Մաթեմատիկական անալիզ. Երրորդ մաս

Ա.Գ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ, Ա.Ս. ՍԱՐԳՍՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶ

(դասախոսություններ) ՄԱՍ

ԵՐՐՈՐԴ

ԵՐԵՎԱՆ

--

ՏՀշ(ՇՋ7

«274

ԵՐԵՎԱՆԻ

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Ա.Գ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ, Ա.Ս. ՍԱՐԳՍՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶ

(դասախոսություններ)

ԵՐՐՈՐԴ ՄԱՍ

ՇԱՐՔԵՐ.

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

ԵՐԵՎԱՆ ԵՊՀ

--

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

ՎՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ

(07

22.11ց7

ԳՄԴ

Ղ

Հրատարակությանէ երաշխավորելԵՊՀ մաթեմատիկայիֆակուլտետի խորհուրդը

.

Հեղինակները հայտնում են իրենց խորին շնորհակալությունը պրոֆեսորներ Մ.Գ. Գրիգորյանինն Ա.Ա.Կիտբալյանինօգտակար դիտողություններին խորհուրդներիհամար:

ՂԱԼՈՒՍՅԱՆ Ա. Գ., ՍԱՐԳՍՅԱՆ Ս.Մ

Ղ

-

Մաթեմատիկականանալիզ. դասախոսություններ, երրորդ մաս. Շարքեր, բազմաչափ Եր.: ԵՊՀ հրատ., 2009 թ., 130 էջ:

ինտեգրալն -

Ձեռնարկում շարադրված են մաթեմատիկականանալիզի հետնյալ կարնոր բաժինները` թվային ն ֆունկցիոնալ շարքեր, բազմաչափինտեգրալներ`կորագիծ, կրկնակի, եռակի, մակերնութային:Այն հանդիսանում է Ա.Գ.Ղալումյանի «Մաթեմատիկական անալիզ», 1-ին մաս ն Ա.Գ.Ղալումյան, Ա.Ս.Սարգսյանի, «Մաթեմատիկականանալիզ», 2-րդ մաս ձեռնարկների շարունակությունը,պահպանված են նախորդներինշանակումները: Ձեռնարկը ճախատեսված է ԵՊՀ-ի, նրա Իջնանի մասնաճյուղի, ինչպես նան այլ ԲՈՒՀ-երի բնագիտական ֆակուլտետներիուսանողների համար:

ն տալ ԵՊՀ

ԼՏՑՎ

978-5-8084-1188-3

|

Գիադա

Օ ԱԳ.

|

ԳՄԴ

22.11

ց7

Ղալումյան,

Ա.Ս. Սարգսյան, 2009 թ.

ՕՇ ԵՊՀ

հրատարակչությում,2009

թ.

ՇԱՐՔԵՐ

ՒԹՎԱՅԻՆ

1. ՇԱՐՔԻ ԳՈՒՄԱՐ,ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆ. ԶՈՒԳԱՄԵՏ ՇԱՐՔԵՐԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ:

Սահմանում

(6,) -

Դիցուք տրված է

1:

ո»

նությունը:

/

թվային հաջորդակա-

Ֆ՝1 4» գլԻ0չ3..ֆճ, Գ...

(1

ո»

սիմվոլը կոչվում է (թվային) շարք: Նկատենք, որ ուղղակիորեն, որպես անվերջ քանակով թվերի գումար (1)-ը հասկանալ չի լինի: կամ ընդհանուր անդամ, իսկ Ճ.-ը կոչվում է շարքի ո-րդ

5»-

Հ

կոչվում է մասնակիգումարներիհաջորդակա-

ո»1,2,..)

է»/

նություն:

(1) շարքի գումար (5 ) ասելով հասկանում ենք մասնակի գումարների հաջորդականությանվերջավոր սահմանը, երբ դ-ը ձգտում է անվերջի: Այսինքն` 5» /Խո5,: Այդ դեպքում Սահմանում

ասում

ենք,

2:

(1)

որ

-:

գումարը՝2

զուգամետ է

շարքը

ն

շարքին վերագրում ենք նրա

Հակառակ դեպքում, երբ նշված սահմանը գո-

Տ:

ո»մ

յություն չունի, կամ անվերջ է, Օրինակ

Տրված է

1:

շարքը

կոչվում է տարամետ:

Ֆ"Շշարքը,

որտեղ Շ-ն

հաստատուն

է:

տարամետ է, երբ Շ»0

ն

դով

՝

Քանի

որ

5.

»ՖՇ»ո.Շ, ապա

շարքը

է»1

զուգամետ է, երբ Ը 0 նայս դեպքում, պարզ է, որ 5-0: Օրինակ 2: Դիցուք տրված է անվերջ, Ձ հայտարարով երկրաՀ

(6)

չափական պրոգրեսիա գամետ է այն

ն

ո«1

:

Ապացուցենք,որ

»

զ, ո

շարքը

զու-

ր

Հ. 7 (անվերջ նվազող միայն այն դեպքում, երբ 0 Հ|ց|

երկրաչափականպրոգրեսիա) ն հաշվենք

այդ

շարքի գումարը: Երբ

զ-1. Մո

(ւ

ապա :

գ»1,

ն, ուրեմն շարքը տարամետէ (տես օրինակ 1): Եթե

6,Հզյ»0 ապա

հաջորդականություն է՝

հաստատուն

-ը

Տ,

Այն դեպքում, երբ 1ց|» «Ա-4), 1-զ զ

Լ

է

-

մետ է, քանի որ 1չոլ ց" Հ

Շարքը տարամետէ նան երբ

օօ:

1-3օօ

2 ու(-1):

Իսկ եթե 0

նի

որ

քը

զուգամետ է ն 5» հուչ, --ԶԼ:

ո-Գօ»

շարքը

ապա զ Հ|ց|Հ1,

ո-«

հռց"

ոո4

0,

տարա-

քազ»Հ--1,

ուրեմն

շար-

-գ

Թեորեմ1 (զուգամիտությանանհրաժեշտպայմանը): Որպեսզի(1) շարքը լինի զուգամետ անհրաժեշտ է, որ նրա ընդհանուր անդամըլինի անվերջփոքր` Ռու գ, 0: է, որ Ապացուցում: Տրված

(1)

շարքը

գամետ Է նրա մասնակիգումարների 5,

դականությունը՝Հոու Տ,

Հ

ՏՕ Թ

-»րուտ,լ

զուգամետ է, այսինքնզու-

ՏԻ,(ո»Հ2,..)

հաջոր-

52)

Հ

Տ:Բայց՝

ՀՏոՈ-Տ.լՖՏ-Ֆ-0:ա ո-1 ո---

Օրինակ3:

Ֆ`(-1)'շարքը

տարամետէ, քանի որ նրա ընդհա-

ո»)

նուր անդամը անվերջ փոքր չէ

(Ք1ոու(-1)"):

ԴիտողությունՄ: Թեորեմ 1-ը հակադարձելիչէ, այսինքն ընդհանուր անդամի անվերջ փոքր լինելուց չի հետնում շարքի զուգամիտությունը (օրինակներըտես ստորն):

Տ՞ծ,շարքերը զուգամետ են, իսկ Զ-ն

Թեռրեմ2- Եթե 5, ն

ն

ռտ»)

ո»

Թ-ն հաստատուններեն,

Նն՝

զուգամետ է

2.(6-2, Բ-ե.) ոո

շարքը

ապա

|

նան

Հ(.-«,Ի/-Ե,)»Հօ-»..Ի/-ՀՆ,: Թեորեմի անմիջապեսշարքի գումարի սահմանումից դով

ո»

հետնում

է ապացույցը ե հաջորդականությանսահմանի համապատասխան

հատկություններից|1): Սահմանում

3:

Տրված

(Ֆ՝զ,) (1) շարքի միջոցով կազմված է»

5`Գ.

(2)

ԷՀոՀՄ

կոչվում է (1) շարքի

շարքը

-մնացորդշարք, կամ պարզապես(1)-ի

ո

«պոչ»:

Թեռրեմ3: (1) ն (2) շարքերը միաժամանակզուգամետ են, կամ՝ տարամետ:Ընդ որում, (1) շարքի զուգամիտությունից հետնում է, որ նռ ո-օ«

5` ԽԱ

ճ,

«0 («պոչը»

անվերջ փոքր է):

տ

Ապացուցում: (1) շարքի ու-մասնակի գումարը ճշանակենք

ՀՖ՝օլ (ուծ/).

ո՞ռ

դ

իսկ (2) շարքինը՝

Պարզ է, որ

4,,,,

Հ

ԴԻ (Յ

ապա

Հ

րո /Ո-)օ»

գումարն է):

81»- հո .,ն

ղ-՞օօ

Ր):

լյո4,

Եթե (1)-ը զուգամետ է Հ

Թ)

«4-48»

եթե զուգամետ հակառակը, է (2)-ը (3

Յո

80)» Ֆ՝ գ: 8ՀոՀ|

52)

4,,, «4.

ոռ 813: թ)

նութ). »

տությունից հետնում է, որ 4-4,-

Թ),

ՎՐ)»

(ՑՈ.

(2 շարքի

ապա

4:

86), ապա`

Քանի, որ (1)-ի զուգամի-

ու8"»4-4»-0:8

Դհտողություն2: Այս թեորեմից հետնում է, որ շարքի զուգամիտության վրա նրա ցանկացած վերջավոր թվով անդամներըչեն ազդում (համեմատեք առաջին սեռի անիսկական ինտեգրալների համար համապատասխանփաստի հետ շ): Ուրեմն շարքի զուգամիտության պայմաններըկարելի է ձնակերպել սկսած ինչ-որ համարից:

Դիտողություն3- Թվային

Ֆ՝.,

կան ինտեգրալի միջն կա տնյալում՝ 6,

«5 Մ(»), 5,

նմանություն,

-ջոօո)

չո

նուջ,-5-

դ-Հո»

մեծ

7(ո)4: /7(

շարքի ն

-

անիսկա-

կայանում է այն

հե-

Մա

|7նյտ.

ծ»հո (4) ՀՄ» ո

/

Այդ պատճառովշարքերի զուգամիտության շատ հայտանիշներ նման են 1-ին սեռի անիսկական ինտեգրալների զուգամիտության համապատասխանհայտանիշներին, ն անգամ որոշ պայմանների դեպքում, կա անմիջականկապ շարքերի ն անիսկականինտեգրալների զումիտության միջն (տես ստորն ինտեգրալայինհայտանիշը):

2- ՈՉ ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ԱՆԴԱՄՆԵՐՈՎ ՇԱՐՔԻ

ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

Թեորեմ 1: Դիցուք տրված է

Հ,

(2

ռայ

ոչ

բացասական անդամներովշարքը

զուգամետ անրաժեշտէ

Ճ»-

Ֆ՝ գ

ն

(շ, Հ0):

Որպեսզի այն լինի

բավարար, որ նրա մասնակիգումարների

հաջորդականությունը լինի սահմանափակ

(ՌՀՆ2,..)

կՀ1

վերնից: Ապացուցում Նախ քնից,

,

սինքն

ՆՃ)յ

հայտնի է

Հ0:

ն)

Քանի

որ

Ճ,-ը (կպտենք, Սո: 4, Հ0, որ

-Ճ.յ56

է ներսահմանափակ

ապա` 4Հ4.յ:

Ա-

հաջորդականությունըմոնոտոն չնվազող է: Ինչպես մոնոտոն

չնվազող հաջորդականությունը զուգամետ է

այն ն միայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակէ վերնից, հակառակ դեպքում

նո4,

Հ

ՀՎ օօ:

Ընդ որում, եթե

նությունը սահմանափակէ վերնից,ապա

ԼՃԵՐ,հաջորդակա-

լո 4, Հաք

ն,ոօ Մ)«46Թ:ռ

Դիտողություն 1: Որպեսզի պարզենք տվյալ (1) շարքի զուգամիտությունը՝ հաճախ հարմար Է լինում այն համեմատելմեկ այլ`

2)

ոմ

շարքի զուգամիտության

մասամբ հարմար է չ

Դ

Որպես այդպիսի (2)

հետ:

7 անդամներովշարքը:

:)

յ

կական ինտեգրալների դեպքում (

Ճ

ի

շարք

մեծ

Ինչպես ն անիս-

այսպիսի տեսքի շարքը

զուգամետ է այն ն միայն այն դեպքում, երբ թք»7: Այս փաստի ապացույցը հենվում է նշված ինտեգրալի հատկությանվրա (ստորն տես ինտեգրալայինհայտանիշը): Այժմ համեմատենք(1), (2) շարքերը զուգամիտության (տարամիտության) առումով: Բաղդատմանհայտանիշներ

Հայտանիշ 1: Դիցուք տրված են (1), (2) ոչ բացասական անդամներովշարքերը ն Մյ : ՕՏ, ՃԵ,։ Այս դեպքում, (2) շարքի զու-

գամիտությունիցհետնում է (1)-ի զուգամիտությունը, կամ, որ նույնն հետեում է (2)-ի տարամիտությունը: է՝ (1)-ի տարամիտությունից Ապացուցում:Դիցուք՝

Ֆլ,

Է-1

4»նո/տ,

5»

Եթե (2)-ը զուգամետ Է, ապա՝ ուրեմն` Ծո

Քանի Մո

:

ՏՑ:

:

որ՝

Հել, է-1

առ,

աաա

Դ ) Յաքվ8.:ո6

2»86Թն

ՀՑ:

Սո

ՏԵ-Տ-.ՓճՏՑՏՏՑ,

ՕՀճա

Այստեղից հետնում

է

ապա՝

(1) շարքի զուգամիտությունը

(տես թ.1):

Եթե (1)-ը տարամետէ, ապա (2)-ը չի կարող է լինել զուգամետ (հակառակդեպքում, ըստ ապացուցածի,(1)-ը կլինի զուգամետ): Ջ

Հ")

Օրինակ

1:

Պարզել

ու

արի

զուգամիտությունը:

Պարզ է,

որ

պո'(ո) 5. իսկ Հ.1

0Հ---ո՛-1

Ուրեմն, ըստ հայտանիշ1-ի

աառտ է

ո

ո»1

ոն)չ1 ո

ո

Հ

(ոՀ3),ն

սկզբնականշարքը:

զուգամիտությունը: Քանի ոլո)չարքի Հ»

Օրինակ 2: Պարզել որ

զուգամետ է:

շարքը

ո»)

ո»1

ո

շարքը

տարամետ է, ապա ըստ հայ-

տանիշ (1)-ի քննարկվողշարքը տարամետ է: Հայտանիշ 2: Դիգուք տրված են (1), (2) դրականանդամներով շարքերը ն՝ գ, համարժեք է Ֆ.-ին, այսինքն՝ (4-ը

Հէ, -

ող

լոտը» 1):

(0

Այս պայմաններիառկայությամբ

ն

(2) շարքերը միա-

ժամանակզուգամետ են կամ՝ տարամետ:

Ապացուցում: Դիցուք (2)-ը զուգամետ է: Քանի ապա

ՅՀՈԽ.ԿոՀհո

:

նիշ (1)-ի ստանում դիտ. 2):

շ-Հ2

Հ»

ենք

շարք

գ,

(1)-ի

ՓոՀի: ստանում

4.

-

ծ,

(1)-ի զուգամիտոթյունը (տես նան որ

.,

/

225255 շէ,: Այստեղից, 4,

Հ

,

Հ2Եե,:Այստեղից, ըստ հայտա-

Այժմ, դիցուք (2)-ը տարամետ է: Քանի

ՅԻ

որ.4,

-

դ--օօ

ըստ

ծ,

,

1.

ապա

հայտանիշ

ենք շարք (1)-ի տարամիտությունը: տ Դհտողություն 2: կայտանիշ 2-ում, 4-ը համարժեք է

Ե, -ին

պայմանը կարելի է փոխարինել հետնյալ պայմանով` 4,-ը

նույն

կարգի անվերջ փոքր է, ինչ ծ.-ը, այսիքն՝ Բայց դա նույնն է, ինչ՝ զ,

-

Շ-է, :

ռիչ ) էտի, ՀՆ ՀՄ

լաղշ--

ղ-Չ»Ե,

6 Թ.Շ»0:

-

Օրինակ3: Պարզել

ոյ

(ո՛ 1) -

շարքի զուգամիտությու-

17(1Հ»)ՀյՃ'Տղ. -5

նը: Քանի որ

ապա

նում

ռի չավ) (ո -

չո-

-

1)

ո

չի

Հ՝«,

ենք, որ շարք

Հ

ն

«քք

:

հայտանիշ 2.-ի

Ըստ

զուգամետ է այն

-ը

-

1-6»

դ`

լ դ

աաա) ն

դ՛,

ստա-

միայն այն դեպքում,

ո»

երբ 2թ-71»1(թ»0):

Այն դեպքերում, երբ Մքճ Թ թվի համար 4, վերջ փոքր չէ ինչ

ո

-ը

նույն կարգի ան-

օգտակար են հետնյալ հայտանիշները:

յայտանիշ 3: Դիցուք տրված են (1), (2) դրական անդամներով ն՝

շարքերը,

կոււ-0:Այդ

դեպքում (2)ի

զուգամիտությունից

է (1)-ի զուգամիտությունը: Ապացույցըհենվում է այն փաստիվրա, որ

հետեում

».Հ1

ՀԱ ՍոՀՈ:

(1), (2) դրական անդամներով

Յայտանիշ4- Դիցուք տրված են շարքերը, հետնում

է

ն

րդշո ֆ

Այդ դեպքում (2-ի

Հ»:

ո-5«

(1)-ի տարամիտությունը:

Սպացույցը բխումէ հետնյալից` ՀԵ, Կոչ:

տարամիտությունից

--

»1:

Դ

Օրինակ 4: Պարզել

5՝ դօ"

շարքի զուգամիտությունը:Դի-

ո»)

տարկեն,

Հ.

զուգամետ

ով

(2-8):

ո

-.0: ղոՀ.շ-Բ դ-Չ»

քանչյուր քՅ /Թ-ի համար

5` մա

շարքը:

ո

Պարզ

է,

Ուրեմն, ըստ հայտանիշ 3.-ի դո

.շ-"

շարքը

զուգամետ է:

որ

յուրա-

ԱԾ բ որի

Տ

Օրինակ 5: Պարզել

41171

ոո

նը: Դիտարկենք տարամետ

աԼ

Կերչ)

աչաշատյ-ր-

ո"

1.

ու

շարքի զուգամիտությու-

(1ՀՌ: Դ

շարք

սոլ

1» եթե 1»0.5 .Լ»Վ«»,եթե

հլ(ո-1)"--

Ուրեմն,ըստ հայտանիշ4-ի

Հ

րարք

Պարզ է,

որ

(05447 Հ4Հ

տարամետէ:

շարքը

Թեորեմ2(Դ՝Ալամբերի՝ հայտանիշը): Դիցուք տրված է դրականանդամներով

Հո, (ո, »0)

(3) շարքը ն՝ 3 լր դ»

ոմ

ճշեւ» ք:

4,

Այդ դեպքում, եթե՝ 1. ՕՀ 1, ապա (3) շարքը զուգամետէ, 2. ԾԹ» 1 (ք-ն կարող է լինել -Ւօ» ),ապա (3)-ը տարամետէ: 3Յ. Թ» 1, ապա ոչինչ պնդել չենք կարող (կան ն զուգամետ ն տարամետշարքերի օրինակներ): Ապացուցում:Եթե ք Հ 1, ապա որնէ զ6 (Ծ:1) թվի համար կու-

նենանք` ՀԽ,

ոՀ

0ՀՀոՀզՀ1:

:

Այստեղից` ՀԻՏ. Գի

զ,

ՀԵԳ. Հ զ,....-Ը--Հզ(ո՛»713: Ձ-Վ

Բազմապատկելով այս

կստանանք`

աՖ ո»

շարք

/Գ1

Գո

շարքը

Գ,-1

թվով անհավասարությունները,

Ուրեմն` գ,

զուգամետ է

ՀՀԽ-ց"(ո»): զ

(0.Հզ Հ), ապա

որ

զուգամետ է նան

Զ»1)

ապա

ՀԽԿՈՀԽ:

ԺԱ».

ծ

ֆրանսիացի մաթեմատիկոս: ԴԱչամբերԺան Լծրոն (1717-1183

Քանի

(3)-ը (տես՛1., դիտ. 2): Եթ

"

զ"

ո.Հց"":

ո-Մ

ուրեմն

4,.1 »:

6 »0 (ոՀ Ի): Այստեղիցհետնում

է, որ 4,

հաջորդականու-

թյունը մոնոտոն աճող է, ն, ուրեմն` ճ, -» 0: Որտեղիցհետնում է (3) Ռ--չ«օ

շարքի տարամիտությունը: Ցույց տալու համար, որ բերենք երկու օրինակ:

Օրինակ 6:

Ֆ՝ո, 4, --Է:Այս շարքը

Զու» Ճ.

լ:

7:

Ֆ՝6,. «1: Այս շարքը

տարամետ է, բայց էլի՝

ա

Ճ.

է,

ն պարզ

18-Չ»՞

Օրինակ

Զու

զուգամետ է,

ա

ԷԱ

որ

դեպքում ոչինչ պնդել չի լինի,

Թ»7

լա դ-Ֆօ

Թեռրեմ 2 (Կոշիի հայտանիշը): Դիցուք տրված է ոչ բացասական անդմներով

Ֆ 2,

(,Հ0)

(4) շարքը ն

ո»1 1. Ս ՀՄ, 2. »1

Յ

նովռ, -

ԾԲ:

աա

Այդ դեպքում, եթե`

ապա (4) շարքը զուգամետ է, (Ճ-ն կարող է լինել -Էօօ ),ապա (4)-ը տարամետէ: Յ. ՍԲՀ1, ապա ոչինչ պնդել չենք կարող (կան ն զուգամետ ն տարամետշարքերի օրինակներ): Ապացուցում: Եթե Խ Հ1, ապա որնէ զ«(տ:)) թվի համար

կունենանք` 4,

Հզ",ոՀ

Ի:

Կոչի ՅՁԽ0

Քանի

որ

:0Հ

5 զ" շարքը

վո,ՀզՀ):

Այստեղից

զուգամետ է (0

Հ

զ

ՀՄ),

ապա

ԱԱ

զուգամետ է նան (4) Խ»1,. Եջ 6,»

1(.Հ ր:

է (4) շարքի

շարքը: ապ.

ՅՀոԿոՀո։

Այստեղից հետնում է,

որ 4,

-թ0,

վ,,»1. որտեղից

ուրեմն հետնում

տարամիտությունը:

Ցույց տալու համար, որ Մ «1 դեպքում ոչինչ պնդել չի լինի կարելի է քննարկել նախորդ երկու օրինակները, որոնցից յուրաքանչյուրում, ինչպես հեշտ է համոզվել, ՄՀ մ( պետք է վերհիշել,

.

որ՝ կուո1):

տ

այդ 1առվճ,.

Դիտողություն3: Հնարավոր է, որ` 2

Կոշիի հայտանիշում Ճ -ի դերում հանդես է գալիս րին սահմանը՝ /4 մոո:ին, (տես |3)):

այդ

դեպքում

արմատի վե-

-

ԴիտողությունԺ Հայտնի է, Յ

րովն,«ք

(տես 832):

եթե

որ

Հողշ»ւ-ք, ո"

Վ.

ապա

Այնպես, որ, եթե Դ՝Ալամբերիհայտա-

նիշը բացահայտում է զուգամիտությունը, ապա նույնը կարելի է ասել Կոշիի հայտանիշի մասին: Բայց կարող է լինել այնպես, որ՝

ԽՈՏՀԼ,բայց` Յնո վն,21:

Այս իմաստով Կոշիի հայտանիշը

4,

1-36

ավելի «ուժեղ է»: Ասածըմեկնաբանենքհետնյալ օրինակիմիջոցով:

Օրինակ8: Դիտարկենք

444-ԵՀ"

շարքը, Ը

Հւ

Շշ,

"ԵՀ"

«Ե

Գ...0"

Շշ,-1

«ԵՐ Ի"

Ե"

Վ..աՖ հոլ

«Ա.Ե»:

-՝Օ.2գ-»գՀ):

խկ

ա

զ Ց"

օրինակ՝

ՕՀԳՀՄՀԵ,4:ԵՀ1,

Հե-»Ե»1,

"Ե"

"թ"

Պարզ է,

որ

Այսպիսով, այստեղ

Դ՝Ալամբերիհայտանիշըանօգուտ է: Բայց լուվճ, Հ1,ուրեմն, ըստ Կոշիի հայտանիշի, շարք »

Ի6, Ը

ճ-Ե

զուգամետէ:

յմ

Թեռրեմ3 (Մակլորան-Կոշիիինտեգրալայինհայտանիշը): Դիցուք /6 Շ|1:) 7-ը մոնոտոն չաճող է ն` ոչ բացասա,

կան: Դիտարկենք

/76)«.

անիսկականինտեգրալըն հետնյալ շարքը

(5)

».

Ո

(6,-

):

(6)

Նշված պայմանների (5) անիսկականինտեգրալըն (6) շարքը միաժամանակզուգամետ են, տարամետ:

կամ

|7()տ. Բ(4)5,-Ֆոլ:Եթե

Ապացուցում: Դիցուք

է-7

յ

ԵՀ),

է ՏՏ

ստանում

շնորհիվ /

ապա,

ֆունկցիայիմոնոտոն

չաճող լինելու,

7(-Հ1)Տ760)570)5գլ (.- 1,2,...,ո):Ին-

ենք 4,,-

տեգրելով այս անհավասարությունները, կստանանք՝ ձՀ/

4-1

:

'

է

/2.ԺՏ |7(0«Հ |ա.

4-1

կամ 2,.,Տ .

|7(/)՛Հճ,,

էՀ1..ո

։

Գումարելով ստացված

հավասարությունները, աՀա

Ցոա5

կստանանք՝

յճՌճԺՀ.. ԴԺ ՄԸ «7/0

Հ Գյ ԷՅ, ...Ժճ,,

Ե(4)Հ քլ Բ(4))-15Թ» «421: մոռ հետնում

Տ

կամ՝

Դիցուք (5)-ը զուգամետ է, այսինքն

(մ), ԳԻ

ՏԵ(ՈՀՈՀՏՏ,:

Տո Յ

ան-

(7

Ե(Հ

Թ

է, որ

ո.ի".

Տայ ՏԱ ճ

Այսիքն

ԻԲ(ոՀՏգՀ1»5

ԿՀ

/ՏՅԼ

հաջորդականությունըսահմանափակէ վերնից

ն, ուրեմն (6) շարքը

զուգամետ է: Այն, որ (5)-ի տարամիտությունիցհետնում է (6)-ի տարամիտությունը համարժեք է նրան, որ (6)-ի զուգամիտությունից հետնում է (5)-ի զուգամիտությունը:Դիցուք (6)-ը զուգամետ է, այսինքն՝ Յ

կու,

Հ

Պարզ է, որժ4247Յո (9)-ը ստանում ենք՝

աքվՏ :

562»

4ՀոՀմ:

Կո:ՏՏՏ:

(9)

Հաշվի առնելով (7)-ը

ն

3`

Ս4Հ1

Բ(4)ՀԻ(ո«1)ՏՏ,ՏՏ

:

2"(4)-նսահմանափակէ

Այսինքն,

-»

Ի(4)ՀՏ:

վերնից, հետնաբար (5)-ը

զուգամետ է: 8 Դիտողություն 5 Պարզ է, որ թեորեմը մնում է ուժի մեջ, եթե շարքի մեջ գումարը սկսվի ինչ-որ դ, (ոչ»1 ) համարից(այդ դեպքում

ինտեգրալիստորինսահմանը Դ.-ն է): Օրինակ 9: Պարզել ք

շարքի զուգամիտությունըկախված Դ ռով

պարամետրից:Պարզ է,

քանի որ

թՀՕ դեպքում շարքը տարամետ է,

որ

հու-1. 520:

ո-՞- ու

Դիցուք ք»0

ն /(չ)»Հ-շ:

րեմ 3-ի պայմաններին ն, քանի

Այս ֆունկցիան բավարարումէ թեոոր

/5

միայն այն դեպքում, երբ ք»

Օրինակ

10:

ԻՐ(ո)

Պարզել

՛ քՀՕ, ապա

Եթե ք»0,

7,

ապա

նույնը կա-

դ/

հմ

Եթե

անիսկական ինտեգրալը

ն ա ասել Հ շարքի մասին:

գուգամետ է

րելի է

Ն

ապա

ուս

7()»

(ո)

ո

ո

չոՀ3,

շարքի զուգամիտությունը: ուրեմն շարքը տարամետ է:

Հթր52

ֆունկցիան բավարարում է

թեորեմ3-ի պայմաններին, իսկ

ի: -

ա

`

էւ»

(

-

«մո

իջե) 5».5

Հվ (-նո)

ինտեգրալը զուգամետ է այն ն միայն այն դեպքում, երբ ք»1, ուրեմն նույնը կարելի է ասել շարքի մասին:

Յ. ՆՇԱՆԱՓՈԽ

ՇԱՐՔԵՐԻ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

Եթե շարքի անդամները(ինչ-որ համարից սկսած)

ոչ

դրական

են, ապա բազմատկելովշարքի անդամները-1-ով (դա չի ազդի

զու-

գամիտության վրա), կստանանք ոչ բացասական անդամներով շարք, որն արդեն ուսումնասիված է նախորդ բաժնում: Ուրեմն հետաքրքիրն այն դեպքն է, երբ շարքի անդամների մեջ կան անթիվ բազմությամբ թե դրական, թե բացասական անդամներ: Դիցուք տրված է

2.6,

(Ս)

ո»1

շարքը

որ

ն`

5.

«-Ֆ՝շ,(ոՀ1,2...): էմ

Թեորեմ (զուգամիտությանսկզբունքը): Որպեսզի (1) շարքը լինի զուգամետ անհրաժեշտ է այն բավարարիհետնյալ (Կոշիի) պայմանին`

ՍՄԲ»02ո,

,ՄոՀո,քատ

:

ն

բավարար,

» Գ. Հճ:

(2)

ք»ո«ՉԼ

Ապացուցում: Շարքի զուգամիտությունըհամարժեք է (5,Իլ հաջորդականության զուգամիտությանը,որն իր հերթին համարժեք է Կոշիի պայմանի տեղի ունենալուն (ֆունդամենտալությանը): Այսինքն` Մք»03դ, ՍոՀ ո, ԿքօտՄ: Տվ|Հճ: Քանի որ թ2

Տ

ՏոՏ

է5ո`1

Խ..»-

Գ.

։

ապա ստանում

Սահմանճումք: (1) շարքը

զուգամետ է

ենք (2)-ը:

.

կոչվում է բացարձակզուգամետ, եթե

Ֆ՝ն.| ո»/

(3)

շարքը:

Թեռրեմ2- Բացարձակզուգամետ շարքը զուգամետ է, այսինքն, (3) շարքի զուգամիտությունից հետնում է (1)-ի զուգամիտությունը: Ապացուցում:(3) շարքի զուգամիտությունիցհետնում է, որ այն բավարարում է Կոշիի (2) պայմանին,այսինքն`

ՄԲ»03դ,

ԳդՀո,,Մօր

5` ԳՏ 5` ք,|

Քանի որ

Տ լւ|Հճ:

ճ»ոթմ

ապա ստանում

ՀԲ,

քէՀո4

:

ենք, որ (1)

շար-

էր`)

նույնպես բավարարում է Կոշիի (2) պայմանին ն, ուրեմն (1)-ը զուգամետ է: Ջ

քը

.

Հոդ ոՎդ-Վ5 «3

.

Օրինակ:

Պարզել

շարքի զուգամիտությունը:

Քանի

տո

որ

«(57

րյ

ո՞ԴՈ-

շարքը

ն

զուգամետ է,

շարքը

ոՀ

Դ

ապա

բացարձակզուգամետ է:

շարքը

Դիտողություն

Ֆ`ճ,

«1

դ՛ԻՈՀՏ

ոո 2 տ

(ոդ

Է

Թեորեմ 2-ը հակադարձելի չէ, այսինքն

կարողէ լինել զուգամետ,

շարքը` տարաՖ՝|ո,|

բայց

Դ

տավ

մետ:

Այդպիսիշարքը կոչվում է ոչ բացարձակ,կամ պայմանական զուգամետ: Պայմանականզուգամետ շարքերի օրինակներկբերենք ստորնե: Սահմանում 2- Շարքը կոչվում է նշանահաջորդող, եթե նրա անդամների նշաններըմեկ ընդ մեջ փոփոխվումեն: Թեռրեմ 3 (Լայբնիցի հայտանիշը): Եթե տրված է նշանահաջորդող

ԻՑ"

շարքը,

որտեղ

էո Ը, «0,

ապա

(ի

Գ) ն

(4) շարքը զուգամետ է:

Տ

Հ

բացասականէ

-

հայ

զ

(Ն

2....) ապա՝

(-Օ)Հ(Ց-Կ)Ի-Հ(

Հաշվի առնելով այն,

(«20)

մոնոտոն չաճող է հաջորդականությունը

Ապացուցում:Եթե Տ

ոչ

«,

(օր

որ

,

Ե,

-Օո):

(5)

(5)-ում փակագծերիցյուրաքանչյուրը

մոնոտոն չաճող է) հաջորդականությունը

ստանում ենք՝Տշուշ5շո ՞

Շո:

Հ

՞

Շոշ

մոնոտոն (Տշո),. հաջորդակամությունը

Տշո

չնվազող է: Ունենք նան՝

Շ-(Շշ-օ5)--.-(Շռշ-Շոյ)-ՇոՏՕՅՏԵՏՇ:

Ուրեմն

ՎՏշ, ի,

նում

որ

է

Տ,,.յ

-»

5:

Թ

հաջորդականությունընան սահմանափակ

վերնից: Այսպիսովստացանք, որ Յ ո տալ,

Հ Տշո»շ Տշը՝Այսինքն,

-0-»

Քանի

19 ճչուլ

որ

56 Թ:

5.,

Սնում

«0ԱՇւյ).յ-Ը

Է

է ցույց

հանդիսա-

վճ," | անվերջ փոքր հաջորդականությանենթահաջորդա-

կանություն), ապա՝

Տշոչլ 5.

