõ·áñ¹í³Í ¿ ëÏ½μÇ s å³ñ½ ï³ññ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ñ»ïª pi = "i;j pj ; áñï»Õ i 2 fs + 1; : : : ; ng, j 2 f1; : : : ; sg, ÇëÏ si;j -Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ: Î³ï³ñ»Éáí ³Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáí ïñí³Í ps+1 ; : : : ; pn ï³ññ»ñÇ ÷áË³ñÇÝáõÙÝ»ñÁ, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù a ï³ññÇ

Ñ»ï¨Û³É Ý»ñÏ³Û³óÝ³ÙÁª

a = "pk11 ¢ ¢ ¢ pks s ; áñï»Õ k1 > 0; : : : ; ks > 0, ÇëÏ s-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ ¿: ²Ûë Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ý»ñÏ³Û³óáõÙ (í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ): ê³Ï³ÛÝ Ñ³×³Ë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ ¹Çï³ñÏ»É a = "pk11 ¢ ¢ ¢ pkt t

ï»ëùÇ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ, áñï»Õ k1 > 0; : : : ; kt > 0, "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ÇëÏ p1 ; : : : ; pt å³ñ½ ï³ññ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ½áõ·áñ¹í³Í ã»Ý: ²Ûë Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ a-Ç ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ý»ñÏ³Û³óáõÙ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ åÝ¹»É, áñ K(+; ¢) ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ ûÅïí³Í ¿ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ùμ, áñáíÑ»ï¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ ûÅïí³Í ¿ ³Û¹åÇëÇ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ùμª " = " ¢ p01 ¢ ¢ ¢ p0t : ²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» K(+; ¢) ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏÇ a; b 2 K áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÁ ûÅïí³Í »Ý a = "pk11 ¢ ¢ ¢ pkt t

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

¨ b = ±pl11 ¢ ¢ ¢ pltt ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñáí (áñáÝó Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ëÝ»É ³í»É³óÝ»Éáí å³ñ½ ï³ññ»ñÁ ½ñáÛ³Ï³Ý ³ëïÇ×³ÝÝ»ñáí), ³å³ 1) a=b Ã! li 6 ki , i = 1; 2; : : : ; t; 2) ps11 ¢ ¢ ¢ pst t (a; b), áñï»Õ si = minfki ; li g, i = 1; 2; : : : ; t; 3) pr11 ¢ ¢ ¢ prt t [a; b], áñï»Õ ri = maxfki ; li g, i = 1; 2; : : : ; t: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñ ûÅïí³Í »Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñáí ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏáí: ê³Ï³ÛÝ ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³ÏÝ»ñÁ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ p 5] ã»Ý ûÅïí³Í: úñÇÝ³Ï, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ í»ñáÑÇßÛ³É Z[i p ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³ÏáõÙ a = 9 ¨ b = 3(2 + i 5) ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³Ýó μáÉáñ p ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ »Ýª §1, §3, §(2 + i 5) ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÁ ¨ ëñ³Ýó Ù»ç ãÏ³ Ù»ÏÁ, áñ μ³Å³ÝíÇ ÙÛáõëÝ»ñÇ íñ³: Â»áñ»Ù 19.16 (ä³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ¾íÏÉÇ¹»ëÇ Ã»áñ»ÙÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ): ºÃ» K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¹³ßï ã¿ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ ã¿ ), Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ μ³Å³ÝíáõÙ ¿ Çñ áñ¨¿ å³ñ½ ï³ññÇ íñ³ ¨ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ K ¤ (¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù K ¤ [ f0g μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ K(+) ËÙμÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿ , ³å³ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í μáÉáñ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ïí³Í K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ï³ñÏ ã¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ïí³Í ûÕ³ÏáõÙ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í μáÉáñ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ ¹Çóáõù ¹ñ³Ýù »Ýª p1 ; : : : ; ps : 1) ¸Çóáõù K ¤ (¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ ¨ jK ¤ j = n: ê³ÑÙ³Ý»Ýù Ñ»ï¨Û³É n + 1 Ñ³ï ï³ññ»ñÁª qi = (p1 ¢ ¢ ¢ ps )i ¡ e;

i = 1; : : : ; n + 1 :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ºÃ» áñ¨¿ i ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñ qi = 0, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù (p1 ¢ ¢ ¢ ps )i = e, áñï»ÕÇóª pj ¢ u = e, ³ÛëÇÝùÝª pj å³ñ½ ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ å³ñ½ ï³ññÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, qi 6= 0, áñï»Õ i = 1; : : : ; n + 1: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ μáÉáñ qi ï³ññ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÉÇÝ»É ã»Ý Ï³ñáÕ: Æñáù, ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n-Ç, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ 1 6 t < l 6 n + 1, áñ ql = qt : àñï»ÕÇó ÏáõÝ»Ý³Ýù (p1 ¢ ¢ ¢ ps )l¡t = e, ³ÛëÇÝùÝª pj å³ñ½ ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: àõëïÇ, q1 ; : : : ; qn+1 , ï³ññ»ñÇ ß³ñùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ áñ¨¿ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¨ áã ½ñáÛ³Ï³Ý qj ï³ññ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ, qj ï³ññÁ Ïμ³Å³ÝíÇ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ áñ¨¿ å³ñ½ ï³ññÇ íñ³: ºÃ» pÝ ³Û¹ å³ñ½ ï³ññÝ ¿, ³å³ å³ñ½íáõÙ ¿ p 6» pi , i = 1; : : : ; s: Æñáù, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, »Ã» áñ¨¿ i ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñª p » pi , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª p = pi ", " 2 K ¤ , qj = px = pi "x, x 2 K ¨ qj = (p1 ¢ ¢ ¢ ps )j ¡ e = pi "x; (p1 ¢ ¢ ¢ ps )j ¡ pi "x = e; pi ¢ y = e;

y 2 K;

³ÛëÇÝùÝª pi å³ñ½ ï³ññÁ ¹³éÝáõÙ ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëáí, »Ã» K ¤ (¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ Ã»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: 2) ¸Çóáõù K ¤ [ f0g μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ K(+) ËÙμÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª K ¤ [ f0g μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÝáñÇó å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: ÆÝãå»ë ¨ Ý³Ëáñ¹ ¹»åùáõÙª q1 6= 0: ÜÏ³ï»Ýù, áñ q1 -Á Ý³¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿, ³ÛëÇÝùÝª q1 2 = K ¤, ¤ áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù q1 +e 2 K [f0g: Ð»ï¨³μ³ñ q1 + e = (p1 ¢ ¢ ¢ ps ¡ e) + e = p1 ¢ ¢ ¢ ps 6= 0 ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, áñï»ÕÇó μËáõÙ ¿ Ý³¨ p1 ; : : : ; ps å³ñ½ ï³ññ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÉÇÝ»ÉÁ: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: àõëïÇ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇª q1 -Á ÏáõÝ»Ý³ áñ¨¿ p å³ñ½ μ³Å³Ý³ñ³ñ, áñÇ Ñ³Ù³ñ, ÇÝãå»ë ¨ Ý³Ëáñ¹ ¹»åùáõÙ, ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ p 6» pi , i = 1; : : : ; s: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.5: ºÃ» ¹³ßïÇó ï³ñμ»ñ ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë ý³ÏïáñÇ³É) K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

K ¤ (¢) ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù K ¤ [ f0g μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ K(+) ËÙμÇ »ÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμÝ ¿ , ³å³ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í μáÉáñ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿ : ¤ ¸»é¨ë å³ñ½ ã¿, Ã» ÇÝã Ï³ñ»ÉÇ åÝ¹»É ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³ÏÇ ã½áõ·áñ¹í³Í å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÇ í»ñ³μ»ñÛ³É, »Ã» ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ áã Ã» í»ñç³íáñ ¿, ³ÛÉ å³ñμ»ñ³Ï³Ý ¿ Ï³Ù p-ËáõÙμ ¿: ØÇÝã ³ÛÅÙ ãÇ Ñ³ÛïÝ³μ»ñí³Í Ý³¨ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ μ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ (·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ, ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ Ï³Ù ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏÇ) ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í å³ñ½ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ³Ýí»ñç ¿:

19.4. ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ ê³ÑÙ³Ý»Ýù ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñÇ ÙÇ Ï³ñ¨áñ ¹³ë, áñÇ ÑÇÙùáõÙ ÁÝÏ³Í ¿ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ: K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý Ï³Ù ¾íÏÉÇ¹»ëÛ³Ý ûÕ³Ï, »Ã» Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ± : K n f0g ! N [ f0g ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ ³ÛÝå»ë, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. E1) ±(ab) > ±(a) μáÉáñ a; b 2 K, a 6= 0, b 6= 0 ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; E2) ò³ÝÏ³ó³Í a; b 2 K, b 6= 0 ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ q; r 2 K ï³ññ»ñ, áñ a = bq + r; áñï»Õ Ï³Ù r = 0 Ï³Ù ±(r) < ±(b): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ± ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ K(+; ¢) (¾íÏÉÇ¹Û³Ý) ûÕ³ÏÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙ: úÕ³ÏÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÁ E1) ¨ E2) ³ùëÇáÙÝ»ñáí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ: úñÇÝ³Ï, »Ã» ±-Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÝ ¿, ÇëÏ n 2 N, ³å³ ±n (x) = n¢±(x) ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ÏÉÇÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ: Ð³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: K(+; ¢) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ±0 : K n f0g ! N [ f0g ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇÝÇÙ³É, »Ã» ³Û¹ ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í ± : K n f0g ! N [ f0g ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÇ Ñ³Ù³ñª ±0 (x) 6 ±(x) Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 K n f0g

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ï³ññÇ ¹»åùáõÙ: Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É (ï»ë ·ÉËÇ í»ñçáõÙ ½»ï»Õí³Í 9-ñ¹ ËÝ¹ÇñÁ), áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï ûÅïí³Í ¿ ÙÇÝÇÙ³É ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙáí: ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñÇ ¹³ë³Ï³Ý ûñÇÝ³ÏÝ»ñ »Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z(+; ¢) ¨ (¹³ßïÇó í»ñóí³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí) Ù»Ï ÷á÷áË³Ï³ÝÇó Ï³Ëí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÝ»ñÁ: ²é³çÇÝ ûñÇÝ³ÏáõÙ áñå»ë ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ³ÙμáÕç ÃíÇ Ùá¹áõÉÁ (ï»ë Ã»áñ»Ù 1.1-Á), Ï³Ùª ³Û¹ Ùá¹áõÉÇ 2-³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ áõÝ»ó³Í Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ (Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 1.3): ºñÏñáñ¹ ûñÇÝ³ÏáõÙ áñå»ë ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É áã ½ñáÛ³Ï³Ý μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ: Â»áñ»Ù 19.17: ´áÉáñ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñ, Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï ¿ª ± ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙáí, ¢ E K ¨ ¢ 6= (0): ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» áã ½ñáÛ³Ï³Ý a¢ 2 ¢ ï³ññÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý x 2 ¢ ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ±(a¢ ) 6 ±(x) (a¢ ï³ññÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ ÑÝ³ñ³íáñ ¿, áñáíÑ»ï¨ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ f±(x)j x 2 ¢; x 6= 0g μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ): ²å³óáõó»Ýù ¢ = (a¢ ) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ (a¢ ) μ ¢ Ý»ñ¹ñáõÙÝ ³ÏÝ»ñ¨ ¿, ÙÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É ¢ μ (a¢ ) Ý»ñ¹ñáõÙÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 ¢ ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ q; r 2 K ï³ññ»ñ, áñ x = a¢ q + r, áñï»Õ Ï³Ù r = 0 Ï³Ù ±(r) < ±(a¢ ): ºÃ» r 6= 0, ³å³ ±(r) < ±(a¢ ) ¨ r = x ¡ a¢ q 2 ¢, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ a¢ ï³ññÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ: àõëïÇ, r = 0, x = a¢ q ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª ¢ μ (a¢ ): ¤ ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï, áñÁ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ã¿ (T. S. Motzkin, ì. È»ÙÉ»ÛÝ): úñÇÝ³Ï, ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ) ( p ¯ p x + yi 19 ¯¯ x-y /2 D[i 19] = ¯ x; y 2 Z; ¯

ûÕ³ÏÁ ³Û¹åÇëÇÝ ¿: ø³ÝÇ áñ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 19.7-Ç ¨ Ã»áñ»Ù 19.9-Ç, ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

ÝáõÛÝÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ Ý³¨ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñÇÝ: ê³Ï³ÛÝ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ, Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ÙÛáõë ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñÇ, ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É (áñáß»É) ¾íÏÉÇ¹Çó »ÏáÕ ³É·áñÇÃÙáí: ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»Éª a = q1 b + r1 ;

»Ã» r1 6= 0; ³å³

b = q 2 r1 + r2 ;

»Ã» r2 6= 0; ³å³

r1 = q 3 r2 + r3 ;

»Ã» r3 6= 0; ³å³

ì»ñç³íáñ Ãíáí ù³ÛÉ»ñÇó Ñ»ïá, ÏáõÝ»Ý³Ýùª rk¡1 = qk+1 rk + rk+1 ;

áñï»Õ rk+1 = 0;

ù³ÝÇ áñ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ï³é³ç³Ý³ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª '(b) > '(r1 ) > '(r2 ) > : : : ; áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙÁ: ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ½ñáÛ³Ï³Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª rk (a; b) :

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ rk -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ a ¨ b ï³ññ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ, ù³ÝÇ áñª rk¡1 =rk ! rk¡2 =rk ! ¢ ¢ ¢ ! r1 =rk ! b=rk ! a=rk : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» d-Ý a ¨ b ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, ³å³ª a=d; b=d ! r1 =d ! r2 =d ! ¢ ¢ ¢ ! rk¡1 =d ! rk =d : ²ÛëåÇëáí, rk (a; b) : ²å³óáõó»Ýù K(+; ¢) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ± ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñï»Õ §»¦-Á ½áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 19.18: 1) ºÃ» c » a ¨ a 6= 0, ³å³ c 6= 0 ¨ ±(c) = ±(a); 2) ºÃ» c=a ¨ ±(c) = ±(a), c 6= 0, a 6= 0, ³å³ c » a; 3) ±(c) = ±(e) Ã! c-Ý ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ ¿ , áñï»Õ e-Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿ ; 4) ºÃ» c=a ¨ c 6» a, ³å³ ±(c) > ±(a); 5) ºÃ» "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ ±(") = ±1 , áñï»Õ ±1 -Á ± ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª ±1 = minf±(x)j x 2 K; x 6= 0g; 6) ºÃ» c-Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ ¨ c 6= 0, ³å³ ±(c) > ±1 ; 7) ºÃ» ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ, ³å³ Ýñ³ ± ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ¿ ; 8) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ± : K n f0g ! N [ f0g ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ μáÉáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý í»ñç³íáñ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: 1) ø³ÝÇ áñ c » a, ³å³ c = a ¢ " ¨ a = c ¢ "¡1 , áñï»Õ "Á ¹Çï³ñÏíáÕ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÝ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ,

¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý E1) ³ùëÇáÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

±(c) = ±(a ¢ ") > ±(a); ±(a) = ±(c ¢ "¡1 ) > ±(c)

¨ ±(c) = ±(a): 2) ºÃ» c=a, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t 2 K, áñ c = at: ¸Çóáõù c 6= 0 ¨ a = cq + r, áñï»Õ r 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ±(r) < ±(c) = ±(a), r = a¡cq = a¡atq = a(e¡tq) ¨ E1) ³ùëÇáÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ±(r) > ±(a): êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ r = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É É»ÙÙ 18.7-Çó: 3) ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ 2) -Çó, »ñμ a = e: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ 1)-Çó, »ñμ a = e: 4) ´ËáõÙ ¿ 2)-Çó ¨ E1) ³ùëÇáÙÇó: 5) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ¡ ¡1 k¢ 2 K, áñ ±(k) = ±1 : ø³ÝÇ áñ "Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ ¨ k = " " k , ³å³ E1)-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ±(k) > ±("), ³ÛëÇÝùÝª ±1 > ±(") ¨ ±1 -Ç ÙÇÝÇÙ³ÉáõÃÛáõÝÇó μËáõÙ ¿ ±1 = ±(") Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

6) ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ ±(c) = ±1 , c 6= 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ý³Ëáñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, ±(c) = ±("), áñï»Õ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ±(c) = ±(e) ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 3)-Çª c-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: 7) ¸Çóáõù a-Ý ¹Çï³ñÏíáÕ K(+; ¢) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÝ ¿: Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 4)-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ±(a) < ±(a2 ) < ±(a3 ) < ¢ ¢ ¢ < ±(an ) < ¢ ¢ ¢ 8) ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ´ËáõÙ ¿ 1)-Çó: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý x ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ 5)-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝª ±(x) = ±1 = ±(y), ³ÛëÇÝùÝª ûÕ³ÏÇ μáÉáñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý ± ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏÇ ÙÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë, áñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝ»Éáí ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËÙμÇ Ñ»ï, ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ: ÆëÏ »Ã» ¹Çï³ñÏíáÕ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ, ³å³ 7)-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ± ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ³Ýí»ñç: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ± ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý³Ë ¹³ë³íáñ»Ýù ³×Ù³Ý Ï³ñ·áíª ±1 < ±2 < ¢ ¢ ¢ < ±n < ¢ ¢ ¢ ¨ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõó»Ýù, áñ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ μáÉáñ ³ÛÝ x 6= 0 ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ±(x) 6 ±n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ: Æñáù, n = 1 ¹»åùáõÙ åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý ×Çßï ¿, áñáíÑ»ï¨ ±(x) 6 ±1 å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μáÉáñ x 6= 0 ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï, áñÁ Áëï å³ÛÙ³ÝÇ í»ñç³íáñ ¿: ºÝÃ³¹ñ»Éáí åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ±(x) 6 ±n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³óáõó»Ýù ³ÛÝ ±(x) 6 ±n+1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ¹»åùõÙ: ¸Çóáõù ±(x) 6 ±n+1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ãíáí (ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ) x1 ; x2 ; : : : ; xm ; : : : ï³ññ»ñ: ø³ÝÇ áñ ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ÝÃ³¹ñ»É, áñ ³Ûë Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

μáÉáñ ï³ññ»ñÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã»Ý (Ý³Ë³å»ë çÝç»Éáí μáÉáñ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇÝ»ñÁ): ¸Çóáõù ûÕ³ÏÇ a 6= 0 ï³ññÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ±(a) > ±n+1 > ±1 å³ÛÙ³ÝÇÝ ¨ a = xm qm + rm ;

m 2 N;

áñï»Õ Ï³Ù rm = 0 Ï³Ù ±(rm ) < ±(xm ) 6 ±n+1 , Ñ»ï¨³μ³ñ Ï³Ù rm = 0 Ï³Ù ±(rm ) 6 ±n : Ð³Ù³Ó³ÛÝ í»ñÑ³Ý·Ù³Ý »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí rm ï³ññ»ñ, áñ ±(rm ) 6 ±n : ÐÝ³ñ³íáñ »Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ¹»åù»ñÁ. ³) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí m 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ rm = 0, ¨ μ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý í»ñç³íáñ Ãíáí m 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ rm = 0: ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ fxm g Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ ³Ýí»ñç fxms g »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª rms = r 6= 0, s 2 N: ²ÛëåÇëáí, ÏáõÝ»Ý³Ýù a ¡ r 6= 0 (áñáíÑ»ï¨ ±(a) 6= ±(r)), a ¡ r = xm1 qm1 = xm2 qm2 = ¢ ¢ ¢ = xms qms = ¢ ¢ ¢ ; áñï»ÕÇóª ±(a ¡ r) > ±(xm1 ) > ±1 ¨ a ¡ r ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ã¿ (μËáõÙ ¿ 3) ¨ 5) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó): Ð»ï¨³μ³ñ, ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ a ¡ r áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù ³Ýí»ñç Ãíáí xm1 ; xm2 ; : : : ; xms ; : : : μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ í»ñç³íáñ ËáõÙμ áõÝ»óáÕ ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏáõÙ, áñáíÑ»ï¨ ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³ÏáõÙª a ¡ r = " ¢ pk1 1 ¢ ¢ ¢ pkt t ; áñï»Õ "-Á ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ ¿, ÇëÏ p1 ; : : : ; pt ï³ññ»ñÁ å³ñ½ »Ý (¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í), áõëïÇ a ¡ r ï³ññÇ μáÉáñ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ: ²í»ÉÇ ×Çßï, ³Û¹ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñª ¿ (a ¡ r) = l(k1 + 1) ¢ ¢ ¢ (kt + 1); áñï»Õ l-Á ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ ¿: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ÜáõÛÝ Ó¨áí, Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ý »Ýù Ñ³Ý·áõÙ Ý³¨ ³) ¹»åùáõÙ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ³Ýí»ñç Ãíáí μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³ÝÝ »Ýù Ñ³Ý·áõÙ

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a 6= 0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ (áñáíÑ»ï¨ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a = ¤ xmt qmt , t 2 N), áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ¹Çï³ñÏíáÕ ûÕ³ÏáõÙ:

19.5. Âí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ: ü»ñÙ³ÛÇ ¨ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ: úÕ³ÏÝ»ñÇ íñ³ áñáßí³Í ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ Ï³Ýí³Ý»Ýù Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ±½ñáÛ³Ï³Ý m 2 K ï³ññáí ÍÝí³Í (m) ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÇ Ñ³Ù³ñ K (m) = fx + (m)j x 2 Kg ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿: úñÇÝ³Ï, Z ûÕ³ÏÁ ¨ ¹³ßï»ñÁ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ å³ñ½³·áõÛÝ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ »Ý: Â»áñ»Ù 19.19: ºÃ» ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ í»ñç³íáñ ¿ , ³å³ ³ÛÝ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ± ¨ ± ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙáí ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï ¿, m 2 K, m 6= 0 ¨ K (m) = fx + (m)j x 2 Kg: ºÃ» [x] = x + (m), [x] 6= [0] ¨ ±(x) > ±(m), ³å³ x = mq + r; áñï»Õ r = x ¡ mq 2 [x], r 6= 0 ¨ ±(r) < ±(m): Ð»ï¨³μ³ñ, [r] = [x] ¨ ± K (m) = fr + (m)j r 2 K; ±(r) < ±(m)g [ f0 + (m)g :

ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 19.18-Ç Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8)-Çó, áñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ K(+; ¢) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ μáÉáñ ³ÛÝ r ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ±(r) < ±(m), ÏÉÇÝÇ Ï³Ù í»ñç³íáñ Ï³Ù ¹³ï³ñÏ (»Ã» m-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿): ¤

úñÇÝ³Ï, í»ñç³íáñ P (+; ¢) ¹³ßïÇó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ¨ Ù»Ï ÷á÷áË³Ï³ÝÇó Ï³Ëí³Í P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï: ÀÝ¹ áñáõÙ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ nñ¹ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ f 2 P [x], f 6= 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ¯ ³ëïÇ×³ÝÇ . ¯ ¯ ¯ P [x ] n ¯ (f )¯ = q , áñï»Õ q = jP j (μËáõÙ ¿ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý Ã»áñ»ÙÇó):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ¨ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï, áñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμÁ ³Ýí»ñç ¿: úñÇÝ³Ï, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ hp i n o p ¯¯ Z 2 = x + y 2¯ x; y 2 Z

¯ ¯ ¡ p ¢ ûÕ³ÏÁ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ¿, ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ¿ª ± x + y 2 = ¯x2 ¡ 2y 2 ¯ p ¢m ¡ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙáí ¨ áñÇ 1 + 2 , m 2 Z ï³ññ»ñÁ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ »Ý (Ð. Ð³ëë»): ê³Ï³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ý³¨ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ, áñáÝù Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ ã»Ý (ûñÇÝ³Ï, ³Ýí»ñç P (+; ¢) ¹³ßïÇó í»ñóñ³Í ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ¨ Ù»Ï ÷á÷áË³Ï³ÝÇó Ï³Ëí³Í μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ P [x] ûÕ³ÏÁ): ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿; ø³ÝÇ áñ ±Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ m 2 K, m 6= 0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý K (m) ù³Ýáñ¹ûÕ³ÏÁ í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ë³ÑÙ³Ý»Éáíª ¯ ± ¯ º(m) = ¯ K (m)¯ ;

ëï³ÝáõÙ »Ýù º : K n f0g ! N ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ü»ñÙ³ÛÇ ýáõÝÏóÇ³: »Ã» m = " 2 K ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, ³å³ (m) = K, ¯ ± úñÇÝ³Ï, ¯ ¯ K (m)¯ = 1 ¨ º(m) = 1: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» K(+; ¢)-Á ¹³ßï ¿, ³å³ º(m) = 1 μáÉáñ m 2 K, m 6= 0 ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñª (m) = (¡m) ¨ º(m) = jmj:

Â»áñ»Ù 19.20: K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ü»ñÙ³ÛÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇáíÇÝ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝª º(a ¢ b) = º(a) ¢ º(b)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ½ñáÛ³Ï³Ý a; b 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë º (an ) = (ºa)n , n 2 N: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ»

± K (a) = fx + (a)j x 2 Kg

ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ¨ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ x + (a) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇó Ù»Ï³Ï³Ý í»ñóñ³Í ï³ññ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ³Ýí³Ý»Ýù K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ÉñÇí Ñ³Ù³Ï³ñ· Áëï a Ñ»ÝùÇ

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

¨ ±Ýß³Ý³Ï»Ýù K(mod a)-áí, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª º(a) = jK(mod a)j, K (a) = fx + (a)j x 2 K(mod a)g, K=

[

x + (a) :

x2K(mod a)

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ t 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 K(mod b), áñ t 2 y + (b), ³ÛëÇÝùÝª t = y + bz, z 2 K: Ð»ï¨³μ³ñ, x + (a) = fx + atj t 2 Kg = fx + ay + abzj y 2 K(mod b); z 2 Kg = [ fx + ayg + (ab) = y2K(mod b)

[

x + (a) =

x2K(mod a)

[

x2K(mod a)

[

x 2 K(mod a) y 2 K(mod b)

[

y2K(mod b)

fx + ayg + (ab)A =

fx + ayg + (ab);

³ÛëÇÝùÝª ± K (ab) = ffx + ayg + (ab)j x 2 K(mod a); y 2 K(mod b)g ;

áñï»Õ, »Ã» x + ay ´ x0 + ay 0 (mod ab), ³å³ x = x0 ¨ y = y 0 : Æñáù, »Ã» x + ay ´ x0 + ay 0 (mod ab) ¨ x 6= x0 , ³å³ x + ay ¡ (x0 + ay 0 ) = ab ¢ q;

q 2 K;

x ¡ x0 = ay 0 ¡ ay + abq = a ¢ l;

x ´ x (mod a);

l 2 K;

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ x; x0 2 K(mod a) å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, x = x0 : ºÃ» ³ÛÅÙ y 6= y 0 , ³å³ û·ïí»Éáí x = x0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ÝáñÇó Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ýª x + ay ¡ (x0 + ay 0 ) = ab ¢ q;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

a (y 0 ¡ y) = ab ¢ q;

y ¡ y 0 = b ¢ q;

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ y; y0 2 K(mod b) ï³ññ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáíª K(mod ab) = fx + ayj x 2 K(mod a); y 2 K(mod b)g ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª jK(mod ab)j = jfx + ayj x 2 K(mod a); y 2 K(mod b)gj = = jf(x; y)j x 2 K(mod a); y 2 K(mod b)gj = jK(mod a)j ¢ jK(mod b)j ;

³ÛëÇÝùÝª

º(a ¢ b) = º(a) ¢ º(b) :

ºÃ» K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a; m 2 K ï³ññ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª e = (a; m), ³å³ e = (a + mt; m) Ï³Ù³Û³Ï³Ý t 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ »Ã» ax+my = e, x; y 2 K, ³å³ ax + mtx ¡ mtx + my = e; (a + mt)x + m(y ¡ tx) = e :

Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» e = (a; m) ¨ x ´ a(mod m), ³å³ e = (x; a): ²Û¹ å³ï×³éáí, ûÕ³ÏÇ [a] ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ëÁ ¨ë ÏáãíáõÙ ¿ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ m-Ç Ñ»ï: Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí Ý³¨ [a] = a + (m) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ·³Õ³÷³ñÇÝ: ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, m 2 K, m 6= 0 ¨ ± K (m) = fx + (m)j x 2 Kg : ± ê³ÑÙ³Ý»Éáí '(m)-Á Ñ³í³ë³ñ K (m) ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÇ μáÉáñ ³ÛÝ [x] = x+ (m) Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÇ ÃíÇÝ, áñáÝù ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý m-Ç Ñ»ï, ëï³ÝáõÙ »Ýù ' : K n f0g ! N ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³: úñÇÝ³Ï, ¹³ßïÇ ¹»åùáõÙ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ü»ñÙ³ÛÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ïª '(m) = 1, m 6= 0, ÇëÏ Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ¹»åùáõÙ '(m)-Á Ñ³í³ë³ñ ¿ ¾ÛÉ»ñÇ N ! N ëáíáñ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ (·ÉáõË 9) ³ñÅ»ùÇÝ jmj-Ç íñ³: ºÃ» ¹Çï³ñÏíáÕ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ m 6= 0 ï³ññÇ

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Ñ»ï ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¨ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ μáÉáñ Ñ³ñ³ÏÇó ¹³ë»ñÝ »Ýª ¤ £ [x1 ] = x1 + (m); : : : ; x'(m) = x'(m) + (m);

³å³ ³Ûë ¹³ë»ñÇó Ù»Ï³Ï³Ý í»ñóí³Í ï³ññ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ μ»ñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ· Áëï m Ñ»ÝùÇ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ K ¤ (mod m)-áí: àõëïÇª '(m) = jK ¤ (mod m)j : Â»áñ»Ù 19.21: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¿ , ³ÛëÇÝùÝªª '(a ¢ b) = '(a) ¢ '(b);

áñï»Õ a; b 2 K áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý:

²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù, K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñª [ [ fx + ayg + (ab) = fbx + ayg + (ab); K= x 2 K(mod a) y 2 K(mod b)

x 2 K(mod a) y 2 K(mod b)

ºñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ³Ûëï»Õ ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÛÝ å³ï×³éáí, áñ »Ã» x-Á ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ÉñÇí Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç μáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (Áëï a Ñ»ÝùÇ), ³å³ bx ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ÝáñÇó ÏÏ³½Ù»Ý ÙÝ³óùÝ»ñÇ ÉñÇí Ñ³Ù³Ï³ñ· (Áëï ÝáõÛÝ Ñ»ÝùÇ): Æñáù, »Ã» x 6´ x0 (mod a), ³å³ bx 6´ bx0 (mod a), áñáíÑ»ï¨ Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝùª bx ¡ bx0 = at;

t 2 K;

b(x ¡ x0 ) = at

¨ ù³ÝÇ áñ a; b ï³ññ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ x ¡ x0 ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝÁ Ïμ³Å³ÝíÇ a-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª x ´ x0 (mod a): Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ëïáõ·íáõÙ ¿ Ý³¨, áñ ûÕ³ÏÇ bx + ay ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ab ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ a; x ¨ b; y ½áõÛ·»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ýª e = (bx + ay; ab) Ã! e = (a; x); e = (b; y) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Æñáù, »Ã» e = (bx + ay; ab), ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ³ÛÝåÇëÇ s; t 2 K ï³ññ»ñ, áñ (bx + ay)s + abt = e; ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª x(bs) + a(bt + ys) = e; y(as) + b(at + xs) = e; ³ÛëÇÝùÝª (a; x) = e ¨ (b; y) = e: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» (a; x) = e ¨ (b; y) = e, ³å³ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 19.1) (a; xb) = e ¨ (b; ay) = e, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ u; v; u0 ; v 0 2 K ï³ññ»ñ, áñ au + xbv = e; bu0 + ayv 0 = e; ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, a(u ¡ yv) + (xb + ay)v = e;

b (u0 ¡ xv0 ) + (ay + xb)v 0 = e;

³ÛëÇÝùÝª (a; xb + ay) = e ¨ (b; xb + ay) = e: àõëïÇ, (ab; xb + ay) = e: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ bx + ay ´ bx0 + ay 0 (mod ab) ¡! x = x0 ; y = y 0 :

Æñáù, bx + ay ´ bx0 + ay 0 (mod ab) μ³Õ¹³ïáõÙÇó ÏáõÝ»Ý³Ýùª bx + ay ¡ (bx0 + ay 0 ) = ab ¢ l;

l 2 K;

b(x ¡ x ) = a(bl + y ¡ y);

a(y ¡ y 0 ) = b(al + x0 ¡ x)

¨ ù³ÝÇ áñ a; b ½áõÛ·Á ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿, ³å³ ³Ûëï»ÕÇó ÏμËÇ x-x 0 / a ¨ y-y 0 / b , ³ÛëÇÝùÝª x ´ x0 (mod a) ¨ y ´ y0 (mod b), áñï»Õ x; x0 2 K(mod a), y; y 0 2 K(mod b): Ð»ï¨³μ³ñ, x = x0 ¨ y = y 0 : ²ÛëåÇëáí, jK ¤ ( mod ab)j = jf(x; y)j x 2 K ¤ (mod a); y 2 K ¤ (mod b)gj = ³ÛëÇÝùÝª

= jK ¤ (mod a)j ¢ jK ¤ (mod b)j ; '(a ¢ b) = '(a) ¢ '(b) :

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Â»áñ»Ù 19.22 (¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»ÙÁ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ): ºÃ» K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ a ¨ m 6= 0 ï³ññ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ a'(m) ´ e(mod m);

áñï»Õ e-Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿ , ÇëÏ '-Ý Ýñ³ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý:

²å³óáõóáõÙ: Â»áñ»Ù 9.1-Ç ³å³óáõóÙ³Ý ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿: Æñáù, »Ã» a = 0, ³å³ e = (a; m) å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ 0x + my = e Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x; y 2 K, ³ÛëÇÝùÝª my = e ¨ m-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: àõëïÇ, '(m) = 1 ¨ ¡e = m(¡y), áñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ 0'(m) ´ e(mod m) μ³Õ¹³ïÙ³ÝÁ: ºÃ» a 6= 0 ¨ ï³ññ»ñÇ x1 ; x2 ; : : : ; x'(m) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ áñ¨¿ Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿ Áëï m Ñ»ÝùÇ, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨

μ»ñí³Í

ax1 ; ax2 ; : : : ; ax'(m) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, ³é³çÇÝ μ»ñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ÏÉÇÝÇ μ³Õ¹³ï»ÉÇ »ñÏñáñ¹ μ»ñí³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñ¨¿ ï³ññÇ Ñ»ï ¨ ax1 ax2 ¢ ¢ ¢ ax'(m) ´ x1 x2 ¢ ¢ ¢ x'(m) (mod m) : ØÝáõÙ ¿ Ïñ×³ï»É ëï³óí³Í μ³Õ¹³ïáõÙÁ x1 x2 ¢ ¢ ¢ x'(m) ³ñï³¹ñÛ³Éáí ¢ ¡ (áñáíÑ»ï¨ m; x1 x2 ¢ ¢ ¢ x'(m) = e):

È»ÙÙ 19.10: ºÃ» p-Ý K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ å³ñ½ ï³ññÝ ¿ , ³å³ ¡ ¢ ' pk = '(p) ¢ (ºp)k¡1 ; k 2 N;

áñï»Õ º -Ý ¨ '-Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ü»ñÙ³ÛÇ ¨ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ »Ý: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ¨ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏáõÙª ¡ ¢ ' pk = (ºp)k ¡ (ºp)k¡1 ; k 2 N : ²å³óáõóáõÙ: ú·ïí»Ýù K=

[

x 2 K(mod a) y 2 K(mod b)

fx + ayg + (ab)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó, áñÝ ³å³óáõóí»É ¿ í»ñ¨áõÙ: ºÃ» ³Ûëï»Õ í»ñóÝ»Ýùª a = p, b = pk¡1 , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª [ ¡ ¢ K= fx + pyg + pk : x 2 K(mod p) ³ ´ y 2 K mod pk¡1

úÕ³ÏÇ x + py ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ pk -Ç Ñ»ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¡¹»åùáõÙ, ¢»ñμ x, p ½áõÛ·Á ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ¿: Æñáù, »Ã» e = x + py; pk , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ t; s 2 K ï³ññ»ñ, áñ (x + py)t + pk s = e; ¡ ¢ xt + p yt + pk¡1 s = e;

³ÛëÇÝùÝª (x; p) = e: ºí¡ Ñ³Ï³é³ÏÁ, ¢ »Ã» (x; p) = e, ³å³ (x + py; p) = e ¨ (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 19.2) x + py; pk = e: ²Û¹åÇëÇ ¡x-»ñÇ¢ ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ '(p)-Ç, ÇëÏ ¡ ¢ ¡ ¢ y-Ý»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ º pk¡1 -Ç: ²ÛëåÇëáíª ' pk = '(p)¢º pk¡1 = '(p)¢(ºp)k¡1 : ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏáõÙ x; p ½áõÛ·Á ÏÉÇÝÇ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ x-Á ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³ (É»ÙÙ 19.9): Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹ ¹»åùáõÙª '(p) = º(p) ¡ 1, ÇëÏ ¡ ¢ ' pk = '(p) ¢ (ºp)k¡1 = (ºp ¡ 1) ¢ (ºp)k¡1 = (ºp)k ¡ (ºp)k¡1 : ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.6 (ü»ñÙ³ÛÇ ÷áùñ Ã»áñ»ÙÁ ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ): ºÃ» p-Ý K(+; ¢) Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ¨ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ å³ñ½ ï³ññÝ ¿ ¨ a 2 K ï³ññÁ ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ p-Ç íñ³, ³å³ aº(p)¡1 ´ e(mod p);

áñï»Õ º -Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ü»ñÙ³ÛÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.7: ºÃ» Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ¨ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ áã Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ a ï³ññÁ ûÅïí³Í ¿ a = " ¢ pk11 ¢ ¢ ¢ pks s

Ï³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùμ, áñï»Õ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ÇëÏ p1 ; : : : ; ps ï³ññ»ñÁ å³ñ½ »Ý ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í, ³å³ μ ¶ μ ¶ '(a) = º(a) 1 ¡ ¢¢¢ 1 ¡ : º (p1 ) º (ps )

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó (Ã»áñ»Ù 19.21) ¨ É»ÙÙ 19.10-Çó:

³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ¤

¸Çóáõù K(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ÇëÏ Q-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ (·ÉáõË 9): £ : K n f0g ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) £(") = 1 ó³ÝÏ³ó³Í " 2 K Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; μ) £(a¢b) = £(a)¢£(b) Ï³Ù³Û³Ï³Ý a; b 2 K ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

úñÇÝ³Ï, Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ü»ñÙ³ÛÇ ¨ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ »Ý, áñï»Õ Q = N: Î³Ù³Û³Ï³Ý ® : K nf0g ! N ûÕ³Ï³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³Ý»Éáí £® : K n f0g ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª £® (a) = ®(a) ± 1 = |1 + 1 + {z¢ ¢ ¢ + 1};

a 6= 0;

®(a)

Ïëï³Ý³Ýù Ýáñ

ûÕ³Ï³ÛÇÝ

³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, áñå»ë ® Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÇ ü»ñÙ³ÛÇ ¨ ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ: ¶ÉáõË 9-áõÙ N ! Q ï»ëùÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É ³å³óáõóí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ í»ñ³Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¨ ³å³óáõóíáõÙ »Ý K n f0g ! Q ï»ëùÇ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Q-Ý Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²ëí³ÍÁ í»ñ³μ»ñíáõÙ ¿ Ý³¨ ¸ÇñÇËÉ»Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ ¨ ØÛáμÇáõëÇ Ã»áñ»ÙÇÝ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ³Ûë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ØÛáμÇáõëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ Q Ãí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ¡1 2 Q Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª Q-Ý ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í (áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 1-áí) ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿: ØÛáμÇáõëÇ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¹ : K nf0g ! Q ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª 1; »Ã» a 2 K ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿; > > > k > (¡1) ; »Ã» a = " ¢ p1 ¢ ¢ ¢ pk ; áñï»Õ "-Á Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿, > > < ÇëÏ p1 ; : : : ; pk ï³ññ»ñÁ å³ñ½ »Ý ; ¹(a) = > ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ã½áõ·áñ¹í³Í; > > > > 0; »Ã» a-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p å³ñ½ ï³ññÇ : > : ù³é³Ïáõëáõ íñ³;

19.6. úÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ: úÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ: ÐáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ¨ Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á ¨ K 0 (+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³ÏÝ ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý: ' : K ! K ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ Ï³Ù ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝª K(+; ¢) ûÕ³ÏÇó K 0 (+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ù»ç Ï³Ù K(+; ¢) ¨ K 0 (+; ¢) ûÕ³ÏÝ»ñÇ ÙÇç¨, »Ã»

'(x + y) = '(x) + '(y) ¨ '(x ¢ y) = '(x) ¢ '(y)

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í

¿ ¹Çï³ñÏíáÕ ûÕ³ÏÝ»ñÇ

ûÕ³Ï³ÛÇÝ

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï: úÕ³ÏÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áñÍáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ Ñ³×³Ë ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù: ¸Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí)

ûÕ³Ï³ÛÇÝ

ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó

ûÕ³Ï³ÛÇÝ

ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ (»Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ), ³ÛëÇÝùÝª »Ã» K(+; ¢)-Á, K 0 (+; ¢)-Á ¨ K 00 (+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñ »Ý, ÇëÏ ' : K ! K 0 ¨ '0 : K 0 ! K 00 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ' ¢ '0 : K ! K 00 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù, áñáíÑ»ï¨ (' ¢ '0 ) (x + y) = '0 ('(x + y)) = '0 ('x + 'y) = '0 ('x) + '0 ('y) = = (' ¢ '0 ) x + (' ¢ '0 ) y;

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

(' ¢ '0 ) (x ¢ y) = '0 ('(x ¢ y)) = '0 ('x ¢ 'y) = '0 ('x) ¢ '0 ('y) = = (' ¢ '0 ) x ¢ (' ¢ '0 ) y :

' : K ! K 0 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ù, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) Ý»ñ¹ñáÕ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó Ý»ñ¹ñáÕ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿: ' : K ! K 0 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáÕ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Ï³Ù ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) í»ñ³¹ñáÕ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó í»ñ³¹ñáÕ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿: ' : K ! K 0 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³Ï³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù, Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, »Ã» ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿ ¨, »Ã» ' : K ! K 0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÝáõÛÝáõÓ¨áõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ¿ Ý³¨ '¡1 : K 0 ! K ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: ' : K ! K ï»ëùÇ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÇÝùÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ³íïáÙáñýÇ½Ù: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ μáÉáñ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÇÝùÝ³Ó¨áõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ËáõÙμ ¿ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Û¹ ËáõÙμÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Aut K-áí: ºñÏáõ K(+; ¢) ¨ K 0 (+; ¢) ûÕ³ÏÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ³Ó¨ Ï³Ù Ç½áÙáñý ¨ ·ñíáõÙ ¿ K ' K 0 Ï³Ù K » = K 0 , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : K ! K ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ: ê³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ï³Ù Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: È»ÙÙ 19.11: úÕ³ÏÝ»ñÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¤ úÕ³ÏÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ μÝáõÃ³·ñ»É áñå»ë ·ÇïáõÃÛáõÝ, áñÝ áõëáõÙÝ³ëÇñáõÙ ¿ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ¨ ¹ñ³Ýó ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: úÕ³ÏÝ»ñÇ ¨ ¹ñ³Ýó ÙÇç¨ ·áñÍáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ×Çßï ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ËÙμ»ñÇ ¹»åùáõÙ (ï»ë 18.3 í»ñÝ³·ÇñÁ):

ºÃ» K(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ H E K, ³ÛëÇÝùÝª H-Á K

ûÕ³ÏÇ Ç¹»³ÉÝ ¿, ³å³ ¼(x) = x + H;

x 2 K;

± μ³Ý³Ó¨áí (³ñï³å³ïÏ»ñáõÙáí) áñáßíáõÙ± ¿ ¼ : K ! K H ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙñýÇ½Ùª K(+; ¢) ûÕ³ÏÇó K H (+; ¢) ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÇ Ù»ç, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý (Ï³Ù ù³Ýáñ¹-) ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù: ± K ¼ : K ! H μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ ¼H -áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ μÝ³Ï³Ý ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ í»ñ³¹ñáÕ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù) ¿: È»ÙÙ 19.12: ºÃ» ' : K ! K 0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇó K 0 (+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ù»ç, ³å³

1) '(0) = 00 , áñï»Õ 0-Ý ¨ 00 -Á K ¨ K 0 ûÕ³ÏÝ»ñÇ ½ñáÝ»ñÝ »Ý; 2) '(¡x) = ¡'(x) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ; 3) '(x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn ) = '(x1 ) + '(x2 ) + ¢ ¢ ¢ + '(xn ) ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x1 ; : : : ; xn 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, '(mx) = m'(x)

ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ¨ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ;

4) ºÃ» H 6 K , ³ÛëÇÝùÝª H -Á K ûÕ³ÏÇ »ÝÃ³ûÕ³Ï ¿ , ³å³

'(H) = f'(h) j h 2 Hg 6 K 0 ;

5) ºÃ» K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ûÅïí³Í ¿ e 2 K ÙÇ³íáñáí, ³å³ '(e) 2 K 0 ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ '(K) 6 K 0 »ÝÃ³ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÁ; 6) ºÃ» K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý (ï»Õ³÷áË³Ï³Ý) ¿ , ³å³ '(K) 6 K 0 »ÝÃ³ûÕ³ÏÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý (ï»Õ³÷áË³Ï³Ý);

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

7) ºÃ» K(+; ¢) ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³ÏÁ ûÅïí³Í ¿ ÙÇ³íáñáí ¨ a 2 K ï³ññÁ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í m 2 Z ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ³Ù³ñª ' (am ) = ('(a))m ; 8) ºÃ» H 0 6 K 0 , ³å³ '¡1 (H 0 ) = fh 2 K j '(h) 2 H 0 g 6 K;

9) ºÃ» H E K , ³ÛëÇÝùÝª H -Á K ûÕ³ÏÇ Ç¹»³É ¿ , ³å³ '(H) E '(K); 10) ºÃ» H 0 E K 0 , ³å³ '¡1 (H 0 ) E K : ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

' : K ! K 0 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏÁ ¨ å³ïÏ»ñÁ, ÇÝãå»ë ¨ ËÙμ»ñÇ, ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý Ker(')-áí ¨ Im(')áí áõ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª Ker(') = fx 2 K j '(x) = 00 g; Im(') = f'x j x 2 Kg = '(K);

'(K)-Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñ:

È»ÙÙ 19.13: 1) úÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏÁ Ç¹»³É ¿ ª Ker(') E K : 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ H E K Ç¹»³É Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ ' : K ! K 0 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ:

²å³óáõóáõÙ: 1) Ker(') 6= ;, áñáíÑ»ï¨ 0 2 Ker('): ºÃ» x; y 2 Ker ', ³å³ x ¡ y 2 Ker ': ºÃ» x 2 Ker ' ¨ r 2 K, ³å³ r ¢ x 2 Ker ' ¨ x ¢ r 2 Ker ': ± ± 2) ÀÝïñ»Éáí K 0 = K H ¨ ' = ¼H : K ! K H ÏáõÝ»Ý³Ýùª Ker (') = Ker (¼H ) = H :

Â»áñ»Ù 19.23 (úÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ) : ºÃ» ' : K ! K 0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ± K(+; ¢) ¨ K (+; ¢) ûÕ³ÏÝ»ñÇ ÙÇç¨, ÇëÏ Ker(') = H , K ³å³ K ' H : ²í»ÉÇ ± ×ß·ñÇï, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : K 0 ! K H ûÕ³Ï³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù, áñ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁª

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

' K Z

Z ¼Z

K0 ¹

? ± K H

;

³ÛëÇÝùÝª ¼ = ' ¢ ¹, áñï»Õ ¼-Ý μÝ³Ï³Ý ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí»Ýù ¹Çï³ñÏíáÕ »ñ»ù ûÕ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËÙμ»ñáí, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇ (Ã»áñ»Ù 18.28), ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : K 0 ! ± ± K H ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ùª K 0 (+) ËÙμÇó K H (+) ù³Ýáñ¹-ËÙμÇ Ù»ç, áñ ' ¢ ¹ = ¼: Àëï áñáõÙª ¹(x0 ) = x + H Ã! x0 = 'x; áñï»Õ x0 2 K 0 , x 2 K: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ¹ ËÙμ³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ Ý³¨ ûÕ³Ï³ÛÇÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿, ³ÛëÇÝùÝª ¹ (x0 ¢ y 0 ) = ¹(x0 ) ¢ ¹(y 0 );

x0 ; y 0 2 K 0 :

¸Çóáõù x0 = 'x ¨ y 0 = 'y: Ð»ï¨³μ³ñ, x0 ¢ y 0 = 'x ¢ 'y = '(x ¢ y) ¨ ¹ (x0 ¢ y 0 ) = (x ¢ y) + H = (x + H)(y + H) = ¹(x0 ) ¢ ¹(y 0 ): ¹-Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¤ Â»áñ»Ù 19.24 (ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ): Î³Ù³Û³Ï³Ý '1 : K ! K 0 ¨ '2 : K ! K 00 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker('1 ) μ Ker('2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ '3 : K 0 ! K 00 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, áñ '1 ¢'3 = '2 , ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ. '1 K K0 Z Z '2Z '3 Z Z Z~ ? : K 00

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

Àëï áñáõÙ, '3 -Á ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ker('1 ) = Ker('2 ): ²å³óáõóáõÙ: ÎñÏÝíáõÙ ¿ ËÙμ³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ (Ï³Ù μË»óíáõÙ ¿ ³Û¹ Ã»áñ»ÙÇó): ¤ Â»áñ»Ù 19.25 (úÕ³Ï³ÛÇÝ Ç½áÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ) : ºÃ» K(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ , L 6 K ¨ H E K , ³å³ L + H = fx + y j x 2 L; y 2 Hg 6 K;

H E L + H, L \ H E L ¨

. . L L\H ' L+H H

²å³óáõóáõÙ: ²é³çÇÝ »ñ»ù åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É í»ñçÇÝ åÝ¹áõÙÁª ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ í»ñ³μ»ñÛ³É: ºÃ» z 2 L + H, ³å³ z = x + y, áñï»Õ x 2 L, y 2 H: Ð»ï¨³μ³ñ, z + H = (x + y) + H = x + H; x 2 L : . ²ÛÅÙ Ï³éáõó»Ýù f : L ! L + H H ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½ÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª f (x) = x + H, x 2 L: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇª . . L + H H ' L Ker(f ); áñï»Õ Ker(f ) = L \ H:

Â»áñ»Ù 19.26 (úÕ³Ï³ÛÇÝ Ç½áÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ) ±: ºÃ» L K(+; ± ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿ , L; H E K ¨ H μ L, ³å³ H E L, H E K H ¨ . ± K=H L=H ' K L :

²å³óáõóáõÙ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ f (x+ H) = x+ L, x 2 K, ûñ»Ýùáí áñáßíáõÙ ± ± ¿ f : K H ! K L ûÕ³Ï³ÛÇÝ ¿åÇÙáñýÇ½Ù ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇª . ± K L ' K=H Ker(f ); ± áñï»Õ Ker(f ) = L H : ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

19.7. ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Î³ë»Ýù, áñ K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ K 0 (+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ (Ï³Ù ûÕ³ÏÇ Ù»ç), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : K ! K 0 ûÕ³Ï³ÛÇÝ ÙáÝáÙáñýÇ½Ù: ÜáõÛÝÝ ¿, Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ H 6 K 0 »ÝÃ³ûÕ³Ï, áñ K ' H: Æñáù, Ýß³Ý³Ï»Éáí H = '(K), ÏáõÝ»Ý³Ýù‘ K ' H: ¸Çóáõù G(+)-Á ³μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ ¿: G(+) ËÙμÇ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ Çñ Ù»ç ÏáãíáõÙ ¿ G(+) ËÙμÇ ¿Ý¹áÙáñýÇ½Ù: G(+) ËÙμÇ μáÉáñ ¿Ý¹áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ EndG(+)-áí: ²Ûë μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ûÕ³Ï ¿ Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ‘ (' + Ã)(x) = '(x) + Ã(x); (' ¢ Ã)(x) = Ã('(x));

áñï»Õ x 2 G, '; Ã 2 EndG(+): êï³óí³Í EndG(+) ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ¨ ÏáãíáõÙ ¿ G(+) ³μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ ¿Ý¹áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ûÕ³Ï: Â»áñ»Ù 19.27 (ø»ÉÇ): ¼áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ K(+; ¢) ûÕ³Ï Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ EndK(+) ûÕ³ÏáõÙ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù a 2 K ¨ Ta (x) = x ¢ a, áñï»Õ x 2 K: ÎáõÝ»Ý³Ýù‘ Ta (x + y) = (x + y)a = xa + ya = Ta (x) + Ta (y);

EndK(+)

a2K :

ÎáõÝ»Ý³Ýù‘ Ta+b (x) = x(a + b) = xa + ab = Ta (x) + Tb (x) = (Ta + Tb )(x); Ta¢b (x) = x(a ¢ b) = (xa) ¢ b = Tb (Ta (x)) = (Ta ¢ Tb )(x); ³ÛëÇÝùÝ‘ Ta+b = Ta + Tb ; Ta¢b = Ta ¢ Tb :

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ Ý³¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ¨ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ, ³ÛëÇÝùÝ‘ x ¢ x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ ³å³óáõóí³Í Ã»áñ»ÙáõÙ Ï³éáõóí³Í Ta : K ! K ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¹³éÝáõÙ ¿ Ý³¨ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Çñ Ù»ç, áñáíÑ»ï¨ Ta (x ¢ y) = (x ¢ y)a = xyaa = (xa)(ya) = Ta (x) ¢ Ta (y) :

19.8. ä³ñ½ ¨ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³ÉÝ»ñ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ H E K Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁª a¢b 2 H ! a 2 H

Ï³Ù b 2 H :

²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, H E K Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» ³ÛÝ K ûÕ³ÏÇ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ý³¨ ¹ñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûÕ³Ï ³ÏÝ»ñ¨áñ»Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Çñ å³ñ½ Ç¹»³ÉÁ: àñå»ë½Ç ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³ÏÁ Ñ³Ý¹Çë³Ý³ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ½ñáÛ³Ï³Ý Ç¹»³ÉÁ ÉÇÝÇ å³ñ½ Ç¹»³É: ²í»ÉÇ ×Çßï, áñå»ë½Ç ûÕ³ÏÁ ãáõÝ»Ý³ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ½ñáÛ³Ï³Ý Ç¹»³ÉÁ ÉÇÝÇ å³ñ½ Ç¹»³É: úÕ³ÏÇ H E K Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ×ß·ñÇï, »Ã» ³ÛÝ ï³ñμ»ñ ¿ ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇó, ³ÛëÇÝùÝª H 6= (0) ¨ H 6= K:

äÝ¹áõÙ 19.1: 1) Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ H E Z ×ß·ñÇï Ç¹»³ÉÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ Ç¹»³É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ³ÛÝ ÍÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ å³ñ½ Ãíáí: 2) ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ (p) ×ß·ñÇï Ç¹»³ÉÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ p-Ý å³ñ½ ï³ññ ¿ :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: 1) Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ μáÉáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÁ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñ »Ý: ºÃ» H E Z Ç¹»³ÉÁ ÍÝíáõÙ ¿ áñ¨¿ p 2 Z å³ñ½ Ãíáíª H = (p) ¨ a ¢ b 2 H, ³å³ a ¢ b-Ý μ³Å³ÝíáõÙ ¿ p-Ç íñ³: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³Ù a-Ý Ïμ³Å³ÝíÇ p-Ç íñ³, Ï³Ùª b-Ý: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù a 2 (p) = H, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª b 2 (p) = H: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» H = (m) ¨ H-Á ×ß·ñÇï Ç¹»³É ¿, ³å³ m 6= 0; 1, ³ÛëÇÝùÝª m > 1: ºÃ» m-Á μ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿, ³ÛëÇÝùÝª m = s ¢ t, áñï»Õ 1 < s < m, 1 < t < m, ³å³ s ¢ t 2 (m), áñï»Õ s-Á ¨ t-Ý ã»Ý μ³Å³ÝíáõÙ m-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª s 2 = (m) ¨ t 2 = (m): 2)-Ç ³å³óáõóáõÙÁ 1)-Ç ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÝ ¿: ¤ Â»áñ»Ù 19.28: î»Õ³÷áË³Ï³Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ H

