Մաթեմատիկական անալիզ. Առաջին մաս

՞

Ա. Գ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶ ԱՌԱՋԻՆ

ՄԱՍ

ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ,

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ԵՐԵՎԱՆ՝ --

ՀԱՇԻՎ

210(025)

2-24

ԵՐԵՎԱՆԻ

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Ա. Գ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ

ԱՆԱԼԻԶ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

(դասախոսություններ) ԱՌԱՋԻՆ

ՄԱՍ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ

ՀԱՇԻՎ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ԵՐԵՎԱՆ

-

ՀՏԴ

51(07)

ԳՄԴ 22.1 ց 73 Ղ-249

Խմբագիր՝ ֆ.մ.գ.դ.-ր, պրոֆեսորՄ.Գ.Գրիգորյան

(8728 7 66026407

Ղ-249

ՂալումյանԱ.Գ. Մաթեմատիկականանալիզ (դասախոսություններ): մաս: Մեկփոփոխականի ֆունկցիայիդիֆերենցիալհաշիվ: Երնանիպետ. համալս. հրաւո.: Եր., 2002, 78 էջ:

Առաջին

Ձեռնարկում շարադրված է մաթեմատիկականանալիզի հիմնական բաժիններիցմեկը մեկ փոփոխականիֆունկցիայի դիֆերենցիալ հաշիվը: Նախատեսվածէ ԵՊՀ-ի ն նրա Իջնանի մասնաճյուղի բնագիտական ֆակուլտետների ուսանողների համար:

1602000000

704(02)

(ՏՅԱ 5-8084-0437-1

ԳՄԴ 22.1 ց 73

ԾԹԱ.Գ.

Ղալումյան, 2002թ.

ՏԱՐՐԵՐ

ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

1. ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

Մաթեմատիկայումկան սահմանվող ն չսահմանվող հասկացություններ: Բազմությունը չսահմանվողհասկացությունէ: Ասում են, որ Ճ բազմությունըտրված է, եթե հայտնի է, թե ինչից (ինչ տարրերից)է այն բաղկացած: Յ6Ճ գրությունը նշանակումէ, որ Ճ տարրը պատկանումԷ Ճ բազմությանը:ճ2Ճ նշանակում է, որ 8-ն չի պատկանումՃ-ին: կոչվում է տարրերից զուրկ բազմությունը: Դատարկ (Չ) Բազմություններըհավասար են, եթե բաղկացած են միննույն տարրերից: հետագայում օգտագործվող սիմվոլների բաՏանք որոշ, ցատրությունը: ՅՀ սիմվոլը Խ սիմվոլը նշանակում է կամայական,ցանկացած: -» Ճ. գրությունընշանակումէ՝ Ճ պայնշանակումէ գոյություն ունի: Ճ Հ» 8 (Ճ պայմանը համարժեք է մանից հետնում է Ց պայմանը: 8-ին) նշանակումէ՝ Ճ

8 ն

-»

Բ:

բազմությունըՑ բազմությանենթաբազմությունն 8-4), եթե 4-ի յուրաքանչյուր տարր պատկանումէ

Ասում են, որ Ճ

է(ՃՀՅՑկամ

»»

8-ին (8 «4-5 868): Դատարկ բազմությունը ցանկացածՃ բազմությանենթաբազմությունն է, քանի որ, լինելով տարրերիցզուրկ, այն չունի այնպիսի

բազմությանը: Ակնհայտ է որ

Հ: ՃՀՑԱեՑՀՇճ:

է կոչվում այն Ճ ն 8 բազմություններիմիավորում (Ճա8) են 4-ին կամ 8-ին բազմությունը, որի տարրերը պատկանում Ճ

տարր, որը

այդ չպատկանի

16. Ճա8

ՀՅՀ ձկամՅծ 8):

Ճ-8

ձՃա8-8:Ճ4ն8 Հ» բազմությունների Ակնհայտէ, որ ՃՇՑ հատում (ՃՌ 8) է կոչվում դրանց ընդհանուրտարրերիբազմությունը եօ Ց):

(Յ.6ՃՈՔՑ

Հ» ՃՐՑ8»Ճ:4Ճն8 Ճ է, բազմությունների Ակնհայտ որ Է 4-ի 8-ին չպատկանող կոչվում 8-ի) առանց տարբերություն(Ճ-ն Ճ4 8: է` ն գրվում բոլոր տարրերիբազմությունը,

(86Ճ18

ՀՅՓ.4Ճ

Օրինակ:Եթե Ճ

-

նՅտՅժ Ց:

112,3)ն 82,4),

ապա

Ճա8Հ

Լ12:34 ),

ՃՈՐ5ՑՀՎ2:

Ճ8

4513):

Վարժություններ Ապացուցել, որ ճշմարիտ են հետնյալ հավասարությունները: 3 ՃաԹՀձ,

2 ՃՈՐՃՀԽ

1) ՃաՃՀՃ,

4Ճ ռԹԺ»Հ

5) (Ճա8)ԽՆՇ«Ճա((1ռԽԸ)»Ճա8:ՆԸ,

6) (ՃՐՑ)ՊՇՀՃՈ((ՑՈՇ)ՀՃՈՅՑ

ԴՇ ՃձԵ(8՞ԸՇ)»(ՃաՑ)Ո(ձաճՇ), 3) 8 ՃՊ(8Ց»Շ) Հ (ՃՈ8Ց)(Ճ՞Ր0ծ), 9:Ճ4(8ա»5Շ)Հ(Ճ118)Դ(4Ճ1Շ), 10) Ճ1Թ ռՇՕ)2(419)Խ(410չ:

Թ,

2.

ԻՐԱԿԱՆ

ԹՎԵՐԻ

ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆԸ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ԵՎ ԵՐԱ

(ԱՔՍԻՈՄՆԵՐԸ)

Տանք իրական թվերի բազմությանաքսիոմայինսահմանումը: Իրականթվերի բազմություն է կոչվում հետնյալ հատկություններով (աքսիոմներով)օժտված ( Բ) բազմությունը:

ԿԱՐԳԱՎՈՐՎԱԾՈՒԹՅԱՆ

Լ

ԱՔՍԻՈՄԸ

Ցանկացած8 ն Ե թվերի համար ճշմարիտ:է հետնյալ երեք առնչություններիցմիայն մեկը ՅՀԵ (8-ն փոքր է Ե -ից), Յ»ե (8-ն մեծ է Ե-ից), Յ-Ե (8-ն հավասար է Ե-ին): Շ »ՅՀՇ, ՅՀ ՅՀԵՀՅՀԵ Ընդ որում ՁՀԵնԵՀ ԵՀՀԵ»Յ կամ ՅԵ: Նույն կերպսահմանվումԷ Հ 0 առնչությունը: Հ, », Տ, Հ0 առնչություններըկոչվում են

անհավասարու

Ա.

ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ

ԱՔՍԻՈՄՆԵՐԸ

Ցանկացած(8, Ե) թվերի կարգավորվածզույգին համապատաս-խանեցվումէ միակ ՁՀԵ թիվը, որը կոչվում է Յ ն Ե թվերիգումար: Ընդ որում, ճշմարիտ են հետնյալ հատկությունները:

է. ՄՆԵՇՔԹ:8ՀԵՀԵՀՅ(:

սիմվոլընշանակումէ տեղի ունի,

ճշմարիտէ):

:

(ԹԵե)Հ«օՀ- ՅՀ(ԵՀՇ)«ՅԻԵՀՇ:

ՆԵ,66 Գոյություն ունի թիվ, որը անվանվում է զրո (0), այնպես, որ՝ Ք:

2. Մ 3.

ՔԲ:Յ0ՀՅ

ՄՅ

ՊՅ

4.

ԱԱ

իսկ եթե ՅՀՕ, 5.

(Յ-ի հակադիրը), այնպես որ՝

(-Յ)ՓՃ

Յ

ան

ՅՎԸՅ)Հ

Ըստ

ճ

:

»ՅՎ Յ-Ե (-ե): Եթե տ»0, ապա 8 թիվըկոչվումէ դրական, կոչվում է բացասական: ՅՃ ՀԵ նօ-ն կամայականթիվ է, ապա՝ 8-ՇՀԵՀՇ:

ապա Յ-ն

Եթե

ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՄԱՆ

ու.

ԱՔՍԻՈՄՆԵՐԸ

Ցանկացած (8Ճ, Ե) կարգավորվածզույգին համապատասխանեցվումէ միակ 2Ճ-Ե թիվը ն կոչվում է Ձ ն Ե թվերի արտադրյալ, եթե ճշմարիտեն հետնյալ հատկությունները:

1.Մ:Ե68Բ:32.ԵՀԵ'Պ4:

2. ՄՅ

ՅԵ: Ե,օօ8Բ:3-(.-օ)»ՀՆԸ-Ե).օ

Գոյություն ունի թիվ,

3.

ԺՅՇՅՔ:83-5-Յ

Ցանկացած8»:

4.

4--»

ՅՇ

»Եօ:

Ե եօ»0,

լ

1:

ապա՝

ՅօՀ

.

Ըստ սահմանման,

241 3...

2,

եթե Ե 3...

բազմությունընշանակումեն Դիցուք՝ 8

Ք, նո

օ

Վ:

այնպես որ

Մ)

ձ

եթե` Հ

կոչվում է միավոր (1),

թվի համար գոյություն ունի նրա հակադարձ

թիվը(--) այնպիսին,որ՝ 5.

որը

0, ապա

Հ

ԵՇ,իսկ եթե՝ Յ

2-ի

թվերը կոչվում

լ

են

Հ

Ենեօ Հ0,ապա

Ըստ սահմանման` 1

1-2,

բնական թվեր: Բնական թվերի

Ա:

Ըստ սահմանման

՝

գ"

«գ:

Հ

0.00»

Ե

նշանակում

4: Երբո-ըզույգ է, ենթադրվում է որ«Հ0նծ2Հ0: իսկ նրա 2-10, ՀԼ, է 2....) բազմությունըկոչվում է ամբողջ թվերիբազմություն, թվերտարրերը՝ամբողջ

է, որ 5"

ԶՀ

թյուն,

ի

ի դ

ա

1ԼԽՆ1311|

|

բազմությունըկոչվում է ռացիոնալթվերիբազմու-

նրա տարրերը՝ռացիոնալթվեր:

բազմությունը կոչվում է իռացիոնալ(ոչ ռացիոնալ) թվերի իսկ ճրա տարրերը իռացիոնալթվեր:

բազմություն, Ք.ՕԶ

ԷՄ. ԲԱՇԽԱԿԱՆ

ՄՅ,Ե,Շ5

8:

8(ԵՀօ)ՀՅԵԳՀ

ԱՔՍԻՈՄԸ

86:

ՅուրաքանչյուրՅ թվի համար սահմանվում է նրա բացարձակարժեքը| հետեյալ կերպ՝

բ|-

Ի

|

որ՝ պարզէ, Հ0,181» ԷՋ|,թկ. -.Հ

-8,ՁՀՕ

Սահմանենքմիջակայքեր` |: եյ

Թ: Ե)«(«ՀԲ:8Հ«ՀԵ) (8:ԵլՀ0ւ6 06» Ք:2ՀՅ), Ը»: Վօ)յ-ՔԲ:

Հ

Մ.

Հ

066 Ք:Յ5Հ:ՀԵ)

8 Հ

Թէ

Ե),

Թ ԵյՀՕ«օ8:8ՀՀ

8:ՅՀւՀԵ:ի Թ Ժէօ)Հ068:28)

Ը»:8)

ԱՐՔԻՄԵԴԻ՝

ԱՔՍԻՈՄԸ

ամբող

ՅուրաքանչյուրՁ թվի համար գոյություն ունի այնպիսի

ո

թիվ որ

ոչ

8.

Մ1. ԻՐԱԿԱՆ

ԲԱԶՄՈՒԹՅԱՆ

ԱՔՍԻՈՄԸ

ԹՎԵՐԻ

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅԱՆ

Դիցուք՝ Ճ ն Ց թվային ոչ դատարկբազմություններըայնպիսին ՅՀԵ: են, որ Կ Յօ/Խ Մ ԵօՑ: Այդդեպքումգոյություն ունի այնպիսի Մ 6 թիվ, որ Մ

ԵոՑ:ՅՀՇՀԵ:

Ձ/, որ օ թիվը կարող է միակը Նկատենք, չլինել: 1: 8Հ 15.7. 10): Այս դեպքում վերը Օրինակ Դիցուք` Ճ (12) նշված 6-ի դերում կլինի յուրաքանչյուր թիվ ընկած2-ի ե 5-ի միջն: Օրինակ2` Դիցուք՝ Ճ -1Յ « Մ: 82Հ2,8Հ0,Խ8-1(Թօ8Բ:2:»2ն Հ

օ-Վ2ն

6-ն

միակնէ: Վարժություններ: 1. Ապացուցել, որ զրոն ն թվի հակադիրը միակն են: 2. Ապացուցել,որ միավորը ն զրոյից տարբերթվի հակադարձը միակն են: 3. Ապացուցել, որ Մ «8: ԸԱՅ)(-ՅՅ: 4. Ապացուցել,որ եթե ՅՀԵ ն ՇՀմ, ապա` Յ--ՇՀԵՀԺ: Տ. Ապացուցել,որ 1»0: 6. Ապացուցել,որ Ճ-0-0:

Յ

՝

Հ0): Այս դեպքում

Արքիմեդ(287-212 մթա.), հույն մաթեմատիկոս, մեխանիկ:

Մաթեմատիկականինդուկցիայի մեթոդով ապացուցել, որ ցանկացած8., Ձշ, ....Յո թվերի (ոչՀ2) ն Ե թվի համար Ճշմարիիտէ՝ (8.Ի82Դ...ԴՅո)Ե 81ԵՒՁչԵԷ...--ՁրԵ: ԹԱ ԵԼ Թ Հ ԵԼ Հ ԹՀ 8. Ապացուցել,որ Պ 8, Ե 6 8: Թեյ Ել 7.

-

Հ

Թ

--

ԷՒ» Թ|

3.

-

Ե) 8)

-

ԵՍ ՀԹ

ՖՈՒՆԿՑԻԱ:

ԵՒ

-

ՎԱԿԱԴԱՐՁ

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Սահմանում 1 Դիցուք Ճ-ն ն 8-ն կամայականոչ դատարկ բազմություններ են: Կասենք, որ տրված է ֆունկցիա կամ արտապատկերում Ճ-ն 8-ի մեջ, եթե Ճ-ի յուրաքանչյուր « տարրին ինչ-որ

մեջ է դրվում մեկ որոշակի7/ Հ 8: օրենքով համապատասխամության Է: Ճ-»8 են՝ կամ 7Հ-Բք6), «-ը կոչվում է նախապատկեր,7-ը Գրում պատկերկամ արժեք: Ճ բազմությունըկոչվում է Բ ֆունկցիայի որոշման տիրույթ (Ծ, Ճ): Ասում են, որ էը որոշված է Շ բազմության Հ

վրա, եթե ՇՇՃ:

կոչվում է ք ֆունկցիայիարժեքների

Բյ» 1104: 64-ը

բազմություն: Օրինակ 1: Դիցուք Ճ-ն տվյալ պահին, տվյալ պուրակում եղած Բ: Յուրաքանչյուր ծառին բոլոր ծառերի բազմություննէ, իսկ Ց նրա բարձրությունը: Այսպիսով` ունենք համապատասխանեցնենք Էը որոշակի դրական թվերի որոշակի ֆունկցիա Է: Ճ » 8: վերջավորբազմությունէ: Հ

Սահմանում 2: Եթե Լ: Ճ »8նք.Հք, ապա ասում են, որ Էը վրա, կամ սյուրյեկտիվ է: 8ի արտապատկերում է Ճ-ն Եթե ք: Ճ -» 8 այնպիսին,որ Ճ/ լ,22 6 «ԽՃ 24222:04) ո Ւ0շ), ապա Էը կոչվում է փոխմիարժեք,կամ ինյեկտիվֆունկցիա: Սահմանում 3: Սյուրյեկտիվ ն ինյեկտիվ ֆունկցիան կոչվում է բիյեկտիվկամ բիյեկցիա: 4- Ճ ն Թ բազմություններըկոչվում են համարժեք Սահմանում (Ճ-8), եթե գոյությունունի բիյեկտիվֆունկցիա է Ճ-»8: Բ, 10) Հ: Ունենք՝ (-»: 0, 8 Օրինակ 2- Դիցուք Ճ Ճ -»8Ք. ք: Այս ֆունկցիան ինյեկտիվ է, բայց ոչ սյուրյեկտիվ -

»

(Բ: -0:-»)):

(-»: 01, Օրինակ 3: Դիցուք Ճ բիյեկցիաէ: Այսպիսով` (-««:0) (0: Հ»): »

»

|0 Հ»),

1Ն)»»՛:

Սա

-

Օրինակ 4: Դիցուք՝ Ճ

-

ԷՆ 8

»

Բ,

16)» 2:

Այս արտապատկե-

րումը ոչ ինյեկտիվ է,

(Բլ »0:-»),

ոչ

էլ` սյուրյեկտիվ

Ը1)»10)»1):

Օրինակ 5- Դիցուք՝ Բ

»

Բ, 8

Հ

1(6)»7:

|0:),

Սա

սյուրյեկցիա

է, բայց ոչ՝ ինյեկցիա:

Դիցուք տրված է բիյեկցիա՝ք: Ճ -» 8: Ցանկաայն շ»« Հ /Ճ տարրը, որ ցած օ8 տարրինհամապատասխանեցնենք Այդ »-ը միակն է շնորհիվ նրա, որ քը փոխմիարժեք է: (ԹՀ: Այսպիսովառաջանումէ բիյեկտիվֆունկցիա, որի որոշմանտիրույթը 8-ն է, իսկ արժեքներիբազմությունըՃ̀-ն: Այն կոչվում է հակադարձ Սահմանում

5:

ֆունկցիա նգրվումէ

է

Ըստ սահմանման՝

Օրինակ 6: Բ

(Է:8 թ»/: ք՛(1609)2».նԷ '

(-ճ: 01, 8

Հ

10,ՀԹ),

Հակադարձ ֆունկցիան կլինի

-

-

(757

40)»:

:--թ

:

-յ7

Այսինքն (05

Ր: (0:3.5)--»(-««:0): Խնդիր: Ապացուցել, որ յուրաքանչյուր (8. համարժեքէ Ջ-ին: Ապացուցում:նախ ապացուցենք,որ (-1: 1) Բ:

,

Ե) միջակայք

-

Իրոք 109

Իսկ՝ Տե) (8: «5»

»-

օ-

Հ-Ի:

Ը1/1)5(64:6), Թ:եյ-Ք

բիյեկցիա է (8: (11: յ»

,Ջ

8),

թ»

Ը18-Ք:

Ֆունկցիան նույնպես բիյեկցիա է

5»(17-Թչ):

Այսպիսով`(:

Ե)-(-1

:1)-8

ավարտը) (տ- նշանակում է ապացուցման

4. ԹՎԱՅԻՆ

ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԵԶՐԵՐԸ

Սահմանում 1: Դիցուք՝ Է- ն ոչ դատարկթվային բազմությունէ: Է-ն կոչվում է սահմանափակվերնից, եթե 3862» ԽԺ:«Է:2ՀՅ Այդ 8 թիվը կոչվում է Բ բազմությանվերին եզր: Պարզ է, որ եթե -ն Է- ի վերին եզրն է, ապա 8-ից մեծ յուրաքանչյուրթիվ նույնպես Է-ի

վերին եզր է: Ուրեմն, վերին եզրերի բազմությունըանսահմանափակ է վերնից: Սահմանում շ: Վերնից սահմանափակ Է բազմությանբոլոր վերին եզրերից ամենափոքրը կոչվում է Բ-ի ճշգրիտ վերին եզր Այն նշանակումեն՝ Տսք Բ (տսքոթոստլատինականբառի հապավումնէ):

-

Այն, որ ՕօՏսք Էնույնն է ինչ 1.:25Բ:255278»0 Է:»0-Ե(ա-ից փոքր վերինեզր չկա): Սահմանում 3. Դիցուք՝ Է-ն ոչ դատարկ թվային բազմությունէ: Է-ն կոչվում է սահմանափակ ներքնից, եթե 3 ԵՇ ՔԲԺ«օԲ:շ»Հէ: Այդ Ե թիվը կոչվումէ Է-ի ստորին եզր: Ստորինեզրերիբազմությունը անսահմանափակէ ներքնից (0-ից փոքր յուրաքանչյուր թիվ ք-ի ստորինեզր է): մահմանում 4: Ներքնից սահմանափակԲ բազմության բոլոր ստորինեզրերից ամենամեծըկոչվում է Բ-ի ճշգրիտստորինեզր. Այն նշանակում են (ոք Է (որոստ լատինականբառի հապավումնէ): Այն որ 8 (Է, նույնն է ինչ՝ 19:25`Բ:228, 24:»03:«6Բ:»«ՀՅՀԵ(Թ-իցմեծ ստորինեզր չկա): Սահմանում 5: Թվային բազմությունըկոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակէ վերնիցն ներքնից: Թեորեմ 7: Դիցուք՝ Է-ն ոչ դատարկ թվային բազմություն է: Եթե Է-ն սահմանափակէ վերնից, (ներքնից), ապա գոյություն ունի Է-ի ճշգրիտ վերին (ստորին)եզր ն այն միակն է: Ապացուցում: Դիցուք Է-ն սահմանափակէ վերնից: Ուրեմն՝ ՅՅ Է բազմության բոլոր վերինեզրերի բազմություՀՅ: Ք, «Է: «6» նը նշանակենքԷ' (Յ Հ ք): Ակնհայտ է, որ ք,Ժ6օՔԲ':2Հ: Ըստ իրականթվերի բազմությանանընդհատությանաքսիոմի (տե՛ս. 2. Մե) 366 ԽՃ այնպիսին, որ Մ» «ք,Մ)5Է':2ՀՇՀ Քանի որ Մ.6» օՀ7 Է: Հօ, ապա օ-ն վերին եզրէ: Քանի որ ԺՄ«ք': ապա 6օ-ն Է բազմության վերին եզրերից ամենափոքրնէ: Ուրեմն՝ Շ Տսք Բ: Քանի որ բազմության ամենափոքրըմիակնէ, ապա Տ5սք Բն միակն է: ճշգրիտ ստորինեզրի գոյությունը ապացուցվումէ նման ձնով: Ըստ սահմանման,եթե Է-ն անսահմանափակ է վերնից (ներքնից), ապա ՏսքԷ «Հ (ՈոէքՔՀ-»): Վարժություններ: 1) Ապացուցել,որ եթե թվային բազմությունն ունի մեծագույն (փոքրագույն) տարր, ապա այն կլինի այդ բազմության ճշգրիտ վերին(ստորին)եզրը: 2) Դիցուք Է (-»:Ե): Ապացուցել,որ քք --« , Տսք Է Ե: Հ»: 3) Դիցուք Է (Բ: Հ»): Ապացուցել,որ ոքԷ 8, Տսք Է Ե: 8, Տսք Է 4) Դիցուք Է (2: Ե): Ապացուցել, որ (ոէՔ 5) Ապացուցել,որ Է թվային բազմության սահմանափակությունը Է: |121ՀՕՇ համարժեքէ հետնյալպայմանին ՅՇ»0,ՄԺչ:« Հ

Յ6

:

Հ

Հ

Հ

Հ

Հ Հ

Հ

Հ

«

»

5.ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

5.1.1ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ

Սահմանում

ՍԱՀՄԱՆ

Դիցուք տրված է ֆունկցիա 1: պ -» Բ: Այսինքն է մեկ որոշակի ցանկացած բնականթվին համապատասխանեցված իրական շո թիվ: Այս ոդ համարակալվածթվերի բազմությունըկոչվում 1:

ո

հաջորդականություն("լ ), իսկ «ո -ը հաջորդականության ո-րդ անդամ: Վաջորդականության արժեքներիբազմությունըգրվում է է՝ (ուի Այն կարող լինել վերջավոր,իսկ ինքը հաջորդականությունը անվերջէ, քանի որ Ա-ը անվերջէ: Օրինակ 1 Դիցուք՝ «Հ Շ, ո ՀՂ,2,..: Օ, շշՀ Շ,.., Այսինքն՝լ է

Հ

:

ոՀ

Շ,..:

Այս հաջորդականության արժեքների( շղ) բազմությունըբաղկացած է մեկ Շ կետից: Սահմանում

2:

Դիցուք տրված է

4"

հաջորդականությունը

ինչ-որ 8 թիվ : Կասենք, որ այդ հաջորդականության սահմանը Յ թիվն է, կամ »«,-ը ձգտում է (զուգամիտում է) 8-ին, եթե Մ76»0 ն

ՅուօչՊՎ ՄոչՀու

:|չ,

-ՅՒՀՏ(այստեղ ն հետագայում,առանց հատուկ նշելու, հասկանում ենք, որ հաջորդականությունները են բնականթվերով(ո 6 Ռ)): համարակալված նտ Է Գրվում կամ ող -» 2: Պարզ Է որ՝| ող-81ՀՏՔ «» չդ «2, (1-ԹՅԳՏ): ճող

դ-»օ՝

Ո-3օօ

Ս,.ն)Հ(ո-8:4Հ5)

շրջակայք: Այսպիսով «դ

-»

Յ

Ո-»օ5

միջակայքըկոչվում է Յ թվի 6 ունի հետնյալ երկրաչափականմեկ-

նաբանությունը 8 թվի յուրաքանչյուր Սչ(Բ) շրջակայքի համար գոյություն ունի, ինչ- որ համար (ռ, ), որ դրանիցմեծ համար (ոչու)

ունեցող բոլոր չդ անդամներըկհայտնվեն այդ շրջակայքում: Այլ կերպ ասած, 8 թվի յուրաքանչյուր շրջակայքիցդուրս կարող են լինել միայն վերջավորթվով հաջորդականության անդամներ: Սահմանում 3: Հաջորդականությունը կոչվում Է զուգամետ,եթե կաթիվ, որին այնձգտումէ: Վակառակդեպքումհաջորդականությու-

է տարամետ: նը կոչվում Օրինակ 1 »:,-Շ,ո»Ղ,2,..