Ի Շո:

5-3

5.

-Տ:Թ

Լայբնիցի թեորեմի պայմաններինբավարարողշարքը ընդունված է անվանելլայբնիցյան շարք:

ԴիտողությունԷ նախ նկատենք, որ

Ֆ՝(-ը' -Օ դմ

(6.Հ0)

շար-

երբ Շ, -ը բավարարում է թեորեմի պայմաններին,նույնպես զուգամետ է ( (4) շարքի անդամներըբազմապատկվածեն -1-ով): Այդ շարքը նույնպես կոչվում է լայբնիցյան: Դիտողություն2. Թեորեմի ապացուցման ընթացքում (տես (6)) ստացված 5, ՀՇ, անհավասարությանմեջ անցնենք սահմանի,

քր,

երբ 7-ը ձգտումէ անվերջի, կստանանք5̀ Հ 6: Պարզ է, որ ընդհանուր տեսքի լայբնիցյան շարքերի համար (տես դիտողություն) ճիշտ է |Տ|ՀՀ-, անհավասարությունը:Ուրեմն, լայբնիցյան շարքի համարճշմարիտ է հետնյալ գնահատականը`

5,-5|-5` 1ՀոՀ)

Գլ

Հլ, |

լը,-(Ս"

օ,Օ

Հ0):

Ստացված(7) գնահատականըօգտակար է, օրինակ, լայբնիցյան շարքի գումարը ցանկացած, նախապես տրված ճշտությամբ, մոտավորհաշվելու համար: Աբելիձնափոխությունը-

Դիցուքտրված

են

(.ւ.16,

հաջորդականություններ

(4,

8, Ֆի ՀՖ՞շ,.

5,

(ոլ

չոլ

նաձնը:

Ֆե) լ

6Ճ-21:4 5, ՀՖ-զ,. է»)

Ա: 7):

ճիշտ է հետնյալ բա-

-

8.

6.)՝

6)

((8)--ը մասերով ինտեգրման բանաձնի նմանակն է դիսկրետ դեպքում): Ապացուցում:Քանի, որ ապա՝ Հ 4 Ճ- 4, -Ճ.յյ Հ/յ,0չՀ

9-6Ց Եւ

։

(4շ՝ 8)::23(Ն

-«Ճ):23-«(-4.):6-Ճ-21.-2)Գ

(5-8)-««ՆՍ.ա-8)-4:8.-Ճ-8-Ե:0.-8) "՝

ռ

(8)-ից ստացվում է 5.

Թ. Գումարի համար հետնյալ «Ֆ-օլ. է»1

գնահատականը՝ Աբելիլեմմա՛ Դիցուք /,

Ֆ՝Օլ սահմանափակ

է

-ճ

Հ

էալ

(ՅԱՏ Թ,Մոժ իսկ

/,

-ը

Մ:

իձ|ՏԼՆ),

չաճող է (չնվազող է): Այդ դեպքում ճիշտ է

մոնոտոն

հետնյալ անհավասարությունը՝

5,.|».«.

Իրոք, քանի սիքն`

ք

16.3.

»-Լ2,...,դ-1-ի

միննույննշանը,

ապա

ո

Ե

ալ.

հաջորդականությունըմոնոտոն է,

այ-

համար /2,,յ-/3։ տարբերություններըունեն (8)-ից ստանում ենք՝

ար .-

որ

ուտի):

(4.-6)

ԱԹԱՅԱՆ -«վ6

-Բ.)թՀեգճԻլճ-6թ516լճ.ԻլՑի:

Դիտողություն 3 Աբելի լեմմայում գումարը կարող է սկսվել մեկից մեծ բնական թվից: Թեորեմ 4 (Աբելի հայտանիշը): Դիցուք տրված է շարք,

«շել:

(10)

դավ

Տ-«,

որտեղ

զուգամետ է, իսկ

շարքը

փակ (3Շ»0,ԿԻՇ `

(40)

ծ, -ը

մոնոտոն

է ն սահմանա-

Մ:

զուգամետ է:

շարքը

Ապացուցում:Դիցուք 5

-

5`գլ է»

-ել Օգտվենք շարքի զուգամի:

տության Կոշիի սկզբունքից (տես 3, թեորեմ1): Քանի

որ

Տ՝, դ»)

շարքը

զուգամետ է, ապա` Մ ՄԲ»03դ,,Սոչո, ՍԿոՇ

Օգտվելով

նան

գ|Հ--:

3Ը Է»ղոՀ4 ստանում (9)), ենք՝

աԱ

Հ-3ՅԸ» 3ԸՇ

6»

՝

)՝

կ .ԻՒ2| Ե,."|) ՅԸ(ե «Տան55 Աբելի լեմմայից

Տ,...-

:

Հո

որն էլ նշանակում է, որ (10)

-Տ|Հճ (Հո, զուգամետ է:

շարքը

6/3, Ք

Թեորեմ 5 (Դիրիխլեիհայտանիշը):

է

Դիցուք տրված (10)

շարքը,

որի 4,

Հ

"ռչ

1,2...)

մասնա-

մ

8հաջորդականություն,՝ սահմանափակ է մոնոտոն չաճող է ն ուծ, «0: |Ճ|ՀԼ),իսկ Ե.)

կի

գումարների

(ՅԼ.

Կո:

-ը

Այս պայմաններիառկայությամբշարք (10 )-ը զուգամետ է: Թեորեմի պայմաններիցհետնում է,որ ծ, Հ0: Ապացուցում: Դո

(9)-ից,։

ստանում

ենք՝

չէ, 2. ոՀ1

փո

ՀԼ(Ե,.Հ2Ե

ոՀ

)ՀՅԼԵ,1`

Քանի

որ

-0,

ուծ,

1-95

ապա` Մ6»03ո,,ԳԿՌՀող, : է,

Հ:

Այսպի-

դժո

սով` » -ե

ՀՃՈՀու):

ԷՀՈՀ/

Խնդիր1: Ապացուցել, որ եթե

Ճ»-

8, Հչո(ա),

Հ

ապա`ւ

2). 3665(1ո),Օ'«2շոու(ուծ կո

Հ»

յա--յ չ1--

`

Ցուցում. բազմապատկել4,

րզ ,

չու---

2:1՞. -ով:

8,-ը

-ըն

ո)

Հո

Օրինակ 4: Ապացուցենք,որ

շարքը զուգամիտ է:

վերցնելով որպես հայտանիշը,

6.Հ-

ԻՑ աժ ) Տու( բան)չ-Լ ,

է51

նոտոն

Ջո

տես

խնդիրՂ),իսկ` Ֆ, 4

(այն մո-

նվազելով ձգտում է զրոյի): ո

Օրինակ 2: Ապացուցենք,որ |

5`.

ու---Ն-ք

չո(ո) շարքըզուգամետ է: դ

ո»

ԿիրառենքԱբելի հայտանիշը, դ»

ո) Տոլ) դ

զուգամետ է, իսկ

շարքը

ն

6."

ո

-ը մոնոտոն

աճող է ն սահմանափակ(0

Հ

օ"Հ1

):

4. ԶՈՒԳԱՄԵՏ ՇԱՐՔԵՐԻ ՎԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Դիցուք տրվածէ շարք

Հ,1

(2)

»12...)ոչ

բացասականամբողջ թվերի

ոռ

ն

իղ),

0»0ուօ

տէ

մոնոտոն

Կազմենքնոր շարք աճող հաջորդականություն:

Ֆ՝եւ։

2)

(Է 12...): Այսինքն (2) շարքը առաջա--Իճղ 0ում է նույն շարք (1)-ից, երբ առանց փոխելու գումարման հերթականությունը շարքի անդամներըինչ-որ քանակությամբ ճերառվում են փակագծերիմեջ 23) ի. Ի: (2Ի.Ի

ԻՒՎ(ԱղՀ.Գ

որտեղ ծ,

գյ,

Հ

Օ, (Ը,

Ցդ

Ներմուծենք նշանակումներ`

ՃՀՖռւ8,

Հ

հ»1

Ֆել(ոօ Ռ), կոա)

նոճ

4:

Թեռրեմ 1 (Շարքի զուգորդականհատկությունը): ապա զուգամետ է նան (2)-ը

Եթե զուգամետ է (1) շարքը, ունի նույն գումարը ինչ (1)-ը: Ապացուցում:Պարզ է, որ՝

2Ն «ծ...

8,-

է51

է ար

օյ Գ..Ի0..4: ա3-ԻՔԳ,

(4,,-ը 4, զուգամետ

|

ն :

այն

Ծ34 ՌԼ-Չ65

հաջորդականությանենթահաջորդակա-

նությունն է) Դետողություն1: Այս թեորեմը հակադարձելի չէ: Այսինքն (2) (փակագծերով շարքը) կարող է լինել զուգամետ, իսկ (1) շարքը՝ Ջ

տարամետ: Իրոք, ՞

«-Ս-

շարքը:

Այդ

դ-..Հ0ՀԻ0Հ...»

Խնդիր շարք

Հ1-141-.. Ֆ'(-/)"' ո»1

տարամետ

(-

դիտարկենք հետնյալ

1:

5`(., է-1

Ապացուցել,

.Պ..Գճյ)ն

շարքի օգնությամբ կազմենք նոր 0, ակնհայտորենզուգամետ շարքը: որ

եթե տրված է զուգամետ (2`) տեսքի

յուրաքանչյուր փակագծիմիջի անդամ-

ները ունեն միննույն նշանը (մի փակագծիծ մյուսին անցնելիս շարքի անդամների նշանները կարող են փոփոխվել), ապա առանց փա-

5`,

կագծերի

շարքը

նս

կլինի զուգամետ ն կունենա նույն գումարը

ոյ

ինչ նախնական(փակագծերով)շարքը (տես օրինակ |3)):

Սահմանում

(5՝«,)

Դիցուք տրված է (1)

1:

փոխմիարժեք արտապատկերում` ո,

ն

շարքը

ունենք

ով

Կազմենք նոր`

//-»/7:

:

շարք

Տո:

Թ

տով

նույնն է ինչ (7-ը միայն փոխված է գումարման հերթականությունը:(3)շարքը կանվանենք (1)-ի տեղափոխված որը

շարք:

Թեռրեմ 2 (բացարձակ զուգամետ շարքի տեղափոխական հատկությունը): Եթե (1) շարքը բացարձակզուգամետ է, այսինքն զուգամետ է

5`

Գ)

|

ապա զուգամետ է նան տեղափոխված(2) շարքը նույն գումարը ինչ (1)-ը: Ապացուցում:Դիցուք՝ շարքը,

Ճ5-Ֆո,8.»- օ..ՃՀծիւ|-»46 Հ»

է»

ն

այն ունի

Ք:

32)

Նախ դիտարկենքայն դեպքը, երբ (1)-ի անդամներըոչ բացասական են (զ, ՀՕ): Այս դեպքում

/, «4:-» 4-»4ՀքիՆ)

ոզչՎու:ԵՀ1...ո)Հ

Դա

թյունը ոո 8,

Հ

ն,

եթե

քղ, ապա շ

8,

(ՆՀՏ4)

Հֆո«4, է»)

-

Տ4-կոմ, «Տլ: է»1

նշանակում է, որ մոնոտոն չնվազող 8, հաջորդականուսահմանափակ է վերնից ն, ուրեմն ունի սահման՝ ՑՀ4Ճ:Մյուս կողմից (1)-ը հանդիսանումէ (2)-ի տեղափոխ-

ված շարք, ուրեմն նան՝ /ՃՀ 8: Այսպիսովստանում ենք, որ տեղա8: փոխվածշարքի գումարը չի փոխվում` 4 Այժմ դիտարկենք ընդհանուր դեպքը, երբ (1) շարքը ունի անվերջ քանակությամբդրական ն բացասականանդամներ: (1)-ի հերթականությաամբհանդիպող դրական անդամները նշանակենք Հ

Ք,,քշ....ք,,...,

իսկ բացասական անդամներիբացարձակ արժեքնե-

րը` 4,,զշ....,զ,....: ներով շարքեր

Այսպիսովառաջանում են երկու դրական անդամ-

Ֆ՝թ..

(5)

2.2

6)

Լ 22)

Ներմուծենք նշանակումներ`

-Ֆ

Այդդեպքում` 4,

լ.

է»

»

0,-Ֆզ,

Ք, -0,, 2

Ի

12..): (ոՀ

Ք.Հ0:(ո-ոՀե):

Ուրեմն՝

0,ՀՏ(:-4). «20444»

7)

որտեղից հետնում է (5), (6) դրականանդամներովշարքերի զուգամիտությունը: Եթե այժմ (1) շարքից անցնենք նրա տեղափոխված(3) շարքին, ապա դա կնշանակի(5) ն (6) շարքերից անցնել նրանց որոշակի տեղափոխվածշարքերին: Վամաձայնվերը ապացուցածի, դրանից չի խախտվի (5), (6) շարքերի զուգամիտությունը ն չի փոխվի նրանց գումարը ն, ուրեմն նույնը կարելի է ասել նան (1)-ի տեղափոխված (3) շարքի մասին: տ Պայմանականզուգամետ շարքերը օժտված չեն տեղափոխական հատկությամբ:Ճիշտ է հետնյալթեորեմը: Ռիմանիթեորեմը: Եթե տրված է պայմանականզուգամետ շարք

5՝ն,

,

ապա

ոՀ1

ինչպիսի Ց թիվ էլ վերցնենք, կգտնվի (1)-ի այնպիսի տեղափոխվածշարք, որ նրա գումարը հավասարլինի 8-ի, 2" գոյություն ունի տեղափոխված շարք, որի գումարն է Լ

«Հ

(- օօ,օօ):

3" գոյություն ունի նան տեղափոխվածշարք, որի մասնակի գումարներիհաջորդականությունը չունի ոչ վերջավոր ոչ էլ անվերջ սահման:

Ապացուցում:Այստեղկօգտագործենքթեռրեմ2-ի նշանակումնեՈւնենք` Հո ուրեմն, համաձայն (7)-ի 4, 4641Թ, հո /ճ ՀՀ»,

րը:

-

նոթ «իո0

ՀՀՀ:

Այստեղից հետնում բողջ թվի համար

է, որ ցանկացած ոչ բացասական

րո ոշրո փ»ո՝Լ

ամ-

.Փ

աՀ»

Նախ ապացուցենք Ւ-ը: Ըստ (8)-ի կարող ենք ընտրել (5) շարառաջին (փոքրագույն Դո, քանակով անդամներ, որ

քի քյ

ք»ո՝Չմ

դ

է

Այնուհետնկարող ենք ընտրել փոքրագույն դչ

քչՀ..Հք,,»8:

քանակով(6) շարքի Գլ»42:-5Կ,, անդամներայնպես,որ առաջինանգամ տեղի ունենա

թյ

-

ք,

Հ...

ք.

-(զ/Էզչ Ժ--Հզ,) ՀԾ անհավա-

սարությունը: Նույն սկզբունքով Յու,այնպիսին, որ, ք

Հ

ք:

..Հ

ք,,

ԷԻ -(զլԷզչ

(թա

Քոշ3-«Հ

ք,

)»8,

Յո, այնպիսին,որ՝ ք,

ք

..Հ

ք,, -|զ/զչԳ-Ի Գոշ -(զ,»ա

(թոս Քո Դ... զոլ ) ՀՑ:

3-3

ք,ւ)-

Այս պրոցեսը անվերջ շարունակենքամեն անգամ գումարելով (հանելով) մինիմալ քանակով ք, (զ.)-եր այնպես, որ ստացված 5,

գումարի ն 8 -ի տարբերությանմոդուլը չգերազանցիվերջին (ո -րդ)

գումարելիին: Այսպիսով, տեղափոխվածշարքի 5, մասնակի գումարը բացարձակմեծությամբտարբերվում է 8-ից իր դ -րդ անդամով (( ո 7.2...)), որն անվերջ փոքր է, քանի որ (1) շարքը զուգաՈւրեմն, ստացված շարքի գումարը 8-ն է: Հաշվի առնելով խնդիր 1.-ը, ե վերացնելով փակագծերը, կստանանք (1)-ի տեղափոխվածշարքը,որի գումարը նույնպես 8 -ն է: Այժմ ցույց տանք, որ գոյություն ունի (1)-ի այնպիսի տեղափոխություն, որի գումարը -օօ-ն է: Պարզ է, որ Հո, այնպիսին որ՝ մետ է:

քլ

Հ

ք,Գ..Հ

ք,

»1:

Ստացվածինգումարենք մեկ բացասականան-

դամ որ

ք,,)Է(-զ.)(դա հարկավոր Է միայն նրա համար

ՆԱԼ

ստացվի տեղափոխական շարք): Այնուհետ,

(5,ԷքչԻ..Հ

թ(«)Հ(7,»3ք,»

ք,

Յոդ,այնպիսինոր` ք,,

Ի...

Է -րդ քայլին կունենանք՝

Է

ք,

փ...ք, )(/)Ի-Հ(,,,,..

արմ

) 21.

)

»

2:

մՀ12...):

Պարզ է, որ ստացված տեղափոխվածշարքի գումարն է Հ: Նույն կերպ ապացուցվում են թեորեմի մյուս պնդումները, դա թողնենք ընթերցողինիքնուրույռ աշխատանքիհամար: տ Օրինակ 1: Դիտարկենք պայմանականզուգամետ

ՀԴ 52)

չ»եշ

(տես ստորն

շարքը

տեղափոխվածշարքը՝

11111111 Ժ2

(5,

Եթե

ԽԱ

68510

(99

ԻԸ"

-

Կազմենք հետնյալ

(7):

4.

1.

(9)

.

աա

մասնակի

շարքի

գումարների

ա րդականությունը - » «շար ) 0 դ 4.1) 5,-շար Օք » 2 Է

Թ

ՀՀ

Յաշվիառնելով այն,

վերջ փոքր է, ստանում Էյ

Տ:ուլ

ո(Տ,

Հ

Ուրեմն` 15, ղ-՝օ

որ

էյ1

(ՈՌ

նշ Հ--Ծ--»ՀՏ: է -» շ

(9) շարքի 4, ընդհանուր անդամը ան-

ենք՝

Է

ճագ)55: Սոծ,,չ

Հ

Հ-րշ:Այսպիսով,

երկու անգամ փոքրացրեց շարքի գումարը:

ՍՊՏ այս

ուլ

Դ

ճաշ)55Տ:

տեղափոխությունը

Ս ՖՈՒՆԿՑԻՈՆԱԼ

ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՇԱՐՔԵՐ

ԵՎ

1.ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

Սահմանում

17:Դիցուք

տրված է

/7(2),7/շ(»)....,

ֆունկ-

ցիաներիհաջորդականություն(ֆունկցիոնալ հաջորդականություն), որոշված միննույն շ բազմությանվրա ն ցանկացած .չյ ` Ճ -ի հաձար |7

հաջորդականությունըզուգամիտում է (թ). թվային

վեր-

ջավոր թվի: Այսպիսովծնվում է ֆունկցիա (սահմանայինֆունկցիա), Դա նշանակում է՝ որոշված 24 -ում` ՄՇ 27 Յո ր (2) ՄԹԱ): Կ:Շ

1.

Ս6»03ու(:)«

7.

ԿոՀուր)

:

ո՛()Հճ,

ճ(9-ի(9-76)ի:

Իսկ եթե Այս փաստը կոչվում է կետ առ կետ զուգամիտություն: 7Ճ-երիհամար գտնվումէ ընդհանուրհամար, ապա ասում են, որ առկա է հավասարաչափզուգամիտություն 20 բազմության վրա: Այսինքն՝ (2 ՄՏ»03ո,6« բոլոր

Մ,ՍոՀո,Պ«61:5()-|ՆՐ)-7(ԱՀճ6: թ

Նկ.1

Նկ.2

Վավասարաչափզուգամիտությունը ունի պարզ երկրաչափան կան մեկնաբանություն: Վերցնենք կամայական 6»0 ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժենք ք չափով վերն ն ներքն, նրանցով սահմանափակված պատկերը անվանենք գրաֆիկի ք շերտ: Այն, որ

վ7, Հ),

հաջորդականությունըհավասարաչափզու-

գամիտում է /

(2

-ին նշանակում է, որ ինչ-որ համարից սկսած հա-

ջորդականության բոլոր անդամներիգրաֆիկները հայտնվում են շերտում (տես նկ.1): Փորձելով կիրառել այս մեկնաբանությունը/,(»5)Հ»".«6|0:1|

այդ Հ

ֆունկցիոնալ հաջորդականությաննկատմամբ(տես նկ.2), անմիջապես ստանում ենք, որ այն ոչ հավասարաչափէ զուգամետ է |0:1|ում,

քանի որ

ֆունկցիան խզվող է սահմանային 00ՀՀմ

Ը)ՒՉԷշ

(տես

նան

Ն2Հ1

ստորն օրինակ 5):

Բերենք հավասարաչափ ն ոչ հավասարաչափզուգամիտության որոշ հայտանիշներ:

Թեռրեմ 1 Որպեսզի (7,(»))" ֆունկցիոնալ հաջորդականությունը լինի հավասարաչափզուգամետ 7 -ում անհրաժեշտ է ե բավարար,որ տեղի ունենա Կոշիի պայմանը` ՄՏ»03դ,6 Մ. ԿոՀո,, Սքօ Մ. 6271:

7.(-76)Հճ:

(2)

Ապացուցում:Անհրաժեշտություն:Տրված է, որ 17.(:))-., ֆունկցիոնալ հաջորդականությունըհավասարաչափզուգամետ է 7 -ում:

Ուրեմն`

ՍՄճ»03ոօ

ՔԾՄ:

|,..Ը)-76-

Բ. 0-

Մ, ԾոՀո,Կշ6ն

:։

ի(9-76ՀՀ

ա ԻՐ (0-761Հ2--2-4: Այստեղից

.ՇՎՀ//,.,(

տեղի ունի Կոշիի Բավարարություն:Տրված է,

ստանում

ենք՝

այսինքն

որ

1/,(:)՛,

ֆունկցիոնալ հաջոր-

դականությունը բավարարում է Կոշիի պայմանին: Վերցնենքկամայական «յօ 27 ն օգտվենք (2)-ից: Դա կնշանակի, որ (7,(.)), թվային հաջորդականությունըֆունդամենտալ է ն, ուրեմն` զուգամետ (1): Այսպիսով (7, (:)"-ը կետ առ կետ զուգամիտումէ սահմա-

նային (2)

ֆունկցիային: Այժմ (տես (2))

()|Հ

.,)-7

ք

(Հո,

1)

Մ »«

պայմանի մեջ անցնենք սահմանի, երբ թ-ն ձգտում է անվերջի, կստանանք`

ՄԹ)-7Ը)Տ: (ոՀո,,.61): Ուրեմն,

(7.(ո))"

ֆունկցիոնալ

սարաչափզուգամիտումէ /

հաջորդականությունը հավա-

(») ֆունկցիային:

տ

Թեռրեմ 2: Որպեսզի 1/.(»)՛, ֆունկցիոնալ հաջորդականությունը լինի հավասարաչափզուգամետ 24-ում անհրաժեշտ է ն բավարար, որ՝

ո,(2)

Տաք

(3)

0:

Ռ-Ֆօ5

Ապացուցում: Անհրաժեշտություն Տրված է, որ Մ,Ր՛, ֆունկցիոնալ հաջորդականությունըհավասարաչափ զուգամետ է Ճ-ում: է, որ Այսինքն, ճշմարիտ է (1)-ը, որտեղից հետնում » ճ 0: ուրեմն՝ չեք Ւ, (Հ չսք ո, 7, (ոՀ )։ Ը) «

աաա

'

է, որ ԲավարարությունՏրված

տաք», է

Այսինքն ՄՏ6»03ո,6 Մ, ՍոՀո,

ՄՃ»03ո,6 Ուրեմն

/,զոՀո,,Ս«6

/ի ԹՐ,

(») -»

:

247: ո

0:

Ո-3օ5

չաքո(:«)ՀՔ.

որտեղից`

(«չ)Հաաքո (2)Հճ:

ֆուկցիոնալ հաջորդականությունըհավա-

սարաչափ զուգամետ է 2 -ում:

պ

Միշտ չէ, որ հնարավորէ, կամ հարմար է օգտվել թեորեմ 2-ից: Երբեմն ավելի հարմար են այլ հայտանիշներ:

Թեորեմ 3: (հավասարաչափզուգամիտությանբավարար պայմանը) Որպեսզի 7.(»)ի,

ֆունկցիոնալ հաջորդականությունըլինի հավասարաչափզուգամետ 2 -ում բավարարէ որ գոյություն ունենա

այնպիսիթվային 6, Կոօ

/,Մ««27

անվերջփոքր հաջորդականությունոր` :

Ե()Տ«,

Է ժ): -

որ Ապացուցում: Քանի

Մ:6

-»

0, ապա՝

0/,ԿոՀ

Ս»03ո Այստեղից, ստանում

Շ,

ո,

։

Ը

Հճ:

ենք՝

ոԻ(։)ՏՇՏԵՖո(ԳՀԹՀոլ). է (7.(չ))-.,-իհավասարաչափզուգամիտությունը

ՆՍոՀ

ոչ:

որն էլ նշանակում 4 -ում:

/Թեռրեմ 4 (ոչ հավասարաչափզուգամիտությանբավարար պայմանը): Որպեսզի (Վ/,(»)՛, 2 -ում կետ առ կետ զուգամետ ֆունկցիո-

նալ հաջորդականությունըլինի ոչ հավասարաչափ զուգամետ 24 -ում "627 : բավարար է, որ Յե դ (օ»0) (ճ-նկա-

օ): Ապացուցում: Այն,

Ը,)-»օ

րող է լինել ն Ի

:

17.(5))-.,ֆունկցիոնալ հաջորդականու-

որ

թյունը ոչ հավասարաչափէ զուգամետ 2. ՀՇ ՅոՀՈԻ

Յ6»0ԿԻ67

Թեորեմիպայմաններիցհետնում

ՀԻՄ,

ԿոՀհ,

:

-ում

նշանակումէ՝

Ի()ՀՏ:

:

է, որ

ո

դ

(4)

(.)»5

-Տ

օօ, (եթե . ապա որպես Ք կարելի վերցնել ցանկացած դրական թիվ): Վերցնենք ԿԽ ն ընտրենք ոտա): Այդ դեպքում՝ տ նմենք հանգում ենք (4)-ին: ..(5,)» Քննարկենք օրինակներ: Օրինակ 1: Դիցուք /,(»)»»" -»", «6 |:1ի Ակնհայտ է, որ Հ

սահմանայինֆունկցիան` /(չ)»:0: Գտնենք կրիտիկականկետերը ո

)Հ/.0) ւդ."

Քանի

..)աք 0:71

:

որ -Ֆ 0:

ո0)27/6)Հու"'

-2ո-»"»

ն-2)»-0»»'-շջ:

/

Ի()-7()Հ-676քջ)Փր

Ուրեմն,

այս

(ՈՌ20/Ր(Հ-,

գ

ապա

ֆունկցիոնալ հաջորդականությունը

ոչ

հավասարաչափէ զուգամետ(0:1)-ում:

ոտդ չօ ՄՐ: սահմանայինֆունկցիան` /(չ)»0 ն .(:)»յ(): Օրինակ 2: Դիցուք :

այս

Ակնհայտ է, որ Ըստ

թեորեմ 3.-ի

ֆուկցիոնալ հաջորդականությունըհավասարաչափ զուգամետ

7(չ)»

է Թ-ում, քանի որ Մո, Ս«6Թ:

Օրինակ 3: է

Թ:

`

:

1»

Ուտեմն 7 (չ)«Լ--1 Լ

/(Ը)»1:

Ն

ու

աեւ)

ծ»0:

ո

Հ-

դ

-»0:

սահմանայինֆունկցիան 1ԷԽ

Հ

-» 0:

1Էո:ծ"-»

Ըստ

հավասարաչափ թեորեմ3.-ի այս ֆուկցիոնալհաջորդականությունը զուգամետէ |6:--օ»)-ում: Օրինակ

Ժ(»0ո()»--թ:Այս/(ԳՀ-ո:.ո»0

4:

տեղ նախորդ գնահատականըչի անցնի,քանի որ ..-ը որքան ասես մոտ կարող Է լինել զրոյին: Օգտվենք թեորեմ 4.-ից, վերցնելով որպես ճ,

(.)-2

Է, ոչ

ձգտող հաջորդականություն, օրինակ

զրոյի

7. ո

Այսպիսով,այս ֆունկցիոնալ հաջորդականությունը

-թ 0:

հավասարաչափէ զուգամետ -ում: (0:-Է»»)

/(»)»»" ,«6:)|: սահմանային ֆունկցիան է Թ4),7/0)»1: Այն խզվող է:

Օրինակ 5:

7(.)-0

օօ

Հավասարաչափզուգամիտության սահմանումից պարզ է, որ եթե առկա է հավասարաչափզուգամիտություն ինչ-որ 7 միջակայքում, ապա դա այդպես է ցանկացած 7, (2/2) միջակայքում: Ուրեմն, եթե ինչ-որ միջակայքում չկա հավասարաչափզուգամիտություն, ապա դա չկա նան ավելի լայնի վրա: Ցույց տանք, որ տվյալ դեպքում չկա հավասարաչափ զուգամիտություն (0:)-ում: Իրոք, դիցուք »,

-1--:

դ

ոն.»

Այդ դեպքում`

53չց: 16։)-ր-2) ռՂ-»«օ2

Հետնաբար

դիտարկվողհաջորդականությունը ոչ հավասարաչափ է զուգամետ Նկատենք, որ տվյալ դեպքում /, ֆունկցիաները անընդ-

(լում հատ են

խզվող:

(ոօ

:/,6

Շլ0:|),բայց

սահմանայինֆունկցիան` /՛-ը՝

2: Դիցուք տրվածէ ՄՈՆԻ, ֆունկցիոնալ հաջոր-

Սահմանում

դականություն,որոշված

Ճ

միջակայքում:

Հան)

կՎ

շարքը

կոչվում է ֆունկցիոնալշարք, որոշված

Եթե

2.

Մ.6

Ֆ՝ա(չ)-ըորպես թվային շարք

միջակայքում: զուգամետ է,

այ-

հ"/

սինքն շարքի

5,(

Տա)

(ո»1.2..)

է»1

մասնակի գումարների

ֆունկցիոնալ հաջորդականությունըզուգամետ է (գոյություն ունի վերջավոր սահման 15, («) Տ(»)), ապա կասենք, որ (5) շարքը

Հ

կետ առ կետ

զոգամետ է 7 -ում,

նալ շարքի գումար: Իսկ եթե

իսկ

ՏԸ3-ըկանվանենք ֆունկցիո-

(5,ԹԻ,

ֆունկցիոնալ հաջորդակա-

է նան

հակառակը`յուրաքանչյուր

նությունը հավասարաչափէ զուգամետ 174-ում, ապա կասենք, որ (5) զուգամետ ֆունկցիոնալ շարքը հավասարաչափ է 7 -ում:

Դիտողություն 1- ճշմարիտ

Ի, («67)

ֆունկցիոնալ հաջորդականությանըկարելի է

համապատասխանեցնելհետնյալ ֆունկցիոնալ շարքը՝

հ).