± E K Ç¹»³ÉÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ Ç¹»³É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

K ¹»åùáõÙ, »ñμ H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ :

± ²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë »ÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» H E K Ç¹»³ÉÁ å³ñ½ ¿ ¨ K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª (x + H)(y + H) = H;

x; y 2 K;

± áñï»Õ H-Á K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÇ ½ñáÝ ¿: àõëïÇ xy + H = H, Ñ»ï¨³μ³ñ, xy 2 H, áñï»ÕÇó x 2 H Ï³Ù y 2 H: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù x + H = H, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª y + H = H: ²ÛëåÇëáí ± K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ ãáõÝÇ ½ñáÛÇ μ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ: ± ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿ ¨ x ¢ y 2 H, ³å³ xy + H = H; (x + H)(y + H) = H; áñï»ÕÇó x + H = H Ï³Ù y + H = H: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù x 2 H, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª y 2 H: ¤

êáíáñ³μ³ñ, »Ã» H E K ¨ H 6= K, ³å³ ·ñíáõÙ ¿ H / K: K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ H E K Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙ³É, »Ã» H / K ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ K ûÕ³ÏÇ ³ÛÝåÇëÇ H 0 / K Ç¹»³É, áñ H / H 0 , ³ÛëÇÝùÝª H 6= K Ç¹»³ÉÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ÁÝ¹·ñÏ»É Çñ»Ýó ¨ ³ÙμáÕç ûÕ³ÏÇó ï³ñμ»ñ áñ¨¿ ³ÛÉ Ç¹»³ÉÇ Ù»ç:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

äÝ¹áõÙ 19.2: àñå»ë½Ç ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ûÕ³ÏÁ ÉÇÝÇ ¹³ßï ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³

½ñáÛ³Ï³Ý Ç¹»³ÉÁ ÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ ¹³ßïÁ ãÇ ûÅïí³Í ×ß·ñÇï Ç¹»³ÉÝ»ñáí: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù ¹Çï³ñÏíáÕ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ½ñáÛ³Ï³Ý Ç¹»³ÉÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿: àõëïÇ, ³Û¹ ûÕ³ÏÁ ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý (¨, Ù³ëÝ³íáñ³å»ë, ûÕ³ÏÇ e ÙÇ³íáñÁ ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ýª e 6= 0): ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý a 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ a 2 (a) ¨ (a) 6= (0): Ð»ï¨³μ³ñ, (a) = K ¨ a ¢ x = e Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ûÅïí³Í ¿ ÉáõÍáõÙáí: ¤ È»ÙÙ 19.14 (ÑÇÙÝ³Ï³Ý): àñå»ë½Ç ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ e ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ H 6= K Ç¹»³ÉÁ ÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ r 2 K nH ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ, áñ e ¡ rx 2 H :

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» H E K, H 6= K Ç¹»³ÉÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ ¨ r 2 K n H: ø³ÝÇ áñ H / H 0 = (r) + H, ³å³ (r) + H = K ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ, áñ rx + ± = e, áñï»Õ ± 2 H: àõëïÇ e ¡ rx 2 H: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» H 6= K ¨ H / H ¤ E K, ³å³ áñ¨¿ r0 2 H ¤ n H ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý»Ýù H 0 = (r0 )+H Ç¹»³ÉÁ: Àëï É»ÙÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 K ï³ññ, áñ e ¡ r0 x0 2 H, ³ÛëÇÝùÝª e = r 0 x0 + ± 0 ;

±0 2 H;

áñï»ÕÇó e 2 H 0 ¨ Ñ»ï¨³μ³ñª H 0 = K: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, ßÝáñÑÇí H 0 μ H ¤ μ K Ý»ñ¹ñáõÙÝ»ñÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýù Ý³¨ H ¤ = K Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí H-Á Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É ¿: ¤ Â»áñ»Ù 19.29: ¼áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í

K(+; ¢)± ûÕ³ÏÇ H Ç¹»³ÉÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ,

»ñμ K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ¿ : ± ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ¿, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ H 6= K: Î³Ù³Û³Ï³Ý r 2 K nH ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ, áñ (r + H)(x + H) = e + H;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

rx + H = e + H; áñï»ÕÇó e¡rx 2 H ¨ Áëï Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ H/K Ç¹»³ÉÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É: ± ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» H / K Ç¹»³ÉÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿ ¨ r + H 2 K H ï³ññÁ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ¿, ³ÛëÇÝùÝª r + H 6= H, ³å³ r 2 K n H ¨, Ý³Ëáñ¹ É»ÙÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ, áñ e ¡rx 2 H, áñï»ÕÇó rx + H = e + H; (r + H)(x + H) = e + H : ± ²ÛëåÇëáí, ½áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í K H ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ï³ññ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ ¹³ßï ¿: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 19.8: ¼áõ·áñ¹³Ï³Ý, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñáí ¤ ûÅïí³Í ûÕ³ÏÇ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³ÉÝ»ñÁ å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñ »Ý: ÜáõÛÝÇëÏ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ H 6= K å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñ, áñáÝù Ù³ùëÇÙ³É ã»Ý: úñÇÝ³Ï, μáÉáñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z(+; ¢) ûÕ³ÏáõÙ H = (0) ½ñáÛ³Ï³Ý Ç¹»³ÉÁ å³ñ½ ¿, μ³Ûó Ù³ùëÇÙ³É ã¿: ²Ûë ï»ë³Ï»ïÇó Ñ»ï³ùñùñ³Ï³Ý ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ: Â»áñ»Ù 19.30: ¶ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ×ß·ñÇï å³ñ½ Ç¹»³É Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ åÝ¹áõÙ 19.1-Ç, K(+; ¢) ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ×ß·ñÇï H = (c) å³ñ½ Ç¹»³ÉÇ ¹»åùáõÙª c-Ý å³ñ½ ï³ññ ¿: ²ÛÝáõÑ»ï¨, »Ã» (c) E H 0 E K, ³å³ H 0 = (a) áñ¨¿ a 2 K ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ K(+; ¢)-Á ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, c 2 (a) ¨ c = a ¢ x, áñï»Õ x 2 K: àõëïÇ, Ï³Ù a-Ý ¿ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ, Ï³Ùª x-Á: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙª H 0 = K, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª a = c¢x¡1 ¨ H 0 = (c), ³ÛëÇÝùÝª H = (c) E K Ç¹»³ÉÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿: ¤ úñÇÝ³Ï: ºÃ» F (+; ¢)-Á ¹³ßï ¿, ÇëÏ f 2 F [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ± F [x] ãμ»ñíáÕ ¿ F -áõÙ, ³å³ (f ) ù³Ýáñ¹-ûÕ³ÏÁ ¹³ßï ¿ ¨ ³Û¹ ¹³ßïÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ F -Ç ÙÝ³óùÝ»ñÇ ¹³ßïÇ Ñ»ïª Áëï f ãμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ (Ã»áñ»Ù 16.23):

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

K(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý ûÕ³Ï (G. Boole), »Ã» ³ÛÝ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ûÅïí³Í e ÙÇ³íáñáí ¨ x ¢ x = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ:

Ð³ïÏáõÃÛáõÝ 19.8: Î³Ù³Û³Ï³Ý K(+; ¢) μáõÉÛ³Ý ûÕ³ÏÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ H 6= K å³ñ½ Ç¹»³É Ù³ùëÇÙ³É ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù H 6= K ¨ r 2 K n H: ø³ÝÇ áñ

r(e ¡ r) = r ¡ r2 = r ¡ r = 0 2 H ¨ H E K Ç¹»³ÉÁ å³ñ½ ¿, ³å³ e ¡ r 2 H: àõëïÇ, ó³ÝÏ³ó³Í r 2 K n H ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ (x = e), áñ e ¡ rx 2 H: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É É»ÙÙ 19.14 -Çó: ¤ ú·ïí»Éáí òáéÝÇ ³ùëÇáÙÇó, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûÕ³Ï ûÅïí³Í ¿ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³Éáí: ²í»ÉÇ ×Çßï ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

Â»áñ»Ù 19.31: ØÇ³íáñáí ûÅïí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ³Ù»Ý ÙÇ H 6= K Ç¹»³É ÁÝÏ³Í ¿ áñ¨¿ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³ÉáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ H 0 / K Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É, áñ H μ H 0 :

²å³óáõóáõÙ: MH -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ K-Çó ï³ñμ»ñ μáÉáñ ³ÛÝ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ H-Á: ø³ÝÇ áñ H 2 MH , ³å³ MH 6= ;: MH -Á Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ª Áëï §μ¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç: ¸Åí³ñ ã» ÝÏ³ï»É, áñ MH Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ fHi gi2I ·Í³ÛÇÝ Ï³ñ·³íáñí³Í »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ (ßÕÃ³) ûÅïí³Í ¿ í»ñÇÝ »½ñáí: Æñáù, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý r; s 2 I ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ï³Ù Hr μ Hs Ï³Ù Hs μ Hr , ³å³ [ Hi S= i2I

ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ K ûÕ³ÏÇ Ç¹»³É: ÀÝ¹ëÙÇÝ S 6= K, áñáíÑ»ï¨ »Ã» S = K, ³å³ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ e 2 K ÙÇ³íáñÁ Ïå³ñáõÝ³Ïí»ñ áñ¨¿ Hi0 Ç¹»³ÉÇ Ù»ç, áñï»Õ i0 2 I, ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ, Hi0 = K, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ýñ³ ÁÝïñáõÃÛ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí, S 2 MH , áñáíÑ»ï¨ H μ S ¨ S 6= K: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, S-Á fHgi2I Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç (ßÕÃ³ÛÇ) í»ñÇÝ »½ñÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª Hi μ S Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ i 2 I ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñ: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É òáéÝÇ ³ùëÇáÙÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ áñÇ MH Ù³ëÝ³ÏÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ H 0 2 MH Ù³ùëÇÙ³É ï³ññáí, áñÁ ¨ ÏÉÇÝÇ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ ³ÛÝ H 0 Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³ÉÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ H-Á: ¤

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ, Éñ³óáõóÇã ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ 1. ²å³óáõó»É, áñ ãáñë-ï³ññ³ÝÇ í»ñç³íáñ ¹³ßïÇ ·áõÙ³ñ³ÛÇÝ ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ã¿: 2. ²å³óáõó»É, áñ Zn (+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ Z£ n (¢)

ËáõÙμÁ ÏÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ, »Ã» n 6 7 ¨ ãÇ ÉÇÝÇ ÙÇ³ÍÇÝ, »Ã» n = 8:

3. ²å³óáõó»É, áñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ a; b 2 K ï³ññ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ (a) ¨ (b) ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÁ ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³ÛëÇÝùÝª (a) + (b) = K: 4. (âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù): ²å³óáõó»É, áñ »Ã» K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ H1 ; : : : ; Hn Ç¹»³ÉÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 ; : : : ; xn 2 K ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 K ï³ññ, áñ x ´ x1 (mod H1 ); ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ x ´ xn (mod Hn ) : 5. ´ÝáõÃ³·ñ»É Z[i] = fa + bij a; b 2 Zg ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ å³ñ½ ï³ññ»ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ ® 2 Z[i] ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ å³ñ½ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ N r(®) 2 N ÃÇíÁ å³ñ½ ¿ Ï³Ù ®-Ý ½áõ·áñ¹í³Í ¿ p = 4n + 3 ï»ëùÇ Z-áõÙ å³ñ½ áñ¨¿ ³ÙμáÕç ÃíÇ Ñ»ï:

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

6. ²å³óáõó»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ hp i n o p Z i 3 = x + iy 3j x; y 2 Z

ûÕ³ÏÁ ý³ÏïáñÇ½³óíáÕ ¿, μ³Ûó ã¿: ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÝ ¤ £ pý³ÏïáñÇ³É ³å³óáõó»É ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ Z i 5 ûÕ³ÏÇ ¹»åùáõÙ:

7. ²å³óáõó»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ ) ( p ¯ hp i x + iy 19 ¯¯ D i 19 = ¯ x; y 2 Z; x ´ y(mod 2) ¯

ûÕ³ÏÁ ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï ¿, μ³Ûó ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ã¿:

8. ¸Çóáõùpk 2 Zp¨ k-Ý ãÇ μ³Å³ÝíáõÙ áñ¨¿ å³ñ½ ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ p íñ³ ¨ k = i jkj, »Ã» k < 0: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 3.3-Ç, k-Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿, »Ã» k > 0: Ð»ï¨³μ³ñ, p p x + y k = x0 + y0 k Ã! x = x0 ; y = y 0 ; áñï»Õ x; x0 ; y; y 0 2 Z: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» k ´ 3(mod 4) Ï³Ù k ´ 2(mod 4), ³å³ o hp i n p ¯¯ Z k = x + y k¯ x; y 2 Z ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿:

9. ¸Çóáõù K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ½ : K n f0g ! N [ f0g ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ

Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ.

ò³ÝÏ³ó³Í a; b 2 K, b 6= 0 ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ q; r 2 K ï³ññ»ñ, áñ a = bq + r; áñï»Õ r = 0 Ï³Ù ½(r) < ½(b): ²å³óáõó»É, áñ K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ýñ³ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙ: 10. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï ûÅïí³Í ¿ ÙÇÝÇÙ³É ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙáí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

11. ²å³óáõó»É, áñ P [x] μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ ÙÇÝÇÙ³É ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ±0 (f ) = deg(f ), áñï»Õ deg(f )-Á f 6= 0 μ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÝ ¿: 12. ²å³óáõó»É, áñ Z(+; ¢) ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇÝÇÙ³É ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ±0 (x) = [log2 jxj], áñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ 2³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ jxj-Ç áõÝ»ó³Í Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï: 13. ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, X0 = f0g ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª Xn = fx 2 Kj 8a 2 K; 9b 2 K; a ¡ bx 2 Xn¡1 [ X0 g : êï³ÝáõÙ »Ýù K μ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É X0 ; X1 ; : : : ; Xn ; : : : Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ X-μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ²å³óáõó»É X-μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 1) X1 -Á Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ K(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ»ï; 2) Xn μ Xn+1 , áñï»Õ n = 1; 2; : : :;

3) ºÃ» áñ¨¿ k μÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ Xk = Xk+1 , ³å³ Xk+l = Xk ó³ÝÏ³ó³Í l > 1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ; 4) ºÃ» x 2 Xk , k > 1, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ n 2 N μÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ x 2 Xn n Xn¡1 , áñï»Õ n 6 k; 5) ºÃ» x 2 Xn+1 n Xn ¨ xz 2 Xm+1 n Xm , áñï»Õ n; m 2 N, ³å³ n 6 m; 6) ºÃ» x 2 Xn+1 nXn , áñï»Õ n > 1, ³å³ "x 2 Xn+1 nXn ûÕ³ÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í " Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: 14. ²å³óáõó»É, áñ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ Z(+; ¢) ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñª Xn = f§1; §2; §3; : : : ; § (2n ¡ 1)g ; áñï»Õ n > 1: Ð»ï¨³μ³ñ, x 2 Xn n Xn¡1 $ 2n¡1 6 jxj < 2n :

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

15. ²å³óáõó»É, áñ μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ P [x] ûÕ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ P -Ý ¹³ßï ¿, X1 = P n f0g; Xn = ff 2 P [x]j deg(f ) 6 n ¡ 1g ;

áñï»Õ n > 2: Ð»ï¨³μ³ñ, f 2 Xn n Xn¡1 $ deg(f ) = n ¡ 1: 16. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ½ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 9-ñ¹ ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ ¨ x 2 = Xn [ X0 , ³å³ ½(x) > n: 17. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» K(+; ¢) ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 9-ñ¹ ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 K, x 6= 0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ n Ñ³Ù³ñ, áñ x 2 Xn n Xn¡1 : ²Ûë ¹»åùáõÙ, ë³ÑÙ³Ý»Éáí ±0 (x) = n ¡ 1, ëï³ÝáõÙ »Ýù ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý E1 ) ¨ E2 ) ³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ýáõÝÏóÇ³: Àëï áñáõÙ, ±0 (x) 6 ½(x), áñï»Õ ½-Ý 8-ñ¹ ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ýáõÝÏóÇ³ ¿: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, K(+; ¢)-Á ÏÉÇÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï, ÇëÏ ±0 : K nf0g ! N[f0g ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ýñ³ ÙÇÝÇÙ³É ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÝáñÙÁ: 18. ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏÉÇÝÇ ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³Ï ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ Xμ³½ÙáõÃÛ³Ý: 19. Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É ØÛáμÇáõëÇ ßñçÙ³Ý Ã»áñ»ÙÁ K n f0g ! Q ï»ëùÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ K(+; ¢)-Á ý³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ Q-Ý ÙÇ³íáñáí ûÅïí³Í ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿: 20. ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ ¿ -Ý ïáåáÉá·Ç³ ¿ª áñáßí³Í Q-Ç íñ³: Q(+; ¢; ¿ ) ù³éÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ûÕ³Ï, »Ã» ³) Q(+; ¿ ) »éÛ³ÏÁ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ¨

μ) (x; y) ! x ¢ y ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó x ¢ y ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý U ßñç³Ï³ÛùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý x-Ç ¨ y-Ç Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ ³ÛÝåÇëÇ V ¨ W ßñç³Ï³Ûù»ñ, áñ V ¢W μ U:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõó»É, áñ Z(+; ¢; ¿ ) ù³éÛ³ÏÁ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ûÕ³Ï ¿, áñï»Õ ¿ -Ý Z-Ç ÙÝ³óù³ÛÇÝ ïáåáÉá·Ç³Ý ¿: 21. ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ûÕ³Ï ¿, ÇëÏ §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· ¿, áñáßí³Í Q-Ç íñ³: Q(+; ¢; 6) ù³éÛ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³Ï, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. ³) a 6 b ! a + c 6 b + c, ³ÛëÇÝùÝª Q(+; 6) »éÛ³ÏÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ËáõÙμ ¿, μ) a 6 b; 0 6 c ! ac 6 bc; ca 6 cb,

áñï»Õ a; b; c 2 Q:

úñÇÝ³Ï, Z(+; ¢; 6) ù³éÛ³ÏÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³Ï ¿, áñï»Õ §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ μÝ³Ï³Ý Ï³ñ·Ý ¿: a > 0 å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μáÉáñ ï³ññ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢; 6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³ÏÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏáÝ: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ. àñå»ë½Ç P μ Q áã ¹³ï³ñÏ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ áñ¨¿ Q(+; ¢; 6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³ÏÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏáÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ P (+; ¢)-Á ÉÇÝÇ P \ (¡P ) = f0g å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ÏÇë³ûÕ³Ï: 22. Q(+; ¢; 6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³Ï, »Ã» §6¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Á ·Í³ÛÇÝ Ï³ñ· ¿, ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª Ï³Ù x 6 y Ï³Ù y 6 x: Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñ»É, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ §6¦ ·Í³ÛÇÝ Ï³ñ·ª áñáßí³Í Q-Ç íñ³, áñ Q(+; ¢; 6) ù³éÛ³ÏÁ ÉÇÝÇ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³Ï: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ï³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñ»É: 1) ²å³óáõó»É, áñ ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ C(+; ¢) ¹³ßïÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñ»É: 2) ²å³óáõó»É, áñ Z5 (+; ¢) ¹³ßïÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñ»É: (òáõóáõÙ. ºñÏáõ ¹³ßï»ñáõÙ ¿É ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ " ï³ññ, áñ "2 = ¡1: ê³Ï³ÛÝ ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í ¹³ßïáõÙª t2 > 0, »Ã» t 6= 0: Ð»ï¨³μ³ñ, "2 = ¡1 > 0 ¨ »ñÏáõ Ù³ë»ñÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáí 1 Ïëï³Ý³Ýùª 0 > 1, ³ÛëÇÝùÝª 0 > 1 ¨ 1 = 12 > 0 > 1: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:)

¶ÉáõË 19 úÔ²ÎÜºð ºì ¸²Þîºð

23. Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É ØÛáμÇáõëÇ ßñçÙ³Ý Ã»áñ»ÙÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

¶ É áõ Ë 20 Î²ì²ðÜºð, ´²ÞÊ²Î²Ü ºì Øà¸àôÈÚ²ð (¸º¸ºÎÆÜ¸Ú²Ü) Î²ì²ðÜºð, ´àôÈÚ²Ü ºì ¸º Øàð¶²ÜÆ Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð 20.1. Î³í³ñÇ ·³Õ³÷³ñÁ ÆÝãå»ë Ýß»É »Ýù, áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Çñ Ù»ç ë³ÑÙ³Ýí³Í ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (Ï³Ù áõÝÇí»ñë³É Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí): ºñÏáõ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Q(+; ¢) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³í³ñ (lattice, ðåø¸òêà), »Ã» Ýñ³ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñª x + x = x; x ¢ x = x; (ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ) x + y = y + x; x ¢ y = y ¢ x; (ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ)

(x+y)+z = x+(y+z); (x¢y)¢z = x¢(y¢z); (½áõ·áñ¹³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ) x(x + y) = x; x + xy = x : (ÏÉ³ÝÙ³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ) ºÃ» Q(+; ¢)-Á Ï³í³ñ ¿, ³å³ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ï³í³ñ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ áñáßí³Í Q-Ç íñ³ (Ù»ç): Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ý³¨ Q-áí: ê¨»éí³Í Ãíáí ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ áñáßíáõÙ ¿ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí (³ÛëÇÝùÝª ³Û¹ ¹³ëÁ Ï³½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ ë¨»éí³Í Ãíáí ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇó, áñáÝù μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý áñáß ù³Ý³ÏÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ): àõëïÇ, μáÉáñ Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹³ëÁ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿: Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùáí ëï»ÕÍíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ μáÉáñ Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹³ëÇ ¨ μáÉáñ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÇ ÙÇç¨: Â»áñ»Ù 20.1: 1) ºÃ» Q(+; ¢)-Á Ï³í³ñ ¿ ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù x 6 y Ã! x + y = y;

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

³å³ Q(+; ¢)_ = Q(6) ½áõÛ·Á ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñï»Õ supfx; yg = x + y; inffx; yg = x ¢ y :

2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(6) ½áõÛ·Á Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ ë³ÑÙ³Ý»Ýù x + y = supfx; yg; x ¢ y = inffx; yg;

³å³ Q(6) = Q(+; ¢)-Á ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ: 3) (Q(+; ¢)_ )^ = Q(+; ¢) ¨ (Q(6)^ )_ = Q(6): ^

²å³óáõóáõÙ: 1) Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Q(6) ½áõÛ·Á Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ³) x 6 x; μ) x 6 y, y 6 x ¡! x = y; ·) x 6 y, y 6 z ¡! x 6 z; Æñáù, ³) å³ÛÙ³ÝÁ μËáõÙ ¿ x + x = x ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó, μ) å³ÛÙ³ÝÁª ·áõÙ³ñÙ³Ý ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó, ÇëÏ ·) å³ÛÙ³ÝÁª Ýñ³ ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ Q(6) ½áõÛ·Á Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª Q-áõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý supfa; bg-Ý ¨ inffa; bgÝª μáÉáñ a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²í»ÉÇ ×Çßï, ³å³óáõó»Ýù supfa; bg = a + b ¨ inffa; bg = a ¢ b

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: a + (a + b) = a + b ¡! a 6 a + b; b + (a + b) = a + b ¡! b 6 a + b;

³ÛëÇÝùÝª a + b ï³ññÁ fa; bg »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ í»ñÇÝ »½ñ ¿: a 6 c; b 6 c ¡! a + c = c; b + c = c ¡! (a + b) + c = c ¡! a + b 6 c;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³ÛëÇÝùÝª a + b-Ý fa; bg »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÝ ¿: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ab + a = a ¡! ab 6 a; ab + b = b ¡! ab 6 b;

³ÛëÇÝùÝª ab-Ý fa; bg »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ëïáñÇÝ »½ñ ¿: ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ab-Ý fa; bg »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÝ ¿ª Æñáù,

c 6 a; c 6 b ¡! c 6 ab :

c 6 a; c 6 b ¡! c + a = a; c + b = b ¡! c + ab =

= c(c + b) + ab = cb + ab = c(c + a)b + ab = c(ab) + ab = ab ¡! c 6 ab :

2) åÝ¹áõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ³å³óáõóíáõÙ ¿ ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: Æñáù, ë³ÑÙ³ÝíáÕ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ²å³óáõó»Ýù, ûñÇÝ³Ï, + ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ½áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: (x + y) + z > x + y > x; (x + y) + z > x + y > y; (x + y) + z > z : Ð»ï¨³μ³ñ, (x + y) + z > y + z ¨ (x + y) + z > x + (y + z): ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ëï³óíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³Ï³é³Ï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª x + (y + z) > (x + y) + z: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÇó: ²ÛÝáõÑ»ï¨, x(x + y) = inffx; x + yg 6 x: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, x 6 x, x 6 supfx; yg = x + y: Ð»ï¨³μ³ñ, x 6 inffx; x + yg = x(x + y) ¨ x(x + y) = x, ³ÛëÇÝùÝª ï»ÕÇ áõÝÇ ³é³çÇÝ ÏÉ³ÝÙ³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ: ÜÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ý³¨ »ñÏñáñ¹ ÏÉ³ÝÙ³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ: 3) åÝ¹áõÙÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý μËáõÙ ¿ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó: ¤ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ·ñ³ý ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q_ = Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ·ñ³ýÁ: ²ÛëåÇëáí, Ï³í³ñÝ»ñÁ å³ïÏ»ñíáõÙ »Ý ·ñ³ýÝ»ñÇ ï»ëùáí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» Q(6) ½áõÛ·Á Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ Q(6¡1 ) ½áõÛ·Á ¨ë ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ:

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.1: 1) ºÃ» Q(6)^ = Q(+; ¢), ³å³ Q(6¡1 )^ = Q(¢; +); 2) ¤ »Ã» Q(+; ¢)_ = Q(6), ³å³ Q(¢; +)_ = Q(6¡1 ): ¨ Q(6)^ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÇ ÷áË³ñ»Ý Q(+; ¢)_ _ Ïû·ï³·áñÍ»Ýù Q ¨ Q^ Ñ³Ù³éáï Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ:

»ñμ»ÙÝ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.2: ¸Çóáõù Q(6) ½áõÛ·Á Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ , ÇëÏ Q(+; ¢)-Á ¹ñ³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³í³ñÝ ¿ : ºÃ» a 6 c ¨ b 6 d, ³å³ a + b 6 c + d ¨ ab 6 cd: ²å³óáõóáõÙ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, a+c = supfa; cg = c, a¢c = inffa; cg = a, b + d = supfb; dg = d, b ¢ d = inffb; dg = b: Ð»ï¨³μ³ñ, (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) = c + d; (ab)(cd) = (ac)(bd) = ab ¨ a + b 6 c + d, ab 6 cd:

È»ÙÙ 20.1: ò³ÝÏ³ó³Í Q(+; ¢) Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª (xy + z)(y + z) = xy + z; (x + y)z + yz = (x + y)z :

²å³óáõóáõÙ: ²å³óáõó»Ýù, ûñÇÝ³Ï, ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ a ¢ b = inffa; bg 6 a, ³å³ (xy + z)(y + z) 6 xy + z : ²éÇÝùÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª xy + z 6 xy + z, ÇëÏ Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ xy + z 6 y + z: Ð»ï¨³μ³ñ, xy + z 6 (xy + z)(y + z): ØÝáõÙ ¿ ÏÇñ³é»É §6¦ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Ç Ñ³Ï³ëÇÙ»ïñÇÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.3: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ X(Y (X(x; y); z); Y (y; z)) = Y (X(x; y); z)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í X; Y 2 f+; ¢g ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, »ñμ (X; Y ) = (+; ¢), (X; Y ) = (¢; +), (X; Y ) = (+; +), (X; Y ) = (¢; ¢): ¤

²ÛëåÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñï»Õ ÷áùñ³ï³é»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñ, ÇëÏ Ù»Í³ï³é»ñÁ‘ ýáõÝÏóÇáÝ³É ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñ: ²ÛëåÇëáí, ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ¨ ýáõÝÏóÇáÝ³É ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ (ëáíáñ³Ï³Ý) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñ ¨ ïñí³Í ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñ: úñÇÝ³ÏÝ»ñ: ÊÙμÇ μáÉáñ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ¹³ëÁ Ï³í³ñ ¿, áñï»Õ »ñÏáõ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ, ÇëÏ »ñÏáõ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ·áõÙ³ñ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ïñí³Í »ñÏáõ (ÇÝí³ñÇ³Ýï)

