ԳՐԱՖՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Պ.Ա. Պետրոսյան, Վ.Վ. Մկրտչյան, Ռ.Ռ. Քամալյան

ԳՐԱՖՆԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՁԵՌՆԱՐԿ

ԵՐԵՎԱՆ

ԵՊՀ ՀՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ 519.17(07) ԳՄԴ 22.176 ց7 Պ 505

Հրատարակության է երաշխավորել ԵՊՀ Ինֆորմատիկայի և կիրառական մաթեմատիկայի ֆակուլտետի խորհուրդը

Պետրոսյան Պ.Ա., Մկրտչյան Վ.Վ., Քամալյան Ռ.Ռ. Պ 505

Գրաֆների տեսություն: Ուսումնամեթոդական ձեռնարկ/ Պ.Ա. Պետրոսյան, Վ.Վ. Մկրտչյան, Ռ.Ռ. Քամալյան; ԵՊՀ. – Եր., ԵՊՀ հրատ., 2015. – 214 էջ:

Ուսումնամեթոդական ձեռնարկն ընդգրկում է ԵՊՀ Ինֆորմատիկայի և կիրառական մաթեմատիկայի ֆակուլտետի «Գրաֆների տեսություն» դասընթացի նյութը: Ձեռնարկը պարունակում է բազմաթիվ արդյունքներ, որոնք օգտակար կլինեն ինչպես բակալավրիատի ուսանողների, այնպես էլ մագիստրանտների և ասպիրանտների համար: Ձեռնարկի նյութը կարող է ուսումնասիրվել նաև սեմինար պարապմունքների ընթացքում: Նախատեսված է ԵՊՀ Ինֆորմատիկայի և կիրառական մաթեմատիկայի ֆակուլտետի ուսանողների համար:

ՀՏԴ 519.17(07) ԳՄԴ 22.176 ց7

ISBN 978-5-8084-1995-7 ¡ ԵՊՀ հրատ., 2015 ¡ Պետրոսյան Պ.Ա., Մկրտչյան Վ.Վ., Քամալյան Ռ.Ռ., 2015

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Նախաբան............................................................................................................................................ 5 Հիմնական նշանակումներ ............................................................................................................... 7 Գլուխ 1. Գրաֆներ: Հիմնական սահմանումներ և պարզագույն հատկություններ ............... 9 1.1. Գրաֆի սահմանումը, տեսակները և տրման եղանակները ........................................ 9 1.2. Աստիճաններ, ենթագրաֆներ և ճանապարհներ ........................................................ 15 1.3. Գործողություններ գրաֆների հետ ................................................................................. 24 1.4. Գրաֆների իզոմորֆիզմ, հոմոմորֆիզմ, ավտոմորֆիզմ և գրաֆի ավտոմորֆիզմների խումբը ....................................................................................... 33 1.5. Էքստրեմալ, կցության և հատումների գրաֆներ ......................................................... 38 Գլուխ 2. Գրաֆների դասեր ............................................................................................................ 48 2.1. Կապակցվածության բաղադրիչներ և կապակցված գրաֆներ.................................. 48 2.2. Երկկողմանի գրաֆներ ...................................................................................................... 51 2.3. Ծառեր................................................................................................................................... 54 Գլուխ 3. Կապակցվածություն........................................................................................................ 63 3.1. Միակցման կետեր և կամուրջներ ................................................................................... 63 3.2. Կապակցվածություն և կողային կապակցվածություն................................................ 67 3.3. -կապակցված և -կապակցված գրաֆներ .................................................................. 70 3.4. -կապակցված և -կողային կապակցված գրաֆներ, Մենգերի թեորեմ ................ 79 Գլուխ 4. Գրաֆների շրջանցումներ .............................................................................................. 84 4.1. Էյլերյան ճանապարհներ և ցիկլեր .................................................................................. 84 4.2. Համիլտոնյան ճանապարհներ և ցիկլեր ........................................................................ 91 Գլուխ 5. Անկախ բազմություններ, զուգակցումներ, ֆակտորներ և ծածկույթներ ............ 104 5.1. Անկախ բազմություններ և ծածկույթներ ..................................................................... 104 5.2. Զուգակցումներ երկկողմանի գրաֆներում և

−

թեորեմներ .................. 107

5.3. Զուգակցումներ գրաֆներում և Տատտի թեորեմը ...................................................... 117 5.4. Ֆակտորներ և տարբեր ֆակտորիզացիաներ ............................................................. 125 Գլուխ 6. Աստիճանային հավաքածուներ .................................................................................. 135 6.1. Պսեվդոգրաֆների և մուլտիգրաֆների աստիճանային հավաքածուներ .............. 135 6.2. Գրաֆային հավաքածուներ ............................................................................................ 141 6.3. Տրոհվող գրաֆների և կատարյալ զուգակցում պարունակող գրաֆների աստիճանային հավաքածուներ ............................................. 147 Գլուխ 7. Հարթ գրաֆներ................................................................................................................ 151 7.1. Հարթ գրաֆների պարզագույն հատկությունները ..................................................... 151 7.2. Հարթ գրաֆների նկարագրությունը. Պոնտրյագին-Կուրատովսկու և Վագների թեորեմները .................................................. 159

7.3. Արտաքին հարթ գրաֆները և Հարարի-Չարտրանդի թեորեմը .............................. 165 7.4. Գրաֆները մակերևույթների վրա, գրաֆի սեռը և խաչումների թիվը .................... 168 Գլուխ 8. Գրաֆների ներկումներ ................................................................................................. 175 8.1. Գրաֆների գագաթային ներկումներ ............................................................................ 175 8.2. Գրաֆների կողային ներկումներ ................................................................................... 192 8.3. Գրաֆների տոտալ ներկումներ ..................................................................................... 204 Գրականություն .......................................................................................................................... 211

ՆԱԽԱԲԱՆ Գրաֆների տեսությունը դիսկրետ մաթեմատիկայի հայտնի և արդի ճյուղերից մեկն է: Այն սկիզբ է առել 1736 թ. Լ. Էյլերի կողմից դիտարկված և լուծված «Քյոնիգսբերգյան կամուրջների» հանրահայտ խնդրից: Գրաֆների տեսության հետագա զարգացումը ցույց տվեց, որ այն սերտորեն կապված է մաթեմատիկայի մի շարք բաժինների հետ, որոնցից են` խմբերի տեսությունը, ավտոմատների տեսությունը, մատրիցների տեսությունը, կոմբինատոր

անալիզը,

հավանականությունների

տեսությունը,

տոպոլոգիան,

բարդության տեսությունը և այլն: Մյուս կողմից, բազմաթիվ են նաև այն գիտությունները, որոնցում գրաֆների տեսությունը լայնորեն և արդյունավետ կիրառվում է. ֆիզիկա, քիմիա,

կենսաբանություն,

գենետիկա,

տնտեսագիտություն,

հոգեբանություն,

լեզվաբանություն և այլն: Այս ամենը կարևոր են դարձնում «Գրաֆների տեսություն» դասընթացի ուսումնասիրությունը: Ուսումնամեթոդական ձեռնարկը գրված է Երևանի պետական համալսարանի Ինֆորմատիկայի

և

կիրառական

մաթեմատիկայի

ֆակուլտետում՝

«Գրաֆների

տեսություն» դասընթացի՝ հեղինակների կարդացած դասախոսությունների հիման վրա և ընդգրկում է նշված դասընթացի ուսումնական ծրագրով նախատեսված նյութը: Ձեռնարկը պարունակում է բազմաթիվ արդյունքներ, որոնք օգտակար կլինեն ինչպես բակալավրիատի ուսանողների, այնպես էլ մագիստրանտների և ասպիրանտների համար: Ձեռնարկի նյութը կարող է ուսումնասիրվել նաև սեմինար պարապմունքների ընթացքում: Ձեռնարկը բաղկացած է ութ գլուխից: Այդ գլուխներն ընդգրկում են գրաֆների տեսության դասընթացի երկրորդ կուրսում կարդացվող թեմաները՝ գրաֆներ, գրաֆների տրման եղանակներ, գործողություններ գրաֆների հետ, երկկողմանի գրաֆներ, ծառեր, կապակցվածություն, էյլերյան և համիլտոնյան գրաֆներ, ֆակտորներ, զուգակցումներ, անկախ բազմություններ և ծածկույթներ, հարթ գրաֆներ և գրաֆների ներկումներ, որոնք հիմք են հանդիսանում հետագայում դասավանդվող մի շարք առարկաների համար: Գրքում օգտագործվող նշանակումների համակարգը հիմնականում վերցված է D. B. West, Introduction to Graph Theory, Prentice-Hall, New Jersey, 2001, J. A. Bondy, U. S. R. Murty, Graph Theory, Springer, 2008 և Ф. Харари, Теория графов, Пер. с англ.-М.: Мир, 1973 գրքերից: Որոշ արդյունքների ապացույցներ իրենցից ներկայացնում են հոդվածներում բերված ապացույցների վերամշակված տարբերակներ: Հեղինակները շնորհակալություն են հայտնում Ռ.Ն. Տոնոյանին, Հ.Ց. Հակոբյանին, ԵՊՀ դիսկրետ մաթեմատիկայի և տեսական ինֆորմատիկայի ամբիոնի աշխատակիցներին, ՀՀ ԳԱԱ Ինֆորմատիկայի և ավտոմատացման պրոբլեմների ինստիտուտի «Գրաֆների տեսության էքստրեմալ խնդիրների» լաբորատորիայի աշխատակիցներին` ձեռնարկում ներկայացված նյութի բովանդակության և շարադրման եղանակի հետ

կապված հարցերում օգտակար առաջարկությունների և դիտողությունների համար: Վերջում հեղինակները շնորհակալություն են հայտնում այն բոլոր ուսանողներին, որոնք իրենց հարցերով նպաստեցին շարադրանքի բարելավմանը: Հեղինակները սիրով կընդունեն բոլոր առաջարկները և դիտողությունները:

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒՄՆԵՐ

ℕ

-

ℤ

- ամբողջ ոչ բացասական թվերի բազմություն

ℝ

- իրական թվերի բազմություն

բնական թվերի բազմություն

- ամենամեծ ամբողջ թիվը, որը չի գերազանցում - ամենափոքր ամբողջ թիվը, որը փոքր չէ -

տարրերից

իրական թվին

իրական թվից

զուգորդությունների քանակ

⊆

-

-ն -ի ենթաբազմություն է

∪

-

և

բազմությունների միավորում

∩

-

և

բազմությունների հատում

\

-

և

բազմությունների տարբերություն

× - և բազմությունների դեկարտյան արտադրյալ | | բազմության հզորություն ( ) գրաֆի գագաթների բազմություն ( ) գրաֆի կողերի բազմություն -

և

( ) ( )

գագաթները միացնող կող գագաթի աստիճանը

-

գրաֆում

գրաֆի նվազագույն աստիճան

( ) ( ) -

գրաֆի առավելագույն աստիճան գրաֆում

( ) ⊆

գագաթի շրջակայք

գրաֆում -ին հարևան գագաթների բազմություն

-

[ ] -

-ը

գրաֆի ենթագրաֆ է

գրաֆի գագաթների

բազմությամբ ծնված ենթագրաֆ

−

-

գրաֆից

գագաթի հեռացումից առաջացած գրաֆ

−

-

գրաֆից

գագաթների բազմության հեռացումից առաջացած գրաֆ

−

-

գրաֆից

կողի հեռացումից առաջացած գրաֆ

+

-

գրաֆին

կողի ավելացումից առաջացած գրաֆ

( , )-

գրաֆում

և

գագաթների միջև հեռավորություն

( ) -

գրաֆի շառավիղ

( ) -

գրաֆի տրամագիծ

( ) -

գրաֆի հարևանության մատրից

( ) ( ) ( ) -

գրաֆի կցության մատրից գրաֆի կապակցվածության բաղադրիչների քանակ

( ) -

գրաֆի կապակցվածության այն բաղադրիչների քանակը, որոնք

գրաֆի անտառների տրոհման թիվ

պարունակում են կենտ թվով գագաթներ ( ) -

գրաֆի համիլտոնյան փակում

( ) ( )( )

գրաֆի խաչումների թիվ գրաֆի ցիկլոմատիկ թիվ

-

գրաֆում առավելագույն անկախ բազմության հզորություն

( ) ( ) -

գրաֆում առավելագույն զուգակցման հզորություն գրաֆում նվազագույն գագաթային ծածկույթի հզորություն

( ) ( ) -

գրաֆում նվազագույն կողային ծածկույթի հզորություն գրաֆի սեռ

( ) ( ) -

գրաֆի կապակցվածություն գրաֆի կողային կապակցվածություն

( ) ( ) -

գրաֆի կոշտություն գրաֆի քրոմատիկ թիվ

( ) ( ) -

գրաֆի քրոմատիկ ինդեքս

( ) -

գրաֆի խտություն

գրաֆի տոտալ քրոմատիկ թիվ

-

գագաթ ( ≥ ) ունեցող պարզ ցիկլ

-

գագաթ ունեցող լրիվ գրաֆ - լրիվ երկկողմանի գրաֆ, որի մի կողմը պարունակում է

,

իսկ մյուսը` -

-չափանի խորանարդ

-

գագաթ ունեցող պարզ ճանապարհ

-

գագաթ

թվերի տեղադրությունների խումբ

գագաթ,

Գլուխ 1

Գրաֆներ: Հիմնական սահմանումներ և պարզագույն հատկություններ

§ . . Գրաֆի սահմանումը, տեսակները և տրման եղանակները Դիցուք ( )

-ը

( )

={

}-ը ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմություն է, և դիցուք

բազմության տարրերի բոլոր ոչ կարգավոր զույգերի բազմությունն է: Նշենք, որ

=

: Ենթադրենք, որ

⊆

( )

:

Սահմանում 1.1.1: ( , ) կարգավոր զույգին կանվանենք գրաֆ, և այն կնշանակենք -ով: = ( , ) գրաֆի

բազմության տարրերին կանվանենք գրաֆի գագաթներ, իսկ

բազմության տարրերին՝ կողեր: Եթե անհրաժեշտ է շեշտել, որ գրաֆի գագաթների բազմություն ( -ն հանդիսանում է

=

բաղկացած զույգն է, ապա այդ փաստը կգրենք Դիցուք

գրաֆի կողերի բազմություն),

( ) ( ( )): Եթե

ապա այդ դեպքում մենք կգրենք

-ն հանդիսանում է

∈

կողը

,

∈

գագաթներից

-ով:

= ( , ) և ′ = ( ′, ′) երկու գրաֆներ են:

Սահմանում 1.1.2:

և

′ գրաֆները կանվանենք հավասար և կգրենք

= ′ և

միայն այն դեպքում, երբ

= ′ այն և

= ′:

Նշենք, որ գրաֆները կարելի է դիտարկել որպես հատուկ տիպի համասեռ բինար հարաբերություն, որի հենքային բազմությունը

-ն է: Հիշենք, որ

⊆

×

բինար

հարաբերությունը կոչվում է 

ռեֆլեքսիվ, եթե ցանկացած



անտիռեֆլեքսիվ, եթե ցանկացած



սիմետրիկ, եթե ցանկացած պայմանը. եթե

Նկատենք, որ

, ապա

∈

համար ∈ ,

∈

,

համար

,

համար բավարարվում է հետևյալ

:

= ( , ) գրաֆը կարող ենք դիտարկել որպես

անտիռեֆլեքսիվ, սիմետրիկ բինար հարաբերություն, որտեղ ցանկացած ,

⊆ ∈

×

համար

բավարարվում է հետևյալ պայմանը.

∈ :

այն միայն այն դեպքում, երբ

Ստորև կդիտարկենք գրաֆների տրման մի քանի եղանակներ: Նախ նշենք, որ գրաֆը կարելի է տալ, նշելով նրա գագաթների և կողերի բազմությունները: Օրինակ, =( , )

դիտարկենք ={

,

,

,

գրաֆը,

,

,

,

որտեղ ,

={

,

,

,

,

,

,

}

և

}:

Մեկ այլ եղանակ է գրաֆների տրման երկրաչափական եղանակը, որի էությունը կայանում

է

հետևյալում.

գրաֆի

գագաթներին

համապատասխանեցնում

ենք

հարթության կետեր (տարբեր գագաթներին համապատասխանում են տարբեր կետեր), և երկու կետեր միացվում են անընդհատ կորով, որը չի անցնում մեկ այլ գագաթին համապատասխանող

կետով`

այն

և

միայն

այն

դեպքում,

երբ

նրանց

համապատասխանող գագաթները կող են կազմում գրաֆում: Օրինակ, վերը նշված գրաֆը կարելի է պատկերել հետևյալ կերպ.

v6

v2

v1

v3

v5

v7

v4 Նկ. 1.1.1 Սահմանում 1.1.3:

գրաֆը կանվանենք նշված (կամ համարակալված), եթե այդ

գրաֆի գագաթներին վերագրված են զույգ առ զույգ տարբեր նիշեր: Գրաֆներ դիտարկելիս մեզ համար կարևոր է, թե որ գագաթներն են միացված կողով, և որոնք՝ ոչ: Հատուկ նշենք, որ կետերը միացնող կորի ձևը կարևոր չէ: Օրինակ վերը բերված գրաֆը կարելի է պատկերել նաև հետևյալ կերպ.

v6

v3

v5

v4

v2

v7

v1 Նկ. 1.1.2 Գրաֆների տրման հաջորդ եղանակները նկարագրելու համար տանք մի քանի սահմանում: Դիցուք

∈

= ( , )-ն գրաֆ է, ,

և , ′∈ : ∈ :

գագաթները կանվանենք հարևան, եթե

Սահմանում 1.1.4:

և

Սահմանում 1.1.5:

գագաթին և

Սահմանում 1.1.6:

և ′ տարբեր կողերը կանվանենք հարևան, եթե գոյություն ունի

կողին կանվանենք կից, եթե

∈ :

այնպես, որ -ն կից է -ին և ′-ին: Եթե

= ( , ) գրաֆում

համապատասխանեցնենք

={

×

} և

={ ×

}, ապա այդ գրաֆին

մատրիցը հետևյալ կերպ.

, եթե և հարևան են, , հակառակ դեպքում:

( ) մատրիցը կանվանենք ցանկացած -ի համար ( ≤ ≤ ) : Նկ. 1.1.1-ում բերված

կարգի ( ) = =

=

∈

գրաֆի հարևանության մատրից: Նկատենք, որ = , և ցանկացած , -ի համար ( ≤ , ≤ )

գրաֆի հարևանության մատրիցը կլինի

( )=

×

Նշենք, որ զրոներից և մեկերից կազմված

կարգի յուրաքանչյուր

մատրից,

որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին. ցանկացած -ի համար ( ≤ ≤ ) = ,

և

ցանկացած

, -ի

համար

( ≤ , ≤ )

=

,

հանդիսանում

է

համարակալված գագաթներով որևէ գրաֆի հարևանության մատրից: = ( , ) գրաֆում

Եթե

համապատասխանեցնենք

×

={

} և

կարգի ( ) = , ,

= ( ) մատրիցը կանվանենք

={

}, ապա այդ գրաֆին

մատրիցը հետևյալ կերպ.

×

եթե և կից են, հակառակ դեպքում:

գրաֆի կցության մատրից: Նկատենք, որ կցության

մատրիցի սյուները զույգ առ զույգ տարբեր են և յուրաքանչյուր սյուն պարունակում է ճիշտ երկու : Նկ. 1.1.1-ում բերված

գրաֆի կցության մատրիցը կլինի

( )=

որտեղ ենթադրված է, որ =

,

=

=

,

,

=

,

=

,

=

,

=

,

=

,

:

Նշենք, որ զրոներից և մեկերից կազմված

×

կարգի յուրաքանչյուր

մատրից,

որի սյուները զույգ առ զույգ տարբեր են և յուրաքանչյուր սյուն պարունակում է ճիշտ երկու

, հանդիսանում է համարակալված գագաթներով և կողերով որևէ գրաֆի

կցության մատրից: Գրաֆների ևս մի ներկայացումը, որը մենք կդիտարկենք, դա գրաֆի գագաթների

հարևանության ցուցակների միջոցով ներկայացումն է: Եթե {

}, ապա դիտարկենք

ներկայացնում է

գրաֆում

( )=

երկարությամբ զանգված, որի -րդ բաղադրիչն իրենից

գագաթին հարևան գագաթների ցուցակը գրված ինչ-որ մի կարգով:

Օրինակ, նկ. 1.1.1-ում պատկերված գրաֆի գագաթների հարևանության ցուցակներով ներկայացումը կլինի.

v2

v1

v3

v4

v5

v6

v7

v2

v1

v2

v1

v6

v5

v5

v4

v3

v4

v2

v7

v7

v6

v4

v3 Նկ. 1.1.3

Նշենք,

որ

գրաֆներից

բացի,

մենք

կդիտարկենք

գրաֆների

մի

քանի

ընդհանրացումներ: Դրանցից առաջինն են մուլտիգրաֆները: Մուլտիգրաֆի դեպքում ( , ) կարգավոր զույգի մեջ ցուցակ: Սա նշանակում է, որ

-ն ( )

( )

բազմության մուլտիենթաբազմություն է կամ

բազմության զույգերը -ում կարող են հանդիպել մեկ

անգամից ավելի: Երկրաչափորեն, մուլտիգրաֆները պատկերվում են գրաֆներին համանման եղանակով, միայն թե գագաթներին համապատասխանող հարթության կետերը

միացվում

են

այնքան

գծերով,

որքան

անգամ

,

,

,

}

և

=〈

,

;

,

;

կրկնվում

է

= ( , ) մուլտիգրաֆը, որտեղ

համապատասխան զույգը: Օրինակ, եթե դիտարկենք ={

-ում

,

;

;

〉,

ապա

այն

երկրաչափորեն կպատկերենք հետևյալ կերպ.

v3

v2

v4

v1 Նկ. 1.1.4

Գրաֆների հաջորդ ընդհանրացումն են պսևդոգրաֆները: Պսևդոգրաֆի դեպքում ( , ) կարգավոր զույգի մեջ ( )

ցուցակ, որտեղ

=

( )

( )

-ն

∪{

:

բազմության մուլտիենթաբազմություն է կամ

∈ }: Նշենք, որ

տիպի զույգերին ընդունված է

անվանել ( , ) պսևդոգրաֆի օղակներ: Երկրաչափորեն, պսևդոգրաֆները պատկերվում են մուլտիգրաֆներին համանման եղանակով, միայն թե օղակներին հապատասխանող անընդհատ գծերի սկիզբն ու վերջը համնկնում են: Օրինակ, եթե դիտարկենք

=( , )

պսևդոգրաֆը, որտեղ ={

,

,

,

} և

=〈

,

;

,

;

;

;

,

;

,

;

〉

ապա այն երկրաչափորեն կպատկերենք հետևյալ կերպ.

v3

v2

v4

v1 Նկ. 1.1.5 Այնուհետև կդիտարկենք կողմնորոշված գրաֆները, որոնք համապատասխանում են

( , )

այնպիսի

կարգավոր

զույգերին,

երբ

-ն

բազմության

տարրերի

կրկնություններով բոլոր կարգավոր զույգերի մուլտիենթաբազմություն է կամ ցուցակ: Սա նշանակում է, որ -ում կարող են հանդիպել

տիպի զույգեր: -ից և -ից կազմված

կարգավոր զույգը կնշանակենք ( , ) սիմվոլով, և այն երկրաչափորեն պատկերելիս, կնկարենք անընդհատ կոր, որը սկսում է

-ից և վերջանում -ում, ընդ որում որպեսզի

ընդգծենք, որ -ն վերջն է, գծի վերջում կդնենք սլաք: Օրինակ, եթե դիտարկենք

=( , )

կողմնորոշված գրաֆը, որտեղ ={

,

,

}

և

= 〈(

,

), (

,

); (

,

երկրաչափորեն կպատկերենք հետևյալ կերպ.

); (

,

); (

,

); (

,

ապա

այն

v2

v1

v3 Նկ. 1.1.6

Եվ վերջապես, կդիտարկենք հիպերգրաֆներ, որոնք համապատասխանում են այն ( , ) կարգավոր զույգերին, որոնցում

-ն

-ի ոչ դատարկ ենթաբազմություններից =( , )

բաղկացած բազմության ենթաբազմություն է: Հիպերգրաֆի օրինակ է կարգավոր զույգը, որտեղ {

,

={

,

,

,

,

}և

= {{

,

}, {

}, {

},

)-գրաֆ, եթե | | =

և

,

,

}, {

,

,

}} (նկ. 1.1.7):

v2

v3

v1

v5

v4 Նկ. 1.1.7

§ . . Աստիճաններ, ենթագրաֆներ և ճանապարհներ

Դիտարկենք | |=

: Եթե

= ( , ) գրաֆը:

գրաֆը կանվանենք ( ,

⊆ ( ), ապա կատարենք հետևյալ նշանակումները.

( ) = { ∈ \ : գոյություն ունի ( )={ գրաֆում

∈

∈ :

∈ ,

∈ },

∈ որ,

∈ \ }: ({ }) բազմությունը:

գագաթի շրջակայք ասելով կհասկանանք ( )-ով: Ավելին,

Այն կրճատ կնշանակենք ({ })-ն կնշանակենք Սահմանում 1.2.1:

գագաթին կից կողերի բազմությունը`

( )-ով: ( )-ով կամ

գագաթի աստիճան, որը կնշանակենք

գրաֆում

( )=|

( )-ով, կանվանենք այդ գագաթին կից կողերի քանակը: Պարզ է, որ Օրինակ, նկ. 1.1.1-ում պատկերված

( )|:

գագաթի աստիճանը հավասար է

գրաֆում

երեքի: գագաթը կանվանենք մեկուսացված, եթե

գրաֆում

կախված, եթե

( )= :

( )=

և կանվանենք

գրաֆի համար սահմանենք ( ) և ( ) թվերը հետևյալ կերպ. ( )=

( )-ն կանվանենք

( ), ( ) =

∈

( ):

∈

գրաֆի նվազագույն աստիճան, իսկ ( )-ն՝ առավելագույն

աստիճան: Նկատենք,

որ

ցանկացած

գրաֆում

տեղի

ունեն

հետևյալ

անհավասարությունները. ≤ ( ) ≤ ( ) ≤ | ( )| − : Թեորեմ 1.2.1 (Լ. Էյլեր): Կամայական

= ( , ) գրաֆում տեղի ունի ( ) = | ( )|

∈ ( )

հավասարությունը: Ապացույց: Իրոք, քանի որ ցանկացած կող կից է երկու գագաթի, ապա ∑

∈ ( )

( )

գումարում այդ կողը հաշվվում է երկու անգամ, հետևաբար՝ ∑

∈ ( )

Հետևանք 1.2.1: Կամայական

( ) = | ( )|:

∎

= ( , ) գրաֆում կենտ աստիճան ունեցող

գագաթների քանակը զույգ է: Ապացույց: Իրոք, համաձայն թեորեմ 1.2.1-ի | ( )| = ∑

∈ ( )

( )=∑

( ) ն զույգ է

( )+∑

( ) ն կենտ է

( ):

Նկատենք, որ հավասարության ձախ մասը, ինչպես նաև աջ մասում գտնվող առաջին գումարելին զույգ թվեր են, հետևաբար զույգ է նաև երկրորդ գումարելին, որտեղից հետևում է, որ զույգ է նաև կենտ աստիճան ունեցող գագաթների քանակը: ∎

Դիտողություն 1.2.1: Նշենք, որ թեորեմ 1.2.1-ը և հետևանք 1.2.1-ը մնում են ճիշտ նաև մուլտիգրաֆների և պսևդոգրաֆների դեպքում, միայն թե պայմանավորվում ենք, որ օղակները

պսևդոգրաֆի

գագաթի

աստիճանն

ավելացնում

են

երկուսով:

Մասնավորապես, սա նշանակում է, որ նկ. 1.1.5-ում պատկերված գրաֆում

գագաթի

աստիճանը հավասար է ութի: Սահմանում 1.2.2:

գրաֆը կանվանենք համասեռ կամ ռեգուլյար, եթե ( ) = ( )

կամ որ նույնն է, որ եթե նրանում բոլոր գագաթների աստիճանները միևնույն թիվն է: գրաֆը կանվանենք -համասեռ կամ -ռեգուլյար, եթե ( ) = ( ) =

( ∈ ℤ ):

Թեորեմ 1.2.1-ից անմիջապես հետևում է, որ Հետևանք 1.2.2: Եթե -ն -համասեռ ( ,

)-գրաֆ է, ապա =

∙

:

Սահմանում 1.2.3: -համասեռ գրաֆներին կանվանենք խորանարդ գրաֆներ: Հետևանք 1.2.1-ից բխում է Հետևանք 1.2.3: Խորանարդ գրաֆում գագաթների քանակը զույգ թիվ է: Ստորև պատկերված են երկու խորանարդ գրաֆներ.

Նկ. 1.2.1 Նկարի աջ մասում պատկերված խորանարդ գրաֆը հայտնի է Պետերսենի գրաֆ անունով: Սահմանում 1.2.4:

գրաֆը կոչվում է լրիվ, եթե նրանում ցանկացած երկու գագաթ

հարևան են: -ով:

գագաթ ունեցող լրիվ գրաֆը կնշանակենք Նկատենք, որ նկ. 1.2.1-ի ձախ մասում պատկերված է Դժվար չէ տեսնել, որ

-ը:

-ը ( − )-համասեռ գրաֆ է և | (

Սահմանում 1.2.5:

-ը կանվանենք եռանկյուն:

)| =

=

(

)

:

= ( , ) գրաֆը կանվանենք

բազմությունը հնարավոր է տրոհել

-կողմանի ( ∈ ℕ), եթե

ենթաբազմությունների այնպես, որ միևնույն

ենթաբազմության գագաթները զույգ առ զույգ հարևան չեն: Եթե գրաֆը կանվանենք երկկողմանի: Նկատենք, որ եթե ապա

= , ապա -կողմանի

= ( , ) գրաֆը երկկողմանի է,

բազմությունը հնարավոր է տրոհել երկու ենթաբազմությունների

այնպես, որ

գրաֆի ցանկացած կող կից լինի մեկ գագաթի

(1,0,0) (1,1,0)

-ից և մեկ գագաթի

(1,0,1)

(1,1,1)

(0,0 ,0)

(0,0 ,1)

(0,1 ,1)

(0,1 ,0)

(1,1,0 ,0) (1,1,1 ,0) (0,1 ,0,0) (0,1 ,1,0)

(0,1 ,0,1)

(1,0,0 ,0)

(1,0,1 ,0)

(0,0 ,1,0)

(0,0 ,0 ,1)

(0,0 ,1,1) Նկ. 1.2.2

(1,1,0 ,1)

(1,1,1 ,1)

(0,1 ,1,1)

(0,0 ,0 ,0)

և

(1,0,1 ,1)

(1,0,0 ,1)

-ից:

-ի

-չափանի խորանարդը:

Երկկողմանի գրաֆի օրինակ է

-չափանի խորանարդը

-ով: Հիշենք, որ այն սահմանվում էր որպես գրաֆ, որտեղ

նշանակենք

(

)={ :

(

)=

=( : ,

),

∈ (

)և

-չափանի խորանարդում որպես

∈ { , }, |

−

≤ ≤ }և |=

:

վերցնենք այն հավաքածուների բազմությունը,

որոնք պարունակում են կենտ թվով մեկեր, իսկ որպես

՝ այն հավաքածուները, որոնք

պարունակում են զույգ թվով մեկեր: Նշենք նաև, որ -չափանի խորանարդը -համասեռ գրաֆ է: Նկ. 1.2.2-ում պատկերված են

յուրաքանչյուր

գագաթ

|=

և|

Նկատենք, որ

միացված

| = , ապա կգրենք (

,

է

բազմությանը

բազմությանը

պատկանող

գրաֆը կանվանենք լրիվ երկկողմանի գրաֆ: Եթե այդ

յուրաքանչյուր գագաթի, ապա դեպքում |

գրաֆները:

= ( , ) երկկողմանի գրաֆում

Սահմանում 1.2.6: Եթե պատկանող

և

) =

+

և

(

կոչվում են աստղեր: Ստորև պատկերված են

= ,

,

:

) = ,

,

∙ : Նշենք նաև, որ ,

գրաֆները և

,

,

գրաֆները

աստղը.

Նկ. 1.2.3 Թեորեմ 1.2.2: Այն գրաֆների քանակը, որոնց գագաթների բազմությունը {

}-ն է, հավասար է

=

:

Ապացույց: Իրոք, քանի որ բոլոր գրաֆներում գագաթների բազմությունը նույնն է, ապա բավական է հաշվել թե քանի իրարից տարբեր հնարավորություն կա կողերի բազմության համար: Նկատենք, որ քանակը

բազմության տարրերից բաղկացած զույգերի

-է, և յուրաքանչյուր այդպիսի զույգ կամ մասնակցում է, կամ չի մասնակցում

-ի մեջ, և հետևաբար կողերի բազմության համար հնարավոր տարբերակների քանակը -է: ∎

=

Թեորեմ 1.2.3: Այն գրաֆների քանակը, որոնց գագաթների բազմությունը

{

}-ն է և որոնցում բոլոր գագաթների աստիճանները զույգ թվեր են, հավասար է

: Ապացույց: Համաձայն թեորեմ 1.2.2-ի, բավական է ապացուցել, որ կարելի է հաստատել փոխմիարժեք արտապատկերում բոլոր այն գրաֆների միջև, որոնց գագաթների բազմությունը { բազմությունը { Վերցնենք

ավելացնենք

}-է, և այն գրաֆների, որոնց գագաթների

}-ն է և որոնցում բոլոր գագաթների աստիճանները զույգ թվեր են:

ցանկացած

Դիտարկենք

գրաֆ,

որի

գագաթների

′ գրաֆը, որը ստացվում է

բազմությունը

{

գրաֆից հետևյալ կերպ.

}-է: գրաֆին

գագաթը, և այն միացնենք կողերով

գրաֆի կենտ աստիճան ունեցող

գագաթների հետ: Համաձայն հետևանք 1.2.1-ի,

′ գրաֆում բոլոր գագաթների

աստիճանները

չէ

զույգ

թվեր

են:

Ավելին,

դժվար

տեսնել,

որ

նկարագրված

համապատասխանությունը փոխմիարժեք է: ∎ Դիցուք -ն և

-ը գրաֆներ են:

Սահմանում 1.2.7:

գրաֆը կոչվում է

գրաֆի ենթագրաֆ և կգրենք

( ) ⊆ ( ) և ( ) ⊆ ( ): Հակառակ դեպքում, կգրենք Սահմանում 1.2.8:

⊆ , եթե

⊈ :

գրաֆի կմախքային ենթագրաֆ, եթե

գրաֆը կոչվում է

⊆

և ( ) = ( ): ⊆

v1 v2

v3

v4

v5

⊆

v3

v1 v2

v4

v5

v3

v1 v2

v4

⊈

v1

v3

v2

v4 Նկ. 1.2.4

Նկատենք, որ եթե դիտարկենք նկ. 1.2.4-ում պատկերված

գրաֆը, ապա

գրաֆը

հանդիսանում է, իսկ

գրաֆը չի հանդիսանում նրա ենթագրաֆ: Մյուս կողմից հեշտ է

տեսնել, որ այդ նկարում պատկերված

գրաֆը հանդիսանում է, իսկ

գրաֆը չի

հանդիսանում նրա կմախքային ենթագրաֆ: = ( , )-ն գրաֆ է և

Դիցուք

Սահմանում 1.2.9:

⊆ ( ): [ ] ենթագրաֆը կոչվում է

գրաֆի

( [ ]) =

ենթագրաֆ կամ ծնված ենթագրաֆ, եթե

և

բազմությամբ ծնված

( [ ]) = {

: ,

∈

∈

և

( )}: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը. եթե ապա այդ նկարում բերված

գրաֆը նկ. 1.2.5-ում պատկերված գրաֆն է, գրաֆի {

գրաֆը հանդիսանում է

,

,

,

}

բազմությամբ ծնված ենթագրաֆ: Մյուս կողմից հեշտ է տեսնել, որ նույն նկարում պատկերված

և

գրաֆները

գրաֆի ծնված ենթագրաֆներ չեն:

v3

v1 v2

v3

v5 v2

v4

v5

v4

v1

v3

v3

v2

v4

v4

v5

Նկ. 1.2.5 = ( , )-ն գրաֆ է:

Դիցուք

Սահմանում 1.2.10: կազմված

-ից

,

,

,

,

,

,

,

,

գագաթներից և

հաջորդականությունը կանվանենք

երկարությամբ (

շրջանցում կամ

≤ ≤ : Սահմանված ( ,

գրաֆի

,

)-շրջանցում, եթե

կողերից

երկարությամբ =

, երբ

)-շրջանցումը կրճատ կնշանակենք նրա գագաթների

հաջորդականությամբ, ենթադրելով, որ յուրաքանչյուր հաջորդ գագաթ

հարևան է նախորդին:

Նշենք, որ շրջանցման մեջ գագաթները և կողերը կարող են կրկնվել, իսկ (

,

)-

շրջանցման երկարությունը ցույց է տալիս այդ շրջանցման մեջ առկա կողերի քանակը, երբ յուրաքանչյուր կող հաշվվում է այնքան անգամ, որքան այն հանդիպում է շրջանցման մեջ: Դիտարկենք նկ. 1.2.5-ում պատկերված ,

հաջորդականությունները. որ նրանցից առաջինը

,

,

,

,

գրաֆի գագաթների հետևյալ երկու

,

,

,

,

և

,

,

,

,

: Նկատենք,

գրաֆի շրջանցում է, իսկ երկրորդը՝ ոչ:

Նկատենք, որ նկ. 1.2.5-ի

,

գրաֆի

,

,

,

,

,

,

,

շրջանցման

երկարությունը հավասար է ութի: Սահմանում 1.2.11: (

,

)-շրջանցումը կանվանենք փակ, եթե

գրաֆի (

Սահմանում 1.2.12: կամ (

,

)-ճանապարհ, եթե

կողեր են: Եթե

,

)-շրջանցումը կանվանենք

-ը,…,

-ն

=

:

-ից

ճանապարհ

գրաֆի զույգ առ զույգ տարբեր

գրաֆի ճանապարհ է, ապա | |-ով կնշանակենք այդ ճանապարհի

-ն

երկարությունը, այսինքն` այդ ճանապարհի մեջ առկա կողերի քանակը: Նկատենք, որ նկ. 1.2.5-ի ,

,

,

,

,

,

,

,

,

գրաֆի

,

,

,

,

շրջանցումը ճանապարհ է, իսկ

-ը` ոչ: գրաֆի (

Սահմանում 1.2.13:

,

)-ճանապարհը կանվանենք պարզ (

,

)-

ճանապարհ, եթե նրա մեջ մտնող բոլոր գագաթները զույգ առ զույգ տարբեր են: գրաֆի (

Սահմանում 1.2.14:

,

)-ճանապարհը կանվանենք փակ ճանապարհ =

կամ ցիկլ, եթե այն փակ շրջանցում է, այսինքն՝ եթե Նկատենք, որ նկ. 1.2.5-ի ճանապարհ չէ, իսկ

,

,

Սահմանում 1.2.15:

,

,

գրաֆի

,

,

,

: ,

-ը նույն գրաֆի պարզ (

ճանապարհը պարզ ( ,

,

)-

)-ճանապարհ է:

գրաֆի ցիկլը կանվանենք պարզ, եթե նրանում կրկնվում են

միայն առաջին և վերջին գագաթները: Նկատենք, որ նկ. 1.2.5-ի իսկ

,

,

,

,

գրաֆի

,

,

,

,

,

,

ճանապարհը պարզ ցիկլ չէ,

-ը նույն գրաֆի պարզ ցիկլ է:

գագաթ ունեցող պարզ ցիկլը կնշանակենք

ճանապարհը կնշանակենք Սահմանում 1.2.16:

-ով,

≥ :

գագաթ ունեցող պարզ

-ով: գրաֆում

և

գագաթների միջև հեռավորությունը

կսահմանենք որպես կարճագույն ( , )-ճանապարհի երկարություն, եթե

գրաֆում

գոյություն ունի առնվազն մեկ ( , )-ճանապարհ, և +∞` հակառակ դեպքում:

գրաֆում

և

( , )-ով կամ ( , )-ով:

գագաթների միջև հեռավորությունը կնշանակենք Նկատենք, որ 1.

գրաֆի ցանկացած

և

և միայն այն դեպքում, երբ 2.

գրաֆի ցանկացած

3.

գրաֆի ցանկացած

( , )≥ ,և

գագաթների համար

և

այն

= ; ( , )=

գագաթների համար ,

( , )=

և

գագաթների համար

( , ); ( , )≤

( , )+

( , ): Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած

= ( , ) գրաֆի համար, որում կամայական երկու

գագաթների միջև կա միացնող ճանապարհ, ( ,

) զույգն իրենից ներկայացնում է

մետրիկական տարածություն: Լեմմա 1.2.1: Ենթադրենք, որ

գրաֆում

-ն և

-ն իրարից տարբեր երկու

գագաթներ են: Այդ դեպքում ցանկացած ( , )-շրջանցումից կարելի է առանձնացնել պարզ ( , )-ճանապարհ: Ապացույց: Ապացույցը կկատարենք մակածման եղանակով ըստ ( , )-շրջանցման երկարության: = : Այդ դեպքում ( , )-շրջանցումը բաղկացած է մեկ կողից, որն էլ

Ենթադրենք

կկազմի որոնելի պարզ ( , )-ճանապարհը: Ենթադրենք, որ պնդումը ճիշտ է բոլոր այն ( , )-շրջանցումների համար, որոնց երկարությունը փոքր է երկարություն ունեցող Եթե

,

,

=

շրջանցումը, որտեղ

և

-ից, և դիտարկենք = :

շրջանցման մեջ բոլոր գագաթները զույգ առ զույգ տարբեր են,

ապա այն իրենից ներկայացնում է պարզ ( , )-ճանապարհ, և, հետևաբար, պնդումն ապացուցված է: Հետևաբար, կարող ենք ենթադրել, որ գոյություն ունեն այնպես, որ

=

: Դիտարկենք

,

այս շրջանցման երկարությունը փոքր է

,

<

թվեր

( , )-շրջանցումը: Նկատենք, որ

-ից, և, հետևաբար, համաձայն մակածման

ենթադրության, նրանից կարելի է առանձնացնել պարզ ( , )-ճանապարհ: ∎ Լեմմա 1.2.2:

գրաֆի ցանկացած կենտ երկարություն ունեցող փակ շրջանցումից

կարելի է առանձնացնել կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ: Ապացույց:

Ապացույցը

կկատարենք

երկարություն ունեցող փակ շրջանցման Ենթադրենք

մակածման

եղանակով

ըստ

կենտ

երկարության:

= : Այդ դեպքում կենտ երկարություն ունեցող փակ շրջանցումն

իրենից ներկայացնում է եռանկյուն, որն էլ կազմում է որոնելի կենտ երկարություն

ունեցող պարզ ցիկլը: Ենթադրենք, որ պնդումը ճիշտ է բոլոր այն կենտ երկարություն ունեցող փակ շրջանցումների համար, որոնց երկարությունը փոքր է -ից, և դիտարկենք ,

երկարություն ունեցող Եթե բացի

=

,

կենտ, փակ շրջանցումը, որտեղ

=

:

շրջանցման մեջ բոլոր գագաթները զույգ առ զույգ տարբեր են,

-ից, ապա այն իրենից ներկայացնում է կենտ երկարություն ունեցող պարզ

ցիկլ, և, հետևաբար, պնդումն ապացուցված է: Հետևաբար, կարող ենք ենթադրել, որ գոյություն ունեն ,

<

թվեր այնպես, որ

=

: Դիտարկենք

,

,

և

փակ շրջանցումները: Նկատենք, որ նրանց երկարությունները փոքր են -

ից, ավելին, քանի որ

,

շրջանցման երկարությունը կենտ է, ապա նշված

շրջանցումներից մեկի երկարությունը ևս կենտ է: Համաձայն մակածման ենթադրության նրանից կարելի է առանձնացնել կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ: ∎

§ 1.3. Գործողություններ գրաֆների հետ

Այս պարագրաֆում մենք կդիտարկենք տարբեր գործողություններ գրաֆների հետ: Այդ գործողությունները հնարավորություն են տալիս արդեն գոյություն ունեցող գրաֆների հիման վրա կառուցել նոր գրաֆներ և նաև օգնում են ներկայացնել գրաֆի կառուցվածքը ավելի փոքր և պարզ կառուցվածք ունեցող գրաֆների միջոցով: 1. Գագաթի հեռացում: Դիցուք տրված են −

գագաթի հեռացումը` ( − ) = ( )\{ ∶

−

∈ ( ):

− ն կից է

− ին} : գրաֆը և այդ գրաֆից

գագաթի հեռացումից

գրաֆը: −

v1 v2 v3

v2 v3

v4 Նկ. 1.3.1

գրաֆից

գրաֆը սահմանենք հետևյալ կերպ. ( − ) = ( )\{ } և

Նկ. 1.3.1-ում պատկերված է առաջացած

գրաֆը (| ( )| ≥ ) և

v4

2. Գագաթի ավելացում: Դիցուք տրված են +

ավելացումը`

գրաֆը և

∉ ( ):

գրաֆը սահմանենք հետևյալ կերպ.

գագաթի

գրաֆին

( + )= ( )∪{ } և

( + ) = ( ): Նկ. 1.3.2-ում պատկերված է առաջացած

+

գրաֆը և այդ գրաֆին

գագաթի ավելացումից

գրաֆը: +

v

v2

v2 v1

v1

v3

v3

Նկ. 1.3.2 3. Կողի հեռացում: Դիցուք տրված են −

գրաֆը և

∈ ( ):

գրաֆից

գրաֆը սահմանենք հետևյալ կերպ. ( − ) = ( ) և

Նկ. 1.3.3-ում պատկերված է առաջացած

−

կողի հեռացումը`

( − ) = ( )\{ } :

գրաֆը և այդ գրաֆից

կողի հեռացումից

գրաֆը:

v5 v3

v7

v1

v6

v4

v2 −

v5 v3

v7

v1

v2

v4

v6

Նկ. 1.3.3

4. Կողի ավելացում: Դիցուք տրված են

կողի ավելացումը`

+

գրաֆը և

∉ ( )( ,

=

գրաֆը սահմանենք հետևյալ կերպ.

∈ ( )):

գրաֆին

( + )= ( ) և

( + ) = ( ) ∪ { }: Նկ. 1.3.4-ում պատկերված է առաջացած

+

գրաֆը և այդ գրաֆին

կողի ավելացումից

գրաֆը:

v5 v3

v7

v1

v6

v4

v2 +

v5 v3

v7

v1

v6

v4

v2

Նկ. 1.3.4

5. Կողի տրոհում: Դիցուք տրված են

տրոհումը` (

գրաֆը սահմանենք հետևյալ կերպ.

) = ( ( )\{ } ) ∪ {

,

գրաֆը:

= (

∈ ( ):

գրաֆի

) = ( ) ∪ { },

∉

կողի ( ) և

}:

Նկ. 1.3.5-ում պատկերված է առաջացած

գրաֆը և

գրաֆը և այդ գրաֆի

կողի տրոհումից

v5 v3

v7

v1

v6

v4

v2

v5 v3

v7

v1

w

v6

v4

v2

Նկ. 1.3.5 6. Ենթագրաֆի կծկում: Դիցուք տրված են

ենթագրաֆի կծկումը` / ( / ( / ) = ( ( )\{ =

∶

ենթագրաֆը:

գրաֆի

գրաֆը սահմանենք հետևյալ կերպ. ) = ( ( )\ ( )) ∪ { }, ∈ ( ) կամ

Նկ. 1.3.6-ում պատկերված է կծկումից առաջացած /

գրաֆը և նրա

∉

( )և

∈ ( )}) ∪ { =

գրաֆը,

ենթագրաֆը և

∶

∈

( ( ))\ ( )} :

գրաֆի

ենթագրաֆի

գրաֆի օրինակը: /

v1

v5

v3

v2

v4

v3

v7

v6

v5

v1

v2

w

v4

v7

v6

Նկ. 1.3.6

գրաֆի լրացում կոչվում է

7. Գրաֆի լրացում: ( )={

∶ ,

∈ ( )և

( )= ( ) և

գրաֆը, որի համար

∉ ( )} :

Նկ. 1.3.7-ում պատկերված է

v2

գրաֆը և նրա

լրացում գրաֆի օրինակը:

v3

v2

v1

v3

v1

v6

v4

v5

v6

v5

Նկ. 1.3.7 Նկատենք, որ եթե -ն ( ,

)-գրաֆ է, ապա -ը կլինի

8. Գրաֆների միավորում: Դիցուք տրված են ( ) = ∅:

և

)= ( )∪ ( )և

( ∪

−

-գրաֆ: ( )∩

գրաֆները, որոնց համար

գրաֆների միավորում կոչվում է

և

,

∪

գրաֆը, որի համար

)= ( )∪ ( ):

Նկ. 1.3.8-ում պատկերված են

և

գրաֆները և նրանց միավորում

∪

գրաֆի

օրինակը:

u2

u3

v2 v1

v3

u1

u4

∪

u2

u3

v2 v1

v 3 u1 Նկ. 1.3.8

( ∪

u4

Նկատենք, որ եթե -ն ( (

+

,

+

)-գրաֆ է և

,

և

( )և

)-գրաֆ է, ապա

,

∪

-ը կլինի

)-գրաֆ:

9. Գրաֆների գումար: Դիցուք տրված են ∅:

-ը (

և

գրաֆները, որոնց համար ( ) ∩ ( ) =

գրաֆների գումար կոչվում է

+

( ∪

∈ ( )և

)= ( )∪ ( )∪{

Նկ. 1.3.9-ում պատկերված են

∶ և

գրաֆը, որի համար

( +

)= ( )∪

∈ ( )} :

գրաֆները և նրանց գումար

+

գրաֆի

օրինակը:

v2 v1

u1

v3

u2

u3

u4

+

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 Նկ. 1.3.9 Նկատենք, որ եթե -ն ( (

+

,

+

+

∙

)-գրաֆ է և

,

-ը (

)-գրաֆ է, ապա

,

+

-ը կլինի

)-գրաֆ: Նշենք նաև, որ գրաֆների գումար գործողությունը

կոմուտատիվ է և ասոցիատիվ: Հեշտ է տեսնել, որ

,

լրիվ երկկողմանի գրաֆը կարելի է գրաֆների լրացման և

գումարի միջոցով արտահայտել.

,

=

+

գումարը հնարավորություն են տալիս սահմանել հետևյալ կերպ.

,

=

+

+ ⋯+

: Ավելին, գրաֆների լրացումը և ,

լրիվ

-կողմանի գրաֆը

:

10. Գրաֆների դեկարտյան արտադրյալ: Դիցուք տրված են համար

( ) ∩ ( ) = ∅:

և

գրաֆները, որոնց

գրաֆների դեկարտյան արտադրյալ կոչվում է

և

⧠

գրաֆը, որի համար ( ⧠ )= ( )× ( )և ( ⧠ )= (

)(

,

,

)∶

=

Նկ. 1.3.10-ում պատկերված են ⧠

∈ ( ) կամ

և և

=

∈ ( )

և

:

գրաֆները և նրանց դեկարտյան արտադրյալ

գրաֆի օրինակը:

u2 u1

v1

u3

v2

v3

v4

)-գրաֆ է, ապա

⧠ -ը կլինի

⧠

(u 1 , v 1 )

(u 1 , v 2 )

(u 1 , v 3 )

(u 1 , v 4 )

(u 2 , v 1 )

(u 2 , v 2 )

(u 2 , v 3 )

(u 2 , v 4 )

(u 3 , v 1 )

(u 3 , v 2 )

(u 3 , v 3 )

(u 3 , v 4 )

Նկ. 1.3.10 -ն (

Նկատենք, որ եթե (

∙

,

∙

+

∙

)-գրաֆ է և

,

-ը (

,

)-գրաֆ: Նշենք նաև, որ գրաֆների դեկարտյան արտադրյալ

գործողությունը կոմուտատիվ է և ասոցիատիվ: Հեշտ է տեսնել, որ

-չափանի խորանարդը կարելի է գրաֆների դեկարտյան

արտադրյալի միջոցով արտահայտել.

=

⧠

արտադրյալը հնարավորություն է տալիս սահմանել հետևյալ կերպ.

,

=

⧠

:

: Նաև, գրաֆների դեկարտյան ,

Հեմմինգի գրաֆը

11. Գրաֆների թենզորական արտադրյալ: Դիցուք տրված են համար ( ) ∩ ( ) = ∅:

և

գրաֆները, որոնց

գրաֆների թենզորական արտադրյալ կոչվում է

և

×

գրաֆը, որի համար ( × ( ×

) = {(

)(

,

Նկ. 1.3.11-ում պատկերված են ×

)= ( )× ( )և ,

)∶

∈ ( )և

∈ ( )} :

և

գրաֆները և նրանց թենզորական արտադրյալ

գրաֆի օրինակը:

u2 u1

v2

v1

u3

v3

v4

×

(u 1 , v 1 )

(u 1 , v 2 )

(u 1 , v 3 )

(u 1 , v 4 )

(u 2 , v 1 )

(u 2 , v 2 )

(u 2 , v 3 )

(u 2 , v 4 )

(u 3 , v 1 )

(u 3 , v 2 )

(u 3 , v 3 )

(u 3 , v 4 )

Նկ. 1.3.11 Նկատենք, որ եթե -ն ( (

∙

,

∙

)-գրաֆ:

,

Նշենք

)-գրաֆ է և

-ը (

նաև,

գրաֆների

որ

)-գրաֆ է, ապա

,

թենզորական

×

-ը կլինի

արտադրյալ

գործողությունը կոմուտատիվ է և ասոցիատիվ: 12. Գրաֆների ուժեղ արտադրյալ: Դիցուք տրված են ( ) ∩ ( ) = ∅: համար ( ⌧

և

և

գրաֆները, որոնց համար

գրաֆների ուժեղ արտադրյալ կոչվում է

)= ( )× ( ) և

Նկ. 1.3.12-ում պատկերված են

( ⌧ )= ( ⧠ )∪ ( × և

⌧

գրաֆը, որի

):

գրաֆները և նրանց ուժեղ արտադրյալ

⌧

գրաֆի օրինակը:

u2 u1

u3

v1

v2

v3

v4

⌧

(u 1 , v 1 )

(u 1 , v 2 )

(u 1 , v 3 )

(u 1 , v 4 )

(u 2 , v 1 )

(u 2 , v 2 )

(u 2 , v 3 )

(u 2 , v 4 )

(u 3 , v 1)

(u 3 , v 2)

(u 3 , v 3 )

(u 3 , v 4)

Նկ. 1.3.12 Նկատենք, որ եթե -ն ( (

∙

,

∙

+

∙

+

,

)-գրաֆ է և

-ը (

∙

)-գրաֆ: Նշենք նաև, որ գրաֆների ուժեղ արտադրյալ

,

)-գրաֆ է, ապա ⌧ -ը կլինի

գործողությունը կոմուտատիվ է և ասոցիատիվ:

u1

u2

u3

v1

[ ]

v2

v3

v4

[ ]

(u 1 , v 1 )

(u 1 , v 2 )

(u 1 , v 3)

(u 1 , v 4 ) (v 1 , u 1 )

(v 2 , u 1 )

(v 3 , u 1)

(v 4 , u 1 )

(u 2 , v 1 )

(u 2 , v 2 )

(u 2 , v 3 )

(u 2 , v 4 ) (v 1 , u 2 )

(v 2 , u 2 )

(v 3 , u 2 )

(v 4 , u 2 )

(u 3 , v 1)

(u 3 , v 2 )

(u 3 , v 3 )

(u 3 , v 4 ) (v 1 , u 3 )

(v 2 , u 3 )

(v 3 , u 3 )

(v 4 , u 3 )

Նկ. 1.3.13

13. Գրաֆների կոմպոզիցիա: Դիցուք տրված են ( ) = ∅:

գրաֆները, որոնց համար ( ) ∩

և

գրաֆների կոմպոզիցիա կոչվում է [ ] գրաֆը, որի համար

և

( [ ]) = ( ) × ( ) և ( [ ]) = (

)(

,

)∶

,

∈ ( ) կամ

Նկ. 1.3.13-ում պատկերված են

և

=

∈ ( )

և

:

[ ] և

գրաֆները և նրանց

[ ]

կոմպոզիցիաների օրինակները: Նկատենք, որ եթե (

∙

,

∙

∙(

+

-ն (

)-գրաֆ է և

,

-ը (

)-գրաֆ է, ապա

,

) )-գրաֆ: Նկ. 1.3.13-ում պատկերված

[ ] և

[ ]-ը կլինի

[ ] գրաֆները

ցույց են տալիս, որ գրաֆների կոմպոզիցիա գործողությունը կոմուտատիվ չէ: Նշենք նաև, որ գրաֆների կոմպոզիցիա գործողությունը ասոցիատիվ է: Գրաֆների տարբեր արտադրյալներին ավելի մանրամասն կարելի է ծանոթանալ Համակ, Իմրիխ և Կլավզարի գրքում [17]:

§ 1.4. Գրաֆների իզոմորֆիզմ, հոմոմորֆիզմ, ավտոմորֆիզմ և գրաֆի ավտոմորֆիզմների խումբը

Սահմանենք գրաֆների իզոմորֆիզմի գաղափարը: Սահմանում 1.4.1:

գրաֆները կոչվում են իզոմորֆ, եթե գոյություն ունի

և

: ( ) → ( ) փոխմիարժեք համապատասխանություն, որ ( ) ( ) ∈ ( ): Եթե

դեպքում, երբ

և

∈ ( ) այն և միայն այն ≅

գրաֆները իզոմորֆ են կգրենք

:

Դիտարկենք նկ. 1.4.1-ում պատկերված գրաֆները: Համոզվենք, որ այդ նկարում ,

պատկերված գրաֆներից

և

գրաֆները զույգ առ զույգ իզոմորֆ են, իսկ : ( ) → ( ),

իզոմորֆ չէ այդ գրաֆներին: Իրոք, եթե դիտարկենք : ( ) → ( ) արտապատկերումները, որտեղ ,

(

(

)=

)=

,

(

)=

,

(

)=

,

, (

(

)=

)=

,

, (

(

)=

( )= )=

,

(

(

: ( )→ ( )և )=

,

(

( ≤ ≤ )և

(

)=

,

)=

-ը`

)= ,

, ապա պարզ է,

v2 u1

u2

v3

u3

v1

w1

w2

x1

x3

v4

w3

v6

v5

x5

y1

y2

y3

x6

y4

y5

y6

x4

x2

Նկ. 1.4.1 որ

այդ

արտապատկերումները

համապատասխանություններ

,

և

հանդիսանում

են

փոխմիարժեք

գրաֆների գագաթների միջև, որոնք ինչպես և

պահանջվում է իզոմորֆիզմի սահմանումը, պահպանում են «կող լինելու» հատկությունը: Նկատենք, որ գրաֆները

գրաֆը պարունակում է

-ը որպես ենթագրաֆ, մինչդեռ

,

և

ենթագրաֆ չունեն: Հետևաբար, -ը իզոմորֆ չէ այդ գրաֆներից և ոչ մեկին:

Նկատենք, որ եթե

≅

, ապա այդ գրաֆների գագաթները կարելի է այնպես

վերահամարակալել, որ նրանց հարևանության մատրիցները համընկնեն: Նշենք նաև, որ ցանկացած ≅ , ապա

գրաֆի համար

≅ , և, եթե

≅

, ապա

≅ , ինչպես, եթե

≅

և

≅ : Այստեղից հետևում է, որ գրաֆների իզոմորֆիզմը գրաֆների

բազմության վրա որոշված համարժեքության հարաբերություն է: Հետագայում, որպես կանոն, իզոմորֆ գրաֆները միմյանցից չենք տարբերի: Գրաֆների իզոմորֆիզմի հետ է կապված գրաֆների տեսության հայտնի և բարդ

հիպոթեզներից մեկը, որը ձևակերպել են Կելլին և Ուլամը: Հիպոթեզ 1.4.1: Դիցուք ունենք {

} և

և

( )={

գրաֆները, որտեղ

≥ : Եթե ցանկացած -ի ( ≤ ≤ ) համար տեղի ունի ≅

պայմանը, ապա

≥

Նշենք, որ

},

−

( )=

≅

−

: պայմանը էական է այս հիպոթեզում, քանի որ

և

գրաֆները

իզոմորֆ չեն: Հայտնի է, որ Կելլիի և Ուլամի հիպոթեզը ճիշտ է ցիկլ չպարունակող և միակ ցիկլ պարունակող կապակցված գրաֆների համար [21,36]: Հարարիի կողմից առաջարկվել է այս հիպոթեզի կողային տարբերակը. Հիպոթեզ 1.4.2: Դիցուք ունենք {

}և

և

≥ . Եթե ցանկացած -ի ( ≤ ≤ ≅

պայմանը, ապա

},

) համար տեղի ունի

−

( )=

≅

−

:

≥

Նշենք, որ

( )={

գրաֆները, որտեղ

+

պայմանը այստեղ նույնպես էական է, քանի որ

և

,

գրաֆները իզոմորֆ չեն: Այս հիպոթեզի ապացույցի ուղղությամբ Լ. Լովասը և Տ. Մյուլլերը հասել են որոշ հաջողությունների [24,29]: Մասնավորապես, Լովասը ցույց է տվել, որ եթե

գրաֆում | ( )| >

գագաթ ունեցող

-ից, ապա Հարարիի հիպոթեզը

ճիշտ է: Սահմանում 1.4.2:

∈ ( ), ապա ( ) ( ) ∈ ( ): Եթե գոյություն

արտապատկերումը, որի դեպքում եթե ունի

գրաֆի վրա կոչվում է : ( ) → ( )

գրաֆի հոմոմորֆիզմ

գրաֆի վրա, ապա կգրենք :

գրաֆի հոմոմորֆիզմ

→

կամ

→

:

Դիտարկենք նկ. 1.4.2-ում պատկերված գրաֆները: Համոզվենք, որ նկ. 1.4.2-ում →

պատկերված գրաֆների համար

→

և

: Իրոք, եթե դիտարկենք

: ( ) → ( ) արտապատկերումները, որտեղ

և ,

(

)=

,

,

(

)=

,

հոմոմորֆիզմ է

(

)= (

եթե

→

:

և →

և

)=

,

գրաֆի վրա, իսկ

Նկատենք, որ եթե :

(

,

( -ը`

)=

,

(

)= )=

(

, (

,

)= )=

, ապա պարզ է, որ

գրաֆի հոմոմորֆիզմ է

,

(

)=

և

(

)=

-ը

գրաֆի

գրաֆի վրա:

: ( ) → ( )-ը փոխմիարժեք համապատասխանություն է,

→ , ապա → , ապա

)=

(

: ( )→ ( )

≅

: Նշենք նաև, որ ցանկացած

գրաֆի համար

→ ,և

→ : Գրաֆների հոմոմորֆիզմի մասին ավելի մանրամասն

կարելի է ծանոթանալ Հելլի և Նեշետրիլի գրքում [19]:

v3 v2

v4

v1

v5 v8

u2

v6 v7

x1

u1

x2

x3

u3

y1

x4

y2

Նկ. 1.4.2 Այժմ սահմանենք գրաֆների ավտոմորֆիզմի գաղափարը: Սահմանում 1.4.3:

գրաֆի ավտոմորֆիզմ կոչվում է

գրաֆի իզոմորֆիզմը իր

վրա: Պարզ է, որ

գրաֆի ավտոմորֆիզմն այդ գրաֆի գագաթների այնպիսի

տեղադրություն է, որի դեպքում պահպանվում է գագաթների հարևանությունը: բոլոր

ավտոմորֆիզմների

ցանկացած

բազմությունը

գրաֆի համար

նշանակենք

( ) ≠ ∅, քանի որ

: ( ) → ( ), որի դեպքում ( ) = որ եթե -ը -ի ավտոմորֆիզմ է, ապա

( )-ով:

գրաֆի

Նկատենք,

որ

-ն ունի նույնական ավտոմորֆիզմ

գրաֆի ցանկացած

գագաթի համար: Պարզ է,

-ը ևս -ի ավտոմորֆիզմ է, և, եթե -ը և -ն -ի

գագաթների հարևանությունը պահպանող տեղադրություններ են (ավտոմորֆիզմներ են), ապա

∙

տեղադրությունը

ևս

գագաթների

հարևանությունը

պահպանող

տեղադրություն է (ավտոմորֆիզմ է): Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած համար տեսնել, որ

գրաֆի

( )-ն խումբ է տեղադրությունների բազմապատկման նկատմամբ: Հեշտ է (

)=

: Պարզվում է, որ տեղի ունի ավելի ընդհանուր փաստ.