թյուն):

(հաստատուն հաջորդականու-

Ապացուցենք, որ այն զուգամետ է

են

հո

-Ը:

Իրոք՝

Մ6»0,

Մ ո,

Ճ, ՀՇ

Այս դեպքում, որպես ո, կարելի է

Ս.(լշ:

վերցնել կամայականբնականթիվ,օրինակ ու»

Օրինակ 2: Ճ."(1),ոՀ12.... ոշ. լ ՀՎ6Ո»-Ն2...):

),

«շլ

1:

51( «51.2...

),

Ցույց տանք, որ այս հաջորդականությունըտարամետ է, այսինքն ոչ մի (ռ) թվի այն չի ձգտում: Դրա համար բավականէ գտնել կամայական2 կետի այնպիսիշրջակայք, որից դուրս կգտնվենայս հաջորդականությանանթիվթվով անդամներ:Քանի որ --1 ն 1 թվերի (8-1: 81) միջն հեռավորությունը հավասար է 2-ի, ապա Սյ (Թ) շրջակայքից դուրս կհայտնվի այդ թվերից գոնե մեկը, ուստի ն անվերջ թվով անդամներ կգտնվեն Ս.(8)-ից դուրս: Օրինակ, եթե ան-16 Ս.(Թ), ապա բոլոր զույգ համարունեցող հաջորդականության են դամներըհայտնվում այդ շրջակայքիցդուրս: Հ

Օրինակ 3: Դիցուք`».

Աաաա 5.

0:ԱյսինքնՄ6»03

»

--Ը--չ (րԻ 1»

Սո»2:--Ը--Հ-----Հ-:

(ՈՀԼԻ ո՞

Ապացուցենք,որ.

ո»եշ,..:

ո:-----ՀՏ: (ըր «1ի

ո, ոՀ

Ռ-ֆ«»

Բայց

-

աայ

ե):

.

ո"

Թ)

ոռ

Պարզենք, թե ո՞ր դ, համարիցսկսած ճշմարիտ է

1/ոՀ

անհա-

վասարությունը:

-

-:

ՀՏՀչո»

Յ ոօ

Է:

Ըստ

ու»

ՎերցնենքԿո

Հ

Արքիմեդիաքսիոմի(տե՛ս 2. Դ)՝

ավեի: ո»-

ՅՈ»-

ծ

«5

:

1.

(3)

4)

-Հ. ո

(2)»ից ն (4)-ից հետնումէ (1)-ը: 5.2.

Սահմանում

ԱՆՎԵՐՋ ՓՈՔՐ ԵՎ ԱՆՎԵՐՋ

ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՄԵԾ

1: Գաջորդականությունը կոչվում է անվերջ փոքր,

եթեայն ձգտումէ զրոյի: Սահմանում 2- Կասենք, որ՝

եթեՄ6»03

ա) շո-5»,

ոչ

բ) շը

-»Հ»,

եթե

քէ»03ու

իղ»:

ՄոՀու

։

Մոշու:

«ղր»86,

Ո-՞օօ

Ո--»օօ

գ) 2դ-»-»,

եթե'/8:50

Յու Կոչու:

"ղՀ-Տ:

Ռ-՞օօ

Նկատենք, որ եթե

որ

-» Հ»,

կամ

ող

-» -»,

Ղ-Ֆֆօօ

Ո-»ջօօ

Հակառակըճիշտ չէ: Օրինակ, եթե ո

-

ապա

(-1)-՞ո,

-»օ:

չր

ո-Ֆօօ

ապա

ճը -»», Ո-՞»օ5

բայց

`

ող -ԹԻՏ:

նո Ո-»օ5

Սահմանում 3: Վաջորդականությունը կոչվում է անվերջմեժ, եթե այն ձգտումէ օ»-ի: Թեռրեմ 1 Անվերջ փոքրի հակադարձըանվերջ մեծ է, անվերջմեծի հակադարձը՝անվերջփոքր: Դա Ապացուցում:Դիցուք Ճր -» 0,շո»0: նշանակում է, որ

իսկ

ո՞»-

0Հ«-»-

ՄՇ»0,ՅուցոչՀու:

--Ճ

ւ)

դի

Ռ-Ֆ»օ

Թեորեմի մյուս մասըապացուցվումէ նույն կերպ: . Թեորեմ2 Անվերջփոքրերիգումարը (տարբերությունը) անվերջ փոքր է: Ապացուցում Դիցուք ղ-»0, Եղ-»0: Դա նշանակում է, որ Ո--»««

Մ»

Յ

դ

Կո

ոշ Նշանակենք

ՍԱՀ

Հոլ:

Հուո, թոլ,

ո-»:

-,

-

ԿոՀո, : հո

Ուրեմն

Ծո

Յ

Հուլ:

ո ՀԵԿԱՀ17ոէՀ

5»ԳԿՒՖդ Սահմանում

Կասենք,

որ

ողո

սահմանափակէ, եթե սահմանափակէ

ոշ

ԾՈՀոշ: Ք

հղ

Հ

Տ

2` Ք

իոյՀշ ԾոՒՀշ: ն

-: --.

2,հաջորդականությունը բազմությունը: 12 թվային .

Այսինքն 3Շ»0 ՃՄո:1«1ՀՇ: Թեռրեմ 3: Անվերջ փոքրի ե սահմանափակիարտադրյալը անվերջփոքր է:

Ապացուցում Դիցուք նա.

փոքր է, իսկ 3ՅՇ»0

հաջորդականությունը անվերջ

(/ո)».լ հաջորդականությունը՝ սահմանափակ: Այսինքն՝ ՞»0ՅԾ975»03ՈԾոչու: 1ՏՕՇո"

Կո:

ա

Ռ-»«օ

»

ՀՈԿՏ-Շ»

ՄՈՀու1շոո

|»

ՀՐ

յ«-

թ»յո)յ/ըղ-50:8 Ո-3օօ

ԶՈՒԳԱՄԵՏ

5.3.

ՎԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

միակն է: սահմանը հաջորդականությունը

Թեռրեմ 7: Վաջորդականության Ապացուցում: Դիցուք տրված Վ," ունի տարբեր սահմաններն

համար Յոլ ՄոՀոլ։ Եթե

ոչ

ոճ

Հ

Բայց` Ս. (8)

«, -»Ե

ւ«Ս.ն),

ՀՏՀ.դրականթվի

(8 ՀԵ):

Յոշ ՍոՀոշ։

վու ոշ),

ապա

ո,

ԿոՀո,

:

«Ս.():

»",«Ս,Ը6)ՐՍ,Շ)

Ս. (Ե) ՍտացվածհակասությունըապացուցումԷ պնդումը: ո. Թեորեմ 2. Զուգամետհաջորդականությունը սահմանափակէ: Ք: Այստեղիցստանում ենք 1»0 Դիցուք` «ղդ-»օ6 Դ

Թ:

«

մպացուցում:

Ռ-»օօ

թվի համար Հ

ԺոչՀոլ

ոլ

կոկա Նշանակենք ո»

ոով

:

8-1ՀյԿՀՅՀՂ

ոլ ,»,..,ղլ,8-1

աո ՅԼ

ի

,

Կստանանք` Սո:

ոՀյոՀհք

ա

ԴիտողությունԹեորեմ 2-ը հակադարձելիչէ: Օրինակ չր է, հաջորդականությունը սահմանափակ

ՀԲ,

բայց՝ տարամետ: Լեմմ Որպեսզի

:ճո-»8, Ո-ֆօօ

«ո ՀՅԻԱղ,

Կ

անհրաժեշտ է ն բավարար, որ՝

`ԾԱ ռ-»»

Ապացուցում Այն,

որ

Յուժոչճու:

Փ»0

Հ»

"դ-5»8 Ո-»օօ

եռ

Յէ Հ ք: Դա, իր հերթին համարժեք է նրան, որ'ոՓ-8-Օ հաջորդականությունըձգտի զրոյի: Ջ Թեորեմ3. Դիցուք "դր՞-»2նջը-»ե: Այդ դեպքում՝ -

Ո--»օօ

1.3

(Գ

ՅԵ, )ո) 8Ժե,2.3 1ոդ »ո)ո» Հ

(ըդ50,Ե»0): հոչշո--

3.3

Սղ

Ո-Ֆ««

Ապացուցում: ո՛ՀԵՀ՝Ցը»8ը քը

յո Հո

,

6ոճրՀՅփճր,

Ուրեմն՝

50:

-» ՂՈ-3օօ

ՀՅԵՀՀը

լեմմի

Ըստ

Ո-3.»

Այստեղից, Ճո

Ո-ֆօօ

Ճո

զդ

» Ո-»օ5

ն

որտեղ

Է)ը ՀՅՀԺԵՀը,

(տես. 5.2, թեորեմ2):

ըստ

որտեղ

`

լեմմի "ր

զուգամետ է, ուրեմն այն

Յո

Հ

նան

ենք

ստանում

ԵռոՒօո Յո:

Հ

մո

Է)ը

Քանի

8ՖԵ:

ԸԷ-»«օ

բոլ

որ

սահմանափակէ, ուստի` ռո,

(տես .5.2, թեորեմ 3): Վետնաբար՝յ,

-»

-»

(Ճ8ղն Եռ, հաջորդակա-

նություններընույնպեսանվերջփոքր են): Այստեղից,ըստ լեմմի՝ ճո ը -5 Ե: Ո-»օ»

Այժմ

,3Ե20:

)7ը-՞

Ե«0

Ո-»)օօ

|է

Ե|

-

լ4.

չե»

ԿոՀոլ:

Այսպիսով պի վ

ՀՖ

նո

ո-Ե«ԵՒչա-դտա-Ե «Էլ ԽոթվԵ|-|,ոդ-Եթ|Ե|Է)|.-Ել

ՅՅ Յոլ »

ամպացուցենք, որ՝

Ը. )ո

ՌՀ1

«ոՀ

ոլ ոլ:

|է» յո

--

|

ՀԿՓԳոչՀոլ:---Հ-3

հաջորդականությունըսահմանափակէ:

թ.

թ|

Այստեղից,ըստ լեմմի` 1-5

-

ո

4: Դիցուք ոջ Թեորեմ ո

ՀԵ:

ԱպացուցումՃղ

Ռ--»5

-

.

Այդ դեպքումՀոլ

ՃՀԵ:

-»8,

ը-»օ«

ոու:

ժոչՀոււհԽո-ՅՀԵ-Յ(Ե-2»0)

Յու

»ոՀՅՀ(-8)թշոՀԵս

մեջ): Թեորեմ 5 (սահմանային անցում անհավասարության Ե: Այդ դեպքում Ձ Հ Ե: Վ Կո ո շո Հ), ՃոՈ-»38, Դիցուք` Ռ-)»»

Այսինքն`հո,

Ո-»»

Խոյը:

Տ

Կատարենք հակասող ենթադրություն Յե Ե-ձՃՀՕ0: Համաձայն նախորդ թեորեմի3 ուժ ոՀու:

Ապացուցու, ՀՖ

չ-»ը

3ո-Չգ

Հ 0:

Ստացվածըհակասումէ թեորեմիպայմանին:2 Դիտողություն:Եթե ո Հ ո, ապա 4 ՀԵ, բայց ոչ անպայման՝ Օրինակ:

ՅՀԵ:

Կոօ«Պ:-

հոլ-1)-6:

10, բայց Ո-3օօ ո

ո

են երեք Թեռրեմ 6 («ոստիկանների»կանոնը Եթե տրված նօ) 2, 0/ո2- (շո)ո-ւ այնպիսիք,որ հաջորդակապնություններ՝ 8, ապա Կ : ։Հ)ՊՏ2ո, Խոճ ընդ որում 1ոյը » տչ .

։

,

Ո--»օօ

Յ

հու,

8:

նոյ Ապացուցում Ո--օօ ո

Յ-6,

ԺՈՀոլ

Ո--3օօ

կոշրղ28

Ռ-՞««

5»

Եթե ոգ Հ Յոչ ՄոՀու : 2ՀՅՀՇ

:Յ-ՔՀՈՀՏԿՏՉՀՀՅԻՏԾՀՅ-ԵՀԿԱՀՅԻՏ

Ուրեմն Յետ

Յոլ

Ծ»0 ՈՅ

ՃՈՀոլ

( ու,ոշ),

(ո

ապա

Հոյ):

8:28

5.4.

ՍԱՀՄԱՆԸ,

ՎԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ

ՄՈՆՈՏՈՆ

ԹԻՎԸ:

ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՏՎԱԾՆԵՐԻ

ՅԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆԸ

ՆԵՐԴՐՎԱԾ

Սահմանում

1:

կոչվում է 1ողֆոչլհաջորդականությունը

Յ

ո 1,2, ո, չնվազող (չաճող), եթե՝ Յո Հ 8 ոչ: (ոՀ մոնոտոն Սահմանում 2 Եթե հաջորդականությունը կամ մոնոտոն չաճող, ապա այն կոչվում է մոնոտոն:

տոն

Սահմանում

մոնո-

չնվազող է

կոչվում է ողչ--լ հաջորդականությունը

մոնո-

Իսկ, եթե՝ Ձո » Ձ ոչն ՈՀ 1., 2. մոնոտոն է նվազող: կոչվում ապա հաջորդականությունը ն (ներքնից)սահ1: Մոնոտոն վերնից (չաճող) չնվազող Թեորեմ զուգամետէ, ընդ որում՝ մանափակ հաջորդականությունը տոն աճող, եթե

չ

Հ

նո Ռ-ֆօօ

դ

ոՅ՛.2,..:

ՅոՀՅու,

|

»Տսքվոր) հտ Ղ--»օօ

ճը Հ1ոՒ

նոյ

Ապացուցում Որոշակիությանհամար դիտարկենքմոնոտոն դեպքը: Քանի որ ( Յո ) բազմությունը չնվազող հաջորդականության Հ Տսք ( 31 1121172111:711 է, ապա` սահմանափակ վերնից Շնորհիվ մոնոտոնության՝ որ ճղ »04-8: ՄՏ»03ուայնպիսին, ՄՈՀու:

ՀՅ

ր

ՅՖ»ՊոՈՀու:

Այսինքն ՊԿոՀու:գ-ՏՀՅոՏԿՀՕՀԻԵ

»4-8:

զ-ՔՀՅը

ՀԱԻԵՀՅր-54:

Ո-"Ֆօօ

ճո Դիտարկենքհետնյալ հաջորդականությունը

(|

ո

:

ռո

մոնոտոն աճող է ն՝ հաջորդականությունը Թեորեմ 2 Խոլ սահմանափակվերնից: Ըստ Նյուտոնի երկանդամի բանաձնի՝ Ապացուցում: :

ԽոՅ

|

լամ ո

ո

ոո-), 1Ի--Ճ2. ո ո

ն

լ

:

ոո-).1-ԵՒ), ու

Նյուտոն Իսահակ(1643-1727) անգլիացիֆիզիկոս ն մաթեմատիկոս: --

.

թրչջիլր ՀիՔԻՉ Հի ի-Տիի-«րԻցի-Տի-2Ր-Տ)

գլոտ-12.-ոՓւն,, ո՞

դլ

էլ

Քանի

ոլ

ո

ո

ո

2)

լլ

1--5-»1-(ո1)

որ

ո

ո

ո

ո

(5»12,..,ո-1),

ապա

ա)

ոյի

վերլուծությանբոլոր գումարելիները մեծ են շի համապատասխան գումարելիներից:Բացի այդ ոլ -ը պարունակումէ դրականլրացու«ո: Այսինքն «ուլ ցիչ գումարելի (վերջինը): Այսպիսով ԽՄ ոշ մոնոտոն 12ղ)5-լհաջորդականությունը

(1)-ից հետնում է, որ՝

աճող է:

ԿՀԻրԻ շաՀ:Նկատի ունենանք, է

որ էյ»

2.3-.-Բ22:-

(522):

ո.

։

Ուրեմն՝

ո

լ

ճՃր Տ1Ի1Ի-`Ի--Հ..Ւ Չ շո-1

ը

-

լ-1

ՀԵ2»-3 ՐՀ2):

սահմանափակէ վեԱյսինքն 4Վ»ղ-լ հաջորդականությունը րնից:. թեորեմ1-ի Չետնանք: Վամաձայն

նշ

թր) ռով ո

6:

Ռ--ՖօՓ ո թեորեմ 2-ի ապացույցից հետնում

Յ է, որ 2ՀյոՀ Ընդ որում |23Լ Կարելի է ապացուցել,որ 6 թիվը իռացիոնալէ ն՝ 6 2,718...: հաջորդականուՍահմանում 4 Դիցուք տրված է հատվածների թյուն (Թո,Ե) լ: Այսինքն`յուրաքանչյուր բնականթվին համապա-

տասխանեցվածէ մեկ որոշակի |Յո:ծո) հատված: Այս հաջորդակաԴա նությունըկոչվում է ներդրված, եթե Մո: Լճոչլ:ծոչլՇ 8ո:ԵրԷ նշանակումէ, որ Պ/ո : ՅոուՀՅո ն Եր«:ՏԵր: մոնոտոն չնվազող է, իսկ Այսինքն՝(ոֆ"2-.հաջորդականությունը -ը մոնոտոն չաճող: (ԵԴ5-5Ր ոլ ՞

Թեորեմ 3 (ներդրված ` հատվածների հաջորդականության մասիԱ: Դիցուք (Լ Յո: Եղիոչ -ը ներդրված հատվածներիհաջորդա0: Այդ դեպքում`գոյություն կանությունէ, այնպիսին,որ Եր -Յո

Թ

ունի միակ Շ թիվ, որը պատկանումէ |ճո:Եղ)հատվածներիցյուրաքանչյուրինն՝ նո 8» նո եղ «6:

Ապացուցում:Ըստ թեորեմիպայմանների Վո)», հաջորդակա-

նությունըմոնոտոն չնվազող է, իսկ (Եղ"լ -ը՝ նան (ողոլ հաջորդականությունը

որում

քանի որ՝ է,

Եր

հող

Հ

Հ.

»Տսք

Ո--»օօ

ՀԵղՏԵուտ..Տ

Ել

Ընդ

սահմանափակէ մերնից,

ՅոՏ Ել:

Նույն կերպ ստացվում

սահմանափակ է ներքնից՝ հաջորդականությունը Ք, այնպիսիք որ՝ Ըստ թեորեմ 1ժի 3 Յ, Ե 6

(ե.լ

որ

Խո

Մո Յո

մոնոտոն չաճող:

Թո

8.

նտել»

Է-Ֆօօ

ո(ե

Հ

Ե:

Քանի

որ Խո

Տ

Յո

ե,,

Յ«ՅՀԵՀե Այսինքն նե Այսպիսովունենք` Մո: թվերը պատկանումեն |ճո:Եր հատվածներիցյուրաքանչյուրին:Այժմ ապացուցենքմիակությունը, այսինքն, եթե որնէ երկու օ ն թ թվեր պատկանում են |տղ Եղ հատվածներից յուրաքանչյուրին, ապա նրանք համընկնում են: Դիցուք` որոշակիությանհամար « Հ 8: 0Տ8-ԿՀ Ելղ-Յր: Այս անհավաՈւնենք Չո - Վ:ՅՀԳՀ8ՀԵել-» Ձ Հ

ապա

Ե:

սարություններիմեջ անցնենք սահմանի(0-ն ն Թ-օ-ն դիտում ենք հաջորդականություններ),երբ ո-»»5: որպես հաստատուն »4» ք: Մասնավորապես՝ Կստանանք՝0 Հ8ՅռՀ0»8-օ»0 Ձ-Ե

ՀՇ:

5.5.

ԵՆԹԱՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ:

ՎԵՐԻՆ

մոնոտոն

Օրինակ

8.

է աճող բնականթվերի հաջորդականություն

ՀՈւ Հ...:

(Յոլ

ՍԱՀՄԱՆՆԵՐ

ենթահաջորդակա1ոֆ-լ հաջորդականության որտեղ Վուո լ-ը կոչվում րո,Էլ հաջորդականությունը,

Սահմանում

0ություն է

ԵՎ ՍՏՈՐԻՆ

ուխ

ն

աու

ոլ

Հ

ոշ..Հ

հաջորդականություն

են, իսկ ենթահաջորդականություններն հաջորդականության

8լ.82,85:8յ,...

այդ հաջորդականությանենթահաջորդականությունը

հաջորդականությունը չէ: Թեռրեմ 1: Որպեսզի հաջորդականությունը լինի զուգամետ, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ նրա յուրաքանչյուր ենթահաջորդականությունլինի զուգամետ ն ձգտի միննույն սահմանի: ն ճմպացուցում ԱնհրաժեշտությունԴիցուք ող »23օ8 ո--օ

ն, Է. -ը ոլ

հաջորդականությանկամայականենթահաջոր-

դականություննէ: Քանի

«8

Լու-.լ-ն

մոնուռոն

Հ» ՄՏ» Խ-)

»,

-Կ|Հ6Հե)»

Յո,

աճող Է,ապա ու՞»Հ«»

ԵՀՆ2.թ»

ընի,

Հ»

որ

Լոտ ճը

Ո-օօ

կոո,

Մ

ո

|ճղ-8|Հճ:

Հու:

ոլ 2 1, ոշ»

ոլ -»

ՅԽԿԺՄԵՀԿ

:

ոչՀ2, ու»ո

Հճ:

Բավարարություն 3 Յ6Ռ այնպիսին, որ յուրաքանչյուր ենթահաջորդականությունձգտում է 8-ի Քանի որ (ու) լ-ը ինքն իր «8:8 է, ապա ՀՅ նոյ ենթահաջորդականությունն Սահմանում

24 (ա)

հաջորդականության որնէ

ԷՋԷ

ենթահաջորդականության սահմանը (վերջավոր կամ անվերջ) կոչվում է (Յո)... հաջորդականության մասնակիսահման:

2 Դիցուք՝ Օրինակ

«Ը1բ

Ուրեմն այս

,ո»Լ2..