»ÝÃ³ËÙμ»ñÇÝ

(³ÛëÇÝùÝª »ñÏáõ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñ ¹ñ³Ýó å³ñáõÝ³ÏáÕ μáÉáñ (ÇÝí³ñÇ³Ýï) »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ñ³ïÙ³ÝÁ): ÜÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ûÕ³ÏÇ μáÉáñ »ÝÃ³ûÕ³ÏÝ»ñÇ (Ç¹»³ÉÝ»ñÇ) Ï³í³ñÁ: ´áÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ëáíáñ³Ï³Ý ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ÏÇë³ûÕ³Ï ¿, μ³Ûó Ï³í³ñ ã¿: ê³Ï³ÛÝ, »Ã» »ñÏáõ x; y 2 N μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³Ý³Ýù maxfx; yg-Á ¨ minfx; yg-Á, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù Ï³í³ñ: Ø»Ýù, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, Í³ÝáÃ »Ýù N μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³í³ñÇ í»ñ³Í»Éáõ Ù»Ï ³ÛÉ μÝ³Ï³Ý »Õ³Ý³ÏÇ Ñ»ï ¨ë, áñï»Õ áñå»ë Ï³í³ñ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ í»ñóíáõÙ »Ý »ñÏáõ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ ¨ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ: Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·Á ÏÉÇÝÇ μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ: Î³í³ñÇ ³Ûë »ñÏáõ ûñÇÝ³ÏÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ý³¨ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ (Ã»áñ»Ù 6.5):

20.2. Øá¹áõÉÛ³ñ (¸»¹»ÏÇÝ¹Û³Ý) Ï³í³ñÝ»ñ ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á Ï³í³ñ Ñ³Ù³å³ëï³ëË³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ (Ã»áñ»Ù 20.1):

¿, ÇëÏ Q(6) ½áõÛ·Á ¹ñ³ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³Ù ¹»¹»ÏÇÝ¹Û³Ý, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁª x 6 z ¡! (x + y)z = x + yz áñï»Õ x; y; z 2 Q: Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³Ù ¹»¹»ÏÇÝ¹Û³Ý, »Ã» Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q^ = Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿: Üßí³Í å³ÛÙ³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý ¨ ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ Ý³¨ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå‘ x ¢ z = x ¡! (x + y)z = x + yz; Ï³Ù x + z = z ¡! (x + y)z = x + yz;

áñï»Õ x; y; z 2 Q: ²ÛëåÇëÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ùí³½ÇÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, ÇëÏ ùí³½ÇÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñáí áñáßíáÕ ¨ ë¨»éí³Í Ãíáí ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½Çμ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ: àõëïÇ, μáÉáñ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹³ëÁ ùí³½Çμ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿: úñÇÝ³Ï, ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñ ¿, áñï»Õ »ñÏáõ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ, ÇëÏ »ñÏáõ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ ³ë»Éáí å»ïù ¿ Ñ³ëÏ³Ý³É ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ ë³ÑÙ³ÝíáÕ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ: ²μ»ÉÛ³Ý ËÙμÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿: Øá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñÇ Ï³ñ¨áñ ûñÇÝ³Ï ¿ ËÙμÇ μáÉáñ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ï³í³ñÁ (è. ¸»¹»ÏÇÝ¹, 1900Ã.), áñï»Õ »ñÏáõ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ, ÇëÏ »ñÏáõ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ ·áõÙ³ñ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ïñí³Í »ñÏáõ ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñÇÝ: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, »Ã» G(¤)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ËáõÙμ ¿, ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª (X ¤ Y ) \ Z = X ¤ (Y \ Z); áñï»Õ X; Y; Z-Á G(¤) ËÙμÇ ó³ÝÏ³ó³Í ÇÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËÙμ»ñ »Ý, X μ Z, ÇëÏ X ¤ Y = fx ¤ y j x 2 X; y 2 Y g = supfX; Y g (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 18.21):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

È»ÙÙ 20.2: àñå»ë½Ç Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ Ùá¹áõÉÛ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ x(xy + z) = xy + xz

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, μáÉáñ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹³ëÁ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿, ³å³ Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí xy 6 x ³éÝãáõÃÛáõÝÁ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª x(xy + z) = (xy + z)x = xy + zx = xy + xz :

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÉÝ»Éáí ïñí³Í ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó Ñ³ßí»Ýù (a + b)c-Ý, áñï»Õ a 6 c, ³ÛëÇÝùÝª »ñμ ac = a. ¤

(a + b)c = (ac + b)c = c(ca + b) = ca + cb = a + bc :

È»ÙÙ 20.3: àñå»ë½Ç Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ Ùá¹áõÉÛ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (x + yz)(y + z) = x(y + z) + yz

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿: ø³ÝÇ áñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ù»ç‘ yz 6 y + z, ³å³ (x + yz)(y + z) = (yz + x)(y + z) = yz + x(y + z) : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ ¨ y 6 z, ³å³ yz = y, y + z = z ¨

Ýßí³Í

(y + x)z = (x + yz)(y + z) = x(y + z) + yz = xz + y = y + xz :

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.4: ºÃ» Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿ , ³å³ Q(6¡1 ) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ Ùá¹áõÉÛ³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» É»ÙÙ 20.3-áõÙ Ýßí³Í ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ù»ç +-Á ÷áË³ñÇÝ»Ýù ¢ -áí, ÇëÏ ¢ -Áª +-áí, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù ÝáõÛÝ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ: ¤

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.5: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý X(Y (x; X(y; z)); Y (y; z)) = Y (X(x; Y (y; z)); X(y; z)); X(x; Y (X(x; y); z)) = Y (X(x; y); X(x; z))

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í X; Y 2 f+; ¢g ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëÇÝùÝ` Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ýßí³Í ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, »ñμ (X; Y ) = (+; ¢), (X; Y ) = (¢; +), (X; Y ) = (+; +), (X; Y ) = (¢; ¢): ¤ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ áã ¹³ï³ñÏ Q0 μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢)-Ç »ÝÃ³Ï³í³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Q0 6 Q, »Ã» Q0 -Á ÷³Ï ¿ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ³ÛëÇÝùÝª x; y 2 Q0 ¡! x + y 2 Q0 ; x; y 2 Q0 ¡! x ¢ y 2 Q0 :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ï³í³ñÇ »ÝÃ³Ï³í³ñÁ ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñ ÝáõÛÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, ÇëÏ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñÇ »ÝÃ³Ï³í³ñÁ ÏÉÇÝÇ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñ: ²å³óáõó»Ýù Ï³í³ñÇ Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý ¸»¹»ÏÇÝ¹Ç Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: Â»áñ»Ù 20.2 (è. ¸»¹»ÏÇÝ¹) : àñå»ë½Ç Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ Ùá¹áõÉÛ³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ûÅïí³Í ãÉÇÝÇ ÝÏ. 1 ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñáí:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿, ³å³ ³ÛÝ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É ÝÏ. 1áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ, áñáíÑ»ï¨ ÝÏ. 1áõÙ å³ïÏ»ñí³Í Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ã¿: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ã¿, ³å³ ³ÛÝ ÏáõÝ»Ý³ ÝÏ. 1áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ: Æñáù, »Ã» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ã¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ x; y; z 2 Q ï³ññ»ñ, áñ x 6 z, μ³Ûó (x + y)z 6= x + yz: ê³Ï³ÛÝ x + yz 6 (x + y)z, áñáíÑ»ï¨ x 6 z, x 6 x + y, Ñ»ï¨³μ³ñ‘ x 6 (x + y)z: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ yz 6 (x+y)z, ³å³ x+yz 6 (x+y)z: Üß³Ý³Ï»Éáí a = x+yz, b = (x+y)z, ÏáõÝ»Ý³Ýùª a < b, y + a > b, y + a > y + b, y + a 6 y + b, yb 6 a, yb 6 ya,

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ya 6 yb: Ð»ï¨³μ³ñ, y + a = y + b ¨ ya = yb: ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Q0 = fa; b; y; y + a; yag »ÝÃ³Ï³í³ñÇÝ, áñÁ ÏáõÝ»Ý³ ÝÏ. 1 ï»ëùÁ, áñáíÑ»ï¨ Ýßí³Í 5 ï³ññ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ »Ý: Æñáù, y 66 a, y 66 b, b 66 y, a 66 y: ²å³óáõó»Ýù ëñ³Ýù: 1) ºÃ» y 6 a, ³å³ y + a = a > b, μ³Ûó ù³ÝÇ áñ a 6 b, Ñ»ï¨³μ³ñ‘ a = b: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: 2) ºÃ» y 6 b, ³å³ y ¢ b = y 6 a, áñÝ ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: 3) ºÃ» b 6 y, ³å³ b ¢ y = b 6 a, Ñ»ï¨³μ³ñ‘ a = b: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: 4) ºÃ» a 6 y, ³å³ a + y = y > b, áñÝ ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù ÑÝ³ñ³íáñ ã¿: ¤ ± Q ´´ QQ ´ ± ´ ± S ± S ¶¶ S ¶ S S ±¶ ÝÏ. 1 (pentagon)

20.3. ´³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÝ»ñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³ßË³Ï³Ý, »Ã» Ýñ³ Ù»ç ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁª x(y + z) = xy + xz μáÉáñ x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³ßË³Ï³Ý, »Ã» Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q_ = Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ μ³ßË³Ï³Ý ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, μáÉáñ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹³ëÁ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿ ¨ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í »ÝÃ³Ï³í³ñ ¨ë ÏÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ: ´³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÁ Ý³¨ ÏÇë³ûÕ³Ï ¿: úñÇÝ³Ï, Ñ»ï¨Û³É Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μ³ßË³Ï³Ý »Ý. ³) X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ 2X μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÙÏ³ïÙ³Ùμ;

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

μ) μáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ëáíáñ³Ï³Ý §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ; ·) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ßÕÃ³ (Ï³Ù ·Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ); ¹) μáÉáñ μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª μ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ; ») ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁª ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ: È»ÙÙ 20.4: àñå»ë½Ç Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ (x + y)z 6 x + yz

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõóáõÙ: ºÃ» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ μ³ßË³Ï³Ý ¿, ³å³ (x + y)z = xz + yz 6 x + yz : ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» (x + y)z 6 x + yz, ³å³ (x + y)z = (x + y)zz 6 (x + yz)z = (yz + x)z 6 yz + xz; ³ÛëÇÝùÝª (x + y)z 6 xz + yz: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ Ñ³Ï³é³Ï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ μáÉáñ Ï³í³ñÝ»ñáõÙ: Æñáù, xz 6 (x + y)z; yz 6 (x + y)z; Ñ»ï¨³μ³ñ, xz + yz 6 (x + y)z:

È»ÙÙ 20.5: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ºÃ» x 6 z, ³å³ xz = x ¨ (x + y)z = xz + yz = x + yz: ¤ ê³Ï³ÛÝ, Ñ³Ï³é³ÏÁ ×Çßï ã¿: úñÇÝ³Ï, ãáñë ï³ññ³ÝÇ áã ÙÇ³ÍÇÝ (μ³Ûó ³μ»ÉÛ³Ý) ËÙμÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿, μ³Ûó μ³ßË³Ï³Ý ã¿: Ð³ñÃáõÃÛ³Ý (³ÛëÇÝùÝª »ñÏã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) μáÉáñ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³í³ñÁ ÉÇÝ»Éáí Ùá¹áõÉÛ³ñ, μ³ßË³Ï³Ý ã¿ (μËáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³çáñ¹ É»ÙÙÇó):

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

È»ÙÙ 20.6: ºÃ» μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñáõÙ x + x0 = x + x00 ¨ x ¢ x0 = x ¢ x00 , ³å³ x0 = x00 :

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, x0 = x0 (x0 + x) = x0 (x00 + x) = x0 x00 + x0 x = x00 x0 + x00 x = = x00 (x0 + x) = x00 (x00 + x) = x00 : Â»áñ»Ù 20.3: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) åÝ¹áõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý. 1) Q(+; ¢)-Á μ³ßË³Ï³Ý ¿ ; 2) Q(+; ¢)-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿

Ï³í³ñÇ

Ñ³Ù³ñ

Ñ»ï¨Û³É

x + yz = (x + y)(x + z) (»ñÏ³ÏÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ)

ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ; 3) Q(+; ¢)-Á μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ xy + yz + zx = (x + y)(y + z)(z + x)

ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ: ²å³óáõóáõÙ: 1)!2): Æñáù, (x + y)(x + z) = (x + y)x + (x + y)z = x(x + y) + z(x + y) = = x + zx + zy = x + zy = x + yz : 2)!3): Æñáù, xy + yz + zx = (xy + yz) + zx = (xy + yz + z)(xy + yz + x) = = (xy + z)(yz + x) = (x + z)(y + z)(y + x)(z + x) = (x + y)(y + z)(z + x) : 3)!1): Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ 3)-Çó μËáõÙ ¿ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛáõÝÁ: Æñáù, »Ã» a 6 c, ³å³ ac = a, a + c = c ¨ a+bc = ab+a+bc = ab+ac+bc = (a+b)(a+c)(b+c) = (a+b)c(b+c) = (a+b)c : ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù 3)!1) Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁª »ÉÝ»Éáí Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛáõÝÇó: Üß³Ý³Ï»Éáí u = xy+yz+zx, v = (x+y)(y+z)(z+x), ÏáõÝ»Ý³Ýùª u = v, xu = xv, áñï»Õ xu = x(xy + yz + zx) = ((xy + zx) + yz)x = xy + zx + yzx = xy + zx;

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

xv = x(x + y)(y + z)(z + x) = x(y + z)(z + x) = x(x + z)(y + z) = x(y + z) : Ð»ï¨³μ³ñ, x(y + z) = xy + xz: ÜÏ³ï»Ýù, áñ 2)!1) Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý³¨ ëï³Ý³É ³í»ÉÇ Ñ»ßïª xy +xz = (xy +x)(xy +z) = x(xy +z) = x(x+z)(y +z) = x(y +z): ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.6: ºÃ» Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μ³ßË³Ï³Ý ¿ , ³å³ Q(6¡1 ) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.7: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý X(x; Y (y; z)) = Y (X(x; y); X(x; z)); X(Y (x; y); z) = Y (X(x; z); X(y; z))

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í X; Y 2 f+; ¢g ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëÇÝùÝ` Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ýßí³Í ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý μ³ßË³Ï³Ý ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, »ñμ (X; Y ) = (+; ¢), (X; Y ) = (¢; +), (X; Y ) = (+; +), (X; Y ) = (¢; ¢): ¤ ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù Ï³í³ñÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ´ÇñÏÑáýÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:

Â»áñ»Ù 20.4 (¶. ´ÇñÏÑáý) : àñå»ë½Ç Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ûÅïí³Í ãÉÇÝÇ ÝÏ.1 ¨ ÝÏ.2 ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñÝ»ñáíª ± ¶ S ¶ S ¶ S S± ±¶ ± S ¶ S ¶ S ¶ : S ±¶ ÝÏ. 2 (diamond)

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: Æñáù, μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »ÝÃ³Ï³í³ñ ¨ë μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÁ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É ÝÏ. 1 ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ, áñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ã¿: ²ÛÝáõÑ»ï¨, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É ÝÏ. 2 ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ, áñáíÑ»ï¨ ÝÏ. 2-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í Ï³í³ñÁ μ³ßË³Ï³Ý ã¿: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ãáõÝÇ ÝÏ. 1 ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý ¸»¹»ÏÇÝ¹Ç Ñ³Ûï³ÝÇßÇ, ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ùá¹áõÉÛ³ñ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý c1 ; c2 ; c3 2 Q ï³ññ»ñ ¨ Ýß³Ý³Ï»Ýùª a1 = c2 ¢ c3 ;

a2 = c1 ¢ c3 ;

a3 = c1 ¢ c2 ;

b1 = c2 + c3 ;

b2 = c1 + c3 ;

b3 = c1 + c2 ;

di = (ai + ci )bi = ai + ci bi ; u = b1 b2 b3 ;

ai 6 bi ;

i = 1; 2; 3;

v = a1 + a2 + a3 ;

áñï»ÕÇó (Áëï Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇ)‘ d1 + d2 = a1 + c1 b1 + a2 + c2 b2 = (c1 b1 + c2 b2 ) + a1 + a2 ; áñï»Õ c1 b1 +c2 b2 = (c2 b2 +c1 )b1 = ((c1 +c2 )b2 )b1 = b3 b2 b1 = u, áñáíÑ»ï¨ c2 b2 6 b1 , c1 6 b2 : ê³Ï³ÛÝ ai 6 u ó³ÝÏ³ó³Í i = 1; 2; 3 ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ: úñÇÝ³Ï, a1 6 b1 , ³ÛëÇÝùÝª c2 c3 6 c2 + c3 , áñï»ÕÇó c2 c3 (c1 + c3 ) 6 (c2 + c3 )(c1 + c3 ); c2 c3 6 (c2 + c3 )(c1 + c3 ); c3 c2 (c1 + c2 ) 6 (c2 + c3 )(c1 + c3 )(c1 + c2 ); a1 = c2 c3 6 (c2 + c3 )(c1 + c3 )(c1 + c2 ) = u : ÜáõÛÝ Ó¨áí ëï³óíáõÙ »Ý a2 6 u ¨ a3 6 u ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, d1 + d2 = u + a1 + a2 = u: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ »Ý d1 + d3 = u, d2 + d3 = u, d1 ¢ d2 = v, d1 ¢ d3 = v, d2 ¢ d3 = v Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºÃ» d1 ; d2 ; d3 2 Q ï³ññ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Ñ³Ù»Ù³ï»ÉÇ ã»Ý, ³å³ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáõÝ»Ý³ ÝÏ. 2 ï»ëùÇ Q0 = fd1 ; d2 ; d3 ; u; vg »ÝÃ³Ï³í³ñÁ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ:

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ i 6= j Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ di 6 dj : ¸Çóáõù d1 6 d2 : àõëïÇ, u = d1 + d2 = d2 ¨ v = d1 ¢ d2 = d1 : ê³Ï³ÛÝ Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ ³í»ÉÇÝª d2 = u ¢ d2 = (d1 + d3 )d2 = d1 + d3 d2 = d1 + v = d1 : ¤

àõëïÇ, u = v: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ã»áñ»Ù 20.3-Çó:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.8: àñå»ë½Ç Q(+; ¢) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ x + y = x + z;

Ï³í³ñÁ

ÉÇÝÇ

μ³ßË³Ï³Ý

x ¢ y = x ¢ z ¡! y = z;

áñï»Õ x; y; z 2 Q: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ É»ÙÙ 20.6-Çó, ÇëÏ μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁª Ã»áñ»Ù 20.4-Çó: Æñáù, Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É ÝÏ. 1 Ï³Ù ÝÏ. 2 ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ Ë³ËïíáõÙ ¿ ïñí³Í

å³ÛÙ³ÝÁ:

20.4. ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ·³Õ³÷³ñÁ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý ÙÇ³íáñÝ»ñáí, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³μ³ñ Ýß³Ý³ÏíáõÙ »Ý 0-áí ¨ 1-áíª

+ ¨ áñáÝù

x ¢ 1 = x; x+0 = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, 1 + x = 1 + 1 ¢ x = 1; 0 ¢ x = 0(0 + x) = 0

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÏÉ³ÝÙ³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ: Ð»ï¨³μ³ñ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q_ = Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»çª 0 6 x 6 1 ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ, áñáí ¿É Ñ»Ýó å³ÛÙ³Ý³íáñí³Í

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ï³í³ñÇ ³Ýí³ÝáõÙÁ: ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(6 ) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ»ñáí, ³å³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q^ = Q(+; ¢)

Ï³í³ñÁ ÏÉÇÝÇ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï:

Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (G. Boole), »Ã» Ýñ³ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. 1) ³ÛÝ μ³ßË³Ï³Ý ¿; 2) ³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿; 3) Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ ûÅïí³Í ¿ μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙáí, ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x0 2 Q ï³ññ, áñ ½ x + x0 = 1; x ¢ x0 = 0; áñï»Õ x0 -Á ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙ:

Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý, »Ã» Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q_ = Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿: Ð»ï¨³μ³ñ, »Ã» Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ μáõÉÛ³Ý ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Q(6¡1 ) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ x0 -Á áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý: Æñáù, »Ã» Ý³¨ ½ x + x00 = 1; x ¢ x00 = 0;

³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 20.6-Çª x0 = x00 : Ð»ï¨³μ³ñ, x ! x0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ (0 )-áí, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï»É áñå»ë μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ññáñ¹ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ: ÆëÏ »Ã» 0Ý ¨ 1-Á ¹Çï»Ýù áñå»ë ½ñá-ï»Õ³ÝÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³å³ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ¹³éÝáõÙ »Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñª ·ñí³Í +, ¢, 0 , 0, 1 ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí: Ð»ï¨³μ³ñ, μáÉáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹³ëÁ μ³½Ù³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿: È»ÙÙ 20.7: ò³ÝÏ³ó³Í μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ 00 = 1, 10 = 0 ¨ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª (x0 )0 = x;

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

(x + y)0 = x0 ¢ y 0 ; (x ¢ y)0 = x0 + y 0 :

(¸» Øáñ·³ÝÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ (ûñ»ÝùÝ»ñ))

²å³óáõóáõÙ: ´áõÉÛ³Ý Éñ³óÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ‘ ½ 0 ½ 0 x + x = 1; x + (x0 )0 = 1; x ¢ x = 0; x0 ¢ (x0 )0 = 0; áñï»ÕÇó, μáõÉÛ³Ý Éñ³óÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ‘ (x0 )0 = x: ²ÛÝáõÑ»ï¨, 00 = 1 ¨ 10 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ²å³óáõó»Ýù ¸» Øáñ·³ÝÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºñÏ³ÏÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª (x + y) + (x0 ¢ y 0 ) = (x + x0 y 0 ) + y = (x + x0 )(x + y 0 ) + y = = 1(x + y 0 ) + y = x + y 0 + y = x + 1 = 1; (x + y)(x0 y 0 ) = xx0 y 0 + yx0 y 0 = 0 + 0 = 0 : ¸» Øáñ·³ÝÇ »ñÏñáñ¹ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý μËáõÙ ¿ Ýñ³ ³é³çÇÝ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó ¨ (x0 )0 = x å³ÛÙ³ÝÇó: ¤ Â»áñ»Ù 20.5: Î³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý X(x; Y (y; z)0 )0 = Y (X(x; y 0 )0 ; X(x; z 0 )0 ); X(Y (x; y)0 ; z)0 = Y (X(x0 ; z)0 ; X(y 0 ; z)0 )

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í X; Y 2 f+; ¢g ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²ÛëÇÝùÝ` Ï³Ù³Û³Ï³Ý Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ýßí³Í ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí, »ñμ (X; Y ) = (+; ¢), (X; Y ) = (¢; +), (X; Y ) = (+; +), (X; Y ) = (¢; ¢): ¤ Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ï³í³ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý (ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý) å³ÛÙ³ÝÇÝ, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ññ áõÝÇ (áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï) μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙ: Ð»ï¨Û³É »ñÏáõ ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ï³åí³Í »Ý μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ»ï:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 20.6 (´ÇñÏÑáý, üáÝ

Ü»ÛÙ³Ý): ´áõÉÛ³Ý

Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¨ Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñ ÏÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¨ μáõÉÛ³Ý ¤ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: öáùñ³·áõÛÝ (½ñáÛ³Ï³Ý) ï³ññáí Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ïáÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ^ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q = Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ³ïáÙÝ»ñ: ¼ñáÛ³Ï³Ý ï³ññáí Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ïáÙ³Ï³Ý, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 6= 0 ï³ññ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ áñ¨¿ a ³ïáÙ, ³ÛëÇÝùÝª a 6 x: úñÇÝ³Ï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ Ï³í³ñ ³ïáÙ³Ï³Ý ¿: Â»áñ»Ù 20.7 (´ÇñÏÑáý, àõûñ¹): ´áõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¨ ³ïáÙ³Ï³Ý Ï³í³ñ ÏÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý, Ñ»ï¨³μ³ñ, ¨ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: ¤

úñÇÝ³ÏÝ»ñ: 1) ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, Ï³Ù³Û³Ï³Ý A μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 2A -áí (Ï³Ù pow(A)-áí) ¨ áñÇ Ï³í³ñ³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª X + Y = X [ Y; X ¢ Y = X \ Y; áñï»Õ X; Y 2 2A :

X 0 = A n X;

2) ¸Çóáõù p-Ý å³ñ½ ÃÇí ¿, ÇëÏ Np -Ý μáÉáñ ³ÛÝ n μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝó Ñ³Ù³ñ n = 1 ¢ p1 ¢ p2 ¢ ¢ ¢ pk(n) ; áñï»Õ μáÉáñ pi ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³ÝóÇó ï³ñμ»ñ ¨ p-Ý ã·»ñ³½³ÝóáÕ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý: Np -Ý ÏÉÇÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» áñå»ë m; n 2 Np μÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ í»ñóÝ»Ýù Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏÁ, ÇëÏ áñå»ë ³ñï³¹ñÛ³Éª Ýñ³Ýó ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñÁ:

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

3) ºñÏáõ ï³ññ³ÝÇ f0; 1g Ãí³ÛÇÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³éÝáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» x; y 2 f0; 1g Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³Ý³Ýù maxfx; yg-Á ¨ minfx; yg-Á, ÇëÏ x0 = 1 ¡ x: ²Ûë ¹»åùáõÙ ÁÝ¹áõÝí³Í »Ý Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ýñ³Ñ³Ûï Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁª x _ y = maxfx; yg; x&y = minfx; yg; áñï»Õ x; y 2 f0; 1g: ²ÛëåÇëáí Ñ³Ý·áõÙ »Ýù 2-ï³ññ³ÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇÝª _

4) àñ¨¿ ÷áñÓáõÙ (¿ùëå»ñÇÙ»Ýï) Ñ³Ý¹ÇåáÕ μáÉáñ å³ï³Ñ³ñÝ»ñÇ (å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª å³ï³Ñ³ñÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ ë³ÑÙ³ÝíáÕ Ñ³ÛïÝÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: 5) Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ [a; b] Ñ³ïí³ÍÇ μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ, áñáÝù ã³÷»ÉÇ »Ý È»μ»·Ç ÇÙ³ëïáí, Ï³½ÙáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûëï»Õ [a; b] Ñ³ïí³ÍÇ ÷áË³ñ»Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹»ï³ñÏ»É Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ ã³÷»ÉÇ ¿ È»μ»·Ç ÇÙ³ëïáí: ØÛáõë ÏáÕÙÇó, [a; b] Ñ³ïí³ÍÇ μáÉáñ ã³÷»ÉÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷áË³ñ»Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É Ýñ³ μáÉáñ μáñ»ÉÛ³Ý »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ, áñÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (E. Borel): 6) X ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ÛÝ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï μ³ó »Ý ¨ ÷³Ï, Ï³½ÙáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: ²Ûë μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ X ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μ³ó-÷³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð³Ù»Ù³ï»Éáí 2-ï³ññ³ÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ÙÝ³óùÝ»ñÇ ûÕ³ÏÇ (¹³ßïÇ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Z2 (+; ¢) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï, ÝÏ³ïáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï³åÁª x _ y = x + y + xy; x&y = x ¢ y;

x + y = (x&y 0 ) _ (y&x0 ) :

ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÷áË³¹³ñÓ Ï³åÇ Ù»ç, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, μáõÉÛ³Ý ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ»ï: Q(+; ¢) ûÕ³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý ûÕ³Ï, »Ã» ³ÛÝ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¿, ï»Õ³÷áË³Ï³Ý, ûÅïí³Í e ÙÇ³íáñáí ¨ x2 = x ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: ´áõÉÛ³Ý ûÕ³ÏáõÙ (x + x)2 = x + x å³ÛÙ³ÝÇó μËáõÙ ¿ x + x = 0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÝ ³å³óáõóí»É »Ý êïááõÝÇ (M. H. Stone) ÏáÕÙÇó: Â»áñ»Ù 20.8 (êïááõÝ): 1) ºÃ» Q(+; ¢)-Á μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ ¨ x © y = xy 0 + yx0 ;