Թեորեմ 1.4.1 (Ռ. Ֆրուխթ): Ցանկացած վերջավոր գրաֆ, որի

խմբի համար գոյություն ունի

( )-ն իզոմորֆ է -ին:

Սահմանում 1.4.4: գրաֆի այնպիսի

գագաթները կոչվում են նման, եթե գոյություն ունի

և

ավտոմորֆիզմ, որի դեպքում ( ) = :

Սահմանում 1.4.5: գոյություն ունի

գրաֆի

գրաֆի

=

և

կողերը կոչվում են նման, եթե

ավտոմորֆիզմ, որի դեպքում ( ) ( ) =

գրաֆի այնպիսի

Սահմանում 1.4.6:

=

:

գրաֆը կոչվում է գագաթային սիմետրիկ գրաֆ, եթե նրա

ցանկացած երկու գագաթներ նման են: Սահմանում 1.4.7:

գրաֆը կոչվում է կողային սիմետրիկ գրաֆ, եթե նրա

ցանկացած երկու կողեր նման են: Դիտարկենք նկ. 1.4.3-ում պատկերված գրաֆները:

v5 v4

w1

v6

u1

v2

w2 u2

v1

w3

v3 Նկ. 1.4.3

Հեշտ է տեսնել, որ նկ. 1.4.3-ում պատկերված գրաֆներից սիմետրիկ գրաֆ է, բայց կողային սիմետրիկ գրաֆ չէ, իսկ

-ն գագաթային

-ը` կողային սիմետրիկ է,

բայց գագաթային սիմետրիկ չէ: Սահմանում 1.4.8: Եթե

-ն ունի միայն նույնական ավտոմորֆիզմ, ապա

-ն

կոչվում է ասիմետրիկ գրաֆ: Դիտարկենք նկ. 1.4.4-ում պատկերված

գրաֆը:

v1

v2 v3

v5

v4

v6 v7 Նկ. 1.4.4

Հեշտ է տեսնել, որ նկ. 1.4.4-ում պատկերված

գրաֆը ասիմետրիկ գրաֆ է:

Եզրափակելով պարագրաֆը, բերենք երկու հայտնի գագաթային և կողային սիմետրիկ գրաֆների պատկերները: Պետերսենի գրաֆ.

Հիվուդի գրաֆ.

Նկ. 1.4.5

§ 1.5. Էքստրեմալ, կցության և հատումների գրաֆներ

Այս պարագրաֆում մենք կդիտարկենք էքստրեմալ, կցության և հատումների գրաֆներ: Էքստրեմալ գրաֆների տեսությունում հիմնականում ուսումնասիրվում են

ամենամեծ կամ ամենափոքր (Էքստրեմալ) գրաֆները, որոնք օժտված են որոշակի հատկությամբ: Կասենք, որ =

չէ: Եթե

կամ

գրաֆը չի պարունակում =

գրաֆ, եթե

, ապա ասում են, որ

գրաֆը

գրաֆի ենթագրաֆ

գրաֆը չի պարունակում եռանկյուն:

Էքստրեմալ գրաֆների տեսության առաջին թեորեմն է համարվում Մանթելի կողմից ապացուցված թեորեմը եռանկյուն չպարունակող գրաֆների մասին: Թեորեմ 1.5.1: Եթե

( ,

)-գրաֆը չի պարունակում եռանկյուն, ապա ( )={

Ապացույց 1: Դիցուք

}: Քանի, որ

:

գրաֆը չի պարունակում ( )∩

∈ ( )-ի համար տեղի ունի հետևյալը.

եռանկյուն, ուստի ցանկացած

( ) = ∅: Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած

∈ ( )-ի համար

Գումարելով այս անհավասարությունը ըստ բոլոր ( )+

( )+

( )≤ :

կողերի, կստանանք.

( ) =

( )

∈ ( )

Այժմ դիտարկենք

≤

≤

∙

:

∈ ( )

(

=

), … ,

(

) և

= ( , … , ) վեկտորները ℝ -ից: Ըստ

թեորեմ 1.2.1-ի և Կոշու-Բունյակովսկու անհավասարության, կստանանք. (

) =

( )

=

,

≤

∙( , )=

,

∈ ( )

( ) :

∙ ∈ ( )

Այստեղից, հաշվի առնելով ∑

∈ ( )

( )

≤

∙

անհավասարությունը, ստանում ենք

հետևյալը. (

) ≤

( )

≤

∙

,

∈ ( )

≤

ուստի

:∎

Ապացույց 2: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ կապացուցենք թեորեմը զույգ համանման ձևով: Դիցուք

=

-ի համար, կենտ

եռանկյուն և որի գագաթների քանակը որը չի պարունակում եռանկյուն և ունի

=

=

−

կող

-ի համար ապացույցը կատարվում է

: Հեշտ է տեսնել, որ թեորեմը ճիշտ է

Ենթադրենք, որ թեորեմը ճիշտ է ցանկացած

=

=

-ի: Մենք

≤ -ի դեպքում:

գրաֆի համար, որը չի պարունակում -ից մեծ չէ: Դիտարկենք

( ,

)-գրաֆը,

+ : Մենք կարող ենք ենթադրել, որ գոյություն

գրաֆում, քանի որ հակառակ դեպքում թեորեմն ակնհայտ է: Դիցուք

− : Պարզ է, որ

գրաֆը չի պարունակում եռանկյուն և | ( )| =

: Ըստ

մակածման ենթադրության, կստանանք | ( )| ≤ գրաֆը չի պարունակում եռանկյուն, ( )∩

և

( )+

գագաթների համար

( )≤

գրաֆի կողերի քանակը.

= | ( )| ≤ | ( )| + ≤

: Մյուս կողմից, քանի որ

գագաթների համար տեղի ունի հետևյալը.

( ) = ∅: Այստեղից հետևում է, որ

+ : Այժմ գնահատենք

ուստի

և

=

( )+

( )−

+

≤

+

=

(

+ )

,

:∎ ,

Հետևանք 1.5.1: Կամայական

+

-գրաֆ ( ≥ ) պարունակում է եռանկյուն:

Ցույց տանք, որ թեորեմ 1.5.1-ի վերին գնահատականը հասանելի է: Իրոք, եթե մենք դիտարկենք լրիվ երկկողմանի =

,

∙

=

,

գրաֆը, ապա հեշտ է տեսնել, որ

=

,

և

:

Այժմ ապացուցենք Ռեյմանի կողմից ստացված բավարար պայմանը գրաֆում չորս երկարությամբ ցիկլի գոյության համար: Թեորեմ 1.5.2: Եթե

գրաֆը բավարարում է ∑

( )

∈ ( )

>

պայմանին, ապա

-ն պարունակում է չորս երկարությամբ ցիկլ: Ապացույց:

Ճանապարհների քանակը ցանկացած

( )-ով

Նշանակենք

երկու

կլինի. ∑

∈ ( )

ունեցող

այն

գրաֆում, որոնց կենտրոնական գագաթը -ն է: Պարզ է, որ

գագաթի համար

( )-ն հավասար է

երկարություն ունեցող յուրաքանչյուր Ճանապարհ գագաթ, ուստի

երկարություն

( )

-ի: Քանի որ երկու

գրաֆում ունի միակ կենտրոնական

գրաֆի բոլոր երկու երկարություն ունեցող Ճանապարհների քանակը ( )=∑

∈ ( )

( )

:

Մյուս կողմից, ամեն մի այդպիսի ճանապարհ ունի ճիշտ երկու ծայրակետ, հետևաբար, բոլոր երկու երկարություն ունեցող ճանապարհները կարելի է տրոհել դասերի, ըստ այդ ճանապարհների ծայրակետերի: Քանի որ ∑

∈ ( )

( )

>

, ուստի

այդ դասերից մեկը պարունակում է առնվազն երկու հատ երկու երկարություն ունեցող տարբեր ճանապարհներ միևնույն ծայրակետերով, իսկ դա նշանակում է, որ պարունակում է չորս երկարությամբ ցիկլ: ∎

-ն

Ռեյմանի կողմից նաև ապացուցվել է թեորեմ Թեորեմ 1.5.3: Եթե Ապացույց: կարգավորված ( )և կլինի.

( ,

)-գրաֆը չի պարունակում ( )={

Դիցուք հետևյալ

չպարունակող գրաֆների մասին:

}:

եռյակների

Նշանակենք

բազմությունը.

}: Հաշվենք | |-ը: Պարզ է, որ յուրաքանչյուր

≠

( )(

≤

, ապա

+√

-ով

−

գրաֆի

= {( , , ):

:

բոլոր

∈ ( ),

∈

գագաթի ներդրումը | |-ի մեջ

( ) − ), ուստի | |=

( )(

( ) − ):

∈ ( )

Մյուս կողմից, ամեն մի կարգավորված ( , )

զույգ կարող է մասնակցել

ամենաշատը մի ( , , ) կարգավորված եռյակի մեջ, հակառակ դեպքում` կպարունակի

-ն

: Այստեղից հետևում է, որ | | ≤ ( − ): Հետևաբար,

( − )≥| |=

( )(

( )− )=

∈ ( )

( )

( ):

− ∈ ( )

∈ ( )

Ըստ թեորեմ 1.2.1-ի, կստանանք ( )

( − )≥

−

:

∈ ( )

Դիտարկենք

(

=

), … ,

(

)

= ( , … , ) վեկտորները ℝ -ից: Թեորեմ

և

1.2.1-ից և Կոշու-Բունյակովսկու անհավասարությունից, կստանանք. (

) =

( )

=

,

≤

,

∙( , )=

∈ ( )

Այստեղից, հաշվի առնելով

( ) : ∈ ( )

( − )≥∑

∈ ( )

( )

−

(

)

անհավասարությունը,

ստանում ենք հետևյալը. ( − )≥

( )

−

≥

−

:

∈ ( )

Վերջին

անհավասարությունից

քառակուսային անհավասարմանը ըստ +√

−

գալիս

ենք

−

−

( − )≤

-ի, որը լուծելիս ստանում ենք

≤

անհավասարությունը: ∎

Հայտնի է, որ թեորեմ 1.5.3-ի վերին գնահատականը հասանելի է վերջավոր պրոյեկտիվ երկրաչափության կցության գրաֆների վրա: Այժմ սահմանենք Տուրանի

( , ) թիվը հետևյալ կերպ.

( , )=

{| ( )|: | ( )| =

⊈ }:

և

Այլ կերպ ասած,

( , )-ը այն կողերի ամենամեծ քանակն է, որը կարող է ունենալ

գագաթ ունեցող և

գրաֆ չպարունակող գրաֆը:

Սահմանենք Տուրանի

,

գրաֆը: Տուրանի

գագաթ ունեցող լրիվ -կողմանի գրաֆ, որի

գրաֆը իրենից ներկայացնում է

,

−

կողմերը պարունակում են

գագաթներ, իսկ բոլոր մնացած կողմերը պարունակում են ում պատկերված է Տուրանի

,

գրաֆը: Նկատենք, որ

հատ

հատ գագաթներ: Նկ. 1.5.1≤

,

−

:

Նկ. 1.5.1 Այժմ ձևակերպենք էքստրեմալ գրաֆների տեսության դասական արդյունքներից մեկը. Տուրանի թեորեմը Թեորեմ 1.5.4:

չպարունակող գրաֆների մասին: չպարունակող գրաֆներից Տուրանի

գագաթ ունեցող և

գրաֆը ունի ամենաշատ կողեր.

( ,

)=

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ Տուրանի Ցույց տանք, որ

, ,

:

գրաֆը չի պարունակում

գագաթ ունեցող բոլոր -կողմանի գրաֆներից, Տուրանի

ամենաշատ կողերն ունի: Նկատենք, որ ամենաշատ կողերն ունի

գագաթ ունեցող

գագաթ ունեցող լրիվ

,

գրաֆը: ,

գրաֆը

-կողմանի գրաֆներից

-կողմանի գրաֆը, քանի որ եթե -

կողմանի գրաֆը լրիվ չէ, ապա մենք կարող ենք այնպես ավելացնել կողեր այդ գրաֆին, որ ստացված գրաֆը ևս լինի -կողմանի: Այստեղից հետևում է, որ բավական է ցույց տալ, որ

գագաթ ունեցող լրիվ -կողմանի գրաֆներից ամենաշատ կողերն ունի Տուրանի

,

գրաֆը: Դիցուք ≤

,

-ը լրիվ

-կողմանի գրաֆ է և ∑

= : Ցույց տանք, որ

−

ցանկացած , ∈ { , … , }-ի համար: Ենթադրենք հակառակը` գոյություն ունեն

,

∈ { , … , }-ի, որ

≥

+ : Դիտարկենք

գրաֆը ևս լրիվ -կողմանի գրաֆ է և ∑

գրաֆը: Պարզ է, որ

= , բայց այդ գրաֆի

կողերի քանակը հավասար կլինի.

=

,

−

+

−

>

,

,

որը հակասություն է: Այժմ ցույց տանք, որ եթե գոյություն ունի

լրիվ

գագաթ ունեցող

( ) = ( ) և | ( )| ≥ | ( )|:

-կողմանի գրաֆ, որում

Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ -ի: Եթե = -ի, կստանանք անհրաժեշտ

վերցնելով

= , ապա | ( )| =

և

≥

և

գրաֆի գոյությունը: Ենթադրենք

պնդումը ճիշտ է ցանկացած գրաֆի համար, որը չի պարունակում և

գագաթ ունեցող գրաֆ է, որը չի պարունակում Դիտարկենք

= [

գրաֆի ծնված

հարևան է

-ը չի պարունակում

գրաֆի

-ն

( ) = ( ): գագաթը

: Ըստ մակածման

լրիվ ( − )-կողմանի գրաֆ, որում

ենթադրության, կստանանք, որ գոյություն ունի (

: Դիցուք

∈ ( ),

( )] ենթագրաֆը: Քանի որ

-ի բոլոր գագաթներին, ուստի

, ապա

գրաֆը չի պարունակում

)= ( )=

( )և| (

)| ≥ | ( )|:

Կառուցենք

լրիվ -կողմանի գրաֆ, որում ( ) = ( ) և | ( )| ≥ | ( )|: Դիցուք

= ( )\

( ): Սահմանենք

(

∶

հարևան չեն

∈ ,

∈

գրաֆը հետևյալ կերպ.

( )} (նկ. 1.5.2): Քանի որ

գրաֆում, ուստի

( )=

∪ (

),

( )=

-ի գագաթները զույգ առ զույգ

-ը լրիվ -կողմանի գրաֆ է: Ապացուցենք, որ | ( )| ≥

| ( )|:

x

x

S− x

S

G'

⋮

H'

Նկ. 1.5.2 գրաֆի սահմանումից հետևում է, որ | ( )| = | (

)| + | | ∙ |

( )| = | (

)| + ( )( − ( )):

Մյուս կողմից, հեշտ է տեսնել, որ | ( )| ≤ | ( )| + ∑

( ) ≤ | ( )| + | | ∙ ( ) = | ( )| + ( )( − ( )):

∈

)| ≥ | ( )| անհավասարությունը, ստանում ենք

Այստեղից, հաշվի առնելով | ( հետևյալը. | ( )| = | (

)| + ( )( − ( )) ≥ | ( )| + ( )( − ( )) ≥ | ( )|: ∎ ,

Հետևանք 1.5.2: Ցանկացած

+

,

-գրաֆ ( ≥

+ ) պարունակում է

: Նշենք, որ Տուրանի թեորեմը ընդհանրացնում է Մանթելի թեորեմը, քանի որ ( ,

)=

+√

( ,

−

)=

:

Ռեյմանի

թեորեմից ( ,

: Հայտնի է նաև, որ

ստանում

)=

(

ենք,

), իսկ

( ,

որ

( ,

)=

)≤ :

Էքստրեմալ գրաֆների տեսությանն ավելի մանրամասն կարելի է ծանոթանալ Բոլլոբաշի գրքում [7]: Այժմ

անցնենք

կցության

գրաֆներին:

Դիցուք

տրված ={

բազմությունը և այդ բազմության ենթաբազմությունների

={ ,

է

,

}

} ընտանիքը:

Սահմանենք ( , ) զույգի համար հետևյալ կցության ( , ) գրաֆը. ( , ) = ( , ) =

∶

∈ ,

∪{ ∈

, և

}և

∈

,

≤ ≤ ,

≤ ≤

:

Հեշտ է տեսնել, որ ( , ) կցության գրաֆը երկկողմանի գրաֆ է: Դիցուք

={ , , , , }և

= { , , }, { , , }, { , , }, { , } : Ստորև պատկերված

է ( , ) կցության գրաֆը:

{1,2 ,3 } {1,3 ,4 } {2,3,5 } {4,5 }

Նկ. 1.5.3 Նկատենք,

որ

յուրաքանչյուր

=( , )

հիպերգրաֆին

ևս

կարելի

է

( , ) կցության գրաֆ: Կցության գրաֆների հետաքրքիր

համապատասխանեցնել

օրինակներ են հանդիսանում վերջավոր աֆինական և պրոյեկտիվ երկրաչափության կցության գրաֆները: Նկ. 1.5.4-ում պատկերված են վերջավոր երկրորդ կարգի աֆինական և պրոյեկտիվ երկրաչափության կցության գրաֆները: Վերջում անդրադառնանք նաև հատումների գրաֆներին: Դիցուք տրված է ={

բազմությունը և այդ բազմության ենթաբազմությունների

,

} ընտանիքը:

Սահմանենք ( , ) զույգի համար հատումների հետևյալ ( , ) գրաֆը. ( , ) = ( , ) =

{1,2 }

:

,

={ ∈

,

և

}և

∩

≠ ∅,

≤ ≠ ≤

{1,3 }

{1,4 }

{2,3 }

{2,4 }

:

{3,4}

{1,2 ,4 }

{2,3,5 }

{3,4,6 }

{4,5 ,7}

{5,6 ,1 }

{6,7,2 }

{7,1,3 }

Նկ. 1.5.4. Սահմանում 1.5.1: ={ , ={

,

Դիցուք

}

գրաֆը կոչվում է հատումների գրաֆ, եթե գոյություն ունի

բազմություն } ընտանիք, որ

={ , , , , }և

և ≅

այդ

բազմության

ենթաբազմությունների

( , ):

= { , , }, { , , }, { , , }, { , } : Ստորև պատկերված

է ( , ) հատումների գրաֆը:

{1,2 ,3 }

{1,3 ,4 }

{2,3,5 }

{4,5 } Նկ. 1.5.5. Հատումների գրաֆներին վերաբերվող առաջին արդյունքը ստացվել է Մարչևսկու կողմից: Թեորեմ 1.5.5: Կամայական գրաֆ հանդիսանում է հատումների գրաֆ: Ապացույց: Դիցուք

= ( , ) գրաֆ է, որտեղ

( )=

թեորեմը ապացուցելու համար բավական է կառուցել ենթաբազմությունների այնպիսի Սահմանենք

,

: Նկատենք, որ

բազմությունը և այդ բազմության

ընտանիք, որ բավարարվի

≅

( , ) պայմանը:

բազմությունը և այդ բազմության ենթաբազմությունների

ընտանիքը

հետևյալ կերպ. =

,

={ }∪

, որտեղ

( )( ≤ ≤ )և

= ( ) ∪ ( ): Անմիջականորեն ստուգվում է, որ

≅

( , ): ∎

Հատումների գրաֆների հետաքրքիր օրինակներ են հանդիսանում կողային և միջակայքների գրաֆները:

= ( , ) գրաֆի համար դիտարկենք

գրաֆը. այն անվանում են

գրաֆի կողային գրաֆ և նշանակում են

տեսնել, որ

( ) գրաֆում գագաթներին համապատասխանում են

( , ) հատումների ( )-ով: Հեշտ է գրաֆի կողերը և

( ) գրաֆի երկու գագաթները հարևան են, եթե նրանց համապատասխանող կողերը գրաֆում հարևան են: Նկ. 1.5.6-ում պատկերված է օրինակը:

գրաֆը և նրա կողային ( ) գրաֆի

( )

Նկ. 1.5.6 Դիցուք տրված է ℝ իրական թվերի բազմությունը և հատվածների ընտանիքը: Այդ դեպքում հատումների

={ ,

} փակ

(ℝ, ) գրաֆը անվանում են

միջակայքերի գրաֆ: Նկ. 1.5.7-ում պատկերված է միջակայքերի գրաֆի օրինակ = {[ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ]} հատվածների ընտանիքի դեպքում:

(ℝ, )

R

…

Նկ. 1.5.7

Գլուխ 2

Գրաֆների դասեր

§ . . Կապակցվածության բաղադրիչներ և կապակցված գրաֆներ Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է:

Սահմանում 2.1.1: և

գագաթների համար

գրաֆը կանվանենք կապակցված, եթե նրա ցանկացած երկու գրաֆում գոյություն ունի ( , )-ճանապարհ:

Նշենք, որ կապակցված գրաֆի օրինակներ են հանդիսանում լրիվ և լրիվ երկկողմանի գրաֆները: Կապակցված են նաև ստորև պատկերված երեք գրաֆները:

u2

v1

u3

u1

u5

v3

v5

v4

u4 u6

v2

v7

v6

v9

v8

w1 w2

w3 w5

w4 w6

w7

w8

w9 Նկ. 2.1.1 Եթե սահմանված

= ( , )-ն ցանկացած գրաֆ է, ապա դիտարկենք բինար հարաբերությունը, որտեղ ցանկացած ,

∈

բազմության վրա համար

գրաֆում գոյություն ունի ( , )-ճանապարհ:

այն և միայն այն դեպքում, երբ Նկատենք, որ

բինար հարաբերությունը բավարարում է հետևյալ երեք

պայմաններին. 

ռեֆլեքսիվություն, այսինքն ցանկացած



սիմետրիկություն, այսինքն ցանկացած , ∈



տրանզիտիվություն, այսինքն ցանկացած , , ապա

Հետևաբար,

∈

համար

,

համար, եթե ∈

, ապա

համար, եթե

, և

,

: բինար հարաբերությունն իրենից ներկայացնում է համարժեքության

հարաբերություն, որտեղից հետևում է, որ

բազմությունը կարելի է տրոհել

ենթաբազմությունների այնպես, որ  

=

∪ …∪

ցանկացած , ,

≤

Դիտարկենք

,

∩

= ∅ երբ

∈

համար

≤ , այնպես, որ գրաֆի

≤ ≠ ≤ , այն և միայն այն դեպքում, երբ գոյություն ունի

,

∈

:

= [ ] ենթագրաֆները,

≤ ≤ :

գրաֆի

գրաֆի կապակցվածության կամ կապակցված

ենթագրաֆներն ընդունված է անվանել

բաղադրիչներ: Նկատենք, որ գրաֆի կապակցվածության բաղադրիչները կապակցված գրաֆներ են: Ավելին, նկատենք, որ § 1.3-ում սահմանված գրաֆների միավորում գործողությունը թույլ է տալիս ստանալ

գրաֆի հետևյալ ներկայացումը

= Դիտողություն 2.1.1:

∪ …∪

:

գրաֆը կապակցված է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն

ունի կապակցվածության մեկ բաղադրիչ: Նկ. 2.1.2-ում պատկերված գրաֆը կապակցված չէ և այն ունի կապակցվածության չորս բաղադրիչ:

v1

v4

v2 v3

v5

v6

v7

v9

v8

v 10

Նկ. 2.1.2 Դիտողություն 2.1.2: Կամայական

գրաֆում գոյություն ունի ամենաերկար

ճանապարհ:

Եթե

= ( , )-ն կապակցված ( ,

)-գրաֆ է, ապա

( )=

−

+

թիվը

գրաֆի ցիկլոմատիկ թիվ: Ստորև կապացուցենք կապակցված գրաֆների

կանվանենք

ցիկլոմատիկ թվին առնչվող մեկ թեորեմ: = ( , ) գրաֆի համար

Թեորեմ 2.1.1: Կապակցված

( ) ≥ : Ավելին,

1.

( )=

այն և միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆում ցիկլ չկա,

2.

( )=

այն և միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆում կա ճիշտ մեկ ցիկլ:

Ապացույց: Դիտարկենք

կապակցված գրաֆը, և դիտարկենք այն կառուցելու

հետևյալ եղանակը. Քայլ 1. Ընտրենք որևէ

=

կող և նրան կից

և

գագաթները:

գրաֆի ստացված

ենթագրաֆը պարունակում է մեկ կող և երկու գագաթ, և, հետևաբար, նրա համար (

)= : Քայլ 2.

գրաֆի ստացված ենթագրաֆին հերթականորեն ավելացնենք

բազմության կողեր և նրանց կից գագաթներ այնպես, որ յուրաքանչյուր քայլում ավելացվող կողն ունենա գոնե մեկ ընդհանուր գագաթ

գրաֆի արդեն կառուցված

ենթագրաֆի հետ: Նկատենք, որ դա հնարավոր է, քանի որ ըստ ենթադրության կապակցված է: Ավելին, ամեն անգամ

գրաֆը

գրաֆի ստացվող ենթագրաֆները կապակցած են:

Ակնհայտ է, որ քայլ 2-ն ամեն անգամ կատարելիս, մենք ավելացնում ենք մեկ նոր կող և ամենաշատը մեկ նոր գագաթ: Այստեղից հետևում է, որ կողերի և գագաթների քանակների տարբերությունը մնում է ոչ բացասական: Քանի որ ենթագրաֆի համար

(

)= , և

-ից հնարավոր է ստանալ

( ) ≥ : Ավելին, նկատենք, որ

( )=

գրաֆի սկզբնական -ն, ապա պարզ է, որ

այն և միայն այն դեպքում, երբ

յուրաքանչյուր անգամ մեկ կող ավելացնելիս ավելացվում է ճիշտ մեկ գագաթ, և, հետևաբար, այդպիսի գրաֆը ցիկլ չի կարող պարունակել: Նկատենք, որ եղանակով

( )=

այն և միայն այն դեպքում, երբ վերը նկարագրված

գրաֆը կառուցելիս ճիշտ մեկ անգամ է հանդիպում

արդեն կառուցած ենթագրաֆի մենք կարող ենք ենթադրել, որ

և

=

կող, որը կից է

գագաթներին: Առանց ընդհանրությունը խախտելու,

կողն ավելացվում է վերջին քայլում: Քանի որ նախորդ

քայլերում ավելացված գագաթներն ու կողերը ցիկլ չեն առաջացնում, ապա դժվար չէ տեսնել, որ

կողն ավելացնելիս առաջանում է ճիշտ մեկ ցիկլ: ∎

§ . . Երկկողմանի գրաֆներ

Հիշենք, որ § 1.2-ում

= ( , ) գրաֆն անվանեցինք երկկողմանի, եթե

բազմությունը հնարավոր է տրոհել երկու ենթաբազմությունների գրաֆի ցանկացած կող կից է մեկ գագաթի

և

-ից և մեկ գագաթի

-ի այնպես, որ -ից: Նշենք, որ նկ.

2.1.1-ում պատկերված երեք գրաֆներն էլ երկկողմանի են: Իրոք, դիտարկենք նրանցից ={

առաջինի գագաթների բազմության հետևյալ տրոհումը. {

,

,

ից և

,

,

} և

=

}, և նկատենք, որ այդ գրաֆի ցանկացած կող միացնում է մեկական գագաթ

-

-ից: Երկրորդ գրաֆի երկկողմանիության մեջ համոզվելու համար դիտարկենք ={

նրա գագաթների հետևյալ տրոհումը.

,

,

,

,

} և

={

,

նկատենք, որ այդ գրաֆի ցանկացած կող միացնում է մեկական գագաթ

,

,

}, և

-ից և

-ից:

Եվ, վերջապես, երրորդ գրաֆի երկկողմանիության մեջ համոզվելու համար դիտարկենք նրա գագաթների հետևյալ տրոհումը.

={

,

,

,

,

}և

={

նկատենք, որ այդ գրաֆի ցանկացած կող միացնում է մեկական գագաթ

,

,

-ից և

,

}, և -ից:

Ստորև կապացուցենք Քյոնիգի թեորեմը, որը նկարագրում է երկկողմանի գրաֆները: Թեորեմ 2.2.1 (Դ. Քյոնիգ): Որպեսզի

= ( , ) գրաֆը լինի երկկողմանի,

անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն չպարունակի կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլը երկկողմանի չէ, հետևաբար, ցանկացած գրաֆ, որը պարունակում է կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ չի կարող լինել երկկողմանի: Սա նշանակում է, որ եթե գրաֆը երկկողմանի է, ապա նրա բոլոր պարզ ցիկլերն ունեն զույգ երկարություն: Հիմա ենթադրենք, որ

գրաֆը չունի կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ և ցույց

տանք, որ այն երկկողմանի է: Նախ պնդումն ապացուցենք այն մասնավոր դեպքում, երբ Վերցնենք

գրաֆի ցանկացած

բազմությունը, որոնք

∈

և

-ով նշանակենք

գրաֆի այն գագաթների

գագաթից գտնվում են զույգ հեռավորության վրա, իսկ

գագաթների բազմությունը, որոնք Նկատենք, որ

գագաթ:

գրաֆը կապակցված է:

-ով այն

գագաթից գտնվում են կենտ հեռավորության վրա:

բազմությունները կազմում են

բազմության տրոհում: Ավելին,

:

Ցույց տանք, որ գագաթ

գրաֆի ցանկացած կող միացնում է մեկ գագաթ

-ից: Ենթադրենք հակառակը, դիցուք

գագաթները, որոնք միաժամանակ պատկանում են որ գոյություն ունեն

գագաթը

և

=

գրաֆի

-ից և մեկ

կողը միացնում է

-ին կամ

և

-ին: Սա նշանակում է,

գագաթներին միացնող

և

ճանապարհներ

այնպես, որ այդ ճանապարհների երկարություններն ունեն նույն զույգությունը: Դիտարկենք

գրաֆի հետևյալ շրջանցումը.

շարժվենք մինչև հետո

=

գագաթ, այնուհետև

ճանապարհով

գագաթից

ճանապարհի երկայնքով

կողով շարժվենք դեպի

գագաթից վերադառնանք

գագաթ, որից

գագաթ: Նկատենք, որ

նկարագրված շրջանցումն իրենից ներկայացնում է կենտ երկարություն ունեցող փակ շրջանցում: Համաձայն լեմմա 1.2.2-ի նրանից կարելի է անջատել

գրաֆի կենտ

երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ, ինչը հակասում է թեորեմի պայմաններին: Հետևաբար, թեորեմի պնդումը ճիշտ է այն մասնավոր դեպքում, երբ

գրաֆը

կապակցված է: Հիմա

դիտարկենք

ցանկացած

կապակցվածության բաղադրիչներն

գրաֆը, են:

Նկատենք,

և

դիցուք

որ

քանի որ

-ն

նրա

գրաֆը

չի

պարունակում կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ, ապա նրա կապակցվածության բաղադրիչները ևս չեն պարունակի այդպիսի ցիկլ: Համաձայն վերը ապացուցվածի,

կապակցվածության բաղադրիչները հանդիսանում են երկկողմանի գրաֆներ, և

բազմությունների այնպես, որ ()

-ից և

()

( ) բազմությունը կարելի է տրոհել

= , … , -ի համար

հետևաբար

()

և

()

գրաֆի ցանկացած կող միացնում է մեկական գագաթ

-ից: Նշանակենք՝ ( )

Նկատենք, որ ից, և, հետևաբար, Դիցուք

ունիմոդուլյար

=

( )

∪ …∪

( )

և

( )

=

( )

∪ …∪

( )

:

գրաֆի ցանկացած կող միացնում է մեկական գագաթ

( )

-ից և

( )

-

գրաֆը նույնպես երկկողմանի է: ∎

-ն գրաֆ է:

մատրից,

գրաֆի կցության եթե

այդ

ենթամատրիցի որոշիչը հավասար է ,

( ) մատրիցը կանվանենք տոտալ

մատրիցի

յուրաքանչյուր

քառակուսային

կամ – -ի: Այժմ տանք երկկողմանի գրաֆների

մեկ այլ նկարագրում: Թեորեմ 2.2.2: Որպեսզի

= ( , ) գրաֆը լինի երկկողմանի, անհրաժեշտ է և

բավարար, որ նրա կցության ( ) մատրիցը լինի տոտալ ունիմոդուլյար:

Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ եթե ունիմոդուլյար է, ապա կցության

գրաֆի կցության

( ) մատրիցը տոտալ

-ն երկկողմանի գրաֆ է: Ենթադրենք հակառակը`

( ) մատրիցը տոտալ ունիմոդուլյար է, բայց

գրաֆի

-ն երկկողմանի գրաֆ չէ: Ըստ

թեորեմ 2.2.1-ի -ն պարունակում է կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ: Դիցուք այդ +

պարզ ցիկլի երկարությունը

է: Դիտարկենք այդ ցիկլի գագաթներին և կողերին

համապատասխանող ( ) մատրիցի ենթամատրիցը: Դիցուք այդ մատրիցը է, որ

-ը (

+ )×(

-ն է: Պարզ

+ ) կարգի քառակուսային մատրից է: Այժմ դիտարկենք

մատրիցը, որը ստացվում է

-ից որոշ տողեր և սյուներ տեղափոխելով այնպես, որ

մատրիցը ընդունի հետևյալ տեսքը.

=

Հեշտ է տեսնել, որ

(

)=

որոշիչը կարող է տարբերվել

… … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ …

+ (− ) (

:

= : Մյուս կողմից պարզ է, որ

մատրիցի

)-ից միայն նշանով, իսկ դա հակասում է

( )

մատրիցի տոտալ ունիմոդուլյար լինելուն: Այժմ ցույց տանք, որ եթե

-ն երկկողմանի գրաֆ է, ապա

մատրիցը տոտալ ունիմոդուլյար է: Դիտարկենք

գրաֆի կցության

( ) մատրիցի ցանկացած

( ) ×

կարգի քառակուսային ենթամատրիցը: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ -ի: Եթե

պնդումը ճիշտ է

( ) մատրիցի

ենթամատրիցի համար, որտեղ ենթամատրիցը: Եթե պարզ է որ վերլուծելով որ

( )= ,

( )=

= -ի, ապա ակնհայտ է, որ ×

( ) = : Ենթադրենք, որ

կամ

կարգի ցանկացած քառակուսային

< : Դիտարկենք

×

կարգի քառակուսային

-ն պարունակում է սյուն, որի բոլոր տարրերը զրոներ են, ապա

( ) = : Եթե

-ն պարունակում է սյուն, որի ճիշտ մեկ տարրն է , ապա

( )-ն ըստ այդ սյանը մենք ըստ մակածման ենթադրության կստանանք, կամ – -ի: Այստեղից հետևում է, որ մենք կարող ենք ենթադրել, որ

մատրիցի յուրաքանչյուր սյուն պարունակում է ճիշտ երկու հատ

: Քանի որ

-ն

երկկողմանի գրաֆ է, ուստի այդ մեկերից մեկը կպատկանի -ի մի կողմին, իսկ մյուսը` մյուս կողմին: Պարզ է, որ մենք կարող ենք ենթադրել, որ համապատասխանում է

մատրիցի առաջին

երկկողմանի գրաֆի մի կողմը, իսկ մյուս

գրաֆի մյուս կողմը: Քանի որ -ն երկկողմանի գրաֆ է, ուստի

−

տողերին

տողերին` այդ

մատրիցի յուրաքանչյուր

սյուն կպարունակի մեկ հատ

առաջին

տողերից: Այստեղից հետևում է, որ այդ մատրիցի մյուս

−

տողերից և ճիշտ մեկ հատ

մյուս

−

մատրիցի առաջին

տողերի գումարը հավասար է

տողերի գումարին, ուստի

մատրիցի տողերը գծորեն

( )= :∎

կախված են և

Վերջում ապացուցենք մի թեորեմ, որը ցույց է տալիս, որ ցանկացած գրաֆ պարունակում է կողերով հարուստ կմախքային երկկողմանի ենթագրաֆ: Թեորեմ 2.2.3 (Պ. Էրդյոշ): Կամայական երկկողմանի

ենթագրաֆ, որում | (

Ապացույց: Դիտարկենք

)| ≥

գրաֆ պարունակում է կմախքային

| ( )|

:

գրաֆի գագաթների

( ) բազմության բոլոր հնարավոր

տրոհումները երկու ենթաբազմությունների և ընտրենք այն մեկը, որի դեպքում այդ երկու ենթաբազմությունների միջև կողերի քանակը առավելագույնն է: Դիցուք այդ տրոհումը ( )=

∪

-ն է: Պարզ է, որ այդ տրոհումը ծնում է կմախքային երկկողմանի

ենթագրաֆ: Ցույց տանք, որ ցանկացած

∈ ( )-ի համար

∈ ( )-ին, որ

հակառակը` գոյություն ունի

խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ

∈

: Քանի որ

ում ավելի շատ հարևան գագաթներ ունի քան գագաթը

-ից տեղափոխենք

տրոհումը, որի ( \{ }) և (

( )<

( )≥

( )

: Ենթադրենք

( )

: Առանց ընդհանրությունը

( )<

( )

, ուստի

գագաթը

-

-ում, իսկ դա նշանակում է, որ եթե մենք

, ապա կստանանք

( ) = ( \{ }) ∪ (

∪ { }) նոր

∪ { }) ենթաբազմությունների միջև կողերի քանակը ավելի

մեծ է, որը հակասում է սկզբնական տրոհման ընտրությանը: Այստեղից հետևում է, որ

| (

)| = ∑

∈ ( )

( )≥ ∑

∈ ( )

( )

=

| ( )|

:∎

Երկկողմանի գրաֆներին ավելի մանրամասն կարելի է ծանոթանալ Հասրաթյանի, Դենլիի և Հագվիսթի գրքում [4]:

§ . . Ծառեր

Սահմանում 2.3.1: Ցիկլ չպարունակող կապակցված գրաֆը կանվանենք ծառ: Սահմանում 2.3.2: Ցիկլ չպարունակող գրաֆը կանվանենք անտառ: Նկատենք, որ անտառն այնպիսի գրաֆ է, որի կապակցվածության բոլոր

բաղադրիչներն իրենցից ներկայացնում են ծառեր: Ավելին, կամայական անտառ երկկողմանի գրաֆ է: Նշենք, որ նկ. 2.1.2-ում պատկերված գրաֆը անտառ չէ: Ավելին, նկ. 2.1.1-ում պատկերված գրաֆներից առաջին երկուսը ծառեր չեն, իսկ երրորդը ծառ է: Վերջապես, ծառի օրինակ է նաև 2.3.1-ում պատկերված գրաֆը: Ստորև

կապացուցենք

մի

թեորեմ,

որն

առաջարկում

է

ծառի

մի

քանի

նկարագրություններ: =( , ) ( ,

Թեորեմ 2.3.1:

)-գրաֆի համար հետևյալ պայմանները իրար

համարժեք են. (1)

-ն ծառ է,

(2)

գրաֆում ցանկացած երկու գագաթ միացված են ճիշտ մեկ ճանապարհով,

(3)

-ն կապակցված է և

(4)

-ն չունի ցիկլ և

(5)

-ն չունի ցիկլ և -ի ցանկացած երկու ոչ հարևան +

=

=

− ,

− , և

գագաթների համար

գրաֆն ունի ճիշտ մեկ ցիկլ:

Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ (1)-ից հետևում է (2)-ը: Իրոք, դիցուք -ն ծառ է: Այդ դեպքում, քանի որ

-ն կապակցված է, նրանում ցանկացած երկու գագաթ միացված են

առնվազն մեկ ճանապարհով: Ցույց տանք, որ ցանկացած երկու գագաթ միացված են ճիշտ մեկ ճանապարհով: Ենթադրենք, իրարից տարբեր շարժվենք դեպի

-ում գոյություն ունեն երկու և

ճանապարհներով:

գագաթ: Քանի որ

գագաթ, որը պատկանում է պատկանում

-ին: Քանի որ

-ին և

≠

և

գագաթներ, որոնք միացված են

գագաթից

ճանապարհի երկայնքով

, ապա գոյություն կունենա այնպիսի

-ին, որի հաջորդը

գագաթը գտնվում է

-ի և

ճանապարհի վրա չի -ի վրա, ապա

ճանապարհի երկայնքով շարժվելուց, մենք կհանդիպենք պատկանում է չեն պատկանում

-ին և

գագաթից

′ գագաթի, որը

-ին, բայց որի նախորդները, որոնք ընկած են մինչև

-ին և

-ին միաժամանակ: Նկատենք, որ

-ի և

-ի

գագաթ և

′

գագաթները միացնող ենթաճանապարհները միասին կազմում են ցիկլ, ինչը հակասում է -ի ցիկլ չունենալու պայմանին: Հետևաբար -ում ցանկացած երկու գագաթ միացված են ճիշտ մեկ ճանապարհով: Հիմա ցույց տանք, որ (2)-ից հետևում է (3)-ը: Ենթադրենք, որ -ում ցանկացած երկու

գագաթ միացված են ճիշտ մեկ ճանապարհով: Նկատենք, որ այս պայմանից հետևում է, =

որ -ն կապակցված է: Մակածման եղանակով ըստ -ի ցույց տանք, որ =

Նկատենք, որ

−

= ,

հավասարությունը ակնհայտ է

− : դեպքերում:

Ենթադրենք, որ այն ճիշտ է (2) պայմանին բավարարող բոլոր գրաֆների համար, որոնց գագաթների քանակը փոքր է Վերցնենք

-ից, և դիտարկենք (2) պայմանին բավարարող

գրաֆի ցանկացած

−

կող, և դիտարկենք

գրաֆը: Քանի որ

գրաֆը: գրաֆում

−

ցանկացած երկու գագաթ միացված են ճիշտ մեկ ճանապարհով, ապա

գրաֆը

պետք է ունենա կապակցվածության ճիշտ երկու բաղադրիչ: Դիցուք այդ բաղադրիչները -ը և

-ն են: Նկատենք, որ

-ում և

-ում ցանկացած երկու գագաթ միացված են

ճիշտ մեկ ճանապարհով և նրանցում գագաթների քանակը փոքր է

-ից: Համաձայն

մակածման ենթադրության | (

)| = | (

)| −

և| (

)| = | (

)| − ,

որտեղից հետևում է, որ =

+| (

)| + | (

)| =

+| (

)| + | (

Ցույց տանք, որ (3)-ից հետևում է (4)-ը: Դիցուք

)| −

=

− :

-ն կապակցված է և

=

− :

Նկատենք, որ բավական է ցույց տալ, որ -ն չունի ցիկլ: Ենթադրենք հակառակը, այսինքն ենթադրենք, որ -ն ունի գրաֆի

երկարությամբ ցիկլ: Նկատենք, որ այս ցիկլի վրա գտնվում են

գագաթ

և

գրաֆի

կող:

մնացած

−

գագաթներին

համապատասխանեցնենք կողեր հետևյալ կերպ. դիցուք -ն ցիկլի վրա չգտնվող գագաթ է, դիտարկենք -ից ցիկլի գագաթներ տանող կարճագույն ճանապարհները և ընտրենք նրանցից ամենակարճը: վրա գտնվող և

-ին համապատասխանեցնենք այդ ամենակարճ ճանապարհի

-ին կից կողը: Նկատենք, որ ցիկլի վրա չգտնվող −

կհամապատասխանեն

իրարից տարբեր կողեր, և, հետևաբար,

−

գագաթներին

գրաֆում կողերի

քանակը կլինի առնվազն ≥ ինչը հակասում է

=

−

+

−

= ,

հավասարությանը:

Ցույց տանք, որ (4)-ից հետևում է (5)-ը: Ենթադրենք Նկատենք, որ բավական է ցույց տալ, որ գագաթների համար

+

-ն չունի ցիկլ և

=

-ի ցանկացած երկու ոչ հարևան

գրաֆն ունի ճիշտ մեկ ցիկլ: Քանի որ

-ն չունի ցիկլ,

− : և -ի

կապակցվածության բաղադրիչները ծառեր են, և քանի որ արդեն ցույց ենք տվել, որ (1)ից հետևում է (3)-ը, ապա կունենանք, որ

=

− , որտեղ -ն -ի կապակցվածության

=

բաղադրիչների քանակն է: Մյուս կողմից, քանի որ

− , ապա կունենանք, որ

= ,

այսինքն -ն ծառ է, և, հետևաբար, համաձայն (2)-ի, -ում ցանկացած երկու ոչ հարևան և

գագաթներ միացված են ճիշտ մեկ ճանապարհով: Այստեղից հետևում է, որ

+

գրաֆում կլինի ճիշտ մեկ ցիկլ: Ցույց տանք, որ (5)-ից հետևում է (1)-ը: Ենթադրենք, որ ցանկացած երկու ոչ հարևան

և

գագաթների համար

ցիկլ: Նկատենք, որ բավական է ցույց տալ, որ ցանկացած երկու

և

և

գրաֆը: Համաձայն մեր ենթադրության, և

-ի

գրաֆն ունի ճիշտ մեկ

-ն կապակցված է: Դիտարկենք

գագաթներ: Եթե նրանք հարևան են, ապա պարզ է, որ միացված

են ճանապարհով: Ենթադրենք, որ

հետևում է, որ

+

-ն չունի ցիկլ և

գագաթները

գագաթները հարևան չեն: Դիտարկենք +

+

գրաֆն ունի ճիշտ մեկ ցիկլ: Այստեղից

գրաֆում միացված են ճանապարհով, հետևաբար, -ն

կապակցված գրաֆ է: ∎ Նկատենք, որ ապացուցված թեորեմից և թեորեմ 2.1.1-ից հետևում է, որ ծառը կարելի է սահմանել որպես այնպիսի կապակցված գրաֆ, որի ցիկլոմատիկ թիվը հավասար է զրոյի: Հիշենք, որ § 1.2-ում

գրաֆի

Հետևանք 2.3.1: Եթե

գագաթը անվանեցինք կախված, եթե

= ( , )-ն ծառ է, որում | | ≥ , ապա

( )= :

-ն պարունակում է

առնվազն երկու կախված գագաթ: Ապացույց 1: Համաձայն դիտողություն 2.1.2-ի,

ծառում գոյություն ունի

ամենաերկար ճանապարհ: Նկատենք, որ քանի որ | | ≥ , ապա այդ ճանապարհի ծայրակետերը երկուսն են, որոնք, ինչը դժվար չէ տեսնել,

ծառի կախված գագաթներ

են:∎ Ապացույց 2: Քանի որ

-ն կապակցված է և | | ≥ , ապա նրանում ցանկացած

գագաթի աստիճանն առնվազն մեկ է: Օգտվելով թեորեմ 1.2.1-ից և թեորեմ 2.3.1-ից, կստանանք, ( )= | |= | |− , ∈

որտեղից հետևում է, որ առնվազն երկու գագաթի աստիճան պետք է լինի մեկ: ∎ Թեորեմ 2.3.2: Դիցուք ( ) ≥ : Այդ դեպքում

-ն ծառ է, որում | ( )| = , և

գրաֆը պարունակում է

= ( , )-ն գրաֆ է, որում

ծառին իզոմորֆ ենթագրաֆ:

Ապացույց: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ

-ի: Ենթադրենք

= : Այդ դեպքում -ն բաղկացած է մեկ գագաթից, և պնդումն ակնհայտ է: Ենթադրենք, որ թեորեմի պնդումը ճիշտ է բոլոր այն ծառերի համար, որոնց կողերի քանակը փոքր է > 0 կող պարունակող

-ից, և դիտարկենք պարունակում է

կախված գագաթ: -ով նշանակենք

-ում, և դիցուք ′ = կող: Քանի որ ( ) ≥

− : Նկատենք, որ ′-ը նույնպես ծառ է, որը պարունակում է >

− 1, ապա, համաձայն մակածման ենթադրության,

համապատասխան գագաթը հետևում է, որ

( ) ≥ , ապա

-ն է: Քանի որ

գագաթը հարևան է այնպիսի գրաֆի

ծառը

գագաթի միակ հարևան գագաթը

′ ծառին իզոմորֆ ենթագրաֆ: Դիցուք այդ ենթագրաֆում

պարունակում է

գագաթ չկա

ծառը: Համաձայն հետևանք 2.3.1-ի,

Ստորև կդիտարկենք տրված

գրաֆը գագաթին

( ) ≥ , որտեղից

գագաթի, որին համապատասխան

′ ծառին իզոմորֆ ենթագրաֆում: Ավելացնելով

կողն այդ ենթագրաֆին, մենք կստանանք

−

գագաթը և

ծառին իզոմորֆ ենթագրաֆ: ∎

գրաֆի

նշված գագաթներով իրարից տարբեր ծառերի

հաշվման խնդիրը: Թեորեմ 2.3.3 (Կելլի): { , , … , } բազմությունը որպես գագաթների բազմություն ունեցող ծառերի քանակը հավասար է

:

Ապացույց: Ապացույցը կկատարենք Պրյուֆֆերի կոդավորման եղանակով: Նախ նկատենք, որ թեորեմի պնդումը ճիշտ է

=

և

=

դեպքերում, հետևաբար կարող ենք

≥ : Այս դեպքում պնդումն ապացուցելու համար մենք ցույց կտանք, որ

ենթադրել, որ

կարելի է հաստատել փոխմիարժեք արտապատկերում { , , … , } բազմությունը որպես գագաթների բազմություն ունեցող ծառերի և { , , … , } բազմության տարրերի

−

երկարությամբ բոլոր հաջորդականությունների միջև: Քանի որ վերջիններիս քանակը է, ապա այստեղից էլ կստացվի թեորեմի ապացույցը: Դիցուք

-ն

, ,…,

գագաթներով որևէ ծառ է: Համաձայն հետևանք 2.3.1-ի

ծառում գոյություն ունի կախված գագաթ: Դիտարկենք նրանցից ամենափոքրը: Դիցուք այն

-ն է, ավելին դիցուք

-ի միակ հարևանը

-ում

-ն է: Դիտարկենք

−

Կրկին համաձայն հետևանք 2.3.1-ի նրանում գոյություն ունի ամենափոքր գագաթ, որի միակ հարևանը

−

Նկարագրված պրոցեսը կատարենք

-ում դիցուք −

-ն է: Դիտարկենք

անգամ: Արդյունքում

−

ծառը: կախված

−

−

−

− ⋯−

ծառը:

ծառը բաղկացած կլինի մեկ կողից: ծառին

համապատասխանեցնենք

−

երկարություն

հաջորդականությունը, որտեղ ( )-ն որոշվում է հետևյալ կերպ.

ունեցող

( )

( )= Նկատենք, , , , , , , ,

որ

նկ.

2.3.1-ում

…

:

պատկերված

ծառին

կհամապատասխանի

հաջորդականությունը:

Նկ. 2.3.1

Ավելին, նկատենք, որ եթե (

-ը իրարից տարբեր ծառեր են, ապա (

-ը և

)≠

): Սա նշանակում է, որ թեորեմի ապացույցն ավարտելու համար բավական է ցույց

տալ,

{ , ,…, }

որ

բազմության

տարրերի

−

երկարությամբ

ցանկացած

հաջորդականության համապատասխանում է ծառ: …

Դիցուք

-ը { , , … , } բազմության տարրերի

−

երկարությամբ

ցանկացած հաջորդականություն է: Նրան համապատասխանեցնենք գրաֆ հետևյալ կերպ. գտնենք { , , … , } բազմության ամենափոքր տարրը, որը չի մասնակցում … որից

հաջորդականության մեջ: Դիցուք այն { , ,…, }

հետո

բազմությունից

հաջորդականությունից հեռացնենք գտնենք { , , … , }\{

-ն է:

-ը միացնենք կողով

հեռացնենք

-ը,

իսկ

…

-ը: Այնուհետև վարվենք նույն կերպ, այսինքն

} բազմության ամենափոքր տարրը, որը չի մասնակցում

հաջորդականության մեջ: Դիցուք այն

-ի հետ,

-ն է:

-ը միացնենք կողով

{ , , … , }\{

} բազմությունից հեռացնենք

-ը, իսկ

հեռացնենք

-ը: Կատարենք նշված քայլերը

−

…

…

-ի հետ, որից հետո

հաջորդականությունից

անգամ, որի արդյունքում { , , … , }

բազմության մեջ կմնա երկու տարր, որոնք էլ միացնենք կողով և դրանով ավարտենք …

հաջորդականությանը համապատասխանող գրաֆի կառուցումը:

Նկատենք,

որ

այս

եղանակով

, , , , , , ,

հաջորդականությանը

կհամապատասխանի նկ. 2.3.1-ում պատկերված ծառը: Մակածման եղանակով ցույց տանք, որ վերը նկարագրված եղանակով ցանկացած

…

հաջորդականության համապատասխանեցրել ենք ծառ: Նկատենք, որ այս

պնդումն ակնհայտ է, երբ Ենթադրենք,

−

որ

համապատասխանում է …

≤ : երկարությամբ

−

ցանկացած

գագաթանի ծառ, և դիտարկենք

հաջորդականությունը:

համապատասխանող գրաֆում

Նկատենք,

…

որ

-ը միացված է կողով

−

կհամապատասխանի

−

երկարությամբ

հաջորդականությանը -ի հետ, ընդ որում

-ի

գագաթը, ապա ստացված

աստիճանը հավասար է մեկի: Եթե այդ գրաֆից հեռացնենք գրաֆը

հաջորդականության

երկարություն

…

ունեցող

հաջորդականությանը, որը, համաձայն մակածման ենթադրության, ծառ է: Նկատենք, որ …

այդ դեպքում ծառ կլինի նաև գրաֆը, քանի որ այն ստացվում է

հաջորդականությանը համապատասխանող

գագաթը

-ի հետ կողով միացնելով: ∎

Հիշենք, որ § 1.2-ում ներմուծեցինք գրաֆի կմախքային ենթագրաֆի գաղափարը: գրաֆի կմախքային ենթագրաֆ, եթե ( ) = ( ) և ( ) ⊆ ( ):

գրաֆը կոչվում էր

Թեորեմ 2.3.4: Եթե -ն կապակցված գրաֆ է, ապա այն պարունակում է կմախքային

ծառ (ծառ հանդիսացող կմախքային ենթագրաֆ): Ապացույց: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ

գրաֆի կողերի

բազմության հզորության: Նկատենք, որ պնդումն ակնհայտ է | ( )| = ,

դեպքերում:

Ենթադրենք, որ պնդումը ճիշտ է բոլոր այն կապակցված գրաֆների համար, որոնց կողերի քանակը փոքր է | ( )|-ից, և դիտարկենք չի պարունակում ցիկլ, ապա ենք ենթադրել, որ Դիտարկենք

−

կապակցված գրաֆը: Եթե

գրաֆը

-ն ծառ է, և թեորեմն ապացուցված է: Հետևաբար կարող

-ն պարունակում է ցիկլ: Դիցուք

-ն այդ ցիկլի որևէ կող է:

գրաֆը: Նկատենք, որ այն կապակցված է և պարունակում է | ( )|-ից

քիչ կող: Համաձայն մակածման ենթադրության, կմախքային ծառ, որն էլ հանդիսանում է

−

գրաֆը պարունակում է

գրաֆի կմախքային ծառ: ∎

Նկատենք, որ կմախքային ենթագրաֆների լեզվով թեորեմ 2.3.3-ը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. քանակը հավասար է

գագաթ պարունակող լրիվ գրաֆի կմախքային ծառերի

: Հաշվի առնելով թեորեմ 2.3.4-ը, նշված արդյունքը կարելի է

փորձել ընդհանրացնել՝ պարզելով, թե ինչի է հավասար ցանկացած կապակցված գրաֆի կմախքային ծառերի քանակը: Նշենք, որ այս հարցի պատասխանը տալիս է Կիրխհոֆի թեորեմը, որը ձևակերպելու համար կատարենք որոշ նշանակումներ:

Դիցուք

( )={

-ն կապակցված գրաֆ է և

}: Ենթադրենք, որ

գրաֆի § 1.1-ում սահմանված հարևանության մատրիցն է, և դիտարկենք ( )=

×

×

( )-ն կարգի

մատրիցը, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ. =

(

), ,

եթե = , հակառակ դեպքում:

գրաֆի լապլասյան կանվանենք հետևյալ ձևով սահմանված մատրիցը. ( )=

( ) − ( ):

Թեորեմ 2.3.5 (Կիրխհոֆ): Ցանկացած կապակցված

գրաֆի համար նրա

լապլասյանի բոլոր հանրահաշվական լրացումները իրար հավասար են և նրանց ընդհանուր արժեքը հավասար է Հիշենք, որ կապակցված

գրաֆի կմախքային ծառերի քանակին: գրաֆում ցանկացած երկու

( , ) հեռավորությունը սահմանվում է որպես

և

ճանապարհ երկարությունը (§ 1.2): Կապակցված

և

գագաթների միջև

գագաթները միացնող ամենակարճ գրաֆի և նրա ցանկացած

գագաթի

համար կատարենք հետևյալ նշանակումները. ( )=

∈ ( )

( )-ն կոչվում է իսկ

∈ ( )

( ),

( )=

∈ ( )

գագաթի էքսցենտրիսիտետ, ( )-ն կոչվում է

( )-ն կոչվում է

կենտրոնական, եթե

( , ), ( ) =

գրաֆի տրամագիծ:

( ) = ( ), իսկ

բազմությունը կոչվում է

գրաֆի

( ) գրաֆի շառավիղ,

գագաթը կոչվում է

գրաֆի բոլոր կենտրոնական գագաթների

գրաֆի կենտրոն:

G

v3

v4 v 10

v2

v5 v 11

v9 v1

v6

v 12 v8

v7 Նկ. 2.3.2

Նկ. 2.3.2-ում պատկերված (

)= (

)= (

)= , (

(

գրաֆում

)= (

)= (

)= (

)= (

( ) = : Գրաֆի կենտրոնական գագաթներն են

-ը,

)= (

)= (

)= (

) = , հետևաբար ( ) = -ը,

-ը և

)= և

-ը, որոնք էլ

կազմում են գրաֆի կենտրոնը: Նկատենք, որ այս գրաֆում կենտրոնը բաղկացած է չորս գագաթից: Ծառերի կենտրոնի վերաբերյալ հայտնի է Ժորդանի թեորեմը: Թեորեմ 2.3.6 (Ժորդան): Ցանկացած ծառի կենտրոնը բաղկացած է ոչ ավելի քան երկու գագաթից: Ապացույց: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ ծառի գագաթների քանակի: Նախ նկատենք, որ պնդումն ակնհայտ է մեկ և երկու գագաթ պարունակող ծառերի համար: Ենթադրենք, որ պնդումը ճիշտ է բոլոր այն ծառերի համար, որոնց գագաթների քանակը փոքր է -ից, և դիտարկենք նրա որևէ

գագաթ: Նկատենք, որ

ծառում

≥

′ ծառը, որը ստացվում է

հեռացնելով նրա բոլոր կախված գագաթները, ապա

հանելով մեկ: Այստեղից հետևում է, որ

ծառը և

գագաթից ամենահեռու գտնվող գագաթը

միշտ կախված է, հետևաբար, եթե դիտարկենք

էքսցենտրիսիտետները ստացվում են

գագաթ պարունակող

ծառից

′ ծառում բոլոր գագաթների

ծառում նրանց ունեցած էքսցենտրիսիտետներից ծառի և ′ ծառի կենտրոնները համընկնում են:

Նկատենք, որ | ( ′)| < | ( )| = , հետևաբար, ′ ծառի կենտրոնը բաղկացած է ոչ ավելի, քան երկու գագաթից: Այստեղից հետևում է, որ ավելի, քան երկու գագաթից: ∎

ծառի կենտրոնը ևս բաղկացած է ոչ

Գլուխ 3

Կապակցվածություն

§ . . Միակցման կետեր և կամուրջներ = ( , )-ն գրաֆ է:

Դիցուք

( )-ով նշանակենք

գրաֆի կապակցված

բաղադրիչների քանակը: Սահմանում 3.1.1:

գրաֆի

գագաթը կոչվում է միակցման կետ, եթե ( − ) >

( ): Նկատենք, որ եթե -ն

կապակցված գրաֆի միակցման կետ է, ապա

−

գրաֆը

կապակցված չէ: Սահմանում 3.1.2: Նկատենք, որ եթե

գրաֆի -ն

կողը կոչվում է կամուրջ, եթե ( − ) > ( ): կապակցված գրաֆի կամուրջ է, ապա

−

գրաֆը

կապակցված չէ:

v9

G

v 10

v1

v8

v7

v2

v3

v4

v 11

v 15

v 12

v6

v 13

v5

v 14

Նկ. 3.1.1 Դիտարկենք նկ. 3.1.1-ում պատկերված

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ

,

,

գագաթները հանդիսանում են

,

գրաֆի միակցման կետեր, իսկ

,

,

կողերը` կամուրջներ: Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք թեորեմ միակցման կետերի մասին: Թեորեմ 3.1.1: Եթե

-ն

կապակցված գրաֆի գագաթ է, ապա հետևյալ երեք

պնդումներն իրար համարժեք են. (1) -ն (2)

գրաֆի միակցման կետ է,

գրաֆում գոյություն ունեն

-ից տարբեր

և

գագաթներ, որ

-ն

պատկանում է ցանկացած պարզ ( , )-ճանապարհին, ( )\

(3) գոյություն ունի

գագաթների բազմության տրոհում ∈

ենթաբազմությունների, որ ցանկացած

∈

և

և

գագաթների համար -ն

պատկանում է յուրաքանչյուր պարզ ( , )-ճանապարհին: Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ (1)-ից հետևում է (3)-ը: Իրոք, քանի որ -ն −

միակցման կետ է, ուստի

գրաֆը կապակցված չէ և, հետևաբար, պարունակում է

առնվազն երկու կապակցված բաղադրիչ: Դիտարկենք ( )\ տրոհում

և

−

-ն

ենթաբազմությունների, որտեղ

բաղադրիչի գագաթների բազմությունն է, իսկ

-ն`

բազմությունն է: Պարզ է, որ այս դեպքում ցանկացած

∈

և

գագաթները պատկանում են

−

բաղադրիչներին, իսկ դա նշանակում է, որ ճանապարհ պարունակում է

գրաֆի

գագաթների բազմության գրաֆի որևէ կապակցված ( )\( ∪

և

∈

) գագաթների

գագաթների համար,

գրաֆի կապակցվածության տարբեր գրաֆում յուրաքանչյուր պարզ ( , )-

գագաթը:

Նկատենք, որ (3)-ից հետևում է (2)-ը, քանի որ (2)-ը (3)-ի մասնավոր դեպքն է: Ցույց տանք, որ (2)-ից հետևում է (1)-ը: Իրոք, եթե գոյություն ունեն այնպիսի

և

գագաթներ, որ

ճանապարհին, ապա

և

-ից տարբեր

-ն պատկանում է ցանկացած պարզ ( , )−

գագաթները պատկանում են

կապակցվածության բաղադրիչներին, իսկ դա նշանակում է, որ -ն

գրաֆի տարբեր գրաֆի միակցման

կետ է: ∎ Պարզվում է, որ առնվազն երկու գագաթ ունեցող ցանկացած կապակցված գրաֆում գոյություն ունեն գագաթներ, որոնք միակցման կետեր չեն: Թեորեմ 3.1.2: Եթե -ն առնվազն երկու գագաթ ունեցող կապակցված գրաֆ է, ապա այն պարունակում է առնվազն երկու գագաթ, որոնք միակցման կետեր չեն: Ապացույց: Ապացույցի համար դիտարկենք

գրաֆի

և

գագաթները, որոնց

համար

( , ) = ( ): Ենթադրենք,

գոյություն ունի

−

−

գագաթ, որը պատկանում է

բաղադրիչին, որը չի պարունակում են

-ն միակցման կետ է

գրաֆում: Այդ դեպքում

գրաֆի կապակցվածության այն

գագաթը: Քանի որ

և

գագաթները պատկանում

գրաֆի կապակցվածության տարբեր բաղադրիչներին, ուստի -ն պատկանում է

գրաֆի ցանկացած պարզ ( , )-ճանապարհին և, հետևաբար,

( , ) > ( , ), որը

հակասում է ( , ) = ( ) պայմանին: Այստեղից հետևում է, որ -ն միակցման կետ չէ: Համանման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ -ն միակցման կետ չէ: ∎ Այժմ անցնենք կամուրջների ուսումնասիրմանը: Առաջին թեորեմը, որը մենք կապացուցենք, տալիս է կամուրջների նկարագրում: Թեորեմ 3.1.3: պատկանում

գրաֆի

կողը կամուրջ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն չի

գրաֆի ոչ մի պարզ ցիկլին:

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ դեպքում, երբ

և

գրաֆի

=

կողը կամուրջ է այն և միայն այն

գագաթները պատկանում են

−

գրաֆի կապակցվածության

տարբեր բաղադրիչներին: Ենթադրենք որտեղ

-ն և

=

-ն

-ն

գրաֆի կամուրջ է և

= , , , -ն

գրաֆի պարզ ցիկլ է,

գրաֆի պարզ ճանապարհներ են: Հեշտ է տեսնել, որ այս դեպքում

, -ն պարզ ( , )-ճանապարհ է

−

գրաֆում, ինչը հակասում է

կողի

-ում

կամուրջ լինելու ենթադրությանը: Ենթադրենք

=

-ն չի պատկանում

կամուրջ չէ: Այստեղից հետևում է, որ

և

գրաֆի ոչ մի պարզ ցիկլին և -ն

գրաֆի

−

գրաֆի

գագաթները պատկանում են

կապակցվածության միևնույն բաղադրիչին, ուստի

−

պարզ ( , )-ճանապարհ: Հեշտ է տեսնել, որ այս դեպքում ցիկլ է, որին պատկանում է

գրաֆում գոյություն ունի = , , -ն

գրաֆի պարզ

կողը: ∎

Նկատենք, որ նոր ապացուցված թեորեմից և սահմանում 2.3.1-ից բխում է. Հետևանք 3.1.1: Կապակցված

գրաֆը ծառ է այն և միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆի յուրաքանչյուր կող կամուրջ է: Դիտողություն 3.1.1: Նշենք, որ եթե

գրաֆում կամուրջին կից է գագաթ, որը

կախված չէ, ապա այդ գագաթը միակցման կետ է: Իրոք, ենթադրենք գրաֆի կամուրջ է և

( ) > : Այդ դեպքում գոյություն ունի

հարևան

գրաֆում: Եթե

գագաթ

ճանապարհ, որը չի պարունակում

= , , -ն

կողը

-ից տարբեր և

գրաֆում գոյություն ունի

գագաթը, ապա

=

-ին

պարզ ( , )-

գրաֆի պարզ ցիկլ է,

ինչը հակասում է

=

կողի

-ում կամուրջ լինելուն: Հետևաբար,

գագաթը

պատկանում է ցանկացած պարզ ( , )-ճանապարհին և, համաձայն թեորեմ 3.1.1-ի (2) պնդման, այն միակցման կետ է: Պետք է նշել, որ հակառակ պնդումը սխալ է. ոչ բոլոր միակցման կետերը կից են կամուրջների: Այսպես, օրինակ, նկ. 3.1.2-ում պատկերված գրաֆի

,

գագաթը միակցման կետ է, սակայն

,

,

կողերից ոչ մեկը

կամուրջ չէ պատկերված գրաֆում:

v2

v5 v4

v1

v3

v7

v6 Նկ. 3.1.2

Թեորեմ 3.1.1-ի ապացույցի դատողությունները կրկնելով և հաշվի առնելով թեորեմ 3.1.3-ը, կարելի է ապացուցել հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 3.1.4: Եթե

-ն

կապակցված գրաֆի կող է, ապա հետևյալ չորս

պնդումներն իրար համարժեք են. (1) -ն

գրաֆի կամուրջ է,

(2)

կողը չի պատկանում

գրաֆի ոչ մի պարզ ցիկլին,

(3)

գրաֆում գոյություն ունեն այնպիսի

և

գագաթներ, որ -ն պատկանում է

ցանկացած պարզ ( , )-ճանապարհին, (4) գոյություն

ունի

( )

գագաթների

ենթաբազմությունների, որ ցանկացած

բազմության ∈

և

∈

տրոհում

գագաթների համար -ն

պատկանում է յուրաքանչյուր պարզ ( , )-ճանապարհին:

և

§ . . Կապակցվածություն և կողային կապակցվածություն

Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է: ( )-ով) կոչվում է

գրաֆի կապակցվածություն (կնշանակենք

Սահմանում 3.2.1:

գագաթների նվազագույն քանակը, որոնց հեռացման արդյունքում առաջանում է ոչ կապակցված գրաֆ կամ

:

Նկատենք, որ այս սահմանումից հետևում է, որ եթե

-ն կապակցված չէ, ապա

( ) = , իսկ եթե -ն կապակցված է և պարունակում է միակցման կետ, ապա ( ) = : լրիվ գրաֆից գագաթներ հեռացնելով հնարավոր չէ ստանալ ոչ

Նշենք նաև, որ

կապակցված գրաֆ, իսկ հեռացնելով, ուստի (

գրաֆը ստացվում է

)=

−

-ից

− : Դժվար չէ ցույց տալ, որ

հատ գագաթներ

=

,

,

: ( )-ով)

գրաֆի կողային կապակցվածություն (կնշանակենք

Սահմանում 3.2.2:

կոչվում է կողերի նվազագույն քանակը, որոնց հեռացման արդյունքում առաջանում է ոչ կապակցված գրաֆ կամ

:

Նկատենք, որ այս սահմանումից հետևում է, որ (

)=

և եթե

-ն կապակցված

չէ, ապա ( ) = , իսկ եթե -ն կապակցված է և պարունակում է կամուրջ, ապա ( ) = : Դժվար չէ ցույց տալ, որ ( Պարզվում

է,

որ

)=

− :

ցանկացած

գրաֆում

կապացվածության,

կողային

կապակցվածության և գրաֆի նվազագույն աստիճանի միջև գոյություն ունի կապ: Թեորեմ 3.2.1 (Ուիտնի): Կամայական

գրաֆում տեղի ունի

( )≤ ( )≤ ( ) անհավասարությունը: Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ ( ) ≤ ( ): Իրոք, եթե հակառակ դեպքում` դիտարկենք

գրաֆի նվազագույն աստիճան ունեցող որևէ գագաթ:

Դիցուք այդ գագաթը -ն է: Հեռացնենք

գրաֆից

գրաֆը կլինի ոչ կապակցված գրաֆ, ուստի ( ) ≤ | Այժմ համոզվենք, որ կամ

=

( )-ի կողերը: Պարզ է, որ ստացված ( )| = ( ):

( ) ≤ ( ): Դիտարկենք դեպքեր: Եթե

-ն կապակցված չէ

, ապա ( ) = ( ) = : Եթե -ն կապակցված է և պարունակում է կամուրջ,

ապա ( ) = : Այս դեպքում, ըստ դիտողություն 3.1.1-ի, =

( ) = ∅, ապա ( ) = ,

, ուստի ( ) = : Ենթադրենք ( ) ≥ : Պարզ է, որ

-ն ունի միակցման կետ կամ գրաֆում գոյություն ունեն

( )−

հատ կողեր, որոնց հեռացումը առաջացնում է կամուրջ պարունակող գրաֆ: =

Դիցուք այդ կամուրջը կողին կից

և

-ն է: Յուրաքանչյուր հեռացված կողի համար ընտրենք այդ

գագաթներից տարբեր գագաթ: Այնուհետև հեռացնենք

գրաֆից բոլոր

ընտրված գագաթները: Ակնհայտ է, որ այդ հեռացման արդյունքում ստացված գրաֆում ( )−

կբացակայեն վերը նշված

( ) < ( ), հակառակ դեպքում` այդ գրաֆը պարունակում է

կապակցված չէ, ապա =

հատ կողերը: Եթե արդյունքում ստացված գրաֆը

կամուրջ և, հետևաբար, այդ գրաֆից հեռացնելով

կստանանք ոչ կապակցված կամ

կամ

գագաթը, մենք

գրաֆ: Այստեղից հետևում է, որ ( ) ≤ ( ): ∎

Չարտրանդի և Հառարիի կողմից ցույց է տրվել, որ թեորեմ 3.2.1-ում նշված` ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) անհավասարությունը հնարավոր չէ ուժեղացնել. , ,

Թեորեմ 3.2.2 (Չարտրանդ, Հարարի): Ցանկացած որտեղ

<

≤

≤ , գոյություն ունի

Ապացույց: Կառուցենք ( )= ( )=

,

∪

գրաֆ, որում ( ) = , ( ) =

=

≤ < ≤ +1 ∪

Հաշվի առնելով (

)= (

գրաֆում ( ) = , ( ) =

և ( )= :

գրաֆը հետևյալ կերպ.

, որտեղ

∶

բնական թվերի համար,

)=

−

,

, ∶

=

≤ ≤

∪

,

և

∶

+

≤ ≤

հավասարությունը, դժվար չէ համոզվել, որ

և ( )= : ∎

Նկ. 3.2.1-ում պատկերված է թեորեմ 3.2.2-ի ապացույցում կառուցված = ,

=

և

= -ի դեպքում:

G w1

u1 u2

u5

u4

w2

u3

w5

w3 Նկ. 3.2.1

Առանց ապացույցի նշենք նաև մեկ այլ հետաքրքիր փաստ:

:

w4

գրաֆը

Թեորեմ 3.2.3 (Չարտրանդ): Եթե ( )≥

գագաթ ունեցող

գրաֆի համար տեղի ունի

պայմանը, ապա ( ) = ( ):

Սահմանում 3.2.3: Նկատենք, որ

գրաֆը կոչվում է -կապակցված գրաֆ, եթե ( ) ≥ :

( ≠

) գրաֆը -կապակցված է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն

կապակցված է: Սահմանում 3.2.4:

գրաֆը կոչվում է -կողային կապակցված գրաֆ, եթե ( ) ≥ :

Նշենք, որ թեորեմ 3.2.1-ից հետևում է, որ եթե

գրաֆը -կապակցված է, ապա այն

նաև -կողային կապակցված է: Մյուս կողմից նկ. 3.2.1-ում պատկերված տալիս, որ հակառակ պնդումը սխալ է: Նկատենք նաև, որ եթե

գրաֆը ցույց է

գագաթ ունեցող

գրաֆը -կապակցված է կամ -կողային կապակցված է, ապա թեորեմ 3.2.1-ից հետևում է, որ

( )≥

և, հետևաբար, այդ գրաֆը պարունակում է առնվազն

∙

հատ կող:

Պարզվում է, որ այս գնահատականը հասանելի է: Դրա համար սահմանենք ( ≥ ) ունեցող պարզ ցիկլի

գրաֆը ( ≤

-րդ աստիճան

դասավորում ենք շրջանագծի վրա

< ) հետևյալ կերպ.

գագաթները, այնուհետև յուրաքանչյուր

գագաթը միացնում ենք կողով շրջանագծի աջ և ձախ մասում գտնվող մոտակա գագաթներին: Նկ. 3.2.2-ում պատկերված է =

համասեռ գրաֆ է և

գագաթ

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ

հատ

գրաֆը

-

∙ :

v1

v2

v8

v3

v7

v4

v6

v5 Նկ. 3.2.2

≥

Թեորեմ 3.2.4 (Հարարի): Ցանկացած =

≥

տանք, որ −

<

=

թվերի համար տեղի ունի

≤

, ուստի, ըստ թեորեմ 3.2.1-ի, , որի համար | | <

⊆

: Ընտրենք ցանկացած

գրաֆը կապակցված է: Ընտրենք ցանկացած ,

գագաթները

∈

: Ցույց

: Համոզվենք,

\ : Պարզ է, որ

և

գրաֆից հեռացնելուց հետո շրջանագծի վրա դասավորված գագաթները

կտրոհվեն երկու ից

≤

հավասարությունը:

Ապացույց: Քանի որ

որ

և

և

կիսաշրջանագծերի: Այստեղից հետևում է, որ

գագաթ մենք կարող ենք հասնել շարժվելով

կողմից, քանի որ | | <

, ուստի

կամ

կամ

− -ից ոչ ավելի -ի գագաթներ: Քանի որ, ըստ

գրաֆում -

կիսաշրջանի վրայով: Մյուս

կիսաշրջանի վրա առկա են

-ի գագաթներ: Որոշակիության համար ենթադրենք, որ

−

− -ից ոչ ավելի

կիսաշրջանի վրա են առկա

գրաֆի սահմանման, յուրաքանչյուր

գագաթ միացված է կողով շրջանագծի աջ և ձախ մասում գտնվող մոտակա գագաթներին, ուստի

−

հատ

կիսաշրջանում մենք կարող ենք նշել ( , )-

գրաֆի

ճանապարհ: ∎

§ . .

Դիցուք

-կապակցված և -կապակցված գրաֆներ

= ( , )-ն կապակցված գրաֆ է և ,

Սահմանում 3.3.1:

գրաֆի

և

∈ ( ):

պարզ ( , )-ճանապարհները կոչվում են

գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ, եթե ( ) ∩ ( ) = Սահմանում 3.3.2:

գրաֆի

և

,

:

պարզ ( , )-ճանապարհները կոչվում են կողերով

չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ, եթե ( ) ∩ ( ) = ∅: Նկատենք, որ գագաթներով չհատվող պարզ ճանապարհները նաև կողերով չհատվող պարզ ճանապարհներ են: Հեշտ է տեսնել, որ հակառակ պնդումը սխալ է: Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք

-կապակցված գրաֆների նկարագրումը

տվող թեորեմ: Թեորեմ 3.3.1 (Ուիտնի): Առնվազն երեք գագաթ պարունակող կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆը

գրաֆի ցանկացած

և

գագաթները միացված են առնվազն երկու գագաթներով չհատվող պարզ ( , )ճանապարհներով:

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե

գրաֆում ցանկացած

և

գագաթները

միացված են առնվազն երկու գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներով, ապա այդ գրաֆից մեկ գագաթ հեռացնելուց հետո ստացված գրաֆը կլինի կապակցված, ուստի

-ն միակցման կետեր չի պարունակում: Այստեղից հետևում է, որ

-ն

-

կապակցված գրաֆ է: Ենթադրենք ցանկացած

-ն

և

-կապակցված գրաֆ է: Ցույց տանք, որ այդ դեպքում

գրաֆի

գագաթները միացված են առնվազն երկու գագաթներով չհատվող

պարզ ( , )-ճանապարհներով: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ ( , )-ի: Եթե

( , ) = , ապա

պարագրաֆում, եթե

գրաֆը -կապակցված է, ապա այն նաև -կողային կապակցված

գրաֆը կապակցված է: Այստեղից հետևում է, որ

−

գրաֆում

գոյություն ունի ( , )-ճանապարհ և, հետևաբար, ըստ լեմմա 1.2.1-ի,

−

գրաֆում

է, ուստի

−

∈ ( ): Ինչպես արդեն նշել ենք նախորդ

պարզ ( , )-ճանապարհ: Վերցնելով որպես պարզ ( , )-ճանապարհ

գոյություն ունի գրաֆի

կողը, մենք կստանանք, որ այդ գրաֆում գոյություն ունեն գագաթներով

չհատվող երկու պարզ ( , )-ճանապարհներ:

R P

z

u

w

v

Q Նկ. 3.3.1 ( , )=

Ենթադրենք

> 1 և պնդումը ճիշտ է

գագաթների դեպքում, որոնց համար նախորդում է ( , )= ունեն

և

−

≤

գրաֆի ցանկացած

( , ) < : Դիցուք

և

գագաթը անմիջապես

-ին կարճագույն ( , )-ճանապարհ վրա: Այդ դեպքում պարզ է, որ և, հետևաբար, ըստ մակածման ենթադրության,

գրաֆում գոյություն

գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ: Քանի որ

−

գրաֆը

կապակցված է, ուստի այդ գրաֆում գոյություն ունի ( , )-ճանապարհ և, հետևաբար, ըստ լեմմա 1.2.1-ի գոյություն ունի կամ

( )∩ ( )=

, ապա

-ը և

պարզ ( , )-ճանապարհ: Եթե , -ն կամ

-ը և

( )∩ ( )=

, -ն անհրաժեշտ գագաթներով

չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներն են ( ) \

≠∅ և

պատկանում է

( )∩ ( ) \

գրաֆում: Այժմ ենթադրենք, որ

≠ ∅: Դիցուք

-ը

( )∩

-ի վերջին գագաթն է, որը

( ) ∪ ( )-ին (նկ. 3.3.1): Որոշակիության համար ենթադրենք, որ

∈ ( ): Այդ դեպքում

պարզ ( , )-ճանապարհի ( , )-ենթաճանապարհը և

( , )-ճանապարհի ( , )-ենթաճանապարհը առաջացնում են

պարզ

գրաֆի պարզ ( , )-

ճանապարհ: Հեշտ է տեսնել, որ ստացված պարզ ( , )-ճանապարհը և

պարզ ( , )-

,

ճանապարհը անհրաժեշտ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներն են գրաֆում: ∎ Այժմ ապացուցենք ընդլայնման մի լեմմա, որն ունի պարզ ձևակերպում և հաճախ օգտագործվում է տարբեր թեորեմներ ապացուցելու ժամանակ: Լեմմա 3.3.1: Եթե -ն -կապակցված գրաֆ է, իսկ գագաթ ավելացնելով և միացնելով այն

գրաֆը ստացվում է -ին նոր

գրաֆի առնվազն

հատ գագաթներին, ապա

-ը ևս կլինի -կապակցված գրաֆ: Ապացույց: Դիցուք

⊆ ( ) և (

− ) ≥ : Եթե

որտեղից, քանի որ -ն -կապակցված գրաֆ է, բխում է | | ≥ , ապա | | ≥ : Վերջապես, եթե

∉

և

−( \

∈ , ապա + : Եթե

( ) ⊈ , ապա քանի որ

∉

և

) ≥ , ( )⊆

-ն -կապակցված

գրաֆ է, ուստի | | ≥ : ∎ Ստորև

կձևակերպենք

և

կապացուցենք

ավելի

ընդհանուր

-կապակցված

գրաֆների նկարագրումը: Թեորեմ 3.3.2: Եթե -ն առնվազն երեք գագաթ պարունակող գրաֆ է, ապա հետևյալ չորս պնդումները իրար համարժեք են. (1) (2)

-ն կապակցված գրաֆ է և այն չի պարունակում միակցման կետեր, գրաֆի ցանկացած

և

գագաթները միացված են առնվազն երկու

գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներով, (3)

գրաֆում ցանկացած պարզ ցիկլ, որ ,

(4)

և

∈ ( ),

գրաֆում ցանկացած պարզ ցիկլ, որ ,

գագաթների համար գոյություն ունի այնպիսի

և

կողերի համար գոյություն ունի այնպիսի

∈ ( ):

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ թեորեմ 3.3.1-ից հետևում է, որ (1)-ը և (2)-ը իրար համարժեք են: Նկատենք նաև, որ եթե

գրաֆի ցանկացած

և

գագաթները միացված

են առնվազն երկու գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներով, ապա այդ

ճանապարհները առաջացնում են գրաֆում ցանկացած

և

∈ ( ) և հակառակը` եթե

,

պարզ ցիկլ, որ

գագաթների համար գոյություն ունի

պարզ ցիկլ, որ

,

∈

( ), ապա այդ ցիկլը կարելի է տրոհել երկու գագաթներով չհատվող պարզ ( , )ճանապարհների: Այստեղից հետևում է, որ (2)-ը և (3)-ը ևս իրար համարժեք են: Ցույց տանք, որ (4)-ից հետևում է (3)-ը: Նախ նկատենք, որ եթե ցանկացած

և

պարզ ցիկլ, որ ,

կողերի համար գոյություն ունի այնպիսի

( ) ≥ : Վերցնենք

ապա

գագաթներին կից

և

գրաֆում ցանկացած

և

և

∈ ( ),

գագաթներ և ընտրենք այդ

կողերը: Այդ դեպքում պարզ է, որ

պարզ ցիկլը նաև կպարունակի

գրաֆում

և

կողերը պարունակող

գագաթները, ուստի (4)-ից հետևում է (3)-ը:

Թեորեմը ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ (1) և (3)-ից հետևում է (4)-ը: Ենթադրենք, որ

-ն

-կապակցված գրաֆ է և

գագաթը և միացնենք այն միացնենք այն կլինի

և

և

,

∈ ( ): Ավելացնենք

գագաթներին, այնուհետև ավելացնենք

գագաթը և

գագաթներին: Համաձայն լեմմա 3.3.1-ի, ստացված

գրաֆը ևս

-կապակցված գրաֆ և, հետևաբար, ըստ (3)-ի

համար գոյություն ունի այնպիսի ( ) = , ուստի

և

պարզ ցիկլ, որ

∈ ( ) և

,

ցիկլից հեռացնելով

գրաֆին

,

գրաֆում

գագաթների

, ∈ ( ): Քանի որ

∈ ( ), բայց

գագաթները և ավելացնելով

և

∉ ( ) և և

( )=

∉ ( ): Այդ

կողերը, մենք կստանանք

գրաֆում այդ կողերը պարունակող պարզ ցիկլ: ∎ Լեմմա 3.3.2: Եթե ստացվում է -ից

-ն

-կապակցված գրաֆ է և

∈ ( ), ապա

գրաֆը, որը

կողը տրոհելով, ևս կլինի -կապակցված գրաֆ: =

Ապացույց: Դիցուք

∈ ( ) և

,

∈ (

): Համաձայն թեորեմ 3.3.2-ի (4) գրաֆում

պնդման այս թեորեմն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ ցանկացած ,

Եթե

և

կողերի համար գոյություն ունի այնպիսի

∈ ( ), ապա

-ում, քանի որ այն

պարզ ցիկլ, որ ,

այնպիսի

կփոխարինենք

և

կողը

կողերով, մենք կստանանք ,

=

,

∈ ( ), ապա այդ կողը

գրաֆի պարզ ցիկլ: Եթե գրաֆի

և

գրաֆի

գրաֆի

∈ ( ) և

∈

ցիկլում մենք պարզ ցիկլը ,

կողերը պարունակող պարզ ցիկլում և

, ապա -ն, քանի որ այն

∈ ( ):

-կապակցված գրաֆ է, գոյություն ունի

կողերով, հակառակ դեպքում`

հանդիսանում է նաև փոխարինելով

∈ ( ): Եթե

պարզ ցիկլ, որ ,

, ապա և

-ը պարունակող պարզ ցիկլ: Վերջապես, եթե -կապակցված գրաֆ է և, հետևաբար, նաև

կողային կապակցված է, չի պարունակում կամուրջներ: Ըստ թեորեմ 3.1.3-ի

-

գրաֆում

գոյություն ունի

կողը պարունակող

կողերով մենք կստանանք

= ( , )-ն գրաֆ է և ,

Դիցուք

Սահմանում 3.3.3: առնվազն դեպքում

գրաֆի

պարզ ցիկլ, որում և

կողը փոխարինելով

և

-ը պարունակող պարզ ցիկլ: ∎

∈ ( ) (պարտադիր չէ, որ

≠ ):

գրաֆին ճանապարհի ավելացում համարում ենք գրաֆին

( ≥ ) երկարություն ունեցող պարզ ( , )-ճանապարհի ավելացում, որի -ին ավելացվում է −

հատ նոր գագաթ: Եթե

≠ , ապա այդ ավելացված

ճանապարհը կոչվում է բաց ականջ (կամ ուղղակի ականջ), հակառակ դեպքում` կոչվում է փակ ականջ:

G P2

P1

P3

P0 P4

Նկ. 3.3.2 Սահմանում 3.3.4: = ≥

∪

∪ ⋯∪

համար

գրաֆի ականջային դեկոմպոզիցիա կոչվում է այդ գրաֆի

տրոհումը, որի դեպքում

-ն ականջ է արդեն կառուցված

Նկ. 3.3.2-ում պատկերված է

-ն

գրաֆի պարզ ցիկլ է և ցանկացած

∪ ⋯∪

գրաֆի համար:

գրաֆը և նրա

=

∪

∪

∪

∪

ականջային դեկոմպոզիցիան: Սահմանում 3.3.5: = ≥

∪

∪ ⋯∪

համար

գրաֆի փակ ականջային դեկոմպոզիցիա կոչվում է այդ գրաֆի

տրոհումը, որի դեպքում

-ն

գրաֆի պարզ ցիկլ է և ցանկացած ∪ ⋯∪

-ն բաց կամ փակ ականջ է արդեն կառուցված

գրաֆի

համար: Նկ. 3.3.3-ում պատկերված է ականջային դեկոմպոզիցիան:

գրաֆը և նրա

=

∪

∪

∪

∪

փակ

G P3

P1

P0 P4 P2 Նկ. 3.3.3 Ստորև մենք կձևակերպենք և կապացուցենք

-կապակցված և

-կողային

կապակցված գրաֆների կոնստրուկտիվ նկարագրումը: Թեորեմ 3.3.3 (Ուիտնի): Առնվազն երեք գագաթ պարունակող գրաֆը -կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն ունի ականջային դեկոմպոզիցիա: Ավելին, ցանկացած պարզ ցիկլ -կապակցված գրաֆում հանդիսանում է սկզբնական ցիկլ որևէ ականջային դեկոմպոզիցիայի համար: Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ եթե գրաֆն ունի ականջային դեկոմպոզիցիա, ապա այն

-կապակցված գրաֆ է: Քանի որ ցանկացած պարզ ցիկլ

-կապակցված գրաֆ է,

ուստի պնդումը ապացուցելու համար բավական է համոզվել, որ ճանապարհի ավելացումը պահպանում է ( ≠ ) +

-կապակցված լինելու հատկությունը: Դիցուք

ականջի ծայրակետեր են գրաֆը ևս

-ն և

-ն

-կապակցված գրաֆում: Համաձայն լեմմա 3.3.2-ի

-կապակցված գրաֆ է: Հեշտ է տեսնել, որ կողի տրոհման

գործողության հաջորդական կիրառումը

+

գրաֆը դարձնում է

∪

գրաֆ, որը

համաձայն լեմմա 3.3.2-ի ևս կլինի -կապակցված գրաֆ: Դիցուք տրված է

-կապակցված գրաֆը: Մենք կկառուցենք այդ գրաֆի համար

ականջային դեկոմպոզիցիա, վերցնելով, որպես սկզբնական ցիկլ, այդ գրաֆի ցանկացած պարզ ցիկլ: Դիցուք

= : Ենթադրենք, որ մենք արդեն կառուցել ենք

որոշ ականջներ ավելացնելով: Եթե Քանի որ

-ն

≠ , ապա ընտրենք

ենթագրաֆը

∈ ( )\ ( ) և

∈ ( ):

-կապակցված գրաֆ է, ապա, համաձայն թեորեմ 3.3.2-ի (4) պնդման,

գրաֆում գոյություն ունի այնպիսի

պարզ ցիկլ, որ

,

∈ ( ): Դիցուք -ն

պարզ

ցիկլի ենթաճանապարհ է, որը պարունակում է

կողը և ճիշտ երկու գագաթներ

-ից,

որոնք այդ ճանապարհի ծայրակետերն են: Հեշտ է տեսնել, որ այդ -ն հանդիսանում է գրաֆի ականջ և, հետևաբար, մենք կառուցեցինք որտեղ

=

-ից ավելի մեծ

∪ : Այս կառուցման ընթացքը կավարտվի, երբ

ենթագրաֆ,

-ն ամբողջությամբ

սպառվի: ∎ Թեորեմ 3.3.4 (Ուիտնի): Առնվազն երեք գագաթ պարունակող գրաֆը

-կողային

կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն ունի փակ ականջային դեկոմպոզիցիա: Ավելին, ցանկացած պարզ ցիկլ

-կողային կապակցված գրաֆում

հանդիսանում է սկզբնական ցիկլ որևէ փակ ականջային դեկոմպոզիցիայի համար: Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ եթե գրաֆն ունի փակ ականջային դեկոմպոզիցիա, ապա այն

-կապակցված գրաֆ է: Քանի որ ըստ թեորեմ 3.1.3-ի կամուրջները չեն

պատկանում պարզ ցիկլերին, ուստի կապակցված գրաֆը -կողային կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա յուրաքանչյուր կող պատկանում է որևէ պարզ ցիկլի: Պարզ է, որ սկզբնական պարզ ցիկլը -կողային կապակցված գրաֆ է: Նկատենք, որ բաց կամ փակ

ականջ ավելացնելու ժամանակ

գրաֆում արդեն գոյություն ունի

-կողային կապակցված

գրաֆին, այդ

ականջի ծայրակետերը (որոնք կարող են նաև

համընկնել) միացնող պարզ ճանապարհ, ուստի պարզ ցիկլի: Այստեղից հետևում է, որ

∪

ականջի բոլոր կողերը կպատկանեն

գրաֆը ևս կլինի

-կողային կապակցված

գրաֆ: Դիցուք տրված է

-կողային կապակցված գրաֆը: Մենք կկառուցենք այդ գրաֆի

համար փակ ականջային դեկոմպոզիցիա, վերցնելով, որպես սկզբնական ցիկլ, այդ գրաֆի ցանկացած

պարզ ցիկլ: Դիցուք

= : Ենթադրենք մենք արդեն կառուցել ենք

ենթագրաֆ որոշ բաց կամ փակ ականջներ ավելացնելով: Եթե ∈ ( )\ ( ) և, հաշվի առնելով, որ

≠ , ապա ընտրենք

-ն կապակցված գրաֆ է, ենթադրենք, որ

∈

( ): Քանի որ -ն -կողային կապակցված գրաֆ է, ուստի, համաձայն թեորեմ 3.1.3-ի, գրաֆում գոյություն ունի այնպիսի շարժվելով մինչև կկառուցենք

պարզ ցիկլ, որ

∈ ( ):

ցիկլի վրայով

գրաֆի գագաթ հանդիպելը, մենք կնշենք բաց կամ փակ

-ից ավելի մեծ

ենթագրաֆ, որտեղ

=

ականջ և

∪ : Այս կառուցման

ընթացքը կավարտվի, երբ -ն ամբողջությամբ սպառվի: ∎ Այս պարագրաֆի վերջում անդրադառնանք նաև -կապակցված գրաֆներին, որոնց նկարագրումը տրվել է Տատտի կողմից: Այդ նկարագրման մեջ Տատտի կողմից

ներմուծվել են անիվները: ≥ , ապա

Սահմանում 3.3.6: Եթե =

հետևյալ կերպ.

+

գագաթ ունեցող

անիվը սահմանենք

:

Ստորև մենք կնշենք առանց ապացույցի -կապակցված գրաֆների մասին Տատտի թեորեմը: Թեորեմ 3.3.5 (Տատտ):

գրաֆը -կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում,

երբ այն անիվ է կամ ստացվում է անիվից հետևյալ երկու գործողությունների միջոցով. (1) նոր կող ավելացնելով, (2) առնվազն չորս աստիճան ունեցող

գագաթի փոխարինումով երկու

և

իրար հարևան գագաթներով այնպես, որ այն գագաթը, որը հարևան էր -ին, հարևան լինի (

և

գագաթներից միայն մեկին, ընդ որում

( )≥

և

)≥ :

W5

v

→ → →

v'

v''

G v'

v' → → →

v''

v'' Նկ. 3.3.4

Նկ. 3.3.4-ում պատկերված ստանալ

-ից

հաջորդաբար

գրաֆը

-կապակցված է, քանի որ այն կարելի է

կիրառելով

թեորեմ

3.3.5-ում

նշված

(1)

և

(2)

գործողությունները: Այդ նկարում նաև պատկերված է

-ից

գրաֆի ստանալու ամբողջ

ընթացքը: Վերջում ձևակերպենք և ապացուցենք Տոմասսենի թեորեմը

-կապակցված

գրաֆների մասին: Թեորեմ 3.3.6 (Տոմասսեն): Առնվազն հինգ գագաթ ունեցող

-կապակցված

գրաֆում գոյություն ունի կող, որի կծկումը բերում է -կապակցված գրաֆի: ∈ ( )-ի համար

Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը, ցանկացած

( / ), որ | | =

և ( / − ) ≥ , ընդ որում -ի գագաթներից մեկը

=

գրաֆի բոլոր կողերից ընտրենք այն

գագաթը, որի դեպքում

−

կապակցված բաղադրիչը

-ն է: Դիցուք , ,

բաղադրիչն է: Քանի որ բազմություն է, որ ( − գագաթ

-ում և

գագաթն է, որ

−

−

−

−

գրաֆի ամենաշատ գագաթներ պարունակող −

-ը

−

−

գրաֆի մյուս կապակցված

բազմությունը ամենաքիչ գագաթներ պարունակող

− ) ≥ , ուստի ,

և -ից յուրաքանչյուրը ունի հարևան

-ն հարևան է

− ) ≥ : Դիցուք

= ∈

ենթագրաֆը կապակցված է: Նկատենք, որ եթե

ենթագրաֆը պատկանում է

−

−

−

-ին

( )∪

-ում, իսկ ,

, ապա

կապակցված է, քանի որ հակառակ դեպքում ( − −

x

y Նկ. 3.3.5

: Պարզ է, որ −

ենթագրաֆը ևս

− ) ≥ : Այստեղից հետևում է, որ

-ը, իսկ դա հակասում է

ընտրությանը: ∎

z

-ն մյուս

գրաֆի այն կապակցված բաղադրիչին,

որը պարունակում է ավելի շատ գագաթներ, քան

H

− )≥

−

կողը և նրան համապատասխան մյուս

-ում (նկ. 3.3.5): Դիցուք ( −

⊆

կողի կծկումից

առաջացող գագաթն է: Պարզ է, որ եթե -ի մյուս գագաթը -ն է, ապա ( − :

գրաֆը -

∈ ( )-ի համար գոյություն ունի

=

կապակցված չէ: Հետևաբար, ցանկացած

/

u H'

,

և -ի

§ . . -կապակցված և -կողային կապակցված գրաֆներ, Մենգերի թեորեմ = ( , )-ն գրաֆ է,

Դիցուք

Սահմանում 3.4.1: եթե

և

⊆ ( )և ,

∈ ( )\ : բազմությունը կոչվում է ( , )-կտրվածք,

գրաֆի գագաթների

գագաթները պատկանում են

−

գրաֆի կապակցվածության տարբեր

բաղադրիչների: Նկատենք, որ եթե

գրաֆում

∈ ( ), ապա այդ գրաֆում գոյություն չունի ( , )-

կտրվածք: Սահմանում 3.4.2:

կտրվածք, եթե

և

գրաֆի կողերի

բազմությունը կոչվում է կողային ( , )-

գագաթները պատկանում են

−

գրաֆի կապակցվածության

տարբեր բաղադրիչների: Հիշենք նաև նախորդ պարագրաֆում բերված գագաթներով չհատվող պարզ ( , )ճանապարհների և կողերով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհների սահմանումը: գրաֆի

պարզ ( , )-ճանապարհները կոչվում են գագաթներով (կողերով) չհատվող

և

պարզ ( , )-ճանապարհներ, եթե ( ) ∩ ( ) = Ստորև

կձևակերպենք

և

,

կապացուցենք

( ( ) ∩ ( ) = ∅): գրաֆների

կապակցվածությանը

վերաբերվող դասական արդյունքներից մեկը. Թեորեմ 3.4.1 (Մենգեր): Եթե գրաֆում

գագաթների

գրաֆում

նվազագույն

և

քանակը

գագաթները հարևան չեն, ապա այդ ( , )-կտրվածքում

հավասար

է

գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհների առավելագույն քանակին: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե -ը

գրաֆի ( , )-կտրվածք է, ապա ցանկացած

պարզ ( , )-ճանապարհ անցնում է -ի որևէ գագաթով: Մյուս կողմից, քանի որ գագաթներով

չհատվող

ծայրակետերում, ուստի

պարզ

( , )-ճանապարհները

հատվում

գրաֆի

են

միայն

-ի ոչ մի գագաթ չի կարող միաժամանակ մասնակցել երկու

տարբեր գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներում: Այստեղից հետևում է, որ

-ը պարունակում է առնվազն այնքան գագաթներ, որքան գագաթներով չհատվող

պարզ ( , )-ճանապարհներ կան

գրաֆում:

Պարզ է, որ թեորեմն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ եթե գրաֆի նվազագույն հզորություն ունեցող ( , )-կտրվածք է, ապա

-ը

գրաֆում գոյություն

ունեն | | հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ: Այդ պնդման ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ | ( )| + | ( )|-ի: Դիտարկենք այդ պնդման պայմանին բավարարող ամենափոքր գրաֆները: Եթե | ( )| = , ապա ( ) = ,

( ) = ∅: Հետևաբար,

և

և

գագաթները արդեն պատկանում են

գրաֆի

կապակցվածության տարբեր բաղադրիչների, ուստի | | = ∅: Մյուս կողմից ակնհայտ է, որ այդ գրաֆում գոյություն չունի պարզ ( , )-ճանապարհ: Եթե ( )=

, ապա հեշտ է տեսնել, որ նորից | | = ∅ և

( )=

կամ

գոյություն չունի պարզ ( , )-ճանապարհ: Եթե ( ) = =

հեշտ է տեսնել, որ

( )=

և

, ,

,

, ապա

պարզ ( , )-

= , ,

գրաֆի դեպքում, որի համար

ճանապարհ: Ենթադրենք պնդումը ճիշտ է ցանկացած | ( )| + | ( )| < | ( )| + | ( )|: Դիտարկենք

և

գրաֆում

և ( )=

գրաֆում գոյություն ունի միակ

, ,

գրաֆը: Նկատենք, որ ըստ մակածման

ենթադրության մենք կարող ենք համարել, որ

-ն կապակցված գրաֆ է: Դիցուք -ը

գրաֆի նվազագույն հզորություն ունեցող ( , )-կտրվածք է: Ցույց տանք, որ

գրաֆում

գոյություն ունեն | | հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ: Քննարկենք երեք դեպք:

S

S

G

S Gv

Gu

u

G1

v

G2

⋮

u

⋮

G2

v u

G1

v

⋮

Նկ. 3.4.1 Դեպք 1:

⊈

( )և

( ):

⊈

Այս դեպքում նկատենք, որ որում

∈ (

),

∈ (

) և | (

−

)|, | (

կերպ ասած,

գրաֆը ստացվում է

պարունակող

գրաֆը

պարունակող և

)| ≥ : Դիցուք

և = /

գրաֆներից, ընդ և

= /

: Այլ

գրաֆից, կծկելով առնվազն երկու գագաթ

գագաթին, իսկ

-ն` կծկելով առնվազն երկու գագաթ

գագաթին (նկ. 3.4.1): Հեշտ է տեսնել, որ -ը հանդիսանում է

գրաֆների նվազագույն հզորություն ունեցող ( , )-կտրվածք: Մյուս կողմից, քանի

որ | (

գրաֆը

գրաֆը բաղկացած է

)| < | ( )| և | (

)| < | ( )|, ուստի համաձայն մակածման ենթադրության

և

գրաֆներում գոյություն ունեն | | հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )գրաֆի -ից

ճանապարհներ: Միացնելով ից

յուրաքանչյուր ճանապարհը

գրաֆի -

գրաֆում | | հատ

համապատասխան ճանապարհի հետ, մենք կստանանք

գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ: Դեպք 2:

⊆

( ) կամ

( ) և գոյություն ունի

⊆

∈

∈

գագաթ, որ

( )∩

( ):

S G w

u

v

Նկ. 3.4.2 Որոշակիության համար ենթադրենք, որ Հեշտ է տեսնել, որ

\

⊆

( ): Դիտարկենք

բազմությունը հանդիսանում է

=

−

գրաֆը:

գրաֆի նվազագույն

հզորություն ունեցող ( , )-կտրվածք (նկ. 3.4.2): Համաձայն մակածման ենթադրության, գրաֆում գոյություն ունեն | \

|=| |−

հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-

ճանապարհներ: Ավելացնելով այդ ճանապարհներին

գրաֆի

= , ,

պարզ ( , )-

գրաֆում | | հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-

ճանապարհը, մենք կստանանք ճանապարհներ: Դեպք 3:

⊆

( ) կամ

( ) և գոյություն չունի

⊆

∈

գագաթ, որ

∈

( )∩

( ):

S G u

w1 w2

v

Նկ. 3.4.3

Որոշակիության համար նորից ենթադրենք, որ

⊆

կարճագույն ( , )-ճանապարհը: Դիցուք այդ ճանապարհը որ -ն կարճագույն ( , )-ճանապարհ է և գոյություն չունի ( ), ուստի = / = ,

-ն պարզ ( , )-ճանապարհ է,

,

բազմությունը

և

= ,

գրաֆում

, -ն է: Քանի ∈

ճանապարհը կլիներ ավելի կարճ, քան

( )∩

∈

գագաթ, որ

≠

(նկ. 3.4.3): Դիտարկենք

∉ , քանի որ հակառակ դեպքում

գրաֆը: Նկատենք, որ

∈

( ): Դիտարկենք

գրաֆի

-ն: Այստեղից հետևում է, որ

գրաֆի նվազագույն հզորություն ունեցող ( , )-կտրվածք է: գրաֆում գոյություն ունեն | | հատ

Համաձայն մակածման ենթադրության,

գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ: Քանի որ չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհները նաև ( , )-ճանապարհներ են, ուստի

գրաֆի գագաթներով

գրաֆի գագաթներով չհատվող պարզ

գրաֆում գոյություն ունեն | | հատ գագաթներով

չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներ: ∎ Նշենք, որ գոյություն ունեն Մենգերի թեորեմի այլ տարբերակներ: Նշենք դրանցից մի քանիսը: Թեորեմ 3.4.2 (Մենգեր): Եթե

գրաֆի

և

գագաթները իրարից տարբեր են, ապա

այդ գրաֆում կողերի նվազագույն քանակը կողային ( , )-կտրվածքում հավասար է կողերով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհների առավելագույն քանակին: +

Թեորեմ 3.4.3 (Ուիտնի): Առնվազն

գագաթ պարունակող

կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ գագաթները միացված են առնվազն

գրաֆը

գրաֆի ցանկացած

և

հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-

ճանապարհներով: Թեորեմ 3.4.4 (Ուիտնի): Առնվազն

+

գագաթ պարունակող

կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ գագաթները միացված են առնվազն

գրաֆը -կողային

գրաֆի ցանկացած

և

հատ կողերով չհատվող պարզ ( , )-

ճանապարհներով: Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է և

Սահմանում 3.4.3:

∈ ( )և

⊆ ( ):

գրաֆի պարզ ճանապարհների բազմությունը, որոնց մի

ծայրակետը -ն է, իսկ մյուսը

-ից է, ընդ որում այդ ճանապարհները հատվում են միայն

գագաթում, կոչվում է ( , )-հովհար: Եթե

∈

, ապա ( , )-հովհարը պարունակում է

զրո երկարություն ունեցող ճանապարհ: Ստորև մենք կձևակերպենք և կապացուցենք Դիրակի հովհարների լեմման:

Թեորեմ 3.4.5 (Դիրակ):

գրաֆը -կապակցված գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում,

երբ այն պարունակում է առնվազն

+

գագաթ և ցանկացած -ի և | | ≥

⊆ ( )-ի համար -ն ունի ( , )-հովհար:

բավարարող

Ապացույց: Ենթադրենք,

գրաֆը

-կապակցված է,

ենթաբազմությունը բավարարում է | | ≥ կերպ.

պայմանին

( )= ( )∪

, որտեղ

գրաֆը ևս

լեմմա 3.3.1-ի

պայմանին: Սահմանենք

∉ ( ), և

( )= ( )∪

:

⊆ ( )

գրաֆը հետևյալ ∈

: Համաձայն

-կապակցված է և, հետևաբար, ըստ թեորեմ 3.4.3-ի

գրաֆում գոյություն ունեն առնվազն ճանապարհներ: Հեռացնելով

∈ ( ) և

հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-

գագաթը այդ ճանապարհներից, մենք կստանանք, որ -ն

ունի ( , )-հովհար: Ենթադրենք, | |≥ որ

գրաֆը պարունակում է առնվազն

պայմանին բավարարող

+

գագաթ և ցանկացած -ի և

⊆ ( )-ի համար -ն ունի ( , )-հովհար: Ցույց տանք, ∈ ( )-ի և

գրաֆը -կապակցված է: Ցանկացած

= ( ) − -ի համար գոյություն

ունի ( , )-հովհար, ուստի ( ) ≥ : Համաձայն թեորեմ 3.4.3-ի, է այն և միայն այն դեպքում, երբ այդ գրաֆի ցանկացած

հովհարի

գագաթները միացված են

հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-ճանապարհներով: Դիցուք ,

առնվազն ( ) և

և

գրաֆը -կապակցված

=

( ): Քանի որ

∈

-ն ունի ( , )-հովհար, ուստի, շարունակելով ( , )-

հատ ճանապարհները մինչև

գագաթները միացված են առնվազն

գագաթը, մենք կստանանք, որ

և

հատ գագաթներով չհատվող պարզ ( , )-

ճանապարհներով: ∎

Գլուխ 4

Գրաֆների շրջանցումներ

§ . . Էյլերյան ճանապարհներ և ցիկլեր Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է:

Սահմանում 4.1.1: Կասենք, որ

գրաֆում գոյություն ունի էյլերյան ճանապարհ, եթե

-ում գոյություն ունի ճանապարհ, որը պարունակում է -ի բոլոր գագաթները և կողերը: Եթե այդ ճանապարհը ցիկլ է, ապա այն կանվանենք էյլերյան ցիկլ: Հեշտ է տեսնել, որ հարթության վրա էյլերյան ճանապարհ (ցիկլ) պարունակող գրաֆի պատկերը կարելի է նկարել առանց մատիտը թղթից կտրելու, յուրաքանչյուր կողով անցնելով ճիշտ մեկ անգամ (և վերադառնալ սկզբնական կետ):

v2

v5

v3

v6

v4

v1

v7 v 10

v9

v8

Նկ. 4.1.1

Սահմանում 4.1.2:

գրաֆը կանվանենք էյլերյան գրաֆ, եթե այն պարունակում է

էյլերյան ցիկլ: Բնական է դիտարկել հետևյալ խնդիրը. ինչպիսի պայմանների պետք է բավարարի գրաֆը, որպեսզի այն ունենա էյլերյան ճանապարհ կամ ցիկլ (լինի էյլերյան): Պարզ է, որ եթե

գրաֆը պարունակում է էյլերյան ճանապարհ կամ ցիկլ, ապա

-ն պետք է լինի

կապակցված: Սակայն ոչ բոլոր կապակցված գրաֆները ունեն էյլերյան ճանապարհ կամ էյլերյան ցիկլ: Այսպես, օրինակ, նկ. 4.1.1-ում պատկերված կապակցված գրաֆը ունի էյլերյան ճանապարհ, բայց չունի էյլերյան ցիկլ: Իրոք, դիտարկենք այդ գրաֆում ( ,

ճանապարհը`

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

)-

,

: Հեշտ է

տեսնել, որ նշված ճանապարհը էյլերյան ճանապարհ է: Նկ. 4.1.2-ի ձախ մասում պատկերված ,

,

,

,

է

էյլերյան

,

,

,

գրաֆ

,

,

,

(համոզվելու

համար

բավական

է

դիտարկել

ցիկլը), իսկ աջ մասում` գրաֆ, որը չունի էյլերյան

ճանապարհ և հետևաբար նաև չունի էյլերյան ցիկլ:

u2

u3

w1

u1

w3

u4

u5

u6

w5

w4

w6

w2 Նկ. 4.1.2

Նախ ապացուցենք մի լեմմա, որն ունի բավականին պարզ ձևակերպում և հաճախ է կիրառվում տարբեր թեորեմներ ապացուցելու ժամանակ: Լեմմա 4.1.1: Եթե

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≥

պայմանը, ապա

-ն

պարունակում է պարզ ցիկլ: Ապացույց: Դիտարկենք ճանապարհ`

=

պարզ ճանապարհի

գրաֆի առավելագույն երկարություն ունեցող որևէ պարզ

: Քանի որ և

-ի երկարությունը առավելագույնն է, ուստի այդ

գագաթների բոլոր հարևանները պատկանում են

(հակառակ դեպքում հնարավոր կլիներ նշել Մյուս կողմից, քանի որ ( ) ≥ , ուստի ≤

≤ : Այստեղից հետևում է, որ

-ին

-ից ավելի երկար պարզ ճանապարհ):

գագաթը կունենա հարևան գրաֆը պարունակում է

=

գագաթ, որտեղ

,

պարզ

ցիկլ: ∎ Սահմանում 4.1.3:

գրաֆը կանվանենք զույգ գրաֆ, եթե նրա բոլոր գագաթների

աստիճանները զույգ թվեր են: Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք Վեբլենի թեորեմը զույգ գրաֆների մասին:

Թեորեմ 4.1.1:

գրաֆը զույգ է այն և միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆի կողերի

բազմությունը կարելի է տրոհել կողերով չհատվող պարզ ցիկլերի: Ապացույց: Դիցուք -ն զույգ գրաֆ է: Ցույց տանք, որ

գրաֆի կողերի բազմությունը

կարելի է տրոհել կողերով չհատվող պարզ ցիկլերի: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ | ( )|-ի: Եթե ( ) = ∅, ապա պարզ է որ պնդումը ճիշտ է, քանի որ այդ դեպքում

գրաֆի կողերով չհատվող պարզ ցիկլերի բազմությունը դատարկ է:

Ենթադրենք ( ) ≠ ∅ և պնդումը ճիշտ է ցանկացած

զույգ գրաֆի դեպքում, որի համար

| ( )| < | ( )|: Դիտարկենք

=

է, որ

զույգ գրաֆը: Դիցուք

ենթագրաֆը ևս զույգ գրաֆ է և (

գրաֆի

գրաֆը պարունակում է

պարզ ցիկլ: Դիտարկենք

:

∈ ( )և

) ≥ : Ըստ լեմմա 4.1.1-ի = \ ( ) գրաֆը: Պարզ է, որ

գրաֆը ևս զույգ գրաֆ է և, հետևաբար, ըստ մակածման ենթադրության ⋯ ∪ ( ), որտեղ

-ը

( )= (

հետևում է, որ

( ) > 0 : Պարզ

( )= (

)∪

գրաֆի կողերով չհատվող պարզ ցիկլերն են: Այստեղից ) ∪ ⋯ ∪ ( ) ∪ ( )-ն իրենից ներկայացնում է

գրաֆի

կողերի բազմության տրոհում կողերով չհատվող պարզ ցիկլերի: Այժմ ապացուցենք, որ եթե

գրաֆի կողերի բազմությունը կարելի է տրոհել

կողերով չհատվող պարզ ցիկլերի, ապա կամայական

∈ ( ) գագաթ և ենթադրենք, որ այդ գագաթը մասնակցում է

կողերի բազմության տրոհման մեջ պարզ է, որ

-ն զույգ գրաֆ է: Իրոք, եթե դիտարկենք

( )=

գրաֆի

կողերով չհատվող պարզ ցիկլերում, ապա

: Այստեղից հետևում է, որ -ն զույգ գրաֆ է: ∎

Այժմ կապացուցենք Էյլերի թեորեմը, որը նկարագրում է էյլերյան գրաֆները: Թեորեմ 4.1.2 (Լ. Էյլեր): Որպեսզի

գրաֆը լինի էյլերյան, անհրաժեշտ է և

բավարար, որ այն լինի կապակցված և զույգ գրաֆ: Ապացույց: Ինչպես նշել ենք, եթե Ցույց տանք, որ կամայական որ

=

,

գրաֆը էյլերյան է, ապա այն կապակցված է:

∈ ( ) գագաթի համար

-ն էյլերյան ցիկլ է և

Այդ դեպքում հեշտ է տեսնել, որ եթե

( )-ն զույգ թիվ է: Ենթադրենք,

գագաթը մասնակցում է այդ ցիկլում ≠

, ապա

( ) = ( − ) (քանի որ յուրաքանչյուր անգամ

( )=

անգամ:

, հակառակ դեպքում`

գագաթը այցելելու ժամանակ

ցիկլը

մտնում է այդ գագաթ մի կողով և դուրս է գալիս մեկ այլ կողով): Այստեղից հետևում է, որ գրաֆի յուրաքանչյուր գագաթի աստիճանը զույգ թիվ է: Ցույց տանք, որ եթե Դիտարկենք

-ն կապակցված և զույգ գրաֆ է, ապա

-ն էյլերյան է:

գրաֆի առավելագույն երկարություն ունեցող որևէ ճանապարհ.

=

: Նախ ապացուցենք, որ -ն ցիկլ է: Ենթադրենք հակառակը`

գագաթին կից կենտ թվով կողեր են պատկանում ∈ ( )\ ( ): Դիտարկենք

կունենա

որ | | > | |, ինչը հակասում է

գրաֆի

≠

: Քանի որ

ճանապարհին, ուստի գոյություն = ,

ճանապարհը: Պարզ է, =

և

Թեորեմի ապացույցն ավարտելու համար բավական է ցույց տալ, որ

=

=

,

,

ճանապարհի ընտրությանը: Հետևաբար,

-ը ցիկլ է:

-ն էյլերյան ցիկլ է: Ենթադրենք հակառակը`

էյլերյան չէ, ուստի գոյություն կունենա

-ն էյլերյան չէ: Քանի որ

-ն

∈ ( )\ ( ): Մյուս կողմից, քանի որ

-ն

կապակցված գրաֆ է, ուստի գոյություն կունենան ճանապարհներ, որոնք գագաթը միացնում են

-ի գագաթների հետ: Որոշակիության համար դիտարկենք

նրանցից կարճագույնը: Դիցուք այդ ճանապարհը =

( ≥ ):

=

,

=

ինչը հակասում է

Այդ =

կամ

,

դեպքում ,

=

-ն է, որտեղ

դիտարկենք

=

և

գրաֆի

ճանապարհը: Պարզ է, որ |

| > | |,

ճանապարհի ընտրությանը: Հետևաբար, -ն էյլերյան ցիկլ է: ∎

Թեորեմ 4.1.1 և 4.1.2-ից ստանում ենք էյլերյան գրաֆների մեկ այլ նկարագրում: Թեորեմ 4.1.3:

գրաֆը էյլերյան է այն և միայն այն դեպքում, երբ

-ն կապակցված

գրաֆ է և այդ գրաֆի կողերի բազմությունը կարելի է տրոհել կողերով չհատվող պարզ ցիկլերի: Նշենք նաև առանց ապացույցի էյլերյան գրաֆների ևս մի նկարագրում: Թեորեմ 4.1.4 (Տոյդա, Մակ-Կիի):

գրաֆը էյլերյան է այն և միայն այն դեպքում, երբ

-ն կապակցված գրաֆ է և այդ գրաֆի յուրաքանչյուր կող պատկանում է կենտ թվով պարզ ցիկլերի: Ստորև նկարագրվում է էյլերյան գրաֆում էյլերյան ցիկլ կառուցելու Ֆլյորիի ալգորիթմը:

Ալգորիթմ Դիցուք տրված է

էյլերյան գրաֆը:

Քայլ 1: Ընտրենք որևէ

գագաթ և նրան հարևան

գագաթ: Վերագրենք

համար, այնուհետև հեռացնենք այդ կողը գրաֆից և անցնենք Քայլ 2: Դիցուք

կողին

գագաթին:

-ն այն գագաթն է, որում մենք գտնվում ենք նախորդ քայլը

կատարելուց հետո և այդ քայլում որոշ կողի վերագրվել է

համար: Ընտրենք

-ին կից

ցանկացած կող, ընդ որում այն կողը, որը հանդիսանում է կամուրջ ստացված գրաֆում, ընտրում ենք այն դեպքում, եթե այլ ընտրության հնարավորություն չկա: Վերագրում ենք +

ընտրված կողին

համար, այնուհետև հեռացնում ենք այդ կողը գրաֆից և անցնում

ենք այդ կողի մյուս գագաթին: Քայլ 3: Կատարել քայլ 2-ը այնքան անգամ մինչև գրաֆում կող չմնա: Համոզվենք, որ Ֆլյորիի ալգորիթմը իրոք կառուցում է էյլերյան ցիկլ: Նախ նկատենք. քանի որ

գրաֆի յուրաքանչյուր գագաթի աստիճանը զույգ թիվ է, ուստի ալգորիթմը

կարող է վերջացնի իր աշխատանքը միայն այն գագաթում, որից սկսել էր իր աշխատանքը: Այստեղից հետևում է, որ ալգորիթմը կառուցում է ինչ-որ ցույց տալ, որ այդ ցիկլը պարունակում է անցնում է

ցիկլ: Մնում է

գրաֆի բոլոր կողերը, իսկ այն, որ այդ ցիկլը

գրաֆի յուրաքանչյուր կողով ճիշտ մեկ անգամ, հետևում է նրանից, որ

յուրաքանչյուր կողով անցնելուց հետո ալգորիթմի համաձայն այդ կողը հեռացվում է գրաֆից: Ենթադրենք, որ

ցիկլը պարունակում է

գրաֆի ոչ բոլոր կողերը: Դիցուք

\ ( ) գրաֆի այն կապակցված բաղադրիչն է, որի համար ցիկլի կողերի այն ≠ ∅: Դիցուք

բազմությունը, որոնք կից են

-ն

-ը

( ) ≠ ∅: Դիտարկենք

գրաֆի գագաթներին: Նկատենք, որ

-ի այն կողն է, որը ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում ստացել է

ամենամեծ համարը: Հեշտ է տեսնել, որ հեռացման պահին այդ

կողը եղել է կամուրջ

ստացված գրաֆում, իսկ դա հակասում է հերթական կողի ընտրությանը:

v2

v6

v1

v7 v3

v8

v4

v9 v5

v 10 Նկ. 4.1.3

Բերենք ալգորիթմի աշխատանքը պարզաբանող մի օրինակ: Դիտարկենք նկ. 4.1.3ում պատկերված =

,

,

,

,

էյլերյան գրաֆը: Նկ. 4.1.4-ում պատկերված է ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

էյլերյան ցիկլը, որը ստացվել

է Ֆլյորիի ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում: Նկատենք, որ

էյլերյան գրաֆի

ցիկլը կառուցելու

ժամանակ անցնելով

,

,

,

,

,

,

ճանապարհը մենք չենք կարող ընտրել

կողը, քանի որ այդ կողը հանդիսանում է կամուրջ ստացված գրաֆում, հետևաբար կարող ենք ընտրել

կամ

v2

v1

v4

կողը ( -ում ընտրվել է

v6

v3

v5

v 10

-ը):

v7 v8

v9

Նկ. 4.1.4 Պարզվում է, որ համարյա բոլոր գրաֆները էյլերյան չեն: Նախ տանք որոշ անհրաժեշտ սահմանումներ: Դիցուք

-ն գրաֆների բազմության վրա որոշված հատկություն է: Օրինակ, որպես

հատկություն կարող է հանդես գալ «կապակցված է» հատկությունը: Նշանակենք ( )-ով գագաթ պարունակող բոլոր գրաֆների բազմությունը, իսկ պարունակող բոլոր այն գրաֆների բազմությունը, որոնք օժտված են

( )-ով`

գագաթ

հատկությամբ:

Սահմանում 4.1.4: Կասենք, որ համարյա բոլոր գրաֆները օժտված են հատկությամբ, եթե lim →

( ) = 1: | ( )|

Սահմանում 4.1.5: Կասենք, որ համարյա բոլոր գրաֆները օժտված չեն հատկությամբ, եթե lim →

( ) = 0: | ( )|

Թեորեմ 4.1.5 (Ռեյդ): Համարյա բոլոր գրաֆները էյլերյան չեն: Ապացույց: Դիտարկենք բոլոր գրաֆների բազմության վրա որոշված հատկությունները, որտեղ

-ն «էյլերյան է», իսկ

Համաձայն հետևանք 4.1.1-ի կստանանք՝ 1.2.2-ի և 1.2.3-ի կստանանք՝ | ( )| =

և

և

-ը` «զույգ է» հատկություններն են:

( )⊆ ( ) =

( ): Մյուս կողմից, ըստ թեորեմ : Այստեղից հետևում է, որ

( ) ≤

= | ( )| ∙

=

և

( ) | ( )|

≤

,

հետևաբար

lim

( ) →

| ( )|

= 0:

∎

Այժմ ներկայացնենք գրաֆում էյլերյան ճանապարհի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը: Թեորեմ 4.1.6: Կապակցված միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆում գոյություն ունի էյլերյան ճանապարհ այն և

գրաֆի կենտ աստիճան ունեցող գագաթների քանակը

երկուսից ավելի չէ: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե

կապակցված գրաֆում գոյություն ունի

էյլերյան ճանապարհ, ապա, ինչպես նշել ենք թեորեմ 4.1.2-ի ապացույցում, այդ ճանապարհի բոլոր գագաթները ունեն զույգ աստիճան, բացի, գուցե, ծայրակետերից: Հետևաբար,

գրաֆի կենտ աստիճան ունեցող գագաթների քանակը երկուսից ավելի չէ:

Ենթադրենք

կապակցված գրաֆի կենտ աստիճան ունեցող գագաթների քանակը

երկուսից ավել չէ: Ցույց տանք, որ Եթե

գրաֆը ունի էյլերյան ճանապարհ:

կապակցված գրաֆը չունի կենտ աստիճան ունեցող գագաթներ, ապա, ըստ

թեորեմ 4.1.2-ի,

գրաֆը ունի էյլերյան ցիկլ, որը նաև էյլերյան ճանապարհ է: Ըստ

հետևանք 1.2.1-ի,

գրաֆը չի կարող ունենալ կենտ աստիճան ունեցող միակ գագաթ:

Հետևաբար, թեորեմը ապացուցելու համար բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ գրաֆը պարունակում է կենտ աստիճան ունեցող երկու գագաթ: Դիցուք այդ գագաթները -ն և -ն են: Սահմանենք

գրաֆը հետևյալ կերպ. ( )= ( )∪

, որտեղ

( )= ( )∪ Նկատենք, որ

:

-ը կապակցված գրաֆ է, որի յուրաքանչյուր գագաթի աստիճանը

զույգ թիվ է: Հետևաբար, ըստ թեորեմ 4.1.2-ի ցիկլից դեն նետելով

,

∉ ( ),

գրաֆը կպարունակի էյլերյան ցիկլ: Այդ

գագաթը կստանանք էյլերյան ( , )-ճանապարհ

գրաֆում: ∎

Էյլերյան գրաֆներին ավելի մանրամասն կարելի է ծանոթանալ Ֆլեշների գրքում [14]:

§ . . Համիլտոնյան ճանապարհներ և ցիկլեր

= ( , )-ն գրաֆ է:

Դիցուք

գրաֆում գոյություն ունի համիլտոնյան

Սահմանում 4.2.1: Կասենք, որ

ճանապարհ, եթե

-ում գոյություն ունի պարզ ճանապարհ, որն անցնում է

-ի բոլոր

գագաթներով: Եթե այդ պարզ ճանապարհը պարզ ցիկլ է, ապա այն կանվանենք

համիլտոնյան ցիկլ: Սահմանում

4.2.2:

գրաֆը

կանվանենք

համիլտոնյան

գրաֆ,

եթե

այն

պարունակում է համիլտոնյան ցիկլ: Այստեղ նույնպես բնական է դիտարկել հետևյալ խնդիրը. ինչպիսի պայմանների պետք է բավարարի գրաֆը, որպեսզի այն ունենա համիլտոնյան ճանապարհ կամ ցիկլ (լինի համիլտոնյան): Պարզ է, որ եթե ճանապարհ կամ ցիկլ, ապա

գրաֆը պարունակում է համիլտոնյան

-ն պետք է լինի կապակցված: Սակայն ոչ բոլոր

կապակցված գրաֆներն ունեն համիլտոնյան ճանապարհ կամ համիլտոնյան ցիկլ: Այսպես, օրինակ, նկ. 4.2.1-ի աջ մասում պատկերված կապակցված գրաֆը ունի համիլտոնյան ,

,

,

ճանապարհ

,

,

,

(համոզվելու

համար

բավական

է

դիտարկել

ճանապարհը), բայց չունի համիլտոնյան ցիկլ, իսկ ձախ մասում

պատկերվածը` չունի համիլտոնյան ճանապարհ և, հետևաբար, նաև չունի համիլտոնյան ցիկլ:

v2

w1

v4 u1

w2

v1

v5

v3

u2 w3 u3

v6

w4

v7 Նկ. 4.2.1

Նկ. 4.2.1-ի ձախ մասում պատկերված կապակցված գրաֆը հուշում է, որ կարելի է նույնիսկ պնդել, որ եթե

գրաֆը պարունակում է համիլտոնյան ցիկլ (համիլտոնյան է),

ապա -ն -կապակցված գրաֆ է: Իրոք, եթե ∈ ( )-ի համար

−

գրաֆը համիլտոնյան է, ապա ցանկացած

գրաֆը պարունակում է համիլտոնյան ճանապարհ, ուստի

գագաթը չի կարող լինել միակցման կետ: Սակայն, պետք է նշել, որ ոչ բոլոր

-

կապակցված գրաֆները համիլտոնյան են (օրինակ է Պետերսենի գրաֆը): Այժմ բերենք համիլտոնյան

գրաֆների

օրինակներ:

Նկ.

4.2.2-ում

պատկերված

գրաֆները

համիլտոնյան են և կետագծերով նշված են այդ գրաֆների համիլտոնյան ցիկլերը:

Նկ. 4.2.2 Գրաֆում համիլտոնյան ցիկլի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ հայտնի չեն, այդ պատճառով ստորև մենք կդիտարկենք համիլտոնյան ցիկլի գոյության որոշ անհրաժեշտ և որոշ բավարար պայմաններ: Նախ ապացուցենք Դիրակի լեմման, որը հետագայում կօգտագործենք համիլտոնյան ցիկլի գոյության որոշ բավարար պայմաններ ապացուցելու ժամանակ: Լեմմա 4.2.1: Եթե

գրաֆի համար տեղի ունի

պարունակում է առնվազն ( ) + Ապացույց: Դիտարկենք ճանապարհ`

=

պարզ ճանապարհի

-ն

գրաֆի առավելագույն երկարություն ունեցող որևէ պարզ -ի երկարությունը առավելագույնն է, ուստի այդ

գագաթների բոլոր հարևանները պատկանում են

(հակառակ դեպքում հնարավոր կլիներ նշել

պայմանը, ապա

երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ:

: Քանի որ և

( )≥

-ին

-ից ավելի երկար պարզ ճանապարհ):

Մասնավորապես, դա նշանակում է, որ գագաթների մեջ գոյություն ունի

գագաթ, որը հարևան է

պարունակում է առնվազն ( ) +

,

( )

( )

բազմության

-ին: Այստեղից հետևում է, որ

երկարություն ունեցող

=

,

գրաֆը

պարզ ցիկլ: ∎

Ստորև կապացուցենք Դիրակի թեորեմը, որը համիլտոնյան ցիկլի գոյության պատմականորեն առաջին հայտնի բավարար պայմանն է: գագաթ ( ≥ ) ունեցող

Թեորեմ 4.2.1 (Գ. Դիրակ): Եթե

գրաֆի համար տեղի

ունի ( ) ≥ պայմանը, ապա այն համիլտոնյան է: ≥

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ

պայմանը էական է այս թեորեմում: Իրոք, լրիվ

գրաֆը բավարարում է թեորեմի պայմանին, բայց այն համիլտոնյան գրաֆ չէ: Ենթադրենք հակառակը, գոյություն ունի բավարարում է ( ) ≥ -ն և -ն

գագաթ ( ≥ ) ունեցող

գրաֆ, որը

պայմանին, բայց -ն համիլտոնյան գրաֆ չէ: Նկատենք, որ եթե

գրաֆում կամայական երկու ոչ հարևան գագաթներ են, ապա

ևս կբավարարի թեորեմի պայմանին, այսինքն` գրաֆ է, որը բավարարում է

( +

)≥

+

գրաֆը

+

գրաֆը

գագաթ ( ≥ ) ունեցող

պայմանին: Այստեղից հետևում է, որ

հակաօրինակին ավելացնելով կողեր մենք կարող ենք ստանալ ապացուցվող թեորեմի մաքսիմալ հակաօրինակ, այսինքն՝ այնպիսի հակաօրինակ, որը բավարարում է թեորեմի պայմանին, որը համիլտոնյան գրաֆ չէ, բայց ցանկացած նոր կող ավելացնելուց ստացվող գրաֆը կլինի համիլտոնյան գրաֆ: Ստորև կապացուցենք, որ գոյություն չունեն թեորեմի մաքսիմալ հակաօրինակներ: Քանի որ ցանկացած հակաօրինակից կարելի է ստանալ մաքսիմալ հակաօրինակ, ապա այս պնդումից կստացվի, որ գոյություն չունեն նաև հակաօրինակներ, և, հետևաբար, թեորեմի պնդումը ճիշտ է: Դիցուք -ն մաքսիմալ հակաօրինակ է և -ն և -ն այդ գրաֆի կամայական երկու ոչ հարևան գագաթներ են: Քանի որ

-ն մաքսիմալ հակաօրինակ է, ուստի

կլինի համիլտոնյան գրաֆ: Այստեղից հետևում է, որ ( , )-ճանապարհ: Դիցուք այդ ճանապարհը

=

+

գրաֆը

-ն պարունակում է համիլտոնյան

-ն է, որտեղ

≥

և

= ,

= : Ցույց տանք, որ գոյություն ունի այնպիսի Սահմանենք

և

ինդեքս, որ

∈ ( ) և

∈ ( ):

բազմությունները հետևյալ կերպ. =

∶

∈ ( ) և

=

∶

∈ ( ):

Համոզվենք, որ | ∩ | ≥ : Քանի որ | ∪ | = | | + | | − | ∩ | և ( ) ≥ , ուստի | ∪ |+| ∩ |=| |+| |=

u=v1

vi

( )+

( )≥ :

v n =v

v i+1 Նկ. 4.2.3

∉

Մյուս կողմից, պարզ է որ

∪

որ | ∩ | ≥ : Այժմ դիտարկենք

և, հետևաբար, | ∪ | < : Այստեղից հետևում է, գրաֆի

պարզ ցիկլը (նկ. 4.2.3): Հեշտ է տեսնել, որ

= ,

,

-ն հանդիսանում է

, ,

,

,

գրաֆի համիլտոնյան

ցիկլ, ուստի -ն համիլտոնյան գրաֆ է: ∎ Նկատենք, որ Դիրակի թեորեմը ապացուցելու ժամանակ ( ) ≥ ( )+

օգտվեցինք միայն

( )≥

ցույց տալու համար, երբ

պայմանից մենք

∉ ( ): Այդ փաստը

առաջին անգամ նշվել էր Օրէի կողմից. թեորեմ 4.2.1-ի ապացույցի դատողությունները կրկնելով, կարելի է ապացուցել հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 4.2.2 (Օ. Օրէ): Եթե

գագաթ ( ≥ ) ունեցող

( ≠ ) ոչ հարևան գագաթների համար տեղի ունի

գրաֆում ցանկացած

( )+

( )≥

և

պայմանը, ապա

-ն համիլտոնյան գրաֆ է: Նկատենք, որ թեորեմ 4.2.1-ում նշված` ցանկացած

և

( )≥

և թեորեմ 4.2.2-ում նշված`

( ≠ ) ոչ հարևան գագաթների համար տեղի ունի

պայմանները հնարավոր չէ լավացնել: Իրոք, դիտարկենք այն և , ( )= ( )+

( )+

( )≥

գրաֆը, որը ստացվում է

լրիվ գրաֆների մեկ գագաթը նույնացնելով: Հեշտ է տեսնել, որ | ( )| = և ցանկացած ( )≥

−

և

( ≠ ) ոչ հարևան գագաթների համար տեղի ունի

պայմանը: Սակայն, քանի որ

-ն

-կապակցված գրաֆ չէ, այն

համիլտոնյան չէ: Դիրակի և Օրէի թեորեմները հանդիսանում են համիլտոնյան գրաֆների տեսության դասական արդյունքներ, որոնք տալիս են գրաֆներում համիլտոնյան ցիկլի գոյության համար աստիճանային սահմանափակումներով բավարար պայմաններ: Համիլտոնյան գրաֆների տեսության մեկ այլ ուղղություն են ներկայացնում գրաֆներում համիլտոնյան

ցիկլի գոյության այն բավարար պայմանները, որոնց դեպքում սահմանափակումները դրվում են գրաֆի ենթագրաֆների վրա: Այս ուղղությունը համիլտոնյան գրաֆների տեսության մեջ հայտնի է որպես արգելված ենթագրաֆների ուղղություն: Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք այս ուղղության դասական արդյունքներից մեկը. Գուդմանի և Հեդեթնիեմիի թեորեմը: Թեորեմ

4.2.3

պարունակում

(Գուդման,

և

,

+

,

Հեդեթնիեմի):

Եթե

-կապակցված

գրաֆը

ծնված ենթագրաֆներ, ապա -ն համիլտոնյան գրաֆ է:

Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը, գոյություն ունի -կապակցված պարունակում Քանի որ

և

,

-ն

+

,

ծնված ենթագրաֆներ, բայց

հետևաբար, ըստ լեմմա 4.1.1-ի, =

գրաֆ է, ուստի ∈ ( )(

գրաֆ, որը չի

-ն համիլտոնյան գրաֆ չէ:

-կապակցված գրաֆ է, ուստի համաձայն թեորեմ 3.2.1-ի

ամենաերկար

չի

,

-ն կպարունակի պարզ ցիկլ: Դիտարկենք

պարզ ցիկլը: Քանի որ

գրաֆում գոյություն ունի այնպիսի

< | ( )| և

-ն

գագաթ, որ

( )≥

և,

գրաֆի

-կապակցված ∈ ( )\ ( ) և

∈ ( )) (նկ. 4.2.4):

v

v i−1

v1

vi v i+1

C

vs Նկ. 4.2.4 Դիցուք որ

=

,

,

,

գրաֆում առկա են

Հետևաբար,

: Դիտարկենք

գրաֆի

,

կողերից առնվազն երկուսը (նկ. 4.2.4):

գրաֆում առկա է

, ,

ծնված ենթագրաֆը: Պարզ է,

կողերից մեկը, ինչը հակասում է

-ի

ընտրությանը: Այս հակասությունը ապացուցում է թեորեմը: ∎ Համիլտոնյան գրաֆների տեսության մեջ առկա են նաև գրաֆներում համիլտոնյան ցիկլի

գոյության

այնպիսի

բավարար

պայմաններ,

որոնց

դեպքում

սահմանափակումները դրվում են ոչ թե գագաթների աստիճանների կամ գրաֆի ենթագրաֆների

վրա,

այլ

գրաֆի

ուրիշ

բնութագրիչների

վրա:

Այդպիսին

է,

մասնավորապես, Խվատալի և Էրդյոշի թեորեմը: Մինչ այդ թեորեմի ձևակերպմանն = ( , )-ն գրաֆ է և

անցնելը տանք մեկ անհրաժեշտ սահմանում: Դիցուք

Կասենք, որ -ն հանդիսանում է գագաթների անկախ բազմություն

⊆ ( ):

գրաֆում, եթե -ն չի

պարունակում հարևան գագաթներ: Ամենաշատ գագաթներ պարունակող անկախ բազմություն հզորությունը նշանակենք ( )-ով: Թեորեմ 4.2.4 (Խվատալ, Էրդյոշ): Եթե առնվազն երեք գագաթ պարունակող գրաֆում տեղի ունի ( ) ≤ ( ) պայմանը, ապա -ն համիլտոնյան գրաֆ է: Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը, գոյություն ունի առնվազն երեք գագաթ պարունակող

գրաֆ, որի համար ( ) ≤ ( ), բայց -ն համիլտոնյան գրաֆ չէ:

Նախ նկատենք, որ եթե առնվազն երեք գագաթ պարունակող ապա

գրաֆում

( )= ,

-ն լրիվ գրաֆ է, որը համիլտոնյան գրաֆ է: Հետևաբար, մենք կարող ենք

ենթադրել, որ

( ) ≥ : Քանի որ

( ) ≥ : Ըստ լեմմա 4.2.1-ի,

( ) ≥ ( ) ≥ , ուստի, համաձայն թեորեմ 3.2.1-ի, ( )+

-ն պարունակում է առնվազն

ունեցող պարզ ցիկլ: Դիտարկենք

երկարություն

գրաֆի ամենաերկար

պարզ ցիկլը: Պարզ է, որ

| | ≥ ( ) + : Մյուս կողմից, համաձայն թեորեմ 3.2.1-ի,

( ) ≥ ( ) և, հետևաբար,

| | ≥ ( ) + : Քանի որ | | < | ( )|, ուստի գագաթ, որ

∈ ( )\ ( ): Դիցուք ( ) = : Քանի որ -ն -կապակցված գրաֆ է, ուստի,

համաձայն թեորեմ 3.4.5-ի, գոյություն ունեն առնվազն գագաթը

գրաֆում գոյություն ունի այնպիսի

, ( ) -հովհար: Այստեղից հետևում է, որ

-ն ունի

հատ

պարզ ճանապարհներ, որոնք միացնում են

պարզ ցիկլին և այդ ճանապարհները հատվում են միայն

Ենթադրենք

ճանապարհները

ցիկլի հետ հատվում են

Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ

շարժվելիս

գագաթները

հերթականորեն

հաջորդականությամբ: Ընտրենք

ցիկլի վրա

յուրաքանչյուր -ի համար, որտեղ

≤ ≤ ,

հաջորդում է

գագաթը

գագաթներում: ցիկլի վրայով են

հենց

կողը փոխարինելով

=

,

, որ

այս

գագաթներ այնպես, որ ցիկլի վրա անմիջապես

գագաթին: Նկատենք, որ ցանկացած -ի համար, որտեղ

∉ ( ): Իրոք, հակառակ դեպքում գոյություն ունի ցիկլի

հանդիպում

գագաթում:

≤ ≤ ,

∈ ( ): Այդ դեպքում

ճանապարհով մենք կստանանք -ից ավելի

երկար պարզ ցիկլ, ինչը հակասում է -ի ընտրությանը: Ցույց տանք, որ կամայական , զույգի համար, որտեղ

≤ < ≤ ,

∉ ( ): Ենթադրենք հակառակը, գոյություն

ունի

,

(

<

∈ ( ): Այդ դեպքում

), որ ,

կողերը և ավելացնելով

ցիկլից հեռացնելով

ճանապարհները և

և

կողը մենք կստանանք

-ից

ավելի երկար պարզ ցիկլ, ինչը հակասում է -ի ընտրությանը (նկ. 4.2.5):

v

P1

Pj

Pi

u1

vi C

v1

uj

ui

vj

Նկ. 4.2.5 Այժմ դիտարկենք

գրաֆի գագաթների

=

,

( )≥| |=

-ն անկախ բազմություն է, ուստի

բազմությունը: Պարզ է, որ

+ , ինչը հակասում է թեորեմի

պայմանին: ∎ Նկատենք, որ թեորեմ 4.2.4-ում նշված` լավացնել: Իրոք, դիտարկենք լրիվ երկկողմանի ,

=

+

և

Սահմանում 4.2.3: է

,

= , բայց գրաֆի

,

( ) ≤ ( ) պայմանը հնարավոր չէ ,

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ

-ը համիլտոնյան գրաֆ չէ:

( ) (համիլտոնյան) փակումը գրաֆ է, որը ստացվում

-ից հերթականորեն կողեր ավելացնելով, որոնք միացնում են երկու ոչ հարևան

գագաթներ և որոնց աստիճանների գումարը մեծ կամ հավասար է այդ գրաֆի գագաթների քանակից, ընդ որում դա կատարվում է այնքան անգամ, ինչքան դա հնարավոր է: Նկ. 4.2.6-ում պատկերված է

գրաֆից այդ գրաֆի

( ) փակումը ստանալու

ամբողջ ընթացքը:

G v2

v3

v2

v1

v4

→ → →

v3

v1

v4

v6

v5

v6

v5

v2

v3

v2

v3

v1

v4

v6

→ → →

v1

v5

v4

v6

v5

cl (G ) v2

v3

v1

v4

v6

v5 Նկ. 4.2.6

Բնական հարց է առաջանում. արդյո՞ք տրված

գրաֆից այդ գրաֆի

( ) փակումը

ստանալու ժամանակ կողերի ավելացման հերթականությունը կարևոր չէ: Այլ կերպ ասած, տրված տրված

գրաֆից միարժե՞ք է որոշվում նրա

գրաֆից այդ գրաֆի

( ) փակումը, թե ոչ: Համոզվենք, որ

( ) փակումը ստանալու ժամանակ կողերի ավելացման

հերթականությունը կարևոր չէ: Ենթադրենք հակառակը, դիցուք

գրաֆը ստացվել է

գրաֆից

կողերը ավելացնելով, իսկ

գրաֆը`

կողերը ավելացնելով:

Նախ նկատենք, որ եթե որևէ պահին ընթացիկ գրաֆի համար երկու ոչ հարևան

և

գագաթները, որոնց աստիճանների գումարը մեծ կամ հավասար է այդ գրաֆի գագաթների քանակից, հնարավոր է միացնել կողով, ապա դա պետք է կատարվի մինչև գրաֆի փակման կառուցման ավարտը: Քանի որ սկզբնական ավելացնել

գրաֆին, ուստի, ըստ վերը նշվածի,

∈ (

), ապա

վերը նշվածի

∈ (

ցույց տալ, որ

⊆

∈ (

): Համանման ձևով, եթե

-ն արդեն հնարավոր է ավելացնել

): Այստեղից հետևում է, որ =

, ուստի

⊆

կողը հնարավոր է

գրաֆին, ուստի ըստ

: Համանման ձևով կարելի է

:

Նշենք, որ գրաֆի փակման գաղափարը ներմուծվել է Բոնդիի և Խվատալի կողմից և դա պայմանավորված է հետևյալ արդյունքով. Թեորեմ 4.2.5 (Բոնդի, Խվատալ):

գրաֆը համիլտոնյան է այն և միայն այն դեպքում,

( ) գրաֆը:

երբ համիլտոնյան է

Ապացույց: Թեորեմն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ եթե գագաթ ունեցող գրաֆ է և , ( )+

( )≥

համիլտոնյան է որ

+

( ≠ ) ոչ հարևան գագաթներ են, որոնց համար տեղի ունի

պայմանը, ապա +

-ն

-ն համիլտոնյան է այն և միայն այն դեպքում, երբ

գրաֆը: Նկատենք, որ եթե -ն համիլտոնյան է, ապա ակնհայտ է,

գրաֆը ևս կլինի համիլտոնյան: Մյուս կողմի ապացույցը համընկնում է թեորեմ

4.2.1-ի ապացույցի հետ: ∎ Հետևանք 4.2.1: Եթե

-ն

գագաթ ( ≥ ) ունեցող գրաֆ է և

( )=

, ապա

-ն

համիլտոնյան գրաֆ է: Նկատենք, որ հետևանք 4.2.1-ից ստանում ենք, որ նկ. 4.2.6-ում պատկերված գրաֆը համիլտոնյան է, քանի որ

( )=

: Օգտագործելով նշված հետևանքը,

Խվատալին հաջողվեց ապացուցել հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 4.2.6 (Խվատալ): Դիցուք

(

, որտեղ

( ) > կամ

(

)≥

(

-ն

գագաթ ( ≥ ) ունեցող գրաֆ է և

): Այդ դեպքում եթե <

( )=

պայմանից հետևում է, որ

− , ապա -ն համիլտոնյան գրաֆ է:

Ինչպես նշել ենք նախորդ պարագրաֆում, հայտնի է, որ համարյա բոլոր գրաֆները էյլերյան չեն: Պարզվում է, որ գրաֆների համիլտոնյան լինելու հարցի վերաբերյալ իրավիճակը էապես տարբերվում է.

Թեորեմ 4.2.7 (Պերեպելիցա): Համարյա բոլոր գրաֆները համիլտոնյան են: = ( , )-ն գրաֆ է:

Այժմ սահմանենք գրաֆի կոշտության գաղափարը: Դիցուք ( )-ով նշանակենք

գրաֆի կապակցված բաղադրիչների քանակը:

Սահմանում 4.2.4: բավարարող

ցանկացած

անհավասարությունը:

-կոշտ, եթե

գրաֆը կոչվում է ⊆ ( )-ի

համար

ունի

պայմանին

| |≥ ∙ ( − )

գրաֆի կոշտություն` ( )-ն կանվանենք այն ամենամեծ -ն,

գրաֆը -կոշտ է (համարենք, որ (

որի դեպքում

տեղի

( − )≥

Հեշտ է տեսնել, որ եթե

≤ , ապա

) = +∞, երբ

∈ ℕ):

= : Նաև, դժվար չէ ցույց տալ, որ եթե

,

-ն Պետերսենի գրաֆ է, ապա ( ) = : Համարյա բոլոր վերը նշված թեորեմները հանդիսանում էին գրաֆներում համիլտոնյան ցիկլի գոյության բավարար պայմաններ: Ստորև մենք կձևակերպենք և կապացուցենք գրաֆներում համիլտոնյան ցիկլի գոյության մեկ անհրաժեշտ պայման: Թեորեմ 4.2.8: Եթե -ն համիլտոնյան գրաֆ է, ապա ( ) ≥ : Ապացույց: Դիտարկենք ( − ) ≥

Դիցուք

(

) -ը

−

(

)

−

ցիկլի վրայով շարժվելիս և դուրս գալով

կապակցված բաղադրիչներից որևէ մեկից

-ն գրաֆի

ցիկլը կարող է վերադառնալ

միայն -ի մեջ, ընդ որում տարբեր կապակցված բաղադրիչներից դուրս գալով այցելում է

⊆ ( ):

գրաֆի կապակցված բաղադրիչներն են: Դիցուք

գրաֆի որևէ համիլտոնյան ցիկլ է:

պայմանին բավարարող ցանկացած

ցիկլը

-ի տարբեր գագաթներ: Այստեղից հետևում է, որ | | ≥ ( − ) և,

հետևաբար, ( ) ≥ : ∎ Գրաֆների կոշտության հետ է կապված համիլտոնյան գրաֆների տեսության հայտնի և բարդ հիպոթեզներից մեկը, որը ձևակերպել է Խվատալը: Հիպոթեզ 4.2.1: Գոյություն ունի այնպիսի

թիվ, որ ցանկացած

-կոշտ գրաֆ

համիլտոնյան է: Այս պարագրաֆի վերջում անդրադառնանք գրաֆում համիլտոնյան ճանապարհի գոյության խնդրին: Այստեղ նույնպես, ինչպես համիլտոնյան ցիկլի գոյության դեպքում, հայտնի

չեն

համիլտոնյան

ճանապարհի

գոյության

անհրաժեշտ

և

բավարար

պայմաններ: Ստորև մենք կդիտարկենք համիլտոնյան ճանապարհի գոյության որոշ բավարար պայմաններ:

Թեորեմ 4.2.9 (Օ. Օրէ): Եթե

գագաթ ունեցող

գրաֆում ցանկացած

( )+

ոչ հարևան գագաթների համար տեղի ունի

( )≥

−

( ≠ )

և

պայմանը, ապա

գրաֆում գոյություն ունի համիլտոնյան ճանապարհ: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ թեորեմի պայմաններին բավարարող կապակցված է: Իրոք, եթե մենք դիտարկենք ∈ ( ) կամ

ապա հեշտ է տեսնել, որ

գրաֆի ցանկացած

( )∩

( ) ≠ ∅, ուստի

և

գրաֆը

գագաթները,

գրաֆը կապակցված

է: Թեորեմն ապացուցելու համար կատարենք հակասող ենթադրություն` գագաթ ունեցող գրաֆ է, որում ցանկացած ( )+

տեղի ունի

( )≥

ճանապարհ: Դիտարկենք =

ճանապարհ`

պարզ ճանապարհի

−

և

քանի որ

և

: Քանի որ և

-ի երկարությունը առավելագույնն է, ուստի այդ

գագաթների բոլոր հարևանները պատկանում են

= ,

,

∈ ( ), ապա

∈ ( )

և

(

-ին

-ից ավելի երկար պարզ ճանապարհ):

-ն կապակցված գրաֆ է, ուստի

∈ ( )\ ( )

որ

-ն չի պարունակում համիլտոնյան

գրաֆի առավելագույն երկարություն ունեցող որևէ պարզ

∉ ( ): Իրոք, եթե

<

( ≠ ) ոչ հարևան գագաթների համար

պայմանը, բայց

(հակառակ դեպքում հնարավոր կլիներ նշել Նկատենք, որ

-ն

=

,

-ն պարզ ցիկլ է և

գրաֆում գոյություն ունի

∈ ( )):

Այստեղից

գագաթ,

հետևում

է,

որ

պարզ ճանապարհը -ից ավելի երկար պարզ ճանապարհ է

գրաֆում, ինչը հակասում է -ի ընտրությանը: Ցույց տանք, որ գոյություն ունի այնպիսի Իրոք, հակառակ դեպքում

(

) հատ գագաթ, որոնք (

քանի որ <

)+

(

) հատ գագաթ, որոնք հարևան են

( )≥

− , ուստի

հատկություններով: Դիտարկենք

այնպիսի = ,

<

գագաթ, որ

,

և

գագաթին և

գագաթի հարևան գագաթների հաջորդներն են: Այսպիսով, ≥

(

+

)+

(

) ≥ , որը հակասում է

պայմանին: Այստեղից հետևում է, որ գոյություն ունի

ցիկլը: Քանի որ

∈ ( ):

պարզ ճանապարհը կպարունակեր իրարից տարբեր

գագաթը,

հետևյալ գագաթները.

∈ ( )և

ինդեքս, որ

գրաֆի

=

,

-ն կապակցված գրաֆ է, ուստի ∈ ( )\ ( ) և

∈ ( )(

,

,

ինդեքս նշված

,

,

պարզ

գրաֆում գոյություն ունի

∈ ( )): Այստեղից հետևում է, որ

պարզ ճանապարհը -ից ավելի երկար պարզ ճանապարհ է

գրաֆում, ինչը հակասում է -ի ընտրությանը: Ստացված հակասությունը ապացուցում է թեորեմը: ∎

Նշենք, որ թեորեմ 4.2.1-ում նշված` ցանկացած գագաթների համար տեղի ունի =

Իրոք, դիտարկենք

( )+

( )≥

−

պայմանը հնարավոր չէ լավացնել:

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ | ( )| =

∪

( ≠ ) ոչ հարևան գագաթների համար տեղի ունի Սակայն, քանի որ

( ≠ ) ոչ հարևան

և

( )+

և ցանկացած

( )≥

−

և

պայմանը:

-ն կապակցված գրաֆ չէ, ուստի այն համիլտոնյան ճանապարհ

պարունակել չի կարող: Ստորև մենք կձևակերպենք և կապացուցենք համիլտոնյան ճանապարհի գոյության մեկ այլ բավարար պայման: -ն -կապակցված գրաֆ է և այդ գրաֆում

Թեորեմ 4.2.10 (Խվատալ, Էրդյոշ): Եթե տեղի ունի

( )≤

+

գրաֆում գոյություն ունի համիլտոնյան

պայմանը, ապա

ճանապարհ: Ապացույց: Ապացույցի համար սահմանենք ( )∪

,

∉ ( ) և

( )= ( )∪

:

( )=

գրաֆը հետևյալ կերպ.

∈ ( ) : Հեշտ է տեսնել, որ

-ը ( + )-

կապակցված գրաֆ է, որը բավարարում է թեորեմ 4.2.4-ի պայմանին, ուստի կպարունակի համիլտոնյան ցիկլ: Դեն նետելով այդ ցիկլից

գրաֆը

գագաթը, կստանանք

գրաֆի համիլտոնյան ճանապարհ: ∎ Հարկ է նշել, որ թեորեմ 4.2.10-ում նշված պայմանը ևս հնարավոր չէ լավացնել: Իրոք, դիտարկենք լրիվ երկկողմանի կապակցված գրաֆ է և

,

=

,

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ

+ , բայց

,

,

-ը

-

-ը չի պարունակում համիլտոնյան

ճանապարհ: Համիլտոնյան գրաֆների կարևորագույն կիրառություններից մեկը կապված է շրջիկ

գործակալի խնդրի հետ: Այդ խնդիրը կայանում է հետևյալում. դիցուք տրված են , … , բնակավայրերը, հայտնի են նրանց միջև

հեռավորությունները,

≤ < ≤ : Այդ

բնակավայրերից մեկում գտնվում է գործակալը, որը պետք է շրջագայի բոլոր բնակավայրերը` յուրաքանչյուրում լինելով մեկ անգամ և վերադառնա մեկնակետ: Ի ՞ նչ հերթականությամբ գործակալը պետք է այցելի այդ բնակավայրերը, որպեսզի անցած ճանապարհի երկարությունը լինի նվազագույնը: Այժմ վերաձևակերպենք այս խնդիրը: լրիվ գրաֆը, որի գագաթների բազմությունը

Դիցուք տրված է բազմությունը`

:

≤ < ≤

-ն է, իսկ կողերի

: Ավելին, այդ լրիվ գրաֆը նաև կշռված գրաֆ է,

այսինքն` այդ գրաֆի յուրաքանչյուր կող ունի

երկարություն (կշիռ),

≤ < ≤ : Այդ

դեպքում հեշտ է տեսնել, որ շրջիկ գործակալի խնդիրը կարելի է ձևակերպել այսպես.

գտնել

կշռված լրիվ գրաֆի այն համիլտոնյան ցիկլը, որի երկարությունը

ամենակարճն է: Իհարկե, այս խնդրի լուծման համար կարելի է առաջարկել հատարկման եղանակը: Օրինակ, կարելի է ֆիքսել

գագաթներից մեկը, որից միշտ սկսել

շրջանցումը և դիտարկել մնացած գագաթների բոլոր հնարավոր տեղափոխությունները: Հետևաբար, դիտարկելով ( − )! հատ տարբերակներ և յուրաքանչյուրի համար պարզելով ստացված տեղափոխությանը համապատասխանում է համիլտոնյան ցիկլ թե ոչ, կարելի է առանձնացնել Այնուհետև,

կշռված լրիվ գրաֆի բոլոր համիլտոնյան ցիկլերը:

կշռված լրիվ գրաֆի բոլոր համիլտոնյան ցիկլերից ընտրել ամենակարճը:

Սակայն պետք է նշել, որ այդքան գործողություն կատարելը,

նույնիսկ

-ի փոքր

արժեքների դեպքում գործնականում անհնար է: Վերջում նշենք, որ շրջիկ գործակալի խնդրի լուծման արդյունավետ եղանակների գոյության հարցը հանդիսանում է դիսկրետ մաթեմատիկայի դժվար և դեռևս չլուծված խնդիրներից մեկը:

Գլուխ 5

Անկախ բազմություններ, զուգակցումներ, ֆակտորներ և ծածկույթներ § . . Անկախ բազմություններ և ծածկույթներ Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է և

⊆ :

Սահմանում 5.1.1: Կասենք, որ -ը գագաթների անկախ բազմություն է

գրաֆում,

եթե -ը չի պարունակում հարևան գագաթներ: Սահմանում 5.1.2: Կասենք, որ -ը գագաթային ծածկույթ է

գրաֆում, եթե

−

գրաֆը չի պարունակում կող: Սահմանում 5.1.3:

գրաֆում ամենաշատ գագաթներ պարունակող անկախ

բազմությունները կանվանենք առավելագույն անկախ բազմություններ: Սահմանում 5.1.4:

գրաֆում ամենաքիչ գագաթներ պարունակող գագաթային

ծածկույթները կանվանենք նվազագույն գագաթային ծածկույթներ: գրաֆում առավելագույն անկախ բազմության հզորությունը նշանակենք ( )-ով, իսկ նվազագույն գագաթային ծածկույթի հզորությունը՝ ( )-ով:

v2

v3

v7

v1

v4

v6

v5 Նկ. 5.1.1

Նկ. 5.1.1-ում պատկերված

գրաֆում

={

է երեք հզորությամբ անկախ բազմություն, իսկ

, ={

} բազմությունը հանդիսանում

, ,

,

,

} բազմությունը` չորս

հզորությամբ գագաթային ծածկույթ: Ավելին, կարելի է համոզվել, որ

( ) = , իսկ

( ) = : Պարզվում է, որ ցանկացած

գրաֆում

( )և

( ) պարամետրերը միմյանց

հետ կապված են հետևյալ առնչությամբ. Թեորեմ 5.1.1 (Գալլաի): Կամայական

= ( , ) գրաֆում տեղի ունի ( ) + ( ) =

| | հավասարությունը: Ապացույց: Դիցուք

-ն

Նկատենք, որ այդ դեպքում հետևաբար \

( ) հզորությամբ անկախ բազմություն է:

գրաֆում

գրաֆի ցանկացած կող կից է \

-ն հանդիսանում է

բազմության գագաթի, և

գրաֆի գագաթային ծածկույթ, որտեղից հետևում է,

որ ( )≤| \

|=| |−|

|=| |− ( )

կամ ( ) + ( ) ≤ | |: Մյուս կողմից, դիցուք նշանակում է, որ բազմությունն

−

իրենից

-ը

գրաֆի ( ) հզորությամբ գագաթային ծածկույթ է: Դա \

գրաֆը չի պարունակում կող, որտեղից հետևում է, որ ներկայացնում

է

գագաթների

անկախ

բազմություն:

Սա

նշանակում է, որ ( )≥| \

|=| |−|

|=| |− ( )

կամ ( ) + ( ) ≥ | |: ( ) + ( ) ≤ | | և ( ) + ( ) ≥ | | անհավասարություններից հետևում է, որ ( ) + ( ) = | |: ∎ գրաֆի համար ( ) և ( ) պարամետրերի

Քանի որ ընդհանուր դեպքում տրված գտնելու

խնդիրները

բարդ

խնդիրներ

են,

բնական

է

դիտարկել

գնահատականներ այդ պարամետրերի համար: Այժմ մենք կներկայացնենք

տարբեր ( )-ի

համար հայտնի գնահատականներից մեկը. Թեորեմ 5.1.2 (Կառո-Վեյի): Կամայական ( )≥ ∈ ( )

գրաֆի համար տեղի ունի +

( )

անհավասարությունը: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե Ենթադրենք, որ

գրաֆը լրիվ գրաֆ է, ապա թեորեմը ճիշտ է:

գրաֆը լրիվ գրաֆ չէ:

Դիցուք | ( )| = : Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ -ի: Հեշտ է ≤ -ի դեպքում: Ենթադրենք, թեորեմը ճիշտ է ցանկացած

տեսնել, որ թեորեմը ճիշտ է

գրաֆի համար, որի գագաթների քանակը ունեցող

գրաֆը: Դիցուք

( ) ≠ ( ): Դիտարկենք

գագաթ

∈ ( ) և

( ) = ( ): Քանի որ

=

( ) գրաֆը: Ըստ մակածման ենթադրության,

−

−

( )≥∑

գրաֆի համար տեղի ունի

∈ (

)

( )

≠

, ուստի { } ∪

անհավասարությունը: Դիցուք

գրաֆում: Պարզ է, որ

առավելագույն անկախ բազմությունն է բազմություն է

-ից ավելի չէ: Դիտարկենք

={ }∪

-ը

-ը անկախ

գրաֆում: Թեորեմի ապացույցը ավարտելու համար բավական է ցույց

տալ, որ +

∈ ( )

( )

≤ ∈ (

+

)

( )

G'

N G ( x)

Q

⋮

x

+ :

⋮

⋮

Նկ. 5.1.2 -ով նշանակենք ( )-ի որևէ գագաթին

գրաֆի այն գագաթների բազմությունը, որոնք հարևան են գրաֆում (նկ. 5.1.2): Այդ դեպքում

գրաֆի համար տեղի ունի

հետևյալը. ∑

∈

( )

≤∑

∈

( )

և ∑

∈ (

)\

( )

=∑

∈ (

)\

:

( )

Այստեղից հետևում է, որ թեորեմն ապացուցելու համար մնում է ցույց տալ, որ + Քանի որ ∈

( )

+ ∈

( )

+

( )

գագաթը ընտրել ենք այնպես, որ

( )-ի համար տեղի ունի

( )≤

≤ : ( ) = ( ), ուստի ցանկացած

( ) անհավասարությունը: Հետևաբար,

( )

+∑

∈

( )

( )

≤

( )

+

( ) ( )

= :

∎

§ . . Զուգակցումներ երկկողմանի գրաֆներում և min-max թեորեմներ

Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է և

⊆ :

Սահմանում 5.2.1: Կասենք, որ

-ը կողերի անկախ բազմություն է

գրաֆում, եթե

-ը չի պարունակում հարևան կողեր: Կողերի անկախ բազմությանն ընդունված է անվանել զուգակցում: Դիցուք

-ը

գրաֆի զուգակցում է: զուգակցումը փակուղային է, եթե

Սահմանում 5.2.2: Կասենք, որ գոյություն չունի այնպիսի

∉

կող, որ

Սահմանում 5.2.3: Կասենք, որ նրանից մեծ զուգակցում

∪ { }-ն լինի զուգակցում:

զուգակցումը առավելագույնն է, եթե հզորությամբ

գրաֆում չկա:

գրաֆում առավելագույն զուգակցման հզորությունը կնշանակենք Նկատենք, որ ցանկացած

գրաֆում ′( ) ≤

Սահմանում 5.2.4: Կասենք, որ է

| |

գրաֆում

| |

′( )-ով:

:

զուգակցումը կատարյալ է, եթե այն պարունակում

կող: Նկատենք, որ գրաֆի կատարյալ զուգակցումը հանդիսանում է առավելագույն

զուգակցում: Նշենք, որ հակառակը ճիշտ չէ, քանի որ գրաֆը կարող է չպարունակել կատարյալ զուգակցում (օրինակ, եռանկյունը), մինչդեռ առավելագույն զուգակցում գոյություն ունի միշտ: Սահմանում 5.2.5: Կասենք, որ եթե

զուգակցումը պարունակում է Նկատենք, որ ցանկացած

գրաֆի

զուգակցումը հագեցնում է

գագաթը,

գագաթին կից կող:

զուգակցում հագեցնում է | | գագաթ, և, հետևաբար,

այն չի հագեցնում | | − | | գագաթ: Ավելին, նկատենք, որ զուգակցումը հանդիսանում է կատարյալ զուգակցում այն և միայն այն դեպքում, երբ այն հագեցնում է գրաֆի բոլոր գագաթները: Դիտարկենք բերված սահմանումները պարզաբանող օրինակ:

u2

u3

u7

u1

u8

u4

u6

u5 Նկ. 5.2.1

Նկ. 5.2.1-ում պատկերված հանդիսանում է զուգակցում: ,

հագեցնում`

,

,

Ավելին,

հանդիսանում է

,

-ը հագեցնում է

,

, ,

} բազմությունը գագաթները, և չի

գագաթները: Նկատենք, որ այն չի հանդիսանում փակուղային

զուգակցում, քանի որ զուգակցում:

={

գրաֆում կողերի

-ին կարելի է ավելացնել նկատենք,

որ

կողը և ստանալ ավելի մեծ ,

,

}

զուգակցումն

արդեն

գրաֆի փակուղային զուգակցում, բայց այն չի հանդիսանում գրաֆում կողերի {

առավելագույն զուգակցում, քանի որ

,

,

,

}

բազմությունը հանդիսանում է ավելի մեծ զուգակցում: Նկատենք, որ վերջինս արդեն հանդիսանում է առավելագույն զուգակցում, քանի որ այն նաև կատարյալ զուգակցում է: Դիցուք

-ը զուգակցում է, իսկ -ն որևէ ճանապարհ է

Սահմանում 5.2.6: Կասենք, որ

ճանապարհ, եթե պատկանում

ճանապարհը հանդիսանում է

-ին: -հերթափոխ

այն միացնում է երկու գագաթ, որոնք հագեցած չեն դիտարկենք նկ.

զուգակցումը: Նշենք, որ

,

5.2.1-ում ,

ճանապարհ, որը չի հանդիսանում ,

,

,

,

-հերթափոխ

ճանապարհի կողերը հերթականորեն պատկանում են և չեն

Սահմանում 5.2.7: Կասենք, որ

Կրկին

գրաֆում:

,

,

,

ճանապարհը

-ավելացնող է, եթե

-ով:

պատկերված

գրաֆի

ճանապարհը հանդիսանում է

={

,

}

-հերթափոխ

-ավելացնող ճանապարհ: Մյուս կողմից, նշենք, որ

ճանապարհը հանդիսանում է

ավելացնող ճանապարհի օրինակ է նաև

,

-ավելացնող ճանապարհ: Ավելին,

-

մեկ երկարությամբ ճանապարհը:

-ավելացնող ճանապարհների նշանակությունը և դերը երևում են հետևյալ

թեորեմի վրա: Թեորեմ 5.2.1 (Բերժ): Որպեսզի բավարար, որ

զուգակցումը լինի առավելագույն, անհրաժեշտ է և

գրաֆը չպարունակի

-ավելացնող ճանապարհ:

Ապացույց: Նախ ենթադրենք, որ գրաֆում գոյություն չունեն

զուգակցումը առավելագույն է: Ցույց տանք, որ

-ավելացնող ճանապարհներ:

Ենթադրենք հակառակը. դիցուք ճանապարհը: Դիտարկենք

գրաֆը պարունակում է

-ավելացնող

′ ենթաբազմությունը, որը ստացվում է

գրաֆի կողերի

-

ից հետևյալ կերպ. ′ = ( \ ( )) ∪ ( ( )\ ): Նկատենք, քանի որ ով,

-ավելացնող

ճանապարհի ծայրակետերը հագեցած չեն

′-ը կհանդիսանա զուգակցում: Ավելին, նկատենք, որ | ′| = | | +

հակասում է

զուգակցման առավելագույնը լինելուն: Հետևաբար,

-

> | |, ինչը

գրաֆում չկան

-

ավելացնող ճանապարհներ: Հիմա ենթադրենք, որ որ

գրաֆում չկան

-ավելացնող ճանապարհներ: Ցույց տանք,

զուգակցումը առավելագույն է: Ենթադրենք հակառակը. դիցուք

է, որ

զուգակցումը առավելագույնը չէ: Սա նշանակում

գրաֆում գոյություն ունի այնպիսի

գրաֆի

′ զուգակցում, որ | ′| > | |: Դիտարկենք

ենթագրաֆը, որտեղ ( ) = ( ) և

ենթագրաֆում

( ) = ( \ ′) ∪ ( ′\ ): Նկատենք, որ

( ) ≤ , և, հետևաբար, նրա կապակցվածության յուրաքանչյուր

բաղադրիչ իրենից ներկայացնում է ճանապարհ կամ ցիկլ: Քանի որ ցիկլի դեպքում նրա կողերը մեկումեջ պատկանում են

-ին և

′-ին, ապա ցիկլի երկարությունը կլինի զույգ:

Քանի որ | ′| > | |, գոյություն կունենա բաղադրիչ, որում

ենթագրաֆի կապակցվածության

′-ի կողերը ավելի շատ են, քան

-ի կողերը: Նկատենք, որ սա

հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ կապակցվածության այդ բաղադրիչն իրենից ներկայացնում է կենտ երկարությամբ ճանապարհ, որի առաջին և վերջին կողերը են: Նկատենք, որ կապակցվածության այդպիսի բաղադրիչը կլինի ճանապարհ, որն էլ կհակասի մեր ենթադրությանը: Հետևաբար,

′-ից

-ավելացնող զուգակցումը

առավելագույն է: ∎ Հիշենք, որ § 1.2-ում սահմանեցինք

= ( , ) գրաֆի գագաթների

⊆

ենթաբազմության համար

( ) բազմությունը որպես ( ) = { ∈ \ : գոյություն ունի

∈ , որ

∈ }:

Նկատենք, որ եթե

գրաֆն երկկողմանի է, ⊆

բազմության համապատասխան տրոհումն է և

=

∪

նրա գագաթների ( )⊆

, ապա

: Ստորև

կձևակերպենք և կապացուցենք Հոլլի թեորեմը: = ( , ) գրաֆն երկկողմանի է և

Թեորեմ 5.2.2 (Հոլլ): Դիցուք գագաթների

բազմության

պարունակի

համապատասխան

զուգակցում, որը հագեցնում է

բավարար, որ ցանկացած

համար |

⊆

է:

գրաֆում գոյություն ունի

ցանկացած զուգակցում պարունակում է ոչ ավելի, քան | ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ զուգակցումը հագեցնում է

⊆

( )| ≥ | |, բայց նրա

-ով և

-ով -ից և

ճանապարհով: Նկատենք, որ Ցույց տանք, որ

-ից, որոնք հասանելի են

գագաթից

-հերթափոխ

∈ :

զուգակցումը հաստատում է փոխմիարժեք արտապատկերում

զուգակցմանը պատկանող կողով: Հետևաբար, բազմության գագաթից

-հերթափոխ

զուգակցման կողով: Քանի որ

ավելացնող ճանապարհներ, և, հետևաբար,

-ին

զուգակցումը

գրաֆում գոյություն չունեն

-

բազմության ցանկացած գագաթ հագեցած է

զուգակցումով, որտեղից հետևում է, որ եթե ապա

՝

\{ } բազմության ցանկացած գագաթ

առավելագույն էր, ապա համաձայն թեորեմ 5.2.1-ի,

գագաթ,

գագաթից սկսվող

զուգակցմանը չպատկանող կողով, իսկ

ճանապարհերը հասնում են

∈

∈

գրաֆի գագաթների այն ենթաբազմությունները,

բազմությունների գագաթների միջև: Իրոք,

է

առավելագույն զուգակցումը չի

զուգակցումով:

համապատասխանաբար,

երկկողմանի գրաֆում

բազմության բոլոր գագաթները: Այդ դեպքում գոյություն կունենա

Նշանակենք

հասել

| կող, ապա պնդումն

բազմության բոլոր գագաթները:

համար |

գագաթ, որը հագեցած չէ

հասանելի է

երկկողմանի գրաֆում

գրաֆի կամայական առավելագույն

Ենթադրենք հակառակը. այսինքն ենթադրենք, որ

\{ } և

ենթաբազմության

( )| ≥ | |:

Հակառակն ապացուցելու համար նկատենք, քանի որ

հագեցնում

⊆

բազմությունը

ենթաբազմության իրարից տարբեր գագաթների,

գագաթները կարտապատկերի

ցանկացած

գրաֆը

բազմությունը, անհրաժեշտ է և

զուգակցում, ապա այդ զուգակցումը ցանկացած

հետևաբար՝ |

Որպեսզի

∪

( )| ≥ | |:

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե հագեցնող

տրոհումն

=

-հերթափոխ ճանապարհը կից

զուգակցման

գագաթից

կողը

նրան

\{ } բազմության գագաթի: Ասվածից հետևում է, որ

կհամապատասխանեցնի զուգակցումը

հաստատում

է

փոխմիարժեք

արտապատկերում

\{ }

և

բազմությունների գագաթների միջև, որը, մասնավորապես, նշանակում է, որ | | = | \{ }|: Մյուս կողմից, քանի որ

զուգակցումը արտապատկերում է

\{ } բազմության գագաթներին, ապա

գագաթները

( ): Իրոք, եթե գոյություն ունենար

∈

( )\

զուգակցման կողով, և այն կառաջացներ ճանապարհ դեպի

⊆

( ): Ցույց տանք, որ

=

գագաթ, ապա այն հագեցած չէր լինի գագաթից սկիզբ առնող

գագաթ, ինչը կհակասեր

բազմության

∉

-հերթափոխ =

պայմանին: Հետևաբար,

( ):

Արդյունքում՝ |

( )| = | | = | \{ }| = | | −

<| |

ինչը հակասում է թեորեմի պայմաններին: ∎ Դիցուք

տրված

ենթաբազմությունների

է

={ ,

={

,

≠

և

այդ

բազմության

)

-յակը կանվանենք

} ընտանիքը:

տարբեր ներկայացուցիչների համակարգ և

բազմությունը

բազմության տարրերի (

Սահմանում 5.2.8:

∈

}

,

ընտանիքի համար, եթե

∈

∈

,

, …,

≠ :

, երբ

Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք տարբեր ներկայացուցիչների համակարգի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը: Թեորեմ 5.2.3 (Հոլլ): Որպեսզի ={

,

}

ընտանիքն

={ ,

ունենա

անհրաժեշտ է և բավարար, որ

} բազմության ենթաբազմությունների

տարբեր

ներկայացուցիչների

ընտանիքին պատկանող ցանկացած

համակարգ, ,

բազմությունների համար տեղի ունենա | պայմանը, որտեղ

≤

≤

∪

∪ …∪

|≥

:

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ թեորեմի անհրաժեշտությունն ակնհայտ է: Բավարարությունն ապացուցելու համար դիտարկենք

={

,

} ընտանիքի

§ 1.5-ում սահմանված կցության ( , ) գրաֆը: Նկատենք, որ այն երկկողմանի է, ավելին, այն բավարարում է թեորեմ 5.2.2-ի պայմաններին: Համաձայն այդ թեորեմի, գրաֆում գոյություն կունենա

( , )

-ը հագեցնող զուգակցում, որին կհամապատասխանի

ընտանիքի տարբեր ներկայացուցիչների համակարգ: ∎

={ ,

Դիտարկենք մեկ օրինակ: Դիցուք ={ ,

={ ,

},

}և

,

={ ,

,

,

} և

={

,

}, որտեղ

,

}:

s1 s2 s3 s4

F1 F2 F3 Նկ. 5.2.2

Նկ. 5.2.2-ում պատկերված է այն պարունակում է

մյուսը՝

ընտանիքի կցության

( , ) գրաֆը: Նկատենք, որ ={

-ը հագեցնող երկու զուգակցում: Մեկը ,

}:

,

ներկայացուցիչների ( ,

,

-ին

,

համապատասխանում

) համակարգը, իսկ

′-ին՝ ( ,

,

Թեորեմ 5.2.4 (Ֆրոբենիուս): Ցանկացած երկկողմանի

}, իսկ

, է

տարբեր

) համակարգը: -համասեռ գրաֆ ( ∈ ℕ)

պարունակում է կատարյալ զուգակցում: Ապացույց: Դիցուք

-ն երկկողմանի -համասեռ գրաֆ է,

∈ ℕ, և դիցուք

նրա գագաթների բազմության համապատասխան տրոհումն է: Նկատենք, որ կողերի քանակը հավասար է | , ապա |

|: Մյուս կողմից, այն հավասար է |

∪

գրաֆի

|, և քանի որ

≥

|: Այստեղից հետևում է, որ թեորեմն ապացուցելու համար բավական է

ցույց տալ, որ -ն պարունակում է Դիտարկենք ցանկացած հավասար է

=

բազմությունը հագեցնող զուգակցում:

⊆

| |: Մյուս կողմից,

: Նկատենք, որ

-ից դուրս եկող կողերի քանակը

-ից դուրս եկող ցանկացած կող հարևան է

բազմության գագաթի, հետևաբար այդպիսի կողերի քանակը չի գերազանցում | Այստեղից հետևում է, որ |

( )| ≥ | |, քանի որ

էր կամայապես, թեորեմ 5.2.2-ից կստանանք, որ

( ) ( )|-ը:

≥ : Հաշվի առնելով, որ -ը ընտրված -ն պարունակում է

բազմությունը

հագեցնող զուգակցում: ∎ Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք երեք թեորեմ, որոնք պատկանում են այսպես կոչված մինմաքս թեորեմների շարքին: Նշենք, որ թեորեմն անվանում են

մինմաքս, եթե այն պնդում է, որ ինչ-որ մի պարամետրի մաքսիմում հնարավոր արժեքը հավասար է մեկ այլ պարամետրի մինիմում հնարավոր արժեքին: Նկատենք, որ ցանկացած

գրաֆում

( ) ≥ ′( ): Սա հետևում է այն բանից, որ

′( ) հատ անկախ կող պարունակող զուգակցման յուրաքանչյուր կող ծածկելու համար անհրաժեշտ է առնվազն մեկ գագաթ: Ստորև կապացուցենք Քյոնիգ-Էգերվարի թեորեմը,

որն առաջարկում է վերը նշված պարամետրերի հավասարության բավարար պայման: Թեորեմ 5.2.5 (Քյոնիգ-Էգերվարի): Ցանկացած երկկողմանի

գրաֆում

( )=

′( ): Ապացույց: Քանի որ ցանկացած

-ն ( ) հզորությամբ գագաթային

ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ եթե ծածկույթ է

( ) ≥ ′( ), ապա պնդումն

գրաֆում

երկկողմանի գրաֆում, ապա նրանում գոյություն ունի

( ) հզորությամբ

զուգակցում: =

Դիցուք

∪

երկկողմանի

համապատասխան տրոհումն է, և

գրաֆի

գագաթների

բազմության

( ) հզորությամբ գագաթային ծածկույթ է:

-ն

Նշանակենք՝ = և դիցուք

= [ ∪(

\ )],

∩

և

′= [ ∪(

=

∩

,

\ )]: Նկատենք, որ

-ը և

′-ը երկկողմանի

գրաֆներ են: Ցույց տանք, որ պարունակում է

-ը պարունակում է

-ը հագեցնող զուգակցում, և

′-ը

-ն հագեցնող զուգակցում: Նկատենք, որ եթե այս երկու պնդումն

ապացուցենք, ապա, քանի որ

և

′ գրաֆների կողերի բազմությունները չեն հատվում,

ապա այդ զուգակցումների միավորումը կհանդիսանա

երկկողմանի գրաֆի | | + | | =

| | = ( ) հզորությամբ զուգակցում, ինչը կապացուցի թեորեմը: Քանի որ

∪ -ն գագաթային ծածկույթ է, ապա

\ բազմության գագաթը

է

( )⊆

և

\ բազմության գագաթին: Դիտարկենք ցանկացած

\ բազմությունները: Եթե |

գագաթային ծածկույթ որոնք ծածկված չեն համար |

պարունակում է ապացուցել, որ

( )| < | |, ապա

⊆

գագաթային ծածկույթի մեջ

( )-ով, մենք կստանանք | | = ( )-ից ավելի փոքր հզորությամբ

-ը փոխարինելով

⊆

գրաֆում չկա կող, որը միացնում

գրաֆում (

( )-ը ծածկում է -ից դուրս եկող բոլոր այն կողերը,

-ով), ինչը կհակասի

-ի ընտրությանը: Հետևաբար, ցանկացած

( )| ≥ | |, որտեղից, համաձայն թեորեմ 5.2.2-ի, կստանանք, որ

-ը

-ը հագեցնող զուգակցում: Համանման դատողություններով կարելի է ′-ը պարունակում է -ն հագեցնող զուգակցում: ∎

Ապացուցված թեորեմն ունի մեկ հետաքրքիր մեկնաբանություն: Դիցուք

-ն

×

կարգի մատրից է, որի տարրերը զրո կամ մեկ են: Այդպիսի մատրիցում շարք ասելով կհասկանանք ցանկացած տող կամ սյուն, և

մատրիցում երկու մեկ կհամարենք

անկախ, եթե նրանք գտնվում են տարբեր տողերում և տարբեր սյուներում (չեն

( )-ով նշանակենք նվազագույն թվով շարքերի

պատկանում միևնույն շարքին): քանակը

մատրիցում, որոնք ընդգրկում են

( )≤

առավելագույն թվով անկախ մեկերի քանակը: Պարզ է, որ

Թեորեմ 5.2.6: Զրոներից և մեկերից կազմված ցանկացած ( )=

( ): մատրիցում տեղի ունի

( ) հավասարությունը:

Ապացույց: Դիցուք մատրից ={

( )-ով նշանակենք

-ի բոլոր մեկերը, և

է:

Դիտարկենք ,

×

-ն զրոներից և մեկերից կազմված ցանկացած գրաֆը,

որի

գագաթների

բազմությունն

}-ը, իսկ կողերը ստացվում են հետևյալ կերպ.

միայն այն դեպքում, երբ

կարգի է

∈ ( ) այն և

մատրիցում -րդ տողի և -րդ սյան հատման վանդակում

գրված է մեկ: Նկատենք, որ

գրաֆը երկկողմանի է: Ավելին,

մատրիցի ցանկացած թվով

անկախ մեկերի համապատասխանում է նույն հզորությամբ զուգակցում հակառակը, հետևաբար՝

( ) = ′( ): Եվ վերջապես,

գրաֆում և

մատրիցի ցանկացած թվով

շարքերի, որոնք ընդգրկում են մատրիցի բոլոր մեկերը, համապատասխանում է

գրաֆի

( ) = ( ): Հաշվի

նույն հզորությամբ գագաթային ծածկույթ և հակառակը, հետևաբար՝ առնելով թեորեմ 5.2.5-ը, կստանանք՝ ( ) = ′( ) = ( ) =

( ): ∎

Դիտարկենք վերջին երկու թեորեմները պարզաբանող օրինակ: Դիցուք՝ =

Թեորեմ 5.2.6-ի ապացույցում

:

մատրիցին համապատասխանեցվող երկկողմանի

գրաֆը պատկերված է ստորև.

c1 c2 c3 c4 c5

b1 b2 b3 b4 Նկ. 5.2.3 Նկատենք, որ

մատրիցում կան չորս անկախ մեկ.

համապատասխանում է

գրաֆի {

,

,

,

,

,

,

, որոնց

} զուգակցումը: Հեռացնելով

մատրիցի բոլոր տողերը, մենք կոչնչացնենք նրա բոլոր մեկերը: Այս շարքերին

գրաֆի {

կհամապատասխանի

,

,

,

} գագաթային ծածկույթը: Նկատենք, որ

բերված օրինակում ( ) = ′( ) = ( ) = Դիցուք

( )= :

-ն ցանկացած վերջավոր բազմություն է, և

-ն նրա վրա տրված բինար

-ն անվանում են կարգի հարաբերություն տրված

հարաբերություն է: Հիշենք, որ

բազմության վրա, եթե այն բավարարում է հետևյալ երեք պայմաններին. ∈

1. ցանկացած 2. ցանկացած ,

համար ∈

;

համար եթե

3. ցանկացած , , ∈

համար եթե

և

= ;

, ապա և

, ապա

:

Կարգի հարաբերությունը սովորաբար նշանակում են ≼ սիմվոլով, իսկ այն բազմությունը, որի վրա տրված է կարգի հարաբերությունը, անվանում են կարգավորված ≼

բազմություն: Եթե

և

≠ , ապա սովորաբար գրում են

≺ : Հիշենք նաև, որ

տարրն անվանում են մինիմալ (մաքսիմալ), եթե -ում գոյություն չունի որ

≺

∈

տարր այնպես,

( ≺ ): Դժվար չէ համոզվել, որ ցանկացած վերջավոր բազմության վրա տրված

կարգի հարաբերության նկատմամբ միշտ գոյություն ունեն մինիմալ և մաքսիմալ տարրեր: ( , ≼) կարգավորված բազմության ≼

կամ

≼

և

տարրերն անվանում են համեմատելի, եթե

(հակառակ դեպքում այդ տարրերը կանվանենք անհամեմատելի):

Վերջավոր ( , ≼) կարգավորված բազմության համար

( )-ով նշանակենք

-ում

առավելագույն թվով զույգ առ զույգ անհամեմատելի տարրերի քանակը: Ընդունված է ասել, որ կազմում են շղթա, եթե

≺

բազմության իրարից տարբեր ,

≺

≺

:

,

տարրերը

( )-ով նշանակենք վերջավոր

( , ≼) կարգավորված բազմության նվազագույն թվով չհատվող շղթաների քանակը, որոնք պարունակում են

բազմության բոլոր տարրերը: Ստորև կձևակերպենք և

կապացուցենք Դիլվորթի թեորեմը, որը պնդում է, որ վերը սահմանված երկու պարամետրերն իրականում հավասար են ցանկացած վերջավոր ( , ≼) կարգավորված բազմության համար: Թեորեմ 5.2.7 (Դիլվորթ): Ցանկացած վերջավոր ( , ≼) կարգավորված բազմության համար տեղի ունի

( )=

( ) հավասարությունը:

Ապացույց: Նախ նկատենք, քանի որ ցանկացած

երկու

տարր

համեմատելի

բազմության ցանկացած շղթայի վրա են,

ապա

( )≤

( ):

Հակառակ

( ) = , և մակածման

անհավասարությունը ցույց տալու համար ենթադրենք, որ եղանակով ըստ տրոհել

բազմության տարրերի քանակի ցույց տանք, որ

-ն հնարավոր է

չհատվող շղթաների:

Նկատենք, որ պնդումն ակնհայտ է, երբ | | = : Ենթադրենք, որ նշված պնդումը ճիշտ է բոլոր այն կարգավորված

բազմությունների համար, որոնք բավարարում են

| | < | | պայմանին, և դիտարկենք

կարգավորված բազմությունը:

Քննարկենք երկու դեպք: Դեպք 1:

բազմության մեջ գոյություն ունի

տարրեր պարունակող այնպիսի մաքսիմալ տարրերը, և ոչ էլ Դիտարկենք

և

Հաշվի առնելով

հատ զույգ առ զույգ անհամեմատելի

բազմություն, որը չի ներառում

բազմության բոլոր

բազմության բոլոր մինիմալ տարրերը:

բազմություններն, որոնք սահմանվում են հետևյալ կերպ. ={ ∈ :

≼

ինչ որ մի

∈

− ից},

={ ∈ :

≼

ինչ որ մի

∈

− ից}:

բազմության ընտրությունը, կստանանք ≠ ,

≠

=

և

Համաձայն մակածման ենթադրության, հնարավոր է տրոհել

∪ և

,

=

∩

:

բազմություններից յուրաքանչյուրը

չհատվող շղթաների: Սոսնձելով այդ շղթաները

պատկանող տարրերում, մենք կստանանք

բազմությանը

բազմության տրոհում

չհատվող

շղթաների: Դեպք 2:

բազմության մեջ ցանկացած

տարրեր պարունակող

հատ զույգ առ զույգ անհամեմատելի

բազմություն ներառում է

բազմության բոլոր մաքսիմալ

բազմության բոլոր մինիմալ տարրերը:

տարրերը կամ Հետևաբար,

բազմության մեջ գոյություն ունեն ոչ ավելի, քան երկու

հատ զույգ

առ զույգ անհամեմատելի տարրեր պարունակող բազմություն, որոնցից մեկը կներառի բազմության բոլոր մաքսիմալ տարրերը, իսկ մյուսը տարրերը: Դիտարկենք որոնք

բավարարում

բազմության ցանկացած են

≼ :

Համաձայն

բազմությունը հնարավոր է տրոհել ավելացնելով

≼

շղթան, կստանանք

−

բազմության բոլոր մինիմալ

մինիմալ և

մակածման

մաքսիմալ տարրեր,

ենթադրության,

\{ , }

չհատվող շղթաների: Այդ շղթաներին

բազմության որոնելի տրոհումը

շղթաների: ∎

§ . . Զուգակցումներ գրաֆներում և Տատտի թեորեմը գրաֆի համար ( )-ով նշանակենք

-ի կապակցվածության այն բաղադրիչների

քանակը, որոնք պարունակում են կենտ թվով գագաթներ: Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք

Տատտի

թեորեմը,

որը

նկարագրում

է

կատարյալ

զուգակցում

պարունակող գրաֆները: Հիշեցնենք, որ զուգակցումը կոչվում է կատարյալ, եթե այն հագեցնում է գրաֆի բոլոր գագաթները: գրաֆը պարունակի կատարյալ զուգակցում,

Թեորեմ 5.3.1 (Տատտ): Որպեսզի անհրաժեշտ է և բավարար, որ ցանկացած

⊆ ( ) համար տեղի ունենա ( − ) ≤ | |

պայմանը: Ապացույց: Նախ ենթադրենք, որ զուգակցումը: Դիտարկենք ցանկացած

-ն

−

գրաֆի

գրաֆը պարունակում է

⊆ ( ): Դիցուք ( − ) = , և ենթադրենք, որ

կապակցվածության

այն

բաղադրիչներն

պարունակում են կենտ թվով գագաթներ: Նկատենք, որ քանի որ

գրաֆի բոլոր գագաթները, հետևաբար

տարբեր են

= ,…,

որոնք

համար

-ում գոյություն ունի գոնե մեկ գագաթ, որը

կատարյալ զուգակցմանը պատկանող կողը կից է

գագաթի: Քանի որ

են,

∩ ( ) զուգակցումը չի կարող հագեցնել

գրաֆի գագաթների քանակը կենտ է, ապա

հագեցնող և

կատարյալ

-ը զուգակցում է, ապա

-ին պատկանող

-ին պատկանող վերոհիշյալ գագաթները

-ի համար: Հետևաբար, -ը պարունակում է առնվազն

գագաթ, որը

նշանակում է, որ ( − ) = ≤ | |: Բավարարությունն ապացուցելու համար ցույց տանք, որ բոլոր որոնցում ցանկացած

գրաֆներում,

⊆ ( ) համար տեղի ունի ( − ) ≤ | | անհավասարությունը,

միշտ գոյություն ունի կատարյալ զուգակցում: Ենթադրենք հակառակը, դիցուք գոյություն ունեն հակաօրինակներ, և դիցուք նրանցից մեկն է: Վերցնենք

-ն

= ∅: Նկատենք, որ ( ) = ( − ) ≤ | | = |∅| = ,

որը նշանակում է, որ

գրաֆի կապակցվածության բոլոր բաղադրիչների գագաթների

քանակները զույգ թվեր են, որտեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ

գրաֆի

գագաթների քանակը ևս զույգ է: Նկատենք, որ եթե -ն և -ն

գրաֆում կամայական երկու ոչ հարևան գագաթներ

են, ապա ցանկացած հետևում է, որ

⊆ ( ) համար

( +

− ) ≤ ( − ) ≤ | |: Այստեղից

հակաօրինակին ավելացնելով կողեր մենք կարող ենք ստանալ

ապացուցվող թեորեմի մաքսիմալ հակաօրինակ, այսինքն՝ այնպիսի հակաօրինակ, որը բավարարում է ( − ) ≤ | | պայմանին ցանկացած

⊆ ( ) համար, որում գոյություն

չունի կատարյալ զուգակցում, բայց ցանկացած նոր կողի ավելացումից ստացվող գրաֆում արդեն գոյություն ունի կատարյալ զուգակցում: Ստորև կապացուցենք, որ գոյություն չունեն թեորեմի մաքսիմալ հակաօրինակներ: Քանի որ ցանկացած հակաօրինակից կարելի է ստանալ մաքսիմալ հակաօրինակ, ապա այս պնդումից կստացվի, որ գոյություն չունեն նաև հակաօրինակներ, և, հետևաբար, թեորեմի պնդումը ճիշտ է: Դիցուք -ն մաքսիմալ հակաօրինակ է:

-ով նշանակենք

գրաֆի այն գագաթների

բազմությունը, որոնք հարևան են մնացած բոլոր գագաթներին: Հատուկ նշենք, որ կարող

է

լինել

դատարկ:

Ցույց

տանք,

որ

հնարավոր

չէ,

որ

−

-ն

գրաֆի

կապակցվածության բոլոր բաղադրիչները լինեն լրիվ գրաֆներ: Իրոք, եթե

−

են, ապա, քանի որ

գրաֆի բոլոր կապակցվածության բաղադրիչները լրիվ գրաֆներ ( − ) ≤ | |, ապա մենք

գրաֆում կկառուցենք կատարյալ

զուգակցում հետևյալ եղանակով (նկ. 5.3.1). 1.

−

գրաֆի բոլոր զույգ թվով գագաթներ պարունակող կապակցվածության

բաղադրիչներում վերցնենք կատարյալ զուգակցում, 2.

−

գրաֆի բոլոր կենտ թվով գագաթներ պարունակող կապակցվածության

բաղադրիչներում վերցնենք մաքսիմում զուգակցում, նկատենք, որ այն չի հագեցնում ճիշտ մեկ գագաթ, այդ մեկ գագաթը վերցնենք

բազմության

գագաթներից մեկի հետ որպես կառուցվելիք կատարյալ զուգակցման կող, քանի որ ( − ) ≤ | |, ապա

բազմության գագաթները մենք միշտ կարող

ենք ընտրել իրարից տարբեր, 3. և վերջապես

բազմության մնացած | | − ( − ) գագաթները վերցնենք

զույգերով կամայապես նկատենք, քանի որ

գրաֆի գագաթների քանակը

զույգ է, ապա | | − ( − ) թիվը ևս զույգ է, և, հետևաբար, մենք միշտ դա կարող ենք անել:

U

G−U

Նկ. 5.3.1 Ասվածից հետևում է, որ

−

գրաֆի կապակցվածության ոչ բոլոր բաղադրիչներն −

են լրիվ գրաֆներ: Սա նշանակում է, որ բաղադրիչում կան երկու ոչ հարևան

և

գրաֆի կապակցվածության ինչ-որ

գագաթներ:

Ցույց տանք, որ մենք այդ ոչ հարևան գագաթները կարող ենք ընտրել այնպես, որ նրանք

ունենան

ընդհանուր

կապակցվածության բաղադրիչում =

ճանապարհը

,

հարևան: և

Իրոք,

դիտարկենք

−

գրաֆի

գագաթները միացնող ճանապարհը: Դիցուք այդ

= -ն է: Քանի որ

և

գագաթները հարևան չեն, ապա

≥ : Պնդումն ապացուցենք մակածման եղանակով ըստ գագաթը ոչ հարևան

և

արդեն ապացուցել ենք հարևան է

և

= , ապա

գագաթների ընդհանուր հարևան է: Ենթադրենք, որ պնդումն −

համար, և դիտարկենք

գագաթին, ապա կրկին

հարևանը, իսկ եթե

-ի: Եթե

գագաթը կլինի

գագաթը հարևան չէ

գագաթները միացված են

−

գագաթը: Եթե և

գագաթը

գագաթների ընդհանուր

գագաթին, ապա նկատենք, որ ոչ հարևան

երկարությամբ ճանապարհով, որտեղից, համաձայն

մակածման ենթադրության, կարող ենք ընտրել երկու ոչ հարևան գագաթ, որոնք ունեն ընդհանուր հարևան: Ասվածից հետևում է, որ առանց ընդհանրությունը խախտելու մենք կարող ենք ենթադրել, որ

−

գագաթ: Քանի որ

գրաֆի ոչ հարևան ∉

գոյություն ունի այնպիսի Հիշենք, որ

և

գագաթներն ունեն ընդհանուր հարևան

, ապա, համաձայն գագաթ, որ

և

բազմության սահմանման,

գրաֆում

գագաթները հարևան չեն:

հակաօրինակը մաքսիմալ էր: Սա, մասնավորապես, նշանակում է, որ

ցանկացած նոր կող ավելացնելուց ստացված գրաֆն արդեն ունի կատարյալ զուգակցում:

+

Դիտարկենք

+

և

գրաֆները,

և

դիցուք

-ը

և

-ը,

համապատասխանաբար, այդ գրաֆներում կատարյալ զուգակցումներ են: Թեորեմի ապացույցն ավարտելու համար, մենք, օգտվելով +

ցույց կտանք, որ պարունակում գրաֆի

և

և

+

և

կատարյալ զուգակցումներից,

գրաֆում գոյություն ունի կատարյալ զուգակցում, որը չի

կողերը: Նկատենք, որ սա հակասություն է, քանի որ

+

կողերը չպարունակող կատարյալ զուգակցումը կլինի

+ գրաֆի

կատարյալ զուգակցում, ինչը կհակասի այն բանին, որ -ն հակաօրինակ է և, հետևաբար, չի պարունակում կատարյալ զուգակցում: Նախ նկատենք, որ

+

+ \

պատկանող կողի, կամ մեկ կողի ∪

որ

∩

գրաֆի ցանկացած գագաթ կամ կից է -ից և մեկ կողի

\

-ին պատկանող կողերը կամ պատկանում են

-ին

-ից: Ասվածից հետևում է, ∩

-ին կամ կազմում են

ցիկլեր, ընդ որում վերջիններս ունեն զույգ երկարություն, քանի որ այդ ցիկլերի կողերը \

մեկընդմեջ պատկանում են ∈

\

, և, հետևաբար,

\

-ին և

և

∈

-ին: Ավելին, նկատենք, որ ∪

կողերը պատկանում են

\

և

-ի զույգ ցիկլերին:

Թեորեմի ապացույցն ավարտելու համար քննարկենք երկու դեպք: Դեպք 1:

և

∪

կողերը պատկանում են

Այս դեպքում

+

+

գրաֆի

և

-ի տարբեր ցիկլերին: կողերը չպարունակող կատարյալ ∩

զուգակցումը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ. վերցնենք կողերը և դրանց ավելացնենք

∪

-ին պատկանող

-ի զույգ ցիկլերի կատարյալ զուգակցումները:

Նկատենք, քանի որ զույգ ցիկլերը ունեն երկու կատարյալ զուգակցում, մենք միշտ կարող ենք խուսափել Դեպք 2:

և և

կողերը վերցնելուց: ∪

կողերը պատկանում են

w

M1z M2

-ի միևնույն

ցիկլին:

C

M2 M1

x

y

M2 M1 M2 M1 Նկ. 5.3.2 Մենք կենթադրենք, որ

գագաթից

շարժվելով, մենք առաջինը հանդիպում ենք

-ին պատկանող կողից սկսելով և գագաթին, որից հետո նոր

ցիկլով

գագաթին (նկ.

5.3.2): Նշենք, որ մյուս դեպքը քննարկվում է համանման ձևով: Այս դեպքում

+

+

գրաֆի

և

կողերը չպարունակող կատարյալ

զուգակցումը կարելի ստանալ հետևյալ կերպ. վերցնենք և դրանց ավելացնենք զուգակցումները,

∪

∩

-ին պատկանող կողերը

-ի բոլոր զույգ ցիկլերի բացի

ցիկլի ձախ մասում վերցնենք

-ին պատկանող կողերը և ավելացնենք

-ից կատարյալ

-ին պատկանող կողերը, աջ մասում՝

կողը (նկ. 5.3.2): ∎

Օգտվելով Տատտի թեորեմից, ձևակերպենք և ապացուցենք Պետերսենի թեորեմը, որը տալիս է խորանարդ գրաֆում կատարյալ զուգակցման գոյության բավարար պայման: Թեորեմ 5.3.2 (Պետերսեն): Դիցուք

-ն խորանարդ գրաֆ է, որը պարունակում է ոչ

ավելի, քան երկու կամուրջ: Այդ դեպքում նրանում գոյություն ունի կատարյալ զուգակցում: Ապացույց: Դիտարկենք ցանկացած −

⊆ ( ), և դիցուք

( − )= , և

-ն

գրաֆի կապակցվածության այն բաղադրիչներն են, որոնք պարունակում են կենտ

թվով գագաթներ: Նկատենք, որ համաձայն թեորեմ 5.3.1-ի, պնդումն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ ≤ | |: Նկատենք, որ = , … , -ի համար տեղի ունի | ( )| = | ( )| + |

( ( ))|

հավասարությունը, որտեղից հաշվի առնելով, որ | ( )|-ն կենտ է, կստանանք, որ կենտ է նաև |

( ( ))|-ն: Քանի որ ըստ ենթադրության

քան երկու կամուրջ, մենք կստանանք, որ

գրաֆում գոյություն ունի ոչ ավելի,

= ,…,

համար |

( ( ))| թվերից

ամենաշատը երկուսն են հավասար մեկի, իսկ մնացածը առնվազն երեք են: Դիտարկենք −

գրաֆի այն կողերը, որոնք միացնում են

գրաֆի կենտ թվով գագաթներ պարունակող

բազմության գագաթները

կապակցվածության

բաղադրիչներին: Նկատենք, որ համաձայն վերը ասվածի, այդ կողերի քանակը առնվազն ( − ) + -է: Մյուս կողմից, քանի որ

-ն խորանարդ գրաֆ է, ապա

գագաթների աստիճանն երեք է, և, հետևաբար,

բազմության

բազմության գագաթները կից են ոչ

ավելի, քան | | կողի: Արդյունքում՝ −

= ( − )+

≤ | |

կամ ≤| |+

:

Հաշվի առնելով, որ խորանարդ գրաֆները պարունակում են զույգ թվով գագաթներ, մենք կստանանք, որ

-ն և | |-ը ունեն նույն զույգությունը, հետևաբար,

=| |+

հավասարությունը հնարավոր չէ: Այստեղից հետևում է, որ ≤ | |: ∎ Հատուկ նշենք, որ Պետերսենի վերը նշված թեորեմում խորանարդ գրաֆի ոչ ավելի, քան երկու կամուրջ չպարունակելու պայմանը հնարավոր չէ թուլացնել:

Նկ. 5.3.3 Նկ. 5.3.3-ում բերված է երեք կամուրջ պարունակող Սիլվեստրի գրաֆի օրինակը, որը չունի կատարյալ զուգակցում: Ստորև կձևակերպենք և կապացուցենք Տատտ-Բերժի բանաձևն, որը կարելի է մեկնաբանել նաև որպես մինմաքս թեորեմ: Ինչպես արդեն նշել ենք § 5.2-ում,

գրաֆի

զուգակցում հագեցնում է | | գագաթ, և, հետևաբար, այն չի հագեցնում

ցանկացած

| | − | | գագաթ: Ասվածից հետևում է, որ ցանկացած

գրաֆում գագաթների

նվազագույն թիվը, որոնք չեն ծածկվում զուգակցումով, հավասար է | | −

′( )-ի:

Տատտ-Բերժի բանաձևը պնդում է, որ այդ մինիմումը հավասար է ստորև բերված մաքսիմումին: Թեորեմ 5.3.3 (Տատտ-Բերժ): Կամայական

գրաֆում տեղի ունի հետևյալ

հավասարությունը. | |−

′( ) =

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե ⊆ ( ), ապա պատկանող

⊆ ( )(

-ը

( − ) − | |):

գրաֆի ցանկացած զուգակցում է, և

-ին պատկանող ամենաշատը | | կող կարող է միացնել

գագաթը

−

գրաֆի

կենտ

թվով

գագաթներ

կապակցվածության բաղադրիչին պատկանող գագաթին, հետևաբար

-ին

պարունակող −

գրաֆի

առնվազն ( − ) − | | հատ կենտ թվով գագաթներ պարունակող կապակցվածության բաղադրիչում գոյություն կունենան գրաֆում քանի որ

-ով չհագեցած գագաթների քանակն առնվազն

( − ) − | |-է: Նկատենք,

-ը և -ն ընտրված էին կամայապես, ասվածից հետևում է, որ | |−

-ով չհագեցած գագաթներ, որը, նշանակում է, որ

′( ) ≥

⊆ ( )(

( − ) − | |):

Հակառակ անհավասարությունն ապացուցելու համար նշանակենք = և ցույց տանք, որ ավելի, քան

( ( − ) − | |)

⊆ ( )

գրաֆում գոյություն ունի զուգակցում, որը չի հագեցնում

գրաֆի ոչ

գագաթ:

Դիտարկենք ′ գրաֆը, որն իրենից ներկայացնում է

գրաֆի և

գրաֆի ( գագաթ

պարունակող լրիվ գրաֆի) գումարը (§ 1.3): Ցույց տանք, որ ′ գրաֆը պարունակում է

′

կատարյալ զուգակցում: Նկատենք, որ սա կապացուցի թեորեմը, քանի որ եթե մենք

′

գրաֆից հեռացնենք ( որը չի հագեցնում

)-ն, ապա

′-ի մնացած կողերը կկազմեն

գրաֆի ոչ ավելի, քան

գրաֆի զուգակցում,

գագաթ:

Դիտարկենք ցանկացած ′ ⊆ ( ′), և քննարկենք հետևյալ երեք դեպքերը. Դեպք 1: ′ = ∅: Նկատենք,

որ

ցանկացած

⊆ ( )

համար

| ( )|-ն

և

( − )−| |

տարբերությունն ունեն միևնույն զույգությունը, հետևաբար, | ( )|-ի և -ի զույգությունը ևս համընկնում է, որտեղից հետևում է, որ | ( ′)|-ը զույգ թիվ է: Հաշվի առնելով, որ ′-ը կապակցված գրաֆ է, կստանանք՝ ( ′ − ′) = ( ′) = Դեպք 2: ′ ≠ ∅ և (

= | ′|:

) ⊈ ′:

Նկատենք, որ այս դեպքում ′ − ′ գրաֆը կապակցված է, հետևաբար ( ′ − ′) ≤ Դեպք 3: ( Նշանակենք

≤ | ′|:

) ⊆ ′: = ′\ (

), և նկատենք, որ

⊆ ( ):

-ի սահմանումից հետևում է,

որ ( − )−| |≤ , որտեղից հաշվի առնելով, որ ( ′ − ′) = ( − ), կստանանք՝ ( ′ − ′) = ( − ) ≤

+ | | = | ′|:

Քննարկված երեք դեպքերի արդյունքում տեսանք, որ ցանկացած

′ ⊆ ( ′),

համար ( ′ − ′) ≤ | ′|: Համաձայն թեորեմ 5.3.1-ի, ′ գրաֆը պարունակում է կատարյալ զուգակցում: ∎ Ստորև

կձևակերպենք

և

կապացուցենք

§

5.1-ում

ապացուցված

Գալլաիի

հավասարության կողային տարբերակը: Այդ նպատակով տանք մեկ սահմանում:

Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է և

⊆ :

Սահմանում 5.3.1: Կասենք, որ -ը հանդիսանում է կողային ծածկույթ եթե

գրաֆում,

գրաֆի ցանկացած գագաթ կից է -ին պատկանող գոնե մեկ կողի: Սահմանում

5.3.2:

գրաֆում

ամենաքիչ

կողեր

պարունակող

կողային

ծածկույթներին կանվանենք նվազագույն կողային ծածկույթներ: գրաֆում նվազագույն կողային ծածկույթի հզորությունը նշանակենք

′( )-ով:

Նկատենք, որ գրաֆում գոյություն ունի կողային ծածկույթ այն և միայն այն դեպքում, երբ գրաֆում չկան մեկուսացված գագաթներ: Սա, մասնավորապես, նշանակում է, որ պարամետրը սահմանված է միայն այն

′( )

գրաֆների համար, որոնցում ցանկացած

գագաթի աստիճանն առնվազն մեկ է: Կրկին դիտարկենք նկ. 5.1.1-ում պատկերված կողերի {

,

,

,

գրաֆը, և նկատենք, որ նրանում

} բազմությունը հանդիսանում է կողային ծածկույթ,

ավելին, դժվար չէ համոզվել, որ այդ գրաֆում ′( ) = : Թեորեմ 5.3.4 (Գալլաի): Մեկուսացված գագաթներ չպարունակող ցանկացած գրաֆում տեղի ունի ′( ) + ′( ) = | | հավասարությունը: Ապացույց: Դիցուք ծածկում է | | =

-ը

գրաֆի առավելագույն զուգակցում է: Նկատենք, որ այն

′( ) գագաթ: Վերցնենք

գրաֆի մնացած | | −

′( ) գագաթներին

կից կողեր (յուրաքանչյուր գագաթին մեկ կից կող), և դիտարկենք բազմությունը, որը ստացվում է այդ կողերին միավորելով

գրաֆի կողերի

-ը: Նկատենք, որ

-ը

կողային ծածկույթ է, և ′( ) ≤ | | = ′( ) + | | −

′( ) = | | − ′( ),

կամ ′( ) + ′( ) ≤ | |: Մյուս կողմից, դիցուք -ը է: Նկատենք, որ եթե \{

}

բազմությանը

կհանդիսանար կհակասեր =( , )

գրաֆի ′( ) հատ կող պարունակող կողային ծածկույթ

∈ , ապա հնարավոր չէ, որ -ն և -ն միաժամանակ կից լինեն պատկանող

գրաֆի

′( ) −

կողերի:

Իրոք,

դեպքում

′( )-ի սահմանմանը: Այստեղից հետևում է, որ եթե դիտարկենք ենթագրաֆը,

ապա

\{

}-ն

հատ կող պարունակող կողային ծածկույթ, ինչը

-ի

ներկայացնում են աստղեր (§ 1.2): Եթե

կապակցվածության

բաղադրիչներն

գրաֆի իրենցից

-ի կապակցվածության բաղադրիչների քանակը

նշանակենք -ով, ապա, համաձայն թեորեմ 2.3.1-ի,

հակառակ

′( ) = | | = | | − : Դիտարկենք

′

գրաֆի

կապակցվածության

զուգակցումը,

բաղադրիչներից

որը

յուրաքանչյուրից

ստացվում վերցնենք

է,

եթե

-ի

մեկական

կող:

Նկատենք, որ ′( ) ≥ | ′| =

= | | − ′( ),

կամ ′( ) + ′( ) ≥ | |: ′( ) + ′( ) ≤ | | և ′( ) + ′( ) ≥ | | անհավասարություններից հետևում է, որ ′( ) + ′( ) = | |: ∎

§ . . Ֆակտորներ և տարբեր ֆակտորիզացիաներ

Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է, և

Սահմանում 5.4.1: Կասենք, որ

-ը նրա ցանկացած ենթագրաֆ է: -ը հանդիսանում է

գրաֆի ֆակտոր, եթե այն

գրաֆի կմախքային ենթագրաֆ է: Դիցուք -ը արտապատկերում է, որը բավարարում է : ( ) → ℤ պայմանին: Սահմանում 5.4.2: Կասենք, որ

ֆակտոր, եթե ցանկացած Դիցուք

գրաֆի

∈ ( ) համար

ֆակտորը հանդիսանում է

գրաֆի -

( ) = ( ):

∈ℤ :

Սահմանում 5.4.3: Եթե ցանկացած

∈ ( ) համար

( ) = , ապա

գրաֆի

-

ֆակտորին կանվանենք -ֆակտոր: Փաստորեն, գրաֆի

-ֆակտորները նրա կմախքային

-համասեռ ենթագրաֆներն

են: Դիտարկենք բերված սահմանումները պարզաբանող օրինակներ:

v2

v2

v3 v4

v1 v6

v5

v3 v4

v1 v6

v5

Նկ. 5.4.1 Նկ. 5.4.1-ի ձախ մասում պատկերված է իսկ աջ մասում՝ նրա

վեց գագաթ պարունակող լրիվ գրաֆը,

ենթագրաֆը, որը հանդիսանում է

-ֆակտոր, որտեղ

(

)=

(

)= (

)= (

)= , գրաֆի

պատկերված են

( և

)= (

, համապատասխանաբար, - և -ֆակտորներ:

v2 v1

) = : Ավելին, ստորև բերված նկ. 5.4.2-ում

v2

v3 v4

v6

v3 v4

v1

v5

v5

v6

Նկ. 5.4.2 Վերջապես, նկատենք, որ եթե դիտարկենք ապա նրանք կհանդիսանան Գրաֆի

-ի և

-ի լրացում գրաֆները

-ում,

գրաֆի, համապատասխանաբար, - և -ֆակտորներ:

-ֆակտորն իրենից ներկայացնում է կմախքային

-համասեռ ենթագրաֆ:

Դժվար չէ համոզվել, որ այդ ենթագրաֆի կողերի բազմությունն իրենից ներկայացնում է կատարյալ զուգակցում: Ավելին, ճիշտ է նաև հակառակը. եթե ունենք գրաֆի կատարյալ զուգակցում, ապա եթե դիտարկենք գրաֆի կմախքային ենթագրաֆը, որի կողերի բազմությունը այդ տրված կատարյալ զուգակցումն է, ապա մենք կստանանք գրաֆի ֆակտոր: Ասվածից հետևում է, որ թեորեմ 5.3.1-ը կարելի է նաև դիտել որպես -ֆակտոր պարունակող գրաֆների նկարագիր: Այստեղից առաջանում է բնական հարց. հնարավո՞ր է առաջարկել եղանակ, որը կպարզի, թե տրված գրաֆը պարունակում է արդյոք -ֆակտոր: Ստորև կնկարագրենք Տատտի ալգորիթմը, որը թույլ է տալիս տրված գրաֆի -ֆակտոր պարունակելու հարցը հանգեցնել մեկ այլ գրաֆի -ֆակտոր պարունակելու հարցին: Դիցուք տրված է եթե

գրաֆը և : ( ) → ℤ արտապատկերումը: Նախ նկատենք, որ

գրաֆում գոյություն ունի

ունենալ

գագաթ, որի համար ( ) >

( ), ապա -ն չի կարող

-ֆակտոր, հետևաբար, առանց ընդհանրությունը խախտելու, կարող ենք

ենթադրել, որ

գրաֆի ցանկացած

գագաթի համար ( ) ≤

( ) − ( ) և նկատենք, որ ( ) ≥ : Դիտարկենք ցանկացած

գագաթ փոխարինելով

կողմը` ( )-ն, պարունակում է գրաֆի ցանկացած

( ), ( )

( ): Նշանակենք ( ) =

գրաֆը, որը ստացվում է -ից նրա

-լրիվ երկկողմանի գրաֆով (§ 1.2), որի մի

( ) գագաթ, իսկ մյուս կողմը` ( )-ն, ( ) գագաթ, և

կողի համար

( )-ին պատկանող մեկ գագաթ միացնենք կողով

( )-ին պատկանող մեկ գագաթի հետ այնպես, որ -գագաթները մասնակցեն ճիշտ մեկ այդպիսի կողի մեջ:

Ստորև բերված նկ. 5.4.3-ի ձախ մասում պատկերված է բազմության

վրա

պատկերված է

: ( )→ℤ

որոշված

գրաֆը և նրա գագաթների

արտապատկերումը,

գրաֆին համապատասխանող

-ի այն -ֆակտորը, որին համապատասխանում է

իսկ

աջ

մասում

գրաֆը և կետագծերով ցույց է տրված գրաֆի -ֆակտորը:

Նկ. 5.4.3

Թեորեմ 5.4.1 (Տատտ):

գրաֆը պարունակում է

դեպքում, երբ վերը նշված եղանակով կառուցված Ապացույց: Եթե

գրաֆը պարունակում է

-ֆակտոր այն և միայն այն

գրաֆը պարունակում է -ֆակտոր: -ֆակտոր, ապա

գրաֆի այդ

ֆակտորին համապատասխանող կողերը կազմում են զուգակցում, որը ցանկացած

( ), ( ) -լրիվ

զուգակցումը, որը հագեցնում է այդ չհագեցած գագաթները և

գրաֆն ունի

-ֆակտոր, ապա

( )-ն: Արդյունքում

կստանանք

համապատասխանում է

գրաֆի

գրաֆի յուրաքանչյուր

( )-ին պատկանող գագաթներին կից կողերը,

գագաթի համար նրանից հեռացնելով

Դիցուք

երկկողմանի գրաֆի

գրաֆի -ֆակտոր:

Հակառակը, եթե

մենք

գրաֆի

գագաթի համար ( )-ից չի հագեցնում ճիշտ ( ) գագաթ: Յուրաքանչյուր

գագաթի համար այդ զուգակցմանն ավելացնենք

կստանանք

-

կողերի

բազմություն,

որոնց,

դժվար

չէ

տեսնել,

գրաֆի -ֆակտոր: ∎

= ( , )-ն գրաֆ է, և

-ը արտապատկերում է, որը բավարարում է

: ( ) → ℤ պայմանին: Սահմանում 5.4.4:

գրաֆը կանվանենք -ֆակտորիզացվող, եթե այն հնարավոր է

տրոհել զույգ առ զույգ չհատվող -ֆակտորների: Նշենք, որ գրաֆի -ֆակտորների տրոհման բուն պրոցեսը հաճախ անվանում են -

ֆակտորիզացիա կամ, կրճատ, ֆակտորիզացիա: Դիցուք

∈ ℤ : Այն դեպքում, երբ

գրաֆի ցանկացած

∈ ( ) համար ( ) = , -

ֆակտորիզացիան մենք կանվանենք -ֆակտորիզացիա:

Ստորև պատկերված է չորս գագաթանի

լրիվ գրաֆը և բերված է նրա

-

ֆակտորիզացիայի օրինակ:

Նկ. 5.4.4 Ստորև կնշենք -ֆակտորիզացվող գրաֆների դասի օրինակ: Թեորեմ

5.4.2:

Կամայական

երկկողմանի

-համասեռ

( ∈ ℕ)

գրաֆ

-

ֆակտորիզացվող է: Ապացույց: Դիցուք -ն երկկողմանի -համասեռ գրաֆ է: Համաձայն թեորեմ 5.2.4-ի, այն պարունակում է

կատարյալ զուգակցում: Դիտարկենք

−

գրաֆը: Նկատենք,

որ այն երկկողմանի ( − )-համասեռ գրաֆ է: Համաձայն թեորեմ 5.2.4-ի, այն պարունակում է

կատարյալ զուգակցում: Դիտարկենք

−

−

գրաֆը: Նկատենք,

որ այն երկկողմանի ( − )-համասեռ գրաֆ է: Նշված քայլերը կիրառելով կստանանք

անգամ, մենք

երկկողմանի -համասեռ գրաֆի կողերի բազմության տրոհում զույգ առ

զույգ չհատվող կատարյալ զուգակցումների, որոնցից դժվար չէ ստանալ

գրաֆի

-

ֆակտորիզացիա: ∎ Նշենք, որ գրաֆների

-ֆակտորիզացիաներին առնչվող ոչ բոլոր խնդիրներն են

լուծված: Մասնավորապես, չի լուծված հանրահայտ -ֆակտորիզացիայի հիպոթեզը, որը ձևակերպված է ստորև: Հիպոթեզ 5.4.1: Դիցուք դեպքում. եթե

-ն

-ը կենտ է և

գագաթ պարունակող ≥

կամ

-համասեռ գրաֆ է: Այդ

-ը զույգ է և

≥

− , ապա

-ն -

ֆակտորիզացվող է: Հիմա կձևակերպենք և կապացուցենք Պետերսենի թեորեմը, որը նկարագրում է ֆակտորիզացվող գրաֆները: Թեորեմ 5.4.3: Որպեսզի

գրաֆը լինի

-ֆակտորիզացվող, անհրաժեշտ է և

բավարար, որ այն լինի զույգ համասեռ: Ապացույց: Դիցուք

գրաֆը -ֆակտորիզացվող է: Այդ դեպքում այն հնարավոր է

տրոհել զույգ առ զույգ չհատվող

ցանկացած

= , ,…,

( )=

գագաթ: Նկատենք, որ : Սա նշանակում է, որ

գրաֆը

-ֆակտորների: Վերցնենք համար

( ) = , և հետևաբար

-համասեռ է:

Հակառակն ապացուցելու համար ենթադրենք, որ

գրաֆի

գրաֆը

-համասեռ է,

∈ ℕ:

Ցույց տանք, որ այն հնարավոր է տրոհել

հատ -ֆակտորների:

Նկատենք, որ պնդումն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ ունի

-ֆակտոր: Իրոք, եթե

կստանանք (

գրաֆից հեռացնենք այդ

-ֆակտորի կողերը, ապա

− )-համասեռ գրաֆ: Ստացված գրաֆը կրկին կպարունակի -ֆակտոր:

Այն կրկին կհեռացնենք: Նկարագրված քայլերը կստանանք

գրաֆն

անգամ կրկնելուց հետո, մենք

գրաֆի -ֆակտորիզացիա:

Հետևաբար, բավական է ցույց տալ, որ

-համասեռ

գրաֆն ունի -ֆակտոր: Այս

պնդումն ապացուցելու համար բավական է ապացուցել այն կապակցված գրաֆների համար: Իրոք, վերցնելով

գրաֆի կապակցվածության յուրաքանչյուր բաղադրիչում

մեկական -ֆակտոր, մենք կստանանք

գրաֆի -ֆակտոր:

Հետևաբար, կարող ենք նաև ենթադրել, որ գրաֆի գագաթներն են

,

-ը: Քանի որ

գրաֆը կապակցված է: Դիցուք, գրաֆը կապակցված է և ցանկացած

գագաթի աստիճանը զույգ թիվ է, ապա, համաձայն թեորեմ 4.1.2-ի, ունի

էյլերյան ցիկլ: Քանի որ

գրաֆում գոյություն

-ում ցանկացած գագաթի աստիճանը

ցիկլով շարժվելուց, յուրաքանչյուր գագաթ կհանդիպենք

է, մենք,

անգամ, և ամեն անգամ

տրված գագաթը հանդիպելուց մենք մեկ անգամ մուտք ենք գործում գագաթ, և մեկ անգամ` նրանից դուրս գալիս: Դիտարկենք օժանդակ

∈ ( ) այն և միայն այն դեպքում, երբ անմիջապես հետո անցնում ենք

( )={

գրաֆը, որտեղ

պարունակում է

} և

գագաթից

գրաֆն երկկողմանի է, ավելին, քանի որ անգամ, և նրանից դուրս գալիս

-համասեռ է: Համաձայն թեորեմ 5.2.4-ի,

գրաֆի

գրաֆը

կատարյալ զուգակցումից մենք կարող ենք կառուցել

գրաֆի -ֆակտոր: Դրա համար բավական է ցույց տալ, որ

-ի միջոցով մենք

գրաֆի

գագաթին կարող ենք համապատասխանեցնել նրան կից երկու կող:

Դիտարկենք

գագաթին համապատասխան

գրաֆի

որ -ը կատարյալ զուգակցում է, ապա այն կպարունակի գագաթին կից

,

կատարյալ զուգակցում:

Ցույց տանք, որ

ցանկացած

,

ցիկլով շարժվելուց մենք

գրաֆի յուրաքանչյուր գագաթ մենք մուտք ենք գործում գրաֆը

գագաթ:

Նկատենք, որ ըստ սահմանման,

անգամ, ապա

,

կող: Համաձայն

և

գագաթները: Քանի

գագաթին կից

գրաֆի սահմանման, սա նշանակում է, որ

կող, և ցիկլով

շարժվելուց մենք

գագաթից անմիջապես հետո անցնում ենք գագաթ:

անցնում ենք

գրաֆի

ֆակտորը կառուցելիս վերցնենք

գագաթ, որից հետո

կատարյալ զուգակցմանը համապատասխանող գագաթին կից

կողերը: ∎

և

Դիտարկենք վերջին թեորեմի ապացույցը պարզաբանող օրինակ:

K5

H

v2

v1

v3

v5

v4

u1

w1

u2

w2

u3

w3

u4

w4

u5

w5

v2

v1

v3

v5

v4 Նկ. 5.4.5

Նկ. 5.4.5-ում պատկերված է =

,

,

,

,

,

,

,

,

,

լրիվ գրաֆը, որը -համասեռ գրաֆ է, և ,

էյլերյան ցիկլին համապատասխան օժանդակ

երկկողմանի գրաֆը: Նաև նկ. 5.4.5-ում պատկերված է համապատասխանում

է

գրաֆի

={

գրաֆի

,

գրաֆի այն ,

,

,

-ֆակտորը, որը } կատարյալ

զուգակցմանը: Այժմ դիտարկենք գրաֆների մի այլ տիպի ֆակտորիզացիա: Դիցուք գրաֆ է: Այդ դեպքում պարզ է, որ կմախքային

անտառների

-ն ( ,

)-

-ն կարելի է ներկայացնել կողերով չհատվող

միավորման

տեսքով,

օրինակ,

վերցնելով

գրաֆի

յուրաքանչյուր կող և մնացած մեկուսացված գագաթները որպես կմախքային անտառ: Պարզ է նաև, որ այս դեպքում մենք կստանանք

գրաֆի ներկայացում

հատ կողերով

չհատվող կմախքային անտառների միավորման տեսքով: Առաջանում է բնական խնդիր. տրված

գրաֆի համար գտնել նվազագույն ( ) թիվը, որի դեպքում

ներկայացնել

գրաֆը կարելի է

( ) հատ կողերով չհատվող կմախքային անտառների միավորման

տեսքով: Այդ ( ) թիվը կանվանենք

գրաֆի անտառների տրոհման թիվ: Օրինակ, հեշտ

է տեսնել, որ (

(նկ. 5.4.6):

) = , իսկ (

)=

Նկ. 5.4.6

G

H

Նկ. 5.4.7 Նախ նկատենք, որ ցանկացած | ( )| | ( )|

⊆ , | ( )|

(| ( )| ≥ ) գրաֆի համար տեղի ունի ⊆

անհավասարությունը: Իրոք, եթե

( )≥

և | ( )| > 1, ապա

գրաֆի

կամայական կմախքային անտառի կողերի քանակը մեծ չէ | ( )| − -ից, հետևաբար, | ( )| | ( )|

ամենաքիչը

հատ կմախքային անտառ է անհրաժեշտ

գրաֆի կողերով ( )≥

չհատվող կմախքային անտառներով ներկայացման համար, ուստի Մյուս կողմից պարզ է, որ ցանկացած ( )≥

| ( )| | ( )|

⊆ , | ( )|

⊆ -ի համար ( ) ≥ ( ), ինչից հետևում է, որ

գրաֆի դեպքում, այլ նրա կողերով հարուստ որևէ գրաֆը (

ենթագրաֆի դեպքում: Այսպես, օրինակ, նկ. 5.4.7-ում պատկերված (

=

2=

| ( )| | ( )|

Ինչպես ( )≥

=

:

: Նշենք, որ այս բանաձևում աջ մասի առավելագույն արժեքը

կարող է հասանելի լինի ոչ թե

գրաֆ է, իսկ նրա

| ( )| | ( )|

)-գրաֆ է և ( ) ≥

) ենթագրաֆը` ( ,

| ( )| | ( )|

=

,

)-

=

>

: նշել

⊆ , | ( )|

ենք,

| ( )| | ( )|

ցանկացած

գրաֆի

անհավասարությունը:

համար

Պարզվում

է,

տեղի այս

ունի ստորին

գնահատականը միշտ հասանելի է. Թեորեմ 5.4.4 (Նեշ-Վիլլյամս): Կամայական ( )=

⊆ , | ( )|

(| ( )| ≥ ) գրաֆի համար տեղի ունի

| ( )| | ( )| −

հավասարությունը: Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը, դիցուք գոյություն ունի

(| ( )| ≥ ) գրաֆ,

( )>

որի համար (| ( )| ≥ )

գրաֆը,

⊆ , | ( )|

որի

| ( )| | ( )|

: Բոլոր հակաօրինակներից ընտրենք այն ( )>

համար

| ( )| | ( )|

⊆ , | ( )|

,

| ( )| + | ( )|-ն

և

ընդունում է նվազագույն արժեքը: Պարզ է, որ այդ դեպքում

-ն (նվազագույն

հակաօրինակը) կլինի կապակցված գրաֆ և ( − ) < ( ) անհավասարությունը տեղի կունենա ցանկացած

∈ ( )-ի համար: Նախ ապացուցենք, որ եթե ∈ ( )-ի համար,

հակաօրինակ է, ապա ցանկացած ներկայացում

( )−

−

գրաֆի ցանկացած

հատ կողերով չհատվող կմախքային անտառների միավորման գրաֆի կողերով չհատվող ( ) −

տեսքով իրենից ներկայացնում է

հատ կմախքային =

ծառերի միավորում: Ենթադրենք հակառակը. դիցուք գոյություն ունի −

-ն նվազագույն

( )−

գրաֆը ունի ներկայացում կողերով չհատվող

∈ ( )-ի, որ

հատ կմախքային

անտառների միավորման տեսքով, որտեղ ոչ բոլոր կմախքային անտառները կմախքային ծառեր են: Դիցուք

( − )=

( ) և կից է որևէ կողի

− ից }

∪ ⋯∪ և

-ն

=( ,

և

( )

անտառ

Քանի որ Դիցուք -ն և

={ :

( ≤ ≤ ( ) − ):

է

ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ

), որտեղ

-ը

-ն նվազագույն հակաօրինակ է, ուստի

Առանց

գրաֆի կմախքային ծառ չէ: + -ն պարունակում է ցիկլ:

գրաֆի այն կապակցվածության բաղադրիչն է, որը պարունակում է

գագաթները: Դիցուք

= [ ( )]: Պարզ է, որ

∈

∈

( ) և քանի որ

-ը

կողի գրաֆի

կմախքային ծառ չէ, ուստի ( ) ≠ ( ): Մյուս կողմից, քանի որ -ն կապակցված գրաֆ է և

( )\ ( ) ≠ ∅, ուստի ( ) և կից է որևէ կողի

հավաքածուների

( )=

∪ ⋯∪

− ից } և

հետևյալ

բազմությունը. ( )=

բոլոր

∪ ⋯∪

( )

( ) հատ անտառների, որի դեպքում

սահմանվում է նույն ձևով, ինչպես է

-ի կմախքային ծառ և ≠ ∅: Ընտրենք -ից այն

), որտեղ

={ :

∈

( )

( )

∪ { }-ն

,{ }

տեսքի

գրաֆի կողերի

գրաֆի (այստեղ

գրաֆը

-ը) կապակցվածության բաղադրիչը հանդիսանում

∈ ( ): Հեշտ է տեսնել, որ

,

-ն անտառ է ( ≤ ≤ ( ) − ): Այժմ դիտարկենք

հավաքածուներն, որոնց համար տրոհում է

=(

և

( )

( )

, { } ∈ , ուստի

, { } հավաքածուն, որի դեպքում ( )

|

∩

|

արտահայտությունը ստանում է իր առավելագույն արժեքը: Քանի որ

∈ ( ), ուստի

∈

, որտեղ

≤ ≤ ( ) − : Պարզ է, որ

( ) ⊆ ( ): Եթե

≠

գրաֆը (այստեղ

-ն) պարունակում է

սահմանվում է նույնպես, ինչպես ապա

+

ցիկլ և

գագաթը ( )-ից է, իսկ մյուսը` ( )\ ( )-ից է (քանի որ գրաֆը հանդիսանում է

Քանի որ + ,…,

+ − ,…,

-ն -ի ծնված ենթագրաֆ է): + -ը անտառ է, ուստի

-ի կմախքային ծառ և

⊆ ( ): Այժմ դիտարկենք

հավաքածուն: Պարզ է, որ այս դեպքում | ∑

( )

|

է, որ եթե

∩

| < |(

∩

-ն անտառ է, ուստի

+ − ,…,

+ − )∩

,{ } ∈

|, որը հակասում է

∈ ( )-ի համար,

-ն նվազագույն հակաօրինակ է, ապա ցանկացած

( )−

անտառների միավորման տեսքով իրենից ներկայացնում է հատ

կմախքային

ծառերի

միավորում:

| ( )| −

գրաֆի կողերով չհատվող

Այժմ

դիտարկենք

= | ( − )| = (| ( )| − )( ( ) − ),

որտեղից ստացվում է հետևյալ հակասությունը. ( )>

| ( )| | ( )| −

( )−

=

+

| ( )| −

= ( ):

∎

Հետևանք 5.4.1: Ցանկացած ( հավասարությունները:

և )=

բնական թվերի համար տեղի ունեն և

,

=

−

հատ կմախքային

հավասարությունը.

( )

| արտահայտության արժեքի առավելագույն լինելուն: Այստեղից հետևում

գրաֆի ցանկացած ներկայացում կողերով չհատվող

( )−

գրաֆի

հատ կմախքային անտառների, որը հակասություն

է: Այսպիսով, մենք կարող ենք ենթադրել, որ ( ) ⊆ ( ): Քանի որ ∈ ( )\

= ,

∈ ( ), որի մի

հավաքածուին համապատասխանում է

( )

տրոհում կողերով չհատվող ( ) −

գոյություն ունի

∈ ( ): Եթե

( ) ⊈ ( ), ապա գոյություն ունի

և

գրաֆը

հետևյալ

Գլուխ 6

Աստիճանային հավաքածուներ

§ . . Պսևդոգրաֆների և մուլտիգրաֆների աստիճանային հավաքածուներ Դիցուք

-ն պսևդոգրաֆ է և

( )={

բազմությունն է: Պարզ է, որ յուրաքանչյուր =(

): Այդ

}-ը այդ պսևդոգրաֆի գագաթների

պսևդոգրաֆին կհամապատասխանի

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի հավաքածուն, որտեղ =(

) հավաքածուն կանվանենք

=

( )( ≤ ≤

պսևդոգրաֆի աստիճանային

հավաքածու: Հիշենք, որ պսևդոգրաֆի յուրաքանչյուր օղակը այդ պսևդոգրաֆի գագաթի աստիճանն ավելացնում է երկուսով: Նկատենք, որ տարբեր պսևդոգրաֆներ կարող են ունենալ նույն աստիճանային հավաքածուն: Այսպես, օրինակ, նկ. 6.1.1-ում պատկերված պսևդոգրաֆները տարբեր են, սակայն նրանցից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է ( , , , , , ) հավաքածուն:

Նկ. 6.1.1 Այժմ ենթադրենք, որ տրված է հավաքածուն: Կասենք, որ այդ եթե գոյություն ունի

=(

=(

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի

) հավաքածուն իրացվում է պսևդոգրաֆում,

պսևդոգրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն

Նկատենք, որ ըստ դիտողություն 1.2.1-ի, եթե

=(

=(

)-ն է:

) հավաքածուն իրացվում է

պսևդոգրաֆում, ապա ∑

-ն զույգ թիվ է: Հակիմին ցույց է տվել, որ այս պարզ

անհրաժեշտ պայմանը նաև հանդիսանում է բավարար պայման: Թեորեմ 6.1.1:

=(

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի հավաքածուն

իրացվում է պսևդոգրաֆում այն և միայն այն դեպքում, երբ ∑

-ն զույգ թիվ է:

Ապացույց: Ինչպես նշել ենք, ըստ դիտողություն 1.2.1-ի, ∑ =(

անհրաժեշտ պայման է պսևդոգրաֆում Ցույց տանք, որ եթե ∑ աստիճանային հավաքածուն համար ( ) = { |{ :

}և

-ի զույգ թիվ լինելը

)-ի իրացվելիության համար:

-ն զույգ թիվ է, ապա գոյություն ունի

պսևդոգրաֆ, որի

=(

պսևդոգրաֆ, որի

)-ն է: Մենք կկառուցենք

( )=

( ≤ ≤ ): Քանի որ ∑

− ն կենտ թիվ է}| թիվը ևս զույգ է: Տրոհենք { :

-ն զույգ թիվ է, ապա

− ն կենտ թիվ է} բազմության

գագաթները զույգերի և յուրաքանչուր զույգի գագաթները միացնենք կողով: Այնուհետև յուրաքանչուր

հատ օղակներ ( ≤ ≤ ): Հեշտ է տեսնել,

գագաթին ավելացնենք

որ ստացված

պսևդոգրաֆի աստիճանային հավաքածուն

=(

)-ն է:

∎

Օրինակ, դիտարկենք ( , , , , , , ) հավաքածուն: Ըստ թեորեմ 6.1.1-ի, այն իրացվում է պսևդոգրաֆում: Կառուցենք բերված եղանակով: Դիցուք ( ) = {

,

պսևդոգրաֆ թեորեմ 6.1.1-ի ապացույցում ,

,

,

,

,

}: Ստորև պատկերված է այդ

պսևդոգրաֆը:

v1

v2

v3

v7

v4

v5

v6

Նկ. 6.1.2 Դիցուք

-ն մուլտիգրաֆ է և

( )={

բազմությունն է: Պարզ է, որ յուրաքանչյուր =(

): Այդ

}-ը այդ մուլտիգրաֆի գագաթների մուլտիգրաֆին կհամապատասխանի

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի հավաքածուն, որտեղ =(

) հավաքածուն կանվանենք

=

( )( ≤ ≤

մուլտիգրաֆի աստիճանային

հավաքածու: Նկատենք, որ տարբեր մուլտիգրաֆներ կարող են ունենալ նույն աստիճանային

հավաքածուն:

Այսպես,

օրինակ,

նկ.

6.1.3-ում

պատկերված

մուլտիգրաֆները տարբեր են, սակայն նրանցից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է ( , , , , ) հավաքածուն:

Նկ. 6.1.3 =(

Այժմ ենթադրենք, որ տրված է =(

հավաքածուն: Կասենք, որ այդ եթե գոյություն ունի

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի

) հավաքածուն իրացվում է մուլտիգրաֆում,

մուլտիգրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն =(

Նկատենք, որ ըստ դիտողություն 1.2.1-ի, եթե մուլտիգրաֆում, ապա ∑

=(

)-ն է:

) հավաքածուն իրացվում է

-ն զույգ թիվ է: Նշենք, որ այս պայմանը մուլտիգրաֆների

դեպքում չի հանդիսանում նաև բավարար պայման: Իրոք, եթե դիտարկենք ( , , ) հավաքածուն,

ապա

հեշտ

է

տեսնել,

որ

այս

հավաքածուն

չի

իրացվում

մուլտիգրաֆներում: =(

Թեորեմ 6.1.2 (Ս. Հակիմի): հավաքածուն, որտեղ դեպքում, երբ ∑

≥

-ն զույգ թիվ է և

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի

, իրացվում է մուլտիգրաֆում այն և միայն այն ≤∑

:

Ապացույց: Ինչպես նշել ենք, ըստ դիտողություն 1.2.1-ի, ∑ անհրաժեշտ պայման է մուլտիգրաֆում

=(

)-ի իրացվելիության համար: Ցույց

≤∑

տանք, որ անհրաժեշտ պայման է հանդիսանում նաև Իրոք, եթե ենթադրենք հակառակը` գագաթը, որի աստիճանը

>∑

-ի զույգ թիվ լինելը

անհավասարությունը:

, ապա հեշտ է տեսնել, որ այդ դեպքում

է, կից է առնվազն մի կողի, որի մյուս գագաթը տարբեր է

գագաթներից, ինչը հակասություն է:

Այժմ ցույց տանք, որ եթե ∑

մուլտիգրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն օժանդակ

≤∑

-ն զույգ թիվ է և

մուլտիգրաֆը, որի համար

( )={

=(

} և

, ապա գոյություն ունի )-ն է: Նախ կառուցենք (

,

( )=

( ≤ ≤ ) (նկ. 6.1.4):

v1

⋯

⋯

v2

⋯

⋯

v3

vn

Նկ. 6.1.4 =∑

Եթե տանք, որ ∑ =∑

≡ −

<∑

(

գագաթը հարևան է երկու տարբեր

և

=

գագաթներին =

−

: Եթե

<∑

−

և

գագաթներին

=∑

=

−

− −

− , ապա մենք

գագաթը հարևան է երկու տարբեր

և

մուլտիգրաֆը հետևյալ կերպ.

−

մենք

+

:

Համանման

ձևով

: Ցույց տանք, որ եթե

=∑

մուլտիգրաֆում

=∑

տարբեր հարևան գագաթներ, ապա

−

բոլոր կողերը, և, հետևաբար,

>

=(

−

է,

, ապա մենք

մուլտիգրաֆում

<∑

−

, ապա այդ

գագաթ, որին կից են

գագաթից դուրս եկող

≥

( ≤ ≤ ) պայմանին:

, որը հակասում է =

Այստեղից հետևում է, որ, վերցնելով աստիճանային հավաքածուն

−

գագաթը չունի երկու

: Իրոք, եթե

գագաթը չունի երկու տարբեր հարևան գագաթներ և մուլտիգրաֆում գոյություն կունենա

կկառուցենք

գագաթի աստիճանը ∑

մուլտիգրաֆում

իսկ մնացած գագաթների աստիճանները չեն փոխվել: Եթե =

): Եթե

մուլտիգրաֆում, ապա կառուցենք

մուլտիգրաֆները: Պարզ է, որ

կվերցնենք

−

գագաթի աստիճանը ∑

մուլտիգրաֆում

է, իսկ մնացած գագաթների աստիճանները չեն փոխվել: Եթե կվերցնենք

(

≡

մուլտիգրաֆը հետևյալ կերպ.

: Հեշտ է տեսնել, որ

: Ցույց

-ն զույգ թիվ է, ուստի ∑

): Այստեղից հետևում է, որ ∑

մուլտիգրաֆում, ապա կառուցենք

<∑

: Ենթադրենք

): Իրոք, քանի որ ∑

≡ (

և

+

=

, ապա մենք կվերցնենք

-ի, մենք կստանանք մուլտիգրաֆ, որի

)-ն է:

∎

Օրինակ, դիտարկենք ( , , , , , , ) հավաքածուն: Ըստ թեորեմ 6.1.2-ի այն իրացվում է մուլտիգրաֆում: Կառուցենք բերված եղանակով: Դիցուք ( ) = {

,

մուլտիգրաֆ թեորեմ 6.1.2-ի ապացույցում ,

,

,

,

,

}: Ստորև պատկերված է այդ

մուլտիգրաֆը ստանալու ամբողջ ընթացքը:

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v5

v6

v7

v1

v2

v3

v4 v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v5

v6

v7

=

v1

v2

v3

v4 Նկ. 6.1.5

§ . . Գրաֆային հավաքածուներ

Դիցուք

( )={

-ն գրաֆ է և

Պարզ է, որ յուրաքանչյուր

}-ը այդ գրաֆի գագաթների բազմությունն է:

գրաֆին կհամապատասխանի

բացասական թվերի հավաքածուն, որտեղ հավաքածուն կանվանենք

=(

( ) ( ≤ ≤ ): Այդ

=

) ամբողջ ոչ =(

)

գրաֆի աստիճանային հավաքածու: Նկատենք, որ տարբեր

գրաֆներ կարող են ունենալ նույն աստիճանային հավաքածուն: Այսպես, օրինակ, նկ. 6.2.1-ում պատկերված գրաֆները տարբեր են, սակայն նրանցից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է ( , , , , ) հավաքածուն:

Նկ. 6.2.1 =(

Այժմ ենթադրենք, որ տրված է

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի

հավաքածուն: Սահմանում 6.2.1: գոյություն ունի

=(

) հավաքածուն կանվանենք գրաֆային, եթե

գրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն

Նկատենք, որ ըստ դիտողություն 1.2.1-ի, եթե գրաֆային է, ապա ∑

=( =(

)-ն է: ) հավաքածուն

-ն զույգ թիվ է: Հեշտ է տեսնել նաև, որ եթե

հավաքածուն գրաֆային է, ապա

≤

≤

−

=(

)

( ≤ ≤ ): Նշենք, որ այս պայմանը

գրաֆների դեպքում չի հանդիսանում նաև բավարար պայման: Իրոք, եթե դիտարկենք ( , , , ) հավաքածուն, ապա հեշտ է տեսնել, որ այս հավաքածուն գրաֆային չէ: Առաջանում է բնական հարց, թե ո՞ր հավաքածուներն են գրաֆային և որոնք` ոչ, և եթե հավաքածուն գրաֆային է, ապա ինչպե՞ս կառուցել այդ աստիճանային հավաքածուն ունեցող գրաֆը: Առաջին հարցի պատասխանը տրվել է Էրդյոշի և Գալլայի կողմից, իսկ երկրորդինը` Հավելի և Հակիմիի կողմից:

=(

Թեորեմ 6.2.1 (Պ. Էրդյոշի, Տ. Գալլայի): թվերի հավաքածուն, որտեղ երբ ∑

≥

) ամբողջ ոչ բացասական

, գրաֆային է այն և միայն այն դեպքում,

-ն զույգ թիվ է և ցանկացած -ի համար ( ≤ ≤ ( − )+

≤ { ,

− ) տեղի ունի }

պայմանը: Այժմ ձևակերպենք և ապացուցենք Հավելի և Հակիմիի թեորեմը: = , ապա միակ գրաֆային հավաքածուն

Թեորեմ 6.2.2: Եթե =(

≥ , ապա

= ( )-ն է: Եթե

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի հավաքածուն, որտեղ

≥

, գրաֆային է այն և միայն այն դեպքում, երբ գրաֆային է =

− ,

− ,…,

− ,

=

− ,

− ,…,

)-ն ևս գրաֆային է: Իրոք, եթե

հավաքածուն: Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ եթե =(

գրաֆային հավաքածու է, ապա

հավաքածուն գրաֆային է, ապա գոյություն ունի հավաքածուն − ,

-ն է, և եթե մենք

− ,…,

կստացվի

−

− ,…,

− ,

=(

∈ ( )և

ունեցող և տեսնել, որ

( )=

=

հավաքածուն ևս գրաֆային է: Քանի որ

-ն

գրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն

: -ով նշանակենք

−

գրաֆի

գրաֆի աստիճանային հավաքածուն կլինի գրաֆից կանցնենք

( )∩ |<|

( ) ∩ |: Եթե

աստիճանային հավաքածուն կլինի

,

-ն է:

աստիճաններ

( ) = , ապա հեշտ է ( )≠

-ը: Ենթադրենք

գրաֆի, որի աստիճանային հավաքածուն ( ) = , ապա պարզ է որ

-ը: Եթե

−

գրաֆի

( ) ≠ , ապա մենք

գրաֆից

-ն է և |

( )∩ |<

գրաֆի, որի աստիճանային հավաքածուն

( ) ∩ |: Պարզ է, որ համանման անցումներ կատարելով, մենք ամենաշատը

քայլից կկառուցենք

հատ գագաթների հետ, ապա

հատ գագաթ պարունակող բազմությունը: Եթե

: Այս դեպքում մենք

|

գրաֆ, որի աստիճանային

)-ն գրաֆային հավաքածու է, ապա

գրաֆային է, ապա գոյություն ունի

կանցնենք

-ը

գրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն -ն է:

− ,

-ն է և |

գրաֆին ավելացնենք մեկ գագաթ և միացնենք այն

աստիճաններ ունեցող

Ցույց տանք, որ եթե

Դիցուք

− ,

∗

գրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն ևս կլինի -ն, և

∗

( )=

, իսկ

∗

−

գրաֆի աստիճանային հավաքածուն կլինի

( ) ≠ , ապա քանի որ

այդպիսի անցումները հնարավոր են: Եթե ուստի Ըստ

∈

գրաֆում գոյություն ունեն այնպիսի ( )≥

-ի սահմանման.

գոյություն ունի այնպիսի Սահմանենք

-ը: Այժմ ցույց տանք, որ

( ): Դիցուք

∉ ( ) և

= { , , }: Ցույց տանք, որ ∉

գագաթ, որ

∉ , որ

և

∈ ( ),

և

= | |,

( )=

∈ ( ): գրաֆում

∉ ( ) (նկ. 6.2.2):

թիվը հետևյալ կերպ. , եթե ∉ ( ), , հակառակ դեպքում:

=

S x w

y

⋮

z Նկ. 6.2.2 Այժմ

գագաթի գոյությունը

դուրս գտնվող մասում ունի գտնվող մասում ունի անցնենք

( )−

գրաֆում հետևում է նրանից, որ

( )− −

հատ հարևան գագաթներ,

գրաֆի հետևյալ կերպ.

=

−

գրաֆի աստիճանային հավաքածուն ևս -ն է և |

−

+

+

գագաթը ( )≥

հատ հարևան գագաթներ և

գագաթը

( ):

-ից

-ից դուրս գրաֆից

: Հեշտ է տեսնել, որ

( )∩ |<|

( ) ∩ |:

∎

Թեորեմ 6.2.2-ը հնարավորություն է տալիս առաջարկել ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս կառուցել տրված հավաքածուի համար նրան համապատասխան գրաֆը կամ տալիս է բացասական պատասխան, եթե այդ հավաքածուն գրաֆային չէ: Ալգորիթմ =(

Դիցուք տրված է որտեղ

≥

Քայլ 1:

) ամբողջ ոչ բացասական թվերի հավաքածուն,

:

հավաքածուի համար կառուցել ըստ թեորեմ 6.2.2-ի

Քայլ 2: Դասավորել

հավաքածուն:

հավաքածուի տարրերը չաճման կարգով և ստացված

հավաքածուն անվանել Քայլ 3:

( )

( )

:

հավաքածուի համար կառուցել ըստ թեորեմ 6.2.2-ի

Քայլ 4: Դասավորել հավաքածուն անվանել

( )

հավաքածուն:

հավաքածուի տարրերը չաճման կարգով և ստացված :

Քայլ 5: Կատարել նմանատիպ քայլեր մինչև չգտնվի բացասական տարր պարունակող հավաքածու (հավաքածուն գրաֆային չէ) կամ հավաքածուի բոլոր տարրերը լինեն զրոներ (հավաքածուն գրաֆային է):

Օրինակ, դիտարկենք

= ( , , , , , , ) հավաքածուն: Կիրառենք նկարագրված

ալգորիթմը պարզելու համար, գրաֆային է արդյոք ( , , , , , , ) հավաքածուն, թե ոչ: Դրա

համար

ալգորիթմի

աշխատանքի

ընթացքում

հավաքածուի համար պահենք հետևյալ տիպի աղյուսակը.

Քայլ 1-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը.

Քայլ 2-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը. ( ) ( )

Քայլ 3-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը.

Քայլ 4-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը. ( ) ( )

ստացվող

յուրաքանչյուր

Քայլ 5-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը.

Քայլ 6-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը. ( ) ( )

Քայլ 7-ից հետո կստանանք հետևյալ աղյուսակը.

Քանի որ

= ( , , ) հավաքածուի բոլոր տարրերը զրոներ են, ուստի

( , , , , , , ) հավաքածուն գրաֆային է: Այժմ կառուցենք

=

=( , , , , , , )

հավաքածուին համապատասխան գրաֆը: Կառուցումը կատարվում է վերջից (նկ. 6.2.3):

d (3)

d

(2)

d

(1)

d

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

Նկ. 6.2.3

=(

Այժմ դիտարկենք այն հարցը, թե երբ

) գրաֆային հավաքածուին

համապատասխանում է կապակցված գրաֆ և, մասնավորապես, ծառ: Կասենք, որ գոյություն ունի

=(

) հավաքածուն իրացվում է կապակցված գրաֆում, եթե

=(

կապակցված գրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն

)-ն

է:

≥

≥ ( − ) պայմանը:

Ապացույց: Նախ ցույց տանք, որ եթե որտեղ ∑

≥

) գրաֆային հավաքածուն, որտեղ

, իրացվում է կապակցված գրաֆում այն և միայն այն դեպքում, երբ

և տեղի ունի ∑

>

=(

≥ , ապա

Թեորեմ 6.2.3: Եթե

=(

)-ն գրաֆային հավաքածու է,

, իրացվում է կապակցված գրաֆում, ապա

> 0 և տեղի ունի

≥ ( − ) պայմանը: Իրոք, քանի որ կապակցված գրաֆը չի պարունակում

մեկուսացված գագաթներ, կստանանք, որ

> 0: Մյուս կողմից քանի որ ցանկացած

կապակցված գրաֆ պարունակում է կմախքային ծառ ըստ թեորեմ 2.3.4-ի, ուստի ըստ թեորեմ 1.2.1-ի կստանանք, որ ∑ Ցույց տանք, որ եթե ⋯≥

≥ ( − ):

=(

> 0 և տեղի ունի ∑

)-ն գրաֆային հավաքածու է, որտեղ

≥

≥

≥ ( − ) պայմանը, ապա այդ հավաքածուն իրացվում

է կապակցված գրաֆում: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ

-ի: Եթե

= , ապա պարզ է, որ այդ պայմաններին բավարարող հավաքածուն միակն է և այն = ( , )-ն է, որին համապատասխանում է երկու իրար հարևան գագաթներ պարունակող կապակցված գրաֆը: Ենթադրենք, =

≥

գրաֆային հավաքածուի համար, երբ

և պնդումը ճիշտ է ցանկացած < : Դիտարկենք

=(

)

գրաֆային հավաքածուն: Տրոհենք ապացույցը երկու դեպքի: Դեպք 1:

= :

Քանի որ

≥ , ուստի

Դժվար չէ ցույց տալ, որ եթե

≥ : Դիտարկենք =(

=(

− ,

)-ն գրաֆային է, ապա

հավաքածուն ևս կլինի գրաֆային: Նկատենք, որ

=(

>0 և ∑

( − ): Այստեղից, ըստ մակածման ենթադրության, հետևում է, որ կապակցված գրաֆում: Դիցուք հավաքածուն

=(

− ,

աստիճանային հավաքածուն

=(

նոր գագաթ և միացնենք այն

−

) հավաքածուն: − ,

)

=∑

−

≥

-ը իրացվում է

-ը կապակցված գրաֆ է, որի աստիճանային )-ն է: Կառուցենք կապակցված

)-ն է, հետևյալ կերպ.

գրաֆ, որի

գրաֆին ավելացնենք

աստիճան ունեցող գագաթի հետ:

Դեպք 2:

= ≥ :

Դիտարկենք տալ, որ եթե

=(

=(

− ,

)-ն գրաֆային է, ապա

− ,…,

) հավաքածուն: Դժվար չէ ցույց

− ,…,

=(

−

≥

− ,…,

= ( − ) ≥ ( − ):

−

Այստեղից, ըստ մակածման ենթադրության, հետևում է, որ

-ը իրացվում է կապակցված

գրաֆում: Դիցուք

-ը կապակցված գրաֆ է, որի աստիճանային հավաքածուն

(

− ,…,

− ,

− ,…,

աստիճանային հավաքածուն

)-ն

է:

=(

− ,

նոր գագաթ և միացնենք այն հետ:

)

− ,…,

>0և

հավաքածուն ևս կլինի գրաֆային: Նկատենք, որ =

− ,

Կառուցենք

կապակցված

)-ն է, հետևյալ կերպ. − ,…,

−

գրաֆ,

= որի

գրաֆին ավելացնենք

աստիճան ունեցող գագաթների

∎

Կասենք, որ

=(

) հավաքածուն իրացվում է ծառում, եթե գոյություն ունի =(

ծառ, որի աստիճանային հավաքածուն

)-ն է: Թեորեմ 5.2.3-ի ապացույցի

դեպք 1-ի դատողությունները կրկնելով, կարելի է ապացուցել հետևյալ թեորեմը: Թեորեմ 6.2.4: Եթե

≥ , ապա

=(

) հավաքածուն, որտեղ

, իրացվում է ծառում այն և միայն այն դեպքում, երբ

≥

> 0 և տեղի ունի ∑

=

( − ) պայմանը:

§ . . Տրոհվող գրաֆների և կատարյալ զուգակցում պարունակող գրաֆների աստիճանային հավաքածուներ Սահմանում 6.3.1:

գրաֆը կոչվում է տրոհվող, եթե այդ գրաֆի գագաթների

բազմությունը կարելի է տրոհել

և

ենթաբազմությունների այնպես, որ

( ) [ ]-ն

պարունակում է միայն մեկուսացված գագաթներ, իսկ [ ]-ն` լրիվ գրաֆ է: Թեորեմ 6.3.1 (Պ. Համմեր, Բ. Սիմեոնե): Եթե հավաքածու է, որտեղ հավաքածուն

=(

≥

)-ն է, ապա

,և

=(

)-ն գրաֆային

-ն ցանկացած գրաֆ է, որի աստիճանային

-ն տրոհվող գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում,

երբ տեղի ունի

= ( − )+ = ( )=

պայմանը, որտեղ

Ապացույց: Դիցուք բազմությունը

և

{:

≥ − }:

-ն տրոհվող գրաֆ է: Տրոհենք

գրաֆի գագաթների

[ ]-ն պարունակի ամենաշատ

ենթաբազմությունների այնպես, որ

քանակությամբ զույգ առ զույգ հարևան գագաթներ: Պարզ է, որ այդ դեպքում, եթե ∈ ,

∈

և | | = , ապա

( )≥ −

( ) < : Այստեղից հետևում է, որ

և

= :

Քանի որ [ ]-ն լրիվ գրաֆ է, իսկ [ ]-ն անկախ բազմություն է, ուստի ճիշտ է ∑ ( − )+∑

պայմանը, որտեղ

= ( )=

{:

≥ − }: =(

Այժմ ենթադրենք -ն գրաֆ է, որի աստիճանային հավաքածուն Դիցուք

( )={

երկու մասի. ∑

=

ներդրումն է, իսկ

=∑

={

} և

={

}: Տրոհենք ∑

+ , որտեղ -ն այդ գումարի մեջ

-ն` այդ գումարի մեջ

Հեշտ է տեսնել, որ ( − )+∑

},

≤ ( − ) և

(

∈ ,

=

( ,

)-ն է:

գումարը

∈ ) տեսքի կողերի

∈ ) տեսքի կողերի ներդրումն է:

: Մյուս կողմից պարզ է, որ ∑

≤∑

=

= ( − )և

պայմանը տեղի ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ

, իսկ դա նշանակում է, որ [ ]-ն լրիվ գրաֆ է, [ ]-ն անկախ բազմություն է

և, հետևաբար, -ն տրոհվող գրաֆ է: ∎ =(

Թեորեմ 6.3.1-ից հետևում է, որ եթե համապատասխան

գրաֆը

տրոհվող

գրաֆ

) գրաֆային հավաքածուին

է,

ապա

այդ

հավաքածուին

համապատասխանող բոլոր գրաֆները տրոհվող են: Հետևյալ թեորեմի պնդումն առաջարկվել է որպես հիպոթեզ 1970-ին Գրյունբաումի կողմից և ապացուցվել Կունդուի կողմից 1973-ին և Լովասի կողմից՝ 1974-ին: Թեորեմ 6.3.2 (Կունդու, Լովաս): Դիցուք

-ը ամբողջ թվեր են: Որպեսզի

գոյություն ունենա կատարյալ զուգակցում պարունակող հավաքածուն (

=(

), ′ = (

)-ն է, անհրաժեշտ է և բավարար, որ

− ,…,

աստիճանային հավաքածուն

=

=(

կատարյալ զուգակցում պարունակող գրաֆի

զուգակցում է: Նկատենք, որ այդ դեպքում

-ը լինի զույգ, և

− ) հավաքածուները լինեն գրաֆային:

Ապացույց: Ենթադրենք, որ

−

գրաֆ, որի աստիճանային

)-ն է, և դիցուք -ը զույգ է,

գրաֆի աստիճանային հավաքածուն

-ը =(

գրաֆի որևէ կատարյալ

− ,…,

)-ը գրաֆային է և − )-ն է, որտեղից

հետևում է, որ գրաֆային է նաև ′ հավաքածուն: Հիմա ենթադրենք, որ

=(

-ը զույգ է,

) և

− )

− ,…,

հավաքածուները գրաֆային են, և ցույց տանք, որ այդ դեպքում գոյություն ունի կատարյալ զուգակցում պարունակող (

=

գրաֆ, որի աստիճանային հավաքածուն

)-ն է: =(

Քանի որ

) հավաքածուն գրաֆային է, ապա գոյություն ունի

որի աստիճանային հավաքածուն

′ հավաքածուն, ապա գոյություն ունի

գրաֆային է նաև

( )={

-ն է: Ենթադրենք, որ

գրաֆ,

}: Քանի որ

′ գրաֆ, որի աստիճանային

′-ն է: Առանց ընդհանրությունը խախտելու, կարող ենք ենթադրել, որ

հավաքածուն

( ′) = ( ) = {

}:

Դիտարկենք վերոհիշյալ պայմաններին բավարարող բոլոր նրանցից ընտրենք

և

′ գրաֆները, և

′ գրաֆներն այնպես, որ |( ( )\ ( ′)) ∪ ( ( ′)\ ( ))|

և

ամենափոքրն է: Ցույց տանք, որ այսպիսի ընտրության դեպքում

′ ⊆ , այսինքն

′-ը ′⊆ ,

գրաֆի ենթագրաֆ է: Նկատենք, որ վերջինս կապացուցի թեորեմը, քանի որ եթե ապա ( )\ ( ′)–ը կլինի Ենթադրենք, որ

գրաֆի կատարյալ զուգակցում:

′⊈

և դիտարկենք

( ) բազմությանը պատկանող

գագաթը,

որը կից է առավելագույն թվով կողերի ( ′)\ ( )-ից: Դիցուք այդ թիվը -է: Այդ դեպքում, ակնհայտ է, որ

պատկանող ցանկացած

( )=

կողի

( )\ ( ′)-ից: Դիտարկենք

գագաթ, որտեղ

∈ ( )\{ , } համար, եթե

∈ ( )\ ( ′): Նախ ցույց տանք, որ

գագաթ գոյություն ունի,

∈ ( )\ ( ′), ապա

∈ ( ): Ենթադրենք, որ

գրաֆը, որն ստացվում է -ից հետևյալ կերպ. հեռացնենք

-ից, և ավելացնենք համընկնում են

∈ ( )

( )+ :

Ցույց տանք, որ ցանկացած

Դիտարկենք

( ) բազմությանը

∈ ( ′)\ ( ), և ընտրենք որևէ

∈ ( )\ ( ′): Նկատենք, որ այդպիսի

գագաթ այնպես, որ քանի որ

+

-ն կից է

և

կողերը: Նկատենք, որ

∉ ( ): և

կողերը

գրաֆի աստիճանները

գրաֆի աստիճանների հետ, բայց

|( ( )\ ( ′)) ∪ ( ( ′)\ ( ))| < |( ( )\ ( ′)) ∪ ( ( ′)\ ( ))|, ինչը հակասում է

∉ ( ′): Ենթադրենք, որ հետևյալ կերպ. հեռացնենք Նկատենք, որ

∈ ( ): Հիմա ցույց տանք, որ

գրաֆի ընտրությանը: Հետևաբար, ∈ ( ′): Դիտարկենք և

կողերը

′′ գրաֆը, որն ստացվում է

′-ից, և ավելացնենք

′′ գրաֆի աստիճանները համընկնում են

և

′-ից

կողերը:

′ գրաֆի աստիճանների հետ,

բայց |( ( )\ ( ′′)) ∪ ( ( ′′)\ ( ))| < |( ( )\ ( ′)) ∪ ( ( ′)\ ( ))|, ինչը հակասում է ′ գրաֆի ընտրությանը: Հետևաբար,

∉ ( ′) և

∈ ( )\ ( ′):

Նկատենք, որ ( )\ ( ′) բազմությանը պատկանող այն կողերի քանակը, որոնք կից են

գագաթին, ավելին է, քան նույն բազմությանը պատկանող այն կողերի քանակը,

որոնք կից են

գագաթին: Իրոք, ցանկացած

( )\ ( ′) ( ≠ , ): Ավելին, մենք ունենք նաև պատկանել կամ չպատկանել ( )-ում և

∈ ( )\ ( ′) կողը (

∈

կողը կարող է

( )\ ( ′)-ին, բայց այն միևնույն ներդնումն է ունենում

( )-ում երկու դեպքում էլ): Սա հակասում է

ապացուցում է թեորեմը: ∎

∈ ( )\ ( ′) կողի համար

գագաթի ընտրությանն, ինչն

Գլուխ 7

Հարթ գրաֆներ

§ . . Հարթ գրաֆների պարզագույն հատկությունները Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է:

Սահմանում 7.1.1:

գրաֆը կոչվում է հարթ, եթե այն կարելի է այնպես պատկերել

հարթության վրա, որ ցանկացած կող չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից:

G

F

H

Նկ. 7.1.1 Դիտարկենք նկ. 7.1.1-ում պատկերված հարթ գրաֆ է: Համոզվենք, որ ում նշված

և

և

,

և

գրաֆները: Հեշտ է տեսնել, որ

-ն

գրաֆները ևս հարթ են: Իրոք, դիտարկենք նկ. 7.1.2-

գրաֆների պատկերումները: Հեշտ է տեսնել, որ այդ պատկերումները

այնպիսին են, որ ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Թեև դիտարկված գրաֆները հարթ են, սակայն գոյություն ունեն նաև գրաֆներ, որոնց հնարավոր չէ պատկերել հարթության վրա այնպես, որ կողերը չհատվեն: Պարզվում է, որ լրիվ երկկողմանի

,

գրաֆը

հնարավոր չէ պատկերել հարթության վրա այնպես, որ կողերը չհատվեն: Այն, որ

,

գրաֆը հարթ չէ, մենք կապացուցենք քիչ անց, իսկ այժմ ցույց տանք, որ ցանկացած գրաֆ

միշտ

հնարավոր

է

այնպես

պատկերել

ℝ -ում,

որ

ցանկացած

կող

չունենա

ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից:

F

H

Նկ. 7.1.2 Թեորեմ 7.1.1: Կամայական

գրաֆ կարելի է այնպես պատկերել տարածության

մեջ, որ ցանկացած կող չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Ապացույց: Ապացույցի համար դիտարկենք տարբեր | ( )| հատ կետեր: Այժմ դիտարկենք

առանցքը և նշենք

-ի վրա իրարից

-ով անցնող հարթությունները և նրանց

մեջ ֆիքսենք | ( )| հատ հարթություն: Այդ հարթությունները ֆիքսելուց հետո յուրաքանչյուր հարթության վրա տանենք մեկական կող կիսաշրջանի տեսքով: Հեշտ է տեսնել, որ այդ պատկերման դեպքում թեորեմի պնդումը դառնում է ակներև: ∎ Դիցուք

հարթ գրաֆը պատկերված է հարթության վրա այնպես, որ ցանկացած կող

չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից:

գրաֆի նիստ կոչվում է հարթության այն մաքսիմալ տիրույթը, որտեղ

ցանկացած երկու կետ կարող են միացվել գրաֆի կողերը չհատող անընդհատ գծով: Նիստերից մեկը անսահմանափակ է, որը նաև անվանում են անվերջ նիստ, մյուսները

սահմանափակ են: Նիստի եզր կանվանենք այդ նիստին պատկանող գագաթների և կողերի բազմությունը: Երկու նիստեր կանվանենք հարևան, եթե նրանք ունեն ընդհանուր

կող: Դիտարկենք նկ. 7.1.3-ում բերված

-ից

` անսահմանափակ է: Նշենք նաև, որ այդ գրաֆի

նիստերը սահմանափակ են, իսկ նիստերը հարևան են, իսկ

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ այդ գրաֆի

և

և

-ը` հարևան չեն:

f9 G f6

f5 f1

f7

f2

f4

f3

f8

Նկ. 7.1.3 Պարզվում է, որ ցանկացած կապակցված հարթ գրաֆում այդ գրաֆի գագաթների, կողերի և նիստերի քանակների միջև կապ գոյություն ունի, որը հայտնաբերվել է Էյլերի կողմից և հայտնի է որպես Էյլերի բանաձև: Թեորեմ 7.1.2 (Լ. Էյլեր): Եթե -ն կապակցված հարթ ( ,

)-գրաֆ է, որն ունի

հատ

նիստ, ապա տեղի ունի −

+

=

հավասարությունը: Ապացույց: Ենթադրենք, որ տրված է

կապակցված հարթ գրաֆը, որը

պատկերված է հարթության վրա այնպես, որ ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Նկատենք, որ ցանկացած ծառ հարթ գրաֆ է, որն ունի միայն անսահմանափակ նիստ: Եթե =

-ն չի պարունակում ցիկլ, ապա այն ծառ է ( = ) և ըստ թեորեմ 2.3.1-ի

+ , ուստի

−

+

= : Այստեղից հետևում է, որ թեորեմը ճիշտ է ծառերի

համար: Այժմ ենթադրենք, որ Նշանակենք այդ

-ն ծառ չէ: Ըստ թեորեմ 2.3.4-ի

ծառի կողերի քանակը

-ն կմախքային ծառ է, ուստի

=

−

-ն ունի

կմախքային ծառ:

-ով, իսկ նիստերի քանակը` և

-ով: Քանի որ

= : Այդ կմախքային ծառը ստանալու

ժամանակ

մենք

գրաֆի

ցիկլերից

հեռացնում

ենք

կողեր,

պահպանելով

կապակցվածությունը: Ցանկացած այդպիսի կող հեռացնելուց տեղի ունի հետևյալը. 1. գագաթների քանակը չի փոխվում, 2. կողերի քանակը մեկով պակասում է, 3. նիստերի քանակը մեկով պակասում է, քանի որ կողը հեռացնելուց հետո այդ կողին հարևան երկու նիստերը միաձուլվում են: Այստեղից հետևում է, որ −

և

= , ուստի

−

=

−

−

=

−

=

Հետևանք 7.1.1: Լրիվ երկկողմանի

− ,

=

: Մյուս կողմից, ինչպես նշել ենք, և, հետևաբար,

−

+

= : ∎

գրաֆը հարթ չէ:

Ապացույց: Իրոք, ենթադրենք հակառակը.

,

գրաֆը հարթ է: Նկատենք, որ

,

-ը

կապակցված ( , )-գրաֆ է: Այդ դեպքում, համաձայն թեորեմ 7.1.2-ի, այն կունենա =

−

+

=

նիստ: Քանի որ

,

-ը երկկողմանի գրաֆ է, ուստի նրա յուրաքանչյուր

նիստի եզր պարունակում է առնվազն չորս կող: Այստեղից, հաշվի առնելով, որ յուրաքանչյուր կող մասնակցում է ամենաշատը երկու նիստում, կստանանք, որ ,

≥

∙

=

, ինչը հնարավոր չէ: ∎

Հետևանք 7.1.2: Լրիվ

գրաֆը հարթ չէ:

Ապացույց: Իրոք, ենթադրենք հակառակը. կապակցված ( , =

−

+

=

=

գրաֆը հարթ է: Նկատենք, որ

-ը

)-գրաֆ է: Այդ դեպքում, համաձայն թեորեմ 7.1.2-ի, այն կունենա նիստ: Քանի որ

գրաֆի յուրաքանչյուր նիստի եզր պարունակում է

առնվազն երեք կող, և հաշվի առնելով, որ յուրաքանչյուր կող մասնակցում է ամենաշատը երկու նիստում, կստանանք, որ

=| (

)| ≥

∙

> 10, ինչը հնարավոր չէ: ∎

Դիտողություն 7.1.1: Թեորեմ 7.1.2-ից նաև հետևում է, որ ցանկացած կապակցված հարթ ( ,

)-գրաֆի համար նիստերի քանակը կախված չի լինի հարթության վրա այդ

գրաֆի պատկերման ձևից, եթե ցանկացած կող չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Կամայական այդպիսի պատկերման մեջ նիստերի քանակը կլինի

−

+ :

Հարթ գրաֆների կարևոր հատկություններից է այդ գրաֆներում գագաթների և կողերի քանակների միջև առկա գծային կապը:

Թեորեմ 7.1.3: Եթե

-ն կապակցված հարթ ( ,

)-գրաֆ է ( ≥ ), ապա տեղի ունի

≤

−

անհավասարությունը:

Ապացույց: Իրոք, քանի որ յուրաքանչյուր նիստ սահմանափակված է առնվազն երեք կողերով (բացառությամբ այն դեպքի, երբ ≤

−

-ն երեք գագաթ ունեցող ծառ է, որի դեպքում

անհավասարությունը տեղի ունի) և յուրաքանչյուր կող մասնակցում է

ամենաշատը երկու նիստում, կստանանք, որ

≤

: Մյուս կողմից, համաձայն թեորեմ

7.1.2-ի, ստանում ենք հետևյալը. = որտեղից ստացվում է

≤

− −

+

≤

−

+

=

− ,

անհավասարությունը: ∎

Հետևանք 7.1.3: Ցանկացած հարթ գրաֆում գոյություն ունի գագաթ, որի աստիճանը հինգից ավել չէ: Ապացույց: Իրոք, ենթադրենք հակառակը. գոյություն ունի այնպիսի հարթ որի ցանկացած | ( )| = ∑

∈ ( )

∈ ( )-ի համար

գրաֆ,

( ) ≥ : Այստեղից և թեորեմ 1.2.1-ից հետևում է, որ

( ) ≥ | ( )|, ինչը հակասում է թեորեմ 7.1.3-ին: ∎

Սահմանում 7.1.3:

հարթ գրաֆը կոչվում է մաքսիմալ հարթ գրաֆ, եթե այդ

գրաֆին ցանկացած նոր կող ավելացնելուց ստացվող գրաֆը հարթ չէ: Հեշտ է տեսնել, որ -ն մաքսիմալ հարթ գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այդ գրաֆի յուրաքանչյուր նիստ եռանկյուն է: Ստորև պատկերված է մաքսիմալ հարթ գրաֆի օրինակ:

Նկ. 7.1.4 Նշենք նաև առանց ապացույցի Ուիտնիի թեորեմը մաքսիմալ հարթ գրաֆների մասին: Թեորեմ 7.1.4: Առնվազն չորս գագաթ պարունակող ցանկացած մաքսիմալ հարթ գրաֆ -կապակցված է: Հայտնի է, որ հարթության կետերի և սֆերայի կետերի միջև գոյություն ունի

փոխմիարժեք համապատասխանություն: Պարզվում է, հարթ գրաֆների և սֆերայի վրա պատկերվող գրաֆների միջև ևս գոյություն ունի կապ: Այստեղ հասկանում ենք, որ գրաֆը պատկերվող է սֆերայի վրա, եթե այդ գրաֆի գագաթներին կարող ենք համապատասխանեցնել սֆերայի կետեր (տարբեր գագաթներին տարբեր կետեր), և եթե երկու գագաթ կազմում են կող գրաֆում, ապա նրանց համապատասխան կետերը միացվում են անընդհատ կորով առանց ինքնահատումների, որը չի անցնում մեկ այլ գագաթին համապատասխան կետով,

և տարբեր կողերին համապատասխանող

անընդհատ կորերը չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից:

N

u

v

v' u'

P Նկ. 7.1.5

Թեորեմ 7.1.5: Գրաֆը սֆերայի վրա պատկերվող է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն հարթ է: Ապացույց:

Այս

թեորեմը

ապացուցելու

համար

ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիան (նկ. 7.1.5): Դիցուք Տանենք այդ սֆերային շոշափող հակառակ

է

դիտարկել

գրաֆը պատկերված է սֆերայի վրա:

հարթություն այնպիսի կետում, որի տրամագծորեն

կետը («հյուսիսային բևեռը») չգտնվի

այդ գրաֆի գագաթ: Այժմ դիտարկենք վրա

բավական

գրաֆի կողի վրա կամ հանդիսանա

գրաֆը, որը ստացվել է

կետից

հարթություն

գրաֆի ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիայի միջոցով: Քանի որ գոյություն ունի

փոխմիարժեք համապատասխանություն սֆերայի ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիաների միջև, ուստի

կետից տարբեր կետերի և նրանց

գրաֆը պատկերված է

հարթության

վրա այնպես, որ ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Այստեղից հետևում է, որ

գրաֆը հարթ է և

իզոմորֆ է -ին: Համանման ձևով ապացուցվում է հակառակ պնդումը, հաշվի առնելով վերը նշված

փոխմիարժեք համապատասխանությունը: ∎ Թեորեմ 7.1.6: Եթե

գրաֆը պատկերված է հարթության վրա այնպես, որ

ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից, և -ն այդ գրաֆի որևէ նիստի եզրի կողերի բազմությունն է, ապա

գրաֆը կարելի է այնպես պատկերել հարթության վրա, որ ցանկացած կող

չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից, և -ն հանդիսանա անսահմանափակ նիստի եզրի կողերի բազմություն: Ապացույց: Թեորեմն ապացուցելու համար բավական է դիտարկել ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիան: Դիցուք -ն

նիստի եզրի կողերի բազմությունն է: Եթե -ը անսահմանափակ նիստ

է, ապա ակնհայտ է, որ

-ն անսահմանափակ նիստի եզրի կողերի բազմություն է:

Ենթադրենք, -ը սահմանափակ նիստ է: Ընտրենք այդ

նիստի որևէ ներքին

անվանենք այն «հյուսիսային բևեռ»: Այնուհետև պատկերենք նշված եղանակով: Տանենք այդ սֆերային շոշափող

գրաֆը սֆերայի վրա վերը

հարթություն այն կետում, որը

տրամագծորեն հակառակ է «հյուսիսային բևեռին»: Այժմ դիտարկենք ստացվել է Պարզ է, որ

կետից

հարթության վրա

գրաֆը իզոմորֆ է

համապատասխանություն սֆերայի պրոյեկցիաների միջև, ուստի

կետ և

գրաֆը, որը

գրաֆի ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիայի միջոցով: -ին: Քանի որ գոյություն ունի փոխմիարժեք

կետից տարբեր կետերի և նրանց ստերեոգրաֆիկ

գրաֆը պատկերված է

հարթության վրա այնպես, որ

ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Այստեղից հետևում է, որ

գրաֆը հարթ է: Մյուս կողմից,

հեշտ է տեսնել, որ այդ պատկերման դեպքում -ը կհանդիսանա անսահմանափակ նիստ, իսկ -ն` այդ նիստի եզրի կողերի բազմություն: ∎ Նշենք առանց ապացույցի ևս մի թեորեմ, որն ապացուցվել է Ֆարիի կողմից և հայտնի է նրա անունով: Թեորեմ 7.1.7: Ցանկացած հարթ գրաֆ կարելի է այնպես պատկերել հարթության վրա, որ ցանկացած կող հանդիսանա հատված և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Այս պարագրաֆի վերջում բերենք հայտնի

-,

- և

-համասեռ հարթ գրաֆների

օրինակներ (նկ. 7.1.6):

Նկ. 7.1.6

§ . . Հարթ գրաֆների նկարագրությունը. Պոնտրյագին-Կուրատովսկու և Վագների թեորեմները

Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է:

Սահմանում 7.2.1: Կասենք, որ եթե

գրաֆը ստացվում է

գրաֆի ենթատրոհում,

գրաֆը հանդիսանում է

գրաֆից կողի տրոհում գործողության հաջորդական

կիրառումների միջոցով: ( )≥

Եթե

և

գրաֆը

գրաֆի ենթատրոհում է, ապա

( ) ≥ , կանվանենք իրական գագաթներ: Նկատենք, որ

գագաթները, որոնց համար

իրական գագաթները հանդիսանում են Նկ. 7.2.1-ում պատկերված են հանդիսանում է ,

,

գրաֆի այն

գրաֆի գագաթների պատկերներ և

գրաֆում:

գրաֆները: Հեշտ է տեսնել, որ

գրաֆի ենթատրոհում: Նկատենք նաև, որ

գրաֆի

գրաֆը ,

,

և

գագաթները իրական են:

H

G u1

u2

u3

u1

u2

u3

w1

w2

w3

w1

w2

w3

Նկ. 7.2.1 Սահմանում 7.2.2: Կասենք, որ գրաֆը ստացվում է

գրաֆը հանդիսանում է

գրաֆի մինոր, եթե

գրաֆի ենթագրաֆից կողի կծկում գործողության հաջորդական

կիրառումների միջոցով: Նկ. 7.2.2-ում պատկերված են հանդիսանում է ,

,

կառաջանան որը իզոմորֆ է

,

և

գրաֆները: Ցույց տանք, որ

գրաֆի մինոր: Իրոք, դիտարկենք և

գրաֆի

գրաֆը

գրաֆը և այդ գրաֆի

կողերը: Այդ կողերի հաջորդական կծկումների արդյունքում ,

,

,

և

գագաթները, իսկ ստացված գրաֆը կլինի

-ը,

լրիվ գրաֆին:

u1

G H

w1

v1 u5

v5

w2

w5

u2

v2

v4

v3

w3

w4

u3

u4 Նկ. 7.2.2

Այս պարագրաֆում մեր հիմնական նպատակը կլինի տալ հարթ գրաֆների նկարագրությունը: Քանի որ կողի տրոհման գործողությունը չի խախտում գրաֆի հարթ լինելու հատկությունը, ուստի մենք կփորձենք գտնել այն տոպոլոգիական մինիմալ ոչ հարթ գրաֆները, որոնք չեն հանդիսանում այլ ոչ հարթ գրաֆների ենթատրոհումներ: Մյուս կողմից պարզ է, որ ցանկացած գրաֆ, որը պարունակում է ենթագրաֆ, որը կամ

,

-ի

-ի ենթատրոհում է, հարթ լինել չի կարող: Հետագայում, պարզության համար,

գրաֆի այն ենթագրաֆը, որը

,

-ի կամ

-ի ենթատրոհում է, կանվանենք

ենթագրաֆ: Մինիմալ ոչ հարթ գրաֆ կանվանենք այն ցանկացած

∈ ( ) կողի համար

−

գրաֆի

-

գրաֆը, որը հարթ չէ, բայց

գրաֆը հարթ է: Պարզ է, որ մինիմալ ոչ հարթ

գրաֆը կապակցված գրաֆ է: Այժմ անցնենք օժանդակ լեմմաների ապացուցմանը: Լեմմա 7.2.1: Ցանկացած մինիմալ ոչ հարթ գրաֆ -կապակցված է: Ապացույց: Դիցուք

-ն մինիմալ ոչ հարթ գրաֆ է: Քանի որ -ն կապակցված գրաֆ

է, ուստի լեմման ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ միակցման կետեր: Դիցուք ,

,

-ն

−

գագաթը

մինիմալ ոչ հարթ գրաֆ է, ուստի

,

գրաֆի միակցման կետ է: Ենթադրենք

գրաֆի կապակցված բաղադրիչներն են: Դիտարկենք =

ենթագրաֆները, որտեղ

թեորեմ 7.1.6-ի,

-ն չի պարունակում

,

(

)∪

գրաֆի

( ≤ ≤ ): Քանի որ

-ն

ենթագրաֆները հարթ են: Համաձայն

ենթագրաֆները կարելի է այնպես պատկերել հարթության

վրա, որ ցանկացած կող չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից, և

գագաթը հանդիսանա անսահմանափակ

նիստի եզրի գագաթ այդ բոլոր ենթագրաֆներում: Պատկերելով այդ ենթագրաֆները °

-ից փոքր չափի և

-ն որպես միակ ընդհանուր կետ ունեցող

անկյունների ներսում, մենք կստանանք հարթության վրա

հատ տարբեր գրաֆի այնպիսի

պատկերում, որի դեպքում ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Այստեղից հետևում է, որ

գրաֆը

հարթ է, ինչը հակասություն է: ∎ =

Լեմմա 7.2.2: Դիցուք -ն գրաֆ է,

գրաֆի ենթագրաֆներ են, որոնց համար դեպքում, եթե + ,

(

, եթե

եթե

և ( − ) ≥ : Ենթադրենք, )∩ ( =

գրաֆը հարթ չէ, ապա

)= + ,

և

(

, եթե

եթե

)∪ (

և

-ը

) = ( ): Այդ

∉ ( ), և ∈ ( )

=

∉ ( ), գրաֆներից առնվազն մեկը ևս հարթ չէ: ∈ ( )

Ապացույց: Ենթադրենք, և

,

և

-ը հարթ են: Այդ դեպքում, համաձայն թեորեմ 7.1.6-ի,

գրաֆները կարելի է այնպես պատկերել հարթության վրա, որ ցանկացած կող

չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից, և

կողը հանդիսանա անսահմանափակ նիստի եզրի կող այդ

գրաֆներում: Պատկերելով և, եթե

և

գրաֆները, նույնացնենք այդ պատկերների

կողը,

∉ ( ), դեն նետենք այդ կողը: Մենք կստանանք հարթության վրա

գրաֆի

այնպիսի պատկերում, որի դեպքում ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Այստեղից հետևում է, որ գրաֆը հարթ է, իսկ դա հակասություն է: ∎ Լեմմա 7.2.3: Եթե -ն ամենաքիչ կողեր պարունակող այնպիսի գրաֆ է, որը հարթ չէ և չունի

-ենթագրաֆ, ապա -ն -կապակցված է:

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ առաջանում

գրաֆից կող հեռացնելու արդյունքում գրաֆում չի

-ենթագրաֆ: Քանի որ ցանկացած

∈ ( ) կողի համար

−

ենթագրաֆը հարթ է, ուստի -ն մինիմալ ոչ հարթ գրաֆ է: Համաձայն լեմմա 7.2.1-ի, այդ գրաֆը

-կապակցված է: Դիցուք

ուստի, ըստ լեմմա 7.2.2-ի, -ը հարթ չէ: Քանի որ | (

և

=

,

և

( − ) ≥ : Քանի որ

-ն հարթ չէ,

գրաֆներից առնվազն մեկը հարթ չէ: Ենթադրենք, որ

)| < | ( )|, ուստի

-ը պարունակում է

-ենթագրաֆ:

Պարզ է, որ այդ ենթագրաֆը նաև մասնակցում է Մյուս կողմից, քանի որ

գրաֆը

( , )-ճանապարհ, որը

գրաֆի

Այստեղից հետևում է, որ

գրաֆում, բացի, մի գուցե,

կողից:

-ում գոյություն կունենա

-կապակցված է, ուստի

-ենթագրաֆում կհամապատասխանի

գրաֆը պարունակում է

կողին:

-ենթագրաֆ, իսկ դա

հակասություն է: ∎ / -ն ( ∈ ( )) պարունակում է

Լեմմա 7.2.4: Եթե պարունակում է

գրաֆի

=

և

= / : Դիցուք նաև

=

կողի կծկման արդյունքում ստացված գագաթն է: Եթե -ը

գրաֆի իրական գագաթ չէ, ապա ակնհայտ է, որ ենթագրաֆ: Եթե -ը կողն է կից

-ն ևս

-ենթագրաֆ:

Ապացույց: Դիցուք ընդ որում -ը

-ենթագրաֆ, ապա

-ը

գրաֆի

-ենթագրաֆ է,

գրաֆը ևս պարունակում է

-

գրաֆի իրական գագաթ է և այդ գագաթին կից ամենաշատը մեկ

գագաթին

գրաֆում, ապա

գրաֆում և այդ դեպքում

գագաթից մենք կարող ենք անցնել

գագաթը կհանդիսանա

գագաթ: Այսպիսով, այս դեպքում ևս

u1

գրաֆի

գրաֆը պարունակում է

z

→ → →

-ենթագրաֆ:

v1 y

u2

v2

-ենթագրաֆի իրական

u1

v1

կողի

x

u2

v2

H ⊆G ' Նկ. 7.2.3 Միակ դեպքը, որը մենք չենք դիտարկել, այն է, որ ենթատրոհում, -ը գրաֆում կից է

գրաֆի իրական գագաթ է և

և

-ը հանդիսանում է

գագաթներից յուրաքանչյուրը

գագաթին կից չորս կողերից երկուսին (նկ. 7.2.3): Դիցուք

գրաֆի այն իրական գագաթներն են, որոնք

գրաֆի

գագաթով սկսվող և

գրաֆում

-ը

գագաթին

կից կողով անցնող ճանապարհների մյուս ծայրակետերն են, իսկ

և

իրական գագաթներն են, որոնք

գագաթին կից կողով

գագաթով սկսվող և

գրաֆում

-ը`

և

անցնող ճանապարհների մյուս ծայրակետերն են: Այդ դեպքում, դեն նետելով

գրաֆի այն

գրաֆից

(

,

)-ճանապարհը և (

կստանանք

գրաֆում

գագաթներ են, իսկ ,

,

,

)-ճանապարհը և անցնելով

,

գրաֆի ենթատրոհում, որտեղ ,

գագաթից ,

կողի, մենք

-ը մի կողմի իրական

-ը` մյուս կողմի (նկ. 7.2.3): ∎

Նախորդ պարագրաֆում մենք նշել ենք Ֆարիի թեորեմը, որը պնդում է, որ ցանկացած հարթ

գրաֆ կարելի է այնպես պատկերել հարթության վրա, որ ցանկացած

կող հանդիսանա հատված և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Եթե նաև պահանջենք, որ յուրաքանչյուր սահմանափակ նիստ այդ պատկերման դեպքում հանդիսանա ուռուցիկ բազմանկյուն, ապա կասենք, որ

գրաֆն

ունի ուռուցիկ պատկերում: Այսպես, օրինակ, նկ. 7.1.6-ում բերված են որոշ -համասեռ, -համասեռ և -համասեռ հարթ գրաֆների ուռուցիկ պատկերումներ: Նշենք, որ ոչ բոլոր հարթ գրաֆները ունեն ուռուցիկ պատկերումներ. օրինակ, հեշտ է տեսնել, որ կապակցված հարթ պարզվում է, որ բոլոր

,

-

≥ : Սակայն,

գրաֆը չունի այդպիսի պատկերում, երբ

-կապակցված հարթ գրաֆները ունեն այդպիսի պատկերում:

Մենք կբերենք այդ փաստի Տոմասսենի ապացույցը՝ միաժամանակ ապացուցելով հարթ գրաֆների նկարագրությունը: Թեորեմ 7.2.1 (Տատտ): Եթե -ն -կապակցված գրաֆ է և այն չի պարունակում ենթագրաֆ, ապա

-

գրաֆը ունի ուռուցիկ պատկերում:

Ապացույց: Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ | ( )|-ի: Նախ նկատենք, որ չորսից ոչ ավելի գագաթ ունեցող գրաֆների համար թեորեմի պնդումը ճիշտ է: Իրոք, այդ պայմանին բավարարող միակ -կապակցված գրաֆը գրաֆի ուռուցիկ պատկերումը բերված է նկ. 7.1.7-ում: Ենթադրենք, | ( )| ≥

ենթագրաֆ, երբ | ( )| < | ( )|: Դիտարկենք գրաֆում գոյություն ունի

գրաֆ է, ընդ որում -ը

գրաֆի

=

և թեորեմի

գրաֆի համար, որը չի պարունակում

պնդումը ճիշտ է ցանկացած -կապակցված

թեորեմ 3.3.6-ի,

-ն է, իսկ այդ

=

-կապակցված

-

գրաֆը: Համաձայն

կող, որ / գրաֆը ևս -կապակցված

կողի կծկման արդյունքում ստացված գագաթն է:

Համաձայն լեմմա 7.2.4-ի, / գրաֆը ևս չի պարունակում

-ենթագրաֆ և, հետևաբար,

ըստ մակածման ենթադրության, / գրաֆը ունի ուռուցիկ պատկերում: Դիտարկենք այդ պատկերումը: Պարզ է, որ / −

գրաֆի պատկերում գոյություն ունի նիստ (այդ նիստը

կարող է լինել նաև անսահմանափակ նիստը), որը պարունակում է այդ նիստը սահմանափակված է

գագաթը: Դիցուք

պարզ ցիկլով:

x xi

x

y

x

u y

x i+1

a

v

y

b

c

Նկ. 7.2.4 / գրաֆը ունի ուռուցիկ պատկերում, ուստի

Քանի որ

հարևան գագաթների հետ հատվածներով: Դիցուք գագաթները

գագաթը միացված է իր

գագաթի հարևան

( ≥ )

պարզ ցիկլի վրայով շարժվելիս հերթականորեն հանդիպում են հենց այդ

հաջորդականությամբ: Եթե պարզ ցիկլի որևէ ( ,

գագաթի բոլոր հարևան գագաթները պատկանում են

)-ճանապարհին, ապա մենք կարող ենք ստանալ

ուռուցիկ պատկերում, տեղադրելով պատկերման դեպքում, իսկ

գագաթը

գագաթի կետում

գագաթը տեղադրելով

գագաթներ

/ գրաֆի ուռուցիկ

գագաթին մոտ կետում`

կողերի արանքում (նկ. 7.2.4 a): Հակառակ դեպքում` ընդհանուր հարևան գագաթներ (նկ. 7.2.4 b) կամ

գրաֆի

և

և

գագաթները ունեն երեք

գագաթը ունի երկու −

պարզ ցիկլի վրա, որոնք պատկանում են

և

−

հարևան

ենթագրաֆի

կապակցվածության տարբեր բաղադրիչներին (նկ. 7.2.4 c): Առաջին դեպքում հեշտ է տեսնել, որ -ն,

գրաֆի ենթատրոհում, իսկ երկրորդ դեպքում`

գրաֆը պարունակում է

,

ճանապարհները և

կողը կազմում են

,

գրաֆի ենթատրոհում: ∎

Այժմ մենք կարող ենք ձևակերպել հարթ գրաֆ լինելու հայտանիշը. Թեորեմ 7.2.2 (Պոնտրյագին, Կուրատովսկի): դեպքում, երբ այն չի պարունակում ենթագրաֆ, որը