-»

8շլ »1

Թ եովյ«15-:

հաջորդականությանհամար Էէ-ը

ն -1-ը

Ը: ԻԲՆ

մասնակի

Համաձայն նախորդթեորեմի հաջորդականությունըտարամետ է: Թեորեմ2(Բոչցանո ) Յուրաքանչյուր սահմաունի զուգամետենթահաջորդականափակ հաջորդականություն նություն: սահմաններ են:

Վայերշտրասի՝

Ապացուցում:15.դ Ր հաջորդականությունըսահմանափակէ, այ-

սինքնգոյություն ունեն

ն Ե

թվեր,այնպիսիք,որ

7 ոօ

Ա:Յ

ՉԿՀԵ:

(1781-1848): Բերնարդ,չեխ մաթեմատիկոս,փիլիսոփա Բոլցանո Կարլ ԹեոդորՎիլհելմ (1815-1897), գերմանացի մաթեմատիկոս: Վայերշտրաս

Տրոհենք | 8: Ե| հատվածըերկու հավասարմասի՝

|ՐԵ.իԱկնհայտ է, որ

Ե

այս

ե- | Ե

ն

հատվածներից գոնե մեկում կա

ոլ

հաջորդականությանանթիվ թվով անդամներ: Ընտրենք հենց այդ կեսը: Եթե այդ երկու հատվածներն էլ պարունակումեն անթիվ թվով անդամներ,ապա միննույն է, թե հաջորդականության "նրանցից որը ընտրենք: Այդպես ընտրված հատվածը նշանակենք (8. Ե) ե ընտրենքնրան պատկանողորնէ անդամ` չղ,: Այնուհետն լյ: Ել) հատվածը նորից կիսենք ն նույն սկզբունքով ընտրենք նրա կեսը` |Թշ:Եշ) հատվածը: |ճշ: Եշ-ի մեջ ընկած հաջորդականության անթիվ թվով անդամներիցընտրենք մի որեէ ր, անդամ այնպիսին, ոլ: Կիսելու պրոցեսը անվերջ շարունակենք: հ-րդ քայլին առաջացած |». ծվ հատվածից ընտրենք ր -ն այնպես, որ՝

որ ոշ»

ուշուգ:

Այսպիսովառաջանում

էԼ».2

առ խլելու 12..): Առաջանումէ Հ

ենթահաջորդականություն

նան

(խն:Եւ))Ըլ

ներդրված

.

հատվածներիհաջորդականություն,այնպիսին,որ` Եւ

-8.5

Ե-Յ

շէ

-Ծ0:

հայտնի հատկության (տե՛ս. 5.4, թ.3) 4 միակ օ թիվ, որը պատկանում է հյ:եւ|(է»12..) հատվածներիցյուրաքանչյուրին, Օգտվելով 5.3-ի ընդ որում՝ Յլ Եւ, ՄԵ ոլ ՏՃոլ ՏԵլ: Ըստ

օրա -Ֆօօ

թ.6-ից ստանում

ենք ո

-

լիո -«ֆՕօ.

»«:6

Է-»»

Յետնանք:Թեորեմ 2-ից հետնում է, որ յուրաքանչյուր սահմանափակհաջորդականությունունի մասնակի սահման: հաԽնդիր 1: Ապացուցել, որ վերնից (ներքնից)սահմանափակ սահմաններից մասնակի ունի համար գոյություն ջորդականության ամենամեծը(ամենափոքրը): անսահմաԽնդիր 2: Ապացուցել, որ եթե հաջորդականությունը նՇափակէ վերնից (ներքնից), ապա Հ«»-ը (-««-ը) մասնակիսահման է:

31տղ ալ Սահմանում

մասնակի սահմանհաջորդականության

ներից ամենամեծըկոչվում է վերին սահման

20:

հուշճղ,իսկ մասնակի. Ո-»ջօռ5

`

սահմաններիցամենափոքրըկոչվում է ստորինսահման

դեպքում,

երբ

Հ»

մասնակի սահման ( նտ ճր --»):

(-5)-ը

սահմանման` ոռը ՀՀ Ո-»օօ

նռ

Այն

ր:

Ո--»օօ

է, ապա

ըստ

Ղ-»օ

հետնյալ կերպ: Այժմ թեորեմ1-ը կարելի է ձեաակերպել 1: լինի զուգամետ անհաջորդականությունը Թեորեմ Որպեսզի հրաժեշտէ ն բավարար, որ նրա վերին ն ստորինսահմանները լինեն վերջավորն իրար հավասար:

ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ.

ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՖՈՒՆԴԱՄԵՆՏԱԼ

5.6.

Սահմանում 1: ՇԿ):-լ

կոչվում է ֆունդահաջորդականությունը

մենտալ, եթե այն բավարարումէ

պայմանին: հետնյալ(Կոշիի')

(1) ն ո հաՊ-ի մեջ Վերջին անհավասարության Դիտողություն: ո մարներիտեղերը կարելի է փոխել, ուրեմն կարնորչէ թե տ, թվերից

ՄՏ»03ոՄՈչՀու,ԺոչՀու:

եոյտ|ՀՔ

որն է մեծ: Ենթադրենք

-»տ-ո»քակպ: Այդ դեպքումԿոշիի պայմանըկարելի ձնակերպելհետնյալ համարժեքձնով՝ (2) Ժք»0 հոք-2ոՒՀ 8: Յու, ԿոչՀու ք«Ա: զուգալինի Թեորեմ 1: ՈրպեսզիՇգ). հաջորդականությունը ոչ»ո

է

անհրաժեշտէ ն բավարար,որ այն լինի ֆունդամենտալ: Ապացուցում: . Անհրաժեշտություն Տրված է, որ (տ)ո-լ-ը ՅՀՔ եռ է, այսինքն՝ 32 « ԽՄ 65»03ոժոՀո.: զուգամետ մետ

-

եճո--ո1Հ 10 8)-0ո-Յ)Տ 22 Մուտ»ո,: կոՅԿԱՀՏ (տ,ոՀու): Ուրեմն ՀԱո-81Ի:ա-381Հշ -

(Կո

Հու: նտ-Յ

Հ

-

-

է: ֆունդամենտալ ՇԿ)-լ հաջորդականությունը է: Տրված է, որ ՇԿֆ--լ- ը ֆունդամենտալ Բավարարություն:

՝

մաթեմատիկոս: Կոշի ՕգյուստենԼուի (1789-1057), ֆրանսիացի

Յոլ

է»0

«Տ

ԿՍոչոլ:

իջ-»ո|Հ1 Ճո. խո-|չո -»ռՀո Տո -ոթխո|իՀԹ Մոչոլ:

սահմանաԱյսպիսով` շո, ՈՀու,ուժ1,.. ենթահաջորդականությունը փակ է: Ըստ Բոլցանո--Վայերշտրասի թեորեմի, գոյություն ունի այդ

Ե, լ

հաջորդականությանզուգամետ ենթահաջորդականություն

Վ»դ )5-լ հաջորդականությանենթահաջորդականությունն 8: Դա նշանակում որ՝ Այսինքն՝Հ է լո Ճո,

(այն նան է):

«օօ

Հռ, ՄոՀե,:

ՍՏ»0

-8|Հմ2:

ո

(0

Քանի որ Շո)ոչլ հաջորդականությունը ֆունդամենտալէ, ՅՁուժոոչՀու: Ժե Հէ՛

: Ու»

հանա) ո,

Դիցուք` ք

որ ու

իո,-»ոՀ2(ոչու

-»

-

Հ-: Քանի

ոո»

Վեհ,):

-»

ապա

(2)

ից ն(2)-ից

-

3 մ՛ .

է՛):

ն»

Ապա(1)

(ոլ Հե),

»

Է--՞-օ

ապա

ստանում

ենք՝

ՄՈՀու:

|«ր -8|» Հ

հոտ «8:82

ե-ոիե, -")չ

Ճո -»ո|իՒ

ո

-Կ։2ԻԸ»6

Ռ--»օօ

վարժություններ:1. Ապացուցել,որ՝ շո-

.Տլոշ/

Տոլ

-----Վ

Տ1Ոոէ

ւնը

ֆունդամենտալէ: 2.

Ապացուցել, որ

անություն (ոչ12..) ) հաջո հաջորդականությունը

փֆՀՀ---.

ո

Հ

(ոՀ1,2..) հաջորդակաԹշագվ-ՎԸ ո

նությունը տարամետէ (ֆունդամենտալչէ):

Խնդիրներ:1. Ապացուցել,որ՝ 2. ո

38ՓԾ

ող

-»

Յ

Ո--»օօ

«»Ե"

ԾԵ" Ո-»օօ

(Ե»0):

Ապացուցել,որ՝ -5»2Թջյտ2 »0,»0.Ե»0,Ե»1):

ջող

Ցուցում Օգտվել հաջորդականության սահմանիսահմանումից:

22:

5.7.

ԱՆՎԵՐՋ ԹՎԵՐԻ

ՆԵՐԿԱՅԱՑՈՒՄԸ

ԻՐԱԿԱՆ ՏԵՍՔՈՎ:

ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ

ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ

ԹՎԵՐԻ

ԱՆՀԱՇՎԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԻՐԱԿԱՆ

Թվի ամբողջ մաս` || կոչվում է այն ամենամեծ ամբողջ թիվը, որը չի գերազանցում այդ 8 թվին: Օրինակ, |1,5-1, 5-2: լպ: օօ: 1) հատվածը տրոհենք Դիցուք 8Հ0նլոՀաչՀ0: տաս հավասարմասի ն նրանցիցկընտրենքայն, որը պարունակումէ Ձ-ն: Այն դեպքում, երբ 8-ն միաժամանակպատկանումէ տրոհված հատվածներից երկուսին (8-ն տրոհված հատվածներիընդհանուր ծայրակետ է), ապա կընտրենք այն հատվածը, որի համար 8-ն ձախ ծայրակետ է: Այսպիսով,գոյություն ունի այդ պայմաններինբավաՍահմանում

1:

միակ միջակայքը

րարող

Լօը,օյ:

օց,օլ

10),

այնպիսին

որ

|օգ,Օյ: ա, Օյ Հ10-1):Առաջացածհատվածընորից տրոհենք տաս հավասար մասի ն նույն սկզբունքով ընտրենք միակ միջակայքը (միակ ռչ թվանիշը), որը պարունակում է Յ8-ն: Շարունակելով այս պրոցեսը կստանանք ներդրված հատվածների հաջորդականություն «եաօշ...0ո, Յր (ո : Յո, ՈՀ 0,12...., որտեղ ',Ճց ց » 80 «0001,

Յճ

Հ

Հ

...ո

ՅոՅ օաց02

Ի

10",

10, 1, ...9),

ԿՅ12....: Այդ հատվածների

երկարություններիհաջորդականությունը՝10" '

նշված

0: Այդ պատճառով

յուրաքանչյուրին պատկանող կետը միակն հատվածներից սիմվոլը 8218: Այսպես առաջացած 0շ,00շ...Օո...

են հոճՀ

կոչվում է

է

-

հռ

տասնորդականկոտորակ: անվերջ տասնորդականկոտորակի

1: Այս Դիտողություն

թվանշանը անվերջ կրկնվել չի կարող (9-ը պարբերություն չէ): Ապացուցելու համար ենթադրենքհակառակը՝ Յ ոլ, որ Օ՛Հ օծզ.... Օդ 99...9..., որտեղ 6,» ա."

9, երբ ոլ «0:

Այդ դեպքում՝ՅՀլօո,օ....Օ,,99..9:

Հ10՞1(ոՀոլ): Այստեղիցհետնում

օա

է, որ Ձ-ն համընկնումէ այդ

Գ հատվածներիաջ ծայրակետի հետ (դա գց,Օլ...Ճու-1(գոյ 1)կետն է, երբ ոլ "1 ն օցԳ1 կետն է, երբ ոլ Հ1), որը հակասում է հատվածների

ընտրությանսկզբունքին: Ինը պարբերությունչունեցող տասնորդականկոտորակըկոչէ վում Քույչատրելի- Այսպիսովյուրաքանչյուր ոչ բացասականթվին մեջ է դրվում միակ թույլատրելիտասնորհամապատասխանության

դականկոտորակը,ընդ որում ստացվածհամապատասխամնությունը փոխմիարժեքէ: է Եթե ՅՀ 0, ապա 8 » 0 ն ուրեմն,-Յ -ին համապատասխանեցվում Մնում է 8-ին ՕՀ ո... պ, 0... բերված տասնորդականկոտորակը: --օց,Օլ...Օո... կոտորակը:Այսպիսովառաջահամապատասխանեցնել նում է փոխմիարժեք համապատասխանություն բոլոր իրականթվերի ն բոլոր թույլատրելի տասնորդական կոտորակներիբազմությունների միջն : Ք իրականթվի ն նրան համապատասխանտասնորդական կոտորակի միջե ընդունված է դնել հավասարության նշան՝ ՁՀաա,Օլ...08...:

Դիտողություն

Յուրաքանչյուր ՅՃ իրական թվի համար գոյություն ունի իրեն զուգամետ իրարից տարբեր ռացիոնալ թվերի Իրոք, 8 թիվը ներկայացնենքբերված անվերջ հաջորդականություն: ,, պ ...0ո ..: Այդ դեպքում` տասնորդականկոտորակիտեսքով՝ 8 5»

81 զցչգլճշ..2ղդ10"

(ոչ12,...) ռացիոնալ թվերի հաջորդակակա8-ին ն, ըստ այդ հաջորդականության նությունը է: անվերջ ռուցման 21 բազմությունը Սահմանում 2. Ճ բազմությունը կոչվում է հաշվելի, եթե այն համարժեք է բնական թվերի բազմությանը(Ճ-Ա): Այսինքն`գոյություն Դա նշանակում Է որ Ճ բազմությանբոունի բիյեկցիա՝ ք:Ճ -» Ա, լոր իրարից տարբեր տարրերը կարելի է համարակալել` օգտագործելով բոլոր իրարիցտարբերբնականթվերը: Թեռրեմ 1: Ռացիոնալթվերի բազմությունըհաշվելի է: Ապացուցում Նախ դիտարկենք դրական ռացիոնալ թվերի

զուգամիտումէ

Ը`

դեպքը՝Լ»

ո

ոոօ ԿԽ:Այդ թվի բարձրությունանվանենք՝հՀոՓՒո

թի-

վը: Այժմ համարակալենք տարբեր դրական ռացիոնալ թվերը ըստ իրենց բարձրության աճման՝դասավորելով միննույն բարձրություն ունեցող թվերը ըստ աճման: Այսպիսով դրական ռացիոնալ թվերը հետնյալ կերպ՝ կհամարակալվեն 112131234151234561351

12131

9253.

Այդ թվերը

43:

21:51:65

ղ,քշ,դ....: նշանակենք՝

4:3:2'1:7:5:3:1՞ "ՂԱ"Վ)

Այժմ բոլոր ռացիոնալթվերը

կերպ՝ 0, ղ,-ղ,ռ,համարակալենքհետնյալ ,դ»-դ».. Թեռրեմ2 Իրականթվերի բազմությունը անհաշվելիէ: Ապացուցում Դիցուք հակառակը՝Ջ-ը հաշվելի է, այսինքն` իրական թվերը, ուրեմն նան նրանց համապատասխանթույլատրելի տաէ համարակալել՝ նորդականկոտորակները,

«Հանա

Աի

զչըն..Օրո

Ճո

Յ.00029... ո... 00", 02" 62 2.0

օր» 9: Ընտրենք0, թվանիշերը,ո 1, 2... այնպես, որ օո « օո օո թիվը չի համընկնումշո (ո-1.2,3....) Այդ դեպքում 0, Օլ օշ թվերից ն ոչ մեկի հետ: Ստացված հակասությունը ապացուցում է պնդումը: Թեռրեմ 3 Յուրաքանչյուր (8 : Ե) միջակայքհամարժեք է (-«« : »») միջակայքին: Ապացուցում:Տե՛ս 3.-ի խնդ.1-ը: Ջետնանք:Յուրաքանչյուրմիջակայք անհաշվելիէ: Թեորեմ 4 Յուրաքանչյուր միջակայք պարունակումէ անվերջ քանակությամբռացիոնալթվեր: Ապացուցում Վերցնենք (ճ:Ե) միջակայքի որնէ օ կետ, ն այն կոտորակիտեսքով՝ ներկայացնենքբերվածանվերջ տասնորդական ն

»

..

10" (ո-12,..) անԱյդ դեպքում` օր օըչօլ..6ը (տես 5.7, դիտ. վերջ թվով ռացիոնալ թվերի հաջորդականությունը 2.) ձգտում է օ-ին: Ուրեմն, ինչ-որ համարիցսկսած այդ հաջորդականությանբոլոր անդամներըկհայտնվեն(8:Ե) միջակայքիմեջ: 5. Թեորեմ 5 Յուրաքանչյուր միջակայք ունի անվերջ քանակությամբ իռացիոնալթվեր: Ապացուցում Ենթադրենք հակառակը`միջակայքը պարունակում է վերջավոր քանակությամբ իռացիոնալ թվեր: Այստեղից հետնում է, որ միջակայքըհաշվելի է (տե՛ս թ.4 ն խնդ.4.): Ստացված հակասությունըապացուցումէ պնդումը:տ Խնդիրներ.1.Ապացուցել,որ ամբողջ թվերի բազմությունըհաշվելի է: 2.Ապացուցել, որ հաշվելի բազմությանանվերջենթաբազմությունը հաշվելի է: հաշՅ. Ապացուցել, որ վերջավորկամ հաշվելի քանակությամբ է: հաշվելի միավորումը վելի բազմությունների տար4. Ապացուցել,որհաշվելի ն վերջավոր բազմությունների բերությունըհաշվելի է: ունի հաշ5. Ապացուցել,որ յուրաքանչյուրանվերջ բազմություն Շ»Շըչօլ..Շղ..:

վելի ենթաբազմություն:

-

ՍԱՀՄԱՆ

6. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Թ) կոչվում է Է - Բ բազմության սահմանային կետ, եթե 8-ի յուրաքանչյուր շրջակայքումկա իրենից տարբեր, Է-ին պատկանողկետ: Լեմմ: եթե Յ-ն Է-ի սահմանայինկետն Է, ապա գոյություն ունի Սահմանում

|

1: 8-ն

(8

Ել հաջորդականություն,այնպիսին,որ՝ ո

(ո

լա

Ո--»օօ

Հ

1, 2...)

127117 : Ըստ սահմանման՝ ճմպացուցում

0Հիր«ԿՀ

-»

ԲԱ) (ո

ո

ո

«58--ՀողՀՅԻ-

Սլ Թ),

Հո6

'/ ոօ

Թ»որ

ոօ

ո

Է)

ոլ

Ռ-3օօ

(տե՛ս 5.3-ի թ.6-ը («ոստիկանների»կանոնը)): Ջ Սահմանում 2: Դիցուք 1: Բ »ՃԲ(ԷՇՅյետռ-ն ք-ի սահմանային տ է Է թվինն է: Կասենք որ, սահմանը կետում հավասար /29-րի կետ նոքա)»: կգրենք

(46).

կամ Չայնեի) (հաջորդականության լեզվով 53:16) 2-33

ւմ

ըստ

ՍՄողօ ի, "ղր238,

ր

Ք:

Ո-»օօ

Ո-Չօօ

2". ((8 ձ) լեզվով, կամ ըստ Կոշիի)

ՄՏ»0365(42»0Կ26

0Հեւ-

Ք

Ձ|Հծ: 10)ՎԱՀՏ:

Թեորեմ 1- 1: ն 2" սահմանումները իրարհամարժեքեն: Ապացուցում Նախ ցույց տանք որ 14 -» 2": Դիցուք 2` սխալ է:

Այսինքն 36»0Կ98»0

Այստեղիցստանում ենք՝ Մո

Դանշանակում է,

որ`

ող

0ՕՀԵ- ՅՀՏծ:

ՅՀՔ Հ

ՎՅ»ոօ

Խ՛Նո

Բ: 0ՀԵռ--Յ|

88,բայց` 1ք(«դ) -»

հակասում

Ստացվածը

Ո--)օօ

1": ԴիտարկենքԿ 1»

Ռ--5»»

Այստեղիցհետնում է 2-ը:

26:

1ՐՎՅՀ6 ՀԸ,

::

է 1--ն:

Այժմ ցույց տանք, որ 2" -» 53ՈՄՈՀՈու:0Հ1Կ-81ՀՓ

ՀայնեՀենրիխէդուարդ (1821

ԻՍԱ-ԱՎՀՇԸ

--

մաթեմատիկոս: 4881), գերմանացի

շո

Հ

Բ,ո»Յ,

10ԴՎԱՀ(ՈՀոյ):

: Պարզ է, թե հաջորդականության լեզվով ինչպես Դիտողություն կարելի է տալ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, երբ 27-»» 8 լեզվով այդպիսի (ժօո,-օօ) : Բերենք 6 (Ի օ5-օ«), կամ զ սահմանումներիօրինակներ: 1. հո (2)2 66 ՔՀ.Ս6»036806)»0Կ«ԷշՀ-ծ: (ՐԺՎԱՀ: Հ

»«

-

Ց-Ֆ-»

2.

հռ 8-3

12)

Էհմ»8:1(ԹՉ»6

«ԺՏ»0366)»02Թ«

ՀԷ»

ՍԱՀՄԱՆՆԵՐ

7. ՄԻԱԿՈՂՄԱՆԻ

Սահմանում

1:

չօ

թվի «ծակած»

շրջակայք է կոչվում

շրջակայքըառանց »օ-ի՝ Մչ(40)»6ց -68:50:Ի6)

(40-80) Սչ(40)»

48):

օօ

(6»0) շրջակայք է կոչվում -ի 6:-») ((-««-8)) միջա-կայքը: ՀՅ: Ե»-ն դա (չե) միջակայքիընդհանուր գրելաձնն է, այն կարող է ն պարունակել8,5 ծայրակետերը (կամ նրանցիցորնէմեկը): Սահմանում 3: Դիցուք՝ Է ՀՅ: ե»-»Ք, կասենք, որ այդ ֆունկցիայի աջակողմյան (ձախակողմյան)սահմանը ոց ("օօ չե)) Սահմանում

2:

Տ

Հ»

կետումհավասար է Խ-ի ն կգրենք

տտ Ո(ԹՀԽԵՕ(-0

(20)

2-50

ՅՃ(2»0(Սչնց)Հ6:Ե))

ՒԹ-ԱՀՑ

Կ

արն ՀՍ,

ճ2-31ր «

եթեստ»0 0:82):

օ8)265

'

միջակայքի ծայրակետերումիմաստ ունեն միայն Էն«-0),1(6-0)միակողմանիսահմանները: Թեորեմ: Որպեսզի ֆունկցիան ունենա վերջավոր սահման միջակայքիներքինկետում, անհրաժեշտ է ն բավարար,որ այդ կետում գոյությունունենան միակող-մանիսահմաններըն լինեն իրար հավաՀՁ

սար:

Ե»

ԱպացուցումԱնհրաժեշտություն ա 1Թգ»եօ Ճ (ոօ 6.

Այսինք

Ժ65»0

38Թ»0(Սչնգ)ՀԹչԵ))

Հ«

Հ

Նւէ)):

Սչ6օ)

(0-8 Հ2Հարծ)):1Է00-ԾՃՀ:

03 8 (8»0(Սչ06ց)օ« 6:Ե)) ո, Ուրեմն` Մ 6» (օ6Հ«Հ») : 10)-ԳԿԻՀԵ » նտ 1(Չ-ԽԻ 6

րո

Ճ-5:շ40

ԲավարարությունՅ կլո

Հ

1-50-0

նտ

Ճ-31գ-0

է

2020-5Ժ նո

Ւ02-

7-»:0Ի0

Է0)ՀՀ«

Ուրեմն

«Գ-

նո (3 5-5500

օՀ«ՀՒծ

ՎՀ:, 3 8.

(6»

(Սչ.69)ՀՆ:Ե))Մ"

8(:»0

Հ

Կօ0

(նչ, (0)

Ը:ե))«Հ

0օ:

«

65):

(«-ձ9:

/8-ԿՀ:

Հծ: վերցնենքՃ/ճ, 0 Հ օօ Նշանակենք Ռոոո( 8., ձչ)-ծ»0ն, Հնարավոր է երկու դեպք՝ 1.շօՀ»ՀՀշօԻ6ծ »շօՀ»ՀՕՒծշ

«5 ԱՍՕՎԿՀՏ,

2. )«--««ՉօաԿԵ-ՏծլՀ«Հա»10)-ՎՀ: նռ ՅՖ» |2Թ)2Խ:8

Դիտողություն:Թեորեմը որոշված էյ

մնում

է ուժի մեջ, երբ

ֆունկցիան

յ-ի «ծակած» 8 շրջակայքում ( Սչ(չօ)ՀԹ:Ե))

ն | Օրինակ: 1ժ---:70, (Ւ0)-

Հե«-0)» մո հո23» չ-0 կետում: չունի«ահման ֆունկցիան Վետնաբար, 8.

մո

Հ-1:

-

ՍԱՀՄԱՆԻ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Քանի որ ֆունկցիայի սահմանը բերվում է հաջորդականության սահմանի, ապա ֆունկցիայի սահմանը օժտված է բոլոր այն հատսահմանը: կություններով,ինչ հաջորդականության հտ (24)ն նտ ց0ց, ապա՝ ունեն գոյություն Թեորեմ: Եթե 2-52ը

1.3

նո

»-5»ր 2.3

նտ 5-3:

120960) 1690):

ո

46յէ

նտ904,

Փ Հր ին

չոռ

Ճ-»7ց

33:

Զ»-»:

կո

(2)

«ռո,

նո

12)

հտ

ջ(0)

(ցըցա0,

նո 5-ը

ց0ժ» 0):

5-59 Ապացուցենք Օրինակ 3-ը: Ունենք, որ Մ ոօ Ճ ցա) 5 8»0.Այստեղից, ստանում ենք՝ /օ)-» ԴՌ-Ֆօօ

նռ ոո

109.

Հո),

լո

ոջթջար)

ջ2)

նո) հռ

Ո-3օօ

-..,Վօօ,-օ5-

լ

ջադ)

:

նան

այն դեպքում, երբ

.

ՓՈՔՐԵՐԻ

ԱՆՎԵՐՋ

9.

Ո-3օօ

Դիտողություն:Թեորեմը ճշմարիտ է :

77»

ՄԵԾԵՐԻ

ԵՎ ԱՆՎԵՐՋ

ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄԸ

Սահմանում 1: Դիցուք 1(«) ֆունկցիանորոշված է 8-ի «ծակած»

շրջակայքում:10:-ը կոչվում է անվերջ փոքր (անվերջ մեծ) 2 կետում, եթե`

(նո)

(2)20

Նո Ճ-358

Ճ-՞8

կետում անվերջ փոքր (անվերջ մեծ) 164, ց09 ֆունկցիաներըկոչվում են միննույն կարգի անվերջ փոքր (անվերջ մեծ), եթե ց(«)2:0ն Սահմանում 2-

կո

Յ

162ՇՀբ, 962)

()

Շ»0:

2-»4

Եթե (1-ի մեջ ՇՀ1, ապա 109 ն ֆունկցիաներըկոչվում են իրար համարժեքն գրվում է՝ 109 Ճ-38Սահմանում

(9.2.

Հ»

Օրինակ 1.

««2

աԺ): -.

»-»0

դ:

Իրոք՝

Ի:

ՀԱ-Ն

9ց0ժ

5-50

ավելի բարձր Սահմանում 4 1) ֆունկցիան ն ց-ն կարգի անվերջ փոքր, քան ց0ժ-ը, «-ը 8-ին ձգտելիս, եթե Էր հո Այդ "այնպիսի անվերջ փոքրեր են, որ ց0020ն

անվանում են

Ճ-34

162.0: )) Ք

օ (ց04), 2-58: դեպքումգրում են` 160ՉՀ Օրինակ2: :չ1-օ004250: Թեռրեմ: Արտադրյալիսահման հաշվելիս, արտադրիչըկարելի է փոխարինել համարժեք ֆունկցիայով (դրանից չի փոխվի ոչ սահմանիգոյությունը, ոչ էլ սահմանիարժեքը): ՅՅ լկոքն)յջԹ)ՀԽ ընդ որում՝ Ապացուցում: Դիցուք 2-4

:

ը '

հ0Չ»-0):

հ(9(69»0,

-

ՊԵտք է ապացուցել, որ 3

Իրոք` նտհ(5Ը)ենթադրենք,

որ

նռ

Ճ-33

նռ

բայց

«-38

ոթն):

հԹխ(ճ)-Ճ,

ապա

ռ

ՍԱՀՄԱՆԸ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՄՈՆՈՏՈՆ

այժմ

Եթե

Ստացված հակասությունը

Ֆ'ճՎ»ճձ:

նշանակումէ, որ` 72

ՀԲ: Ճ-ՂՀՃ:

ին խն

10.

հ)ջ(2)

հոք69-86)ի 16) էլի նռ10486),

յնա.

,

26)»

հտ

էը կոչվում է մոնոտոն էԷ62)): աճող (նվազող), եթե 0, 726 Էէ, «ԿՀ)ռ-5» 10Կ)ՀՍ) 0)» 2: Է ֆունկցիան կոչվում է մոնոտոն Սահմանում չնվազող Մ02էՒրջ): (չաճող), եթե 7 Հշշ 5 10) Հէ(ջ) Սահմանում 3. Ֆունկցիան կոչվում է մոնոտոն, եթե այն մոնոտոն չնվազող է կամ մոնոտոն չաճող: Թեորեմ 1 Եթե 12) ֆունկցիան մոնոտոն չնվազող է (չաճող է) (8:Ե) միջակայքումն 26 (8:Ե), ապա՝ Սահմանում

1:

ՅԷԲ0-0)Հ-

հո

Դիցուք

«-35ղ

(3840 -0)», տք :

Ա:ս)

ք,

Է ք-»Ք

1Թ6)- տսք

ք,

(ուս

(ԲԲ):

ՅՒԸ0Հ0)»

16)».

ոք

(օ:ե)

ՅԲԱօՀ0)Հ «սթ ք): (օէ)

չնվազող ֆունկցիայի դեպ(մյուս պնդումները

Քննարկենք մոնոտոն

քը:

նո

2-թողի0

Ապացուցում Ցույց տանք, որ 1(«չ-0)Հ

տսք Է (8:2ո)

ապացուցվո

նույն կերպ): «Թ: » « (Թ. «9 բազմությունը սահմանափակ է վերնից՝ ՅՅ ՀԺ Ծա(82օ) Է) ՏՒ(օ) տաք ք:տ0 (Թյայ:100055 են

(2:ռո)

Բ Նշանակենք 3ՅՀ2.6 (8: 2): Ւ(գդ)» Զծ Հ :«-Կ » 0օ-8:2)Հ 0«:2):1(9Հ1Է00)»064»Հ10920-6 նտ 19-08 Այսպիսով`«6 («--Տ : 20): Օ-6ՀԷ0ՀօՀԵՕՀՏ-

ՄՏ»0 Մ.

0:

օ

Ճ-Ֆ:օ-0

Դիտողություն:Մոնոտոն

չնվազող(չաճող) ֆունկցիայիհամար

ՅԷ(Ե-0)» տսթք| ((4Հ0)» ՅՈԲՀՕ)» ոէ) իք

մ

Ը)

5սք Ք

(ճե)

3-0)»

ոք

(ւե)

Է

|:

Ընդ նշված ճշգրիտ եզրերը կարող են լինել անվերջ: Օրինակ, տսքԲ»ՀՀ»», եթե 10-ը մոնոտոն չնվազող է ն վերնից 1:է) անսահմանափակ: 11.

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԳՈՅՈՒԹՅԱՆ

ՍԱՀՄԱՆԻ

ՎԵՐՋԱՎՈՐ

ՊԱՅՄԱՆԸ

ԿՈՇԻԻ

Դիցուք 14-ը որոշվածէշ թվի Սր(ճօ)«ծակած» շրջակայքում,կասենք, որ այդ ֆունկցիան բավարարումէ Կոշիի » պայմանին «չ կետում, եթե Խ6 » 0 3 ծ 2 0 0Հյ) Սահմանում:

Հ6

0ՀԵՏԵ/ՀՏ, 0 Հ ԵՏԵՒ ՀՏ: (ԹԵ

շշ Թեռրեմ 1: Որպեսզի 16-ը ունենա վերջավոր սահման շ կետում.անհրաժեշտ է ն բավարար, որ 1(4)-ը բավարարի Կոշիի պայմանինայդ կետում: ԱպացուցումԱնհրաժեշտությունԴիցուք նո ժ-Խ6«Ճ

Մշ

Հ

2-37

3ծ0)»0

ՀՀԿ»0

-

09-61Հ2ՊԳԿ Ե-70ԻՀՏ,

/ՐԳ-ԿՀշ:

(00-Ե1Հ2.

Փ0ՀեռԿ

(8Հ:)

«ՀՏ:

Տ:

ՎԱ»ԸԹՅՕկյստեղից

ՀԱՇՎՐՈՀՀ

«յ«լ«-

5-6

Է0015109 «բ

Բավարարություն Ունենք

ՀԽ)

ՀՏ, 0

ՀԷ-»0|

11040.)

ՀՏ:

Գ».

3806)»0(8Հյ)

Ս:»0 Հ

6:

ՍՆց) »8»0(8Հյ)Յոլ

ՎերցնենքՄ ,ղ-»ոց.ոօՀ

Մոչոլ

Ո--ջօօ

Հ/|ՀՇ)ԷՀծ,

ՄոՀոլ:

ՀՏՀ» 1Մ(ԳԷԷ0Օո)

ՀՏ:

0ՀԱշոՉԵ

Այսինքն` (

00)

ք

),-, հաջորդականությունը Ֆունդամենտալէ,

ուրեմն՝այն զուգամետ է : Ուրեմն Հ «6 Մնում

է

ցուց

տալ,

որ

Բ:

10գ)

Ռ-»օօ

կամայական

այլ

ՍԸօ))

Յու

13ո) -»

Խ:

Դիցուք էԷ(/ո)

Ո-»օօ

թյուն՝ 2

գ,

Հ

հաջորդականությանհամար,

երբ ո«2Խ-1

2, -»

Ակնհայտէ, որ Դիցուք՝12 ենԱՀ-

ոք Ղ-Ֆօռ

յղ)ՅՀ

ո)»

ՆՆ.

Ո--»««

ն 2ր-յ,

երբ ոՀ2է:

(ք(շ))լ-լ

)օ

ԽԱ:Բայց Վ»

լո

ո

18շ)-

յո

-

ձգտում է »-ի:

Կազմենք նոր հաջորդականու-

հէ

-»

որը

Խոյ

-ը զուգամետ է-

մո.ԱԼՊՔ:յո

122,

4)5

յո

164) ո

ստանում (2- նոյի տեղից ենք՝

ԴետողությունԿոշիի պայմանը, է երբ օրինակ շշ» Հ» կայանում հետնյալում՝ՄՔ» 0 3 ծ (8)»0 Ժշ,»6 Հճ: Ս,» 58,2: »8 ՄՇՈ) Այս պայմանը նս համարժեք է Հ-օ-ում վերջավոր սահմանի գոյությանը(համ.5.6 (1)): 12.

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԿԵՏՈՒՄ Սահմանում

միջակայքում ն շշ

եթեՀ

նո են

1: «

109 Հ102):

Դիցուք՝ 124ֆունկցիան որոշված է Հո- ե» (8: Ե): 4Թ7ը կոչվում է անընդհատշշ կետում,

Եթե 10) որոշված է նան միջակայքիՅ (ծ) ծայրակետում,ապա 19-ը անընդհատ է Յ-ում (Ե-ում ), եթե3 Է(8-0) ք(8) 8 1(Ե-0) -1Ե)): Հ

Օգտվելով ֆունկցիայի սահմանիհատկություններից,ստանում ենք անընդհատֆունկցիաներիհետնյալ հատկությունները: Թեորեմ 1 Եթե 15) ն ց) ֆունկցիաները որոշված են ՀՅ: ե» միջակայքում,անընդհատեն »չ կետում («5 6ՀՅ: Ե»), ապա --ում անընդհատեն նան 46)

Հ

9049,9962)

Հը.

(90օ)

ն

ները:

0) ֆունկցիա-

օրինակ վերջինը: Ապացուցենք, 10724)

հռ

Ունենք` կո «Տո

' 169.-2թ.

9Ց

նոջն)

«-Ֆոը

ի

ջճց)`

Թեորեմ2: Եթե 1()-ը անընդհատէ ՀՅ : Ե» միջակայքիներքին շՀ (6Ծօ) Հ 0), ապա (Թ)-ը պահպանումէ այդ կետում կետում ն /0օ)»0 իր ունեցածնշանըշ-ի որոշ շրջակայքում:Այսինքն՝

Յ Սչ ԿՕ0)Հ

ւծ) «6 Սչ6ց): ՒԷ6)»0 (016)Հ6): 2». 10) » 0 3 862»0 Ապացուցում: նտ ԷԹ4)21Է(6օ)»0 »

Ճ-՞40

(Սչ(1օ)« Նչե))Կ»6Սչ 09)

ԹՕԺ-ՆՀ»-606 Ս(ՎՐՉ)| ՀՈԹ) 5/2» տ 160օ) 0 դեպքը, ըստ էությանչի տարբերվումնախորդից: Սահմանում Դիցուք1: Բ -» 8, 9:Շ-»0(ՍՀՃ)(Ճն, 8-ն, Շ-ննե Օ-ն միջակայքերեն): ՀւՕ, իմաստ Որեմն ց(0) Հ ԾՀՃ-:»9(Թ0« ԽՃ ունի հ(ՒՀ Է (ց(0) 6 8: Ծճնվեցֆունկցիա` հ : Շ -5» 8. Այն կոչվում է բարդ ֆունկցիա` հՕ0-1(9( 0) մասին): Թեորեմ3 (բարդ ֆունկցիայիանընդհատության Դիցուք՝ 1(«)-ը անընդհատէ 2« միջակայքի ներքինշշ կետում, իսկ «Հ«Փ() ֆունկցիան անընդհատէ Լ միջակայքի ե ներքին կետում ն՝ Փ(Ե) Հօ: Այդ դեպքում1( Փ ( 0) բարդ ֆունկցիանորոշված է ե-ի որոշ. շրջակայքում ն անընդհատ է է, կետում: շ« կետում հետնում է, Ապացուցում.| («Ւ-ի անընդհատությունից Փ«ճ ՀՀ, Փ(-ն որ Ս60Ժօ): ԱԹՎԵԹ)ԼՀ::2»Չ6»03Ս,02) անընդհատ է է, 6 7 կետում »»1»03 6»0, Սչ(Ե) «Ն ԺէԷ« Սչ(ե)` Փ(| օ Ս0օ) օ2 »/((Փ(8) բարդ ֆունկցիանորոշված էՍ (ե)-ում ն անընդհատէ Ե-ում:Ջ մասին): Խնդիր 1 (հակադարծ ֆունկցիայի անընդհատության Դիցուք Է |8: Եյ-»Ք, 7-12) ֆունկցիանանընդհատ է |Յ, Եյ հատվածի յուրաքանչյուր կետում ն մոնոտոն աճող (նվազող) է: Ապացուցել,որ 3. ՀՕ) հակադարձֆունկցիան` 8-՛: լօ: ժյ-»|Թ: Ել, օ-(Թ), ժ5(Ե) (6-1(Ե), 451Թ)): Այդ ֆունկցիան նույնպես մոնոտոն աժող (նվազող) է :

Հ

Հ

`

անընդհատ է |6 : | ի յուրաքանչյուր կետում: նդիր 2. Դիցուք Է (8: Ե)-» Բ, 7Հ0:)-ը անընդհատ է (2: Ե)-ի յուրաքանչյուր կետում ն մոնոտոն աճող (նվազող) է: Գոյություն ունեն (վերջավոր կամ անվերջ) ՇՀԱՅՀՕ),Ժ-((Ե-0) (օՀՒ(Ե-0), ԺՀԱ(ԹՀ0)):Ապացուցել, որ Յո. ՀԷ (/) հակադարձֆունկցիա` (՛՛' : (օ: ժ)-» (Թ: Ե): Այդ ն

--

ֆունկցիան նույնպես մոնոտոն աժող (նվազող) է ն անընդհատ է (6: Գ) ի յուրաքանչյուր կետում: Այն դեպքում, երբ Յ Հ-»», ապա հո /Ծ) ա) իսկ երբԵՀ «-«, ապա 6Շ-

-Ֆ-օօ

Հ ա ո

ժՀ

(ո Ճ-ՖՀօօ

1ճ՞)

օ- յռ ո109):

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԽԶՈՒՄՆԵՐԸ,

ԽԶՈՒՄՆԵՐԻ

ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄԸ

13.

Դիցուք՝ 10:)-ը որոշված է շ« միջակայքում: ճց6 24 կոչվում է /Խզժան կետ, եթե այն անընդհատությանկետ չէ: Դա նշանակում է, որ կամ այդ կետում գոյություն չունի վերջավոր սահման, կամ սահմանըգոյություն ունի, բայց այն հավասար չէ ֆունկցիայի արժեքին այդ կետում: Խզման կետերըլինում են առաջին ն երկրորդ սեռի: »տցլխզման կետը կոչվում է առաջին սեռի խզման կետ, եթե Սահմանում

՝

լ

.

1:

Է (Հ0), նՅ (30): ապա (0-0) Մասնավորապես,եթե 16.-0) է խզման կետ. Եթե »օ-ն առաջին Ճց խզման կետը կոչվում մ/երացնելի սեռի խզման կետ չէ, ապա այն կոչվում է եռնրորդսեռի խզման կետ: Մասնավորապես,եթե նո 10) »», ապա 2չ-ն երկրորդ սեռի խզման

Յ

Հ

2-37:

կետ է:

Օրինակներ 1) 162) 0ՎՇ-ի ամբողջ մասը): Ըստ ամբողջ մասի Հ

սահմանման` Է(4)-ո-1, «օիո-1ո) ն 12)-ո,»«օ«իոՀլ) (ոշ 2): Ուրեմն՝ :

1ո-0)»ո-1,1(ՐՀ0)Հ-ո:

Այսպիսով, այս ֆունկցիայի համար յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ հանդիսանումէ առաջին սեռի խզման կետ (տեսնկ.1):

"34

-««զթ-

չ

--գթ-

Տ

«Ց

Վ

պ

---Թվ

--վ»-

Վ

Էւ ԵՇ

2:

հոտ

1-31

իո(«

2-3

Նկ.1

Դ-Ճ 41)

2»),

«

առաջին սեռի վերացնելի խզման կետ կետ է: աընդհատության

3.95 Իրոք

72»0,100)»4: Ցո-է, Ճ

ող

«(-Իոո)

-»0,

Ո--օօ

Այս դեպքում 21-ը

եթե Ճ»:

2 Լտ

է:

ապա

«-1-ը

Ցո:

2-50

բայց

Երբ Ճ-1,

Ը1ի (Թո)Տո(-Հ 2 ոո)

հաջորդականությունըտարամետ է: Օգտվելով սահմանումից ըստ (2): Ուրեմն «Հ Օ-ն երկրորդ սեռի Հայնեի,ստանում ենք` 2

րո

Ճ

խզմանկետ է: 14.

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆԸ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

հաստատուն, Տարրական են կոչվում 7-6 (.»0,0:6:0) աստիճանային,ՀՁ" (8.» 0) ցուցչային, )/-109ւՃ

Սահմանում

յ»:

7ՀՏ(ո2«,7ՀօՕՏՉ4, 592, - օէ» եռանկյու(8»0, 8» 1) լոգարիթմական, /58ղՇց, /-886օ ց» հակադարձ /-ՁՈՇՇ0Տ»., 7ՀՅ8/6Տ(ո24, նաչափական, եռանկյունաչափականֆունկցիաները ն այն բոլոր ֆունկցիաները, որոնք ստացվում են վերը նշված ֆունկցիաների թվաբանականգործողություններից ն այդ ֆունկցիաներիվերջավորթվով վերադրումից (բարդ ֆունկցիաներից): Թեռրեմ 1- Բոլոր տարրական ֆունկցիաները անընդհատ են իրենց որոշման (գոյության) տիրույթի բոլոր կետերում(այսինքն,այն կետերում, որտեղ իմաստունի գրված արտահայտությունը): Ապացուցում Այն, որ հաստատունըանընդհատ է` Ժճց«Ք կետում ակնհայտ է: հատ է

Ապացուցենք,որ /-»«:(գ»0) կետում: Այսինքն

կամայական յ»0

լեզվով նշանակումէ` դ»0, ջորդականության

»

("5

Ո--»օօ

Հ»

ող

(Ճ»0)

թ

0 ծում

Ո-»օօ

ֆունկցիան անընդ-

«տը, որը

ո"

տ 2-3:ց

ճը

-թ. Ո-՞օօ

Հ50-1ոչը |1ուց

-»

Ո-»օ«

հա-

Ո-»օ5

6-1ոց

»ց,տես5:6, խնդ. 2): ցուցչային ն Թ0ցւ

(8»0, Յ»1)

լոգարիթմական

ֆունկցիաների անընդհատությունըանմիջապես հետնում է 5.6-ի խնդ.1,2-ից: Այժմ ապացուցենք 6օՏ:--ի անընդհատությունըկամայական2.0 `

Այսինքն` 1 կետում: Ճ-Ֆեր Կ6»0,

շօտ:

Հ

օօ5»գ: Դա

նշանակումէ, որ՝

ՅՏ(6,:0)»0,9»:ի -»օ|Հծ: |բօ5:-օօտւց|ՀՏ:

Բայց՝օտ: օօտչց| -

-

2.

Ցո

-ՇԷ-

«0.

Դ

ոՀ «022

Այստեղ մենք օգտվեցինք

Ջո 2ԶՀխ-»ցՀՏՀ: --

տով Հիվ(«« («Հ»)

անհավասա-

րությունից, որը կապացուցենքստորն (տես 15.(4)): Նկատենք, որ գտնված 8-ն կախված է միայն 5-ից (այն ռօ-ից կախված չէ): -Տո« ֆունկցիայի անընդհատությունըապացուցվում է նմանակերպ: ն օց»« ֆունկցիաների անընդհատությունըիրենց որոշման է տիրույթի կետերում հետնում է 12.-ի թ.1-ից: Վակադարձեռանկյունաչափական ֆունկցիաների անընդհատությունըհետնում է 12.-ի

խնդ.Ղ,2- ից: 15.

4.

ՈՐՈՇ

ՍԱՀՄԱՆՆԵՐ

ՆՇԱՆԱՎՈՐ

«|.1)տես

Նախ, ենթադրենք՝ |նոտՑ8-»1|

նկ. 2):

ՀամեմատենքձՃ4ՃՕ8-- ն սեկտոր ՃՕ8 (ս. ՃՕԹ ) -ի հետ: Պարզ ստանում ենք՝ համար է, որ ՃՃՕ8 Շ սճՕ8: Ուրեմն, մակերեսների

ՕՃ՞

ՕՃ:Օրյու

Հ-Ի5

«ՖՏէ08ՀՏոօ08-5----Հ2 Թ

ՏլուՀՃ

0ՀՏՏ-Հ1

(0):

«

Մյուս

ՏառՕթՀՏճր0Ը

կողմից՝

"Հոթ Տու Ուրեմն`

"5

Ճ

Օճ-4Ը

2-«

(ՃԸ ո): »

» 6055:

Այսպիսով` «Շ0տ»

Հ

-

ու Հ1

Այժմ, ենթադրենք ոօ համար ճշմարիտ է (2)-ը՝

եյ)

(2)

| Լջ)» Ը ւ:

օօ54(-»)ՀՀ Բեժ

ն, ուրեմն (-»-ի

Քանի որ

օօտչ--ը զույգ

է, իսկ Տլտշշ-ը`կենտ, ապա նորից ստանում ենք (2)-ը: Այսպիսով՝

Արթ

ՀԵՆՀլ

Հ

605:

Քանի

Լոտ

որ

օտ:

հտ 121,

Հ

2-30

(3)

ապա

4-50

ների» կանոնիստանում ենք`

հռ

«50

Տո

հայտնի «ոստիկան-

ըստ

1:

Դիտողություն:(3) -ից հետնում է, որ`

Ապա|ոով Հիվ (վՀշ):

'ցուցենք,անհավասարությունըճշմարիտ է որ այդ

ՀՏ

քում: Իրոք` Խոռ|Հ1

նան

Այսպիսով՝ խովՀիվ։

»

ԽովՀիվ2«Ը»»»):

(4) :

ը

2. նո Է»)

«ճոր»0ող

Ո»

նո 04»)«6:

Գոլ)"

50: ո-»-օ

Հետնաբար ինչ

«օօ:

-»

Նախ ապացուցենք, որ

Հօ|

նշանակում է, որ`

ք---Ճր

դեպ-

Վ

որ

Դա

Պարզ է, որ՝

-»6:

համարից սկսած`

քղ »1:

Կարելի է համարել, որ՝ Խ-1 (հաջորդականության առաջին վերջավոր թվով անդամներ սահմանի վրա չեն ազդում): Եթե ող քո) (տղ օ Ց), ապա՝ ոլ Հքը Հող Գ1:

Ուրեմն՝ Մնում է

ե

ող

ող ԻԼ

Նկատենք, ոիր՝ո է

-ի -

Թ

լ

տր

1ոտ ը

Ո-»ջօ»

լ

դր ՝`1

Հ

1տ ը

լ

տող

Ող

շղ:

Հ6:

Ո--օ«

ՌրՀ1

| լ»

(Ը, իբր 2 ա-ի (-շ-) Բ-Ի»ւ:

լ

Քո

ապացուցել, որ`

ողղՀ1

| ՎԻր| ՎԻ| Ոչ

լ

»ո

-|

ողղՈ-3.օ

լ

որ Ի1

Հոր

Վ |

օօ

ն

Խնդիրը հանգեց նրան,

է,

ոիչբ| Յ

Քանի

(լ:

որ

ո

-ԾՖ

ո

Շերի,

Ռ-3օօ

ք ՎՀ:

իքի

ո

ւ,

էղր-՞փԻ»:»Յոց,ՍոչՀոց:եղ»ա Ո-»օօ

|

ԼԻ----

25|

ք,

6.

Հ»

Ո--5օօ

Էյ

լ

:«-»-0

(142)

Յ.

«օ

լ

որ

|

որ

1»08»1:

1111.

ա

109չօ-ոնՀուՀո)» նու

|

10ջյ6:1ո6 10թ.6: Այստեղ մենք օգտվեցինք ու կետում: »

4.|նտ

«50

Քանի, "30

իո

Հ

Երբ՝ 8-6, ունենք՝|

58-15

Այն,

9860).լօց,ծ| 2-50 հո

ոո ԷԺ. ը-ն

..

մո (Հոթ »օ:

ապացուցվումէ նման կերպ:

Իրոք՝

«2 «6

օ«.ՀՏ(ոշոց)

ռ

Այսպիսով ապացուցվեց, կտ

-

5» Հ»:

Ո--ջօօ

ո

ապա` Կճ»03ՅԻՆԽոՈՀԱՎ:

ծ,

էր

Ո--՞»«օ

ո

8"-

որ

ֆունկցիայի անընդհատությունից

ոՀ»),

նտ

-»0

Ճ

1»0:

Հողի

-

ո" ֆունկցիան անընդհատ է «0

կետում, ապա՝

002»թջ.(«):

յսպի

ոոչ--

Այսպիսով`Վ ն

-

) րղ .-----«50 1Ծքգ (-

Հվող:

- 169.6

|

6 -1

:

Մասնավորապես ոռ :

։

'

իան

|"

.

կուն Հ-1-1-գ .

5.

2-50

՛

Ը)» ճ4-ոի

'

(Հ

-

ւի

76)» զ-լո-«-ո)» ոնՀ)6))

կետում:Նույն կետումանընդհատէ ֆունկցիանանընդհատէ «0 նան 1ո(14-5(:)) բարդ ֆունկցիան(տե՛ս 12. թ.3): Ուրեմն` նո96)»50:

() ո Այսպիսովն̀ո(«»ի-1՝ .»01ո(1 Է 5Շ) .

ՑԶ-ո(Հ») ..

՛

Ստացվածսահմաններիցհետնում է՝ |51ո»

ոՀ») ան

8:

՛

-|

`

ա,

(Հ-Ի-1

Հլ»ոլ

Ճ

Քննարկենքօրինակներ:

անի: դ7

.2ՉՃ

Օրինակ

ԴՀաշվել

նո

251ռ

ՕՏ.

նո

-

թշ

շնո

2--

լ

-շ:

Սահմանը հաշվելիս,արտադրիչըփոխարինելենք համարժեքֆունկացիայով (տե՛ս 9. թ.1): Նկատենք, որ գումարելին, ընդհանրապես սած, չի կարելի փոխարինելհամարժեքֆունկցիայով: Եթե քննարկապա վող օրինակում, Շօտ«-ը փոխարինենքիրեն համարժեք

1-ով,

"կստանանքսխալ արդյունք` 0: Ստացանք,որ՝|Լ--Շօ55

Օրինակ 2 Հաշվել` Ցու

նո-5

լ

լ

(4:թ-1|

«-«0 ։ո(60554) 17Ծ-Ե--ջ՝

ՆՄ

Տլո3չ ՈՀ».

նտ

- ող

ո(լ Հ (60552 «-»0 -1))

Ճշ

-. -ի

1. լոլ

կո-7

5՛ «502շջլըշ

-

2550-2255

Օրինակ 3. Հաշվել`

:

,

: հո օտ »"

Այստեղառկա է

անորոշությունը:Ընդհանրապես,երբ պետքէ հաշվել որտեղ` 100»1,

-

տեսքի

հորն)ի՞),

Ճ-38

է ճոքն)»Ննոտջն)»»»,ապա նպատակահարմար

2-38

1-38

կատարելհետնյալ ձնափոխությունը`

16"

-18266-ցիթ

ն)իշ)«օ":

Ճ«

՛

Խո)

«(.)1()-1)-

սահմանից:Եթե Հնո

ոի որ՝ Ճ-38

լ

ն

օգտվել

Էշ): հուն

««

ՄՔ,ապա հեշտ է ապացուցել,.

Տվյալ դեպքում`

:

«ՕՏ» 9.7 ----Ք--չ--Հիո---չ-«-Փ5: -

օկ» (6053: 1)- «0կո

կո

-

:50

Ուրեմն`

բոլ

:

Ն

պու

"0

-45.

-: նո(6053ո))` .

6:

ՎՐԱ ԱՆԸՆԴՀԱՏ

ՎԱՏՎԱԾԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

16.

Սահմանում 1: Ֆունկցիանկոչվում է անընդհատԲ բազմության

՛

վրա, եթե այն անընդհատէ Է բազմությանյուրաքանչյուրկետում: Այդ փաստը գրի է առնվումհետնյալ կերպ՝Հ Շ(Է) (Շ տառը լատիներեն Շօոնոսսո (անընդհատ)բառի առաջինտառն է): Թեռրեմ 7 (Վայերշտրասիառաջին թեորեմը): Վատվածիվրա սահմանաանընդհատֆունկցիանսահմանափակէ: Հ ՇլԹ:Ել-» էը է: միակ անսահԱպացուցումԴիցուք ճիշտ է հակառակը՝1 ֆունկցիան մանափակ է: Ենթադրենքայն անսահմանափակէ.օրինակ, վերնից: Հ»

թեորեմի էլ: («ղ)»ո: Ըստ Բոլցանո--Վայերշտրասի ունի Սո). («68,5 սահմանափակհաջորդականությունը

Մոօկ Յա.

ոո, -» զուգամետենթահաջորդականություն՝ Է-»««5

Էը անընդհատ է շ«

(ո, թուի

»

7«.

կետում, այսինքն՝10ւ7,5

12») 5

Ի»:

»6Թ: Ե: ԹԹ:

Ե)

(6): Մյուս կողմից՝

Ստացված հակասությունըապացու-

է ցում է պնդումը(այն դեպքում,երբ Էը անսահմանափակ ներքնից, նման կերպ): ապացույցը ստացվումէ Յետնանթ Է Հատվածի վրա անընդհատֆունկցիայիարժեքնե"րի բազմությունըունի ճշգրիտ եզրեր:

41.

2-րդ թեորեմը)Թեորեմ 2 (Վայերշտրասի Վատվածի վրա անընդհատ ֆունկցիանհասնում է իր ճշգրիտ : 10գ)Հ5սքե վերին ն ստորին եզրերին, այսինքն` 3 գ, շշ 6 (8:Ե) Թ.)

փոքրագույն(162) արժեքներ:

ք(ունի մեծագույն(104:)) լոք

ն

(6շ)5

ԱպացուցումԴիցուք 5սքէ հ, Հ

(ԲչԵ)

որ

Խ-ը

ն

Ել

«լթ:

ց«օՇլո: ե) փակ Է

:

ո:

Պետք է ապացուցել,

Ակնհայտ է, ց0թ---,7-.: ԽԼ-քն)

Դիցուք

է

Հ

որ՝

Թ. Ե): ց09» 0: Ըստ թեորեմ 1-ի ց(:)-ը սահմանա-

«

Կ«լե)

3 հ«8

լխ

»

16)

ն Պ»

-»

ք»

8:

արժեքներ են: ԵնթադրենքԻէ-ը արժեք չէ, այսինքն՝

-ը

տ

յոք

:

ց00

Հ

Հ

Թ»

»գՀԱ -ջ Խ-ՐԺ»--

օ21»

60,

լ

Տ

---7-Հ

'Լ-16)

«

:

Ստացվեց, որ է-ի արժեքներիբազմությունըունի ԽԼից փոքր վերին եզր, դա հակասում է նրան, որ ԽՀ Տսք ք Նույն կերպ ապացուցվումէ, որ ոոդ-ը արժեք է: 2 Թեորեմ 3 (Բոլցանո-Կոշիի թեորեմը ֆունկցիայի զրոների մասին): Վատվածի վրա անընդհատֆունկցիան, որը ծայրակետեհարում ունի տարբեր նշանի արժեքներ,գոնե մեկ ներքին կետում վասարվումէ զրոյի: Այսինքն ւ Շլ:Ել 1(8)((Ե)ՀՕ-» Հօ«(8:է) : 1(0)-0: Ապացուցում:Դիցուք 1(Թ)Հ 0, ((ե)».0: ԿիսենքԹ: Ել հատվածը: Հնարավորէ երկու դեպք՝

արի«:

1.

Այս

ավարտված է (ՇՀ

2.

վ4

Ե

կեսը, որ՝ ((8։)

վ

իսկ, եթե

ԷԵ

Հ

դեպքում թեորեմի ապացուցումը

աա ):

Է

0:

Այս դեպքումգոյությունունի |ռ:Ե)-ի այն լոլ: Ե՛)

0, 1(Եյ) »0 (եթե

-

-

»

էը, ապա լթւԵվ-|ռ:

-

ապա

լու: Եմ»

Հ-5):

Լ-5: Ել 8-Ե

Կիսելու պրոցեսը շարունակենք.հնարավորէ երկու դեպք՝

ֆունկցիան Ինչ-որ քայլում կիսվածհատվածի միջնակետում է: ավարտվում ն է ապացուցումը թեորեմի զրո, դառնում 09-ը 2. Ոչ մի քայլում կիսված հատվածների միջնակետերում է ԵՎ |ո,, ներդրված զրո չի դառնում:Այս դեպքում առաջանում որ՝ այնպիսին, հատվածների հաջորդականություն 4.

(82Հ0,

ՎԵ)»0, ե»12...:

Ընդ որում Ե.-Յ:

«ոու»

0:Ըստ

հայտնի հատկության հաջորդականության "ներդրվածհատվածների 1, 1.5 Հ օօ 2,..).05 («Հ |8,:Եմ (տե՛ս5.4,թ.3) իո Եւ: մոռ -ջօօ -ֆ«օ

ԹՇթել Մո.

ԿԱ,

16)-ը անընդհատէ

1(.)»0

օ

կետում,

16)» նո 1Թ2.)50:

քն)Հ0»

»»

6)»

() (2)

հո 1(0.)20

0: պ (4)-ից ն (2)-ից հետնում է, որ 1(օ) (տես մեկնաբանություն երկրաչափական ունի պարզ Թեորեմը նկ.2):

|/

Հ.

Հ"

//

Ե

Նկ.2 ցույց է տալիս, թե ինչապացուցումը Թ եորեմի Դիտողություն է գտնել 16-ի զրոները: պես ցանկացածճշտությամբկարելի

թեորեմը միջանկյալ- արԹեորեմ 4 (Բոլցանո-Վայերշտրասի ֆունկցիանծայանընդհատ վրա ժեքների մասին) եթե հատվածի միջն ընկած նրանց ապա արժեքներ, րակետերումունի տարբեր է: արժեք թիվ նույնպես ցանկացած » «Ա՛«0Թյթ)) Էծ)» Այսինքն(6 Շ : Ե, (2)Հ1ծ) (2) ԱԹ (ԽՀ0մԵ).((8))) 3օ«(ե): Դիցուք 18) ՀԽ. Հ (Ե): Դիտարկենք օժանդակ Ապացուցում: 0. ց(Ե)-ԻՒ-1(Ե)Հ0: ֆունկցիա` ց0ժ»Խ-464, 9« ՇԼԹչԵլ9(2)-ԽԷ1Թ)» մ Ըստ թեորեմ3-ի Հ օ« (8: Ե): ց(օ)- 0-»Ռ-12)-201օյ2ի ֆունկՅետնանք(տե՛ս. թ. 1-4): Հատվածի վրա անընդհատ է հատված է (հատվածըկարող ցիայի արժեքների բազմությունը լինել մեկ կետից): բաղկացած նրա արժեքների եյ ն Բը Ապացուցում:Դիցուք 1Շլ.

Թո: Թեւ լոր Տաթ

բազմություննէ: Ըստ թեորեմ1-ի՝ Հ

Յ

Ապացուցենք,

|տ:հղ: Ըստ թեորեմ 2-ի, ո-ը ն Խ-ը արժեքներ են Հ շո, շշ6 ԽՍ: Եթե տՀ ԽՆ ապա ԾՀ« Թ: Ել:տՀք(ԺՏ (Բ. ե Է04)2ռ, ք6շ) ո 5 Սթո» տի ն թեորեմը ապացուցվածէ: Այժմ եՀ Թ)Հ-|ո որ

է.-

Հ

ենթադրենքՊՀհէ ն, որոշակիության համար՝ ոլ Հ "շ: Պարզ է, որ ԹՇիճ: շշ) ն՝ 10Կ)ՀՇշ): Ըստ թ.4. -ի՝ Մճ, տՀՇՀԽՒՀՇա0գօօ):162)-Խ Հ» ՃՀ Իլ: Այսպիսով` |տ:ԽԱՇԲ,: Մյուս կողմից` 47/6ՔԲ.,3«« Թ: Ե, 13, 8.«լտ, հլ, ուրեմն Ք.Հ |ո: հկ: ՈՏ109ՏԽՄ » չօ|ո:հկ-» զ

17.

`ՎԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆ

Սահմանում: Դիցուք 10-ը որոշված է շ« միջակայքի վրա: Կասենք, որ 1) ֆունկցիան հավասարաչափանընդհատ է 7-ի վրա եթե Մ»

Կ ՍԵԿՉՇՀ Տ: ԱԿՎԵՀ)Հ 6:

0368»072726« հետնում է անընդՊարզ է, որ հավասարաչափանընդհատությունից հատությունը2-ի յուրաքանչյուր կետում (կետ առ կետ անընդհատությունը): Կետ առ կետ անընդհատության պայմանը տարբերվում է հավասարաչափանընդհատությունից նրանով, որ 8-ն, ընդհանրապես ասած, կախված է նան կետից՝ 8. 8(8, Չ: Այդ պատճառով կետ առ կետ անընդհատությունից,ընդհանրապեսասած, չի բխում հավասարաչափանընդհատությունը: Ոչ հավասարաչափ անընդհատությունը2-ի վրա նշանակում Մ 6ծ»0 էՅՏ»0 2, Յ,:2Չ56

ՍԿ-»ԼՀՏ:

ԻԹ-141(՞) 126: Ոչ հավասարաչափանընդհատութան համար բավարար է հետնյալպայմանը՝ Յո ոճ: »Ք Ճո-«ո-»0ն ՄԱԹ) 10) ( Կ-ն դրական 1-3» Ռ-ջ«» թիվ է կամ»»): -

Իրոք, վերցնենք

--Բ» երբ 0,

Կ»0

(» »4, երբ է«

«Հ»

), Յո.

այնպիսին, որ Մ ո Հու: Աո) -10ո)ԹնԿծ»03ոշչայնպիսին, որ Մո ՀՈշ եւո -Չո"|Հ ծ. Եթե ոՀոՅչ (ոլ:ոշ), ապա Պ/ո Հ ոչ: եժղ-յոՊՀծն 1003-ՇԿ")| Հ 6 5 10Ժ-ը ոչ հավասարաչափանընդհատ է 24-ի վրա: Օրինակներ, 1.12

յվ.

,

ճշմարիտ է »«|0:-Ի»):

հետնյալ գնահատականը՝

փո-փո Հվոլ-». համարժեքէ «լ

ԻՃ Մ

Թ.Հ»չՀ0):

Իրոք,

այդ

գնահատականը

հետնյալ անհավասարությանը՝ Տ

-2վոլճշ

Թ

"լ-:2շ

ՀվոլճշՀ» իշ Հ ի,

»շ

6 Հյշ):

Բ»036()»024262,24-2Հ

ՀՏ փո-փո«Հփո-«չՀՎՏՀՏ փՎ-փի

0ՀՏՏ

»

Հո.-ը

«5ոչՏոլ

Բ) Ուրեմն

հավասարաչափանընդհատ է |0:-: »»)-ի վրա: յՀու, ««01,. ԹՇ(0:1: Նկատենք, որ 7(-0)--»: Օգտվենք ոչ հավասարաչափ անընդհատությանբավարար պայմանից:Ընտրենք հետնյալ երկու հաջորդականությունները՝ 2.10

,

6»

Լ,

ո

ո

Ունենք

իր -»2|ԻՀ-,

լ

,

ո

Ո

ո-5»

0,

լ

ո

ո

|1(ա)-ք16:)|Իո--ո-»ո6»1 5 ,

՛

1:

ո-».»

Տ»1Թ) Հյաշը ոչ հավասարաչափ անընդհատ է (0:1-ի վրա (այն հատվածչէ): Կանտորիթեռրեմը: Վատվածի վրա անընդհատ ֆունկցիան հավասարաչափ անընդհատ է: քւ ՇլԵյ -» էը հավասարաչափ անընդհատէ: Ապացուցում: Կատարենք հակասող ենթադրություն էը ոչ հավասարաչափանընդհատ է: Այսինքն` 38» 0Խ6»032742"օ թելի :

ի՛-Ճ1ՀՏ: ԷՐԺՎՇ՞)թջ:

Տ--Լ»0Յու

ո6

ո

1.

(ԹԵյ նճո-ՉՐոՒՀ ո

(«ոէ

Օ"ո)Թ : (ոչ12..): Ա-ը սահմանափակ է («ո 6 Թթ.ել, ոՀՂՀ2..)::Ըստ ԲոլցանոՎայերշտրասիթեորեմիգոյություն ունի զուգամետ ենթահաջորդա-

կանություն՝ ն) Դիցուք`

նտ»,

1Վ-

Քանի որ

ու

Բ:Եի իւ

-» »,

հո 22 «օ:քօ «օօ

լ

Կանտոր Գեորգ ( 1845-1938

Հյու---: -եՐՀոՆ

(5,.էԼ)». ու Էրանընդհատ է

ապա՝ նռ -Ֆօզ

ՇրչԵթ»

օ

կետում:

), գերմանացիմաթեմատիկոս:

րոքեր)»իոքի, Հք:

ին եւ)

հակասում

է

(եՀ12..) պայմանին:Ջ

Հճ

ԱԾԱՆՑՅԱԼ

18. 18.1.

Ստացվածը

ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ

ԵՎ ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ

ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ

ԻՄԱՍՏԸ

Սահմանում 1: Դիցուք՝7-16) ֆունկցիան որոշված է շ« միջակայքում, շ-ն շ« միջակայքիներքին կետ է, /,«-ը (անկախփոփոխականի աճը) այնպիսին է, որ շօԷՃ«օՀ, Ճ7/ (0ԱՃԽԳՉ-Նա) (ֆունկցիայի Հ

աճը շ- կետում): Եթե Հ .

ֆունկցիայի

յո

Ց

ոշ

աժանցյալ օ

'

ապա այդ

կետում, իսկ ֆունկցիան կոչվում է են` 8՛(չ6օ), կետում: Ածանցյալըշչ կետում

Սշանակում

Արարա Զ-6Ժ):

կամ՝

սահմանըկոչվում է 464

Այսպիսով`

ՃՈչ ՒՐօ)»յտ 0/4

րո

20ԻՃ9-16ց)|,

0ճՃ»:-50

Ճ:

Ածանցյալըկարելի է սահմանել հետնյալ համաիժեքձեով՝

ք(2:0)» նը

16)- 106)

----Հ--Ճ-Ֆեը "-

Ճ0

2-չց«ձ2):

|

Օնօ

Ճ7

եջ)

օ

.

5-48

Նկ 3. "46

ն Խ0ՇՒՃԿ 3օՒձ)) 7

ԽՆԵՆՀ,)օ)

12) ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերըմիացնողուղիղը կոչվում է հատող: Դիցուք օ(Ճ»7-ը ԽՇԽՒուղղի Օշ4 առանցքիհետ կազմած անկյունն է (տե՛ս նկ.3): Եթե Յո օ(ԽՀօօ, ապա կասենք, որ գոյություն ունի հատողներիսահ-

2:

Սահմանում

Հ

մանային դիրք, երբ Խ-ը մնալով գրաֆիկի վրա ձգտում է Խշ-ին: Հատողների այդ սահմանայինդիրքը կոչվում է ԽԵ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկի շռշափողԹեռրեմ: Խե կետում շոշափող գոյություն ունի այն ն միայն այն դեպքում, երբ շշ կետում 7-12) ֆունկցիան ունի ածանցյալ վերջավոր կամ անվերջ: Ընդ որում անվերջ ածանցյալի դեպքում շոշափողը զուգահեռ է ` առանցքին: Ապացուցում Տանենք Խենճ-ն զուգահեռ 24-ին,ՀՍԽՆԵԽԿ Հ գ(Ցժ: Շոշափողի գոյությունը համարժեք է նրան, որ 3

րոօ(Ցժ02: Հ

իր

Այն

հերթին,

Ց.

մոաա(ԽժՀ իռ,-.

Հ

լ

'

-

ի

Օո-

երբ (

Հ

ԷՍ):

:

Եթե

համարժեք է ՛

ք՛

օօ (( 0օ)-»

նրան,

), իտՃ.--՞ " ն

որ

ապա

Ե-շ:

.

Դիտողություն: Եթե ք 0)», ապա շոշափողի անկյունային գործակիցը՝ցօօ-Է՛6.ց): Դրանում է կայանում ածանցյալի երկրաչափական իմաստը: ԽԵՇՀ») կետում շոշափողի հավասարումն Է 1՛006օ): (69)Հ36): Այժմ տանք ածանցյալիֆիզիկականմեկնաբանությունը:Դիցուք մարմինը(նյութականկետը) կատարում է ուղղագիծ շարժում: Այն «(ի ճանապարհով: բնորոշվում է ժամանակիէ պահին անցած » Է Ճէ ժամանակի ընթացքում մարմինը կանցնի էց-ից՝ մինչն էջ ւ.

յ»

Հ

Խո՞«(ԵՀՃԱ-«(ե) ճանապարհ: Այդ դեպքում գության իմաստ: Իսկ

Հո)

լո, Ը

ունի միջին Ը--ը

արա-

կոչվում է Է պահին մարմ-

նի ակնթարթայինարագություն

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

18.2.ԴԻՖԵՐԵՆՑԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆ.

Սահմանում: Դիցուք 7-12) որոշվածէ շ կետի ինչ-որ շրջակայքում: Այդ ֆունկցիան կոչվում է դրֆերենցելի «» կետում, եթե՝

որտեղՃ

-ն

իքն ց)Հ4Ճ-ՃԽօ(Թ4,Ճ.-»0|

հաստատուն

է, օ(Ճ:-ը

փոքր է, քան /Ճ»-ը, երբ Խ«-»0:

(2)

ավելի բարձր կարգի անվերջ

Այսինքն

օօ),

իու 50: ց

ո.

Թեորեմ: Որպեսզի 31540)ֆունկցիան, որոշված »չ կետի ինչ-որ շրջակայքում լինի դիֆերենցելի շշ կետում, անհրաժեշտ է ն բավարար, որ այն լինի ածանցելի »«- կետում, այսինքն 169-ը ունենա վերջավորածանցիալ 869): ֆունկՏրված է, որ 340) Ապացուցում: Անհրաժեշտություն: ցիան դիֆերենցելի է շ՞- կետում, այսինքն տեղի ունի (1)-ը: 60)»

Ջ-ՈՎ569 ճո

Ճ.-»0

ճշ:

Ճ-5310ց)-4:

Բավարարություն.Հայտնի է, որ 10) ջավորածանցյալ2 կետում

ֆունկցիան ունի վեր-

ԹԱԱ-քնգ)ՀՎՃ9-50Ի ա(Խց: Ճ

աց

,

».

չո, ԱՐԻ

ձ

Հ

քն)

:

.

Այսպիսով`ճիշտ է (1)--ը, ուրեմն 169-ը

»0:

դիֆերենցելիէ »շ կետում:տ (1) պայմանըկարելիէ գրել Դետողություն:Դիֆերենցիելության տեսքով` հետեյալ համարժեք (2) ՃԱը) ՀԷՇց)Ճօ Իսա Ճ.-0| է Ա նպատակահարմար հետագայի համար որտեղ

օ(4:) -».0

ընդունել, որ օ(0)»:0: Սահմանում: Դիցուք 7-5163-ըորոշված է շշ-ի շրջակայքում ն կոչվում է 7-12 ֆունկդիֆերենցելիէ շ« կետում: ժ7/-Ժ1Թօ)ՀՒ6«)ճ2-ը ցիայի դիֆերենցիալ», կետում: Ընդ որում, անկախ փոփոխականի

դիֆերենցիալը՝ Մարա րորը գ)»416:0)-008»),»0|

Այսպիսով, ենք նրա աճը` ՓԽ: տեսնում դիֆերենցիաենք, Ինչպես (1) պայմանը կարելի լը կախված է »-ից ն Ճ«-ից:Դիֆերենցելիության ժ 4-ից է գրել հետնյալ կերպ՝ (Ոքն Նկար. դիֆերենցիալասելով

"48

հասկանում

երնում է դիֆերենցիալիերկրաչափականիմաստը՝Ժ/ՀԻԱ (Ճ/ՀԱԾ, շոշափողնէ): ԽՏԱՎ-ը հ

Ո Ծ

Կ"

ո,

| |

Ճ1

Ճ««

».

Նկ.4

Օրինակ: Է)»,

Ր(4: ձքնչ.)-

Ուրեմը` 2».

18.3.

Ի

Ճ

Հ

եր ճշ

ճ.)-Լ6յ)» Հ

-

(ւ):

երյ Հ-2.04

Է՛Րո.),(Խր -օ(եժ

(ՀԺ.

50)

Ճ՞Ժ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐԸ

ՈՐՈՇ

Ածանցյալները հաշվելիս կօգտվենք նշանավոր սահմաններից (տես 15.), 9.-ի թ.1-ից ե տարրականֆունկցիաների անընդհատու-

թյունից:

(2-0)

.

7»

կո-------»կո--

ձ«-50

ճՃ

ճ.-50

6") ՀՕՄ Այսպիսով՝

| 3| ս

ոՎԱ1«--

յռ

օ անավեն

|

ՃՆ

ին4

(8»0),

Օձ: ՃՆ

Հվ:

Վ

մասնավորապես2̀՛ 51:

126.7

ճ.

Ձ

ր Հոդ Ճշ: Այսպիսով մասնավորապես՝ 2. -8.

հռ

Հ

բ

Հի

ՀՅ

վող:

7-Տո«

3.

Ն.

ՏՈՑ |

իտ լ

Վ

Ճ)-

|

Տու

Ճ»

ձ»-0

հո.

2ՏԼո(---)Շ0Տ

Ճ.Յն

ձ5

Հ

Այսպիսով`(51ո»ց'

-

Իմ

Զ2----ՇՕՏ -

ճ:

հո ձ:-30

Հ:ՇՕՏ::

ճՃ:

Նույն կերպ ապացուցվումէ, որ

ԿԱՆՈՆՆԵՐԸ

ԱԾԱՆՑՄԱՆ

18.4.

այդ է:

է

Եթե ֆունկցիանորոշվածէ 24 միջակայքում ածանցելի միջակայքիինչ-որ կետում,ապա այդ կետումայն անընդհատ ն

Լեմմ:

Ապացուցում իոճ) .

իո

ն -

Ճո

55702)0»0: ՄՈՀ0:

ճՃո)-0))-0:

Այսինքնհո(0-

տ Ստացվեց,որ 7(:)-ը անընդհատէ կետում: որոշվածեն կետի ֆունկցիաները 1: Ս04, Թեորեմ Դիցուք շ. կետումգոյութինչ-որ շրջակայքումն՝ 3 Ս'09, 3 "Օ4): Այդ դեպքում արտարբերության, յուն ունեն Ս0Ժ ն 09 ֆունկցիաներիգումարի, տադրյալին քանորդի ածանցյալներըն՝ 1) (ՍԻԴ) ՀՍԻՃ,

2) (ՍՀ7ՀՍՊՀՆՍ,

55) ո") -

Ը/0:0):

Ապացուցենք(3-ը: Ապացուցում:

Ճ(ՍՀՄ)002Ս0ԺՃԽՑՒՄՕ-Խ-(Ս0ԳԷՄ60)-ՃՍ ՄՐ)Է«"): 4(Մ: Ն) ո) ձՍ6Չչ ՃՆ) ճւ Ճ.

Ճ-»0

Ճ.

են

(2)-ը ն (3-ը ապացուցվում օրինակ(3)-ը: Նկատենք,որ

ՃՍ(:Ս0ՀՃ4-Ս09 Ստանում ենք`

-»

նման

կերպ:

ՍՕՀՃԽՉՀՃՍ09ՀՍ0):

Ապացուցենք,

լ թ Ս

ձ:

(ԱՐ) ՎԵ

-բ: Աք

«Ճ)

ԽԱՀՎՃ«ՀՊՐ)

ՃՍ6)Խ(Չ- (Մ0)-Ճ76)Խ6)

Ճո: ԽԱԽ - Ճ.)

Ք Ա9-Սա

ՃԿՈԽ(Ը Հճ.)

ր

Դիտողություն:2)-ից հաստատում

լ

է:

՝

քում (3

ն »-ն

րո -Ֆ-Վ)

այդ

,

ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ:

ԱԾԱՆՑՈՒՄԸ

Դիցուք 7-12) ֆունկցիան որոշված է

միջակայքի ներքին կետ Է Եթե

Թ--Բ()), Է.

ԽԱ)

է՝ (Ը- Ս(:)) հետնում »-Շ-6),որտեղ Շ-ն

ՄԻԱԿՈՂՄԱՆԻ

18.5.

ԲԱՐԴ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Սահմանում:

Մեխ(ջ-Մայն),

րան

ապա

միջակայ-

մութ«ԲՆ

այն անվանում են աջակողմյան(ձախա-

շշ կետում: Այդ ածանցյալներըկոչվում են միակողմյան) ածանցյալ կողմանի: 12) ֆունկիան ունենա ածանցյալ 24 Թեռրեմ 1 Որպեսզի 7 միջակայքիներքին շշ կետում, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ նա այդ ն կետում ունենա միակողմանի ածանցյալներ 1Է(",), 14.) Հ

(0) Հ1՛64):

Թեորեմի ապացույցը անմիջապեսհետնումէ 7.-ի, թ.1-ից: Թեռրեմ 2: Դիցուք 7-12) ֆունկցիան դիֆերենցելի է (8.ե) միջակայքի շշ կետում, իսկ «-ց(Ս ֆունկցիան դիֆերենցելի է (6.8) միջակայքի է («ա -ՔԸճյ)) կետում: Այդ դեպքում 7-1(ց(0) բարդ ֆունկցիան դիֆերենցելի է

ւչ

կետում ն՝ (1(9(0))

աՀ (00)ց(Ե):

Ապացուցում:Ե-ին տանք բավականաչափփոքր Ճե0 աճ: 7-ց(է ֆունկցիան կստանաՃ« աճ (այն կարող է ն զրո լինել), որի շնորհիվ 7-49 ֆունկցիան կստանա4) աճ: Ըստ դիֆերենցելիությանպայմաձ» (1 ՛նի՝ Ճ/ ՀՏ(«օ0)/ԽՀՕ(ԽՉՃՀ, -»0 (օ(0)-0):

Նկատենք, որ Ճ/(ց(Ե))Հ ((ց(ԵՒՃն)-19(Ե)) (0(ԻՃ4Չ-40օ)547:

Հ

(9(5)ԷԽԺ-ՆՓ)-

Հ

Ճնջ(0))

(0թ-ՆՐ

-

1(40)45 Ւ

ՀԱՐ

Հաշվի առանք, որ`

10099): ո աԹ91009(գ)"ԽՉ ձ:»0

ւշ կետում հետնում

լիությունից կետում):

հո

Ճ. (»

է

,

,

-

ար

ջ() ֆունկցիայի դիֆերենցե-

նրա անընդհատությունըայդ

35--3Տ(ոծ»«: (6օ05232)-2օօՏ32(օօՏ3»)'---26օՏ3»(Տ3)ւ) Օրինակ: 18.6.

ԿԱՐԳԻ

ԱՌԱՋԻՆ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼԻ

ՏԵՍՔԻ

(ԻՆՎԱՐԻԱՆՏՈՒԹՅՈՒՆԸ)

ԱՆՓՈՓՈԽԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ

Նախորդթեորեմիպայմաններիառկայությամբ` Փ

ՀժԼ6(3)-/6(ի՛աւՀԲճյ»:

Ստացվեց, որ դիֆերենցիալի տեսքը կախված չէ նրանից, թե արդյոք »«-ը անկախ փոփոխականէ, թե այն իր հերթին կախված է այլ փոփոխականից:Բայց խոսքը միայն տեսքի մասին է: Իրոք` անկախ փոփոխականիդեպքում ճ2Հ/Ճ«, իսկ երբ»-ը կախյալ փոփոխականէ, ապա` Փ: ց(Սժէ « Ճ« (հավասարությունըտեղի ունի միայն այն դեպքում, երբ «-ց(Ս ֆունկցիան գծային է): -

18.7.

Թեորեմ

չօ-ի որոշ

զող): Եթե

7:

ՎԱԿԱԴԱՐՁ

Դիցուք՝ 7

ԱԾԱՆՑՅԱԼԸ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

104)ֆունկցիան որոշված է ն անընդհատ այդտեղ 164)-ըմոնոտոն է (աճող կամ նվաՀ

Հաայթուն Է «Ր(«2:0, )-16Ժ ֆունկցիայի »-ք՛(/) հակադարձ ն

ապա

ունի ածանցյալ

կետում (7) 2:00) ֆունկցիան վերը նշված ԱպացուցումԴիտարկենք «ՆՑ «ՀՐ

ֆունկցիան

զ:

72-Յ 10«)

ն

շրջա-

0) հակայքում: Թեորեմիպայմաններիդեպքում գոյություն ունի է այդտեղ կադարձ ֆունկցիան 7-ի որոշ շրջակայքում, անընդհատ (տե՛ս 12-ի խնդ. 1) ն նույնպես մոնոտոն (եթե 1(4)-ը աճող (նվազող) է, ապա

ք՛(7)-ը նույնպես աճող (նվազող) է): Այստեղից ստանում

ենք, որ`

Ընդ որում, Ճ25:-»054:.-50:

եթե /Ճ««0,

ճ.50

հակառակը:Վետնաբար՝ Ճ.

լ

թաղԽո Րա» ւ

Ճ.

Օրինակներ:1. ՀՏԿ

«6

ն ձյ»0

ապա

ն

7"

Է2:|

Այս ֆունկցիան մոնոտոն

աճող է ն անընդհատ: Ուրեմն` գոյություն ունի նրա հակադարձը՝ ՀՅրօտՏոյ,որը որոշված է |-11|հատվածի վրա, իսկ արժեքների

աԼ

բազմությունն է

Այն նույնպես

աընդհատ: Քանի որ 7«ՇՕՏտ «ւ 0, երբ

մոնոտոն

աճող է

«ԸՏո)

ապա,

ն

ըստ

թեորեմի՝«ՀՅոօՏ(ո7(6 (-1:1)) հակադարձֆունկցիանունի ածանցյալ ն:

Փ. ժատոյ Ժ

Ժ/

ԷԼ.

Ժ ճ:

Այսպիսով՝

Տտ«)

«--Էնատու)

վլ-չու

«056

Ո-Ժ

2. 1-օօտա,

փ-7

(«(:3)

ն:ո|:Այս ֆունկցիան

մոնուտոն

նվազող է ն անընդհատ:Նրա հակադարձը՝«-ՅոՇօօՏ7 (որոշման տիրույթն է՝ Է-1:1)ը, էեն արժեքների բազմությունը՝ |0:ո)-ն)նույնպես մոնոտոն անընդհատ: Քանի որ /Հ-Տ(ջ0, երբ :««(0:տ),ապա` 22216605: ն՝ ֆունկցիանունի ածանցյալ «6

նվազող

(8Շ66Տ))'Հ

-

(605:

Տա

)-Այսպիսով՝ | (ճոշօօտէ 3.2-աօ

«6

1.

-

.-ատը

բ»

լ

ր

փ-

,(1:3):

22): Այս ֆունկցիան

մոնոտոն

աճող է

ն ան-

ընդհատ:Նրա հակադարձ՝2«Հ8Շէց7/ֆունկցիան(որոշմանտիրույթնէ

թու

(Է:«»)-ը, արժեքներիբազմությունը՝ անընդհատ:Քանի որ 7՛ն

(27697) ՁԼՇԼ --

,

Այսպիսով`(8ոօցէ

50,

ապա

Շ0Տ77

Փ

Հ.

..

:-

ՇՕՏ3:

-- -

էօ

,

-

մոնոտոն

աճող է ն

ց7-ըունի ածանցյալ

«ՀՅ

-

ազ:

:

Թ

Ը:Վ):

Ս-օե», «Շ(0։ տ): Այս ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է ն՝ ֆունկցիան (որոշման անընդհատ: Նրա հակադարձ 2-8օօցՄ է տիրույթն (Է»5::«)-ը, արժեքներիբազմությունը՝ (0:ո)-ն)նույնպես 4.

նվազող է

մոնոտոն

(ԽԵ)

լ

՛

Իա--լԼ-»-

(6էջ»)

--Ն-,

անընդհատ:Քանի որ՝

ն

Ա

Տո՞շ

ար

Այսպիսով՝(8ոօօէցէ

լ -ի

՛

Տո՞ճ

ապա՝

-:

(-:Հ«):

Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է ն անընդհատ: իսկ Այս ֆունկցիայի հակադարձը «Հոյ որոշված է ֆունկցիան արժեքներիբազմությունն է (- «»:4օ)միջակայքը: շո ե անընդհատ: Ընդ որում՝ աճող է նույնպես մոնոտոն 5.

(ոյ)

Մ-Փ",«6

(-«5:»):

2-1 2ՄԼ ՐԹ")

(0,--),

:

Ս

Այսպիսով՝ (ու)

Ընդհանուր դեպքում` 7

Ծց,2Հ

յ.ոճ

Հ

Չքյօ:

ու,

ապա՝

-

21 (»0) է

2Թց,«(8»0, Յ»1,

(օ9.2)-

:«»0), քանի

որ

(Թ9,օ-է

Ճ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԵԼԻ

19. ՄԻՋԱԿԱՅՔՈՒՄ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

Սահմանում: »« միջայքում որոշվածֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցելի (ածանցելի) այդ միջակայքում,եթե այն ունի ածանցյալ24

կետում: միջակայքիյուրաքանչյուր Ֆերմայի թեորեմը: Դիցուք՝ 75104)ֆունկցիան որոշված է 2« միջակայքում,ն ընդունումէ իր մեծագույն (փոքրագույն)արժեքը 2« միջակայքիներքին շց կետում: Եթե 5104) ֆունկցիան դիֆերենցելի է շօ կետում,ապա Բ04«)-0: Թեորեմը ունի հետնյալ երկրաչափականմեկնաբանությունը՝ (տե՛ս նկ. 5.) Եթե վերը նշված շօ աբսցիս ունեցող կետումգրաֆիկը ունի շոշափող, ապա այն զուգահեռէշ« առանցքին:

|

Ճո

.

ում -ք(չօ):

Ապացուցում:Դիցուք՝ Ունենք՝

ձէ)

8.6ո)

1)

՛

ձէ)

Աա

ՀՏՆ). ք՛.)Տ0: (ՃքԸօ)Հ0, ՀՕ): Ի(Կ)-ԷՆՉ)-,րո 46Ժ»օ

Է6Հ ՃՅ)-ք0ա)50,

Մյուս կողմից՝ Ստացվեց,որ

Նկ. 5

նան՝

Ճւ»0

8՛(ւ,)Հ 0: Ուրեմն` 8՛4)-0:

թեռրեմը: Դիցուք` չել Ռոչչի՞

հատվածի վրա անընդհատ164) (8չե) միջակայքումն 1(8)Հ1(Ե):Այդ դեպքում գոյություն ունի ներքին օ կետ (66 (8:Ե)), այնպիսին,որ Է(օ)-0: Թեորեմը ունի պարզ երկրաչափականմեկնաբանություն(տես նկ. 6) ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա կան ներքին կետեր, որտեղ տարված շոշափողըզուգահեռ է 74-ին:

ֆունկցիանդիֆերենցելիէ

մաթեմատիկոս: : ՖերմաՊիեր (1601-1665), ֆրանսիացիմաթեմատիկոս: Ռոլլ Միշել (4652

--

1719), ֆրանսիացի

ն:

Նկ 6. Վայերշտրասիթեորեմի104)-ըունի մեծագույն Ետ Հնարավոր է երկու փոքրագույն արժեքներ՝

Ապացուցում:Ըստ

դեպք՝

1. ՍՇտ:

ոլոք:

Խ1-ոու

Այս դեպքում`՛««

|Թ:Եյ տՀք)Հտ: Այսինքն՝10

հաս-

տատուն է: Ուրեմն յուրաքանչյուր կետում ածանցյալը հավասար է

զրոյի:

2. Ս»: Քանի որ 1(8)Հ(Ե), ապա մեծագույն, փոքրագույնարժեքներից գոնե մեկը կընդունվի միջակայքի ներքին օ կետում: Այդ թեորեմի 1ք(օ)-0: 2 դեպքումըստ Ֆերմայի Լագրանժի թեորեմը:Եթե է: ՇլՅ:ե) ն 15) դիֆերենցելի է (8:Ե) միջակայքում,ապա գոյություն ունի ներքին օ կետ (օ« (8.Ե)). այնպիսին

Ի(օ)-

որ

ե) -16) 15716) :

-՛Ձ

ւ

Թեորեմի երկրաչափականիմաստը երնում է նկար 7-ից: Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա կան ներքին կետեր (Բ, Զ), որտեղ տարվածշոշափողներըզոգահեռեն 8-ին ( Ճ(8. 1(5)), 8(Ե: 1(Ե))): յ

Լ

ռ

թ

"

յ

Նկ. 7 ց0010Ժ-»4 ֆունկցիա` Ապացուցում: Դիտարկենք օժանդակ ՝

ԼագրանժԺոզեֆ Լուի (1736

--

մեխանիկ: 1813), ֆրանսիացիմաթեմատիկոս,

Հաստատուն

7-ն

նանք՝

ընտրենք՝`ելնելով ց(8)-Հ9(5Ե)պայմանից: Կստա.-

12-12

«յցա (տես նկ. 7):

Ակնհայտէ, որ ց(«)-ը բավարարում է Ռոլլի թեորեմիպայմաններին, ընդ որում Ճ»«« (8:Ե), 94)» 8՛2)-1: Ուստի, ըստ

Յ

այդ

թեորեմի՝Հ 66 (8:Ե) այնպիսին,որ ց'(6)ՀԻ(օ)-7-0:

Նա

ն

Կոշիիթեորեմը: Եթե էց (8:Ե) այնպիսին,որ

օօ

/Թ-4ԹԷ:Թ

«ա(8:Ե) 3804, Շթել.

ց'2) «0,

ապա

:

19 1-1). ջ02

(0-92)

Նկատենք, որ թեորեմի պայմաններիցհետնում է, որ ց(8) ց(է), հակառակ դեպքում ըստ Ռոլլի թեորեմի, ինչ որ ներքին է կետում ց'(Ց-0: Կոշիի թեորեմը Լագրանժի թեորեմի ընդհանրացումնէ (երբ ց(2)52 Կոշիի թեորեմըվերածվումէ Լագրանժիթեորեմի): Ապացուցում:Դիտարկենքօժանդակֆունկցիա Է(4-Հ(0Ժ- 7969: Հաստատուն 1. -ն

13-12)

ջ5)-ջ2).

)

Է(«)-ը բավարարումէ Ռոլլի թեորեմիպայմաններին: օ«(Յչե), այնպիսին, որ` Բ(օյ»0: Այսինքն 7(օ)-79(6)»0:

Պարզ է,

Ուրեմն

ընտրենքայնպես,որ Բ(8)-Է(ծ) (ւՀ

Հ

որ

Ուրեմն՝ 19... (9)

19-Թ. Ք(5)- ջ62)

.

Չետնանք 7 (ֆունկցիայիհաստատունության մասին): Եթե Հ (8չԵ) ապա (23)-ը հաստատուն է: (Հ0, 6ՀՇլթե) ն Ապացուցում Պետք է ապացուցել. որ Պ»ա»շօ(8:ե| 0«ԳՉշ): 1(«)216օ): ԿիրառենքԼագրանժիթեորեմը,դիտարկելով169-ը ք.: շշ) հատվածի վրա: Ըստ այդ թեորեմի Հ Շ«Օգօշ) այնպիսին, որ

ք՛6)

18-16),

Ճլ

Բայց՝ Ր(օ)-0, ուրեմն`(04)-(0օ):

տ

Դիտողություն1: Ակնհայտ է, որ ճշմարիտ է նան հակադարձը, քանի որ հաստատունիածանցյալը զրո է: Յետնանք2 (ֆունկցիայի մոնոտոնությանմասին):Եթե 16 Շլո.Ե| ն«օ(Թե) 804»0 (Հ 0), ապա 46-ը մոնոտոն աճող (նվազող) է: ւ

Ապացուցում:ԵնթադրենքԻ(:)»0: Վերցնենք2.26 |Թ:Եյ,«Հ շշ կիրառենք Լագրանժի թեորեմը, դիտարկելով164-ը թօ: շի վրա: Ըստ այդ թեորեմիՀ Շօ («րշշ) այնպիսին,որ ն

52104)50(60)02-4)»0-516շ)516«):6 Խնդիր՝ Դիցուք 10) ֆունկցիան որոշված է ն դիֆերենցելի է (8, Ե) միջակայքում: Ապացուցել, որ 10-ի մոնոտոն աճող (նվազող) 6 չե) : 1՛4)20 (86)Հ0) լինելու համար անհրաժեշտէ, որ պայմանը: 20.

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

էՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐԸ

Սահմանում: Դիցուք՝ 10-ը որոշված է 2« միջակայքումն շ«-ն այդ «միջակայքիներքին կետ է: Եթե գոյություն ունի «» կետի շրջակայք՝ Ս:0օ)- 0օ-ծշաՀ8) Հ 7, այնպիսին որ` 4 6 (օ-8: 7036) : 00ՀԱԿ) 0622 16Հօ)),ապա շ-ն կոչվում է մաքսիմումի(մինիմումի) կետ: Եթե : ՅՍչ:6) ՇՊ, այնպիսին, որ Կ. Ս:0օ) Օ»») 14ԺՀՆԳ) (069» 16օ)), ապա շշ անվանում են խիստ մաքսիմումի (մինիմումի) կետ: Մաքսիմումի (խիստ մաքսիմումի) կամ մինիմումի (խիստ մինիմումի)կետըկոչվում է մքոտրեմումի(խիստէքստրեմումի) (ետ: Թեորեմ 1 (էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը):Դիցուք 16-ը որոշված է 7« միջակայքում,ն նրա ներքին շօ կետը էքստրեմումիկետ է: Այդ դեպքում, կամ 2 80օ) կամ Ք(գ)-0: Միջակայքի այն ներքին կետը, որտեղ կա՛մ ածանցյալ չկա, կամ էլ այն հավասար է զրոյի, կոչվում է (ոհտիկական կետ. Այսպիսով, ըստ թեորեմ 1-ի էքստրեմումի կետ կարող է լինել միայն կրիտիկականկետը: Ապացուցում : Ըստ թեորեմի պայմանի Հ Սչ:0«) «7 այնպիսին, որ 10-ը այդ շրջակայքում ընդունում է իր մեծագույն(փոքրագույն) արժեքը նրա չչ ներքին կետում: Ուստի, եթե այդ կետում կա ածանցյալ,ապա ըստ Ֆերմայի թեորեմի՝Բ(«0)-0: . /Թեռրեմ2 (էքստրեմումիբավարար պայմանները): Դիցուք` 100-ը որոշված է շ« միջակայքում, անընդհատէ միջակայքի ներքին շք կետում ն Բ09-ը ««օ կետովանցնելիս» փոխում է իր նշանը պլյուսից մինուս (մինուսից պլյուս): Այսինքն ՅՀ Սչ (օյՀ«2 ն «0: այնպիսին, որ Ճ/ ««օ( 20-ծ: 20) 310)»0 ((2)ՀՕ) 48) 3709 ՀՕ(/0:» 0): Այդ դեպքում »օ-ն խիստմաքսիմումի(խիստ մինի-

մումի) կետ է:

մպացուցում:Դիցուք` որոշակիության համար, Բ(2)-ը ««օ կետով անցնելիս» փոխում է նշանը պլյուսից մինուս: Թեորեմի պայման58

-8:ող|միջակայքում

ներից հետնում է (տե՛ս. 19, հետ. 2), որ ((:)-ը

իշ: ՀՏ) միջակայքում`մոնոտոն նվազող: ԳՏ) : 100Հ169): (չ,-8:»օ) : 09Հ 104) ն «դչ»

մոնոտոն աճող է, իսկ

Այսպիսով՝ԿՇ չօ-ն մաքսիմումիկետ է: Ուրեմն

ԲԱՐՁՐ ԿԱՐԳԻ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼՆԵՐ

21.

ԵՎ

Սահմանում 1 Դիցուք՝ 104)ֆունկցիանորոշված է օ-ի շրջակայքում ն ունի այդ շրջակայքի յուրաքանչյուր կետում ածանցյալ Բ(Ժ ց6): Եթե ց(«) ֆունկցիան իր հերթին ունի ածանցյալ շօ կետում, ապա ց'(4օ)-ն կոչվում է 104)-իերկրորդ կարգի ածանցյալ շօ կետում: Ւ՛Ր)Հ ց'0օ)«(109)1,-գ: ո կարգի ածանցյալը սահմանվում է Հ

ինդուկտիվեղանակով:Եթե 3 8409հ-1...,ո-1

(6-3()),

ն Հ

ԲՐԱԾ6)):

ապա

՛

Օրինակ 1: Հաշվել 10)-օօտ«-ի ածանցյալները: (02--Տո., Է" Բ՛00«օ0օՏ»շ...: Բ(5-(Տ:'5-օօ5Տ2, ռ "": «-Տո, իսկ (օօ շ"Հ(-1)"օօտ( ո»12...), Այսպիսով (օօ Հ(-1)"" ՋՈ (ո»0,1,2..): (-3)" Տո Տո 2. 00 Նույն կերպ ստացվում Է Տոշ"(ժ օօՏ2 Տո" (ո»0,1...): (1) (ո»1,2...) "Դ(չ) Սահմանում 2- Դիցուք՝ 1(4)-ը որոշված է ն երկու անգամ դիֆերենցելի (8: Ե) միջակայքում:Այսինքն,այդ միջակայքումդիֆերենցելի են 1Թ):ը ն ԲՕԺ-ը:Այդ դեպքում(04) ֆունկցիայի»« կետում երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ է կոչվում 478(:)»Է՛)տւ": Եթե 10ժ ֆունկցիան ո անգամ դիֆերենցելիէ (8: Ե) միջակայքում,այսինքն դիֆե,1"6)-ը, ապա ասելով ո կարգի րենցելի են Է0.)-ը, 12-ը, »

Հ

Հ

: դիֆերենցիալշ« կետում հասկանումենք՝ Վարժություն:Դիցուք՝ 10)-ը ն ց00-ը ո-անգամ դիֆերենցելիեն 24 միջակայքի« կետում: Հաշվի առնելով արտադրյալիածանցմանկանոնը ինդուկցիայի եղանակով,ապացուցելարտադրյալիածանցմանԼայբնիցի կանոնը՝ Ն

(6750-16-86), Ր).

ւ

ւծ

ե)

ո-ե)

որտեղ

Է

Հլ

յաւը

Թթ):

Որպես օրինակհաշվել (ՀՏ ) ). Սահմանում 3- Կասենք, որ ք«Շ" ՀԵ», 400).

եթե 1'6)օՇՀՅԵ»,

-0.լ.....ո:

Լ

`

22.

ԼՈՊԻՏԱԼԻ՞ ԿԱՆՈՆՆԵՐԸ

վերաբերվում են Լոպիտալիկանոնները

անորոշություններին:

-

ն

տեսքի

Յ Թեորեմ 1: Եթե 10 ն ց0:) ֆունկցիաներըորոշված կետիշրջաունեն ածանցյալ ՅՃ կետում, ց(2)-0 ն կայքում (ջ1)»0),

կուրժ-նուցծժ-0,

ապա

Ո"

այդ

-11թ: 86)

նուն

Ապացուցում:109-ը. ց609-ը ունեն ածանցյալ 8 կետում, ուրեմն՝ կետում նրանք անընդհատ են: Այսինքն 1Թ)- նո1090, '

գ(2)- հո ց0Ժ»0:

Ուրեմն

Թեորեմ 2: կետի «ծակած»

(4060),

ն

ց09 ֆունկցիաներըորոշված են

ՍԹ) 17-38

շրջակայքում,

դեպքում՝Հ Այս պայմանների

ն 3 նդ

ո-38

(8.ՅՀՏ) ն դիտարկենք1(է

ն

Բ

է

(Կ-ն կարող

-

Ճ-31

ջ

`

նտ

12..ռ: 9022)

2-ՉԱՎԺ

Վերցնեն

ց(ն ֆունկցիաները(8: 2) միջակայ-

Լոպիտալ ԳիյոմֆրանսուաԱնտուան (1661

Հր»

հո

Ապացուցում Ապացուցենք, որ

՝

:

Ս:26) 1 (0)նցղ(9

7.6

:

լինել ն անվերջ):

«Հ

նոնց» նուցնժ»0: ց0)»0 2-41

16)

2-8

«-ճ

Դիցուք` 10)

քն). ո

8Թ-Օլ

19-ո)

16) լող քն)-16) լդ քն) «Ի «ռն աոջե)

--

1704),

մաթեմատի ֆրանսիացի

հատվածի քում: Ներմուծենք օժանդակ ֆունկցիաներ որոշված |Յ8».վ վրա:

1(51()15 6:25)1Ը6)»0,ն 5()58(0,:« 6:իջն)»0:

Ակնհայտէ, որ ք,96 Շլոշվ, քանի որ

ւ

մղ 1Օ- մու/0-0- 10) ին տտ8()- նո ց ()-0-8Թ):

Պարզ է նան, որ

(6:25) 38()-1(0

ՄՀ

0-81)

50)-56)

2,

Ասինն

86)

թեորեմի պայմանի

նշանակում է

Լ

36.)

Կստանանք՝

1»

5» հո

ն:3:

Տ

Բ:

`

0) :

ԱԱ-Ե« Ք

1ոտ 2-384Վ0 ջ

(Խ-»

դեպքը

՛

Մո»0

3:20

(ՀՏ

Օգտվենք(1)-ից ն հաշվի առնենք, որ «(8:37

«ո

Կոշիի թեորեմի

Ըստ

(«0»): ՈՇ) 96.)

կքննարկենքառանձին): Դա

60:

որ՝ Է69-ք6) այնպիսին 16.).

Յօ.6(:»)

Ըստ

(8:74) :

Կ«օ(Թ:Ռ: -»

աճ

(8:97:

ՈԶ-վՀ-

Էո-:-Ա-վա

Դիցուք՝ այժմ Էշ»», այսինքն` ՄՏ6»0 3՛Թ(86)

բր»ո Ճ/ճ.6 Ա-Է»»«յոք մ-»:

Ունենք՝ Այնոր

Թ:7):

նռ

16). 91)

Ճ-34-9

Խ

ապացուցվումէ նմանապես:Ք

Լոպիտալի կանոններինվերաբերվողհաջորդ թեորեմները,ապացուցվում են ըստ էության նման ձնով: Բերենք միայն ձնակերպումները: Թեորեմ 3- Դիցուք 16) ն ց() ֆունկցիաներըորոշված են ն

դիֆերենցելի (8:Է»») ((»:8)) Յ իո 460Հհոց09-0 ն Յ

իու(0Չ/ ց ՀԻ:

միջակայքում, ց0020, Այդ նռ

ց0920, .դեպքում՝

(Ի09/ց00)Հ6:

Թեորեմ 2՛: Նույնն է ինչ թեռրեմ 2.:

պայմանըպետք է փոխարինելհռ 16)Ճ-Ծ81

միայն

ը,

Լոռ

Ճ-Ֆ4

(է)Հ

տ Ճ-38

ց0050

ց()Հօօ պայմանով:

հտ Ճ-՞»8

Թեորեմ 3: Նույն է ինչ թեորեմ3-ը, միայն .

16)-

նռ

իտ

1-ֆ3-օ

նռ (49- ոռ ց09 Հ

պայմանըպետք է-փոխարինվի

»

2-Ի»

ց09Հ0

պայմանով:

Դիտողություն-Այն դեպքում, երբ 8-ն ֆունկցիայի որոշման տիրույթի (միջակայքի)ծայրակետէ, ապա Լոպիտալիկանոններըմնում են ուժի մեջ, միայն թե խոսքը համապատասխան միակողմանիսահմաներիմասինէ: Օրինակ:Հաշվել հետնյալ սահմանըէ որ 1ոՏու.- ու

ՀՈՏ

Ճ

0, ապա ունենք

-» ։"ԾՎ0

ՀՀո կռ 2-54

-

նռ

Լոտւոչ:

«-ՎՕ0

լ

:

Օգտվելով Գոլով

Հ

ոչ

1--ՇՕՏՃ

Քանի

տեսքի անորոշություն: .

--

աւ

-

րը չ3 ոո. մ: «5 Օա.1 (սահմանըհաշվելիս, Տլո՞չ-ը փոխա-

թ.2-ից, մկստանանք Թ2-ից,

էՀ

կո

ՏՈ.

Տու

ԽՀ

Ճ5955ՇՑՈ:

րինեցինք նրան համարժեք »՛-ով ն երկու անգամ կիրառեցինքԼոպիտալիհամապատասխան կանոնը:

23.

ԹԵՅԼՈՐԻ՝ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Երբ ֆունկցիան որոշված է «շ կետի ինչ-որ շրջակայքումն այդ կետում ունի ածանցյալ, ապա ֆունկցիան դիֆերենցելի է, այսինքն նրա աճը ներկայացվումէ հետնյալ տեսքով՝

Է օ(Խ), ձ«50, Ճ»ք6)-)ց, )օ»քՐց): Ուրեմնգոյություն

Ճ3

որտեղ ձ.-:2-»:ց, "

Թեյլոր Բրուկ ( 1685

-

1731 ),

Հ

Ճ-Ճ.

անգլիացիմաթեմատիկոս:

Ք(1)-»օԻՃ0:-»օ),

գծային ֆունկցիա

ունի

ԽԸօՃ-»0),

Հ

Ընդ որում

:2-»»օ:

Ք/60)-Բ-16օ):

այնպիսին, որ՝

(Ոց)»չց16ց),

Դիցուք 10 ֆունկցիան որոշված է 24 միջակայքումն 3 1"0-) Մեր առջն դնենք ավելի ընդհանուր խնդիր գտնել ոշ): (Հօ, ո) այնպիսի Ք.(.:տօ) բազմանդամ, որ 7(:)» Ք,(:»օ)

2«-՞»յցն

թ

ԷՕ0 գ) ՕՐ0:20)»

(է »0.լ....,ո, :

ո

Սահմանում

1:

Ֆու -ոօ) Ք.(:89)իա)

եթե` 1060-իԹեյլորի բազմանդամ,

ԷՕ0օ)-16շ)): (2) Գտնենք 8,

«58051(9): Ըստ

ք.՛(:0)Ք

,

բազմանդամըկոչվում է

Ք,(4օ:»0)-ԷՍ()

(Ճ»01.շո,

գործակիցները:Ըստ (4-ի Ք(.օ:ոց)»-ԷԹ)(.օ) ց): Ունենք՝ Ք (:20)58լ Ի 2820:-1ցԻ- Իո: -

ՔՍՍ::)»ք(49):

(1-ի

օ(.քՕ(:0)»1նա)):

2182ՀՅուն

-

(0::0)»ք՛(օ)

20):--Հ »825

Ուրեմն՝ ո(ո-

աԺ,

1ճղն-- ոցի՞:

10(չը).Ինդուկցիայի եղանակով շո:

-ԲՐժ(4 6).

դժվարչէ ապացուցել,որ`

Ունենք նան՝

»0.1..,ո

):

Այսպիսով`09-ի Թեյլորի բազմանդամըունի հետնյալ տեսքը՝

ո

ա

6.-ոգ)«2-6Րտա)Հքնգ)-19) ա)«ՀԼԲՋՆ-ոց. տ

նաց

1)

6-0

Սահմանում2-

ա

0)

,

ԺՆ-Կի: |106)-6.2Թ

(թգ)

Էա

(2)

որտեղ Խո(». շօ) Թեյլորի առնչությունըկոչվում Թեյլորի բանածձն, կոչվում է մնացորդային )օ) Քո. է, ք09 Օօ :օ) բազմանդամն իսկ անդամ: Սահմանում 3: Ասում են, որ ո (2: ց) մնացորդայինանդամըունի է

Հ

-

տեսքը եթե՝ Պեանոյի, ,

ռԹ:ոց)-0 (.-ըԻ), 2 -՞»շց|

3)

)( միջակայքումն Թեորեմ: Դիցուք՝ 12) ֆունկցիանորոշված է է Դա նշանակումէ, որ 10ժ-ը ո-1 անգամդիֆերենցելի ՅՐ), 62 է, շրջակայքը ապա ն »օ-ն ծայրակետ 20-ի շրջակայքում 150օ): Եթե միակողմանիէ: Այս պայմաններիդեպքում10) ֆունկցիայիԹեյլորի վերլուծութանդամըունի հետնյալ հատկությունը՝ յան ո (4:40)մնացորդային նռ Ճ-Ֆ7ը

ոն»օ).-0 6 -- ոցի

Այսինքն, այն ունի Պեանոյի տեսքը՝

ո(:»ց)Հ0

(.-» օբ),

2-3ց: »

ն(չօօ)»16)-Ծո04»օ).ապա Ապացուցում Քանի որ է ՛.(::»ց)-ն ո-1 անգամդիֆերենցելիշօ-ի շրջակայքում,ընդ որում՝ հռ

ո

8.

Հ6ոա)ԷԷՕԵՓ)- 16գ:6օ)-0 ն(չշա)Հ նուի 960-5,

2-»ոց

2-52.

(.-0,1..,ո-1):

Կիրառենք

անգամ Լոպիտալի կանոնը (տես. 22, թ.2)

ո-1

նոանաա). լաճ)... (ւ- 40) ոն:ոց) ՛

ո5ս

ոթ

-

Այժմ կիրառենք22-ի թ.-ը: ետ «ո

ո"ուրՇր), ոց) (ո-1)(,.

.

ւթ.

Կստանանք՝

-

Քր(40:40) ո՛(:50) ք6)(.0)20:88

(չ- 0

-

ոլ

Մնացորդայինանդամի Պեանոյի տեսքը միշտ չէ որ հարմարէ, ստանանք մնացորդայինանդամիայլ տեսքեր: ն 1թ Դիցուք՝ 169-ը որոշված է ըօշաՀ6) միջակայքում, ՇքաՉաՒՏ| հաստատաՅ 102: ՄԵՇ այա ԳՏ) ՎերցնենքՀ»Հքաշած| ն այն ֆունկցիա` օժանդակ գրենք:Դիտարկենք

-ԵԶՇ-----.ԶՇ-Ժ26-16)-463-Ը26ըօ:2ի

Պարզ է, "

Պեանո

որ

ՓօՇքաշվ,26

Ջուզեպպե(1858

--

042օ) ՅՓ՛(.) ընդ որում`

1932 ),

իտալացիմաթեմատիկոս:

-շի

ՐՒՐԱ-Ըր.

«ԼՆ -Չ-596

Փ՛2)»

ք6)Նշ)

հեչդե-Ժ զ

-

ԲԸ) ՝

2-ի

--

ԷԸ» -

2-2)

գ...`

ո :

Ներմուծենք նան որնէ այլ օժանդակ ֆունկցիա`ՄՀ Շրօ»վ այնպիսինոր, Մ26 (40: ) ՅՀԽ'(2)»:0:ԿիրառենքԿոշիի թեորեմըՓ(2) ն Խ(2) ֆունկցիաներինկատմամբ.

Փ6)-ՓԸջ) Փ6) (:օ ՀօՀ»): ԽԱ)-ԿԽԸօ,)Խ՛6)

Քանի

Ո:

որ

ե-«ի: Իո

ԽԱ)-ԽԸց)

.

Կ(2)-0-2),

Դիցուք

«օՀՀԳՉ«:

ե ՓԸ)Հ0.ՓԵս)-ոնաա)

Պարզ է,

որ

մաններին:Ուրեմն՝

ՓԵ--Ը"«Օ(-շ

ք»0: Այդ դեպքում վ(2)-քն-2)»"«0, Մ(Հ)-ը բավարարումէ Կոշիի թեորեմիբոլոր պայ-

են)«-Ե-Հ

Ր

(Սկ.Չբ: Քանի որ ՇՉՏՑԵՇ-Կ)

(0Հ6Հ1), ապա՝ «-ՇՀ(«-օ)(1-8): (ո-1) Լը (4:20

Ուրեմն`

Վերցնելով (4)-ի մեջ թու Լագրանժիտեսքը՝

կստանանք մնացորդայինանդամի

-Ցի (ոց ԷԲ ՀՏե-ոշ)կ Ն

-

ՐԹՆ-)"

ուց)»

Եթե (4)-ի մեջ վերցնենք ք«1, անդամիԿոշիիտեսքը՝ ո

Ւ (ո-1)

(::»օ)»

ապա

(5)

կստանանք մնացորդային

Էն 0) 0-ՓԻՇ-ոց:է-,

(«ց

(4

0Հ0ՀԼ

Ն

Թ

Նկատենք,որ մնացորդայինանդամիԼագրանժի(2) տեսքը հաճախ հարմարէ մոտավորհաշիվ կատարելիս:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ

24. ՈՐՈՇ ԹԵՅԼՈՐԻ

(ՄԱԿԼՈՐԵՆԻ ) ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

Թեյլորի բանաձնը,երբ շշ-0 կոչվում է Մակլորենիբանաձն՝

»ԼԹ(0)

շո"

ք)»

փո

:0)է

(3)

տարրական ֆունկցիաներ ըստ Մակլորենի

Վերլուծենք որոշ բանաձնի:

21()Հ2::քԹ0 522 8Թ(0)-1: Այստեղից հետնում ք)» 6"-ի համար (1)-ը ունի հետնյալ տեսքը՝ դ

ՀՀ-Ի է-0

ւ

0(»"),«-»0|

`

է, որ

(2)

(2)-ի մեջ մնացորդայինանդամը` ո (8:0)-նգրված է Պեանոյի տեսքով:Այդպեսկվարվենքն հետագայում:

201()«Տու: 1(0)50,16)-.օօ5.1՛0)» 1, ք՛6)Տ -պՋո,է՛0)»0,. ք"(5)» -օօտ.,ք"(0)--1 նայլն: Այսպիսով160(0)20,162"30)»1,Է»0.լ...: Ց

2,

-Ֆ-1) |պու

Ուրեմն`

.

2:--1

7---ՀՀ

Շա«1)

0(2"Յ),

է

(3-ի մեջ 2"" )-ի փոխարենկարելի գրել` զույգ աստիճաններըբացակայումեն: 3014)» Ջու: Վեշտ է պարզել որ՝

Ը

Ուրեմն՝

(43-իմեջ օւ

40:()50«:ի:

(251),քանի որ

ո

"

»5-50չ

ՖԸ) ԷՇա)ՎօՆ»),

-ի փոխարենկարելի է գրել` ժշ"): -

(0)51Ն106)-օ0Հ "ի ,10)»ա

ք"6)»56օ6-11Հ:Ի-.1՛0)»66-1) ՛

ՄակլորենԿոլին՝(1688

(3)

16-90)50, եՀ-01..:

(ե00)- Լ, օօ5:«

«-»0|

--

1746), շոտլանդացիմաթեմատիկոս:

4) `

2-ի

Այսպիսով`12(0)--օ(.-1)--.(-էՀ1),Է»12,. ւ

Ուրեմն` .

աֆ

(1)

ց ամեր

զ-ԱԷՀ1

օ(Թ-1

"|

-50|(5)

(երկանդամայինվերլուծություն): Նկատենք,որ երբ օո, ապա (4)-ը վերածվում է Նյուտոնի երկանդամիբանաձնի, օ0«)-0: ն չ-ը փոխարինենք-»-ով, Եթե (5)-ի մեջ վերցնենք Հ-1 կստանանք՝ 1-2

Ֆին օն "|,5-50չ

(6)

Է-լ

5400Հո(1Հ»):

-0Հ»)՛,

Ւ0)»-0, է՛4)504«2).,8՛0)51 16)

ք"6)-1-2(«»)5:Է՞0)Հ Այսպիսով` ք69(0)»(-

ԷԹԸ)Հ3164

2.

"6-

1,

1՛0)»-1Ն,

2)",860)»-3....:

Ե»-1շ,..:

-Ժ"Յ-ժ,:"օնո)ու»0

Ուրեմն` լո)»

լ)

կամ՝

ո

զէ

(դ Հ-ՀզԻ")ո-»9| 10-5-ի Վարժություն Հաշվել Հշտությա 19Հօօտչ: Վերցնենք (ռադիան): չճ2 Դիտաթկենք

ոնչ»

ԸՄ

է».

-Շօտտ9--

- --ըջ ն օգտվենքմնացորդային Մո, Փա|Բ()|51 ոճց-

Հաշվի առնենք, որ

ան-

դամիԼագրանԺիտեսքից:

Կստանանք`|ո:

Թր

Լեր(«1

ո`Լ `

180--17

02օ)1Հ10: Երբ ո-2, ապա 1շ02Գ)1Հ10՞, Հետնաբար,օգտվելով (1)-ից՝ ՇՕՏՀ

Հ

-

ՇՕՏ21ց

Աա

ՏԽ՝փռնաոց),.

ստանում

ենք

նշվածճշտությամբ՝ 60559"

Հ

ՏՏ

օ0560՝ Հա

Որտեղից՝օօ559" 0,515038: (Թեյլորի բանաձնի օգնությամբ հաշվել Վարժություն 2 »

Ճ-

(Հի -6. Սահմանըհաշվելիս, հարմար է օգտվել մնացոր-

հող

դային անդամի Պեանոյի տեսքից, ընդ որում հայտարարի»«-ի մեկ աստիճանըցույց է տալիս, որ համարիչը նույնպես պետք է վերլուծել ըստ Մակլորենիբանաձնիմինչն շ« -ի առաջինաստիճան:Ունենք՝

"-"Վօ»1

(

.- ԷԶ («թ Լ.ջոնաւի

աօ

«ՓՉԻ

-

ԻԶԻ

-

-«Ո-Ք««(0ի օ0.): վ-Ճ«զր) «(յ գ1-2:669-1| ԱԵՏԺ/-:: 6)

(8)-ը ստանալիսհաշվի առանք, որ՝

Ուրեմն

Ճ-

25.

նռ

7-30

»

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ի

5-50

Է

ւ

ՎԵՏԱԶՈՏՈՒՄԸ

Ածանցյալիօգնությամբմենք արդենգիտենք, թե ինչպեսգտնել մոնոտոնության, հաստատունությանմիջակայքերը:Ածանցյալների օգնությամբ մենք նան լուծում ենք էքստրեմումներգտնելու խնդիրը: Ածանցյալներիօգնությամբ կարելի է նան պարզել ֆունկցիայիայլ

հատկություններ:

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԳՈԳԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆ.

25.1.

Դիցուք՝ Է: (8: Ե)»

ն ոլյ,»շ-ը

ՈՒՌՈՒՑԻԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՇՐՋՄԱՆ

ԵՎ

ԿԵՏԵՐ

կամայականկետեր են

(8:Ե)-ից

(ճ Հլ

Հ»

ՀԵ):

Նրա հավասարումնէ` »

որտեղ:

86«, 16օ)) կետերովտանենքուղիղ:

Ճ0գ 64))

1(),

»

1Ա)-10225ԱՄ-Զ(լ (.)-((Կ)66)-662): ՍԻՐ 2-51

17: է

ֆունկցիանկոչվում է ուռուցիկ (ուռուցիկ դեպի վար) (8.Ե) միջակայքիվրա, եթե Զ24.շ ՁՀ ԿՀ 27ՉՀ Ե ն'Հ«04: շշ): Սահմանում

16)286):

դա նշանակումէ, որ (Ճ8) հատվածիյուրաքանչԵրկրաչափորեն

յուր

(::1(4)) կետ գտնվումէ գրաֆիկի (4:1(:)) կետիցոչ ներքն:

Եթե ուռուցիկության պայմանիմեջ առկա է անհավասարության ապա ֆունկցիան կոչվում է խիստ խիստ նշանը ((1)»ԷԸ),

ուռուցիկ:

Սահմանում 2- է ֆունկցիան կոչվում է գռգավոր(ուռուցիկ դեպի

ն ՀՊոօ(ոլոչ): վեր) (8: Ե)-ի վրա, եթե Մոլ,"շ ՅՀոլՀ»չՀԵ 162)516): Երկրաչափորենդա նշանակումէ, որ (Ճ8| հատվածիյուրաքանչյուր (4:1(4)) կետ գտնվում է գրաֆիկի (ո:1(6)) կետից ոչ վերն: Եթե ուռուցիկությանպայմանիմեջ առկա է անհավասարության ապա ֆունկցիան կոչվում է խիստ խիստ նշանը ((Ը)ՀքԸ),

գոգավոր: բավարար Թեորեմ 1 (խիստ ուռուցիկության(գոգավորության) է (8, Ե) է անգամ դիֆերենցելի երկու Եթե ֆունկցիան պայմանները) ն Ւր խիստ ապա է՛2)»0(1՛6)Հ0), Ճ»6(Թ: ե) միջակայքում ուռուցիկէ (գոգավորէ) (8: Ե)-ի վրա: Ապացուցում:եթե՝ ՅՀ»լՀ«Հ»ՀշՀԵ,ապա՝

16)-06)»

162).

1625 -ւ)-16.)5չ

-:)Է1()-Լ1(Եչ42

-

-)-Ւ6շ

Ճշ -Ճլ

4:

4.

ԿիրառելովԼագրանժիթեորեմը՝կստանանք

16)-16)»

ք(6չ-:):-»:)-106-ունչՃշ-Ճլ

:)

որտեղ2ՀՇՀ«ՀՂՀշ2: Նորից կիրառենքԼագրանժիթեորեմը՝

16)-ք6)»

6.-:Ե-

1շ -Ճլ

«ո-9)::ՀՇՀղ:

1՛()»0,

մասնավորապես ՞(է)»0 ն, ուրեմն` 1()»ք(Ը), այսինքն ԷՒ ֆունկցիան ուռուցիկ է: Իսկ եթե Մ«օ(8:Ե) : 1(4)Հ0»- ք՞"()Հ0, ապա ստանում ենք, որ 1(4)Հք6) ն, ուրեմն՝ք ֆունկցիանգոգավորէ: ա ն Ւը անընդհատէ շօ Սահմանում 3: Դիցուք Է: ( 85)» է : Է կետում («օծ(8: Ե)) Այդ կետը կոչվում ֆունկցիայիշրջման կետ, եթե այն հանդիսանում է խիստ ուռուցիկությանն խիստգոգավորության միջակայքերիընդհանուր ծայրակետ:Այս դեպքում 0: 100)) կետը կոչվում է գրաֆիկիշրջման կետ: Օրինակ: 1124)». 1Է՛0)26.: Ակնհայտ է, որ այս դեպքում (-«5: 0 ) միջակայքումֆունկցիան խիստ ուռուցիկ է, իսկ ( 0:Հ» )-ում՝ խիստ գոգավոր: Ուրեմն` «-0 կետը հանդիսանում է ֆունկցիայի Եթե «6

( Յե):

ապա

շրջման կետ: Թեորեմ2 (շրջման կետլինելու անհրաժեշտպայմանը): ն 6 (8 Ե) շրջման կետէ, Եթե ք«Ըշ(Ե) (510ք՛օՇ(-Ե) ապա

Է՛(.օ)-0:

Ապացուցում

Եթե

1՛(օ)»0

ք՛1)-ի անընդհատության "ց

ապա շնորհիվ (1՛()Հ0), կետում Ւ՞Ր)»0 (8՛(Ր)Հ0)»օ-ի

ինչ-որ Սչ6օ) շրջակայքում: Ուրեմն Էը կլինի ուռուցիկ (գոգավոր) շրջակայքում,որը հակասում է 20-ի շրջմանկետ լինելուն: Ջ Թեռրեմ 3 կետի 6բավարար պայմանները): (րջման Եթե ք ֆունկցիան երկու անգամդիֆերենցելի է շօ-ի ինչ-որ շրջակայքում բացառությամբգուցե այդ օօ (Թ. Ե) կետը, որտեղ ֆունկցիան անընդհատ է ն այդ կետով անցնելիս Բ-ը փոխում է իր նշանը շօ-ծ2գ ), Բ0»0 (ԲՕ)ՀՕ), իսկ Յ Ս.(Օ) Հ ( ՅԵ ), այնպես որ "«( «6 (020346)Ը0ՉՀՕ (Բ(2)»0), ապա ա-ն կլինի շրջման կետ: Ապացուցում:Թեորեմ 1-ից հետնում է որ 0ա-ծ. շօ) միջակայքում ֆունկցիան խիստ ուռուցիկ է (գոգավոր է) ն (գ: շարծ)-ում խիստ գոգավոր(ուռուցիկ): Ուրեմն՝ շօ-ն շրջման կետ է: 2 այդ

26.

Սահմանում Եօ Ք

1:

այնպիսիք,որ

ԱՍԻՄՊՏՈՏՆԵՐ

Դիցուք 1: (8: 3.5)»

Ք

(է: (»: 8)» 8) : եթե 3 է,

(յուն6)-(ա»Ե)-օ։

հո 116-(թՀԵ)-6

|

ՄՀԾԺԵ ուղիղը կոչվում է ք

ֆունկցիայի ասիմպտոտ,երբ 2.-»-»»

(երբ »-»-«»): գոյությունը,երբ 2«-»-» ( երբ 24«-»-»» ) նշանակումէ Ասիմպտոտի մեծ (փոքր) »-ի համար | ֆունկցիայի գրաֆիկը որ բավականաչափ տեսքի ասիմպտոտըկոչվում է մոտ է որոշակի ուղիղ գծի: /ՀԹՀԵ կոչվում է հորիզոնական է-0, )»ՀԵ ուղիղը ապա թեք ասիմպտոտ:երբ ասիմպտոտ: Դիցուք ք ֆունկցիանունի ասիմպտոտ,երբ 2-»-»» 0«-5-«օ դեպքը ուսումնասիրվումէ նմանապես):Ուրեմն՝ 0)

(ԹԺՀԾԺԵՀԿԺ (օն)

».0):

Բաժանենք(1)-ի երկու կողմը«-ի վրա ն անցնենքսահմանի,երբ 2-5»:

Կստանանք՝3

նռ

1)..::

Օ)

ԴՎ

գոյուԱյսպիսով`(2)-ը անհրաժեշտպայմանէ թեք ասիմպտոտի Հ տ դա ապա նան՝ (12)-Թ)ՀԵ,.(3) թյան համար: Իսկ, եթե Ճ-ՖՎ«օ5

գոյությանհամար: բավարարէ թեք ասիմպտոտի Է: Ծի սահմանային 2: Սահմանում Դիցուք՝ Ծ -» Ք (ՕՀ Բ) ն-ն գոնե մեկը սահմաններից կետ է: Եթե այդ կետում միակողմանի ք է ուղղաձիգ ո ֆունկցիայի «օուղիղը կոչվում անվերջ է, ապա ասիճպտուտ:

Օրինակ:Գտնել 1(:)»-

ԷՀ.ֆունկցիայիասիմպտոտները:

Այս

որոշմանտիրույթն է քյ «(»:-4)ԽԼ0»-»): Քանի ֆունկցիայի » 4 ուղիղը ուղղաձիգ ասիպտոտ է: որ հտ ն (6)5». ապա » -» Վ««ի ձգտելիս, Այժմ գտնենքֆունկցիայիթեք ասիմպտոտը ,

երբ «

«|0:--»),

ապա

(2. 2»

ն

ք(:)»-

«Կ»

Հ ւ:մատ

վւՎ4

(2)-ի

-

կո

«»Հ.յլ

Ա:

-------ՀեԱ

1-47

հռ

բ»

--

իո:

իղ

Հ--4-

Ճ

54) Հվ

--------------«ՎՅ-

վ-2|

-ի: Այսպիսով`չ «--2ուղիղը թեք ասիմպտոտէ, երբ » -»--» ձգտելիս: Երբ Որոնենք ֆունկցիայի ասիմպտոտը »-»-»օ-ի Հ

«օ(-»:-4), ապա՝ Ուրեմն` Բ-

Ե-

հռ 2-1

---Ըշ-շ:

է)...

կո|Ի-ՇՅ--Ը -4-2 Բ

«Վ

-ձմ

հեղ

-

-

|

ասիմտոտ2.

27.

-»

հո

Լ».

:

4-4-5-3-5 Պփ-: -

»»-Ս

հտ ի

Հ

Հ

»-

վ-4-7

կո

Հ

2ԻՎ-) -Վ-4-:1Ա-4-:«Վ-

Այսպիսով՝7 »2-»

ռր.

նո »-Ֆ-«»

--

ՎԼ

.առաաշ-շւա..

այտա

աարնաւաաու»

.2(2-վ

ուղիղը հանդիսանումէ

այս

մա

ֆունկցիայի թեք

-««-ի ձգտելիս :

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԳՐԱՖԻԿԻ

ԿԱՌՈՒՑՈՒՄ

է Ֆունկցիայի գրաֆիկ կառուցելու համար նպատակահարմար հետնյալ սխեման: 1. Գտնել որոշմանտիրույթը, պարզել զույգությունը, կենտությու(դրանց առկայությունըթույլ կտա կառունը, պարբերականությունը, տիրույթի մի մասում ն հետո համապանախ որոշման գրաֆիկը՝ ցել տասխանձնով այն շարունակել): 2. Գտնել ֆունկցիայի ասիմպտոտները: 3. Ածանցյալների օգնությամբ գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության, ուռուցիկության,գոգավորությանմիջակայքերը,էքստրեմումները, շրջման կետերը: 4. Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը առանցքների հետ:

Օրինակ: Կառուցել

"

չ-"Լմ.»

ֆունկցիայի

գրաֆիկը:

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն է (-»»:--1 ) ա ( -11) ա (1) Ուրեմն գրաֆիկը համաչափ է Ֆունկցիան կենտ Է` »(-»)»-7Ը): (0: 0) կետի նկատմամբ:Նախ կառուցենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը Դա նշա|0:--») միջակայքում:Քանի որ՝յ(1-0)Հ -», 7 (-0)»«»: «51 է: ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ Այժմ որոնենքթեք նակում է, որ

:-»-Հ»-ի ասիմպտոտ

ձգտելիս:

ո

հու()-

Բաց

((Ժ-թ)-

300ո-ի մուՄբ ւ-

ո

հռ

2.

««Վ«օ:

ֆունկցիանթեք ասիմպտոտներչունի:

Հաշվենք առաջինկարգի ածանցյալը՝ ցույց է

50:

լ

Ուստի

ա 3. Ց-արք |0:1) :

2-1

Այն

տալիս, որ (տես նկ. 8) ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է

մոնոտոն աճողէ ԼԹ.Ի»)միջակայքում, եկԹ.|միջակայքերում, :

«»:Յ-(

(Թ):

օ|

) մինիմումիկետ է:

ո.

Թ

Երկրորդ կարգի ածանցյալը կլինի ՝

Նկ.8

»՛6)-

րոշ

Այստեղից հետնում է (տես նկ. 9), որ ֆունկցիան գոգավոր է (0:13 (3: Հ») միջակայքերում, ուռուցիկ է (1:3) միջակայքում,

-ը(0)-15)

' Ը

շրջմանկետ է:

Ո"

:

»

Նկ.9

|

Այժմկառուցենքգրաֆիկը ՝ (տե՛ս նկ. 10) /

1Լ.4

Յ

Վ

առ Նկ. 10

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

1.

եթե

ԵՎ

ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Գտնել տվյալ Ճ բազմությանճշգրիտ եզրերը՝ Տսք Ճ ն ՈՒՔ,

ա) ԲՀ (-Ղ/ո. ոօպ), բ) ԲՀ(1/ո: ոօ),

: ոօ Ո), դ) ՄՀ (1-1/ո՞: ԱՅ) գ) ՄՀ («11 ե) Բ-(-», Յ), զ) Հ(8Հ»): 2. Ապացուցել, որ եթե Ճ » 8 ն Ճ-ն սահմանափակէ վերնից, ապա 8-ն նույնպես սահմանափակ է վերնից ն՝ ՏսքՑ Հ Տսքտ: 3. Ապացուցել որ եթե Ճ -» 8 ն 8-ն սահմանափակէ ներքնից, ապա Ճ-ն նույնպես սահմանափակ է ներքնից ե ոճ Հ (ո/Թ: 4. Ապացուցել, ելնելով սահմանիսահմանումից,որ ճշմարիտեն հետնյալ պնդումները:

1-0, ոԸՍ-0, ո) ո

սո Ռ--Ֆ«օ ոՀ

հո

ւ

Ո--»«օ

»0, դոգ" -0կզ|Հ:) մո5տ-"

Ո-3«օ

Ո--օ»5

2... ԷՕտուք նոլոկտ«ոշ տկ.»10" 0:3")-1,

78 Հլ. նու3:" 2:Վ«օ, Էւ 5-1, հուշ հուո|օ-6-Բ իո

Ռ-»օ»

ո-»»

նռ ո

Ռ-»«օ

Ռ--3օօ

Ո--«օ

հռ (ո41 ՀՀ, Ո-Ֆ«« (-1 թան «4ռԷՀ,հռ օօտոո(14-Ի )-»Ռ--»օօ

Օգտվելով սահմանիհատկություններիցապացուցել, որ ճշմարիտ

5.

են հետնյալ պնդումները:

.

«Ո-Շ0Տո նո----ք----«0,

ոպոո|

--շ----Հ0, ո՞»ղ՛ -ՈՀԼ հո .

քո

ո»

ովը

ոթ»

կոտՀԱԼ ռ

Ո Է2Յ

Հ3

ո» հ

:

կղ

ց.

ան

ՍԿ4 1-Ի

ո

Ի

կր

.

Հ-վո«1 |0" վու 2"41 ը ո-»»

3"

ՎուչոՀյ-Վու-ովլ հռ( Էւ

,

դ

ո/է

«Վա

դԳոդՀ1

ո»

իրան

Վա,

Էլջո Ի)

Ո--3«օ»

Գտնել տվյալ սահմանները: 6.

հաջորդականության վերին լ

՛

»»(ո-լխոււ(1։,։ ո

ա) գ

Ճը

եյ»,

|լ

5|1--

ՀՎՀոՀԼ ՝

7.

ալ

Հ"Հ2ԸՇ1) ԸՕ1ի, ,

դ)

| «իր

Ճո

2-Ի

Ապացուցել,որ եթե

4»,

լ

զո»

(լկ "1

թ

|

ն

ստորին

2ո--1

րր-

դ

| Հլ

ՀՊոլղ| Վո

(շու

լ

ՏՈ--

Լո ,

շ

Կ-Ը-Հ4օօստ ո

հաջորդականության(ոշ.Ի,

ն

.ենթահաջորդականությունները ձգտում են միննույն (8)

սահմանին,ապա` չ, Ապացուցել, որ ման (տարամետէ): 8.

-»

4:

տլոո

(-շօտո ) հաջորդականությունըչունի

սահ-

Ապացուցել,որ՝ «5,-7,5, էջ3,1ջ5 թվերըիռացիոնալեն: Ապացուցել, որ ռացիոնալ ն իռացիոնալ թվերի գումարը (տարբերությունը)իռացիոնալէ: 9.

10.

11. Ի՞նչ կարելի է ասել ռացիոնալ ն իռացիոնալթվերի արտադրյալի մասին: 12. Ելնելով ֆունկցիայի սահմանի սահմանումից ըստ Կոշիի, ապացուցել, որ ճշմարիտ են հետնյալ պնդումները.

ա) մոն-15-»,

բ)

52-31

""Չ»լգ)

կո

կոշ»

2-52-0

7-51-0

Փոսի : քԸբ) թրոսի եբբի մո.9Թ-»-2--Հ,

լ

զ)

-

կ

աք

մ

լ

ի) ծ)

|թ -«օյ

2, է)

հռ

Ճ-34««

ը)

-«Վ1Լ----

կո լ

ոէՀ"

ի

5" Վ», |) ո նտ իթ »8 3) նո

թ) հտ

ՀԿ». -

ժ)

նո լոն2.-1)---»» շ

ի

Հ

ւ

դ»-2«0, խ) հո դ»-2 ՀՎ», Ճ-52Է0

Հ

2-0

2-ՖՒՒ0

-յմ)--«օ

Վ»:

13. ելնելով ֆունկցիայի սահմանի սահմանումիցըստ Հայնեի, ապացուցել որ գոյություն չունի հետնյալ սահմանը:

ա) ե)

հո -ֆ--օ

նռ 2-Ծ

Ցո-Լ,բ)

տով-",

:

զ)

2-5

կո

2-5)-0

1,

օօ57

օօ9

մ

գ) նոտուշ,

Ա-ո.

5-3

ը)

հտ

տո:

:-3240

դ)

նո

-«ջ օօ

օօ5վ»,

Լ..:

ւ.-2

Օգտվելով անընդհատությանսահմանումից,ապացուցել,որ ճշմարիտեն հետնյալպնդումները. 14.

ա)

ք(:)-Վ2»ֆունկցիանանընդհատէ» »-0.5 կետում, 1()»4. ֆունկցիան անընդհատէ յուրաքանչյուր «օօ

բ) կետում, գ) քա)»թջտմ ֆունկցիան ԿԱ դ)

(6)

ո

«3.)

է

ֆունկցիան անընդհատէշ.»---

։»05

Բ

կետում,

-:կետում:

արժեքների 02)

15.Պարզել, թե պարամետրերիի՞նչ դեպքում ֆունկցիանկլինի՝ ա) անընդհատ2-0 կետում, բ) կունենա «-0 կետում, եթե՝

ածանցյա

1)

16)

3)

16)»

Ջո

,4»0

2:10 )2»6».»ռ»0.

՛

`

5)

8 ի

Եռւքջ245.:5»0 ջա

ԽոԻժ,

«0

(ց-իՀԻՈ-: ,2»0

ՇՁԼՇՇՕՏ24

,

«Հ0

ԵԶՈՏլոյւ,«Հ0 շ 1-Ի օո(լ25)Է4,»ՀՕ .

:

,

ԹՀ

6)

11)-4»"6", ԷԵ,

«ՀՕ: «20

:

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Բազմություններիտեսությանտարրեր... Իրական թվերի բազմությունը ն նրա հատկությունները(աքսիոմները) 11. 3. Ֆունկցիա: Հակադարձֆունկցիա.....1.....1....1 4. Թվային բազմությունների եզրերը 5. Տաջորդականություն 6. Ֆունկցիայի սահման ...1 7. Միակողմանի սահմաններ 8. Ֆունկցիայի սահմանիհատկությունները 9 Անվերջ փոքրերի ն անվերջ մեծերի դասա...»»,::Ք»թ աի 70. Սոնոտոն ֆունկցիայիսահմանը ..Լ աւարը 71. Ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի գոյության Կոշիի պայմանըԼ. աաա 12. Ֆունկցիայի անընդհատությունը կետում արը 13. Ֆունկցիայի խզումները, խզումների դասա1.

Աաաա

եարն

Լ...

աաաաաաաաակապաաաաաաաաա

Լ...

աաաաաաաաաանն

Լաւ

աաաարաաարաարաը

եա.

աաա»

Տ

ԱՍԱ

աաա

աա

....1..

Ս

ԱՆԱԱԱՆՆ....ժ...Եֆ29.....

Տարրական ֆունկցիաների անընդհատուան 15. Որոշ նշանավորսահմաններ Հատվածի վրա անընդհատ ֆունկցիաների հատկությունները ւ... 17. Հավասարաչափ անընդհատություն --18. Ածանցյալ:

,Խ..........,..»....»-ՓֆՔֆթԳզ

աաաաատաաաարառ

1.11.

աաա:

..........11.1..աաատառաա

աապսաաաապաացաաաաաաաաաաաաան

Լ.Լ

Միջակայքումդիֆերենցելիֆունլցիաների հատկությունները 20, Ֆունկցիաների էքստրեմումները Լաւ 27. Բարձր կարգի ածանցյալներ ն դիֆերենԱԱԽԽՆԽԱ....«.«..,,,,»9թ.թ.9.99Ք9..է.ծ95.թ509.»Ւ,,,Խ, ԱԽ 22. Լոպիտալի կանոնները 23. Թեյլորի բանաձծեը 24 Որոշ տարրականֆունկցիաներիԹեյլորի (մակլորենի)բանաձները 25. Ֆունկցիայիհետազոտումը .....111 26. Ասիմպտոտներ ..11111111.1 Աաաա աաա 27, Ֆունկցիայի գրաֆիկիկառուցում ա 79.

աաաաաաաաատաաաանաարաը

Լ.Լ.

էե.

11.1...»

աաաաաաատաաաակաաաաաաը

121.

ապաաաաաաանոաթ:

ե

11.1»

աաա

.............1.

աաաաաաաաաած

ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ ԱՇՈՏ ԳՐԻԳՈՐԻ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶ

(դասախոսություններ)

Առաջինմաս

ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ՀԱՇԻՎ

Մ.Գ.Յավրյան Հրատ.խմճբագիր՝ Տեխ խմբագիր՝Վ.Զ.Բդոյան Համակարգչայինշարվածք՝Ա.Գ.Ղալումյան

Պատվեր 174

Տպաքանակ200

Երնանիպետականհամալսարանիհրատարակչություն Երնան, Ալ.Մանուկյան1 Երնանիպետականհամալսարանի օպերատիվ պոլիգրաֆիայիստորաբաժանում Երնան, Ալ.Մանուկյան1