³å³ Q(©; ¢)-Á μáõÉÛ³Ý ûÕ³Ï ¿ : 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» Q(©; ¢)-Á μáõÉÛ³Ý ûÕ³Ï ¿ ¨ x + y = x © y © xy; ³å³ Q(+; ¢)-Á μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ , áñï»Õ x0 = e©x, ÇëÏ e-Ý μáõÉÛ³Ý ûÕ³ÏÇ ÙÇ³íáñÝ ¿ : ²å³óáõóáõÙ: 1) ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: Æñáù, x © y = y © x;

x(y © z) = xyz 0 + xzy 0 = xy © xz; áñï»Õ 0-Ý μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññÝ ¿: 2)-Á ¨ë ³å³óáõóíáõÙ ¿ ³ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ¤

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

20.5. Î³í³ñÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ ¸Çóáõù Q(+; ¢)-Á ¨ Q¤ (+; ¢)-Á Ï³í³ñÝ»ñ »Ý: ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ (Ï³í³ñ³ÛÇÝ) ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÑáÙáÙáñýÇ½Ù)ª Q(+; ¢) Ï³í³ñÇó Q¤ (+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. '(x + y) = 'x + 'y; '(x ¢ y) = 'x ¢ 'y

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ³Û¹ ¹»åùáõÙ ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ý³¨ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, ³å³ '-Ý ÏáãíáõÙ ¿ (Ï³í³ñ³ÛÇÝ) ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, Ç½áÙáñýÇ½Ù): Q(+; ¢) ¨ Q¤ (+; ¢) Ï³í³ñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q¤ Ï³Ù Q » = Q¤ , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q¤ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ê³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³í³ñÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ (Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ¿: ºÃ» ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ (Ï³í³ñ³ÛÇÝ) Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ '¡1 : Q¤ ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: È»ÙÙ 20.8: Î³í³ñÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¤ Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q¤ (+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q¤ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¨ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: Â»áñ»Ù 20.9: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á ¨ Q¤ (+; ¢)Á Ï³í³ñÝ»ñ »Ý: àñå»ë½Ç ' : Q ! Q¤ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ïñí³Í Ï³í³ñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q(6) ¨ Q¤ (6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁª x 6 y Ã! '(x) 6 '(y);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ x; y 2 Q (³ÛëÇÝùÝ` áñ ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨): ²å³óáõóáõÙ: ²Ññ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ »Ã» ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇó Q¤ (+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç, ³å³ '¡1 : Q¤ ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù Q¤ (+; ¢) Ï³í³ñÇó Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç ¨ Ñ»ï¨³μ³ñ‘ x 6 y ¡! x + y = y ¡! '(x + y) = '(y) ¡! '(x) + '(y) = = '(y) ¡! '(x) 6 '(y); '(x) 6 '(y) ¡! '¡1 ('(x)) 6 '¡1 ('(y)) ¡! x 6 y :

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ x 6 x + y ¨ y 6 x + y, ³å³ '(x) 6 '(x + y) ¨ '(y) 6 '(x + y), ³ÛëÇÝùÝª '(x + y)Á f'(x); '(y)g μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñ ¿, ³ÛëÇÝùÝª '(x + y) = supf'(x); '(y)g = '(x) + '(y): Æñáù, »Ã» '(x) 6 c0 ¨ '(y) 6 c0 , ÇëÏ c0 = '(c), ³å³ x 6 c ¨ y 6 c: Ð»ï¨³μ³ñ, x+y 6 c ¨ '(x+y) 6 '(c) = c0 : ºñÏ³ÏÇ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ '(x ¢ y) = '(x) ¢ '(y) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.9: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á ¨ Q¤ (+; ¢)Á Ï³í³ñÝ»ñ »Ý: ' : Q ! Q¤ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ïñí³Í Ï³í³ñÝ»ñÇ ÙÇç¨, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁª ³) '(x + y) = '(x) + '(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; μ) '(x ¢ y) = '(x) ¢ '(y) ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ê³Ï³ÛÝ ³Ûë åÝ¹áõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ Q ¨ Q¤ Ï³í³ñÝ»ñ ¨ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ãÑ³Ý¹Çë³óáÕ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³) (Ï³Ù μ)) å³ÛÙ³ÝÇÝ: úñÇÝ³Ï,

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

±¶ S

¶ S

± ¶ S

S ±¶

z: ± S ¶

S± ¶

: ± : ±

Ýßí³Í ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³) å³ÛÙ³ÝÇÝ, μ³Ûó ãÇ μ³í³ñ³ñáõÙ μ) å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ï³í³ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ [x; y] Ñ³ïí³Í »ÝÃ³Ï³í³ñ ¿ (x 6 y): Â»áñ»Ù 20.10 (¸»¹»ÏÇÝ¹): ºÃ» Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿ , ³å³ [ab; b] ¨ [a; a+b] Ñ³ïí³ÍÝ»ñÝ Ç½áÙáñý »Ý ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù I = [ab; b] ¨ J = [a; a + b]: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ' : I ! J ¨ '0 : J ! I ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. '(x) = x + a;

x 2 I;

'0 (y) = y ¢ b;

y2J:

ø³ÝÇ áñ ab 6 x 6 b, ³å³ a = ab + a 6 x + a 6 a + b, ³ÛëÇÝùÝª '(x) 2 J: ÜáõÛÝ Ï»ñå, ù³ÝÇ áñ a 6 y 6 a+b, ³å³ ab 6 yb 6 (a+b)b = b, ³ÛëÇÝùÝª '0 (y) 2 I: ú·ïí»Éáí Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇó, Ý³Ë ³å³óáõó»Ýù ' ¢ '0 = "I ¨ '0 ¢ ' = "J Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñï»ÕÇó ÏμËÇ 'Ç ¨ '0 Ç ÷áËÙÇ³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ (μÇ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ). (' ¢ '0 )x = '0 ('x) = '0 (x + a) = (x + a)b = x + ab = x = "I (x); ('0 ¢ ')y = '('0 y) = '(y ¢ b) = yb + a = (a + b)y = y = "J (y) :

²ÛÝáõÑ»ï¨,

'(x + y) = x + y + a = x + y + a + a = (x + a) + (y + a) = '(x) + '(y); '(x ¢ y) = ' ('0 (x0 ¢ y 0 )) = ('0 ¢ ')(x0 ¢ y 0 ) = x0 ¢ y 0 = '(x) ¢ '(y);

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

áñï»Õ x0 = '(x), y 0 = '(y) ¨ x = '0 (x0 ), y = '0 (y 0 ), ÇëÏ x ¢ y = '0 (x0 ) ¢ ¤ '0 (y 0 ) = x0 ¢ b ¢ y 0 ¢ b = x0 ¢ y 0 ¢ b = '0 (x0 ¢ y 0 ):

20.6. ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ ºÃ» Q(+; ¢)-Á ¨ Q¤ (+; ¢)-Á μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý, ³å³ ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÑáÙáÙáñýÇ½Ù)ª Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇó Q¤ (+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. '(x + y) = 'x + 'y; '(x ¢ y) = 'x ¢ 'y; '(x0 ) = ('x)0

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ a0 -Á ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ a-Ç μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ ¿: ºÃ» ³Û¹ ¹»åùáõÙ ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, ³å³ '-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, Ç½áÙáñýÇ½Ù): ºñÏáõ Q(+; ¢) ¨ Q¤ (+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q¤ Ï³Ù Q » = Q¤ , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q¤ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ê³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ (Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ¿: ºÃ» ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù ¿, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ '¡1 : Q¤ ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: È»ÙÙ 20.9: ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¤ Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q¤ (+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q¤ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¨ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ:

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

È»ÙÙ 20.10: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á ¨ Q¤ (+; ¢)Á μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý: ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ), »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁª ³) '(x + y) = '(x) + '(y); '(x0 ) = ('x)0 ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ; μ) '(x ¢ y) = '(x) ¢ '(y); '(x0 ) = ('x)0 ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóáõÙ: ³) Æñáù,

'(x ¢ y) = ' ((x0 + y 0 )0 ) = ('(x0 + y 0 )) = ('(x0 ) + '(y0 )) =

('(x0 )) ¢ ('(y0 )) = ' (x00 ) ¢ ' (y 00 ) = '(x) ¢ '(y) :

È»ÙÙ 20.11: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á ¨ Q¤ (+; ¢)Á μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý: àñå»ë½Ç ' : Q ! Q¤ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ïñí³Í μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÙÇç¨ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q(6) ¨ Q¤ (6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÁª

x 6 y Ã! '(x) 6 '(y);

áñï»Õ x; y 2 Q:

²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 20.9-Çó:

Â»áñ»Ù 20.11 (êïááõÝ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ç½áÙáñý ¿ 2A ï»ëùÇ áñ¨¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ: ²í»ÉÇ ×Çßï, A-Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ñ³í³ë³ñ í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ³ïáÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á ïñí³Í í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ ¿: Q(+; ¢)Ç μáÉáñ ³ïáÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù Q+ áí: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Q(+; ¢) í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q, x 6= 0, ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q+ ³ïáÙ, áñ a 6 x, ³ÛëÇÝùÝª í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ³ïáÙ³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿: ¸Çóáõù x+ = fa 2 Q+ j a 6 xg :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, 1+ = Q+ , ÇëÏ 0+ = ;: ²ÛÅÙ Ù»½ ³ÝÑñ³Å»ßï »Ý Ñ»ï¨Û³É ûÅ³Ý¹³Ï åÝ¹áõÙÝ»ñÁ: È»ÙÙ 20.12: ºÃ» x 2 Q, ÇëÏ a 2 Q+ , ³å³ Ï³Ù a 6 x Ï³Ù a 6 x0 : Àëï áñáõÙ, ³Ûë »ñÏáõ ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ã»Ý Ï³ñáÕ:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ax 6 a ¨ aÝ ³ïáÙ ¿, ³å³ Ï³Ù ax = a Ï³Ù ax = 0: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª a 6 x, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙª (a + x0 )x = 0;

a + x0 + x = 1 :

Ð»ï¨³μ³ñ, a+x0 = x0 ¨ a 6 x0 : Æ í»ñçá, »Ã» ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï a 6 x ¨ a 6 x0 , ³å³ a 6 x ¢ x0 = 0 ¨ a = 0, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ³ïáÙÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³ÝÁ: ¤ È»ÙÙ 20.13: ºÃ» x+ = y + , ³å³ x = y:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë Ï³å³óáõó»Ýù, áñ x¢y 0 = 0 ¨ x0 ¢y = 0: Æñáù, ¹Çóáõù x ¢ y 0 6= 0: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q+ ³ïáÙ, áñ a 6 x ¢ y 0 : Ð»ï¨³μ³ñ, a 6 x ¨ a 6 y 0 , áñï»ÕÇóª a 2 x+ , μ³Ûó a 62 y + , áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ: ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³å³óáõóíáõÙ ¿ x0 ¢ y = Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáíª ½ ½ (x + y)x0 = 0; (x + y)y 0 = 0; x + y + y = 1; x + y + x0 = 1; ³ÛëÇÝùÝª x + y = (y0 )0 = y ¨ x + y = (x0 )0 = x: àõëïÇ x = y:

È»ÙÙ 20.14: ò³ÝÏ³ó³Í a1 ; : : : ; an 2 Q+ ³ïáÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª (a1 + ¢ ¢ ¢ + an )+ = fa1 ; : : : ; an g :

²å³óáõóáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ Ó³Ë Ù³ëáõÙ: ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, áñ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ ÁÝÏ³Í ¿ ³ç Ù³ëáõÙ: ºÝÃ³¹ñ»Éáí Ñ³Ï³é³ÏÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ: Æñáù, ¹Çóáõù a 2 (a1 +¢ ¢ ¢+an )+ , μ³Ûó a 6= ai , i = 1; : : : ; n: ¸Çï³ñÏ»Ýù a ¢ ai ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: ø³ÝÇ áñ 0 6 a ¢ ai 6 a ¨ aÝ ³ïáÙ ¿, ³å³ Ï³Ù a ¢ ai = a Ï³Ù a ¢ ai = 0: ºÃ» a ¢ ai = a, ³å³ 0 < a < ai ,

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ai Ç ³ïáÙ ÉÇÝ»ÉáõÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, a ¢ ai = 0, áñï»Õ i = 1; : : : ; n: ´³Ûó ù³ÝÇ áñ a 2 (a1 + ¢ ¢ ¢ + an )+ , ³å³ a 6 a1 + ¢ ¢ ¢ + an ¨ a = a (a1 + ¢ ¢ ¢ + an ) = aa1 + ¢ ¢ ¢ + aan = 0 + ¢ ¢ ¢ + 0 = 0 :

Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ:

Q+

Þ³ñáõÝ³Ï»Ýù Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ, ë³ÑÙ³Ý»Éáí ' : Q ! 2 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª '(x) = x+ μ Q+ :

²å³óáõóí³Í åÝ¹áõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 'Ý ÏÉÇÝÇ ÇÝÛ»ÏïÇí (Ý»ñ¹ñáÕ) ¨ ëÛáõñ»ÏïÇí (í»ñ³¹ñáÕ), ³ÛëÇÝùÝª 'Ý ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿: ØÝáõÙ ¿ ÝÏ³ï»É, áñ

áñï»Õ x; y 2 Q: Æñáù,

x 6 y Ã! '(x) 6 '(y); x 6 y ¡! '(x) 6 '(y)

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ²å³óáõó»Ýù Ñ³Ï³é³Ï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù '(x) μ '(y): ºÃ» x ¢ y 0 6= 0, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ a 2 Q+ ³ïáÙ, áñ a 6 x ¢ y 0 : Ð»ï¨³μ³ñ, a 6 x ¨ a 6 y 0 , ³ÛëÇÝùÝª a 2 x+ , μ³Ûó a 62 y + , áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ: àõëïÇ, x ¢ y 0 = 0 ¨ (x + y)y 0 = 0; ³ÛëÇÝùÝª x + y = (y 0 )0 = y ¨ x 6 y:

x + y + y 0 = 1; ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.10: ì»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 2Ç n ³ëïÇ×³ÝÇ, áñï»Õ nÁ ïñí³Í μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¤ ³ïáÙÝ»ñÇ ÃÇíÝ ¿ : Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.11: ºñÏáõ í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ ÏÉÇÝ»Ý Ç½áÙáñý (ÝáõÛÝ³Ó¨) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³Ýó ³ïáÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ÝáõÛÝÝ ¿ : ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.12: ºñÏáõ í»ñç³íáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ ÏÉÇÝ»Ý Ç½áÙáñý (ÝáõÛÝ³Ó¨) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ¹ñ³Ýó ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ ÝáõÛÝÝ ¿ : Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, ÙÇ¨ÝáõÛÝ μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ýí³Í (áñáßí³Í) μáÉáñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÝ Ç½áÙáñý »Ý: ¤

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ) ÏáãíáõÙ ¿ ÉñÇí, »Ã» Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q_ = Q(6) Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª sup(X)-Á ¨ inf(X)-Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áñÝ Ç½áÙáñý ã¿ 2A ï»ëùÇ áñ¨¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ: Æñáù, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ýß³Ý³Ï»Ýùª F C(X) = fA μ X j A -Ý Ï³Ù X n A -Ý í»ñç³íáñ ¿g :

F C(X)-Á ÏÉÇÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ: Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, F C(N) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ç½áÙáñý ã¿ 2A ï»ëùÇ áñ¨¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ, áñáíÑ»ï¨ F C(N) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿, ÇëÏ 2A μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Î³ÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÇ, Ï³Ù í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ ã¿: Â»áñ»Ù 20.12 (ÈÇÝ¹»Ýμ³áõÙ, î³ñëÏÇ): àñå»ë½Ç Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÉÇÝÇ Ç½áÙáñý 2A ï»ëùÇ áñ¨¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ÉñÇí ¨ ³ïáÙ³Ï³Ý:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ 2A ï»ëùÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÉñÇí ¿ ¨ ³ïáÙ³Ï³Ý: Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ¹ñ³Ý Ç½áÙáñý ó³ÝÏ³ó³Í μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: ´³í³ñ³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏñÏÝíáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóáõÙÁ, áñï»Õ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ³ïáÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ ³ë»Éáí å»ïù ¿ Ñ³ëÏ³Ý³É ¹ñ³Ýó í»ñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñÁ: ´³óÇ ³Û¹, »Ã» X μ Q, X 6= ;, a 2 Q ¨ a ¢ X = fa ¢ xj x 2 Xg,³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í μ³ßË³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ‘ a ¢ sup(X) = sup(a ¢ X): (ýáÝ Ü»ÛÙ³ÝÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ) Æñáù, a ¢ x 6 a ¨ a ¢ x 6 x 6 sup(X) ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ,a ¢ x 6 a ¢ sup(X) ¨ a ¢ sup(X) ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ a ¢ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñÁ: ¸Çóáõù ³ÛÅÙ u-Ý ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿, ³ÛëÇÝùÝ‘ a ¢ x 6 u ó³ÝÏ³ó³Í x 2 X ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ‘ x = x ¢ 1 = x(a + a0 ) = xa + xa0 6 u + a0 ;

³ÛëÇÝùÝ‘ u + a0 ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñÁ, ¨ a ¢ sup(X) 6 a(u + a0 ) = au + aa0 = au + 0 = au 6 u :

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

20.7. Î³í³ñÇ Ç¹»³ÉÝ»ñ ¨ ýÇÉïñÝ»ñ: ä³ñ½ ¨ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³ÉÝ»ñ ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á Ï³í³ñ ¿, ÇëÏ I μ Q, I 6= ;: I »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ç¹»³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ I E Q, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) x; y 2 I ¡! x + y 2 I; μ) t 2 Q, z 2 I, t 6 z ¡! t 2 I: Î³í³ñÇ Ç¹»³ÉÁ »ÝÃ³Ï³í³ñ ¿: ØÇ¨ÝáõÛÝ Ï³í³ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó Ç¹»³É ¿: È»ÙÙ 20.15: àñå»ë½Ç áã ¹³ï³ñÏ I μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ç¹»³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁª

x + y 2 I Ã! x; y 2 I;

áñï»Õ x; y 2 Q:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

ºñÏ³ÏÇ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ýÇÉïñÇ ·³Õ³÷³ñÁ (³ÛëÇÝùÝª ·áõÙ³ñÁ ÷áË³ñÇÝíáõÙ ¿ ³ñï³¹ñÛ³Éáí, ÇëÏ §6¦ Ýß³ÝÁª §>¦ Ýß³Ýáí): ²í»ÉÇ ×Çßï, F μ Q, F 6= ;, »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ýÇÉïñ, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ·) x; y 2 F ¡! x ¢ y 2 F ; ¹) t 2 Q, z 2 F , t > z ¡! t 2 F : Î³í³ñÇ ýÇÉïñÁ »ÝÃ³Ï³í³ñ ¿: ØÇ¨ÝáõÛÝ Ï³í³ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ýÇÉïñÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó ýÇÉïñ ¿: È»ÙÙ 20.16: àñå»ë½Ç áã ¹³ï³ñÏ F μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ýÇÉïñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁª

x ¢ y 2 F Ã! x; y 2 F;

áñï»Õ x; y 2 Q:

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: úñÇÝ³Ï, »Ã» a 2 Q ¨ (a] = fx 2 Q j x 6 ag 6= ;;

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

³å³ (a] E Q: ²Ûë Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ï³í³ñÇ a ï³ññáí ÍÝí³Í ·ÉË³íáñ Ç¹»³É: ²ÏÝÑ³Ûï ¿ Ý³¨, áñ Q E Q: ÆëÏ [a) = fx 2 Q j x > ag 6= ; »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Q Ï³í³ñÇ ýÇÉïñ ¨ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ a ï³ññáí ÍÝí³Í ·ÉË³íáñ ýÇÉïñ: ºÃ» I E Q ¨ I 6= Q, ³å³ Ï·ñ»Ýù I / Q: Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ I E Q Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙ³É, »Ã» I 6= Q ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ I 0 E Q Ç¹»³É, áñ I / I 0 / Q: Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ I 6= Q Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» ³ÛÝ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÇÝ. x ¢ y 2 I ¡! x 2 I Ï³Ù y 2 I; áñï»Õ x; y 2 Q: ºñÏ³ÏÇ »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ å³ñ½ ýÇÉïñÇ ·³Õ³÷³ñÁ: Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ F 6= Q ýÇÉïñÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½, »Ã» x + y 2 F ¡! x 2 F

Ï³Ù y 2 F;

áñï»Õ x; y 2 Q:

È»ÙÙ 20.17: ºÃ» Q(+; ¢)Á Ï³í³ñ ¿ , ÇëÏ S μ Q, S 6= ;, ³å³ (S] = fx 2 Q j 9s1 ; : : : ; sk 2 S; x 6 s1 + ¢ ¢ ¢ + sk g μ Q

»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ç¹»³É, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ S áí ÍÝí³Í Ç¹»³É: (S] Ç¹»³ÉÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ S Á ¨ ÏÉÇÝÇ ÁÝÏ³Í Q(+; ¢)Ç μáÉáñ ³ÛÝ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ù»ç, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý SÁ, ³ÛëÇÝùÝª (S] Ç¹»³ÉÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ S Á å³ñáõÝ³ÏáÕ Q(+; ¢)Ç ³Ù»Ý³÷áùñ Ç¹»³ÉÁ: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

È»ÙÙ 20.18: Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ μáÉáñ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ I(Q) = fI μ Q j I E Qg 6= ;

μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ï³í³ñª Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ. I1 + I2 = (I1 [ I2 ] E Q; I1 ¢ I2 = I1 \ I2 E Q :

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

²å³óáõóáõÙ: I(Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ª ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñï»Õ supfI1 ; I2 g = (I1 [ I2 ]; inffI1 ; I2 g = I1 \ I2 :

Â»áñ»Ù 20.13: ºÃ» Q(+; ¢)-Á μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿ , ³å³ Ýñ³ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ I(Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ: Àëï áñáõÙ x ! (x] ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáóáí Q μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ I(Q) μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ Ù»ç:

²å³óáõóáõÙ: ´³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É (É»ÙÙ 20.4), áñ »Ã» I1 ; I2 ; I3 2 I(Q), ³å³ I1 \ (I2 + I3 ) μ I2 + (I1 \ I3 ) ¨ (x] \ (y] = (xy], (x] + (y] = (x + y] ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¤ ¸Åí³ñ ã¿ Ý³¨ ÝÏ³ï»É, áñ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ ¹»åùáõÙ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ áñáßíáõÙ ¿ ëáíáñ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáíª I1 + I2 = fx + y j x 2 I1 ; y 2 I2 g : Â»áñ»Ù 20.14: ´³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É å³ñ½ Ç¹»³É ¿ :

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿, ÇëÏ I E Q Ç¹»³ÉÁ Ù³ùëÇÙ³É ¿: ¸Çóáõù x ¢ y 2 I, μ³Ûó x 62 I: ¸Çï³ñÏ»Ýù I 0 = (fxg [ I] E Q Ç¹»³ÉÁ: ø³ÝÇ áñ IÝ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É ¿ ¨ I / I 0 , ³å³ I 0 = Q: Ð»ï¨³μ³ñ, y 2 I 0 ¨ y 6 s1 + ¢ ¢ ¢ + sk , áñï»Õ si 2 fxg [ I, i = 1; : : : ; k: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñ»ù ¹»åù. 1) s1 ; : : : ; sk 2 I ¨ y 6 s1 + ¢ ¢ ¢ + sk = s 2 I, áõëïÇ y 2 I; 2) si = x áñ¨¿ i ÝßÇãÇ ¹»åùáõÙ ¨ sj 6= x áñ¨¿ j ÝßÇãÇ Ñ³Ù³ñ (i 6= j): ²Ûë ¹»åùáõÙ, y 6 x+ s, áñï»Õ s 2 I: Ð»ï¨³μ³ñ, y = y(x + s) = yx + ys 2 I, áñáíÑ»ï¨ yx 2 I, ys 2 I (ù³ÝÇ áñ ys 6 s 2 I): 3) si = x μáÉáñ i ÝßÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, y 6 x ¨ y = yx 2 I :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.13: àñå»ë½Ç ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ç¹»³ÉÁ ÉÇÝÇ Ù³ùëÇÙ³É ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ å³ñ½ Ç¹»³É: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: ²å³óáõó»Ýù μ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù IÝ å³ñ½ Ç¹»³É ¿ Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» a 62 I, ³å³ a0 2 I, ù³ÝÇ áñ a ¢ a0 = 0 2 I: àõëïÇ, »Ã» I / J E Q, ³å³ JÝ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ áñ¨¿ a 62 I ¤ ¨ a0 2 I ï³ññ»ñÁ: Ð»ï¨³μ³ñ, 1 = a + a0 2 J ¨ J = Q: Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.14: ´áõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ï³í³ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ å³ñ½ Ç¹»³É Ý³¨ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É ¿ : ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.15: ºÃ» I Ý Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É ¿ , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ Ï³Ù x 2 I Ï³Ù x0 2 I : Àëï áñáõÙ, ³Ûë »ñÏáõ Ý»ñ¹ñáõÙÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ã»Ý Ï³ñáÕ: ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³ÉÁ Ý³¨ å³ñ½ ¿, ³å³ x ¢ x0 = 0 2 I ¡! x 2 I

Ï³Ù x0 2 I :

ºÃ» ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï x 2 I ¨ x0 2 I, ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýùª 1 = x + x0 2 I ¨ I = Q: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

20.8. ´³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ ¨ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñáí: ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μ³ó-÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñáí Ð»ï¨Û³É ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ã»áñ»Ù: Â»áñ»Ù 20.15 (´ÇñÏÑáý, êïááõÝ): ¸Çóáõù Q(+; ¢) Á μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿ , I Ý QÇ Ç¹»³É ¿ , ÇëÏ F Á QÇ ýÇÉïñ ¿ , Áëï áñáõÙ, I \ F = ;: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ QÇ ³ÛÝåÇëÇ P å³ñ½ Ç¹»³É, áñ I μ P ¨ P \ F = ;, ³ÛëÇÝùÝª P Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ I Ý ¨ ãÇ Ñ³ïíáõÙ F Ç Ñ»ï:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù JÝ QÇ μáÉáñ ³ÛÝ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý IÝ ¨ ã»Ý Ñ³ïíáõÙ F Ç Ñ»ï: JÝ ¹³ï³ñÏ

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

ã¿, áñáíÑ»ï¨ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ IÝ: òáéÝÇ ³ùëÇáÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, JÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ P Ù³ùëÇÙ³É Ç¹»³É (ï³ññ): ´³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ ³å³óáõó»É, áñ P Ý å³ñ½ Ç¹»³É ¿: ¸Çóáõù a ¢ b 2 P , μ³Ûó a 62 P ¨ b 62 P : P Ç Ù³ùëÇÙ³ÉáõÃÛ³Ý å³ï×³éáí P + (a] ¨ P + (b] Ç¹»³ÉÝ»ñÁ ÏÑ³ïí»Ý F Ç Ñ»ï, ³ÛëÇÝùÝª (P + (a]) \ F 6= ;;

(P + (b]) \ F 6= ; :

Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ p; q 2 P ï³ññ»ñ, áñ p + a 2 F ¨ q +b 2 F : ¸Çóáõù x = (p+ a)(q +b): üÇÉïñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ÏáõÝ»Ý³Ýùª x 2 F , ÇëÏ ù³ÝÇ áñ x = pq + pb + aq + ab, ³å³ x 2 P : ²ÛëåÇëáí, x 2 P \ F ¨ P \ F 6= ;: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.16: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿ , I Ý QÇ Ç¹»³É ¿ ¨ a 2 Q n I : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ QÇ ³ÛÝåÇëÇ P å³ñ½ Ç¹»³É, áñ I μ P ¨ a 62 P : ²å³óáõóáõÙ: ´ËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó F = [a) ¹»åùáõÙ, áñáíÑ»ï¨ a 62 I å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýùª I \ [a) = ;: ¤ Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.17: ´³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ (Çñ»ÝÇó ï³ñμ»ñ) Ç¹»³É Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ»Ý å³ñáõÝ³ÏáÕ μáÉáñ å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³ÝÁ: ¤ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ I Ç¹»³ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ a; b 2 Q, a = 6 b, ï³ññ»ñÇÝ ³Ýç³ïáÕ, »Ã» IÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ a; b ï³ññ»ñÇó Ù»ÏÇÝ, μ³Ûó ãÇ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ÙÛáõëÇÝ:

Ð»ï¨áõÃÛáõÝ 20.18: àñå»ë½Ç Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ QÇ ó³ÝÏ³ó³Í x 6= y ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ¹ñ³Ýó ³Ýç³ïáÕ QÇ å³ñ½ Ç¹»³É: ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q(+; ¢)Á μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿ ¨ x 6= y, ³å³ x 6 y ¨ y 6 x å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ã»Ý Ï³ñáÕ: Ð»ï¨³μ³ñ, Ï³Ù (x] \ [y) = ; Ï³Ù [x) \ (y] = ;: ØÝáõÙ ¿ û·ïí»É Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» Q(+; ¢)Á μ³ßË³Ï³Ý ã¿, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ï³í³ñÇ μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ´ÇñÏÑáýÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ, QÝ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ »ÝÃ³Ï³í³ñÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ.