գրաֆը հարթ է այն և միայն այն ,

-ի կամ

-ի ենթատրոհում է:

Նկատենք, որ այս թեորեմի ապացույցը բխում է հետևանք 7.1.1, 7.1.2, լեմմա 7.2.3 և թեորեմ 7.2.1-ից: Նշենք նաև առանց ապացույցի հարթ գրաֆների ևս մի նկարագրում: Թեորեմ 7.2.3 (Վագներ): պարունակում

,

կամ

Նկատենք, որ եթե

գրաֆը հարթ է այն և միայն այն դեպքում, երբ

-ն չի

որպես մինոր: գրաֆը պարունակում է ենթագրաֆ, որը

,

կամ

-ի

ենթատրոհում է, ապա ակնհայտ է, որ այն նաև կպարունակի Մյուս կողմից պարզվում է, հակառակ պնդումը ևս ճիշտ է. եթե ,

կամ

կամ

,

որպես մինոր:

գրաֆը պարունակում է

որպես մինոր, ապա այդ գրաֆը նաև կպարունակի ենթագրաֆ, որը

,

կամ

-ի ենթատրոհում է: Այսպիսով, թեորեմ 7.2.2-ը և 7.2.3-ը համարժեք են:

§ . . Արտաքին հարթ գրաֆները և Հարարի-Չարտրանդի թեորեմը

Դիցուք

= ( , )-ն հարթ գրաֆ է:

Սահմանում 7.3.1:

հարթ գրաֆը կոչվում է արտաքին հարթ գրաֆ, եթե այն կարելի

է այնպես պատկերել հարթության վրա, որ ցանկացած կող չունենա ինքնահատում, ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր (բացի գագաթներից), և բոլոր գագաթները պատկանեն միևնույն նիստին: Նկատենք, որ թեորեմ 7.1.6-ից հետևում է, որ մենք միշտ կարող ենք ենթադրել, որ արտաքին հարթ գրաֆում բոլոր գագաթները պարունակող նիստը անսահմանափակ նիստն է:

G

F

H

Նկ. 7.3.1 Դիտարկենք նկ. 7.3.1-ում պատկերված ,

և

գրաֆները: Հեշտ է տեսնել, որ ,

և

գրաֆները արտաքին հարթ են, քանի որ այդ հարթ գրաֆների բոլոր գագաթները պատկանում են անսահմանափակ նիստին: Չնայած նկ. 7.3.1-ում պատկերված գրաֆներին, գոյություն ունեն նաև գրաֆներ, որոնք արտաքին հարթ չեն: Այսպես, օրինակ, հեշտ է տեսնել, որ նկ. 7.3.2-ում պատկերված երկու գրաֆները արտաքին հարթ չեն:

Նկ. 7.3.2 Ստորև

կձևակերպենք

և

կապացուցենք

արտաքին

հարթ

գրաֆների

մի

նկարագրում: Թեորեմ 7.3.1:

գրաֆը արտաքին հարթ է այն և միայն այն դեպքում, երբ

+

գրաֆը հարթ է: Ապացույց: Նախ ենթադրենք,

գրաֆը արտաքին հարթ է և այն պատկերված է

հարթության վրա այնպես, որ ցանկացած կող չունի ինքնահատում, ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր (բացի գագաթներից), և բոլոր գագաթները պատկանում են անսահմանափակ նիստին: Այդ դեպքում, տեղադրելով

գագաթը ( ∉ ( ))

անսահմանափակ նիստի որևէ կետում և միացնելով այդ գագաթը

գրաֆի բոլոր

գագաթների հետ այնպես, որ միացման արդյունքում չառաջանան կողերի հատման կետեր, մենք կստանանք, որ Այժմ ենթադրենք, որ պարունակում է

+

գրաֆը հարթ է: +

գրաֆը հարթ է: Այդ դեպքում

գագաթ, որը հարևան է

+

գրաֆի բոլոր գագաթներին: Դիցուք

գրաֆը +

հարթ գրաֆը պատկերված է հարթության վրա այնպես, որ ցանկացած կող չունի ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունեն ընդհանուր կետեր (բացի գագաթներից): Հեռացնելով այդ պատկերման մեջ մասնակցող կստանանք, որ

գագաթը և նրան կից կողերը մենք

գրաֆի բոլոր գագաթները պատկանում են միևնույն նիստին, ուստի -ն

արտաքին հարթ գրաֆ է: ∎ Ինչպես նշել ենք, Պարզվում

,

և

գրաֆները հարթ են, բայց արտաքին հարթ չեն (նկ. 7.3.2):

է, այդ գրաֆները կարևոր դեր ունեն արտաքին հարթ գրաֆների

նկարագրության մեջ: Թեորեմ 7.3.2 (Հարարի, Չարտրանդ):

գրաֆն արտաքին հարթ է այն և միայն այն

դեպքում, երբ այն չի պարունակում ենթագրաֆ, որը

,

-ի կամ

-ի ենթատրոհում է:

Ապացույց: Նախ ենթադրենք. ենթագրաֆ, որը

,

-ի կամ

ուստի

+

գրաֆը հանդիսանում է

գրաֆը կպարունակի ենթագրաֆ, որը +

հետևաբար, ըստ թեորեմ 7.2.2-ի,

-ի կամ

7.3.1-ի,

-ի ենթատրոհում է, բայց

+

,

-ի կամ

-ի կամ

-ի ենթատրոհում, -ի ենթատրոհում է,

գրաֆ, որը չի պարունակում ենթագրաֆ, որը -ն արտաքին հարթ չէ: Համաձայն թեորեմ

գրաֆը հարթ չէ և, հետևաբար, ըստ թեորեմ 7.2.2-ի,

կպարունակի ենթագրաֆ, որը դեպքում

,

գրաֆը հարթ չէ, իսկ դա հակասություն է:

Այժմ ենթադրենք, որ գոյություն ունի ,

+

-ի ենթատրոհում է: Համաձայն թեորեմ 7.3.1-ի,

+

գրաֆը հարթ է: Քանի որ

գրաֆը արտաքին հարթ է և պարունակում

,

-ի կամ

+

գրաֆը

-ի ենթատրոհում է: Հեշտ է տեսնել, որ այդ

գրաֆը կպարունակի ենթագրաֆ, որը

,

-ի կամ

-ի ենթատրոհում է, ինչը

հակասություն է: ∎ Նշենք նաև առանց ապացույցի արտաքին հարթ գրաֆների ևս մի նկարագրում: Թեորեմ 7.3.3 (Հարարի, Չարտրանդ): դեպքում, երբ -ն չի պարունակում Սահմանում 7.3.2:

,

կամ

գրաֆը արտաքին հարթ է այն և միայն այն որպես մինոր:

արտաքին հարթ գրաֆը կոչվում է մաքսիմալ արտաքին հարթ

գրաֆ, եթե այդ գրաֆին ցանկացած նոր կող ավելացնելուց ստացվող գրաֆը արտաքին հարթ չէ: Դժվար չէ համոզվել, որ նկ. 7.3.1-ում պատկերված արտաքին հարթ գրաֆներ են, իսկ տեսնել նաև, որ

և

գրաֆները մաքսիմալ

-ը` մաքսիմալ արտաքին հարթ գրաֆ չէ: Հեշտ է

-ն մաքսիմալ արտաքին հարթ գրաֆ է այն և միայն այն դեպքում, երբ

այդ գրաֆի յուրաքանչյուր նիստ եռանկյուն է, բացի, մի գուցե, անսահմանափակ նիստից: Այժմ ապացուցենք մի օժանդակ լեմմա: Լեմմա 7.3.1: Կամայական արտաքին հարթ գրաֆում գոյություն ունի գագաթ, որի աստիճանը երկուսից ավելի չէ: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ լեմմայի պնդումն ակնհայտ է չորսից ոչ ավելի գագաթ ունեցող արտաքին հարթ գրաֆներում: Դիցուք

-ն արտաքին հարթ գրաֆ է և

| ( )| ≥ : Այդ գրաֆին ավելացնենք կողեր այնպես, որ ստացված

գրաֆը լինի

մաքսիմալ արտաքին հարթ գրաֆ: Պարզ է, որ այդ դեպքում անսահմանափակ նիստի եզրը կհանդիսանա համիլտոնյան ցիկլ: Դիցուք այդ համիլտոնյան ցիկլը Դիտարկենք

ցիկլի բոլոր

ճանապարհով և

լարերը և ընտրենք այն մեկը, որի դեպքում

-ն է:

ցիկլի ( , )-

կողով սահմանափակված հարթության տիրույթը պարունակում է

նվազագույն քանակությամբ սահմանափակ նիստեր: Դիցուք այդ լարը

-ն է: Հեշտ է

տեսնել, որ այդ դեպքում նիստերի քանակը հավասար է մեկի: Այստեղից հետևում է, որ այդ նիստի եզրը կպարունակի

∈ ( ) գագաթ, որի համար

( )≤

և, հետևաբար,

( )≤ : ∎ Ինչպես հարթ գրաֆների դեպքում, այդպես էլ արտաքին հարթ գրաֆների դեպքում, գոյություն ունի կապ գրաֆի գագաթների և կողերի քանակների միջև:

-ն արտաքին հարթ ( ,

Թեորեմ 7.3.4: Եթե ≤

−

)-գրաֆ է ( ≥ ), ապա տեղի ունի

անհավասարությունը:

Ապացույց: Թեորեմի ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ Թեորեմի պնդումը ակնհայտ է

համար

դեպքում: Ենթադրենք, որ

≥

և թեորեմը ճիշտ է

արտաքին հարթ գրաֆի համար, երբ | ( )| < : Դիտարկենք

ցանկացած հարթ ( ,

≤

)-գրաֆը: Համաձայն լեմմա 7.3.1-ի, ( ) ≤ : Դիտարկենք

է և | ( )| =

=

−

գրաֆում գոյություն ունի

գրաֆը: Պարզ է, որ

արտաքին գագաթ, որի

գրաֆը արտաքին հարթ

− : Ըստ մակածման ենթադրության, | ( )| ≤ ( − ) −

Այստեղից հետևում է, որ

= | ( )| ≤ | ( )| +

≤

-ի:

=

− :

− : ∎

§ . . Գրաֆները մակերևույթների վրա, գրաֆի սեռը և խաչումների թիվը

Նախորդ պարագրաֆներում մենք հիմնականում դիտարկում էինք հարթ գրաֆներ, ինչպես նաև նշեցինք, որ գոյություն ունեն գրաֆներ, որոնք հարթ չեն (օրինակ, գրաֆը, երբ

լրիվ

≥ ): Նկատեցինք նաև, որ հարթ գրաֆներն այն և միայն այն գրաֆներն են,

որոնք հնարավոր է պատկերել սֆերայի վրա այնպես, որ տարբեր կողերին համապատասխանող

անընդհատ

կորերը

չունենան

գագաթներից: Ավելի ընդհանուր ձևով կարող ենք ասել, որ

ընդհանուր

կետեր,

բացի

գրաֆը կարելի է պատկերել

մակերևույթի վրա, եթե այդ գրաֆի գագաթներին կարող ենք համապատասխանեցնել -ի կետեր (տարբեր գագաթներին տարբեր կետեր), այնպես, որ եթե երկու գագաթ կազմում են կող գրաֆում, ապա դրանց համապատասխան կետերը միացվում են ինքնահատում չունեցող անընդհատ կորով, որը չի անցնում մեկ այլ գագաթին համապատասխան կետով, և տարբեր կողերին համապատասխանող անընդհատ կորերը չունեն ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Բնական հարց է առաջանում. հնարավո՞ր

է արդյոք ոչ հարթ գրաֆները պատկերել այլ մակերևույթների վրա: Այդ հարցին դրական պատասխան է տրվել Քյոնիգի կողմից: Դրա համար ցանկացած գրաֆը պատկերենք սֆերայի վրա, թույլ տալով, որ կողերը հատվեն, բայց թույլ չտալով, որ երեք կող հատվեն միևնույն կետում: Այնուհետև կողերի յուրաքանչյուր հատման համար այդ սֆերային ավելացնենք բռնակ և հատվող կողերից մեկը անցկացնենք բռնակի վրայով, իսկ մյուսը` բռնակի տակ: Պարզ է, որ արդյունքում մենք կպատկերենք գրաֆը որոշակի քանակությամբ բռնակներ ունեցող սֆերայի վրա: Իհարկե, այդպիսի պատկերման դեպքում մենք կօգտագործենք ավելի շատ բռնակներ, քան անհրաժեշտ է, և, հետևաբար, բնական է դիտարկել ցանկացած գրաֆի համար բռնակների նվազագույն քանակը, որը անհրաժեշտ է այդ գրաֆի պատկերման համար բռնակներ ունեցող սֆերայի վրա: Դիցուք են

,

և

∈

:

-ով նշանակենք

բռնակ ունեցող սֆերան: Ստորև պատկերված

-ը:

Նկ. 7.4.1 (Այս տարածական պատկերները նկարեց Մարտիրոսյան Հայկը) Սահմանում 7.4.1:

գրաֆի ( ) սեռ կանվանենք այն նվազագույն -ն, որի դեպքում

այդ գրաֆը կարելի է պատկերել

-ի վրա:

Թեորեմ 7.1.5-ից հետևում է, որ ( ) =

այն և միայն այն դեպքում, երբ

-ն հարթ

գրաֆ է: Այստեղից և հետևանքներ 7.1.1, 7.1.2-ից բխում է, որ Մյուս կողմից, նկ. 7.4.2-ում բերված են Հետևաբար, սֆերայի (

,

=

և

(

,

-ի և

,

-ի պատկերումները

≥

և

(

)≥ :

-ի (տորի) վրա:

) = : Այն գրաֆները, որոնք հնարավոր չէ պատկերել

-ի) վրա, սակայն հնարավոր է պատկերել տորի (

տորոիդալ գրաֆներ: Օրինակ, այդպիսին են

,

և

-ի) վրա, կոչվում են

գրաֆները:

Նկ. 7.4.2 Հայտնի է, որ գոյություն ունի Էյլերի բանաձևի ընդհանրացում կամայական սեռ ունեցող

կապակցված գրաֆի համար: Նկատենք, որ

կապակցված գրաֆը

( ) -ի

վրա

պատկերման

դեպքում

այդ

մակերևույթը

կտրոհվի

սահմանափակ

մաքսիմալ

տիրույթների (այստեղ բացակայում է անսահմանափակ տիրույթը, որը առկա էր հարթության վրա պատկերման դեպքում): Մյուս կողմից, Քյոնիգը ցույց է տվել, որ այդ տիրույթները կլինեն կապակցված տիրույթներ (այդ տիրույթների ցանկացած երկու կետեր կարող են միացվել գրաֆի կողերը չհատող անընդհատ գծով), ուստի մենք կարող կապակցված գրաֆի նիստեր

ենք անվանել այդ տիրույթները

( ) -ի

վրա պատկերման

դեպքում: Թեորեմ 7.4.1 (Լ. Էյլեր): Եթե -ն կապակցված ( , ( ) -ի

)-գրաֆ է, որն ունի

հատ նիստ

վրա պատկերման դեպքում, ապա տեղի ունի −

+

=

−

∙ ( )

հավասարությունը: Ստորև մենք առանց ապացույցի կնշենք գրաֆի սեռի հետ կապված որոշ արդյունքներ: Թեորեմ 7.4.2 (Ռինգել, Յանգս): Ցանկացած (

)=

≥

բնական թվի համար տեղի ունի

( − )( − )

հավասարությունը: ≥

Թեորեմ 7.4.3 (Ռինգել): Ցանկացած ,

=

(

և

≥

բնական թվերի համար տեղի ունի

− )( − )

հավասարությունը: Թեորեմ 7.4.4 (Ռինգել, Բայնեկե, Հարարի): Ցանկացած

≥

բնական թվի համար

տեղի ունի (

)=

+( − )∙

հավասարությունը: Նշենք նաև, որ տրված պատկանում

է

գրաֆների

գրաֆի համար տեսության

բարդ

( ) պարամետրը գտնելու խնդիրը խնդիրների

դասին

[35]:

Տարբեր

մակերևույթների վրա տրված գրաֆներին ավելի մանրամասն կարելի է ծանոթանալ Մոհարի և Տոմասսենի գրքում [28]: Սահմանում 7.4.2:

գրաֆի

( ) խաչումների թիվ կանվանենք այդ գրաֆի

հարթության վրա պատկերելու դեպքում կողերի հատումների նվազագույն քանակը:

( )=

Հեշտ է տեսնել, որ

այն և միայն այն դեպքում, երբ

Այստեղից և հետևանքներ 7.1.1, 7.1.2-ից բխում է, որ կողմից, նկ. 7.4.3-ում

,

և

,

≥

և

-ն հարթ գրաֆ է: (

) ≥ : Մյուս

գրաֆները պատկերված են այնպես, որ այդ գրաֆների

կողերը հատվում են ճիշտ մեկ անգամ: Հետևաբար,

=

,

և

(

)= :

Ստորև մենք կձևակերպենք և կապացուցենք գրաֆի խաչումների թվի մի պարզագույն ստորին գնահատական: Թեորեմ 7.4.5: Եթե

-ն ( ,

)-գրաֆ է ( ≥ ), ապա տեղի ունի

( )≥

−

+

անհավասարությունը: Ապացույց: Իրոք, դիտարկենք հարթության վրա նվազագույն քանակով պատկերումը: Եթե 7.1.3-ի,

≤

− , ուստի

−

+

գրաֆի կողերի հատումների

գրաֆը հարթ է, ապա համաձայն թեորեմ

≤ : Եթե

գրաֆը հարթ չէ, ապա կողերի

յուրաքանչյուր հատման դեպքում այդ հատումը առաջացնող կողերից մեկը հեռացնենք գրաֆից: Պարզ է, որ արդյունքում կունենանք

է, որ

( )≥

( ) ≤ | ( )| ≤

−

7.1.3-ի, ստույգ է −

−

հարթ գրաֆ, որի համար, ըստ թեորեմ անհավասարությունը: Այստեղից հետևում

+ : ∎

Նկ. 7.4.3 Ստորև մենք կնշենք լրիվ և լրիվ երկկողմանի գրաֆների խաչումների թվերի վերին գնահատականներ: Թեորեմ 7.4.6 (Գայ): Ցանկացած ( անհավասարությունը:

)≤

բնական թվի համար տեղի ունի −

−

−

≤

Հայտնի է, որ այս վերին գնահատականը ճշգրիտ է, երբ

:

y

O

x

Նկ. 7.4.4 Թեորեմ 7.4.7 (Զարանկևիչ): Ցանկացած ,

և

բնական թվերի համար տեղի ունի

−

≤

−

անհավասարությունը: Ապացույց: ,

≤ ≤

=

,

և

,

=

∶

≤ ≤

≤ ≤

գագաթը հարթության ( ∙ (− ) , ) կոորդինատներ ունեցող կետում, , իսկ

≤ ≤ : Այնուհետև ,

,

:

Տեղադրենք որտեղ

Դիցուք

գագաթը` ( , ∙ (− ) ) կոորդինատներ ունեցող կետում, որտեղ գագաթը միացնենք

գագաթի հետ ուղիղ գծով, որտեղ

≤ ≤

≤ ≤ : Դժվար չէ տեսնել, որ այս պատկերման դեպքում կողերի հատումների

քանակը կլինի հավասար

թվին, ուստի

,

≤

: ∎

Նկ. 7.4.4-ում պատկերված է թեորեմ 7.4.7-ի ապացույցում կառուցված պատկերը ,

գրաֆի դեպքում: Հայտնի է, որ այս վերին գնահատականը ճշգրիտ է, երբ

≤

≤

և

≤

≤

,

≤

կամ, երբ

:

Գրաֆների խաչումների թվերի հետ են կապված գրաֆների տեսության հայտնի և բարդ երկու հիպոթեզները, որոնք ձևակերպել է Զարանկևիչը: Հիպոթեզ 7.4.1: Ցանկացած

և ,

բնական թվերի համար տեղի ունի −

=

−

հավասարությունը: Հիպոթեզ 7.4.2: Ցանկացած (

բնական թվի համար տեղի ունի )=

−

−

−

հավասարությունը: Նշենք նաև, որ կամայական

գրաֆի համար

( ) պարամետրը գտնելու խնդիրը

պատկանում է գրաֆների տեսության բարդ խնդիրների դասին [15]:

Գլուխ 8

Գրաֆների ներկումներ

§ . . Գրաֆների գագաթային ներկումներ Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է: գրաֆի գագաթային

Սահմանում 8.1.1:

արտապատկերումը, իսկ` , … , Սահմանում 8.1.2:

-ներկում կոչվում է

թվերը կոչվում են գույներ:

գրաֆի

գագաթային -ներկումը կոչվում է ճիշտ գագաթային

∈ ( )-ի համար ստույգ է

-ներկում, եթե ցանկացած

: ( )→

( ) ≠ ( ) պայմանը: Այլ

կերպ ասած, ճիշտ գագաթային ներկումն այնպիսի ներկում է, որի դեպքում հարևան գագաթները ներկվում են տարբեր գույներով: գրաֆը կոչվում է -ներկելի, եթե գոյություն ունի

Սահմանում 8.1.3:

գրաֆի ճիշտ

գագաթային -ներկում: Այն նվազագույն -ն, որի դեպքում -ն -ներկելի է, կոչվում է գրաֆի քրոմատիկ թիվ: ( )-ով նշանակենք

G

գրաֆի քրոմատիկ թիվը:

H

F

Նկ. 8.1.1 Դիտարկենք նկ. 8.1.1-ում պատկերված նկարում բերված է

,

և

գրաֆները: Հեշտ է տեսնել, որ այդ

գրաֆի գագաթային -ներկումը, որը, սակայն, ճիշտ գագաթային -

ներկում չէ: Մյուս կողմից, հեշտ է տեսնել նաև, որ նկ. 8.1.1-ում պատկերված են ճիշտ գագաթային -ներկում և

գրաֆի

գրաֆի ճիշտ գագաթային -ներկում: Ավելին, դժվար չէ

համոզվել, որ ( ) =

և ( )= :

Նկատենք, որ ( ) = մեկուսացված են և

այն և միայն այն դեպքում, երբ

( )=

գրաֆի բոլոր գագաթները

այն և միայն այն դեպքում, երբ

-ն առնվազն մեկ կող

ունեցող երկկողմանի գրաֆ է: Քանի որ կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլը, ըստ թեորեմ 2.2.1-ի, չի հանդիսանում երկկողմանի գրաֆ, ուստի այն ճիշտ ներկելու համար անհրաժեշտ է առնվազն երեք գույն: Մյուս կողմից հեշտ է կառուցել կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլի ճիշտ գագաթային -ներկում: Այսպիսով, ստանում ենք հետևյալը. ≥ -ի համար տեղի ունի

ցանկացած

(

)=

, եթե , եթե

− ը զույգ է , − ը կենտ է ,

հավասարությունը: լրիվ գրաֆի ցանկացած երկու

Այժմ դիտարկենք լրիվ գրաֆները: Քանի որ գագաթ հարևան են, ապա ( Սահմանում 8.1.4: գրաֆն ունի

)= : ( ) խտությունը այն ամենամեծ

գրաֆի

թիվն է, որի համար

գագաթ ունեցող լրիվ ենթագրաֆ:

v3

G v2

v4

v1

v5 v8

v6 v7 Նկ. 8.1.2

Դիտարկենք նկ. 8.1.2-ում պատկերված ,

,

,

գրաֆը: Հեշտ է տեսնել, որ

ենթագրաֆը չորս գագաթ ունեցող լրիվ գրաֆ է, ուստի

գրաֆի

( ) ≥ : Մյուս

կողմից, դժվար չէ համոզվել, որ այդ գրաֆը չի պարունակում հինգ գագաթ ունեցող լրիվ ենթագրաֆ, հետևաբար,

( )= :

Հայտնի են գրաֆի քրոմատիկ թվի տարբեր գնահատականներ: Նշենք դրանցից մի քանիսը:

Թեորեմ 8.1.1: Ցանկացած

գրաֆի համար տեղի ունի ( )≤ ( )≤ ( )+

անհավասարությունը: Ապացույց: Քանի որ

( ) գագաթ ունեցող լրիվ ենթագրաֆ,

-ն պարունակում է

ուստի այդ ենթագրաֆի գագաթները պետք է ներկվեն տարբեր գույներով և, հետևաբար, ( )≥

( ):

Ցույց տանք, որ

( ) ≤ ( ) + : Ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով

ըստ | ( )|-ի: Եթե | ( )| = , ապա ( ) =

և ( ) = : Ենթադրենք, ( ) ≤ ( ) + գրաֆի համար, երբ | ( )| < | ( )|:

անվահասարությունը ճիշտ է ցանկացած Դիտարկենք

գրաֆը: Վերցնենք

գրաֆի որևէ

գրաֆը: Ըստ մակածման ենթադրության քանի որ

( ) ≤ ( ), ուստի

օգտագործվել որպես

( )≤ ( )+

,…, ( ) +

=

գագաթ և դիտարկենք

−

≤ ( ) + : Մյուս կողմից,

գույների մեջ կգտնվի մեկը, որը չի

գագաթի հարևան գագաթի գույն և, հետևաբար,

գագաթը

կարելի է ներկել այդ գույնով: Այսպիսով, ( ) ≤ ( ) + : ∎ Նշենք, որ թեորեմ 8.1.1-ում բերված ստորին և վերին գնահատականները հասանելի են: Իրոք, դիտարկենք առնվազն մեկ կող ունեցող երկկողմանի թեորեմ 2.2.1-ի, այն չի պարունակում եռանկյուն, ուստի դիտարկենք

)+

( )=

լրիվ գրաֆը և կենտ երկարություն ունեցող

ցանկացած (

գրաֆը. համաձայն

բնական թվի համար տեղի ունեն =

(

)= (

( ) = : Այժմ պարզ ցիկլը.

)+

=

և

(

)=

հավասարությունները: Մյուս կողմից, գոյություն ունեն գրաֆներ, որոնց

համար թեորեմ 8.1.1-ում բերված անհավասարությունները խիստ են: Այսպես, օրինակ, հեշտ է տեսնել, որ

= (

)>

(

)=

և

= (

)< (

)+

= :

Նշենք նաև, որ թեորեմ 8.1.1-ի ստորին և վերին գնահատականների միջին թվաբանականի հետ կապված է գրաֆների տեսության հայտնի և բարդ հիպոթեզներից մեկը, որը ձևակերպել է Ռիդը: Հիպոթեզ 8.1.1: Ցանկացած

գրաֆի համար տեղի ունի ( )≤

( )+ ( )+

անհավասարությունը:

Թեորեմ 8.1.2: Ցանկացած

գրաֆի համար տեղի ունի

| ( )| ≤ ( ) ≤ | ( )| − ( ) + ( ) անհավասարությունը: գրաֆի որևէ ճիշտ գագաթային ( )-ներկում: Պարզ է, որ

Ապացույց: Դիտարկենք ( )= որտեղ

∪

∪ ⋯∪

( )

և

∩

≤ ≠ ≤ ( ),

= ∅, երբ

-ն -րդ գույնով ներկված գագաթների բազմությունն է ( ≤ ≤ ( )): Քանի որ ( )-ներկում է, ուստի յուրաքանչյուր -ի համար

ներկումը ճիշտ գագաթային

-ն

անկախ բազմություն է ( ≤ ≤ ( )): Հետևաբար, ցանկացած -ի համար ( ≤ ≤ ( )) ստույգ է | | ≤ ( ) անհավասարությունը: Այսպիսով, ( )

| ( )| = ուստի ( ) ≥ Դիցուք

| | ≤ ( ) ∙ ( ),

| ( )| ( )

-ը

: գրաֆի որևէ առավելագույն անկախ բազմություն է: Պարզ է, որ

| | = ( ): Դիտարկենք

−

գրաֆը և ներկենք այդ գրաֆի գագաթները

( − )

գույներով այնպես, որ հարևան գագաթները ներկված լինեն տարբեր գույներով: Այնուհետև

գրաֆի

-ի գագաթները ներկենք նոր գույնով: Պարզ է, որ կունենանք

հետևյալը. ( )≤ ( − )+

≤ | ( )| − | | +

= | ( )| − ( ) + : ∎

Այստեղ նույնպես, ինչպես և թեորեմ 8.1.1-ում, գոյություն ունեն գրաֆներ, որոնց համար թեորեմ 8.1.2-ում բերված ստորին և վերին գնահատականները հասանելի են, և նաև

գոյություն

ունեն

գրաֆներ,

որոնց

համար

այդ

թեորեմում

բերված

անհավասարությունները խիստ են: Ստորև կնկարագրենք գրաֆների ճիշտ գագաթային ներկում կառուցելու մի պարզագույն ալգորիթմ:

Ներկման պարզագույն ալգորիթմ Դիցուք տրված են Հերթով ներկենք

գրաֆը և նրա գագաթների

գրաֆի

,

,

հաջորդականությունը:

գագաթները, վերագրելով

գագաթին այն

ամենափոքր գույնը, որը չի մասնակցում այդ գագաթին հարևան ներկված գագաթների վրա:

Ալգորիթմի նկարագրությունից հետևում է, որ նրա աշխատանքի արդյունքում ստացվում է

գրաֆի ճիշտ գագաթային ներկում: Ավելին, նկատենք, որ կիրառելով այս

ալգորիթմը ցանկացած

գրաֆի և նրա գագաթների որևէ հաջորդականության համար, ( )≤ ( )+

հեշտ է ստանալ թեորեմ 8.1.1-ում բերված որ

գնահատականը: Իրոք, քանի

գրաֆի գագաթների հաջորդականության մեջ ցանկացած գագաթ ունի ամենաշատը

( ) հատ ներկված հարևան գագաթներ, ապա ներկման պարզագույն ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում օգտագործվող գույների քանակը մեծ չէ ( ( ) + )-ից:

G v2

v6

v4

v1

v5

v8

v3

v7 Նկ. 8.1.3

Բերենք ներկման պարզագույն ալգորիթմի աշխատանքը պարզաբանող մի քանի օրինակներ: Դիտարկենք նկ. 8.1.3-ում պատկերված

գրաֆը:

G v1

v2

v6

v4

v5

v8

v7

v3 Նկ. 8.1.4

Նկ. 8.1.4-ում պատկերված է գրաֆի և նրա գագաթների

,

գրաֆի ճիշտ գագաթային -ներկումը, որը ստացվել է ,

,

,

,

,

,

հաջորդականության նկատմամբ

ներկման պարզագույն ալգորիթմի կիրառման արդյունքում: Քանի որ այդ ( )= ,

համար ,

,

,

,

,

,

( )= :

ապա ,

Այսպիսով,

հաջորդականության

դեպքում

գրաֆի

գրաֆի

գագաթների

ներկման

պարզագույն

գրաֆի ճիշտ գագաթային ( )-ներկում:

ալգորիթմը կառուցում է

Այժմ դիտարկենք նկ. 8.1.5-ում պատկերված

գրաֆը:

H v1

v3

v5

v7

v9

v2

v4

v6

v8

v 10

Նկ. 8.1.5 Նկ. 8.1.6-ում պատկերված է

գրաֆի ճիշտ գագաթային -ներկումը, որը ստացվել է

գրաֆի և նրա գագաթների

,

,

,

,

,

,

,

,

,

հաջորդականության

նկատմամբ ներկման պարզագույն ալգորիթմի կիրառման արդյունքում: Մյուս կողմից, քանի որ ,

,

,

-ը երկկողմանի գրաֆ է, ապա ,

,

,

,

,

ալգորիթմը կառուցում է

,

( ) = : Այսպիսով,

գրաֆի գագաթների

հաջորդականության դեպքում ներկման պարզագույն

գրաֆի ճիշտ գագաթային ( ( ) + )-ներկում:

H

v1

v2

v3

v4

v5

v6

Նկ. 8.1.6

v7

v8

v9

v 10

Հեշտ է տեսնել, որ ներկման պարզագույն ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքը էապես կախված է գրաֆի գագաթների հաջորդականությունից: Իհարկե, գույների նվազագույն քանակով ներկում գտնելու համար կարելի է առաջարկել հատարկման եղանակը: Օրինակ, կարելի է դիտարկել գրաֆի գագաթների բոլոր հնարավոր տեղափոխությունները

որպես

ներկման

պարզագույն

ալգորիթմի

հաջորդականություններ: Հետևաբար, եթե գրաֆի գագաթների քանակը դիտարկելով

գագաթների է, ապա,

! հատ տարբերակներ և յուրաքանչյուրի համար կիրառելով ներկման

պարզագույն ալգորիթմը, կարելի է գտնել այդ գրաֆի ներկման պարզագույն ալգորիթմով ստացվող բոլոր ճիշտ գագաթային ներկումները: Այնուհետև, գրաֆի բոլոր ստացված ճիշտ գագաթային ներկումներից ընտրել գույների նվազագույն քանակությամբ որևէ ներկում: Սակայն պետք է նշել, որ այդքան գործողություն կատարելը, նույնիսկ -ի փոքր արժեքների դեպքում գործնականում անհնար է: Մյուս կողմից, գոյություն ունեն գրաֆների դասեր, որոնց համար հայտնի են գագաթների հաջորդականությունները, որոնց դեպքում ներկման պարզագույն ալգորիթմը կառուցում է գույների նվազագույն քանակությամբ ներկում: Այդպիսին են, օրինակ, § 1.5-ում սահմանված միջակայքերի գրաֆները: Թեորեմ 8.1.3: Եթե -ն միջակայքերի գրաֆ է, ապա ( ) =

( ):

Ապացույց: Քանի որ -ն միջակայքերի գրաֆ է, ապա իրական թվերի ℝ բազմության =

վրա գոյություն ունի

,

(ℝ, ) գրաֆը -ն է: Դիտարկենք ստացվում է

,

փակ հատվածների ընտանիք, որի հատումների գրաֆի գագաթների այն հաջորդականությունը, որը

փակ հատվածները ըստ ձախ ծայրակետի հանդիպման

դասավորելով: Այնուհետև այդ գրաֆի համար կիրառենք ալգորիթմը: Դիցուք այդ ալգորիթմի ավարտի պահին գույնը: Քանի որ

գագաթը ստացել է առավելագույն

գագաթը ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում չի ստացել , … ,

գույներ, ուստի

գագաթին համապատասխան միջակայքի ձախ

պատկանում է նաև , … ,

−

−

−

ծայրակետը

գույներն արդեն ունեցող գագաթներին համապատասխան

միջակայքերին: Բոլոր այդ միջակայքերը պարունակում են նրա

ներկման պարզագույն

կետը, ուստի

գագաթը և

գույներ ունեցող հարևան գագաթները կազմում են լրիվ ենթագրաֆ

գրաֆում: Այսպիսով,

( )≥

և, հետևաբար, ( ) =

( ): ∎

≥ ( ): Մյուս կողմից, ըստ թեորեմ 8.1.1-ի,

( )≥

( )

Այժմ ձևակերպենք և ապացուցենք Վելշի և Պաույելլի թեորեմը:

=(

Թեորեմ 8.1.4: Եթե -ն գրաֆ է, որի աստիճանային հավաքածուն , ապա ( ) ≤

որտեղ

+

, −

)-ն է,

:

Ապացույց: Թեորեմը ապացուցելու համար մենք կկիրառենք ներկման պարզագույն

ալգորիթմը

աստիճաններ

նկատմամբ: Հեշտ է տեսնել, որ

հաջորդականության

-ը արդեն ստացել են գույներ: Հետևաբար, -րդ , −

+

գագաթների

-րդ գագաթը ներկելու ժամանակ նրա հարևան , −

գագաթներից ոչ ավելի, քան գագաթի գույնը ավելի չէ

ունեցող

-ից: Այսպիսով, ներկման պարզագույն

ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում օգտագործվող գույների քանակը չի գերազանցում +

, −

-ը: ∎

Սահմանում 8.1.5: Եթե

գրաֆի համար տեղի ունի

( )=

հավասարությունը,

( )=

հավասարությունը,

գրաֆը կոչվում է -քրոմատիկ գրաֆ:

ապա

Սահմանում 8.1.6: Եթե սակայն

գրաֆի

գրաֆի համար տեղի ունի

-ից տարբեր ցանկացած

անհավասարությունը, ապա

( )<

ենթագրաֆի համար տեղի ունի

գրաֆը կոչվում է -կրիտիկական գրաֆ:

Նկատենք, որ ցանկացած

-քրոմատիկ գրաֆ ունի

-կրիտիկական ենթագրաֆ:

Նշենք գրաֆի քրոմատիկ թվի մի վերին գնահատական, որը ստացվում է այդ գրաֆի կրիտիկական

ենթագրաֆները

ուսումնասիրելու

արդյունքում:

Ստորև

մենք

կձևակերպենք և կապացուցենք Սեկերեշի և Վիլֆի թեորեմը: Թեորեմ 8.1.5: Ցանկացած

գրաֆի համար տեղի ունի ( )≤

+

⊆

( )

անհավասարությունը: Ապացույց: Դիցուք ցույց տանք, որ ( Քանի որ համար ունի

− ∈ (

-ը

)≥

= ( )և

-ը

գրաֆի -կրիտիկական ենթագրաֆն է: Նախ

− :

գրաֆի -կրիտիկական ենթագրաֆ է, ուստի ցանկացած

գրաֆը ունի ճիշտ գագաթային ( − )-ներկում: Եթե ), որ

ներկում, որի դեպքում

( )<

− 1, ապա

-ում գոյություն

−

գույներից մեկը,

որը չի օգտագործվում նրա հարևան գագաթների համար և, հետևաբար, (

)≤

գագաթը

− , ինչը հակասում է

կրիտիկական գրաֆ լինելուն: Այստեղից հետևում է, որ (

)

գրաֆն ունի ճիշտ գագաթային ( − )-

−

գագաթի համար գոյություն կունենա , … ,

կարելի է ներկել այդ գույնով: Այսպիսով,

∈ (

)≥

− : Հետևաբար,

-ի

-

( )−

≤ (

)≤

( ): ∎

⊆

Նկատենք, որ թեորեմ 8.1.5-ից ևս հետևում է թեորեմ 8.1.1-ում բերված ( ) ≤ ( ) + գնահատականը, քանի որ ցանկացած ( )

անհավասարությունը:

Մյուս

գնահատականները հասանելի են

գրաֆի համար տեղի ունի

կողմից,

արդեն

նշել

ենք,

( )≤

⊆

որ

այդ

վերին

լրիվ գրաֆի և կենտ երկարություն ունեցող (

պարզ ցիկլի համար, քանի որ

)= (

)+

=

և

(

)= (

)+

= :

Պարզվում է այդ գրաֆները միակն են, որոնց համար այդ վերին գնահատականը հասանելի է: Սույն փաստն առաջին անգամ նշվել է Բրուքսի կողմից: Թեորեմ 8.1.6 (Բրուքս): Եթե երկարություն

ունեցող

-ն կապակցված գրաֆ է, որը լրիվ գրաֆ կամ կենտ

պարզ

ցիկլ

չէ,

ապա

տեղի

( )≤ ( )

ունի

անհավասարությունը: Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե

-ն կապակցված գրաֆ է և

( ) ≤ , ապա

թեորեմն ակնհայտ է: Ենթադրենք, կապակցված

-ն կապակցված գրաֆ է և

գրաֆ

է

և

լրիվ

գրաֆ

( ) ≥ : Ցույց տանք, որ եթե

չէ,

ապա

տեղի

գրաֆներ, որոնք լրիվ չեն,

( )≥

և

գրաֆի որևէ

Հետևաբար,

( ) = ( ) (եթե

ներկման դեպքում

գրաֆը:

գագաթ և դիտարկենք

ընտրությունից հետևում է, որ

կապակցված

( ) = ( ) + : Ընտրենք այդ գրաֆներից

նվազագույն քանակությամբ գագաթներ ունեցող Վերցնենք

( )≤ ( )

ունի

անհավասարությունը: Ենթադրենք հակառակը. գոյություն ունեն

=

−

գրաֆը:

գրաֆն ունի ճիշտ գագաթային ( ) < ( ), ապա

գրաֆի

( )-ներկում:

գրաֆի ճիշտ գագաթային

( )-

գագաթի համար գոյություն կունենա , … , ( ) գույներից մեկը, որը

չի օգտագործվում նրա հարևան գագաթների համար և, հետևաբար, ներկելով այդ գույնով, մենք կստանանք է ( )= ( )+

-ն

գագաթը

գրաֆի ճիշտ գագաթային ( )-ներկում, ինչը հակասում

պայմանին): Ավելին, կարելի է պնդել հետևյալը.

Հատկություն 1:

գրաֆի ցանկացած ճիշտ գագաթային ( )-ներկման դեպքում

գագաթի հարևան գագաթների գույները զույգ առ զույգ տարբեր են: Իրոք, եթե գոյություն ունենար

գրաֆի ճիշտ գագաթային

( )-ներկում, որի

դեպքում

գագաթի հարևան գագաթների գույները կրկնվում են, ապա գոյություն

կունենար

, … , ( ) գույներից մեկը, որը չի օգտագործվում նրա հարևան գագաթների

համար և, հետևաբար, ներկելով

գագաթը այդ գույնով, մենք նորից կստանանք

գրաֆի

ճիշտ գագաթային ( )-ներկում: = ( ) և

( )=

կարող ենք ենթադրել, որ

գրաֆի

Դիցուք

գագաթների =

:

գույներն

,

: Առանց ընդհանրությունը խախտելու ,

ճիշտ գագաթային -ներկման դեպքում , , … , -ն:

են

∈ ( ) և ( ( ) = կամ

=

Դիցուք

,

որտեղ

( ) = ) ( ≤ ≠ ≤ ):

Այժմ ապացուցենք հետևյալը. և

Հատկություն 2:

գագաթները պատկանում են

գրաֆի միևնույն

կապակցված բաղադրիչին ( ≤ ≠ ≤ ): և

Իրոք, եթե բաղադրիչներին,

գագաթները պատկանեն

ապա

վերաներկելով

գրաֆի տարբեր կապակցված

գագաթը

պարունակող

կապակցված

բաղադրիչում գույնով ներկված գագաթները գույնով, իսկ -ով ներկված գագաթները` գույնով, կստանանք

գրաֆի

ճիշտ գագաթային

-ներկում, որի դեպքում

և

գագաթները ներկված են նույն գույնով, ինչը հակասում է հատկություն 1-ին: Դիցուք

-ն

գրաֆի

և

գագաթները պարունակող կապակցված բաղադրիչն

է: Հատկություն 3:

-ն

և

գագաթները միացնող պարզ ճանապարհ է ( ≤ ≠ ≤

): Ենթադրենք

( ) > : Պարզ է, որ այդ դեպքում

երկու -ով ներկված գագաթների հետ: Քանի որ կարելի է վերաներկել

( )≤

− , ուստի

≠ , , այնպես որ ստանանք

գույնով, որտեղ

գագաթային -ներկում, որի դեպքում

գագաթը հարևան է առնվազն

և

գագաթը

գրաֆի

գագաթները ներկված են նույն գույնով, ինչը = :

հակասում է հատկություն 1-ին: Համանման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ Այժմ համոզվենք, որ

-ի մնացած բոլոր գագաթների աստիճանները 2 են:

Ենթադրենք հակառակը, և դիցուք

-ն

ճանապարհի առաջին գագաթն է, որի համար հարևան է առնվազն երեք

-ում

-ից

գագաթները միացնող

( ) > : Եթե ( ) = , ապա

գագաթը կարելի է վերաներկել

գրաֆի կպատկանեն

ճիշտ գագաթային

գույնով, որտեղ

գագաթը

( ) = , ապա

-ով ներկված գագաթներին, իսկ եթե

գագաթը հարևան է առնվազն երեք -ով ներկված գագաթներին: Քանի որ ուստի

ճիշտ

( )≤ ,

≠ , , այնպես որ ստանանք

-ներկում, որի դեպքում

և

գագաթները

գրաֆի տարբեր կապակցված բաղադրիչներին, ինչը հակասում է

հատկություն 2-ին: Հատկություն 4: (, ,

և

պարզ ճանապարհներն ունեն միայն

= , ,…, , ≠ ≠ Ենթադրենք

ընդհանուր գագաթ

≠ ):

հակառակը,

և

դիցուք

-ից

-ն

տարբեր

և

պարզ

( )= և

ճանապարհների ընդհանուր գագաթն է: Պարզ է, որ այդ դեպքում

գագաթը ( )≤

հարևան է առնվազն երկու -ով և երկու -ով ներկված գագաթներին: Քանի որ , ուստի ստանանք

գագաթը կարելի է վերաներկել գրաֆի

կպատկանեն

≠ , , , այնպես որ

գույնով, որտեղ

ճիշտ գագաթային -ներկում, որի դեպքում

և

գագաթները

գրաֆի տարբեր կապակցված բաղադրիչներին, ինչը հակասում է

հատկություն 2-ին: Քանի որ

-ն կապակցված գրաֆ է և լրիվ գրաֆ չէ, ուստի գոյություն ունեն երկու

գագաթներ, որոնք հարևան չեն, բայց ունեն ընդհանուր հարևան գագաթ: Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ այդ գագաթները Դիտարկենք ≥ , ուստի վերաներկելով

) գագաթը, որը հարևան է

գրաֆում գոյություն ունի պարզ ճանապարհի

ով ներկված գագաթները` ներկում, որի դեպքում

գույնով ներկված գագաթները

գագաթը ներկված է և

-ն են:

-ին: Քանի որ

պարզ ճանապարհ: Այդ դեպքում

գույնով, կստանանք

հետևում է, որ նոր առաջացած ( ≠

( ≠

պարզ ճանապարհի

և

գրաֆի

գույնով, իսկ

գույնով, իսկ -

ճիշտ գագաթային -ը`

-

գույնով: Այստեղից

կապակցված բաղադրիչները ունեն ընդհանուր

) գագաթ, ինչը հակասում է հատկություն 4-ին: ∎ գրաֆներ, որոնց համար ( ) =

Մենք արդեն նշել ենք, որ գոյություն ունեն Մյուս կողմից պարզվում է, որ ( ) և

( ):

( ) պարամետրերի միջև տարբերությունը կարող

է լինել մեծ ցանկացած նախապես տրված թվից: Այդ խնդիրը առաջին անգամ դրվել է Դիրակի կողմից. գոյություն ունի արդյոք եռանկյուն չպարունակող

գրաֆ, որի

քրոմատիկ թիվն ինչքան ասեք մեծ է: Դրական պատասխանը խնդրին տրվել է Զիկովի, Տատտի և Միցելսկու կողմից: Այստեղ մենք կանգ կառնենք Միցելսկու կողմից կառուցված այդպիսի գրաֆների վրա: Դիցուք

-ն գրաֆ է և

( )=

,

: Սահմանենք

գրաֆի Միցելսկու

( )

գրաֆը հետևյալ կերպ. ( ) =

,

,

,

∪

,

( ) = ( )∪

∶

( ),

∈

≤ ≤ ,

≤ ≤

∪

∶

:

) գրաֆը, որը նաև

գրաֆի Միցելսկու (

Օրինակ, նկ. 8.1.7-ում պատկերված է

≤ ≤

հայտնի է Գրոթշի գրաֆ անունով:

v2

C5

v2

μ(C 5 )

u2 v3

v1

v1

u1

v3

u3 w u5

v5

v4

u4

v5

v4

Նկ. 8.1.7 Ստորև մենք կձևակերպենք և կապացուցենք Միցելսկու թեորեմը: Թեորեմ 8.1.7: Եթե -ն եռանկյուն չպարունակող -քրոմատիկ գրաֆ է, ապա ( )-ն եռանկյուն չպարունակող ( + )-քրոմատիկ գրաֆ է: Ապացույց: Դիցուք ,

( )=

-ն եռանկյուն չպարունակող գրաֆ է,

և

: Դիտարկենք ( ) գրաֆը: Քանի որ ( ) գրաֆի գագաթների

բազմությունն անկախ է, ուստի

գագաթը պարունակող եռանկյունը պետք է երկու

( )-ից: Ըստ ( ) գրաֆի կառուցման, այդ երկու գագաթները

հարևան գագաթ ունենա կարող են լինել միայն

,

( )=

գագաթին հարևան գագաթներից: Այստեղից հետևում է, որ եթե

-ն եռանկյուն չպարունակող գրաֆ է, ապա ( ) գրաֆը ևս չի պարունակում եռանկյուն: Այժմ ցույց տանք, որ

( ) = ( ) գրաֆի

ներկում է: Սահմանենք ( ) = ( ) = ( ), երբ

≤ ≤ , և

+ : Դիցուք

այդ ներկումը

( )=

+ : Հեշտ է տեսնել, որ ( ) ≤

-ն

+ : Համոզվենք, որ

( ) գրաֆն ունի ճիշտ գագաթային

-

գրաֆի ( ) ≥

-ներկում: Դիցուք

-ն է: Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ

( ) = : Այստեղից հետևում է, որ ∶ ( )= ,

գրաֆի ճիշտ գագաթային

գագաթային ( + )-ներկումը հետևյալ կերպ.

ճիշտ գագաթային ( + )-ներկում է, ուստի + : Ենթադրենք հակառակը.

-ն

≤ ≤

: Կառուցենք

( )∈

−

, երբ

≤ ≤ : Դիցուք

=

գրաֆի ճիշտ գագաթային ( − )-ներկումը

հետևյալ կերպ. յուրաքանչյուր ≤ ≤ : Քանի որ

որտեղ

∈ -ի համար վերաներկենք այդ գագաթը ( ) գույնով, -ն ճիշտ գագաթային ներկում է, ուստի

-ն անկախ

բազմություն է: Այսպիսով, թեորեմն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ կողի կից

և

գագաթները ներկված են տարբեր գույներով, որտեղ

∈ ( ), ապա, ըստ

( ) գրաֆի կառուցման,

( ): Այժմ, հեռացնելով ( ) գրաֆից

,

( ) և, հետևաբար, ( ) ≠

∈

∈ ( )\ : Եթե

գագաթները և

գագաթը, կստանանք

գրաֆի ճիշտ գագաթային ( − )-ներկում, որի գոյությունը հակասում է ( ) =

պայմանին: Այսպիսով,

( )=

և, հետևաբար, ( )-ն եռանկյուն չպարունակող

+

( + )-քրոմատիկ գրաֆ է: ∎ Տարբեր գնահատականներ գրաֆների և նրանց լրացումների քրոմատիկ թվերի գումարի և արտադրյալի համար առաջին անգամ տրվել են Նորդհաուս և Գադումայի կողմից: Թեորեմ 8.1.8:

գագաթ ունեցող ցանկացած

գրաֆի և նրա

լրացման համար

տեղի ունեն √ ≤ ( )+ ( )≤ ≤ ( )∙ ( )≤

+

( + )

անհավասարությունները: Ապացույց: Դիտարկենք ( )= որտեղ

∪

գրաֆի ճիշտ գագաթային ( )-ներկումը: Պարզ է, որ ∪ ⋯∪

( )

և

∩

= ∅, երբ

≤ ≠ ≤ ( ),

-ն -րդ գույնով ներկված գագաթների բազմությունն է ( ≤ ≤ ( )): Այստեղից

հետևում է, որ ( )

= | ( )| =

| |,

ուստի | |≥

( )

( )

Քանի որ

-ն անկախ բազմություն է, ուստի

:

-ում գոյություն ունի | | գագաթ

պարունակող լրիվ ենթագրաֆ ( ≤ ≤ ( )): Այստեղից և թեորեմ 8.1.1-ից հետևում է, որ ( )≥

( )≥

| |≥

( )

: ( )

Այսպիսով, ( ) ∙ ( ) ≥ :

Մյուս կողմից, քանի որ ( )+ ( )

( ) ∙ ( ),

≥

ուստի ( )+ ( )

( )∙ ( )≥

≥

:

Այստեղից հետևում է, որ ( ) + ( ) ≥ √ : ( )+ ( )≤

Այժմ ցույց տանք, որ եղանակով ըստ -ի: Եթե

+ : Ապացույցը կատարենք մակածման

= , ապա պնդումն ակնհայտ է: Ենթադրենք, պնդումը ճիշտ է

գրաֆի համար, երբ | ( )| ≤ : Դիտարկենք

ցանկացած գրաֆ: Դիցուք

∈ ( ): Դիտարկենք

=

−

+

գագաթ ունեցող որևէ ( )≤ ( )+

գրաֆը: Պարզ է, որ

և

( )≤ ( )+ : Եթե

( ) = ( ) կամ

( ) = ( ), ապա, ըստ մակածման ենթադրության,

կունենանք ( )+ ( )≤ ( )+ ( )+ ( )= ( )+

Այժմ ենթադրենք, որ գրաֆներին

≤ | ( )| +

=

+ :

( ) = ( ) + : Քանի որ

և

գագաթն ավելացնելուց քրոմատիկ թիվը մեծանում է, ուստի

և

( )≥ ( )

( ) ≥ ( ): Այստեղից հետևում է, որ

և

( )+ ( )≤

( )+

( )= :

Այսպիսով, ( )+ ( )= ( )+ ( )+

≤

+ :

Մյուս կողմից, պարզ է, որ

( )∙ ( )≤

( )

( )

≤

(

)

:

∎

Նշենք, որ թեորեմ 8.1.8-ում բերված ստորին և վերին գնահատականները հասանելի են: Իրոք, դիտարկենք

լրիվ գրաֆը, չորս և հինգ երկարություն ունեցող

ցիկլերը. հեշտ է տեսնել, որ տեղի ունեն (

)+ (

)= , (

)∙ (

)=

(

)+ (

)=

+ ,

(

և

)∙ (

պարզ )=

և

հավասարությունները:

Նշենք նաև առանց ապացույցի, որ հայտնի է համարյա բոլոր գրաֆների քրոմատիկ թվի արժեքը: Թեորեմ 8.1.9 (Ա. Կորշունով): համար տեղի ունի

գագաթ ունեցող համարյա բոլոր

գրաֆների

( )~ առնչությունը: Այս պարագրաֆի վերջում անդրադառնանք նաև հարթ գրաֆների քրոմատիկ թվի գտնելու խնդրին: Այդ խնդիրը հայտնի է չորս գույների հիպոթեզ անվամբ և ունի շուրջ 150 տարվա պատմություն: Խնդրի առաջին հիշատակումը կապված է Ֆրենսիս Գուտրիի հետ, որը մոտավորապես 1850 թվականին այդ խնդիրը ձևակերպել է դե Մորգանին: Այդ խնդիրը կայանում է հետևյալում. Չորս գույների հիպոթեզ: Հնարավոր է արդյոք ամեն մի աշխարհագրական քարտեզ ներկել չորս գույների միջոցով այնպես, որ յուրաքանչյուր երկրի տարածք ներկված լինի մեկ գույնով, իսկ ընդհանուր սահման ունեցող երկրները ներկված լինեն տարբեր գույներով: Այստեղ հասկանում ենք, որ յուրաքանչյուր երկրի տարածքը կազմված է մեկ կապակցված տիրույթից և երկու երկիր համարում ենք հարևան, եթե նրանք ունեն ընդհանուր սահման գծի տեսքով, ոչ թե կետի: Տանք այդ խնդրի մաթեմատիկական ձևակերպումը. եթե աշխարհագրական քարտեզին համապատասխանեցնենք գրաֆ, որի գագաթները քարտեզի երկրներն են, իսկ կողերը` ընդհանուր սահման ունեցող երկրների զույգերը, ապա ստացված գրաֆը կլինի հարթ և չորս գույների հիպոթեզը բերվում է հարթ գրաֆի ճիշտ գագաթային ներկման խնդրին չորսից ոչ ավելի գույների միջոցով: Այսպիսով, «Չորս գույների հիպոթեզը» կունենա հետևյալ ձևակերպումը. եթե

( )≤ :

-ն հարթ գրաֆ է, ապա

Նկատենք, որ գոյություն ունեն հարթ գրաֆներ, որոնց ճիշտ գագաթային ներկման համար անհրաժեշտ է չորս գույն. այդպիսի գրաֆի մի օրինակ է հանդիսանում

լրիվ

գրաֆը: «Չորս գույների հիպոթեզով» զբաղվել են շատ մաթեմատիկոսներ և այդ հիպոթեզի առաջին, սխալ պարունակող ապացույցը, տրվել է Կեմպեի [22] կողմից: Ապացույցում սխալը հայտնաբերել էր Հիվուդը [18], որը քիչ անց ցույց տվեց, որ եթե -ն հարթ գրաֆ է, ապա

( ) ≤ : Այդ հիպոթեզը վերջնական լուծում գտավ 1976 թվականին Ապպելի և

Հակենի աշխատանքներում [2,3]: Նշենք, որ այս հիպոթեզի ապացույցի համար հեղինակները

օգտվել

են

«լիցքերի

բեռնաթափման»

եղանակից,

որի

դեպքում

անհրաժեշտ եղավ դիտարկել 1400-ից ավելի բերվող կոնֆիգուրացիաներ և որոնց ստուգումը կատարվել է համակարգիչի օգնությամբ: 1996 թվականին Ռոբերտսոնի,

Սանդերսի, Սեյմուրի և Տոմասի կողմից տրվեց այդ թեորեմի էապես ավելի պարզ ապացույց [31], որը ևս պահանջում է համակարգչի մասնակցություն, սակայն այս դեպքում դիտարկվել են 633 բերվող կոնֆիգուրացիաներ: Թեորեմ 8.1.10 (Ապպել, Հակեն): Եթե -ն հարթ գրաֆ է, ապա ( ) ≤ : Այժմ ապացուցենք Հիվուդի թեորեմը հինգ գույների մասին: Թեորեմ 8.1.11 (Հիվուդ): Եթե -ն հարթ գրաֆ է, ապա ( ) ≤ : Ապացույց: Դիցուք | ( )| = : Թեորեմի ապացույցը կատարենք մակածման եղանակով ըստ

≤ , ապա թեորեմի պնդումն ակնհայտ է: Ենթադրենք,

-ի: Եթե

գրաֆի համար, երբ | ( )| ≤

թեորեմը ստույգ է ցանկացած գագաթ ունեցող որևէ

հարթ գրաֆ: Ցույց տանք, որ

ներկում: Ենթադրենք, որ

− : Դիտարկենք

գրաֆը ունի ճիշտ գագաթային -

հարթ գրաֆը հարթության վրա պատկերված է այնպես, որ

ցանկացած կող չունենա ինքնահատում և ցանկացած երկու կողեր չունենան ընդհանուր կետեր, բացի գագաթներից: Համաձայն հետևանք 7.1.3-ի,

գրաֆում գոյություն ունի

գագաթ, որի աստիճանը հինգից ավելի չէ: Դիցուք այդ գագաթը =

−

գրաֆը: Ըստ մակածման ենթադրության, ( )≤

ներկում: Եթե

գրաֆն ունի ճիշտ գագաթային -

կամ այդ ներկման դեպքում

գույները կրկնվում են, ապա գոյություն կունենար

-ն է: Դիտարկենք

գագաթի հարևան գագաթների , , , ,

գույներից մեկը, որը չի

օգտագործվում -ի հարևան գագաթների համար և, հետևաբար, ներկելով գույնով, մենք կստանանք ,

,

,

,

=

:

( )=

-ներկում: Դիցուք

: Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ

գոյություն ունի գագաթների

գրաֆի ճիշտ գագաթային

գագաթը այդ

գրաֆի

ճիշտ գագաթային , , , , -ն

գույները

∈ ( ) և ( ( ) = կամ

-ներկում, որի դեպքում

են:

Դիցուք

=

,

,

,

,

,

որտեղ

( ) = ) ( ≤ ≠ ≤ ):

Դիտարկենք երկու դեպք: Դեպք 1:

գրաֆի

և

գագաթները պատկանում են

գրաֆի տարբեր

կապակցված բաղադրիչների: և

Իրոք, եթե բաղադրիչներին, բաղադրիչում

ապա,

վերաներկելով

գույնով ներկված գագաթները

գույնով, կստանանք գագաթները ներկված են

գագաթները պատկանում են

գրաֆի

գագաթը

գրաֆի տարբեր կապակցված պարունակող

կապակցված

գույնով, իսկ -ով ներկված գագաթները`

ճիշտ գագաթային -ներկում, որի դեպքում

գույնով: Այդ դեպքում ներկենք

գրաֆի

գագաթը

և

գույնով:

G

v1

v2

v3

u

P 13

v5

v4

P 24

Նկ. 8.1.8

Դեպք 2:

և

գրաֆի

գագաթները պատկանում են

գրաֆի միևնույն

կապակցված բաղադրիչին: Հեշտ է տեսնել, որ այդ դեպքում միացնող

գրաֆում գոյություն կունենա

պարզ ճանապարհ, որի գագաթները ներկված են

գրաֆը հարթ է, ուստի

գրաֆի

և

և

պարզ ճանապարհը կհատվեն

գագաթները

գույներով: Քանի որ

գագաթները կպատկանեն

կապակցված բաղադրիչների: Իրոք, հակառակ դեպքում, պարզ ճանապարհը և

և

և

գրաֆի տարբեր

գագաթները միացնող գրաֆի որևէ գագաթում,

իսկ դա հակասում է նրան, որ այդ ճանապարհների գագաթները ներկված են տարբեր գույներով

(նկ.

բաղադրիչում

8.1.8):

Վերաներկենք

գույնով ներկված գագաթները

գույնով, կստանանք գագաթները ներկված են

գրաֆի

գագաթը

պարունակող

կապակցված

գույնով, իսկ -ով ներկված գագաթները`

ճիշտ գագաթային -ներկում, որի դեպքում

գույնով: Այդ դեպքում ներկենք

Երկու դեպքում էլ ստացանք, որ

գրաֆի

գագաթը

և

գույնով:

գրաֆը ունի ճիշտ գագաթային -ներկում, ուստի

( )≤ : ∎ Նշենք նաև առանց ապացույցի Գրոթշի թեորեմը եռանկյուն չպարունակող հարթ գրաֆների քրոմատիկ թվի մասին: Թեորեմ 8.1.12 (Գրոթշ): Եթե

-ն եռանկյուն չպարունակող հարթ գրաֆ է, ապա

( )≤ : Հարթ գրաֆների քրոմատիկ թվի հետ է կապված նաև գրաֆների տեսության հայտնի և բարդ հիպոթեզներից մեկը, որը ձևակերպել է Հադվիգերը [16]:

Հիպոթեզ 8.1.2 (Հադվիգեր): Ցանկացած

-քրոմատիկ

գրաֆ պարունակում է

որպես մինոր: ≤ -ի դեպքում [13]: Եթե

Հայտնի է, որ այս հիպոթեզը ճիշտ է

Հադվիգերի հիպոթեզի համաձայն, ցանկացած -քրոմատիկ

գրաֆ պարունակում է

որպես մինոր: Մյուս կողմից, թեորեմ 7.2.3-ից ստացվում է, որ այդ լինել հարթ, ուստի Հադվիգերի հիպոթեզի

=

= , ապա

գրաֆը չի կարող

դեպքից հետևում է թեորեմ 8.1.10-ը:

Վագները [37] ցույց է տվել, որ իրականում թեորեմ 8.1.10-ը համարժեք է Հադվիգերի հիպոթեզի

=

դեպքի: Այստեղից հետևում է, որ Հադվիգերի հիպոթեզը ճիշտ է նաև

= -ի դեպքում: 1993 թվականին Ռոբերտսոնի, Սեյմուրի և Տոմասի կողմից տրվեց Հադվիգերի հիպոթեզի ապացույցը հիպոթեզի

≥

= -ի դեպքում [32]: Չլուծված են մնում Հադվիգերի

դեպքերը: Հադվիգերի հիպոթեզի մի ընդհանրացում դիտարկվել է

Հայոշի կողմից և հայտնի է Հայոշի հիպոթեզ անվամբ: Հիպոթեզ 8.1.3 (Հայոշ): Ցանկացած ենթագրաֆ, որը

-քրոմատիկ

գրաֆ պարունակում է

-ի ենթատրոհում է:

Դիրակը ցույց է տվել, որ այս հիպոթեզը ճիշտ է

≥ -ի դեպքում [10]: Այսպիսով, Հայոշի

Կատլինը հերքեց Հայոշի հիպոթեզը ցանկացած հիպոթեզը մնում է բաց

=

=

և

≤ -ի դեպքում [13]: Մյուս կողմից,

դեպքերում:

§ . . Գրաֆների կողային ներկումներ

Դիցուք

= ( , )-ն գրաֆ է: գրաֆի կողային

Սահմանում 8.2.1:

արտապատկերումը, իսկ` , … , Սահմանում 8.2.2:

,

: ( )→

թվերը կոչվում են գույներ:

գրաֆի

ներկում, եթե ցանկացած

-ներկում կոչվում է

կողային

-ներկումը կոչվում է ճիշտ կողային

∈ ( ) հարևան կողերի համար ստույգ է

-

( )≠ ( )

պայմանը: Այլ կերպ ասած, ճիշտ կողային ներկումն այնպիսի ներկում է, որի դեպքում հարևան կողերը ներկվում են տարբեր գույներով: Սահմանում 8.2.3: գրաֆի ճիշտ կողային ներկելի է կոչվում է

գրաֆը կոչվում է կողային -ներկում: Այն նվազագույն գրաֆի քրոմատիկ ինդեքս:

-ներկելի, եթե գոյություն ունի -ն, որի դեպքում

-ն կողային

( )-ով նշանակենք

-

գրաֆի

քրոմատիկ ինդեքսը:

G

H

F

2 1

Նկ. 8.2.1 ,

Դիտարկենք նկ. 8.2.1-ում պատկերված նկարում բերված է

և

գրաֆները: Հեշտ է տեսնել, որ այդ

գրաֆի կողային -ներկում, որը, սակայն, ճիշտ կողային -ներկում

չէ: Մյուս կողմից, հեշտ է տեսնել նաև, որ նկ. 8.2.1-ում պատկերված են ճիշտ կողային -ներկումներ: Ավելին, դժվար չէ համոզվել, որ Նկատենք, որ ցանկացած

գրաֆի համար

( )=

և

գրաֆների

( )= :

( ) ≥ ( ): Իրոք, քանի որ

գրաֆի

ճիշտ կողային ներկման դեպքում ցանկացած գագաթին կից կողերը ներկված են զույգ առ զույգ տարբեր գույներով, ուստի այդ ներկման դեպքում օգտագործվող գույների քանակը չի կարող փոքր լինի

( )-ից: Մյուս կողմից, ցանկացած

( , ) հատումների գրաֆը: Հիշեցնենք այդ

կարող ենք դիտարկել § 1.5-ում սահմանված

գրաֆի կողային ( ) գրաֆը սահմանվում է հետևյալ

կողային գրաֆի սահմանումը: կերպ.

( ) = ( ) և

տեսնել, որ ցանկացած

= ( , ) գրաֆի համար մենք

( ) =

: ,

∈ ( ),

գրաֆի համար տեղի ունի

և

( )=

− ը հարևան են : Հեշտ է ( ) հավասարությունը:

( ) ≤ ( ( ) − ) անհավասարությունը և համաձայն

Այստեղից, հաշվի առնելով

թեորեմ 8.1.1-ի, ստանում ենք հետևյալը. ( )=

( ) ≤

( ) +

≤

( )− :

Այս վերին գնահատականը հասանելի է պարզ ցիկլերի դեպքում: Իրոք, քանի որ (

)≅

, երբ

(

≥ , ուստի

)= (

): Այսպիսով, ստանում ենք, որ ցանկացած

≥ -ի համար տեղի ունի (

)=

, եթե , եթե

− ը զույգ է , − ը կենտ է ,

հավասարությունը: Պարզվում է, քրոմատիկ ինդեքսի ճշգրիտ արժեքը հայտնի է նաև երկկողմանի և լրիվ գրաֆների դեպքում: Թեորեմ 8.2.1 (Դ. Քյոնիգ): Եթե -ն երկկողմանի գրաֆ է, ապա

( ) ≥ ( ) անհավասարությունը: Ցույց

Ապացույց: Ինչպես նշել ենք, տեղի ունի

գրաֆը ունի ճիշտ կողային ( )-ներկում: Նախ ապացուցենք,

տանք, որ երկկողմանի

որ ցանկացած երկկողմանի երկկողմանի

գրաֆի համար գոյություն ունի այնպիսի

⊆

գրաֆ, որ

գրաֆը հետևյալ կերպ. վերցնենք

երկու օրինակ և միացնենք կողով առաջին

գրաֆի յուրաքանչյուր

( ) < ( ), նույն գագաթի հետ երկրորդ գրաֆը երկկողմանի է և ( =

( )-համասեռ

: Եթե -ն համասեռ երկկողմանի գրաֆ է, ապա վերցնենք

= : Հակառակ դեպքում, սահմանենք

վերցնենք

( ) = ( ):

գագաթ, որի համար

գրաֆից: Հեշտ է տեսնել, որ ստացված

) = ( ) + : Եթե

-ը համասեռ երկկողմանի գրաֆ է, ապա

: Հակառակ դեպքում, մակածման եղանակով սահմանենք

հետևյալ կերպ. վերցնենք յուրաքանչյուր

գրաֆի երկու օրինակ և միացնենք կողով առաջին

=

գրաֆը գրաֆի

( ) < ( ), նույն գագաթի հետ երկրորդ

գագաթ, որի համար

գրաֆից: Այսպիսով, վերցնելով

գրաֆի

( ),

( )

մենք կստանանք անհրաժեշտ համասեռ

երկկողմանի գրաֆը: Քանի որ

-ը ( )-համասեռ երկկողմանի գրաֆ է, ուստի համաձայն թեորեմ 5.2.4-ի,

այն պարունակում է

կատարյալ զուգակցում: Դիտարկենք

−

գրաֆը: Նկատենք,

որ այն ( ( ) − )-համասեռ երկկողմանի գրաֆ է: Համաձայն թեորեմ 5.2.4-ի, այն պարունակում է

կատարյալ զուգակցում: Դիտարկենք

−

−

գրաֆը:

Նկատենք, որ այն ( ( ) − )-համասեռ երկկողմանի գրաֆ է: Նշված քայլերը կիրառելով ( ) անգամ, մենք կստանանք

( )-համասեռ երկկողմանի գրաֆի կողերի

բազմության տրոհում զույգ առ զույգ չհատվող կատարյալ զուգակցումների. ( ) = ∪ ⋯∪

( ):

Այժմ

-րդ զուգակցման կողերը ներկենք -րդ գույնով ( ≤ ≤ ( )):

Այստեղից հետևում է, որ

-ը ունի ճիշտ կողային ( )-ներկում, քանի որ

գրաֆը ունի ճիշտ կողային

( )-ներկում և, հետևաբար, նաև ⊆

: Այսպիսով,

( ): ∎ Թեորեմ 8.2.2 (Վ. Վիզինգ): Ցանկացած (

∪

)=

≥ -ի համար տեղի ունի

− , եթե , եթե

− ը զույգ է , − ը կենտ է ,

( )≤

( )=

հավասարությունը:

(

Ապացույց: Նախ դիտարկենք -ի զույգ թիվ լինելու դեպքը: Դիցուք

=

( ∈ ℕ) և

)=

,

,

:

Դիտարկենք

գրաֆի

կողերի

բազմությունները, որտեղ =

,

=

,

,

,

,

,

= Այստեղ

,

,

-ի կողերի բազմությունը ստացվում է

:

-ի կողերից հետևյալ գործողության

միջոցով. յուրաքանչյուր կողին կից ամեն մի գագաթի ինդեքսին, բացի գումարում ենք

ըստ մոդուլ (

− )-ի: Հեշտ է տեսնել, որ կողերի

գագաթից, ,

բազմությունները զույգ առ զույգ չհատվող կատարյալ զուգակցումներ են: Այժմ զուգակցման կողերը ներկենք -րդ գույնով ( ≤ ≤ գրաֆը ունի ճիշտ կողային ( Մյուս կողմից, քանի որ

(

− ): Այստեղից հետևում է, որ

− )-ներկում և, հետևաբար,

)≥ (

)=

K 2l

-րդ

− , ուստի

(

( )=

)≤ (

)=

− :

− :

v1 v 2l−1

v2

v 2l−2

v3

v 2l−3

v4 O

v0

v l −1

v l +2 vl

v l +1 Նկ. 8.2.2

Ներկման այս եղանակն ունի հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանումը: Որպես գրաֆի գագաթներ վերցնենք շրջանագծին ներգծած կանոնավոր ( բազմանկյան գագաթները և

− )-անկյուն

կենտրոնը, իսկ որպես կողեր` համապատասխան

գագաթները միացնող հատվածները: Առաջին գույնով ներկվող կողերը պատկերված են նկ. 8.2.2-ում: Յուրաքանչյուր հաջորդ գույնով ներկվող կողերը կստացվեն, եթե նկ. 8.2.2-ի պատկերը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտենք բազմանկյան °

կենտրոնի շուրջը

չափով: Քանի որ յուրաքանչյուր պտույտի ժամանակ հերթական գույնով ներկվող

կողերի ուղղությունները փոփոխվում են, ուստի ոչ մի կող երկու անգամ չի ներկվի և −

պարզ է նաև, որ բոլոր կողերը կներկվեն

գույների միջոցով: =

Այժմ դիտարկենք -ի կենտ թիվ լինելու դեպքը: Դիցուք գրաֆը ստացվում է (

)= (

)=

(

)=

(

+ : Ցույց տանք, որ

∪

)≥

)≤

)-ներկում: Պարզ է, որ ∪ ⋯∪

որ յուրաքանչյուր

-ի համար

ցանկացած

համար

-ի

(

+ : Դիտարկենք

(

)

∩

և

= ∅, երբ

(

(

))

), )): Նկատենք,

(

-ն զուգակցում է ( ≤ ≤

( ≤ ≤

(

≤ ≠ ≤

-ն -րդ գույնով ներկված կողերի բազմությունն է ( ≤ ≤

որտեղ

( ∈ ℕ): Քանի որ

գրաֆից մեկ գագաթ հեռացնելով, ուստի

(

գրաֆի ճիշտ կողային

+

)): Հետևաբար,

ստույգ

է

| |≤

(

(

)=

(

)=

անհավասարությունը: Այսպիսով, (

∙(

+

+ )=

ուստի

(

)≥

=| (

)

)| =

| |≤

)∙

(

)∙ ,

+ : ∎

Ստորև ձևակերպենք և ապացուցենք Վիզինգի թեորեմը գրաֆների քրոմատիկ ինդեքսի մասին: Թեորեմ 8.2.3 (Վ. Վիզինգ): Կամայական ( )≤

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≤ ( )+

անհավասարությունը: Ապացույց: Ինչպես նշել ենք, ցանկացած

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≥ ( )

անհավասարությունը: Ցույց տանք, որ

գրաֆը ունի ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում:

Ենթադրենք հակառակը. գոյություն ունեն

գրաֆներ, որոնք չունեն ճիշտ կողային

( ( ) + )-ներկում: Ընտրենք այդ գրաֆներից նվազագույն քանակությամբ կողեր ունեցող

= ( , ) գրաֆը:

Վերցնենք

գրաֆի որևէ

կող և դիտարկենք

=

−

գրաֆը:

գրաֆի

գրաֆը ունի ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում, քանի որ

ընտրությունից հետևում է, որ

( ) ≤ ( ): Դիցուք այդ ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկումն յուրաքանչյուր յուրաքանչյուր

բացակայում են

( )-ով նշանակենք այն գույների բազմությունը, որոնք

գագաթում

Դիտարկենք

ներկման դեպքում:

գրաֆի

( )∩

կողը: Եթե ( )∩

∈

ներկենք կամայական

( ) ≠ ∅, ապա

( ) գույնով, որը

գրաֆի

գրաֆի

կողը

ներկման հետ միասին

գրաֆի ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում: ( )∩

Այժմ ենթադրենք,

( ) = ∅: Ցույց տանք, որ

գրաֆի

ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկման, որի դեպքում

է անցնել նոր

∈

Դիցուք

( ) և

գագաթ այնպես, որ գույն և նշենք ընտրենք

ներկման դեպքում

գագաթում բացակայում է առնվազն մեկ գույն, որով այդ գագաթին կից

կողերը չեն ներկվել:

կորոշի

( ) ≤ ( ), ուստի

գագաթի համար

գրաֆի

-ն է: Քանի որ

∈

( ): Քանի որ

∈ ( ) և

∈

)=

( ) ≠ ∅:

գագաթում որևէ

գագաթը, որի համար (

( )∩

( ), ուստի գոյություն կունենա

∉

) = : Ընտրենք

-ին հարևան այն

գագաթում որևէ

որի համար (

(

ներկումից կարելի

) գույն և նշենք

(

)=

(

∈

)

, այնուհետև

-ին հարևան այն

գագաթը,

և այլն: Շարունակելով այս պրոցեսը, կստանանք -ին հարևան

գագաթների հետևյալ հաջորդականությունը` ∈

հաջորդականությունը, որոնց համար

( ) և

,

, (

,…

և գույների

)=

(այստեղ

,

,

,…

= ) (նկ.

8.2.3):

G'

(S ∈C α (b)) b

v 1 (S 1 ∈C α (v 1 )) S

(t ∈C α (a)) a ⋱

v 2 (S 2 ∈C α (v 2 ))

S1 S2 ⋰

v3

S k −1 ⋯ S i−1

vk (S k ∈C α (v k ))

v i (S i ∈C α (v i )) Նկ. 8.2.3

Տրամաբանորեն հնարավոր են հետևյալ դեպքերը:

,

Դեպք ա): Ստացել ենք գագաթների

գույները միմյանցից տարբեր են և հնարավոր չէ նշել համար (

)=

կողը ներկենք

գույնով,

( )∩

∈

ներկում, որի դեպքում

կողը`

=

գույները միմյանցից տարբեր են և գրաֆի

Դիտարկենք

,

կողը ներկենք

գույնով և այլն,

կողը`

ճիշտ կողային ( ( ) + )-

գրաֆի

( ): ,

Դեպք բ): Ստացել ենք գագաթների

(

գագաթ, որի

-ին հարևան

գրաֆում կատարենք հետևյալ վերաներկումը.

գույնով: Պարզ է, որ արդյունքում կստանանք

∈

:

Այդ դեպքում գույնով,

,

հաջորդականությունը:

և

հաջորդականությունը:

,

( ),

∈

: ∈

գագաթները: Պարզ է, որ

( ) և

):

Դիտարկենք

=( ,

գրաֆի

կողերի բազմությունն է, որոնք Քանի որ

(

) ≤ , իսկ

) ենթագրաֆը, որտեղ

-ն

ներկման ժամանակ ներկվել են

( )=

( )=

(

կամ

գրաֆի այն գույներով:

) = , ուստի պարզ է, որ

,

և

գագաթները միևնույն կապակցված բաղադրիչին չեն պատկանում: Հնարավոր են հետևյալ երկու դեպքերը. 1.

և

գագաթները պատկանում են

գրաֆի տարբեր կապակցված

բաղադրիչներին: Այդ դեպքում, վերաներկելով բաղադրիչում

2.

և

∈

գագաթը պարունակող կապակցված

գույնով ներկված կողերը գույնով, իսկ -ով ներկված կողերը`

գույնով, կստանանք դեպքում

գրաֆի

( )∩

գրաֆի

ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում, որի

( ):

գագաթները պատկանում են

գրաֆի միևնույն կապակցված

բաղադրիչին: Այդ դեպքում գրաֆի

գագաթը չի պատկանի այդ բաղադրիչին և, վերաներկելով

գագաթը պարունակող կապակցված բաղադրիչում

կողերը գույնով, իսկ -ով ներկված կողերը`

գույնով ներկված

գույնով, կստանանք

ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում, որի դեպքում

∈

(

գրաֆի

): Ստացվեց արդեն

քննարկված ա) դեպքը: Դեպք գ): Ստացել ենք գագաթների գույների

,

,

հաջորդականությունը, որտեղ

հաջորդականությունը և =

( +

< ), իսկ մնացած

բոլոր գույները միմյանցից տարբեր են: գրաֆի ,

Դիտարկենք (

∈

և

գագաթները: Պարզ է, որ

∈

( ),

( )և

∈

): Հնարավոր են հետևյալ երկու դեպքերը.

1.

գագաթները պատկանում են

և

գրաֆի տարբեր կապակցված

բաղադրիչներին: Այդ դեպքում, վերաներկելով

գույնով ներկված կողերը

բաղադրիչում

գույնով, կստանանք (

դեպքում

գրաֆի

)=

∈

գույնով, իսկ -ով ներկված կողերը`

ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում, որի

գրաֆի

և

գագաթը պարունակող կապակցված

( )∩

( ): Ստացվեց արդեն քննարկված ա)

դեպքը: 2.

և

գագաթները պատկանում են

գրաֆի միևնույն կապակցված

բաղադրիչին: Այդ դեպքում

գագաթը չի պատկանի այդ բաղադրիչին և վերաներկելով

գագաթը պարունակող կապակցված բաղադրիչում

գրաֆի

ներկված կողերը

գույնով, իսկ -ով ներկված կողերը`

գույնով, կստանանք

ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկում, որի դեպքում

գրաֆի

գույնով

∈

(

): Նորից

ստացվեց արդեն քննարկված ա) դեպքը: Քանի որ

գագաթին հարևան գագաթների քանակը վերջավոր է, ուստի այլ դեպքեր

հնարավոր չեն: Այսպիսով, մենք ցույց տվեցինք, որ միշտ հնարավոր է ներկումից անցնել

ճիշտ կողային ( ( ) + )-ներկմանը, որի դեպքում

( ): Այնուհետև, ներկելով

գրաֆի

կողը

գույնով, կստանանք

գրաֆի ∈

( )∩

գրաֆի ճիշտ

կողային ( ( ) + )-ներկում, որը հակասում է մեր սկզբնական ենթադրությանը: ∎ Թեորեմ 8.2.2-ը ցույց է տալիս, որ թեորեմ 8.2.3-ի գնահատականները հնարավոր չէ լավացնել: Վիզինգի թեորեմը հնարավորություն է տալիս բոլոր գրաֆների բազմությունը տրոհել երկու ենթաբազմությունների: Սահմանում 8.2.4:

գրաֆը կոչվում է առաջին դասի գրաֆ, եթե

( ) = ( ),

հակառակ դեպքում` երկրորդ դասի գրաֆ:

u

P

a

x

v y

Նկ. 8.2.4 Այժմ դիտարկենք համասեռ գրաֆների քրոմատիկ ինդեքս գտնելու խնդիրը: Նկատենք, որ

համասեռ գրաֆը ունի ճիշտ կողային

( )-ներկում այն և միայն այն

դեպքում, երբ -ն -ֆակտորիզացվող գրաֆ է: Այսպես, օրինակ, թեորեմ 8.2.2-ից հետևում է, որ լրիվ

գրաֆը -ֆակտորիզացվող է, իսկ

-ը` -ֆակտորիզացվող չէ: Ինչպես

նշել ենք, եթե -ն կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլ է, ապա -ն երկրորդ դասից է: Խորանարդ գրաֆների դեպքում այդպիսի օրինակ է հանդիսանում Պետերսենի

գրաֆը

(նկ. 8.2.4): Թեորեմ 8.2.4: Եթե -ն Պետերսենի գրաֆ է, ապա

( )= :

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ Պետերսենի գրաֆը կարելի է պատկերել հինգ երկարություն ունեցող երկու պարզ ցիկլերի և այդ ցիկլերի գագաթները միացնող կատարյալ զուգակցման միջոցով: Նկ. 8.2.4-ում պատկերված հաստեցված գծերով նշված պարզ ցիկլը կանվանենք արտաքին ցիկլ, իսկ կետագծերով նշված պարզ ցիկլը` ներքին ցիկլ: Ենթադրենք հակառակը.

-ն ունի ճիշտ կողային -ներկում: Դիցուք այդ ներկումն

-ն է: Քանի որ արտաքին և ներքին պարզ ցիկլերը կենտ են, ուստի այդ ցիկլերի կողերը ներկելու համար անհրաժեշտ է երեք գույն: Դիտարկենք արտաքին ցիկլի Դիցուք

(

) = : Քանի որ խորանարդ գրաֆների ճիշտ կողային -ներկման դեպքում

յուրաքանչյուր գույն ներկա է այդ գրաֆի ցանկացած գագաթում, ուստի (

)≠

կողը:

(նկ. 8.2.4): Մյուս կողմից, քանի որ

∉ ( ), ուստի

(

)≠

և

գույնը ներկա է ներքին

պարզ ցիկլի երկու տարբեր կողերի վրա, որոնք կից են

և

գագաթներին: Այստեղից,

հաշվի առնելով, որ արտաքին ցիկլի վրա ներկա են երեք տարբեր գույներ, ստանում ենք, որ ներքին ցիկլի երկարությունը առնվազն վեց է, ինչը հակասություն է: Այսպիսով, ( ) ≥ : Մյուս կողմից, համաձայն թեորեմ 8.2.3-ի

( )≤ : ∎

Ստորև ցույց կտրվի, որ կենտ քանակությամբ գագաթներ ունեցող բոլոր համասեռ գրաֆները երկրորդ դասից են: -ն -համասեռ ( ∈ ℕ) գրաֆ է և | ( )|-ն կենտ է,

Թեորեմ 8.2.5 (Վ. Վիզինգ): Եթե ապա

( )=

+ :

Ապացույց: Դիցուք | ( )| =

( )=

∪

∪ ⋯∪

( )

և

∩

= ∅, երբ

-ն զուգակցում է ( ≤ ≤

( )): Նկատենք, որ

( )): Այստեղից, հաշվի առնելով, ( )) ստույգ է | | ≤

անհավասարությունը: Այսպիսով, ∙

ուստի

( ),

≤ ≠ ≤

-ը կենտ է, ստանում ենք, որ ցանկացած -ի համար ( ≤ ≤

( )≤

+ : Դիտարկենք

-ն -րդ գույնով ներկված կողերի բազմությունն է ( ≤ ≤

յուրաքանչյուր -ի համար որ

( )≥

( )-ներկում: Պարզ է, որ

գրաֆի ճիշտ կողային

որտեղ

≥ : Ցույց տանք, որ

և

( )≥

∙

=

( )

= | ( )| = +

| |≤

( )∙

( )≤

( )∙

−

,

> : Մյուս կողմից, համաձայն թեորեմ 8.2.3-ի,

( )≤

+ :

∎

Սահմանում 8.2.5:

գրաֆը կոչվում է գերլցված, եթե | ( )| >

∙ ( ):

Նկատենք, որ գերլցված գրաֆները ունեն կենտ քանակությամբ գագաթներ և երկրորդ դասից են: Գերլցված գրաֆների հետ է կապված Չետվինդի և Հիլտոնի հանրահայտ հիպոթեզը, որը ձևակերպված է ստորև: Հիպոթեզ 8.2.1: Դիցուք

-ն

գագաթ պարունակող գրաֆ է, որի համար

Այդ դեպքում -ն երկրորդ դասից է այն և միայն այն դեպքում, երբ -ն ունի

( )≥ : գերլցված

ենթագրաֆ, որի համար ( ) = ( ): Հայտնի է, որ այս հիպոթեզից հետևում է Գլուխ 5-ում բերված -ֆակտորիզացիայի հիպոթեզը (հիպոթեզ 5.4.1): Նշենք նաև առանց ապացույցի, որ հայտնի է համարյա բոլոր գրաֆների քրոմատիկ ինդեքսի արժեքը:

Թեորեմ 8.2.6 (Պ. Էրդյոշ, Ռ. Վիլսոն): Համարյա բոլոր գրաֆները առաջին դասից են: Այժմ անդրադառնանք հարթ գրաֆների քրոմատիկ ինդեքս գտնելու խնդրին: Այդ խնդիրը հետազոտվել է Վիզինգի [44] կողմից, որը ցույց է տվել, որ բոլոր հարթ ( )≥

գրաֆները, որոնց համար

, առաջին դասից են: Հետագայում նա ուժեղացրեց

այդ արդյունքը և ապացուցեց, որ բոլոր հարթ

( )≥ ,

գրաֆները, որոնց համար

առաջին դասից են: Մյուս կողմից, հեշտ է տեսնել, որ գոյություն ունեն հարթ որոնց համար

≤ ( )≤

գրաֆներ,

և որոնք երկրորդ դասից են: Իրոք, դրա համար բավական է

դիտարկել կենտ երկարություն ունեցող պարզ ցիկլը և այն գրաֆները, որոնք ստացվում են նկ. 7.1.6-ում պատկերված

-,

- և

-համասեռ հարթ գրաֆներից ճիշտ մեկ կողը

տրոհելով և համոզվել, որ բոլոր այդ գրաֆները գերլցված են: Այսպիսով, մենք գալիս ենք հարթ գրաֆների քրոմատիկ ինդեքսի մասին Վիզինգի հանրահայտ հիպոթեզի ձևակերպմանը: Հիպոթեզ 8.2.2 (Վ. Վիզինգ): Եթե -ն հարթ գրաֆ է, որի համար

≤ ( ) ≤ , ապա

( ) = ( ): Այս հիպոթեզի ( ) = իսկ ( ) =

դեպքը հաստատվել է 2000 թվականին Ժանգի [40] կողմից,

դեպքը մնում է բաց:

Այժմ ապացուցենք հարթ գրաֆների քրոմատիկ ինդեքսի մասին Վիզինգի թեորեմներից մեկը: Թեորեմ 8.2.7 (Վ. Վիզինգ): Եթե

-ն հարթ գրաֆ է, որի համար

( )≥

, ապա

( ) = ( ): Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը. գոյություն ունեն ( )≥

համար

=

Դիցուք

:

∈ ( )և

( )≤

համաձայն հետևանք 7.1.3-ի,

∈ է, որ

∈ ( ): Դիտարկենք

( )-ներկումն

որոնք բացակայում են

=

գրաֆը ունի ճիշտ կողային

ճիշտ կողային

\

-ն հարթ գրաֆ է, ուստի, -ը ևս հարթ գրաֆ է, ուստի,

գրաֆում գոյություն ունի

( ) ≤ : Մյուս կողմից, քանի որ , որ

= ( , ) հարթ գրաֆը:

: Քանի որ

≠ ∅: Քանի որ

համաձայն հետևանք 7.1.3-ի,

\

( )-ներկում: Ընտրենք այդ

և որոնք չունեն ճիշտ կողային

գրաֆներից նվազագույն քանակությամբ կողեր ունեցող

-ն է:

գագաթում

∉ −

, ուստի գրաֆը:

հարթ գրաֆներ, որոնց

∈ \

գագաթ, որի համար

գրաֆում գոյություն ունի այնպիսի գրաֆի ընտրությունից հետևում

( )-ներկում, քանի որ

( ) ≤ ( ): Դիցուք այդ

( )-ով նշանակենք այն գույների բազմությունը, ներկման դեպքում: Պարզ է, որ |

( )| ≥

և

|

( )| ≥ ( ) − : Եթե ( )∩

∈

( )∩

( ) գույնով, որը

( ) ≠ ∅, ապա գրաֆի

գրաֆի

կողը ներկենք կամայական

ներկման հետ միասին կորոշի

գրաֆի ճիշտ

կողային ( )-ներկում: Այժմ ենթադրենք, որ ( )−

են առնվազն

( )∩

( ) = ∅: Այստեղից հետևում է, որ

կողեր, որոնք ներկված են ,

միջոցով: Դիցուք այդ կողերը ≥ ( )−

,

≥ , ուստի

գագաթում բացակայող գույների

( ): Քանի որ

(

)∩

( ) ≠ ∅: Դիցուք

Դիտարկենք (

∈

( )≥

գագաթներից առնվազն մեկը կպատկանի

)և

,

գրաֆի

≠ (քանի որ

Դիտարկենք

, | (

∈

և

∈

(

) ≤ , իսկ

)| ≥ ( ) − ( )և ∈

և |

(

: Դիցուք

)=

և

( )| ≥ ( ) − , ուստի

( ): ( ),

∈

գագաթները: Պարզ է, որ

( ),

∈

( ) = ∅):

=( ,

կողերի բազմությունն է, որոնք Քանի որ

(

)∩

( )∩

գրաֆի

≥ ( ) − : Քանի որ

-ն են, որտեղ

բազմությանը: Որոշակիության համար ենթադրենք, որ ∈

գագաթին կից

) ենթագրաֆը, որտեղ

-ն

ներկման ժամանակ ներկվել են

( )=

( )=

(

գրաֆի այն

կամ

գույներով:

) = , ուստի պարզ է, որ

,

և

գագաթները միևնույն կապակցված բաղադրիչին չեն պատկանում: Դիտարկենք երկու դեպք: Դեպք 1:

և

գագաթները պատկանում են

գրաֆի տարբեր կապակցված

բաղադրիչներին: Այդ դեպքում, վերաներկելով բաղադրիչում կստանանք

գրաֆի

գագաթը պարունակող կապակցված

գույնով ներկված կողերը գույնով, իսկ -ով ներկված կողերը` գրաֆի

իսկ դա հակասում է Դեպք 2:

և

ճիշտ կողային ( )-ներկում, որի դեպքում ( )= ( )+

∈

գույնով,

( )∩

( ),

պայմանին:

գագաթները պատկանում են

գրաֆի միևնույն կապակցված

բաղադրիչին: Այդ դեպքում գրաֆի

գագաթը չի պատկանի այդ բաղադրիչին և, վերաներկելով

գագաթը պարունակող կապակցված բաղադրիչում

գույնով, իսկ -ով ներկված կողերը` ( )-ներկում, որի դեպքում կողը`

∈

(

գույնով, կստանանք ): Այնուհետև, ներկենք

գույնով, արդյունքում կստանանք

դա հակասում է

( )= ( )+

գույնով ներկված կողերը գրաֆի

ճիշտ կողային

կողը

գրաֆի ճիշտ կողային

գույնով և

( )-ներկում, իսկ

պայմանին: ∎

Այս պարագրաֆի վերջում նշենք նաև, որ հատուկ հետքրքրություն է ներկայացնում մուլտիգրաֆների քրոմատիկ ինդեքս գտնելու խնդիրը, որի մասին կարելի է մանրամասն ծանոթանալ [34] գրքում:

§ . . Գրաֆների տոտալ ներկումներ = ( , )-ն գրաֆ է:

Դիցուք

արտապատկերումը, իսկ` , … , Սահմանում 8.3.2:

ցանկացած

,

թվերը կոչվում են գույներ:

գրաֆի

-ներկումը կոչվում է ճիշտ տոտալ

տոտալ

-

∈ ( )-ի համար ստույգ է

( ) ≠ ( ) պայմանը,

∈ ( )-ի հարևան կողերի համար ստույգ է

( ) ≠ ( ) պայմանը և

ներկում, եթե ցանկացած ցանկացած

: ( )∪ ( )→

գրաֆի տոտալ -ներկում կոչվում է

Սահմանում 8.3.1:

∈ ( )-ի և նրան կից

∈ ( )-ի կողի համար ստույգ է

( )≠ ( )

պայմանը: Այլ կերպ ասած, ճիշտ տոտալ ներկումն այնպիսի ներկում է, որի դեպքում հարևան գագաթները և կողերը ներկվում են տարբեր գույներով և ցանկացած գագաթ և նրան կից կող ևս ներկվում են տարբեր գույներով: գրաֆը կոչվում է տոտալ

Սահմանում 8.3.3:

-ներկելի, եթե գոյություն ունի

գրաֆի ճիշտ տոտալ

-ներկում: Այն նվազագույն

-ն, որի դեպքում

ներկելի է կոչվում է

գրաֆի տոտալ քրոմատիկ թիվ:

-ն տոտալ

( )-ով նշանակենք

-

գրաֆի

տոտալ քրոմատիկ թիվը:

G

H

F

Նկ. 8.3.1 Դիտարկենք նկ. 8.3.1-ում պատկերված նկարում բերված է

,

և

գրաֆները: Հեշտ է տեսնել, որ այդ

գրաֆի տոտալ -ներկում, որը, սակայն, ճիշտ տոտալ -ներկում չէ:

Մյուս կողմից, հեշտ է տեսնել նաև, որ նկ. 8.3.1-ում պատկերված են ( )=

ճիշտ տոտալ -ներկումներ: Ավելին, դժվար չէ համոզվել, որ Նկատենք, որ ցանկացած

և

գրաֆների

( )= :

( ) ≥ ( ) + : Իրոք, քանի որ

գրաֆի համար

գրաֆի ճիշտ տոտալ ներկման դեպքում ցանկացած գագաթին կից կողերը և այդ գագաթը ներկված են զույգ առ զույգ տարբեր գույներով, ուստի այդ ներկման դեպքում օգտագործվող գույների քանակը չի կարող փոքր լինել ( ( ) + )-ից: Մյուս կողմից, = ( , ) գրաֆի համար, որտեղ

ցանկացած

( ,

դիտարկել § 1.5-ում սահմանված

=

(

∪

),

,

∪

(

, մենք կարող ենք ), … ,

հատումների գրաֆը: Տանք այդ տոտալ գրաֆի սահմանումը:

∈ ( ), ∈ ( ) և

:

− ն կից է

(

) ∪ )

գրաֆի տոտալ

( ) = ( )∪ ( ) և

գրաֆը սահմանվում է հետևյալ կերպ. ( ) ∪

∪

( )

( ) = ( )∪

− ին : Նկ. 8.3.2-ում պատկերված է

գրաֆը և նրա տոտալ ( ) գրաֆի օրինակը:

v1

T (G) G

v1

e3

v3

e1

e3 e1

e2

v2

v3

v2

e2 Նկ. 8.3.2 Հեշտ է տեսնել, որ ցանկացած

գրաֆի համար տեղի ունի

հավասարությունը: Այստեղից, հաշվի առնելով

( ) ≤

( )=

( )

( ) անհավասարությունը, և

համաձայն թեորեմ 8.1.1-ի, ստանում ենք հետևյալը. ( )= Նշենք

գրաֆների

( ) ≤

տոտալ

( ) +

քրոմատիկ

≤

թվի

( )+ :

համար

ևս

( )≤ ( )+

մի

պարզ

վերին

( ): Իրոք, ներկենք

գնահատական. ցանկացած

գրաֆի համար

սկզբից

, … , ( ) գույներով, այնպես որ հարևան գագաթները

գրաֆի գագաթները

ներկվեն տարբեր գույներով, այնուհետև ներկենք այդ գրաֆի կողերը ( ) + , … , ( ) +

( ) գույներով, այնպես որ հարևան կողերը ներկվեն տարբեր գույներով: Պարզ է, որ արդյունքում կստանանք

գրաֆի ճիշտ տոտալ ներկում, որի դեպքում օգտագործվող ( )+

գույների քանակը կլինի հավասար հասանելի է, օրինակ, լրիվ երկկողմանի ,

= , իսկ

,

,

( ) -ին: Այդ վերին գնահատականը գրաֆի համար, քանի որ

=

,

և

= : Պարզվում է, ավելի ընդհանուր փաստ տեղի ունի:

Թեորեմ 8.3.1 (Բեհզադ, Չարտրանդ, Կուպեր): Եթե -ն ունի առնվազն երկու գագաթ ( )= ( )+

և

( ), ապա -ն երկկողմանի գրաֆ է: ( )=

Ապացույց: Նախ նկատենք, որ եթե -ն չունի կող, ապա

և

( )= ( )=

, իսկ -ն ակնհայտաբար, երկկողմանի է: Ենթադրենք, որ -ն ունի առնվազն մեկ կող և ( )= ( )+

( ), բայց -ն երկկողմանի չէ: Այդ դեպքում պարզ է, որ ( ) ≥ :

Դիտարկենք

գրաֆի

գագաթների

և

կողերի

բազմությունների

հետևյալ

տրոհումները.

որտեղ

( )=

∪

∪ ⋯∪

( )

և

∩

= ∅, երբ

≤ ≠ ≤ ( ), և

( )=

∪

∪ ⋯∪

( )

և

∩

= ∅, երբ

≤

-ն անկախ բազմություն է ( ≤ ≤ ( )), իսկ

( )): Այստեղից հետևում է, որ ⋃

( )

∪ ⋃

( )

( ),

≠ ≤

-ն` զուգակցում է ( ≤ ≤

-ն հանդիսանում է

( )∪ ( )

բազմության տրոհում անկախ գագաթների և կողերի բազմությունների: Քանի որ ( ) ≥ , ուստի

զուգակցման յուրաքանչյուր կողի համար միշտ կգտնվի այնպիսի

անկախ

բազմություն, որի գագաթները կից չեն այդ կողին: Այստեղից հետևում է, որ ավելացնելով զուգակցման կողերը նրանց համապատասխան կստանանք նոր գագաթների և կողերի

,

անկախ բազմություններին, մենք ( )

բազմություններ, որտեղ

-ի

գագաթները զույգ առ զույգ հարևան չեն, կողերը զույգ առ զույգ հարևան չեն, իսկ գագաթները և կողերը` կից չեն ( ≤ ≤ ( )): Այսպիսով, դեն նետելով

զուգակցումը

գրաֆի կողերի բազմության տրոհումից, մենք կստանանք այդ գրաֆի ճիշտ տոտալ ( ( )+

( ) − )-ներկում հետևյալ եղանակով.

-րդ բազմության գագաթները և

կողերը ներկենք -րդ գույնով ( ≤ ≤ ( )), իսկ

-րդ զուգակցման կողերը ներկենք

( ( ) + − )-րդ գույնով ( ≤ ≤

( )): Այստեղից հետևում է, որ

( )< ( )+

( ),

իսկ դա հակասում է թեորեմի պայմանին: ∎ Այժմ ցույց տանք, որ ցանկացած երկկողմանի ( )+

անհավասարությունը:

գրաֆի համար ստույգ է

( )≤

( )≤ ( )+ :

Թեորեմ 8.3.2: Եթե -ն երկկողմանի գրաֆ է, ապա ( )=

Ապացույց: Դիցուք

∪

երկկողմանի

գրաֆի գագաթների բազմության

համապատասխան տրոհումն է: Համաձայն թեորեմ 8.2.1-ի, երկկողմանի ճիշտ կողային Սահմանենք

( )-ներկում: Դիցուք այդ ճիշտ կողային

գրաֆի տոտալ

( )-ներկումն

-ն է:

ներկումը հետևյալ կերպ.

1. ցանկացած

∈

-ի համար ( ) = ( ) + ,

2. ցանկացած

∈

-ի համար ( ) = ( ) + ,

3. ցանկացած

∈ ( )-ի համար ( ) = ( ):

Հեշտ է տեսնել, որ

գրաֆն ունի

-ն հանդիսանում է

գրաֆի ճիշտ տոտալ ( ( ) + )-ներկում,

( )≤ ( )+ : ∎

ուստի

Պարզվում է, տոտալ քրոմատիկ թվի ճշգրիտ արժեքը հայտնի է լրիվ և լրիվ երկկողմանի գրաֆների դեպքում: ∈ ℕ-ի համար տեղի

Թեորեմ 8.3.3 (Բեհզադ, Չարտրանդ, Կուպեր): Ցանկացած ունի (

)=

+ , եթե եթե ,

− ը զույգ է , − ը կենտ է ,

հավասարությունը: Ապացույց:

Ինչպես

նշել

ենք,

տեղի

ունի

(

)≥ (

)+

=

անհավասարությունը: Նախ դիտարկենք

-ի կենտ թիվ լինելու դեպքը: Համաձայն թեորեմ 8.2.2-ի,

գրաֆն ունի ճիշտ կողային Նկատենք, որ

-ներկում: Դիցուք այդ ճիշտ կողային

-ներկումն

ներկման դեպքում ցանկացած գագաթում բացակայում է

-ն է: , ,…,

գույներից ճիշտ մեկը, ընդ որում տարբեր գագաթներում բացակայող գույները զույգ առ զույգ տարբեր են: Ներկենք

գրաֆի յուրաքանչյուր գագաթ այն գույնով, որը

բացակայում է այդ գագաթում

ներկման դեպքում: Հեշտ է տեսնել, որ այդ ճիշտ

գագաթային

-ներկումը

ներկում: Այսպիսով,

(

ներկման հետ միասին կորոշի )≤

և, հետևաբար,

(

գրաֆի ճիշտ տոտալ

)= :

Այժմ դիտարկենք -ի զույգ թիվ լինելու դեպքը: Պարզ է, որ | ( =

(

)

: Քանի որ

-

)| + | (

)| =

+

գրաֆի ցանկացած ճիշտ տոտալ ներկման դեպքում

յուրաքանչյուր գույնով կարող է ներկված լինել ամենաշատը մեկ գագաթ, ուստի միևնույն գույնով ներկված գագաթների և կողերի քանակը չի գերազանցում

-ը: Այստեղից և

| (

)| + | (

)| =

Դիտարկենք

(

)

հավասարությունից

գրաֆը: Քանի որ (

հեռացնելով, ուստի

)≤

հետևում

է,

գրաֆը ստացվում է

(

)=

(

որ

)≥

+ :

գրաֆից մեկ գագաթ (

+ : Հետևաբար

)= ,

Թեորեմ 8.3.4 (Բեհզադ, Չարտրանդ, Կուպեր): Ցանկացած

+ : ∎

∈ ℕ-ի համար տեղի

ունի , + ,

=

,

+ , եթե

եթե

≠ , = ,

հավասարությունը: Ապացույց: Ինչպես նշել ենք, տեղի ունի

≥

,

+

,

=

,

+

անհավասարությունը: ≠

Նախ դիտարկենք ենթադրել, ∶

< :

որ

≤ ≤

,

Սահմանենք

Դիցուք

≤ ≤ ,

դեպքը: Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք

≤ ≤

,

=

,

,

,

և

գրաֆի կողային

ներկումը հետևյալ կերպ.

( + − ) , եթե + ≠ + , եթե + = + , ,

≤ ≤ :

Դժվար չէ համոզվել, որ -ն հանդիսանում է

,

գրաֆի ճիշտ կողային -ներկում:

( )-ով նշանակենք այն գույների բազմությունը, որոնք բացակայում են ներկման դեպքում: Քանի որ այնպիսի

=

,

:

= որտեղ

,

գույն, որ

գագաթում

< , ուստի յուրաքանչյուր -ի համար գոյություն կունենա ( ≤ ≤ ): Այժմ սահմանենք

∈

,

գրաֆի տոտալ

ներկումը հետևյալ կերպ. 1. ցանկացած -ի համար ( ) = =

2. ցանկացած -ի համար 3. ցանկացած

,

≤

, որտեղ

≤ ≤

,

≤ ≤ ,

∈ ( )-ի համար ( ) = ( ):

Հեշտ է տեսնել, որ ուստի

+ , որտեղ

գրաֆի ճիշտ տոտալ ( + )-ներկում,

-ն հանդիսանում է

+ : Հետևաբար, =

Այժմ դիտարկենք

( + ): Հեշտ է տեսնել, որ

,

=

+ :

դեպքը: Պարզ է, որ ,

,

+

,

=

+

գրաֆի ցանկացած ճիշտ տոտալ ներկման դեպքում

միևնույն գույնով ներկված գագաթների և կողերի քանակը չի գերազանցում Այստեղից և

,

+

,

=

= ( + )

-ը:

հավասարությունից հետևում է, որ

,

≥

+ : Մյուս կողմից, համաձայն թեորեմ 8.3.2-ի,

,

=

+ : ∎

,

≤

+ , ուստի

K 3,4

u2

v1

u1

3 4

u3

v2

v3

v4

Նկ. 8.3.3 Նկ. 8.3.3-ում պատկերված է թեորեմ 8.3.4-ի ապացույցում բերված

,

գրաֆի

ճիշտ տոտալ -ներկումը: Ինչպես նշել ենք, ցանկացած ( )≤

( )+

գրաֆի տոտալ քրոմատիկ թիվը բավարարում է

անհավասարությանը: Մյուս կողմից, մեր բոլոր ապացուցված

թեորեմներում այդ թիվը չէր գերազանցում գրաֆի առավելագույն աստիճան գումարած երկուս, ավելին, այդպիսի գրաֆի օրինակ, որի տոտալ քրոմատիկ թիվը մեծ է նրա առավելագույն աստիճան գումարած երկուսից, մինչև այժմ հայտնի չէ: Հաշվի առնելով այդ փաստը, Բեհզադը և Վիզինգը 1965 թվականին ձևակերպեցին նրանց հանրահայտ հիպոթեզը: Հիպոթեզ 8.3.1 (Բեհզադ, Վիզինգ): Կամայական ( )+

≤

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≤ ( )+

անհավասարությունը: Հայտնի է, որ այս հիպոթեզը, բաց մնալով ընդհանուր դեպքում, ճիշտ է մի շարք գրաֆների դասերի համար: Նշենք դրանցից մի քանիսը: Թեորեմ 8.3.5 (Ռոզենֆելդ, Վիժայադիտյա): Եթե ( )≤

պայմանը, ապա

( )≤ :

Թեորեմ 8.3.6 (Կոստոչկա): Եթե ապա

գրաֆի համար տեղի ունի

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≤

պայմանը,

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≤

պայմանը,

( )≤ :

Թեորեմ 8.3.7 (Կոստոչկա): Եթե

ապա

( )≤ :

Թեորեմ 8.3.8 (Յափ, Վանգ, Ժանգ): Եթե ունի ( ) ≥

−

պայմանը, ապա

պայմանը, ապա

գրաֆի համար տեղի

( )≤ ( )+ :

Թեորեմ 8.3.9 (Հիլտոն, Հինդ): Եթե ( )≥

գագաթ ունեցող

գագաթ ունեցող

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≤ ( )+ :

Հայտնի են նաև այդ հիպոթեզի ապացույցի ուղղությամբ որոշ արդյունքներ, որոնք լավացնում են տոտալ քրոմատիկ թվի վերին գնահատականները: Նշենք դրանցից երկուսը: Թեորեմ 8.3.10 (Կոստոչկա): Եթե ապա

( )≤

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≥

պայմանը,

( ):

Թեորեմ 8.3.11 (Մոլլոյ, Ռիդ): Կամայական

գրաֆի համար տեղի ունի

( )≤ ( )+ անհավասարությունը: Այս պարագրաֆի վերջում անդրադառնանք նաև հարթ գրաֆների տոտալ քրոմատիկ թվի գտնելու խնդրին: Հայտնի է, որ եթե ( )≥

պայմանը, ապա

հարթ գրաֆի համար տեղի ունի

( ) ≤ ( ) + : 1999 թվականին Սանդերսի և Ժաոյի [33]

կողմից ապացուցվեց հետևյալ թեորեմը: Թեորեմ 8.3.12 (Սանդերս, Ժաո): Եթե պայմանը, ապա

հարթ գրաֆի համար տեղի ունի

( )=

( )≤ :

Մյուս կողմից, թեորեմ 8.3.7-ից հետևում է, որ եթե

հարթ գրաֆում ( ) ≤ , ապա

( ) ≤ : Այսպիսով, հարթ գրաֆների դեպքում հիպոթեզ 8.3.1-ը բաց է մնում միայն այն հարթ գրաֆների համար, որոնցում ( ) = : Գրաֆների տոտալ ներկումներին կարելի է ավելի մանրամասն ծանոթանալ [39] գրքում:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. J. Akiyama, M. Kano, Factors and Factorizations of Graphs, (Proof Techniques in Factor Theory), Springer-Verlag Berlin Heidelbelg, 2011. 2. K. Appel, W. Haken, Every planar map is four colorable, Part I, Discharging, Illinois Journal of Mathematics 21, 1977, pp. 429-490. 3. K. Appel, W. Haken, J. Koch, Every planar map is four colorable, Part II, Reducibility, Illinois Journal of Mathematics 21, 1977, pp. 491-567. 4. A.S. Asratian, T.M.J. Denley, R. Haggkvist, Bipartite Graphs and their Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. 5. M. Behzad, G. Chartrand, J.K. Cooper Jr., The colour numbers of complete graphs, J. London Math. Soc. 42, 1967, pp. 226-228. 6. C. Berge, Graphs and Hypergraphs, North Holland, 1973. 7. B. Bollobas, Extremal Graph Theory, London Mathematical Society Monographs, Academic Press, London, 1978. 8. B. Bollobas, Modern Graph Theory, Springer, 1998. 9. J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory, Springer, 2008. 10. P.A. Catlin, Hajós's graph-colouring conjecture: variations and counterexamples, Journal of Combinatorial Theory B 26, 1979, pp. 268-274. 11. G. Chartrand, P. Zhang, Chromatic Graph Theory, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, 2009. 12. B. Chen, M. Matsumoto, J. Wang, Z. Zhang, J. Zhang, A short proof of Nash-Williams’ theorem for arboricity of a graph, Graphs and Combinatorics 10, 1994, pp. 27-28. 13. G.A. Dirac, A property of -chromatic graphs and some remarks on critical graphs, J. London Math. Soc. 27, 1952, pp. 85-92. 14. H. Fleischner, Eulerian Graphs and Related Topics, Part 1, Volume 1, Annals of Discrete Mathematic 45, Elsevier, North-Holland, Amsterdam, 1990. 15. M.R. Garey, D.S. Johnson, Crossing number is

-complete, SIAM J. Alg. Discr. Meth. 4 (3),

1983, pp. 312-316. 16. H. Hadwiger, Über eine Klassifikation der Streckenkomplexe, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 88, 1943, pp. 133-143. 17. R. Hammack, W. Imrich, S. Klavzar, Handbook of Product Graphs, Second Edition, CRC Press, 2011. 18. P.J. Heawood, Map-colour theorem, Quarterly Journal of Mathematics, Oxford 24, 1890, pp. 332-338. 19. P. Hell, J. Nešetřil, Graph and Homomorphisms, Oxford University Press, New York, 2004. 20. T.R. Jensen, B. Toft, Graph Coloring Problems, Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, 1995. 21. P.J. Kelly, A congruence theorem for trees, Pacific J. Math. 7, 1957, pp. 961-968.

22. A.B. Kempe, On the geographical problem of four colors, Amer. J. Math. 2, 1879, pp. 193200. 23. D.J. Kleitman, The crossing number of

,

, Journal of Combinatorial Theory 9, 1971, pp.

315-323. 24. L. Lovasz, A note on the line reconstruction problem, Journal of Combinatorial Theory B 13, 1972, pp. 309-310. 25. L. Lovasz, Three short proofs in graph theory, Journal of Combinatorial Theory B 19, 1975, pp. 111-113. 26. L. Lovasz, M.D. Plummer, Matching Тheory, Annals of Discrete Mathematic 29, NorthHolland Publishing, 1986. 27. L.S. Melnikov, V.G. Vizing, New proof of Brooks theorem, Journal of Combinatorial Theory 7, 1969, pp. 289-290. 28. B. Mohar, C. Thomassen, Graphs on Surfaces, The Johns Hopkins University Press, 2001. 29. V. Muller, The edge-reconstruction hypothesis is true for graphs with more than

∙

edges, Journal of Combinatorial Theory B 22, 1977, pp. 281-283. 30. R. Naserasr, R. Škrekovski, The Petersen graph is not 3-edge-colorable - a new proof, Discrete Mathematics 268, 2003, pp. 325-326. 31. N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour, R. Thomas, The four colour theorem, Journal of Combinatorial Theory B 70, 1997, pp. 2-44. 32. N. Robertson, P.D. Seymour, R. Thomas, Hadwiger's conjecture for

-free graphs,

Combinatorica 13 (3), 1993, pp. 279-361. 33. D.P. Sanders, Y. Zhao, On total -coloring planar graphs of maximum degree seven, Journal of Graph Theory 31, 1999, pp. 67-73. 34. M. Stiebitz, B. Toft, D. Scheide, L.M. Favrholdt, Graph edge colouring: Vizing’s theorem and Goldberg’s conjecture, Wiley Interscience, 2012. 35. C. Thomassen, The graph genus problem is

-complete, J. of Algorithms 10 (4), 1989, pp.

568-576. 36. S. M. Ulam, A Collection of Mathematical Problems, Wiley, New York, 1960. 37. K. Wagner, Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe, Mathematische Annalen 114, 1937, pp. 570-590. 38. D.B. West, Introduction to Graph Theory, Prentice-Hall, New Jersey, 2001. 39. H.P. Yap, Total Colorings of Graphs, Lecture Notes in Mathematics 1623, Springer-Verlag, 1996. 40. L. Zhang, Every planar graph with maximum degree

is of class

, Graphs and

Combinatorics 16, 2000, pp. 467-495. 41. М. Айгнер, Комбинаторная теория, Пер. с англ.-М.: Мир, 1982. 42. К. Берж, Теория графов и ее применения, Пер. с франц.-М.: ИЛ, 1962. 43. В.Г. Визинг, Об оценке хроматического класса -графа, Дискретный анализ 3, 1964, стр. 25-30. 44. В.Г. Визинг, Хроматический класс мультиграфа, Кибернетика 3, 1965, стр. 29-39.

45. В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич, Лекции по теории графов, М.: Наука, 1990. 46. А.А. Зыков, Основы теории графов, М.: Наука, 1987. 47. Ф.А. Новиков, Дискретная математика для программистов, 3-е изд., СПб.: Питер, 2008. 48. О. Оре, Теория графов, Пер. с англ.-М.: Наука, 1980. 49. М. Свами, К. Тхуласираман, Графы, сети и алгоритмы, Пер. с англ.-М.: Мир, 1984. 50. Р. Уилсон, Введение в теорию графов, Пер. с англ.-М.: Мир, 1977. 51. Ф. Харари, Теория графов, Пер. с англ.-М.: Мир, 1973. 52. Ф. Харари, Э. Палмер, Перечисление графов, Пер. с англ.-М.: Мир, 1977. 53. Ի.Ա. Կարապետյան, Գրաֆների տեսություն (մեթոդական ցուցումներ), Երևան, ՀՊՃՀ, 2006. 54. Հ.Ց. Հակոբյան, Գրաֆների տեսության ներածություն (մեթոդական ցուցումներ), Երևան, ԵՊՀ, 1982. 55. Հ.Ց. Հակոբյան, Ա.Ս. Հասրաթյան, Գրաֆների տեսության խնդիրների ժողովածու, Երևան, ԵՊՀ, 1985. 56. Ժ.Գ.

Նիկողոսյան,

Դիսկրետ

մաթեմատիկա,

Գյումրիի

տեղեկատվական

տեխնոլոգիաների կենտրոն, Գյումրի, 2007. 57. Ռ.Ն. Տոնոյան, Դիսկրետ մաթեմատիկայի տարրերը, Երևան, ԵՊՀ, 1982. 58. Ռ.Ն. Տոնոյան, Դիսկրետ մաթեմատիկայի դասընթաց 1 (դասախոսություններ և առաջադրանքներ), Երևան, ԵՊՀ, 1997. 59. Ռ.Ն. Տոնոյան, Դիսկրետ մաթեմատիկայի դասընթաց, Երևան, ԵՊՀ, 1999.

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ՊԵՏՐՈՍ ԱՇՈՏԻ ՊԵՏՐՈՍՅԱՆ

ՎԱՀԱՆ ՎԱՆԻԿԻ ՄԿՐՏՉՅԱՆ

ՌԱՖԱՅԵԼ ՌՈՒԲԵՆԻ ՔԱՄԱԼՅԱՆ

ԳՐԱՖՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՁԵՌՆԱՐԿ

гٳϳñ·ã³ÛÇÝ Ó¨³íáñáÕ` Պ.Ա. ՊԵՏՐՈՍՅԱՆ

Հրատ. սրբագրող՝ Վ. ԴԵՐՁՅԱՆ

îå³·ñí³Í ¿ §¶¨áñ·-Ðñ³Ûñ¦ êäÀ-áõÙ ù. ºñ¨³Ý, ¶ñÇ·áñ Èáõë³íáñãÇ 6

â³÷ëÁª 60x841/8 : ÂáõÕê ûýë»Ã: Տå³·ñ.՝ 13. 5 Ù³ÙáõÉ: îå³ù³Ý³Ïª 100:

ºäÐ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ ºñ¨³Ý, ²É. سÝáõÏÛ³Ý 1