)-/Ե(Թ)Ի.4Մ.0)-7ս

է՝ նակիգումարների հաջորդականությունն

(2))չ..,

որի

մաս-

(Ս)ՀԻԸՐ) ԸօՃոա տ):

Այդ պատճառով ֆունկցիոնալ հաջորդականություններին ֆունկցիոնալ շարքերի հատկությունների,մասնավորապեսհավասարաչափ զուգագամիտությանհայտանիշներիմիջն կա մեծ նմանություն:

Դիտողություն2:

Հո 22)

ֆուկցիոնալ շարքը

ն

Լ

Մագ

պարամետրիցկախվածանիսկականինտեգրալը, զուգամիտության իմաստովչափազանց նման են իրար: Այդ պատճառովֆունկցիոնալ շարքերը գրեթե օժտված են բոլոր այն հատկություններով, ինչ պարամետրիցկախվածանիսկական ինտեգրալները: 3' Եթե Դետողդություն

Տուն) ֆունկցիոնալ

կետ

շարքը

առ

է»/

կետ զուգամետ է 24 -ում, (

Հան)

ն

ապա

այդպիսին է

նան

դ

Տու):

5(:)-5,(:)-

նրա գումարն է`

Է»ոՀ|

-մնացորդ շարքը Ուրեմն

կ Տո`1

Իս,(») շարքի հավասարափափզուգամիտությունը,

ըստ սահման-

ԼՆ)

ման, համարժեք է

7.(»)Հ|5(»)5,(«|- ՝

Մր

»-ոՀ|

6 ֆունկցիոնա

հաջորդականությանհավասարաչափզրոյի ձգտելուն: Բերենք ֆունկցիոնալ շարքերի հավասարաչափզուգամիտության հայտանիշներ:

Թեորեմ 5: Որպեսզի (5) ֆունկցիոնալ շարքը լինի հավասարաչափ զուգամետ ճ միջակայքում անհրաժեշտ է ն բավարար, որ տեղի ունենա Կոշիի պայմանը՝

ՍՏ»03ո,

6Մ,ԿդՀո, ԿՀ

ՆՉք6

:

5` ու)

Հճ:

(69

Է-ՈՀ1

Թեորեմիապացույցը անմիջապեսհետնում է թեորեմ 1.-ից, եթե որպես ֆունկցիոնալ հաջորդականությունդիտարկենք

Տ.(2)»

չո (2) Բ» 12...)

մասնակիգումարներիհաջորդականությունը:

Թեռրեմ6 (Վայերշտրասիմաժորանտհայտանիշը)Եթե գոյություն ունի այնպիսի (աի թյուն, որ

շարք

Ֆ՝6,-ը զուգամետէ ո«1

ն՝

թվային հաջորդականու-

ւն

ի,((Տօ

12:-7.Ֆ.

(Ը, Հ0),

(5) ֆունկցիոնալ շարքը կլինի հավասարաչափզուգամետ

ապա

միջակայքում( `,

-ը

կոչվում է ս,

Ապացուցում-Քանի

(2

-ի մաժորանտ):

Տ«,

որ շարք

զուգամետ է,ապա նրա

-ը

ղ»1

համար ճշմարիտ է Կոշիի զուգամիտությանսկզբունքը՝

5.

ոֆ

ՄՏ»03ռ, 6 /,ԿոՀո,,

Կքա Ց

:

Հճ:

քՀո`41

Այստեղիցն թեորեմիպայմաններիցստանում ենք՝ Սո

Հո, Սքօ Մ,

Ուրեմն՝

ն:

3 իչ )Հ

Է»ոՀՉ

չո աչ.) (5 է»ո`Չլ

(Հո,

կ»ոֆ

թօ

ՖՆՀՀ:

է«ՈՀ1

Որն էլ նշանակում է (5) ֆունկցիոնալ շարքի հավասարաչափ զուգամիտությունը ճմ միջակայքում: Ջ

Դիտողություն4: Կարող է մ, (»)-ը չունենա մաժորանտ,բայց հավասարաչափ շարքը լինի զուգամետ, օրինակ

տոն»)(«Հ ՏՎ ո»1

ն)

|5:7-ծ|,.ծ«(0.»))(տես ստորն օրինակ 8.)

Օրինակ 6: Դիտարկենքհետնյալ

ո) 5՝օօ" ոՀ լ դ»1

«Օ515" :ո7/ աք

(:« Ք)

ո

քը:

ճշմարիտ է հետնյալգնահատականը՝ Իսկ շարք

Հ-7զուգամետէ: Ուրեմն,

ո՞Ի1

ըստ

ո՞

շար-

.

:

Վայերշտրասիհայ-

ոռ»

տանիշի, դիտարկվողֆունկցիոնալ շարքը հավասարաչափզուգամետ է /Թ-ում:

Թեռրեմ 7- Որպեսզի(5) ֆունկցիոնալ շարքը լինի հավասարաչափ զուգամետ Ճ

միջակայքում անհրաժեշտ է,

որ

ն, (2.

հավասարաչափձգտի զրոյի: հաջորդականությունը ֆունկցիոնալ

Ապացուցում:Տրված է, որ (5) ֆունկցիոնալշարքը հավասարաչափ զուգամետ է 2 միջակայքում ն, ուրեմն նրա համար տեղի ունի Կոշիի պայմանը (տես (6)) Վերցնելով (6)-ում մասնավորապես ք «1, կստանանք՝

ՄՀ»0Յղ Այստեղից

զրոյի

2 -ում:

օ

//ՄոՀո,Կա2

հետնում

է, որ

ա,(»)-ըհավասարաչափ ձգտում

վասարաչափ չի ձգտում զրոյի 20 -ում, հասարաչափզուգամետ չէ 7/ -ում:

որ

Օրինակ

Դիտարկենք

7:

Ֆ-ա(դ (.(-Ճ.) ռ»0

ոչ

որ այս

ի, ( յ

եթե

-ը հա-

(5) ֆունկցիոնալ շար-

ապա

քը

(ստորն

շարքը

`

շարքի գումարն է` 6՞ ): Այն կետ առ կետ զուգա-

Հլ: ուղղիխո 1ո»»ձգտում զրոյի (չ, որս, (.)հավասարաչափ

մետ է

է

ա

Դիտողություն 5- Թեորեմից հետնում է,

կտեսնենք,

յՀ::

աւ

Ա

թվային

ո)

վրա (ԼՂ

6) Կ դ

է

»

Քանի

որ

(ոդ Հ.

».-ը

փ),

ուստի նշված շարքը ոչ հավասարաչափէ զուգամետ Թ-ում:

Թեորեմ

ր հավասարաչափզուգամետէ Տուն)-շարքը Ց

Եթե

հայտանիշը):

-ում, իսկ

ո»|

Ն, (ի,

մոնոտոն

հաջորդականությունը"(56 է ն՝

հավասարաչափսահմանափակ` ՅՇՀ0,Մոօ

ապա

Ռ,Մ.«

Ֆոն)».6)շարքը Ապացուցում: Քանի 7 -ում,

Մճ»03ո,6

ապա՝

խ(չյՇ,

7:

հասարաչափզուգամետ Է

ո»

զագամետ է

24)-ի համար, ըստ ո-ի

որ

Հոն)

-

շարքը

1 -ում:

հավասարաչափ

՝

Մ.ՍԿոՀո, Կ

ՆԿՍքօ Մ

:

ՀԸ) ---:

էՀ)

Օգտվելով թվային շարքերի համար Աբելի լեմմայից (տես |, 3, (9), կստանանք՝

Հա):

Հ

:

մ

455,

ԷՀոՀՄ

(2 յ

Ե, ())Հ է2ի թ

)56 Ը Ուրեմն`(տեսթեորեմ5) Հս,Ը)-5,1Ր) հավասարաչափ 2Ը)Հ6:

Հ---(ԸՇՎ

շարքը

ք»1

զուգամետէ

2 -ում:

Ջ

Թեռրեմ 9 (Դիրիխլեիհայտանիշը):

Եթե թյունը

)-շարքիմասնակի գումարների հաջորդականուՀուն:

սահմանափակ հավասարաչափ է՝

ՅՇՀՕՄՈՇ/Ո/,ԳԵՇ

ն

:

չունյչօ. ձ»1

իսկ2

Թի,

մոնոտոն չաճելով կամ չնվահաջորդականությունը

զելով հավասարաչափձգտում է զրոյի

24 -ում, ապա

5.) Տո.03. տ»

շարքը հավասարաչափզուգամետ Է 24 -ում:

Թեորեմի ապացույցը, ըստ էության չի տարբերվում թվային շարքերի համար Դիրիխլեիհայտանիշիապացույցից,միայն պետք է այստեղ առկա լրացուցիչ պայմանները, օրինակ՝ հաշվի

առնել ԽԹ, -ի հավասարաչափզրոյի ձգտելը: Այդ դեպքում թեորեմ

5.-ի

տեղի կունենան: պայմանները

Օրինակ 8:

Դիտարկենք `6. -Շօտեւ5`ել նմա ձ»1

ոլ

(««|6:7-ձ|,ծ«(Օտ)/.(ույ,.յ-նուծւ),լ-ճ

նոտոն

5՝

չաճող

անվերջփոքր, մո-

թային վանություններ ԴիԼոր

ո5 ասե չ:ֆաւվե-1

է»1

ՀՏ

/

.

ԲԻ: ոչ

է-1

5դ-

չ«ո-

ծ

,

են:

ապա

Քանի

որ

ըստ

րիխլեի հայտանիշի դիտարկվողշարքերը հավասարաչափզուգամետ են նշված միջակայքում:

Օրինակ9:

Դիտարկենք

Հ-չո. 4,

էՀ)

շարքերը

-Շ05( (Ե),Ֆ6-8.տո(ե) է»

(Հ |6:7-ծ|, ծ«(0.)),

|

որտեղ

վճ),

ու

է.)

հա-

բավարարում նախորդօրինակի պայմանջորդականությունները ` 7- ի ներին: Քանի հաջորդականությունը որ

աճող է

ն

մոնոտոն

ըստ

հավասարաչափսահմանափակ՝ օ-4Հ1,«6

ըստ

ապա,

են

|ծ:7-ծ),

Աբելի հայտանիշի դիտարկվող շարքերը հավասարա-

չափ զուգամետ են

|ծ:7- ծ|-ում:

2. ՖՈՒՆԿՑԻՈՆԱԼ

ՎԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԵՎ

ՇԱՐՔԵՐԻ ՎԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Մենք արդեն գիտենք, որ եթե ֆունկցիոնալ հաջորդականության անդամներըանընդհատ են, ապա պարտադիր չէ, որ սահմանային ֆունկցիան նես լինի անընդհատ (տես 1,1,օրինակ 5): Նույն իրավիճակնէ նան ֆունցիոնալ շարքերի համար:

-

Օրինակ 1: Դիտարկենքհետնյալ շարքը

5`.----- (:6 0:.): եշ Ս) Է

դամ

Նրա անդամները «6

(0:1|դեպքում կազմում

գումարն

է՝

անվերջ նվազող

(0ՀզՀո

հայտարարով:

շք 5(»)--Հ

երկրաչափականպրոգրեսիա Շարքի

են

զ

-

7-1)

ի ԾՐ2 «41

Տ(0)-:0:Շարքի անդամներըանընդհատ են,

խզվող: Հեշտ

է

տեսնել, որ

(0:1ում: Իրոք`

շարքը

ոչ

բայց

իսկ

նրա գումարը՝

հավասարաչափէ զուգամետ

«րար» -ՔԹ-5.61արշչդ (թյ

Հ.,»«օ(0:1|.

էշ)

իսկ (Է| -

ո

ո

ո»

ո

(տես 1, 1, թեորեմ4):

Այս օրինակներըցույց են տալիս հավասարաչափզուգամիտության կարնորությունը: ճշմարիտ են հետնյալ թեռրեմները ֆունկցիոնալ շարքերի մասին: (ֆունկցիոնալ հաջորդականություններիմասին համապատասխան թեորեմները կարելի է ապացուցել նույն կերպ, կամ կարելի է բերել ֆունկցիոնալ շարքերի):

Թեռրեմ 1(սահմանային անցմանմասին): Դիցուք տրված է

`սլ(չ)

ֆունկցիոնալ շարքը,

որը

որոշված է

ի»

ն

հավասարաչափզուգամետ է 17-ում: Եթե Մք

շարքի գումարը`

Հ

:

սօ

Շ( 27),ապա

Շ(74): Այսինքն, անընդհատֆունկցիաներից

կազմված հավասարաչափզուգամետ շարքի գումարը նես անընդֆունկցիա է: ն ապացուցենք, Ապացուցում: Վերցնենք կամայական 7627

հատ

որ Տ -ը

է 2ը-ում:Շարքի հավասարաչափզուգամիտուանընդհատ

թյունից հետնում է՝

ՄՏ»03ո,

6 /,ՄոՀո, Մա

Ունենք՝

:

ո

)-80)-5.6)Հ5:

8(2)-5(թ)-

Ս»

-6(Թ2-5.6):6..()-5.()56.(ա)-5(-)15 Հ(9-5. աի862)-5.(ա)5. (0-5. ՀԿ Տ.(9-5.(օյի

Քանի

որ

Տ, (»)-ը անընդհատ ֆունկցիաների վերջավոր գու-

մար է, ուրեմն այն անընդհատ է շ-ում: Այսինքն`

Յծ(5)»0:4:օ լխ-Խ|Հծ:

Որտեղից՝ 5()-

Տ

ՀՏ

|5.(9-5.(օ)Հ5:

(ի- «|Հծ):

Այսպիսով` 5-ը

անընդհատ է կամայական կետում, ուրեմն

56Շ(:):6

Դիտողություն 1: Թեորեմ 1.-ի պայմանները թույլ անցնել սահմանիՆՆ նշանի տակ: Պո

են

տալիս

ժան Խյ յն 5) -ֆ ոռան

հուտն: ՞Յ".

Ավ

ե

մա

(7)

ԹՎ

.

Թեորեմ 2 (շարքի անդամառ անդամինտեգրմանմասին): Դիցուք տրված է

Ֆ՝ս(չ)»5()

ֆունկցիոնալ

շարքը,

որը

զո

Է

է

որոշված ն՝ ԿԱՏ -

:

հավասարաչափ զուգամետ

ն

է

(ծում

Այդ դեպքում սօՇԸլոչե|(ըստ թեորեմ1-ի, 5 6 ՇլոչԵ|):

ս,

կա-

զ

րելի է անդամառ անդամ

"

Հո (2) շարքը

որ

որտեղ` 7

Մ. ՄդՀո,,

(«)«5(չ»)

-

Ուրեմն` 5 (չ)Հ Տ, (2) ո

հավասարաչափզու-

է»1

ապա՝ |ռչԵ|-ում,

ՄՔ»03ռ,

|

ո"

օ

Ապացուցում: Քանի գամետ է

դա

այսինքն՝ ինտեգրել,

թաճ-յՓանյո-Տխ նո:

Ե

5.(չ)»

(|Հշ--

Մճ6|ոչե| : ե)

»՝ սւ(2) 25 ի

եւե):

չ

Թ2»-5,է): '

(յ: --խ(Գոյ,

ստանում

Այստեղից

ենք՝

,

յ,

(յՀ

«

(ոՀո,.):

ճ.- չ 4վՀ |,(յաՀ---(-«)-:(ոՀու.): թա իւն) ծ

ճ

.

ծ

2 ի, (չյ1.-շարքըզուգամետ է ն, տրված ֆունկցիոնալ շարքը Ո»

-

շա

ՆՐ

ո կս

»Ե

Դա

նշանակում է,

որ

զուգամետ է ն, նրա գու»՝ ն,(»-շարքը ոՀ.

է՝ մարն

զ

)4»ԻՇ)

-ը.

Թեորեմ 3 (շարքի անդամառ անդամածանցելումասին):

Տղ (5)-5(5) Դիցուք զուգամետէ

ո.

ֆունկցիոնալ

կետ

շարքը

Մ.ճ

է

74.

կետ

Ենթադրենքնան տօՇ՛լվոչե|:

ն՝ ՍԵ:

հավասարաչափզուգամետ Հւ (/)» 5-( ) շարքը

Այդ դեպքում`

առ

Յ5՛(») ն

որ

ն:Ե|-ում:

այն ստացվում է, անդամ առ

) շարքը՝ Հանց 6). .6)5)-23ա Հրո

ան-

դամ ածանցելով

ճս

6)

ո

1-ի համաձայն Ապացուցում: Թեորեմ

-Ֆո()։

«)

ոՀ

5"(չ)-ը

Վերցնենք կամայական 76 տեգրենք (4)-ը

կստանանք`

(5"(

է

անընդհատ|ռչԵ)-ում:

շարքի գումարը

ն օգտվելով թեորեմ 2.-ից, |ճչԵ|

"չուն), օլռչԵ|)

4-ից

,

սահմաններում,

(ա,)-ս.(օ))թ(ա-Ֆի:(դո-չ. ոռ

զ

-Հո(9Տակ

(5)-ի ձախ մասը,

ին-

5` )

50-50):

(5)

անընդհատության շնորֆունկցիայի

3 «-|5'(0)4:»-5"(»),

ուրեմն (5-ի

հիվ, ունի ածանցյալ. նս

5(:)-ի:

ունի ածանցյալ, հավասար

այսինքն ստացանք(3)-ը:

Դիտողություն

2:

մասը

աջ

Այսպիսով` 5"(»2)»5՛(2),

Ջ

պայմանները կարելի է

Թեորեմ 3.-ի

Հր ()

«թուլացնել», օրինակ բավական է պահանջել, որ

շարքը

լինի զուգամետ |նչՖի որնէ կետում: Թեորեմի մնացած է հավասարաչափ այդ շարքի պայմաններից հետնում

ն,Ե|-ում: զուգամիտությունը

Ինքնուրույն լուծելու համար առաջարկենքհետնյալ օրինակ-

ները:

2: Ապացուցել,որ Օրինակ

շարք

ու)

հավասարաչափզուգամետ է14-ում, կետ առ կետ, բայց Օրինակ 3:

մետ է

ոչ

Ն Հն.Ր)

իսկ

շարքը

ոչ

Հ-ի,(«|

-

Ռշ

Աւ)

շարքը

Մ

զուգա-

ո»1

հավասարաչափ/

-ում:

որ

Ն

«(5

ոթ

շարքի գումարը` 50) -0 բայց

(

ՏոՇ )()»

(այն անընդհատֆունկցիա է), |0:1|-ում Այս օրինակը հավասարաչափԷ զուգամետ |0:1|-ում:

է տալիս, որ թեորեմ 1.-ում հավասարաչափզուգամիտության անընդպայմանըբավարարէ, բայց ոչանհրաժեշտ շարքի գումարի հատությանհամար: ցույց

ո-1

Օրինակ 4:

Ապացուցել,

որ

լա)յ

ՀԱ) ՄԷջ դայ

րաչափ զուգամետ է

ո

"

-

շարքը

հավասա-

(կիրառել հավասարաչափզուգամի|0:1|-ում

տության Աբելի հայտանիշը): Անցնելով սահմանի շարքի գումարի (տես թեորեմ 1), ցույց տալ, որ նշանի տակ, երբ «-»1-0-ի

ՀԼտ""

չշ"

րշ,

3. ԱՍՏԻՃԱՆԱՅԻՆ ՇԱՐՔԵՐ

Ֆունկցիոնալ շարքի կարնոր մասնավորդեպք է հանդիսանում աստիճանայինշարքը

Տ-«,(:-»):

Ս

Այն, ,-»ց-

նշանակումովբերվում է

ջեն տեսքի: Ուստի,

բավականէ ուսումնասիրել այդ տեսքիաստիճանայինշարքը՝

»՝ զ":

(2)

ո-0

Այն », կետերի բազմությունը,որտեղ զուգամետ է (2) շարքը կոչվում է նրա զուգամիտությանտիրույթ (2): Պարզ է, որ 067: Գոյություն ունեն աստիճանային շարքեր, որոնք զուգամետ են միայն զրո կետում, օրինակ

Ֆո"

շարքը:Եթե »»:0,

ապա

այդ

ո-0

շարքի ոռ-րդ անդամըչի ձգտում զրոյի: Կան շարքեր, որոնց զուգամիտությանտիրույթը Թ-ն է: Օրինակ

55: Երբ «0, «0

ապա

Դ.

ըստ

Դ՝Ալամբերի հայտանիշիշարքը բացարձակզուգամետ է ցանկացած կետում: Աստիճանայինշարքի զուգամիտության տիրույթի կառուցվացքի մասին շատ բան է ասում հետնյալ լեմման: Աբելիլեմմա-

Ֆ՝ճ,չ"

Եթե

աստիճանայինշարքը զուգամետ է

"0

կետում,

ո»0

ապա

պայմանին այն բացարձակզուգամետէ ցանկացած ||Հ|չշ|

բավարարող Հ կետում:

Ապացուցում: Քանի

որ

Հո

շարքը

զուգամետ է,

ապա

ո-0

4.0

-»0,.

որտեղից

հետնում

սահմանափակությունը3̀Շ»0,Կո

է :

այդ

հաջորդականության

ի,.|ՀՇ Այժմ դիտարկենք :

Հօ,» շարքը

բ

ի,շ"|«ի,«

Ունենք՝

5`| ոշ0|

(իվՀի):

Ց

ՀԸ"--

շարքը զուգամետ է, ապա

յ

փվ»: ն,

2Ճ|

|

քանի

այստեղից ստանում ենք

որ

Հ" ո«0

շարքի բացարձակզուգամիտությունը: Վետնանք 1' Այս լեմմաից ստացվում է, որ աստիճանայինշարքի զուգամիտության տիրույթը «խոռոչներ» ունենալ չի կարող` եթե շարքը զրոյից տարբեր կետում զուգամետ է, ապա այն զուգամետ է գրոյի նկատմամբ համաչափ միջակայքում (ծայրակետերում այդ համաչափությունըկարող է խախտվել): Սետնանք2: Աբելի լեմմայից հետնում է նան, որ եթե զուգամիտության տիրույթը մի կետանի չէ, ապա այն պարունակում է դրական թվեր: Ջ

Թեռրեմ 1(զուգամիտությանտիրույթիմասին)՝ Դիցուք Ֆ՝գ,չ" շարքի զուգամիտության(74 ) տիրույթը պարուռ«-0

նակում է զրոյից տարբեր »՛ կետեր ն

«՛«վԴ

այդպիսիկետերի

բացարձակարժեքների բազմություննէ: 1. Եթե 2՛-ը սահմանափակչէ վերնից, ապա շարքը զուգամետ է ամենուր ( 2 1): 2. Եթե 4՛-ը սահմանափակ է վերեից ն, ուրեմն Յար» հ»0 (Է. Թ), ապա ցանկացած, իվՀԽ պայմանին բա-

վարարող

.

կետում

շարքը

բացարձակ զուգամետ է, իսկ

իվ»ո

պայմանինբավարարող կետում՝ տարամետ: Սպացուցում:Նախ, եթե 24՛-ը սահմանափակչէ վերնից, ապա Խ"«ԹՅիղ1՛: իվՀի՛: Այստեղից, ըստ Աբելի լեմմայի «.

զր»շարքը

բացարձակզուգամետ է, ուրեմն

«Թ:

դո0

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ 24՛-ը սահմանափակէ Թ»0 վերնից ն դիցուք (ՊօԹ): Վերցնենք Ժ|վՀ:

Հտաք/՛-

Ճ-ի սահմանումիցհետնում

է, որ Յ

իշվօ2՛: լ|վՀիչ|Հռ։Ըստ

Աբելի լեմմայի, « կետում շարքը բացարձակզուգամետ է: Դիցուք, այժմ ,. կետը այնպիսին է, որ՝ իվ»: Այստեղից հետնում է, որ ք

Հ

28՛, այսինքն ։ իվՓ

կետում շարքը տարամետէ:

չսքյ՛ կոչվում է զուգամիտությանշառավիղ: Երբ

տ

2՛ -ը ան-

սահմանափակ է վերնից, ապա (ըստ սահմանման)Թ̀-- օօ: Ըստ թեորեմի, դա նշանակում է, որ (2) շարքը զուգամետ է ամենուր՝ 2 «Թ: Այն դեպքում երբ զուգամիտությանտիրույթը բաղկաԹ» 0: ցած է միայն մեկ կետից (զրոյից), ապա, ըստ սահմանման` 1: Դհտողություն Այն դեպքում, երբ աստիճանայինշարքի զուգամիտությանշառավիղը դրական թիվ է, ապա այդ շարքի զուգամիտության տիրույթն է (-Թ:հ) միջակայքը (այն կարող է լինել

փակ, կիսաբաց): Ծայրակետերում զուգամիտության հարցը, ընդհանրապեսասած, յուրաքանչյուր կոնկրետ օրինակում ունի հատուկ քննարկմանկարիք: Ստացված արդյունքը ցույց է տալիս զուգամիտությանշառավԱյս հարցի պատասխանըպատկանում ղի գտնելու կարնորությունը: է Կոշիին ն ՀՎադամարին՝: Ձնակերպենք համապատասխանթեորեմը առանցապացույցի (ապացույցը տես |3)): բաց,

Թեռրեմ 2: Եթե1»:

ապա՝ հռմի,| 7.1»0(« ո) ։

ր

40,

1-Ի»

(3)

:

Դօօ, «0

-

բանաձն: (3)-ը կոչվում է Կոշի-Հադամարի Դիտողություն2: Եթե գոյություն ունի վերջավոր կամ անվերջ սահման`

գ

Ուրեմն՝ թ»

՝

Հ

րո ո-`»

ճո

4,լ

|,

ապա

գոյություն ունի նան

լո դ-թո»

վ

վն

աի

ժ»նոլէ2 աա

4,-1

մաթեմատիկոս: ՅադամարԺակ ( 1865-1963)-ֆրանսիացի

-

Օրինակ 1: Գտնել

Ֆ՝գ"

(ճ."Վ

շշ

(221

Թ-Ը3"2)

) շարքի զու-

ՑՎ

գամիտությանտիրույթը: Օգտվենք (3) բանաձնից:

2)

չո (Հ (-Է' ւ-հովի| -իո-չ-|-նո--.--ՅԻ յո

Ռւրեմն`

ԹՀ

7:

Այժմ Ր.

բումնասինք (-11) փրակայք ծայրա-

կետերումշարքի զուգամիտությանհարցը: Երբ

դ

Հ

2:,

Բ.|«(Հ55)--

հ"

(5)

Ւ

ունենք՝

Վէ

չչ

-2է.5-ի

)

«150:

Այսպիսով, տվյալ շարքի զուգամիտության տիրույթն է բաց

միջակայքը:

7" (ճ «Հ: Ֆ՝6 Զ"" (ո)

Օրինակ 2: Գտնել տիրույթը: Ունենք՝`

) շարքի զուգամիտության

(2ու Դ(2ու2)Յֆ»»ք:

«-

ն ա

(-11)

-

Այսպիսով,

շարքի զուգամիտությանտիրույթնէ 44-ը: Ուսումնասիրենքաստիճանայինշարքերիհատկությունները:

Է.»

Թեռրեմ 3- Դիցուք (2)

շարքի զուգամիտության

ո«0

շառավիղը Ւ

(0 ՀՀ

հ)

զուգամետ է

ՊՃ-ը դրական թիվ է: Այդ դեպքում, ցանկացած թվի համար(2) աստիճանայինշարքը հավասարաչափ

հատվածում: |--7.7|

Եթե Ք Հօ», ապա այդ աստիճանայինշարքը հավասարաչափ զուգամետէ ցանկացած | -7. | (՛ »0) հատվածում: Ապացուցում: Քանի

տականըն

որ

«ՀՒ

կետում

շարքը

բացարձակ զու-

(«օ-ր: )) գնահա

օգտվելով շարքի հավասարաչափզուգամիտության Վա-

յերշտրասի հայտանիշից(տես ||1, թ. 6), կստանանք(2) շարքի վասարաչափզուգամիտությունը |--7:՛|-ում:

հա-

Դիտողություն 3: Թեորեմի պնդումը, ընդհանրապես ասած ճիշտ չէ

(-8:Ք )-ում:Իրոք՝»՝ «"

շարքի զուգամիտությանշառավի-

ռ»0

ղը

հավասար է մեկի, բայց

(1:1)ում,

քանի

(ՉՏ

որ

հավասարաչափզրոյի

զուգամետ չէ հավասարաչափ

այն

է»ռ

-ում՝ (-1:1)

Հտ

չի

ձգտում

-ֆ «ր-1-. "ի-2) խ- -Ֆ 7 դ

դ

փ» Ռ-Ֆօօ

Ղ

ո-Գ50

(տես |, թ.4.):

Թեռրեմ 4- Եթե

Հ"

Տ(2)

-

ո«0

վիղը` է

Ք -ը

դրականթիվ է, ապա շարքի գումարը 5(չ)-ը անընդհատ

Իսկ, եթե Ք (-Բ.ո)-ում:

Ապացուցում Մ6

շարքի զուգամիտությանշառա-

Եջ

(-8:հ) Յ՛օ(0:ի)

:

5(չ)-ը

Վ»», ապա

Հ

` ՋՔ-Ը «օլո-|:

անընդհատէ

Թ -ում:

է, դրական՝ թիվ ապա՝ Քանի որ աստիճանայինշարքը

ն, շարքի անդամներըանԼո:-|-ում

հավասարաչափզուգամետ է

ընդհատ են այդտեղ, ապա շարքի գումարը նս կլինի անընդհատ (տես 11,2, թ1), ուրեմն նան 7. կետում: Եթե Թ» Հ օօ, ապա ր:-|-ում որպես ՛ կարելի է վերցնել ցանկացածդրականթիվ:

Թեռրեմ 5: Եթե

չ...

վիղը` 2-ը դրականթիվ Է ն

Տ(3

Ֆ՝

է թեկուզ ոչ

զուգամետ է

բացարձակ,

ապա

շարքի զուգամիտությանշառա-

(Ֆ՝«,

շ,Թ"

ո-0

|0:ռ| (|-Բ,0|)-ում:

Ջ

ո«0

տվյալ

շարքը (-Խ)")

զուգամետ

հավասարաչափ շարքը

Սպացուցում:Դիցուք, որոշակիության համար՝ զուգամետ

է

Ֆ՝ճ,հ"

Ֆ՝գյշ"

շարքը:

Հր" Հ ոյի" Ը) -

բժ

ձնափոխենք հետնյալ կերպ`

շարքը

ո»0

ո»

ն

օգտվենք հավասարաչափզուգամիտու-

ո«Ս

թյան Աբելի հայտանիշից:Շարք

Հոթ"զուգամետ է (հավասարառ-0ժ

չափ), իսկ

Ր)

մոնոտոն չաճող է, հաջորդականությունը

բ

սարաչափսահմանափակ`

ն`

հավա-

ՀԱՋ

Թեորեմ 6 (Աբելի) Եթե

Եզր«5(2)աստիճանային

զուգամետ է նան

շարքը

ո-ժ

«-թ

կետում,

ապա

շարքի գումարը անընդհատ է Է

՞նոտ() նմո շյո

հ եձ ձախից) (իհարկե

լ

Հ

այդ

կետում

-

չչո.8 ":

Թեորեմի ապացույցը անմիջապես հետնում է նախորդ թեորեն մից ֆունկցիոնալ շարքի համապատասխանհատկությունից (տես 2, թ):

Թեորեմ

Եթե երկու

տ"

ո-0

»5(չ)

ե

Ֆե," »Տ(ւ)

աստի-

ո-0

ճանային շարքերը ունեն միննույն գումարը, զրո պարունակող ինչոր միջակայքում, ապա նրանց գործակիցները այդտեղ նույնաբար համընկնում են: Նշված միջակայքում ունենք՝ Ապացուցում: Գ ճշ գլ:-էճշ Է...թեյ ելո Ե.» Հ...

կստանանք` գ, -ծ,: Հաշվի առնելով ստացվածը, բաժանելով 2-ի վրա ե անցնելով սահմանի երբ 2-ը ձգտում է զրոյի, կստանանք` գյ Ե,: Պրոցեսը այդՎերցնելով

այս

նույնության մեջ »»-0,

Հ

պես շարունակելովկստանանք թեորեմի պնդումը: Ջ Խնդիր 1: Օգտվելով թեորեմ 7.-ից ապացուցել, (կենտ) ֆունկցիան է վերլուծվում

Ֆո," տեսքի ո«ժ

որ

եթե

զույգ

աստիճանային

շարքի, ապա նրա վերլուծության մեջ մասնակցումեն 7-ի միայն զույգ (կենտ) աստիճաններ: Թեռրեմ 8 (աստիճանայինշարքի ինտեգրմանմասին)՝

ԴիցուքՖ՝0,2" ՀՏ(«) աստաճանային շարքի

զուգամիտու-

ո»0

թյանշառավիղը` 4. »0 (այն կարող է լինել է անդամ առ

շարքը կարելի

բ էմ:- թ..23 0 ո«0

Ընդ որում, եթե

կում Ֆ՝գ

անվերջ): Այդ դեպքում

անդամ ինտեգրել

բ«-Հ ր:

ա"

ո»0

ղ»0

(իվՀո):0)

(-Թ:Խ) միջակայքի ծայրակետերիցորնէ զուգամետ է,

շարքը

ն

ապա

(4)-ը ճշմարիտ է նան

մեայդ

ո»0

կետում: Թեորեմի ապացույցն անմիջապեսհետնում է թեորեմներ3, 5-ից ն ֆունկցիոնալ շարքի համապատասխանհատկությունից:

Թեորեմ 9 (աստիճանային շարքի ածանցմանմասին):

Դիցուք»՝ ԽՏ

()

ո-Չ

թյան շառավիղը` Ք»0:

(-8,հ)-ում՝

աստաճանայինշարքի զուգամիտու-

Այն կարելի է անդամառ անդամ ածանցել

-

չ ի-Հու": ո:

ձ-0

Ընդ որում, եթե

(-ճ:ճ)

միջակայքիծայրակետերիցորնէմեկում

ածանցվածշարքը զուգամետ է,

տում:

ոչ1

ապա

(5)-ը ճշմարիտ է նան այդ կե-

Թեորեմի ապացույցնանմիջապեսհետնում է թեորեմներ3, 5-ից ն ֆունկցիոնալ շարքի համապատասխանհատկությունից (հաշվի առնենքնան այն, որ «/դ-» 1, ուրեմն ըստ Կոշի-Ադամարիբանաձնի

(5)-ի զուգամիտության շառավիղընույնպեսՃ է): Այսպիսով,ապացուցվածԷ հետնյալ պնդումը:

Թեռրեմ

170-Եթե

ՖԱՆ, Տ(2) աստիճանայինշարքի զուգա-

ո-0

միտության շառավիղը` Ք »0, ապա այն կարելի է ցանկացած անգամ անդամ առ անդամ ինտեգրել (ածանցել) (-Ջ:Բ)-ում, ընդ շառավիղը: որում, դրանից չի փոխվումզուգամիտության

4. ԹԵՅԼՈՐԻ

Դիցուք Մ ֆունկցիան որոշված է ճ միջակայանվերջ դիֆերենցելի է «, «Հ կետում (յր -ը ունի ցանկացած

Սահմանում

քում

ն

ՇԱՐՔԵՐ

կարգի ածանցյալ շ-ում):

(ոռյՀ 2) ԸՋժ(,-»չ)" "7 ԲՆ)

«»

հետնյալ

Այդ դեպքում իմաստ ունի դիտարկել աստիճանային շարքը:

Այն

ո.

ո«0

կոչվում է յՐֆունկցիայիԹեյլորի շարք: Հարց է առաջանում` ինչպիսի՞նլինի / ֆունկցիան, որ այն վերլուծվի իր Թեյլորի շարքի: Նկատենք (տես |1)), որ վերը նշված պայմաններիառկայությամբ/ ֆունկցիան ներկայացվում է Թեյլոո

րի բանաձնով` |

7 (չ)

/՛(»)Հ 2, կ»0

տեղ

7.

(».»)-ն

ւ

Հո(թայՀ12--):

"ր-

Թեյլորի բանաձնիմնացորդայինանդամնէ:

Նկատենք նան,

որ

Թեյլորի բազմանդամը

Ճնայ-37290») աի

:

Լ 22

հանդիսանումԷ Թեյլորի շարքի

ո

-րդ

մասնակիգումարը:

Թեորեմ 1: Դիցուք / ֆունկցիանորոշվածէ Ճ միջակայքում ն անվերջ դիֆերենցելի է ,չ« 7 կետում: Որպեսզի / ֆունկցիան 7 կետում վերլուծվի իր Թեյլորի շարքի անհրաժեշտ է ն բավա«6 րար, որ նրա Թեյլորի բանաձնիմնացորդայինանդամը լինի անվերջ -0: փոքր` (ու, (ւ) Ապացուցում: Մ ֆունկցիայի վերլուծվելը իր ԹԵյլորի շարքի համարժեքէ նրան, որ

/(»2)-Խ(ո)Հո(պ)-50:8

Թեռրեմ 2- Որպեսզի Մ ֆունկցիան, որը որոշված է 77 միջակայքում ն անվերջ դիֆերենցելի է այդ միջակայքի յուրաքանչյուր «527 կետում վերլուծվի իր Թեյլորի շարքի, բավարար է, որ նրա ածանցյալները27 միջակայքում լինեն հավասարաչափսահմանաՊՈ Մ»« 2: փակ՝ ՅՇ»0.Մոծ

|՛"(չ|«Շ։

Ապացուցում: Թեյլորի բանաձնի մնացորդային անդամը ներկայացնենք Լագրանժի տեսքով՝

բՐ"Դ ()լ ո-ի" («Ռ/

ի,(.ռ)»

թեորեմի

ի"(Հ ան յի՞ շե-

Հաշվի առնելով

ի,Հռյ-

(ԷՀ(:2)):

յ». ւում Վի

,չ

է

կստանանք` ոՉֆլ

50: արողը

Որտեղից, ըստ Մ ֆունկցիան վերլուծվում է իր Թեյլորի շարքի: Այժմ զբաղվենք տարրական ֆունկցիաների Թեյլորի շարքի վերլուծության հարցերով. Ընդ որում, կդիտարկենք մասնավոր, դեպքը (Մակլորանի շարք) ն հիմք կընդունենք բայց կարնոր ,չյ 0

համապատասխան վերլություններըըստ Մակլորանիբանաձնի | 11: ն ընտրենք Է Մ()Հ«",26.Թ: Վերցնենք կամայական ,Հ 4/2 այնպե,

օ»0

|Յ( :

իխվչշ:

որ

Հաշվի

թեորեմ 2-ից

»օ«Հօ"(Հ01..),

7(5)»«'«ֆունկցիան վերլուծվում է

առնելով,

ստանում

ենք,

որ որ

հետնյալ Մակլորանի շարքի

-ում՝ ցանկացած|-6:օ| միջակայքումն, ուրեմն44

յեն(»« Թ) ղ«0

2`

7()Հ5նա (6 Թ):

ո/

Քանի

որ այս

(4)

ֆունկցիայի ցանկացած

ապա այն կամ կամ Հօ, սահմանափակ է, ուրեմն, ըստ թեռրեմ 2-ի (տես նան |), ֆունկցիան վերլուծվում է հետնյալ Մակլորանիշարքի 7( ո)»

կարգի ածանցյալը հավասար է

8-ում՝

:էչու

պո

ո-0

3`

7(.)Հ

(Վ

Տո»

(«6

«65,

Ա 2-2

Հր

(6 Թ)

(2)

նախորդ բաժնի թեորեմ

9.-ից, ածանցենք(2)-ը, կստանանք`

Բջ:

ԱՏ "-Ֆ)

Ֆ(7)

աո

ո:

ո»Չ

Այսպիսով`

աա-Ֆ(7 Բր(»« թ)

4'

7(9--- (ՎՀՌ:

անվերջ նվազող երկրաչափական

Ըստ

բաթ, այա -

պրոգրեսիայի

բանաձնի,ունենք՝

(««(1:1))

4-ը-«-ով

Ի

(4)-ից,

ենք՝

3)

ստանում

ԼԸ-չ( -""

`

Փ

ենք`

Կ«(1դ)|

(5)

Ինտեգրելով(5)-ը (տես նախորդբաժնի թեորեմ8-ը), ստանում

ո(14»)-

Հ(1Ի

ր-ՖԼ"5

(«(4:3):

Հաշվի առնելով այն, որ գրված շարքը զուգամետ է նան «Հմ կետում (Լայբնիցյան շարք է) ն օգտվելով նախորդ բաժնի թեորեմ 6.-ից, կստանանք՝

ոնչ

ՀՆԻ ո»1

Մասնավորապես,վերցնելով 2

ո

Հ

Կ«Ըյդ) 7, ստանում ենք՝

ՀԼ 1":5-աշլ ոա

(6)

7(2)5 օոարա(«« (1: դ):

(5-ի մեջ 5-ը փոխարինենք,՛-ով,

կստանանք`

1«27

«ԵԼ

(Հ)

Ց 2ոՀ1

-

Ինտեգրելով (8)-ը, կստանանք` ճ7-րջ,

-

դ" -ո-

Ֆ՝(

որ այս շարքը

զուգամետ է

նան

2»

-

օՒճէք:-

ծ'(-1/'

ՀԺՄկետում,

պ ր

ո«0

ր

:

ն, քանի

ապա`

(««|1:ղ)|

(9)

(9) ում ինտեգրմանհաստատունըբացակայում է, քանի որ (9) -ի ձախ մասը ն աջ մասի շարքի գումարը «0 կետում հավասարեն զրոյի: -

Մասնավորապես,վերցնելով (9)-ում

ՀԸ). շու

6`7(»)- Ա») (վ Հ )

--

7, ստանում ենք՝

(40)

|

(երկանդամայինվերլուծություն,

Օ-ն

կամայականթիվ է): Այս դեպքում, Մակլորանիբանաձնըընդունում է հետնյալ տեսքը (տես |1)՝

ՑՑ-Մ րվ«542-1)::(2-ոՒ)շ"Հո -ի--.(Օ-ոՏՓ

ԹՀ:

2:

ի

ո/

2),

ո

որտեղմնացորդայինանդամը հարմար է ներկայացնել Կոշիի տեսքով՝ Ւ

ո

յ»

(ՀՌ

"Ի (-Ժլ(գի ,

ո/

(0Հ6ՀՌ:

(12)

Մակլորանիշարքն է՝ (11)-ին համապատասխան

Ա.Զ:

ՌԶՅԱ-ՄՍթ

/

որտեղ` , --

2/

-))...Ս(ա-ո`Չ1 ո)

-1),,

Օ.(6-)--.(ւ.-ոժ (ո6 7), դ7

Ի...»

-

Ֆ ճշ"

,

(3

4-1:

(13) շարքի զուգամիտությանշառավիղը՝

որ

լ

--դ-Զ ք,.| /""Դ(չ)Հ 6-(6-))::-(6-ո)(14»)

Քանի

րոր: ՐԻՍ դլ --ո|

Արո

որո

Ձ-ո-1 ,

ապա

ձեափո-

խելուց հետո, (12)-ը կընդունիհետնյալ տեսքը՝ ո

0ժ"" Ք ) (վՀ.)։ սոր

0յ»ԼՀՐՈ,

(4)

ո/

(44-ի առաջին

է

ՒՂ Ա-Մ-(-Րո

արտադրիչը հանդի-

չ"

Լ.

սանում է (13) զուգամետ շարքի 7-րդ անդամը, (Օ-ն փոխարինված է .-1-ով), ուրեմն, այն անվերջ փոքրըէ:

Քանի որ` չը

ապա 6(1--0»)" 1-ի|վՀիՀՑվՀ1Հ-իվ,

արտադրի-

սահմանափակ է, այն բացարձակ մեծությամբ փոփոխվում է

բվն-ի. թվ չլվ"' Պարզ է,

ուրեմն` ՕՀ

որ »»-1

1-6 1.6.

արտահայտություններիմիջն:

պայմանիցհետնում

օՎ

Հ1:Ուստի՝

1-0

14:62

(ի|Հ1)Կ

Այսպիսով ո(»)-»0

է` /«0-«»1-0»0

ն,

ՀԷ

ուրեմն

/(»)-(1չ)-ը

վեր-

լուծվում է (13) Մակլորանիշարքի՝

ՕՀ)"

ՑՎՏՑ-Մթ

ՀՈ

1/

2/

Ի...Է

ւ2(2-1)-(օ-ոՀ1),...(վՀդ:

(45)

դ/

Խնդիր: Օգտվելով (15) վերլուծությունից (վերցնել Ճ-ը

փոխարինել մ -ով),ստանալ վերլություն -

Է»

-0,5

ն

ֆունկցիայի

համար: Ինտեգրելով ստացվածը, ստանալ /

ցիայիվերլուծությունըՄակլորանիշարքի:

ֆունկ(չ)» գոօչո»:

1 ՖՈՒՐԻԵԻ ՇԱՐՔԵՐ

1.

Սահմանում

ՖՈՒՐԻԵԻ՝ՇԱՐՔ, ՖՈՒՐԻԵԻ

1:

ԳՈՐԾԱԿԻՑՆԵՐ

հատվածումորոշված ե քառակուսով (թե|ճ:Ե|

կուզ անիսկականիմաստով)ինտեգրելի/

վում են օրթոգոնալ (/

.Լ

ֆունկցիաներըկոչ-

ն .

ջ), եթե՝

Ե

ՄԸ3):8(Ր)6::-0

(այստեղ

() 2|7

մ.

(յ

պետք ՀԻԲ

է

հաշվի

առնել

(3)

այն,

(2)Իջ (2) անհավասարությունիցհետնում

որ՝ է

(1) ինտեգրալի բացարձակզուգամիտությունը): Սահմանում

2:

|գ:Ե|հատվածիվրա տրված (ց,Հ)

քառա-

կուսով ինտեգրելի ֆունկցիաների համակարգըկոչվում է նալ եթե՝

)9.()»4,:ծ. թ.6-

որտեղ ծ,, «0,եթեռ»ոնծ,»1:Այն Սահմանում

3:

տեգրելիիք, ()ի նորմալ եթե՝

Օրթոգո-

լբ(ո)7.-4.»0).

Թ

Կրոնեկերի՝ սիմվոլ: կոչվում է

հատվածի վրա տրված քառակուսով ին|տչե|

ֆունկցիաների համակարգըկոչվում է

օրթո-

Թ.()..()«--4.

Նկատենք, որ օրթոգոնալհամակարգըծնում է

Օ-յ .

օր-

Ռա

թոնորմալհամակարգ: Ֆուրիե ի

Ժան

մաթեմատիկոս: ԲատիստԺոզեֆ (1768-1830)-ֆրանսիացի

մաթեմատիկոս: Լեոպոլդ (1823-1891)-գերմանացի Կրոնեկեր

Օրթոնորմալ համակարգի դասականօրինակ է հանդիսանում վրա տրված եռանկյունաչափականհամակարգը՝ (-7.: 7)

Խա

տրա

ԸՕ527 5112»:

ՖԱՆ

ԸՕՏՆ

Թ)

րթ"

որ` ինքնուրույն,

(ստուգել

յո-27,յթ»(Խ)մ.» լան)»-7 լալն:(ու) մ.Հ0(:«ո), տ,

-յ

ապար

(է շու),

Մթչ(եյ-տո(ու) 0,

): |1.օ5(ոո)ժ:»0. /Ո5ո(ու)մ:-0 Դիցուք /

ֆունկցիան վերլուծվում է

ըստ

|Փ,)՛օրթոգոն

համակարգիհավասարաչափզուգամետ շարքի (Ֆուրիեի ընդհանրացված շարք)`

(2540

2) ՕՓ.(2)Հ..Է6Փ.(Հ...

Բազմապատկելով

Փ.(2)-ով (ւՀԼ2,..)

հավասարության երկու

այդ

Աե

(4)

մասերը

ինտեգրելով (շարքի հավասարաչափ

զուգամիտությունը

թույլ է տալիս այն անդամ առ

անդամինտեգրել),

Հ .ծաՀՕԴ: ՄՇ) ե-Ֆ«

կստանանք`

Այսպիսով`

լ

ծ

Հկ-ի):

Ը,

(5)

(5)-ով որոշված գործակիցներըկոչվում են / ֆունկցիայի Ֆուրիեի գործակիցներ: Մասնավորապես,եթե / ֆունկցիան վերլուծվում է ըստ եռանկյունաչափական համակարգի հավասարաչափ զուգամետ շարքի (Ֆուրիեի շարք)`

օօ5(ո»)-Է Ե,Տո(ոչ), /(2-Զ:Ֆ«, հոլ

ապա

(6)

են՝ Ֆուրիեիգործակիցներն

(ու)մ:(ո 0 76) «05 ե. «Ը|7()ո(աճ (ոՀ 12...) '

01...) ցու),

։

-

որ՝ առանք,

(7

Այստեղհաշվի

«

ոշ

.-շո.«չք գ

1"

//(Ժո:

2. ՖՈՒՐԻԵԻ ՇԱՐՔԻ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅԱՆ

ԽՆԴԻՐԸ,

ԴԻՐԻԽԼԵԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼԸ

Այսուհետ, առանց ամեն անգամ հատուկ շեշտելու, կենթադրենք, որ յ ֆունկցիան որոշված է ամբողջ առանցքի վրա, ունի 27 պարբերությունն ինտեգրելիէ |-7:7չ|հատվածում, թեկուզ անիսկական իմաստով(վերջին դեպքում կհամարենք,որ /՞-ը բացար-

ձակ ինտեգրելիէ): Այդ դեպքում (7)-ով որոշվողՖուրիեիգործակիցները իմաստ ունեն, քանի որ, Այս

օրինակ՝| /(»)-օօ5(ո:) Հ|/(»)|:

ֆունկցիայինհամապատասխանեցնենք նրա Ֆուրիեի շարքը` -

7-8:

8) աո(ա)ելտոնա):

Այժմ, ձնակերպենքհետեյալ խնդիրը:Ինչպիսի՞նպետք է լինի 7 ֆունկցիան, որպեսզի նրա Ֆուրիեի շարքը լինի զուգամետ ն

շարքի գումարնէլ հավասարվի 7(») -ին: Ռրպեսզիուսումնասիրենք (83) շարքի վարքը որոշակի «ց

կետում, կազմենք այդ շարքի մասնակիգումարներիհաջորդականությունը`

Ց ն՝

(ոօ Պ) (ա)-Հֆակե) չելտո(եչ))

Ձչ,Ե. գործակիցներիփոխարենգրենք նրանց(7) ինտեգրալային

արտահայտությունները, կստանանք`

5)-շ.Մյ»

223ՄԱ)(«65(6.)665(ա) ռե) ն 2-Հ:ն(

ո(ա))յմս-

ե»1..7

ս-

ւ

2-24այկ(ո)

Հաշվենք

է»1

(՞ս-չ):

)թճս: Ունենք՝

28ոէ-4»28ոէ-Ը«054: 21-:--Է օօՏո) Հ

Հ

ՏՈ

4.

--

(2-1),

որ

.Յ..

Ի Տլո---Տլո--

Ցի

Տո

(ոո).

ՂԵ.31)

-

«այլեյ--2151

որտեղ`

Տ

4 Տո---..-Հ

(ո

Ուրեմն՝

(Ջ)-ից

Էէ...

հետնում

28տ-

(

շոտ) :

(9)

է, որ

5.(5)-Հ |/Ը)ռ.(-»չ)ծո (109) Ծ, («23 «(ե) 27ու(ուճ2) ն,

դեպքում ունենք՝

Բ»

հայ

յՀ:

ՆՊԱ 0,

( ո)»

դ

ԱոՀ1)

9. ջում

-

(չ)-ճ կոչվում է Դիրիխլեիկորիզ, իսկ (10)

ինտեգրալը` Դի-

րիխլեիինտեգրալ:Պարզ է, որ Դիրիխլեիկորիզը որոշված է ամբողջ առանցքի վրա, անընդհատէ, զույգ է ն ունի 27, պարբերություն: (10)-ինտեգրալում կատարելով փոփոխականիփոխարինում`

ք,

մ-ը

կստանանք՝ 1 ԽՀ՝ՀԵ

5(2)-Հ | 7(ա:Դ5.()4:

,

(10)

ձը-7

Նկատենք, որ եթե ունենք ամբողջառանցքիվրա որոշված, 277 պարբերությամբջ (:) ֆունկցիա, որը ինտեգրելի հատվաէ |-77:77|

ապա՝

(թեկուզ անիսկականիմաստով),

ծում

2ՂՄ օէ:

Իրոջ`

-

| չ()Ժ.»|

40-Պ

Ճ՞"

մոռ ի 0-2 Տ()ժԻ- ջ(չ ի աե դ)4:: 4:-

փոփոխականի փոխարինում`

տեգրալում կատարենք հաշվի առնենք, որ (ո)

թյուն,կստանանք՝ յ Տ(.`

սով, ստանում ենք՝ է հետնյալ տեսքը՝

ԻԹ

յ

'.-8

ֆունկցիան ունի

-պարբերու-.

| Տ(42ոթո-| ()4::

ն

Այսպի-

2-5

ռ

(45 -.

յ Տ ()4Է: Ուրեմն, (10՛3-ը ընդունում

Մաո 5.(5)-2

(12)-ըբաժանենքերկու

--ով,

Վերջին ին-

մասի, առաջինում Մ-ն փոխարինենք

կստանանք՝

«Դը, ԹՅԱ «2

Տ (50

(480,

(14:»

() -- Մ6չՀդռ, (4-3 |/(չ«ռ, «1Մ(ա«/:7(ա-Դ».(04: 4»

Այսպիսով`

(ա)«2(թՀ0«7(5«25.( յ

Դիտարկենք մասնավոր դեպք, երբ

/(«)»1:

Այդ դեպքում`

Տ.(դ)»1 Ն-3) ն, ուրեմն (13)-ը կընդունի հետնյալ տեսքը՝ յ-1 չ)4:: Որտեղից, կամայական Տ, (5,-ն Տ,(»ց)-իհիպո-

ո.(

տետիկ սահմանն

է) թվի համարունենք՝ Ճ

/25

:

ք,(դժ::

Խ--

(14)

Վանելով(13)-ից (14)-ը, կստանան

5(5)-Ջ-5Մ(աՀՈՀՄա-Դ-2515

Այսպիսով,խնդիրըհանգել է հետնյալին` ինչպիսի՞նլինի 5,-նն 7-ը, որպեսզի (15)-ի ձախ մասը (ուրեմն նան աջ մասը) ձգտի զրոյի, երբ Դ -ը ձգտում է անվերջի: Այս խնդիրըլուծելու համարնախապես հարկավորէ հետնյալ լեմման:

Յ. ԼՈԿԱԼԻԶԱՑԻԱՅԻ

(ՏԵՂԱՅՆԱՑՄԱՆ)

ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ

Ռիմանիլեմմա: Դիցութ

ջ

ինտեգրելի է (ջ 6

ինտեգրելիէ

ֆունկցիան սովորական իմաստով

Ճ|ռ:Ե),կամ անիսկականիմաստովբացարձակ Այդդեպքում` |: Ե|-ում: Ե

Ե

(15) ա /(2)«»(թ::-հո/2():5ո(թո)մ:-0:

Ապացուցում:նախ ենթադրենք,որ

ն:5| (լ.

հատվածի որնէ սք Ճ-/:4

ջ, ու»

Ռ/

Կ-Կ:

տրոհում

հլ,

ջ, Օլ

-

ջ 6

(գի,

էո

.

Կ.

դիցու՝

ոՀ Ունենք՝

)օ65(թ.)մ:» » "6)Բ6)

յ

Պկճ:Ե|:Դիտարկենք

ւ

|-օօ5(թ:)մ::

4, Հ8,։ աչ(թու-

Բայց, քանի որ

Հ

ջ

Ք|շ:Ե|,ապա՝

հ(8, -ոու)|65( վաշՏաճռ,-»0 ի,|Տ» թյուչֆ-«, էդ. Հ1

7:

(1-ն տրոհմանտրամագիծնէ): Ուրեմն (տես |2յ)՝

:03Ր-կաի,

:

ՖաճոՀշԽՀշ: »

է»1

Այժմ, հաստատագրելով այդ տրոհումը (այդ դեպքում

Տու-ն է»)

որոշակիթիվ է), կստանանք`

րմ թ»)|՝«Է. 2:50: Իթ

թ,Ուրեմն՝ 1

ք

ՎԻ «Տ:սախոպ

6»0Մքկք|»ծ):

վբ|»ծ) նռ/2(255(թ:)4:-0: լ Եթուլուսվ«: Ե

Ե

-»

Մյուս ինտեգրալիզրոյի ձգտելը ապացուցվումէ նույն կերպ: Այժմ դիտարկենքայն դեպքը, երբ ք -ն բացարձակինտեգրելի է ե Ե-ն (8:Ե|-ում

ն (րւ»

միակ եզակի կետն է: Ըստ սահմանման՝

որն էլ Դթ6)թ-

նո դ-ԳՀՕ

համարժեք է հետնյալին՝

:

յ

)Ի« էր,186 Ընդ որում, (յթ: ի( ծ-դ

վերը

Ռիմանիինտեգրալիհամար ճշմարիտ է

ապացուցվածը՝ ՄԲ»0 3

0» 6)):օ5(բո)ժ». 6): ծ»0,ԺԾկլթ|» շ: յ »)-«լյավ,

Ըստ

թեորեմիպայմանի՝

37»0,

ծ

ժղօ(0:))

Այսպիսով՝

9-5»

րնյաՀ

ւ

ՀՏ.Հ-«(«(07)»8): ճ

Ե

/:6յաՀ-:

Ե-դ

02«(ց

ր (2)-օ05(ք»)ՄՎՏ

Ուրեմն՝ /չու

:

.

ր (»)«05(թ»)մ.»0:

Մյուս ինտեգրալի զրոյի

ձգտելը ապացուցվում է նույն կերպ: տ Չետնանք1: զրոյի`

ձգտո

ֆունկցիայի Ֆուրիեի գործակիցները

բու71)-«65(:)

են

):տո(ամ:»0 ի/(9

մ.» րու

Չետնանք 2 (լոկալիզացիայի(տեղայնացման)մկզբունքը)ֆունկցիայի ց կետում Ֆուրիեի շարքի զուգամիտությունըն շարքի գումարը կախված են միայն 2. կետի որքան ասես փոքր շրջակայքում այդ ֆունկցիայիընդունածարժեքներից: Իրոք,

5.(ա)-

ինտեգրալը - ՍՄԹԱՀՈՀՒՄ(Րա-830.()4.

տրոհենք երկու ինտեգրալների հ

8(5)-Հ/Մ(ա«ՌՀ7(գ-դ)ո,(04Ի ԷԼՄ(«: /(-Դ)ո,(ո4-,

որտեղ հ-ը որքան ասես փոքր դրականթիվ է (հօ երկրորդինտեգրալ է՝

«76Իէ

/(«-դ)ծ,

(8)

(0:7)): Այստեղ

(2-2 խավոյա

որտեղ`

ջ

Մե)

ա-) լ, Ռո):

(Դ»

Քանի

25ո-շ

որ

շո)

Աչ չո)

ֆունկցիան սահմանափակ է,

ապա

ջ(չ)

ֆունկցիան բավարարումէ Ռիմանիլեմմայի պայմաննե-

րին, ուստի՝

(4:50: յուր |Մ(օ4Դ«7(ա-Ռ»-5.

Է-`»

:

Այսպիսով, 5, («)-ի սահմանիգոյությունը ն արժեքը կախվածէ

միայն (18)-ի առաջին ինտեգրալից, որն իր հերթին կախված է / ֆունկցիայի արժեքներից|, - հ:

Հ.ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Է

ՖՈՒՐԻԵԻ ՇԱՐՔԻ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

Դինիի՝ հայտանիշը:

Դիցուք գոյություն ունի

հ

(հՀ(0:7)) այնպիսին,որ

Մա: (5-/-5ել

հ

է

չչ հ) միջակայքում:

-Է-

զուգամետ

ինտեգրալը: Այդ դեպքում

ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զուգամետ է «2, կետում ն շարքի

մարըհավասար է

գու-

5,-ի:

հետեյալ կերպ Ապացուցում: (15) ինտեգրալըձենափոխենք

4(:»8(), ե()-521|ՄԹ«7ա-Ռ251:.()6-

որտեղ

4-1 (ա: օ

՝

Ը-0-55.

ա

|

--

"ԱՅ"

մաթեմատիկոս: ԴինիՈւլիսսե (1845-1918)-իտալացի

իսկ՝ ջ()«1

7.

Պարզ է,

(ոռ

(ՒՄ մ

որ

իսկ

Տոոա:

(չօրւոյֆունկցիան սահմանափակէ

շո:

«1

Է

շով»)

Ցո

քոլ»)

ՒԳ՝Օ0

Ր.-9-25

/(ԽՒՈՀ/(աՀՈ-25,

ֆունկցիան ըստ

պայմանի բացարձակ ինտեգրելի է: Ուրեմն, ըստ Ռիմանիլեմմայի՝ 1ու 4(ո)»-0: Երկրորդ ինտեգրալում, Ռիմանի լեմմայի ջ()-ի դեՌ-Գ

րում է

Ժ(օՀ)Ի7 («1-25 251ռ

Լո

Ց(ո)

ր

0: Որտեղիցհետնում

Սահմանում

ՍԸ) Յ/(»յ-0):

որ

1:

է`

Սուտ,()55:8

Դիցուք / ֆունկցիան որոշված է շյ-կետի ինչ-

շրջակայքում Կասենք,

պայմանինց

ֆունկցիան: Այսպիսով,ունենք նան՝

որ

-ում

ե յ

ունի միակողմանիսահմաններ`

ֆունկցիան բավարարումէ

/

կետում, եթե` ՅԼ»0,

376(0:ծ),Մհ«(0.))

Մրոա-Բ., ՄՈԵՄ ե

Սահմանում 2: Դիցուք / որ

Մ(»յ)

Յ/

(2, Է0):

շրջակայքում

ն

շ-ում ունի միակողմանիսահմաններ՝ 2ջ-ում ունի աջակողմյան (ձախա-

7(աՅԻհ)(40) հ

-

7 (ա)յ62

Լիպշից Ռուդոլֆ.(1832-1903 )-գերմանացի մաթեմատիկոս:

են

պայմանն

կողմյան) ածանցյալ, եթե՝

՛

ճիշտ

ֆունկցիան որոշված է չ-կետի ինչ-

Կասենք, որ /-ը Հ րու հ-՞Է0

Լիպշիցի՝

(8 րո,

7(ա)օԹ) 115-:)-7(5-4).

հ-Յ՝ՀՕ0

Խնդիր 1: Ապացուցել, որ / ֆունկցիայի միակողմանիածանցյալների գոյությունից հետնում է Լիպշիցի պայմանը): Լիպշիցի հայտանիշը: Եթե / ֆունկցիան բավարարում է Լիպշիցի պայմանին 2, կետում, ապա այդ կետում /-ի

Ֆուրիեի շարքը զուգամետ է

ն

քաչ (ա-0)

գումարը հավասար է

նրա

-Տ

որ` Յհ» 0,ՄՒՃ Ապացուցում: Քանի (0:հ) 7(ա4ՈՒ7(ա-8-25|` :

լ

Մ(Հո-7

72-91. Ա-Ի -7 Ը. -0)| Մ(աՀԴ-7(40) /ո.-8 ի իՎ -

(«-դ-

Հ2Լ,

ապա

այստեղից հետնում է Դինիի հայտանիշիպայմանը: Ջ Սահմանում 3- Կասենք,որ յ ֆունկցիան,որոշված |գչծ|հատ-

վածում, կտոր առ կտոր դիֆերենցելիէ, եթե գոյություն ունի

հատվածիայնպիսի

(ելե)

7»),

տրոհում,

որ

յուրաքանչյուր

|ճչե| բաց

միջակայքում /՛-ը դիֆերենցելի է, իսկ ծայրակետերում

գոյություն

ունեն

միակողմանիսահմաններն՝ ածանցյալներ /:(4.):

Հասկանալի է, որ Ճ կետում կա միայն աջակողմյան, իսկ ծ-ում՝ միայն ձախակողմյանածանցյալներ: Հիմնականթեորեմ (Ֆուրիերշարքի վերլուծելու մասին): Դիցուք / ֆունկցիան որոշված է ամբողջ առանցքի վրա, ունի 27 պարբերություն ն ինտեգրելի է |-7:7) հատվածում թեկուզ անիսկականիմաստով(վերջին դեպքում կհամարենք, որ / -ը բացարձակ ինտեգրելի է): Կենթադրենք նան, կտորդիֆերենցելի է

որ

/

ֆունկցիան կտոր առ

|-7:7|հատվածում:

Այս պայմաններիառկայությամբ / քը

ֆունկցիայի Ֆուրիեի

զուգամետ է յուրաքանչյուր չջ կետում

սար է՝

ն

շար-

շարքի գումարը հավա-

(Տ5Հ7(»), «Մո Մա-0)

եթե չջ-ն անընդհա-

տության կետ է):

Թեորեմիպայմաններիցհետնում Ապացուցում:

Լիպշիցի պայմանը ց կետում (տես խնդիր 1): Պարզ է, որ այն կետերում, որտեղ ֆունկցիան դիֆերենցելի է նույնպես տեղի ունի Լիպշիցի պայմանը: Այստեղիցհետնում է թեորեմի պնդումը: տ Խնդիր 2: Ապացուցել որ զույգ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն կոսինուսներ՝

ծ, «0(ո»

Ն2,..)։

գ,

է

ԹտՀ01..). «2Մ()««:(այա:

իսկ կենտ ֆունկցիայի դեպքում` միայն սինուսներ`

(ո«Օ1..),

4, «0

Ե,

-5(տո

5. ՈՉ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ

ԴԵՊՔԸ

-ոչո| հատվածում ն

կտոր դիֆերենցելի է: Ներմուծենք

առ

ֆունկցիան հետնյալ կերպ`

Բ(2Հ70)Ե«(ո),

-

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Դիցուք Բ ֆունկցիան որոշված է տեղ կտոր

(ոչ12.):

/՞(չ)

այդ-

օժանդակ

7()Հ7():

Այնուհետն, այդ ֆունկցիան պարբերական (2/7 պարբերությամբ) կերպ շարունակենք ամբողջ առանցքի վրա: Ստացված պարբերական /՞(չ) ֆունկցիան բավարարում է նախորդ բաժնի հիմնականթեորեմի բոլոր պայմաններին,ուստի նրա Ֆուրիեի շարզուգամետ է ամենուրեք, մասնավորապես(-ո:7) բաց միջակայ-

քը

քում, որտեղ/"

(:)57():

Ծայրակետում (2-7)

Ր

(ոՀ0)-7

(Պ-0),

Ֆուրիեի

շարքի

գումարը

կլինի

7" (5Հ0)Հ7 (ՊՀ0)Հ/(ՊՀ0),յ("-0)-7(ո-0):

Բայց`

Նույն արդյուքն է ստացվում 2, «-7 ծայրակետում: Այսպիսով, -7.7չ ծՓայրակետերում Ֆուրիեի շարքի գումարը կլինի՝

7(-ո:0):7(2-0).

6. ԿԱՄԱՅԱԿԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԻ ԴԵՊՔԸ

Դիցուք Մ ֆունկցիան որոշված է կտոր »-

առ

ճ--

՛.

կտոր դիֆերենցելի է:

-77|

հատվածում ն այդտեղ

Կատարենք փոփոխականի

փոխարինում:

Պարզ է,

ԼԲղ

որ

2-70»)

բարդ

հատվածում

ն

այդտեղ կտոր

առ

ֆունկցիան. որոշված է կտոր դիֆերենցելի է:

Կրկնելով նախորդ բաժնի դատողությունները,օրինակ, անընդհատության » կետում կունենանք՝

5()Հ որտեղ 4,

-- Հ «,:(») ԻԵ

ո(ոչ)»

ո»

մի ():665()Փ

(ո»01...),

ե,-- /Թ0)-5ո(9)Փ(ոչ12..):

Անցնելովնորից րելով

-7»

ցիայի «Հ

Է»

«,

փոփոխականին ինտեգրալներումկատա-

փոփոխականիփոխարինում, կստանանք / ֆունկանընդհատությանկետում՝

7() ..5.Ֆ շ որտեղ՝

ով 28 քինի) աՀ

(21)

4,

«ԲՈԹ:

«ԼԸ

Ընդ որում, ընդհանուր դեպքում ,յ6

(ե),

շարքի գումարն է

0-0)

(Դ:

(22)

կետերում Ֆուրիեի

իսկ

|

ծայրակետերում՝

/(:0).

Զույգ ֆունկցիայի դեպքում ունենք (տես 4. խնդ. 2)

(ոՀ 01...)։ յ Ը)«ովաոա:

6,»

ե, -0(ո» 12...): Իսկ կենտֆունկցիայիդեպքում՝

«0(ո-01..).

4, /

ե, -2Մ

(23)

Ը)աոիոո յ: (ո՛»1,2....):

`

04)

Դիտարկենքօրինակներ:

Օրինակ

1:

Վերլուծել

(ո») ) ֆունկցիան Ֆուրիեի )՞|ոո(

շարքի: Հաշվի առնելով, որ այս ֆունկցիան պարբերական է (հիմնական պարբերությունն է` 7 Հ) ն զույգ է, կունենանք(տես (21),(23), 1.

1-5)

ու

-բո(ոյոՀ--շաո(ոի

(72)-625(2ոա) 4, -Հիո( մ.»

1):).7(2ո4 իոկ

»(2ո-Ո» յճ.-րու 2-7»օչ((2ո--1)ո»յ|

գ. 2

(2-րդ

ՕՏ

(շո-

յո,

ա.

'

(4ո՛-1)ո

Այսպիսով՝

(«6 Թ): 2.«3-Հ6ԱՅոյ

|բչո(7»)

-

ֆունկցիան Ֆու/(») ոօջո(տո(տշ))

Օրինակ 2: Վերլուծել րիեի շարքի: Պարզ է,

ո

ո»

որ

Հ

յ

6 Շ(Տ):

Քանի

ֆունկցիան պար-

որ այս

ն կենտ է, բերականէ (հիմնական պարբերությունն է` 7-2) է հարմար նախ այն դիտարկել |-7:7)հատվածիվրա (1 »-7)՝

6,

Երբ

«0(ոՀ01...), է,«6

ապա

(ոՀ1.2....): 2Մ(տոնոո)ծ:

|0:0,5|,ապա /(»)-Պ»,

»6|0,5:|, ապա

իսկ երբ

/0)-«Ա-2): Ուրեմն` ֆ,

-

/

9.5

Կիրա|0-«թո(ոա)ժ: բտո(ոու)ժ::2ո

ռելով մասերով ինտեգրմանբանաձեը,

ե Աստեղից`` -

ենք՝ ստանում

Հ-Տրտուը:

տո

«Ան 4Հ(-7

.»0(ԵՀ12..),ե,-

«գ

Այսպիսով՝ ՏՏ,

4Հ

թռաայյ ՏՄ(1)

ԳՒՇՏԼւ|

5ո(72))Հ--5

ւ ------Հ--

(.(2:: դ») ԱԹ) 6«տ արը ստանում

Մասնավորապես,տեղադրելով այստեղ «0.5

ՀՇ

հետնյալ թվային շարքի գումարը

5----չ Դ է«0

Օրինակ3: Վերլուծել

ե.):

(2:

Է

է1: ՆԱ)

ա

ենք

է

|

ֆունկցիան Ֆուրիեի

շարքի միայն ըստ կոսինուսների:Դրա համար հարկավոր է նախ շամիջակայքում ն այնուրունակել այս ֆունկցիան զույգ կերպ |--/:0| հետն`

պարբերաբար( 2| պարբերությամբ)

միջակայքում (-««:Հ«օ)

(ստացվածֆունկցիանամենուր աընդհատէ): Այսպիսով՝

2'

շ'

ծ,«0(.-32.),2.-1 իու.6,արարում

-.

տո:

է

Իվերջո`

:

Հ

լ

ի

ոճում»

Պո,

յշ

էն

րշ

«1

) Ուրեմն

Աւ

ՃՀ

ո(20-Ռ»

):

ան

«0այ.յ5----Տ--(է507,..):

`

(«օՆ2))):

Հառեաաանատատատացապատաար Օօ ոոԵաՐԿԻԵՏաաաաաաաաաար»շ 6(վ):

(շուր

/(7)»-«օօ5(7«)ֆունկցիան Ֆուրիեի (0:1) միջակայքում միայն ըստ տու(ո.)-ի:Շարունակելով

Օրինակ շարքի

գ, 21

է

Պո

ով

2-2

'

«2-57

մաղթ

7ու

4:

Վերլուծել

միջակայքումկենտ կերպ,կստանանք` տրվածֆունկցիան (-11:0) յ

4,

ՀՕ(ո»01...), ե,

|օ65(ոշ)տու(ույ(ո» 12...):

յաո(ա(ոչ1»)-տոկ(ո(ո-1 ն

Ձնափոխելով

օ

հաշվելովինտեգրալները,ստանում ենք` յ

երե -

Հետնաբար` չ,,.,

Ր

ոՀ1

ի շր-յն(7 յ

Լ

8.

0.Ե,-

Այսպիսովլ՝(շ:(ոո)»

(դ

ո-Վ :

(.-1.2...):

ա(4է՛-1)

5-3: ոիոտն) 1»1

(««(:դ)լ

7. ԱՆԸՆԴՀԱՏ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՄՈՏԱՐԿՈՒՄԸ

ԵՌԱՆԿՅՈՒՆԱՁԱՓԱԿԱՆ ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐՈՎ

Միենույն(2:Ե|հատվածում որոշված Բ

ն .

ֆունկցիաների

լինելը (այն, որ մեկը մյուսի մոտարկումնէ) կարելի է հասմոկանալ տարբեր կերպ: / ն Ք ֆունկցիաներիհավասարաչափ իրար մոտ

տիկությունըորոշվում է

թվ (»)-9()| մեծությամբ(ենթադրվումէ,

ֆունկցիաները սահմանապակեն

որ այդ

Միջին քառաոչԵ|-ում):

կուսային մոտիկությունը, կամ միջին քառակուսայինշեղումը որոշծ

վում

է

լ 7 (4)-2()|6.մեծությամբ (եթե,

իհարկ է գրված

ինտեգրալըիմաստ ունի): ճշմարիտ է հետնյալ թեորեմը: Թեորեմ 1(Վայերշտրասի)Եթե / Հ Շ|:7| ն /(-Պ)» թվի

համար գոյություն

/ (տ), ապա

ունի

7(»)

յուրաքանչյուր 6»0

եռանկյունաչափական

այնպիսին, 2 («օ5(Բ:):: 8չտոո(Սե:)) Կ.«Լոո): ՛(3-Ր(չ)|ՀՏ

բազմանդամ`7(»)Հ-75

որ

պայմանը:

Թեորեմի ապացույցը

տես, օրինակ,|3|ում:

Ց. ՆՎԱԶԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՇԵՂՄԱՆ ԽՆԴԻՐԸ:

ԵՌԱՆԿՅՈՒՆԱՉԱՓԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ

ՓԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ԼՐԻՎՈՒԹՅՈՒՆԸ

է

Դիցուք տրված |,

(իւ

ո:Ե|-ումքառակուսով ինտեգրելի

ֆունկցիաների օրթոգոնալ համակարգը:Ենթադրենք /-ը այդ միջակայքում որոշված, նույնպես քառակուսով ինտեգրելի ֆունկցիա է, ն -ը հաստատագրվածբնականթիվ է: Դնենք մեր արջն հետեյալ խնդիրը: Գտնել այնպիսի հաստատուն )/, (է»0.1.,ո) գործակիցներ, որ՝

Ժ,(-ֆոծ(»

(25)

ֆունկցիան միջին քառակուսային շեղման իմաստով իրականացնի 7 ֆունկցիային լավագույն մոտարկումը,այսինքն`

()| 6. Խճա-«,

ձ,-

միջին քառակուսայինշեղումը լինի ամենափոքրը:Տեղաղադրելով արտահայտությունը, բացելով փակագիծը նե հաշվի

Ժ,(4)-ի

(5)-ը, կստանանք` առնելով

Ճ, -

)մ.-ֆոյո (Սժ-»-6) Բն Ի25՝ յո) Փ,( ԷՀո

Կամ`

Ցո-2 Վար :ՏՆո-ոճ դո-»նզ ե-|ՐԸ Այժմ պարզ է, որ Ճ,

ԵՃ(ո-6)

-ը

ընդունում է իր փոքրագույնարժեքը, երբ

ԴտգԱՀՆ2,..,ո):

Այսպիսով (25)

գումարներից ըստ

Աշ()ի,

տեսքի

բոլոր

հնարավոր

համակարգի Ֆուրիեի

գումարն է 2)» Ֆ՝6.0.(2) մասնակի է-0

շարքի

հաղորդում /,-ին փոք-

րագույն արժեք, այսինքն` միջին քառակուսային շեղման իմաստով լավագույնն է մոտարկում / ֆունկցիային: Ընդ որում, յ-ի փոքրագույն արժեքն է՝

,-

"

(«)|::»բ(2). 28 (ձ,Հ0): (26) ՄԹ. ը կոչվում է Բեսսելի՝ (26)Դրանիցստացվում Է նույնություն, -

Բեսսել ՖրիդրիխՎիլհելմ (1784-1846)-գերմանացի աստղաֆիզիկոս:

(յմ: Հոմ «իր

(ո»011...):

ճ»0

Այստեղից հետնում

է

Հ 16

դրական անդամներովշարքի

Է»0

ինչպեսնան զուգամիտությունը,

Տ

(27)

(օյ:

Հ

անհավասարությունը,որը կոչվում է Բեսսելի անհավասարություն: (26)-ից հետնում է, որ Ճ,-ը մոնոտոն նվազող է (ո-ի աճման հետ

(26)-ում ավելանում են նոր բացասականանդամներ):

Հարց է առաջանում` արդյո՞ք

14,Ի

հաջորդականությունը

անվերջ փոքր է: Եթե դա տեղի ունի, ապա ասում են, որ 5,(»)-ը զու-

գամիտում է

նակում,

որ

/(»)-ին միջին քառակուսայինիմաստով, (դա չի նշա5.2)» 7(») սովորական իմաստով): Բեսսելի (26)

նույնությունից հետնում

է, որ

Ճ,

-»Օ

դ-Հ«.

այն

ն

միայն այն դեպքում,

երբճիշտ է հետնյալ պայմանը՝

Հեշ- |"(թ:: (28) հավասարությունը կոչվում է կամ փակությանհավասարում: Սահմանում 4:

վ2(2)յ.

ինտեգրելիօրթոգոնալ

05)

Պարսեվալ՝-Լյապունովի՝,

լո:Ե|հատվածիվրա քառակուսով կոչվում է փակ,եթե |.:Ե| հատ-

համակարգը

վածի վրա քառակուսով ինտեգրելի յուրաքանչուր / ֆունկցիայի համար տեղի ունի փակությանհավասարումը: Եռանկյունաչականհամակարգիդեպքում (26)-ը (Բեսսելի նույնությունը) ընդունում է հետնյալ տեսքը:

Մ.-- ֆրանսիացիմաթեմատիկոս: " Պարսեվալ ՞Լյապունով ԱլեքսեյԱնդրնիչ(4911-1973)-- ռուս մաթեմատիկոս:

-)Բ ՕոՑ-Կոֆ-(1Հեր -Ր (2): աար: (:)Ժ:

-

ձո)

-

Իսկ Բեսսելի տնյալ տեսքը`

(տես (27)) կընդունի անհավասարությունը, հե-

է)::2 ՑԿ(Հեն այն Թեռրեմ ոանկուքայափակա համակարգը Էտ 2: փակ է: Այսինքն, հատվածի վրա ցանկացած քառակուսով ինտեգրելի ֆունկ:ո|

0,

ցիայի համար ճշմարիտ է ոճ,

փակության

6. Հոռո Վհավասարումը: երբ

կամ որ նույնն է, ճշմարիտ է

-

ճ

22(.Հե:)--|"). 2121.

Էջ

`

շ

(29) |

Թեորեմըկապացուցենքայն մասնավորդեպքում, Ապացուցում:

/ՀՇլ-7:|,

Ըստ

Հ

/(ո):

Վայերշտրասիթեորեմի (տես համար գոյություն ունի

Ընդհանուր դեպքը

7., թ.

|3-ում:

տես

1), կամայական ճ»0

թվի

եռանկյունաչափակա այնպիսի

Ֆ-(,«.(

5.(« յՀ ԱՀ

է»1

բազմանդամ,որ՝

1122):

(2)-5,.6յ«վշ: Մ(» ճ.

ենք՝ Այստեղից ստանում

«Ն

ոՀ.

(»)-5,

Քանի որ Ճ, -ը մոնոտոն չաճող Է, ապա՝

ԾՄդՀո, : ՃՀՃ

ո

թ-

0:82 ՀՏԱաոձճ,»

Այժմ ընդհանրացնենք փակության հավասարումը:

16,()).,

-ը

Դիցուք

հատվածիվրա քառակուսովինտեգրելիֆունկ|ռչե|

ցիաներիօրթոգոնալ փակ համակարգէ: Ուրեմն, եթե / -ըն ջ-ն այդ հատվածի վրա քառակուսով ինտեգրելի են, ապա նրանց համար ճշմարիտ է հավասարումը՝

փակության Հ. 2, -)բ«յոյն. է

ո«0

որտեղ Շ,-ը ն 4,-ը հաճապասխանաբար / Ֆուրիեի գործակիցներնեն: Քանի

որ

ն Ք

ֆունկցիաների

(/(«)Էջ(» ) Հշ("Շ ո): 5՛(»)),

ապա

/-Հջ

է

ֆունկցիայի համար ես ճշմարիտ (30)-ը:

ԻԼ

Հ

|ՄԸ::Ը))4-

:

Հաշվի առնելով (30)-ը, վածհավասարումը՝

ստանում

Հ՝.-ՇՀ դոց

Քանի որ

4,4,Հ

)ձ», խճ)

ենք փակությանընդհանրաց-

Մ

ապա

(31)

(31)-ից կստանանք՝

չ. թ9, (ո):2). -ի՛:)56Ը

Քանի որ եռանկյունաչափականհամակարգը փակ է

հատվածիվրա, ապա (32)-ը ճշմարիտ է

տեսքը`

ն

(32) |-:ո|

այն ընդունում է հետնյալ

յ 4,605(դ) ելչլո(ու))-Տ(»)4:» թ (գոՀչ՝ յ76» ջ

-

(32:)

(Ֆուրիեի, շարքի

Թեռրեմ 3 անդամ առ անդամ ինտեգրման մասին): Դիցուք / ֆունկցիան բացարձակինտեգրելի է |--7:7|հատվածիվրա ն նրա Ֆուրիեի շարքն է՝

70: Այդդեպքում`

յ-ԳՒԾ ա605(Խ.)Հելտո(ա): ,

«յան»

Ց

76)»

դալ

-

)ԻԵ,տու(աւ)) 4:

(-ՀՇՀՅՀո):

(33)

Նկատենք, որ / ֆունկցիանկարող է ն չվերլուծվել իր Ֆուրիեի շարքի: Ապացուցում:Քննարկենքմասնավորդեպք, երբ / ֆունկցիան քառակուսովէ ինտեգրելի(ընդհանուրդեպքըտես |3|,|11))::Օգտվենք (32`)-ից, ընտրելով ջ ֆունկցիաննույնաբար հավասար 1-ի |2:61ում ն

հավասարզրոյի այդ հատվածիցդուրս: Կստանաք(33)-ը:

Սահմանում

5:

|ճչե|հատվածում անընդհատ|ջ,()).,

Ջ

ֆունկ-

հատ

ցիաների օրթոգոնալ համակարգը կոչվում է լրիվ, եթե այդ չկա նույնաբար զրոյից տարբեր անընդհատֆունկցիա, որն օրթոգոնալ է Փ,(«) ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին: Այսինքն, եթե

ծում

անընդհատ ֆունկցիայի Ֆուրիեի գործակիցներից յուրաքաչյուրը հավասարէ զրոյի, ապա այդ ֆունկցիան նույնաբար զրո է: Այլ կերպ, լրիվությունը նշանակում է, որ, եթե երկու անընդհատ ֆունկցիաները ունեն միննույն Ֆուրիեի գործակիցներ, ապա այդ ֆունկցիաները նույնաբար հավասար են:

համակարգըլրիվ է: Թեորեմ4: Եռանկյունաչափական Ըստ թեորեմի պայմանների /(չ) Ապացուցում: ֆունկցիայի

Ֆուրիեի բոլոր գործակիցներըհավասարեն զրոյի: Կիրառենք(33)-ը, վերցնելով 0,8» կստանանք` (.6

Մ(աօո

ւօ

Լո:

կունենանք` /(չ)»0:5 ստացվածը,

Ածանցելով

Քննարկենք վերը շարադրածըմեկնաբանողմի քանի օրինակներ: Օրինակ 5: Վերլուծել /(»)Հ» («օ(-ոո)) ֆունկցիան Ֆու-

ֆունկցիան կենտ «0(ոՀ01..), իսկ »-Ջո(ո»)-ըզույգ է, ն ուրեմն`

րիեի շարքի: Քանի 6,

որ

է,

ապա

2...

(:յոչ "Նշ. իբ

Ե

:-ծ-

-

տո

.

--

«05

ոյ

Ուրեմն`

6:

«յ

առատ

ի

(ու)

2------

Հ("

ո

ո

ո»

րիտ է

բ

օօ5(դչ)|, ՞

«ապարան

.

լ

(34)

աը

շարքը

(տես թեորեմ 3),

«»լայջ(-7Հ«Հտ),

Ուրեմն`

/(-7-0)-

7(ո-0)-տ'

ոչ) (-«Տ«ՀտՊ)| "ՖԱ "աակ -

կստանանք

Իսկ

դեպքում

արժեքի

(35)-ից

,

/

ստանում

Ի-5-| ոչ)(-Պ Հ» ՀՊ)(ակնհայտ «ոտո( (0 հաշ :

ո»

|

(5)

" լա. 7

2,(1)

Վերցնելովայստեղ ՀՕ,

դ

որ-

(նկատենք, որ նշված վերլությունը ճշմա-

նան :Է77 ծայրակետերում,քանի որ

«2-7

Ի

Օգտվելով նախորդ վերլուծությունից ստանալ ֆունկցիաների վերլուծությունը Ֆուրիեի շարքի:

կստանանք` 7()-»-Ֆ( զ,

«ո

այԸ, (՛7Հ.Հո)|

անդամ ինտեգրելով ստացված

Անդամ առ

-

Է1-(-ո:»))

Լա 2

տեղ

.

լ Ի": (»)՝ չ((Ր, Ս"

(ոչեւ» ո»

Օրինակ

ենք՝

Ինտեգրելով(35)-ը, կստանանք

ատունը

է,

որ

ինտե-

գրման այստեղ հավասար է զրոյի): Օգտվելով (34) վերլուծությունից, կստանանք`

2"

»-

ՏՈ». դա)

Այսպես

2"

(ո 4,5.-) -

(1

Լոմ)

«Հոյ տոլայ(-«Հ

5)

կարելի ստանալ ցանկացած շարունակելուվ, տեսքի ֆունկցիայիվերլուծությունը Ֆուրիեի շարքի:

ի/ ԲԱԶՄԱՉԱՓ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

3. ԿՈՐԱԳԻԾ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

տեսքով Դիցուք տրվածէ պարամետրական

»»»(դ

(6

անընդհատ, պարզ (իքն իրեն չհատող)

Շթար|) կորը, որի ծայրակեՅ) ն այդ կորի

4(«(Օ),»(.)), 8Ե(/).»(2)) (տեսնկ. վրա որոշվածէ 2» /(»») ֆունկցիա: տերն են՝

հատվածիորնէ տրոհում Դիտարկենք|ը:8|

Հ

ի)"

,: Այն կա-

կորի որոշակի տրոհում ռաջացնի(փոխմիարժեքորեն)48 է501.,ո (րթ ո Ր(ո)»(.)), աղեղից վերցնենք պատահական Յուրաքանչյուր աք, հ,

Ն815Թ:

հ,

կետ

ե

կազմենք

ինտեգրալա Ժ»-Հ՝/(41:)-ԽՑ1,,.հմ| է»1

0շանակված գումարը(Խոլ...Կլչ|-ով

է

ճւ,

աղեղի

երկարությունը):

Նկ. |

Սահմանում ման

էլ

Եթե

գոյություն

ունի

վերջավոր

սահ-

| որը կախվածչէ ոչ տրոհումներից լուծ.ն, ոզւխ -

(լ,

,

ն ոչ

կետերի ընտրությունից (տես Ռիմանիինտեգրալի սահմա-

նումները|2|)ապա այն կոչվում է առաջինսեռի կորագիծինտեգրալ եգրվում ` 05): յ25

| ( ուօ- ԷԶ)|

(Թ)

Թեորեմ 1: Դիցուքտրված է պարամետրական տեսքով

ա(4(:(օ)»(6)), 52(8)»Թ)

(«»օՇվաք| («ՀՅ).

կորը

257(.))

ե

աճի

պարզ

նրա

վրա

որոշված

անընդհատֆունկցիա: Այս պայմաններիառկայությամբ

«(),»()). Վ»(22:24 1 յո:- րոզ ախ դիտարկենք Ապացուցում, կորի պարամետրական ներկայացումը, դերում Յ

(02

թյունն է` հ

երբ պարամետրի -|ԽՃՅ| (41-ը աճ8

(4(5).»(5))): Պարզ

է, որ

աղեղի երկարուկորի պատահական կետ է,

Դիտարկենք »օ|0:5) .5 ՀԽՃ8Խ|:

|0:5|հատվածի որնէ «ի,

ո/,(«(5.),»(5.))5 «ԽՃենի. ընդ («52,»(2)): 6:56.:5.ի Այդ դեպքում կորի տրոհում

աճտ

ւ

տրոհում: Այն առաջացնում է որում

:

Խոր.ե1.|«ԽճոՈ|-Ճ1.յ|Տ 5

ն, ուրեմն՝

ՀՏ

երբ

| /5-

Կորի նույն

7/

(3),»(5

սաանեռու (5),»(:))5։ (18)

«Հ(),»5Ռ

ՓՈԿ Ո»

ՀՆ Այսպիսով, Անցնենք

-Ֆ.ՀՃՏ

ընդհանուր

-ն է

ունենք՝

րոլ

դեպքին,

(»»օՇ1Լ6:81),

երբ կորը՝ տրված է պարամետրականտեսքով:

(»(5),»(5))կետը բնորոշվում է նան

պարամետրի

արժեքով: Գտնենքկապը այդ երկու պարամետրերիմիջն` պարզ է, որ

բարդ

2)

«(50))»2(),»(50))5»0)

5(),

(այստեղ, օրինակ «(5(:))

ֆունկցիան, պարզությանհամար նորից նշանակված է

Օգտվելով կորի երկարության բանաձնից (տես 2),

-Խ4ո՛լ-բի(2 Հ»՛(ո)՛4-:

Այստեղից, հաշվի առնելով որ

նշված արմատը անընդհատֆունկցիա է նանք՝

Պարզ է,

որ

5()

5Հ

Դիտողություն

"(27

Հ1

5(7)

(5»

Է

(3)

:

ֆունկցիան ստեղծում է փոխմիարժեքհա-

մապատասխանություն |: անցնելովնոր`

|2: 8) հատվածում,կստա-

"՛(դ՛ »՛(դ՛

Յ:՛(Ռ»

ունենք՝

8) ն |0:5|հատվածներիմիջն: (2)-ի

մեջ

փոփոխականի,կստանանք(1)-ը:

(3-ից

է, որ

հետնում

երբ

5,

ապա

կորով շարժվելիս ( 4-ից դեպի 8)

եթե 48

շո-

շափողը, որպես ճառագայթ ուղղենք շարժման ուղդությամբ, ապա հեշտ է նկատել, որ այն կազմում է (67) սուր անկյուն 7, առանցքի դրականուղղության հետ, երբ

,՛(չ)-ը

կառակ դեպքում: Ուրեմն

Մյուս կողմից չջ.-

»՛0)5

ագո»

լ

,

Ա

ՇՕ5- 0,

Այսպիսով`

4՛(5) 6050:»:

ոգ

«(5)-ըաճող է ն՝բութ անկյուն հաե օ250-ն

,

միննույն նշանը:

ուրեմն Հ

«()576) (5) ՛

-

ունեն

,

2(5)

0). Հ 6050:1ջ0:5 »՛()- ՛()

Դետողություն2: Եթե աձճ8 պարզ տարածությանմեջ

5):

(4)

կորը տրված է եռաչափ

«-«(),»»»(,:25«Ռ(2»26Շ165/2/(«Հ) տեսքով, ապա առաջին սեռի կորագիծ ինտեգրալը սահմանվում է նույն կերպ ն, եթե նրա վրա որոշված է /(5.7,2) անընդհատֆունկ-

ապացուցվում է, որ նախորդի «»0):()-ի02»:2:-( |75- քն.

ցիա, ապա

(6)

նման

Օրինակ 1: Հաշվել

7»

(ց)

Ւ»

45,

որտեղ (1)-ը

Թի

օօ5(Փ),Փ6

բնեռայինհամակարգումտրված կոր է՝

«Հ7(Փ)-օօ5(ջ),»-7(Փ)-5տ(օ): Այս դեպքում, ինչպես հայտնի է (տես |2))` Ի Ի «(յ »՛(օ)՛ (Փ)՛ ՛՛(ջ)՛ 605: (ց) տոշ(օ)-1: -

-

Ուրեմն`

(9):5ո.(2Փ) /նՀ-ա5(29))տո(20) 11թո 4Թ-2

1Հ

մՓ»-

`

/նչանցխունժ -

եչ

-

24: (4Փ)49)51..1..7ջ «օ(2օ)թ («օ)բ :1Նիր 22) Ա»

Դիցուք

տրված («6 81) Շ|վո

252(Ի,»5»() չհատող)

կորը, որտեղ

աձճտ

(ն(2),»(2)), 56(3.»(89)))

մ»

պարամետրականտեսքով

է

անընդհատ,

կորի ծայրակետերն են նրա վրա որոշված Թ(չ»)

4,8-ն ն

ֆունկցիա:

Դիտարկենք |ռչճ| հատվածի

ՀԱ

Այն (Ա ՊԱախլ): Հ

(իքն իրեն

պարզ

որնէ

տրոհում

կառաջացնի (փոխմիարժեքորեն)

կորի որոշակի տրոհում

ու

20.),»(ռ)),

Յուրաքանչյուր (9,

ԽՆ(ճ)»6այ

8501...

դ

(4Հ

Լ, 8): Ճ(Րօ,Խքլ».... -

աղեղից վերցնենք պատահական

(ո «լլչդ ին»1..ո)

կետ

ն

կազմենք

5` թ(41.)-Ճո.ինտեգրալայինգումարը:

6.»-

էմ

Սահմանում

Եթե գոյություն ունի, անկախ տրոհումներից ն ապա այն

հ/, կետերի ընտրությունից,վերջավոր սահման՝

երկրորդսեռի կորագիծինտեգրալն

անվանում են

լյու,

գրում`

| 713

(8)

Ակնհայտէ, որ առաջին սեռի կորագիծ ինտեգրալըկախված չէ ինտեգրմանուղղությունից( /85» յ5), իսկ երկրորդ սեռի կո-

յ

(6)

(յ

րագիծ ինտեգրալը կախված է՝

|

քանի որ, |52:- (84)|ոճ». (6)

երբ

-

փոխվում է ինտեգրմանուղղությունը,

բոլոր

/-երը

փոխում

են

իրենցնշանը: Ինչպես ն նախորդ սահմանման մեջ, եթե 248 կորի վրա որոշված է Չ(») ֆունկցիա, ապա, ըստ սահմանման Սահմանում

Եթե յ ՉԺ» ԼոռՖ՝Չ0(1:):45: (48)

աճ8

կորի վրա որոշված

են

է»

Բ(»»).0(55»)

յ Բմ-04»-

(6)

ֆունկցիաներ,

յ Բճ» (6)|ՉԺ»,

ապա,

ըստ

սահմանման

եթե աջ մասում գրված ինտեգրալ-

Աճ)

ներըգոյություն ունեն:

Թեռրեմ2: Դիցուք տրված է պարամետրական տեսքով

252(),»5Թռ»օՇ162Ե.

(4(«(2),»(6)), 56(Թ).»(Թ))

«ճտ5

պարզ

կորը

նրա վրա որոշված Թ(չջ).0(.)) անընդհատֆունկցիաներ:Այս պայմաններիառկայությամբ 3.

|

Կ

ծ

Բ.Ե«0Փ-»

ԵՆ)

|Թ60()»6))«0)«Չ66)»(0)-»՛0)-:

(5)

.

Ապացուցում:Պարզությանհամար դիտարկենքայն դեպքը, երբ

Չ(»»)»0:

ԿիրառելովԼագրանժիթեորեմը,կստանանք՝

Ճո»

«(դ)-:(ոյ)5

«(թ)-ճղ,(շ (ոչն):

Այսպիսով` Ժ,

«(.),»(ո)):(2)-Ճղ: -Հ»ե(

Եթե նշանա-

ապա կենք՝Ժ«Ֆ-Թ((.),»(4):»(դ)-Ճղ:

է,

պարզ

որ

ձայ

ծ

կուց:

«1.որտեղ

ԵԹ(),»(դ)0թ-:

Քանի որ՝ Ժ,-7Հ(Ժ, ցել,

որ

օ:)» 0: կու(օ,

-օ:):(6:- 1),ապա

է ապացու-

մնում

-

Քանի որ

5(2(),»(1)6 Շ|(2:8|, ապա

սահմանափակէ`

Հ

/»0,7:6|.:3|

Հաշվի առնելով, որ

ֆունկցիան

այդ

»թ6(դ.»()յվա ա

:

«՛(7)ՀՇ|.չՑ|.ապա

:

այն հավասարաչափ

անընդհատէ' Ս6»03

6(2)»05:26|օ.Թ|ի-ՎՀՏ:ի՛(դ-7՛(՛1Հ

Եթե ընտրենք 7

Հ

0-2

է). ,

տրոհումը այնպես, որ 4, ՀՓ,

է-0

-8|ՀՓծ ն,ուրեմն՝ ի՛(ո)- «(ռ | 7 թ 2)

ճՃՀծԱ»Հ1..ո) 5

Հ

ապա

:

Այսպիսով՝

ե,-«/-Է»եա»աե՛ւ)«)իճ: Հ

Հոթ յֆ"

միթե

Հե՛-7

ո

-Տ

»

-0:)-0:ռ ուկօ,

Դիտողություն 1: Եռաչափ դեպքում, երբ տեսքով տրված է պարամետրական

»25«(Ի,»5(ի,252(0

պարզ

կորը

(.»:6Շ'6: 6))

ե այդ

Ֆ(.7.2),0(5).2),Ք(»»,2)

կորի վրա տրված են

ֆունկցիաներ, ապա նույն կերպ սահմանվում է

անընդհատ

|թմ: Օձ

ԲՎշ

Ը)

երկրորդսեռի կորագիծ ինտեգրալըն, այն կարելի է հաշվել հետնբանաձեով`

յալ

Էմ / Բժ Օ4»-Է

»(2,2(0)-2՛(դՀ ԾՆԹ,

-

(5)

-0(Ր(8,»(2,2(9)»՛(2«86Ն(:,»0),2()):2(դ)ոՒ: Դիտողություն 2(երկու սեռի կորագիծ ինտեգրալների միջն եղած կապը): Դիտողություն1-ում նշված պայմաններիառկայությամբճիշտ է հետնյալ բանաձնը

յ

(ծ)

Բճ.- Օձ» Հ

որտեղ 6,/,7/-ն

Քզշ-

4-ից

|(Բ: 6050ՀՕ:օ05Թ-Է Թ:62057/)05|

(5)

(6)

շարժվելիս շոշափողի կազմած անկյուն2.»,2 համնապասխանաբար առանցքներիդրականուղղություններիհետ: Պարզության համար դիտարկենքհարթ կորի դեպքը (8-0): աճ8 կորը ներկայացնենքպարամետրականտեսքով, երբ պարամետրիդերում աղեղի երկարությունն է (5 )՝ Ց

ներն են

25:Թ)»5»(5)

Այդ դեպքում՝

«(5)»:56,7՛(5)Հ

Դիցուք 7.չլ»15:),.,

քում

յ

Քճչ

66«|0:5/5Հ-Խճ)

Տո.»

:

(տես թ.1, դիտ.1):

օթ

|0:5)հատվածիորնէ տրոհում է: Այդ դեպ-

ինտեգրալինհամապատասխան ինտեգրալայինգու-

լել)

մարըունի հետեյալտեսքը(տես թեորեմ2-ի ապացույցը) 6,

Ի((.).5(5.)):»(5)-Ճ. է»1

Քանի որ նան՝ Ժ.«

թ.

|».6.5:«105::

թ) ԴԻՑ

3 Ք(«(5.),»(5:)):«օ5օ|, ձ5, իո |Ե(.))է5./

Օձ)

«05045,

ապա՝

յ Բա.» (48)յ Բ:Շ050.:05:

(48)

Ընդհանուրդեպքըապացուցվումէ նույն կերպ:

Դիտողություն 3: Եթե առաջինն երկրորդսեռիկորագիծինտեգրալները տարածվում են անընդհատ պարզ փակ (0) կորով, ապա

բաժանելովայն կորի որնէ կետով երկու պարզ կորերի, կունենանք (բստ սահմանման), որ ամբողջ համապատասխանկորագիծինտեգրալը հավասար է առանձինկորերով ինտեգրալներիգումարին: Կիրառելովնախորդտեսությունը ն հաշվի առնելով Ռիմանիինտեգրալի ադիտիվ հատկությունըինտեգրմանտիրույթի նկատմամբ,կստանանք, որ վերը շարադրվածը(տես (1), (5), (6) բանաձները)ճշմարիտ է նան այս դեպքում:Փակ կորով ինտեգրալիհամար ընդունված է հետնյալ գրառումը՝

ժ

,

մաշ

Զրինակ՝

:

()

Որպես երկրորդ սեռի

ինտեգրալիկիրառություն դիկորագիծ

տարկենքհետնյալ խնդիրը:

Բ(Ի.,5.Բ)ուժային դաշտում նյութա-

կան կետըտեղափոխվում է 7/, (:.,»,,2,) կետից 4,

(.,»։,2:)

կետը

()»Հա(Ս1տմ,)անընդհատ պարզ կորով: Պահանջվում է հաշվել կատարված աշխատանքը/̀4 -ն: Ֆիզիկայից հայտնի է, որ

որեէ այդ

աշխատանքըկարելի հաշվել հետնյալ կերպ

|

Բ.օ650:45,

(ՀԻ)

ե

որտեղ 6-ն կորի շոշափողին Բ վեկտորիմիջն եղած անկյունն է,

Բ-իվ: ո/,-ից

41-ը

շարժվելիս շոշափողով ուղղված միավոր

վեկտորն է՝ | (6056. որտեղ Ձ./8.7-ն 1-ի համապա6058, 60537),

տասխանաբար.)»,շ առանցքների դրական ուղղություննրի հետ կազմածանկյուններնեն: Բ վեկտորի համապատասխանաբար27),2 Եթե 4.ա..-ն առանցքների դրականուղղությունների հետ կազմած անկյուններն են, ապա

Բ-ը

(2.1)-2050» «05060544 60586051: 605)/ 6050,

որտեղ

Բ վեկտորինհամուղղվածմիավորվեկտորնէ:

Ուրեմն՝

| Լ("-6054)-6050:«(Բ-605թ)-6058:(Բ |(5 0448) -

յ Ն

-

(740:)

:6050:4 Բ, «6058Թ: Է,«005) |:45»յ Բ4:

Բ«Հ:

Բ,

(հշ)

Դետողություն 4: Երկրորդ սեռի կորագիծ ինտեգրալը երբեմն կախվածչէ այն բանիցթե տվյալ երկու կետերըինչպիսի անընդհատ կորով են միացված իրար (ինտեգրալըկախվածչէ ինտեգրճան ճանապարհից):Դիտարկենքհետեյալ օրինակը:

4(0,0) ն 8(1,1) կետերընախ միացվածեն իսկ հետո` (ո) : »-»՛ պարաբոլով: Հաշ-

Օրինակ 1: Դիցուք

ուղղով, (Ա): ջա վենք հետնյալ ինտեգրալները

ա)7Հ

()

|4:45. բ) 1,» (ա):

Ռւնենք`

«1227 |ԵՀ«շ-2),:»-2 էո" 2ի3

,

ն»

/

|ԵՀ»4-վ

Ե»

Ա

շի

ն, ուրեմն 1,

9Ե

մշ: Այժմ, փոխելովմիայն ընդ ինտեգրալարտահայտությունը, հաշվենք հետնյալ ինտեգրալները՝ այլ»

բ)1.Հ (`: |աոչ)Փ.

ճմ)

/

/

լ»

"| /Եչ»)յ»:»

ն, ուրեմն7, «7,:

Ունենք՝

(չ)

կ»

չ» այա:

մ

Ի-յվ«-Վ-այ

Վետագայում կհամոզվենք,որ

ե

յու:

2-2

չժ» ին-

(տ)

տեգրալը կախված չէ ինտեգրման ճանապարհից (այսինքն, ոչ միայն (7) ն (/չ) կորերովեն ինտեգրալներըիրար հավասար): Այն հարցին, թե ի՞նչ պայմաններիդեպքում է 2-րդ սեռի կորագիծ ինտեգրալը անկախ ինտեգրմանճանապարհիցկանդրադառնանք ավելի ուշ:

2. ԿՐԿՆԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

2.1. ԿՐԿՆԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

Սահմանում

1:

Դիցուք` /

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄԸ ԵՎ ՀԱՇՎՈՒՄԸ

:(օ)-»Ք

((Թ)Հ«տ՛),/

ֆունկ-

բացասական:Ենթադրենք, որ (Զ)-ն տիրույթ է |2յ, սահմանափակվածկտոր առ կտոր ողորկ (Ր) եզրով: ցիան անընդհատ է

ն ոչ

: (5)-1(»5»702»)) (»)6(6))

կոչվում

կամ անընդհատ մակերնույթ, տրված

(5՝ )

քով: Նշանակենք

զուգահեռ են տիրույթի

Հ

ՀՀ

էՄ

ֆունկցիայի գրաֆիկ,

բացահայտ տես-

-ով այն գլանայինմակերնույթը,որի ծնիչները

առանցքին,իսկ ուղղորդ

կոր է հանդիսանում(ք)

(7") եզրը: Այսպիսովառաջանումէ (Մ)

մարմին,սահմա-

(5) -ով, իսկ եզրերից`(5՝) -ով

նափակվածներքնից (Ծ)-ով, վերնից (տես նկ. 4 ):

Նկ. 4

(թ) -ն կտոր առ կտոր ողորկ կորերովվերջավորթվով մասերի (Ծ.).....(ք,), ն նշանակենք՝ 4: ուն, (տրոհման տրաման կազմենք գիծ): Վերցնենքկամայական4(, («.,).)5(2օ.), է»մ..,.ո Տրոհենք

գումար`

(ռ,-ն օ-»-5՝/(8/)-0, «7

(5,)-ի մակերեսնէ:

Ըստ սահման-

է

(Մ) մարմնի ծավալն

ման,

Հ

(7(մ.)-0.-ն տո՝ /(ո(.)-0,

(օ.)

հիմքով /՛(4/, )) բարձրությամբգլանի ծավալն է):

Սահմանում

Մ:

(5.5

կտոր

առ

(Ծ)-

(օն

է ֆունկցիա Դիցուք տրված է, տիրույթ սահնանափակված կտոր (Թ)յ«տ:)ն (թ)-ն

(7)

ողորկ

(Ր)

եզրով

Շ): Տրոհենք

վերջավոր թվով մասերի

(թ)-ն

((օ)-ն (Թ)-ի

փակումն

է՝

կտոր առ կտոր ողորկ կորերով

(Օ,).....(2,): Քանի

որ

(Ք.) տիրույթների

եգրերը կտոր ողորկ կորերը բոլոր կետերում, բացառությամբ վերջավոր թվով կետերի ունեն շոշափողներ), ապա նրանք քառակուսելի են, այսինքն ունենք ք, (տես |3ի: են (այդ

առ

գումար

Ժ-

Հ (մ, կո)

աթ

7",

)- 0, Այն կոչվում է ինտեգրալայինգումար: Եթե :

գոյություն ունի վերջավոր սահման

կո

ք,

Հ1

(սահմա-

ահմանումնե

նը հասկացվում է Ռիմանիինտեգրալի պես), որը կախված չէ ոչ տրոհումներից ն ոչ էլ 7, կետերի ընտրությունից, ապա այդ սահմանը կանվանեն, կրկնակի ինտեգրալ` Եշ

| Թթ»:Այսպիսով, նախորդ սահմանման

(5)

համաձայն (7)

մարմնիծավալը կլինի` 7»

7(4.)-5.հոֆ

ո: ||

(Թ)

Ինչպես ն Ռիմանի ինտեգրալիդեպքում, կրկնակի ինտեգրալների համար նս կառուցվում է տեսություն, հենված Դարբուի գումարների հատկություններիվրա |2): Սակայն, կարճ լինելու համար, բավարարվենքինտեգրալի երկրաչափականմեկնաբանությունով՝ կնկնակիինտեգրալը,որպես ծավալ:

Թեորեմ: Դիցուք 76 սահմանափակված

Հ

ճ,2

Շ(օ),7(»»)Հ0, Ե ուղիղներովն

(0)-ն սեղանակերպէ,

(,,Ի« Շլոչէ|,»,()Հ7(:))

»Հ5(Թ2)»»(2

ֆուկցիաների գրաֆիկներով: Այս պայմանների առկայությամբ գոյություն ունի 7 ||/ժ»կրնակիինտեգրալըն՝ Հ

(օ)

|

թ. | 7(ա»թ: 1Մ6Փ(:)4:, Ապացուցում: թո) Ճ

ճա»Մ»-

Թ)

կետում

(չՀ|ոչծ|) ։«

6)

Թ

որտեղ

առանցքին ողղահայաց

Ք(»յ)-ն

հատույթի

(Ք(գ ))-ն իրենիցներկայացնումէ սեղանակերպ,սահն ուղիղներով մանափակված55(թ»5(ա),220 մակերեսնէ:

ՀՀ

Մ(Հ,Ֆ) անընդհատֆունկցիաիգրաֆիկով(տես նկ. 5):

(Թ(2)) Վ

Ուրեմն`

Ե

ո

6(գ)»

Հ

| 7/(.»)Փ:

նթ)

է

Այստեղիցհետնում (1)-ը:

տ

Դհտոդություն1: Կրկնակի ինտեգրալը օժտված է այն նույն հատկություններովինչ Ռիմանիինտեգրալը: Օրինակ, թեորեմ 1-ի պայմանների առկայությամբ ճշմարիտ է միջինի մասին թեռրեմը՝ (/(2»)24-7(:դ):Ծ, որտեղ (չ.դ)-ն (Ծյ-ինպատկանող

որոշակիկետ է:

Սահմանում

Դիցուք

(Լ) -ը

անընդհատ,պարզ, փակ կոր է: Այդ

կորի շրջանցման դրական ուղղություն կանվանենք այն ուղղությունը, որով շարժվելիս նրանով սահմանափակվածտիրույթի մոտակա մասը երնում է ձախից:Եթե կորը շրջանագիծ է, կամ շրջանագծին «մոտ», ապա դրական ուղղությունը համընկնում է ժամացույցի սլաքի շարժման հակառակ ուղղության հետ, իսկ ընդհանուր դեպքում այդպես սահմանել դրականուղղություն չի լինի (տես նկ.6):

Նկ.

Ոչ դրական ուղղությունը կանվանենք`բացասական: Ստորն ենթադրվում է, որ (Ք) տիրույթը միակապ է (տես |2իլ3))

այնպիսին, որ այն տրոհվում է վերջավոր թվով սեղանակերպերի ինչպես ըստ 4, այնպեսէլ ըստ 3) առանցքների: ն

2.2. ԿՐԿՆԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ԿԱՊԸ ԿՈՐԱԳԻԾ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ՀԵՏ

Թեորեմ 1 (Գրինի՛ բանաձնը)Դիցուք

Բ,5..0,Օ՛օ

Օ( 5),

(73-ն

(ռ)-իեզրնէ:

ճշմարիտ է հետնյալ (Գրինի) բանաձը՝

վԲ:::0Փ- ()||(0-թոաֆ|

(3)

որտեղ(Ր)

-ն

2)

շրջանցվում է դրականուղղությամբ:

Ապացուցում:Նախ դիտարկենք մասնավոր դեպք՝ Օ»0 ե, (թ)-ն սեղանակերպէ, սահմանափակված2-» 4,7,» Ե ուղիղներով ն

՛

ԳրինՋորջ (1793-1841)-անգլիացի մաթեմատիկոս

57(/,»55,0)

Օ()Հ),Ը))

անընդհատֆունկցիաներիգրա-

ֆիկներով: կրկնակի ինտեգրալիհաշվման (1) բանաձնի,ունենք (տես նկ.

ո"

(Ա)

թ. |75- թ Սոճ»-

«7

ո:

ճ

Մ

|թգ-123

-

(48)

|22.|Թժ.-Մ)բժ: (26) (4) -

Այստեղ հաշվի առանք, որ

|ա 12)

|թմ.»(84)| 2:50:Այսպիսով`

(86) -

բտ:

-ժ

Բ

3)

()

:

|(.»,Ր:))4:-

())4:--

՛

Է

տ

|

րոն)

Նկ.7

Նկ.

Ընդհանուր:դեպքում, երբ

(թ)-ն

տրոհվում է վերջավոր (ո)

ն, ուրեմն՝ սեղանակերպերի

թվով վերը նշյված

Հ 225: Սոո»օգտվելով ապացուցվում ինտեգրալներըոչնչացնում 1Օ,)

Յ)-ը

Երբ

Ֆո)»

նախորդից(տրոհման գծերով

է

են իրար (տես նկ. 8)):

(Թթ)յ-նսեղանակերպ է, սահմանափակված ուղիղներով ն 2») )0 )Տ «0 ) ան5240Թ

Թ»0

ն

ընդհատֆունկցիաներիգրաֆիկներով,ապա`

2.2»

(5)

« -

Թ «0)| 02

Ը

-

վ 05:

Փ

(3)

Դատողություններընույնն են ինչ նախորդդեպքում:

Պարզ է նան,

որ

երբ

(12)-նտրոհվում է վերջավոր թվով նշված

սեղանակերպերի, ապա ստացված(4) բանաձնըմնում է ուժի մեջ: Երբ (օ)-նտրոհվում է վերջավորթվով ինչպես առաջին, այն-

պես էլ երկրորդ տեսակի սեղանակերպերի,ապա ճշմարիտ են (3)-ն ու (4)-ը միաժամանակն, գումարելով իրար, կստանանք(2)-ը: Ջ Դիտողություն 1- Կրկնակի ինտեգրալիսահմանումից հետնում է որ

||աա-ռ(Ծ-(ք)

տիրույթի մակերեսնէ): Եթե (2)-ի մեջ

(թ

վերցնենք Թ50Օ»Հ2,

կստանանք

փ»|

ռ-

6)

()

Իսկ եթե՝ Օ»0

Ք»»,

ապա՝

ռ--Ժ)ճվ

(6

եյ

(5)-ից

ն

(6)-ից հետնում է նան մակերեսհաշվելու հետնյալբանաձնը

Հ-ժած-յավ

2)

(Մ)

2.3. ԵՐԿՐՈՐԴ ՍԵՌԻ ԿՈՐԱԳԻԾ ԻՆՐԵԳՐԱԼԻ ԻՆՏԵԳՐՄԱՆ

ՃԱՆԱՊԱՐՀԻՑ ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԸ

Դիցուք ».Օ6

Շ(Օ),

որտեղ (Թ)-ն տիրույթէ:

4 -նն

8-ն

(օ)-ին

պատկանողկամայականկետեր են, իսկ (ժ)-ը կամայականանընդհատ, պարզ կոր է, որը միացնում է այդ կետերը ն, պարունակվում է

(օ)-ում:

Սահմանում

1:

Եթե»

յ Բճւ--Օժ»

(0)

ինտեգրալըկախված չէ (1)

կորի ընտրությունից,այլ կախված է միայն 4,8 կետերից, ապա ասում ենք, որ 1» է ինտեգրման ինտեգրալը անկախ | լ)

ճանապարհից:

22.:-:-:0Փ

Այժմ պարզենք, թե ի՞նչ պայմաններիդեպքում

7»

ինտեգրալըկախվածչէ ինտեգրմանճանապարհից:

Թեորեմ

1:

Որպեսզի

1»

՛

Օմ, յ Թմ:-Է

ինտեգրալըլինի անկախ |2.:4-04,

ինտեգրմանճանապարհիցանհրաժեշտէ ն բավարար,որ

(Թ)-ում

պարունակվողյուրաքանչյուր անընդհատ,պարզ փակ (1)կորով ինտեգրալը հավասարլինի զրոյի:

Ապացուցում:Անհրաժեշտություն: Տրված է,

որ

1Հ

|ԲճՀ

Օճ»

Վերցնենք ի

ինտեգրալըանկախէ ինտեգրմանճանապարհից: կամայական անընդհատ,պարզ փակ () կոր, պարունակվող(Թ)-ում:Այդ

Ա) կորի վրա ընտրենք պատահականերկու կտ միջե ընտրենքնան ինչ-որ4/ // կետեր(տես ճկ.9):

Նկ.

Ունենք՝

ժ թմ. Օձ) ժոոչ0Փ»(ՔՈՒ) ()

-

վ Բո:«0Փ-

(առ)

Այսինքն` ժԲժ:-

04»

-

Ճ

ն 8,

որոնց

4 Թմ.-Օձ): (8ի4) 4 Բժ Օժ)-

(48)

4 Բո«07»0:

(ՄԹ)

0:

0)

Բավարարություն:Հայտնի է, որ նշված ինտեգրալը (Փ)-ում պարունակվող կամայական անընդհատ,պարզ, փակ կորով հավասար է զրոյի: Վերցնենք (ք)-ին պատկանողկամայականերկու 4 ն Ց

(Ծ)-ում պարունակվողերկու կամայա(44/8) ն (48/8) կորերով: Ունենք՝

կետ ն միացնենք նրանք

կանանընդհատպարզ

գ

թաՀ0Փ»-

ՍԱՅՏ)

-

(4/8)

Որտեղից՝

վ ԲԵչ07Հ

վ բոչ0Փ:

(ճառ)

թմ05-

(Բիո)

Բժ:

0»:

(ր)

ժ թոՀ0Փ»

(ԳԹ)

| թոՀ0ԺՓ:

(28)

Այսինքն ինտեգրալըանկախէ ինտեգրմանճանապարհից: Ջ

5Ֆ.ՕՉ6Շ(օ),որտեղ (Ծ)-ն տիրույթ է: Կասենք, որ ՔՃ-Հ Օճ) -ը ճշգրիտ դիֆերենցիալ է (Զ)-ում, եթե գոյություն ունի (թ)-ում Շ(»,») դիֆերենցելի ֆունկցիա, այնպիսին, որ` 4Ս(«)»)5 (ա) Փ:0(Թ»)Փ (5»)6(Թ)): Քանի որ, մյուս Սահմանում

Դիցուք

կողմից`

4Ս(«»)»«0.(.»)ՀՍ,(ա»)Փ,

անկախ

են

ստացված

(կարելի է

ն

վերցնել ճ»0,47-0

ն

հակառակը),

Բ(5»)ն Ս,(«»)»0(2)):

Թեռրեմ 2- Որպեսզի

1Հ-

աճերը իրարից

ՀՍ :(չ»)Փ

Ե(»»):»:0(«»)»«Ս,(ա»)

նը համարժեք է հետնյալ համակարգին՝

Ս, (.»)»

ճմ»

ապա

նույնությու(7

յ Բա«ՀՕձժչ ինտեգրալը անկախ լինի

ա)

ինտեգրման ճանապարհից անհրաժետ է ն բավարար, որ ԹմՀՕժչ արտահայտությունը լինի (Զ)-ում ճշգրիտ դիֆերենցիալ:

լ

մ.

Նկ. 10

ւ

Հճ

Հ»

Ապացուցում: Անհրաժեշտություն:Տրված է,

6-05

1»

որ

0)

ինտեգրալըանկախ է ինտեգրմանճանապարհից:Ընտրենք կամայական կետ 4(ճ,,2,)6 (ք) ն այն հաստատագրենք:Վերցնենքփո-

փոխականկետ// (2,»)6 (օ) (տես նկ.10):

Կն /

կետերը միացնենք (թ)-ում պարունակվող որնէ

(յ)

ընդհատ պարզ

կորով,: Դիտարկենք

ան-

|64:: 04»ինտեգրալը,

(0

միայն 4 ն 4/ կետերից ն, քանի որ այդ ինտեգրալը կախված է միայն կետից, այսինքն` (,.»)-ից: Այսպիսովծնվում է ֆունկցիա

որը, ըստ պայմանի, կախված է 4 -ն հաստատագրված է, ապա /

(ւջ)

Ս(5»))- | Բմ:--

,

Օժջ որոշված

(ՎՈ

()-ում: Ապացուցենք, որ այն դի-

(Ծ)-ում ն՝ ԵՐ.»)7::4:0Ր2»)Փ (Բ .»)օ(Թ3թ: ն այն միացնենք Վերցնենք կամայական 4/1 (»,»,)6(9) 4(6/,4,)) կետին ()-ում պարունակվողորնէ անընդհատ,պարզ (7) կորով,: Քանի որ (ք)-ն բաց բազմություն Է, ապա //,(2,.»,)-ն (օ)-ի Տանք »,-ին Ճ: (ճ|ՀՓ) ներքին կետ է, այսինքն` 3, (44,)Հ(թ): աճ, հաստատագրված, կստանանք թողնելով )օ ի (Գ Ճ.)») (/65(Թ) կետը: Միացնենք /ք, ն Ճ/ կետերը ուղիղ ֆերենցելի է

(2«»)5

գծով,

կստացվի Ա)»-լմ,մ|

(,)Հ()ՍԱյ):

հատվածը

ն

նշանակենք

Ունենք՝

Ս(1)-

|Թ2::04-Թու0Փ:/24::07.» (ո)

Ա)

(չ)

է:

-Ս(մ,):

որտեղից` ձ,Ս (1)

Ս( ԽՃ.

.

| Ե(5)։)ժ».

Չ)

ԽՀ |

)-Ս(պ.»)Հ / թ(.),)..» .

-

Ե(ո0-Ճ.),)-Ճ

(0ՀՕՀՒ.

(3)

(այստեղ կիրառեցինքմիջինի մասինթեորեմը):Վաշվիառնելով նան ԹԱ») -իանընդհատությունըձ/, կետում,կստանանք՝

թ(օ0-Ճ»):)5 Բ(»»3:): աման ձ,Ս

Քանի որ

4/,(2,.),)-ն (Ծ)-ի կամայականկետ է, ստանում ենք` Ս.005»501). 0ւ«Թ)):

Նույն կերպ ապացուցվումէ Սան՝

Քանի, որ ապա

Ս,(1)Հ001), (4«(5)): Ք(//),Չ(4/) ֆունկցիաներըանընդհատեն ()-ում,

վերջին երկու հավասարություններիցհետնում

է նան

Ծ՛,Ծ՛

ֆունկցիաներիանընդհատությունը,որը նշանակում Է (7/1) ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը(Թ)-ում:Ստացանքնան՝

40(«»)5Բ(.))ե'ԷՉ0Թ»)Փ(թա)«Թ):

Բավարարություն:Տրված է,

որ

գոյություն ունի

դիֆերենցելիֆունկցիա, այնպիսին,որ՝ ն, ուրեմն ցույց

տալ,

/Հ

որ

ճանապարհից: Դիցութ 4-նն

|22::

(/)-ը այդ

8 -ն

ինտեգրալը անկախ է ինտեգրման

կամայականկետերեն, պատկանող(Թ)-ին, կոր է: Դիցուք

252(,»-2»Ռ(«»օՇ16:84թ (46(2),»(6),86(Թ),»(8))):

եր Բժ:

Օ4»-

(դ

պարգ

կորը տրված է

պարամետրական տեսքով

Հաշվիառնելով(1)-ը ունենք՝

ԹՇՆ)»0))»6ՉԸՆ)»0))»-6)6

անն)»(3)-20:0:602»0))2-6»:1ԽՆն)»() ՀՍՐ(,»03)-6Ն6)»())-ս0-ս(4)-սի:

է

կետերըմիացնող ն (Ք)-ում պարունակվողկամայա-

կան անընդհատ,պարզ

-

(Ք)-ում (ոլ)

4Ս(«»)5 Ե(»).:0(2))Փ (թա»)6Թ)) -ն է հանդիսանում (1) համակարգի լուծում: Պետք ՍՄ Օօ

իսկ

(4)

Այսպիսով, թեորեմի պայմաններիառկայությամբ տեղի ունի Նյուտոն-Լայբնիցի բաճաձնը՝

|4:-0Փ-Սիլ

(5)

(6)

Ստացվածըհենց նշանակում է ինտեգրալիանկախությունը ինտեգրման ճանապարհից:Ջ Թեորեմ 3: Դիցուք 5.ք,,0.0.6Շ(Թ), որտեղ (օթ)-նմիակապ տիրույթ է (տես |2).(3|):Որպեսզի 1Հ

|»::-:04,ինտեգրալը

ան-

()

կախ լինի ինտեգրմանճանապարհիցանհրաժեշտԷ ն բավարար,որ (օ)-ում տեղի ունենա հետնյալ պայմանը`

Խ՛(»»)50.(2»)|

(6)

Սպացուցում:Անհրաժեշտություն: Տրված է, որ 7» ինտեգրալըանկախ է ինտեգրման

|24:-: 04»

0)

ճանապարհիցն, ուրեմն ճշմարիտէ (տես (1))՝

Ս.(»»)»

Բ(շչ) ն Ս,(5))»0(»)):

Հաշվի առնելով այն,

Ի՛(5»»),(7-ից

ածանցյալ` :

ստանում

Ա

Թ(»»)-ը ունի անընդհատածանցյալ ենք, որ Ս(ւջ»)-ը ունի անընդհատխառը որ

Ս2»55Խ(»):

3)

Նույն կերպ դատելով,(7) -ից ստանում ենք, որ Մ

(չ.»)-ն ունի

անընդհատխառըածանցյալ՝

Ս.(6)»50.6)):

(9)

Քանի որ խառը ածանցյալները անընդհատությանկետերում հավասարեն իրար, ապա (8)-ից ն (9)-ից, ստանում ենք (7)-ը: Բավարարություն:Տրված է (6)-ը. Վերցնենք (Զ)-ում պարու-

նակվող կամայական անընդհատ, պարզ,

փակ

()

կոր, նրանով

սահմանափակվումԷ որոշակի (Զ,) տիրույթ: Հաշվի առնելով (6)-ը,

Գրինիբանաձնից(տես 2.թ. 2.) ստանում ենք՝

Հ05-ի0-6» -0:

փու

դ

(օ,)

Այստեղից,ըստ թեորեմ1-ի ստանում ենք

1»

|Թ.:0Փինտե-

ՕՕ

գրալի անկախությունըինտեգրմանճանապարհից: պ

2.4. ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՓՈԽԱՐԻՆՈՒՄ ԿՐԿՆԱԿԻ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ՄԵՋ

Դիցուք

հարթության վրա տրված է

,»

ճափակվածկտոր վրա

առ

(Ծ)

կտոր ողորկ (7") եզրով ն` (ա,») հարթության

(Ճ) տիրույթ, սահմանափակվածկտոր առ

րով: Ենթադրենք,որ

տիրույթ, սահմա-

այս

կտոր ողորկ

երկու տիրույթներիմիջն

(»օՇ'

«(աո),- (ա)

(ճ)

(Դ եզ(1)

ֆունկցիաները ստեղծում են փոխմիարժեք համապատասխանություն: Այս դեպքում, անբացահայտ ֆունկցիաների տեսությունից (տես |2).3)) հայտնի է, որ

օն») Ք(ո») քլ») օ(»)) թ

ԿԱտեղ, օրինակ

,

2)

լ

|ե(ո») (ւ) օ(.)) աթ) ա») խչ(ա»)»:(ա)

--չ---Հ|,

,

«-

7(աս)(Յակոբիի որո-

շիչ կամ յակոբիան): (2)-ից հետնում է, որ այս որոշիչները զրոյից տարբեր են ն, քանի որ անընդհատեն, ապա նրանք ունեն որոշակի ներքին կետին համապատասնշան: Այստեղիցհետնում է, որ խանումէ

(ճի

ներքինկետ ն հակառակը:Ուրեմն (Ճ)-ի(7՛)եզրին (Ծ|-ի

համապատասխանումԷէ (օՓ)-ի (7) ս»

ս(),-6(դ

եզրը: Եթե

ունենք (Ճ)-ում

(աօՇ/ (6:8)) հավասարումներով

տրված

(7՛) կոր, այնպիսին,որ ս՛(ո)Ե,՛(դ՛Հ 0, ապա «(ա(),5(9)52(),»5»((2,5(0)»»0) 05 5:65) հավասարումներովորոշված (ո 3)կորը պարունակվումէ (Զ)-ում: պարզ

5»

Ընդ որում

ներ

«(),»(ւ)

ֆունկցիաներըունեն անընդհատածյանցյալ-

«(ՕՀան(յ»(0)ա՛(0Հա(ա()»5(0)»՛(), »՛()Հ3-((8.»0))-ո՛0)«3-(ան),»6))-5՛(Դ,որոնք միաժա-

մանակզրո լինել չեն կարող, քանի առնելով, որ

50») օ(..»)

որը հակասում է

Եթե

Հ

7(ա»)»:0

որ

հակառակդեպքում, հաշվի

կստանանք,որ

վերը նշված պայմանին:

(ձ)-ում (ա)

ո՛(/)Հ»՛()»0, ,

է (7) (ԱԼՅՆ)

կետը շրջանցում

ան-

ընդհատ, պարզ փակ կորը դրական ուղղությամբ, ապա համապատասխան (».) կետը (1)-ի պատկեր հանդիսացողանընդհատ, պարզ

փակ (/,)

((Ր,)Հ(Թ)) կորը կշրջանցի դրականկամ բացա-

սական ուղղությամբ: Առաջին դեպքում կասենք որ (1) ձնափոխությունները պահպանում են կողմնորոշումը,երկրորդ դեպքում` փոխում են այն:

Հաշվենք (Ք) տիրույթի մակերեսըարտահայտված (ա,) փո-

փոխականներով, լրացուցիչ ենթադրելով,որ հատ

խառը

ածանցյալներ:

Դիցուք

2112)-ն

(7)-ն

ունի անընդ-

որոշված

է

ս»ս(ի,Խ»Ն() (աօ Շ՛|.:6)) հավասարումներով, որտեղ թ:8| հատվածըընտրվածէ այնպես, որ, երբ 7-ն շարժվում է Ձ -ից /Թ. համապատասխան(«(դ,»(1)) կետը շրջանցում է (Ր)-ն դրա-

կան ուղղությամբ:Ունենք (տես 2.2 (5))՝

այչ

ք-

Մ)

-ին »(ժ)օ,((՛,.(1):ա՛()Հ»չա(դ,50))՛(024--

ե:

ՀՀժյ.--

Փ

2» ՀԻմեէ»-

Թ)

(3)-ի աջ մասի նշանը ճշտելու համար հաշվենք այդտեղ գրված ինտեգրալը,բերելով այն Ռիմանիինտեգրալի, երբ (7՛)կորը տրված

է

ս»ա(1),ԽՀՆ() Ֆ

Հ

ծ.

ը 9252)

Փո

ժ»ՏԱՅԵՒ»

ծ,

ԱՈ

տեսքով: Ըստ Գրինի բանաձնի

ԺՓ

.ՀՇՎա.ՀՀ-

Հ.Թ.

առ

ի

մոմ,

96»)...

9-»

Փ

Փ.

ՇԵ

3.

/

|| 1(ան)մամ Արյա.

Խի

առակն»

ՖԽ

(4

որտեղ ձախ մասի ինտեգրալըշրջանցվում է դրականուղղությամբ: Քանի որ մակերեսը (3), (4)-ից հետնում է, որ օէ | (5)

դրականէ, ապա

(այա:

պարզ է, որ

իխ(աիանլ

օ-

(5)

6)

Ընդ որում,

ձավ, որ

բանաձնի ստացման ընթացքում պարզ դարյակոբիանիդրականնշանը համապատասխանումէ այս

1(ա»)

կողմնորոշմանպահպանմանը,բացասականնշանը` կողմնորոշման փոփոխմանը: միջինի մասին թեռրեմը, կստաԿիրառելով (5)-ում

.Հիկա",'|Ճ,որտեղ՝ կա,» )օ (ճ)։ Վերցնենք կա-. մայական ոօ(Ճ)((Ճ)Հ(ձ)) ն (Ճլ)-իտրամագիծը`((Ճլ)-ին նանք՝

պատկանողցանկացածերկու կետերիմիջն եղած հեռավորությունձգտեցնենք զրոյի, այնպես որ ներից մեծագույնը )

պահպանվի 4/,Հ(ձյ) է, իսկ`

2՛- զու(ձյ)

4.Ժառ(Ծ.):

պայմանը: Դիցուք Շնորհիվ

ների անընդհատության՝

«(աս),»»«»(ախ)ֆունկցիա-

հղ4-0: Քանի

Խ-՞

Մ(.»)|ֆունկցիան, ուստի՝ -

»»

(Ճ.)-իպատկերը (0,)-ն

նռյ-

ոչ:

որ

անընդհատ է

նան

Այսինքն յակոբիանի

/

բացարձակ արժեքը ցույց է տալիս, թե որքանով է աղավաղվում (լայնանում, կամ սեղմվում) մակերեսը փոփոխականներիփոխարինմանդեպքում: Այժմ վերհիշենք մեկ փոփոխականի դեպքը` 76 Շլճչե| (ճՀԵ):

Եթե

(2չԵ) 3Յ/՛(«)ե

.ճ

աճող է), ապա, երբ

Մ/(ռ)-ից /(Ֆ),

է

(7

»-ը

Հ

այն դրական է (ֆունկցիան մոնոտոն

փոփոխվումէ ճ-ից ծ, /(»«)-ը փոփոխվում այսինքն պահպանվում է կողմնորոշումը

0 դեպքում կողմնորոշումըփոխվում է): Մյուս կողմից, ըստ

Լագրանժի թեռրեմի

/՛(է)-ձ

7/(Ե)-/(ո),ՃՀԵ-:,Է6 (ռչԵ)): ն Ճ-ն ձգտեցնենքզրոյի, Եթե վերցնենքկամայական»,(:ծ)

'

(ժ»

այնպես որ պահպանվի

(ոչ)

պայմանը,ապա

7(ա)-րղտ:

Այս դատողություններըցույց են տալիս, թե որքան խորն է ածանցյա-

լի ն յակոբիանինմանությունը: Դիտողություն 1: (5) բանաձնըճշմարիտ է նան այն դեպքում, երբ փոխմիարժեքլինելու պայմանը խախտվածէ վերջավոր թվով անընդհատ,պարզ կորերի վրա (տես |3)): Օրինակ 1: Դիտարկենք , շառավղով Օ(00) կենտրոնով շրջան բնեռայինհամակարգում՝

ո-6059,

7տչոք

(0ՀՒՀԻԽ,0ՀՓՀ2Չ):

Նշված ֆունկցիաները արտապատկերումեն|0:թ)»0:27| ուղ-

շառավղով Օ(0.0) կենտրոնով շրջանի վրա: Փոխմիարժեքությանպայմանը խախտված է հետնյալ կորերիվրա` Ւ»0 հատվածը արտապատկերվում է Օ(0,0) կետի, իսկ 7-0, ՓՀ2Պ, ղանկյունը

Ք

հատվածները արտապատկերվում

են

միննույն |Օ:4)(4(տ:0))

հատվածի վրա: Ինչպես արդեն նշվեց, (5)-ը ճշմարիտ է նան դեպքում:Հեշտ է համոզվել, որ տվյալ դեպքումյակոբիանը՝ 7»:

այս

Թեռրեմ 7 (փոփոխականների փոխարինումըկրկնակիինտեգհալում): Դիցուք (»«.»)հարթությանմեջ տրված է (Օ) տիրույթ, սահմա-

նափակվածկտոր առ կտոր ողորկ մեջ

(7)

եզրով ն`

(ձ) տիրույթ, սահմանափակվածկտոր

րով: Այս երկու տիրույթների միջն

ֆունկցիաները ստեղծում

են

«Հ

առ

(ո,») հարթության

կտոր ողորկ

«(ա»),»Հ (ան) (.»6Շ'

(Դ եզ-

(ճի)

փոխմիարժեքհամապատասխանու99

թյուն: Ենթադրենք,որ

( )-իվրա որոշված է անընդհատֆունկցիա`

օ(թէ Այդդեպքումճշմարիտէ հետնյալբանաձնը՝

ԼԱ

(ե)

/Մ66»Ը)))-Մ(աչյձճան|

մաՀ

Ապացուցում:Տրոհենք

(թ)-ն կտոր

առ

կտոր ողորկ կորերով

Այն կառաջացնի(ձ) տիրույթի համապա-

մասերի (0.),է»1...,ո:

տասխան տրոհում (Ճ),8Հմ..ո: օ,

իլլ(այրաԽ»ի (ոչ...

-

ը9.)6 (") յական

ն

(6)

Ընդ

որում

((ւ,»)օ(Ճ.թ:Վերցնենք կամա-

կազմենքգումար

»(ա.,5.).Ֆ(պ,.))-0.Մն

օ-

դյա իա», ՀՏՄՆՆա Նշանակենք`օ" Եթե

Հ

4»0:

ոռ

որ

նուց"

2,7(«(ո..),»(ո,.».))-Ա(ս,,».)լճ.:

ո(ժռու(ձւ ),1» ուա(Վոռս(քլ), ապա ակնհայտ է, Պարզ է նան, որ՝

1»

2-50

»

1 («(5),»(ա»))1(ա»յման,հո(Ժ-օ")-0

(վերջին պնդումը ապացուցվում է նույն կերպ, ինչ համապատասխան փաստը, օրինակ, երկրորդ սեռի կորագիծ ինտեգրալի դեպմ:ա քում): Այստեղիցհետնում է, որ

կող

Օրինակ 2: Հաշվել

7»

Ս

5: ռեա

Կատարենք («ԵՀդաթ:

փոփոխականների փոխարինում` ՃՅՏ

Գ:7-:605Փ,) ՀԵ'ր-5ոՓ (ՀՒՀ1,

Հեշտ է համոզվել,որ

10.9)»4Ե՛

:

0ՀՓՀ2Պ):

Այսպիսով,ունենք`

7»

«Ե

Հ1).4-» իմՓ|ն» շալը) Ւ

ժ

/

շ

-

է 12

ք

3. ԵՌԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

3.1. ԵՌԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

Սահմանում

1:

Դիցուք տրված է

2»2(:"»),2-2(5))

ված

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄԸ ԵՎ ՀԱՇՎՈՒՄԸ:

6,.26

(Մ)մարմին, սահմանափակ-

օ(օ,«(5»)52(»»)

րնույթներով ն գլանային մակերնույթով, որի կտոր

առ

()

կտոր ողորկ

ընդհատֆունկցիա /

կորն է

եզրը, իսկ ծնիչները զուգահեռ

առանցքին: Ենթադրենք նան,

ուղղորդ

որ այդ

մարմնի վրա որոշված

մակե-

(Օ)-ի են

է ան-

«(7)(տես նկ. 11): Տրոհենք մարմինը կտոր

(5,) մակերնույթներով (7) (8»71..ո) մասերի: Այն պայմանից, որ (7.)-ի (5,) եզրը կտոր առ կտոր ողորկ է, այսինքն, բացառությամբ վերջավոր թվով (5,) -ին պատկանող անառ

կտոր ողորկ

ընդհատկորերի, մնացած կետերում կա շոշափող հարթություն (տես ստորն 4.1, սահմանում 3), հետնում է, որ (7,)-ն խորանարդելիէ,

(3): Վերցնենքյուրաքանչյուր մասից պատահաայսինքնունի ծավալ կան /,

կետ

(4.«|(.))ն

կազմենք գումար

-

տեղ Մ.-ն (7,)-ի ծավալն է: Նշանակենք

օՀ

»՝ (41.)-Ն,, որէՀ)

որտեղ 4»ոաւմաո(ն.),

Ճճու(Ն.)-ն (Մ.,)-ինպատկանող ցանկացած երկու

եղած հեռավորություններից մեծագույննէ: Եքե գոյություն ունի վերջավոր սահման

ն

ձ/, կետերիընտրությունից)՝ կոժ»1» 4-0

կետերի միջն

(անկախ տրոհումների

|լթ24., Թ)

այն կոչվում է եռակի ինտեգրալ: Ելնելով կրկնակի ինտեգրալի հետ նմանությունից, առանց հետնյալը: ապացուցելու (այն դժվար չէ բերել) ձենակերպենք ապա

Եկ.

Թեորեմ 7: Վերը նշված պայմաններիառկայությամբ գոյություն ունի եռակի( 1) ինտեգրալըն այն կարելի հաշվել հետնյալ կերպ՝

իթ

Թ)

Եթե ()-ն,

2(ւ»)

| /(.»«թւ|

աա

«(ո3)

|:

իր հերթին

(,.36 ՇԵԼ».

«-6:-Ե»Հ-Խ(Թ)»-Ը)

կորերովսահմանափակվածսեղանակերպ է, ապա՝ ծե

12նչ»)

սն)

«նա))

ո /» |լա»«Ճ

Շ)ՀԸ))

| 7(.».2թ2է

(17

3.2. ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՓՈԽԱՐԻՆՈՒՄԸ ԵՌԱԿԻ

ԻՆՏԵԳՐԱԼՈՒՄ

Թեորեմ 2- Դիցուք 3.)»2Հ

մին, կտոր

առ

կտոր ողորկ

մեջ՝(42) մարմին, կտոր

առ

տարածության մեջ ունենք

(5)

կտոր ողորկ

«-«(Եղ.6),» Հ(ոդ.է).«Հ«(Էղ.:) ներ, որոնք ստեղծում

(7)

ն

(Զ)

են

եզրով ն,

ժ,7,չ

(7) մար-

տարածության

(2.) եզրով: Տրված

6ջ«օՇ'(Թ))

են նան

ֆունկցիա-

փոխմիարժեք համապատասխանություն

մարմիններիմիջն:

Դիցուք տրված է /(։"),2)

«Մի ֆունկցիա: Այս պայման-

Մ6

ների առկայությամբճշմարիտ հետնյալ բանաձեը՝

փոփոխականների փոխարինման

է

Սն.

5.2)մամ:

-/ԱԸ(դ.(),»(6դ.4).«(Հո. որտեղ

-

իդ. Հյոծճո«ժ

0)

(3)

յակոբիանըորոշվում է հետնյալ կերպ`

2:

1(Հ.դ.4) |»

«|

«ս Թեորեմի ապացույցը, տեգրալիդեպքում:

ըստ

Օրինակ 1: Հաշվել (՞ Էջ

էության նույնն է, ինչ կրկնակի ին-

23)

«2

մակերնույթովսահմանափակվածմարմնի Մ ծավալը: Նախ նկատենք, որ ծավալ հաշվելու համար (1)-ի մեջ հարկավորէ վերցնել / 4: Այնուհետ նկատենք, որ մակերնույթիհավասարումից,որտեղ 2,-ը ն »-ը մասեն նակցում քառակուսի աստիճանով,հետնում Է, որ մարմինն ունի համաչափություն (5,2).(22) հարթությունների նկատմամբ ն, -»0:

նելով`

Հ

Ուրեմն,բավական է մարմնի ծավալի քառորդը հաշվել, վերց2.

Հ

0,» Հ 0:Բնականէ անցնել գնդային համակարգին

Հ

980:605Փ,

Ր:

Է

Հեշտ 1Հ-պրՑ:

է

Հգ 7-60:0

Ւ:

2» 5110: 51ոՓ,

ՒՇ050

ՕՀՈՀո0ՀՑՏ-0ՀՓՏշ

համոզվել, որ գնդային համակարգում, յակոբիանը՝ Մակերնույթի հավասարումից, ստանում ենք՝

ՒՀզ-400560:

Հ»

Այսպիսով` Մ»

ե

«5

«լօոծած ՛

ոզ

-

225.

|

)

«ԸՕ5046

Հ

ՀԸ3

տուց

՛

25.

:

4. ՄԱԿԵՐՆՈՒԹԱՅԻՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

4.1. ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹ,

ՇՈՇԱՓՈՂ ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆ,ՆՈՐՄԱԼ,

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹԻ ԿՈՂՄ, ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹԻ ՄԱԿԵՐԵՍ

Սահմանում

թյան մեջ,

1:

Դիցուք (Օ)-ն տիրույթ է, ընկած

տրված

ն

է

Հ»-/(»»)

ֆունկցիա

հարթու-

,»

(Մ6 օ(թ))։

(5)-(2»7(»»)): (5»)«(ռ)| եռաչափ տարածությանենթաբազմությունը կոչվում է մակերնույթ, տրված

տեսքով (տես նկ.12): Պարզ է, որ՝

2Հ/(2չ»)

բացահայտ

»7(5.»)): («))6 (5) (5)ՀՎՆ.

Նկ. 12 Սահմանում

թյան մեջ, ն

այդ

2:

Դիցուք

(ձ) -ն

տիրույթ է, ընկած

ա»

հարթու-

տիրույթում տրված են

2»7(ա),»5(2»),252(թ6)

Շ'(Ճ)): Լ121: Ա) (Ե(ա»),»(ոռ),2(ա»))

ֆունկցիաներ(2. ),2«

(5)-

բազմությունըկոչվում է րական տեսքով` են

7Հ

պարամետրեր:

(()օԹ)

անընդհատմակերնույթ,տրված պարամետ»-ն կոչվում

«(ա»),»» ջ(ա»),2ՀՀ(ա»), սա-նն

Պարզ է որ՝

ՆՆ (ճ):։(5) (5)«Ե(ա»),»(աճ),«(:»))

մա-

կերնույթը կոչվում է պարզ (ինքն իրեն չհատող), եթե պարամետի են (5) մակերնույթի տարբեր արժեքներին համապատասխանում

տարբեր կետեր: Մակերնույթըկոչվում է պարզ փակ, եթե պարզ լինելու պայմանը խախտված է ինչ որ պարզ փակ, կտոր առ կտոր ողորկ կորի վրա: Երբ մակերնույթըտրված է բացահայտ տեսքով, ապա դա նույնն է, ինչ այն տրված լինի չ»»»»»2-7(Ը5.)) պա-

րամետրականտեսքով (2. փոփոխականներըպարամետրերիդերում են): Ակնհայտ է, որ բացահայտ տեսքով տրված մակարնույթը պարզ է:

Սահմանում Հ»

7(.))

ՆՈՆ

Դիցու,

3:

Մ««)|

(տ) մակերնույթը

բացահայտ տեսքով (տես

տրված

սահմանում

է

1),

մակերնույթի կետ է: (Ճ(ա.)5(Թ),2 Հ7(,.Ֆ) որ 71,(2,,),.2,) կետով անցնող հարթությունը (5) մա-

ԴՊ

Կասենք,

կերնույթի շոշափողն է (շոշափող հարթություն է) այդ կետում, եթե ինչպիսի /«(5) (4(.»,7(»»)).Ը-.»)6(Թ կետ էլ վերցնենք, ա-ի

ք վեկտորի կազմած անկյունը այդ հարթության հետ ձգտում է

զրոյի, երբ

կետը,մնալով մակերնույթիվրա, ձգտումէ 7/,-ի:

Սահմանում

4:

(2...)

կետում շոշափող հարթությանը

ուղղահայաց վեկտորը կոչվում է մակերեույթինորմալ այդ կետում: է Թեորեմ Եթե մակերնույթը տրված (5)

/7(ե») Մ6Շ(),

(թ)-ն տիրույթ է) բացահայտտեսքով ն, /-ը դիֆերենցելի է կետում, ապա (թ) Ճա.) ՃՈ (.3:2) 65) 65705") կետում (5) մակերնույթըունի շոշա2»

փող հարթություն, որի հավասարումնէ՝ 4-2

ԵՐ-«)Է42-))

Ապացուցում:Պարզ է, հավասարումով Ճ:«2-4)Հ»-)ը»

որ

որոշվող

ՓՀԽՆՆ):-ԵՆ):

(0)

ո(ք.գ,-1)վեկտորը ուղղահայաց է (1) հարթությանը

Եթե

.նշանակենք՝

Ճ/(Ճ)-7()-7(ա)06»64Թ.Խն»7617/46).

հ/,11 Հ(ԽՃՃ(,)):

մմ

Դիցուք

ապա՝

էՓ

վեկտորը կազմում

անկ-

յուն Դ(ք,զ,-1) վեկտորի հետ: Ակնհայտ է, որ մմ վեկտորի (1) հարթությանհետ կազմածանկյանզրոյի ձգտելը համարժեք է նրան, որ (-ն ձգտի 90-ի, որն էլ, իր հերթին համարժեք է Շօ5Փ-ի զրոյի ձգտելուն: Ուստի, հաշվենք ՇՕ5Փ-ն ե, այն գնահատենք, հաշվի առ-

7, |թՀՎՃ:5"|:0) Ճ(ե)» ք-Ճ::գ-8:օ(թ)

նելով / ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը (2..7,)6 (Ծ) կետում՝ Ունենք՝

Իզ'Ճ» |ք.ԽՀզ:/ԽՃ/(5) ՎեշՀճ» «ձ/(Ճ):Վթ«զ«1

|Թգվ-

ՎՃ

Հ

5.

Ստացվածընշանակում է, որ (1)-ը շոշափող հարթություն է:

Ջ

Նույն կերպ սահմանվում է շոշափող հարթությունը, երբ այն տրվածէ պարամեւորականտեսքով՝ Շ/ «(ա»),Հ-)(ա), 25 2(ա»)26

Է».:

Դիտարկենք հետեյալ մատրիցը

»

յալները վերցրած են

(ճի):

(բոլոր ածանց-

"7,

ն

(ո,») կետում), որի միջոցով կազմենք հետնյալ

մինորները(Յակոբիիորոշիչները,կամ կարճ, յակոբիանները)`՝

Դ: Ֆ

թ-ի

ե

ԱՐԱՐԱԾ

Մոայոա

՛

Հ,

»

,

ա

Շ»-

՛

՛

Մ

»

Խնդիր 1: Ապացուցել,որ եթե

՛

՛

՛

42,"Ճս»

ա :Ֆ-5 "3:

47(ա)Հ8(ա)«Շշ(աչ)»0

այսինքն

՛

ՀՀ,"

»

3)

((ա)«(ձ),

(4)

4(:,5),8(ա,),Շ(ա,ն) յակոբիաններըմիաժամանակ

զրո

չեն ( Ճ)-ում,

ապա

ԿԽՐԹՇ)»06),:01))6(5)

Ը

(ա.,)«(ձ)

կետում գոյություն ունի շոշափող հարթություն, որը պարամետրական տեսքովգրվում է հետնյալկերպ՝

«5:(ա-ա)Հ7/-(-»լ)

«-

(5)

»-55Ֆ--ա)է-:2-) 2-29 «2, :(ա-ա)3 2ԹՀ-չ),

(6) (7

այստեղ բոլոր մասնակիածանցյալներըվերցված են տում:

4/,(ա,,»,)կե-

Խնդիր 2: Դիցուք ճշմարիտ է (4)-ը ն, որոշակիության համար (աչս) կետում Շ» 27-77-27: »0: Քանի որ Շ-ն (5), (6) համաԽՈ

կարգի գլխավոր որոշիչն է, ապա այս հանակարգըմիարժեքորեն լուծվում է ա-այ,-Նգ-ի նկատմամբ: Լուծեք այդ համակարգը ն ապացուցեք, որ (5-7) հավասարումներով որոշվող շոշափող հարթությանհավասարումըբացահայտ տեսքով կլինի` (8) 42-Ճ):8Թ-5)Շ(2-2)-0:

(8)-ից հետնում է, որ այս շոշափող հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը Պ. կետում (շոշափող հարթության նորմալը) կլինի՝

դ(4,8.Շ): ն,

եթե 6,/,)՛-ով նշանակենք ո(4,8,Շ) նորմալի համա-

Ֆ,շ առանցքների պատասխանաբար

դրական ուղղությունների նրանց կոսինուսները(ուղղորդ կո-

հետ

կազմածանկյունները, ապա սինուսները) կորոշվեն հետնյալ բանաձներով՝ «Օգ

վ-Լ-Ճ-- .,օ08Ֆ--Յ.... 428: 4:Վ89:-Ը՛

Շ

«Ը

ՇՕջ7/ՀԷՀ-բաաաաաաաաաաաաա (9)

ընդ որում (9)-ում պետք է վերցնել ամենուր կամ միայն դրական նշանը կամ` միայն բացասականը:Այս դեպքում կասենք, որ կետից կետ նորմալի ուղղությունը փոփոխվումէ անընդհատորեն: Պարզ հաշիվը ցույց է տալիս, որ այն մասնավորդեպքում, երբ մակերնույթը տրված է 2» 7/(.,») Մ«Շ(թ) բացահայտ տեսքով, ապա

համարելով, որ

չա»,

ստանում

ենք (տես նան (1)-ը)

Ուրեմն նորմալի ուղղորդ

45--քՔ,8Հ-.ԸՀ1:

--բ--բՀ---»»»», ՇՕՏ0/ ք

Հ

Վ.

Էզ

ՇՕՏ7/7

005Հ

Ֆ---Հ-----«-

կոսինուսներն են՝ զ

Գ-բ------». -

Վ. Էզ-1

մք Հզ41 (19)

ս

ընդ որում ընտրվում է ամենուր կամ վերնի նշանը, կամ` ներքնի: Սահմանում 5- Մակերնույթը, ինչպես էլ այն տրված լինի, կոչվում է ողորկ, եթե նրա յուրաքանչուր կետում կա շոշափող հարքություն (կա նորմալ): Եթե նշված պայմանը խախտվում է վերջավոր թվով անընդհատ կորերի վրա, ապա մակերնույթը կոչվում է կտոր առ կտոր ողորկ: Սահմանում 6- Մակերնույթըկոչվում է երկկողմանի, եթե նրա վրա ինչպիսի անընդհատ,փակ, պարզ կոր էլ վերցնենք ն այդ կորի կամայական /7/, կետում ընտրենք նորմալի որոշակի ուղղություն, երբ շրջանցում ենք այդ կորը կետից կետ փոփոխելով նորմալի ուղղությունը անընդհատորեն ե վերադառնում ենք նույն 7/շ ապա

սկզբնակետը, նորմալի ուղղությունը համնկնում է նախնականի

հետ:

Իսկ եթե մակերնույթիվրա գոյություն ունի այմպիսիպարզ փակ կոր ն կորին պատկանողայնպիսի կետ, որ երբ այդ կետում ընտրում ենք նորմալի որոշակի ուղղություն ն, վերը ասածի պես այդ կորով վերադառնում ենք նույն կետը պարզվում է, որ նորմալի ուղղությունը փոխվել է 180՝ -ով,

միակողմանի:

ապա

այդպիսի մակերնույթը կոչվում է :

Միակողմանի մակերնույթի օրինակ է Մյոբիուսի թերթը (տես 3): Այդ թերթը այնպիսին է, որ երբ սկսում ենք այն ներկել, շարժվելով մակերնույթովապա, ի վերջո թերթըներկվում է ամբողջովին: Այսուհետ կդիտարկենք միայն երկկողմանի մակերնույթներ: Սահմանում 7: Երկկողմանի մակերերնույթիկողմ ասելով հասկանում ենք մակերնույթի այն կետերի բազմությունը, որոնց վերագրված են նորմալի ուղղությունները այնպես, որ կետից կետ անցնելիս նրանք փոխվում են անընդհատորեն: Կողմը ընտրելու համար բավական է որնէ կետում ընտրել (9)-ը (կամ (10)) բանաձներում նորմալի ուղղորդ կոսինուսների նշանը (այդ նույն նշանը պետք է պահպանել բոլոր մնացած կետերում): Եթե մակերնույթըտրված է բացահայտ տեսքով ն որնէ կետում ՝

ՄյոբիուսԱվգուստՖերդինանտ(1790-1868)-գերմանացի երկրաչափ:

ընտրելենք «օ5)՛ -ի դրական նշանը (նորմալը կազմում է սուր անկյուն Հչ առանցքի դրական ուղղության հետ), ապա այդպես ընտրված մակերնույթի կողմը կանվանենք վերին: Երբ նորմալը կազմում է բութ անկյուն շչ առանցքի դրական ուղղության հետ (ընտրել ենք 2657-ի բացասականնշանը), ապա մակերնույթի այդ կողմը կանվանենքստորին: Եթե մակերնույթը փակ է (այն սահանափակումԷ ինչ-որ մարմին) ն, երբ որնէ կետում նորմալը ուղղված է դեպի այդ մարմինը (ուղղված է ներս), ապա մակերեույթի համապատասխան կողմը կանվանենք ներքին: Իսկ, եթե նորմալը ուղղված է դեպի դուրս, ապա այդ կողմը կանվանենքարտաքին: Սահմանում 8: Եթե ընտրված է ողորկ պարզ մակերնույթի կողմը, ն՝ նրա վրա վերցված է անընդհատ,փակ պարզ կոր, ապա այդ կորի շրջանցման դրական ուղղությունը կորոշենք հետնյալ կերպ՝ եթե դիտորդը դասավորվի այնպես, որ կողմին համապատասխան նորմալը ուղղվի ոտքերից դեպի գլուխ, ապա կորը այդ ուղղությամբ շրջանցելիս նրանով սահմանափակվածմակերնույթի մոտակա մասը դիտորդին երնա ձախից (հառակ դեպքում` բացասական): Այդպես է սահմանվումմակերնույթի կողմնորոշումը: Սահմանում

տեսքով`

9:

Դիցուք տրված է

2»2/(ո»)

Մ6

օ'(5).

ողորկ եզրով տիրույթ է: Տրոհենք

7,

ԱՀՎ,..,ո) կորերով (օ,)

կորեով

ն

ոա

բացահայտ (5) մակերնույթը

(օ)-ն (Ր) կտոր (օ)-ն կտոր

առ

մասերի: Դիտարենք

2Հառանցքին զուգահեռ

առ

կտոր

կտոր ողորկ

7,

ուղղորդ

ծնիչներով առաջացած

ո) գլանային մակերնույթները, որոնք կառաջացնեն

(5) մակերնույթիտրոհում (5,) (ո»1..,ո) մասերի:Յուրաքանչյուր (5,) մասում ընտրենք կամայական//, կետ ն այդ կետում տանենք 7",

այդ

շոշափող հարթություններիցկանջատեն (1.) հարթ պատկեր-

ներ (7, մակերեսով): տրամագիծ (Ժռու(տ) (5) մակերնույթի

է

կոչվում

այդ

մա-

կերնույթիցանկացած երկու կետերիմիջն եղած հեռավորություններից մեծագույնը, իսկ 1 կոչվում է (5) մակերնույթի Հ

ոմմեռու(5.)

մակերես ասելով հասկա(5) մակերնույթի

տրոհման տրամագիծ:

նանք դոշն (տես նկ.3):

Նկ.

Թեռրեմ2: Եթե տրվածէ (5) մակերնույթըբացահայտ տեսքով՝

22/2») ողորկ

ո )

0Շ

(թ),(թ)-ն տիրույթ է), որը ունի կտոր

եզր, ապա(5)

-ը-քառակուսելի էն (տես

առ

կտոր

(1))՝

(մթ«զ:«1-մա5

(11)

(5)

Ապացուցում:Քանի որ թության վրա, իսկ )՛չ

-ն

(2.

)-ն

(7,)-ի պրոյեկցիան է

հանդիսանումէ 2,»

2,»

հարթության

հարն

կետում տարված շոշափող հարթության կազմած անկյունը (7՛, -ն նան նորմալի են Հ առանցքի դրական ուղղության հետ կազմած անկյունն Է), ապա Օ, 7 6օ57,|(տես նկ. 13): Պարզ է նան, որ »

ԷՀ

թաժթո(ի. Հզ«1-0-

ումաու(0.)-»0,ԻՈթՂ-

)-»0

Տ-րոֆն -րոջ՝ | ո-50 1» |Ը657՛, վրդ

-

-

(6)

թ չ««1.:5:

ռ

:

Ուրեմն՝

Դիտողություն1: Եթե (5) մակերնույթը տրված է պարամետրա-

կան տեսքով

«(ա)»

(ա),

2(»)

(5), 4: 8:-Շ»0)

Շ/

(տես (3)), ապա նույն կերպ սահմանվումէ այդ մակերնույթիմակերեսը ն, կարելի է ապացուցել, որ

|ի48

-մախ:

Ը

(գաուսյանգործակիցներ) զշանակուններ ձ

(2)

Եթե ներմուծենք

40242). 6562«02

5-(ա)

ԲՀՀ

"Ի:

63,

2,

Ք.Շ-Ի: ապա` (տես, օրինակ|3)), 42 82-Ը» Անցումը գաուսյան գործակիցներինհաճախ հարմար է հաշվարկ անելիս: Կիրառելով(12)-ում միջինի մասին թեորեմը (տես 2. 1, դիտ. 1), կստանանք`

Տ«վթ-6-Բ.. 4 |ս՛«(չ)։

(43)

4.2. ԱՌԱՋԻՆ ՍԵՌԻ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒԹԱՅԻՆԻՆՏԵԳՐԱԼ

Սահմանում

1:

րամետրական տեսքով 5»

ն

նրա վրա որոշված անընդհատֆունկցիա

(Ճ)-ն կտոր

հենք

որ առ

մակերնույթըպա-

ՀՀ2(աս) Կ), 25Շ/

«(ա.),5 (ա),

Ենթադրվումէ,

(5 )

Դիցուք տրված է պարզ

(Ճ)-ի(չ)

/(».3.2)

եզրը կտոր

առ

կտոր ողորկ կորերով

(այե)

(Խ)

ն

(»յ..ո)

(է-1..ո):

(5.)մասիցպատահական//, (5:) կազմենք գումար Ժ»3՝ /(//,)-5,. որտեղ Տ,-ն (Տ) մա-

Ընտրենքյուրաքանչյուր կետ

(/«Շ(5)):

կտոր ողորկ է: Տրո-

մասերի,այն կառաջացնի(5) մակերնույթիտրոհում՝

(Ճ)«(Ե,»(աջ),«()):

Է

«

է«1

11)

ոռ»ճ/ռու(5,),ապա առաջին սեռի մակերնութայինինտեգրալ ասելով հասկանումենք կերնույթի մակերեսն է (տես նկ. 13): Եթե 4»

1ՏԵՏո

հետնյալ վերջավոր սահմանը (անկախ տրոհումներից ն //,

կետերի ընտրությունից)`

(5:)

|/(.»:06: հուֆ՝ /(81)-5.Եմ

Թեորեմ

17:Վերը

6)

նշված պայմաններիառկայությամբ, առաջին

սեռի մակերնութային

//(- 5.2)45ինտեգրալը գոյություն ունի ն

6)

այն բերվում է հետնյալ կրկնակիինտեգրալի՝

մ

)6-1-ին

(«7,2

իւա)մԲ-6-

Ապացուցում:Ըստ4.1, (13)-ի՝

5.

Իմամ:

(ա2),Ֆ(ա)

Վ8.6-Ի

Բո

4.

(ՈՀ(,))

ուրեմն` (1)-Վ8:6-Բ Ն, շ---՝/(8,)-5. «3-7 Ճ: է»|

կ»1

()

գումար` Ժ«Ֆ-/(1.)-ՎԲ-6թ,

Թ

մ

Կազմենք նոր

«4

(3)

52)

Նկատենք, որ 1՛

ոճ:զէռու(ձչ)-»0,երբ ոզ ճգու(5)-50: Հ

1ՀԵՏո

1ՀԱԷՏո

Նույն մեթոդով, ինչ երկրորդ սեռի կորագիծ ինտեգրալը Ռիմանի ինտեգրալի բերման դեպքում, ապացուցվում է, որ Քանի որ Ժ-0՝

50:

մահ, || / («(»),»(ա»),2(ա)Ք:ՇԲ 6)

«1լրուօ՝ ապա

ուժՀ1:

ռ

Դիտողություն1: Եթե մարերնույթը տրվածԷ

««Շ'(5)

Հ«Հ(5)) բացահայտ տեսքով, (տես (1) ..

ապա

(1) բանաձնըկընդունի հետնյալ տեսքը

»2)4:ք «զմո»: 1/2» ա՛5».2(»))ՎՈՒ

Օրինակ 1: Ստանանք/Ճշառավղով հ բարձրությամբգնդային սեգմենտիմակերեսի բանաձնը՝ 27-Թ-հ) Գնդի կենտրոնըտեղադրենք սկզբնակետումն օգտվենք կոորդինատային գնդային հա«Հ մարգից` /:5/1:0:6050,

|5Հ

8-570-5տժ,

2» Ք-օ0:0(0ՏՓՏ2Հո0ՕՏՅՏՑ):

առանցքիդրական ուղղության ն թ շառավիղ վեկտորի հետ կազմած անկյունն Է, որը համապատասխանումէ գնդային սեգմենտի հ բարձրությանը Այստեղ

6,-ն

շ

(ե'ՀՋ-Բ-օօ5(6,)- Ա-«օ:(6,))):

Այսինքն, այս դեպքումպարամետրերնեն`

ս»: 6,։

»

Փ: Ուրեմն՝

Ի)ո ՀՀ» 8(6050:605-Փ460550: 110)» հշ, 50170

ԽՀ

օ»-77 Վ)27 8227 8շ(Տոտ-Տո04-Տո:8-60520) - 87. 916, Բ-Ի) 2:4:5 Հ

Հ

Ք՛(-60560- ՈԹ:

05:

Տո

6050: 5110: 0050: |ւ)»

0:

Մակերես ստանալու համար պետք է (1) քանաձնում վերցնել 7Ը-.).2) 51: Կստանանք`

րշ

Հ

2ո-Ք-

բ՛.տո10400

ձ,

|չո0-40»--2ոԲ60:00 »2դ-հ (1-6048,)-2ո-8-ի:

4.3. ԵՐԿՐՈՐԴ ՍԵՌԻ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒԹԱՅԻՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

Սահմանում

1:

Դիցուք տրված է

բացահայտ տեսքով ((26 Շ՛

/(.)2)

ՄՀ

մակերնույթը

(5)-ի վրա

-(չ»)

ՀՀ

().(թ)-նտիրույթ է), կտոր

ողորկ եզրով ն, ենթադրենք

ֆունկցիա

(5)

առ

կտոր

որոշված է անընդհատ

Շ|5))Ընտրենք (5)-ի արտաքին կողմը :

(նորմալը կազմում Է սուր անկյուն շ առանցքի դրական ուղղության հետ), տրոհենք (5)-ը կտոր առ կտոր ողորկ կորերով

(5)

(«-1..,ո)

մասերի, ընտրենք յուրաքանչյուր

պատահական (6

(5.)