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

vd z d

vd dy dx

y d

d d u u ¸Çóáõù P å³ñ½ Ç¹»³ÉÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ xÁ: ø³ÝÇ áñ y ¢z = u < x, ³å³ y ¢ z 2 P ¨, Ñ»ï¨³μ³ñ, y 2 P Ï³Ù z 2 P : ºÃ» z 2 P , ³å³ v = x + z 2 P ¨ y 2 P : ²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ P å³ñ½ Ç¹»³É, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ xÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ Ý³¨ y 6= x ï³ññÁ: Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ¤

ä³ñ½íáõÙ ¿ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É áñå»ë ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³í³ñÝ»ñ: Ð³Ù³å³ï³ëË³Ý ¹³ë³Ï³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÝ»ñÇ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É ´ÇñÏÑáýÇ Ã»áñ»Ù ¨ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ: Â»áñ»Ù 20.16 (´ÇñÏÑáý): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ Ç½áÙáñý ¿ 2J μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ áñ¨¿ »ÝÃ³Ï³í³ñÇ, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ 2J μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ Ù»ç, áñï»Õ J = J(Q)Ý QÇ μáÉáñ å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ P(x)áí Ýß³Ý³Ï»Ýù QÇ μáÉáñ ³ÛÝ P å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ã»Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ xÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, P 2 P(x ¢ y) Ã! x ¢ y 62 P Ã! x 62 P; y 62 P Ã! P 2 P(x) \ P(y); P 2 P(x + y) Ã! x + y 62 P Ã! x 62 P Ï³Ù y 62 P Ã! P 2 P(x) [ P(y);

³ÛëÇÝùÝª

P(x ¢ y) = P(x) \ P(y); Ð»ï¨³μ³ñ,

P(x + y) = P(x) [ P(y) : P = fP(x) j x 2 Qg μ 2J

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

áñ ©Ç ÇÝÛ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ μËáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÇó, ÇëÏ Ýñ³ Ç½áÙáñýÇ½Ù ÉÇÝ»Éáõ ÙÝ³ó³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÝ ³ÏÝÑ³Ûï »Ý: ¤ ¸Çóáõù ³ÛÅÙ Q(+; ¢)Á μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, ÇëÏ Q0 μ Q, Q 6= ;: Q0 Á ÏáãíáõÙ ¿ Q μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» Q0 Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññÇ μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ ¨ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ï³ññ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ: Ü³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ÝÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝù ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É êïááõÝÇ Ã»áñ»Ù:

Â»áñ»Ù 20.17 (êïááõÝ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ç½áÙáñý ¿ 2J μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ áñ¨¿ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ, ³ÛëÇÝùÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ 2J μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, áñï»Õ J = J(Q)Ý QÇ μáÉáñ å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ :

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ ³å³óáõóÙ³ÝÁ μ³í³Ï³Ý ¿ ³ÛÅÙ ³í»É³óÝ»É Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª P(x0 ) = (P(x)) :

Æñáù, »Ã» P Ý Q μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ å³ñ½ Ç¹»³É ¿, ³å³ x 2 P Ã! x0 62 P : ²ÛÝáõÑ»ï¨, P 2 P(x0 ) Ã! x0 62 P Ã! x 2 P Ã! P 62 P(x) Ã! P 2 JnP(x) = (P(x)) :

Ð»ï¨³μ³ñ, (P(x)) = P(x0 ) ¨ P = fP(x) j x 2 Qg μ 2J »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ 2J μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, ÇëÏ © : x ! P(x) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ Q ¨ P μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½Ù: ¤

ê³ÑÙ³Ýí³Í © ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ©(Q) å³ïÏ»ñÇ Éñ³óáõóÇã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (³í»ÉÇ ×Çßï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ) å³ñ½³μ³Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¸Çóáõù ïñí³Í ¿ (X; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ: A μ X »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ μ³ó÷³Ï, »Ã» ³ÛÝ μ³ó ¨ ÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ïñí³Í ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: (X; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉÇáíÇÝ ãÏ³å³Ïóí³Í, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ áñáß ù³Ý³ÏÇ μ³ó÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³ÝÁ: (X; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ï³Ù ëïááõÝÛ³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ Ñ³áõë¹áñýÛ³Ý ¿, ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ ÉÇáíÇÝ ãÏ³å³Ïóí³Í ¿: Â»áñ»Ù 20.18 (êïááõÝ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ç½áÙáñý ¿ áñ¨¿ ëïááõÝÛ³Ý ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ μ³ó÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝ:

²å³óáõóáõÙ: ÆÝãå»ë ¨ Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõ Ã»áñ»ÙÝ»ñáõÙ, ÏÝß³Ý³Ï»Ýù QÇ μáÉáñ å³ñ½ Ç¹»³ÉÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ

Jáí

P(x) = fP 2 J j x 62 P g μ J : Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ P(x) μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï »Ý í»ñç³íáñ ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÙÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ, áñáíÑ»ï¨ P(x1 ) \ P(x2 ) \ ¢ ¢ ¢ \ P(xn ) = P(x1 ¢ x2 ¢ ¢ ¢ xn ) : ê³ÑÙ³Ý»Ýù áñáÝ»ÉÇ (X; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ì»ñóÝ»Ýù X = J, ÇëÏ ¿ ïáåáÉá·Ç³Ý Ï³éáõó»Ýù P(x) ï»ëùÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ ¹ñ³Ýó μáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñáõÙÝ»ñÇó, ³ÛëÇÝùÝª P = fP(x) j x 2 Qg μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ»Ýù ¿ Ï³éáõóí³Í ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ëï³óí³Í ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÉÇáíÇÝ ãÏ³å³Ïóí³Í ¿, Ñ³áõë¹áñýÛ³Ý ¿, ÏáÙå³Ïï ¿ ¨ ¹ñ³ μ³ó÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝ Ç½áÙáñý ¿ ëÏ½μÝ³Ï³Ý μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ: 1) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ P(x) ï»ëùÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ë³μ³½Ù³ÛÇÝ ÙÇ³íáñÙ³ÝÁ, ÇëÏ P(x) ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³½ÙáõÃÛáõÝ μ³ó ¿ ¨ ÷³Ï, áñáíÑ»ï¨ P(x)Ç Éñ³óáõÙÁ μ³ó ¿ª (P(x)) = P(x0 ): Ð»ï¨³μ³ñ, ë³ÑÙ³Ýí³Í ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÉÇáíÇÝ ãÏ³å³Ïóí³Í ¿: 2) ¸Çóáõù P1 ; P2 2 J ¨ P1 6= P2 : ¸Çóáõù x 2 P1 , x 62 P2 : Ð»ï¨³μ³ñ, P2 2 P(x) ¨ P1 62 P(x), áñï»ÕÇó P1 2 P(x0 ):

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

²ÛëåÇëáí, P1 2 P(x0 ), P2 2 P(x) ¨ P(x) \ P(x0 ) = ;, ³ÛëÇÝùÝª ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·ï»É »Ýù ³Û¹ Ï»ï»ñÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ ¨ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ μ³ó μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Ð»ï¨³μ³ñ, ³ÛÝ Ñ³áõë¹áñýÛ³Ý ¿: 3) ²å³óáõó»Ýù ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý S ÏáÙå³ÏïáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù J = P(xi ) ¨ ¹Çóáõù ¢ = (K], áñï»Õ i2I

K = fxi j i 2 Ig: ºÃ» ¢ 6= Q, ³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ 20.16-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ QÇ ³ÛÝåÇëÇ P0 å³ñ½ Ç¹»³É, áñ ¢ μ P0 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ù³ÝÇ áñ xi 2 ¢, ³å³ xi 2 P0 , i 2 I: Ð»ï¨³μ³ñ, P0 62 P(xi ), S P(xi ) = J: ØÇ ÏáÕÙÇó P0 2 J, ÇëÏ ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª P0 62 J: i 2 I ¨ P0 62 i2I

Ð³Ï³ëáõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëáí, ¢ = Q ¨ 1 2 ¢, áñï»Õ 1Á Q μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññÝ ¿: àõëïÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí x1 ; : : : ; xn 2 K ï³ññ»ñ (É»ÙÙ 20.17), áñ 1 = x1 + ¢ ¢ ¢ + xn : Ð»ï¨³μ³ñ, P(x1 ) [ ¢ ¢ ¢ [ P(xn ) = P(x1 + ¢ ¢ ¢ + xn ) = P(1) = J :

4) ä³ñ½íáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõ Ã»áñ»ÙÝ»ñáõÙ Ï³éáõóí³Í Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ ÏÉÇÝÇ Ñ»Ýó ³Ûëï»Õ å³Ñ³ÝçíáÕ Ç½áÙáñýÇ½ÙÁ: àñå»ë½Ç © : x ! P(x) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ å³Ñ³ÝçíáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, μ³í³Ï³Ý ¿ ÙÇ³ÛÝ ³Ûëï»Õ ³í»É³óÝ»É, áñ Ï³éáõóí³Í ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ó÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ P(x) ï»ëùÁ: Æñáù, ¹Çóáõù M Á μ³ó÷³Ï S μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ø³ÝÇ áñ M Á μ³ó ¿, ³å³ M = P(xi ) ¨ ù³ÝÇ áñ M Á i2I

÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáÙå³Ïï ¿, ³å³ M -Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ÏáÙå³Ïï ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý (»ÝÃ³)ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý í»ñç³íáñ Ãíáí x1 ; : : : ; xn ï³ññ»ñ, ¤ áñ M = P(x1 ) [ ¢ ¢ ¢ [ P(xn ) = P(x1 + ¢ ¢ ¢ + xn ): Q μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï³éáõóí³Í (J; ¿ ) ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ QÇ »ñÏ³ÏÇ Ï³Ù ¹áõ³É ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ: ÜÙ³Ý³ïÇå ³ñ¹ÛáõÝù ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

20.9. ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» ³ÛÝ μ³ßË³Ï³Ý ¿, ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ¨ ûÅïí³Í ¸» Øáñ·³ÝÇ Éñ³óáõÙÝ»ñáí, ³ÛëÇÝùÝ‘ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ (x) = x ¨ ï»ÕÇ áõÝ»Ý ¸» Øáñ·³ÝÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª x + y = x ¢ y; x¢y =x+y

ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, x-Á ÏáãíáõÙ ¿ x-Ç ¸» Øáñ·³ÝÇ Éñ³óáõÙ: úñÇÝ³Ï, X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹³ëÁ ÏÉÇÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: ¸Åí³ñ ã¿ ÝÏ³ï»É, áñ »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, áñÁ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ 2-áí: ê³Ï³ÛÝ n > 3 ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n-ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áñÁ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ã¿: úñÇÝ³Ï, »Ã» Q = f1; 2; 3; : : : ; ng, x + y = maxfx; yg, x ¢ y = minfx; yg, x = n + 1 ¡ x, ³å³ ëï³óíáÕ Q(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏÉÇÝÇ ³Û¹åÇëÇÝ: Æ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ, ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ x ! x ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª ï³ññÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Éñ³óáõÙÁ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ãÇ áñáßíáõÙ (ï»ë Ý»ñù¨áõÙ ½»ï»Õí³Í 4-ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ûñÇÝ³ÏÁ, áñÝ ³Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í ³Ù»Ý³÷áùñ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ûñÇÝ³ÏÝ ¿): ¸» Øáñ·³ÝÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó μËáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙª 0 = 1, 1 = 0: Q(6) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ¹ñ³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Q^ Ï³í³ñÁ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ùñ³Ñ³ßÇí ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ »Ã» Q(6) ½áõÛ·Á ¸» Øáñ·³ÝÇ Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ Q(6¡1 ) Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: Â»áñ»Ù 20.5-Ç åÝ¹áõÙÁ ÙÝáõÙ ¿ áõÅÇ Ù»ç Ý³¨ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ºÃ» Q(+; ¢)-Á ¨ Q¤ (+; ¢)-Á ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý, ³å³ ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ÑáÙáÙáñýÇ½Ù)ª Q(+; ¢)

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇó Q¤ (+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, »Ã» ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ. '(x + y) = 'x + 'y; '(x ¢ y) = 'x ¢ 'y '(x) = 'x ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ³Û¹ ¹»åùáõÙ ' ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù (μÇ»ÏïÇí) ¿, ³å³ '-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ Ï³Ù Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (Ç½áÙáñýáõÃÛáõÝ, Ç½áÙáñýÇ½Ù): ºñÏáõ Q(+; ¢) ¨ Q¤ (+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý Ç½áÙáñý Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨ ¨ ·ñíáõÙ ¿ Q ' Q¤ Ï³Ù Q » = Q¤ , »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q¤ Ç½áÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ê³ÑÙ³Ýí³Í §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý (Ï³Ù ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛ³Ý) Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »ñÏáõ (Ñ»ï¨³μ³ñ ¨ í»ñç³íáñ Ãíáí) ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ (Ç½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (Ç½áÙáñýÇ½Ù) ¿: ºÃ» ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÝáõÛÝ³Ó¨áõÃÛáõÝ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÙÇç¨, ³å³ ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ '¡1 : Q¤ ! Q ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ: È»ÙÙ 20.19: ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ç½áÙáñýáõÃÛ³Ý §'¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛ³Ý ¤ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q¤ (+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áñ¨¿ ' : Q ! Q¤ Ý»ñ¹ñáÕ (ÇÝÛ»ÏïÇí) ¨ ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ: ºÃ» Q(+; ¢)-Á ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ ¿, ³å³ Q £ Q ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇª Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (x; y) + (x0 ; y 0 ) = (x + x0 ; y ¢ y 0 ); (x; y) ¢ (x0 ; y0 ) = (x ¢ x0 ; y + y 0 ); (x; y) = (y; x) :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Â»áñ»Ù 20.19: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ D(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Q(+; ¢) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ, áñ D(+; ¢)-Á Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ Q £ Q ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¤ Ù»ç: ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ a ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýß³ñÅ Ï»ï, »Ã» a = a: ºñ»ù ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ûÅïí³Í ¿ Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¨ Ç½áÙáñý ¿ Ñ»ï¨Û³É ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝª ±1

±a

±0

;

áñï»Õ 0 = 1, 1 = 0 ¨ a = a. ²Ûë »ñ»ù ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù 3-áí: âáñë ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ ãáñë ï³ññ³ÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝ, Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ Ñ»ï¨Û³É ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝª ±1 ±b ±a ±0

;

áñï»Õ 0 = 1, 1 = 0, a = b, b = a, Ï³Ù Ç½áÙáñý ¿ »ñÏáõ ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí Ñ»ï¨Û³É ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇÝª c ´ Q Q ´ Q ´ Q cb ´ a c Q Q ´´ Q ´ Q c ´ ,

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

áñï»Õ a = a, b = b, 0 = 1, 1 = 0: ²Ûë í»ñçÇÝ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏÝß³Ý³Ï»Ýù 4-áí: Ð»ï¨³μ³ñ, »ñÏáõ ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ãáñë ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ç½áÙáñý ¿ 4-ÇÝ: ¸Çóáõù X-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã ¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ L(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿: LX -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù X ! L ï»ëùÇ μáÉáñ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Ûë μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇª Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùμ. (f _ g)x = f (x) + g(x); (f ^ g)x = f(x) ¢ g(x); ¡ ¢ f x = f (x) :

Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» L = [0; 1], áñï»Õ x + y = maxfx; yg, x ¢ y = minfx; yg, x = 1 ¡ x, ³å³ L(+; ¢)-Á ÏÉÇÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, ÇëÏ LX -Á ³Û¹ ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ X μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ: ²Û¹ å³ï×³éáí, »Ã» L(+; ¢)-Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, ³å³ X ! L ï»ëùÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ý³¨ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í áã Ñëï³Ï »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ Ï³Ù áã Ñëï³Ï L»ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Ð»ï¨Û³É ÝÏ³ñ³·ñáõÃÛ³Ý Ù»ç áñå»ë L(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí í»ñóíáõÙ ¿ 4-Á: Â»áñ»Ù 20.20: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ D(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ X μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ D(+; ¢)-Á Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ 4X ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç: ¤ L(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (S. C. Kleene), »Ã» x ¢ x 6 y + y ó³ÝÏ³ó³Í x; y 2 L ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ. x ¢ x ¢ (y + y) = x ¢ x;

úñÇÝ³Ï 3-Á øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, ÇëÏ 4-Áª áã: ò³ÝÏ³ó³Í μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿: L(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ

(øÉÇÝÇÇ)

Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¸» Øáñ·³ÝÇ (øÉÇÝÇÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ a 2 L ³Ýß³ñÅ Ï»ï, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁª x+x+a= x+x :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

úñÇÝ³Ï, 3-Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí; Ð»ï¨³μ³ñ, ³Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ 3X ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ, ó³ÝÏ³ó³Í X 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Â»áñ»Ù 20.21: 1) Ð³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí í»ñç³íáñ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ï»Ýï ÃíÇ: 2) ºí Ñ³Ï³é³ÏÁ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n Ï»Ýï ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n ï³ññ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí:

²å³óáõóáõÙ: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ x 6 y, ³å³ y 6 x, áñáíÑ»ï¨ x 6 y ¡! x + y = y ¡! x + y = y ¡! x ¢ y = y ¡! y 6 x : Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ûÅïí³Í ¿ ·áÝ» Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí: ¸Çóáõù K(+; ¢)-Á Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿ª a 2 K ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¨ ¹Çóáõù b 2 K ï³ññÁ ¨ë ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿, ³ÛëÇÝùÝª b = b: ø³ÝÇ áñª b+ a = b+b+ a = b+ b+a = b+b = b+ b = b; ³å³ a 6 b: Ð»ï¨³μ³ñ, a > b, ³ÛëÇÝùÝª a > b: àõëïÇ, a = b: 1) Ð³Ù³Ó³ÛÝ»óí³Í ³Ýß³ñÅ Ï»ïáí ¸» Øáñ·³ÝÇ í»ñç³íáñ K(+; ¢) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ í»ñç³íáñ K μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É fx; xg ãÑ³ïíáÕ ½áõÛ·»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙáí, áñï»Õ ÙÇ³ÛÝ fa; ag ½áõÛ·Ý ¿ Ù»Ï ï³ññ³ÝÇ, áñáíÑ»ï¨ a-Ý ÙÇ³Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ïÝ ¿: 2) ´ËáõÙ ¿ í»ñáÑÇßÛ³É n-ï³ññ³ÝÇ ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ûñÇÝ³ÏÇó, »ñμ n-Á Ï»Ýï ÃÇí ¿: ¤ Â»áñ»Ù 20.22: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ K(+; ¢) øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ X μ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ K(+; ¢)-Á Ý»ñ¹ñíáõÙ ¿ 3X øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ù»ç: ¤ ºÃ» L(+; ¢) ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, ³å³ LX ¸» Øáñ·³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí:

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

20.10. ¾-Ï³í³ñÝ»ñ ¨ μáõÉÛ³Ý ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¾-Ï³í³ñ, »Ã» ³ÛÝ ûÅïí³Í ¿ Ý³¨ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³ßí»ÉÇ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ¨ ëïáñÇÝ ×ß·ñÇï »½ñ»ñáí: Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (Ï³Ù »ñμ»ÙÝ μáñ»ÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí), »Ã» ³ÛÝ Ý³¨ ¾-Ï³í³ñ ¿: ºÃ» Q(+; ¢)-Á ¨ Q¤ (+; ¢)-Á μáõÉÛ³Ý ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ »Ý, ³å³ ' : Q ! Q¤ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó ¾ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ (¾-ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝ, ¾-ÑáÙáÙáñýÇ½Ù), »Ã» '-Ý ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Q(+; ¢) ¨ Q¤ (+; ¢) μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ÙÇç¨ ¨ sup '(X) = '(sup X);

inf '(X) = '(inf X)

Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ßí»ÉÇ X μ Q »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: Q¤ (+; ¢) μáõÉÛ³Ý ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢) μáõÉÛ³Ý ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¾-ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! Q¤ ¾-ÑáÙáÙáñý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ Ý³¨ í»ñ³¹ñáÕ (ëÛáõñ»ÏïÇí) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: Â»áñ»Ù 20.23 (ÈÛáõÙÇë, êÇÏáñëÏÇ): ò³ÝÏ³ó³Í μáõÉÛ³Ý ¾Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áñ¨¿ ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¾-ÑáÙáÙáñý å³ïÏ»ñÁ: ¤

20.11. ÎáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñ: ÐáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»ÙÁ Ï³í³ñÝ»ñáõÙ ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á Ï³í³ñ ¿: Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÁª

x » y; u » v ¡! x + u » y + v; x ¢ u » y ¢ v;

áñï»Õ x; y; u; v 2 Q: ´áõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹»åùáõÙ ³Ûë å³ÛÙ³ÝÇÝ ³í»É³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁª x » y ¡! x0 » y 0 ;

áñï»Õ x0 Á xÇ μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Éñ³óáõÙÝ ¿: úñÇÝ³Ï, ½ñáÛ³Ï³Ý ¨ ÙÇ³íáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³ÝÏ³ó³Í Ï³í³ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñ »Ý: ºñ»ù ï³ññ³ÝÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

d1 da

d0 Ï³í³ñÇ f0; a; 1g μ³½ÙáõÃÛ³Ý f0g, fa; 1g ïñáÑÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³: ì»ñÑÇß»Ýù ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ker(') μ Q £ Q ÙÇçáõÏÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁª (x; y) 2 Ker(') Ã! '(x) = '(y);

x; y 2 Q;

áñÝ ³ÏÝÑ³Ûïáñ»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ ¿, áñáßí³Í Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: È»ÙÙ 20.20: ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù ¿ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇó Q0 (+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç, ³å³ Ýñ³ Ker(') ÙÇçáõÏÁ ÏÉÇÝÇ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³:

²å³óáõóáõÙ: Æñáù, »Ã» Ker(') = (») ¨ x » y, u » v, ³å³ '(x) = '(y) ¨ '(u) = '(v): Ð»ï¨³μ³ñ, '(x + u) = '(x) + '(u) = '(y) + '(v) = '(y + v); '(x ¢ u) = '(x) ¢ '(u) = '(y) ¢ '(v) = '(y ¢ v);

áñï»ÕÇó x + u » y + v ¨ x ¢ u » y ¢ v:

ÜáõÛÝ åÝ¹áõÙÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: ØÇ¨ÝáõÛÝ Ï³í³ñÇ Ï³Ù μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ ÝáñÇó ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ¿: ºÃ» §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ¿, ³å³ ± Q » = f[a] j a 2 Qg

ù³Ýáñ¹μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ (Ù»ç) Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª [a] + [b] = [a + b];

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

[a] ¢ [b] = [a ¢ b];

áñï»Õ a; b 2 Q: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í ã»Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë»ñáõÙ Ý»ñÏ³Û³óáõóÇãÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» [x] = [y] ¨ [u] = [v], ³å³ x » y ¨ u » v: Ð»ï¨³μ³ñ, Áëï ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª x + u » y + v ¨ x ¢ u » y ¢ v, áõëïÇ [x + u] = [y + v] ¨ [x ¢ u] = [y ± ¢ v]: êï³ÝáõÙ »Ýù »ñÏáõ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Q »(+; ¢) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ï³í³ñÇ± ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý μáÉáñ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ (³ùëÇáÙÝ»ñÇÝ): ²ÛëåÇëáí, Q »(+; ¢)Á Ï³í³ñ ¿, áñÁ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ïñí³Í Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ù³Ýáñ¹Ï³í³ñ Ï³Ù ý³ÏïáñÏ³í³ñ Áëï ïñí³Í §»¦ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ÛÇ: ºÃ» §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ Q(+; ¢)± μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ¿, ³å³ Q »(+; ¢) ý³ÏïáñÏ³í³ñÁ ÏÉÇÝÇ μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áñï»Õ [a]0 = [a0 ];

a2Q:

¸Çóáõù Q(+; ¢)Á ¨ Q0 (+; ¢)Á Ï³í³ñÝ»ñ »Ý: ' : Q ! Q0 ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³) ÙáÝáÙáñýÇ½Ù, »Ã» 'Ý ÇÝÛ»ÏïÇí (Ý»ñ¹ñáÕ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿; μ) ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, »Ã» 'Ý ëÛáõñ»ÏïÇí (í»ñ³¹ñáÕ) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿; ·) Ç½áÙáñýÇ½Ù, »Ã» 'Ý μÇ»ÏïÇí (÷áËÙÇ³ñÅ»ù) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿: Ð»ßïáõÃÛ³Ùμ ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »ñÏáõ ÙáÝáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ (¿åÇÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ) ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáñÇó ÙáÝáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù) ¿: ± ¼(x) = [x] ûñ»Ýùáí áñáßíáÕ ¼ : Q ! Q » ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ ¿åÇÙáñýÇ½Ù, áñáíÑ»ï¨ ³ÛÝ ëÛáõñ»ÏïÇí ¿ ¨ ¼(x + y) = ¼(x) + ¼(y); ¼(x ¢ y) = ¼(x) ¢ ¼(y); (¼(x0 ) = (¼x)0 ) :

²Ûë ¼ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÁ (¿åÇÙáñýÇ½ÙÁ) ÏáãíáõÙ ¿ μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½Ù (¿åÇÙáñýÇ½Ù) ¨ »ñμ»ÙÝ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ ¼» áí: Ker (¼» ) = (»), áñáíÑ»ï¨ (x; y) 2 Ker (¼» ) Ã! ¼» (x) = ¼» (y) Ã! [x] = [y] Ã! x » y :

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²ÛëåÇëáí, Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ± ó³ÝÏ³ó³Í §»¦ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¼» : Q ! Q » μÝ³Ï³Ý ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ: ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ Q0 (+; ¢) Ï³í³ñ ¨ ³ÛÝåÇëÇ ' : Q ! Q0 (Ï³í³ñ³ÛÇÝ) ¿åÇÙáñýÇ½Ù, áñ (») = Ker('), ³ÛëÇÝùÝ‘ »ñμ §(»)¦-Á ÉÇÝÇ áñ¨¿ (Ï³í³ñ³ÛÇÝ) ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÇ ÙÇçáõÏ: Â»áñ»Ù 20.24 (ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÁ Ï³í³ñÝ»ñáõÙ): ºÃ» ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ¿ åÇÙáñýÇ½Ù ¿ Q(+; ± ¢) Ï³í³ñÇó Q0 (+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç ¨ Ker(') = (»), ³å³ Q0 ' Q »: ²í»ÉÇ ×ß·ñÇï, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ ¹ : ± Q0 ! Q » Ç½áÙáñýÇ½Ù, áñ ¼ = ' ¢ ¹, ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ (¹Ç³·ñ³ÙÁ). '

Q Z

Z ¼Z

Q0 ¹

? ± Q »

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ ' : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ëÛáõñ»ÏïÇí (í»ñ³¹ñáÕ) ¿, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ z 2 Q0 ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x 2 Q ï³ññ, áñ '(x) = z: ê³ÑÙ³Ý»Ýù ¹(z) = [x], áñï»Õ '(x) = z: Ü³Ë ÝÏ³ïáõÙ »Ýù, áñ ¹Ý Çñáù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ¹(z)Á Ï³Ëí³Í ã¿ '(x) = z å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ xÇ ÁÝïñáõÃÛáõÝÇó: ²ÛÝáõÑ»ï¨, ³å³óáõóíáõÙ ¿ ¹Ç μÇ»ÏïÇíáõÃÛáõÝÁ ¨ ÑáÙáÙáñýáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ í»ñçáõÙª ¼ = ' ¢ ¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ¹Ç ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: ¤ Â»áñ»Ù 20.25 (ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ Ï³í³ñÝ»ñáõÙ): ò³ÝÏ³ó³Í Q(+; ¢), Q0 (+; ¢) ¨ Q00 (+; ¢) Ï³í³ñÝ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý '1 : Q ! Q0 ¨ '2 : Q ! Q00 ¿ åÇÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ Ker('1 ) μ Ker('2 ), ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáÕ ³ÛÝåÇëÇ '3 : Q0 ! Q00 ¿ åÇÙáñýÇ½Ù, áñ '1 ¢ '3 = '2 , ³ÛëÇÝùÝª ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ¿ ÑáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É »é³ÝÏÛáõÝÁ (¹Ç³·ñ³ÙÁ).

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

Q Z

'1 Z '2Z

Q0 '3

? Q00

ÜÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ý³¨ μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ f : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É f μ Q £ Q Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁª (x; y) 2 f Ã! y = f (x); áñï»Õ x 2 Q, y 2 Q0 : ºÃ» Q(+; ¢)Á ¨ Q0 (+; ¢)Á Ï³í³ñÝ»ñ »Ý, ³å³ Q£Q0 μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ Ï³í³ñÇ, »Ã» ¹ñ³ íñ³ (Ù»ç) ë³ÑÙ³Ý»Ýù ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁª (x; y) + (u; v) = (x + u; y + v); (x; y) ¢ (u; v) = (x ¢ u; y ¢ v);

áñï»Õ (x; y); (u; v) 2 Q £ Q0 : ê³ÑÙ³Ýí³Í Q £ Q0 (+; ¢) Ï³í³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Q ¨ Q0 Ï³í³ñÝ»ñÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ï³Ù áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É: ºÃ» Q = Q0 , ³å³ Ñ³Ý·áõÙ »Ýù Q2 (+; ¢) Ï³í³ñÇÝ, áñï»Õ Q2 = Q £ Q: ´áõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ (x; y)0 = (x0 ; y0 ) Éñ³óáõÙÁ: È»ÙÙ 20.21: àñå»ë½Ç f : Q ! Q0 ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÉÇÝÇ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù Q(+; ¢) Ï³í³ñÇó Q0 (+; ¢) Ï³í³ñÇ Ù»ç ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ f μ Q £ Q0 Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Q £ Q0 (+; ¢) Ï³í³ñÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí:

È»ÙÙ 20.22: àñå»ë½Ç Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í §»¦ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ Q2 (+; ¢) Ï³í³ñÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ: ¤ ²å³óáõóáõÙ: ²ÝÙÇç³Ï³Ý ëïáõ·Ù³Ý »Õ³Ý³Ïáí: ÜÙ³Ý³ïÇå åÝ¹áõÙÝ»ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ý³¨ μáõÉÛ³Ý (¸» Øáñ·³ÝÇ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ: Î³ë»Ýù, áñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñáí, »Ã» Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ [a; b] Ñ³ïí³Í μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ (áñå»ë ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï »ÝÃ³Ï³í³ñ), ³ÛëÇÝùÝª Ï³Ù³Û³Ï³Ý x 2 [a; b] ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 [a; b] ï³ññ, áñ x + y = b ¨ x ¢ y = a: È»ÙÙ 20.23: ºÃ» ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¨ Ùá¹áõÉÛ³ñ (Ù³ëÝ³íáñ³å»ë μ³ßË³Ï³Ý) Ï³í³ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ ûÅïí³Í Ý³¨ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñáí:

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù Q(+; ¢)Á 0 ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññáí ¨ 1 Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññáí Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñ ¿, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ t 2 Q ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ t0 2 Q ï³ññ, áñ t+t0 = 1, t¢t0 = 0: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý [a; b] μ Q Ñ³ïí³Í, áñï»Õ a 6 b: ºÃ» x 2 [a; b] ¨ y = a+x0 b, ³å³ û·ïí»Éáí Ùá¹áõÉÛ³ñáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇó, Ïëï³Ý³Ýùª x + y = x + a + x0 b = x + x0 b = (x + x0 )b = 1 ¢ b = b; x ¢ y = x(a + x0 b) = (a + x0 b)x = a + x0 bx = a + 0 = a :

Â»áñ»Ù 20.26 (R. P. Dilworth): Ð³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ® ¨ ¯ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñª ® ¢ ¯ = ¯ ¢ ®:

²å³óáõóáõÙ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É ® ¢ ¯ μ ¯ ¢ ® ¨ ¯ ¢ ® μ ® ¢ ¯ Ý»ñ¹ñáõÙÝ»ñÁ: ²å³óáõó»Ýù, ûñÇÝ³Ï, ³é³çÇÝ Ý»ñ¹ñáõÙÁª (a; b) 2 ® ¢ ¯ ! (a; b) 2 ¯ ¢ ®: ¸Çóáõù ® = (»1 ), ¯ = (»2 ): ²ÛëåÇëáí Ï³å³óáõó»Ýù, áñ »Ã» a »1 x ¨ x »2 b, áñï»Õ a; x; b 2 Q, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 Q ï³ññ, áñ a »2 y ¨ y »1 b: ²Ûë åÝ¹áõÙÁ Ý³Ë Ï³å³óáõó»Ýù

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

x 2 [a; b] ¹»åùáõÙ: ø³ÝÇ áñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñáí, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ y 2 [a; b], áñ x + y = b; x¢y = a:

Ð»ï¨³μ³ñ,

y = y ¢ b »2 y ¢ x = a; y = y + a »1 y + x = b;

³ÛëÇÝùÝª ·ï³Ýù ³ÛÝåÇëÇ y 2 Q ï³ññ, áñ a »2 y ¨ y »1 b: ÜáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »Ã» a »2 x, x »1 b ¨ x 2 [a; b], ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y 2 [a; b], áñ a »1 y ¨ y »2 b: ²ÝóÝ»Éáí ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùÇÝ, ¹Çï³ñÏ»Ýù [a; a+b+x] ¨ [b; a+b+x] Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ: ÎáõÝ»Ý³Ýùª a = a + a »1 a + x = a + x + x »2 a + b + x; b = b + b »2 b + x = b + x + x »1 b + a + x;

³ÛëÇÝùÝª a »1 a + x »2 a + b + x ¨ b »2 b + x »1 b + a + x: Ð»ï¨³μ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³Ý ³ÛÝåÇëÇ u 2 [a; a+b+x] ¨ v 2 [b; a+b+x] ï³ññ»ñ, áñ a »2 u; u »1 a + b + x; b »1 v;

v »2 a + b + x :

ú·ïí»Éáí ³Ûë ïíÛ³ÉÝ»ñÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

u = u(a + b + x) »2 uv »1 (a + b + x)v = v : ²ÛëåÇëáí, a »2 u »2 uv; uv »1 v »1 b :

Â»áñ»Ù 20.27 (J. Hashimoto): Ð³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñáí ûÅïí³Í Ï³í³ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý ¿ áñáßíáõÙ Çñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ëáí, ³ÛëÇÝùÝª ÝáõÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¤ ¹³ëÝ áõÝ»óáÕ »ñÏáõ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

ì³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñ, Éñ³óáõóÇã ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñ 1. Î³éáõó»É øÉ³ÛÝÇ ãáñë ï³ññ³ÝÇ áã ÙÇ³ÍÇÝ ËÙμÇ μáÉáñ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ï³í³ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ ³ÛÝ Ùá¹áõÉÛ³ñ ¿, μ³Ûó μ³ßË³Ï³Ý ã¿: 2. ²å³óáõó»É, áñ Ï³í³ñÇ ÙÇÝÇÙ³É (Ù³ùëÇÙ³É) ï³ññÁ ÏÉÇÝÇ ¹ñ³ ÷áùñ³·áõÛÝ (Ù»Í³·áõÛÝ) ï³ññÁ: 3. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ï³í³ñáõÙ a + b = ab, ³å³ a = b: 4. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ï³í³ñáõÙ a + b + c = abc, ³å³ a = b = c: 5. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í Ï³í³ñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª (xy + xz)(xy + yz) = xy; (x + y)(x + z) + (x + y)(y + z) = x + y : 6. Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Q0 6= Q »ÝÃ³Ï³í³ñÁ ÏÉÇÝÇ Q-Ç å³ñ½ Ç¹»³É ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ Q n Q0 -Á Q-Ç å³ñ½ ýÇÉïñ ¿: 7. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³í³ñÇ ³í»É³óÝ»Éáí ³Ù»Ý³ß³ïÁ »ñ»ù ï³ññ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ï³í³ñ: 8. ²å³óáõó»É, áñ ½áõÛ· ï»Õ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ A4 »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ï³í³ñÁ Ùá¹áõÉÛ³ñ ã¿:

ËÙμÇ μáÉáñ

9. ²å³óáõó»É, áñ 0 ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññáí Ùá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñáõÙª (a + b)c = 0 ¡! a(b + c) = ab : 10. ²å³óáõó»É, áñ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñÇ μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ μáÉáñ ï³ññ»ñÇ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: 11. ²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μ³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ áñ¨¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ:

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

12. ²å³óáõó»É, áñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ. a 6 b Ã! ab0 = 0 : 13. ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Ï³í³ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ç¹»³É (ýÇÉïñ) ·ÉË³íáñ ¿: 14. ²å³óáõó»É, áñ 20.6-áõÙ Ý»ñÙáõÍí³Í Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ³ïáÙ³Ï³Ý ¿, μ³Ûó ÉñÇí ã¿:

F C(N)

μáõÉÛ³Ý

15. ²å³óáõó»É, áñ Q 6= ; μ³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÝ»ñÇ EQ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉñÇí Ï³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ (ï»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùμ): ²Ûëï»Õ inf(X)-Á ¨ sup(X)-Á ó³ÝÏ³ó³Í áã ¹³ï³ñÏ X = fμi j i 2 Ig μ EQ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáíª \ inf(X) = μi ; i2I

sup(X) = ª ; áñï»Õ (x; y) 2 ª ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý í»ñç³íáñ Ãíáí x1 ; : : : ; xn 2 Q ï³ññ»ñ ¨ i1 ; : : : ; in 2 I Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ x = x1 μi1 x2 μi2 ¢ ¢ ¢ xn¡1 μin¡1 xn = y:

16. ²å³óáõó»É, áñ Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ μáÉáñ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñÇ Con(Q) μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ EQ Ï³í³ñÇ »ÝÃ³Ï³í³ñ ¿: 17. ²å³óáõó»É, áñ Con(Q) Ï³í³ñÁ μ³ßË³Ï³Ý ¿ ó³ÝÏ³ó³Í Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ Ñ³Ù³ñ (N. Funayama, T. Nakayama): 18. ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ. áñå»ë½Ç Q(+; ¢) Ï³í³ñÇ ®, ¯ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³Ý»ñÇ ® ¢ ¯ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ ÏáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ® ¢ ¯ = ¯ ¢ ®:

19. ÊáõÙμÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ÙÇ³ÍÇÝ, »Ã» ¹ñ³ ó³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ÍÝí³Í »ÝÃ³ËáõÙμÁ ÙÇ³ÍÇÝ ¿: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³Û¹åÇëÇ ËÙμ»ñÁ ³μ»ÉÛ³Ý »Ý, áñáíÑ»ï¨ fx; yg »ÝÃ³μ³½ÙáõÃÛ³Ùμ ÍÝí³Í »ÝÃ³ËáõÙμÁ, ÉÇÝ»Éáí ÙÇ³ÍÇÝ, ÏÉÇÝÇ ³μ»ÉÛ³Ý: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: àñå»ë½Ç Q(±) ËÙμÇ »ÝÃ³ËÙμ»ñÇ Ï³í³ñÁ ÉÇÝÇ μ³ßË³Ï³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ÙÇ³ÍÇÝ:

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

20. Q(+; ¢;0 ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ, áñï»Õ + ¨ ¢ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ÇëÏ 0 -Á 1-ï»Õ³ÝÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¿ (áñÇ ³ñÅ»ùÁ x 2 Q ï³ññÇ íñ³ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ x0 -áí), ÏáãíáõÙ ¿ ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, »Ã» x ¢ y = y ¢ x; x ¢ (y ¢ z) = (x ¢ y) ¢ z; x ¢ x = x; x + (yz) = (x + y)(x + z);

x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z; x + x = x; x(y + z) = xy + xz; (x0 ) = x; x0 + y = (x + y)0 + y; (x + y)0 + (x + y 0 ) = x0 ;

x0 ¢ y = (x ¢ y)0 ¢ y; (x ¢ y)0 ¢ (x ¢ y 0 ) = x0

ó³ÝÏ³ó³Í x; y; z 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõó»É, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ¿, ÙÇÝã¹»é Ñ³Ï³é³ÏÁ ×Çßï ã¿ (Ï³éáõó»É ûñÇÝ³Ï): 21. ºÃ» (+) = (¢), ³å³ Q(+; ¢;0 ) ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ù»Ï »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ: Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏáõ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ: ²å³óáõó»É, áñ »ñÏáõ ï³ññ³ÝÇ ¨ »ñÏáõ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí: 22. ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Q μ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ë³ÑÙ³Ý»É ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ jQj = 2n , n > 1: ¾ ½ 23. ¸Çóáõù Q = 0; ; 1 , ÇëÏ x + y = maxfx; yg, x ¢ y = minfx; yg, x0 =

1; »Ã» x = 0; 0; »Ã» x = 1 Ï³Ù x =

Ð³Ý·áõÙ »Ýù ·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝª

μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý

Ñ»ï¨Û³É

¶ÉáõË 20 Î²ì²ðÜºð ºì ´àôÈÚ²Ü Ð²Üð²Ð²ÞÆìÜºð

êï³óí³Í »ñ»ù ï³ññ³ÝÇ Q(+; ¢;0 ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¶Ûá¹»ÉÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí (K. GÄ odel, 1932): ²å³óáõó»É, áñ ¶Ûá¹»ÉÇ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ. x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z; x + x = x; x(y + z) = xy + xz; (x + y) = x0 ¢ y 0 ; (x + y) + (x + y 0 ) = x0 ;

Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ μ³í³ñ³ñáõÙ ¿

x ¢ y = y ¢ x; x ¢ (y ¢ z) = (x ¢ y) ¢ z; x ¢ x = x; x + (yz) = (x + y)(x + z); (x ¢ y) = x0 + y 0 ; (x ¢ y) ¢ (x ¢ y 0 ) = x0 :

24. ¸Çóáõù A(6) ½áõÛ·Ç §6¦ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ ³éÇÝùÝáõÃÛ³Ý ¨ Ñ³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¨ supfa; bg-Ý, inffa; bg-Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ó³ÝÏ³ó³Í a; b 2 Q ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»É, áñ x + y = supfx; yg;

x ¢ y = inffx; yg;

x; y 2 A;

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝª (a) x + x = x, x ¢ x = x,

(b) x + y = y + x, x ¢ y = y ¢ x,

(d) x(x + y) = x, x + xy = x:

â É áõ Í í ³ Í Ë Ý ¹ Ç ñ Ý » ñ ¸³ë³·ñùáõÙ Ó¨³Ï»ñåí³Í μ³½Ù³ÃÇí ãÉáõÍí³Í ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ Ñ»ï Ù»Ïï»Õ Ýß»Ýù Ý³¨ Ñ»ï¨Û³ÉÝ»ñÁ. 1. ´ÝáõÃ³·ñ»É ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 2. Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É ØÛáμÇáõëÇ ßñçÙ³Ý Ã»áñ»ÙÁ Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 3. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n > 0 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ñ¹Ûáù ³ÛÝåÇëÇ a ¨ b μÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ '(a) + '(b) = 2n; áñï»Õ '-Ý ¾ÛÉ»ñÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ (P. Erd"os): 4. ¸Çóáõù Q-Ý P ¹³ßïÇ íñ³ áñáßí³Í ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ f : Q £ Q ! P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ Q-Ç »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ ¿: (Q; f ) ½áõÛ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ¸» Øáñ·³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ »Ã» (U ? )? = U ó³ÝÏ³ó³Í U 6 Q »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ (áñï»Õ U ? Á U -Ç ûñÃá·áÝ³É Éñ³óáõÙÝ ¿ f -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùμ): ´ÝáõÃ³·ñ»É ¸» Øáñ·³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 5. Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É Ð³ÙÇÉïáÝ-ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: 6. Ò¨³Ï»ñå»É ¨ ³å³óáõó»É Ð³ÙÇÉïáÝ-ø»ÉÇÇ Ã»áñ»ÙÁ í»ñç³íáñ ã³÷³ÝÇ ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý n-·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ: 7. ²å³óáõó»É ø»ÉÇÇ ïÇåÇ Ã»áñ»Ù ùí³½ÇËÙμ»ñÇ (Éáõå³Ý»ñÇ) Ñ³Ù³ñ: 8. ²å³óáõó»É ø»ÉÇÇ ïÇåÇ Ï³í³ñÝ»ñÇ) Ñ³Ù³ñ:

Ã»áñ»Ù

Ï³í³ñÝ»ñÇ

(Ùá¹áõÉÛ³ñ

9. ²å³óáõó»É ø»ÉÇÇ ïÇåÇ Ã»áñ»Ù ¾íÏÉÇ¹Û³Ý ûÕ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 10. ²å³óáõó»É ø»ÉÇÇ ïÇåÇ Ã»áñ»Ù ùí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

âÉáõÍí³Í ËÝ¹ÇñÝ»ñ

11. ø»ÉÇÇ ïÇåÇ Ã»áñ»ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ μÝáõÃ³·ñ»É ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùμ ûÅïí³Í Ù³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: 12. ø»ÉÇÇ ïÇåÇ Ã»áñ»ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ μÝáõÃ³·ñ»É ïáåáÉá·Ç³Ï³Ý ¹³ßï»ñÇ (Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ) ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμ»ñÁ: 13. ´ÝáõÃ³·ñ»É »ñÏáõ ûÕ³ÏÝ»ñÇ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÇ, ëáõå»ñ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:

(¹³ßï»ñÇ,

¾íÏÉÇ¹Û³Ý

Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ,

ûÕ³ÏÝ»ñÇ)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ: ºñÏáõ »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Q1 (A1 ; B1 ) ¨ Q2 (A2 ; B2 ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ëáõå»ñ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ ãáñë »ñÏï»Õ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁª (Q1 £ Q2 ; fA1 ; B1 g £ fA2 ; B2 g), áñï»Õ fA1 ; B1 g £ fA2 ; B2 g = f(A1 ; A2 ); (A1 ; B2 ); (B1 ; A2 ); (B1 ; B2 )g, ÇëÏ (X; Y ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ·áñÍáõÙ ¿ Q1 £ Q2 ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³ Áëï μ³Õ³¹ñÇãÝ»ñÇ, ³ÛëÇÝùÝª (X; Y ) ((x1 ; y1 ); (x2 ; y2 )) = (X(x1 ; x2 ); Y (y1 ; y2 )) : ºñÏáõ Ï³Ù³Û³Ï³Ý (Q1 ; §1 ) ¨ (Q2 ; §2 ) Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÇ ¢ ¡ ~ 2 ëáõå»ñ³ñï³¹ñÛ³É ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³óíáõÙ ¿ Q1 £ Q2 ; §1 £§ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÁ, áñï»Õ ~ 2 = f(X; Y ) j X 2 §1 ; Y 2 §2 ; jXj = jY jg : ²Ûëï»Õ jXj-Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ X ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ï»Õ³ÛÝáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ (X; Y ) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ÝáñÇó ·áñÍáõÙ ¿ Áëï μ³Õ³¹ñÇãÝ»ñÇ: 14. ´ÝáõÃ³·ñ»É »ñÏáõ ½ñá (p ëáõå»ñ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:

0) μÝáõÃ³·ñÇãáí ¹³ßï»ñÇ

15. ´ÝáõÃ³·ñ»É »ñÏáõ ùí³½ÇËÙμ»ñÇ (Éáõå³Ý»ñÇ, ËÙμ»ñÇ) ëáõå»ñ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª ¹Çï»Éáí ¹ñ³Ýó áñå»ë »ñ»ù (»ñÏï»Õ) ·áñÍáÕáõÃÛ³Ùμ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ: 16. ´ÝáõÃ³·ñ»É ½áõ·áñ¹³Ï³Ý (½áõ·áñ¹³Ï³Ý ¨ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý) ûÕ³ÏÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ÏÇë³ËÙμ»ñÁ: 17. ´ÝáõÃ³·ñ»É ½ñá (p > ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËÙμ»ñÁ:

μÝáõÃ³·ñÇãáí

¹³ßï»ñÇ

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

18. ¼³ñ·³óÝ»É Ãí³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝª »ÉÝ»Éáí Ñ³ÝÙ³Ý (μ³Å³ÝÙ³Ý) ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ùí³½ÇËÙμ³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: 19. ¼³ñ·³óÝ»É ÏñÇåïá·ñ³ýÇ³ª »ÉÝ»Éáí ï³ñμ»ñ Ãí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ ¾ÛÉ»ñÇ ûÕ³Ï³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: 20. ÜÏ³ñ³·ñ»É (μÝáõÃ³·ñ»É) ¶Ûá¹»ÉÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ μáÉáñ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ´ÝáõÃ³·ñ»É ³Û¹ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÁ: 21. ÜÏ³ñ³·ñ»É (μÝáõÃ³·ñ»É) ¶Ûá¹»ÉÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ μáÉáñ ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ´ÝáõÃ³·ñ»É ³Û¹ ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÁ: 22. ÜÏ³ñ³·ñ»É (μÝáõÃ³·ñ»É) ÝÏ. 1-áõÙ (ÝÏ. 2-áõÙ) å³ïÏ»ñí³Í Ï³í³ñÇ μáÉáñ ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ´ÝáõÃ³·ñ»É ³Û¹ ·»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñÁ: 23. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ñ¹Ûáù μáõÉÛ³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ áã μ³ßË³Ï³Ý ÉñÇí Ï³í³ñ:

² é ³ ñ Ï ³ Û ³ Ï ³ Ý ²μ»ÉÛ³Ý ËáõÙμ 18.1 ²É·áñÇÃÙ ¾íÏÉÇ¹»ëÇ 2 – ÙÝ³óáñ¹áí μ³Å³ÝÙ³Ý ³ÙμáÕç Ãí»ñÇ 1.1 – – – μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ 16.2

– âÇÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý

3.2 ²ÙμáÕç ÃíÇ Ï³ñ· Áëï ïñí³Í Ñ»ÝùÇ (Ñ»Ý³ÃíÇ, Ùá¹áõÉÇ) 9.2 – Ù³ë Çñ³Ï³Ý ÃíÇ 8 – p-³¹ÇÏ ÃÇí 9.6 ²ÙμáÕçáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ 19.1 ²Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³Å³Ý³ñ³ñ 2, 5, 19.3 ²Ù»Ý³÷áùñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ μ³½Ù³å³ïÇÏ 4, 5, 19.3 ²Ýß³ñÅ Ï»ï 0.5 ²ç μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ 19.1 ²çÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 0.3 ²éÇÝùÝáõÃÛáõÝ 0.1, 0.4 ²ïáÙ 0.4 ²ïáÙ³Ï³Ý Ï³í³ñ 20.4 ²ñÙ³ï³ÛÇÝ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.22 ²ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.4, 9.5 – ýáõÝÏóÇ³ 9.4, 9.5 ²ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ÙÇçáõÏ 0.3, 17.14, 20.11 ²ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÝ»ñ 0.3, 17.14 ²ùëÇáÙ³ÛÇÝ ï»ëáõÃÛáõÝ Ãí»ñÇ 12.2 ²íïáÙáñýÇ½Ù ¹³ßïÇ 14.7 – ËÙμÇ 18.7

ó ³ Ý Ï

– ûÕ³ÏÇ 19.6 ´³½Ù³Ý¹³Ù 16.2 ´³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³Ý 16.2 – ³Í³ÝóÛ³É 16.6 ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ûÕ³Ï 16.2 ´³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï 16.6 ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇë³ûÕ³Ï 0.1 – Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 0.1 – ¾-Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 0.1 – ûÕ³Ï 0.1 ´³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí 6.1 ´³Õ¹³ï»ÉÇ Ãí»ñ 1.2 – ï³ññ»ñ 19.1 ´³Õ¹³ïÙ³Ý ³ëïÇ×³Ý 6.3 – ÉáõÍáõÙ 6.3 ´³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ âÇÝ³Ï³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ· 3.2 ´³Ý³ËÇ Ã»áñ»Ù 0.5 ´³ßË³Ï³Ý Ï³í³ñ 20.3 – ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ 0.1, 9.4, 19.1, 20.3 ´³ó μ³Ý³ÉÇ 11 ´³ó-÷³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ 20.8 ´»½áõÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ 2 – Ã»áñ»Ù 16.2 ´»éÝë³Û¹Ç É»ÙÙ 18.9 ´»ñÃñ³ÝÇ Ã»áñ»Ù (Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ) 7 ´ÇÝ»ÃÇ μ³Ý³Ó¨ 2 ´ÇñÏÑáýÇ Ã»áñ»Ù 20.3, 20.8 ´ÇñÏÑáý-êïááõÝÇ Ã»áñ»Ù 20.8 ´ÇñÏÑáý-î³ñëÏÇÇ Ã»áñ»Ù 0.5 ´Ý³Ï³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 0.3 – ÑáÙáÙáñýÇ½Ù 18.6, 19.7, 20.11 ´ÝáõÃ³·ñÇã μ³½Ù³Ý¹³Ù 17.21

²é³ñÏ³Û³Ï³Ý ó³ÝÏ ´ñáõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝ 7 ´áõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 20.4 – Éñ³óáõÙ 20.4 – ûÕ³Ï 20.4 ´áñ»ÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 0.8 ´ñ³áõ»ñÇ Ã»áñ»Ù 0.5 ¶³ÕïÝ³·ñáõÃÛáõÝ 11 ¶³ÕïÝÇ μ³Ý³ÉÇ 11 ¶³Éáõ³ÛÇ Ã»áñ»Ù 16.10 ¶³áõëÇ ³É·áñÇÃÙ 14.6 ¶³áõëÇ Ã»áñ»Ù 10.2 ¶³áõëÇ É»ÙÙ 10.2 ¶»ñÏ³ï³ñÛ³É ÃÇí 9 ¶»ñÝáõÛÝáõÃÛáõÝ 20.1 ¶ÉË³íáñ Ç¹»³É 19.2, 20.7 – Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³Ï 19.3 – ýÇÉïñ 20.7 ¶Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 17.14 – ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ 3.1 – Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝ (³ÝÏ³ËáõÃÛáõÝ) 17.1 – Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 17.16 – Ó¨ 17.12 – ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.1 ¶Í³ÛÝáñ»Ý Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ 0.4 – – ËáõÙμ 18 – – ûÕ³Ï 19 ¶Ûá¹»ÉÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 20 ¶ñ»Ã»-Ï³ï³ñÛ³É ÃÇí 9 ¶áõÙ³ñÙ³Ý ³ùëÇáÙ 0.1 ¶áÉ¹μ³ËÇ Ã»áñ»Ù 7 – åñáμÉ»Ù 7 ¶ñùáõÛÏ Ñ»é³Ëáë³ÛÇÝ (Ñ³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ, ÇÝï»ñÝ»ï³ÛÇÝ)

¸³ßï 14.7 ¸³ßïÇ ³ñï³¹ñÛ³É³ÛÇÝ ËáõÙμ 19.1 – μÝáõÃ³·ñÇã 14.7 – å³ñ½ ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ 16.9 ¸³ë»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É 1.3 – ·áõÙ³ñ 1.3 ¸»¹»ÏÇÝ¹Ç Ã»áñ»Ù 20.2, 20.5 ¸» Øáñ·³ÝÇ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñ 0.1, 20.9 – Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 20.9 ¸ÇÝ³ÙÇÏ Ñ³Ù³Ï³ñ· 12.2 ¸Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ 3.1 – ÉáõÍáõÙ 3.1 ¸ÇñÇËÉ»Ç ³ñï³¹ñÛ³É 9.5 – Ã»áñ»Ù 7 ¸ÇëÏñ»ï Éá·³ñÇÃÙ 18.13 ºÝÃ³¹³ßï 14.7 ºÝÃ³ËáõÙμ 18.1 ºÝÃ³Ï³í³ñ 20.2 ºÝÃ³ÏÇë³ËáõÙμ 18.1 ºÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.7 ºÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ 17.10 – áõÕÇÕ ·áõÙ³ñ 17.10 ºÝÃ³ûÕ³Ï 14.7 ºñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ 17.16 – ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 17.17 – Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ 17.17 n-·Í³ÛÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 17.17 n-·Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ 17.17 ¼ñáÛ³Ï³Ý ¹³ë 1.3 – ûÕ³Ï 14.7 ¼áõ·áñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ 1.4, 18.1 ¼áõ·áñ¹³Ï³Ý ûÕ³Ï 19.1 ¼áõ·áñ¹Ù³Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ 19.4

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

¾ÛÉ»ñÇ Ã»áñ»Ù 7, 9.1, 19.5 – ËáõÙμ 19.1 – ýáõÝÏóÇ³ 9.1 – – ûÕ³Ï³ÛÇÝ 19.5 ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ³É·áñÇÃÙ 2 ¾íÏÉÇ¹Ç (¾íÏÉÇ¹»ëÇ) Ã»áñ»Ù 1.1, 7

¾íÏÉÇ¹Û³Ý ÃÇí 6.2

– ÝáñÙ 19.4 – ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.20 – ûÕ³Ï 19.4 Äáñ¹³ÝÛ³Ý Ñ»Ýù 17.22 – Ù³ïñÇó 17.22 Â»ÛÉáñÇ μ³Ý³Ó¨ 16.6 Âí³μ³Ý³Ï³Ý ûÕ³Ï 19.5 Âí³Ï»ñå μ³½ÙáõÃÛáõÝ 9.4 – ýáõÝÏóÇ³ ØÛáμÇáõëÇ 9.5 Âí³μ³ÝáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù 6.2 – – – ·ÉË³íáñ Ç¹»³ÉÝ»ñáí ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ 19.3 Æ¹»³É Ï³í³ñÇ 20.7 – ÏÇë³ËÙμÇ 18.14 – ûÕ³ÏÇ 14.2 Æ½áÙáñý μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ 0.6, 12.2 – μáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇíÝ»ñ 20.6 – ¹³ßï»ñ 14.7 – ËÙμ»ñ 18.3 – Ï³í³ñÝ»ñ 20.5 – ÏÇë³ËÙμ»ñ 18.14 – ûÕ³ÏÝ»ñ 14.7 Æ½áÙáñýÇ½Ù 0.7, 17.11, 17.15, 17.20, 18.3, 19.7, 20.5, 20.6 Æ½áÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»Ù 18.6, 19.7 ÆÝ»ñóÇ³ÛÇ ûñ»Ýù 17.18

ÆÝí³ñÇ³Ýï »ÝÃ³ËáõÙμ 18.4 – »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.21, 17.22 ÆÝï»ñÝ»ï³ÛÇÝ ëïáñ³·ñáõÃÛáõÝ 11 ÆÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝáÕ ï³ññ 18.2 È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»Ù 6.3, 18.4 È³Ù»Ç μ³Ý³Ó¨ 2 – Ã»áñ»Ù 2

È»Å³Ý¹ñ-¸ÇñÇËÉ»Ç Ãí³μ³Ý³Ï³Ý

åñá·ñ»ëÇ³ 7 È»Å³Ý¹ñÇ Ã»áñ»Ù 7, 8 – å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ý 10.2 ÈÇÝ¹»Ýμ³áõÙ-î³ñëÏÇÇ Ã»áñ»Ù 20.6 ÈñÇí Ï³í³ñ 20.6 – ·Í³ÛÇÝ ËáõÙμ 18.1 ÈáõÏ³ë-È»ÑÙ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ÈáõÏ³ëÇ Ã»áñ»Ù 9.2 Èáõå³ 18.1 ÊÙμ»ñÇ ÑáÙáÙáñýÇ½Ù 18.6 – ÏÇë³áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É 18.8 – áõÕÇÕ ³ñï³¹ñÛ³É 18.8 ÊÙμÇ Ï»ÝïñáÝ 18.2 ÊáõÙμ 18.1 Î³ÝáÝ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ 6.2, 16.5 Î³í³ñ 20.1 Î³í³ñ³Ó¨ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ 0.4 Î³í³ñÇ Ç¹»³É 20.7 – ýÇÉïñ 20.7 Î³ÝïáñÇ Ã»áñ»Ù 0.3 Î³Ýïáñ-ÞñÛá¹»ñ-´»éÝßï³ÛÝÇ Ã»áñ»Ù 0.5 Î³ï³ñÛ³É ÃÇí 9.4 ÎáÙåÉ»ùë ÃÇí 15.1

²é³ñÏ³Û³Ï³Ý ó³ÝÏ – ÃíÇ Ï³ñ· 15.3 – ÃíÇó ³ñÙ³ï Ñ³Ý»ÉÁ 15.3 ÎáÝ·ñáõ»Ýï Ù³ïñÇóÝ»ñ 17.17 ÎáÝ·ñáõ»ÝóÇ³ 18.14, 20.11 Îáïáñ³Ï³ÛÇÝ Ù³ë Çñ³Ï³Ý ÃíÇ 8 ÎÇë³ËáõÙμ 18.1 ÎÇë³¹³ßï 19.1 ÎÇë³Ù³ñÙÇÝ 19.1 ÎÇë³ûÕ³Ï 19.1 ÎáßÇ-´áõÝÛ³ÏáíëÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ 17.19 ÎáßÇÇ Ã»áñ»Ù 18.4, 18.10 Îñ³Ù»ñÇ »Õ³Ý³Ï 14.6 ÎñáÝ»Ï»ñÇ Ã»áñ»Ù 16.10 ÎñáÝ»Ï»ñ-Î³å»ÉÉÇÇ Ã»áñ»Ù 17.5 Ð³Ï³¹³ñÓ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 0.4 – ¹³ë 1.3 – Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ 0.6 – Ù³ïñÇó 14.2, 14.3 – ï³ññ 18.1 Ð³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó 18.1 – ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí 9.6 – ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 0.3 – ¹³ë 1.3 – Ù³ïñÇó 14.2 – ï³ññ 18.1 – ï³ññ»ñÇ ËáõÙμ 18.2 Ð³Ï³¹Çñ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃÇí 9.6 Ð³Ï³Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ 0.4 Ð³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ¹³ë 0.1 Ð³Ù³Ï³ñ·Ç é³Ý· 17.2 Ð³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ 0.1 Ð³Ù³ÉáõÍ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.12 Ð³ÙÇÉïáÝ-ø»ÉÇÇ Ã»áñ»Ù 17.21 Ð³Ýñ³Ñ³ßÇí 18.1 Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý μ³Õ¹³ïÙ³Ý

³ëïÇ×³Ý 6.3 – – ÉáõÍáõÙ 6.3 – Éñ³óáõóÇã 14.5 – ï³ññ 16.4 – ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ 16.10 Ð³í³ë³ñ³½áñ μ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ 0.3 Ð³ñ³μ»ñ³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñáí Ï³í³ñ 20.11 Ð³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝ 0.1 Ð³ßí»ÉÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝ 0.3 Ð³ïáõÏ ·Í³ÛÇÝ ËáõÙμ 18.1 Ð»Ý³ÃÇí 1.2 Ð»Ýù 17.2 Ð»ñÙÇïÛ³Ý Ù³ïñÇó 17.20 ÐÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇª μ³Õ¹³ïáõÙÝ»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É 6.3 – – ÏáÙåÉ»ùë Ãí»ñÇ í»ñ³μ»ñÛ³É 16.2 ÐáÙáÙáñýÇ½ÙÝ»ñÇ Ã»áñ»Ù ËÙμ»ñáõÙ 18.6 – – Ï³í³ñÝ»ñáõÙ 20.11 – – ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ 19.6

Ò³ËÇó Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ

³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ 7 Ò»ï³-ýáõÝÏóÇ³ 7 Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ· 0.4 Ø³ëÝ³ÏÇ Ï³ñ·³íáñí³Í μ³½ÙáõÃÛáõÝ 0.4 – – ËáõÙμ 18 – – ûÕ³Ï 19 Ø³ïñÇóÇ áñáßÇã 14.4 – é³Ý· 17.3 Ø³ñÙÇÝ 14.1 Ø³ùëÇÙ³É »ÝÃ³ËáõÙμ 18.2 – Ç¹»³É 19.7, 20.7

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Ø»ñë»ÝÝÇ ÃÇí 7

ØÇ³ÍÇÝ »ÝÃ³ËáõÙμ 18.3

– ËáõÙμ 18.4 ØÇ³íáñáí ûÕ³Ï 19.1 ØÛáμÇáõëÇ Ãí³Ï»ñå ýáõÝÏóÇ³ 9.5 – ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ýáõÝÏóÇ³ 9.4 – ýáõÝÏóÇ³ 6.2 – Ã»áñ»Ù 9.5 – ûÕ³Ï³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ 19.5 Øá¹áõÉÛ³ñ Ï³í³ñ 20.2 Ü³ËÝ³Ï³Ý ³ñÙ³ï 15.3 Ü»ñùÇÝ ³íïáÙáñýÇ½Ù 18.7 ÜÙ³Ý Ù³ïñÇóÝ»ñ 17.15 ÜáñÙ³É³óÝáÕ »ÝÃ³ËáõÙμ 18.2 ÜáõÛÝáõÃÛáõÝ ³ç μ³ßË³Ï³Ý 19.1 – »ñÏ³ÏÇ-μ³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 20.3 – ½áõ·áñ¹³Ï³Ý 18.1

– ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý 20.1

– Ó³Ë μ³ßË³Ï³Ý 19.1 – ï»Õ³÷áË³Ï³Ý 18.1 – ÏÉ³ÝÙ³Ý 20.1 àã Ñëï³Ï μ³½ÙáõÃÛáõÝ 0.9 âμ»ñíáÕ μ³½Ù³Ý¹³Ù 16.5 â»μÇß¨Ç ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ 7 – Ã»áñ»Ù 7 âÇÝ³Ï³Ý Ã»áñ»Ù 3.2, 19.3 – Ñ³Ù³Ï³ñ· 3.2 ä³ñμ»ñ³Ï³Ý ËáõÙμ 18.3 ä³ñ½ ÃÇí 6.1 – ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ 16.9 – Ç¹»³É 19.7, 20.7 – ËáõÙμ 18.5 – ï³ññ 19.3 ä»³ÝáÛÇ ³ùëÇáÙÝ»ñ 12.2

äÛáõÃ³·áñ³ëÇ Ã»áñ»Ù 17.19 äáÛ³ÛÇ Ã»áñ»Ù 7 äë¨¹áå³ñ½ ÃÇí 9.1 p-³¹ÇÏ ÃÇí 9.7 p-ËáõÙμ 18.3 ê»å³ñ³μ»É μ³½Ù³Ý¹³Ù 16.10 ê»÷³Ï³Ý ³ñÅ»ù 17.20 – í»Ïïáñ 17.20 êÇÉáíÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñ 18.11 êÇÉí»ëïñÇ Ñ³Ûï³ÝÇß 17.18 êÇÙ»ïñÇÏ »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨ 17.17 – ËáõÙμ 18.1 – ÏÇë³ËáõÙμ 18.1 êÇÙ»ïñÇÏáõÃÛáõÝ 0.1 êïááõÝÇ Ã»áñ»Ù 20.4, 20.6, 20.8 ì»¹¹»ñμ³éÝÇ Ã»áñ»Ù 19.1 ì»ñÑ³Ý·Ù³Ý ëÏ½μáõÝù (»Õ³Ý³Ï) 0.2 ìÇ»ïÇ μ³Ý³Ó¨»ñ 16.6 ìÇÉëáÝÇ Ã»áñ»Ù 6.1, 19.1 î³ññÇ ³ÙμáÕç ³ëïÇ×³Ý 18.4 î»Õ³¹ñáõÃÛ³Ý Ýß³Ý 13.1 î»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý Ýß³Ý 13.2 î»ë³-μ³½Ù³ÛÇÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ 0.1 – Ý»ñ¹ñáõÙ 0.4 îáåáÉá·Ç³ 0.8 – ¹ÇëÏñ»ï 0.8 – Ñ³Ï³¹ÇëÏñ»ï 0.8 – ÙÝ³óù³ÛÇÝ 1.2 îáåáÉá·Ç³Ï³Ý ËáõÙμ 18 – ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 0.8 – – Ð³áõë¹áñýÛ³Ý 0.8 – – ÝáñÙ³É 0.8 – – é»·áõÉÛ³ñ 0.8

²é³ñÏ³Û³Ï³Ý ó³ÝÏ

– – ëïááõÝÛ³Ý 20.8 – – T1 , T2 , T3 , T4 0.8 – ûÕ³Ï 19 îñ³Ýëó»Ý¹»Ýï ÃÇí 3.1 – ï³ññ 16.9 – ÁÝ¹É³ÛÝáõÙ 16.9

úÕ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ï³ññ»ñÇ ËáõÙμ 19.1 úñÃá·áÝ³É Éñ³óáõÙ 17.18 – Ñ»Ýù 17.18 – Ù³ïñÇó 14.1 úñÃáÝáñÙ³É Ñ»Ýù 17.20

òáéÝÇ ³ùëÇáÙ 0.4

ü³Ïïáñ-Ï³í³ñ 20.11 ü³Ïïáñ-ÏÇë³ËáõÙμ 18.14 ü³Ïïáñ-ËáõÙμ 18.5 ü³Ïïáñ-ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝ 17.13 ü³Ïïáñ-ûÕ³Ï 19.2 ü³ÏïáñÇ½³óíáÕ ûÕ³Ï 19.3 ü³ÏïáñÇ³É ûÕ³Ï 19.3 ü»ñÙ³ÛÇ ÃÇí 7 – Ù»Í Ã»áñ»Ù 3.1 – ÷áùñ Ã»áñ»Ù 9.1 – – – ûÕ³ÏÝ»ñáõÙ 19.5 – ýáõÝÏóÇ³ 19.5 üÇμáÝ³ãÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ 2 – ÃÇí 2 üñáμ»ÝÇáõëÇ ûñ»Ýù 16.10 – ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ûñ»Ýù 16.10

öáË³¹³ñÓ³μ³ñ å³ñ½ ³ÙμáÕç Ãí»ñ 3.1 – – μ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ 16.4 – – ï³ññ»ñ 19.3 öáË³Ýó³Ï³ÝáõÃÛáõÝ 0.1 öáùñ³·áõÛÝ ï³ññÇ ëÏ½μáõÝù 0.2 ø³Ã³É³ÝÇ ÃÇí 1.4 ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ¹³ßï 15.4 – Ó¨ 17.18 – ÙÝ³óù 10.1 – ÙÝ³óùÝ»ñÇ ÷áË³¹³ñÓáõÃÛ³Ý ûñ»Ýù 10.2 – áã-ÙÝ³óù 10.1 – ûÕ³Ï 15.4 ø³ñÙ³ÛùÉÇ ÃÇí 9.1 ø»ÉÇÇ Ã»áñ»Ù 0.7, 17.16, 18.3 – ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í Ã»áñ»Ù 18.6 øÉÇÝÇÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 20.9 øÝ³ëï»ñ-î³ñëÏÇÇ Ã»áñ»Ù 0.5 øí³½ÇμáõÉÛ³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí 20 øí³½Ç¹³ßï 19.1 øí³½ÇËáõÙμ 18.1 øí³½ÇÏ³ñ· 0.4 øí³½ÇÙ³ñÙÇÝ 19.1 øí³½ÇûÕ³Ï 19.1 úÕ³Ï 19.1

È ñ ³ ó áõ ó Ç ã

· ñ ³ Ï ³ Ý áõ Ã Û áõ Ý

ØáíëÇëÛ³Ý Úáõ. Ø., ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ð³Ýñ³Ñ³ßÇí, ºñ¨³ÝÇ å»ï³Ï³Ý Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÇ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 1983. ØáíëÇëÛ³Ý Úáõ. Ø., Âí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 2004, ¼³Ý·³Ï-97. ØáíëÇëÛ³Ý Úáõ. Ø., ÂáõÝÇ¨ ². ¸., ¶Í³ÛÇÝ Ð³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ ¶Í³ÛÇÝ Ìñ³·ñ³íáñÙ³Ý Ø»Ãá¹Ý»ñ, îÝï»ë³·ÇïáõÃÛ³Ý ¨ ¶áñÍ³ñ³ñáõÃÛ³Ý Ð³Ý·áõÝ³ÏÝ»ñ, §²ëáÕÇÏ¦, ºñ¨³Ý, 2002. ØáíëÇëÛ³Ý Úáõ. Ø. (ËÙμ.), Ð³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¨ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ³ÙμÇáÝÇ Ïáõñë³ÛÇÝ ¨ ³í³ñï³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ Ã»Ù³Ý»ñÇ ÅáÕáí³Íáõ, ºñ¨³Ý, ºäÐ, 2008. ²Ã³μ»ÏÛ³Ý ì. ê., Ð³Ýñ³Ñ³ßíÇ Ý»ñ³ÍáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 2005. ²ÝïáÝÛ³Ý ê. Ð., îáåáÉá·Ç³Ï³Ý ËÙμ»ñ ¨ G-ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ, ºñ¨³Ý, ºäÐ, 1985. ¸³É³ÉÛ³Ý ê. Ð., ¶Í³ÛÇÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ, ºñ¨³Ý, ºäÐ, 2005. ¸³íÇ¹áí ê. ê., Âí³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, ºñ¨³Ý, ºäÐ, 2007. ²é³ù»ÉÛ³Ý ². ê., Âí³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ, ì³Ý³Óáñ, ²ðØÆÜüà, 2006. Ø³ßáõñÛ³Ý ². ê., Ð³Ù³ñáÕáõÃÛ³Ý ³ñí»ëïÇ ³ñ³Ñ»ïÝ»ñáõÙ: ²ëáõÛÃ³μ³ÝáõÃÛáõÝ, ïñ³Ù³μ³ÝáõÃÛáõÝ, Ãí³μ³ÝáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 1997, ÜáÛÛ³Ý î³å³Ý. ²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý È., øí³½ÇËÙμ»ñ, êï»÷³Ý³Ï»ñï, 2010. ØÇù³Û»ÉÛ³Ý Ð. ê., ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³ó, §¾¹ÇÃ åñÇÝÃ¦, ºñ¨³Ý, 2000. Àäÿí Ñ. È., Ïðîáëåìà Áåðíñàéäà è òîæäåñòâà â ãðóïïàõ, "Íàóêà", Ì., 1975. Àëåêñàíäðÿí Ð. À., Ìèðçàõàíÿí Ý. À. Îáùàÿ òîïîëîãèÿ, Ì., Âûñøàÿ øêîëà, 1979. Àðíàóòîâ Â. È., Âîäèí÷àð Ì. È., Ìèõàëåâ À. Â.,Ââåäåíèå â òåîðèþ òîïîëîãè÷åñêèõ êîëåö è ìîäóëåé, "Øòèèíöà", 1981. Áåëîóñîâ Â. Ä., Îñíîâû òåîðèè êâàçèãðóïï è ëóï, "Íàóêà", 1967. Áèðêãîô Ã., Òåîðèÿ ðåø¸òîê, "Íàóêà", Ì., 1984. Áîðåâè÷ Ç. È., Øàôàðåâè÷ È. Ð.,Òåîðèÿ ÷èñåë, "Íàóêà", Ì., 1970. Âàí äåð Âàðäåí Á. Ë., Àëãåáðà, "Íàóêà", Ì., 1976. Âèíáåðã Ý. Á., Êóðñ àëãåáðû, "Ôàêòîðèàë Ïðåññ", Ì., 2002.

Èñ³óáõóÇã ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ

Âèíîãðàäîâ È. Ì., Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë, "Íàóêà", Ì., 1981. Ãëóõîâ Ì. Ì., Åëèçàðîâ Â. Ï., Íå÷àåâ À. À., Àëãåáðà, ò. I, II, Ì., 2003. Êëèôôîðä À., Ïðåñòîí. Ã., Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîëóãðóïï, "Ìèð", Ì., 1972. Êîí Ï., Óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà, "Ìèð", Ì., 1968. Êîñòðèêèí À. È., Ââåäåíèå â àëãåáðó, "Íàóêà", Ì., 1977. Êóðîø À. Ã., Ëåêöèè ïî îáùåé àëãåáðå, "Íàóêà", Ì., 1975. Ìàëüöåâ À. È., Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû, "Íàóêà", Ì., 1970. Ìåíäåëüñîí Ý., Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó, "Íàóêà", Ì., 1984. Ìîâñèñÿí Þ. Ì., Ââåäåíèå â òåîðèþ àëãåáð ñî ñâåðõòîæäåñòâàìè, Èçä-âî ÅÃÓ, 1986. Ìîâñèñÿí Þ. Ì., Ñâåðõòîæäåñòâà è ñâåðõìíîãîîáðàçèÿ â àëãåáðàõ, Èçä-âî ÅÃÓ, 1990. Íå÷àåâ Â. È., Ýëåìåíòû êðèïòîãðàôèè. Îñíîâû òåîðèè çàùèòû

èíôîðìàöèè, "Âûñøàÿ øêîëà", Ì., 1999. Íîäåí Ï., Êèòòå Ê., Àëãåáðàè÷åñêàÿ àëãîðèòìèêà, "Ìèð", Ì., 1999.

Ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà, "Íàóêà", Ì., 1969. Ðîäîññêèé Ê. À., Àëãîðèòì Ýâêëèäà, "Íàóêà", Ì., 1988. Ñåðïèíñêèé Â., 250 çàäà÷ ïî ýëåìåíòàðíîé òåîðèè ÷èñåë, "Ïðîñâåùåíèå", Ì., 1968. Ôàääååâ Ä. Ê., Ëåêöèè ïî àëãåáðå, "Íàóêà", Ì., 1984.

Bergman G.M., An invitation on general algebra and universal constructions, Second edition, Springer, 2015. Buchmann J. A., Introduction to Cryptography, Springer-Verlag, 2001. Burris S., Sankappanavar H.P., A Course in Universal Algebra, SpringerVerlag, 1981. Crama Y. and Hammer P.L., Boolean Functions: Theory, Algorithms, and Applications, Cambridge University Press, New York, 2011. Denecke K., Koppitz J., M-solid varieties of Algebras, Advances in Mathematic, 10, Spriger-Science+Business Media, New York, 2006 Denecke K., Wismath S.L., Hyperidentities and Clones, Gordon and Breach Science Publishers, 2000. Euclid, The Thirteen Books of the Elements, 3 vols., 2nd ed., trans. Thomas

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ

Heath, Dover, New-York, 1956. Graczynska E., Algebra of M-solid quasivarieties, Siatras International Bookshop, Athens, 2014. Ä Gratzer G., Lattice Theory: Foundation, Springer Basel AG, 2011. Ätzer G., Universal Algebra, Springer-Verlag, 2008. Gra Hazewinkel M. (Editor), Handbook of algebra, Vol. 2, North-Holland, 2000. Kobliz N., A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, 1987. Plotkin B.I., Universal algebra, algebraic logic, and databases , Kluwer Academic Publisher, 1994. Romanowska A., Smith J.D.H., Modes, World Scientific, 2002. Smith J.D.H., Romanowska A.B., Post-modern algebra, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1999. Strayer J. K., Elementary Number Theory, Waveland Press, 2002. Tattersall J. J., Elementary Number Theory in Nine Chapters, Cambridge University Press, 1999. U∙ san J., n-Groups in the light of the neutral operations, Mathematica Moravica, 2006.

ºðºì²ÜÆ äºî²Î²Ü Ð²Ø²Èê²ð²Ü

Úáõ. Ø. ØáíëÇëÛ³Ý

´²ðÒð²¶àôÚÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì ºì ÂìºðÆ îºêàôÂÚàôÜ ºññáñ¹ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛáõÝ

Ø³ëÝ³·Çï³Ï³Ý ËÙμ³·Çñª ì. ê. ²Ã³μ»ÏÛ³Ý Ð³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ Ó¨³íáñáõÙÁª È. ². ¾Éμ³ÏÛ³ÝÇ, Î. â³É³μÛ³ÝÇ Î³½ÙÇ Ó¨³íáñáõÙÁª ². ä³ïí³Ï³ÝÛ³ÝÇ Ðñ³ï. ëñμ³·ñáõÙÁª ì. ¸»ñÓÛ³ÝÇ

îå³·ñí³Í ¿ Time to Print ûå»ñ³ïÇí ïå³·ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ëñ³ÑáõÙ ù. ºñ¨³Ý, Ê³ÝçÛ³Ý 15/55

â³÷ëÁª 60x84 1/16: îå. Ù³ÙáõÉÁª 59: îå³ù³Ý³ÏÁª 100 ûñÇÝ³Ï:

ºäÐ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, ù. ºñ¨³Ý, 0025, ²É»ù Ø³ÝáõÏÛ³Ý 1

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԵՎ ԹՎԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՄՈՎՍԻՍՅԱՆ

ՅՈՒՐԻ ՄՈՎՍԻՍՅԱՆ

ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ԵՎ ԹՎԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

HIGHER ALGEBRA

NUMBER THEORY

ÂÛÑØÀß ÀËÃÅÁÐÀ

ÒÅÎÐÈß ×ÈÑÅË

ÖbÖhÖÎÖÎ

ÍÖhÎÖÍÖÑu

Ü³ËÝ³Ï³Ý

(ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ûñ»Ýù)

(ÇÝùÝ³Ñ³ÙÁÝÏÝÙ³Ý ûñ»Ýù)

Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ L-Ç Ñ»ï:

ÉÇÝ»ÉÁ, r; s 2 N;

ÉÇÝ»ÉÁ, r; s 2 N:

Å³Ù³Ý³Ïª Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå:

å³ÛÙ³ÝÁª

ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ³çÇó:

Ñ³Ûï³ÝÇßÇÝ

®-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, ÁÝ¹ áñáõÙ Ýñ³ ®00 Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÁ

³ÛÝ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó:

ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ:

Ð³Ù³Ó³ÛÝ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

A μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý £

ÑÇÙÝ³Ï³Ý

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

ÑÇÙÝ³Ï³Ý

μ³Ý³Ó¨Áª

Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÇÝª

Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨Áª

μ³Ý³Ó¨Áª

¾ìÎÈÆ¸ºêÆ (¾ìÎÈÆ¸Æ) Î²ÜàÜÀ (²È¶àðÆÂØÀ):

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝª

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ.

Ñ³Ï³¹Çñª

(II ù³ÛÉ)

(III ù³ÛÉ)

Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝª

ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ:

¹³ëÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª

Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý ËÝ¹ñÇÝ:

Ñ³Ù³Ï³ñ·Áª

³ÝÙÇç³Ï³Ý

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý,

å³ÛÙ³ÝÇª

μÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:

Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ ÉÇÝ»ÉáõÝª

È»Å³Ý¹ñ-¸ÇñÇËÉ»Ç

ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÇó):

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 8.4-Ç, ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í

1 μÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý

ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ 9.2-Çª

Ï³Ù Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»Éª

ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý

Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ³ÙμáÕç p-³¹ÇÏ ÃíÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ýª

ä²ÚØ²Ü²ÜÞ²Ü

áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý

È»Å³Ý¹ñÇ

È»Å³Ý¹ñÇ

Ð³Ù³Ï³ñ·ã³ÛÇÝ

Ð³Ù³Ó³ÛÝ

Ñ»ÕÇÝ³ÏÁ:

Ã»áñ»ÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝª

Ð³Ù³ÝÙ³Ý

å³ÛÙ³ÝÁ:

B-Ý ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Áëï 1)-Ç: àõëïÇª A = B¡1 ¨ A-Ý ÏÉÇÝÇ

Ù³ïñÇóÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó, μ³Ûó ãÇ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ

Ù³ïñÇóÁ, ÇëÏ AT -Ç Ó³Ë Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿ª

Ù³ïñÇóÁ ÉÇÝÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ»ÉÇ Ó³ËÇó:

ÖbÖhÖÎÖÎ

ÍÖhÎÖÍÖÑu

§³Ù»Ý³Ù»Í¦ »ÝÃ³ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝÝ ¿ , áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÁÝÏ³Í ¿ Q1 Ç

QÇ Ñ»Ýù:

QÇ Ñ»ÝùÇª

¿ Q ·Í³ÛÇÝ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏ·Í³ÛÇÝ Ó¨, »Ã» f Á ·Í³ÛÇÝ ¿ Çñ

ÏÉÇÝÇ n2 ã³÷³ÝÇ: