Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներ. Մաս 2

272.4.

ԱՐՏԱ

2.Ն.Կ.

ՊԻՍԿՈՒՆ Հ

ԴԻՃԵՐԵՆԳՑԻԱԼ.

ԵՎ

ԻՆՏԵԳՐԱԼ

ՀԱՇԻՎՆԵՐ

ԲՏՈՒՀՆԵՐԻ

ՀԱՄԱՐ

Ն.

Ս. ՊԻՍԿՈՒՆՈՎ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱ

ԵՎ.ԻՆՏԵԳՐԱ

ՀԱՇԻՎՆԵ տ ե

ՀՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ

1/ՐԴ ՀԱՏՈՐ

ատոված է ՍՍՀՄ բարձրագույն ն միջնակարգ սագիտականկորության մինիստբության կողմից ես ուսումդասագիրքբարձբագույնտեխնիկական յան հաստատությունների ուսանոդնեւիճամար

«ԼՈՒՅՍ»

ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

ԵՐԵՎԱՆ

11.

Ինդեքս ԳՄԴ.

ԻՆՆԵՐՈՐԴ

22. 161.1

ՀՐԱՏԱՐԱԿՈՒԹՅԱՆ

ԱՌԱՋԱԲԱՆԸ

Սուլն դասազրբի իններորդ «րատարակություն, տարբերվում է նախորդ՝ 8-րդ ճրատարակությունից: Այս ճրատարակությունը լիովին Համապատասխանումէ բոուշներում մաթեմատիկայի ճամար նախաժամվա ծրագրին: տեսված 400--450 Դասադրքումմտցված է երկու նոր գլուխ (41 ն 2411): գլովխը («Հավանականություններիտեսության ն մաքեմատիկականվիճակագրության տարրերը»)բովանդակում է ՍՍՀՄ ԲՄՄԿՄ մաթեմատիկայի պարտադիր ծրագրի ճամապատասխանբաժնով նա-

նյութը: խատեսված

Պ 644

Պիսկունով՛Ն- Ս. Ուս. ձեռնարկ բտուճների Դիֆերենցիալն ինտեգրալ ճաշիվներ: 1929, 656 էջ, եկ.,աղլուսակ: Հ.2.-եր: (ուլս», ձեռնարկի երկրորգ Ան Ռաումնական ւ ո

Համար:

Սարավանարարի,

րանին, անագան ՀԱ Գրքում չարադրված դիֆերենցիալ հաա իրագոր ֆիչիշ տեսություն Հավանականությունների ԱԱ ա կորագիծ անիվ, մատրիցաներբաժինները: աիաթեմաաիկական րիմակաղրություն, են

ն

Պ

604:

517.2

ԳՄԴ

(01)--73 -

վ.

ո

Շ.

Ոոշտցս08

ւՓՓրՔՔԱԼՈՃՂԵՍՇԸ

Հկ.

Թոպ30ո,

(ոճ

«68. ԻԾԿ

113:181616518Ռ

է

Օ

ԵՊ1ՂԵԼՕԵ

րուք

Ք

պԸՎԱԸԼ քերը

«Լույս»

ուօքօն ՈՅԱԽԲ)

«ՀՈ»

քօռոււ

ություն,քարղմանվածէ Հծրատարակչ

Հայերեն,

22.

161.

գլուխը

(«Մատրիցաներ», «Գժայինդիֆերենցիալ Հավասարում-

ների Համակարգերի ն ճամակարգերի լուծումների մատրիցային գրածրագրով նախատեսված ռումը») նույնոլնս բովանդակում է չ։պլարտոդիր նյութը: Բայց, ղրանից բացի, այս գլխում մեծ ուշադրություն է ղարձն զծային ված ղծային դիֆերենցիալ Հավասարումների ճամակարդգերի դիֆերենցիալ Հավասարումների ճամակարգերիլուծումների մատրիցային գրառմանը: 0գտադործվածէ փոփոխականգործակիցներովգծային մոտավոր դիֆերենցիալ Հավասարումների ՃամակարգերիՃճաջորդական լուծումների մատրիցային գրառումը: Այս նյուքն անճրաժեշտ է ղետեղել բտու-ների ճամար դիֆերենցիալ ն ինտեգրալ ճաշիվների դասընՔացում այն բանի ճամար, օր ներկայումս էլեկտրատեխնիկայի,ավտոմատիկայի, ռադիոտեխնիկայիվերաբերյալ շատ գրքերում դիֆերենցիալ Ճավասարումներիճամակարգերի լուծումների ուսումնասիրությունը կատարվում է մատրիցաների տեսության ապարատի օզնությամբ: նոր են գրված 171 գլի 26, 22, 28 պարագրաֆները:Այստեղքըննարկվածէ դիֆերենցիալ Հավասարումների լուծման Հաջորդականմոմեթողը, ասլացուցվում են դիֆերենցիալ «ավասարման տեցումների լուծման գոյության մասին թեռրեմը ն միակության մասին թեորեմը: է դարձված դիֆերենցիալ ճավասարումներիմասին ամՈւշադրություն Բողջ գլխի խստապաճանջշարադրմանը: նշանակալիորեն ընդլայնված է 111 գլխի («Գաղավար Լյառլունո Վի կայունության տեսության մասին») 31-րդ պարագրաֆը: Տվյալ Հրբատարակության մեջ այն կոչվում է այսպես. «Փաղավփար Լկլաղունովե կայունության տեսության մասին: Դիֆերենցիալ Ճճավասարման4Ճետագծերի վարքը եզակի կետի շրջակայքում». Այստեղ դիֆերենցիալ ճամակարզերի լուծումների կայունության դիտարկՀավասարումների Մանըզուգաճեո քննարկվածէ ֆազային ճարթության վրա եզակի կետի շրջակայքում վարքը: Դա անճրաժեշտէր անել այն բանի ճետագժծի որ էլեկտրատեխնիկայի,ռաղիոտեխնիկայի, Համար, ավտոմատիկա Յ

անչճրդասընթացներում ճամապատասխանճարցերն ուսումնասիրելիս րաժեշտ է ազատորեն օզտվել այդ դաղափարներից: կոմպլեքս թվերի շարադրմամբ նորից դրված են մի քանի պարազրաֆներ: Զղալի չափով ընդլայնված է 41 գլխի ֆ 2-ը, որտեղ տրված է անընդչատ ֆունկցիայի դոլության ապացույցը: դրված է դլխի որոշյալինտեդրալի կրացուցիչ («իրականփոփոխականիկոմպլեքս ֆունկցիայի ինտեդրուժլ» ) Տ 11-ր: Գրված են 771 զլիի նորֆ24 ն 525-ը, որոնք նվիրված են կումողլեքսանդամնորով շարքերին ն կոմալեքս փոփոխականիաստիճանային շարՔերին։ ՃԱ գլիի նոր դրված Տ 12-ը նվիրված է կոմպլեքս տեսքով Ֆուրյեիշարքերին: Ընդլայնվածէ Ֆուրլհի ինանգրալի մասին արցի շարադրումը: կուսաբանվածեն ճատուկ կիրառւսկան գրականության

Աաաա

շարքն բրուտ ֆունկցիագրված Ֆ7Ա զլխիՏ15-Ը «Ֆուրյեի ների օրքողոնալ Համակարգի» ն Ճ711 գլխի Տ16-ը՝ օԳաղակիար ժային ֆունկցիոնալ տարածության Ւմասին։ Անալոդիա ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքի վերլուծության ն վեկտորների վերլուծության միջն»։ Այս նյութը շարադրված է այնպես, որպեսղի ուսանողներն ինժեներները կարողանան ճասկանալ այս մաթեմատիկական ապարատի վրա դիտուքյան ուրիշ ճյուղերի նյութը: 4171 գլխում դրված է նոր Տ 20-ը «Դել ֆունկցիան ե նրա սլատկերը»: «Ֆունկցիայի ստացումր փորձգլխում զետեղված է Տ 19-ը են

գո-

ու

Հենվող

նական տվյալների ճիման վրա՝ ըստ փոքրագույն քառակուսիների մեքոդի»։ Այս պարագրաֆի բովանդակությունը կազմում է չի դասագրքի ատոր ղետեղված էր այս դասաղրքի

Մոնա

ալս

ը

առա

րաի

Տ 10-ր՝

«Նյուտոնի ինտերպոլյացիոն բանան Տ 11-ը՝ «Թվային դիֆերենցում»: Այրչ պարագրաֆների բոյիանձնը» դակությունը նախլպինումզետեղվածէր ճավելված Ա-ում: ՍԱ 7, ո, գլութՄի քանի լրացումներ են կատարված ք, ո, գլխում տրված

աի մ

գլուխը

1 աիոխված

ՀՐԱՏԱՐԱԿՈՒԹՅԱՆ

ԱՌԱՋԱԲԱՆԸ

մեջ լրիվ, անփուիոխպաշպանված Հիոտորորգ աաարավուքյան «րատարակության տեքստը, նյութը ված երկու նախորդ Հրատարակությու որք Խարագրրի ալանդլուաների Ճամարակա ր ա թար Հոր մլ րիՄուր թողնված Ա դասաղրքի Բոքու): որոշվում բտուճների դակությունըճամար նախոսոնար Բորա դասը Բրի»գաի հար բացի վա «0-320 ասվում Համա ինչպես ստացիոնար,այն թ Կիրքը աթ րու Ն ԱՏաա թո րան հատիկայի արան 00,ԿՄ/ որի վել ւս » Ն" որ" աարոթ հ Հարադր թոռա ԱՒՆ նմուշները: որ արդիրոճրի Լորյան բտուշների կուրսի արմ արանՊգրգում մոռաջին ժրա ութը, գլխի («Դիֆերի աաախանու րոնցիալ Մոտավոր ր»), կանոն, անցնում երկրորդ թան մի դ իսցիպլինՃաջորդ Ար Ա մ դիֆ Քորի րի Բոննրում մասին նախլ, որւս ավասարումների չորրորդ

ամբողջ

է

բայց

է բաժան-

այդ

ամար

է

սլես

ա

է

ր

Հճա-

է

ի

աան

ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ

են

Հավասարումներ»)ամբողջապես («Դիֆերենցիալ

է երկրորդ ճառոր:

են

է

ւ

ա

որը,

ր Քո տրվում առաչին կուրսում, դլիսի Նր մի ԱՐ (558ո--24) տեղավորված է առաջին ճատորում: ան թվով ժամվա Համար նախատեսվածբտուշների չոր: Համարյա լրիվ կա առաջին ճատորում բո/գրու աան է բովանդակում ուք ծրազրի շրջանակի մեջ չմտնող ԽԱ

ւ

ւո

ե

Հեղինակ

ապա

նս

ամը

այդ

որ

չա

ա

նան

այդ

)։

եկրորդ Հատորը(ԽՈԼ զլեի վերչը՝ 6829-

ները)սլարունակում է

31, ՈՒ

երկրորդ կուրսի բտուշների

ոլր

ւշ ժրազրին ճամապաչ

արարող ելութը: ըբկու գպլուխ (« իչ ուսջին Կորի կցիա» Կոաջին ունկցիայի դրված )ա անընդճատությունը» ե" ,

որ

ն

«Սաճքան:

արավորին չափ ճամառուռ: վող մի Ճւաարցեր, րորդ ն »չաջորդ գլութներ:

բանի

տե-

են

որպես

որ

անցնելդիֆերենցիալ Ճաշվի

պաճանջում

նն

բը

այդ Սովորաբար

՛

,

զլուններում

| ն

շարադրբ-

դործին վնասելու, տեղափոխվածեն երկՀնարավորություն է ավելի վաղ

ոոՑ Դա

ւ

տվել

«իմնական դաղափարին որ ածանցյալին, բուճական դասընթացի ուրիշ դիսցիլիններ (նյութի

նմանդասավորության ճաստատվում է նպատակաճարմարությունը աշխատանքի փորձով): Քոուշներիբարձրագույնմաժեմատիկալի ծրագրում ալնալիսի մտցնելու Ճարցեր

տիկայի -

ն

կասլակցությամբ, որոնք անճրաժեշտ են ավտոմաՃաշվողականտեխնիկայի Հեւ կապված բտուճական դիս5

ցիլիններին մաթեմատիկայի դասընթացով ապաձճովելու ճամար, դասագրքում մանրամասն շչարադրված են ճամապատասխանբաժիններ. «Դիֆերենցիալ Հավասարումների ն դիֆերենցիալ ճավասարումճաների Համակարգերիթվային ինտեգրումը»", «Փժային դիֆերենքիալ վասարումների Համակարգերիինտեգրումը», «ԳաղափարԼլապունովի կայունության տեսության մասին», «ձամիլտոնի օպերատորը», «Ֆուրե յնի ինտեդրալը» այլն: 177171 դլխում քննարկվում են մաթեմատիկականֆիզիկայի «իմնական Հավասարումները: Մեծ ուշադրություն է դարձված այն ֆիզիկական երնուլթների բնույթի ղարզաբանմանը, որոնք բերվում են տարխեր տիպի ճավասարումների ն 4ամապատասխանեզրային խնդիրների։ Մեժ ուշադրություն է դարձված մասնակի ածանցյալներով դիրերենցիալ Ճավասարումներիլուծման թվային մեթոդներին: մմ գլխում շարադրված են օոլերացիոն «ճաշվիՀիմնական գաղավփարներն դիֆերենցիալ Հավասարումներիլուծման օպերացիոն մեթոդը Դա պաճանջվում է ճաջորդող շատ դիսցիպլիններին մասնավո ճամար: րապես էլեկրատեխնիկականների թվով մեջ մտցված են մեծ «ամար դասագրքի Վարժությունների են ն մաթեմախնդիրներ օրինակներ, որոնցից շատերը լուսաբանում տխկայի կասը գիտության ուրիշ ճյուղերի ճետ: Խնդիրներըն օրինակ ները Հատուկ ընտրված են ըստ դասընթացի լուրաքանչյուր բաժնիչ որը նպաստում է շարադրվող նյութի լուրացմանը: Այս ճանդամանքընույնպես գիրքը Հարմար է դարձնում մաթեմատիկայիդասընքացի ինքնուրույն ուսումնասիրության ճամար, մասնավորապես ճեռակայող ու

ուսա-չ-

նողների ճամար:

Հեղինա ղի

կ

Վեցերորդ Հրատարակությունը«ինգերորդից տարբերվում է միայն նրանով, ար առաջին Հատորի վերջում տրված է Ճավելված, որտեղ շաըադրված է ինժեներների ճամար կարնոր՝«Ֆունկցիայիստացումը քառակուսիների տվյալների ճիման վրա՝ րոտ փոքրագույն չվորձնական մեթոդի» ճարցը:

վեցերորդիցտարբերվում է միայն Ցոթերորդ Հրատարակությունը

նրանով,

որ

առաջին Հատորի վերջում յորված է ճավելվածժ «Նյուտոնի

Թվային դիֆերենցում»: բանաձեր: ինտերպոլյացիոն "

աս

Սովորաբար շարադրվող անալիզի թվային մեքողները նույնպես

դասագրքում:

ՀԱԱՄԳԼՈՒԽ

Տ

1.

Խնդբի դրվածքը: Մարմնի շարժման հավասարումը, երբ միջավայքը դիմադրությունըհամեմատականէ արագությանը: Շղթայագծի հավասարումը

Դիցուք Մ»-է(2) ֆունկցիան

արտացոլում է որնէ երնույթի քանաՀաճախ դիտարկելով այդ երնույթը, մենք չենք կարողակական կողմը: նում անմիջապեսճաստատել Ճ-ից Ս-ի կախման բնույթը, բայց կարողանում ենք Ճաստատել մն Մ ժեծությունների ն րատ 1-ի Մ՛՝ Մոր, 6) ածանցյալների միջն եղած կախումը, այսինքն՝ դրել դիֆերենպցիալտճավասարում, Պաճանջվում է չ-ի, Մ-ի ն Ս-ի ածանցյալների միջն ստացված ՝

կախվածությունից Հաստատել Մ-ի անմիջական կախումը փ-ից, այսինՔըն՝ գոնել Հ --1Ու) ֆունկցիան կամ, ինչպես ասում են, ինտեգրել դիֆերենցիալ «ավասարումը: Դիտարկենքերկու օրինակ: 1: Որնեէբարձրությունից նետված է Ո զանգվածն ունեցող մարմինը: Օրինակ Պաճանջվումէ Հաստատել, թե ինլ օրենթով կփոխվի այղ մարմնի անկման : արագությունը, եքն նրա վրա, բայի ծանրության ուժից, աղդում է օդի դիմադրության արգե-

որը ճամեմատական է արագությանը 2. ճամնեմատականության ղործակցով տլսինքն՝ պաչանջվում է գտնել ՄՀ1(1) ֆունկցիան: Լուծում: Ըստ նյուտոնի երկրորդ օրենքի

լակող ուժը,

վ7

Պ---Հ-Ի,

ւնի լարժվու որտեղ

իսկ մանակի),

շարադրված հն

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

Բ-ը այն

Այդ ուժն առաջանում

մարմնի արազաջումն է (արագության աժանքրան ուժն

է,

որը

բատ

ա

վրա: շարժման ուղղությամը ազդում է մարնի օդի դիմադրության ուժի զումարիը որ այն ուղղված է արագությա

ժանրության ուժի ն --ԻԽ (երկրորդուժբ վերցրվում է մբնուս նշանով, քանի է ոք

ուղղությանը Հակադիր): Այսպիսով,

Մ"

ոզ

ուք

--իէէճ

Ստացանքմ

անճայտ ֆունկցիան

ՎՄ

նրա

ն

«ծանցյալը

Վլ ւ

կապող առնչությունը,

1) Ղ1 ձգումը, որն ազդում է Ն կետում շոշափողի ռողղությամբ ն ՕԽ առանցբի ճետ

այ-

անճայտ ֆունկցիայի նկատմամբ դիֆերենցիալ (Դա մի քանի Ճավասարում: տիպի պարաչյուտների շարժման Ճճավասարումնէ): Լուծել դիֆերենցիալ Հավառարումը նչանակում է դտնել այնոլիսի Խ--1 (ե) ֆունկցա, որը նույնաբար բավարարում է տրված են: դիֆերենցիալ ճավասարմանը: Այդպիսի ֆունկցիաներն անթիվ բազմությամբ ռինքն՝

Ն ւքերցուը Հեշտությամբ կատու

ը

«գ

Կ-«ԸՇ

տ

.-է

ուք

(2) :

ի

մի ֆունկցիա

ամեն

ճաստատուն

դրելով է-»Օ,

ո

կգտնենք. սզ-ՇԴ

Կ-ՀԿց,

Ջ

տ

որտեղից ՇՀԿ

չ

(

Ն--Հ|

Այս

ճետնում բանաձնից

է,

որ

ոք

մ

այնքան փոբր է,

կայից Հայտնի

որ

1-ից

լուք

Դ-Ծ--'

(27 ՛

ր

բավականաչավ

մեծ

է-երի ճամար

Մ

Մ-ԿօԻքԼ

թելի

ամենացածր

կետն

է, իոկ

Այդ մասը կամայական կետը (նկ. Չ50)։ Դիտարկենքթելի.նին մառը: մեջ Հետնյալ երեք ուժերի ազդեցության աակ. Ճավառսարակշոության (27 (2)

արելի կարելի ը " անաձն

ոտ աը

է

տք է

Ռ1-ը՝ նրա

գտնվում

(27)-ից սաշմանային անցման օգնությամբ՝ (2)-ից

ստանալ Լ

:

որն ուղված

որտեղ

Դ-1՝

տ Տ

Շող

րբ ւ:

Ը-Ն

եը

ւլ:

մ

է

է

է ուղղա-

ԽԼ

Տ-ը

Թելի գծային

աղեղի տե-

բո

ձգումը վերածելով «որիզոնական ն ուղղաձիգ բաղադրիչների, կստանանք «ավաԼ

սարակշոության Հավառսարումները՝

ՂՇՕՏօ-ԷԼ, Ա

------ջՏ

-

ԹԸ

երկրորդ Հավասարության անդամները բաժանելով առաջինի Ճճամապատասխան անդամների վրա, կոտանանք. է

Այժմ ընդունենք,

որ

Նկ.

Հ,

ջ»-84-էլ5:

Եշ)

որոնելի կորի Հավասարումը կարելի | գրել Ֆ--Լ(Ճ) որը սլետք է գտնել, որ նկատենք

մ7

Հետնաբար,

նշանակվածէ

--

ձ:

Լլ

ը

Բայց, ինչպես Հայտնի է (տես 8

1 զլ.

ստ

Ա-ի.ի

տէ

ոմ:

(5)

71),

ՎՏ

Վ-արժեքը

գ (3)

ե դիֆերենցեն ցոռք ը

մ27

Գ

աա--վյ

ճարաբերությունը:

հրկու մաս (4) ճավասարության

կորի

տեսքով:

գը:

(Թձ.

|

Այստեղ106)-նանճայտ ֆունկցիա է,

(2)

ֆունկցիան

շ1Քանձրը): Դիցուք, Ան (Օօ,Ե)-ն

"

է,

սակարար կշիոր:

արագուքյունըորտեղ Յ-ով

դիմադրությունը բացակայում է կամ մենք ստանում հնք ֆիզիապա մենք կարող ենք անտեսել),

Լուծում:

ՂՏ (քիթ,

ներքն,

--

բավարարում է (1) դիֆերենցիալ ճավասարմանը ն ՄՀՀնց, հրբ 1է--Օ սկզբնական պայմանին: ճկուն Համասեո Օրինակ թելը կախված է երկու ծայրերից: այն կորի «ավասարումը, ըստ որի դասավորվում է թելն իր սեփական Գոնել կշոի ազդեցությամբ (ինչպես կդասավորվեն կախվաժ ճոպանները, լարերը,

արդյունքը: Այդ

27 ոմ

ձիգ դեպի

Թ ո

ճամարյա կախվածչի լինի Կօ-ից: նկատենք, որ եթե Խ--Օ (այսինքն՝ օդի դա

կետում, որն աղդում

:

Այսպիսով, Շ ճաստատունըգտնված է: Հետնաբար, Կ-ի որոնելի կախումը այսպիսինն է. ։.

2) ԷԼ ձգումը Լյ

ճորիզոնական, երկարությունն

բավարարում է (1) «ավասարմանը, ինչիոին էլ լինի թիվը: իսկ այդ ֆունկցիաներից որն է տալիս Կ-ի որոնելի կախուժը է-ից: Դա դտնելուճամար օղդտադործենքայն լրացուցիչոլայմանը,որ մարմինընետնելիսնրան տրվել է սց սկզբնական արագություն (որը, մասնավորասլես կարող է ճավասարլինել զրոյի). ենքադրում ենք, որ այդ սկզբնական արագությունը Հայտնի է: Բայց այդ դեպքում Մ1(ն) ռրոնելի ֆունկցիան պետք է լինի այնպիսին, որ էՀ-Օ դեպքում (շարժման ակզբին) տեղի ունենա Մ»Հ-շսց պայմանը: (2) բանաձնում տեղա-

տեսքի

Ը

մում ն չ Փ անկյու, փազոու

տեղադրելով (5)

ՐՐՄզջ՝ 1--

Ր):

ճավառարության Մեջ,

դիֆերենցիալ ճավասարումը.

- Լա (2): թ

Այն արտաճայտում է որոնելի կաը,

/

2.

մեթոդնե դների

որոնելի

(6)

ֆունկցիայի առաջին

Կանգ չառնելով ճավասարումների լուծման

կոտանանք

վրա,

ն

այ

երկրորդ նշե նշենք, որ

աժանցյալնե

«(ԳՕւռ

Ֆ--Գ

(7)

եթե -1) ունկցիա է, ֆունմցի ում Տվլա «յ

մի ֆունկցիա Ըլ ն Ըջ Հաստատուններիցանկացածժարժեքների դեպքում բավարարում է (6) ճավասարմանը, որում կարելի է ճեշտությամբ «ամոզվել այդ ֆունկցիայի առաջին ն երկրորդ ածանցյալները (6) «ավասարման մեչ տեղադրելով: այդ առանց ապացուցման նշենք, որ Այնուճետն, ֆունկցիաներով (տարբերՇլ-ի / ճնարավոր լուծումները: Դա ). ապառվում են (6) ճավառարման բոլոր Շշ-ի դեպքում ցույց կտրվի Տ 18-ում:

տեսքի ամեն

զ7

իր

կետում շոշավողը ճորիզոնականէ, այսինքն՝

Բացի ալդ,

ԷնդունելովՃ--0

-

ն

Շլ--0

Սաճմանում

ի

--

|

բ

7ՏՈՀ,

Ւ Ե--Ձ:

Է: Հ

|

կոչվում հավասառում Դիֆերբենցիալ

անկախ փուբոխականը,7-Է1Ու)

կամ

ՄՄ,

,,

Մ

մ. ձո Իբ77,

..

շ

լ

այն

չՀԸյտո1Տ1Ո

ս.

Սովորականդիֆերենցիալ Հետ ճավասարումների են

Ա-Ց:

2(Ճ, է,

ա

'

մաքնմատիկականանալիզում

ածան--

Ի ոգե

ավասարու

Փ

մասնակի ածանցյալների միջն

9) անճայտ ժշ

ւյն

Օշ

գել

ճավասարումը:

Հավ Ճավառարմանըբավարարում է շո: ֆունկցիաներիբազմությունը ), դասընքացում մասն ընթաց ակի Տոթ

աին

Գ

եղած առնչությունը:

ֆունկցիայով մասնակի ածանցյալներովդիֆերենցիալՀավա-

օրինակ, ՃԱ ՞ 07,

որիշ

( Բան |

մասնակի Հ ածանցյալներով

նան

շ

Հեշտ է

«

«Ը,

կախված անճայտ խականներից 92 92 այդ փոփոխականների ն շ-իՐ ֆունկցիայի,

ճարում

ո

Ճ-ԷԸշ00Տ Ճ

վ բումներ,Մասն բշ Սասնա վալնեշով ճավասաբումկոչվում է երկու դիֆեբենցիալ կամ մի քանի չ,

9.1

())--Օ

Լ

աքի աաատաո

ն

կարելի է գրել այաղես.

ԿՀ:

աժան ավասարման լուծոաներն են Շլ ն Շջ ճաստատուննե ցանկացած ընտրության դեպքում. դրանում ճեշտ է Ճամոզվել,երն նշվաժ ֆունկցիաները տեղադրենքՀավասարմանմեջ,

Գոշայլն

որո-

2) ածանցյալները:

ձեով սիմվոլիկ Դիֆերենցիալ Հավասարումը

Է(»,

է

ը ն ընդչանիապես ֆունկցիաները ընդանրապես ՄՀՇլՏԼոչ,

ՇՀ

ի

,

տեղադրել

կյալՃավասարումը՝

կամ

օօ5:

Տ 2. Սահմանումներ

Հավասարումը, որը կապում է նելի ֆունկցիան ն նրա7՛, ան

կամ

ճետ

7--26052, ՄՀՀՅՏԼու-- ԸՕՏԼ

7--Ըշ

ուսումնասիրվում

Ճ

7»Յ1(.) ֆունկցիա, որը

Մի

կա

ՎՄ

`

ՈՌ

Դիֆերենցիալ Ճավասարման լծում

կարգի

Հո-0:

-

Սա:Հտմանում

8:

Դիցուքունենք

1:

ԻՇչ

կետի օրդինատը (2) Հավասարումնառանձնապեսպարզ տեսք է ընդունում, եթեփՂը վերցնենք Հավասար 2 թվին: Այդ դեպքումշղիալաղծի ճավառարումը կլինի

786հ

Տո»

է դարձնում: նույնություն

Օրինակ

ՈՒՍ

|

«վ 7 -ՀՅ1ՇԻ|

Ծր

ր7ու այլն,

շրինակումդիտարկվածՀավասարումն աջին րո առաջին

կոչվում է ամեն ինտեգոալ Պավասարմանմեջ նրան

,

գտնում ենք. օրտեղիցԸշՀՀԵ--8: Վերջնականապես

ն

ճավատարումժը՝ երկրորդկարգի,

՞

ենջ ԵՀ-

-յաԼ»-0

ճավասարումըերկրորդ կարգի է նախորգպարագրաֆի1-ին է, իսկ երկրորդ օրինակի

--0:

(7) ճավառարումիցստանում

Դիֆճրենցիալ Հավասարմանկարգ կոչվու է ածանցյալի ամենաբարձր կարգը

Ճավասարումնառաջին կարդի է:

կստանանք0-«ՏիՇլ: Հետնաբար,Շլ--0: Այստեղտեղադրելով»»0, ե երբ Ճ--0: -«0 եքե /Ղց կետի օրդինատը ւո Ե-ն է, ապա 17»"է, -օ

8:

Այսպես,օրինակ,

«(Ը Գ6.) ,

սովորականդիֆերենցիալ Ճավա

ճավասարմանմեջ մոնող

պայմանի, (7) Հավասարումիցգտնում ենք.

ըստ

|

մ

աէ

այդ

փոփոխա

ԱԱ այի Ր ք ում

Այդպիսով ստացված բոլոր ֆունկցիաների գրաֆիկները կոչվում են շղթայագձեր: Այժմ պարզաբանենք, քն ինչպես կարելի է ընտրել Շլ ն Շշ Ճաստատունները այն շղքայագիծը ստանալու ճամար, որի ամենացածր իլ կետն ունի (օչ Ե) կոորդինատները, Քանի ռր Ճ--0 դեպքում շղթայադժի կետը դրավում է ամենացածր դիրքը» ապա

որոնելի ֆունկցիանմ 6 կ անկախ դիֆերենցիալ շ ճավասարումը կոչվում է սովոբակա զբաղվելու են Ք ղել միայն

ալա

"Բ

բ

«դ

ֆունկրեան ֆունկցի

ածանցյալներով ճավասարումներին նվիրված

է

2:

0րբնակ

7--135-3--0:

Նրա լուծումները կլինեն

ֆունկցիաները),ռրտեղ Շ-ն

տեսքի բոլոր ֆունկցիան, դնում ցելով Ս-«ՀՃՀ-ԻԸՀ

ւլ Հ42Վ-ԸՃ

ն

մեջ,

ստանում

1-ին

ն

է:

ճաստատուն

կամայական

|

ւն հրոք, դիֆերեն-

(ՐՀ

ենք.

ո-Չ:ԼԸ:

Նվր..-ՅՅ:

Հավասարման դիֆերենցիալ

3՛-ի արտաճալտություններըտեղադրելով րված

Մ-ի

է, որ (11) ճավասարումն ունի Հենց նոր ասված թեռրեմից ճետնում անցթվով տարբեր լուծումներ (շրինակ,լուծում, որի դրաֆիկն անվերջ նում է (25, 3) կետով, ուրիշ լուծում, որի դրաֆիկն անցնում է (4, Մ) ն այլն, եթե միայն ալդ (նետերնինկած են Ծ տիրույթում): կետով արժեքի դեպքում Մ ֆունկցիան պեոք է Այն պայմանը, որ Ճ--Պ: է սկզբնական տրված յ պայման: Ալեն Մ. թվին, կոչվում Հավասարվի դրվում է ճետնլալ տեսքով. 2Ճլաճավ

Դիտարկենքճետեյալ ճավասարումը.

(2:.-ԸՇ) չ--:2-2-Ը-Օ նույնություն՝

ենք 2-րդ օրինակներումդիտարկվածյուրաքանչյուր Հավասարում ունի անթիվ

լուծումներ: բաղմությամբ

Սաճմանում -

Ո

Առաջին կարդի ղզիֆերենցիալ Պավասարման

լուծումկոչվում ընդնճանուր

է

-ՀՓ(, Տ

3.

Առաջինկարգի դիֆերենցիալհավասարումներ (ընդհանուր հասկացություններ)

Հավասարումն դիֆերենցիալ կարդի 1. Առաջին

դ

Ւ"(Խ:Խ53)50 325)

: տնսքը

ֆունկցիան, որը կախված է մեկ Ը կամայական Հաստատունից ն բավարարում է Հետելալ պայմաններին. ա) այն բավարարում է դիֆերենցիալ ճավասարմանը՝ Ը Հաստակոնկրետ արժեքի դեռլքում, տունի ցանկացած

ունի

|

է

տեսքով:

,

դիֆերենցիալ ճավասարումը լուծված ճամար իրավացի է է ածանցյալի նկատմամբ: Այդպիսի Հավասարման լուժման Հետնլալ թեորեմը, որը կոչվում է դիֆերենցիալՀավառարման

Այս դեքում

ասում

ենք,

որ

դոյության ն միակությանթեորեմ: Թեորեմ: եթե

են

նբա՝

`

րատ

«ի

7-Է

լ --

ակի

մասն Կմ

ՕԽ

տիոույթում, ուն ունի այդ ճավասաբման

ճառթությանոբնէ ք

ածանցյալնանընդնատ Օյ ություն ետր, ապա ն մ է (25, յր) կետը, ապա գոյութ) ընդգոկում ,

Ն-«Փ(2) է 7Հ--Հ, միակլուծումը, որբը բավառառում

Չ. ԴիֆերենցիալՀավասարմանընդճանուր լուծման որոնման րնթացքում ճաճախ ենք ճանղում Մ-ի նկատմամբչլուծված

ՓՐ». ,

ջ,Ը)-0 Ֆ

ջ» (27)

-

տեսքի առնչության: Լուծելով այս առնչություննՍ-ի նկատմամբ, նում ենք ընդճանուր լուծումը: Այնուամենայնիվ ոչ միշտ է Հնարավոր Ն-ն արտաճայտել տարրական ֆունկցիաներով. Ր ց առնչությունից (2՛) նման դեպքերում ընդձճանուրլուծումը թողնվում է անբացաճայտտնսջով: ՓՈԽ 3, Շ)Հ-0 տեսքի ճավասարությունը, որն անբացաճայտ ձնով տալիս է ընդճանուր լուծումը, կոչվում է դիֆերենցիալ Ճավասար՛

ա

Մասնավոր լուծում կոչվում Ըց) ֆունկցիան, որը ստացվում է 7--Փ(Խ

Սաշմանում

երբ

2--7ո

պայմանին:

Այս թեորեմը կառղացուցվի191 գլխի Տ 27-ում: ն Թեորեմի երկրաչափականիմաստն այն է, որ դոլություն ունի է (55, 36) ֆունկցիան, որի գրաֆիկն անցնում այն էլ միակ --Գ(ւ)

կետով:

,

ստա-

5105,7)

մեջՒ(2, 7) ֆունկցիանն ճավասարբման

Բ) ինչպիսին էլ լինի Մ--1ո, երբ ՃՀ-Ճը, այսինքն՝(7)-Հ-3ցսկվրբնական ռլայմանը, կարելի է դտոնելայնպիսիԸ»--Ըց արժեք որ ՄՀՀՓՈՆԽԸց) ֆունկցիան բավարարի տրված սկղբնական պայմանին: Ըստ որում ենքադրվում է, որ Ճց ն յց արժեքները պատկանում են մ նմ փուրոխականներիփուփոխսմանայն տիրույթին, որում տեղի ունեն լուծման դոյության ն միակության թեորեմի ղլայմանները: '

այ ն

՛Հ ՈՒՆ: եթե այդ Հավասարումը Հնարավորէ լուծել 3-ի նկատմամբ, ապա կարելի է դրել (8, Մ)

(2)

Շ)

ցանկացած Շ) ընդճանուր լուծումից, եթն վերջինիս մեջ Ը կամայական ճաստատունին տրվի ՇՀ-Ըց որոշակի արժեք: Այս դեպքում Փ(Խ Շց)--0 առնչությունը

7ՀՓ(Խ

2:

է

3,

կոչվում է Հավասարմանմասնավորինտեգոալ:

0րինակ

կլինիՀԸ

Շ

Փ

ՏՐԱ

Ֆ

առաջին կարգի ճավասարման ճամար ընդճանուր լուժում

ֆունկցիաների

ընտանիքը.

դա

կարելի է ատուդել Հավասարման մեջ

ճասարակ տեղադրմամբ: Գոնենք այն մտսնավոր լուծումը,

որը

կան պայմանին Տեղադրելովայդ

Ֆց արժեքները Ն-Հ--

նանք

Շ

1--ջ

կամ Ը»»2:

ց»

բավարարում է

0-17 Շ

երբ Խ--Չ

սկղբնա-

բանաձնի մեջ,

Հետնարար, որոնվով մասնավոր լուծումբ

ֆունկցիան:

կլինի

-Հ

ճիպերբոլների ընտանիքով, իսկ

Դիցուք տրված է ածանցդյալինկատմամբ լուծված զ

7) ՀԵ-ՀԱԿ

կատաՀ

Հ

տեսակետից ընդճանուրինտեզղրալը կոորերկրաչափական է, որը կախված դինատային ճարթության վրա կորերի ընտանիք է մեկ ԸՇ կամայականՀաստատունից(կամ, ինչպես ասում են, մեկ Ը են տրված դիֆերենցիալ ճավապարամետրից):Այդ կորերը կոչվում սարան ինտեգոբալային կորեր: Մասնավորինտեդրալին Համասատասխանում է այդ ընտանիքի մեկ կոր, որն անցնում է ճարքության որնէ տքված կնտով: Այուղես,վերջին օրինակում ընդճանուր ինոնդրալը երկրաչափորեն

պատկերվում է

Բ) դնել ճավասարմանայն մասնավոր լուծումը, որը բավարարում է տրվաժ սկզբնական սլայմաններին (եթե այդպիսիք կան): 3. Տանք առաչին կարգի դիֆերենցիալ Հավասարման երկրաչափական մեկնաբանությունը:

ճ

ն Հավասարումը 7-«Փ(ՆԸ)-նայդՀավասարմանընդդիֆերենցիալ

Հանուր լուծումն է. Այդ ընդճանուր լուծումը Օյ ոշում է ի ինտեգրալային կործրիը նան իշ որոշո: զրալայինկորե

Ճարթության վրա

մասնակի

ինտեդրալը, որը որոշվում է նշված սկզբնականպայմաններով, պատկերվում է այդ ճիսլերբոլներից մեկով, որն անցնում է ՌԲնց(42, 1) կնտու։ են 251-ում Համոաւո րոնք պատկերված մի Նկ. ընտանիքի քանիկորերը, ոլատասխանում այլ

են

պարամետրի

արժեքներին:

Շ---,Շ»՞1,

Ը»««2,

ԸՇ»---1

ն

Հ.

Հ

Կ

ԸՇ-ՆԼԼԱՇ»-7

Պ՝

Դիտ բղուք

յունՆ--Լ մոլ վ

Հ

ճավասարումըՕՖ առանցքին պատ-

կանող կետով անցնող լուծումներ չունի (տես նկ. 251), քանի որ երբ «--Օ 4ճավասարմանաջ մասը որոշված չէ նյ ճեւտնաբար, անընդճատչէ: դիֆերենԼուժել 1 կամ, ինչպես Հաճախ են ասում, ինտեգրել է. ն շանակում ցիալ ճավասարումը, նդճան ծում դրալք կամ ըդընդճանու ր ինտեդրա լուժումը ա) դտ նել ի ն րա ընդանուր (նթե սկզբնականպայմանները չորվածչեն) կամ '

'

Ը»տՇ»-8

Նկ.

ավելի Դատողություններն

ակնառու դարձնելու ճամար Ճետազայում լուծում կանվանենք ոչ միայն ճավասարմանը Ճավասարման բավարարող Ս-«Փ(ԽԸՇց) ֆունկցիան) այլն ճամապատասխանինտեդրալային կորը Այդ կապակցությամբ մենք կխոսենք, օրինակ, (2օ, 30) մասին: կետով անցնողլուծման

Փ

(1՛)

Հավասարումը մ,

Համար որոշում է

զ Շ7

ճշ.

Ս

կոորդինատներովլուրաքանչյուր ին կետի

ածանցյալի արժեքը, ալսինքն՝

այդ

կետով անց-

նող ինտեգրալային կորի շոշափողի անկյունային գործակիցը: Այդպիսով, (17) դիֆերենցիալ Հավասարումը տալիս է ուղղությունների բաղմ մ ն վրա որոշվում է ություն կամ, ինչպես ասում են Օտ) Հ ճարթության են,

ուղղություններիդաշտ:

երկրաչափականմտնսակետիցդիֆերենցիալ ՃավասարՀետնաբար,

ման

ինտեդրման խնդիրը կայանում է այն կորերի որոնման մեյ, որոնց շոշախողներիուղղությունը ճամընկնում է ճամապատասխանկետերում դաշտի ուղղության Ճեւո:

`

`

որոշվում Հավառսարումից

(1) դիֆերենցիալ Հավասարման Համար այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնցում տեղի ունի

է3--Շ-«օոչ

դրելով (3))

առնչությունը, կոչվում

է տվյալ դիֆերենցիալ ճավասարմանիզոկլին:

Շ-ի տարբեր արժեքների դեպքում

ստանում

Դա ՝

ենք տարբեր իզոկլին-

արժեքին Համասլատասխանող եզոկլինի Հավասարումը ակնչճայտորեն կլինի 1(ԿԽ1)--Ը: Կառուցելով իզոկլինների ընտանիքը, կարելի է մոտավորությամբ կառուցել ինտեդրալային կորերի ընտանիքը: Ասում են, որ իմանալով իզոկլինները, կարելի է որակավես որոշել Ճարթության վրա ինտեգրալային կորերի բաշխումը: Նկ. 252-ում պատկերվածէ

ներ:Շ

մ." ճ.

Նվ.

է

կգտնենք

կամ

Ճ

որպես Ճ-ի

ն

7-ի ֆունկցիա

էլ «ենց կլինի ակն դիֆերենցիալ «ավասարումը, որին բավարարում

(2) ընտանիքիամեն մի

ֆունկցիա:

եզի ձ.

այսինքն՝

Ճասւոաւ ելու,

միջն կաղ

այն դիֆերենցիալ ճավասարումը գրելու ճամար, որի ընղճանուր ինտեորոշվում է (5) բանաձեով, ետք է (2) ն (3) առնչություններից դրալը արտաքսել Ը-ն: 0րինակ

2:

Գանհլ Ս--ԸՀ2 պարաբոլների ընտանիքի (նկ. 253) դիֆերենցիալ

Հավառարումը:

՛

7-«--ԸՃ

գերը։ Այղ ուղիղներիընտանիջէ: Դրանքկառուցված են նկ. 252-ում: 4. Դիտարկենք այսւղիսի խնդիր. Դիցուք տրված է մեկ Ը պարամետրից կախված ֆունկցիաների

7ո-Փ(2, Շ), յուր

արժեքը տեղա-

այղ

դիֆերենցիալ ՀՃավասարումով որոշվող ուղղությունների դաշտլըո Տվյալ դիֆերենցիալՀավասարման իղոկլիններ են

-Յ.-Շ

ըստ

Շ-ի միակ արժեքը: Շ-ի

մեջ, «1: առնչության

Ճ-ի, Մ-ի Հետեաբար, '

է

Ն.

ԸնտանիքիՀավասարումը դիֆերենցելովբոտ Ճ-ի, կգտնենք

(2)

ՉԷ.

որում ճարթության կամ Հարթության որնէ տիրույթի լուրաքանչկետով անցնում է այդ ընտանիքիմիայն մեկ կոր: Ո՞ր դիֆերենցիալ ՀավասարմանՀամար է այդ ֆունկցիաների ը ըն-

26:

տ

լ: ճավասարումից Ընտանիքի

տանիքը Համարվում ընդՀանուր ինտեզրալ:

(2) առնչության երկու կողմերը դիֆերենցելով ըստ ՀԽ-ի, կզտոնենք.

Հշջ

արժեքը տեղադրելով այլստեղչ

ստանում

ենք

տրված ընտանիքիդիֆերենցիալՃավասարումը՝ ՝

Փ...

Վ. Քանի

ւնե

Շ): .

կետով անցնում լուրաքանչլուր է Ը ընտանիջի ճարթության ց յան յուրաքանչյուր միայն մեկ կոր, աղա մ ն 7 թվերի յուրաքանչյուր զույգի ճամար(2)

որ

ր

2),

մ)

Յ)

|

զ.

այսինքն՝ Օ) առանցքից :

Այս դիֆերենցիալճավասարումնիմաստ ունի, երբ ՃԲ,

: լետ չպարունակող ցանկացած տիրույքում:

ՀՀ Ս

'

Ե

հ ինտեղրալճաշիվներ Դիֆերենցիալ

ւԿա-

Լարա

առաջ

1»

ՆԱՐ

այ

«4,

22.2

Ծ

ՍՀ

ԱԱԽԵԱՆ անն ՛

«յո ի

Է

Է

Թ-ԻՒԿ

ԹԱՐԼՈՂՂ ու

Գն

Վ":

ս -

Տ 4. Անջատվածն անջատվողփոփոխականներով հավասարումներ: Խնդիր ռադիումիքայքայման մասին

ԱՐ-ԽԿԵ()

ցիայի ն միայն 7-ի ֆունկցիայի արտադրյալ Հետլյալ կհրպ (ենթադրելով,որ 1:(1)--Օ):

Է

ԵՐ)

մասը միայն Հ-ն ֆունկէ: Այն ձնափոխենք

| րծ

ՀՆ(:)ժ5,

Մենք ստացանք Մ լուծումը,

(2) այսինքն՝ 0րինակ:

ԱՆԻ:

Ճ

մ:

մյ--0:

ինտեդրելով,գտնում ենք.

»

այսինքն

Լոր ---ոիվ Այստեղիցստանում 0րինակ։

վերչին ճավասարության ձախ մասը ոչբացասական է, ապա ոչրացասական է նակ աջ մասը: 2Ըլ-ը նշանակելովԸ2-ով:

։

«-իուօ

Է Լո|Շրո զամ

ԼորիՀԼվԸՇ լ:

ենք ընդճանուրլուծումը՝ 7--Կ

Շ ՛

Տրվաժ է ճետելալ ճավասարումը.

1--դ 1--7 --- զպ-Է---մյ»«0,

ՀԱ-Ն

ք

'

նեք

մ2--(1-33» Ղ-:)7 Անջատելով փոփոխականները, դտում ենք.

ինտեգրելով, կստանանք ընդձանուր ինտեղ---Ի-ՀՀՅԸ Ի

ՆՏ

Բալը՝

Ջ.

7.

Անջատումենք փոիոխականները.

|Վ(42--6:

Ո Տրվաժ է անջատվող 0րինակ փուբոխաՀլաններով ճավասարում,

`

Տրվածէ ճետնյալ ճավասարումը.

(2)

|"(:) ՓԻ

Վ--0

տեսքի Ճավասարման:

մՄ

ենԸՇ կամայական անկախ փուխոխականը, Հաստատունը կապող առնչություն, այսինքն՝ ստացանք (1) "ումասարման ընդճանուրինտեդրալը: 1. (1) ռտիոլի

դիֆերենցիալՀավասարումն անվանում են անջատվածփոփոխականԸուտապացուցածի նրա ընդճանուր ինտեգրալնէ. ներովՀավասարում:

(3)

զ7--ց, ԻՍ) Ււ(7)

ՃՆ)

0)լ'՛

Կ(Հ)մ»:3 Վ(7)47»--0

ԻՆ) ԽԱՆ):

եՆ)

տ

ձեգ

Ճ

որ

Ին)

Կ(7)8Ն69

կամ

Ր յմ:ւռ

Քանի

ՃՈԵՆ()--ՑԵՐԵՕ)43--0

փոփոխականներով: Այն տեսքի Հավասարումը կոչվում է անջատվող կարող է բերվել" անջատված փսփոխականներովՃավասարման՝ նհրա վրա բաժանելով. երկու մասերը Իլ (7)Ոնչ(Ճ) արտաճայտության

ոնոա-

ո

2.

Խն

Համարելով Ս-ը Ճ-ի ճայտնի ֆունկցիա, (1) Հավասարությունըկարելի է դիտել որպես երկու դիֆերենցիալներիՀավասարություն,իսկ նրանը անորոշ ինտեգրալներըկտարբերվենՀաստատուն դումարելիով: Զախ մասն ինտեգրելովըստ Մ-ի, իսկ աջ մասը՝ ըստ 1-ի, կստանանք.

2-172--Ը2.

`

(Դ

,

դիֆերենցիալ որտեղ աջ Հավասարումը, «տեսքի

|

Դա այն Համակենտրոն շրջանագծերի ընտանիջի (նկ. 254) ճավասարումն է, ` որի կենտրոնըկոորղինատնեիիսկզրնակետնէ, իսկ շառավիղը ճավասար է Ը-ի:

Դիտարկենք մՄ

կունենանբ-

45-0:

) (չփոգ(--Այո ---Վ1

|42-(

----1

|45--0:

Այդ ձնափոխություններնօրինական է կատարել միայն այն տիրույթում, որտնդ ոչ 8նշ(Ճ)-ը զրո չեն դառնում: ձնափոխությունները, կամայական «աստատունը Նկատի ունենալով Հճենտագա 1ո ո թանի որ նշտնակեցինք |Շ|-ն(րբ Ը-ԸՕ) կարող է ընդունել --Օօ-ից |Շ|-ով, "

ոչ

Կլ (5)-ը, "

մինչեԴՎ

ցանկացած արժեքը:

ինտեգրելովտոանում

ենբ.

ոխ

ՃԻ ոխէ-5--Ը

տեղի ունի Հետնաբարչ

5-7--Ը:

զամ իջ

Վերջին առնչությունը տրված դիֆերենցիալճավասարման ընդճանուր ինտեգրալն է: 0րինակ 4: Հատոատված է, որ ռադիումիքայքայման

ուվիղ արադությունը պաճին նրա քանակությանը: յուրաքանչյուր Ռրոշելռադիումի զանգվածի փոփոխման օրենքը՝ կախված ժամանակից, եթե 4-Օ ռլաճին ռադիումի

..

ծամեմատականէ :

զանգվածըոց էր: Քայքայման արագությունը զանգված,է Ճէ պաչին՝ ոճ Ճոլ

ված:

բերության սաՀմանը, երը ՎԵ

արագությունը

Այդ

խնդրի պայմանի

Համեմատականության գորժակիցն է որտեղ հրա ճամար, ընթացքում ժամանակի է-ն

ՀՀ.

վոոլյականները.

Խ՞Ը»պաղքու

սաղմի

զանգվածըոջ կր 8:

դ-ի

ի աձեւ

բ ան

մեջ, )

փոխարեն տեղադրելով

ստանանք. կատանանք

լոց

շ

Տ

այլ

(5) ապա

Շ-Ն

պաց:

լ

բավարարի

0:-ՀԸ

առնչությանը: Շ-ի արժեքը տեղադրելով(5) ճավասարմանմեջ, կստանանք զանգվածիկախումը որպես ժամանակիֆունկցիա (նկ. 255). յ,

ու-«ոյօ-ԿԷ լ գործակիցը որոշվում է դիտումներից «Հետեյալկերոլ։ Դիցուք էը քայքայվում է ոադիումի ակղբնականղանդվածիծ. -ը:

ոտա

ռ

ոա

ժամանակամիջոցում

(ո2

տարի: Ա0Ն0438.

տեսքի Հավասարմանեն բերվում

ֆիզիկայի

ու

քիմիայի

նան

խնդիրներ:

1. Դիցուք (1) «ավասարման մեջ մտնոզ Դիտողություն էշ (7) ֆունկցիան ունի Ս-ՀՁ արմատ, այսինքն՝ 1չ(օ)--Օ: մյս դեղքում, ակնչայլտ է, Մ--9 ֆունկցիան (1) ճավասարման լուծումն է, որում Ճեշտությամբ կարելի է Ճամողվել| անմիջական տեղադրումուի Մ--ծ լուծումը (1) բանաձնից կարող է հ չսւտացվել: Այդ դեսլքի վերկնշենք, որ Մ--Օ ուղղի վրա լուծությունը մենք չենք կատարի, բայց կարող է խախտվել միակության պայմանը:

Բերենք օրինակ: ՀՏՆ ընդճավասարումն ունի Մ-Տ (ծ) ճանուր լուծումը ն ՄՀ-Օ լուծումը, որն ընդճանուր լուծումից չի ստացլում: --Օ ուղղի վրա խախալում է միակության պայմանը» Ց: Պարղագույնանջատված փոփոխականներով Դի ղություն դիֆերենցիալՀավասարում է տո

նխ Մ

դիումի

(6)

արժո

բանաձնը՝

,

մը

կամ

որտեղից --0,000436՛1----1ո2

:

ոչՀ--իԽէ՞-1ոԸ,

ոյ-ՀԵՇ:

Վերջին բանաձնում

Հ

փոփոխականներովճավասարում |: Անչատենք

ղդ -«ՇՇ-ին Է--Օ

(ժամանակի չափման միա-

՛

ԱԳՐ ուր Զ

(ՃՀ-օ)։

ւե

որ

ն

բ,

(2

տ

որտեղից

կստանանք Ղ կիսաքայքայման պարբերության որոշման ճամար ճետնյալ

ո. բզլ. լո

Նկ.

զ

կան դանգվածիկը:

1ուժելով ճավասարումը,կստանանք

եի

Ե«---Կ(1-ը

որ (4) նկատենք,

«ավասարումը անջատվոլ

Եւ

Գտնենք այն ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում քայքայվում է ուսդիումի սկլբնա-

լ

(4)

Հա"

-ԻԽ-)ու1-10

ու--ոց

Մինուս նշանը դնում ենք ռադիումի նվազում է ն, Հետհարար, զանգվածը

որ

ծ

արա-

ր ո

ճ..

զ

Այս ձնով որոշվել է, որ ոադիումի ճամար խշ-0,000436 տն ղադրելով (6 ի ք-ի ել (6) -վ այս արժեքը

են պաճին:

ձո

`

սա

Առձո մոմ: Ըստ

որտեղից առնչությունը, կամ

չ0՝

ռադիումի քայքայման աբազություննէ է

Ը-լըգ)"»/

որոշվում է չճետնյալ կերպ: Դիցուք է պատին կար ո զանգված:ձէ ժամանակում քայքայվել է ՂՈՂ զանգ-

"արարերությունը կլինի քայքայման միջին

՛

-խ

զ

ՏՐ)

կատ մյ-ՀՎ(Ճ)մՀ ւ

՛

տեսքի ճավասարումը, նրա ընդճանուր ինատեգրալնունի

Հեանյալ

տեսքը. ա `

(1(4)ժ5--Շ: -

Այդ տեսքի ճավասարման լուծմամբ մենք զբաղվել

ենք

Ճ

դլիւում: Լ,

Տ

5.

Այդ

Առաջինկարգի համասեռ հավասարումներ

կունենաք: դեպքում

Վս

Ա-ԻՑ»: Վճ

Վ»

1(.3)ֆունկցիան կոչվում 7 փուփոխաչա ման ֆուԸ եթե ցանկացած չափմա խ-ի կցիա» է ոն

'

նկատմամբ կանների դեպքում իրավացի է

Ա-րդդ

7) (շ«ա,

նույնությունը: Օրինակ

1(42)» ։

բինակ

42:

ք

առաչին չափման Ճ4--7 ֆունկցիան

:

1,

3)--Ճ5--)2

Ց

Ճամսանո

երկրորդ չասիման

ֆունկցիա

չափման

զրո

,

ֆունկկիա է, քանի

ճամասնո

ֆունկցիա է, բանի

այսլնքն՝ 102, 1Դ»--1(,Դ

կամ

որ

կգտնենք. ինտեգրելով,

յ 11,

ինտեգրելուցՀետո

ջ

Մ-- 12,

Հավասարման

7): Այս նուլնության

լուծումր

մեջ տեղադրելով

Ճ

մՄ

կատարենբ Հր: լռ

զրո

է, «ետնաբար, ունենք չափմանՃամասեհո ֆունկցիա

ո.

այսին ռ

3:

քն

`

" /2Հ-ԱՊ,

զս

Կ-Է

1--»5-

ձ:

1--սշ

Ճ--Հ» 1--ս7 ձա

,

ն

շր

--

տնղադրությունըչ

ՏեղադրելովԱ--,

Ճ

ոխ

իվ

:

մ2 Հ--վզԱ----:

ՖԵ ե.

«

ս

՛

դտնումենք. ինտեգրելով այստեղից,

ԱՅ

ձս

մ

ԱՅ

,

ՄՀ-ԱՃ

ճա-

4:

մ.

(1--սշ)մս ՀԷ -ՅՅՑ---լ

սի»

ո"

(13

Համասեռ

դեպքում այդ ս վռխարինումը. կատարենք վասարում: Ճ 437 ոզ «--,ն

(ունենանք. անջատելով, Փուիոխականներն

( Է) 1,

մ:

մասում

կստանանք

' միի" չասիման ճամասեռ ֆունկցիան ' կախված ե դումենտներիՀարաբերությունից: այս դեպքում կընդունի (1) Ճավասարումն ճետնյալտեսբը.

կստանանք

Հա Տրված է Հետնյալ վասարումը.

|

զրո այսինքն՝

ԱՀՀ-Հ--,

Աջ

ո-ն Ի)

11,

3,1 տեղադրելով փոխարեն

մո

Ըստ պայմանի

Լ,

Ճ

43:2-3

աոաքին Համասեռ

ս)-ս

ո

»)

--

»"

ս-ս

(Ն,

-/ւծ

նի

Ա-ի

ձչ,

մմ

կամ

ինտեգրալը: (1՛) Հավասարման

(1.2, 3)-

կարգի ծավասարումըկոչվում է «-ի ն Ս-ի նկատմամբ համահթե 1(Խ 3) ֆունկցիան է-ի ն 5-ի նկատմամբ զրո ՛ չափման 4 ՞ ֆունկցիա է:

102, 11.

Ա -Հ(Ն մ)-ս

Մրինակփ

Սա«մանում

չ

է.

Հավասարում անջատվողփոփորակահներով ճշ

«Հ)01(2,33:

մասեռ

Սա

Յ-7 1(ԽԽ»-Հ--Հ--

ս): սՎոՑՆ-(, Վ:

07)-072-Խ07-33:

0)

"

Օրինակ բինակ

3510, 2թ2/19

ՀՄ 0:10

1,

ճամասեռ

ֆուն

1-73

է, թանի որ

նանք

17ՀՎՊՎՈՆ,

102,

մեջ, կստա(1) Հավասարման ը տեղադրելով արժեք այս Ածանցյալի

կամ

1Պ6|

ար աան

ինտեգրալը: ընդճանուր տրված Հավասարման կստանանք դ1

-ջր-ոք3ի ւ.

3-ը որպես Ճ-լ տարրական ֆունկցիաներիօգնությամբ գրված ֆունկցիա նալը տվյալ դեպքում անձնարինէ, Սակայն, այստեղ դժվար չէ Ճ-ն տրտաճայտել Ս-ի միջոցով. ստա-

-ՉալԸդ: ««ֆԺ/

սարումը դառնում է

Դիտողություն: 110. 7)մ:-- (2, 7)մ7--Օ տնսքի Հավասարումըկլինի Համասեռ այն ն միայն այն դեպքում, երբ ՄԼ 4 են: Մ)-ը ն Վ («, Մ)-ը միննույնչափման Համժասյու ֆունկցիաներ Այդ բխում է նրանից, որ երկու միննույն չափման Համասեռ ֆունկղրո չափման ցիաների Հարաբերությունը

0րինակ

Համասեռ

հ-ը ն այսինքն՝ Հավասարությունները, Համակարզի լուծում: Այս սարումների

ֆունկցիա է:

Փո

Հավասարումը ն (2) բանաձներով նորից անցնելով Ճ-ին 7-ին, կստանանք(1) Հավասարմանլուծումը: (4) Համակարգըչունի լուծում, ելե

Լուծելով

այսինքն՝ Ձել--ուծ: Բայց այս

6.

մ.

8«ՎԵՄԼՇ

Յլ«-ՀԵլյ

ե-ն,

Այդ դեպքում

Հլ

ման

մՄ

աւն

ձել

ն

կ-ն

5Յ

Հք

Ե

Ե)-է«

7Թ2:Դե)Դոյ է

`

Հ-մ,

այսինքն՝ ՀլՀ-18, `

ձնափոխել

(5) (6)

ԵՄ

տեղադրման օգնությամբ Հավասարումը բերվում է անջատվող փոփո-

Հավասարման: Խխականներով

իրոք,

նԵ --ո» մ»

ն Է Ե--,

մ

մ.

Փ. Ե մ,

(6)

ն

8.

ո

Ե

(1) արտաճալտությունները տեղադրելով (5) Հավասարման մեջ,

կատանանք

հսկ

14727

Եմ,

Ե

77Վու

Հավասարում է: անջատվող փուվիոխականներով (1) Հավասարման ինտեգրման նկատմամբ կիրառված եղանակը

սա

օգտագործվումէ

ընտրենք այնպես, որ տեղի ունենան

ճհ-ԷԵԿ-ԷՇ--0, ճլե--Ե, ոՀ օյ-0 |

Ձ

որտեղից

յ-ի:

8:ՃԽ-Ե-ձի-ԵՒ-ԼԸ

Հել -ԻճլիՎԵլԷԻօլ

«0,

Ճավասարումըկարելի է

7--ՅՃ

մեջ, կունենանք

մ հ-ը

(1)

տեսքի: Այդ դեպքում

արտաճայտությունները տեղադրելով(2) Հավասար-

Ճ

Եյ

ճ, («Է

(2) ն

Ե|

դեպքում

ձ,

եթե Ըլ-ՀԸ-ՀՕ, տեսքիշավասարուժները: ապայ ակնճայտ է, որ (1) ճամասեռ է: Դիցուքայժմ Ըլ ն Ըշ (կաժ նրանցից ճավասարումը մեկը) զրոլից տարբեր է: կատարենք փոզոխականի փոխարինում,

|

ն, Հետնաբար,

Համասեռի բերվող հավասարումներ

Համասեռ նենբերվում Հավասարումների

Ճ-ի, Ս-ի

այս

ն

մլ

նեւ

.

ձրյ-Լ-Ե,

մել

Ել-Յյե

Տ

Հո ԷԵ՛տ

ձ

ՃավասարումներըՀամասեռ

ՃավաՃւսվա-

ճամասեո.

5:

(24-Է57)424 (2--27)47Հ-0, (24-Է 2)մ:--2:2)մ7Հ0

որոշենք որպես (4) պայմանի դեպքում (3)

ե-ն

նան

շԻ-(

82Դ-ԵՆ-Լ-Շ

Կ)

)

8լ4«Իել-Շլ ճավասարման ինտեգրման նկատմամբ (1-ը որնէ անընդճատֆունկցիա է), ձ»

Այուոնղ 3..ի փոխարեն տեղադրելով ն, կստանանք.

Տրված է

0րինակ1

մ.

Ճլ

»:«-7-Յ

մ. »-չ--|

Հճավասարումը։Այն կատարենըՃՀ-Ճլփհ,

մ

«Հավասարման ձնափոխելու ճամաթ փոխարինումը:Այս դեպքում

Համասնո

Հ-ն

32 ԹԹ յյ: Շ)՛03-:55:

Վերջապես,անցնելով- նե

ստանում

զու

Լուծելով

»-տ-ի-ե-է

հ-ի-3--0,

ճամասեռ

Փո

արք

մոլ

Ճ1-

լուծում ենք

որը

ղդ

կազմված

ւկ

մյ

ս-Իյ---ն ստանում

ենը

՛ձս

ՀՐո«ԱՎՅ--,

ձմ

ի

շ

դետերմինանտըՃավասարէ զրոյի):

Մյ

1 Էս

անջատվող փոփոխականներով

մե Փ 1 Հ Աք 1--ս Ճճավասարումը: Անջատումենք փոիոխականները.

Մ», 12--սմԱ»---Ր:

դտնում Ինտեղրելով,

ենք.

ք

ս-

-ո

81609

ս

կամ

Շ»յ

ճլ

1-Էս3-ՀՀոիէլո|Շի

ՀՍո|յյ

է

տեղադրմամբ բերել անջատվողփուխոխականներով Այդ Ճւսվասարմոան կ ճավասարումըբերվում է դեւղքումՄ՛»Հ2/--2

7-92

մո, 1--ս

1-Էս:

Վ5

24-Ի

մՄ

սմ,

Այդ ճա վասարումը կարելի

եյ

դեպքում յդ տեղաղրմոամբ.

4:27

`

արդեն ճնարավոր չէ լուծել Ճ-- լի, տեղադրմամբ, քանի Ն-ՀՅԷ: ն մ-ի որոշման ճամար ծառայող Ճավասարումներ որ այս ղեւլջում ի-ի սիստեմն անլուծելի է (այստեղփուխռխականների դործակիցնե

ենք

Ճավասարում,

3:Ի7-1

ս

երկու Հավասարումների Համակարգը,գտնում ենք. ստանում Արդյունքում

Տ-:

Հետնլալ ճավասարումը՝

Օրինակ:

ԽՀ):

7-1

Շ/(2-2)Դ0-

Է-0

հ-խ-

հ»-9Ձ,

փուփոխականներին, վերջնականավ

ենթ.

Փող2 ՃոՀւՒհԷՆ-8.

:

ս"

յ/1-Էմ»--

մն.

«ոնսբի:Լուծելով այն,

ո: ԷՐ

կաս շշ

`

52--9 Է

կդնենք,

Հոշչաթ2-Վ-9|»-«--Ը: Քանիոր 22-22-87,ւսա

կստանանք տրված ճավասարման վերջնա-

կան լուծումը

3(ո-բդ Վրորցո-Ւ53-Ի9-«ՎՇ կամ է 9թ-Ըլ 107--54 Վ-71ոլ10543:57

«տեսքով,ալսինքն՝Ն-ը՝ Ճ-ի անհբացաճայտ ֆունկցիայի տեսքով:

Տ

7.

Առաջինկարգի գծային հավասարումներ

Սայմանումմ

Առաջին կարգիգծայինճավասաբում կոչվում

որը Հավասարումը, գծային ածանցյալի նկատմամբ: Այնունի

է այն

կամ

մմ

ԻՐՈ»ՀՕՆ)

Վ

տեսքը,որտեղ ք ()-ը

(.)-ը

են

(ամ

ն ույտ ֆունկցիայի նր

է անտ

Ճ-ի տրված

(1)

անընդճաւո ֆունկցիաներ

են: Հառստատուններ) (1) գծային Հավասարման լուծումը: (1) ճավասարմժան լուծումըորոնենք Ճ-ի երկուֆունկցիաների արտադրյալի ւեսքով՝

7:Հս(5)(2):

(2)

Այդ ֆունկցիաներից մեկը կարելի է վերցնել իսկ մյուսը կամայական, կորոշվի (1) ձՃավասարմոան ճիման վրաւ

(2) Ճավասարության երկումասերը դիֆերենցելով, դգտնոււԷ ենը. մ.

մ.

Հավ

`

մմ

ճս

ճ:

մձչ

(-

Վս

'

ս(--ՎԵՆ)

Ւ

ՄՀ-

մչ

ԱՄ ---ԷՔՍ-«0Ս:

ԱՒ

-

դիֆերենցիալ ճավասարման մեջ Վտ ԳՀ--

Մ

որ

ՐԹԵ-Օ),

Կ(ԳՀՕԵԺ)

կամ

ՕՈ: Փ.. Ն2)` մս

որտեղից

ՉԸՄգոլԸ: ՆՐ)

ենք.

ս-ն

հ

ենք-

«-ն

տեղադրելով (2) բանաձնի մեջ, վերջնականապես ստանում

Ն( (2) ԱԶ

"(39

|

թզջ:

-ոլՇլ է Լոխ|---|Թժչ

246(ժ:

այ|

փոխվի, եթե (5) «ավասարությամբ որոշվող

4)

կոատ

զ

ձս

րեն վերցնենք որեէ

փոփոխականները, գտնումենք ստանում Ինտեգրելով,

նանք (Հաշվի առնելով,

Յ (3)

ֆունկցիան ընտրենք այնոլիսին, որ

Խ-ի հեկատմժամբայս

(Ճ)-ի

տարբեր

(5)

է, որմ Ը.յ»-Օ: որնէ նախնականէ: Ակնչճայո գտած արժեքը տեղադրելով (3) Հավասարման մեջ,

կամ

ա():

Էմո

( Քժչ-ր

մ

մՄ

Մ

Կ

Ն(ւ)-»6- Մ

ս

--Ի--ԿՎԵՔսս-Օ

245,

ղրոյից (1) Ճճավասարման Ը.) ֆունկցիա վերցնենք

Մ

մշ

արտաճայտությունը ռեղադրելուվ(1) ճավասարժան փ մեջ, կունենանք.

կամ

որտեղ

որոլես

զպ

-ի ստացած

ս

Քանիոր մեղ որեէլուժում, աղա

-ԻՆ--

մ.

մ»

Մ(յ6-1 բավական է ունենալ

լ

(6

(Ճ) ֆունկցիայի փոխա(Ճ)--ՇԿ (Ճ) ֆունկցիա: հրոք, (6)-ի մեջ ' (Ճ)-ի

փոխարենտեղադրելովԿլ

(5), կոատանանք.

(ԺՈԸՆԸ:)

անջատելով

Կ

մ: Գ

ՇԸՇԽ(»):

Առաջինգումարելիի մեջ Ը-երըկրճատվում են, երկրորդ գումարելիի է, որը կնշանակենքմեկ Ը տառով, մեջ ՇՇ-ն կամայական Հաստատուն ն արտաճայտությանը։ երե նշանակենք նորից գալիս ենք (6) ՉՐ) լ

ՆԼՃ

ԳԵՅՑ,ւու

ա

(6)

որտ

աճ

ալտությունըկընդունի

7-ՀԿ()ջ(2)ԴՀԸՇ() տեսքը: Ակնճայտէ,

ունենա այնպես,տեղի ընտրել

ՃՀ-ճց.ՄՅՅց ակզբնականպայմանը

որ

Շ-ի արժեքը որոշվում է

-0ՀՄ()2(օ)-Է "

Օրինակ,

ՇԿ

,

շ

Յի ո

մ:

տեղադրելով նախնական ճավտսարման մեջ, կունենանք. Հո՞Ւարտառայտությունը

կ: ո --- ԱԽՀԹՀ-), նմ. մ. ՅՎյլ

մմ

"Առ

՛

իտ են

--:րՀԸՀՉ»

ղի «Ն

Սակայն, եթե սկզբնական պայմանն ընտրվի այնպես, որ Ճ0--Խ մենք չենք. աղա պայմանին բավարարող մասնավար լուծումը: Դա բացատրվում է նրանով,

4.

ա

ն ՐԲ

Ֆը----1 ՞օ

թք(Ռ2)--

ֆունկցիան խզվող է Դ1 չեն: թյան թեորեմի պայմաններըպաճպանված Բ

զ

3-87 -Է,

լ1

մ,

որտեղ Հ-ն ն Ե-ն Ճաստատուններեն: Այն կարելի է լուծել (2) տեղադրման կանների անջատմանճանապարճով.

2ժ:2

կամ փովոխաօգնությաժբ

1ոխի-Հողլի--1|,

կաւ

|

Ի-Թո1)5

ֆունկցիայի արտաճայտությունը տեղադրելով (2)

տրոշելու Համարստանում

ենք

ՀԱՅԸ

կամ

ձչ--(-87եյ: ճավասարման մեջ,

կամ

ՖՐՇ-Ս

վերջնականապես -

լ :

---լ-87Ի-Ե--ԷՇլ,

--87ԻԵ

--ՅՏ)-ԷԵՀ«6- (ՀՒ,

1»

լ

զ

--Յ---«Փո

/ո-ճ7-ԼԵԼ---(82--Ը5),

լ-Ֆ

ճս

ւ

գոյու-

(8)

Վ»

ՋՐԻ

տրտեղից

ճետնաբար, լուծման

ւո

:

ճւ.

ն,

Դիտողություն: կիրառություններումՀաճախ են սպատաճուՒ Հւ ւաւտունդործակիցներովդծային ճավասարումներ.

Ե.Հաց,

մ

ւ

գտնիայդ որ

որոշելու Դամար կատանանք Ճճետնյալ ճավասարումը.

"

ՕՒՍԿ 56Ի1)չ:

--

մ5

ի

այսինըն՝

5,

Շ Հ-Ց/2:

Հետնաբարչ,որոնվող մասնավոր լուծումը ոո :

- 1)2:

Ը

'

Հ-ն

ԲԻ-ՇԹ-1)

3-8 լ): -Հ-Ը(0-Ի 1)",

ՅԱ.

ինտեղրալըկունենա ճետնյալ

«ավասարման ընդճանուր

Ստացված ընտանիքըընդճանուր լուծումն է: ինչպիսին էլ լինի (:օ» Մց)ոկզինական: պայմանը, որտեղ 20---Խ միշտ կարելի է Ը-ն ընտրել այնպես, որ ճամապատասխան մասնավոր լուծումը բավարարի տրված սկզբնական պայմանին. Սրինակ, Հց»3.երբ Ճո--Օ պայմանին բավարարողմասնավորլուծումը կգտնվի ճետնյալ կերոլ. աւ

Ընդունենք

դեղքում

այդ

տրված

|ուժել ճետեյալ Հավասարումը.

Հետնաբար,

տեսքը:

(ց)

ԱՐ ԱՂԻ ՇԻՉ:

Լուծում

2-12

արան

ընդճանուրինտեգրալէ, բանի որ Շ-ն կարելի

որ դա

ծավասարումից:

որտեղից Հավասարումը:

(6)

-

որտեղ

ԷԼզոլմեն

ԻԼ ե

)-ՀՕՏՐ"Ւ--

Շ"ՀՀԸյ, Ֆ

Ի-

(որտեղնշանուկված է

ԷՇԸ),

--

Սա

լուժում,

էլ Հենց (8) ճավասարմահ

Վ

ընդշանուր լուծումն է:

Բոլոր անդամները բաժանելով »"-իմրա, դատան Վո: (4)

Մուծենք 2ՀՅՅ նոր ֆունկցիան, այդ դնալքում

Հ.Թ: մշ

Տ

8.

Բեռնուլիի հավասարումը

Այս արժեքները (4) ճավասարմանմեջ, կստանանք տեղադրելով

Դիտարկենք

Մշ

նե -՞ՎԵԹխ--«ՕՐ:»" ( 5 Օ( )

ա.

վրա, կստանանք.

մ

-"53-բքյ -ոԺ-Օ: մշ

Ն

2-ին

Վշ

չն ՞

Մ

՝

մ

կամ

(2)

զճ7

«3:

նրա Գտնելով

Մ-ո`

կունենանք

)

Մ

մ.

.

Ր

այասլես. ,

ԻՒ-Խր"

կամ

Բյ

իչ)

Փո

աան:

ՄՀՀ63::

ենք

Հացն զ.

մսՀ»--26"Դժմա,

(3)

ԱԱ

ԴորՀԷ":

ԱՐ

ճետելալ Ճավասարումը.

շթ:

՝

'

Անջատենք փովիոխականները.

մր.

դիմադրուցյունը արագությունից կախված է

դեպքում շարժման Հավասարումըկլինի

մս

լոխթն,

ճավասարումը Հ

Այս տավասարմաննէ բերում մարմնի շարժման մասին խնդիրը, եթե միջավայրի

.

մՄ

Ա-ի որոշման ճամար ստանում

բ Լո:

Է

՛.

ՄԲ«-(-

զ

"

զ

ԴՈՒ Ջոա---Չ)

ընդչանուր ինտեդրալը ն շ-ի փոխարեն տեղադրելով

ծել Հետնյալ Լուծել Հետնյալ

|

մմ ԱՐ-.»«0, ՑԵ»,

ոյ

կստանանք Բեռնուլիի Հավասարմանընդճանուր ինտեղրալը:

Օրին րինակ

ՀԵՐԸ

Այս արժեքները տեղադրելով (2) Հավասարման մեյ,

դծայինՃաավասարումըո

ճն

զ.

հղած արտաճայտությունը Փակագժերում ճավասարեհցնենք զրոլի-

Վոր»

ԱԼ

ԽՄ

"'

մշ

ո

(5)

արտաճայտությունների տեղադրենք(5) ճավասարմանմեջ.

ն

Այդ դեսյքում փոխարինումը:

Վ7

մ7

2-ՏԱՄ, զ

Այնուշեոն կատարենք 2Հֆ

ՅԻ

դծային Հավասարումը: Գտնենքնրա ընդճանուր ինտեգրալը.

տեսքի Հավասարումը", որտեղ Ք (Ճ)-ը եՕ ()-ը ո-ի անընդճատֆունկո»ք1 ցիաներ են (կամ ճաստատուններ),իսկ ըջԲՕն (ճակառակ դեւղքում կստացվեր դծայինՀավասարում ): Այս ճավասարումը,որը կոչվում է Բեռնովիիճավասաբում,բնրվում է գծային «ճետնյալձնափոխություններիմիջոցով: անդամները բաժանելով "-ի

ՀՐԻ

0)

ող

Հավասարմանբոլոր

Այդ

հշ

ս---2յօ-" -

յոզյ-ԼԸ:

մասերով, կզտնենք. հնտեգրելով ՀԶՎԴ ԵԶԸ

ՒՓ

լույ

ԷՇ

ՈԿՄ2-ԱԻԿՈԻԼԻԸՑՑ

Ն

Լեոն 2.

տվյալ Հավասարմանընդճանուր ինտեդրալնէ՝ Հետկաբար, 2-1

Մ-ն

Վ

Է

Ըճ», կաի

ԹթՀՀՀ-Հաաաաաաթէ

/22-1--Շ6Թ

Յջ 3--

ն ինտեգրալ Դիֆերենցիալ Հավառարումներ

Ե.

պեն

տան սառ Ջե.

ւ

աաաււաչ.

ւ.

Առաջինառնչությունը դիֆերենցելով

Համանման նրան, ինչոլես

Դիտողություն:

ճամար,կարելիէ ցույց ճավասարումների

տեսքով՝

(«)-ը որնէ ֆունկցիա որտեղԽՃ

րում է

Տ

է,

ն

է

ՀետնելալՃավասարումը

ճավասարությունն անճրաժեշտ պայման է այն (1) ճավասարման ձախ մասը լինի որեէ ս (1, Մ) ֆունկցիայի լրիվ դիֆերենցիալ: Ցույց տանք, որ ալղ պայմանը ե է, այսինքն, որ (2) ոլայմանըեղի ունենալու դեպքում(1) բավարար ճավասարմանձախ մասը որեէ ԱՐԿ Ս) ֆունկցիայի լրիվ դիֆերենցիալն

|

է,

(1)

ճավասառում,ճմ լբիվ դիֆերենցիալնեոով

ֆունկցիաներ դիֆերենցելի ՎՐ, Մ)-ը անընդճատ, ն ե ունի տեղի

են,

11(43-8

ք

որոնց ճամար

տեսքը ն,

ս--

Ըս

9»

Փ-ԷԿԸ» |

այդ

դեպքում

հլ «Ը,

Սգո

են

սլա

Չ(Խե

Ու

ի:

կարող ենք դրել.

՛

(Բ, 7) ՛

ւր .

օս

.

7 (37)

մ.

ինտեգրալի կախված է 1-ից:

Այս ինտնգրալի աժանցյլալնըստ

Մ-ի դանելու ճամար պետք է ննթաինտեդրալալին ֆունկցիան ղիֆերենցել

3)42--ճա--շ46-Ի. 43: օս

ՕՃՆ

քանիոր բայց ժ4 բաոի

,

հա

|

հոլության ւոիրույքի ցանկացած կետի աբացիսնէ: ենք Ճաստատուն, Մ-ը ճամարում ուստի ինինտեդրելիս

1:Ա

կլինի (։ 7)-Օ ինտեգրալը նրա ընդճանուր ձետնաբար, ս

7)42--Փ(07),

, տեգրման կամայական ճաստատունը կարող է կախված լինել Ն-ից: ՓՈ/) ֆունկցիան ընտրենք այնալես, որ (4) առնչություններիցերկրորդը ստեղիունենա: Դրաճամար վերջին ճավասարության երկու մասը դիֆերենցենք՝ ըստ Մ-ի ն ճավասարհցնենքԻԷ(2, 1)-ի:

Ա

օ

Ճ-ի

րո աի

՛

ր

|(4,

որտեղ մց-ն լուծման

որոշ

նախ ենթադրենք,որ (1) Հավասարմանձախ մասը որնէ է, այսինջն՝ ֆունկցիայի մ լրիվ դիֆերենցիալն

զանում Լեր. արտաճալտությունից

ՍՈ

քում: Հավասարումների 1րիվ դիֆերենցիալներով ձախ մասը ինտեզգրու մր՛ Ասլացուցենք,որ եթե (1) Հավասարման ն Հակառավը՝ տղի ունի (2) պայմանը, Լրիվ դիֆերենցիալէ, ապա մաս ը ձախ (1) Հավասարման դեսյքում ման վ մանին Չ (2) պայմանին բավարարման դեսլքու » ֆունկցիայիլրիվ դիֆերենցիալ է, այսինքն՝ (1) Հավաորեէ Ա(Հ) սարումն ունի ( ) զս(2 3

10)

|

Ա

2-Հ-կլե.,))

ծ2

յ

"

(2) իւՉԻՆ ծ մի տիրուլՉր Չ.,- անընդծատ րում առնչությունը, ի

Ճ.

որ բանիՃճամար,

7Պճ:--ԵՌՆ 7)4»--9

ոտ

Չո 9792:

այսինքն՝(2)

:

կոչվում

Փնս

օռ

Խ(:,

Մ-ի, իսկ երկրորդը՝ րոտ

ԾԱՑ.

բավարա-

հավասարում Լրիվ դիֆերենցիայներով

Սաշմանում:

րոտ

ննքադրելով երկրորդ աժանցյալներիանընդչատությունը,կունենանք.

Հավասար չէ զրոյի

որը

ՉաԺյ'

Հավասարմանը:

՛1-Ք--Օ

9.

որ

(6,

7-ս

ԺԻՆ

Բեռնուլիիճավա-չ ֆունկցիաների արտադրյալի տալ,

ռարման լուծումը կարելի է որոնել երկու

այդ

Ճ-ի, կստանանք.

արվել է դծային

.

ՒԶ 7.

(4)

:

0,

թ

Փոլ. 42--| Ճո 07

Դա

բխում է

ըստ որոշյալինտեդրալի՝

Քենցման փասին կայբնիցիթեորեմից (տես 121 գլխի Ց

լրատ

7-ի

պարամետրիղիֆե« անն

10):

ՐԻ

«ՀԽ |2չ

(-ԽՆ

Կա

ար

3,

ոօ

կամ

9 (ՀՏԿ

Հետնաբար

9'2-ԱՆԿ

լամ

5):

3),

3).

(Վճ,

3)47Դ 6: Տ

:

Այստեղ Ք(գ, )օ)-ն կետ է, որի շրջակայքում գոյություն ունի (1) դիֆերենցիալճավասարմանլուծումը: Այդ արտաճայտությունըՀավասարեցնելով Շ կամայական ՃաստաՀչ տունին, կստանանք(1) Հավասարման ընդճանուր ինտեգրալը. «

9) 47--Շ8 ՈՐ. ))ծ-ԷյՊնս,

նշանակենք այդ

'

ԵԼ-ջ

դեպքում Ն

Փ ր.

6.

--3շ

Ի--`

ճամար վարվում ենք խ ինտեգրող բազմապատկիչը դպատնելու ճետնյալ կերպ. տրված ճավասարման երկու մասը բազմապատկենք առայժմ անճայտլլ ինտեդրողբաղմապակիչով.

,

6:

Վ

յո

Ռրպեսղիվերջին Հավասարումը լինի լրիվ դիֆերենցիալներով «ավա» պարում, անճրաժեշտէ

դնպջում (2) պայմանը տեղի ունի: Ուրեմն, տվլալ «Հավասարմանձախ մասը որեէ Ա(ԽՆ) անճայտ ֆունկցիայի (տեվ դիֆերենցիալն է: Գոնենք այդ ֆունկցիան:

որՉԱ..27 3,

չությունը.

ն

բավարար,

Չա)

(լ

որտեղ ց (3)-ը 3-ի Այս առնչությունըդիֆերենցելով ըստ Ս-ի

առայժմ անորոշ ֆունկցիա է: ն

այսինքն՝

ի»ձ»--ջ(-ջ-30)։

Ա ե/142-Ին Մ7--0:

ւ

"

ա-օ

Քանիի որ թմ

Եկե

տ

Ճաշվի առնելով, որ

դ)

))ձ--Օ

բազմապատկիչ: ինտեգբող `

Չչ

Կ(ռ

Ճավասարմանձախ մասը լրիվ դիֆերենցիալ չէ երբեմն «ամ է ընտրել ընտրել ր ր ջողվում այնպիսի լւ(Ճ, ֆունկցիա, որով ճավասարման այնպիսի լւ(ՃԽ3 ) է ճետո անդամները բաղմապատկելուց բոլոր ճավասարման ձախ մասը դառնում է լրիվ դիֆերենցիալ Այդպիսով ստացված Հավասարման ընդՀանուր լուծումը Համընկնում է սկզբնական Հավասարման ընդչանուր լուծման Հետ. ("ֆ) ֆունկցիան կոչվում է (1) Հավասարման

արդյոք Ստուգենքյ-

Ինլռոեգրող բավմաւվատկիչ

ԽԸ», յմ-Ւ

:

կ/8րված է ճետնյալ ճավառարումը. 25-ԻՑն: Կյ-Հ: այն լրիվ դիֆերենցիալներովճավասարումչէ:

10.

Դիցուք

6)

ՎՈԽՀ-

Օրինա

'

ԱՐՑ

ՍՄ

.

'

9Փ0)----ԷՇ,

Այսպիսով,տրված Հավասարմանընդճանուրինտեդրալնէ՝

ն Այսսլիսով, (2, Մ) ֆունկցիան կունենա ճետնյալ տեսըը.

ս--(ԳՐ.

լ

օ«'(ՉՀ-ջ "

,

ս(ջ, »--Չ-Ծ:

ա

ՐՐ»

ՇԱԻԹՀ-ԱՐ

Հետնախար,

7) 47Դ-Ըյ: օ(ՌՀ)ԻՊՆվ,

՛

.---մկ

32--3չ2

3ւ2

դտնումենթ.

-

Պ(Խ 7)- ՎԱԿ, 3)3

թ

|

՝

ւ

կամ

|

որ

տեղի

ունենա

Հետնյալ

առնչ

(ԵՒ) չո ւր

ծի 9»

-

-

աց

ՏՈ:

|

Ը

Տ

ՉԱՎ ԺիԼ իլժե ԷՉց. --իխ|-------.

----վ

ճավասարման Վերջին

կստանանք.

երկու մասերը լ-ի

.

վրա

բաժանելուց Հեւոո

Օ-Ժմ»-:43-0:

ւ

շն Է

ժ7

Ձու.

-ԽԿՊ ե. Փ'՝`

ՑՆ. 0Վ. օՓ. ` Վ

Հ

(2)

""

ր-ի որոնման Համար

ստանում

ցիալՃավասարումը

2»

առացվում նկատելով,որ ՛

ՓՃՓ

:

ենք, եզրակացնում

այն Ճ-ից,

ապա

պատկիչը:

|

ճեշտ է

Չ `

ե--17՞:

1ոք»---2|ոջ, այսինջն՝

Տրված Պավասարմանբոլոր Հետո

հրենցիալներով ա «իֆորոոցիաԼո՞ր ո

|

ինտեգրող բաղզմապատվիչովբազչ

անդամները գտած լլ

Էվա «տ-6 Լ), լաժելովճավա-` «ավ (ենջ

Մ« Չ`

Լ

ԻՐ ո

ավասարու

ռարումը կղտնենք նրա ընդճանուր

Գոա

աաա Հեռպատառ «Պո» իֆ գաաապթ

Փ

իաերալը

Իզ

մշ

Դ

ու

Լո

այս

ավա-

Ը,-:0

յՀ

Է:

Տ

Հ-ից:

11.

-96Շ`

Կորերի ընտանիքիպարուրիչը

Դիցուք տրված է ճետնյալ տեսքի Հավասարումը՝ `

ած Ս-ից, կախվածչէ

դտնելմիայնճ-ից

տ

կամ

ՓԼ,

ՇԻ

նման

մլու

ինանդրող

րրաաա

ստանում մապատկելուց

Ժիլ

Ա. , ձե ձնով, ե երբ----.. ---ե-՞ք

ենք այն.

այստեղից

դեքում,

օԷ

որ

բազմապատկիչ,

(րիլ

ՆՑ:

զոր

ատացվում է միայն Ս-ից կախված Ճճավպսարումից

Գտնում

ենք Հետեյալ սովոբականդիֆերեն-

-Հ--շռ

տ

,

կախվածչէ արտաճայտությունը

օՌ

Վ

ջ Փ

կ, ճետնաբար, նան լու-ն որոշվում է (մեկ կվադրատուրայով) է երբ Պարզէ, որ այդպես կարելի վարվել միայն այն

ՉԼլ Չի

0»

չի Հետնաբար, Հավասարմանձախ մասը լրիվ դիֆեվրենցիալչէ, Տեսնենք, արդյոք միայն Ն-ից կախված ինտեդիող բազմապատկիչ: այդ Հավասարումից

՝

Չի ն 1 9: գլո Հռ. ԻԼ բ-ն:

-----Ն

--»ՎՎ2,

Դիցուք, օրինակ, (1) ճավասարումը թույլ է տալիս միայն 7-ից կախվածինտեգրող Այդ դեքում բազմապատկիչ: ժու

Չի

94 ւ "0. 7: արի

ՉՎ

ՓԼ

՛

է Ակնչայտ է, որ ամեն որը բավարարում մի ն(2, 7) ֆունկցիա, վերջին ճավասարմանը,ճանդիսանում է (1) ճավասարման ինտեգրող բազմապատկիչ: (2) շավասարումը չ ն Ն երկու փոփոխականներիլ անչայտ ֆունկցիայի նկատմամբ մասնական ածանցյալներով «ավաչ է առղացուցել, որ որոշակի պայմաններում այն ունի սարում է: կարելի անքիվ բազմությամբ (1) Հավասարումն լուծումներէ, Հետնաբար, ունի ինտեգրող բազմապատկիչ: Բայց ընղչանուր դեպքում (2) ճավասարումից ա(Ճ,1)-ի գտնելն ավելի ղժվար է, քան (1) Հավասարման ինտեգրման սկզբնական խնդիրը: Միայն մի քանի մասնավոր դեպքե-Հ րում է Հաջողվում գնել լ (4, Մ) ֆունկցիան։

որից

Այստեղ Խ--7-ԷՀ37, ԻՐ---Պ,

Լուծում:

իմ

Լ

Լուծել ճետնյալ ճավապաքումը,

օրինակ:

|:

-իզ,

այլ

ծ էէ կախված

միմի

ինտեգրող բաղմակախված

Շ)»-0,

(1)

հն, իսկ կոորդինատներն փուկոխականդեկարտյան «Ըն է, որը կարող է ընդունել տարբեր ֆիքսած արժեքներ: պարամետր ճաԸ պարամետիիյուրաքանչյուր տրված արժեքի դեպքում (1) տավասարումըՕյ Հարթության վրա որոշում է մի որոշ կոլո ԸՇ-ին

որտեղ

ՀՐ

չ,

ն

Ճ-ը

ց-ը

|

Հավասարությունը:ենթադրենք,

որ ՇԸԵՆ)-ը դիֆերենցելի ֆունկցիա դիտարկվողարժեքներիոչ մի միջակայքում: Պարուրիչի (2) Հավասարումներիցկգտնենք սլարուրիչի ՈՂ(ԽՆ) կե«Կոում շոշավիողիանկյունային գործակիցը: (2) ճավասարությունը դիֆերենցենքըստ 4-ի,ճամարելով, որ Մ-ը Ճ-ի ֆունկցիա է.

լով բոլոր Հնարավոր արժեքները, ստանում ենք մեկ պարամետրից կախված կորերի ասում, ընտանիք կամ, ինչպես ճաճախ են

կորերի միապարամետր ընտանիք: Այսպիսով, (1) 4Ճավասարումը կորերի միապարամետը ընտանիքի Հավասարում է (բանի որ այն պարունակում է միայն մեկ կամայական

ճաստատուն):

1:

ԴիտարկենքՃճետնյալգծերի ընտանիքը.

ընտանիքի պարուրիչները կլինեն

այդ

(ոլ. 252), ման

ենք, ենթադրում

'

ւ

(4)

է):

Ճաստատուն

|

ՓվԱՎՏՑԴ-Փ:

|

|

|

|

ժ)

Բայցքանիոր ւպարուրիչի ասլա վրա Շ Ը. Մ)--ԸՇՕՈՏէ,

'

ՀԱՆ «ԶԱր, ժ. Լ

«ճավասարՏրված ընտանիքի պարուրիչների գտնելը: Դիցուք տրված է Ը պարամետրից կախված կորերի

ընտանիթը' ենթաղրենը, այղ '

ՓՐ», Շ)--0

ն

ՓՐ,

Շ(2,

))»20

0)

3,

Շ)--0

պարուրիչների որոշման Այսպիսով, ճավասարությունը: յում

՛

ընտանիքն ունի պարուրիչ, որի ճավասարումը է կարելի զրել Ս-«Փ(ւչ) տնսքով, որտեղ Փ(մ)-ը Ճ-ի անընդչատ ն դիֆերենցելի ֆունկցիա է: Դիտարկենքպարուրիչին պատկանող որնէ ԻԼ (5, 7) կետ: Այղ կետն ընկած է նան (1) ընտանիքի որեէ կորի վրա: Այդ կորին Համապատասխանումէ Ը պարամետրիորոշակի արժեքը, ՇՀՇ(Խ 3): որը տրված (4,3) դեպքում որոշվումէ (1) ճավասարումից՝ է ռպարուրիչիբոլոր կետերի ճամար բավարարվում Հետենաբար,

նրա կետերի Համար իրավացի է

Փ(,

(1)

3.

որ

«0

ան-

ճակառակ դեպքում կընդունեինք մ-ը ք անի որ պարուրիչի մ անորպես ֆու ջ կցի, իսկ 7-ը արգումենտ: պյունային գործակիցը ճավասար է ընտանիքի կորի ի անկյունային գործակցին, ապա (3)-ից լ (1)-ից ստանում ենք. որ

|

չրջանադժերիընտանիր Է ուղիղները 7--Ք, )--Ք

Փյ'--0

(Ը-ն տրված կորի վրա ճավասարությունից Փ՛-2Օ,

|

(3)

Մ) կետում(1) ընտանիքի կորի շոշափողի Փ՛, 3

որտեղ Ա-ը

որ

Մ

կյունային գործակիցը գտնում ենք

Լ

Հաստատուն է, Ը-ն՝ պարամետր: Դա Ջ շառավիղ ն Օմ առանցքի վրա կենտրոն ունեցող

ժՇ՝չո-(

(96106.,

լզ»

2«-Օ)Է)»Հ-Ի, Ազնճայտ է,

1, Այնուճետն,

Ս:

գիծը կոչվում է գծերի միապարամետր ընտանիքիպառուբիչ, եթե այն իր յուրաքանչյուր կետում շոշափում է ընայս կամ այն դծին, ըստ որում Լ, գծի տարբեր կետերում նրան տանիքի են տվյալ ընտանիքիտարբեր կորեր (նկ. 256): շոշափում Օրինակ

ՉՇ

Փ--Փյ) «(ԻՑ ,

.

Նկ.

կամ

ՀՔՀԸ

Սմաշտմանում։

0Ը ԺԶ

ԼԹ"

ԼԿԵՒՎ

Մ

է,

ցֆլ 0Փ շել օՓ09

Նկ.

չէ

է, որը ճաստատուն

են

ճամար

(5) ծառաչ

ճետկյալ երկու ճավասարումները: Փ

(Խ

Փո,

3,

Օ-ն,

3,

Շ)-0:

|

(6)

թանո ազառակը, ավաժարումուրից արո լի124 ֆունկցիա րոնց մոր ոլարուրի

7-ՀՓ ԸԿՍ-ը

: ի

|

յտ

լ

Շ-ն եթե այդ ավասարումը, որտեղ զ(Հ)-ը դիֆ ապա այդ կորի վրա ԸՇՀՏԸՕՈՏ,

որում

ենք է,

է: ավասարուսին

.

1. եթե (1) ընտանիքի «ամար որնէ Դիտոզություն ՍՀ-Փ(չէ) ֆունկցիանեղակի կետերի երկրաչափական տեղի «ավասարում է, այսինքն՝այն կետերի, որտեղ Փ »»Օ, Փ,--Օ, ապա այդ կետերի են (6) ճավասարմանը: նույնպես բավարարում կոորդինատները իրոք, եզակի կետերի կոորդինատներըկարելի է արտաճայտել (1) մեջ մտնող Ը պարամետրիմիջոցով՝ Հավասարման

» -«Ա(Ը): ե(

Խ-ՀՎ(ԸՇ ( )

նքն մեջ,

այդ

ապա

`(

)

Ա

քենանք.

`

--Ճ

(7)

բ ավարարում

(յ -

Հոր

ր ր (6) ճավասարումներին:

ՒՇ

ա

-2--ք2:

ամ աա

ապի ներքեւ որ անկում

(«-Ըյլյո-Թ--0

Ր.

|

՛

նջ.

անդափ դա

Աա

Գոնել մեկ Շ պարամետրիցկախված

ստանում

ն

ո":

եղակի կետերի երկրաչափական

Շ-ի,

0:

|

յ

ըստ

Ս:

շրջանագիծ է, Այն ընտանիքի պարուրիչն է (այլ ոչ քե եղակի կետերի եհրկրաչափական տեղ, քանի որ ուղիղ դծերըեզակի կետեր չունեն) (նկ. 258): ՛ 0րինակ 4: Գտնել այն արկերի Հետազծերիպարուրիչը, որոնք արձակված են քնդանոթիցսց արագությամբ՝ Հորիզոնի նկատմամբ«րանոքի փողի տարբեր Վ քեքու« որ դտնվում է որին թյան անկյունների տակ: Աստ որում կընդունենք, Ի Մ Հրանոթը ը Գոր ներիսկզբնակետում, իսկ արկի Հետագծերըդտնվում են Օյ Հարթության վրա (օդի դիմադրությունըՀաշվի չենք առնում): կուծում։ ` ա նախ դտնենք արկի Հետաղծի Հավասարումն այն դեպքում, երբ ՀրաԵ նոթի փողը Օ առանցքիդրական ուղղության Հետ կազմում է 0, անկյուն Թռիչքի է երկու շարժումների րանոթի փողի Ճավասարատ Սց արժում ն ծանրության ուժ ե ուղղությամբ արադությա . ըաչափ չարժո բության ուժի , ազղեցու

որ

Ընտանիքի Ճավասարումըդիֆերենցելով

6ՕՏ

տեղ:

Լուծում.

կունենանք. դեպքում

այդ

անղամ գումարելով, կստանանք.

առ

լ

ընտանիքիպարուրիչը: շրջանագժերի

կու-

ՕՓ)

Վերջին երկու Հավասարումներիանդամներըբարձրացնելով քառակուսի

|

է լրացուցիչ բավարարող կորը, անչրաժեշտ ուսումնասիրել,

0րինակ

գ--0:

շ0Տ

--թՏո

.

ճանդիսանումէ այն պարուրիչկամ

0-ի,

.

երկրորդը.

:

եվ այսպես, (6) ճավասարումներըորոշում են կամ սլարուրիչ, կա՛մ (1) կորերի ընտանիքի եզակի կետերի երկրաչափականտեղ, կամ մեկի ն մյուսի զուգորդությունը: Այսսիսով, ստանալով(6) ճավասարումներին

Ա-Ֆ

ըստ

Այս արտաճայտությունը (է) Հավասարության մեջ, կդնենք, տեղադրելով

Հավասարությունը: Փ:--Օ Սրանով մենք ապացուցեցինք, եղակի կետերի կոորդինատները ք

Հավասարում

Ճ--ք

որ ցանկացած կետերի ճամար տեղի ունի Փ.»-Օ, Փյ-Օ քանի նրանց ճամար տեղիունի նակ Հետնաբար, Հավասարությունները, ի

Օ-ն պարամետրնէ։ դիֆերենցելով

Լ

Հավասարումներից 0, պարամետրն արտաքսելու Համար առաչինի (Բ) (ծ) անդամներըբազմապատկենք ԸՕտչ-ով, երկրորդինը՝ ՏլՈ0-ով ե առաջինից Հանենք

ՆՐ

Այս նույնությունը դիֆերենցելովըստ ԸՇ-ի, կստանանք:

են

Տո

(8)

ն

ՓԱ(Շ), ո(Օ, օ-

իԻՑ:

Ընտանիքի տրված

1ուժում,

կստանանք Շ-ի նկատմամբ նույնություն.

ՓՃ.

1զ--ք»-0

ուղիղներիընտանիքի պ--,

արտաճայտությունները տեղադրենք (1) ճավասարման

--- ԻՓ՛յ "ՎՇ

Շբ.

« -

-

ց

Վ

3»

2(--Ը)--0. արտաքսելովԸ-ն, Այս երկու Հավասարումներից

--Ք:.-0

կստանանք

կամ

ճավասարումը:

:--Էր

՝

:

ր

-

աԴ՛7

«ատի |

է, որ կորերի ռտացաժ զույդը երկրաչափական կյշռաղատություններից պարզ պարուրիչէ (ն ոչ թե եզակի կետերի երկրաչափականտեղ, քանի որ ընտանիքի եջ մտնող շրջանագծերը հղակի կետեր չունեն):

Ճ--Մ0Լ

-

«ՕՏ

0, 1չ

.

|

ի

ժամանակիլուրաքանչյուր է պատինարկի հլ դիրքը կորոշվի

.

Մ-ՀՄցԼՏԼՈՂ--43

մա ճետազգծիպարամետրական «ավասարումն Հավասարումներով: է-ն, Ճետագծի Ալտացսելով ճավասարումըկստանանք. է է ժամանակը):

մ1

էք 5 (--------«--"

է

երկու ՀավասարումներիցարտաքսելովԸ-ն,

շ8.-« նշանակումները,կստանանք.

նանք տարբեր Հետագծեր,Հետնարար,(8)

ճավասարումներըայնպիսի

տակ ն տրված սց -

սկզբնական

(8)

(նկ. 260):

է:

պարաբոլների

որոնք տարբեր ց, անկյունների արձակված արկերի ճետագծեր են

արագությամբ

ա

արտաքսելովե-ն, Հավասարումներից

ԼՆ

մա| 0,

Ր Վ

ենք: |

ծ

ռ

--Յ332--0:

(9)

կստանանք.

Չ

Հետ. Այն եզակիկետերի երկրաչափական տեղ առանցքըճամընկնում է Օյ առանցքի չէ (քանիոր (8) պարաբոլը եզակի կետեր չունի): նվ այսպես,

Հաշ

Ս--Օ.

այսպիսով, տվյալ

ըրնտանիջի լյուրաքանլյուր

Օդ առանցքի վրա ունի եզակի կետ: Շ պարամետըն անընդճատփոփոխվելիս եզակի

կետերըլցնում

են

կորը

ամբող։

Օւ

առանցքը:

0Օրինակծ։

Գանել

Օ-Շթ--10-Օ-Ց

(9)

պարուրիչըն եզակի կետերիերկրաչափականտեղը: ընտանիքի Լուծում:

նենջ.

(10)

Հավասարության երկու մասերը դիֆերենցելով բոտ

Շ-ի,

կգլտ« |

՛

Այն կոչվում է անվտանզգությլան չէ տվյալ քանի որ նրա սաճմաններից դուրս գտնվողոչ մի կետ ճասանելի պարաբոլ, Հրանօքիցտրվաժ զց սկզբնականարագուքյամբ արձակվածարկի ճամար"

տեղ

Հավասարումները,կգտնենքեզակի կետի

կոորդինատներըՃ-ՀԸ,

կետում գագաթ ունեցող այնպիսի պարաբոլի ճավասարում է, որի

«.շՀ--...

Խո

ր|

:

Համատեղ լուծելով նախորդ երեք

--Հ--"««-1 չէ": ,

առանցքը առաջին սեռի դարձի կետեր անդիսացող եզակի կետերիերկրա չափական տեղ է (նկ. 261): հրոք, զանենք 3-- («--Ը)2--0 կորի եզակի կե տերը՝ Շ-ի ֆիքսած արժեջիդեպքում։ Դիֆերենցելովբոտ մ-ի նրոտ Ս-ի, գտնում

Բ

այդ ընտանիքիպարուրիչիճավասարումը: պարաբոլների Գոանենք երկու մասերը դիֆերենցելովըստ խ-ի, կստանանք. (8) Հավասարման

Ճ--22.2:--0:

կստանանք.

Օյ

որոշում է ուղղագիծառանցքով ն կոորդինատների սկզբնակետով Ալս Հավառարումը ներջն ր-ի տարբեր արժեքների ճամար կստա« ուղղված պարաբոլ: ճլուղնրով անցնող

ընտանիքի ճավասարումներեն, միապարամետրական

պարամետրի.

--0:

Մօ

Ֆ-նղ-Յա(14-12):

Շ

2(2--Շ)--0:

ք17

2Կ2Ը0520.

կատարելով էք.Հե, վերջապես, տեսքով.

Տրված ընտանիթի Հավասարումբ դիֆերենցենթ ըստ

Լուծում:

(պարամետըն

-2(07-Ը)Է-5:30--6)2-0

պարաբոլը Հետազժերիընտանիքի պարուրիչնէ,

կամ

7--Շ--(4--Ը)2--0:

3):

ընտանիքի ավասարումից Այժմ ստացված (11) «Հավասարություն, ն (10) արտաքսենք ՇԸ պարամետրը: 7--Ը»` (Ճ--Շ)2 արտաճայտությունը տեղադրելով ընտանիքիճավասարմանմեջ, կստանանք.

6--ՕԵ-3(5-6Թ-0 կամ :

օ-Փվա-Փ-» |-Ց շ

Նկ.

0րինա կ

5:

նիքի պարուրիչը'

ընտա» Գտնել 53--(2--Ը)2-Օ կիսախորանարդ պարաբոլների

այստեղից ստանում ենք Օ-ի երկու ճնարավոր արժեքները ճատասխանողերկու լուծումները:

ն

խնդրի նրանց

Համա

Առաջինլուծում.

Երկրորդլուծում.

ՇՀ

ուստի (11)

7-5-Գ-բ:-0

".

ՖՀ-ղ:

`

շ

ա

ուստի (11) Հավասարումից զտնում ենք. -

Տ

ուղղողի"

Դիցուք բ

ճՀավասարումից գտնում ենք.

ա-ի վք|՛«

(լ. Է--Օ

կամ

Ն-Հղն

Հ--

թ"

Ս

,

--.9-

Սրանցից առաջինը

ձրկրաչաական տեղ է, իսկ երկրորդը՝պարուրիչը (նկ. 268),

,Ջ

Ս)

7:

դիֆերենցիալճավասարումնունի

'

յՀ.

ու

Առաջինկարգի դիֆերենցիալ հավասարմանեվակի լուծումները

-

լ

|

ոացանչ էրկու

12.

ինտնգրալը: ինդճանուր

՛

Մ,

'

Ը)--Ս

(2)

ենթադրենք, որ (2) ճավասարմանիՃճամապատասխանող ինտեգրաչ ո ր կորերի ընտանիքնունի պարուԱպացուցենք, այդ գային պարուրիչ։ է: ինտեգրալայինկորն րիչն էլ (1) դիֆերենցիալ Հավասարման իրոք, իր յուրաքանչյուր կետում պարուրիչը շոշափում է ընտանիքի որնէ կորին, այսինքն՝ նրա ճետ ունի ինդճանուր շոշավող: Հետնաբար, յուրաքանչյուր ընդճանուր կետում պարուրիչը ն ընտանիքիկորն ունեն 2, 9, 7՛ մեժությունների միննույն արժեքները: Բայց ընտանիքինպատեն (1) ճավասարմանը: կանող կորի ճամար է, Մ, 7՛ թվերը բավարարում Հետնաբար, այդ նույն Հավասարմանի բավարարում են մլարուրիչի յուրաքանչյուր կետի աբսցիսը, օրդինատին անկլունային դործակիցը: էլ նշանակում է, որ սլարուրիչը ինտեգրալային կոր է, իսկ Բայց նրա ճավասարումըտվյալ դիֆերենցիալճավասարմանլուծում է: Քանի որ, ընդճանրապեսասած, պարուրիչը ինտնդրալային կոր Հէ, աղա նրա ճավասարումը չի կարող ստացվել (2) ընդճանուր ինՀաարժեքի դեքում: Դիֆերենցիալ տնդրալից՝ Շ-ի ոչ մի մասնավոր վասարման այն լուծումը, որը Շ-ի ոչ մի արժնքի դեպքում Հնարավոր ն որի դրաֆիկը ընդճանուր լուծման չէ ստանալընդճանուրինտեգրալից մեջ մտնող ինտեգրալայինկորերի ընտանիքիպարուրիչն է, կոչվում է պիֆերենցիալՀավասարմանեզակիլուծում: ԴիցուքՀայտնի է

:

եզակի կետերի

Փ(չ,

Է

`

իս

սա

Հ՛

ՏՏ ե» ՛

՝

Հ

`

`

,

-

Հ|

:

ւ

Եկ.

ՓՈ,

ա."

գլխի Տ տիտողություն ալն կորի էվոլյուտի շոշափողն 2.

ինտնդրալը. այս բնդճանուր

2-ում

ապացուցվելէր, որ կորի է, Հետնաբար, տվյալ կորի որմալների ընտանիքը այդ միաժամանակ կորի էվոլյուտի շոշափողների ընտանիքն է: Այսպիսով,կորի էվոլյուտը այդՎվորի ք

եր

այդ

նորմալնե բոլորի

ընտանիքի

պարուրիչն

է

Լ

նսս" մեկ մի կ

Քոդ.էվոլլուտի Հավասարում է. ստանալու Համա չ գոնել այդ կորի բոլոր նորմալների ար նախ ընտանի Քը, Լ այլնուճեւո դոն ե1 «Դ

Ֆե

Մ,

Ը)--0 ճավա4ավասարումը:

ֆունկցիան բավարարում է դիֆերենցիալ ճավասարմանի (ն այս պատկանում (2) ընտանիքին),ապա այս էլ Հենց եզակիինտեգոալն Չի

ւ:

:"

-

-

:

Է

ե շենը,

եղակի լուծում պատկերողկորի լուրաքանչյուն կետով առնվաղն երկու ինտեգրալայինկորեր, այսինքն՝ եզակի անցնում լուծման լուծման կետում յուրաքանչյուր միակուէ: Քյունը խախտվում

-

Է

ընտանիքի պարուրիչը:

Հավասարումից ե Փ՛(,

Փարումից արտաքսելով ԸՇ-ն, կստանանք 5(Ճ, ՄՍ

:

(նկ. 263),

թույլ է տալիս Այս դիտողությունը էվոլյուտը գտնելու

Շ)-0

Ս:

որ

են

,

`

,

նկատենք, որ այն կետը, որտեղ խախտվում է դիֆերենցիալ ՃավաՀչ տարմանլուծման միակությունը, այսինքն՝այն կետը, որով անցնում են առնվազն երկու ինտեդրալային կորեր, կոչվում է եզակի կետ": է Այսպիսով,եղակի լուծումը բաղկացած եզակի կետերից:

Վերջին Հավասարմանբոլոր նկատի ունենալով

որ

թ-ն

Գտնել

:

կամ

7117ո)ր3 ճավասարմանեզակի լուժումը: Լուծում: Գանենք Հավասարմանընդճանուր ինտեգրալը: Լուծենք Ճճավասարումը

)/-ինկատմամբ.

7:

չն

ինչպես

Հեշտ է ցույց

(7

(1) ճավասարման

տալ,

է:

Ուստի, (17) ենք

.

2--ՏԻԼԻՎ

(Իբ, Է

լու

ոչ

Մ--ճք | |

:

4--

ւ

թ:

ստանում

(17) լուծումը չի ստացվում (4) ընդճանուր ինտեգրալից ԸՇ-ի ն մի արժեքի դեպքում: Այս եզակի է. լուծում ստացվում է

:

|

այսինքն

2թ-ԻԳ(-Ք-ԻՑԹ)

Ֆույնությունը:

լուծման

222414

ֆունկցիան տեղադրելով (ւ) Հավասարմանմեջ,

,

դոյուքյան տիրույթի եզրային կետերը նույնպես անվանում են եզակի: Տիրույթի այնպիսի ներքին կետը, որով անցնում է դիֆերենցիալ ճավասարմանմիակ կորը, կոչվում է սովորական կետ: կնտեդրալային

7-Ճթ()-Ւֆ|քնո)|

որը,

մ

դեպքում(1) Հավասարումըկընդունի

|

ըն-

իրոք, ըստ (3) Ճճավասարության գտնում ենք.

մուծելու օգնությամբ: Այն է, Այն ինտեգրվումէ օժանդակ պարամետրը

7-Փ-Ւ:Ը)

(4)

Հ) եթե (3) ճավասարումից դնենք ք-ն որպես մ-ի ֆունկցիա այն տեղադրենք(1) Հավասարմանմեջ, ապա կստանանք

ծումն

1)

մշ

ենք ք--Ը Հավասարման մեջ,

հրկրաչափականտեսակետից է ուղիղ գծերի ներկայացնում

ֆունկցիան,

Դիտարկենքայսպես կոչված կլերոյի Հավասարումը։

աե՞)

ստանում Ճճավասարությունը,

այս

-Ի«(

որի

Տ13. Կլերոյի հավասարումը

մ

(3)

տանիք:

-

հ

"

(2)

7 "Յ1Ը-ՎՆ(Շ),)

դա եղակի ինտեգրալ է: Հետնաբար ցիալՃճավասարմանը:

տեսքը:

զո

արժեքը տեղադրելով (1՛) կզտնենք նրա ընդճանուր ինտեդրալը՝

Հեշտ է տեսնել, որ ինտեգրալային գծերի ընտանիքը աբսցիսների առանցքի վրա ըն« կած կենտրոններովշրջանազծերի ընտանիք է: կորերի ընտանիրի պարուրիչ կլինի ՕՍՀ-ԷԽ ֆունկցիաները բավարարում են ԸՐ/ դիֆերեն» «ԷԷ ուղիղների զույգը

Լ

Ինտեգրելով (2)

1)

(Շ»-օօոտԼ): ք-ի

Ն

0--օյութ-Ա:

Լ-թ.

(ք)լ25--0:

Ճ-Իճ՛(ք)--0:

:

զ

Այստնղից,ինտեգրելով, զտնում ենք ընդճանուրինտեգրալը.

այդ

»"(9)9Ք

|

Վ

ք

Ն

կստանանց. Անջատելովփոփոխականները,

ընդունենք

-

ք

ԷՈ

զ

8-ի,

ՑուրաքանչյութժբաղմաղպատկիչՃավասարեցնելով պրոլի, կստանանք.

Ֆա:մ.

բոտ

Ճ-ի ֆունկցիա է.

ըս

82--3" Հ «ՐԾ-37

անդամենըը ղիֆերենցենք

թթ)մշ

'

Օրինակ,

մ

Է

Ֆ(թ)

)--0 «-ԷՑ՛(ք

Դիֆերենցիալն ինտեգրալՀաշիվներ

,

եշ

Հավասարումներիցք-ք արտաքսելով,կամ

մինույնն մ,

որ

Տ

չ»»2Շ Է՛«(Շ), Ճ-ԷՆ՛(Ը)--0

վասարման

լուծումը տրված

եզակի

ինտեհգրալով

նուր

պարուրի

ԻՄ -ի ճավասարումը, որտեղ Փ- նգն տեսքի Է

Գտնել

(1) ընդճաբնտանիքի

.

Մ:

ավաաարմանքերճանու

րգա

յ ոլ

մշ

՞

լուծումը ստանալու ճամար

Անոր

-ՀՃՓ(ք) Ժ-Կ(թ):

մ» ձ.

Ճ-ի, ըստ Դիֆերենցելով

Տ

Շ-ռվ. փոխարինենք

---ը

:

Ը

`

-

արամետը Կար

|ՇՇՈՎ |յ--Յ5-: (1--63)3»

րող

լահավոր

Չ `

Հ Մ":

6.

մնեի

տատուն

մր

11. նդամ

Գա

Յուրաքանչյուր

ն

Ճ

հրկու

աստիճան անդամ

`

անո լուծումը ծում խանող

Ճաստատուն

լ-

դումարելովստացված Հավասարումները,կդանենք եզակի լուծումը ճետնյալ

տովոո-տծ

4-ի ի

է

այի

գչ

չ

ք ֆունկցիա

է

ք (քանի

որ

ճամապատասչ

ն ձ» բ

ան ածանցյալը

միայն գծային ֆունկցիաների ճամար): Այս ֆունկցիան է ճավառարման մեջ տեղադրել թ--քօ

(1) բավական ոու ճամար

ն Է

այսինքն՝

:

՝

ճավասարման երկու մասերը

մմշ»--քոարժեքին

Ցուրաքանչյուրք--քո,

:

Ո

ընտանիքի

«-«Օ,(17)

:

ամպարուրիչն(ճետնաբար,նան եզակի լուծում) է ոչ քն աստրոիդ,է: Բայց ճ ավապարամետրական պարուրիչի որ կեսը (քանի բողջ աստրոիդը, այլ միայննրա ձախ սարումներիցերնում է, որ ՃՀՀՕ) (նկ. 264):

Սա

պրո:

:

-

ճավասարման

--

մասը բարձրացնելով

արժեքի ճամար

դառնում են

Ը պարամետրը, կարող ենք Արտացքսելով ն ափ տանալ տի անմիավան կախու»

)

,7

Այս Հավասարումից կարելի է միանգամից գտնել մի քանի լուծումպայմանինբավարացանկացած ք-ճքց Ճաստատուն արժեքի դեպքում: իրոք, ք-ի Հաս-

,

չ'

Իշ

մ

ներ. այն դառնում է նույնություն քօ--Փ(քց)--Օ

արուրիչի Ճավասարում) (պարուր| պարամետրական տեսքով " է Ը-ն).7

'

.

«Իրքոյու՞" ստացվում

մ

ք--Փ(ք)»-|1Փ (թ)--»(ջ)է

է

,

,

։

ւծում, եզա: զակի լուծումը

ԱԴ

կստանանք.

ք-»Փ(թ)4 149՛(թ)-5

` .

դիֆերենցենքըստ Շ-ի, վերջինՀավասարումը

ւե (րող

Հայտնիֆունկցիաներ են:

:

-

հոգու:

Հ

(լ)

)

ճետնյալ տեսքով.

երն ինտեդրալըկստանանք, Ընդճանուր

Լուծում:

.

41: գր

՛

մ

վաստա,

ՆՈՅ

յժ

՛

դծային է: նախորդ ղաԱյս ՀավասարումըՍ-ի ն 1-ի րագրաֆում քննարկված կլերոյի ՃավասարումըԼագրանժիՀավասարման մասնավոր դեպքն է, երբ Փ(7 533 Լագրանժիճավասարման ինտե պրումըկատարվում է ք օժանդակպարամետրըմտցնելու օգնությամբ: Ընդունենք Մ՛թ»ք. այս դեքում սկզբնական Հավասարումը կգրվի

ՏՍ

) շառ«Փ(7

լ

չը'

0րինակ

եզ ակի

է որոշում (եւղիղների

Հա-

հրոյի

Լագրանժի հավասարումը

հավասարում Լագոանժի կոչվումէ

ի

Շ-ն արտաքսելով: կլ Հետխաբար, Հավասարումներից

14.

արժեքը:

Է5(թօ): 5Հզ(թց) ը

եթե ռպլարղզվում է, որ կամայականճաստատունիոչ մի արժեքի դեքում

ՄԼ" ա

ծում ումը

մ չի ստացվում

ընդճան ընդճա

Այժմ գտնենք ըն դճանուր Ճճավասարումը գրենք

ուրից, ապա

լուծումր

այնն

ն կլինի եզակի

լու

-

Դրա ճամար (17) օ1

Վ:

ձթ

(թ) Ք--Փ(թ)5--Չ(թ)

Տ

«դ

ւ

Այն դժերը, որոնք տրված (1) ընտանիքիբոլոր կորերը Ճճատում անկյան տակ, կոչվում են իզոգոնալճետագծեր:եթե

Փ(5, ), Շ)-օ։ Հ-իՄ3.Լ

7-Ժ

ԸնդունելովՍ/»»ք, կունենանք Դիֆերենցելովըստ

3"

0)

92.

Ֆ-5

0:40, ն

ն

երբ

որ

Ճավասարումներից, դոնենք տվյալ

Ճավասարումը:

ԲԺնն

մ.

արտաբսելո Բ լ

ինտնգրալը.

1)

նե

Ճճավասարումնե Ր

րեց

,

հնտեգրե-

Ք ը նդՀչանու ստանան,

Տրված Հավասարմանեզակի

Իո

ՒՍ

ինտեգրալը

2. `

կլինի

լուծումը չի ստացվումընդճանուրից՝ԸՇ-ի ոչ մի արժեքի դեպքում: ֆունկցիան էլ ոչ քն եզակի, այլ մասնավոր լուծում է, այն ստացվում է Սոառա-Ի1 լուծումից, երբ Շ--ԾՕ ընդճանուր քանի որ

այս

զ

2"

զ:

ՏՈ:

ասլա

ան43" մ.

նրա շոշափողի

:

կաղվածէ

Հետ

|

ը

մ

՛

ճնետաչ օրթոգոնալ (., 7) կետովանցնող

Փ

՝

7 -«(Շ(

«3-ի

(7

Ց

գիծը ուղղաճայաց է ընտանիքի կորին, կյունային գործակիցը

-

մ)

անկյունաՌ(ԽՆ) 7 կետում ընտանիքի կորի ի շոշափողի

"

թ ՈՐԹՅԹ, (Ո

(բ3,

որ վինսործակիցն էչ Քանի

։

:

ք -ն

մ» Այստեղ -Հ-ի

`

Ը

կորերի ընտանիքի դիֆերենցիալ

է այդ դիֆերենցիալ Հճավասարումն Դիցուք

ապա

|

տեսքով Ճ-ի դիտարկենք որպես ք անկախ փոփոխականի ֆունկցիա: լով սաացված դծային (2-ի նկատմամբ)ճավասարումը, դոնում ենք.

Շ)-Օ

-

գծային ֆունկցիաները: Այդ ֆունկցիաները կլինե՞նարդյոք մասնավոր կամ եզակի լուժումներ, մենք կտեսնննք ընդչանուր ինտեղրալը գտնելուց Հնտու Այն որոշելու Համար (17) ճավասարումը

ն

7,

ճ7

այսինքն՝ Ն--Օ --ԽՎ1

Փո. 2.25. -1-թ ք

այդ

օՓ օՓ 7-0 Փ.

բ-բուլթթ-2ո8Ի: քօ--Օ քլ-57 Քանի ք--ք2,

ե

ՓԸ,

ն

7--5թ--քն

Ճ-ի, կստանանք

զակի լու ծումների (Ժումները կլինեն տես (1)| Գոնենք

Է

|

Տրված է Հետելալ ճավասարումը-

Օրինակ:

են

անկյունն ուղիղ է, աղա ճետագծերը կոչվում են օբթոգոնալ հետագծեր: 0րքոդգոնալ Գանենք օրթողոնալ ետադծերի 4Ճետազծեր: ճ2ավասարումը:ԱրտաքսելովԸ պարամետրը

(2)

արտաքսելով ք պարամետրը,կստա-չ (17) (3) ճավասարումներից նանք (1) Հավասարմանընդճանուրինտեդրալըճետնյալ տեսքով

(2)

ԸՇ)-Օ

3,

Հաստատուն

`

2-«Օ(ք,Շ):

Փ(ո,

ընտանիք:

ճավասարում: ֆերենցիալ ն

Օրթոգոնալն իվոգոնալհետագծեր

ունենք միապարամետրկորերի Դիցուք

`

տնսքով ե մ-ը ղիտարկենքորպես ք-ի ֆունկցիա: Այա դեպքում ստաց-չ դծային դիկլինի ք-ի 2 ֆունկցիայինկատմամբ ված Ճճավասարումը Լուծելով այն, կգտնենը,

15.

մ

(2)

մՄ:

առնչությամբ (նկ. 266): մեջ ն բաց Այս արտաճայտությունը տեղադրելով (1՛) Ճճավասարման Ղ ինդեքսը, կամայական (ո 7) կետի կոորդինատ թողնելով կատանանք ների ն այդ կետում օրքոգոնալ Ճետազծի անկյունային գործակցի միջն եղած առնչությունը, ճետագժծերի այսինքն օրթոգոնալ -

Բ| չ,

7,--: ,

ձ7

-«0:

(3)

Վ»

-

ժս(2, 3)

Այս ճավասարման

Փ,(., իի Շ)»--0

ընդճանուր տալիս ինտեգրալը Քոգոնալ

Մ

Ի"

ր

`

'

ս ---Հ-Նյւ

--ՀՀԱյ

ժմ

Փ

մ7

-

(

ԱԼՃ

77-Ը

,

դծերը ընտանիքի

5)

յ

օս`

անկյունային գործակիցը Հ2ոսքի գծի շոշափողի անկյունային գործակցին ճակադարձ է ըստ մեծության կ Հակադիր է ըստ նշանի: Այստեղիցէլ ճետնում է, որ էկվիպոտենցիալ զժերը ն Հոսքի զժերը փոխադարձօրթոգոնալեն, հլեկտրականկամ մոոդնիսականղաշտի դեսրքում մկվիպոտենցիալ զժերի ընտանիքիօրքոգոնալ ճնտագծեր են ծառայում այդ դաշտի ուժա-

`

գժծրը:

'

0րինակ

|

1: Գտնել

7--Ըդ2

:

:

պարաբոլներիընտանիքիօրթոգոնալՀետագծերը: Լուծում: Գրենքընտանիջի դիֆերենցիալճավասարումը

.

տ

Ը-Ն, (ատանանք: Ռրտաքանլով :

Խ

արագության

վեկտորի

«ՕԿՐ: 3). յ :օ5 9. յ

Նկ.

ժս

«,

Մ--խլցո

ւՀյստեղՄ՛-ը

փոխարինելով

լ --

ւգիֆերենցիալ Հավասարումը.

:

ՇԱՏ

2:

"ե

կստանանք օրթքոդոնալճՀետաղծերի ընտանիրի

3Փ---շ-:

Տր

նրա րբնղչանուրինտեդրալնէ. է

ւ

Փ,

ալստեղից գտնում ենք ճոսքի գծի անկյունաչ յեն գործակիցը:

-2Ը5:

ոշ.

'

կազմած անկյունն է Օձ առանցքի Հետ: Այս դեվլքում (4) առնչության ճիման վրա ժս 4,

՛

,

շարժվող կետերիճետազծերը: Ցույցտանք, որ ճոսքի գժերը ճենց էկվիոտենցիալ գծերիընտանիքի օրթոգոչ ԴիցուքՓ-ն

(3

՛

նալ «ետագծերնին (նեկ.266):

'

Այսպիսով, էկվիսլլուտենցիալգծի շոշափողի

.

կոչվում են էկվիպոտենցիալ գծեր (այսինքն՝ Հավապոտենցիալիգծեր), Այն գժերը, որոնց բոլոր կետերում շոշափողները ամընկնում են Խ (5, Մ) վեկտորի ուղղության ճետ, կոչվում են ՀՃոսքիգծեր ն տալիս են սար

9:

Վ.

(4)

'

ժս

:

|

արագություններիպոտենցիալ, այսինքն այնպիսի Ա(Հ, ն) ֆունկցիա, որի՝ ըստ Ճ-ի ն ըստ 1-ի մասնակի ածանցյալները Հավասար են կոռրդինատային առանցքների վրաԽՆ 7) ն վեկտորի ԽՈՆ7) ի (Խ 7) Կ

որտեղից

կայունացված: Մենք կբննարկենք

պրոյեկցիաներին.

Ցե Վ : Է3-.--0, ժմ. ծ: 9:

.

կետում որոշված է շարժման արագության ՆԽ) վեկտորը, նթե այս վեկտորը կախված ե միայն Պարքուքյանվրա կետի դիրքից, բայց կախվածչէ ժամանակից, ապա կոչվում է ստացիոնարկամ ճենց այսպիսի շարժումը: Բացի այդ, կընդունենք, որ գոյություն ունի

շարժումը

)) Զոն,

էկվիպոտենցիալգծի շոշափողի անկյունային դործակիցը կստանանք (5) առնչությունն ըստ Ճ-ի դիֆերենցելով-

ըն-

Ընդունենք,որ Հարթության վրա Հեղուկի ճոսքը կատարվում է այնպես, որ Օր Հարթության յուրաքանչյուր

Նկ. 265

(6)

Ճ

լինուժ դործ ունենալ, օրինակ, ճարթ ճոսքը քննարկելիս: ճեղուկի

Լ

ռ. 9.

օըր-

Օրթոգոնալ ՀետաղծերիՀետ ճարկ

Ժ

՛

յ /,

է

Հետագծերի

տանիք

էք

ե

ՅՈ

բ

Ի. Ճ՝

6"շ.

Հետնաբար, տրված պարաբոլների ընտանիքիօրթոգոնալ «նտագծեր կլինեն մի որոշ Ֆ-ՀԸ յ/ջ- կիսառանցքներով

--Չ2Ը,

էլիպաներիընտանինը(նկ. 262): Ք

իմ

Օրինակ

Գանել

7-Ըչ ուղիղների ընտանիքիիզոգոնալ այն Հնտաղծերը, որոնք տրված ընտանիքի ճետաղծերը Հատում հն այնպիսի անկյան տակ, որի տանդենսը՝ 190--Խ Լուծում: Գրենքտրված ընտանիքի դիֆերենցիալ Հայվասարումը: (8) Հավասա բումը դիֆերենցելով ըստ Ճ-ի, գտնում նենք

Մյուս կողմից, նույն Հավասարումից

--

Շ»-3.: ՛

Հետնաբար, տվյալ ընտանիքի դիֆերենցիալ Հավասարումն ունի ճետնյալ տեսքը՝

մ

ՍՈ Նկ.

հզ ոգոնալ որերի բրի

ճատում

ճետագծժելր: են

օօ

Օգեվելով (2՛)

առնչությունից, կստա իզոգոնալ Ճետաղզծերի դիֆետենցիալ ճավասարումը.

նանք

ՀՄ

Դիցուք ճետաղծերըտվյալ

անկյան տակ, /

ըդընդ որում որ

Ք 1քգ--խ

ընտանիքի

կորերի (ոկ. 2608) Ընտանիքի շոշավփողի զ 3 էջք անկյունային մ» ճետաղծի դործակիցըհ իզոդգոնալ

զ

կապված են

Կ

5 անկյունային գործակիցը

Քֆ-քզ

1քՓ-աթ(ֆ--Օ) «ալ -- 0

այսինքն՝

մ7

Էա

ՀԲ-ն

Խու ւ

Հ-----«-----

-

Թան յ

յ ռ

Ճ

Իզի

Այստեղից,

բաց

ենք. զանում

գ

ՀԸ,

հնտեգրելովայս

ինդեցար,

թողնելով ՛

լբ

Հավասարումը, ստանում հնթ.

Համասեռ

ոյ 2:-:

Թ

Դ

՛բնդճանուր ինտեգրալը, ճամար, քն որ կորերն նատներին.

որը են

ն

Եկած

որոշում է իզոգոնալ

մտնում

(9)

Ճ

Հետազծերի ընտանիք: Պարղելու

ընտանիքի մեջ, անցնենք բննռային կոորդի

այդ

)

Հ-ՀԹՓ

առնչությամբ:

Այս արտաճայտությունըտեղադրելով (1) Հավասարման մեջ կ բաց քողնելով ՛՞ ինդնսքը, կստանանք իզոդոնալճետագծերիդիֆերենցիալ ճավասարումը:

Բ

մ7ր

մ»

ՀՀ

Ն.

7.

Ճ

2Վ-7--ք:

"Այս արտաճայտությունըտեղադրելով(9) Հավասարության մեջ, կստանանք.

Այս պայմանները կոչվում

.

ղուրս աղլացուցումը

ՓՒյոՇ

|ոթՀ-

ՀԼ,

անն

Հետնարար, իղողոնալ Հետաղծերի ընտանիքը լոգարիթմական

7--3լ»

սպիրալների ընտանիթ

(նվ. 269),

Բարձրկարգիդիֆերենցիալ հավասարումներ (ընդհանուր հասկացություններ) 16.

Բո Եջ կամ, երն

այն կարելիէ

3.

Ֆ. Ն

'

լուծել

3,

սով:

կարգի

ուրդ

Մա)»այ(,

.

կարգի դիֆերենցիալ -

անի Հ)»

Մ,

ղափարը: Սաչտմանում

(լ)

լոժում կոչվում է

ածանցյալի նկատմամբ՝

Ֆրա ՖՈ-9)

ղր

կարգիդիֆերենցիալՀավասարմանընդնանուբ Շլ, Շջ..., Շո կամայական ճաստատուններից

Մ-«Փ(2,Շ Շջ. Շո) ֆունկցիան, որ է Հավասարմանը՝ 57 ԸՇջ ա) այն բավարարում տուններիցանկացածարժեքներիդեւլքում. Բ)

Այս գլխում ջննարկելուենք միայն բարձր կարդի այնպիսի լուծել բարձրկարգի ածանցյալի նկատոճամար ունի լուծման գոյուտեղի Հավասարումների մամբ։ Այդպիսի նման է առաջինկարգի ավասարորը թյանն միակության թեորեմը, ման լուծման մասին Համապատասխանթեռրեմին։

սո

:

|

երե

(ո)--(4,

(ո-1))

՛

Ֆր

(-7 ՄՀՀՄ՛լջ.." ՄԱ-ՍբաՄ

32-30,

ո

լոժումը,բավառաբում հետնյալ :

87:

Մա աԹՄ ց ,

ւ...

ԱՇ

Ծ--յյո 7

Հ

|

«րված

արժեքների դեպքում «կզբնական

Ֆերը կարելիէ ընտրել այնպես,որ

Մ--Փ

Շը ճաստատունՇլ, Ըջ, (Ճ, Շլ Ը", Շո) ֆունկցիան

որ Ճո, այդ պայմաններին բավարարի (ենթադրելով,

որնէ տիշույթում,ապա գոյությունունիտված պարունակող արժեքնեոը է ոբր ճավասաբմանմիակ7--7 (ո)

պայմաններին.

՝

(ո--1)

աջ Դյֆունկցիան ե նրբա մասնակի են 6-0 արգումենտներիանընդնճատ

ճավասարմանմեջ 1(Խ ըստ 7, ՄՈ, ածանցյալներն

չ6-ոջ,

:

Հաա ստում -

Շր

ՄոՀ:-՞30,

ոա-3

|

)

Հատ

՛

որոնց կարելիէ վասարումներ,

2-1

Ո-րդ ո

այնպիսի կախվաժ

(1Դ ճա-

Թեորեմ:

3 --3"լ

որտեղ ց-ն, Մ0-ն,70-ը տրված թվեր են։ Այդ պայմանների երկրաչասիականիմաստր ճետնյալն է. ճարթքության(20, 70) կետով անցնում է շոշափողի տրված ար քեքության անկյան տանգենսն ունեցող միակ ն է, որ եքե ճաստատուն ց ՎՊորը։Այնուճետն, սրանից «ետնում նց տանք դեպքում յ՛ց տարբեր արժեքներ, ապա կստանանքտրված կետով սսնցնող տարբեր թեքության անկյուններով անթիվ բազմությամբ ինտեդրալայինկորեր: Այժմ մուծենք Ո-րդ կարգի Հավասարմանընդճանուր լուծման գա-

՝

ուրդ

լուծման ճամարսկրզբ-

|

.

ինչես արդեն նշվեց վերնում (տես 92), կարելի է գրել Հավասարումըսիմվոլիկորեն

չ--ձց

'

Տ

37,

Քրկրորդ կարգիՀավասարումը, ապա երբ նականպայմաններ կլինեն.

Բ

ք-ԸԲ

ոն

Այս թեորեմի սկզբնական պայմաններ:

եթե դիտարկենք

լամ

է

են

է գալիս սույն գրքի շրջանակներից:

2-0

Դիֆորձնցիաւլ

ընղդնանութ ինտեգոալ:

(շ )

7՛օ,

սկզբնականարժեքները պատկանում այն տիրույթին, որում տեղի "ունեն լուծման գոյության պայմանները): լուծումը անբացաճայտ որոշող Ընդճանուր ՓՈւԽ», Շր Ըջյոււ Օ Հավասարման Ըղ)-» տեսքի առնչությունը կոչվում է են

Ամեն «ո,

Ըղ

մի ֆունկցիա,

որը

ստացվում է ընդճանուր լուծումից՝ Շլ, Շշ, արժեքների դեպքում, կոչվում է

կոնկրետ ճաստատունների

1.

.

որը

ւժ Լուժու

մ: լ

-|

"

կամ

ջո-Թ--

գտնում ենք Շլ-8 051 սպլայմանից Այսպիսով, որոնելի մասնավոր լուծումն ունի Հնտնյալ տեսքը.

Ճ0

մ

՛

մշ--Շ(Հ--50)-ԷՇ::

ւ

Ը

»-|--ին)

( Ճ--

Ճո)

ո-1

(ո--1)|

Աո ա է ն

ըոդու՛

ն

'

40)ո--2Վ «23-Ը (ո--2): -

ւս

-

ւօ

Որպեսզիստանանք Դոգ

առանցրուՄ նրա չդեֆորմացված վիճակում, Օջ առօուղղաձիդ դեպի ներքն (նկ. 270): անցք Հեծանի վրա ազդող յուրաքանչյուր ուժ (օրինակ, ճեծանի բեռնվածությունը, Հենարանների «ակաղդուժը) ճեծանի լայնակի որնէ Հատույթի նկատմամբ ունի ժոժենտ, որը Հավասար է ուժի ն տվյալ ճատույթից ուժի կիրառման կետի ունեցած ճնեռավորության արտադրյալին. Հեծանի այն մասի վրա կիրառված բոգումարը, որն ունի լոր ուժերի մոմենտների 11.) 1 աբսցիս է տվյալ4 Ճատու ւլի մի կող սամ, աբացիսըն դասավորված

նս,կստանանք.

մ»...42--

ժում,

.

Քի

37»

րի որոր մաններին

ար ՀՅ Հ1ց

ռ

':

ՖոՖո

1)Հյյց(ո-1)

։

-

'

ը

«ա

ւով

լալ

մոմենտ

4եծանի

են

ծոման

որ

Հեծանի

`

:

'

Նկ.

դաս-

Վ

ՊՀ

ԾԻ

ԱԵ

ծոռողմոմենտը Հավասար է

Է) -Շ-,

ո

որտեղ

Բ-ն

կախված է 4նծանի նյութից, 1-ն է էա) մ լայնակի ճատույթի մակեբեսի ծանրության կենտրոնով անցնող ճորիզոնական գծի նկատմամբ, Թ-րը ծռված է ճետնյալ րբանաձնո 2եծանի առանցքի կորության շառավիղն է, որն այսպես կոչված առաձղականության մոդուլն

(ռլ. ԻՆ Տ 6).

ՇՀՅՖՐ-):

Է-Վ

-

ձնեծանիծոող Ննկատմամբ. նյութերի դիմաղրության ապացուցվում է,

|

տվյալ ճատույ-

է,

բ բՑի ի իներցիա / մակերեսի ճեծանիԼալայնակի Հատույթի

բավական լուծումը, մասնավոր բավարարող

ՇոՀ-3տ Շո-ւՀֆ ց,

ա"

կոչվում է

նքացում

|

Ը

տեսության մեջ: 4: Դիտարկենքառաձղական պրիզմայաձն Հճեժանը, որը ծովում է ինչ» Օրինակ պես անընդճատբաշխված (1շիո, բեռնվածություն), այնպես էլ Հճամակենտրոնա արտաքին ուժերի աղդեցության տակ: Օյ առանցքն ուղղենք «ոռրիզոնականյ «եծանի

յ ՝

Շարունակելով,վերջապես կստանանք(ո ինտեդրումից Հետո) ընդճանուր ինտեպրալիարտաչճայտությունը: "

այի: (լ ՀՅ)

»--Տ

Քննարկված տիպի դիֆերենցիալ ճավասարումներըՀանդիպում Ր

:

| |".

Շշ

ճՃամապատասխան ար«

դտնում ենք ԸՇշ-Օ 7,--0 -«Օ պայմանից

2-ի ցանկացած ֆիքսած արժեքն է, իսկ Շլ-ըր ինտեգրման

4/7

մասչ

ն

:

-

-ին)ո»6չ

լով մեկ անդամ

ինտեգրե ախիւմ

ԻՉ բ գՇթ

բավարարող պայմաններին

է

ժեքները:

(ո-1)---

Հաստատունը:

ինղճանուրինտեգրալն

-

ց

Ը

Տրված սկզբնական նավոր լուծումը տտանալու ճամար բավական է որոշելՇլ Սա

. ի

:

որտեղզց-ն

լռ

Տո

յ---Ջ-

կատանանք,

թավա»

(2 (1) Վ(2) տեսքիճավասարումը: Գոնենք այդ Հավասարմանընդճանուրլուծումը: Աջն ձախ մասերն ինտեգրելովըստ Ճ-ի ե ուշադրություն դարձնելով,

6-93",

Ը.

Օ0Տ:-- է

ումով

չո

,

Մ()--(

Շյ--օօ

՛

է կարգի պարզագույն Հավասարում

ո-թդ

այե

ն

յո-01

«0-0,

ակզբնական պայմաններին:

մ ե հ հավասարու 7-1)»թվՈւ)տեսքի ՄՈ -

(Ռու) Հավասարման ընդճանուր ինտեգրալի բավարարումէ

Գտնել 3/»-Տլո

մասնավոր լուծումը,

|

որ

Օրինակ

մասնավոր լուծում: Մասնավոր լուծման գրաֆիկ կոչվում է տվյալ դիֆերենցիալ Հավասարման ինտեգրալային կորը: երեն 71 նշաՀավասարումը, ո-րդ կարդի դիֆերենցիալ մաք : Լուծել(ինտեդրել) է . նակում 1) դոնել նրա ընդչանուր լուծումը (եքե սկզբնական պայմաններ տրված չեն) կամ ճավասարմանայն մասնավոր լուծումը, որը բավարարում 2) գտանել է տրված սկզբնականպայմաններին (եքն այդպիսիք կան): Հաջորդ պարագրաֆներում կշարադրվեն ո-րդ կարգի տարբեր ճավասարումներիլուծման մեքոդները:

որը

մոմենտն

արտաճայավում, |

1-75»:

ռ--------,.

՝

:

5՛Ղ

տնսբը.

:

ր

թ,

ԱՀ»

ֆ

--թ մ»

:

.

տնսք:

նդճան ընդճանուր

ի

ք»»ք(2,Շյդ).

զ

նտե ինտդգրալը

չ--Օ

Ս

ճկվածցը Հավասարէ զրոյի

ված առանցքի շոշափողը Ճամբընկնում է Օչ ինտեգրելովՀավասարումը,կղզտնենցք.

թ

ն

չեծանի ծրո-

(Օօ, Ֆո. 05

առանցքին, այսինքն՝ Մ.

՛

Հյ,

ռ)զւ-Շչ:

թ -ծ---

/

:3

այս

2.3,

եչ

.-1--

ջո

Յբյ'

դեպքում

45.Փջ, ծ.

|

մո

:

ո. :

կարդի դիֆե առաչին

ե մենք ստանում ենք մ-ի բ օժանդակ ֆունկցիայի նկատմամբ "րենցիալ Հավասարում.

ք.

18.

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի տիպեր, որոնք բերվում են առաջինկարգի հավասարումների: Խնդիր երկրորդ տիեպերականարագությանվերաբերյալ

1Հետնյալ

Հ

ԱՈ

մ,

Ո

Լք

մ7 մ:

«(լ 3 "

մ.

Ք

որտե.

Ճ

-ծ----

ւ

աե

էջ

Անջատելովփոփոխականները,կունենանք.

/ 1-ք'

Հավասարումբ/'

`

:

------Տ-թՀ--յ,

տեսքի

`

«Հար

բանաձնից որոշվում է Հեծանի Ն ծայրում եղած ի ճկվածքը. Ր

`

մյ

-է.--

ո( Ի) ) ք

դ---

գ/Ջ ԷՋ) 2) ո)

ՀԱ ճ237

դիֆերենցիալՀավասարումը (տես Տ 1): Ընդունենք

:

--

:-

Հավասարման

Քննարկենքչղքայաղծի

0րինակ1

աա-Շ--|

ենք (1)

.

|

"Սկզբնական պայմաններնեն. երբ

Տ

ստանում

լուծումը. ընդճանուր

:

՛

Մասնավորապես,(3)

թ)

գտնում ենք նրա

Հ-»-ջառնչությունից

այնուճետն

Լ

կընդունի դիֆերենցիալ Հավատարումը

ինտեգրելովայն, Հավասարում:

հ'(2-:0-չ)Ք

թ 7 ՛՛-..----(|.Էյ

ձ».-զր:

Վ

«տեսքը,որը () տեսքի Հավասարումէ: 3: Հեժաննանշարժ Օրինակ ամրացված էՕ ծայրում ն ենթարկվումէ ամրացման տեղից | Հեռավորությանվրա գտնվող ճեծանի Լ ծայրին կիրառված ք կենտրո-. նացվածուղղաձիգ ուժի աղդնեցությանը(նկ. 220)։ Հեծանի կշիռն արճամարչում ենք: Կ (2) կետում ճատույթը: Տվյալդեքում Կ ճատույթի նկատմամբ Դիտարկենք Փոող մոմենտը Հավասարկլինի

(2՛)

մ

ժթԻՍԿ

թյ

զ՛

այտ արտաճայտությունները Ածանցյալների (1) ճավատեղադրելով

ի

ՐՍ

ս.

Այդ դեքում

չ-ի ք անչճայտֆունկցիայի ոու սարմանմեջ, կստանանք Հ նկատմամբ ջին կարգի

ռ--17՛5

"Այս դեպքում ծռված Ճեծանիդիֆերենցիալ Հավասարումըկընդունի

նշանակենքք-ով, այսինքն՝ ընդու-

է

ն նենք---՛

են ն որ ծոման որ դեֆորմացիաները եք, ճամարենը, փոք ժամանակ -Հեծանի ճետ են Օմ կաղմում առանցքիշոշափողները առանցբի փոբր անկյուն, ապա 7/2 փոքր մեծուքյունը կարող ենք արճամարճել ն ընդունել

ԻՇ

բ ածանցյալը

գուժում

(2)

.էԷյ՝

|

՛

մ

'

ՅՑ,

ՍԱ

պարունակում.որոնվող

այն:

կց ի

ուն

չի

կերպով

բացաչայտ

Այսպիսով, Հեծանի ծռված առանցքի դիֆերենցիալ «Հավասարումն.ունի Հետնյալ

լո(թԻյ 1 թ3Հ--ՀՇռ ք--Տ

«օյ

(5:21 Լ

մ

3, ֆունկցիայի նկատմամբ դիֆերենցիալ ։

Բայց քանի

որ

ք--

ապա

շղքայադծի Հավասարումը (ոնս Տ

հնտեդրելով այն,

Հավասպրում։

1).

կատանանք

կգնենք Այն ինտեգրելով

(«ԻՇ ւօ: :

7-Հ

Գտնենքայն մասնավոր լուծումը,

որը

տունի

բավարարում է

սկզբնական պայմաններին:

երկրոբդպայմանից ստանում կենք Շլ-0, ստանում ենք. Վերջնականաղես

զ

տեսքի ճավասարումը:

Ընդունելով 7-0

Ֆ6-Ց)

թյունից կղզոնենքՄ-ը (տես Տ

:

Ը Ա

նէ

այժմ ք-ն կշամարենք բայց Այդ դեղքում ինչպես առաչ):

մ7

(2)

--

նէ)

շշ

Ընդունենք

Լուծում, մ

--ք-մ7

ջո

Գոնել 317/»-1 8

Շջ:--0

կ

("

ոչ

դիտելով ք-ե որպես Ս-ի ֆունկցիա: Այդ դեպքում

Ճ

ենք ք օժանդակ ֆունկցիայի ճամար առաջին կարգի Ճավասա«

ստանում

Ըում.

մք

3ջՀ--յ

Բա

Ինտեգբելովայս

Մ-ի ֆունկցիա

ՊՃավասարման ընդճանուրինտեդրալը:

Հ2--ք, մ

պսա-

(3)

թ-Ըլ--3Բայց ք»

թե 2-ի»

2. մ

մ7 մ

կամ

մյ

Մշ

ք--Է/ Շ--Յ):

ա------ա---ա«վմ

ՀԷ Ը 3:5-1

ճավասարումը,որտեղից

չու

արտաճայտու-

օժանդակ «ֆունկցիայի նկատմամբ առաջին

Շ ԻՇ,

Հ-Ի

ենք.

Փամ)

կամ

Ճ

ն

Թ

ճետնաբար,3-ը որոշելու ճամար ստանում

Հ-ԾՀ-ՇՏ-Հ--Հ-Վյ

ձթ.,

Հ-Ի

7 -":

Ճավասարումը, գտնում ենք.

/Շ-)-26

ճավասարմանմեջ տեղադրելով

կարգի ճավասարում,

չի

կերպով

բ

մմ:

թյունները,կստանանքք

0րինակ

ֆունկցիւս,Ր-0»-ք առնչու-

մթ) 43--քթ մ: մշ

(2)

Շլ

7,

՞

բացաճայտ Ճճավասարումը տեսքի անկախ փոփոխականրթ րունակում Այն լուծելու ճամար նորից ընդունենք

Օ--

ՓՈ,

տրված ճավասարման

«

17).

այս

:

որպես 2-ի

Հավ մչ-

Ինտեգրելով

Ք(7,Շ,) կստանանք Հավասարումը,

ընդճանուրինտեգրալը:

զ.

11.

ն)

ՅՅ...գ:

ձնով կարելի է ինտեգրել

մբ --»ՀՀԱ(1, (թ)

ք-ն իմանալով Այստեղից

`

գտնում ենք. Անջատելովփուիոխականնհերը,

ք-ի որոշման ճամար առաջին -»ք, կստանանք

կարզի ճավասարում,

Շլ ճաստակամայական

ն

Շյ): Հ1--թ(ր

ՀՅ«հ--:

7 իս

4-ի

ք--ք(7, Շյ):

առաջինի ց՝ Շշ»»Օ

նման

ֆունկցիա.

ք-ն որպես

Այս արժեքը տեղադրելով (3) առնչության մեջ 5-ի Ս ֆունկցիայի Համար կստանանքառաջինկարդի դիֆերենցիալՀավասարում,

7ռո-0-0

ո-0-4,

Դիտողություն:

ք9Ք. ./լ7,ք): զ7

վերջին առնչությունն իրենից ներկայացնում է Ս որոնվող

| --Հ--------Ե՞

ՄՇ

թ-1

:

ինտեդրալըՃՀաշվելուճամար կատարենք 4ետեյալ տեղադրությունը Վերջին '

Այս դեպքում

Ըյ:5--1--5

:

5--

Դիֆերենցիալն ինտեգրալճաշիվներ

Մեր խնդիրնէ՝ պարղել՝ Տ-ի կախումը է ժաժանակից: ծանրության ուժը վերածենք տանդենցիալ ոք ն նորմալ բաղադրիչների: Առաջինը, որը Հավասար է --ողքտլոք-ի, առաջացնում է շարժում, երկրորդը ոչնչացվում է այն կորի Հակազղմամբ, որով շարժվում է ող զանզվածը: Այսպիսով, շարժման Հավասարումն ունի

»նՀ(ոՒԹ»Ը

ը

-

է ՄՏ 43--31(1-Է 1)»

լ

Մո

Հետնաբարչ

|7----- յվ ոո

Յոր

ԼԷ

:

Ծ

է

ստանում Վերջնականապես

4:

տ

»3 -

ենք.

.

ճ:5

«ՕՈ

Շ:Ր--2):

/5-Լ2): «ԻՇթՀԵ-չ ԱՄ ՇՏո-ն:

ամ

Դիցուք կեր

է Օչղ

ստանում

42:

ո

Դիցուք 1--0

դեպքում

Հավասարման երկու ինչն

1--

շո

բազմապատկելով

մ»

Ա՞"4 ն

.

(ինտեգրելով 0-ից

իո

ուշ-Հ|

Ի(4)մ2

Ու72»-ՇՕՈՏէ: թ |Լթառվ-շ .

-

մնում

ՓՐ

Հետնաբար,

է Հաստատուն:

մաթեմատիկական ճոճանակի Դիցուք Խնդիր վերաբերյալ ղանդվածն ունեցող նյութական կետը ծանրության ուժի աղզդեցուցյանտակ գտնվում է ուղղաձիգ Հարթության մեջ ն շարժվում է Լ շրջանագծով: Հաշվի չառնելով դիմադրության ուժերը (այսինքն՝ չիման ուժր, օդի դիմադրությանուժը ն այլն), կգտնենք

ձք

--բա--ցՏԱՈ-ձՏ

Օ-ից

աջ

է. ՏՀՀՕ, եթե

ի1-ը Օ-ից ձախ է):

Ս

Տ

կամ է

Տ

լ

Տ

քժքչ---քՏմո՞՞՞մ5, որտեղից Տ

ք2--29| (05-ը: նշանակենքՏը-ով այն աղեղի

զետը: երբ Տ--Տց,

ամենամեծ

երկարությունը, կետի արագությունը Հավասար է զրոյի. Տ

--ձ1

ո

կետի շարժման ճավասարումժը: կոորդինատների սկզբնակետը տեղավորենք շրջանագծի ամենացածր կետում, Օդ առանցքն ուղղենք շրջանապծիշոշավփողով(նկ. 271): նչանակենք 1-ով շրջանադծի շառավիղը, Տ-ոԻ Օ սկզբից մինչն ին փոփոխական կետը ընկած աղեղի երկարությունը (Լ կետում տեղավորված է Ող զանգվածը), ընդ որում այս երկարությունը վերցնում ենք Համապատասխաննշանով (5Հ»0, եթե ի1-թ

զտ

գո

Բբ

Ճօ

Վերջին Հավասարուցյանառաջին դումարելին ներկայացնում է շարժվող կետի կինետիկ էներդիան, երկրորդ պոտենցիալ էներդիան։ Ստացված «ավասարությունից ճետնում է, որ շարժման ամբողջ ընքացքում կինետիկ ն պուտենցիալ էներգիաների ղումարը

աի

շո(ո)-շ-`

ՔՏՈո՞Ր

Ճճավասարումը: Սա 11 տիպի դիֆերենցիալ ճավասարում է (քանի որ այն բացաճայտ կերպով չլի պարունակում է

ՀՑ

Լո(Հ8-7

մ:

Տ

անկախ փովխոխականը): ինտեղրենքայն Համապատասխանձնով.

զաՐ6):

է սաշմաններում, կստանանք.

Փ---

ձչ

ը»

մասը

կամ

|

Տ

ենք

Վ.՞-

դիրքից

Փ

տեսքը:Քանիոր շրջանագծի «ամար ապա

առանցքով միայն կետի կախվածուժի ազղեցությամբ: Շարժմանղիֆերենցիալ Հավասարումըկլինի. 3:

|

Տ1Ո

Վր

(Ը

0րինակ

Ե

1----Հ---ՈԱՔ

Դա ճեարավորություն է

ՏՏը

-ղ

որով

չեղվում

է Լ

--0: Տ-«Տը

տալիսորոշելուՇլ-ը: Տը

տրոտեղից

0--2ջ1(05-ՐԻՇ, ՞

ՇՀ--2ջ1

«օթ:

ո

ՐԹ

Գար

ոի

(Է)

-Հա-| ք

|

Ս

«0Տ-Ը---«օՏ-Ը-

Նորից ընդունելու ենք,

անանք.

կամ,վերջին արտաճայլտության նկատմամբ կիրառելով կոսինուսների տարբերության

որ

բանաձեր.

Լ

ՏՏ 4ք151

կամ"

2)

Ս 5ջջ

մ5

ԷՏ.

ՀԱՏ

ՎՏ2Մ 8

Սա

--Տ Տ1ո-Տ

անջատվող փոփոխականներով ճավասարում

կստանանք.

(65)

1/«Տեա աոծըշչ

դեպքում կոտորակի ճայտարարը տարբեր, ճավասարությունից ստանում երը է--0, ապա (2)

ՏյԵՏց:

որ

րոյից. երե ընդունենք, որ Տ--0,

ոո.

որտեղից

այս

/7-Թ-ՅՏ շր ՈԹ:օգլոՀ

:

սարումով:

(9) Հավասարությունը ցույց

ընքադրելու ծնթ, ները չեն

է-ի

Տ

որ

՝Զ-ն լ

Տը

գերազանցի Լո

Տ

անկյունները փոքր

--

լ

(6)

նն

ՏԷՏց

ՀԲՃ

.ն

մեջ անկյունների չավասարման

59-Տ Ի

Օրինակ: րինակ

անկյուն-

կամ

5. են

սինուսները

ձգողության 1 ուժը, որն ազդում է

ՀոՐը)/ՀոաՑ-Հ

լղ

է նետել մարմինը

ուղղաձիգ

մարմնի վրա, կլինի. Է-ր

ւ

Ն`

(Դ

Ս

որ

ՏՀԸՏց)-

վերցնում ենք պլյուս նշանը: Խնդրի վերջում արած դիտողությունից ճետնում է, որ անչրաժեշտությունչկա այն դեպջի քննարկմանճամար, երբ վերցվում է մինուս նչանը:

ո: -

.1

,

`

երկրի կենտրոնի ե նետված մարմնի ծանրության կենտրոնի միչն եղած ճեռավորություննէ, է-ն՝ գրավիտացիոնճաստատունը: նշված տ զանզվածն ունեցող մարմնի շարժման դիֆերենցիալ ճավասարում որտեղ

Ք:1/52--53: լ

իւ"

է-ը

ն կլինի

ր

ՈՀ-չ-

շ"գ/աե-

|

ձե.

՛

Արմատիցառաջ

(որը կարելի է

դեւի վեր, որպեսզիայն երկիր չվերադառնա:Անտեսել օդի դիմադրությունը: ն նետված Լուծում նշանակենք «ա երկրի զանգվածը մարմնի զանգվածը մաղատասխանաբար ի-ով ն 1-ով։ նյուռոնի ձգողականությանօրենքի «Համաձայն

մո«

/9

կնջատելովփոփոխականները,կատանանք(առայժմ ենքաղրում ենը, "

11 կետը

արագության վերաբերյա տինզերական դիր երկրորդ երկրորդտիեզերական արադուքյան վերաբերյալ: ենդիր

Ռրոչշելայն ամենափոքրըարադությունը, որով ետք

ամբ սիոխարինենք անկյուններով: տավորությ --2

որ

լ Այդ ռլարբերությունը պարբերությամբներդաշնակտատանումներ: տատանման մած չէ ամլլիտուդից:

մոտավորությամբ:

Դրված խնդիրը քննարկենք

ֆունկցիան:

Տ

է տալիս,

դիտարկել որպես ճոճանակի ծայր) կատարում է Ղ-Հ-

էլ ճենց տալիս է Տ-ի կախումը է-ից, Ջախակողմյան ինտեգրալը Այս Հավասարությունն տարրական ֆունկցիաներով Տարրական ֆունկցիաներովչի արչի արտաճայտվում

տաճայտվումնան

(9)

Լուծման ընթացքում ենթադրեցինք,որ ՏօԲՏ0: Դիտողություն: Բայց անմիջական տեղադրմամբ «ամոզվում ենք, որ (2) ֆունկցիան է-ի ցանկացած արժեքի դեւլքում (6) ճավասարմանլուծումն է: մ եղնին ծում ը մ մ լուծումն ց Ք որ ( ) լուժույ ոտավոր (5) : ավասար Հիշ ան է, քանի որ (6) Հավասարումը փոխարինել ենք (67) մոտավոր «ճավա-

Ճ

Տ,

Տ-գ սոի/՛

6)

աաա ԱՂԱՆ

-.-5,

Տ--Տց

(7)

է:

81ՇՏԱՌ

՝

Անջատելով փոփոխականները,

Ը7ա-ՀՑԵ--. ջ/01մ

Առայժմ ենթադրելուենք,

.

( 8:

է

-

կամ '

վերջին ճավասարումը, կրո

-յ/ ոլ իո-» -Վ/Ք8.

«Ա-ՑՄ

(5)

,

ինտեգրելով

երբ է--Օ

Տ--0,

է

Տ0-Տ

է:

Ք մէ

ար

կամ : :

գո

ՎԵՐ

"

'

ո

զ----

ո

բն

(10)

Մինուս նշանը վերցրեցինքայն բանի ճամար, որ խնդրում արաղացումը րացա« (10) դիֆերենցիալ Հավառարումը(2) տեսքի Հավասարումէ, Այն կլուծենք դեպքում. Հետնյալ սկզբնականպայմանների

Հետնաբար, ամենափոքրարագությունը կորոչվի

տական է,

`

Ց

Ա ԹԿ

«0:

ձ

Ա"

|

որտեղ Ճճավասարությամբ,

մմ

4:

մո՞մ:

ձ

մ:

մլ

4:

նանջ.

մՄ

Հ«666.

(10) է, Տեղադրելով արադությունն

որտեղ Մ-ն շարժման

կատա

ք

Անջատելովփոփոխականները,

ԻԼ-ք

մղ

:

Այն պայմանից,

երկրի մակերնույթիվրա (երբ Լ»-Ք)

:

ւ:

ինն Չ

կամ

ղր Ք

Լ

էնք.

ստանում

մնաք ԱՀաաՆ

կմ

102112.1Թ-Հ--«ՎԵ2--լ: վրկ վրկ '

Պարղզաբանենք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալՀավասարմաներկրա-չ չափականիմասոր:Դիցուքունենք ճետելյալճավասարումը.

Թ,

Ը-:

-Տ 19. Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարմանինտեգրման աֆիկական մեթո գրաֆիկական մեթոդը

Շլ-ը.

:

|

արժեքը տեղադրենք(11) "ավառարմանմեջ.

Շլ-ի

(5,

՛

ՆշանակենքՓ-ով այն անկյունը,

առանցքիդրական ուղղության

կորի շոշավփողըկազմում ալդ դեպքում

որը

Ճեւտ.

'

3):

3,

:

մ) է Օշ

լ

լ Մ3 --ւ-ԻՎՈ-Վ(---' շ

ա քատ պայմանի

"ո

կանյ ճետնաբար,

դեպքումդառնում է

նբԲո

պետք

50:

Քանի

կամ

որ

բիլ

ե

ո

մեծությունը

փոքր,

արադությունը միշտ լինի

0»

Գ

Մ2

Հօ

Կ

Ժ:

Ս...

(2)

երկրորդածանցյալի երկրաչափականիմաստը պարզելու ճամար

տրված կետում կորի կորության շառավիղը որոշող Ճիշենք

անսաճմանափակմեժանալու

էԼ-ը

ապա

դրա-

.. ԱԻ"

243/

պայմանը կիրականացվի

«ԼՀՄ»0

զ

շր

:

-

քում:

-(

`

է շարժվի այնպես, որ

չափով ցանկացած

ցանկացա1-ի Համար միայն

-

րոչենք

Մ--Վը

ո

ՕՀ-Իք

Վե

Ա

Հ-ԿԽՐՎՑ,

կամ

ճավասար է

'

:

արաղացումը

սմ

գ-29Թ/2:981:63: ՛ 5 է

Ը

շՀԿԵ--ՎՇ::

որ

Են,

Հ

կամ

արժեքը տեղադրելով(14) բանաձնի մեջ,

Հավասարումբ:դտնում ենք. Չ

107 սմ:

-

Մմս»-«--ԵՄՌ--: ո ինտեգրելովայս

այս

.

ստանում ենք. Հավասարությունից

հ

Ք

ենք.

ստանում

վրկ՛

Լ

ողա

ծանրության ուժի

ամ), Դրա ճիման վրա (10)

(9--981

Ք-«63

գ-

մակերնույթի վրա, երբ Լ--Ք

երկրի «Հավասարմանմեջ,

10-59, վրկ

արադությունը: նշանակենք

նետման

ԱյստեղԹ-ը նրկրի շառավիղնէ, մզ-ն

ՀՅտ ց:

կըրբ

Շա

ձէ

(14)

Խօ-- -թճ

բ ա:,

։

63)

աձեր Այստեղից »

,

Հ:

ՉԷ "ք

`

|

՝

`

Մինչն այժմ կորության շառավիղը ճամարել ենք դրական թիվ: այնուամե պարագրաֆում կորության շառավիղն ընդունելու ենք այնպիսի թիվ, որը կարողէ ընդունել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական արժեքներ. եթե կորն ուռուցիկ է (7՛՛Հ0), ենք բացասական մենք կորության շառավիղը «ամարում (Զ-Հ0), եթե կորբ գողավոր է (7//2»0)՝ դրական (ԸՀ»0): ալս նայնիվ

Ղ

թյամբ վերն, իսկ

ք

Դիցուք, այնուճնտն, մլ-ը ն Նլ-ը կառուցած աղեղի վրա գտնվող ն մոտ ձն կետին բ բավականաչափ դանվող 1 լ կետի կոորդինատներն են, նլ կետումխնՂլշոշավողի անկտարված շրջանադծի իսկ էքՓլ-ը՝ կգտնենք ինլ կետին Հալյունային դործակիցն է: (4) ճավասարումից մապատասխանողԵ--Քլ արժեքը: Տանենք Թլ-ինճավասար ն խնլՂշ-ին ուղղաճայաց ԻնԸլ Հատվածը ն Շլ կետից, որպես կննտրոնի, գժծենք

'

.

«էք Փ, 187 5... Լ-թ

) ( լ Է) 2)252225609թ-------լ թ Փ| 51:

աաՏԸՐՑ Գ, ջ»աՏՇԸ ,

|ԸՕՏՅՓ|

ուստի

,

Լ

ն

Այժմ (1) Հավասարմանմեջ տեղադրելով3-ի

կունենանք: արտաճայտությունները, լ

«-Լ(2,

-

աղ

ռ

7-ի

«2

ճամար ստացած

քյ շառավղով Ինեինչաղեղը: Այնուճետե փնլ կետին մոտ գտնվող խն (2շ» շ) կետը

աղեղի վրա վերցնենք նույն ձնով շարունակենք "կառուցումը, մինչն շրջանադժերիաղեղներից կազմված կորի բավա-չ կանաչափ մեծ կտորի ստացումը: նախորդից պարզ է, որ այդ կորը մուոավորաղպեսՈնցկետով անցնող ինտեդրալային գիծն է։ Ակնճայտէ, որ կառուցված գիծը այնքան մոտ կլինի ինտեդրալային կորին, որքան

ան: Փ)

վԸօ5'Փ|

կաՄ

(3)

,

Ք|ՇՕ53Փ|

-

(4)

Փ)

օտգ| Ա.

|

Տ

ունը:

աղեղներից կաղզմվաժ ողորկ" նախորդիցշրջանագծի կորի մոտավոր կառուցման եղանակը: Հետնում

ՆՆ

ո

ք

սկզբնականպայմաններին:

վ

`

Ս

ք

. ի

«Վ

7ռ

Մ

սն

«7 Հ

ճչ մ»

/6

|

ր

Ա,

6, ՕՕ

'

Նկ.

ՄՈՐԿ կորը ռագու

"

Ք.

"-

ՖԵ.

ե

անեն արծվի անկյունային աար» հնից ճառագայթը (նկ. 203): Վուչք թ--ք, 2 Հավատանումի մեծություն ո ը քյան 11" ղաճայացի վրա մը

ուղ-

(«-ի բանն: ՃավասարԽնեՇցՀատվածը ,

ա

է ողորկ, եթե այն կոչվում

իք,

իբրն կենտրոնի, դծենք ոչ մեծ ԿնրՆլ աղնղը: Ընդ որում նկատենք, որ, եթե հնԸց Պատվածլ պետք ՀՍ, ապա

անկկուն: քնքույան

բոլոր

կետերում

ունիշոշափող,

նրա 37,

1:

.,

Դ, Ր

ազելի քրարության անընլճատֆունկցիա է.

այդ

Ոը-րդ

Ը) աժանցյալներինկատմամբ, այսինքն՝ ունի

(2-ԻՑ ՈՐ

(0

...Ի-ՀԸՑ

Յլչ 8ջ».,

են, ճաստատուններ

բոլոր

|

",

աջ մասի 1(ւ) բաժանել նրա վրա), Հավասարման

է

ճավասաբման աջ մաս: ւԵԹն 1(1)5850, ապա Հավասարումը կոչվում

կամ աջ

ունի

մասովճավասարում: Իա)"

|

ընդ որում

աղեղները:

Յո ն Է(2)-ը «-ի տրված ֆունկցիաներ կամ որում ընդ 807Ը0-իայն տիրույքին պատկանող արժեքների ճամար, որտեղ դիտարկում ենք (1) ճավասարումբ: ղն ենթադրելու ենք, որ Ձցչ Յլ, 2Հեւտադայում Ւ(2) ֆունկցիաները Ճ-ի բոլոր արժեքների դեպքում անընդճատ են, ընդ որում 1յՀ-1 (եթն այն Հավասար չէ 1-ի, կարող ենք ճավասարման բոլոր անդամները

տեսքը, որտեղ 8ց

,

եցող

չր"

.

Գծային համասեռ հավասարումներ: Սահմանումներն ընդհանուր հատկություններ

Աի

Ս

լու-

) կեռով

հւ(

.

կարդի դիֆերենցիալ Հավասարումը կոչվում է գծային, եթն այն առաջին աստիճանի է Ս որոնվող ֆունկցիայի

Ը

է

ար

.

20.

ՍաՀմանում

է

կորի օգնությամբ ինտեղրալային է գտնել (1) ճավասարմանայն Դիցուք, օրինակ, պաճանջվում ավարարում 1" մը, ' ա որ

այղ

ն

Լ

|

փոքր լինեն ԽՆՈՂլչ ՈՂլ ՈՆ,

Այստեղից երնում է, որ երկրորդ կարդի դիֆերենցիալ Ճճավասարումը դծի կորության շառավղի մեծությունը, եթե որոշում է ինտեգրալային ն տրված են կետի կոորդինատները այդ կետում շոշափողի ուղղու"

որ

): էջիտողատակը

լ

Բայց

շրջանազծի աղեղը ուղղված լինի ուռուցիկու8ո--0 դեպքում` ուռուցիկութամբ ներքն (տես 71-րդ

է ուղղել այն կողմը,

ԱՅԻ",

ո

րաք

ն

կոչվում է

հսկ եթե

ի

ֆունկցիան կոչվում

է գծային

Ւ(2)550, ալա

անճամասեռ

Ճճավասարումն

Դ-Ի: .ԴՅ8--0

կամ համասեռ գծային

.

առանց

աչ մասի

--

ՍԴ,

ձախ մասը 37,37

Հավասար (այս վասարում ճամասեռ մամբ առաջինաստիճանի մ ան

:

ւ,

ՄՈ)-ի

ի

ֆունկցիաէ):

ն նկատ

Օրինակ

-

ճիմնա-

մի քանի Հաստատենք գծային ՀամասեռՀավասարումների երկրորդ կարգի Ճավառասաճմանավփակվելով կան Հատկությունները, .

ապացուցումներու: ճամար րումների Ե թե Մլ-ը ն 32-ը Թեո ը եմ1: ս )

՛

,

ֆունկցիաները գժորեն անկախ հն ցանկացած ատվածում,

օ-:

ՀարաբերությունըՃ-ի փոփոխմանղեպքում ցիաները դծորհն կախված են, քանի

-

Ապացուցու են,

ապա

ն

լ-ը

որ

32-ը

Սատմժանում

Ց

'

ն)

ԱԻ

(ո)

Դ)

Ւո

ն

կունենանք.

(4) նույնության վրա, դարձնելով

Բ

Է Յա

Վո(Շ.)--ՇՕԻՑՄՆՒՑ)-Շ

ո(ՇՅ) (Օ) է: ապացուցված սրանովիսկ թեորեմն շի րկու ն ման 31-12 (8) '

կոչվում

են

՛

,

Հավառարոան (3) նքն այդ գծորենանկախիո, Ել ճատվածում, Հաստատուն չէ, այսինքն,երե

անում ր Սատման

մ 2: 2,

:

0-0:

Բ Հատվածում,եթե դոյություն ունի այնպիսի

Մշ

ՀՀՀՆՀ-ե:

Ս.

Այս դեպքումՄԻՖ

՝

ո-ի Իո), նլե

դետեոմինանտ ֆունկցիաների Վբոնսկու

այդ

ն ֆունկցիանեոր գծոբեն կախված են ճատվածումՎբոնսկու դետեոմինան տը

շ

,

այդ

որտեղ ԻՀ-ՇՕՈՏԼ, Ֆվ

տ

|

լ

աղա

ԻՄ,

մր

72-ին

Հոթ, Մ.Մ

յՑ

4:

:

լ

լուո ծումնե ւնը

են, ալա ֆունկցիաներ

համաբ

:

Ճատվածում

Մշ-ը Ճ-ի

ւ հեքլր

աղա

Յրթ-ԻՅ 92-Ի

ր

0,

ճավասա

-

-

7--ճլ`Իճրւ-0:.

առաջին ավասարության անդամները Նլ-ով, Քաղզմապատկելով ն առաջիններիցՀանելով րից "անելու . Տրկրոդները,կստանանք. (5) 9») 8(7132 (7122--7 -3:75)--0:

ՀԸ

հըկրորդՀավասարության անղամները՝ նշ-ով -

:

ՎրոնսՖրկրորդփակագծերումգտնվողտարբերությունը (73) է, այն |՝ Մ (139)-775--Ոֆ»: Առաջինփադետերմինանտան կագծերիներսի տարբերություննէլ Վրոնսկու դետերմինանտիածանց-

Լ.

Ուրիշ կախված:

են

երբ

՞

էրե (3) գծային ճամասեռ ճավասաշման յլ ն )շ կազմվածՄՄ (լ, շ) Վոոնսկու դետեոմինանտ լոժումների ոբնէ Հց հատվածի Ճ-- արժեքիհամաբ հավասաբչէ զբոյի 1» Ե/ գործակիցներն ոբում |, Ե)-ումձավասաբման անընդճատ այն |ո, Ե| հատվածի ոչ մի մ արժեքինամա" զոոյի չի 3)Հ ճավասարմաներկու Ա.ղլացուցում Քանի տ-ը նն 37-ը (3) Թեորեմ

Լածումներն են,

.

դեպքումլուծումները կոչվում են գծորեն 2չակառակ Ր, Ե) կախված կոչվում գծորեն երկու լուծումներ Մլ նշ խոսքերով,

,

տա

-չ

Աւ

։

Մլ-ը

ո

31.-Շօոտէ

ՀՀՀ,

)չՀ-Իլ,

ե

Մ

Մ/( տոնը ւո

:

նրանցՀարաբերությունը

Մլ

Իրոք, եքե

)1031877Է87Ռ-0Է0--Ժ:

լուծ ում է: այսինքն՝Սլ332 Հավասարման հասլոծում էն Ը-ն Եթե Մ-ը (3) Քավասարբման ԹեորեմՀ: է: լուծում նույնպես(3) ճավասառման տատուն է, ապա Շլ-ը (3) «ատեղադրելով Ապացուցու մ։ ՇՆ Հարտաճայտությունը մեջ, կստանանք. վասարման ՛

ն

Տէ:

էզոոյի: հավասաբր նույնաբար

ուշադրություն

'

ԺոԴ)(187

6"

:

ոա.

դետերմինանորկոչվում է կամ վոոնսկիան: տ երե Քեռրեմ լ թե ապա լո, աք Ե| ճատվածում,

`

Հավասարմանմեջ 7լ-Է)ջ գումարը տեղադրելով(3)

եթե

արի

Ճավասարմանլուծումներ

լ

ԲԻ

իսկ

մնում:

որ

:

(Յ )

լույԼատ յ-0

|

չի

Ճաստատուն

քանի

---6: ««Յ--Ը015Է

որ

:

-Լ ոյ717Դ: -ճգ-«Ս

Քանի

չայայդ 5 Հավասարմանլուծումներն

ֆունկցիաները

,

եբկումասնավոոլուբ ամասեռհավասարման գծային ԵՐկբոբդկարգի լուծումէ: այդ ճավասաշման ֆումներն են, ապա 7լ-ԷՖշ նույնպես մ:

Ն17--ՍՀ-Օ ճավասարումը Հեշտ է ստուղել, որ են. հնդ որում

Դիցուք ունենք

Յ6ղդ Տ6-Ճ

'

ն

6.

մշ-

չի

Շ-ո

Փո,

1:

ճաստատո

ւն

թիվ:

վու

ճալն է.

որ

Է

շոլ

ի

:

-Մլ2Մ2)-5(7372--717) աբար,(5) ճավասարություննընդունում

Պո

ՊՄ՛--Տ /ՄՄ--0:

135:

է Հետնյալ տեսքը.

(6)

՛

Փանենջ վերջին Հավասարմանայն լուծումը,

բավարարումէ

որը

Հետնաբար, ՊՄՏՀՕ, ինչպիսին էլ լինի (2) բանաձնում մանի արժեքը:

նախ գտնենք (6) սկզբնականպայմանին: Պ/|ՀՀ0«ՎՄ Հավասարման ծումն ընդճանուր լուծումն ն

այ

:

Ս/5-0:

,

(6) Հավասարման (6) «ավա

նշվածճատվածին ված Վոռնսկու դետեոմինանտը դառնում: չի դ Ապացուցում: նախօրոք նշենքճետնյալը Լո, Ել Հատվածում (3) Հավասարման լուծումն է,

:

Գ)

14:ՎՎոՇ

Մո-

"

կամ

ո-----|ոճո Ը

-

-ՇՐյոծ:

-ւռնց

ն

ասել,

որ

Ն ն» բա

Շ-ն

ա

ե

ոչ

վում.

" հ թ Ն" աեաձն: ո

ու

որոշենք այնպես,

ձախ Հավասարության լ

պաճան

ն

-

իում:

6:

ան 77:-5-0 ,

միակուցյան թեորեմի

ըստ

միջակայքում, մ-ն որտեղ

|

"Ո

,

Հատվածի

:

.

Մ»-Օ

ոչ

(Գոա-»Շ»0:

բտող ՄՅՍ, անդամ միջակայքն ընդլայնելով զ մեծությամբ, որտե մենք կալացուցենը, որ ՍՀՅ0 ամբողջ Է) ե) ճատվածում: Այժմ անցնենը (5) թեորեմի ապացուցմանը: ենթադրենք |ո, Ե| որնէ կետում ՄՄ Ըդ, Ֆ2)--0: Այդ դեպքումըստ 3-րդ թեռՎրոնսկու դետերմինանտը ավատար կլինի զրոյի բեմի ՄՐ») Լո, եյ ճատվածի բոլոր կետերում, ամեն

:

2Դ

Բայց այս դեքում (7՛) Հավասարությունից մի արժեքի դեքում, քանի որ ցուցչազրո չի դառնում: յին ֆունկցիանարգումենտիոչ մի արժեքի դեպքում Թեորեմնաղացուցվածէ: ն 1: Եթն որեէ Ճ-Ճօ արժեքի դեպքում Վրոնակու դիտողությու Հավասար է զրոյի նան այն այա է ճավասար զրոյի, դետերմինանաոը դեքում: Դա դիտարկվողՀատվածից վերցրած 1-ի ցանկացածարժեքի աղա Հետնում է (2) բանաձնից.եթե ՆՄ--0, երբ 2--Ճ0, անժիջաղպես

եթե եթե(3)

որոշվում է (3) Հավասարման գործակիցների մեծությամբ: Այսղիսով,

:

իստ պայմանիՆ/օո0: է, որ Մ-Ը0 2-ի

որ

ն

ժտատեք տեսքը. է ետնյալ ընդունում ԱԱ

ՄուայՅ0

ական պայմաններին, Հետնաբար, ոկզբ Խյն ճավասար է զրոյի որեէ 8-ՎՀ.«ՀբԲ-մ

ւայմաններին լուծումն բավարարող

Դորա

նան,

ւ

.--Ը: 0Տ-Հ-

Հեւտնում

ճեւտնում ճետնում

ՀՍ,

բավարարվիսկզբնականպայմանը: (7) մասերում տեղադրելով 24--2օ։ ստանում

ք

հորեմից

.

որ

աջ

ֆունկցիան բավարարում է

որը

,

,

չի

զբո

Հավասարմանլուծումը որեէ |ճ, Ծ| Հատվածում կամ դրան պատկանողորեէ (օօ,8) միջակայմ քում նույնաբար չավասար է զրոլի, ապա այդ լուծումը նույնաբար կետում ճավասարէ զրոյի ամբողջ Ր, Ե) ճատվածում: հրոք,ճբ (ե ց կետում) լուծումը բավարարումէ յդ

այդ

նկատենք, որ որում 4եշտ է ճամողբավարարումէ (6) Հավասարմանը, ֆունկցիան տեղադրմամբ: անմիջական վելլ (6) Հավասարմանմեջ այդ ֆունկցիայի ո

'

Հ»0, Ֆդ-այՀ»0

ղայմաններին: Կանթեորեմից էէ նան,

(Դ

:

կարծձլի էր գրել (7) ֆունկցիան

լ

"ՀՏ,

Մուայ

:

Կ.

մի կետում

ոչ

սկզբնականպայմաններին, որտեղ ց-ն (ո, Ե/ ճատվածի ցանկացած կետն է: Գոյության ն միակության թեորեմից (տես Տ 16), որը կիրառելի է (3) ճավասարմաննկատմամբ, ճետնում է, որ գոյություն չունի (3) ճավասարմանայլ լուծում, որը բավարարի

գ

մ

որտեղից

եթե թ

։

ինտեգրելով,գտնումենք. լը

5:

անկախեն

ստանում ենք -Հ«--8լմ: փուխրոխականները, մեջանջատելով Մ

սաշ-

ծումնե Բը ծորբեն Մլ նն շ լոժու գծոբ (3) հավասարման համաշ |ո,Ծ| ճատվածում,ապա այդ լուծումնեբի կազմ-

Թեորեմր

`

ն են քադրությամբ, մբ, որ

վերին

ճ

կամ

7լ:-313»-Ժ:

որ Մլ»"0 (ո, Ե) Ճճատվածում: Այս Ընդունենք,

ՆՐ ռ

ճիման վրա կարելի է գրել. ճավասարության

4-38

այա «Հետնում

Որտեղից

-ՀՕ.

կաս

է

դեւղքում վերջին

ԱՆ «0:

՝

ՀՏՀՀ)Հ«ՇՕՈՏէ,

7.

քն՝Մլ

(8) ճամակարգից կարելի

որը լուծումները գծորեն կախված անկախ ենթադրությանը: լինելու նքանցգծորեն ընդունենք, որ Մլ--0 |2։Ե) Հճատվածին պատկանող Այնուճետն (8, 3) միջակայքը: Այս միջա3: կնտնրում։ Դիտարկենք Ց, ճետնում նորնոր այղզացուցածի նց է, ւ ապացուց ալքում 3--Օ: Հետնաբար,ըստ ճենց

այսին

հ Մշ

Մը

յ

4 (,

ւյ

բ

Նա:

միջակայքում :

'

,32.2-ի««ԸՕՈՏէ

Ս

Նջ-լ:

կամ

`

(3) Հավասարման լուծումն ճավասարման 1-Հշ--հյլ լուծումներն սկզբում ապացուցման ձետնաբար, էն 7»-0 (8» 7.) միջակայքում: Հետնում: է, որ 7»32-Խ լ ՅՕ ճիմանվրա դիտողության կատարված կամ Եյ Հաւովածում Քանի Մ--32--Խ)Լֆունկցիան: դիտարկենք են, նույնլես

ալդ

աղա

ԼԲ»

Մշ

7շ ն Մլ :

որ

Օրինակ

ծակիցներն

տալիռ

Հետնաբար, Հետնաբար,

գծորեն կախման մեջ լուծումների գծորեն անկախուՀակասում է մշ նլ Քայց սա ո ր նր: Ա ին են քադրությանը: լուղիսով, ասլացուցեցինք, վ, մենք ք ապացուցե յան մասին ղբո չի ն Ե) Հատվածի ոչ մի կնտում Վրոնսկուդետերմինանտը

ե

Թեորեմ

Եթե

6:

ն 3-ը

Մ-ը

են, ապա լուծումներն անկախ

(3)

Հճ)» ճաստատուններ են, կամայական Շշ-ը

ն

որտեղՇլ-ը է: ըդճանութլուծումն կ

Տ

պացուցում:

Շլ-ի ֆունկցիան է: ն

|

Թ) ճավասաոմաձ

1-ին

2-րդ թնորեմներիցճետնում

ն

է,

էշ 3-3, ՍՈՆ

է նշանակված որտեղ

(ոո-ո-3»

այղ

3:32

Ի

լ

անընդճատեն

լ

ԾԱ

մ--Օ

լ

որի 4-2 -ՍՀավատարումը, 422. ը ն

գոր«

կետը չպարունակողցանկացած «ատվածում, թույլ է

31-57,7ջ--12

նդճան ն նրա ընդճանուր

ծուն լուծումն

-

ուն ունի

7-«ԸթՇլ-

՝

որ

(3)

:

,

Ճաստատուն-

:

|

Խ-ՇՅՐԴԾՅ»

03 Շջշ7շ.: Մո-«ԸյՄ :

աան

ճավա-

լուծումն սարման ՍՄ ղն ի էլ ինչպիսին Հա որ Այժմ ապացուցենք, Ց շ կամայական կարելի է Շլ ռպլայմանները, սկզբնական որ Համապատասխան Շււ-ԷՇշ)շ ների արժեքներնընտրել այնպես, պայմաններին: տրված սկզբնական բավարարի մասնավորլուծումը (8) Հավասարման մեջ, սկզբնական պայմանները

կունենանք.

որ

|

Շյւ Շ97: Շշ-ի կամայականարժեքներիդեպքում

Տեղադրելով

քանի

2: Փովխոխական Դիտողություն գործակիցներով գծային Հավասարումներիընդճանուրլուծումը վերջնականտեսքով գտնելու ճամար ընդճանուր մեթողներ գոլություն չունեն: ԱյնուսմենայնիվՀաստատուն գործակիցներովՀավասարումներիճամար այդպիսի մեթոդ գոյություն ունի։ Այն կշարադրվի ճաջորդ պարագրաֆում: իսկ փուկոխական գորՀ գլխում` «Շարքեր» ծակիցներով Հավասարումներիդեպքի ճամար Ճ)1 ո րոնք Հնարավորությունեն տալիս գտնել կնշվեն մի քանի եղանակներ, որոշակի սկզբնականպայմաններինբավարարողմոտավոր լուծումներ: Այստեղ կապացուցենք մի թեորեմ, որը թույլ է տալիս գտնել իոխական գործակիցներովերկրորդ ընդճանուրլուծումը, եթե Հայտնի է նրա մեկ մասնավորլուծումը: Քանի անմիջապես գտնել կամ կոաճել մեկ որ երբեմն Հնարավոր է լինում մասնավորլուծումը, ապա այդ թեռրեմը շատ ղեւղքերում կարող է օգտակարլինել: շ։ Եթեհայտնի է եբկբոոդկարգիգծային համասեռ Թեորեմ

|

այդ

|

Շշ-ը,

եսքը:

Երկուզծորշեն հավասաշման

Ը

-

,

դառնում:

Տ.

թ-

ն

մասնավորլուծումները, (դա «Հեշտէ ստուգել Ճավասարմանմեջ տեղադրման.միջոցով):

են։

ն Մլ-ը

յ

՛

ի

3շ-ը լը, էյ Հատվածում, այսինքն՝

ոլ

Շլ-ը

ն, Հետնաբար, Հավասար չէ նրբ ՃՀ-ց Վրոնսկու դետերմինանտէ, ն Շլ-ի ն Ըջ-ի ղրոյի(ո Նշ լուծումների դծային անկախությանշնորճիվ)։ արժեքների դեռսլքում(8) ընտանիքից որոշվող մասնավոր լուծուդտած սկզբնականպայմաններին:Այսպիսով, մը բավարարում է տրված թնոէ: րեմն ապացուցված

«ա

ա

է որոշել

դետերմինանտը Համակարգի

ճակասում է

են,

(9 :

Ըդ)ո-»Յ310 (72)»-«--35օ: (72)»-»ՀՅ3»0» ՛

փո-

,

Տ.

ընդնանութ մեկ մասնավորլուծումը, ապա հավասաբման Քավասառշման զուծմանոբոնումըբեբվումէ ֆունկցիաների ինտեգոման: Դիցութ Ա-ը 38 Ապացուցում: ճավասարման Լայ--0 Ս է: Հայտնի մասնավոր լուծումն Գոնենքտրված ճավասարման մի այլ այնպիսի մասնավոր լուծում, որ Մլ-ը ն մշ-ը լինեն գծորեն անկախ: `

Ը

յ

:

|

բաԱյդ գեպքում ընդճանուր լուծումը կարտաճայտվի Ս--ԸլլԻԸջյջ նաձնով, որտեղ Շլ-ը ն Ըջ-ի կամայական ճաստատուններ են, (2) բանաձկիճիման վրա (տես թեորեմ 4-ի ասլացուցումը)կարելի է դրել

ւ-ոՀ-Շ6

ո

ՏՈՆՆ Այսպիսով, շ-ը

որոշելու ճամար Այն ինտնդրենք վրա.

ՐՐ

ո

|

1,

որտեղից

Ը»

1,

որ

/

որոնում ենք մասնավոր լուծում, ենք

ճավասարումը,որտեղ ք-ն

ապա,

2-21

"3 հրրճայտ է,

որ

-ը

իւ

լ

իք

--ՊԷՇՕՈՏԷ:

լալ

նակ

կ Հանուր լուծումը:

3:

Գանել լ

Քանի որ Շ"՞Ը0,

(11)

7 -Լ27--0-ՐՉՄ

է՛յ

ինդընդ

7-՞ յ

|6

ո 1:

ենք. մշ

Ճ-"Ճ

--24 1-32

չ

ա

|

(10) բանաձնի 4ճիման

Է-»--Ք.-լ Չ

ձ.--

1--Ճ

նչՀ

«ՈՑ -վ»

ՀՈ-Ցբ, «ԱՐ «յոջ»

Յ (3) ո

Ք

Ս

կա չ

շ

.

(ճլ--նչ),

են

նշ-ր իրական ճավասարթվեր են (ճլ--եչ): Քննարկենքյուրաքանչյուր դեպքն պռանձին: 11.

:

79...

7՛ ՀԳ:

Հնարավորեն ճետնյալ դեպքերը. 1. Խլ-ը ն քշ-ը իրական ն իրարից տարբեր թվեր 11. հլ-ը ն էշ-ը կոմպլեքս թվեր են,

,

ՀԻջո|

քմ-Էզ--0: թե-ԻԳ

.

ութ ճ-յո|

քէ-Էզ)--0:,

եթե Խ-ն բավարարի ապա -ը (3) Ճավասարմանը, կլինի ( ) Հավասարման լուծում, (3) ճավասարումըկոչվում է (1) ճավասարման նկատմամբբնութագոիչ հավասառճում: Բնութագրիչճավասարումը քառակուսի ճավասարում է, որն ունի արմա: Դրանքկնշանակենք երկու ել-ով ն Էշ-ով: Ընդ որում

Անմիջականստուգմամբ ճամոզվում ենք, որ այս ճավասարումնունի Սլ--Ճ մասնավոր լուծում: Գտնենքնջ հրկրորղմասնավոր լուծումն այնպես, որ )լ-ը ե 5-ը լինեն գծորեն անկախ: լ-»

տեղադրելո

Հետե աբար,

.

Նկատելով, որ մեր դեպքում

արտաճայտությունները

նշանակում է, ,

4Ճավասարման ր

Լուծում:

վրաստանում

ապա,

(2)

7 ՀՎի6ա:

օ"(1՞Է

:

(1-2խ7--2աՆ

նն,

(1) Ճավասարմանմեջ, գտնում: ենք.

`

»-ՇոՒՇՅ|----

«կշ,

ստացված Ածանցյալների

|

ունի ճնետն-

մշ:

տ)

զ-ն ճաստատուն

Մ-ՀՇԵ տեսքով,որոոնղմՀ--ԸՕՈՏէ,

դեպքում ,

Լյու»

0 ր

Կոյս

Ն

|

տնաքը:

ն

Մասնավորլուծումները կորոնենք

:

են, քանի որ

լ

»՛Էքյ՛--զյ0

իրական թվեր Այս գտնելու ճամար բավական է, ապացուցվեց վերը, գտնել երկու զծորեն անկախ մասնավոր

"

Այսպիսով, տրված ճավասարմանընդճանուր լուծումն

համասեռ

լուծումներ:

(10)

.

գծորեն անկախ լուծումներ

ն )ջ-ը

ինչպես այդ

`

Ո--ի Վւ-

1)

ինտեգրալը Ճավասարման ընդճանուր

ընդունելով Ը՛»»0,

ուռանում

--պ

երկրորդ կարգի դծային ճամասեռ Ունենք

զլըր

3լ

Քանի

ձո

1-5

Տ 21. Հաստատուն գործակիցներովերկրորդ կարգի հավասարումներ

50 Ց"

ՐՅԵՄ

թ

ենք կեր:

մ

կամ

(ջո

ջ--ՇլԵԼԸ,

ճետնյալ

Հավասարում:

պոռաջին կարդի ղժային Բոլորանդամները բաժանենք2 լ-ու

ստանում

Հետնաբար, ընդճանուր լուծումն ունի ճետեյալ ։տնսքը.

հլ-ը

ն

ինտեղրալճաչիվներ 6--Դիֆերենցիալ ն

:

Հավասարման արմատները իրա1.Բնութքթագրիչ լուծումներ, ն նն տարբեր՝ ելտբնջ- Այս դեպքումմասնավոր կան կլինեն Մլ-Յ6ոյ,Մչ"-ճեշչ .

գծորենանկախեն, Այսֆունկցիաները ֆունկցիաները: 6եճ

լ

քանի հր

7"-Է7՛--23-0

արմատները. Հավասարման Գոնենք բնութագրիչ

եքս

Համալուծեն,

ե ն:

ազա

Ս

լե ֆունկցիաները:

ցո-Ըյօ2-1-Շչօ-Յ:

Քանի

արմատները

Հավասարման

որ

կո մ պլ եքս

նշանակենք

զուլգ արմատները

առ

որտեղ

ՆՔՐ

Ց...

ջ"Ք-1՛

լա

60235

(4)

(5)

այդ

Հավասարմանը

Ա Ը.) (2) ֆունկցիաները: բավարարում տեղադրելով իրոք, (5) արտաճայտությունը կունենանք. 1Ւջն(0Իա1--գա0 Դ-Ի 0ՉՀ0 խս

ք-ԷՇ.ծ"" յ-ԷՇ,ջդՀ«Շլօո 7-Հ6ոլ( Ըլ 8:--Շ,պո բ»)

518»

.

(0-ԻՑ

,

ՀՇ

կամ

7չ-ՀՇԱ-ՈՄ»:

եխ

6605թ --Ըէ|քրՃՀ-ՇՕՈՏԷ: Ֆջ 66:Տ/Ոթ»

ա

են, ոլոնքբավաչ արգումենտիկոմպլեքս ֆունկցիաներ Սրանք իրական (տես711 գլխի Տ 4-ը): բարում են (1) Հավասարմանը ինչ-որ արգումենտի Ակնճայտէ, որ եթե իրական

են

72 ֆունկցիաները գծորեն անկախ են, քանի որ

սարման կոմպլեքս արմատներիդեպքում ունի

գ

ապա ֆունկցիա բավարարումէ (1) Հավասարմանը,

(ԹԴ

լուծումը բնութագրիչ (1) Ճճավասարման ձետկաբար, ընդճանուր Ճճավա-

9:

Մասնավորլուծումներըկարելիէ գրել այսպես:

(63 `

լ

զույգ

եյ-»«Վ-3,կչ4--15Խ

.

կլինեն

՛

քո, Հ""Ը0Տ

ՄշշչճաՏԼոթ

|

Բնութագրիչ

լ

Մյ

|

Ընդճանուրինտեղրալը կլինի

կոմպ

ս'՛-Էքս՛-Էզս--0,

քատ ապացուցածի (1) Հավասարման մասնավոր լուծումներ

է3--Խ--2--0.

է.

Բայց կոմպլեքս ֆունկցիան զրոյի ճավասարվում է այն ն միայն այն դեպքում, երբ իրականմասըն կեղծ մասը ճավասարեն ղրոյի, այսինքն՝

Ապացուցեցինք,որ ս(Ճ)-ը ն «(։)-ըՀավասարմանլուծումներ են: (4) կոմպլեքս լուծումները դրենք իրական ն կեղծ մասերի գումարի տեսքով. 162" Տլոքչ, Մյ-ՀՇ«(Շ05թ: Գջթճո Ը0ՏՔՀ-ՎՇ» ՏՈ 8:

կլինի ԲնութագրիչՀավասարումը Հավասարումը:

(Մ ՛--քս՛-Էզո)Հ-0:

զս)

Խ՛՛--քս՛Դ-զմ»-0:

Օյջա

Ե-Շլժով

Տրված է

Հ

`

ւոեսքը: ունի ճետնյալ Հետնաբար,ընդճանուրինտեդրալն Օրինակ

(ս՛՛քս՛

Խճ

Բու:

Մ.

.

:

-Հաշ(ա- շ-ՇՕՈՏԸ

ՀԽԼԶՀ-

կամ

(Դ

տեսքը, որտեղ Շլ-ը ն Ըջ-ը կամայական ճաստատուններեն: (2) լուծման կարեոր մասնավոր դեպք է այն, երբ բնուժադրիչ ւ ճավասարմանարմատներըզուտ կեղծեն: Դա տեղի ունի այն դեպքում, երբ (1) Հավասարման մեջ ք»-0, ե "Վոյն ունի |

'

ր

Վոնսքը:

`

ՍՈԼ

Թ) բնութագրիչ ճավասարումնընդունում է ճետնյալ տեսքը.

զ-«0, զ»0: արմատներըկլինեն Բնութագրիչ ճՃավասարման է

կլո-»-չԷԼ յ՛զ--Է 8,

զ-«0:

կլինի Էնդճանուր ինտեգրալը

(7)

լուծումն ընդունում է Հետնյալ տեսքը. -«ԸլԸ0ՏՔ:-ՎԸչջտո թ:

Օրինակ

Գտնենքմասնավոր լուծումը: "

Տրված է

2.

7"Դ27--5)--0

ճավասարումը: Գտնել ընդճանուրինտեղրալը ն այն մասնավոր լուծումը, բարում է`

Շլ

բավա«

որը

51ո

ն

Ըջ ճաստատուններըորոշվում

1) Տրա

ումու

լ

Հ-

Մ-ջՐոմ»

-

ՀՀ շշ

՛

ՀՀՀ

կան

1Վ2,

է »»-

միանար, ո): ՀՑ ՐԸ Խ2ա:-ԷԸչՏ1ո2 ընդճանուրինտե-

Ի

ՇյՀ0, «0

Նկ.

0--6-0(Շլ նկատելով,

որ

6052.

ա

չ

որանդիլՇ.--0:

0-Շչ51ո 2: 0),

7--Շ-«2Ըչօ0Տ 28--Շ-ՀԸջտյոշա հրկրորգ պայմանից 1--2Շ 2

,

չ

ստանում

Դոարցթ»»

տեսքով,որտեղ ս (1)-ը անճայտ ֆունկցիաէ, դանում ենք Դիֆերենցելով

'

-

նի

որը

ենթակա է որոշմանչ

ՇԿոԻկոԱՑ ՀՀՇ ո(ս-Ինլն), Ա ԱՅ 2-- Խ/ԱՅԵ Շե Ա-ի 25յս՛Հ-ն1ն):

2-ՅԱՇԵ»-ԼԻՉ

)25ՀԱ

ռէլճ

էլոչ.Ր1լՀ|լլ՛

լ

նում

Տ

'

ենք.

Ճճավասարման մեջ,

ստա-Հ

-(Չո-ւթյս -Մթե զյս)--0: Քանի որ հլ-ը բնութադրիչ ճավասարման բազմաղատիկ արմատ ւսւլա Ե-Ւքել--զ-0: Փո

Գ

էյ

|

լուծումը,

արը

բաշ

Բացիալդ,

0-59

ակզրնականսլայմաններին: Լուծում, Գրենքբնուքաղրիչ Հավասարումը.

կ2- 9-0, 123,

6":

ածանցյալների արժեքները (1) Տեղադրելով

Գտնել ընդձանուր ինտեգրալը ն այն մասնավոր

ենք նրա արմատները

38,

ֆունկցիան նուլնաբար Հավասար ւի, ուստի այն չի կարող ճանղդեսդալ որոլես երկրորդ մասնաչ

Մ

7 ԷՋ3»-0

0-50,

-

Քջ

`

'

7.

Ը»)

նչՀավասար դեպքում իլ» են

-

228-ում:

ճզատարունը

0:

երկրորդմասնավոր լուծումը կորոնենք

`

7-ԶՏ-ոո

«05

111.Բնութագրիչ Հավասարման արմատներնիրա.

|

2»

նրա գրաֆիկը պատկերվածէ նկ. Օրինակ Ց Տրված է

0--3Շջ

վոր լուծում):

Ը.-Հ--

այսինքն`

Այաղիսով,որոնվող մասնավոր լուծումը կլինի

'

0,

51ո

երկրորդ մասնավորլուծումը (օռ"

Ե

Անապա Մո աարի

ար աանում ե, ա

ըւ

Գտնում

|

կան պայմաններին բավարարող լուծումը ն որոշենը

մասնավոր

34.

Մլաթծո: մեկ մասնավոր լուծումն ստացվում է նախորդ դատողուչ թյունների ճիման վրա: Պետք է գտնել առաջինի ճետ դծորեն անկախ

2) Գանձեր տրված ակզբնա-

լյ

`

«Լ-2:

ի

լ

,

դանենքնրա արմատները.

'

Տ1ղ

հ12-28--6--0 Է

0-Ըշ

«05

գրիչ Հավասարումը՝

|

սկզբնական պայմաններից.

4-5--ՑԸլ

են՝

Մասնավոր լուծումբ կլինի

բնա»

են

0--Ըյ

Սրանք ճավասար

ակզբնականպայմաններին:կառուցելգրաֆիկը:

կգտնենք կախապոա ----ՑԸլ 3Ճ-ԼՅԸ.

՛

7ո-օ--0լ ցա1

91 ՎԸ ՛ 51ո 34:

--ԸՇլ Դ Շ0Տ

Խշ----3ր

Չե

ս Հետնաբար, (1)-ը դտնելուճամար

կամ ԱՀՀ0 : ,

,

-»--ք,Չել-Իք--0: խ--Կ----վամ 4ճավասարումը հնտեդրելով,

պետք է

լուծել Շու

լլ՛՞0

ենք Աճա-Ի-8։ դեսլքում Ա-ՀԽ: է որպես երկրորդ մասնավոր լուծում կարելի վերցնել Այսոլիսով,

Մասնավորաբար կարելի է ընդունել 7: -ռ`

Ճ-»1),

ստանում

8Հ-0.

այդ

ելճ1":

Այսլուծումն անկախւ, թանի առաջինի գծորեն որ

ն Օրինակ

-

Հէ,

Քանի

3ջ

Ո ատի

Հ-1-ԸՇՕՈՏԷ:

Օրինակ

եխ

գծորեն

կախված

ննյ

արժեքներիդեպքում տեղի ունի

Ց

լ

ֆունկցիաները գծորեն անկախ են, ջանի, լ--Ն մի արժեքներիդեպքում, որոնք միաժամանակ զրո չեն,

Շշ,Շգ ոչ

զրո

Շլ:13-Շջչ--Շգա2 չի լինի:

Բր

:

կ2-4-|-4Հ-0 Գրենք ովատարումը» ինտեդրալը հլ --ճշ»--2.Ընդճանուր

Այժմանցնենք (1)

բնուքադրիչ ճավառսարումը։ Գտնում նենք նրա կլինի

Ը Ֆե

ուն նե ֆունկցիաները

38 7լ-ՇԽԿՃ 7շ-«Շ8շ,..., Մր-ՀՇԿրճ Օրինակ ֆունկցիաները, որտեղել»եշ, Խր." «արբեր թվեր են, գծորեն անկախ են։ (Այս պնդումը բերում ենք առանց ապացուցման):

՛

7--47-Ի47--0

Հ«Ըլճո

ֆգա-2

շթ»

արտաճայտությունընույնաբար

աջ

արմատները

Շլ

«2364 յա«36Ճ

Շլօ--Ըչ65-Լ3Ըչ66-0

Օրինակ

։

-«Ըլ6ո-ԷՇչՇխեածեռլ(Ըլ--Ը,չ)

Տրված է

ԸՇշչ-0, Շլո-----

Շլ-յ

Ֆույնությունը:

ընդճանուրինտեգրալըկլինի

ֆունկցիան:

որ

--«Բ34 ---ՐՃ

ՆՐ-ՀՇՃ,3շ-ՇՅ

Է

Հավասարման լուծմանը:

Հետելալ թեորեմը: Համար իրավացի

Այդ Հավասարման

է

Հ

Թեորեմ: Եթե լ, 3շ» Սո ֆունկցիանեոր(1) 3ճավասարման Գծոբենանկախլոծումնեն են, ապա այդ ճավասաբմանընդնանութ լուծումն է (2) 7ՀՇո-ՇշԻ:-Շո, ճաստատուններ են: Շը կամայական որտեղ Շլ,

.

՛

Տ

22.

ո-րդ

կարգի

հաստատուն

գործակիցներով գծային համասեռ

հավասարումներ

.

եթե

։

Դիտարկենք ո-րդ կարգի գծային Համասեռ -բ ենք, ենթադրելու

6-ը

ըյ

ԻՑ.

ր

Հավասարումը՝

«0:

Հլ,

82,

սարման դեքում:

"

)

1)

Ձղ

Հավասարզրոյի, աշտաճայտվումէ գ(5), զու) բոլորն

են

Հաստատուն

2)

են,

.

Փ.(2),

Փ,

2:

Ր:)չ.. ՓՐ)

3) Ը

եֆ

Լ,

Ե

ՇՓյ(4)-ԷՇջօ,2)4-..Գ-Շգջո(2)-:0 լ

նույնությունը:

`

- ,Քագրիչ ավասարու Կ"-լն բն

մը՝ է

Հ

ենք բնութագրիչ Հավասարմանարմատները. քո:

ո"

արմատների բնույթիդրում ենք գծորեն անկախմասնավոր որ.

ԸՕՏ8Հ լուծումներ, ՏոՅչ երկու մասնավոր գ) յուրաքանչյուր Լ բազմապատիկությամբբ իրական արմատին մասնավոր

ը

ճե" բր

`

՝

անկախ լուծումներ՝ փժորձը Աա թայը բաղմասլատիկությամբկումալեքս դ)» (0.-օ-1:8

Ճամապատասխանումեն

:

կգտնվեն

զրոյի ճավասարՇլ, Շջ..., Շո Հաստատունները,այնպիսիք,ոթ Հատվածի բոլոր Ճ-երի Համար տեղի կունենա

ոչ բոլորը

ինդ ընդ

այնպես, ինչպես երկրորդ կարգի ճավա-

արմատների յուրաքանչյուր ղույգինՀամապատասխանումեն

մ. Ը

քե

աղա

ալս

ապա

ե ղե նով, որ ղեկավարվելով այն ն բանով, ե արմատին ճամապատասիրական միապատիկ ա) լուրաքանչյուր Ը խանում է մասնավոր լուծում, բ) է0--Կա-18ն Ա(Հ-պ-Զ-1ք կոմպլեքս Համալուծ միապատիկ

գծորենկախվածեն, ֆունկցիաները

են,

-ԷճոիԻ...ԷՅՈՀ0:

էւ, էշ,

ծումները, (ոծումնծրը,

որ

Փ.(5),Փչ(4), ջո-1(1), Փո(2) դ Հատ ֆունկ են ցիաներըկոչվում գծորենանկախ, այղ ֆունկցիաներիցն ոչ մեկը գծորեն չի արտաճայտվումմյուսների միջոցով: Դ հտողութ Ո ճետնում լուն է, որ ՖԱ Սաշճմանումներից Սաչշմանում

Գտնում

:

Փո(Ճ)-ը գծորեն ֆոմկցիաների միջոցով: գո-«(դ) ասում

ապա

ենքՔ

են

ճաստատուն

նե ցները

գործա դոր

Ն

լ

կ ոչ

կազմում գո»

-

ՄՎՃԽԳ(:)Վ-.-ԻԽ-Թաա(Թ

Ճշ, Ճղ որտեղ Ճլ, ճավասարությունը), թվեր ՍՈԽ

Հավասարման ր

Ճճանուր լուծումըդտնում

(1)

Հաստատուններ են: նախքան(1) Ճճավասարման լուծման մեթոդի նշելը, տունք Հետագայի ճամար անչ Հրաժեշտմի սաճմանում: ՍաՀտմանում 1: եթե |, Ե) Ճճատվածի բոլոր Ճ-երի Համար տեղի ունի որ

(1)

ա,

ն

։-

խ

նն չՃամալուծ արմատներիլուրաքանչյուր վույգին Համապատասխանում Հլ. մասնավորլուծումներ շ1Ր 660585,

ու

շ ՃՇ» ԸՍՏ

.-

տլոթ:, -

«6251

-

թե, 82,

4.

2/՝

2:56

60Տթե, Տ1ոթշ:

17063

Շ"

ՊՊոլթ

Այդպիսի մասնավոր լուծումները կլինեն ճիշտ այնքան, ինչպիսին բնուքազրիչ Հավասարման աստիճանն է (այսինքն այնքան, ինչպիսին տվյալ գծային դիֆերենցիալ Հավասարման կարգն է)։ Կարելի է ապացուցել, որ այդ լուծումները գծորեն անկախեն: )ռ Ո ճատ գծորեն անկախ լուծումները, կա4) Գոնելով լ, 32, ռուցում ենք տվյալ զծային դիֆերենցիալճավասարման ընդճանուր

(1)

ճավասարմանմեջ Ն-ի փոխարեն տեղադրելով 7-3"

կունենանք.

Թ--)")"աի

կամ

Քանի

լուծումը.

0րինակ

Շղ կամայականճաստատուններեն:

4: Գտնել

Բ

1Մ--Ֆ»-0

Վ.-0:

1-1,

Խ--Ն

Խ--,

Խ--Է

7--Ըյօճ-Ի-Ըչօ-3Հ-ԻԸյ«0Տ Ճ--Ըլ որտեղՇլ, Շջչ Շր,Շգ կամայական

Տո

ա

անհամասեռ կարգի ՛

ԿՋ

73817877 Ւ(2)

գումարը (1) Հավասարմանընդճանուր

.

)-ը

որ

տ

, է կարելի

ո: ննրկայացնել

(3Դ

Շ7.Դ-Շ:օ-ԷՖԵ-՞Մ0»

Ը

ց է ՇԻՆ

Շ

Այս ճավասարումների ճամակարդիցպետք մակարգըգրելով

.

Բ

(2)

Ը

ւՕ-ԷՇ

ԼԶԽ

է որոշել

ծա ԸՇլ-ը| ԸՇջ-իո

Ս"

3ոց--30--36

«Համակարգիդետերմինանտը մ-ը ։տնսքով, նկատում ենք, որ այս է: Քանի կետում լ ն նջ ֆունկցիաների ճամար Վրոնսկուդետերմինանտն են, որ րատ ապա այս ֆունկցիաները գծորեն անկախ ՎրոնսՀպայմանի

'

"

Է

պալմանները: ՔՈ ՒԻԸ

7Հ-ԸՇլԴՇշ)չ-Ի՝

|

լուծումն

(5)

,

տեսքով: Այղ դեպքում (5) պայմանների Հիման վրա կունենանք'

Պետքէ ապացուցել, որ

3-Ի"

Ֆ»օ--"30

7-ՇյՄլ-ԷՇջ)ջ

0)

Բամասեռճավասարբման 7 ընդնանու՝լոծման համապատասխան

Հ

,

տեսքով, որտեղ Նլ-ը ն Ֆշ-ը (2) Հավասարմանգծորեն անկախ լուծումներն են, իսկ ԸՇլ-ը ն Ըշ-ը կամայական ճաստատուններ են, կարող ենք

-

|

աց

գրել (3) ճՃավասարությունը `

7՛՛--ճլ7՛-Էճչյ--Օ

ԿՐ» դատելով, նական '

չ

գծային հավասարումներ գծայի

երկրորդկարգի գծայինանճամասեոռ ճավասարումըո Այդպիսի (1) Հավասարման ընդճանուր լուծման կառուցվածքը որոշվում է ճետնյալ թեորեմով. 1: (1) անճամասեռ հավասաշման Թեորեմ ընդնանուբլուծումը ոբնէ չ" մասնավոոլուծման ներկայացվումէ որպեսայդ հավասարման

Ապացուցում

առաջին մասն |

-

Դիցուքունենք

գումար:

|

'

Շարադրվածից«ճետնում է, որ Հաստատուն Դիտողություն գործակիցներովգծային Համասնո դիֆերենցիալ Հավասարումների լուծման ամբողջ դժվարությունը բնութագրիչ ճավասարմանլուծման մեջէ, Երկրո րկրորդ

թեռրեմի Այսպիսով,

ճավասարությունընույնություն է:

չ,

ճաստատուններեն:

-

3 23.

Ռ-3")-11)

Այժմ ապացուցենք, որ (3) արտաճայտությունը (1) ճՃավասար է, ընդճանուր լուծումն այսինքն՝ ցույց տանք,որ նրա մեջ մտնող կամայական Ճաստատուններըկարելի է ընտրել այնպես, որ ինչպիսին էլ լինեն ց, 0 ն37՛0թվերը (այնքան որ Ճ0-ն վերցված լինի այն տիրույթից, որտեղ Յլ, Յշ ն 1(Ճ)-ը անընդճատեն) բավարարվեն

ենք բնութագրիչ ճավասարմանարմատները.

Գրում ենք ընդճանուր ինտեգրալը.

ճջ

(7 -Է լ -Է 827)-ԷՐ Է ճլ՞՛-ԻԷճջչ (4) )ՏԷ(Ճ): Ս-ը (2) Հավասարման լուծումն է, ապա աղաջին փակա-

է: ապացուցված

Ճավասարման ընդճանուր լուծումը: Լուծում: կազմենքբնութագրիչճավասարումը Գոնում

Է

զծերում գանվող արտաճայտությունը նույնաբար ճավասար է զրոյի: Քանիոր Ֆ"-ը (1) Հավասարմանլուծումն է, ապա երկրորդ փակազծեչ րում գտնվող արտաճայտությունը ճավասարԷ է (Ճ)-ի։ Հետնաբար, (4)

ՇՑ»-Ի..-ԷՇոՄ ոչ

Հ-Ի որտեղՇլ, Ըջ,

որ

Ց")

դումարիյ

Այստեղ 7լօ» 3720:

ց» 71» 7՛շը»"ց

ֆունկցիաների արժեթներըՃ--Ճց

կետում:

նշանակում

են

լ»

32» Ֆ", 7»

7՛շ» "7

Հավասար չէ կու դետերմինանտը

զրոլի, Հետնաբար, (6) ճամակարգն ԸՇլ ն ԸՇջ ունի որոշակի Ըլ ն Ըշ լուծում, այսինքն՝ գոլություն ունեն այնպիսի արժեքներ, որոնը ճամար (3) բանաձնը որոշում է տրված սկզբնականպայմաններին բավարարող (1) ճավասարման լուծումը: Թեորեմը լրիվ ապացուցված է:

ծում

(8)

Գրենք (2)

Ճաստատունների

տեսքով, Շլ-ը

քիաներ:

|

Ն

7՛--Ըլ7ԷՇ,2Հ Շյ-ԷՇջ

Օրինակ: որ

տ

ն ղի

ու

նեն

Լուծում:

(8)

Շող--ՇՉ7չ-0

«մը:Քանիոր |

ն

`

7--Ըյ

ԻՇ»

այսպես,

'

ա

,

,

:

:

,

Է

Շո ԷՇ ո

՛

Ճ

--0

Ա.

Համասեռ

.

ու7

ջ»-12):

է

տեսքը:

255-512) ,,

: :

մասնո -

ՇՀ

0-5

ֆունկցիաներ: /

3.

--

ՒՇթՇ--ՀԺՇ

տեղադրելով 7-Շլոգ-Ըչ

Փտաժ ֆունկցիաները

՝

Ճ

.0--

ՇԵկթր,

էնչ

.

(9)

թ-Ցր

2ՇԻԸչ

ճավասարմանընդճանուրլուծումը.

բանաձնի մէչ,

տատանում

էնք

անձա-

: արարը

Ը -«Ըչ»-0, երո ընդունննք ՊՎուծումը: .

ընդչանուր լուծութ

-

արնիախո

Ը"

«րանից, ինածգրելովստանում

`

Առաչին երկու փակագծերումեղած արտաճայտություններըդառնում են զրո, քանի որ Մլ-ը ն նջ-ը ճամասեռո Հավասարմանլուծումներն են: Հնտնաբար,վերջին Հավասարությունն ընդունումէ

Ըմ

ավասարման

`

պա

՝

Համակարգից Շլ-ը ն Շշ-ը որոշենք որպես 1-ի այս Ճամակարդգը, Լուծելով կգտնենք.

:

.

ւ

Ճճավասարման ընդճանուր լուծումը: ՛

Շլ23 ան -Շ.1-0,

ՒՇ ԴՎԻա(Ը Շ,)-ԷՅ(Օո-ՒՇՑԽ)-ԼՇ)

Շ(:ԻոճյւԻ8)ԷՇ(Ր»ԺԷՅլտ)8չնչ)՛

"3

Գտնենք

Ման

(1) ճավասարմանմեջ, կստանանք 7-ը,77-ըն 77-ը տեղադրելով (ՇԵՇ 222-ԻՅ(ՕԼԴ

ԷԸ ՒՇՑԻ-ՇՏԵՒՅ

ՕՅՈՒՇՅՈՒԾՅՈՒ

ԷՎ

Որպեսզիվերջին արտաճայտությունը լինի տրված Ճճավասարման լուծում, պետը է

ԻՇչջ2--ՇՈւԻՇ»»: ,

Գանել

5--ԸլՃՀՎ-Ըչ:

տեսքը:Այժմ դիֆերենցելով վերջին արտաճայտությունը,կգտնենք՛-թ "ՇՈ

Ը», Շլ-ից(5)ժ5--Շ.,

:

լրացուցիչ պայմանը, աղա

Հավասարությունը: Եթե Հաշվի առնենք այս 17 առաջին ածանցյալը կրնդունի

ա

:

:

լուծումը":

յ

այնպես, այնպես,

Մգ

Ճճավասարության մեջ, կզտնենքՇլ հ Շջ կամայականՀճաստատուններից կախված ինտեգրալը, այսինքն՝ անչամասեո Հավասարման ընդՀանուր

Դիֆերենցենք(2) Հավասարությունը: ընտրենք ընտրենք

ն

են: որտեղ ԸՇլ-ըն Ըջ-ը ինտեզրմանՀաստատուններ ն Շշ-ի ստացված Շլ-ի Տեղադրելով (2) արտաճայտությունները

(3

,

:

Շ՛--գ.(4):

ԹԱ 7131 ինտեգրելով,կստանանք

որոնենք (2) ճավասարմանմասնավոր լուծումը Օջ-ը ընդունելովորպես Ճ-ի առայժմ անճայտ ֆունկ-

ներն Ռրոն վող ԸՇլն Շջ ֆու ն կցիաներն

77.

7.7

լ

այնՃավասար

անճամասեռ ն

դետերմինանտը Ճճամակարգի (2) ճավասարման Մլ

այս

վարիացիայի

Մ--Ըրլ-ԷԸշՄջ: (1)

Շու: Շ2-1(5): ՇՅո-ԻՇՑ)»--Օ,

գծորեն անկախ լուծումների ճամար Վրոնսկու դետերմինանան է, ապա Հէ զրոյի. ճետնաբար, լուծելով ճամակարգը, կգտնենք ՇՂ-ը ն Ը՛2-ը որպես Ճ-ի որոշակի ֆունկցիաներ.

ճավասարման ընդճանուր լուծումը.

Համասեռ

ն

Քանիոր

խնդիրը կայանում է նրա որնէ յ" մասնավոր լուծումը գտնելու մեջ: Հավասարման մասնավոր լուծումների Ցույց, տանք անձչամասեռ որոնման ընդճանուրմեքոդլը

կամայական

անչամասեւ ձավասարման լուկլինի այն դեքում, եթե Շլ ն Ըջ ֆունկցիաներըբավարարում են (9) ճավասարումներիճամակարգերին,այսինքն, եթե ՛

Ճավասարման7 ընդճանութ եթն Հալյոնի է (2) ճամասեռ Այսպիսով, անձչամասեռ Հավասարման ինտեգրման ճիմնական լուծումը,ասլա(1)

մեթոդր:

Այսպիսով, (2) ֆունկցիան (1)

՝

ապա

'

կստանան "

( 17

Հավասարման ո" ՛

մասն ա

ր

.-

75-Ըյ2-.Ը:

կամ ւ

ԷՇ չ-ՇաւծՇ

Ն"

որտեղ Շլ-ը

)

Շջ-ը կամայական ճաստուռուններ են:

ն

էրը:

մարշն է,

(19)

1 Ւ) եբկու ֆունկցիանեռիգուտեսքով, ոբտեղՉՂ-ը ն "շ-ն» զումառբի կաբելի է նեբկայացնել"Հ3"(Ի3"չ ե

ճամապատասխանաբար, ֆո

1 աի՛ԷՏ

:

(11)

երջին Հավասարությունից Վերջի վասարությունից Հետնում

է,

ԻԻՅԻ-Յ՞ (10) ճավասարմանլուծումն գումարը

Ո

ո

ա)

«Հավասարումների

ի

է:

Գանել

Ք

մ:

ՄՀ

ԻՃ" ՄՔ--(Ճ0Ճ

:

-աՒՑՑ՝

31Ր

--

բոաժանելով լով 6 ն (լինի

ուժում մասնավո վոր լուծումը

Հավասարման ճավասար

Բու

ԳՐ

քր.

ՏՅ

ուռ

824. Երկրորդ կարգի հաստատուն գծայինհավասարումներ

»

Ակնչայտ է,

թզի

որ

քյ

Էզ

ՆՐ

:

`

Բ)

անհամասեռ

գործակիցներով

թեորեմը Համապատասխան

1) մնում

'

ն բոլոր

անդամները

ապատկիչի Վրա, կու Է(Թ2-Իթ) Չո(4)-(շ-քօ-Էզ)Օօ2»-Եւ( 2):

6":

Բ

1 բազմ

(3)

կունենան ամ

՛.

|

(4)

ո,

1)

կացած թվով գումարելիների դեսյքում:

Օ)65:

աստիճանիբազմանդամէ, ՕՂՊ(Ճ)-ը (ո--1) աստիճանի, աստիճանի: Այսւլիսով,ճավասարության աջ ն ձախ ո կողմերում ունենք աստիճանի բազմանդամներ: չավասարեցնել ո-ի միննույն աստիճանիգործակիցները(անչալտ գործակիցներըո-Լ1 Ճղ անճայտ որո«նը»Ճլ, Նշ, են), կստանանք դործակիցները ճատ ճավասարումների շելու ճամար ով ճամակարդ:

:

ՏրվաժՀավասարմանյ" մասնավոր լուժումը կլինի

-Է...Դ Ճյյօ"-

Օո(չ)-ըղ Օ՛՛ը(2)-ը՝ Ղ--2

`

91"Վ4:-36: Հավասարմանմասնավորլուծումը կլինի

են

զ--9

:

ո տ

աան

ՄՏ

թիվը

հրոք, Ս"-ը տեղադրելով(1) Հավասարման մեջ

Ֆ" մասնավոր լուծումը: Հավասարման ուժ Լուծում:

(շ )

բնուքագրիչ Հավասարմանարմատըչէ Այս ղեպքուք մասնավոր լուծումը պետք է որոնել ճետելալ տեսքով

'

Օրինակ

ա

բքի

(13

Դու-նՈ)ՒԼՈ):,

(1372-Ի

1ից

աստիճանիբաղմանղդամէ: Այս դեսլքում Ճեւտնլալմասնավորղեպքերը.

Հնարավորեն

(18)

Ճավասարման ներո Ր 4

որժա աա

տեսքը, որտեղ Քող(Ճ)-ը Որդ

|

նե

չձաստատուն

( 2)ՀԵր(«)65 ) ք ո( )

ւ

(12)

Ե"-ԷՑ ՈՒ ԼՑ)

լուծումներնեն: ճավասառումնեռի

մեթոդր: ք ԴԸ

հն ցուց1. ենթադրենք(1) ճավասարմանաջ մասը բազմանդամի է, այսինքն՝ ունի չային ֆունկցիայի արտադրյալն

ՅԻ (5),

Գումարելով կպացուցում: աջն ձախ մասերը, կատանանք.

ընդճանուրր աե

ճավասարմանդեսլքում Ճաճախ ճնարավոր է լինում մասնավորլուծումը դտնել ավելի Ճեշտ, չղիմելով ինտեղրման: Դիտարկենք(1) ՃավաՀ ճամար ննե մի քանի այդպիսի Հն ճնարավորություններ: ռարմիան

լուծումները որոնելիս օգտակար է օգտվել «ճետելալթեորեմի արդյունք»

Թեռրեմ.շ2: նոյ "ՎԱյ՛-ԼԱԿՀՀԿ(Հ)յ" լուծումը, որտեղաջ մասը էլ Ռ) հավասաշման

որոնմքան ր

ժման արհա

.

Ն

Ց

2-6

Հավասարումը,որտեղ ք-ն ն զ-ն իրական թվեր են: նախորդ պարաղրաֆում ցույց տրվեց անճամասհո

է իրավացի

աջ

մասի ցան:

Գ

արմատն :

եթե տեսքով,

քիվը բնութագրիչ Հավասարմանպարզ է

(միապատիկ)

ղեպքում մենք սկսեինք մասնավոր լուծումը որոնել (3) ալա (4) ճավասարությանմեջ ձախ կողմում կստացվերոՈ--1 քանի որ Օռ («)-ի դործակիցը,այսինքի՝ որասոիճանի բազմանդամ, այս

օոՎ-քո--զ-ն Հավասար է զրոլի, իկ Օո(ւ) ն Գ") բաղմանդամձը դեղհերը Ո-ից ցածր աստիճանի են: Հնետնաբոար, ոչ մի Ճո, Ճլ, քում (4) Հավասարությունը նույնություն չի լինի Ուստի դիտարկվող դեպքում մասնավոր լուծումը սզեւոք է վերցնել ո--1 աստիճանի բազ...,

մանդամի տեսքով, բայց առանց ազատ անդամի (քանի լիս այդ բազմանդամիազատ անդամը վերանում է). ։

ՄոռւՕր |

որ

դիֆերենցե-

(4)6:":

որն Բոնգից

7-Ի"

Լուժուսի

Տրված Հավասարման(Ճ2--1|63:

0րինակը Լուծում:

Փ--Ըյճ-4

Քանիոի տրված անչամասեռ թլ (ո)օօռ տեսքը), Հե

ապա

որում

ըստ

մասնակի լուծումը

0-ն

աջ

մասն

Ե5-Լ4:--3--0

կորոնենք

7"-ձյո-Ւճլ:

"Օլ

(թշն:

Տ

կրճատելովօՃ-ով

349-1,

հոկ

է.

տեսքը (այսինքն՝

ապա

կու

ընդՀանուր լուծումը՝

(1.2-27

|ք

|

ՒՑլ լ

Ց-(3

Տ1ո ֆ»-Ըլ«0Տ53:--ԸՇչ

շ

է

ի

Լլ

Տ ՅԻ

Յ.

Լուծել 7--77Հ-67«(Հ--Հ)ճ՝ Ճավասարումըո ունի թյ (515 Այստեղ աջ մասն ընդ որում աստիճանի ցուցիչի 1 ղզործակիցըբնութաղրիչ բազմանդամի արմատն է: Հետնաբարչ մասնավոր լուծումը որոնում ենք Հլ (.)օ" կամ

տեսքը,

Լուծում,

տեսքով, այսինքն կընդունենք ՛

տեղադրելովայս տեսքով.

ա ա(4:Ի8)6 արտաճայտությունըՀավասարման մեջ, կունենանք

Է (որ85)44: 28).24.(46-84-14 246Է0)

-

Նկատենք, որ վերնում բերված բոլոր արդյունըները մնում են ուժի մեջ ն այն դեպքում, երբ ա-ն կոմպլերո թիվ է (ղա ճնտնում է Շտ' ֆունկցիայի (1-ը ցանկացած կոմպլեքսթիվ է) դիֆերենցմանկանոններից. տես 71 գլիի, 4):

24Ճ-68-18Ը»Հ),

0րինակ3:։

բնուքագրիչ ճավասարմանարմատը

9գ

աս-

"-(Ճ:27-8:-7Ը)63

մասնավոր լուծումն ՃՀՀ/8, 8------1/27,Ը-Հ6/81։Հետնաբար, որտեղից

կամ

:

կամ

12Ճ--18820,

184Հ-1,

-

ճաննե որժ միննույլն ները, կկստանանք. աստիճաններիգործակիցները, միննույն

449-Է34լ--6,

որ

Հավասարեցնելվ1-ի միննույն աստիճանների գործակիցները,

ն

կատանանք

(ձրԻճլյ-ՃԽ 440-ՒՑ 2-ի

Քշ(1)636 ատնսքը Քանի

ունե

(9(Ճ22--Է8»-Լ Ը)-Ւ-6(2Ճ:-Ի8)--24Ճ--9(Ճ4223-8»5--Ը)|6:--(Ռ12Դ1)օ3:

մեչ, կունենանք. Այս արտաճայտությունըտեղադրելովտրված Ճավառսարման հեգնելով չ-ի Հավասարեցնելով

Տ51ո 34:

տեսքով: Այս արտաճայտությունըտեղադրելովդիֆերենցիալ ճավասարմանմեջ,

|

ունի

րենք Ճիշտ "ճշ կգրենք

նենանք

2 Ըչօ-35:

ավասարման

մասն

"--Օչ»ա)ճ

|

լ

ՅՃ--Ըչ

Ը05

ը

|

:

Գտնել1"-47՛-Է-՞ ՄՀ-Ճ ճավասարմանընդճանուրլուծումը: ճամասեռ ճավասարման ընդճանուր լուծումն Համապատասխան

աջ

Հավասարմանընդճանուրլուծումը:

տիճանի ցուցի չում եղած 3 ղործժակիցըբնութագրիչ ճավասարմանարմատը Հէ, մասնավոր լուծումը կորոնենք

Այսպիսով, երբ գ-ն Հանդիսանում է բնութագրիչ ճավասարման արմատը, մասնավոր լուծումը կարելի է վերցնել կրկնապատիկ

տնհսքով:

ընդճանուր( լուծում Ընդ

Հավասարման

Համասեռ

3--Ըյ

ստացվի Ո աստիճանիբազմանդամ, պետք է մասնավոր լուծումը որոնեչ.6՝" -ի ն ՈԳ2 աստիճանի բազմանդամի արտադրյալիտեսքով: Ընդ որում ալդ բազմանդամի ազատ անդամը ն առաջին աստիճան պարունակող անդամը դիֆերենցմանժամանակ անձճետանում են. ուստի նրանց կարելի է մասնավորլուծման մեջ չմտցնել:

ՕԹ):

լ

օ-:ԻՇյօ-Ֆ-ՅՑ:

Գտնել 1--ԶՆՀ-22-Ւ1)63:

0րինակշւ

՛

ցԸ

ընդճանուրլուծումը կլինի

Ը

:

2-Բ

Բգո

|

մեջ

այսպես,2:.-թ--0: է Օ՛"ո(Ճ), չետնաբար,(4) Հավասարման ձախ մասում մնում Ղ--2 տեղադրումից ճետո աստիճանի բաղմանդամ: Որպեսզի այսինքն՝

Ճլ---4/9: լ

Հավասարման կրկնապատիկարմատն է: ո). քիվը Այս դեպքում Օո(Ճ)6" ֆունկցիան դիֆերենցիալ Հավասարման տեղադրելիսբազմանդամիաստիճաննիչնում է երկու միավորով: հրոք, եքե Օ-ն բնութագրիչ ճավասարման արմատն է, ապա «--քգՎզ»-0. օ-ն է, ապա այդ, քանի որ արմատ բացի կրկնապատիկ 26.-5--ք ճայտնիԹեորեմի՝բերված տես(քանիոր ըստ տարրականՃճանրաճաշվի Քի քառակուսիճավասարման արմատների գումարը ճավասար է անեվ Ճայտիառաջին աստիճանի վերցրած ճակադիր նշանով): դործակցին՝

բնութագրիչ

Ճ0»1/:,

Հեւտնաբար,

|

:

ո

:

Վ6(452-Է8»)|օ--(:--2)օ«

(--104Ճ7--58--2Ճ)6:-«(»--9)օ":

զ-ի միննույն աստիճանների գործակիցները կստանանք. Հավասարեցնելով Ը

104-1,

--55-Ի24--

-2,

որտեղից

Ճ--ք.թ--շջ

»-(-լոՒջ

Ընդճանուրլուծումը կլինի

լ

ի

Էնդ որում Հնարավոր սխալներից խուսափելու Համար պետք է նշել, ռր մասնավոր լուծումների նշված (8) ն (9) տեսքերը, ակնճայտ է, պաշպանվում են ն այն դեպքում, երբ (1) ճա վասարման աջ մասում Ե(ո) ն Օ(ճձ) բազմանդամներից մեկը նուլնաբար ճավասար է զրոյի, այսինքն՝ երբ աջ մասն ունի

|

Հետնարար,մառնավոր լուծումը կլինի 6»

'

|

յ6": ՀՇՎՇար«( -լր«Էշջ

11..Դ

Դիցուքաջ

մասն մասն

(Ր

ու

ուն ի ՂՀ

ԻԱ

ՆՑԻՑ Մ

«լ

«4

()--11

են:

տեսքը, որտեղ ՌԼ-ը

կիրառված դեպքում

Հոմ

ի

լ

163)-- ջ

թ

(ո)

ԷշԳեԺ

«ԻԹ. ՇԻ)

Վ

իջթ-ցչ9 Թի լ

լ

լ

(.-8յո )":

տեսքի աջ ւվածժ

նշենք,

(6)

թ.) ցիաներիրե

մ

մաս:

,

յ

4(2)--Ք(8)6" են, ապա ն որտեղ Ե(չ)-ը Օ(Հ)-ը Ճ-ի բազմանդամներ տեսքը,

նավորլուծման

տեսքը որոշվում է այսպես,

բնութագրիչ Հավասարմանարմատը չէ, ա) նքե Հր մասնավոր լուծումը պետք է որոնել Հավասարման Տոքթ» 7:-«Ն(4)65:6058:-Ն(:)6"

ապա

ճան տեսքով, որտեղ Ս(Ճ)-ը Մ(Հ)-ըբազմանդամներ աստիճանը աստիճաններից ամենաՀավասար է Ք(չճ) ն Օ(2): բազմանդամների ն

են,

ապա

մաս-

(9)

մաս-

ապա

(8|

մասնավո

ապա

(8) ֆունկ

'

գծային

անձճամասնհո

Հավասարման

ունի հլ----1ՒՀի բջ---1-« Է2-Վ-2:Վ-5»--0 բնութագրիչ Ճավասարումն

«(Ը

յօ527-Ը,

Տէր

Հավասարման ընդշանուր ին«

2»):

Հավասարմանմասնավոր լուծումը կորոնենք

"ՀՃ:օ0Տ:Վ85լոչ

ն Թ-ն Հաստատուն գործակիցներեն, որոնք ենթակա են որոչմանչ Մ"-ը տեղադրելովտրված ճավասարմանմեջ, կունենանք

«ոնքսով, որտեղ ճձ-ն

--

Ճ

օ0Տ2--

Տ1ո«--Չ(--Ճ

Հավաարեցնելով«0Տ-ի

Տո ն

Ճ--8

Տլու-ի

ճ)-Ի5(Ճ 60Տ 2:48

51Ռ

2)»22 605

գործակիցները,կատանանջՊ-ն

ն Թ-ն

2:

գանելու

Համար

--ՃՀՎ28-Վ54Ճ--2,

ն որոնց

բարձրին, արմատն է, 2ճավասարման բ) եթե օ.Վ3թ-նբնութագրիչ նավոր լուծումը որոնում ենք ճետնյալ տեսքով: Մ"Ս(:)6":«058:--Ն( 6: 581ոք): `

Անճամասեռ

:

(8)

'

են

Օրինակ Ք Գտնել 1/--Տ7Դ-51»»26Ը0Տ7 ինդճանուր ինտեգրալը:

3»

մաս-

(Լ)

մասն եպքերն անավոր դեպքեր

արմատները: Ուստի ճամապատասխանճամասնո տեգրալը կլինի

(7

(7

Ջոբ:

"-Ճ(Ճ.605 82-ԻՑ Տ1ո ւ): (9 (77) ֆունկցիան (7) ֆունկցիայի մասնավոր դեպքն է (8) ի ՉԹ2)--Խ.,-0).(87) լ (87)ֆունկցիաները

1ուծոււմ

Բորի):

34 մ Օ(Հ)65:51ոք»

թ-ի

ճաստատուն

որ

--ՏՀլ

ւ է որ կարելի մենք չենք Ապացուցվում է (ապացուցումը դտնել կոմպլեքս թվեր չպարունակողմասնավոր լուծումներ: ունի աջ մասն եվ այսպես, եթե (1) Հավասարման

Ա-ը

լուծումը վեւոք է որոնել ճետնլյալ տեսքով

բազմանդամներեն, որոնց աստիԱյստեղ քառակուսի փակաղծերում աստի են թ(1) ն Գ(Ճ) բազմանդամների մանների Հավասար դեպքում ոռացանքՔ 1 դուք մ ձրին։ քննարկմեն ճաննե ան ու յոպիսով ՒՍ աբար բի րից ,

Բ) նթե 81-ն բնութագրիչՀավասարմանարվատնէ,

ր

լ

Ենթադրենք

"--Ճ

`

ւ

ն

թվեր են: ա) եթե 8լ-նբնութագրիչ Հավասարմանարմատը չէ, նավոր լուծումը պետք է որոնել «ՕՏ 8-8 Տո րւ տեսքով:

ցուցֆունկցիաներիցանցնենք երե նեռանկյունաչափական եղանակով, փոխարինելով Ը05թ2-ը ետատքա-ր չայինների:Ըւուռ էլյլերիբանաձաերի 71 գլխի, 85), կստանանք. ցուցչային ֆունկցիաներով (տես 6Յւ. «-Ո: ԲԽբԸ-ԱԻ -ԷՋ (2) 6 (2)-»թ(2)6 տի ՇՈ -շ -

Օ(չՃ)օ«Տոքբչ

կամ

Այնուճետե, քննարկենք կարնոր մասնավոր դեպք: երկրորդ կարգի գծային ճավասարման աջ մասն ունի

2)5

-

Օ(Ճ)-ը բազմանդամներ տեսքը, որտեղ Ե(Ճ)-ը է քննարկվել նախորդ վարու գոպքը ր ն

,

թ4Ճ)6::Ը0Տիւ

տեսքը:

|

ԼՐ

ԱՉՀ «ՅՀՔ

--

9`

ի

երկու Հավասարումները,որտեղից Ճ-է ուծումր՝ Ը

՛-ՀՀ»

շ

-.

", այսինքն՝ այսինջ

26-«(Ը.

«05

25-Ը,

2--Դիֆերննցիալ ն ինտեգրալ ճաշիվներ

51ո

--8--24Ճ--Տ58--0

8--- Տրված ՀավասարմանընդՀանուր

«ԻՐՏո 2:)-Ի2-«» ջ

լ

ր

,

կուժում: Համասեռ

Հեւա տատունդործակիցներով առաջին կարդի Հավասարումը, որտեղ 2-ն ն Ծ-ն ճաստատուններեն (այս ճավասարումը Հաճախ է ճանդիպում սոեխնիկական կիրառություններում ): Գոնենք

2: Հավասարումը: Լուծել 1/7Դ-47Հ--Ը0Տ Բնութագրիչճավասարումն ունի հլ--21, խշ»---21 արմատները.ուստի

Օրինակ:

ընդճանուր լուծումն ճավառարման Տ1դ 4:

-Շլ

տեսքը: Անճամառեո

օ0Տ

ունի

24--Շջ

Ց) .յ-

Հավասարման մասնավոր լուծումը որոնենք օ0Տ 4:-Ի8 51ո 22)

"Հ1(Ճ

յոնսքով:Այդ դեպքում "5-22 "2

(--ՃՏ1ո 22--Ց ««--,յ (-Ճօ0Տ

24)Դ-(4Ճօօ5 2:Ի8Ց 82--8 51ո 22)-Ի4 (-Ճ

Տո

կազմում ենք

Տո 24. 60Տ 21): արտաճայտությունները տեղադրելով տրված «ավասարման ենք ճավասա« ԸՕՏ25-ի ն տլոշմ-ի գործակիցները, ստանում մեջ ն Հավասարեցնելով որտեղից ՃՀ-Օ, րումներիՀամակարդ՝Ճ-ն ն Թ-ն որոչելու ճամար. 4Թ»--1յ --4Ճ»-0,

Աժանցյալներիայս

ճավասարման ընդճանուր լուծումը: բնութադրիչ Հավասարումը. Է-»--0: ւ-ԳՀ0,

Համասեռ

41)»

Համասեռ Հավասարմանընդճանուր լուծումը կլինի

--ՇՇ-:Ն

ընդճանուրինտեգրալը կլինի 5Հ--՞լ՛Այսպիսով, տրված Հավասարման ։

7--Ը

մասն

12)-:օ2ԱՎ : տեսքը,

ընդ

որում

կ-ՖԽ բշ----1 Քանի

որ

զ»

ճավասարման Ս" մասնավոր լուծումը որոնենը "8 տեսքով: Տեղադրելով (10) Հավասարման մեջ, ստանում ենը

Տ(ո 22:

լն

աջ Հավասարման

Լուծում:

յ

ԿԽԱ--8,

ԷՀՎ--0։

2Հ

եշ-1--0

Է

2) բնութագրիչ «ավասարումն

Տ

.-ՀՇյո"-ԷՇչ6-":

արմատը չէ,

աղա

2-ԷՑ

Տո

մասնավոր

-

2)

.

»«Ը6Բ-Ց-Լ-ի/ը:

կամ

տն)

ն

Տ

միացնելով նման

25. Բարձըր կարգիգծային անհամասեռ հավասարումներ -

Շ0Տ

3. ՃՀյղըՑ--3

:

5-Ւ(-44Ճ-Ւ28)62:

51ո 2-«365

Դ իտարկենք էն

գ:

շար «6-3 ՀԸյլՀՎ Շչօ-2-Վ6 :

են

:

լ

2:

(«թ --

Յ

Տո-Լ--Տ|

ճամար

Դ

.ՀԷ8ոՖ--1(2)

տ)

--

0-ԻՑ "3-Ի...

8-0

ընդծանուր լուծումը Հավասարման ն

Հու) :

ճամար: Քննարկենք, օրինակ,

ԱՐՒՅՐ-Ե

(ո-1 ո

Հ

ՇտւՀ-Ըշ7չԻ-.. .կ-Շոֆու հլ նչոլեսերկրորդ կարզի ճավասարման դեպքում,

նշենը, որ այս պլարադրաֆիբոլոր դատողունան առաջին կարզի զծային Հավասարման

ճ:

Իլ

Հավասարումը,որտեղ Ձլ, 82, ճը, 1(2)-ը :-ի անընդՀատ ցիաներ հն (վամ է մեզ Հարոնի Հաստատուն թվեր): Դիցուք

ՈՒՅ

»-«( լրատ ՀՏու),

ի Ր)

Հետնաբար, մասնավոր լուծումն է

կոկ ընդճանուր լուծումը՝

ա

|

ն Տլու-ի գործակիցները,կառտանանք. ձավառարեցնելովԸՇՕՏՃ-ի 24-48-48, -4ճ-Ի28--0։

Դիտողություն: Քյուններն իրավացի

ՍՄ

է

արտաճայտությունը Հավասարման մեջ

(4Ճ-48)67:

,

:

(10) ճավասարմանընդճանուր լուծումը կլինի.

անդամները, կստանանք.

նյստեղից

Ց»»--: Յ

լուծումը որոնում ենք

Ե

ա

ոթ,

:

Հ.

զ-Է8--2-Է11բնութագրիչ Հավասարիան

տեսքով: Տեղադրելով այս

Այսպիսով,

ունի

Հավասարման ընդճանուր լուծումը կլինի

արմատները: Համասեռ

3"-ՀԸՅլ(ձ

88--ե,

ունի

է

Անձչճամասեռ

--վաաՅ6200Տճավասարումը:

Լուծել 3

0րինակծ,

22-|ԸչՏ1ո 22--

օ0Տ

մօ)

պան ճամար իրավացի ճետնյալ պնդումը:

(1)

ֆունկ(2)

(3)

Ճավասարա

Թեորեմ: նթե 7-ր (2) ճամասեռ ճավասաշման ընդնանութլուէ, իսկ 7"-ը՝ (1) անհամասեռ ճավասաբման մասնավոոլոծումն

ծումն

է,

ապա

անճամասեռ

3-Ի)"

ճավասարբման ընդճանուռ լուծումնէ:

Հավասարման ինտեգրման խնդիրը, ինչպեսն երկճանդում է անճամասեռո ճավաչ րորդ կարգի Հավասարման դեպքում, սարման մասնավոր լուծումը գտնելուն: ինչպես ն երկրորդ կարգի Հավասարման (1) ճավասախդեպքում, նմ Հ աստատու ն կան ման մասնավոր լուծումը կարելի է գոնել կամայակա ների վարիացիայի եղանակով, (3) արտաճայտության մեջ Շլ Ըջւ», Ըր-ը Համարելով չ-ի ֆունկցիաներ: կազմենք Հետնլալ Հավասարումների Համակարգը (4մմ. Տ 23).

Առաջին, երկրորդ»..

վերջապես, վերջին Հավասարման անդամՁոչով, Յո-լչով, ները բազմապատկելով ճամապատասխանաբար, Ձլ-ով ն 1-ով ն գումարելով, կստանանք.

Այսպիսով, (1)

-

ՈՒՇԻՇ

ւ

ներն ը

Շր ո-2

Վ-ՇջՐ-/-...--Շոո՞

|

ՇՐ-7

գ

)Հ-ծ,

3:4Ր0: -8-..,..Վ-ԸրոՐ

(4)

հն

Շջ

ո

Ապացուցենք,որ

(5)

"«-Ըլրլ-ԷԸջ)2-Ի:Դ-Շոֆո "

(5) արտաճայտությունը ղիֆերենցենք ո անդամ, ուշադրություն առնելով (4) Հավասարությունները.այդ դեպքում կունենանք. Է... Է Շոո, Մ ԸՇլլ -Է Ը2372 Վ Վ Շո՛ո, Մ"՛-- Շլ1 Ի Ը237"2 .

Տ

-

Ք

.

Լ

Հ»

«

Փ

«

Փ

օ

օ

օ

օ

»

ՓԺՓ

օ

Փօ

օ

-9--Ըղ Ո"-9--ԸչՄ-1)--...Հ Շրֆո' ),

ՖԼ -ՀԸՖԹ

-Ըջ)() -..-ԸրԴ16):

"6

2.

ո

«

դեպքում

այս

"-«Օ(26""

պետք է տարբերել ապա

մասնա-

զ

տեսքով, որտեղ Օ(Ճ)-ը նույն աստիճանիբազմանդամ է, ինչ միայն՝ անորոշ գործակիցներով:

բ) եթե

արմատն է,

ա-ն

բնուքագրիչ

ապա

անճամասեռ

էորոնել կարելի

այ

11.

.

"

ւ

ՇՕՏ

Ե(.)-ը,

ՀՀԵՕ(Ճ)6"

Դիցուք Հավասարմանաջ

11:)--Պ

որ

ճավասարման լ. բազմապատիկությամբ աճավասարման մասնավոր լուծումը յ

տեսքով,որտեղ Օ(Ճ)-ընույն աստիճանիբազմանդամ է, ինչ

ՏՈՅ

::

Դիցուք ճավասարման աջ մասի ֆունկցիան է՝ 1(4)--Ե(Ն)Բ",

վոր լուծումը կարելի է որոնել

ճավասարմանընդճանուր լուծումն

(1) անձչամասեռ արտաճալյտությունը

են

արմատը չէ, ա) եթե Օ-ն բնութագրիչ Ճճավասարման

են:

դեպքում

նման

ըստ

որտեղ Ե(Ճ)-ը Ճ-ի բազմանդամ է. երկու դեպք.

Շ--|ՇՅժ-ՒՇ,, "7 Շ-»)Շոժ.-ԷՇ,ո,

ինտեգրման Հաստատուններ Ճաստատուններ որտեղ Ըլ, Ը, ..., Ըդ ինտեգրման

"որտեղ

ուստի

Համասեռ

ֆոը

«.

ավելի Հեշտյ ալն է, 1.

Ն

ը

Ը,

ֆ։

Բարձր կարդի Ճաստատուն գործակիցներով անճամասեո ավաչ սարման դեպքում (2մմ. Տ 24) մասնավոր լուծումները երբեմն գտնում

:

«ա,

Ն

լ,

ն

`

Շ՛լ, ՇՂ, Օդ անճայտ ֆունկցիաներով այս ՀավասարումներիճաՇՊ ԸՇ՛շ մակարգն ունի միանգամայն որոշակի լուծում: (Ը գործակիցներից կազմված դետերմինանտն իրենից ներկայացնում է Համասեռ Ճավասարման նլ, Նշ, :"", Սո մասնավոր լուծումների ճամար կաղմված Վրոնսկու դետերմինանտ,իսկ քանի որ, ըստ պայմանի, այդ մասնավոր լուծումները գծորեն անկախ են, ապա Վրոնսկու դետերմինանտը զրոյից տարբեր է): Շո Այսպես, ուրեմն (4) սիստեմը կարող է լուծվել ՇՂ, Շոու ն կստանանք դրանք ինտեգրելով, ֆունկցիաների նկատմամբ: Գտնելով

Շյ--|Շ4 ԷՇ,

որ

են

-

ՔՋ.ԱՉԳԱ.ՎԱՎՎՈՎ.

ՎՃ),

Հավասարման մասնավոր լուծումձ նե մարե սյուների գումարելուց ստացված ւս նուղղաձիգ մարները մնե Հ ճավասարեն զրոյի: գումարները դամների Հետնաբար, Ֆ" ֆունկցիան (որտեղ ԸՇլ, "ւ. Շլցլ-Է" ԺՇոյո Շռո-ը(4)Հավասարումներիցորոշված 2-ի ֆունկցիաներեն) (1) անչճաՀատ մասեռ լուծումն է: Այս ճավասարման Ա / լուծումը կախված է ո կամայական ճաստատուններիը: ինչպես ն երկրորդ կարդի Հավասարչ ման դեպքում, ապացուցվումԻ, որ դա ընդճանուր լուծումն է: Այսպիսով,պնդումն ապացուցված է:

քանի

ՇՄո--0, )

ա.

2 6-0-Լ,,.Հ-Յր

:(-ԷՅ

Ի...-ՇՄը--Օ, Շ.յ-ԷՇՉ7ջ Շ

ն,

մասն

8«--ԱՏո

որ

ունի

Ե/:)-ը:

բշ

տհաքը, որտեղ ԻՎ-ը ն Վ-ը Հաստատուն թվեր են։ Այս դեպքում լուծման տեսքը որոշվում է Ճեւտնյալկերպ. նավոր

մաս-

ա) եթե 81 թիվը Հավասարման բնութագրիչ արմատի չէ, ապա

լուծումն մասնավոր

ունի

"-Ճ տեսքը, որտեղ Պ-ն

ԸՕՏ

ն

Թ-ն

8-8

Տլո

անորոշ Հաստատուն

գործակիցներ են,

"Հը չորս անգամ դիֆերենցելով ե ստացված տրված Հավասարմանմել, կատանանք.

|

բ)

նո լ լ թիվը բնութագրիչ է, ապա թյամբարման էրե երե

ՖՀՅՀ(ՃՇ0582-ԼՑ

:

ուլ.

Հա ան Հավասարմա

Դիցուք

լ.

Մ բազմաղպատիկու -

--1ը43--ճլո2--ՃշՃ--Պգ»-33-Ւ1.

Տոր»):

ՀավասարեցնելովՃ-ի միննույն աստիճաններիգործակիցները,կունենանք

100»5Ե(4)6"60582-Վ-Օ(5:)65Տ1ոթ»,

Մ(.)6"Տլո «058:4-Լ

Ֆ-ՀՇյթՎ-Ըչօ-»-Վ-Ը) Օրինակ:

ն

Մ(Հ)-ը ունեն

նույն

3-ԸյօԼԸջծ-»--Ըչ

ինչ

որ

«կոնսքը, որտեղ Հ1--5,

ա)

՝

|

օրինակները, ինչպեսնան

ռլարագրաֆում: Օրինակ

Գտնում

ենք

որտեղից Ճ-0Օ,

ԽՆ,

Ծ-----

չ

605:

"Հր

`

.

այս

26605

5.

Ճ38Ի ՆՈՆ

Ճ,

5)ո

:

Տ

-»--Ըյօ05 2--Ը.

(տես

|

|

ՆՐ

2:

տատանումներիդիֆերենցիալ հավասարումը Մեխանիկական

Այս

ն

|

Ճաջորդ պարագրաֆներում կղիտարկենք կիրառական մեխա-Հ

զւոնվում է առաձգականզասլաշեղումը ճավասարակաշռությանդիրջից նշանակենք9-ով։ Շեղումըդեպի ներքն կշամարենք դրական, դեպի վերն՝ դիրքում կշոի ուժը Ճճավասարաբացասական: Հավասարակշոության 1ի

|

251Ո

օզնությամբ: "ճավասարումննրի Օ զանգվածն ունեցող բեռր Դիցուք

Տո:

`

»--ջ

ն մի խնդիր՝ նիկայի դիֆերենցիա այնճնետաղոտելով լուծելով դծային

օրինակ

ԻՆ

Տ1ո

26.

Ն

Անձճամասեռ ճավասարման մասնավոր լուծումը որոնում ենք

Ի

2,

իոկ ընդճանուր լուծումը՝

Խբ--լ

Ըլ

մասնավոր

՝

Հավասարման ընդճանուր լուծումը

Լ Ըյօ-»- Ըլ

ապա

4ետնաբար,դիֆերենցիալՀավառարման մասնավոր լուծումն է

:

,Ղ

Խ--Ն

արմատն է,

44-0,Հ-ՂԷ--5,

ի

|

:

Հ--Ըյթ

կամ

,

"-7-»541

Համասեռ

4, Տ 22).

տեքսով:

2--48

4ձ Տո

Հճավասարումնունի բնութագրիչ

ե4--1-Հ0

պարզ

Հավասարման մեջ, կզտնենք տեսքով: Այս արտաճայտությունըտեղադրելով

Գանել

1:

Ե-Ն արմատները:

բերված է

ունի

Վ--Օչ

7--Շյ-1-Ըյօ

ընդճանուրլուծումը: Հավասարման Լուծում:

2-ը, որը օրինակ

5:

(4 600528 Չ"»ադ ՏՈ)

Բնդչանուր 1նԱդեպքերի վերադիտողություն բերյալ: նույնիսկ այն դեպքում, երբ Հավասարման աջ մասում գոնվում է միայն ԸՕՏՔՃկամ միայն Տլոքչ սւլարունակող արտաճայտություն, մենք սլեւոք է լուծումը որոնենքայն տեսքով, ինչոլես ցույց տրվեց, այսինքն՝ սինուսներով ն կոսինուսներով։ Այլ խոսքերով, այն բանից, որ աջ մասը չի սպլարունակում ԸՕՏքչ կամ Տլոքճ, դնոռնս չի Հեւունու,որ ճավասարմանմասնավոր լուծումն այդ ֆունկցիաներըչի սլարունակում: Դրանումմենք կարող էինք ճամոզվել, քննարկելով նախորդպարադրաֆի

Տ1ո

Տու

Ճավասարման Քանիւոր 1լ-ն բնութագրիչ լուծումըորոնում ենք

`

4, 5,

«Վ-Ըյ

Հավասարմանաջ մասն

Այնուշետն, տրված անչամասնո Ւ(Ճ)Հ.6օՏ:-Վ

իմաստը,

51դ 5--33--1:

լուծումն է

Ը

ոնսբով,որտեղ Ս(2)-ը դեպքում:

բանա»

հլ»Վ հե--1, հշ-չ-1, բնութագրիչ Հավառարումն ուն ճամասնո Հավասարմանընդճանուր արմատները:Հետնաբար,Համապատասխան

զլ--Վ

`

4--Ըլ

Ս-ՍՀ"

31Մ--Ն-ՀՀՏՇԸ0ՏՃՀավասարումը:

իւծել

կ4-1--0

Լուժում:

բ) երե «-ԷքԼ թիվը բնութագրիչ բազմանդամի լ բազմապատիկությամբ արմատնէ, ապա մասնավոր լուծումը որոնում ենք

Ք:-ԷԿ(:)65:

ըստ

ձեի, այսինքն՝

նաբարձրին,

(Ս(.)6:05

Հավասարման ընդճանուր ինտեգրալը գտնում ենք

Անճամասեռ

ապա

տեսքով, որտեղ Ս(Ճ)-ը ն Մ(Ճ)-ը բազմանդամներ են, որոնց աստիճանը ճավասարէ Ե(չ) ն. Օ(Ճ) բազմանդամներիաստիճաններիցամե-

Մայ

--Ճ-Վ:

Զ-Ն

ա

Տո

-Ճ»»0,

--Ճյ-0,

Ը4Ճր-,

Հետնաբար,

որտեղ Ք/2)-ըն. Օ(2)-ը Ճ-ի բազմանդամներնն։ Այս դեքում ա) եթե «-Էքւ թիվր բնութագրիչ բազմանդամի արմատը չէ, մասնավորլուծումը որոնում ենք

7:-Ս(4)65

արտաճայտությունները տեղադրելով

|

-

Բնոի զրա (եկ:274):

կշռվում է ղապակիաուսձղականուչ թյամբ: ենքադրենք, որ այն ուժը, որը ձգտում է բեռը վնրադարձնել ճավադիրքին (այսպես սարակշոության կոչված վերականգնողուժ) տական է շեղմանը, այսինքն՝ ճավասար է --եֆ, որտեղ է-ն տվյալ ղառղակի ճամար որեէ ճաստատուն մեծություն է (այսպես կոչված «զապակի կոշտու-

վ.-ճավասարակլովուծ

«ՀՐԱ

:

Այդ դեղքումվերականգնող ուժըճավասաըկլինի ոչ թե --խՖ, այլ ն |: դիմաղրության ուժը կլինի --Ն ՛-Փ(յ)|յ -Թ-Փ(ՆՍ (1)

։

:

Հավասարմանփոխարենկստանանք.

մ:

Հարո

|

կամ

է.

Է

տրտեղնշանակված

թյունը»

ենթադրենք,որ Օ բեռի շարժմանը խոչինդուտումէ դիմադրության ուժը» որն ուզլղված է շարժման ուղղուքյանը 4ճակադիր,։ն Հճամեմատական է ղզսլակի ստորին կետի նկատմամբ բեռի շարժման արագությանը, եջ.

Լ:

օրենքի

է-ն (այստեղ

ն

Խ-ն

թ-397

Ն

դ

վ

դրական թվեր են): Մենք ստացանքՀաստ աւռուն ճա ճավասարում: ձամասեո ծալին վասար գծային ւս

երկրո

Ճավասարումը

|

«

կարել

Ո

,

`

ակի

ստորին կետը

2»

-9(Ս.

է ուղղաձիգ կատարում օրենքով

-

Նկ.

Օ

.

տատանում

՞-

)

ք

ել-----Էախ

1)

տն

Դիցուք- զ:

ցասական թվեր

Տ

,

'

զըս-

|

նախ քննարկենք ազատ տատանումների 7՛-Էքյ՛-Էզյ»»0 (թՀ-0, զՀ»0, տես 26) (7 Գրենք ճավասարումը: բումը: րենք Համապատասխան բ բնութագրի գրիչ ճավասարումը՝ րումը ոլ Լ քիԼզ--0 ի դտնենը նրա արմաւոները,

որտնղ նշանակվածէ

ք-Հ|Օ, զ--եԹ: Այնուճետն, ենթադրենք

Փ

վեկտոր

Պոն ' ՅՐ » ՏՏ ծ աո գրել շեր. Աազաաարակա ԴՈՒ 427 որ -«0, 1) ( «թթԷ-լզյգ

կիցներով

ո

ւ Փ (թ

Տ 27. Ավատ տատանումներ: Հարմոնիկտատանումների ն կոմպլեքսպատկերումը

դ

Գէ

ձէ

.

-Վ()

վասարում։

վրա բեռի շարժման դիֆերենցիալ ճավասարումը: նստ նյուտոնի երկ-

մ37

(2)

,

Մենք ստացանք երկրորդ կարդի անչճամասեռ ղիֆերենցիալ Հա. վասարում: (1՛) ճավասարումն անվանում են ազատ տատանումների ճավա4առարում, իսկ (27) Հավասարումը՝ հաբկադոական

որտեղ 1-ՀՇՕՈՏԼՀ»»0 (մեղմիչ)։ Գրենք ղաղակի

Գ

ԷԹ "ա0)7օ՛(է)

1()-»--

-Խ--ՎՋ,

այսինքն՝

ձ

ՀԵ

:

րորդ

"3109Իգ ԻԴ

Ն՛

ք

»

ն

|

Չ

լուծումն Ընդճանուր

ֆունկցիաների միջոցով.

շարժումներ: Դա, օրինակ, տեղի կունննա, եթե զաւղակիստորին ծայրն ամրացված է թավալուկին, որբ (նկ. 225 ) մբբ (նկ անչ է, շարժվում է անճարթությա դասակի ն բեռի Հետ

Ե--Տ-1/Է-

Այս դեսլքում ել

ենչ

ֆ.. Ր Փ

Գ

իջ արմատները իրական բաարտաճայտվում է ցուցչային

7-ՀԸլճուվ Ըլչջու(ւ.ՀՕ, բ,ՀՕ):

|

:

(2)

է

Այս բանաձնից Հետնում է, որ ցանկացած սկզբնական պայմանների դեպքում Մ շեղումն ասիմպտոտորենձգտում է զրոյի, եթն 1--»օօ4

.

Այն զապակները,որոնց վերականգնող ուժը կոչվում հն «գծային բնութագրիչով»զսպակներ: "

Համեմատական է

շեղմանը,

.

ԱԱ Տ

դեպքում տատանումներ չեն լինի, քանի որ ղսպակի ն կոշտու յան գործակցի ճամեմատությամբ դիմաղրության ուժերը մեծ են: :

|

Կովյալ դեպքում ճաճախույունը ճավասար է 8, Ճ-ն՝ ճավասարակշոռուշեղման մեծությունը կոչվում է տատանման թյան դիրքից ամենամեծ ամպլիտուդ. գօ-ն կոչվում է

ւ

ի

.

այս -Հ-զ. 2) Դիցուք

Ֆ (ւ ճավասար են

ճավասար հշ արմատները

:

:

սկզբնական փուլ:(6) ֆունկցիա-

լուծումը բացասականթվին):Ուստի ընդճանուր

՛

կլինի

ոլն դեպքում

են

7»-Շյճ

- ՕլԱ

226-ում:

ԼՏ:

է

-(ԸԴՇ

ՂՀՎ

Ո

յի գրաֆիկը պատկերված է նկ.

(3)

Ը

'

,

Է-»օօ, ոչ այնբայց Այստեղ նույնպես շեղումը ձգտում է զրոյիչ երբ նախորդ դեպքում (շնոր"իվ Շ-Շջէ արտադրիչի, պես

րր" --

ր

առկայության):

(1)

ն`

6)

8էԻ-ՇչՏ1ոթէ: ճաստատու Վերջին բանաձնում Շլ ն ԸՇջկամայական է՝ մուժենք Ճն

Շլ

Ըջ

լ

են կապված են

Շլ--Ճ

Տո գգ,

առնչություններով։ Ճ-ն

ապյաւես.

ն

յ-ն

Շշ»--Ճ Շլ-ին

Հ--Ր-

Ճ-/ՇՕՆՇՆ

Մ/Շ

Շլ-ի

ն

-

Ըշ-ի -

կամ

տ

Փ

որոշվում են

Բ

Շյ

ԼՀՍ15) 7--Ճ8ո (Բիգ),

Ը": -.

Շ

շ

5) բանաձնիմեջ, (5) ՇՕՏ Փց Տ1ոթէ Տ1Ո Փց Ը0Տթէ-ԷՃ ՄՀ»ՊՄ

եղադրելո տեղադրել

ժեքնե արժեքները

որոնք

Փց

գ-ն

վ

ՃՀՄ

կունենանք

"ս (2)

(6)

դեպքումտատնումները կոչվում

են

յ

Հ

,

Յ-ՄՏ բՀաարխն Պ.

՛/

բ

«

2:-0,,

ՀՏՀ.

Նկ.

»

.-

Ղ--

25, Տատանման ք

խությունէ կոչվում

մանակում կատարվող տանուների թիվը:

ժատա-

օ05

(8է--Փօ)Դ14Ճ51ո(8էԷլգց)

`

`.

|«օտ(8է--Փգ)-Է151ո(8է-Էգս) ) Ս

`

(Թ)

ժեծությունը:

ինչպես նշվեց 711 գլխի Տ 1-ում, կերվում է Ճ վեկտորով:

բանաՉն

2--1-ՎՆ-Ճ 2Հ»Ճ

"կոմպլեքս

`

են:

Դիտարկենք

լ

հ բեբություն.տվյալ դեպքում

-Ոտո(8է-:Փ) -րոթէ:

լուծումներն (1) Ճճավասարման արտաձճայտությունները

: սմ

ճարմոնիկ։ինտեդրալ

605(ՔԼԼՓյ):

,

սինուսոիդները։Այն Ի ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում կորեր տատանման պարարգումենտը փոխվում է Չա-ով, կոչվում է սինուսի: են

պարամետրը փովոխվելիս (տվյալ դեպքում է-ն ժամանակն է) Ճ վեկտորի ծայրը գծում է կոորդինատներիսկզբնակետում կենտրոն ունեցող Ճ շառավղով շրջանագիծ (նկ. 277)։ Դիցուռ Ճ վեկտորով ն Օյ առանցքով կազմված փ անկյունն արտաճայտվում է այսպես, ֆՀ-թԷՎ-գՓց։8 մեժությունը կոչվում է Ն վեկտորի պտտման անկյունավին արագություն Օյ ն Օչ առանցքների վրաճ վեկտորի պրոյեկցիաֆերը կլինեն

:

Շջ-ի միջոցով

Նկ.

է

րր փոխա-

ճաստատունները,

ունի

երկարություն:

:

Ն`

7»ՀՃ Տ1ո(թէ--գց)։

Այս

«05

չ

որն

|Ճ|--ՃՀ-օօոտե4ւսստատուն

:

6)

«05

կոմսղլեքսՃարքության դիտարկենք Ճ-Ճ(լ)

շառավիղ-վեկտորը,

իսկ նրա

տեսքը,

Հաստատուններիճետ

«Օ7

մեջ

-

ունի Բնութագրիչ տեսքը: ճավասարումն ե՛Իզ--0 լուծումն են արմատներն էլ--թՍ էշ----թՆ որտեղթ-» յզ: Էնդճանուր

ուրիշներով: Այն րինենք

տանումներիկոմպլեքս ն վեկտորական սվատկերումները:

՛

»՛փզ--0

7-ՀՇլ

տա-

ուժը:

մադրության էյ

մ է դիմադր բացակայու

ք կընդունի " ասինք Րիցուք Հավասարումը 3)

ֆլեկտրատեխնիկայումն ուրիշ դիսցիվլիններում լայնորեն օդտագործվում են ճարմոնիկ

(8) կոմոլեքս մեծությունը

պատ-

Այսպիսով,(4) ճարմոնիկ տատանումների ճավասարման լուծումփովի դեպքումթ անկյունաներըկարելի է դիտել որպես զգ սկզբնական լին աբագությամբպտտվող Ճ վեկտոոի պոոյեկցիաներՕյ ե Օչ վոա։ առանցքների

0դտվելով էյլերի բանաձնից (տես կարելի է գրել այսպես. Հայտությունը

գլխի 9

(4)-Ը) (8)

'

Փ

2-Հ46ՄԿ):3ԷՎԻՓը).

/

Ն

Այստեղ որպես ամպլիտուղ պետք է դիտարկենք ժամանակից Քանի որ «ՀՕ, ապա այն ձգտում է զրոյի, կախվածծ" մեժությունը: երբ է--Գ-օօ, այսինքն այստեղ դործ ունենք մաբող տատանումներ ճետ, Մարող տատանումներիգրաֆիկը պատկերված է նկ. 208-ում։

արտա-

(9) արտաճայտությանիրական ն կեղծ մասերը (4) Հավասարման "լուծումներնհն։ (9) արտաճայտությունըկոչվում է (4) Հավասարման դրենք այսպես կոմպլեքսլուծում: Այդ արտաճայտությունը

Տ28.

(10) 225/16/66Մէ է Ճճ 6 արտաճայտությունը կոչվում ամպլիտուդ:Այն կոմպլեքս կգրվի այսչլուծումը կոմպլեքս Այդ դեքում Ճ"-ով: (10) նշանակենք '

պես.

722ՆՅ-ՅԵ Դ

ւ...

տատանումներ Հարկադրական

Հարկադրական տատանումների «ավասարումն ունի

տեսքը: :

(թ-»0,զ-»0,

2՛Էքյ՛--զ--1()

«ետնյալ

Դիտարկենք գործնականում կարնոր այն դեպքը, երբ արտաքինուժը պարբերականէ ն փոփոխվումէ

(11)

1 ()Հ:8

շ

ից"ք»-0 4 Հզ'

(1)

Տ 26):

տես

գրգոող

Տ1ո օէ

օրենքով,Այդ դեպքում(1) ճավասարումնընդունում 97-Լքյ՛-Էզջ»-8

Տո:

ճետնյալ տեսքը

է

(1Դ

՝

1) նախ ենթադրենք, "

ՀԵՆ

Ս

-՛

Ա2Դ

տեսքը:

թվեր

է ---Օ,

Օ-Է,

,

ոչ -«0,--| 8 Փ

որտեղ

Անճամասեռ

Ընդանուր Դ րի

կամ

ինտեդգրալն գր ւլ

,

»

Թ-լ/զ-:

7-6"

գ

ՏԼո

(Քէ-գյ):

գ Հավասարման մասնավոր

2) լուծումը որոնում

ենք

Լ Տ1ոօէ

՝

՛

(12)

ՅԷ)

՛

(13) ԱՐ

--քժճ,

(3)

ն

(զ--Փ3)օ,

ը

(գ--ԿՅ"-քա"

(գ--«Յյոքե:

ՆախքանԷԼ-ի Վ-ի զտած արժեքները (3) Հավասարության մեջ դադրելը, մուժենք Ճ" ն Փ" նոր Հաստատունները,ընդունելով ՈԼ-Ճ"մոց, .ԱՎ-ՇՃաՏգն

այսինքն՝

ունիի ճետկյալվան տեսքը՝ ՔԷ

5Լո Մ--««(Ըլ «05թէ-| Ը,

ձճավասարմանընդճանուր

(ՅԷ

Մ"---իկԸՕՏ օէ-է

Մ-

`

«ՀԾ 2

բնութագրիչ

"-ի այս արտաճայտությունըտեղադրելով տրված դիֆերենցիալ ճավասարմանմեջ, դտնում ենքՈՂ-իկ ՒՎ-իարժեքները

. |

այսինքն Ն-ՀԳ.

.

տեսքով:

։

ե

ճամասնո բանաձները)

անօ"գմո

Ճավասարման արմատների կոմպլեքս Այս դեպքումբնութագրիչ են

|

:

ե. ւ

Տ 27-ի (15) ն (3) լուծումն ունի

աաա.

Լր

ք-Բ0

ճավասարումն ունի Գ-ԷԼՑ կոմպլեքս արմատները: Այդ դեպքում (տես

ան

:

որ

`

ՀԶ

ՃԽո-|/ԽՄ-ԼԱՎ-)՛

Այդ դեպքում

անճամասեռ

կքգ"-ՀԼ: Ս ան.

Հ»

(զ-«Յ-Էք:օ

է գրել

տե-

-

մասնավոր լուծումը Հավասարման '

կարելի

9 ՀՆ: Հ-4Ճ' օը

Փ"

Փ'

«ԷՎ-Ճ""ԸԸՀ

ՕՏ

Բ

|

:Յ

Տ1Ո

ՕՔ-Ի«Հ:Հ

Տ(ղ

«Ն.

տեսքովկամ, վերջնականասլես,

(1)

ռ

աբքա«բրածո(6 / (զ -օԴ

թա

ճառնում

ց»:

,

|

Ճավասար է ինտեղրալը ընդճանուր: Հավասարման

սինքն

7 ՀՀՃԸ

ի

5լղ

Է3"

ՄՀ

,

-

այ-

Հ---շա Ճ

ՍԱԿԵ, Կ")Էջ

,

|

(6է--Փ"):

է

երբ` մինիմումի, երբ մինիմումի,

րաք

ֆ՛

ռ՞

ոա

Ս

Հետո որոշ Ճեւտնաբար, ճիմնական ժամանակամիջոցից կունենա նշանակություն տատանումներորոշող ճարկադրական երկրորդ անդամը: Այդ տատանումներիՓԺ Ճճաճախությունը ճավասար է 1(է) արտաքին ուժի Հաճախությանը.Հարկադրական տատանումների

՝

ցույց

ամպլիտուդըմեծ է այնքան, որքան փոքր է ք-ն ն որքան Օ-ն մոտ է զ-ին: Ավելիմանրամասն ուսումնասիրենք ք-ի տարբեր արժեքների դեքում ճարկադրականտատանումների ամալիտուղիկախումը Փ Դրա ճամար ճաճախությունից: նշանակենք ք(օ)-ով Ճճարկադրական տատանումների ամոալիտուդր:

են

'

։

տրված նկ.

22/

ք(«)

ՀՀ---Հ-ԵՏ-ՏԸՖ՝

//82-աթա

ա

Նշանակենք

:/՛ (Գ

«---ծ---

Տ

ի |Տ ի

բշ

՛

թ:

բանաձնով: Գանենքայդ

Ա-Ի Հոյոբթյ

-

"

Ն ԷլՀ

:

պայ :

:

:

'

:

|

լ

`

7Տ

. |

լ

'

/ -2`

:

որտեղ խ-ն դրդոող ուժի ճաճախության է Համակարդի ճարաբերությունն ազատ տատանումների ճաճախությանը,իսկ Դ Հաստատունը կախվածչէ դրդռող ուժից։ Այս դեպքում ամպլիտուդիմեծությունը կարտաճայովի

ճ,

ւ.1

Հ.

:

29:

Փ/թլՀ--1, ք/8լ--Դ»

-թ2)յ-

|

ի

ՎԵ

ար

,

գ

' ,

`

տատաչՂ

ունկցիաների գրաֆիկները

|վ՞

Ի

ւճ0

"

|

Թ

ար: ոջ 1--չ

Գ

քոչ

Օ,

՝

արփական

Ը

արտ

՝

ճ

զ

լ

որոշակիության (գրաֆիկները կառուցելիս

279-ում

:

Ընդունենքզ-Հ 85.(երբ ք»»-0 8լ-ը կճավասարվեր նումների Հաճախությանը ): Այդ դհղքում

Դ-իտարբեր արժեթներիդեպքում Ծ(:)

.

Լ-թ»

2:71

է

'

ն

ՀՀՀՀԿ.

։

Հ

Ա)

ֆունկցիայի մաքսիմումը: Ակնճայտ է, այն

(5)

`

արջերը ճավասար է Հետնարար, մաքսիմալ ամպղլիտուղի

ւ

ն

ք(«)»-

ղն

/Ա-ա

քա-

Հավասար

ը

Աջ մասի դումարի առաջին անդամը ճավասարմանլու(ճամասեռ ծումը) ներկայացնումէ մարող տատանումներ. է-ն մեծանալիս այն նվազում է,

որիճամար ճայտարարի

կլինի Խ-ի այնպիսի արժեքի դեպքում, ռակուսինունի մինիմում: Բայց

(«ԷԼգ»):

Բ---Վմեն

կ

(5

Նկ.

-

47.

25.

Համար ընդունված է 3-1,

նանսիկորեո:

Համընկնում է արտաքինուժի ճաճախությանը, ապա (3) ֆունկցիան (6) ճավասարմանլուծումը չէ: Այդ դեպքում, Համաձայն Տ 24-ի արդմասնավոր լուծումը պետք է որոնել յունքների, ԱՏ ոթն)

եզո

են Ը

(5) բանաձնիը ճետնում

մաքսիմալ արժեքը էն

Այդ կորերը կոչվում

8լ--1)

ճասնում

է,

փոքր Դ-ների դեպքում ամալիտուդի

որ

է Խ-ի ալն արժեքների ճամար, որոնք մուտ մոտ է աղատ ուժի Հաճախությունը

երբ արտաքին եկին,այսինքն՝

կգտնենքԽ-ը

տատանումների Հաճախուքյանը, եքե Պ--Օ (ճետնաբար, ք-»0), երբ շարժման նկատմամբ ղիմադրությունը բացակալում է, այսինքն՝ տատանումների ամպլիտուղը անսաչճմանափակորեն Ճճարկադրական

է, նրբ 7--»1, աճում

այսինքն՝ երբ

Մ

լուծումը Էնդճանուր

ուժի առկայությանդեպքում. պարբերական

7՛-Էզ--ճՏլոՓն

Ս"ո- 71 Լ908

զաշցոտէ ՛

բաո

խ

Հ

ւ

`

՝

Ն

օէ աէ-Լ ՎՏԼՈ

աւն

տ

ր

ր

կգտնենք

Գ

| Հ

ե

լ

'

որ

այղ

անսաճմանափակորեն

դեպքում

տա-

աճում

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգեր

աք ր չ

:

զ--ՓՀ

խնդիրներ լուծելիս պաճանջվոմ է պտնել Սլ-ՇԱ(ՆԿ, 3125 »-32(Ճ), ո--Ֆո(Ճ) ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են Ճ արՋումենտը, որղնվող Սլ, 32 :.7 Սո ֆունկցիաները նե սրանց աժանցյալդիֆերենցիալ ճավասարումների ճամակարգին: ները պարունակող այան Դիտարկենք առաջին կարգիՀավասարումներիճենտելալճամակարգը: Շատ

,

":

-

զ--Ջ

Պո (ե)

Օէ: 51ո .

Գ.

Այսպիսով, շարժումը ստացվում Է 8 սեփականտատանման Հճաճախությամբ ն Փ ճաճախությամբ «արկադրական տատանման վերադրման արդլունքում: եթե Փ»բք, այսինքն՝ սնփական

նէ,

տատանումների Հաճախությունը

Ֆ

'

Վր

լ

(Խչ

Ք

ք 32»

ջ

ՀԱՄ

աաՄո) «5

աֆ

Ֆո

)

Մոն

(լ )

:

մ),

Գո,

վորագրման

-

Նկ.

ՀՃՏպո(բէ-ցյ)--

է տալիս,

ցույց

.

Ընդչճանուր լուծումն է

--Հ

ամպլիտուդը

Տ 29.

`

Խն--0, Վ--

` ՞

աար

Ֆ»:1Տ1ո(բէԼցյ)---Ըէ«օտթե

.

ՖԻ--ի16ո05

-. -

՛

շ

կունննա 4ետեյլալ տեսքը

է՝ | ժամանակի տեղի է դեպքում. Այս երնույթը, որբ ունենում, երբ Համակարգի սնփական տատանումների Ճաճախությունը Համընկնում է արտաքինուժի ճաճախությանը, կոչվում է ռեզոնանս: Ս" ֆունկցիայի գրաֆիկը պատկերվածէ նկ. 280-ում: տանման

05-Ը: Տո բէ (8'-Շզ):

ԸՕՏԹԵ

աճման Կսանսաճմանափակորեն

ձամասեռ ճավասարմանընդճանուր լուծումն է.

յ»

զ

--ջք

Աջ մասի երկրորդ անդամը

(6)

եթե 8Հ-Փ, այսինքն՝ երբ արտաքին ուժիՃճաճախությունըճավա-չ սար չէ սեփական տատանումներիճաճախությանը, ապա անճամասեռ Ճավասարմանմասնավոր լուծումն ունք

Վ--0,

2թ

.

:

'

:

Օ2»--զդեպքումտեղի ունի ռոնղոնանսիերնույթ: 2) Այժմ ննքադրենք, որ քՀ--Օ, այսինքն՝ քննարկենք առանց դիմադրությանառաձգական տատանումների ավասարումն արտաքին

---Շլ

ԿՎ-ը.

Հնտնաբար,

օ-.բ--|/զ:

գ-0)

.

ն

նջ, արտաճայտությունը Ճճավասարման

Խ-.

հոնը )--օօ: րի"

(7)

"Հ-Է(11665թէ-Է

այս տեսքով:Տեղաղրելով

|

զ

:

որտեղ Հլ,

12»

յո

"(ե

ը

ր

5»

Մո),

որոնվող ֆունկցիաներնեն, Ճ-ը՝ արգումենտը:

-

Դիֆերենցիալն ինտեգրալճաշիվներ

ձախ մասում միայն Ալսուղիսիճամակարգը, երը Հավասարումների չեն առաջինկարգիածանցյալներ են, իսկ աջ մասերն ածանցլալներ կոչվում է նորմալ: սլարունակում, Մո ֆունկնշանակում է որոշել լ» 3» Համակարգը՝ ինտեգրել են (1) Հավասարումների Հ ամակարգին ցիաները, որոնք բավարարում

Հատ

Առաջին Ո--1

րիի

(1)ո-ո

«2

ելել ժ

ո մ:

ԱԽ. Գլ,

Փ.

Վ

«3:

զ

Աո

Փ զ. ներից նրանց է, Ե,

լ 2:

Փո

ՓԳ 7:

7ո

արինելով 11) փոխարինելով

աժանցյալնե անջյալենրը

7:-նեչ

վ

Հավասարումը:

շ

ն.

ֆը

բ

թ -ՀԲ,(Խ

7».

«

մ : մշ ,

ռ

--Բո(չ,

Նմ ավասարումը:

|

Մր

«ո»

ն

ժ,:

յ

զ: զո:

վարվելովնախորդին

ք ԱԱ--ՓԱռ

Շ.,

(5)

ՖՈ-):),

աս

ՄՐ-Ց.(Խ Շր

ժո-ն7լ

զ

՛

Այս

3ո):

Ճավասարումներից կարգի ճավասա-

Շր):

ա,

որպես2-ի, ածանցյալները

(4) տեղադրելով ֆունկցիաները

(6)

անդամ, կզտնենք

Ըլ-ի, ԸՇջ-ի,

ճավասարմանմեջ,

Ըղ-Փֆ որոշում

ֆունկցիաները.

աե Շլ,

7»Հ--վ

կստանանք

,

,

Շջ

,.

Զ)

.,

յ

Դ

:

3ո--ո(5,Շլ. Շ,,

ԸՇյ):

մին

Որպեսզիստպցված լուծումը բավարարիտրված (2) սկզբնական պայմնում է (6) ն (7) Հավասարումներիցգտնել Ըլ, Շջ,տ., Շռ մաններին,

.

Համաս ատամանարժեքները ճաստատունների (նմաննրան, ինչպես

:

արեցինք մեկ դիֆերենցիալՀավասարվան դեպքում): 1: եթե (1) Համակարգըորոնվող ֆունկցիաԴիտողություն ների նկատմամբգծային է, ապա ն (5) ճավասարումը կլինի գծային: տյդ

նե

Ֆր

ր

1:--Բ,(7,Մ, զ»:

ո)

ւա

Ը

Մո)

Օրինակ 1։ ինտեգրել

:

:

( 3) :

աար,

զո

7««Բյ(4, Մր Վճ

«ոշ

Մո):

մշ

ճ7

ԱՐԱ»

:

լ

"

ենք 32, 35, «.)ո

Մո)

(4)

Ֆո-9)

սա

նէ Տուն ունքցիանձր,

-

ենք 4նտելալ Համակարգը:

մ»,

ե

|

ՅՅ),

«ա

արտաճայտությունըդիֆերենցելով Վերջին

.

Այսպես,ուրեմն,ստանում

ֆլ:

լ

Ո--

Այնուճետն շարունակելով ճիշտ նույն ձնով, վերջապես, ղ

:

Տ

յ"

ոո

17),

ա

կուծելովայս Հավասարումը,կորոշենք Մլ-ը.

'

Դիֆերենցելով ստացված ավասարումը նման ձնով, կգտնենք

ց

Հավասարումմ Հ

3)

ա

Ի-ՔՈ

ձ"

|

կունենանք արտաճայտություններով,

ո

Ն

որոշման ճամար կստանանքՈ-րդ

-

(1)

3.

տեղադրելով (3) Այսարտաճայտությունները

Կինրջինիմեջ, յ-ի Դրա

ժի,

7շ-ԳՓ.Ը»

ոՀ«Փո(Խ :

ըստ չ-ի. առաջինըդիֆերենցենք (1) Հավասարումներից

ո-ը՝

ածանցյալնե-

ակղբնական պայմաններին: Համակարգի ինտեգրումըկատարվում տեսքի Հավասարումների (1) 4 Հետելալ կերպ:

73,..,

միջոցով "Ոչոցու'

(2)

(Մ/ոռ-ա-ՀՅ3ոց

(7ջյո-ութ-3»գ

Տո»

- մոլ

ԼՈՅ,

մոշ

Փ.

-

'

արված

նե---,

դրանքարտաճայտելովՀ-ի, Հ-ի

"2

լ

Հավասարուներից որոշում ենք Ս, զո-ոջ1 մ, 1 «ո Գյ

ճամակարգը

,

:

(ա)

ՅՑ: »

ան

.

ի

ԱՀԹ

(3.

սկզբնականպայմանների դեպքում:

0ԹՆ

(2), 2-0

(բ) -

ու

1)

ժում.

ըստ 12-ի, կունենանք դեֆերենցելով Հավասարումը Առաջին

Վո

(ատանանք

Հավասարումների վա

այստե1

ՒՆ

մ «Հի տեղադրելով

ե

մշ

։

ր

-

նթ

ՀՅ.

արժեքները»

9 ---ի

ԱրտաքսելովՍ

:

ի 7 Հո

Բո

դտնում 2) (ու) Համակարդիառաջին Հավասարումից

բա

Հավասարումը:

ենք

Շլ

(է)

ուլ

նում

են ենթ

ԸՑ

րարող

ՀՏՆ

Ը.

26:141

7(104-62)6-2-Ւ52--9, 7-«(-14--122)օ-4--64-Ւ14: ն

Դիտողությու

մենք ենթաԲերված դատողություններում

2.

առաջին Ո--1 որ (3) ճամակարգի դրեցինք,

ճատ

կաՀավասարումներիը

ոլատաճել, որ այլ ավելի քիչ

ֆունկցիաները: Կարող արտաքսվումեն ոչ թե ո, փոփոխականներն ո թ Այդ դեպքումՄ-ի որոշման ճամար կստանանք թվով Հավասարումներից:

բելիէ

որոշել

է

Սո

3»:

աա

Ո-ից ցածր

կարգիճավասարում:

0րինակ2ժ

ինտեգրել Հնտնյալ ճամակարգը.

Բգո

լ Ցավ, Փ

,

Փ.

«Րա»

՝

լւ

ՈՑ

2.7:

ա

ճամար

ՎլՎ-7--ՅԸցծ2Է է

""

Քայց

այդ

դեպքում

ճավասարումը, կղտնենք

Ըչօ-ԵԼԸ,օո 2ՀԸ6-1ԷԸջծ՞:

(ք)

(օ

ճավառարումներիՀիման վրա

ռտանում

ենք

7»---(ԸլՀՇջ)օ-ԷԷԸչօո: են

ճավասարումները տալիս

(8), (1)

(գ),

Ա)

տրված ճամակարդի ընդճանուր լուծումը:

Դիֆերենցիալճավասարումներիճամակարգկարող են մտնել բարձր կարգի ածանցյալներ:Այդ դեպքում ստացվում է բարձր կարգի դիֆե-

Հավասարումների Համակարգ: րենցիալ

.

։

:

տը

Այսպես, օրինակ, Է ուժի աղդեցության տակ նյուժական կետի չարժման

մասին

ւն Հխնդիրը բերվում է երկրորդ կարգի հրեք դիֆերենցիալ ՀավասարումներիՀամակարդիւ Դիցուք Էչ-ը, Իջ-Ը:Ւ7,-ը Է ուժի պրոյեկցիաներնեն կոորդինատայինառանցքներիվրա: ւ

.

ցանկացած 1 ժամանակի

անտետ

,

Ճ-ի,

Մ-ի,

ԱԱ

,

"Քն

Ց

ռլաճինկետի դիրքը որոշվում է նրա 3, 1, 2 կոորդինատներո ն ի արագությանվեկտորի պրոյնկ» -

շան ա բ մ:

ի '

|

է

արժեքները տեղադրելով տրված ճավասարումներիցերրորդի

որոշելու

այս հնտեղրելով Տավասարումը:

,

տնաքը

ԱՔՐ

Գոա: արար կստանանք

3-ի

2-ը

9,

ՔԱԿ

մշ

,

սկզբնական պայմաններին բավաշ

ե

լուծումը

օ)

զ» յշշռատ--7--Ըյօ-

ն

-

ստա" (է) Հավասարություններից

ն

Շշ--6: Այսպիսով, տրված (բ)

լուծումն ունի ճետնյալ

՝

(ը) սկզբնականպայբավարարվի

0-0" ՐԸ Հայզ-չտ

որտեղիցՇլ-10,

յ

0)

շ--(Ը-2Շլ-2Ըչ)6-«-6»-Ւ14:

«ՏՆ (2. մանները. (3,

(6)

7»«Ըլ-ԼԸշո»)օ-2-Ւ52-9

Հաստատուններնընտրենք այնպես, որ Այդ դեպքում (1)

Շշ

ն

մշ

՝

Գ:

Հավասարման ընդճանուր լուծումն «Վերջին

՛0ւ)-ե Հիման վրա

ՀՁ

2--Ըյօ-ԷԼԸյծ2: ՓՐՐՒՇՏ

--»«--Ըլբ-ԷԼՉԸշօ2. ՛

է

ե

ինտեգրելովայո

մ.

-

չՃ

մ

մ:

Վ.--25--0 մէ նրա ընդճանուր Հավասարումըչ կատանանք

մյոտեղից դտնում ենք

--Ց-9(8-9-»-1 մշ

փոփոխականները

(դ)

ստանում

,

մ

զ

43123 մ մոշ

Տու»

`

մեջ, ստացած Հավասարման

««(.-Է7)1-(4-Է7,

ԱԻ»

ենք

2--Հ-Հ-3--Ճ Վ Հենց նոր տեղադրում

|

Հ Գշ

մ

/

ենք

Հավասարումներից, կունենանքմ-ի նկատմամբ երկրորդ կարգի

Գ Կ)

Հ-Հա«--37-2243:-Է 1: մշ7

Գէ

մ.

:

կամ:

ն

`

Ի -Ի2-Է»-Է(-47-32-2921

«7

Փ.6 Ց. ձէշչճէ

.

ւլ.

է-ի, դնում

Առաջին Հավասարումըդիֆերենցելովըստ

ձուծում։

Ը

մ:

'

|

Ն:

տի

արա

ս

ա

Հք,1: մ

ենթադրենք,որ Ի ուժը ն, Հետնաբար, նրա Բյ, Բյ» Բ, «պիոյեկցիաները կախված |է ժամանակից, 1, Ս, շ կետի դիրքից ն կետի շարժման արագությունից, այսինքն՝

Փա, ՅՐ ՅԸԹ `

Այս խնդրում որոնվող ֆունկցիաներն

են

տ

ձե:

(

Հ-Իյէ| եՆ

Ֆ2--,

ար

լ

-օւ"

ձէ"

4ւ/

Ճ,

մ: ի

7, 2,

մ:

Լ'

մ, զը

մ

ց.

մ:

'

»-ի

-

»լ

Թ

.

շ

42:

ո--շՀ-Ի մշ 7

ոշ

ԵՐ

'

Հո"

5,

մ. -

Վւ

մ

ո

Այս դեպքում մշ

ս

մլ Հէ»

ժշ

ՀԱ-Ն

.

ր

:

արեւա

`

Տո

4:

առաջին Հավասարմանմեջ, կզանենք տեղադրելով

2-ը»

:

«05

4--Ըյ

Տ1ո

2:

գծային դիֆերենցիալ Տ 30. Հաստատուն գործակիցներով համակարգեր հավասարումների

`

Մուժենք

կարգը.

:

Փու.

:

։

Վ

անեն

Հ 8լոն ճլ-ԻՑեջ-Է-.. «ղո՞ո: ԹՑՈ

ՊՐՈ

մշ,

--ոաթըցլ

րր

:

բ

|

"ՀԴճար ԻԷ 8.շՃ,-Է.ԴԷՅՏաՃոչ ՃՆԴ ,

ու

ել

ր

ՎԳ««««Հ«..«

ՇՓ

(լ)

96...

|

ժո. -րաաոլել-ԷՑո

'

Ե-Ի:

8ոոճը»

յ

:

:

:

,

է-ն արադության ճաստատուններեն: Այստեղ գործակիցները որոնվող ֆունկցիաները:(1) Համա25(է).:., Հ(է)-1՝ Ճաստառտուն է դործակիցներով փարգը

որտեղ Յլ մոմենտն է, (Ն), կոչվում

:

գծային

|

ոո եզրափակելով, նկատենք, որ ճամակարգի լուծման մեր կողմից քննարկվածընդճանուր եղանակը մի քանի կոնկրեա կարելի է փոխարինելնպատակինավելի արագ բերող այս կամ այն արճեստական եղանակով:

դեպքերում

-նն

Ճ--Ըլ

Ն Դիցուքունենք դիֆերենցիալ Ճավասարումն երիճետեյալ Ճառմա

.

Համասեո

դիֆերենցիալ

Ճճավա-

Համակարգ շթարումների Ինչպես արդեն նշվել է նախորդ պարադրաֆում, այլս ճամակարգը է լոժել վերջինս մեկ ո-րդ կարգի Հավասարմանբերելու ճանաւՎարելի որը վյալ դեքում կլինի դծային(դա Ցույց է տրվելնա-

լրարճով, Ն

ա.

-

Շ0Տ

նն

ՉԸՏԻ

ին

օրի

՝

մլ

ոա

մ ճավասարումը:

'

մՄ

մ»

Շշծ--2--Ըյ

2-Ըլվ-Ըչծ-Հ--Ըյ

(ն)

մ»

զշ

մշռ

:

՛

Այստեղից գտնելով

որոնվող ֆունկցիաներով երկրորդ կարգի երկու ճավասարումնեբի ճամակարգը փոխարինվում է 2, ), Ա, Մ չորա որոնվող ֆունկցիաներով առաջին կարգի չորս Ճավառարումների Ճամակարղդով. ե

կարգի

չորրորդ

`

ԱՐՀԻ Ա27

-:

Ճավասարումը, կոտանանքնրա ընդճանուր լուծումը (տես 822,

ՀԸ

(102

ճ

,

ե...

Ինտեգրելով այս ֆակ 4)

`

ճ47

ենք

ստանում

ուստի

(95

մ

Վ»

.

-

երկու ճավասարումների Ճամակարզը: կարզի դիֆերենցիալ Ճճավասարումների ճամակարդը կարելի է լուծել վերԲարձր ջինս առաջին կարգի Հավասարումների բերելու ճանապարճով:(9) նե (10) ճավասաչ րումների օրինակի վրա ցույց տանք, թե ինչպես է այդ կատարվում: ճետենյաչ

նէ

ՆԱԶ-Զ աֆ, `

Բայց

ձո մ) "զբ Հ

ՀԷյլե

ո:

՝

Ստացանք երկրորդ կարգի երեք դիֆերենցիալ Հավառարումներիճամակարգ: Հարթ շարժման դեպքում, այոինքն այնպիսի շարժման, երբ ճետագիծըճարթ կոր է, որը գտնըվում է, օրինակ, Օ57 Ճճարթությանվրա, ստանում ենք չ(ն) ն (ն) ֆունկցիաների որոշման Համար

նշանակումները.

ՀՅ.Յ-: մտ մա4

):

եէ

դիֆերենցիալՀավասարումներիճամակարգիընդճանուրլուծումը: Լուծում: Առաջին Հավասարման երկու մասերը երկու անդամ դիֆերենցենք ըոտ

ֆ

)

--

ՀԱ Ջ

,

|

:

է,

--բ

մ

մ,

ա-ոնՖճցբ

(98), (10) 2(է)

3.

մշ

դինամիկայի «ՀավասարումներիցԸ̀նյուտոնի `

մ12

Գտնել

Ց

2--2(3

7-Յ»(Ս,

ՃՀ-2(է),

երեք ֆունկցիաները, որոնք որոշվում

)օրենքը

Փրինակ

1-ին դիտողությունում ), Բայց կարելի պարագրաֆի

խորդ մակարգը լուծել

է

Այսպիսով, (2)

(1) 2ւո-

կերի դեսլքում, որոնց ճամար (1) դետերմինանտըդառնում է ե-ի որոշման ճամար Ճճանգումենք

մեթոդով, առանց Ո-րդ կարդի Հավասարման բնույթն ավելու ժման բերելու Այս մեթողը ճնարավորություն է տալիս նան

այլ

լի ակնառու վերլուժելու: Համակարգի մասնավոր լուծումը :

Ճլ-ՐԱլ6

Պաճանջվում է

բող

ն

Օլ, զջ. ...Օղ

լ

ն

ն

եէ.

ղոՏճոծ

այ

ձւ--ն 2: 31

(2)

ճաստատունները հրոշել այնսլես,

որ

|

Օրճ"Ն ֆունկցիաներըբավարարեն (1) ճավասարումների Համակարգին: Դրանք տեղադրելով (1) Համակարգի մեջ, կստանանք. էԳ,Շ«--(8.լօլ (8.6. Տ

.

«

«6

ո)65

10-Ի Փ

ց

ԷՅ,

օօ

օ

-

"`

ն

'

ճավա-

գորժակիցները,կստանանք«ճետնյալՃավասաջելով Օլ-իչ օջ-ի» Օո-ի Համակարգը: րումների

8լաջ-Ի...-Է Օղոնո--Ժ,

ՔՅՓ0ԳԿՓԳՓՅ.Փ

ու

Գլ-ը» օջ.-Ը

«:ռ

8չոՂո--0,

Փ..

Հ.Գ.

Չո-ըն Է-ն ընտրում ենք այնպես,

.« օ«

Փ2..

որ

(3

ՃՈ

զ

ջ

է

ԻԴ"

Աննի ւ

զ շռ

ճա-

սրա արմատ ար-

(3)

| |

է

|

ո.

|

04),

«0

ո

..

«(Սագ(Ս6է, ՂԱԴ...

ճջ արմատի ճամար (1) Համակարգիլուծումը

լ

եղ

Օլ

է (ո)ԸԿ 6՝ո՛,

(ո)... (ո)յռնրէ եֆ Հ-Օ.շ 6՝Ո.,

,..յ

ո.

մեջ անմիջականտեղադրմամբ Հավասարման

Ց--Ըք(թոււգ

ՀՀՇ

|

նիի,

|

Շու

Բով Ճր-Հ-ՇլեՐ

լու-

ր

օԽէ

Ճ0)ՀՀԱՅ)

արմատիճամար (1) ճամակարդիլուծումը (ո).

(9

է,

ՃԱ-ՀԴՐԾԵԼ,

«(ԹՀՀԳ()ՇԵՒՆ,

Ճլ

8ոջ»(Յոո--է)|

ո(()-»աչ(Ս5»...-5ղ(0»-0:

ԲԱԶԿԱԿԿՎԿՎԿՎԱԿՎԱՅԱԿՎ

ճամակարգըբա-

Ճ դետերմինանտը զրոյից տարբեր որ եթե կ-ն այնպիսին է, զրոյական ապա (3) Համակարգն ունի միայն ՕլՀՕ-ՀԱՈՀ-Օ րիմ աա» (2 Բաղանորը տազաոո ւրա

Կի

(1)

1Բնութագրիչ

ՇԽ Ե ՋՐ)առմոՈ)Շնն

ՃՅՈՀ-Օ(Ո

«2

է

գործակիցները: Կարելիէ ցույց որ տալ, դրանցից մեկի կամայական Վ. այն կարելի է ընդունել Հավասար մեկիչ Այսպիսով, ստանում ենք. էլ արմատի չամար (1) «Համակարգի լուծումը.

բ

վարարվի։Այդ ՀամակարգըՕլ-ի, Օջ-ի» Գո-ի նկատմամբգծային ճանՃամակարգ է: կաղմենք (3) Համակարգի ճավասարուփների բաճաշվական է հտերմինանտը. դոտոր 8» Յո Յղ-Ք | 1.

,

Լոր

(27, ՔԵԳ

8ոչ02-::.-Է(Յող-Ք)Օո--0:

-Է

ւ

8ոջ--.8րղ-

Ող

Հավասարման արմատն|իեն նէ իրական ն էջ ո-ով նշանա տարբեր ենք" բնուքագրիչ թան աւն է դրի ոաքանչրո Աք Հ ամամարւան զ արմատի ն որոշենք առար գրենք(3) ճամակարգը

Բը

լ

5)5

Քննարկենքմի քանի դեսլքեր:

"ն

(8շշ--ե)օ.,-Ւ...Դ

«-Օ

փատներ

կրճատենքՇՎ-ով: Բոլոր անդամները տեղափոխելով մի կողմ

829.

Չր

ա

.

|

(Յլ--Ճ)աւէ

Ճնր

Հա իճանի աստիճանի Այս Հավասարումըկոչվում ծավասարման։ մակարգի բնութագրիչ Հավասարում. Ջերը կոչվում ենբ նութ գ ըիչ «ավասարման

օչ-Է"-Դ ճողաո)ծ

՛

ք

-

Փ

Տօ ո6"Հ«(8ոլալ-ԻՅը

Յլո

Ո-րդ

..-Էճոյծն -Էճ,ս ո)

Յւ--Ք Գջջ

Ձլգ..:

.

ՕլճրՆ Օջճ րՀ:

կոլճ «(8

զրո

՝

կորոնենք ճետնյալ տեսքով.

Պջոթզջը ա

ճէ

կստանանք միայն այնպիսի

տրիվիալ լուծումները

ոչ

Ը 2(06թգ.,.

գ

(ո). 7(ո)ոբ յ Ճո ՀՅճր ճո:

ոէ

կարելի է Ճամողվել,

որ

Ըլո(ժժան

-Ըչեն) բել«ԴՇ լաո)ԹՀոն

(6)

Ըլգ(2642ի.,..Դ-Շղե")6 հոն

որտեղ ֆունկցիաների Համակարգը,

Շլ, ՇաւաԸռ կամայական Հասնուլնպես (1 "Կոատուններ ր րանս լ ա են, Ցի լ 4 ավասարումների բի Համա) դիֆերենցիալ բու ր ւ

Համակարգիընդճանուրլուծումն է: Հեշտ Է է Հաստատուններիայնպիսի արժեքներ, գտնել որ կարելի ցույց տալ, որոնց դնալքում լուծումը կբավարարի տրված սկզբնական լայման-

11.

լուծում է։ Այդ (1) կարգի

Ջեները

Փեսա

ՓԿղ.

Ցարդ

Ս

'

7.-.ը,Ը

հ

|

քշ»-4:

ր

։

(1) /ԴՀ«օ«(Ռդր)605 ի-Լ

.-

«2.- օգտ

գ(9.ը

ն

լ

01-Ը,

(3) ճամակարգը կլ--7

է

ա որոշո

տրտեղ 10) Ղ 10), Ի, Ւ,

Է

նն ք

:

բ նը

:

ՐՃ

1.

Ընդունելովգ)», օ(3-.--չօվ» լ

ատացանքՀամակարգիլուծումը.

ճամակարգը, քշ-4

Այուճետեկազմում ենք(3)

Գ(8-ը

053-բ.

ոբտեղիցգ02)-02 ՏՈՄ

ատա

գ()--ոռ 1շ'

գ022Ն 0022),

Ստանում

ՎՅ Հա ԼԴ»«օ4Ե

ընդճանուր լուծումը Համակարդի

լ

արմատիճամար

ն

,

ճե. մ.

ու

Ժ

ու

մ,

ճամ |5-12:--37-0

ն

|

-Տ-

գտնում ենք նրա արմատները.

էլ----6

եչ----Փ--լ

1,

) Համակարգի ակարգիմե մեջտեղադրելով (Թ) 6Վ1, դտնու գտնում ենթ ադրելով էլ էլՀ--.6ՎԼ :( ո

գ17--1,

:

օ47-1րո

:

«(2-6 "(3) Համակարգում Էչ---Ք-տեղադրելով ։

.

ա

|

ՒՀ»

։

Շ.յՇելԼԸչօ4է

որոշվող իրական

կազմում ենք բնութագրիչ ճավասարումը

ենք (1) լուծումը Լ.Ֆրում

2լ-ՀԸյծէ-Է Ըչօ4է,

Մեջը իջոցով

«-ա-ՏԿ

-Մ-ի Հ

-ի

։

ւ

-

(2)

Գ)

Գոնել

4:

որոշում

էնք Համակարգիերկրորդլուծումը

:

դ

:

Օ)--ու. 2-64.

)

2)

Օյ. -ի

Հ-ի

(9) ֆունկցիաներիՀամապատասխան կոմբինացիաներըկմտնեն կար ամակարզի ընդճանուրլուծման մեջ:

յսպիսով»

:

կլինի (տես (6))

2-3

«05

ՎԱՐ

-

(9)

8»),

«05

(2)

ընդճանուր լուծումը,։ "ճամակարդի

--Չ017)-գ 20(3--0, զ(2. օ()--ց, ն

:Օ 1յ

»

'

«()Հ--6ԵՉ:

(ծե ն

կստանանք

32. յ

են:

Օրինակ

գ1--205)--0,

ոբտեղից

ամար

`

Գ(3.-.20( 7-0,

Տո

(

Ը

(2--1)գ(0--20(7--0, 100--(3--1)0407-0

կամ

-

արմատի

ՅՈՏ»6«(1(2Տլո8:-ԻՅ2) գյ Ը05 82), ՑԿ1255 թ») 82-Ի1/3)

-

տեսքով: կազմում ենք

-Հ6«է/1Ր)

Ն

0()66

(1

«2 գ0)գե,

Մ,

Ն

-

ենք նրա արմատները

«ագ()5Ե

'

րումների ճամակարգից: Այնպես, ինչպես ն Տ 21-ում, կարելի է ցույց տալ, որ կումոլլեքա լուժման իրական ու կեղծ մասերընույնապեա լուծումներ են: Այսպիսով, ստանում ենք երկու մասնավորլուծով,

13-ի

ո-ն

ա տ-

-

ր" Լ

Համակարգիլուծումը որոնում ենք

արմ

ի

կամ է2--5-|.4---0:

/2)606-

,

|

ու

Գտնում

նրանց

բայց

պոշաթաոծթ Օ-ն ..ս ո, ն 2:22 Թ) )86-Թ) (Հ--1,2, ...9 ո) 21ՀՀ. (8) լուծումները: լ) ն 017 գործակիցներըորոշվում են (3) ճավաում

|

ՀավասարումներիՀամակարգի ընդճանութլուծումը: մփ. բնո Ժ : կազմում ենքՔ բնութագրիչ Լո ճավառարումը՝ Կազ Հավ ւ

ն,

ն,--Օ--)ք: քլ»»օ,18, Այս արմատներին կշամապատասխանեն

ւ

Գանել

Հավասարման

ե

ժեջ կոմպլեքսնե ր: Դիցութ բնութագրիչճավասարման արմատներիցերկուսը կումալլեքս ճամալուժ են

Ը

0բինակ

տարբե

կան

ննրին:

գրիչ

Բնուքա

գ(3--1,

Ե

»40--(14-1)6(-640Է գտնումենթ

-

օ(32-Է-ը

Զրոյից տարբերօ.-ն ն բ-ն որոշվումեն միայն այն դեսլքում,երբ Համակարգիդետերմինանոր ճավասար լինի զրոյի՝

Սոանումենք (8) լուծումների նհրկրորդՃամակարգը

9(2-«(1-60-6-ԴԵ

»(--6(6-ՍԵ Գրենք (7՛)

|

8յ--ք

լուծումը. յ

(2...

օլ

կամ

(695 ԼԼ153:

7:

|

Գրենք (8՛)լուժումը.

20)--6-

է--16-6ԵՏ1Ո

է,

ո0)--Շ-6((605. Է--Տ)ո

՛

()--Տ-6(«05

Հ). լ

օ-6Տլ 6-Շ15լո

2(2).-.-6 Շ--Ե((6օՕՏ 2:

է,

2-ՀՇլօ(

իրական առանձին

է),

Է-Տէո

լո ժ: է): է--ՏԼո

Ճշ-Ըյծ-6:(6205

6"

Օրինակ:

ւ

Հաստատուն

422ա գն

«`

:

,

է ուսումնասիրվում ամիր ւ

1--իշ

զ:2

(10)

Վլ

«Վո

ՀՏՅշյ

7:

ԽՆ '

|

տեսքով: Ք

Այս Մ

արտաձճարոությունն ի չ

Յէ.

ուռամու

ե ին

10)

ոնուսդրելո ղաղրոլ

Գ-ն,

(8: է՞օ-Իճւյի--0, 8շս-Ի(չչ-Ե)Ք--0: |

ն Ճ-ն

-

'

Համակարգում ԻԳ

որոշելու

աթո

արմատները.րք

---0,

ԽՀ-լյ/Տ

50)»«90)61,

5(3Հ8026-1Ն ե

5(2)-զ ԱԱ

90)-693

այօ3Ե 1(3)550 «2-00)9 (11) Համակարգից գից գ գտնում

ճամար

Ոթ

ԽՀ.

հջ-նե

20)Հ-40)61,

Մաթք6

ենք Բ-ն կրճատելովով, ՀճետնյալՃավասարումների Համակարգը ե

-

նրա

լուծումը կորոնենք ճետնյալ տեսքով.

ձամակարգի լուծումը: երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ Հավասարումների նորից լուծումը որոնում ենք

2:Հգ6Յ,

--4

Լք

Ն

'

ԳիֆերենցիալճավասարումներիՀամակարգիընդճանուր լուծումըո ֆրում էնքՈՑ (19) արեն Լուժում, բնուքաղրիլճավասարումը ր ն 4 տանում ՛

վ )

Վջ

ՀԱՀ

:

ւն ն ումի օրինակ տեսությունում, Մեխանիկալումն ելեկտրականշղթաների

ԱՀՀԽԱւԻՑո,

6",

մշ

դործաչ

ճամակարգիլուծումը: դիֆերենցիալ ճավասարումների կիցներովդծային

Ն

ԴԱ)ճնէ

Գանել

Ր

մեթոդով կարելի է գտնել բարձր կարդի

`

-

է) -Շջօ-60(605 է-ԷՏ1ո է):

է--Տո

(3)683է Շգ Շյա6)65

եքե որոշ արմատներ կոմպլեքս են, ապա կոմպլեքս արմատների յուրաքանչյուրզույգին ընդճանուր լուծման մեջ կճամապատասխանեն (9) տեսքի արտաճայտություններ:

.

է, ԷԻ-Ըջօ--6:51Ռ Ճյ-ՀՇյօ--660Տ

2)ճնշէլ թ է

ԻՇ

1)ճնյէ

7»«Ըլք()62Խե-ԼԸ,802)6ԿԽԷՎԸՇլք(6ԹեԼ-Ըլյք()Բ։Ն

մասերը

|

Համակարգիընդանուր լուժուժը կլինի

նման

---շ

էՀ 511է):

--16-6է(6օՏ

իրրե մասնավոր լուծումների Ճամակարդ կարելի է վերցնել ն առանձին կեղժ մարը. է, 5(92«օ-ՅԵօ5

(1) Համակարգիճամար բնութագրիչճավասարում է. այն ե-ի նկատհշ-ը, ետ-ը, մամբ 4-րդ աստիճանի «Հավասարումէ: Դիցուք ելը,

հ-ր նրա արմատներն են (ննթադրում ենք,որ արմատներըտարբեր են): Յուրաքանչյուրհլ արմատիճամար (11) Համակարգից գտնում ենք գ-ի ն 8-ի (6)-ին Համանման, ընդճանուրլուծումը կունենա Հեարժեքները: տնյալ տեսքը.

։

,

(12)

--Օ:

ա

է Է 16-6 Տո է, էֆ ).-6-6էՇ0Տ «(ՅՀՀ6 61(60Տէ-Տ1Ո է) Է16-6«(6«05էԴ-Տ1ո է): լ

8չջ-ե՞

8ջ,

ՑՈՉ

։«Ս-ՈւՈՅ-6 09:

է,

ԷԻ Տո (695 ԱՏՈՄ.

Չ

`

ենքՔ

Ա)

ՖԽ ն

0)--ը60

Ե

60.5, ծ

ԳԸ),

80-19,

«1,

62-12,

Գ03-1,

Ե3)»--1,2,

օխ,

..փ0)--յյշ: ,

Գրննք կոմպլեքս լուծումները. 1(1)255Մ»»60Տ ԷՎ ԼՏով,

Ա)ՀՀՇ-ԿԵ-Լուծում

առանձին իրական ն կլինեն

Տո

ԷԻ .93)»-0,5(2օ05 Է

3:0)--05(665

լ

Այժմ կարող ենք գրել ընդճանուր լուծումը.

է-ԷՇջտտէ՛լԸջ6

3-ՀՀ-Ըլ «05ԷՒ :

է,

ուսումնասիրվել նշանավոր

.

1յապունովի (1858--1918) կողմից:

702:-0,551դ

2(2)511Ն

տմաությունը:

է- 15:ո): ՛

37(7-Հ0,5

է,

ցիայի ն այլն: Այս Ճճարցերով զբաղվում է դիֆերենցիալ Հավասարում ների որակական Ռրակական տեսությանՀիմնականՀարցերից մեկը լուծման նության կամ կայու կայունությանմասինՃճարցն շարժման է. այս ճարցըմա րամաան է

Ծ,

կեղծ մասերը.

522-605

5-«Ըյօօ5

յ

է:

/31ՎՏ

Շշտտ Էշ

յ

.

Ե

-ջՕ6

ՀՅ

ՎԷՏե(ե

է

ժ.

:

ալդ

նու

ու նիայի ն տեխնիկայի մասին:

1 ) ,

'

(1)

որոնքբավարարումին

(Ց

մանենրին սեզբնական պալ ավա է) 7Հյ(Ս լոժումները կոչվում յուն կա որ" ՀՅ(Լ-օՕՉ, ի հե վուրաքանչյուր ԵՐ Ա ցանկացած ոթբ ատ կար Լի այնպիսիօՀ»0, չ-»0 բոլոր արժեջնե ի կբավարարվեն ու

մ.

|

բ

որ նրանք տալիս նրանում,

րր

են

ՐԲ

է Ցույց

Համ "ամար

ո

տալ

որ

--5: ց-ո(Սլ

լա

'

անձավասարու ո ունները, րը, փն

:

-Ե(Օ-»()| ՞

:

է

հաա

շատ

լ

էն

-

Ն

|

(9)

սկզբնական պայմաններըբավարարում

ի-

|

|-6, 20-40

ո--ՖԱՀ-Տ

անճավասարություններին,

էու Խորա

| |

ավան որոանենրին: (1) ճավասարմանը Ը) ո

խնդիրներումկարնոր է լինում իմանալ ոչ քե լուճման կոնկրետարժեքներըարգումենտիտրված կոնկրետ արժեքի դեպքում, այլ լուծման վարքի բնույքը արգումենտի փոփոխման ժամանակ ն, մասնավորապես, արգումենտի անսաճմանափակաճման դեպքում:0րինակ, կարնոր այդ լուծումներն արդյոք բավարարում են տրված սկզբնականպայմաններին, են որնէ ճայտնի ֆունկպարբերականեն, ասիմպտոտորենմոտենում

0Հ-եց,

եխ

Է-0Հ-3ց

լու

նե

ն

լոշումնորն

ՏԱՑ

լ

միայն մեկ մասնավոր լուծում, ուրիշ մասնավոր լուծումներ ստանաճամար պետք է բոլոր ճաշվումները կատարելնորից: իմանալով մեկ մասնավորլուծումը, չի կարելի եզրակացությունանել այլ լուժումնն

պայմաններին, Ամարնական Դիցութ,այնուճեոն Է--ԱՐՆ) ն (Ս Ճավատարումների այն լուծումներն էն,

յռ բակին

է

ի

-օՏ»ց

ն Հավասարումների ճադիֆերենցիալ ճավասարումների մակարգերի մեծամասնությանլուծումները չեն արտաճայտվումտարրաայդ դեպքերում կամ կվադրատուրայովապա կոնկրետ դիֆերենցիալՀավասարումներլուծելիս կիրառվում են ինտեզրման մոտավոր մեթոդներ, Այդ մեքոդների մասին զաղամարը տրվել է Տ 3-ում. մեքոդներից մի քանիսը կքննարկվեն բացի այդ, նման

Այդ մեթոդները թերությունըկայանում

Ճ»Հյր(է) ծնքադրենը աո ԱԱՐԻ: Համակարգի են, որոնք փավարարում 7:

որ

եան 171 32-34.ում, գլխում: ինչպես

Ամ)

ւ

դիֆերքնցիալ Հավասարումնեմ

Ֆ-Յ(Ս

Ֆ 31. ԳաղափարԼյապունովիկայունության տեսությանմասին: հեւտագծիվարքը եզակիկետի շրջակայքում Դիֆերենցիալհավասարման

7),

ԱՐԵ»)

Այս պարագրաֆումչքննարկեցինքբնուԴի աողություն: քագրիչ ճավասարմանբազմապատիկարմատների դեպքը: Այս Հարցը մանբամատխշարադրված է, օրինակ,ի. Գ. Պետրովսկու «մ1ՏՃԱԱԼ ոօ տւ: 1ՇՕբ ւ ՕԾԵՍՈԼՕՑ6ԱԼԵՐ: 11ՓՓ6շքօաաճ քճտիծաան»զրքում:`

Քանի

Մ.

Դիցուք տրված է

1,

/3է

մաթեմատիկոսԱ.

ոուս

Է

'

|

Փարզաբանենք սաճմանման այս իմաստը:(3)

ճետնում Բոզքյուններից

է,

որ

է-ի

բոլոր

դրական

6) ն

(3)

արժեքնե ի ա անձավա րի

գեպքո

.

փոքրը փոպայմանները սկզբնական կրելիս «ամապատասչ փոխություններ

բիչ

իրանլուծումներն էլ միմյանցից

մ.

:

իր

`

եթե դիֆերենցիալ տարբերվում: նկաՀամակարգը Հավասարումների

Շշի 1.չ, 3)

Վ

լու ծ-

ապա

աղա այդ ճամակարգը կոչվում է ավտոնոմ: Այնուճնտն դիտարկենք գծային դիֆերենցիալ տնյալ Ճամակարգը.

տեսք,

շարժումկայունության դեպքում է փոխվում, եթե ների բնույթր բիչ տվյալները ջիչ են փոխսկզբնական ման

Նկ

վում:

Դա

առաջին կարդի մի պարզաբանենք

Դիցուք տրված է

(ւջ

ւ

ենք,որ ենքադրելու

է

որը

(2)

-0-1

կատացվի,ձոր սկզբնականպարմանին,Ակնչայա է, )-1 լոժումը է բավարարում որը լուծումը, մասնավոր ալն Այնուչետն կղտնենք

281)"

(եկ.

:

այս

արժեքը (բ)

մեջ, Հավասարության

-(.ւ:

կնճայտ

է,

13-11 Լ

ստանում

ենք.

ե

զ

.ճ

Մ

ԻՑ

--:Հ56--ԻՒՋ(ուՀէն)--Շ--

ՀԱՐՑԻՆ (2-«

մ:

Հ

(6)

«տեսքը: Այս Հավասարումը ընդունված է գրել դետերմինանտիտեսքով,

1)--ՅՀճ

ճավասարումըքըը՝

(5)

մ ան

Շ-1

ախ անճավասարությունը,

նկարադրումեն շարժումը, որտեղ է

մշ

ճ2

'

(79-

`

---Ն.

-

(տեսՑ 30, Հավասարում (4))։ ար-

եթ: (1) բացաճայտոդումենտը ժամանակն է, ն ըստ որում Հավասարումները ունեն րեն է չեն պարունակում,ալսինքն՝

Ն-ը

՛

-«Տց 4

Դիֆերենցիաղ

5-5-Վ(ռ -1)6-«ԷԱ-ԼԷ-Ս6-126-Է-0

անՀավասարությունը:

արտաքսենք Ք Մ-ի

--Եօ)ո--Օ' --( Ե-ԷՇԺՅՐ-(քունի բնութագրիչ Հավասարումն րենցիալ իծո/ ԿԱոոար, (Ե-Է«)--(ոջ--Ե«)»-0

`

6-41

«ծրբ Է-»օօ: Հետնեաբար,կամայական6-ի դեպքումկրավարարվի(3)

ձե

'-

լ

կայուն է: հրոր

բավարարվի

զ:

ՇԻՆ

|

աումըԸ

ների րի « «իմանվրվրա

:

ՇՀ-ֆց--1:

ՏեղադրելովՇ-ի

ուսումնասի

|

--

ան

են, ընդ ճաստատուններ՝ զործակիցները աՀ

6,

Ճ-Հ-0,

Թյունը կատարվումէ այսպես: Դիֆերենցենքառաջին ծավասարումի հ ՀամակարգիՀավասարում-

`

3-6--30

սկզբնականպայմանին: կգտնենքԸ-ի արժեքը(Բ) Հավասարումից

Ե,

որում ակնչալտ է, որ 7-0(4) ճամակարգիլուծումն է, որում մոզվում ենք անմիջականտեղադրմամբ: Ուսումնասիրենքալն Ճարցիչ դործակիցնեճամակարգի ց րար բգզի գոր թն ինչ ոլայմանների պետք Ք է ճ բավարարեն Ճ-»0, 7--0 լուծումը լինի կայուն: Այդ րի, որոլեսզի

()

բավարարումէ

Ճ,

6)

ուծ»

զ

"

Գտնենք այն մասնավոր լուծումը,

Էք,

զ Գ

7-Շօ-ԷԼ1

«

Հյ

՝

|

Հավասարումը:նրա ընղճանուր լուծումն դիֆերենցիալ

ունկցիան։ ֆունկցի

ՃեՀավասարում

օրինակի վրաո Հավասարման

ւ.

ձէ

»,

,

նին

"հն

րագրում է որնէ շարժում,

ն

լ

-Վ

Է«

'

(Դ

՛

(2) ԲնութագրիչՀավասարման արմատներինշանակենք խլ-ով ե հջ-ով: ինչպես կտեսնենքստոր, (4) ճամակարդի լուծումների կայունությունը կամ ոչ կայունությունըորոշվում է դլ ն յշ

թով:

Քննարկենքբոլոր

Ֆ--Դիֆերենցիալ

ճնարավորդեպքերը:

բնույ» րատների

ե

ինտնդրալ Հաշիվներ

Հավասարման

Բնութագրիչ

Լ

նե

կան դտնում (5) Հավատարումիը ենք. են,

կան

բացասա

չ

տարբե

իրա-

արմատներն

Խլ-Նը:

լ՛««ՕՍ 1Հ՛0,

ր՝

ն (9) լուծումնը կոչվում է ֆազայինհառթություն:(4) Համակարգի(8) որնէ կորի պաները կդիտենքորպես «ՕՍ ֆազային Հարթության վրա

րամետրականճավասարումներ.

25-Փ(ե Ը Շջ),|

՛

ժշԵԼ Շլօխն

«Ը

»-Վ(Ե 6,

Հավասարումիցգտնում իմանալով Ճ-ը, (1)-ի առաջին Այսպիսով, (4) Համակարգիլուծումն ունի Հետնյալ տեսքը.

ենք

7-ը:

Այս կորերը

ՍԸ

5---Շլծոֆ

Օչճ»ո ՛

ջ-ՎՇ(Կ-

«ԲԻԳ»

տողություն:

(8)

լ

ԺՀ"Ւջ:

2560, ապա (5) Հավասաեթն օ--0ն Դի րումը կաղմում ենք ) ֆունկցիայի Համար, Գտնելով 3-ը, (4) ճամակադտնում ենք Ճ-ը: (8) լուծումների կարդի երկրորդ Հավասարումից 4-20, Հավասարումապա է: ռուցվածքը պաճպանվում հսկ եթե ց--0, ների Համակարգիլուծումն ընդունումէ

չ--Ըլօո 3--Ըյօե

(87

՝

|

լ:

ՈՂԷ«օՀ50

3|.--օ-ՏՖԽց,» պայմաններինբավարարող լուՍկզբնական պայմաններին: սկզբնական

ծումըկլինի.

"ջ

Խլ--Իչ

ՃՈՎ--ՇԽ--Ք30 Բշ»:

ԿԵԼ

դլ--Հշ

|

ՋգԿ-ԻՏ30--2Ժ»լ), Հ .-օ)6

ՆԱՐԱ

է

գճոն- 83գլ Ցօու ԾԿ

ոլ--3ջ

-

(9)

որ

տվյալ դեպքում ո 4.-«

ետ ամա

«(0--օ,կ 7(1)--0: |

(4 :

ԴիտարկենքՕյ Հարքությունը: (4) դիֆերենցիալ Հավասարումների Համակարգի ն (5) դիֆերենցիալՀավասարմանՀամար այդ ճարթությու130

ոյ

39):

Փո.«.-ՔՄ ԷԾ

ԻՐ,

(

»)

(3)

`

Ի

է Շ)--0

վնտեգրալկորերի դասավորությամբ,որոնք կազմում են (19) դիֆերենպիալ Հավասարմանընդճանուր ինտեգրալը:Ը ճաստատունըորոշվում է «սկզբնականպայմանից: Ը ճաստատունի ԾՖը արժեքը տեղադրելուց Եա ստանում ենք ընտանիքի Հետո ճավասարումը՝ |

ի

6-»0 Համար Վերջին ՀավասարություններիցՀետնում է, որ ցանկացած 1-0 ն |յօ|-ն կարելի է ընտրել այնքան փոքրը,որ բոլոր Համար |օ|-ն օո ՀՆ «ՀԵ ւինի |:()ԼՀՏ. Մ(0ԼՀա ջանի որ

նշենք,

ց:

են. կոբերկամ ճետագծեր դիֆերենցիալ Հավասարման ինտեգբալային է (4) Համակարգից՝աջ տվյալ դիֆերենցիալ ճավասարումը ստացվում կ ձախ մասերը միմյանց վրա բաժանելու ճանասարճով: Օ(0, 0) կոորդինատներիսկզբնակետը(13) դիֆերենցիալ Հավասարման Համար եզակիկետ է, քանի որ այդ կետը լուծման գոյության ե միակությանսոխիրույթին չի պատկանում: ճամակարգի լուծումների (9) լուծումների ն ընդճանրապես(4) բնույթը ակնառուկերպովլուսաբանվում

բավարարեն

ԸՀ0-Ք70--0

ճը,

մ.

տեսքը Այս դնաքում լուծումների բնույթի վերլուծությունը կատարվում է ավելի 4Հնշտ:Շլ-ը Շջ-ը ընտրենքայնպես, որ (8) լուծումները

օ(ե,

7-ծ(Ե

.

1 ո

Օ).)

Բ(«,

3,

Ճ.

30)

(14)

տեսքով: (9) լուծումների դեպքում եղակի կետը կոչվում է կայունԲանԱսում են, որ կետը, շարժվելով Հետազծով, անսաճմանափակորեն գույց: մոտենում է հղակի կետին,երբ է-օօ: Ակնճայտ է, որ (14) առնչությունը կարող է ստացվել (18) ՀամաՎարգից է պարամետրի արտաքսման ճանապարձով։ Հետագայում բնուքագրիչ Հավասարման արմատներիբոլոր դեպքերի Հրատարելով ճամողրֆաղային ճարթքությանվրա եզակի կետի շրջակայքում ինտեդրալ վորերի դասավորության բնույթի լրիվ վերլուծությունը, տաճմանսասխակչ վենք մեծածավալՀաշվումներչպաճանջող պարզագույն օրինակների Վրա դրա լուսաբանմամբ: նկատենք, որ (13) Հավասարման Հետագծերի վարքի բնույթը կոորդինատներիսկզբնակետիմոտակայքում կամայական Հաստատունների դեքում որակապես նույնն է, ինչպիսին կքննարկվիօրինակներում:

Օրինակ

Ուսումնասիրել

Ո

Հետազոտել

Օրինակ. նէ

----Ն Հաա.

տ են

տ

դեպքում լուծումները րը տվյալ տվյալդեպբ

ՃՆՇ,

(5) լուծումները կլինեն

ո

Ճ(է)--0

որ

ն

(2-0,

երբ

է»--Օօ:

ուծումն ստանում

Ը

Ճ»5:0, 7-0

Է

//

Նկ.

Շ-ն

Բ--

-

Ն5

Ն:

ՒՆ |

Ճ0

աաա (նկ. 282),

Սա

,-

պարաբոլներիընտանիք

որդ-21ո|ի1ոլՇ,, Շո

որոշենք ր-դ")0:

Պայմանից-

Շ-Յջ

Շ-ի գտած արժեքը տեղադրելով (4)-թ մեջ, է կետը

կայուն հանգույց

ստանում

/

:

Հար

.

----ՐՅՔ -

Նկ. ենք (բ) լուծումը: Օ(0, 0) Խզակի ,

է:

Նկ.

արմատները «Հավասարման Բնութագրիչ են ն ունեն հրական օրինակ, նշաններ, ճետնում ԽլՀ»0, 7շ-0, է, որ բավականաչափփոքր (9) բանաձներից իռ|-ր ն || -ի Համար, հթե Շո ՎՔԽ--ՅԺՅԻ0, ապա իւ()|-»օ«, 11.

:

ճէ.» օՓ, երի է-»ՎԼօ-։ Ֆաղայինճարթքության վրա եղակի կետը անկայունճանգույց է. երբ է»-ԼօՓ ճնտագծիվրա կետը 2--0, ճեռանում

ի

:

ՄՃավասարման արմատները են. յլ»0, 1չ՝»0, ԽՀ-Ն»:Այս տարբեր դեպքում լուծումներն արտաճայտվումեն նան (8) ն, Համապատասխա-չ նաբար, (9) բանաձներով,Բայց տվյալ դեպքում բավականաչափփոքր քանի "որ նրբ ԷՎ», իո ս խամար ԽԱԼ Ի(յ-օօ

դադարիկետից

լ

լ

(2)

ԲՔնոազրիչ իրական ենյդրականեն

-Հ0

իի

Ն

Ա

Բո Է-»օօ ն

Ր

ւ, անկայուն ճանգույց

'

Արտացսելով1.ծյ

1.

ո" ատանում ենք Ինտեգրելով, ի

է»ՎՉօ

Չ

է

Հ

»օօ, |7(1)|-»օ5,երբ

Օ(0, 0) եզակի կետը

(եկ. 283).

է

(13) տեսքի Հավասարումը տվյալ օրինակի ճամար կլինի

(է|

(- --Է-

(

որ

:

լուծումը կայուն է:

Խ-2

Ճ--մցճե 75537002:

անկայուն է, քանի ենք.

Ճ

(ա)

Այժմ անդրադառնանքֆազային Հարթությանը: (ա) Հավասարումներիցարտաքսելով պարամետրը, ստանում ենք (14) տնսբի ւ

Խ-Ն

,

-Ֆօօ-ՀԷ

Ճ--Ճցօ-

են

Լուծումըկլինի.

՛

Ըթ-լ

շ

Սրա լուծումներն

7Հեշօր Լ

|ը Էջ 1-1

0,

ձչ---2,

նեն

է

Ակնճայտէ,

Լ

-2-1

են Բնութաղրիչ Հավասարման արմատներն խլ՞--3,

( 8՛) ւ

"ԱԴ

Համակարգիկայունությունը, Լուծում: Բնութագրիչճավասարումը կլինի

շ

ՀավասարումներիճամակարդիՃ--0, 72-20 լուծման կայունությունը: Լուծում: ճավասարումը կլինի Բնութագրիչ

Ւ

53.2

ճշ

Ց,

մ

տարբեր

Խ()Լ-օ-,

Լուծումն երբ 1է--ԻԹՅ վրա եզակիկետը կոչվում է թամբ:

։

է: Ֆազային ճարթության անկայուն

ժահանար : :

մ:

1» Ճամակարգի կայունությունը:

ձր

Հ

.133

՝

նի. Բնութագրիչ գրիչ ճավասարում Հավառարումը կլինի

Լուժում:

ԷԲ

0-ԻՑ

Հետնաբար, կՀ51,Խ-»-Ձ։

կոձումը կլինի.

ՅԻ Վուժոմն

անկայուն է:

Արտաքսելով ե

քյան վրա

Բնութագր բ

17.

,

կոմ պլե մաս.

ե

քս

ն,

Գի

որ

լը

պարամետրը,

ունՔ

նեն

ու

ՀԼՀ»--Խ-Ի),

284):

ճջ

արմատներ, ր կա

փրա

ն

4:

Է

ճաւմակարգիլուծման կայունությունը: ն գտնում նիա արմատները Լուժումփ կազմում ենք բնութադրիչ Հավասարումը

ն

կա

լուծումըկլինի. (1) ճամակարդգի

Վ.Վ

.

Ք

(5)

հ

տատանում

երե կատարենք

Ը058-Յ նշանակումը, Շ-|՛Շ2--Շ2, Տոծ»-Տ, Շ Շ

կարելի է գրել. սալա(15) չճավասարումները

--ԸՂ(ե--օ)

|

(քէ Ի-8)-Է8 Ը05(թէ-Լծ)| ռտ

2--ՇՋոի նում եղի. գտնու որտեղից

տ--Տվնա-«)5տ

ՆՀ

Տ

են Ք

ԸՀ-Խ,

Ը-ք

Ազնչայտէ,

4()»0,

ի

1)

ն

Ն

00օՏ

Մ. Տ1ո է-Է

ԱՂՀԵԵԷԼԾՏԷ

ի ՀԵՆ ԼԻՎ,

ԻԼ-

-

եպքում դեպքում

(Ճ) (Ճ)

72-33.

ճավասարություննե «ավասարությ

|

բը

'

էք

ԵՀ5.

"Ֆազային ճարթության վրա

նդունեն կընդ

Հետելալ յալ

2»»ի16-1Շ05 ( 1--Տ),

-

անցնենք

6 1դ

ը ն

բնույթը: դասավորության

0--Ո151դ 6,

-

Ադ

մեջ,

(Ճ)

Մ, |

Տու):

Էն

է-ի ցանկացած արժեքների ճամար

10)-»0, ձրբ

8»-| Բ-1

(15)-ի Շշ-ը: Շլ--20, Շշ-ֆը'Տեղադրելով

7--Ք16-

2.12-0

ՏՈՈՐՈՄ

Ճ0-ՅԻԼ«ՕՏ ծ,

տեսքը. Քը

|

(Յէ-ն):

լդ)

0 բնեռային կոորդինատներինն Հաստատենքթ

Ք--1(0) կախումը: (8) ճավասարումներըկընդունեն ք

՛

Ն

տեսք,Աչ

.

որ

ուլ

ի

աժոմը կայում է այս դեպքում ֆազային ճարթության վրա կորերի Պարզենք Ձնափոխենք(Ճ) արտաճայտությունները:Դիցուք

5--8 6054լ,

9--20ա-9).

(ՍՀ

ե

Ճ«-Շ-է(չց

՛

(16)

կլինի «փոքր Նորից նկատենք, որ եթե Զ--0, ապա լուծման տեհաքը ինչ այլ, բայց վերլուծությանբնույթը չի փոխվի: ման աչափ փոքր ամար բավակա Ակնճայտէ, որ ցանկացածՏ »0 0 ճամ ն -ի դեպքում տեղի կունենան |շօ|-ի |50|

«(0ԼՀ»,

Ի

-«-ԿԵ665

են, որոնք ճաստատուններ նաքով, որտեղ ԸՇլ-ր ն Ըջ-ը կամալա'կան՝ է--0 են ընդ 24--., սկզբնական պայմաններից, որոշվում էԺրբ -Շ)Խ որում Ը

ենք.

՝

էԼ 5), »«ԸԲ"Ելո(Ք

(12) բանաձկերով գտնում ենք Շլ-ը

ի

Տող

)

ֆ

ՀՇաա.Յ.

յ

)տոթէ|: ո»---6"վ(գԸլ--ՔԸչ-ԸՇլ)օօՏթէ--(աԸչ --բՇլ--«Շչ

ԸՐօէ

չժետազոտել ձո

Ճ-«6«|ԸլԸօՏՔԷ--ԸչտԼոԲ:|,

Հ

փ

:

բացասա

Իլ-0-Ի, դչ--Օ.--|թ«0:

)(յ-օ

ո

կճտը

Օրինակ

ենք ֆաղային ճարթուՀ

ստանում

Տվյալ դեպքում, րբ Է-5-Վ-օօ

անսաճամանափակ թվով անգամ փոխելով նշանները, ՖաղայինՀարվրա եզակի կոչվում է կայունֆոկուս: քության

Վ--ցյ6-2Ն,

ծավապարման Ը վ

իչ

«(Թ-0

ՏՈԼ

Մ4Հ270Ճ04 է (նկ. եզակի կետը թամբ

կորերի ընտանիքը Օ(0, 0)

ւ

է: առնչությունները: լուծումըկայուն

տ.

«05

Տո ն

0--816-1605

(81--ե),

0--Խօ-Ե:ո

(81-62)

ձախ մասերը բարձրացնելով քառակուսի

ն

Ը (Օ

կոտանանք գումարելով,

ք2--8126--շէ Է բՀՈՂՇ--

(5)

Հաշվի առնելով (12)-ը, տվյալ դեպքում (15) լուծումը կլինի

Հաստատենքէ-ի կախումը 0-ից: (Շ) ավասարություններից երկրորդի անդամները բաժանելով առաջին ճամապատասխան անդամներիվրա, կստանանք.

«61 -

էջ0--էջ(8է--Տ),

որտեղից

Տե գագոյլոմ ելո

Ծ)-ի (9-ի

մեջ, 74: ստանում

:

՛

են "

թան)

Ց

ջ»իլ6

8. ենք

ՀԸ էլ

:

դիսանում է կայունֆոկուս:

Շլ ն տեաքըո

են,

ճավասարման որոնց իրական մասը

արմատները գրական

հլ--Գ-Է18, հ-ՀԿ--18 (օ-»-0): Այս դեպքում էլ լուծումն արտաճայտվում Ճ0 կ Է (15) բանաձներով, որտեղօ.Հ»0: Ցանկացած 30 (/2:3--2--0) ն Է-»օՓԳ "ակզբնական պայմանների դեպքում երբ |(ն) Լն ն (է|-ն. ընդունել ցանկացածչափով մեծ արժեքներ: Լուծումն անկայուն է: Ֆաղային վրա եղակի կետը կոչվումէ անկայդւն ճարթքության Հեռանում է ֆոկուս:կետը ճետաղծի վրալով անսաճմանակվփակորեն կոորդինատների սկզբնակեվոց: կարող

են

'

Օրինակ:

'

Հետազոտել Դի

Ա

ՎԸ

որ

ցանկացած 62»0

ԱՏ լուծման Հավասարումների Համակարգի

կայունությունը

կազմենք բնութագրիչՀավասարումը :

.

"

էբՅ1ՎՆ

(18)

|օ|-ի |չց|-իՀամար Խ(ՍՀ», Լուծումըկայունէ: ԱյստեղՃ-ը լ

(19)

փորը բավականաչասի ցանկացածէ-ի դեպքում: (ՍՀ: պարբերական է-ի ֆունկցիաներ Մ-ը

ճամար

ն

են։

,

ն բոլոր

.

Ֆազայինճարթության վրա ինտեգրալ կորերի վերլուծությունը կատարկհլու ճամար նպատակաճարմարէ (18) Ճավասարումներիցառաջինը գրել Հետնյալ տեսքով (տես (16)).

(5-Ւ5), Ե" Մ»Հ---608(թէ-ձ)----Տտ(8Է`-ծ),

|

(20

են: (520)արտաճայտու որտեղԸՇ-ն, 6-ն կամալական Հաստատուններ

Ակնճայտէ,

(--քԸլ--«Շշ) Տոբէ

Ը:

4:

Հուծում:։

`

-

0ՇշՀԾԵոՑրՅ:

:

ՇՀ, Ի.`

Ըջ ճաստատունները որոշվում են (12) բանաձներով.

|

Բնուքթագրիչ

Լ

Ք

Այս դեպքում, երբ Է--՛»ՕՕ» կետը ճե. է կոորդինատների Օ(0, 0) եզակիկետը Հճանսկզբնակետին:

ընտանիք էչ (լոգարիթմականսպիրալների

Նկ.

ՏԼոթէ,

Շ0Տ8ԷԼՇ,

Մ»----|(8Շչ--«ՇՇլ) օ058է

(Է)

ք

կոմպլեքս

է

Բնութաղրիչ ճավասռարման արմատները զուտ են. կեղծ լ-թ, ճշՀ-Հ (15) այս դեպքում կրնդունեն լուծումներն

բ-Իլյօ---.

թ.

լ

մ.

:

Ց

տագծի վրայով մուտենում

է):

եզակի կետը անկայունֆոկոա ք (նկ. 285):

նշանակելով 7Հ---Հ»ինլ, վերջնականապեսստանում

Սաչ

ՏԼո

.

Ց

Չ-«ի6

Տո

Ք»-8116

։

:

0-5 կամ

ԷՅ.

«05

Ֆազային ճարքության վրա կստանանք կորը՝ բնեռային կոորդինատներով.

Մորո». 08.

7--6է(3ց«05 Է-չց

մ`

խԽ--Լ-Է

Հետնում է, որ Ճ-ը ն Ս-ը է-ի պարբերականֆունկցիաներ, թյուններից 1 պարամետըը են:(20) ճավասարումներիցարտաքսենք

օր

Ճ

:

-

կստանանք արմատից, Ազատվելով

ջ

ԸՑ

--7--Շդ ք

ջ

1-----

։

Շշ

ՇՏ ՅՏեջծ

երբ

70»

7--ոց»

Ց.

,

են

-

՛

ւ,

Է»,թ2-Է4--0,

(20) լուծումները կլինեն

Հավասարումը կլինի

`

գլ

ն կազմում ենք բնութագրիչճավասարումը գտնում ենք նրա արմատները

:--Ը --

լ

Տլո

(ԷԼ

ծ

Հետնում (դ) ճավասարումներից

Դ

1.

|

է,

ի

որ

յ«օ(1--

տ

ությա վր ա Ֆազային Հարթության

ունեն Ք

լուծումն

Ակնչայտ է, տեսքը:

որ

Դ

ի

ն

Քանիոր

լ

ետ, կենտրոն

եզա եզակի կետը

է,

դեպքումընդունում է

այս

( 22 )

եխ

:ն

"(9-0

կայունությունը: '

հ

հրբ

0րի

8,

է--՞--օօ:

երբ է---օՉ, ե Շջ (20-ի

առա ն

10-ի

3)

ցանկացածճչ»0 ճամար ընտրությանճանապարսլար ընտր

տեզի ունենան 0յ)|Հ-» անճավասարությունները է: Ընդորում դնալքում:Հետնաբար, լուծումըկայուն

Հետազոտել ու

|

Ց.

ԱՓԻ

ԱՐ

լուծման կայունությունը: Համակարգի Լուծում:

'

(օ)

բրչոկ

Քրբ Է---օ»

50)-0,

նակ

3-0

|

,

(ՇՍ-Գ-ԷՇ(ԱՀԻեէօէ)|:

ԷՇէ-.0,

է2-0

.

փոքր Համար ն բավականաչափ

Մ

ԽՈ)|-Փ,

խել

Լ

:

ո(Չ|Հ».

Հով),որ

ռ- «ցանկացած

են

յչՀ0, (24) կամ (8՛) բանաձներիցճետնում

անե

Շ ա

Հ

,

Վ-

Համակարգիլուծման

Օւէ-»0

Գանում

:

,

մուռհնում

`

կարելի է ընտրել այնպիսիՇլ

կայունէ: լուծումը մՃ

կետերը ճետազգծիվրայով

խլ-իչՀ0Օ: Լուծումըկլինի

ուք

Խր լ

|

'

Հետազոտել

որ

|

Բ2-Լ-Շ«ԻՇ(յ-օյ6«վ Հ»0 պանկացած

լ--ծ,

ք

«(Ը

ո-ՇլԻՇջօոն տե

է,

ն

Նկ.

լուծումն անկալուն է, քանի որ 12.

կարգ: էլիպաների սնե, Համակարգ:

յլ-0, մչՀ-0.(8)

Դիցուք

Թ

,

ու

ց

7-26 տեսքը ճետելալ կունենան Հավասարումները աշ

ձ

Ը

՝

'

ուղղին (նկ. 287),

-

)--Է2Է

`

-

Տ.-0,

յ

ԸնդՀանուր

:«-Ը ՀետաղծերըՕդ կնտեգրալն Ի սռանցքին զուգաճեռ ուղիղներ քն:

(2է-6):

ՇօՏ

ջ

Սվ

(9

Տ-ն

-Ֆ

Ո

'

Ակնճայտէ, որ լուծումը կայուն Է: Ֆազային Հարթության վրա դիֆերենցիալ

|

լուծման կայունությունը: Համակարգն

Օրինակ

ԷԹԷ-0 սկզբնական

Ճ-.

:

Գ:

-Դ

Պլ.

(2)

բավարարող լուծումը կլինի պայմաններին

.

Հետազոտել

Հավասարումների

Ս

Ը ՃՀՆր

-

՛

մլ

(21

12-11--ց, նլ-»0,խ»--1

--0,

(25) բանաձներից

՛

ՏՎ.

ծում:

0-Վ-Դ

Լուծումները դտնում ենք անմիչապես, լուծելով ճամակարդը,չօգտվելով

Այստեղ ք --Օ:

`

ենք բնութագրիչ Հավասարմանարմատները

|

մեկ Ը կամայական ճաստատունից կախված երկրորդ կարգի կորերի ըն-

Լու

|

՛

տանիք է (կորերն իրական են): անսաճւմաչ Դրանցից յուրաքանչյուրը «եռու կետեր նասիակ չունի: Հետեչսկզբնավարար, դա կոորդինատների նէ. 144 էլիասների շրջապատող պետը են կոռրդինատ-Հ զուդգաճեռ առանցքները ընտանիքէ (երբ Ը»-0 էլիպսի Եզակիկետը կոչվում է կենտրոն (նկ. 286): ների առանցքներին)։ 0րինակծ

Գտնում

Լուծում:

'

(21)

Սա

'

'

ք--0: Այստեղ

ենք բնութագրիչ Հավասարմանարմատները

-ՀՎ-4

|

-Վ-Ղ ռ

ՀՕ,

.

Ճթաշ---Է

ժամակարգիլուծումը կունենա ճետենյալ(87) ձենը

ո«Ըլօ-ե -

-

(-1):-0,,

.աԸյ-ե

Ի Ճ

ՅԷ

յ

`

րետ:

այսվնքն՝

անցնող ուղիղների ինտանիք էւ Հետագծերիվրայով սկզբնակետով կոռրդինատների են Օ(0, 0) ծձզակիկետը ճանզույց սկզբնակետին: կոորդինատների կետերը մոտենում Սա

(նկ.288):

է

Խ--ԴԵԹ0 դեպքում

նկատենը,որ

(22)

վում

ճավասարման երբ

ձենը պաճպան-

է, բայց

Լուծումն 1.

գՇ

Այստեղից երնում է,

այսպես:

Իլ, 1. աբմատնեռից Եթե (6) բնութագոիչ բավասառման ոչ մեկը գոնեմեկը աջ, ընդ ոբում առմատնեոից ընկածչէ կեղծառանցքից տա՞-

գոնե. բեր է զբոյից, ապա լուծումը կայուն է, իսկ եթե աշմատնեռբից մեկը ընկածէ կեղծառանցքից աջ, կամ Դ: Եբկու աբմատներն էլ հավասար են զբոյի, ապա լուձումնանկայունէ (նկ.

290)։

Այս դեպքում

'

շԴ

նրբ Է-»-ԻՓ::

3»օՑ,

ՀԵՋ

որ

(24) ան

կոձումն

տխ

մյ

-

թյունը:

Լու

Գտնում

ծում:

ման

ենք բնութադրիչՀավառար-

արմատները

ի,

Գտնում

-ի|

են

Է» '

են

ն

|լ. ւ թրա

««ցթ»Ֆ

ծ.

որ Ճ-»օ5

4)

Ն(-

երբ է---օՕԹ

ՆՑ

Լուծումն

0,--Ը Հնտաղծերը դծերը

ուղիղ» Օո առանցքին ցքին զուգաճնեո '

թամբ: էափոխված

1,-2- Ս" ոբՎԱԻ» 15"--0,2-20): (իրականարժատներիդեպքում |

թվերի

|

"

այսպիսի

ել.

ՍոՇ 3))).-ց. դոջե» ).. 0: .

ք

օ0 յ

6-0

ս 15

գեղլքում վարձլի ապացուցել, որ, բացի բացառիկ դեմքերից, (45) է լուծումը կլինի կայուն այն դեքում, երբ կայուն է Համակարգի ւ

տա-չ-

դրենք կոմպլեքս արմատները Հավասարման Բնութագրիչ

տիրույթ լ

:

կրիտերիա ընդճանուր լուծմանկայունությանը Համակարգի

ճամար վարվենքճետնյալ կերպ:

սա

անկայունէ: ՖազայինՃարթու»

|

ֆունկցիաներովն կվադրատուրայովչի արտաչճայտվում: Այս ճամակարգի լուծման կայունությունը կամ անկայունություն են գծային Համակարգի լուծման ճամեմատում պարզելու ճամար ճետ: Շնքադրենք,որ երբ »--»0Սն 7-»0 Ք(2, 3) ն Օ(2, 1) ֆունկցիաները նույնպես ձգտում են զրոյի, ընդ որում ավելի արաղ, քան ք-2, 3» որոն, այլ կնրալասաժ'

ԲՀլ՛Ճ

-

տեսքով.

:

:

(նկ. 289): Եղակի կետը կոչվում է

(4)

գու

-Խոոկ»-0:

Է-0,

կլինի թյան վրա Հավառարումը ներ

աաա

|

արն 2--Ըյէ-ԷՇյ

է, Ակնճտայո լուծումները:

բ

«ՐԻ

Համակարգիլուծման կայունու, Հավասարումների

լուծումների

ուծումնն

դեպքերից բացի, Քացառիկ

|

ն

ԵՐ, 37,

ՎՐՕԵՒՑՅՒ

7-ՕՐՀ., )չ): ԷԵջ-ԷՕ(:, 43. ո

|

|

ձո

ո «ազն

Հետազոտել լք

/222 ոչ կայուն 777777 |

Այժմ դիտարկենք ավելի ընդճանուր ՀավասարումներիՀամակարգ.

կայունէ: Օրինակ

`

«ԳՐԿԱ : »«-՞-|--ԸԸլՎ-Ըջ--ՇՇշէ|:

ղ

ն

Դիցուք Նլ-նչ--0: «ՀԸ արի:

Նկ.

է--ԻՓ

Խ()|-օՀ։ լՀ անկայուն

Բ()-»օՏ

ճարթությունը ն, սփոխոխականի կվում ալլելքա այդ Հավասարման արմատները ճարքության ւպատկերենք բնութագրիչ Հիման դեպքում դեպքերի վրա (4) ճամաԱյդ քննարկված կետերով: է կայունության կարելի ձնակերպվել պայմանը կարգի լուծումների

Վերցնենք

Լուծումը կայուն է: Ֆազային ճարթության վրա

երբ է»Հ«Ծ: ընդ որում 4-»0, 7-0, կլինի ընտանիքը կորերի

Տ

Մ ուր

|

է

լուծումը, Համակարգի

ՀՃՒԹ»

յ

(4)

:

|

ե է, եթե (4) Համակարգիլուծումն անանկայուն կայուն է: Բացառություն է կազմում այն դեպքը, երբ բնութադրիչ ճավա141

եթե (26)

սարմաներկու արմատներնընկած ին կեղծ առանցքիվրա. այս դեպքում (25) Համակարգի կայունության կայ անկայունության մասին ճարցը լուծվում է նշանակալիորենավելի բարդությամբ: Ս.

գերի քւ

Մ.

:

է, ապա

որի

աոմամբ

բավականին

ընդճանուր

զ:-գի

ո

նշանակենք Հավասարումիը:

(չ

ի

հենթքադրությոմննե

զ: Ր)

Այդ դեպքում

ստանում

(26)

(27)

Տ

հնք ՀետելալՀավասարումներիճամակարգը

մ

|

Վե. .'

Գոր զ

ո)

լ

Այսպես, օրինակ, եքէ ՀավասարումներիՀամակարգիեզակի կետը կենտրոնէ, այսինքն՝ ֆազային Հարթության վրա ճետազծերըփակ դծեր են, որոնք շրջապատում են կոռրդինատներիսկզբնակետը, ապա (26) Հավասարումներովնկարագրվող շարժումները չմարող տասանողական է վրո/ եզակի կուռըֆոկուս շարժումներեն: երե ֆաղային Հարթության | --0, երբ լ ա ն կա-չորում ճավասարումներուվ ի ույ |7|--»0), (26) (ընդ շարժումները մարող տատանումներենչ երե կետը րբագրվող եզակի ապա Հանգույց կամ թամբ է (ն դա միակ եզակի կետն է), ճեռանում Է-»օ9: 2-»Հ-ՓԺ հրբ Արսդեպքու շարժվող նյութականկետը Հ

ՕԷԼԱ,

Ճ.. ՈԼ

1935.

տաոցոօր, Օճտշճղ

Յ2ՈՅՎՅՃ

ՖւՕ1Կ880611

81266118,

Ք.--մլ,

Գտնենք

մ»

Է

(17

ա)

ուծում մոտավո

նռեյ

Հատվածում, ո

ավարարում

Աա Ը. է) գատվածը աալՄ--յց եզբնական ամանին,

Հավ ասարմուն

Ճ0

տրոճենք Հավասար մասերի (այստեղ 0Հ-լՀ Ֆրղ»-Եվպետերով ճչՀ՛ ճնտինշանակենքլ--ՊԳ--Պ-"«:-Ծ--3ո Հ..ՀՅ) 1--4Յն, Ո

դաբար,

գիրքը:

|

Ե Մ,

Ն

Առաջինկարգի դիֆերենցիալ հավասարումներիմուռավոր լուծումը Էյլերիմեթոդով

ՆՀ

,

.

32.

մեթոդլո

Այս ճամակարգի ճամար ֆազային 4արթություն կլինի (4, Մ) ճարչ չճարթությանվրա ճետագծերըտալիս են 2 կոորդիթությունը: Ֆազային ճատիցունեցած Մ արագությանկախմաներկրաչափական պատկերացուն եք ակնառու բնուքադրում Ճ-ի նԽ-ի եթե կերպով փոփոխությունը: մը Մ-20 1-50, կետր եզակի կետ է, ապա այն որոշում է ճավասարակշչոու-

անսաճմանություն:

ՆՏՅՒ

Քննարկելուենք առաջինկարգի դիֆերենցիալ ՀավասարմանթվաԱյս պարագրաֆումկքննարկենք է յ լերի յին լուծման երկու մեթոդ:

(28)

/

:

«--0 կետը եզակի կետ է, որը Այա Համակարգը (4) տեսքի է, Ճ--0, աննշենք, որ Կ փուխոխականն դիրքը: է որոշում Հավասարակշոության ունեէ պայմանկետի մեխանիկականտեղափոխությունըչէ: Այն կարող տատա-չ նալ տարբերֆիզիկական իմաստոյ օրինավ, նել էլեկտրական նումներ բնութագրողմեծություն:

`

Ր

ՎՄ

զ:

հայլքում: թոր

ձէ

(28) ճամակարգն ունի ճետնյալ տեսքը:

ԱՐ»

են

Ատ

է

զէ՛

էլառլունովը՝ ուսումնասիրելէ Ճճավասարումների ճամակարկայունուքյան մասին Հարցը՝ այդ Հավասարումների

աան Կանը,Հաճախ զ

ջ թյան

դծային Ճավասարուվ ՀավասարումըԸ Ճ--Ո:Վ-ԵՑՆտեաքի

Ե--չց ւ

հ-

'

ի |

Դոք

ԼՐ

է ն ծումն

.

Հգ)

'

՛ :

նշանակենք ՝

|

ֆունկցիան(1) Հավասարմանորնէ մոտավոր լու-

7-Փ(Րղ 70-«Փ(Ժ)»

7ո-Փ(ր):

ԵՀ,

.

4753ջ-դ» ՃՄցՀ-Ֆլ--70»

ալ

Ճղ-12ՀՀո--Մո-ր

(1) Հավասարմանմեջ չց, Ֆլ,..., Ճո կետերից լուրաքանչյուրում ածանց"Դալը փոխարինենքվերջավոր աճերի Ճարաբերությամբ. ՃՆ -ռՀ-վ(գ (ո,

ձ7Հ-1(2,

3),

3)ճ»:

Չ (2)

.

լ

(27

կունննանը .

երբ

1-ը

`

-

ձջ

0րինակ: 0-1, բում է.

՝

70)» ՀԶ--|(ց» 70),ՃՄց--1(40, ճշ

Հեռնաբար, հչ«0,1:

|

կոմ մ

Հավասարմանայն մոտավոր լուծումը, ծրբ Ճ0--0 սկզրնական պայմանին:

Ճ05-0:0,1:

Լուծում:

|

ԳանելՍՄ-Ի

՛

լ

0-ՅՃ»«

ն 30օ)1:

Այս Հավասարությանմեջ մց-ն, Մց-նյ հ-ր ճայտնի ենյ Հետնաբար, դրտտում ենք. ՀԱՆԵ, 3ժե: -երբ Ճ--Ճլ

2)Հ է արումնընդունում (2՛)Հավասարումն ընդու

մամ

ՅԱ

տեսք.

Այստեղ

7)Խ 1-ը,

լ-ը

Նմանձնով պանում ենք

7:չՀՅյ

Այսպիսով,

ստանում

Մ-Հ

`

1 1(դ,

)հ

Լուծման ՇԱ Ըը ընք մացքում (ազմում աղ. ու

-

|,

հ-ը Հայտնի են, իսկ Սջ-ը որոշվում է:

ու

7:-3ջ-Է1(0., 37)Խ 110,

ութ

մխ

Ճո, Վ-4Է10ո-ս3ույ Տ)

հ: -

կոչվում է էյլերի բեկյալ:

յավը

|

Թ»42.-Ն | 7 Է Լ

Ը7,8:7 «4

| Ը)""« ի

չ

|

նտողություն նշանակենք)-(1) ճավասարմանայն մոտավոր ««Փե(Դ)-ով է էյլելուծումը, ոխը Ճամապատաախոարնում րիբեկյալին, երբ ձ--հ։ Կարելիէ ապացուցել", որ ելն դոյություն ունի (1) ճավա-

(ն)

'

|

Ե

լ

ւ

չ

|

---Վ-Տ Նկ.

ի

սարման միակ Մ--Փ

ի

ջ

Ը

1ՕԾ6ԱՒԵ

որը

բոս

ոօ «Մ16աաուտ ԱՇտբօթտշխամ, քճտրթոտը» գրքում:

Լ.

օճոլօ-

|

ո

.

Ա-Ի

Է.

Գ)հ

),420 ,

0, 142

ճ, --0,3

1,362

--0,4

1,824

1924.

1,9380

2.5380-

0,2538

2,4810

Յ,2810

9,3281

ո.

»:

--0,6

տ,

0,7

չը

--0,8

ոյ

0,9

|

1,000

0,100

,

0,162

0,1924

17164 2,216402216 |

2,1918 2.8918

0.2892

2,8091 3,7091 0,3709

որ-1,0

Յ,1800

Մենք դտանք 3ի.-1558,1800 մոտավոր արժեքը: Տրված Հավասարմանայն ճշգրիոդ

-

բավարարում է նշված սկզբնականպայմաններին, կլինի |

|

1օօքմտ

ուսա

1,220 ,

,

Հեռնարար,

կետում:

ԲԱՅԹ

--0,2

վոթյ'յ-ՓԱԱԻ-0Հատվածիցանկացած -

...Վ..

ա

0,120

լուծումը,որը

ու

անս, օրինակ, Ս. Աարացուցումը

Ն ողֆֆօքօուոճտծրւ

Լուժումը,

Վ

Հետե ձո

1,200

է սկզբնականպայմաններին վարարում որոշված Է |, եյ «Հատվածում, ապա

Հ :

(2)

01-12»,

1,000 1,100

յլ

:

ենքլ

-0,1

Ճո կնտենրում Այսպիսով,լուծման մոտավոր արժեքները 0, Ֆլ, զրտեն: Հարթության վրա (7", 30), (Ճ աան Ֆրվաժ կոորդինատային (Ճո,Մո) կետերը միացնելով ուղղի ճատվաժներտվ,կստանանք բ ե Վորը ինտեգրալկորի մոտավոր պատկերն է (նկ. 291): Այդ բեկան

"

ո,

ոյ

|

Ն

9)-01 1:21-0,1:Հ-Ն1յ,

|

Ճլ

ԱԱԱԿԱԱՂԱԿԿՎԱ

Հու--

ԲԱՎԱԿԱ

տե լ

ԲՀՄ-Լ-(դ-Ի»յ)ի:

,-ՆԼԿՆԻԼ02)-

Ր

:

մասիչ

ենք

|

ճՄլ ՀԱՐԿ, լե

բանաձներով

ճՀ(դ-Իչլ)ի

կամ

|

կնտերուլ0, 1) Ճճատվածը որոճենք

1,0

)ղ արժեքներըկորոնենք (2)

-

դ

0,2:...:

ջա

բավարա-

որը

Բացարձակ սխալն

Է` 02366, |

7-26.

ՖիչՀլ»-2(6--1)--3,4366։

Հարաբերական սխալը՝ 02566. -.0.075»5838, 34366

ան

10--

Ն

ն ինտեգրալ Դիֆերենցիալ Հաշիվներ

'

հավասարումների մուդավոր լուծման տարբերական Դիֆերենցիալ

33.

մեթոդը, որը հիմնված Է Թեյլորի բանաձնիվրա: Ադամսի մեթոդը

(1)

)

:

Հավասարմանանդամները դիֆերենցելով '

Նորից որոնելու ենք

Կ 7 --1(4,

:

1)

7)

Աջ

:

որը բավարարում Հավասարման լուծումը լսո, Ե| Հատվածում, է Մ--Ֆզչ անչրա-. ՃՀ-տը ճամար Հետագայի պայմանին:Մուծենք սկզբնական երբ Ճո 82, մոտավոր Ֆլ, կնտերում ն լ, լուծման ժեշտ նշանակումներ: արժեքներըկլինեն ց, Ն 32չ:::, Ֆու 1" ննե ուննեն մռաջին տարբերությունները կամ առաջին չի կարգի տարբերությունները.

մասում

ճլշ-2-Մթ

«թ

Մ

ասս:

-ջ--Մո--236-147»-2

հո-շ--Ճցո-1--ՃՖո -

քուն Կարո Ան

հրություններըկոչվում են երրորդկար-. ծրկրորդ ա 70 31, «ռո՛-ով ածանցյալՀ ԻԱ" ո ՛-ով՝ երկրորդ ածանցյալների ների մոտավոր արժեթները,30.,1 մոտավոր արժեքներըն այլն: Նման ձնով սաճմանվում են ածանցյալների առաջինտարբերությունները. |

ներ,

|

'

Մ

7":

ուա.

'

.

Ն՛70-ի

ն

370-Խ,

ար նեն ը արժեքները, քնսռրը,կգտնեն

1 Դիֆերենցե րշնցել

գ

-խ,

ո-ի,

( 0)

ւ

Ֆ-Տ,-յը

ա,

մեկ անդամ է Հավասարությունը

(3)

Ճո-1Մո-Ֆո-ւ

3, Մջ--ՃՆ--չ--239-Ւ

Ական

ր

կամ երկրորդ կարգի տարբերությունները. ծրկրորդտարբերությունները

ճւ

ՀԶ

765:ծշշոգե դրելով

Ճ2յց-«ՃՄլ--ՃՄ-»Մ2-27-30»

0,

0-ի

"ւ

ՃԱ

ՅԻՆ,

»Ժ

տնեղապրելով մօ-ի, ի, ո-ի

-

կատանա

4-ի,

ըստ

|

ով

ե

Ճ-ի նտե տեղա-

րստ

յարժեքները, կգտնենք 20-ը: Շարունակելով" այսպես, կարող ենք գտնել ցանկացած կարգի աժանցյալների արժեքները «Հց կետում,(2) Հավասարության աջ մասի բոլոր անդամները, բացի Բո մնացորդային անդամից, Հայտնիեն: Այսոլիսով, ճաշվի ն չառնելովմնացորդայի Ճ-ի ցանկացածարանդամը, ժեքի դեպքում մենք կարողհնք ատանալլուծման Կիուտավոր արժեքները Դրանցճշգրտությունը կախված կլինի ն |5-»6|-ի մեծությունից վերլութվից: անդամների տորն դիտարկվածմեթողում (2) բանաձնովորոշվում են միայն 7-ի մի քանի առաջին արժեքները,երբ |Ճ-ոօվ|-ն փոքր է: յլ ն 7ջ արքները կորոշենք,երբ մլՀ-Ճ-ին երբ Ճ«--30-Ւ2Ի, վերցնելովվերլու-. ժության չորս անդամ (19-ն Հայտնիէ սկզբնական զբ սամաննի ր ի ոլա'յ Հիման :

րո

|

վրա)

,

.

|

|

ՃՄ0ՇԹՄԼ--30, ՃՄԹ»2-Մ1Ն ,

,

Մ

ճուլթթո-Ֆո-,

՛

ՄՀ

(ՀԶԾ

-

|

2370-Ի1

լ

ածանցյալներիերկրորդ տարբերությունները

ձօ-Ճյւ--ձ)ց,

ն ՐՆ ն

ճնրՀ-ձ)շ--ձՄս».,48 ոՀ ճՖո-ւ-ձյո-ջ

ճավասարումը իհուչնտե,

կետի շրջակայքումլուծելու ճամար

1Հ-Ֆօ

Թեյլորի բանաձեր(1 ճատ., Սամ

ենք գրենք

Ճ--ց

յ-ԵԻ-Լ

ն

Իջ

ԽՈՒ

"

(2--Հո)շ

96, բանաձն (6)).

գլ.,

յո («--ց)"

ԱԻԴԱՆ

|

(ո)յ-ք

( 2)

Այս բանաձնում յց-ն Հայտնի է, իսկ 1ց՛/»Մ» ածանցյալներիարժեքեն դոտնում ճետնլալ կերպ. տեղադրելով (1) (1) ճավասարումիցք նները ե 3. " կգտնեչ Ք սկզբնական արժեքները, 7.-ը ՛

ի

«Վ 0,

ը:

ջե.

(բ.

լի

20լո36

շից

(ջը

,,

(3)

'

,

"չ

որ ճայտնիեն

Այս

70, Մ,

(47

հրեք

ճավասարուչ

եշսԺից,ոբոշումենք

Ֆօ--1ր3ե, 70), 3.ՀէՐվ, )խ2ՀԱշ 7.):

Հավասարման աջ-մասում

30-- Ը2

ֆունկցիայի րրա մամարձնը, արժեքներիՀիմանվրա, օգտվելով (1)

արժեքները

չ

հչ

՛

Հետագայում ենթադրելուենք,

"

Քելի է բու "

Ճ-ին

րատ

որ

1(4, ն) ֆունկցիանայնքան անգամ դիֆերեն-

Մ-ի, որքան պաճանչվում է

նքն ակսեինք մեժ լուծումը գտանել

Աոոքնրեց ԱՐԵՇ ԱՇ

-

դատողությունների ընթացքում:

ճշտությամբ,ապա կպաճանչվեր ՃաշվելՖ-ի ճրեք. ավելի:Այս մասինմանրամասն տես, «րինակ, Լ. Ը. Ք 63110881 Կ,

ԹԻԿԱՇՈՏԱԼՑ,

ԼՕՇՐՇՅոՅ,

1949:

եվ այսպես, Սե՛-ը

ն

Սո՛-ր

գանված են:

Տեղադրելով (10)

(5) `վերլուծության մեջ, կատանանք արտաճալտությունները հ,., հ, ծհ,չ. Ի

ՈՒ ճո

աՀ

ՅդՃԻ Ը»

ն

Հետնաբար,

(11)

:

(12

(2)

ԱՎ

չորս

ե

մեծությունից:

իմանալով գ-ն,

Դիտողություն

-

"4

2:

Մար Նոյ«ԷՏ աԱ ան Այստեղ --ձյւ

0րինակ

Գանել 7/--1--Ճ

1:

երբ Ճց--0 Սլ, ները, երբ 2--0,1: 0,2: 0,3: 0,4: (լուծում: նախ (4) ն (4՛ ) է

սկզբնականպայմաններից ստանու ւ

Ճե-3

ւ

Հետնաբար,

դտնենք յլ-Ը բանաձներով

ն 12-Ը:

(0,շթ.

ն ծավասարումից

Դ

Հիման վրա գտնում ենք. Հավասարման

ֆջ-ը,

5570-Ի

1-1,2103,

-Խ11034-0,

436-20,2109, ձ37:--0,2324, ձ217--0,0221,

Սոացված արդյունքներըգրենք ճետնյալ աղյուսակում.

ՏՐ

ձյ"

ֆորա"

ար

7օ--0

Մ

7օ--1,0000

ո

Ճ7:--0,2103 ն)

Ն

ու-0,1

|

ո-,103

ձո):2«0,0221

»51,2103

Ճ7:--0,2324

չ»0,2

|

7յչ-12427

|

|

72-1,4427

ձ):-:0,2568

:

«0,9

"Վ.

3-51,3995 3-2Ն6995

մգ--0,4

(12) բանաձնով գտնում ենք 13-ը. 0,1 0,1

:

/թ-0,0244

|

-

0,232 1,4271--Ը-. ՛

5.(0,1) -Ծ՞

`

Հական

Հեա

|

7-Ն5333

:-Ն2ԶՈՒ--

| | | |

Ք

|

:

|

'

՝

,

|

302--Ը7՛Է1) 02-1-Վ1-2:

ձ:յ'

՛

7՛

՛

:

|

Լ

1168,

2-3շՎԿ--1,2427--0,2»-1,4427,

ենք

"2

կոտանանք

հ»«0,1,

2--1242Ո

2-Էլթ2.32

՞

,

2-1,

`

7:-ՀՕ-Է 2):«0--30-Ի--1-0-1

Դիֆերենցելովկս մեկ անդամ՝

(0,2):

կ

'

գ--1,

Հավասարման այն լուծմանմոտավոր արժեքները,որը սկզբնական պայմանինՈրոշել լուծման արժեք-

կստանանք. տրված ծժավասարումը, Դիֆերենցելով ՝

կստանանցջ.

7-3

է ւ հատ արժեքների Մո-Ն 6-2 բանաձեր։ Ֆուլ-ը սկսելու ճամար պետք Հաշվումները բանաձնով Այսպիսով, այս միջոցով: 31» Այս ար32» 3: նց» արժեքները` է իմանալ լուծման առաջին չորա է վերցնել վերլուծուժեքները (4) տիպի բանաձեերովՀաշվելիս պետք թյան ճինդ անդամ: բավարարում

Ֆլ-ը։

լի

«1.2

0,2

արժեքները

0,1

0,1)2

0,1

եթե ցանկանում ենք ստանալ ճաշվման մեծ

ճշտություն, ապա պետքէ վերցնենք ավելի շատ անդամներ, քան վերցՀամապլատասխանոբել ենք (5) վերլուծության մեջ, ն (14) բանաձեր վերցնենք աջից 5 փոխարեն րեն կփոխվի: Արապես,եթե (5) բանաձնի հ-ի կարգիանդամով, անդամ պարունակողբանաձն, այսինքն՝լրացնենք Համանման ճանասլարձովկստանանք (12) բանաձնի

աի

70 --39--2

Մը»70 97

ո-ԼԷՂ-` Էջ"

այնուճետն Սգ-ը, Մտ Դ զտ ողություն Առանցապացուցմաննշենք, որ հթե միակ լուծումը» զոյություն ունի (1) Հավասարման Ը, Ե) Հատվածում բանաձներուի ապա (12) է պայմաններին, սկզբնական րը բավարարում մեծությամբ Հե զերաարժեքներիախալը տրոշվող մոտավոր բացարձավ՝ է միջա«Հաստատուն է, կախված որը զանցում Ինի'-ին, որտեղ Ո-ը ն կայքի երկարությունից ն 1(4, ո) ֆունկցիայի տեսքից կախված չէ հ-ի ենք դտնել 33-ը

ձնով, երբ հ-«0,2,

նման

անդամնեչ Սա էլ ճենց,այսպես կոչված, Ադամսիբանաձնն է տալիս, իմանալով Ս-ն, Մ1-Թ» բով:(142)բանաձկրՀնարավորություն )օ-ն, 31-ը ն 32-ը, կարող իմանալով Այսպիսով, որոշել ոււ-ը: Ֆոց-ի, է

Հավասարմանմեջ տեղադրելով

:0,0221-13995։

ԱԼ

Հետնաբար,

Տեղադրելով(10)

են:

ֆո՛-ը գտնված մեջ: (5) վերլուծության արտաճայտությունները եվ այսպես, ֆո՞-ը

ն

հ

ոոոՀԻԳ

Ւ

,լ

ծի

հ,

Ւ»

ն

(11)

(4)

կատանանք ոյ:

30՛»-30--2

Նմանձեով,երբ

հ 0,2,

0,1

կոչված,

ԻԹ

լ-

ը-ն, իմանալով լոմ 30-ն, 3լ-Թ

ճ:3.-3 ՀՀձրւՒ-ր թ

ճու

է

նա

Մոշ

-Խ

0րբնակ1

Ստացված արդյունքները դյունքները

--

է 1օ-Խ բավարարում

ներըչ բը,

երբ Լուծում: ե

երբ

նախ (4)

ն

դանենքՍլ-ը (47) բանաձներով

ոկզբնական։լայմաններից 7520»

ստանում

ենք

-

կստանանք. տրված Հավասարումըչ Դիֆերենցելով

ԻՑ

Հետե տնաբարչ

Դիֆերենցելովնա մեկ անգամ՝

1043-0,151,2103,

28278

գրեն գրենք

'

ճետեյալ աղյուսակում, յ

7՛

7.--1,0000

20--0

ձ7՛

7:ձ7:--0,2103 870--Կ7

(Է

ն

32-Ը:

Յ-Լ"

Ւ

1օ-1ՎԻ1-2' ց7--""

05«0,0221

տՀՆԽ11037»51,2103

ոյ-0,1 յժ,

.

արժեքների

լուծման

ձշյ'

-

ձ71--0,2324

4.-0,2

|

յ-12427

ձյ: «0, 2568

:

արժեք-

-20,3

|

13995

ա-04

|

Խ-15333

"

ն Հավասարումից :

|

|

7:-1,6995

-

-

(14) բանաձնովգտնում ենք

| | |

73-ը-

«ւ5՝:0.1 ԼՆ, ՂՏ". 1 Ն2Ո:-շ-: 07228 Է--զշ---0,0221--1:3995, 0,1 ,

0,1

97--1,2427-Լ---

Մ

| ձ27/--0,0244

72»-14427 `

ՍԴ: Ս,օ, 074 0/2: 0,2. 0,3.

5-01: --0,1:

-ՖլՒլՀՆ

-

արժեքները, որը այն լուծմանմոտավոր

Ռրոշել պայմանին: Ճց---0սկզբնական

ՅԻՐ

ՀՈ

աա:

լուծմանառաջին չորս արժեքները՝ սլետք է վերցնել վերլուծուՀաշվելիս ժեքները (4) տիպի բանաձներով

7/-55-Ճ Հավասարման

Կոթ,

ճիման վրա գտնում ենք.

ճՃ27-ՀԿ

է իմանալ

Գանել

կստանանք.

:

0,2Ն4471, 8)6-20,2109,

Այստեղ Նաւ-ը որոշվում Մ բանաձեր: ակսելուճամար ւլեւոք այս բանաձնովՀաշվումները Այսպիսով, միջոցով: Մօ0» 31, 32» 33: Այս արթյան ճինգ անդամ:

լոց

2-ԻՑ

2:

.

02».

յ,

արան 75-70-01,

Հաստատուն է, որը կախված վանցում Լի ին, որտեղ ՌՆ-ր ն չէ Ո-ի ն ֆունկցիայիտեսքից կախված կայջի երկարությունից 1(5, ո)

մեծ ենք ստանալ ճաշվման նթե ցանկանում քան վերցավելի շոտ անդամներ, ճշտություն,ապա ետք է վերցնենք ն (12) բանաձեր Համապատասխանոբել ենք (5) վերլուծության մեջ, վերցնենքայից 5 փոխարեն բանաձնի (5) եթե Այսպես, րեն վվոխվի։ հ-ի կարգի անդամով, լրացնենք այսինքն՝ բանաձե, անդամպարունակող ճանապարչովկատանանք ճամանման (19) բանաձնի փոխարեն ապա վիր: ւե, ե,., հ. Ւ

յՀԻԻ--ԻԴ

:

32-ը,

`

Դիտողություն

վադ 0,173

«ՎՅԱ

լԷջ

հ--0,1,

:

(0,1)2

"ՅԻ

մեծությունից:

30, 3ց՛ արժեքները ն

կստանանք.

(լա2

է՝ չորս անդամոըԱղամսիբանաձեն է տալիս, իմանալովու-ն, 31-Ը» րով: (12) բանաձնըՀնարավորություն ն35-ը» մարու 3-ը Այսպիսով,իմանալով3օ-ն, որոշել ֆոււ-ը: ու»-ը, 3գ-ը» 35: ենք գտնել13-ը ն այնուճետն նշենք, որ եթե Առանց ապացուցման թյունր Ռթտողու միակ լուծումը» գոյությունունի (1) Հավասարման Ը» Ե| ճատվածում ապա (12) բանաձներով պայմաններին, որի բավարարումէ սկզբնական մեծությամբ չի գերասխալը բացարձակ արժեքների մոտավոր է միջաորոշվող

է Հենց, այլապես

ա

տեղադրելով Սց,

յ մեչ Հավատարման

ԻՇԿ

(3

3"

.

'

՛

Այնոչնտնգտնում ենք 93 (32 Ճ27՛լ արժնքները: նորից (12) բանաձնով գտնում 34-Ը:

0,1

0,1

0,2568---շ Ի--Խ39954-1-" 1,6995Ի--:

-

0,1

ենք Այսպես, ողոր»

-

-

0,0244Հ-1,5833.

0,1 0,0400 Է 0.1 0,1: 7:-0,0027----5- : 0,03001--- 0,0200--0,0090,

չվյալ Հավասարմանլուժման ճշգրիտ արտաճայտություննէ

Բացարձակսխալն է 0,0003,

0,4--2604--0,4--1--1,58364,

08" լ

չ

2-0,0ոց0-բո-Ր. 0,0501----2 -0,10,0201--0,02:4. ,0901գո.

Հարաբե«

-

183650»

սխալը՝ րական

(էրերի մեթոդով ճաշվաժ գ-ի

,0002--0,024.։

արժեքի

նշենք, որ կգ-ի մեջ առաչին չորա ստույգ նիշերը այսպիսիք են' )գՀ0,0213. կարելիէ ստանալ ուրիշ, ավելի ճշգրիտ մեթոդներով, սխալի գնաչատումով):

Հարաբերականսխալը՝ 0 րինակ, Գտնել /՛Հ-924ե) Հավասարմանայն լուծման մոտավոր արժեքները, է բավարաբում 0-0, երբ 100 սկզբնական պայմանին: Որոչել լուծման ար-

սխալն բացարձակ որը

0,06,

նրբ 2--0,1: 0,2: 0,3.0,4: ժեքները» Գտնում ենք.

Լու ժում:

,

(4)

ն (41)

Ց.

ո-՞3լ-

:

36-07 Է0---0,

«:50,0003,

գտնում ենք. Հավասարումից

շ

7:--0,0100,

5-0,

(0,2)3

2--0,

ՅՐ"

:

մոտաքննարկվածդիֆերենցիալՀավասարումների են նան վոր ինտեգրմանմեթոդներըկիրառելի առաջին կարգի դիֆերենցիալ Հավասարումների Համակարգերիլուծման Համար: ԱյստեղՔըն-՞ նարկենք Հավասարումների Համակարգիլուծման տարբերականմեթոդը: կշռադատությունները կատարելուենք երկու Ճամակար"զի ճամար, որոնելով երկու ֆունկցիաներ: է գտնել Պաճանջչվում

'

0027,

7:--0,0400,

40--

7՛

79-0

79--0

ճ՛

ճյց--0,0100

7յ--0,0003

թ«0,3

71--0,0100

| |

ՃՈ

|

ճ37:Հ-0,0200

ձյ:--0,0300 7շ-Հ0,0027

2շ-:0,2

ձ27՛-«0,0201

74--0,0400

47:5-0,0501 22,3

|

չգ-Հ0,4 լ:2

7յ--0,009990

|

ն 33-ում

Պավասարումնն

։

34.

։

Այս տվյալների Հիման վրա կազմում ենք աղլուսակի առաջին տողերը, իսկ այնուՀետն 39-ը ն գ-ը որոշում ենք (12) բանաձներով. ՛

նն --»թկ(Ն,(Ե, Ն

.

Վ Ա

Վլ

առավ չ(5:5

(1)

2)

(2)

Հավասարումների ճամակարդիայն լուծումը, որը բավարարում է Մ7--յց, Ճ--Ճց երբ սկզբնականպայմաններին, նչ արժեքները կորոշեմքարդումենոի Ճ0, ՃՆ ֆունկցիաների ԿԽ Ճո Ճղ արժեքների դեպքում: Դիցուք Ճշ» նորից

"5

Ճել

լահ

(ձ--0, 1,9,

«յ,

գո"

Մո

Ֆունկցիաների մուռավոր արժեքները նշանակենք

9"

ն

Թ

Հռ

ո--1):

(3)

հնչՀամաւլատասխանաբար, 2»

Գրենք9 33-ի

միքսիսի

-

2), Մ, 27

2--2ց»

5--0,0901

3գա0,0204

(Դա

Առաջինկարգի դիֆերենցիալհավասարումներիհամակարգիինտեգրման մոտավորմեթոդ

Տ

Հ(233՛324)--0Հ-0, 6-2 (97 Է277 2). բանաձներովստանում էնք. ւ

-

-

ՖՀՀ26:-Հ--Ն

Հետնաբար, ֆչ-

ուրեմն որ

աա

«ա

Ճետեյալռեկուրենտբանաձները.

ՒԶ ոաշոժր

2, ուրը

(4)

հ.,

հ,

Հ-շՃշ. ո-Ւ-Րո

7:11Հ

շիճ

ու

-Չ

(5)

,

Մօ բանաձներովակահլու չամար պետք է չտրված Հաշվումներն այս ն ց արժեքներիցբացի 7211 շշ արժեքները, որոնք իմանալ նան ֆո: դտնում ենք ծ 32-ի (4) ն (4) տիսղիբանաձներով. ի

ՀԻՏ ՏՅ

|

ոչ

հ

--20-Է

,

լ

7:

, ՝

-չ08ի եո3ո, 7:--30ԴԻ Սո", 3) 21-52

իտ

՛՛լ՛6

Է

ՈԼ

Լ

7:

Ճշ

,

----20Ի-շ-20-Է 6" ա, 2--ԵՒ-Ր

ի

շի

՛

,,7

Դ

:

ն

չ

ճամար պետք է իմանալ Սց, Այս բանաձներնօգտագործելու

2:", 277",

որոնը որոշմանը կանցնենքայժմ:(1) 3: գտնում վասարումներից ենք.

7,

76- ԽՍ»

շ(

70-Ե(Ճց» ը

ն

,

20--

(7):

։

ժե ժեշ, ՀԸ Է ԶՄ

որից

Ճետո

դերը:

2Ն 15 ձե

ճն

,

ր

,

22726

՛

լ

ձ27/

2.

| |

ձ7,

(5)

42, ՛

:

բանաձեւ,

Հի

|

ի

-ի՛

ն

Ի

2:-ր,

,

վու

ն

-

լ

-

,

Գտնել7 Հ-2,

Սց, 20»

էուժում:

Մ:

արժեք»

2՛Հ-)

Համակարգիայն լուծումների մոտավոր ե ԿրԲ ն «--«0 սկզբնական պայմաններին, Ճ--0,է: 0,2: 0,3: 0,4:

Յ»|,

20525

Տրված Հավասարումներից գտնում ենք.

'

70--2:-0-0,

20-«--0--0: -՛

,

ի

տրված Ճավասարումները, գտնում ենք. Դիֆերենցելով

-4--16

Ի-5 09: "7

ձշ

ճշլ

,

լժջ

|

ձյլ

--0, ները,որոնք բավարարում են Մ0227 երբ 4ուծումների արժեքները Հաշվել,

`

|

:

ա

'

2226"):-9««3:-Գ--1,

/-ո

կարողհնք լրացնել Հետելալ աղյուսակի առաջին Ճճինգ

տո-

Ֆո՛-(7Դ««0-Հ(7):--0Հ-1,

-

22 (Դո-0-Օ")ո0--0,

(4)

ճ2Ն 825,

5--Ը՞).-0»«(7):-05-0,

"2"

70՛՛-ը ն շգ՛-ր։ իմանալով մեկ անդամ նս, կգտնենք Դդիֆերենցելով ն (2) ճավասարումներիցդտնում ենք ղի» 72-ի» 21-ը» 22-Ը» տրված (1) ե ե

ն

2»

|

ժե,

|

ճձ276

լ

| 7.

0րինակ1,

Ւ» ՀՒՒՏը

Ա

լ

էլ

ձ27՛

աի

կգտնենք.

| | | |

Ճշ.

-

(2) Հայ-

Դիֆերենցելով(1) ն (2) Հավասարումները ե տեղադրելով ՖՃը, 70 նց արժեքները,

7օ-«(7 ։-«Ծ

՝

70 20»),

70» Պե

ձշ՛

շ

կգւոմրեն73-ի րով Հ. ր , (2 (7)ամաարան գտնեն 2 Ճշ,» տփ «2 (5)ճնաձներով աէր 34-ը ո ԽՏշլ-ըորից 4)

չ

90»

ձ27՛

ին3.

| | | |33 |37 |

վ,

հ

47՛

7՛

|

մ

Ւ

| |

ո

(5) տիպիբանաձենրովգտնում ենք. ՛

0, 1

ւ-ՕԷ-Ր գ

տ`

(0.1)3

արան 1-20,1002,

0,2 «2

ԲԵՐ

(0,2)31-62018,

:1ԻՂ-ջ 2 «0Է-Ջ--' (0,

(0,

0,1

ո-ԱՒ-Ը

Հ

0--1,0050,

Հ

Հ

Յ

|

2ւ--0,1002,

Տ.|.

լ

72--1,0200,

2:-50.2013,

0,1

ձ25--0,1002,

(տես էջ տողերը

Հ

'

«

ՀՎ.

23Յ1,Ն ն նման

Ի

,1

շշ

0,1

:

«10452 սՇեցալ

Տ

Ակնճայտէ, վարարում

են

0,3015

որ

-

0,10

ւօաթ շ

'

ՖՀ-ՏԻՃ, Ուստի, ստորակետիցՃետո

Հինգճշգրիտ

Յ.

«51. 0,1:

.

)

0,0021»-1, օոռւ-ոԹթ,

Ց

|

Ր

լ

՞

:

|

բա-

կլինեն

Եդ

Ջ

ոշ Հ

կ

Բ

շ--Շիպ:

նիշերով լուծումները կլինեն

ՆՏ

ՍԱԹ

7գ--Ըհ 0,4-Հ,08107,

Բ

լ

՞

Հ

|

Հ.

Վ

Հ

Հ

թ

Տ.

օգ

Ջ

ծ

ՀՏ

-

լ

ջռ

ը--

Տ

Հ

«

2.

|

Տ Ի

--

չը

Վ

զ -

ԱՎ

թ

6:

--

-

Հ

-

լ

Մ

Փ

լ

օ

-«

`

Հ

Չ Ջ Տ.

-

մ

Է

Ջ

տ

ւզ

0,0102--0:4107,

--

"

Հ

Հ

եկ

Ջ Տ

`

Ջ

«

-Տե0,4--0,41075,

Ղ

բ -

Ջ ծ

.

թ

՞

0,00095-1,0452 են ա

տրված ճավասարումներիՀամակարգի այե լուծումները, որոնք

սկզբնական պայմաններին, տրված

Տ

Տ

Հ

Կաթ նբ էք

մ.0.1

Ձ

Վ--ջ,

'

ո-0,3045-Ը 1,0452-1-70,0252-|թ:0,1»

լ

ՀԳ

Ջ

Հ. ը

|

Գ

ձնով

0,1

-

ԷՏ

0,1. 0,0100»»0,3045,

Ջ

ը

157):

0,1 0,1"0,1011Էջ "5, 3-Ի՞շ

ԻՆ,0,201

Հ

-

Ի

Է 1,Ը200

Թ

Շ

-

Հ

0,0150-: -Հ-.

.

Հ

5»

Տ

(5) բանաձներով գտնում ենք.

0,1

մ

Հ

Հ

,

.1,0200-Լ--7:-«0,2013.|--քլ

Ց Չ՝

Հ

Հ

ծ

7--0,0150, ձ7:--0,1011, ձճ7:--0,0100, ձ:»--0,009

ն

Ց

Գ

ճջ

Այնուճնտն, (4)

--

Հ Յ Հ

ի

52--1,0050,

լրացնում ենք աղյուսակի աոաջին ճինդ

Հ

Տ

-

Տրված Ճավասարումների ճիման վրա զոնում ենք.

ն

Ց՝

Տ

25ԻՔ:

ձ7:--0,0050,

5:

լ

Հ

:

--

ՀՎ

Յ

.

(0,2):0--1,0200,

(0,

«Օգ:

էվ

1.

(0,1)3

Ի.ԱԻ-Ա-

ՀԼՒ-Ր: 0-2 0,2

ՀՆ.

-

ր

կ

լ

|

Հ

Դիտ ողությումն , Քանիոր բարձր կարգի ն ճավասարումները բարձրկարդի Հավասարումների Համակարգերը շատ դեպքերում բերվում են առաջին կարգի ճավասարումների ճամակարգի,ապա շարադրրՀ աժ մեթոդներըկիրառելիեն այդ սնդիրներիլուծման նկատմամբ,

41Ը51ո

զատ.

Հղ/1-32-Ը

`

Ցույց

տալ,

--Ը

ՄՇԱՐԻՇ-Ը,

2:

Ց. 4.

22601

Ց ժ:

5.

6. Չ:

8.

ծ:

4:Ը

ՈՆլ

'

---|-մ

.-ՅԸւ-1)4

ՖՀ-Ըլօոճոալո լյ

«

"

7-0, ո

ո)3)

'

մ:

:

Շգ, ՒՇ

2:

Փ:

մ:- բ

որ-ց.

`

ՏՅ:

5մ4- «մ,

77-Ը" 10. Մբսյոմսւ(-Կ)սմյ--0, Պտ.

զաս-

ԷԱ-ԿՄ--Շ:

41.

-յ)մ:-(Լ-2)մ7--0.

մ:

Է-ն

Պատ.

(4-13)1-2)-Շ.

:

Գատ, ԱՐ

ՎՑ-ԻԵՅ-ժ,

ՀԱԻՐՀՇ' 1:չ.

ԴԵ)

լ

3)-

ր

Պատ.

ԸՏ

«

ՀաԱի

-

«Հ,

Ը

16.

Հե

Դջէքնմն-«0,

Ս. --ԸՇՇօՏտՍմ, 19.

Պատ.

-ՀԸՇՕՏ

ՏօօԳ "1458

ւ

Լք049Հ0,

:341--ր/է45--0,

բ-:ՇԸ0Տ50, ՊՏ.

Պատ.

ձ

.

2, Է-Ցէքջ»ՀԸ,.

մ0--ՇՕ50 Տ/Ոջ մց--0, ՍՇՕՏՓ Պատ. (ս 20. ՓէքնմՓ--0, էքց էքՓ-ՀԸ, --0.,

221.

17.

Պատ.

ռո.

--

51ո

00Է56« Տ«լ:0վ512Փի

Պատ.

լեշ

(20--

.

(1123ժ7-/

1-22 3» ԼԷ 3

է

ա

ի ոիԱԱ

ետի

աբսցիսի

երկարությանը,որն ընկած է

Պատ.(7-Ը:---4)42--2:47»--0.

է-շ..Ը-ԸՑ, ԼԻՑ

Պատ. «մէ--(13--23յՄ7--0,

Է.

,

|

Գտնելայն կորը, որի յուրաքանչյուր կետում

Հավասար

ոստ

12.

Հ,2

Պատս

ճետ.

Յ0. Քննռայինկոորդինատներովգրել այն կորի ճավասարումը, որի յուրաքանչյուր է շակետում շառավիղ-վեկտորի ն շոշափողի կազմած անկյան տանգենսը Ճճավասար ռավիղ-վեկտորիՃակադարձմեծժությանը՝վերցրած Ճակառակնշանով: Պատ. ((0--Ը)--1

33.

անջատվող փոփոխականներով դիֆերենցիալ փնտնգրել Հավասարումները: Ց.

արկորային

31. Բնեռայինկոորդինատներովգրել այն կորի Հավասարումը, որի յուրաքանչյութ կետում չառավիղ-վեկտորի ն շոշափողի կազմած անկյան տանգենսը ճավասար է շառավիղ-վեկտորիքառակուսուն: Պատ. 12Հ-(04 Ը)2 32. Ապացուցել, որ այն կորը, որի բոլոր նորմալներն անցնում են Հաստատուն կետով, շրջանագիծ է,

՛

մ

կաղմելու

ճավասարումներ

դիֆերենցիալ

որի ճամար ցանկացած կետում շոշափողի անկյունային գործակիցը ո անգամ մեծէ այն ուղիղի անկյունայինգործակցից, որն այդ կետը միացնում Է կոորդինատներիսկզբնակետին։ Պատ. 7-ՀԸՃԽ 29. (2, Լ) կճտով տանել այնպիսի կոր, որի ցանկացած կետում չոշափողը Համընկնում է կոորդինատներիսկզբնակետնայղ կետի ճետ միացնող շառավիղ վեկտորի ուղ«

ղության ՝

գ27

2-Է):--»3)3-ԼԸ,

28.Հարփոք

--Հա-0: մտ

(ՅՅ. մոշ

ո,

՛

էջ -ՀՇ(1-65:3:

Պատ.

ի(չՃ--1)7--Ն-Լ1Հ-0,

Վատ.

ո

ր

միավորով: Վատ. Ֆ-62--Յ այն կորը, որն անցնում է (1, Լ) կետով ն որի ցանկացած կետում շո 27. շափողի անկյունային գործակիցը Համեմատականէ այդ կետի օրդինատիքառակուսուն:

-

(5:)

1-2

դորԱպացուցել,որ այն կորը, որի ցանկացած կետում չոշափողի ժակիցը Համեմատական է շոշափման կետի աբսցիսին, պարաբոլ է: Փատ. --422Ի- ա 20. Գանել այն կորը, որն անցնում է (0, --2) կետով ն որի ցանկացած կետուք շոշափողի անկյունային գործակիցը Հավասար է այղ կետի օրդինատին՝ ավելացրած 8

Ս,

2.3 Է2.---. ո ՀԱԻ 3-6::

'

ԳՈՏՈ

Լ2:3. :

ժ:

Ի-՛ԷԸյս

-`ՐՑ մ

(1-62)5օ637 47--0,

Պատ.

Պատ.

ժտնել

|

'

«(ԸՇյ ԴՈՑԷՇ սյու

Ի

»

մո--0

285.

թի

մ

Ր.

(2)

կ

"

յ

զ

՛

Ը

Գ

ՀՇ

Ե

՝

«2-ը

ատ

մ7`2

՝

Շն

1:--ԸՇյո..

ֆունկցիա»

Դիֆերենցիալ Հավասարումներ

Ցո4,

լ. ՄՀՏ1ոՃ--ԼՎ-ԸՑ-

մոգ

71-447--չ 1-3

վերաբերյալ

ճամապատասխան դիֆերենցիալ Հավասարումներին.

Ֆունկցիաներ

3» 1ր 7

Խնդիրներ

կամայականՀառտատուններից կախվա, սպորն բերված

որ

(4 -)ոյզ(-ո))47--0.

24.

ՊԱԼ գլխի «Վարժություններ վերաբերյալ

ները բավարարում են

Թ.

ՀԸ,

7--ՀւԸէք

ուծ

է: ՛

ճօ-ԸՕ5Փ--

566201քֆմջ--

ԷՅ մ»-0

մ:

ում:

Ըստ

առանցքի

7--Ը Հավասար

ն

ԼԹ»

երկարությունը

Ն ճող Հատվածի ::

այն

շոշափման կետի միջն,

խնդրիպայմանների

ինտեգրելով,ստանում Յ5. Ըստ

մ

ննքաշոշափողի

նաղատիկին. Պատ.

Յո»

մ

որտեղից

ենք երկու կորերի ընտանից՝1-ՀԸՃ

օրենքի օղում Նյուտոնի

ն

7--

Շ

ՀԺ

ա

որնէ մարմնի սառեցման արագությունը Համեմա-չ տական է այդ մարմնի նհ օդի չերմաստիճանների եթե օդի ջերմաստարբերությանը: տիճանը ճավասար է 20«Ը ն մարմինը 20 րոնում սառում է 1006-ից մինչն 605Ը, ապա որքա՞ն ժամանակիցՀետո նրա ջերմաստիճանը ՛ կիչնի մինչն 306Ը: լուծում,

ինզրի զիֆերենցիալ ճավառարումն է՝

ղզտնումենք Ղ--ջՉՍ-Գրելով, ԸԺեէ: Ղ--100,

երթ Է--0,

մ է

ՄՈ-20)

ԻՆոե-

Ղ-60, երը Է--20, ուստի

:

Ն Ը---80,

49 Է

բ

.

Ղ-30,

ԸՇ ԸԹ304 ,

Չ

ն

ճնետնարար,

ՉԵ,

Լ

Ր

0,

Չ 7

դ

մանակամիջոցում թափվում է զմ ծավալով

որը'"--Ամ-Հ--0,52մէ----0,3) 2քեմ է"

ջուր,

Մյուս կողմից, չնորչիվ չրի ճոռքի ջրի բարձրությունը «աճ», ն թափված ջրի ծավալիդիֆերենցիալը ճավասարէ

ատանում

է մի

բացասական :

տ

---0ՉՀՀուՅմիՀ---(հ Է0,7)2մհ։ :

այստեղից

74/3

3/2-----

զատ. Գատ.

ճ7

մեմատակա է Համեմատական

ատման պատմ

Թ

1ի անկյունային /

ժամանակից, եթե արադության կախումը արագությամբ, սկավառակը

րոն

ճետո

ճայտնի

է,

պտտվում է

որ

սկսելով յո.

60---

ա

այդ

պտտվել

է

ո

բոլ

տական է ճնշմանը: Խնդրի

39.

առո

«րի չՀավասարումնէ' մք----հքմի,

դիֆերենցիալ

43. "

զատ.

ԿՅ:

Պատ.

(8:-1105) մո(53-Ւ758) 47-Օ:

զառ,

մճ--2 մ7:-0: 1ո(ա-ի)76-

(«Լո

(2.Է-ն

Հոսքի Ազատմակերնույքիցի ճեռավորության վրա գտնվող անցքից չրի

դ ացումն

է:

Ը

աբսցիսի

կորը, որի ենթանորմալը

օրդինատի միջին թվարաչ

ն

(«-30:(:12)7-Շ»

7-Ճ-մ

էստ խնդրի պայմանի

Հ,

ո

Ն

1ռ

է

"ր

Ճ

դիցՇ

Շ

ո

` Ր

:

-Ճ

|

Որոշել այն կորբը, որի նորմալի՝ Օմ առանցքից կորած ճատվածի ճարաբերուս ճաստատուն

մեծության:

ր

ծ-ծ--

Լուծում:

Րոտ խնդրի պայմանի ՀՈ,

որանղից 23-Լ72»--ո:(2--Ը)ն"

11--72

տրվում է

/5-0,6Մ2ջի

ե

Մ

բանաձնով, որտեղ Տ ք-ն ծանրության ուժի ,

որտեղ Օ-ն

է ՅՏՇԸՑ,

ոո Լուծում:

Քան

ԴԵԾ

տան

ում

Քանք որ էք0----

ՔԸ

ն

ենք.

7--Ճ

:

շառավիղ վեկտորի

նԻ,

մյ

ն Ճ

քատ

առանցքի կազմած անկյունն էւ ն ման պայմանի խողրի

:

որտեղից

ԸՇ-

ւ

7--շ

մք

--Բ

մ

---դ-- «Հր 3-Ճլ,

-( ՅԻ) :

ՏՇԸ

0 ԵՈ"

'

Որոշել այն կորը, որի ցանկացած կետում տարած նորմալի կտրած ճատվածըօր« դինատների առանցքից ճավասար է այդ կետի ն կոորդինատների սկզբնակերի «ճեռաչ վորությանըս ր 55.

1-2Շյ--Ըյշ»-0,

-

դությունը

ԹբոՕՓՅՑ-)47-0:

ոճմ-Տո-/

2.

որտեղիցթ-Հ-

ի,

4.

-

ո

47-95

է: վեկտորին Հաստատուն մեծություն շառավիղ

դազի խտությունըճամեմա-

ք--օ-00001

Թաւշա-Օ

աոաք

Լո

(ո(25-3)--5--Ը,

Պատ.

ւ

հնտեդրելՀետեյալ Համասեռ դիֆերենցիալ Հավասարումները. 40. (2-3) Վատ. 724 227-22-ՀԸ: Է) զ7--0' (5-:) մ.-(

առ.

-7-1-Շ: 87-42-56.

(«47-15 (4:--87-9)

Պատ. Պատ.

.

54. Ռրոշելայն կորը, որի շոշափողի կտրած ճատվածը Օ7 առանցքից ճավասար

1.ԿԱ2 վրա՝ 0,4 կգ: բարձրության օրենքից, ըոտ Բոյլե-Մարիոտի Օգտվել

««6--0.00017հ, զատ.

ւ

4)

օդային սյան մեջ ճնշումը յուրաքանչյուր մակարդակի Ընդունենք, որ ուղղաձիգ վրա պայմանավորված է ավելի վերն ընկած շերտերի ճնշմամբ: Գանել ճնշման կաէ, որ ծովի մակարդակին այդ ճնչումը 1սմշ վրա խումը բարձրությունից, էրն Հայտնի մ

մ7--0,

թյունըշառավիղ-վեկտորին ճավասար է

սղո,

կգ է, կակ 500 Քուցում:

լո (44-74):

ո

Գանել այն կորը, որի շոշափողի Օմ առանցքից կտրած ճատվածիճարաբերուՀ

59.

38.

.

Յո,

Ն

՝

«-ՀՕ( Նր" 5-3

Դ-7

7)

Համասեոի բերվող դիֆերենցիալ ճավասարումները.

մ մ»5-(25:-Ւ47-Է3)

այն Ռրոշել

Լուծում:

արագությամբ: Պատ.

բող

03-( 7"47-03-73)

մյ

նկյունային անկ

-

Լ

«տր

ի

Գանել Լ

նը: րագությանը

արագո

008"

4-27Վ-1)մ2--(22--3) (.127--1)4:--0»--3)

թյունը

ա

պաճանջվող ժամանակամիջոցը Ղ--12,5վոկ: սկավառակի վրա չփումը դանդաղեցնող դորժողությունը պտտվող

նջ

46.

է

ժէ-Լ-

(Է-Տ)

45.

է

(»Վ27-1)

49.

52.

`

Ը

լոշ--»

ՏՀՀ-Լ

Շ

(3--ոււյյմ-(--3)մյ-0,

Ց.

10--7/հ), Է-0,0315(10'/»--հ՞/»-Է0,0132(103/--հՅ»)-10,078(յ/ ենք

կամ

7 ՍՓ

4.

ԽՇԿ

քականն էչ Պատ.

Ն

5--է1ո-ս

4կամ

ՎՇՏ/--Ը

Հետնլալ ինտեգրել

,

37. Հեղուկի

`

:

`

50.

2քեգԼ, Ճ-(ո--0,7)ոմիՀ---0,3)/ Յ

ստանում

-ղ --Ը 16758

զատ. |

ատ Պատ.

թ)

ԴԼ5

51,

հ «--0, Բնդունելով

մ5---0,

՛

կգանենը է»-60 բուլի: ջուրը հնչքա՞ն Ի ժամանակամիջոցում

Այսպիսով,

--Տ)ժ Էէ (27/51

44.

ունելով

կթափվի 10 սմ բարձրություն ն գագաթի 0,5 ճատակի ձադարի սմշչափսի անցքից: կոնական զ»:605 անկյուն ունեցող միչն ընկած ժամանակամիչոցում թափվող ջիի ծաէ ն ԷԼՈԼ պատերի Լուծում: Մ ճաստատուն արագության դեպքում 1 վրկ-ում անցքով վալը Հաշվենք երկու եղանակով: սմ2 Հիմքով ն Մ բարձրությամբ, իսկ /է ժա 0,5 ձե է ընդունած) թափվում ջուրը (գլանի 36.

--

:

--20.-80/--՝

լ

Լուծում:

Օյ առանցքից նորմալի կտրաժ ճատվածը ճավասար է

են այմանի Խոորք պայմանի

Համաձայն, ԱՄՈ ու

Ճ

արա» արա-

ԻԻՆՀ)

ՀՇԱՉԿաաայան.

ո1

17,

ուստի 7Ի՞Չ"

»րտեղից 52--Շ(27ՎՇ)։

56. Գանել այն Հայելու ձեր, որըԸ միննույն Օ կետից ց ճերը կանդրադարձներտվյալ ուղղությանը զուգաճեու ,

Լ

ղուրս դուր

եկող զ

բոլոր բոլոր

Ճառագայթ Լա

ն ինտեգրալ 11--Դիֆերքնցիալ Հաշիվներ

Օ-ն

կոոր Որպես 2 առանցք ընդունենք տվյալուղղությունը» ընդունենք փլք-ն՝ է, անդրադարձվածը» ճառագայթն ընկնող ՕՌԼ-ը սկզբնակետ:Դիցուք դինատների ՆԳ-ն՝ որոնելի կորի նորմալը ՕԻ--ՕՕ ջ --քջ Հ՞ Լուծում:

ԽՈՀ

զ--9

շ

ՀՕ: ՛

լ:

գ

7-Յ:-Ի-Շ/Է-ն

ԳՓատ. 61.

ին

օ"յՀ-Հ41

զատ.

ո

Ձ

՛

ճ

ԻՔ

68.

Ը:

7-ը

63.

ոո

Պատ.

7-10,

Պատ.

3-Ի:

(Ըլյ/ 1-32-8)7ՀՆԻ

Պատ.

-«(4:-1)--ն 29. (Մ1ո-2)7

մամ.

Հց260Տ 2(1--51ո 4):

Պատ.

ղայ.

9.

Պատ.

ԻՀ-

։|(2-տ)ժ

ՏուԻՇ -

Պատ.

(7-ոյմյ-Ց.

75. 16.

14. --

|

:

Ռ-

.

յ

-

-«

:

Օ-)

Գատ.

:«մ:47մ7

22-Լ9:-Ըտ:

72-24

Հ-Յ---------ս աղան

ո

79.

2 1

43-37: «3-3 4

Ե.

Դշ

18. --0.

Պատ.

Ե

շրջանագծերի ընտանիքի

այն

դիո-

Ճ--7

--Ըչ

Ե3)75

(0283

(8:)՝5

»-(ԽԱԱՒՇ

--շ

38»

«յթ

Վատ.

ՀԸՇՀԼԸ-Ը7.

ո Պատ.

՝

ուժու

«

Պատ

ԻՈԼ-ԸԽ

ԻՒ

ՀԳ, 7 1-4

ց 8.

ՀՄ

|

92.

որը,

,.

Բ

լ

Գառ.

-7--Էճ:

լ

Տ: Պատ. ՀՀՀ Ըդ' Է

ՀՒ

ճռանկյան կյա Հ

չոշափողով

ճաստաւտուն մակերեսը

(ԱՎ:055

ն

Շ

Ո

եզակի լուծում

Զ-չյդւ

ԳՄ1-7

Հ

Դ:

7--ճ7՛Վ7"

ելակի

7 լուծում

է՝

.

է՝

Ի -ր»"

կոորդինատայինառանցքներովսաճմանափակվածֆ

մեծություն է:

Ճիպերբոլը:Բացի այդ, ավասարակող

ոյ

ց8.

Չայ

«ՀԱՄ

95.

՝

99. Ռրոնելիկորի

7273-Ի:

ատայուն բերա

որն ունի

4:-ՈՐԼ141 է" 72--12--|,

է՝

թա

եզակի «ճ 9.

-ՀԸ -ԶՒՇ

:

-9.

ճավասարումները,94.

:

-

30,

'

յ--0,

է`

ֆանել այն Եզակի լուծում է

95.

եզակի լուծում

--թր

7--

ՏՈՅթ

7»Շ(ք--1)օ-5--քո.2,

Ինտեղրել տրված կլերոյի

յ

«Ր»

ԹՎՈԵէջ-----Ը, 816է8 42-Ի742-2

"

40--Վ06-յխ (4-Ը)1 ԷՅ: 72-Հզ2, --

մ.

2Ը--ք:

Ը

եզակի լուծում

-«Ը6-ք--2ք-Լ9

Պ ատ.

:

Պատ.

Դ

Պատ.

՛

.

տրամադծե ո

որոնց

պարուրիչը,

էշ

ի

7:7

(թշ):

Պատ.

ինտեգրելճետնյալ Հավասարումները(Լադրանժիճավասարումները).

Ը

ե որ նրա ցանկացած կետի կորը։ որն օժտված է այն Հատկությամբ, հ այդ հորկետում տարաժ Ճեռավորության քառակուսու սկղբնակետի կոորդինատների

81, Ռրոշել

երկարությամբՀատված: Պատ. 22/3 Ի 7:Բ»-83/8:

Հաստատուն

էլիպսի էվոլյուտը, որպես նրա նորմալներիպարուրիչ Պանել4403-Վ-8411--Ձ2ԾՅ

ատ.

33--Ըչ 24-32272--

(ւլարաբոլ):

ՎԻ, --7-82-Ի-Ն2

Պատ.

Ճ--Մ7

-

Ք ՔՀՀՅ

այն շրջանագծերի ընտանիքի պարուրիչը, որոնց կենտրոններն ընկած պարաբոլի վրա, ընդ որում ընտանիքի բոլոր շրջանագծերն անցնում

փոնել

.

88.

|

ՔԻՇ:

«ն

այն լարերն են, որոնք

1ո--.--»-Ը"

Պատ.

՛

Պատ.

..

Պատ.

(-Յոյծ--

Պատ.

զառ.

--Ա-Շ' ՀոԱՈա"3.-գ, 2-3 Պատ.

աան ՇԶ)

13.

(5-72:

14.

մ2-Է3(225733) ճ7--0: 2(32372--223)

2)3 27,

80.

ՀՎո-ո-Օ

զատ.

2-ոյԹ-Շ.

-խվ--

՛

են

.

ւ(4-2))4)--0:

Օյ:

2-0:

Պատ,

283--:2(4Վ-ք)»-0 (ցիսսոիդ): գագաթի: Պատ. յարարուի էլիպսի աԱ առանց րին, Ե372-|2272--զ2Ե2

ճավասարումները. ինտեգրել Հետեյալ լրիվ դիֆերենցիալներով 72.

12Հ-2թ.

են

ծն

937--7 «0525

«Լ.

'/5Պատ.

86. Փոնել

Է3-Շչ'

8213--Ը6Կ5-/" ԳՇ"

Պատ.

21--ն

Պատ.

Գտնելայն ուղիղների ընտանիքիսլարուրիչը, որոնցից կոորդինատայինառանցք-

«արաբոլի օրդինատների կրկնապատիկներնեն։

(1-83)-»7-8ո3--Ս:

մ էք 7-Լ566

:

,

ԱԻԼգ-2"

«)

զատ.

ընտանիքի պարուրիչը, որոնց տրամագծերը 32ՀՀ2 85. ֆոնել այն շրջանագծերի քն

դու

՛

7(Շ»2-Լ1ո 21--1)-«4.

զատ.

ԼԸն

ՀՅ

զատ.

ները կտրում

7--72(1ՀԸ6Ո»)։

327 --ՅՅ--Ճ--Լ-0։

68..

64.

կետի րարիոկ խու

օ)

84.

ՎԵՑ

:

-ՅԻՇ:

(2-Ի1ԷՇ-Լ

Պատ.

Մ----

62.

ճավասարումները: Բեռնուլիի ինտեգրել 66.

դ

2ՌՄՀՅ3Յ

զ Պատ.

դիրքերի պարուրիչներբ ճավառարումը,

Էլ-ՇՇօՏ Կն

Տ--Տլլ

Պատ.

Է-1--ԸՇ-Ցոն

Տ«պ1ո

Պտ Պատ.

7-Հտո(6:|.Ը),

Պատ.

ԷՅ-Տ Տու --1:

ալդ

83. Ուղիղը տեղաշարժվում է այնպես, որ կոորդինատային առանցքներից նրա կտրած է 1 Հաստատուն մեժությունը: Գտնել ուղիղի բոլոր ճատվածներիգումարը սլաճպանում

,

7-0:

(--3)7՛Լ(2:2-1)

:

Ի 152051---տՏոշե

ու

ԸՀ,

7-՞' Պատ.

:

ճավասար է

արտադրյալը

`

Պատ. 3:--Փ--0, (-ՕԴԹ-Ը)Ի-ԸՆ ՍԻՐԻ" ) 9ՀՀ4:--4։ Ք) 9»-Շ)Ւ(7--Ը) արԴՎ Գարո, 14-Լ47--0, հ) Ըր--ԸՔա--|, (Ռ-)1-8,

Ջ

7-4--Հ

(2:2--7:)-«ՇԿ

--72-Ը

Ե ե)

,

358.

59.

Գ4Չ0, Բ--0

Թ-Ի»

11665

60:

լ

Տ

Լ

-

2յՀ(::1)--024))5

Գատ.

7-«ԸօԻ 1-օ2 Հ,

Պա.

.7

:

21.5

Գաոնելճետնլալկորերի ընտանիքներիպարուրիչը՝

82.

օա

ինտեգրելով, կունենանքյ3-:Ը3-Լ2Ը4, որանղից /մյ-«(-:«ՄՀՅՈ)ՄՆ Հավասարումներըդիֆերենցիալ ինտեգրել Հետելալ գծային

---Տ2-1

րանարդին:ՊՊատ.

:ԿՈՀյ

"7-7ՀՅ ՎՉ»-ԿՕՎ0Գ--«Է/

տ.

ահանցրից կտրած Հատվաժի

մալի"

Գոնելկորը:

7-ԸՀԻՀՅԻ

ՇԸ.

Պատ. 4.7-«-ԷՑՑ

ընտանիքիցանկացած կոր:

,

Է

100.

Գտնհլ այնպիսի կոր: որի շոշուրողի այն Հատվածը,որն ընկած

է

-

ների առանցքների միջն, ունի

եզակիլուծում

ճաստատուն

Ի-ՇՃԷՆ րոջը

Օ

որոնց այնպիսի ճատվածներ, գումարի ճավասար է 24-ի "ր իո

եզակի լուժում

է'

102. Գտնել այն

'

22--12--6

Պատ

|

1.Շ

(7--1--28)2-«Տ8Յ:

103.

Գանել Մ--Յդպո կորերիընտանիքի օրթոգոնալ Հետագծերը: Գատ. ընտանիքի 32ՀՀ2ք(2 -- զ) պարաբոլների

104. Գնել Բ

52-Գտնել ՈԹՈՎՒՅ

տագծերը: Պատ,

106.

(մ-ն

)2--Ա

2-6"

պարամե լարամետր

է)

22--ո)2--ՕՈ

108.

Գանել

-Շ(.25),

յ

Գոքում

Տր ընտանիջի դիֆերքնդիալ Հավաարոմբ

7՛-ը փոխարինումենք

ն

ԳԱՅ» ,

ալա

'

ն

զ--

ւք»

ոտանում

են

,

սարումը, 7-ՇԹ--3ր

էք

Ց օ

րր

3)

յ,

ղո

,

՝

«5450:

Ը

,--ՖՑշէ, Պատ.

Պատ.

2--4Ը2

3-7.

ՀՀՀՏԼԸ էք

2ա--ԸԺ/կ

2-5

«7,

ջ ցբ» Շ2-ԻՇ-

2.

4634),

Ճ-

Յ

շ

6-Ի Շ4 7--ՀԷ-ՕԷ

դիֆերենցիալ Ճավասարումը ն նրա

ն

7--Հշ(ուՎ-1,

չոր, ց`

-

թո

Շրջ:

-ողոյւ-

զատ.

Շր.

դ

7(ո)Հ-չտ

119, զատ.

:

նե

ո

ՇԱԼՇ:

փ

ո

Ցո"

ՒրՐՒՇո-ՔԵ

ՀԻ"

Հո արոր

/2

ոբ

ու

ԱԱ

յ

Վատ.

առանձնացնել «ԼՆ Հ ղ մասնավոր լուծումըո

Բավարար

սկզբնական սլայմաններին

--

.

ԻՇ Ցո

Շչ-"ն

(Ըլ-ԼԸչ)2--Ըյ2--8։

Վատ.

«-Ըյո--

122--125օրինակներում առանձնացնել

Մ7՛--0 ոկզթնական սպայ 27/--Մ--364 զատ. 7-ՅՏ լուծումն է 3-Հ6(Ճ--1): 123. 7/--Ը/733ՀՇ«(--1)--Ը 3 ՎԸ,, Մասնավոր Վատ. Ո (2ԿՅ ) --0, է 124. "Է Մառնավոր լ ուծումն ՖՀՀ-7--Ըլ1ոՖ--2-Ըշ: 2--Ս,

մաններին բավարարողմասնավորլուծումը, ,

ինտեզրալը կտա որոնվող ճետազծերի

ռպարաբոլների ընտանիքի իզոդգոնալ «նետադղծերը, հրբ

3-2,խ :

յ

առաջին կարդի Ճճավասարժան:

են

7/»ՀՅ

190.

-Հ-Ս

122.

Լ

:

Գոնել

նրա

ո-Յ,

Վ.

ճավաղիֆերենցիալ

եի ընտանիքը: 111.

:

.

յ

,

երկրորդ կարգի մի քանիռլարզագույն տիպի դիֆերենցիալ ճավասարումներ Ինտեդրել

աաանին .

-

23-Լ--,

որոնք բերվում

|

արտաճալտությամբ։ եքե Փ-«600,

Փ

ընդնանուր "

Վ

3-Ի:

Հ

լեմնիսկատների օրժոդոնալ Հետաղժերը:

։

Լուգում:

ն դիֆերենցիալճավասարումը

-27 --Մ Վ-2:»-0

ա

զ Պատ,

)--Լ.

550,

-

:

2)

Պաճանջվումէ՝ 1) ստուդել, որ կորերի տվյալ ընտանիքն իրոք ճանդիսանում է ընդճանուր լուծում: 2) գտնել այն ինտեդրալ կորը, որն անցնում է (1, 2) կետով, եթե Պատ. 7-այդ կետում շոշափողը ՕՃ առանցքի ճետ կազմում է 545 անկյուն:

(2-Է31)2--

(:2--)2)3--Ըայ: 110. կորերի ընտանիրի իղոզոնալ ճետաղծերը Գան, .--.(7-Պ/3) է)չ երե Հետադժերըընտանիքիգժերի Հետ կազմում են (գ-ն փոփոխականպարամետր ՓՀ«600 Հաստատուն անկյուն:

5»--0.

ընդճանուր լուժումը:

109. Փտնել (43-.77)2-02--32)

ՉՏ 7

են

ընդճանուր լուժումը։

117. Տրված են

՝

Պատ.

--0:

--

ՊաՀանջվումէ՝ 1) ստուգել, որ կորերի տվյալ ընտանիքն իրոբ Հանդիսանում է ունենք 1--Խ 2) գդանել մասնավոր լուծումը, երբ 0, ընդճանուր լուծում.

-

Պատ.

Շջ-ը: Պատ. 7

Պատ.

-ՇյՀԼԸչօ-1-Ըչօի

.

ն

116. Տրված են

5):

»----շ ցիսոիղների օրթողոնալ ճետագժերը:

Պատ.ՈՐԴ)

մեջ:

5377-7527 3---0,

երի ընտան կործրի ընտանիքի օրքոգոնալ 68-

ք

..Արտաքսնլ Ըլ-ը

Գրել երկրորդ կարգի այն բոլոր կենտրոնականկորերիդիֆերենցիալ շավասաեն Օչ, Օյ առանցքների ճետ: րումը, որոնց գլխավոր առանցքներըճամբնկնում

Գոնել22--12--285 շրջանադծերի Գատ, ընտանիբի օրթքոդոնալ Հետադգծերը:

7 ՛2.ոջ

ա-"ս

115.

107. Գտնել այն Հավասար պարաբոլների օրթոգոնալ Հետագծերը։ որոնք դագաթում շոշափում են տրված ուղիղը, Պատ. նըն Չք-ն պարաբոլների պարամետրն է ն տրված ուղիղն ընդունված է որպես Օյ առանցք, ապա ճետաղգծերի ճավասարումըկլինի

ԼԸ.ա

,

շրչանաղդժերիդիֆերենցիալ Հավասարումը, որոնք ընկած

բոլոր

միննույնՀարթության

7--Ը,Կս

Շրջանաղդժեր՝ --Ը(Թ-|

ճգօ-Դ

114, Գտնելայլն

Հետագծերը օրքոգոնալ

է): Պատ,3--ԸՓ-աջ (Օ-նընտանիքի պլարամետրըն

ՀԸ

113.

ոկ--

յ

Չոր

ԷՀ ԻՈ-Հ

Տո-ս

)-ՀԸ--

.

կորերը, որոնց ճամար ցանկացած շոշափողի «եուսվորությունը Հաստատուն է: Վատ, էլիպաներ ն Հիպերբոյներ ն տրված երկու կետերից (օրթոգոնալ իղոդոնալ ճետաղծեր):

)

Պատ,

450,

Գոնել այնպիսի կոր, որի չոշափողները առանցբների վրա առաջացնում են

101,

105.

ուղիղների ընտանիքի իղոգոնալ Հետադծերն այն դեպքի ճամար» երբ ապիրալներ ոդարիթմական

Գտնել -«ՇՊ

0--300,

:

ՀՇ

երկարություն: Պատ.

945831, 52/5.

է՝

112.

կոորդինատ-

ԴՄ է92ՀՀՏԱՈ2Ն:

լ

լ

Պատ.

ՀՀՉՏԱՈւ--Տուօտ:չ-»:»

Տոշն Մասնավոր լուծումն 3-«Ըջ--ՇյՏ/ո5--2---7

1.

.

125.

(7732-1 (772-285:Պատ.

է Ս--1--1--4ԸՕՏ5, Մասխավոթյուծումն

9--460Տ4-(841):

--Ըշ--8

(Ցուցում:

է,

ՀՅ

005(4ՎՇյ): Պարամետ165

ՄԶ բական

ո

եսքն

/-ՆՀՀՁՇՕՏէ,

է

տնտ:

7:52

,

ԱգՀ-7752-, Դ

126.

4Տ1

:

ՀՇԹԻԻՇ, 128.

ԻԵ

յոթ»,

«0.

777՛-ՅՅ

-Է27՛Դ-107--0,

Պատ.

7--ջ-Օ. 133. "41

-3Հ17

Պատ.

7--Ըյծ

»ո( ) 138.

Հավասա-

կ

477--127՛|-97--0

136.

՛

իլ

-՞ջչ

զատ

Պատ.

| (2:

ւ

ախված կախվա

ե բնո

եթե

այնպիսի ուժով,որը

4-ՀԸ

ծա ժայրից Գանել զուան զապանակի

են

պոկվի:

մյուսը

Շօ Տ

`

լ

ոշ".

՛

6Ո

Ցյ"Վ47-0, 270,

ՀՅո37՛--37--0.

Պատ.

ԷՇԸ

ՀՇ

զատ.

Ըգօ3:1-ԸՇչօ-2»

146, 3 7-7Հ-0, Պատ. 7

169220.

Պատ.

5.

Շ0Տ------Ը,Տ|

Ճ

-

"

-.-Չ--

(6

147. Ո/--149Հ-0,Գանելընդճանուրլուծումը ժումը,

որը

բավարարում է

-Ն

սկզբնական պայմաններին,Պատ.

ԴԸՏԸօՏՅ:-ԼԸվՏՈ

մ

ճետնյալ ինտեգրել

ԸՍ,

Մասնավոր լուծուսին է` անճամասեո

Ն

ն

Տո--շ), Լ

ՅԻ

3 «0Տ-7---ՎՇ

3Հ--Ձ2

ՀՕ,

դլշ-Շ05

հրբ

տՇլօուվ.Ըչ

զ--0 6-Յ.-

84.

դժային դիֆերենցիալ ճավասարումները(գտնել Վատ.

ՀԸՖ

կետով ն

124-Է, |-Ըչօռ-վ ---- 4 12254-7 շ

Յ»-Ի-6Յ,

/--Զ7՛-|-37ՀՀԲՃԸ0Տ

159. Տմո

7" | 47-251ո

լ

1Մ-ԷՉոոյ"--

»

ո

51ոԳԵՐչ«0585. որն

ինտեդրալ կորը:

Ճավասարման այն

22,

-Ի53՛--27»525Վ-Յ: 150.

8»,

Ը)

օ058:Ի(ԸյԻ

`

Տ1ո զխ 31Մ.---ը47--Թ84684

:

է Ս--ՅՃ կետում չոշափում

այս

:

7-47"

82.ՎԸլ

զատ.

1.

151.

:

158.

օ65

77--37--2--64:

156.

,

24:

անցնում է

ուղիղը Պատ. 7-Հ3գօ0ՏԵ(Ճ--:0)Դ

:

162.

Հավասարման այն լուժումը, պայմաններին: Պատ. երբ հՀո

Գտնել 7՛-շիյ--ոշյ--0

ՀԸ,

7-58,

Գ

երբ Ճ--0

մարն, -Տ ո-թ )

ց--6-հւ՛՛դ յ/ ո3-իշ: ` ա

Շոու

իղ»

ՉՄի2--ը3

Պանել 7՛Դոշ/--հջչռթմ

Մ»ՀՅ,ՄԸ,

Շ(ո2--ք2) -հք Կ

Պռռաաւ

ՀՅաւասայա

ո(ո3--ք2)

164.

երբ Ճ---0

նը: 51ո ու՞ր վ

բավարարում է

երբ հ--ո

Ջո

-(ԿԻՄՈ-ոռ, ՇԳո(ո-յ իո-ո/)

Լ

որը

հ

ձրբ 9--«-հլ(ԸքճնխզւՎ3|,

-

առանձնացնել այն մասնավոր լու-

Ընդանուր լուծումն է՝

ընդծանուր լուծումը). 148. 3--79Ւ 127:

«05

՛

---Շ0Տ

Է՞բՏ/ու(»--»9:

յ/ 25-ԼԸգՏո յ/2:7)յօս ՀԸլճ28--Ըշճ -2Վ-Շցվօն-|-Ըըաօ-2Կ

««Պ(«72-Ի 72 Մ»)

30)

բարում է

Ճ

-

711-277 -97»-ը,

144.

/22:-ԸՇչ51Ո)/22)6-4(Ը:

-(ԸլօօՏ

7-87

145.

զատ. ՀՇԹոՒՇթ-»ԼԸլծուլԸլթ-ոԿ 149. )»«ԸլօշՀ-Ըչտ-«-ԼԸչօ-ն )7՛--4877-Ըրը)օաս -«(Ըյ--ՇջոԼ 143. 9 Գ)" -0,`

Պատ.

1/2,

Է27 «0

Պատ.

,

)-Հ

Տ--Ըյօ2Է|-Ըջէ6Յ

Պատ.

լ

«054-458,

)--(ՇՐԻՇց»)

Պատ.

Վ ՅՅՄՀ«805847:

161. Գնել 7

"«(/ 2)

Ճ»-

24-76

ԼԸ: 85): Ըչ6-ու

--(Շլ-Տո

՛

|

196.

Տ1ո

Վատ. 7-«(ԸյԻ-Շ.Ճ)62--Ըչ622--Ճ--4, զատ.

`

6-5

Ս

24Վ-ԸՇչ605 2:4--

Տ1Ո

Յ:--Ըջ

«05

Պատ.

-Շյօ-ՅԻՇՓՐ

ԽԻ Հր ծոԴ

Պատ.

«2,

)/2:Դ-Ըջտլո

7-ՀԸյ

Գատ.

այն այն չ շարժումը, ը

--

՛

84, -«ա:(|/

Պատ.

ՀՈՒ

ո6ւ(Ըլօ05

ՏԱՆ

է ճեռավորությանը: ՀամեմաՀամեմատական

զրոյի: Գանել կետի շարժման օրենքը Պատ,

77-27-71

7--Ըյ

Պատ.

7 -ՀԸլԻՇչ

ոռ Պատ.

::

3-Հ

տականությանբազմապատկիչը ճավասար է է-ի կենտրոնների ՀեռավորությունըՀավառար է 26-ի: Սկզբնական պատինկետը գտնվում էր կենտրոններըմիացնող գժի վրա՝ նրա միջնակետիցունենալով ը Հեռավորությունը: Սկզբնականարագությունը Հավասար

14.

(8-81): 2857025--6է

57.

77-Է6)՛ ԷՏօն

183.

77--9»«663.,

154.

'

կոկմիցձգվումէ

141.

6է

ե-ջ'

որտեղ Ձ-ն Ճավասարակշոության դիրքում մեկ ուժի ազդեցության տակ զսպանակի երկարացման չափն է: 139. ող զանդվաժ ունեցող նյուքական կետը երկու կենտրոններիցլուրաքանչյուրի

է

«ՀԸ ԹՎԸ6-». 5ո-2, 152.

Ֆ--

Պատ.

77--)--Ք2-Է2:

151.

51ո2:

չ7-Վ-3"--2)--Ց

150.

2442«օ53):

Տո

:

Է--0.

կկատարի բեռներից մեկը,

որը

5 ԷՀՕ

|

Երկոււ միատեսա մի

Պատ.

Պատ. ՀԸՇթոիծչօ 2--7(

1 127-775

ՀՇՐԻՇչտՔԿ 132.

4ց»-0,.Պատ. 7-«(ԸՇՐԻԸՇք:)ան 184. 7"-185. 77-Յ7--27-Հ0, 35-ԼՔ 51ո 3ճ)։

57--225-«ԷԼ1.

Է ՏՀՇրաբչօ-ԿԷ-ԼԷ1

`

149.

Պատ.

137. 7-7

Յ

Վ-ՏՑ

7-ՀԸյժՅՎ-Ըչ6-36130.

շ ԾՄՆՐ-ջ «ՏՀԸյծՀՀ-Իշ

-«(ԸՇլ-Ըշձ)օ3/:

ՇռՎ -

լ

գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ

--5-Հ(7

զատ.

--Վ.---

Շշյ-ԼՇչ'

--ԸլյշՀ

ինտեգրել «ետնեյալ ճաստատուն

րումները.129. ՛ "93. «Վ օօ5:Լ85ոյ 131. զատ. ջաՀԸՇԱ|Ըչ6ն

7-ՀՀԷ

-(Շլ-«(Աո(6լ-9-ԱԻԼ6:»ւՇը

Պատ.

Պատ.

Պատ.

հ

----սաշք)

(թյո)

Թթ)

2) հռ-ոշ

-«"6

-

այն լուծումը, Ճճավասարման

սկզբնականպայմաններին:

Տգտ)ո Ո2--ք3

Թա:

`

Պատ.

որը

խավաշ

Հ-Ը085

ուՎ-

թ

կգ կշոող բեռը կախված է ղապանակիցնե նրա երկարություննավելացնում է 1սմ-ով, Գանել բեռի շարժման օրենքը, ենթադրելով, որ ղապանակիվերին ծայրը այդ

1009. 7Հ-Տ|ո

օրենքով կատարում է ճարմոնիկ տատանում, որտեղ Ս-ը չափվում է

ուղղաձիգի,

բատ

ճա,Արիանան ,

ու

բեռի ուղղաձիգ կոորդինատը՝ ճաշվաժ դադարի վի-

անք

-

|

Բ

Զան

ՑՈՎ

--զ

մզ

Լ---ԽՐ3--, ձմ

.

որտեղ 1-ը

զսպանակի երկարությունն է վիճակում

ազատ

)ո

--2-Ի100ք»--1009 .

տեսնել սկզբնականպայմաններից: Այստեղից

Տո

'

145.

3/100ջԷ--1001ջ'

7 100թ---Ըշտա 1002)--Ն

«օ5

Հեռավորության միջնակետում, ապա

ճետնլալ տեսքը.

չարժման դիֆերենցիալ

Պատ.

Ը

`

3--0,

--0

Ճ--Հ,

ինտեգրելով, զոնումենթ:

(1/2), թա 2:

4--4

--

Ս

180. |

Հո.գ1, 4: Ժիր

(եպ»)

Հ-Ցծ

պայմաններնեն՝

1--0.

183.

Սկզբնական

ինտեգրելով, գտնում ենք

184.

6--Փէլ, Հ-ն. 21 ՇՓէ--

ճետենյլալ մեթոդը,ինտեգրել ճաստատունների վարիացիայի կամայական կիրառելով

167. 168.

7-77

--6)--Տլո

77Հ«ՏՇԸ

-ատաԵ

հնտեդրել Գր ՛1 ճետելալ /1

170.

ց

Պատ.

`

169.

Պատ.

մ

-- 1 Ա ԷՖ «Ը,

տա

-Ըյթվ

--Ըյ

«05

ԾՒՐՑ»Յ,

2Վ-Շ0Տ 2 1ոշօտ

51դ

5Վ-Ըգ Տո

Պատ.

ասարու

2:

186.

4-7

'

՝

»-(/:11-Լ-Շ)ո5 Եղակի Պատ. լուժումննր, 7- 73-17: Պատ. Հգւ-«ո8թ-զՏՑոծ»". աին... "Դ ՎԼՀԺ, 173. րԱ. Պատ. «Լաո ԻՐՏԵՐ՝ 7--Ըլ Հ ՀՑՇ 7--0, 172.

-Վ-

Լ

շպքքեե

Հ

ի» |

-ԷՖ--32 |ո

--0.

զո.

Ս,

երբ

Ե-Ս

սկզբնական

Պատ. 7--Ըյծէ--ԸՇջ6է--1, Ճ-Ը-է--1, "5«6-ե--|, երբ ԷէՒ-0 սկզբնական

բ-ն

չ՝

լր -ՀԸլԸ0ՏԷՀ Ըշտյո Ճ--Շ0Տ

է--Տ1դ

Ե

ՅՆ, Պատ.»--Ըյօ-ԷԼԸչծ-

է, 7--Ըյօ-ԵՒՅԸչ6-3-բ«օ5

մո

/

ձր

ֆած-՝

ՀԱՏ լ

ՎՈՏ

լ

Ը3Է Վատ.2-«Ըյ-ՀԻ-ԸՇշէէ արնօն ,

ՀԿ-(Օ

զո:

7. ԱՐՀ»

4--Ըյօէ-Ըշօ-ԷԼ Ըցօ051Դ Ըզտ(ոՒ, Է-Ըյզտո ն 7-ՀԸյՓելԸչօէ--Ը)Ը0Տ

աի

մշ

մ.

Պատ.

յո-

ԷՋ

.

171.

Հշբ-ԱՈՆՎԵՐԿԸՐ6Սլ,

Ծր

Ֆ

ՀՅՃ,

185.

:

Հարա

մ27

4.

»--)/ 00522:

թրերր ճավ րումները

/

Վ:

7-ՀԸլօօՏ 24-Շջտլո 5-12 Պատ.

'

չոլ

'

լն

ի:

2օ

:

է՝

Ա-:-), Առանձնացնել 21,

ԱՎԱ

4.

Լ

:

դիֆերենցիալ«ավասարումները.

'

(2:3423--1)մ2--(8-Է5--2)մ3--0' մ)--0։ 1ք7 մ2-(1--6:)56627

Առանձնացնելչ-»-Չ,

27,

.

ԱՅՅ» երբ

7--0,

Հ. Հ-«օ5

անկյունային արադությամբպատվումէ. բթողովակը0 Հաստատուն Հորիզոնական Խողովակիներսում տեղավորվածգունդը առանց չփման սոուղղաձիգառանցքիշուրջ: ղում է խողովակով: Գանել գնդի շչարժման օրենքը, եթե սկզբնապաճինայն գտնվում էր պտտման առանցքի վրա ն ուներ մգ արագություն (խողովակի երկայնքով):

մ

Ի»

3.

179.

մասնավոր լուծումները:

գէ մ) ՏՏ

182.

լիզ»):

`

՛

Շ58

77--4-Հօ275|ո 22:

177.

մասնավոր լուֆումները: զատ. պայմաններինբավարարող ն Մասնավոր լուֆումն 2--(Ը-ԻԸչ)`օՏԷԻ է: Հ--ԸՕՏ ի

/ 2)

Շարժմանդիֆերենցիալճավասարումնէ՝

178.

1)--Ը։

-«Ըյօե--Ըցօ-է--1,Մասնավոր լուծումն

166.

Ցուցում:

116.

«Ը,

բավարարու

պայմաններին

առ

դ...

ո՞ւ

,

էք -ՀԸ(1--6:)3, ինտեղրել ճետեյալ ճավասարումներիճամակարգերը.

ձ

Թ"

--

ԱՎ

ռ

շշի

գլ

((ո «-14-Ը)--ն 2:-3--31ո ("ԻԴ

181.

:

ա

յո--

22-12

պատ.

Սրզրնական

պայմանները, երբ է--0՝

զատ.

24): -ՇԹ-ուիՇտո-Հ--(ա

Պատ-

կունենան ճավասարումները

դզջ-Հ(Շ- ձ)-ե(Շ-Հ»)---2եչ, ՈՅՅ ոք 2- -շ2եյ: մշ:

ՇՕՏ

՛

Պատ.

`

ճավատեսքով, քանի որ ճավասարմանաջ մասի առաչին անդամը մտնում է Համասեռ սարման լուծման մեջ: է Կց-ի ն 165. Խնդիր ճավասար 139-ի պայմաններում սկզբնական արագությունը ճետագժերըո ռուղղաճայացէ կենտրոններըմիացնող ուղիղին: Գտնել Վաւծում, եքն կոորդինատներիսկզբնակետը վերցնենք կենտրոնների միջն եղաժ

Հա «օ51-23--)

:

՞

լ --Հ-ԷԸՖ

Վատ.

2-61.Խ--ՁՀ--0: 0

ի

)

Այս ճավասարմանմասնավոր ինտեգրալը պետք է որոնենք

1(Ըլ

174 (Յո

--օօ8 2 053: մ

բ »-:400, ինչպես Ճճեշտէ

ն

(6

Լ

2-1)

Վառ. `

ոշ.

-

Դ2Ըյ

թր

ււ

ո-«Կ

Ֆ-(Ըյ-Լ Ը): 2., շ-«(Ըգ -Ըլ--Շզճ)օՉԿ -

--

32:

7--

զատ. ,

7--Ըյօուլ-Ըլօ25, 2----2(Ըլօո--Ըչծ-2:),

մշ

--Յ-43--0.

մ.

Վ

|

187.

/ 47

փ

Պատ.

:

ԻԹ»,

յ-ՀԸլԷՇ-Է25ո -2 Շլ-Շ:(2:Է1)շ-«

-35/ո»--2 5/2

Վշ

195. 7: 605 605

|

ւ

1.747--22--«054: 188.

ԷՋ

ԱՆ

Վ:

196. Գոնել

5-«Ըյ6-ԷԻ Ըչծշէ, -«Ըյծ- Էլ Ըլօո,

զատ.

,

' ճէԻլ

'

՛

|

մ.

190.

/ 47

--Շլչ

:

ՇյՇշ

7-4

:

:

--»ՀԸլ,

Վատ. ՏՅ

բո

1--0

կարդերիՀամար 2--0,

--ա-9յ--337,

ջո-Շ:

Հետնլալ դիֆերենցիալՀավասարումների Համա-

լուծումը:

Պատ, Անկայունէ:

ձ.

թ

լէ,

---5 1-67

ի

192. 2:

| է

| |

:

Լ--Վո-10յ, /4

Պատ. ատ. կայուն կայու

է է:

|

ԱՑ" 193.

|

«ոո,

զ ԻՊ

.

Անկայուն աան

է:

ա-ռր

այն լուծման մոտավոր արժեքննրը,որը բաԳտնել 7՛--)2ԻՃ Հավասարման ակզբնականպայմանին: Գտնել լուծման արժեջը երբ չՃ--0 վարարում է ՍՀ-1, 194.

«0,1:

02:

փեն։

-

,

3-Ի

արդյոքկայուն է Ուսումնասիրել,

/

Հ

,

թ»

191.

`

03: 04: 05

արժեջներիդեպքում: Պատ.

7(0,8)ՀՀ2,235:

Համակարդիայն լուծումների Քավասարումների երբ 121 ՇԽ է

-Ը,ո6ւ4

2--Ըջճ

Գատ.

ճա

մ)

-ք»----9 եի

՛

ոլլ4

են լ արժեքները,որոնք բավարարում

|ո-Ք մ,

ւ" է

'

ձո:

մշ

Աչ

.

ն Բ:

գ»

:

:

-

Ստացվածարդյո սկզբնական պայմանին:

Հետ:

|

Ա" մ | էրն

արժեջը,

/

.

շ--««(ԸլԻԸչ)օ-Է-ԷԸչօշն

զ

ՀՅ,

189.

Ճշգրիտլուծման Քասեմատել

այն լուծման մոտավոր

՛-

:

.

1-6 ւՀ

է Մ»-1, երբ 5-1 բավարարում

ա.

ւ

Գնել

՝

յւ-14 Հավասարման

»ո-0,

9-14

մոտավո

ո

պալմաննեսկզբնական

նքների արդյունքեշր

Համեմատելճշգրիտ արդյունքները Ստացված |

ն

Հետ:

եթե թ սոիրույթում 1220, ապա յուրաքանչյուր 1(Ծլ)հտլգումարելի կարելի է երկրաչափորեններկայացնելորպես ՃՏլ ճիմք ն |(Քլ) բարձրություն ունեցող փոքր գլանի ժավալ: դլաններիծավալների գուՄող-ր4Ճանդիսանումէ նշված տարրական մարը, այսինքն՝ մի որոշ «աստիճանաձեչ մարմնի ծավալը (նկ. 293): տվյալ ք տիրույթի ճամար (5, 3) ֆունկցիայի միջոցով Դիտարկենք կազմված `

Պ/ոքջ.. ՄոլՄոշ»

:

'

ԳԼՈՒԽ

ԲԱԶՄԱՊԱՏԻԿԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

. |

Տ

Կրկնակի ինտեգրալ

ւ

(2):

ինտեզրալայինգումարների կամայական ճաջորդականությունը՝ք տիրույթը ո մատերի տրուման տարբեր եղանակներիդգնպղքում մնթադրելու ձգտում է ղրոենք, որ ՃՏլ Հարքակներիտրամագդծերից պոավելադգույնը մի, երբ ու օօ: Այդ դեպքումիրավացի է լինում ճետնյալ պնդումը, որը

՝

են

երում

`

տիրուլքը: Դիցուք տիրույթում տրված է

ն

զույգի:

՝

2-Հ(3) անընդճատֆունկցիան: թ տիրույթը որեէ դծնրով տրոճենք ը մասերի՝

ի

:

ՃՏլ» ձՏ,, Տ,

ձՏը

նոր սիմվոլներ չմուծելու (նլ. 292), որոնց անվանելու ենք ճարթքակներ: ոչ Տլ, ՃՏջ» միայն ՏՃո-ով կնշանակենք ճամապատասխան ճամար մայսմնվանումները, այլենրանցը ճարակների Ցուրաքանչյուր Ճտլ Հարքակում կերեսները: կամ եզրի վրա) վերց(միննույնն է՝ ներսում նենք Քլ կեւոր. այդ դեպքում կունենանք ո ոո 1(5ւ), (Իչ),(թո) կետեր՝ Քլ, Քջ, նշանակենք ֆունկցիայիարժեքները "չով ընտրած կետերում ն կազմենք |(Ծլ)ձտլտեսգումարը. քի արտադրյալների

||

ԼԼ

ՖԼ

:

Հու. 5

է Օ փակտիռույՆթե1(չ, )) ֆունկցիանանընդճատ

աո

ապ

)

Այս գումարը կոչվում (2, 7) ֆունկցիայի ճամարինտեգոալային է Թ տիրույթում

է փակ ռիրույթը կոչվում է փակ,եքն այն սաճշմանափակված կետերըպատկանումեն ք տիրույթին: ք

1:

ձգտումէ եթե ՃՏլհաբթակնեոի տբամագծերշից առավելագույնը ո--չօօ, գումարների ինտեգոալային ապա գոյություն ունի (1) զբոյի, իսկ սաճմանը:Այդ սաճմանըմիննույննէ (2) տեսքի (2) ճաջոոդականության համաբ, այսինքն՝ այն կախվածչէ ոչ ցանկացածհաջորդականության թ տիբույթըձՏլ հաոթակնեբի տբոնման եղանակից,ոչ էլ ՃՏլ ճաոբթակի նեբսում Քլ կետիընտբությունից: ն յդ Ժան սաշմանը վո վոչ ցիայ ի կոկնակի , ը վում է 10. Մ) ֆունկ ինտեգոալ իա ք ն նշանակվում է այսպես. տիրույթի

(0)

գումար: "

Թեռրամ

|

Տ

ո)85ոՀԼ)

թում,ն

Նչ»1(2Թլ)ձտլ31(2չ)Ճ5-Ի»..

նկ.

Նկ.

Նկ.

:

Բ

Դ

ն

:

.

ո

»

'

-

|

"Բ

|

ա

գծով,եղրադգծի ն

|ի

թօ

:

ջսիմոքն՝ "

գամ

կ 115 3)4:

43,

ող (թ. Աոոձալթ0(Շլ

7)մ2 մ7։ ո«-|ին»

(4) չավասարության ՀանդիսանաՃտլ Հարքակներիհզրադիծ: Ակընկստանանք (3) Հավասարությունը: ՌՏլ-»0, երբ սաճմանին, ցհլով թվով դումարհլիների է ցանկացած է, որ այս քեորեմն իրավացի մեջ անց-

Այստեղ ք տիրույթը կոչվում է ինտեգոման տիրույթ: երե 1/5, Ս)շ20,ապա 1, 3) ֆունկցիայի կրկնակի ինտեղրալն ըստ ք տիրույթի ճավասար է այնՕ մարմնի ծավալին, որը սաճմանափակճարթությամբ ն մի ղլանային ված է 7-1 3) ժաղկերնույքով, 2-0 մակերնույթով, որի ծնիչները ղզուդաճեռ են Օշ առանցքին, իսկ ուղԾ տիրույքի հղրագիծժն է (եկ. 294): ղորդը

:

Հայտ

Համար:

`

քննարկենք Այնհուճետե, րեմները.

:

Թեորեմ, եռկու ֆունկցիաների զ(», 3)-Է-Փ(Ճ,)) գումառիկրոկնակիինտեգոբալն ըստ Ծ տիրույթիճավասաոէ ըստ Ծ տիրույթիառանձին-առանձինայղ ֆունկցիաների կոկնակիինտեզոալնեոիգումառին,

ոշ

7)-5(Խ

լ

38.

Հաստատուն

յ |աք ո6-ս Ղվտ--

ղուշս

բերել

Ծ

:

Բորք

է ընդճատ

||. ու-ի ք:իա,ոճա

|թրՌուա.

ծ

Ապացուցում:

Ըստ

Ծ

ո

է

հայաց

էններկայացնե,

Ո յԼ

3)

-Ց ՈԹ, ՞

-

էլն

:

ս.

:

'

տիրույթը: կանոնավոշ

ք--ի |

3մ7

Կու)

,

ի

որն անվանելու ենք արտաձայտությունը, ինտնցԸ. 3) ֆունկցիայիկոկնապատիկ

(7

(ոկ. 295), որտեղ առաջինդումատեսքով րը պարունակում է օյ տիրույթի «արքակներին ճամապատասխանողդումաչ րելիները, իսկ երկրորդ Ծջ տիրույթի ճարթակներին Համապատասխանողգուշ եվ. 695 մարելիներ: Իրոջ, քանի որ կրկնակիինտեԾ տիրույթի տրոճումը գրալը կախվածչէ տրոճւման եղանակից, ապա ն կատարենքայնպես, որ լ քշ տիրույթների ընդճանուր

`

Դբտարկենը

տիրուլթի ինտեգրալային գումարը կա-

ելի

`

Կռիրույը։296-րդ գծագրումցույց է տրված ճենց Դիցուք 1(Ճ,1) ֆունկցիան անընդճատ Օ է տիրույթում:

`

|

տիռույթիբոլոր կետերում,ապա

ք

ՓԱ)յՀՓչ2), 4Հ-է, անընդճատեֆ Փշ(1.)ֆունկցիաներն

ն

րույթը: Օչ առանցքի ուղղությամբ, այնպես էլ Օյ առանցքիուղինչպես կանոնավոր տիրուլթները ուղղակի` կանվանենք կանոնավոր ղությամբ

ճիշտ այնինտեդրալիճամար ճՃամապատասխան թիորիժների են

ապացույցները(տես 1 ճատ. 1 գլ.Տ38) Թ մ 4։ Եթե ք տիրույթըբաժանված Լ ընդնանութնեոքինկետերւ չունեցող Ծլ ն քչ եկու տիոութների ն 1(Խ) ֆունկցիանան-

|

2, Ե| Հատվածում: մբ:՛ ուզղությամբ: առանցքի Օյ կանոնավու՝ Այսպիսիտիրույքը կանվանենք տիկանոնավոր առանցքիուղղությամբ Համանման սաճմանվում է Օ

փակ Փ.() `

Յո

.

.

ո

Այս երկու թեռրեմների ապացույցները կատարվում

սլես, ինչպես որոշյալ

|

օ

ճաշվումը ինտեգրալի Կրկնակի

է, որ Թ Դիցութ Օյ ճարքության մեջ գտնվող տիրույթն այնպիսին առանցքներից որեէ մեկին, օրինակ, Օյ առանցքին, կոորդինատային կետով անցնող ամեն մի ուղիղ տիապաքեն տիրուիի ներքին" ն Էք երկու կնածրում (նկ. 296): է Իլ հուլքի եղրը ճատում որ դիտարկվողդեպքումԾ տիրույքը սաճմանափակենթադրում ենք, 5--Է գծերով, ընդ որում ՀԲՃ, ված է 7-ՓԼ(Կ, 3-2(Ա),

|

չ)յմ--|իա մ: | իա 345» ա

բազմապատկիչը կառելի Լ

Ձ-ՀՇՕՈՏէ,

կոկնակի եթե ապա ինտեգրալի նշանից. Թեորեմ

Տ2.

կրկնակիինտեդրալիմասին ճետնյալ թեոռ-

եզրագիծը

Ծ տիրույթի։ Այդ արտաճայրալ ըստ են փակաղծեության մեջնախ ճաշվում րի ներսի ինտեգրալը, ընդ որում ինտեգէ ճաստատուն: բումը կատարվումէ ըստ Մ-ի, իսկ Ճ-ը Համարվում ֆունկցիա. արդյունքըլինում է Ճ-ի անընդճատ"" Խնտեդրման :

չե ոլատկանումտիկետը, "" Հասկանում ՆԱ քում " Գնա Բույքի այստեղ,չենք աղլացուցում: ֆունկցիայի անընդչատությունն (ւ) "

Տիրու

Լերքին

Ոռ

ասելով

ենքՄ այն

որբը

""

(2:58 մինչն 2--ե) որվել մեկ անալիտիկ արտաճայտումիջակայքում թյամբ:Դիցուք, օրինակ, ճՀ-ՇՀԵ, ընդ որում ՓՈԱ)-`Ռ) Բ, Շ| ճատվածում, Փ(Ճ)57/Թ) |Ը,Ե| ճաւովածում, ն 2(Ճ)-ը անալիտիկորենտրված ֆունկցիաներ են (նկ. որոնղ Փ(2)-ը դրվում է այսպես: ինտեգրալը կրկնապատիկ 298):Այդ դեպքում

Փչ(2)

|(2,

ՓՐ)Հ

3):

Փ.2)

Այս ֆունկցիան ինտեգրում ենք Ձ-ից մինչն

սաճմանտերում

|ՓԸյմո

.-

Ե

թիվ:

Արդյունքումատոացվումէ Հաստատուն Օրինակ,

Ե

:

ինտեգրալը Պաճանջվումէ Ճճաշվելճետեյալ կրկնապատիկ

«

(||ա

Լուծում:

նախ

/92(4)

Ե

դտնվող)ինտեգրալը Ճաշվումենք ներքին(փակագծերում

32)3 Ը

Ստացվածֆունկցիանինտեգրելով 0-ից մինչե լ

/( 3 ' 24Վ---

)մչ-/Ճ5

յ

լ

Տվյալ դեպքումորպես Ծ դիտվում է աոաշ, --0,

Ե

Կ(ժ

/ջչ(2)

)47

|ա

Ը:

--1

Կ

ինտեգրալի Այս ճավասարություններիցառաջինը գրված է տրոշյալ Հայտնի ՀատկությանՀիման վրա, իսկ երկրորդը՝շնորճիվ այն բանի, որ 2, Շ| Հատվածում Փյ(4)»5Փ(2), իսկ 6, ե) Հատվածու՝Փյ(4)Ճ(Ճ): Համար ճամանման կրկնապատիկ փնտեգրալի

,

Հ-0,

ԿԽ6)

/Փ2Ռ)

|

'

դփ.3.7 )- --Վ--21105

ոժյա-

ւ

սաճմաններում,դտնում՝ ենք

| րճ. ոԴՓ ձո- իշ.

"

/Փշ/Ճ)

ՅԻյ|

Ե(Չ

Հա -»«գան իոշ»ո-(»-8

ՈրոշենքԾ տիրույթը:

զ:»-»

Հի ըա

Ը

խա

ՓՈ)

7)ժ7

ՎՓլ(ո)

:

1/2

ծ

Փ20)

| իշ.

՛

գրառումը սոեղի կունենար ն այն դեպքում, եթե Փշ(:) ֆունկցիան |, Ե| Հատվածի տարբեր տեղամասերում տրվեր տարբերանալիտիկարտաճայտություններու: Հատտատենք մի քանի Հատկությունները: կրկնապատիկ ինտեգրալի 1: Եթե Օյ առանցքիուղղությամբ կանոնավոր 2ատկություն ծ Ծլ ուղիղովբաժանենք 07 կամ 25 առանցքին զուգաճեռ տիրույթը ն Օչ եոկու տիբույթնեոի,ապա ք 1ք տիրույթի կոկնապատիկ ըստ ճավասաբկլինի ըստ Ծլ ն քշ տիրույթներինույնպիսիինինտեգրալը -

Բ

տիրույթը (նկ. 297): սաշմանափակված դժեհրով

՛

կարող է պատաճել,որ 0 տիրույթը լինի այնպիսին, որ 7--Փ(Ճ)» ֆունկցիաներիցմեկը չի կարող Ճ-ի փոփոխության ամբողջ -ՀՓչ(ւ)

տեգբալնեի գումարին,այսինքն՝

2Ր9422/

Ապացուց

ա)

ում:

Դ 12, 1) 1ք»»10, Դիցուք:2-Շ (6Հ«Հ-ե) ուղիղըք ւիրույթը̀

սորոճում է ՕՍ առանցքիուղղությամբ կանոնավոր"երկու՝ Սլ

րույթների: Այդդեպքում

ն

3ջ տի-

ապատատատատատաադատակք» աաա "

Նկ. 297

Նկ.

Ճում

Այն փաստը,

որ

լ

տիրույթի (ն

կանոնավոր. չէ ուղղուքյամբ

որ

Թ տիրույթի)

«ոիրույքիներքին կետով անցնող ամեն կուսիցոչ ավելի ընդճանուրկետեր:

որ

այդ

է,

մի ուղղաձիգ ուղիզ եզրագծի ճեյո

'

12--

եզրագժի մի մասը ճանդիաա-

տիրույթը լինի Օյ «առանցքի խանգարում, կանոնավորլինհլու ճամար միայն անճրաժեշտ

է ուղղաձիգ ուղղի կտոր, լի

ն Դիֆերենցիալ ինտեզրալՀաշիվներ

ունենա

ոբ

հր»

Չաթ

ք

-|

մ: | (2, 7)47

աի

Փ.0)

-

Փ

ձ:

լ ) |իՓՈձ:

Հ

Ւ

|»( ո) է

|

1» '

'

Շ

|/ճ ՝Փ.(2)

դր ՛

իթ-

ա. ք

Ս-Ժ.Շ)

215.

ԵՋ

«(Գ

«տեսքով,ընդ որում նկատի՛ ունենալով, որ ՀՀՅլ ն հրբ ԵլՀԵՃՀՀԵ նար

ջ.Ա)-ՀԽ,

Յ) Ծչ

Ճ--Ե

2,

երբ

Գլ(4) (Ն),

ուղիղներով:

7--Փ:(4),որտհղ8լՀՀ2ՀՀԵլ:

| ոոի| դախ|| ոռի | աե ԵՐ:

| Փ.()

Ը

Ե/Փ()

:-

(Ց

12, 3)47Դ

Ե Փ:(մ)

Ե

/Փչ(Ճ)

6.

1,

Գ.

ն

լել,Է|

|

| (0.

7)մ7 |

ԱՐՓՈ 5յ

ճատվածներում գլ"(5)--գշ(5), ասլա առաերրորդ ինտնդրալները նույնաբար ճավասար են զրոլի։ Ուստի

որ

ա-

ն

ԵՓ

| յ

Ի,

(1,

/Փ:(5)

| | 1(5, 7)մ»

7)մ7 գ-ի

ԿՓ)

մ».

819:

ինտեգրալ է Այստեղ առաջինինտեգրալը կրկնապատիկ Ծջ տիրույքի։ Հետնաբար, իսկ երկրորդը՝ըստ ՔՀ

ըստ

Սլ տիրույթի,

.-Հ1թջ

ԻՆՃԼ ճատող ուղղի ցանկացածդիրքի դեպքում կկաապացուցումը տարվի ճամանմանորեն, եթե հնին, ուղիղը Ծ տիրույթը բաժանի երեք ն ավելի թվով տիրույթների, ապա կստանանք (1) առնչությանը նման մասում կլինեն Համապատասխանթվով գումարեառնչություն,որի աջ

ր

ՓԸ)

անկ

ւ

Անն

:

:

|

կամ ՕՕ առանցքին առանցքիուղղությամբ կանոնավորտիրույքների ն նրանց նկատմամբ Օ7 (1) ճավասարությունը:Այսպիսով, կարելի է վիրառել

զուղաճեռ ուղիղդինատայինառանցքներին Սերով տրոճել ցանկացածթվով ոա

Փչ(5) ջ:(9

-:

ջին

|8, վ

|

ե0

:

նույնությունը:

ջանի

ԲՈԼ

2«ՀՃ«ՀԵլ

ձո

419111) Ր

տ

ծՐբ '-:«Հ

փիջակայքի ներքինինտեգրալինկատմամբ կիրառելովինտեգրման տրոճմանվերաբերյալթեորեմը, գրենք "նտնյալ

Ի) | (ԸՆ. 7)ժ7

:

:

տիրույթը սաշմանափակվածէ ճետնյալ գծերով

7-Փ(ճ)

՞

Ել, 9.09

կորով, որի Ճավասարումը դրենք պայմանականորեն չ

|

յն ոո-յիԻՄ դոգ

:

2) ԽինինՑ

Նկ.

է

դծերով. անընդճչատ 1)7-գՓ(1),

յ

«դծՇ)

Վ

ՈՐ)

:

`

ե()

|

ադա:

Օ7 առանցքի ուղքշ տիրույքներիայնպես, ինչպես ղությամբ կանոնավորերկու Ծլ 299-ում, նշանակենք է նկ. պատկերված ) Է ատման կոռ. ուլի ՀՎԱՎԱՑե-ով Հ-ի ճետ» կետերի Ն Այդ եզրագծի 'ԼԿ րը 0 տիրույթի Յլ-ով ն ել-ով ծ աբացիսներընշանակենք քյ տիրույթը սաշմանասիակվածէ Ճետնյալ Ծ լրոծում Ւ) Դիցուք7--հ ուղիղը տիրույթը ն

Մ

եր

։

Ե(Գ:(9

«յ ՓԸ)յ 15,

2)

|

Արտաքինինտեգրալի նկատմամբ կիրառելով ինտեգրման միջա կայքի ,չորումանվերաբերյալ թնորեմը, վերջին ինտեդրալը տրոշճենք երեք ինտեգրալների.

ր

-

ոօ»

օ/Փ:()

:

Ե

-

.

չայն

օյ, 0,

Սլ,

ւ.

Ծ

տիրույթը կոոր-

-

Սլ

տիրույքների ն ընղ որում իրավացի կլինի ոլնդումը, որ րստ Թտիբույթի կոկնաճավասա"է ըստ մասնաինտեգոբալը

պատիկ

ինտեգոալամրո ակրկնապատիկ (նկ. 300). յսինքն՝ գումառին,

ՀԵ,ԺՆ,ն,

Է «Ել

։

մ)

Նկ.

Հատկություն 2.(կրլնապատիկինտիե դրալի գնաչճատումը): Դիցուք/դ-ը ն Ռ4-ըէ(ճ» 3) ֆունկցիայիմեծագույնե փոքբագույն արժեքնեբն են Ծ տիբույթում: Օ տիբույթիմակեբեսընշանակենք Տ-ով: Այս դեպքումտեղիունիճետնյալ առնչությունը.

-ի

Ե՛/Փչ(Ճ)

| է(2,

Փ.(ճ)

ձ

ոռի

ՖՀՀԻՂԼՏ:

ՓԹ-

-

(յ Ա

|(ա

|

(3)

Ա, պացուցու

ն

լ --1 Տ

ԽԱԻ-ոաց-Կաի

Փ(»)-- |

(37

-

թ-ՎՓ() |ո(0-ն)լւ-ոտ, (3)

է

ըստ ինտեգբալն ֆունկցիայիկոկնակի 1(չչ Մ)անընդհատ կոկնապատիկ ինտիռույթիճավասարէ այղ ֆունկցիայի ք կանոնավոր Ծ այսինքն" տեգբալինըստ տիռույթի,

|

ք2»ռՏ:

լի

(37 ճետնում

է

Ա

ՏՀ-ԼքՀՀԻՂՏ:

կություն

երկրաչափական

ԱԱՀ

Ի

ն): էՍ. )) անչ մակերեսունեցողԾ տիբույթի1, կոկնա-

(ը հորեվ

ընդհատֆունկցիայի՝ըստ

Տ

մի ջի

ն

ոո«--)| "Ե Փշ62)

| 1,

))մ7

|մա

ՓՐ.

1.

թ տիրույթը կոորդինատային առանցքներինղուոլացուցում։ Ո ստիրույթների ղՂաճեռուղիղներով տրոճենք կանոնավոր (ուղղանկյուն)

(8) առնչությունը.

Հաջորդպարագրաֆում կպարզարանենք այս թեորեմի

|

:

էլ ( 7) անձճավասարություններից

չատ

(5

՛

իմառտըո

2ա-

ն մ (շարուն ակություն) Տ3. Կրկնակի ինտեգրալի ճաշվումը

մ» »

այսինքն՝

թվին

Թեորեմ:

Ե

Հ.

1թ)5»

ք»

| տմ-»ոլցչ(:)--Փ.Րի

բ

լ.

տրտեղից

ԻՐ)

Իր)

Ոենտումընդունում է

ք

Լ-թ

՛

'

7»

որոշ

լ

|

Փ.5)

(2,

7) ֆունկցիայի մեծա-

վասար արժեքը),այսինքն՝

`

լթՀՀԻՏ: լ

թիվը պարփակված է ք տիրույթում 1,

ք տիրույթի մի ֆունկցիան

Բ

Փ:()

(3) առնչությունից աուն ում ենք.

ՏՐ

ձնով

(4)

շնորճիվ 1(5.3) գույն է փոքրագույն արժեթննրիմիջն: Անընդճատության

է

թ-||ՓՈ)իրաա |աՀիվան)-զՐժլա-8տ,

նման

-»|(թ)Տ.

Տ

ՆՐ

Ե

|

ւմ.

կա-

ն հալքումք

այսինքն՝

1(., | ՓՐ

ՀՀ---1քՀՀԽԽ

՝

ոռոշ

| րոր

Ե՛/Փ(.) ՝

ՓԸ)

Ե/Փ262)

տիրույթիմի

Փչ(2)

աՀ

Ծ

մակեբեսին

Տ

այսինքն` առտաղբյալին, առժեճի էլ. 9 ֆունկցիայի կետում

թ

`

Ապացուցում, ներքինինտեգրալը նշանակենք Փ(2)-ով տարենք նրա գնաճատումը.

Փ,2)

պատիկինտեգոալըճավասաբէ

"

ի մասի

Կ

աան

ՃՏլչ ՃՏս

Մոտ որում նորից ենթադրում ենք,

եղղությամբ

ն

սաշմանափակվածէ ՓԱ),

ՃՏո/

«7

որ

Թ

տիրույթը կանոնավորէ Օյ առանցքի

3-21),

4,

Ճ--Ե

գժերով։

Նախորդ որորադգլրւսֆի 1-ին ճատկության (2)) ունենք.

ԽՇրԿՐԻԹՅ

հս

րաոր

վալըՀավասար է (2, 7) ֆունկ-

(բանաձե

վրա Ճճիման

պիայիկրկնակիինտեգրալին

Մ-ի

0)

դում արփի ձնակվփոխենք րստ կրկնապատիկ չբուր Աջ մասի յուրա քուն ինտեգրալի միջին արժեքի թեորեմի

Այս

վալը,օգտվելով

ԹՀՎՔ,5-ՎԱԹ,)85,

(ՅՑ

ԷԼ(,)45.--

Է.

(2)

ո

Աո

թյունը,

նանք.

նտ

Հ

|

| (ւ

ՏԱ

ը

լ9 կրկնապատիկ մասն,

ՍՈ:

ռե

|| ., ը

է)

|

| մու

0)

1).

1: Դիտողություն Այն դեպքի ճամար, երբ 1(4, 1)220, (4) նրկրաչտավփական բացասորություն: Դիտարկենք բանաձնն ունի ակնառու այլն մարմինը, որը սաշմանափակված է 2--Ա(5,Մ) մակնրնույթով, 2-50 ճարթությաւմբե գլանային մակերնույթով, որի ծնիչները ղուգաճեռ հն Թ տիրույթի եղրաղզիծնէ (նկ. 301): Օյ առանցբին, իսկ ուղղորդը այդ մարմնի ծավալը: Վերըցույց տրվեց, տր այդ մարմնի ծաՀաշվենք

Ե/6:(4) »

աք

(5) ի

Ե

Մ-(5094: :

-

Հ.

7) 4)

վչ:

՛

(7

Փ.(1)

են, Հետնաբար, ՃավաՀ(2) բանաձներիձախ մասերը ճավասար են ն աջ մասերը-

:

14, զ)

մարմնի դտնել

վերջնականասեսկստանանք

(3):

|

ստանում ենք տեղադրելով(6) արտաճայտությունը,

ամ,

Է

ինտդրալի արտաճայտությունըգրելով մանրա/9:(:)

(8

Ճեշտ է մակերեսները, Հատույթների

՝

,

Ե

է

փմանալովղուղաճեռ

Գոժաւթ՝

(3)

որը ստացվում մակերեսը,

ֆ.6)

:

7)44 4-1:

տ»

մթ

ՀԴ

կամ

|ս.

Հռ

ոո:

«(9

|1 ., 7)45 մ» (585--|,

գոոձ ԴՐ ՏըՀՈՀա

Զո ս

՝

դիտարկվող էայն ասովրերի Տ(2) ւ

Մ

Մ)»մ--ՇՕՈՏէ, Այդ ւասոկերը2/2, «»(ՕՈՏԼ Հատույթում: կորագիծսեղանն սաշմանավփակված «-0, 7--ԳՓլ(է), Մ-«Փ:(2)գծերով է Հետնյալ ինտեդրալով Դ. Հետնաբար, այդ մակերեսն արտաճայտվում

Ը

թ--

լ

գլխի

Հատում

որը

(ն

ծա-

արքու.

Հաշվենք մարմինը:

տերույժի մի որոշ կետն է: Աջ կողմում ունենք Ս բոռ տրրույքի Ր, Մ) ֆունկցիայի Համար լմոտեղրալային դումար: է, որ այդ ինտեգրալի գոլության մասին քնեորեմից Հետնում կրկնակի հ ձՃարքակների տրամաղծերից սվինադումարի աասծմանը,երբ ո-»օօ մեծը ձղաում է զրոլի, զոյություն ունի ն Հավասար է րոտ Թ տիրույթի 11,7) ֆունկցիայի կրլնակի ինտեղուլին: (2) ճավասարության ձախ մասում դտեվող 1ը նրկնադատիկ ինահդրալի մեծությունը կախված չէ Ո-ից։ Այսսչիսով, (5) Հավաժարության մեջ անցնելով չայմանին, կստատնաքը, ուոնղ Քլ-3 տ

'

(ՀՀՀ)

աու

Բո»

զ

ի

9 4-ի մարմնի ծավալը ՑոռսոույքմիջոցովՀաշվների մակերեսների ման արդյունքներից: Տանենք

ռ |

ՃԱ

12ատ.

(1) ճավասարությունը կրնղդունի դեսլքում .

|

(8)

ած

Այժմ Հաշվենք այդ մարմնի

Ա-Հ(Ե)5:»

ւ

տիրույթի՝

ք

խոս

`

ըստ

ե

տար

ՏՆ

լի» թ

5) -

ե՛/Գ212)

| (2. մւժ»--|

7) 47

Վո:

ՓԸ)

ինտեդրարիդնաճաւո կրկնապատիկ չէ բացաճայտել դժվար Այժմ իմաստը (նախորդ ոլարագրաֆ ը

ման

Ը2-րդ17

մասին թեորեմի երկրաչափական

Հատկությունը) միշ

՝

ՀԱՆ»,

-»)|մ7--

Հի՞աաթժխ-խ 548.115.

ԱՏ"

մոր ք

ընչ

ազանցուի չՏ

նրց,

ն որքա

ՀԶՀ

է

ժ

ու

փ

'

ո /Ա--»". -Հ-Հ2--.Ն2

մ

լ

0Լ0

7»

ի»...

3/ջ

'

Օորինալշ, Հաշվ

տիրույթի, որը

Հուժու

լ

է

մ,

լ

Ց

Հ--,

իու. թ ) աւ.

ՀՈ

-

ավԻջա աճ

մ

ի Հ

))մ:)--

ն

ակտ,

ՃՀյ/)- 7-2,

ի

Ց

7-0

(ե).

Փ7)

ի»

(8)

Հնտնյալ հնտնգրալում փոխել հնտեգրման ճարգը ՛.Ւ

Հ| ին «

|

Յ5

ուժ

.

74»

|մ»,

ում, Ինտեգրման տիրույթը «աճմանա Պարաբոլով (եզ. 305): չ Հպ փակված

ՕՀ

առանցքին ուգաճեր

նն

ամեն

ճետնաբար, կարլ աթի Ստում.

ոա,

գժերով

մ

.

այդ

Փ-

խյ։

բԲանաձեր,

.

3/5

207)

Բարչ

իր ուղիղ տիրույթի կարելի: ինտ նտեգր 2րալը ա

դեպքում

ն ուղիղով Հր

նզրագիժը ատու

աշվէ ըստ Ճաշվել

՝

շ

ելի

5.

-| (-տ»ոաԹՀ), էրւ, Հոլ, ոզնի Բուր փակված ճուքիաւլյի

«աշմանա

(էլ. 903),

,

-Հ

Է|ՏԱչ

Համարայն ոայնետք է աոնսանք վերը, դա քարելինճրկայա ծղանակով, կալ Ք«տ է անչլ (4) բանաձել,քա՛ժ երկու որաքանչյուրկոնկեւը էլ ըստ (8) դեքում, կախվածք Բանաձե հնածգրալային տծսթից, տիրույթիկամ էնք,. Հար ընտրու ֆունկցիայի կրկնակը, մ.նքմել կայր Մյուս հնտեգրալը ՀաշվելուՀա-

չ

------.Ն2

Հ

արբեր

Օրի

Տ

՛

Վբմնապառտիկ,, տնսքով:Ինչոլես

» սջ

ճեման վրա

տ

ՆՀՏ

նրա-

մարժեքժո. ք

ՀՕ

-

երկնուկ,, հնտնգրալը Հաշվելու

Մ-» Հաշվկ յմ) մր 1ոնակի շք: Հժան իոտնցրալը, ծչ Պհրույթը Պփանվա ԿՀ ՖՀ0,ՀՅ... 4Վու քրո Բանաձնի '

ՈՐՔԱ

այն

է

դություն

ֆունկցիայի Դա Հեակում Ն

ո

րճ.

՝

են արժեքներն (նլ.

էը

302): հնտծջրալը մալին։ 1րկնասատիկ Հավասար է այղ որ

(3րշ, ԻՒ յ

3-Օշ Դիցուք առանցքի տիխրույքը ուղղությամբ կանոն լ Հաճմանագակված Հճանյալ զժերու՝ Հ-ու(7),ՃՀՀոչ(7), ՀՇ, )--մ, որու,

Կ0ՕՍՀՆՕ)

(ա. 704), Աննչճչայո է, որ այդ դեպքում Դրա

տիրույթի ծրրագիժն Դմանափակված Մ գլան ծավալին, Հիմք նտ բայց «փոքր ԷՏ 4։թ Բարձրություն Կե ունեցող ծավալից (որտեղ Պ-ք ն /1-, ք Բարձրություն ունեցողզլանի լ Ժոքրագույ, սղիրույթու ՀԱՐ) մճժագույն

--

ձ.Օ7--3»,Ֆշ07Հ-7, 0Հ)7Հ1.

է ռչ

ավելի

(8) բանաձեի նաձեի, րն ը

,

|| |"6,

))ժ:

|լ,

Օրինակ

ուղիղներով

4:

|

Հաշվել

Սէ

Օրինակ

.

"մ5,

եթե Ծ

տիրույթը

Մ-0,

՝7-Ֆ,

թ

2-ՀԼ

Հաչվել

8:

"

կրկնակի ինտեգրալնըստ

տրը պարփակվածէ երկու թառակուսիներով, որոնց կենտրոնը գտնվում է կոորդինատֆերի սկզրնակետում, կողմերը զուդաճեռ են կոորդինատային ԱԱ առանցքներին, ներքին քառակուսու կողմը ճավասար է Փ1 2 է, 4- ե իսկ արտաքինինը՝ (եկ. ՐՀ

է սաճմանափակված հռաֆկյունն (եկ.306):

"1

:

308),

Ն

|

`

՛

277 Թ

է

|

Վ,

Պ.եոաաաաաաք

՛Պ ՛

|

|

Հաաա

Նկ.

Է

Նմ

Հ)

"

.

զ

վ

-Դ-,

թան լ

Տրված կիկնակիինտեղրալը փոխարինենք կրկնապատիկով:Ընդ որում կօգտվենք (4) բանաձնից: (նթե կիրաոննք (8) բանաձնը, ապա ստիպվածկլինենք ըստ 1ուծում:

Նե.

| Ճ-ի ինտեգրել ո

-

տաճայտվում).

ֆունկցիան. ուն ան.

այդ

լ

|" «| ե

ժովթօ

ա

տարրական ւնկցիաներո նտեգրալը ինտեգրալը տարրական ֆունկցիաներով չի

ար-

ար

,

թ

բայց բայց

յաՃ2|

է

6-1

|--ջ -|«(6--1)մ5--(օ-1)-շ

ՀՅ,853--:

Դիտողություն եթկք տիրույթը կանոնավոր չէ ոչ ՕՃ առանցն ոչ քի ուղղությամբ էլ Օյ առանցքի ուղղությամբ (այսինքն՝ դոյություն ունեն ուղղաձիգ ն Հորիզոնականուղիղներ, որոնք, անցնելով տիրույթի ներքինկետերով, տիրույթի եվրադիծը ճատում են երկուսից ավելի'կետերում), ապա ըստ այղ տիրույթի կրկնակի իխնտեգրալը չենք կարող Օ ոչ կանոնավոր ներկայացնել կրկնապատիկիտեսքով: նթե ճաջողվի Օշ առանցքիկամ Օչ առանցքիուղղությամբ կանոտիրույթը բաժանել Օր վփերջապոր նավոր Սլ, Սչ, թվով տիրույթների, ապա, ճաշվելով կրկնակիինտեգրալնըստ յուրաքանչյուր այդ տիրույթների՝կրկնապատիկի միջոցով ն դումարեհլովստացված արդյունքները, կստանանք բոտ ք տիրույթի որոնելի ինտեգրալը: Նկ. 3802-իվրա ցույց է սորված կաբանի : ԳԻԴ հաժանու Ծաքջ 1 դրո րոնը դադորավոր

|.

ո. թու

ԼԱ)

խույ

՝

Ա

ար

կ հոս րամը,

տիրույքը կանոնավոր չէ Սակայն4-Հ-1 ն 21 չորս կանոնավորտիրույքների։ Ուստի

Ծլ, քշ, 09, Օլ

են

ուղիղներըայն

|իշոո|/բոա

"

:

թ

գջ»շ ՛

կղզտնենք,

ի | | իորիշխ»

"|

ր

ւ,-

՝

Էջ

ւ|«լՆ2ն ,

`

լ

յուրաքանչյուրը ներկայացնելովկրկնապատիկի տեսքով, ինածղրալներից

ի

`

ք

Նվ.

ի"«ՀԼ ւի"թ,

«Ի

էուժում,

փաժանում

մյս

Վ

5`

'

Հ-Յ-ջ

:

ը,

'

'

'

լ

ն

«24"

Ո

Նկ.

այն Թ- տիրույթի,

.

Է

«11

2.

.

«եդա...

ՈՌ

"

:

:

-

«

«2

Հ«(63--62)(6--1--Շ-չ)ւ (95--6)(5--Շ-3)Վ(6-12-6-2)(օ--6-)(ՑԿ

|

`

Դ

ետողություն

4:

(6

-«)Հ(Յ-«-9(--«-յ-ԳՏի

չո,

գրելով Հետագայում բ

(6

1Ը, 7)մ7 | Շ-)| ՀՁաե

մ:

կրկնապատիկ ինտեգրալը, փակազժերը(որոնց մեջ առնված

բաց հնտեգրալը) կթողնենք, այսինքն՝ կզրենք

է ներքին

Ե

11-»

Փչ(»)

ի

:

թ-| |».

)ժ7

ճա

Ճ-ՎՎ

ռ

զ(.)

ձ

Ընդորում, ինչպես ն փակագծերիառկայության դեպքում, կճամարենք, որ առաջին ինտեգրումըկատարվում է ըստ այն փուոխականի, որի դիֆերենցիալը գրված է սկզբում, ն աղա ըստ այն փուխոխականի, որի դիֆերենցիալը գրված է երկրորդ տեղում, (Այնուսմենայնիվ նկատենք, որ դա չունի ճամընդճանուր ճանաչում. մի քանի դրքերում ընդունված է Ճակաղիր պայմանը. սկզբից ինտեգրել բոտ այն փուիոխակոա-չ նի, որի դիֆերենցիալը գրավում է վերջին սոնղը՝ ):

Տձ Մակերեսների

ն

ծավալների հաշվումը կրկնակի

-

ի

'

|

»--))մ) |(-»-3)43մ»--| 4» | 1-)յ-Հ-4)

Այսպես, ուրեմն Մ----

մ:ՀԻ

ֆ

(-ո):4»--բ (Հր

մո:

խոր. միավոր:

Դիտողություն

եթե այն մարմինը, որի ծավալը որոնվում Մ)22-0 մակերնույթով, իսկ Խերքնից՝ 2-«Փյլ(Խ մակերնույթով, ընդ որում Օյ Հարթության )2»0 վրա հրկումակերնույթների պրոլեկցիաներն էլ Ծ տիրույթն է, ապաայդ Մարմնի Մ ծավալը ճավասար է երկու «գլանային» մարմինների ծավալների տարբերությանը. նրանցից առաջինի ստորին Հիմքը Ս չոիրույքն է, իսկ վերին ճիմքը՝ 2Հ-Փչ(Խ:3) ժակերհույթը, իսկ երկրորդի ստորին ճիմքը նույն Ծ-ն է, իսկ վերին Հիմբը՝ 7--Փլ(, 3) ժակերնույթը (նկ. 310): 1.

փ, վնրնից սաճմանավակված Էէ չ--Փչ(

ւ.

Բ

ինտեգրալների միջոցով

Ծավալ: ինչպես յոնսանքՏ 1-ում, այնսլիսի

մարնի 7 ժոամակերնույթով վալը, որը չ7-ՀԱ(Խ) (որտեղ Հճարքությամբ ն այնպիսի 1(ԸԽՅ)-ը ոչրբացասականֆունկցիա է), շ--0 Ծ տիրույթի եզրադիծն է, իսկ գլանային մակերնույթով, որի ուղղորդը ճավասար է Ը. Մ) ֆունկցիայի ծնիչները ղուղաճեռ հն Օշ առանցբիմ, կրկնակի ինտեգրալին ըստ Ծ տիրույթի. /.

սաճմանափակված է

Սվ նը»7)ժ5։ ԵՀ

Հայվել ՃՀ-0, 0րինակ1 3--0, Ճ-Վ3Վ2--Ն մանափակվածմարմնի ծավալը 112 309)»

Նկ.

2--0

մակերնույթներով

:

բերությանը,

«-||0-)թ մո, եկ. 309-ի ՃՀ-0,

վրա Օչ5

9-0,

սաճմանները, Ճաշվենք ծավալը. "

երբեմն օդտագորժվում է Փշ

նան

գրուցյան Հէտնյալ ձեր. :

Ե

Փշ

--Փ նե 3)-Փ.» յ

|

3)

(0լ

զտ: -

1.

ոչ

.

Փ,(։, 32-Փ,((

՛

ո»

Փ

Այնուճնտն, Հեշտ է ապացուցել, որ (1) բանաձնրը ճշմարիտ է ն ՓչՈՌԽ միայն այն դեպքում, երբ ՓԽ) Մ) ֆունկցիաները ոչբացաեն, սական այլն այն դեպքում, երբ Փյլ(2,Մ)-ըկլ ՓՈ .,7)-ը

.-| |/63)45 տ-| իրո

մ

|

ձ

«Ն

այ1

Հճարթությանգծիկներով եռանկյունն է, որը սաճմաուղիղներով, Դնելով կրկնակի ինտեգրալի »լր--Լ

:

Ե

բ

կամ

թ

Մ)ճ5 7) (5-||Փլո |Թ.(. -

ՄՀՀ

ռ

նափակվաժ է

Ուստի Մ ծավալը ճավասար է երկու կրկնակի ինտեգրալներիտար-

սա4-

էուժում:

որտեղ Ծ-ն

Նկ.

ճն

7)

ցանկացածանընդճատ առնչությանը բավարարող

,

ֆունկցիաներ

են:

2: Դիտողություն եթեք տիրույթում 1ՐԽ7) ֆունկցիան փոխում է նշանը, ապա տիրույքը տրոճում ենք երկու մասի. 1) Սլ տիրույԹը, որտեղ 1ԸԽ3)2»0, 4) 0շ տիրույթը, որտեղ 1(1)Հ00: ենքադրենք, որ Սլ ն ք տիրույթներն այնպիսինն են, որ ըստ այդ տիրույքների կրկնակի ինտեգրալները գոյություն ունեն: Այդ դեպքում ըոո Ծլ տիրույթի ինտեգրալըկլինի դրական ն Հավասար Օյ Հարքությունից վերն ընկած մարնի ծավալին: Ըստ Ս.-ի ինտեգրալը կլինի բացասական ն բացարձակ մեծությամբ ճավասար Օյ Հարքությունից ներքն ընկած մարմնի ծավալին: Հետնաբար,ըստ Ս-ի ինտեգրալըկարտաճայտի ճամապատասխանծավալներիտարբերտւթյունը:

2.

մենք

Հար Հարք

11,3)

տիրույթի մակերեսի ֆունկցիայի ճամար ըստ |

Ծ

Տ-| Ն

:

թի-|Թ-»-ռա-վԻ-5-5|,-5 3.

:2ն

85. Կրկնակիինտեգրալըբնեռայինկռորդինատներով բնեռային ճամակարգում տրված է Դիցուք 0, ք կոորդինատների անցնող յուրաքանչյուր ճաայնպիսի ք տիրույթ, որի ներքին կետով Հատում է ոչ ավելի, քան երկու կետում: ռագայք"ք տիրույթի եզրագիծը է --Փ.(0), 6--Փչ(9) ենթադրենք ք տիրույցը սաճմանափակված ե Փ.8)ՀՀՓ:Ց) սրում բատ ն Հ-ս, կրով 0--ը ճառազալքներով, հոսք կանվանեն կանոնավու: ատար 52) է Ս 0ծնք տ րված Դիցուք տիրույթում

Հաշվում: եթե կաղտիրույթի ինտեգրալային րղանակի դքպլքում, Հա-

ը:էր

ցողկացած

Գան ԱԱ

2--րճ

7--Ի(0, օ)

.

ո

Տ--31 ՀՏՐ

կոորդինատների

անընդճատֆունկցիան: Որնեէեղանակով Ս տիրույթը տրոճենք

աջ

|

Հավասարության աջ

անցնելով սաճմանի, կստանանք

մասում

մյ: Տ--|լս"

է (տես,օրինակ, նլ. 286), ասլա մակետիրույթը կանոնավոր

գրալով՝

Ե/ՓԸ

| ձ7

մշ:

ց

(1

չաշվել 12-12,

-Ճ

Հատ.

օ

ՃԱ

ԹեորեմիցՀետնում է, որ ՃՏյ Հարթակի տրամագիծը զրոլի ձգտեվիագոյություն ունի (յ) փնտեդրալային դումարի սազմանը: Այդ Մ ռսաճմանը, սան սաճմանման, ըստ է ճանդիսանում Ք(0, թ) ֆունկցիայի կրկնակի ինտեգրալն ըստ Ս տիրույթի

Կ-ՎԱԲՈ45

9)»

"ք

գլխի 8 Լ): ՛

կործրով սաշմանափակված պատկերիմակերեսը:

կետերը (նկ. 31Լ)։ Հատման կեՈրոշենք տրված կորերի Հատման որտեղից 22-|-"--2»--0, Կոնրի օրդինատները Հավասար են, այսինքն՝ Ճ--2--2, Ստացանք Ճատման երկու կետեր՝ հԼլլ(-2։--), ՑՆ» Լ)։ լ---Հ2 "շի Լուծում,

ու

|

հունենան

Տ-|()-զ(

կետն է:

ամենամեծ

Փակաղծերումկատարելով ինտեդրումը,

Նկ.

21)

Խ--|

մի որոշ դումարի,որտեղ ք-ն ճարքակի փնտնդրալալին գոյության ինտեգրալի կրկնակի

՛

`

ալ (5)

Օրինակ,

,

ինտեկրկնապատիկ րեսըկարտաճայտվի

ԻԻ

85,

|

.

ը

ա

Մո-» Տ Ի(թ)ՃՏ,

«5

Եթե

մՏ

5,

2արթակների։ ճազմենք րթակների։ նաղզմեն

»բ

(2

Զրաղվենքայս դեպքում կրկնակի

զրա ինտեգրալի Հաշվմամբ: շ բ

Նկ.

Ն

կանվանենքկռորղինատներիսկզբնակետից,այսինքն թ բեռից Ճառագայթ փուրաքանչյուրկիսաուղիղ: "

ելնող

՛

գումարի

կամ

ինտեգրալային աճմանը կախված չէ ք տիրույքը ձտլ Հարքակների տրոճելու եղանակից, ապա տիրույքը կարող այդպիսի եղաենք սորոճել ամենաճարմարեղանակում Հաշվելու ճամար 0Հ-Յո 0--Ցո,-., 0--89, 0--Ս, նակ կլինի տիրույքի արոճումը (»րոհղ ների ժղ»»-է| 0ց--Օ», մի0ցՀցլՀՀՅչ0ցՀ-Օ, մի ՀՀՅո) ճա ճառագայթների տեղ ժոչ-թ, 0:Հ0

Քանի

տր

ինտեգրալային գումարը կունենա Այսպիսով, |

։

ն

քտ»ք,

քոս

Մ

ճամակենտրոն շրջանաքծերոավ

0--քդ

«ա.

(որտեղ քը-ն Հավասար է ռՀՅՀ-ք միջակայքում Փլ(8) ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքին, իսկ քոչը՝ Փչ(8) ֆունկցիայի մեծագույն արժեթին, ըյՀԱԼՀ-:«.Հնոխ ՃՏլո-ովնշանակենքայն ք--քլ-Օլ

0--«0ր.լ,

ք--թլ, Ք--քլ

0-9

ռ-11

Հարթակի կետն է: ԱյժմՃ0լ արտադրիչր դուրս բերենք ներքին գումարի սաճմանից (դա կարելի է անե գումարի բոլոր գումարելիների ընդքանի որ այն Հանդիսանումէ այղ Ճարուր բազմապատկիչը).

Ր ե. դծերով:

ո

Պոչ» ։

ճարքակներըկլինեն երեք տեսքի: 1) ք տիրույթում դանվող եզրագիծը չճատողներ,2) Ծ տիրույթից դուրս գտնվողն եզրագիծը չճատողներ, 3) Ծ տիրույթի եզրադիժը ճատողներ: Այն գումարելիների գումարը, որոնք ճամապատասխանումեն եզրադիծը ՃաստողՃարքակներին, կունենան զրո սաչճմանը, երբ ձ0-»0 ն Ճր---0, ուստի այդ գումարելիները Հաշվի չենք առնի: Ծ տիրույթից ՊՏլլ ճարթքակները չեն ւում դուրադտնվող բնդչանրապես ինտեգրալային դումարի մեջ, ուստի ն մեղչենճետաքրքրում: Հետեաբար, ինտեղրալալին գումարը կարելի է գրել այսպես ե Տու

սինքն՝

որ

ըստ

գումարում հնք, Ք ըստ զումարու

լ

Իձքլ)40լ-----.էՃ Յ.-|

Չ

է ինդեքսի դումարելիս այչ

արժեքները չի ընդունում, քանի որ պարփակված ոչ բոլոր Հարքակներն

Այդ դեպ-

(2

Ք(ո., ք)ռմբ

Փ 1.1

որ

կատաՃ0յ-»0, վերջնականապեա

Ն.

ժամանակ(այսինքն՝ ժաման

նկատենք,

ինաեգրալին։ Այժմ, ընդունելով, նանք"". `

Մ

Սկ

են

ն

/

Լ

| իԲ(0,0, «1Ֆ.0)

( 3)

օ)քմը օ)ոմշ մ |մ9:

Լ գումարն այս հնտեդրալային

տեռքով կարող ենք դիտարկել շնորճիվ այն բանի, գումարի սաճմանըկախված չէ ճարթակի ներսում կետի դիրբից: ( ""(3) բանաձնի մեր արտածումը խիստ չէ. այդ բանաձեն արտածելիս նախ զրոյի ձգտեցրինք զրոձգտեցրինքՃըլ-ն,Թողնելով ՂՕլ-ն անփոփոխ, ն միայն ճետո (0լ-ն (ի: Դա ոչ լիովին է Համապատասխանումկրկնակի ինտեղզրալիսաշճմանմանը,որը մենք դիտում ենք որպես ինտեգրալային գումարի սաճման, երբ ճարթակների տրամագժերը ձգտում են զրոյի (այսինջն՝ երբ ՃՕլ-ն ն ձքլ-ն միաժամանակձգտում են զրոյի): Այնուամենայնիվ,չնայած ապացուցման թույլ տրված ոչ խթստությանը,արդյունքը ճշմա բիտ է (այսինքն՝ (3) բանաձեն իրավացի է)։ Այս բանաձնի խւիստ արտածումըկարելի է ստանալ այն նույն մեթոդով, որը կիրառվել էր ուղղանկյուն կոորդինատներով կրրկքննարկելիս: նշենք նան, որ այդ բանաձենրմեկ անդամ էլ է արտածնակիինտեգրալը վելու Տ 6-ում՝ այլ կշռաղատություններից (որպես կրկնակի թնտնեգրալումկոորդինատ ների ձնափոխության առավել ընդճանուր բանաձնեիմասնավոր դեպք): `

որ

լ

:

ձք

:

ւ

ինդեքսը 1-ից մինչե

3/Փ.0Մ)

երով:

ՀԱԼ

ի ինդեքսթ ինդեքսի):

ոին,

(--կկվլ

-

(3) բանաձնովՀաշվում են կրկնակիինտեգրալը՝բնհռային կոորդինատ-

չճատվող ՃՏլեճարթակի մակերեսի Գտնենք տիրույթի հզրագծով արտաճայտությունը: Այն Հավասար կլինի երկու սեկտորների մակերեսների տարբերությանը.

"

|

:

:

ՃՏը. ճարքակի կամայական կետն է, որտեղ Ել-ն ն Փումարժանկրկնակի նշաննայստեղ պնտք է ճասկանալայն իմաստով, | ինդեքսի, է-ն տր զումարումը նախ, կատարում ենք րոտ Համարելով Հաստատուն (այսինքն՝ ընտրում ենք երկու ճարեան ճառագայթների միջն պարփակվածճարքակներին Համապատասխանող բորոր գումարելիները՝): Գումարմանարտաքին նշանը նշանակումէ, որ ի մի ենք Հայվաքոս) այն բոլոր' դումարելիները, որոնք ստացվում են առաջին դու-

ձայլ---(ոլ

ւ-ՎԼ

.

ե-3|ՖԻո) այ

ի

|

Փ.(0,)

ո

մարման արման

Ն ՖՐ(Ց,,ք դք'լձք:

`

ենթադրենք,որ Ճրլ---0, իսկ Ճ0յ-ն մնոսք Է Հառտատուն: քում փակադծերիներա արտաճայտությունըկձգտի

ն

ա.Պ

որտեղ թ(0.", քլ')-ն տոեսքի"չ

է գծերով: որը սաճմանափվակված ճարժակը,

Ն

--Ֆ ՖԲ(Յ.,01)0-Ճոլձցյ

ջոցով

ՔԷճքլճ0, որտնզ քլՀՈԱՀՔԻՏԿ

ՃՏ ՀՀ

տ

բոլոր

ճառագայթների միչն `

ք տիրույքին: ռլատկանում

:

13--

ն ինտեդրալ Հաշիվներ Դիֆերենցիալ

ք

եթե առաջինինտեզրումը կատարվի ըստ 0-ի, իսկ երկրորդը՝ըստ Հի,այսլա կատանանք չճետնյալ բանաձնր (եկ. 313).

նդ

-

ճավասարումը կարելի

շրջանի եզրագծի

:

«ջ(թ)

Քշ

-| ) Ի(9,ճ)40մք:

ն 5-5

:

6.

(3 ) ՛

Գո:

թով (նկ, 314): Հաշվենքորոնվող Մ ծավալի ՛

լ `

12, 3-1 ապա,

Ըօ0Տ

8,

-ՄՀ-ջք

ւ.

ք Օրինակ

|

ՈՆ.

)- 287-)7

|յ

Մ-

ԱՆ

1.

1ուծում:

0,

05 Տ

ք

Հաշվել 244 37-22-5447

։

շ

Տո

0 ը:

որ

ՏՈ

"ց,

որ

(4)

ծ). մ5|10:

ՔՐՈ: որ

5լը

ք--24

Տ1Ո Է:

2.

0-9 -

:

գնդային մակերնույթով ն 23-192-28)--0

կամ

'

Որպեսինտեգրմանտիրույթ ալստեզ կարելի է վերցնել22--12--247--0

ն 14 այսինքն՝ (Օ,8)կենտրոն

Տո

7-չՄ--ռ

22-32-84,

/Փչ()

«ՕՏ

գրենք բննռայինկոորդինատներով. քանի

գլանով սաճմանափակված մարմնի Մ ծավալը:

գլանի Հիմքը,

1 481-2-մւ

ՖՀ»ջ

| 1(թ »)ժ:0»--| .ՆՓ.0)

Ի-2ո:

Վ-

42-:-:

«ետկաբոար,

3-0,

28-37,

Որոշենք ինտեգրման սաճմանները:,Դրա Համար տրված չրջանազծի ճավասարումը

7,

9)--Բ(6, բ),

ք Տո

ԼԼ

2-»շ

ող ճ

ՏՈ

վերցնել

ինտեգրալը ձնափոխենք0, ը բնձռային կոորդինատներով. Ստացված

`

կրկնապատիկխնտեդրալի դինատներով ճաշվմանը: որ իրոք,քանի

ծ,

է

գլըա«

Հետնաբար,

եթե 0, ք բնեռային կոորդինատներովԾ տիրույքը կանոնավոր է, ասպա տրված ինտեգրալի ճաշվումը կարելի է բերել բնեուսյին կոոր-

ԸՇՕՏ

որը

Հետնյալ Հավապարումներով.

են

«ՓՈՍ Հ

2-5"(8.

"5

-ՃՀ-թ

այն է՝ նրա այն մասը,

-ը,

ֆունկցիան է ննթաինտեգրալալին

իճ. արենեք

|

սաշճմաններըորոշվում

:-Փ.0)-0,

ներով.

տնս-

ցրվում է առաջին օքտանտում: Այդ դեպքում իբրն ինտեգրման տիրույթ պետք

"ոյն կիսաշրջանը,որի

(5)

Դիցուք պաճանջվում է ճաշվել 15, 3) ֆունկցիայի րկնակի ինտեգրալնըստ Ծ տիրույթի՝ տրված ուղղանկյուն կոորդինատ'

Նկ.

221 (7-82

գրել

է

շառավիղ ունեցող շրջանը:

կոորդինատներով (ոլ. Հետնաբար, բնձռային

-«Փյ(0)--0.

315) տիրույթի

օ--Փչ(0)Հ-28

0,

Տո

սաշմանները որոշվում էն

Օ--0,

Հո/2

Ճտվառարումներով, իսկ ինտեգրալային ֆունկցիան ունի Հետնյալ տեսքը՝

Ի(ը, ստանում Այսպիսով,

»/2

ենք.

728 Տ51ո 6

ավ | Մ

)-»)/483--թ::

թ

Մո

Ապաապաւնը

4823-թ2ըմր

ա

Պ/5 բ

.

32---22յ123 (4ո-

-Հ----

-

Նկ.

ի

«/2

| «

(442-482

|

Տէոշ

ԲԲ- (ոմ ,

24 51դ 0

40:-0

չ"/2

վգԵ-ՅԸ (Ղ--Շ0Տ3 0)48---ո:(Յո-4): Յ

0ր ինակ

Պուասոնիինտեղրալը՝ ձաշվել

5: ւ

աղ կամ

-

| Տ-Հ՞զդ:

--6

նախ Ճաշվենք

լուծում:

ո"

մ:

բնտեգրաղը,

որտեղ ին-

շ ք

'

`

հոլ

ք»

օո

| թառ կողմ ունեցող քառակուսինէ,

րոնը ճամըրնկնումէ կոորդինատներիսկզբնակետին.

շո

2ո

/8

ոշ

|"

ժթ

լ

ենբ. ց

Ա --յոկ

. շառավիղը անսաչմանափակորենմեծացնենք, այսինքն ինտեգրման ընդարձակենք, ապա կստանանք այսպես անսաճմանափակորեն կոչված անտիրույքն բազմապատիկ ինտեգոալ. իսկական

| 1"

մբ

«րով|-՞ Ջ-» -

|Է"

Ծ

"(1-6 00--ԼԼո Ք» »

ոի

ո

Ընդունենք "աո,

7.

.

:

:

ամենուրնք,

իրավացի

ապա

Սա

Հաատատուն

ձ7: :

ն

8-ից),

թիվ է (որը կախված է միայն

են

«ճետեյալ

|"

ը:

|«»"8մյ--Է. |6-3:գ):

»ոա-

Հ.

եզ

ո

նջ

.

Քայցվերջին ինտեգրալընույնպես Հավասար է Թյ-ի

անճավասա-

|«- «-|չ (որոզգու ք

-

Ն

)

մ)»

--8

ճետնաբար,

րությունները:

աչյ|» քթ՛

2-5

|55 |օվ

մամբ

'

ծ

Շ-7-320

զ

՝

տիրույթը ընդարձակվում է այնպես, որ ի վերջո Հարթության ցանէ նրանում (Ծ՛ տիրույթի այսչ կացաժ կետը ընկնում է 07 տիրույթի ներսը ն մնում պայմանականորեն կզրենքց՝ Թ՛-»օօ): պիսի ընդարձակումը ճեռավորուդլցուք ոլ-ը ն Խշ-ը ք՛ տիրույքի եզրագծի ամենափոքրըն ամենամեծ թյուններնեն կոռրդինատներիսկզբնակետից(նկ. 317)։ որ

'

ուստի

սաճմանին, եթե կա-

ձնի Ծ՛ մայական

Քանի

դ

--8

ինտեդրալը ձգտում է

յ:

,

|

8--ր:

ռո

Ցույց տանք,

ե

ճք

մ.

ԶՏՆ-4

Քանի

երն այժմ

2.

Հ

Այժմ ներքին ինտեղզրալինշանից ղուրս բերենք6--2 արտադրիչը (դա կարելի է անելչ որ --32-ն կախված չէ Հ ինտեգրման փոփոխականից):Այղ դեպքում

7): Է0----7 իշ 40--ո(--օՐ "0

-4-4

հ

»

Մ: 0--

Ց

| |բՐ«-շռայ|օօ

որի կենտ-

ղեպքում

-84-8

Ձ

բնեռային կոորդինատներին,ստանում Անցնելով

||

ջաայ-

բ

այղ

`

լ.

(5)

-

ք՛

52 տիրույթը Դիցուք,մասնավորապես,

Նկ.

'

1-6

ք'

(նկ. 316):

է

-Տշ

|ՇՅՏ-շմմմՀդ

Հ|

Քանի որ Ծ՛---»օօ դեպքում, ակնճայտ է, Բլ--»օօ ն 8շ--»օօ, ապա անճավասա« րության ծայրերի մասերը ձգտում են միննույն յ. սաշճշմանին:Հետնաբար,այդ սաչՀմանին է ձգտում նան միջին անդամը, այսինքն՝

Ծ տիրույթը շրջանն տեգրման 52-| 12--Ք2

-ռլ

ե: 1-6

,

' ՛

ձ:43Հիթ -

Վ.

'

`

ք:

աջ

մ:45--8.ք,--86:

մեջ անցնենք որ Ճավասարության ռսաճմանի, ատիպելով,

Այս

(ընդ որում 0՛-ն

անսաճմանափակորենընդարձակվում է).

որոտ|

Շ

ոա

վյչ-«անո կ

Բայց, ինչպես

ձզտի

Հ-ն

ՀՑ

ց

2.

Ի

Փ.'.-

| օ

մ

Մայ"

ք

Փխ

7-5

:

`

|

աայ»

-

կետ:

տիրույթներիկետերի միջն ճասխանուտատում եկ իփոխադարձմիարժեքճամապատաս րք միարժեք փոխադարձ թյո ւն կամ, ինչպես ւում են, տիրույթը են Ծ՛ տիրույթի վրա։ ։ապատկերում ԱՀՀ-Շօոտէ գիծը: (1) բանաձկերով պգրտդիտարկենք Ծ՛ տիրույթում կշամապատաս-Հ նրան նենք, որ Օն Հարթության մեջ, ընդճանրասես, խանի մի որոշ կոր: Ճիշտ այդպեաէլ Օսմ Հարթության լուրաքանչյուր Օյ Հարթության մի որոշ գիծ: կՀամապատասխանի ուղիղին

Մ-»ՇՕՈՏէ

Այսպիսով, (1) բանաձեերըԾն

Հնտնարար, Ղշ

-

|

սաճմանա-

«Հարթությանմեջ կետը գծում է 0 տիրույթը երն Օյ կետը Օսս 2արթության Համապատասխան Կիակող Ն փակ գիծը, աղա 1՛ դեպքում այգ փակ զիծը, կծի որեէ Ծ՛ տիրուլքը սաչմանափակող է 0 տիրույթի "ք՛ ռիրույթի յուրաքանչյուր կետին Համապատասխանում ՝

րե

է (տես (5)), ապացուցվել լլ

Օս ուղղանկյուն ճամակարդը (նլ. կոորդինատների Դիտարկենք ամեն մի Ե(, Մ) կետին Ճետեում Հարթության է, Օր որ 318): Առսածից է Օսմ Ճճարթության Ե՛(Խ Կ) (ոկ. 319) միարժեք Համապատասխանում Ա ն են բանաձներով: (1) որոշվում կետը,որի Ան"խ վլոռրդինատները են Ծ կետի կոբագիծ կոորդինատներ: Խ թվերը կոչվում

անվերջության

ա

6-2վ.

|-շ-ո

"

քամ »

| ՓԻ

Ծ՛

ո:

6.

Այս ինտեզրալը ճաճախ է սպատաճումՀավանականություններիտեսության մեջ ն վիճաոր անմիջականորեն ճաշվել այլս ինտեգրալը (անորոշ ինկագրության մեջ: Նկատենք, տեգրալի միջոցով) չէինք կարող, քանի որ 6-Ճ2 ֆունկցիայի նախնականը տարրական ֆունկցիաներով չի արտաճայտվում:

Տ

6.

Ա

Փոփոխականների փոխարինումը կրկնակի ինտեգրալում (ընդհանուրդեպք)

Նկ.

-

ԴիցուքՕդ»

Հարթության մեջ տրված է Ն գծով սաճմանափակված ք տիրույթը: ենթադրենք,որ նեյ կոորդինատներըԱ նմնոր փոփոեն. ֆունկցիաներն խականների

2--«(խ, 7), ՖՀ-Կ(ս,

(1)

ընդ որում ՓՈԽԿ)յ-ն ն փ(ն, Կ)-ն միարժեք են, անընդճատեն ն ունեն անընդճատմասնական ածանցյալներ որնէ Ծ՛ տիրույթում, որը. կսաչճմանվի ստորեւ Այդ դեսլքում (1) բանաձներիճիման վրա մ ն Ս արժեքների լուրաքանչյուր ղուլգին ճամապատասխանումէ Ա ն սՄ արժեքների միակ զույգը: Այնուճետնենթադրենք,որ Փ ն ֆ ֆունկցիաներն ալյնպիսին են, որ եթե 7 տիրույքից վերցնենք Ճ ն Կ ռրոշակիարժեքներ, ապա (1) բանաձեերովկգտնենքԱ ն Մ որոշակի արժեքները:

ո

ե"

Նկ.

Ա--ՇՕոտէ ն 7-ՀՇ0ոտէ ուղիղներով Ծ՛ տիրույթը տրոճենք ուղղանկյուն «արթակների (ընդ որում ք՛ աիրույթի եզրին կպչող Հարքակները զծերով կտրոչվի մի Հաշվի չենք առնի)։ Ծ տիրուլթը Համապատասխան անի կորագիծքառանկլունների(նկ. 319): Օս ճարթության մեջ դիտարկենք ՃՏ ուղղանՄՀՀԸՕՈՏէ, Ն-Վ-ՃՆՀ--ԸՇՕՈՏեուղիղաերով սաճշմանափակված ն յուն Հարթակը, ՕՍ ճարթության մեջ նրան ՀամապատասխանողՄՏ կորագիծՀարթակր։ Այդ Հարթքակներիմակերհաներընույնպես նշանազենք ճամապատասիուսնաբար ՃՏ՛-ով ն ՃՏ-ով: Այդ դեալքում, սոկմոձ ւաւդ

ս-ԷՃԱՀ-օՕո Ա--Յոտե,

:

"`

«4,

փՏ՛ՀՃԱՃԿ:

ՃՏ Է Ճա ԸնդՀչանրապես,

մակերեսները տարբեր են:

տրված 1(4,1) անընդչատֆունկցիան ԸԺ"Ք միրույթումֆունկցիայի Մ) արժեքին յուրաքանչյուր 2ՀՅ1(2, ք

ք

տիրույթում

է

2»

ե)

մապատասխանում է Ծ՛ տիրույթում ֆունկցիայի. 2Հ-Ի(Ն, ժերը,որտեղ

Բ(ա Պ--ԱՓ(ս, 9,

(ս,

ՕԱ

ճա-

նույն

`

ար-

ոյի

զի Ա ճՄ--ժ«

ս

ԿԽ

ւ|. 09 ց. ժջ 1

ժ, Ըրկ ժս

ժս ԺՄ,

-վրս6. ձաճմ:

|

Դիտարկենք րստ ք րույթի շ ֆունկցիայի ինտեգրալայինդումարէ, որ տեղի ունի ճետեյալ ճավասարությունը. ները: Ակնչճայտ

7)85-ՖԻ(ս,

ՏՐՈ

ժս

ՀաշվենքՃՏ-ը, այսինքն՝ Օր Հարթության քլքչքչքյ կորագիծ քառանկյան մակերեսը(ոե,ս նկ. 919): Որոշենքհրա գագաթներիկոորդինատները.

Ք(գ»

ց, 3) Ք։(Ճլ, յ), Ք(գ, 3),

թա

ո-ՓԱո Ժ) (ա), ԿՀգանա ժ), ակ Իճա դ, Ճ:--Փ(ս-Էճա, ՄՎՃՆ), 75-22(ԱԻՃմ, Մ-ՀՃե), Կ--Փ(ս, ԿԻճմ), «(ն Մ-ճա):

|

|0ջ 0

մ Մ Բո 5Տ

որ `

Այտպիսով,

հՏ:Հ|կոչ՛:

.

5Հ

ՔՔչք:Ք. կորագիծ քառանկյան մակերեսը աշվելիս Ելքչ, Քչթ,, Քչթլ, Քչքլ գփերըկճամարենք զույգ առ ղույգ զուգաճեռղուղիղներ, բացի այդ, ֆունկցիայի աճերը փոխարինելուենք Համապատաս-

Ն),

(ս,

լ

ԴԻՀԷեա, Ճչ-Հ-Փ(մ, «ԱԽԻ Հրո ԴԻ57

ձմ, Մշ-«Փ(ս, մոշ. ժս

Ճչ--Փ(ս,

Դլ--Ֆ(ս, ՍԽ"

ՍՒ,

Ֆչշ(ա ՆՉ

'

.

ը

ս

Մ

Ս-ն,

|

`

Մ

-( րաԳՏ-ՃԽՈՇ։ոովնագԽ)ի

ժ

ժ:

Մ

Մ

ժ

ժ'

|

ԺՄ

.

ր-ԱՀ

(37

ճմ:

զրոյի

աաա

,

Արված ենթքադրությունների դեպքում Քլքչքչքյ կորադիծ քառանկյունը կարելի է դիտարկելորսլես զուգաչեռագիծ:նրա ՃտմակերեսըմոտավորապեսՀավասար է Քլթչք: եռանկյան մակերեսիկրկնապատիկին ե ճաշվվում։ ն բանա նաձնով. վ է ա նւս. աշվվ չայ ալիտիկեր. ըկրաչափակա

ճ)(.-)-(ա-յ)(75-ՅՄՏՃատՀ|(5.-

ճավասարությունըմոտավոր է, քանի որ ՃՏ մակերհարՃաշվելիս բարձրկարգի անվերջ փոքրերն անտեահլ ենք, Բայց որքան փոքր "վինենձտ ն ձ5՛ Հարքակներիչափսերը, այնքան ալդ Ճավասարությունը մինի ճշդրիտ:Այնլիովին ճշգրիտ կղառնա սաճմանում, երբ Ճտ ն 85 2 Հարթակների ների տրամապծերը ձգտում են տրա,

Է

Են

ն

(4)

'

են

(4)

դետերմինանտնանվանում ենք ՓՈԿ) փ(ս, Խ) ֆունկցիաների ֆունկցիոնալդետեոմինանտ:Գերմանացի մաքեմատիկոս ծակոբիի անունով այն անվանում են նան յակոբիան:

Այսպիսով, Հաշվի

լ»»Փ(Ա,Մ), Ճշ»«Փ(ս,

:

ւան դիֆերենցիալներով: չենք առնելու ՃԱ ն ձն անվերջ փոքրերինկատմամբավելի բարձր կարգի անվերջ փոքրերը:Այդ մ

ժս

Մուծենքճետեկլալ նշանակումը.

(3)

դեպքում կունենան Հեռնյալ (5) բանաձները ստեռքը.

09:

երկրորդ (արտաքին)ուղիղ փակագծերընչաայստեղ դետերմինանտի են, որ դետերմինանտը վերցվում է բացարձակ մեծությամբ: նակում

(2)

տ)ճ5/

ՃԱՃՆՀ--

ժջ ժֆ|

տ

ՀԼ,

ՕԺԽժն

տ

առը

ՃՏ

ճջ

Այժմ ստացված ճավասարությունը կիրաոենը կրկնակիինտեգրալի ճաշվփան նկատմամբ:(2) Ճավասարությանճիման վրա կարող ենք դրել.

ՋԱ, 85ՀԵԿ,

լոտ

էք Ն 1)սաճմանի, ՐՐ ա վան Արար փոռնգրագալն ճշգրիտ Ճավասարություն, զատանանք ոիրուրու ("գ

երբ

ա,

Սաէլ

Ա1ՅոՂոՏ

70,

Մ)(կմսձՆՄ: իո. ջյմգյ- ||Բաւ Տ

(5)

:

Պենը կրկնակի

ինտաեգրալում կոոր դինատների է: Սա Հնարավորություն ըստ է տալիս

բանաձեն ձնափոխության

Հենց

տիրույքի կրկնակի ինտեգրալի Ճաշվումը բնբել այդ վփնտեգրալի Հաշվմանը՝ րոտ 0Ծ՛ տիրույթի, որը կարող է Հեշտացնել իոնդիրը։ Առաք

Մ

շ

:

Դիցուք պաճանջչվումէ Հաշվել

թ

ՀՅ

կրկնակիինտեդրալն բոտ Օմ ճարթության մեջ գտնվող այն Ծ տիրույքի, կափակվածէ ճետնյալ ուղիղներով. ՅՐՆՀՀՀ

Ս

Շ«Նկ.

ավ)

77:27

Օյ Հարթության ՃԾ (ք»--քթլ) կորը (նկ. 320) ձնափոխթվումէ ՕՅթ Հարթության մեջ Ճ՛8՛ ուղիղի (նկ. 421): Օշ ՀարթքությանՍԸ (9--քչ) կորը ձնափոխվումէ Օ0ք Հարթությանմեջ Ծ՛Շ՛ ուղիղի: են Օք ՀարՕշ Հարթության ձըր ն 8Ը ուղիղները ձնավովխվում են թության մեջ Ճ՛Ծ՛ ն Ծ՛Շ՛ ուղիղների։ Նլ ն Լշ կորերը ձնավփոլխվում Լ՛լ ն Լ՛չ կորերի: 0 ն ք բենտայինկոորդիՀաշվենքՀ, դեկարտյանկոորդինատները նատներիձնափոխությանլակորիանը:

ԷՀ

0. ժռ| Ե ժբ. ՀՎ.

21 Փ|

ժթ

Լ-թ

|

Տո

ք ԸՕՏ0

5ո

ն

ցլ..

Հ---ք

0--ք |

ուստի

/Փ»(1)

(իշ ))առգյ--| | Ի(Ը, թ)թ ճբ

,

ւ

ո.»

.ՆՓ.()

|(9:

ՇՕ57

Ա

0»----ը:

Դ

Թ.

|

«լ

Ա

7 չ---ՀՐ«գծ,

«-5

«առ

Թ

Այդ դեպքում

ՄՀՀ,

«արքության սչ-Ս

ՍԱ

-Շ--

----3

Ս---Յ

Իգ:

ձնափոխվում են

ուղիներն Օսմ

ուղիղներինեն անցնում,

գատ

Ի-չ

Մ----,ՄՀՑ

«պիղներն ել,

ուղիղների:

Հետնաբար,տրված Ծ տիրույթը ձնափոխվում է ք՛ուղղանկյուն տիրույթի, որը պատ Ջերված է նկ. 322-ի վրա: Մնում է ճաշվել ձնափոխությանյակոբիանը: Դրա ճամար 2-ը Ք Մ-ը արտաճայտենքԱ-ով ն Մ-ով: կուծելով Ճամակարգը,կստա» (6) ճավասարումների

նանք.

Յ'

.

`

թ ե

Յ

2----ր Է՞լ»

|

Հետնաբար,

ժս (ո5

Տլո՛

|

է| Հք, Հետնաբար,

ք

օ|

եկ.

51դ 0:

7»-ք

1--

տա

ԱՀ-ծ, ՄՀ-ը

Ճ»-ք

Ընդունենք

ջին անգամ այս բանաձնի խոտագույն ապացուցումը տվել է ականավոր ռուս մաթեմատիկոս Մ. Վ. 0ստրոգրադսկին: Անցումն ուղղանկյուն կոորդինատներիցբեԴիտողություն, վեռայինի, որը քննարկվեց նախորդ պարազրաֆում,կրկնակիինտեզրալում փոիոխականներիփոխարինմանմասնավոր դեպքնէ, Այս դեպքում 0,

7 թ-ՀԳԻ-

սաճշմա-

տնգրաղի՝ըստ այնպիսի ուղղանկյան, որի կողմերը դուգաճեռ են կոորդինատային առանցբքներին:

Առ:

ՇՕՏ

լ

3,

ա --Ճ

որը

անմիջական ճաշվումը կլիներ դժվար. ռակայն Այս կրկնակի ինտեգրալի փովփոխա կանների պարզ փոխարինումը թույլ է տալիս ինտեգրալի ճաշվումը բերել մի այլ ին-

ճ

Նկ.

պարագրաֆում

|/6-թոա»

նաիւզ

։

բանաձինէլ ստացվել էր նախորդ

այլս

ծրինակ։

ԺՄ

---ը

Յ

ԻԻ

3 3

լակոբիանի բացարձակ մեժությունը ճավասար է

Ո------: Մատի

(դորյի»1/Բ-»ոա-իի(-ր"--Վիո«"- |լ րա-"

87.

Մակերնույթիմակերեսիհաշվումը

օ-Հ|ԼՂ

Ճցլ»0 Ճշլ»ժ

ուռ մտ

Դիցուք սլաճանջչվումէ Հաշվել Ը զծով սաճմանափակվածժակերեվույքի (նկ. 323) մակերեսը. մակերնույքը տրված է 7Հ-1(ԽՍ) Հավասարումուվ, որտեղ (5, Մ) ֆունկցիան անընդճատ է ն ունի անինդճատ մասնականածանցյալներ:Ր ժի սղրոյեկցիանՕմ Հարթության մեջ նշանակենքԼ-ով: .

3 ճգ:

(2) «

լք րլ

Այժմ զբաղվենք մակերնույթի մակերեսի Հաշվումով: Պլ-ով նշանակենք շոշավող ճարթության ն Օմ ճարքության միչն եղած անկյունը: է երկրաչափության ճայտնի բանաձնի ճիման վրա կարելի Անալիտիկ 324). գրել (նկ.

ՃՏլ--ձ3:ԸՕՏՂ

վամ ՃՏլ

Ճգլթ--ՏԻ:

(3) «

ՇՕՏ՝ը

անկյունը միաժամանակՕշ առանցքին (1) ՀարթությանուղղաՀայացի միջն եղած անկյունն է: Ուտի (1) Հավասարման ն երկրաչափությանբանաձնի ճիման վրա ունենք. Ղլ

անալիո

ԸՕՏ

Նկ.

ռ

տծետնաբար,

Օյ ճարթության եջ Ն գծով սաշմանափակվածտիրույթը նշանաք ք-ով։ կենք տիրույթը վամայական ձնով տրոճենք Ո Հատ Տլ, ՃՏո տարրական ճարթքակներիչ (Տշ, ՃՏլ 2արՑուրաքանչյուր քավում վերցնենք 5(5. Դ) կետ, Իլ կետին մակերխույթիվրա կշա

(Թձյ»-ի

՛

Այս

լ

Հա Հաաաաա ր ա14-12, Պ-Ն

ՈՅ

Րր" աւար«ԷՅ Կ ԴԴԴ ( ը Ն

լՀ է

ՆԱՆԱՒԼ/

հնվ:,

կեւը:

Քանի որ,

|

իկ| կետով տանենք մակերնույթի շոշափող ճարքությունը, նրա Հավա-

րանն

,

ունի

ՍՏ7-ԷԼ (էւ,

)Օ--դ)

(7)

«է,

Է

տնսքը (տես 1 Հատ., 11 ղխի, Տ 6)։ Այդ Հարթությանվրա առանձնացնենք այնպիսիՃօլ ճարակ, որը Օյ Հարթության մեջ պրոլեկտվում է փտլ ճարքակիտեսքով: Դիտարկենք Օլ արքակների գումարը. բոլոր

Այս գումարի 0 սաճմանը, երբ Ճօլ Հարթքակներիտրամագծերից ամենամեծըձգտում է զրոյի, կանվանենք մակերես, այսին մակերնույթի քըն ըստ սաշմանման

կընդունննը.

-«Ֆ ՒՐ Ե)

աղա

կնաձզրալն լ(9:2Ի( ||յ (5 0ենք. | մ:մ)կրկնակի վերջնականապես օ

ստանոսէ

ի

Սա լ

Պ) ճ5լ:

սաճմանման, Հավասարությանաջ մասի ինտեգրալային

ըստ

-

ո

Հ Ճօլ:

|

Գումարիսաճմանը

ւ

2--2--Ի(Հ, )օ-ԿԴԵՐ.

լո

Լ

մապատասխանի

ԱՇ) Ղ)|

ճտ:լ

արտաճայտությունըտեղադրելով (5) բանաձնի մեջ, կստանանք.

-

Աի

էՄ ՛/

է

ճենց այն

մակերեսը:

ԻՇչ ) 12:62) ժշ,

ր

6)

Ամ)"

ճաշվվում2--1(Խ է, 7)մակերնույթի բանամեն որով

է

երն մակերնույթի Հավասարումը տրված է

'

Ն

«ՀԿ, .

ս

2.

կամ`

(ԵՉ)

անքով,

-

ԱՋՆ

ժապա

Դ

.

.

մակերնույթի մակերեսի Հաշվման Համարբանաձներնունեն

մ)մշ, -ւԷ( -1//թթ) (7)'ն.)" -|թ/ւ((22-Ի Բ) իա

(37 (3

՛

տեսքը, որտեղ Մ՛-ը, Ծ՛՛-ը Օշ ն Օշ Հարթություններիմեջ այն տիրույթներն են, որոնցում պրոլեկտվում է տվյալ մակերնույթը: Օրինակ

ն

Հաշվենք գեղի

Լուժում,

),

Հաշվել 221 13--72--82

Այդ

դեպքում:

չ--/

գնդի

օ

վերին կնաի

92-27-31

ՓՈ

Չ"

Աա

)-

Նկ.

Ը

ձ

՛

մակերնույթը նկ.

3... Մր-ր--

"|

Ք2---յ1

Լոր Չ

ՈՈթ-թ՝

ԾՆ

ր

ՅՅ

Դիդուք իցուք

|ո-շռ

Մո-շորն

խո

նրանից կտրումէ Լուծում:

Գտնել 27-81

14-27-87 նկ

326-ում

:

-

:

Քի ճավասարումն ունի 5

Հ.Հ:

ՈՅ ,.

Ն

որեէ

նլուն նյ

--

Մ

Ք

`

լ

'

այդ

տիրուլյ-

նյութի որոշակի

է:

Այս դեպքում

ձ

-

ճարա-

է

ոՏ

այս

սաճմանը զոլոյուն

ոմ,

.

ընդչանրապես, այն կախված կլինի թ կետի դիրքից, այսինքն նրա 2, Ս կոորդինատներից,ե իրենից կներկայացնի Ք կետի |(5), Ֆունկցիա։Այդ սաճմանը կանվանենքնյութի մակերնութային -խտություն ք կետում. :

մակմրնույքի-5ՈՍ

ՀԵԼ

միավորին ընկնում է

որոր տիրույ

ապա,

գլանը:

ր

ի

Ս տիրուլթում իրույքում բ բաշխվածէ ալնպետ, յնպես,

ա՞ճւ,աճմանը, Երք

ձ5»0

.

մասը: Մակերնույ» |

ԼՈՐ

ր :

որեէ

Գիտարկենջ :

գլանի մակերնույքի այն մասի մակերեար,որթ

/ 22--8Տտեսթը, ուստի

|

բերությունը կոչվում է ՃՏ տիրույթում նյութի միջին մակերնութավին խտություն: է, կծկվելով Ք(4, 3) կետի: Դիցուք այժմ ձՏ ճարքակըփոքրանում

ւ.

ի4Ե-2:|ան-Վոր:

պատկերվածէ որոնելի

--

ճարթակինընկնող նյուցի զանգվածը Ճո

ԵՈ

Օրինակ:

Փ-»

ոոը

պաճպանվում են նան այն դեպքում, երբ չնայած մեր դատողությունները քանակի ն այլնի բաշխխոսքը գնում է էլեկտրականլիցքի, ջերմության ման մասին: ք տիրույթի կամայականձտ Հարթակը:Դիցուք Դիտարկենք ւովլալ

:

ՅԵՐ:

ԷՅՈՑՀԲ

|ՄՅ մրն

Հետագայումխոսելու ենք զանգվածիբաշխման մասին, քանակուվծյուն:

|

բ»-Ք

|իու» |

«-ջ

կմո--8

---թթ---մչ

ոռ

։

8 8. Նյութի բաշխման խտությունը ն կրկնակի ինտեգրալը

ՀԲշ

Հ-Ի

720:

«0,

օ--842:

՝

Հեւտնաբար, ճավառարումով,

Ռո-թ

Թի մակերեսի լուրաքանչյուր

յրշ-շ-շ

22-22 ՀՀՀ,

Հեւտնաբար,

--

Ստացվածկիկնակի ինտեգրալը Ճաշվելու ճամար անցնենք բնեռային կոորդինատնի» կոորդինատներովինտեղրման տիրույթի եզրադիծըորոշվում է , մ իո Բննռային

`

՝

ՀՀ ՀՆ ար թ )-վ/բոր-թ-

պայմանով: Այսպիսով,(4) բանաձնիճիման վրա կունենանք. .

է,

|

ւ

Ինտքորմանափրույքը որոչվում է

ոի)

12-12

ինտեգրմանտիրույթը շրջանի մեկ քառորդն այսինքն որոշվում է «ետնյալ պայմաններով.

Փ-Վ 1/82-2--յ2

ՐՆ

ՏՈԹ-

մակերնույթը:

(2 )- Ը) -՛ւ- Զ-ա)

ր

'

դութ (ւ. -:1(թ)-Տ

ՃՏ»:

մ)

(2)

Այսպիսով, մակերնութային խատությունըտիրույթի կետի կոռրդինատների1(4չ1) ֆունկցիա է: ք սղիրույքում տրված է մի ինչ-որ Դիցուք այժմ, ընդճակառակը, մակերնութային խտությունը որպես մի որոշ 1(2)-Հ1Ր։ 3) ան: նյութի ն ինդճատֆունկցիա պաճանջվում է Հաշվել Ս տիրույթում պարունակ ՈՂ սող նյութի ընդճանուր քանակը։ Ծ տիրույթը տրոճենք ճտլ (1Հ-1, 4, ո) Հարթակներին լուրաքանչյունՐ Հարթակում վերցնենք լ կետ.՝ այդ ՓՔլ կետում մակերնութային խտությունը: դեպքում 1(5ւ)-նմինի (Թ)15-ն բարձր կարդի անվերչ փոքրերի ճչտուքյամբ մեղ լիս է ձտլ Հարթակում պարունակվողնյութի քանակը,իսկ

89. Հարթ պատկերիմակերեսի իներցիայի մոմենտը մոմենտ ունեցող ԷՂ նյութականկետի 1 ինեոցիայի ղանգվածն

ոլ

Օ կետի

ցած

նկատմամբ կոչվում է

Հեռավորությանքառակուսու

Լ

Օ

պետից ԻՈ կետի

Պլ,

արտադրյալը:

1աշ,

Դ,

Ոռ

կետեոի ճամակաոգի նյութական ինեոցիայի մո-

չամակարդի առանձին կետերի մենտը Օվնտի նկատմամբ Լ. դումարն մոմենտների

.

ունե-

Լ-ՈԲթ,

ա,

տա-

ղանդվածի ն

Ո

իներցիայի

|

ո

Ն(թ)ձՏ

Է-Ֆ ուր լրի

Է-Դ՛

մո Այժմ սաճմանենը ը նյութական Հարթ պատկերի զներցիայի

դումարըմոտավորաղես արտա ճայտում է թ տիրույթում բաշխված նյուքի ընդճանուրքանակությունը: Քայցդա տիրույթում (5) ֆունկֆիայի Համար ինտեգրալային գումար է: Ճշգրիտ արժեքը կստանանք այն սաճմանում, երբ Ճտլ-»0,

միենադը:

"

Այսպիսով",

իա |իթյտ-|

ո

Խ--1լո 5" 1(2:)45լ5 ձ5լ»0 Բլ

ք

մոմ»,

թ

(2)

այսինքը" ք. աիրույքում նուի ընդճանուր քանակը Հավատար է լատ ք տիրույթի այդ նյութի 1(5)--/(Ն )) խտության կրկնակիինտեգրալին: Օրինակ,

("

`

նյութի կետում չամեմատական

3) կետի ճեռավորությանը շրջանի այսինքն՝եթե ԱՀՖ 7-17 կենտրոնից,

Լուժում:

,

Գանել թ շառավղով կլոր թիթեղի զանգվածը, եթե թիթեղի

1(42:1) մակերնութային խտությունը լուրաքանչյուր Ք(/Խ)) է

Շուռ (22 բանաձնի ունենք

իո/ոո--| լ

23-է)::

Դիցուք ք պատկերը տեղավորված է Օյ ճարքության վրա: Սաճչ մանենքարդ պատկերիիներցիայի մուննոր կոորդինատների ոկզբնաամեոր ենթքաղրելով, մակերնութային խտությունը նկատմամբ, կետի է նուրեք Հավասար մեկի: ք տիրույթը ։տրոճենքՃՏ)յ(»Հ1, 2, ոյ դ) տարրական Հարթակների վերցնենքե, Պ կոռրդինատներ (լ. 426): Ցուրաքանչյուր ճարթակում 11 իներցիալի տարրական մոմմնտ հանցող Թ կետր: 45 ճարցակի անվանենք Ճ9լ Հարքակի զանցվածիԻ ն լք «եռավորության քառակուսու 14--87Վղշ

արսուողթյալը՝

ձլ-2(1-- 85:

:

ն

կաղմենք այդպիսիմամենտներիդումարը՝

մոմ),լ

ւ

(ո 1-1

:

-

:

որտեղ Օ ինտեգրման տիրույթը :2--12Հ-Ք2 շրջանն է: ստանում Անցնելովբնեեռային ենք

Սո,

գոորդինատների, /8

"| | չբժք

տ

՝

Վ0Հ-կ2ո-8Է.23 որթ,

)ձՏո

« մՏլ--»0 առնչությունը ճասկանումենք այն իմաստով,որ ծը ձդտում է զրոյի :

/Տլ տիրույքի տրամագի«

`

խլրենիցներկայացնում

րույթի 23

7)--Ւ)2

է

ըստ

թ տիչ

«Հաաա» ՛

-

եկ.

ֆունկցիայի Համար ինտեգրալային գումար:

ինեոցիայիմոմենտըսաճմանենքորպնս այդ ինտեգպատկերի Փալային գումարի պաճման, երբ յուրաքանչյուր ՃՏլ տարրական ճարԹակիտրամագիծըձգտում է զրոյի. Ծ

Խ-. ը

,

Փոռ

ո

Հ(ՅՎՈ)եՏր

ճՏլ»0ր2լ

||

Բայցայդ գումարիռաճմանը ք

ե ինռեգրալ 14--Դիֆերենցիալ

Հաշիվներ

'

7)մ247 վրկնակի ինտեգրալն է,

մուժում,

Հետնաբար,ԾԹ պատկելի իներցիայիմուննտր կոռրդինատներիսկղզբնակնախի նկատմամբ ճավասար է

՝

Ի»)

Իյա,

տկերի Հետ ճարթժ պատվերի Ս-ն Ծ-ն տվյալ Հար,

ճետ

ալ

ւ

ե.-|

ՕԼ.

(3)

:

ՀաշվելՔ

նկատմամբ:

ու

Ժ

ու

մ:

շառավղով Ծ չրջանի իներցիայի մոմենտը Օ

(1) (1

Ճ

կենտրոնի,

ԽՐ,7) Որեէ

՛

Մաք

ր

27222

|

.-

Բոգք յ

Ն

մա

,

ՇՕՏ

Փի

-|/6

(1 31--0

թ

ՏՈ

Փ--7

ԸՕՏ

2)

0Գ:աժ): Ճ--0,

ուղիղի նկատ-

--|/ոթ-ՀՀՏԼՈՏ|ա

--Ձ

Տղ

Փ Ը0Տ

:

դժերով սաճմանափակվաժ եքե

//5 ը

Փ):մոմյ-)»"եո-

մ:մ»7»--

Դ-ՇՕՏ2 շ|ըա:

`

'

ք

Հետնաբար,

ՀՀՆջտլո՛Փ--2եյտլՈՓԸ0ՏՓ-Վ-,ԸՕՏ2Փ (4)

Խ-)|ոժ:7

այստեղ

ը

ճար նյուքական պատկերի իներցիայի մոմենտը Օ7 առանցքի նկատմամբ, լուրաքանչլուր կետում մակերնութային խտությունը Ճավասար է Մ-ի (նկ. 328):

Փ-

ճավասարէ

,

փոքրերի ճշտությամբ ճավասոր ն Պ(Ճ. ՊՍՃՏ,, ուստի ճար պատկերի իներ-

Հաշվել ՆՀ-ՀԼ--:,

Տլո

Ոտ տ

՛

7.81

բ

Օրինակ

|

մակերեսի իներցիայի մուենոն ՕԼ յք որումքի՝ տատանման, արտաճայտվումէ այսպես.

ԹԻ--շ,

նկատմամբ կլինի տկզբնակետի ցիան մոմենտըկոորղինատների

ք

ՓՀ--0:

այդ Հեռավորությունն ուղիղից

կետի

՛

կարգի անվերչ

Ե-|իա

60Տ

անկյունը

.

Դիտողություն: եթն Ղ մակերնութային չէ մեկի, այլ ճանդիսանում տությունը ճավաստար է Ճ-ի ն 7-ի մի որոշ ֆունկցիա, այսինքն՝ Պ«ՀՎԸԽ3), ապա ՃՏ5լ Հարթակիզանգվածըբարձր է

Փ-7

`

։

ՍԻՈՈՒԹ

Ուստի

-ջ

Ախար կո

:

Ալս ինտեգրալը ճաշվելու Համար անցնենք 0, ք բնեռային կոորդինատներին:Բնեռային կոորդինատներովշրջանադծի Ճավասարուքն է՝ ք--Բ'

Ն)

ՏՈ

1-ի

բ անաձնիի ունենք.Ք

յ

:

անցնում

ն նն որպես ն «կգբնակեա), ցքի դրակա ուղղությամբ կազմված

առան

.

ԸԸստ

ով|6:233ար ՀՀԻ

Օճ

ն

ք պատկերի ինեոինտեգրալներըկոչվում նն, Համապատասխանաբար, ն մոմենտներ Օչ Օ7 ցիայի առանցքների նկատմամբ: Օրինակ

,

ուղիղով նշանակենքՓ-ով (նկ. 429): ՕԼ ուղիղի նորմալ ճավասարումնէ

.

ք

«--շ| 5(1-5)45--.,

2|

փետով (Օ-ն ընդունումենք

ՀՕ

ա

,-| |«տայ

-ա-|

32247

-

-

ը

լ

ո

-

իներցիայի էլիպսը: Ը Սաչմանենը ք Հ արք ոնք պատկերըմակերեսի իներցիայիմոմենտը որեէ ՕԼ առանցքի նկատմամբ,որն

Համրնկն ն է է: ճամընկնողտիրույթն

"ժայ,

Լ1Մ

աԼ

յ

որտեղեղ

Բջ

»-| յ

՛

պատկերի

առանցքի նկատմամբ, ե-||»մ: քը

մ7

իներցիայի իներցիայի

մոմենտն

մոմենտն

է 7

է `

պ

Եջ) խոմ):

իսկ առանցքի նկատմամբ,

()) թձոչի Հ( իո իյ

Հավասարության Վերջին

ք

օ

անդամներըբաժանելով1-ի վրա, կստանանք

բոլոր

բ) չԵ(Վ"

.

,

Շ0Տ9

-- Մ»

ՏյոՓ

Վ/«052 `

ՑՈՓ յ 1 '

,

7,1

Ի»Լ.

-

շ

6)

,

ա վ վերցնենք ճ(Ճ, Մ) կետն այնպես,որ Օճ--ար ւղիղի վրա

ՕԼո

Հ

-

Ն

լ

այսինքն ուղղություններին, ստտարբեր

լ

ւ

"

/

տղբ'

ն

մեխանիկայում:

'

է,

նկատենք, որ իներցիայի էլիպսի առանցքներիերկարություններըն Հարթության վրա նրա դիրքը կախված են տվյալ ճարք պատկերիձնից: Ճետր կոորդինատներիսկզբնակետիցմինչն էլիոլսի որնէ Ճ կետի Քանի ռավորությունը ճավասարէ 1յ/1, որտեղ 1-ն պատկերիիներցիայի

որ

«059,

Ս

(5) ՀավասարությանՀիման վրա

կապված

ՎԼ.

Ճ ն 1

Տլոգ,

1/7լ

մեծություններըմիմյանց

ճետ

21271 Ր 1221ըրՃ---2

(6)

վոորդինատների

ջ , (6) տսղը առնչությամբ: Այսպիսով, ՃՌԽՎ) կետերի նրկրաչափական է: էլի երկրորդկարգի կորն է: Ապացուցենք,որ այդ կորը որն ապացուցելէ ռուս իրավացի է Հետելալ անճավասարությունը,

Վ, մա. Բունյակովսկին մարքեմատիկուս

ձերը կոմպլեքս են, իսկ

'

ապացուցելու Համար դիտարկենքՀետնյալ Բունլակովոկու անճավասարությունն

(որ -||| ք

կամ

որտեղ խ-ն

7-Կ

երբ 1(Խ որ

էւ

9-0,

իտմջ»0,

ապա 3)-Է«օոՏԷ--Խ (0, 3)/Փօ(Խ

աաա

"ք

Փա էլ Հենց

)յ Ր

»

|ի.

(7, 3)մամ7--21 ք

7օ(,

Ս

ւջ 3)մամ7---

Ր

9 «1, (

Դա

ք

ք

է: Բունլակովսկու աննավասառությունն

ս

-ոա

Թ-ա

Ո աա

շտապեն մ է մաքրեմ / Բունլակովսկու ուշագրավ անճավասարությունը շագր րությունը աքեմատի մշտապես կիրառվու կայի տարբեր բնադավառներում: Այդ անճավասարությունը չատ դասագրքերում ոչ ճիշտ անվանում են Շվարցի անճավասարություն: այն (ուրիշ կարնոր Բունյակովսակին ճրատարակել է 1859 թ., իսկ Շվարցը՝ միայն 1825 թ., Հե) անձչավասարությունների այսինքն 16 տարիուշ: -

|

առորպես ) ի ֆունկցիա: հրկրորդ դիտարկենք արտաճայտությունը Զախակողմյան ճետկաբարչ նրա արմատտիճանիբազմանդամ է, որը ոչ մի դեպքումզրո չի դառնում. -

տ

3 )4:435-Ս:

ք

ւագ

Մերդեպքում

նշանը:

նշանի տակ եղած փակագծերը,կստանանք Այսպիսով, բացելով ինտեգրալի ՝

ռ

|թուր: (( թադՀ|/րոս|

չավասարության նշանը Հնարավոր է միայն այն դեքում, եթե ենքադրենք, 3): 9-Վ(Խ այսինքն՝ եթե 1(, միշտ տեղի կունենա

ք

`

Հաստատուն

կլինի այն դեպքում, երբ քառակուսային բազմանդամի գոր»

-

ակնճայոանՀավասարությունը:

անք9-90.

դա

կազմված դիսկրիմինանտըբացասական է, այսինքն՝ ն ՓՏակիցներից ,

Ք

է ՕՃ

վառուցելով էլիառանցքի նկատմամբ, ապա, Թ պատկերիիներցիայի մոմենտը տը, կարելի է Ճեշտությամբ Պաշվել ակզբնակետովանցնոլ որնէ ուղիղի նկատմամբ: Մասնավորապես, ճեշտ է նկատել, որ պատկերիիներցիայի մոմենտը կլինի ամենափոքրը՝ իներցիայի էլիղլտի մեծ առանցքի նկատմամբ ն ամենամեծը՝ այդ էլիլսի փոքր առանցքի նկատմամբ: մոմենտն

են

-

շ

Խմյյ--15-20:

Այսպիսով, (6) կորի դիսկրիմինանտոր ն կորն «Ճետկաբար, այդ է ն, դրակա Էլիս է (նկ. 330): Այդ էլիղսը կոչվում է էլի լս: իներցիայի ի ներցիայի Փլիպսիղաղափարը էական նշանակություն

/

ր Ա են 1-ի տարբեր արժեքներինՀամապատասխանում ՄԻ լԱզեՀարո ունի ձՃկետերիերկրաչափակա տարբերՃ կետեր: ֆտնենք առանցքի

Օլ.

թ:

կոմ

ք

-

810.

Հարթ պատկերի մակերեսը ծանրության կենտրոնի

Համապատասխան բանաձներըկունենան Հետեյալ տնսքը,

ապա

հոորդինաւները

|իա»

մ7 | ինեջ» աԺ ձ»

Ող զանգվածներ տշ,.... գլխի ՏՏ-ում (1 ճատ.) նշվեց, որ լ, թղ լ, 9շ, կետերի ճամակարդի նյութական ծանրության ունեցող կենտրոնիկոորդինատներըորոշվում են Հետելալ բանաձներով.

յյ

Մո»

ճշ մ7

ը

,

լիճ

ն:Ֆ)ժ» ձ7 ,

Ա,

'

7)ճ: ն

ր

՞

`

Ցու

ք

Հոկ

Ճարթ պատկերի ծանրության կենտրոնի կոորդիՌՏլ տարրականճարքակնասոները:Այդ պատկերը տրոճենք շատ մանը ների: Եթեընդունենք, որ մակերնութային խտությունը Հավասար է մեվի, ապա Հարքակի զանգվածըՀավասար կլինի նրա մակերեսին, Եթե

Ա.յժ:|տրոշենք ք

մուռավորապես ընդունենք, ՃՏլ տարրական ճարթակիզանգվածը կենտրոնացվածէ նրա Թ.(էւ, Պ) կետում, ապա Ծ սլատկերըկարելի չ որ

|

արիր ի ր.

ըստ

բանա.

իի

կան

. աա »ի ոթաա ՄԲան ը

պատվեր

այդ

հերը մոտավորապես

որոշվում

անրության

են

ճետնյալ

ո

(ոոլողինատ

ճավասարություններով,

չն

Է.րՏ

ՖճՏ:

ի ի

Ցո,

լ

))ճ» զ |իճո դերի զանգվածը:

Օրինակ:

»-

||

,------Կ

|ա

ք

ղն,

7),

անու մասի ծանրության կենտրոնիկոոր-

յ քառորդ

|

մակերնութային խտությունըճավասար

կնտերում

բոլոր

որ

յ

մ

|

,

ե"

մո

ենք.

Ոճ

'

.

|

արատ ԻՐ

--

--

բն

ի

ա:

|

ձճջ

|մ»

Ե

(2)

Շբ

`

--(8-»""

ի

«շ

|

բ

մ»

Ց»

Յո"

-շոճԵ

Այս բանաձները, որոնք արտածվեցինայն ճարթ պատկերիճամար, որի մակերնութայինխտությունը ճավասար է 1-ի, ակնճայտ է, մնում են

էլիպսի

ըստ (2) բանաձներիստանում

ը

ուժի մեջ նան ցանկացած, բոլոր կետերում Ն ճաստատուն ունեցողայլ պատվերիճամար: հսկ եթե մակերնութայինխտությունը փոփոխականէ

Հյ

Իթ

աաա մ»

|

-ս

,

:

Հուծում:

:

ո.

"ո. ո

ԽԻ

ՖճՏ:

րա

Որոշել

պատկերի ստատիկ

է դիտարկվող պատինտեդրալն արտաճայրտում

գինատները,ենթադրելով,

Այն սաճշմանում, երբ ՃՏլ-»0 կոտորակներիճամարիչներումն ճայԿուսրարներոս եղած ինտեգրալային դումարները դառնում են կրկնակի ն Ճճարքպատկերի ծանրության կենտրոնի կոռրդինատնեինտեդրալրներ րը Ճաշվելու ճամար ատանում ենք Ճետհյալ ճշդրիսոբանաձները.

|իագ

|

Հարի կոչվում արտաճայտուցյունները Օչ "մոմենտներՕն առանցքներինկատմամբ: ք

են

չ

ՈւդՏ

ձո

ք

-

ո

:

ՀՆ

կննտրո

հ-|ինո7)7

ր

վփոտությունն

ե 7 1-2

:

| |

Ը

Ց

Թ---ՀՎ.

. վ

խւ

`

բն

4Ե յր

Տ 11. Եռակիինտեգրալ

Տ

.

նափակված է Տ

ներով. 1)

կոչվումէ Եռակի ըստ Այսպիսով, ինտեգրալ: ո

մոռ

|| տյա սիմվոլով

ամեն

Հատում (միուղիղՏ մավերնույթը

Օյ ճարթության ամբողջ ւք 7 տիրույթը մեջւպրոյեկտվում (երկչաի) տիրույթի, կանոնավոր ն

3) տիրույթի յուրաքանչյուր Ժասը,որը նրանիցանջաւովում է կոորդինատային ճարթություններից (Օ5), Օ52, Օշ) որեէ մեկին զուզաճեռ Հարքությամբ, օժոված է 1) հ Հ) ճատկություններո նույնարես ՆշվածՀատկություներով օժտված Մ տիրույթը կանվանենքկանո-

Ո)

նշանակվում

սաշմա-

2)

տիրույթ: նավոր եռաչափ

տեսքի իըբնտեդգրալային գումարը Ճղ մանը տիրույթների թիվն ամենամեծ մանափակորենավելացնենք այնպես, որ լի տրամագիծը է, ապա եթ, Ծ այդ դեւղձղտի ղրբոյի՞: (Ր, 2) ֆունկցիան անընդչատ քում գոյություն կունենա (1) տեսքի ինտեդրալային գումարի սաչմանը, որտեղ ինտեդրալային գումարների սաճմանը Հասկացվում է նույն իմաստով, ինչսլես արդ նշվել է կրկնակիինտեգրալը սաճմանելիս""։Ալդ սաճմանը, որը կախված չէ ոչ Մ տիրույթը տրոճելու եղանակից, ոչ էլ Քյ կետերի րնտրությունից,

որը

ճատկություն-

Տ եզրին Մ տիրույթի ցանկացած ներքին (այսինքն չղլատկանող)

զուղաշեռ կետով Օշ առանցքին

անսաո-

ն

օժտված է Հենյալ փակմակերնույթով,

է երկու կետում,

:

ԱԹ/)ձմ

Եռակի ինտեգրալիհաշվումը

որ Մ տարածական ենթադրենք, տիրույքը, (եռաչափ)

տիրույթ, որը սաշմաՄ սռիրույթում ն նրա եզնափակված է Տ փակ մակերնույթով: Դիցուք է որնէ րագծի վրա որոշված ԷՐ ., 7, 2) անընդճատ ֆունկցիա, որտեղ Ճ-ը, Ֆ-ը, 2-ը տիրույթի կետի ուղղանկլուն կոորդինատներն են։-Պարղության ճամարայն դեպքում,եթե 11, 7:2)220 այդ ֆունկցիան կարող ենք Համարել Մ տիրույթում մի որոշ նյութի բաշխման խտություն: Ճել էԱ տիրույթը կամայական տրո՝ճենք տիրույթների,Ճճղ ախժվոլով նշանակելով ոչմիայն այդ տիրուլթը, այլն նրա ծավալը: Յուրակեսո լ ((5ւ)-ով քանչյուրՃՆլ տիրույթում ընտրենքկամայական Ել նշանակենք | ֆունկցիայի արժեքն այդ կետում: Կազմենք

Դիցուքտարածության մեջ տրված է որեէ

12.

:

կանոնավոր եռաչափ տիրույթներ են, օրինակ, էլիպաոիդը,ուղղան-

կյունզուգաճեռանիստը, տետրահդրըն

րույքի օրինակէ տրված նկ. 392-ում: կելու ենք

:

այլն:

Անկանոն հոաչասի տի-

ներկա պարագրաֆում դիտար-

միայն կանոնավոր: տիրույթներ:

ե

սաճմանման,

||լթյզս ՀԱՐ)ա--|

ձսլ»0

կամ

-| իա ||իտյա Մ

7,

7)մ» մ»

(2)

մ7:

Մ

Եթե 1(5, Ֆ, 2)-ը Համարենք Մ տիրույթում նյուքի բաշխման ծավալային խտություն, ապա (2) ինտեգրալը կտա Մ ծավալումպարփակված ամբողջ նյութի զանգվածը:

Նկ.

(է

՛

"

ճաղտիրույքի տրամագիծ կոչվում

,

է այդ

տիրույքի եզրագծի

կնտերի

առա-

վելագույն Հեռավորությունը, ամ փակ (ներառյալ անընդծատ ցանկացած ֆունկցիայի ճատիրույթում սաճմանը) մար ինտեգրալային գումարներիսաճմանի դոյության մասին (այսինքն՝ եռակի ինտեզբալի գոյության մասին) այս թեորեմը ընդունում ենք ապացուցման:

տիրու ույթը

նե ըքնից սաՀման

ԻՔ փոխ "

տաարնա ր Ժանի

փասարումնէ՝ շՀ-յ(4, 1), բակ ավիա տիրույթը ողինը՝ շ-- «(Ն )) ( ն Մ Մ՛ տիրույթում որոշված ն անբնդձատ(Մ, 3,2) հրեք փոայա ների ֆունկցիայի՝ Մ ըստ Լ եռա տիրույթի )

-

Դիցուք՛

.

1.344):

'

'

պատիկ

ին-

որ Օ7 Հարթության ենքադրենք, ճասկացությունը: տիրույթի պրոյեկցիան՝ 0 տիրույթը սաւմանափակված է

ոեգրալի

Տ-Վ.(Ժ,

:

-Փ(Ց, ք

այն-

Այս ճատկության ապացուցումը կատարվում է միանգամայն Պես, ինչպես ն կրկնապատիկինտեղրալի Համապատասխան Հատկության ապացուցումը: Ուստիանճրաժեշտություն չկա այն նորից Վրկնի-

3-Ե

«աո

գծերով: Այս դեպքում (4,3:

մեջՄ

բու

2) ֆունկցիայի եռապատիկ ինտեզրալնըստ

տիրույթի սաշճմանվում է այսպես.

լ,»

ե զ.)

| .

մին

1,

| )|

:

յծ

՛

խմո |

«ԽԴ

(7)

ԱՅՅ)

նկատենք, որ ըստ 2-ի ինտեգրման ն ձնավոր փակագծերում սաճատացվում է չճ-ի ն 7-ի ֆունկցիա: մանների տեղադրման արդյունքում Ճճաշվվումէ այդ ֆունկցիայի կրկնակի ինտեդգրալնրստ թ Այնուճետե, տարկվել ինչպես այդ դիտարկվել վերը: տիրույթի, փնչպես էէ վերը: ,

,

բերենքինտեղրալի ճաշվման օրինակ:

0րինակ1։ ֆունկցիայի եռապատիկինտեզրալն ըստ Հաշվել 1(Խ:7 2) ՀԽ Մ տիրույթի, որը սաշմանափակված է ճետնյալ ճարթքություններով. Ճ--0, :--0,

Ո-7-0,

է),

---Օ 7--0,

այն

Ւ2-ն :47--2-1 Մ

Լուծում:

Այդ տիրույթը կանոնավոր է. այն վերնեիցն ներքնից սաշմանափակված ու է 7---0 Հարթության մեջ պրոյեկտվում է Ծ ճարթություններովն Օյ շ--1-ՊՃ--Ս կանոնավորՀարթ տիրույքի, որը Ճ---0, ոպիղներով սաճմանափակված Հ-0, Ֆ--1-Ճ եռանկյունի է (նկ. 334): Ուսի 1. հոապատիկինտեզրալը ճաշվվում է Հետնյալ կերոլ. Լ-»-»

Ճ72մ2

«ց

«բ

ԽխԴԳ-ՆԽ,Դ-«.Դնո

Բ»

(1

| «վս| բ

|

բ

»-ջ

-վ բբ |-շ

| ո)չմշ '

|մ)

լ

աազությու

ինտեգրալի

"վ

|

մ»

ՏՎ

լ, |

մ«-|-աԱ-9:Հ-շք'

Այժմ քննարկենք եռապատիկինտեդրալի մի քանի ճատկություն-

ները:

1: Եթեկոորդինատային որեէ Հատկություն ճաբթություններից Մ Մլն մեկին զուգաբճեռ ճարթությամբ տիբուլթը բաժանենք եբկու՝ Մ Մշ տիբույթի, ապա ըստ ճավասարբ տիրույթի եռապատիկ ինտեգոալը ն է ըստ Մլ Մշ տիոույթնեոի ինտեգբալներբի գումառշին: եռապատիկ ՝

'

(ւ

ռապատիկ

զնաչատման

Եթե ո-ը

Քեռրեժը):

ն

նկ.

մասին

ՈԼ-ը

Մ

1(Ճ. ), շ) տիբույթում ն

ֆունկցիայի,

Ճամապատասխանաբաճ, ամենափոքբ աշժեները Են, ունեն ապա տեղի ամենամեծ

ՀՄ ՈՄՀՀԽ

ոբտեղ Մ-նտվյալ տիբույթի է, իսկ ծավալն անճավասառություննեոը, 17-ն՝ 106), շ) ֆունկցիայի Եռակիինտեգռալը ըստ Մ

տիոույթի:

«0» 5

Ի-|յ|| 10. 0, ք)

նախ դնաճատենք

7,2),

|զօ

2Հ1Լ--)

՛

ո

|

ե

վնտեղրալիներքին ինտեգրալը. ծոասպատիկ

|

Լ-թ»

:

Ապ ացուցում,

բ|» իայ | «Կ:|,

ն

ն

տիրույթի կրկնապատիկինտեդրալում տեղափոխելովսաչճմանները, կստանանք.

«ւջ

|մչ. :

Բատ Ծ

թյուննեոին զուգաճեռ հաբթություններով Մ տիրույթըցանկացած վեռջավոո թվով Մյ, Մյ տիբույթնեբիտբոնման դեպքում ։ ունի տեղի

՛

ո-|| | ւր

նք:Կոռոդինատային ճառթու-

Հետեա

Հ.

3)

|

է,

10,

7,

.

ՀԽ

2)մ-

3)

2,

|

8147-ի

1-7(8.

ՖԸԽ 5)

3)

|

մ7--/Ղշ

մեի

--

ԱԼ

3): (5

ն ծվ այսպես, ներքինինտեգրալը չի գերազանցումԽԼՓ(Ն, 1)-ՀՐ.,

1)լ

արտաճայտությանը: Ուստի, կրկնակի մասին Տ 1-ի թեոփնտեգրալների

է

Բոմի ճամաձայնկստանանջ(Ծ-ով նշանակված: Մ տիրույթի պրոլեկցիան Օյ ) 5 Հարքությա ն. |

Էբբի

"շ5 ) (2.

| ո--| 5վյ(.))

-

մբա): :

7,

2)մ7

|մ.5--

-ո|իչն

|ոնե ը

9-22

7-:(Խ

7)|մ9»-

14»

ք

`

Հճավասարէ ֆ(չ, 7)- 1» 7) Բայց վերջին կրկնապատիկ ինտեգրալը ն, Հետնաբար, Հավասար է այն ֆունկցիայի կրկնակի ինտեգրալին տիրույթի ծավալին, որը պարփակված է 7--Հ(Խ 3) ն 2--Ն(Խ 5) մ ակերնույքնոր թների այսինքն՝Մ տիրույթի ծավալին: Ուստի

եո,

2) ֆունկցիան անընդատ է Մ տիրույթում,այդ պատճառովէլ ՃՈ-ի ամենամեծ տրամագիծը րոյի ձգտելիս այդ գումարի սաճմանըգոյություն ունի ն ճավասարէ 1, 1, 2) ֆունկցիայի մռակի ինտեգրալինըստ Մ տիրույթի: Այսպիսով,(4) ճավասարության մեջ անցնելով սաճմանի, երբ ԱՅՈՃՄ--0, կստանանք. 1, թադրության

`

միջն

ը/«ՀՈՆԾԽ

:

ձնով ապացուցվում է, թյունն ապացուցված է: նման

Հատկություն

Հատկու-

ԱՄ: Այսպիսով, Չ-րդ

ԼԼ

որ

ռ "

Փ.0) «6.3) ԽՇ)Լ1(.

ասաախեւտը

իճ.

Հ

ա

է Դ ւշ

տիբույթի

7-Փյ(է), 7Հ--Փչ(է),

(2, ո իճ. )/ժ" 2)մս-| Աա: Մ,

(5.

իք

2)մ7

ելայ

անոր

`

ր"

Է

Է(».,Մ, 2)--1, ապա Մաիրույթի

ձւշ՞ի

ՆՀ

Մ

րատ

:

Այս ճավասարության աջ մասի յուրաքանչյուր ճավասարությունը: մարելին ձնափոխենքըստ (2) բանաձնի. որտեղ թլ-ն

ն

Խ-Վ(Ել)ձ4տՎ1(թ,)ձՄչԻ..1(Քո)4Ն,,

ՃՄլ տիրույթի մի

որոշ

Այս ճավասարության աջ մասն

գու-

(4)

կետն է:

զումար ինտեդրալային

3)

է։ Ըս

են-

նչ: յ

Օրինակ

::

ճշ,

(5)

Հաշվել ջ

ԵԼ.

ԾՈ

Օյ

ժավալը:

աջ

|

`

հն

ֆունկցիան՝ եռակիփնտեդրալն տիրույթի արտաճայտում

տ

|

ճեր

(Խշ)ծշ

ր

գծերը

"-||ա45

որր

ՊՀ-ի

«ՅՅ,

ների.

ՄՀՀ

|

ձնով, ինչպես արվեց կրկնապատիկ ինտեգրալի դեպքում, կարելիէ կազմել եռապատիկ ֆնտեգրալրատ փոփՔոխականների ինտեգրմանայլ կարգով ն ուրիշ սաշմաններով, եթէ, փճարկե, այդ թույլ է տալիս Մ տիրույթի ձեր, Մարմնի ծավալի Հաշվումը եռապատիկ ինտ հգր ալի մի ջոցուխ Երե ենթաինտեդրալային

|

ՃՄր: ձՄյ ՃՄշ, ինչպեսվերքում, 17-ով նշանակենքնան1րՆ.), ֆունկցիայի էռա2) Մ պատիվինտեդրալնրատ տիրույթի, իակ Լաո այդ ֆունկցիայի հոապատիկինտեգրալն ըստ ձա տիրույթի: Այդ դեպքում Հատկություն 1-ի Հետնանքի գրել

5)

սաճմանափակում Հարթության» տիրույթի ք տիրույթը պրոյեկցիա Հանդիսացող նման Դիտողություն:

Ապացուցում, կոռրդինատային Հարթություններին ղզուդաճեռ ՀարթություններովՄ տիրույքը տրոճենք ը Հատ կանոնավոր տիրույթ-

"`

:6:

|

2)մմ-»

),

վրա Մ

:

ջ,

)

2)0"Վ

) 37

(2,

Թեորեմնապացուցված է: աշապաը, ոտեզ 2Հ.յԸԽՆ) ն 2Հվ(Խ 1) Մ կանոնավոր ներքեից տիրույքը ն վերնեից սաշմանափակողժմակերնույթների ճավասարումներնեն:

Չ

ՆՆ

Բալին, այսինքն

Ր

"

,

3)

//11(

կամ վերջնականապես փոխելով աջ ն ձախ մատերիարտաճայտությունների տեղերը՝

-

պարի Այս ճաստվկության ապացուցումը կատարվում է այնպես, Համանման Տ ճամար (տես կրկնապատիկ ճատկությանը, խնտեգրալի 7" Հատկություն 3, բանաձն (4))։ Այժմ կարող ենք ասլացուցել եռակի ինտեգրալիճաշվման մասին թեորեմը: Թեորեմ։ 1(օ»շ) ֆունկցիայիեռակիինտեգոալնըստ նոնավոր ճավասաբէ ըստ նույն տիրույթիեռապատիկ ինտեգ-

|

Տ

:

(թեորեմմիջինի

ԱՐ

լՄ

.

Աեջ )» 2) մասինխ ինտեգբալնըստ Մ տիբույբի ճաանընղճատ ֆունկցիայիհռապատիկ վասաոէ այղ տիբույթի Մ ծավալին Մ տիրույթի մի ոբոչ 2 կետում ֆունկցիայիաոժեքիաբտաղբոյալին, այսինքն

ՀԾ

Հ ծավալը: լիզսոխդի վկիպառիդի 1ուժում: էլիպառիդը(նկ 335) ներքեից :

է 2Հ---Ը սաշմանափակված

իսկ վերեից՝ Վերնույթով, րնբնույթով, ,

|

---ջ

ԷՋ

ԷԼ-շչ--քշ-

Վ/ւ-Յ-5

Թ

ժա-

մա-

Այս էլեպաոիդի պրոյեկցիոն Օդ արթությած մեջ (5 տիրույթ)ճանդիսանում է

թյան մեջ թ կետի դիրքը որոշվում է 0, ք, 2 երեր թվով, որտեղ 8-ն ն ք-ն Օյ Հարթության մեջ թ կետի պրոյեկցիայի բննռային կոորդինատներն են ն չ-ը ք կետի ապլիկատն է, այսինքն՝ կետի Հեռավորությունն է Օշ վերցրած ւլլլուս նշանով,եթե կետն ինկած է ճարթությունից՝ էրե ընկած է վերն, մինուս նչահով, Հարությունից Օր

ւ

լ ՅՅ ..շշ Հ-շջ Ե

Հետնաբար,. ծավալի

էլիպսը: լիպ

կատանանք.

ինտեգրալի ճաշվմանը,

-թյ/ւ-5-

այ

--բ--ր15-Ի

Շ

|

:

հերքն

եԵ

Յ-

| յՈ-ր-Ֆ -ել/ւ-5ՒՇ

.

--8

Համարվում է Հաստատուն:

Ս

փոփոխվումէ----՛

'

-ից

բոթ

Կ-շ|/ :

յ

Լ-

մինչն2"

-

:

Լ

ւմ

Կտ

Մ-5582

Տօ

|

«-նոա-

|ժօ.

դը

Մ-Հ4ո8ԵՇ,3: ապա

գնգի ծավալը՝ կատանանը

/-Հ454833.

13.

Ի

եռակի ինտեգրալում փոխարինումը Փոփոխականների

1.եռակի

ինտեգրալը

յ '

Նղ.

ԵԼ.

Այս դեպքում տվյալ Ս տարածականտիրույքը տարրականծավալ2-2 կոորդինատայինմակերնույթների ենք տրոճում 0Հ-ցլ, ք--ը, ներով (Օ7-ով անցնող շրջանային գլանկիսաճարքթություններ, ներ, որոնց առանցքըճամընկնումէ Օ2-ի ճետ, Օշ առանցքինուղղաճայաց Հարթություններ),Տարրականծավալ կլինի կորագիծ «արիզման», (որը պատկերված է նկ. 332-ում): Բարձր կարգի անվերջ փոքրերի Ճշտությամբ այդ պրիլմայի Հիմքի մակերհարՀավասար է 0ՕՃՅՃը,բարձրու"թյունը Ճավասարէ Ճշ-ի (գրության պարզության Համար Ս ), Լ ինդնքսներըբաց ենք թողնում), ձետնարար,ՃմշՀքԻՑՃքձշ։ Ուստի ԷԻ(Ց Ք, 2) ֆունկցիայի եռակի ինտեգրալն ըստ Մ տիրույթի ունի «ետնյալ '

ՏԸ.

-ճ

ւ

ծ

.-

ռաճմանները

ւ 4:

ՀՀ

.

ուտի 1-ն

տեղադրելով նոր

ել

ի

Դ».

,/

,-

Կոհսքը.

'

Հ--Ե--ս

Ց

ինտեգրալի մեջ

2/2

եվ այսպես,

բով

տե

ւժ:

մինչն դ/ւ-5, -եվ/1--Տ-ա Տ:

/ՏԸ-թ"/

| (-Ճիե | «Չան րի

.

-----ջ

-ջ

բնր»)

՛

կատարենք ետնյալ

լր ւ-ե-Ցամ-ե/1-55 ԴՐ

ւ,

լատանանը Ա

|մո.

:

փոփոխականըփոխվում է ո

|

|մո--

:

ՅՐ

`

32 մ 7

ն

(եկ. 336):

«2

ներքին ինտեգրալը ճաշվելիս չ-ը

զադրությունը-

եռապատիկ

Ճանգեցնելով

Հաշվոմը `

գլանայինկոորդինատնե-

դեպքում չոոյրածուկոորդինատների Այսպես կոչված դլանային

լ

աե ամ

0 թ, (0,

շ)»

ճջ

մ7։

(1

հնտեգրմանսաճմաններըորոշվում են Մ տիրույժի ձնով: եթե սորված է Ր, 7, 2) ֆունկցիայի եուստի խինտեգրալը ուղղանկվուն կոորդինատներով,ապա այն Ճեշտ է ձնափոխել գլանային կոռր-

եռակիինտեդրալի: դինատներով հրոք,նկատելով, որ 3--ռ

ԸՕՏ

0, --ք

5Լլո 0,

7--շ,

կստանանք,

|7"|ի

-

ժ--|||Բ6, 2)թ

2)մ: ճ7

Մ,

ք,

մ0 մք մա

որտեղ

7թ-ԵԼ(Ց,ը, 2) կենտրոն ունեցող ոկղբնակետում կոորդինատների

(թ. Որոշել

0բինակ:

Ք8-Թ

6,

է, թ ՏՈ

«օ5

Ք շառավ-

(Ը. 7, 2) յուրաքանչյուր ի զանզվածը, եթե նրա նյութի Ջ Խտությունը կիսագնդի այսինքն՝ կետումՀամեմատական է այդ կետի՝ Հիմքից ունեցած Հեռավորությանը,

զով

Է--նշ/

կիսագնդիվերին մասի

Լուծում:

:

`

Ս"Թ-ԱՇԱ՝83-2-) 2-57

շ--Մ.2..-02տեսքը:

ունի կոորդինատներով դլանային Հավասարումը

ներ) կոորդինատայինմակերնույթներով տրոչենք ՃՄ տարրական մասանրի:Բարձրկարգի անվերջփոքրերի ճշտությամբ ՃԿ տարրականծավալը կարելի է ճամարել ձր, 1ՃՓ, 1ՏլՈՓ ին երկարություն ունեցող

Հետնաբար, 2»

||(աշ լ

ՒԼ-շոլ

-|

ՈՒ

`

ձն

2»Ժ

մշ

դ

ւ (5273

-

Ս

ն

2.

ճ

ճ--| Մ

ժ

բ

,

շ

Ր

|

գ

մչ

էշ

մ, |

մշ

ռ

|մ0-»

ղուգաճեղանիստ, Այս կողերով

/

ո

ր

Բաք:

086--Բ3Ք ճշ շ

40--

Ճն--12

Հ(

Ւ(6, ք, Փ)

ր

թռ

Չ

ե

վմ0-:--2

թ

--ՁԶո-4

Էշո4 ,

սֆերիկ կոորդինատներով: եռակի ինտեգրալը որոշվում է սֆերիկ մեջ կոսրդինատներով տարածության թ կետիդիրքը է կոորդինատ0, Է, զ երեք թվով, որտեղ 1-ը կետի Հեռավորությունն Փ-ն չառավիղ-վեկտորը, ների սկզբնակետից, այսպես կոչված կնետի 0-ն է, Օյ շառավիղ վեկտորի ն Օշ առանցքի միջն եղած անկյունն պրոյեկցիային Օճ կազմած անՀարթության վրա շառավիղ-վեկտորի ժակյունն է, Հաշվաժ այղ առանցքից՝ դրական ուղղությամբ (այսինքն (նկ. 338): մացույցի սլաքի Հակառակ) Տարածությանցանկացած կետի Համար ունենք

:

ՕՀՓՀո րՒ

Մ

տիրույթի ունի Ճետնյալ

Փ)2

գրատա

ս

5լո

Փ ձո 89

մթ

|

ինտեգրմանսաչշմանները որոշվում են Մ տիրույթի ձնով: Նկ. Ճեշտ է ճաստատել դեկարտյան կոորդինատեիերի արտաճայտուչ 338-ից թյունները սֆերիկի միջոցով. Ճ--ք

Տղ

ՏՀՀՐ

Տո

Բ»-ք

ջ

Փ Տո

ԸՕՏ

0,

0,

Փ

Ռւատվհոակի ինտեգրալը դեկարտյանկոորդինատներիցսֆերիկի ձեվափոխելուբանաձեն ունի Հետեյալ տեսքը.

`

Սիա ։

ԸՈՀ-0ՀՆ Հ

Տրվաժ Մ տիրույթը ԼՀ»ՇՕՈՏԷ (գնդային մակերնույթներ),

ՓՀ-ԸՇՕՈՏէ

(կոռրդինատներիսկզբնակետում գագաթ ունեցող կոնական մակերնույքներ),Ց-ՀՇՕոՏէ (Օշ առանցքով անցնող կիսաճարթություն224

| Ի(8, րրա |

:

շարժմանը

ձցչ

'

'

2.

ձն

Փ ձլ

Տղ

ֆունկցիայի հռակի ինտեդրալնըստ

ԻՐԻ"

ՕՀՀՀ-»-Չ, Հ

«ավա-

`

տեսքը:

|

թո

դեպքում տարրական ծավալը

աար է (նեկ.339)

:

«-1 || (Լ

մշ

|

՛

շոլ

կ

|

|ո

եւ.538

|

Մ,

7)մ: ճ7

մշ--

Մ

-||ս Տ|ղօ ԸՕՏ

ծ,

'

ՏլոՓտլո0,

Մ

,

Դ

ն ինտեգրալ ճաշիվներ Բֆերենցիալ

Լ ԸՕՏ

Փ)ո Տո

Փմ40

մգ,

Փոփոխականների ընդգչճանուր խկոխարինումը րալում,։ եռակի ինտեգրալումանցումը դեկարտյան հռակիինտեցգ դլանայինների ե սֆերիկների տարածության մեջ կոորդինատներից դեպքերն են: կոորդինատներիընդճանուր ձեավփոխությանմասնավոր 3.

Դիցուք

դեպքում կոորդինատների Սֆերիկ

:

ՏԼՈ Փ

Ճ--ք

Է-|

0,

ՕՏ

ԸՕՏ

Ճ--«(ն, է, Գ՛), Ֆ--»«(Խ ԵԽԳ, Ե Կ) շյա.

է Մ՛ տի"ույթի /Մ՛ տարրին դիցուք վավփոխվում ր

արո ք

`

ՔՄ

իճ. ոմ: || ջա, աի, (մ,

|

մյ «շ--

ֆ, Է

ԸՐՐ

-- ՕՆ

(2,

2)

ա)/(ա

Ե

Ե

"

ս

Տղ ԱԷ----17 Լ--ջ

|ԸՕՏ 0 --ք

մո

մյ

ճշ

Է-226

'

ո"

ք2

Տ

Մ-Ս"ԻՅ)ա: ՞

Փամարելովճաստատուն

Է

տրամագծի

Հավասար 1-ի

Լուծում: կոորղինատային Ճճամակարգնընտրենք Ճետնյալ կերոլ. Օշ առանցքն գլանի առանցքով, իսկ կոորղինատների սկզբնակետըտեղավորենք հրա սիմետչ ուղղենք (նկ. 341):

է Օչ

|| -ե՞-|

:-ո)ըծ:

նկատմամբ գլանի առանցքի

մ7

իներցիայի

մո-

47:

կոռրղինատների,կստանանք, ւճնցնելով գլանային

ԶՀ-Հ (--նա,

ԵՀ-ռ

0--Ե Հ

7-ՀՏ 2--ա):

շն

Ր

։

-թ

|

Է

Ը` 0լ | ՞՛

«գ

.

0րինակ 1։ Հաչվել շի բարձրություն ն Թ շառավիղ ունեցող ուղիղ շրչանային նկատմամբ, խտությունը գլանի իներցիայի մոմենտր նրա միջին ճատույթի

2.

Համապատաս-

ինտեգրալով, որտեղՊ(Ճ, 7. 2)-ը նյութի խտությունն է:

մենտի երկու

|

7-7

Տո

Ի2)ո,

Այդ դեպքում խնդիրը ճանգում

Ժէ օխ

ն,

Օ7, Օշ,կոորդինատային

շամապատասխանաբար, արտաճայտվում են,

Մ, 2)

կենտրոնում Քիայի

Չա

զանգվածունեցող.

ՈԷ

Սարն

դեպքում

0,

տր

մոժենտն

երրորդ կարգի դետերմինանտին,Այսպես, գլանային կոորդինատների

մոմեն

Օ7 առանցքի նկատմամբ է |,-արտաճայտվում

պ)|կճսձէ մա:

9 9շ 22

'

Փ

խան ինտեգրալներով։ Այսպես, օրինակ, մարմնի իներցիայի

"

ծս Ժէ ժ5չ

9,

ՏՈ

Բ-Ը

ծ

հն իներցիայի մոմենտներըարբտաճայտվում Մարմնի

՛

01 3 95 Լ--

0-ՀՇպ):

(1--Ա, ՓԼ

ց 6050

1Տ5ո

կետի իներցիայի Օչ, մոմենտները

2),

:

կրկնակիինտեգրալում կատարվածինման, 1-ն կոչվում է յակոբիան.ճիշտ այնպես, ինչպես կրկնակի ինտեդրալների Համար, կարելի է ապայուցել, որ յակոբիանը թվառես Հավասար է ժէ

Փ

Փ 51Ո 0

Տո

--Լ

|

է,

ս

ԸՕՏ

7-1

Փ

իներցիայի

առանցքներինկատմամբ 2ետեյալ բանաձներով. լ

`

՛

»/

Տլը

--ք

-

Ջ

Փ

6Օ0Տ

Ը«05ֆջՏոցծց

ք

Փ

Մարմնի

1.

Այդ դեպքում

---Ց Ճ--ք

0,

Փ Տլո ԸՕՏ

կոորդինատները

։

`

ՃոՀ0

ֆ:14. Մարմնիիներցիայի մոմենտը ն ծանրությանկենտրոնի

են չէ, Ս, 2 ֆունկցիաները փոխադարձմիարժեքորեն արտապատկերում Մ Մ Ս, ե, կորադիծ կոռրդիդեկարտյան կոորդինատներով տիրույթը նատներովՄ՛ տիրույթի: ԴիցուքՄ տիրույթի ձն ծավալի տարըը ձե-

մո

Տո

7--

ՏԼՈ Փ ԸՕՏ

Տլո օ Տլո

|

ի|իւչոաթռ| "բ

օվ0Լ-ի

1:

| -ջ- 2ելոտմուն | ը 23 Չե

Ր

Հ

ք

ժբ 4--ր

հտ

՛Ո2

ՀՀ-Ի,

ք| ը

:

|

(լե

ր

-ջ

ո-

ԼԶԸ

"ր" Լ

րթ

|2.1 Էշ 3:

խ.Տ1ոշց

ի

` :

.�

N

0.. N

0.. :x 0.. 0..

0. N

Q

l

-

0. N

'<

0.

>:

0.

N .._.,

0. N

'<

0.

0.

N

0. N

0. N

0. N

'<

0.

>:

0.

N .._.,

I

+1 I I

'' \

tV

N

0 � �

o�:?

-<

-_;,:,

t()

o'--;,;,::,

o"--.Z '"

o��

4 �

••

f

s""

:-

�

!:

-i � ""

�

�

�

�

արտաչայտությունը: Այս բանաձնընույնպես օգտաքանինտեդրալային կար է լինումորոշյալ ինտեգրալներ Ճճաշվելիսը Գ,

լ2-, 5-ի|

Գատ.

ԵՀ-0) հնտեդգրալը:

(250,

-:

|

Այ»

ինտեգրելով գ-ՀՅ-ից Հավասարությունը

բ

Ս

`

--զչմչ

սա4ճմաններում,կոտանանք.

աա ց

|

Ե

Վ

ՀՀվղ-"

|

այս

Հավասարությունը զրենք

մ

Փ--1, :

մ:.9. |(ըօջթ

ե:

ինտեգրման

սաճմանները,

4"

որտեղին»,

7-Յ. 1 1-դ5

1-7: 2, Պաս ա---3Հ-0,

յ |1(:,

ի

լօ.

Ր

2-6

մս

(347

Հ.

-ՏՃ..ԴՈՈ2

.

ճ7 նէԱ :

'

/ |

զատ.

`

-

«Զ`Ել

10, ագ յոշոն

Է`

ենք

օ-եւ

Շ-Յւ

Ե

-

ԳկՀՀԱՈ--'

րք

1Ի

""

զր

Պատ.

||

ոկ

Պատ.

8. Յ

ՐՑ`--, 2-72

| .

Չ. ՞

«օ

`

7-5--28:

||

12, 7)4: ժտ

"0 Դ

13.

(լ.

7)47 42,

ժն)

-

ԵՐՐ

Փատ. Ն

ԿԼ

12, յ

մ:

մ3: յ

ԳՂ

|

||

1»

մմ),

ապա,

ինչպես ցույցէ տրր-

ոո

վել վերնում, մենք կճամարենք, որ առաչին ինտեգրումը կատարվում է որի դիֆերենցիալըգրավում է առաջինտեղը, այսինքն՝ փիոխականի, ,

ըստ

դոյ: յ ին, Փ-|(իռ խճ

այն փո-

`

չբ

14.

5`

՛Ր

յ

|

-

|րո.

Ֆ)47 Մ

մ»:

տ. Պատ

:

/247-45

15./ / Բ Օ

/:

/ |331"

մ

Լ

յժ:

Ֆ-ՅԽ

կարգը: ինտեգրման փոխել Հետնեյալ ինտեգրալում

լ

ԻԼ

2--0, 8,

:

-

՝

Թեոս»: (| «0

աոա

12.

ձո,

'

ՀաշվելՀետնյալ ինտեգրալները"

.

ո)ժ7

(Բ,

:

Ցատ.

ՃԼՄ գլխի վերաբերյալ Վարժություններ

Պատ.

մյ

27 մ»

Թ"

Ք

ւ

ուն

6.

Բ. Ճ--2,

ո.

նթե ինտեգրալը գրված է

ՉԿ

|

-

Պատ:

ս

շոր»

շ

յ -------

:

Տ:

Պատ

ն

ոուէք--, |

զ

որտեղից, Հաշվելով ներքին ինտեդրալը,ստանում «Ի

մը:

խ

ինանգրալիՀամար որոշել

:

|մ.չ-ՀԼՈ---,

ՏՅ

մլ

դժերուբ տիրույքը սաչմանափակվածէ ճետնյալ "կոնգրման Մ

Ե

"զմ

Յ

գՈ՛մզուՊատ.

Ս)մ:մ քիշ. "ք

Է

ք

ՊԻ՞՛

ճե-

տնյալ տեսքով.

ո/2

՞

."

ՀԷ

,

Առաջինինտեգրալում փոխելով ինտեգրման կարգը,

4,

.

4/3

։

Ծ

-

«լչ

՝

Ե/21

զ--Ե

մինչն

-- |չո|

Պատ.

ո.4

մ.-

ո

6"

|5 ՈՏ», »1-Է)2 Ե

ՑՏՀ--(«»0),

՝

մ):

զ

զառ,

լ

ՓՐ

մՃ

ո

Տ

5,

,

2.

-

ենքաինտեդրալալինֆունկցիայի անորոչ ինտեդրալը տարրական ֆունկցիաներով չի արտաճայտվում։Այն Հաշվելու ճամար դիտարկենք ուրիչ ինահգրալ, որը կարելի է Հեշտ Հաշվել. »

լ

-Ե«

«--Չռ

|-----ճո

0րինակ։Հե

ոտ

շ

:

((Ե՞5)»

ԱԼՆԵԽ ՝

մր:

Պատ. Հ

՛0

/ 2-թԹլ

(ետո

Ց.

ՒՀ2 11-55

յ

||

16.

յ/

ԱՁ

10, (

1712թ

||

Պատ, 7 ճտ, 9 3)47

1(5 342 մ7

011-285

(378:

Թ.

յ |

Գառ,

օ.7Էթ

25. Հաշվել 32-Հ432,Ճ43-ՀՅՅ,Ֆ--Ս գժերով սաշմանափակվածպատկերի

-

,

16, 3)4»

մու

'

Պատ. մակերեսը:

||

1/82--դն

ան|

մյ:

լռ

Շ0Տ

||

թ

Փ-Ք5ց մք

7-ի

ճետ

1/

|յ

ՅՏ «2

մ, ժս

կապվաժեն

ն

մ

լո

`

ճ:

մա «Մ: 923.

:

թ

|րոս

մ:

ԱՉ) 1(ս--ԱՄ,

37.

Հաշվել 2827

կերեսը: Պատ.

"ս

պարաբոլով

ն

ՄՀ-Ճ

Պատ.

շառավղով

Պատ.

Աո»

35.

6"

7--0,

՝

22-71,

2:13 :

2--0,.Պատ, 2--0,

--)2,

ՀՄ,

տ.

'

2:2-Ի32--

34.

2թ»12ի)--»2

7-Հ

16:

շրջանայինդլանով,որի

առանցքը ճամըեկնում է

ճետ, կոռրղինատայինճարթություններով մս մՄ.

ՏՈՅ

.8

(

ինտեգրալների

Դ Յի

ւ

մի-

ուղիղով սաճմանավակվածպատկերիմա-

ՅՑ...

,

կրկնակի

4Ե692.

Պատ.

առանցքի

|

ՆՄ

24.

Հաշվումը

72-- 2523,

-Հ-գլանով:

ԵԻՇ

Մակձրեսների

2-0,

7--0,

(4--1)21-(7--1)2--1,Ճ)Հ--Ճ,

Քն

ովի».

3ո։ 33.

«2

"լ

զս

3-0,

0,

Ը

ն 36. կոորդինատային ճարթություններով, 25-37--12--0 ճարթությամբ

`

ծ

1-ս

--»ՀՎ,

Վատ.

--284»-0,

ծ--ծ-

||

չ"9»4

---9: '

Փատ.

Հաշվումը

:

ե

ԿՇաասա»

ՇՈԿԸ

`

ս

ովփոխականներին, րի իոխոլակ

ճոռ ը

.

Փատ.

,

Դ:

0 ՛ 7Հ-նԵտ|ո ՀՀրետլլն

ՔՎԸՇՕՏ0չ

:չ--

-

:

|ո

.

))47

Ը

ս

Անդնել Անցնել

Սավալների

31.

-

«

| 1(ո--ԱՄ, նՄ)

մ,։

----ս

.

.

:

0.

ՖԻՇ

տոլի

կորի ճանզգույցիմակերեսը:

Յ2

Հաշվել Հետնլալ մակերնույթներովսաճշմանափակված մարմինների ծավալները.

նոր փոփոխականներ,որոնք

ՄՀՀԱՄ բանաձներով:

ՃՀ-Ս-ԱԿ,

22.

Պատ.

Ի) (5-Ի

Հաշվել

"

օխ

181.7

Ցուուցում։

|

Ց

լեմնիակատովսաշմանավակվաժամբողջ մակերեսը: Հաշվել քշՀ--զ72Ը052Փ

ՍՄ

|

Պատ. ՀՐ,

29.

Պ. Պատ.

"`

՛

դժերով սաճմանափակվածպատկերիմակերեսը:

չ--0

)-ՀՇ0ՏՃ,

Հաշվել .Հ--ՃՏ1Ո20կորի ճանգույցի (ոօրոա) մակերեոը:

:

/

:

28.

Յ0.

21. մԱթ--,

-

Պատ. 7/2-Ն

Հատ.

Տո

սաճմանափակվածպատկերիմա-

դերով

Վ3Յ

Յ:

27. Հաշվել 7--Տ1Ու,

:

Ձնափոխելկրկնակի ինտեգրալները,մուծելովԱ ն

40--Տո»

Մ"

Պատ.

4,

մք

)/14--քժ քժբ

ժ0--Բ, |) ժթ

Պատ.

7/2.

օ-(Վ73ց7 մ.

օ

4-ի

(2--72)մ:

ո/2 24

|վ

Պատ.

«25

||

Գառ.

մո:

Ոո-ռ

19.

20.

/Թ-ո-րսյ

Պ/28

'

-

ո

կերեսը։ Պատ.

Հետնյալ ինանհգրալները Ճաշվել բնեռային կոորդինատներին անցնելու ճանապարճով.

Հաշզկլ

26.

4»:

-- գ91Հ7

1-ո

(Ը. 3)4):

Ցա 'ատ,

4.

ՀՐՒ-ՐՀ- ճարթությամբ,

ն

)

64'

Գ Պատ.

40.

---21-ՒԻ25-8:,

Դ) --ՀՅ,

12.1

'

1.

22-Ի )2Հ-81, 13-լշ2-գ1 զլաններով։էլ-8839.

Դ

82ՀՅՅ-ԷՆ,

շ--0,

22-32-28:

Պատ.

քշ

8-8:

շար

՛

Գառ 42.

1-Է --

.

Յ

ՀՀ,

Պատ.

-Օ

"ն"-(5-Թ) -- (/22-83) -3.

'

ԵՀ--Ո5Ը0520,22-| 2-172584,

Հաշվել այն ժավալը,

2--0,

--

որը

ներքին է զլանի նկատմամբ: Պատ.

տույ բը

2), Մակերնույթի

գլանը: Պատ, շոռ,

չ0-.-)2--3ու

է

44. Հաշվելե

ռային -

ԱՅ

3.

-

ինառային

ար

45. վիղը

ձարթության

մռանատւմ

կորդ

Պատ.

2-24

ի

գնդային

այն մասի

ԵՇՎՇՀ(1»-ե)

47.

ԳանելՃ2-Հ--8Խ

3-Լ2:--8`

նրկու գլանների

ընդճանուրժմաս

ՀԵ:

59.

չճանդիսացող

որի դտնվում 48. Հաշվել 12--72--2ուգլանի մակերնույքի այն մասի մակերեսը, կոնի մեջն: Պատ. 882: Հարթության ն 22-72-27 49. ՀաշվելՃ2Վ-2-82 գլանի մակերնույթի այն մասի մակերեսը, որը գտնվում է

50.

Հարքությունների միջն:

60.

Հարք բոնի

սլարաբոլական գլանի

ն ՃՀՀՅ

ՀՈՐ» ճարթության միջե,Պատ, մասի

Պատ

"42

:

զանդգվաժխծախթրության իներցիայի մոմենտի

պատկերների կորդինատների,

`

ճաշ-

՝ `

Հաստատուն

ն ն

խնդիրննրում ամենուրեք մակերնույքային խտությունը ընդունվում է Հավասար

Որոչել 1 շառավղով շրջանի

ձն

էլիլսի իներցիայիմոմենտը՝ ա) Օյ առանցքինկատմամբ,

Եշ

:

լ--ԶՅՇՕՏԱ

53.

Հաշվել 2--Յ(-Շ0Տ

Հաշվել

Յո

Պատ.

.

Հ-2ՅՈՑ7-0,

Հաշվել

65.

:

այդ

ՀՅ:

եռակի

3`

Պատ.

80:

ՊՅԵ(ճ5-է եշ)

՛

տ

1Ե

մոմենորբեմակերեսի իներցիայի կարգիռիդի

,

մակերեսի իներցիայի

պարարոլով

:

ն

Վ

-

2 Դ

ուղիլով սաճմանափակվաժ պատկերի

ՃՀ-8

ուղիղի նկատմամբ: Պատ.

Հ---Ձ

-լջեո:17/

Պատ. դադարով անցնող կողմինկատմամբ:

ե" ծ

ինտեգրալներ

ՈԷ ՐԹ--7-Ւ2Հ1)3 4:

մ)

,

եթե ինտեգրման տիրույթը սանմանափակ-

կոորդինատային

ված է է

:

շրջանի մակերեսի իներցիայի մոմենտը բննոի նկատմամբ:

է. Մակերեսիիներցիայի մոմենտը

Հաշվել 1 շառավղով շրջանային սնկտորի ծանրության կենտրոնի կոորդինատ» ները, նրա անկյան կիսորդն ընդունելով իբրն Օմ առանցք. Սեկտորի բացվածքի անկյունը Հավասարէ

ՃՅՅեՅԼ

է

ՍԵ

Պ-Ծ,7--0, ւ

նկատմամբ: Պատ.

62. Հայկ շրջանի (-ՅԻԼԱ-Ե)»-28: մոմենաը Օյ Յոն առանցքի նկատմամբ: Վատ, 69. 1 կողմ ունեցող քառակուսի քիքեղի յուրաքանչյուր կետում խտությունը ճամեմատական է քառակուսու որեէ դադաթից այղ կետի ճեռավորությանը: ՀաշվելՔիթեղի

Ս

Հաշվել Հավասարակողմեռանկլան ծՓանրությանկենտրոնի կոորդինատները,

Զ

`

սկզբնակետի

2 Ժյյ|,որտեղ բազմապատկիչնէւ ե-ն Համեմատականության Դ3ՅԼո(7՛

Պատ. Հոճիչ

չ---

7.--0.

Յող4

նրա բարձրությունն ընդունելով իբրն ՕՃ առանցք, իսկ զագաթը՝ իբրն կոորդինատների սկզբնակետ: Պատ.

,

սաճմանափակվածուղղանկյան ուղիղներով

մոմենտը կոորդինատների

մոմենտը ինձրցիայի

մեկի):

ունեցող թիքեզիչշ ղանդվածը, եթե լխտությունը ցանկացած ք կնտում ճակադարձ «ճամեմատականէ գլանի առանցքից Ք կետի Հեռավորությանը (Համեմատականության բազմապատկիչը Հավասարէ ԽԼ-ի):

3-0, 7--Հե

2-ի,

:

կեն տ-

.

Ի

վեռի նկատմամբ:

:

Ի

կարդիոիդիմակերեսի ծանրության կենտրոնի կոոր-

|

(51--62

Տջ.

Հաշվել

՝

61.

որը

վումը

51.

Հաշվել

:

Հշոլմշչ

այն մակերնույթի Հաշվել924-22228 ռլարաբոլոիդի

է 2-8 գտանվում

Ր3-1)

Պատ.

ժան-

բ) կոորդինատներիսկզբնակետի նկատմամբ: Պատ- այ

է շ»0

,

,

Ձ

ծան-

76--0:

ճբ»

4Ե(ո:-ԼԵՉ)

Հատ«

մարժնի մակերնույքի մակերեսը: Պատ. 1642:

7-0

մակերեսի իներցիայլի

"

աշուն

Է--Կ(ԼԻ«0Տ 0)

կամարի մակերեսի

5:

պատկերի տաճմանատակված ոմ

58. ՀաշվելՀա0,

չառա-

ՃՅՆ,

Բ2-ո3005)/ կորի ճանդույյով

դինատները: Պատ.

շո(ը2--8)/ 83--ե3).

) ց,իկլոիդի մեկ Շ0Տ1)

-Հ8(1-3-(

,

Պատ, 4Ճ--կենտրոնի կոորդինատները,

Փանհլ

87.

|

Պլանի մակնրնույրով: Պատ. գոզ2--82327Ը Տո

Հ

անել

բության

պահով,

(փոջը) մակերնույթի մակերեսը, երն գնդի սեդմենտի

'2

չ

7-32

ՃՀՀՅ(Ե--Տ1ՈՒ

(

Գանել1

56.

որն ընկած է մակերեսը,

այն մասի մակերեսը, ռրը 46. Գոնել Ճ:-Է 272--22--37գնդային մակերնույթի

ված

ճա

՛

է, իոկ սեզմենտի :իժքի չառավիզը՝ թ: Պատ.

Ձ

.--Ս, «

ւ

մամամապակված է 18ԼԹԿԻ

Է

Գ ատ.

շրջանի վերին կեսի ծանրության կենտրոնի կոորդինատնե-

կոորդինատները:զաա. կենտրոնի բության

:

49. Հաշվել 22--74--22կոնի այն մասի մակերնույթի մակերեսը, որն նրանից տում

,.

58.

Հաշվումը

մակերեսի

Գտնել 342-782

54.

ճարթություններով

.

ն

«-Վ-7-2--1 Ճարթությամբ: Պատ.

՛

'

| |)

66. եռն

ախ

ի

մս

Օօ

«բ

Պատ.

Հաշվել 22-Ի32-Է22--4 գնդային մակերնույթով

67.

սաճմանափակված մարմնի ծավալը: մակերնույթով

Պատ.

ՀԱԻ

65", ՀաշվելչՃ---0,7-0, 2--0,

22-72-47

ն

սպարաբոլոիդի

Ճ

ի Լ ՈՒ

ՃՆ

ճարթություններով սաճմանա-

«Վ

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

ԸՍՏ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹԻ

20-ՀԸ:4:Լ, Հ«83Ե6/60, 1չ--Ը34Ե,60, 1»--Ե34Շ/60,

Ճ.-ՀՃ/4, --Ե/4,

ԼԵ: լ. 8560, 10-80(8:--Ե-|63,

՝

-

ԿՈՐԱԳԻԾ

փակված բուրգի ծանրության կենտրոնի կոորդինատներըն իներցիայի մոմենտները: Պատ,

հ

ԵՎ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

Ը:

Հաշվել ուղիղ շրջանային կոնի իներցիայիմոմենտը նրա առանցքինկատժամբ:

69.

լ

լըոիոն

Պատ.

որտեղ Ա-ը կոնի բարձրությունն է, իսկ Է-ը՝

ված մարմնի ծավալը: զատ. 71.

|

մակերնույթով կերկույթով սաճման սաճմանավփակ -

ո

ւ

3"

Հաշվել շրջանային կոնի իներցիայի մոմենտը ճիմքի տրամագծի նկատմամբ:

ների մի

-

:

Ղուշ

Պատ.

ԱՅՅ),

22.

Հաշվել զ շառավիղովգնդային մակերնուլթի

կոնական մակերնույթի միջն գտնվող մարմնի ներբ, նթե կոնի դգազաթըճամընկնում է Յ

2-Հ---8( 16050)(կոնի ծ

առանցքն

2գ

ն

ծանրության

կենտրոնի կոորդինատ-

սֆերայի կենտրոնի ճետ.

Պատ. Ճ«--0, 7-0,

իբրն Օշ

ընդունված է

Ձ շառավիվով գնդային մակերնույթով 78. Հաշվել անկյուն երկու

կաղմող

Պատ. կենտրոնի կոորդինատները:

ն

կան

առանցք, գագաթը

գնդի կենտրոնով

ԲՀԿ,

Փ--ջ

ք,

2"

---Ը- | լ

14,Օգտվելով

6`

24:(4»»0)

ճավասարությունից,

ճաշվել

"

"

68-69,

ճավասար է

մչ

/221--23

մեկի'

Տո

ցն

(ՇԸ

'

մ

մղ

/

ք

Պատ. Չ , ինտեգրալները:

խնդիրներում ընդունում ենք,

որ

/

Դ/

կատարա

`

Դիցուք

տ

խտությունըՀաստատուն

:

է

ն

Ի

ուժի

եժու-

աշխատանքի: մոտավոր

արտաճալաութ յունը

՛

շ'

ճՏչ-ով նշանակենք

Փրլալըկարելի է դիտել որպես հերկ,աղեղի երկալնությամը Ի ուժի

»

ՀՅ

հ

ք

ԻլձՏլ սկալլար սբտաՀ Այդ դեպքում

Ս

օօ Ր«05

մասերի

երը աշխատանքը,

թյունն Կն կետում նշանակենք Իլ-ով:

Հատման

որպես կոորդինատների գիծն ընդունված սկզբնակետ. է իբրե Օշ առանցք: գնդի կենտրոնը՝ ծ, Փ աֆերիկ կոորդինատներնեն):

ո

Բ-»Ի(Ք):

կետը խ դիրքից ւոն» (նկ. 342): Դրա ճամար ՂՎ կորը Բ --Խ5նչ դիրքը կետերով ԽՆից Վ ուղղությամբ րոճենք' կասիալա

ուժի Ճ

Խրոլու վեկտորը:

անցնող ու ժծանրության

ՄԱԾ (ճարթությունների րու 0-0, մարմնի

ւ

ֆունկցիա

որոշ

ՀաշվենքԻ է Վ ղավփոխվում Խն» Խն... ԽՆ--Ի

գագաթի անկյուն ունեցող

անղավորվաժ է կոորդինատներիակզրբնակնտում): 60`

Կորագիծ ինտեգրալ

1.

ԴիցուբՔ(2, ք կետը շարժվամ է որոշ Լ ճարթ դժի երկալնուժը» ռրը դեպի ԿՎկետը:ք կետումկիրառված առ քով Խ կետից ն ք փոխվումէ իր մեծությամբ ուղղությամբ,երբ կեսը ստեղաչ է ք կետի կոորդինատ փոխվումէ, այսինքն՝ իրենից ներկայացնում

:

ունեցող ր 7 2-23 ) 2--:135 ճավասարումն ւնեցող

70, Հա շվել( վե 2:

Տ

ճիմքի շառավիղը:

ՃՀԻլձտլ:

Է--Ճ(», ՊԼԷՂՎԿ» 17 որտեղ Ճ(Խ 3-ը ն ՎԱՆ 37-ը Ի աժի նեն Օե Օ7 աուանցքպրլնկցիաներն

ների վրա: Խն կետից Խնչւկետին անցնելիս լ ն յղ կոորդինատներ ն ճալ-ով, ուսանում ենք. ձլ-ով նշանակելով աճերը ձջլ աճն

ձի

|

Հետեաբալ,

ճա, ԻլձՏջլ-ԸՃ(ՃՆ

Ամբողջ ԽԱՎ կորի վրա

յոր Թ:

Մ)յճյս

ուժիՃ աշխատանՔի

ու

յիուտավո վոր

արժե արժեքը Լ

-

Ս

)ձայ-Ն(

թ

ւ)

ձո

ճշդրիտ ձնակերապումներ, առայժմ ցույց տանք, ոբ Զկատարելով ճավասարության աջ մասի

սարանը, հրբ ձջլ-»0 (ալս դեպքում,ակնճայտ սաճիան

ապա

ալդ

կետը

Բ ուժի

է Լ, կորով արտաճալտումի

ն

ալոռաճալտութլան ն ձլ-Օ ձՄ

է,

կետից

աշխատանքը: ԽՀ»

Հո

Լող

Հ

)ճաՎ-Ն(Ը

յ,

:

20)

Վ մինչե (2)

ձի

|

Աջ կողմում դտնվող

Ս

նի անեի

ֆունկցիաների կորազիծ

այսպես

անվանում 1

ինտեզրալըա

Լ,

կորի

ն

Դ

ն

Ր

7)

նշանակում են.

2)471-2(5,

(5 3» խրա7, շ2)42:--7 կո

«-

ՃՈԽ

ՃՃլ՛»0 բ-1 ճԸՖե՞»0 Ճ2կ՞»0

Ֆր"

2-Ի»

Հք"

(Հ)

Ճ)

Բ(ա

ԱՎՎ(Ե

մր

(1)

ուշ

սոեսքիդումարներիսառխիաններըճաճախ

հն

ճանդիպումփ

մավլեւիատիկալումն մեխանիկալույի,ըստ որում (ՐԵ)-ը ն «Ր, 3-ը " դիտվում են որպես մի որոշ ք տիրույթում երկու փոփոխականների "

7լ)2լշ

լ,

Ն տառը Սու ԱԶ է տալիս, որ ինտեչԻնոնդրալինշանի ուկ դտնվող րվում է Ն ղծի երկայնքով: դրումը կատու հրկու ճատկություններ: ինտեդրալի Նշենք կորագիժ հ

ենթաին-

կորագիծ ինտեզրալը որոշվում ինտեզրմանկորի ձեով արտաձայտությամը, ինտեգրալային Հատկութլուն

հ

Լ

ուղղությաննշումով: տեգրման կոլագիժ ինտելրալը վխոիխելիս Ինտեդրմանուղղուլժլունը

վոչ

վեկտորը, ն, ճնետնարբար, խում է նշանը, քանի որ այդ ղեպքում են իլենց նշանը: : փոխում Ֆան ձ7 պիոլեկցիաները նրա ձան ն Նչ ւն Ն կորը Է կետով բաժանենք Լլ ճտ

Հատկությո

(1) (նկ. 343), Այդ դենսյքում՝ մասերիայնպես,որ ԿԱՎ-ԳՈՂԵԼԻՀ ճեւոնումի է

ամիջապես բանաձեից

(4:

մ)

Հա

ՀՀա

(գ

(Չ

44-14

Է

(4)

Ճշ առիտ Այս առնչությունը Ճառ րալ:

.

24-22

`

-

ւ

2)47--

7,

|

1,

կուր

անչվումԷ

տած

|

ռ

(3)

))մո

ինտեզրալը

դորագիժ ֆունկցիանել'ի

ձնով.

.-

(ԽՀՀ

Ճ-

20,

երեք

2)

-

ՋԻոչ Հլա

դոլություն ունի

ք

ճւիւսն

Գ

ՃՀ

,

Բ

70.

է

Բորամտ

(Կ

ցանկացաժԹվով

դումարելիների

է ուժի սառխիանումըմնում ինտեգրալի Նշենք նանյ որ կորագիծ երբ Լ, կռրը փակէ, մեջ Կան ալն դեպքում, ճամ ընկն Ալս դնսլ քոռ կորի սկզբնականվերջնականկետերը Ե)

զում

են.

Ուստի փակ կորի

չենք դեսլքում՝

կարող

դրել | ՀՎ»

Մճ»,

(Ս

-

ֆունկցիաներ: սաճմանների խոխարեն դրվաժ Ինտեդրոիան

հն

Ա

տառերը առնվաժ ի նշան այն բանի, որ զրանք թվեր ըստ որի վերցվում չեն, այլ նշանակումեն այն կորի ժայրակեւտերը, Լ, Բէ է կորաղիծ ինտեգրալը: կորով՝ կետից դեպի Ւ| (եւո ուղղուլժլումեջ նն փակագժերի

նը կոչվում

Եթե

"

ինչես

Լ

է

Այստեղ որոչյալ

ինտեգրման ուղղություն: ասպա տարաժական էյ

կորը

գումարի ինտեգրալային

ինտեգրալներիդեղքում,

՛

(5,

2), 7,

2),

սաճմանը ըմբոնվում է նույն իմառսոովչ | ճատորի Ճ| զլիի Տ Հ-ր։

տես

"

ալլ միալն՝ զորա),ընդ

որում

սւն

1. փակ շրջանցմյիանուղղությունը: ճակռրագիժինտեգրալը նշանակելու կոնտուրի է նան ւժ: 47 հար Տուճաիխ օգաադորժվում ւ

Լ.

պայման նշելով

Բատ

Բ

Էջ»

կորի

է

սիմվոլը:

Լ ինՄենք կորագիժ Դիտողությո ւն: եկանք՝ դիտարկելով, | տեղրալիճՃասկացությանը Է ուժի կատարած Ն ճանապարճով կորադիժ Նկ. խնդիրըո աշխատանքի վերաբերչալ `

ր

"

՝

կետերում տրվաժ էր Ի ուժը՝ որԲ վեկտորականֆունկկետի (2, լջ) կոորգինատաների սլեսկիրաուիան ցիա. Ի փոփոխական վեկտորի պրոլեկցիաները կռորդինատալին ե 20, դ ն ՄՍ, Մ վրա ճավասար 5) սկալլար (ալին քն առանցքների |ՍմաԴՆ7՛ տնս Քի ոորադիժ Ուստի Էինչ թվա ' լին)

Ալ դեպքում

Լ.

կորի

ՍՏ

Դիտարկենք

բոլոր

իաուԴաթոն

0լ

|

`

ֆունկցիաներին յ : որպես գիտել պրոլեկցիաներովտրված կարելի անղրալը կորադիծ ինտեղրալ: է

ն

Վ

ախիքվոլով։Եթե Ի վեկտորը որոշվում է ապա ալս ինտեդրալը ճավառսար Է

,

ո

Մ,2

պրոլեկցիաներով,

որտեղ ո-ն սաճմանները,

վեկտորականֆունկցիայի կորագիծ ինԼ փակ կորի, այչ տանգրալըվերցվում է ըստ կորաղիժ ինտեգրալն անվանում են նան Ի վեկտորի ցիրկույյացիա (շրջապտուլո) բոտ Լ,

որտեղ Ին(,

Ապա

Տ.Զ. Կորագիծ ինտեգրալի հաշվումը

ն

Մ-ն

ձջ.

(2)

աղ

Լ

կետերը ճյ

7)մչ։

(2)

աղեղի ի

ԲորոՆ

գրավը

էն»

|

'

ճնարավոՄանաձնվածթնորնմը է տալիս ստանալ կորադիծժ փնտ ճաշվելու ճամար եղանակ: սաճմանման վ ալսպես, ըստ

թի

հ

6/------շորհկվուն)

ցաժ է՛

(2

Զջ

ոլ՞՛ Նկ.

-

|

-

ունեն ք

Ճ-ՀՓ(է), -Հ«ֆ(0) |

ճայ Սմա-րութ:ռ:

նտրսկան ճավասարումներով: ո"լարամ

աղեղը (նկ. 344): Դիցուք Գն պարամետրիՕօ ն թ արժեքները: 7ը) կետերով արոճննք ճալ

կետերին ճամապատասխանում են ՌԱՎաղեղը Ին(Կ» 31), Րա Մ" Մո(» մասերի, ընը որում ընչանենք Ճ--Փ(կ), Մ--ֆ(կ)

--8 ձե

յ-1

դամարները, սաճմանված գրաֆում

փակ կոնտուրի:

իներ

ֆիտող ութլու Կ: Թեորեմից ճետենում է, որ ալդ նույն ճւսճչ նախորդ պարա-չ ինեգրալին Են ձղդտում քն՝ կորադիժֆ մանին,այսին

-

ԽԱՎ

ՃՍ

Լ

Ի

Դիտարկենքարլ կորի

աիանե:

ԽԱ50. ս)(»:,5-ի(5

դրալի դաղափարն ցուլց կոանք ալն ճաշվելու եղանակը: Դիցութ Լ կորը տրված է

գոլու-

կախված չեն ձջ. աղեղի վրա ԽՈՒ 5) կետի ընարությունից, են այսնրանք կոչվում են կռրագիծ ինտեզրալներն ճշանակվում պես.

բայ,

ու

ինտանգրալի

կորազիժ

մի որոշ լեղին պատկանող 1, չեն աղեղը Այդ սաճմանները կախված կետի ճջ: մասնակի աղեղներիտրոձմանեղանակից՝պայմանով,որ ՃՏյ-0,

կոռրդինատներնեն:

Աա

պարադրաֆու

ճա-Հձ,

ՅՐ,

ճել՛»01-1

ճտ" մ--247

ԳԱԱ աղավարը

նախորդ

է

`

-

րո

է իր 2,

ուսճրանվել

որը

նթ: անընդնատեն «(յ ԳԱԱ ն ունեն «(| ճն (է) ն 2՛(է) անընդճատ ածանցյալներ, (յ), է-ի Տոն ՄԼՓ(Ս, 520)| ֆունկցիաները որպես նույնպե են |ռճ,8| ձատվածում, ապա զռյություն ունեն անընդնհատ

կորաղիծ ինտնեղրալին։Մասնավորապես, եթե Բ վեկտորը դտնվում է Օյ վրա, վեկտորի ինտեդրալը ճավառարէ ճարթության ապաայդ

Այն դեպքերում, երբ

ինտեգ բայը

Առանց ապացուցման բերենք եթե Փ() թյան թեորեմը:

Ի

վեկտորական ֆունկցիալի Ըստ Լ կորի Ի վեկտորականֆունկցիալի ինտեգրալը նշանակվում է

որագիժ կորազի

Ե

Դ

|

3)

որտեղ Ճշ "

19-.

--Ֆ.-թՅՓ(ե)--Փ(ե.

Դիֆերենցիալ ինոհգրալ ճաշիվներ ն

ւ),

Օրինակ

բանաձեի. հադրանժի

Վերջին տարբերութ ունը ձնավփոխենքրոտ

Ճճ«Փ(0--Փ(ե2 («)(--ե-ՀգՓրձե, ն է ե-ի ե-ի ո-ն Էի մի որոշ արժեքնէ, որը դարսվխակված .-.-է միջն: Քանիոր ՃՍ լ կեսը ՃՏլ աղեղի վբա կարելի վերցնելկամալասես, ասլա ալն ընտրենք այնսլես,որպեսղինրա կոորղինատՊլ արժեքին: ոլարամետրի ապատասխանեն ներըճառի ւ

,

:

տրան

-

Ճ

Մ-ի, ո-ի

-ՀՓ(ո),

ձաշվել 5՝, 3237, --ոշ7 հրեք ֆունկցիաների (կամ, որ մին. 31137171. վերտոլոակա՛նֆունկցիայի) կորագիծ ինտելրալը (3, 2, Դ)կետից մինչն Ճ( 0, 0, 0) կետը գնացող ուղղի ճատվածի երնալնքո Բեանժոի ԹԸ 3Թ), Վաւյնն

.

-

Մ

ւ

|

-Չ0: 12:

(Վ)

մՃ(6. 3)

))45--) ՃԼՓԸ),

Ընդ որում

«(0՛(04ե

Ա

անդամ

Սա

էլ

ճենց

է, Նոան

Է)

-

Նվ.

յո. 2ւ. Ո1625-3:3020:-2 ԼԸ 9Ո----«ս

|

ի

էատանանք

Օբի 7--Ճ

՝

րայը

(նկ. 346),

0 ՞. Հաշվել 6257,` 10573 ֆունկցիաների զույգի կորագիծ կնաեճարթ կորի երկայնքով՝ նրա իլ(1, 1) կետից մինչն ՊԱ, 8) կետը

Ղվզ-

`

|

Որոնվող (Գ

| 6այմուի

Ա

«0)1())4ե :

՛

՛

(4)

Ղ

:

որը

տրվածէ Ճ-»Փ(է),

10:47

ի ւ

քաշվելու ճամար փնտեցրալը

պետք

է ունենալ տվյալ կորի պարամետրական տրված բացաճայտ 7--չ3 ճավասարումը "պարամետ բականի մասնավոր ղեսլքնէ, այոտեղ որպես պարամետը ծառայումէ կորի կետվՃ աբասցիոը,ն կռրի պարամետրականճավառարբումները այսպիսին են.

Բայց կորի ճավասարումները,

ՀՀ,

մ--247

կորի, կորագիժինտեղրալնըա տարածական ճավասարումներուի Մ-Հն(դ,2Հ»յլԱ)

կո-

չճեշտու-

լ

նՍ՛ (Սմե ՖԱ)»

.

ա.

կ

են

|

(

«(օթ -ԻՈԹ(:,

է ճՃաշվվում

են

-

բանաճւսշվելու ճււ"միար կորադիժ ինտեգրալը որոնվող ձեով

ածանց-

1)

«

Յեն

որոնք

1)Փ.-ԷՎ(Խ 3)07Հ յ

ճավա-

«Յի

Աէռւծուտմ,

:

է ճամապատասխանում

Մբոգտո-այա-

|

այս Ճավասարումլու նները, դումարբելով

ՍԱԿԱ,

-

կորազիժֆ կարելի ինտեղրթայը: ճաշվել(4) բանաձնով.

Օդ

(26.

ւ

Ա,ժմ որոնվող

'

-)«(ժ

Ը լատ է պար

թյամբ,

ր

(Ս

ճատվածի սկզբնակետին, ակնչայտ է,

արժեթը, -ի, Ճ-ի, 7-ի բի (որոնք պետթ ամետ պետթ բագիծինեզբալը ճաշվելիս)գոնում են

ձեռվ ատացվում է ճետնլալ բանաձեր.

45,--՞

ԳԱՎ

նակետին՝ Է-Օ

ներն ժալո"րո

որոշչֆունկցիայի

նշվաժ

ճա-

տրվածերկա կետե

տրվա

2:55,

է) ալարբամեորի եկ ճատվածի արժեքը)չ վերց-

ճ

ֆ)

ենք գրենք

լ՝

Ճ-»Յէջ 7-ՀՉէ,

է

ւմ/:, գրումը,

ւ

Աջ կողմի արտաճալտությունը Ճ|լ«(), օ(3|ջ մ) մեկ փոփոխականի անընդճատ ֆունկցիայի ճամար |, ք| ճատվաժում ինտեդրալալին

ինտեդրալին.

րվի իւ

բոլոր ճարաբերությունները նշանակելու է տառով, ուղղի կստանանք պարամետրականտեսքով. սռարումները

ւ

ճավասար է ալդ սառխիանը Հետնաբար,

Է

)5(.)5 (Ճլ)ձել։

են գումարի աաճմանն

պարամետրական գտնելու ճավասարումները

այս

|

ձէ

է

Ի.

,

(Ս

տք

|

-»Ե(ոլ):

ՃԸ, 3) 42»ՀՈռ ՀԵՀ

գծի

Աաաա

այնքու

ո

ի

ո

(Վ)

ւստ Անդամ"

ամք

ում

ն

(7

Նման

Լո:Հ «ով ԱԱ մար,

ձել-ի դտաժ արժեքները տեղադրելով (3) բանաձնիմեջ, կոատանան ք.

1»(

1.

է՝

պարամետրը փոփոխվում է մլ-1-ից

Ֆերնըստ

պարամետրի.

7-5,

մինչե

չշ-Չ:

Հեշտ է ճաշվել ածանցյալ

-

ուն

ֆոֆա

|

.

Հետնարար,

քանիոր Մ-Յֆ(2)այգ

|

Լ):

(4)

(62»

| 6տ10գոմյ-

11056...

լ

լ

ե

Երկրոլչ ինտեգրալը ըստկլ (ՊՕՎ)

| 383182,

ասին

ռեբքինկետովանցնող տիրոլթի ճՃ ռուսի է

ժ զրադիֆը

ճա

աս

ո

ոչ Լ)

ա

ե

էու1):

ավ

Բ, Ե| (կ) կորով

ճաւովածն է,

Ընդ

ՐԾ

կորով

Հետնաքարը Ընդ որում

(ացուլյցի

լ

)

՝

Ե

:

Ե

Տ--|7շ(2)ժ2-- ԽԱԾիՆ

՞

է

Սակալնառաջին ինտեղրալն բոտ է, Ե(ՍԵԻ) կոբի՝ կոլւադիժինտեգրալն

ր

ւ

-,

ա/

վ

1:

ի

|

թ -

ն)

ւ

բությունը

( յ:ւ----չմո

ԲՆ

ժ։փան

մնում

է

ս

Է

Նկ.

ալս

տալ:

որ

(6)

|ո»-տաո Տ--ը

3,

ձայվել

Ճ--8

էլիպսի

Նկ.

ժաՃա-

ես

Օրինակ

մակերեսը:

Լուծում:

Րոտ (7)

տ

-

ն

ցուլց

՝

ՄՐ

(5)

Անդամ յու անգամգումարելով (5) ե (6) ճավասարությունները կատանանքմեկ բաչ բաժանելով Հ-ի, Տ մակերեսըճաշվելու ճՃասիար

.

Ի

Լ

Տ--|ժթ

ֆաձն

Ն

բ

իրավացի

Ի

--1ո

Կեկ Ք

:

գեսքում (նկ. 348), Նան ձնով կարելիէ

Կ

|

"ւ

ԽԵԼ

յ

|

ս

(ՈՂ)

.

:

վՐ

| շմ,

2--

Էր

ռոլաքի շար

ճին

եթե

է

:

ճավասար է

/ սն ճատկութ

շրջանցվումէ

կորը

զ)ք

Լ եզրաղժի Մի ասը կազսմիում՝ Օ7 առանցքին ղու դաճեռԽԱՎ ճւսւոՀ (ՌՈ) փաժը, ապա յզո-0 ե(5) ճավառա-

|

Այդ դեպքումԾ տիրույթի մակերեսը

.

ՊԲ

Լ

մ

աղղությամբ:

կառակ

(ո00ՀՅ0Ժի

:

։

ի

Տ--

-

Նկ

7-Հ3:(Ճ),

յ Նմ: ՔԵԼ

՝

առանցքի վրա ք տիրույթիպրոլեկցիան որում այն ներքնից սանիանակիակվածէ

Մ-«Մլ(2)

--

կորա1եժ ինտեդրալի1-ին

կորի կորադիժ ինտեգրալնէ, |

Ե

2)»

.

իսկվերնից (շ) ոմ է

Օչ

ռ ն` (ալշինք ալո

յու

քն՝

իմ )

ւտիրուլթիՆ

շի ու ղիղ կ բկու կետում

սեն

ան

կանոնավոր է) (նկ. ստիրուլթը որ ենթագրենք:

ՄՔԵ

«

(66-:30սյժ:-

՛

ա (4): -- | տմ

:

Այժմ նչենք կորաղիֆ ինտեզրայի մի քանի կիրառություններ: մ տակերեսի ար տաՀ կռրով ռաճիանակվիակվածժծֆ Իի ցուք Օյ ինտեզրալովւ ճալտութլունը կորագիժ Լ, է սաճմանավակված տրվաժ կոնտուրով այնպիսի ճարթության վրա ք տիրուլթ։ որ կոորդինատային առանցքներից որնէ մեկին ղուղաճեռ ն

Ե

322)մ2--

շ -

է, ճնւնախքար, ճավասարուին

կորի

7--ե

Տո 1

բանաձնի գտնում ենք,

Տ--շ-|ն

Ը0Տէ,

(7

«օՏ

է Ե 6օՏ

է--Ե

Տ1ո է

(--4

Տ1ո

է))

ՄԷՀՀոճե»

Նշենք, որ (2)

բանաձեը, ինչպես ն /5) ն (6) քանաձները ճիշ» ալն մակերեսների ճամար» որոնց եզրազժերըկոորդինատաՀչ լին առանցքներին զուգաճհո ուղիղների ճետ ճատվում են երկուսից սսվելի կետերում (նլ. 3498), հն

(42)

Ճ--

նան

Հենա

Տ

Նկ.

Նկ.

նաղ դրալի

Այ ապացուցելու ճամար վլալ տիրույթը (եկ. 349) /" դժի միջոցով տրոճենը երկու կանոնավորտիրուլթի: Դրանցիցթրաքանչլորի ճամար (727)բանաձեն իրավացի է: Գումարելովաջ ն ձախ մաՀ աները,կստանանքայից՝ տվյալ տիրույթի մակջրեսը, ձախից՝ կորա- .

(- յորժակիջո( Ի)

որ

յայս դեսլքումկորազիֆենանդրոողը կախված չէ ինտեզըոիաւնճանակախված է միայն սկզբնական ե վերջնականկետերից: Ավելիճիշտ,

է

ճաստատեն

ալդ

ք

տիրույթիԼ

վերցրած ամբողջ

ռ

.

"

նզրագժով,

37 2) մ աժի կատարած 2) ԷՆ(Խ 5, 27-20, է կոլսսվիժ ճնտնլաւլ տանքըճավասար ինտեդրալին. 3,

--

/ ԱԾ)»

Ճ,

Ս

Մ Ճ,.Մ, մ.

ՉՓԴՅՆՆԱ3:

վածը

ո

պուլց

ժի

.-- Ժ) Գ.

( իոթ5 «այ|

աշխա-

|

Հ 2, 3: ՎՄ -Է205

է տալիս)

է))

կոորդինատների առանցքների վրա Բ են

թե կոնկրետ դեպ-

ՀԱԽ

,

աշխատանքը կլինի

քս

5.62).

նցյա

"բ Նկատենք, ե

ուժի

ծանրության ՝

Ճ--0, Ր-0, 2»5-

ոշ

աալ

"(2

Ր

քի ճաշվուս՛ըձ աշխատան

տեղափոխելիս (ոկ. 350),

որոնվոզ Հետնարար,

ե

շ)Մշ։

ր

պրոյեկցիաներըճավասար

մ»Ճմ7

ինտեգրալը: Ալն ներկայացնելով կեկնապատիկիտնսքով, կստանանք.

(ե

Որոշել Բ ծանրության ուժի կատարածաշխատանքը զանգԵլ 6չ) կետը հին(1յ, Ես «ր կետից Լ կամայական ճանասարճով խ(ճլ, 4.

Լուծուն

|

անընգոատ

|

ինչպես է կատարվում

Ժրինակ

ք

որոշ

՝

սրի օրինակ, որը Դիտարկենք

երում

տիրույթի կրկնակիինտեինտեդրալի Միջն, կորադիժ եզրագծով մի

Օ7 առանցքի ուղղությամբ: ենթադըրենք յգ է -" 2) կորով, իրո լլժը ներքնից սաձմանափակված "1 46Րնից՝ 3-ԵԸԳ «րու, 09Հն) (պ. 347), ՕՀՀՀՀ) Միասին վերցրած ալդ երկու կորերը կազմում են Լ, փակ կոնչ տարը: Դիցուք ք տիրոյթում տրվաժ են Խ(ԿԽ)) ն Վ(Խ ց) անընդՔա որոնք ունեն ֆունկցիաները, սրանական աժանցզալներ։ Դիտարկենք

/

Ւ-ՀՃ(,

ըստ

Փի ուղղությամբ, ալնպես էլ

կորազիծ ինտնդրալը 1" դծով վերցվում է նրկու անգամ՝ ուղիզ ուղղություններով Է, Ճնոնարարյ ճավասալ է. դրոլի: ճակառակ Ի Լ 2. ճանապարճով Խնդիր մի որոշ կորաղիժ երփոփոխական ուժի ճաշվելու.վեր աշխատանբը ար է տրվել Տ 1-ի «կզբում, Լ-ՇՈԱՎ դծի երկայնքով Րնչաես ցոլց լալ

քանի

ռ

Օմ Դիցուք ճարթության վրա ։րվաժ է Լ փակ կոնտուրով ք ւոիրույթը,ուրը Է ինչպեսՕչ առանցսառճիանավփակված կանոնավոր

'

ղեժ ինտեգրալ

-յԼ- ոջ)47Հ-յոք(ոյ-ճջչ):

07--2

(ն)

Գրինի բանաձնը

3.

ջւ Բ»ոյռ

նն, էն

Ճ էԼ

ուժի աշխատանքը կախված է յիայն ճանապարձի ոռկզընականն վերջնական կետերի բարձրությունների տարբերությունից:

ԱՅՑ օԼ

լոլո,

պարչից, այլ ծանրության

յ

3:09)մ:

ԹվապեսճավասարԷ փնտեդրալը ՝

յ

(ԴԵՏ)

Ճ01։,7)ձ2

(1

վերցրած ըստ ինտեգրալին՝ կորադիժ կան ճավասարում նելն 17 որտեղ

Հ-ը

Այսղի սով,

է, պարամետրն

ԿԽԵԿՊ կորի, որի

այս

Նման

| ո(այյտո

յժ--

ձնով կգնեն

(202

(2)

Հանելով (5)-ից (6)-ը,

իճ. ղ(0Ա))ձ» ինտեԹես ճավասար ՕՊՎաղեղի կորաղիժ Քոոագրալը դրալի խո

(ԴՅ)

'

«6,

մա

Տ

-

(2)

(3)

տեղադրելով(1) արտաճալյտությունները

կատանանք.

թ

մշա

Յ2մ:մ7--

բ

մ22

՝

,

))4.:

--5

,

)ժ»

ՃՈ,

))մ2»--

յ

չ

Սա

| Ճ(թ

7 մոմ»

ց

եսէ

այսպ

կոչվող ոՀ ոզ

Դ-Ի

Ր

տեդրալին: ալին

ա Լ

3)

|

Ճ(,

կարելի է

մալնմատիկոս

որ

Դ,

,

որ

որն

ալգո

ես"

է

ան-

ան

Գրինի (1793-154ւ)

Բալց, ցուլց

բանաձեր ճիշտ է պանկացածոխրուլթի համարյ տրսձել կանոնավոր տիրույթների:

այս

Դիտա/1"Ք "կեն

՝

ձն

որը

հտնաբար), բար,

ն ե վերջի

/

վերզ-

(ժամացույցի սլաքի չարժման ուղղությամբ)

է կազմում

Օ» առանցքին զուդանեռ 1չ

զմ

դորագիժ ինտոդրալը։ ոլ'ը վերցվաժ

ճավասարույթլուն րությունը

ինտեգրալի անկախության

Բո

(Ս

Նմ) |

է

ըս

Խն

Վ

միացնող կետերը

.

եթե ուղղությունը

փակ կոնտուրի կորագիծ ինտեզրալում կոնտուրի չրջանցման է չե աշված, ապա հնթաղրվուժ է, որ այդ շրջանցումը կատարվում է սի շարժմանըճակառակ:իսկ եթե շրցանցումըկատարվում ալու ժամացույդի հ

ո

մասն

Ինտեգրմանճանապարհիցկորագիծ

4.

պայմանները

ժ»

Եթե հզրադծի մի

է,

պ բա բանաձեն

ԽՉԿ

ԽԷ

աան ւի կար 7 այսպիսիէոքի. ն

որա

Գրինի ի ե

ձո-ԼՆ մյ

Մենք ենթժազգրել ենթ, որ ը տիրուլքը կանոնավորէ, ն ինչպես մակերեսի մասին խնզրում (տես Տ 3), կարելի է

ի

կարելիէ

գումարը Բալցաջ մասի կորադիժ ինտեղրալների սլաքի շարժման ուղղությամբ բողջԼ փակդծով ժամացուլցի

«ն

ֆիզիկոս վանված անգլիացի

ճավասար է ամ-

է Է

էլԼ

ս

տալ.

(աես Տ 1, 1-ին ճատկություն)։ Հետնաքար, (1) բանաձնբ դրել այլապես.

ր

ձյ-|Ի 12ԷՏԻ)»

ԽՕ

ԳՎ

ա

ժ».

մարժան ուզղությաժբ )

սլաթի

յ

ի ճ.-Ի/

է եթե Լ, կոնտուրի սլաքի ժամացույցի շրջանցումըկատարվում

(3)

(4)

ուշղությամբ

շարժման

շարժման ուղղությանը ճակառակյ ասուն

բանաձեի մեջ.

,

)ձյ:

կստանանք.

անունով"

աին ԼՏ

(ժամացույցի

(Ժամայույցի

րոտ

ց)4»-|

ո

ւխ

մ»

|ՈՆԸ), օ2

՛

ե

է

տնում

ք.

ՉՄ

:

է

ճավասարությունը

դեղ քուն,

.

ձնով

(5)

ն

:

ՃիշսոԿան

:

(2,

ն

7)42--0,

(ն

ապա ճատվաժը,

ՃՀ-Ն, 7--3:(5),

Ե

Նման

սլուրաւմերա-

նշվի» "

,

ծած

բոտ

Մ. Վ. Օստրոգրադսկու Այս բանաձենր ճայտնագորմաթեմատիկոս ըանաձնի մասնավոր դեղքն է, ոուս

ավելի ընդանուր

։

հնք, ենթադրելու

ճարթ կորի: ն

որ

ինտեգրման ճանապարձից, քանի որ ալս օրինակում ինտեղրալն փակ կոնտոարիճավասար չէ զրոլի, ալլ ճավասար է դիտարկվող կոնտուրով սաճմանափակված մակերեսին: 1-ին ն 9-րդ օրինակներում են դշրադգիժինտեդրալները նուլնպես ինտեղրման ճանա-

դիտարնվող Բ ոի ոու

է

ու անընդատ մասնական «(Ե5) ֆանկցիանելն «0 աժանցլալներ:Պարզենք, Թե ինչ պարմաններիդեպքում դրված կոկախված է միոյն բաղիժ ինանդրալը կախված չէ Լ կորի ձնից, այլ իլ ն Վ սկզբնական վերջնական կետերի դիրքից: Ի (եՔննարկենք դիտարկվող 2 տիրուլթոամ ղզտնվով են ՃՆ ն ՕՎ երկու (կամայական կարեր (նկ. 351): տերը միացնող ՄԽԵՎ Լ

որոշ

անեն

ըստ

,

Ճարց է Բնականարար

ու

Դիցուք

| ամաԻամյ-- | ՃճՐՆմը,

այսին քն՝

(

(Բաժ

-

անենք

| «տվո

ժէ

Խա այսինքն՝ ըստ

Լ,

իակ կոնոորի

Վերջին լանաձիու աթո»

ի ՝

Տ

|

»

ք

ել.

55:

պ

Հ-րդ ճատկություններլի

| Ճճ-աժ--օ,

աան

-

մ

կոլազիծժ

ՎՕ

ՅՆ...

(,

այչ

ցանկացած որպեսզի

2)

"

1,

անհրաժեշտե

բավարար

կորերից կազմվաժ իակ կոնոուբով: Ակնճալտէ՝ ալդ կոնտուրը կարելի է կամուլական: ճամալրել Վ Այսպիսով,ալն պայմանից, որ ցանկացաժերկա կետերի ճամար կորազիծ ինտեդրալը կախված չէ ալլ կնանհրըմիաց-

:

1.ն

Տ 3-ի Վ-րդ օրինակում կորաղիծ ինտեդլալը կալսված չէ ինտեդրման ճանա կուիչվվաժ արճից.Ժ-րդ օրինակում կորագիծինահդրաղը

2-16,

7)47--0,

Ն

ոս

մաս-

"

(3)

Փ

.

տեզրալն ըատ ցանկացած փակ կոնտուրի ճավառար Է զրոյի, ապա` այչ կորազիծ ինահզրալը կախվաժ չէ ցանկացաժ երկու կետերը մինե ահ ԻՒ դի Րացնողկորի ձնից, ալլ կաի ված Հ տիայն ալդ է (1) ճավասարոՓից։ Իրոք, (8) ճավասարությունից ճեռնոմ

ն

6,

"

ն

Լ

ն.

այդ տիրույթում ընկած փակ կոնաուրի ճավասար լինի զրոյի, այսինքն՝

Լ

ճ

Ո՛ԵՒ

կետերում

Հ-ոՅ-

բոլոր

Այոդեպքում, այն բանի

.

կախվաժ է միայն կորի ձնից, այլ ճետնում է, որ կ"րադիժի ինտեգրալն կետերի դիրքից, է զրոլի: ճապառար սիակ կոնտուրի ցանկացած Արդարնէ նան ռակադարձ եղրակացաթյունը, ելն կորագիծֆի1-

թյունը:

--Տ--

լ

Տ

է ինոաւնդլաւլը: վերցվաժ

որոշ

ճամար, որպեսզի կորագիծ ինտեգրալն ըստ

.

,

ք

տիրույթի թա) ֆունկցիաներն իրենց

3), 10)

պայմանի աեղի ունենալը թ տիրույթի բոլոր կետերում, ք տիրուլթում րնկած կամալա-չԱպացո ւցո։ւմ/: Դիտարկենք կան |, փակ կոնտուրը ն նրա ճամար զրենք Գրինի բանաձեր,

/(2-58)ա-ի ւթ

ցն

նող

ըստ

Դիցուք մի

լ

ձետ անընդճատ են: ճականածանցյալների ս

կորադիի ինտեգրալ 7՛

.0

Թեորեմ,

«4-40: ն

ԻՋչավիսի

պալմանների պետք է ֆունկցիաներնալն րանի ճամար,

ճետնլալ թնորեմը.

ԱՉԻ

.

:

0)

ւ

Ալս դեպքում կորսգիժ ինտեղրալների 1-ին (81) ճիման վրա

յ

ժաղում,

(ԵՆ)

ն

Ճժ.-ԻՎ մ7 կոր ադիժ ինտեդրալն ըստ ցանկացած փակ կոնտուրի ճավասարլինի զրոլիչ Ալա ճարցի պատասխանը տալիս է որզեսկի

ՒԼՕՎ

ԻԱ

Ճ(Խ.))

քաղարարեն

ՇՎ

ԽԵ

հախած

«պարից:

ու

.

գրալը

մ

մղ-Վ-Մմ7:

եթն (3) պալմանը տեղի ունի, ապա ձախ մասի կրկնակիինտենալնպես ճավասարէ զրոլի ն, ճեոնաբալրս

Բար

մջ--0։

՛

(5) Ալօպիսով,

է, պալմանի բավար արութլյունը առրոցուցված ալդ պալմանի անճչրաժեշտութլունը, այսին տանք, որ եթե (2) պալմանը տեղի ունի Ծ տիրուլթի ցույց քն՝ ցանկացած|, փակ կորի ճամար, ապա լգ լուրայքանչլյուր տիրույթի կետումսոնզիունի ն (3) պալմանը:

Այժմ ապացուցենք

Ենթադրենքընդճակառակը, ունի, այսին քն՝

յ

թյունը (5) ճավասարոա

որ

տեղի

ճալտությունը աին քն՝

ս,

որոշ

ձ)--0,

ընդ որում

ժբ

Թեկուղ եկ կետում:Դիցուք, ւ

:

Բայց

այս

ժո.0-0

Քանիոր անճավասարոո թյան

ժս

ՉԺ

ւ

ոյ

է

լադինան վեկտորը(2, 9) ֆունկցիայի որի դրադիենտը ճավասար է տորի բի պոտենցիալ: պոտենցիալ

անընդճատ ֆունկցիան է, ապա այն կլինի գրական ե մեծ որեէ օ-»0 թվից Ք(.,, Մօ)կեն ընդգրկող որեէ 9՛ բավականին ոքի տիրույթի բոլոր կեյռերում: ժՃ լան կրվնակիինտեգրալն տարբերութ Վերցնենք բռ ալդ իՓ. րժ հ.ք։ Իրոք բուլթի: Այն կունենա դրական ձախ մասի

ՃՈՒ)

սԸ։ 5) աան վնկտորին, է.

ո

որ այս Ապացուցենք, դեպթումՄՀ:

:

ալ-

:

գելբում

խա, որեէ.Ք(չլ, Մօ)կեւոոո ւլ ունե՛նք

անճավասարությունը:

Հ--թ ՀՇ,

ԻՀԿԱԼՃ/ ԷԻ

ժ2

գիֆերենցիալն էյ

Դ-Տ»

ս

«ՇԽ

Բ.-ՑԻյ0

`

հվ ֆունկցիայի

:

՝

պայմանըտեղիչունի, ալսինքն՝

իսկ (5)

)

Ճմո-Վ-Մմ-Հմս(Խ, 3)»

'

չգ.

ֆունկցիան, է այդ վեկ-

կորազիծ ինճտե-

(11)

գրալն Ե

ս

կետերը միացնող ցանկացածԼ կորի ճավասա այդ կետերում ունեցած արժեքների տարբերու-

բատ ձ1 ն

Վ

ֆունկցի այի՝

թյանը.

՝

է Ե -Տո)տ «07-ի

ար

օժ

մճճ7

Բալը

ճշ

-»0. Մմ7»-2Ծ"

Ա

Փրինի բանաձեի վերջին ձավ ք՛ Լ՛ է ըստ Մառըճավասար եզրագծիկորադիժ ինտեդրատիրուլթի լեն, որն, բստ ենթագլության, ճավասար է զրոլի: Հետնարար, վերն է (2) ճակասում պայմանին, նշանակուի ջին անճավասարությունը ըստ

Հ

Է, ր զի

ոլեց,ի ճ

ո

շո

Հէ։

ԺՄ

Փո.

Ա / ուռեզիցԲեւոն ում:

5. ա սո

վյա

է,

բոլոր

կետերում / ՛

գլի'ի Տ

9-ում

ԺՄ. 3.

չ)

որ

կորի

ո

-

ւո առա լսո

Ճշ լ

ապա

Ցո

յՉՃ

է Խ1

Մ ո" ու

ԹԺլուն ր

Է-ջջ հ

) է

ԱԼ2,

կորադիծ

ԷՏ) Պեն

ԱՎ կետերը

մի-

Ճ--Փ(1),Հ«Ե(ԽՄ/

կընդունենք,որ

կետը, իսկ Է--՛Ւ

Ե--էյ արժեքին ճափապատասխան պարափետրի

արժեքին՝

է տելչրալըվերածվում

կետը: Ալս դեսլքում կորագիժ ինճետնելալ որոշլալինտեդրալին, Վ

-կոճւԺ»Բին 02 ձէ

արտա-

"

ի

արամնտրականճավասարումները,

ը

Հմմ»

`

ճաշվելու ճամար դրենք քլո Այս ինտեդրալը

՛

ժՃ(», ")

6.

թ

ասցնող Լ

որ

)»-ս(Ճ)-ս(")/

Վ-ՄԱՄ

դիֆերենցիալն է,

Ս

տես

ճար բ է նրան, պայրիանի բավարարվելը արժեն

աճ ւսիչ ԵԹեն /

Ա

էր, ասլացուցվել

՞|

| ճս.

ընդունումէ ինտեղրալն

-

է:

Մլլ

ո

|

որ

ի"արլրիվառացուցված ւ լոպիսով, Թեորեմը տիրույթի իր«"լի

թեկուզ մեկ կեռում տարբեր է

--Ը

ւ

ազո5

ժու-ԷՄ:»-

Հ

Լրե

.

|

ենթադրությունը, որ

ի նճապառարութան ֆունկցիայի |

«8

(Խ)

(Օ

:

ծս

զէ

ներսի արտաճալտու թյունը Փակաղժերի

Ֆ()|

մնա -

(բիզ

-բ.

է Ը. աժանցյալն

է-ի ֆունկցիաէ, Էի: Ուստի

,

Ինչպես տեսնում հնք, Լի վ դիֆերենցիալի կա կո Ր ի ձն ի ց) «ոն ԴՐ ՄԱ/ ւս ժ Հ է ալնմ .

Ր

ա

վ

ո.

ո : ի4

. գ Ր

ու

ճան անք

ճաշվելուճամար լսսնաձե՝ Ճ.-Տ

կորագիժ

րատ

ո

-

Ր

թյան.

րդ ւ

ո

Հ

745,

ԱՃ.

Տր-ՀՆ բլ

«Ը

.

Դոն ալ

նման

--

աղնդի օկզբին

Ս

«ղա

Կաձեր:

յ

ճաշվելու ինտանդրալը

ենք (4)

«(Ս՛ | (ՓԱ). '

Ճ6, ))45-

-

:

՛

Կամար ճետնլալ

Տն

(Ց

|Ճ(Տ(Ս, 2)գ5-զ

բա-

'

Է

43--ե:գ է

1.0

--

ն 8Դ-ԵՉ

նու

/ոուգութթղբ 21/7 83--

էյ

2.

--0.

ճէ

Հ Շ0Տ

Ե.

----ր---ո-2ո.2

եշ

«ւեԵ

մ): ԻՋ ՛1): Է: (2 (.1/օ(0:-:5Ղ

5.

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒ ԹԱՅԻՆ

ԻՆՏԵԳՐԱԼ

ու

դոսինութները

Ի--Ճ(7,Ֆու 2)-ՒՆ(Խ

դ

զե

վեկտորը, որաեղ Ճ-ր, ցիաներ են,

`

են,

`

22--ո: Ե

Յ

«--Փ(), 7-»ե(Ծ,

Կ

կոորդինատ-

Չ

Հ

ճն

0.,-

կենտրոնի

սոռաչ-

ե

օգնությամբ որոշվում օրիինտեղրալների գծերի կոորդինատները: ծանրության կենտրոնների ճակ,

Ըոտ աղեղի կորադիժ

Լ

կոորդինատների ղդգանկլուն ճամակարգում տրված է որոշ Մ տիրուլթ։ Դիցուք Մ տիրույթում տրվածէ ի որոշԼ րածական կորով ռսանճմտանակվիակված մակերնույ: յհակերնույթի նրատմամըբ ենթագրելու ենք, որ նլոս լուլաւՐ ջ կետումնորհայի դրական ուղղությունը որոշվումէ Քանչլուր ռո(Թ) միջոցո, որիուղղորդ միավորվեկտորի մտակերնեուլ են, կետերիանընդճատ ֆունկցիաներ կետումորոշված է Դիցուքմակերնուլթի լուրաքանչլուր

-

"(ե

րե:

ԴիցուքՕշ

,

ն

ւ

|

Տ

Հա(835.1 Ը-Ն :՛(85 Փ

«9

)

զ

ՃՀՆց 30

Ռ»

Ը կարելիէ դիտարկելկորագիծինտոգրալն 2» կորի աղեղի(է) յոաբրածական

բո. ւ

ճա-

Փ՛(Ս/ ԻԻ" (է) Վե Վ5Հ--ի՛ 1/72«7(84.Լ07

| գ:

Այսպես, ուրեմն սպտուտակաղծձի մեկ փաթի ծանրության ները ճավասար են

վորջին:

ն

«ՀԳ----»-Հ

՛

որ

ստանում

ձնով, 7.--0,

|

««Փ(|),տ»»ե(հ

2.

ՀՅՈ շ|/45Բնոօտ(

Դիցուք

Դիցուք Օ-ն ն Բ-ն պարամետրիալնարժեքներն են, որոնք Լ

4:5112Լ846055 --Ի:գ

ն

ճավասարում ներով, որսոնղօ()-2, Ջ(է)-ն, ջ՛()-Ֆ, պարամետրական են, ֆ'(Ց-5 Էի անընդգճատ ֆունկցիաներ են

)

էլ

8 05

-

Հոլան:

2»

շո

:

որտեղ Ատ-ըաղեղի դիֆերենցիալն ճաշվելու «լում են վերնում դիտարկված ինտեգրալները 1, կորը րվաժ է

մ5 | րտ

60Տ է,

Ալապիսի ինտեդրալները ճաշ-

է,

Ճ

՛

Ա)

-

թո թրա Հա-------«) ՄՎՏ

Ճ--4 3Հ-ճՏ1ո է, 7--Ել

(ՍՀԼՀՉ»)

մել ռպլաուտակագծիփայի.(811101)ծանրությանկենտրոնիկոորդինոչտները, եքե նրա գծայինխոոու Այունը Տաս տսսւոուն նն ում, Լուծ կզտնենք, Կիրառելով (5) բանաձեր,

0 ւ՛-

մ Ը:

3)մՏ-»

՛

մ5

գառի,

Օրինակ

ին-

ի

)Ե,«մ: | ՄՏ

--ս(Ճ)--ԿԱ):

այնդոււմի ւռեզի ունի ն բոտ տարածական կորի կորադիժ ճամար աա օտորն,Տ ի փնտնդգրալի Դ իտո ղու որոշ թ լու ն: երբեմն ճարկ է լինում դիտարկել Լ Ճ(. 7) ֆունկցիայի կորադիժֆ ինտեդգրալներն բոշ աղեղիերկարուչ Նման

), կուռաՀչ Դատելով այնսլես,ինչպես ՀԱ գլե:ի Տ Ց-ումտ Ո ճաւո. Լ Փանախ տարածակա ամա ժանրբության դենարոնի կոորդինատները

Ց0))-

«(Սլրչ«մ«(» 5(0Է-մօ(,

Կ-ար(ց,

ս|Փ(է),

ռբը

Ս

-ը,

Մ,

23-20,

եջ

2)»

2-ր կոորզինատների անընդճատ Փֆունկ-

ճարՀ որնէ հղանակով ք Ճտլւոաբբակոան տրբոճեն Մակերեուլթը

ճար Յուրաքանչյուր Թակնել'ի։ ն ք դիտարկեն

Տ ((թ)ոքթ:))ճ»

դումարը: որտեղ

ՒլՔլ)-2

թ

մանումից ճետնում մասերի,ապա

ակում վերցնենք կամայականթլ կետ

է

Ճ7,

ք, կեճարթակի

բոտ

Ի

գ»--| ի2լ«օ:(ո,

օ

(2)

(1) դումարի լուբաքանչլուր

Ի) դլձոլ-ՀԲլ45լԸ05(8լ:

ճ7

(3)

Ճց

ոլոռեղ Ճշ 777 ոշ «77 պրոլեկցիաներն են

'

ժամանաճեղակիալն քանակությանը, որը դլ վեկտորի ողղությամբ լք ճ մակերե Կժագքումի էճ մ. ԼԶ ՃՅլ ասիր ը ՈՐԻԻ իջ"4 ( նկ.՛ 353 ' «9Բ" ԻԴ :

դրում:

արտաճարոությունը

լիս է

ժամանակում

ուղղությամբ սող

եթե

օ

յւ-

հ

դրական

մակերնուլյթի միջով

կես ԼԶ

թյան ճեղուկի Ճուբի արագու (2) վեկտորը: Ուռուտի մակերնութային ինտեդրալը կոչվում է Ի վեկտորական դաշաիձոսք շ մակերնույթի միջոցով: ինտեգրալի սաճՄայերեհութալին

մավերնույքն այնպիսին է, որի յուրաթանչյուր կետում գոյություն ճետ ունի շոշափողՀարթություն, որը մակերեույթի վրա ջ կետի տեղաշարժման միաի՛օ անբնդչատ փուշոխվում է, ե եթե ԲԻ վեկտորական ֆունկցիան այդ մակերեույթի վրա անընդատ է, աուպլա այղ սանմանը դոյություն ունի (ըստ մաժառին այտ ենբ առանց կերն»:ՄԱ 0ռշտեզրալի յոյո' թյան Թեռրե,նընղունում հենքն

շ

ցման), առլացու

"

՛

ճՃամապատասխան վրա' " չոդր«լը

,

Ը"

ւթյուննե

նան

Իդ

| |«Շ05(ո, 2) 4»--|

ձնով.

այլ

՛

3) - 26օՏ(ո,2)|մ7»ՎՊՇՕՏ(ո,

Ճո-

ւուսկ ճասկացվի տվլալ վեկտորի

:

Մոա" Ր

ե:

.-

.

Ժ

-

Նկ.

(2)

(4)

ԸՕՏ(ո, 2)--ճօ 777

են

..

ճեղուկի Ընդճանուր քանակությունը, Բ

Աա

ոո

Ճ)-Հճճյ,,| ՇՕՏ(ո,

Ը05(Ո,7)ՀՀՃայջ, մ. արիակե

Ճ7

Ր

իո միսովոր

շյա

»)-ԷՆՀօՏ(ո, »)-Է26օ5(ո,

13 ճարվի 15605(ո, 2) պրոլեկցիանէ Օյ ճարարտադրյալը նման (նկ. Թության վրա 953). պնդումը ճիշտ է նան ճետնլալ արտաղրյլալների ճամալ,.

գումարելիկարող է մեխանիկոնն մեկնաբանվել ճետնլալ կերպ. ալդ Ճիմ ք ն է ձյլ բուի լու հավասար Բ,Շ05(դ.,Բ 3) բար ձրություն բ»լլ ստրտադը Ի միջով ճոունելող գլանի ժավալին: եթե վեկտորը մակերեալթի : է, ասա (3) ճավասար է արսմոադրլալը սող յեղվուկիարագությունն

րի

արստա-

(2) ինտեդրալումԲն ո վեկտորների ծեղադրելով արտաճալտություններն իրենց պրոլեկցիաներով, կստանանք.

|

ի

շի

ոչՀՇՕՏ(ո, 4)14-Շ05(ո, 7)/-Է«օՏ(ո, 238:

/յո։

մոռ

7շ

Փլ

դ

(1) վումարի սաճմանը՝ տարաժվածժճգցլ բոլոր ճարլակների վրա, ձդաում են զրոլի, երբ այպիսի բոլոր ճարթակների չորամաղծերը է մակնրնհութային ինտեգրալ ն նշանակվում է

ռիմվոլով:Այսպիսով, աճրանմանչ, րո ՛ՖԲոլ» -- || Բու» 25լ-»0

մակերնույլթըսորուվիՀԱՆ ՈՒՆՐ

եթե

միավոր վեկտոր կոորդինատային առանցքների վրտ ճայաննք նրա պրոլեկցիաներով.

Իդ-ը՝ ալդ մ, ոթ -ն՝ ալդ լետում նորմալի միավոր վեկտորը, վեկա:բներիսկալյար արտադրքալը: ոու

հոլո

որ

//Բո»--||ոզ «Է|/Բոթ--...-- իԲո»

(դ

վեկտորիարժեքս

է,

Բ

-

Տ

6.

մ:

ՎՊ

ի մյ: Վ,մ:-Լ7

(9

Մակերնութային ինտեգրալի հաշվումը

է կոր մակերնութալյին ճասշվումը ինտեգրալի բերվում ինտեգրալի ճաշվելուն: տիրոււթի կրկնակի Ցոյց ոն ք, օրինակ,

ըստ

ճարթ

7 «0Տ(ո,2)մ5

ինտեգրալի ճտաշվելու եղանակը:

ան

17--

Դիֆերենցիալն ինտեգրալ Հաշիվներ

:

Դիցուք մակերեուլթն ալնպիսինէ, որ Օշ առանցքին զուդա(Միուղիղ նրան հառումԷ մեկ կետում,Ալդ դեպքումմակերնուլթի ճավտսարումըկարելի է դրել

ճեռ

Օրինակ

ամեն

Դիցուք

Ս

փակ մակերնույթն այնպիսին է, որ Օշ առանցքին ճատում է ոչ ավելի, քան երկու կետում:

օ

զուզանեւյուրաքանչյուրռաղիղ նրան

Դիտարկենք ճետնյալ ինտեգրալը.

յ

2»թյ(7, Ֆ)

ք-ով նշանակելու մակերեսլթի պրոլեկցիան Օշ տնսաբքուխի Թյան վր, ի Աատնդրայլյի րԺային հ կստանան ք (Մակերնու ա ն ճիմտան վրա).

ճար ու-

միանման-

՛-

ոա

/)26.

2)Ը05(ո,

Մ

Դ

Ալնուճետե, ճաշվիառնելով

նանք.

խա

2)ձօյ 2:1)«0Տ(8,

Ֆ2նա Ֆ (ո 1

3:

,

:.

Ա

/.- '

ԸՕՏ(ո

մասերի Նման

ն

/լ

զգա Է

ճաշվում ինտեդրուլը

ձնով ճաշվում

Բ

ն,:,

,

2,

ար.

| Ր

'

ԸՕՏ(ո, 4)մ5, :

-

է դգիտարԱյս դես բում (57) ճավասարության աջ մասը կարելի կել որզլես ըստ տիրույթի ճաիապատասխան ւզրոլեկցիաների կրկնա կի ինտեգրալների գումար, ընդ որում ալդ կրկնակի ինտեգրալների

նշանները(լամ, ինչպես այլ կերպ են բի

մաձայն,

Խշաննե Հա

ԲԸ)

վ

7)-ը

բացառական

ն բցվո հուր

ասումի,

հն

վ վեԻՇ :

մ:մ7 ճ762, մ42Մ2,

նշված շվա

կա11212

բի

արչ

ուս

-

մ2

3):

47:

է,

ծ

մակերնույթով

ռաճմանափակված ծավալը: Ֆշանակում է, « փակ մակերնույթով սաճմանափակված մարմնի ծավալըճավասար է ճե. կոնյալ մակերնութային ինտեդրալին.

|| -

Մ-

թ

ԸՕՏԼՈ,

2)մ3:

՛

Նկ. 369 Հ, Շ դրական էլեկտրական Օրինակ Լեցթը, որբ տեղավորված է կռորզինատների է վեկտորական ղաշտ այնպես, որ տարածության ատեղծում ակղզբնակետում, րաքանչյուր կետում րստ կուլոնի օրենքի որոշվում է Բ վեկտորը,

յու-

Բ-Կ--ո

օ

է կրկնակի Տ 5-ոււր նըշարդարացնում ինտեգրալը Ապլացուցաժն (2 ) տեսքով դրբելը:

ղգեպ-

նշանը է վրա պետք մակերնեույթի որ նրա ճամար

))

ՆՐ

'

Խն

Մ

լու-

7) մ» |ՄՐ/«օ:(ո,

այդ

»

1)

տարբերությունըտալիս է տեգրալների

)))մ)Վզ«4

մյ--|. Հ"ԽՐ.

954).

Բայց վերջին րանաձնի աջ մասի ին-

ի

սռանձին- առանձինըստ

են

մի

(4,

վրա (ոկ.

Բորի Հազարան:

վերցնել

«օ5(ո,

ճետելալինտեդրալները.

են

օ

տադր|ալ

ԲԻՆ,

Ը

ռ

2--Ե(, Դ,

ի

2)մօ2--

ՕՏլո,

էս Տ/ծվյալ ղեղվերին.սրանց ծա

/ որմալը:

բնութային ինտեգրալում ձաժ7-ի

ն

։

ն

ճարթության Օշ սպղրոյեկցիան

թ

-

մասի: բաքանչլուր

ված

բում.

նշանակենք օ-ի

|

Ընդ որում (կրկնակի ինտեդրալից առաջ վերցվում է պլլուս նշանը, ն եթե ԸՇՕտ(ո, նշանը, մինուս եթե ԸՕՏ(ո, 2)ՀՕ: 2)չ2-0, եթե 9 ւակերնույթը չե բավարարում այա պարագրաֆի ակզբում/ նշված պայմանին, ապա ալն որոճում են ալդ պայմանին բավարաՀ բող

ք-ով

այ-

Ճ37 ե 37))Բխ

է մակերնույթը կարելի

'

արտաք ամարենբ լճամարքն բու տրոճելերկու մասի՝ոտորինն

7--է(5,9

յունը 20, ւք 102,Ն) ֆունկցիայի կրկնա արտաճայտուլ ամար ըստ |) տիրուլթի ինտեդրալ-:լին դումար է: գրալի ճամա

իսկ վերջին նտն

Մ» Ի2Հնո

քս

ո

նու

անո

-

վերջինը,կատա-Հչ (4) բանաձներից

Տ 5-ի

օա, րու /2օօտ -- Է

.

բում

»,

ուղղությու

(ո, շ)ցօ'

կլինեն. ճամաղատասխանարար, վասարումիները,

ւ

ո

Կ

րմ որմայի դրակա,

:

2 ԸՕՏ

որտեղ 7-ը ղիոարկվող կետի ճնռավորությունն է կոորդինատների սկզբնակեՀ տից, Ր-ը՝ տվյալ կետի շառավիղ վեկտորով ուղղված միավոր վեկտորը (նկ. 355), Է-Ն" ճաստատուն գործակիցը: Ռրոշելվեկտորական դաշտի ճոսքը կռորղինատների սկզբնակետում կենտրոն ունեցող Մ շառավղով գնդային մակերնեույթիմիջով, է, կունենանք: Լուծուսխ Ուշադրություն դարձնելով, որ Լ--Ք»-ՇՕՈՏ

) 5 ՛ոմչ--րջւ--

ՐՈՎօ,

Բայցվերջին ինտեգրալը ճավասար է օ մակերնույթի մակերեսին, իրոքյ տեցրալիսաճմանման (ճաշվի առնելով, որ ՐՌ-1) կստանանք.

ըստ

ին259

/՛ եց՝

րոֆ Ֆաղումո-Ճալ-Յ0 Ճլ-»Մ

վ.--

րո

հնք, "ր Ենթադրելու Մ

Էր բոլոր մտակերնույլթն

կեոերով ընկած է 2(5, 3, 2)

սիրուլթում որոշ տիրույթում: հիցաք ֆունկցիան, որն իր առաջին կարդի մառնական աանցյալների անընդատ է, Դիտարկենք

ՊՐ

է

Մ

Թ:6.

տրված

ճնտ

7)մ»

Ն,

ղժի վրա ունենք 7--1(, 3), որվրա) գժի պրոլեկցիա ճանգիսաճարթության Ֆ-ը ԾՆ առեղ Ճ-ը են Ն գժի կնտերի կոորդինատներն (նկ. 356): Հետնաբար,կարող ցող ենք դրել ճետնյալ ճավասարութ յունը.

ըստ

Է

կորի կորագիժ ինտեղրալը: ն

րա

եկ.

|

|

Բավարար

ձետհարար, Տոսքը

րՇ

ք»

Տ

7.

«420 `

Ստոքսի բանաձենր

Դիցուքունեն

.

Գոիծ:

այնպիսի Չ մտակերնույթ, որի ճետ (7 առունցքին ամեն զուղանես մի ուղիղ ճատվում է մեկ կետում: 5 մակերեուլթի ք ի-ով մ նորմալիդրական ուղղությունը վերցեզրադիժը նշանակեն նենք այնպես, որպեսզի ալն Օշ առանցքի դրական աղղալթյան ճետ (նկ. 356): շուր անկլուն է 72-(Խ ե ՆորմալիուղՀ իցուք մակերնուլթի Տավասարումին ճնտն են ղորդ կոսինուսներն արտաճալյտվում լալ բանաձներով (տես 1 Ճառ, ԼՄ դլխի Տ 6).

--

ժ5

քարդ

ա

ԸՕՏ

(ո,

ԻԸ

7)--

ո

/

ժ7

)

ԺՄ

բւ5.

1ԸԾ

,

))մ»,

ՀԸ:, "-ր

Մ,

(3)

ԼԸւ, Դ)

մտնում

ՉՆ((5.

.,

(5.

3:

2)

ՓՃՐՆ

.-

դ

ՕԲ Ճշ)

Մ,

,

լ

-Հ

-

Լ

-

3: -

ՉԷ. 7, ՉՄ

է

ն

ի

ձախ ճՃովասարույթյան

(4) մտա

"

ի

ք|

)

թորՐ)

զ-

Վ»

լ

Ք կստանուն

՛

ը

| ԹԸՀ-ԹԱՅ ւք (5 )

3)

(3) տեղադրելով (4) ճավասարությունը ռում

(1)

)

Ծ

Ն,

Է աաա

ի

-

ք:

462.

ազա

ձնասիո-

Ը. 7) ֆունկցիայի միջոցով,կղտնեն ն, 2--3( ք. անմիջապես,

՝

(5) (Ը -ջ

(6

ան ուկվուծ է Լ դժով: տիրույթը ոճ աղի ֆունկցիալի ածանցալի ճիման վրա, որտեղ

ոլսոնց

ԻՆԾԻ

Շ0Տ

Լ, գժի կորաղիծ ըստ ինտեղրալէ, Սն ինտեդրալն Վերջին լենք բուռ Փրինի ընդունելով բանաձենի, «Ր, Մ, ԼԸ., 2))--2(5 1), 0--Մ(Խ 1)»

ք

Ճ)Հ-Ա-Ն ՇՕՏ(Ո,

(2)

3)

3.15

Լ

Վ-ի ն Մ-ի փոխարեն տեղաղրելով նրանց արՓրինիբանաձեում կոյտաճոն տաճայտությունները, ք.

:

ատ1

Բ.

ոտ-

ՓԵ

ո

Ի

ԳԼԸ., 27:26

Բ6. Մ,

Փ7

տլո-

13)

Հաշվի առնելով (5) ճավասարությունը, վերջին ճսվասարությունը կարելի է դրել ալ սպես.

Խոոթու-վթատ վրա. Վերջիներկու, ար Նար ինտեդր ոլն երը

ձեն

ան

են

"ոթռլին

Թ ին-

է, որ եթե ունենք տնդրալների: Իրոք,Տ 5-ի(3) բանաձնից ճնտնում ճա է որեէ Ճ(, խն 7) ֆունկցիա, ասլա ճիշտ ճետելալ վասարությունը.

մոն,

7)ՇօՏ(ո,

7,

|| մ. 2)05--

նիք

թ

Ալս ճավասարության

ճիտան

սեղրալները ձնափոխվույի են

(5) ճավասարության ճետելալ կերպ.

վրա

2 47--) |2««:(, մշ

2) մ5,

ժզ, | ----97 ք

զ:

Մ» Մժո |----Շ05(ո,

ա

(

2) Վ՛

,

"

|. մ

| |

:(2

(6)

|

յ

-----Ամ

իճ.

7,

"

Փ»'

Փ

մ-Հ-աաա

Է

2աաա 7)45 2.

լ

(7

,

,

յժ»

չ

"

(9)

ԳՄ

92 ը. ց. 0985

Փ

----ս

ժչ

Դ,

ՉԲ

չա

0.

Հետետարար, քար,

-|||Ցա Հ

բ արե11Ա"յ

(8) ՝

դ4Տ«լ, իթ, դ

(5)

եկտորական

տնաձն

տեսբով քով կ

կ

կունենա

(9 )

մց

-.

.

(9 (2)

) ԲԻ)լոմ

սես

,

,

ի

ճավասարության

7)» Է|Ճ:օչլո ԻՍ) 2

սիմվոլով:

|

բը

այսպես, կձեակերպվի թեռթեւտը Ստուքսի

ն

Վեկտորի ցիրկուլյացիան (շիջաճոսթ) մի որոշ մակերնույթի ռոտոկոնտուրի երկայնքով ճավասար հ այդ մակերնույթի միջով

րի Քոսթին: եթե Դիտողություն զուղանեռ ճարթության կտոր ե,

ի

Օյ մտակերնուլթը

ձշ»-0,

ապա

ստանում

ն

մասնավոր որպես Ստոքոի բանաձեի բանաձեր՝

(9) բանաձեից

'

վ

Վ

Ւ

աջ

Ի- «ԷԼՆ)/Ւ 22 որոշվող Ց վեկտորը կոչվում է պրոլեկցիաներով ն է" ՛Օօէ նշանակվում ֆունկցիալըմբրիկ կամ ռոտոր վեկտորական

.

մւ--- |Ճո Ց

մո

(ո,

ԸՕՏ

)

տ

շրջանցման ուղղու կոնտուրի

իո»

2.

ի.-------,

լունը պետք է ճամաձայնեցվաժ ենի դ նորմալի ընտրված գրականուղղության ճետ: Այն է` եթե դիտողը նալում է նորմալի ժալրից, ապա է. կորի երկայնքով շրջանցուչնա տեսնում է ժամացույցի սլաքի շարժմանը մը ճակառակ ուղղու թյամբ: որոնց (8) բանաձեր ճիշտ է ալն բոլոր մտակերնեուլթների. ճամար, է ունեցող մասերի: կարելի բաժանել7»-Հ(2,7) ւնսքի ճավասարում Նման ձնով կարելի է դրել ճետնելալբանաձները.

||| -Զչօո.:)Է 3) (5:ՅՐ: (ո, 2) ի 97,

2-3

ն

ե

(6) ն (2) արտաճալտութլունները տեղագրել ով (5) ստանում եջ, ենբ. .

ժ5-Ի2

,

-

3-0

«-

մաթեմատիկոս Այս բանաձերանդլիացիֆիզիկոս բանաձնը: է Ալո կոչվում/ Ստոքսիբանաձլ: Ստուքսի(1819-1908) անունով ն բոտ ինտեզրալի ալդ կապ է Բաս աոում բոտ «-ի մակերնութալին ւ ընդ ոբում' իջե, ինտեղրալի կորադիժ լ/ակերնուլթի եղրաղծի կատարվում է ըստ վերնումիցույց յորվաժ կանոնի. կորով շրջանցումը

ւ

7)----ՇՕՏ(Ո,7) 32605(8,

ե

ՒՆ

|

ձախ ճավասարությունների

(8)

ն

)

Ժ

Հետնարբար,

(8՛)

»

|»

առ

կամ

մասերը:կստանանք.

մասի ին-

ոջ

-2«06 ի»

||

2) «--| Ր

Փումարելով (8),

՝

Վերջինինտեդրալըձնափոխենք ալս պարադրաֆի (1) բանաձների անդամ օգնությամբ. ալդճավասարություններից անդամ երկթորդը բաժանելով երբորդի վրա, դանում ենք.

Ըօտ(ո,)) Ը0Տ(Ո, 2)

7,

ժշ, (ո, 2)

ՇՕՏ(ո, Է

`

ճետնում

94. ժմ ,

՝

Լ.

սո ումը:

գքամանբնն(ցլաւառ:

,

է,

որ

22.ՅՆ ժշ ՉՄ

քառ

դեպք:

ճար

ությանը Փրինի

ենք

եթե ց,

|

ՉՆ. 07.0, ժ.

էրել տռռնրը,

որը

(10)

է.

ճանալում

«:լո-

՛

.

կորազիծ ինտեղզրալնըստ ճավասար է գլ "վի

Այստեղից ճՃեռնում է, տեգրտան կորի ձնից:

-242--0:

Իմ

է

դեպբում/

ալս

որ

ինտեգրալըկախվածչէ

եհ, ճենամալ

5,

Սա

-

ուղղված, /իավոր վեկտորը:Լա

Ի

20շ-|մս--ս(-ս(ոժ»

Լ Ֆության

ճ

Գրենք նյութական

կետի գինամիկայի ճիմնական ճավասա-

մ

Մ» մզ

Ճ----եդ ՏՈ

կետի վրա

"

ցիաները կոորդինատայինառանցբների վրա,

Փրված

ՀՍՀ

Մ

Սյզ Ը ՀժԽ

Անզամ արտաճայտություններով: թյունները,կոտանանք.

(ճմ

Քանի

46.

թ

աին

:4

ո"

Ր եւե

քերա ռրշոը'

Հավասար

լ

է

ո

կետի Նկատմամբ դանդվածը ՃՆ(,

աջիորոնծը լես։

տեղան

Ր-ով

ուժ

իլ

կեմ

ամո

ավի

յ"

տեղավորվածէ ձղողամիավոր ղանգվածի կամամ1/ Յ-ո՝ լե իսկ ր ո-ով վեկտորը, ոռ

ո

:

կ-ն

որտեզ ր

Հզողակա1"1

Ի-- ր2 ր", առանցքն կ բի կոորդինատային "՛ ելաները պրոյեկ ուժի Տ

դեսլքում

ւ" ,

գեղ քում

ոռ

-

աց մասերը

լմ

այո անդամ

զումարելով

Մն)

:

որ

ինչ ն ՔԼնշկետե

ճավառարու-

րի

(ջ

ր

ա

րոուշն,

այստեղ

վորի ձնից,

այլ

Հ Սե)

(-՛ -

1յ-ով

ունե

յ

շառավիղ վ

Տ

եթե մ)-42)' էեար"«Թյ

րո

Այսւիոով, '

Հ...

Րի կ որ վվենտարների

.

կարող ենք զրել

աղա

ԸՆ)թ

(մագ)

Թ-ՅՆՆՈՎՉՆ

-

՛

ըինչ

աշխատանըը

ՀԻՏ

խՃ----եղ

-

(չանի

տրված

ր

Մ42) : 2707-2742

7չմէ-մ7

մ,

-"գ

է վրա ճավառար ճանապարձի

ՊՐ -ե, դ--ՏԻ-",

բաղմաղատկենք

սշթթնմ5-Է17-Է 247.

՛ Մ2:-47, կ2-ԷՄ "

ն

ուժի

Ի

-

Ադ

ուժի պրոյեկ-

Մյմոջ-Մ,մՄշ)«ժ»չ-1747-202,

ե)

որ

ագղու

առանցքների վբա: կոսրդինատայի՛ն ո"լբոյեկցիաները

արազության

ձախ Տավասարությունների

ո

չ-»

:

,

լ

1.

Մ

:

ո---՛--7, ՖԽ, ժէ

Այատեղ ո-Ըըկետի զանգվածն է, Ճ-ը, Մ-Ը, 2-ը

իր

ԻՀ-եդ

ՆՈ

մմ

ո--Հձէ

ո---3,

--

ի աճը

|

՛

ժշ

՛

վրա կլինեն

(Կ)

Ի

է,

նո

առտամտունհն

այնպես, ինչպես երկու փովոխականնելի ֆունկբանաձերըոես Տ 4): ցիալիճամար Տամապատասխան Ս

Մ

՛

ապացուցվում է

Օրինակ րումները.

կետերում:

րկնասանր, «կրբնակետբ Նջանաներ

ի

զ

կանության անչարժ կենտրոնում, յական դիրքին ճամաղառասխանու

2) ւ.

-

Բր

ՃՆ

ւու

ու

աղդո

վլա

ո

ո

,

(24: (ոլ)

Էն

մ-ը

խյուտոնյան ձգողականության ուժի

"Մ

Ս

ր

1Դ27«, Ի

ի ւյ այի Հլ լ տնչարժ 2 բոշել զանգվածն" ւնոցող րինակ միավոր

այԽր 4 ոա

Որք պարմանենըըանգի ունքնալիս քնթաինանգրալալինր լրիվ դիֆերենցիալն է ճարտությունըմի որոշ (ՍԽ 37, ) ֆոանկցիալի Հ-6ս(Խ

:

:

բազարար

7-7

(

ւ

ն

որտեղ մ-ը

ՃՒ

Հոբ

արազություններնեն 1 ուն Ղ արան Վերջինճավասարությունն է էներգիայի կետի անցնելիս կինես1 մի կետից մի այլ

ին-

գոլը իՀոռեղրայը.

երկայխբոմ երկայնթով

ի

(1)

12."ԻՈ

ջոջ

ինչես ձար կորի դեպքում, կարելի է ցուլց տալ, որ (11) ոչ ճավասարութ եղի ունենալու ճայիար(10) պայմանները յունը նն, միայն ալլն՝ անճրաժեշտ: ն

-

01)

4ծ

Ճշ կետերը միաց"

վերցնենթ ինն

ցանկացած ի փակ տարածականկորի

ապա

բը,

ն

լջ-ով

նշանակենք

ապ

ասպա

1.

կորագիծնաել

նույնպես կախված չէ ինտեզրման

րցնական կետերի ղիրբից:ԱՀկաթված ե ոկզբնականն

ղաշտի ձգողականության առահցրած ֆունկցիան կոչվում է ո զանգվածի տենցիալ: Տվյալ դեսլքում

մ

0:

Ո-Հ-։

օս

շն

Ճ-

պո-

ս(Պշ)--ս(Խն),

Տավասաւրէ աշխատանքը

այսինքն: միավոր զանգվածը տեղափոխելիս կատարած

Ալյանս, ուրեմն

վերջնականն սկզբնական կետերում սլոտենցիալե արժեքների տարբերությանը,

Տ8. Օստրոգրադսկու բանաձնը

Դիցուք տարածության մեջ տրված է Մ կանոնավոր հռաչափ ն որի պբոտիրույթ,որը սանանավփակվածէ 5 իակս/ակերնույլթով Օր ճարթուլթյան վրա ք կանոնավորերկչաի սիրուլթն է, լյեկցիան Ենթադրում ենք, որ օ մոսկերնուլթը կարելի է բաժանել օլ, օգն օյ ունենան հրեքտասինալնպես, որ առաջին երկուսի ճավասարումներն ն շի, հե 7)-ը էչ 3)-ը թ 7) Դ տեսքը,որտեղ 2-1. են, իսկ 93 երբորգ մասըՕշ տիրույթումանընդճատֆունկցիաներ ժնիչներով առանցքին զուգաճեռ

75 ԵՂԱՒՎ

ճ Ը դրօնք

Ֆուտ

է

«

|26.

վրա ընտրենք այն ուղղությունը,

(1).

Նուն

նոլսրալի ուղղությանը: Ալդգեսյքում արտաքին մակերնույլթի

ճավասարության

աջ մասի կրկնակի (1) ինտեդրալներըճավասար ճամապատասխան մակերնութային ինտեգրալներին.

|ւ

ՆՐ

||26. ն(Խ թ.

ք

.

)))ժ2

յմ:

:

օ-| ռա 2)ԸօՏ(ո, 2)(5, 7,

ո-ր/ (Ն

3,

2) (-«օ:(ո,

(27

2))ձ5,

Ժլ

տարրը

նքը

ՃՏ-»24օ|---ԸՕՏ(ո, 2)| առնչությամբ,

քանի

ռր

կապված են (ո, 7) անկլունը բութ է: տարրը

նի

(ո,

ԸՕՏ(Ո,

շ)--Օ 7)

ճա

մօ

--0, քանի

ասարությունը ) վասարությունը

),

|ի

ւշ».

ԸՕՏ(ո,2)մ»գ-

լի

ՇՕՏ(ո,7)05,

ծ--

|70.

3.

դումտար

2)605(ո, շ)մա

)

կարելիԷ

Դշ» մոմ 7

ճետնլալառնչությունները»

ստանալ

)/ ի

Վշ--

Մ ( 4,

/1թ"»իշ.

/,

3 զ 2)ԸօՏ(ո

Ֆ,

7)ԸՕՏ(ո,4)մ2.

,

,

.

ն

2-2

Անգա/տ/անգոսի դու մարելով վերջին հրեք ճավասարութուն առ

Ջերը,կստանանք0ստրոգըր ադսկու "//0Ճ

|

Մ

ՀԸ ատոււ

Դ

լ

ԽՐ"

02՝

-|)0

արատաաատտատատա»

սի տեիրուլթիՃՏ մակերե

ձնով ,

,

Չլ փակերեՎերջին ինտեդրալում 2)), որովճեւտն դրեցինք(--ՇԸօՏ(ո,

վուլթի

ՇՕՏ(ո, 2)մ5--

||թ,

ճամընկ-

որը

7)ԸՕՏոշ

7,

ճ7«« 02--

|12 մ

|

իսկ 2 տակերնույթի վբա կլինի դրական, ԸՕՏ(ղ,7)--Ը 3շ մտակերնույլթի Գ: վրա ալն ճավասարԷ զրոլի: վբա՝բացասական. մակերնույթի են

Գ

"0

ննա

շն

ճավառսարբության աջ մասի ինտնդրալների ամբողջ 9-ի մակերնութալին ինտեդրալն է, ուստի

-

ք

Մակերնուլթինորմալի

շ)

3,

երջին Սակայն ըստ

5.

թ

Լ, Կե լով ( (ավելաց

ալսպեսե

-յի

.

|

)4:Ժ-|

Մ,

մակերե (Թի դրու տեղի ունի

օյ

ԱՆ)

|7(ա2)ԸօՏ(ո,2)49: | «լ

2)ԸՕՏ(ո,0»:

|

-|յ(/2«աի --

07--

Հետաղդա ճարմարուլթյանճա տար վերջին ճավասարությո բանաձների

/55-ի

07--

Գ: մ

օր

որ

քշ(5

-|շա,

րո

|

ագա

Նալ կատարենքինտեգրումն րատ 2-ի

տեղադրելով (1) ճաղվասարության մեջ, կստանանք.

(8՛)-ը

92(2.

«

ն

յ ոո -

`

դլանայինմակերնույթէ:

//ՈՑա-Յ

ե

(Թ7-ը

02(Խ 3, 2)

ճետելալ ինտեդրալըԴիտարկենք Հ

| (ա-ննա)յաօնւդաա (2 վիտաոա)ա»-

`

Շ05

քանաձնըչ։

4շ»»

(ո, «)-ԷՇօտ(ո,

)Դ-2 «օտ(ո, 2))մ5:

(2)

) Օռտրոզրաղսկու-Գաուսի բանաձն Մ. նշանավոր մաթեմատիկոս Վ. Օոտրողբաղզսկ է 1828 թ. «Դիտողություն ջերմու(:801-1861)կոզմից, որբ նա ձճրատարակել թյան տեսության վերաբերյալ» ճոդվածում "

Այս բանաձնր (րը

է ճայտնագործվել

ճաճախ կոչվում է

ռուս

ո

.

2-5» է, երգեցի ք ռվխիվոլով. Կլ ըէրին ՅՆ.

Վ--

արտանալտությունը կոչվում

նանո:

ձի

որը

որ

կարելիէ

|

ՀԻ

մ

բանաձեր ճիշտ

այս

է

(3,

որա ԱԱ ա մաթաց

ւոն

|

լո

ղու

-

նամ

նամ

տիրուլթի

եջ

"ց

տորական Վեկտորակ

ձեով

վ Օստրոդրադակու բոգրադակու

յ)

ժի Բ

ի

||Բո։

ուն

ն

9-Ի:

Դիցուք գր-ֆրանսերեն

3) Կարելի է կազմել զ վեկտորիսկալլար արտադրյալը

սաճմանափակող

ջԲ-( ՀԼ) չ

ւ,

տարամիտության

չասի»:

ձնով դրել սիմվոլիկ

|

ալս

(27

Հիթ

«իմվոլիկ վեկտորի է.

3)

(տես Տ ծ)

ԻՀՍ-ԻՒՐՒՔ

թ)ոՒթԻթՎ52ՀՏՀ 2. 2-ՅԵՎՑ ՓՓ

Զու

Չը

բ

.

Վեկտորական արտագրլալը-

6)

է"

Բ-Ն «իմ վոլիկ 3) կազմենք վեկտորի ԼԻԼ

Լ

--

մթ

Այսպիսով, Բլ

ՋՐ-ՀԱԼՄՆ

յուրաքանչ է նչանակում՝

.

Ով

սրբ

(2)

տոր): (2)

ուլդ

տարածական տիրույթով, մակերնույթի միջով Բ

մ1ոօքքծուծ բառի երեջ տառերն են,

այսպես.

-

Տ9. Համիլտոնիօպերատորը: Նրա մի քանի կիրառությունները

Հ

են

ռիմվոլը գիտել որպես «աիմվոլիկ վեկտոր», Ալա սիմվոլիկ վեկտորը կոչվում է Համիլտոնի օպերատորկամ նճաբլա-օպերատոր (օ-օպերան (2՛) է, որ ց սիմվոլիկ օպերատոբանաձենրիցճետնում րը սկալյար ֆունկցիայով բազմապատկելիսստացվում է ալլ ֆունկցիայի գրագիննաը

ի

ունենք սՀ-ՀԱՍԽ 7, 2) ֆունկցիան: ծիրույթի

ա-|

էԼ

՛

դաշտի դիֆերենվեկտորական

ռրոշ

Ըմ)

Ե

է 1) (5) ճավառարությունը ռալրսիար

ւ

նգա

Ն--

տեսքը ն կարդացվում է այսպես. Ի ցիայի ինտեգրալը՝տարածվածմի հավասարե այդ տիրույթը ե վեկտորի ճոսքին:

բ բանաձեն

ցմ

ս,

նշանը կարդացվում է «նաբլաջ:

պե.

ոցուվմ

Սերճոսող ճեղուկի քանակությունը ճավասարէ

անընդճատէ,

ԿԿՎԻ Ն.

ցանկացած սիակմակերեզրոյի, այսինքն՝ սրակերնույթի վուլթի միջով արտաճոսող (կամ ներձոսող) ճեղուկի քանակությունը բացակայումեն): Ավելի ճիշտ, ճավասար կլինի զրոլե (աղելուրները ճավասար Է

Դ)ց. |

նշած պայտաննեչ

Դիցուք Ի--)Ա-Ն)-Է ՀԽվեկտորը Մ տիրուլթի միջով ճոսող ճնղուկի արագության վեկտորն է: Ալչ գեսքում (3) արտաճայտության մեջ մասնակցող մակերնութալին ինտեգրալը Ռ արտաքին նորմալի վրա Ի վեկտորի պրոլեկցիալի ինտեգրալն է. ալն տալիս է միավոր միջով արտաճոչ ժամանակամիջոցումՄ տիրուլթից օ մակերնուտլթի Մ էլ (կամ ներճոսող աոզ ճեղուկի տիրույթ քանակությունը ճեղուկի քանակությունը,եթե ալլ ինտեղրալը բացառականէ): Ալչ քանակու-

հ

2) ֆունկցիայի գրադիենտը երբեմն նշանակում

ցանկացածտիրույթի ճամար»

ճիգրոմեխանիկականմեկնաբանու-

թլունը:

Դա

ս

ց1ոմս--ք

բաժանելայս պարադրաֆիսկզբում

բանաձնի Տանք ուտացաժ

րւ

որտեղս(2, 7, 7) ֆունկցիան որոշվաժ

որոշվում է դրադիննտը.

Ի--- Ի-- շշ

րին բավարարող տիրույթների:

մ

կետում,

լուր :

(լամ վեկտորականֆունկցիայի գիվերգենցիա )

եկ».

Նշենք,

Է--ՊԱ-ՒՎ

է

ի

ԻՉ

վեկտո

(

ցՏՀՀԻ-՞

վյ ՏԸ

չ

ՕՃ

ժշ )«Թ-ՈՒՒԹԴ-

Օ7

Օօ 9.5|

5.

--|ժ Ա Չ «ավ էր օԽ9

Պ«

Հ

:

2), Այսպիսով,

Ճետնում Ասվաժից

Թուլլ է տալիս

շատ

`

ցՏՀԻ-«րՕԵ

է,

էր վեկտորի՝ կություններով.

բանաձն

ես:

կոչվումէ 82վեկտորական դաշտը տենցիալային վեկտորական եթե վեկտորը 4)

մի

որոչ

Ին,

ՉՀՈւՒՄ .

ԿԱՍ.), 2) Մո

չ

պո-

է

ֆունկցիայի գրագիննտ՝ ԻշշցաԱԱ կամ

«ՕԱ

ԷՒ-1լ--

ՕԱ

ռա

Հ-Ի

օս

Փ--'

Ալս դեպքումԷ վեկտորիպրոլեկցիաներըկլինեն

Ժ

շշ

ճետենում է (տես Լ ճատ., Ալոճավասարություններից 7 07 7 07 94 97

կամ

Փ

թռ թյա

ՊԼ, չ

Օէ ՛

հնք

որ

ՎԽ(ոօէԲ)--0,

կոչ|լուրաչ-

դաշտը

(3)

աղբլուրներից:

ազատ է աա

92 ՓՈՂ, Ս(ք 02յ (Զ 4Ի (5:

ա

ժշ

աքար

Ը

ժշ

Ր: Ն.

-5(297 Ժ:Ն07 Ը) ԱՆ)(5. 2) ՂԵ ՀԱ-Ծ

ՎՃՍԱօԷ

ՇՏ

07.

-

ժ»

--

19»

|

ց

:

|

Մ

(7)

միջոցով (5) ճավասարությունը դրվումէ այլապես օպերատորի (7 օ(ցչ«Բ)--0. :

Ի»«0,

ւօէ(թոոմս)--0,

ճամար Լ0էԻ--0,

|

ք վեկտորիճամար Հետեաբար, դիտարկվող

Ալապիսով,ստանում

դաշտը, որի վեկտորական

"ր

Լ01Բ»--7

-

12)

.

97 րւ 7 ար

օժտված սովորական վեկտորի ճատճավաչ վեկտորականարտադրցջալը

ճե ւո

հեւոն ումի է, (7) ճավասարությունից անմրրիկային:

ո

:

դլե'ի Տ

|

է

իրոք, էթն Բ-Ի,

|

Ա

շ)

ալսին քն՝ մբլիկների

:

Փա»

ծոռ

ուզեն 9"9./Ք։

:

՝

7-:Ա, ՄացԿ, ՑՅԱ, օ«

է

3,

(92«9)ս-ն.

Բ

ճՃանդիսանում՝

դաշտ,

,

է: քանչլուր պոտենցիալայինդաշտ անմրրիկալին ն է Ճիշտ հակադարձ եզրակաքությունը, այսինքն,եթե որոչ Ւ է, ապա ալն պոտենցիալա կան դաշտ անմբրիկալին լին է. վեկտոր է Տ 2-ի վերջում բերված դատոչ Ալս պնդման ճշտությունը ճնտնում ղություններից: 2) վեկտորականդաշտը, որի ճամար Ամ Ի--0, ՑՓյԱր Ի, այն վեկտորականդաշտը,որում աղբյուրները բացակալում ալսինքն՝ ծն (անեսՏ 8), կոչվում է սոլոնոիդային կամ խողովակային: Ապա-

(6)

ոիմվոլիկվելոորի օգտագործումը արաաճայտելվեկտորականդորժողուՀ-

մի քանի Թլունները : Դիտարկենք

զրոլի: Այն Ի(»,

վում

Մ

որ

ճամառոտ

է

սար

թ

-

(3

պատկելբազմապատկիչներիցմեկը, գրենք

ց

օժ.

ճիւրանվբա (1) (6) բյսնաձների

ալոպես.

որ վեկտորական արտադրյալըսկալայն Ճատկուլթլունից, Օգտվելով ճամար բավական է ազդ սկալլարով բազմաչ չարովբազմապատկելու

Ալատեղ օպերատորը նորից

րոր

ն

(ցՀՀս)--0:

ՕԴ...

ժշ

՞

|

|

Իբ) (5:աշա Ե Օշ, ՀԺԿ Չ-« ԺՄ Հ«(Ա-Տ)Մ օյ.

2)

(տես Տ

9: 7

ՎՔ

|

(92 (5:ՓՈ.(5:

Կ(92

ժմ. ժ7

ՄՀ 7

ւշ 12

լ

յւ

2|

Ն

ժշ

(1) ց օպերատորը Օդգտագորժելով է կարելի դընլ ճավասարութլունը

:

ձախ մասը կարելի է դիտել որպես (ՀԻ) Ալս ճավասալսության ՓՔրեքվեկտորների(որոնցից երկուսը միննուլնն են) վեկտորասկալքար (խառն) արտադրլալ: Ակնձալտէ, որ այչ ճավառա արտագրլալը է զրոլի:

3, ունե՛նք Ա-ՀՇԱԹ, գաշորը: չրագիննատների

6) Դիցուք

ԱՀԻՑԱՎՄՉՎ-ԼՑՆ,

18մ

|

ո Լ Սնչնունեւոււ

դ"

ԳԽ

Ք

(քոմ

:

Վ0707ժմ կոմ

ի

ի

ի

ՉԱՆ

Փս

ՓԱ

ժն

(9)

Ա0)

Չք:յր

Փ

Փ

ասի դնությամը

Սարան Նկատեճ ք, որ

է

Լապլասի

--Քոզշ

|

է

դրել այսպես.

:

.

(1) ուտ դրում

ենք

ճեւտե

"գ

օ2

Տա գաո-0 Եռ

աը 12. շ

-

(1Դ

ի

|

Ա

'

որոնք բավարարում են ճիկ ֆունկցիաներ:

է

)թ-6(1--«0Տ)

1Հ-8(ե-Տ1ոԼ),

կամարով

ն

բ

ՀՀ

|

կորի

(ՕՀԼՀՉո)։

Պատ.

:

առանցքովռանմանավխակվածսիրույթի

Օչ

ծաստատուն

է, ն

Ըյ-ը

ճաստատուն-

6ջ-ը

տոոմ(օե)--ֆջոճմն-ԻԷՆթոճմֆ, Գանել քոմ,

քճմոՀ, է

--Ր/Ո3: 1՛(

քոմ

Ապացուցել,

14.

Հաշվել

1.

որտեդ Հաշվելմ17(19Փ)-ը,

մլ

ԷՄ ԼԼ ԳԼ

Ջո141(ո), որտեզ

-ս

շ2

Է/ո

15».

16.

որ

Ւ-ը,

գառ»

4ՎՄ4Խ8:

ճԽ(4-Լ8)-ձմ եթե

Պատ.

ՒՀՀՃԷՐՆԻՐՀԻ:

4-ն

գմում Լ(լոմ

Հաշվել ժԽ(ՒՇ)-ն,

որտեղ 6-ն

3.

ական .վեկտո բական

ուն ֆունկցիա

ույ,

ճառստատուն

վեկտոր է:

է, իսկ Փ-ն

Պատ-

'

(Ը: Ի)/1

՝

Հաշվել ճ179(-4)-ն, Պատ. 4 Ասղացուցել, որ

27.

կամ

կոչվում ճավասարումը

առտը

որտեղ Ք124(6յՓ-ԷՇշն)-ՀՇՕլց1449Փ-ԻՇշքւճմն,

ՀԲարգոայյա

յ

ձՃԱ--Օ

ե Վատ. աստրոիղի աղեղի,

Յէ:

է

որտեղՇԸ-ն Քոճմ(«Փ)յ-ՀՇքոճմօ,

11.

-

շ

Հ-851ո3Լ 73--ՅՏ|ՈՅԼ

մակերեսի կրկնապատիկը): 9.

Ճավաս ություն վասարությունը

չ

,

1լացուցել, որ

(ՋՍԱ)Հ-ձմ, այսինքն՝ ձգ

պաուտակազծի ազե-

կվեապաոիաի

մեր (Ցճենլ"եե

Պատ. 7/1: 2Ռ:

.

|ո47--յճ» լատ.5--06053է,

բատ

Հճ մլԽ(ցյոմ սյա 11) (11)

2Հ-ԱԼ

0,

Պատ.

Տ.|/4»-յս

,

ւ

եղած

Յ8:

ւ

կարելի նաբար: (9) ճավասարությունը

կետից մինչն -շկեար

Պատ. (նշված ճանդույյովռանմանավակված մակերեսիկըկնասլատիկը)։

|

աիմվոլըկոչվում|

օպերատոր:

-2ոռե,

էյիոլաի աղեղի: կատ.

3:Հ48)ՈԼ,

ՃՀ-86051,

:

(առորոիցի մազերը

շթ

թ

ՀՀՀ ԻՋ Դ---

Մ

ժինչն (--2ո),

6.

:

'

12:

ըստ

ուղիղի Ճ--1

--Խ

բոտ

».րազատ:

ղի (Է-0

"

0,

Պատ.

ՏՏՀ

Պատ.

ոկզբնակետում կենտրոն կոռրդինատների

բաո

"Մ

Ք

օդնո

|, ԹԵՐ արմ 742-4-մ)

Մ»--ետլոէ

ՀՀ-ՅԸՕՏԷ,

բոտ

շրջանագծի, է

՛ 7:-ՅՏԼոէ

ճ-ՀՅԸՕՏԼ,

Ըստ

ճատվածի, Պատ.

է

նոր --

ատո

խ-4)

Ժս

լ|ժ"ռ

|ժռն

ՃԻՉ»

,

».

ունեցող շրջանադժի,

շիթ Պր

օ

17247 2:747

Է

Դ-2(5-) 0,/ Ե ՕԺ7Լ07/ 5| ի

ի

,

Հւ

1. '

-

Ալո ճավառարությանաջ մառը նշանակվում

սիմվոլիկ

Հաշվելճետնյալկորազիծ ինաեդրալները.

։

Ց-

ճԽ(տ184ս)--

լոմ

Վարժություններ47 գլխի վերաբերյալ

դաշտը: Ռբոշենք ռկալլրար

2)

(12Դ

Ըյ-Ը 18. Լօ1(64 -օ249)Հ-«գօեձ4 որտեղ ւ-Է62ւԾեձչ, ւ

է

Շ-ն ճՃՀՕ որտեղ 19. 101(Ճօ)--քո24

Լապլասի ճավասարում: Ալն ֆունկցիաները» Լապլասի ճավառարմանը,կոչվում են ճարմո8-

42»քոռմ մ174 -ձ4,

20:

:օէ 01

21.

45 9:124Փ--6 (Փ4),

Հաշիվներ Դիֆե,ենցիալ ն ինտժդրալ

հ

ԸՇչ-ը ճաստատուններ

ճաստատուն վեկտորէ,

՞

Մակերնութային

ինտեզրալներ

22.եղացուցել, ||»ոա-օ.

եքե

որ

՝

նրա նորմալը: 3. Գտնել

Ռ-ը՝

կտրած

Մորոաը

26.

Ֆզ.

Վճ

ՖՕ.

:

-

Գտնել

գնդային

մակերնույթից

ճարթությամբ

7-Ի

զաւր. կոորդինատները: կենտրոնի "

Մրո

(6. ա) 0,

ԸՕՏ(ԴՃ)--7Ըօտ(47)--2 «օՏ(42))45, որտեղ օ0-ն փակ

որտեղ Մ.-Մ

Հ 23(47 մ7--

մշ

8-Վմչ-Է

գեղային 5-ին

8-33

Տ

է,

զատ.

"

/1 2-3345

Գտնել

որտեղ Տ-ը

՛

Պատո.

ՉոԱ1.

Ն

ՑԱՐԸ

,

շ

ՀԵ)

Ը05

լ)մ5, որտեղ Տ-ը

ե

Պատ.

ՀՀՎՆԼՀ--քշ

Տ-ը

է,

ԱԻ

-Ի Հա-Ե

էլիղ-

սֆերայի

շ

:

ՅՁ

Պատ-

-Ջ--Հաշ,

--ԷԼՀՀՀԷ

0Հ

Տ

մակերնույթն է, 42..

Ստոբսիբանաձնիս /

Փանել ճետնյալ կորազիծ ինտեղրալները՝ օգտագործելովՍտոքսի րանաձեր

82. |0-Մ(Իժժ-ԼԸ-է))42, անմիջականորեն.

որտեղ Լ-ը

:

Պատ.

:

Ը-Ն

Ծ

43-Է

Ֆ

- /5-65

Մ յ 1625թ ոչ Օշս

Ապացուցել

տիրույթի

.

'

Ր

0։

8-7

Ը05

զ առ.

է,

ածան ո

Պատ.

0-3

Տ-ը սրտեզ

ԻԵ Հ.-Ց0ՀչՀ

/թատոաոու, քոնի մակերնույթն ՀԻ, որտեղ Տ-ը 22-77-87, 41. | 47-34 մոգ), գլանի`

21-92

ինտեզրալը ձնետվոխելբոտ

«Վ-3-Լ2--0 չրջանադգիժնէ,

միջոցով. Տայ" չվել ճետնյալ

:-

արող

Լ

1/6 «0Տ

մակերեույթն

ինտեղրալը որտեղՏ-Բջ

ագարի -մ««.

մա-

մ

ժշ

40.

գ),

արտաքին կողմնէ,

չ

Տ

-չ-ոԱ Ն,

այաւտոա: ՈՐ մագերեույթի

ԳաԱՑո ///6»

զատ.

է, Հագերէույթն 4ոզե«:որտեղ Ֆ9. |/(2:250-Է)5605:-| 83605145,

առիդի

Գոնել

Պատ. 0 0, Պոտ. 4242.

զ:203747 մյ ճշ։

մա-

զ--ՇօՏ :-ՇօՏՎ)Մ5

ՀՀՀ-43,

«05

ւ

ժ:մշ 154մոմ, օ7

«2

Տ`

ՖՏ.

ռանմանավակվածմարմնի մակերնույթով

նտեգբալը,որտեղ Տ-ը յ |ոճոյ:

Գաոնել

1. Պատ.

Օ.«օօ50-7

437մշ,

«Տ3)Օստրոդրադոկու բանաձնի --

Հաչվել 217-748:

կոնի կողմնային մակերնույթն է:

ՀՀԵ

Մ/-»ոո

Մայն

Ֆ..

ճարթությամբ,Պատ.

է 7--էլԼ

-

գերնույթի արտաքին կողմն

գնդային

Պատ.

2437--)14342

:

։

:

29.

մյ)

Յ6.|յթզ:մՄ7-Հ-774

:

որը նրանիցկտրվում կոորդինատները,

վերեույթ է, Պատ. 3Մ, ծավալն է, 28.

//

ինտեգրալների, ՖՎ.

ծավալի

ըոտ

ճետնյալ մակերնութաւյթն բանաձեր, կնտեգրալ-

Պատ. Ֆ5. //(2-37 գոտ»). //Թաաա-»»

մասի ծանրության

մակերեույթի այն

կոնի

կտրած սեգմենտի ծանրության

լ

շրջանադիծն է,

՛

ները Հնափոխել :

Լ-ը՞«ելջո-թ:,չ-0

'

Հաշվել 421

շէ:

,

որտեղ

'

րք

ւ

ատ.

ֆա

կենտրոնի

իճ,

չ

կիրառելով Օստրոդրաղսկու

ճարառանցքի

2շ-2Ը ճարթության պտյոման ո"լարաբոլոիդից Փոնել Ճ2--172--207 առանցբի Նկատմամբ:Վառ. մակելնույթիիներցիայիմոմենտը Օշ

9.

ն

տ

3-1

ոա

,

իսկ

3-ՕԵ-ՅԻՒ):

զատ. Նկատմամբ:

4.

է,

ունեցող սֆերայից2-»Է| 2Վ-17-Ր22--ի2ճավասարումն

Մափգրրույնի փողրցիայի Գորագ աաա

Քուքյո

0.

փակ մակերնույթ

ջ-ն

Բոյլ)

ՖՋ.

է, իշկ եղրազիծֆն

է,

2ուծում,

օս

Հ-Է

//22:5օ

-իԼՅ Շ

ժ

»

Ճույնությունը,

0ո

արտաբինՖոբմալի

մ2ժ7--|

2-3

որտեզ

ուղղությամբ

4»

«0Տ(Տ, 4)-ԷՃ Տո(5, 2))45,

-

առանցքի միճն եղած անկյունն է, ՕՃ առանցքի միջն եղած անկյունը, ապա եթե (ո, 4)-ով նշանակենք նորմալի Ճ): ծետնաբար, ՏՍո(5, 5)--«0Տ(ո, 4), Շ0Տ(5, 2)-»--Տ)ո(ո, ՇԸ (սնտուրի

որտեղ(5, Ճ)-Ը

չշոշավողի

ԱԵԶՏտՆղունելո զ

մ»:

օս

ՎՃ Հրա"լ

1 Հա-

իո

/ ԷԷ ո)" ս

կամ

Օչ

ն

|»

«օՏ(ո, 4)

--

Օս

-Ո(ստանանք. լս

Ց) մ)

Չշս յ յ (շթ)

,

///-ա»

մ7

մ:

Ը05

զ :ՅՀմ

սա

(ո,

ՏԼո(ո,

ԵՐ

ր: յլ

|

-»

--ղ-մտ.

|

45.

ք

աինքն՝

03ս

ցո

այդ

եթե ս(չ, 3, 2)-ը մի թրոչ աիրույքում ճարմոնիկ տիրույթի ցանկացած կետում բավարարում է

02 ժ՛ս 02 ո:

Լապլասի ճավառարմանը,ապա

շս

ռ

Ս-- .0գ--0, օս

Չո

ս- մ5, ժո

որտեղ օ-ն

փակ մակերնույթ է,

Լուծում,

տիրույ-

46. (41,

Դիցուք

2.)

7.

Դա ԱՃ,

է 44-րդ խնդրի բանաձեից, անմիջապես էետնում էն որնէ Ճ7սխիբույթումճարմոնիկֆունկցիա 7, 2)-Ը

կետում կենտրոն ունեցող Մ չառավղով

ոո

ԱՀՀՀ-Հ-Ի-Հ------Հ

է ուծուսիչ

ձետեյոլ

ր

Հյ) .

շ

ՕԽ

արարը

ազար

"(լ

Պշոջոցը

բանաձնում՝

ի

լուծում:

(371,

ՐԵՐ)»47.մ2-1

ո

2:)

ՉԷ

Սա

Ը

|

ՃՀՄԱ՛լ--ԱԿԴչ,

,

Անմիջական

ԳԱՑ,

22ՀՄՄ՛չ--ԱՄ՛շ'

:

«օ5(8, 4)--1 «օՏ(ռ, 7-2

չետնարար,

ՃՆ

«օ5(8, 2)

օ0511,

|(/(Ճ-ամ)

մ»

մ7

3)-ԷՄջօ05(Պ,

:

օս ս

----Ա--

ունը

տիրույքը,

Օ

ունեցող

ն

ք

սաճմանափակված է շառավիղներով

որը

(ԸՀԱ)

ու

աաա: ՀՄԱ Մ-Ի

-

0-20

ն ճամողվումենբ, տեղադրմամբ ղիֆերենցմամբ

ԱԻ

որ

չետնարար,

ժշ 2

իլ

շ2թ-ՄՃԱ--ԱՃՄ,

ՀՀմ(ս՛չԸ0Տ (դ, Ճ)-ԷԱ՛չօօ5(դ, 7)--ս՛չօօ5 (7, 2))--

--Կ(75605(դ,

մշ.

2.

ո-ԻՍ՛ Իս"22)--ս(՛՛Դո ԻՄ" ՅՆ"

ԱՉ ԻՐ ԿՆԱ"

Ճ

4ոն

օ երկու սֆերաներով։ 43-րդ նդրում ապացուցած Մ.յդ տիրույթինկատժամը Փրինի բանաձնը կիրառելով, իբրն ս ընզունելովվերոճիչյալ ֆունկցիան,եկ իբբն մ՝

«օտ(ո, 4)-ԷՄ «օՏ(ո, 3)--2 «օ5(ո, 2))մ5

դեպքում

ան

.

9,

Դ-ՀՄԱ՛չ- ԱՄ), Այս

ր

2:

Դիտարկենք այն կետում կենարոններ

օ

ընլունենք

այդ

որ

Էա

ՐՈ

սֆերան գտնվումէ

գ

«ռիրույթիներսում:Ապացուցել,

եր

02ս

այ-

:

Գրինիբանաձ' ը).

ածանցյալների ճետ Ծ

ֆուխկցիա է,

օս

Մ

չս

յ

ոո"

բոր

՞

«5

Կ. լիզ ձՀ-|("5 «

սիմվոլները նշանակում

ո

03ս

Փս

ՃԱՀ--

աի

:

-ն

ձմ

որտեղւ

/)5'

ճ7--

մ)

մշ

ձս

Լուծում, Նախորդ օրինակում ասլացուցված Գրիսի բանաձնում ընդու նենք ՄՀՀ), Այս ղեպբում ձՄՀ-0, ն կատանանք վերոտիչյալ նույնությունը:

որտեղ Ա-ն իրենց մինչն երկրորդ կարգի են, թում անընդնատ ֆունկցիաներ ն

նույնությունը,

ՏԼո(ո, ))մ5.

Ք

ճետնյալ նույնությունը

ՃԴՖ. Ապացուցել

ճս

'

լ»

--

/02ս

ն

44. Ապացուցել

|

ն

ը».

/

ւ

ՅԱԿԻ, օո օո

|05.

«11

լ

մակ Փո

Աշ----Հ---

Ը Էչ)

-

ժո

-

Փ

յ-Լ

՝

մօ--0

Չո

ամ

0Խ

ԳԱ օո

ն

ց

մակերհույթնե մակերնույթներիվրա

-

իզ--

մեծու

Ո ՀՆ

շ( 3 լ

օս

------Ա---.---ւ օո

ունը թյունը

ճաստատուն

|մօ-:0.

ժո

է

ք

ի

--ղ-

ի

,

ուստի այն կարոզ է

բերվելհնտեզրալի նշանից:45-րդ

դուրս

արդյունըիճամաձայն, ունենք

Խնդրում

ռտացած

չետնաբար,

|

(չ) // (2) Հագավ Ը

իյ

ՇԱՐՔԵՐ .

1)

ի

Լ,

Ժո

Ուստի

`

լ

-

կամ

Շարք: Շարքի գումարը

ԸԸԶթ'

/

--ա-|ի-.չ 4օ--0

ս

է Սաճմանում1, Դիցուքտրված նս նշ, Աջչ-.Ար»:»:

Թվերի

ս

անվերջ Ճաջորդականությունը""

:

բ1

//

Լ.

Փ-թ:ր

6,

()

Ձախակողմյան ինտեդրալի նկատմամբ միջինի մասին Թեորե7, կիրառելով կատանանք, ց

լ

ԼՐ մ

որտեղ սէ,

ւե

է)-ն (Հլ, ոթ

ձղտիզբոչյի'այս

Ք-ն

յՀ

: ք

ք -»Ֆ0 `

Ց

// ո,

ստանում

յի

17 6

ք

տ

նրբ

Ք--0

լի

գամ

.Տո--Ալ-Աշ,

ւ

: Է: : Աչ... Տո--Ալ-Էնջ-Ա

.

«5-ին

կախված չէ ը-ի,

:

սո

րո"ո |1

՝

21)4:

շո

ՏյԱլ,

.

7. 2.) մօ-«4ռս(2յ,

ս(ոյ, ՖԱ

ճետնլալ մասնակի գումարները.

Տյ-ՀԱԼՎ-Ա7Հ

վերջնականապեսկստանանք.

առնենք Քանության

Եթե գոլություն ունի յ

ս ս ո«"Ալ-սչ-Ւ՛«Դ-սո/

ՏոՀԱ

ՀՀ4Ա,

(1) ճավասարության աց մասը

որ

ն

ով

ա)

Այնունետե, Քանի

ո

'

'

ժ«-»ս(դյ,

ուն

ու

շառավղով սֆերայթ

Ղ, է)-»ս (.,

(յ

վում է թվային շա որում ն շարք, (ճ" Ընդ արտաճալտությունը կոչվում որում Այ, Աջ/.., են Արջ":Թվերը կոչվում շարքիանդամներ: Ձ Շա ՐՔ ի Սաճտանում Ո ճատ վեՐՀ ավոր Բ1 4 անչ չ առաջին է Ո-րդ մասնակի ղումարը կոչվում դամների շարքի գումար. ճս

Թ)

-

դեպքում ս, 4ոք

ո

ե երբ

,

է,

ար, Հետնա բար,

Է ճ ,

2.) կետումկենտրոն ունեցող

ս

մակերնույթի վբա գտնվող կետ Ստիղենը,

-«6

զ.

-

ս-սչ--սչՀ«..-ԷսոԴ-..

՛

Լ

լ

ՏՐՎ

Տ

|

:

-

աղտ

ԳԼՈՒԽ

«ՄԼ

ԷԺո-գ,

Աո

Բ"

«2»

են (1) շարթի գումար սաճմանը,ապա-ալն անվանում վերջավոր

ասում :

են,

ո

Բշ

գամեա շարք: ԵԹե լլ Տ լ ղար ասում

մօ. ըստ

են,

որ

ա

րքը ո դոլ

(1)

լու

է, իսկ կ շարքն ՐՔ". անվանում

| զ ուզամիտում զ

Թյ ուն

շաիքը

Հ չուն

ե (

օ

կ, Տր--»ՕԹ,

Ր ինա

տարամիտումէ

ո

ն

ե

ՐԲ

Ա-»Շց),

են

զ զու-

) ասլա

զումար չունի:

» ճամարվում է տլ'ված, եթե ճայտնի է այե օրենքը, Հաջորդականությունը որի կարելի է ճաշվել նրա ցանկացած կդ անգամը' տրված Ա-ի դեռքում:

Օրիի Կան,

նե հոն "2: Դիտարկենք Հնոհյալ չարքը:

ւու

ԼԶ

Ն

Էլա. 8--Յզ-ԷՀզշ-Ի...կ-ճզ"Սա

(2)

երկրաչափական պրոգբեսիաէ, որի առաջին անդամը

տարարը` զ(85-0): ես սոն ւիողրեսիայի Հառիակ

մասուր

կ

ՎԱ

իպ

չեն "

ատո

՛ա

1Տր-Հ-----Հի

1) եքե

զՀ1յ,

զո-50,երբ

ապա

ոն

Նշանակում է, լզ Հ

(երը զ-1)

ԲԸ

ՏոՀՏԸկՀՎ-Չու

որտեղ Ը-Ն

բ

Տ

-

-

ն,

Ա-»Ը.

զեպքում (2)

ունի Ատոր յ

'

-

1-գ

դոլությունունի

Ձ

զ:

զուղամիտում է

սա

ն

նրա

զ

|զ|»1,ասլա |զյ"-»«օ,երը

ն

ըԱ-»օօ

դեպքում

այո

զզո

.

Ո-»՞-, այսինբն՝ է, բամիտում

ՄՈՏ

ո-»Փ

3) Եթե զ--1,

ապա

Հ ա ԲԲԸ

:

շարբը

տա-չ-

ՈՃ, ր

ՌՈՊՏրղծՀշյյ

ո22

0, ձրբ Ձ,

երբ

ո-բ Ո-ը

որ

դոլուլ լուն ունի

ր-»Փ

եթե դոլություն / Լող Տո՞Ր: ելե :

ւ

դ-»ա

Դամ

1112ղ.. կ-ն,

դ-»Փ

ել կ /" տանք շարքերի

ւլարզագույն (Յ)

ձ.-ԷՑ,--.. Ւ

ե ն նրա զումարը զուգամիտում

ւՒ

ԸՅՁո-Ի-".Ւ

իոկ

հաւ լ ասար

եէ Տ-ի,

ապա

(գ)

-

որտեղ Ը-ն

'

.

:

՛

«Դ

ՄՈՇ-ՇՅլ-Ի

«ՀԻ ՇՑո-Հ«(ոլ-Ի" Ցո)ՀՀ«Տու 2.

Ս

` ,

8--81-8--8-ՎԻա.

Տո--

է,

ճետեու

ֆիքսած թիվ ե, նույնպես զուգամիտում հ ն նրա զումարը հավասար հ 65-ի: (8) շարքի Ո-րդ մասնակի վումարը նշանաԱպացուցում կենք Տլ-ով, իսկ (1) շարքինը՝ օ-ով: Ալդ դեպքում շարքը,

4--ճ-ԼՈ--...

այսին բն՝ շարքը տարամիտում է, 4) եքե զ--- 1, ապա (5) շարքն ունի

զույգ

Այստեղից պարզ

է,

(է) շարքի

է,

1ոօր-1իո(«Տը)Հ»Օ1նո

-

ոշ

Եմվ այսպես, ալագես,

ՇՏ-ի:

Թեռրե

մասնակի դումարի

Ղ-Րգ

սաճիփանը

որ

կենտ է,

եթե տրված (1) շարքի մի քանի անդամներդեն հետո ստացված շարքը զուգամիտում հ, ապա զուզամիճետելուց հ տում նալ ինքը՝ տրված շարքը: Հակադարձը,եթե տրված շարքը հ, ապա զուգամետ հ նան այդ շարքի մի քաճի անդամզուզամետ ճերբ դեն ճետելուց ճետո ստացվածշարքը: Ուրիշ խոսքով, շարքի վերջավորթվով անդամներիդեն նետելը այդ շարքի զուզամիտության վրա չի ազդում:

որ

«Ն.

դոլուլթ ունի,քանի լուն

Հետնաբար, Տկ-ը սաճման չունի, շարբը տարամիտում է: Այսսլիսով, երկրաչափական պրոգրեսիան (որի առաջին անղամբ զրոյից է միայն այն դեպքում, է) զուղամիտում երը պրոգրեսիայի ճայոարարը տարբեր բացարձակ մեծությամըմեկից փոքըէ,

Թեորեմ

կոտոր: ապա

ԸՃ

(5) շարբն ունի

Տը--

կախված չէ Ո-ից:

որը

դչոլությունունի

ապա

՛

ՏՈՄ

է,

էլ ապացուցում է թեորեմի ճիշտ լինելը:

-«ՀԷՕՐ, երը

զոյություն չունի: Այսդիսով,եթե լզի»1 (2) |

ահաքը: Այս դեպքում

տեսքը, Այս դեղքում

զ

1-զ

անը,

'

2) եթե

աւոուն Թիվ

"ում Պարադրաֆիվերջ ճՃատկութ լու նները: ծ. Եթե Թեորեմ

ղումարը՝

Տ---

ստ

սաճի

ղ-»օ

ճետնարար, Ն

շարքը

Ճա

Վերջին արտաճայտա թլունից

-

Հ

( 1-զ

ԱՏ" Նը

ումա

Ր

մտնու

զ

1--զ

Ձ

տադ

ռ

բ --

Ցը-»

ԷՂ2մյ ւի է դամների

ո

է, իսկ ճայ-

զ-ն

զր

-

կամ

ո ւի, Դիցուք Տո-Լ (1) շարքի ուտաջին նդա ճատ ննտաժ կ գեն ների ղումարն է, Ը-Ն անդամների վումարը մեժ որ բավականաչափ դեն նետաժ դեպքում թքոլոր ք , Ո-ի (նկատեն օղ ը-ն մեջ), տը վումարի անդամները կպարունակվեն շարքի ալն անմարե նք մտնում են խե է սրոնք չ են բի գումար Տը գումարի մէ եջ, բայց դա ում ունեն ւոն ք Ը-ի (Մեջ:Ալս դեպքում

Ա ռպացուցու

յր

(Վ (0) ւտ

դա

ը-»Փ

ամտի 7

շարքըշարքըզու զով 8.

նթե

տու

է

Ո

5լ-ՇՋ նրա

ումարբ

է ՃԽավասար

|

(Թ)

838...

ի

ԵԼւէ

շարթերը զուգամիտում

`

`

Տարար ճավասար են Տի

ն

են ն

(5)

չի":

նրանց զումարները, ճձամապատասխաՀ-

5-ի. ապպա

(ո-ՒեԻ(ԱչՒԵ,)

`

Է-

0)

ն.

Լոռ Տր»Տ

(ո-Ե)-Թչ--եչ)Դ...

շարքերը ճույնպես զուգամիտում

են

6)

նրանց

Ո-՝Չ

հավասարությունը, որտեղ

գումարները,

ճամա-

ւ

պատասխանաբար,ճավասարԵն 5Վ5 կ Տ--Տ: Ա սպացուցումմ Այացուցենք (7) շարբի զուգամիտությունը: մասնակի Նշանակելովնրա Ո-րդ գումարը օլ-ով, իսկ (5) ն (6) չարՏո-ով Քերի ուրգ մասնակի դումարները, ճամապատասխակաքար, ն

Տղշով։

կոտանանքչ

՝

-«(ու

(2) Այսպիսով,

--Տ

շարքը զուգամիտում

է

ն

Նման է

ն

ձնով ապացուցվում է,

որ

նրա գումարը ճավասար

է

(7) հ (5) շարքերի. մասին (5) ԼՈ (6) շարքերի անդամ ճամապատասխանաբար,անգամ առ

(8)

5--ՏՋ

են,

Ո-»օօ,

2.

էր ապացուցել: պաճանջվում Հնետանան ք: եթե շարքի ո-րդ անդամըզրոյի չի ձգտում, Երը տապա շարքը աարամիտումե:

Օրինա Չ

լ

տարամիտում էյ, բանի

որ

ո

չէ.

ճիմ նականճարցերից մեկն էլ Շարքերն ուսումնասիրելիս

|

ալդ

ճարցն է: կամ տաբամիտության վերաբերալ ղուգամիտության կբերվեն քավարար վբա որոնց կարելիէ Ստորն. պայմաններ, ճիման լուծել ալդ ճարցը:Այստեղէլ կքննարկենբ շարքի զուգամիտության որը. այն պայմանը, այսինքն՝ կճաստատենք անճրաժեշո Փայտանիշը: է, տեղի չունենալուգեպքում շարքը տարամիտում շարքի

Ա պացուցո

շարքը

եհ

զրոյի

զուզամնտ

"մ.

,

ուր Դ

անսաճմանավփակորենաճելու

իցուք

«.ՀԷԱրՀ-... ա-սչ-Էպ-Ի է,

՝

այսինքն՝ տեղի ունի

դեպքում:

ռր

ո

րտ յ

սղ

-

Հո

ո`

(րր-ՉՅԸ

'

:

ո

Ր

ՅՈՑ

շարքը

Շարքիվուգամիտությանանհրաժեշտհայտանիշը

դամը ձգտում

:

ռ--

դ ՞Փ

Տ

մշՀՀ0,

լտ

որ

առ

ս գույքում

Տո--Տո--1ՅՏԼլր:

Հետնաքար, փնչ որ

նրանք ստացել են անդամ դումարման կամ, ճանման անդամ արդ-

ասում

(5ո--Տո-)--0։

ը-»

:

նուլնպես զուգամի-

շարքը

դ--»

չ

'

տում

ո-»՞

-

գումարը ճավասար է

նրա

ստա-

Բայց ւ

ոը-՞»6

-

Տո--111Տո--1--0

ել

:

ՀՀ

նան

չ

առ

ՍՈՐ

Լ

ը

ո-»»Փ

վասարու

Լող

կըս-

վերջա-

անի ունը, քանի որ,որ, ե երբ Ո-»ծՁՋ Առա վասարությունը, ապա նար (Ո-1)»օՉ -ջին ճավասարությունից անդամ անդամ ճանելով երկրորդը, նում ենք

:

ԴՏ" 1դ5ր--1Լտ(5ոԳ-Տը) ԼտտոԴԼոտը»Հ»Տ ոդ»

Ո-"Փ

Ճա

կամ Ո-»«օ

շարքի գումարն է (ալսինքն՝ գնպքում տնղի ունի նան

Լնո Տո.-լ-«Տ

«Էա)Ի(Հ-.Ժեռ)չՀ-Տո-ՒՏո

ՍՏ

ալս

Ո-«Փօ

Ն

Ալս ճավասալրության մեջ անցնելով սաճմանին, երբ

տանանք.

5-ը

բալց

՝

9ո--(ճլԴել)-՛--.--(ու-Ւ Ել)» -

վոր ֆիքսած թիվ է).

Ո-»»

Ընդգծենք, որ ղիտարկվածճայտանիշը միայն անճրաժեչտ է, բայց բավարար այսինքն՝ ալն բանից, որ ոՈ-րդ անդամըձգտում է զրոյի, դեռես չի ճետեում, շարքը զուզսմիտում է, այն կտրող է տարամիտել: Օրինակ, այսպես կոչված Ճարմոնիկշարքը՝

Ն ԼԼ, ՒՀԸԻՎ Ց

ո

տարամիտում է, թեն Ստ ՛

լ

Ա-Ի2

ՎԼՑ

»օ-

ո

լ

լ

ԻԱ

սդ

|

լ

4 ԻԷօ Յ Հաւ աաա"

ԼՆ 10:11

կտ

-»

լ ----0. Ո

Ո-»Փ

լ

լ

ԷԻ7 1.

14'

Ւ

ՄԼՆ 16'Լլ,

(

1)

ՀԵՆ

Աջ ՀԱՐԿՆ»

ՐՎԱ

.

Ի

(2) ճս

ԱԵՒ

չիս: փասարէ

Էի,Լի.

ւս

լ

վառարե̀ղ

Թ"

-7,

երըս էրրորդ

ն ն

Ս մնե անդամները

չորրորդ որ

լ

ՐԻ,

մինչի 74-րդ անդամները ճավասար

1-րգից :

էն

ճաճա-

ընդճանրապես Տյա-1ԼԻ

թայց

'

ալա

թ )

Տր

Հ-1-Է7:

--

Թ,

այսինքն՝

(3) աանչությունից ճետնում դեպքում

է,

ն

ռր

Լոռ Տ0)-օծ, ոշ»

մոսբասիումի

շարքը (1) ճարմտոնիկ

է,

:

ՏՀՏ),

Տ

3.

Դրական անդամներովշարքերի բաղդատումը

(3)

,

25 95 25

9,

ն իիցուք ունեն

Տջ1--- --| Ի 1

-Գ(լ լ

։

.

լ

-

ւ:

Լ

.

22.

Ց-ԼԻԼ321-:«(բ

ՀՌՀ

Լ

.-5 2'

Գր:ՏՅՅՑ լ

Ն8

|

1 Է 3.

լ

Չ"

Իր):(6Ի -ր|16

լ6

2գումարնլիներ ՛

Ց

զումարելիներ

արը

|

(2)

:

`

(ո-ն

ԱՀՀ, -

2":

.

շարքի

(3)

:)

շարքը զուզամիտում (1) շարքը: Ապացու ցում, ՆշանակենքՏր-ով ն Ցը- ով, ճատ ապատասխաչ դ" մարները. Խաբար,առաջին ն երկրորդ շարքի //ասնակի ն

(2)

գուզամիտում է, ապա

Ֆո մյ "ԶՈ

՛

Տ» |

|

(3)

պայմա

Տ

ից

ւոն ու ճետնում

է

,

է

5:

ֆար

Լ

-

որ

ՀԵ-«ՀՐն

յ

:

..

դռ:

ս "

:

|

|

ԱՀ

"Աբ" "Մո"

-

են Նրանց Ճասիար ճետնլալ պնդումները: արդարն, Ս Եթե (1) շարքի անդամներըմեծ չեն (2) Թեռբրեմ ճամապատասխան անդամներից,այ«ինքն՝

-Է

ւ

Իլ4)

ւ

լ

անդամներով երկուշարք:

ան

դրակ

-

|

լ

ք

էպ: աս Մ ԻսչԻնՆյ-ԻԷ

արժեքների ճայիալր.

Տչ

-

Հաշվենք(9) շարքի մասնակի զումարները Ո-ի 9.

Տ"

---ջ

.

դ-»

ճարմոնիկ

Քում/

Չեր

|Վ-6 Տշժո5 Ն

որ

շ

-

Ոռ.

5-ի

:

.

Այսպի«ով, (5) շարքի մասնակիդումարննրը ի-ի բավականա չավ մեժ արժեքի գեպքում կարելի է դարձնել ցանկացած գրական Թվից մեժ, այսին քն՝

Տ(լ ) ող (1) ո պանդաների շալ քի առաջին Նշանակենք դումարը ն. Իվչոփ (5) շարքի առսչին ղ անդամների ղո հարը: Քանի որ (1) շարքի լարացանչլուր անդամ մեժ է (3) շարքի ե ճ ում, րից կաի 7 / սլի ւն Բէ Կ նրւն, ՄԱՀա ղո122 գոպ ԲոոՔ 41" ուրա

նույն ձնով Ճաշվում:Են ք,

ճիշտ

-

այլն:

1-Ի5:շ

ԳՈՅՈՒ

ճինդերորդից մինչն ոթերորդ անդամները ճՃավաՀ

ՐԻ

Ի--

ՀԼ տորը ՄԸ

շ ՓԾ

Յ՞ի:իներորգից մինչն տասնվեցերորդ անդամներըճավաՀչ

Բար ն

2-8

81625

չ

լ

ես

ռար

դր՝ երի հրկրորդը՝

1Գրոաաթա '

ԻՆՆ

լ

«ցգոՀիի Լ, ՀԸչ թ):

զումարելեներ

Դ-

ճեւոնյալկերպ. նրա առաջին անգամը

է

գումարելիներ

Ն

Ր

կազմվում

շարքը

ԻՐԻ

Ը

շՀՐԸՀ

դրենը ճետնյալ օժանդակշարբը Այֆուճետոկ

|

( 4)

,

Քանի

(5)

որ

ղուդամիտում

շարքը

մասնակի գումարի

Լու

է,

ճետնումմ

որ

օգրՀ9։

որ

դոլություն ունի նրա

ապա

սաճմանը.

Այն բանից,

է,

(1) ն

ցը

(8) շարքերի անդոատներըգրական են, դեպքում (4) անճավասարության ճին

ն

ալս

ւցումն(

պայմանից Տր

)

շարքի անդամները է, իսկ քանի մասնակի ղումարն աճում

դրականեն,

ւաճիանաԵվ այսպես,ապացուցեցինք, որ: Տո մասնակի դումարները գումարն աճույի Տո չհիասնակի «իակ ԷԻկատեն ք. որ Ո-ը մեծացնելիս է, իսկ ալն բանից,որ սհիասնակի ճաջորդականու թյունը ղումտարների է, ճեւնում է, որ ալն ունի սաճմ ազ", աճող ն սաճմանակփակ

Լող

Տղ»«Տ, դ

ո»

ուդ որում Կակնճայտէ, 1-ի ճիրան Թեշրետմ

վրա կարելի է դատել

մի քանի

Օրին

ակ

1.

Հետնյալ ԼԼ--Է

զուղամիտում էլ, բանի

աք

նրա

որ

փոքր

անդամներից, Բայց Համապատասխան

լ

փակոյն ս

ճղը

՛

մ.

ղրե ե ռիալ

Քեորեմիճամաձայն,

"

«Կ շարջի

տրված

չարբը

զ

ու

ո

ՐԸ

ճա

վտա

են

աճելիսնրա

է, տարամիտում

այսինքն՝ '

է, (1) շարքը տարամիտում

Օրինակ

Հ,

Հետեյալ

շար

ջր տարամիտում է, քանի

որ

Ի

բ

.Ի-ՇՀ-

`

նրա անդամները (երկրորդից սկսած)մեժ լ

լ

-շ-ջ-ԻոԳ

լ

Ր

են

Փա

զուղամիտում է, քանի

ճայտարարով երկրաչա-

է --.-

Սու յնպես զուզամիտում

է,

տարաչ-

ւ

Ապացուցածժ երկուճալտանիշները(Լին միալն դրականանդամներով շարքենան Րե ճամար:Նրանք ուժի սրեջնն բնում դեպքի ալն ճամար)երբ առաջինկամ երկրորդ շարքի մի քանիանդամներ զրոնել,են Բայց

.-

Ր

Ա-ը

11ողՏը»«օՓ,

ն

վերֆին չարքը

նրա անդամները, սկսած երկրորդիցչ կազմում

ալն

Ո-»Չ

Դ իտո

են

:

ապա

որ

ճարմոնիկ շաբբիճամապատասխան անդամներից, որը, ինչպես ճայտնի

-Էջ:ՒՂ---«Ի»րր

րաոր

6)

միտում էս

ԷՐԱԻՐԻ»ԴշՀգ.

շարբի

շարքերի

որ

Բայց այս դեպքում(6) ճավասալրութ յան ճիտան վրա

՛

մասին: զուղամիտության

ոլ

հռ 9 դ-»»

՝

որ

է,

ապա :

ՏՀ՛Յ

է,

ում: ճետնում

Բանիոր (5)

օր»:

ոօ

վլա

որ

Ապացո

ե

Հ

Հետնա է, ընդ

Յ

ար, բար

1.

էՄ

որումնրա

Չ-րգ

ղու

Թ

լու

ւնն

Թեորեւներ) ճիշտ

նեն

անՀորթի

ճալտանիշները դադարում են ճիշտ լինելուց, եթե մեջ կան բացասականԹվեր: դամների Է -ին ն Ձ ւն ի տողութլո Հ-րգ Թեսբեիները ճիշտ ալա

այն դեպ բումի,Քբբ (3) ունենալ միալն ստեղի ճամար: արժեքների

:

նն

ե

սկսում 12 (6) անճավասարությունները Մ վ ճասրար, ոչ թն բոլոր ՈՀ-|, Չ, Յ,...

կաի

ո

դումարը -շ--Է8ավելի չէ,

նորեմ

եթե (1) շարքի անդամներըփոքր չեն (2) շարթի . անդամներից,ալաինքն՝ ձամապատասխան Թ

Հ:

Ր

է, ապա տարամիտում է նան (1) շարքը: տարամիտում ճամար, որ Տը փոփոխականնունի սաճման, ճիչենք ճաջորՐԴգամադվելու

(2)

մի

ճայտանիչ (տես

| ճատ,

զլ.,

Տ 5-ի

Դալամբերիհայտանիշը .

Թեռրետմ(Դալամբերի ռճալտանիշը)իեթե սլԴ-սչ-սչԴ-...-Հսր».

շարքը

դականության սանմանի դոյության է ն սաճմանափակ է, ազա այն ունի 2-րՂ թեորեմը). եթե փոփոխականը աճում աճում է հ սաճռաման, ֆվյալ դեպքում Տղ զումարների ճաջորզականությունը է: մանա վակ է, ճետնաքարյ,ունի սաման, զուզամիտում չարքը այսինքն՝

4.

(5)

Հ»Մը»

Ար ն

Տ

մ)

դրական անդամներովշարքի (ով-1)-րգ անդամի ճարարերությունը 1 սաճմանը, երբ Ո -»Օօ, ունի (վերջավոր) անդամին, այսինքն,

Ո-րդ

՛

ւ

Աո`:

.

1լող ----ո-»Փ

Աղ

Հվ,

|

(2)

Հ) Դիցուք ՀԼ

ապա

1Հ-1 դեպքում, 1) շարքը զուգամիտում 2) շարքը տարամիտում ե 1-51 չեպքում: (1-1 գեպքում շարքի զուգամիտության կամ տարամիտության ճարցին Ժեորեմը պատասխան չի տալիս): մ: Ա սԿլացուցու Դիցութլն 1ՀզՀ1 առնչու» Դիտարկենք է

սարոթյունից

ՈՃ

Ալս գել

ճնտնում

է,

(նկ. 55), լ (2) առնչությունիցՃնտնոււ Սաճմտանի սախիանումից Կ սկսաժ րի որոշ ճամարից ո-ի բոլոր արժեքներիճամար կունենա, ճետելալ անճավասարությունը, Աղվ1

.-Հզ'

է,

ճամար տեղի կունենա

Իրոք, քանի `

որ

ււ ոՀ

ռր

տեղի

Լ

Հ-ՀՐՋՐԻ՞ (մի

ո.

Պ

մեգության

որոջ

Վ

ե

1 թվի

ՀՐՏԸ

կան

ԿՅ

զ--1ը,

|

նու

բ

ոշ»

`

.

ճեոնում

էլ

է

ԱՊՀ, Հ-զսՒՍ

(2 ) ,

անճավասատարբեր արժեքնե

ՀզՀզսագւ

ո

ս-

դեսյքում՝,երբ

«նանում

նրանից,

է

ձ Նկ.

ՈՐ

ո-»Փ

ի

ԲԷ-Հ-Ժօ,

Աղ

Ա.:յ Հ1

ակսաժ

ապաս

Ո--Է

որոշ

ճամարից, տեղի կու:

անճավասարությունը:

կաի Աղզլչ»նը

ո

Հետազոտել

լգ

Վ

1.2

ն

գե.

1.2.3

ն

1.2.3....-ո

Վ,

շարբի լլուդամխոությունը, Լուծում, Այոտեղ լ

|

ՀՎԱ

լ

ԱՒ

Առ-1--

Ո» մոՒԼ

մ»

|

"Ր

-

տ

|

(3)

ձեսնարար,

ՋՔ2.շ......-.օ

ք ճենլալ երկուշարքերը. Այժմ դիտարկեն Ա-Է սչ սյ---Սպ-ԷՍԵ

ՒԴ-ԱԿՎՉ-Ի",

զաա-Իզ"սպ-Ի---

Ող ո-»» ւ

Շարբը՝զուգամիտում Օրինակ

(2:

զուգամիտում

Հ

լ

լ

1-2

-

ոու

(Լ

՛

ոյ Ն

ու'

ա

(պ.

Հու,

Լէ

նդ

ոււ»Ո

«ՕՀ

էւ

ձետաղոտել

Հոգ.

ՀԷՏՀԻՑԻ»

2.42.

Ն`

(1) ծջսրքը զՀ-1 դրական ճալտարար ուննցող երկրաչափական է։ (1) շարքի պրոգրեսիաէ, Հետնաքար,ալդ շարքը են սկսաժ ՍԱՐԻՑ, փոթլբ (1) ջարքի անգա ներից: անդամները, զոիչ թեորեմների «իման վրա (1) չարջը 93-ի Ըն ո Տ ի է, դամիտում |

Շարքը

1.

այն

Դա

՛

մփ

.

'

ԱԽՀՎՅՀ.ՎԱՎՀշ Հ-զմչ,

.

`

՝

Օրինակ

այսինքն՝

դրելովո-ի անճավասարությունը սկսաժ Ւ| ճամարից, կստանանք.

.

նթե

կ

ո

է:

կր

Սեաւ

դրա-

:

ՄՀ"

բութ չունը: (5-)

Սո

բա-

որ

նան

ՀՇՉ

:

ունից Վերջին անճավասարութ

Րի ճամար,

ԱղՎ1

լո

խոքըչ Թ4ից փոքր, մառնավորապես,

քան

տարամիտում

Դիտողություն

բամեւտկլինի

տարբերությունը ցանկացած

ճամարից, այսինքն

:

ռաճմանին, ւսսլա

սկսած)կարելիէ

ճամարից

ցարձակ արժեքով դարձնել

Ի

որոշ

՛7

:

-

ճաղվա-

սա

,

'

Ադգ1

(որտեղ (ՀԼ)

անճավասարությունը (նկ. 359), կամ Աղ 1Հ»Արբոլոր ոչ2Ա ճամար: են՝ սկսած Բալց նշանակումէ, որ շարքի անդամներն ճում ուստի շարքի Ընդճանուր ՒՎ-1Լճամարից. անդամը զր"լի չի ձղատում, Հետնաբո, Մ Բ

,

ո

Հ«մ

ի

Աղ

Ե2

է 1 մեծությունըձգտում

ա

ՄուՀլ

ո |

Մ

ակսաժ մի

որ

:

թյանըբավարարող զ թիվր

քում՝ո

|

շարբթի զուղամիտությունը, Լուծում,

ԿՆ

Չո

Այստեղ

Չ:ֆ1

ագորԻ

Սոէ

:

ո

ոշոր

.

19--

Դիեֆերենցլվլինթհցրալ ճաշիվներ ն

մուլ

կոչ

մոջ-գը

Հ-ն

Շարբըտարամիտում

է, ընդ ռրում

ջության,

Դի տողզութլուն

Իսկ եթե

բալց

կղ

ոտ»

ԱՈ-ՏՅ-երբ մ

դոլություն եե

Աո

ոօ,

«Ա,

ոնհախար,

ունի ի ն տարրեր ՐԻ՛/

չունի կամ էլ

գոլաթյան

որ

ունի,

Դիտողություն բությունը, է Մեկից, որ

ճթե

սկսած որոշ ճամարից, ապա

Սուլ

-

ռ

Դա

տարամիտում էւ

ջարբը

ՀԼՍ ազա

1Ար

մո

ն

ա

կ

3,

»

լո

|

լ--------,`

ուլ

Է."

տելու

՛

-ո1. ուշ

ՀՀո

ո

ըր»

`

ՈՉ-|-2ո

Ղ-Թ»

ոշ--շ2ո--7

.ոշ-2ո

լ

-Ւ-7 ՒԷ

շարբը

զուգա-

ու

տեսքով, գրելճետնյալ

Հետո

:

լ

ՍԸ

լո

յք

ոա

ԱՀՇ

.

ը

այսբնքն՝

ը-երի տամար,

Ը-)Ի»

ո

Հետնալաըջ

է

ՀԼրսլոր

:

անդամների մառնակի գումարը փակաղծերը բացելուցե կբճաճավասար կլինի

Առաֆին

ր

շարքի

լ

լ

Տ

Ո-ՒՉ2ո-1

Հ-|Լող

տարամիտում է, բանի որ

մտ

ՆՆ եղզրակացել

կարելի

չի

ոռ

:

ո

սոտ1

վրա

:

ղ

Ր

չարքը

ճիման

-

-

Տվյալ դեպքում

ադ

ալին ՀերՒՆԹէ8

Ը-Ա-ԻԸՀ)

ԱՑ»

սդ

ապ

ո(ով-1լ

ոո ՛

Այստեղ

ր-«Փ

լ

"Ի՞ՈԻՍՈՎ2)"

յ

ղ

ո

սու

Ի":

ոո

`

միտո նի, Հարի 1 «զամբտությունի

Լո

լ

Դալամբերի ճայտանիչի

կարող ենք տվյալ

ԱԳԵ կուծում։

ա

է ճասկարելի միտությանմասին, սակայն, ելնելով ուրիշ կշրազատումներից, է: որ զուզամիաում գոատել, որ տրված չարբը Նկատելով,

երե 1

:

ՀԷ

Առգ-1ար

ւ

Հ

մ ւսումնաս

լ

ԼԼ առաաաաաա

Այստեղ

Քննարկենքռւսվածը լուսաբանող օրինակներ, Ճ

-

--1.

լ

-Է-

ՐՐ

դամը չի ձզտում զրոլի: Օրի

ո ո

ղ-Ծ»Փ

ռ

«2.

Հ

Լուծում:

անչ" Ո-»օԺ,շարքի ընդանուր

երբ

ճի

,

շարբի վուզամիտությունը:

ճամարների ճամար մեծ ճնտնում է ալն բանից,

ո

բոլոր

Աղ

ՀԻ

ԲԻԼ ճարաբն-

Աղ

ո»»

ն

Ուսումնասիրել

8,

տարամետ լի-

Եթն ԼՈՀԲԵԸՀ--Լ

բայց

ս

|

Օրինակ

ալս

3.

,

ա

դեպքում չարքը կարող Է լինել ինչպես զուղաՆման էլ ստարամիտող: միտող,ալնպես ջարքերի զուղամխոության է ուրիշ ճալտանի ճարցը ճամար սլետք կիրառել շ: մասին լուծելու նելը, քանի

Աղգ-1---

աստատել տվյալ նշանակում է, Դալամբերի ճայտանիչի ճիման վրա չի կարելի ճաստատել ուղամիտությունը կամ տարամիտությունը, Բայց նախկինում ուրիչ ճաՀիւք) չարջի զուգամիոությութը տարամիտում է: ապացուցել ենք, որ Հարմոնիկ շարքը ճապարճով

.

կամ ղուղամետ

չի տալիս ճաստատելու սովլաւլշարքի

Սո՝Լ

-Փ

Հլ

|

ություն Դալամբերի ճալտանիշը ճնարուվոլ

ամա

դ

-

6 Էի,ից

լոն

մղ

|

հո

|

:

ենք, որ

նկատմամբ, նկտտում

ճարմոնիկ չարի

:

:

սանճմանըզոլաթլուն

ԱՂ-Հ1

է անվեր-

՛

Արվ1

..

Հ.

այգ

ընղճանուլ:անդամլձղտում

սղ

տվլալ գրական ՀՁ Դալամբերի ճայտանիշր է զուղամիտության Խարցին պատասխանում

անդամներովշարքի դեպքում, ' միալնայն

րո

չար» չարբը

5ո--Ատ

մ, տում` զուղամի ու

դ-ն»

ն

է նն

-յ------:

լ

ո-Լ1

(-ղ)Ի ո-ՉՒ1

նրա զ ումա

րը

լ

ճ ճավասար է այ

Վ-ի, ե

ւ

-

լ

.

Տ

5.

`

Ի

Կոշիի հայտանիշը

Թեորեմ

("շիի

ճալտանիչը)

Եթե

Դ.» սԴ-սչի-սչ--.Հ-սո

"

(1)

դրական անդամներովշարթի ճամար յայ մեծությունն ունի ջավոր մաճմանը, Երբ Ո-»օՉ, այսինքն՝ ո

ո-»»

ապա

դեպքումշարքը զուգամիտում

1) :Հ1 Հ) Ը»1

Ա ռլացուցու

1) Դիցուք ԱՎ շ

/։

Բլ"ւնը: ալստեղից

ում

ճեն

բը

(1)

շար

Դրանում "Ւրահու

շարքը

է,չ

ԱոՀ-զ

ճամ ա

նրա նրա

են

ն

ւ

"7: անդամնե անդա բը

(1)

|

կաղ-

Լու ո»

րիդ

կաաւ

ակ, ՀԼՈՒ

1:

հո դ

անդամները,

Շարքը զուգամիտում է,

ռ

սկսա

ո

դեն

Դի է

նետեն

դ»

ալս

լ:

Հ-Ի

ուի մ սին "1ք Ֆ՛1դ»1ա

դե

մ

ոռ 7 1ո-ն

լ

անվերջու-

--զ--«0: լ

ւ:

բադ

-

են

»

լղ ------ՀՀ Ո-»»

.

:

լ

ՆԻՒ

մեե.

բ

շարքը

անդամը, առաջին

աղա

Ը-ջիջԻ»

:

ոԾ՞Փ 2ո-Ւ1

կըլ

«5»

ալս բայց ճավասարությունը,

վոքը կլինեն

Ցա:

--

ի

Է

տ

Ը

չ

Լ

-դ

ւմ //մր: 1/ո:-:հոյ1/դ '/ -- հո 1)ո

է-ն.

Մկո --

որո.

ԼԹ

Էբ

:

Ո-ՖՓՄ(2`

-յ/ Աղշշմլտ

1ո:/լչ-:0 /1/1-5

շարբի ճայիար նուլնպես տեղի ունի

ԻՑԲուր է, բանի յ Կար

1ո

լ

ղուզամիտությունը: 1ռւծուտ կիրառենք նոշիիճայտանիչը,

1Աղ

-վո

|

'

:

ոլոր

-(2 55 ւՀ:

ե

ղրոլի:

մղՀ

որ

որ

Ա մ ուղիսով, '

Ս

շար

որ

կուռորակի ճամարիչը ե ճալտարարըձգտում Այստեղ նիրառելով "լան: կ ը: իրառելով Լուպիոա հողիտալիկանուր, ղ դտնում ենբ. թյ Ք

ա»1

դլոոարկվող

Ն

-

ո--Վ

արան ,

"Մ

ր

կայոԼՀրոՀԲ5,

սկսաժ

բ էն

կող

ացուցենք, ապացուցենք,

ր

:

նվազող երկրաչափականպրոդընսիա: (1) շար բի անդաինեԱռպ-ից,փիոբի27 (1՛) շար բի անդամներից: Հեւնաբար, շարքը զուղամիում է: 2) Դիցութ(ՀՆ Ալս դեպքում, սկսաժ որոշ ճամարից, նն

անդամըչե ձղտում

«ՀԽ

.Վ

1/ո--

զուգամիտում է, քանի որ եթե մնացած անդամխերը

շարքի լ

ՈՒՈՒ-

«ր

խուն անդամնել ից (տես զուգամիռող պառաւ շարքիճաւիա

:

ո

-

`

.

ա ճամոզվելու ողվ լու

|

քան որ քանի

իրոք.

ԺաոշՀ "Վաալ գէ Իզի Իզժոի-

միտում ղուղյասմիտու

Հլ

"Հկտ

ո

նղ

ճետելալ առնչու

"

կամ

Հար.

տ.

ԱրՀ՛Գ"բոլոր ոՀ»Վ Ճասրար: Այժմ դիտարկեն ք ճետնլալ երկու շարքերը.

(1՛)

լ

Ար

// 1/ոՀ-1, Սու/աՀ-1Լո

.

|

դունենանք: եժ

Դիտարկեն թ 4Հ՛գՀ-1առըն-

՝

ը

աֆսաԻա-"

սում

՛

տեղի կունենա

է լրացուցիչուսումնասիրութլուն: Ալ" որոլմանին դեռբը սաճանջում ինչպես զուդամխոողչ շարքերիմեջկարող 27 ճանդգիղել "բավարարող ճարմսնիկ շարքի ճամար այնպես էլ տարամիաող շար բեր: Այուղես, է) (ոբն, ինչես ճանի է, տարամիտում

է,

որ ՈՐ ,

ա

Ինչպես ն Դալամբելի ճալտանիչիդեպքում

ւն.

ո»

իո/--ա-ԻՀԳ--մ,

է,

ւթյո

լոլ

ե: դեպքումշարքը տարամիտում

չությանըբավարարող զ թիվը: Որոշո»-Վ ճամարից սկսած '

Դիտողո

Արթ-մ,

՛

1ոո

վեր-

նակ 5),

Տ 4,

օրի293

Տ

6.

Զուգամիտության ինտեգրալային հայտանիշը ՊՈոՈՈ/: Դիցուք

«ա-ի» չենաճում, այսինքն՝

աԻԱՐՒա

շարքի անղդամճերը ղրական ւ

են ն

(0)

Ալ»-մշթ»կջՀ-...,

(1)ՀՀսչէ(2)ՀՀ,/".ս1(ո)ՀԱրշ

-

լ Բաո,

՛

ինտեգրալը զուգամիտում

Ճ|

Դլ

աի

Տ

7)

ապա

լ

զ

ու

զա մ իտու մ է

2) եթե նշված ինտեգրալը տարամիտում է, ԵԷ նան նան (1 շարքը: (1) -

ապա

ն

|

Է

տն. տ

(ոյա

(3)

լ.

է,

անգամ-

գումարը

ա-

ԵՆ ո-ն, դորադից պատկերի

Է

վորագիժ պատկերի մակերեսը ճավասար է

-

իճյզոՀետնաբար, յ

ա

աա ՀԻ"

|"2)4:

մանչ/ Շրկրորդ ուղղախելան «ս/ակերեսընուլնպես ճազասարէ Ա-ի, Երկրորդ ուղղանկը ն Այ է բեսը ալն, կառուցաժ ուղղանկլաններից վերջինի մակերեսը Կ ու Հետնաբար, կառուցած բոլոր ուղղանկլուննելի մակերնաների ճավասարէ ալչ շարքի բոլոր անդամների գամարին՝ սկսած երկրորդիցմինչն (ո-Ւ1)-րգը, ալսինքն՝ ճավասար է Տուլ--Ար Մլուս կողմից, ինչպես ճեչտ է նկատել, աղղանկլուններիյ կազմվաժ սանդէ Մ-»|(4) կոր"վ ն ղաձնպատկերը "պարիակված "րսում։ Ալս Մ--Օու ղիղներով ռաճի անափակված

|

ա-

քոռ

Այժ/ Քո նկ.361-ը: Ալշտեղ կառուցածուղղոյնկլունդիտարկենք ձրութ յուն. ճեւոնաբար, նրա բար, լուն. "ը ներից ասւաջինը(ձախից)ունի սց քարձրութ

ճամարները,իսկ օրդինատների նղ,... անդամներիճամապատասխան

է

է

(լ

անջատելով շարքի

"ր

"ւ

Հեւոնաբար,

|

Ասյլացուցում: Շարքի անդամները պատկերացնենք երկրաչափորեն,անսցիսների առանցքի վրա

Խ երի 1, 2, 3... ՈՓՆա. ճանցքի վրա՝ շարջի Ա, Աս... «րզրՔենրը (եկ. 860),

խերով լ

) շարքը տարամիտում ե

ԱԱ ԱՆ

Կ ղս ւյ ղ դա ր գուՀ հաների գումարը ճավասար է շարքի առաջի Մլուս կողմից, ալդ ողղանկրոններից կաղմվաժ շանդղաձն կորով ն 2--1, Ճ--ուԼ, ջ-ՀՕ ուղիղպատկերըընզդգրկումէ 7-1) ճ խավ ԼԶ սաճիանափակվաժտիրուլըը. այս ւոիլրո(Թե մակերեսը

սար

|

/

ն

արին:

(2)

Այս դեպքումճշմարիտեն ձետնյալ պնդումները. 1) Եթե 10:)մ: աճիսկական

է

նչ

Ի

(17

դիցութ 1(2)-ն այնպիսի անընդճատաճող ֆունկցիաէհ, որ

( տես

այլն, վերջապես, կառացաժ աղղանկրոններից Սո է: կառուցած մակերեսը (ո-րչի) պերջինի

մակերեսը

Ս

Ոշ)

Աշ.|Սո4 դ

Չ-՞ջ

ոո

Տ.

ՕԳ

ախ,

17 2

|

մո .՛

75)

:

ո`Լ

բ

Դա

Ի

Եկ.

Նկ.

Նույնղժագրիվբա

կառուցենք (2)

օրբտեղից ո:

պայմանինբավարարող

ՏոււլՀ

:

7Մ-՞է(:) աճող ֆունկցիալի գրաֆիկը: Նկ. 3060-ի նկատումենք, որ կառուցած ց ուղղանկլունների առաջինի ճիտբը ճավասար Է 1-ի, իշկ բարձրութ լունը՝ 1(1)»-սր -

անընդճատ

ց

է

Ատ

Երկրորդուղղանկլան

|

Ոճ:

ա

Ժ

Ալժմ քննարկեն ք ճիշլալերկու դես քը: »

|

ալդ ուղղանկլան մակերեսն Հետնաքար,

իը» .

ւ-ԱՀ

Տ

1. ենթ

թա,

րենք,

ր

'

ինծ»իոտոգրալը մոն

սզամիտում զուգ

է,

ալ-

լ

սին քն՝ ունի վերջավոր արժեք:

արդյոք ղուղամիտո"՞ւմ պարզենք անվերջության, ՒՎ-ըձզտեցնելով

է

Քանիոր

նե

յ

.

Հիա

Ը: )ճ:

՛

-

ճիման անճավասարության

ասլա (1)

այոինքն՝ինտեղրուլը ք--1 ԲԹ--ղ

վբա

| բար,

"Հին

է. ղուցափվիտում

շարքը

'

դեպքում

քՀ-1

իան

քս

Լող Տղ»ՅՏ,

միտում

Ո-»օ

ալսինքն՝շարքը

է, զուդամիտույի

Այնուճետեենթադրենք,որ

Տ.

աճելիս

Ո-ը

|(օգ«շ

այսինքն՝ ինտեզրալն անվերց է,

այս ճայտա'նիշը

ի0ձ:-Հ»

Սա

անսաճմանափակորեն

աճում

է:

Սով

րո

րամ Ն յ

1լո ա,

Բայց

դեպքում(3)

անճավասարությանճաիաձայնո-ր

աճում Ֆուլնպեսանսախիանափակորեն տում

է,

էւ

շարքը ալսինքն՝

աճելիս Տյ-ը տարամիչ

ո

.

յ

Հ-), Ն

ՐՂ

|

լ-տ )՛ ՞-. տաշկող/ --

ո

ո

1,

-

տե

ԼՐեվ աացուցվաժ

շարքեր:Լայբնիցի թեորեմը Հերթագայողնշաններով

1-13 '

լ

է,

թեորեմը Դիտողություն: Ապացուցաժ

ճիշ, եթե ոկսաժ որոշ միայն

տնում

է

տեղի (17առավատարուլցլունենրը են

ՄԾՑ Րի

ակ:

Ուսու

ր

ԱՀ

ունենում

,

-5-ԻՉԷ

ունեցող անդգասիներ Մինչեալժի քննության ենք առելդրական ալնպիսի շարքեր, որոնց ք կքննարկեն շարբեր:Այս պարուդրաֆում՝

լուժ

մո:

Հ:

`

իոոողրալը |- բ մ«ՀԵԳ թ--1), երբ ք»-1,

Ի

-

Հ

կոյիՀՈՆ,

երր

Ն

թ

շարբելր,որտեղԱլ,

տեսքի

Լայբնիցի

Աղ»:

Աջ,

թեորեմը:Եթե

ալսինքն՝

դրականեն:

1)

Ալ--սչփոյ--Այ-«-(ա»0)

են, Ճերթագայողնշաններովշարքի անդամներնայնպիսին

, |

լղ

(2)

Գոա

( )

Արչ»0,

է, նրա գումարը (1) շարքը գերազանցումառաջին անդամին:

աոա

որ

մլ-Հնչչ»նջՀ»... ո-»»

|

նշաններ .

Ի:

ճերթադալող

մլ--ա-Էսչ--սյ-Է

|

կիրառենք ինտեգրալային ճայտանիշը, ընդունելով12ՀՀ

ուհ

անդամներնունեն

'

.

շարքի զուղամիտությունը:

7.

ս

թեորեմը Այսպիսով,

տնյալ

Տ

:

տարա-

ճայտանիշը, ոչ կոշիի Դալամբերի չեն ճարցը լուծում, քանի որ

ոչ

ալս

շարքը

մառին

շարքի ղուղամիտության

նջ

նշանակում է,

տարա-

`

է։

ոէ

որ

|Ր-»'

որ նախկինում քննարկված Նկատենք,

օօ.

չարքը

՞

դեռլքում

«մ

.

այսինքն` ինտեզրալն անվերջ է.

է. միտում

`

ՀԱ. նե 2,

:

այսինքնՏը գումարը Ո-ի բոլոր արժեքների դեպքում մԻնումմ է սաճչմանափակ:Բայց Ո-ը /րեժանալիս այն աճում է, քանի որ բոլոր Տլ-ը ունի վերջավոր դրականեն: Հետնաբար, երի Ա-»օՉ, անդափները

ճետիեա-

ՅԱ

Օ՞

)42-Ւս,

չ)մ2--ս

ի

վերջավոր է,

ք»1 դեսլքում

|

ՏՀՏ ո-

ինտե-

'« գրալը տարբեր ղեպքերում: Դրա ճիման վրա կարելի կլինի դատել ք-ի տարբեր արժեքների դեպքում մասին, կամ տարամիտության չարջի ղուզամիտության

դրականէ

ն

չի

(1) շար Ապացուցում: Դիտարկենք

բի առաջին ո--217

դամների դումարը:

(2) պայմանից ճետնում արտաճալտությունդրական է: նե աճում

է

պն պես.

անման

տ-ի

'

Տշո--Ալ- (սչ-

.-Է-(աշո. ւ--նջո):

է,

որ լուրաքանչլուր փակագծի ներա ձետնաքար,Տշղ զումարը դրական է

Այդ նույն դումարն ալժմ

դրենք

ալս»

մյ)--(այ--Սջ)--«.---(Աշո.-շ-Աշո--1)-Աշո/

Թեվ, ալսինքն՝

աճում

ունի

ամ

դ»

-

որում

-

ԼԱՎՐ«ՑԻ

եշ-«--

.

Տ

է ի

Էզ.

սաճչ

ալն

-

մենք Բալց շարքի զուգամիտությունը դեռ միալն ապացուցեցինք, որ «զուլղ» մասնակի գումարների ճաջորդաչունի Տ սաճիանը: Այժտ/ապացուցեն բ, որ օ«կննտջ մասՀ անությունն նուլնպես ձղաում են Տ սանիանինչ նակի գումարները Դրա ճամար ջննարկենք (1) չարտի առաջին Ո-«ԶՈՎ-Լ անլամապացուցված չէ.

ո-»Փ

ալնպես էլ կենտ ոում

է.

Ա

դումարը փոխարինվի Տր փոխարինմանժամանակ դնենենք նետում

կստացվիչ եթե շարբի

Տ

ո

- մ

փոքր եժությամբ

է ալդ

(ալաին քն՝ փոքր անդամից առաջին

շարքի

տրված փոխարինելիս թոլ Այից): նշանակում է, 5-ը 5-ով դեն նետված սխալը բացարձակ մեծությամբ չե դերազանցում ջեն անդամին:

է

ԼՀՏշուՎ-Աշո-Ի11 պալմանի, ո մշր-1--0, ապա

(8) «Ատ

ո-»օ

Տշովտ

մշոգ ւտ

դ-՞»Փ

Օրինակ

Տշո Տ

ԼՈԼՏՀՏ դ-»ա

լ

ինչպես

դուլգ

ո-իչ

զուղամիտում է, քանի

շարքը

|

(1) ո-ի դեպքում: Հետնաքար,

Ս

1--ԱՎՅ-ՅՐԷՅՆ

տ»

Դիտողություն 1. Լայբնիցի Թեռրեմը սկսած տեղի են ունենում` անճավասարությունները

սրը

Քր

Ֆ4

առաչ

Սրանով իսկ ապացուցեցինք, որ ։

սխալը,

,

մասնակի դումարով: շարքի բոլոր անդամները՝սկսաժ Սոլ-ից: Բայց ալս Թվերը իրենք են ճնրթառդայող Կչանզերո կազմում արքչ բացարձակ զ բրթադալողնշաններով շարք, որի զ ուտարը

Տշո գ

ոտ Տոլ

ՏՋ

։

Նման

.

ըստ

ե

«Թ

սյ--ԻՎ Եկ.

Հ- 17

Քանիոր

Այ

ՋՋՏ

ՋՀ

0ՀՏՀս Հ

ներիղումարը

յ» խզ գառտաաաատատ» իլ,«աաառասոթվ

-

Տ2լոՀՅՏ»

կջ«ոզ

սչ

«Տ

՝

Պ-ր որ աճելիս Տշո-ի Այսպիսով,ճաստատեցինբ, ճեւտնումի է, որ Տշր-ն է Այստեղից սաճմանասվիակ վերնից։

լլ

ա

՛

ՏշոՀ Այ

Տջո-Տլ-ԻԱչն այլն

ՏյՏյ--ն,

5-ից աջ: ատնրը՝ բաշարքը թյ նն տողու ւն 4, եթե ճերթաղալող նշաններով ապա դժվար չէ գնաճատել վարարումէ Լայբնիցիթեորեմի պայմանին,

՛՛

Լլ `

լու-

Մասնակի զումարները (նկ. 365), Մասնակի ղումարներին ճամապատասխանողկետերը կմոտենան պատկերում է շարքի գումարը: Ընդ որում մի որոշ Տ կետին, որբ ճամ ապատասխանողկետերը դասավորՀ զույգ մասնակի դումարներին պատասխանող կեվում եխ Տ-ից ձախ,իկ կենտ դումարներին ճայրա

ՏոոՀ»0

ճեւտու

՞.

Տջշ--Ալ-Ագ--Տլ-Աչ,ՏոՀ«Տշ-Ա,

Տլ:

Հ

ճամաձալնփակադժերից լուրա քանչյուրը դրական է, (5) պայմանի ալդ ճանելուցճեւոո կստանանք Այ-ից փուբը ՈւստիԱայ-ից փակաղծֆերը

ընդ

հալբնիցի թեորեմը հրկրաչավորեն աաբանվումէ ճետնյալ կերպ: Թվային ուղիղի վրա անջատենք

Դիտողություն

ը

Տշո-«(Ալ--նչ)-Է(այ-- այ)

"

ան-

որ

1) 1»1/2»1/3Հ

ՍՏ :

զուդգամիչ

շարբը

2)

:

:

ճիշտ մի

է,

որոշ

եթե (2) ԱՎ-

ԻՑ:

Այ" շարքի

|

առաչինո

ՏԱՏ

լ

:

Կ

:

լո աո-ՀԱու 1/ոշ-0:

անդամների լ

գումարը

Ի՞

.

.

--1)յ"Դ11

է մի գումարից տարբերվում որը դեծությամ,,

Տ

Ր աա

,

փոքր է, քան.

ց ճեւտե ում ՏՈ«Տո-Տղառնչությունի ռաճմանները:

-բ՛

ԷԼ

:

Էջից ՛

մ ղուղամիտում

չարոր

Տ

Բ -

8.

-ՎԻ:

լ

'

՝

..

՛

ճամաձայն Լայբնիցի Թեռրեմի,

է,

Պ-ՀԹ

Է

/2.

ին

իա Հվ դրականներ,

ե

Օրինակ

Ընդ ռրուսի,ի

տարբնՐ ություն /

ձատկուՀ Քանի րա

բավարար ճայտանիշ: կարնոր

1.Եթե

ս-սչ-Է

շարքն նշտանափոխ

այնպիսին արժեքներիցկազմված

խԷխչ-Է

է,,

ւ...

ե, ապա շարքըզուգամիտում

Դ Ապացուցում: ցում: է ցուք ՏԸ ջեն Ո անդամներիգումարներն կ, ի,

ավ

(5)

(2)

նույնպես

(1)

Փո-ը

Անին ս

(2 )

ն

.

շա

25ՐՔնրի ու ե

բոլո

2, ր

աղաա

Լ

ՀԻ Ըս

պայմանի, ր-ը

յ

Տու

ունի

ի

,

սաճմանը. Տ -Ը

ն

ունեն

5՛

փոքր հն

Տ՛՛

--

Չ2

Վ...

3:

.-օտ(3ո:4) Ըօտ(5ո/4)

Ը0Տ(ո/4)

4)

ոշ

ՎՀ"

«օՏ((2ո--1)ո/4)

ոՀ

:

8ջ

շարքի զուղամիտությունը, մ, լու ծու Տրված շարթի ճեւռ քննարկենք

Այս

շարքը

զուգամիտում է,

։

(5)

)

ՒՂ»

քանի

ռր

Է Է,

6)

ճետնյալշարքը

1 Իր

.

սա

ճայտարար ունեցող

նվագող

ոլրողբեսիա էչ Բայց այս դեպքում ղուղամիտում է ն տրված (5) երկրաչափական որ Ֆլորա մեծությունները փոքրեն (1) շարքի բանի անդամների խայարձակ շարքը, ճամառղատասխան անդամներից: -

Նկատենք, որ

նշանավոխ շարքի

Հետնաբար» դրանք

Իա Ւ ՅՐ

ազատների

Տղ-ր օ-ից

ի

ըստ

աՀ

ՅոՀՏո-ՒՏո,

Տ1ոոզ -Էո"-Է ո1 Վ...

ս

ււ

դրական աճող են չ մեժություններ ՅՑ0

դ

է,

ղուղամիտում է (տես Տ 0), (4) շարբի անղաժները մեֆ չեն (5) շարթի ճամաղատասխան անդամներից, (1) շարքը նույնպես ղուգաճետնարար, Կ/(իտում ապացուցած տրված (3) նշանաչ է, Բա յց դեպքում, Ը եսբեմի, ե պացուցած թեսընմի, տրված(3)նչ այսդեպք փոխ շարքն էլ է ղուգամիտում։ Օրին ակ Հ. /ւսու մնասիրել

հաա ւս

Ց)

|

չարքը

:

ն

-է

հղաժ դրական անդամների մեջ իսկ շվա անդամների մեջ եղաժ էս ամ դսոշների բացարձակ մեծություննեԷ բոց Րե դուտարը Տ ղը: արլ գեղլքում/ |

լշ

-

բոցաբճակ

'

զուգամիտում ե: ք» Դիցու

անդամնե դամների

Վե.

ոշ

-

'

դ

ը նրա ր

ԷՒ տվյալ նշանափոխ շարքը

|

ճուճեան ալնունետ

ոռ

ւ.

ՏՈ

եւ:

՛

ւ

աՀ

:

Տո

||

ն

ախորգ պպարադրաֆում ընդունած ավորվաժ ուլ լանչ ալժմ լենթադրելու ենք, սԱ.,.. որ Այ» Աշյ».. : աե Թվերը կարող եխ ինել ինչպես դրական, ալնպես էլ Տ, Ք" ծլ բացասական: Ամննից առաջ տանք նշանավիուվ, շարքի ղուղամիտության րի

Թեորեմ

Տոշ|

ՏՈՅ. (ոՅ

Չ 22

լո

։

ՀորՔՐԻ

ւ

շարքիճետ ըննարկենք ճետնյալշարքերը:

Տրված

ւծու

ՏԱ34

ւ

ջ:

որտեղ օ«-ն ցանկացած թիվ

շարջի զուղամիտությունը, Լո

Հո

գ:

.

:

յ այան /

Ուսումնասիրել

ն

Տլո«

ալնպես էլ բացասականներ: ախորդ պարադրաֆում քննարկված ձերթադայովղ նշաններով ՀարՔերը ճանդիսանում էն Խչանափոխ շարքերի մասնավ, Ր դեպքը:

թյունները:

ուսումնասիրուՐ

երկու օրինակ: Դիտարկենք

|

,

անդամներով շարքի ՛

է դրակոն ր

յանը

նշանափոխ, եթե նրա անդամների մեջ դան

Այստնզ կքննարկենք նշանայիո Քո

ունի

ս

ն ացարձակ պայմանական մ -Ձկ' 16վուգամիտություն

է

Տո-ր

ալդ

Ճանդում

հղբքումմ

Նշանափոխ շարքեր: Շառ

է, որ Կան

է ՏՈ--Տ՛", այսինքն՝ (Դ նշաճՃավասար ռառխրանը է: շարքը ղուդոռիիտ նավփոլխ ումի յուն է տալիս դատելումի Ապացուցած Թեորեսիը ճնարավորուլթ շարքերի ղուղամիտուլժ լան միասին Նշանափոխ քանինշանավիոխ յան մասին ճարցի ուսումնասիլրուլ յունն յսլս շարքի զուղամփիտութ

սախիան 7 որ

-

երը

ասլացույոաժ ղդուղամիտության ճարոանիշը

զուդամիտության միալն րավարար,

բալց ոչ նշանափոխ այնպիսի որոնք իրենք զուդաիիտում/ են, Բոց իրենց անդամների շարքեր, բացարձակ մեծություններից կազմված շարքերը տարամիտում է, գոլությունունեն անճրաժեշւոԽալտանիշ

՛

կապակցութ լամբ

յլո

|

Տ

"ւ

օ

ձակ ն պալմանական րանց ճիմտանվրա դասակ ,

նշանափոխ շարքի բացարմասին դաղավարներըե դր-

ւթյան

շարքերը: բգելնշանակվիոխ

անա

"Մ Սաճմանո

Մ

ՏՏ

ոմ"Ալ

սշՀ-Ա, Է...Գ-ԱրՀ-...

Ժ

Աա անափո

ՔԸ

ա

ված

(1)

երա

է

կոչվում

ւ

-

."

ղուգամիտող ճամար, որ պայմազական Այս բանիլուսաբանման կարող է փվոխտնհղափոխությունից շարքի գումարը նրա անգամների օրինակը: ճետելալ վել, դիտարկենք

՛

:

օրինակ

|

,

|

շարքը ՀետնյալԿշանավփոխ

ը

5:

՛

1--Վ-Հ---Լ4

է, քանի 2 ղուղամիտող ռ

-

ա շարքը

թ»

1Է

պամիտում

լ

Տ

ո

է,

կարելի

որը

կ

նա

' զուզամիտող

շարթը՝

Հ --

թյամբ:

0ր ե

լ

--Վ--2

|

|

4,

ՀԻ«

«տարամիտում ՛

Դ

ճեշտությամ յամբ լ

լ

չարք

՞

Ֆյանափոխ

ւՀ

է, Դ պուղաժիտում ւմ

ԵՐ

ինչպես

դա

բու

առա

զոդող

շարք

ում Լ

ու

նշհ

աձնուտ

կաղմվաֆ

ճատոատվելէ

'

որ

ստացված ած

ստա

Հ----

լ

ԻԼՐ

Գ

(ԼՅ) լ

ինչպիսի Ճ ոխել, այնպեստեղափոխել,

,

տ

Դ

որ

ն նրա

Հորթ

գումարը ճիշտ ճավասարլինի Ճ

1Ր8Ը

22--Վվ

Հետնաբար,

`"

2լ

|

Լ---

յ

ՐՐՔ

շ

Չ

3Յ

Հջն-ՉԹՐԿՒ

աաաի

Այնուճետն

Տգլ-Հիտ

մոչա

2մ լ

լ

Ց

ԶԵ-1

Ը

Չո

ՏԵՐ

լ

Չ

25"

՛

'

)

Էջ» 535.2.114Կ-Լ2 տոա-Վոու(

կու

25"

`

ատ րո(Կրո" ՛

,

ՏՏ

՝

2լ)|ր

Չի--1

Բորա

--ՎՐՐ ն,

-ՉԼ(ՀՀ-Ա

:

'

|

ն

յ

լ

լ

1`

«(ՅՅ ՂԿԹնԺ

ՎՀ

լ

ոտ

ո

երկու

Տո-ով

Տ-Ի'

է

«Հաաա

Ո

լ

|

զումարը

լ

ե

լ

:

ումա

,

(5) Դիտալկենք մասնակիղումարները:

Ց8

Տ.

ն նրա Տ

-ջ այսինքհավասար

յ

լ

--՞ջ

(9)

ի

ձե

ԿՈՆ

|

ԻԼ

աաա

բա էյ, բայց

:

լ

4:--2

Ըեքբքշռքտռանատաաոաատապ

ուղամիտում դամի

:

'

շա

ն

|

, Իր Ալ Գան թեվ էլ վերցնենք, կարելի անդամներն

ազա որ

կ

ծ ՀՀառատատու շոռսատաա՛

(9) շարթերի (8) նշանակենը Տղդ-ով դումարը Յէ անդամների շարբի

կությունները:

զուգամիտում Է բացարձակ,ապա տեղափոխմանդեպքում այն մնումի է նրա խվ ն բացարձակզուզամիտող: Ընդ որում շարքի գում արը ախված ճրա անդամներիկարգից: ճամար Ալս ճատկությունըպայմանականզուզամիտոզ չշարջքնրի

որ

-.-Է--Ւ

վ շր--1

-

ա-Ը-Ջ 1

".

զոպադաող արը նբ (առանց ապացուցելու) բացարձակ ղուդամիտող

Տ: Եթե թե շարքը անդամնե դամներիցանկացած

Ս

է"

ճատ

11.73 2 աէ

՛

ճետելալ Սան

որ

՛

գումարից, անդամ փոթր է (8) շարքի

լան ճասգացույվան օգնությամբ քմ "-՛ ն ԵՆ այսպես. ամեն մի բացարձակ բացարձակ զու

ԱՐական.՛ զուդամիտող շարքերի

է,

ն Դ կան անդամներ,

բացասա բաց

աաա/ «աաա»

ԼԱՈգ

Թեորեմ

չե

երկու բկու

6 ետեեն

'

կոգամդաաւք աման

| (08

՞:

Տ-ով Ակնձչայտ Նրա զումարըճշանակենք դրական անդամին որ մեկ ղուղամիտումբացարձակ: այնպեսյ տեղափոխենք անդամները Տ»0, (8) շարքի

ա

բացարձակ

չարքը

լ

է ոչ

կան

,

1 -ըր

աա որայ

անակ

Է

անդամների բացարձակ մեծություններից

1-Վ---ՎԻ---Ի---Է-. Յ 4.՝

Բ Ր եմ

ման

կայրնիցի ճայտանիչի օղնու-

/

'

այմ

կնք) Ապացու պացուցենք,

լ

առո

ր ամմեն

չարքը

Վ

իսկ ինքը՝ տվյալ

է,

ատուղելե

2-Ի -ԳՐԻ'

ԱՆՎ,

ք

խ

անդամների րացարձակ մեծություններից կազմված

բա

է

չշանաիո

Լ

Լւ

1 Լ

՛

Օրինակ

Պ.

՛

ր

,

1966,

Է

1. «ոք. 319--320):

ի

տա

Փատ1ՇԱՐՕՂԵԼ

(նս, օրինակ, դասադրքելոում

1ՇՎԱՇՂՇԵԼԼ17

տոֆֆօքօումողեւօ10 111ՇՐքՅՊԵԽ010

«յք

..

ր

լիճի տարամիտող: շարքը դառընէ դալիս վրալ դորս ը յսռլացուցում Ալս թեորեմների շամանրամասն է գտնել ավելի

բաղրանքունեցող

բացարձակ զուգամիտող,եթե շարքջը՝ մեժությունների բի բացարձակ լաէխչ|ի խԴ-.. Գխոէլ ( ) զուղամիտում է: զուգամիտում է, իսկ նրա ան եթն (1) նշանավոխ շարքը ռու Մ րի բացարձակ մեծություններից կազմված բ շարքը ամ Ժ ՄԴ է ալ ի տրվ (1) նշանավոխ շարքը կոչվում պայմանական շարք: ոչ բացարձակզուզամիտող ՀԻԲ

ն

անդամները

շարքի

զուզամիտող ճետո ստացպայմանական թվին: Բացիդրանից, որ ածհղափոխությունից Ե այնպեստեղափոխել, կարելի .

լ

Այսպիսով,

ոստանում

ենը

ՐԸ:

ոջ

Տր-Տ----Տ,`

դ"

ոխ

.

անդա

Տ 9. Ֆունկցիոնալ շարքեր

հ

Ա--սշԻ շարքը

"

:

/՛20,յ,

Տ

Եվ այսպես, տվյալ դեսլքում անզամների ճետո տեղափոխությունից վե (երկ երկու գ ումի բը ոբրագա փոխվեց նցամ փորրացավ), ա

"սղ:

«յթ

չարբի

Ճ-ին տալով չոող:

ւ

ա

ա

`

Ակնճայտէ, որ շարքի ղզուդղամիտության նրբաղուսոիրուլթում մի որոշ ֆունկցիա է, Ուստի ֆունկցիոնալ շարքի դումա-

Օրինակ,

Տ(Ճ)-ով:

՛

Դիտարկենթ ճեսնյալֆունկցիոնալ շարբը

Է-լԼ--ոշ-. Այս

զուզամիտում է

..-Խ"-...

(-1,

1) միջակայբից վերցրած Ճ-ի բոլոր արդեպքում, այսինքն՝ ՌԱՀ1Լ պայմանին բավարարող բոլոր ժեքների չ-երի ճամար, (-1, Ճ-ի յուրաքանչյուր 1) արժեքի ճամար պումարը ճավաչ է

շարքը

12451ատից (2 ճայտարարն ունեցող նվաղող

1-2

մարը), Այսպիսով, |-1,

1)

ֆունկցիան,

որը

Լ.

որոչում

այսինքն՝ զուղամիտող զրոյի, երբ Ո-ՇՀ Տ

10.

|5(2)--5(2)Ի-0,

տ

Ո(')

շարքի

մնացորդը

ձգտում

«227

4-80

շարքեր Մաժորացվող

սյ(4)

'

24-23

ՕՖ

Էա)

Ա)

մի մաժորացվող չ-ի փուբոլաման

է

դոլութլուն ունի այնպիսի

ա

Է

Ւ

.

ֆո

(շ )

ո

դրական անդամներով դուղամիտվող թվայինշարք» որ տվլալ տիչ բոլոր վերցրաժ ճամարտեղիունեն ճետնլալ բուլթից Ճ-ի արժեքների առնչությունները խչԹ Խ |ս ւ( )Հ | շ( ) ԼՀՉյ,

Ի:

Տ.

Այլ կերպ ասաժ,

| ո( Հ|ՀՉԽ

(Յ) խո Ւ... եթե նրա լուրա-չ մաժորացվող, ո

ԱՆԱՆ է շարքը քանչյուր անդամ բացարձակ մեժությամբ մեժ չէ որնէ դրական անթվային շարքի ճատապատասխան դամիներով ղուղամտիովող անդամից)

Օրինակ, ԸՕՏՃ

ԼԼ ՐԻՐ »-ԽոՒԼՅԼ«..

ե2)Էս,.)-Է

|էումի,եթե սոիլ'ու

,

լ

|

-

Գ

շարքըկոչվում ֆունկցիոնալ որոշ

է

շարքի ղումարֆ է, այսինքն: լ -----:ԱԼ

չարթի

երկրաչափական պրոզրեսիայիգու

տվյալ շարքը միջահայջում

`

ու()-Հ

մո

(1)

զուզամիտության

Լ

:

նշանակում են

ռար

այսին քն՝

ո»

ենք տարբեր լինել զուղամիտող կամ տարամի-

')Բ

մարը չ-ի բը

շարքի դումարն է,

Սաճտմտանումի: ու

իրո

:

Այս դեպքոմ ո(ձ) մեժությունը կոչվում է (1) շարքի մնացորդ: Շարքի զուղամիտությանտիրույթում Ճ-ի բոլոր արժեքների ճամար տեղի ունի Լոտո(2)--ՏՌ) առնչությունը, ուստի

Ճ-ի այն արժեքների բազմությունը, որոնց ճամար ֆունկցիոնալ ւր է, շարքը զուդամիտում նվանում են այ (դ շարքի տ

:

է :.

ճավասարէ

«(Հ-Հ«Հ()Ւո(8,

.

այի: որոշակի թվային արժեքներ, ստանում

նրա դամարը

|

: ո(5)Հսւ(:)-Իսոգ»(0-

-21ճ

-.

Թլային շարքեր, որոնք կարող են

ապա

բ

ճետելալֆունկցիոնալչարքը Դիտարկենք

սիս):

ՊՆ

դուդամիտում

շարքը

..

ցիաներ հն,

Է

ալդ

որտեղ ո(2)-ը մոււԹ)ԷստվշԹ)Դ:

կոչվում է ֆունկցիոնալ, հթն նրա անդամներըՃ-ի ֆունկ-

ա)

եթե

լ-

Շ0Տ22

գ.

ԸՕՏ

ՅՑ

ԸՕՏ

11...

ամբողջ ՕՃ առանցքի վլա մաժորացվող բոլոր արժեքների ճամար տեղի ունի շարքը

ԸՕՏ

ՀԶՐ» ո

Տո 2թ.)-ով Նշանակենք (1) շարքի առաջինո անդամների դուսաՀ

ու

լ

ՀՀ-Տ (ոչ-1, 2, '

20--

Դիֆերենցիալն

ինտեգրալճաշիվներ

-Է Ն,

լ

շարք

է:

ոշ

Իրոք,Հ-ի

,

առնչությունը, իոկ

ծ"

.

Էչ 2 Ի-չ-Ի Ժ

ն

:

է, ինչոլեսճայտնի

որեէ

որ

տիրույթում

դիտարկվող տիրույթի

Այսպիսող,

անճավասարությունը, ինչպիսին ել լինի |շ, Ե|-ից վերցրած ա «: ե 9-ով (2) շարքիղդումարը Ապացուցում: նշանակենք ու

9--0.յ--Օչ-ԷԳ:-Ի

:

Է -

այլ

շարքը

:

:

Լու

Առ

ո-"»

`

:

հո

Հազւ)-տչ2(8)

"

"Ժան,

մտ

-

ոչ

դադամիտվող ոտւդամիի

ո

վո

ո

ոչ

մաժոչ

շարքեր, որոնք օժտված ճասոկութ 0 Թյ ասուԲ Նշված

աժ

՛

Է

Ր

կոչվում է |ճ, Ել| ճատվա-

ճավասարաչափ զուգա-

աա

այապետ,

անո

'

Է"

Ճաւովածում վ

տանժ-է.. կոչվում

-ֆ»-

Հ

է

ՆԱ.

գորի

|

Ե որտեղ

Տո«)--ապԹ)

է

8, է| հատվածումհավասաեթե ցանկացածորքանկամենանք զուգամիտվող, փոքր «»»0 ՎԻ այնպիսիԿՎհամար, որ բոլոր ՈԱ ճամար տեղի

-

Տ(2)-ՀՏո(2)-Էրո(2) ո

Խան

շարքը ֆունկցիոնալ

շարքի դումարըներկայացնեն ք Ալժմ (1) ֆունկցիոնալ ե ով, տեաքով,

|

|ճ,

ապացուցած լեռրեմում

միտվող, Եվ |

Տղթ0:

չար

21» զոթյա: օժաված ամենմի

շարք

:

ճետնարբար,

չ

ի

նշ

Բա

ւ

մո

ն,

հն

ծում

օր--5 շո

7 րո" որե կնե

Ո

չոոշռղույժթյու

լություն

՛

է, ասլա ղուդամ/իոում

զր

յամբ:Բայցդոնշվածճատկութ ունեն

`

չուրջը

ֆունկցիայիգրաֆիկըամբողջապեսընկաժ կլինի չիտարկԱյս շերտում էլ ընկաժ կլինեն բոլոլ, ճաջոլդ մասնակի

մի ֆունկցիսնալ

բացվող Տո-ը

Րե

օժաված

:

Գու:

ԱԱ պամեն

:

(5) շարքի առաջինղոանդամների դումարն է, Էկ ի նացաժ բոլոր անդատների դումարը,ալոինքն՝. շարքի

ՏոՀ«Աով1-Է

Կ(ւ)

կիի

Բ

Ժո-ը

Քանիոր

-ը

կոբե

լայնությամբ չնրտ, այսինքն՝ կառուցեն գառուցենք ք 7Հ«Տ(.)-Էտր Ի 964), Էյչ դեպքում ցանկացաժո-ի ճաՀՀՏ(:)--5ո կորերը ( եկ. ՄՊար դումար

օՀ--ՑՈՎ-Տո,

Հաա

բոլոր

7ՀՏ(:) ֆունկցիայի Դիտարկենք գրաֆիկը: Այ. 28ս

:

ում

1:

ՎԵր-Գու-Ի"

ալդ

ՀՇ Ի622)-Տ()

Ճ-նրի ճամար, ընդ որում օ-»0, երը ո-»0։ 1. Սոոացվածարդյունբը կարելի է ներկրա-չափորեն լուսարանել ճնտելալկերպ:

5(2)--5ո(:)|ՀՏ

որտեղ

Ճ-երի ճամար:

բոլոր

.

|լռ,Ե| ճատվածում մաժորացվողհ. Դիցուք ֆունկցիոնալ շարքը Տ(Ճ)-ի այդ շարքի գումարն հ, իսկ 5/ղ(5)-ը՝ նրա առաջին ո անդամԱյս դեպքում յուրաքանչյուր, որքանկամենանք ներիգումարը: փոքը 5»0 թվի ճամար կզանվի այնպիսի ԽՀ դրական թիվ, որ բոճամար տեղի կունենա լոր ՈՀ»

գեպլքում

որ

"2 իտողություն

.

ա(2)--ա()..-ա)-Ի:

ալս

է,

Բղ(4) ՀՀՏը

աթվածի

Դիցուբ

ու

ուստի

/

է,

լդ մաժսրացվողշարքը սոիրուլլի բոլոր կետերումբացարձակ ղու Բացի դրանից»մաժորացվող շարքն ամիտում է (ոնս Տ ն

Թրորեմ։

ճեոնուսր

խոււԹ ԱՀՉուն խուշ(Ճ)ԻՀՕու»,

ղուղամիտում/ է: Սաճիանումիցանմիջապես Բեւոնում:

Րբը:

(3) ։յայմանից

:

|

ի

5(2)-աՐ Հ

|

|ճ, Ե| Ճատվածից վերցրած աողավասարությունը համար,

Ապացուցաժ թեորեմից

ճնտեումի է,

ղզուդամի տվող Հասարաչայի

շարք

է,

ռր

ցանկացած.-ի

չարքը փաժորացվող

ճա-

1- 334«2Շ

Տ

11.

Դիցուքունեն

)-ս,Թ)-.-..-Էս(՝Չ-ղուղամիտում է 8, Ե| Ճավա ժում:

որը

արան լ

կազմ վուժ անբքնդճադ ֆունկցիաներից

ք

ս

շարքը:

Խ-

Շարքի գումարի անընդհատությունը

:

:

Տ-

եքե չ--0,

:

Ւ

Օրինակ:

Դիոարկենք ճետնյալ

(ԱՅ--ԿԻԼԸւՍՏ

«ԱԹ)-Է0ԱՈ.

Այսպիսով,

:

Տր--0:

«(ԹՀ--Է-Հ

էջբ «ՀՕ,

2-0,

ոՃՀՑ,

5Ռ2)-1-7

հրբ չ»0.

«ՎԱՍԾՈՎՍ--«անո-այլ...

:

Մաժորացվողշարքերի ճամար ճիշտ է ճնտնյալ թեորեմը: Թեորեմ: Որնի |ռ, Ե| ճատվածում մաժորացվողանընդնատ

այԴ ֆունկ ֆու կցիաների շարքի գումարը ճատվածում անբընդնատ ցիա ե: ն

ի

-

,

Ա պացուքում,

:

բացվողանընդճատ

յ

Դիցուքունենք |8, ե)

ֆունկցիաների ս.2)-Էսւ,2)-Էս,0-

.

ւ

:

ճաովաժում

մաժոչ-

(1

:

Նրտ դումարը ներկայացնենք

շարքը:

«եսքով, ոլսոնղ հկ

«ՀՐՏ

Իո)

Է:

Տո(4)--սլ(ո)

"Ժա,

"

"

ո Օ-տո(0-ատնց

--

:

Ճ արգումենտի կամայականարժեքը լո, Ե| ճաովաժում վերցնենք ն ձ: աճ, որպեսզի նրան ւանք այնպիսի «Վ ձյ կետը նորից ընկած մենի |ո,Ե| ճատվաժում: կատարենքճեւտնլալ նշանակումները. ձտ»«Տ(4-Էձ)--Տ(2), ձտո»»Տո(«Վ-Ճ)--Տո(),

:

-

ձո 2«0

է, նրա զրախղվող ֆունկցիա տրված նան 5.(4), 5:24) ն

են

գրաֆիկները:

:

ճմ նշ

Էշ

ո՞՛՞

Այոպես, ուրեն, բերված շարքի գումարը ֆիկը պատկերված է նկ. 304-ում, որտեղ ցույց 53(:) մասնակի գումարների

ւ

ՀՅ)»

Տ--

ունեսը

-

ո

-/-ը

ուստի

1ԻՀ.1,

լ

ա շարբի անդամները (որոնցից յուրաքանչյուրն նված է փակաղծերի մեջ) Ֆ-ի բոլոր արժեքների ճամար անընդճատ ֆունկցիաներ են, Ապացուցենք, որ այս Հարցը դոզամխոում է ո նրա դումարը խզվող ֆունկցիա է' |

ն

՛

շարքը

8/5:

Տրչ-0,

աղա

1լու(-նվ

՝

դլիչում 0 ճա.) ապացուցելենք Թնորեմ ալն մասին, որ դումարը անընդճատ վերջավորԹվով անընդճասո ֆունկցիաների ֆունկցիա է, Շարքի զումարի (որը բաղկացաժ Է անվերջ թվով զոռայվարայս ճատկությունըչի պաճպանվում: Առընդճատ մարելիներից) անդամներով որոշ ֆունկցիոնալ շարքերի ղումարն անընդճատ ֆունկպիա է, ակայն կան անքընդճատ անդամներով ֆունկցիոնալ շարբեր) է, որոնց դումարըխզվողֆունկցիա

Սո աՀ

ՉՈՒ

2»0 մո շ»0

Մ»

«ալս դեպքում Նկ: Գտնենք տվյալ ջարքի Գանենք չարջի գումարը: եթե 0, ալա

առաջին

'

:

'

անդամների

ը

գումարը,

ՏՐԻ

»

--Ճ։

'

։ ։ |

տուս» «ժ-սո(

"Քու:

լ

Հտ

"Րոնղից

ջ

ձՏշձՏՈՎ-Իո(«Վ-ձ)-հ), `

ԷՃ»)-Ւ(Ցի

ԲՏՀՎՃՏՒՒՄ

Այս անճավառարութ յունը ճիշտ յունն Տ(»)-ի անընդճատույթ

:

'

|

է

(2)

ցանկացած Ո ճամարի

ապացուցելու ճամար պետք

դեղպՀ

է ցույց

պանկացաժնախապես արվի ծ ճամար կղւոն կզանվի ւսչն ամար այնպիսի50 թիվ, որ որ

ռչ,

ոլ

օ

"

լճ5|Հ»

Քանիոր

տրվաժ 60

,

ու

՛

`

անճավասարուլթլունը: ըդոր աժ Հ-ի Ալնուճետե,

բոլոր

ՀԱ

տեղիունենա (2),

նում

ենք

(3),

(37)

ն

(4)

|«Օ«-|աէ

պՀՏԼ.

քով կամ «ոես

այսինքն՝

յ

|

ստա-

|ճչ| ՀՀ, երը

ՎԼ»,

|ձ4|ՀՏ,

սի

շար

ճատ

մաժոր

Քանիոր

Տը--»0,

Է

ԽԴ

|ա(0ժէԼ...Ի |մո(Ս4ԷԼ |հոյձէ .

(2)

ՆՈ

.

՛

Մո(ՍՄէՀ| ԺԷ

ապա

1նդ

՞-

«ոմ ---Էօ(Գ--ա)ՀՀո(Ե--օ):

զ

.

Հ

ոօ.

ՒոԱ)41--0:

'

Պ»յց (1

Հազասարությոնից

(-0«-

|

|8,Ե) ֆունկցիալի:Մասնազորապես,

«թ.

:

:

:

|

են

ճաստվածում ճավասարաչափխ զուղամիովող ատեն մի շարք (եթե ալն նույնիսկմաժորացվող չէ) ունի անընգճատ ֆունկցիա շարչ ճանդիսացողղումարը (իճարկե, Քի բոլոր անդամներն անընգճատեն): ) ԼԳՆ

։

զ

.

չէ. վո

որ

ան):

.

«

| ո(94|Հ|

ճիշտ ա չագաղարձ կնթաղրությունը Վերջապես, որոն վածում եր, ճատ ենաաաաթիեշ Հատվածում զամիտում անընդ դու ալն

ա( ժե

,

իշկ էլ նչանակում է, որ Ճ կետում (ն, ճետկաբար, |8, Ել վածի ցանկացած կետում)Տ(2)-նանընդ ճատ ֆունկցիա է: է, որ Դի տողութլուն: թեորեմից ճետնում Ապացուցաժ եթե շարքի դումարը որեէ |8, Ե| ճատվածում խղվող է, ապա շարքն չէ: Մասնավորապես մաժորացվովղչե ալզ խատվածումմաժորացվով շարքի գումարի խզման կետը պարունակող (.»-0 կետն,ալսինքն՝ ցանկացած ճատվածու մ) օրինակում բերված շարքը:

-Իոնց

ներկալացնել

է

(վերջավոր թվով զումարելիների ղումարի իբնտեղրալը ճավասար է ալդ գումարելիների ինտեղրայներիգումարին): մաժորացվող է, ապա ցանկացած Քանի որ (1) տրված շարբը Ուսի" Ճ-ի դեպքում ունենք Ռո(Թ)ՀՀո, որտեղ օղ-»0, երբ Ո-»օԹ:

ճատ-

ունեն

|

Տ()4Ե-

.

`

սա

ոլություն

"

-

։

ՏՀ)-ատ)ՒԻս()Ի-Է

»

:

Է|ա(ՍՄէԼ...

| ա(ՍՃէր...

ՏԸՐ

դեպքում

մ

Հ

ւի: Տ(2) ֆունկցիան կարելի

Ա ռլացուցու

'

Հ

:

:

.

լ

4)

անճավաստրուլթյուննելիճիման վրա

թ

Ր

՝

նճավասարբոալթլունը:

Լ

նման

(37

Մտա »/3-

(1)

դիցուք 5(չ)-ն |ք, Ել ճատվածում մաժորացվող հ, է: Այս Ա Ել 5(4)-ի ինտեգրալը դեպքում այդ շարքի զումարճ ճատվածին պատկանող2-ից մինչն Ք սահմաններում ճավասար հ ինտեգրալնԵ Երի նման մարին, այսի նքն` ինտեգրալներիգումարին, տվյալ շարքի անդամների

(3)

Ճ5)ՀՀՅ

ա)

որը

շարքը,

տեղի կունենա

դեպքու Տ(2) մասնակի դումարբը անընդճասոֆունկցիաէ (որպես վերջավոր թվով անընդնատֆունկ» ) ն, ճեւոնաբալր, ցիաներիդոոմուլ կորեչի Է ընտրել այնպիսի ծ գրաւի եյ կան Թե, որ |ձճն|իՀ՛շ ճամար մի նի պազհանինբրսովարարող

'

՛-13

ը ՛

ԽԸ)սպռ2)Ւ

անճավասարությունը|. Ե| ճատվածից վերցրած ցանկացած Ճ-ի ճաի ում մար: «-ԻԷձշ բժեքն ընկած է |ո, Ե| Ճառոված ուռւոի տեղի

ունի

դիֆերենցում րենց դիֆ

ն

Դիցուք ունենք անընդճատ ֆունկցիաների

Թնորբնմ։

ցանկացած

Հյ

2)

Շարքերի ը րք րի իինտեգրումը գր

12.

'

բոլո բոլոր

րված (1) շարքը է, սպա փաժորացվող ճամար կգտնվի ալնպիսի Վ ճամար, որ

Խամար,չե մառնավորապես, երբ Ո-ՀԻՆ

Տ

կամենանթ փոք 5Հ-0 ՃվՀՇ դեպքում կլին|

քոն

«

|

առանո

Տ(0ՎԷ-

ճ

«տանում`

լ"

«

:

ճ ւ

Հ

ըտորն բերվող ղնաճատականներիմեջ

Պզանը, իսկ

ՀՕ

գեպքում՝

--

նչանը,

|Ար(յձւի .

ա(ՍժԷ.. Գ

«Հո.

դեպքում վերցնում

են

Հետնաքբար,

Ս:

:

:

լով)

բամ

«(ԳԷ

|

գ

-զ

այգ յ տ(0ՎԷԻ«--ի «զ

-

ի-"

|

:

:

,

Մ

Ի(Թ)Հա)-Էս(2)-:

(3)

:

|

|

ՕՍԿԻ

՛

ն

սո()Մ Էր...

թյուն ճիման

ա

:

(6) շարքի դումարը

փա(ց-:

"ս

(6)

Ւ(5):55'(:):

մաժորացվող

շարքը

է,

ապա

նախորդ թեորեմի

| (յժ

|սչ()4Է-Է-.Հ-

է

|

ա(0ժԷլ...

կատարելով ինտեգրումը, կունենանք.

՛

՛

|Ք(էյմէ-»

|

վբա նրա ղումարը

որ

որ

|(ԳՀՀ

շարքի մասնակի դումար-

ովղ

:

(177

(4)

ռաճման,ասլա այն զուղասիխուումմ է ն (5) ճավասարուչ

ունեն

ապացուցենք,

չիմ ալ

|

շարքի մասնակի գումարն է: Քանի որ

:

|

Քառակուսիփակազժերամ դանվող գումարը .

:

Ապացուցում: Ւ(Հ)-ուվնշանսսկենք "

|ա(Սժէֆ.«-բ |սո(մժ Հ «(ցժե մով | :

ները

քի գումարը ճավասար ն տրվաձ շարքի զումարի ածանցյալին, այսինքն՝ «0)--անցվ-ա09 093" «Ժանց-

է ճՃուվառաւբ 4094, այսինքն՝

ռ

իչ

՛

՝

.

| (ՍԺ-| Դ

իո

ա(Ս4-Է

իշկ

էլ ճենց այն

ցուցել:

չէ,

ստ

ժ---

յունն է, ճավասալրուլթ

Դիտոզութլյուն

եթե

՛

որը

|

մաժորացվողչե

շարքը

՝

ճ

տամ

չէ,

ճավասար

է նրա

որ

Մ

էր պաճանջվում

առ

իշտ

է...

ոյժ

անդամ անդասի ինտեգրումըճնարավոր է, ճասկանալայն իմաստով,որբ(1) շարքի դում րի որ

«լս(9-ս(ա)Ւլան)-սչ(2)1|:

:

առա

ինչպիսին էլ լենեն |,

միշտ

:

3)

(Ի.

Ֆ Տ(2) ն շարքնայդ հատվածում զուգամիտում նրա գումարին

դամների կազմված ածանցյալճերից ա0)Ի

20:

Է

ս(3-

մաժորացվող շարբընույնճատվածում Է, ապա

Ջոս

5|

:

ճատվաժիչհ

«գաբ զ

Հ",

Թղերը: Ուստի

Ի

լ.

լ

.

|ԲԱԿԷ-:4(-50),

բոտ Վերջին Խավասարուլժյա՛ն հրկու մասերը տաժանցելով 2-ի, կստա

Ք

ծան ածանցյալնե լ

ր

(5)

ան«

Ն

անդամների աժանցլալների դաւմարին: ւն ՀԺ Շարքի միաժորացվող Դի տող ությո լինելու պաճանջը ն է, է էական Թթիստ նրա չբավարարվելը կարող բերելշարքի անգա Դա ճասսուա անդամ դիֆերննցելիության տելու ճամարբերենք սաժորացվող շարքի ի օրինակ, որը Թույլ Հե չիս անդա անգամ գզիֆերենցումմ: |

անձնարինւթյանը:

Լ:

(6)

շարածանցյալների

ԲՀԱ)

ոի տեղի պայմանները Այոյիսով, ապացուցեցինք, Թենորբեւիի է շարքի ունենալուդեպքում շարքի գումարի աժանցյալըճավասար

-

աՐ-Էան98-Դ

Հ

",

Կանք.

`

,

ԷՀ»

պալմանի

«աւՀ-անէան)

անդսորների ինտեգրալների

(4) չարքի) գումարին: (աղորբնքն՝ ՉՀ. եթե Թեռբեմ |ո Ել ճատվածումանընդճ ընդնատ ունեցող ֆունկցիաներից կազմված

ըստ

Տ(4)-Հսլ(2)-Էսչ(2)-- ":-աԹ)յՒ:

առլա-

այնք է ինտեդրալը՝

Սա

Քալը,

«.ԳլԼաոՍ--սո(Օ)

.

ոա

առ

ը

Դիտարկենքճնտնլալ շարքը Տ1Ո14: Տ1Ո 242

Տո

ԱՐԻ

Այս շարքը

զուգամիտում է

Ծա: Յ

ՏԼՈ ոո

Դ-Ի»Ո

անընդծնաստ քոի որ ֆունկցիայի, դեսյթում/նրա անդամները

դ

(1)

-Վ-Չ:605 28:-Է

Ալո

է

ալսպիսի

ցույց

Թում): Տ

ալ:

որ

.

.

.

տում է

ոչ

1:

8-8

Աստիճանայինշարթ կոչվում

-Վ-ու-Է

Հ-ճոՃ"Դ-

ԻՄ

Ե",

29.

շարքի

է

(1)

Է...

Ճ0

(3)

Են

նյամները Իշ:

|» Ա) --- բ Վ-...

|

(4)

|

հն

-2:

Ի...

65)

դեղ

ճալտայար

ունեցովերկ-

է, զուգամիտում Հ) Այժմ դժվար չէ ապացուցել Թեոռրեւրի երկրորգ մասը. գիէ, Ալդ դեպքում ալն որնէ ճը կետում՝ (1) շարքը տարամիտում ռր

(3) (ամ (Ս

շարքը

րացարձակ

|լլչ-իլ| պայմանին բավարարող ցանկացած է կեիրոք, եթե ալս պալմանինքավարարող ինչ-որ Ճ կետում շարՔԸ լիներ զուղամետ, ապա, ճենց նոր ապացուցաժ Թեորեմի առաջին մասի ճամաձալն, այն պետք է ց կետում, դազամետլինի նան ում է այն անի որ եւ Հ-ի ուս ճակուս որ 40 կեԲայց պալմանին, տոսի Ճ է ւ, շարքը կետում տարամտիտվող Հնետնաբարյ ։տարաշարքը միտում է, Այոպիսով,թեորեմը լրիվ ապացուցվաժ է: դտարամիտի

նան

Կում,

:

1) եթե ասաիճանային (Աբելի թեորեմը): հ որհհ ց արժեքի դեպքում, զուգամիտում որր ճավասար Ւ «-ի չե զրոյի, ապա այն բացարձակ զուզամիտում ցանկացած որի ձամաի ԹՀ, ղեպքում, արժեքի 5) եթե շարքը տարամիաումհ որնի ց արժեքի դեպքում, ապա այն տարամիտում եհ ցանկացած4-ի դեպքում, որի ճամար թվ»յլա, 1) Ժանի որ, ըստ հնթազըության, Ապացուցում 80Դ-Յւ -Է83-Դ- --Ջղ»0-(2) Է...

է, Բանիոր բաչասիականպրոգրեսիա ն, ճնոնարբար, զուգամիտում (4) շարքի անդամները փոքր են (5) շարքի ճամ ապատասխ ան անչ է, դայրներից, ապա էլ (2) շարքը նուլնպես զուզամիտումր իսկ

ցուք

Լ

:

շարքը

Ճ9

զո

«

սա

ոզվելուճամար նախ ապացուցենք աստիճանային շարքերի տեսության ճամար շատ կարնոր ճետնլալ Թեորեմը:

Թեորեմ

4-8ռ

Համապատասխան ոՀՀրւյ քումի վերջին ելամներիչ,

նշանակում է,

«ա

ամբողջ

շարքն իրենից ներկայացնում

:

ճաստատան անաթի ֆունկցիոնալ չարքը, Յո... արտեղ Վ Ար 8 են են, Թվեր որոնք կոչվում շարքի գործակիցներ: շոր քի Աստիճանալին զուգամիտուլթ լան տիրուլթը միշտ որնէ է էափոխղել կետի: Դրամիջակալք է, որը. մասնավորապեսյ կարող ճամ

«(ՅԻ

ԽԴՎՎ-

տ ո

8շ

Բց-ԻԷթյ «Է-

դյռոՀ

միալն «--Օ ղդեպխ 137 /2: 2

Աստիճանային շարքեր: Զուգամիտության միջակայք

«Հ

ի

Է

դիտարկենք նր» անդամների բացարձակ սմեժությունների

Այս շարքի

ՈՀ.

ալն տաբի

ն

|

.

եբբ «--Օ ոլն

լ

Սաճմանում

զում

ւփոս(

շուլք»

1--2-ԻՅ2--

(ոարելիէ

-ՈՀԸՕՏ ո'ւՎ-

.

:

է: տարամիտում Այսպես,ծրինկ,

շարքը

Խու

:

անդամը՝

գրենք

շարքը

տեսքով շարքը՝

ը

:

ընդճանոր

է,

սա

մ

դրական ոնդ ամներով թվային զուղառիիովող շարքի անդամներից: Փրենք տրված շարքի անդամների աժ անցլալներից կազմված շարքը: Շ0Տ2

Ո-»օՉ,

,

Ի-

նրա

ապա

իսկ նշանակում ունի ալնոր դոլություն պիսի 18 դրական թիվ, որ շարքի բոլոր անդամները բացարձակ մեժութլամբ փոքր են Ո-ից:

:

-Է Գ, ՀՀդՎ-.

զուգամիտում է,

շարքը

սա

մաժորացվողէ, իրոք, ցանկացած Ճ-ի բացարձակ մեծությամբ փոքը են լ

Քոլին Ձուս-»Օ երբ

Արելի թեռրձմը թույլ է տալիս դատելաոաստիճանային շարքի կնահրի դասավորության մաՁուղամիտությանն տտրամիտախթյան ՀՀաբն:Իրոք,եթե Ճը-ն ղուզամիտո թյան կետ է, ապա սորքողջ (-- ղե ") զուգամիտության կետերով, Եթե միջակալքը լցված է բացարձակ Ճ0:ը տալրամիտությանկետ է, ապա | կետից աջ զոնվող ամբողջ անվերջ կիսաուղիղը ն -խոՒից ձախ գտնվող ամբողջ կիսաուղիղը ::

Ն

բաղկացած

ես

կետերից: տարամիտությոան

Թիվ,

ԲՐ Քի

մի

դեպքում

զրւգամի տութ լան միջակաԱ2 ի

շար

Թնոր

եփ

հ:

ածքի կառուցվաժք

սկզբնակետում կոորդինատների

Սաճմտանումմ

ջակայք կոչվոմ ե

ցանկացած

իսկ նրանից

դուրս

(նկ. 365),

Հ

--Ջ-ից

կառ.

ոավիղ:

կենարոն ունեցող միջա-

| Ք 4 սին

Խ՛

Շարքը

ԱՈ

ՆՍՏ

Ս՝

եր բե

Հ-Հ

Էն

է տարամիտում Շարքը

'

Նկ.

'

Օտ առանցքը

՛

ՀչՀԵ

Ճ-ւ--:--

(ոո

զուղ ճանային

տ

աի

|

'

այքը

Բո--Թյ իի

«ԵԼԱԲՅ--թ,

բելի

չաոն

ալադի

նր

ի

տա-

իլ"-Է... շր:

( --ը» թ)միջակայքը:(1) `

լ

Հ

ո

'

Ձղյ1

ո՞»»|

ն օգտվել կաշիի ճայտանիշից,

է

աստիչ

ձնով կա-

դեպքում

այդ

իո Ի--րոոբը.' ո-»»

տությա թ

(1)

Լ...

,

շարքը

միջակալբը որոշելու ճամար ԱՈՂ Զուդամիտության

Օրինակ

միջի

Ռրոշել 1-3:

Ո

մո Հիեզնեն Հիշեց

լ

|

որ

ի

բ

չի

եթե եքե Լո |լ

Գգ»: զոռում

.

ՊՈՎ.

..

ո

զրոյի

ռր

»

րոյի

ԷՏ:

1, չ

ասլա

ստանում

ենք

յդ,

Դալամբերի մ յլամբերի ճայտանիշն

ը

ղուղամի-

շարքի

Դալամբերիճայտանիշր, կիրառելով Անմիջապես դ-«

"

.

ֆակայբը:բը

Ա1ուծում:

:

(6)

Վերջին (դրական անդամներով)շարքի զուղամիտության միջաորոշելուելու ճամար կիրառենք Դալամբերիճայոանի ճայտանիչը ճամա

որ

է,

կազմթոցարձակ մրժությոններից

շարքը:

,

ն

ո»՞ջ»

իու լան միջակայքն է, այսինքն

Դիտարկենքնրա անդամների

վաժ

Ի/ՀՀ-

լ

ումի Նախորգիցճեւոն

զուղամիտութբոն շառավիղը

ողբ" Դ-

Ա

ւ

ան

Ե»

(Տ-Հ«»):

Դիցուքունեն ք ճետելալ շարքը: 8օ- Ձ 2-82:

(6) կո-ԸԻ-»-իլԼՀ1 լլղ

սպա

որոշելուեղանակը:

լ

լ

.

է

Է Շաիքըտարամիտում

շարքի Ցո,լց ուսնք աստիճանուլին

է, եթն տարամիտում

ս

երբ

նշենք, ռր որոշ շարքերի զուցամիտության միջակայքը էասիոխէ ամ-` վում է կետի (Է»-0), ալլ շարքերի Ճար էլ այն ընդգրկում բողջ

զուգամիտում

անդամը չե ձղտույիզբոլի՞ս է, ինդ որումնրա ընդճանուր բամիտում Մ վյալ (1) աստիճանայինշարքի ընդճանուր անգամըչե Բալց՝ալս ճիզո ղամիտության ճայտանիշի անճրաժեշտ ձգտումգրոլի, իսկ է, որ ալդ ման աստիճանայինշարքը տարամիտում վրա նշանակում

ՇՀՀՋ

ԻմՀ-լ»

շարքը

բացարձակղուղամիտոսւմէ

չարքը

լ

Ը զուգամիտում

.

լ

լ

|(Տ--»

Իսկ եթե (Ր »-ս դեպքում: Լ

շազուգամիտության աստիճանային

(

այսինքնեթե Լ

Հետնաբաբ,(1)

շարքի

մը

թո--Լիթ

ոշ

ւ

Լլոր»ն այաինթթ՝նթե

Աստիճանալինշարքի զուգամիտության մի-

ա ծ ավիշրո

|

ՀոՑ"

(5) Դալատբերիճարոանիշի

ոո

եթե Լի |ՀՆ

է,

ւ

ռ) զու մասին շարքի ճալգը դամիիտության կամ տարամիտության սովյալ լուծվում Է լուրաքանչլուր կոնկրեսսշարքի ճամար առանձին: ւ

ՆՈ»

ՅոՎ1

:

բ Ալս դեսլքուս՝

|

է

ՈՈՏԹԹԻԼ ըը

Ար

դ-»»

մինչն --Ք ալնպիսի միջակալքը, ոլի ներէ ն այն էլ բացալ շարքը նետում զուգամիտում ձակ, ` գտնվող տարամիտում է կնտերում շարքը

թ Թեվը ԱԼԱՆ Մ իջակալքի մ.

մասինի

մտիճանային շարքի զուգամիտության միջա-

9:

կայքը կայք

'

:

Աո

կո

աստիճանաչ կեւտեր: Այսպիսով,

արամ իո ու թյան

Թեորեմը, ճետելալ

սի

Ենթադրենքդոլությունունի ճետնլալ սաճիանը

որ դոլաթյոն ոնի կարելի է եղվրակացնել, այնպիսի ք Սրանից որ թ|Հ՛Ք դեպքումունենք բացարձակ ղոդամիտության կեւտել:

Ն րնդճանուր բ ապաշոշարքի ընդ

ասղացու

անդամն անդ

ե

0՛(

իս ( (տես Տ

աճում

է

ն,

) տեսանք

4)

,

ճեւռնարա բար

,

շթրքը Հետնարար,

ԱՆ ուսում

Ճ---|

1) այշի «Վ երը աար րաի բարքը,

նառիրու

ն

է, երբ է, երը իվՀ1 ն տարամիտում Փայրերում Դալամբերի ճայտանիչի օգնությամբ արին անան 7 անմ ես ե, ք, որ երբ երք իչ

զուղամիտում

ու

Օրինակ

շարքի անդամները բացարձակ մեժությամբ

Որոշել

Տ

Օգ"

շ.

,

լ

շարքի զուգամիտության

'

ն

լլ

| ուղամիխյոում զուղամի

Շա Ըքը

է,

եթե եթե

է,

մեխա

աա

ո"

"

արշ

զուղլամիտում է, երբ

շարի

ՀՀՍոլո-1

(29"

ո-շա

2»

Ճ-Հ-

|

«ԻՉ-

«ՑԸ.

անին

..

`

միջակայբը:

ղուղզամիտության կիրառելով Դալամրերի ճայտանիչը, կստանանք. Մո Է Գոլը: ա | Ճ

է|

Առ

ոՀ

|լո

(ո Ս կախված չէ Ճ-ից ա

նո

ոա)

Քանի որ ռաճմանը զուղամիտում է -ի Ա 4, Օրբրիոշոակ

ն

ԱԱ

փոքր է

ո-Վ-1լ

0-1

մեկից,ապա,

Հ1,

-5օ),

երբ

Ո-օ09,

Թեռրեմ

է

Է

շարքը զուգամիտում է չ-ի

(ՈՃ)

շալբը

լ

(24): (38-Ի "ՀԷ": 1-Ի:բոլոր արժեքների տամար, բացի 2--0 Հ

:

Խչանակում է

արժեւների տամսսր:

ինչպիսին էյ յինի զրոյից տարբեր

քանի` արժեբից,

`

4-ը:

Հող "Ի: 80--ու«-ԷՃՅ-Ւ (1) հ աստիճանայինշարքը մաժորացվող ցանկացած|--ը, ք| միջակաընկած Ե զուգամիտության միջակայքում: ջում, որն ամբողջապես Րատ պայմանի ՆՀ-1 (նկ. 306), ուստի (գրաԱպացուցում: րվ" (7 Ի: կան անդամներով) հու--իլոՀթ

:

:

:

"

`:

ն

"Հ

-Ք

ԱԱ

Վ Չ

-Ք

միցակայք Մաժորման ,-

Նկ.

Յ1Ց

թ

ՀՀՀ.

շարքն

որում

`

-

մ

:

Ր

ետ

1,

եթե

`

ՅաԴ

-

"

"

ԳՅ

Է

ր"

(1)

աստիճանայինշարքն ունի (--Ք, Թ) զուզամիտության միջակայքը, ստացված անդամ դիֆերեճցումից ապա (1) շարքի ահդամ առ ք աա (2 Ի: Փ(Ճ)--ճ-Ւ28չ" ՒՅՑ» Ի:

ԷԶուգամիտության միջակայթ .

Աստիճանայինշարքերիդիֆերենցումը

14.

Տ(4)--40-Է8լ4Վ-8ԲԷնա-

ի

:

՝

'

Տ

Թ եո

Ց :

է, իսկ նրա Ի շարքը չյրաժոռրացվող Իրոք, ալդ Բատված:ո անՏ 11-ի 1-ին եձո Հետնաբարյ դամները Ճ-ի անընդճատ ֆունկցիաներ ճատ ֆունկցիա է, վրա ալդ շարքի գումարն անընդ թեորեմի ճիւրան են Ց. եբեօ, ը ինտեզրմանսահմաններն ընկած Հետնանք աստիճանային շարքի զուզամիտությանմիջակայքի ճերսը, ապա հ շարքի գումարի ինտեգրալը ձճավասար շարքի անդամճերիինտեէ գրալներիգումարին,քանի որ ինտեգրման տիրուլթը կարելիէ պարփկելԼ-թ, 2 ճատվածիներսը,որտեղ շարքը սաժորացվող (ոկ. 462) (տես Տ 12.ի 1-ին Թեորեմը՝մաժորացվող շարբի անդամ )։ չան սրասին ւսու անդամ ինտեգրելու ճնարավորութ Ք27 24

այ շարքը

Ն

Ս

տարամիտում է,

շարքը

Ճ նին

հուծումս

որ

:

ձ.

Բ

Նկ.

րարցները |27|Հ1,,այսինքն՝ այսինքն՝ եքե |չ|Հ

օ«

-

ՀՅ

ւ

ւ

-

է մտաժորացվող

ձատվածում, որն ամբողջապես Յուրաքանչյուր միջակայքի ներսը, աստիճանային շարընկած ե զուգամիտության ֆունկցիա ի: քի գումարն անընդնձատ Հետնանք

28:

միջակայքը:

ո-1 մ

շարքը

ճա-

Լ--ջ, 6| ճայովածում:

:

ՅՐ

չեն (7) շարքի

մեծ

(1) Հետնաբար, անդամներից: մապատասխան

ու

(1) գեպյքում՝

է: Բոլց ԷՆԱ շարքը զաղամիտում՝ ասոիճանային

լ

`

|

ունի նույն

(-Ք,

8)

«(8)-5'(8),

::

զուգամիտության միջակայքը, ընդ եթե խլ--Ք,

այսինքն: զուզամիտությանմիջակայթի ներսում (1) աստիճանային առ Է շարթիգումարի ածանցյալը Ճճավասար (1) շարքը անդամ անդամ դիֆերենցումից ստացվածշարքի գումարին:

բամիտումէ, ենթադրենք, որ (5) շարքը զուգամիտում է, երբ ու-ն: անդամ ինտեգրելով (0, Ճչ) միչակալքում, որտեղ Ալն անդամ ՀՀ մենք կատանալինք, որ (1) չարքը զուղամիտում է Ճչ է կետում, իսկ ճակատում թեորեմի պալմաններին։ Ալսպիսով, 8) միջակայքը (3) շարքի զուղամիտության միջակայքն է, (-Խ Թեորեմը լրիվ ապացուցված էս. (2) շթրջը կարելի է նորից անդամ անդամ դիֆելրենցել ն այսպես շարունակ ցանկացած անդում: Այսպիսով,ստանում ենք ճեչ-

Ապացուցում: Ապացուցենք,որ (3) շարքը մաժորացվող է ամբողջապեսզուգամիտության միջակալքի ներ«ն ընկաժ ցանկացած (--ք, ք| ճատվաժում: Վերցնենք այնպիսի է կետ, որ բՀՀՀ (նկ. 365), Ալդ կետում է, ճնտնաբար, ուստի կարելի է շարքը զուղամիտում (1) Լո

առ

սա

ճղչ Հ-0,

նշել ալնպիսի ին

Եթե ԱՀ,

ճառտատուն

առ

որ

բոչ"ՀԻԼ (ոՀ-Լ,

առլա |ոճո4"-

թիվ,

Չ, ...),

Կոնլալ

Է

Հվոճրշ" -1|

ո--1

Տ. ո|ճոծ"՞-'| (2.

Հ-

մ

Հ-ո--զո"-Ն

`

որանղ

զ-- ՀԼ Հ

|

,

անդամները լբ Ալսսլի սով,(2) շարքի

մեծությամբ փոքր

զեպքոմ

բացարձակ

են

ի

Հ-ԱՀՉՂ-ՀՅգ-Ի

1"

"ոզ"

ԷՀ

Ն

«-ՄԱԹ դլ

|

Տ

անդամներից:

ֆեաագաաբ-ՎԻՎԻ----ՖԻ» Բ էՔռդ

:

ՀՑ տ

աստիճանների

Ասաինանային շարք

է

ն

'

Խ-ա(«-ՕԳԱ(-ՅԴ-:

Չ-րդ Թեորեմի ճիման վրա նրա ղդումարը Լ--բ, է, այսին շարքի դումարիաժանցյալն քն՝

2:27

ըստ

Ֆ--Ը

:

«ԺաՐ-Թ"Ի

որտեզ եինՎլ"

Հո-ը

(2

նուլնպեսկոչվում

երկանդամի աստիճանների դասավորված աստիչ

:

դեպքն է, (1) շարքի ղզուդամիտության միջակայքը որոշելու ճամար նրաչ ոմ ճուր

կատ արե զ Ո՞շքք

"

Զ-ի--

Ճեւոո (1) Ալս վփվոխարինումից վփոիխարինումի: փուվոխոաւկանի

քանչյուր ներքին կետ կաՔանիոր (--Տ, Է) մի ջակալքի վուրա ճեներար,սպա այստեղից բելի է մոցնել որեէ 1-ը, ռ| ճՃասովաժի սոնում է (-Ճ, 2) միջակալքի է, որ (5) շարքը ցանղուդամիուումմ

(2)

շարքը

՝

:

6| Ճաւովածում տվլալ

դուրս

ճան

շարքն է, ճանային 1--Օ դեպքումուսանում: ենքըստ -ի աստիճանների դասավոր ված աստիճանալին (1) շարքի մասնավոր շարքը, որը, ճեւտնարբար,

ջ(.)-«5՛(8):

միջակալքից

շարքի գործակիցներ: Սա

.

'

կոչվում

|

են

է |-՞, (5) շարքը մաժորացվող ք|ճատվածժում, Հեոնաքաը,

Շարքերըստ («--8)-ի

շարբը»չ ֆունկցիոնալ տնսքթի

-

ք)

15.

լ

|

է, որում/ կարելիէ ամո զԲալըվերջին շարքը ղուդամիտում՝ Դալամբերիճայտանիշը: վել, կիրառելով ոզ"-" -զՀ-ն Լու ո՞«(ո-1յզ"-շ

ոբ (--Է, Ապացուցենք,

Եթե աստինանային շարքը վուգամիտում հ (-հ, ը) միջակայքում, ապա նրա գումարը մի ֆունկցիա 7 որը զուզամիտության միջակայքի ներսն ունի ցանկացածկարզի ածանցյալներ, որոնցից յուրաքանչյուրն այն շարքի գումարն հ, որը ստացվում ի ավյալ շարքը ձամապատասխանանգամ անդամ առ անդամ դիֆերենցելու արդյունքում. ընդ որում դիֆերենցմանձիտնանթով ստացված յուրաքանչյուր շարքի զուգամիտության միջակայքը նույն (-1ՆԽ Խ) միջակայքն է: Հ

ո") -

գրական անդամներով Թվային շարքի

եզրակացությունը.

Թեորեմ

.

.

գբնդունի

891 81-Ի Յչ25-Է Է...

«ոեսքը,այսինքն՝ ոտացանքԸստ Դիցաք -ԱՋՀՃՀԱ

տա-

Վողզ"ՎԷ...

շարքը

(2)

Ճ-ի աստիճանների դասավոր

միջակայքը

(23) շարքի

զուդամիտության

21--

Դիֆերենցիալն ինտեդրալ Հաշիվներ

միջակայքն է (նկ. 969, ա), Ալստեզից ճեւտնում է, ռր (0 շարքը կղուդամիտի Հ-ի ալն արժեքների դեպքում, ոռրոնք բավարարում են

ներաոլալբոլոր կարգի աժանցլալնելունեցող (ոՎ-1)-ներորգը ֆունկցիալի ճամարճիշտ է Թելլորիբանաձեր,

մինչե

Քանի կաւ 4-ՋՀաՀո-Ւն անճավասարություններին, է ալա (1) որ (2) շարքը շարքը տարամիտում ՀՃ:լ»8դեգլքում, տարամետկլինի, երբ ո 8:»Ք, այսինքն՝ տարամետ կլինի 4-ԹՀ՛ միջակալքից դուրսա (նկ. 369, ը): ՀՃՀ«-հ կլինի ձ միջակալքը (1) շարքի ղզուղամիտության Հետնաքարչ

--ԻՀպ-ՀՀԻ

(4

`

1((3»1(Բ)Է

.--8 լ

|

Ւ(8)-Է : :

-

՝

լ

միջակայքը: Ոստ 4-ի ասաիո) ղուճաւոկությունները (-Ի, դամիտության միջակալքում 1բիվ պաճպանվում են ըստ

2-1)

կետում կենտրոն ունեցող (8-1Ն ճանների դասավորված շարքի բոլոր

աք 2

ո.

ՔԵ

շ129

ՀՆԴ ՅՔՒՑաբ

եոաավաաաիաւ

Զ

Նկ.

Նկ.

-

1.9

ոլ

1)

1(1--Քո(),

ճաշվվում է որտեղ ալապեսկոչվող Խո(ձ) մնացորդայինանդամը

-Ա-Յ""

ու

ք.

(ո-1)|

բանաձեիս

Է

Մ

:

ըստ

լուսլո--6(«--6)| 0ՀՅՀ1

կարգի ունի բոլոր կետի շրջակարքում եթե 103 ֆանկցիան Հ-ն է վերցնել Թելլորի բանաձնում ածանցյալներ,ապա ո թիվը կարելի Նո շրչակալքում մեժ: Ընդունենք, որ քննարկվող արքանկամենանք -օՋ դեպքում. անղզամը ձդաում է զրոլի Ո մնազորդային.

Ը

էո) աու

Օ-4

|

Առ Էո(4)--0 ո-»» (2.--8)-ի աստիճաններիդասավորվածաստիճանայինշարքի ճամտփար՝ բ է դեպքում, անցնելով սանիանին Ո-»օօ (Լ) բանաձնում (0) Ալս դեպքումի, (ո--Ք, 2--Ի) ղուդամիտության միջակայքում:Ալոպես, օրինակ, ւ Կաջ կողմում կստանանք անդասիինտեդրելուց ճետո, եթե ինտեգրման սաճչ շարքը անդամ են (2--Ժ, 4-Ք) 6-Դ մաններն ընկած զագամիտության միջակայքի ներ1 (2) էա(ո)Դ-... լ Է()Գ -ՅՈ)Յ2-8 է է (2) ոլ սը, շարք, սս որի Ճավասար ալնպիսի մարը սովլոա: ուտացվում (ւ) շարքի դումարիճամապատասխա՛ն ինտնեդգրալին: (1) շարքն ազ Ճավասարուչանվերջշարքը: որը կոչվում է Թեյլորի շարք: Վերջին դամ աու անդամ ինտեգրելիս (8--Ի, 84--Ի)ղզուղամիտության միջաս երբ քում, Թլունը ճիշ է միալնալնդեսլ է այնպիսի : որի դուշարք: կալքի բոլոր չ«-երիճամար ռտացվում ՐԸ Ր"այ Դ դեպքում ւջ կողմումդրվածշարքը ճավասար է տրված (1) շարքի մարը ղումարի ածանցլալին: տ իրոք որ դտ ճավասար է արված 1(2) ֆունկցիային: ռլացուցենք, :

|

առ

-

»

ո"

.

.

՛

`

մ

գանել

րինակ

2.-2)-Է(Թ-2)--Թ-23-: շաբբի

չարջը,

որը

այն Ճ-երի դեսյբում (նկ. 370),

Տ

բոլոր

գլի

Տ

քում (ալսինքն՝

6-ում

1(2)55Ք0(24)-ՒՈ։(»),

'

որտեղ

կատանանք

4 -ո

Քո(6)-1(4)Իր

..զգոլ...

դեքում,

դեպքում, Հետնաբար, տվյալ շարֆը որոնը ճամար --1Հչ--2Հ1, այսինքն`

շարքե 16. Թեյլորի ակլորենի շարքերը լորի ն Մակլորենի Ր/

է. ալդողես

-

Ւ"

ու

՛

զուգամիտումէ --1ՀՃՀ-ԼԼ

զուգամիտում է 1Հ-»ՀՅ

:

զուգամիտության տիրույթը: Լուծումն Ընդունելով չ--Զ--Ճ, «րաւոր.

«ՀԱ-2բ-ԷՒ ,

«

Անի ԵՐԺ-»Ծ

(1 ճա. ) ցուլց տրվեց, որ Ճ-ՀՅ կետի շրջակալ) մի որոշ միջակալքում կետը ռ"լարունակող

Քանի

,

ո-՞»օ

12)

.

Էտ |

ղ-»Փ

Թո(8)--0, Քո(2):

աջ ճավասարության ճիշտ Հնտնաբար, (3) ճավասարությունը

ճավասարէ (5) լ 0)

--

(1-Ի

2-ՅՁ ԷՅ լ

) ՇԻ Չ

(8)

ապա

նրպ սաճմանը դտնվողշարքի դում

գումարն ԲալցՔո(2)-ը(Հ) շարքիո-րդգմասնակի մասում բեն,

(ո)

-Հ-

պալմանի,էո

սս

որ,

(2--8)՝

յ-ի

1՛՛(8) Է

է,

աՀ

է

«0-8 գան)գա ոլ

նախորդից

ֆունկցիան

Լնոթ,: 2)--0։

երբ

ճետնում

նե

է,

ԹԵ

որ

(Լորի

բկալացնում

եթե 1ոք,(5)--0.

Թերենսկարող ֆունկցիան»

Է

զո

չարքը

Միայն

է

չի

շարքը

վամիտի ուրիշ

վլալ

տ

դեպքում, ալն շրկայացնում տվլալ

Կե

ֆունկյի ալի

ԵԹն Թելլորի շարքում ընդունենք 8--Օ, առա կատանանքԹելշալքի մասնավոր դեպքը,ոբը կոչվում է Մակլոռենի շարք.

որի

(10)

ւա Հո ՕԴ-. «Երո(0յ:..

--

Եթե որեէ ֆունկցիայիճամ

ուր

ձնականորեն դրվաժ

(3)

է ճուիր, որ դրված շւռրքըներկալացնում որ մնացորդային անՀ ողվլալֆունկցիան, սլեւուքէ կա՛մ ասլացուցել։ է զրոլի։ կա՛մ էլ դար ձգում որո է աան եղանակով ճաւմողվել, ոբ է դրվա չարբքրբ ղզուղամիտումմ սովլուլֆունկցիային, շարքը»:

ցուլց

ուպա

որ լ դլիի

շուլ"քի կատ (եթե

Տ

17.

շա

1(2)»ՅՏ1ո2ֆունկցիալի

թի:

գլթի (1 ճատ.) Տ

7-ում

որ

ցուլց

ասվածի սպարադրաֆում

վերաժումըՄակրոնի Տո

Քանի տում

որ

չ

ճիման վբա

2"ՐՔԻ

յլո տանում ենք

«-»-Ք ՑԻ«Գ(-որը -Ի--

անգա ապա

վ)ոՒ)

--

' -՞

|

նախորդ

Փունկցիալի

Է

.՛

զուղամիտում է ն ցանկացած2-ի ֆունկցիան: տրված ՏՈ ֆունկցիայի ե (1) շարբի

,՛

'

Հ-

` Վ

Հ

`

`

ՊՀ.

՝

ՀՀ».

Զ

ա

լ

՛

բ

ՀՀո»

Ն

՛

զ

խ

ճլ-2-վոն ն

Նկ,

6 «7

եթե

/

ո. .՛

չ չ

Ի

21 ՏՅո-ՔԻն Մ

Ա)

ՏլոՈմ

`

՛

"առ

ՄԶ

լ

չարքը

արժեքները ճաչվելու ճամար:

|

Վ

՛

(Ը18),

՝

են Նկ. 321-ումմ ցույց դումարների դրաֆիկները: առաջին ելեք մասնակի են ա-ի տարբերսրժեքների դեպքու Ալ» շարբից օդատավում|

Տյո Ճ-ի

լ8

Ղ

|

/

Գսա

լ

"

Տո»

ւ

ութ)

|

/

ապա

Ն

.

անդամըձրգչՀ Ճ-ի դեպքում մնացորդային

տրվաժ դեպքում իբրն գումար ունի է զրոլիչ

սորվել,որ

15)

բացուրձակ մեծությամբ ընդ ոլլում կատարում են բ օ ախալը, որը անդամի այսինքն է ց, վխոքը դեն նետվաժ տուջին ') աա

,

Հը

1(5Է

էլ

Մակլորենի

Տ-ո-Ւաւնց (Չո Էշ 0)- 0,

սլա

Ն

Տ:պՏո-------

ստացել ենք

Տոյ---Վ-Ի«ԿՎ(-" ՅՑ բանաձեր:Քանի

5-54

որ

կստոնաձք ճետնլալ առաջին Երկուանդամնելով, Սաճմտանավակվելով լրուռավորճավասարությունը.

խ-52

վերաժումը

Ը

ԼՈՆ.

ո

-

ՍՈՍ

շարքի: 8--0) Մակլորենի

Ֆունկցիաներըշարքերի վերածելու օրինակներ 1.

մո

ՀՏՀՈՂՈՅՑ

տալու

Տ Ց- ում Ո ճառու նված լուրաքունչլար ) ախի ունի ֆունկցիայի ճամար դոլութ ստարբական ալնպիսի Վե ալնյուն պիսի Ւ, որ (ո--Ք, :--Ջ) այն վերածվում է Թելլորի միջակալքոււմ

Նշենք,

`

Թելլոլի

է

ռադիաննելով

105-ը կամ

ճշտությամո Քանի

մինչն 10-5

կ, Տլո10--ր Հաշվենք,օրինա

12)

`

"

-

3:21

Բլ"

"

լան մեջ ճամար արտաճալտութ ՏոՀ--ի

մարելի հաշվենք վեց նշաններով,

ապա

10- 6,

լուրաքանչլար լլու-

կատանանք.

Տո(ո/18)--0,173647։

`

Առաջինչորս ծ. 1-6"

շար

Քի: Մ

դլիի Ո

անի

Մ

նշանի ճամար կարելի է

նրաշիխավորել: վերածումը Մակլորենի

ֆունկցիալի )

ճո.

Տ 7-ի ճիմտան վրա

Տեվ Տ|ԻՃ-Ի--Ք

ԱՐ

ԻՑ)

Ւ

Չ|

Վ

ՅԼ

չո

Վ -

կկ.Վ----

Վ- ոի"

(2)

,

,

» ,

,

ռր

ք

: պացուցվել

ա

է,

Հետնաբար Ճ-ի«ոլոր

ար ժ

,

պանկացաժ Ճ-ի ճամար լող

որ

ոՈ՝»Փ

հքների ճամարշարբը

է 67 ֆունկցիան, ներկալացնում եթե (2) վերլուծության մեջ Ճ-ը կստանանք

Խւ(2)»-0:

զուդամ դամիտում է

հ-

բանաձնը

Մլլ դլխում Ո ճաո,)

:

Հ 51ո 7-1

ՕՒՅՀՀ6'(Շ0Տ'

ե

"

-Է

,

6-ո-|

ՀԱ-ՋզԻ-Հ-Հ---

9.

(2)»-«0Տ

մ

17 գլի

ճա.

ֆ

ո

չճ՛

յլ

2|

ւնկց իտան

Վ-ն

վեր

ածու

) Տ 2-ի ճիման վրա

օՏ»--լԻր վ

,

ՐՐ ԸՕՏ

ու

.

ունեն

մը

Մ

ակլ

ենի

ք եթե կեղժ ցուցիչով 65 ցուցչալին ֆունկցիանսաճմտանեն Տ 17-ի (2) բանաձնի օգնությամբ,որը տալիս է 6" ֆունկցիայի Կերչ

-

Իրուք, որոշենք Շ3.ը,Տ Էլլերիճավասարությունը:

.

ձեռի

ւ.

զուղամիւտում է

(2)

Շ--ԲՐՀ -,

«լգ

6-Էճ-"

ու

22.

3.2

ՄԻ Ց

ա177 Տ (3)

ն

(4)

Թ-- -

1,

տ ՎԻ Ց,

1»-1,

(1)

ա.

Թ»»վ,

182»--1

ւ

:

'

իրական ն կեղծ մասերը, կգըրտարդ -.

օո-(1-3.Գ3Չլ 1 գյ ։

ԻՐԻՎԵ...

1,

3Յ.

'

։

աստիճանալրին շարքերեն, Փակաղժերում

որոնց

ե

ճավադումարները

են, ճՃաշրապատասխանաքար, ԸՕ0Տ7 ն ՏՈՄ (տես նախորդ ։պարաչ ն դրաֆի (3) Հետնաբար, (1) բանաձները):

սար

-

'"7

(3

ճանաչ վրա բաժանելու երկուսի

լլ

ալս շարքի տեսքի:Առանձնացնելով

'

՞

«ՎԼ "լ "լ "ւ Յ| 5)

բանաՀչ

.

ֆունկցիաների վերաժումը Մակլարենի շարքի Ալս ֆունկցիաների վերլոժությունըճնշտ ստացվում է ցվ

տանելու ն գումարելու շարքերը պլարճով,. Այսպես,

(17)" (ոթ ՎՅ-Չ-Ը Վ«ՎԳ-ԵՎ ո

-

«ՀԵՏ»

1(5)-»Շհ

07:

Թ

դարձնելով. որ 12----1, Ուշադրություն "ն ձնափոխենք ալլն, (1) քանաձնր

ղջ

2-5

17-ի (2)

արաճալտությունը:

փոխարեն վերցնելով17

։

-

'

Ճ-ի

օյ

ներկալաց-

ն `

12)-Տհ

63--Ը0Տ 7Վ-15187:

ք

|

ճ ֆ ուն /ցիան։

Տի

որ

Թո"

Ը

արժեքներիդեպյքումի շարքը Ճ

4|

ստաչ

նում ենք էյլերի բանաձեը.

(Յ )

իի

ՆՋ

|

:

էր 617 ֆունկցիան:Երբ --Օ սանմփանվել ճավասարությամբ

փոխարինվի (-Խիով,ապա

"Լ Յ|

5 7.

Մինչն ալժմ բննարկել ենք միալն իրական անդամներով շարՔեր, դորժ չունենալովկոմպլեքս անդամներովշարքերի ճեսու Զբերելով կոմպլեքսանդամներով շարքերի Լբեվ տեսությունը,որը դուրս է դալիսսույն ղասադրբի շրջանակներից, քննարկենք ալդ բնադավաՀ ռից միայն ւի կարնոր օրինակ

Ենք

ուն

Էլերի

18.

"Տ

(5)

6ՅՀ-ԸՕՏ

չէր: ը»մԻ է

լ-

նորից եկանք Էյլերի Այսպիսով,

7Վ-ԼՏ|Ո յ,

(2)

բանաձնին:

Տ

19.

Երկանդամային շարք

պարունակող են զրոլի, ն շարքը վերածճՃավասար անդամից, դործակիցքները է ո-ի վում բազմանդամի: կոտորակային դեպբում/ կասիւրբողջ բացաչունեն բ սական տ-ի դեպյքում՝ անվերջ շարք: Ռրոշենբ (3) շարքի Եթե

1. ՎերաժենքՄակլորենիշարքի

-

12-02)

ու

ճա ուուսմոուն ֆունկցիան, որտեզ տ-բ կամայական թեվ է: ԱյստեղՄնացորղալին անդամի ղն սճատուրը կախված է ռրոշ ճկո, ուստի դժվարությունների վերլուժությանը վլալ ֆՓանկցիալի

զուղամիտության շառավիղը:

ախի

տ

երպ: "" /(22)»1-2)"

Նկատելով,ոբ

ֆունկցիան բավարարում

(ԷԱՍՒՐ)-ուր)

ն դիֆերենցիալ ճավասարմտանը 1(0)-1

է

.

Այն տեղադրելով(1) ճավասարմտան մեջ, կոտո

(-ԻՒՀ)(ու-Է28--ՅՈչ: 1

..-ԷՈՅրչո՞ Վ...» ՀՏո(1--8լ:-Ց :2-Է...-ԷՅդգո--.. Հավասարեցնելով ճավասարությանտարբեր մաս առտիճանների տիննուլն դորժակիցները, ղդանում/ ենք. Հլ»,

ւ28չ-Ոմլ,

ոՈճղ-(ո-ԷԼ)8ոգ

ճամար դորժավիցների ս.

տաճալտությունները. «1,

ՀՅ,

ՏՄ

ո

ւ--(ա-Ջ Յ Է...

`

դոր

կից

ՏՄ-ԼԲոա-

(-լ,

1-2

ի

Ալա

Եռ

ֆունկցիանյայա (8) շարքի ն ստանույի է (1--2)" ֆունկցիային, նոնաքար ճավասար

լ

ար-

ՀԱԲ 11«»--1| եոյքում ուոանումիենք. Մասնավորապես,

1,աաքե

րղ

դեպքում »»--2

փեջ,կստանան ք.

.«զ

--

--1|

1:2..ո

աղզամբ բեղունեցինք չավասար մեկի՝

ձամաձայն (0)--1

|

Ջ ՞

սկզբնաչ

պայմագումարը են

ք

Բե

--2 )

ԹԴ

2-Վ-..

,

`.

(4)

2.4

--

ւՅ

1.3.5

շգ8Յ

6)(թ

4-Լ... Մ

դեպյքումկլինի.

Հ--Լ-

(3)

ւ

Լ

լ

Իջ

են։

2-35

կլինի. ի

--Ըլ-Վ-4--1Վ---ՈՒ

լ

,

2:Վ-

ղաւ

1:

|

աա ցյան պալ

(ո

ւոլու--

:-

/իցն (3) բանաձեի

դորժակիցներն դոր ը

միակ

(14 :)"ՀԼՎ-ո--

ԵՂ

1:2..ո

|

վերլուժությունը:

2.3

ոլաջմանի,

մ

Տ(0--1

գիֆերենցիալ ճավասարմանը ն

է բավարարում

նին

նյալ ճետե ո

Է : Ե.Է-իչի

Լտո--ո-Ւ1Լ

շարքը

պայմանին: Քանի որ (1)

Ք.ԳԿՎԶԱՂԴ.Վ.ՎՎ.

Ի

ենքՔ

ոլո-Սլո-2).

ՐԸ

տ(ո-1)-«(ա--ո-ջ)ու

ն է (1) ճավասարմանը Տ(0)--1 դիֆերենցիալ ցիան,Ամվ բավարարում

ո(ո--1)...|ո-ու|

Սրանք Ք երկանդամալինյեն

9--(ա-ո-ւյա-|)

թ-

է իՀ-1 դեպքում: դուղամիտում է Տ(2) ֆունկ1) միջակայքում (5) շարքը ներկայացնում

(Ց) Այսպիսով,

ք.

աար

եՉ.».«.

"Ր

ւ ո

նում ու

մուտն

|

Հոլ

1258...

ամա

Ը

:

երում դտնվող Ճ-ի

Այստեղիցչշարբի

րո ո ոչ»

ՄԱ ՀԻՒԶ

ո(ո--1)..(ո--ովջ

.

է

նան

ա

ոշ»|

Է |

Սոլ

էտ

ԱՂ-- Ո-ԷԼ

պայմանին,

-...Վ-ճղչ"Վ-

աստիճանալին Հարքը', որի Տ(2) ռարմանը ե Տ(0)--1 պայմանին

այի ԴոԹ-թԻյբ, --1

տո

|

Մ

Սղնենք(2) դումարը բավարարում (1) ճավաչ

Տ(2)--1-ԷՅ Վ

սկսաժ մո

բոլոր

Ս

կմոտենանք մի քիչ

առսրրողջ դրականԹեվ է, ոյս

ոլչր

ՆՏավլոոնէրո... ԷՏ 2.4.6. 24:4.6:8

Մորո 2.4.

.

.

.

Երկանդամիվելուժությունը ֆունկցիաների վերլուծության ծ. .

ժենք Մակլորննիչարթի

12)

8ոՇ

.

»

"

կիրառենք

նկատամբ:

(6)

ուրիշ

փերլու-

ՏՈՃ

ֆունկցիան: (6) ճավասարության մեջ չ-ի

---յլճ արտաճալտությունը,

Ի

Լ

ՀՎՎԼՎԼՆԸ3

Չ Չ. 1-22

Վերջին բանաձնումմ-ը

2.4.

|

.

աջ

Յ 265

ՏԼոաԿզԱՅՎԱ»|--բ--»8րԸ ծ

ր

լԼ1:3:5.. մ

Ալս

սո

2շ

Դ...

ո(1--»)-1ո1--2)-Հո ԼԻ -շիՒշ լ

1) 2

(Ո-

24.6...

ւ

1:3»55 22-67 1:67

2Չո-Ւ1

Չո

՝

է (--1, զուգամիտում

1) միջակալքում: կարելի էր զուգամիտում է ն. «2-Ի որ շարքը ապացուցել, ն. արժեքների ճամար արժեքների Սույն ԱԶ ումր ՈՀ Քորի ճՃաւիաամար էլ Հարքի զոմարը հոլո ճավատարէ որ

շարքը

ալս

մար ՁԷՇ

ճայ

ւ

Արչ դեպքում, ընդունելով ՃՀ-1, կատանանքՈ-ի տ

Տ1/Ո1-«---14--2

1:3.5

լ :3

Իջ՝ 3224

2-5

«.-Վ----.--

..-ծ

Է

որտե '

կամ

իւ: -յն չ:

:3

6-Ի.

«4

-- աա յո(1--4)Հ:--շ330

"

.«

Այս ճավասարությունը ճիշսոէ (-1,

)

Է

լ

ո-Ւ1 --

Չ

ո

ոՄ ո(ոՎ- )--

-Պ

լ

,

ո

ո

|,1

Ո-Հ |.

ալս

..

դեպքում

ուռտխ

լուար:

ԻԻ

`

լ

2--չր ո

52ո1»

32ո՞1թ 52ո-Ն»

ԺԷ

Դ

Լ Է'.:«Խ

Է

չոռ (Հ-1----Լ... ո միջակալքում:

ՊԲ ոշ-2|-լ., Իջ. իր

:

Քանի Ա)

լ

|

Վ

:

(3)

ի

սօրվաժ ն

ճշտությամբ ճաշվելու ճամար պետք է ճաշվել դումարըչ ընտրելով նրա անդամների ք թիվն ալնպես, Տք մասնակի որ դեն նեովաժ անդամների ղումարը (ալոին քն՝ Տ-ը Տը-ով փիոխաԹռլլ որվ րբենելիս թ, ոխալր) փոքրըլինի թուլլատրվող ծ Աա անքից:Դրա ճամար ղնաճատենք ռք սխալը ք թ «9

)մէ

ի

-Հ|Ո

լո2-ր

2.

Տ

«-ոԷ

վ

լ

ստան ում ՈՀ-1 դեպքումալսոտեզից

Տ 19-ի (4) ճավասարությունը 0-ից մինչե (երբ Ինտեդրել"վ կոտանան բ. սանփաններում, իի|Հ՛1)

ԷԷ

1-2

3--1

Ց 20. լո(1Ի:) ֆունկցիայի վերլուծությունըատոիճանայինշարքի: Լոգարիթմներիհաշվումը

--

ք Ալնուճետն, ընդունեն

|

ՏանկացաժՈ5»0 դեպքում ունենք 0ՀՊՀՂ, լՈ

աւ

`

Լ

`

"

ճաշվման ճա-

ճետնլալբանաձներ.

Չ 2)

Քանիոր երկուզուդամեւտ շարքերանդամ ույու անդամ ճանելիս է ղուղամիսվողշարք (ռես Տ 1, թեորեմ 9), ասլա (1) ստացվում նից անդամ ճաղվասարությու ունդաւ ճանելով (8) ճավասարությու եֆ ճում ՕՍ ը, դնում ենց.

ստանում: ենք. դեղպբում

նն

Յ

ն (1) երկուսի միջն պարփակված թվերի լողարիթմնելը։ Առանց ապացուցելու նշենք, որ Ճ-»-»1 դեպքում(1) "վերլուժությունը նուլնպեսճիշտ է, ն

շարքերիինտեգրման մասին Թեորեմիճիման Աստիճանային ՀԼ

չ:

ղուդամիսոու մմ է (--1, 1) միջակալբումմ: (2) շարքերի օգնությամբ կարելի է ճաշվելզրոլի

որը

շարքը:

ստացվումէ փոխարինելիս

"

'

--Պ-ով

լո(1--)----Յ-----------.--ա )

Տլ, ՆՎԱԸԸ 1.3.5...(2ո--1),«բ. Գ--ՎԶՑ ԷՏ. :

վրա

վ փոխարեն սռեղադրել:

որ

|(2թԴ-1)325: (2ք--3)32535(2թԴիթթ-ի վ

Ի

-

2ք-3,

2թ-Է5,

2քԴ1-ով, փոխարինելով

Ռւատի

Հ:| լ

,

(2ք բ 132:

ւ

Է

լ

`

«

դրանք ապա, Թվերը մեժ ձն 2թ-1-ից, կմեժացնենք լուբաքանչլուր կոտորակ: 1.

-Է (2թ--1)3»33ա

բորԷ":|

"331

ջամ

ԽՀ»աա

Տ

`

լ

Յ"2ք--1

լ

Դ

|

Դ.

ՀԸ

..«|7

է ռբվել, որ դոլություն գլուխներում 2 ճւ». ) ցալց որոնք, որպեսվելին որսշլալ ինտեղրալներչ աճիանիֆունկՀվերջավոր տեսքովչեն արտաճալտվում տարական ֆունկցիաներ, Նման ճարտար է լինում ճաշվել ինտեդրալները ցիաներուվ:

Վ

-

է, երկրաչափական ուլրոդըհթիոս բը, (զոնենք.

ճայտարարն ունեցող

։

դումաՀ պրոդրեսիալի Հաշվելով

2թ-1

լ..Լ19

-

Ալատելզ քննարկենքի քանիօրինակներ: է ճաշվել Դիցուքպաճանջվում

-

--

՛

0թԻլյո4

.

4 2)

-շ|

Ց

-Է Գտ

-Լ

Լո2--0,693147 Ալշպիսռվ,

(8) 1ո

նաձնում ց բանտա

լ

ՍԵՑ

Թ

Փալ

Ե լով ո-- 2, դուն

Հ-ի

5.

:

ք.

ծ

լ

լ

Լ

նախնականըտարրական ֆունկցիա չէ, ինտեդրալը: Այստեղ 6 -ու ֆունկցիան Այո ինտեդրալը: ճաշվելու ճամար ենթքաւինանգրալային վերլ" ժենք չարքի՝ Շ'-ի վերլուժոթյան մեջ (տնս Տ 17-ի (2) բանաձնը) չՃ-ը փոխարինելով --Խշ-ով.

ատանում ւս

ո" -

|,

ենք

ՀՎՔ

Վ:

Է

ի -ն

ՈՒ րր Ա.3-255

նթ

|

Ր

Լ

.

մ Հ.

Ա-ի

Աով

առնչությունից, որունղԽ1--0,434991,Այս դանք

լք 2--0,434294

-

0,693147--0,30103,

իր

-

կարող ենք դեպքում

ր

:

ճասրար

կոտաչ դնոլքում, օրինակ,

ԱԼՀՅ շլ.5 Յ»7

իո:

|

Ը

՛

|

ԵՋ Թաինտեգրալալին ֆունկցիան վերածենք շարքի: /

ՏՈ

-

՝

"

)Լ-

Ձ3

սաճՀ

է ճաշվել ճեւոնչալ ինտեգրալը. Փաճանջվում

լողարիթմ ները:

նալ

ՀՈՄ

ի

Ալս ճավասարույթյան յհիչոցով ցանկացածՁ-ի

այլն:

Ալսպիռով,կարող ենք ստանալցանկացածամբողջ Թվերի բնական ուա

ի

՝

մաններում, կստանանք.

աա

ր 1,098612288

Թվերի տառնորգ ական լոդարիք մները ք է օլեւո օղոովելանն 1 Հասո, 1 դլի'ի Տ ծ)

Ր

լ

"ԴԱՍ

։

ու՞Ւ

.

թ

Ալս ճավասարույթյան երկուփասերն ինտեգրելով 0-ից ժինչնեՁ

5.35 Իբ-յ |ԻՉ693147180,

Ը րն

ՀՀ

9-9 Է Յ--Վո

|2".

'

180,Ընդ որում ալս ինը նշանները ճշգրիտ

են,

"

ս

գ.3.3

։

ճ

Ե

Այժմ եթե ուղում ենք տճաշվելԼՈԶ-ը, «օրինակ, մինչն 0,000000001 ապա պետք է ք-ն ընտրելալնպես,որպեսզի: ճշասությամբ, ԱՀՀ Հ-0.000009001, Դրան կարելի է ճասնել, ելե ք-ն ընտրվի այնպես, որ անճավատարությանաջ մասը խոքբ լինի, բան 0,000000001-ը,. Անմիջական յամբ դնում ենք, որ բավական է վերցնել.ք»«8. ԸՂոսորույթ Այսպես, ուրեմն, մինչե 0,000000001 ճշտաթյամբ ունն 1ոՈԶՀ-Տ Շ

տրբոմն

ջաիքերի օգնաթյամ

1.

ՉԻ

ս

բ:

ալա

լ

ք"-

ե

ունեն

Ն

Քառակուսիփակագժերում շարքը դտնվող

Որոշյալինտեգրալներիհաշվումը շարքերի օգնությամբ

2Լ.

:

ՏՈ

ճավասակութ յունից ՏՈ

տ

բ

»--1---շաաա

փոռանանք

նանան

"Ի: ՅԻՔ -

մալ

338.

ընդ որում վերջին ինտեղրալը զուղամիտվում է Ճ-ի բոլոր արժեքների դեպբումի: անդամ առ անդամ,կստանանք: Ինտեղդրբելով

ՐՏլոչ

| ց

:

Ձ3

մՃ-ՀՅ-' ԻՀ--չծ--ռ Ռ:7 Դ3:35: ճեշտ դեպքում

ցած աստիճանի ճշտութ յա Յ.

մբ.

Դիֆերենցիալհավասարումներիինտեգրումը շարքերի միջոցով

ճավասարմանինտեղրումը չի ճանղում կըեթե դիֆերենցիալ ապադիմում 12 ճավասարմանինտեդրման մոտավոր վաղր ստուրալի,

8:

Ձ5

Շարքի դումարը ցանկացածՁ-ի

տ `

Ի.

շվվում/է ցանկա-

Ճա

Նտան մեթոդներից մեկը ճավասարմանլուծումը Թելմեթոդներին: Թվ ալդ լորե շարբի տնկսքով ներկալացնելն է. շարքիվերջավոր

'

անդամներիդումարը Կա

Հաշվել ճնետնյալէլիլտիկ ինտեդրալը-

'

ռո

Լ-

ճՀ1):

ջ մՓ

ԼՅ

ո-Հ,

Ճ----Խշ5լը79

Հ

«շա աատաւշա 1 1--Բ251Ո: չ --1---

՛

1:51Ո2 .

(ատեսՏ 19-ի (5)

"

ր

Է

---Քճ5լըծ ՏՈՑ --...

|

:

-- 24

Աջ մասի արժեքի

բ

«|

Տլոշէ զէ

5/2

ԼԼ

ր"

--

հ

գլխի Տ 6)

աաա Հար

Վ Վ1ոջմգ

Ձ2օ3

«ՏողՎԷ--...

տ

ե,

(1) ճավասարումից

"(-Հ(Դո-աՅԲՕՀ:

.

ՊՀ

ի՛շ--

ն

ի

մասում

աջ

տեղադրելովՃ--Ճ,

|

77)

(4)

1.3.54286

Պեռագոաթառաաան -ծ-- --- Հաաաաաա-ծ-ծ.--

զգ

ք

|

ածանցելով ճավատարությունը 1Մ

|լ

|

ալլ:

(8

կզանեն

Ի" Դո:

Ետք (22 1:32

7»

(1) ճաղասարմաներկու մասերն աժանցելովրատ Ճ-ի Ֆ ԴԴ (Խ 3, 38.5 ԴԲ", Ի (5 3 777

ո.

ենք.

ստանում

ճԲետնաբար,

(շ) .

1--

:3...(2ո--1)

(3) :

ց:

.-

տարրականձնուիՓ-»-

(2)

1(Ճո)»Յ7

18)

տ

2.4.2ո

Բնետնեումէ Իրոք,(8) պայմաններից

դեպքումունեն ք.

|ոգլ ճատ.

-Չգ6:

բո

մառնաՄեզ պետք է գտնել 1(գ), ԷՍԿ), 1(00)-ա ալաինքն՝ դեպքում: արժեքները մ--Ֆց արժեքի վոր լուծման աժանցլալների է (1) ճավասարմանե (2) պալմաններ կատարել Բալցդա կարելի միջոց»վ:

ծ

են ՃԲաշվվում փնտեղրալները

տ/2

(նս

(1)

-

ԻՑ1.ՏԻՐԻ».

ՅՅԿ

ՎԱՎԵ

,

7՛)

ակզբնական պալմաններին: ունի ն ալնճնարավոր (2) լուծումը դոլութլուն որ Ընդունենք, Թելլորիշարքի տեսքով(ՄԵն.քկանդչենք առնի ալն է ներկալացնել եղի ունի). արգի վր, Թե ինչ պալմաններիդեպքումդա

ար

Մ,

1ր ի՛----ջ--լբԲ"Ցո՛Լ Մէ--ՓՉ |Տ1ո՞էժէ-ր

ո

(57ոՀ ոաաՄ (9)ո-աՀ-3ց:

:

Ուստի

է ցանկացածմիջակալքում։

"-«Ի(Խ,

մազ»

գտնել

որը ճավասարմանալն լուծումը, կարդիդիֆերենցիալ է վարարում

իՅՏլրֆջ----Հ

բանաձեր).

արժեքների դեպքում ն թուլլ Ալշ շարքը զուդամիտում է Փ-ի բոլոր է տալիսանդամ սու անդամ ինտեդրում, քանի որ ալն մաժորացվող

Է

ո"

առա

այ

,

որոնվող

երկրորդ `

ֆունկցիան վերածենք հրկանդամալին Ենթաինտեղրալալին շարչ ընդունելով

ք

|

"

Քի,

հավասար կենի մոտավորապես

կ, պաճանջվումէ ից «րին ու

`

/բ

ուժման

մնկ անդամ նս,

կզանենք

(Հ.)-«(7 ),-ոո

ՍՄ

Մ

՛

դտած արժեքները Աժանցյալի ենք ճավառարմանլուծումը.

Մակլորենի շարքի մեջ, տեղադրելով

ԻՎ-ՅԼ.2ԻՑ0:2) (5.:6)-

"լ

'

(8) ճավաս.րբուդտաժ արժեքները անղաղրենք Աժանցլալների թյան եջ: Հ-ի ալն արժեքներիճամար,որոնը դեպքումշարքը զու դամիտում

այլն ներկայացնում

է,

ճավասարմանլուժումըո

է

|

0Օբինակ

Գաել

լյ"-Ն

՞

.«-ԼԸ-

ւ |

7 Հ-Ժ է բավարարում

Տավաստրմանայն լուժումը, որը

(3:-ը--1, ակզբնականպայմանների ն,

ւ

(9: 10)-..-

Թ: 6)...1(4:--3)

(12)

դա Ճ-ի բոլորարժեքների դեպքում.ճետնարար,

է

Դւ-Օ--0

"2)(5:6)

մւուսնում

(41--2)|--..

սավասարման լուծումն

է,

եթե ճավասարումը դժալինէ, ապա մասնավոր լուծման վերլուժության դորժակիցները ավելիճարտար է որոնել անորոշ դորժակիցԴրա ճս միսը: ների մտեթոդուվ: :

Ունենք

Լուծոաւս,խ

Տրված

Մա»

ենք

Փա-2,

յտ.

օ---9.

(Ու

Տավասարմաներկու մասերը ածանցելով Է ընդանրապես, նիցի բանաձնիչ գտնումենբ 21ճատ. 111 զլխի ՏՉՉ). ե,

կունենա

Ընդունելով Ճ--0,

ն: --1)Ա-

(2-1)

ճ)չ2--2նո

(442)Հ--7 ք.

յ

ե--2) «-Կ(ե-1/ը

անզամ

ըստ

Օրինակ

|ԼայրՀ

ճավասարմանայն լուծումի,

|

Ք.Փ.ՓՋ

Չ

շ2

օ

Գ

օօ

Փ.

օ

ռօ

.Փ.

օգ.

բ

ացի դրանտ

ից,

ր

-(-Յ)(1:

2)(5

:6)(9

:

10)»

:

-

7Թ)--0,ո)

--0,

ա ատար:

2»,

»57.-0, Ո7--0, ա

:

:

Տր.

:

'

|(4:--3)(4ե--2)),

(1-1) 0,

Գրած

Այսպիսով, զրոյե չեն ճավասարվում միայն այն կարգըչորսի բազմապատիկնէ,

ենք

վոլ,

"

:

"

.

:

«

-ոզրու-Էք

Դ...

ո(ո--1)ճղճո-ջ-|-.

տրված արտաճայտությունները տեղադրելով

ճավասարման մեց ն

Տավասարեցնելովճ-ի միննույն աստիճաններիդործակիցները, ստանում

`

28չ--0,

որտեղից 1չ-Ը0,

3.281-214,

ռրտեղից ձչ--1,

.

4:

44:Ի2) ՄԱՄ ա"

ՈՒՅ. ց,

77--28չ-Է3 28-Ի

ՀՈԾ

.Փօ

.

բ-ն

Բագրունյււ

ԲԿԿՈՈՈԴԳՈՈՒՈՅՅՒՅՒ::::ՒՒՅՄ

ճռ բար,

ՀԼքՉ8թ-ԷՅՅի .

(7՛):.-`--1

8-0, 4հտն

բավարարում է

որը

-40-Ւ8-8գ84-498:

.յՔ-5.08/-(ՎԹԱ»-2)6-9, 2.

:

2281Վ

ճիման վրա տնում Սկգքնական պայմաննելի

9032--9:1076-«ԸՎ»Ա: 2)(5:6) (9:10), Փ

|

Օ-օ-0,

՛

ա-1.2

-ԷՅ՞-Ի

:

ակզբնականպայմաններին Լուժուսխ Ընդունենք

.-2)

Գտնել

Հ

(ո--27, 70՞2--Կո--3) Ա

:

Ճ-ի միննուլն աստիճաններիդորժակիցները:

-2),

դամ ընդունելով ե-ԷՉ-»ո,

Այստեղից

:

ենք» դիֆերենցիալ ճավասարւիա շարքն անտիջապես«տեղադրում մեջ 2 ճավասարեցնում ենք ճավասարմտան տարբերմասերում եղած

(7՛)ո--0--Է՛՛(0)--0.այխուճնետվ, 9/2» «աֆԴ2--247, (77 0-517(0)»0,

զանում ճավասարումից

ՀՃ-ՅՃ-Ի

1(0)--70-՞1, 1՛(0):»70-0:

ենք.

ՅՅգ--48շ-Լ48չ, ոլ/տեղից Հլ--0,

ԲԱՎՎԱԿՎԿԿԱՂԿՎ.

ո(ո--1)Յո-«(Ո--2)28ո-2-Ւ48ո-2,

ածանցյալները, ոոեցք:։՝"՝)Ձ|Ձ|/`

:ՑՈոՈ՞ու9Ց0ՑՑՑՏՏՏրւվսվսասս

որտեղից

28ո-2

ՑԵՐ

լ

Փ0Փ0.օ»»»ռօ«».Չ«.օ.Փ

'

22--Դիֆերննցիալինտեգրալ Հաշիվներ ե

Ալս ար։տաճալտություններըւռեղադրեսք (1) Ճավասարման"եջ

Հետնարբար,

2.1

2:22

'

Չլ» ՅՂՀՋ 6

ԷԶ

Յ»Հ-Հ 4

լ

ՀՅ.

»

Յ.--0, 8-0,

8,-Հ

Յ2:Ի1 Լարա

Դ:

82ւ--0

Թ

Թ

ղտաժ

ֆո.

որոնվող

լուծումը՝

՛

Հ-ի

:

Ն,

-Վ-1, 2,

վրակարզը:

'

ԻԴԱ

(ԱՀ1)---0-Է1) Տ

Փ

օ

Փօ

օ

Փօ

`

Հ»

Փ

»

Փ

օ

կար

2-0

Գ

Փ

կամ

հ

կոչվում

ճավասարութ յունը: Այն փառարությունը: Ալն

1)

(ք--«օուէյ

մ ը:

ւի

ոտ

՞

պալման ւան

Փ

Փ

Փ

ք

Ց

Փ

"

նալին շարքի արտադրլալի տեսքով

(2)

պատճառովկարող ենք անորոշության

ընդունել,

չէ:

որ

կարե է կարելի

2-0,

|(ուր)-քւլու

( 3)

,

ալսպես.

այլ«պ

թքեց

բոլոր

եզնդունենը

կաւ

Յ--ն Ալո դեպքում

Ց.---»- Ձե--2

։

ւ(29--ի)

:

կգտնենք. արժեքներ, "Խ-ինտալովտարբեր 8լ--0, Ձչ--Օ ն, Ընդնանրապես,Մշու1--0,

դրենք (3) արտաճալտությունը

(33

:

((Է5--թ)(-Ւեէ թ)|ու-ՒՑ-շ--Օո 0. ճնանարա 80-7-

:

7 «ը

ել

գրել

Փ

քչ---ք' նախլուժումր քննարկեն ք քլ--ք`»0 դեսյքում: (3) ճավասարումների ճաջորդաբար որոշվում են ճամտակարգից Հլ Յջ «: Ձը-ն Մնում է կամալական: դորժակիցները. Օրինակ,

ուստի ո-ք

`

--ո'Հ «0 Հյմն

ի

|

ռո»

4:

.

Ս

ախ

տնաքով ն գանենք նրա աժանցլալները:

(աան

Փ

--

2. (0-ն)2--ք:|ու-ՒՅ,.

ե

գործակիցըզրո

Փ

Փ

ւն

|

դորժակիցներով ինչպես փուվուական Ալո ճավասարման, է ոչ Թե պետք որոնել լուծումը քանիուրիշ ճավասարումնհրի ն աստիճա» աստիճանի ջարքի տնսքով, ալլ Ճ-ի որեէ տիճանային

|

:

ճավասարում տեսքի դիֆերենցիալձավ

ի -0

թ:ու--Ժ

երում 10--2)2--ք:Բ-Ի ՑՈ --ծ, Ը)

0 կր

ը

: ՎԱՑ)ԿՒԼԵ-13-Վ-8-Ք)-քյուճւ

"Վ 7-Լ(--քդ»»0

-Ֆ

լու

ք

ր4

Բեսելի ճավասարում

8ց

ՈԿ

(Թ--

զամ

Վ6ՀԻ2)0-Է1)-(-Է-2)-քշլոչ-Ւճ--0

:

հավասարումը

ցուցիչի

ճԲաստիճանների դորժակիցները ենք ճետնլալ ճավասարուների ճաչ-

Էն

ստանում

Բ(--1)--ք:այ-0

Հ

բոլոր

-

8-20, Դ (2-ք3 3 Է-»0

'

։

ք

Ի

0-Ի"

վասարնեցնելովզրոլի,

`

,

Բեսելի

ճ--0

|

Ի:

23.

(Վ:Ր-ՎԽ- որիշ

:

Նկատենք, ներսում բերելով փակագծից, փակազծերի հիջոցով. Ճ-ը դուրս ֆունկցիաների Հետնաբար, վերլուծությունը: վատանանք612 ֆունկցիայի որ

կ»0

դեպքում: արժեքների տարրական է արտաճայտել լուծումբ կաբելի մասնավոթ

զուգամիտում է Ճ-ի

Ստացած շարբը

լււ1 րը

տ

ԻՑ

ւլ

Չ

»

2:

ուռանում ենբ զտած դործակիցները» Տեղազրելով

ԻՆԻ

..)"«ֆՐԳԹՐՀԵՍոա"ի՞շ,

-

82.

-.

2(2թ-Ի2)

«(-1)1

2.46...

ռՏ

2... .

|

Ա

ԱՐ

4(2 4(2ք--2)(2ք

4)

ԳԿԿ,

Վ

»(2թ--9)(29--4)...

(29-23

յ

'

Չ անաձնեիի մեջ, նյո ն նե ւժ (2) Ջ տեղադրելով դորժակիցները Բբ

Փտած

լ--36 ի-

:1

ւ

թու3-Վ-

:

4(2թ--2)(29-14) .4.

9.

ի

:

Ճ

»|

:

«

Թթ

չորձակիջննրը

(5)

Ս

Դ-Ը (1) Այսպիսով,

Նան

երբ Այսպիսով,

Ընդճաուր

ք-ն ճավասարչէ տմլողչ ծումն ունի

լո

:

լ

.

մասնավոր ճավասարման

լուծումն

օրինակ, տեսքը:Այսպես, է:

"|

լեջները:թշ

:

ունեն

Լ-

:

շ

2.3

Ց.

(ո3-Ք)--քոր ամ

«

ՑՏ.4.3.5.

92.4.6.3.5.7

լ

ո:

------|:---Վ-----

ԿԻՆՆ

ի

|

"

ո5

չ'

ճետելալ

ֆավ»|

ծ

Ն

:

խ

ս.

:

Ն

Ալս լուժումը՝ բաղզմապասոկաժ ԷՉ

՛չԴ-Է»-ք ճնտնարբար, Բայցք», անճավասարությունները: '

ՇԻ

ն--ո,

լալին.

դ--1տԻն,

որտեղ Ր

կ-ն

ամբողջ

զուլգ1

դրականթիվ

է:

Բայց

21շ Բեսելյան ֆունկցիա. նկատենք, շարք, որի գումարը ճաղառարէ ՏՈ): |

յ

Ճիշտնոյն

1ջշ2--

դՀՋք,

Ս

չէ ումբողջԹէ, հավասար

կարելի է (5) լուծումը, ուտացվում զրել երկրորդ մասնավոր արտառալ փոխարինելիս. «թուլյան մեջ ք-ն

|

--

ՖՀՃ

որը

ՇԺ-"4

Չի) 2(-2թ-2)

ԶԻ,2 :-4(-2թ-Է2)(-2թ--4 (-2թ-Ի2)(--29-Է4)

Ծ՞

Ճ

«որա

(5)

ն

է

ասլա

Թա

թյա

շարքերըզուդամյիտում՝ (5՛) առտիճանալին

Վ

է, Ը

ար

2. 053 ՅՃ

անկախությունը «Դ Փուռկցլառու դծային

Լաւ

լ

ռաուդվում

:

ւ

2(2ք-12)

Այս ռարբարերությունըճաստատուն

ֆության: Հեահարար, լն

մշ

է

այասլես,ղիտարՀ

ՒԼ

Է

լ Լ

բոլոր

Հետնաբար

ճնտնյայ ճարարերությունը,

`

Թ

սիակաղծերում ունենք մի

որ

կստանանք. բանաձնից,

մ... (ՀՇ ք-ն

կոչվում է

-

եթե Ալչպիսով.

թվով,

--51ո2:

'//(թ-|/

ձնով, օղսովելով (5՛)

ճետնաբար, --լլ»2թ:

ճաստասոսն

ՅՆ

.

է ճետն ճամփարժեք (6) պայմանըալո դեվպյբում՝ Ալշպիսով։

:

կունենա

շարքը

ի

-

:

0-0

Ք--ջ-(5)

երբ

տեսքը՝

որոնց դեպքում ն Ալնուճեւոն ճաստատենքյայն պայմանները, են բոլոր մլ դորժաՀ ----ք հրկրորդ արմատի ճամար էլ որոշվում Դա կլինի, ցանկացած ամբողջ զուլդ հ-ի գեպքում տեղի 5...

(1) ճՃովասարչ

/"վի,

Ֆ-ՀՇլժցԻ-Շջմ.-ջ

Սս

(-Էր)--Ք'

զրոյից տարբեր կլինի:

շե ճիման վրա:

Ման

որոշվում ԵՆ, քանի որ ցանկացածէ-ի ԲոլորՁ2, մ-ի դգորժակիցը մեջ ուն գեսլքում՝(3) ճավասարմ '

ճեշտ է ցուլց տալ ճայտանիչ Դալատփբերի ակնճալտէ, որ Ֆլ-ըն Մչ-ը գժորեն անկախ հնչ: ճս Ֆո-Ը լո ժումը՝բազմապատկած մի որոշ աատունո վ, կոչվում Ւ առաջին սհռի ք-րդ կարգի Բեսելի ֆունկցիա ն նշանակվում է Սբ ախմլվոլուիՄշ լուծումը նշանակում են մ.-ք աի վոլուր ռրը դնոլքումի, արժեքների

կաւտանաձք: կ Ք

-:

2.

4լ2ք-:2)(2ք-14)

չէ, քանի

որ

երբ Ճ-ԾԱ այն ձգտում է անվեր-

ֆունկցիաները գծորեն անկախ

են

(1)

Ճ

ավասարմանընդճանուլ ինտեղրալը ,

ք

ՀառՀ--

լուծումն

է,

բուժումնէ, մասնավոր առաջին

Բայց(5՛)

Դն շարքի ն

Ո»-Օ

ճաստ

շորո

1-ով).

է

(5)

:

|

20ո4գ2) 2.

քամ

կարելի է ցուլց տալ, ժումը պեւոք է ոթոնել

2.4Օուշ)Թո-ձ)

՛

(-1)' )--Տ Հս (ՈՀ) ալս

յ" ՎԱԼ

ու-Իո՞"Ֆ

տեսբթովի

(1) ճավասարման երկրորդ լուծումն է կազմում ղժորեն անկախ սիստեսիչ Ճեւտնլալ Ճա նուբ ինտեգրալը նատնհդրա ունենա կու է" |

-Շմո(2)ԻՇչո(չ): Լու

ո(4)--օԺ

՛

ու լա չում,

Ը,

ս

'

|

բոլոր Զկատարելով

լու-

Աուծումը,

`

Է

որը

ԳԵ

Ոոր Թ-են)ո«-Իջչ՞

ո

է

---շ"|

-Հ-

.

։

երկրորդ մասնավոր

Խ6(9»Հա(լոոիԻ3.

ծոն

ց.ւյը ճաչվումները,

տանք,

Թ

է, որն առաջինի հետ

23.

ճե-

երկրորդ մասնավոր

որ

ԹՎալ 8շ)-ԹԸ

Հ ւ

շ

որոշ

երկրորդսեռի զրոյականկարգիԲեսելիֆունկցիա:

ծ

կորոնեինք

լուծումը

ունի

տեսքը: Այս ֆունկցիան` բազմապատկածմի

(1) ճավասարման մեջ, Ալո ալրստաճալտությունը տեղադրելով հնք Ել ղործակիցները: որոշումր ռո(չ) ֆունկցիան՝ բազմա Ալս ձնով որոշված գործակիցներով ճաստատունով, կոչվում է երկրորդ սեռի Ո-րդ սպատկած մի որոշ կարգի Բեսելի ֆունկցիա: Սա

Վարարո

ապա ընդճանուր էնտեղբրա ' ը, տեյալ ահսքով.

2-»0

Ը

ման

`

ւ

Խ(2 Հո

Նշենք, որ

եո

--

/-2նդ

դեպքում երկրորգմասնավոր

ա

|

4.6(2ո-Ւ2)(2ո-4)(2ո-Ւ6)

որ

)-

2-0

)- .:

2 (2): քբ -)-.

այս օՕգավելով լուծումից,կարելիէ գրել տրված ոկզբնական պայմանների

՛

.

»-

տր

։

չ:

շո|

բավարարում է, երբ 1-0

որը

՛

ՄՀ "Ժ-

-

1նգ

Է

ու

է

Ւ

7»»2, 7-0

ակզինական պայմաններին:

Ն

(նրբ արտագրլալով քազմասլատկիչի

սւուն

ա

րյու ժո)» "

ճարտարարի

ք--ո դեպքումԲեսելիմո ֆունկցիան որոշվում

աե,

Բեսելի ճավասարման այն լուծումը, լ

որ

լ

Ւ

՛

իմաստ չե ունննոս, քանի

Լուծումն

դեպքում

տ

ամբողջ թիվ որը նշանակենք ո-ով դեպքում իմ տատ ունի ն / 1) ճավասարման

ալս

ու

ԳտնելՆաեք--0

Օբեինանկ, ԲՔան

`

(ո5»0)։ (5)

«0

ապա Վորլուծումներ,

3--ԸՇլմ,չ(4)-ԷՇ-Ն.2):

դիցուք ք-ն Ալնուննատնհ)յ

դեպքում զուր ենք դիտարկելվնրջաչ (8) բանաձնում՝ ոլետք է վերցնենք Ըշ»-«0Օ,

եթե Հետեաբար,

կլինի դեպքում

բազմապատկիչով,կոչվում է

կոմպլեքս անդամներովշարքեր

:

Դիտարկենք

:

շ

.

կաշպլեքս թվերի

`

որտեղ ճաջորգականությունը,

2ղ--8ՎԵ »

:

ո,

2թ

-բ

(ոՀ1,2, ա

Մէ Թիվը կոչվու ԴՀՎԵղ կուրպլեքս թվերի ճաջորդականության սաճման,եթե ի աճտանու տ

ոնսքը. ՔԸ

6)

Մ.

չ

Ե 2րա»8-Է1

ոմայե կում ոլլնքս

7րչւՅր

-

:

Ատ դ. .

մ)

պայմանը դրենք

|7ո--2ցի--0:

տնսքով. ընդլալնզած

՛

(1)

2Դ1Ե)--Աղ-8)-ՒԱՖղ-Ե),

ո--20Հ(8Դ1Ե)'

հաղ-7-11վ մոկ

ռ

յ՛(

տո

(5)

)

ԹԻՒ-ԵԻՀ-Ց,

)-Ր( ո

ո

ճիման վրա 2) ճավասարության երբ տեղի ալն դեպքում, կունհն միայն

է,

ճետնում՝

ա

ները.

ԱՍպացուցում: (9)

Ա) պայմանըստեղի

որ

ճետնյալ

ունենան

ւ

լո

այլմաՀ

ոո

կոմ ալլեքս Թվերի կազմենք

ՄյՎԿՀ.. որտեղ

։տանիչնելր:

:

(4)

Պոչ

Տ

:

2,2):

ՄոչչԱրՎՎմղ (ո-ն

դումարը, անդամների

Դիտարկենք(4) շարքի ո

Տո-ով:

Վ Տոթ» ԱլՎ-

Տո-ը կոմպլեքո թեվ

-ԼՄ

որը

Այժմ անցնենը կոմայլեքո"անդամնխերուվ աստիճանային շարքեՀ

ք կնշանակեն

Ըի քննարկմանը: Սաճմանում

(5)

ու

«-(ֆմ. ո(չո ) ո

բ...1

Հ

է

նրա

(4)

շարքը

զումարը.

կոչվում է

ն

(3

ճետնում վրա (6) պալմանից ճիմտան (3): ճավասարությունների

են

ո

ֆլ (3) ու,»121 եթե 11ՈՏոչը դոլուլթ լուն չունի, աղա (4) շարչճավասարությունները: է ՔԸ կոչվում տարամիտող: ուսումնասիրութ յան ճամար ար» (4) շարքի զուդամիսության դլունավետէ ճետնլալ թեորեմը: ՃՀ-իո ո.

Թեորեմ ված շարքը՝

զուզամիտում հ,

մ:

Ֆբե (4) շարքի անդամների մոդուլներից կազմ-

Բ

խո -խոՒ -

3.

8-րո

սթ

|

ապա

իոիՒ

..Շ,

ո

զուգամիտում հ

եղ որտեղ նան

(4)

---ոՈԼ-|/ ՈՐԻ 4-7, իմո շարքը:

անու Սաշմանում

5-ը

ո

ն

շարքերի ճամար դոլութ լուն ունի տեսություն, որը Ալոպիսի է իրչսկան անդամներով Սարան շարքերիյեսությանըը աստիճանալին

Ֆայլ -ՀՃ-1:

Տ»

(1)

փ:

որտեղ 7ՀՃՎՎՄ կոհպլեքս փոփոխականէ, Ճ-ը 7-ը իրական թվեր են, Ըդ-ը ճառտատուն կոմպլեքս կամ իրականթվեր են) կոչվում 4 կոմպլեքս փոփոխականով աստիճանայինշարք:

.-

ՏոՀՀՏ-ՏՃ

8-2Թ զուզամիտող շարք

-ԷՇոշ"

ր"

շարքը,

(6)

ունի դոլություն

եթե

'

կոչվում

Ո

ՇԻՇ -ԷՇջ2-Է

լտ

ապա

կոմպլեքս փոփոխականովաստիճանային շարքեր

Է

ռ

սաքմանը,

25.

է.

Սաճմանում

,

տասխան թեռրեմի ճիման վրա) ն, ճետնաբար, (1) ճավառալութլու նը: Ապացուցաժ թեորեմը Թույլ է ռւալիս կոմպլեքո անդամներով շարքերի զուգամիտության ուտումնասիրության ճամար կիրառել գրական անգատներովշարքերի ղուդամիտույթ յան բոլոր բոռղվարարճայ

3)

1նո Էլ--է, ո

ճր-Հ8, ՞

Հ)

են ճնոնոււ (Տ) ճավառսարությունները (երուկան անՀ Կղայմաններից դատներով շարքերիբացարձակզուդամիոության մասին ճՃամապաՀ

:

ու,»

շարքը,

խո |

ն ղզուդամիտությունից Ր ԿՐԱԿ Վան խլՀ/ ԱՅԸՓ/ո|

բի

շար

(9 մե

`

կո ոռ կոմպլեքս

ուժ փոփոխականի ճարթության ս.յն արժելների բազմությունը,որոնց դեպքում(1) շարքը դգուդամ ռում է, կոչվում է (1) առսոիճանային շալքի զուգամիտության տի(2-ի լարաքանչյուր կոնկրետ արժեքի դեպքում (1) շթրջը րույթ է ՏՏ-ի վերածում (1) տիպե կոմպլեքս անդամներով թվային

5. ՀՅ"

շարքի):

ՍՄաճմանում

միտվող, իտ ող,

երթն /

ն բա

3. անդ

(1)

նգամների աս

լան

ս.

կոչվում է բացարձակ զուգաշարքը մոդուլներից Րի Րից կազմված վո' կաղ ոդուլ

Է Է|--|ԸշՎ-ՎիՇց| Է...

: շարքըղուղամիտումէ,

ս

փոսվփոխակա

Առանց ապացուցման բերենք

Վ

Է Ըոշ"|

՛ :

Է...

(2)

թեորեմը:. ճետելալ

1 (1) կոմպլեքս անդամներովաստիճանային շարԹեռրեմ ջի զուզամիտության տիրույթը 7 կոմպլեքս փոիոխականիճարթությանն վրա մի շրջ ան հ, որի կենտրոնը գանվում հ կոորդինատներ վլ լ Կկզբնակնտում: Այն կոչվում հ զուզամիտության շրջան: ԶուգամիՅա

տության շրջանի ներսի կետերում (1)

շարքը

եի:

տում

:

,

աստիճանաԶուդամիտության չրջանի Ա շառավիղը կոչվում լին շարքի զուգամիտության շառավիղ: եթե Ջ-ը (1) աստիճանաթյան շառավիղն է, ապա գրում են, որ շարքը լեն շարքի ղուղամիտոա է ղուդամիտում շլՀԻ ւիրուլում: է

Միջակա

ամ կչարքերի . ի ՏԻ Իութո զուգամիտությ ժայրբներում

ական

Ռ77 լին

ճավասարությունը: Գրենք ճեւոնլալ

(3)

Ւ:

թե 2-ը զուղամիտության տիրուլթի ներն ընդունի տարբեր արժեքներ, ապա 10) ֆունկցիան կընդունի սոռարբելարժեքներ: Ալոպիսով: շարք զուդաՀ աստիճանային կու պլեքս սվխոիոխականի լուրայքանչլուր է ճամապատասխանկոմպլեքս միտության շրջանի ներսում որոշում փոփոխականի ֆունկցիա: Դա կոմպլեքս փոփոխականի անալիտիկ ֆունկցիա հ: Բերենք կոմպլեքս փուիոխականիֆունկցիաների օրինակեն կոմպլեքս փոփոխականի ներ, որոնք որոշված շարքերու: տիճանալին

է,

1)

`

6:--ԼԻՒ

ո

Հ Յ Վ...Է.-Ը-.... ու.

Չ|

:

4)

4)

:

2) Սա

Տո

2-Ժ-՞3լԷ՞լ ԱՐԻՐ

փռփոխականիսինուսն կոմպլեքս

Սա

ՇՕՏ

2-Ի

չջ

է

:

ՐԱՐ"

կոսինուսն կոմպլեքս փոփոխականի

|

7--Օ դեպքում(5) բանա-

է:

ձնը վերածվում է Տ 17-ի (1) բանաձնի:

Յ)

(5 )

(6)

:

ի:

Եթե (4) բանաձնի աջն

Տ 18-ի (2)

7-ը բա-

-Վա.

6)

ց

Կ

(9)

Տ 17-ի (5) ն (6) բանաձենրին ն ճամընկնում նրանց հթե չ--Ճ-ր իրական թիվ է։ ն (4), (5), (6), (8) (9)-ի ճիման վրա շարքերի գումարման, ճանման, 2-ը Ա-ով փոխարինելու ճանապարձով ստացվումեն ճեեն

`

նման

են

ճնտ,

«ոնլալ ճավասարությունները.

օ՛»«ԸԷ

Տե

ան)

շ,

(11

6-7--Ըի-Տիշ,

«իշ--ՏՏ-» յ

շ

ՏԱՀ

Ն

Տի

,

ոլ

շ

(12)

,

`ա

. ՏՎորՀ---2--" ՍՏ

---ս

ԷՏ»

(13)

:

«Ֆկատենք, որ (4), (5), (6), (ձ), (9) շարքերը զուգամիտում են 7-ի է ճամոզվել Տ 34-ի 1-ին Քոլոր արժեքների դեպքում, որում "եշտ Նման թնորեմի ճիման վրա: նրան, ինչպես արք արվել է իրական եխ «փոփոխականի աստիճանալին շարքերիԲամար,դիտարկվում

2--2-ի ի որոշ

Սո

|

է

շ--1-ա--Վ--Վ-Հ--... լ 4) 2|

շի

Վերջին երկու քանաձները

`

:

7ոլ.

ն

|

է, Եթն 7-0, կոմպլեքս փոփոխականիցուցչային ֆունկցիա է Եթե :-«Օ, ապա (4) բանաձերվերածվում Տ 17-ի (5) բանաձնի: ասլա անում հսք Տ 18-ի (1) ճավառարությունը: Ք.

2«7ԷՎ38

5)

Սա

ՏՏ

բանաձնը ճամընկնում

ՏԵ

աս«-

շ

նրան,

կոմպլեքս, փոփոխականի ճամար: Եթե

ալս

ապա

նման

|

ճն: Խճաձերխ

|

-Շշ"--

"

Էյլերի բանաձեն հ՝

փրականթիվ

մւստիճաչ

ուսումտերում շարքի ղուզամիտությանճարցը լուժվում է լրացուցիչ ճասիրությամբ): նկատենք, որ Ըո դորժակիցների բնուլթից կախված թ շառավիղը կարող է ունենալ Ք--0-ից մինչե ղուզասիիտույթյան զուղամիտում՝ է ք--օՓ ցանկացաժ արժեք: Առաջինդեպքում չարքը միալն 7--Օ կետում, վերջինդեպքում՝2-ի ցանկացաժարժեքի ճամար»

Հ"

Սա Է

ե

Րցե

112)--«-Ի«ա-Է«Ո-Ւ

Օո-«օ05 2-Ի Տո:

|

1 ՍԷ-Ի Խոր զրազժի Նո նե-

փուսխոխականներո

լ

մասերում2-ի փոխարեն տեղադրենք 12, ապա ենչպես արվելէ Տ 18- ումի, կառանանք

ձախ

րացարձակզուզամի-

կոմպլնբս աստիճանների կոմպլեքս Թիվ

ԵԿԱ "

լեքս Շղրչկում

է.

ըս"

փուխոխականիշարքեր,որտեղ 20-17

-ԿԼԿԱ-այ:ւ«Վան-աի" "

"

1...

կամ իրական Ճոսատատոուններ (14) շարքը (1) Քե է բերվում 7--2ց-1: ,ոեսքի (1) ճամար շարքի տեղադրմամբ: բոլոր իրավացի

են:

նս-

Էչ ճատկություննելրնթնորեմներըտարածվում Սան.(Րք) անսքի շարքի վրայ, միալն(14) շարբի գուգամիտության շրջանիկենտրոնը դտնվում է ոչ Թե կոռրգզինատների սկզբնակետումի ալլ 270կետում: էյ ապա Եթե ռ-ռ. (14) շարքի զուգամիտության շառավիղն էրում են. շարքը զուգամիտում է |7-2 ՀԻ յոիրուլթում: ու

՝

Տ Չ6.

2) առաջինմտոաոուվորությունը (3) ճս վուուարուչ տեղադրելով սուն մ ֆունկցիալում, հնթաինտեզրալալին ենք.

լուծումը հաջորդական ռաջինկարգի դիֆերենցիալ հավասարման մեթոդով (իտերացիայի մուռեցումների մեթոդով)

թյունների

70-11

քննարկվեցին դիֆերենցիալ ճաթ չունվասարումիների ակարգերի մոտավոր ինոեդրումըտարբելու ների մեթողներու:Ալսոեղ կշարաղրենք դիֆերենցիուլ ճավասուրման ՑԱ

գլաի ՏՏ 35,

ու

:

34ում

ն

ճամ

350))05-3»

(5)

Սա

մոտավոր ինսռեդրւիան ալլ եթ ոդ: 222 որ ովլուլ Քննարկումը սանում է դիֆերենցիալ միաժամանակ ճանդգի ճավառսարման լուծման դոլության սիաին թեորեւտի (ունեսՀԱԱ դլի'ի Տ 5): տսացուցումը է ղտնել Դիցուքսլաճանջվում

է: Շարունակենք Երնրորդմոտավորությունն այս -

:

Ոլ

:2)|42--

|

|

:

ւ

"`

Փ --

դիֆերենցիալ ճավասուր

ման

բա (2, «վ

ույն

Ճ,

1)

3)

Մ

ոտա-

Օրինա ն. բավարարում է

:

:

(3) .

մեջ որոնվող7 ֆունկցիան ոնվում Վերջին ճավասալրսիան ինտնէ ինտեզրալ այլ ճավառարումը դրալինշանի "ոոկ, ն

պաիքաններին

աջ մասում Ֆ-ի ֆունկցիայում հնթաինատեդրալոային ճավասարության փոխարեն տեղադրելով Մց արժեքը,կստանանք: «

(Հլա 70)4:-Ի37'

(4)

Սա որը

(1) դիֆերենցիալ ճասիսսարմանառաջին մոտավոր լուծումն է, բավարարում է (2) սկղբնականսպլալմաններին:

|

լ

|

որու

"

Փոնել ՖՈ-Ճ

Է37

ճավասարման այն

,

մոտավորլուծումը,

որը

.

ոնում

(1) ճավասարմանըն (5) սկզբնական բյսվալրաչէ (3). ճավասարմանը: Ակընբող ՍՀ: -»Մ(4) ֆունկցիան բավարարում ճալտ է, որ (3) ճավասարմտանըբավարարող Մ-ՀՄ(2)ֆունկցիան բա-Հ վարարումէ (1) ճավասարմանըն (2) ռկզբնական պալհաններին: Նավ քննարկեն ը (5) սկզբնական պալրհանների դեպքում(1) լուծումների ատացփանմտեթոգը: մտուտավոր ճավասարմիան լուծ ուն ք զրոյական մուռավորուլ ՄՔ կճոսհարեն լունը: (3)

(6)

Ֆ0Հ51, երը .--0 ակղզբնականոլայմաններին: եբ. " 1ուծում, Ըստ (4) բանաձն ի ուռանում

է

նավասարում:

|

Այս տասին Թե ինչոյիսի մուուռվ ( Թյ ուն լ ելոՔ է մե / 9 ԼՂ21» որպեսզի այն բավարարի ժեզ անձչրաժեշտո թլան պաճանչներին, ճշտու կնշվի ատորե:

`

չ-ի(» ՓԻ:

(2) |12-3.»

ԼԽ

է

ռկզբնական ւլարքոանիոն: սարման անդամները հնտեզրելով (1) ճՃավիս ն չ 0-ից մինչն սաճմաններումճաւշվի առնելով,ոբ Դի ոց-ՅՅ ցի նում ենք

ուսո

ի "

(2):

լուծումը, որը բավարարում

Ֆթ-Մ0, նրբ

պրոցեսը.

լ

122Հ--Ի-»Վ1,

(ոմ:

Հ»

`

"

|

»-|ի«(չԲու) :

ը

Բո

ՉԷ

ե

ԼՑ Տոլ աԻՅՎԹՅՐ

այլն,

լուծման գոյության ապացուցումը: 27.Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման ժամանակ կատարած գնահատականը Մուռավոր սխալանքի

ք ճետելալ Թեորեմը: ասլացուցեն Ալնուճեւոն Թեռրեսխ Դիցութ տրված ք

ի

ՎՆ մշ

ն դիֆերենցիալ Ճավասարումը

Ֆ-ՀՄԺԵրբ Ճ--ց տա

Դիցուք 1(2, պայմանները:

սկզբնական ք փակ տիրույթում

օլց--8ՀՀՃՀ-Ց

Այս ղեպքում մի

)

(2.

Լ

3--ԵՀՀ:`ԴԵ)

որոշ

7) անընդճատեն

յ

ւ

միակ լուծումը, միջակայքում գոյություն ունի (1) ձավասարման որը բավարարումԷ (2) սկզբնական պայմաններին: մ թիվը կորոշվի ստորն: նկատենք, որ ալն բանից, որ 1(Խ.)) ն Ապացուցում, անընդճատ են թ իակ տիրույթում,ճեւոնումմ 425 Դ ֆունկցիաներն ունեն է, որ դոլուլթ ճաստատուններչոր ալնպիսի խԼ»0 ն Վ-0 լուն

ին, 5)(թԹ. է, 2. 38

Թվերից

ամենամեժն

ճավասարությամբ(4) ճատվածում Հե զալիս օքտիրուլթից:

«ր"շված

դուրս 7»).(1) ֆունկցիան |

՝

Այժմ անցնենք Տ 20-ի (5) ճավասարությանը:էլ, 3:()| ֆունկցիայի արդումենտներըդուրս չեն դալիսք տիրույթից: Հետնեաքա ` արող ենք գրել"

(5) (6)

ՆՄշ-

Հէ,

Մո

(7)

(-Հ-Ուո(ո,Վ

1.

,

16, 35»)-1Ե -ԵՍԴ:-3.) ոլշանզ լՀՂՀ3աճնանաբար, (Ն Պ) Հէն Ուստի ցանկացած երկու կետերի ճամար ճիշտ է

ԱՐ Ֆ)-ՎՇՆ Ֆ)ՀԻԽՀ-7

'

-

նրատենք,

որ

պայմանը,

որտեղ Մշ-ր

տատուն

է (4) միջակալքին: "պատկանում Այժմ ապացուցեն ք, որ դոլուլժլունունի

ռոո

է (1) դիֆերենցիալ (2) ֆունկցիան բավարարում ճավա(Հ ) ռարմփանն ոկզինական պայմաններին: ճամար Ապացուցման

թիվ

է,

որոշ

Ի()

ֆունկցիայի

Ի09-ԻՑՈՀԹԵ-3մ

լ-Ը

այղ

(8) ճաստատելով

որոշ

է

է րոջ

Կ)

Ւ

ու

ուժյ

ա

Ի. -«ԺՕու-ՅուԴ(ո-յո(13)

որբի ընդճանուր անդամն է ԱրՀՀՄո--3ո-1, Ակխնճալտ չա է, որր ալս կնճալ չարքի ո-Ի Լ ազֆդատների

«ջարքը,

ալս

:

Տ

ԽԻ

,

տ

ա

ֆունկցիան ունի

ճա

էա

տ

մ

ույ»

ճիշտ

ԳՓնեաճատենք Ք ( (13))

տ

2 չա

ՐՔի

Յ--ՖԱ--Ն

անգամների

բե

ընդ որում Արաց: ճավաստա է ճավասար

ումի դոմարը

բի

է

/ՅԻ""Վ:

պայմա

եթե 10

կարող է

է

չյլենել:

որ

ցույց

ԴՈՑ

5Ի(ո-

։

ւռ

տվեցինք, առնչությունը, ո" քուրյ իրո անմանավոկ Փ «այաայծ, թում բավարարում Լիպչիցի պայմանին, Հակազարձ պնդումը պպա

|դիարկոնք

:

ավարարվում բավարարվ

(12)

ու

(8)

ճամար տիրույթի լեոչ " րար Լիպշիցի պայմանը կոչվում աաա

եթե մի ն

Ն

.

)-30)

ն ռառխիանը

|

"

(17

Ճ-ը

|

|

Փթե

կաղրանժիԹեորեմը

կիրառենբ 3) ֆունկցիայի նկատմամբ` Ծ ւոիրուլթինպատկանողերկուցանն Ճչ, 7ջ) կեկացա. ճՃլ(2,ա) աւերի ճասիար:

(10)

որ

-

ի

մ: Հիկ«--«ԻՀԽԱՀՀԵ,

ո(2)|

է ապացուցել, մեթոդով կարելի ո-ի էրիինդուկցիալի ցանկացա

է, այսինքն Ե

ց

վՀՀԻԽՍՀ-Ե, (9)

Հ|ժ-խիշ-» )

ւ Այսպիսով,Տ Չ6-ի (2)

(Ալ« ճատկութ լունը Խորան է || դլթի Տ 10-ոււր ցուլց առնչությունները: (4) ): մեջ ն Թեզը Հն ճավասարության ոորվաժ ճատկությանը

39)42 օ

աա)

"

'

'

:

Ծղ-3Ո--

(4)

ՀՀԴ

ճավասարությանը:

Հաշվի առնելով (8), (4), (2) անճավասարությունները ալնտեղից կարմ ներ

(3)

(տկ. 323))

անճավասարությունը:Վերադառնանք Տ 26-ի (4)

Ս

յու բացարձակ բշցար

կ 14)

կ մեժությլունները. ՐԸ Թլ

7օ)Մ2 ՀՀ|:--չցի Բո-ՅԻՀ|լնո '

Վեյ

/

:

:

26-ի (1), (5)

Տ

(6)-ի

ն

(րո

ր

«ՊԻԿԵ

|

ո

այսպես,

ՀԽ

իսկ

ի

տրտեղ7()-2 է

«--Ֆլի

7չ)-ԱՍԵ

ՀՆ(2),

(20) լ

է. Ալո ֆունկցիանբաղվարալում անընդճատ ֆունկցիա

ոկզբնականսյայլմանին, քանիոր

ոլ Ապացուցենք,

եվ

նշանը՝երե ո»:

--

ո 7գ ո-ջօօ

ղ-հրի ճամար

բոլոր

7ո(0-37 ստացաժ

Նորից գրենք վառարմտփանը:

(16)

բյսվարարում է (1) ճաչ 7(2) ֆունկցիան Տ Հ6-խ (6) ճավասարություններից վերջինը.

Մո--Ֆո-իճ.Մո

(16)-ը՝

ձնով ձաշվի առնելով

ոն

լող Տույ» ո.-»Չօ

Ն)

Պ)(ւ--

(Ն

ՈՒԹՀԳ 1.2 ի--լիչ

իջ

թ-Ի-լե

մ.--Ի

նշանը վերցվում է, եթե

որոն

ասլա

են

Ճ0

(-

դանում

ավ-յ

յ)

տ)"

Մ7.--3ՈԷ-

Բանի որ նրա անդամներն անընդճատ փֆունկցիաներեն, է (2) անընդգճատ ֆունկցիային: Եվ ալսպեսյ այլն ղուդամիխտում

տում է.

ենք

հիման վրա

Ապացուցենք,

(21)

ոբ

Հվ յ))մ» լ

դչ)(7-7):ՅԻ

Է (ն

լո Ու,

4.

ԾԵ

3)Փ6 |աոս00գօ--ԱՐ,

(22)

Ա

Ճ0

.

որ եւ Վ)

ՀՀՃ|

ԻԻՀ

չի

-ե--շ-

ոցի

--

:

(17

Յա

որտեղ 7(:)-ը

որոշված է (20) ճավասարոթժլամբ: Նախաւպեսնկատենք ճետնլալը:Քանիոր (1) շարքը միաժոչ ճի անում արեն է, բուց վող է, յա մի որ (202)-ից 5-0 ճամար կգըտներվիայնպիսի Ո, որ չո

ք ալսպես,կգտնեն Հարունակելով

'

Խո-1

.

-ԿԻչ կո-3ո-վ «ՀԵՀ-Ի ո) :

(18)

ֆունկցիոնալ շարքը Ալ«պիսով, իչ-ովՀԱ միջակայքի ճամար (13) թվային Ճամապատառխան է։ Դրական անդամներով մաժորացվող ո՛2 են (13) ճամապատասխան եց շարքի շարքը: որբիանդասիները

Մ-ՄՈՀ»

Հաշվիառնելով

«Տրել

`

դինի մեծություններից, դամներիբազարձակ ՅԻ պ" Ծ ԴՅԱ ԷԱ գ ԻԴ

ՒԱ

որի ընդճանուր անդամն է

ձ,

որը

ճեշտ

է

Լլղ դ-9օ5

Մղւ»իՆ -

ո--1/ո -

լց (9)

-

Մո

Մր-1

ո-

ոլ

-|լկո --Ջր-յյո-Լ

շարքը

,

Ո-Կօօ

(ո--1)

Հ»

ոմբողջ (2) միջակալքի ճամար կարող էնք '

լիաա-իո ոյժ: ,

ՀՀ: |

|

Այս

շարքը

ղուդա

ւրիտու ւ

աւն

լղ

Ո-՞օօ

Ղ

--0Հ-1 ՀՅ

էլ, ճետնարբալդ այն մաժորացվող

ԲայցԼող ո--»օ5

ճարտանիջչով: Դալամբերի Ճասաատել Խո-յյո

եվ ալսպես,(13) "352

ԽԽԻ լԴ

ւ

(2Գ)-ը

»5--0,

նռ

ղուգամի-

|Հ --

կա Դ-ՎՐ։

յո)

-

-ոՀԿԿի--«Կի .

Հետնաբալր,

Ո-ՖՓԾ

։

(23)

Ե

ն(ե ,ա-- |լ

Մոմ2

|--0,

է (28) ճավասարությունը: թ չունից ճիտնույմ Վերջին ճավասարու Այժմ,(5) ճավասարությանԵրկու մասերումանցնելովդաճմմիաչ՝ հ ինտեդրալ ճաշիվներ 33--Դիֆերնենցիալ

նին, երբ

73-ը,

որ -«ՇԺ, կստանանբ,

ո

է ճենչալ բավալոսրում ռարությամբ,

է (20) որոշվում

որը

ճավասարմանը.

ճավաՀ

Նկատենք, որ (25) գնաճատականը բավականին կոպիտ է, Քննարկված օրինաոր կում այլ մեթոդներով տալ, սթալանքբը տասնյակ անգամ կարելիէ ցույց փոքր է,

"

ին»յմա

7-Ի

(24)

Տ

ազոտեղից ճետեսմ է, որ դտաժ Թռ) Ինչպես նշվել է վերնեում, է ֆունկցիան բավարարում (1) զիֆերենցիալ ճավասարմանըն (3) սկզբնականպալմաններին: 1 Օդտվելով ապացոցման ալլ մեթողնեԴիտողութլուն

թեորեմը)"

"Դիտողություն

ֆունկցիան

անընդճատէ Լ

որ

Նման

Ձ

եղանակով,

զառայաժ Աա աա վւեաինելին,

Ր"

Լ

Բ

ե

ա

Լ

Լ

ո

ար

բանաձնով,

այ,

ու

ս"

(

Մ--7ոՀՀ

ատար

:

հուն

-ոլի-

ԼԶ

ա

(18)

որո է,պալա -

ուռա

ա

:

:

շ (25)

՝

Գիյուք

այսինքն՝ 1--

մշ

--

,

Ս

ստանում

ոդ

ՖԵՆԱ։Ր. ոյ-՞

ո

ՒԻԷ-2:

Լ.

3 Հ-ջ'

"եկզբնական հ

այսինքն՝(2ց, 7ց) կե(1) հավասարմանինտեզբալային կորերից միայն

"տով անցնում մեկը:

ալդ

ւ

: վասարմանը.

են Տ 27-ի (24) երկու ֆունկցիաները բավարարում '

7-3. |

(0.

|

Դիտա"« ենքճ

ճեն

/ ալ

3)մո 2-Յ-

տա

(ՉՀ

յմա ի

|ա Դ-10.

Չո

0)

մ

առնելով Տ Հաշվի

27-ի (6)-ըչ, ենթաինտեգրալալին տարբերություն բանաձնի, Լագրանժի

ձնափոխենքըստ

(ե

|

Օ6ուճոՕ5ՇԻԵՒԵՐ

|

ո

ը ՐԲ'Րնրբությունը. ա

ւ :

:

ճա-

՛

ՏՐ

ոո

16օքու

2)

պայմաններիդեպքում միակն: հ,

Այնուճետե որոշում ենք.

5:Շյ-ր՞՛" ՖՏՅ-

1)

փականի,

"

Ա61քօոշմոն, «ՄՇաւատ ոօ չիրջը։ 7ք88ոճողն»,

:ՓՓՀքՇԱՍԼՅԱԼԵՒԼԵԼՃ Է3դ-80 «ԷԲ»

Տես, օրինակ, 1.

(ա 3)

հավասարմանլուծումբ դիֆերենցիալ

|

րոտ (25) բանաձնի

"

-1ՀՀԱ,

Ե--), Այս դեռղքում Դ---7 ԷՀՈ

"

.

'

աիրույթն այսպիսին է՝

օլ--1/2Հ»Հ12, լ

յոլը,

ազա

Հռնարար։

ճավառարման"ֆլ-»1, երբ 4250 սկղբնականսլայմաններին բավարարող լուծման )ջ ճինգերորդմոտարկման Տամալո Հ

մասճականածանցանընդճատ ժէ

մատարման երկուլուժում, որոնք բավարարումեն (8) պալմաններին ն 7(2) երկու կոր: Հե` ալին բն՝ Ճ(2գ.Մո) կետից դուրս եկող 7)

|

75-27

ունի

3)

.

"-

ու

ԿՐՐՐԻՆ

հւ. Ճ.|

Այս" զնաճատականը կիրառենք

Օրինակ

ստացվել է որով

Դիֆերենցիալհավասարման լուծման միակության թեորեմը

Այնուճետնապացուցենքճետնլալ թեորեմը: սաձմանած Ծ Թեռրեմ: եթե Տ 27-ում տիրույթում 1(2,

դոլություն ունի (1) ճռավասարփան Րեց»կարելի է (8) ոկզբնականպալմաննեչ որը յհասնավոր լուծումը, բավարարում բեն, եթե (5, Դ ֆունկցիան անընդնատ՝է ք սիրուլժում (Պեանոլի ճաստատել,

է

28.

:

Ց-լա

ստանում Ալ. ճավառարությունից

էն, 7-

ՉՀ

3.) 2Նե Հ-Պ

(4)

ենք

2)|Հ-ի

(5)

Ր

.-

'

ար

Հաշվի առնելով(5)-Ը, (3)-ի ճիման անձավասարությունը: Մ

--

-Ի" բո

7--

2--

) մ:

--

կարողենբ "ցրել ճնտնլալ

վրա

|

ԻՄԽ-շմշ թ ս

|«ՀՀ

(2) ճռվաստրման երկուլուծում նելը որոնք բավարարում (8) ակզբնականպալմաններին՝

Ճ0Հ-Ճ»Հց

ձեով:

լ

Հ--« հ-ԿՀ-ը իչ--

Որոշա-

դեպքի ճամար

Վարժություններ

1.

ծ

Ֆ.

|

լ

քա-Խլ--«յՀ

Վ

Քիչ ֆունկցիայիվրա ավելի 162քթ08-Շատի.

որ

ոօ

օՕծ-

ա»

դիրքը:

"լ

ա

ասա մասնական աժանցլալ, աճիանավփակ

"

՛

Սո-»

' չ Տարամիոու

դ

ո

ա

"ւ

Ի"

Պատ.

ատ,

չ ծարամիտու

.

Պատ.

ի

Պատ.

Աս

ո

'

էս

Զուղամիտում

ու

Իզոթթ»

ւ

Ւ

ՀԾ

.-

ատ.

Լ.

ւ

զ

ԲԻ

ԻՀՀՂՒլԼ

.- ՞Զ"

Էշ

6.

աք ո-|1«քս Վ-ՅՎ 2Ի---"------շ---

«

Հ

է,

ԼՈ

12. ՞շ. Ի-ջ- ՅՅ Է-թԷ...

թյունը,Ը

(7

7--0, երբ 2:50 2/3-«օՉ,երբ Մ--0,

--ԳՄոշ /05-ԷԼ---ՎՀ-

ծ.

Զուղամիտում

։

`

է:

Ուսումնասիրել տրված ընդճանուրթ անդամներով շարթերիղու դամիտու-

՝

"7

ւ

Նկ. 375

ւ

՛ րաի

անն

-

(Ց)

18.

միտում5 է,

՝

սկզբնականպայմաններով:

Հւ

ՀՈԳՅՅ

ե

լ

'

ՆՅ Ը2.3 73 8

լ.

ո--1

ուղամիսոու:

Տարամիում

'

|

սկզբնական պալմաններին

ՆՑ

մը՝ ճավասարու

Չլ

դոլու-

է

ատ.

Ս

'

՞

Իրոք, դիտարկեն ք

ԱյստեղՀաա

կարող

են

Էլ

10.

մաֆֆճքճոմաճտԵեմ եթե 1(5, ) ֆունկցիանտիրոլթում ունի Դի տողո ւթ լու ն ք88ռճե

ւ7/7

դ--

ճետնյալշարրբերիղուդամիտու Թյունը.

»

: Տարամիտո

լուծումը միակը

ճօքու

՛

.

Պատ.

ւմ. դեպքու պանանջների

«ՄՇաղաա

ժ7 ն (8) Թլոն ունենալ (1) ճավասարմանը նի լուժումներ: Ր ւլ ի Լա ի 1 բավարարող

միակն է:

'

ա

աշ--Բ

.

խամ Դ"

ջ.

,

մոշ Ր,

4.

Ուսումնառիրել

:

ւոալ,

) Թոյլ"

|

լ

եկանք ճակասաթյան: Հետնաբարչ լուծումը Դիտո ղու Թո ւն 17 կարելիէ զու լց

անս

գլխի վերաբերյալ

ո(ո-Ւ1)

(ո2

սղ-

Հ

տեսքը:Երկու տարբերԼո" ժումների դոլությունը ենլաղրելուդեպքում

ա--ոՈ--Տ

.

-

ա

ԷՕՑճԱՒԼԵՑ

անղամխերը. առաջին

Լ.

|

լնվ. 323):

«6

Մ.

Չ2

՛

է 1-ի: Այդ դնայքում ճավառար ժեքն ընդունում է ՊՀԸՎ դնպրում ո է կետի ճամարընդունում (6) անճավասարությունը

կլինի 1. ) Տեա, օրինակ,

Ի

:

ապաչ

ե

ՀՀԿ

են,

"

երկ, ինտնդրալային կորեր

:

Դ միջակալքում ԴիցուքՄ7--շ| 2-ԿՀ-ԱՐեր մեժաղզուլն ար-

:

այս

մո

որպեսզի արժեքը, / ԴիտարկենքՃ-ի այնպիսի որ

`

(2) Տաւվասարոի ան Լլուծուներն ֆունկցիաները սոն մեջ տեղադրեսար ղվում ենբ դրանք ճՃասվա անցնում են սկզբնակետով լով: կոորդինատների Որ երոք

կիության ճամար կամ արենք, է նման ցուցումը կատարվում

ունեն

են

Մ--0, Մ-Ն:

5)

՛

դոլություն դեպքում

Այ

|

.

սԱղ-ՀՏ

ՈՅ

15.

սղ

լ

Պատ.

Է

ք.

Տոո1

'

ւո Պատ.

Տարամիտու: Տարամի

ՉՋուցամիտու: է, 47. Պատ. Զուղամի ԾԾՇաաաաաաառաարա» Տարամիտում Ար-ոշ. 2ո 3 լ

Պատ.

է, 19. Տարամիտում

ո

է,,

/

ՆԷ"

Ատր: 18.

սո-

,

Տարա Պատ. լ

ՄՇ

--չջ

լոը

Ասացուցել ճետնյալ անձավասարությունը,

-ՐՎ-- Գ-Հո(ոՓփյՀ-Վ--. Յ

Պատ.

7" 16.

է,

լ

.

ի

14.

Ձուղամիտում է,

լ

..

ո

շ

Ց

..

ւ--Է, ու-Վ

20.

կիրբառելի՞է

Լայբնիցի թեորեմը չետնյալ չարջի

արդյոք

՛

նկատմամբ.

ւ

2-1

/2-1

73-11

լ

/381

կիրառելի չէ, քանի

.

լ

ուլ"

Մու

մապատասխանչարբի "1

Չը.

22.27

22.

լ

24.

լ

2:3

Պարզել,թն 25.

..

1----------

լ

1-2.

2:3:4

ներք

7-7

ի

ԳՓատ.

Իո

12 րՔե շա

Պատ.

Ե:7

Ֆ4.

("Ւ Վ(-1յոֆւ

ջ

--շ

ՁԶուգամի

ՐՐ

Հ-ա-Հ Վ...-(-1)-Հ 1ո4 1ոծ յ

ՀԱ-թ--

ԴԷ

Ջուգամիտում է պայմանական:

ո

դ

Թյան

-

«`

Է

2:34

-Վսս.

-------Դ- "նաԱ

|

:լ Չո

ցվա.

Ճո

Պատ.

զուգամիտում ճետեյալ շարքերը:

են

Ֆ2.

-1ՀոՀ).

ջԻ»ԻՊատ.

շ

-2Հ«Հ2. ք

Ֆլ

Հ-Ի:

Իշ :

Յո--ՅՔՅ-|33:4-|...Դ-Յո՞չո՛-Է

շ

1.3

--25լո

չշ Է 1.3.8:7 000»: Վ... զ-ք լ.3:6

'

է:

Վ...՞-Ւ 45լո-5-

2"51ո 2. "-" Ս

--ՕՕՀՃՀՕ»

46.

--ՕՕՀՃՀՉՕ

ՏՈ

նչված

ոչ

ԹԷ

Պատ.

Մ-ռր' -Ճ

ճատվածներում մաժո-

Պատ.

(՛'աժորա տեզ վոզ է,

Պատ.

Մաժորացվողչէ:

լ0, 2ո|։

լ...

Պատ.

ՄաժորացՀ

արՀՈլուծել

-.

ի

ըստ

շարբե Քորի

բ

բի

աստիճանների

(Հ լ

վերլուծելբոտ

Շ-»-ր 64-ր

մ-ի

վերլուծելբոտ

Է.» ՉբՇ-2)

47.

շագտո-74

ԴՏ.

2:-ՅՈ-6ճյալնտ. '

ատ.

վերլուծե վերլուծել

րոտ

`

ՅԼ

Լո:

աստիճադների:

(-1)-ի

ի Լին

-՞բ

Վատ.

Ժ.Յ

։

Թիվն

լ,

) 62-|-62(5--2)

տառտիճանների։ Ա աե զատ.

որ

-

-

:-Չ2 րաղմանդամբ

/(4)Հ8(-1)3-

1 զոււաժիտուչ է

դեպքում:

Պատ. աստիճանների:

(«--2)-ի

»

Հ42-1-ԻԹ2-12-Հ (5-15

լ

478560)

102-756 :

Պ2

դ

որոշել ԷՀ լ

ն

աստիճանների,Պատ.

ըստ

տ

ճ-2:-

Ի

վերլուծելԹեյլորի այդ

բազմանդամի

( 4-1): Ի (Ճ--1)4--402(2--1)5--351

Է189(4--1):563(2--1)511506:-1)5--(5--1յթ, 49.

Փատ,

--

մերլուժելան

«05-ը

արմատ

լ

Պատ.

Դ

բորԱ Սանա

ԻՎՀԼՆՅ. 100:

են

միջակայբը, Պատ.Ձուղամիտում է --10ՀՀ10

ՃԾ.

՛

արժեքների. դեւղլքում

գումարը, ջարբի

(աՀ)

վերլուծությունը

10-52

ՀՀԸ'

:

"Ի

«լո

1:2.3

Ե

աի

:

ՏլոՅչ

,

Ի

լ ՈՂՈՐԸ

44.

.

իե

Է

-

Լ-Չ-Վ--Վ-Վ Չ

զատ.

» 9.

ւմարը.ԸԸ

Չ5

.

. :

ԷվաԻ՞'

ր

ր

-4Հ:Հ4

զատ.

(0ՀՃՀ1):

ո

՝

Տլո25 -

Տո .

ւո

շ-Իջ ֆա.----Ի..

` .Փունըցիաների

«

՞

լ

լ

.

8-ին. '

չո

ց

«5,

.

Թե ներքոճիչյալչարբերիցորոնը

լո

.

ր

ատ Վատ.

«ա`

"շո

2ով-. .-բուուլ .

օօՀՀՃՀ-օ

.-

տու

`

է ի Ջուգամիտում

լո

պայմանական, ՉՏ.

ԴԸՀ...

ձատ. " Վատ.

:

152Հնեա

--

ԳՓատ. --ԸՀՃՀԸ:

ագր

:

ՐԻ

մ-ի ինչղիսի 30.

ԷՎ.

3)»

Ճ

ռ

բացարձակ զուգամիտում.

"շոր

Հ-Կա

Դ

Վատ. ո-510,

ոլ

Հո".

ԱՇ

Թթշել,

Ճ1լ.

:

|

Գ տնել

ԿՀՎ ՉԻՑ

են

:1-----------

Ե22 ՀՐ-բացարձակ: լոշ

Պատ.

-ջշար--|Կ..

ԻԼ".ծ- ոՀ

Զուղզամիտումէ

(-1"

ոնիշյալշարբերիը որոնք -Էս...

ԱՐՀ

է Ջուդգամիտում

2.3.4.5

ՀՎՀՎ թթ

-----Վ---Հ-

տ

ացարձակ, 26. բացարձակ,

Վ..-(-1ո--գ..

--

ղ

40. 1-Ի բացվող: -թ-ԻՀ-Վ--ԻՀ-Վո Իջ Իո» ( (0ՀՀ1).

ք :

լ

Ւ--Է

(1.2.

անել «վ

Պատ

ոլ

Էլ

Ւ

րՒ

ԷԼ.

Պատ, ՈՀ--103,

Չշ

89.

ԻՄ

'

-

ՈՐԻ"

ՎԿ-«(-1)---ՎԿ. ոշ

աա

ռ

ծ

ՈՀ-104,

Գատ.

1»Հ20, .

լ

՛

Գջ.

ղ

Չլ

«Իշ

Է

2-Ի

2.

Գառ

վկ...

դ

դ

ՃԻ

34.

:

զատ.

ւ.

:

:

ՀԸ:

"

Վ..ՎՎ(-1)ԳԵՀ-ՀՎՆ, շ ԵՐ ՂԸ"

Տ

:

չտարբերվի ավելի թան լ

ՉՅՎ

-

լ

լ

-----լ----1

ղումարից

որ

չո

-- 2-17 -Է... է ՊԱԿաաաաաո . Ւ ու 1. ) տ ՀՇՏՃՀԻ...-Է---պու-... Ի չ"Ժ

----------Լ...

`

շարի անդամներըրացարձակ մեծությամը նվաղում են ոչ մոնոտոն, Շարքը տարամիտում է: Քանիառաջին անդամներ պետք է վերչնել,որպեսզինրանց գումարըճա-Պատ.

"

ՅՑ

՛

ւ

լ

2օտ(4-13)-ն վերլուծել

ըստ

Ճ-ի աստիճանների, Պատ,

ԸՕ54-ՅՏԱՈՅ--

չ4

«օՏո-Ւ-ը Տոո-ի .-«օ--...

0.

վերլուծել

1ոչ-բ

լ --(-1)-( Դ

--Հ---(Ճ-1)2-Է Չ

(Ճ-1)-ի

ըստ

լ

--(Ս--1)4գ... (

)

առտրչանների։

66.

(Ճ-1)--

Պատ.

Է

Ռյլավել ՀԼՒՐ

զուտ:

«052:-

լ

--ՎՏՊ`Ֆ(-

շԽխԸ --

1)ո

1"

ոյ

Բ-Ը)

ը

Վյո-1

ո

վերլուծե Վերլուծել

Ի."

:

1:2(»5--Ւ Լ

՞--4

--

ՏՏ.

Է

)

ոտը, 0-9, Չշ

-----իսկ.

Ի

60.

.

(41-ի

օօ

5--ԻՀգծոլ ՉՒ՛Չգ 6».

տլոնչ-ը

Ֆ.Գ

ս

(0-ի

Ն

(6. Ց

աստիճանների

չ-ի

,

ի

-Ո

արբի վեր'

Տ

ԾՓ.

«ԱՆՇՏԿ

6605:.

ոչ)

ԻՐԻ

լոշի-2-ԻՀ-ԱՒՀ:

-

1Վ22-- ԵԶկ.Հ- 24--...

(

ուծու-

"|

զ

վերլուծել

(-ԵՒ

---.վ

Վատ.

|

Վատ:

Լուի

ո. Մ

61.

մ:

զատ.

Հ1),

ատ

ԾԱ

Ա

չ6

78.

ըստ

զատ. աստիճանների:

չ-ի

զուղամիտում 6.

Պատ.

է .1 թ

Է

Լ-22--24--26-Լ... 36Ռ

Հժ |

( Ֆ(-1)ոՃԻ (2ո--1)2

» -

"

մ-ի

Վ

բժեթների ո" 2 արժեքնե սոլո

ճ որոշել զուզամիտության աստիճանների

ՉՏյծ

Ջ2ո--1չ2

Սուն

Հագ(-

ե զեպթ

Շարթը

2 շ

"թյ

Տ1. ի ն. ա

:

Պատ.

-)

փ...

46.

--

-

ՇՏ11Խ

Ի... -ՕՀՀՃՀօՑ),

'

ԻԸ

77.

ուր աԱ-1) 13...(2

Ը

ՀրՀլ) Հ-՛ԼՀ-

ն

8-1)

՛

Ը05

մշ»

-

--ծ-..-

Էք: :

`.

:

416էք

49.

|ԲՑՔց», Հ

Ց 0.

:

Ը1ՀՀ

իր

ֆլ

ո

Լ

:

Մ-Ի

շշ Ցու

Ճ(աՀ1 ԿՀՍ:

1-2

Վատ.

-

զ

«3. ձո--1

Պատ.

`

Ը -

1ո|-|

Հ.Հ»),

Հ

9ո--8

Տլո(4-Է1)-»ՏՈո 4 511», 8«057-1 '

մ-ի

շարթե:զատ. աստիճանների

: '

:

զա

Ճ՝

շրՒՅՑ ւ

Հ ո

դո--8 ֆ ցո-8'

ո-1

ծ.

'

|

Պատ.

'

4--չ1

(-ՓՀՀ:ՀՀՀԵ»Սխ

Հ»ՀՅՅ

ում:

ֆունկցիանվերլուծել ըստ

`

ո-4

ո-0

(ուր

Թ------Ի

(ՀՑ,

(1լոյօ-:

շ».

(ոՀ,

Ց.

Պատ.տ(-1ոգւ

օ

Պատ.

ԷՒ

գ

ո

--

լ ոՂ-չ

-ՓՀՃՀՕխ

(2ո))

-

ըր

.

ւ:

չո

ող

:

`

--Կա

՞

23245

|

ր----

--Հ-Լ-ՆԻՀ.

Ը-Ի" 6--

ՈՒՍ" ա

2ո51դ )/ 2ոտՏ|

0» --լ Ճո

Պատ.

օօ Հ

2.

Վ

ամեն

(- ՀՀՃՀաԹ):

Ճո

օ:-1 կրամ

զատ.ո

----կ

: -

Բլ

:

:

ո--

Սլ

՛ ե

1-2

Հ

«Էջ

Պատ.

՝

Կ

ՈՐ

641. ՏՅՈ224-ը վերլուծելբոտ

միջակայթը,

գատ.

Ո--1

/Չ)Չ): | Հ Ւ2

ՏՏ.

7.

"

ՖՉ-Փառ

Պատ.

զատ.

1--74-Վ---.

Պատ.

1ոշգ-Ը-Վ.Հ---Ե Վա ",

չ

Ո

Գո.

|1դ605::

«օտ.

-

1-Ի»):

օօ

ԱւԼՖՊ

-

2,

Պատ

լ '

40.

( Ա-Հ)ո Ն) Հ) ոՂ- 53

«Լ

աստիճանների շարթիւՊատ.

..

լւ5

՝

'

(-«ՀՃՀայ:

յ

:

(թ.

՝

ոյ"

'

.

,

Պատ

'

Ն`

առաիճանների չարթի։զատ,

ճ

բոտ

ՖՓՁ.

6Չ.

րոս

աստիճաններիշարքի:

անուն

|

ԻՎ.

ր

'

2-Է՞Դ ԷԱՒ՞Ցթ

պատ. Պատ.

1-ի

Ի 35

Յ

Օգտվելով6", ՏԱՈւ, Ը05: 1ո(1: ո), (Է ֆունկյիանե ցիաների առտխմճանային ,ջարքի վերլուծության խանաձեերից է տարբեր ՐԼՑ ե |կիրառելով եղանակներ, ֆունկցիաչե Ը փար վերլուծեն Վորլուծշոլ աստիճանային չարքերի ն որոշել զուղամիտո զուգամիտության շառավիղները. յ Տհչ:ւ: Վատ. :-ան` 69. «հ յ:

Ը-ՀՀՃՀ.ռ)։

զատ. 3 ԻՐԻԲ ւ յ ՓԻ

:

խ

(ՎՀՀ«ՀԼխ

լ:

Վատ

ուլ-

|

Ի

աստիճան

-ի

ո

Պատ.

զատ.

։

ըստ Փրելճետնյալֆունկցիաների՝ Թյուններիառաջին չորս անդամները:

ԾԹ. էջ».

կճանների չարքի։

ց

,

-

շո

:

Ւ

աստիճա

ըստ վերլուժել

ֆունկցիան

Ա)» 1--25--9:2--4:3--...

՛

ԼՅ

ի

Վի

յ

ստ լատ

վերլուծել

ՀՀՀ)

ՖԼ(5-լ1)", (-2ՀՀ0) ԾՊՃ. էքչ-թ

)

Ը

աստիճաններիչարըի,

.

---Ա-աՐ

---Ն

(մ Ը

րատ

Ծշ1)-

ն

ԾԹ.

ը րլուծել վերլուծել

Ը

չ-ի

բանաձնից,

ԸԴՃ՝

.

լ

ԾԹ.

ըստ

՛

չ--

(-15Տ5Հ1),

ՕՆղ

լ

վերյուժել

՛

Ր

-

ՖԼ. ճԲՀ-ր զատ. վերլուծելբոտ Ռ--2)-ի աստիճաններիչարթիչ

ֆունկցիան

40410:

,

ավասալրու Բյ":ուննե

ՅՇՕՏ Ճ--ՏլոՈ15Ու Ը0Տ(4--4Ճ)Հ-Ը0Տ

րը

նրա "ը

նջ ձախ մասերը

ըստ Ճ-ի վերլուծելով

աստիճանների:

չարքերից, ճաշվել. տամապատասխան Օգտվելով ՋԾ.

0,0178,

Գատ.

Տ6.

Տ1ո-2--ք

«,նչե Պատ.

ճշտությամբ,

0,0001

մինչե

ճշտությամբ: Փ1. 1,5708, )/ մինչն 0,0001

0,001.

ճաշվել: շվել

Ա

ւ

99.

9,165:

Պատ.

Քյոյբ 500,

Բշսու 96.

զատ. 4,121,

-

7/2: Պատ.

Յ,107։

ո.

Պատ.

8,367.

Պատ.

30 զա ՓՊ. 250,

.

մո մ

,

:

Պատ-

0,1571.

Պատ.

.:

՛

|"ճթ»

ա մյ

Պատ.

ճշտությամբ:0,071

0,764.

107.

Պաո.

:

|

109.

106.

105.

|

|

ո

|«7

-ծ-

ւՀ)

մո մինչե

|:

ճ

մմ

մինչն

0,001

վասար

ոկղըդական

(-ոռցո-ւ

.

Գառն 1

դ ո Ը ընդնան

Ն

ուր

116.

(ա

ու ծում

ԸՕՏ

ԻՇՏ

(7

1»

մինչե 0,0001 ճշտությամբ,

մդ

մինչե 0,001 ճչտությամբ, Պատ. 0,494, 110.

Պատ. Ղ2'

ւ

Լար" յ ո

տ

Լ.Հ022:3յջ:

Ը

-

:

հն

(Րւ-Իգ

Ց

Ը.

ր

-Ի

..

|

ՎԸշչ

Գտնել

17'՛Հ՛-Էո)Հ-0

Լ

2.4 Ո ԶՎՔշ

--0

ս

նական կզբնական

ճչսվասարմանայն պայ

Է

մաններին, բի

լուծումը, որը

զ ատ

.

1-.

վ ա(

բավարարում

Ե

--

»5-Է՞

ՑՎ.

Աաաա աեաաաաա Լ.

Աջը

|

(շշի

Վերջին երկու դիֆերենցիալճավասարումները

բոյՎ(ա--թ))»-0

Բեսելիճավասարման մասնավոր 117.

ու

ՀՅՀ-

լ

յ" `

բավարարում

որբ

Դիտողություն, մո,

ջի

Հտաապռշշառատպաւաան

է 7 ՆՀ:1, ) Մ/2--0, ե րբ

0,021 4:

Պառ. սլայմաններին, --

|

Պատ-

որոնել ֆագր(խօ-ԷՃ -ԼՃշՉՉ-...)տեսքով:

Լուծումը

առվի

«ՀԸ "71

.

'

Տոր

ման ԷՉ

Վ Պատ: արքիտեսքով: «ոոքովո

շարքերի

բավարարում է --Ս

որը

այն լուծումը, ճավասարմոան

ՖՀ-Ս,7 Հ-1, երը 5--0

Տու

ճշտությամբ:

0,0001

Գանել1-0

,

Պատ.

շ

ո»

5,

ար.

-է....

ՅաԹե 138

Ցուցում

ն:մշ

շա

այյ

Մ

չն

115.

0,81:

Չ

ո

ճշտու-

որոոոլ ւՄըորոնել

-ՊԸ

114.

ԾՈՒ

0,487»

0.25

|"

1-5

այն լուծումը, ճավասարման սկզրնական պայմաններին, Լոուծումր

Րա

.

Պատ.

5--0

Հ

մինչն

0,0001

:

0.5

|"

մինչն 0,01 ճշտությամը:

0,001ճշտությամբ:

մբնչե 0,001 Հչտությամբ: Պատ.

0,922,

Ի

:

մինչն

յռ

|

Ցուղուտմ մ

10.

|

7'--0, երը

է

մինչե

102.

0,7468.

լ

115. Փտնելաջ

)/

լ

0.5Յ1Ըէք1 104.

Պատ.

70.

70: 84:

Վ ո'զ

Ր

|»

Ս

'

0,0001 ճշտությամբ,

ո».

ու

Պատ.

է

բեջոցով

ճաջվել ճեանյալ ին-

101.

Պատ. 0,94608,

ճշտությամբ:

Վ...

Ճ

լ

Հ, Զու-1թ արա

Դիեֆեր րցիալ ճավաստրումների իւտեցզրումը

:

Է

մինչն 10-5

Չ

ե Ց----չ.

,

`

թյամբ.

ն

ՓՏ.

1,2598:

ւ

Ե

Փ»ծ.

3.017,

տեգրալները:

100:

(յու

ռ

:

ֆունկցիան վերլուծելով չարքի, կնքավինանդրալային

յ

ււ. |՞

((5)--ք4"--4ֆունկզիայի՝Մակլորենի շարքի վերլուծությունից Օգտվելով

մինչե

լ

լ

ճշտությամբ: 0,43429: ՓՅՖ. «օ51-ը

Պատ. մինչե 00001 ճշտությամբ: Պատ. 0,000Ը1 ճշտությամբ: մինչն Պատ. 1,6487: ՓՉ. |ք6-ն ՓՊատ. 0,5403, ճշտությամբ: , միսչե0,Ս0001

ինչ

»

2 լա

ձոշէք-չ--բ

Տ.

0,707.

մե

Պատ.

Այս ն ճայջորդերկու օրինակներըլուծելիս օզտակար է ճաշվի ճավառարությունները, որոնք կճաստատվեն ՊԿզլխիի ՏՀ-ում

Ցուցում, չառնել ճետնյալ

յ

Լոտ-ը մինչն 0,001 ճշտությամբ, զատ. 0,699: ՋՕ. ողշտլո1-բ

ՏՏ.

0,1973. 0,09001 ճշտությամբ: 0,001 մինչե 1,609: ՋՋ. 1ք.յ-Ը Պատ.

Պատ.

0,0001

ճշտությամբ:

ՏՊ. 51115-ըբ՝ մինչն 0,0001 ճշտությամբ: ՏԱՈ1ՑՀ-ը՝ մինչե 0,001

09848:

Պատ.

ճշտությամբ:

մինչն Ը05106-ր

ՏՓ.

Գտնել 42)/-Լ237'--1Հ-0

ղեպբերն են, երբ

ճավասարմանըձղճանուր

ն

ըո--0։

լուծումը:

Ցուցում:

ՇլօօՏ

3/5 Ըջտո) 118.Տ

բում

լուծումը Տ.

Գոնե Լ

3-0,

է

Հ,

( 1--

119. Գանել(1--2)7 է

3-0,

շավաս վ

՝

4-0

129. Գտոնել թմ)" ՍՀ-Լ,

:

.

ՅՑ

երբ Ճ--0

121.

Հանել (1--2)7-Հ1-Յ--7

միտության

12».

օ

-Է

միջակայքը: Պատ.

Էշի

123. Գտնել 1՛'-ԼԷ--3ԷՀ--0 Ճ

ՖՀ-1, 7-0,

121.

բում է 7-1,

երբ 1-0

.

-շ- ՞-

որը բավա-

Օ0ՊԳատ.Ճ--

լսա

լուծումը,որը

բավարարում է 2:4

Իր

ՏԻ"

Ւ

:

ՀՀ1),

7՛»-0, հրի

շո

լուծումը,

ճավասարմանայն

Փատ. ւլայմաններին:

սկզբնական պայմաններին

Ճ--0

կս

((ո--1) շո

Թ

նե

միջակայբը:։Պատ. 1------Է

բավարա-

ռրը

ՏՈ

Ճ '

ճավասարման այն լուծումը,

՛

որը

ցույց

տալ

էՋ

շտա

22.4222.42.

բավարա .

ստացաժ՝

ՀՈՒՐ

-

Վ

Չշո(11)2

«..(4|Հօ»):

ոլայմանների դեսլքում ներքոճիշյալ գիֆերենցիալ Փոնել:նշված ոկզբնական լուծումների աստիճանային չարբի վերլուծության առացի՛ն ճավասարումների

հրեք անդամները. 199. 826.

77 »-Թ-Ի,

1,

1247. 7 -«ՏԱՈՄ--ՏՈՀ,

7172,

7ո-0, երբ

ՀՍ,

1-1, Ճ--0,

երբ »«--ը:

երը Պատ.

Պատ.

"ՀՄՄ

--չ32,3-1, ե

ՈՆ 33, ----,

129.

--Ֆ2

130.

7 »2--)2,

երբ Ճ---0ոչ Վատ.

,

7՛Յ1։

ի

:

ե

Յջը

0: ԴԻՏԵՑ

զ

առ

՛

151.

ոմ

7-0,

7՛--2232--1,

երբ

)-Հ1,

երբ

չճ--0, 2-ՀՕ,

Պատ, Պատ.

2--Օ.

1-Է

Պատ.

ԻԶԻ

-ջ-Յ""

յ

1-"Ի--

Վ...

152.

՛օՀՇ3--Ճ7, Ֆ--0,

աշ

երբ

--0.

Պատ.

ւ

3:44

Յի լ

գոց:

լ

Հոբ

գ ԻՑ

Ն

---ԶՀ-ՀՎՀ---ԿԱն 2.5

1յչ4

"5 -Վ գ -..

Ւ

ցջո"Ի --յ4Լ..

»517--,..

ՅԿ

անդամխեչ-

Ար,

ջանի

--ՀԼ--կ-Լ--յշՎ--յ9

շ

:

ԴԻ

ոպ

։

:

«Ը1

Ց

ոկզբնական

)Է--՛-Լ--0

անել

շարջի զուգամիտության

--|)ո

շարբի վերլուծության լուծումներիաստիճանային մի բուտների

ըր: 128.

ճավասարման լուծումը, որբ րավարարում ցույց ստացված չարքի ղզուղաՀտալ

Այշ-Ւ033

4--

...(Ը-օՇՀՀօռ):

է

«4 2

որը

ավարա-Հ-

է Փոխել Ճ7՛՛ Վ--0 ճավասարման այն լուծումը, որը բավարարում «--Ը սկզբնական պայմաններին պուց տալ ղզուղամիտության

Ֆ--0, 7ԴՀ1, երը

բում

Գոնել նշված սկզբնական պայմանների դեպքում դիֆերենցիալ ճավասա-

տ.

Պատ. սկզբնական սպլայմաններին։,

միջակայբը: Պատ. Ճ4

ո

սկզբնական պայմաններին,

Ֆ--0,երբ 5--0 սկդբնականպայմաններին ն

է

Տոլ

ճավասարմանայն

7 Հ-1,

լուֆումրյ լուծումը,

այն լուծումը, ծջավասարման

2:70

այն յն

ման

Պատ, :-սլայմաններին:

246.7

-Պ--Է՞Հ----

,

ար

ԼՅ

հրի

7-1,

Պա

:

«2)7՛--ՆՆ՛--Օ )7 Ճ3

18» բարում

տնսքով. ։

երբ «--0 ոկզբնական

-

|

Ճ

որոնել ԽՔ(20--ՅՃ-Իճչե2--.-.)

շարքով, «ովլալֆունկցիային զուղամիտող կոռանկլունաչափական է աինքն՝ ճանդիսանում ալլ շարքի ղուփարը:

(9-շջ ԱԱ

ԸՕՏ ու

Վ-Երտլո

Ո»»1

ՄԱ

ԳԼՈՒԽ

ՖՈՒՐՅԵԻ

ՏԼ

|

`

Սահմանում: Լի

շ

Յը

Խնդրի դրվածքը

Ին605 Ճ

Է

Ս

Ելտլո2-Ի 8չԸ0Տ 22. Եջտլո22 |

ա

ՀՒֆ(, Լ

Ւ 8ոՇՕՏոշւ3-Ե

ՏՈ

Ոշ

մ,

Էաէթ/-Է

շարքը:

3չ (Ի. իառ|ա:

(0

ԸՕՏ

ք աջ Առանձին ճաշվեն

ոշ.

-ճ

ւ

չափականշարքի գործակիցներ, զուղամիտում է, ապա նրա գումարը շտ պար եթե (1) շարքը բերությամբ 1(ո) պարբերական ֆունկցիա է, քանի որ Տլոոչ-ը ն ԸՇՕՏՈւ-ը 27 պարբնրությամբ պարբնրականֆունկցիաներեն:

(3)

էէ»

սաճվաններում,

ՎՃ

կոչվում է եռանկյունաչափական շարք: ճա ստատուն թվերը կոչվում են եռանկյունա

«. աա

կամար:

շարքը

Չ, «..) Եւ(ո»21,

Բու-ել

օգաաղորժենքճգ դորժակիցը ճաշվելու (2) ճավասարության երկուՄասերն ինտեդրենք--ջն-ից մինչն

Հեռ

Տ

:

Յջ անսքի ֆունկցիոնալ

դրականթվալին

Է

|

կամ,ավելիսեղվ՝

Ձը» Ձո

(2)

ու):

ենթադրենք, որ ալս ճավառսարությանձախ մասի ֆունկցիայի խնտեդրալը ճավասար է (2) շարքի անդամների ինտեղզրալներիգումարին: Դա, օրինակ, տեղի կունենա եթե ենթադգրվիչոր տվլալ չարքի գորժակիցներիցկազմված թվային շարՑոանկլրոնաչավական է Քը բացարձակ զուգամիտում է, ալսինքն՝ զուգամիտում

ՇԱՐՔԵՐ

:

ալ-

մասում ճանդի սող

ագվառա լուրաքանչլուր ինտեդրալը Հ

|ՀԵվա--ոճլ,

.

Ալյսոլիսով,

|

(2-4Թ-Ւ2ո):

Դնենք ճնտելալ խնդիրը:

դտնել ֆունկցիային տվլալ զուդամիտող հռանկլունաչավական շարք: Այս Խնդիրն էլ կլուժվի տույն գլիւում: որոշումը բանա Ֆուրլեի Շարքի դործակիցների ձներով։ Դիցուք Չ3. պարբերությամբ (2) պարբերականֆունկէ (--3Ե Ն) միջակալքում քիան ալնպիսին է, որ ալն

աորիարացվում տ

աշ

| մԵ-«ւ

աակ ։

Ձղ ԸՕՏՈՃՄմա»--

«0,

ո"

-"

՛

Ր5 բ.Կուգ-եիոոա--ե ՇՕՏ

է

.-

ո»

ոչ

--

ունեցողԱֆ) պարբերականֆունկՏրվածէ Չդ սղարբերությունն ցիան: Ինչպիսի՝ պալմհանխերիդեպքում 1(2)-իՃատմար

կարելի

"

:

-

ւ

ՈՃ

Ր"

--Ճ

Հետնարար, :-

|

ւ

ՏՐ

ր 0.-«ոչ :

"

ԸՈԱՐող

Յ67

ե որտեղից

կարելիԷ ստանալ ն (Ս-ի մնացած բանաձենըբ""(1) Խմբի ինտեդրալները Ճաշվվույիհն անմիջականորեն (տես 1 ճա. 2 դյլխում):

.

ե--

լ

ւ

»

|1(:)ժն

(4)

.

Այժմ կարող ենք ճաշվել (3) շարքի

էլ դորժակիցները: 1-7-0 որեէ որոշակի արժեքի դեպքում 8 դորժակիցը »րոշելու ճամար (2) ճավասարուլթյան երկու մասերը բազմապատկենքԸՕՏԵՀ-ով-

)

պետք կդան ւի քաՀ նախօրոք: ինտեգրալներ,որոնք կդիտարկենք նի որոշլալ ունեն ճետելալ եթե ուր ն Է-ն ամբողջ Թվեր հն, ապա տեղի ապա եթե ոյն, ճավասալությունները:

ճաշվելուճաիալ:մեղ դորժակիցները

Մ լուս

Ը0Տ

Է

Ֆ՝ (Յրճ0Տ Խ---ջ «օՏԱու-Ի ւրասումմուտռացված յան Հավաարաարն ռո Աբ անդաինն

Ն ա

(2)

մ)

քերում.

-

ացարձակ

Լ

»

կարելի է

մինչի

սախխիանչ

Ղ

.

|օծեոմո-է ի(ո«» փե--ջ էչ

"

Տո 12 մ:--0,

ո.

5.7

-

ապա

բ

:

ՈՀ-1

ԸՕՏ

ոչ

ԸՕ5

մմ--եԵյլ

ա

|

Տո

ոչ

Ը05

ձոն

էչ

/

--Խ

-ռ

`

լ

է, քանի մտաժորադղվող թագանՑում (22

8 են

ինտեպղրենք --Պ-ից ճավասարությունն

՞

Ն.

հակ եթե

Ը0տեա): (27)

աւ

՞

ո--ն,

Ո»

շարքի անդամներին: Ուսոի այն ղուղամիտող դրակայ անդամի անգամինտեդրել: պանկացաժճատվածում

՝

(ոո

ԵՏ

է» Է

չարքը մեժությաւմ

ոջ

մ2--0,

|օ5ոո

ԸՕՏ

ո

ո-1

«

»

Տո է» մ:--ժ,

աէ.

Ձ

1(:)Ը0Տ

|

ԸՕՏՈՀ

ն

մլ

:

| ո

ձնով

Նման

.

"

է

Է:

Ու) դարձնելով Ուշադրություն

Վ:»ՅՆ որ

Է: ԸՕՏեյ

1)

մ:--Օ,

|/(օօ»

,

|

ջ

ՏՈՀխ» մյ--ԹՐ

մ

ինտեդրալը: Բանի Հաշվենք» օրինակ,(1) խմբի առաջին ԸՕՏ

ՈՀ

ԸՕՏ

|է -ո

ոչ

605եշ

ո--

որ

մտաց, |օ«(ո--Բո Փո--շփԵ---|օօ:(ոԷՑ)» -

-ո

մասի

բոլոր

ինտե

| մՀՀՀճլո, ժո--Կ, օօտ:թ:

ԼՐ | ի

|

|

Յէ

(5)

ւ

«05

ր

լ

աջ

ւ

որտեղից

առա

լ

ւ:

Էզ

էոշ«1-լաօ(ո--)ոՒօօո--):, Ր

-

տեսնուիենք, (1) բանաձներին,

դորժակից ունեցող ինտեդրալից բացիյ, ճավասար եզ դրոլի:

մլ

գրալները Հետնաբար,

--Ն

եւ

ն

:

-

ՏՈ

ոչ

ոչ

Տ(ու»--1/չլվ51ո(ղ4 Խ)»--ՏԼո(ո--Ճ)ճ|, 51ո

ԷչՀ-1/չ|--«օ85(ո--Է)5--«օ5(ո--ն)չ|:

բանաձների օգնությամբ:

ինտեդրալ ճաշիվներ 24--Դիֆերենցիալ ն

բազմապատկելով

ն

.

որտեղից

`

«.»-Ելո,

չող»

" |

Տ(4).-:--

Ր

,

(1),()

"

ռ

իտու», |

՛

հ Լ, սաճմանափակ, ճատվածում կտոր առ կտոր մոնոտոն տապա այդ ֆունկցիայի ձամար կառուցած ֆուրյեի շարքը զուգամիտում ե բռզոր կետերում: Ստացված շարքի Տ5(:) գումարը անընդնատությանճ կետերում ճավասարե 1(4) ֆունկցիայի արժեքին:(ո) ֆունկցիայի Խզման կետերում շարքի զումարբ ձավասարե 1(4) ֆունկցիայի աջակողմյանն ձախակողմյանսաճմանների միջին թվաբանականին, այսինքն՝ եթե չ»-Ը-8 1(54) ֆունկցիայի խզման կետ է, ապա

չ,

է-ով

ՏՈ

մանրը երկու (3) ճավասարության ո, կգտնեն մինչն --տշից ք. նորից ինտեղրելով

է

ե Ո

ն0չո

ն:

Ն)

ՎԿ

լ

կոչվում գործակիցները որոշվող բանաձենրով (6)ֆուրյեի իոկ այդպիսի գործակից" զործակիցներ, կոչվում է

Ֆուրյեիշարքչ

-

(0).

»

ֆոնկցիայի մ

մոք իսի ԲոԻՔԸ

պետք է օժտված

Ֆուրլեի նրա ճամար կառուցված որպեսզի ֆունկցիան, ճավասար լինի հտ ն որոնողի այդ շարքի ղումարը զուդամ Փո թրի աոա Կ նկ9 ի մի թեռրեմ, որը Ալշտեղ կձնակերպենք

ԱԻ իայի աաւնը ւ

բավարար շարքիներկալացնելիության

Ֆուրլեի

Սաճմանում:

Ը

պայ

ֆ.3)ֆունկցիան կոչվումէ եջ Ե)

ս

ն

որ ալո այնպես, ջակալքերի է, ալսինքն՝ ցիանձմոնուտոն ճետնում է,

...ու

«2

։

է,

ոչ

(ահս ՃՄԱԼ գլխում)» ծվլալ թեռրբեմը բերում ենք առանց ապացուցման: Տ 8-10-ում է ֆունկցիալի՝ շի ալլ բաՓուրլեիշարքերի վերլուծության սորվելու է որը վերաբերում որոշ իմաստոդ վարար պայմանի ապացուցումը, ավելի նեղ ֆունկցիաների դասին:

թրի

Խեր

ա

ոչ

էվճաոոր եթելլ(ձ) ֆունկցիան |ճ, Սառմանումից հ սանխիանափակ,ապա կաալն իոնուտոն է վածումկտոր կտոր Ֆ--ՀԸ-ն եթե Իրոք, բողգէ ունենալմիալն առաջին ռեռի իում ներ: լողան կետ եշ ապա մոչ է(») ֆունկցիայի նեն ն նուտ ոնության շնորճիվ դոլություն

"Տ2.

Ֆունկցիաների՝ Ֆուրլեի շարքերի վերլուծության

որոշված

1`

ու

Էտ

|

(նկ.

375):

բ

ո

12)-46--9)

,

ոմ

1 շշ"

ւզ»

տ

-

0, 2.

լ

քն՝ սաճմանները:ալսին

Ը

կետը

առաջին

(նկ. 324) ք ճետնլալ թեորեմը: Այժմ բանաձնեն

ռեռի խսղմանկետ է

պարբերությամբ ֆունկցիան |--7, տ| 100 պարբերական

առ

Ճ-»Վ 0

Թեռրեմ.

ՀՀ»,

ն սաճմանավակ Է կտոր մոնոտոն ֆունկցիան կտոր է այն Թույլ Հետնաբարը, տալիովերլուծությունՖուրյեիշարբերի, բոտ Տ 1-ի (42)բանաձնի ղզտնում ենք.

Այ"

'

Ճ-»6-.

.

Բերենը ֆունկցիաների՝ Ֆուրյեի չարքերի վերլուծության օրինակներ: 1: Չղ Օրինակ պարբերությամբ 1(9 պարբերական ֆունկցիան ճետնյալ կերպ. |

'

(-Յ--Ժ։

օրինակներ |

առ

րր

նրա կիրառութ լուն-

ւ

-

ամը Օա-ռ Բորը (ո ն է) ֆու7կտիջակալքելրից լուրաքանչլուրում նվազող: .աճող կուր կա՛մ

այ, կտոր առ. կաո է ո), Թվով կետերով կարելե տրոճել (2,

ն մաթեմատիկականֆիզիկայում կիրառվում

են

.

դրված ճարցին. ինչպիսի՞ ճատկություններով

«40):

»

Ալս թեորեմից ճետնում է, որ այն ֆոււկցիաների դառը, որոնք են Փուրլեի շարքերով, լայն է, Այգպատ բավականին ներկայացվում Ճառով Ֆուրլեի շարքերը մեժ կիրառություն են ղտել մաթեմատիկալիթ տարբեր բաժիններում, ՖՓուրլեիչարքերը ճատկապեսճաջողությամբ

շն

44) ֆուճկցիայի չարքը ներով (1) հռանկլունաչավական

(6-0)

եբե 2

-

|

գտնում ենբ. մասերով, (5) բանաձնը ե էնտեգրելով

կիրառելով Տի

ո-Լ

յ

"յ

աու»

-

ո

|

|ա ոի Ր)

տա

ոց, ու

(6) բանաձնի զտնում ենք.

ԸոայոՏԼ-ի

ե----

՛

Ճ

տ

Տլո

էչ

լ

մչ----

ո լ

մ

Ղ

«առան

-

ԱՏՏՑ Վ-- |

`"

Հ

ԸօՏ

ՇՕՏե

ոի

| -«-(-1)ճ3)

մգ

Էչ

-

Է

Է

հոդ

Ը0Տ

Լար

։

-Կ

ի

է

բ

էշ--1| «5-(օ 1. Տ"

մյուլիսովչ,ռտանում

ճետնյալշարքը.

ենք

յ-.|`Ր ՏՏ Մո ։

'

:

Հար

'

Ղ/ԳՐ-Ը«ի

ոէ»

(թթու | ո-շ| .

Վ

ն

:

Այսպիսով,

Քաղողմյան

ՃՏ1ոնմ» .

«ԸՇՕՏՅՃ

ԸՕՏՃ

Հ-Ի

Այս

կետերում,

ն

լ

զուվամիտում

է բոլոր

չարքը

ֆունկցիային.

ՕՏ

-Է 52

ահա

|

էշ.

լ

ենք ճետնյալչարքը:

ստանում

(--5--Է

ձա-

ո

՛

կետերից, Ծու-

Այս ճավառարությունը տեղի ունի րոլոր կետերում, բացի խզման ն Խղզման կեսում շարքի զումարը ճավասարէ նրա աջակողմյան բաքանչյուր զրոյի: այսինքն միջին սանխլանխերի թվարբանականին,

'

ց,քոր

Ծոլա'

-բ

Շօ5(2ք4-1)

(2:

-Վղ

-մոռ

«շղ

-2ո

վ

-ոդ

Ք

Նն.

մոռ

2ռ

Օրիրակ

Օրինակ

էի

այսպես,

Չո

ֆունկցիան 1) ռլարբերական սլարբերությամբ

(ոկ. ֆունկցիան ճատվածում:

Մ

որոշված

Հաշվենք նրա

երբ -«ՀՃՀՍ,

թՀ-»,

1(4)--1,

կաոր

առ

մոնոտոն

ն

սան-

-

.«

է.

անան

Ձլ-Հ--

ծ

Ել----

:

՞

|

իճ

յԼ

ի

--1)օօ04ե2

մ2

Է

|

Ը05

մոխւզոգ-"

Հ

ր

չտո

ՎՆ--| «

ե."ւ ոքի.

Ն Լ

--0,

Տոթ.

Տոխւի

|----1.

բո

Լլ» ռ՞

մ

էչ

տ

Լոր

`

ւ

ԼՏ «05 է

--Ֆ

երբ 0, երբ -2-(-«օաայ--

|

ե-ն կ-ն

-

ձետնեարբար, ֆունկցիայիճամարՖուրյեիշարքն դիտարկվող

յաՑագութ զոտվ Բ.

ՀՀՆ

-

-

է

|(-94» ւթ ե

ում:

|

՞

սաճմանավակ է -«-լ

.

եչ մ:

Ն

ռ

ն

լ

.

ՕՀՃՀու

կտորմոնուղրոն

յ

որոշված

երը --ԼՀՀւՀՍ0, երբ

.

-

ԸՕՏԵ»

արոր

:

՛

(Ճ) մչ-Հ--| ռ|. «Հ

-ո

|ա «ի "| ո-ւ| ՅԱՑ ւի

լ

|

լ

թ

թ

տ

գործակիցները,

ւ

|

«աղ, 80--՞-|դայժ-|իսս ||(ՇԹա1

ա

լ

ն

277)

կասը

Ճ0-«--

երբ 0ՀմՀռ

Հտ Հ: Հատվածում: մանափակէ Որոշենք նրա Ֆուրյեի զործակիցները. :

1(2)-2-1, 1((Ճ)-1.,.

լ

:

կտոր այսինքն՝ԱՇՀՆՀԵՆ («4. 376): Այս ֆունկցիտն

լի

ը

պարբերությամբ (2) սլարբերական ֆունկցիան

Չը

մյ.

.

Հ

Յ.

«ի

1»

նրա ղզումարը ճավասար է տվյալ

-

ճետնյալ կերսլ.

է

կենտ է,

աան

ՆՍ.

է,

զույ

բ-ն

'

/

բթ ւ

ԵՋ

երբ

Ր

Վ...-

ՏՅ

«արոլժո,,

շք--1

ունի

ի՞

Է զույգ

է,

կենտ էւ

ճետնյալ

հայի

Վ Հոբ

ՃՇԸօՏեչ«

ն

1ր

տ

է

բ)

-7.

առ

«Է,

ԸՕՏԵ2

--ո

քրո

-լշ՛ Խ---

ր

դ -.

որո բժ

հ

ՀՅ»

տ

ւ

.

(ո

«05

էո)-«

րթ

Է-ն

զույգ

երբ

է-ն

կենտ է,

է,

Ճ

ԳՏԻԸ |

լ

Ի՞

-տ

.

Է կ

մմ

ՃՕՏեն

է

--րռ

.

2.

Ս

Հք

-ծ՛ `

ՀՏ) ՀՏ(րոջ

՛

` --

Տ

--

Հոր

.

՛

տ

ի /

`

Պար

Ֆքնոջ ր

ՀՀ,

Նկ.

Վ

Վ

ԵՀ՛

Են

Չդ

ճետնյալ կերպ.

`

է բոլոր

-Տ

-

ո

ՆՀ

-4ե

ւց

Ն

-):Ը

-ր

Նկ.

:

-

.

ր

ր

՞

Յ-5

տ

բաոմ2---դ

-

1 ը 23517 էշ

-

բ

|

"ասալ

ՅԷ-ո

-շի նէ

-դ

«շո

ժԴ

«1

դ

Ֆո

-

-.

Հե.

Դ

ց|

-ո

՛

4:34:

ծ

'

Է

ռո

՛՛

Հ----"՛ջ

3Յ

Նկ.

.

:

Ստացվածճավասարության մեջ ընդունելով Ֆ--Ոո,կստանանք»

`

-ոդ

1 3|ռ Ա"

տ

-կդ

Դ

լ՞

|

ի

Հ

Շա)

:

(նկ. 379),

--«ՃՀո

Ռրոշենք նրա ֆուրյեի զործակիցները.

ԶՈՀ-Հ՝՞-

«Էս,

բոլոր

մ|

|

-շդ

պարբերությամբ (2) սպլաբբերական ֆունկցիանորոշված (4-52,

Յջ

տեղիունի

ֆունկցիան,

Օրինակ է

-ո

կտոր մոնուտտն, սաճմանավակն անընդատ է,

առ

ու

1()

Էչ

յ

ՏՈ

|

կետերում, բացիԽղզման կետերից: Ն(. 328-ում է տրված, ակնառու ցույց թե ո-ի մեծացման դեպքում ինչպես շարթի Տը մասնակի գումաբները ավելի ավելիճշզրտորեն ներկայացնում

ի

053:

-

ճիշտ ճավառարությունը

յ

Ս

՝

Այս

2:

«05

Հ

Գ-

ԿԻ ր

բ

"

հազառարությունըկետերում:

-.5

`

կտոր

վերջին

ապա

Ն

ՏՏՆ

Վ

1 շ-ՀՀ

չլո3ջ ... 9|Ռ5շ)

ամա

.-Վ

ոշ

-

Քանիոր ֆունկցիան

2-Ն

դ

նշանակում է տվյալ ֆունկցիայի Ֆուրյեի չարբն ունի եետնյալտեսքը,

-

ո"

տո

Տղ

Բշ մշ

.Ֆ

ԵՎ

Լ

ոռ

Ս" Օրինա

ծ

ն1

ե

հրությամ Բորըքքուքյամը

Լ

կերպ.

1(2)--0,

երբ

1(8)-Հ«,

երր

ունկնղիոան

)/19.

Խիո

'

է ճետնյա27

րոշսլ" յծ

,

Իլոք, քանի

ղՀ0,

ՀՀ

(նկ. 380),

0Հա»Հո

ոՀ

»-

իա )

մզ»:----

ընդունելով Ց»:--Չայ հնք գրել.

`

9: ի«ոշտութ

ը

|: ԸօՏեւ ձ:--՞Ճլ----՛ :

'

-

|

ՏԱ

ժռ

էչ

ւ.

ը

«Էիր

-

ոլ

2Ճ

Տո

մք ո

լ

ե:

«Ը0Տ

Ճ--Ր Շբ

Է

"

բ

՛

ումմ

-

երր ե-ն

ղույդ

.

տ.

Չ/ՇՕՏՃ

(()--5-Հ(ՀՏԻՑՏ

6053:

ՕՏ

լշ

ՉՃ

ՑԱՎ

ա

որ

Է |

րոպական Է-ն -1Է,

ԸՕՏԱՂ-Հ

` (ՈՃ լ Տոչ«

երը

Տաշչ

-

--5

:(1ո32 ի

Յ

թնի

Տ3. Մի դիտողություն

|

ենթ

ոռանում

Մ

-

`

Լ

|ա : Ս

|ռւ).

|

Ւ

.

-

վ

-

կյ

Ը)ժ.:

"

-

|(0

ն

նէշ

`

:

(2ո-- 132

ֆունկցիան Ֆուրյեի պարբերական

շարքի

վերլուծելու վերաբերյալ

տ

ԶՆՆԵԼ «շ-

ֆունկպարբերական

Թիմը:

(2)

.

յ

մ,

-

-

աա

.-26

աԱ2

-Շ

Փ.

Պտ ո.

Մ

1-2:

|52) մ.-- / տ

:(42-Հ

(2)

ա)

լունն ունեցող 14 Նշենք ԶՆ պարբերութ ցիալի ճետնլալ ճատկությունը.

Է

1.5»

| :(04:-- | 200

ազ

|

ժ2

է, որ Ֆշված ճատվությունը նշանակում 5) պարբերական ֆունկցիայի ի նտեզրալն ըստ ցանկացած ճատվածի, որի Երկարուեհ պարբերությանը, միշտ ունի միննույն արժեքը: թյունը հավասար վու 7 էն Այս փառուը ոշտ հրկրաչավխորեն. Նկ.351Լուր բութուքան մվոիլանց ճավառար են. Սրբտաղդծյված սհոկերեսները

|

ինչպիսին էլ լինի

|

5(ո)

-

'

ր

տշ

| (2)42-Հ է

ղույդէ,

|

2--0, մեջընդունելով Ստացված ճավասարությա՛ն

ժչ, ՝

Ր

"

-ռ

-"

շո

|

ՎԾՋԸ-»-

(2)

ուստի

ԻՀ

է 4(2) ֆունկցիայի ի զման կետերում չարբի զումարը ճավառար նրա աջակողմյան ն ձախակողմյան սաճմանների միջին թվաբանականին(այսինքն՝ տվյալ դեպքում

-

յ

2»:

ը

կունենա ճետնյալտեռքըը

Ֆուրյեիշարթը Այսպիոով,

Ղ»Հ),կստանանք

1Ք2ո

՝

է,

ի

Տ Մ

,

Ը»Շ-,

| 2)

'

.

լ

տ

0,

ց

|50տ- «2ռ|կնյմո

ՀԼ)»

Է

տ

երը Ա-Խ կենտ է,

ՎԻ2-

՝

-

Շփ2ո

Մասնավորաբար,ընդաննլով

մ-ի դեպքումկարող նե

մ--2»

`

1 «65 տե :

գ-

Ը

ցանկացած Ը-ի

| 46-»օ«-խայա-

,

ՀՀ--,

Ը

`

-

տ

-- գ-Ջ

|-Հ--

ԽԷ

Ա

1 բ

:

124:

0.մւՎ

1.

-

Մ/-

Կաւղայ

ւ

|

լ

5Ա--2ո)--»Ա),

:

դործանիղնե գործակիցները

ուրյեխ ոշեն Ֆուրյեի Որ"շենք

որ

«27

մո

42 ԷՀ

ծ»

մ:

ճատկությունից բխում է, որ ՓՖուրլեի դորժակիցնեչ Առղացուցաժ միջակայքը վփոխարիճաշվելիսկարող ենբ (--՞» 1.) ինտեդլրոիան կարողենք ընդունել 0, 1-2) ինտեգրման միջակալքով, ալոինքն՝ ՐԸ

ճել.

Ց.

լ

8օ

ւ»

| 62)

|1Ռ)Փ,

ո

ճլ»--

Տ

գո

|

( ) ||1(1:)(0Տոչ մչ,

-

(1)

`

142շ ր

է, ապա ֆունկցիա

ւ.

«

Խլ-»---| Այու, |

Ֆուրլեի շարքերը վուլգ ն կենտ ֆունկցիաներիհամար Զույգ ն կենտ ֆունկցիանե ցիաների սաճմանամից ճետնում է, է,

Փ(2)-բզույգ

Դ

4.

|:(94:-25.)

Քրոք,

.

ձչ:

յ 6յժ--|5 (2) Է|50)

լ

ք

թ

նթե

ո

որտեղ 1-ն ցանկացաժ թիվ է։ Դա ճնետնում է նրանից, որ ըստ պայմանի 1Ր:) ֆունկցիան 2 է. ճետնարքար,ն ունեցող պարբնրականֆունկցիա պարբերությունն 1(4)60Տոչ 1(2)5տոչֆունկցիաներն են Չո պարբերությամբ պարչ տանք, թե ինչպես է բերական ֆունկցիաներ: վրա ցուլց Օրինակի

որ

չբ

մ

,

ո

|: -ոյ:ո|(ց

ձ.-

Ս

Ր

|

մ»:--

:

ու

դորժակիցՀ ւպացուցածճատկությունը պարզեցնում որոշ դեսլքերում 1:

-| ը

.

ները որոնելու ընթացքը: Օրինակ,

ֆունկցիան,

0Հ«2Ն

որը

ունեցող

1(

14:)--2

Քանի որ -

ա

Է

ՅՐ

ի («) մճ---|(8--2ո,

-

:

ՓՐ)

-տ

՞

ձ-|«(

-Ճ)մ ) «Ի

ԵԹե

Ֆու

բլեի

" բշագրբալը (ոա ւու զույգ, ճնտնաքար, շ

(09665 Ցո-«-ոճ

Ն

մչ-2---

ծ

ա

տ.

51ո

|

2 «ՕՏ

ՈՂ

տ

ծ

Տ(ո

գո----| :

Ճ511

ոճ

ո.

-

չետնաբար, 1(2)-ՀՊ--2

ռ

2»

մո-Հ--|

՞Ճ

-օՏոչ

2Տողռձ

12»

-Է---------

Տու

ո

ռ2

-----Հ ո

Ն

Յ

Ճ----Տո25----ՏՈւՅՃ----

Տո

4»:---ՏՈԾՀ-...

այսինքն "

շարջը

արժեքներիմիջին թվարանականին (այսինքն' տվյալ դեպթում

"

`

-

|

Ճ)Ը0ՏԷչ

մչ--0,

Թվին)։

(1 ւ

".

լ

`

`

Ն

զ նն սինուս

.

:

ր»

ե

ւ.

տրված ֆունկցիան ներկայացնում է բոլոր կետերում, բացի խզման կետերից (այսինքն՝ բացի Ճ--Ս, Զո, 41, կետերից): Այս կնտերում շարքի գումարը ճավասար է 1(ւ) ֆունկցիայի աճակողմյան ն ձախակողմյան տաճմանային Այս

ո

Ե---|1((2)51ո Փե--|(ցար

.

-

.

վերլուժվում (4) կենտ ֆունկցիան, առա նուլնայնս կենտ ֆունկցիաէ, իսկ 1(24)51ու»-թ

է

ՐՔ

-ի'

-

ծ

(«)4»-ՀՑ,

:

Յլ-՞ 12"

:

Ճ0Տոչ

'

-ՀՄ.

Ոշ

ո

յ (Օ.---|(ժա |9(յժ«-Օ

`

լ

2»

ե---|19

:

ւ

ն

՛

՝

որ

չ

ա

ծ

) օ(2) մո| 5(ո)ժ»

սառի անա զույգ ֆունկցիայի օ( -ՊՃ):(4): ձնով կարելի է ապացուցել, որ եան Չ(լյը-Ը կենաւո ֆուն ու էէ, առա ՛

|

՛

"Ո

ըստ

՞

է նկ. Յ85-ում։ Այդ ֆունկցիան (-7, ո| Ֆունկցիայիզբաֆիկըսատկերված ճատվածում սորվում է երկու բանաձեվ, 1(2)--2-Է25՝ Լ-դ, 0| ճատվածում ն 1(2)--2՛ լ0, տ) ճատվածում: Մինենույն ժամանակ այն 0, 2ո| ճատվածում տրվում է անամեմատ արզ 1(4:)--Ճ մեկ բանաձեվ: Ուստի այդ ֆունկցիանՖուրյեի չարքի վերածելու ճամար օղտակար է օգտվել (Լ) բանաձներից,ընլունելով 1--0:

.

կման

ճավառարությամբ, վերլուծել Ֆուրյեի չարթի:

2ռ

Վ: Լ

պաճանվում է 21 պարբերությունն ճատվածում տրված է

Դիցութ

` 2( :)

է:

մչ,

:

ֆունկցիայի Փուրլեի շարքը ,

պարունակում «միայն նքր» (տես Տ39-ի օրինակ1-ը), Եթե Ֆուրյեի շարքի է վերլուծվում զուլգ ֆունկցիան, աւն 1Ր1:)5 ու»:արտադրյալը կենտ ֆունկցիս է, իսկ Ը զույգ է

(ՐԳ«օ5եչա

ե,

ճետնաբար,

կ

ւ, ի ՞

»

:

լ.

շ

՞

ո

.

(յաթ ում»

ե3

լ

քանաձնո բանաձն մ կուռ

-

:

Չ

(տո Խ---շ որ -

մչ--0,

ւ

|

Ձ

որտեղ '

«

ռ

|

նուսներջ» (ոնե ՏՀ-ի օրինակՏ-ը): բանաձները Թո լլ են տալիս Ֆուրլեիդորժակիցները Խոացածժ որոնելիս պարզեցնելճւ շվումի ներն այն դեպքնրուսի, երբ տրված

օ

Լ

`

-

,

ֆունկցիան,որն

է

Դիցութ պաճանջվում

Ֆուրյեի

ն ոլարբշերություն |0,ո|

ունի Չ-

ջարթե վերլուծել 148) Հատվածում տրված է

3-Ճ

|

-»

-

զուգ

8-2

շ

`

2րՐ

`

Այժմ

զ

ՏՐջ

Ստացանքնույն

Է

ր

»ի ԴՇ

էտ

ՅՑ )

ինչ ռր ՏՀ-ի ղորժակիցսերը,

-

-

0, երբ

կորն

կ-ն

զույգ

2Ճ-----է, ՞

Ալդ դեպբում

ունն նան

-

21 է

շարքը

ալ

պարբերությամբ ֆունկցիայի ամար

(1)

(«յ լ

-

Վէ,

հէ

տ

Ստ

ՀԱ-Ն

Խոաձեր մ Ը կաւազաւ ոո

5բ

Յա Յյչ

/

`

12)

մ:,

|

Վո՞--ժու

ճետելալ ա

Հ(

ԷՒ--Լ

2)

ում

15)

լ

ԷՐ

՛

զա: ՎԷ-ՀԸ

,

"լ

Ե--| բ»

զէ

ք.

լ

( 1)

բրո բէ

ինաա-ր|«ՅՐՆ

կենտ է,

Դիցուք1(2:)-ըպարբերականֆունկցիա է, որի "պարբերա յունը առած, (ոբը,- ընդճանրապես տարբեր է 2-ի: ): Այն վերլուծենք

շարքի Ֆուրյեի

Հ

ւր

1-5 ՏՅ. Ֆուրյեի

ԳԸՐ

Լր

է,

օրինակ Չ-ում, բայց ավելի կարճ

Էկ,

մ

:

երբ Կ-ն

ծր .

Տո

«ին. վերադառնան աա, ք ի փոփոխակ ին.

՛

Չ

4է,

ե--Է /

էճ

ԸՕ5

ԷԻ

Հ

"

իմո, ձլ»--Է |ո«օ մ2-դ. «Տու

(05

լ

Հ

ճավասարությամբ: Այ" ֆունկցիան Ֆուրյեի շարքիենք վերլուծելՏ Հ-ի օրինակ Հ-ուս ի (տես նկ. 326): նորից ճաշվենք այս ֆունկցիայի Փուրյեի զ"րծակիցները, օզոագործեէ՛ լով այն փաստը, որ տրված ֆունկցիան զույղ (2) բանաձների ճամաձայն ցանկացտֆ Է-ի ղես քում Ել---0. -

եՎ

ռ

ն

ֆունկցիան զուլդ է կամ կեննտ:. Ակնճայտ է, որ ոչ ամեն մի պարֆունկցիա է ղուլգ կատ կենտ (տես Տ 5-ի օրինակ5-ը) բերական Օրինակ,

ճատվածում վերլուժել

ՀՀՀ

(շԱ-Ք 26. /

է ւՐի ալն Ֆոֆլեի շարքը պարունակում այսին քն՝զույգ Փունկյիալի

կոսի

կլինի է-ի պարինրական թիւ Փունկցիա՝

պարբերությամբ: Ալն կարելի է շարքի. Փուրչեի

)

՛

փոփոխականի Այջ փոխարինում:

(Ը) ֆունկցիան մ

դեպքում

(5)

արենք

ոօ

(

Վ ել

Տո

հո, Հ

(Յ)

,

Սյ դորժակիցներըճաշվվում են (8)

Սա բանաձներով: պարքնրաթրոննունեցող պարբնրական րու/ ֆունկցիայի

շարքն Ֆուրլեի

ույ-

է,

ալն որ Նկատենք,

տունկ արա

պարբերությամբ

խորեն

բոլո

ր

չ ուրլեի

ե ՐԸ»

որոնք

հղի

ունե,

Չ-.

շարքերիճամար) ոլաւճպան381-

ցանկացած որեէ ուրիշ Չ1 պարբերությամբ պարթերաիր Փուրլեիշարքերի ճամար: Մասնավորապես, կան ֆունկցիաների բաուժը պանպանումէ ֆունկցիալի՝ Փուրլնի շֆրքի վերլուծության զուլգկամկենտ (ես Տ 8), ինչպես նան ֆունկցիան վարար պալմանը ճնալինելու դեպքում շարքի դորժակիցների ճաշվումը պարզեցնելու վում

նան

են

բավորության մասին

դիտողությունը:

Փֆուրյեիչարջի Օրբրինակ։Վերլուծել

կանֆ̀ունկցիան,

(«

Կկ.

383):

որը

|լ ճառվածում արում

Լ-ն

)

է

1(-ՎՎ.

4-2

պարբերա-

սպարբերությամր(2)

Հաառարությամբ

:

- ժ|4

ծ

ճ

Նկ.

4:24

ձեռ

դիտարկեն ք.ՂամալականՉ/

ունեցող պարբերություն մտոնուռոն կտոր կտոր պարբերականԷՐ) ֆունկցիան, որբըո, Ե| ճետ, է ճամփբնկնում Բատվածում (2) ֆունկցիայի

Դրա ճամար առ

ԷՐ) ֆունկցիանվերլուծենք Ֆուրլեիշար քի: Ալս շարքի դումարը |ճ, ե| ճատվաժիրոլոր կետերում (բացի զման կետերից) ճամընկնում է տրված 1(4) ֆունկցիալի ճետ, ալոինքն՝մենք 1(4) ֆունկ ցիան |ճ, Ե| ճառտվածում վերլուժեցինք Ֆուրլեի շարքի" Այնուճետն,դիտարկենք ճնտելալ կարնոր դեպքը: Դիցուք 1(4) ֆունկցիան տրված է |0, ||ճատվաժամ: Արլ ֆունկցիայի սաճմանու» ւՀ վը կամայականձնով լրացնելով |-/, 0| ճատվածում (պաճպանելով

ր

Նկ.

լուծում,

Քանի

որ

դիտարկվող ֆունկցիան

էլ

զույլ

ապա

Մ

Ծւ»-0,

լ

ձետնարար, վերլուծությունն

Ր

| Ֆաերբ

ավան Ղ-րթ'

Խո

Գոյ

կենտ

կ-ն

ԳՀԻ

ՀՎ(-դ),

«0902-Ի».

Ի--քքարՒ""'ատ

մասին

Դիցուք որնէ |Ճ, Ել ճատվածոմ տրվաժ է (ո) կտռր մոնոտոն ֆունկցիա (նվ. 384): ծուլց տանք, որ կարելի է ննրվարոցո| ցիան իր անընդճատության կնանրում

առ

կտոր

րաժ 19Ջրի:

շարքի տեսքով

"Ր

կտոր մոնոտոնությունը), կարող ենք

այլ

ֆունկցիան

վեր-

լուժել Ֆուրլեի շարքի: Մասնավորապես, եթե տրվաժ ֆունկցիայի քաճմանումը լրացնենք ալնպես, որ -(Հ»ՀՕ դեպքում լինի 14)»

-

`

ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքի վերլուծության Տ6. Ոչ պարբերական "

առ

է

րր

Վիտոր

Ը

ունի ճետնյալ ահօբըն

«տրոա.,

ԻՀՀ-ջ---

|ոփ-Հ,

ձ-`

լո

ավե 1,

արդլունքում ստացվում է զուլդ ֆունկցիա (նկ. 385): (Ալո են, որ 1(4) ֆունկցիան «շարունակված է զույգ կնբպով»), Ալդ ֆունկցիան վերլուծում են Փուրլեի շարքի, որը պարունաչ կում է միայն կոսինուսներ, Ալապիսով,|0, Ո ճատվածում տրված 14) ֆունկցիան վերլուժեցինք ըստ կոսինուսների: Իսկ եթե 1(:) ֆունկցիալի սաճմանումը (ՀՀՀՀՕ դեպքում շա` ապա բունակենք ալապես՝ 1(4)-Ա(-Ճ) կստանանքկենտ ֆունկցիա, որը վերլուժվում է ըստ սինուսների (նկ. 386): ֆունկ((ձ) ցիան «շարունակված է կենտ կերպով»), Ալապիսով,եթե |0, | ճատկտոր մռնոտոն ֆունկցիա, ապա "վածումտրված է որոշ |(Ճ) կտոր լայն կարելի է վերլուծել Ֆուրլեի շարքի ինչես րստ կոսինուսների, "այնպես էլ ըատ սինուսների: դեպքում

ասում

առ

ՆՈ

Լ

Հեւ

բան

Տը դու Այսպես,օրինակ,Թելլորի շարքի առաջին ո տանդաժների ճետ է հեկ կետումն ալդ մարը դիտարկվող ֆունկցիայի ճամընկնում որոնք ճամընկնում են կետումունի ինչն ո-րդ կարգի աժանցլալներ, ճետ: ա ժանցլալների ո-րդ աստիչ դիտարկվող ֆունկցիալի հադրանժի լ Ն՛11լ "ճանի բաղմանդուիը (տես դլի'ի։ Տ 9) դիտարկվող ճատորի

Ւ

ՀՀ--

|

--

Ւ Եկ.

-

|

ֆունկցիայի

Հ.

Նկ.

ուժս

լտ

«ՀՏՐ ՅԱՅ

լ

(տեսՏ Տ,

շրի նակ Լ): լը բին ոկ Հ. Բ)--Ճ

Խուսդնրի շարքի

(չկ.

եժ

".

մ,

Տո

է

ո

տանանք մնտնյցալչարքը:

1.

Դիցութ աճանջվում :(21)-»Ճֆունկցիան 0, 1| ճատվածում սինուսների շալրթիս սյ Մյս ֆունկցիսոն կենտ կերոլով (կ. 375), դբշարունակելով

վերլուծել բս

Ց

։

տակելով

շարու

ԷՌ)Հ-ի|,

-ՊՀՃՋՆ

ղերլուծելբս

1:24

կերով,

կոսի-

-

ԱԼԻ |0, ոո

մյու ճավատարու

Հ).

ԵՎ

Բ նը:

|

թ

|

սո.

տարբեր:

"381

ւ-1

Ելտլոէւ ։

|8,Ե| վերցնել,օրինակ, ուռ» ճատվածում (2) --Փ(:)էո, զարելի է

չ

տեղի ուրի Հատվածում

ի ԳԾ Նոքա

Նկ

:

աալշինքն՝ 1) ֆանկցիալյից հրբ ո ն վելի Փ(2)-ի,ալսպես կոչված, ամենամեծ շեղումը: Բայց նրբեւլին ձ բնական է որպես սխալանքի չափ վերցնել,այսպես կոչված, միջին է ջառակուսային շեղումը, որը

ւ

:

թ

«Որ

12)-Թ2)իճշ ր » թել)

222»

բավսասդամի միջոցով

Փանկցիան անվերջ շարքով (Փուլլեի, Թելլորի ն այլն) ներկաՀչ լացնելը չորժ նականումունի ալն իմաս, որ շարքը Ո- բզ անդամում ժընդշատծլիս ուռացվածժ վե րբջա ) որդո տարը չինում է վերլու սրու վոր վող ֆունկցիայիժուռավոր ալյտաճայտույթյունը. ալս Բ սիեծժ ար լու Թ լու Կ Ը ո-ի բավականաչափ արժեքի ընտրուկարելի է ճասցնել ճշտության պանկացած ասաիչ Թյոն ճանապարճով ճանի. Սակայնմուռավոր ննրկալացման բնույթը կարողէ ինել

ո

Տ7. Տրված ֆունգցիային միջին իմաստով մռտարկումը եռանկլունաչառական

ՀուշօՏհ

(4)-«--Դ

ղզիտարկումենք որոշ ն ՄՅ ցանկանումի 11) ֆունկցիա ենք զնաճատեյ այգ ֆունկցիան Ա (լ օ(«) ֆոււկցիալով փոխալվինելիԹույլ սոլչվաժ սլա քի չափ չունքլո" Ռրպես սվաաւլան

:

`

`

Ձ

վաժափ

դոտանանք.

:

ՏՅ.

սլարբերական ֆունկցիայի

որ |, Ե| Ճաւոենթադրենք,

`

'

օրինակ

կետերում:

ստողութ յուններ:

--

976): անը վերչուծելով Հարրի, կզտռենը.

(տեսՏ 5,

1-1

է

որտեղ 8ց»լ, Ել, բազմանդամներով, տեսքիեռանկլունաչաիական են, այսին շարՁ., Ե,, ..ց Յո եղ Փուրլեի դորժակիցներն քն՝ՓՖուրլեի քի առաջին Ո անդամների գումարու։Նախ կատարենք մի քանի դի-

-

Ց

ֆունկցիան |0, ճ| Հատվածում

Մա ֆունկցիան

ճամընկնում

ճետ

Թե ինչ բնույթ ունի (2) ծնեսնենք, ններկալացումը ւրուտաղոր

՛

Օրի նակն է

-

լ

ճավասարությամբ:

:

շեղման / միջին քառակուսային Նկ. 9587-իվրա"պարզաբանենք ունը: ամենամեժշեղման ղանադանուլթ իշկ կետաէ 712) ֆունկցիան, ԴիցուքճՃոժգիժը պատկերում

:

ւմ են խ «»գցլ(4) Փ(2) հ Փչ(2)մոտավորությունները: դժերը ռպղատկերու է, քան Մ»«գՓ:(4) կօրինը, բայց առաջին շեղումը փոքրը կոբի ամենամեծ քանի շեղումը սինեծ է, քան երկրորդինը, կորի "իջին քառակուսային է կորից որ 3 ՀՀց.(2) կորը տարբերվում ՄԱ(2) նկատելիորեն :

չ

25--Դիֆերենցիալ

ն

ինտեգրալ ճաշիվներ

ն ուսի միալն նեղ տեղամասուսի կորին, քան առաջինը:

ավելի չավ է

ՄՀ»1(2) ինութադղրուր

Այժմ վերագառնանք եր խնգրին: Դիցուք տրված եհ շո պարբերությունն ունեցող (ո) րական ֆունկցիան: Բոլոր

տոաջել|

|

պարբե-

զ ՊԱՀԱ5

,

Ո-ըգ

կարգի հ

լն

էւ--Ք Տոն) (005 ( 0-2-3 ավի

չիր

Օ

Օյ,

ո,

կանների ֆունկցիա լի մինիութի

Բացելովէնտեղրալի

դրելով անգսոի լ

2) |: 40(2)--21

չի

52-»---

առ

բլ. տ

Օյ»

որոնմանը:

նշանի սոակ եղած

կստանանք. անդամ,

|

5.շ աշ |

-

-

1 ծ.

"

2»

Ը0Տե»

ռլ

է»

ժշ

լ -

Ր

|(0

"4

Էշ

մ:-Հճյ, "

յի

մ:--Ել

Լ

|րո

ցանկացաժէ-ի

ն

ունեն

ք.

տ

:

ում:

ար

ՀԽ

յ-ի

8.4 վ 04-ո, Ս

--տ

-ո

»

ղեպքում՝ Ր

| |

ս

ի զՀՀ-

"|

լ

է՞լ

՛

Ք

|»

:

իուաչրւգ-օ

դեպքում

Շ0Տ

բ" էչ

|, Եչ--0,

՞

ստանում ենք. Այսպիսով,

նշ

ո

ձ:--

ւ/

2 (2)4»

ԳՈՎ ա--

ո

ս-1

(ա-ի "

|»մ2--0:

տ(ո

ԵՍԻ-

2:

Դ--

ո

ի

ՖԹ«Ւիժ:

ճանելով Ավելացնելու

մ:-Ի

ն

(ո-Ւե) ՊԱՏԿ

|

ատա

-

Հ

:

--

Հ.

ո

,

ժու» տմաջավ

Իշ. շու-յտր

«ցը,

«րթ

ա

ա

Լ

ՅՆ

-

են: ֆունկցիայի Ֆուրլեի գործակիցներն :. Այնոճետե,Տ 1-ի (1) ն ՈՍ բանաձների ճիւրանվրա «Ք--|դեսքում՝

փոսիոխա-չ

:

| 1(:)«058»

«Ւ --

Ն

Ղ

ն ինտե քառակուսին,

-Լի«ոջ իտու Տո/ 1Ֆոինթո ոլր 2-5լյ» Փ.--ջէշ

-

4)

է

Ր

Հոյ» |րոտ

ՓԼ տՏեր

՞

՝

Ց(ռյշ05նչ-բյտո

4ր

իտ

լ

:

Հոբ

--

ի

շ

բո շո-1

ու .ԸՕՏԷ Տճ«--քլտո

ՄՈՄ

|»

որ Ֆկատենք,

ջառակուսային շեղումն ունի

«ՀՅ,

րլ

ԸՕՏԱ: Տո

2.

|

զ

ամենափոքըարժեքը: Խնգիրը բերվում է

--

ք-շ)

չափական բազմանդամներիմեջ պաճանջեռանկյուն»

որոշվող մի հավասարությամբ

-"

Պ

Է-|

քլ. զործակիցների ընարության ձանապարձով զտնիլ այն բազմանդամը, որի ճամար վում

կ:

ւն

ոյ

դ

-

|««։ Շօ05|ամ2-է բոռ

-

-"

:

եք,որ) 25. Տ'(.ւ«05

մ24--

Տու

|

ՆԱՄ

դումորըկունենանք. ոՈ-»-օ9,

ո

41--շ|Բ լ

տ

Հետնարար,ւջ

,

Օր

:

(0ո)մ2-Յ0-..-.

լ

ո

թ

Չ

ն

իւ

դրել.

կարող ենք

Ֆ(ԹՒԼԵՑ)Վ---(օշ--8յ5 ւ-Էեւ)-Է (օօ--8օ)--

Ի ՖԱա-ՑԴԻ(Խ-քչ)"ի

մ)

,

Խ-1

Այս դում արի առաջիներեք գումարելիները չեն կախված Բլ գործակիցների Ք ընտրությունից: Մնացաժ

օը»

տ

զ ա-Յ/-Ւ-չ բ--1

ՀԱՇՏ) :

։

ե րբ

-- Ե.)

(իւ

Բ հայց

--ՇՕ: Ո-օՉ:

Քլ»-Ել, Թո--Ելչ Չա. Գլ» ծակիցների ալսպիսիընտրություն դեպքում զր-Յճյ,

ո,

եր -Ջ

ԱՐ

'

ՉՀ,

Բ.,

Ա

Ջ

դորՀ-

ՅՈ

ամենափոքրը:

կտարբերվի 1(4) նր քառակուսային չեզամըբ կլինի

որ

զործակիցներն են:

Ամենափոքրքառակուսային չհղման մեժությունը ճավասար է ո

Ի--1

--ք

Բանիոր 28-20,ապա

ցանկացած ո-ի դեպ քուսլ ունեն

ի

Լ

Չ-

)(րյ:

ա

-

՛4

եի

ԼԼՉ

) Հ «Լէ:

|

(35

(յմ Ր,,

Մ

է

ճավասաԼյապուճով-Պարսնհալի

առ

է

|4, Ե| ֆանկցիան կոչվում է կտոր կտոր անընդնճատ Փասովաժում,եթե ալդ ճո վաժումայն ունի վերջավոր Թվով առաջին անռի խզման կետեր (կամ ամենուրեք անընդատ է):

(2)

Է`

ՍՏ

ք.

առ

ճնտնլալ աչնդու մը: Ասլացուցենք

կաոր անընդնատՒ |--, ո| եթե (ո) ֆունկցիան կտոր ձատվածում,ապա նրա ֆուրյեր զործակիցները ձզտում Են զրոյի, Երբ ո-» օօ, այսինքն՝ 1ղ 8ր-ՀՑ, 1ոո Ել»«0չ (4) առ

ՈՀ

ո

8:

Ղ.

»՞

նումը:

(2) ո--շջ|ոնյա-Ջ--2-Տ(քԻկը,

ի--1

Լ

ռա

՝

է

Ի

«ԷՒԵՑ)---.

է

ճնտնոմ ճնտնա

ուսո

"

լ

(25) (1) բ բանաձեիցից

կտոր մոնսոշն ֆունկցիայի)ճամար Ֆուրչեի ճամապատաստալիս միջին քառակուսային շեղում, որը ճավառար խան չարքը է բոյի: ". Դի զո ւթյու ՀառտատենքՖուրլեի դործակիցների տի մ: նի ծնիաճակութ լուն, ոլն անձրաժեշտ է ճետադալու ւոն ք

տոր

ւ.

ապացուցեցինք ճետելալԹեորեմը, Այսպիսով,

չ

Բ

րություն: Նկառննք, որ էլապունով-Պարսնալի ճավառարուլթյունը է վելի լայն դասի ֆունկցիաների ճաիար, քան ալն, ապացուցված որը մենք քննարկումենք: ալոսւնղ

Բոլոր ո-րդ կարգիեռանկյունճաչափական մեջ բազմանդամների 1Ր:) ֆունկցիայից ամենափոքր միջին քառակուսային շեղումն ունի այն բազմանդամը, որի զործակիցները1(«) ֆունկցիայի Ֆուրյեի

լ

է

ճեւոնում է, որ էլապունովի ճավասարույթյանը Ապացուղածից ումեն մի սաճմանափակ ֆունկցիայի (մասնավորապես, բավարարող

հոանկլունաչավականխաղզմանդամըբոլորից բիչ ֆանկցիայից ալն իմաստով,

3)

ա

ռբը կոչվում ճավասարությունը,

`

բ

Է

ե ալդ դեպքում

ՀՒ

Տո Է») Բո-Լք

ԸՕՏ

ա

28.

դումարելիները ոչ բացասական Դրանց դույլը ամենափոքր չ զրոլի) կճասնիյ արժեքին (որբը ճՃավասար եթե ընդունեն ք Ժ0--Յց, «Ն

"աշ

միջին

են:

ՉլՀՅՅլ

115:

երբ

առ Ս

.

ի

է,

Բեսելի աճնավասարություն: Առանց աւպացուցման նշենք, որ անն տի սաճմանավակն կտոր փո նուռով ֆունկցիայի կտոր ճամար տվլալ ֆունկցիան Ֆուրլեի շարքի ո-րդ մասնակի զամարով փոխարինելիս ստացված քաէ դրոլի,երբ Ո-»ՇՋ), այսինքն ծ2-»0, ոակուսայինշեղույիը ձղատում

լ

ղուղամ իտու

ՏՐ (ՒԼԵՒ,

Այս առնչությունը կոչվում

.

«ա

լ

շարքը

ք

առ

ղանվող

Լր

ճ

լի

ի

ւու

Ա սլացուցում: Ճաւո է եվ ատ

Լ--ո,

ո-»օ6

կտոլ: անընդչ եթե 11.) ֆունկցիան կառը ալտ ֆունկցիան Ե(2) նուլնպես կաոր վածում, առ

«Ռ-Վ(:),

Պ

անընդճաս է

կոոր

առ

ճատվածում: Այդ դեպքում

ալդ

1663Մո-ը

ն

դոլությ

վերջավո վերջավոր

Բեւոնում ճավասարությունից

թիվ է",

է,

որ

Ի

մԴ

(9) (3)

ում ե գողբո

3՝ (8:Դ-եռ)շարքը

Բեսե Բնսելիա "-

'

Այդ դեպքում

անգամը Բայց եթե շարքը ղուդղամիտումէ, ապա նրա ընդոճւսնութ լ չլսին ձղտումի զբոլի, քն՝ ուվլոլ դեսլքում' (82--Եռ)--0։ Ալոտեզից անմիջապես ստացվում (4) ճավասարուլթյուն ները:Այսպիսով» հե անընդճատ կտոր կտոր սաճմանասփիակ ֆունկցիսլիճամար ճիշտ առ

՛

|

մա--0 --0,

--ք

ր

ւ

-բ

շո

8-2:

| Ո-»օօ

104)«0Տումա-«6,

հո

Ո-» ծ

|

1Թ5ռ

ու

|(02

նո

ճատ

մ»«-0:

|

|

ուզ:--0,

դեպքում,եթե Ը)

ընդճատ է:

են

զրոլի

Ո-բ

հնկտոր ասոկտոր ֆունկցիան ռաճմտանավփակ

ու

ն

Ե

զ:--0

(5)

ոռ

(1)

օժանդակ

'

Մ

դիտարկենք

որը ֆունկցիսոն,

որոշ

Ֆուրլելշարքի

ւ

"

Տ.

---Դ -

:

(շօ5 ոչ--ելտո ի

նչ),

Ալ»

՝

՛

1(է)«0ՏէէՎե

Ձլ------

Տ

որտեղ

որո

Ֆուրյեի

-

,

ա

որը

մասնակի դումարը:

Ո-րդ

|

:

Այս ինտեզրալը կարելի է ներկայացնել որպես անընդատ ֆունկցիաների տրոչվում է |-1, ո| ձատվածների, որոնցսորոճվու զրալների զումար րոտ այնդատ

բանաձն,

է ի որոշ ինտեդրաՀ դումուլն չոլոտաճագաում Մ շարքի Ո-րդ մ եզ կգու պարագրաֆներում ճՃաջորգ չե միջոց": Այդ բանաձեր "լեսւք Չո պարբերականֆունկցիայի մ) ամբ Դիտարկենք պարբերութ

1.

ու

կոոր անընդ Թվերի ն ո, Է| ասո վածում կտոր սաճմանավակ ցանկացած 1(5) ֆունկցիայի ճամար:

|

ունեցող պարբերությունն ված է ճետելուլ կերպ.

ածը:

Յ

ոտա

մասնակի

անսախիանասիակորեն աճելու

Իրոք, որոշակիության ճամար ընդունելով 0--ՁՀԶՀ

:ատվածը

1Լոո

Ո»...

ի ք կոորտաժեն Այս պարադրաֆում

:

:

ձգտում ինտեգրալները

ի նտե

աո

Տ8. Դիրիխլեի ինտեգրալը

(ռու

՝

Ց

շյալ

'

ալո

-

"

կտոր

ցանկացաժ

ճավասարություններըմնում են ուժի եջ, եթե ինանդգրալներումվերցնենք ցանկացած |ճ, Ե| ինտեգրման միջակայք, այսինքն՝ Ե Ե ն ումը զ: («5 ք, որ Նկատեն

ոբո

մւ։

Ե

դ-»շօ

։

։

-

1Վ2ռ

Չո

ոճ

:

ի

Ձ-ի ճամար). մու

Մ2--

Ե

պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է (ցանկացաժ վերջինճավասարությունը կարելի է գրել ալսպնեա

ապա

|ջ(2)51ո : `

ու

կաոր անընդճաատ ֆունկԱ երբ ձգում զրոլի: ինոեղրալները ապա աջակողմյան ցին Սան են ինտեդրալչձախակողմյան ձղստում՝ դ-»ՇՀ: Հեւոնաբուր,զր"լի է, ալաինքն՝ ւլնղումն սպլացուցված ները:Այսպիսով:

ճավասարությունները: եթե 1Թ)-ը

է,

զ:--0 --

ոչ 1Ը«)51ո

|

մշ,

ոչ

ե ճրա Քանիոր Փ(23-ըմուռ նավակ

ռ

ՕՏ ոչ

| Փ(5)605 Փ«--

ՂՀ

(ո | ի

ւ

նն

յ

ԵՀՃ«ա8Վ-2ԹԿ

՞

են

ատ | 1է(ո)շ ( )

երր

Ե

Ո-» օօ

մտ

ՅՀ»ՀՀԵ,

432»

իո)«օ `

է,

.

ՀՀՍ/

ա

ղուդամտիտուտ

ո-լ

օ(չ

-ո

ունիի ն

ոլություն

ծր

Խ---ինտ

Տ(2)-ի ւտեղազրբելով տբաւաճարտությունննլը

եջ, կատանանք. :

էէ զէ:

ճամար

բանաձեի

Տո(2)--

Բայց "

Ն

իժ»

րօ ԳՏԱ է--1

«052

ոլ

կամ, ԸՕՏեչ-ը ն րավոր է, քանի

-

շ

ՅոՑՈ(0տում

եզ

|

ճն

եպ

դիտվելորպես Ճա

ս

ա-

Հետնաբար,

տւստուն-

ՉՏԱո--2

--շ.ՊոԷ(4Էր

Ի-Ֆ ր(ՇօՏ

1:

Ալժմ 1յր-ն

քո Տո նէմէ

.ռ

բերելով փակագժից

դուրս

(1) Այսպիսով,

տո

Խէ ճէ-Է

Ը05

-

յ լաԱԹԱՆ

`ՏոԹ)-Հ ւթ ՛

բ

5 Շ0Տ

լ

ո

(ԸօՏհէ

ԸՕՏ

է«--Տ|ո

1"

ե 4:48

լ

ԽէՏԼո

-

Տո

1551ո

լ

հոծ

Ն

այխ-

Տ(2»---

թ

Մուժենք

արտաճագրաուլթ լունը:

ԸՕՏ27Վ...-Հ-ԸՕՏոշ,

|

(Չու Է-Ճ

ՏոԷ-5

նոր

լ տ

Տո(ջո--1)-22

Դ

|

144-------Ցո

ՉՏլոէ Տո-շ-

մ

:

"`

2»-25.(2)--ՇՕՏոշ ԸօՏ(ՈՎ-1)շ, 2օո(7)60Տ

..

ՕՏ

--Ըօ:(ո ւ1)շ. Ո7

7) Չ(1--Ը0Տ

աջ մասի Բանաձեի

8յ--0, նում

1:

:

`

.

շ

ա

«(ԺՀ--

|

(27 ւարչ

1()-----------Վե

սիոփոխականը, ընդունելով Է-Ճ--Խ կստանանք ճետելալ քբանաձենր: Այս դեսլբուսի

(1)

ուսի

ո

՞

Տո

:-

2--ՇՕ5 ո7--2-2 ԸՕՏ 7 ԸՕՏ 23ո(2)Ը05 7-ԷՉԸՕՏ 7 605 27-,..-Է 2 ԸՕՏ 7ԸՕՏ »աԸ0Տ 7-Է(1--ՇօՏ 22)(205 7 --ԸօՏ32)-Է(Ըօ05 27-ԷԸօՏ47)-Ի... «օ5 ..-ԷԼՇօՏ(ո--1)72--ՇօՏ(ոՎ-1)2|--1-Է2 7--2 ՇօՏ 22--... ...ԷԶ Շօ05(Ո--1)7-Ը0Տոշ-ԷՇօՏ(ո-Ւ1)

կամ

լ

՛

հ--1

դանվող

Է-Զ

2ՏՈ-7,

բերություրբ),ասլաինտեգրալը պաճպանաւմէ իր արժեքը թիլ երկարություն ունեցող ցանկացաժ ինտեգրման ճատվաժի վրա: Ուստի կա-

|

ո(2)-----ԷՇՕՏ7-

(0-------«ե

ֆունկցիան պարբերականէ Քանիոր ենթաինատեգրալալին

--Տ ԸՕՏե-թխ ւեբավ

Ձնափոխենքքառակուսիփակագժեր Դիցուք

"Ժ

,

ւ

Ն

Տո(շո--1)-27

ԼՐ

Ճշ

--ո

-ջ

մալա

ւԷԻԼԱ)

Տո(4)----

Դ

«(Թ---|ալջԳՀ 2"

է

«05

է

.

ինանհչգրալներիգումարը

ն

կարելի դրել այսպես. հավասարությունը

-

վ, կստանան դումարի ինտեդրալո ք. փոխարինելով

՞

Տո(2ո-Ւ1)-7

9.(2222--------Կ

,

Ր

(0

1-- ԸՕՏ.7թ-2 5|Ո--: Զ

ԸՕՏԵՃ-ը ն Տողխչ-ր կախված չեն ինտանդրման սի"-

ն, կարող ճետնարար, փոխականից, ք. ներ), կստանան

1-2

-

|

նշանի տակ (որը Տլոնչ-ր ոանելով ինտեգրալի որ

Վո(ջո-է1)-2-5ո ոռ--604(ո-Է1)2--2Ցո(2ո-Ւ1)-շՑո՞-ջ

«ՕՏ

ձվ

ԷՀ-5Վգչ

(2)

կոչվումէ Դիրիխլեիինտեգրալ: ինտեդրալը

Այգ բանաձնում ընդունենք 1(4)51 այդ դեպքում Հլ--2, Ել--0, երբ ե՞-»0. ճնտնաբար, Տ(4)--1 ցանկացած Ո-ի ճամար, ն հնք. գ. էՏ ո(ջո՞է 1)՞ լ ատաՀ

-

ա

ր

՛

25լո-շան

որը նույնությունը,

զ

»

(3)

մեզ պետք կգա ճետադգալում:

Տ9. Ֆուրյեի շարքի վուգամիտությունը տրված կետում

'

։

Էլ

ենթագրենք, (2) թու կտորանընդճատ էլ Տ Ց-ի (5) զու լնության երկու մասերը քազմասխուտկեՆախորդ՝ ն լով 11) ով նշանի տակ, կստանանք (53-ը տանելովինտնեդրալի ֆունկցիան Է-ՖԵն| Տատվաժում կտոր

ոբ

Բետոն

ճավասարու

վ

զալ լալ

'

1(1»---

լ

Տլո

Հ

լ

Տո(4)-12)--՞

Փուրլեիշարքի Այսպիսով,

ցիալիարժեքին կախված. է տի

ռ

ճավասարուչ

Ը), Քանի Փ()-ՀԵ-5)-16)

Ընդունենք տոր

Ը

որ

Ս

ս

առ

ուլն տվլալ

0-ի

Փ.2Հ1ԹՎ2)կաաանավալ

Է

է,

-

ՇՕՏ---

'

2Տ1Ո--

ն ելը

երբ «ՀՀ.

:

է

զ

ՅՑոճ

զ

-շ- «05 Տլո-2, (շո-Ւ1)-շՀՀՏ/ո -

Ն

ոս

.

«()-ԹՀ---

լ

տ

`

| (Բ-9-19) --

դ

որտեղ ՌՈ-ըԱՇ) մեժության վերին եզրն է, Բացի այղ, Փչ(2) ֆունկէ, Հեն աբար,Տ 7-ի (5) բաՀչցիան Փոտեկտոր չս կտոր անընդճառւ ձգտում են ինտեգրալները Պաձենրիճիման վրա երկրորդ ռ

զրոլի, երբ

է դրել: կարելի Ալշպիսով,

:

ձ

`

ՇՕՏ-5-

:

ինտեգրալների.

զ

.

։

.

Տ1ո

ոռ

2Տո-շ-

ն

շ

մո,

-տ

Տո

Յ-ԿՀ-ո

2 Տլո--

|

որ

՛

ՀԱՆԷԿԳ

չո

|

օղդավելով նրանից,

-

զ

ո

շ

Իշ -վ

աճՀ

ֆունկցիան՝ է, Հետելալ Փուրլեի դորիակիցն ֆունկցիայի

,

ոճ

:

առ

:

ՈՇ 4 2)-1Ր)|205

սաճմանափակկը-

՝

251Ո-5(ԼԸ

որ

է, ապա Փ.(օ)-ն նուլնպես կտոր անընդճատ ֆունկցիա կարր անընդճատ, պարբերականֆունկցիա,է, Կանասիակկտոր ձգտում է ղրոլի, երբ Ո-»ՇՋ, քանի Հետեաքար» վիրչջինինտեղդրալը

-

«(9-ՎՐԺ--Ը | Ը4:)-Կ(ՕԷ-Զ-տառծո,

(Թ)-ը

-

ւ

գ, ՇՕՏ---

:

ոռգա

:

|

լ

2գ5)-10/1-շ-«5

Ն

զրոլիչ երբ Ո-»օԹ: Վերջին ինտեգրալը որոնենքերկուինտեդրաւլների -

լ

Ի-|

ղուգասիի տոմը տվլալկետում1(:) ֆոնկնրանից,թե աջ մասիինոեդրալը կձըգչ-

արդլոք

"

251ո-շ-

-Պ

ՏԼո-՛,

"

մ

122)

ԸՕՏ-2ՏԼՈ ոճ մ-ՎՈԹ-Էօ) -4Թ2)|

գլ

(2ո--1)-շ251ը-7

ՏԼո(2ո-Ւ4)-շ-ՎՐ)Է---------գա

մո-Է ՛

281Ո-շ`

.

Լ

«

ւ

,

միա

ի

Վերջին ճավասարության անդամները ճան ենք Տծ-ի (8) կստանան ՛ Թլան ճատ ասպլատասխան անդաուիներից. ՞

06Դ»)-16)) ՞

11Ր1)---------մո:

օ

ԸՕՏ--- :

ռ

թլունը. բությունը

՞

լ

-ձ

մ.--

`

տոլտ,(2)-ՎԱԷ-նութ.

""Փ

լ

|

ն0Դ«)-16))

--ծ ՆԵՐ :

ԸՕՏ-շ-

(0)

Ջոս,

251ո-շ-

`

գջ

ի լան ւրեջինտնդլրումկատարվում է Աջակողիլանարտաճալուու

--ՏՀՀՅՀՀՅ

բատ միջակայքի. ճնտնաբար, ինտեգրալը 1(4) ֆունկցիայի մինչն Ճ-Ց արժեքներից կախված է միալն --Յ-ից միջակալքում: է կարնոր առաջավերջին ճավառալուլ: լունի ց Ճնտնում Այսպիսով: դրութ լուն. Ֆուրյեի շարքերի զուգամիտությունը տվյալ 2: կետում կախված:եհմիայն այդ վետի որքան կամենանքփոքը շրջակայքում (2) ֆունկցիայի վարքից:

՛

ճաժ

Փ՛

(2)--ԱՇԼ2)-ՎԸՐԿ)| Չ:լը

քլ

ը

մանակ, այսպես կոչված, տեղայնացման(լոկալիզացիա)սկզբունքը: Եթե ե(:) ն ԵՐԹ) երկու ֆունկցիաները ձամընկնում են որոշ չ կետի շրջակայքում, ապա նրանց Ֆուրյեի շարքերը ավյալ կետում

աւ

որ

ճատ է ալն

"

Փ,(ռ)

:

ն

ֆունկցիան որոշված չէս

Փոնենք

(5)

ֆունկցիան զ--Օ դեպքում ԽՀՀ

կետերում, որտեղ օՀԷՕ

բոլոր

հու Փ(շ)

սաճմանները,

Փչ(ա) ն 4-59

ռ-»0--0

պալմանները:

Տ 10. Ֆուրլեի շարքի վուգամիտության մի քանի բավարար պայմաններ

Փչ(2)-՞

օ-»0--0

Նախորդ սպլարադրաֆում ցույց սրվեց, որ եթե (02 ֆունկցիան կտոր անընդճատ է, ապա տրված նո Լ-Խ ն| ճատվածում կտոր կետում շարքի ղուղամիտուլթյունը (20) արժեքին կախված է ց կե«ռում իռբը |2--Փ, Ճ--ծ|' շերչկենտրոն ունեցոզ որնէ կամալապես

-հո ի(աէօ-(աՌ---շշ 25Լդ---

զ-Տ0--

.

:

`

առ

կ

րն

զ

1(«Դ2)-10օ) չի ի

ՀՐՊՔ

տեղի ունեն

կյենե զիֆերենցելի, Յ96

142օԻՉ)-ՀՆԿ)

`

առում

են,

--

«-»0.

զ

իտ «05Չ -«էլ ,

իո լ.

օ,

գ

«-»0-0:գըԳ.

«-»0-0

"1:

ք, ը

եթե նախորոշենք Փչ(օ) ֆունկցիան,ընդունելով Ալողիսով, Փչ(0)--էյ, ասպա այն անընդճատ կլիչճնեւոնաչՀ նի Լ--5, 0| ճՃատվածույի, նան բարչ

սաճմանակիակ:Նոան

կտանք»

ցուլը

ռս ճան ր

ձնով

ոլր

ւուՓ(2)-Իջ

'

Հետնաբար,

ասլա որ Ւ(Ճ) ֆունկ(Ս նւ (5) պայմանները, նթե Նկ. 388-ում ցիան « կետում ունի ածանցալ աջից հ ածանցյալ ձախից: ոլատկերեթե ված է ֆունկցիա, ոլոտեղհ բ«էքՓլ, եջ-ՀԱԱՓ:, նլօՀեջ եթե կյլ-Հեշ, այսինքն ածանցյալներն աջից ն ձախից ճավասար ենյ, ապա տրված կետում ֆունկցիան .

ԶԳ

ՏԼո-շ..

--

(1)

արժեքի

ւ

Ը05--

զ

«իո

է վերջավոր սաձմանները, իսկ Հց կետում ֆունկցիան անընդճատ (ճկ. 388), ապա" այդ կետում ֆուրյեի շարքը զուգամիտում հ 1(չ) ան ն: ֆունկցիայի ճամապատասխ

Օօ.

զ-՞0-- 0-0

(2)

՛

-

(ռ) 1(20-ԷՉ)--

կող

2»

Ալնուճետն ապացուցենք, որ նթե գ-ի շրջակայքում 1(:) ֆունկ` ցիան այնպիսին հ, որ գոյություն ունեն

դ-Հ-Զ------ՀՐՏԻ-»իյ,

-

ւ

վարքից:

ըր

օղտաղորժելով

--

ոտ

գ-»--0

|49--Յ»ոօՀօ| շրջակայքում: Ուստի Փ.(ւ) ն

որոշ

(1)

(«ա-2)-1Նռ)

Զ-

Ճո» կտոր անընդճատ է |--ո, | կտոր (2) ֆունկցիան է ը կնետի ն անընդնատէ կետում,ասլաալն անընդատ վաժումր անընդ-

Քանի

-

ֆունկցիալի ջակալքոու/

ա-

'

է կայանում շարքերիուռումնառիրության ժա: ՓՖուրչեի Սրանում

միաժամանակկա՛մ զուգամիտում են, կա՛մ տարամիտում:

ում ուսճի պարադրոֆ

նախորդ սի Դիտարկենք Փչ(ս) ֆունկցիան.

Ապացուցու

ը

ասիկ փա

ե

Փչ(ճ)

անընդճ նը Դ

ֆունկցիան

ւ

է

Նկ:

0 2)

,

սիջ։»կալքում:Այսպիսով,1-5, օ| ե Փչ(շ) ֆունկցիան ռառճխիանափակ ճառովածում

անընդճատէ, նակելով

Ճ-ը

.

կտոր

առ

կատռր

(նչաԱլժմ վերադառնանքՏ 9-ի (1) ճավառարությանը

40-ով)»

կոյ

Սու15-10)

Ւ-

ՇՕՏ

ԱՐ օԻ«)-Հ(Ո)|1----251ո

կմ

ո Աննա նելի

ՏԼՈ

ոօ,

մօ.

դ-Շ

|5(:0)-1(ա)Է-

Տ 7-ի (5) բանաձենրի իման ղտնվող սաճմանը

ուի

մո-

ՓԸ)

Տ(ը

ոթ,

ոօ

է զրոլի»մոււոի ճավասար

որ

կող-

աջ

Մտ |5ո(գ)-10գ)Ի-Օ

կատ

ո

-«օՇ

'

տար-

Ակնճայտէ, նասիակ,

որ

ալս

է

կտոր անընդճատ

ն

եչ ս

-»

ֆունկցիան սորվույի է

է

են

ենք 25 երկարությամբՀՀԽՀ Դիտարկելու ՀՆ

Դրան միշտ կարելի

դիֆերենցելի

է

ճառնել

Օպ առանցքի

ըստ

ընտրությամբ: մասշտաբի

դամիտում է ճամապոասոասխան կեւոումի ֆունկցիայի արժեքին: 9, Ր. ւթյուն Տ 2-ի օրինակջ. ուի Դիտողո Քննարկված ֆունկցիան (ոկ. 3926)0, -ԷՋո, Դ 4, կետերումբավարարում է

--

բաժանենք կետերով ո

.

(2) պայմաններին: Մլուս բոլոր կետերում ալն դիֆերենցելի է: նրա ճառսիար Հետնաբար, կառուցած Ֆուրչեխլուրաքանչլուր կետում ն

աւ

միջակայքը:

ճամապատասխան

Լ--տ,1.|միջակայքը Ճլ,

ԲՀԱ»

Ճ,,

:«

«

Ճոն

«

ճավասար մասերի: Այդ դնի

բաժանման

րնդ

ո

|

1:) ֆունկցիայիարժեքները Ճց, նակենբյ ճամապլատասվխանարար,

աչ

-

Է,

Ե---ԿՐյՑո

մ.,

ենչչ-որդորժի քով: Ալս դեպքերումՓուրչնիդորժակիցներըՃուշվվում՝ մուուվոր մելժողներով (նես | ճատ. Ճ1 գլի Տ Ց) ինանհգրման

պայմանները ւտարբնր

է շարբովներկայացվում լուլուքանչյուրկետում: 1- ուսի 3՞. Տ Հ-ի օրինակ քննարկված ֆունկցիան (ոկ. 325)

-ո

նյաթշ

յոնս քով (երբ կա՛մ աղլուսակի ֆունկցիոնալկախումը ստացվում էքսպերիմենտի տվյալներից), կամ կորի տեսք"վ, որը դծվում

ե

թ

դնալքում

'

ճանդիպող շատ դեպքելում՝ (2) Փորժնականում

սաճմա-

ղուղդամիտումէ ճամապատասխանկեսուր ֆունկցիայի սրժեբին: ՆԻ ցրինակ Հ-ամ ՈՑ (նլ. 978) բննարկվաժ ֆունկցիան Էտ, Հո ԷՅ, է 1) ն (5) Մ կետերում բոաւվարտրում պարքաններին: ցած բոլոր է, Այդ ֆունկցիանՓուրյեի այն դիֆերենցելի կետերում

ավալ

որը

է

առ

Յ95

աաա կեւտերումի

Փուրչեի

-ո

Դի տովղո ւթլու Կ «տԵթե կտոր կտոր անընդճատֆունկցիան դիֆերենցելի է Ճ. կետում, ապա ակնձայտէ, որ (1) ե (5) ունեն, պայմաններըտեղի Այդ դեպքում ել--եչ Հետնաբար,այն կեէ, Փուրչեի ւռերումի, որտեղ(2) ֆունկցիան շարքը ղու-

(1)

ոլոր

Գործնականհարմոնիկ անալիվ

11.

«----յ 2:)42,ձլ-Տ Լ

լիներ կտոր ֆունկցիան ապա կտոր ալստեվ պաէ, որ Ճց կնտուտմմ' լինի անընգճատության ճանջվում ֆունկցիան կետ ն որ տեղիունեն ան (1) հ (5) պայմանները, իսկ ամբողջ Ւ--», ո|

միջակայքումֆունկցիան լինի կտոր

Անկա

մ/լուս

սգի,

ձկներով.

ոնուսոն,

առ

աջն դիֆերենկեսերում:

բոլոր

հտն

Ֆունկցիաների՝ Ֆուրյեի շարքերի վերլուծելա տեսությունը կոչշարքի դորժակիցների վուր ճարմոնիկանալիզ: ԱլժՐ մուտավորՃաշվտան վերաբելյալ,այսինքն դորժնական ճարմոնիկ ս քանի դիտողություննելը անալիզիվերաբերչալ կատարենք Ինչպես ճալտնիձ, Չո թյունն ունեցող 1(2) ֆունկ պլարբնրա ցիայի ճամար Ֆուրլեի դորժակիցները որոշվում են ճետնյալ բանա-

Թեորեմն ապացուցված է, Ապացացաժթեորեմը Տ ԷԼում ձնակերողածթեռրեմից բերվումէ նրոոնով,որ եթե այնտեղ 70 կետում Փուրլեի շարբի՝ ֆունկցիայի 1(20)արժեքին ղուղամիտելուհամար պաճանջվում՝ էր, Լ-:Ն »| ճատ վածուսի ց կեւոք անընդճատության կեսո լիներ, որպեսզի իսկ

սղման

է

կոո(ՀՐԵ

առ

Հեւլոնաբարչ

կողմյան սաճմանների միջին թվարանականին, Ճավասար Է ղրոլի'

զօ,

վրա նզրակացնում ենք,

է:

տասխան կետերում ֆունկցիայիարժեքներին: Խզման կնտերում Փուրեի չալշքի դամարը ճավասար չ ֆունկցիայի աջաղողմյան ն ձախաՀ

:

ետ

էողվող է։ Մլուս կետերում

ՀԷՅՂ,ԷՑո

ա

թ

35:

Ալս ռրժեքները ոլչոշում ենք կա՛մ

Հլ.

բոտ

յ,

:

.

«

Ճոկետերումնչա-

Ֆա

ողլուսակի, կա՛մ էլ

ըուո

տվլալ

սրով:

ապատ ուսվան ճայի դրաֆիկի՝ ֆունկցիայի

Մսոցնեն ք ճետելալ նշանակումները:

օրդինատներիչայիուչ

Յ

Այդ դեռբք ուսի, օդավելով։ օրինակ,աղղանկլունների բանաձեից (ռնս | ճատ. Ճ1 գլիքի Տ 8-ի (11) բանաձեր) որոշում ենք փՓուրլեի

դորժակիցները. շո

8---- ղ

8լ----

Ֆա»

Ո

բ-1

ո-

37.605

շո

Եյ-----Ֆո

8,

լ-լ

(տես, օրինակ,8.

ների ճաշվումը

Լ.

ԽՅՐՇԱՅՐՎՒՔ,

Ճ.

1:

11.

1(2)-Հ«-Է 3` (Ըրճ»-ԷԸ.դ6ո-1

Ֆուրլեի դորժակից-

դրում Վերջինճավասարությունը

1ճքոխցԵ1Կ6Ը-

տալիս

ըստ

ճետելալ

են

ավելի կու

պակա՝

օ

(Ժ-

:

են

-

Ո»):

Ո

Շաաքոեօ» 1 ՄքԸ8Ելշուճն

որոնք Թույլ անալիզատորներ), ճՃալրսոնիկ

(3)

աա

շ

ւ

48411138

՛

4ոԴ1Ե

տեսքը. Քը

Մ չենք կարող կանդ ) ԱյստԱլջան առնել տանրոսիասնու նշենք, որ կան դորժիքներ (այսպես կոչվող թյունների վրա, բայց ՕՐՕ

Հ

Ալս նշանակումների դեպքում (Հ) թանաձեր կբնդունի

ՏՈրոչթ

Մմօուսմղ ,ԼԱՅՑՈՉԻԵԼոտա,

Խ.

ՐԳ

լ-1

Մշակվածեն սխեմաներ, որոնք պարզեցնում են

ՀՀ«աԳԵՆ

Յո--1Ե

Տ.

Ո:Հ-Հ--

Սա

տվյալ

()

աօոգ »

էլ ճՃենը Ֆուրյեի շարքիկոմպլեքս տեսբն է:

պորժակիցներնարտաճալոնն միջոցով: ք հ (6) բանաձներից, (3) բանաձները կարոդ ենք դրել ալուղես. Ըը ն

ֆունկցիայիդրաֆիկի ճաշվել Ֆուրլեի գործակիցների մոտավոր ար-

իոարգրալների

Ը-ը

Տ 1-ի (1), (5) Օդավելով

ժեքները:

|

Ց

12.

Ֆուրյեի շարբը կոմպլեքս տեսքով ք Դիցուքունեն

ՀԱ

Շո-"-

յոնելյող104)ոլարբելոսկան պարբերությունն

ֆունկցիայի Ֆուրլեի չարքը

այ

ՈՃ

ԷԴ

երտլո Եղ

ոչ

ԵՎ

Տոոչ-ը ք ցուցչային ֆունկցիաների արտաճացտնեն (ռես Ղ ճատ. բ Ճափարօղովեն ճայտնի Դրա բանաձներից ւ/իջոցուվ: ՄլԼլ ի Տ ծ-ի ( (3) բանաձները). ն

ԸՕՏՈՂ-ր

218.

Վ-Ե-Ծ

ԸՄ ջաթ----Է---ս

Ը0Տ

լ

ուրեսին Այսպես,

ՇԲ.--Ը-Մ Տ1Ո---------ս

ՅՑ

Տը

օօ

Թ-ջշԻֆ ՉՏ

-ո

ի(8) («05

ալապես,

Հ

Յո

ՇոովԸ-ու

(Բոշ

ո-1

Ե

Հ-1քռ

Նան

ւ

մնա մաաի

(5) միացնել

Չ

Եա, ԼԱԾ

ՓոԳՊՈ

.-

ր,

ԱԵԱ

ւն

-ռ

: -

(5 )

ձնով

լ:

Հ--- ((26""46 25.1

Ը

ճ1ոչ...Ը-Սու

այծ,

2.

-»

ավիա Չ

ոչ--

Չշլ

`

ո

:

արժեքները տեղադրում ենք (1) բաայս կատարում ճամապատասխանձնավփոլխութլուններ,

զ

ւի

Գ:

ու

ո2-ՎՏՈոու)մչ----

.

ԸՕՏՈՀՊ-ի ն ՏՈ ղգ-ի ե

ու

|

ՀԻՏ,

«ՕՏՈՒ--Ը

Չ

ճաձեի մեջ

-շ

( 1)

՛

|16505մչ-1 ՍԸ

,

:

Չ

ՍԱՀԱՈՒՒՂ

՞

`

ԿՊԱՈԻՀ 11)ռաա--- ՅոճՕՏ

ւ|

է

(57) բանաձները

լ

.

շշտ

112)ժ"մ:

ն

Ըց-ի

(5)

կարելի արտաճայտությունը

(ղոաց, ԷՆ

-ԺԷՁ, -ԺԷՅ,

.

.

.)

է

(6)

ախ

մեկ բանաձնի մեջ Ըրն Ը կոչվում են (2) ֆունկցիայիճամար Ֆուրյեի կոմպլեքս զործակիցները ֆունկԵթե 1) ֆունկցիան 9լ պարբերությամբ պարբերական ցիա է, սողա 1(:)-ի Ճասրսր Փուրլեխի կլինի. շարքը դ

(2)

.

ինտեգրալ 26--Դիֆերենցիալ ն

ճաշիվներ

-

8.

(ես

(Չ--շ 5

ոո

ՁոէՕտ `

ԼԵ

--

յ

ոոո,

ո

Ա

յ

Տ 9-ի (8) քանաձնը): Ակնճալտէ, որ այս դեպքում կուրպլեքս տեսքով Ֆուրյեի շարՀ (1) քթռաձնի փոխարեն

կարտաճալովի

Ք.

Ս-

դ:

բանաձեվ: ձներով.

(6)

ա8

ԵԼ

եք

ւ.

Վր

ո-Ի|

(ոՀ-0,

մշ

ԷՉ,

ԷԼ,

(9)

):

..

ե ռադիո ԸնգունվածՀ (ճատկասյես էլերտրատեխնիկալումր ոդիա

կոչվում զում

են

ճարմոնիկներ,

են

ար

ԷՆ

ԻՉ,

.

ա

'

ի,-

(5) ը

-.օ6

ֆունկցիայի ալիքային թվեր: Ս լուն, ոչվում է սԿսլեկար: Բվորի տապուխրունը կոչվում եթե այչ որքին Թվերը տեղադրենքթվային առանցքի վրա, ապա կստանանք այչ ,

է Կպեզարչ Սնն

--

Ե---(/()5ոԷԵցե(3)

ձե

միու

ւս

անվաՀու ձինկետերի բապմհություն: կետերիքաղզմությունը Այդպիսի

դիսկրետ, իսկ ճայապատասխան ապեկտրը՝ դիսկրետ սպեկտրը: (9) բանաձներով որոշվող Ըղ դորժակիցներնանվանում են ամպլիտուդ: Նշենք, որ էլեկտրատեխնիկային ռադիոտեխնիկայի մի են

կոմպլեքս

շարք

աշխաություններումի ամպլիտուգների (Ըո| մոգուլներիբաղսքուչմ) ֆունկցիայի սպեկար:

Թլունը նույնպես անվանուԵն

է "" որեւ

|1(է) ենԱԱԾ» լ Ց

«05

շ214Ա

15.

Ֆուրլեի ինտեգրալը

ֆունկցիան որոշվաժ է (--օՉ, օօ) միջա-. անվերջ ւ 2217 է , ինտեգրելի որանհղ բացարձակ կալքում, այսինքնդոլություն ունի ՝

»

ինտեգրալը:

(՞յա-Չ

ե լ

ւ-1

'

)

ն

լ

լ

:

Ս4-- Լ. Ֆ

ՏՑ.բ

ՀԲԸ իօ ՈՅ,

:

կամ

է ԸՕՏ

եչ

«2 2-Է Տող Հլ աՀ լ է-

-

/

/

,

|

|

5 ԲԱՐ օ-

((Թ-շչ 211 իժ

1:

-

-Վ

Ո

ՕՀ

Սս

,

` շո

ՕջՀ----յ, լ

(

ԱԼ Խարցը, Ուսումնասիրենք Թե ինչպիսի ւոնսք լուժությունը: սաճմանին անցնելիս, երը 4-5» ՕՕ, Մոցնենքճնւտնլալ նշանակումները.

Դիցուք 1(4)

Վ

ուն»հո. :

լ

կընդունի (1) վեր-

բ

|

ԽԲՋԾ--), սս.ՎնենհՕյ -----չ Օյլ լ

(4)-է մեջ, ստանույիենք. ծեղադրելով

,

Տ

՛

Հ

|

,

(1)

(2)

--

լ

Ն:

10)

Ֆ. «շոռ

"

՛

օօ

Թվերը կոչ-

Ը,

--- Ի ||(1)պՏոՀՏՀզէ Խո`ո--

ՐԸ

Ն

լ

Ել դորժակիցների արժեքները(3) բանաձեծրից տեղադրելով(5) կարելի

Հ"ՐՔԻ եջ, :

ի

լոուլթլյուննե ճաբոութ:

արա

ԽՐ"(ո--0, `

է.

Ը0Տ

դ

Ր

Ֆիկալում) ճետնլալ տնրմինոլողիան,

ի

-

ն

Ձե

|

Հ:ուօ05 85.1ԵՏՈՒ

"ոո

բոանաՀչ ՇարքիԸղ դորժակիցները կարտաճայտվեն ճնտնլալ լ

Ի

|

1-Ը

Պ

Ալնուճետե, դիցուբ1) ֆունկցիանայլնպիսին է, որ այն պան(--Վ, ԷՈ մտիջակալրքում վերլուծվում է Փուրչեի շարքի:

կացաժ

(Թ-ի

լ

Դ

լ

օօ

(ՍԷ

Ն

--

Կ

ի(Ս4վՀ--

-

է

լ

շո

(106

-

լ

(5)

`

իո

ի(գաաւն-ոյս

Հ

բայ

--օօ դեռլբուսիԻ աջ փասի առաջին յ

Ղ

"լ

անգամը ձղտում »

է

(6)

ղրոլի:Իրոք,

Հր || (ՕԿ--շ9

(ՍՍԵ---Օ-0,

-օթ

ընդունում

է

11)

-իցժինչնՇՋ:

Առանցաւլացուցմաննշենք,

դու (գ ֆունկցիան

'

օօ

եթե

որ

կառր սմոնուսոն

աւ

է

Սսբ

(Ժ--- | օն."

օօ օէ ՎԳԼ-29Չ 6) ԸՕՏոէ 1(1)605 ումի ( 5 )

ե ԳՈքո

կ Ս կրնդու

գէ 1(1)605 դեպքում

| (0)

ՏԼՈ Օէ ճէ--Օ:

ստանում

ն

ենք.

ՃԱ,

ն ի ճե

Է.

ն, չոնցուլ

Ե տնսքը

"

»

/Փ

Վէ

(9)

մօ:

|ԸՕՏԶՃ

,

(7

Այս

է,

Դիցութ 1(4)-ը կենտ է, Քննարկելով(8) բանաձեի ինանդրալ-

Տ.

Կերի բնուլթը

դեսլքումմ, կստանան ք.

ալս

«(5

շ

(Ժ---ո.| | (2)

"

ռէ Վէ

51ո

Տլո

(10)

մօ,

մ:

`

"

ԵԹե (2) ֆունկցիան որոշված .

«

-| ՊԱՆ"

ԸՕՏ

2)

մէ

մչ-Հ- 120)-16-0)

Ճավասարու թէլունը: (2) ճավասաբության բ Զնասիոխնն ւսջ ասի «Տո «(է--)--ԸՕՏԳէ Շ05

|

(7 ւ .

ինտեղրալը,

ԻՐՔ

ՕէՏլոց

ն

բերնլովայն ինտեդրալների նշաններից, որտեղ կատարվում է ըստ. է փովոխականի, կստանանք, սոեգրումը ՆՈՂ

(---| |1()«05 ել

գէճէ

ՆՀ

1 6.

Հ--| | Ն

Մի անդամէլ նշենբ, որ իչղման կեւտերումի (92)ն (10) ճավառսաչ "րությունների ձախ մասերում 1(5:)-ե արտ աճալտության փոխարեն «ետք է գրել

|

արտաճայտությունը: Վերադառնանք (8) բանաձեին, Փակադժերում դտնվողիստեչգրալներըօ-ի ֆունկցիաներհճ,: Մոցնենք ճնտելալնշանակումները:

|

օօ

մգ--

ո6)-Հ|0"

ՇՕՏ

|

Տ1Ո «2

մօ.

(8)

։

1(1)6«05

ու

1()51ո21

ճնտնարբար,բացարձակ ինտեգրելի են

ֆունկցիաները:

|են ոՐ3--|

գէ ճե

օօ

Քննարկենք(8) բանաձնի մասնավոր դեպջերը:

Խա

'

Ասում

նն,

որ

դրել այսպես.

է

:

ԼՂ(ռ) 1(Ժ-|

ՇօՏ

Ա.

(11) բանաձեր տալիս

Թլունը 0-ից ինչն

Տո «է ձե

Տօ

Ալդ դեպքում(8) բանաձնը կարելի

Հռ

գո Փակաղզժերումմ դտանվող լաս ինտեգրալներից բորաքանչլյուրը (--օօ, օՉ) միջակալքոմ բավությունունի, քանի սր 10) ֆունկցիուն

Օէ

»

ավ» 2)

ըստ

ցարձակ ինտեղրելի է ն,

0-1:--) Չ

`

(ՕՋոռմ

միայն(0, օօ) միջակալբումի,

կերպող,

(1

ին-

թ» օ7

չ»0

ԸՕՏԱՆ-Մ

դուրս

լ

լ

լ

(2) բանաձնիւ/եջ հ Այս ալրստաճալտու թլունը տեղադրելով ՏԱՈռՃ-ը

:

է

ալն կարելի է ներկայացնել դեսլքուսր ինչպես (9) բանանով, այնպես էլ (10) քանաձնով, Առաջին դեպքում մենք ալն լրացնում են ք՝ շարունակելով ղուլգ կերպով,եսկ երկրորդում՝ կեխւո ապա

`

ը. ԸՕ5օ.(Է--2)ԸՕՏ

Մ ձն բանսաձճեր

Ն

ունի

ու

կեն 10:)51ոգէ-2՝

իսկ

:

) մէ յօ.

(0«05«(1--

զույգ

(Ժ--| | 1(()«0Տ

Աջ կողմում դտնվող արտաճալրտությունը կոչվում է 12) ֆունկցիայի յունը տեղի ունի բոլոր սլգ կե(7) ճավասարուլ Ֆուրյեիինտեգրալ, «երում, որունզ ֆունկցիան անընդճատէ: Խղման կետերում ստեղի

լով

ֆունկցիան

Հտ

օօ

-

լ

է,

«6

ոճիանա

:

յ

.

վերջավոր, լուրաքանչյուր ն վակ է անվերջմ/իջակալքում՝ միջակայքում, բսռվարարում է (1) պայմանին, ապա 1-»-ԷօՋ դեպքում (6) բանաձնենընդունում է ճետնյալ տնսքը: ֆունկցիւն կտոր

Դիցուք (5)

1.

Ժանկացած ֆիքսած Վ-ի դեպյքումի փակադծերի ներսի արտաչ է Գ-ի ֆունկցիա (տես (5) բանաձեր),որն արժեքներ ճալտուլթյունը

ՒՏ() է

(5)

Տո

|մ7,

Ոռ

ֆոնկցիալիվերլուծուչ

անընդճատորնն վող վխուիոխ

ն ճարմոնիկների։ սկզբնական Ամտոալլիտուդների

ճաճախությամբ

փուլերի

"

բաշլաման

է Ճ(շ) օրենքը՝ կախված Վ ճաճախությունիցարբտաճալվում ֆունկցիաների միջոցուխ

ն

| մ."

Ե(շ)

(13)

(15) բանաձեերի զանում 12:

ն

:

23 լ

բ

ռ

|(0

/

(12)

«5ուժ

տ

(շ) |Ր()օօտում:

(13)

ճամար Ֆուրյեի ֆունկցիայի

է 11) չոչվում կռսինուս-ձեափոխություն:

Ճավասարմփան վասարման լ լուծում,

ը:

(10) բանաձնիճիման

րությունները:

51ո է

(Ժ-շ,

(2-|/ ՓԸ) ֆունկցիանկոչվում

Ժ

՛

Ֆուրյեիսիճուս-ձնափոխություն:

է

ռրո շում (12) բանաձնի

երք

չ

յունը, Ֆուրյեիկոսինուս«ձնավոխութ

Ի(զ)--

/՛- ի:

ա

11--

/

Ն

Ս

բանաձնի

ում

որոչում

ռրո

, Մ ենը

.-Փ

Ֆու

Փայ-լ/ 2-|

էի Ֆուրե

Շ-ՑեՏդ

ւ

գ1

"

ճ

Լ

03"

ոն ՞ րո

ա,

Նկ ՝

ա

Վար

քր

(2-0,

Ց

-: |

ոլիլ

»

| :ոօ(է: |

4.

ՀՀՎԱՆ-ջ

|5Հ-0 )

.

|

Լ.

տվալ

ժ

"

փակաղժերում գանվող 2-իՓֆան

ֆոանկցիալիինանգրալը--Ա-ից փառար է դրոլի։ Ակնճայտէ, որ

Լ

1`

Հլ"

փոյսու

զ

|

Սա

մո

Ըֆ աք օինուս-ձնագալություն

--

Վ

ՃԼՀ

ԼՐ

ա

ուս

:

2. 3

Լ

'

|

|

ՉԲ

դրոլի այն բանի ճամար, որ լոնտ

Աաիր

«5ցխ

ՍՓ

օօ

Զալ կողմում դտնվող արտաճայտությունը նալնաքարճավա-

է

քար

'

ՕՀՕ,

(1)

ՀԻՆ

-Յ-»

ոզ. ըստ

ւ

«(Է-2)մէ | |1(1)51ո

(15)

| ՓՐյտոշու

»

ճայտությունը.

Օրինակ: Դիցուք

անաձն

| | 0օ52(-ոյՎո. ՝

ամա

|

մօ:

բանաձն

«ր»

լ

75»

բա-

Ալնուճեւոկ ղիտարկենբ նուլնաքարզրոլի ճավասար ճետելալ արտա

(14)

ֆունկցիա, ճետնարբար, ալն որոշվաժ է 7-ի ճամար: Ասվաժի ճիման վրա (2)

զուլգ

է դրել այսպես, Վարելի

|

(14)

4,

պասական արժեքների

ւ

| (Է)

Փ(»)--

Ըստ

է շ-ի

:

`

0:Յո

ինտեդրալում (Տ 12-ի(2) բանաձն Ֆորյչեի ) իակաղժերուի գըո-

րվում

է՛ն.թ դրել ճնտնյալճամառաՀ

վբա կարող

Ը

Ֆուրլեի ինտեգրալը կոմալեքս տեսքով

: Է

Եթե (12) ճավասարությանմեջ Ի(ց)-ն ճամարենք սորված, իսկ է (ծ ֆունկցիայի ուսա այն ճանդիսւսնուսի 1(1)-2՝որոնելիֆՓունկցիս:, ճամար ինտիզրալայինձավասարում: (14) բանաձնը տալիս է այդ

Ա.

Տ

`

:

:

տեսքը: Ի(.) ֆունկցիան

-

».

.

(2) 1(2:)--

օ

(«»0), |տ ՀՐԵոմա--օ-ր

(9) բանաձեին: Ընդունենք Վերագառնանք

Բ(Դ-

փոխադարձառնչություններ ճեանյալ

Դիտ ողութլուն:

Ր Հ

Փ

| (աՋոշԱ-ոյժէ|--9, յ

՝

(2)

է նշել նլոտեղ անձրաժեշւո ճան ճետնելալ

Լա դաման բը: Անվերջ ռաճմտաններով

է

ինտեզրալը

ալոայես-

«Ր

`

ճի

ավո

մ'

կամ

ՄՈՒ,

»

/«0)ա-|

նյա

(2

|

գը)

թ

-

աա

: Ը

նո | օ«(ո)յճռ

հտ 1-5

|(յժ

աջ սիասի բուբաւբունչյուր սաճմտանը դոլությունունի (անս | ճատ. 41 զլխի Տ 2)։ իսկ մենբ (3) ճավասարությանումգրել րեք ալազնա»

պայլմանով, որ

ի()օ-"«ե ՕԹ-շոա

-

.

կարող է պատաճել, որ (55) սաճմանըդգոլությունունի հկ (ճ) ճավասարութ լան ոջ մասում դտնվող սաճմանները դոլու» թյուն չունեն: ("Ճ) ճավասարաթյան աջ մասի ալրատաճալաությոնը կոչվում Է ինտեգրալիգլխավորարժեր: Եվ այլապես,(1) ճավասալրությունում դիտարկվում է անիսկական(ներբին) ինտեգրալի ղլիւավոր արժեքը: Ալս իմաստով էլ դրվելու նեն սալն պարագրաֆի ճաջորդ որ

ինտեդրալները: (5) ն.

անգամներըբաղմապատկենը ճավասարություն

Լ

գումարենք (1) ճավասարության ճամապատասխան մասերի

ԼԶ ԲՈ

նալբում ՂՈՂՔո

գատանանք կստանան

| Ժ-շ. ՊՀ

ճռոդը:

'

'

Շ(շ)

Բ

,

ճետ

անվանում 12 սպեկարալ խտություն կատ պեկտրալ ֆունկցիա: (Ալատեղխտություն տերմինն օգտազորժվում ՃԼՄ Հ նուլն իմաստով, ինչպես դլի'ի Տ Ց-յու, որտեղ խոսվում էր բաշխման մասին): երկչափիանի տիրույթումխտության ե՞ս ճոոնչալերկու ճավասաչ արտադգրումի (4) ճավասարությունն րությունների աոավ.

ֆունկցիան

: -

ա(«650--") -18ո«(է-»))սւ

1(---Տ եջ

|

1(4--)

Է

«ր»

ողը |ր ՞

1(1)6) 6Կ-Ցգէ

նէն

թ

ՇՓԼ-

(3 )

բշ"նաձճեր

դր

օ-

է

այ

այոր

| շիա" ՞

|Ըոզո

(4)

բ.

ի

՛-

օօ թ

|

1)

օյօոոմն.

(8)

(7) բանաձնովռրոշվող Ի՞(2)ֆունկցիանկոչվում է 1Ը) ֆունկ-

-ցիայի ճամար Ֆուրյեի ձնափոխություն, (8) րբանաձնով որոշվող կոչվում է Բ»(2) ֆունկցիայի ճամար Ֆուրյեի ճակա(9 ֆունկցիան տարբերվում27 1-ի դարձ ձեափոխություն (ձնախոխությունները գրվող նշանով)Է՞(2) ֆունկցիան առաջ Շ(.) ֆունկցիայից տարբնր-

`

Է

Վէ

լ

դ

106-»ԿԵ

։

-

մասը կոչվում 1(4) ֆունկցիայի համար Թ) կուգոոքն ինտեգրալ: Ֆությնի (3) տեսքով իանաձեի

| ԻԸ)--7շլ

Ն,

|ը

կամ

ւ

«ով

բ:

| թ

»

(Թ) բանաձնը նման է Տ 15-ի (10) բանաձեին. ալատեղէլ «-ն կոչվում է ալիքային թիվ, բայց ալատէղ ալն ընդունում է --Օօ-ից սվ/ինչն-ԷօՉ քոլոր արժեքները, ն ալիքային թվերի սպեկտրըկոչվում է անընդձատսպեկտը: (5) քանաձնի ն Տ 18-ի (10) բանաձնի անալոդիան կարելիէ շարա նակել:Եթե Տ 12-ի (10) բանաձնում զր ալիչ Է Ըղ կոմպլեքս ամպլիտուգը, ապա քային թվին ճՃամապատասխանում ում ասում են, սր (5) բանաձն (ոչ գ ճն) միջակայքում պարխակվա կոմպլեքս ամ պլիալիթային թվին ճամապատասխանում է Շ()

(Ց

`

(6)

Բ

Ը

Փ(օ)մ».։ |«եյՓ-՛րո Ալնճալտէ,

՝

Ս

Ձ

»

|

.

Շ(ո)6 "02,

որտեղ

ի-Փ5 .

ել

ՕԴ Հ

դում է ,

(7)

ն

ճՃասայատուն բազմապատկիչու:խ

(5) ձնավոխություններիցճետնում

են

Տ 18-ի (15), (14),

(15)

(չ

Օրինակ

(15) ձնավփոլխությունները

ն

Ճա

բաղմուպատկիչի

աաւուն

ոա

)

ճՃշաությամբ (Տ) 2)-ի (7)-ի

|

Ստորնցուլց

»,

ՏՈո»,

(5)

Տատվածում:

ճա ուրիշ օրթողոնալ սրվելու ֆունկցիաների

են

՛

2ՀԸՕՏ Չէ--1

7.

Ւ:

մակարգեր իցուք |ճ, Ել ճատվաժում որոշված 1(4) ֆունկցիան այնպիսին է, որ ալն ըստ (1) օրթոգոնալ ճամակարգիֆունկցիաների ներկալաց Վում է շարքով, որը |Յ. Ծխում զուգամիտում է տվլալ ֆունկցիալին.

մեջ մեջտեղադրեն տեղադրենք Շ-

22,

ճամակարգը օրթոգոնալ է (0, | ֆունկցիաների

եթե ձնափոխությունները կաւտացվեն,

(14)

ն

Տ1Ո

Տո,

՝

|

ը

Ի(2)--Ը(շ)-ՎՓ(շ)

օկ,

ՏԼՈ

:

ճավասարեցվեն իրական ն կեզժ մասերը, Նման ձնով (8) ձնաղնոեխ ց ուռավում (5) ն (15) ձնակվիոխութ խութլունի յունները: ն

օօ

(2 ֆ «ոգո

1ՐԺ-

ձեափոճամանման նշենք, որ Ֆաւրլնի ձնափոխություններին խոսթյուններից օգավելուենք |« գլլնում` «ժերացիոն ճաշիվը հ նլ մի քանի կիրառությունները»...

(6)

Ռրոշենք Ըդ գործակիցները, Ենթադրենք,որ (6) շարքը ցանկացած ճնտո ստացված շարքը Փ.Ը) ֆունկցիայով բազմապասկելուց թուլլ Է անդամ ինտեգրում: Կոալիս անդամ 6) ան երկու մասն Րը բողո Ր ճավասա ազփտփապասոկեն Ր՞ւ|71 բռլ ութ Ք ՓեԸ)-ովն (6) Ե մինչն ռաճմաններու 8-ից մ: Հաշվի առնելով(2) ճաայ փնտեղրենք նը, կատանանք. վասարությու

-

առ

:

15. Ֆուրյե ի Հարթ: արքն

ը ըառ

Սաճմանում

Ո

կցի

ֆ ֆունկցիաների օրթոգ րի օրթոգոնալ

ՓՈ), ՓՐ»

"

ձամակարգի ր ՝

ւ

'

(Ց,

",

::

Ե

մ)

ր

անվերջ ճամակարդգը դոչվում: է օրթոգոնալ էր ե| ֆունկցիաների ցանկացած եթն ոՀԷկղեպքումտեղի ունի Ճատվածում, Ե

:

.

|ա(յ:»-օ

6) '

ճՃավառաւրությունը:

«ՕՏ

5,

511,

Ը0Տ

22,

Տ1Ո

28,

.

(1) բանաձննրովճաշվվող Շլ

Ը0Տ

օրթոգոնալէ Լ-դ, | ֆունկցիաների ճամակարվգը

Տ 1-ի (1) Ո)

ն

01) (1)

տավառարություններից:

ՈՃ,

ճատվածում:

Դա

ճետնումմ

է

Հոր «ՕՏԵ-Ը, / /

Պտ "7... /

ֆունկցիաների Տամակարգը օբթոգոնալէ Լ-է, ղ ճետ է ճամոզվել անմիջական ստուդղումով: 3. օրինակ

Տատվածում.

,.ո։

ՅԹԴ

ՕՏ:

-ՕՏ25, Շ0Տ532,

«7,

ջ,

20,

հն

(2) ֆունկ-

տնժ,

«ս

,լց»

կոչվում է լբիվ, եթե ցանկացած ֆունկցիաների օրթոդոնալ ճամակարդգի քառակուսով ինտեգրելի 1(2) ֆունկցիայի ճամար)ալսինքն՝ալնպի5

|

|' (օ)մ:Հ-», ջ

0ՏԱԽ

է լ0,Պ| ճատվածում: ծամակարգը ֆունկցիաների օրթողոնալ

ւտ

«ին, որ.

ղրանում

'

1,

Սաճտանո

|

ոշ «052--5, /

կոչվում դորժծակիցները

ցիալե Ֆուրյեի զործակիցներբատ (1) ֆունկցիաների օրթոգոնալ Ճամակարգի: (6) շարքը կոչվում է Ֆուրլեի շարք ըստ (1) ֆունկցիաների ձամակարգի'

(3)

Տ(Ոոչ,...

Հրխոար»

լ, ՇՕՏ--ո, Տո --,/

(7

,

1:

|,

:

'

/ Փե(«)ձ»

որ

"

րինակ րինակ,

Աո(գժ:

Ե

|

| .Ը)ժա Ի

|

ՇՀ-

Վ Ճ)|/42--0, Փո( )| --

ե-«

Ե

Ընդ որում:ենթադրվում է,

ոց

«

որտեղից

Ե

Հ.

1)

:

ՅՁ

լ

ոչ

հ

7-5

Տ 7-ի

ո

աՓ(:)

|

(4)

մ:--0,

Ք()ՇՆ

ճամաձալն(8) սաճմանում սերի

ճավառարությունըկարելի է

Մոզրարանոլ համ աղայի:

թ ՕՐ)

գումարի 11.) ֆունկցիայից

անք-

ցաժ միջին քառակուսային չեղումը ձդտում է զրոյի, երը եթն տեղի անի (8) ճավասարությունը, ապա առում

են,

որ

նիլունաչավական ճամանարդն ի ' աա

արան

(եմ

են

ճամտապատասիւան ի Դ

մո -4), (4),

112),

«2.»

Տ

.

Ալատեղէլ Կ... են, ալաին Բեսելի ֆունկցիայի արմատներն քն՝ որոնք քննարկվել

են

ՎԿԼղդլխի Տ

28-ում:

0--1,

ոդ

՛

Ճ)

ֆունկցիաների

16.

Գաղափար գծալին ֆունկցիոնալ տարածության մասին: Ճանմանություն ֆունկցիաների Ֆուրյեի շարքի վեկտորներիվերլուծության միջն

`

յ՛ 2)Աւ), ճատ

խու.

(10)

"

91)

ֆունկյիաների

21)

,

նան

Լեժանդրի օրթո-

սոեսքիվերոորներիբաղմությունըկանվանենը

Դիցուքտրված

(18)

լ .

առնչությունը, ասլա ստսում

-ջ

ո

4-2

որ Հ) ֆունկցիաները

են,

ֆունկցիաները

օրթոզոնալ են ե) « կշոով:

են (երբԲշ |) օրթոգոնալ

-չափանի

երկու վեկտոլներ՝ տարածության

՛ո

յ

նն,

ապա

Ը ' 41:68

|

մ

2:05)

Եղ

Հ

-

կշռով:չետնարար,

են

եթմ Օ-ը Ըշ-ը իրական թվեր Բաղի անուր անյ ուԹլաիը

ե

:-

կնշանակենք Էր-ով:4 վեկտորներն անտարածություն վանելուհնք Ո-չավանիէ վկլիդլան տարաժույթյա՛ն տարբեր` կամ կեռեր" չ Նշենք բո տարածության ճատկությունները: ն

ն

Հ

Է Ռ2

վերտորը:

:

ճամար տեղի ունի

(99:6)(5)45»-0

հոսչափ տաչ-

Ն

4-3

նքե (8),

ն

4-Ճ4-Է4.)Դ-4.թ

հվկլիդյան

վաժումի,

(«2-|): անգո յդժա-Ց՛ օգտաղործվում կիր»առություններում

Հա-

վեկտորը, որտեղ է, հ 37 միավոր, փոխուղղաճալացվելտորնել, են, որոնք ուղղված են կոորդինատայինառանցքներով: Հնտաղալու |, )չ հ վեկտորներընշանակելու ենք 61, 6, օչ-ով: Համի աուի ուն,ձնով կարելիէ սախիանել Ռ-չավանիտարածության

.

:

են

ճա-

վերլուծությ

|

լ|

թ

բազմանդամների օշրթողոնալ

ալլ

|

է ա ճամակարգնօրիժողոնալ

"

նան

՝

ալո-

1)դ»-0

էր երկրաչավփությունում սաճմանվել Անալիտիկ

-

Ճ)ո(շն),

(ոՀ-Լ,

են

ո

բավարուրողթվերնեն: առնչաթյանը Առանց ալացուցսիան նշենք, որ

77ճով

նն

ժության րշա

)-

2...

վուր

ճատ

(9)

աարի

-

զո

ոախրուն

(0)

լալնորենօդտադործվում է Բեսելի ֆունկկիրառություններում

ցիաների ճամակարգը,

ՀՎ(Ր:-1)"|

են

մակարգեր:

Ֆուրլեի շարքը միջին 1(4) ֆունկցիային: Ակնճարոէ, որ միջին իմաստով ղաղամիտությունից չի ճեսոհում ճ, Ե| ճառտվածիլուրաքանչլար կետում զուդամիտությունը: Առանց ապացուցման նշենք, որ 1-4 օրինակներում նշված նուս

ԳԱ

ավաս

ՈչօՋ:

իմաստով զուդամիտում՝ է

ր

(--1)7Ի2ո՛--ո(ոլ

"1

:

.Ք(ո):---

Նրանք բավարարում

`

ո

:

բազմանղամների որոնբ ճամակարզերը,

զոնալ ""

տեղիունի ճեւռնլալճավասարաթլունը՝

են Դիտարկում -

նան

նռաչավխ տարածության 0)լ

՞

վեկտորը Ք, տարաժության վեկտոր է: ՛

թշ

ա2ՊՖի.շ.

դ

վելտորներանվերջ չափանի տարտծությունում, '

Ժո»

վեկտորներիսկալյար

ճ124ն

ֆունկցիաների բաղմությունըԲԱյ» «ռաճմանաչիուկ :

ո

արտաճալաությունը: 8) ( 48)-Հճձք

6»:

6լ

:

(2)

Էր սպաւոկանում՝ են

վեկտորները

օո

«

կիրառելիէ

րանց նկատմամբ Կուլնպես ԼԲ) դեպքում

օրթոգոնալ

վու/

են

ն

տարաժությանը,

են

(2 )

կռաչաի

ճավասալրէ

արտաղրլալը

ճջ:

6լ,

:

:

ապա

)-4(48):

Հ

է այսպես. աատճվմանվում

ասն

Մասնավորապես, |4-4-գ/ -

Երկ

վեկ

ոռ

են

բների լ

ա

զե»

զմած

՛

տարածության երկու

օւ.) ֆունկցիաների սկալյար

արտաճաղրտուլ ունը: Ալս արտանայլտա թէլունը

է (ոչվում

արտադրյալ

'

|16:94)»:

Հ.

' ճՃամանյիան

(, օՒ-(գ, է, ափե, -Ը, ԳԷԵ Էն Ի՛Ր ՀՀ է, 9 նն Փ

(4)

:

Ը

:

Սամի

(9

Է)

է (2) արտաճալտությանը Հեշտ է որ (8) ակալրարարտագրչալն օժտված է վեկտսրնեչատուդել, Րե ճամար (3) ճասոկութ լուննելինճւ մայն իան ճատկուլթլուննելով.

|

ՀԸ

են, ֆունկցիաներն

Ր

|

ո(

սո

(4

|

(9)

լ

Գ)

)

:

ճմ ն ի ուն ) բանաձնիվեկտորի մոդուլի ռաճմտիաիանը ես կոչվող Փ ւո այոածու բին նորման. թյան (5) /

աւն մ վուր է ԼԱ լող

"

/

(ՀԵՀ-Ի

ե

ա

"

տասր

|

|ս».

տարածության 1(4) ն Փ(ո) տարրերի ձեռավորություն (5) բանաձեի ճամանմանությամբ անվանելու ենք Փ

լ ՆՐ

:

:

Տ(Կ-ԽՀՑ:. (Խ--Խ) -Խ)--0:

ՀԸ

անկյունը Փ անկ

ը

ան

սած

Է Ւ-ժ|

/"ում

ատց--Ք)., թ| ո յ

Դիտարկենք|Յ, Ծ| ճառովաժումբոլոր

1(5:)-ը Փ(:)-ը Փ

|

բնականաբար, երկարությունը» տարբերության վեկտորների Երկու

ու

եթե 1(4)

ինչ-

է,

Հճ, Հլ

)՛(834)»-

լ

(73)

է:

ե

:

ռաճտանվու

ղ

Ր

ասլա

(ե Հ

ւուաւո

տարաժությոնում,ալոզես. աառջանա-ն

1.1)- ք

այցե

Ե

ճեշտությամբ տարաժուլթլունում, ճատկությունները. ճետելալ արտադրլոլի (48)-(84), | (3) (8-8. Օ-(ՃՕ-ԻՇ)

(4--

|

տարածության տարրը

վեկտոր-

Շո

"7

Բաս

կ

ն

ՏՆ

Փ

կա մոդուլը Ճ վեկտորի երկարությունը ն

են

իրական

ՇՒՐ) - ՇԵՐ

են:

(4,

ցանկաղաժ

-ը

ի

|

կեռ

իի

լան տարբերն 22 չոաւածուլթթ

Փ

հոաչավ

սկալլար

թա.

6 "ն

7, ի Հ, Աաաա ԱԱՐԻ» ա ո արորի թվեր 13-ը, որո

/ ան ւռարածութ

Էո

(26)-Ն

Սալ

Ինչպես

արան

՛

Ալս վեկտորները, որոնց սկալլար զրոլի, կոչվում են օրթոգոնալ: Հետնաբար, ներն ըն

աղյՀ

(9) բանաձերս

(6:61)--0,

1-5) դեսլյքում'

օլց

ի

ենք. տանում

չետնարար, ՈՊ

բազմու Թյունը նշանակենք Փ-ով ն անվանենք Փ ֆունկցիաների տարածություն, ֆունկցիանհոսը կանվանեն ք Փ Այ տարածությանը ւ"ատկանող է Փ կասիկետեր: կարելի ճասաատել սոտարուծուտարրեր նկատմ ամ որժողութլուննն ՛ ունկցիանե "" ո Թյան Մ «Ք Տան

կոչվում է

արտադրյալ

է

ա

լորո"ես.

արտաճալտու թյունը:

| Ո)

-

2):

(11)

։

՝

,

Դ-Ի

(6) առ

կտոր մոնոտոն

մ. կարելի է այսպիսիդասը քննարկվելէ Տ 1-ի Քեոռրեմու Ֆունկցիաների ոլնդումնե 1- ԽՈՆ ն ՞ տամար դաս, որի Ր Քննարկել ֆունկցիաների ավելիլայն ՝

|

|

կտոր

ռ

Ր

Տ

ոլո

պաճպանվում են,

տարբերիճեռավորության(11) արտաճալտություծարաժծության

նը կոչվում է սոարաժությանմետրիկա: Այն ՍԵ-: տաճմտանած ճշսոությամբ ճամընկնում եէ Տ 7-ուլ

բազմապատկիչի

սային շեղման դեւու է, որ եթե ((»5Փ(2), Ակխեալտ այսինքն՝ 1) եխ ցիները Ճասիընկնում՝ |Բ,Ե| Ճատվածի քոլոր

| 1--Փի ռ--0։

| Է--Փի-«0,

Բայցեթե

միջին քառակու ն

ն

46.

Փ(») ֆունկ-

կետերում,

առա

բացի վերջավոր Թվով կետերից"Բայց լս կետերում, են նան, Փ տարածության տարրերը նուլնական որ դեպքում առում

վաժի

'

-

Այն կտոր

են

մ

Փ.(2), Փ2(4), ֆունկցիաներիձաջորդականուլլունը:

(12)

"

Հ-Ճ(6:6.)-Է

րել

(ճ-»1,

(66.)

(9-2

ճնտնյալ տավասարութ յունները:

|

ՍՈ"

(13)

ոն)ա-օ։

Ձ"

ճին վրա ճավասարբութըունների

Տ 1-ի (ն)

նակ,

|

ճետնում

է,

(

Փա) Կազ) Փլ ,

թ.

որ»օրի-

։

է

ըստ

օր-

Ս 17)

8.Փ.(2):

յ 1(2)օ()42:

(9

՛

9ի: |160 |

Ձ

1, ԸՍՏ,

5124,

ԸՕՏ

ՏՈՅ...

Շ0ՏՅԽ

Տ1ո9:,

23,

ի

(18) բանաձնը ճամանման Ալյնուճեւտն, նշանակենք

վաժում: տանք, որ ֆունկցիալի ցուլց Փուրլեիշարքի վերլուԱլնուճեւտն Է վելտորի ամանակ ժությունն ըստ օրթոդոնալֆունկցիաների Բէ

ճՃառիակու օրթողոնալ կարգը օրթոգոնալ

վերլունոթ յան"

բոտ

4--Խ6յ Շ-ԱՂԵԼ

օրթոգոնալ

ԷԽ6-Է: «195Ժ5

դոնալեն, այսինքն եթե «`

6.

որ

1-Իյ, չ

։

է

Դիցուքտրվաժ է վեկտորների: ճջ

են

լինել

նան

-

"ՖԽ

«Ժե:

:

6ր

ապա

(6:6:)--0։ կարող

Ճա

|--տր,

«ՎՃԻ(3123.

:

Ենթադրում ենբ, վեկտորը:

`

չ

ւ

ունկցիաների

"

(16)

ո):

2....,

Է

Ե

(2.

ՎՃ(6րծ ա):

(12) ճավասարությաներկու մասերը սկալլարապես քազմա-Հ ռլատկելովՓ.(2)-ով ն Ճաշվի առնելով (9) ե (13) ճավասարությո ները» կստանանք` (. Փ.)-ՀՅ.(Փչչ Փե), որտեղից

:

ունը կոչվում: է օրթոգոնալ (15) ֆունկցիաներիճաջորդականութ |Բ, Ե| հատվածում, եթե դանկացած 1-ի, 1-ի Կ»-ր դեպքում տեղի ունկն

:

վերլուծված (1) ֆունկցիան ենթաղրենք ԱՄն Թոգոնալ ֆունկցիաներիճամակարգի-

տորներ: Ալնուճետնդիտարկենք Փ տարածությանըպատկանող

9.2),

Է

տ»( 2(0226

:

--

ուս"Մոնո ոն սաճմանավակֆունկցիաների կտառր

առ

(1), (8) դորժողությունները թյունը, որում ռաձմանված կոչվում է քառասաճմանվում է (11) ճավատոաւրությամբ, մետրիկուն կուսային մետիիկայով գծային ֆունկցիոնալտարածություն: Փ կոչվում նենտարածության տարածալյան կետերկամ վեկտարըները

բաժ

ՀՆ(Թ6 ( 1 Ս

8:

որտեղից

բոլոր

են:

"

Հաշվիառնելով (15)-ը, ստանումնն.բ. (16.)-ՇՃ(6:6.),

|

էլ Ե| ճատ 1(2)-Փ(02)

ռա

ՃՆ պրոլեկցիան որոշելու ճամար (14) ճավասարության աջ Լ2 բազմապատկում ենբ Շլ վեկտորով, սկալլարապես (5) (3) ճատկությունների Բիման վրա ստանում ենբ

ձախ մասերը

.

-

ՀՀ.Ֆ8Փ.(2),

:

(19)

է-1

ձո» |Է-տոլ|

եթե

վեկտորներն օրթ"-

|

(16) բանաձնին: ո

Տո

-

ւ

(8)

Որ

է

(ո--1, 2...)

|

.

00)

լող տ 4 ո Տվ), 0

՛

ոչ.

05) խորու

անվերջ թվով կետեր, որտեղ 1(ՃԻԲՅԸՑ» :

Չ2--

անդամ

առ

անդամ ինտեգրումն

ե Դիֆերենցիալ ինտեղրալՀաշվումներ

օրինական է,

(12) օբթողոնալ ֆունկցիաների ճամակարզը Լրիվ

աստ

ճատվածումմ:

ուդամ սոուսի է մ լին զուգամի

ւն 1(4) ֆունկցիային

բոնի

ս Փուրլե բլեի չարքը

12)

լո, Ե|

է

Չ.

1(:)»-1,

իջին

((Ժ---3,

Տ.

Վարժություններ 711 գլխի վերաբերյալ 1.

երբ --դՀւՀՍ,

1(2)Հ-2,

4(4)-22Խ երբ Վատ.

՛

ջ».0 զ տվե( ով (0, աղեղների սինուսի

ՐԻ: Պատ.

արը,

ո.

մ

Ի

(

Փո"

-|

)

տր

ՏՈ

---Ծջ

(5)

էջ ակաժ քում

10.

ՏՈՃ

ժ է`

'

4.

`

Ծ.

'

ո

ա

Յ

զ ատ.

(--Տ, ո)

2:

:

Ֆուրյեի միջակայքում ԸՕՏՀ--

Ը-0ՉՏՅ

Է

ՉՉ

ՕՏ -

ւ

րշ

ս

վերլուծել Հք

շարբի

Լ

լ

գ:

ր

ԸՕՏ 4

Պատ. ֆունկցիան:

Փ6. (--Ց, Ն)

ո

՛

ւ

-ջ5ր2----18»,

ֆուն

հոր

"(Հ

ֆ ուն կլիլռ

ւ «

ԼոՀՀՀՆ, ՆՀ

:»

ո

ի

միջակայքում

ոու

վերլուծելՖուրյեիշարբի:

(2

(--1)"-1ո

ՀՐ օՅ4Ֆ.

լ

լ

Ր,

ո

Մ"(0, լ) միջակայքում

ՏԼՈ ՏԱողու

ոու

Տո

--

ռինուսների շարբի վերլուժել -

Տոտո»

ջունկյիան (0, միջակայքում 1)

վերլուծել սինուսների

շարթի

դոն Տո '

2) միջակայքում

՝

)

Կուսնե

ոս

(--1)"շօՏ----

(4)

3Յ3:-ր 5)ո վերլուծել միջակայբում Ֆուրյեիշարբրի Տ

(ՍՀ

14. (.

ր

երը 02»52ՀՅ

(-1ր:

ո

Հ բրա-Յ --

լ

ւ

ըլու վերլուժե ԲՈ:11

մ

ա

Ն

(-ն

Լ-1)ո-1 ոջ Պո-1

Հայռ.

ււ

երբ --ՄՀՃՀՕ'

ՀՐ»,

1(2:-Հ

3.

|

միջակայքում Ֆուրյեիշալքի վերլուծել

1(-5-

Ֆ

ատ:

վերլուծելսինու սների շարբի: միջակայքում '

՝՝1) ֆունկցիան

1(2--2 (2)

12.

.

ու,

Թ-ջ ,

լ Մ

իա

:

(ԸԱ-1)"-

ու

ճաշ-

լ

ֆունկցիան (0, ո) մբջակայքու

ԸՕՏ24

-Հ6'

Ր

իջ: (երլուծություն ո

Պատ.

չարքի զումարը:

ի՝՝՝

Ը-ՅՆ, 1)

ե . ֆունկցիան:

մլ.

ւ

'

Չ

Փառ. --չ--«ՎՍ(-6-Ս

Ը

ՆՆաՆ-Հ-

2ոՀ1

ո-0

161.1

ԻԻԷ| Հռ. -շ

շարքիղգու-

..

Ճտո(2ո-1)2

ԾԿ

ՅՏ1Ո »- »

Տպ

)-ՀՏ/ու )-

արբի:

՝ բազմառղատիկ

բոտ

լ

ճաշվելԱՎ-ՐԻ Արոժությունիք, լ

ր

Նի

|

է(ՀՀԿ4 ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարբի Օյպտվելով

3.

լ-տ

-Հ-

)

4Ո

:

»-1

լ

՞

Ծ---. 24 ֆունկցիան Թ, Ն) Մ-ՀԸՕՏ

Փ.

|

0ՀՃՀՃ

ՏՅ: Վ-----Ի. ո

--ո-2( 25

ԸՕՏՃ

երբ 0ՀոՀո

ֆունկցիան (0, ո) միջակայջում վերլուծել սինուսների չարբիչ

-ՖՈ--1(-1)ոՖ`1

տ

Փատ.

`

Պատ.

1008:

Ֆուրյել շարքի վերլու ծել տ) միջակայքում

(-ո,

էրբ -ՊՀՀժ,

|

ֆունկցիան:

.

ո) մվջակայբում ֆուրյեի շարբի վերլուծել

Ա-դ,

/

լ

7,

2-2,

երբ

0ՀՃՀ1,

երբ (ՀւՀ2

վերլուծել՝ա) սինուսների շարբի,Ի) կոսինուսների շարքի: (ցիան յու

ՁՓատ.

ա)

շշ

ոռԷ

զրու

ՏոՇԷ13 Հ...

րի

:

վ»

լ

--2

Ա

-Հ-աքը

2 ւը ՀօՏ(2ո-1յ5 (որթ

Է(4)-20, երբ 0ՀՃՀտ ուն 19 Փու

անչ

Պ

է տլյր.

Չ

Պ

»

տ

2052: ՏՏ Ւ

Հ

Ֆ

(2ու--1)2 ել --

-«| ) ո--1

Տո

ոճ .

:

ո

ուռում բերու է էլեկաւրական Այս Ճա վասար ան նասիլությանը տաացիոնար ջերմալին վիճակի վերարերՄադնիսականդաշտերի, ինդիրերի, զիֆուդիայի ն այլ ճարցերիքըն ճիգրողինամիկաւլի լլ, ճՃատիպի պարզադույն ելիպտաական ճարկման: Այո ճաղվուսաւրումիը է: վառալրում

ը

(1),

(52)

ն

է երկա դալխովաժ

ՀՄԱԼԳԼՈՒԽ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ՖԻԶԻԿԱՅԻ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ճավասարումներում՝ որոնվող փուփոլսականներից:Քննարկվումեն /3)

Ճար ար ան ճաշապատասիխ ճավասաւրումներ թվով վիովոխականների անկախ վովփոխոականներով ալիքային ճավասարումՖ երբեք Այսպես,

ճեւոնչալոնսթը՝

: "ունի

'

'

ժԱ

|

Տ

1.

ԺԷ

հիմնականտիպերը ֆիվիկայի հավասարումների Մաթեմատիկական են

ֆիզիկայի Հիմնականճավասարումներ Մաթեմատիկական

Ր

ան-

Ս

ճեֆունկցիաներիդեպքի ճամար) . վանում (երկու փոփոխականների ճատելալ մասնական ածանցլաչներովերկրորդ կարգի դիֆերենցիալ

վասարու ,,

մները:

ն

ն

լիքալի

ս

ժէ ՅՐ

Ճ

մ.

տնլալյոնսբը՝

-

|

մ) է

Ժլ

ռ

6 Ճավաս վ

ւր

իան ԱՍ

ուս. յ

Լ.

հապլասի

--

օ:ս

,չ

բբռ

լու:

Ր էւր

յո

ո" ավասարում.

Է

ւ

լ

`

ս

7:

իեԷ ա այն կանն ր ճ ղեն է սկզբնակ» ղիրքից

վարի

յ

Ք

լաբը, |

իր

,

"

՛

հ

լ

սկզբնական պաճին Մարթ

ամեմ

Ը"

ապա

«7 բնաւ /

Ը

կում՝շեղենՔորըարը Լոբի կետերը կկսուռալչեն շուրժուի.

ն ն

Փոա ջրա

ններին կորի

նա կ տնրում:բոբ թն Դշ մաժու

6,

(3)

ր

թ

ամ մվ

ազատա

րին

չ

տա

տաճ ք սուսի

Էէ ժամանուկի տանվել:Խնդիլրըկաջանումմ՝

լ ջ

ՔՄ

'

կ

։

0:

ւմ ես ասելով ճասկանու ճկուն, առաձղական Թելը: Ժամանակի ցանկացած "աճին նշված թելում առաջացած լարում ներն ղղված են նրա պրոֆիլիշոշավողով: Դիոկզբնական սրաճինուղղվաժ է Օդ երրարությամբ "րը Բատ կնաերի մին րնկաժ առանց թի Օ ն ժով: դրենք, որ

ֆ եզի /լու / /| Մաթեմատիկական

(2)

ա ռ,

-

ս

ռը

0,

ժչ:

աադարորորում

`

Գ

7:

|

սյու

է:

լ

արտածումը

'

ճավասարում ավա

չս

ճե-

,

ա

ուլն վ

(27

Մ

օս

ուչ

հավասարմանարտածումը: ծ 2- Լարը: սաւռանման Ծայրայինխնդրի ձնակերպումը: Հ էլեկտրական տատանումների հավասարումների

-

մնասիլրությնը Տուդեցնում Է ջերմուճեղուկին ղաղի ֆիլորժակուկենմիջավալրում թյան տարածման, վող ո:ն ՄՐԴԴ դզի ֆիլտրումը ստորերկըըա (օրինակ:նաղթի րի տեսության թ լո: նների ճավանականու շերտեր ւլ) պրոցեսների, տիպի պարաբոլական Ալս ճավառարումը քննարկիաւն: քանիճարցերի մլ

ա Պա

ա`

ի

Է

Պ

Ջերմաճաղորդականության ճավասռար"ւմկամ ճաղառարում. մ

Ա)

Ն. գ 2 ) ժ:

լորի

մո

Ֆուրյեի

(ՄՀՑ) ժԱ

րւ ԲԱԹաճադորդականությա ագորգական աան

։վփիովոխականնելու

ՀԼ

յանը ճանղդեցնում՝ ան ուսումնասիրութ Ալս ճավասոարմ ճաղուրչ մների, ձողի երկալնակի յոատանոա ւոատանուտփների, լալնակի ունում ռուռ ոլորան լիսեռի տատանումների» չալալյումէլեկալոակա՛ն ն քննարկումը:Այս պրոցեսների ալլ մոսոռանումների ների. ղդլսզի լն ճավուսարումէ, հիպերբոլականտիպի պլարդագո ճավասարումը 1.

Աարոն արքխա անկախ անի

Փրեք

ժմ

ականներով էապլառի ճավասալումն ունի հրեք անկախ:վիուխոր

չՉշս զ

.

ՀՐ6

ՅԱ

մ.

ճավառարո'

ֆունկցիան ապելի մեծ

մ

նան

աս

Թողնենք կշի, Ք

որո

չշեղն 1 ով

Հ2 աղու

| արադությոն,

որոշ

շ

որ

լարը

Ո

ր

շե»

Գ

կսկսի

թյու զ

,

ապա տա-

ցանկացած պաճին լարի հի որոսիան հ ժոասիանսկից կավովուծ՝ (սթի լուրաքանչյուր կետի շարժման օրենջի որոշման մեջ: ձ

'

-

"

կետերիփոքր չեէ ենթագրել,որ կետերի Վարի. կարելի առանցբին ուղղաճալաց ն հկ ձարթու-

Դիսարկելու ենք սկզբնական դիրքից լարի

դրան ղումները:Համաձայն է ՕՀ կատարվում| շարժումը թյան մեջ: Այս հնթ արության

Ն

ու

.

լ:

բ

ի

դեպքում լարի տատանումներընըեն ս( 2, ծ մեկ Փունկկյարադրվում միջոցո, որը տալիս է լարի ցելի արսցիսն ունեցող կետի յոնղա-չ

մը ռօռանալուճիար սլեւոք է յոարբի վրա Շարժման ճավասարտա իներդի լի ուժին: Դիկելու"վոժ արտաքին ժերը Ճավասանցնել են Ալ» լարի իոուությունն դեպքում յոարրբի ցուք 0-ն լարի ղժային սժ ն կ//ինռի 7շձԹԿ ծա բրի ղանգվոժը

յոնաբար, ը

-«բ

ոլա ենթադրելու ենք, որ լարի ան ույ տարրի տատանումները, Օչ է առանցքի վրա նրա պրոլեկցիային, հրկարությունը ճավասար ՀԱԱ իՆՀ-Հ-Ճչ-Ճր ոբ ձղումը լարի ենք նան, Ենթադրելու այսինքն" է. այն նշանակենք Բոլոր Դ-ով: կետերում միննույնն մ, լարի ԽԱՎ" տարրը (նկ. 390: Այդ տարբե ծալյբերու Դիտարկենք են Ի ուժերը: Դլցուք չոշալարի շոշափողի ուղղությամբ, ազդում փողները Օ առանցքի ճետ կազմում են Փ ն Փվձջ անկյունները: Ալդ զեպքոմ ԿԱԼ տարրի վր ճյ էլ ազդող ուժերի պրոլեկցիան (մ |

ն

Տավասարումը՝

Հս

Սա

յ

շ

՞'

Հ

ԲԻ: ՆՈ.

Հ

--ՂՏլոֆ: Քանի

ՂՏԼո(Փ-Վ-ձՓ)

ՂՏո(Փ--ձՓ)--ՂՏոֆՀ

օս.

`

որ

որ

ժ:՝

0ՀՅՀԼ

Տո Սյ,

Ճշ

«2

Քին

Հ

յ լ

արո առժ»-1

| ։ւ

|-5

ԱՂՅ--.

որ

Համեմատու

1-ի

թյամբ

|մ:Հ

| Կ

Փա,

տ

է՝ լ«"րի ալիքային ձավասարումն

ճավառսաչ ճամար միալն (1) Ճոավաչ-

`

տոսռանման

Ց--Ց,

բավա

(27 (2Դ

Ի նդրիճամար ճանզիսանումմԵզրաես

Ալնուռետն,սկզբնական պաճին պնաք լարի լու

բաքանչըոր կետում,

է, Ալապիսով, պեսոք :

(5)

ե

է

յունը

տրվաժ լինի արադուլ չ օՐ) Փունկցիուլով,

որոշվում

որը

որ

ս --

մ: Հ-ոշ-Ճլր

չարժման

սկզբնականպաճինլարն անի որոչակի ձե, որը մենք նրան ավել ենք: Դիցուք ալլ ձեր որոշվումէ 1(Ճ) ֆանկցիալու, Ալօպիսով, պետք է, որ (35 ս, 9)--սլ-օ--1(5ի

-

ենք

Ը-Օ

Փ.

ան-

Հե-

տ

Այս ճավասարաթյոնները մեր յին պայմաններ:

--

(այստեղ քառակուսի փակազծերումզանվող արտաճալտության նկատմամբ կիրառեցինք Լաղրանժի թեորեմը): » Այս ենթաղրությունը ճամարժեք է նրան, տեսում ենք Աշ արտաճայտությունը: Իրոք,

ստանում

ԿՄ, 0-0:

Ս|

ՉԿԵ-Ւր»Ս. գոար

Չի

ձ:,

ք

Ս

մն)

ԱՏԲՊԵ-ՀԱ--

ՀՀՂջ(ջօ-Հձջ)--ջֆ»--Ղ

ԺԱ

թենինչ եզրային պայմաններին,որոնք ցուլց հն ալիս, է կատալրդում լարի ժալրիրում (2--Օ ն Ճ»-(), ե սկզբնական պայմաններին, որոնք նկարազրում են լարի վիճակը սկզբնական սլաճին ն ակզբնական պալյմաննքրիճամախումքը կոչվում է (ԵԷ-0)։եզրային ծայրային պայմաններ: Դիցուք, օրինակ, ինչես ենթադրելենբ, լչսրի ծայրերը«--0 հ մվ ճափար դեսթո Ր անշարժ են: Ալդ դեպքում պանկացաժ Էի ետք է բավարարվենձնտն լալ ճավասարությոնները:.

է, ապակաանկլունը սփուքը բելի է ընդունել 12ՓՀՏԼՈՑ,ն կունենան ք:

օս2-Էձան),

նան

բարի

Փ

է

բումը:Լարի տատանումը լիովին ոբոշելու չէ: Որոնվող ս( ւ. ) ֆունկցիան պետք է բավական ռարումբ

առանցբի վրա ճավասար կլինի

ջ

էլ ճննց

`

ԷՋ

մք

ՓՓ

,

Հ«ՀՀՅք

- «-՛լ ՉԷ

նշանակելով

ս

ժ՛

4"

քձր

կրճատելովնչ-ով Ը

Ր

կունենանք. Դալամբելիակղբունքի,

|

Ն. 389 փոխման մեգությոանը Ժամանակի է պաճին(նկ. 388): Քանի որ (Ճ, Ա) ճարթության վրա քննարկում ենք լարի փոքր

ճավա վ ուս

աղացում արաղդացումը

(5՛՛)

Ժէ

|

|լ--0

սվալմաններըկոչվում

.-

Փ(2)։ են

(Թ՛Դ

սկզբնական պայմաններ:

Դի տողու

թ

լու

կարող Մասնավորապես,

Կ.

լինել 1(Ր:):-0

է

կամ Փօ(2)»20: Իշկ եթե 1Ը2)-0 ն. Փ(2)»»0,ապա լարը կդոնվիազ շարժ վիճակում,ճեւոնաբար, ս, էյ--0, Ինչպես նշվեց վերեւում, (1) ճավասարմանն է բերումզան. ճաէլեկտրական տաւտանումթների ղորդալարերում Ցույցւոն ք խԽնգիրըՑ է էլնկտրականճոսանքը դա: Հաղորդալալում բնորոշվում ԼԸ, է) վիեն Ժութ ամբ Ն(2, Է լարվածությամբ, որոնք կախված ԵԽ ճաղորդա-չ ն ` Լթրի կետի կոորգինատից է ժամանակից: ճաղզորդաԴիտարկելով լարի եֆ տարրը: կարող ենք դբել, որ ձն տարլ:ի լարվածութ լան :

ալս ն

է անկումըղումարվում՝

| լունից»որը օմականու

ինդունտ ւո ինդուկտիվից,

որը

ճավ

վասու

ա

ն

է --

բ

լ

Լեւ

լ

-ԵնՎՅԽՎՑ

,

Գ

Ր,ՎՃ--ՕՅ--ՕՅ.-0

Րչի

մծ ո"

ճավասար է 1Թձ:,

ն

ՒՆ Ւ-Ց: եկող

ն

այնտեղ մբտ-

որը

ճավասար2

ՉԼԸՑ-լ օէ

2:

խ-0

ձով,

ճավասար Է Հավասարեցնելովալա կստանանք

վրա,

որը

(6)

Ճավասարումներն ընդունված է անվանել (5) ձեռազրային ձճավասարումներ:

Քավասարումը:

ն

(6)

Ց»

Ր

է

(ԸՋ

ծչ

ե

ա

Ի

թ-

ծե

-Գան,

(ւ,

(7)

է-ի որոշման ճՃոմար.

Վո`յտ-աա

կարե կարելի է

(8)

ր

՞՛ ԼԶ ՉՄ ճբ: (ԱՋ

աժ. 91 "

ո

012.0

ԳԼ

ճավաւալրու `

9:--ՕԼ-

որտեղնշանակվածէ

ճա-չլինելու պատճառով մեկուսացման անկատալրլալ

արաաճալտությունները կրճատելով

(

ՕԹ.

ք

տ

վրա.

ի

մեհ անանուն (րո սացումով կատարվողճաքի կոչ ն բու ութը (Ճ--0) դիմադրությունը (1--0), ապա (2 ն (8) ճավասաբումները դառնում հն ալիքալին ՔՂ ճա4 առարումներ՝ Ր

ԵԹԵ ի

)|ՃՀՀ----ձաձե :

Ճե

Ճ

Չո

:

եղադրելով ից աաա

ք.

ձնով ստացվում

:

(5)

դուրս

ճավասոաւրում 4 աա

(5)

Ը. -ՕԼՑ: Գ(ՕԻ

Նան

'

ճոսքի կողմնուղլինմակերնո,լթով ղզորդալարի Ճճյիէ Խ-ն դորժակիցն է): ճոսքի (ալստեղ

"

աճ

(5)

կստանան գորթյանք

Նե1

(4)

Գլ

ն

9: ՆՐ»,

|

է տարըի լիցքավորման Այն ժակխսվում

Շուռձէ-ի

Թլունը, Քորք

կամ

նշանը վերցված է այն քանի ճամար, որ ճոսանքը դնում է Մ-ի մանը ճակառակ ձ-ով, ուտանումենք ուղղությամբ:կրճասոելով

է)-1Ր--ձշ, ) ( Է

աման

ասարմփան

|

երկարությունճամար:

Լ(1(.,

/

մեջ Հ

ավառարմա

ՀԱՒ -ՎԻՒ--Լ-Գ

ն

են ժամանակում իֆ տաիլից Ալնուճետնե, տարբերությունը կլինի. նող ճոսանքների

Կճ

ւ

ԼԵՆ

(5)

ԻՐՈ

|

Եվ պալոայնա ոո", ,

մ-ի,

բոտ

դիֆերենցենք Ըստ 1-ի հ դրանք բաղզմաՀ անդգամփները ճավասարմտան Ճան ումի, ք Շ-ուխի կոտանանք. պլատկեն

Ք-ը ն Լ-ը ինդուկտիվության դիմադրությունը դորժակիցն որտեղ Լ22 Ճաշվուժ ճաղորդալարի միավոր Մինուս

ւ.

ճավասարման անդամները դիֆերենցենք

ցիան, (6)

Լարվածության

.

ճավասարումների

որը

ՍՀ-Ցոոա

ՆԸ. դ--Ն(2 -ձյ,

անկումըճավասարէ

ն (62

ճամակարգից կարելի է ոտանալ է որոնվող (ւ, է) ֆունկցիան միալն սարունակում ճավասարում, ն ճավասարումի, է որը պարունակում միալն ոլոնվող Ն(:, էյ ֆունկ(5)

1.2.

Չո

Ելնելով Փիղիկական պալմաններից

4-Շլ'

բանաձնոաոմեն խնդրի եղբալին

Տ

ն

սկղընական պալմանները:

3. Լարիտատանումներիհավասարման լուծումըփոփոխականնե

անջատման մեթոդով (Ֆուրյեի մեթոդով)

մեթողը (կամ Փուրլեի մեթոդը)» Փուխոխականների անջայոման են ք, սիական է մաթեմատիկականֆեղզիկայի քննարկում է դանել լուժման ճամար:Դիցուք Խնգիրների սպաճանջվում

որն այժմ շատ

'

ժշսարջ չ0-ս ե ծ»: '

0)լ

ճավասարման ալն լուծումը,

բավարարում է ճնեյոնչալժալրալին

որը

պալմաններին,

Մ-Ց 0,1--0 ւն ւ ), ( )-Ա(

Հ

"

ԱԼՀ,

Տ

(1) ճավասարմտան այն Մասնակի լուծումը, որը նուլնաքար ճավասար չէ զրոլի ն բավարարում է (2) ն (3) եզրային պալմաններին, արոնելու ենք Ճ(Ճ) ն Ղ() երկու ֆունկցիաների արտադրլալի տնսքով. ֆունկցիաներից առաչինը կախված Է միալն Հ-ից, իսկ նրկրորդը՝ միալն 1-ից:

ս(»,

««81՛՛(:)1() Հր,

ե, Տ

ՀԸ)

ոն)

ճավասարման

(6)

ուռոայնում ենք

«(1՛(1)»2

82-ի յան անդամները բաժանելով ճավատալրու|լ

Ղ՛՛

ՀՇ: 8 Ղ

Այժմ

Ճեք

ս, Է)»»0,որը ֆունկցիանոլնտքէ .քավարարի (2)

։

`

ար ՀԶ

Ալս ճավասարություններից

րումները.

-՞

տատանում

նց

Խուստ

2Մ

Ղ(Է»-Շ«058)/1ԷԷ Շտլոո|/ 7.Ե

Շ-ն,

ռ-2

8 5լո

,

տում

ճառւոասունն կասիալական

(11) եր

են:

22)

արժեքները հ-

չ--|

ւ

(8)-ի

ն

ճիման վրա

ստաՀ

ՄուԷ-0։

է

նոն

Է

ուի

:

ճակառակդեսլքում՝ կլինել 0 պայմանին: Հետնաբխալր,պետք է լինի

քանիոր Թ»Հ-0,

Տ

ս»-0,

ն

որը

ճակաՀչ

-

՛

ՏԼՈ)/1. 1--0, -

որտեղից , |

ոռ

ՈՒ»Հ-(ոՀ--1,Չ,... Ս Մ

քանիոր (ո»-Օ արժեքը չշն վերցնուսի, սաացանք՝ մ»-03):27 այլսպնո,

-

կլիներ դեպյքում'

այդ

Յոր:

ՀՕ

ն

(13)

լ

Խնդրի ժալրբային

1-ի դտաժ արժեքները ովլալ

Է

Ո 2)

)

լ

|

ճամար

կոչվում

են

սեփական արժեքներ:Նրանց ճամապատասիանող3(:) ֆունկցիանեՐԸ կոչվոււի էն սեփականֆունկցիաներ: փոխարեն վերցնեինք ԴՀ--են Դի տողութլուն։ եթե --Էի կընդունել, Խպա (8) ճավառալրումը

գլխի

(10)

ն

3)

(տես ՃՈԼ

ասա

գտնումենբ Ճ--0: Երկրորգից ճավասարումից Առաջին

ճավատա-

(5)

2-0

ւվալմանին),

ալսինքն՝ պալմանչերին,

-Նօօտ/41Վ88ոյ11" 0»:

0--Ճ-:148.0

ԺՄՃ--,

ընդճանուրլուծումները կլինեն Ալս ճամասարումների մե21). Ճ()--Ճ«օ05/ 12-Լ8ՏոյԴ 2, 8-ն,

5(0)--ծ, «()»»Դ:

լինի

բավարարվե

ենբ.

ԼՈ

-խ

ենք ճնանլալ երկու

(8)

ն

եջ, (8)-ի ղադրելով(10) ճավասարության

`

1՛ՏԴՂ--0,

որտեղՃ-ն,

որ

1Ծ,

կուՂ()-:0 (ճակառակդեսպքուսի

է դրված ճակատում

Կվետքէ,

"

Քանիոր (3) ւ"լալմտանները:

Տ

ուլ

ալնպես,որ

ընտրենք ստասոուններն

(7

՛

-

2171ԷՇ

-

լ

ձո ասր ճ-ից կախում չունեցող ֆունկԱյս ճավասարության Էից կավ»ոււի չունեցող ֆունկցիա:(2) Ճցիա է, իսկ աջ մոր` է միալն այն դեպբում, երբ ձախ ն ւջ ճնարբավոր վառուրությունը այսինբն՝ ճավասարեն մասերը կավոված չեն ոչ Ճ-ից, ոչ էլ է-ի, ՃաստաստունԹվի: Ալե նշանակեն ոլոռնղ Հ0 (ավելիուշ ք --Վ-ով, կքննարկվինան ԷՀՀՍ դեռսլքը): Ալողես, ուրեմն, Լ

լ

Ճո

Խենան ք

(5)

Ժ է--0

'

-

(2)

ճա-

ն

սա. 0Հ(Ճօօ5/4::Ի85ոյ՛25)(Շ«05

ՍՏ

(4)

:

ժմ --Փ(2.),

ծեղադրելով (1)

(6) տեղադրելով Ղ()-ի արտաճալտություննելը եջ, կստանանք. վասարության

«(յ-ի

։

Հ

ամաքըսՍլո

Հա

ԼՅՆ«0

լուժումն է զամարման ընգոնութ

Զրոլիցտարբեր լուծումն

Ճ--Քշ"-ԻՑԵ՞"", բավարարել(2) տեսքով ալս

4) եզբալին սլարիաններին:

չի կարող `

ն

յ/1-ն

իմանալով ենք դրել:

են օռովելով (11)

ՀՈՆ

Ձոն

ՏԼդ Ղ(Ո-ԸՇ605----ԷՒԾ ..

ոն ճավասարութ ա ից»

2, ...)

(Լ,

է

Սուճնետե, Ա 14

կարող

(4) -

:

-

ուր, (15) (14) ալրսոաճարտությունները ենք (6) տնղադրում եչ ն սմոունուի ենք (1) ճա վասարմտան ալն լուժուճավասարության է (Հ) ր (3) եզրային իր, որը բավարարում Այդ լուպայմաններին: սո, է)-ով. ժուսիընշանակենք

1-ի

ո-ի

ՄՀՏո-՞ (6 ՈՆ

ՁՈՆ

շշ»

չ

ր

յուրաքանչյուր արժեքի ճամար

ՅՈՂ

է-ԷԾոտնո ւ.

է

ի

ս,

Տ

Է)-Հ-3

(6:

ո--1

Հոմ

-

՝

ն

(16)

որ

քղՅ-

.

ճ

մՃ

Եվ

'

լ

ԼՆ, Ա

(16) .

(19)

'

:

՛

,

ներկալացչ դիֆերենցում, է ն բաճում է ս(2, է) ֆունկցիան, որը (1) ճավասարմանլուժումն երին ն բին: ւս ալմտանն ակզբնակ է (5)--(5) եղրալին վարարում

սւ

անդամ

ու

Կ

Դիտողութլու

'

Մ (16) շարքը, որտեղՇշ- Ծո ն ն: եթն ւսլ Թույլ (19) բանաձներով,

(18)

անդամ տալիսկրկնապատիկ

է

:

'

«(:)51ՈՅ մա: յ

զող

ք» որ ալսռլեո,առլացուցեցին ն ե

որոշված դորժակիցները

։

յ

՞Չ

'

լուծումը (1) ճավասարմտան

շարքը

--ծ-Փ(2)51ո յ

-

երբ Շ, ն քյ դորժակիցներն ալնպիսին դեպքում, նն, որ ալդ շարքը զուգամփիտումէ. ղուդամիտում են նան այլն չարեն ն. Քերը, որոնք ստացվում ըստ Հ-ի ըուո Էի երկունդա անդամ ճիւոու անդամ դիֆերենցումից (14) լուծումը պոտք է նան բավարարի (1) Է (3) «կղբնական Մենք դրան ճասնելու հնք Շղդն Ծր ճաստատունների սաւյլմաններին: եջ տեղադրելու (16) ճապասարության ընրությոն ճանապաւրճուի: (անս (1) ոլալմանը). կոտանանք կլինի միալն այն

ՓՖուրլե ործակիցները: գորժակիցնարը շարքիՓուրլեի

կամ

Ծ

շարքով ներկայացվածֆունկցիան նույն ես կլինի (1) դիֆերենցիալ լուժումմը, որը կբավուրարի (5) 2 (3) եղբայինպայճավառալրոիան

մաններին:Արնճայտէ,

.

`

/

յ

--

(15)

ւո

Հոթ

Լը, տո

Է

ո

-ԼՑո -»

ալս

Չ տարաաշոտ Ծո Հաջրատաաա լ յ

ա

ս(2, Ց --Տ տԸ։ է) ո»1

ենք

ՁԱ»

:

կարող ենք վերցնել իր Ը ւո

3՝ Ծ, ո--1

Ձո՞

ունն ուստի կգրենք Ըռ ն ռո.(Թ Բ ընդգրկված ճՃաստատունները. ն ԷէՇրչի թրի եջ): Քանիոր (1) ճավասարումը դժային նե ճամ սնու է, ասլալուժում ների դամարը նուլնոլեսլուծում այր ճետնաբար

կա/

Որոշամ

-

.

.

ւ,

ճր: Ը ՐոՀ/ ճավասարությու

՝

ն

մ"

ՓՐ

տ

ո-ի լուրաքանչլուր արժեքի ճամար, ճետնախար լուրաքանչյուր

ճամ

Է տեղադրենքէ--Օ: (5) պայմանից ստացվում

ե.

քննար

Ալի քալին ճավասարմանճամար

որ (16) ապացուցել, ուրիշ մեթոդով, աժ խնդիրը լուծելով Կան աի ալն երբ լուծում է ներկայացնում այն դնպքում, շարքը Ընդ որում(2) ֆունկչանդամ անդամ դիֆերենցում: չե տալիս իսկ Փ(4)-ըմեկ անդիֆերենցելի, ցիան պետք Է լինի երկու անզգամ

կարելիԷ

առ

դիֆերենցելի":

ք ամ

առ

է--՝,

(-Տ

"ո

Ը

ՏԼդաա»Յն /

(17)

ՆՈ:

ֆունկցիան այնպիսին է, որ (0, 1) մի ջոաւկալքում այլն կաՃՄԱ գլխի 51), ապա (15) բելի է վերլուժել Փուրլեի շարքի (տանս ընդունեն կունենա, ւոեղի եթե ք պայմանը

Եթե մ)

Տ

Ձողում ջերմության տարածմանհավասարումը:

4.

ձնակերպումը խնդրի Ծայրային

|

յուն ունեցող Դիտարկենքհլարութ լ

Ը

վու

Չ

ա

Ր.

12)5ո ւ

ԱՀՆ ճմ: լ

(18)

ենթադլընչ

է անջիւմալթա

նենք, որ ձողի կողմնալին մակերնույժը կետերում ջերմաստիճանը մի ճատուլթի բոլոր ձողի լայնակի

տարաժմանպրոցեա ջերմության է, Ուսումնասիրենքձողում նույնն ճամոլ

Սր

լ

Շ,-

ճամառեռ ձողը:

առանյրը

ճ. օրինա,

Այս պայմաններիմասին մանրամասնտես,

ԽՅՀԼՇԽԱՒԼՎՇ«ԵՕՑՄ1

«Մ քՅոհ էլ

ՇՅԱՅքՇԻՈր 1.

ճ

Ճ

Ճ

19514 ը,,

ում

ԴԸՐԸ

,

ծայրը

դառավարենք ալապնս,որ ձողի մի

անին ուր ՕՇ7ԼՇՃ113/187 :

ՓՅՈԽՈ»,

ընկնի 2-0

կետի Բեւո, իկ

ցուք ս(5 է)- ն

ձոզի՝ 2

լուսը՝

ւ

կետի Ճեւո (421.391): Դիճաւոուլյթիջերմաստիճանն է է մվ

արսցիսով

|

Լ

Դ

Ջ Նկ.

ձողի տարրի

ՏՐ

ջերմության տարածման արագությունը, այսինքն՝ ջերմության այն «քանակուչ ն արսցիս ունեցող ՔաԹլունը:որն անցնումէ միավոր ժամանակում

Ը-ն որսոնղ

րյ

ւ

ձողի

զ

Դիտարկենք ձողի

Ճշ աբացիսն ունեցող նույնը

ճատույթի

«0--Կ:Վ

ՏՃՆ

է

Ձողի տարրի միջով

Հոմ հավամար կլինի

«ԳՐ ՊԳ--

(5)

արճաճալոութ յունները, էՀ.

|

ոչՏու

Իո» Ն):

ՀԵՏ

Ք

Փիրմության

տարածման արագությունը

ԳՐ

որտեղ ձՕ-ն

ջերմության այն

միջով ժամանակում: ձլ

ել ճենց ճամասեռ

լող ՃԵ»

ճւ"

ենել։ 0ՀՀԷՀՂ

միջակալքի ճամարչ այսպես կոչվաժ, պայմաններնեն. մապատասխունող

Հ

քանակությունն

առաջին ծայրային խնդրին

(7)

0,

(8)

Ս-ն».

(9)

ս(մ,3-»ե.(է)։

արազու-

Ե.

-

|

մա ճ)

(սկզբնական պայ ւոնսակետից (2) պայմանը Ֆիղիկակուն .--Օ դելքում ձողի տարբեր որ է նրան, Քամոպտռասխանում Ճ)-ի, ճա Է առար ՐԸ է ջերմառ չո ԻՃ ն սորված տուլլնելրում : Ւ Խ ն (եզրայինպայմաններ) աաա (9) պայմանները յ

անցնում

է Տ

ճասույթի

Բա-

ս(5, 0Հ«0ժ,

(4)

հլ

ջերմայինճոսքի

է, որն

ձողում ջերմությանտարածմանճավասալրո

:

՛

--

(6) |

ճավասարումը): (ջերմանաղորդականության ս, Ս լուծումը լիովին որոշված Լենի, Ոլեսզի (6) ճավասարման պայմանների սլետք է բավարարիխնդրի ֆիղիկական ֆունկցիան (6) ճավասսրմանլուժժալրոլինպայմաններին: ճամապասոասիխանող

-

--

կամ

է այսպես. սաճմանվում

:

է

իւ-«շ

ենք ոստանում

ժն, ցս ժշ ե

ձէ ժաստանա-չ

Ճ

թյունը

.

-|ԸՑ5 | Դ

Օէ

:

ւ

.

Զ-Ն

«5---

«Բշաարի,վերջնականասես Նշանակելով Շք

:

Տձգ

բ

սմ ն ժս Չաթ,

'

(3) :

լ

Սա

-

-- օրձտ --

|

-

(2)

ձ0յլ--ձՕջ ջերմության ներճուքը ա

մյ

ձողի նյութի

վոտանանը,

է

համար (լինի

ժ::-».

(5)

լուն միննույնքանակության ձՕլ--ձՕջջերմութ Հավասարեցնելով

:

Տա

՛

ջերմունակուլթ յուննէ, ը-ն՝

նլութի

ժո:

ղործակիցը"" ջերփաճաղզորդականության

Ճ0--ԿՐվ| ՃլՀլ

տարբերության

է): (օձ Տ-ը ձողի տարբի զանգվածն իոտությունը

:

արադ,

ծս

չիպ

Ցմ

բանաձնով, որտեղ Տ-ը դիտարկվող ձողի ճատուլթի մակերեսն է, Է-2՝ որը ալն տարրը, պարփակված է ոլն ր ունեցող ճաույլների միջն, ձէ ժայանաչՀ (Ճջ--Ճլ--41) արբսցիսներ կում աբացիս ունեցող ճաւոուլյովանցնող ջերմության քանակու թյունը ճավասարկլինի

-- Հ-|

ձՕլ--ՃՕ.--Շր 445ձս

:

6)

՛"

| ի, )

ձՕլ--ձՕչՀ-(օձՏ --4 ճե

|

օս

ժ)ս

ջերմաստիճանը

որ

է

զ----

Թեռրեմբ

կամ

ռլաճին:Փորձնական ճանապարծովճաստատվաժ է, ւտուլթով,որոշվում

առնցի" կիրա"շցի'Ք

հորեւմտ

է ալս ներճոռքըժավխսվել ձէ ժամանակում ջերմության նկատմամբ): ձա մեժությամբ բարձրացնելու վրա.

|

ա

ադրանժ (Լագրանժի

ասն,

-

ո

ամ

ԻՒ

եց

(51

նրան» ասի

ներ:

ժալրերում,երբ չա«Օ ն

ձողի

որ

Փւ(ն)-ին ասպլատասխանարբար

հն վ պաճպանվում՝ երբ ՖչԱ)-ին ճավասար ջերմ աստիճանչ

/

Տ ժակերխույթի միջու)անցնու,ջերուչ փակվաժէ Տ մակելրճույլթով: թյան քանակը ճավառար կլինի.

/ Չ---ձ.| `

է, որ (6) ճավասարումը 0Հ-մՀ-Խ Տ 6-ուսի ապացուցվում ճա վածում որը բավարարում է աշ ունի միակ լուծումը,

պայմաններին:

0Հ-էՀ-Ղ (8): (9)

Դ

որտեղ Ա-ը վելոորն է:

.

ջերմության բ հոաչափ ւռարածությունում՝ ՔԲննարկեն

տարաժման պան (ս 9, 2) կետում ջերմաստիճանն է: Փորձնական ճանապարճով ճաստատվաժէ, որ ՃՏ ճուրթակի միջով ջերմության անցման արագությունը, ալսինքն՝ ջերմուճոսում է իավոր ժամանակում, որը թյան ալն քանակությունը, որոշվում է ճնտնյալ բանաձեռվ (որը նմանէ նախորդ պարագրաֆի 1) բանաձեին)

պրոցնոր:Դիցուք սս

3,

2,

է

Ս-ն

ժս

ՃՕ---Է-Ճ5,

ող

օս

ժԱ Ց---

ա»

ԸՕՏՕԱՀն,

ԸՕՏ

8-ն,

ԸՕՏ

ժս

օ.Վ-

ԸՕՏ-ն

ժո

ո՞ր

"1

-

,

ժեքը

ՀՇՃՄք-Ը

(1

վեկտորի

Դ

օս

որտեղ

ո

ՃՆ

է, 0-ն՝ իոուլթյունը: ճլ նյութի ջիլ մա նակությունն երտ աստիճանի ժում բարձրաւգիան ՆՄ ՛ մինա

վաժ ՄԱՆ անաանագա թեակռի

ուղղորդ

«Հմ

քոմ

Բայց

ուլն ջերմությունն է, որը ժավայը.ոլն որոշված է (2) ունի ճեանլալ ճավասարությունը.

գունելէ Ն կոսինուսներն են,

|

Բոռ

աթ ցո

ընժամանակամիջոցում բանաձնով: Ալոպիսով, ստեղթ

ձլ

| |» ՅՅ» ՞

ԿՀ

ՐՃ

ձլ-ով, կրճասոելով

չ

ոռռանու

նում

ենք

|

ո

է

Մ

՛

ս

ենբ.

ւ

Տ

ճարթակի միջով ձէ ժամանակամիջոցում անցնող նի. անո կությ ուս կլինի ը ճա վասար

ձնավոխենք բոսոՕստրոդրադսկու բանաձեի(ոնս դունելով ԷԻ--եՋ1ճմն.

Մ 4է45:

|ս

ՔննարկՎերադառնանքպարագրաֆի սկզբում դրվաժ խանդրին։ որը

(3

Մ

ձախ մասի ինտեգրալը մակերնուլթային Այ. հավասարության Մ

ջերմաթյան

ու

վող միջավալրում՝ առանձնացնենք Մ փոքր ծավալ,

ստանում

-լըատուստ|||ա546

.

ք18Մմ ճտ:

804ՃԹթՀ--ի դ ցմ

ռս

ւ

ո

Մ

ծայխսչ "

մի

:

հ

ժամա

Կ ||ա

Տ

ա

վրա

,ռ

յուս (1) բանաձեի մեջ տեղագրելով

ձՕ---

43ջ

Ը-Ս

Խակամիջողում

,

ճՏ Ք

ս

ԸՃՆՉ ԴԱ

-

.

ո

ՐՐ

Ք--

ուղղված միտվոր

տարրական ժավալը։ Դիցուք ճէ ժամանակամինրա չջերմաստիճանը է, ոթ ջոցում բարձրացել է ՃԱ-ուղ: Ակնճալտ ճմ է ջերմության այն քանակությունը, որբ Փախավել տարրի ջերմառբարձրու նելու վր, ճավառուր կլենիչ տիճանը

'

ՀՀ.

որտեղ կամ

մակերնուլթի ալտաքին նորմալով

Դիտարկենըճւ

դիտարկվող միջավայրի

գրել:

ենք՛

Հ

բազմի ան վրա:

:

չերմաճաղորդականության գորն իզուրոպ, միջավայրը ճառմարում՝հնք ճամասեռ ժակիցն է. արլ դ-ը միավոր վեկտոր է, որն աղղվաժ է ձճջ ճարթակի նարմաղով՝ջերմության շարժման ուղղությամբ, ՄԱԼ գլիի Տ 14-ի ճիման վրա կա-

որսոնղ կ-ն

(2)

ԱՏ,

է, որ (2) բանաձնր ալիս է ջերմության ալն Այնտալւո ճէ ժամանակամիջոցում յիոնում է Մ որը "քանակությունը, ժավալ Մ (կամ դուրս է դալիս 7 ժավալից)։ մոնող քաչ ջերմության ժավալ բարձր նակուլլունըծախվում է այղ ծավալինյութի ջերմաստիճանի

մեջ տարածության տարածումը 5- Ջերմության

Տ

Էմ

Տ

սաճմանաչ

Ջ124ս)դ «-

Տ

|| |ա'(1

գլ

լասՏ 5)

ը Կ-

9ոոմս)մմ:

Մ

|

ն ինտեգրալ Հաշիվներ Դիֆերենցիալ

փոխարինելով ձախ մասի կրկնակի ինտեդրաղլը (3) ճավասարության կոտանանք. Առակի ինտեդրալով:

// ւբ

-

կամ

(1 քոմ

ՊԼ

.

|

Ա Ք:ոմճս) ,

Ձախկողմում դտնվող հովի

(ոնս.

ջինի մրսօին Թեռլեմը

Ք(չյ որտեղ Քանի

Մ որ

Պ/ (ալական ե

քանի

իո

(4)

-Օ

Է

ժս

|

(5)

-«0,

25-21

7-7

Ճո

-:

ենթադրումենք,

որ

չուսրածուունենում ջերմության մեջ հն(ժ) ճավասարության

անընդճատէ, ֆունկցիան

թաինտեդրալային

ո որտե լ

|

ուրիւին, ուր

Յո

(Ք: Ը

Սայկալն

բ

(6: )

ԲԻՒՐ կքամս--Բ

ս

Փ.

ն

Ժէ

--ն Լոպլասի օպերատորնէ,

-5(

(տես ւԳԱ դլե'ի Տ 8),

ենբ:

մարմ-

մակերնալքն ունեցող Զ մարմինը: Ար յերմության առարաժմանպրոցեսը: Սկղբնական

ջերմաստիճանըտրված մալորնի պաճին է լուժման բանին,որ ճայտնի

ս

Մ

ք

0)--օ«(Խ

7,

Ար

ա

"եզրայինպայմանը: (Հնարավորեն

Է-ն

եթն

՝

:

ժշ ուսն

ուի

եթե որոնվող ս(։

«ամուս նույիենբ. |

Մ,

ժս

Հաստատուն

է,

ապա

--ն

(-ջ Փս

ՀԱ

---..----Ը---Խ

դեղքու:ի տալիսէ, այս (6) Ճավասարոււին

-ա-ԿՎ ծս

ժէ

ժշս Հ

05Ա

Լռել

Փ-՞

|

Ւ

ժԱ

ժշ

ԻՐ

ժշ

ժԽ(ջոոմս) ՀԽ(ճ 91ոձս)--ն Վ լ

ԶԶ

ԱՎ.

ԹԵՐԹ

Է

պունկա Հ

ճալտնի

:

(19

`

Հր

(9)

շ)

ն`

սԱՄՆ)--ՀԱՆ

՛

.

«ոժէ ՏԿԱՐ

է--0 դեսլբում՝

մրի նի Ժ սակերե լթի պետք է ցանկացուծ է պաճին

կրթում Վամանալի Ծո11 անըչ ռին ջերմաստի "Ք

Ք

մեջ, (6) ճավառսարման Տեղադրելով

:

արժեքը

ի

3,

Է ճամապատասխանումի

է: Դու

պայմանը:Բացի ուդ։ սկզբնական

կ

մ

Էշ Ի 2( օ

ժս

(8) ճավաՀ

օ

ի

Ճ(ճ Ջ1ոճս)

ն

դիտարկվում

է

ի

-

ժմ,

Չի Մ

հիցուք ունենք

Զում

ալն

`

.

ՃԻ

շ»

..

ճարարւպվետք ռոլ ժուղլրալին պայմանները. ծումըղսոնհլու

(5) ճավառարու-

ապա

): 1Մ(Գլս(1ջւոմս Ք

բռ.

սմ Հ-Յ՞ՃԱ,

ձասարումն էլ ճենը տարածության մեջ չերմաճաղորղականության .Տամ է: ` պատասխանող նրա միակ լուԴրվածինդրին վասարումն է

կետում: Ալյուրաքանքլուր թյունըտեղիկունենա տարածության ես, «ես,

ա:

լ

կարող ենք անջատելկահուչասիտաիաժությունում է

Ա

92).

ա

ժավալիորոշ կետնէ,

Մ

ժավալ, որտեղ տեղի որ

Գէ

-

ԻԳ

21-Ը

Ի ՅԱ

մը: կրճատ դրվումէ այսպես. (8) ճավասալու

-

սրիչ կիրառելով ինտեգրալի նկատմամբ կոտանան Տ ք. գլի'ի 12),

|ո(քու

|

ՕԱ

Գ

ԼՄ

-

,

օք

ժս.,Ժ2

ԴՔԱՆ Իթ

|

|

,1

Փս

ժս

ԱԽ ԸԶ--2.

|

Մ

մը,

| | սյժո-

Ճ.թ ընդունելով Ը.

ծս

Ր

։

կամ

լ

ՓԺս

Ժսռ

ԻՉ

ւ

7,

ն

ուրիշ

եզրային պայմաններ):

է ֆունկցիան կախված չէ 7-ից,

"Ար)

ցատ

ս

ժն

ապա

թ

վրա ջերմության "Ճճարթության

տարաձման ճավասարումը, ԵԹր հզրագծով Ծ ճարթ տին ն (10)-ին ճամանման, ժ ժալրալին պալմաննիեՀչբուլթում, ապա (9)-ին են ալապետ. «բը բանաձեպում

ջերմության տարաձումը Ը կՔննարկվում է

,

-

:

սն,

..

տրանհղ ց-ն :

ն

ք

է), 0)--օ(։, 7), ս(4, է) Հ-»Ե(ԽՆ

ն-ն տրվաժ ֆունկցիաներ են, Ո-ը՝

Ը հզրբադժիկետն է:

Իսկ եթե ստանում ենք,

ֆունկցիան կախված չէ

ն

ժս

ժԱ

9.

շտ

օԱ ,ջ0

2-ից,

ոչ

է--0, արժեքները`

են որոնվող ֆունկցիալի կողմերի վլու 9 ոլչվաժ «Ն մ-0, (նկ. 398): Մեր տիրուլթը ժաժկեն,ք

Մ-ից։ ապա

ոչ

Դավի ա

.

`

Ե-Ն

9,

1--Խ

27:

|

«ա

|

Մ

,

ճավասարումը: ձողումջերմությանտարածման ճավառալումը՝

:5

աժ ցանցովն. ուն որոջենք լուժմր մոտավոր աբ» ուղիղներով տուաջաց Բ աւոնշված ալին ցանցի քն՝ ուղիղների Ճանդույցներում, ժեքները .

Տ

չ

առաջին ծայրա-

համար հավասարման Ջերմահաղորդականության մեթոդով

6.

.

,

յին խնդրիլուծումը վերջավորտարբերությունների

դեպլքուի, ճավառարումների Ինչոլեսե սովոլականդիֆերենցիալ աժծանցլալնելով մեթոդով յրասնակա՛ն վերջավոր տարբերուլթյունների են

վում փոխարին

լուծելիս ածանցյալները. ճՃավառարումները (նկ. 392). տարբերություններով ատասիխան

Ց--ս(

սՐԽ

ծմ», Ս

ՀՅ.

կաՄ

|

ՍՕ-սա 9

սոՀԽ

Ս

դ

հ

2:

ժս0Ր. |)

ճայի

ս(ս Ծ-սն--Խ

ԱՀՆ

0.

ր

Ը -

Նկ.

|

եկ.

կնեանբում:Մտլնենք նշանակումներս̀նհ, Է 1)ՀՀմլը:(4) ռավագրենքըՈհ, էլ կետի Ճւաւիալ, նրան ճատապասխ սարման փորեն ն բաւ զաղ վերջավոր աճերով ճավառարումըո: (5) (2) բանաձների ձայն կոոտնանք.

ման

աչ

:

՛

ժ-ս(5, է Ճ

Հ,

»՛

1)-Էս(5--Խը ԿԸՀ-ի, 3)--2Կս0Ն

ս

(2)

չ

ի:

`

Ալո

`

1-- Այս«ՀքՄԹԵ կ--ԶԱ. Հպ. 1, ը ն

ի:

(8)

'

-

Նոան

ձնով

ս.

Ս... Թ

սՇ. ԷԷՈ-սա լ

Որոշենք ա.

(3)

"

| ե ՆԻԶ

ջին ժայ»

ուր: ճավասարմ ուն Ջերմաճաղորդականության Պաճանջվումէ այսպես: Տ 1) ճի

է բալին խնդիրը ձնակերպվում (տես ղտնել

են

ժէ

ուա

:

(4)

նՋ

է ծայրային մս ալն լուժույնը,որը բավարարումճեւոնլալ ճավաստար ն

«արքաների: (ն ո(0, ԱՅ Ս-»(մ, ԿԱ,

(2 -

0ՀՀ»ՀՀԼ,

(6) (Դ

0ՀԵ-Խ

Ց-»».(1),0--եՀԻ, :

|20,

է) Կն տ է գտանել ճան ը ս, ալսիՍ քնքն՝ պաճա ջվու ուղղանկլունում, --Ղ ուղիղներով սաճմանավիակված է

ատ րեք ալրժեքներ՝ Ա,

Գ:

|

Է

-

ժում լուժում

ււ

,

Ճ--Խ :--0,

Ճ«--Ն

-ր

(9) քանաձնից

,

թն

ԼԸ:

,

աւ 1-2"

իջ ) գթմլ ՍՒՑԱ

ա.լ

իչ

ճետնում

է,

ՄՍՆ

Խ

Ա.

մլ.-Է--1,

բ):

եթն է-րդ շարքում

որ

ապա

ս

են արժեքը:Մեզ ճայանի

«41 / Լուռ մտտռնոռ ի մա նաձն

1-1, Է

(9) ճայտնի են

որոշ(ճ.-1)-րգշալքում

1--0

ուվիղի վրա

բոլոր

արչ-

(5) բանաձնի որոշենքուր ժեքՀ (5)ը): Է--«| բոլոր կետերում: ճատվածի Փերը ներքին Այլ ճատվածի ժայրեե ՍՏ բանաձների: բուի որժեքները րեղ ճալտնի Այողնս շարքը շարբի նանից կորոշննք որոնվող լուժման արժնքնեչ բը ցանցի բոլոր ճանդուլցներում, Է ւի է լուծման ար լե է ասլացուցալ, որ (2) բանաձնով ճնարավոր է ճ արաբերուչ աի են ստանալ ոչ կամալական արժեքն լակ քայլերի ուտռավոր

ա

զ

(

ՐԸ

-

չ

Լոտ

(6) (2) ճաաձալն "

`

է

/

,

թյան / ա

է ԴՈ

Մ

Քո" ,

այն ելքում, միայն

եթե

հշ

էՀշտ(9) ձ

բանաձնը

սես ճաոկապեսպարզ բ է "ւու նուի, ընորվի այնպես, որ լինի -

Զո2( --Օ

1--

րբ

եթե

2:

Այ, ԱԲ .

առավել Այ բանաձել

Նշվաժ մեթոդով

ւՒԱ-ւ

ա

է

ճամար (զկ. Հաշվումների 394): |

արա

,

նո հ-»0

սյ

Ւ--սԸԽ Ժ,

որտեղ Ա(Ճ, 1)-ն մեր խնդրի լուծումն

է:

ն ԹՌ չ

|:

Տ

7.

Է-րՎԱ1-րհ-ի 5

ող չու նե 9"1

(2)

օ--Ճ(2)1():

Հ(ԵՂ(Ռ:2ՐՑ՛(ԳՂԸ

2) (0-4

(3) (օ

(9

պառ --.-աարչջ

Ղ՛

-՞

Հաաա,

ւ

(2)

|

«իճ

Ճ

՝

-

Ալս ճարաբնրություններիցլուրաքանչլուրը չի կարող կախված.

.վինել

ոչ

իպ,

ոչ

էլ Էից. ուստի ալն ճավասարեցնումենբ

լ

ձուժելով դրանք, կդնեն

.

ջ

6)

1-Ց

--ժ,

,1-

(6)

ք.

Հ ԲԵ Ճ-- Ճո0Տ4-ԷՔՅՈՒԹ

Փեղագրն 8)Բնջ, դադրոլով (3)-ի Մեջ,սուս առան

ոմ ում

ենբ. ներ

,

ույ | )»--6-'»"Վ4(66052-Ի10Ռ)5 ն ճառաատունը մտցված է ՃՍՄ)-ի ԲՐ1-ի ինջիխ

(Դ

Ըն

(Շ

1-ի

բն այն դեռ քում,երբ ձողն այնքան ե բկար Է, "ր ջ Ա աուռիանը ձողի ներքին կեւտելրումի դիտարկվող սպաներին Քեչ է կախվաժ ձողի ժալրերում եղածպայմաններից):

իան»ի

խն գիր նե

Այո ճարցի ավելի մանրամասն չարադրանքը տես, օրինակ, մ. )Ծ. Լ ո5 ոց 08,

ՇոքԱԲՕԿԱՈՒՒ

ՎԱՇԱՇՈՒԹԽՄ քաւմայօ ոճֆֆօքծողաճոծթանւմ 7թճոոօմում

ԿՅՃՇՐԻԵԼՏՃ ՈքՕմՅ8ՕՂԱԵԼՃ, ԼՕշրՇՃոՅոճւ,

1981: մ. 100ղտտ2711Ն.ԱՔԸՂՇԼՒԵԼՐՇ ԽՇԼՕՂԵԼ

քճաշաոք շուՓֆՓճքծողքճտԵ րելաՖ»քոտւճոտն,11Ո, 1953

ԼՆ

Ղ-«ԸՇ-

|

ճա»

Ը

է:

--Հ

երկու.ճավասարումներ էն.բ ճետնելալ

«ոատունին՝:(4)-եց մուանում

Դիցուք սկզբնական պաճին տրվաժ է ջչերմաստիճանըանսաճէ որոշել չերմանափակձողի տարբեր ճատույթներում: Պաճանջվում մութլան քաշլոումըձողում՝ ժամանակի ճաջորգ պաճերին:(Աճսաճմանափակ ձողում՝ջերմության տարաժման խնդրին են ճանդումմ ֆի-

(ուրա

քանչյուրարժեքի ճամար: ստանում"

Վ-ի բորաքանչլուր արժեքի Ճոմար Ճն Ֆերն ունեն ռրոշակի արժեքներ: Ուռա

ծ

ենբ (7) ոնսքի Լլուծում: կամուլակա՛ն ճուտ տուն ոթ

Ճ-ն

|

8-ն

`

Ի

»

ամաՀ«

՝

Նկ.

Ջերմությանտարածումըանսահմանափակ ձողում

ն

բավ

(իրաոննք

կամ

կարելի է ապացուցելՊանհ,-

ճաստատուն

որը

Տեղադրելով (1) ճավասարմանմեջ, կունենանք

|մ, ( (՞.Ս-սը(. ) աե Ս/ՀՃԱՀ,

կավոում ի ,

ո

Ա

սՐ,

՛

հ-

ռին

չիսուլթում, տիրույթում,

0) 0)-«(:օ()

ւ

։

ռր

որտեղեղ

"1

նԷ»0

2, --- (ԳԸ)ՀՀՀՀ»

ս(.,

( 1)

վոխոխականներիանջատՀ Լուժոումը դնելու Խամ աւր ման լումեթուը (տես Տ Ց), ալսինքն (1) ճավասարման մասնավոր արտադիրլալի եհսքով՝ Ժումը որոնելուենբ նրկուֆունկցիաների

ւ

|

(Ն:

մ

«յայլ

ւ

ճարմար

.չ

բարու

(10)

Յի

1ուժում,Ը

որան ճՔամվասաւ /

ճետելալ տեոքը.

է

խնդիրը մաչ-

ապա

ս ժմ ----88--. Չ1 ե»Ձ

,

է ցանցի լուժումըորոշվում

,

Խոսիրնկնում՝է Օշ առանյբի ճեւո, է այլապես:Գտնել ձնակերպվում թեմատիկորեն

:

ՄՈ զքաորապոլլացիալով, (Ճ։ Ե 1. 1 տարածության նրհ տանի ուբաքանչյլուր մեջ վուր" ք է ով ճարչ ր վուր"րոք կետով ե թուլ լուն: Ըսւո (10) քանաձեի ուոացված (մ նշվաժ ձնով էքստրապոլացվոժ լուծումը նշաչճակենք աջ Ծ-ոլ։ կարելի է ասպլացուցել,սր ա

երենձողը

կ

:

մ: ճանդույցներու Ցանցի ճանդույցների միջե լուծման արժեքը կարելիէ ստանալ: օրինակ, ճուոր

առանցքի

Այս դնոլքում (9) ճավասարումը ընդանում լ

է

կար

քայլնբոտ

Լ

դ ՝

ետք

Քանի

որ

Էր"

Խեղբի

է լինք սաճմանափակ,

կենի բացառական: Ուստի

,

'

ն

իտարտի 1()-ն

եքն Փ(Հ)-ը զրում ենք

Էիր ցանկացած

սանմանուիակ է,

ասլա

Հ

է ' կարելի

ճոււ--

դեղքում արժորի ----ն

ն

պետր է

--ԻԽ

(7) տնսբի Լո ժումների դ մարը մարել1-ի ֆունկցիաներ: է լուծում (շնորճիվ (1) ճավառարմանդծայինլինելուն): ինտեդրելով ըստ լվ (2) արտաճալտույթյունն ռլարասին Ստանում լուծում` նուլնպես ենք ռ աճմաններում անվերջ

Ս-

|

0----

սլ.

Բոր

մ

0-ից մինչե |

Ծով

Է)

են, որ այս բատ Լի եթե ճ0ն)-նն 80Ո)-5 ալնպիսին ինտեդրալը, ն րատ մ-ի երկրորդ ածանցյալը նրա ածանցյալը դոյլություն ունեն ն բոտ էի ն 2-ի դիֆերենցման ճանապարՀ ուսաց վում են ինտեդրալն ն ճով: ճ(Ռ)-ն 80Ա)-"ընտլենք այնպես,որբս, ) լուծումը բավաՀ մեչ բարի ընդունելու Է-0 (2) պայմանի ճիման վրա ստանում ենք. ու» ԼՃՍ)«0585--8(1)5 |1:

|| «(ժ--.

Ղ

Փ(ա)օօտ:(..-

-Փ

Փօ(4)--

յ| /րո«»

Ի

ԳԱՎ 4 0574-Ի

Փ(.)

-

(10-ի

Մ)

՛

ռայ

աջ

մասերը,

լ»-

տտանում

ՃԱ)--- |Փ(.)605176

դրվածինդրի լուծու զ է, Հաշվենք կլոր ք (15) բանաձելրո Ջնասխոլոեն ինտենդրալը: հղաուժ

լ»

էլ

Ինտհդրալի ալս

թԼո7չ

ն

8Ո--ի դտած

|

1.

Շ

"6058: մ:

-

-

Տ-

(03)

,

ստեղադր

,

»

ե(թ)--| օ-256058247:

(14)

(15)

չ

մօ,

-ՕՓ

| է-»7,

Նշանակենք

ենք.

(11)

Դիֆերենցելովշ, անու մւո

Փ(.)51Ո166,

(8) բատեղադրելով արտաճարոությունները

նաձնի Մեջ, կոտանան ք.

Ր

(2)

մեջ վփվակաղծեր

է ճեւոնլալ կառոարվել ձնափոխությունը

(10)

ենք -

ւ(ԹՀ-|-ոոտոք:ո ծ

--՛Ծ

ՃՌ)- հ

լ

«ՍՓ--5Ւ"

91-1(ՐՕՏ) օա

80)--- | Ս

աք

մոշ

-

ճանապարձով՝ թլուննելրի Տ|ո7օ. մօ,

յ

ԴԷՆ | օյ) ո""ան

(թո ։

ն

օ(.)Շ 051(.--Ճ)40

կստանանք: ինտեդրման կարգը,վերջնականապես կամ, վխոլխնլով

|

'

Հասրեմատելով(9)-ի

մ

բ

կամ

Հզրիօ օօ

ոով

Սա

`

|Ա--

Հ»

»

(9)

է Ենթադրենբ, թն օ(4) ֆունկցիանալնպիսին է, որ ԱԱ կարելի ՃՆ Տ 13) դյխի ներկայացնելՓուրլեի ինտեղրալով (ահս

ոմն

.

|Ա-Հ-

տոյ»

մ.

ԷՏո1ո | Գ(02)(665)2.605/:

ՀԴ"

ծ

(5) պալմանին։ (8) ճավասարության

12/2

1ԸՕՏ12-Լ

2)

|

|

|Չ)տոշ «թ

գ

ծ

ս(Խ 0)-2(3-

12, Վ. Փ(6.)ԸՕ5 -Օօ

|.0)«օ5:-ԷՑ()5|ն,

օ.

Ո

ՇՀ:

Դ.

ս.

(նպես

|Ճ()օ052»--ԷՑ()Տ ույն

Ֆորշ ՛

Ե»

Մու

ւ

"

ճիմնավորվումէ, Թյունը ձեշտությամը Հնարավորու Դիֆերենցման

Ինտեդրելով մասերով,կզտնենք.

(լ

ր

լ

Քր

Ջ :

«(ԹՀ-շ18 ,

է անվերջ ձողում՝ չերմության տարածտան ներկայացնում վերարբեր-

5ոթի"

5:

կարելի է ապացուցել, որ ս(Ճ. է) ֆունկէ որոշվում (1) ճՃավասարման լուժում՝ն ցիան, (19) ինտեդրալով, է ն բավարարում է (2) պայմանին, եթե Փ(ձ) ֆունկցիան սաճմանափակ է (-օՓ օօ) անվերջ միջակալքում:

2"Ը09 8 մ7

ալ Ինտեգրելով ՛

ը

(ը)---

դիֆե Ր նն քիլ

ք,

"

Չ'()--4օ(8),

ճեոհումի

-

՞

Ե(0)-|օ-ող»-1 )

ս". ,

Հետնաքար, (16) հավասարության մեջ պետք Մ»

Ը

Հ--ջ

ուրեմն Ալոպես,

|

ո

|

Շ-ճ

"օա

`

ձյ/

:

Ք-ի

ր

ետը, 217,

է

։

-

ՆՆ

Ա՞

4:

լոս

յ

արի

այս

ակակաապիս ըջնակ ե

կոո

|

-

Օա ա |

Ե.

|

ՄՀՀ»ւ |

-՛

Այս բաւաձնը,

օօ):

ԻՅՅ-յ, 7"

կոչվում

է

Լ-ա-28)/ "է:

(4

| Փ(2)6 :

ԴՅ

Վ:

:

ՓՅյճ: ( յո

-

Ե--ո---

(Հ-:9: գոլ

:

ՉՈ|՛

է

ԿՀՀՀԿԻՅ

,

(22)

է

ս

ի

մե" է է, Ը-Տ՝

(18)

մեջ,

լուծումը: Նկատենք, եթե ը-ն ձողի դժալին խտությունն (15) նյութի ջերմ աճաղորգականությունը, |լ, 40Դ-ն| որ

ապա

ՃՕՀ-Փ(է)ձչքը,

:

։

(19)

թ

(23)

Ալնուճեւոն դիտարկենք ճեւոնլալֆունկցիան. ,

լ ----շա--

Պուասոնի ինտիզրալ,իրենից

ճատ-

Է--Օ դեպքուսի կլինի. վաժումջերմության քանակությունը

՞

.

որբ

(21)

արժեքը ձողի կետում Ժա չերտասավխճանի ցանկացածսլաճին, եթե է--Օ դեպքում՝ ձողում' ամենուրբ «հանակի ԱՔ--0, բացի ՒՊ ՃԻձչ| ճատ վաժից, ոլոոնզալն ֆերմաստիճանը՝ ճավասարէ Փօ(2:)-ի: (25) սոնքի ջերմաստիճաններիգումարն էլ տաչՀ

վերջնա-

արտաճալյոուլթ լոնը տեղադրելով(15) յուժման կաւուսնա կստանան ք. ս,

ՐՆ -բ6

լ

ՀՕՋ(.--:)մ--չ,

,,

1:Ս

(23) բանաձնր տալիս

նրա (14)

:

ունը, արտաճալաութ փորոար ՀՈզանրելով ումիքնեք (15) ինտեգրալի սրժեքը՝

:

լ

1կստանանք.Ք բ

դռ

ի.

ՄԺ------

-

՛

Ր

նկատմվմամտբ կիրառելով միջինիվերաբերըալ Վերջինինտեգրալի Թեո-

(17

(15) ինտեգրալի (17) արժեքըտեղզագրում ենք (13)-ի տիչ

։

մ"Ըւ, 3--

-

».

28. |

Տ

«(Թ-Իոօ շ

ՕՇՅՑՀ " Փ (ն) օ

օօ

լ

ՍՀՀ-ՆՀ-

ուուսֆունկցիան (1) ճավասարմանլուծումն է, որբըէ-«Օ դեպյքումի Փում է Փ(չ) արժեքը:Ռւշաղրություն դարձնելով (20)-ի վրայ կարեձե է գրել:

,

-

`

չ

'

Փֆունկցի ւն: Ալ" դեպքում

։

է,

(20)

ճրբ 2 ՀՃՀԵԽ-ՃԽ երբ Ճ0-ԷՃՅՀՀ-օՋ

մ

(16)

օօ

գլխի Տ ծի

0, երբ--ՇՓՀՃՀ,

կսուն ճավասաորումը, Վ ըչ Սատանան

Շ ճառա Ռրոշենք տունը:(15)-ից

ՃԻ

ի"ողություն,

ֆիզիկականիմտասոր: ք (19) բանաձնի Գարզեն Դիտարկենք

ՀԻԹ),

«(8)--Ըօ4,

Ը" ենի

Դ

որբը

կոմ Է

առաջադրված խնդի լուծումր:

Հոու

ւ

ԷՀ)". 432է

չ

"24

Հ

մակերնուլթի վրա: Սլապիսով, (1) ճավառարմանճամար ժայրային է այսպես: խնդիրը ձնակերապվում Ը ծավալի ներտում որը ս(Խ.3, 2) ֆունկցիա, Փանել ալնպիսի ն օ Մակերնույթի յուրաքանչյուր է (1) ճավատաւոիյանը է 1 կետում ընդունում չորվածարժեքները:

Այն ճամեմատելով (93) բանաձեխ աջ մառի ճետ ն ճաշվի նն, որ ալն տալիո է ջերմաստիճանի արժեբը նելով (54)-ը, առում աո-

ձողի լուրաքանչյուր կետում

ժամանակի ցանկացած

է

«

պաճին, եթե

է--Օ դեպքում է ճաւութուի (սախիանային դեսբը։ երի ձւ-»0) հղեչ է Օ-»Շը ջերմության ունեցող ջերմության ակնարքանակությունն թալին

Տ

ՏՆ

աղբյուր:

ճառի ալ: Դիրիխլեի թնդիր Այս խնգիրը կոչվում է (1) ճավատալոիան կամ առաջին ծայրային խնդիր: անճա ճանն է եան մարմնի մակերեուլթե վրա ջերմաստի լանի է, կետում ջերմ ալին ճութը թի լուրաքունչյուր: իսկ մակերե

հավասարման լուծումների

Խնդիրներ, որոնք բերում են Լապլասի հետավոտությանը: Ծայրային խնդիրների ձնակերպումը

Այո պարագրաֆում րբննարդվեն մի

բերոււր

Փս

ժս

ս

0)

|

լուծմանը: Ինչղես

Լապլասի ճավասարման

արդեն նշվել

վասարփան ձախ մասը նշանակվում է

ժշս 92510 ՊՀ

է,

Է

ՀՏՏԴԱԽ

՝

7"

Դարմոճիկ ֆու նկցիաներ: Լ Ջն Ի մտ ՞ հ Ճա ռի յոց ի ոնա ր (զ ալու աց |ա ) բաշխո սրը ճատմտասեոհարմտնում: Դիցուքունեն բ Օ Ճասրասնու մտալոիխն, է որը ռաւխիանադիակվուժ փակերն(թվ: Տ 5Հուի տո

ճամեմատականէ

րվել,

ոի

է վարարում

`

՝

ա

աճի

կլինի

Բ

«հ

Մ

:

հզրազծի վրա: 1. Հեղուկի

ԼՆ

լիության մանավակված

եթե պրոցեսը կայունացված է, ասին քն՝ եթե ջերճավասալոիանը: աստիճանը կուխվուժ չէ ժասրանակից, է միոյն սալորնի ուլ կավով

ճանըբավարարուք

է

ժ:ս

գծկ

Յրջ ժո

ճեն

(3)

ճարթ

ՆԴ» ժ.: է ուզաապլասի

4)

լ

գազի պոտենցիալ

ճոսքը: Ա ճմուս ճՀ ւմը: Դիցուք մտակերնույլթով ճավասարո Օ.2 է կարող լենել ժավալիներոր (Բասնավորաես կար

Զ

կոռոարվում է ճեղուկիշարժում:'Իիցուք 0-ն անսաճմանափակ) նշածուկենք է, դուկի իոռուլթ յունն Հեղուկիարագությունը

ի

ջերմ աոստիոչբառլ,,

ճի-

Նշիչ (5) ւ)

ՄՀ«ԿրՈ-ԻՄ

ԵԿ կոորդինատաց վեկտորի սպդրոլեկցիաներն Ր

Օն

ապլասի ճուվառարմանը: Ռրոլեսղի չո ջերհաստիճանը որոշվի միարժեք, ւլեւոք

ն.

ճեիխյալ կունենանք

ճարլժության ճառվոաւսարում որը ճավասալանը, ունեն ան Ը է եղի ւեսք վրա: (5) կուր (8) ժող ալին պարիանները:

ժշ:

Լ»

մակն-

"ւ

'

-«8 Փա լս շմ ժէ 955լծա ժ»-

կետերի կոորդինատներից, ասո

ճ

Ա ֆունկցիան կուիւված ւլա ոիլրույթումմ, կբավարարի երկուփոփոխականներից

թ անտի ակվուժ

ն

բաջեր աուվիճունը ամաս տարբեր կ(նահրում՝

ւ

ապա

»

Լո ժոււիը բաղվխորոաւրոզ (1) ճավառարման(3) ժայրալին պլարքաններին խնդիրը կոչվում է Նեյմանի խնդիր լամ երկրորդ ծայրային դտանելու խնդիր: Ը, եղրաղգծով / ջերմաստիճանների բաշիւումը եթե դիտարկվում

են

Ժ

(տնա Տ 5),

ժս| «ՉՀ:

լ

է

ո

ունի յիոլարեն

(2) ծայրային ւալմ

ւ

ցույց

ին Չն. ժո

խորա

ամու

| ժո»

Օօ:

կոչուի ֆունկցիաները

`

(1) ճւսՀ

է Լապլասի օպերատոր: հապյասի ճայվասարմ ոլոռեղձ-ն կոչյվուս՝ անը` Ա

ալն

բնուլթի վրա Կղայմանը.

`

ժո» աՅ̀ժշ5

ժ-ս

նղ.ռրում

Ր

Հու

քանի խնզիրներ, որոնք

են

(2

սի»»2(4)։

`

8.

բավարարող

`

ՄԼ որտեղ

Մջշը Մը վին առանդբների վբա: Զ մալի

:

0) է

ճասիոոորումից մարմնում իմանալ ջնրոնուտիճանը -

բ

:

սվիոքըժավսլ, նուի առանձնացնենք Տ Տ Էէ ւակերեույթի բորաՀաաճիանավակված սակերնույլթուվ: որը Ճէ ժամանակամիջոցում ՊՏ կանցնի տարրով քանչյուր ճտ ձէ ձԹ»--26Ռ Փ

ճեղուկի քանակություն, որտեղ Դ-ը Տ է: սալով ուղղվաժ միավոր վեկտորն որը Ֆակությունը,

տանալ վվոււի է արտաճալտվ

Հեղուկի Օ մտնում է Փ ժավալ (կամ ճոսում նոնա ւո լալ ինտեդրալով,

նդճան Ընդանուր

է

ՊՆ դլիի ՏՏ (նս աճին եղել է

քաչ

|թո

6):

օն

(6)

վՏ

Ժ

|, ա՛ն

Խտությանփոփոխության շնորձիվ ձԼ Փանակությունը փոխվի

ավայում

՛

`

ու

ո

ո

Է

կ-8`

որտեղ ը-ն ճնչումն է,

թափանցելիությանդորժակիցը, է.

`

9... Չք

գլ

ՏՂ

մեջ, կըոս-«ԸՕՈՏՍ ծեղադրելով (9) անիւզելիության ճՃավասարման -

ոանանք.

:

ի

ու

վամ

Ս

մայ

յ9թ

2»

առ

է, ճաս տատուն ոնլալտեսբը:.

եթե

ժք

ԿՋ.--Ը|

(2)

199. զլւ(«աշոմք)--0 ժ

:

օէ.

| Հա

Գ

Գ

(7

զա

ա

ք ՍԴ Փ-

հ:

Լ

ծավալում չկան չկան աղբլուրներ, եզրակացնում. ր Ք, որ ալդ փոփոխությունը պայմանավորված է ճեղուկիճոսբով, որի քանակը որոշվում է (6) Ճավասարությա մբ: Հավասարեցնելով (6) ե (7) ճավասարություններիաջ մասերը ն կրճատելով ձկով, կրո-

|

բու մն

կ-ն

ապա

ալս

կրկնապատիկ ինտեգրալը ձեավոխենք Ջախակողմյան (ՔՄ դլիսիՏ Ց): Այդ դեպքում (8) դրադսկուբանաձենի Թլունը կընդունի

ըատ

ՃավասարուչՀ ՛

Բ

||)46(ա)4»--| || ո թ

ք

մենք դալիսենք

Ե 6-0 քա»ԸՕՈՏ

"

ն

է

ճե-

արուն

ԳԻ,

(ւ կ

|

կատարմ

Հշեղմյվող է, ճեզուկը

ապա

Տ

(9) ճավասարումնընդունում է

՝

:

է

տնսբը: Փ ժավալիկամայական լինելու ն ն անըն Ը դ ձաւտուլ ցի ե լա շնոր՞իվ ստանում ալի

Օօ

----ՎԽ(օօ)--0 ւ լ

լռ

ո.-ս

րոսի

ԺԱԺ

-

Եթ» Դառնանք (9) ճավասարմտանը:

|

դասի

հ

(10)

Ճավասալումն ընդունում

Դ 9: Ւ

44...

|

5 Ի) Յե

ՉՄ

«(ք

2.

Օտտրո-

ժք

ժք

'

:

|

Ր»

( ց՛ )

) --Ը,

անխզելիության հավասա»

լ

ճենց սեղմվող ձեղուկի ձոսթի մո

մեժությամմ բ:

տանան.

ՉՄ

ծ

--կՆԱՄչ ժշ

6 ջ

ք

«Հմ

ա

--(Կ.)--

Մ---- Ն ոմ ք,

|օժաՀոլ կ Ը" Օ--|)

ո

Ն)

"

՛

Ենթադրելով, Թադրելով, որ

ծ

( (ՔՁԱԴ-)

Մի քանի խնդգիրներումի, օրինակ,սյոսրչ Դի ղ Թ լ ւզ: նավթի կատ քը դ եպի ճորատանց . հրկրչ» ժակոտկենմիջավայրում է կարելի ընդունել դազի չարժման պրոցեսը քննարկելիս,

ի ի

ժամանակամիջոցում ճեղուկի

Ե

ժ

Սա էլ :

ժավալուի ճեղուկիքանակությունը Վ:

Ե.

ժամալից)չ

Փ

ալո

Օ«-8Լ

է

ու

կատ

:

արտաքիննորչ մակերնուլթի

ֆունկենթաինանդրալալին ենք.

(9)

է, ալսին քն՝ յոնսքը:Եթե շարժումը պոտենցիալային է` դրուզիննտն Փ ֆունկցիալի որոշ

«-»ց18մ Ծ ապա

ընդունում (12) ճավառարումին

Ս

վեկտորը աս

Փ, է

ճ«(ջգո4 9)--0 |

կասի /

օգ

բթ

(13)

տանե

Ճ

Փ արուզութլուն տեսքը),ալօինքն՝

ժավալումչկան ճոսանքի աղբյուրներ:Հետե րենք, որ դիտարկվող Բար»մ վեկտորի Բուբը Մ ժավալիներսն ընկածցանկացածՏ փակ միջ»վ ճավառարկլինի դրոլի: սրակերնույթի

|Մոսջ-:,

յիալալին ֆունկցիսոն ոլետ ք ինչպես Լապլասիճավասարմանը: խնգիրներում, կարելի է ընդունել օրինակ,ֆիլորացման (ոնդիլներում, չ

Տ

Շատ

բավարարի

որտեղ դ-ը

«--- կոմ ք,

որտեղ ք-ն ճնչումն է, էլ-ը՝ ճաստատունը, ալա զեպքում ճնշամը ենք. շելու ճամար ստանում

ժ:ք

ՎԱԾ

ՀԷ.

9շք

յք

-Ջ

Լապլասի ճավասարումը:

(18) կամ (13) են

կարող

1.

օ

օ

(137 ՛

Է՛

ճնշիան Դիրեիլեի խնգիրն

Սա

արվում

վրա

նն

ք

ֆունկցիայի

վում

օք նորմալ ածանցլալի արժո

շը ո

՝

.

նորմալ աժանցլալի արժեքոնըը, ալսինքն՝

ճոսքր

երկչափ

ժՓ 2`

"

Լ

,

«տիպի ծայրային պայմանները (Դիրիխլեի խնդիրը) կամ պայմանները (նելմանի Խնգիրը)ւորվու մ ննխԸեզրագծի վր:

(2)

լ4 02)

Լը։

չէ

դիտարկ-

(16)

դաշտի ընդճանուր ճավասարումներիցճեելեկտրամագնիսական էյ որ եթե պրոցեսը ստացիոնար է, ապա Է վեկտորականդաշ է, ոլ անմտրրիկային այսին քն՝ ԼՕ16--0։ Այս դեսլբում՝ճա անի ան «ռնում

՛

դաշտը դիտարչ նրան,ինչ ենք ունեինք ճեղուկիարադությունների է (տես Մ կելիս, վեկտորականդաշտը պոտենցիալալին դգլթիՏ9)։ որ Փոլությունունի այնպիսի Փ ֆունկցիա,

(16)-ի ճիման վբա

--ք1ոմՓ:

( 15)5) ից

ն

( (15)- եց

(7

ստանումք. են

Մ-ՀքոզմՓ:

ճեւոն ախի

(18)

ուսի է

1417(թ1849)»-ՀՕ

կամ

ժ-ջ

(57)

պոտենցիաՍտացիոնարէլեկտրական ճոսանքի Դիցուք որեէ Վ՛ ծավալ ունեցող Ճամասեո միջավալրում:անց չում է էլեկարականճոսանք, որի լաուլթյոնը լուրաքանչյուր կետում տըրճոԽ վեկտորով: ենթադրենք. որ վու է Ժ(5, Մ, 2)--յլ 1-71, 1 ժամանակից: Այնուճեւոն.ենթադռանքի խտությունը կաիոված լլ.

է

է, որը ճամարելու ենբ միջավայրի ձաղորգականությունն

մաՀ

իրուլթ ում:

ժջՓ Զ.-Ց,

մ-ն

:

խնզիրն է, կերնուլթի միջուր Սա ԴԺիրիիխլե-Նելտանի էյ այսինքն՝ ֆ (կոմ ք) ֆունկեթե չարժումը ճարթ-ղուղաճեռ չէ 2-ից»ասա ոտացվումէ Լապլասի ճավասարումը ցիան կալվվաժ

ՇԸելլադիծ ունեցող 3.

որտեղ

ճաստատուն:

(15)

յ-Դթ ՏՈ

արչ«

ծ

ժ

Է--մի

կամ

՝

է,

միջով (պայման ժեքները,այսինք1Րսորվում՝է ճոսքը մտակերնուլթի Սա է , (3))։ Նեյմանիխնդիրն Ց. մի մասի վրա տրվում են որոնվող ճնշման մակերնույլթի իսկ մոսսկերեույլթի մլուս ասի վը" րբ" ք ֆունկցիայի արժեքները, են

Օճմի ընդճանրացվաժօրենքի ճիման վրա որոշվում Է էլեկտրականուժը, վող ճաղորդող միջավայրում

-

լինել ճետնլալները: մակերնույթի վրա տրվում

մակերնոլթի

տա

417Հ-9։

որո-

ուն ճամար ծայրայինպայմաններ ճավասալրոի

(15))։ ժեքները(պարմտան 8.

ժ:ք

Զ-.-Հ---

մակերնուլթի արտաքին նորմալով ուղղված միավոր վեկչՕստրոդրադսկու բանաձնից ենք, որ եղրակացնումի

«ռորն է

:

ժչ:

գ.

79--0,

Ստացանք Լապլասի ճավասարումը:

(19) :

ճամապատասխան ժալրային Լուժելովայս ճավասարումը սլալչմանների դեպքում, կդտնենք Փ ֆունկցիան, իշկ (18) ն (17) բանաձննրով կգտնենք մ ճռսքը ն Է էլեկտրականուժը ո

29--Դիֆերենցիալն ինտեղրալ ճաշիվներ

Գ

ՆՈ

Դիրիխլեի Տ 9. Լապլասի հավասարումը գլանային կոորդինատներով: ն շրջաարտաքին ներթին որի խնդրի լուծումն այնպիսի օղակի համար, հաստատուն արժեքներ նագծերի վրա որոնվող ֆունկցիան ունի

ս(5,

ԼԱՅՔ

ցիտ ի

Մ,

(5) ճավասարությոնների աջ մասերը ն զրոյի (քանի որ (1-ի ճամ աձայնայդ Բաղումարըճավասարեցնելով ձախ մասերի դումարը ճավասար է զբ"լե:),

բեց։ Գումարելով (3), (4)

ՓՈՐԻ

ճարմոնիկ ֆունսփովփոլւականնհրի

7)-ը նրեք

ու

'

Այս դեպքում

Փ,

ՓԱ Աղն ժշ բ"

--ԲՀԱ

--Փակ

Հ

կզանենք

շ

անկախ

ար

Փանհնք ալն որպես ֆունկցիան՝ Ունենք

2-7,

3,,

5.

ս Լար

Օս"

ծր

մարը

ւՆաավ

-ք,

"1

,

որն

(5)

0ս"

Հ--

0Ճ

ղն

2ր5

ժջ2

9"ջ

Չ--.--

9:09

՛

0-99 ժո ժջ

լաւ

ծմ:

0.

բացի դրանից»

ջա

9.

Փ.'

օո Փ.

--

լ

ՓՓ

ջութ տն

02:

Ժո. 0. Փո Փր" ւ.

ո

0:

ԱՀ ՉԽ" Աաաա

(997 ՍՓ // |

էջ

դեպ քուր (2)

(3)

Ւ

ա

Լւս

ՉԵ

Ը

Չամ

(7

կոորվբա բննեոային ճարթության

Փ-ն

31-Ի Ն--Քյ

Տավուս

աս

'

ժմ ։

Զ-

«առա

Ինն

ի

ե րոմ :

ո

Կ ալս

՛

(8)

(9)

..

ս

Գ"

ժտ

ճետնլալ

:

»

1 օս --

Ո.

----0:

սարու

ս»ՀՇլյՈր-ԷՇջ որոշենք

Ըլ-ը ն

|

Շշ-ը:

Ալ-ՀՇլխք, -Շջ, մշ-«Շլլոթջ--Շշ: լոտեղից գտնում ,

Օ--Էք ն |

թ/

տես "7

սս Կաժարումը, գտնոնք:

րից

մ..--

9,

Ճո

/

6»)

,

Փ'

1 Ժս2 ս

--ծ--

ճավառուրումին ընդունումէ

»

9ջ

7-ից,

ն

Խնդիրը կլուժենք բնեռայինկոոդինատներով, Պարզ է, որ նպա. տակաճարմարէ որոնել ալն լուժումները, որը կալված չէ ջ-ի 8

լ

ԺԱ" ս"

05.՛

.ծծ.-

Ժ է կախված 3-ից

սալյ--պ, սմշ--նջ, են: ճառտատուններ

նեմշ

որտեղ Ալ

Ը

ՉֆՓօ7

1 օս"

ՇՀ թշ»

Ո

ԺԱ ժԺ

ԼԼ

Փ

ն

" ի Ց որն ըեդգրվա (աղակում), ճետնլալ ւբ,

2)

ժջ

գլանային կոռրգի-

--

0-09 ԽՃ

ՉՀ

Գ.

(6)

ջ

ւա ՄԴ լուծումը էս փառարման աղժորով սառմանափակված`|) տիրույթում ընդգրկում է ծայրային արժեքները.

տնեն

'

9:

ձնով, `

Ա ժտ

ժո լջծո" 704 ա

նման

ժՓ

ւ

ծս"«

Ժ2

0:

Լ-ՀՀ--

Շ.

«

ԱԱԵՎ»)

Չս"

ժս"

ժս

դինատներն

2)

Փ

ծն

Է

նն որտեղ ճավասարմանը, են:

՛

չ

"(7 ճավատարամը, որին կբավարարի ֆունկցիա: Մ Փե արգումենտների

շո

7-ով»

կավշված չէ 2-ի 5

շն

ս

այն

|

՛

աա.

ժմ

ն

գ

|

շմ"

(2)

--71 2-2

փոխարինելով փոփոխականները

ս(2,

Թ

04"

աշ

աար ։ ունկցի

.

ԽՓ

ֆունկցիան.արտ

Ա»

ժս"' ՎԼ

ժԱ" 1

ճենց Լապլասի ճավասարումնհ՝

Սա էլ

:

ն

ճտաՀ

.

ւ)

2) գլանային կոորդինատները. 37-ՀԼՏԼՈՓ,7--7

Ճ-ՀԼԸՕՏՉ,

«աաա 2. /

ն

ա

Փա

Մուժենք (ո,

դտնումմենք (5) ճավասարություննեարբտաճալտություննելը

.

Քամար

Է

ք

ենք.-

այոե-ամո Շշ-ս--(ա-այոր լու». ,

Ա

լո

թյ

Ըլ-ե

հ

Ըշ-ի

արժեքները նղադրելով(10) բաճաձնի եջ),

ալս

վերջնականապես ուան

--

մոչո

ոթԿՐԹ

պԻ

Լուժուիը կորոնենք

ենք.

ում

լով

թյ

(այ

Բյ

1»-Թյ, 7-0,

2--ԷԱ

դիրը:Փոնել այնպիսի ֆունկցիա, --Խյ, (գլանալինկոորղինատներով) մակերնուլթներով է ճեն լալ եզրային պալմաննել-ի բավարարում տիրուլթում Ա|լ-բլՀ»նլ. ս/--.բշ---նջ։ ս

որը

անական

ս:

ՉԱ)

ց

ե.

.

.Չճե-ո

ոչ

7-ից, ոչ

Փ-ից

էլ

տաչ

(11) բանաձնուի

(5) ճՃավվուս

(5Դ ճավառուր

92 տ ն

.

'

-Դ--Չշշ

կամ

ո

Փս. բջ օ-:

:

1Ժժռ

-օս

(6)

լժսռ

1 ) ,

,

:

-

լ նդճանուր ա վասյորսիոյն

ժու

ասնաովոր

տը.կլինի.

լուժումներ՝ի

ն

(7)

|

ենք (3)-ի եջ (2) արտաճուլտ ւռեղուդբուտմ՝ ությունները աշ-ԱՆլշօՏ էՓ-Վլ ՏՈ ԷՓ)(Ըլո Դ Ծո "3: ա) (8) ֆունկցիան կլինի (7') Ճավա արիան լուծում է-ի զրոլից տարբեր արժեբի դեպքուսի: եթե Է--0, (5) ն (5') ճավասարումի ցանկացզած ներն ընդու նումիեն

`

ւ

Փ/՛-«Օ,

տի

-

մեջ

ն

ի

-ԻԻ--Դ-շ-ժ։ 0: Օֆ

|

(5')

ճւ

Ք--ԸՐ-ԼԾո-Կ

Խնդիրը կլուծենք բնեսւալին կսորդինատներով: ը: սորվածարժեքնել դրենք այդ կոորդինատներով. (1) ճավառարումը Փս

Ք(7)--ր" տեսքով:(5)-ի

-որլո-ւ--Խո--0

եվ ուլսպես,կո եբկու՝դժորեն անկաս

7 Կ

(2)

պո-բ-Յ(Թ)

(6)

կգ:

ՏԼո

ո---2--Օ,

(1)

է շրջանագժի վրա ընդունում

էօ-Լ

կորոնենը

լուծումր

ռո(ո--ՊոՀՀ

կամ

է,

ց

Ը05

տեղադրելով Ք(Ռ)Հ--Ի",կստանուն բ.

Դիցուք Օմ ճարթութ յուն վրա ունե՞նքք շառավղով շրջան,որի է, ն որի շրջանադծի վրա կենտրոնը կոորդինատների «կղբնակեան 1(ց) ֆունկցիա, որտեղ գ-ն բննոալին անկլունն արվաժ է որոշ է դտնելս(ժ Փ) ֆունկցիա,որն անընդճաւոէ շրջանի Պաճանջվում է Լապշրջանիներոլ բավարարումը նրա եհղբագիժը։ եջ, ներառյալ Փս

Փ--ճ իան

՛

(5)

ընդճանուր լուծումը կլինի,

արիուն

-

օշս

6)

2թ՛՛(-Է:8՛(--Է:()-ՀՕ:

որոնվող լուծումը կալո-

լուծումըշրջանիհամար խնդրի Դիրիխլեի

լասի ճավասարմանը.

6)

որ ալս ճավասարության ձախ մասը կու ված չէ Ւ-ից, իսկ ւջ դրանք ճավասար են ճաստատուն թվի, որը մասը`Փ-ից, ճեւոնարբար, մենք նշանակում հնք --Ե-ովՒ Այօշղիսով, (4) ճուվասոարությունը լիո է Խրկու ճավասարումրներ.

'

Տ 10.

թ

Փ՛(Փ--ԲՓ(գ)-0,

որ

է ւորվումի

ե

(դ

Քանի

ո

(ոնդիր): Ակնչալտէ, (Դիրիխլե-նելմանի

Ք 'ՌխԽեԹԹ

ջ.շ Փ(Չ)

:

:

վաժ չէ

ոՓ(98()-ԷՓ(Ե()4Փ"(գ)8(3-Զ

կամ

Փառտորեն մենք լուծեցինք ճետելալ խըն-

Դիտողություն:

(3)

ծեղադրելով (1) ճավասա րիան ,

`

ոթ,

«-Փ(ցո(ը: մեջ, կատսւնանք.

|

Այ)Ղ-1

անջատմանմեթոդով,ընդունհվփոփֆոլվլականների

նարար,

տեսքը: լ ուժումր

ս

ւՔ՛՛(դ-Է-Ց՛(հՀ-0,

ա-«(ԿԳՏ/Թ(Կ-ՒԾմոդ

(8

է Լինի Փ-ի պարբերական ֆունկցի, քանի որ Ւ-ի մինպեսոք Փ-ի հ Փ-ՎԶո-ի ք է-ունեչ դեպքում ւրէ՛ն.ք դեւու

որ նույն արժեքի ճառի

Թոթ"-ր լինեն Կրա Փուրլեիդորժակիցները ՀետնարալոՃոչըբ է որոշվեն ճնյոնլալ բանաձնելով: պետք Թո-ր

Ճոք"-ր

Կ լուծումը, է շրջանիմիննուլն Ր ովննտն դիտարկվում / մտիննու է, որ (8՛) բանաձեում ւլեւտք է լինի Թօ»Օ, Ուստի ակնճայտ կետը: մեն ք մեջ անընդճատե վերջավոր որոնումենբ շլջաանի Ալյնուճետե, երբ լ-ՀՍ, լուծումը պետք է կենտրոնում:, լուծումը: Հետնաբար, շրջանի ե պետք է չինի Շջ»-Օ, եկ Լինի վերջավոր ստի (8՛) բանաձնում թլ»0: (8) բանաձնում՝ որը (8 Ալուղիսով, )-ի աջ ասը դառնումէ /ԽՇց արտադրլալ,

նան Ք

ո

ն

ն

.

լ

Ճո»

`

Պ

Է

-ռ

ո

ք նշանակեն

ե-որ

Եվ ալոպես, (5)

Ճ

ա---շ'

(8)

ուռանա ): կարող

2,

Է»,

հռ ք

ս

.

|

ռաճտանա|

ո

ս(.

Խը

7-ա-Զ Վ

1--2

Հ",

ծ

ոտն

-"

2 )|) Տ( |

է (ի:

ւ

լ

լ

Ը05որ-«Յոն

2՝|--Հ

Փա

(12)

'

(ր) (Շո. 9). Շ-ԻՐ-Փ)ԽԸ» ») (5 6ԲՊԱՅ-Փ)) |(է- 9.-1իԻՖ

«0Տո

լ

-

լ

ո-

Հ--1-

ւս

թ

Ռ--1

ո

.

ո

լ

ւ

Է Բ-Ա-Փ)

ւ

Մ

(8)

|

.

տ

ՀԱՖ

(9)

ռ

.

"

մանը: Լ», տնջտեղադրելով (9) ճավասարության վլչա

|

լ

ո

Հ

Է ԱԱ-Փ

մ ոցվաժ է Ճո-ի ն Բ-ի մեջ): Ալժտ Ճո ն քղ ճաս(Շո ճՃասմուաւոունը (ջ) ժալրալինռլալերն բնտրենք անոնս, որ բավարարվի ւոոււոունն

իան

1Ր

ԼԳ. --Պ |(0:65 ո(է--գ)մ: Ո 04Էլ Թու ք

մ

Ն:

ՀԸչ)

ո-1

Գ'(Ճ«0ՏՈՓ-Թյտլոոֆ)ը '

Չո

բ

`

քառակուռի փակավծերոում գտնվող արստաճաղրաուլթ ավխիոիենք յունը».

ալսպես,

11)

|

Ձե

կամալաքանիոր Ճ, ք, Ը, ք դորժակիցների ամբողջարժեքներով, մասնավոր նոր կան լինելուշնորճիվք-ի բացասական արժեքնելրը չեն տալիս: Եվ լուծումներ

ռ

-ո

1,

Տո Ոէ զէ,

ԼԱ

.`

շարքը,

Է---

|

Կալաւ նրանց«դ ալրսոանոո լունները մ կատարելով հռանկլու կստանանք. ճավխական ձնափոխություններ,

Լ

պարբերականլուժում չէինք փակվելմիալն

նն Ծո--թո

Ոէ ճէ,

ԸՕՏ

լով

՝

Ց տես Քի ուփտնե բի ոռ ենք (8) Մեր խնդրի լուծումը կազմելու լուժ Փուլուծումէւ ղումարի տեսքով, զանիոր լուժում ների դումտարը Դա ալդպես կլինի, է ֆունկցիա: լինի գ-ի պարբհրական մարը պետք ղումարելի լինի Փ-ի պարբերական ֆունկցիա եթե լուրաքանչլուր է ընդանի ամբոլջ նն արժեքներ: (նկատենջ, պետք ճամար Դրա աշ Թվին, մասերը ճավառարնցնեինք որ եթե (4) ճավառարության ալա

|(0

-

լ

որբիգործակիցներըորոշվում են (11) բանաչ է երկու ձներով,կլենիմեր խնդրի լուծումը. եհ ալն Թուլլաւորումմ առ առպացուչ (ռա չենք անդամ անդամ անդսմիդիֆնրենցում ենք ք (9) չռունաձեր: Ճղ-ի-ն Ծղ-ի վիոյտարեն ռեղադրեցել): Ձնավոիվեն

ալսպես,

եվ

՛

լ Ս

ՏՈ

1-9

ճիսպալմանի

ում ինք.

--

.-Էճոճ-

լ

ը

-

լ.

ք

ԸՇԿԸԷՓ

ՊՏ

«ր-ՓՎ(ը )

ՅՐ

թ. ո Քո-Չր:«050-ՓԻԸ ( Փ-

(3)

Արտածման ընթացքում որոշում ենը այն անվերջ երկրաչափականպրոգբեռիայի գումարը,որի ճայտարարը մեկից փոբը մողուլ ունեցող կոմպլեքս թիվ է, երկրաչափական պրոդբեսիայի ղումարի այս բանաձեր արտածվում է այնպես, Քնչպես ն իրական թվերի ղեպքում։ Ընդ որում պետր է ճաշվի առնել իրական Այստեղ արզու մենտ է ոՈ-ր արգումենտի կոմոլլեքաֆունկցիայի սաճմանումըբ: | ճատ. Մ1լ դլիի Տ 4)։ (ճս "

հ

(10)

»

ՈՓՎ-ՑոտլողոՓ) Ի": (9)---ԸՀԳՎ(Ճո «ՕՏ Չ ո--

լ

(10) ճավասարությունըտեղիունենալու ճամար ւետ.ք է, որ վերլուժվի Փուրլչեիշարքի ֆունկցիան (--ո, տ) տիջակալբում'

ն

1(Փ) որ

( 15) քառակուսի փակագծհրում եղաժ արտաճայտությունը բանաձեում փոխարինելով (15) արտաճայգտությումբ, կստանանըբ. ո

լ

Կ(ռԹ-շչ|

ը» թ

11)

Բ անաձեր Ը

կոչում Վ"

է Պուտսոն

Այս

նտեգրալ զիալ

(14)

Վե

«Ա-գ)ԷՅ

2-2.

ե

բանաձն

քանչյուր ճանզոյցում տանք Բ" արժեքը, որը ճավասար է Ը նզրակետում1 ֆունկցիալի արժեքին (նկ. 395): ղժի ամենամոտ Որոնվող Փունկցիալի արժեքները կղիտարկենքմիալն ցանցի ասվելէ, Տ 6- ումի քննարկվող ոՀ ռավոր Թոզում ածանցյալները փոխարինվում են վերջավորւռարՀ

նչա աո աանգուվցեդրում: բերություններով:

ՔԸ 2

ժո

Կարկումից ելնելովապացուց վույիէ, որ նթե 1((օ)ֆունկցիան անընդԲատ է, ապա (14) ինտեդրալով որոշված ս(ԾՓ) ֆունկցիան բաղզա-

Ժո

է,

ժշ

«Հե 2Ա-Է ԿԻ. ս, Ե

թ-տ,

ժս

ն լ-»թ է (1՛) ճավասալրմտիանը դեպքում ս(7ջ) »1(Փ), ալսբալրումի

ենջն՝ ս(ո ջ)-ն շրջանի ճամար Դիրիխլեի խնդրի լուժոմն

-

հ

`

ւա, Այ ԷՎ1--2Ալ,

ր1

՛

հ:

ոշայ

փոխարինվում է տարբերակային (1) դիֆերենցիալճավասարումը

Ճավասարումովկամ վերջավոր տարբերություններիճավասարումով (հճով կրճատելուց ճետա)

Տ11. Դիրիխլեի խնդրի լուծումը վերջավոր տարբերությունների մեթոդով

ԴիցուբՕր ճարթության վրա տրված նեԸ եզրաղժի վրա ք տիրույթը նավակված է դտնել Պածանջվուի ֆունկցիան:

է Ը

եղրաղժով սարմաչ տրվաժ է 1 անընդատ

կ--2սԻ

ազ

Մա-Ց ՀԱԻ Ժ»-

(0

ժչ

Լապլասի ճավասարմանալն մոտավոր լուծումը,

որը

--թմ

սաղս

(3)

Ֆ--նհ,

:

Լս

6)

1-17

(ԳԵՆ

փոն կնոն է,

Փանենք ուղիղների երկու ըզռանի ք՝ ն

էս

ՄՐՈՒԼ

կետը:Ը" եղրաղժի

՝

թվի

(ս ՐՎԱԹՅԵւն

գայթ

ամ

թ

հզրալինպալմանին:

ա ԽԱՇ Է

Արց-զ50

Է

է 5 ախլոո որը ճանդուլցի ճԽումարչ Ցանցի զուլրայքունչլուլ: դսոնվումի լՇ" չէ կազմում վրա), (ն հզբադժի ննք (1) ճավաներօը Թի ընկաժ

բավարարումէ

առ

ՍԻնթըվյ-20Կ

կամ (եկ 396) ո

Ալ.

լոն

ոռ

որի

ր

'

սն, ալօինքն՝

րր

|

Տառ

ա.

--նհ

ք ը" ցանցալինտիրույթով,ոլը յիուռարկեն

բ

ի)»--Աւթ5

կազիվաժ

է

ւիրուլթը այն բոլոր

Օ.ա լ): յոր դարելի մոտարկվում Ազրագժոց Հար

քառակուսիներից, որոնք ընկած են 17 տիրույթումմի է ճաշվի չառն են Շ եզրագիծը (Հելջի ններ» ճատում : Շ եզրագիծը դոզքոոմ Ը (3) տիպի ուղիղների ճատվածներից:Ը՞ եզրագծի վրա Ընկած

|

հող

Ռրոնվոզ ֆունկցիալի մոտավոր արժեքը

բ կետում կնջանակեն Այկչով,

որոշ

էմ:

:

ամբողջ բվով արւորվաժԹեվ է, 1-ն ն ն-ն ճաջորդական է ժեքներ:կասենք, ռր թ տիրույթը ժածկվաժ ցանցով:Ուղիզնելի ան կետերը կանվանեն ք ցանցի ճանգույցներ: Բաւուի ճի,

ս աւուի

աջ

որտեղ հ-ր

ճարեչ (1) ճվվա-

կնի

սլա

ն

:

զորա

:

եկ.

955.

Ա.

30.

դումարելիներ Բ-ի ճայտնի արժեքներն ծն, Ալոպիսով,ստանում հնք ՒԼ անճալտով Ա ճավասարումներիանճամասեռ ճաիակարդգ (Պ-ր ցանՋի այն ճանդույցնել'ի Թիվն է, որոնք ընկաժ են ք" տիրույթում): Ապացուցենք,որ (4) ճամակարդնունի լուծում, ն ընդ որում՝

աճ-ը՝մուտ

տիակը։ Ալս Ա անճալտով Ի ղժալին ճավասարումներիճամակարգ էս Սա միակ լուծում ունի ալն դնաքումի,եթե ճաակարգի դետերմինանչ ոը զրոյից տարբեր է: Համակարգիդետերմինանաը զրոլից տարբեր լուէ, եթե ամիասն ու ճամակարդնունի միալն տրիվիալ(զրոլական) ծուի: Հափակարդը կլինի Ճամիասեու,եթե Ը" հզրադգժի փլու ցանցի Ի-Հ-07 Մենբ ճենդ նոր ապացուցեցինք, որ ալդ դեպճանդուլցնելրում՝ ներքին ճանդուլցներույի արժեքները ցանցի բոլոր քում Ալլ բոլոր ես ղրոլի: Դիցուք աիրոլթի ներատուիկա ղբոլիցտարբեիւ որ նրանցից ամենամեժը Ասչ/ Թրոչակիությանճամար ենթադրենք,

ունի,

Էր(Խ 3)

ԶՈ:

Սբ

դանել լուծումը Հենց ալդ Քալլի դեպյքումի: մուտավոր լուծումների տարբերությ մեկ երրորդն էլ ի քայլի դեպքում լուծման սխալ դնաճատականնէ: Այս դիտողությունըկարելիէ կիրառել նան վերջավորտարբերուչ մեթոդով չերմաճաղորդականության ճավասարմանլուծման թԹլուննելրի

Զի

Մ

նկամուր ամբո

Վարժություններ1411 գլխիվերաբերյալ

կարող է յոնղի ունենալմիայն այն դեպքում, Ալո ճավասարումբ մ ոսուի ւջ եթե ս-ի բոլոր արժեքները ճավասար են (ամմնդատնվող

Սամեծ) աչին: Ալժմ/ունենք

որոնվող ֆունկ-

կետեր,որոնցում

ինդ

:

1.

Ցե լե ալի

արժեն ն

քնն ՔԿՐԸ

ա,չլեննչԵ

Թե

չ

ամն

ե ապե (4ի ա ա

Սա

բացասական է: Ի

արժեքներն լուժման Ժե են: է, մուտա ար Ք ներն վոր Ապացուցվոժ որ եթե վյալ ե Ւիրելալեի իւնդրի լուժ ումը ճամար ֆունկցիայի վյալ սոիբուլթի (4) ճՃա" շռխնակենը լուն ունի ի (ալն ԱԼԿ (7) Իր )) են եթե ն,.-ն թեք ս( ււ է, ապա նզի չութ յու2 ը. ունի ճնտելալ ակարդի լուժումրն Այ որոշված (1) ճամաղզարգից Դիրիրլեի ենց վերը ձնակերպվաժ

:

Մ-ոկ

ոլո

ւռ

ԽԵ ր

Ճ-ն

7)

«կլ

Այ,ւՀՀՃԻ

հ-ից կասում չունիցող

որտեղ Դիտողություն:

Հ

'

ցիայի

ունեցող ճատույթում աքոցիան ոլորող

է

որտեղ 0(2, է)

ՀԽ

ԱԴ Յի որտեղ շ.» «ՅՆ, ՀԼ

մոմենտ

2.

Ճ-Խ

է,

Գանել

((0, ՍՀ-Ց,

շա

ոՀ

է

պաճին

չ

մոմենտը

00,

արացիան ունեցող

«22---լ

՝

|

լայնաձողի

լուծումը,

բավարարում է

որբ

պայմաններին, (060)-ՑԱՍԲ----Փ 90(4,

Ժ-Ց,

որոչ-

ձողի միավոր երկարության իներ-

ճավառարման այն

2.ՅՅ՝ Փ(2)-լ

ր

երբ'0ՀՃՀ

որտեզ

,

ՉԿ,

երբ

,

/

-՛շ-ՀՀՀԻ

)

Տալ խնդրի երկրաչավականմեկնարանությունը,

Պատ.

ի

:

ո

է:

ճանդերձ, ապացույված չլինելով է տուռավոլ, սիւալանքի դնաճատմուն ճեան լալ արդարացնում հղանակը:Դիցուք սնի)-ը մոտավորլուժՓուսրն է Չի քալլի դեպքում,

երեն

Խիստ

ղլանային ձողի ոլորման տատանումների ճավասա-չ

Շ-01-- բանաձնով,

Պատ»

։

5)

Ճիչ,

ճաստատուն

Չողի

իւ նգրի

,

:

ճամառեռ

ճատույթի ոլորման անկյունն է, Ը-ն' տեղաչարժմանմողուլը, 1-Ֆ' Ք Բոզոային Մուդճաղը Մխո

տրված սպալմանին: '

է

ճակասում

Արտ ածել

Ցուցում,

փում է

ան էլ միակը: ուժում, ել

ի

,

(4) ճավասարութ լունը, ասրացուցենըք,որ մտիքանի ուրիշ կետերում որոնվող ֆունկցիայի արժեքը ճավասար կլինի Աայ-ին: Շարունավեկապացուցենք, որ հզրալով այլապես,կճասնենք մինչն եզրագիծ ն Մա դժի կետում ֆունկցիալի արժեքը ճավատարկլինի Ա չ-ին։ հաա1"--0, սում է ալն բանին, որ եզրաղծի կետերում որ տիրուլթի ներսում դոլությունունի բացասաՀ ենթադրելով, վրա ֆունկկան ամենավփուքր ը, որ եղբավժի արժեք, կապացուցեն

ելի արժե,

՛

Ր»

չի կետերիցչ ւին կը ե զրագժին / ճամար դրելով մեկը նրա նրանցից ապա, վերցնելով սլատկանում, --

(հ)

ծ.

ո-րր

սմ,

Հոյ

--

վոր լուծման սխալանքը որոշելու ճամար պետք է

։

(արդ ւԻն, «Դաո

«3(սլ, ւ--Աք')

մուռա-չ սիոռավորճավասալությունը: ալոպես,հ Քալլի դեպյքուսր

ճավասար

ք Ա-»0, դրականէ: Այն նշանակեն (2) բանաձնի ճիման վրա կղրենբ.

ԵՐՆ 3)-ը՝ս լուժԱլս է, ստեղի դեպքում ցանցերի ընդճանուր կետերուսր

ավոր լուծումը ի քայլի գեղքում,

օխալան քն

յան

Ֆ.

,0-

80.

գ

Ցուցում,

ՎԻ

»-3 ո.(2.1

Արտածել ճամառեռ

տարումը: .-

,

եթե ս(Ճ,

(28-Ւ1)ու

ՏՈ

«Տ

(2.1

1)ոռւ Կ

պլանային ձողի երկայնակիտատանումներիճավա-

|)-ն ձողի

մ

արսցիսն ունեցող

ճատույթի տեղափոչ

խությունն

է

|

Ի-ոՏՇս

պաճին,ավա

որտեղ բանաձեով, .0շս

Փշս

ձգող

է որոշվում

լարումը

ի

Է-ն

որտե "Բել

3062թ: ---«ՀՈ--,

«

ԳանելՈՎ --ՀՀզշ---

95"ն

Օէ

ն

ան,

ձո

ղե

Սյու նյութի

խտությ տու

ունն

9. է ք ձղող

ուժը չե

ի

2 Է-1 )ոգէ

եթե տատանումները, ուժը, ժանելձողի երկայնակի 85. Ետ

խնդիր

(-Ս"

Ց.

ղ»-0

(լ0ոՒ

աթ

Տ-ում):

1»

ՅՅ.

Բ-ի (Բ-ի

ն

Պատ.

թ

Տ

աստ

Փանել--»--2-ՈՋ

սմ, Է-Հձ

ս-«(0, 1-0,

ս(ճ,

ժս(Խ 0)

0)»20,

.ս(,

9,

--0

այմաններին, «Կայ"ա րի

ՃՏԱ--

Վատ.

ս(Ճ, Ս-Հ

Յու

ի

օէ

ՃՏ1ո

Ի

Փ

Չա աճ

ՏԼՈ---( ձ մ.

ցու

լ

(--1)ո

ա

/

ոլոնելերկու լուծումների

լուծումը

ատի

--

ԱՀՀԿ-Վ-Մյ

ո

լ ստեղ

ՃՏ1ո-Խ՛--Հ

ոոճ

ոտ

/

լ

Պատ.

,

Տլո--Հ/

«9

,

-Հ--Ն(14,

«9

(5, յ

(եեքաղոլ» Թ:0), է,

.

1-0 0)

ՇՐՋԻ ժէ

10. :

Ր"

լուծումը, որը

1)2ո2դ5

տա

ս0, ՍՀ-սց։, իւ:

Խնզրի ֆիզիկական

լ

--ոշիջէ

է բավարարում

(Չո-Ւ1)ու լ

,

ս,

ծում լուծումը,

բավարարում է

որը

0)--

իմաստրըս

օօ5(2ո-Է1)ո չ, Չլ

լ

օ

Էւդում,

Գոնե

մ

(4)

շ լ ոէ)»

«05

0)

օս

-ծժծԵ--.զ2--ձ

ժէ

--

ՀՈՏ

զառ. :

Պ(2ո-Լ1)

:

ավասարման այն լուծումը, ցք Օս

ս(0, 0--0,

«այմաններին, Ցույց

Գլ

ոն

կուծումըորոնելսՀՀԱ0Հ-Ճ(Ճ, է) տեսքով,

'

լո

որ

ւյց

--0,

ոօ Ս-սօ- ո՞-Ս

ս(Խ

8"

ի

ԳՃ(2,

Հ"

օ--ՀԸԹՋ-,

ս(ւ,

մ

(,

Յո

ի-0

ի Ճո---

ճետնյալպայմաններին. Ն(0, Ս--0,

այն

ճավասարմանայն17

-

բավարարում է

(2ո--1)ու

Տո

:

Ձ

լուծում, որբ

աէ

աո

որտեղ

մարիտեռբով,

դու

1)2ո542է

ՀԱԻ ԻԻ

Տ

օ

ոռ

փոփոխականների անջատմանմեքողով,

Չա

--9"

:

ւ

(2ո--1)

ՉՈՎ

0 (2ու1 Գտնելծն.ջն մա

։

պայմաններին, ֆալ խնդրի մեխանիկական մեկնաբանությունը:

(2ո

ի

4 95

օօ

5-5 ու

:

ա

:

-

տո,

է ճնբավարարում

որը

Լ»0,:

ԷէՀՃՀԻ

չՉշսճավասարման

մաններին. "

է լուծումը, որը բավարարում

ճավասարմանայն

«յ

1)

(-յյո

ս(0, ՍՀՀս(/, 0-0, Պատ.

(

Խնդիրը լուծել

Գոնե 1

:

Փս

Ի

օս

ւ

Ը

Գ-ում

ՍՀ----ո2

Ցուցում,

վրա ազդում

Տ-

լուծումը,

սմ, Ս-0,

է ,Մբր

ս,

Տ-ի իմ

այն

իս

ճեսնյա ՆՈՐՄ

(Զո1)յոգ1

ն

ձրբ

։

Է--0 դեպքում

գործում,

Ս

6.

թ--շՖ 121220(17

' ( 2:ե--1

Տ

երկարությամբ ձողի մի ծայրն ամրացված է, իսկ մյուսի

|

զատ.

տես

) ( (-1)ոու

8.

մո.

|» 0Հ.Հ-Լ, ս(2, 0)-Հ-

է է,

ցության

ս(,

ավասարմ

ս(0, Ս-0,

2-.-ծ--

Պատ.

:

օոշ

«նյալ պայմաններին,

երկարությունն ունեցող ձողն իր ծայրերին կիրառված ուժերի աղզդե2. է է տակ կարճացվել մեծությամբ: 4«-Հ-Օդեպքումայն աղատված գործող արոոաքին ուժերից:Որոշելձողի :ճ արոցիսն ունեցող ճատույթի շեղումը է պաճին (ձողի առանցբի միջնակետն ունի «--0 արոցիո ): 4.

ժս

2.

Տ-ը՝

առաձգականության մոդուլնէ,

նյութի

մակերեոր,

ձողի լայնակի ճատույթի տ, Պատ

ճատույքում Ղ

մ

տալ

--

ՉՃ|:-1

ու

մ

Ց.

ԿՏ, 0)-«(9

խեղրի ֆիղիկականիմաստը,

օօ

ս(ո,ՍՀ» Հ

-Հ--էլ

բավարարում է

որը

յ ք---սմ

ն.2Ո82է2

»

|

Ք(ք-1)-

ո.

Տ

Շ-ք-

`

սոյ չ

որսւեղ

լ

ձո--0

ԵՑ» ք--ՒԼ,

օ(Ռ) ՏՈՂ

ՈՑ

քշջ

Ազ

ՍոՀ-ը

"1

-բ-Կազա-

կր---

են, դրական արմատներն ռարման .

այն լուծումը, ճավառարմա՛ն

1».

0Հ7Հ«թ

ուսման այն լուծումը, ս(0, 3)--0,

15.

Ջ-«

օ-Հ-ր

սՌ,

թաւցո

գտնելժոշ

0)--0,

-

Ճ

որը

սՇ,

14.

`

՛

ՕՊԵՐԱՑԻՈՆ

ոու

02ս

Ք

շո-Ց

լապլասի

ճավա-

(Զույյոջ

դուրը

ր

`

1:

9.

'

որոն

ճավասարման Տ.ՎՐ-Ց

այն լուծումը,

ժմ Չը յ

Օ

ղք,"

ւՀ

որը

ՀԷ՞-

ի

Գատ.

-բ' ս-ա-ք.

:

Ը

է բավարարում

Տ

ն

ա

Հ-Աշ

ւ

կոորդինատներով,

կուսու մեջ

Աո հավասարման

ՏԱ-Ց 2-Ի

02ս

Տլոճ

ֆունկցիան 0ՀռՀ1,

լուծուսին էյ

որը

բավարարում է

ճետեյալ

ս, ս(, 7)»-6-38ոյ, 0)ՀՏԼու, ս(Խ 1ՒՀՀ5- Տո խնդիրներում լուծել Լապլասի ճավասարումը տրվաՓ եզրային ռդայմաններիղեպբում՝ վերջավոր տարբերուքյունների մեթողով, եբբ հ--0,25. Համեմատել մոտավոր ն ճշղրիտ լուծումները:

ս(0,

3-0,

պատկերը

,

յ

ո

ՆՈ

իրական սվփիովփիոիւականի որը ֆունկցիա,

ր

ճա

Հոր

ի.Կ

ն

"իլ

7 իան

նե ե Քոր

("

ես

Բու

"

ՍԸՎԱՇՈՇԻՔՇ

ք `

Ճ.1 ողո ՔՆ-մԼ,

Գաղօ,

ՊՏՐՔՅՈԵՒԼԵՏՇ

լ

Ժ4"

ետազա Օղերացիոն տաշվի հ նրա կիլառությունների թյուն ճամար կարելի է Կշել ճուոնչալդրբերը. ՊՃ. 1. Պ քԵճյ

ո

12-15

,,/,Մ,

է է

:

ոբոշ-

վաժ է էշ»0 դեպքում (երինմն ընդունելու ննք, որ 1(է) ֆունկցիան մի ջակալ որոշվաժ է --օօՀԼՀօԹ քում, բ լց 1()Հ-0 ԷՀ՛0 դնպքում):

Րչ

|

ի

Դիցուքտրվաժ

4ե

0ՀՄՀ1 քառա |

պայմաններին. 16.

նրա

աւ

` `

3)-«-)

ն

կտոր է, կտոր անընգնատ ենք, որ 1) ֆունկցիան Ենթագրելու ալսինքն՝ տյլնպիսին, որ ցանկացա ս|նրջավորմիջակոլքում ալն ունի

'

|

ս,

1. Սկվբնական ֆունկցրա '

։

'

Ն

15. ԲԱ

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ՔԱՆԻ

`

պայմաններին,Տալ խնդրի ճիզրողինամիկականմեկնաբանությունը, խնղիրը լուծել բնեռային Ցուցում:

քշ լո

ՄԻ

ԵՎ ՆՐԱ

չ

բավարարում է ճետնյալ պայմաններին. ս(ռ, 3)--0, Ե)Հ-0, ս(0,9)--457(Ե--33),

ՀԱՇԻՎ

Օպերացիոն ճաշիվը ներկալումո մաթեմատիկական անալիզի արկոր բնագավառներիցմեկն է, Ֆիզիկաում, մեխանիկալում, էլեկի իկալու տարբ Ր Ը" տրա (ո դիր ա ուրիշ դիտուխլու լուժելիս օգտադորժվում են օպերացիոն ճաշվի մեթոզները: Օպերալալն կիբառություն է դանում ժամանակակից ցերն ճաշիվը առավել ն Այս դլերոմ (դասագրքի տելեյիելանիկալում: մ ավտոմատիկա ճախորդ զլուխների ճիման վրա) տրված նն օպերացիոնճաշվի" ճիմնական ճասկացությունները ն շարադրվաժ են սովորական գիֆնրենցիալ ճավառարումների լուժման օպերացիոն մեթոդները:

Տո

սաճմանափակված օղակում դրտ22--2--83շրջանագծերով

:2--2--8:,

եղ

Մա" 1-88:

Ս(1,

ՓԼ Ո Ւ Ծ

ԼԷ

:

.

օ3-Ց:

"0.

(2ուոա-») Գ ատ:

.

Լլաղլասի ճավա-

ժշ

ուզգանգյան մեջ զանել ա

տարման այն լուծումը,

3.

0ՀԷՀ4Ի

Ց -Հ--

Օ2շն

0Հ7ՀԵ

0ՀռՀռ,

«Ո,

սս

ս(2,

շերտում

ՄՐ

ս,

02ս

ՉԼ-2

է ճետնյալ պայմաններին. բավարարում

ռրը

ս(8, 3-0,

Պատ.

ս(0, --0,

0ՀՀռ,

ժս

2)

ի--0

է ճետնյալ բավարարույմի

որը

Փ-«(--ո՞)

ս,

ընղունելով

(10) բան աձնի,

(բոտ Տ 6-ի

Գտնել

11.

Վ. Սոքա:

ԱքաւծաՇորւ

6-0

ւ.

Ս.

Լօ6:6Յ4ՈՒ.

Է

38:41ՎՅՎ

Է735աօոօ8,

ԽՇճՀՈՒՌՈՆ

Ոոթճօծը250841181ւ ՕոռքումՕրիցօ6 8, Օոտքմւաօովւօճ1ՇՎկՇ ոմա».

1. 21նի

.

ուռու

Ճ.

մնառիբու-

0ՈՇ0Յ`ւօոթա Ո Ոք:ջումաօը,

ՌՇովոոՎՇԱնԸ,

ՀԼ,

ԷԼ

5Տ )։

Օոճթուա

8Ղ--11., ԸՕՀ6:«13147,

Շոքճոժցատ:ԱՕ

1951: 8. Ճ. Ղու

"1

օ6

Ա

19650»

ՔՇՎԱՇՇ-

Փոաուրուտ,

Մա-

1961:

1956.

Ի(ք) ֆունկցիան կոչվում է լապլասյան պատկեր կատ Լ-պատկեր կատ էլ պարզապես1(է) ֆունկցիայիպատկեր: 1(0 ֆունկցիան անվանում են սկզբնական ֆունկցիա կա՛մ օրիգինալ: եթե Ի(թ)-Ջ (գ

:

սե ւս 12 րի զոլոթյԺ ո" 0ՀՀԷՀօօ անվերջ միջակալքում մի քանի ւ. Ք լրացուցիչ ալի վրա գնո" ճամար (1) Փունկցի լու ապաճովե ունեն 11 ն 50 : բեք, ա Բո ւու ւոուն դրական թվեր, որ 0:։-1ՀօՀ միջակայքից ալնպիսի վերցրած է-ի ցանկացաժ արժեքիճամար

Ի ար էյն հնլքաղրոլուգոյություն մանավփակում: Լ

"լո

՛

ո

սա

է, ֆունկցիայի ոլաւոկերն

ս

ասլա

՝

հ

ՍԱՀ Դիտարկենք1(է) ֆունկցիայի կոմպլեքս ֆունկցիալի" արտադրյալը, կոմպլեքս թիվ էչ

ն

է

նուլնպես1

(5) ֆունկցիան ցիա է.

փուիոխականի որնէ (1-0)

բամ

2) ալն

կումոլլեւքսֆունկիրական վուիոխականի

ճնոնչալանիսկականինտեղիրալը: դիտարկենք Ալնուճեւոնչ Ս

Ս

Ցուլցտանք,

որ

եե

(է

ֆունկցիան բավարարումէ լ1)

ի 6-ՃԱ(է)«05ԵՒ

պայմանին

կողմումդտնվողինտնեդրալչ

րն

Հռ Նման

ձնով

-. | «-այՎ

իթ

է

ք-ի մի

նշանակ ոնքԻ(թ)-».6-ՔԱ(Է)ձէ: Ի(թ)-1

ՀՀՀ

Աաաա

հ

"-

տես

ՄԱ

աի

ՀՈՐ

Ր

1:

ԱՐԸ

ճետնլալ բնական ճարարդ-

եթե

ապա

ի

ւ

թեռ արա ձեակերպ "

ւռ

ուռ

բեմի ճիման վիա եզրակացնում ենք, որ գտաժ ֆունկցիան առաջադրված խնդրի լուծումն է ե սրբեիշ լուժուփներ դոլուլթլուն չունեն:

գլխի

ֆունկցիա է բ(ք) ֆունկցիան ք.-0 դեպքում կոմպլեր, փոփոխականի Գ. 2» 71. 1Ն Խմրշխուրնտ:, ԾԵՇԼԱ6Ն 8. ,Էքօ Շաաքոօ (անս, օրինակ, 8. 14-ում ձնավոնման քնհարկված Ֆուրյեի է ՃՍ գյխի Տ (() ձնավոխությունը

խությանը

են

միակն է արդյոք այդպիսի ֆունկցիան Ի(ք) ն 1) ֆանկցիաննրինկատմամբ սրոշակի ննթագրությոնների դեպՔում ալո երկու ճայցերին էլ արվում է դրական պատո սիան: Մասչ նավորապես, պատկերի մբակությոանը ճաստավում է ճնանյլալ թնոՀբեմով, որը բերում ենք առանց ապացուցման: եթե «() ն «(ը երկու անընդնատ Թեր

Գոյություն անի,

իքԳԱԱաը պատվերի գտել

-

(4)

իմաստն խնդիրների

Դիցուք տրված է որոշ Է(ք) ֆունկցիա: Գոլություն անի ալնպիսի (0 ֆունկցիա, որո ճամար Է(ք)-ն որակներ Է:

Բո,

որոշ. '

կոմոլլեքս ֆունկցիաների մասին իրական փորոխականի

(Դ

միննույն Է(ջ) Լ-պատկերը, ապա այդ ֆունկեն: նույնաբար ձավասար ցիաները Ալս թեռրետըճեւոադայում կաՀ ամենուրեք կատարում է շատ էր" Իրուբ,եթե դորժնական խնդիրներ լուծելիս ինչ-որ ձնով ենք որոնվո ունկցիա ատկերը, որոշել լնուճնոն

`

ԼՈ()/--Ւ(թ):

մեթոլննրուր Ծաղում

ունեն

եզ այսպես,

նան նրկրորդ ինտեդրալը:

(6)

նրանց մփիջոդովճաջողվում է պարղեցնել շատ

՛ աան ատի ֆունկլի ցիաներն

,

Ս

դոլությունունի: Այն որոչում ինտեդրալը

որը ֆունկցիա,

Ն

լ

6-ճ-աԱ 6-«ԼԸՏ լէ ՎԷ-ճւ

`

դնաճատ վում է

լոք

Եվ Հ) Ե -«Կ(Է605

ձէ

որ

ցերը:

լան. ըՀՏյ, ապա (8) ճավասալրույթ ն ինտեգրալներիզուղամիտոաթյունըբացար ները զոլության ունեն ինտեգրալսերիցառաջինը: ալլ ձակ է, Նախ դնաճատենք ՏՈՐ Փ.. աջ

|

1(ՍՀԻ(ջ) ի կտեսնեն մուժման Ինչպես ճեւտադգալա ք, պուակերների

է,

սաորն չարադրվող

(3)

6-"Վ(ԱՏո էմ:

(5)

լուծումը լուծումը,մասնավորապես, դիֆերենցիալ ճավասարումների ճանդեցնել այատկերը դոոնելուճամար ւղարզաղուլնճանրբաճաշվակ Իմ ան կարելի է դանելօրիգինալը ուլովսլոււտկերը, դորժողութլյուննելի: կամ նախօրոքկրա ճիժ պատկեր» աղյուսակներով կասի «Օրբիգինալ--

6-թյ()»-6-(ԻԹՎ(Ռ--օ-«Վ()օ-6օ-"Մ(կօ05Եէ-16-4()5ծե ԵՒ ժմ օ-"Վ(1)օօ5 | .-ՎՈ)ԺԵԷ-)

Ւ(ջ)-10) |

ւք Շ-թ

6-(է)/

.

Ի

ն

իրական որտեղ քՀ-8-15

դրումնն այսպես.

|

Տ

2.

Է

1() զոնկցիան,

«(է,

51դ Ն ՇՕՏէ արը

ֆունկցիաների պատկերը

աաճմանվումէ ալապես.

30--Դիֆերէնցիալինտեգրալ Հաշիվներ ն

ր

14()Հ-1, երբ Լ-26/

՛

1(Ց--6, երբ ԷՀՕ, Հեվիսայդի միավոր ֆունկցիա ն նշանակվում է

կոչվում է պատկերվածէ նկ. գրաֆիկը Ալ" ֆունկցիայի վիսալդի ֆունկցիալի Լ-ռատկերը: Թ,

՞

Փ

ւան-1 կոռռլես,

ու

6-Բ'

Շ-ջէ --

Մ-»---Է-0.

«(-ար՝ Հե-

Շօ5 14--չԷ-, ջ՛-Է1

Ֆ' "Թ

ես պասոկերանվանում`

թ(ք)-ք)«-"Կ(յ)

Նկ.

`

ճիշտ Շօ()Հ- Շո

ԼՎՏ1ո

Տու 6-Տէ

ավ

աե,

լառպնո,

1.

եր Դից»ջ

Տլը

է

ՄԵՀ

։

այո

ն,

դեպքումկու-

ճնտնաբար,ՇՀԸ, Ա

այս դեռյքու

6-Ֆ(--քտՏդէ`Ւ-օօ9յ|

5-81

ւր

Էջ

ավելի

Այսսի«ով, եթե

|

բնդու» ընգու

ք

6 ոճ" 10)42 2)

ԼԱԱՑՒ---Ի(ԸԻի

Ձ

Ձ

Ն. ԼԵՐ

ապա

Լ

|

լ

ւ

թ:--1

(9)

Օրբինակ7.

-

ելք.

ալս դեպքում 1(Ա)--օ081.

որպես ԾԿ ինտեղրալը ճաշվելիս այն կարելի էր ներկայացնել

Հ

Հ

(11)-իծիման Տղ

|

իրա-

կստանայինքնույն արդյունքը:Այ" ղդումար: ինտեդրալների ֆունկցիաների նան է երկու ճաջորդ ինտեգրալներին: վերաբերում դիտողությունը

ւր,

.

.

:

կան

նուի,

Ի(ջ)-1(6,

|

(19

:

ասի

|

---ՏԼՌէ, 1(«--Տոե

'

:

աճման ան

ուր ոււեմն,

Դիցուք

ձէ

-

օ(1)Հ-1

Տո՞էՀ լլ.

21./ ԱՐՍ--ը

ԼԱ(ՑԼ

Ս

ք

|

օ-»աւմն

«

Պ

ս

ք

փոփոխականիփոխաբիին Վերջին ինտեդրալում կատարենք Վշ»--84Ն.ալս դեպքում՝ նելով 2--ՅԽ ճնտնաքար,

ֆունկցիայի

1() սրիքանիձեռնարկներում ճաշվի Օպերացիոն

Ալոպի»ի

-ջժ-ր -

ի

Աժ

ք

ՉԺ, (է-ի)

-

|

«(ՍՀ-,

բաաաթ

է)

ՇՕՏ

Տ 3. Ֆունկցիայի պատկերը, երբ անկախ փոփոխականիմասշտաբը փոփոխվածԵ: ՏՈ Յէ, ԸՕՏ ձէ ֆունկցիաների պատկերը

|

ՈՐ:

լ

լՀ-

նենան

"05

րլ

6-ջկ(Տլոէ--ք

-Է01--

է

բ

Ր հին,

կամ, ավելի ճիշտ,

ի

Ալապես,ուրեմն,

Փանենք

397-ում:

«

1-Լ1«օ5:Ս--)

.

վրա

լ Տ1Ո Տ

ՍՈ

Հն

Ն

(5) բանաձնիցանմիջապես

ո-7-

|

--8--

81.

քն"

ոտանում

Լ

Հ)"

կամ

-

ամ,

լ (2) Է

|

Օրինակ8,

(11) րանաձեի Հիման վրա

ԸՕՏ

(10)

րանաձեից

ստանում

-

Լուժում:

ենք.

----"Թ--շ

|

Շ՝ ւ

Հետնարար» (1:)» (Թ)

ւլ

ՏՅ.

ծաստատուններով բազմապատկվածմի քանի Թեռրեմ։ ֆունկցիաներիգումարի պատկերըճավասարի այդ ֆունկցիաների արտադրյալների պատկերներին ճամապատասխան ձաստատունների

Այսպիսով, (14Դ

բոլոր լան ճառվասալրույթ

՞

անդամները

ինտեդրեչ ճ-ՇՏ-ող 0-ից ինչն ՇՓ սաճմտաններում՝ բազմապատկելով լով բատ |-ի (Ըլ ճաստատուններըճանելով ինտեդրալինշանից), ըսՕբինակ Լուծում

ճայտվումէ

բանաձեով:

Փոնել այն սկզբնականֆունկցիան, թԻթ--2--Վ-ՐՏթյց քլ :

8) ա. (ջ-)--6

ատաս-

ապա

|

։

(15)

(Ս)։

որի պատկերն արբտա-

6.

6-"։

Տիզ,

Ըհգքր

:

|

ֆունկցիաների 6-"Ը0Տ541 պատկեր

ջլոց ր

ները

Գանել Լ(1ՍՀ-3Տ1Ո4է--26055է ֆունկցիայի պատկերը, (15), (13) ն (14) բանաձների ճիմանվրա ստանում հնք.

ԼԱ)Ց-Ա-Ր-9ի.--Յ.-Հիա ք24-16 քշ2-վ25 ք2-16 ք2--25 "

տվյալ Ի(ք)-ին ճամառլը

դա

Ապացուցաժ Թեորեմի միջոցով կարելիէ նշանակալիորեն բնգ այն ալնել պատկերներիդասը, որոնց սկզբնական ֆունկցիաներ վ արելի է դնել ճե շտությամբ: Տ

ճավասարությունը:

Օրինակ

որ

Լ(6-«Կ()--Ի(թ--»),

,

3: 20605

Ի(թ)-1(8, Ի՛(թ)»էն(),

անում:ենք (14)

ենք.

օ-6:54(յգե Է/6-«Վ(-|6-ու«վ(ԱՅԵ-)

ՇԲ(թ), Է(ք)--Հ կողը

ւ

ստանում

է, որ Բ6(ք4Վ-4)»5,յ): (Ալոտեղ հնթագրվում Ապացուցում: Գանենքօ-"Վկէ) ֆունկցիալիպատկերը.

ն

ե

2-ի

Տո

Է(ը)-51

ապա

(Կ)

թ-1

թղթ

Տեղաշարժմանթեորեմը

երե թ

եթե զումարին, այսինքն՝

(14)

Մանո

Թեռրեմ։ եբե Ի(ք)-ն 1(է) ֆունկցիայի պատկերն հ, Ի(ք--«)-ն Էլ օ-"Վ(է) ֆունկցիայի պաակերնհ, այսինքն`

:

|

( Օ-Ֆ6ո(ց

Չ0-------։

(18 ) բանաձների ճիման վբա

ն

ճետնում է, 1-ի միակության Թեորեմից է, անող միակ ոկցբնական ֆունկցիան

Տ ձո Պատկերի գծայնության հատկությունը

ո

ք

Տ

(13)

ք2-

Ապացուցում:

(0Հ-ջ

05ԳԵ- Ք.ա"

ապա

« ամ

(Ըլ-Ճաստատուններեն)

ներկայացնենք այսպես.

Ի(ք)-ն

որն

նուտ

ան վրա (15) բանաձների Ճիւի (8)

լ

Նան

բանաձնիցանմիջապես ճե

է.

ձն

ո|՝

-Էբ-«.

ք-Ի«

ք--շ

»

,

Շոն

(16 )

|

(163

(16՛) առնչության անդամներիցճանելով(16) առնչությանՃա ա սվատասխան անդամներըն ճանի այ արդլունքները բաժանելովՀ-ի վրա ստանում

չ

Ենք.

(1/1 ԸՆ11711. իջ («յ ք-օ

կատ

ճնք,

` Լո ւծում:

ՔՑ

ձնով, (16)-ի

ն

(167)-ի

Է ք

ք-2շթգ-10

ԷՏիճն

(17

գումարման

.(-ԷՐՌՀ2 (Ւ3:-9

(Ք-Դ3.

-Ի6՝

(13) բանաձեից(15) բանաձեի ճիման

ճեւտնում

ճիման (19) (50) բառաձների ցիան.

Տ

1.

"

ձե

մ

(20) է

:

լմ

պացուցու

է (1) քավարարում

ենթ (Թ) առնչության ձնափոխում

'

Ս

ք-10թ--41

7`

(թգ5թլ-16 "4

Եվ այոպես,

Ի(ք---Է ԹՀ-բ

արտա»

բ"

օ-նելո Ի(թ)-"---

4է,

ապա

Ի(ք)ՀԵ():

(21)

մ: Նախ ապացուցեն ը,

որ

պայմանին,

եթե (8

Ըստ

1-5»

ֆունկցիան

ալա

ինանդրուը դոլությունունի:

(22) ,

պալմանի Ւ(Օ|Հ6,

ք»-1Դ-1ծ,4»3յ: ընդգորում 8`»9, ալյնոլիսի5-»0, որ սոնղի կունենա

Ակնճալտէ

որ կգանվի անճավասարությունը:,ինչպես

Տ

ն

1-ում,

որ

է, ապացուցվում

| 5-««կրտ

:

բզտրքթ'

Հետնարար, (18) բանաձեի ճիման վրակունենանք: .7

ձախ մասի

Ց0-»0:

(թի

Յե,

| օ-թվ.-էյոլլ զե

քյցթի

ռ

(-Ոթ Հվ

Ի(ք)----------------

ճայտության տեսքի.

դանումենք ոկզբնականֆունկ-

Պատկերի դիֆերենցումը

եթե Ի(ք)-1(),

Թեռրեմ:

Ւ(ք)-ճ

'

(թգ

2-6-Կո

(5)

այն սկզբնական Գաոնել ֆունկցիան,որի սլատկերը տրվում ճետնյալ բանաձնովչ

1ուծժուտմ

դլ

3`

է.

ե

ԸՕՏ

՝

(ջ-1--Թ

Ի(ք)--6-«Ը053է--

վրա "ճծտեում է,

--ՔԷՐ օս (թ-Ւ«):-2:

Չ

ք--1

'

Օրինակ

ՔԷ.

ե

(18)

Հոխե

Ֆ6-շելղ

(թշ)

ֆուսկցիան,

ԹՎԱՑ

ճանապարճովստանում

մ

ք5--2թ.:-10

Ձնափոխենք Ւ(ջ) -

ոլատկերը սրվու

Ք3

.

|

(15) բանաձնից (15) բանաձեիխ Ճիւան վրա Հ

սկզինական ջու նկցիան,որի

Ւ(թ-

.

Հա

այն Փաոնել

բանաձնով՝ ճենտմեյալ

ք

զ

Նման

« Օ0րշինա

:

(52) ինտեդնաճատեն բ լուն ունի: Ալյնուճնան, ինտնեդրալը դոլույթ Դր""ԼԸ:

մ 6-վա(0ԺԵԷ-1| թ "-Ցա"

.

«Վո(լյմե

Քանի

6Է»0 ցանկացաժ արժեքի դնպքուսի

որ

էն յիանավակ

կարելի

բացարձակ

գրել.

Է

օօ

«էլ

է որոշ փխոքը մեժությատք

քամ

ֆունկցիան 1-2

-.-:ե

Է Թվլից, ապա

թ

Նմ

օօ

օ

օ-6-ՉՎԱԱՆՀՀ«:

(թ "(ՍԿԵՀՃ) թ-օ-ԿԱ)ԿԷ-Խ)

որ (23) ինտեգրալդոլությունւնի: ազացուցվեց, Այսպիսով,

ք3

Սա-

ծան «ոզացած

իստեղրալը կարելի է դիտել որպես

այչ

էլ

--»լս

օ

կալն

ձնով

դե Ո-ի դոպքում

, առանում

-ի

ենք

ՏՆԵ,

.

(5-այմ

.

.

ինտեգրալի

կարգի աժանցյալըըստ

Ո-րչ

ք

պարամետրի":

Օրինակ

օօ

ր-մ

Այսպես,բեմն յ"

մասերը

բոտ

(2-1 քանաձնիցստանում Օ.

ենք

ճեն

(04

աար

Ի

|

բսնաձնը.

լալ

'

՞.

ուան

Թլուննելից

»

ու

մմ

Օրբրինակ3,

Տ 8. պատչ

Թ Ե |

վբա ստանու

Ապացուցում: ենք գրել.

ենք.

-ոո(, ա զ

Ե

6,

՛

Մ

ռտ

" անում

սլարամետրի սպարամետըբ

ենք.

(6)

ապա

պատկերիսաճձմանման

ԼԱ(Ս--1 Ա22 Ենթագրելու

ստռնում

ռէ

Օ |

Ա հնք Դ.

(25

բանաձնի ճիման վրա

թԻ(թ)-(0)-0(ժ։

1".

իրական Ավելի վաղ ստացել ենք որոշյալ ինտեգրալն ըստ 12 ալխի Տ 10), Այոռեղ զ դիֆերենցման բանաձեր (տես 1 ճատորի է ճիշտ, կոմովլեքսթիվ է, բայց դիֆերենցման բանաձեր մնում

ձախ

պատկերը Ածանցյալների

որեմ: եթե Ւ(թ)-1(Է,

| ՝

ն

ռ

(թ--)շ

Փրենք (8) բանաձեր.

ճին Ալս բանաձնից (51) բանաձենի

յ

(51 (15) բանաձնից

ենք.

ք

»

ան

լ

(51) բանաձեր: աստիճանային ֆունկցի«յի (25) բանաձեն օլաաղզործենք

աջ

:

(թ2-Էո:)2

այսինքն՝

ավ

Հ-Ի:

Լաո,

Ց

դտնելուաար

աաա

.

Հ (13) բանաձնից (31) բանաձնի ճիման վրա

ԵՂ «ոյ, Օ-Չգրր()-| կերը

2թտ

աաննԻ-----Փվ

0.

ո:

բանաձնիկ (անո (15))

ՀԵԳաաաաաաաաա-««վ Ը0Տ ձէ:

աա6-2 1(Սձե 6-Ե(--Վ(Ո)ՄԵՀ--ը,| մռ

Ալս երկու Ճավասուր

ենա

ղղ

ոչ

մէ

Յէ

ստանում ենք. ռլարամետրի ճանաղարճով դիֆերենցման

ք

Ն

(23)

`

«թռ

,

-

՝

ք"ի

|

.

(27) ճիման վրա կարող

«-որ(ցյմծ

(28)

1()(1) բոլոր Ւ(է, 1՛()...., ածանցյալները ն, ճեռրոնք Ժեզ ճՃոնդի (1) ո"լայմտանին պելու 12 բավարարում որ

՛

արար դոլություն ունեն, (29) աժծանցլալների

մասի ինաեհդրալըճաշվելով մասերով, կգտնենք. «

Ազյուսա ո

ո:

-

-

՞

է»2շ.՝

ճ :

ք2-1գ2 ք2 22

.

Ռւատի

-

ւտ

Թեորեմն ապացուցված

է:

0)---10)--թոլթ):

ք

են,

Ւ(ջ)

(0)

|ք

լըո-1

ո--2:7 է (0)-

Էջ

(թի«):լոն

Փո

Տը

Յէ

(23-Լ 82)2

|

յ

Է

1), ք"Ի(ք)-չ

ԱՑ:

Յէ

է6--«1

է ԸՕՏ

,

Հաաաշաւան (ք.4օ)շ

քԻ(թ)--1(ծ,

Յո

(2-83) թ-82

(30) աքլա-»/(0)-րո-ո(0)|-51()

լ"

շք

ւ.

Փ-«Կ-օՏ ՅԼ

ո քո

ց

(29)

.

(թի»)ո-գ-ոշ

-

Դիտողութլուն: (27), (58), (30) բանաձներըսլարզեցվում ստանում ենք. եթն 1(0)--1(0)--...--Է- Ս(0)»-0։Ալո դեսլքումի Ի(թ51(Ս,

«է

«հ «1

ք2---օ2

կարգի աժանցյալի ճամար պատկերը կլինի. Է

Տի

-

ք,

կասի, բացելովփակաղծերը՝

ք Ի(թ) -թ(0)--1(0)51՛()։

ոի

թ|թէ(թ)--1(0)1-1՛(0)51՛(Ծ ւ,

ւա զ

ծ

պատկերը: ածանցյալների (27) բանաձնում Ւ(ք)-ի փոխարեն տեղադրելով քԻ(թ)--1(0)արատաճալաութլյունը, իսկ 1(0-ի վոխարեն՝ Ւ՛(-փ ունը, կստանանք. արտաճալտուլթյ

Ձէ

-

Այնուճետ դիտարկենք ցանկացած կարդի

ԸՕՏ

Հ-պանաաւմ

|

ն

լ

։

Տո

ք.

,

լ

ք

Չ

իոկ

|

10)

-

լ

լ

-ՔԱ(է)»-0,

-քէ .-6-ոմ(ՍԺԵ-Ք(ք)

(յգ: ՔԿ

ւ.

|

(1) պարքանի 1ու6

ղ

ք

.

Ո-րգ

|

Բ(թ)--|

. դ

-Էք)օ-ոմ(յմե / օ-մ(|ժէ--«-"գ(է)

ԱԼ(-,

Բայց բոտ

ճավասարության

223-511

| |

ՅԷ--Յէ

ԱԲԻ)

Ը0Տ

8է)

ուլ) է

Բ:(թ)Իչ(թ)

( ՐԵն-»):»

Տ

9.

Մի քանի պատկերների աղլուսակ

թյան Ստացաժսպլատկերների օգոաղդործմ ան ճարսարու Է

մեջ: Լեկ մողլուսաւկի դրունքտեղավոբենըք

ի

ճամար

Ծ անո

:

ավելի

ուչ,

թ

ու

ՒԶոէ

ւշ

ԷԱ ս

ւռ

՛

մ

յուսակ

13ն

՛

բը Բանաձնե

արտա կար

Դի տողու վերցնենք

Թ լու

եթմ.որպես (0

ւ

մաններին բավարարող «()

ու

14. ,

քանաձնի ձախ

15,

ք:

քչով, փոտանան

(ԼՔԴՏա

|

"0)

ն

դրենք

1-ի

ըստ ւ

-ի.

գոյի

8.

)6

Ց), Բ,(բ-Է)

15-.

Տ

10.

րում

ք- ու,

ը. կստանան

Զ

ր

ճաստատունդործակիցներու դիֆելրենցիալ ճաղառարում՝ Հց» ՅլոՀ:,

բՀԴԿւեր զո

Ձու,

որը

բավայարում

Ճո

Ի"աց

Պաճանջվում է էշ20 գեպքում դտնել

լուժումը,

է

ալդ

գոա(Ս-ՎՈ)

67:

:

ջւ(ՌԳԵԵՐ»ՎէՂ..«ԴՅո/|6գաիաո

«ՀԱԱ.

րօ-6(

ա

ն նր ֆունկցիայի

1)

զէ"

Լլ

զ"-1 ւ մ"-չվ

աժանցյա

Հոլատկե ֆունկցիայի Լ-պատկերը

նկցիա

լունը ճավասարութ

կա-

աԲու(Սթ-ԼԱ(Սի նա

ն

ները,

ստանում

ենք.

ք""(թ)--(Ք" -

ՅԼ

ԿՈՐ

(30)

փոխարեն տեղադրելով

աք"

ոյք" ..Փ».22..

(32)

ո

ԱՃ. ոլ

կողմու, ւրուսի՝

Ս (95) Հետնաբար, ջ

(33)

յգ

ԱՅ ՍԱո"լ Այսճավառալրույթյան (եջֆունկցիայի ածանցյալների (51), (29), կերների արտաճալտությունՀԼ

յ

սկզբնականպայմաններին:Այս խնդիրը ավելի վաղ լուժելենք ալապես. դատելննք (31) ճազասարմանընդճանար լուժումը, որը պլարուէ կամայականճաստատուններ. ճւռ ուատունալդ նակումի ալնուճեւտի

են,

Լ-Հապլատկերներն պատկերներ

երի

ճավասարման այն ճ»-:1()

«(0)--չյ» (ՕՖ-շց,...,«Ո Չ(0թ-ց .

որբընշանակենք Ի(ք)-ոյ: բելի է դրել այլապես:

Տրված դիֆերենցիալ հավասարման համար օժանդակ հավասա-

ա

ՎԷՐՅյ)

ձախ մասում: :() Հավասարության

Ս

ք

|

ՂԶԿՎՆՆ

ք

Դիցութունեն Ո-րգ

ՅՈ

որ

-

Հ (1-42 1թթԲ:4(թ)-)

,

Կ

ք

այգ արտաղդրչոյը բաղզմապասոկելով

ենք

մ

ե

տեղադրելով Բշ Իւ(ք թ

(է,

ստուգելլուժումը որոնելո ք ): (31) ճավասարության բաղմապասոկ բոլոր անդամները Ճեւոո հ 0-ից ՇՓ ինտեԲ-Քեով, որտեղ մինչե սաճմաննելոո՞ւ ք»-8-1Ե, կարող ճշտաթյունը

գրույան

ք

։

ն

լուծման

ճավասալոի ան լուծման նրա` ինչի. ոՈ-րգկարգի ածանցյալներիպատկերները(այս հնթոս

մասում

(թ

(52) պալՏավասարման՝ Լ-պատկերը:Ան: Լչպատկերը

«(ք)» նշանակենք 2(թ)-ոմ.ալսպիսով» որ Ենթագրեն լուն ունեն ք։ դոլուլժ

ա-

աար (--1»'ք

սլալ-

օպերացիոն ճաչվի մեթողը: կղանենք (91)

ասլաաղլուսակի 1-- 18 բանաձեերի առաջին ալու նակումդոնվող արսաճայտությունները ոլետք է բազմապատկել ք-ով, Իսլ 14 ն 15 Քանի որ նշանակալի կփոխվեն: բանաձները ասլա 14 Ի"(թ)--ՔԻ(թ), Է՞Լ ձաի"մուտ մ Ի(ք)-ի վկոխարենտեղադրելով թ) որո բանաձեիխ ն

մանները:

:

(0 ո 6-»է(է)ՎԵ

Բ(ք)--ք) (9)

լունը ճաղմոու

ներն ընտրել Ե՛ն.քայնպես,որ բավարարվեն (55) ակզբնական

պատկեր

ոլի ֆունկցի

։

ՄԴ »ո-քո-Յ5:0Ի«Դ

ԲօԴ-ք"-3:03...Հ»

(թ) ուա

ՄԴ

(0) -:1Վ46529--ԲԹ (34) 29.0.»

ու

(ո

(34) ճավասարումը կոչվում է օժանղակճավասարում կամ պատկերող

ձավասարում: Այ. ճավառարման

մեջանճարտը«(ք)

պառոկ

Ձեափոխենքայն, ձախ որն էլ որոշվում է ճավասարումից: ռում: Թողնելով «(ջ) որարունակող անդամները.

փա

է,

-

ԴԷ Ճ(թ)(ոօք"-ԷՅյք"՞ ճո-:ՔԴ8ո)--

։

-

դորժակիցըք-ի ո-րդ է, սսոացվում՝ եթե (31) ճավասաիրՀ

աստիճանիբազմանդամիէ, որը ման ձախ մասում փոխարեն տեղադրվեն ք-ի ածանցյալների պատասխան աստիճանները: Այն նշանակենք Փո(ք)-ով.

է Ճց-ով։ վլործ«կիցըքազմապատկվում

.

՞

«

Տ.

Ք

,

Յլ

Փ

ՋՓ

»

Փ

Փ

Փ

Փ

Փ

ԹՓ

Փ

Թ

ք":

դորժակիցըբազմապատկվումէ ք"

Փ

.

Բոլորայս արտագրյալներըդումարվում

են:

ների ո--1

Օրինակ

Լուծումն

ճեւտո, միացումից

նան

Չո(ք)

(թ)

ե)

դ

րավարա-չ

ենք

-

կամ

թ

լ

»(քթ---ԼՀ(թ:-1)թ

ք

ք-

աք

բանաձներից, դտնում հնք

լուծումը,

"(էթ5Լ-6-Կ Օրինակ. Ըյսրում

է

դ

Յ6 (36)

Գրենք

-4(թ)(Ք:-Է9)---2

ե ուտոՄԶ Այս կոտորակը վերլուծելով "

զ» ա

աԼ

փանել

Ճ0--5:--0, Է--0

Լուծումն,

լուծման

1-ի

1ն

լ

:

՛

|

(31) ճավասարմանալն. «(0 է, պատկերն որը բավարարում է (32) սկզքնական պայմաններին: եքն ալժմ զանենք ալն ՋՎ( ֆանկցիան, որի պատկերը (36) ճաձնակերպապա Տ 1-ում՝ որոշվող (թ) ֆունկցիան էչ վասարումով

Ալապեսորոշված

որը

սկզբնական սպայմաններիր,

կաղմում

աղյուսակ Օգտվելով

Ֆո-1(ք)-ով: Ալսշպի-

Սո-ւ(ջ) 3 Բ(ք), Ճ(ք)ջո(թ)--

ԵՎՐ

ԴԸ:

ճավասարման այն լուծումը,

(թ) 1

,

Հ

--0

ճավասաչ-

սով, (347) ճավասարումը կարելիէ դրել այսպես.

:

Տ)

Բ

գի-

անդգամանլամները,բացի Ի(ք)-ից» են ք-ի կազմում հայտնիդործակիցներով

ենք «(թ)-5. Ալ»ճավասարումից էլ որոշում ջութ) զէ «(9-ՇՏՀՐ

ՀԱՐԱՎ" Ցք" Է«Էճո Փտոնել Հ-»-

(357

օժանդակ ձավառարումը, Աջ կողմի կոտորակը վերլուծելով, կստանանբ,

նման

աստիճանի քազմանդամ։ Ալն նշանակենք

Ի(ք)

-5(թ)(թ-1»-0-Ի--

Ի«.-Ի»Ց՝

մասի բոլոր

2-0,երր

է

--2-ով,

ֆերենցիալ ճավասարմանաջ մասի Բ(ք) պատվերը: (34) աջ

Հ,

՛

Փում արվումէ

զրոլաչ

դտնելիս (36) ճավասալրո

եթ"

բում

0 -ովի քո-1չյ--ք"-320--...-

է Ձց դորժակիցը բազմապատկվում

բութան

դում

յ

Փօ Փօ

Դ«-Օ

Փո(ք)

գործակիցը բազմապատկվում է քց-վ-30-ով,

Ձո-ջ

(ո-

ջ «(ըյ---Է)

(35)

կեր: ճետելալ

է

«ՅԱ

այն կընդունի ճնտելալ տեսքը:

:

ճափաՀ

Փո(թք)--8ցք"--8յք"-1-..Իճո. ւք-ԷՅո: Ձո

թյան մեջ կլինի ձո-1(ք)--0,

(343

ն

«(թ)-ր

աջ մասը կազմվում (34՛)ճավասարսի»ն

:

Ճլ--ՊԱ--Ճ0Հ».

կան սկզբնականպալմանների դեպքում

մասում

շշ

(31) ճավասարման լուծումը

Իո" «Իր ճո- «թաչոդու տօ-ԷԲ(թ),

ձախ (347) ճավասարության

որ

«"(0--«(է,

)-Ւ 3)

ո

աէ.

..

որը

ք

գք"-80-.«ԴՅ0 3:

ա"(է)-ճ(31) Բ-է (35) պայմաններին, բավարարում

ճիման վրա կճետեիյ

գ

,

Հք"

թեռրեմի միակության վասարտանայն լուծումնէ, այսին քն՝ ված

`

ու

"

ճավառարման այն լուծումը,

որը

ըավա-չ-

դեպբուսի սկզբնական պայմաններին: (34՛) օժանդակ ճավառարումը, |

լ

լ

կամ

թ

:«(ք-Հ--Շշ'

Թ)

ուրորա տարրական կոտորակների,

տարըակա

«ԹՀ

1. ք-ո9

կՍտանալ նանք.

2" ք

1-ի Ազյուսակ

1ն

վրա ճիմա՛ն բանաձների

()---Գոնել

Օրինակծ,

ը

կամ

լուծումը:

ղտնում ենք

ՀԻ

լ

3ՅԷԴ9"

Օ5

զուգա

Չջշ»է

ԱՅՐ ձ12

լուծումը,

ճավասարմանայն

Ֆ.ՈԸ

լ

Այո կոտորակըանորո)

ը

Աղյուսակ "

1-ի 8,

"(8)--շ թ Լն

է)

1.

ք

-

Հւ Գանել ճշ

ՕՏ

Ն

Լուծ

ուտ

ՀՓո-Տյո ջԵ-

ում ե դեպք

նակա

ս

(թ)(թ ւշ

լուծումը,

Թ

թ--1

'

-

«(Թ--

՛՛

(ՍԹ: ՏԻ(թ

շթ. թ»

Աջ մասի վերջին կոսորակը

ԿԻ

«(թ)--

,

ՏՈ

է

լ

ԷԷ--Տ/ո

2է3-

ե

ճետնոմ

է,

որ

ղծալին

ճավասարտանլուծման պատկերը կազմված է երկու դիֆերենցիալ առաջին անդամը ք-ի կանոնավոր ռացիոնալ կուտորակ անդամներից. է, երկրորդ անդամը ւի կոոորակ է, որի ճառարիչը ճավասարման մասի

է, իշկ Ի(ջ) պատկերն ճալտարարը՝ Փո(թ)բաղմանգամ է,

նրկրորղ անդամբ

ապա

կլինի

է

է դտնելօկղզբնական ոացիոնալ կանոնավոր կուռորակ է. Դաճանջվում՝ է տրվել» ֆունկցիան (օրիգինալը): 1 ճատորի Ճ գլխի Տ 7-ում ցույց է ամեն կանոնավորռացիոնալկուռորակ որ մտի կարելի ներկալացնել ճեւոնլալ չորս տեսքի տարրականկուռորակներիղումարի տեսքով,

դ ք-՞8 --

1295)

արե յե է կար կոտորակների,

յոարբական վերլուծելով թ4 «Հ Եր

լ

Ւ.----

2---268 ԷՒ՞--

-

Լ.

91:42.

լ

ո

է

ն

«(ը)-ն.

ՏՈ

շու(թ)

կամ (90212815

ենք լուծումը.

լ

Մաթ, (թ)

ԼԷԼԼ5ո

Լ-թ: ք--9)

-ե.:

2էվԼ, 206

թղ

ալեւք դնել ալն կոտորակ:Այսպիսով, կարողանալ որի պատկերըկանոնավոր ռացիոնալ կոռոչ սկզբնականֆունկցիան, բակ է, Ալս ճարցով էլ ղբաղվելու հն.ք ներկա պարագրաֆում: Դիէ ք-ի ուք որո ֆունկցիալի ԼՀսդսսոկերը

բի"՛ ոլայմ:սներին

|

1-22:

6օՏ

թյ1:

ստանում

2-ը» (լլ«» Հ-5ա

Ը:

-

որտեղից դաղում ենք

-վ ՓՐ

ռացիոնալ

ո

ձէ

Ա

րանաձների ճիման վրա

եթե Ի(բ)ն ռացիոնալ կշտորակ

Հավասարման այն

է

(թ:12

(36) բանաձեից Նախորգ պարաղզրաֆի

աջ

՛

----0 »6-2, Իր» օժանդակ ճավասարու Փրենք (58 )

է բավարարում

որը

:

զտնումենթ լուծումը: բանաձներով

ան

10.2:

Տ11. Վերլուծման թեորեմը

'

4(թ42) ԻթՎ1Ն

ՄԱԳ

«.

կոտո Կ կոտոր ակբրական

տա

ն

:«(0--6-

Ն

«Թ-ԻՑ Օրինակ

ռով

ու

7,

:

մէլքողով վերլուծու" զորժակիցների

ների, կւտանանք.

8,

22-Ի,

ՎՏ

" ես կամ/ վերջն վերջնականապես

Լ,

(թ413թգ2) քթզ(թ--1)(ԹՒ «(Թ- տ»

է

(ջԻ17:-2

2( է

-2--չ

«(թ(8:38

Մ

"քը

պայմաններին: սկզբնական է Պ0-ՅՃը 50, Է--0 դեռղլքում բավարարում Փրենք (34) օժանդակ ճավասարումը: Լուծում

կամ

|

1-ի

Աղյուսակ

--ՔԷ

ԴԸ

ը

-

ա

ան

Ճ

(ք--Ջ)" ,

րոր Ճք--Ց

որտնղ ճարտարարիարմատները կոմպլեքս

Ո:

-ՇՓԻՐ

անան: ք2--1

՝

չ ն,

այսինքն

ւ

դ-

"Հ,

ի

ինտեգրալ Հաշիվներ 31--Դիֆերենցիալ ն

Լ7,

թ-Է

ՃքԴ-8

կուոլն քս հն. ալս Փաոնենք ֆունկցիաները:

որտեղ ԷՀ» 2,

-»

(թ ճյթԴ8») շ

շ

տարրական կոտորակների ճամար ոկզբնական

ղլուսակ 1-ի

ոռ

'

ՖԽ-----

լ

1-ի

ն

Տ

՝

որ-ԷՑ 8լթ-ճշ

«2`

՛

ջ

ր

ք

ո

|

ՋԸ

(ր.

2.

(ո

ԽՀՈ(Ց-ԸՑԱ------6 Ն

ՕՐքնաց

ո

-Ջ'

ՄՈՎ:

Տո

Հ-Հ-Վ4ԵՀՏԱՈ

3չ 4 ՛ լ

:

ավասարմանայն լուծումը,որը բավարարում ՀՈՄ է Հօ, Ֆական սյայմաններին, էուՓում, կազմում էնք (34՛) օժանդակ -ծ-

Յ

ԱԻ

|

մեց

գամ -ծթ-.--5

:(թ)--

ՊՐտեղիցստացվում

էի

8չ---:

Յ

։

ԱՐ

այն

ր ( ւժ մբ, որը ակզբնական այմաններիք, դ

ուժու

Յ

Չ

քոիջա̀րքաար .

,

Թ

ՀՅ վառարման

(Թ--9)(թ:-44)

Յե «(ՍՀյը 21---Տ:ո

' ճ-

-

լ"ւժումը՝

Օրինակ 4, Գտնել

8.

անըզր-

պամա

ք219 թգ է

՛

20--Օ, երբ Է-0

ճավասարումը.

«ՀՅ

Տո

-

՞

ԹԱՆ

ԱՆԻԻ

սկզբում: նըշ

ԳԻֆ գրինակ

գանել

-

1.

ւս

:

Հ-Ի

ՅԻո-զ»

ր

ասնաչ

հավասարումների ն

հավասարումների համակարգերի լուծման

Ըօտէ

Մր----Չ

մեթոդովդիֆերենց 12.Օպերացիոն իալ

առաջին ն

ԽԼՀՃՇ

նք

ՄիՄանի ս Բ,

մ2:

Այստեղ ով երկրորդ դգումարելիներընշանակելով Կու, աղյուսակ 1-ի Ց ն 2 բըանաձներիճիման վրայ ճամապատասչ խանաբարչ կատանանք. ն

(38

Ա

-

Ը

'

բՅԼ

ՊՀ

Տյու

Հլ

ո-Յ

//Ֆ--բԲ անը

«ո

Ը

յ՛

----ջ-

րր

են րենցիալ

՛

(բբ) -(՛ «-8) (թ) -0/ Ք) Դ(Թ-Թ) ՅԼ "(ՔՀ ( ) Մ»(ասում Լ) 1.

ՊՀ

ը

(թ: ԴՕ/։ԼՔ)

ը.449

ԹԻՒ

Ս

Ճթ--8

ը

Ճճ. թ

դասընթացներից մեկին,

(37)

1 տեսքիկոտորակը: նույնական ձնադիտարկենք կասոարենք փոխություններ:

Ալ

ՅՅ ւ

՛

խնե.

ը.

-շ-

ա:

տնսջի ալստեղ դոպքը դա կապվաժէ ս/եժ մա. ճաշվումների Ք Վոր դեպքերխ ճամար այս ճարցը քննա բկեն ռտորն բր Քոն գճայքումընթերցողը կարու է դիկ ա / գլ|"ի «(աժ Ք՛

բանաձենրի

ՎԵ-1ԸՅկ

(1)

(-ո"

:

ենք.

ձ

.

ԷՄ

աղլուսոկ կուռորակի ճայիար

ստանում

«լ

-Հճ

բանաձնիճիման

Հճճճնկ

թ-8

խ

Է»ւՔ-Իճշ

,

Ճ.

ք

.

արո

սոնսբի կոտորակի ճայի ար ենթ. վրա ստանում

ճի րան վրա

Ճթ--8: թ--

.

1 տեսքի

Այսպիսով, մերջնականապես

ճալտարարի արմատները

բավարարում

է

Ճ0ՀՅ1Ճ0--3, 40ՀՀՑ8, երբ ,

Է-Օ

Լուծում:

,

են Ք

կազմում կազ -

34՛) (38)

օժանդակ օժանդակ

4(թ)(93Դ 1)--ք5

:

ճտվասարում, ճավասարումը

հավասարումների ձամակարգի այն

-երբ Է--0 սկզբնական

1--ք 3-ԻՑ, .

հուծում

Ստացած

-ԲՅ-Ց ԹԻԼ

(ԲԷՍԹ--թԻՍ

ք2--Յք-Է8

վերլուծում ենք ռացիոնալ կոտորակը

Է աք

2.1

ՀՐՈ

Իշ

աղյուսակ Օգտվելով

1-ից,

գրում ենբ

՞.-Վ

«(0-26

փ

ՍՏ

շ

Ըստ

լուծումը.

(

7/3

շի

ԻՑ

Ի

--60Տ---Վ`Լ-ՀՀՀՏՏԵՈ---է

մ22

Ճ--է

Ը0Տ

ք

2է

«(թ)---9 "

Ց

թյվ1

Ի

ԷՒ-ՀՏ1 Ճ(է)------Տ/ո

| 59.15.

9 թՎվՎ4 ե

Է

(թ-վ4թ կ

Բ

2-(-ջչո

21--Լ

որ

է

3մ. ԻԴ մոտ ՅՐՀ-ն ժ. 43 ՅԻՑաՀ աար

են

ՀՐԻ ե

:

---ՐՐՎ

ծամակա

՝

),

,

բարձըր կարգի գծայինճամակարգերը,

:

Տ ՛

օղտակարէ լինում Փ

Լ

17/71

"

3.

Փաթաթմանթեորեմը

Դիֆերենցիալ ճավասարումնի Ր, օպերացիոն մեթժողո Թողով

2:))

գծային դիֆետանք օրինակի վրա:

լուծել

աթաթման

ճետելալըթեորեմ, ոմ: եթեբ բ

եթ

ֆունկցիաների են, պատկերներն Ը0Տ

,

ճավա

՛

(ք-4)շ

օպերաղիոն մեթողով կարելի ճամակարգերը: Դա ցույց րենցիալձավասարումնկրի Օրինակ, Գտնել Ակնճչայտ է,

ով լուծվում

-

չետնարար,

եյ

ձմ

Ց

4`

սկզբնա

0, --0

ենբ.

«Մ-Հ. 1.-.

ձնափոխություններից ճետո կստանանք ՀՈՂ...

դտնում ճամակարգը,

դանում պատկերների

|

որտեղիցորոշ

այս

ԱԱԱ-

ճավասարման այն լուծումը, որը բավարարում է չ--0, «0-ՀՕՑ, երը «0 կան պայմաններին: Լ ուծուսն Գրենք (34') օժանղդակ մբ ճավասարու

Հ

գրենք օժանդակ

«կզբնական ֆունկցիաները, այսինքն` որոնվող լուծումները

ա Նման

Դ(թ)(թ2Դ1)--

ն

չ

Ն

ՀԵ

0)

է

Ք»(թ)--(4թ3) 5(թ)Հ-9,

Գգանել

Օրինակ3

.

ում

կիմ:

«ՀԱԱ ա--1 ՔԹԻ01թ-Ի6) 2թ .10(1թլծ) ա (19-90 -7` արաո-ՐԿՈ» 51թբւ Աթթժ)"

Չ-

ՐՐ)

.-Հ-

ս

։

Ք-՞ջ

ր

: ուծելով

"Մ թ--թ--1

7()

.

լա

--թԻՇ

----Ի թՒ1

՛'ՕՓ--1)Թ2-թԷ1)

.ԷՀ-

րավ

րը

(3թ-Է-2) (թ)Էքթ(թ---, ք

տարրական կոտորակների.

ք2 -3թ--8

նշանակեն /

(է) (թ), քարումներ|, ձամավարգը.

գտնում ենք

Դը

լուծումը,

պայմաններին,

Իւ(թ)Հէ(դ

(թ)-նն Բ,(թ)-ն Էէ(ի՛ն «Թ ն)

ալոինչե'

Ի,(ք)ՀԵ(Ս,

ն

Գէ լուժելիս

նո

ւ

ապա

նան

Բ(թ)Իչ(թ)-ն է

.

ֆուն (ցիայի պատվերն է,

|.

.0-Չ:

բն

այսին

`

յ

|ե(՞)ե(--«)մս Ի(թ)Բ(Թ)-

Տ

(39)

:

/

-

Գաոնքնք եՐ)ե(Է-")ժ:

Ապացուցում: կերը, 0 ՐԸ

ելնելով

՛

ֆունկցիայի

չէ

ՈւՇԵ(-«)ժՀ-1 ԵԱ--«եՐ)Գ»

պատ-

պատկերի 12Ր ռաճմանումից. ից

ճՃաս տատվումէ աջակողմյան Վերջին ճավասարուլթ յան ճշւռությունը փիոխարինման ճանապարճովի ինտեդրալում Լ--ՊՀ-7 փոփոխականի

,

ւմեՕա-Հ8վ-Վ«Վմոնյն«ախն

Աջ կողմի ինտեգրալը կրկնապատիկինտեգրալ որը տարածված ---Օ, ԴՀ-»Լուղիղներով աաճիանափակվածտիրույթով: Այդ ինտեդրա-Հ լում փոխեն ք ինտեղրման կարը, կստանան ք. է,

չ

է

ւրեժոն-«ո-

բում

:

|

է

մ27

-|

-

Կրուզ Իլքէ5

ֆունկցիայի

Ի(բ)

ն

`

ԼԻշ(),

շ

ք2-ԻՒ

Է--ա-

օ

աթ) (ՐՏա(է-«)ժ»:

Դի տողու թ լու ռությամբ դանվոււ է

`

:

Հետնաբար,

ւթ)

ԷՄ

Ա

է ալդ

ե

ԵԹՓ-

»

(Ս, ւ(0-ԼՍ,

աղյուսակ 1-ի

«լու"

ընդ

Լ

Ի(թ)-1(Է, ոսա յ

5ԻԹ)-|այմո Բ(Թ-ԻԹ),Բ/(թ---(Ց Ւ,() Իլ(ջ)ՀԻ(), 6-1, ապա պա

(41) լ

,

ի

լ

|

|

ւն

բանաձեն էս

1:

:

.

կոչարտաճայտությունը |:(Թ600-ՉՄ"

ըոտաեն) երկուֆունկցիաների փաթույթ:Փաթույլթը

4 գործողություն ղությունըկոչզոչվում

է երկու Ր

Մեխանիկական տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումներ: Տ Իլեկտրականշղթաների տե սության դիֆերենցիալ ճավասարումներ 1գ.

է

նալու

եթն

բանաձեր:

1.00 -Թ4Հ6(թո(: ն

է'

|

չ

վում է ե()

ոյն սղուռւկերը, ֆունկցիայի

Իրոր, եթե նշանակենք

Ը

Եվ այսպես,

Դիտողությո

Կ

լ

(թ)օ-"ո()4«-Ի(թ)Բ(թ): Սա

Թեորեմի բիմ ան վրւս ԲԵշՓաթախմտան եթե ճայտնի ֆունկցի»յիինանդրալի արատկերը,

-

եՐ)ո(--

ա

տ

Բ

--«Բ-ՔշչԻ

նշանակելով

՝

օ

ե

աթ

»

Ք2Ճ(2)47-յ 6-Քվ(Է-«յԵ-մ օ-ոաժցր(ըյմո--Փ-Իլ|

փաթաթման բանաձեր

ԻՄ),

Ի(ք)--Ի.(թ), կստանանը,

ականի մփիոխարինումը, կկստանանբ.Ք Ը, փոխարի փովոխականի օ

Տբլլ

՛

'

.

Ներքին ինտեդրալումկատ արելով

պառգերն է, կիտնարար, ՀԹ

լց:

ԾԱՐ):կիրառելով (39) -Ա-ԼԵՑաւ տ

-

ոմ ծ-ջԱշ(է«)ժէ | մո,

բավարա-

Զ(թ)(ք2--1)--Ի(թ),

Հ

որը

սկզբնական սլայմաններին: Գրենք (317 օփանդակ ճավասարումը:

-

«ով

ծումը,

երբ Է--0 Ճօ---Ճ0Հ-0,

Լուծում,

չ

-

մ

այն լու ճավառսարմոան

ա ՒՍ:

Գաել

Օրինակ,

ֆունկցիաների

Է :

փաթաթում,

Մեխանիկ»լից ճա լ'նի է, որ ո ղանդվաժն ունեցող կետի տատանումներընկարադրվում են

զ:

ձէ:

որու

-

Ն Փիր Ճ

տ

տ

լ

Էր(ը

նլութակա

(45)

( 44) )

այստեղ «-Ը ճավասարումով՝

որնէ դիրքից կետի շեղումն է, ի-ն Ճար առաձգական կոշսոուչ ակարդվի, օբինակ,զսպանակի (զառղակի) է Ռ ճամ մաՀ Թլունն է, շարժմանը դիմադրող ուժը ճՃամեմտատական գործակցով) արագուլժյան առաջին աստի ճանին, տականության ե(0-5

արտաքին կամ

ուժն

դրգոող

( 45) )

ական շզթայ, որը կազմված է Լ, ինդուկԴիցուքուն ենք էլեկալր որի նկատՀ վությունից, ք դիմադրությունից ն Ը ունակությունից, սոխի Ը

շ

Ա

ԹԷ

ՅԻՇ

,

9...

ստանում (44) ճավասարումից

նն

լ Հաաա աաա աուլ Վէ զէ:

(ՔՐ)-ը ուռանում հնք (48) տիպի ե

ո--0--Բ, արը ԼԻ ՀԻՇ ւո

ճավասարման

մասերը

ն

օգ

Տե՛ս

-

ՎՐ» ,Ճ--(է)

|

կազմենք(42)

ճուվաուսբման

ճամար օժանդակ ճավասարումը

«(9(8:5ր-այ-ԿՔՎ

ախո

»

որտեղ

ոտացվել է

բ(թ),

'

-

ւ

(45) .

Է(բ)-ն 1() ֆունկցիայի պատկերն է: (48) ճազասալուլթյունից

դտնում հնք.

.

«(ք

Կ Բ(ջ) ԿՏԻՃՐՒՅ -- թ-Ւճյը-ԻՅչ ք-Յքիտ,

(49)

,

.

Այնպես,ինչպես

ճավասարման

(45)

Օ--Օյ, Օ'--Օ)ց, նրբ է--Օ, ,

սկզբնական պայմաններ|նբավարարող Օ(0 լուծման ճամար,

ճամար

տադորժելով

(47)

,

պատ-

կերը կունենա |

օրինակ, Ճ11| գյխի Տ ՀԴ, որտեղ այդպիսի Հավասարում քննար կելիս։ փրուբեռի սապտանումբ զոպակի "

ձշ

պայմաններին,

(3)Յ

65)

'

|

գմ ) 1-ի

են

ճավառուրումըդրենք նումների

:

(49) ճավասարման մեջ,

տիպի

Տատանումների դիֆերենցիալ ճավաւսարմանլուծումը

բ.

ՓՕ

(43) Դիֆերենցելով

-

(44)

ձէ

(46)

զէ

/ աիաի" հավասարը,մներ ր

(45)

ՐԸ

ԲԽ-

ե ձլ» 8ջ ճաստատունների սոնհռ քով, որոոնղորոնվող ի ֆունկցիայի, մեխանիկոկոն կոմ ֆիզիկական իմաստը ալար (Ց ֆունկցիայի բանվումէ ւովլալ ճավատայրումը (48), (45), (46) ճավասարումների Բեւո ճամեմատելու միջոցով: Փանեն ք (11) այն լուճավառարման ում է Ճ-- ը, ՑՀ-աՈերբ Է--Օ սկզբնական բավարար ժումը, որբ

,

---Հ« «--կգ

(44)-ը Տեղադրելով

15.

ոմները

զե"

դնայքում

Լ--ՀԱՈԼ-----Է,

Նկ.

Տ

էենք

ա

Շ

ավասալրը(

ճա

Գ:

ու-ն

ա

|

( (46))

ատա

(եկ. 499), 1-ով նշանակենք շղթաիսկ Օ-ով՝ կոնդենսաչյումեղաժ ճոսանբը, ինչպես ճալրոնի տորի (եցքը, լչ 1լ-ն ն Օ-ն է էլեկտրատեխնիկայի ց, քավարաբում են ճնտն լալ Ճավա ուրու սնն բեն՝ Վ1 օ

Հ

ն

ճափարբչտանում

իլՎ-Ըձէ,

զե

'

Է է.

ճուտնքը որոչհլու մ ր

ԼԳ

է:

ունեցող երնուլթները:

----վ

լումը,

սելալ ճավառալրումը.

տիպի ճավասարմանլուժման միջոցով նկարադրվում՝հն տատանումները ն ազատության ժփեկ աստիճան ունեցող մեՀ սվիուքը խանիկականՃամփմակարդերի, ոլորող օրինակ,լիսեռի վբա, թասիանիվի որոռման եթե 2-ը թափանիվի տատանումները, անկլունն է, լդ-ը՝ է-ն՝ լիսեռի վի ոլորան մոմենտը» իներցիայի կոշտուչ Թասիանի թյունը,եկ տե(է-2՝ արտաքին ոժերի մոմենտը պտտման առանցքի ները նկարագրում 1 ոչ միայն նկատում ամբ: (45) տիպի ճավասարում ռլ էլեկտրականշղթա ներումստեղի մեխանիկականտատանումները,

:

ա

:

(45)

սամբ կիրառվածէ

ճավաս /

լ

օ(թ--

Լ

ո)

Փ.լ ԽԲԻԳՎ

Լ

թ

-ԷՑթ---Շ

էք"

բ թ)

լ

էթ-ԷՑՔ--Շ

|

տեսքը:ուժման բնույթը էապես (ախված է ալն բանից, թե ք5-Դ-ոյք-Լճլ եռանդամի արմատները կոմպլեքս նն, կամ իրական տարք ալն դեռբը, քննարկեն Մանբասրասն ճավիատարո բեր»կամ իրական 4Տ9

նրբ

:

արմատները կոմպլեքս հռանդատի

այսինքն

են,

ւ

երբ

(5) ՛Յլ

--

ԻՇՀՀբիժ յ

են դեպբերըքննարկվում --8չ«Հ-Օ.ՄՖացած ճամանմտանորեն Քանի որ երկուֆունկցիաների զումարի պատկերը ճավասար է

ւ

։:

զրանց ոլատկելների

Բանանի /". "՛ /հ ՄԶ իման որ '.

դումարին,ապա (38)

րնաթունիան կու ւս Նաի "ի Ժ"""/ ֆունկցիան ՄԶ

առաջին

սի

տելալ

2:

ԷՐԻԿ

ք:--ՅւքԴ-8, .

ա

"

)/

«08

ո,

'մ

`

ւ ո տո(է-յ//

ՓՐ

Յլ

ՅՎ

2»

Հ--ՕԱ.,

քին

(52)

:

եթե արտա ուժը՝1-0 ալին քն՝եթե ունենք ազատ խանիկականկամ էլերար ական չատանում ներ, ոսսլա, Լու ժումը վում է (52) արտաճարտության աջ մասի

ր

ՔԸ

ո

.

ոք

ակ

է

.

մ

ե-

րիչ

առաջինդումարելիով

ո--ՀԻ-Ւ

Եթե ոկզբնական վլալները ճավասարհն զրոլիՃ0-ԲՆ0--0,ասլա լու ժումը րվում է (55) ճավասարության ւսջ մասի երկրորգ դումարեչ իեով:Մանրամասն քննարկեն ք այդ դե յբերը: ,

ւ

աթ

20Վ-1

գՀաաա

յ

8:---

յ/

Ցո

Հա

8.---ԸԼ

(50)

ի

Տ 16. Ապատ տատանումներիհետավոտությունը

Դիցուք(41) ճա վառսոարրումը է ազատ տատանումնկարադրում ները,ալսինքն՝1(1)»«0,Բանաձնելի Բո դրության ճՃարմարության մալ մոծենք ճետնլալ նչանակումները.8--ՉԶՈ, Հչ-իխՆ կիկ Ալո գեալքում (42) ճավառորու Ս կընդունի ճետնելալ տեսքը.

Ալնուճետնդտնենք

` 5ՒԹ ք

-Իաք-ԻՑ,

|

սկզբնական ֆունկցիան, կոտորակին ճամապատասխանող են Ր վում օդիո խարաթման Թճորեմից,

նկատելու,

---Հ Հլ

թոն

-:

:

քն

քդ

յ/ ու

մՑ

Էմ

։

|

թ-բութգ ն, Դ. ՀՐ ուրեմն, Այսպես,

ենք.

թ

ճուշվի

ոզ» Ի(թ)-չ1(1):

«05

լ

առնելով(50)-ը

ն

ռկզբնական

։

(51)

րաշր ձ---

ԴԵ

/

ջ

ԱԲԲՀ---Տ

Ըր, .-

Ց

դեպքուս/ կարելի է

ւ

ընդ Հ»ի/1ԸՕՏծ,

(49)-իցստանում

:

լուժումբ,

ա

«ՕՏ

ժշ ՇՎ ՑՆ

հ

որբ

բավարարում է

ո-Է

ԽԼԻ"

ցո

է

զ -ՃՀ--1ց» (50) բանա

ուի

(54)

-

Պո -է, Աղնճարտ է,

'

ըբնարել այնպիշի

որում Խ2ՀՀ-85-ԼԵ7,

ցանկացած

|

օ,

կԵ-Ր'

Ճ»Հ-Շ

կամ լ

(83)

,

ալսպես.

ո

408 1

«()--6-"վ

նշանակենք 7գ--Յ,

Վ-չ

լր

պայմաններին, արվում կամի(58) բանաձեի առաջինղումարելիով

:

ճ--ր

(51)-ը,

աց

-

տ

)

՛

ձնով

ը

(-

՛

8.

երբ Է-0

-

՛

«(ՅՐ

Այս ճավասարման:

Հը,

:

ար

Հ.

բուժ,

ենք.

այնու

( )6 ՀՅ.Տ

|

Պո:

ո.

բո Հետնարբար, (39) բանաձնի

ԷՉ).

|

Տլո

լ ՕՏՉոն էշ ձէ

Այտեղ

որ

(54)

ն

էի

լենի 8Հ--իՏ1ոծ,Ե-|

բանաձներ դրենք

"ԱՄՈԼՇՕՏԵԼՏ1ՈՏ-Ւ

Մ(151ու 1 160551,

է դրել ասես, լուժումը կարելի. վերջնականապես

(55) լուծումը

ո.

ճատ

ՀԼ

)/ 8-5

օ-"ո(ԱԵԼՅ) (55) ապատասիխ անու մի է մարող տատանումներին:

ապա

Եթե 2ոչ-2լ--0, ալոինքն՝ լուծումը կունենա

եթե ներքին

շփումը

ՃՓօ

կալում է,

բացա

(թ--Չոթ--

| |

Ճա-)/ 0-0

ՏԱԿՏ)

Մեխանիկական ն ՖԵլեկտրականտատանումների թլունը պարբերականարտաքին ուժերի դեպքում 11.

հետավոտու-

նք:

ճՏլո

ճարտարէ

ները:

ստանալ, լուժումը

կատարելով

ր

ոււիր՝ Ը րո"

ստան որտեղից

ում

ընդունու

մէ:

ըս-

Սա

Ա)

69)

ճավասարման այն լուժումը, որը բավարարում է է--Օ սկզբնական պայմաններին, ստացվումէ, եթե երբ Ցո»ՅՃ0--ժ, ընդունենք Ո--Ս. (59) բանաձեում

տնաքը, իսկ

ալս

«(Է»--

|--օ ԹՐ ոորրը

Տ1ո

Էէ- Լ ՏԼո օէ|:

(61)

դումար՝սեվական, տատանումների Այստեղունե՛նքերկու ճարորոնիկ ճ ունի որն ճաճախություն

(Թ

Քննարկենքայն դեպքը, երբ 2ո-բ 2.-կջ Հ-0 (դ -ե ) Աջ կողմում դտնվող կոտորակը վերլուծենքտարրական կոտոչ

րակների.

2ՈՀՕ,

որ,

զ:

ենք. Ճ

(59)

ԷՆԱ ոմի ալոինքն` Բացակայում դեսլքում վասարու

շաա.

«(-----ՆաՆՅ» (ջ--շոք-Է7)(ք5--«») -

վի

ճամապաճամ մեխանիկական ակարդու տասխանումալնբանին, օրինակ, չկա ներքին դիմադրություն, չկա մեղմիչ (Յաօքոաուօք): ԷլեկտրաՃա ապատասխանում՝ է նրան, որ Խ--0, դա կան կոնտուրիդեղ քումի դիմադրությունը: (56) ճաէ

ճավասաչ Փրենք արտապատկերող

շ 2--2ոթ-Յ-Է3)--Ճ աա «(30-Ի

ն

Քննարկենքալն մասնավոր դեպքը, երբ

միջանկլալ ճաշվում-

բոլոր

օէ--

,

պայմաններին:

քննարկել

կարելի էր

Ը05

ԸՕՏ

Սա էլ ճենց (56) ճավասալսիան այն ալստեղ նորից Էլ--|//84-ոչ։ է է, երբ որը բավարարում Ճ0--Ճ--0, լուծումն -«0 սկզբնակա

տեսակետից այստեղսմեթողգական

ճշ

-

է

(58)

որոշում

ալս

Ճ--ՃՈ-Օ: Հավասարման լուծումը բանաձնի,բայց

Զ ճաստատանները

-

(56)

Շարժման բնույթը պարզելու ճամար բավական

ալն դեպքը, երբ ստանալբոտ (55)

Ը

-

օէ

քիա:

օէ--2ոա

ի

Աո--

քթշոթԻ-ն

«Ս-րթ- զգ-»|2-5շ)51Ո գօ-ո(Օու-թգայ վո('ԷԼՉո

Միւանիկական ճափակարդերի առաձգական տատանումները, մասնավորապես էլեկտրականտատանումներն ուսումնասիրելիս ճարկ է լինում քննարկել 1(1) արտաքին ուժի տարբեր տեսակներ» Մանրամասն քննարկենք պարբերականալրոռաքին ուժի դեպքը: Դիցուք (47) ճավասարումն ունի վ.

8: (թ-Ի«Դ)

նենք անորոշ ղորժակիցների մեթոդով: Օգավելով (38) բանաձեից, (52)-ից կղտնննք սկզբնական Փոնկցիան: ԽՏ,

տեսքը: Ալդ դեպքում տեղի ունեն երկրաչափականտատանումներ: ե 220-ում 32-ում, ՌԿԱ գլեի Տ նկ. նկ. 278-ում տրված են ճարմոը նից մարող տատանումնկրիգրաֆիկները):

Տ

Շջ-ԷԾ,

Վք-8

ա

2«(Ց----------«( )

ան -. ն

որն ունի ճարկադլրական,

ԾԺ

բշ--Փշ

է

նկ.

400-ում:

Է »օ,

է

5) էէ

ճաճաիխոութ լուն

Ճո(1-Այս դեւղլբիճաիարչերը

ի

--Տլ

ՃՈ.

(:--Ժ2

ՏՈ

օե

ւո աոան ու տների բԲնուլթը պատկերված

Վերադառնանք (59) բանաձնին, Եթե

2ո»0,

որը

ն

տեսք:կորոնենք

տեղի ունի

քննարկվող տեխանիկական էլեկտրական ճամակարգերում, ապա ճ-ոէ բազմապատկիչ պարունակող անդամը, ն

մարող սեփականւռ ւոնուի

է որբըներկալացնում

է- ի աճման Ճ,Ր

նի

բում է

կլինի ճՃավասարումը

ՐԸ, դնաքուր արագ նվաչինծ զում է, է-ի դեպքում տատանումների բնույթը կորոշվիՇ-" բազմապատկիչ չողլարունակող այսինքն՝ անդամով, ա

Ռավականաչաի

2(Թ-----ՀՀ------Վ(1Հ--օ3)5լղ

(ԹՇադոզոան)

ճեն անգամով: Մուժենք

լալ

Ճ(2:--Փ2) ,

,

-

աո

(15--օ:)2--4ղ2ա2

ռ

լ

որտեղ

ԼՄ Ստացանք

Ճ.Չոժ

(Բագրա

Տլոծ,

(63)

|

`

(64)

է --Ս

)՛ն

քանաձեից ճետնում

է

:

է,

որ

'

յ"

Տ

18.

Օգտվելով (67) նուլնութ յունից,ալո ճավասարոա թյունը կարելի է դը-

-

ճարկադրականտատանումների ն

կարող է լինել ճնարավորինչախ փոքր: Երբ ը--Օ,

բել այսպես,

ճա:

արտաճարտվում:

ՕՀ

1Թ լո

Քննարկենքալն մասնավոր դեպքը,երբ 8լ-ՀԶՈՀ-0, այսին քն՝

երբ դիմագրությունըբացակայում է, իսկ արտաքին ուժի ճաճալուէ թյունը ճափընկնումի անվխական Է--Փ ճաճախուչ տատանումների դե մ ճավա Թ. անը:ը: Ալս Մտլսդոսքու ավ սարում2 ունի

ր ՏՈ Էի «--ճՃճ

Վի.

Տ

էԼ

:

ԸՕՏ

,

Ալստեղից

անմիջապեսճետնումմ

ԽԷ

-

լ

Տո

աե

է.

Ճգ

Ճե

ԲԱՐ

ԷԹ» շի

րաի

Էէ--

է

էէ

ԸՕ5

ոտացվոմ է աղլուսակ 1-ի 19 բանաձեր):Այսպես, (ալս բանաձեից ուրեն, (05) ճավառսարմանորոնվող լուծումը կլինի-

Է

«(ԹՀ

ձ/՛1.

տո

Էէ--է

ԸՕՏ

բ

(68)

Աջ կողմում գանվող ինտեգրալըկարելի է ներկայացնել իրական ոն Նե մա ւսն ռո գ ում յուրաքանչյուրը որոնցից խակ նի ե ը լու ( նտնեցրալների ըի ռես Քով, ված է ե պարամետրից: ՛

"

"ո

(65)

-բթթ-1 օ-ովի .

Չիջ

|

Տատանումներիհավա սարման լուծումը ռեվոնանսի դեպքում

նթ.

-

:

է

Փ

չի

է-ի.

5ՎՇ09 խէ ձե

--

բթ»

որթ

թ

ծումը (64) բանաձնով

2 «ՋԶՁՊ.

Ն

:

-ի

Չիջ

(64)

չե ճամընկնում Ճճախությունը ուժի արտաքին եթե ճաճախությանը: ո թԹյշվբնորոշվող ներքին դիմադրությու եր փոքր է, իսկ աճա լությունը մուտ է ւ ճաճախությանը, աստ ամ լՀ տատանումների կարող է արվել ճնարավորին չավ մեժ, լիտուդը քանիոր ճալտաբարը

ըստ.

՛

ՏԱԹԵՒ),

---Ս-ՀՎր"--

(67)

Էէ ձէ:

Ալա ճապառարությաներկու մասը դիֆերենցում էնք՝

Ն

Ճ ր

(66)

Կ

կարելի է գրել ալապես.

|

4(թ):- աա

Հր -Վ 6-ՔՏլո թո

Մ Թ-ոԲրյթ

,

տիպի կանոնավոր որը մենք ընդռացիսնալ կոտորակ, ճ ամար տեսքով չենք քննարկել:(66) պատկերի Ճանուր սկզինակա Ֆունկցիան գտնելու ճամար օգտվենք ճետնլալ եղանակից: Փրում ենք ճնտն լալ նույնաթյունը (աղլուսակ1-ի (2) բանաձեր):

ԻՆ... (62) լուծումը

ոբթ Ի62-2-

«02

(62)

եւ

է

-

նշանակուիները, / ՐԸ

Քու

:

օէ-9

ճավասարման այլնչու ժում/ը,որը բավարսո 2օ--Օ, Հ0--Օ, երը Է--Ռ սկզբնական պայմաններին: Օժանդա ախ

ա

ո

"ւ

ու

փոփոՀկախ495

Ուսումնասիրենքալս Լլուժմտ ան երկրորդ դումարհլին, Ճ

,(ՍՀ--շեէ է-ն

մեժանալիս

ալո

«ՕՏ

ճավասար է դբոլի, Հավասարությանաջ փասի առաջին ինտելվիալը դեպքուսմի կատարենք 1(Է-ԽԵթ-Ց Վերջինինտնեգրալումի "քանի որ էե

(68 )

Էէ,

,

մ, փոխարինու ընդունելող վուիոխականի Է--էլ--7

0-(/)

չէ: (68) բանաձնին փեծությունը սառխիանակխակ

լ

ԼԱՐ--ԵՄ-15-6:ալ)--

ճՃափառպատասխանող տատանուտների ասի սլլիտուղըազսանիանավակոչՀ է, երբ ԷԶ անսաճիանավակորեն աճում է: Հետնաքար, բեն ճաւփ ղ բե ի, ոլլի ւ՛Ճումի: սուգն անսաճիանավակորեն Այս երնույլթըչ.որը ունի, ստեղի է ար երբ սնհվական ճՃամընկեոաւի տատանումների ճաճախուլթլունը կոչվում է ռեզոնանա(նս ճան ՊԼԱ տաբինուժերի Ճաճախությանը, Տ 98, նկ. 380): դի

(

)

ի

ա

.

| 6-Թ1(7)մշ»«6-ՏԿԻ(ք): Հ-Ք-ջե

աաա

է

Նկ.

|

Այսպիսով,

|

(--Կ)Հ«"Բ(թ), Է

Օրինակ

Տ

19. Ուշացման

ր

Հ-ում

ցույց

է

աՀ-ր»

«ճամար

թեորեմը

սբվել, որ

Առղացուցվածթեորեմից

Հեվիսայդի միավորֆունկգեույթ

ճետնում

ված ցօ(1--հ) ֆունկցիայի ճամար Լ-պատկեր կինի

Դիցուք ԷՀ՛0 արժեքների ճամար (ծ ֆունկցիան նույնաբար ճավասարէ ղրոլի (նլ: 101, ու): Այդ դեպքում 1(է-Խ) ֆունկցիան նույնաբարզրոլի ճավառայ կլինի էՀ. դեպքում (նկ. 401, բ): Ապաուշացման Թեռրեմը. ցուցենք ճետնլալ

ւ

5(1 Թ

չա

Տ

20.

է,

ք

որ

նկ.

408-ում

ջ-ջ.,,այսինքն`

.

պատկեր-

(10)

Զ6

Դելտա-ֆունկցիան

ն

նրա պատկերը

Դիտարկենք 0, երբ

Հ

լ

լ

"(Ե հ)Հ--|0)-«Ա-հ)--լ

-ՀԽ

հ

աշ Հս

հ

:

որ

մ,

օ-ջԹԻ(ք)-ն էլ

չ

ապտ 1(ԹՀՔ(թ),

(թ)- () ֆու կցիայիպատկենի է ապա Ա-ն) ֆունկցիայի պատկերն է, ալաինքն՝եթե ՆթԵբ

ր

ճ

,

(է-կ)Հ6օ-ԻԻ(թ): Ա ւլացուցո

ւմ:

Ըստ ռպասկերիսաճմանյիան ։

էը

-

ԼԱՓ

6-Տէլ(է-ԵյժԷ-

(69). ք. ունեն օ

6-ԲԱ(Է--ե)ձէ: |օ-»Կ(-ԹԺԵԼի է,

նրբ ՕՀԷՀհ.

(71)

0, երբ հՀՀէ

:

Կ... ր

էՀ՛Օ,

որը ֆունկցիան,

պատկերվածէ նկ.

408-ումի:

: է 0-ից: դորժույի մինչն հ Փամփանակասմիխջոցում, իսկ Ինացած ժամանակումճավառսար է զրովիչ ապա, է, ալլ ուժի իխմպուլոր ճավասար կլինի ակնճայտ Եթե

միավորի:

ն

իլ հր

ալս

ֆունկցիան դիտվիորպես ուժ,

որը

ճիտան վրա ո՛վդ ֆունկցիայի ոլասոկերը (76)բանաձների

«(Ը--ԸԺ" ) ք

32--Դիֆերենցիալն ինտեդրալ Հաշիվներ

ք

այսինքն

էրեն)Ս լ

«(Ն

հ

1--Շ-թի

Հ-Վ-Ա,.

ճաշվի առնելով (75)-ը: (26) ճՃավասորումից, պարհաններին: ւի ենք դոնու

Է-Օ

(72)

:

:

ր

է (եճալրսիար

Մեխանիկալում Մեիա զ ուի տոա--յառ» դիտարկել ալնպիսի չ Հ ժամաազդումեն շատ կար որոնք ա որսլեսակնթարթոր նակամիջոցում, ուժեր, բայց ուզեն դգորժող ու

Ի

ր

Նկ.

|

ցանկացած1-ի դեպքում, մասնավորապես,երբ Է--Օ։ Հետնարար, (23) ն ՛ ավասարությամբ մ է է այդ ֆունկցիան մեկնա-չ որոշելով Հ(5)-ը,կարելի բանել որպես սլնպիսի ուժ, որը Է--Օ պաճին միավոր զանգվածն է միավոր արագություն: ունեցող նյութական կետին ճաղորդգումի «(ծ `

Լ(2(2))--րտ ԼԱՑ,

«

:

2«(ԹՀՎոալ(ե |

հը

հ»

Այ" ֆունկցիան անվանում են

(74)

(8004-1

( 75 )

Հ(:) ֆունկցիանկիրառվումէ ոչ միաս բաժիններում, ջատ կալում, ալլե մաթեմատիկալի որ

Ժխերի շատ ճՃավասարո ֆիզեկալի մաթեմատիկական նր, եթ ե ու աղզդգեցությո

(է)-ե Դիտարկոնբ դնեն

ուժ:

ք

նկցիան, որը մեկնաբանվում է ուժ, որն ակնթարթորեն, որվես այնպիսի էՀ-կց,ռլաճին միավոր

'

լու-

,

ոմ

ալն լուժումբ, ճՏավասարման

րը

ո

քավարարում

էէ

ՎՏ

Տ-«0, --»-0,երբ գէ

վ բ ք նբ ւ/ բ ոնմամբւ չէ Սռվորակա Փետբ է նկատի ունենալ,ոլ/ 5()-Ն ֆունկցիա են Դիրակի ֆունկցիա) անվանում Չ(է) ֆունկցիան (նատ ֆիզիկոս-Ճեղինակներ -

.

ախ

է, Արնճաոլոռ

ձեով կարող ենք

(79)

դրել էր

մառնավորաղըս խնդիրներ

(76)

(0

Նմ ոն

մեխանի

որլե,բացվի

ալն /

Փո

5(Լ-Ս)Հ-6-ե

-

'

5.

որոշվումէ 501-Խ) Ալնուճեստե

.

սլես

ք»-1

զանգվածին ճաղորդում է 1-ի ճավասար արադություն: որ ուշացման Թեորեւի ճի,րան վրա կունենան ք.

՝

նան

ժելիս:

ք

ալառլես,

| (4-1: -

Նշենք,

ր

ք

2()Հն .

`

--Ը-րն

ֆունկցիայի

Լո ղիյոալիկաք սանիանը գտնելու վերարբհրըալ (ալստեղ օգտվեցին եվ ճոնից):

ֆունկ-

ային միավոր իմ կլուլս յի

ցիա, ամ դելտա-ֆունկցիա: Բնականէ ընդունել

Էն

որպես ծ.(ե հ) Լ-ռ։ղատկերը սառճիանենք Փունկցիալի Հորջավոր երբ պատկերի սաճման, հ.»0. ֆու

որպես 5յ(ե հ) փրպուլո:Ուստի ժույի ե՞ս «(3 ֆունկցիան ցիալի աճման ի-»0 դեղքում. . ո)" իու

Գրում

ր.

(:յմ«-1 ո-ԶՅ--|

.6-01

Ն

Ն(2)

---|չ

"

մտեթանիկականմեկնաբանման ճիսիուն Դելտա-ֆունկչիայի

Ճետեումմ

լությունը

է,

որ

ճավասարմանաջ ւի

կարող է

աս

,

վլա

ումի դելտաչ-ֆունկցիա 1ի առկաչ

փոխարինվելսկզբնականպայմանների ճՃաիաս

ունեն տասխան փովխոխությամբ:Դիցուք

ք

մ35:

Հց

,

երբ Ե»0 սկզբնական դիֆերենցիալ ճավառարումը՝Ճլշ-Օ, 2օ---Օ, ղալճավասարումըկլինի մաններով:Օժանդակ --

--Ի բո 4թ)-"ԹՒՒ

թ

Ն "

որտեղից

Օղովելով աղլուռակի Ջ

հն 15

Լ,

ւթյ

(թ)-

ք

(բոցի է--Օ

ը

ք

Է-հ

ն

տաճմանի, երբ ե..0,

բանաձներից, անում ենք ՛

(83)

քին կգային ք, եթն դնեին Այս նուլն արդլուն

Արդան

, «իսով,

ավառարութլու

,

է Ճօ--0, 20--1, երբ բավարարում

օ

օժանդակ դակ ճ

թ5:(թ)--1--ԻԷ(ջ)

քար,

/

այս

|

--օօՀԱՀՕ,

0, երբ

Հ(2)ձ---

ալսինքն՝

ինտեդրալը

եվ այսղես, ֆունկցիալին: -

1, նրբ 0Հ-ԵՀ»Տ,

ճավասար է

-Փ

մուռանումենք

(85)

«ոցն

(86)

5Ը)գ«

ձախ մասերը

ըստ դիֆերննցելով

Ճ--2,

8-2,

երբ Է-0.

ոկլբնական

Պատ.

Կ այման-

6-ԵՅՑ-

«Վ

ՀՅ,

:

:4--0, ,

.

»Խ

երբ Է-0.

Պատ,

չ

"--1--ԷՒՇ

.

2-7 ԹՌ ի2)1:-20, Ե՛» 4-ը»

ՀՀՀմը.

2՛-ՀՏՐ, ՀՏՐ, ե էրբ

--0.

0,

Պատ.

չ

ւ.

ՏաՅ-

՛

Ե»

ԵԼ): ԵԼ--(40--204|51Ոո մ

ԼՅԱՆ

4.

բ

1,

97522, երը Է-0։

Պատ.

«ը:

գ.Յ.ո ՅՅ ' մ22

՛

զը Իոո--8

՞-

-«(Հօ5 ՈՒ--Ը0Տ

ո,

ԸՕՏ

(87)

"ր

օօ(է. հ--:լ(ե

հ)

(88)

ոէ)Վ-ց

«ՕՏ

«ո.

ԵՐԱԼ:

ի

մ35 Վ -ջ

աան

«6. -՞օգծ

-

-.

մշ

ՎԵՀ"

7.

օ0(է)--6()

«օտ

|-իչ

ճավասարությունը: սպալմանական իմաստը ւարզելուճՃայիար (87) պայմանականճավասարություն սլատկերված 50(է,հ) ֆունկցիուն: Ակնտճս»լոո նկ. 404-ում դիտարկենք .

գլխի վերաբերյալ

:

Հեվիսալգի 50(է) միավոր

է

ե աջ Հավասարության

աչ

Ճ»այց,

2-ՀՀց,,

երբ Է-0

Պատ.

Վ -բ-օԷ

ա

:-Հ

Հ

|

«(ՄԷ

է

մՅ:

«Ն

մ22 ձչ Ֆ.--շ-2:«--ձե ժլ

ճետխա-

նրա լուծումը կճամընկնի(88) լուծմանը: Վերջում, որոլես եզրավակում, նշենք դելտա-ֆունկցիալիճեսնլալ կարնոր ճատկութ յունը: (24) ն (75) ճավասարությունների ճիման վրա կարող ենք դրել.

ճշ

«2-ՅկՐՅ2:--,

(84)

«-

է (82) օժանդակ ճավասարմանըն, տեսքը:Այն ճՃասրարժեք

.

ձշ

1.

`

.

ՐԲե..0: Այս-

ոլալ անական

՛

Հավասարումների (ուՖում,՝ շվա) Փոնել ճետնյալ Փերի դեղքում.

մ ճավասալրումը

Ր

ու

կգրենք

ն

ք

զե

, ԱՐ

է

Վարժություններ14

հ դեքում

օ(ե հ).-5.(է),

(է, Մոոը անցնում ո

չ

«ասարությանը:

մ22«(Ս լուծումը, որը փաններին։ րեն: Ա լս ւղայմա

որ

,

օօ(է,հ)-»օօ(ծ,երբ հ..0:

:

"(0-վ«(ն --ճ)Մ2-է

մեջ անցնելով ճավասարության

ենք,

-

տւ

այն

անսնում

ե

ճավասարման --Վ կզբնական կ

կետերից): (88)

Տ.

Հօ:

-

-Յ-

'

ուն

2-0,

«՛-Հ0,

երբ

Է-Ս.

--0,

երբ Է--0.

Վատ:

|

3---12--2է--2: «ՀՉԵ---

'

ՈՀ.

շթ

դ՛ 3

«օ---ջ-----/ 3 Տո

մ32

զոԺ«-ն

ուՎ-ԸՏ5Աղ

ա»

Ր.

0--Ճ0--ՃՈ«»0, երբ

4/3

ԷՍ:

6.

Գատ.

-

Պասո.

աե

5-2» Յ

»-Լ-գ-Ե-

«օ5-2-"

մ44 :

մ2:

գե ՒՀՀՏՈ

Է6--ջ-Թ'(-2)

|

է,

աջ.

0--Ճ0Հ-ՃցՀ-Ճ.

ա

:

Հ-0,

երբ

Է--0:։

Պատ.

25 է|,

(Է 2 ԷԻ

10. Գանել

մ224

ձէշ

1,

մ27

զր Ւ

Հ-0

դիֆերենցիալ հավասարումների ճամակարգի մայն լուծումը, որը Է--0 1-3 լ-40-)0--0, երբ սկզբնականսւլայմաններին, Դատ:

(Ի

Է

Հ--

-Լ -ջ«5

)

գծ

1.Վ:

Գբ

ն(Հաագա

լ

բավարարում է

-ն

2. `

ԳԼՈՒԽ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

)

:

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ ՏԱՐՐԵՐԸ

Ամննօրըա փորձը տեզ Ճափոզում է այն բանումի,որ

առօրլա

զյան քումի,դորժնականիրավիճակներում,ինչպես նան դիտական ճեճարկ է լինում ճանդիպել այնպիսի գրուլժ լուն տազուտություններում Ֆերի, երբ մանկութ լունիցմեզ ճամար սովորական դարձած խիա տեղի չեն ունենում: Բերենք մի գետերինիզմի օրինաչավխությունները է կանչերի նզ որ քանի օրինակներ: Պատկերացնենք, ձնտաքրքրում են այն քանակը, շտապ ոռբոնք օրվա ընթացքումստացվում օդնուչ -

թյան կայանում: Երկարատեգիտումները ցուլց են տալիս, որ ճնարավոլրութ լուն չկա ճշգրիտ գուշակելու մոտակա օրերի ընթացքում կալանում ստացվելիք կանչերի քանակը: Ալդ թիվը ենթարկվաժէ նշանակալից ն այն էլ ւպատաճական Ճիշտ ալդպես էլ պատաճականէ տատանումների: այլն ժամանակը, որը կծախսի ճիվանզի կանչով ժամանած բժիշկը: ԿՎ Եթե փորձարկման դրվի որնէ Թվով ինչ-որ արտադրան որոնք,թվում է թե, պատրաստված են միննույնպայմաններում է. միննուլյննյութից,ապա փորձարկմանսկզբից մինչն նրանց անաշչ խատունակ վիճակին ճասնելու ժամանակը (ալսինքն՝ մինչն մնացուք գառնալը) նույնպես ռւլատաճականէ, ենթարկվուժ է խիստ ցրման: է, Հրանոթիցնշանակեւոին Ճարվածժելու ընթացքումդիսովում

այսպես կոչված, արկերի ցրման երնույթը: Նպատակի կենտրոնից արկի անկիան կետերիշեղումը նախօրոք ճնարավորչէ նշել. ալն է, ոպաւտռախսկան

առկալության փաստի միայն ճՃավաստում Փատաճականության բնության երնույթների կամ տեխնոլողիական պրոցեսների վստաճ է, անճրաժեշտ է օգտաղորժման ճամար միանդամալն անբավարար սովորել քանակապեսդնաճատել պլատաճական դուշակել երբնույլթները,

ընթացբը:ԱյժոՐճամառորեն այդ եխ ւ լաճանջույի ինչպես ոն ռական,այնպես (լ դործնական խնդիրները: Այս կապակցությամբ ծժադող լուծի ասիլն ընդճանուր ճարցերի մաթեմատիկականանսության նրանց

աատնդժմամբ զբաղվում

են

նությունների տեսությունը հ

մաթեմատիկալի երկո, ճլուղ` ն

2-րդ

երի ՈՈՈՄ

ճավանակա-

մաթեմատիկական վիճակագրությունը:

Այո դլիճ տեսու թյան ուսիշարադրված 22 ճավանականությունների մաթեմատիկականվիճակադրության տարրերը:

անրիայում մ

4-րդ

սերիայում

Տ-րդ

սերիայում

6-րդ

սերիայում

ՂԵՅԾ, Է.

Հ0

աայ

00025

՛

Պատահույթի ՊատաՊատահույթ: հարաբերականհաճախությունը: թյունը հույթի հավանականությունը: տեսության Հավանականությունների Տ

1.

առարկան

տեսության ճիմնական Հավանականությունների ղաղավփարը պաէ կոչվում ւյն լ Գատաճա եբնույթը, որը որոշ լալ

ւ, կելի»

ան

« աա կ

Օրինակ այդ

7.

ամ Դ րամը

Տ.

ծվյոլ

օրյեկտին կամ

ե վեր

Կետե "ւժ ու

ճետո

տեզի

ե դերբի յ

ճրանոթից տվյալ օրյեկտի կամ

ճարվածելը պատաճույթ աիխրույթին

ւ| | գալ

ո մա ատու շթ

կբա-

տիրույթի վրա է:

3, Տրված 50 սմ Օրինակ տրամաղծով վպլանլ պատրաստելիս 0,5 փոքը սխալանք առանալը ոատաճույթ է:

մմ-ից :

Սաճռմանում ի ճանաչ լլի թ":հարաբերական ո"ատանու խություն քոս ձաճախակիություն կոչվում է միննույն ։լալմաննեբում կատարված փորձերի ընթացբուս սովլուը պատաճույթի երնան դալու տ ԹՎի ճարաբերությունը ալդ փորձերի ոտ ընդճանուլ, Թվին. փորձերից լուրաքանչյուրում տվլալ պատաճույլթը կարող Է հրնան դալ կար հրնան չգալ: Փրնլչու ենք այլապես ՝

թո)

ա,

աաար

(լ )

Օրին կ 4, Ֆիցուք տվյուլօբյեկտի վրա տվյալճրանոթից միննույնոլայ6 սերիա. մաններում կատարված է կրակոյների 1-ին սերիայում կար 5 կրակոց,խոցումների Թիվը՝ -, Հ-րդ սերիայում կար 10 կրակոց, 6, թիվ խոցումների 3 ՈԶ "րյուր երիայումկարոր 19 1021 "8, խացումների ոցու Ըր Ք 4-րդ սերիայումկար 50 կրակոց,խոցումների ԹիՎը՝ Հ7, 5-րդ սերիայում կար 100 կրակոց, խոցումների թիվր՝ 49,

շը

Հ-0,51։

6-րդ Ճ

կար սերիայում

Թեվլը 103, կրակոց,խոցումնիրի

պատաճույթը նսլլատակակետը խոցելն բերական ճաճախությունը կլինի 1-ին

մ սերիայու Ր

թիվը" են

ՀՅ40,

է,

Սերիաներում խոյելու

ճարաչ

եթե լուրաքանչ-

որ

ու

ՔՎեց։

.

Այս փորձնական յիաստըախրվոլիկ ձնով դրուի

ո"

ա

կրակոց,

է,

սերիայում փորձարկումների թիվը մեժ չէ, ապա յուրաքանչյուր Ճ պատանույթի հրնան դալու ճարաբերական ճաճավսուչ անրիայում թյունները կարող են մեկը մլուսից էապես տարբերվել: իսկ եթե անհրիաներումփորձերի թիվը մեժ է, ապա, որպես կանոն, Ճ պատաճույթժիերն ան դալու ճարալբերական ճաճավությունները Քիչ են ոա» բերվում միր լանցից, նե այդ փոքը է այնքան, տարբերությունը ւրեժ է որքան ռերիաներումփորձարկումների Թիվը: Ասում են, որ 112 թվով փորձարկոււիների յունը դեպքումի ճարաբերակա՛ն ճաճակվխութ է ավելի բնույթ կրելուց: Սակայն ավելի դադարուսի պասաճակոան նշեն բ, որ դոլություն ուննն այնպիսի պատաս լթներ, ոլոնց ճաճաՀ լւույթյունը կայուն բնույթչունի ն նրա մեժությունը տարբեր: նուլ նիսկ շատ մեժ սերիաներում կարող է շատ տարբերվել մեկը մլուսիք: Փորձը ցուլց է տալիս, որ դեպքերի դերակշոողմասի ճամար լուն ունի ալնպիսի ք Թեվ, որ ւրեժ թվով փորձարկումների դոլուլթ դեպքում, բացի ճաղվաղյուտ դեպքերից, Ճ պատաճույթի երնան գաձու ճարարնրակաւն ճաճավսությունները Քիչ են տարբերվում ալդ ք բուր

ունենալկաի ւտեզի

ե խնան 177)

ծարբեր հրնոյթժների դիտումիցՇնատնում

տաճույթն է:

ան մաններիիրադործմտ ժամանակ կարոզ է չունենալ:

՝

--

,

-

բ

Ժ

նություն:

ԲՈ կոչվում

Րչի

Վէ

2-9

Հւ

ը» լ.

ն

է

այսպես, (2)

ն

ԽՃ1 ատաճու7

դարձված ԳՐ ՔԷ

են

սիւրվո ի 4

նրան Ր

լե

ձնո

Ե(Ճ)-Շք:

Տոալու

ում

են

հավանակաալոպես, Ք4

(3)

Ճ սլաստաճու յթի բնույթը որոշող տվլալ ճավանականությունը երնան գալու ճնարավոլրության այդ փորձարկուրներում պատանույթի ք

՞

.

օրլեկոիվ բնութագիրն Մեժ

թվով

է,

ճաճավուչդեսլյքույրճարարբներական փորձարկումների

տարբերա ճավանականութ ԹլունըՔիչ չունի դ. «րագի ճաղվագլուս» որոնց դոլությունըճաճախ կարելիէ ոնտեսել: դեպքերից», է ոլսպես. (5) չունչությունը բառերով ճամառում ձնակերոալվում՝ է

Փորձերի Ո" թիվն անսաճմանափակորեն ավելացնելիս 1 պատաձույթի ճարարերական ճձաճախությունը զուգամիտում է այդ պատաճույթի երնան զալու ք ճավանականությանը: Կ: Դի տողությու Բնրվաժ դատողութ ուններում փորձերի տան են ճի վրա սանխիանեցինք(2) առնչությունը: Բայց սաճմանում նան բնական բխող փորձից այլ պայմաններ: նրանցից արտածոտ Դա է (5) աւնչութ ունը, որն ույս դեպքուս/ րդեն կլինի Թեռբրիսի: յունների տեսությունում ճայտնի Յա. Բերնուլիի ճավանականութ է: 1705) թեորեմն (16541-Քանի որ ճավանականությունը որեէ պատաճույլթիերեան զգալու ճնարավորությանօբլեկտիվ բնութաղիրն է, ապա ռազմական ղորժում, արտադրությանկազմակերոյմանմեջ, էկոնոմիկայում ն այլ բնադավառներում դիտարկվող շատ պրոցեսների ընթացքի բնույլթը զգուշա» կելու ճամար պետք է կարողանալճաշվել որոշ բարդ պատաճույթների հրնան դայլու թը որոՀճավանականություննելրը: Տվյալբարդ պատաճու շող տարրականպատաճույթնելի ճավանականություններով ալդ պատաճւ թի հրնան դալու ճավանականուլթյան որոշումը, տարբեր պսոունական երնուլթների խավանականային ումիօրինաչափությունների էլ ճասիրությունն ճավաճականություններիտեսության առարկան է `

ուժ

կարելիէ

ներից:

ԲորաՐԻՄ:Ն

ձամասես խորանարդը, որի նիստերին դրված ե Օրինակ 1-ից մինչն տարրեր բնական թվերը, անվանելու ենք խաղոսկը, Դիտարկում ենք խաղոսկըը նետելիս նրա վերին նիստի վր 1(1ՀԼՀՇ) թվի երնան ղալու դատաճույմը: Քանի որ խազոսկրիսիմետրիկության ճեանանրով 1-ից մինչհ 6 ցանկացած թվի երնան միատեսակ ծնարավոր են, աղա նրանց անվանում ե դալու պատանույթները Սխաղոսկրի ո մեծ թվով նետումների դեպքում կարելի է ճավասարաճնարավոր։ ապասել, որ | թիվը, ինչղես ն 1-ից մինչն 6 յուրաքանչյուր ուրիչ թիվ վերին

ձու:

ղ

ւ/: մոտավսրապես Հ» ղեսլթու ծ

նում

՝

.

են,

որ

տւրիչ Ավեի, երնան

:: աց

: շ `

Հ.

Հո ւ -

ՀԱ Հե

ք :

ու

ախու

վերին նիստի վրա

|

մ

թվի,

Դ կեշի

ոտ

ինչպես

ճավանականությունը

զալու

նան

լ

Հ-Տ- աաա

ք'--

ւե

ճավասար է

մինչն

ւ

օտ

Լ...

ի Ընդ

ու-

ցանկացաժ

Ստորն կզբաղվենք ալնպիսի պատաճուլթների վերլուծութլամբ,

ճաշվվում է անմիջականորեն: օրոնց ճավանականությունը Սոճմտանում կոչվում են ւվլալ փորձՊատաճուլթները ոչ Մի երկուսը ելն արկման ընթացքում անձճամատեղելի, միաժամանակ չեն կարող երնան դալ: '

նրանցից

Սաճփիանումի

զբիվ խումբ, եթե

են կաղսրույի ք, որ պատաճուլթները ժամանակ կարող է բորաքանչլուրփորձարկման

կասեն

հրնան դալ նրանցից ցանկացաժը ն չի կարող երնան դալ ուրիշ որեէ լլ պատաճուլթ, որը նրանց ճետ ճամատեղելի չէ: Դիտարկենքճավասարաճնարավոր,անճամատնղելի պատաճարՔերի լրիվ խումբը: Այդպիսի պատաճույթներնանվանելու ննք ղեպ-

ֆեր (կաշ շանսեր), Այդպիսիխմբի պատաճույթը (դեպքը) կոչվում Է Ճ պատաճուլԹե ճանդես դալուննպաստող, եթե ւսլգ դնպբի երնան դալներ ճեւո բերում է Ճ պատաճարիերնան

դալը: են

զալակ, որոնցից յուրաքանչյութվանչաններից մեկը: 1, 3, 3 թվանչաններով բի վրա դրված մինչն գնդակները, կարմիր են, իսկ մնացած զնդակները' սան, 1 թվանչանով (ինչպես նան 2ն թվանչանով) զեդակի երնան զալը պատաձույթ է, որը բարենպաստէ կարմիր դնդակ երնար ղալու՞յո տալ ճավանականության՝ Տ 1-ում Քան«րկվող դեպթի ճամար կարելի տվածից այլ սարմանում,

Օրինակ

է Լից

Սափորի մեջ դանվում

Ց

Դա

է փորտաստատվում

պաւտաճուլթի

ք ճավանականություն կոչչԷ նպաստող դեպքերի տղԹե բոլոր ճնարա ճարաքելրությունը Վուսի են ճավասարաննարավոր ւս յվոր դնպքերիո Թվեն,որոնք կազսիույի Լբեվ Խումբ) կաս սիմվոլիկ ձնով՝ ճափատեղելի պատաճուլթների ՍՄաճմիացում

քննարկվող պատաճույլթի դնպքերում՝ ճավանականոա թյունը ե լնելով դիոարկվող վերլուժությունճաշվել։

նիստի վրա երնան ճղա

-

է

դասական սահմանումըն Տ 2. Հավանականության անմիջականհաշվումը հավանականությունների Շատ

ծւասրարներակա ֆարարնրական ձաճախությունը այն

մ

Ճ

թ(Ճ)-ք---ս

(1)

|

են ճա-չ նպաստումն եթն ինչ-որ պատաճույթի վառարաճնարավոր անճամատեղելի պատաաւլաներե լրիվ խումբ այդպիսի պատաճուլթբ կոչվում է կազմող բոլոր ը դեպքերը, ապա ճավաստի. ճավառտի պաւաճույթի ճավանականությունը՝ ք---1: Այն պատաճուլթը, որին չի պառտում ճավասարաճնարավո անձամատեղելի պատաձույթներիլրիվ խումբ կազմող Ո դեպքերից ն

Սաճիանուսի

ոչ

"եկը,

Կ

է անձնարին, նրա ճավանականությունը ք--0, կոչվուսի .

Դիտողութլուն նույնպես իրավացի2

ծվլալ դեպքում

ճակադիր պնդումները

Բալցն այնպես ուրիշ դեռլքերում,օրինակ, ճ աւո (Տ 12) դեպքում,ճակադիր պընանընդ սպատաճական մ/հժության դումները կարողեն ն ճիշ չլինել: ալաին քն նրանից, որ ինչ-որ : / ճ Ջո ո ճավառար է յ 1-ի կամ 0 0-ի, դեո չի չ, սպատաճույլթիճավանականությունը է կու ճեւոն ում, որ այդ պատաճույթը անճնարին էչ ճավասոիխթ `

Հավանականության սաճմանումից

ճեւտհում

ճետնլալառնչությանը՝

բում է

ՕՀ-0Հ-1 ՀՀՔՀ.

է,

այն բավարա-

որ

/

խաղաթղթերից կազմված կումողլեկտից ճանվում խաղաթուղթ, Ինչին է ճավառար աղոտվանչան պատկերող խաղաթղթի վան դլալու ճավանականությունը: Օրինակ

Յ

դեղը: Ճ

մեն երե-

է

առկա է ղեսլթերի սլե ման, Ճ ւատաճույթը աղոաԱյսաւեղ է ընդամենը երնան գալն է, Այստեղ ոնարավոր խաղախթղթի ոլատաճույթի նպաստումեն ոՈ--Ց ղեսլջեր,

Լուծո

վանշաով

ւ

ւս:

:

կան 10-ական դնղիկներ, որոնք ճամարակալված են 1-ից մինչն 10. Առաջին սան ՛ Յուսն, եշկ երկրորղում՝ կարմիր նռն փորում կա 8 կարժիը զեղիկներ: է ճավանականուդեղիկ։ ինչպիսի՞ն րաքանչյուր սափորից նե դե ը ճն է, աս մ աս Ս բանի ուն "1 ՛ / ծ թ, ուն Դարմիր ԸՔանի որ առաջին սափորի յուրաքանչյուր էրէ նվե, երկրորդթ դնղիկ կարող է ճանվել Ո-»100, ճետ, ապա ընդամենը ղեպջ. ցանկացած ղնղիկի կլո

մ

,

ո

Տան մոլագար

Իջ

ու

Առաջին սափորի

կարմիր

Ց

գնղիկներից

դեղինի երկրբորղ սափորիցանկացած առնվաղն մեկ կարմիր ղեղիկ։ կլինեն

միաժամանա

յուրաքանչյուրը

թվում ճանելիս,ճանվածների

կլինթ այդպիսի 105՛8Հ-80 դեպթեր։ Առաջին միաժամանակերկրորդ ռավորի ցանկափորի Հ սհ գեղիկներից յուրադանչյուրը ցած 7 կարմիր ղեղիկներից ցանկացածի ճետ ճանելու ղեղքում ճանված ցեղիկնե1-14 դեպքեր: Այսղերե թվում կլինի մեկ կարմիր գնզիկ, կլինեն այդպիսի սով,ընդամենը կլինենո--80-|14--94 Խոլաստող դեսլթեր, ճետ

սա-

22»

որ մեջ կլենի ճատվածների Այն բանիճավանականությունը, գեղին,ճավասար է

|

կարմիր

առնվազն մեկ

քՅ.Յ8, ո

ճ'

Օրբինակ 4 Միաժամանակ նետվում են երկու ղրամ, ինչպիսի՞ն դրամների վրա ղերբ երնալուճավանականությունըո դե ե աղմենք ննարավո եմ ան 1 ուծում: ճնարավոր դեպքերի սխ կազմենք

է

Դ

|

երկր"րղ դրամ

զերբ

2-րդ ղեւղք

ղերը

զերը ոչ

|

3-րդ ղեռլք

ոչ

զերը

4-րդ դեպք

ոչ

դերբ

թ

ի տողու

Սան

լու

Լ

Կ

'

ւ ետ չազոտը

Է

սաս

Գյ

Մ" Նե ո"ոչնչացնոլ

ու

ճս

/

ան

2,

նաԽու

ուն

Ը

փ

Ալո օրինակոււմի ճրաձղության ժամանակ

դնգիկներ ճս եՈւսսոիռավորներից ախեմտալին»: դեցնել«ռափորների է խնդիրների: ոլեւոք լու խնդիրներին նալել որսլեսընդնանրացված

`

դերբ

Կ Օբինակ է այն բանի ինչպիսի՞ն Գլինեն ոչ խոտան,

զերը ոչ

,

ճավանականությանմասին խնդիրը ճանդեցրինք սափորից դնգիկնելր միասին ալն դնդիկիհրեան դալուճավանականության ճանելիսալոչկամ ւռեսությունշատ խնդիրներկարելի է ճՃանխնդրին:Հավանականության

՛

Առաջին զրամ

ո ԼԶ Ս Անի Այսպիսին

երկու

ւխ

1-ին ղեսլք

ո բերա

ձաշվենք Խոլաստող ղեղքերը:

ձետնարար,ՅՅ

լ

Լո

զերը

ւծում:

ամբաքանակի դետալների

ռր ճավանականությունը,

թվում վերցրած

ճատը խոտան է,

դետալներից 9-ը

եղանակդետալկարելիէ վերցնելՈՀՀԸՂոք ղետալներից 3-ը ոչ խոտան, կլինեն ղետալներից

ներով: Այն ղեպքերի թիվը, երբ վերցրած 4 Տավասարէ ո»--ԸգցՇԽ, Թյունը կլինի Ռրոնվողճավանականու

|

-

4 ղեղբ Ընդամենը

չեանաբար, երկու

քք:

է։

Նռ, աոսոող է 1 ղեպբ։ դրամի վրա զերբ լինելու

ակ

5.

ընթացքում Հրաձղության

ճավանականույթ յունը առաջին նոթի

ճամար

ւ

ՂԵ"

ճրանոթի

ՅՈ»

Գաել երկու ճրանոթից միաժամանակյա

Այս" խնզիրը

ԱՐ Շ100

ո

Հ

-

3:

նպղատակակետի ճարվածելու

ճամար ձավասար է

տակակետը ոչնչացնելու ճավանականությունը: լինի գոնե ժել խոցում որեէ ճրանոթից, Լուծումն

որնէ

Ը,

տ

ք -

Օրին

ճավանականությունը կլինի

նրա-

մյուս

3.

նպակբակոցով

նպատակակետը կոչնչացվի, եթե

է ճեւնցալկերպ, մողելացվում:

Տ

|

Երկու սասվիորում

գումարումը: Հակադիրպատահույթներ Հավանականությունների Ս առնմիանխումմ

1:

Ճլ

ն

նչ Երկու պատաճույլթի զումար կոչկայանում Է ալդ սպասոաճույլթնե

ալն Ը պատաճուլթը, որը դոնե սրեկիերհան դալու Մէջ:

վում

է

կքննարկվիՃլ Սռորն

եւ Ճջ հրկու

անճայիատեղելի պատաճուլ509

Խերի դումարի նշանակվում է

ճավանականուլ լունը: Այդ սլատաձուլթների

Դ

դումարը

ճջ

կամ

քանաձեով:

Ապացուցում:

Դիպուք

մուտ

(Խր

Ք(ԿՂԻՀ-»

..ՏՈԱԽ)Հ--:

(Ա-ը

եճչ

ԾՆ

որեէ ք

Ւ

ո,

ո

շալ

կարելի է ալո Թվով դոմարելիների ճամար. ձեով

լունը ճավասարուլթ Վերջին

դրվում

(8: `

1-1

Նկատենք,

որ

այո"

նշանակ բնույթ, ռաանմանում ակո

1-ի

ող

ւմ

ապացուցեն ք՝

կատարվումէ ճրաձղություն

տիրույթի

վրա: 1

ո

բույթն

Ըստ (1) Ընկնելունավանականությունը:

Լ

որ

դամաձոայն:

:

գոտին"

ՈԼ

5(ՃՈ-Ե(4չ)Ք(Ճ» Սաճտանխում

Թ(ՃՀկկ:

հովիկ

է

«Ի-

խանաձնի ունենք, լ0

100-100՞100

գա

«ա-ն

կոչվում Երու պատաճուլթներ

մակադիր, ն են եթե նրանք անճամատեղելի կազմում 1բիվ խուս թե պատաճոլթներիցժեկը նշանակենք -ով, ապա ճակադիր ը Կատաճույթը նշանակում են Ճ-ով: ԴիցուքՃ պասռաճույթի ք-ն | հրնան դուլու ճավանականուլթլուն Ճ թի երնան պատաճու այսին չգալու, քն՝ է,Ճ ճավանակապատաճույթիերնան դալու

ը

5.

են

եխ

մ

ԸՆ

:

|

-Տաթ(ճլ)Դ-Ե(Ճ,)

նշանակենք Ք(Ճ)--զ' նությունը

ո

Քանիոր

ԺՔԱԽ)

ՊԵՍ»

Ա) |

(17 :

Է-51

չունիբացառման նե

բից

1"

մեկը՝

է

կամ Ճ

պա-

տաճուլթըկամ Ճ պատաճայթը, ապա (Լ) Թեորեմիճիման վրա ստանում ենք. թ(Ճ)

.

յ

փորձարվիան ընացքում

անպարքան իրականանում

այլապես.

արտաճայտության մեջ «կամ» բառը ճույթնե «զատա «Ք է, կգա այչ ք երնան

17.

«աՀ

թեորեմն ապացուցել ցանկացած

է ճան

Հյ00:

Գոռին"Ք(4

չճատվող գոտիներիցրաղկա-

գոտինընկնելու ճավանականությունը՝ թ/Ճլ)-Հ

|

ոշ

կամ ԽԻ-ՔՍՆ)ԻՏՍԽ-::

թ(Ճ կամ Ն, կամ...

Հ

1:

՞

էր ասլացուցել: պաճանջվում Նման

Օրինակ

'

անճաատեղելի են, ապա` Քանի ոլ մյ ն ճշ պատաճուլնելրն դեպքերի ո ընդճանուր Թղվիդեպքումմիաժամանակ Ճլ ն /Նջսլատաւճուլթներին նպաստող դեպքերի թիվը ճավառար է 0-ի, իսկ Ճլ պա«ոաճույթիկատ Պշ պատաճուլթի երնան գալուն նպաստող դեսլբերի Հնտնարար, Թեվը ճավասար է յլ

թ(Ճյ կամ

ճա-

կատարվում է ալնպես, ինչպես տրված է վերնեում։ Ալս դիտողությունըկվերաբերվի նան ճետադա ալն լթեռրեմտներիապաՑուցմանը, որոնք օղավելով սափորների սխեմ»լից:

-

որ

են

ապացույցը

.

տ

ալծ

նորի ճավանականությունները ճարաբնրական Գոգա ճամաթ իշկ ճարաբերականճաճախությունների ախություններին,

(0

Ճչ)-«Ք()ԻԵՍՆ»)

կամ

է նան

դես քույի, երբ ճավանականուլթ յուններիանմիջականճաշվումն անճնաչ բին է: Ալս պեդումը ճիմնված է ճետնլալ կշռաղատություններթ Վրա: Մեծ Թվով փորձարկումների դեպքում (չնչին բացառությամբ)

Իրավացիէ ճնտելալ թեորեմը, որբ կոչվում է ձհավանականությունների գումարման մասին թեռրեմ: 1: Դիցուք ավյալ փորձարկման(Երնույթի, փորձի) Թեռրեմ ընթացքում կարող են տեղիունենալ Ճլ պատաձույթը՝թ(4լ) ձավանականությամբ Լ ճջ. պատաձույթը՝ Ք(Ճ,) հավանականությամբ: Ճ. ն հ, պատաճույթներն աճճամատեղելիեն: Այս դեպքում պատաԲույթների զումարիչ այսինքն` այն բանի, որ աեղի կունենա կամ Ճլ պատաճույթը կամ Ճ, պատանույթը, ճավանականությունը ճաշվ-

Ք(Ճ

սպացուցեչ

վանականություններիղումարման թեռբնմն- իրավացի

«լ կասի Ճշ"

վումէ

Մենք դումարփան թեորեմն

իտողութլյլուն:

ցինք այչ դեղքերի օխեմալի ճամար, երբ ճավանականությունը որոշվում է անմիջական ճաշվմամբ: Հետադալումընդունելու ենք, որ ճա-

Դ

թ(1)--1,

1ահակադիր պատաճույթնե այսինքն` յթների ձա վանականությունների գումարը ձտվասար :

1 մե ՛

կի.

Օրին

:

ակ

Մ

Քիրախը խոցելնէ,

"

ք-ՒգՀ-1։

Նկ.

(2)

Թիրախի վրա կատարվում

է

մեկ կրակոց: Ճ հավասար է

Խոցելու ճավանականությունը

վբիպելու ճավանականությունը, Ռոոշել

պատաչույթը

ք-ի. Ք(4)--ք.

Ճ

Վոխդելը Ճ պատաճույթինճակաղիր պատաույքն ճավանականությունը: զ-1-ք, Օբինակ

Քը՝

1-ից

մեծ

կատարվում է որեէ

3.

թացքում 7-ից

փոքը

է, սխալվի ստանալն

է,

վրիղելու

ուսաի

կամ ի-ին ճավասար սխալի

ստանալը Ճ պատաճույթն

Այլ

է,

Ք(Ճ

Արնչայտէ,

1: Եթե ճ նե Հետկանբ կազ Ճլ: Ճշ, /Ճր պատաճույթները են պատաձույթներիլրիվ խումբ, տպա տեղի ունի ձեալյալ -

ձավասարությունը

..

-

-ՔՍԽ)ն

ճավաստի

դալը

Զախ մասը ձնափախելով ըստ

ճավասարությունը: Ս ոճյանուի

տեղելի, եթե

(3) Ճղ պատաճուլթները նրանցից մեկի երե

կաի

(1)

Ճո)-»ն կատանանք(3)

ԽԵեԾ

|

համա-

նն

Նման

տեղի ունի ճեւտնլալ ճավասարությունը

ոլ,

Ճճուլթներիհամատեղում: ճաէ Ճ ն 8 պվատաճույլթների որը կաջանում Այն սպատաձույթը, ն Ճնք մատեղման մեջ կնշանակեն Ք) կամ (8)։ "ԿզատաՀչ ք (Ճ 8) թ(Ճն ճուլթների ճամատեղման ճավսնականությունըկնշանակեն ք ՀՁ ճավապատաճույթների Թեորեմ զումարի Համատեղելի նականությունը ձաշվվում հ ձճետնյալրանաձնով.

լ

ձնով կարելի է ճաշվել ցան-

կացած Թվով

պատանու լ0ճամատեղելի

գումարի ճավանականությունը:

ների

Նշե շենք,

կոչվում: սպատաճույլթները պատաճույլթնելրն սվատաՀչ հրեան զալ, այսինքն տեղիկոնննա Ճեք `

մճելը,

րությունը: '

ւ

բանաձնի,

»-մալ.

Ժ ուն

Լ

:

:

ավալ փորձարկմանընթացքումերկո

ե

էլ կարող

ապա

(5)

Ալս ճավասարության մեջ տեղադրելով(5) ճավասարություննել,

է։ Հետնաբար, պատաճույթ

Ե(Ճյ կամ խչ կաբ

՞

եե.

8,

ձախ մասերը, կստանանք (4) ճավասա-

ւ.

:

Բանի որ Ճր Ճ,, Ապացուցում: են կազմում րեվ խումբ, պատաճույթների

Հ-մակ. Ձեզ

2,

ԵՇմճԵ, ՀՀաիակ.

8)

ն

ճե 8եշՎ

լ.

մակ. ճեշԱճ»-«ԿՐակ. Մակ. ԵՇՎՇԵ--մակ. ՎԲԵԼՑ» Ճելմճ--

,

Ք(ՈԿ)-ԷՏ(Ճչ)Հ

ան

58)

լա-

8)--Մալ. )

Ե(Ճ)

չասիում, /Ճ պատաճույթբ չափման ըեԴիցուք թ(Ճ)--ք. Հակադիր ս"ատանույչ-

տաճույթիճավանականությունը՝ թ(Ճ)-զ-1-թ մում

(մ(Ճ՛/դամ

ռր

թեորեմ 8-ը

որ

կարելի է

-

առլացուցել, ելնելովվերնում

տրված

ն ռաճմանումներից դորժողությունների կանոնների ց:

Նկ.

՝

(4

լամ

8)-Ք(Ճ)-ԷՔԹ) -Ե(Ճս

8)

լուսաքանենք երկրաչափորեն: (4) բանաձենի իրավացիությունը Նախօրոք տանք ճնտելալսաճմիանումը: :

|

Սաճմանում

ՊՔ

կերեսը ճավասարէ Տ-ի' որն անի Տ

Դիցուք ։որվաժ

է

ք-ի Դիտարկենք

որեէ Թ տիրուլթ, որի

մա-

տիրույլթը,

մեջ մտնող զ

մակերես Ալա գեպքում կետի Վ տիրույթն ընկնելու ք տիրույթն ընկնելը որ կետի՝ ճավանականուլթ յունը, եթե ճամարենք,

ճայատտի է,

բոտ

,աճմանման,

ավատար է

:

Հ,

|

արսինքն՝ ք---Շ' |

'

լ

լ

անր

Այս դեսլքում, կետի ընկնելըւիեկիճավասար ԱՆԱունեցողքաՀ ռակուսու եջ ճամարելով կունենան ք. ճավաստիյ,

լ

Տ

4.

Անկախպատահույթների

հավանականությունների բավմապաւտկում ւ

Սաճմանում

պատաճույթը կոչվում է 8 պատաճույթից պատաճույլթի երնան գալու ճավանականությու բանից, թե 8 պատաճուլթը տեզի է ունեցել կար

անկախ,եթե Ճ

ԱԱ»զոր

տղի

ն

չի

թեր "րեմ

ո

ծ

նթե Ճճ հ

ճե պատաճու յւյթներ ի

ԷՂ

Ճ

համ

ը պ ատար ույթների ճե

Ն

Ա

ոլ

մա

Լ

ու

-՛

պատաճույթներն անկախհճ,

Եերնանզալու

ն

5)--Ք(Ճ)

:

րի ճավանականություննե

Ք(8)։

կա

կ

լ,

լղ

»

ւմ

Ո)

Այ Թեորեի ապացուցումըկատարենք "ս"

փորեն րների սխ ալի ամար: Երկու ռափորներից փան, Ճամապատասխանաբար, ըլ ն Ո, ա

ապա /1

եղմ ատեղման Ճավասար ձավանականությունը

արտադրյալին,

Ք(Ճ

սւ-

լուրայքանչլուրում

զնղիկներ։ Առաջին սափորում՝

,

ա

Կգդիկ իսկ կարսիի րմիր գնդիկ,

սե ի. մնացածները մույՅուրաքանչլուր մեկականդնդիկ:Ինչի՞է ճավասար ճաՀ այն բանի որում

փորից ՔՐ նը, է

վ

թո իցուք

ճանված երկու դնդակները կլինեն կարմիր: պատատճույթը սափորից դնդիկ ճանելն է. կարմիր 1-ին որ

հ 33--Դիֆերենջիալ ինտեգրալՀաշիվներ

Ք

կարմիրգնդիկճանելն 2-րդ սափորից պաւաճուլթը՝

անկախ պատաճուլթներն

Ակնճալտ է,

են,

ուլ

ոլ

՛

քլ Օրինակ Ը

(2)

ալ

Ե)

Ե()Հ-՛,

Այս

է:

մեկական դնգիկանելու ռռռիորից Միաժամանակլուրայքանչլուր ան ասա

«

ԴՊ Պի՞

Հ...

Դի

Ծրի շակ

թ

ույ

Ալս բանաձեումՍուր

Մխոարան կլինի ,

Իր

ե

8յ-"ո--

ը

ն

(4)) (1)

բա-

Հ-րդ ճրանոթցիցնպատակակետինճարվածելը: Ակնչայտ է,

ղլատաճույթը՝

ո

րենըց իր

արչ

ր

Այ" ճավասարությունը: :

տես

,

--

թ(ճ,

արդարնլինելը: ճավասարության

նն

նրբկու տանկից կրակում

Պապղատակակետին:

միննույն

իսկ անկախությունը ճարվածել»ւ ճավանավանությունը լց ԷՀ Առաջին տանկից նպատակակկաին

տանկից եր կրորղդինը՝ Յուրաքանչյուր չ

Որոշելայն կրակոց:

բանի Ա Կ տե զ

վում կատար միաժամանակ

էրկուսն որ ճավանականությունը,

նպատակակետին, ( ) Ք(Ճ

ց --

լ0

Ե(8)-

զանում Քոջումենրի ճաանալանություծը, ,

ո

ու

Ը

`

Բնական է, Օրինակ

,

ԼԱ ես Սր. քո»

Ե(Ճ՛ն 8յ-7, -ս

(1)

անձն

Բորա

էլ

յի

այլս,

,.

է

է,

որ

4,

ց: ԵԹ--ց։

8)-----.--.---ս։.

8-0

որ

կց

0`

------վ

19109

նախկինում ստացած արդյունքը: ռտացանք մեկ կրակոցովոչնչացնելու Նղատակակետը ճավանականու-

թյունը ճավասար է ք-ի, ճավասար կամ նրանից

Արոչել կրակոցների այն

մեծ

ճամար:

ը

ճավանականու ' Իոթյամ

թիվը,

որ

անճրաժեչտ է Օ-ին

Կղատակակետ ՞ Բո"Ք

Հավանականությունների գումարման սին թեռրեմնեսի չիման վրա կարող ենք գրել. հուծուսն

ն

ոչնչացնելու ՀԱՅԴ

բազմապատկմանմա-

Փ»Հ1-Ո-ք)",

:

Այ"

.

Բ

Ե(Ճ)-՛

Ոշ

օգտվելով (4) բանաձեից:

ճարվածելն ճրանոթից նոլատակակետին

1-ին սլատաճույթը

Ե (Ճա Ճ կամ

թերրեմի լուսաբանումը ն(- 402-ում, ի ճատ անկախ պատահույթներ, ձո եթե անենք Ճլ Ճա: նման ձնով կարելի է ապացուցել ապա (3 Ք(Ճո) ն Ճո)-ՇԵ(Ն) թ(ձշ ին ն...ե

է։

խ

|

2). դե (2)-ից փոխարինելով

ը

«-ր

Ալ

ոլոշ

Ո1»

ւղ

ոլ

ույՈւ

ենբ (1) ուռանումի մաճալտություններով,

Օրինակ

Համատեղելիպատաճույթների ղումարի

Հ-ի օրինակ 5-ի խնդիրը լուծել,

ՀՏ

ւծում.

ճամատեղմանճավանականությունը պատաճոալթների

կլինի

ուժում,

նո

՛

նպատտող խակ կարմիր դնղիկներ ճաննլուն

Լ

ո

լու

կգրվի այսպես. նաձենի ճաշվառմամիր

տավխորից ոլոշ ճնարավոր դեռ կլենի' Երկու ընդամենը դեպքերե Թիվը Ճն

թ

տողու

:

:

ճավանականուլթ յան մասին Տ 3-ի թեորեմ 2-ը (բանաձն

.

ույ

սալջը աղ- կազ

«7

Նկ.

սալ

: ք--թյթջ թշ--0,6 0,70,9-Հ0,318, :

օ

օ

յդ

ու

կունենանըբ:

՛

ՓՓՕԺՕ.Շ

Փ

ծ

Լ

.

՛

ա

տասխանարար ձավառարէ քչ--0,6: քշ-0,1: թշ--0,9, Գանել նչված ցիկլի ընթացջում սարքի անխափան աշխատանքի ճավանականությունը: ծ ւ: է Հավանականությունների.բաղմաղատկման (3) բանաձնով

'

Հ-Փ5Թ9.Օօ0ՉՇօՉՓօՓՉՓօՓօ

է շ ՔԸ որոշվում որոշ Սարքի Բուանխափան աշխատան

ՀԽ

Ք

Ն.

8)-.Հ- 5.34'

ճարնղզույցներից յուրաքանչյուրիանչբափան այշթատանքով։ Որնէ ցիկլի ընճամասլաաշթքատանքի Թացքումճանդույցների անխափան ճավանականությույը մող

լ

ն

անճավասարությունը լուծելովո-ի նկատմամբ, Սո

մյու մ ենք

20-Չ), /80--Թ

ՏՈՅ

Այսպիսի

անալիտիկ

սիստեմի»տերմիններով,

լուծման

խնդիրը Դիրը

ճեշտ շ

է

ձնակերպե կերպել

Ն «սափոլրնե .

մեկական

կճարվածեն ւ 6 2212 ե ը

կու

Տ

5.

Կախյալպատահույթներ: Պայմանականհավանականություն: Լրիվհավանականություն

Սաճիագզույի 1: Ճ ոլաւոաճույթըկոչվում է կախյալ 5 պաՀ տաճույթից,հն Ճ սլատաճուլթի երնան ղդալու ճավանականությունը Տր

պատաճուլթը: Ճ պատաճուլթի երեանդալու ճավանականութ ունն «ալնպայմաՀչ նզի է ունեցել,կնշանակեն նով, որ Ե պատաճուլյթը ք թ(Ճ/8)-ո/ ն Ճ թ կանվանենք պատահույթի պայմանական հավանականություն

Ճ-Տ

|

պալմունի գնպքում: Օրին

ակ

ւ

թ(8)--Ը-,

՝

ո

Սոիորու/մկա

ողիտակ

ն

Սաիորից գնդիկներ,

չան

ծանման

Ճ

ղեզիկիերնան զալն է:

յթի ճավանականությունը, եթե ռլատաճու

Թլունն այն

-

528-Հ: ենբ,

թ(/8)--Ըւ,

աեղի է

«Աստղանիշով» ռպիտակ գնդիկիերնան գալու կլինիԵ(Խ ւ թյունը քունը կլինի Ե(Ճ 8Թ)-ն,Ապնճայտ է, որ ն

որ

ոհ

ը պատաճույթթ

դնղիկ),լինի

թ(Ճ

՛

Բայց

Յ

ուխ

: |

ռր

ք(ճ

ւ

բյ

ՔԼՆ8),

թ(ոյ

բլոյթ),

ՀՅ»

լ.

ստանում:

(3

լիովին մլուսննրը

ու

է

են

(նկ. 408): «աստղանիշով»

է:

շտպատանը ա

ա

:

Ճ-ի պայմանա-

ճավանականությունը՝ իրականացման պատաձույթի պայէ

սպիտակ մեկ դնլջիկ: Էնչպիջի՞ն է դնդիկ ճանելու պատաճուլթի ճողվանականությունը:

Սափորիցճանվում

զ

ձեանյալբանաձնի օգնությամբ.

ԱԹ"

Դիցուք սասիորում կան ը թվով դզնդիկներ,որոնցից ոյ-ը սպիէ, իսկ ոչ-ը՝ անչ Դիցուք Ոլ սպիտակ գնդիկներից ոլ" զնդիկները տակ

Ե(Ճ/8),

որոշման ճամար:Այն է, հավանականության Ց

|

է ճավանականության դասական ռաճմտանումը ): կիրառելի

«աստղզանիջով»են, իսկ

ո

նական կան մանով որոշվում

Դիւո

ՍՄպացոցոմըբկատարենք այն պատաճույթԱպացուցում: ների ճամար, ոբոնք ճանդեցվու ւտ են սափորների ախեժային(այսին քն՝ երբ

(4) արտաճայտություննե

ն

չեն Տարա պատասխանում ախեմային, ասպա (1) խանաձնր ժառալումէ սլարիա-

դասական

`

|

ւս

ՆՑ.

(5)

ոլ

ապացուցված

Րկվ

|

ո.

ո

ճաղվասարությունն (7 Թ դիս (Թնճրը ն

(4)

ո

8)--Ք(8).

ն

ճավանականու

Թ)--ո,

ենք

Ք(Ճ

|

ՀՀ».

ն

(5)-ի մնջ տեղադրելով (8), (3)

ձախ մասերը,

ո

աառոո---..---Լ ՝ սատ -« լ

ո

-

հավանաԹեռրեմ 1: Երկու պատաճույթներիդԴամատեղման բազկանությունը հտվասարե նրանցից մեկի հձավանականությանը՝ Ճաշված մապատակած երկրորդի պայմանական ճավանականությամբ, այն պայմանով, որ առաջին պատահույթըտեղի ե ունեցել, այսինքն՝

թ,

( Դ)

ոլ

'

լ

այն ռլայմանով, պատանույթի ծավանականությունը, Ճան ման ժամանակ երհան է եկել ունելել (ասաջին

Տեսնում

8-Ն

դնգիկի երնան գալու ճավանականո է եկել ոշոյմանով, որբերբհան սպիտակ դնգիկ, կլինի ւ

0)-Հ-Հ-7'

Ք.

տեղիՀի

ակ ռղիտակ

ժաման

(2)

.

«Աստղանիչով» սպիտակ

ճան-

վում է մել գնեգիկ (առաչին ճանու 4), հ այնու ճետն երկրորդը (ելկրորզ ճանում): 8 ռպատաճույթը առաջինճյա նւ ուն ժումանակ օպիտակ գեզիկի հրեան զայն է, պատածույթը երկրորդ Արնձչայտ է, որձ ունեցել, կյիյի

որ

,

Դիցուք 8-ն սպիտակ գնդիկ երեան գալու պատաճույթն է, իս «աստղանիշով» դնդիկ երնան գալու պատաճույթը: Աղզճալո

ո

(չր Ը--Ը "(3)Ց.

Ե(Ճ

ւռ ղզուժթժլո

ն

թ(8

ն

ն

թ(ը)--))

բանաձնը երջին

արտաճարտության նկատմամբ.

կիրչսռենք թ(8

ն

Ճ)

|

`

|

Ճ)--Ե(4) թ(8/): .

(1) ն (6) ճաղասարությունների ձախ որոն միննույն ճ ետն աջ Ուստի կարող նն Ք րոլ Հեմճճոնլալ

Արք ճավանականութ ոն, տն "ավասուր մասերը: մասերը

Է

ալա,

թ(Ճ

ն

|

ան

ճավասարությունը (

8)--Ե(8) Ք(Խ8)-Ք(Պ) .

(6) ՔՖՐ

/

Ք(8/Ճ),

(7)

Օրին

սկ

նենք.

Հ.

Այս

սկզբում բերված օրինակ օ"զարագրաֆի :

Ե(8)---

թ(/8)---

,

Ըոտ (1)

ստանում բանաձեի

ե

Հաջլուշոր

Յ

բումը, ուծ

8-35

Թյ-

Հ.Հ,

նահ

լա

տվյալ ղավզգյաճի՝ պիտանի ղետալ պատրաստելու ճավանա-

ր

ն

ուին

(8) քանաձնը կոչվում

է

կարող պլաստաճույթը

ոճ

Ա սպացուցու

է

Ը՝ `

(8

ճն

Ճ)

Բարաձայն ոտան ումի ենք

Ք(Ճ)--ՔԲ(8լ

ն

Ճ--Ք(8չ

ն

/Ճ)-:

.

բոտ Աջ հասի ղումաբելիները փոխարինելով նանք (8) ճավասարությունը:

:

--Ք(Յղ ն):

կուտաչ (1) բանաձեի,

2:նպատագակնաին աակ ի հաջորդական Դո": պատակակ կրակոցով

Օրինակ

է

տին ճարվածելու ճավանականությունը՝ քլ--0,8, Առաջին երկրորդով ք:---0,6,երրորդով ք.--0,8. Մեկ ճարվածով նոլատակակետըոչնչացնելու ճավանականությունը՝ մլ--0,4 երկու ճարվածով՝ իչ--07, երեք ճարվածով՝ խլչ-1,0, Որոշել երեթ կրակոցների ղեղքում նպատակակետըոչնչացնելու ճավաւ

նականությունը:

Խոաատակակետը

ոչնչանելու

,

չյուրի

թ(ւ8-94 ԻՈԱՆ

աջ (1/8ջ)Հ-0.7,

7Խ

պայ

, աիրրիի ողոթավանութ դեպքում: իրականացման

Ք(4:8.)Հ-1,0, թ(/8.)--0, տեղադրելով (8) բրանաձնիմեջ,

Ստացածարտաճայտությունները

նղատակակետը ոչնչացնելուճավանականությունը. :

Ք(Ն8,ԻԼԹ(8»

--0,332

.

Դիո"ղություն

Ց

5(ՃՑ,)-ԷՔ(8։)

-

0,4--0,468

՛

տեղիունենալ

դում արսիան միասինԹեորեմի Հեւտեաքար, ճավանականությունների

պատա աաա Տարր

թԱՍ-Ի(ոյ)

.

0,7-: 0,144

.

Ք(ՆՑ.) Լ Քլոլ). 1,040056 0--0,6044, .

կատա-

Բ(Խույ-

.

նքն 1 պատաճույթըկախվածչէ 8 պատաճույթից, ՛

թ(Ճ/8)--Ե(Մ),

ն

(1) բանաձեն ընդունում

(8ղն Ճ)

այ

նանք

ճե-

ե ու` ական ման դեպքու անկագած իրականացման ւո ւսն ցանկացածի տնյլալ պատաճուլթներից

(8, նձ),

մ, կստաՆ անք.

5(8ՉՀ(Լ-թ,)Ա-թչ)(Լ-քչ)-Հ0,056,

Փրենթ

(3)

լրիվ ճավանականությանքանաձն,

ձեղ

թ(8.)--թյթչթյ--0,144,

Ք(:/82-Լ5(8,)5(4/8,)--... ԷԵ(Ցո)Ե(Ճ/Թո),

ճետնյալ արտաճայտությունը,

Ե(8չ)-Թյք:(1-թ:)-թ,Ա--թչ)քչ-Լ(1--թ )քչքյ-«0,468,

-

|

ւ:

Խրբորգը՝ Վբի-

`

"(Ց)-Խ(Լ-թշ(-թ»Ժ0-թ)քչ(-քչ)-Է(--ք,(1-ք,)թչ--0332,

թ(4)--Ք(8.)

եոցում,

մի խոցում,

ոչ

Դատելով ա / / Նման

Հ նթե Ճ պատաճութը կարող հ իրականանալ Թեորեմ պատաճույթների լրիվ խումբ կազմող յլ, միայն անճամատեղեհլի 8ը պատաճույթների, մեկի ճետ, ապա Ք պատաճույթի Թու ճավանականությունըճաշվվում հ ճետնւյալբանաձնով. :

մել թոցում, երկու խոցում, երեք

երկրորգը՝խոցում, երբորդը՝ վրիղլում, կրակոցը վրիպում, վրիպում, երրորդը խոցում, Ուստի երկրորդը՝ ն ականությունների զումարման բազմապատկման թեսրեմներիմեկ

0,8--0,72.

8)--0,9:

5ոյ անչամատեղելի սլատաճույթների լրիվ

(յն

զամ առաջին կրակոցը՝ վրիպում,

Լ

ք(ճ

յալ

Մյաավանականության ճամար կունենանք Խոցմա

ԽԱ

.

Ր

եղել

ԴՖիտարթկեն խտարկենքճետելա

Ռրոչենք ժուրաքանչյուր պատանույթի ճավանականությունը: Մել խոցում եթե առաջին կրակոցը կկատարվի, մոս խոցում,եկ երկրորդըն

անմիջական

դետալի պատրաստման ճավանականությունը: Լուծում: Այստեղ 8-7 վյալ ղդաղզ պատրաստելու յաճի՝ պիտանի ղետալ 1-ին տեսակի լատ աճույթնէ, էսկ Ճ-Ֆ՝ դետալիերնան զալու ռ"լատաճույթը: Այստեղ Ք(8)--0,9, Ե(Խ8)--0,8, եք որոնվող ճավանականուԻՊՐՐՎ (1) բանաձնիմեջ, ստանում յունը.

եղելէ

Ծ.--չի

մեջ 1-ին տեսակի դետալի կանությունը ճավառար է 0,9։ Գիտանիդետալների 0,8 է։ Որոշել տվյալ դազզյաճք՝ 1-ին տեսակի երնան զալու ճավանականությունը

.

ու

Ծյ--ելել է Թշ-եղել է

:

մ է ճեշտությամբ ռտացվու 8) ճավանականությունը

Օրինակ

ու-

ենբ.

թն Ք(Ճ

1-ի դեպքում

է

թ(4

տեսքը, այոինքն

Տ

6.

ճ

8)-Ե(8)..(ձ)

ենթ Տ 4-ի (1) բանաձեր,

ստանում

Հիպոթեվների հավանականությունը: Բայեսիբանաձեր Խնդրի

ձնակերպումը:

(գիտ արկենք8,, խու քը, որոնց

ը,,

Ինչպես ն Տ ի

թնորեմ

Տ-ում,

անձամատեղելի պատաձույլթների (բեմ են թ(8 / անություններն ճավանակ Ր ( ւ) ք(ր թ(Ց չ) ( ո): Ճ պաստաճույթը կտրող է տեղի ունենալ 27 քր որնէ մեկի ճնսո, որոնց մենք անվա8., պատաճույթներից նելուենք ճիպոթեզներ, '.Ս

թղ

երնան դալու

ԵՀ:

ոԲ:ս

Ճ պատաճույթի երնան

ղալու պատաճույլթի երնան

Տ 5-ի (8) բանաձնեի ճամաձայն Ճ կլինի ճավանականությունը

-Է-

ՔԱ)-Ք(,)5Ա82)-5(8»5(:8չ)

:

:

թ(Ճ81--0,7

...յ,

կանությունները:Պաճանջվումէ որոշել

այչ

ի

"իպոթոզարի

Ե(Ցո/Ճ):

"(7

-

(8:

ճավանականությունները: Լոռ

լուծումը: ճավանականութ ունը: 8.) ք. ս 8-6) Խնդրի

ն

որտեղից

Ե/ԽՀ-- բր ե տեղադր

փոխար

ճրա Ր

լով

թ(8 )

-

Ճ

Ք(8ո/Ճ)

(2)

(3)

:

անաձեր

կոչվում է Բայեսի բանաձն կամ

ւթ

Օբինակ

ճի

պոքեղներ.

Ց

լու

ն:

նջ

8),

8:

են

չորս

մէժացավ այն պատճառով, որ Ճ ճավանականությունը մյուս

ել

մեկ

է

ճարվածով: Մինչեն

վրիլել են,

տանկն էլ խոցել են,

տանկը վրիել

է, երկրորդը՝ թռցել:

աա ՔոթոՈԻԱՐԻ՝ ավանագանուքյունենրը բի բազմապատկման թեորեմի. որոշենք ըստ

բ

"թ

Ք(8,-Ա--թյ(1-ք)--92-

ճավանականու-

0.6--0,12,

թ(8չ)-»քլքշշ»0,8 0,4-60,32, :

0,6--0,48, Ք(8:)--Ք.(1--քչ)--0,8 :

0,4--0,08, Ք(8.)»«(Լ--ք)քչ-»0,2 :

|

:

Ֆերբ.

Որոշենք պատաճույթի երնան

Ք( Ճ/8լ)--0,

Ըստ (4) չավասարաճնարավոր ությունը. Ն

.(8.)--ԵԼՑչ»-Ե(8:)--թ(84)»-«0,

ձավանականությու

Թյ--առաջին տանկը խոցել է, երկրորդը՝վրիպել,

ճիպոթեգների

45:

Ք(Ճ/8լ)

8,

8,--երկու

(8)

Դիցութ փորձից առաջ եղել

գ5-06,

0,23

-«0,11,

0,23

1ռ ւծում:, շբյեկտի ոչնչացումն պատաճույթը Տրաձդությունը ճնարավորեն ճետնյալ ճիպոթեվները.

՛

տողո

0.1

-

թյ-առային

Բեն ում է, որ թ(8,/Ճ) բանաձներից (Ճ ռաիրականացման ալսինքն՝8. ճիպոթեզի ճավանականության, արտաՀչ ճավանականության ունենալուպայմանով) եղի տաճույլթի ' ճամարից կախվածչէ: ճալտությանմեջ հայտարարը

Դի

`

ճաչ-

ծ

բեռրեմ:

4)-

0,25

տանկն Թյ--ներկու

-ջ(8):(ՀԺ, 5/8)

`

(2)

է

..«յ

:

Ճ---ցշջ- Հէ,11,

եո

Թյ ունը ,

:

որոշվումեֆ թ(8չ/Ճ), թ(8չ/Ճ,

վանականությունները: եղ այսպես, թ(Թլիձ)»» ՅՓ(8)

(տու

ք(ճ/8.)

( ) թթ), 2 թը,

Ա ձեով

ւս ճս լ4

,

Հ-0

0,1 0,1--0,25 : 0,02

մեծ էւ պայմանական ծավանականությունների ճամեմատությամը ՃԽ Տանկերից յուրաքանչյուրը Օրինակ միմյանցից անկախ որեէ նպա-չտարաք վրա բացելեն կրակ: Նպատակակետը առաջինտանկի ճարվածով 4: Օբյեկտը 9" էՀ" / Ը երկրորդ կով` թ որ օբյեկտը ոչնչացվեց մեկ ճարվածով:Որոշել այն բանի է ճարվածով: ոչնչացվելառաջին տանկի

:

ար

0,175

Ս,

0,1--0,25- 1--0,25

է

"

:

( (1)

ր

-

,

ԱՅՑՀՏԸ.-0,02, 0,23 Ճ)-0/16 Այթ»ել եղել Ք(8.)-0.25- Ք(81 ալատաճույթըտեղի ունեցավ, Րնդ որում

:

կստանանք:

Նման

6(81/Խ,

:

0,25--

0,7--0,25

Ո

)

:

Ք(8,) օ(Ճ/8.))

Ք(ձ) ե

զոնհնք ԵԼՆ

Տ 3-ի (1) բւնաձեի

- Ք(ԽՅ)-Տ(Պ

Լ

-

ԹԹ

,

0,25.0,7 , »

թ/8 Ճի՞

ալն ենթադրությամբ, ճավանականություննելն ճացման պայմանական Ճ պատանույթըտեղի է ունեցել, այսին քն՝ որոշել ոլ

Ք(8./Ճ), Ք(8չ/ ն),

Ք(Ճ/8.)-0,1,

Դիցուք փորձարկման ընթացթում ձՃ պատաձույթը տեղի է ունեցել, Այդ դեպքում ըստ (3) բանաձների ստանում ենբ.

տեղի է ունեցել: Այն,որ Ճ պատաճույթը որ Ճ Ընդունենք, թ(8ո) ճավանատեղիէ ունեցել, կփոխի թլ8.), սվատաճույթը ենե ւա ե ե ԻՐակա.

ծամապա-

8.)--0,1, Ք( Ճ/8.)--0,02,

Ք|ձ

(0)

ԳՔ(ԹՔ(4/Ծո):

պայմանական նավանականությունները

գալու

տասխանաբար ճավասար են.

|

զալու

պայմանական

Ք(Ճ/8չ)--0, Ք(Ճ/8:)Հ-1,

ճավանականություն

Ք(Ճ/8)-ՀՍ

բանաձեի ղանում ենթ ճիպոթեղների պայմանական ճավանակա|

65:

0,12 - 0--0,32 : 0--0,48 0,12

Ք(8/4)-/

.

.

.

--

0 56

--0,

Սառմանումիցճետնում է, որ լուրաքանչյուր Ճլ արժեքին ճամապատասխանում է քլ ճավանականություն: Ճ.-ից ք-ի ֆունկցիոնալ կախումը կոչվում է Ճ դիսկրետ պատանական մեծության ճավանականություններիբաշխման օրենք":

|

գ, 582-9. 0,56

0,82

այո թյ

081--0,08

.

ճ) Է

-

0,48

-

"աաա

0,56

0,08 Ս" .

ԵԱՑ

արէք

-

Փատաճական մեծության ճնարավոր արժեքները

Այդ արժեքների ճավաչՀ

,

Տութայիուի յունը

Քի ստուղումը

է,

սարչ

ունեցող մասնագետը, Թյ-ռարքը ճավաթելէ բարձրորակավորում ունեցող մասնագետը, 8շ-սարքը ճավաքել է միջին որակավորում

ք1

քՀ

Այն, ոլ

ք(8./ Լ )-Հ

0,8 Ս,3 0,9-10,7 :

:

0,7 0,8

՛

Ք(8չ/Ճ)-» 03:09102-08 ,

դեպքույր ճաջորդականության

ցյջ ՀԿ):

,

`

0,56 --0,678,

ն

քում ընդունում

է Ճո

Ճ

Ճա

պատահական Դիսկրետ

որը փոփոխականը, «2-7

Ճաշ.

|

ընթժացյիորձարկմտան

արժեքների

զերջավոր կամ

մեկը,կոչվում է դիսկրետպատաճաՀ ճաջորդականութլյունից անվերջ մլ արժեքին ճՃայրապատասխաչկան մեծություն,եթե լուրայքանչլուր Սուտ

է

ալն բանի

քլ

որոշակի

(17

|

' '

||

| դրատաճական ի որն արժեքը» ճս վանականուչ| ն 409-ույր

ւ

ւ

տ

(0

Նկատենք» որ մեծության այն յ սարե նոուրեժ ունի է մոդ:Նկ. կ ոչվում Թլունը, աատկերվածպատաճականյՐեժու-չ թյունն ունի Ճ, մոդը:

Քում:

ի

|ի

5,

Նկ.

ա

սպատաճական մեծությունը մեկ անգամ խաղոսկրը նետելիս Օրինակ Ֆրա վերին նիստի վրա բացված միավորներիթիվն է, Ճ փոփոխականը կարողէ ընդունել ճետնեյալարժեջներիըմեկը՝ 1, 2, 38, 4, 8, 6. Յուրաքանչյուր արժեր 1:

Ճ փոփոխաչ որ ճավանականությունը,

4: արժեքը: կան մեծությունը կընդունի

ՏՅ քյ--1

1-1

դեպանվերջճաջորդականության

ի

---08Ց

Տ 7. Դիսկրետ պատահականմեծություն: մեծության բաշխմանօրենքը

ն

-

ւ

Սաճմանում

պ արժեքների վերջավոր . սրալմանը՝

որ

--

...7

ծո-Կ 12»

|

Մբ 03.09

),

Վ

.ՏԱԹ-նՃ,

այն սլայմանով, ճավանականություններն 8շ ճիպոթեղների Որոշենք 8. Ճ պատանույթը տեղի Է ուն բանաձնի

.

..5:,

ն

Ըոո (3)

|

..

պատաճական

`

՝

որ

ք.

.22:Ն..ե..

մեծությունըկընդունի Ճլ» Ճշ, Ֆլ արժեքներից ւրեկը,ճավառտի ատա ճաջորդականության է, ն ուստի պետք է կատարվի Ճուլթ

այս

ԽԱՍԾՌ-ո8,

Ճ.

ԵՎ"

Աա ՀՀ.

|

ճավանականությունները: ճիպոթեղների Ք(8.)--0,7: Ք(8.)--0,3, կլինես սլայմանականճավանականությունները Պատաճույթների

Փրենք

Ճշ

Բաշխման օրենքը կարոզ է տլվել նան դրաֆիկորեն՝ ճավանաՀ բաշխմանբազմանկյան կանությունների տեսքով,երբ կոորդինատեն («թ ների ուղղանկլուն կառուցվում թ.) կոռրդինատճայրակարզում| եռ ն ներն ունեցող կետերը դրանք միացվույր բեկլալով (նկ.409), օրենքը կարող է տրվել217 անալիտիկորեն՝ Բաշիւման

Մինչն աչխատելն

պատաճույթը սարքի անխափան ճնարավոր են ճետեյալ ճիպոթեզները: Ճ

Խականությունները

ունեցող Փ-ը ճավաքում է բարձր որակավորում Օրինակ էշ Սարքերի իսկ 20 Փ-լՐ միֆի որակավորում ունեցողը, Րարձր որակավորում մուսնագետը, 0,90 է, իսկ ունեցող մասնադետինճավաքածսարքի աշխատանքի 0,80, Վերցրած ճավաքած ունեցող ռարքինը՝ մասնագետի միջին որակավորում է ճավանականությունն այն բանի, որ այն ճավարել ճուսալի է, Արոշել սարքը ունեցող /ասնազետը: բարձր որակավորում

Լուծում:

լ.

`

Երբեմն ճամառուտ ռում ։

են

«Փատանականմեծության բաշխման

օրենք»:

Խպանակարո նյո լ"

՛

ա

ծ

Բորի

|

՛

|

Լ

ծ

ծ

|

"

| |

Քարդ" ե սար

`

՛

քում Ճ պատաճույթն օրենթը: ցեծության բաշխման Լու

մո» աո ԼԶ

մանակ տեղի

ժամանակ,

բարո ն

պա

տաճու

բանի թ:

կլենի

ր --2)-(Լ-թ)թ--(Լ-

ն

այլն

բանիճավանականությունն է, որ պում, երկրորղի ժոմանակ՝ խոցուսէ:

այն

կլինի

թ(--Յ--Ա--թ2--(Լ-|

ի

Բաշխման աղյուսակը կունենա

ա

-թ(1-թ)ք--0-թ)թ

(Ո. ՌԵ-Խ, քլ--«Ա--ք)ե՛:թ

(2)

Ք(2-ՀՀլ.)|

բաշխման չավանականությունների

.

|

քւ ուտեղ Այստեղ

Նու

|

Յ

|

յլմո նա:

ես

ան

| |

1--ք)-1ք

|

Հ

Է-1

-

եղելէ

վբի-

0,2--0,04,

տողու

թ

յու

",

ճետնյալ տեսքը:

| | | | 0,16 0,8

:

0,04

Տվյալ խնզիրը կարելիէ ձնավկհրոլել «ռավփորնե ունենալ ն քանի ուրիշ

ՏՏ8. Հարաբերականհաճախություն, ն հարաբերական հաճախության կրկնվող փորձարկումներիդեպքում հալվանականությունը

քւ--5 Լ-թԻ-ԹՀ ա Խ--1

ր

լ

Է

լուն

իինչե

առաջինխոցումը:

փորձարկումներիանրիաչ Յուրաքանչփորձարկման ժամանակ կարող է իրականանալ Ճ պատաճուլթը

Դիցուք կատարվում է

մինչե

ճրաձդղութ Դիցուքկատարվում

0,8): (Է--0,8)|--0,2

ժամանակ

լ

կատարգող ճրաառաջին խոցումը ունի խնդիրն կիրառություն» Մոլ մասին Քննարկված ձրդգությ նկատմատբ:բ Բիաձդու թ լան ճարցերի րաձ մասնավորապես, Խնդիր

։

ունենք ր

0,8--,

այն կարող է նշանակություն տերմիններով, ճետնարար, սիստեմի» է ե մի ճարցեր քննարկելիս, Այս ուրիչ դիտողությունըվերաբերում խնղիրների։

,

|(1--ք)ք|Ղ--թ»ք |

ք

ւ

..

։

-

առաջինկրակոցի

՛

:

աղյուսակը կլինի

Չ

08) )

1--Ք("-51)--Ք(թ--2)Հ-Լ--0,8--0,16--0.04,

ժամանակ, փորձարկման Ճ)-(

(առա

քանի որ կա ընդամենը երեք արկ ն ճրաձղգությունն ընդճատում են անկախ այն բանից, Թե երրորդ կրակոցի ժամանակ խոցում կլինի կամ վրիպում, Վերջին ճակարելի է ճոշվել ե ոլոլես տարրբերություն՝ Վվանականությունը

Ն

քչ--Ե(ՃնՃն

ւ

`

լ ն 4 )--Ա--թ)թ ) --քշ--Ե(Ճ ունենա յթը տեղիչե Ճ պատանու որ մ ճավանականությունը, ւե ե ունենա երբորղու

ին, ռո երկրորդ

աղա

ոչ

Բուի ԱԱ Հոնությանը, ՔԱՀՀ22-Ո--թ)թ--(

1, 83,2...

--Ո--ք)ք։

Ա ժմՄ

Յուրաքանչյուրկրուկոցի ժամանակ խոցելուձավանական

ը

ժափորձարկման ջի Թը առաջին ժամանակ, կլինի տեղի կունենա երկրորդի

անությունը,որ

կա

ԲիոԱԱ

որի դեպ-

քշ--Ե(Ճ)--Ք:

ճավանա չ

ընդունել

Յ։

երեք արկ: Որոշել այն րանի ծավանականությունը, ոթ երկու արկ, երեք արկ, եթե ճրաձգությունը կատարվում է կծախավիմեկ արկ, խոցումը կամ երեք կրակոցների մինչն առաջին վբիսլումը.կազմելծախսված արկերի Թվի՝ Ճ պատաճական մեծության բաշխման աղյուսակը: սլատանական մեծություն է, ծախսված արկերի Լուծուսի Դիցուք Ճ-ը է, որ այն կծախովի չլ արկ, Այդ ճավանանղ խոցելու ճավառար կրակոցով ցով ցել 0(--1)--ք»«0,8 ) ավանա դեպքում է

ծ

որ Ճ ճավաճականությունը,

մ ամբողչ ղրական արժեթը,Այդբանի ցանկացած ան տե պատատույթը

Օրինակ Թյունը՝ ք--0,8,

'

,

ՏավաԸ ծավանականությու

կարող է

մեծությունը ։լատաճական

Ճ

սլատաճական ունեցել: Գտնել

ին անգամ տեղի է առւաֆ

ծումտ:

9-ում,

՛

ճամարն է, փորձարյլման

այն

աո

ամոթն

Երք

մանակ կատարվել է խոցումը: Ալո սլատաճական տեժության ճավաչբաշխմանազլուսակը կլինի նույնը, ինչ ն օրիճականությունների դակ

յուրաճաջորղականություններից

անվերջ

Օբինակ 5: Փորձարկումների ճո երնան դալու "- ԴոգՔոՄ

ԲԿԱ

ք Է: Յուրա քանչլուրկրակոցիժառիանակխոցելու ճավանականությունը ժաՃ սլատաճական կրակոցի ա յն ճամտարն տեծությունն է, որի

ատաճական մեծության

Ղ՞՛

յ,

ոը:

Բո ննաԱոՂՐՎ

աաա

Մ"

տնա ո

ն

.-ծ-

լուր

ք ՛

ը

յուն է, որը Դիցուք«-ը պատաճականմեժուլթ ճավանականությումբ: Ճ է ո յիորձարկում հրնան ներիսերիալումր պատաճուլթի

նշանակում

է որոշելդ դալու ճարաքերականճաճախութունը: Պաճանջվում

ոնբիալում ձարկումների

պատաճական մեծության

Ճ

քոչ զո-ոք-ռք"զ"-

փոր-

ո

բաշաման

հոկ ձ

օրենքը: 2: պատաճական դեսպլբում Ալնճայտ է, որ ո փորձարկումների է ճնտնլալ արժեքներից մեկը՝ մեժությունն ընդունում

բ Թ եռրետմ ը

Այն Այ

1: ։

շ

լ

բ

ող"

..

(չ

բանիք

Պ

մեծությունը կընդունի փոփոխական

Ճ

ո

-

ն

Շո-

ն ությունը, նր, որ

արժեքը, այսինքն՝

որ

ըսա Այսպիսով,

:

Թեորեմն ապացուցված մեժության բաշլման

Լե

Ը ( (հրնան

է դալիսի

--

Ճ,

հրեան է է դալիս փորձարկումներում Ճ-ն հրնան չե ո--լղ փորձարկումներում ):

ապա

Թեորեմի Ճնխ բաղզմապատյվիան

տ

ո

որձ փոր

Կթաղգքթում ունե րի ընթացթ

արվու: Ճն Ճ

անդամ երնան դալ

ուրիշ

Ճ

ճու այ մուռ ատ ւա

աոա

ԹԸ կարող է սր

ալա

Ը

պատաճական արտանալաումենք ճետելալ

օրենքը»

նհ

"րը

որոշեցինք

| |

ո

Ը

ՀԸ) ո

0)

Շր

Ճ

լ ի քազո-ո | ո

Վո ո

ո

.

ի

.

|

քոռ

երկանդամային օրենք,

ճավասարեն (զ--ք)" ճավանականուլթյունները

դ

վերլու-

ճ

ոջ"

Ինչպես ն պետք էր սպասել, փոփոլական մեժության բոլոր դումարըճավասար է արժեքների ճաղտնականությունների ճնարավոր 1-ի, քանի որ

Բայց

(թ-զ)-Լ»-»ն

այլգպիսբ ո--ոՂ1 անդամ: պատուճուլթների թը ոլասոաճու կլենի ունը դալու ճավանականութ երնեան ճնրթաղայության Ճ

է:

(ԵԹ"-Ֆ

:

ո

ո-1 իսկ ւլեոքէ կատարվիտղ անդամի, պլատաույթը պարտադիր Ճ Ճ ուռ

ն

Ժ-ՇԵթ"զ" "ն

ո

Ու--

րատաճուլլների ճերթագալության Ճ

կերպով

"զո

"

Շր

ո

|

ՃՃճ...ՃՃճ...Ճտճ': Օրինակ, ճաջորդականությումբ: ՃԵ Հաաա

ռ

Ժք"զ"

տ

բանաձնի արատաճալտութ լան՝ բոտ Նլուոնի հրկանդամալին ա նդամներին. ժության ճամապատասխան

ալդսպատաճույթների

քուզոռ, Բ ս լա

ռ

որովճնտն

կլինի ճավանականուլթյունը ճերթադուլության

պիսի

"

օրենքը կոչումիէ Ստացածբաշլխարան

դաՀ

Քանիոր ա

ըստ

աչ

Ք(Ճ)-Լ-քՀզ,

թ(ձ)»ք,

ծ

ո

186)

Ճ պատաճույթը

"Ի"

| | | բիո ի 1թզ"՞1 2քշզ"-2 ւ

Ճ

այսին քն՝ իսկ ճաջորդ տաճույթը» ս

աղյուսակիոոես բով.

ո-ռ

ո

առաջին տ

Հ

Ե

,

ենք

առանում

Ապացուցելով Թեորեմը:դրանով իսկ

'

-ՏՃՊճՃ»-»

քոզ""ք"զ" Հ--

կաի

1)

«ո

այ թեորեմի

դումա

.

ղ ընթացԱռպացուցում: Ճ պատաճույլթը փորձարկումների ՂՆետձ տ պա տաճուլթների օրինակ,եթե անդամի, քում երնան կդա

ՃՆ»

1.2.3..

ԵԸՀո-

ռ

զ--1--ք--Ք(Ճ):

-

..

) ձավա ակա

ճերթագալությունը լինի ալոպիսին՝

ո(ո--Լ)(ո--2).|ո--(ո

ո

փորձարկումներիդեպքում Ճ պատաճույթը երնան կզա 7 անզամ, անզգամ: իսկ Ճ պատաճույթը(Ճ պատաճույթիերնան չգալը) ո-- ող ո տարրերիցՈ1-ականզուզորե Շա-ը որտեղ ճավասար Շրք"զո-ո, դությունների թիվն հ, ք-ն՝ Ք պատահույթիհրնան գալու ճավանաձավակաճությունը՝ քշ»Ք(4), զ-ն: Ճ պատանճույթիերնան չզալու ճականությունը. այսինքն՝

քանի տարբնր ճերթժաղալությունպատաճույթների ընթացքում, որոնց մեջ ճ լինել Ո փորժարկոմների

Ն

ներ կարող է ապատաճույթըհրեան կգա ը) անգամ, Ազնճալտէ, ար ալն ճավառսար է Ո տարրերից Ո-ական զուղ"րդությունների Թվիս-

ո

բր ղ՛

ն

:

ճարկ Է ուսումնասիրելիս ղություն, Շատ ճարցեր Ճ

լիկեԿու որոշելալն բանի պատաճույթը ճաղանականությունը, այսինքն՝ այլ սլատաճույթիճարա-չ բականախա«գոնե մեկ անդեմ»,

Դիտո

որ

22--:

բերական ճաճախությունը `

կորոշվի ճավանականությու ՓԸ

5»- -

Ակնճալտէ,

ալդ

որ

Ը-ՐԻ«

-ք

ո

լ

կառուցենք բաշխման բաղմանկյունը (նկ. 410), 8, ինչպիսինն է ճավանականությունն այն բանի, որբ հ պատաճույթը տեղիկունենա Չ անզամ ա) երկու փորձարկումներիդեպքում Ք)) երեբ ՄՐ"Ք փորձարկումների դեսզբում, գ) տասը փորձարկումների դեսլքում, եթե յուրարանգալու ԼՂԱաՑԹում դատոտուրեի րու

Օրինակ

Տր ԱԳՆ

(3)

ավասար

է, որ Բաշխման աղյուսակից ճավասարությունից: ւռեոր Ճ պատաճույլթը ալն բանիճավանականությունը, տճնտնում

նան

(0,4)2--0,16: բի--7 Մ-օգթա-Ը-շ

ո

ե)

ղե կունենա ոչ պակառ քան Է անդամ, կորոշվի

Բ(թ-)ռ

ի

կամ

ո

ո--ն

այստեղոՈ--3, Ք--0,4,զ--0,6

բանաձնող: Օրինակ

ո

Ի

է

Ը-Ճ-Ց ո

ո

Պ-:-0

պատկերելՃ Գրաֆիկորեն

օրենքը, երբ

կրկանդամային

ՈՀ-Ց.

թշ,

ՎՀ»04) բիլ Էօրտզ»--

այա»

:

կ

(0,6)5--0,121,

.

յ

/"

մեջ մտնող աղյուսակի Ռբրոչենք ների արժեքները»

0,0--0,988:

են 5 անկախ 5. վրա կատարվում Նպատակակետի «կրակոցնե ժամանակ կրակոցի Խողատակակետը խոցելու ճավանականությ Յուրաքանչյուր ՖԽըճավասար է 0,2: նպատակակետըոչնչացնելու ճամար բավական է 3 խոցում: ետր ոչնչազնելու ճավանականու, 0.բոշել ոշե ն նպատակակեաը (անուն ունը: ոչնչացնել

Օրինա

պատաճականմեծության բաշխ"ման

մ:

Լուծու

10.9

|

Գ-շ-

-

4):

գ) այստեղ Ռ--10, ք-Հ-Ը,4,զ--0,6. :

.-1

2.

ԲՐ-լ)- Շ4թ2զ1ՀՅ

4)

Շր թ"զ"՞"

թ--0,4, զ--0,6.

ա) այստեղ1-9, շ

Բթ-բ)

ր

Հազիոովա յուն

4-ի:

1ուծում:

ճավանականություն-

րոլոր

:

է) ՀՀՉ56' ԻԳ»: 2)-- --.--ջջ:

թ(5--0)-ՀԸՏգ5--1 .

(Հ 21..6ր (Դ-Րջ: (Է Ց

ք

Յ

8.7.6

ԽԸ

|

6գ'

շ)5153»-Յ: 2):21:2:3

««ԸՏ

) ( ի ( 1. Է 825-397 Հ-Ը

25--

--

8.7.6.5

|մ

»-----Հ-ա---«

-

--ԸՏ

կամ բանաձնով

(չ- )-6ն (- Տ-Փ- Հ:Հ-քր'

ւ

ա---

:

)--Ը1-------յ,

ու

-Լ-

ե անաձեով: վ

|

Ակնճայո է,

որ

ոչնչացնելո

ՀԲ(-չ:» թի2-6)

ք,չ.--1

թ,չ-

Լուծում: Այստեղ ՈՀՀ5, քՀ-0,2, զ--0,8, պետք է ճաշվել ճավանականությունը

-

ՀՀՀ»,

ի

եզ.

Ք

-

լ

ՀՅ»,

ւ

1.2.3.4

ք

-

(Ր աե յ լ

----ծ---

Չ

-

Ըռտ առացին բանաձեի ունենք

:

ԴՀ4--Դիֆերենցիալն

ինտեգրալ Հաջիվներ

|

5.4.3

Մոշի(եթ (0,8թ--

ք,,ս --Ը3թՅզ2-: Ըչք4զ1--Ը5ք:-5.4.3.2

(0,2)4.0,8-1.(0, -Աաաա

.

2)5--0,09792»0,00, թ:

5-4

ՅուրաքանչՕրբինակ 4: կատարվում են չորս անկախ փորձարկումներ: ճավանականությունը փորձարկման ժամանակ Ն պատաճույթի երնան գալու որձ Ց,5 է, Ռրոչել սլատաձույթըերնան կղա այն բանիծավանականությունը, ղպակառ: երկու անդամից ոչ 05ախ ը կուծուսս Այստեղ ՈչՀ-4, ք-0,5,

(»-1 ՏԸ,

զամ

»

ԵՐ ԻԹԸՀ-)

ք

Վ ԿԻԹ,

-Վ ԻՏԸՀ1

"(ՀՀ

|

Հեռնարաըչ բանաձներիցերկրորդով ստանում

կրճատ կառի

Ընդ որում, ինչպես

ԹԴ408Հ0Յ12. ենք.

Սարի",

2,

Լուծում:

բ(Հ-3ԻԹԻ) ԸՇճբզ: ՅՐ բ«--)-Օթա-ՀՏ

Ք

ՈՅ

1. ՄԱմաեեի 095-0.799

Հ

լ

.

--

0,1:

3.2.

շ

:

0,92--0,243,

.

-Օբ»--

թ

9.

0,13--0,001,

դիսկրետորատանական օրենբով. պատասխանբաշլիւրան

բ

"|

Խ

"

"|

քո

դիսկրետ ալատաճական մեժության

-Է5:թ,-:

ցուլց

Է

-

շոքը,

:

լ

2քա

(1) ,

տրվել ավելի վաղ,

3 քն

ե -1

են

ուՀ- շորս

արժեք-

ենբ միայն այնպիսի պատանական մեծություններ, Քննարվելու զուդղամիտումէ: որոնց ճամար ալդ շարբը կապ ճաստատենքփորձարկումների մեժ թվի դեպքում պատաճական մեժության մալթեւիատիկական ւրեռւպասումի ն սլատաճական ժության միջին թվաբանական արժեբի միջե» ալն է՝ ցուլց ւանք, որ փորձարկումներիմեծ թվի դեպքում դիտվող արժեքների միջին թվաբանականըմոտ է նրա մաթեմատիկական սպասումին, կամ Տ Վ-Հումի մեընդունվաժ տերմիններով, կարելիէ ասել,ոբ պատանական

'

ել Ճշ

Դիսկրետպատահականմեծության մաթեմատիկականսպասումը Դիցուք ունեն

քշ

ծության գիտվող արժեքներիմիջինթվաբաճականը փորձարկումների թիվն անսաճմանափակորենաճելիս ձգտում հ այդ պատաճական մեծության մաթեմատիկականսպասումին: որ Դիցուքկատարվում են Վ անկախ փորձեր:Ենթադրենը,

0,132. 0,9--0,027,

:

-

|

Եթե ռլրաւտաճնական մեծության արժեքները կաղում ճացորդականություն, նե րի անվե ռլ անվերջ ճաջորդականություապա

ծ. Դետալների խոտանիճավանականույովյալխմբաքանակում Օրինակ որ հրեք դետալԹյունը՝ ք--0,1: Ո--0, դոտալոորն խոտան կլինեն Ֆերի խմբաքանակում 1,

ճող

Ճլ

..

ԽվոԻ

ԷԼ-105Ը:4(064-068/5Հ049։ Բ(»--չ

նէ Ա հեշպիոի

լ

Հաշվենք ճավանականությունը.

|

|

ՊվԿՀ-յթ

։

իՏԸՀ-չ)ի

Ճշ

մաթեՒ| | կասի ու) մատիկական սպասում(ալդկնշանակենք կոչվումէ մ ճնարավոր արժեքների ն ալդ լան բոլոր ալդ սպաստանական եժուլթ արժեքների ճՃավանականությունների դոււարը՝ արտադրչլալների

`

"ՐՀ Իւվ (լ Չ

թ(--Ճյ)

Քլ

Սաճիանում

։

Ա

Ճգ

ա

յուր

Ճ

ճայի մտեժությունը՝

արժեքըներնանէ եկելՈլ անդամի, արժեքը երեան է եկել Ոշ անգամ,

ՀԱԿԱՂԱԿՎԱՂԱԿԿԿԿԿ

ԷՁ

ա-

բ

արժեքը երնան է եկելո, անդաւի:

պատանական ւեժուլյունն

է Ճ.» ընդունում|

Ճշ

ԽՃԹար531

ժեքները:Հաշվենք 2 մեժության ստացված արժեքների միջին -Լ առ բանականը (ալն կնշանակենք Խվ:|-ովկատ ո-ով).

ուշ.Խո րու-Ի: : ' ոո,ՀյուՎ Վ ի

Բալը քանի

որ

Վ

տեժ

ոտ Վ Վ-

ւ

ու--0-0,216.-1-0,432:2

(2)

դ ազո զմենք

Հետնարար,ղյ--Օ.

--

դի)

0,216

| | | 0,432

3,

0,2

թ(--3)ՀՇ3(0,4)3--0,064,

(Հ

ոլ»|

դչՀՀ-ՀՀ-«29

(Մեկ անչամ

Ը

Չ

0,228

Մ,

ո

ղ---------չ

:

մեծության բաշխման աղզյուսակը ՎՊՎատաճական կլինի. լ

լուրաչ

ճ

Ք(5--5)--Օ310,4թ . (0,6)--0,288,

մաթե

բ Մել կրակոցով իռցելու ճավախականությունը՝ թ-:0.2, Որդել ՀԱ" ծ արկերի այն Թիվը, որպեսզի Եոցումդերի 2 Ա մաթեմատիկական խոսվող աղասումը ճավասար լինի 5-ի.

--1)--Ը:(04)(0,6)2--0,432,

"1

Հոլ,

.

:

Օրինակ

-

Ճ

անկախ

՛

Ճ:--Յ.

|

ն

՛

կազմենք տվյալ պատաճական մեծության բաշխման աղյուսակը, Այդ արժեքները ճավանականությունը զանում ենք բոտ կրկնվող վորձարեռրեմ, բի մասին թեորեմի --0,6). (ո ՀՅ, թ--0,4, զ--0,6) թ

որ ո կճաստասովի, Հնետադալում հկ |

ոլառամական մեծությունըկարող է Ընդունելճետեյալար-

Ք(«--0)--Ը9(0,6)3»-0,216,

-:

:

յուրաքանչ-

է

(4) րվո|--ոք։ եթն (4) բանաձեում՝որ թռցելու է, ք-2՝ Թիեւն կրակոցների առա օրինակ 1-ի խնդրի ճավանականությունը, լուծումըկլենի: : 0,4--1,2 -խոցում: ոլ: |--ոք»:8 Եթե (4) բանաձնում ճալտնի են 1» |-ը ն ք-ն, ապա դգյոնու ե լլի Ո-ը' փորձարկումներիԹեվը, որը տալիս է ւաւուսճու երնան դալու սորվաժմաթեմատիկականսպասումը.

1. Որոչել 3 Օրինակ կրակոցների դեպքում խռցումների թիվ ճանդիսաՀ պատաճական մեծության մաթեմատիկականսպասումը, եթե կրակոցով խոցելու չավանականությունը՝ ք--0,4,

կումնե

կը.'

արստադրլըալին. ճավանականության

:

Ճ.--2,

ուսա

ւն

մատիկականսպասումը ճավասարէ փորձարկումներիթվի

'

Ճշ-1,

ժտ

ման

Ճ պատաճուլյթի փորձարկումներում երնանդալու Թի

՝

1.--0,

աշի

1Ա

(Ա1--թ)-Է1.ք»թ

Դիտողություն

(3)

է Ո,-ի: ճավասար

զ

Լ Թյան բաշխմա

լ

լ.յ---ալւյխ

ւծումս

ու

| | "իթլը |

մ

«զարունանող սափորների խնդիրը, որտեզ Ոլ դնդիկներն ունեն ՒԶ Թղանչումը, ոց փնդիկները՝4չ թվանշումը ն ալլն. ապա մեկ գնդիկ ճանելիսզապասվող Թիվը» կարտաճալտվի (1) բանաձնով,այսինքն՝

էո

խոցում»

|

-

ժեքները.

0,288-Լ3.0,064--1,2

մ

»

ցող

մեծ

ճական

Հ ֆորս Ց

Դ-»

յուր

լ

արժեքինրնան դալու

բնական ենթաղրությունների Բավականաչավխ գեպյքում՝սւտացՀ

վում է

ո"լատաական

:

ո

(Դ բանաձնի.

ակ 2 Օբյեկտի վրա կատարվում է մեկ կրակոց: խոցելուտավանամեծու1/5 կանությունըճավասար է ք-ի: Որոշելխոցումների սլատաճնական թյան մաթեմատիկականսոլասումը:

:

լ

ըստ

Օշին

ո

ճավանականությանը, ասպա "

ԽՃ

ենք ճաջվում/

Մաթեմատիկականսպասումը

փորձարկումների դեպքում

Թվով

ճարաբերական ճաճախությունը ձգտումէ

Տու

Վոր

չ

թվա-

էս

նչենը,

որ

նման

արկ, ար

խնդիրների ճանդիլում

են

տարաներ ճե-

հերնան «կրակոց» բառը' «փորձարկում» բառով): գալ»բառերով, Օրի ուկ 4 Որոշելայն 2 ո" մեծության մաթեմատիկակա լատանական ոսլասումը, որն ունի ճետեյալ բաշխման աղյուսակը. ։

լ

Յ

0,064

ՂԻ թ

|

ԱՎԻ

ք

|

4--ք)թ

|(1--ք):ք |

'

յմ -ռ| |

օրիծակ 3, ՏՉ7: բատ (Սյ Լուծում:

Տես

ո

ՀՔ ԻՊՔԻՊՒ:

"ԻԳՇԹԻ::-

ՔԱ112գ 131: -»քկզ--զշ-Ւզ3Վ-..

.

զմ --

20--1-51

բանաձեի ունե՛նք(նշանակելով 1--քՀ-զ). :

.-Լկզե-ԵՐ

ծ (5)

յ»

ՀԱՐ -Ե.--ՉՀ(Հ-)ք

..

(0-Գ

թթ"

եվ

այսպես)

1,

երբ ք--1,

երբ ք-»0,

ուլ-»օՉ,

Ալս առնչությունները կարելի

բացառրել՝ելնելով

է

իմաստից:

խնդրի

»)

|

ու

կվնճար»

40. քբ

'-

Եթե

ղդ

Աաաա -

ասլա

-

|

ապ

Ջ Ն

զ

Նկ.

է,

՝

ճ:

ալա

որ

| 20Հ-Խլ-ոլ | |

յ

տնա

պ

տ

պապաճական մնձության

Ճ-Դշ--Ալլ | | `

քշ

|

բաշխման

| դԱ-իլ-| թյ. |

Է...

ու

|

,

(տես նկ. 418),

ը

Հջ:

Ց

օրենքը կլինի.

«ւ:

՛

:

ա 5 նկ.

տեղավորվածեն քլ» ք քո ղանդվածները, կետերում առա է, որ ճայտնի ալդ անալիտիկերկրաչառիությունից ղանգվածների ծանրության կենտրոնի արսցիսը որոշվումէ ճետելալ բանաձնով.

Ճ6-Հ ո

1՛

:

-

«2:

.

լ

:

Իրոք, եթե լուրուքանչլոր փորձարկման ժամանակ Ճ պատաչ ճուլթի երնան դալու ճավանականությունըմոտ է 1-ին (ջՀ1), ռա կարձլի է սպառել, որ 1 պատաճուլթը տեղի կունենա մեկ (առաջին) իսկ եթե ք ճավանականությունը. փորձարկմանժամանակ (ոՀ) է է ապա կարելի որ այն բանի ճամար, որսպասել, փոքր (քՀՕ), ճ ունենա, պատաճուլթը տեղի պեսզի կպաճանջվի կատարել շատ շատ փորձարկումներ(ուՀօ«): : մեժության մաթեմատիկական ռպասումը կոչւպղատաճական է մեծության ճավանականություններիբաշխվում պատաճական ման կենտրոն: ճն Ց Դի տողութլու լունների բաշխի ան «ձավանականութ կննտրոնՖջանվանման կենտրոն» անվանումը մյոցված է «ժանրության 4ո եթե Օ, առանցքի Ճջ: արսցիսներն ունեԽմտանությամբո: ցող

Մ

կենտրոն» անվանումծը: միժությունըՃա աւաւտասՀ Դիցուքտրված է 1 սպատաճական խան օրեսքով (նկ. 411). դիցուք դրա մաթեմատիկական սպասումն ն նրա է ուր Ալնուճեն. դիտարկենք ԷՀ պատաճական մեծության մաթեմատիկականաղասումի Ճ--Ո, տարբերությունը: կենտրոնագիրպաԱլս պատաճականմեծությունը կանվանենք տաճականմեծություն կամ շեղում ն կնշանակենք 2`- ով:

ոչ

հատի թոմատիկակ

է մ

ծանրության եվ ալսսես,ճաստատված է, որ զանգվածների կենտրոնը ն մաթեմատիկական ապատումըճաշվվում են ճամանման «ճավանականությունների բաշլոման բանաձներով: Այստեղից էլ

.

Օ-Ջ"

ճասընկնում ճամընկնու

ն տեսքով

բանաձնրԱՆ

2)

Ճւքա

'

կան

ռպասումիը. ոլ

"-ութ-Ֆ ՝

|

) Հ,Ն(Կ-- ույքյ»»

»»ոյ

ո

դ

շ, Ֆ'

Հ

Ճլքլ-

ո

-լ

Աաաա

.

ոյք» :

1-0,

ի»

Ալսւես, ուրեմն, կեւնտրոնադիրպատաճական մեծության մաթեմատիկականսպասումը ձավասաըէ զրոյի: ՃԽ երբեմն նպատակաճարմար է լինում ոչ Դիտողություն

ճաստատուն Ը պատաճական (ճավաստի)

Սաճմանում

ՀԿ

սայինշեղում կոչվում

որմեծությունըղիտարկել

ւ

հլլ«|--«

10.

(6)

, ում

մա

ո

ո

(աու)

ՀԿԹ-

2ոււ

(2)

է

լի-

Լո»

Հ

չ

ո

ո

ՈՀթ-Հ

Հ

ուծթ.

51- ուն 12-/||

բ-փլո"|--տչ, յ

(4)

այսին քն՝ դիսպերսիան ճավառարէ պատաճական մեժուլթլանքառաչ Վուսու մաթեմատիկական սպասումի ն մա-

Մ

Թեմատիկական սպասումի :

Օրինակ

քառակուսու

պատաճականմեժության

տարբերությանը:

Օբյեկտի վրա կատարվումէ մեկ կրակոց: խոցելու ճավանաւձանությունըք է, Ռրաջել մաթեմատիկականսպատումը, զիռպերաիանե միջին Փռակուսային շեղումը: զուֆուսը կասուցենթ խոցումների թվի արժեքներիաղյուսակը. "

ՏՎ

ՎզՀ1-ք, Հետնաբար, ուլ:)Հ-1:

-

թէ0.

ԼՐ 0ՐՀ

| | |

թ.

:

ք

զ

զ-ք,

| (5) Հ բզ: | միջին շեղման որպես պատաճական քյան իոդերոիայի Բարովուտային բի իմաստը պատկերացնելու ընութաղրությու բննարկենք Տրկնավնել, օԾՐՎ-ՈԱ-թ)թ--(0 - թ)չզ--զժթ4 թՅզօ-քվ,

ունի պատաճականմեծության Քառակուսու չվաչ Դիսսպերսիան ճամար, ավելի ճարմալր: Երբեւե,ցրումը բնութադրելու կանություն: է օղտվել ալնպիսիմեժությունից, որի չավականաթյունը ճամբնկճում է սյաւտաճական մեժության չափականությանը: ԱլչպիսիիեժուՀ

Թլյուն

ԿՔ.Ժ

--իկ|47|--Ձու, ոֆյու

լան

՛

օ)-չ

ի

օյ:

դիսպերսիա(ոչպատաճական մեծության ե է սպասու պատաճական մեժությլան նրա մաթեմատիկական վում տի տարբնբթության մաթեմատիկականսպասումը(ալՓառակուսու պատաճականմեծության սինքն՝ ճամապատասխան կենարոնադիր սպասումը). Փարակուռու մաթեմատիկական Ծլ 2 Է-ոկվ(2--ու)"| 021)

(ե--ո,)"ք

`

ճւտւքյ

ԷՇ

-

.

Եզ

ռ

ո

ֆմթ,-2յ

Ք-

Հ

արն. --

՝

(3)

:

Բացի1

Սաճռիշանում

Հ (ւ-ույ)քր

Ն

(1) բանաձներձնայիոխել այսպես.

Հասկացությո

պատաճական մեծությանմաթեհրատիկական սպասումից» բաշխման կենտրոնի գիրքը, որոշում է ճավանականությունների որը մեծության բաշխման քանակական բնութաղիրն է 2 ւ"պատաճական պատաճականմեծության դիսպերսիան, կնշանակենք Սլչ| կամ օա Դիսպերոիան «Դիսպերսիա»բառը նշանակում է ցրում: Դիսպերսիանպատաճական մեծության արժեքների իր մաթեմատիկական սպասումից ունեցաժ ցրման, սփոման թվալին բնութաղիրն է։

ո

իւ -

Միջինքառակուսայինշեղումը նշանակում են նան Փ.-ուի Դիտողություն Դիսպերականճաշվելիս ճարմար Է

յին շեղում: շեղում: Հասկացություն Միջին քառակ առակուսային

աան մաենաների Դիսպերսիա:

Ի-յ՛Ծլո|, Ը

|

մաթեմատիկականսպասումը ճավասարի սլոինթն՝ նճաստտոտունի ճենց իրեն՝ ճաստատունին:

Տ

արոաւո

նրա դիսպերաիալիբտռակուսի

կա/ բացվաժ տեսքով

՝

1--«,

Պատաճական մեժությլան միջին քառակուիւ

սչհս պատաճականմեժութլուն,որը 1 ճավանականությամբընդունում է Ը արժեքը» իսկ մլուս արժեքներն ընդունում է Օօ ճավանականութ ' ամբ: Ալս դեպթում իմաստ ունի խոսել ճաստաւոունի մաթեմատիկա-չն ասումի մ մասի կան սպասումի :

Է

,

ճ

մեժու-

ճամար

միջին քառակուսային շեղումբ:

Օրինակ

-

Փբենքով (տես

Հ

պատաճական մեծությունը աղյուսակը ն նկ.

418-ը).

տրված է

ճետեյալ 1

ԲՅՈ: քաշխման

ք:

շ

|| 0,3

| | Յ

|

0,3 0,4|

Ռբոշել՝ 1) մաթեմատիկական սսլասումը, ռակուսային շեղումը:

|

`

ՉՀ

հւլչ)--2

2.

օլոյ-(2--3)»

3.

«Ր--)/

:

Ծ

0,343. -

3) դիսպերսիան,

միջին

Ռրոշե Ը"277

թա-

Հ)

ի

:

1)

մաթեմատիկական ուղասումը)՝ միջին քառակուսային չե-

զումը:

Լուծում:

0,4--|4--3)3

:

0,3--0,6,

-») 0,6»-0,77։ ճետնյալբաշխման

մեծությունըտրված է ո"լատաճական ն (տես աղյուսակը նկ. 414-ը).՝ օրենքով ՀՀ-Ն ---Վ---«-"|

Օրինակ

լ

3) դիսպերսիան,

0,4--4. 0,3Հ-3,

0,3--(3--3):

Ց

ք

էուժում: 1.

|

Ճ

:

Նկ.

ՅՅ,

1.

Խրվ»3:

2.

քլգ--03--3)2:

Յ.

«(՛Ւ-0,

1-0,

Այս սղատաձականմեծության

արժեքների ցրումը բացակայում

է:

|

՛

| | | |0.5: | Յ

---Լ----Վ--թյ

Դիտողություն

թիվը դիտենք որպես պատաճականմեժութլուն, որը ճավանականությամըընդունում է Շ արժեքը, առա ճեշտ է ցուլց տալ, որ Ս|շ|--Օ, Ապացուցում Ցույցէ րվել, որ Պվշ|--Շ(տեսՏ 9, (5): Ըոտ (1) բանաձեի նու Ի ենբ.

0,3

0,4

չա-

թլգ--Ա(--ԺԴ-ՊԱԾ|--օ0,

|

Դի տողու թյ ուն լաբ, բանուլյան նմանութ

ք

պատաճականմեծության Դիտարկվումէ առաջին ն երկրորդ կարգի կենտրոնականմոմենա: ւ 727 երրորդ կսրգի կենտրոնական մուրենտը՝ են

Է (ոլո

Մլոյ--1:

շ.

Շր

3.

«լչ)»»

073-Է3 : 04-|5 -0,3--8, 03:

-Ո--3):

3-3):

Բ

:

0,44(5--3)Չ 0,3Հ-2:4, |

-

2,4--1,55։

Առաջին օրինակում սատածական մեծության ցրումը փոքր է երկրորդ օրիխակի սլատաձական մեծության ցրումից (տնս նկ. 414 ն 4Թ), Այդ մեծությունէ երի դիսսլերաիաներըճամաղատասխանարբար 0,6 ն 5,4. ճավառսար 4: 4 պատաճական մեծությունը Օրինակ օրենքով (տես աղյուսակը ն նկ. 415-ը).

արված

է

ճետնյալ քաշխման

Ճ

ու) քր

բաշ ան Եթե պատաճականմեժությունը:ճավանականությունների ակընվենտրոնի նկատիամբ բաշ|սված է սիմեւորիկ 11), չսալս (ակ. ճայ է, որ նրա երրորդ կարգի կենտրոնական ուրինար Խավասար լինի զրոլի: Եթե երրորդ կարգի մոմենտը զրոլից տարբեր է, ապա պատաճականմեժությունը չի կարող բաշխված լինել սիմնտրին

էուծֆում 1.

ապ.

«բ

-

անվանումր սպլասումիը Թեմտատիկական

0| Նկ.

ինչ

ընդունված տերմինաչՄեխանիկալում՝ ւեժությունների ւի («--ա,), (--տ.)

Ց

ո

|

ճաստատուն

ոտա

3) դիապերվան, 3) մին

Ռբոչել. 1) մաթեմառիկական սպառումը,

ոսկուսայինշեղումը:

եթե

ծ,

`

Տ

11.

Պատահական մեծություններիֆունկցիաներ

Դիցուք պատաճական մեժութլունը տրված

կի տեսքն ունեցող բաշլ

ան

օրենքով:

Է

ճետնլալ աղլուսա539

"105.152 ք, | | արե

| Բոբ "| | | աք թո

թ

ո

| թ

Ս

ԴիտարկենքՃ սպղատաճական մեծության

ի Լ«5| | 0,1 | 0,1 |

'

"

| | |: | 0,3 | 0,3 |

Փոնենթ ֆունկցիայի մաթեմատիկական սռլասումը. `

ՀՀ

ֆունկցիան: ՅՍ) ՓՖունկցիալի

ՅՆ)

հլլճ

արժեքները կլինեն

Մ

|

թ

թյ

|

| վ

|

3:-Հ'(4»)

Ր)

թշ

-.

ոՀ-է(չո)

տոՀԷ0Կ)

թ

նման

մեջ կն արժեքների

ճասլունակի մեջ,

:

:

ոլ ձնով որոշվում է

նման

օթ/112:)|--8Ա | ( )|

Օրինա կ.

Փ

շրենբով-

ման

Փ -

թյ

(2)1-25 1 Է--1

( ) ( Ա(:)--Ո| ( ) լ 5)«( )ն 2/2 1) | ՝՝ ( Ա(Կ)--ապլճյ)

Դիտարկվում է

այդ

Ն

| |

0,2

| -բ | 0,3 Ղ

ծագել տատանողական պրոցեսներըդի-

Ստ նշանակենք Պ-ով։Խնդրի էությունից ծացման արժեքով, արժեջների միցակայբից ծությունը կարողէ եր Տնարավիւը

է,

ճետնում

որ

`

մե-

ընդունելցանկացած

-

են

անընդձճատպտտահնական

զ անընդճատպատաճականմեժությունը, ընդ որում (8, Ե)-ն կարող է Լինել նան (--օՉ, օօ) անվերջ միջակայքը: Այչ միջակալքը Ճ, Պլ 1 Հ կամայական կետերովբաժանենք Ճել լթՈ--ՅԱ-Լ երկա չչ։

քլ

-

եԱՅՍ,

բությամբվխոքր միջակալքերի: որ մեզ ճայտնի է ալն Ընդունենք,

»

|

-

0,3

բանի

ճավանականությունը, «դ միջակալքի Կերչ

ալատաճական եժությունն ընկել է (ո-ն նչ անշ ք ալսոես Այդ ձավանականությունընշանակեն (ոՀ«Հոռ) ճիտքով ուղղանկլանսիակերեսի ալն պատկերեն ք Ճլ տեսքով (սկ. 416), որ

-

պատաճական մեծության Հ-Ճտ1ոջ ֆունկցիան: ամար բաշխման աղյուսակը:

Ճ օլատանակաւնմեծության կաղզմենբ

»

0,3--

.

մեծություն, դիտարկենք որեէ (ո, լ) միջակայքում Ալողես,ուրեսրն, սորված

- ճետենլալ բաշիուլատաճական մեծությունը սորված

| աալ | -| 0,1 | 0,1 Ր

չ

8.

են

Այդպիսիմեծությունն անվանում

ֆունկցիայի դիսպերսիան.

նան

0,34-Ճ

ծեւոռչափվում է գլաՕրինակ: Շաճագործման որնէ ժամանակամիճչոցից նի մաշվածջի մեծությունը: Այդ մեծությունը որոշվում է ղլանի տրամագծի մե-

արժեք,

(1)

)թա

.

ի օրինակ: ք քննարկվեն ծվլալճարցն իմբոնելուճայիար

դումարելով ճամ աւպլատաասիյուն ճավանականությունները: Հ պատանականմեժության 71) մաթեմատիկաչ ֆունկցիայի կան սսյասումը կորոշվիՏ 10-ի (1) բանաձնինասիաոի ուն բանաձնով, ո

Տ 2. Անընդհատպատահականմեծություն: Մնընդհատպատահականմեծության բաշխման խտությունը: Պատահականմեծության՝ ւովյալ միջակայքն ընկնելու հավանականությունը

մռա ճավասարներըյ

միավորել մեկ

0,2--

`

՛

Մ(Ճ,)

տիպի խնդիրները կարող

ւռոարկելիս:

՛

եթե

ՃԵ"0,1-Լ0.

թո

Է...

0,1

Ճ «-Ճ| 0,2--1.20, Ի-ո(02:0.10-954

՝

մապատասխանսլունակները պետք է

օյթ«--Ճ:

"Րեժուչ ւպատտթճական

պատաեթե 7-ՀՎ(Ճլ) բոլոր արժեքները տարբեր ենյ ապա ճական մեժության բաշխման օրենքըւորվում է ճեյռնլալաղլուսակով:

7-1(5)

51ո

թ:

`

-

:

`

(ու Յուրաքանչլուր ճ.) փիջակալքի ճամար որոշվում է 7 պաայդ միջակայքն ընկնելուճավանականությունը տեծժության՝

մաճական

ճեւոնաբար, կարող է կառուցվելճՃատապատասխան ղղանկլուն: ուռածյուի ենք սանդղաձն Այսպիսով, բեկլալ: ն,

ու

'

Սաճմտանում

եթե

որ ֆունկցիա

գոլություն

ալնպիսի Ն-ՀՎ(Ա ' ( )

ունի

'

ուրա

«ո

ֆթ:..... այդ

ապա

լ

ախ

ֆունկցիան կոչվում

11)

րյ,

Կչլո զիա նկատ րից լուրաքանչյուրի

--

ՏՐՀՀւԴՀՃ)

լող

Ք. ոով. 15Յ (2,լ) միջակալբը Օ-ՀՀ ռոփուքըմիջակալբերի կետերով տրոճեն ք (ակ.418): Այդ միջակալքե-

Ապացկուցուսթ «Ո ժ

է

,

պատաձականմեծության

բաշխմանխտություն կաս բաշխման օրենք: (Առու

են

նան

օբաշխ-

ունդ): զ-ով նշաիշտուլժ իտու լուն» կամ «ճավանականույթյան ճատ անընդ մեծությունը,Ճ-ով կամ մլ-չով՝ալդ ք պլատաճական ճակեն ան

`

Հ ոնն (3) կիրառենք

ե

Թ աՀՀՀո)

ՀՅ)ու

թ(չՀ«Հ։")

ՀՀ(Ճչ)ձյշ

լ

ուն

1,

Նկ.

ո

«թ» ք

ճիտ ի ան

ԽՃ

վրա վրա

կստանանք. կս

Ք(4)Հ:Հ«Հ-Ճ:)ՀՈՐԵՃԿ

ՀՀ

ն

2:12

Տ

Եկ.

`

Ց

պատաձական մեծության արժեքը հ 1(չ) կընկնի (2, 8) միջակայքի ներսը, ճՃավասար ֆունկցիայի մինչհ շ-ից սաճմաններում, ինտեզրալին՝ վերցրած որոշյալ այռինքն՝ իրավացիհ ճետիյալ ճավասարությունը. Ճ

.

թՀՀՀԲ)զ

|(6)ժս

(3)

3 (աձռ

Բ-Լ

որ

(5)

այնֆունկցիան

-ծ«-

ճ|

Օ"Հյ 2շ

լ

Քո»

ա

|

՝

ել.

այն բանի,որ ձավանականությունն

Ճշգրիտ ճավասարությունը: (ենթադրում ենք,

(2)

Դիցուք 1(4)-ը պատաձական մեծության բաշխ« ման խտությունն հ: Այդ դեպքում

ՆՍռղ

-»

Աոոո

Բեւոնապացուցենք Այնուճնետն Թեորեմը: Թեորեմ

ո

-

Թ(ՀՀՀՔ)

լալ

1Հ-է

Ք

վասարությունից, ճՃ-ի նկատմամբ բարձր կարգի անվերջ փոքրերի ճնտնում է ճետնլալ մոտավոր ճշտությամբ, ճավասարությունը՝

:

Գ)

Հ

Սա

Ֆթ1(2) կորը կոչվում է ճավանականությունների բաշխմանկոր քա/ սաճմ կոր (եկ. 411), Օգտվելով բաշխման անի սաճիանումից, (1) ճւս-

Լ

ոթ

Ստացանքմուռավոր ճավասարություն: Աջ մասում անցնելով Բի ոՀ նին, երբ Ոճմձյլ-»0 ինտնդրալային ղումարների ճատկություննե

սլառտաճական մեժությանարժեքները:Բ,ոլց հրբեւրն, եթե դա չե ն առաջին դեպքում, դծիկը բաց կթողնենք: խանդգարումբճասկանալուն,

իր

անաձեր. ը

Մ

թթՀ:Հք)

|

ՀՀ(Ճո)ձաթ Ծ(ՈՐՂՀՊՀուժ ձախ ն աջ մասերըո Ակնճայտէ, Գումարենք ճավասարության ձախից կստանան ո ւրեն ք թ(.Հ-ՃՀԲ)։ Ալսղես, -

ւ

բ

Պջ

մասի սաճմանը դոլուլթլուն ունի): Բայց ֆունկցիալի որոշլալ խնտեղրալն է՝ օ-ից եվ սառխիաններում: այսպես, պիսին է,

սր

աջ

սաճմանը11)

թ2Հ"ՀԹ-

մասի մինչե ք.

«սջ

Ց

րյժա ՞

Թեորեմն

ապացուցված է:

Այսպիսով, իմանալով արումւա ճւսկանեծություն բաշխման խտուբանի կարող որ պալն որոշել ենք թյունը, ճավանականությունը, ն է ներոր: վլալ որ ճակ/ո մեծությանարժեքն ընկել միջակայքի ւա

545:

րդ ճավանականությունըճավասարէ Ֆրկրաչավորեն

ճափապատաս-չ-

խան կորագիծ սեղանի մակերեսին (նկ. 418):

բությունը ե (5) ճավասարությունը: Պատաճական մեժության բաշլաման խատությունը լրիվ որոշում է պատաճականմեժությունը:

Անընդճատպատաճականմսեժությանդեղպ-

ֆիտողութլուն

:

ըստ որի Խ-»ռլ» ճավաՀ այն պատաճույթի ճավանականությունը, պքում՝

կլինի ղրոլեւ

ատի

՛

ֆ

.

մեջ ընդունելովմանը» կստանան բ (2) ճավասարության Իրուք, («ՀՀԴ

Ճա)ՀԱ(ՐԱ)ՆՆ

որահղից

Բաշխմանֆունկցիան կամ բաշխման ինտեգրալային օրենքը: բ ա շխման օրենքը

Հավանականությունների րի հավասարաչա վ րաչափ Սաճմանում

1:

պատաճականմեժության

Հ) 0 հոթՐԿՀՅՀ:Կ-Է լ

Վ:)--

)

)

Հ

մամ

Դիցուք|(է) ֆունկցիանորնէ 2(--օօՀՀ-օ») խտությունն է. ալդ դեպքում

Բաշխման

ԻՀ-իյա:

(1)

Ե(չՖո (Տես

նան

էջ

508-ի

40)ը)Հ--Օ։

դիտողություն

1-ր):

ՔՀ: թաՀ-ՀՀՀի)--Թ(Ճ-«)-Է -

Հր)-

կոչվում է ձավանականությունների ֆունկցիան բաշխման ֆունկցիա կամ բաշխման ինտեգրալային օրենք,

(3)ն

նախորդ Ք(«Հ՛ՃՀբ), այլն

Ուստի

կարող Ենբ դրել ոչ միալն ճավասարություններում թ(.ՀՀ։ ՀԷ), թանի որ

'

ժությանբոլոր ճնարավոր արեն ժեքները դտնվումի (8, ե) ապա միջակալբում,

Է(ԺՓ«-Ն

Հ

քանի

Վոնկնի , ( (8,.ե) միջակայքի ներոր:

(4)

(--ՇՉ,օօ)-ն

Պո

(5)

իազ--ն Ր»

Նկատենք, որ նթե քննարկվող խնդրի էությունից ճետնում է, որ 1(:) ֆունկցիան որոշված է (1, ե) վերջավոր միջակայքում, ապա կարելի է ճամարել, որ ալն որոշված է ամբողջ (--օՀ, օօ) անվերջ միջա-

1,

ԻՐ)Հ

(2)-0

Ե) միջակալքից դուրս: Ալո դեպքում սոեղի ունի

ն

(1) ճՃայվառա-չ-

թիա

ԵՀՀ

Տ 12-ի (3)

ասլա

:

-

է,

Ն

Դիսկրետպատաճական ճամար բաշխման ֆունկցիան մեժութլան է նրա այն 7. ճավասար արժեքներիճավանականությունների դումարին,որոնք փոքր Լ177Ճ-ից.

«լաճավաստիէ, որ ւռաճականտեծության արժեքը

-

բայց կայջքում,

Են. :

որ

արժեքների միջակայքը ԵԹն ճնարավոր

էշ

:

:

Նկ.

յ

/7

ԵԹ-Ք8)-ԵԹՀ- ք): եթնՃ պատաճական մե-

ծ

ւ

13.

ման

Կ հաճական

ֆունկցիան այն բանի

ւՐե

Նկ. 420-ից

ճավասարության ճիման

է,

որ

ու մեծությունը ընդունիա-ից փոքր արժեք (նկ. 451). ու

Ի(Ր:)-Ք(--օօՀ է.Հ»)

ֆե

ճնտնում

ընկաժ

է

չ

օրգինատից ձախ:

է,

ոի

Ճ-ի

Ի(«) պա-

(2)

կո-

կետով տարաժ

ինտեղրալճաշիվներ 35--Դիֆերենցիալ ն

Ճ

-

է բաշխման սաճմանավակված ն

ճետնում

է, որ ճավանականությունն

տվլալ արժեքի դեպքում բաշխման ֆունկցիան թվապես ճավասարէ ալն պատկերի մակերեսին,որը բով

վրա

Բ45

:

Բ(4) ֆուզկցիաղիդրաֆիկը կոչվում արբեր

բաշխման

է

ինտեգրալային

Ն

ՀաԻՆԼԵաքուեը Հւ խատությունը

վում է ճետելալ կերայ. '

բաշխման

ՔԷ

Ր

10:)--0 երբ «Հռ 1(2)--Շ երբ ՅՀ՛ՃՀ է, ((8)--0 ծրբ ԵՀ, 1( « ) ի Կե թյ ունն ա

չ

(թ)ճ»»2 (2)ձ45

Լո

ր

-«0օ

| (.)ճ7»-1:

|

է

--

-օ

ճեոն Ալնուճեսոն. լաղԹեորեմը: ապացուցենք 1: « պատաճականմեծության՝տրված Թեռրեսի

ջակայքն ընկնելու ձավանականությունըհավասարհ կայքում բաշխման ֆունկցիայի աճին,

(Բ, (ռ, ) այդ

՝

թ(աՀՀՀԲ)-Ի(8)--Բ(ո),

ՒԼ)

Ապացուցում: Արտաճարոնն ք բ "ուտանականի մեծության` սրված (2, թ) սհիջակալքն ընկնելու ճավանականությունը:/8 12-ի (3) ալան բանաձենր դրենք սգ

թ

| ՔաՀ:ՀՌյ-

(1).--

.

իայ թ| («)մ«

ե.

զաշխումն

՛

ո ՛

ւդ

ճս

Ը

ռուն՛

"

բժեքը

ս

Լթե«-8-ՈՌ-8թ) : ,

ԱՐ --ա |ղ

էճ)

(նկ. 424), իսկ

Լ

,

ւու

|

Նկ.

,

Վ

-

տբր-

դռ

Ա

-

-

լ

Ե ) ւի,իջ ակ71Ք:" ուր

մի-

միջա-

րգի

դիա

Օօ

`

62) Է(:)--

ւռ Հա

կեն դիտարկենք նավանականությունների ճավասարաչափ

աԱ

(1) ճաղառարությանմեջ անցնելով սաճմանին, երբ չ-»Վօ9ն՝ ճաշվի առնելով 15-ի (5)-ը, ստանամ ենք.

Տ

Այնուճեոն (

ն|

լ

:

|

ճ

Նկ.

:

մ

|

միջակայքից դուրս ճավասարէ դրոլի:

այգ

անվանում

են

»

|

Ալշպիսի

ձավասարաչտփ խտության օրենք:

նան

պայմանից դնում ենք Ը-ի արժեքը.

-օօթ

օօ

Ե՞

| Օա-|Ըմ:--ԸՇ(0--8)-Հ1,

Շջ

ճետնարբար,

`

Եջ.

:

:

(ՀՀՀ

ՐՀՀԻ(թ)--Ւ(ռ).

ը

ինչ պետք էր ապացուցել (աես նկ. 433): ա լունը Նկատենք, (5) բաշխման իոտուլթ

Ւ(:)

ֆունկցիան կալված բաշիխաիան

Է՛()-Ր)

առնչուարբ: տեղրալնըստ վերին Դ,

ճնտեոււի ունի

են

,

Ց

ՐՈՇ

Վերջին է, ց ճավասարությունի որ (8, լ) միջակալքը, ռրում՝ւռեզիունի ճավասարաչավփի բաշխում,անպայմանվերջավորէ, Ռրոշենքալն բանի ճավանականությունի, որ Ճ պատաճական մեժու-

թյունն ընդունում է (ճ, 8) միջակայքում պարփակված

:

ՏՈՍ

հ

ճայի

ապատասիաւն

(3)

'

հ, որոշլո՛լ ին-

ոժե-| թաՀՀՀԹ-| վ

Ս

-

(1) ճավառարույթ յունից մասին թեորեմից: անի դիֆերենցելու է

ե

Ր

ճեւտնում

(տես նկ. 458), կաի, օգավելով (1) ճավաւռարութ ունից, կարող Ենք

դրել

Ե-Ց--Է,

լ

ՇՀ

եզ ալոպեսյորոնվող

Ե--Ձ

:

.զ:--

:

ըս

արժեքնե

Ե--Ձ

|

:

ճավանականությունը՝ -.

Ք(ՀՀռՀ)--

ՕԹ .

Զ

Ե--Յ

(ալոտոնչությունք

ճամանման

ակ Հ. ԳՊատվող չփման ճետնանքով սիմետրիկ անիվը կանգ է ճետ նրա որեէ ֆիջոսծ չառավղով ն անչարժ չառաչ Անիվի կանզառումից վղով կազմված 9 անկյունը ոլատաճական մեծություն է, որի բաշխման խտու-

Օրին

բերված երկչափ դեպ-

-ում

է էչ

ար-

Ֆում:

սաճտանմանը): Քե ճամար երկրաչափականճավանականության Որոշենք բաշխման ինտեղրալալինօրենթը՝

լ

թյունն

է.

1(0)--0, երբ 0-ՀՕ,

|

ԻԷ(.)-եթե

«ՀՅ

1(1-Ը7 է,

ապ«

|ա

եթե ««ՀՅՀԵ,

|

--Ս.-----

-

)Ե-

եթե

ԵՀ».

նրան,ինչպես դա վելի վաղ արվել է դիսկրետ պատաճական մեծությանճամար,Քննարկենբ(1) բաշթման խտուՀամանման

«-8 ,

-

Ե--8

Թյլամբ

աւա շ

Ճ

ում է փում

(/()ժ»-է,

/:)»-0,

-

անընդճատ պատաճականմեծության թվալին բնութագրերը: ՌՈ Սաճմանում 4) բաշիման խտությունունեցող մ անչ՝ ընգճատ պատաճականմեժության մաթեմատիկականսպասում (ոչ-

"-

Անընդհատպատահական մեծության թվային բնութագրերը

14. |

Ն:

զ.--

Տ

ճետնարար,

է,

--Ձ

ւ

ո)

0,

լ

(8)

ւ

օռ

:

ճեոնաբար,

հլ

|

ՒՐ») «(2)»

|

ի« -գթ |

1Բ)մ:-)

լ

ԵՋ

Ե--Ձռո| Մյ»»Հ--Հ--

ՐՓ

Ե-ո

Օրինակ

ն

ւ

քլ)

ոանղղակի (ատ) կլորացնելիս թույլ

/

:

"

՛

՛ -

Պր

(120,

((9--շչ:երը

է(5)»«0, երբ (Հ: Այստեղ 2--Ն

Ե-ն

Շ--շր"

է ալրտաճալտվում Ե

Խրգ-

.

՝

2(2)2

(1 )

|

:

ե ։

'

բանաձնովւ։ի(1) բանաձեր կարելի է դիտարկել որպես Տ 9-ի (1) նաձնի ընդճանրացում:

Իրոք,

|8,Ե|

բա-

Ցումիջակալթերի:

ճատվածըտրոճննք ("ե-ն ւ)

։ «ժա վերցնենք է կետը: միջակալքում բաքանչլուր Դիտարկենք

դակդիսկրետ պատաճականմեծությունը, ծ էջ,

--ԼՀՃՀԼ

(

Ն

մոտակա բաժանբը:

ՂՐ քանի միավորների քիվն է, տաճական մեծության բաշիսիա Աաությունը կլինի: ծրբ 2-1,

սպասումն

կլորացում մինչե

տված սխալները պատա-ՀՏավանանական մեծություն են, ոլ/ ունեն կանությունների ճավասարաչափ բաշխում: մեկ րաժանբում մի առագի»Եթե 21-ը սանդղակի Է

Նկ.

չափելիսկատարվումէ

(1)

եթե 2 պատանականմեժութլունը կարող է արժեքներ ընդունել միալն |Ց,Ե| վերջավոր ձճավաժում, ասլաով» | մաթեմատիկական

Որեէ մեծություն

իոն

արմտաճալտութ լունը:

։

նկ. 425): օրենք ունեցող պատաճական Բերենք ճավասարաչա՛ի փոտության մի քանի կոնկընտօրինակներ: մտեժությլունների (ես

Էշ

՝

ծ

«

հրբ 0ՀՍՀ2ո,

Բ

աաա

ճետնաթար,

ԻՐւ)-ապա

1(0)-»

Օօ

՞-

՞

.

՞

է

1-7

՛

կարող է

որը

.

՞

եռ

,

արժեքները: դիսկրետպատաճական մեծության Դիցութ են

արժեքներիճավանականութլյուններն քլ,

ք,

ընդունել

:

ճամապատասխան 2,

քթ

"

"

"Ս

քո

թյՎ(Ե)ձ4

թչ-Վ()ձյջ

"

ք-Վ(Եեյձմ

:,

"

քո»ՀՀ(Հո)ձար»):

Տրված է դիսկրետ մեծության

ԽԱ --

-Փ

1-«Հ1Ա)Ճ:ԻՄ (չ/ձ:-Է |

Սաճմանում

ՅՎԱՄՐՃԵ-Ւ

1:

:

:

Տլ

":

շ

Հեմ(ո)ճՃոՀՖՃԱՀ)ձոա ւ

Անցնելով սառխիանինչ երբ Ոճաճայ-»0,

ստանում

Բ ԽԱԹՃա Հ

ո

է»-1

հն ք

ը

ՌՅՅ/Ճ4ր.»0 ե--1

Նկ.

|ԿՆյոա

փում է

: Աջ կողմումդտնվողարտաճարտությունը անընդնատ ս աւտա-չՃա ճական ինծության Ե է բն ունել |, Ը վաժին ատ-

մաթ ն,ի մալ:

է,

կուսային: շեղում

ք

ապա

«(

պատաճականմե-

Ալս 1"

է, որ ակնճալսո -

ը

ո|վչ|-Հ

|ոյա-օ.

ը

է

Ա

Ընգծաո

(այճեց։

մեծության

ԻԻՀ

| (-ու)յ(0գն

(2

Ն

դոչվում

9-9ԼՎ-)/

Բ բանաձերԸ

: (որ ար

/

«Քում

Ն

՛ ճման

Թ----------

| (--ու)4(:)մ6

(3)

/:

-

նն

1».

ունի ամենամեծ /ոչվում իոությունն արժեջը, Այն պատաճավան

նշանակելուհնջ Անու):

որի

շեղումը

ՑՋրվածաթյո պատաճական տնժությանալն արժեքը» ռրի

բաշխման

.- 2-ումհ, մոդը ար,

|

(3) բանաձելն։

պատաճական եժ թյան միջին քառաէ Ջրա շիսպերսխայից քառակուսի արմատք.

Ճ

ոոգության պատաճականմեժության արժեքների ..

ճամբնկչկոորդինատների սկզբնակետի ճետ (նկ. 497): Դիտարկենք կենտրոնադիրպատաճական մեծությունը, Գանձնք նրա մա-

է, որ Ճ անՄիաժամանակ Ւ(ր՝ձալ-Ֆ այն բոնի ճավանականությունն է աճական արժեքներ ընդունում -Խ Ճ միջա"լաս մեծությունը

աի,

է Տ 10-ի նման 3.

Ստաճմիազույի

ետաաիկավոն արասումը,

2--ո,

"Ջ

Է Տ ի (3) բանաձնին:կոնկ 7 սեո ա նակներ քննարկելիս կտեշնենք, որ ինչատո ն դիսկրետ պատաճական դեսբումի,դիսպերսիանն միջին Փառակուսալին

բրորոշում

"Այսդես քում ճավանականությունների բաշխման կենտրոնը նում

.-

բանաձեր մ (9) բանաձնը Սաճժմանում

Մաթեմատիկական սպասումն անվանում ժության ճավանականությունների կենտրոն(նկ. 456): Եթե բաշխման բաշխման կորը օիմնտրիկ է Օյ առանցքի նկատւիաւիբ,այսինքն՝ 12) է,

Բ.

ա

Մ

ղուլդ ֆունկցիան

-.

`

Հա-

դատողություն կարելի է կատարել նան անվերջ միջակայքի ճամար, այսինքն (1) արտաճալտությանճամար: (1) ն (1՛) բանաձնեերընման են դիսկրետ պատաճականմեծության ճամար Տ 9-ի (1) բանաձեին, Ալստնղէլ մաթեմատիկական սպասումի կնշանակեն '

Եկ.

ը

մանման

Վ

ԱԱ

ատիկական սպասումիը

կարո

են

ՀԿ `

Համապատասխան կենտրոնաղիրպատաճական

աեաարւ: ր) արալթեմատիկական խարի

1ոյ-ու/

Գ.

"

բքառակ յութ

-

(ո

-

ւ

:

`

,

Ե

կո

7 է )ժ5--

-Փ

պատաճականմեժության դիսպերսիա" ՛կռչ-

ո

Ի.

ու,

-Փ

ՀՏ յ-- ոլ 1-0: մաթեմատիկա

--լ

Ոլ:

-

-

պատահական մեծության կենարոնադիր սպասումը ճավասարե զրոյի:

ոչ բ-Ֆեթ, |

-.

յ («--ու)(2:)մ:-- ( «Հ:)մ2

սպասումը կլինի մաթեմտատիջիկական |

կուր

ու |--

բաշխման

-

կորը պատկերվածէ

մեծության ն նկ.

ձկ. 426-ում,

է ճասիընկնումի մաթեմատիկական ճեոչ Սաճտրանումի9: Խն. Թեվը կոչվումիէ սայասումի մեդիանա,եթե

է բավարարում |

| Ն)Գ"Հ--

Հ»

-

|մ

--

)մ:----

է

այն

Թ

Իրոք,մոցնելով

(նկ. 428): Վերջին ճավասարությունըկարելի ճավամարությանը

դրել ալսպես

է

--

--

|

2-4 նշանակումները, ՐԸ, 0

"

ՔԱՀԵՆ)ՀՔՈՂՀ»)--շ,

|

էչ որ ալսինքն, ճավասարաճնարավոր ` պատանականմեժությունըկընդու-

նի ԽՆ-ից փոքը

Հեբներ:

ն

Խ.-ից

Նկատենք,ռր --`

արող Ռեծություն Թյունըկարող

15.

է ն ինչ արժե արժեքը

մեժ

2.5

`

յ

.

ջանի

ար-

ոռ,

պատաճական

ունեն

ք.

4(2)--

ժ

-:

որ

պա-

ենթարկվում.

լ

դ

»

-

շլխումն

են նան

Ցորը

օ

-Փ

ւոյզՆ

|" -- օօ

«1

ենջ.

յ՛՛26է)6մէ-« -ծ-

Ի

ՄՏ

պատկերվաժ

--վ2

.

|

"Հ

/

4"

:

|

լ

ճավասար է

ինտեգրալը:

/' ալապես,

.

-

Ն

(1) քանաձնում

1Ձ

Բ-հզթ»--

լ

ՀԼջ-ռ

ի.

2»

Աջից առաջին ինտեգրալը Ր"Րգ

(2

Փո

»

Նկ.

7ոմն 2--8-Ի)/ 28Ն ձոսոյ/

ՀետոնաԼՐ,

Ոլ"- յռ

են,

(2-3):

գ

փոփոխականիփոխարինումը,ստանում

(1)

ր ճորմալօրենքին(ալս բաշխման մեծությունը

մ--8

յ/2

-

անվանում Փաուսի է նկ. 429-ումմ: (1) օրենք): Նորմալ բաշրման կորը ԺԵ է օ-»1 4-0, տեղավորված լի չալ չների ուղլուսակը, երբ Փֆունեկցի մանրամասն աղլասակ Չ։/ Համանման գրքե վերջում (տե էԱ գլխի Տ 9-ում, ուսումնասիրված է | ճատորի Նախ ցուլց տանք, որ (1) բաշխման ֆունկցիան բավարարում է Տ 15-ի (5) ճիմնականառնչությանը.

ը

կատարելով

`

ԼՂ

բանաձնով: ասում Ալո դեպբում է

: -

«Մո մոր

'

վանազանություն նորի

«Ե-2

1 6-Եզթ«|/ո

ու

մեխանիզմներում դետալներիմաշվածքի մեժութլունը բաշխման խտուայնպիսի

ր

--ի՛111, ոո

Բ-ԵզԷ»-

Ռրոշենք(1) բաշխման նորմալ օրենքն ունեցող պատաճակա Լոտ Տ 14-ի (1) բանաձնի միության մաթեմատիկական աղասումը:

տալիս, որ շատ պատաճական ինչպես չափմեծություններ, օրինակ, ալնպիսիք, ման ընթաց ժամանակ կողմնային շեբում սխալները, ճրաձգության ե անկման կետի ըստ կենտրոնից ղումները որնէ շեղումն ճեռավո-

այլն ունեն Թլուն, որն

--Մ

մո»

3(Մ

է ցուլց Տարբերերնույթների ուսում նսմիրությունը

ն

ե

որ

Տ5), (ռեագլեի,

նդունել: չընդունել

Բաշխմաննորմալ Օրենքը: Նորմալ բաշխման մաթեմատիկական

շատ

ր

օօ

սպասումը

բության,

են

՞

մոլ»

ար

աաա

կարող

-

/

Հաշվենբերկ-

.«0,

-՞

ըդյառց, (3) պարամետրի արժեքը ճավասարէ դիտարկվողպա558

մեժութ ւռաճական

յան

Ճ--8 կետը սպասումինս մաթեմատիկական 1-8

ճա-

պատանական մեծությանդիսպերսիան բանաձնով:Անընդճաւտ որոշ

վումէ Տ 14-ի(5)բանաձեով:

բաշխման կաի ցրման կենտրոնն է, Երբ վանականությունների ամ ննարեժ ունի արժեքը»ուսաի 4--ճ արժեքը ռլա12) ֆունկցիան է Ճ--Յ տաճականմեծության մոդն է, Քանի որ (1) կորը աինտրիկ ուղղի

նկատմամբ,

ապա

«»քա0:

ը

Ունենք

օ

շեպլքում

Մեր

.

:

4(1)45»21 11)4Խ

|

ը

օր|»» .

-Փ. -արժեքը նորմալ այսինքն 2-ՀՅ4Յ

'

ք 8--Օ, ընդունքն բանաձնում

Բ

աս շիւ:

է:

մեդիանան

ս

ո

:

լ

1(2)- օ)/Չո

Հա-6

ս

քուսի

ան

օրենքներնուն : ցող

պատա

ցր արժեքների

ուստի

--

ՕՏԱ. "ա

ման

խ

)։ դեպքում

Փ բությունը

ճամառուտելու

կամ

ԼԶ թյան

նկ աւոմամ

բ

ոլ

---- |

ԷՇ-ՐՎԷ»-

ի

ապա

դե

տրվույիէ

լ

1(2:)-- ---Ը օ|/2

'

թ

«« -

ավ

Հ.

։

տ

6-Ի

6-Ո

,

ց»)

յ՛

ո

,

ենք

6)

միջին Քառակուսային շեղումը կլինի

է

(3) ճավանականությունների

Վերկումի սլարատնտրին: լինժու արդեն սել ենբ, որ դիսպերսիան բնորոշումէ աատանական ցրման կենտրոնի նկաւուիաւիը Թլան արժեքների պրվածությունը՝ ւ է ազդում օ4 սլարամետրի բաշխման ինչպես արժեթը կորի Տեսնենք ձնի

բանաձնում փասնակցողԺՀ

վրա:Նկ. 431-ում

սլատկերվածեն բաշի

ան

կորերը

ա,

ե

Ժ5--9 արժեքներիճամար" Դիտարկելով ալդ կորերը, տեսնուի մեժ օ-ն, է է 12) ֆունկցիայի այնքան ենք, որ որքան փոքը սիաքչ ռիփու մբ, պրն կենտրոնին (2.-«0)սիուռ արժեքներիճավանականու |

0)

|

«լ: Ի»)՛ՇլոԷՀ

|

Հյ,

լ

7.

տ

Տ 14-ի (3) բանաձնի Համաձայն

`

շ

լ

օօ

դիսպերոաիանճավասար Ալշպիսով,

խտությունը

6-ոմե

ըրգ-ած

|

Համա

ման

2է:

է:

մ

2 սպատաճական տեժությանբաշի Դիցուք

,. դեպ

տ

-

վերջնականապեսստանում

բաշխմտան (1)

օ՞

25--Թ

5.

1-ի

մեծության պատահական Տ 16. Բաշխման նորմալ օրենքին ենթարկվող շեղումը դիսպերսիանն միջին քառակուսային

(գ

լ

շուտ կշռաղատություններ ու

Լ

որ

հն

ա քամԴարա մամա որոշվողբաշխչ(4) բանաձնով կկատարենք ՄԱ

(ՀՕ

ւմ)

: ե

ս

,

ճամընկնում՝

են:

ան ի

է (1) կարի տեղա» տրաշաւմ

ձայնը

ձախ

ւ

Ը:

».

0|2|»5--7|՛ռ --

մասերով,կատանաւն Ինտեգրելով

ցրվաժությանբնույթը»որոշվում սիասիր կախվածչէ 8-ի յիեծուչ կորի ձնով, որը

թյունից»ն

օ

(ակ7 շե"

կենտը

ն

ի մոխարկնում ի ի րե

ք.

ժութլունների ալն թվային բնութագրերը, յինժուչ»: որոնք որոշում են սպատաճական թլան

փ ր կ փեռխականե

-օօ

Լ-

ւ

ռո

|

Վ

7/2.

ք

'

-

42) կորը սիմետրիկ է Օ7 առանցքի նկատմամբ: Համապատասխան խոռ բաշիման մեժության մա Թլունն է, որի ճավանականություններիբուշիւման կենոլոնը ճատփընկ(4) բաշի 1) ն (նկ. 430 )։ (1) ճետ Կակնտի նում է կոորդինասոնհ բի սկզբնակետի ու (եկ

պատաճական նորմալ ֆունկցիան

կ ատարքն արմ

(4)

-

27.

օ|/

ո

ճա

-տ

եթե (1)

կոտանանք.

ազա

"

լ

թյունը Աոա

մեժ

է, իսկ

արժեքների

Աջ կողմում դանվողինտեգրալը տարրական ֆունկցիաներու չի տաճ

կենտրոնից

ում: այտվում։

ձավանավա-

նությունը՝ փոքր: Ալս

է

.

12-ի

Ֆությունն ամ

'

7.

-.

3.

Փ(8) ֆունկցիանորոշված

Փ(0)-»0,

4.

է 1-ի բոլոր

(2)

արժեքների դեպքում,

օօ Ը

-ո

Փ(ՎՇՇ)»»

ճ-ՈԱՎԵ------.

/

բ

|

ո ո

-

--ն

ո

Փ(4-ը) (0, օօ) միջակալքումմոնոտոն

5. Փ()

՝

բանի, որ

6-է'զէ

որոնցից օգավելու ենք ատորնչ

(3) բանաձեին ճամապատասխանորոշենք ճավանակա-Հ

այլն լ

արչ-

են

ո

ճավանականությունների ինտեզրալի արՀ,եքների միջոցով: ք Մատնանշեն մի քանի Փ(ո) ֆունկցիալի ճատկությունն

պա-

8 17. Պատահականմեծության արժեքի` տվյալ միջակայքն ընկնելու հավանականությունը: Լապլասի ֆունկցիան: Բաշխման ինտեգրալային յ ֆունկցիան նորմալ բաշխմանհամար Տ

:

Տրն արտաճարովում

յռ

բի ցրվաժությունը:

արժեքներն արժեք

Փ(1)-» 2

ստաճական մեժությունարժենքնեՆկ.

ինտեգրալի ինտեգրալի

ճանգա-

մանքը բառերով արտաճալաում Լ 22 որ քան իոքր է դիսայլապես. ոլերսիան, ալնքան փոքր

Ալչ Ալչ

ֆունկցիանկենտ է,

քանի

աճում

է,

որ

Փ(--2)---Փ(.): (3) 6. ՓՈՐ) ֆունկցիալի դրաֆիկըպատկերվածէ նկ. 499-ում: կազմվածեն ալս ֆունկցիալի արժեքների մտանրամասն աղզլուՀ-ԱՆա---

|

ար

Լ.

-ՋԻ-

օ|/

|

գ«ապ

|

,

բաշխման խտություն ունեցող ընկնում է (ճ, ի) միջակայքը:

-

`

/

փեժության արժեքն սպլատաճական

Վ

Նկ.

գ

ՀԲ) օյ 25 |:

թ(աՀՃՀք)»--շ-«Հ

՞՞

492), կատարենք

սակներ:Համվառուռ աղլուսակը բերված է սակ (1):

Օա)»

նէ:

:

) ՞

2--ՅՁ

--

ԵօՀՀք)

|

լ

թ

օ1/2

ԵՀՃՀԹ--՛7|

6-Կգե

-Յ

ԱԴ

առ

5/5 .-

"ո,

|

6-ոզէ-Լ -.Վ2

օ--8

8-օ

ՄՏ.

օ

փոխարինումը: փզուխոխականի

ք.

վերջում(տես աղլու-

8--8

.

77»

Սոսնում

գրբի

Գրենք (1՛) ճավասաԲուլ սովն ությունը նոնգրմ ան որունը, օգտվելով ինանգրման միջակալքի տրոռման մասին Թճորեմից.

-

------ Տվ

են

Նկ.

'

՞

ջ

մ

բամ

.-

-

'

| (:)ճ: թոՀՀՀՔյ|

-

Ր

-.

6-նգլ

Էշ

8--8

)/2

-Կսզվ ԱԻ|

Ց-6

--վջ շօ-օգէ

|

օգյ/՛2

կարելի Վերջին ճավասարությունը

է

Յ--ը

Ղ--Յ

ր

Մո

ո

մ

։

(6)

ն զ--Օ Աջ ասը կախված չէ ցրի ն կենռրոնի դիրքի, ճետնարբար:

շ

Հ«ԷՌ-«( 7») լ

-

Ք(2-1Հ2

դրել այսպես.

--

Բ-ԱՀ:ՀՈ-Փ(-7չի օլ/

:

Չ

Օգտվելով Փ(ե) ֆունկցիայից (տես (3)), վերջնականապես արտաչ մ Բալտենքնոլրալ օրենքին ենթարկվոզԻ: ռւլատաճական նժության՝ 8) (2, միջակայքն ընկնելուճավանականութ ունը:

Ք( էՀ

Ն

1լ

)--շ

Հք

Երբ2--Օ ուռազու

են

թ-

|»(ջչ) -օ( ջ)ի Է

(5)

ԻԱ

-ք-

«7»

որի մալ օրենբթին,

ճավանականությունը, (0,4: 0,6) միջակայքի ներոր

Լու

ճավաարություններիիչ

շվ «(-յ/2)- օ( ) 2,)| -

օ|/

գ)

մետրիկ (8--մ, «3

494): Ալս

միջակալքի ներոր (նկ.

Հո

Րոտ (4)

(53

լ

Ք(04Հ:ՀՕՅ,6)7|Փ(0,2)--Փ(0,2))Հ«Փ(0,2),

`

:

4-ը)

դեպքում (4)

ՓՈ) ֆունկցիայիարժեքների աղյուռակով (տեսզրքի վերջում աղյուսակ

ոնում

ենք`

թ(0,4Հ25ՀՕ,6)--0,223, Օրինակ

ման

Հ

մեծությունէ,

Ավոոմատի

պատրաստած զետալիերկարությունըպատաճաէ բոտ նորմալ օրենքի ճետնյալ բաշխված պարամետրե

որը

լ

-

Ր

Հաշվի առնելով,որ

Նէ.

շվթ(Ժ/2 «(- » լ «(- Հ--Փ(» օյ՛22) (3) բանաձեր),

տանում, ենք.

վերջնականապես

.

թո-1ՀՅՀոՒՌ-

ա

(տես

ոու ն ուս ենք. բանուձենեի

(անս (3) րանաձեր), ուստի կարող ենք ղրել. -

Նկ.

մեծության արժեջը կրնկնի

Հ՛ջՅՓԱ,2-ՓԼ-0,2)),

Բայց Փ(-0,2)----Փ(0,շ)

է լինում ճաշվել այն բանի ճավանականությունը, որ ճարկ Հոաւճավա --Ձ սիկետի նկասուրասիք ապատաճական մեծության արժեքը կընկնի

կընդունի ճետնյալ բանաձեր տնաքը.

1.

435),

լ

(1) դեւղքի մասերը,ստանու 2272

գ:

Այոռեղ

մ.

ծու

նոր-

-2----- լ Ռրոշելայն զիսղերսիան՝

Ւ»պատաճական

որ

է բաշխման հննքարկված

8-0,5ն կենտրոնը"

պրսան

օլ/2,

օ)/2

աճական /նծությունը

ոլաս

բանի

(4)

:

ամար

«2

բ

:

|

Չ

ՁՅ --0 Հավասարեցնելով

օ--Ջ

զ

Օրի ռակ

շ

:

ո(՝

ՏՐ

Խլմ--1Ս,

լ

2--շցց Գոնե

չավերը թույլատրելի 1էուծում,

ն8

Է

Ամ

խոտանի ճավանավանությունը, եթե

դետալի

ոլեւոք չեչեն 10-Է0,05:

Մե

է

ի

դե զղեղք ում

8--1 --10,

ն

Բջ

ն

«ՏՄ» 75:

-7ա-ՀՀԱՎ0,

խոտանի քր.

(4) բանաձեին ճամապատառխան արտաճայտվում է ճավանականությունը

պես.

Ք(«

այս-

թբ.-:1--Փ(9,95Հ:Հ10,05)-1

Փ(ո) Լապլասի ֆունկցիայի արժեքների աղլուսակը զետեղված ՅՑ) գրքի վերջում (տես աղզլուսակ

է

««1-----(Փ(/Ա0(10,05--10))--Փլ(10(9,95--10)))»-» )) (04 )) (օ(

Օրի եռկ

ՈրոշելՉԷ-Գ,5

մ

լայնությամբ չերտի Մեջբնկնելուճավանա-

լանությունը, եթե ճրաձգության սխալները ենթարկվում ունեցող բաշխմաննորմալ օրենբին։ բամետրեր

ենբ.

բանաձնիստանում

-

Ք(-75Հ են օղտվում

Լապլասիֆունկցիայից,որը

յ

ենք

Թ--7| Փ(:)

--

-

Չ

Փ

Փ(21/2)-

Փ (8) ֆունկցիան Օգտագորժելով կարելի է դրել այսպես.

է

«51

են

պարզ.

փոլրարի

ջ»5-5"

ու-

ն

«(7 )

՛ջՓ63:

ՔաՀՀՀբ)-Ֆ ( -« ( )

դեպքում

բ.

բանաձնից

լա

Հ)

մ:--Ք(--օօՀ

Փ

բալց

Փ(--օՉ)»---1

8--Ճ

Օ-Հ--ՇՋՉ,

ւլ

ը

Ս

(տես (3)

կ

ոշ»

Հ

ճամար

դնպքի

|--Փ(--օՉ)

ստանում

,

Հետնաբար, բանաձեը):

Ի(0-1| «(ՀԺ Ն) Իվ

(12)

Ի(8) ֆունկցիայիգրաֆիկը, երբ

է նլ. 436-ում: պատկերված

(8.

եկ.

«38

Հավանականշեղում կամ հավանականսխալ

(0)

ճարցեչբում, մասնավորապես ճրաձգության տեսության մեջ, ինչպես սան են ցրման բնութագրից, որԺ տեսության մեջ օգտվում ախալների են ճավանական մեջ Հրաձգության անվանում շեղում, տեսության ալն անվանում են ճավանականսխալ: Սաճմաում չավանականշեղում կոչվում է ալնպիսիԷ մեժուոր ։սլատաճական Թիվը,եթե ալն բանի ճավանականությունը, է թյունը (օրինակ, սխալը), որը ենթարկված

(Ժ--ԱՑ 2"

(9) առնչությունը (8) բանաձնը .

ւ):

կիրառականտեսությանշատ Հավանականությունների

(9)

Ա

7-2

-

Լ.

Բ(ճ)»--|

Տ

2. ) (72

ծ

(4) Օգտվելով

Ըստ (7)

6)

մ2---շ-

եվ ալսպես, Ա-

Ն

1(ո)42 ա

-

(Թ-ո)

«

Հտ

:

ակնճալտէ,

նորմալ օրենքի ինտեգրալայի

|

լ

Փ(Ճ) ֆունկցիայի ճետ կապվածէ

ն,

պա-

'

ն

6-19

«

6.

կատարւ լով (8) ինտեգրալում առնչությամբ:

Ց

8--0,

Ն

Ր

Փ6)-

ստանում

բաշխման

" -

Ւ(»)

: 0,372)--Փ(0,651)--0,643. ճաճալվ: (2) Փ() ֆունկցիալիփոխարեն

«ՀՆ)-Փ(1775

Դիտողություն

մը,

են

ՀԴ-ՅՅ'

4-Հ5---|,19,821775,

Մեր դեպջում

Լուծում,

որոշենք Ալնուճեւտն

Բատ Տ 13-ի (1) բանաձնիունեն ք. ֆունկցիան,

-Վ--բ19(.9-Փ(-Օ9))-1--Փ(Յ-1-052--048, ՖԻ

Հ«ՀԲ)--Փ(8)--Փ(օ)։

ը

սլ

բաշխման նորմալ օրենջին, կընկնի (--Է,

վասար. է

ՉԷ(նկ. 437), ալսինքն՝

ն բնտեգրալ Հաշիվներ 36--Դիֆերծնցիալ

Է)

միչակալքի մեջ,

ճա581

շո

թ(-ԲՀ.«ՀԷ)-

(1)

Այս0,4769

Է

Ջ պատաճականմեժության ճամար որը Ճ--Ճ ցբրՑանկացած «րան կննտրոճի դեպքու ենթարկվում է բաշխման նորմալ օրենքին, Է գճսվանականշեղումը |նկ. 498) բավարարում է ճետնյալ առնչուխլանը. թյանը

ՀՂԵՑ:

Այշտեզից

թո

ԲՀՅՀԿԳՐ)-

,

շեղումն միջին քառակուսային ախալի միջոցով: բ.

Է ճավանական արոոանացահնջք

Յ

"լ

(2)

շշ

աե.

-

ԸտւոՏ 18-ի (7)

Չի»

Նկ.

օէ

Պեր

ՆՈ.

Հլ «8

ագա»

(1) ճազառարության ձախ

ԱՉՔ,Բ|՛»

միջոցո.

ցելի

Ք(-ԷՀ Բոտ Տ 17-ի (2)

|

(1)

«ոնարա բար»

Ք(«Հ 2Հ8)--(«ՀՀՀՅ)

»

Հ

ենք.

Ր

նեն նան

.

աջ

) Թ-«( 75-ի օ|/2

մասերը,

«լ. )|

ե

(4)

ճավասար հն,

ճեւ

արժեքը, որի ճամար Է

շյ2.

0,.4769 ,4

6)

ՓՐՀ-շՀետնարար, '

(1)

Տ

վ Փ(Բ-)-Փ( Աջ Թ) ք

Վլ.

"

» (5)

12-ի (7) բանաձեին ճամառղատասխան՝

Հ-Ո--Փ

ՀՃ

դտնվող ք

(2) բանաձնի աջ

փասույի

ով» բն ուվլճ (թով,

բոնի թիվ է,

ք-ով

-

արժեքների աղլուսակովդտնումի Փ(») ֆունկցիայի հնք արդումենտի պ--0,4769

ն

Ք(--/

ք

ձավ մոսնրը ճավառսարություննեերի

ավասար վ

(3)

մշ,

-Խ

ունում բանաձեիխ

թ(-Բ-5 (4)

է,օյՉոՆ

Հ-|

.

ն

-

Ռչ. աա

ավաճականությունը6 17-ի (5) բանաձեին ձամապատառխանկլինի,

|

:

է: արտաճայտելով բանաձեի (եջ, կըս-

Պատաճական մեժության (օրինակ, ոխալի) (ո, 8) միջակայքն ընկնելո

արտաճալաննը Փ(ե) ֆուն-

մասն

արամ եւորն տեղադրելով Տ 15-թ (Վ)

,

,.

.

|

ն

միջոցով.

.

Ե

բանաձնի

միջոցով պարամետրի

-

(7

Տ 19. Բաշխմաննորմալ օրենքի արտահայտությունըհավանական շեղման միջոցով:Լապլասիբերված ֆունկցիան

'

| Է

(6)

.-ռ թ--օյ/25 | Հ-Ի,

:

ը

նշանակելք-ով.

Թեվը ընդունված է

ն

կ-

2.

արո

,

ո

ք--ս,

ն

( բ)

(3)

ք

բ Թերբ

որոշվում

են

խնդրի

։

բաղզմապատկելուց խուսափելու ճառի ար Փ(ջո) ֆունկցիալի

համար

կազմված

են

աղյուսակներ. Ալա ֆունկցիան նշանակում եֆ

Փ(2). -

Փ(1)-ն վանումեն ան

արժեքների ռակ 1):

Փ(ո)--ՓԸ»)։

(4)

Լապլասի բերված ֆունկցիա: Ալո փունկցիա աղլուսակը ղետեղվաժ է զրքի վերջում (տես աղլուչ

Տ 17-ի (2)-ի

գրալով՝

"իման վրա Փ(յ-ը

որոշվում

է

ճԽանյալ ինտե-

Տ

20.

Երեք սիգմաներիկանոնը: Սխալներիբաշխման

սանդղակը հավանականությունների

2)

Ր

Չ

Հ

Փ(ՈԹ»-

նորմալօրենթ|ն պատաճականմեժության՝ իր ցրման կենտրոնից ծնթչարկվող (մաթեՓորժնականճաշվումՖեր կատարելիսորես

"մե

մատիկականսպառումից) շեղման չափման միավոր ընդունում են օ միջին քառակուսային շեղումըո Այդ դեպքումՏ 17-ի (7) բանաձենի ճիման վրա ստացվում են տարբեր ժամանակ ճաշվումների օգտակա

ԿատարելովԷ--ք7 փոփոխականի փոխարինումը, կստանանք.

ճիտնլալճավասարութլյունները.

Է

ՓԱյ- ՀՔՕ-շր աջ ււ (2) ճավառարության

|

արտանալանն բ

սն

ուն ալով. ֆունկցիայով

ք(-օՀՅՀԶ)«(77-6 683,

(5)

ն,

Ք(--2օՀ-«ՀԶ»)-«Փ(|/ 2)--0,954,

բնրված էապլասի

Ք(-ԽՀՀՀՅԴ-Փ(ոջ0998 `

Հ

շ|ժ(»)-»(5յ

թաՀ«ՀՌ-

(6)

մեծության արժեքները Ջրման Մասնավորապես, պոառտաճական սիմետրիկ (-1 կենտրոնի նկատմամբ 1 միջակայքն ընկնելու ճաճամաձալն կարտաճալտվի ալապես. (3) բանաձեի վանականությունը թ

բ(-/ՀՀՌ-`(-)

Ս

`

տն

ար

Ալս արդլունքները պատկերվածեն նկ. 439-ումի: երկրաչավորեն ճավաստիէ, որ պատաճականմեժության (շխալի) Համարլա փառպասումից ունեցաժշեղումը բացարձակ Թեմատիկական մեծությամբ Ցօ-ից ավելի չէ. Ալո առաչադրությունն անվանում են երեք սիգմաների կանոն:

ն

թ(0

ՆԹ) ՀՀՌ-7-օ(բ:

`

(8

,

Նկատենք,որ 2 պատաձական (2, լ) միջակալքն մեժութլյունը եթե մաթեմատիկական սպասումը՝ ընկնելուճավանականությունը,

Նկ.

8-0, Է ճավանականսխալի միջոցով կարտաճարավի այսպես (անս Տ 17-ի (4) բանաձեր).

ՔաՀ:Հթ)--չ| Ս

լ

«--8

Փ

թ |

)

(9)

Հրաձգությանտեսության մեջ

-

՛

կարտաճալտվիալսպես.

Փ( )- ( թաՀՀՀԲ)-շ|Փ )) ք

բ

թ

Նկ.

վիճակագրակա

նլուտարբեր թեր մշակելիս օգտակար է լինում իմանալ մ մեծութլան'. (0, Է), (Բ, 28), (ՀԷ, ՅԷ), (ՅԷ, 4է:), (4Ե, 5) միջակալքներնընկնելու ճա-չբաշխման ալնպիսիխտության դեպքում, որը որոշվանականությունը վում է Տ 19--ի (1) բանաձնովի Ալ ճավանականություննել ն իմանալը շատ դեսլքերում կրճատում է ճաշվումներըե օգնում Է

Վերջինճավասարութլյունը բերված ֆունկցիալի հապլասի միջոցով բ

ն

վերլուծելիս:

(10)

քորով նորը

Ալդ ճավանականություններըճաշվելիս օգտվելու ենք Տ 19-ի (8)

:

ե բանաձնից ՖՈ: ֆունկցիալիազլուսակից.

ք(0Հ-5 Հ Է)»

1Փն)

ք(ԲՀՅ-2Բ)--

-

թ(շթ

լո

--0

9500.

թ

(Դ

Հ.ՀՅԻ)--շՓ(3-ՓԸ)| |

թ(3Է ՀոՀՀԻ)-

թ(4ԷՀ- «Հ-օօ)--

ՄԷ

-

լ

շ

՞

«(|-»0,0180,

ՓԹՑ)-ՓԱ)

|--7Ա-09988)-00085

Հաշվումների արդլունքները երկրաչափորեն պատկերված Է սրը կոչվում սխալների ցրման սանդղակ:Այս Ճաշվարկներից Բետնուփտ է, որ դորժնականորեն ճավաստի է, տր պայաՀ . ճական մեժության արժեքն ընկնումէ (--4Է, 48) միջակայքը: Ալո բանի ճավանականությունները, որ սպատաճական մեժության արժեքն ընկնում է այչ միջակալքից դուրս, փոքր է 0,01-ից:

"6

մ

Ս շ-6

շք

--

լայնությամբ

ջորի դոարվար

թմչք) ուղղություն Ն երկի

մ:

.-

Թյ

Հ

ուզո

Հետնարար, Հ/ --

( -

Փ

Է"

Շատ

է լուժել մոտավորապես, Խնգիրը կարելի

Փորձով ճաստատված է,

է

լամ

,

աթո Ժիջին

քառակուսայի

զողոո:

բղա

յ

այսպես

Չ27 տյ

օ

մ.--

--

Ն

սոեսուճատկապես ։վրոցեսներ քննարկելիս, ճրաձգության

թյան մեջ, նորմալ օրինքի

(2,5)»-0,9082Հ0,91։

ճեռավորությունը չափելու ճաբ--10մ է ունեցող ճավանական սխալն նորմալ մար սարքիսխալըենթարկվում որ այդ սարքով որոչված ճե-. օրենքին Որոշել այն բանի ճավանականությունը, կշեղվի ոչ ավելի քան 1,5 մ: իսկականից ռավորությունը

արտարա ր

օ

-ջք-

՝

արե

լոտությունը գրում

ն -

ձնով:Համեմ առելով

Մոր

ք(--50Հ-ՃՀ-50)--2(0,25--0,16-1-0,04)»-0,90։ 3:

ո

`

Ճ6

Ց 22. ճշգրտության չափը: Սխալների բաշխման բնութագրերի միջն եղած առնչությունը

ալլ օդավելով ցրման աղլուսակներից, չօգավելովՓ(:) ֆունկցիալի (ալ. 440): Մեր դես բում 1Հ--Ձ,5Ի:Հետնաբար, սանդղակից Օրինակ

մի չ"9 ով

վ Հ--

:

Հ --

Դի տողու

ե,

271 ման

ԱԱՂՆՆԼՆԵՕգտվում ենք Տ 19-ի Մեր ղեպքումքԼ(--50 մ, բանաձնից: (2) թ(-- 50-ՀՀ2 ՀՕ)

Նկ.

օի

եվ այսպես, միջին թվաքանական սխալը

-

բ--80--20

Է».:յ թ

Է

«

Ա----1-Է»:

Հ

չշերտթ վրա կատարվում է մեկ կրակոց: է Յրումբ ենթարկմիջին գծի ուղղությամբ: նշանառությունը Ե---20 մ ծավանական ախալ ունեցող նորմալ բաշի վում է ըստ ծեռսավորությա մանը: Ռրոշելշերտի մեջ Ընկնելու ճավանականությունը (նկ. 441): Ըշտ ճնովության ճավանականշեղումը ծրաձդության տեսության մեջ նշանակում են թծ-ով, դողմնայինը, 86-ով,

միջինթվարանա

են

՝

նկ. 440-ում,

Օրին ակ

բանաձնի

կան սխալի դաղափարը, որը ճվասար Է սխալների բացարձակ մեախալը ժության մաթեմատիկական սպասում ին: Միջին Թյմաբանական զ-ո ենք նշանակելու յ: Որոշենքմիջին թվաբանական ախալը, եթե Ճ սխալները ենթարկվում են Տ 15-ի (4) նորմալ օրենքին: Տ 15-ի (5) Բար անման բանաձնին քանաձնով ուտանումի (8-Հ0).

լ

Հ

19-ի (1)

Փ(Ն,5)--0,6883..0,69։

Սխալներիբնութաղրման ճամար մոցնում

|

(Դ

--0,0679,

ռ

Փ(4)-

լք

Ըստ Տ

մ,

Միջին թվաբանականսխալ

Տ21.

Վ

Հ

թ--|0

մ,

ար

ո

15ՀՅՀԾ)-Փ

Ֆ0)- Փ()|--0,1613,

լ

ա

դեսլթումԷ--15

Տվյալ

6ՕԺում:,

ատանում

"Ր."

որ

:

ն

--

տա

ան

են

մ

հ ( Լ)-ը նանում ենք, որ Տ 75-ի (4) Չ Է պարամետրը պարամետրի տրջոցովարտաձալտվում

ղ--

օ:/2

(2)

մեժութլունը ճակագարձ ճամեմատականէ օ-ին, ալսինքն՝ճակա« միջին Քառակուսային դարձՃատեմտատական սխալինկատ միջին հ

քառակուսալին չեղմանը։ Որքան փոքր է 47 դիսպերսիան, ալսին քն՝ որքան փոքրի է ցրումը, ալնքան մեժ է հ-ի արժեքը: Ուստի հ-9 անվանում են նձշզրտությանչափ (2)-եց ե Տ 21-ի (1)-եջցստանում ենթ

օ-------,

.

հյ՛2

2»

-

Է

ԹՀ:

|

ւ ՛

Է

։

(5)

----զրոըք

Է

Քյշ

Քյշ

ո

քյու

Քշտ

՛

բ

-

2-5:0,6/45

ոն

,

ի

զ.

ոս0,8453

զ"-յ/»-

«14896, ՀԼ...

Չ

«11829,

ոք

սաճմանենքանընգճատերկչասի պատաճական Ալնուճեւոն մեժաթլունը ս/նժուոր (7, Ֆ) երկչափ պատաձճական Այնբանի ճավանականությունը, է "ՀՀՀ, ՄՎձՄ անճաԹլաճ արժեքը բավարարում ՀՀ ք ալսպես. կնշանակեն վասարութլյուններին, (ՀՀ-ն, 7 ՀՀՀ)

՝

1253 Յ,

"7

,

(6)

չափ

ԵրկչափպատաճականՄեժութլան արժեքը որոշվում է «ն 7 երկչափ պատաճական մեծությունը նշանակելու ենք Թզերով: երկու ընգունում

են

մլն

Մլ

Հ տեղի թգամամամբ թ.ա ԽՐԴՑ)" բ

ու

ի

ՀՀ)

թ0ՀՀՀ:ՒՃ,

,

Ը.

գիոկրետ արՀ

ժեջները ն լուրաքանչլուր(1, ի) արժեքների զուլզին որնէ ճամաթլունից ճմապատասխանում է քլ որոշակի ճավանականություն: խմբ" կարող ենք կազմելգեսկրեւտ երկչավ պատաճական մեծության Բավաբաշխման նականությունների ճետնլալ աղլուսակը:

ֆունկցիան կոչվում է («, 7» ) ճրկպատաճական մեժությլան բաշխման խտություն, ծհթն ճր-բարձր կարգի անվերջ փոթրերի ճշտու-

պրոցեսը դիտարկելիս:

7-ը

ԷՈ11Ր,3)

Սաճմտմանում

Երկչափպատաճական մեծությունների ճմ ճարկէ լինում դործ ունննալ,օրինակ, վրադոնվող օբյեկտը ոչնչացնե(«0») ճարթութլան

ն

(7

3 Ն քյ-ն

պատահական մեծություն

ճ-ը (2, 7)-ով,Դիցուք

բավարարվիճետելալճավասարո

121121

ԻՊ.

-

քոռ

պետք է

Թլունը:

8 23. Երկչափ

լու

Քոշ

րությունները.

Համ

թու

5,

է, որ Ակնճալ»

Երբեմն ճարկ է լննում սխալների բաշխփած մեկ բնութագիրն Ուստի օդաակարնեն լինում ճետելալճավասափլուսուվի արտաճալտել

Չ

52:

7:

չափի միջոցով Տ 18-ի ճավանական սխալըհ ճշդրտու|ժլան

բ-- -"

ր

"

(4)

-.

(2) բանաձեիխն (3)-ի ճիմտանվրա արտաճալտվումէ ալսպես.

Է

: ՛

Ը

(2) ճավասարությունը:

ը

բանաձեր լիովին

քբանաձնին:

(2)

ճւ) ճամանման

է

Տ 15-ի

(2)

Դիտարկենք («Օ7) ուղղանկլուն կոորդինատալին ճամտմակարգ եթե (, 3) պատաճականմեժութլան արժեքները նշանակենք ճա-

մ ԱՄապատասխան

ապա

Ք

«ՀՀ-Ի

ունեցող ճարթութլան կետերով, կոորդինատներ

Խ.

)ՀՍՀՅ-Իձ)յ)

նըարտաճարոությու

ալն բանի ճավանականությունը, որ (2, Դ) պատաճաէ ճտ կ ընդունի որը նշանակվաժ ալնպիսի արժեք, մեծությունը

շանակում է. կան

ն

ըտվերազծվաժուղղանկլունում գտնվող կետով (նկ. 442): կասենք, որ «պատաճականմեծության արժեքն ընկել է ճտ տիրուլթի ներսը"5:

(ՀՀ «Հ-Իճչ, ՄՀՆՖՀՆ-ԻձեՆ)

ճավանականութ յունը կնշանաՀչ կենք Ե|(ո, )Շճտի Ալա նշանակումներով (8) ճավասարությունը

մեջ անցնելովռաճվանին երբ ձՏ--»0,աջ Վերչին ճավասարությոն կողմում կստանանք կրկնակի ինտեղրալ ն լ(նտեղրալալին ղումարի ճատկություններիճիման վրա էլ՝

լ(5,

կարելի է դրել այսպես.

Մ)4Ճ5, թլ(», 7) ՃՏ|ՀԱՐԵ

Ալնուճեոն ան լ

ապաղզոցենք ապացուցենք

թեորեմ 1-ին,

տճետելալ ճնտելալ

-ԷՈԷլԼ.,(ո

Թեորեմ'

--

Շքթ| Ս)Հ01

1,

թեռրեմը, Թեորեմը,

որը

(3) նման

է

ՏՏ

նն այն Բաղատադադ ությունը ոյն

ճավանականո

18-ի

այսինքն՝

7)օԾ Մ)ՕԼ -

թ|Ը, 2,

|)ք՝ |

ը

-

Հճտ--ըն: 3 թլ( Վ

ՈԼ

Ճ,

Մ

)ՀՃՏ|-Իլ(5, 7)ՇՇ|,

աբ բարձի կարդի անվերջ փոքրերի ճՃշսոութ ճտ-իննառուր յամբ:

ալա

ՎԱէ---

Դիտոզութլյուն

ուռսնում

ենք

Ն

թ,ԱՊՀ »

ձնի:

(8) Տաղվասարության մեջ

Ն

7Հք|Հ )

էի(2,

շԹՓ-Փ

քանի որ ճավասարությունը,

մ:

կընդունի ինչ-որ արժեք. որոշված չէ, Խնդրի իմառոտի ների

դուս

իաի է,

ապա

ճամանման

(6) :

երկչափ մեժությունը 17 )) ֆունկցիան րատ Ենք 10, Մ)--0, ընդունում ոի

պատաճականմեծության՝ արչպիսի

սիրույն

որպես առանձինուղղանդումար, այսինքն՝ որպես կլունների ճամար ճավանականությունների

որոշվում է ընկնելուճավանականույթյունը

Դ-ՇՍչէէ

ս. 3)ՇԾյի յ

ք

կամայական

յան ներար:

«-Հ,

ՃՇ

ար Նկ.

1:(1--22)(1--32) ջ

--

բանի,

Ֆ--/ Յ -

,

որ

ը,

նչ

-

Ֆթր-Չ------Հ-ս

կընկնի 2--0, Կոն

տեղի

մ7»-1

ճավաստոիէ, Այնտեղ, որտեղ

այն Որոշելճավանականությունն

չՖՈՐ ( 7) 7)485

Էր վերցնել ճարթակըկարելի

սատանական

մեծության

արժեքը

ուղիղներով սաճմանակվակվածուղղանկ5-1

"

(1) ճավասարությանը

||

(1

փոտավոլր ճավասալրութ լունը::

ճնսւն լալ

2:

Ր

ՓթլԸ

Նկ.

(5

իա 3)ուժ

Օրինակ: երկչափ ոլատառնական մեծության բաշխման խտությու0| նը տրվում է ճետնյալ բաժաձնով՝

ապա

ոս

-Ել|ո,.

Նկ.

Մ-»՛թ

ծ

ուղղանկյան բոսոլուրաքանչյուր որոշլալ ինաեդրալների գումար:Ա Ք|(, 7)ՀՇԻԷՀԻլ(. 3-0.

ի

|

«ՀՏՀՇԼ-

թաՀՀՀը,

(4)

Բ)

2-8,

՞

-

-

ունի ւ 11217

Ինչպես ալդ արվելէ կրկնակի ինտեղրալների տիրույթը տրոճենք ճտ ճարթակների: տեսությունում, Ցուրաքանչլուր ճարթակի ճամար գրենք (9) ճավասարությունը նհ դամարենք ռւոացվածճավասուրութլուննել,իձախ ն աջ մասերը:Քանի որ

Ապացուցու

ք`

7)մամ

ՄՀ»5 ուղիղներով սանխխսնաիակվաժուղղանկյունէ, (նկ. 4483),

ճի, հոռի

10. Մ)մ2Մ:

1,

ապացուցված ե: Թեռրեւտն ճավասարությունը: ճշդրիսո ւ ք տիրույթը 7 0, եթե Դիտողություն

) բաշխման խաություն ուճեցող (/, 7) երկչաի պատաական մեծությունը կընկնի ք տիրույթը, արտահայտվումէ 1(2, ) ֆունկցիայի կրկնակի ինտեզրալով' տարածված ըսա |) տիրույթի, որ

| ո-ո--| Ր

ծում:

Լու

Ըստ (5) բանաձնի

«ՀԽ բ|օՀ ո

'

|

մ:

ոթ

Տ

ՀԱյանՔա -« Ժ -Է

ՄԻՐ -Տ 210270 8101:

մ

կոչվում

ե ա Սաճմիան

ու

մ

Հ

Հ:

| Լ.

Ւ(2,

Է|| Ց.

--

վուլթն

է

բաշխման

(0, 9)

Տ

միջին քառակուսային շեղումներ: (1) բանաձնը գրենք ալսպես:

(Դ

--

«/

1(2,

ճավանաՀչ

լ

9-Մ "

7»

-

Շ

ՄՉո,

Ա

(2)

,

հո

ՄՀ, ալսինքն՝ ի

է ալն Բաշխման ֆունկցիաներկրաչափորեն արտաճալտում որ բանիճավանականութլյունը,երկչափ պատաճական մեժութլունն ընկել է նլ. ԼՆ 445-ի վրա ստվերադծղված քաանվերջ ինտեղրալն ըստ Որոշլալ մեջ: ռանկլան պարամետրիդիֆերենցման մասին թեոբեմի ճիման վրա կապ է ճաստատվում

.-

--Վծ--

-

,

-

»-

մ

՛

7 77" 7/7//7 /7

է

՞2ջ»

է

ֆունկցիան ինտեգրալային արտաճալ-

որ :-" ալն բանի ճավանականությունը, Ւ, Հ») -ՔՐՀ

՝

է։

(1)

-

է, որ Ազնճալտ

23.9,

բաշխման իոտությունն ունեցող պատաճականմեժությլան կեան է": 3լ-ը ն օյ-ը կոչվում են գլխավոր ցրման կենտրոնը

|

Մ)մսՎՄ

մեծության 3) երկչափ պատաճական կանությունների բաշխման ինտեգրալայինֆունկցիա: ռում

արտաղ

բանաձնով: Ալս ֆունկցիայի գրաֆիկը նկ. 4146-ի վրա պատկերվածմակերե-

-օ-ՓԺ

կոչվում է

յք

Ց

Ծա.

լ :

'

(ս,

-

03)

եւո մէ, ֆունկցիան ազ Հետնլալ

-

Հ

( 45 ՕՐԻ-ՔՆ-Լ ( 36: -ՋՊ

ու

է

է սռաճալավում|

ՎՈ»

երկչափպատաճականմեծության բաշխումը ար նորմալ,եթե ալդ մեժության բաշխման խտությունը

Սաճմանում

մ»

Նորմալ բաշխման օրենքըհարթության վրա

24.

ձմ

ւ.

՛-չ/| |

--

լ

վ-

ՀՀ

ենբ.

ոտանում

Է

՛ ՛

-

Նկ.

բրաշիւման խտության բաշխի ե

ան

ֆունկցիլ միջե. տեղրալալին

(Ըւ, Մ)47, տապ|

ՉԲ

շու ԺԷ

թ

Հ»

|

յ Նկ.

լը 7 ւլատաճական որպես 4 մեծությունների երկունորմալ բաշխումների ալրստադրլալ: Ինչոլեսն պատաճականմեծության դեպքում, սաճմանենք երկչավ միաչավի

ին-

ւ

Ը, 73-Ը կարելիէ դիտել Ալոպիսով,

աԱ

(8)

-ՀՎ(ՐԽ3)

"

եթե ցրման կենտրոնը ղանվում է (1, Ե) կետում,

տրվում է չՀետնյալրանաձնով.

.

Ն

ւ

երկչափ "պատաճական մեծության ճավանականության լխւտությունը բաշխման ինտեղզրալալինֆունկցիալի երկրորդ կարգի խառը է, աժանցլալն

105, յա: ՐԾ.

լ

ԱՑ.ամր

Հ-Ի

առա

բաշխման օրենքը

(7-Ե)շ

:

(«Դ

նժու թյան «"պատաճական Է,

Էջ դլիավոր ճավանական շեղումները

Ո

(ոոհս18-ի(2)բանաձեր)). Տ

Վ7Ց-

Է,--ջի՛29.5 Էջի

(7)

(1)

օը

ն

Է,-ի արոաճայլտվաժ

9-ը»

/քջ

Քանաձոլ բանաձեվ մեջ,

կստանանք.«

(ւյս

Է,-ե միջոցով,ւնղադրելով

ք. -բ. բ.

(

(թռ Հ-Վ

Է

ո

(4)

ժերը.

են

սրտ

Ր

(5)

Ը

դժերն Մակարդակի )»-«օոտէ):

ունեցող կիսաառանցբներն

Լ Է՛,

/

ԼԷ,

Թթ

ԻԸ

ն

Ցրման լրիվ հլիպս կոչլում ճավասար են 4ը, ն 48. Ալդ ։

Ց

ԱՏ

է

այն էլիսյաը, որի

ԼՐԱրշ»

(ե))--/Ո--« |

--

հնքՔ

Ձ2

բշ

«Բ Խ/ գայ.

()

սյրել. 1ՐՂ

ի

ՅՀԹ-|

յռ

| երչնաանագյն

Բջ

ԵՀ

Է,

Տ 19-ի

(6)

բանաձնիխճիիան վրա

-զթ Ի)-

2.85

ոտ

ո

ԲրԼԹթղ)

ենբ.

ոնում

|

ջ

|

Զ-Փ Էւ:

Լ

Էլ

(3)

։

Եթե վերջին բունաւձեումի ընդունենք Զ-Հ--իչ 8--հլ, ՀՏ--Ա, ԳՀ-»ի,, այսինքն՝ դիտարկենքկոորդինատների սկղզբնակետումկենտրոն ունեճիման վրա (5) բանաչ ցող ուղղանկլուն, ւսսլա Տ 19-ի (2) բանաձնիխ ձեր կընդունի ճետելալ նորը. -

7)

»(-ՐՀՀՆ,-ԵՅՀԱՀ«(բր» (Էէ բ) ԼԹ,

Դ իտո ղու Թ. ու նչ ատանցքներին ցքներին ղուդաճեռճե

Գաստաճական ւեժության,

(4)

կոորգինասսների

ւե նկլան ներսն ճարնկնե կողմերով րոն ուղղանկլա ընկնելու վանականությանմոսին խնդիրը կարելիէր լուժել նան ալսսլե ո: Ուղէ, է դանկլանւՐեջընկնելը բարդ ուց որը ոլաաման կայանում -կՀ ճա

Հակ շերտը ն -ՀՖՀԼ շերտը ընկնելու երկու անկախ պատաճույլթներիճամընկնման մեջ: (րության ճամառոտությանճամար գիտարկում ենբ այնպիսի ուղղանկլուն,որի կենտրոնը դոնվոււմ է սկզբնակետ ե ԴիցուքՀ պատաճականփնժության կոորդինատների բաշխիան լաությունն է`

ՀՑ: | 2.

օ

ՀՔ,

Տ25. Երկչափ պատահական մեծությունը ցրման գլխավոր առանցքներին վուգահեռ կողմեր ունեցող ուղղանկյան մեջ ընկնելու հավանականությունը բաշխման նորմալ Օրենքի դեպքում

կարող

ք(«Հ-5-բ«ՀՅՀՅ)Հ

որ երկչափ սլատաճական ք, Հաջորդպարագրաֆում կապացուցեն էլիպան բ եվ յունը ճավաս/եժության՝ ցրսրան ընկնելուճավանականուլթ է: է 0,972, ալսինքն՝ դորժնականորննճավաստի սար

Դիցուք

կարոզ

աջ

կիսաառանց բննէ.

էլիոիճավասարույրն

ւս լի տնսթուվ, Քո,

--

(6)

Ի

ԸԴ

՞

ընհավասարումների

մ

ՐԸ

յ

.

ընկնում են ցլրորանկենտրոնխերի ճետ: Ալդ էլիպաները կոչվում են ցրման ելիպսներ: Նրանց առանցքները կոչվում են ցրման առանցքճեր: Միավոր ցրման հլիպս կոչվում է այն Էլիսլոը, որի կիսատռանցքները ճավասար 22 Է, ն Է ճավանական շեղում ներին: Միավոր էլիպսի ճավասարումը մեջ կուռացվի,եթե (5)

դունվի Է--|.

Հբ,Յ.ՀՅԽԷ,Է,

| Ք.

թաՀՀՀԽ

կենտրոնները ճՃայիԸլիսլսները

էլիպսները:

235537

3 Հ

-

ֆունկցիան ներկայացնելով Ենթաինտենդրալալին հրկու ֆունկցիաների

՝

Էք

.-

ան

Մորրայքի Հ-Վ8-ՕոՏէ Է Մարթա

դեղբում 1,

է այսպես. արտաճայտվում

մեջ ընկնելուճսվանականույթ լուն

|

Ք.Հ.

1,

Դիտարկենք (4)

ն

(3)

2 9.7

2.

ԸտւոՏ Հժ-ի Թ) բանաձնի(ռես նկ. 443) սլատանակչ.«ն մեծության զագ, Ճ»-»ք,Մ-Ն, 7-6 ուղիղներով սաճմանավիակվածուղղանկլաթ

ՈՒՇ

ՀՀոծլ

րն

«ԲԲ,

|

' '

հՐԳՀ----7. Հք

Ը

շա

Յ

Հք" ւ

--

--

շերտը ն -կՀՆՀԵԽ Հաշվենք պատաճականմեժության՝ --(ՀՖՀՈ շերտը ընկնելու ճավանականութլյունը: քատ Տ 19-ի (7) բանաձնի ատանումի հնք. |

մեծությունը ցրման էլիպսի մեջ Երկչափպաւռահական

մեծությունը, օրինակ՝սխալը ճարթության վրա, կընկնի

-Փ(բ) Է, ւ

-

թ--ԼՀՀԼ (՛'Հ

)

`

թ(-ԼՀԵՀԵԻ-Փ(Յ)

ՍՈԼ

Բարդ պատաճուլթի՝ ուղղանկլան մեջ ընկնելու ճավանականությունը Ճավասարկլինի ճավանականութլյունների արտադրլալինչ

--

.-

լ

«(բթ(8) .

(4) բանաձեր: ՎՄտացանք կատարվում է Ճ----100,

ճրաձգություն չ--100,

7----50,

դեպի 7-50

կողմերով շեղում-

ժ)

ֆունկ-

աա

Ա

-

«ի 2-ԻՆ .

հավասարությունը լ».

Հն.)

,

ր

|

մասն

ընդունում

է

գտնում

ենք.

-- Փ(2). 6):«ա 10) թ-Փ| Տլ.

ո

ք6

:

1-Իլ

մՄ:

ՔԱագա մս

: Է, 4)

օն

ՄՏՈՔ

ճետելալ տեսքը.

շո

Թ|2, 7)Հ0ւ)Հ-Նկ.

6)

շ

շրջանի,Քանի որ ձետփոխությանլակորիանը ճավասարէ ապա կբնդունիճեւելալ սես քը: (2) -

(2)

Մ--ԷլԾ.

ժամանակ 1 էլիպսը կանցնի Վեագոխության

1Րր

47,

ք էլիպսով: կատարեն

Ալս դեպ.քում/ (4) կոորդինասոներին, բնեեռալին

--ջ.

զ»

Տ 24-ի

ի

Ա»ՀՀԼԸՕՏՓ,

լ

Էչ Է» |ջ |

է

Վերջինինտեզրալում անցնենք

:

86 1-՛

լ

ալս

'

-աք

|

Ճ--Է,Ա,

ղծերով սաճմանափակված Փլթավոր ճավանական ուղղանկյանմակերեսը: մ, Է,--85--10 մ. Գանել Խերը, ճամապատասխանաբար,ճավասար են Է --80-«50 մեկ կրակոցի դեպքում ուղղանկյան մեջ ընկնելու ճավանականությունը (ոլ. 4411), Լուֆում, Մեր դեպբում 1լ--100, 1չ-:50, Էլ--50, Էչ--10,

--

է:

ե՞ Բ-Ք "ԷւԷլ

.

ենք (4) բանաձենի Այս արժեքները տեղադրում մեջ ե, օդտվելով Փ(ո) Ջիայի արժեբների աղյուսակից (տես աղյուսակ 1-ը գրքի վերջում):

0)

փոփոխականի փոխարիճում, ընդունելով

.

|

մ ն 100մ

մ

աիխրուլթըսաճմանավակված է (1)

որտեղ Ս

՛

ո

Հ

Օրինակ:

(2, ԴՀՇյ

-

Ք(ռՀ-2-Հ8, 1ՂՀՅՀ«Տ):-»Ե(-ոՀոՀԵ)Ք(-եՀՀԿ»ՀՃ ր , --

շ

խտությունը տրվում ցրման էլիորի մեջ, եթե բաշիխսրան Ըս ստանուսմի Տ 23-ի (4) բանաձեի ենբ. (4) բանաձնով,

--

։

ԹԻա-Բ

-

Ն

ընկնելո

ւնսուլթլան մեջ ճարկ է լինումի դիոարկել ճնւոնյա Սխալների որ պատաճական Խնդիրը:Հաշվել այն բանի ճավանականությունը,

՛

26.

խավանականությունը

Է,

Ե(7)»-

Տ

է՝ խտությունն յշ -ց2-3-,

պատաճականմեծության բաշխման

Ն

ւջ Հավասարությ

է

| | 6-7"

|

ոմոմց,

ան

»Փ(5)--0,8227 :

.

0,9993»-0,8221,

Աջ ասում կատարելովճաշվումներ, կստանանը Ցրման մեջ ընկնելու ճավանականության արչմաճալտությունը:

թլ(2,

ԷՎ

7Դ/ՀՇւԻ-Լ-օ-ԲԹ,

"

էլիսլոի

(5)

ն ինտեգրալ Հաշիվներ 972--Դիֆերենցիալ

՞

ԴիտարկենքՄասնավոր դես բեր: Միավորցրի անէլիոլսի մեջընկկստացվի, եթե (5) բանաձն ճավանականությունը ումի ընդունենք

ա

ԾԸ

մ նժության բնույթը ներուի Այդ ռւլատաճակածն

պետք

ԴՀ-նի--1-

6-2»«0,203.

(6)

՛

՛

Տ Հ4-ի (7) Լեդ ցրիան Էլիոլ«ի մեջ ընկնելու ճավանականուչ Թլունը ստացվի, եթե (5) բանաձնումընդունի Է--5գ,

թ|(5,՝ Հռ.

Կ-1

--Ք-162:...0,974.

(7)

է`

հիտարկենքալն մասնավոր գեպքր, երր Տ Վ-ի (1) բանաձնում Տ Տի (5) ցրման էլիպսը իսխակերպվում է ԹՀ-նԲ շաԷ,--Է--Է:

ՐՆՀԼՆԲ (8) շրջանի:երկչավի ռպլատաճական մեծությանթ շառավղովշրջանիՄեջ

Սատժանումմ

5,

|»1-6

Շր

աբ

(9)

7.

1. Զ

ինչ-որ կարելիինի կատարել

կարդել

Լ-թ

է,

որ

Է--Էր

առնչությունից:

ուցչալին

ֆանկցիալի

տրժեքների

աղլուսակից

Բր--Խ7-Է:

անճր անոր աչ

ե

մշակել:

ճետնություններ, սլաճանջումի

լոս

են Ճա աչ

են մաթեմատիկական տերմիններով: Չափման սխալները: պաճանջում որոշակի ճետնություններ մ/շակումի՝ ստանալունպատակով:

մեժությունը որոշվում է

.

դանում ենք.

ստեղծումն

որոն տակով, ապատակու, որոնք

Ինչպես արդեն նչվեց, Ճ ղիտվաժ արժեքի ն ղիտվող արժեքի Ձ իսկական արժեքի միջն եղած 8 տարբերությունը (4--ԱՀ«ծ) կոչվում է չափման սխալ: Վերըասվածը կարելի է արտաճայտել ճՃասիակարդ

՝

Սաճմանումիցճեռնում

ն

Այս ձնով ստացված արժեքները, նախքան նրանց ճիիոն

Ռադիալ դավանականային շեղում կոչվում է այնպիսի Էլ Թիվը, ոլ երկչասի պատաճականմեծության՝ ԼՀ-Եր չառավլով շրջանի մնչ ընկնելու ճավանականությունը ճավասար Է

նալու ննե ճնան առանալու հրանալցյունենը

վիճակա

0ր էն ակ 1. Ձասիիչ դործիքի օգնությամբ որնէ օբյեկտ բաղմակի չաման ժամանակ,մասնավորապետմինչն որնէ օբյեկտ եղած ճեռավորությունը որոշելը, ստացվում են դիտարկվող մեծության տարբեր արժեքներ, Այդ արժեքները կանվանենքդիտված արժեքներ (այլես կանվանենք ցանկացածերեույթի ուսումնասիրության ընքացքում ստացված ամեն մի արժեք),

`

ընկնելու ճավանականաթյունը(5) բանածնի ճամաձայն կլինի.

թլ(

"շակի «րոշակի

խնդիրն էլ մեթոդների վերլուծության յիշակման ե

են մասնակցում դիտարկվող մեծությունները:

ռավղով

`

-

Մի վիճակադրության Մաթենիատիկական

դրական նյութերի

՛

:

ճասկանալու ճամար

օրենքը:Դիտարկվող մեժություննեբաշխման Խրատ

Բե բա շիուրունօրենքների որոշումը ն դիտված արժեքների ճիւի ան մաթե վրա բաշիսխան պարամետրելի արժեքներիդնաճայաւումիը է, ոիկական վիճակագրությանխնդիրն

Է

ԵԼԸ,

իմանալ

է

|

Հ Օրինակ Մասսայական արաաղրության ընթացքում ճարկ է. լինում դիտարկել ոտացված արտադրանքի որնէ չափի (օրինակ, երկարության) չեղման ճամար նախատեսվածչափսից (պառրաստեֆությունը ստացված արտաղրանքի ման սխալը):

3, գրաձղության ժամանակ. անկման կետի կոորդինատի ն նչաՕրինակ կետի կոորդինատի տարբերությունը ճրաձգության սխյոլնէ (օրում):

Սաո ման

ի

Մաթեմաւռիկական վիճակագրությանխնդիրները: Վիճակագրական .

ն Դիտումներիարգլունքուսի հասսալական պատաճականխ երեեն վուլթներ դլանցելիսռւտացվում վիճակաղրականտվլալներ կասի Վիճակագրական նյութ: Մասնավորապես, վիճակագրականլութ ԵՊ չա-

Սյս ռխալներըոլանանցում են մաթեմպտիկականճետաղոտություն:

Շաճաղործումից ճետո ն մինչն չաճագործումը (նախագծային) են շեղումների չափման արդյունքները մաթեմատիդեալի չասիերի դպլաճանջում կական վերլուծություն, Այս շեղումներն էլ կարելի է դիտարկել որպես «սխալներ»: Օրինակ

ի

փումճերի սխալները: եթն դիտարկվու մեժությունը պատաճականմեծություն է, ապա այն ուսումնասիրվում է ճավանականությունների տեսությանմեթոգԻ)

ները

4,

ճնետեում Բերված օրինակներից

է,

սպատաճական եժություններհն, յր

դի տուրկվա՛ժ մեժությունիսկ լուրաքանչլյուրդիտաժ

որ

է դիտարկել որվես պատաճականմ հժության արժեքոլեւտք

վոլ

մասնաչ

արժեք:

Այսպես,օրինակ, ըստ

յան ճեռավորութ

ոլ

ալները(ցրում) ճրա579

ի

ձղության

Տ ք:--Լ.

ախալով, կաոարված սխալով, նշանառության պատրաստելիս ճեռավորուԹյրոնըորոշելիսԹույլ տրվաժ ավոալով,օգերնութաբանապատաճական կան պայմանների փուվիոխ մամիլ ն" այլն: Այո բոլորը արկը

ճիման արդլունքների Այսպիսի

աղզլուսակ: սողում, Առաջին

28.

՛

յո

Արրորգոա,

իո

շարք: : Հիստոգրամ Վիճակագրական

.

|

Մ

հար Լ 21172

առացված վիճակագրա) օգնաթյամ:մբ Դիտումների (չոիումների է տողանի Առաջին երկու. կան նյութը տեղավորվում ազլուսակում: Ճ է չափման ճամարը,երջկրորդում՝ չափվողյ/եժուչ սոողում նշվում

թյան

արժերը.

լ

|

"լ

|

|

|

Ճ.

|

Ճշ

Ճյ

Այսպիսի,աղլուսակըկոչվում

է

լ

'

4:

| |

Ճո

՛

|

եւի

պարզ վիճակագրականշարք:

'

ո

( Ձ.ւ Ն

8ւ

:)

ճաճախությունն է,

Մ իջ

ն արա / (քի

Ակնճալտէ,

(1)

ճարաբերակուն ճամապոաւտասխանող որ

|

լ

.

"Վո

Թթ

Քյ

«

|:

ի ու)

։

|

ար

նջ

.

ու

Կ

| .

|

`

ք,

|

են խմբավորումը ձնակերայում՝

ճենց խմբավորումնէ,

էլ

«25»,

448),

:

ճ.

1... ճ,յ 0 նչ

:

ո"շ-թ:

՝

թշ

...7

:

մեժության (ու-ն ւ) միջակայքնընկաժ են միջակայքի արժեքների ոււ թիվը: Ալն արժեքները, որոնք ընկել են (1րձախ կամ աջ ծայրի վրա, վերադրում միջակալքերին կա՛մձախ, ե՛ ոջ միջակալբերին են ն բոտ բեմն դրանց վնրազրում երանց թվի /ոի):

Թիզը

ու, .

ճաշումենք

|

զ»

քլ

ամբողջ

ն

(ւ

է

Ձափումների մեչ թվի զեպրում ալապիսի աղլուսակում զետեղվաժ նյութը դժվար է ընկալվում: ն, ճեոնաբար, նրա վերվիճակագրական լուժութ յունն էլ է դժ վարանում: Այդ պատճառով ստացվաժ պարզ րա կազմվում է խմբավորում: Ալդ շարքի ճիտչն վիճակաղդրական է կերպ: կատարվում ճեւոնլալ չ միչակալքը տրոՄեժաւթյան ստացված արժեքների Յ.) ճում մասնակի ճավասար միջա (Բ... ենք (ոլ, 8), (ու 8չ), կայքերի

|

Այդ կատարվում ճետենլալձնով: Օդ առանցքի վրա երկրաչափորեն: 41 կետերը: Յի ճւ նշում ենք 8օ»Ձլ» ձւ| ճատվածի որի մակերեսը Բավր, որպեսճի քի, կառուցումենբ ուղղանկլուն, է կոչվում վասար է ք-ի: հիստոգրամ Ստացվածպատկերը

ի

՝

Սա

տողանի կարգով,նշում ենբ միջալ ճամապատասիխանող թվերը,

ճաճախությունները,

յ

տ .

`

դ

շ

րՀ

(840

քյ

ւ

|

լ

-

ոլ

-

.

Ձե-ի

ենք կազմում

վրա

աճման

կայքերը» երկրորգ տողամ՝` դրանց

ցրումը՝ որպես նրանց ճամատեղ ազդեցության մեժություններ Կ Մեժութ Կբ, է: ԼԶ բդլունք, պատաճական մեժություն ե

.

(2)

ւ--Լ1

-

են

Ճ

-

կշռելիս կատարված սիոալով:

որոշվումէ լիցքը դեպյքումր

-

նյ

ն.

նչ

ճն.

Լ.6, 1 ճյ

Շ-

`

Կ, Խմբավորման ճիատողրամիճիման վրա մոտավոր ձեով ն

ռուցվում '

է բաշխման

ֆունկցիան: վիճակագրական

Նյութի ճետաղամշակումը

կատարվում է

ճ.) միջակայքերիմիջնակետերը նչանակում

են

կա-

ռետնլալձեռով:(ճ-»

լ-ով

ե

ալա

արժեքը

անարդլունքի արժեք, որը կրկնվում Ու Ճեւոո (ւմբավորումըննրկալացնող աղլուսակի վոխա-Հդամի:Դրանից է ճեւոնլալ բեն կառուցվում աղլուսակը:

ճամարում

են

չափման

է

|» ուշ իո» ուի-Հ. | Է|

Լ -

-

Ճլ

Ճյ

ու

ույ .

.

Ք

|լ.

Ճշ

կազմենք ճեւտելալ աղլուսակը. Ալնուճեւոն,

-

Ճել

2.

լ

.

քշ

քլ

Ի

""

ու

| | | "|ռ|ո |» 0,05 |օ,| |

իշ

.

Խ

ե)

Տվլալմշակումըկատարված է ալն բանիճիման վրա, որ Երք ուռ եխ Լ բոլոր ւ) միջակալբի արժեքները տիմլանց ուսսոի

քլ

Ն

0,02

Միջակայքներ

80--110

|

200--230

ՊՐ»

| | առօ,օ»| օ,6|

|

ուլ

ւք: 4Ր ւս

| 110-140

ծի

(

7 պատկն որը

|

ամր)(նկ.

Բիսւոո ի

4Ր

449): կ

|

ժության ճարիար արժեք ընդունում Թյաքանականը՝

լ ՏՐ

|

օօ

)

Հ»

1-5

չոչ

--

ն

..

.

,

Նկ.

ու...

-Էու

|067 նա

Հ

ց

։

անվանումեն միջինկշռային:

Դիտողութլյութ

:

.

նն

եզ Ոչ-ըՃաշվումմ ալսպես,

Էւ-1 վոժ արժեքն

մոա .

:

Հ

ն

(1)

,

ղ

:

.

ստացված արժեքների միջին

կասի,օգտվելովՏ ՀՑ-ի (1) նշանակումնեսրից»

մ

0,01

0,06

:

շա»ճլոյվ

րիք

0,18

Պտ.մտեժուլթլունն անվանու են վիճակազրական միջին: մնժ ե ո է, Եթե չափումների Թեվը ասլա օդգավում| Տ:28-ում

:

դիտարկվածաղյուսակի նյութից,

ն05

նեն

ոլ.»»

-

ն

»|»5|վ | |

Չաւփվողմեծության հարմար արժեքիորոշումը

վրա կառուցենք շարքի ճիմտան վիճակաղրական Խմտքավորման ական '

0,28

|.

Դիցուքորնէ մեժությունչավելի» ստացելենք ճն, ճջ :., Ֆո է դիտել ԷՎ չափման արդլուն որպես քները:Այս արժեքները կարելի Մ Իբբն: նմեծաթյան մասնավոր որոշվող արժեքներ: պատաճական

290--350

0,085

0,18

29. :

|

.

260--290

0,28|

0,24|

| ա՛ռ |

Տ

|

|

0,24

դրանց

ճամարում են միջակալքի ւ արսցիսին ճավասար: Օրինակ վլալ ճեռավորությունը100 անդամ չոռխելիս ատացճիման վրա կառուցված է ճետնլալ խմբավորումը. վված արգլունքների

բատ (1) ն (5) բանաձների Հետադալում տառով Ալս դիարդլունքները Բաշվումների կնշանակենք միննուլն ն Լւ կվերաբերի (5) (4) բանաձներին: սռողուլյլունը կարելի է որ որոշ դեսքում պացուցել, ռաճմանոռիակումների Ղ-»ՇՅՋ, ձում երբ իջինն ըստ ճավանականության, վիճակաղրական ւ

է

մեծության մաթեմատիկական սպասում ինս Ալ. սպատաճական ճետնում է Չեթիշնի թեորեմից,

ոլնդումը

.

:

Բաղմաթիվ փորձերն դիտումներ ցուլց հն տալիս, որ չափումերի ավխալի, ալսինքն՝ այնպիսի սխալի,որը բոլոր սիստեմատիկ ոխալները հաատասոուն Է (օրինակ, սարքի ռխալը)ն ալնպիսի սխաչավիում Փերում

ք Այն վիճակագրական դիսպերսիան: Այնուճետնսամ անեն

է սախիանվում՝ ալառլես,

թ»-

Լ: ո՞): '

(3)

ղ

Այս մեծությունըբնորոշում է դիտվող մեժության

բում:

արժեքների

ա 1կորոշվի

Տ

ի

ի դիսպերսի նիա

կե

աղլուս

ւթից

նլ

ցը-

Ֆ(ոշ-ոչբթչ

(4)

բանաձեիխ: Ալսբանաձեր ճա Օօրինակ:

նման

է

Տ 10-ի (8) բանտոձնին:

ճա ԷՎ ան նա ծ օրինակիվիճակագրական Տ -Հ8-28-ի վիճակագրականմիջինը ն վիճակագրականղիոպերսիան: ենք. լուծում, րոտ (2) բանաձեի ստանում ո,

։

ե նյութերի

ս

ու

ման 6.ճի

վո»

ստ

շա

յա:

ՖԱքԻ«95 .

ո

զ

-Լ215 բոտ (4) բանաձնի

թ".

Էչ

`

:

.

0,02-11250,05--155 -

0,282450,18-ւ 275

ստանում

(ո.-ոչ) ո

.

-

.

.

0,01--201,20,

Ո:)2քբ»Ն աքո--ոչշ---Փ(ե-.-1 Խ-1

305: 0,01--(201,20)5--1753,56 0,18-- 278: Վ245:. 0,06-

՝

Բաշխմանօրենքի պարամետրերիորոշումը: Լյապունովի թեռրեմբ: Լապլասի թեռրեմը 30.

ԴիցուքՃ-ը պատաճականմեծություն

լունքն է, 1-ն՝

դեպքումալս

չափպող

22-ը,

է, օրինակ, չաման

2-8

մեժությունն մեծությունները կապվաժ հն է,

արգ-

չափման սխալը: Այդ

:

-

ա վիճակազրականգիսոլերսիան ավելի լավ իրականու է 587 ո րը բերված նաձեով, Էջում:

է

Խլ»Ա-ծ. օլյոի-1)

է որեէ լալու: Դիտարկվում

ճաշվել ուրիշ բա-

Ն

մեծության

չավման

արդլունքներն հն ֆան

ոլաւտաճական մնժությունէ), ասպա

ց

՛

որ

էլապունովիթեորեմի գործնական նշանակությունը կալանում Է

որոշման սխալի, արկի պատրաստման Խլան սխալի,ճնուվորության ախալի ն այլն: Բոլոր բաղադրիչները նոյնիսկ մեզ ճայտնի չեն, լինել քաղադրիչ պատաճականմեինչպես նան կարող են ատնճալտ թնորեմիք Բայց էլապունովի ձությունների բաշիորան օրենքները: ճետնում էյ որ պատաճական մեժությունը՝ ընդճանուր շեղումը ենթարկվում է նորմալ օրենքին: Ճո իի թեորեմից ճեւոնույի է, որ եթե 22, Ճգ, էլապունովի որոշ

(1

՛

թել

ՏՍ

ճետելալառնչությամբ՝

ԴՀՈԼ,

Ճո

ոա-

.

Ն

-

Ճշ..-չ

պատաճականմեժություն, օրինակ, ինչ-որ մեժության շեղումը տրվածից: Այգ շեղումը պալմանավորվաժ է շտտ դօրժոնների ներդորժությամբ, որոնցից լուրաքանչլուրը վիս է շեղման մի որոշ բաղադրիչ, օրինակ, ճրաձղության դեպքում նշանառության ն խոցսիան կետերիշեղումը ճետնանք է նշանառու ճեն

0,05 1-1553 «982 0,02--125: 0, 16---1852 0,24--21530,28գ-

ոլ,

-

ւ

-

կրանաձնենք քիչ

եթե

ո Մբզումարի բաշխման օրենթը որբան կաան (ո ը ճորմավորված է այն ճորմալից ՔիչԷ տարբերվում մենանք րեն մեծացնելիս

պեա

.

ունեն

-

ենը,

ւ.

1:

:-

0,16-185 0,24-Է

0,06--305

.

հն

անկախ պատաճականմհմաթեմատիկականսպասումով հ օ2 դիսպերծություններն սիայով միննույն բաշխմանօրենքը (առանցընդնանրությունըխախտելու, կարելի ե ենթադրել, որ 1-20), ապա Ո-ը անսաճձմանափակո Թեորեմ

ե որոշել

որո

ո

«ՅԼ

ննթարկվում

Թվով պատաճականսվեժուէ, ապա որոշ դն քումի այգ դումար ռառխիանավակումրների թյունների դումարը հնթարբկվումէ բաշիաման նորմալ օրենքին: Այս ոլնդուիը ձնակերպվումէ, ալսպես կոչվաժյ կենտրոնական սաճմանալին թեոբեմի տեսքով, որը պատկանումէ Ա. Մ. էլապունովին(1857--1918): մի պարզեցված տնսքով: Այստեղալդ Թեորեմը

ըոռ

թ»-

փոխվում է չավփումից-չափում

ճետո

Եթն պատաճականմեծությունըեժ

վիճակագրակ

դա

որը

ռելուց

|

Ք

"

ըստ ճայտնիօրեն բի, բացաՀբաշաման ալնպիսի նորմալ օրենբի, է կոորդինատների որի բաշխման դտնվումի սկզբնակետում կենտրոնը նան է ւոնսականճիմնավորում ներով: Այդ ճաստատվում

իչ

'

:

«-

մւ-2չ-Է:

լուրա

«7

քանչյուրը Ս

՛

«Էր

ո

»

միջին չասի

որբըպատաճականմեծություն թվաբանականը, ո-ի

մեժ

դես քում ենթարկվում

է,

իի բաշխման

է

մեժությունների դրելթ Մ Ի. պատաճական

Ֆերը.

ռ

Թ.-Ը

10)--

1(2)--

Լ---ը

լ

«շք

լ

օ|՛2» `

,

ա-

Տ 29-ի (1) բանաձնով՝

(3)

։

աի

լա

է,

Բեւոնում

|

:

՞

՛

այսպես կոչված,Զեբիշնի

(4)

(1821--1894) Թեոոր

ո

ավելի բնական

Հ... 1-1 բանաձնե ի: Նշենք, են

դ-1

որ

(5)

ն

|

ճամարներով տեղերում դտնվող բացարձակ մեծություն-

Ալնուճնտե,

՝

ռ

ԵԽ

(5)

ո--1

գործնական խնդիրներում

մոտ

է

՛

Տ 28-ի

2-րղ :

Վզ--Բ-

օրինակումբերված

ն արդյունքների չասիումների

.

(թ

բանաձնով կազմում ենք միջին թվաբանականսխալը: (5 Ըստ ա բանաձնի ի" որոշում են

:

1-ին:

Օրինակ

,

Տ 29-ի (3) բանաձներիաջ մասերը տարբերվում

որը բաղմապատկիչով,

6-Չ0ւյ»

լ

ների, միջին թվաբանականը:

ա

Հ(-4)

ո

--Վ Չ

--ն

ո

,

"2:57

վրա,նշենք, ապացուցման բեմից:կանդչառնելով ալլ Տ 29.ի (3) բանաձնի), բոտ ոչ թե որոշել պարամետրը կլինի ը

-

եթե որոշ Ճ պատաճականմեծության ճամար ատազված է բաշյան վիճակագրական ֆունկցիան,ապա ալն մեԷ ճարցը, թե պետք ճամարել, որ տվլալ պատաճական արդլոք ժույժլունը ենլարկվում է բաշխման նորմալ օրենքին թե ոչ, երբեմն լուծում են ալսպես: ո ար մեծության Տե Ճշ, Դիցուքուննն ք ռ"լատաճական ժեքները:(4) բանաձնով որոշում ենբ 1 միջինԹվարանական ար» ենք պատաճականմեժության լ 3. Մո կենոՀ Ժեքը: Ռրոշում բոնադիբ արժեքները: Մլ արժեքների բացարձակ մեծությունները դասավորում են շարՓե ձնով, աճողականկարգով: Եթե Ո-ը կենտ է, ապա իբրն Էլ միջին շեղում կամ միջին սխալ ընդունում են կազմած բացարձակ արժեքների շարքի այնԽՈՆ բացարձակ դգրավումԷ որը մեծությունը, ոՈ--1 յոեղը,եթե Ո-ը զուլդ է, ապա որպեսԷի): ընդունումեն

|

ղ

Ալդ

15.171

...,7,

-Լ-Յ-

բռ 8--1-1

Դիտողո ւթյուն

է փորձնականտվյալների ճիմտանվրա որոշվում պարամետրը

թայց,

ո--1

ՀՀՄԱՂՀՎՆ

(1)

--ու--201,

Տեղադրելով մեջ, ոստանումենք. (3) բանաձնի

-

բաշխման օրենք-

-Յ-շ

-

:

ճիման

ւ

Մ

ճամարելնորմալբաշխված: նրանց ղդումարը նե տ-ով նշանակենք մաթեմատիկականսպասումի ն դիսՀով Այդ դեպքում կարող ենք մուտավորաարժեքները: մուռավոր

լես

բա

հնք.

ցույց է կարելի

պերսիալի

շիվան Լու ծում:

թյան

.

ենծուորքան կամենանքփուս է նորմալին, եթե Հլ պատաճական Լ12 միննուլն բաշխման օբենբին: Թլունները ենթարկվում Որոշ լրացուցիչ պալմաններիգեպքում, որոնք, որպես կանոն, պատաճականմեծություններիճամար դիտարկվող դորժնականում ինում է ճիշտ նան տարբեր բաշխման օրենք ունեն, թեորեմը սոեղի Ինչպես ճաիար: ղումարի ներ ունեցող պատաճական մեժութլունների դեռ 10-ի քում կարդի Թթվի է յոալիս փորձը: դումարելիների

վրա դրել պատաճական մեջուօբենքիարտաճայտությունը: բերված ճաշվումների ճիման վրա ստանում Տ 29-ի օրինակում

Տ 29-ի օրինակում բերված ճաշվումների

բավականաօրենքի,ոիԸը

Զ-ի

ր

Ֆ 7 Հ ո-1

(7 ԵՏ7

շեղումիը, Այնուճն ոմ. որոշում ենթ Էւ քառակուսային

"իջին

րաբերությունները:

մեծության ճամար,որը Այն սպատաճական

մալ օրենքին, Ճավասար բ

բ

-Է

ռն

Ղ

ն

Է,

օ

0,8483

են

:

0ՀոՀՉ0)»--Լ

է նորենթարկված

Օ,6745

(տես

ՀՀ-ի (6)

Տ

Նշենք,

Բեռնուլիիէյ»,մ:

որ

Աաաա անի ությա եարեւրն ախ աչ

ը

պատաճուլթը երնան կլա

ոչ

պակաս քան

անդամ

զ

ն

ասին,

ապլացուցման: .Բերենքալդ թեորետն առանց 8 անդամի: Թեո

ո մ

րն

ալու ոո

ա

ն առնչությունը:

ու լլասի

(էա

մ

ւ

), եթե

ակի ՀՒ

նավանականությու թոք

Ք(Հ-տ ՀԲ)

են ո կատարվում

Ր Ք

-ո

Փ

Չ

5-ի,

ն կանե

ի

Լ

Տ58Տ

27 ոթզ

ն

72 Դ9,9

Դ

25,

ճատ

քարտերի

" Իրն

0,19,

մեքենա, ր թոր» աշխատում

, "յական

1 ղա

թյունը,որ Տ.

զրվաժեն

վրա

է

պաին

Լից

ԱԱ Ան իմԵ արի վրա կլինի քարտի

,

աշխատում 7 Սարան Դր"

թվա-

կամ, .-

ճավանական բանի

ի

,

։

որ

երեք կրակոցի

վարա 197րի մյուս Կա Ց . 0,12. Մ

ստնսա

ետա

ա

Յ0

է

ա

րրա

երե լենի երեջ կլինի

ում

/

ճանվում

է

"

Ա

դետալներն

րանա

"

ահի

ՀՏՆԽՍՍ,

Կրկրորդ

առա-

դետալ,Որոշել այն էլ առաջին տեսակիեն, ն

տա

հավանականութ: ել Ի ԱՐ" աան

.

դետալը պատրաստե

դետալը

հե ա խոսան

թշ--0,019,երրորդ դետալինը՝ թյ--0,01, (ե խոռանի Պառ, 0,03. ճավանականությունը: ի

խոցում,

արկղիդետալների Գ-ը

0-ը,

բզու

դեւ16

Մեխանիղմբկազմվո,

լես խոտանի

մ

ցրած

'

է յո Օուրաքանչյուր հանի ճավանականությունը,

10.

են

-

0,9999, Ք. » Պատ: րի Մոլ" նպատակակետը աղա"ականությունը ք--0,9։ Ռբոչելայն «

»-0,73:

Ց.

ո»300,

Վատ.

Այն բանիճավանականությունը որ մեքենան է, ճավասա շել ույն

անի ճավանականությունը,

Պատ.

ճա

կրակեն, ոոպեաի Գար

,

չանը:Պատ.

|

-.

ճավանականությունը,որ

ՃԽատատանանետ

քանի ճավանականությունը,

Բ

ենք Վերցնում

չշաճող:

մերանիրարամր . " .- վատարվու եէ" մեկ անդամ ճարվածելո, արան ությունը

0,88. ծ.

Պատ.

20-10.

5-ը

երնան չի զա, Պաշո. 0,99987։ բա նա ոին բացա ճա ոցով են քնաթիռճին ժե ճարվածելու ճավանականությունը է 0,004, Քանի ճրաձիգներ պետը է միաժամանակ

Պատ.

-

8--ոք

հ

անգամ, ինչպիսի"ն է

.

կան կրակոց, Առաջին երկբ"ոգից՝ 0,6: Որոշել զոնկ

զտնում ենք.

12Չ )/ոքզ

Խետվում է

մեժ

զ--0,99, զ--0, 3-20:

"7

5-ը շանող

Պատ.

"

-

րա---ՐԵ-ՅԻագ--Չ,29 Դ 2 39,9

,ոոմս"

է

.

:

զգ--ոք

որ լինի Փ-ից, Ված .- Կրա Երկու գանուքյունը ճրանոթիցմիննույն

(8)

'

Հաաա

ճա-

է

ԻՐԸ ույ Ար առա

.ւ

0--10

են

օրանց

ճա

Ն

-

Ցուլց տանք Լապլասի թեռրեմի կիրառությունը խնդիրների լուծման Բա ար: արտադրելիս ճավանականություՕրինակ 5: Ռբոշ դետալներ խոտանի թվում որ 1000 դետալի Խը՝ ք--0,01, Ռբոշելայն բանի ճավանականությունը, Հ0-ից Խոտանվածները ավելիչեն:

Այնուճնոն

երկու խաղոսկրներ։ Որոչել այն բանի րիովում վրա «րացված» միավորների դումարը ճավասար

յդչպիսի՞ն շաճելուճավանականությունը:

տոմու

Ը

ղՀ--100, ք--0,01,

որբ

է

.

.

Տվյալ դեպքում

ա1

Ը,

՞-.Վ Վիճակախաղում

որտեղ ո-ր Ճ պատաճնույթիերնհումներիթիվն հ, զ--1--ք, Ե(Հ Հո.ՀԹ)-2՝ այն բանի ճավանականությունը, որ Ն,պատաձույթի է « ն ք թվերի միջն: թիվը պարփակված Խրնհումնճերի ե եջաե550-ում: սաճմանված ֆունկցիան Փ(2) անվ (:) ֆուճկցի

լուծում:

հո

Լ

Պատ.

անկախ

ւ

աԺ

"ւ

ը

։

-)/2 /ոքզ

յ/2 |/ոքզ -ջ| (7-4 լ

մ

որ

Վոխագույթի երկու աղոս Մի

մա 2ոորիտ

«պո

ապա

Մ

կանան

աժաման

.

ավելի քան

ոչ

ենթ.

ՃՃ գլխի վերաբերյալ Վարժություններ

են

ե

ուհո

թվերի

սությա

227 որ ւսռյա պայմանականորենընդունումը 1092-ի մեծությամբ, է »րկվում ենթ օրեն նորմալ մեծությունը քին, կեն ւոչ 7 պատ աճական ճնտնանըք ճան սանի անուս ոզական է սանումԼաայլասի ին թեորեմի բնորադուլույն

զանում

պունովի, Չե քիշնի, կապլասի Թեռրեմները, ռրոն Էն այսպես կոչված հավանականություններ

ն

ար ար" Հար օրենքը,

լ

ւ

)Հ-շ18(225)--Փ(-2,25))--Փ(2,28),

ֆունկցիայի աղյուսակների

ես

.- 7

ոք.

քատ թ(ւ)

կազմում

0,8453 ն, 0,6745 Թղվերից տարբերվում ճարաքերությունները.

Ծ

լ

Թ(0Հ-ո ՀՉ0)--0,9985։

եթե բանաձերյխ

|

ե

:

ճարաբերությունները,ճամապատասխանաբարչ ն

ստանում (8) բանաձնի

Լոտ

Էւ Բո

Պելու

ին

Մեկ կրակոցով խոցելու ճավանականությունը՝ բ--0,0, Որոշել այն բանի ոբ երեք կրակոցից զոնե մեկը կխոցի նղլատակակեսը:

11.

ավանականությունը, 0,936:

դատ.

երկրորդ մեխանիզմների մեջ 160-ը առաջին տեսակի է, 110-ը՝ 80-ը՝ երրորդ տեսակի, Առաջին տեսակի մեխանիզմների մեջ խոտանի եսակի ավանականությունը 0.01 է, երկրորդ տեսակի մեջ՝ 0.03, երրորդ տեսակի /եջ՝ ,.04: Որոշել ճավանականությունը, որ վերցրած մեկ մեխանիզմը կլինի սարքին: 12.

ն

.

՞

՛

Ա

8,

0,

տ.

Թույչ նախապատրաստվելիս Դիցուք ճայտնի է, որ տրաձղությանը (ԱՑն) առաջինկրակոցի ճետնանքով արկերի գրան կենտրոնը որված սխալների ամանակ ըատ ճեռավորության կարող է զանվել ճինզ կետերից որնէ մեկում: կետերում, ճամառաչ այդ այն բանի,որ ԱՅԿ-ն կգտնվի ավանականությունն ես քւ--0,2, Տավասար ք,--0,4, քչ--0,1,Հայտնի ոասխանարար, քյ--0,1, քչ--0,2, Է Խան, ար եթե ԱՏԿ-ն գանվիառաջինկնտում,ապա ըստ ճեռվության նպղատա-

գերթոիչքի

թյան

ին

ղա մ։

նետվում նետվում է ծան

աղո հաղոսկըը

14.

սի՞ն է չպիսի

ճավանտ վանակաՍու

զրացվի բ ց

անդամ Հանգ

միավորը ն

միավոր նրբ, Վատ.

մուռ

կրակոց: Որոշել այն բանի 15. գերթոիչթ (Ոօքօո61), եթե կտան կրակոցները բոլոր կատարված է

ոչ

անդամ էլ'

ունր, դությունը՝

թշ ը----

յ:

3.

լու

0`

ԱՀՀ-շ":

4,

որ

17.

կլինի

գերթոիչք

18.

ն

մեկ Գանել իխաղոսկրի

տիկական սպասումը:

լային

Գտնել այն

Պատ.

նետման

ժամանակ

զատ.

ք

ման

1,05,

|

որը

տրված է -

| 1:

|

ղիսոլերսիան,

ւ|

ո|

0,3

է

1(2)--

յ,

:

ճետնյալբաշխման ինտեգրաչ

երբ 0Հ»Հ1 ՀՏՃՀԱ,

,

մը

0-Հ:2ՀԽ

1Հ:ւ

|

Մլխվ-ը

երբ ւ.0ՃՀՕ0,

1, երը

տրված է

0, երը ՀՕ,

8) | |Լ

0, երը 1ՀԿ

ֆունկցիայով՝

ա

4, 2,

միավորներիթվի մաթեմա-

ճամակցու-

1--(0,65)16 «20,803,

Պատ.

Գանել1(4) բաշխման խտությունը,

շ"

պատանական մեծության

ք--0,18.

ռպլատանական մեծությունը

ւ

(ծրա Ը-

Պատ.-1 6:

Թերթոիչք.

թերթսիչքի

խոցեզոնե մեկ անզամ նպատակակետը

կրակոցի ղեպքում

բ

աղյուսակով, ճետնյալբաշիխորտ'ն

24.

նախորդ խնդրի պայմաններիճամար ոլԹշել այն բանի ճավանականու-

16.

եթե մեկ կրակոցովնոլատակակետը ճավանականությունը, լբոցելուճավանաչՀ

կանությունը՝

ՅԼ

՞Յջ'

Պատ.

Գանել

,

3888»

Բ

Պատ. 0,297: ճավանականությունը, Դետալը խոտան լենելու ճավանականությունը՝ ք--0,01, ինչպիսի՞ն

գերթոիչթի «ճավանակա-

է «նեղ» նողատակակետի վրա): Պատ. դությունը կատարվում

թյունը,

Բ"

գերթոիչթի

Հ

դետալից կաղհված խմբաքանակում կլիայն բանի ճավանականությունըք, որ խեն 0, 1,5, խոտան դետալներ, Պատ. 0,9045, 0,004, 0,041, 0,0011,

որ ճավանականությունը,

ի 5 կանութ 8(ԸՈՕ16՛1 ավանականությունը՝

է Նաման

յունը

Ռր»չել վեց կրակոցի լեղքում

զ--

է նշանացույցի այն դիրքով: "րը բանի,որ՛ կրակոցը կատարվել է ո նշած այսինքն՝ րոշելփորձարկուԱՅԿ-ի ճին կետերին, ճամապատասխանում տիղոթեղների ճետո ԱՅԿ-ի դիրքում տարբեր "սխալների մից ((բակոցից) մասին զատ. 0,85:0,75: 0,40: 0,75: 0,825: ճավանականությունները, |

բ-զ,թերթոիչքի ճավանականությունը՝

ճավանականությունը՝

2ջ.

Չյունն այն

նու

ը

բ

ՀՀ

(որակնաինխփելու ճավանականությունըճավասար կլինիթյ-ԸՍ/5մխացած -«0,60, թյ-ՀՍ,28, քչ-Հ0,15: քյ ռերի ճամար, ճամաղատասխանարար,քչ-20,25, է Ը» որի ճետնանքով նախնական դիրքով կատարված կրակոց, նշանացույցի ոտացված է վրիպում: Ռրոշել, թե ենչի է ճավասար ճավանակաճեսվության

որ

19. Մեկ փորձարկման ընիացքում / պաստաճույթի երնան դալու ճավակատարվում է Տ անկախ փորձարկում: Գանել ճավասար է 0,4: ճականությունը Ճ պատաճույթի երնումների թվի դիողերսիան, Պատ. |,2: »0. խոցելու ճավանականուԹիրախի վրա կատարվում է չրաձգություն, չարունակվում է մինչն առաջին խոցումը: կա 4 թյունը 0,8 է, Հրաձգությունը արկ: Որոչել օղտադործված արկերի թվի մաթեմատիկական սսլասումը: Պատ: 1.242։ լ. ինչ-որ «րարակ» նշանակետի վրա կատարվող ճրաձղության ժամանակ

ն

Ծլվ-ը: լ

լ

1ր)Հ-շ: ԾՇ»Հ--ք'

թ. մ.պատաճական մեժությունը ենթարկվում է Լ 30, սպասումն օրենքի,որի մաթեմատիկական

այնպիսի նորմալ րաշխ100. եսկ ղիողերսիան՝ պատաձական մեծության արժերը

որ Փանել այն րանի ճավանականությունը, ւլարփակված է. (10, 50) միջակայթում։ Պատ. 0,954։ Ջ6. Պասոաճական մեծությունըենթարկված է այնպիսի բաշխման նորմալ օ7--0,16, Գտնել այն րանի ճավանականությունը, որ օրենքի, որի լիսսպլերաիան՝ մեծության արժեքը մաթեմատիկական սվատաճական ռղլասումիցբացարձակմե. ծությամբ կտարբերվիոչ ավելի, քան 0,8-ը։ Պատ. 05468, ոլուոաճական մեծությունը ենթարկված է 2--0,3 ցրման կենտրոնով ն ի--Չ ճշտության չափով բաշխման նորմալ օրենքին: Գտանել (0,5: 2,0) միջակայքն ընկնելու ճավանականությունը, Պատ. 0,262: 28. Ննշանաչ մ լայնությամբ շերտի վրա կատարվում է ճրաձգություն, ռության սիստեմատիկ ոխալը 1 մ է (սլակասորդով) Հավանական չեղումը 5 մ է, Գտնել ցրման նորմալ օրենքի ղեպքում շերտի մեջ ընկնելու ճավանականությու-

նը։ զատ.

0,211:

մ, 72-35 մ Հրաձղությունը կատարվում է ճլ--10 մ, չ2շ»--20մ, 7-15 ուղիղներով սաճմանափակված ուղղանկյան վրա այն ուղիղի ուղղությամբ, որը ճիսում է ուղղանկյան փոթ կողմը: ծֆարթության վրա նորմալ բաշխման ճավա29.

են՝

նական չեղումներն

մ, Էյ--10 մ. Գանելմեկ կրակոցով ուղղանկյան 222)

զատ. 0,425: մեջ ընկնելուճավանականությունը: Ֆ0. Տրված 20 սմ երկարությունունեցող ճակ կատարած սխալը ։պատաճական մեծություն

օրենքին

պատրաստման դետալի է,

ժամա-

ենթարկված է նորմալ

ռըը

որ (2--0,2 սմ): Ռրոշելայն բանիճավանականությունը,

պատրաստված

դետալիերկարությունը տրվածից կտարբերվի 0,3 սմ-ից սակասով.

Պատ.

0,866,

Նախորդ խնդրի պայմաններում որոշել դետալը պատրաստելիսթույլ Պատ. 0,392. 0,095 Տավանականությամբ: տրված այն սխալը, որը չե դերազանցվի ն օ--Զ ո պատաճական Ֆ2. է պարաբաշխ ված ըստ մեծությունը ի12)--5 ոի մետրերունեցող Ֆորմալ օռրենքի: Ռրոչել այն բանի ճտավանակածհությունը, պատաճական մեծությունըկլինի Ա, 10) միջակայքում,կատարելդծադիրը: Ֆլ.

Վատ.

9.

0,971:

սլատրաստած դետալի երկարությունը պատաճական ՏՏ-Ավտոմասոի աշխված հվ. Հ-15, օ--0,2 եթեաար յատրելի Գնել րենքի, խոտանիհավագագանությունը, է,

պարամետրեր

է ըստ

ո

Ննոր-

թո

ինքն 15--0,3։

ւլետքէ չավերբը

ունեցող

դետալի տավանականությամբ պատրաստվող երկարության ինչպիսի ճշտություն կարելի է երաշխավորել. կատարել դծաղիրը» ՖՂ1. Որոշ մեծություն չափելիսստացվել է ճետեյալ վիճակագրական 0,97

ա,

|

2՝

կիություն

Որբոչել վիճակագրականմիջինը

ՖԹ.

| | | |

լ

ն

Ց

լր

1.

1,

Գծայինձնափոխություններ:Մատրիցա ք ն Դիտարկենք

տնլալճավառարումների ճամակարդգը.

տրվումեն ճետնյալ աղյուսակով, արդյունքները Ջասիման

| | կիություն | Հչաճախա-

0,226:

Ոբոչելճ վիճակագրականմիջինը 0,004,

Ֆ6.

| |35 | |

0,20 | 0,22 | 0,24

0, 18

ՅՑ

ն

0,26 | 0,28

՛

Հճ» 32-ՅՃոլնլ-ԷՅչիչ:

:

:

(1) ճավասարությունների ճիտ ա

դիսպերսիան, Պատ 33 վիճակագրական

ԳՐԱՌՈՒՄԸ

Օ երկու ք ճարչ ճարթությունները: Դիցուք թության վրա տրված է «0» ճի ուղղանկլունկոորդինատային աՀ կարգը ն Օ ճարթության վրա ՖլՕ7շ կոորդինատալին ճամակարդը: Ք ն Օ ճարթությունները կարող են ճասիընկնել: կռորդինատանուլնպես կարողեն ճամբնկնել, ԴիտարկենքՃելեն ճամակարգերը

:

դիսպերսիան, զատ. 2: վիճակագրական

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

՛

|

ԳԾԱՅԻՆ

ԵՎ ՆՐԱՆՑ

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ

ո

բ

շարքը.

"

ՄԱՏՐԻՑԱՆԵՐ:

մե-

ծություն մալ

ԳԼՈՒԽ

.

՛

(0

,

ան վրա

ՃլՕ8.

(ո :ճարլժության

ՃԸ., 42)կետինճամապատասխանում րաքանչյուր է ՄլՕ, Ճարլթության Խ(7,

3) (ե"ը։

-

՛

.

Դետալներիարտադրության ժամանակ խոտանի ծավանականությու-

դետալների խեմբաք--0,02: Գտնելայն բանի ծավանականությունը, սր քանակումկլինեն 7-ից մինչն 10 խոտանված ղետալներ,.Պատ, 0,414,

Ֆլ

Ինչպիսի՞ն է ճավանականությունը՝ ջ-Հ շ' Նպատակակետը խոցելու որ 250 կրակոցի դեպքումնպասակակետըկխոսոյնբանիճավանականությունը, :

34.

ցեն 100-ից մինչն ՀՏ.

Որոշելայն

կրակոց: Վատ. 0,998:

, Ը

Որոշ

դետալները ած դետալները ված

ք--0,02. ճավանականությունըԸ Խոտանի պատրաստելիս դետալներ որ մեջ Խոտանվերցրած 1000 դետալի բանի ճավանականությունը,

/'

՝

չեն, 25-ից25-ից ավելի ավելի չեն,

Պատ Պատ.

0,87:

.

ՖԱ. 450

կռորգինատների գծային

Ասում են, որ (1) ճավասարումները ձնափոխություններեն: Այչ ճավասարումները (:07.),ճարթություն .

38--Դիֆերենցիալ ն ինտեգրալ Հաչիվներ

0 Ծի Մ ւլ Լ

.

են (7լՕ7չ) ճարթության վրա (պարտադիր չէ ամարտապատկերում դժալին են, բողջ ճարթության վրու): Քանի որ (1) Ճավասարումները կերոււիր կ Ր գծային արտապատկերում: է կ ր | գ Վ արտապատկերումը ւ յի ր (լոչս|ու ք (Թ ճարթության դիտարկեն վը որոշ Ս տիրույ, եթե Օ») մ

թյան Ս կետերի բազմությունը (ակ.450):

Նշենք, որ

Դիտողութլուն

ո--Փ(.

՛

ոչ

(ոՕ)յ.)

(1) ճավասարությանների միջոցով կորոշվի դիտարկում

են

(1)

որոշվում լիո լին արտապատկերումը

իի ջոցով: ժակիցների Ս լդ

կաղմ ծակիղդնե կազտվմած զործակիցներից

վում Էէ այսպես,

Յլջ

ՅՁլ

Յջ622

(

կամ

լ

Ձլյ։

յ» Յշ» «22

Ձշլ

Մջչ

դլուսակը

ադլո

դոր-

գոր

առանց նրանց

Ց

Ճ

Հյ

կոչվում

եվ. Ս.ա Օրինակ

ի

Օրինակ

82ջ

(եկ.45ւ)։ Սյ

`

|

։

ոչվու ի

ՏՈՂ

Ը0ՏԱ

էի

լ այելայ

ւբ

Էն

ՊՐ

գետնյալ տնյալ

արտասլատկերումըձ արտասլատվերումը

են

էլ Օլ առանցբի այնալես

| |՞

ւբ 0

|

`

ձնավոխությունը Հետնյալ

ին

Օրջ առանցքից (ոկ.

թյան մատրան

կերնվք ցնավոխ»Ճշ

արտապատոտկերու

454),

:։) ՛Ժ7՛ՏՏՍԵՍ9ՈՈ

Ր

'

5.

Դել ոչվում 1ոչ'/

ԷԽշ

)/2--Ճշ

-

՝

,

կ՞3 Լջշ-ՀՀ-

Հետնյալ ձնավոեութոն՝'։ՑԴՑ'զ'եԸԻ"ոըզգ Ձ20ՈԸ````Ձ Օր Ձ0նակ

է տեղաշարժ ղաշարժ

Օ:

ի՞՞ Օշ

առան ցքիի Երեր

է`

"|

«Վ

բառա

`

Լ.Վ

կայնքով (շն. 4655):Այս չձնավոխության

մատրիցան '

|

ւ.

չ

ւ

"-|, |

յ

Տոզ

մ

6.

ճամակարդերը չամընկնում

«055--

Ֆլ--Ճյ

0,

արտապլասոկերմա՛ն մատրիցան է ր

(Օյ)

3,

3,

Օրինակ

|

|

ի

(3)

գ .-ՀՃյՏԼոՈՕ-Է5չ6Ը05 ժամանակ (., է) բնեռային անկյունովպտույտ է։ Այո արտապատկերման իչ| կետը անցնում է (օ, 0--0) բնեռային կոորյուրաքանչյուր կոռրդինատներով Է. (լՕխ)ն

222222

Է-2-...

ւ

զ

դենատներով Կն կետի, եթե

-

ձգում է կ անդամ ինչպես Օլ առանցքի ուղղությամը, ուղղությամբ (նկ. 453)։ Այս արտապատկերմանմատրիցան է

:

ճ(Ճ)-ով)

Թ

Օ--ՃչՏ1ո

Է3 րն

Ի

Խոյ,

Հետնյալարտապատկերումը՝ 3 Ր-Ճյը05

|

37շ--նշ

մատրիցայի դետերմիճանա: ՛

դորֆակցոփ

-

մատրիցայի տարբերի ց՝

(նշանակենք ալն տեղավոխւմիան ՃՆ

է ալդ

է

ձղման

ր

Է

(2)

ձղումէ`

թ

Ճ-| Յգւ նջՃ-գ լ կազմված որը Ալս դետերմինանտը,

2ՈՅ

//(ք,0:.)

ի կամ ( կոչվում է (1) արտապաստկելոիան ) մատրիցա: սիմվոլները մատրիցայի սիմվոլներն հն, նշանակուի հն նան մեկ տառով, օրինակ, Ճ կամ Մատրիցաները

'

Ար

աշ

որը

կլ,

ե ումի, րումը

ւտ ասլա երոակաոկ

//(թ,6)

է

8յլ

տբ

Այդ արտապատկերմանմատրիցանէ տան

լ.

"ն Կաձն դղոնկլունա

ու

մ

նան

Խ), 7չ--ՉՐդ» 5)

քննարկմամբ:

Հեւոն

ԳՈՑԿԱՑ

Օյ կատարվոլ առանցթի Երկայնքով (նկ. 455),

ճարթու-

դժայինարտապատկերումները:

ների

5:

|

ս

ապա

Մ

։ Լ

լ

4. ՝

լ '

լ.

:

'

)

ո :

,

՛5

Լ. `

Նկ.

Ս,

Ծ96

Արա աանթ կա

է

ա

ն

տա

ԱլԿ"ոը,ես

ոռ Հոոմ

աննե

ո

ճ ժա գժայի

4"

վո

(ւլ,

յունը ավիոխութ

նր ՔԺյ» արորիցան

երուն եո

ա

,

Ճշ»

: կլԻ ,

լ

)

Ճ

ն ԱՔ

կարելի

պարունակող

(4)

Ալս

քոնու

ժությունում,

ձնա

փոխ

-

Ճ-Հկոլկ(--Ն

թառակուսալին մատրիցաներով (ալսինքն՝

Ռ-ՀՀՈ,

-Է.Թ

Լ.»

2.27 Լ.Լ

ն

Ս

-

թվով անձճավասար

Նկ.

թյուններ:Այսպես,

Ճ

||

Հլ 1

8 12

զ ' 8ջլ

ք

4,ջ

Խե ցանկացած Թվով

է

«

».

գ«

"

:'

.

.

Ձղո

«

սլուների

թվին՝

ի

3. ի

ռ

|

,

Հ

Ձ

ձ(4)-

ՅՈ

՝

ա »

-

| `

(4)

եա"

Հ"

ճոռ

մատրիցան դետերմինանտ որ ոչ քառակուսային չունի: Նկատենք, հ Սաճմանում

կոչվում էճ փատրիցան

8"

կատմամբ

Ը

Յո

Հ»:

Ձու Ձոջ

են սանում

Ճ

եթե տրանսպոնացված,

Ճ:

մատրիցայի տողեր:

մատրիցայի

մատրիցալի լուները

ճանդի-

Օրբինակ: Ենթադրենք

(3

աո Ճ

ո-ի

|

|

(2)

-

|

ւ

Մշ:

տողեր ե ցանկացաժ Թվով Քննարկում1 սյուներ ունեցող մաստրիցաներ: Մատրիցաները դժային ձեավխոխուԼ12 նան -ուրիշ բաժիններումմ: Ուսի թյուններից բացի օդասսդործվում է, մատրիցան ինքնուրուլն մաթեմատիկականճասկացություն որը նման մ աւոէ դետերմինանտի ճասկացությանը: Սոորն ձնակերպենք եւո կասլված մի քանի սախիանում ներ: բեցալիճասկացզության

դ),

2...

ի

(6)

,

(1

Ղրղո

"

փատիիցալի տարրերից Քառակուսային (առանց տեղափոխման)կազմված դետերմինանտը կոչվում է մատրիցայի դետերմինանտ.այն կնշանակենքճ(Ճ)-ով.

|

է 0 ձնափոխուլյունը Օշ ճարթության արտապատկերումն րի որոշ բազմության Մ3) ստարածուլ: վրա: լուն եջ կետերի Ալս ձնայիոխության մատրիցան կլինի.

:

:

Սաճմանում

Մլ-ՀՅոո-ԷԺ Մջա»ճջլՃյ-Է 82չնչ,

սլուն

մատրիցա, Մատրիցան կրճատ

է

Յու Ձոջ

.

ջը»

:

ՀՅ»

՛

:

Հ»

ոաջ

քառակուսային. քառակուսայի

է

1--ջ--

7:ՀՅՅլՃլ-8ոյնջ

կոչվ այն կոչվում

5:

՛

ունեցող)դժային ձեափոխու-

տողեր ն ռլուներ

պա

ալն

վածու

|

Նկ.

|Ձող

8ղ Յա

..

ապա

ո

ՑՈՂ"

"Ի ոյ, Ն որտեղ Յյ-ն մաստրիցալի անդամներն են: Եթն մատրիցայի տողերի թիվը ճավառար

(5)

|ի

ն

ԱԶԿ

2,.

|

8ջչ 823

Ճվ:.

Էլ

1.

ուղղանկյուն աղլուսակը կոչվում են ալսպես. նշանակում

Ձղ Յա Հյ

«լո

Թվերից կազմված տղտող

ող

ՃՀ-ՀԱ

831Ձ3շ43

ՀՀՀՎ-Հ-

1:

՛

արտապատ-

՝

քննարկել

Մատրիցայիգաղափարիհետ կապված ընդհանուր սահմանումներ Սաճռտանում

տարածության

հոաչափ հարա

ոչ

2.

09:83

Յշճջ--

ՃՀՀ || 82 է

՞

Տ

8135»

--Ոյլտ

ք

-

Ճոն-ՒՑաՃԴ | ՄշՀԸ8չլել գջճջ-Է 8345» փ Յյջոջ-Է 3ՀՅյլՃյ 8)յ2 | Է Հ

Գն

ան էյ աժ Փոոգոց

ՐԻ

Ձ31Յ3շ ՃՀ տրածողլոնացված մատրիցան

կլինի՝

811 821 89.

Ճ"Ը|| 81)

'

Սաճմանում

Հ

Ճ

811 83

||

մատրիցան քառակուսային

կոչվում

գլխավորանկյունագծի նկատմամբ սիմետրիկ, էթէ ճյ--ձյո

է

Ավե597

է, ճալտ

որ

վաժի

ճետ:

սիմետրիկ մատրիցան

Սառշմանում

է իր տրանսպոնացճամբնկնում՝

։

8:

գ'

Է--

ի

ց| ՝ Ր խն

մ

ա

մասորիցան եր. Ր

սեկ

(5)

5-2

ր

սյունային,երկրորդը` տողային, ես Չն եթ երկու մատրիցաները ճամարվումմ եթե նրանք ունեն, մինառյն քանակութ ճավասար, լամբ: տողեր է ն նրանց ճամապատասխանտարբերը ոլուներ ճավասարեն, այսինքն՝ Ճ-Թ (Մ) է

կամ

| յկ ն ի մՀԹիկեւ,

եթե

Հ,

ւ

15, )

Ն,

2 ա 11)

դ)

,

, |

ՃՀ-Ել"

կամ բացված

|

(ԿԻՒՒՅ-Է

Ճ,

2:

(6)

Ձլլ

Յյջ

Ճշլ

| |

22 Յ83: յյ 8յջ

յ

| |

|

տնսքուվ՝

7-Է

Ձ

| )

--

(3)

'

ան

.

ճամ

լունը (2, Ճ.) կոորդինաոՀ շ) կոռրդինասոներիձնավոխուլ արտապասոկեչ ճակաղդարձ Այ դեպլքույի ների կոչվում է ճակադարձ: արոտապլաւոկեչ Նկատեք,որ դժայինչէավփոիխված աֆինական: Հով. բ Ճ Հակա արձ ձե Բ ովոու՛/ լան մատրիցան կնշանակեն խեաեին

բումը դժային բումը կոչվում

է: է

ռո

ւ, | ,

՛

նուլնացնել

ն

ված): (ւ

(10) ես

լ

՛

|

երինմս ճարտարէ լինում տողայինմատրիցան վեկտորի Ճեւո:

(2)

ԽԱ» 7չ) կետին ասլա(ոՕ)»:) ճարթության լուրաքանչլուր Զ Այս կիւոլ: Խ (Հլ» տասխանում է (ոՕչշ) ճարթության որոշակի է փոխմիարժեք (չհափոխկոչվում դեղքում (ւ) արտապատկերումը

(9)

յի:

ջ

հ

ճո

Մ

Երբեմն ճարմարէ լինում սլունալին մատրիցաննույնացնել Ճամապատասխան չափումների Թվով տարածության վեկտորի ճեոչ են ճամառղյաորտեղ մատրիցայի տարրերը վեկտորի պրոլեկցիաներն կարող ենք դրել` տասվխուն առանցքներիվրա Այսպես: .

|-0 կամ818ա--Յան յժ,

Բ) --զ եջՀ-Ր

|

5:

Ձ»լ 422

ո

՞ լ

Ս, 2լ,

ր

լի է, (1) ճավասարումների ճամակարդգը ճարտնի լո ունի հիակ ծուսիը: Ճշ-ի նկատմամբ

Սառճտփանում

լ»

ինչպես

ճո

մատրիցան կոչվում Առաջին

8.

Մը ՖլՕ7չ արտապատկերու :Օ2շ ճարթության

որ

տողից

աի

ո:

է,

ո(Ճթ-|

.

||

(լ)

-Էնածը

բեր է՝

ապա,

Ճ

ր: -ԷՅդջիկ, Մլո58

ճարՀ թության վրա միարժեք է, քանի որ ՃՕ4ջ ճարթության լուրաքանչէ յլՕչ ճարթության մեկ կետ, կնտին ճամապատասխանում բոբ զրովից տարչ եթե ձնակիոխությանմատրիցայի դետերմինանտը

Ը

ալունից կամ

ճավասալրումներից՝ ՀՏԿ

«Ն

Դիտարկուր

6:

ձնափոխություն Հակադարձ

ճեւոնում

00...1

ժո

3.

Տ 1-ի (1)

Այն քառակուսայինմատրիցան, որի դլխիավոր են անկլունագժի վրա չգտնվող բոլոր տարրերը ճավասար զրոլի, կոչաում է անկյումագծային: դլ եթե անկլունադժալինմատրիցալի են վոր անկլունադժի վրա գտնվող բոլոր տարրերը ճավասար մեկի, ապա մատրիցանկոչվումէ միավոր: Ալս նշանակելու ենք Ե տառով.

Սաճխիանում:

Տ

"

ա

ո

|

8ջջ -ԶՅյջ

|ճ --Յոլ | ԽՐ

ձ

ձյլլ ո

'

0)

|

դետերվինանտըճավաստըէ զբոլի՝ մատրիցալի

եթե

811895ճոլձլյ-ո0,

:

(1) ձնագփոխությունը կոչվում

ապա

4"

է

(4) բանաձնեինճամասլատասխան,ճակադարձձնափոխության մատրիցան կլինի.

(5)

ւ

Ալն փոխմիարժեք հափոխված,

-

(1) ճավասարություններից առաջինըբազմապատկելով Ձշլչով,

երկրորդը ձլլ-ով, տանան

ալնուճնատնճաննլով

ք.

8:

ճաշվի

ն

| Հ-Ի

առնելով (5)-ը, կը«-

ջե»

(6)

| 7շ--Յչ ՉոԷՑշ25ջ: ւ

42:71--8ղջ-»0

եվ այսպես, ցանկացած Ճլ, 3ջ դեպբում՝ Մլ է Մջ արժեքներիԲաւար : ստանումհնք (6) ճավասարությլյունը: ալսինքն՝Ճ102շ ճարցության է ճամապատասխան կետն ընկնում յՕ7ջ ճարթության(6) ուղիղի է, որ ալս արտապատկերումըփոխմիարժեք չէ, քանի վրա: Ակնճարո որ լան (6) ուղիղի լուրայքանչլուր կետինճՃափապաԴլ07չ ճարթութ տասխանում է ճլՕչջ ճարթության այն կետերի բազմությունը, որոնք ընկաժ են 7-8 ուղիղի վրա: -ԷՅլոնջ Երկո ատկերոԱ ւմը փ ՐՍ դ ե Բ" ւի էլ ւս բտապատկ չե: բժուք իմիարժեն -

ք

ւ

ԾԿէյ Օրինակ

ո

1:

եւոն ձետնյալ ա

ձնա

ու

0" ես ակ

է, փոլմիարժեք

քանի

կավոխված է, քանի

խ ՛

որ

մատրիցայի դետերմինանտր՝

ձնավոխության Ւ

արվ)

Այս ձնափոխությունը (Ճլ, Ճշ) ճարթության ճարթության Սչ-Չմբ-0 ուղղին:

յկ հ Եսկ տողերի միննուլն քանակուչ |Սա ն սլունեթի միննույնքանակություն ունեցող երկումատրիցա» ների զումար կոչվում է ալնսի»ի կճյ| մատրիցան, որի Ըլ տարը Սաճշմանում

ույ

ն

եւ

փարն է,

ձեթն

Ռ

ճաշապատասխան փմատրիցաների ալսինքն՝

ՅԱՒՒԵ Ա-ն,

8 Դ

ԵլյթՀՇլյ (ՇՆ 2,

դետերմինանտը տարբեր

..9

ել

դու-

մ)

ո):

9,.....Ս

421 422 կ

|

| Իվ |

Ե.

Ւ| 8ո-ՒԵւ

Եյջ

|

Եշլ Եշչ

82.

Համանփան ձնով սաճմանվում է

8յչԻէյշ Եշ 8 Ւ3շշ

(2)

'

երկու մատրիցաներիտարբԽ

րությունը: սաճիանման Երկումատրիցաների գումարի այսպիսի :

Հակաղարձ կլինի. ձնափոխությունը

տարրերի Հլ

)--1,

.

կաճարմարությունը, մասնավորապես, լ

3շ)

կետերը փոխաղրում է (յյ,

բոլոր

Օրինակն

ԿՀ)»

--0,

Տ 4. Գործողություններ մատրիցաներիռկատմամբ: Մատրքցաների գումարումը

411 4յշ

ձեավոխության Ճ(Ճ)

Յ

զծային ձնափոխությունը

ալ

Ճ(Ճ)-Հ

72:15,

որ

Հետե'

Հ

|

ԻՇԿ»,

Դ-ՅԿ-

զրոյից

5ի

Լ

«ՀԱՃ

՝

ու

Յ

Ց

ձեափվոխությունը "

Ց

ք ալդ: Դիտարկենք երկու Առացուցեն

ճնարավոր դեպք. 1) նթե Հյ ՀՀճլջչշնլ-Հ-ճջ-մ, ապա ցանկացաժ ել-ի ն մց-ի ճամար կլինեն Մլ--0, Ֆշ--0: Ալս դեպքում (ՃլՕ4,) ճարթության ցանկացաժ (ոլ 4ջ) կետն անցնում է (71/03) ճարթության կռորդինատների սկզբնակետը: 2) Դիցութ ձեափոխությանդորժակիցներիցդոնն մեկը տարբեր է զրոյից, օրինակ, ՅոՀ-Օ:

ճետնում

սլունալինմատրիցայի նծրկալացումիը:

լ

ԿՀզՐԵ-Յր:

Մատրբիցալիբազմապատկումը

ճամար պետք բազմապատկելու մատրիցալի լուբաքանչլուր տարբը: ու-ի"

Թվով

է

՛

է այգ

թվով: թվով

նպատաչ

վեկտորի՝որպես

Մատրիցոնի բազմապատկե ՛

(3)

է որոլես ստացվում: (8) բանաձեր կանոնի ճնետն դումրալւրան մտատրիցաների անք.

երե

-ն

ամբողջ

է,

աղա

'

Օրինակ

երկու

02:

ի"Եշշ "|

ճն

Հշյ

Լ.

147.

ի

1ոճյգ

Դիցուք ուննհնք մատրիցաների արտազրլալթա ` լՕչ ճարթությանը ձնափոխող դժալին ձնավփո-

Ը խութ յուարքունյունը

Ւ 8յշ72, 1-84 5-5 ՀՀՅոլծե-՛Յ:55: որբի ձնափոխության մատրիցան է՝

(4)

Դիցուքալնուճետն

կատարված է ՄլՕ7չ

ձնափոխութ յունը7լՕ7չ ճարթության՝

(5)

ճարթությանղդժային

է մատրիցան ձնավփոխության

|

Ելջ ի

(3

եչ.

Պաճանջվումէ որոշել ոլՕմչ ճարթութ յունը 707 ճարթությանը ունները տեղադրելով մատրիցան (1) ալսոաճարտութ ձնտխոլխության (6) ճավասարութ յուններիմեջ, սւոանույի ւ նք.

կասի

թօ) --Եր(ույո-

ճն): խ-Ի -Է8յջ:ջ)-ԷԵ»(8ւՃ-Ի8շչ:ջ)

2-- Եյ(84

--(ԵլլտԴ Ելճ ախ (9ոճ»--Եւջ899)»» 2չ--(օրճո-ԷՆ»:82)ԽԴ-(5185-3358»)Ճ9 ):

կամ կարճ`

ՎԵմ

Ը--

Խճ

|

ԾչլնլյչԻ 3չչճ9»

Շդ Ը.

Եյճւ-Իէչ»

Ըջջ

ի

Ճ--Ը,

.

(12)

|

ե

ո

ն

ւլուն:

ալն ցույց է Սխեմատիկոլեն

ուսի.

Լ

Եղ Եջ"

Տ

.

ճեսոնչալճավառարուլլու

տրված

|

"

Եւ Եւշ

Ֆյլ

"

:

«օ

օ

2»

օ

|

Եւո

"Յյ"

8ղ լր" Ձ 21

«

Ձ 422

«Հ

.

Յո

"

2)

Ըլլրրր

ի"

«Ձ

«

շ

ո :

'. ՕՍ

ի

աա: ԻԿ

՝

ծու ծոռ

:

"

ծուկ

"

|լճա8Թ-

"

"8"

"

"Ճո

վճա»

«"

(9) (10)

Շոռ

(13)

Ը մատրիցալի ճանդիսացող արտագրլալը մատրիցաների Հլ տարբը ճավասարէ 8 մտատրիցալի -րգ տողի տարբերին Ճ մատրիցայիրդ սլան ճամ ապատասխանտարբերի արտադրլալներ ւե

մարին, արի

այսիԿ Ք

քն՝

Է

(Հ Ֆեռայ Լլ

Օյ3,

այս

2,

ո:

ՒԻՀԽ 2:

:,

ոյ

-

Դիցուք

-

(8)

Ըլո

|

»

.ԱԿԱԿԳԱՅՂՎԱԿԶ

Օրինակ

բան մատրիցան կլինի՝ Ստացվածձն ավխոիխույ

Նվ ԵւՅո--Եջճչւ

Բ

կանոնը,եթե է տող ներկրորգը՝

Էչ

'Ելղ8:յ-Ելչ82: Ե,8123-Երնա 11) |Նոու Երու ԵԵչլ81:ԴԵջչ825

ԹՈոՃ

:

ե--| Եջ,

Յշջ

մատրիցաների արտաՀ

(5)

ն

մատրիցաների բազմապատկման ն է ռլուն, իսկ Էէ տ տող առաջինըպարունակում

Ց

Եշ)» |" 2չ--ե,)-Է Ը Ել

| Ձ2յ

2.

2ւ-՞ելյՄ.-Է ԵլշՄջ:|

8» |

Ալնուճետնձնակերոյենք 8

Տ

411 Մյ Ճ-|| | Ձշլ 8ջջ

|

կար կարճ՝

|

՝

որե

17 (2) անվախում (9) մատրիցան ե հխ՝ դրյալ դրում

դեպքում 1) 2) Այս օրինակում

»-|ի՝ ի Ճ--|' 4| ալ է|, վ լց ոով-) ս "00

Ց-

Մենք եկանթ ճնտն չալ նզրակացությանը: բիազՄատրիցաները մապատկելիստեղափոխական օրենքը տեղի չունի:

Օրինակ

Տրված

4.

են -

մատրիցաները, ԳտնելՃՔ-ն

1|,

»-| |

Բ։Խ-ն։

ըստ (3) բանաձնի գտնում

Լուծում:

Լ0:1Վ1.0-Լ0.3 0-1.3 2:1-0 1:1--0.0-1.3

1.1-0.040.0 0.112.041.0

1.00.

1-0.

0.0-1.2-0.0 2.0-10.2-1.0 1.0-0.2-1.0

0.0-1.1-Լ0: 2.0-0.1-1. 1.0-0 1-1.

1-1.

0.0|2.

Յ

ՃԷ-» այսինքն՝

5.

| |

11185 42 822

Հ.

մատրիցաների արտադրյալը: ճետենյալ

Գոնենք

Ել Եշ Ել: Ել Եշչ Եշ» Ետ, Եյչ Եր

անարՀանտ

՝

ի

Շ(ՃԼ8)-ԸՃՎՇՑ,

Ճ(8Շ)Ճ

(48)Ը։

Բիլան վրա

ե

Ո-րդ

կարգի

է

ոնում

էչ

ճՃաւապատասխ անում է միավորւի Սուլնական ձնավոխոաթյանը Նրան է ձնով ռառխիանվում ցանկացաժԹվով փոփոխոականչ բիցան: թլունը: ներինույնական ձնասխոխո, ւո

.

լ8 05)

| |

Տ5.

է որի տարրերը մատրիցա, սաստկելիսուռացվում քառակուսային են ապա բազղիապատկման կանոնով, կազմվում դետերմինանտների է է, ակնճայտ ոբ ճի շսո ճնտնյալճավառսարությունը՝

ձ(ՃԹ)--ձ(Ճ)ձ(8),

։

ի

նշվել է

վերլ)»կոչվում

է

միավոր մատրիցա:

Մատրիցայիմիջոցով վեկտորի ձնափոխությունը ուրիշ վեկտորի տրված է Դիցուք

Ճ»- ԷՒ)

որը վեկտորը:

(19)

Բազմապատկումը Ժիավոր Բատրիցալուի Քառաչ որի դլիչավոր/անկլունագժիվրա գտնվող ստարչ մատրիցան, կուսային բերը ճավառար են մեկիչ իսկ մլուս բոլոր տարրերըճավառար են

թ

Այսպիշի ձնավփիոխութ քունը կոչվումէ նույնական:Հակադարձը,

բերելուկանոնիցՃե-

ճ(14--Յ"(Ճ), ) 6)

զրոյի(ինչպես

ճեւոնլաէ

ԴՄ

2"ԴՑ

ի

Թվով

որ

(22)

:

ա

2:1

(17)

դուրս տարբերիընդնանուր բաղմապատկիչը

(21)

'

անա

(16)

կանոնի բազմապատկելու դետերմինանտի ռլուների մատրիցայի

մատրիցան քառակուսային

Ճբ-»ճ

ձնափոխությունը-

(Ց.

(ՃԼ8).Ը-Ճ.-Շ:8.Շ, |

,

միավոլո ճամապատասխանում է (20) միավոր մատրիցային

(4).

(48),

:Ճ-Տ8:

8ջջ

Յյ»

421 42» |

"մում է

,

"(ԲՃ)

8յլ

՝

Սան

"

821513 823534 Է822523

ճաԱնմիջականուտու դմամբ կարելի է Ճամողվել մատրիցաների մար ունլոլ առնչությունների ճշտությանը (ո-ն Թեվ է, Խ ծ,

մատրիցաներ),

Ձլլնռ

ճիման վրա ստանումե̀նք.

մատրիչ Հեշտ է անսնել, որ ցանկացած կարդի քառակուսային ն ա րտագրըալը հւսվաՀ միավորմատրիցալի պայի ճամապատասխան (252) ճավառարուչ (21) ն ռին ք" ուռ ային Բո" (54) ար է սկզբնական մատրիցալին, ալսինքն՝ (51) Թլունները ճիշւո 12 բազմապատկելիս մատրիցաները Ալոպիսով, է Լ ի արդ պատճառով էլ կոչմիավորմատրիցան կատարում

ճե

Շ՝

ա

ԷՃ--ՃՄ

ոեր: 81յԵլշ-812922-Է 813531 8Եյյ-Է8յջԵչյ-Ւ 82514422Ե21-Ւ423Ե3ւ 82.Ե12-Ւ82չԵշշ42553»

(20),

,

ինչպես

|

ի0

բազմապատկման Մատրիցանների

ենք՝

:

Օբինակ

Այսպես, երկրորդ կարգի միս«պոր մատրիցան կլինի Բ--

Է: ի Բ5-|9.9:2.2-1-| 3:014:110:1 13.0:0.2:0.1 Յ:1-0.0-0.0 ոլ »ի: գի | 1.0-0.2-0.1

՝

ն

դրենք

շն

նո քոլ՝ ոլո նային մուտրիցայի

Ճլ `

"-

Ճզ 4:

կատարենքալդ վեկտորի

| չ

|

ձնափոխությունը սպրոլեկցիաների

.

1)

|| Ձլլ մ

Ն

ՐՀ

8յջ

Հ.

Տ6. ,

Ճ քառակուսաԴիցուք տրված է զ վեկտորլո Նրա նկատմտամիբ լին մատրիցայի հիջոցով կատարելովձնափոխություն, կատանաձքՄ պՊեկտորը՝

(շ )

21222 |

|

43: Ձյջ Յյյ

լ կատանան

ՄՀՅԿխ-ԷՅՑչՃ-ԷՅ4»

7 -Հ8ՀՅԱ-ԻՑա

ՅԷ Յա» 78-Ի 8ո-ԻՅ893377

Ք

«լունային

որը

այսպես.

Մ--

կոչվում ճանասպարճովւ: Հակադարձ ձնավոիխության մատրիցան

մատրիցայի տեսքով կարելի

ԶԸ"

դրել

է

է

Ճ-ին

կարող Այսպիսով,

ճակադարձմատրիցան. նշանակվումէ՝ -Ն

ւ

|

|

|

վ

|

ՅԷ

`

«-Ճ-Յ,

Յ9ջ4ջ-Է 8ջ:ն3

|8:ղ21-Է 8372-8845

Ձյ1 Ձյջ յ

5.

Վոլ Ճշջ Ձջյ

1չ

Ձ31 ՀՅջ 835

|

2:

|

2--Ճ- Ն

ձնափոչ

Կ --ԻՑ 8120-ՒՑ | 89 1:"-Է82չ25-ԻՅԴ:45 ք

Յյել Է 8չչ:2- 8345

քաոռակասալինմատրիցա խարեն տեղադրելով (1) ճավասարության է:

(4)

/

'

|բՀ

մատրիցաներ սլունային (2) ճավասարության

Այստեղ Ճ-ը, Հ-ը, ՃՃ-ը

83:

Օղավելովմատրիցաների բազմապատկմանկանոնից, կարելիէ գրել ալոպես. խությանալս դորժողաւթյունը

(5)

սիասը,

մուս

ՄՀ-ճԿ

՝

ձնափոխությունը

Մ վեկհոաչափ վեկտորի Ակնճալս» ձնավփոչ եռաչափ հոաչափ տարածության տարածությունը տորի՝ խության ալլ բանաձնումն է: է,

որ

Ճ

է (4) ճամակարգը բիչուսի Նշենք, որ (8) ճավառարությունների ն ձախ մասերում դսոնվոզ աջ մատրիցային ճՃավասարությունից՝ տարրերի Ճավասարեցմանճանապարճով: մատրիցաների տալիս է Ճ սիասորիցալիմիջոցով Ճ վեկ(1) ճավասարությունը

ձնավփոխությունն ղեկտորի: Մ

Բերվածբոլոր

վեկտարաժության դատողությունները եռաչափ թվով չավու մների ցանկացած

տորի ճամար տեղասիոխվում|ն րածության վեկտորների վրա:

աՀ

բ.

՝

(2)

-ը՝

Մ փո-

՛

(3)

Ճոն խ-" վեկտորի նկատուի: Ճաջորդաբոար կասոսրեցինք սաորիցաներն ունեցող ձնասվիոխութ յուն, այսինքն՝ կատարեցինք ճավառար հատրիցալով ձնա մ ատրիցաների արստադրլային (Ճ-14Ճ) Արդլունքում աւտացվեց նուլնական ձնետսիոիութ փոխություն: յուն: ՀեՃէ` նաք ալ, միավոր մոսորիցա սիասորիցան

(4)

տես (3) ճավասարուլ լունն ունի ճնտնլալ բը.

(6)

Քառակուսային մատրիցան սյունային մատբիցայովբազմապատկելիս ստացվում Ե նույն բարձրությամբ սյունային մատրիցա:

նուի

են

`

.

'

աջ

ոջ

նն, իսկ Ճմասում

Ճ-4--բ,

այսինքն՝

ա-

:

տ

տորի

ԴիցուքՃ չիասորիցալիդեւտերմինանոըտարբնը է զրոլից՝ ձն 4( Ճ)--0, Այս դեպքումդոլուլժ լուն ունի Մ վեկտորի ճակաղարձ են ԽՃ փոխությունը Տ 5-ի վեկտորի:Այդ ձնափոխաությունը գտնում (3) ճավասարումների նկատմամբ լուժելու Ճլ Ճ. յի ճարակարգը

(3)

Մ-«ՅՈՒ-Ի-Ի:ն խոր վեկտորը,

Ո)

Մ-ն

«Բաստրիցալի միջոցով: `

Հակադարձ մատրիցա

|

մՃ--ԷԽ: Թեռրեմ

եթե

Ճ-

մատրիցան

(5). մատրիցայի ՃՊ

նկատմամբ մատրիցայի ճիշտ ՒԷ ճետնյալ ճավասարությունը՝ նկատմամբ, պյսինքն՝ Է

է, ապա ձակադարձ

Ճ

Է Ճհլ ձակադարձ մատրիցան

Ճ-Ա--ՃՃ-Ե-ք,

(5)

ւր: (8) ճավասարութ յաներկու մասերի նկատմամք: ւրիջոցով(ոոուրեն ք ձնավոլութ յուն մատրիցույի Ա "լացուցու

Ճ

ՃՃ--ձ(Ճ-4):

Բայ ւոՕգտվելովմատրիցաների բաղզտապղատկիան ղուղորդույթյան է կարելի գրել այսպես. կությունից,վերջին ճավասարությունը

ՃՃ-(ՃՃ-ԴՃԽՆ

|

Ալոտեղից ճեւտնույի

է,

որ

ՃՃ-Լ--ք։

(73

է, Պնդում ն ապացուցված ե թյուններիցճեւտնում (4) (2) ճավասարու

մեա

(-դւս

վ

վմաս

արութլո

ւ

.

| մասոչ ճՃն Նշված ճավասարություններիցՃնտնում

բեցաները վփոլճակադարձեն:

Իրոք,(72)ճ

բաղմապատկիան կանոնի ճիրան վրա Ը Մասոչ Իրոք,մատրիցաների ձ դետերմինանտիտողի տարչ Րիցալիանկլունադժալինանդասները ն ճամ ապատասխանճանրբաճաշվական նրանց բերի լրացումների արչձ է, լում ւտադրլալների ալն բաժանաժ դետերմինանտիվրա, ալսինքն Ըյլ ։ռարրը որոշվում Է ալսպես, ճավասար են մփեկի:

է,

որ

նՖերիցճեն, Ճ-(Ճ-Դ-

-չ -.-Շ-Ցո՞Յ-Իոր

.

սւր

է

'

ճեւո, ճավասարության

ժուԷ

Է

Տոոճ

Լր

-Էնանչ-Էճոճ

Թ113.-ալ,

է ոչ անկլունադժային որնէ ռռողի տարբերի անդասի Յուրաքանչլուր մի ալլ տողի Տանբաճաշվական(լրացումներիարտատդրլալների դու-

ՀԷ:

ունը (4) վերչին ճավասարութ Համեմատելով ստանումիհնք (8) ճավասարուլթ յունը:

աին Հոլը

ճ

(8)

4,

Է

սարն է` քաժանաժ սուտ

ձ

այսպես,

է

դետերմինանտի վրա. օրինակ,

«Թ

տարրը

որոշ՝

7"ՀՅորաո րՒ ն, Ինը աւան» ա «0, Իա

Ֆ

7.

Տրվածմուտրիցայլի հակադարձմատրիցայիգտնելը

Դիցուք տրված

է

ճնտիլալ մատրիցան, որը եզակի չէ 411 48

Ճ--

Թեորեմն ապացուցված է: Այսպիսով,

Լ

Դիտողություն:

Յշլ Վշջ Ճշ:

8ո

8:ջ 47

ճո 85

19. 8»

ՃՆ.

տն ( )

|,

831 132 յյ

(Ց) ձ-

Հնանյլալմատրիցան՝

120,

Է

(ոչվու:է չվուսի

ո

ու

Ճ մատ րիցալի ԼԶ

ցան Ճ կցվաժ

բ րբ 92-28:

Ճ-»|

3)

Ր

ՃրՃո թ Ճ

որտեղ յ-ն

է, վրացումին

Փանեն ք

Շ-Հ«Ճ4.`

|

Յլ

յ

աշ 8: Ձչ

1831 835

մյ

Խո ՀՆ:

Լ Ն

Լուծում:

|

|

ՃոՃջյ6 Հ

.Ճ

ալ

ձ(Ն)

Գաոնում

Ճ-

ճակա արձ

դար

մատրիչ Րե

'

Պ,

(5)

ենք Ն

դետերմինանտը. մատրիցայի

2122ծանրաճաշվակա՛ն լրտցումները: Ճգ»

Ց,

ձչբ---Խ

|

ճ

"

մատրիցան:

կցված

ձ(Ճ)--Տ'

Փոնում

ՀՎՕԼՕՄԽ

(4)

ո-|031|

:

'

լ00|կվ

դ

կցված սիուո Րեց

ն Ճ Գոնել Ճ-1 ծակաղարձ մատրիցան: մատրիցան

Ճ4-1 մատրիցաների մարիցան՝ արտադրլալը: Ն `

|

Տրված Տրվ է |

Ճյ Ճ.յ 412

Օրինակ: րինակ:

`

`

1:31

մ)յջ Խլ Խյ 45յ

Տնտնուիէ 3) ճավասարություն Ալս ճավառսարության ճշսռությունը

ՃՃ

Հյ տարրի ճանրբաճաշվական ձ»»Հձ( 4) դնտերմինանաիխ

Ը

«||Ճյջ շշ

Ճ--

:

Ք

է ալսպես, միջոցովարտաճալովում մհատրիցալի

Ֆ որ Ճ-Լ ճակագարձ Ապացուցենք, մատրիցան ճեւտելալն

աների

Ճյ-»

Ճյ-

ո

Ճշ»

4,

Ճ)յչ»-1,

ինտեղրալ ՞աշիվներ Դիֆերենցիալ ն

0,

Ճյ-"

լ

0,

4չ----1: Ճյչչ

ՅՑ |

Հետնաքար, ըստ

(8) քանաձնի

ՓԻ Ճ-1--

ՏՑ

՝

Աջ կողմում նուլնպես ոլունալին տարրերով սլունալին մտատրիցալին: ճավասար են, եթե նրանց ՃամապաՀ մատրիցա է: Երկու մաստրիցա

օ

գ

՛

Ճաի ապատաս ճավասար հնչ Հավասարեցնելով տարբնրը խան տարբերը»կնստանանք (6) (1) ճավասարումների ճամակարդը: մատրիցային ճՃավաս արոթյունը կարճ դրում են ալսոլես՝

սասխան

'

Յ

կ

Ճ2--ը,

Ըստ (4) բանաձեի գտնում ենթ կցված մատրիցան.

|

-

5--ձ

լ

:

`

Հնով.

Էնի

ՆՅ

Է

Յո

Ճչ-«9,

274--8: Վ մատրիցան,

մշ

Տ

8.

Գրենք սիստեմի Ճ անգամներ, մատրիցան,

Լուծում:

համակարգին երտ լուծման մատրիցային Գծային հավասարումների

ազատ.

գրառումը

ՃՀ-|031|,

են ք հոաչափխ տարածության կատարելու Դատողությունները ճամակարդը: ղժալինճՃավասարումների մար:Դիցուքունենք ճեւոնյչալ

Բա

Է

8 20 ՛

8:

Դիտարկենք հետն

լալ

| | ՅաոՀՀ0ո

89089422 Յ24- Է 8ր»»-509:

0 լ

--

|831 89

Ձջ3

ք ի

վասարության ձախ

|

(4)

՛

". 2, | 4)

Իրոք,վերջին ճավասարության ձաի

է, որը արտադրյալն

ձո 833 |

:

մ. ձ.

իր յ" եւ ման

դրել

կան

լոմ

.

| ||

ի

ց

ի՞

Տ Ց-ի (6) ԲյՀ մասերը ձախից բազմապատկենքՆ մատ կստանանք` մատրիցալով,

րՀ

Ճ-ՃՀ-Է,

Էղ--է, ՝

62)

վերջին ճավաստրու-

|

«------ձը

6)

|նի

։

Ճ-«Ճ-'0։

|

|ր

1-0,

Հաշվի առնելով Տ 7-ի (5) ճավասարությունը, թյունը կարելի է դրել այսպես.

անեսիասըհ Ըկու ւիաւորից

մյա Դ2

ո

ր :

|

լ

(3)

ճ(ճ)

կասի ծավալուն տեսքուվ՝

-

որոշվող է (5) ճավասարությամբ ճավասար -

(1)-ից ճետնույիէ

ուսի

:

նից: (1) ճամակարդը մատրիցային անհսքով կարելի Վոլ Մօջ Մր

| 4.ուկ

Ճ-

Բայց

Ալս գեպքում օգտվելով մատրիցաների

ին

աջ

|

ձ, |

ն

ճակագարձՃրբիցային

է

Ճ մատրիցայի դետերմինանոբ՝ Դիպուք ձ(Ճ)--0:

(3)

ԿԽ

Տ 9. Գծայինհավասարումների համակարգի լուծումը մատբիցային մեթոդով

(2)

|խ

"լ

8:

քՀ--ի

,

|

մյ: քթ»» նի

(1)

| 4.1 4.2 4.) Յշլ 4ջ

,,

Ճ-

մատրիցան նք

լուծման

Տրված ճավառարումներիճամակարգըմատրիցային ձնով գրվում է այողես,

մտաորիցաները.

երեք

(6)

|

ճ(ճ)

Ճո 4) /Խջձ 22 Խջ լյ չչ Ճյչ Ճ

մ .

զ2

մ.

`

(4)

Տ 7-ի

4ըս-

բաղզմապասոկույիը, կասարելով աջակողմյան մատրիցաների

տանան ք.

Ճջ

ԴԱ) )

ձախ Հավասարեցնելով

դամները,

ն

ենք.

ստանում

--

ԻՆ

զ

ք

Ծ-- Է

Դզճյլ

3-Ի

Գլձյշ-՛մՏ/19չ ճջ»

Լուծումը

մ

.Պեւ

էՆճոի ճ

Ճչ

մր Ր

2»

մ, 8յշ 8յյ Մշ Յշց Յջ:

4չ 8չջ 8):

85:

ւ

'

Յլ» Յյյ

յ լ

ո.»

Յյլ

՞

Ճշ

82 8ջյ

Յ:լ

Յ3լ 832 րյ 2. 11

ո )2

82. 82 83: 8»

| 3

(6) լուծու մը կարելիէ դրել դետերմինանոների միջոցով, Գլ 8» Մշ 8ջչ մյ 8յյ

չավասարեցնելովձախ

ն

:

ճջ

|

Յ3ջ 833

ուի 2:

Հ-Ց,

2չ-Է 2:9--Ց'

Գտնենք

Լուծումն

դետերմինանտը, մատրիցայի ճամակարգի տ

-

«(Հվ

'

--.8

9Ւ՞ջ

.

8--2, 8--3.

մատրիցային

13 2-ի »չ--0, 2:Ի Ճ-Յ:-Լ, Ճ--35չ--ոյ--2:

լուծել մատրիցային ճամակարգը Տավասարումների Հչետեյալ

՛"

.

Հետեյալ Հավասարումների ճամակարզգըլուծել

յ

Ձշղ Ձշշ Ձշյ

Օրինակ մեթոդով.

|

9.

2չ-0. 5: մեթոդով.

»

:

.

շ»լ-------ՀՎ Ձլլ Ճյջ Ձյյ

Եջ

0.5-----

2,

««Ա0.54-2 .9---.8 ։ Ե

Ճչ--Օ.5Ւ-ջ 9---

,

Օրինակ

9Ի

Ր

8--1, 5..-35 94---.

4-51:

(7

այսսլես,

տողերը, ստանում աջ մասերում գտնվող մատրիցաների

-

մ1

ՀՐՏ՝

,

է

ս

1.5

.

'

լ

|

--

Ճջջց 85: 4չջ 4:

'

5ՅԱ|,

0----

էնթ.

.

Ձյ» ՅՅ

՛

զրվում տեսթովբոռ (3 բանաձնի մատրիցային

(6)

,

-Ը.---

0----՞-

մատրիցան կլինի

ճ

2,-» Է.

6)

|բ

մասերում դտնվող մաոբիցաների անչ

աջ

3 ջ

ԽՃ-ԱԷ-Հ0

զ Ճո--Մ56.:Գլիչն ճջ մյճ յժ Օչխչ4 58

լ

որոշենք ճակադարձ մատրիցան, (5) բանաձնով ԼԻ 2

031 ա

Լո

ւծում։

Գանում

ենք

ճամակարզի մատրիցայի ղետերմինա՛նուը.

4ճ(Ճ)-Հ

21 լ

Գտնում ենք ճակաղդարձ մատրիցան.

Էո«.

-ՎղԵյ -

-Լ-

չձավասարումների ճամակարգի

ԾՆ թոք

Լոն

ԷՅ

րո Ը )|

ձնով.

ձան Հավասարեցնելսվ

ն

աջ մասերում

ենբ.

ԽՀ-Ց,

գտնվողմատրիցաների տողերը,ստանում

շ--2,

65,

ք 6լ, 6,,Շչ միավորվեկտորներն արտաճալտեն

վոր վեկտորների միջոցո:

լչ----ր

4 22յ6»-3-43լ6:, ՇԼ-աայլ6յ Շշ--Հյչ6լԴ օ2չ6:ՊԻՀ::63, ՕՅ-«Ալյծյ--4.յ6չ696):

(3)

6լ), Օ.յջ-ՏՇՕՏԼ(ճլ» 62), Օ.լ-5ՇՕՏ(6յ, Օ.յլ-ՀՇՕՏ(6յ» 63), 62), Օ.շչ--ՇՕՏ(6չ, Օ.շ1:Շ05(6.,61), 0.շ---ԸՕՏ(6ջ. 63), օյ -ՅՇՕՏ(6:,61), 0.յշ-ՀԸՕՏ(6չ, Շ2), Օյչ--ԸՕՏ(6ճ.յ, 63):

(4)

.

8 10. Օրթոգոնալարտապատկերումներ:Օրթոգոնալմատրիցաներ

ունենք (էլ. 5 Ճ:) ն Շե Դիցուքեռաչափ տարածությունում 72, 33) երկու ուղղանկյուն որոնք ունե ճասրակարզը) կոորդինատային

Դիցուք կոորդինատային առաջին ն երկ5, 23) կոորԱ: կեւոնունի Ը, չջ. Ճ:) ն ւ բորդ ճամակարդերում Օ ընդճանուր սկզբնակետ:

կարելի դինաստները (կոորդինատների սկզբնակետը

եղել):

է

նան

չճամտա-չ

առաջին նշանակենք կոորդինատային ճամակարդի առանցքների միավոր վեկտորները (օրթեր)։ հսկ կոորդինատային օրթերը: Շլ» 6Շշ, 6լ, Ը2,Շ3-ով՝Խրկրորդ կոորդինատային ճամակարգի Կուտ Շչ վեկտորները (., 2ջ» Ճ:) տարածությու բաղզիոռային վեկտորներ Շլ» 6.,

65-ը՝բազիսային

են

(41, 45

Ճ:)-ում:

Բի առաջին կոորզինատային դեքում Թյր վեկտորը

այ ուսի կ(ԳՐվե կարգ

ալս

կոսին

»ՂՂ"ՐԴ

6-Ի չ6:-Է216:,

ՕԽ--յ61--2262-Է ԱԿ

Բն

նենք Դր/Ք

նն ուսերը

Պլ

Տ--

ճեւոն ալան

ատրիցայիե սքով ո

Թ)

||

223 Օյ)

ՈՇԼԻՑդչ65-Ի0լյ63 6լ

ճլ-Հզ.

-

:

ՉջջԸ2-3-92չ63, Շչ-«ճյյ6ԼՎ-գյչ65Վ-0յ65, Շշ--Չջլ61Ի

ւՀ

:

Ակնճալտէ,

(1)

(6 )

որ

Գ. 0գջ 0ղ3 |021 0ջց ճջ:

(7 | նկատմամբ տրանապոնացված մատրիցան ԱՐՑ" Մորիայի Միավորոո , . վ ան գգորայաք քն» ճավասար է Հոորոոը բասկալյլար

(2)

|

մ

Դիտարկենքկամալական ին կետի Հլ, չջ, Ճչ կոորդինատների կաձնավոխությունը ալգ նուլն կետի Ճլ, 35, 3) կոորդինատներին, ձնաչ է ասել, որ դիտարկելու ենք (2. 2, Հյ) ւտտարաժության բելի փոխությունը (41, Ճ5 133)տարաժությանը: օժտված է ալն ճառոկությամբ» որ | երԱյս ձնավոխությունն մ ճատվածի: կորությամբճաովածն ոնցնու է նուլն 1 երկարությամբ

ԳՈՅ

4:25

Շ,

63,

.

ալա

արստագրյալը

ոո

Գլ

(6.6263)--

-

Է

Մջլ Չ3լ

լ)

Համ անսիան ձնով

0ջյ 03)

(6լ6չ6:)--ձ(ՏՅ)»Հճշգ Ա:

Չլտ 0լ3

ի: Հետնաբար,

--Էն

Չյդ 022 Հ3ջ

:

թոզոնալ:

ն

ւմ քանց

սեկ կեսից անցնում է ճավասար եռանկյանը, ճետնարար, եռա՛նկլունն են ն Խլնող Ֆ անկլունը անցնում նույն երկազմողերկուվեկտորներ ն կարուլթ լաւիլ: նույն անկյունըկազմողերկուվեկտորների: Նշված ճատկուլթ լար օժտված ձնակվիոխութլունը կոչվումէ օր-

է աւել, ռր օրթոգոնալձնավոխության դեսլքումտեղի կարելի. է ունենում ամբողջւարածության՝որպես պինդ մարմնի տեղավփոն խությունկամ էլ տեղափոխություն ճալելային արտասլատվելրումմ: Որոշենք այլ ձնափոխության մատրիցան:

`

031 63լ

Չյջ Մջջ յշ Գլ

ի

(4) առնչություններիը, Օգտվելով կարովենք դրել Կան,

յսպ ես.

հրկրորդ շիստեմում՝

Ը

Շյ-ով

են, իսկ ՇԼ, 62,

Այ

ին

միա-

8)

«է|:

(9)

Չ)յջ 0433

Հաշվենքմատրիցաների արտադրլալը. :

. ՏՏ"--

լյ

651 Չ3լ

ալշ ճտ 03ջ

7ջյ 09)

Չ11 Օգջ Գլ) Զշլ ճշ

մշլ

031 Չ3ջ 933

| |»

|

1 0 |

։

փ

ւ.

|

(10)

Իրոք,եթե Ըլյ-ով նշանակենք բ. րերը»ապա կոտանան

1,

ատ ձե

ով

Եվ այլապես,

-Ն23

(12

եթե մուժեն բ

ՏՏ---Է,

Տճ տրանսպոֆացվաժ մատրիցան ճափընկնում է Այսպիսով,

ճավադարձ մտարիցալի ն

թռգոնալ մատրիցա: ձարելի է ապացուցել, որ եթե (17) ն (18) ուղիղ ե ճակադարձ ձնափոխությունների մատրիցաների բավարարում (15) կար (14) առնչությանը, այսինքն՝ օրթոգոնալ են, ապա հ կլինի օրթոգոնալ: ձնափոլխթությունը

ջոց -Է Գոլնջ»-Ի ԸլջՀՀՉ 232992» (օ162)--Օ:

Օյշ»ծ|6) քրբ 1-Է| (--,

(13)

(18) ճակաղարձձնափոխության ւմտատրիցա Տ"-ը. Ալոիսով, ապացուցված է, որ կոորդինատների ճաՀդեկարտլան մակարդում է օրթոգոնալ ճամապատասխանում ձնափոխությանը օր-

ւ

-Է«»շ-Ւօ8շ-Ըչջ--Զ12 Ըյչ"113--939-Վ-օՅ--1 Համա

Տ մատրիցանէ, իսկ

'

--«ի-Էոի-Վ-ոն--Ն

Ը

Եվ այսպես,(17) օրթոդոնալձնավոխությունների մատրիցան

տարարտադրլալչմատրիցալի

ճնտ.

Տ«-Տ-,

ոլ Ճշ

Տ-1

|

(8)

(14) պալմաններինբավարարող, այսինքն՝ իր տրանսպոնաց-

ճավասարությունը:

էշ

7չ Դջ

բլունալին մատրիցաները,ապա (17) ն (18) ճամակարգերըկարելի

գրել ալսդլես.

վածինճակաղարբձ մատրիցան կոչվում է օրթոգոնալ: գըոԱլտուճնտե Ջեն ք (ո 7.» 2.) կոորդինատները 17 25, 2) կռորդինատներին ձնավխոխելուե ճԲակադարձ բանաձե երգ: (5) է (6) ձնասվիոխության աջ բանաձների ճամաձայն (1) ն (5) ճավասարությունների մասերը կարելի է արտաճալտել(6., Բշ, 6.) բազիսի միջոցով, ինչպես նան (61, 63, 63) բազիսի միջոցով, Հետնարար, կարելի Է գբնլ ճետելալ

եջ

Ճ-

|,

Հ-Տ., 4--Տ-ԴԸ,

ՅԼ

(20)

(2:) Եթե մուժննք (19) մատրիցաներիտրանապոնացված մատրիցաները՝ Ճ

Հ

ապա

"Վիմ

ով. ՃՎիլ

4:

«յ

(22)

կարող ենք գրել՝

2-գ"Տ-,

Ճ"-ՀԽ"Տ:

(23)

Ճլ6:Դ-Ճչ6շ-Է Ճ:6ՀՀՀՅԼԴ-2562-Է2:363:

բոլոր (16) ճավասարության

(15) բազմաչանդամներըճաջոխրդարար

61, 62,.63 վեկտորներովե ճաշվի առնելով, պաստվկելով

6լօյ»-1 եբբ 1--խ,

աջ Յլիջ 1-ՀԿ.լու օջջեջ-Է 4355:,

գել: Ճ3-չլյ ճլ-ԻՉորնջ

ԱԱ

Ո

Դիցուքտրված

|

է Ճ

վեկտորը՝

1. 2շ

(1)

|,

2:

(7

Բաջորդաբարբազմապատկե(15) ճավասարության անդամֆերը ճ.-ով, Շլ, Շշչ կոտանանթ.

ճ3՛ Է 433 Ճլ--յլ ԼԻ օցչիծ

Գծային ձնափոխությանսեփականվեկտորը

Ճ-Հ|

22-4չ8-3

Ճլ-««լ ԼԻ«լչ22-Ի«յ3, Ճչ-«Գլ 1-Էզշջ5-02:83,

11.

(16)

ՇլՇ)-ՀՀլ»

լով

Տ

Սաճմանում

66յ--Օ երբ 1-Բ),

կաո ազաձք,

որ

Է

2: :4-2--0, ԵԹե

`

վեկտորը Ճ

միջոցով ձնավփոխելուց ճեւոռ մատրիցալի

ռռտացվումէ Մ վեկտորը՝

(տես Տ 5-ի (3)-ը),

որը

(8)

--Ճչ,

զուղաճեռ է

(2) վեկտորին՝

որտեղ 1-ն թիվ

է,

ապա

ԽՃվեկսորը

կոչվում է Ճ

(3) մատրիցայիսե617

փականվեկտոր կամ տրված գծային ձեւափոխությանսեփական է Թեվը կոչվումէ սեփական արժեք: վեկաոռր. կամ սովաժՃ Փանենք տված դժայինձնափոթության

ցալի

Հ-»

մատրիչ

ո.

|ոյ

:

աար

ոՀ-ՅՄ ՅԲի,

6)

նշանակենք

5)

(5)

:

`

(Թւ-1ո-Ւ

89:35--Օ,

(ո--Հ)--Մ:

որոշելու ճամար վեկտորի Պլ, Ճա 4: կոորդինատները ճամասեո ափմակարդ:Որոլեսզի դծժալին ճավասարումների ենբ

զրոյականլուժումներ,անճրաժեշտբաճա ինի զրոլի: ճՃավասար մսկարդիդետերմինանտը

վարար է,

որ

8յլ--1

ն

ոչ

41ջ

ՅԻ

Ձ3ջ

ՅՅ

8յյ--1

ճ(Ճ--1Բ)--Օ երրորդ նկատմամբ

տալ,

որ

մեկը

ր Աաաա վեկտորնե

ալլ

սիմետրիկ որ արմատներն ան ար բն իրակ

բոլոր բոլոր

Գոնել

մատրիցալի բնուեն

,

|83 |

ւ ե վեկտոբները ն բից յ է սեփական կազմենք 1ուժուսմ 1.

ա

ն

նամա,

ան ղրանց

լ

ե ատասխանոդ սեփական սնփական թվերը:

ն գտնենք ռնփական բնութագրիչ ճավառաբումը -

Լ

լ

3--1

այսինքն՝ )2--47--6--0,

Հ-0,

Խ----1,

Խ-Հ5,

ու Համ ալ ճամակարգից կղլտնենք այն սեփական ամաղլատառխա 6) ավառարումների Տամտղատասթանում է խԽ-Հ--1 որը սեփականարժեքին,

վեկտորը,

,

այս

Ճշ--0, ԱՄ

2:-Է

ճչ--0,

95-40,

գտնում ենք Ճչ-ՀՈ,:«չ----շո, որտեղո-ը Տամակարգը,

վճկտո Թեվ է, Սեփակավ Իո

ԱՈնի.

կամայական

ոլ--ո1-Չուխ

սեփական արժեքի ճամար գրում ենք ճետնեյալճավասաբումներիճամակարգըչ

ստա-

ունենա (7) ճամակարգը

Սա Ւ-ի

1.

արժեքները.

1.5 շած

:

Վ

կամ/

մատ

մուծելով

Ս

8:

ցուլց

1ԵՒՅ-Նյո-Ց,

41343--9,

84-Ի

8չ4:-Է

։

արման ճավասար

Ճավա

Ղ--լ)ու-

ճավասարութ լունը դրվում է այսպես. Յու):

նուտ

(Թ)

կարելիէ

:լչ-ոի

Առանց ապացուցմաննշենք,

է,

84-Ի 86298" Հ 21 181--ՅՆՉՅ-ՅՆ-ՀՖջ» ւՒ 22 Ի 2359 11-Ի ԽԻՅա-Չ» իսկ

բոլոր

ցանկացած վեկտորկարելիԷ արչլու սների միջոցով:Հեւտնարբար, վեկտորների Պր. Պլ» միջոցով,ալսինքն՝ վերջիններսկաատճայտել է բելի ընգունելորպես բազիսային վեկտորներ:

Օբինակ

մ Է Ճ ում վ ե, կոռրը որոշվու Ալ ճավասարռԹ. նից Բեւոն է որ ճաստատունի ճշտությամբ: է ալսպես, սնհսբո վ ( 4)) ճավասարությունը դրվում վ Մ ավալունԿ տեսք Ր վ թյ թյու

Պր

մ

Թա Թագրիչ

(.-1Բ)5--0:

.

Հ»

անկավա ձն,ալսինքն՝ նրանցից ոչ դժորեն

լ

այսինքն

ն

որի կոորդինատները որոշվումԵԽ (7) ճատ ակարռնփիական վեկտոր, է ճամապատասխանարժեքի դեպբում:Սեփական դից՝ վեկտոբներթ

մշ

թյունները, Համասարոցեոլո ուտ կալ

ճավառարումից

սեվատկան արժեքները: երբ բնութագրիչ ճավասարման այն դեպքը: Քննարկենք է

տարբեր: Դրանք նշանակենբ էլ, յշ, Խ-ով: արփաաներըիրական է սնհփական արժեքին ճափապատասխանում է Յուրաբքանչլուր

ւ

ԵԼ

Ք.

ճավասարում: յս

մատրիցայի բնութագրիչ

դանումեն

են

վեկտորը: Որպեսզի Պ-ը լենի Ճ մատրիցայի անփական անփխական անճրաժեշտ Էչ որ տեղի ունենան(2) վեկտորը, մասերը, այդ ճավասարութլուբե աջ անու

է Ճ

ԵՐ

8,

չշ-0,

82լ--2"--`,

Սեփական վեկտորը կլինի

րինակ

«Գոյ

Պշ--ոլ-ԻՒ4ոյ,

գանել

.7-2

Տ 23

8)

հ ռնփական սեփական արժեքները վեկտորները, մատրիցայի

Գրենք բնութազբրիչ ճավասարումը.

1ուծուսր

(9)

է Այն կոչվում Ճավասալրում աստիճանի

---2

0-2

-2. 6-1

--Զ

5-1

|

թ-0,

այոսինքջ' յռինք

--)3.Լ18)2--99ի Է

2-0. 99:--162Հ-0

ապա

Այս ճավասարմանարմատֆերն են Խլ--Յ. հչ--6, 15--9։ մյ--Ց արժեքի ճամար սեփական վեկտորը որոշվում է ճետնյալ ճավասա-չ-

բումների ճամակարգից՝

`

Ֆման

Հետնաբար,

-Չա-ԷՉ2ո:--0,

Ընդունելով Ճ.-ՀՈո,

ենք

Ճ:-2ո: Ճշ--2ՌՈ,

«--ու--2ոյ-ւ շուն

ձնսվ դրում ենք

Սեվիական վեկտորը կլինի

կա/

:

ԿՀՀԽոյ ԿՀ

.

ք.

,

որոշենք դգժալին ձնավոխության մատրիցան, երբ Ալյնուճեւոն են բազիս Դ Պշ, 3 սնփվփական Այդ ձնավփոխուչ որոլես վեկտորները:

ՀՀկոր

Հշոմշնջ, աՀՀթմյոց,

կերներն են,

`

Պշ, Պ3

վեկտորների

(0) պատ-

ենք գրել.

(2)

|ն

Պլ անդամները: մատրիցայի

«-Լ"ԿԳՑ-պգ0.պ-վօ

նից

Քանի որ «լ վեկտորըՃ՛ ճՃեսոո է անցնում

ՊՀՅել--0

Պջ. 3

բաղիսում կա-

:

«-ԷՑ

:

Պ,

նման

ձեով

Ձ3 32--«Օ,

,

Ա-ՀԸ,

գտայ),

-

(5)

ժային ձետխոլությունը կլինի

|

ԻՐ

Եթե

են

(6)

լ

ԴլՀթիշՀ-յՀՀԻՏ, ուսա գժալին ձնափոխությունն ունի ճետնլալ

հսբթր. ղոթը

ԵԿՆ, Յե տեն

մատրիցալի միջոցով

-

առնչությունների ճիման վրա

Օ01

|

ԴՀՀիոլվեկտորին՝

11--ճո-0,

"00

,

|

շլ-ԹԲՇ0,

,

ԼՅ

'

րող

՛

Ալսպիսով, մատրիցան ունի ճնտնլալ ձնավխոխության տեսքը:

-

Ձ31 ՅՅշՅ33

ալս

Հ-ի ՁլԱդի

(4)

:

1-Է85շ0--Յ::0

:

83-Ը0,

Յ1լ 812 813 Ճ՛ՀՀ|| 85. 8ջշ 823

.

:

ՃՀՎՕՉՃԽՕ0ՕԽ.

Դիցուքձնափոխությանմասորիցանէ`

Ռրոշենք

:

812»Օ, 82221

ունենան

Պր-ը Պլ

(3)

դանում հնք՝ Այսճամակարդից

կղանկն

որտեղՊլ» Պ։ առնչությունները,

,

831 83. 83:

-«83լ

։

ԱՆՎ

ՀՅ

:

,

Բ

821 822Ձ23

"

Գծային ձնափոխությանմետրիցա, որի դեպքում բավիսային սեփականվեկտորներնեն վեկտորները

տեղի

,

,

ձլՀՀՅլւ 1-Ի 0-ԷՅ:յ 0, 0Հ«85լ 1-Է-85շ 0 ոչյ 0,

12.

է

ճշ

ճավասաիբումների ճամակարդի ոնսքով՝

լ

պետք

,

Պյ----ատ14 ո)---շ-ան,

թլան դեքում

լ

-

ռուփ-շ-ո)-ու,

Տ

դրել:

ԱՀ-ԻԽԿՀ-Ճ'որ

42--251 --0, --24:--35--27:--0,

ստանում

կարող ենք

ձնասիոխությու-

Ալշպիսիձն ակխոլսությունը կոչվում

խություն՝

Դ"

է

նմանությանձնավոչ-

դորժակցով: Ալապիսի ձետփոխության դեպքում յ" բաժությանլուրաքանչլյուր սհփիական թիվն ունեցող վեկտոր վական վեկտոր է:

տա-

սհ-

65:

Տ 8. Գծայինձնափոխությանմատրիցայիձնափոխությունըմեկ բավիսից մյուսին անցնելիս

"

է՝ Ճ-ը կամալական վեկտոր Դիցուք

|

Ճ--

որը

տրված է

ջոցով ոցով

ճջ

|

Ճ)

Հ-ՀլոԻ-ՅՆծչ-Է226»,

63) բազիսում:

(6լ, 6,

ձնավոխվում ձնափով

յ.

է Մ

Յ--

|

Ճ

աա

վճկոտորի.

վեկտորն ձ

Ո--3161Վ-5562-Է7363,

(1)

ապա,

ո Թե արաը:

մատրիցայի մի-

|

ճին բաղիսի

Շլ-»ելլ6յ--Եջլ6չի Եյլ6»,

Շշ--Ելչծ3-Եչչ65--Ե»չ6,,

օՅ-»ելչճլՀ-Եջչ6չ-ԻԵչչ6:7 է

Օրի

,

ս

կ.

լ

Հալ6-Ճ262-Է2:6չ-» || 22

՛

կարողենք դրել

|ի

2262-2360: ԱՇ-Ի

766-716:

Թյուն։

Որոշել (61, 6լ,

63) բազիսում

6/»«6

(5)

կասիկարճ ճավասարությունները:

Խ--Թյ՛,

որտեղ Թ--

րել Եչ Եյյչ ||Եշլ Եջ Եշչ| Ե, Ե,» Ե:

( լ3 )

|10լ 110.

ձնափոխության ձ'

Լուծում,

(6)

Գանենք ճակադարձ մառրիցան

Այնուճեոն ,

ն

(9)

բանաձները)

ւլ31| 211|

(4(8)--1).

| -2 0 | ար

՛ գանում

եք՝

"

ո-ա--Վ -1-1

(8)

,

(ռես (4)

Այստեղ 8 մատրիցան է

8--

(7)

(9)

մատրիցան, եթե

Ի26,-Է6յ:

6Յ--6. -Է6լ-Լ

Վերջնականապես ըստ (13)

բանաձելի գանում

`

Ը

բ»

|

կլինի.

6:--261-6գ-Լ369,

որտեղ աջ մասում տեղադրված են (4) արտաՀ ճավասարությունը, 6յ, 6ջ 6յ վեկտորների՝ ւսջ ն ձախ Հավասարեցնելով ճայտությունները: մասերումունեցած դորժակիցները,կստանանք.

Ճլ--եւ:-ԻԵլջճ2Ել:43, ոչ--Եշլ21--Եջչ25-Ի Եջչ24, 2չ--ելյւ--ԵւչՃ5--Եչչ23

(12) բազիսում

միջոցով (6. 62, 63) բազիսում կատարվում է վեկտորի մատրիցայի ձնավոխուչ

'

Ց

որ,

լուք

(4)

ալապես.

ոշ.

Ճ--Ց-ը,

՝

ԴիցուքՃ վեկտորը նոր բազիսում գրվում

արտաճալտությունները տեղադրելով

ձնավոխության Ճ՛ մատրիցաննոր Հետնեարար:

կապվաժ է ճետնյչալ անցսյիան բանաձննրով.

ճն

Վոանանք:

(10)

՛--8- 4827,

( 3|

'

(10)

ՏԱ

ու երկու մասերը բազմապատկելով8-1-ով, կոտանաձ Հավասարության ք.

(2

Քննարկվողտարաժուլլունում մուժենբ (6լ, Բ2,63) նոր բազիսը»

որը

Ք

`

|Բ-ծ-Իչծ-Է76:

11.

ակնճալտէ, տեղի ունի ն

7չ

Ալս մատրիցանէափոխված չէ, ունի թ- ճակադարձ մատրիցան, քանի որ (2) ճամակարդգն ունի :1, 35. ճ5-ի նկատմամբ որոշակի լուծուի, ԵԹԵ նոր բաղիսումԻ գրենք Մ դեկտորը՝

Ճ--8ՎՃՑ-|

|1

ենք. Յ0 4-22

| Ա

ի

Ալնուճեսոն. ապացուցենք Թեորեմը: ճնտելալ

Թեռրետ

1:

բնութագրիչբազմանդամը (Տ 11-ի (8) ճավասար623

ձախ մասը) չի փոխվում՝ տվյալ գծային

ման

որտեվ ճլլ-ն տրված թվերն

ձնեափոխությանբա-

զիսի ընտրությունից կախված: Ապացուցուսխ Փրենք ճնտիլալ երկումատրիցային ճավասա-

րությունները:

լու

մատրիցան Հետելալ Ճ-Հ

։

՛

ն

ու

ձ(4՛-ՎՔ)-«ձ(8-(Ճ

Բո

Հեւտնաբար:

"8

Յի

-1Է)Տ)--ձ(8-:)

) 5)

(

(8 5) )

Ճձ(4՛--1Է)-Հճ(Ճ--1 ,

«Հռ Է)

||85

8»

Ձջ»

Եյջ

83»

(4)

.

-

թլունը.

ՃՐՀՅաւ Ի

25-81:

4(Ճ-ԴՔԲ)ձ(8):

838»

ջիջ

Է 858

21-ՀՅաուճա

--|չ

Ալո

ձն

(4)

ԴՅ»

մատրիցան ճատընկնումէ ավոխության

Բեւոչ սմատրիցալի ԲՐՑ ր

՛

Ե):

որում

(3)

չր

օովելով ղետերմինանտների բազմապատկման կանոնից, :

ըստ

մաՀ ձեւի մատրիցա, Ալն սխրնտրիկ կոչվում է (1) քառակուսային բիցա է: կե են հնք տարածության արաժության ն կետի կոորդին (ել. Ճ,չ լ)-ը ձճճամարելու բազիսում, (6, Շջ-6.) օրթուղոնալ ննր կասիվեկտորի կոորդինատներ են: վեկտորներ ոլոոնը Շլ, 6ջ. 6յ-ը միավոր (Ըլ» 6, 6.) բաղիսումդիտարկենք ճնտելալ դժալին ձնավփոխ

Ճ՛-Վբ--8- (Ճ-1ԷԻ)8: ն անցնելով դնտներփինանտներին Մատրիցաներից

մատրիցաների հանում հնք:

3,

81 Յլջ 833 8):

Ճ՛-ը միննուլն դժալին ձնափոխության մատրիցաներն ճնեբին անցնետաիինըբազիսներում, թ-ն նոր կոորդինատներից մատրիցան է, Է-ն միավոր մատրիցա է: ճիման վրա ստանում Վերջիներկու ճավառարությունների հնք.

որտեղ ճ-ն

հն

2, թ-ՍՆ

Հոյ-լնա"'

ՀԱՅ

41-89»

Ճ՛-8-1Ճ8, Ր

2, 3:

(Հ-Ն

ւ

:

Բ--8-:քք

են

քառակուսալինձնի

տն որոշենք երկուվեկտորները Ալնուճն

բնութագրիչ Աջ ն. ձասվխ մասերըձնափոխության մատրիցալի

:

բազմածղաիներն են: Թնորեւին ապացուցված է

--

Է

"

|

6.

Քառակուսայինձները ե դրանցձնամփիոխությունները

14.

Սաճիանում ձն

կսչվուսմ է

ալդ

բազմանդամը: '

Ճլ

չ:

Մե քանի փոփոխականներիջառակուսային փոփոխականներիերկրորդ աստիճանի -ճայրասնռ

Ճջ» Ճ: երեք

Է

ո -

դրեք ճնտնյալտեսքով (5) ձնասիոլխությունը Ա»ՃԿն |

Տ

(1)

աան»)

ԴՃչ(8յ:-ԻՅԽ--ԷՅՅՀ3)»

ձեր կարելի Ալդ դեպքում(5) քառակուսային որպես ալդ վեկտորներիսկալլար արտադրյալ

են

ցեց 8123)-Է Է-ՀՀլ(8լլխլ-ԷՅ

ճչալ

(8)

:

տնաքը,ոլոնղ ոլլ-ն տրված թվեր դորժակիցներըվերցված ավելի պարզ ալն բանի ճայիար,որ ճետադա քանաձեներնունենան աա (1) ճավագարությունը կարելի Է դրել ալոպես. են,

(7

շի

՝

ձնն ունի փոփոխականների քառակուսային

Ի-«ՀղՀ--ՅչչՃ2-Ի-8լչոշ-Է 284144-28չ:8ջն»

Է-ն

ՃԱ.

ներկալացն (9)

Դիցուք 6: Շե 61-ը (8) ձեավոխության «րթողոնալ անփավան

|

ճամապատասխանսեփական արժեքներն քն,որանց վեկտորներն է, էՎ

-

(2)

:

է

|

7, իչ: կարելիէ առլացուցել, որ եթե մտատրիցանսիմետրիկ դոլություն ունի Ճ մատրիցալի սեփական վեկտորներիցկազմապա ձնավաժ օրթողոնալ բազիս: (61. 67, 63) բազիսու: կատարենը (8)

ենոեգրալ 40--Դիֆերենցիալ ն

ճաշիվներ

Խարր «Աա

ԱՆԱ75):

վ

նշվել է վերեւի, եթե ԷՀ, եթե իՀՀո մատրիցան կոչղում

աաա

Տ

,

ու00

Օրիսակ։

եպակի,է, քարի այնտեղ ո--3, Է--Ձ։

ոչ

ունի

11)

-Է ջո:

որ

ւնի

ԲԱ ճն

,

1:

4-Ի

15.

լուծումների գոյությունը

Ճառ Դիտարկենք

Ն մատրիցայի ծՓրվաժ մինորկոչվում է նրա ն Բեսոո ի Փանի տողերի ալունների ջնջումից աուանցւոն ասիովոուԻ Թյունների նտցածտարրերից կազմվոժ դետերմինանտը: Օրի նակ

Է

1.

յ

ն

ճեռնյալմատրվոյան՝

8--|

Հեշտ

է

սւտուղել,

|

1 -10|

111:

հրոյ

Օլ իսակ

ազանի,

եշ

Է

|

ՆՎԻ

|1շ Հ|մատրիցայի ռանգը

ծավասար Է 1-ի,

|

մատրիցա է, ապա այգ կարգի քառակուսային է ւՀո է առնչութ չանը: Ինչպես մատրիցայիռանգը բավարարումի

եթե

Ճ-ն

ո-րդ

էյ,

ճավասա

(2)

`

8)յ

յ

մտ 83

8.յ

8ջչ 8) 8յ

Խ Եջ էյ

(3)

ձ մատրիցայի ռանգ (1) ճամակարզնունի լուծումներ, եթե ռանզին:Համակարզը լուծումներչունի, ճավասար է թ մատրիցայի ե թ մատրիցայի ռանգից: Եթե Ճ եթե Ւ' մատրիցայիռանգըփոքրը հ ռանզը Լ 8 մատրիցայիռանգը ճավասալր3-ի, ապա ւ

մատբիցայի

մատ

որ

Մորիայի

ալդ

«ա

ճե, ճջ

ըլ

83: Յո

մատրիցայի ոսնզ կոչվում է ղրոլից տիորի կարդը: Րիցայի ասիննաքբոարձր արբել Օրին ա1.

ծ

մասորիցուն բնդլայլնված

յշ ձղ3 411 Վոլ Ճար ճՃոյ Մյ Հ3լ 432 633 431

Ճ

--Ե»

զծային

`

ձյ:

են:

Ձ

ր

մ)

Ստ

մատրիցան՝ 8յ (88 Գ || 8:

եր մեկ թյունը ջոջեմատրիցայի երըալողկարգի մինորները ստացվում ն տետո: լուց մատրիցայի | վ Կշանը դետերմինանտի | յ նշանովփոխարինելուց Այդ մինորխերը,չորան եւ Երկրորդ կարի միխորներըուռացվում 12 երկու ռյուն Լ8 մեկ տող ֆնջելուց ճե,ոո, դլոնք 18 ճա են: Առաջինկարզի'մինորները

Սաճմանում

ՃՀ-||

ա

ճատ

ակալգի

|

ֆիցյուբ սրված է

Մա

Յոճո»:

Մատրիցայիռանգը: Գծային հավասարումների համակարգի

Սաճմունում

Յ3:--Ծյ

Յա ՇԽ

Տ

հետնյալ

Դիցուք արված, րումների ճամակարգը.

քուռակուսալինձեի գլխավոր ուղղություններ:

մատրիցան եզակի է, բանի

Ճ(Ն)--1ԴԻ0, օրինակ Հ-ի

Մատրիցայիռանգ ճասկացողությոնը լայնորեն օշզտադգորժվո դժալին ճավասարումներիճամակարգերի տնսության մնջ, եղի

է ԼՂ

Շո Շգ սնիխականվեկառրբների ուղղությունները կոչվում են

6,

ով

(6)

մարելի է ցալց տալ, որ աչ ձետփոխաթյունը կիրառելով (1) քառակուսայինձնի նկատմամբ, վերջինս կարելի է բնրնլ ճնեանչալ լ: ԻՀ-Հ -Է եշ

եզակիչ

|00»:

2Հ.լՆՆ

է

է ոջ

Հեանյալ մատրիցան՝

|

Ն-ՎՅԽՅ|

ոնաքի:

մատրիցան կոչվում եզակի:

ռյա

՝

|

ռանգ մատրիցաների ունի միակ լուծումը: եթե ձամակարզգն լոէե 9-ի, ապա ճամակարգն ունի անթիվ բազմությամբ ճավասար են ն

ծ

երրորձումներ, ընղ որում երկու անճայաներնարտաձայտվում արժեք, դի միջոցով, որն ունի կամայական ռանզը ճավասար ե մեկի, ապա ճաԵթե ճՃ ն թ մատրիցաների լուծումներ, ընդ որում երկու ունի անթիվ բազմությամբ մակարզգն ունեն կամայականտրժեքներ,իսկ երրորդն արտաաննայտներն միջոցով: ճայավում ե նրանց Էէ ճանՃԽասւմոատվում ճնշյոուլժլաւմբ Այս թնորոմիՃշյոռույյունը ժում լուժու նն Րի ւս Րգի լաճաշվիցճարտնի ճավասարումների ճամակ ռ

՝

Ր

,

Քննարկման ճիման վբա: Ալս Թեորեմը ճիշտ վասարում նելի ճամտակարդգի ճամար:

է

ցանկացաժ թվով

ճա-

կարճ կարելի ճավասարությունը

Սբ վոլիկ ձնով (3)

է

դրել ալունս.

վզով

Վ

ե

4)

-Հ-ՎԱ(ՍյթՀյԱ--2յԱ

ֆ

Մատրիցաների դիֆերենցումն ու ինտեգրումը

16.

Դիցուքտրված

անդամները ի

է

որոշ

է

արդուենի

ես. ֆունկցիաներ

ո()

.

--

լ

(1)

ՆԱՄ

ձում) ճաք.» ռուն) դա կարճ կդրենբ ալոպես. ո: Ա -Բո0կ (--Ն2, բ-ԽՏ, Դիցուքմատրիցալի անդամներն ուզեն ՎՅոո(է) մողւ(է) -

Վ

Է

2.) ճոլ1) ձշո(է)

լ--

նն()| -|ուի

որտեղ մատրիցայի փատրիցան, Ո8.)(է)| 8:()

8ո().ճա7):

լու

կամ թե

թ

սիրո իոխարեն եմ վոլի խոխարեն

նրենցաան դիֆերենց(

է օդտաղորժե օդտադորժել

6)

ինտեզրալկոչվումէ կոմ)իմատրիցալի

էշ

(2)

ո).

ա երբերբեմնճարրմար

յունը դրել այսպես. աիմվոլըն (5) ճաւվխիոսարութ օի-|թո Սաճտանույի

(5)

է

կոն)լնշ

ն

աջ

ձէ

ածանցյալները: Սաճտանում

ձէ

կո(Սյ մատրիցայի ածանցյալ կոչվում

ցաւն (ոշսնակում է՛ն.ք մասորի

ծ.

որի անդամները լո(Ցլ |

ալն

է Մ

մճյ

Վէ

կոյայ

մ

ծ

Ն ԿնթյյՈ

--|8Ա)|

Հ

մոա մ

.

ձէ ԱՅ

ծ.

ՃԺ

Ը

մ»

(3)

ն

|

'

|,

(7

"

ավելի կարճ

է

իոալա-վյո3««|

րու Ա--

Ե-Ը

,ՈԱՀՃԺՍ-յ()ի: )

--

(8)

"

ն

աժող-այ սըժոգ-ագը

դո

ե

ն)մշ

Ն

ո

Ս--

ու

Ճոո(2)մ2 ||Յու(շ)ժ2"լ է

ռր մաւրիցալի աժանցլալի Նկատենք, ալսպիսի ուսխի անումը ն ճանման եթե մատրիցաների ոտացվուիէ բնական ճանապարճով, թվով բազմապատկելուճայունիդորժողություններին (ես Տ 4) միացնան նենք անցման դորժողությունը.

Հոարոյին ՀայգՃյԱ-իճ(0 մո՞-

է

..

ճա

Ճ

տն

(2)47

իո

ւ:

տ

շո

ԳՅ ճջ,

Ո

մոռ

Վէ

ՈՐԻ ԳՈաԱ ոթո...ե

|ինո

|

ոուո -՝

բեցալի անդամների աժանցյալնեքնեն, ալսինքն՝

մմ

են որի անդամները ճավիաստար

նշանակվողմատրիցան, ախտվոլով իո անդասիների վյալ մատրիցայի

զամ՝

)/

( ) | |||«(7)42|։

ն »

ր

2(2)|47»( լ

Լ9 ) |

է

/՛

)Վ2 սիմվոլը նշանակում են

դել քում (6)-ի

նման

(2)

Րեկ,

օրինակ, Տ տառով,

ալդ

կարելիէ դրել ալուես՝ ճավասարությունը

Տիու--|Տոլե

(10)

Տ

17.

Դիֆերենցիտլհավասարումներիհամակարգերին

հաստատուն

|ՀԵ մչ

գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի

Ը

լուծումներիմատրիցային գրառումը

2.(ժ, Ճչ(), Քննարկենք

|

Ճո) որոնվող ֆունկցիաֆերի ժային դիֆերենցիալճավառարումների ճետելալ ճամակարգը.

ՀՀՅյխ-ԻՅւ ՆՐ

ՅՆԴ. -ԷՑոՃո,

զէ փոագ-Է

Արս Վոր

ՇՇ-ՑՀՅոլ-Իճ ուժՀԷ նն

|

են: դորժակիցները ճառտատուններ Մուժենք

նակումները.

Ճ.() Ճչ()

|

ՒՎՀ-||

Ճո(1)

Սա լուժում

րջ

ձ.| ---ՎՀՀՀ

րր

|

|

| ժել

|

`

Վ

ճեւոնչալնշա-

լղ-այի-|

"ոա

ԵՀ"

| Ճոլ

Ճոջ

-

:

-

|

դորժակիցների

6)

ոռ

Օդվելով փասւրի ցանելի բազմապասոկման կանոնից (տես (Տ ք (1) դիֆերենցիուլճավասարումների ճասիակարդը ձնու կա մասորիցալին բելի Է դրելայսպես:

լուն

6)

ազսսես.

եխ

ո

ոդ

որտեղ Ճ-ը անվանում են նան վեկտորական լուծում, Րիցուի կարճառուռ նշանակումն է, Դիցուք 6:

|

|Ե|------|| 7»

|,

լԻՄ7

թվեր

որոշ

«/ութլունըորոնելու222 սոնչալչոնսաքով `

Ձ-2՝

ս/ա

(8)

ե:

(տես

լո

գլեի

Տ 30-ի (2)

աւ

Է«Ա-ՀՀ""իյ,

գաաՀոն

|

Ձյո

Ճո

ՎԵ

(3)

Դրննք դիֆերննցիալճավառարումների ճամակարգի աւա

«

Սո

ճ

ձ2

կամ

տեն

Յոռ

(5)

ճա Դիֆերենցիալ ակարղի լուծուսրների ճավասարոււրների բաղ-

մատրիցան.

ճշ

:

լ

Մո

4.

ճով.

Վերջին ճավասարումիը կարճ դրյուր

|

ժէ

Յո"

Յու

Ց

(2

որտնզ շյ-երը

|Խ

Վէ

"-

մատրիցան՝

|

Հ--

՞

լ...

ների մատրիցանէ կասի1) ճամակարդի վեկտորականլուժուսիը:Այնուճնտնորոշենք լուժում ների աժանցլալների

ժ:լ | Գ: | մ».

Յր չ

ՈՆ

կարլկարճ, փհատրիցաներիդիֆերենցման կանոնիճիր ան վրա`

(2)

'

:

:

ՀԱՅ

մ»:

ձր ՀԷՅող

««

Հլ

Ժոռա

ՊՔ

մ:

|

լ:

երն

լ

Ճ|՛բանաձեները)

(9) (10)

ծեզադրելով (10)-ը

(7)-իԺնջ (կամ ՛9)-ր (6)-իԻ մեջ), օգաղվելով մատրիցան Թվով բազմապատկելու հ մռտրիցալի դիֆերեննցսիան կանոնից,ճւռւանչումի122 բառա,

որտեղից էլ

12--8գ

ամ

12--12»--Ը, Հիշհցնենբյ

ա

ռր

վեթջին

(12)

Ճավառտարութ լունումրՎ-ն (4) հատրիցանէ,

Հ-

է-ն

Թիվ

(5) սլունալին մատրիցան (15) ճավասարության դրել ալսպես.

Է, գ-ն

ձար մասի մատրիցան կարելի է

:

Յ-էԲյ--0

որտեղԷ-ն

ո-րդ

են, կամալականճաստատուններ որտեղ Ըլ-նրը

է,

կարգի

(

ԱՎՀՀ-Ս,

)

ԻՎ--.

Ճնն

նը ժավալուն անսքով դրվում է ալսպեսռ. '

Յւ-ն Տլ

:

.

լ

ՊՅջ--ն....

ա

Յոլ

Վյո

Ալ

Յոշ

զ

Ի:

ոչ:ոջ

-

:

.

Ձու--ն

:

ն

ճետն

սլետքէ չալ դետերմինանաը 1ղ-ն

-

Յջ

Ձ «Տջ

6»...

..2.«

Ձոլ Ձող

.«

Դիցուք (16) ճավասարմանբոլոր

ռ -ՎԸ

|

| տ

ոլ), արմատքն ձամաղլատասխանող (14) ճամակարգը.

(2--1)օ(7--

|

`

ո) Ընդունելով

0)

ման

1,

ձեով

ո

կշ-Չ4 արմատին,

(ալդ արժեքներիցտեկը կամալականէ) Հետնաբար,(1) ճամակարդի լուծումըմատրիցային ձնով դրվում է ալսպես.

Ճշ Լ :

|

ող

«() գ0) (0)

20)

221) 0...

..

...«Օ0.«.«..

(1) 4(2)

5...

(ո) օզՐ

գ(ո)

Շշճեչէ

|

Ը

:

Շր

| |

ոն

2.0)--

,

գէ)-ր,որոնք

ենջ.

0(2--1, օ(2--Լ.

լուծումը ճամակարգի

| ' ԾԱ.--Ղ

'

որոշելու ճամար

ւ

գտնում ենք 0(3-ը ե

Այժմ կարող ենթ գրել

Շլճու

ԳՐ)

Ղ..

ստանում

Ստանում

ԱՍ)արժեքները

3-10 (3-0, լ ենք գջ ----շ"

օթ լ

:

գն)

|

այսինքն, կ2--Տ:Դ4--0,

եյ--), Ճչ--4։

կազմում ենք

0)1

»

ե գանենք Ֆրա արմատները. ճավառսարոոմը բնութազրիչ

ճետնարար,

բ-1

քո: էւ, էշ, ել արժեքի ճամար (15) ճամտակարդից որոշվումէ Յուրաքանչյուր օ-ի արժեքների փտատրիցան

հլ

(16)

ն-

,

ի

Ճշ

2-ի

արմատները աարբկր են՛

է այսսլես (ռես (5) ձնով զրովում մատրիցային ձամակարգը Հավասարումների վասարումը): զ Ճ.

կաղմեւք (5)

յ

ի

--

ճավասար լենի զրոլի.

--0:

՝

Գրենք Ր Ք ճամակարգի մատրիցան

Ո

(15)

Ձոր--ԱՃ

..

ՀՏՉագկ,

Հոգու

Լուֆուս, ԲԴԱՑՈՒՅ

որ

բ

՝

|

է տալիս, որ մ վեկտորը մ մատրիցայի (12) Պավասարությունը ցույց միջոցով ձնասիոխվում է իրեն պուգաճեռ կռ վեկտորին, Հետնարբար, զ վեկտորը Յ փատրիցալի սեփական վեկտորն է, որը ՃամտպատասՀ խանում է ն սեվխական արժեքին (տես Տ 11): դբվում: է որպես ճանրոՀձեով (15) ճավասարությունը Սկալյար ճաշվական ճավասարումների ճամակարդ (տես Հա գլի Տ 30-ի ճամ ՃԱԼ է թիվը որոշվի գլխի Տ 30-ի ճամակարգը, պետք (5) (3) է վասարումից, որը մատրիցալին ձնով կարելի դրելայսպես.

այսինքն՝

(6)

(18)

բանաՀ

մ:

(14)

ձ(8--ՔԹԻ-0,

Տ 90-ի

գլի

ճամակարգը ակ 7 Հետնյալզծայինգիֆերենցիալճավասարումների ձնով. ճամակարգիլուծումը գրելմատրիցային

Չո

Ձրղ--

Լլ

ես

բ"Օրին

:

---Օ,

կարճ՝

1օ6"ե

սկալյար ձնով տրվում Լաւժույրները

մատրիցան է: (13) ճավասարություՀմիավոր

կամ

լ

"լ

մ են ճամաղատասխանու

ձնով մատրիցային

(բանաձե 17)

Շլճէ

ՄՇՀ26

կամ սովորական

ձնով՝

տամապատասխանող (3, գէ, նա արժեքները. Որոշումենք Էչ--Ց արմատին

Ճլ-«Ըլճէ-ԼԸշճ4է,

--20(3

լ

ոշ---ջ-ՇԹ-ՒՇջոն

Օրի նակ մակարգիլուծումը

՝Ժ

գջ7--04")--0,

ճամակարդը Հետնյալ ղզեիֆերենցիալ ճավասարումների զրել մատրիցային ձնով,

ն

Օ(3--գէ3--0,

ճա-

գտնում

Փե, «1

ենք

զԹ»-Յ.,, ՕՏ-0,

յունք մաք պե Լլամն 1 ի

Վ ՏԽՒԿՆՅԹ:

Գրենք

ւ,

Լուծու

լամ

:

սովորական ձնով՝

է

| |ի

. ճավառա ումըի:

՞.

Մ(աես

(5)

ԳԵԱ ն

ճշ |

Հ

ՀՀ

ի

մ:

|Վ.

ճամակարգը մատրիցային ձնով

|

Ճշ

՛

Ճ3

'

|

3-ե

(1--Խ)(2--ո)(3

»այ, այռիրջն՝

-

8)--0,

-

զԱ օ(3.--01)-201 ..

ո )--յ,

շ

-ժ, »-0,

ՓԼ

ո

զ:

(0-0, ԳՐ

«թ

-ծ,

լյ

2) յ

նն

(7-1,

՞՛

ՀԵԱ

(3, գ03,գէ) արժեչները որոշենք ճամապատասխանող արմատին ճամակարգից: ճետնյալ

----Յու

արը

Ճ

են

---.2Չ Խչ--

2)

Վ:լ

Հ րը-՞

ճամակարգից: (102 ճավառարումների

դտնում ենբ

մո՞7):

մ"--17

«8ր

զտ

Խ--3,

Խչ-2,

Էշ՞,

-ե

"չ

Է. 1) .8լ2 Վո-Լ զոզէո-2 ճառ ճաՈ-րդկարգի դժալին դիֆերենցիալ ատունդորժակիցներով է, որ ճետադա շարագրանքից ճեւտնելու որ վասարումը: Նկատենք, Նշանակենք այլգպիսի ճամարակալումը ճարմար է: դորժակիցների ն Ճ-Յճլ ալնունեւտի `

որոչենք օր) զ6) զ8) արժեքները ճամապատասխթանող հյ--1 ալմատի'ն

ենք

ք

--

ճետնարար,

դտ նուս

|

կարգի գծային հավասարմանմատրիցայինգրառումը

:

՛

"

2-ն

ո-րդ

Դիցուքունեն

ե զատնենք նրա արմատները. կազմենք(16) բնութագրիչճավասարում|ը

1--ր

18.

ւ

,

գրվումէ

Տ

լ

ւ

Ֆ.--Ը,62է-Լ Ը.ճՅէւ շ62:-ԷՇջ

Հետնարար,ճավասարումների

'2

Շչօ»:

Ճշ-»--ԸլտէԻԸչծշն,

լ

տայոպես

Ա, -

|

-Ճլ--Ըյ6

մատրիցան. ճամակարգի Ճ-շ2|

գօ:3-, բանաձեր) (17) Թէ

(ռես

Համակարդիլուծումը

--»-յլ-Ի24., Վ:

--0,

,

Փրենք

ալս

ռ

Տ»-8լլ-ԻՅչչԻ

:

.

ոճը:

մասրիցան. ճամակարգի դորժակիցների 0100...0

0010...0

ց,

սոգարուզթ-Զ, Օ(3--0, գ62-»1, 012----,

:

օօ0... մի

ԻԱ Յյ

ք

օ

8.

4 գ:::

Յո

5) լ

բանաձնինմանությամբ

Ալս դեպ բում (2) ԲամակարդըՏ 17-ի (5) կարձլի է գրել այոպո.

«Հ:

Փո

|210:-:/0

Լ

Մշ

001...0

Ճշ

վ

զէ

:

.

"ի

ԾԹ

զո ո--1

`

ձէ

Փ

օ

օՓ

օ

Փօ

մշ

ՀԱ-Կա(ՍոԻու(-ԻԳոա

զ, ոմա ՞

՞

՛

՛

՞

՛

4)

Վլ

.

ՍԻ»:

ճաղասարումնե ղժաղինդիֆերենցիալ փոփոխականդորժակիցներով է ալն Բար որը լուծտմը։ բավարարում կարգի ալն լ ոռ (2) ոց երբ Է-ե ջո»: Խլ-ԸՖլչ

|

81841---

Յո

ճո

Է:

զ

սկզբնական պայմաններին: ն լուծումների Եթե ճամակարգի գորժակիցներիմատրիցալի մաՀ նան սկզբնական պայմանների Բեւո դիտարկենք հատրիցայի

(5)

զե ---ԽԷՀՔ"1: ձէ ինչպես ն Տ 17-ում, «Հետաղտլուծումբ կատարվում է այնսլես, Տ 17-ի (6) ճավասարման որ (5) սատրիցալինճավասարումը նավոր դեպքթ է, ձեով. Օրինակ զրելմաորիցային չետնյալճավասարումը

բեցան՝

քանի մաս-

1շ0

կեօվ--

մ

`

4.

|

ապա

(1)

(Հ) ճամակարգը՝ ճավասարումննրի

Րե առկալությամբկգրենք

ձուլ

որ

|

ձավասարումներիճամակարզըմատրիցային ձնով գրվում

մ. Գեշ

ը

ն

|

զք

-

է

այսպես,

,

Ճշ

Տ 19. Փուոխական գործակիցներովգծային դիֆերենցիալհավասարումների համակարգիլուծումը հաջորդաբարմուռեցումների մեթոդով` մաւռ-

օգտագործմամբ գրառման բիցոյին

է դոնել ցուք պաճանջվում

(34

։

Ց

Ճ.զ.

սկզբնականպայմաննե

|» 1ԱՀթՀ|շ()|| եմ |լթր-ն(ժի-

-շ"

բ

մո

ալսպես,

:

Շ-Հ-ՀՀ-ք2

(3)

,

.

|

ո" Այնուճնան 2-Ճլ, Նշանակենք

ԱՐՑ

ՄՈԴ

՛

՝

՝

Դի

Գճո(քչն

աւկա

--ք-

Լուծում

.

՛

ոու(

Խո

յ

Ջո-1

000...1

ձ2

ճամմառուտ կասի

Յւո(է)2ո, Հո--ու(Սոո-Էճո(Սո-Է

"

(5) ՍՎ-իալ ճթԲ Ե-Կ դեպքում:Այստեղ լո(գկ-ռ նորից Բալի սկզբնականպալմանների մատրիցան է՛ կարգի գորժակիցների մեթոդով: մոտեցումների կլուժենք ճաջորդական Խնդիրը մուտեցումճամար ճՃաջորդական լավ նյութը ըս/քոնելու Հնետաղա դեֆերենառաջինկարգի մեկ դժալին կիրառենք ների մեթոդընաիխ ՋՆՂ Տ դլի, 26): ցեալ ճավասարմանճամար (չոնս է դտնել Պաճանչվում

:

2)» Փ. ձէ

(6) :

դեպւՐեկճավասարմանլուծումըճեւտնյալսկղքճականպայմանների

Քում՝

.

երբ Է-կ:

-

(73

ct..,. .. � ...

l;';,pUl,rbLnt. h'iie, nr a(t).i, Ul'i,[!'fl'f ,UIUI ff,nL'iiq9f,w t:. f>'iit"lhu "il2qbl I; XVI 26-mJ (•) 11J,ff,bph'iisfiwL t;.Ul,JUluwpJ,uf, J_nuJnLJ' (! (7} 11hp'i,u,/l.,'i, "l."'J,lw'i,'i,bpf, 'lb "I. .J!"LJ' pbp,[n1.J' I;

§

,ufur

X

t

=

x0 +

fa(z)x(z)dz

(8)

to

f'bmh 11 rwl t;.U1,J_U1uU1pJ' w'i, l"' ,J,Iw"ile1 u.,u t;.u,,J_,uuiupnL,/f! qlnuJb'i, Jl t;,,u2.nprfU1pu,p Jnurh9,/u,'fl ,/hfln11n,[

X1

x0

=

lo

(t-1 0)�

(t-to) m , m!

+ ...

+a m

lo

t

io

J

x0 ( 13 )i

)dz,

(10)

/

ITb� .(6) t:.w,Jwuwp,lu,f, l"',J,f,u'fl Jl'i,'bwl'�,J_wrJ ,lbfJn'l'i, u,Jpn'l_t_nLf'lw,lp urb 'l. ,;,,fmJ,,,[n1.J I; (2) uhp'ilu,�u,'fl ..,,,, I,!u,'i,'i,b r n,f (1) t:,.u,,fu,�,ur'lP L"L rJ,lw'i, ,Jpw1 (2) uh�iu,"il .., ..,J'wL'itbrf, 'lb"IJ!"'-J' (1) t;,u,,fu,�wr 11 f, tm6nL,lf!: wurrf,11w Un,[ 'lr,[n,J I; "'l""lbu. J

t,t.

: i\x\\=lla(l)l/ l\xlJ, t "�'ll''i,u,twft "l"'l,l wi.Url! Jlxll=llxoll bf'P t to 1 ' ,,

x 0+S(ax1 )=x 0 +S(a(x 0 fS(ax0)-) ),

+s (a( x tS(ax )) ))) ,

. . . . . .... .. ..

(t-t3r ml

'

OUf.bpiuurnpf!., (9) t;.u11/u,uu,rmfl1nL'ii[! 'IP"',! b'i, iu1uw

Xa- Xo +S(a(x0

Sa S a.. . S a =am �

(9),

I

x 1= x_0 +S(ax0 ), =

SaSa=a2S(t-t0 )=a"

t

. . .. . . . . . . . .

x2

Sa=aS l=a(t-t0),

fa(z)xm-1 (x)dz,

Xm= X 0 +

'"I.�"·

( 12} x=[l+Sa+SaSa+ ... ]x 0 f, Ul , 'i."''lUl,lf,urn'l. 2. rJl t r 'J, f, m n '1. n 1. [ii I n 1. f,, bpb a( t )=con st. UIUf.UI (12) pw"ilwal,"il e"il­ 'l 'IL "ilnL,l f; Uf.WP'I. mbu.[ll f>pn.J!, (10)-f, t;.f,J'w"il ,Jrw �u,rn'l. b"il.[l 1tr"L·

t

to

s

lJ,nL'ii�9f,u, L, Ul"f.UI {xm} ,;,,,,Z"r'l"'qw'iinLfllnL'ii f!. 'i."L1fW,lf,urnuf o.,u. t;,u,tnr'IUl�W'i,tll fl"1w'f. uu,\,fw'fl(!

+ \' a(z)x 0dz,

x + Ja(z) x 1(z) dz,

-O'lutUlqn prJbLn,[

.

I

t

X2= 0

S(

/;

=

(14) ( 15),

'Xm= xo+S(a(x0 + S(a(x0+S(a(x0+S(a ... ))))))),

'4Ju,�,u'lrJbre f'U191, L n,[ Uutiu'itnL,I b'i,.J! ;

x�=xo+S11x 0 +SaSax0 tSaSaSax0

+ ... +saSaSa ... Sax , m

u,\ywJ'

:Xo-'ii 'l"'P" t:.w'iib1n</. "'"'�"''l"/rs ( Xo-'i, '.UIUutU1utn1."il I;), uu,u,'i,n, ,I l,'i,.[! •

Xo,-[l+sa+sasa+ ... + SaSa ... SaJ Xo: m ..,,.,..,,,

(11)

t

Hx(t)Jl=l/xo/1 + ('Jla(z)II · llx(z )Jldz tl �

(16}

Jwmp J,9iu1J,'il J,f.1nb 11 rwlw/f,'i, t:.w <{wuu,p,lw'b l"' ,J,I w'iic, CJ.m'ilnLJ 6f,,/! .

t

JJxm(t) 11=1 lxoll+ Jlla(z )II /IXm-I (z) J/dz to

(17} 639'

մուռեցումները: ճաջորդաբար աբրտաճալտության ենշթաինտեգրալալին ճանաչ ճաջորդաբար ւտնղաղրելու «Մեջճաջորդաբարմոտեցումները պարճձով ճամակարգի լուծումը

ա

'

սես,

ԻԳ -Իաի-

մատրիցալին ձնով

։

|թալ|

ԿԷ

էք

ը / ասի

Հ

հասու (19) քանաձեր ճետելալ տեսքը:

ին) )|Է-

կալրսոաճալովի

ԽՈՒԹ իԹՒՇթ

-

էք

Վերջին

ք ի»

յ

ձնով գրում

..

էց

գիմ2շմ7.

ԻՄ

(8)

Փ.

-

Ա-- ...յիցն յ

յ

(19).

Քառտկուսի վակաղժերումդատնվող օլնրատորընշանակում եխ մեկ ճամ առուռ տառովԱյն նշանակենք ծ(2յ-ով:(19) ճավասարությունը են դրում այսպես

Ո(ԳԱ-Ք20):ելե է նշել ճետենլալ Եթն (1) ճանդամտանքը: ձետաքրքիր

ճա ի

ա-

4.

Տրված

-վ

|

|

-|) :| »-| 2: | մատրիցաներըս

շ

մատրիցաները, գտանելձ8 Պատ.

ծ.

չել

արանը րա

Մատրիցաների նկատմամբ սանմանայինանցըդործողությունների ծամար

Պատ,

է

ՃՀ-Հ-

ռի |

լ5 22

շ53 4-1 5 4--|

լ

ի

Է-ս

շ

ի

հ ինահդրալ Ճաշիվներ 41-Դիֆերենցիալ :

։

|

Տ7 10

մատրիղան, ։

ատ.

ւջ

են

5 Ր ած

Ճ 12.

ն

13-22 ր

|

Տ

աջ»

ւմուո--

են

:

'

| Լի Չ

արտադրյալը

8-2

Պատ.

Լ--

.

|

առ

Տ|Բի-----Ըկջի, (--ե):

Գտնելճակաղարձ ձնավոխության

3շ-ճյ

Գանել մատրիցաների

Ֆ.

ճամար գտնելճա-

լ

(20)

մարգի գործակիցները ճաստատուններ հն, ապա օգտվելով մարիանդամների ընդնանոււր բաղմապատկիչը մատրիցալի ցալի բոլոր Կջանից դուրս բերելուկանոնից", կարող հնք դրել:

:

Յ

զատ.փ

րելի է գրել ալոպես.

ի

5--2

Տրված է Ֆ:Յմ:--չ,

բիցան,

Տ ինտեղդրիան (Տ) ճավասարութ օղտադորժելով օւղերատորը, յունը կա-

Խ(ԳՇ-ԱԹԵՒՏԸԱԴ ՏԱՏ

(22)

յ-ՀՅ:.-Ի25չ, Ֆշ-1ել-ԼՏեչ գծայինձնափոխության

զատ,

ԱԹ)ԱԼԱՇԱ

ալոես.

ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ 111 ԳԼԽԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ

էջ

էց

են

չադարձ ձնափոխության մատրիցան,

Հ.

"իսի(21)

ո

՛

իոն Խ(ԳՐՀիաէՒ|ննյ)|

Իլ

ոռ

ե) զՇ-Ց ՀԷ դի.

թ(0Հ-օ6-Թյա|րչյի

է

չ

Վոր.

աաարաթոծը, սխրվոլիկ

թայվյոււ-Է

1--

Լ-Հ

:

լ ին։)|

տոուն դորժակիցների դեպքումԸնդունում

րդ

միավոր կարգի միավորմատ ս

բիցան ւսն է,

.

ՌՈրոՈր

"Վ ի | |ի "Վջ 25՞Տ |

"'

Գանել Ճ:-Ծր

15.

մատրիցան

անել

ի: |

12 20

Պատ.

Տ.

Յ0 42

ւււ 1

Գանել

11.

մատրիցայի ճակաղարձ մատրիցան»

2-Ւ2ռչ--»:-10,

Պատ.

24.-- Ճշ-Ի»-520,

3:չ-Իոչ--30,

նրա լուծումները գրել մատրիցային ձնով

լ

|| չ

|է»

Ճ3

10.

--1

գտնել

ն

Ա)է

5--1

-Յ

,

Ճլ-ը,

ճշ-ը,

Ճ:-ը:

Ճլ--30, Ճշ--20,

լ---

60»

Տրված է ճետնյալ ճավասարումներիճամակարգը,

է ոէ -3, 541--4:չԼ3ՅոչՀ 11,

10::--55չ--2:-11,5: Նրա

ձնով լուֆումըգրելմատրիցային Պատ. 11.

|

Ճլ Ճշ

ա)

6:11

«Հ

--4

--25 15 --Տ

Գանել

ն

դանելՃյ-ը,

-

|

:

տոր

է,

որը

Ֆջ.

Ճ-ամ,9,2չ--1,

լ-Հ1,5»

2-4

կամայական դշշը «Բ«ուԻ-շ-ոյ--ահ,

է (5յ-շ)20, բավարարում

պայմանին, ՈՀըջկամայականթիվ

Գնել

ԸՕՏ

«

ՏՈ

ճ

ՏԼՈ

«

60Տ

մատրիցայիսեփականվեկտորները: Պատ. Գոյություն չունեն:

7-ը

սեփական վեկտորներըչ

սեփականարժեքներըե մատրիցայի

Էլ-Հ6, եհշ--եյ-Հ- 3,

,

Ճչ-ը,

2--2--ջ

--4--2

Պատ.

եղանակով ՛

41 լուծե

գծային յիֆերենցիալ ճավասարումներիճամակարգը:

ճամակարգը: Տրված է ճետնյալ ճավառարումների

Պատ.

ային բհցոյն

մե

ՀԱՒՑ,-ծ,

18 --5

ոլ

Մատ

Տուր,

-Ֆ

Պատ.

9.

մատրիցայիսեփական վեկտորները: Պատ. Բոլոր վեկտորներըսեփականեն,

է:

վեկ-

ճբՀԸյճ2-|ԼԸչօ-2Ե, ճշ---2Ձ(Ըլծշ--Ըչծ-

2),

ՀԱՎԵԼՎԱԾՆԵՐ

ժ

Թ-ՉԶ-խ

Մյ»

-ւ-7Ց-կ6-

«մ է

Աղյուսակ

ՔԵյ-Փ` Փ(»--Փ(քո) ՀՀՀ

ն ն ֆունկցիային

:

ե

ծ

նկֆունկ

-

«Թ|

|

|

|

00000 | 0,0000 | գ | 0,0209 | շց ||1,40 | 0,9523 | 1,45 0,0564 | 0,9597 | | | 1,50 00538 0,10 | 0,1125 | բջջ» | | շգ | | 0,9661 ,

,

0,15

| 0,227 | 0,1680

| | 0.25 0,216 | | 0,30 | 0,3286 | 0,35 |0,3794 | 0»49| 0,4284 | 0»48|04755 | 0,5205 0,50 || | 0,5633 0,55 | | 0,60 0,60398 | 0,65| 0,6420 | 0,70| 0,0778 | 0,75 0,7112 ||| | 0,20

| 07421 0,

5գ7

չգ

| 01013 | 070806

շջ7

| 0,1339 | | |0,1604| | | 0,1866 | 02127 | | | 0,2385 | ||092641 | | 02893 |ց | | | 03389 | | 053632 | 03870 | 4105 |

շծծ

շջ5 շտ»

գցջց

շոլ

գլ

շջց

գչց զշց գը |չտլ

գգ

շշ

շ

շգդ

3տգ

շր

ցց

շտ»

|0, 9:8335

||1,00| 1,55

0,976

|

| 1.65 | 05935. | 09804 | 1,70 | 09838 | ||175 |099887| ||180 |0,9891 | | ,85 |09911 | | | | ||1,90| 0,928 ,95| 09842 | 2.00 | 0.995 | | | 2,05| | 2,0 | 0,990 | 0,995 | 215 | | | |

0,9963

||220 | 09981 0,985

0,

0,7707 | | | 04562 | | 2530|09998 | 0,90 0,7969 0.85

շշ

| 0,8209 | շգց | 054783 |շշլ ||23355| |

| 098427 | | | 1,05 0,8624 | | 1,10 0,8802 | | 1,15 08961

0,95

շլց

1,00

,

լց7

7դ

1,20

1,25

|

|

լ5ց

լգշ

|

լ 05000 | | 25:40 0,999. | 9,522 | |0,999 | |2,45 0,9995 | 095419 |0,996 | |075620 | | 2,55 |0,9997 | շլ7

|

||099229 | լլլ |

7գ չ,

լ

չյ շց

շգ շց լ,

լլ լ. Ն

չ

։

գ |չ

շ

.

շօլ

| լց ||

|

| լտ ||

|

|

0,6550|

լ լ

ց լ

|

|

տլ

ց

տջ

|.

,6883

|

լջ

լշջ

լշլ

լց

ց6

0,8830|

չգ

7ց

7լ

օբ

0,9261| 0,9344|

0,934|

|| |

|

|

|

| |

0,993 09979

|

0,9981| 09985

0,9988 0,991

5,00 5,18

|

|

3Յ

0,9993

շ

00984

5,20

լ

,

09997

5:30

5:40 09844 | 22

(Հ

|»

-շջԱղյուսակ

լլ

0,8434|

0»9205|

|

| ||4,20 0,9570 09603 | 333 4.30 0:9635 | 29 | 4750 0,9664 | 27 ||4.60 Ս,9691 | 25 ||4,70 0,976 4,80

0,9930| 13 9,9943| 11 0,9954| 9

4,00 4,10

լլջ

| 08622 | 079| | 0,8792| | Խ81|. 098945| | 0,90166| | 0,90982| | 0,9146 |

|

|

լց

լ.

0,8332

|

|

`

Թր)

|ՓՑ/ՈՃ |

4լ

|

09818 09848

3.

լլ

ւ

«վտա

|

0,9495 0,9534

0,940 0,9761 0,9782

Յ,50 ԻԻ

լյ

05816|

|

1,0000

Յ,40

լչց

|5

||Փ(Ո)

0,9454

3,30 3.35

.`

|օտց|

168:

Յ,25

լ6ց

0,7042|

| 0,795| | 0,7342| | 0,7485| 0,7621| | 0,7753| | | 089| 0,8000 | | | 0,8277|

,6194 0,9340 |0,9438 | | 06375 | | ,70 |09999 | | 2,75| 099999 | | | | | | օց

ՕԹյ5

0,6719 ,

շլշ

| 0,9103 | լշջ | 095817 | լցլ ||2500 | 099988 | 056098 2,65 0,9998

1.30 1,35

շշջ

2:95 3,00 3.05 3:10 3, 15 3,20

-

Թվ

0,00 0,05 ,

շա.

2,85 2,90

|

|՝5

|Ճ

Փո)

՛

ւԼապլասի բերված

ցիայի արժեքները

»

1(շարունակությունը)

Ազյուսակ

ՀԱՎԵԼՎԱԾՆԵՐ

լ

չց

,6 չգ

չը

"

0,00 0:05 0:10 0:15

16)

.

:

0,3989 1,00 0:3984 1:05 0:3970 0:3945

0,2420 2.00 02299 2:05 0:2179 02059 2:15

0:3867

0: 1826

039101.20 19222:20 0,շ0 0:38:4 "2 1:35 0:1604 2:35 0.35 03752 "3683 1:40 011497 0:45 0305 1:45 011394 0:3521 1750 0:1295 2:30 0,50 "55 0:3429 0:1200 2,8 0:25

0:30

0,

1:25

|

2:40 2:45

0:55

ՅԱՋ

0,658 "70 0:3123 0:75 0:301 0,3230

Է

0,80

0:85 0,2 0:95

2:30

0,2897

1:55 Տ

1,65

1,80

02780 185 0:2180 0:2541 1:95

|

9ղ70

0,1023

2:

Չ,65

0:0940 2:70 2:75 020863 0,0790 2,8 0:0721 258 2:35 00121 0:0596 2:95

0,0540 0:0488 0:0440 00396

0,0355

0:0283

0:0252

0:0198

0.0:75 :0| 0:01

9»0118 "0104 0,0091

Ս"009 00003 0.0051

ՀԱՎԵԼՎԱԾՆԵՐ

Ադյուռակ

| 12)

Յ,00

0,0044

Յ,05

0, 0038

3,10 3,15

0,00

0,01

0,05 0,10

թ)

՛

մչ

0,30 0,35 0,40

0,70

0,95

0,0199 1,05 0,0398 1,10 0, 1179

0,65

|

0,6-0

1,15

1,20

0,0987 1,25

0, 1368 0, 1554

0,005

(Ր) 0,3289

0,3413 0,3749

0,3849 0,3944

1,930

0,4032

1,40

0,4192

1,35

0,415

1,45

0,4265

ացտ

Ա

ոռ

| 0,2088 | 0,227

0,2422

1,55 |

1,60

1,65

0,2580 1,70 0,9881 ,

3,800

|

կ

8,90 Յ,95

է(4)

|

0,0004 0,0004 0,0003

0, |

4,00

1,75

1,80 ,

0,903 1.85 0,5159

.

1,90 2,00

0,3531 2,20 0,3643

0,1735

0,175 0,2734

0.80

0, 0006

.

0,0040 1,00 0,0793

0,60

Յ, 70

Յ,75

0009| 3,85

0,0007

3.65

| վ

|

0,0002

0,0002

0,0001

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

եններորդ Հրատարակության առաջաբանը Հինգերորդ `»տրատարակությանառաջաբանը

ֆունկցիայի արժեքները

0,0000

0,056

0,55

0,

Ց,60

ՓԸ

0,20

եք

0,000

Աղյուսակ

0,15

0,25

0,0012

3,955

0,0017

3,30

|

0,0015

Յ,40

0,0024 0,0020

Յ,25

0,45

Յ,39

0,0033 3,45 0,0028 3,50

Յ,20

`ՖԹԺ

12)

շարունակությունը)

| 0.4394 0,4452 0,4505

0,1554

2,10

2,30

,

0,408

0,4713

0,4772 9,4811 0,4861

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

0,4893

Տ Տ

3.

Տ

4.

2,60 2,710

0,4953

Ց

0,4965

Տ Տ

Չ,80

2,90

3,20| տօ

Յ,40

Յ,60

3,850

4,50 ,

5,00

0,4938 0,4971

0,4981

գո

0,49931

0,49966

0,499841

0,499927 0,499968

01969927.

|

| 0,800000

|

.

.

.

-

ՀԱՎԱՍԱԲՌՒՄ

ՆԵՐ

Տ 1. Խնդրի դրվածքը: Մարմնի շարժման շավասարումը, երբ միջավայրի թյունը "ամեմառական Լէ արազությանը: Շղքայագծի ճավասարումը

0,4918

2.50

ԱՎՐԱՆՎ

.

,

ԳԼՈՒԽ

2,40

0,4599 4,09

0,4641

Փա

ԲԱՎՐԱ

,.

դիմադրու,

Հավատարումներ Հառկացո դիֆերենցիալ (ըեդձանուր Խնդիր

Համասեռ

7.

Ց.

911.

813. 8141.

.

.

.

.

աա

.

.

.

,

.

.

.

'

ի

.

.

,

.

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ Կլերոյի Ճավառարումը

ագրանժի Է

ոչՀ-1(:)

ՏՏ

Հավասարման ,

.

Հավասարումը Հդտագծնր

1իցոր տնոբի

ղակի լուծումները

Տ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ցց

ԲՈԳՐԿՈՅՈԿՈՅՈՑՈԳՐ

Սրքոգոնալ 315. Նո 17: հաաա. ոյա Ո4Ի Էարցի իզոգոնալ Պազատարումոր եղանա Ո

ԱԱ»

ԱԱ

Կորերի ընտանիքի սլարուրիչը

819.

յաղի Կն 22

.

.

.

.

ԳԱԱ

ՀՏԱԿՐԱՐԱՐԱ

ամանը Հավասարումներ

բերվող «ճավասարումներ Աոաչին կարգի գծային ճավտոարումներ Բեռնուլիի "ավառարումը

6.

818.

.

-

ՀԱԱ ա

Հ Տ12.

՛

։

Սաչմանումներ Առաջին կարգի Անջատված ն անջատվող փոփոխականներովՀավասարումներ.

2.

Հավասարում

Ց

`

՞

այ..

թանի Հավասարումների .

հրկրորդ կարզի դիֆերենցիալ տիպեր. որոնք մի են առաջին կարվի չավառսարումների:Խնդրի երկրորգ արնեդերական

բերվում

արադության վերարերյալ

.

.

.

.

-

.

.

.

-

.

.

.

երկրորդ կարգի մժրոդը Գծային Համասեո

Տ 19.

կան

Հավասարման

Սիֆոն

բեդ Հավասարումներ: դաշմանումներ Հատչանուր կություններ Տ21. ժաստատուն տործակիցենրով րկրորդ կարգի "ավասարուժներ

820.

|

:

ւ

:

ԱՐԱՏ

823.

Ո-րղ

գործակիցներով

չաստատուն

կարգի

րբուժՖեր

ԱՆԱՆ

Ն

.

.

.

.

«ամասեո զպժծային

.

.

.

.

.

»ավասա-

.

.

գծային Հավառարումնք Երկրորդ կարգե անչամասնո դորժակիցներով անչամասնեո երկրոբդ կարգի ճաստատուն

21.

-

ԲՈՐ

Հարկադրական տատանումներ

ԿՈՐԱԳԻԾ

ՏՈ

Տ5.

83. Հ մ.

ԲՈԳՈՈԳՈՈԳՐ

Տ

2.

Տ

տ.

ճոզառարարորի զուն գործակիցներով տեսության մասին: լայունության Տ Լյապունովի Դիֆերենցիալ գիքնրեյիալ

:

:

:

`

հավասարմանճետաղզծիվարքը ելակի կետի չրչակայջում 842. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ 'ավասարումների մոտավոր լուծումը

Էլեբի

:

833.

մեքողու

Տ. Տծ.

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

ԵՎ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

կորադիժ ինտեգրալ

ԳՈԿՈԿՈԳՈՈ

Դ

ԸՍՏ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹԻ

ԱՐԱՐԱԾ

Հաջվումը

կորաղիժ ինտեգրալի

Գրինի բանաձեր Ինտեդրմանճանապարտչից

.

կորագիծ քնտեգրալի անկախության պայմանՄակերնութային ինտեգրալ ԱՐԱՏՏԱ.

ԱՐԱՐԱՏԱՅ

.

ՐԱՆԱՏՆՏԱՐՐԱՆ

ԲԱՐՈՐԱ

Մակերնուքային ինանգրալի Հաշվումը բանաձեր Սաո, նատրողրադակու բանաձնը Համիլտոնի օպերատորը: նրա ժի Վարձություններ 41 գլրի վերաբերյալ .

9.

.

-

.

ԲԱՏՐԱՐՁՈՐԿՎ`

ԱՐԱՐԱՐԱՐԱՆԱՐԱՆԱՆ

Ա`

ԱՆԱՆ

.

.

.

ի

.

ները

:

.

ԼՈՒՆ

ՎԼ

ձավասարումների Համակարգեր :

.

կոմպլեքս

ն ՓՈ»

ՏՅՐՅՈՅՑՈՑՈԿՈՅՈՅՈ

4428. Սովորական դիֆերենցիալ Հաստատուն 390. Համակարգեր Տ 31. Գայառիար

.

.

ՉՄ

ՑՔ

ԵՐԳՐՅՈԳՈ»

.

.

Ո

1.

դժալին

.

828.

ն

Իներցիայիմոմենաը ծանրության կենտրոնի կոորդինատները Հճաշվումը Պարամետրից կախված ինտեգրալների գլխի վերաբերյալ ՎարժություններՈ՛

1Վ. 1».

.

Հավատարումենր

ՈՐՈ

-

.

Հավասարումներ Տ25. Բարձր կարգի գծային անչամասնո 8426. Մեխանիկական տատանումների դիֆերենցիալ »ավառարումը Տ22. Աղա տատանումներ: Հարմոնիկ տատանումների վեկտորական դատնրումը

Տ

ե

Համասեռ

822.

զրաֆիկա-շ

ինանգրման

ԱՐ

ա22

թանի կիրառությունները .

.

.

.

.

,

.

.

.

.

.

ւ.

մոտավոր մեո, Դիճերենդիալ Հավասարումների լուժման տարբերական

որը

:

.

չիմնված Լ Թեյլո բահաձնի վրա։ Աղամոր մեթողը Համակարգի Հավասարումների ղիֆերենցիալ

փետնգրման

.

Տ 34. Աոաջին կարդի

մոտավո

մեթոդ

Վարմություններ

.

ՃԱ

պլեի վերարերյալ .

.

,

.

.

.

.

.

.

:

:

յ

,

Ր

ՇՆՐՓԵՐ

Տ. Տ3.

Տ-Վ.

ԳՎՈՒԽ

Հ.

Տ

ԲԱԶՄԱՊԱՏԻԿ

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

6.

Տ.

ՏՏ.

կրկնակի ինտեղրալ Կրկնոկի ինտեգրալի «աշվումը Տ38. Կրկնակի ինտեդրալի "աշվումը Հ 4. Մակերեսների հ ծավալների չաշվումը կրկնակի ինանդրալների Տտ. Կրկնակի ինանհգրալը բնմուսյին կոորդինատներով Հ6. Փոկոխականների փոխարինումը կրկնակի ինտեգրալում (ընդանուր Տ2. Մակերնույքի մակերեսի "աշվումը Տ 6. նյուժի բառլման խտությունը ն կրկնակի Տ9. Հարք պատկերի մակերեսի իներցիալի մոմենույ Տ/0. Հարք պատկերի մակերեսի ժանրումյան կենարոնի կոորդինատները ՏԱԼ. եռակի ինտեդրալ Տ 13. եռակի ինանդրալի Տ 19. Փոփոխականներիփոխարինումը եռակի ՏՈ ՏՀ.

.

.

.

.

.

-

.

.

.

.

-

.

.

.

,

.

Հաշվումբ .

:

.

:

.

.

.

.

.

.

-

ա

.

.

.

.

.

.

ի

.

-

.

Հ

Տ10.

է

`

:

։

:

-

.

.

.

2/6

9.

Դրական անղամներով շարքերի Դալամբերի ճայտանիշը

Հայտանիչը Բազգատումը՝ .

՛

.

.

.

,

.

.

Կոշիի ռալտանիշլ Զուղամիտության

-

ինտեգրալային Հայտանիջը՝ .

.

.

.

.

.

Հերքաղալող նշաններով շարքեր: նայլնիցի քնորեմը նշանավոխ շարքեր: Բացարձակ ն պայմանական -

-

.

-

.

.

.

.

.

.

.

ի

.

.

.

-

.

'

.

.

`

.

:

|

.

.

.

.

.

.

.

.

`

:

.

.

.

:

.

:

.

.

,

.

.

.

.

՝

:

-

:

ի

.

ի

:

աւ

-

.

.

:

:

.

,

.

.

:

.

.

.

.

.

,

.

-

.

չ2

-

շարքի: Լոգարիքմմերլուծությունը առաիչանալին .

Յ14

.

.

43400

ւ.

.

.

,

:

.

.

.

»րինաւկներ .

.

.

..

Մաժորացվող շարքեր ՏԱԼ Շարքի զումարի անընդչատությունը Տ12. Շարքերի ինաեգրումը նե դիֆերենցումը 8/3. Աստիճանայինշարքեր: ՋԶուգամիտության միջակայք ՀՈԼ. Աստիճանային շարքերի դիֆերենյումը 815. Շարքեր ըսա (Ճ-Յ)յ-ի աստիճանների Տ 1ոշ. Ռեյլորի ն ՆՄակլորենի չարքերը Տ17. Ֆունկդիաները շարքերի վերածելու 815. էյերի բանաձեր ՏԱՏ. հրկանդամային չարք Տ20. լո(/ Վ) ֆունկցիայի

աշվումը

-

.

դուղամիաություն

Ֆունկցիոնալ շարբեր

ների

..

.

.

.

.

՛

.

.

.

.

ի

.

.

..

ի

.

է222

.

.

.

,

'

.

ի

Լ

.

կետեդրալում` -

.

-

.

:

.

եալ)

.

ինտեղրաւլը .

-

(բարունակություն) միջոցո .

Շարք: Շարքի գումարը Շարքի ղուղամիտության ան"րամեշա .

52.

ՎՈՒԽ

-

-

ՊՈԼ

646,

Որոշել ինտեգրալների Ճճաշվումըշարքերի օգնությամբ շարքերի միջոցով Դիֆերենցիլ Հավասարումների ինտեգրումը Տ23. Բեսելի ճավասարումը Տ24. Կոմպլեքս անղաժներով շարքեր կոմպլեքո փոփոխականով աստիճանային Տ26. Առաջին կարգի ղիֆերենցիալ Հավասարման լուծումը «Հաջորդականմոտեցումների մեթոդով (իտերացիայի մեթոդով) Տ22. Դիֆերենցիալ ճավասարման լուծման գոյության

521.

.

522.

.

'

.

.

ի

825.

.

ի

.

.

սխալանքի գնարյատականը Տ 28. Գիֆերնեցիալ Հավասարման լուծման միակության թեորեմը գյխի վերաբերյալ Վարժություններ ժամանակ կատարած

Վ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

-

ի

ֆունկցիայի

-ամար

.

.

.

.

.

.

.

ա

ժասին

.

.

ւ

.

,

9...

ս.

.

.

.

.

513.

նե

շետա-

Դիրիթլեի ենդրի

լուչ-

ճառժե շրջանադ

երի վրւս

.

ի

.

.

.

.

.

ի

ի

.

.

.

.

.

,

.

.

.

Կույո ղափար Փու դցիոոամ վերլուծության ր չ"'Հրի» հոր իու ԼԱՐ զլխիի ԱՆԱ

տարածության մասին: Հ

շարքի

ուրլեի

արժություններ

վերաբերյալ

ն

՝

Դ

Համանմանություն

վեկտորների

.

վերլուծու-

Մ

'

'

'

,

'

մ)7.

:

Տ

Սղղրնական

Օր(է,

2:

ՏՈՆ

աեր

ՎՈՅՆՁէ,

05: Շ058

ո աո եի արորը Կար կաթ ֆունկցիաների ատ 6081 ֆու կցի

ն

85.

ն

'

դցիան "հ

"Բ"ՊԱ

.

ՖԻԶԻԿԱՅԻ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

.

Հ

420)

ի

-

ի

ի

,

.

.

՝

՝

|

՛

:

'

.

,

:

յ

:

՝

.

,

.

.

.

.

.

:

.

.

.

.

.

.

.

.

Ը

.

,

.

.

.

.

.

813.

814.

.

.

.

,

դիֆերենցիալ

Փարաքման թեորեմը Մեխանիկական տատանումների

:

.

.

.

.

,

.

լուծումը

վպիֆերենցիալ Հավասարման

Աղատ տատանումների ըետաղուտությունը տատանումնե Մեխան ետաղուուվյունը 17. Ար խայիլաա ն ն էլելրորական բերական արտաքին ուժերի ղեռլքում լուծումը տեղսնանսի ղեռքում ՏԱՏ. Տատանումների չավառարման Տ 19. Ուշացման

որ

թեորեմը

Վարժություններ

ն

ք

նրա

«

.

.

.

սլատկերը

գլխի վերաբերյալ

1:

ասր-

:

-

.

.

:

.

.

Ր

Լ

էլեկտրաչավասարումնել: իֆերեեցիալ

կան շղթաների տեսության ղիֆերենցիալ դավասարումներ

Տատանումների

.

.

ԱՆԱՆՈՐԱՆ

ԲԱՐ

ա» .

Հ 20. Դելոա-ֆունկցիան

ոշ

ի

ո

.

՛

`

,

.

ԵՐԿՈՒ

.

Մաթեմատիկականֆիղիկայի չ«ավասարումների «իմնական տխդերը մարի ստանան ըԴավասարման արտածումը: Սայրայինխնդրի ձնակերսղումր։ է էլե լումը: Հաղորդալարէրում էլեկտրական տատանումների .«ավառարուժների

արտածումը

.

՝

'

Տ16.

ՄՆԹԵՄՆԱՏԻԿԱԿԱՆ

6 -ՀԷ ՇՕՏու ֆունկցիաների սլատկերները Տ 6. 6-ռե. տիե, «հճե 6 -ուՏլոռԵ ֆշ-. Պատկերի ղիֆերենցումը նե նե ժաննմծանցյալների (8. «լատկերը ՏՅ. Տ 8. Մի քունի սլատկերների աղյուսակ 810. Տրված դիֆերենցիալ Հավասարման «ամար օժանդակ Հավասարում ժման 811. Վերլուծմա թեորեմը Հավասարումների ն դիֆերենցիլ 812. Օպերացիոն ժեթողով Հավասարումների Համակարգերի լուծման օրինակներ

Տ15.

ԳԼՈՒԽ

'

փոփոխվա:

մ մասշտարը

Պակությունը '

.

.

.

'

ՐԸ

ատ պատկերը

Պատկերի զծայնության Տեղաշարժման թեորեմը

Տ4.

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ՄԻ ՔԱՆԻ

ԵՎ ՆՐԱ

.

ՆՈՒՐ

:

,

'

ԿՈԿՈԳՈՏՈՈ

.

Գ

ս,

.

ՀԱՇԻՎ

ՑՊԵՐԱՑԻՌՆ

ւ

396 ւ

՝

ԳԼՈՒԽ

Ս

ՂՐ:

.

'

ԵՈ

ձնակերպում

խն ն խնդիրների ձրակորպուը գոտությանը: Ծայրային կոորդինատներով: գ լանային չՀավասթրումը: Լապլասի ն ծումն այնպիսի օղակի "ամար, որի ներքին ն ալոուբին

ՏԻ

ՅՋ

:

1.

9.

Ց

ւ

ԱՏԱՆԱ

810. Ֆուրյեի 7 արքի ղուգամիտուցյան / մի Ք քանի բոզարար բավարարպայմաննե «րոմրանեոբ: 511. Գործնական Հարմոնիկ անալիզ 512. Ֆուրյեի շարքը կոմպլեքռ տեսբով ինտե Ֆուրլեի 813. ուրյեի ինտեղբալը Տ Ֆուրյ , տէ լ Ժոյյէ ե ինտեղրալը կոժպլեքա ատնսբով 315. Ֆուրյեի շարքն րոտ ֆունկցիաների օրթոգոնալ«ամակարդի .

.

հոանկլունաչավական

'

-

տրված կեոժմ դուղամիտություն,

.

-

ԱՏԱՆԱ

:

շարքի վերլուձունյան ի

.

ւ

:

.

Ֆուրյեի Ոչ ռ"լարբնրական: ֆունկցիայի

'

.

'

.

-

ՀՏ 4.

.

.

.

եզրի ալրային .

րինակձեր վերլուծության Ֆուրյեի շարքի ,երլուծելու կենտ ֆունկցիաների Համար

Տրված ֆունկցիային միջին իմաստով մոտարկումը րացմանդամի միջոցով Տծ. Դիրիխլեի ինտեգրալը 89. Ֆուրլնի շարքի

Հավասարման

.

.

.

ՇԱՐՔԵՐ

ֆ 4. Ֆուրյեի շտրբերը վլուլդ ն ՖՏ5. Ֆուրյեի շարքը 41 պարբերությամբ

816.

-

'

մեթոդով վերջավոր տարբերությունների տարածումը անսաշչմանափակ ձողում երմության Խնդիրներ, որոնք բերում են Լապլասի Հավասարման լուծումների

88.

ծ

.

.

Ջնրմաշաղորդականության

87.

Ո

ջ-

.

.

«եջ յարաժության տարածումը ճամար առաջին

երմության

խեղրի

Սայրային

.

ւ

Կ.

2.

.

ավարա

լուծումը

.

կերպումը

8.6.

:

տարածման

Զողումչնրմության

4.

Ց5.

'

ծ

ձնա-

եթող» եերի,

ե ե երարերյալ

Տ2շ.

ի

.

.

-

լ... արժեքներ սրոնվող ֆունկցիան ունի Հաստատուն "ամար շրջանի 510. Դիրիխլեի խեդրի լուծումը 811. Դիրիալեի հանդրի լուծումը վերջավոր տարբերությու պլխի վերաբերյալ Վարժություններ 4311

.

6.

-

.

.

ՏԱ Սաշմանում։ Խնդրի դրվածքը ՏՀՉ2. Ֆունկցիաների՝ Ֆուրյնի շարքերի 83. Մի դիտողություն ոլարբնրական ֆունկցիան

վ

.

լուծումը փոփոխականներիանջատման Լարի տատանումների Հավասարման մեթողով) մեթողով (Ֆուրյեի

3.

.

ԳԼՈՒԽ

ՖՈՒՐՅԵՒ

Տ

-

՛՛

.

-

ապացուցումը: Մոտավոր

"ՈՀ

լուծման

.

Ց

ե.

-

.

.

չարբեր

.

.

ի

.

.

.

-

.

:

.

ր ՆՋ

Ի1/ԻԽ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ՏԱՐՐԵՐԸ

ԹՅԱՆ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒ-

328. Տ

29.

Տ

Տ

Պատա:ույթ:

Պատաճույթի յՀավանականությունը: .

Հավանականություններիտեսության դասական Հավանականության

Տ4.

անմիջական ճաշվումը.

'

.

առարկան

,

.

-

-

-

-

Մ.

.

94.

-

հավանություն Բայնսի րբանաձեր ծ Հիոքգների Հավանականություն: Տ հիսնրետ պատաձական .

ո:

,

ի

.

,

ւ

,

,

.

ւ

.

7.

մեծություն:

բաշխման

98.

օրենքը

Հարաբերական

:

Դիսկրետ

յ

Լ

.

.

.

.

.

.

Տ12, Անցեգ»ատ

ի ջու մւճությո, (ցիաներ / ուննե /

սլատաՀական

ուն

ն

մեծություն:Անընը շատ .

հաշման

ութ

814. ՏՆ

416.

թարԻ»Ար .

.

ատա

տվյալ

.

.

/36

չական մեջության :

միջակայքն

'

.

.

բն-

"

:

բնութագրերը, .

.

թա

ԱԱ որմալ

ն

ս

՝

.

պատումը

.

Տ 12. Պատա:

ԵՎ ՆՐԱՆՑ

:

,

.

'

նորմալօրենքին նեքարկվող պլատա"սկան մեծությանդիսսլեմիջին քառակուսային շեռումը կան մեծության արժեքի՝ տվյալ Հավանա-

միջակայբն բեկնելու .

աի

բաշխման

ֆունկցիան: ամար

ւ.

.

.

.

.

Հավանականշեղում կամ 819. Բաշխման նորմալ օրենբի արտաճայտությունլ: ջոցով: կալասի բերված ֆունկցիան ՝

-

-

-

.

.

`

-

,

-

.

.

.

ի

Թու»

ուքնունը

չական մեծություն ւ

արնոտ բաշխման

ւատա՝

բ խար օրկչաի ատա Չ

՛

:

,

բաշխման ի

:

ի

յ

յ

բնուքագրնրի

'

-

լ

ւ

միջն

Է

:

:

ւ

:

.

.

.

-

-

ւ

ալ.

:

.

56»

եղած

,

օրենքը Հարության վրա սական մեժությունը ց րման գլխավոր ղուգաՏե կողմեր ունեցող ուղղանկյան մեջ ընկնելու բաշխչավանականությունը ման նորմալ օրենքի դեսլքում

Տ2Չ6. երնչավիճւլատարական ցրման էլիողսի մեծությունը

6`2

`

Ր

,

2. Լ.

.

|

չափր։ Սխալների ճշղրտության

..Դ

-

առանցքննրին .

,

ի

Մեջընկնելու Ճավա-

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ԳԾԱՅԻՆ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐԻ

գ

ԳՐԱՌՈՒՄԸ

-

.

Հ. Մատրիցայի զազավարի հալված Բոզ" նա

Հոտ

,

.

Հմանուին արաղում ։

Հակադարձ Դատրիցա մատրիցայի Հակ ոմա մատրիի Տրված

2.

է

ԴՊՐՈՑ

Գժային առում

"

էլ

դԻ ա լո ձ

-«ավասարումների

"

մա

աքՄ

Համակարգի

ն

նրս

Տ10.

գումարումը .

-

.

.

ո

.

.

մատրիցույին

լուծման

)

"

լուծումը Պամակարգի Գժայինյավասարումների

9.

ա

յ

'

իմո նք ր

ի

ուրիշ վեկտորի

"

Տ բ Տ. Տ

ՄԻ

Մատրիցայի միջոցով վեկտորի

,

'

"

4.4.

Տ2. 56.

ի

7"

3. Հակադարձ ձնափոխություն Մատրիցաների Տ մատրիցաների կատմամբ: Գործողություններ

մատրիցային

մեթոդով

Օրքոգոնալ արտապատկերումներ։

0ժրքոգոնալ ժատրիցաներ

հժային Գժային ձնափոխության

Քորոն

:

Ա.

'

«ոարոխուքյան (ոլթորա բալխային "րի մատրիցա, դոզքում սնհփական վեկտորներն Տ 13. Գժային ձնափոխության մթին մատրիցայի տոլ ձնափոխությունը բաղիից. 87. 819. :

աան

:

Մատրիցայի ուսնգը, ժային

դոյությունը

:

:

դիֆերենցումն `

ի

:

ի

:

Տ18. Տ 19.

ըդ

.

՛

'

:

Է

:

մաորի-

:

:

ի

.

-

մեքողով՝

.

.

մատորիցալին

.

.

.

-

ի

-

.

-

,

:

ի

ի

Ն

ՀԱՎԵԼՎԱԾՆԵՐ

դիֆերենցիալ

համակարդի լուժումը ՞աջորդաբար մոտեցումների դրատոման օդտաղդործմաւիբ Վարժություններ 111 գլխի վերաբերյալ .

:

՞

.

գծային

ցործագից

՞

տրառումբ Հավասարման մատրիրային "ավասարումների ՛

կարգի ղվծային Փոփոխական գործակիցներով

Ո-

.

չուժումների ՝

Տ16. Մատրիցուների ինուգրումբ Տ17. Դիֆերենցիալ Հավասարումների «Համակարգերին չՀառտատուն ներով զիֆերենցիալ ճավասարումների առմակարդերի լուծումների ու

'

ի

.

-

ճավասարումների չամակարգի

:

պային գրառումը

են

անցնելիս . դրանց Գնաիոլու 1 ձեերը թ.ունեէրը 14.Քառակուռույ

915.

.

'

ւ

.

.

:

«րոլ Հավանական Հետման Հավանական միՏ 20. Հավանականությունների ոն սիգմաների կանոնը: Սխալներիբաշխման սանգպակը Տ21. Միջին Թվաբանական խալ Տ22. Տ18,

՝

Հ

աախաաաոն հատրիցա ժային

ա Տ

Տ

Բաշիման ինտեգրալային ֆունկցիան

.

՛

"

ԲՈԵՐԵՈՒՐՒՈՒՐ

|

բաշխման ինտնդրալային օրենքը: Հավանակալուն Թ12 Առայժմ լ, բաշիսման օրենքը մե. Անընգբատռւպլատաճական ժության թվային ' աշխման նոր ալ օրենքը: նորմալբաշխման մաթեմատիկական

բսրան

|

ա

բաշխման խտությունը: Ձատաշական մեծության՝ կրելու չՀավատնականությունը

թ.

ՄԱՏՐԻՑԱՆԵՐ:։

.

մարքմատիկական

Պատաշաքան ,

ՆՄ

ԴԼՌԻԽ

|

.

մասին

ն

կանությունը կրկնվող փորձարկումների դեպքում Դեսկրետ ս" (ատաճական Մեժության ուղասումը Տ 10. Դիսպերսիա: Միջինքառակուստյին չեղում: Հասկացություն մոմենտների Տ11.

ապպլա թեռրեժը,

՝

՝

՝

դլատատական մեծության

-

Լի

-

՛

ԵՐԵՐՈՒՄ

Վարարերական Համախությունը Համախության Հավանաի

Հիստոգրամ Վիճակագրականչարք. Չափվողմեփության Հարմար արժեքի որոչումը

՛

նլո դոթ

.

Անկախ պատատույթներիՀավանականություններիբաղմաղ աւկուժը կախյալ պատաձույթներ։ ՊայմանականՀավանականություն: 1րիվ «ավա-

95.

ի

.

գումարումը: Հակադիր Հավանականությունների պատաույթներ

93.

Մաքեմատիկական

'

Հավանականությունների

ն

.

՛

'

նե

ն

ն

թեորեմը սիրՍարեր Վարժորյուններ

505»

.

(իազազրորը»

վիճակադրասկան Գիակապարան Իետիրենոը,

.

.

Բաշխմանօրենքի պարամետրերիորոշումը: էյապունովի

ՅՈ,

աաա.)

սաշժանումբ .

ի

հականությունը

-

.

.

.

.

.

.

.

'

ՆԻԿՈԼԱՅ

ՍԵՄՅՈՆՈՎԻՉ

ՊԻՍԿՈՒՆՈՎ

ԴԻՖԵՐԾՆՑԻԱԼ

Թարգմանիչ`Հ.

ԵՎ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

ՀԱՇԻՎՆԵՐ

Հ. ԲԱՄԹԱՅԱՆ

խմբագիր՝

|Վ. Խ. ԹՈՐԳՈՄՅԱՆ

Մասնագետ

Խմբագիր՝ Ի. Հ. Պողոսյան Տեխն. խմբադիբ՝ Ա. Կ. Տոնոյան Գեղ. խմբադիբ՝ Խ. Հ. Գյովամիոյան Ս. Հ. Ջավախյան Վերստուգողսբբադրիչ՝ Գ. Ն. Եբզնկյան, Պատվեր

Տպաքանակ2006'

279թ.։ Ստորագրվածէ տպադրութցյան 18.10.1929 թ.։ Հանձնված է շարվածքի 15.03. 3, 605Հ901/:։ Բարձր Թուղթ 74: տադրություն, տառատեսակը գրքի սովորական 15 կ.։ 119 7425 Տոլազր. 41.0 մամուլ, ճրատ. 3645 մամուլ Գինը 1 «վույս» Հրատարակչություն, երհան-8, Կիրովի փ. 19ա։ 1118161Ե618Օ 44186», Ձքօոճք-9, ֆոտ. 11Քքօոռ198. ո.

4ԱՍՀ Հրատարակչությունների, պոլիդրաֆիայի

ե պրթի առետրի գործերի պետական տպարան, երհան, Ալավերդյանփող. 47 65: 1013Ո316ՂԵՇՒՑ, ՂոոօրքճֆոտԻՋ է Րօշռօտաուծլճ Ճճքխ,ՇՇՔ ոօ բշղտո

կոմիտեի 21

տորքոֆոտո

ՃՈռճոօի

տօքրօՕրամ,Քթօտոո 7տ.

Ճոճտօքղուն,68,