որտեղ ,-ն ԺՀՖ-7(մ.)-ք,. է»)

(5:))-իպրոյեկցիանԷ 2

կետ

(ք.)-ի

(5) մասի

կազմենք

ե

մակերեսն է, իսկ

գումար

(0.)-ն

հարթությանվրա (տես նկ. 13):

Երկրորդ սեռի մակերեութային ինտեգրալ (տարածված մակերնույթի արտաքին կողմով) ասելով հասկանում ենք վերջավոր սահման

(անկախ

թյունից)՝

լիա

(5.)տրոհումներին /, (5:) կետերի ընտրու6

ըրք-ոտւ-բամարգ)

Ներքին կողմով տարածված երկրորդ սեռի մակերնութայինինտեգրալը սահմանվում է նույն կերպ, միայն բոլոր Օօ,մակերեսները վերցվում են բացասական նշանով: Այսինքն, երբ փոխվում է կերնույթի կողմը, ապա փոխվում է նան ինտեգրալի նշանը:

մա-

Թեռրեմ 7: Վերը նշված պայմանների առկայությամբ գոյություն ունի երկրորդ սեռի մակերնութայինինտեգրալըն այն կարելի է հաշվել հետեյալ բանաձնի օգնությամբ՝

//42»::ոՓ»-չ|/Թա»:(52)) 66.

(5)

(4)

է մակերնույԸնդ որում, դրական նշանը համապատասխանում թի վերին կողմին, իսկ բացասականը`ստորին կողմին:

Ապացուցում

7(.»::(»))

բարդ

4-ոռւն,-»0,

Թեռրեմի պայմաններից ֆունկցիան անընդհատէ

երբ

Պարզ է, որ (թ)-ում:

)-»0: Մնում ոռագլոուկ5,

երկրորդ սեռի մակերնեութայինն կրկնակի նումներից:

է որ հետնում

Ջ

օգտվել

է

սահմաինտեգրալների

Դիտողություն 1: Պարզ է որ` ԷԾ, -11, :6057/,, քանի որ այս բաէ մակենաձնի ձախ մասում դրականնշանը համապատասխանում րնույթի վերին կողմին (7՛, -ն սուր անկյուն է, ուրեմն` 257, »0), իսկ բացասականը նշանը` ստորին կողմին (7՛/-ն ուրեմն` 05) ՀՕ մեջ, կստանանք՝

բութ

անկյուն է,

): Անցնելով սահմանի ինտեգրալային գումարի

հոֆ՝ 4-30

ո -:

Ր)

7041)-1..ԸՕ57/, )-կոֆ՝ Հ

45: (55.2):605)/

Այսպիսով, ստանում ենք երկու սեռի մակերնեութայինինտեգրալների միջն հետնյալ կապը (անկախ կողմի ընտրությունից,քանի որ մի կողմից մյուսին անցնելիս 7՛-ն փոխարինվումէ 7 -Է 7՛ -ով, ուստի

-ն փոխում է իր նշանը): «057/

|/(»:թ»»

6)

Սահմանում

2:

//(5»,:)::65745 (5)

5)

Դիցուք տրված է

պարզ

րնեույթպարամետրականտեսքով՝ «Հ

«(ա)»

Հ Ֆ(ա»),2Հ(աՆ)

(5 )

երկկողմանիմակե-

0.26Ը/

(Ճ)

,

ընտրված է մակերնույթիորոշակի կողմը ն, նրա վրա որոշված է ան-

ընդհատֆունկցիա

(5)-ի եզրը կտոր առ կտոր ողորկ է: (5)-ը տրոկտոր կորերով (5) (2»1....ո) մասերի, ընտրենք

Ենթադրենք, որ հենք կտոր

առ

/(25.7,2)6 Շ(5)։

յուրաքանչյուր (5.)մասից պատահական//,

(5.)կետ ն

կազ115

Ընդ որում դրական նշան է Ժ-Ֆ3՝ /(1.)-(85.):

մենք գումար

է»1

ընտրվումայն դեպքում, երբ

|Ֆ,)-ի եզրի շրջանցմանդրական ուղ-

ղությանը համապատասխանումԷ

(5,)-ի

եզրի շրջանցման դրա-

կան ուղղությունը (պահպանվումԷ կողմնորոշումը),իսկ եթե կողմնորոշումը փոխվում է, ապա ինտեգրալայինգումարում ընտրվում Է

-Ծյ

-ն:

նում

ենք վերջավոր սահման (անկախ տրոհումներից ն 7/,

Երկրորդսեռի մակերնույթայինինտեգրալասելով հասկաՀ

կետերիընտրությունից)՝

8(.):(Հ0.)» բոֆ7(

որտեղ 4

-

5.)

76 3Դ22:.22

(5)

մոո(5լ): ոճ» է 15 Տո

Թեռրեմ 2: Վերը նշած պայմաններիառկայությամբ գոյություն ունի երկրորդ սեռի մակերնութայինինտեգրալը ն այն կարելի է հաշվել հետնյալ բանաձնի

ա (առ),2(ա,»))-(«Ը) լ («(ա»),

մո2.) 2»

ո»

«յ

(5,),2):605)45,

Ն)

(6)

որտեղ Ը -ի նշանի ընտրությունըորոշվում է մակերնույթիկողմի ընտրությամբ, ընդ որում բավական է որնէ հարմար կետում ընտրել նշանը(այն կպահպանվիբոլոր այլ կետերում):

Ապացուցում: Քանիոր

յ» Թ) -

Շ05)/՛ Հ

շխա)

ի:

Է

Շ

փոԻ8-Ը

,

ապա

- ))/ (57,2)-6057/415 (5) -

Հեա

Հ(ա»)): աՆ),

«Շմախ»

«(ա»),(ա»),Հ(ա.)).(«Շ)ձան: Ն

Դիտողություն2- Եթե վերը նշված մակերնույթի վրա որոշված են ԾՕ,Թ6 ֆուկցիաներ,ապա նման կերպ սահմանվում են

/ թո. 5)

ԸՄ) ինտեգրալներըն, || 0454. ||ոմոժ 6) 6)

մար կունենանք՝

-

թգշզ:: | | (5)

Հ

նրանց գումարի հա-

Օգ)մ2Հ Էզոմ)-

ԷՔ-ՇՕ05))45, //Թ-«օ50::0-«օ58

(7

65)

որտեղ 2, /8,7-ն Տ մակերնույթիկողմին համապատասխան,նորմալի կազմած անկյուններն են համապասխանաբար1, »,2 առանցքներիդրականուղղություններիհետ:

Օրինակ

1:

Հաշվել

(5)-ը 45ՇԾՆ8,ՇյԾ,

(տես Նկ. 14),

Բժ) |/20:2:: 0454: (5)

,

որտեղ

ուղանկյունանիստիարտաքին կողմն է

Ծ(0.0), Ճ(0.0.0),5(0.Ե.0), Շ(ճ.Ե.0),

Ճ(606),8/(65,.:),Շ(.Ե.:), օլ(.0օ)

Նկ

Կ, 506

Շ(5):

Տրոհենք ինտեգրալը 6 ինտեգրալներիըստ ուղղանկյունանիստի նիստերի ն, հաշվի առնենք յուրաքանչյուր նիստին համապասխաննորմալի ուղղությունը, օրինակ վերին 4,8,Շ,Թյ նիստի

ԺՀ90,ԹՀ9ԶԺՑ,)7/-Օ0,

համար

Օ.-90.Թ-90,

7»180', ՕՀ

Ըստ

Պ8ՇԾ-ի

ստորին

համար՝

ՃՕ0լձ նիստի համար՝

90', Թ-180',

7/90՝

(7)-ի ունենք՝

նայլն:

Ք(6.,2))42| (Ե(4,3,2)-

յ

-

(ԿՆ0յ0)

յ

Ի

(48ԸԾ)

(0(5Ե,2)-Օ(50.2))424:Ժ

Ճ(53,6օ)-8(5.».0))ն»:

4.4. ԵՐԿՐՈՐԴ ՍԵՌԻ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒԹԱՅԻՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ԿԱՊԸ

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹԻ ԵԶՐՈՎ ՏԱՐԱԾՎԱԾ ԿՈՐԱԳԻԾ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ՀԵՏ

Գրինի բանաձնի ընդհանրացումը հարթ մակերնույթի (տիրույթի)դեպքից տարածականմակերնույթիդեպքը, կոչվում է Ստոքսի բանաձն: Թեռրեմ

7:

Դիցուք տրված է

(5)

պարզ

կերեույթ պարամետրականտեսքով՝

-Շ՛»0)

ն

նրա վրա որոշված

(

ֆունկցիաներ թ, Ե՛,Ք՛.0,0..0-,

մա-

է.26Շ(Ճ9

5-«(:»),-»(5.),2-2(.») (48

երկկողմանի

Բ(:.7,2),0(52.2),8(.,),.:)

1.հ., Բ,« Ը|5|):

Այս պայմաններիառկայությամբճշմարիտ է հետնյալ (Ստոքսի)

բանաձնը

ՇՕՏ0. 05/8ՕՏ

Վ

Եմ

-

ԲմշՀ ՕժջՀ

|

--

Փ

ժ.

թ

օ

հ

|է5»

օ:8:(22-:»). օա«(Ց--55)»« 165-28)«

6) ՝

Ժ

--

ծ.

ՍտոքսՋորջ Գաբրիել(1793-1841)-անգլիացիֆիզիկոս:

Փ

օօ5/)25

(4)

(ձախ մասում գրված ինտեգրալըվերցված է

(5)

մակերնույթի(Ր)

եզրի շրջանցման դրական ուղղությամբ, որն իր հերթին որոշվում է մակերնույթիկողմի (նորմալի)) ընտրությամբ:

Ապացուցում:Նախ դիտարկենքայն մասնավոր դեպքը, երբ Այսինքն,ապացուցենք,որ՝

ՕՀՔՀ0:

գՔեւ.- |/թշ.-Բ,»

/6՛

(5)

(ո)

(5)

45: (2) 6058-Ք, -6057/)

Նախապեսապացուցենք,որ`

ժԲ2.(Ր)

ԽԹ).

Բ.0

(Դ

որտեղ (՛)-ն է

(Ճ)-իեզրն է: Դիցուք ()) սՀս(1,»5»(Դ(ա56Շ/ (լ2:6)

Այդդեպքում (7')

-ն

պարզ,

(3)

փակ կորը որոշված

պարամետրականտեսքով:

տրվում է

««««(0»(Թ),»-»նն)»0))«Հ«Ան)»()) («Լո8ի

տեսքով: Պարզության համար կենթադրենքնան, որ պահպանվում է կողմնորոշումը,այսինքն շրջանցման դրական ուղղությանը

(73-ի

է (Ր) -ի շրջանցմանդրական ուղղությունը: համապատասխանում

Ունենք`

վու. զեն)»())»ն)»())«են)»)յբ2 -

-

թենԹ»()),»(Ըն)»()),2(0).»ն))).

Շշա(8,»())ա/(1Հ»(ա(Ռ,5())5/())4--

4 (չճա

(4)

705):

(3)-ի աջ մասինկատմամբկիրառենքԳրինիբանաձնը,կստանանք`

45-(ասաԽ) Ա)Ժ(5-) ձոՀ(Թ:)ԽՀ-

(Դ

խոռ 122,(Թո),

-

-

6)

-

-Ք-)/- թ.) (2-2 ՒԲ.2. ճ) Քանի

որ

թ»

մառ - /2-2 64)

Թ(«(ա»),»(ա)), ապա

-

Բ )ձառԽ:

կիրառելով

բարդ

ֆունկցիայի ածանցմանկանոնը,կստանանք՝

4»(Աձ Դ

Հ-/(

Խ)-

2 «5-«-( 2-25 այյա»|5-(22-« 22 ԲՐ (2-ա-Հ ա»

Թ) -

ճ)

րյառ-լրատ-տաթ: 6)

ՈՐ. ռ)

Ժ

Ապացույցըբերեցինք այն դեպքում, երբ կողմնորոշումը պահպանվում է, հակառակդեպքում, ճույն ձնափոխություններումերկու անգամ կփոխվի ինտեգրալի նշանը (մեկը` (3)-ում, մյուսը` (4)-ում), արդյունքումնորից կստանանք(2)-ը: Եթե Ք-»Ռ-0, ապա նույն կերպդատելով,կստանանք՝ Օժ»:-0,գ)42:005)-01:6050)45: (15)

Թ

յօ.

|0.25

6)

Իսկ, եթե Ք»Օ»0,

ապա՝

վ/ւ- ||224(5)

տ)

6)

Խ4:մ.-

Խ.:6058)45: ||ՍԵ-օօտա-

(6

Ր)

Գումարելով(2), (5) ն (6)-ը, կստանանք (1)-ը: Ջ Դիտողություն1: Թեորեմի 7.26. Ը (Ճ) պայմաններըհարկա-

վոր են միայն ապացույցը կան է, որ չ,),26 Սահմանում

Շ'(ձ): 1:

հեշտացնելու համար: Իրականում բավա-

Դիցուք եռաչափ տարածության ինչ-որ

մարմնումորոշված է վեկտորական

(7)

թՀԲ(աՍՀՎԵ(»:.Խ(5»:.Ի(5»ժ) «Բ»

դաշտ:

7օԼԻ

,-Յ) (ՀՀ.5-3,

վեկտորական արտադրյալը

Բ վեկտորի ռոտոր (տարամիտություն) կանվանենք ա

թաբ

ՄԱՆԱ

ՅԻ

ո

ֆ

թ -

րով

Զվյվի

Զ

ո

Բի(-- Հի ՛|Ջք ՉԻ

Ի,

Բ

(5- յ

է.

3Բ ՉԵ

(7)

Դիտարկենք (7)-ումպարունակվող,կտոր առ

(5)

պարզ

տեսքով

2»

Ի ,Բ,ԲՇՇ

«(մ»),»-»(ա),2»

(չ)։

Ը.5.26.

(ա)

Շ'

(Ճ)):Դիցուք

Այս պայմանների առկայությամբ կիրառելի

ՇՕՏՕ..

Վ

կտոր ողորկ եզ-

երկկողմանիմակերնույթ,տրված պարամետրական

Ստոքսի բանաձնը, եթե` Ք»Ի,ՕՉ» նանք՝

ԲԻԹ

ժԲ

ԺԲՃ||-.

'

/

է

Բ, Բ»ք.: Արդյունքում կստա-

ԸՕ5ԹԸՇՕՏ

գ

ծ

Փ

Բ

Խ

-

--»չվր»չաբ-գչ.

--

ծ բ

-

Թ8

որտեղ 7-ը միավորնորմալն է, համապատասխան (5) մակերնույթի կողմի ընտրությանը, Դ»« 7011-ը նշված երկու վեկտորներիվեկտորականարտադրյալն է:

(8)-ի ձախ մասը կարճ գրվում է

վեկտորիոլորապտույտ

7 տեսքով ԺՔԲ-

(ցիրկուլյացիա)

ն

կոչվում է Բ

(7") եզրով:Այսպիսով,(8)-ը

(Ստոքսիբանաձնը)ընդունում է հետնյալ պարզ տեսքը

Բ.414 /ի..,845: (5) Մ) (9)-ից հետնում

է, որ

դ

(9)

7օԲ-ի սահմանումըկախվածչէ կոորդի-

նճատայինհամակարգի ընտրությունից: Իրոք, դիցուք /չ-ն (7)-ի կամայական

կետ է ն, Դ-կամայականմիավոր վեկտոր է (վեկտորը տրված է, եթե հայտնի է նրա պրոեկցիան կամայական ուղղու-ին ուղղահայաց թյամբ): ԴիտարկենքԴո հարթ պատկերներ, որոնք պարունակում են /Ճ/չ-ն ն որոնց մակերեսը ձգտում է

պաշար»

Նկ.15

զրոյի (օրինակ 7Ճ/չ կենտրոնով,

Ւ

շա-

ռավղով շրջան, որի մակերեսը Տ -ը ձգտում զրոյի, երբ 7-ը ձգտում է զրոյի ) (տես նկ. 15): (9)-ի աջ մասում կիրառենքմիջինիմասին թեորեմը,կստանանք` . է

ժԲ.-41Հ |//թ.,Բ:5օկ: 5)

2)

(70:Բ-ը անընդհատ

է, անընդհատ են

Այստեղիցկստանանք՝

էլ "օւ,

Ի) ՛

Կո

»

դ

մոոճ-0

ոօ,

Իլ լխ.

»

(մ.«(5))։

նրա կոորդինատները):

խո

«4 ժո Զ

ժաղՏ-»0

Տ

:

(10)

Այսպիսով ռոտորը կախված չէ կոորդինատայինհամակարգի ընտրությունից: Ստոքսի բանաձնըկիրառվում է տարածականինտեգրալի ճանապարհից անկախությանհարցում: Նախ սահմանենք տարածական միակապություն:

(Մ) մարմինը(((7) Շ.՝)) կոչվում է տարածական միակապ, եթե (Մ)-ումպարունակվող ինչպիսի (1) պարզ, Սահմանում

2:

փակ, կտոր առ կտոր ողորկ կոր էլ ընտրենք, նրա վրա կարելի է «ձգել» այնպիսի (5) պարզ, կտոր առ կտոր ողորկ մակերնույթ,

որ՝(5) Շ(Մ)((5)-ի եզրը (1)-նէ):

Սահմանում

Դիցուք տրված

(7)

են

եռաչափ տիրույթում

(մարմնում) երեք անընդհատֆունկցիաներ ՔԲ,0,Թ6 Շ(7) ն, վերցրել Լ-

ենք

յ

կամայական երկու

թաՀՕճ»-Է

(6)

պարհից, եթե պարզ,

մշ

/,86(Մ):

կետ

Կասենք,

որ

ինտեգրալը անկախ է ինտեգրման ճանա-

(Մ)-ումպարունակվող ինչպիսի

երկու

(է).0.)

անընդհատկորով էլ միացնենքայդ կետերը,ճշմարիտէ մ: |24::-04-հմ.| (ո) Ա.)

8մշ

00):

հավասարությունը: Բերենք նշված ինտեգրալի ինտեգրման ճանապարհիցանկախության անհրաժեշտ ն բավարարպայմաններ: Թեորեմ2: Որպեսզի ինտեգրալը անկախլինի ինտեգրմանճանապարհից անհրաժեշտ է ե բավարար, որ (5)-ում պարունակվող ինչպիսի պարզ, փակ, անընդհատկոր էլ վերցնենք,ինտեգրալըայդ կորով հավասար լինի զրոյի: Ապացույցը նույնն է, ինչ երկչափ դեպքում:

Թեռրեմ 3: Որպեսզի ինտեգրալըանկախ լինի ինտեգրմանճաայնպիսի նապարհիցանհրաժեշտէ ն բավարար,որ գտնվի (7)-ում դիֆերենցելի ֆունկցիաՄ (2, 4Ս

»,

2), որի դիֆերենցիալնէ՝

(5,2,2)ՀԵ(.),2)::0(57,2)Փ:Է8(5.»»2)42:

Ապացույցը նույնն է, ինչ երկչափդեպքում:

Թեորեմ

4:

Դիցուք

ՔԲ,0,Թ6Շ'(Մ)

ն

(Մ)-ն տարածական

միակապ է: Որպեսզի ինտեգրալը անկախ լինի ինտեգրման ճանապարհիցանհրաժեշտէ ն բավարար,որ` Հադարրատա-

ՀԱԼ

ապատ,

ատպաւսաթ

ՏՅԱՆ

առապատա»

ռտաաանառ

ՀԱԱԱ «ռտարաւա

Անհրաժեշտությունըապացուցվում է այնպես, ինչպես երկչափ դեպքում:

Բավարարություն:Օգտվենք թեորեմ 1.-ից: Վերցնենք պարունակվող, կամայական «ձգենք»

(5)

կորի վրա

այդ

(Մ)-ում

փակ, անընդհատ կոր

պարզ,

(Մ)):

մակերնույթ ((5)

Օգտվելով

Ստոքսի թեորեմի պայմաններից, կստանանք, որ փակ կորով ինտեգրալըհավասար է զրոյի: Ջ

բանաձնից ն

ն

այդ

4.5. ԵՌԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ԿԱՊԸ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒԹԱՅԻՆ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ ՀԵՏ

Թեռրեմ 1: Դիցուք տրված է կտոր

առ

կտոր ողորկ

(7)-իվրա որոշված

(5)

(Մ)

պարզ

մարմին, սահմանափակված

փակ մակերնույթով (եզրով)

Ե(.3:2),0(55.2),8(.».2) (5.Ք.0.0,.Խ86

ֆունկցիաներ: Այդ դեպքում Օստրոգրադսկու բանաձնը

ճշմարիտ

ՀԱՑմած 116: Լա6050, մշ-

Օ:

Շ(7)

հետնյալ՝

է

ն

Գաուս-

05/3 Ք: 6605) )45ի

(7

որտեղ Ժ.,/3,7-ն դ արտաքին նորմալի կազմած անկյուններն են համապատասխանաբար 2, Ֆ, 2 դրականկիսառանցքներիհետ:

Ապացուցում:նախ, ենթադրենք, որթ»ՕՀ0 սահմանափակվածէ րնույթներով ն

(թ)-ի կտոր առ

ՄոՏո

(պ.26

(7)

մարմինը,

2Ե)

(5՝) գլանային մակերնույթով, որի ուղղորդ կտոր ողորկ

(7`)

մակեկորն է

եզրը, իսկ ծնիչները զուգահեռ

ո3Դ-ի թ. 1-ը): Ունենք`

(տես նկ.11

7Յոո«(թ)9 ըրե (53))ա 15. լոտ.

-

|ւ լո ա»«(շ)«ծ-

(6

Հ(.)),2»2())

ՀՀ

ն

Ջ

|լ»:

(Թ

|Լ:::2

5)

են

Այստեղառաջին ինտեգրալըտարածվածէ արտաքին, երկրորդ ինտեգրալը իր նշանով` ստորին կողմով, երրորդը` կողմնայինմակերնույթով, այն զրո է: Այսպիսով` Չր

Հ» //-||ո«25/45:

(2)

՝

Ց

Ընդհանուր դեպքում, երբ մարմինըտրոհվում է գլանային մակերնույթներով վերջավոր թվով վերը նշված մարմինների, յուրաքանչյուր մարմնի համար կիրառելով ստացված բանաձնը ն իրար գումարելով, կստանանք բանաձնիընդհանրացումը: Թ» Ք»Հ0) մասնավոր դեպքերը ն Դիտարկելով այլ (Օ»ՔՀ0. նման կերպ դատելով, կստանանքհետնյալ բանաձները՝

5. ԹՓ -|Թ.-օ50:45

(3)

,

Թ

(րք -|/0-«55845: Մ)

(4)

Թ)

Գումարելով իրար (2)-(4)-ը,կստանանք(1)-ը: Ջ Տանք Գաուս-Օստրոգրադսկու բանաձնի ֆիզիկական մեկնաբանությունը: Դիցուք ունեն. (ՍԽ) մարմնում որոշված

(Է,Բ,Բ6Շ/7) Բ|(Բ,Բ.Բ)

ուժային դաշտ: Այդ վեկտորի դի-

վերգենցիա 4ԽԲ ասելով հասկանանք հետնյալ սկալյար

թյունը՝ ԽԲ

-

«99 Փե

գ9ի .Ծ. Բ: 9:

ԺՓ

մեծու-

Այդ դեպքում (1) բանաձնը

կընդունիհետնյալ պարզ տեսքը՝

րոր» |լու:լ || (Դ Տ

4: -ը կոչվում է Է` վեկտորիհոսք (5) մակերնույթով:

Հ Հ

Նկ.

Ցույց տանք, որ դիվերգենցիանկախված չէ կոորդինատային համակարգիընտրությունից:Իրոք, դիցուք 7/,- ն (7)-ի կամայական կետ է:

(7)-ի

պահպանելով 4/,-

տրամագիծը 4 ն

ձգտեցնենք -Վառու(Մ)

/)-ում, օրինակ` վերցնենք

զրոյի,

4/, կենտրոնով

գունդ Կիրառելով միջինի մասին թեորեմը եռակի ինտեգրալում (այն նույնպես ճիշտ է), կստանանք` ն

նրա շառավիղը ձգտեցնենք զրոյի (տես նկ. 15):

|Թ4:(1Ր«07» ձԽել,.-Մ5

ոշ

Հիո--| ժԽել: «-0

|

(5)

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Ա.Գ. Ղալումյան, Մաթ. անալիզ, 1-ին մաս, Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալհաշիվ, ԵՊՀ --ի հրատ., 2002թ.: -

ա.Գ. Ղալումյան, Ա.Ս. Մաթ. անալիզ, 2-րդ մաս, Սարգսյան, տեգրալ ն դիֆերենցիալհաշիվ, ԵՊՀ --ի հրատ., 2008թ.:

Ին-

-

/-1մ Օօ

Փաժոծոո օ/լ,

ԱՇԿԱՇՈՑԻԱՏ.,

2005.

1,4.

ս ՍԽՈՈՑՐՔՅՈԵՒԼԿ«/քՇճսՓՓ6քՇԽԱԱՅՈԵՒՕՐՕ

հ/., Փս3Յ-ոՁոո.

ճոսո.,

7.1, 2000, ՛.2

2003, ՛ՒՅ,

94288165, ԱՅՈՂՑԵՅՈՈԱԿՑՏՇԽՍԱ

ՅԵՅՈՍՅ, ԽԼ, ԷՅ,

1968.

8.4.

5.20 Մ/Եսո, 8.4. ՇՎ 40ՑԻԱԿՍՄ,

ԽՈՅՈՈՓԵՅՈՈԱԿՇՇԵԱԱ

ԸՅԻԱ108, ՅԱՅՈՍՅ, /3ճ. ՍօՇԽ.Մ/ԱՑ6քՇԱրտ6ոՈ8,1987.

Շ.ԽԼ Է/ՍՕՊԵՇԱմ, ՀՄՇ ԽԹՈՈՅԽՅՃՈՍԿՇՇԽՕՐՕ

1983. Ւ|ԹՄԵՅ,

ՅԱՅՈԱՅՁ, Ո.1.2,

ԻԼ

Խ0/Ղ0Ր0ք08, Շ.8. Փժտմր, ՅՈՏԽՏԻՈԵԼ Ո6օքսս

ՅԻՅՈԱՅՅ.

ՓՄԽՃԱԱՕԻՅՃԵՒՕՐՕ

ԽԼ, Առեք, 1976. Ա/Թ. ՅԻՅոս3.,Էէ 1,2, Լ,ՒԹՈՑ, ԺՕԾԱԿ,

Է.,

Փ/ԽՇԱԿԱս

1984.

Ու. Ռուդին,մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները,Լույս, Ե. 1975: 10.

Ս.Ա.Հակոբյան,Ֆուրիեի շարքեր

ն

հրատ. 1983: 11. Ք.

ՅՅՈՅՁՎ

1.16ԽԱՃՅՕՔՑԱՎ,

ՇԾՕքՒԱԽ

3), Մ3/.ՈՕՇԽ.,

ս

ձնափոխություններ,ԵՊՀ-ի Մոքա

հ/., 1997. 7/.ԱՅ6քՇԱՌՈծոոՁ,

ԱՅԻ

ԱՍոօ

Խոտ.

Յոռոս-

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ԼԹվային շարքեր Լ.Լ...

ԼԼ.

..........Լ....ԼԼ..ԼեՆԼ

եեւ եո,

Շարքի գումար, զուգամիտություն.զուգամետ շարքերի հատկությունները... Լ... 2. Ոչ բացասականանդամներովշարքի զուգամիտության հայտանիշներ եե... Աաաա ւական 3Յ. Նշանափոխշարքերիզուգամիտությանհայտանիշներ 4. `Ձուգամետ շարքերի հատկությունները...................................... 1.

ու...

Լեա

ԼԼ...

Ա 1.

2.

ն շարքեր Ֆունկցիոնալհաջորդականություններ

. Հավասարաչափզուգամիտություն

4.

հաջորդականություններին

Ֆունկցիոնալ շարքերի հատկություններըԼ.Լ... ոաաաաաաա ,.Աստիճանայինշարքեր................................................................ 41 Թեյլորի շարքեր աոա մաման ւ...

ե...

Յ.

Յ

ւ

ու...

Ն...

Լ.Լ

1...եե...

ոն ,,,,,53

Ֆուրիեի շարքեր

1.

Ֆուրիեի շարք, Ֆուրիեի գործակիցներ Ֆուրիեի շարքի վերլուծության խնդիրը, Դիրիխլեիինտեգրալը Լոկալիզացիայի (տեղայնացման)սկզբունքը............................. 58 Ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի վերլուծության հայտանիշներ......61 Ոչ պարբերականֆունկցիայի դեպքը......................................... 64 Վերլուծությունը կամայականմիջակայքում Անըճդհատֆունկցիայի մոտարկումը եռանկյունաչափականբազմանդամներով................................. 69 Նվազագույն քառակուսային շեղման խնդիրը: Եռանկյունաչափականհամակարգիփակությունըն ԼրիվությՈւԸբԼ.Լ... Լ... աաակաաաա

2.

ւււ...

Լ.Վ...

Յ. 4.

5. 6. 7.

8.

Լ...

1. 2.

ւո...

ււ

անա

Բազմաչափինտեգրալներ............Լ.................... Կորագիծ ինտեգրալներ Կրկնակիինտեգրալ Լ.Լ... Լ...

2.1 2.2

աաա

Լ...

աաա

Լ...

ւ...

եե... Լ.Լ... Լ.Վ... ե...

.

եե... ենե.... 76

ԼԼ...

եե...

անասնա

Ինտեգրալիսահմանումըն հաշվումը ինտեգրալի կապը կորագիծ ինտեգրալներիհետ Կրկնակի

Երկրորդսեռի կորագիծինտեգրալիինտեգրման Ճանապարհիցանկախությանպայմանները փոխարինումկրկնակիինտեգրալիմեջ........96 Փոփոխականների

2.4

3.

Եռակիինտեգրալ 3.1 3.2

4.

ու աաա

եե...

Եռակի ինտեգրալիսահմանումըն հաշվումը............................ փոխարինումըեռակիինտեգրալիմեջ «Փոփոխականների

ինտեգրալներ Մակերնութային

4.1.

4.3 4.4

Մակերնույթ,շոշափող հարթություն, նորմալ, մակերնույթիկողմ, մակերնույթիմակերես................................ 104 . Առաջինսեռի մակերնութայինինտեգրալ.................................. 111 Երկրորդ սեռի մակերնութայինինտեգրալլ.................................114 Երկրորդսեռի մակերնութայինինտեգրալիկապը մակերնույթիեզրովտարածվածկորագիծինտեգրալիհետ....118 Եռակի ինտեգրալիկապը մակերնութային ինտեգրալիԽԱ աւա աԼ Լաո Լ.Վ...

Գրականությու

Լե.

ՎԼ

ա

աաաաաաակաապաաաա

ԱԳ. ՂԱԼՈՒՄՅԱՆ,

Ա.Ս. ՍԱՐԳՍՅԱՆ

ԱՆԱԼԻԶ

ՄԱԹԵՍԱՏԻԿԱԿԱՆ

(դասախոսություններ) ԵՐՐՈՐԴ ՇԱՐՔԵՐ.

ԲԱԶՄԱՉԱՓ

Տեխ. խմբագիր` Համակարգչայինձնավորող

ՄԱՍ

ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

Վ.Զ. Բդոյան .2Ա.ՕԳ.Ղալումյան

22.10.2009 թ.: Ստորագրվածէ տպագրության : Չափսը՝60::84'/16 Թուղթը՝օֆսեթ:Հրատ. 6.8 մամուլ, տպագր. 8.1 մամուլ»:7.6 պայմ. մամուլի: Տպաքանակ՝200: Պատվեր՝134:

ԵՊՀ հրատարակչություն, Երնան,Ալ. Մանուկյան1:

Երնանի պետակամհամալսարանի օպերատիվպոլիգրաֆիայիստորաբաժանում Երնան,Ալ. Մանուկյան 1: