ELIB – Էլեկտրոնային Գրադարան | Գրքեր, նյութեր, հոդվածներ

ԵՐԵՎԱՆԻ

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Ս.Մ.ՀՈՎՀԱՆՆԻՍՅԱՆ

Ա.Կ.ԹԱՍԼԱՔՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶԻ

ԽՆԴՐԱԳԻՐՔ

ՏՆՏԵՍԱԳԵՏՆԵՐԻ

ՀԱՄԱՐ .2

ւա

ՍԱՍ

«Լ նա

ԱԱ

ԱԱԾ

| ԵՐԵՎԱՆ

ԵՐԵՎԱՆԻ

ՊԵՏԱԿԱՆ

ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

Ս.Մ. ՈՎՎԱՆՆԻՍՅԱՆ

Ա.Կ. ԹԱՍԼԱՔՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶԻ

ԽՆԴՐԱԳԻՐՔ

ՏՆՏԵՍԱԳԵՏՆԵՐԻ

ՀԱՄԱՐ

ՄԱՍ 1

ԵՐԵՎԱՆ ԵՊՀ

ՀՎՐԱՏԱՐԱԿՉՈՒԹՅՈՒՆ

(076.1) ց7

ՀՏԴ

ԳՄԴ

22.161

Վրատարակությանեն երաշխավորել մաթեմատիկայի ն մեխանիկայի, տնտեսագիտության ֆակուլտետների գիտականխորհուրդները ԵՊՀ

Խմբագիր` Գրախոս`՝

ֆիզմաթ. գիտ. թեկն., դոցենտ Ռ.Ս.

ԱՎԵՏԻՍՅԱՆ

ֆիզմաթ. գիտ. թեկն., դոցենտ Գ.Վ.

ՄԻՔԱՅԵԼՅԱՆ

ՀՈՎՀԱՆՆԻՍՅԱՆ

Ս.Մ., ԹԱՍԼԱՔՅԱՆ

Ա.Կ.

Մաթեմատիկական անալիզի խնդրագիրքտնտեսագետԱ.Կ. Թասլաքների համար. Մաս 1 / Ս.Մ. Վովհաննիսյան, 212 էջ: յան. Եր.: ԵՊՀ հրատ., 2013. --

Խնդրագիրքը կազմվել է Երեանի պետական համալսարանի տնտեսագիտության ֆակուլտետում դասավանդվող «Մաթեմատիկականանալիզ» առարկայիծրագրին համապատասխան: Նախատեսվում է տնտեսագիտություն մասնագիտության առկա ն հեռակաուսուցման ուսանողներիհամար:

ՀՏԴ ԳՄԴ

1ՏՑԻ

978-5-8084-1717-5

517(076.1) 22.161

ց7

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Խմբագրի կողմից

Լ...

ԳԼՈՒԽ |||

1. Ֆունկցիայի ածանցյալ տրված կետում 2.

Յ. ձ. 5.

ԱԱ

Աաաա,

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ Բարդ ֆունկցիայի ն հակադարձֆունկցիայի ածանցյալը..................... Դիֆերենցման (ածանցման)կանոնները Պարզագույն տարրականֆունկցիաներիածանցյալների բանաձներիաղյՈւԼԱԱԱկ Լ.Լ... Լ... Լե... Լոգարիթմականածանցյալ:Աստիճանացուցչային արտահայտություններիածանցումը «Ֆունկցիայիէլաստիկություն(ճկունություն) Բարձրկարգի ածանցյալներ ւմ............... Լ.Լ... Դիֆերենցիալհաշվի հիմնականթեորեմները......................................... 19 Թեյլորի բանաձնըԼ.Լ... Լ.Լ... կամարն ԼոպիտալիկանոնըԼ.Լ... Լ.Լ... Լ.Լ...Լ.Լ... Ֆունկցիայի հաստատունությանն մոնոտոնությանպայմանները Ուռուցիկ ն գոգավոր ֆունկցիաներ Շրջման կեմ աաա կաաակաասաաաաա էքստրեմումներ ....... Լ.Լ... Լ... աակաս նակական ն ՅՑ մեծագույն արժեքները................................ Ֆունկցիայի փոքրագույն Խնդիրներ... աա վաավակկաա աաա 41

Վ...

աԱ

եՆ.

աաացմմաան

Մ. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16.

Լ.Լ...

Լ...

ե...

ա.

Աաաա

Լե...

Աաաա

ՆԱ

կաա

աա

աաասան

Լ...

Լ.Լ...

Նանա

աաա

եւե

աաա

ԳԼՈՒԽ Ի/

1. Անորոշինտեգրալիգաաղափարը

ե...

Լ...

Անորոշինտեգրալի հաշվման(ինտեգրման) հիմնականեղանակները... Յ. Որոշյալ ինտեգրալիգաղափարը... աաա74 ձ. Որոշյալ ինտեգրալիգոյությանպայմանները 5. Ինտեգրալի ֆունկցիաների Ռամեր ԼԼ... 6. Ինտեգրալիֆունկցիաներիհատկությունները 7. Որոշյալ ինտեգրալիհատկությունները 8. Որոշյալ ինտեգրալը որպեսինտեգրմանհատվածի փոփոխականվերին սահմանիֆունկցիա................................................ 78 9. Որոշյալ ինտեգրալիհաշվման (ինտեգրման) հիմնականեղանակները... աաաաաաակկնաանա 10. Մասերովինտեգրում Լ.Լ... Աաաա ավանն նաանն Խնդիրներ... աաա անիկա ակնա աաա նվա աաա նակա,

աան

Լ...

եւե...

Լ...

ւ...

եե...

Լե...

Լ...

Լ.Լ...

ԳԼՈՒԽ '/

1. Կորի երկարությունըԼ... 2.

3Յ. 4. 5.

աա

Վ...

Հարթպատկերիմակերեսը Պտտման մարմնիծավալը Պտտման մակերնույթիմակերեսը Անիսկականինտեգրալիսահմանումը...

աաա

Լ...

աականաապ աաա

աաա աաա 112 աաա,

եւե...

Լ.Լ...

աաա

Անիսկականինտեգրալիզուգամիտությանհայտանիշներ Խնդիրներ... աաաաաաաաաաամակակաաաա

եե...

ԳԼՈՒԽ /|

1. ԹվաբանականՔ"

3Յ.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

տարածությունԼ.Լ... ՔԲ՞-իկետերիհաջորդականությանսահման Ֆունկցիայի սահման .............Վ.Լ... Ֆունկցիայի անընդհատություն Մի քանի փոփոխականիֆունկցիայիմասնակիածանցյալներ Ֆունկցիայիլրիվ դիֆերենցիալ:Բարձրկարգիդիֆերենցիալներ....... Բարդֆունկցիայի մասնակիածանցյալներն դիֆերենցիալներ Ածանցյալտրվածուղղությամբ: Գրադիենտ ՖունկցիայիէքստրեմումԼ.Լ.................... եե... Հարաբերականէքստրեմում... ե... Միքանի փոփոխականիֆունկցիայի էլաստիկություն.......................... Խնդիրներ... Լե... աաա եե,

Լե...

եե

ոա,

ււ...

ե...

եեւ...

ւււ.

աաա

ամանակ

Լ...........

ավան

աաա

մամա,

ԳԼՈՒԽ ՄՍ

Դիֆերենցիալհավասարումներ Սովորական Անջատվողփոփոխականներով հավասարումներ

Անջատվողփոփոխականներով հավասարման բերվող հավասարումներ... Լ.Լ...Լ.Լ... ւ... Հաստատուն գործակիցներովդիֆերենցիալհավասարումներ........... Առաջինկարգիգծայինհավասարումներ.............................................. Խնդիրներ... Ն...

Լ...

3. 4.

եեւ...

Պատասխաններ... Գրականություն

աա

Լ.Լ.

աաա,

վական

աաա

աաա նա

ԽՄԲԱԳՐԻ

ԿՈՂՄԻՑ

Խնդրագիրքը կազմված է տնտեսագիտությանֆակուլտետում դասավանդվող «Մաթեմատիկականանալիզ» առարկայի ծրագրին խիստ համապատասխան:«Մաթեմատիկականանալիզ» առարկայի վերաբերյալ այլ խնդրագրքերիցայս ձեռնարկըշահեկանորենտարբերվումէ նրանով, որ տեսական նյութի հակիրճ շարադրանքից բացի պարունակում է մեծ թվով խնդիրներիլուծումներ: Հեղինակներըօգտագործելով իրենց երկարամյադասախոսականփորձը, այդ խնդիրներիլուծումները ուսանողիհամարմատչելի ձնով են շարադրել` միաժամանակ հաշվի առնելով նան ապացույցներիխստությունը: Այդ իսկ պատճառովխնդրագիրքըկարող է օգտակար լինել ինչպես ԵՊ3-ի, այնպես էլ այլ բուհերի այն ուսանողներիհամար, որոնք սկսում են ուսումնասիրել «Մաթեմատիկական անալիզ» առարկան: Ռ.Ա.

Ավետիսյան

ԳԼՈՒԽ

ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇԻՎ

ֆունկցիան որոշված է (ճռ:ծ) (վերջավոր կամ

ա) Դիցուք /(») վերջ) միջակայքում Ցանկացած6

ՏՐՎԱԾ ԿԵՏՈՒՄ

ԱԾԱՆՑՅԱԼ

1. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ն չ,

(6:ծ)

(ռ:ծ) կետիհամար (Ճ:

է արգումենտի աճ,

ան-

իսկ Ճ,

տարբերությունըկոչվում

:--«ց

- 4/(օ)Հ/0)-7(ա7)Հ7ՄգաՒՃ9-70)

ֆունկցիայի աճ: տարբերությունըՃ'. աճին համապատասխանող

-շ

Սահմանում: հարաբերությանսահմանը,երբ /Ճ:

-»

(եթե այն գո-

ֆունկցիայի ածանցյալ ս, կետում: 7/(»)

յություն ունի) կոչվում է /(«)

զ),

ֆունկցիայիածանցյալն:՛, կետումնշանակվում է /"

Օգ),

ռր

Այսպիսով,ըստ սահմանման`

70-70ը) Ժ-ՐՑՀ 7 Օգ) - կրող ,

որ

Եթե (1) սահմանըհավասարէ ց

Ճ-Ճ

Հօ»

կամ --օօ,

հռ ւ.

4»

(1)

ապա ասում

են, որ

7/(»)-ը

կետումունի անվերջածանցյալ(համապատասխանաբար հավասար-Ւօ«-ի

կամ --օօ-ի): Եթե (1-ի մեջ սովորականսահմանըփոխարինենքմիակողմանի սահմաններով,ապա ստացվում են միակողմանիածանցյալներիսահմանումները` 7/(») ֆունկցիայիաջակողմյանածանցյալ:օ կետում կոչվում է

70 ո)Հ

բոռ7( Ժ/2)-70.)

Ճ:-50-0

սահմանը,իսկ ձախակողմյանածանցյալ` ՂԸ

այր

րր

7ՕաԻճՃ9-7/6դ)

սահմանը(եթե դրանքգոյություն ունեն):

Ջա

Այս բանաձները ա, կետում աջակողմյան (ձախակողմյան)ածանցյալ

ֆունկցիան տրված է |չչ:ծ) (համա-

կորոշեն նան այն դեպքում, երբ /(«)

||բազմությունում.

պատասխանաբար (4: ժեք է

կետում սովորական/՛(»)

(ռե)

5.6

(ոյ)

ածանցյալիգոյությունը համար-

միակողմյանածանցյալներիգոյությանը ն հավասա-

րությանը: բ) Ածանցյալի երկրաչաւիականմեկնաբանությունը: Շոշափողի ն նորմալի հավասարումները:

»այդ

7/(»)ֆունկցիայի

/՛(«ց) վերջավորածանցյալը 5, 6 (.:ծ)

կետում

ֆունկցիայի գծապատկերի(գրաֆիկի) «չ աբսցիսն ունեցող կետում

նրան տարված շոշափողի անկյունայինգործակիցնէ: Նշված շոշափողի հա-

Խ(օ:7(ա))

պ),

»Հ-7/(դ):(-»)Է7Ը

վասարումը կլինի

/(գ)»0,

երբ

իսկ

կետով անցնողն շոշափողինուղղահայացնորմալուղղինը`

ՀՀԿ-ն):

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Ելնելով ածանցյալի սահմանումից` ապացուցել,

»ՅՏՋոչւ,

ՖՀճ'՛,

Հ1ք2ճ, Ֆ-օջշ,

ջՀօՉՕ0Տ:,

որ

»»1ջ,շ

իրենց որոշման տիրույթների յուրաքանչյուր կետում յալներ: Գտնել այդ ածանցյալները: Օգտվենք ||գլխի 7Շ 10, 76 11 կետերիարդյունքներից ա) »ՀԸ, որտեղ Ը -ն հաստատուն է, րը

ձ-ձ)

ՀԸՇ-ԸՀ0

ԱյսպիսովԸ̀՛ բ)

ն հետնաբար՝

(թօ

Ճ-ձՀ(Հճ)-7"

նո Չ-0։ ՃՃ

Խ«»0)

Ճ.-50 Ա

նու»-

Կլ «յիտկ Զ

ՈՃ -1

Ճ.-50

«Լ

հռ Ճ:-50

ք. «Լ

Հ",

ֆունկցիանեունեն

ածանց-

կո:3--

Ը,

ք."

Այսպիսով` Ե) Հք." գ) »-Տու,

ձ-ձյ

ՍքօՔ նԴՑՄ:«6(0:-»)

Ճ 2.ՏԱՈՈ---:Շ0Տ/)1ՀԻ-2 ,

ձ)

իորդ-------Հ----»Հ

կող---

Ճ-5:0

աոաք | Ճ. | լ |3

ՏՋո(չՀ /Ճ.)-պՏուՀ

Ճչմ

Ճ.-0

Այսպիսով`(51ո2)

իո Ճ.Ծ0

Ճչմ

Ճ.-50

ՇՕՏՆ

-2--'«Տլո|ՍԻ-2 Հիկր------------Ճ:-50 Ճ:

աար ն«7

«ՀՏ

էք,

հռ .

Ճ լ

Ճ.0

ՏԼո /Ճ:

ՇՕՏ(2Ժ /Ճ:):օօՏ2 Տո

հռ ..

»Հօքչ»,

Ճ:

Ճ.

Ճ'»0

Փ--..,

Այսպիսով՝

ՇՕՏ(Ճ-Է(Ճ):Շօ057

Շ0Տ-

Է,

----ջ

6Շ05:7

որոն,

կ62

տոյ, է«7

"ՀԽ

Տ Ճ-Ճ-օՓ(ՀԽ)յ-օթչչ-Տլո(չ Հ/Ճ):Տոչշ

ո Ճօ0Ճ:։

--Տլու

չօի

ձ-ձ:ՀջԹՃ)-քչՀ

զ)

Ճճ

Այսպիսով`(ՇՕՏ2) Հ -Տոչ, ե)

օր

-օօՏ»,

-2Տ1Ոո---:Տո|Ի-2

5Ի--

չհ

դ) 7-ՇօՏշ,

Ճ.-»0

2.--:Ը0Տ8

կոտո. Ճ Տլո(մՀ /ՃԽ)-Տոչ

Ճ»,

Այսպիսով`(6էք.»)՛----

Տո:

2268, «Հոն,

Տո կօ27

Հճ",

է)

421 :26ի

զ»0,

Ճ» ՀՕ"

Ճ-

կո

Ճ.-504.

Այսպիսով` եջ) Հգ

»-10ջ,2,

Ճ-Ճ:-Թք

կո2

Ճ-Ծ0/Խ

կոռ

«6

:2»0

իճ: 2»

Այսպիսով՝ (1Թ9.»)մոզ երբ Մասնավորապես,

(ո

«8

իղ-7

«Լ

Ճ-»0

ապա

ՀՀ,

621,

169.

"ւո

«1:68

զ»0,

Ճ)-Թօք2Հ-19ք,

(Հ

«Լ

Ճ.-30

(2) Հ6", զ»0,

(

զ" |ա-1

կող

1ոզ,

Մասնավորապես,երբ 4

ը)

«զ"(ո"-1)

Ճ-50

օք

ճՃ'

ճ6»0, 021,

ւք

6»

ճոճ

2»0

ապա

ՀՀ,

8-1.

»0

Ելնելով ածանցյալի սահմանումից, գտնել ֆունկցիայի աջակողմյան

ձախակողմյանածանցյալները «, կետում:

ա)

իշ -Տչճ|,

5-2

5-5

բ) »-փո3վ,

»-թ'-ց|,

գ)

»-վոմ-6»)|

դ) ձ

"Հ

ա)ունենք ՛

ձչ «(24 Ճօ -5(23 Հ

ՃԽՐԽ -1),

77 -ՑաԻ6,

-(Ր-ՏՒ6Ց,

ՃՒ6-0-4Հ4/Խերբ Ճ.Հ0

(-օ5:2)|3:-5) 2Հ:ՀՅ

Ճշ -10-5Խ-6-Ճ-ճՃՀ

Ճ.-50-0

.0)--

Ն,

ճ:.-50-0

Ճ՛--(0ՀՃշ-52:Խ)ժ6)-0-'ճ-Ճշ երբ /Ճ.»0

ՀԽԱ-ձժ,

ն Ճ.ՀԼ

Ց.

նո

կո

Ճ:-5040

Ճ:-50-0

ՃԱ-Խ) լ

50)-1

Ճ--բ) Ունենք

այե"մ

ձ,-

-Տլո

3»)

Է Տլո 3Ճվ Բո3Խվ -

--Տ1Ո 34Ճ., երբ /Ճ:Ճ»0

նո

2»

մո

Ց.-

Ճ.

կո

ՀՅ,

կղ

ՏԵՅՑ-3, /յ

Ճ-Ծ0-0

Ճ.-5040

Բո(7Է

երբ 'Ճ:»0

Տլո3/5,

հետնաբար` Ճ,Հ

Ճ.-50-0

Ճ-0:0

ԽՃ

Ճ--գ) Ունենք

4ձյ։»

նո

Ճ.-50-0

9(35 -3, Ճ.

Դ--9:ոը,ջ0)Հ-91ո3

Ճ:սառ»

. ճ«-50«0

-դ) Ունենք

ձ» հետնաբար` Բոր

4,»

Ճ2-

նո Ճ:-50-0 Լ բո

Ֆ-

Ճ.-5040 4,

երբ /Ճ.»0

կո

երբ Ճ.Հ0

-ց.-0»«9թ" -|

ձ»-թ'" հետնաբար` Բր

:յ-8»:

՞13

աթո -ոմւմ-6/Ճ7),

կո Ճ.-Ծ0-0 լղ

Հոմ -6Ճ:)|-0»իո(-6/»յ

Ճ.-50-0

Ա-689. Լ

երբ /Ճ:»0

երբ ՀՕ ըղ

«Ին 669. Ճա

2669.6.

(0-6

6Ճ).6. ՊԱ

Ճ.Ծ50-0

լո

Ճ:-50:0

Ճա

(056

Գտնել այն կետերը, որոնցում /(»«) ֆունկցիայի գրաֆիկին տարած շոշափողը զուգահեռ է տրված ուղղին:

702.)Հ8'

-3:4

-9.2",

»-4

Ճ -Քանի

որ շոշափողի անկյունային գործակիցը հավասար է ածանցարժեքին տրված կետում, ապա օգտվելով երկու ուղիղների զուգահեյալի ռությանպայմանից,կարող ենք գրել

7 (2)

72) ՀՏ' 1ոՏ-3:4"

1ո4-9:2"

/ո2Հ

/ո2(3:8"

-9-2")

-6:4՝

0, որովհետնտրվածուղղի անկյունայինգործակիցըհավասար է 0-ի:

3:8" -6:4'

-9.2՝

2".(3:27 -6-2՝`-9)20,

2"»0

3:25-6.2"-9»0,2՝

-2:2՝ -3Հ0, 2 Հ3, Հետնաբար` 7/2 (169. 3: -27) կետում /(»)-ի

շափողըզուգահեռ է

«Հ

Գտնել տրված /՛(«)

99.3, /(Թ99,3)--27 գրաֆիկին տարած շո-

ուղղին:

ֆունկցիայի գրաֆիկին նշված («:չը)

կետից

տարված շոշափողի հավասարումը.

7(0)-34»-5, `

5»

"ՀՅ,

լՀ9

Որոնելի շոշափողի հավասարումնէ՝ /(ա)Ի 7 (ա)02- գ), որտեղ »չ-ն շոշափմանկետիաբսցիսնէ:

Գտնենք .,-ն.

Հ3ԻՒչց Քանի

որ

3-ի»ի-թ

կետը գտնվում է շոշափողի վրա,

ՃՈ(։:»լ)

ապա

նրա կոոր-

դինատներըպետք է բավարարենշոշափողի հավասարմանը

Ջ-Խա-ՅԿն Թ-Ի 5-Տ օ. 3 15Յ2, (ոյ-Ն.(պ),--3 | 5-ճՅ-օ»ի33

(ո

Նց

Հետնաբար` Պ/(3:9)

1ց

կետից /(»չ)

ֆունկցիայի գրաֆիկին կարելի է

տանել երկու շոշափող` մեկը գրաֆիկի (1:17

ՃԷ3:3

կետով, մյուսը` գրաֆիկի

կետով:

-1Ի462-1Հ42:-3

ՃԱ:0

»-ԲՅ(ԳՀՅՑ

«(30

պարամետրիմի

դրական արժեքի դեպքում

որոշ

ճ:--4

ուղիղը շո-

պարաբոլը: Գտնել շոշափման կետի շափում է /(5)-:Է22:.-26Հ«1 կոորդինատները: Ճ--Նշանակենք շոշափմանկետը 4/:(«.:)ը):

կետըգտնվում է շոշափողի վրա, ապա

Քանի որ Ճ/:(:»ց) ջը

/(ա)-2:4324»-4

--Զ արժեքըվերնի հավասարությանմեջ կստանանք

տեղադրելովյ ճ

-ջ-4--«, Քանի որ

Հայ-4-2:24206:-2441

-ն

-20Ի1Հ54-86-20-0,

գլ»--10, 6-2

դրականէ, ապա «2:

"--1,

չց|-2:(-Ս-4Հ-6

1/1(:0)Հ110ԷԱ-6) Գտնել

քում , Հ8:2Հ-.ռ

պարամետրի այն փոքրագույն դրական արժեքը, որի դեպուղիղը շոշափում է /(2)Հ5«-Է3Տ5ո

ֆունկցիայի

գրա-

ֆիկը: Ճ

Գտնենք շոշափմանկետերիկոորդինատները.

ՏԻ360Տ:

1671.

Քանի

Հ8-Հ»օ095:Հ15Հ-2:կ,

« -1025Հ3-0, որ, ըստ

որտեղից կհետնի,

օՀ-6ե,

խնդրիպայմանի«»0, որ

ճՀ67ո:

«Հ-67Ա,

ԷՀ-Լ-2:...,

կստացվի, երբ 2--1,

(ռ:ծ)

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

միջակայքում որոշված /(«")

կետում կոչվում է դիֆերենցելի, եթե գոյություն ունեն

7օ-ում անընդհատ(25),

ապա

ա) Սահմանում: (ճ:ե)

կ62

ամենափոքր դրական «-ն

2. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ե62

ֆունկցիան

թիվն

5»6(ճտ:ծ) անվերջ փոքր ֆունկցիա (երբ 2«-»»յ)

(ռ6:ծ) տեղի /()-7/()Հ42-::)ՒԷ60)2-2գ)

այնպիսիք,որ Կ.

վասարությունը:Եթե 7/(5)-ը «, կետում դիֆերենցելիէ, ցիալ «, կետումկոչվում է 4/(5) ճջ

- 4(2--չյ)

ապա

հա-

նրա դիֆերեն-

գծայինֆունկցիան:

(8չԵ) կետում դիֆերենցելիֆունկցիան այդ կետում անընդհատէ:

բ) Ֆունկցիայի դիֆերենցելիության անհրաժեշտ ն բավարար մանը: Թեորեմ: Որպեսզի (6:Ե) -ում որոշված /(»)

լինի դիֆերենցելի, անհրաժեշտ է

տում

ունենա

ֆունկցիան ,

բավարար, որ այն

վերջավոր 7/՛(«ց) ածանցյալ: Ընդ որում 4/(։յ)

(յ):

դունում է 4/()Հ7

պայ-

(6:Ե) Օօ

կե-

կետում

այդ

դիֆերենցիալն ըն-

տեսքը, որտեղ ,:-«-,-

ՃՃ:

կոչվում է

ար-

գումենտի դիֆերենցիալ: ճը 6

(Է

որ

(8:Ե) կետում /(«)

ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունից հետնում է,

ՃԾ)-/(գ)Հ70:):Թ.-Էօ(Ճ),

-»0:

երբ Ճ

Այստեղից ստացվում է մուտավորհաշիվներում երբեմն օգտագործվող

(պ): ,.

72 Ճ2Հ7(ա)Հ7

մոտավորբանաձեը:

(.:Ե5) միջակայքիյուրաքանչյուր կետում դիֆերենցելի ֆունկցիան կոչվում է (.:ծ)

-ում

դիֆերենցելի ֆունկցիա:

|.:Ե| հատվածում որոշված /(2:) ֆունկցիան այդ հատվածում կոչվում է դիֆերենցելի, եթե այն դիֆերենցելի է (օ:Ե) -ում ն

(ծ)

գոյություն ունեն

/(օ)

միակողմանիվերջավորածանցյալներ:

ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԱԾԱՆՑՅԱԼԸ

3. ԲԱՐԴ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ա) Թեորեմ: Դիցուք ցելի է /6

(02)

«-

Փ:(6::3)-5(6:Ե)

Փ(),

կետում, իսկ »Հ7/Օ),

Փ(.)օ (ճչԵ) կետում: Այդ դեպքում )

է /,

ցելի

կետում ն՝

Մ6օ)|

րենցիալը պահպանում է

7:(4:5)-»Ք բարդ

Ր(Փա))-Փ(ո).

Վերջինբանաձնիցհետնում է,

/՛(Փ())

որ ,

ֆունկցիան դիֆերենֆունկցիան

ֆունկցիան դիֆերենկամ

/՛(Փ(դ)) բարդ

ջ»»/-»-

ֆունկցիայի դիֆե-

4, - 4, տեսքը, սակայն այստեղ 4-ը

անկախփոփոխականիԽՃ: աճը, այլ

ոչ

թե

Փ(1) ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է:

Դիցուք »-

ֆունկցիան

միջակայքումխիստ մոնոտոն է

ն ան-

ընդհատ: Այդ դեպքում նրա արժեքների բազմության` Ւ միջակայքում անընդհատհակադարձֆունկցիան: գոյություն ունի 7 (ջ) -

բ) Թեորեմ: Եթե » Հ.,/(») ֆունկցիան, յ վերջավոր ածանցյալ, ապա

-Տ(»)

կետում ունի

/՛(ոչ)»0

հակադարձ ֆունկցիան », -7()

կետումունի ածանցյալ ն

800--թշ):

4. ԴԻՖԵՐԵՆՑՄԱՆ

Թեորեմ: Դիցուք «Հ7/(«)

(4:Ե)-ում

դիֆերենցելի են յ իսկ ջ(5ց)»0

7(5):90),

(ԱԾԱՆՑՄԱՆ)ԿԱՆՈՆՆԵՐԸ

»Հջ(Թ)

(4չծ) կետում: Այդ դեպքում /(«)Ի

դեպքում նան

դիֆերենցելի են չ, կետում, ընդ որում` ա)

(ՄԷջ)...ՀՄ(ա)8 -81.. Հ7ա)-804)800):7

գ)

ֆունկցիաները որոշված

ԱՃ

են

(2),

ֆունկցիաները նույնպես

0.)

կամ կարճ` (ա-Է») Հա՛Հ»՛, 762:80-70.):802), (205)

Ղ-ԿԱՅԱ

(Ա"5)՛ՀԱՀս,

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Գտնել արտահայտությանմոտավոր արժեքը. ա)

(80

բ) 8ոօՏւո(0,51) Ճ ն

օգտվենք /(«

մ ՀՏ1,

ա) Դիտարկենք/(2)-

ԷՃ:)» /(ա)Է/

Ւ Ճ.Հ80,

ֆունկցիան «յ

(ա)ձ:,

81 կետի շրջակայքում

մոտավոր բանաձնից: Ունենք

որտեղիցհետնում է /Ճ--80-81--1:

/Օ--բՐ

7()-38153,

7(89)

գր

Յ80-3-1.-2.9907

բ) Դիտարկենք/(«)

"«ՃՀ0,51,

7. )-

Յոօտւո « ֆունկցիան 2,

0,5 կետիշրջակայքում`

ՃՀ0,51-0,5-0,01

ՅՇՏո(0,5)

7-2"

ղ-0.25 8 /ա-Մ-Րք-

(Վ1ՀաՀՄ,

-յ

աոժո(0.50-Ճ-«-7.-0.01 թ

Ապացուցելհետնյալ բանաձները.

2-71. Ա-».

ա) (օո

բ) (816605) գ)

(ճոօէք

դ)

(ռոօօք

նումէ

Քանի որ

այդ

ման

Է.|Հ1

ՎԼ-՛

ար

1-2 -

«օօ

1-Ի»

Յոօտոչ,

«5

միջակայքումորոշված 2

ֆունկցիայի ածանցյալը` ՇՕՏ

հավասարչէ 0-ի, տում

-ա) Դիտարկենքչ

ԷՏ.:

|աՀ1

ապա

)

816Տո

կունենա ածանցյալ ն բանաձնի`

չ) (ՅԼ6Տ1ո

ըստ

(ոջ)

(-11)

ֆունկցիան: Այն հանդիսա-

Տո

ֆունկցիայի հակադարձը:

7-ը

այդ

ֆունկցիանյուրաքանչյուր «5»

կե-

հակադարձֆունկցիայի ածանցյալի հաշվ-

ՐՈՐ «05»

վու

(արմատինշանը վերցրինք Հ նշանով, քանի որ

միջակայքումդրականէ):

միջակայքիոչ մի կետում

օօտ

Վ-»ռ ֆունկցիան

Է: : 2,

Մ»

ւ.

5) (8ՈՇՏԼո բ) »

:"6(-ն1)

Հ ՅՐՇՇ0օ52,

ՀՅ

«6Ը1Լ)

ֆունկցիան (0:72) միջակայքումորոշված օօ525

ցիայիհակադարձֆունկցիան էն

(605) Հ-տպո)»0,

Հետնաբարյուրաքանչյուր 2

:) (81ՇՇ0Տ

».

(0)

կետում

ՇօՏ)

-քջ--Ա-ռ Լ

Տո»

(ԸՕՏ

(նույն ձնով արմատի նշանը վերցրինք փ նշանով, քանի »6

ՇՕՏ): ֆունկ-

տւո»0,

որ

երբ

(07)):

5) -(81ՇՇՕՏ գ) Յոօք,

(-ՏՀՎ»)

ֆունկցիայիհակադարձն էն

Է5:2)

միջակայքում որոշված «Հ-էք»

ֆունկցիան

ՖՀաօք:յ

ՎԼ-7-՛

(էջ »)--

Հետնաբար՝

(ճ16էջ7)

(Ջ»՛ «-օջ

(86ք 7) դ) »-ՅՃոօօք:»

2613)

ւ.

19»

ֆունկցիան (0:7)

ֆունկցիայի հակադարձնէն (6օէջ.) ,

Ը«:փԹ)

«6

..«ՑՏ)

միջակայքում որոշված լ

-----շ-»0,երբ

Տո՛յջ

Հօէք

(0):

Վետնաբար`՝

(8166էք. 7)

Հ«Փ»

(866էք 2) -16

լ --

1»

Ջոյ ն 1Է

«6

«ՀՎ

օօ)

5. ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՏԱՐՐԱԿԱՆ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿ

Ը՛»Հ0 ՖՎ

ոճ: (2)

(2)

(Տո)

)

(աթ---,ՇՕՏ-

(8օտլոչ)-

11))

(օք) (արթ

Հ'

Հ6

էմ

-Շօտ»

Պ1-չ՛

6. ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ

(Դ)Հք.»

(օք .2)Հ---, չ-ոճ

(205: --պոչ

(ՓոՀ---չ

10)

(81ՇՇՕՏ 2) --

12))

( (8ԼՇՇԷՔ)

ԱԾԱՆՑՅԱԼ:

ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ա) Սահմանում: կայքում ն /(»«)»:0,

ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐԻ

(ոչ

, Հ-

Տո:

«Լ--

, --

չք

ԱՍՏԻճԱՆԱՑՈՒՑՉԱՅԻՆ

ԱԾԱՆՑՈՒՄԸ

Դիցուք 7/(»)-ը դիֆերենցելիֆունկցիա է (ա:ծ) միջաերբ

«6

(գ:ծ):

Այդ դեպքում

(ոլ/

օյ

ածանցյալը

կոչվում է /(»«) ֆունկցիայի լոգարիթմականածանցյալ: Ակնհայտէ, որ

(ոլ/ 69

Ոռ

կամ /՛09-

/03-(ոլ/60)

(1)

բ) Այն դեպքերում, երբ լոգարիթմելըպարզեցնումէ ֆունկցիայի տեսքը, 7՛(8)-ը կարելի է հաշվել լոգարիթմականածանցյալի միջոցով (օգտվելով (1) բանաձնից):Օրինակ, եթե Հ

/(»-(«63"",

որտեղ ս(»)-ը ն 7(2)-ը

դիֆերենցելիֆունկցիաներ են, նշված եղանակովկստանանք`

70Հ(աթ"") ՀԱՅ"

իթ

Դո

շԻ1. ս)

7. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ա) Սահմանում:

ֆունկցիայի էլաստիկություն յ

կոչվում է

տում

(ՃԿՈՒՆՈՒԹՅՈՒՆ)

ԷԼԱՍՏԻԿՈՒԹՅՈՒՆ

|»Բլ

բ.()-նո

Ճ-5»0

-ի էլաստիկությանգործակիցն է

բ) եթե ։յ«0ն7/(8.)»0,

7՛(յ)

սահմանը,եթե այն գոյություն ունի: Ասում են նան, «

(6:ծ) կե-

որ

Ք,,(2.)

-ն

(կրճատ

-ի նկատմամբ: (2) սահմանիգոյությունը համարժեք է

ապա

ածանցյալի գոյությանը: Ընդսմինստացվում է ՛

ե,

(29)

Հ)

գ) Թեորեմ:

0ՀՆ2:--:ո),

ք ու,

ԼՈՅՃ

ի,

(ճչծ) կետում դիֆերենցելի

ՀԵեՀեո» առնչությանը, որտեղ

ձոոր

ոո

կետում

Է, (2),

(2):

դ) Թեորեմ: եթե ԿՀ) 2 «0

«05

(ոյ

գումարի էլաստիկությունն չ.

ֆունկցիաների »-ջլԻ»Հ:::Է», բավարարում է 7,

("ԵՄ

յ.

7 Օգ) կամ կրճատ` 7,

լո

կետում ն

ս՛(ց)

»ՀՆ(2)

»՛(յ)»50,

ֆունկցիաները դիֆերենցելի

ապա

Ք, «մ

ե) Որոշ բավարարպայմաններիդեպքում

Հէ,:

//(Փ(»))

են

-ե-ե,:

բարդ

ֆունկցիա-

յի էլաստիկությանհամար ճշմարիտ է

է,

(0)Հ ի,.Օ`) -Քա(ը) բանաձնը:

8. ԲԱՐՁՐ ԿԱՐԳԻ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ

Սահմանում:

72)

Եթե /(»)

ֆունկցիայի ածանցյալն 7.

կոչվում է »Հ./(5) նշանակվում է /՞(5.), ու1

ֆունկցիան դիֆերենցելի է (օ:ծ) -ում,

ապա

(ճ:ծ) կետում (եթե այն գոյություն ունի)

ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալ «, կետում

3)|

Ճ:7(6յ) ՂՀՀց

նայլն:

(գ)

սահմանվում

ձնով

Համանման

(Ր02)

են

7/՞"(ց)-(/՛60))

նան

:-օ

ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ «յ կետում:

1ՀՅՀ0

9. ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

ՀԱՇՎԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐԸ

ա) Ռոլլի թեորեմը: Եթե /

ֆունկցիան որոշված ն անընդհատ է |օ:ծ)

փակ միջակայքում, դիֆերենցելի է առնվազն (օգ:ծ)

7(6)Հ7(ծ),

ապա

գոյություն ունի գոնե մեկ ց

բաց

միջակայքում ն

(6:ծ) կետ, որի համար

7(գ)-0: բ) Լագրանժի թեորեմը: Եթե /

ֆունկցիան որոշված

լո:ե| փակ միջակայքում, դիֆերենցելի է առնվազն (օ:ծ) քում,

բաց

միջակայ-

65 (2:53) կետ, որի համար

գոյություն ունի գոնե մեկ

ապա

անընդհատէ

7(0)-7()Հ7(ա)ծ-4): Վերջինբանաձնըհաճախօգտագործվում է

7ՇԸԻ Ճ)Հ /Օ)Ի7/2-Ի6:Ճ3):Ճ., եթե չն

«Ի

(0ՀՅՀԼՍ,

/'ՃճՇ(ռ:ծ) տեսքով ն կոչվում է Լագրանժի վերջավորաճերի բա-

նաձն:

Հետնանք:

Դիցուք

(«ժ-ԱՄ"եՄ»0), (օ-Խ:յ)) հո

հավասար է նույն

նռ

70)

Խ|

Ք՛(2)»0,

լոյ:

7),

եթե գոյություն ունի

վերջավոր սահմանը, ապա ., կետում գո-

ֆունկցիայի աջակողմյան (ձախակողմյան)ածանցյալ, որը

74-ին՝ /(«Ժ0-Ճ(Մ7-9-2ճ):

Գգ)Կոշիի թեորեմը: Եթե /

հատվածում

անընդհատ է

միջակայքում: Այդ դեպքում,

2-34յ-

յություն ունի /

ֆունկցիան

միջակայքում ն ունի վերջավոր ածանցյալ (2:25, Է 17),

բաց

դիֆերենցելի

(ճ:Ե),

ապա

Ան . են

ֆունկցիաներն անընդհատ են |ճ:Ե|

(ռե:ծ)

գոյություն ունի

7-76). 22)-962)

բաց Շ6

միջակայքում, ընդ որում

(6:5) կետ, այնպիսին, որ

70).

ջ2)

ԲԱՆԱՁԵՎԸ

10. ԹԵՅԼՈՐԻ

ա) Դիցուք »

(5)

ֆունկցիան չ, կետի որնէ շրջակայքում

անգամ

դիֆերենցելիէ:

-ը:

6.) 29)(«. Խ)ՒԷ---Ճ-յց)Ւ----- 20)«- 2) Ի:::Ի2---Տ-«ԵԽ2)Հ76. հանրահաշվականբազմանդամըկոչվում է չչ

յ).

կետում ֆունկցիայի

ո-րդ

կարգի Թեյլորի բազմանդամ: Թեյլորի բանաձնըհետնյալն է՝

7(2ՀԵ(2Հ»09, որտեղ 7,(»5) /(2)-

ֆունկցիան որոշված է (ոլ -Ճ::-ԷՃ)

Եթե »Հ/(չ)

միջակայքում ն

միջակայքում ունի (ո-Ւ1) -րդ կարգի վերջավոր ածանցյալ, որտեղ

այդ

տրված «6

կոչվում է մնացորդայինանդամ:

Ք.(2)-ը

ոչ

բացասական ամբողջ։ թիվ

0 -ձ:յը ի)

այնպիսին, որ

կետի համար գոյություն ունի

ԵՀ -ըը Ո".

Լագրանժի ներկայացում): Եթե դիֆերենցելի է, որտեղ

-օ(Շ-)"),

(երբ

ո-ը շ

-»չյ)

Հ-/(«)

է,

ապա

ՇՀ

(2:75)

ո-ը

յուրաքանչյուր

(ՇՀ(:ց))

կետ

(Մնացորդայինանդամի

ֆունկցիան չ,

կետում

տրված տրված ամբողջ թիվ է,

անգամ ապա

(մնացորդայինանդամի Պեանոյի ներկա-

յացում): Թեյլորի բանաձննըստ մնացորդայինանդամիներկայացումներիկլինի. մ)

ԱԵ

երի«-ա) 6 օ)ՀՄՑ ՀՈՄ" Դ

«-

-Յո)"Ի,

"'ՀՇՀ"ԽՃՀՇՀՀյ)

(4)

70)-

ԵՈԸ)

«օգ

Երբ ,., --0 (2) բանաձնըկընդունի յ(:)այն կոչվում է Մակլերոնիբանաձն:

(2.-ա)").

ոշ Էօ-(Օ")) Հր ո

(2)

տեսքը.

Բ) Հիմնական տարրական ֆունկցիաների Մակլերոնի բանաձները է

Տո

ՀՖլԻօ0» 1)". Իօ0ո»)

.-ՏԱ ՉԵՐ

շրի

1-5

ԸՕՏ :

ՕԲ) չ Ը-ԿԿ

-ԷՀ:

ՍՀ)

Ը,Հ, 6, որտեղ

փ0()

42-80

Ք7-0--2) -

լ, լշ..

ոՀ:

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Ցույց տալ, որ հետնյալ ֆունկցիաները իրենց որոշման տիրույթներում անվերջ դիֆերենցելի են: Գտնել այդ ֆունկցիաների ո -րդ կարգի կե(ո-ը կամայական բնական թիվ է) ածանցյալների արժեքները «-0 տում:

հ հ

ա) /(2)Հ6',

«6

բ)/()ՀՋոչ,

«6

գ) /(«)ՀօօՏտչ,

չ6հ

դ) /2)ՀՈՒԹ»",

2»-1,

ե) /(«2ՀոՄԻ»),

»-1

Ճ-ա)

/(9»«',

/(2»Հ6"

քօր

7՛Օ)ՀՀ',..

Մաթեմատիկականինդուկցիայի մեթոդով հեշտությամբ կարող ենք ապացուցել, որ

7ո(ԹՀ6, բ) /(օ)ՀՏո,

ԵՀՆԶ2--

ո, (562.

(0)Հօ«ՀՆՄ

չ6ի

Օգտվելով բերմանբանաձներիցկ̀արելի է գրել

/()-Փաւ-,վոճ|

(1)

Այսպիսովառաջին կարգի ածանցյալը ստացվում է տւո ֆունկցիայից, արգումենտինավելացնելով 2/2: Կիրառելով մաթեմատիկականինդուկցիայի մեթոդըցույց տանք, որ

ոի ԻՔ

Բո)Հ

Լ2:..-դ

(2)

Իրոք` մ 1-ի դեպքում (2)-ը ճիշտ է: Ենթադրենք այն ճիշտ է որնէ դեպքում ն ցույց տանք, որ (2)-ը ճիշտ է հաջորդ` (մ - 1) -ի համար: -

Էւ |ոՎՏ աո -2:2|2 տո»

Ածանցելով/""(չ)Հ

70)

02) օօՏ

(2)-ը ճիշտ է ՝

հավասարությունը,կունենանք

նան

(մ

1)-ի համար:

/"Օ-Տո|ըՀուք

61):

«Տող.

(-1"

ե ախն յ

երբ ոՀ2է-Լ

գ) Տառացիորեն նույն ձեով ցույց կտանք, որ (2)

1էՀԼշ2:...ո -օօտ:

ֆունկցիան

անվերջդիֆերենցելիէ իր որոշմանտիրույթում ն տեղի ունի

Բոն)

-ավ-Ճի

/Փ"(0)ՀՇօտ|)0-Իո.-դ) /(«)ՀԱ`Հ»),

268,

(-1)՛, "ԷԼԸ

երբ դ-ը

էՀԱՉ:-

երբ ոշ.

կենտ է

1մՀԼ2:-:-դ

Ճ»-1, քօր

Հաջորդաբարածանցելով`կունենանք.

7(9ՀՔԱՀ»7",

Բ (Օ-օ-00Ի»57-,

7255-2(թ-2)1Ի5՞-.... Մաթեմատիկական ինդուկցիայիմեթոդովհեշտությամբ կարելի է ցուցել, որ

Բ (Հ»2-9(5-2):::(թ-1:7:04Ի2Թ7",

Է»Լ2:..-

Բ (9Հ՛շ(ջ-Ս(թ-2):::(5-1Յ1, ԷՀ12.... Ճ-ե)

/2Օ)ՀՈՍՄչ),

ապա-

7»-1

/Թ---1-Ի Վետնավաբար/"(չ)-ը հավասարէ (1 »)-

ֆունկցիայի (է-7

ածանցյալին: Օգտվելով նախորդխնդրիարդյունքից`կունենանք.

կարգի

0)»

(14:

14»):

ն ԼԶ.... Բ (0)29՞Ժ-ՌՆ Բերել ֆունկցիայի օրինակ, որը թվային ուղղի բոլոր բացի մեկ կետից, խզվող է ն այդ կետում ունի ածանցյալ.

7՞, Ց-79-| 0,

է: ռացիոնալ

Թվային ուղղի ցանկացած 2,0

վերցնենքկամայականլ.)

նո76.)

եթե

հռմ Հյ

րից: Ֆունկցիան ,

«0

կետերում,

եթետ-ը իռացիոնալ է, եթե մ

նտ /(»,)-0,

կետում ֆունկցիան խզվող է: Իրոք,

հաջորդականություն,որը ձգտում է չ,-ին:

1:,)-ը

»0,

կազմված է միայն իռացիոնալ կետերից

Լ,)-ը

եթե

կազմված է միայն ռացիոնալ կետե-

կետում սահման չունի:

կետում ֆունկցիան անընդհատ է: Իրոք ինչպիսին էլ լինի

հաջորդականությունը,որը ձգտում է 0-ի տանք,որ ֆունկցիան «,

ՃՃ.՞,եթե /Ճ2-

ԽՀ-7/(049-70) Հ

- -Հ

ոռ/(,)-0

7/(0)-0:

4.) Ցույց

կետում ունի ածանցյալ:

Ունենք

Ուստի 0

ռացիոնալ է,

եթե /Ճ«-ը իռացիոնալ է:

որտեղից(ըստ հայտնի թեորեմի) կհետնի ՀիԽվ ։

նտ

«ՃՇ Ապացուցել, որ թվային ուղղի վրա որոշված դիֆերենցելի զույգ ֆունկցիայի ածանցյալը կենտ ֆունկցիա է: «6 8: Ցույց տանք, որ /՛(2)Հ-/(-Թ, Ճ-Ունենք /(2)Հ7(-, Ճ-»0

ի' Իրոջ 70)-

ղմ

դդ Ճ.-50

նֆ2

կղ2ժ4422-4Ճ29-74ԸԹ. Հ-յ/ Լր: (5):

Հ-ն

1Է:-Ճ9-704.. 0489-7604. արը

Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ, ածանցելով 7/(2)Հ7(-5),

նույնությունը`դիտարկելով /(--»)

-ը

որպես բարդ ֆունկցիա:

«61

ֆունկցիան դիֆերենցելիէ (.:5)

Դիցուք /(») քումն

հո 7/(2)- հո

վերջավոր միջակայ-

709:

Ապացուցել, որ գոյություն ունի առնվազն մեկ

(ռ:ծ) կետ այնպի-

ՀՀ

սին, որ /՛(2)-0: ճ

նո709 մոռ7(03ն

4Հ

-նշանակենք`

օժանդակ ֆունկցիան` 7՞(25) 7-(»)դակֆունկցիան`

(8),

երբ

(6:5),

«6

աքո-ռսա-

Կ.

դիտարկենք հետնյալ

ծ:

Հեշտ է տեսնել, որ 7-(»)-ը |օ:Ե| հատվածում բավարարումէՌոլլի թեորեմի բոլոր երեք պայմաններին` 1) Բ(»)-ը անընդհատէ |:ծ) հատվածում 2) ՅԲ՛(»)-ը

Բ՛)Հ7Մ0),

«օ(4ծ)

3: Ի(ո)ՀԻ()-4 Շ6

Հետնավաբար ըստ այդ թեորեմի` գոյություն ունի առնվազն մեկ (ճ:ֆ) կետ այնպիսին, որ 7՛(6) 0: Սակայն Բ՛(օ) /՛(օ): Հ

Հետնաբար` /՛(օ)--0

Ապացուցել,

եթե /(»")

որ

լո:ծլ| հատվածում

Մ ո»

անգամ դիֆերենցելի է

հատվածին պատկանող (ո-1)

ն այդ

րում հավասարվում է 0-ի,

ֆունկցիան

գոյություն ունի

ապա

ՇՀ

(ռ:ծ)

հատ

կետե-

կետ այնպի-

սին, որ /""(2՞)-0:

որոնցում /(«)-ը Ճ--Կետերը, ւ ՀԼԱ2:..-7

հավասար է 0-ի նշանակենք

(ո-ով,

դասավորենքաճման կարգով` 2 ՀՀՀ

7(2.)-0.

ՀՀՀ.

էՀ 0:12:::-ո

Այդ կետերովկառաջանան7 հատ հատվածներ`լ

Յուրաքանչյուր լ,

ոյ

Լ2:-.-դ

հատվածում /(«)

ւՀԼՉ:...ո ֆունկցիան

բավարարումէ Ռոլլի թեորեմիբոլոր երեք պայմաններին:Հետեավաբար`գոյություն կունենան

«լ:.Լ::-:::62

կետեր այնպիսին,

որ

Լ ՀԼՉ::.-դ

Այդ կետերով կառաջանան(»ո--1) հատ՝

հատվածներ,որոնցից յուրաքանչյուրում /՛(չ) Ռոլլի թեորեմի բոլոր երեք պայմաններին:

(րծ |

(ւՀ

(- )»-0

12:...(.-9)

ֆունկցիան բավարարում է

Հետնաբար` գոյություն կունենան

կետեր այնպիսին, որ «17:617:::::62)

(2")50. ե-1Լ2:...Դ-1: Եվ այսպես շարունակ: (դ--1)-րդ քայլում կգտնենք ո--(ո--2)

Գո" ն Ձ""

"(Ա")ՀՄ/"(Ժ")-0:

այնպիսին, որ

Կիրառելով եռ ՐՐ»| հատվածում /՞-(։) Ռոլլի թեորեմը` կգտնենք

կետեր՝

կետ,

ֆունկցիայի համար

(««(«ՆՇԻ )Ը (ո:ծ)). այնպիսին, որ

(2-0 միջակայքում /՛(»)Հ ջ՛(»)

Ապացուցել, որ եթե (ռ:ծ) ջակայքում /՛ Ճ

ն .

Ունենք` Փ՛(»)

այդ

ֆունկցիաների տարբերությունը հաստատուն

-- ԴիտարկենքՓ(2) Հ.

ապա

(2),

7/՛(2)-92)50,

Վերցնենքորնէ ց մայականկետ (ճ:ծ)

մի-

է:

(ա:ծ) օժանդակ ֆունկցիան:

«5

(էծ):

«6

(ռչծ) կետ ն հաստատագրենք:Թող

միջակայքից: ոյ

»-ը

լինի կա-

ծայրակետերունեցող հատվա-

կիրառելովԼագրանժի թեորեմը Փ(») ֆունկցիայիհամար, կստանանք`

ծում

Չ(0որտեղ Հ-ն

Փ՛(-)

ապա

ընկած է (»յչ») Հ

0 ն

Փ(22-)

Փող)

(Ը:յգ))

ինտերվալում: Քանի

(ռ:ծ),

Փ(«)»-:0

նակումէ, որ Փ(2)5Շ,

6 (օ:ծ)-ի

համար Փ(»)

Գտնել 7/(») - 216Տլո մյան ածանցյալները ,

Փ(ոյ): Իսկ սա նշա-

(ռճ:է):

«6

7(22-22)5ՇՀ.70)ՀՏԸ)ՀԸ,

«6

հետնաբարՓ(2)--

Որտեղիցկհետնի, որ Կ

որ

ԼՐ

«6

(ծ)

ֆունկցիայի աջակողմյան ո ձախակող-

կետում:

ֆունկցիան որոշված է ամբողջթվայինուղղի վրա

(22514, Հաշվենք /՛(»)-ը

Ժ1

ճ):

կետերում:

«6

25: 2:

20-»- ) (Հ)

21-72)

ՈՔ

(1-Ի)

1-2

Հետնաբար` 7/՛(2) `

Ր2»

Աշ»

երբ|4"Հ Ն երբ |թ1:

Օգտվելով 9 կետիհետնանքից` կունենանք.

7 Օ-

հռ 7 09-

ամե

նռՄ (9-. հո ՞Լ01-Իչ

ն ք

/ (2)

/()-հոջ0)-»5 ն

Եթե գոյություն ունի

762.

ապա հոռ---լա

Զ(2)

1-Վյ

---1

ֆունկցիաներըորոշված ն դիֆերենցելի են (ռ:ծ)

ջավոր կամ անվերջ միջակայքում. Լ հռ

ԿԱՆՈՆԸ

11. ԼՈՊԻՏԱԼԻ

Դիցուք /

հտ

«540

72. ԻՐ

նո

նտ

ջ(2)

9.2)»50,

(վերջավոր

--օօ

վեր-

0 կամ

(8:53)): կամ --օօ ) սահմանը,

12. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՀԱՍՏԱՏՈՒՆՈՒԹՅԱՆ

ԵՎ ՄՈՆՈՏՈՆՈՒԹՅԱՆ

ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԸ

Դիցուք / ֆունկցիան որոշված ն դիֆերենցելիէ (.:ծ) ա) Որպեսզի / ֆունկցիան (ճ:ծ) հրաժեշտ է ն բավարար,որ

/՛(»5)50,

բ) Որպեսզի/ ֆունկցիան (ճ:ծ)

անհրաժեշտէ ն

միջակայքում:

միջակայքումլինի հաստատուն, ան-

«6

(6:ծ):

միջակայքում լինի չնվազող (չաճող)

բավարար,որ /՛(»)20,

(/՛2),0),

«6

(0:53):

Խիստ մոնոտոն լինելու բավարարպայմանը: Դիցուք / ֆունկցիան անընդհատէ |.:ծ| հատվածումն դիֆերենցելի է

(ռ:ծ) ինտերվալում:Որպեսզի /-ը |ռ:ծ|-ում լինի խիստաճող (խիստ նվազող) բավարար է /՛(»)»0

վերջավորթվովկետերից:

(/՛03)ՀՕ),

բոլոր

»6(ո:ծ)

կետերում, բացի

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Օգտվելով Լոպիտալի կանոնից` հաշվել սահմանը. ա) նռ «50

ՓՀ-3» -351Ոո

Տլո3

այ-382

հո

լրղօ05:3: օօտ1:..

5Տլո3ա-3ՏՈ5

«50

»«»0

36053:-36Շ0Տ55

7 Հ (ՇՕՏ2:-- ՇՕՏ32)(ՇՕՏ

իղ

ՇՕՏ

(ՇՕՏ37: -- ՇՕՏ 5): Շ05-32--60Տ- 7.

:-0

) 50հռ

լո(1--ՕՏ») լդոլքչ

»օ/»»տեսքիանորոշություն Ճ--Ունենք ՏԼՈ7

լո(1--ՇՕՏ»)

»5օ21

լոք»

«55

Օ» -

«0

ՇՕՏ-

իո

ՇՕՏՀ)(1 ՇՕՏ«)ՇօՏտ«

(Ղ1.-52

0/0

«-5-0

Բացի

ՏՈ՛2-6055

1-Շ0Տ»

լ-ՇՕՏՃ

Լ-ՇՕՏՀ

»»/շ»տեսքի անորոշություններից,հաճախ հանդիպում են

0", 1Ր, »': Բոլոր այս հետնյալ տեսքի անորոշություններ0--», »5--», միջոցով տեսքի անորոշություններըհանրահաշվականձնեափոխությունների նան

բերվումեն արդենուսումնասիրված0/0 ն Օրինակ`

72):

(2)

արտադրյալը

(եթե /(2)»:0,

ենթադրենք

«6

հտ

»օ/»«տեսքի անորոշություններին:

7/(2)-0,

հո

ջ(2)-Հօ,

կարելի է ներկայացնելկամ

7(2

դեպքում

այդ ամ

Ս.(6))տեսքով, որոնք իրենցից ներկայացնումեն

տեսքի անորոշություններ:

Օրինակ` հաշվենք

իո

Վոչ,

(ք»0)

սահմանը: լ

ոչ...

կոռչ՞.ուՀկո---կո-Հ:Ճ-Հ--կոչշ7Հ-0 2-50 2-50 1 2-5:0 .

1Ի

եր

1... ք

»թ"9

Ենթադրենքն՛ /(«),

(2)

ֆունկցիաները, երբ

ձգտում են միննույննշանիանվերջության: Այդ դեպքում 7/(:)- (2)-ը, երբ »-»ճ-ին

ձգտում է Ձ-ին,

7-ը

իրենից ներկայացնում է

տեսքի անորոշություն: Այսպիսիդեպքերումհարմարէ կատարել հետնյալձնափոխությունը`

-օ--օօ

լ (Ց.

80) 6)

/օ-9ԹՀՂՎ--ՂՎ-7) որն իրենից ներկայացնումէ Օրինակ` հաշվել

հո

Ճ-Ֆ

70)

02)

Ք(»)

տեսքի անորոշություն:

-աբ ի

սահմանը

ր -տիո-ՑԵՏ Ճ-րոի «ԱԻկդծու ՑՈ

5-50 ՒՋ

«01

Տո

5-50

անարւկրոավունն

յշ .Տլոշ 1

Տո

(Տու-:Ճ6Շ0Տ:)(ՏՎուՀԻօօ5)

կոռ .

5-50

----շ

:Տլո

Ճ:Տլո՛չ

«50

--շ

«9

կող 5-50

«Շ0ՏԼ-Շ0ՏՀԻապՏու

Տլոմ-Ի27Շ0Տ527

-2.-կրդ---------Հ«50 ՏՈ .

Հ2-հո-----------2նիո--.---Տլո՞ «427-ՏՋո-Շ0Տ5մ .

(Տոշ-«ՇօՏ2)|----ԺՇօ55

26055

0", 1",

օօ" անորոշություններըուսումնասիրելիս հարկավոր է օգտվել

հետնյալնույնությունից (709)

«ջո

Դ"ոՄԸ)),

Օրինակներ`հաշվել սահմանները. ա)

րոշ" լ

բ)

հռ(6օ5(4-2))6-շ» 2ՀՅՐ

Գ)ոո| լ ձՃ-ա) հռչ՝ .

5-540

Հ կոբ .

2-50

տ «Հօ

հտ «ոչ

Հշ-«

»Հջ

ր:

"»»ջշ

հո-5-

«ԿՅ

հտ (-չ)

տ:տացջ»թօ չտլ

հո(օօ5(2:-2))62: |

-բ)

Հօ"

2-52

հո .

Ճ-գ)

255Խ01

«-1

Է շ

հոո

լլ--|

ԱՅԹ-Լ (Վտ

Հօո"Հ

աեթթս աան

«Հ

լո

2-12:

«20-29

«գ

Գ «1

-դ

Կ-Ս

-ջ

Հ025--

Ց («հո իտ («7

չչցշԿ6

Հ1Մ7

Ապացուցել նույնությունը ա) բ) Ճ

ա 2846կջ Յոօպյու ..

0Հո5շ

381ՇՇՕՏ--8166օ5(3:4-4:)-7,

ի|21 2ագագառտու 25.

-- ա) Նշանակենք` /(»)-

իի»1,-երի

Հաշվենք (3-ը

ո.

ի|21

ա:

2-22

7ՕՀԸ-ռ

համար

912 1-2լԼ0Հ») «0,իվ»1

(62)

Յո

21-»)

շշ

(Հ)

Հետնաբար ըստ ֆունկցիայիհաստատունությանբավարարպայմանի`

(Հ Հաշվենք /(-1)-ըն

Շշ»

7/Ո()-ը.

երբ:«Հ-1

Հ -2-Զ

7(-Հ266ք(-ԷԻոատո(-Է 741)Հ28:6ՈԱ)

երբ «51

- Էշ

ՃԵՏոմս)

--7

Վետնաբար` - չտ, 28ունք 5-ԷՅոօվու ..

|վչ»1

Ճ-

բ) Նշանակենք` /(2»)

4»), 3816օօՏ :--8866օ5(3:

0Հ.Հ

3(1-42-)

47)

Վ16չ' -1676

Հ«1-97- Գ247

-167: «1-7

-Տո

ԷՏ.

0Հ»ՀԼ

72--րՇթ փ-0»:-483.

Ունենք՝

1-(3:

»1-»)1-42)29

Վետնաբար`

Ըստ

0-2)

Հ--Յ

Վ-ռ

հաստատունությանպայմանի`

70)»Ը, Հաշվելով /(0)-ն կստանանք

0ՀոՀԼ

ց,

Է-Ճոլ|Ո-»տ

7(0) Հ3-8ՐՇ60Տ0-88166080

0Հո5-

3-ՅԼՇՇՕՏ--8ՐՇՇՕՏ(35-4:)-,

Ապացուցել անհավասարությունը.

ո0չ»»--.

ա) բ)

ֆուչ

»0

2».

0Հ:Հ՞

գ) 27: -44

Հ37՛ 36:

Հ2»

:«օՕԸ2:3)

881,

Ճ--ա)

Դիտարկենք

»6վ0:-»») 00ՀԵ0ՀԹ-ոՒ--.

Այն անընդհատէ |0:--օօ) միջակայքում, ունի ածանցյալ(0:

ֆունկցիան:

օօ) միջակայ-

քում

ԻԹ՞-Ի-Ո-Թ» Ի |

»0,

(0-Ի)

աճ

Հետնաբար, ըստ մոնոտոնությանբավարար պայմանի, Փ(»)-ը խիստ աճող է |0:55) Ճ

միջակայքում,որտեղից կհետնի Փ(»)

բ) Դիտարկենք/(2)24

երբ0Հ.Հ րր

երբ 7-0

Փ(0)-0,

հատվածում: Ունի ածանցյալ

վալում՝

յմ ՏՑ-Ց:

Փա-Ա»,

երբ «»0:

Ֆունկցիան:

ա|

Այն անընդհատէ

Ցո»

0ՀոՀՃ

ինտեր-

Քանի

7(ԹՀՅ,

որ Շօտ:»0

»5

երբ

ն «Հլ,

»-ը

պատկանում Է

62)իռ

ապա

Հետնաբար, ըստ մոնոտոնության բավարար պայմանի, /(»)-ը

ա բզազող 2)

ք) 2) Տո:ւ»--», ճ7

հատվածում ն հետնաբար` /(:)2.7

որ

Ե-Ն

Քանի

որ

որտեղից կհետնի

«-0

խիստ

կամ

.-Զ կետերում անհավասարությունըվերածվում

հավասարության,ապա վերջնականապեսկարող ենք գրել

Ցուչ2», "աճ

-գ)

Այն անընդհատէ

ծում:

3»

Դիտարկենք /(:) այդ

-Է36:5-2»:

ֆունկցիան |-2:3) հատվա-

հատվածում, ունի ածանցյալ (--2:3) ինտերվա-

լում՝

72) Քանի որ լ Հ-2 ն

6:-Է36--62--6(2 -2-6), Հ

ն «

Հ3

կետերը »- -«-6

(-2:3)

եռանդամիարմատներնեն

ավագանդամիգործակիցըբացասականէ, ապա 7'(«)»0,

«6

(-2:3):

Հետնաբար, ըստ մոնոտոնության բավարար պայմանի, /(»)-ը աճող է |-2:3) հատվածում: Իսկ

դա

խիստ

նշանակում է 7/(-2)Հ/(Ս)Հ7ԹՕ),

(-2:3):

/(3)Հ27:108-54Հ81:

Սակայն` /(-2)--12-724Ի16Հ-44, Ստացվեց` --44 Հ3-՛

Ի362--2»

ՀՏ1,

«6

(-2:3):

Մ Այն ինչ պետք է ապացուցեինք Գտնել ռօ պարամետրի այն արժեքները, որոնց համար ֆունկցիան աճող է ամբողջ թվային ուղղի վրա:

ճա. Է3Տո-Հ4605: Ճ-

«(Գոա

Վտոո-գ«5|1Թա-Հ8ոռ 4.

որտեղ Փ

եթե

Ֆունկցիան կլինի աճող ամբողջ թվային ուղղի վրա, 876605-չ:

.-5605:(5- Փ)Հ0,

«68,

կամ

նույնն է, եթե

որ

ի:

Իսկ

եթե

անհավասարությունը տեղի կունենա

այս

-35-.

համարժեք է օ-5

որը

օօ(:-9)2-չ.

բոլոր

«-երի համար,

անհավասարությանը: Կոնկրետ

խնդրում հավասարության նշանը կարելի է թույլ տալ, որովհետն համար ճՀ5ի Շ-օտջ(«ԷՓ)--1 հավասարությունը տեղի ունի

այս

ԷՓՀ-ՊՃՀՉԼ,

թյան վրա:

էճ

կետերում, որոնք չեն ազդում խիստ մոնոտոնու-

«255

Պատ՝.

Ապացուցել,

որ

պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

ռՕ

7(2Հ ֆունկցիան Ճ.--

4)Ք7Է30605:ՀԻ0:-2

միջակայքում աճողէ:

Վամոզվենք,որ /՛(2)»0,

7(9Հ( Հո

5.:

34):

Ս:«6

5.:

ն ՄՕՃ 8-իհամար.

Հ(« Է4ՑԱՀԵՔ7)-308ուՀօՀ -3գՏ8ու-Իզ

ՇՕ5-

"|: ՛

54-3խ-իվ-(գ-2)20.

Ընդ որում հեշտությամբկարելի է համոզվել, որ օ-2 ների համար անհավասարության ձախ մասը բոլոր

«6

դրականէ:

7՛)» Քո

է, որ (5) պայմանից հետնում

-ը

աճող է

ապացուցել. որ

.«-2

5.:

-ի համար

5.:

միջակայ-

պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

2-202-օ-1)՝

-20)6"

ֆունկցիան ամբողջ թվային ուղղի վրա աճող է:

Ճ-/()Հ

2(5- Օ)(6" 6") 2լ2" ՀՕ-«-9«"|-20--օ)«" Հ

արժեք-

Քանի

որ օ"

ֆունկցիան աճող ֆունկցիա է,

որում /՛(«)-ը միայն

ապա

/՛(5)20,

«6

կետում է 0, մնացածբոլոր կետերում

«ՀՕ

Իրոք, դիցուք 4 -ն կամայականկետ է: Ածանցյալի արտահայտությունից հետնում

Ք:

Ընդ

7 (2)»0:

7/՛(ո)»0 ինչպես կետում ածանցյալըհավասար է 0-ի, է, որ

այնպես էլ Հ Ճ-ի համար: չ«-. որը չի խանգարի որպեսզի ֆունկցիան ամբողջ թվային ուղղի վրա լինի խիստաճող: Իրոք` /՛(«2)»0, «5 (-«5:6) պայմանիցկհետնի /(») -ի խիստ 5»4,

7/՛(5)»0, «Տ (4: օ5) պայմանից կհետնի 7(«) ի խիստ աճող լինելը |.:-- »») միջակայքում:Քանի որ աճող լինելը (--»5:| միջակայքում: Նույն ձնով

(-օօ:ճ|

|8:-Է օօ) միջակայքերից յուրաքանչյուրում

ֆունկցիան աճող է,

այն աճող կլինի ամբողջթվայինուղղի վրա:

ապա

13. ՈՒՌՈՒՑԻԿ ԵՎ ԳՈԳԱՎՈՐ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

միջակայքումորոշված ն անընդհատ/ ֆունկցիան կոչվում է ուռուցիկ, կամ ներքնից ուռուցիկ (գոգավոր կամ վերնից ուռուցիկ), եթե կամայական «լ ն «չ կետերի համար «. միջակայքիցն կամայականզ, ն զչ ոչ բաՃ

ցասականթվերի համար, որոնցգումարըհավասար է 1-ի,

7(զլլ

չխ)

գ7604),(7

ՀԱՄԱ)

անհավասարությունը:Եթե (1)-ում ա 2 թյունը խիստ է,

ապա

ա) Որպեսզի »չ

Իզչ)Հ

զ)

զլ»0,

զ.»0

տեղի ունի

գ.76.))

(1)

անհավասարու-

/՛-ը կոչվում է խիստուռուցիկ (խիստգոգավոր): միջակայքում դիֆերենցելի /՛ ֆունկցիան լինի ուռուցիկ

(գոգավոր), անհրաժեշտ է

բավարար, որ

այդ

միջակայքում

/՛(«) ֆունկ-

ցիան լինի չնվազող (չաճող):

բ) Որպեսզի » միջակայքում որոշված ն երկու անգամ դիֆերենցելի /

ֆունկցիան լինի ուռուցիկ (գոգավոր), անհրաժեշտ է

7(0Հ0,

Մ՛0)59),

ա) Դիցուք յ՛-ը դիֆերենցելի է ,, ն

բավարար,

որ

7627:

14. ՇՐՋՄԱՆ

Եթե (ոջ -Ճ:ց)

(ց:2Ճ)

ԿԵՏ

կետի («ց--Ճ::օ-ՒՃ)

միջակայքերիցմեկում /

շրջակայքում:

ֆունկցիան խիստ

ուռուցիկ է, իսկ մյուսում` խիստգոգավոր, ապա «յ-ն անվանում են շրջման կետ:

շրջման կետում /-ը

բ) Եթե ,,

կրկնակի դիֆերենցելի է,

ապա

7՛0օ)-0: գ) Եթե յ/՛-ը կրկնակի դիֆերենցելի է (2 -Ճ:գՒձ)

(-Ճյյ)

(ալյ

Իձ)

միջակայքերում

/"(2)-ը

միջակայքում,

ընդունում է տարբեր

նշանի արժեքներ,ապա 2 շրջման կետ է: կետում /-ն

դ) եթե ս,

7՛Օգ)-0ն/"(պ)»0,

ունի երրորդ կարգի ածանցյալ, ընդ որում

շրջման կետ է:

չ,

ապա

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Գտնել ֆունկցիայի ուռուցիկության ն գոգավորության միջակայքերը ա) Հ",

Հյու,

բ Ճ

ճ»1.,2»0

»0

ա) Հաշվենք )»՛-ը

)չ"Հճ:(6-1լյ՞՞

0:25, Քանի որ

»1, ապա

»0:

Հետնաբար )

»՞՛ ֆունկցիան ըստ խիստ

ուռուցիկության բավարար պայմանիկլինի խիստ ուռուցիկ (0:--օօ) միջակայքում: Ճ-բ)

»ՀՃ-ոչ ի

ֆունկցիայի որոշման տիրույթը` Ծ(ջ)

(0:-:»):

ար

Հոչժ2-ՀոՀլ, Ճ

Հետնաբարչ ՀՃ-1ոչ

ֆունկցիան իր որոշման տիրույթում խիստ ուռու-

ցիկ է: Ապացուցել անհավասարությունը

163» բ «ուժ Ճ

(2»0,ջ»0,»ջ,0»1)

չոջ»(02Հ))-տ

-- ա) Դիտարկենք2

ՃԻ»

(«»0,»»0,2»))

(/»0,օ»1

Քանի որ այն խիստուռուցիկ է (0:--օօ) միջակայքում, ապա ուռուցիկության պայմանում վերցնելով զ -զշ

կամայական«նչ,

«»)ջ

-2 (0:--օօ)

միջակայքին պատկանող

կետերի համարկունենանք

լ -Ը"ՎԳ)ջ)»|--»)

«Հ

Ճ.է

բ) Դիտարկենք 2

(0:Էօօ)

Հ/:1ո/

միջակայքում,

զ.Հզչ»1/2,(0:-օօ)

(Ւ»0)

ֆունկցիան:Քանի որ այն ուռուցիկ

ուռուցիկության պայմանում վերցնելով

ապա

միջակայքի կամայական «»

կետերի համար

(«՛««՛ջ) կունենանք.

մէջ

-ռուփյոջ)» «Էչռջ)

որտեղիցո̀ոուջոյ»(ույ)

չԷ) :

պարամետրի ո՞ր արժեքների համար զ

7(2Հ

լո

Ւ|

ֆունկցիան կլինի ուռուցիկ ամբողջ թվային ուղղի վրա: Ճ--Հաշվենք /՛(»)-ը

7՛)-5(2-1ո

Է2գո.-Է2

Հնարավորէ երկու դեպք: 1.

6-1-0Հ»գյՀ1

Այդպիսի « -երի համար /՞(:)-2:-2,

4,Հ-1:

72)--225ՀԷ2: Երկու դեպքում էլ խնդրի պահանջը չի կարող կատարվել, որովհետն 7՛(2)-ը չի կարող մեծ կամ հավասար լինել 0-ից բոլոր »-երի համար թվային ուղղից: 2. 4 -1»0:

Այդ դեպքում /՞-ը կլինի ուռուցիկ ամբողջ թվային ուղղի

վրա, եթե 4 -երը բավարարենհետնյալ պայմանին շշ Ճ

120.

ԹՀՕ

ե-24

120 «»կ».2 Է2Հ0

15. էՔՍՏՐԵՄՈՒՄՆԵՐ

ա) «6

(6:Ե) կետը կոչվում

/՛ ֆունկցիայի լոկալ մինիմումի (մաք-

սիմումի) կետ, եթե գոյություն ունի այնպիսին, որ /(2)Հ/(«),26ա-ծ»աՒ

«,

կետի (չց

ծ: Էծ) շրջակայք

ծ:

Եթե

այս

անհավասարությունըխիստ է, երբ

7»

22,, ապա չ«,-ն անվա-

խիստմինիմումի(մաքսիմումի) կետ: Լոկալ մինիմումի ն մաքսիմումի կետերըմիասինկոչվում են ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումիկետեր: բ) Ֆերմայի թեորեմը (էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը) նում են

Եթե ա-ն / ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումի կետ է ն

կետում /-ն

/(5,)-0:

ունի ածանցյալ,ապա

6 |ռ:ծ)

Դիցուք /-ը որոշված է |ճ:ծլ հատվածում:

7 ֆունկցիայի կրիտիկականկետ, եթե /"(5)-0, չունի ածանցյալ: ց

այդ

(6:ծ)

կետը կոչվում է

կամ /-ը

կետը կոչվում է /

այդ

կետում

ֆունկցիայի ստացիոնար

կետ, եթե /՛(")-0: Գ) էքստրեմումի բավարարպայմանը: Դիցուք /՛-ը »ջ կետի (չգ-- ծ: Է ծ) շրջակայքում անընդհատէ ն ամե-

նուրեք (բացի գուցե «, կետից) ունի վերջավոր ածանցյալ: Եթե /՛(»)»0,

Ր(ԹՀ0, «6 (պ կետ է: Եթե /՛(5)Հ0, «6 (-ծ») «6

զ-ծ)

Գծ),

խիստմինիմումիկետ է: դ) Դիցուք յ//-ը «ց կետի (2

րենցելի է, ընդ որում

/(«չ)-0:

մի կետ է, եթե (2)

Հ0,

ապա

//Օ)»0,

յ-ն

ապա

խիստ մաքսիմումի

(աա ֆՓ.,

«5

ապա

Հ.-ն

--ծ:գ-Ւծ)

շրջակայքում կրկնակի դիֆե-

Եթե /"(,չ)»

0, ապա «.-ն խիստմինիմու-

չ,-ն խիստ մաքսիմումիկետ է:

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Գտնել ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը ն պարզել` էքստրեմումի կետեր են դրանք, թե ոչ ա)

/(2)-25 -3» -12:է5

բ)

/(0-8»-4|

Գ)

7-|

Ճ-ա)

3:52,

«2

52-22, .»2

/«)»Հ62՛ -62-72 Հ-6(7--12)

7Թ-0:Ի-ա-12Հ0, Է

ոլ Հ-3:

Ճշ Հ4

պՀ-3:

կետերըկրիտիկականկետ են:

Քանի որ ածանցյալը--3 կետի վրայով անցնելիսփոխում է նշանը «Հ»-ից

«--3

ապա

կհամոզվենք.շչ Ճ-բ)

Քանի

կետը խիստ լոկալ մաքսիմումի կետ է: Նույն ձնով 4 կետը խիստլոկալ մինիմումի կետ է:

/(»«)»0,

որ

երբ

լոկալ մինիմումի կետ է: Նկատենք, որ չունի:

5).

այդ

ապա

ՀՏ

խիստ

կետում ֆունկցիան ածանցյալ

14. Ր)»: է՛Ր)-

նի`

ֆունկցիան

-գ)

կետում անընդհատ է, սակայն ածանցյալ չու-

7/՛(2)-3, 7/՛(2)Հ-5: Քանի

ֆունկցիաներ են,

ապա յ

որ

3:Ի2

5:»-2

ֆունկցիաները աճող

կետը լոկալ էքստրեմումիկետ չէ:

Վերջին երկու օրինակներըասում են այն մասին, որ ֆունկցիան կարող է կետումածանցյալ չունենալ, սակայն այդ կետը կարող է ինչպես լինել, այնպես էլ չլինել էքստրեմումիկետ: Գտնել . պարամետրի այն արժեքների բազմությունը, որոնց դեպքում 7(»)- 2» Է 22: Է9:--զ Ֆունկցիան կունենա ճիշտ մեկ կրիտիկական կետ: Ճձ-- Ձաշվենք ածանցյալը

8- Ի602- 18: Հ 27(47

3059),

կետը ֆունկցիայի համար կրիտիկականկետ է

»-0

այն պետք է լինի միակը, ապա 4:-՛ 30:49 ներչունենա, այսինքն՝ որ

Ցույց

տալ,

(7՛՛(0) 0): Քանի -

եռանդամըպետք է արմատ-

Հ9ցզ՛ -9-16Հ0Հ»4-16Հ0Հ|օՀ4 որ

7()5

պարամետրիցանկացած արժեքի դեպքում 2» -3(24

|)ը՛ Հ6օ(աՀ էչ

-24՝

ֆունկցիան ունի ճիշտ երկու կրիտիկական կետեր, որոնք էքստրեմումի կետեր են: Պարզել, թե դրանցից ո՞րն է մաքսիմումի կետը ն ո՞րը մինիմումի: Ճ.-

Հաշվենք /՛(:)-ը:

-6(20Հ

ո Է6օ(4 1)

7«)2505»:2-ՕգՉ4

«62 -(244

:Իօ(աՀ1))

Իօ(«Հ1-0

Քանի

որ

Ծ-(24Հ1

համար, ապա /

ցած .-ի

-40(241)

Հ40-Հ40-1-40

ցանկա-

ֆունկցիան ցանկացած «ճ-ի համար ունի ճիշտ

երկու կրիտիկականկետեր, ընդ որում` ոլ.

ՀՕՀ1:

նշ

ն ածանցյալը «-ի ն ցանկացած «-ի դեպքում օ-1»օ.2 Ճճ-Հ կետի վրայով անցնելիս իր նշանը փոխում է համապատասխանաբար պլյուսից մինուս ն մինուսից պլյուս, ապա ըստ էքստրեմումիգոյության առա-

Քանի

որ

ջին բավարար պայմանի ս

կետը լոկալ մաքսիմումի կետ է, չչ -Օ-1

-Օ

կետը լոկալ մինիմումիկետ է:

ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ

ԱՐԺԵՔՆԵՐԸ

16. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԵՎ ՄԵԾԱԳՈՒՅՆ

Դիցուք /-ը անընդհատ է |.:ծ| հատվածում ն դիֆերենցելի (ռ:ծ)

ին-

տերվալի բոլոր կետերում, բացի վերջավոր քանակությամբ կետերից: Այդ դեպքումայն, ըստ Վայերշտրասի թեորեմի, այդ հատվածում ընդունում է իր փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները: Այդ արժեքները ստանալու համար բավական է գտնել / ֆունկցիայի բոլոր կրիտիկական կետերը, որոնք պատկանումեն |. :ծ| հատվածին, հաշվել ֆունկցիայիարժեքներն այդ կետերում, ինչպես նան Օօ ն ծ կետերում, ն ընտրել այդ արժեքներիցամենափոքրը ն ամենամեծը: Ենթադրվումէ, որ |.:ծ5) հատվածինպատկանողկրիտիկականկետերիքանակըվերջավորէ: Գործնականխնդիրներում, երբ պահանջվումէ գտնել ֆունկցիայի փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները հատվածում կամ (ա:ծ) ինտերվալում, հաճախ հանդիպում են դեպքեր, երբ ֆունկցիան անընդհատէ |2:ծ|-ում դիֆերենցելի է (.:Ֆ) -ում, իսկ մատ`

ց6

7՛(»)--0 հավասարումնունի ճիշտ մեկ ար-

(.:չծ) այնպիսին,որ (ճջ)

(ոշչծ) միջակայքերումածանցյալն

ունի տարբերնշաններ: Այդպիսիդեպքերում /(«չ)

արժեքը կհանդիսանաոչ

միայն լոկալ էքստրեմումարժեք, այլն ֆունկցիայի ամենամեծ արժեք |.:5|) հատվածում կամ (օ:ծ) ինտերվալում:

(ամենափոքր)

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Գտնել /(«)

ֆունկցիայի փոքրագույն տրված միջակայքում ա)

/()»2(3-2)6:,

«6

-4-3)|

մեծագույն արժեքները

7-օ052,

բ) (ՀՏ

«6

ա) Ճ--ֆունկցիան դիֆերենցելի է

(-4:Վ3)միջակայքի բոլոր

կետե-

րում, հետնաբար նրա բոլոր էքստրեմումի կետերը ընկած են ստացիոնար կետերի բազմության մեջ: Գտնենք ստացիոնար կետերը ն նրանցից վերց-

4.3)

նենք այն կետերը, որոնք պատկանումեն

7(2-:6:0-27)-2»2" 7220, դ

«-6(7

Հ2:-3)

2Հ2:-3Հ-0,«Հ-3,».-1

650,

|-4:/3|հատվածին:

ն», կետերըպատկանումեն

7(-4)Հ-13:օ-,

7(-3)Հ-6:65

70-26,

76Ը8)»-0

բաղդատելով --136:

-65:-

թվերը, հեշտությամբ կհամոզվենք,

Հ-Ց6", իչ / Հ-136-":Վետնաբար

հատվածին:

որր

որ

Հ26

բ) Ճ--ունենք

7(2) ՏՈ

դտոնոտո 2»-Լ(-օ65 2ոշգոշո--տո շո-1Տոծ: դ»2-65 -2(65-Շ054:2)

::օ05:Հ

7 (2)-

7 (2)-20:«ՏՋուՀ0,

Ստացիոնարկետերից միայն .,

Տո:Տո3

կամ Տո3-0:

-5 կետն

պատկանում

2) դ21-32

կայքին: /՛(0)»

-0,

-0, 7որր Վետնաբար

միջա-

3:3

մեծագույնանդամը` Գտնել հաջորդականության ՀԱՅՈՐ: ո

ՀԼ2...

Դիտարկենք|0:-- 5») միջակայքում/(2)-

ֆունկցիան:

Հեշտ է տեսնել,

7/(ո)Հչ,,

որ

ոՀԼ2.-:::

Վետազոտենք /(:)

ֆունկ-

ցիան էքստրեմումիտեսանկյունից:

2»(5-Է200)-32(Բ:20թ

7Թ-

«(- -400) (84200):

Միակ ստացիոնարկետը, որը պատկանում է (0:--շ») 5.

-Վ400

Քանի

որ

կետն է, ընդ որում 7/՛(ո)»0, երբ «Հա,

6:Վ400 | միջակայքում /(»)-ը

միջակայքում խիստ նվազող, ապա իր մեծագույն արժեքը: Քանի

որ

երն են» Հլգ: են

թվերն

--5-,

Բաղդատելով

ամենամեծ

Կ այդ

ՏԸ:

են

/՛Օ)ՀՕ0 երբ

խիստ աճող է, իսկ

2»):

400:

Ի»)

կետում ֆունկցիան ընդունում է 4/400

7/(ո)Հ»,-Իի, ապա հաջորդականության

մեծագույն անդամըհարկավոր է փնտրել այն

ձախից ն աջից ամենամոտն

միջակայքին, դա

բնականթվերի մեջ, որոնք

4400 թվին: Իսկ դրանք ո-7

"ՀՏ

երկու թվերը, կստանանք, որ հաջորդականության

անդամը .,-ն է:

Ելնելով ածանցյալի սահմանումից` գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը ճջ կետում 975.

»-7

-5:46,7Հ-1

976.

յՀ:

977.

»-ՎՀ

-3:.Ի7.:«Հ-6

978.

,-ՀՎՉ:Հ10.

979.

»-ՎՀ.-3.:Հ-2

980.

981.

»-օօ65(2:»1),»--1

982.

983.

,--Ք »-գիոչճ|

»-աուճ|

984.

»-Տոուպ-2

985. 987. 989.

Փ.աշ

Հկ

3.5

մ-ի, -

991. 2-3 903. ՀՅ: 997.

ՀՓ"՞", ։յ-3

99.

,»-(«-2)|«-2|,

1001. 7 Հ4"

986.

«տուդ-ր

988.

»-Տովշ

996.

1002.

,--2

աց"

:Յ-2 -Տո

ւ :-1

ոՅաՀՏ),

«-6

Հօ", 7-2

1000.7

"-2

6052:

5, 2-2

4-32

998. 5-2

Հօ

"-1

Տո.

»Հ»-Տո-.յՀ2 .

1003. 7

1004.

»- 2 1ոչ.

1005.

1006.

7--2՛ Տո(չ՛), ոյ-1

1007.

-4"(2 4). «-2 »- 7 ո(5Ի7»), ։յ-2

Ապացուցել,

եթե /(չ)

որ

ք(«՛ 22), ։Հ-1

994. -27

5-1

»Հո(52-Ի4),

992. Հ

-2:7. 2-2

"53

ՀՏո(2:Ի3),։յՀ-2

990.

ւՅՅ1

-3:Ի2.

ֆունկցիան չ

կետում ունի վերջավոր

ածանցյալ, ապա

հողիչ«1|769-/ա .

ճշմարի՞տ է արդյոք, որ եթե նշված սահմանըգոյություն ունի, 7(2) ֆունկցիան , կետում ածանցելի է:

ապա

1008.

Ցույց

տալ,

որ

եթե /(չ)

ածանցյալն /(0)-0, 1009.

Ցույց

տալ,

ապա

։:«-0

կետում ունի վերջավոր

հող 78-70:

եթե /(«5) ն ջ(2)

որ

ածանցյալ

ֆունկցիան «-0

կետում ն

ֆունկցիաները

ունեն

վերջավոր

ջ(0»20

7/(0:-ջ(0Հ-0,

կո769..79 (0 «»օջթ

ապա

Ստուգել,

որ

կետում չունեն վերջա-

հետնյալ ֆունկցիաները Հ.

վոր ածանցյալ 1010.

,-Վ:,»-0

1011.

»Վ»-1|,

1012.

,ՀՎ.-5,»Հ5

1013.

»|ոչ|,

1014.

»Հո|«-2|,

1015.

Հ-3

«Հ1

ՀՏպոչւ|, «Հճ

Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը 1016.

»Հ»:(0-1

2:-3

1018.» »

1020.

օ2(Հ:-7)

2-37

վչՀՎոԻՎ»

1032.»

«05

1-6057

1028.

1034.

2-:)3-»57

-57622) Ղ-»)

1026.

1030.

127-7

»Հ:-Տու--

Շ0Տ-47

»Հ(«Ի1(2-Հ2)0-3)

1019.

» ջ--Վ--Վ--

Վ:

մոր»

1022. 1024.

3-4

1017.

1021.

ջՀ--------ո

1023.

1025.

»-չ-քՒօջ»

1027.

«2-55

1029.

4-20«Թ'

.-2իւ

Հօ

պՋութչշոչ

»-|Թ--)

1031.

14:

1033. »-փ» "Լ

1035.

, ՀՏո3.-Շ0Տ55

1038. յ

7 ԳԶ' 27 շ

1044.

» Հօ"

1046.

1048.

1039.

) չՀ--Բ---Վ-Ո---

ՇՕՏ

1047.

(2818660Տ)

1052.

21-6Տու

1056. )

Յջ-------

ո(ոշ(ո՛ 7)

14.Ո-2

վոոօէք ՎՇօՏ1ո՝

1-պո»

ո )

Տո

81ՇՇՕՏ--

1049.

ՀՏո՛

1051.

1053.

(816Տ1ո 22) .

|ո|ՅԼՇՇօՏ----

1-չ

22:15

1054.

1045.

1-Վ-Ր )Հ--1Ո-------2 ՎՀ

»-օ0574:2-1 էչ

«Ջոշ

1050.

1041.չ-Հ 1043.

»Հ1ո| -Հո|-Հո-

վ...

ո(ո(ոշ))

1042.

1037.

060 4182

1040.

»-տվու

)Ջո'չ

(3-7

1036.

փ»

: Հ

22ո6էք62 -1ո

»---ՎՕ-2

1055.

1057.

ոլ

Վ---ՅՐՏո--շ

«-1ովՎ1Հ6"Ի 6 Յօէջօ"

1058.

Հ"

1059.

Հ"

1060.

1061.»

«(Տո»»"

ՖՀ7/Օ) ֆունկցիայի մոդուլի լոգարիթմիածանցյալը կոչվում ֆունկցիայիլոգարիթմական

/(չ)

ճանա ոլ/ Է:

72.

Գտնել ֆունկցիայի լոգարիթմական ածանցյալը » 31-» 1063. 7 1062.

"վոչ

1064.»-ի«ՎՀտ|

)-Ր-գ)"-4.)"

-ճ,)"

1Լ-

1067. փո

(Փո)

1066.

1065.

-ՏՎուոօօժ: յ

Ե:

Գտնել ֆունկցիայի աջակողմյան ն ձախակողմյան ածանցյալները ոօ կետում

Վ:

1068.

Ի:«-6|Հ--3

ՀՎՏո2»|, յ

-ո

1070.

1072.

»Վ7՛

1074.

Վօօ53»|,

1076.

)

ՀՎ2՝-2|, Հ1

1078.

Վոձա|,

1080.

ՀՏոմ|05:5|ՀՇօՏ|պո|,

1081.

ՀՏո|

1082.

1083.

ոյ -27 պո2չ|,

ՀՀ,

1086. "7

1087.

,-2

:Հ1

2-,

2»1

ՇօՏ2(24-3,

«ՀՅ

-՛յւ-5,

։ -Տ1Հ2,

» Հ5:-20, 7,

«2-2

4., տ ՀՏ.-4.

:»2

215:

2 ՀԵՀ

»-Վպոչ,

1013.

»-(5-7)|:42|,

1075.

»-(2-27)|44»|

«--4

1077.

Վ 1ո(22-Ւ5)|,

"յ Հ-2

1079.

Վ/ոՂ-5»)|,

.-2 .-2 Հ3

ո ,

«52 յ

«52

9«»2՝

ՀՀ օօ52»|,

4-1

-չ«-12|,Հ-3

1071.

«0527 |ԷՇօտ2|51ո2»|,

1084.

.-5

ԱՑ

Վ:

1069.

5-2

".-2 .

Հ-2

1088.

լ 21ՇՇՕՏ--,

1089.

1-6" 6»

«ՀՅ.

փո,

։Հ

շ»0

|Ե-Ժոոա -

1090.

է-

1091. Հ«Ո-(

չլյՀ1

0 Հ-1,

ա»4

չՀ1 2-5,

1ՀաՀ2,

2-2,

ա) «Հ1:բ)«յ-2

ւ»2

Գտնել («:7(«))

կետում կորին տարված շոշափողի

նորմալի

հավասարումները

/(2)-ՎՏ-Ծ,

1092.

1094.

(2)

1096.

/(2)Հ

ՀՅոօէք 25, "0-0 2 2

2-1

յ--2

"51 1098.7(-ոռա-, /(2-2-՝"

1100.

Ջո,

5-0 1093./օՀոՃ-ՅԻԻ, ԻաՀ1

5, -1

«-1

1095.7()-4օց:--ՀՏ-, 5. -Ճ2 ՏՈ՛ 1097.

/(2)

1099.

«3 Աոաօօտ2-,

1101.

/(2)Հ:

օա,

Գտնել այն կետերը, որոնցում (2)

օ«օ52:-2Տպ8ու, :

-շ

ֆունկցիայի գրաֆիկին տարած

շոշափողը զուգահեռ է տրված ուղղին: 1102.

/ (2) 37

1103.

/(2)-:Իպո»,

»-2

1104.

/(2)Հ:-»2,

»ՀԴՀ1

1105.

-152-՛Է24:3,

»-7-125

1106.

/(2)ՀՏո-605:5:-22:8Է3,

»--եԽՀՏ

22:

-282--62ԻՏ4:-1,

»--2

1107.

1108. 1109.

/(2)-8՝ -3:4' -9:2", /()Հ -3:Հ9,

»-4

/(2)Հ«-5|12-3),

Գտնել /(»)

ֆունկցիայի գրաֆիկին (2օ»»,) կետից տարված շոշա-

փողի հավասարումը 1110.

/(2)-»՛

2-53, )Հ0

-3:4,

-2:--, 1112.70)-3:-»-5. 1111.763

1113.

ՀՅ, "-2,).-3

/(2)-:Ի4:Հ1,

2-1,

ՀՏ

/0)-»--.

ՃՀ1,

)ցՀ1

"Հ1.

չջՀ-7

1114. 1115. Ուբ

/(«2-(6-2)(32ՀՌ,

ՀԲԲ,

ՀՅ յլ--4

1117.7(0-Վ6-2-»5, 1118.

Գտնել

Գտնել Գտնել

-(«-1)5-Էօ

Հճ2Հ1

ուղիղը

էճ

:-4-5

25-12

ֆունկցիայի գրաֆիկի շո-

2-1

ուղիղը կշոշափի

ԻԵ-1ֆունկցիայի գրաֆիկը: Օ

պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում »-4-չ

կհանդիսանա/՛

-Հ1 պարաբոլին:

շափող: . պարամետրիո՞ր արժեքի դեպքում

Գտնել

ուղիղը

պարաբոլին:

Գտնել ` պարամետրիայն դրական արժեքը, որի դեպքում )

72-53: 1123.

ֆունկցիայի գրաֆիկը:

արժեքը, որի դեպքում »-«-3

ուղիղը կհանդիսանա /(2)Հ2-

1122.

ց Հ3

պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում

կշոշափի /(2) 37 1121.

-Է0:--6-Է5

պարամետրիայն Օօ

կշոշափի /(4) Հճ: 1120.

Հ-1,

պարամետրիայն դրական արժեքը, որի դեպքում «3

ուղիղը կշոշափի /(2) -7՛ 1119.

ՀՀ

(9-22

ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը:

ուղիղը

1124.

պարամետրիմի

որոշ

ման կետի աբսցիսը:

ուղիղը

շոշա-

/ԹՀՓ-րչ-4ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտնել շոշափ-

փում է 1125.

արժեքի դեպքում »--2»-4

պարամետրիմի

դրական արժեքի դեպքում

որոշ

շոշափում Է /(ո) Հ»

2ա--20օ-ՒԷ

| պարաբոլը:

» Հճ:2-4

ուղիղը

Գտնել շոշափման կե-

տի կոորդինատները: Գտնել Օ պարամետրիայն փոքրագույն դրական արժեքը, որի դեպքում »-8:աՒէռ ուղիղը շոշափում է /(2)-525-Է35ո ֆունկցիայի

1126.

գրաֆիկը: Գտնել

1127.

պարամետրի այն արժեքը, որի դեպքում

պարաբոլին գահեռ է ) Հճ: Գտնել

1128.

։«-Օ

-32.Հ1

աբսցիսնունեցող կետում տարված շոշափողը զուուղղին:

պարամետրի այն արժեքը, որի դեպքում

ա՛

-74:Հ1

ճ՛

պարաբոլին »«-Զ աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողը է անցնում կոորդինատներիսկզբնակետով:

»--Օ/»

1129.

Ապացուցել, որ

հիպերբոլին նրա կամայական կետում

1130.

ված շոշափողի այն հատվածը, որի ծայրակետերը գտնվում կոորդինատականառանցքներիվրա, շոշափման կետով բաժանվում է հավասարմասերի: Ապացուցել, որ յ, Հ: պարաբոլի կամայականմօ աբսցիսն ունեցող

տար-

են

կետում տարված շոշափողը զուգահեռ է 2:

աբսցիս ունեցող կետը

գագաթի հետ միացնողուղղին: 1131. Դիցուք յ ճ.՛ ԷՖ: պարաբոլը ՇԸ

հատվում է օ: առանցքի հետ երկու կետերում: Ապացուցել,որ այդ կետերում պարաբոլինտարված շոշափողների անկյունայինգործակիցներըհակադիրթվեր են: -

Ապացուցել, որ յուրաքանչյուր յ

1132.

«0

թվի համար

.Հ--,

Ե ի,

(0»0)

ֆունկցիայի գրաֆիկին «, ե -»«, աբսցիսներն ունեցող կետերում տարվածշոշափողները զուգահեռ են: ճ

նԵ

թվերի ի՞նչ արժեքների դեպքում /(«)

ածանցյալ նշված 1133.

/(25)ՀՎ

2:83

ա Գե,

ֆունկցիան կունենա

կետում

«Հ1

1134.

76-| 7օ-| /օ-| ճո /օ-| 6,

.Գե,

1135.

01"

1136.

2«Հ3

ՎՃ

:Հ2.

6՞,

«ՀԼ ԱՅԳԵ,7»1

6-,

Հ4:Հե,

,Հ2 Ճ4

1»--

7Հ

1140.

1141.

1142.

1143.

ճ.՞

Ճճ

--2, :Հշ

7օ-| օ-|Ճա («Ի4)6, 76-| /թ-| (3:5-0)օ-", /թ/օ-| /օ-| 7ա-վ Տ-1

6",

ԱԳԵ,

1145.

1146.

ՃՀ-1

6",

Գ35Իծ,

7:»0

«50

ՃԵ

6",

ԶՎաւՀե,

«ՀՕ «0

ՀԼ

չ»1

ոմՀ32), «Հ-1 Ճ: Հ եԵւՀ2, 7»-1 (14 Աո Հե,

:»0

ա ՎԵՀ

:«»-1

«ՀՕ

ա ԳԵւՀՆ

--1

.»-1

թ.

1144.

1139.

ամա 1138.

ԻԵ, 2»2

1137.

2«»3

ՃՏ-2

«»-2'

)

1147.

1148.

1149.

/(2)-

ո(օՀչ-),

5Ճ-6

Չի -----1Իգ,

75»-6

2, ԳՒԻՇԼՋ

/(թՀ

Ա. ԷԽ.է3. 3Տլո 4:

ՃԱ

.«Հ

Շօ054:,

ՀԵԷ4

ճէ,

/(2-

--տ

-շ

«Հ-Պ

«ՀՎ

"--Ճ

չ»-7

ԻԳ4Տ8ոյ.,

ո.

Վո

չ«»Վո

Վե

ՀՏ

2. ԵՏ1ո

7օ-վ

1152.

«Հ-Պ

ՏՈ 2: -ՇօտՏ2:,,

1151.

/(ՕՀՃ ՇՕՏ

-Շ

:«»-յ

ՓԸ 1150.

Գտնել ֆունկցիայի դիֆերենցիալը 1153.

23Մ58՞

1154.

Էճգառտու

«Վ64-7.

1155. »

1157.

1159.

ՅՇՇ0ՏԻ2-

»յ՞

1156.

»-

ՊԱՏո

ՎԱ-)յ

»ՀՆ2)

ն ՔՀ

ջ()

:դ) Հովո

--5

1-2

ՎՏ

չԷ ՆԸՀ Ի

-ՊՎՏլո

ֆունկցիաներըդիֆերենցելիեն:

Գտնելֆունկցիայիդիֆերենցիալը,եթե ա)

Հոթ

ո»

1158.9 -2ասգ

Դիցուք ս Հս(չ),

իո

մ»ք:

բ) »Հ------:Գգ) մ

Ժէ

ֆտ:

Փոխարինելով ֆունկցիայի աճը դիֆերենցիալի արժեքով, գտնել արտահայտության մոտավոր արժեքը 1160.

3/3,98

1161.

3/1,02

1162.

1163.

3/33

1164.

ք 44՝

1165.

«օ5151՝

1166.

|ք11

1167.

1168.

2-Շէջ 1,05

Գտնել /(«2) ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը նշված կետում 1169.

/(2)ՀՎ27-3235,

7---0,98

1170.

/0(Օ-Վ22-4:.-»2.,

5»-2,97

1171.

/(2)ՀՎ16Ւ4:-».,

:7--Ն97

1172.

/(0-Հ:Հ4:-1,

1173.

(ՌՀՀ,

1174.ՄԱ) 1175.

1176.

/(5)

"4.99

Հատոր, Հ

-2,96

Ճօջ(-՛ -8: 15),

Յոօօ(»՛Ի10:--24),

-3,03

-3,98

-4,96

Գտնել 3" -ը

1177. չ-ոխչփո-Լ|

1181.

ղ2--1

Է9-ատոը յ

Վ231 Հ2Յոօէք,

լղ

ՎԱ»

1183.

»Հ36054:2-Ի55ո4»,

1184.

4:6՞Ի8.օ՞,

-չ

րաւ

Պարզել բավարարո՞ւմ է վասարմանը

1178. »-աօց|ոՒվո 1)

արդյոք

ոոջ»-

(ո)

16,0

)՛-6»-0

թ-ոաօթ1-3 թ»

"(3

1-2

Րա

ֆունկցիան տրված

հա-

1185. 7

4:6-Ի8.«՞--,

ԷՏՈՇ",

1186. » Հ1Ի

)

1187. »-ի«ՎՀ») 1188.

1189.

1190. 1191.

1192.

1193.

,՛

լ ՇՕՏ

ՕԴ"

»-5»Հ)

Տո

-ՖԴ6:»-0

(1-52)-Թ՛-100»-0 (1-52) -»Թ՛Ւ100»-0

ՇօՏԱ0886Շ0Տ ),

»Հ----,

(12:2)»:»Փ՛-1007Հ0

ՀՀո Տ"", Հ

2-2

-ջՀ-գ

"25:07" ,

1Էջ-»

ք2

Հջ

ԻՎ)

(1Ի22)»՛Ի2՛»0

օք»,

Ապացուցել հետնյալ բանաձները

1194.

ա)

(«Դ»»«"

թ)

գ)

(Տոռա) ")

դ)

(«օՏ»)Ր)

ե) Հ")

«ավշի

Հճ"-Ո"ճ:

-ավոճի

ՀԽ(ո-3(-2):::01-ոՀԼՆ):25": -Հ"Հ(ւ-ր| չ

1195.

Ապացուցել, որ եթե /(«5) ֆունկցիան ունի

-րդ ոռ

կարգի ածանցյալ,

ապա

(/(ո:Ժծ))" Հօ": /"(աչծ) Գտնել ֆունկցիայի 1196. 2՞ »-

2ոթ3 լ

1198. ,-

1200. )

փ-2» -

ՕՏ

-րդ

կարգի ածանցյալը լ

1197.

223382

1199.

ՀՏԼո'չ

1201.

չ----------

ՇՕՏԶ::ՇօՏԵՆ

1202.

)

Տո

-օօՏ-22

1203.

»-

ո-Տ

Ապացուցել կամ հերքել հետնյալ պնդումը 1204.

Եթե /(»«) ֆունկցիան չ, կետում ունի վերջավոր ածանցյալ, իսկ ջ(»)

ֆունկցիանչունի, ա) /(») բ) (2): 1205.

Եթե /(:)

ա) (2) բ) 1206.

1207.

1208. 1209.

ջ(2)

ապա

ֆունկցիան չունի ածանցյալ «, կետում:

ջ(2) ֆունկցիան չունի ածանցյալ չ ն

կետում:

ջ(») ֆունկցիաներըչունեն ածանցյալ «, կետում, ապա ջ(2)

ֆունկցիան չունի ածանցյալ չ, կետում:

/(2): Ք(25)ֆունկցիան չունի ածանցյալ չ,

կետում:

Բերել ֆունկցիայի օրինակ, որը թվային ուղղի ոչ մի կետում չունի ածանցյալ, բայց ֆունկցիայի քառակուսին թվային ուղղի բոլոր կետերում ունի ածանցյալ: Բերել ֆունկցիայի օրինակ, որը թվային ուղղի բոլոր կետերում խզվող է բացի մի կետից ն այդ կետում ունի ածանցյալ: Ապացուցել,որ թվային ուղղի վրա որոշված դիֆերենցելիզույգ ֆունկցիայի ածանցյալըկենտ է, իսկ կենտինը` զույգ: Ապացուցել, որ դիֆերենցելի պարբերականֆունկցիայի ածանցյալը պարբերականֆունկցիա է:

1210.

|Լ-1:1)ն |0:1) հատվածներում ստուգել (7)

1211.

համարՌոլլի թեորեմիճշմարիտլինելը: (-1:7 ն (2) միջակայքումգտնել այնպիսիկետեր, որ

7(2Հ6՛

«(2-1

ֆունկցիայի

-ՍՇ-2)

ֆունկցիայի գրաֆիկի համապատասխան կետերում տարած շոշափողները լինեն զուգահեռ 2 -երի առանցքին: 1212.

(0:1) միջակայքումգտնել այնպիսի Ը կետ, որ /(»)-« գրաֆիկին (6: ն

1213.

ֆունկցիայի

յ/՛(6))կետում տարած շոշափողը զուգահեռ լինի

(0:0)

7 կետերը միացնողլարին:

Ապացուցել,որ ցանկացած Ֆ(«) հանրահաշվականբազմանդամիերկու արմատներիմիջն կգտնվի Ֆ՛(«) ածանցյալիարմատ:

1214.

Դիցուք /(»)«22-1)0-2)Շ-3)ՕՇ-4):

Սպացուցել, որ /՛(5)-0

հավասարմանբոլոր արմատներնիրականեն ն ընկած են (0:4) միջակայքում:

1215.

Ապացուցել,որ եթե /(»չ) ֆունկցիան դիֆերենցելի է (օ:ծ) վերջավոր միջակայքում ն գոյություն սահմանները, ապա

7(2 մոռ

ունեն

գոյություն ունի

(2:ծ)

ՇՀ

7 (2-0: 1216.

Ապացուցել, որ եթե /(«) հատվածում ն

1217.

Տրվածէ

ապա

գոյություն ունի

այն: Դիցուք /(»)

որ

անգամդիֆերենցելի է |.:ծ)

ֆունկցիան: Համոզվելու,

հատ

կետերում հա-

(6:ծ) կետ այնպիսին, որ

Շ6

որ

ցանկացած |լ2:ծ) հատ-

վածի համար Լագրանժի թեորեմում առկա չ, 1218.

վերջավոր

կետ այնպիսին,

հատվածին պատկանող(7-1)

այդ

վասարվում է 0-ի,

Բ" (2-0:

ֆունկցիան

մո709

կետը միակն է` գտնել

ֆունկցիան դիֆերենցելի է (26:ծ) վերջավոր թե անվերջ

միջակայքում ն

այդ

միջակայքին պատկանող «յ կետում /(ո)-0:

Ապացուցել,որ եթե /՛(:)»0,

(6:ծ),

«6

/(2)»0,երբ»ան

ապա

7( 2) ՀՕ, երբ «Հյ: 1219.

Դիցուք (5)

ֆունկցիան

ոռ

թե անվերջ միջակայքում ն

անգամ դիֆերենցելիէ (.:ծ)

այդ

միջակայքին պատկանող «, կետում

0:57

722) 7"Օ)»0,

«6

(ճե),

ապա

վերջավոր

0)50: /(»)»0,

Ապացուցել, ն

երբ «»չյ

որ

/Օ)Հ0,

եթե երբ

«Հլ: 1220.

Դիցուք /(»)

ջ(») ֆունկցիաները ռո անգամ դիֆերենցելիեն (.:ծ)

վերջավորթե անվերջմիջակայքումն կետում / (գ)

ցուցել,

2»ան 1221.

որ

- Ք(գ).

եթե

Ապացուցել,

(Ը. -ձ:յի

որ

7՛(ա)Հ8՛ա).

/(2)»Ք7(),

/()ՀՔ(Ը),

այդ

«5

միջակայքինպատկանող

"0օ):Ապա-

"(527

(ճե),

ապա

/(չ)»

երբ «Հյ: եթե /(«)

(2),

ֆունկցիան անընդհատ է լոյ:

«-զ-

7՛(») -ի

ջավոր սահմանը, ապա գոյություն ունի /(«)

ԻՃ)

-ԷՃ) ((գ-Ճ:)

միջակայքում, դիֆերենցելի է (չգ:

ինտերվալումն գոյություն ունի նո

երբ

նո

2-յց-

| վեր-

ֆունկցիայի աջակողմ-

յան (ձախակողմյան)ածանցյալ », կետում, ընդ որում`

/՛(աԺ0)-8

(/գ-0Հ):

1222.

Դիցուք /(«5) ֆունկցիայի համար վերջավոր աճերի բանաձնըներկայացված է

/(«ՀԳՃԱՍ-/ՕՀՈՇՀՑՃ)Ճ7,.

(0ՀՓՀ1

տեսքով:

Գտնել 6-ի կախումն չ -ից ն /Ճ:-ից, եթե

1223.

703Հ«": /0)-3:գ

/(ՉՀաո չեոչշ,(ւ «0):բ)

ա)

միջակայքում /՛(2)

Ապացուցել, որ եթե (.:ծ) ջակայքում /(«)

Հ Ք՛(5),

ապա այդ

մի-

ջ(»5) ֆունկցիաների տարբերությունը հաստա-

տուն է: 1224.

Ապացուցել,

1225.

/՛(«)Յ1,

եթե

որ

(4:Ե), որտեղ Շ -ն

«6(8:Ե),

հաստատուն

ապա

է:

Դիցուք 7/(5)-ը Ք-ի վրա երկու անգամ դիֆերենցելի է 7Ճ-իու ո-ի համար

72-Իի)-7/() Ապացուցել, որ /(«)-ը

անա)

քառակուսայինֆունկցիա է՝

-աշ

Ժե

ՒՇ:

Ապացուցել նույնությունը .

1226.

ՁՐՇՏԼՈ

1227.

2:16էք7 - ՅոօՏ1ո

1228.

մ Է ՁՈՇՇՕՏ

7 Հ 21Շէք--Հ---, 21Շէք մ

աօ

1230.մօր

1231.ձն

ՅրՇէք

Ը,

2»-1

--21աք ա-0,

-1ՎՀՀՀ1

--2ցՀտ,

-«ՀՃՀ-1|

»0

3:4 ճոթ--Լ 1-2

1232.Յոթ5

է -

1-2

1229.մօ:

1233.

--281ք:.--ո,

/(2)-2թ-ՀՇ,

-օՀՃՀ-1

1Հ.

ՀՀՀ

ցանկացած

1234. 28651ո

Ե:

1235.

81ՇՇՕՏ

1236.

ՀՐՇՇՕՏ

1237.

816Տ1ո

--2տոք»:-0.

|«|Հ1

1Է

-- Իշաօթա-Ը,

1Է

ացք»

«1

5,2

:,Հ-1

-- Ի2ճք:--տՃ.

5-1

Ե:

1238.

3:816605 -8ՐՇՇ0Տ(3:-4:)-7.

1239.

Ապացուցել,

(-«:1)

7/(»)Հ

որ

(Ւ--օ)

աակ որր ն

0Հ:Հշ (22ՀՅոք»

ֆունկցիաները

միջակայքերից յուրաքանչյուրում տարբերվում են

գումարելիով,գտնել այդ հաստատունները:

հաստատուն

Օգտվելով Լագրանժի թեորեմի հետնանքից` գտնել /(«)

ֆունկցիա-

յի ձախակողմյանն աջակողմյան ածանցյալները նշված «, կետում: 1240.

/()ՀՎՏոյ,

1241.

(2) Հ ՅրՇՏ1ո

1242.

(2) Հ ՅՈՐՇՇՕՏ

5-0 Նր

1Է

"0-0 "-0

1243.709Հոպու 1244.

(2)

"--1:-1 ո: 88166057 -

ւա 1245.

(225.

Ի, 1»

1246.

/(2)-4

5-1

--1:

շ'

ՅԼՇէք

-Չ1ՀաՀ1

2-1

0ՕՀ.Հ1 ,

5-0

:-0

1247.

Օգտվելով Լագրանժի թեորեմիցապացուցել, որ //՛

(//»0)

թիվը գե-

րազանցող ն իրար հաջորդող երկու բնական թվերի քառակուսի

մատներիտարբերությանմոդուլը փոքր է քան 1248.

Ապացուցել, որ եթե /(չ)

թիվը:

ֆունկցիան դիֆերենցելի է |.:ծ| հատվա-

ծում

ն |/՛(օ|Հ.7(,

ճ,

կետերի համար ճիշտ է

««

ար-

(ճ:ծ),

րությունը:

ապա

|.:ծ) հատվածի ցանկացած չն

|/(զ)-.7(.)|Հ1/-իղ -»չ| անհավասա-

Ապացուցել անհավասարությունը

Հո -»"Հքա-:57,

1249.

թ(«-ջ):»

1250.

2,Հ1-ք-ոչ,

1251.

1253.

21Էո14»), շ"«

1255.

2»0,

21-57, -«օՀՃՀՓ»

1Է2Ոո:ւՀ.

1261.

6 »6:2,

ՒՋ

1258.

ՀուՀ7-,0Հ»Հ»

2-7

)

բ «---ՀՏպուՀամ,2»0

1260.

կո». 0Հ««2

ւյ»,

ՀՅՅԱ:ՃՀա---,

Հ24:-2» ՀՑ» 13,

1267.

1268.

15:-100Հ»

1269.

1264.Հոու

-627՛Հ155Հ8, 25: -11Հ155՛ -24:Հ2» Հ16,

ԼԻ

2-7

1263.

)

Շօ0Տ:21---, -օօՀ«ՀօՓ

1262.1--

1266.2

1256. ՆՆ

«»0

զո» 1265.

ք»0

Տոշ»չ--7,0ՀաՀ.

1252.

ք»1

,»0 1254. Ը-ՀոնչդՀ».

»»0

:»0 1257. 1-շուՀ-Լ, 1259.

0Հ»Հ»,

ՀՀԻ52

ո»2ու0Հ.«2

0Հ»ՀՀ 0ՀաՀ1

4:1

(15)

«6

(14)

3: -27Հ9Զ:-»

1270.

1271.

ՀՅՇՀՏ,

48ՀՅ

Հ2»:81,

36:

(37

(-2:3)

«6.

(45)

(-3:1)

(-4:2)

13)

(14)

(-2:2)

1272.

3:-

1273.

9:-5Հ

1274.

24:-28Հ

1275.

7:-ՏՀՅո

1276.

15:

1277.

32 -94Հ45:-

1278.

1227-44Հ:Ի2նՀ12242.

(2:4)

1279.

: -20Հ-9:-15.ՀաՀ2Զ,

(-4:-2)

1280.

722-162 Հ

«6

Ը3:3)

2» -120:

ՀՅ:

Է304,

Հ9Չ«Հ27, -ԺԷ37 Ի32- Հ24:-Է80,

Ի9:Հ:Հ27, Հ 2: Հ24: Հ157-411,

ՀՀո փ70.

Է37 Հ72:4216.,

Օգտվելով Լոպիտալի կանոնից`՝հաշվել սահմանը

Յ.-Յ-1

հո

1281.

1283.

Ժ4:-1

«5-05

3-1

Ա-ՏԱԻ6

նտ `

ա-Տ::15

259.--

իշ

1285. 1ո

431:42

Հոմ

9-Ի-ՎՄ-» Հ92.-9ԻՎ7-»

1287.

ԹՎՅՎ2

3Տ.Վ1-ՎՀՅ-1

1289. իրՂ----ա-----.

5-53

ՎՉՎՀ-»

1282.

1286.

չիւ-1

2-3

Լր. ԻՆԳԱ `

Հ:

ՏՎո3ւԻՏլո4»

1290. հռ----.-«50 Եֆ. Դ 4յ .

լո

55525 կող

1294.

կոռ

Տլո՛

1295.նռէք 42: 1297. կղ

ՇՕՏ47--ՇՕՏ9» ՇՕՏ53---Շ0Տ112

«50

1-«6:(4) լ--ՇօՏ(32-)

1296.ոո(Տ1ո 5):-1Ջ52)-6էք՝2:

ա122-28»:6835:

2-50

Տ.գ3/55::1

----------Հ----

1292.

«թ0

ՀՎԱՒ2: ԷՀՎՅ-1 1288. 1եԱՅՐ

293.

Հ. Է1 Վ-1

1284.

«0555-6057: 2-50

1291. Լո

ՀՑԻԼ, 27 ԾՈ Ի:

կող

«505

Ւ:

298.

կուք2»-ք

ւՅ5

(5-ի

1-45Տլո՞յ

հող--------

1299.

«5 կղ

1301.

«50

1300.

82222485 Տլո47-4Տլոչ

1303. ո հոլապր «501,

աւ-շլ)

1305.«նու

«2-1

«ՅՑ

1302.

«53

ոաա» հող լո|-

ոլ

Աթ

1311.

1313.

1315.

ոց

ՓՅՀ ք"

հոյ ԸՏբ «50

ՎՏ-.-2:

փո

որ-

1317.«0154 1319.

«0

հո

1323.

հո

1314.

Տոչոծք»

հո «թ»

ՀԵՀՅՒՅ

ո:

իո ---,(ք»0) 1327.1-Ֆ3օօ

1-Ը055

"օօ

լո'(1-9

ՅՒՇՏԼՈ

ԸՏԸՏնող յ |

"50

7:Ը0Տ

--Տլո

ՏՅ»

Աոա

Լո

1318.

հոռ

1320.

հո---225.

.Նտ"ւԱԻ)

«օօ

«50

չոչ

3ՇՏ1ո

ո(1Ի 2)

ՕՕ

ամր

1322.

կղ

ՀՈՒՄ" 2-0

1324.

նռ

«Ա-»5)-Ք80-») )ռ-

1326.

հռ

Ա-»-01-»7

1325.

ՀՏ--

|ո 0535

1316.

-Յ-Ի -2:4Ի1

լո

ք,.-չ» հո-------

1321.

հոտ

ՊՁրօտլո

835:2687՝ լղ.2321Շէք 81Շէք35

«50

ՇՕՏ

1310. ո»0(Տլուչ

կո

քչ-

«Օէ

:Տլոչ

կո Հ55.22-355

ռռ( | 1306. հոր -

«-2)-օջա-7)

-Տլո

.«8

1312.

հո-----Տու-չ

«50

1304.

1308.

2771-55-33

կող-82-5 .

նղ

1307.

հո(չ՛ .-51

1328.

Հ-, (էօ)

նտ »:1ո| --Յոօէք» .

1-»Դ3օօ

ու-փ

(թ»0)

նռ

1329.

2»

2-ի

հո

1331.

ոչ

75»:

1332.

բատտոշյ ..2

հո 1330.

հոի

-ոչ

1334.հռ(51ո)՝

1333.հտ՛

1335.նո(Տո»ց""՞

1336.հո(ճօտմուչ)-"

1337. նոն»

1338. նո2-»)"

Լո(ք.»)2-"

հոլ 5"|

րոտ»)

1339.

1340. Ճ-50

1341.հո

«501

նռ

1343.

«»«Լ7

ոլոր

առօ |ա» շ

1342. ի

օք(«-2)

էք 2

Ի3)» 1345. հո(32՞ 5Ճ-Ծ

1344.

հո թալ

1346.

|ք

Հ2:41

մոք Լոռ

(7-22

)

«055

Գտնել ֆունկցիայի 2 «0

նշված

կարգի Թեյլորի բազմանդամն

ո-րդ

կետի շրջակայքում

/ԹՀԱ-ՀՎՔ),ոՀ2

ո-3 1349. /օ--ՅՃ., 14: 1347.

1348.

/(.)Հ6"",

1350.

/(ՕՀօ""",

1352.

(2)

ո-2

Տո),

1351.

(2)

1353.

/(»«) ՀՏո(տլու),

1355.

/(5)Հ-Ր",ո»5

1357.

/(2)-»-ՈԱ-Ց,

ո1Ի

Գտնել ֆունկցիայի 1359.

7-27

1361.

Հ»

-:Հ5

Գ3:Ի7

ո-5 ո-3

ո-5

ո»3

1354.

Հ 1ոշօտ:, ոՀ6 (5) Տու-2:6"ո-4

1356.

(5)Յոօք»,

1358.

ո»10

ծ--

բոՀ4

աճման ն նվազման միջակայքերը 1360.

չ-5Հ7:-2-

1362.

-2ն՛

Ի18:Է7

1363.

-չ

1365.

,------չ

1367.

3.-7

2-ը

5-1

,չ--------

7-41

7Հ:-2

1369.

ՀՎ-6

չ,

1371.

ՊԼ-չ-՛ »Հ»-օ2" »».2"

1373. 1375.

27 Հ

յՀ»

1366.

»-(4-7)(22Հ1՝

1368.

1370.

»Հ2ՀՏպՋոշյ,

1372.

չ-26055-605», :«օլԼ-2ո:ց|

1374.

-».65"

1376.

7-2

չ---------

Ի4:Հ3

»-7՛1ոչ

1378.

» Հ

1379.

----ոչ

1380.

»»աօք-ո»

1381.

ՀշվՎ4:-7-

1382.

Վ27Ի97-՛

1384.

«6

|-27:-

-10ոչ

1377.

1383.

1364.

ո1-»)Է:2-1)

ՎՏ-չ՝ (ՀՈՎ: -

պարամետրիո՞ր արժեքների համար ֆունկցիան ածող է ամբողջ թվային ուղղի վրա ճ

-0.

2-7

1385.

-2(4՛ -9»2Հ5

1386.

ջ2-Հ--- Ը Հ(0-1 «2:41

1388.

1390.

,Հ

1392.

4-9

Է(ոՀ3)

(642):

-3:Ի4

1387.

Հ:

1389.

)

1391.

1393.

»-.-ՏպՏոչ

1394.

1395.

,-Ո10-գ)7-ՏպոյՀ2

1396.

»-(17-գ-):-օօ52-1

05-07): Տպոչ-3

1398.

Գ3Տ8ուՀ460Տ5չ

1400.

»Հ.ԻՏՏուՀ12օ052

-37՛ -(«՛

1397. 1399.

Հճ

-9):5

27 Հ3(4՛ -4):

1401.Ֆ-Թ-ո)աԻՓ-2,

-2»:

(ո

-16)-

7Հօ0Տ2

-(26-02)1Ի605:-7

««(Է242)

1402.

-(24-6-)2-օք:83,

1403.

Հ(84-՛7)«-ՕՏոՈ6»-Տոտչ

(0:72)

Ցույց տալ, որ ձ պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում ֆունկցիան աճող է ամբողջ թվային ուղղի վրա 1404.

-(25-2)-

1405.

Հ»: Հ(0Ւ2)-

1406.

բողջ 1408.

Է3):Է5

Ի(4 ԺՏ):Է9

Է25):-10060525--4483

(144) 7»

1407.

(ո

Է35-գ

պարամետրի ո՞ր արժեքների համար ֆունկցիան նվազող է թվային ուղղի վրա

ամ-

»-(5-0)2-պՋո-3

1409.

(8-0):

1410.

Է6օ5:-4 (ո -8»«-պուփտ

(0 -17:Ի6052-1

1411.

1412.

»չ--(7-07):-92-2,

1413.

2-շթ:«-(15-0-):-4.

1414.

(27:37)

«(Տ

(4 -24:-ջա-3.

Հ(4՛ -35)2Իօքէ5.

1415. 7

(07)

Ցույց տալ, որ զ պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում ֆունկցիան նվազող է ամբողջ թվային ուղղի վրա 1416.

»Հ(օՀ1)-

1417.

1418. յ 1419. Հ 1420.

(ա-4)

-(2յ:-»

-(20Ի7:-»

Հ60օ052»-(6՛Է9):-Է30-2 208ու-(0Հ1ա-20431

Գտնել

(2-26:

լռ

պարամետրի այն ամենափոքր արժեքը, որի դեպքում

-3(24-1»

Ի644-7

ֆունկցիան ամբողջ թվային

ա-

ռանցքի վրա աճող է:

1421.

Ապացուցել,

որ

պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

7()Հ(1Ի4)ա:2-Է304605:Է4-2 1422.

1423.

1424.

քում աճող է: Ապացուցել,

որ

կայքում նվազող է: Ապացուցել, որ Օօ 40:24 72)-4

ֆունկցիան ամբողջ

պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում 1ո4:5-2ոշ

թվային

-01-2642-.

ֆունկցիան

ամբողջ

թվային

առանցքիվրա աճող է: Ապացուցել, որ ՕՕպարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

-660,)6 -625-օ-3շ

ֆունկցիան

ամբողջ

թվային

առանցքիվրա նվազող է: Ապացուցել, որ Օ. պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

ֆունկցիան |1:-Էշ») միջակայքում աճող է:

-ձաՒ3

Պարամետրի ո՞ր արժեքի դեպքում ֆունկցիայի աճման միջակայքը կլինի ամենալայնը: Ապացուցել, որ գ պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

ֆունկցիան

թ»)

միջակայքում նվա-

Պարամետրի ո՞ր արժեքի դեպքում ֆունկցիայի նվազման միջակայքը կլինի ամենալայնը: Ապացուցել, որ եթե (5) ֆունկցիան անընդհատէ (գ:ծ) միջակայ-

զող

է:

քում ն /՛(2)»0

(4:Ե)-ի

բոլոր

թյամբ կետերից,ապա (5) 1429.

միջա-

առանցքիվրա աճող է: պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում Ապացուցել, որ .

7(2)Հ66.-(9ՀԻ4:)»

1428.

ԷՑ5|

ֆունկցիան

7ԹՀԱՀ` Ս

1427.

միջակայ-

70)Հ(1Գ9)0ջք:-Է56օօ5:-6:»-3

)-0:

1426.

ԷՏ2)

պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում

7)-22-գօ-1օ6 1425.

ֆունկցիան

-ը

կետերում,բացի վերջավորքանակուխիստաճողէ (6:ծ) միջակայքում:

Ապացուցել,որ եթե 7/(»)-ը դիֆերենցելի ն խիստ աճող է (6:ծ5) միջակայքում, ապա ցանկացած.:7.

(4:ծ), (պ Հ.)

կետերի համարգո-

յություն ունի ՇՀ (ոլ:5չ) կետայնպիսին,որ /(օ)»0: 1430.

Դիցուք /-ը

7 ՛(թ)-ը

աճող է (օ:ծ)

նս աճող է:

միջակայքում: Հետնո՞ւմ

է, արդյոք,

որ

1431.

/(2)

ֆունկցիայի ածանցյալը աճող է (4:ծ) միջակայքում: Հետնո՞ւմ

է, արդյոք, 1432.

/՞-ը

որ

նս

աճողէ (4:5) միջակայքում:

/(Ճ2) ֆունկցիան կոչվում ծ»0

թիվ այնպիսին,

702)»7/(գ), երբ

(6:Ե)-ի յուրաքանչյուր

որ

(այչ ,

կետում, եթե գոյություն ունի

է աճող :չ,

/()Հ/()

«6(ա-Փ»)

երբ

փծ): Ապացուցել, որ

եթե /՞-ը աճող է

կետում, ապա այն աճող է (25)

միջակայ-

քում: Գտնել ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը ն պարզել` էքստրեմումի կետեր են դրանք, թե՞ ոչ 1433.

222Ի2-7-

1434.

1435.

»-(«-1'

1436.

7 Հ"

1437.

»-Տոչ

1438.

)

1439.

1440.

-(«Հ1)5:«-

1443.

ԱՀ»). 251ո

Հ7:301-») լ

2Հ--Հ------

5-2

-Հ2

(թոոօ Ռ

Հ4:Ի5|

1441.

-Ճշ

«2

1442.

77:62"

1444.

»-Վոչ-1

Գտնել ֆունկցիայի էքստրեմումի կետերը ն հաշվել էքստրեմալ ժեքները 1445. 1447.

2-2--2Հ3

1449. 7 1451.

-6:-ՀՎ9«-4

Հ:

Հ(«Ի2)7(0--0.5)-

չ--(«Հ2)(--3)

1453. 2

2----

1457.

»-Վ.Հ1

1-Ի)

էՀ1

2-7 -3:

43:34

(Է

-10(

1452.

«32

45):

Տ.

Ի6:Ի5

»-

(«-1) ՅԼ

1856.

-ՃՅՐՅ 32231

1458.

»Հ--Վ-1

21752513

,-32-7-

1450.

1455.

1459.

1448.

1454.

Թգ

Վ-

1446.

1460.

ար-

Վ:

-6:45

«ՀՏՐ 2-7

1461.

ջՀաԻ-

1462.

ի:

լ,

1463. »-Ջուծշտոշ» .

1465.

)

1467.

60-42)

-3)6՝

Տո .

1464.

,--«-2Յէք

1466.

1468.

)

«ՀՇօտ

Հ1ո(1Ի2-)-28:6ջ Հ

1ո(2-ՇօՏտ»)

Գտնել Օ պարամետրի այն արժեքների բազմությունը, որոնց դեպքում ֆունկցիան կրիտիկական կետեր չունի 1469. Հ: -305- Ի3(203)5-օ՝

-48(«-12):-«՝

5 Հ12ա-

1470.

1471.

Ի6..

Հ12(6-6):Է6՝

1472.

Ի6ռ-՛

Է12(40-Է5)յ2-6:

1473.

-30(գ-2):Է4՝

Գտնել Օ պարամետրի այն արժեքների բազմությունը, որոնց դեպքում ֆունկցիան կունենա Ծիշտ մեկ կրիտիկական կետ 1474. 7 «2» 22: -զ 1475.

1476.

2»:

Հ4057

1477.

-Տա

1478.

Գտնել

Օօ

տը

1479.

Ի2ալ 18:

/(չ)

Էզ

1727 -զ Է162:

պարամետրիայն դրական արժեքը,որի դեպքում յ

Հլ"

--շ-5

կե-

-(247-54Ի2):»Է6ռ ֆունկցիայի կրիտիկա-

-30(Հ17Ի606:5-գ

-3(ժ-1յ-

-62.-է0

ֆունկցիան կրիտիկականկետում ընդունում է Օ արժեք: Գտնել . պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում

7(2-2(6(-1րֆունկցիան «

ֆունկցիան կունենա երկու միմյանցհակադիրկրիտիկականկետեր: Գտնել գ պարամետրիայն դրականարժեքը, որի դեպքում

7-22 1481.

կան կետ է: Գտնել . պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում

7-22 1480.

էօ

Գ(

-40Հ143

կետում կընդունի իր մեծագույն արժեքը:

1482.

Գտնել

պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում

7(2- ա -2(4Է2):41 1483.

ֆունկցիան չ ՀՕ. կետում կընդունի իր փոքրագույն արժեքը: Ցույց տալ, որ Ձ պարամետրիցանկացածարժեքի դեպքում

7(2)-2»

1484.

1485.

կետ է: Գտնել

պարամետրիայն ամենամեծ

կետը/(:)-22՝

ամբողջ արժեքը, որի դեպքում

-9(«-1)»- 6օ(24-3)»-Ի1 ֆունկցիա:ի Է

մի-

նիմումի կետ է: Գտնել Ձ պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում

7(2-(6 1487.

1): -24՝

6օ(4

ֆունկցիան ունի ճիշտ երկու կրիտիկականկետեր, որոնք էքստրեմումի կետեր են: Պարզել դրանց բնույթը: Գտնել Օ պարամետրիայն դրական արժեքը, որի դեպքում «Հճ կետը 7(2)-2: -3(4Ի2) Է12առ ֆունկցիայի մաքսիմումի

5-4

1486.

-3(24

-1"

Ի32-1

ֆունկցիան կունենա ճիշտ մեկ կրիտիկականկետ մաքսիմումի կետ: Գտնել Ձ պարամետրիայն արժեքը, որի դեպքում

72-25-32

կետը կլինի

ն այդ

-3օ(«-2):1

ֆունկցիան էքստրեմումչունի: Գտնել նշված միջակայքում ֆունկցիայի փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները: 1488. 1489.

1491. 149.

Հ»

«6|4:5| բ) «6|-Է4|

Վ9:-1,ա)

,«4ՀԻ6:-32-՞, «6լ-2:2)

2-6:

Ի9»-12,

«1:1Ի:5-չ Հ:

1499. »-

-Տո ՎՀ.

«6Լ-ԷԼ|

1490.

»-Վ52:-:.,

1492.

«63

-3:Ի5,

1494. ջ--ԵԻ ՎաՀ1

«6

|-12)

«օյ

33,

2-27

1495. 1497.

«6ԼԼլյ

փՏԸ 3, Տ,

"օր

:«օԼ2:2)

«Յո

Հ(«-3)Ժ--,

Լ-2:4|

1496.

1498.

Հ«(3-2-)6", «6Լ4:յ|

1500.

Վո.

«6

:6|-Լ)|

»Հօ05:Ե28ո-, ««|ռո|

«ի 1504. 1503. »-ՏՋոոՒ 20052, »Հ-շոիտո», «|ոռո| «իո 1501.

»-52-2ոյ,

1502.

1505.

»-Վ2.Հ -3»

1506.

1507.

1508.

-12:-1,

»6|-2:2|

"«|ո-2| ճ

7-Տոշ, .

օ052:5-2ՏոչՀյ,

Հ2Տոտոյ-360527,

Ճ6|0.27| 56|0:7|

1509.,-Տոո:յՏոշ»,

ո(չ՛ «1)-2269»,

1510.

)

1511.

Հ2Տ8ո:-ԻՏոշյ,

2.5

լ62

| (0:43

եշո

| ո2|

1512.

7-Շ0Տյ,

(՛ -12)6-",

1515.

(ո

1516.

ԵՏ

ՀԻ6օօ05չ,

«Տո

1513. 1514.

ՀՏ

-Տ)6օ",

|63

|3:5|

-35|

0:43|

Ապացուցել անհավասարությունը 1517.

-467 Հ

-8)0՝

ՀՏօ՞,

1518.0ՀԲ7 Հգ.շ՞. 1519.

Հ(3--)6"

«լ Հ26,

Է4:||

| ո2-7Հյոնք ԷՍ-2ոակբ» ՀՕ. (0:43 2.2 1521.2:48. «1Տոշ»ՀՔ, լ62 2ՀՆւտուՀուՅ, .«|:7 Լ2 1520.

գու

822.

1523.Հաթայ:

1524.0ՀՏ,-օ05:ՀՅՅ,

Վ2 --- ՀՏ

1525.

»ԻՇօ5:2Հ-

եո Լ

1,343 3),

1526. 0Հշասքո-«Հ--,

0.7.

: ե»|

16|-:--

Լ6

Գտնել հաջորդականության մեծագույն անդամը

Ի,

1527.

»,

Հ105.-Ւ3ո

1529.

-20Ի216ո-1Տո՞-2ո, ո

1528.

հօ

ՇԽ

դ-Է20 ոշ

1533. Հ--

ղշր

1532.

1534.

ոօ

ոՀ, «ՀՀ

ոա

օն

ո-100

լ`

1530.».-

1531.».-

դն

ոՇՄ

Գտնել հաջորդականության փոքրագույն անդամը

-338Հ5,

1535.5.-ղ

-15ո

1537.

Հո

1539.ո

ՀՈՎՆԾ,

1541.

«ՅԵՑ

դօ

-9Չո՛ -48ո-Ւ25,

ոճ

ղոր

ԽՄ

ո6

ՄԽ Մ

1536.

ճ,

Հ2ՈՀ--չ, դ

1538.

մ,

ՀՅՈՒ--չ-, դ

1540.ո 1542.

«2

ԻՄ

«558,

ո:

ՀՅՈՒ 4

շր

րը,

Գտնել ֆունկցիայի ուռուցիկության նշել շրջման կետերը

1543.

Հ,

1545.

)

1546.

Հ.

ք"

,-ՎՀՀՅ

ՄԻ)

Հո

1551.

27,

0ՀքՀ1,«»0

,-Յ-

գոգավորության միջակայքե-

1544.

ՅՐՇԷք--

1547. 1549.

ք»լն2»0

1548.

) ,---յո--

1550.

,ՀաՀՏՋոչ

1552.

)

"10

«:Տո(ոչ)

Ապացուցել անհավասարությունը

1արո»|թկ թ

1553.

1554.

1555.

1556.

1557.

»շ2. Հ)

(-»0,

պարամետրի ո՞ր արժեքների համար

»»0,

չ»ջ)

7/(2)-»ԺԹ՝

ֆունկցիան կլինի ուռուցիկ ամբողջ թվայինուղղի վրա: 4 պարամետրիո՞ր արժեքներիհամար Ֆ)702)

1558.

2), թ»)

ո»

«ոշչչոչջ»(0-)չ)ո .

)»0

«»0,

4-1 թռ

Իլի»

ֆունկցիան կլինի ուռուցիկ ամբողջթվային ուղղի վրա: Ճ պարամետրիո՞ր արժեքների համար -4.: -62 Ի5.Հ3 7(2)- (6-16) ֆունկցիան կլինի գոգավոր ամբողջ թվայինուղղի վրա:

Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները 1559.

1561.

1560.

1-2

,ՀՀԻ-չ

»-Հ-ԵՅ3 չ՛

1562.

Հ3Յ:---չ

Լո

Ի1

1563.

1565.

«34 Հ

2228-չ՞

Տ»

-7:.Ի4

1564.

յ---------

1566.

2»:

Ի.-12 Տտ

2-2 ԱՖ)

«ՅԵ Հ: 4-ա

1567.

«ՀԸ

1569.

225-253

1570.

---ՎՇ-1

1571.

»-ՎՏ-»-

1572.

,--2:-շշ'

1573.

35-76

1574.

1575.

ՀՅ

1576.

»Վ7՛-4

1568.

Յրօք»

Ապացուցել, որ եթե /(չ)

դիֆերենցելի ֆունկցիայի համար «լ

7(ո)»27/(12չ):

Դիցուք /(»)

ֆունկցիան (2:ծ) միջակայքում ունի

ածանցյալ:Ապացուցել,որ եթե «Հլ

ն «-Ճչ

կայքում /(2) Դիցուք /(«)

-ը մոնոտոն

/՛(«5) անընդհատ

կետերըերկու անմիջա-

կան հարնան կրիտիկականկետեր են (չլ ՀՀչշ), 1581.

կետերը երկու անմիջական հարնան կրիտիկականկետեր են,

Հա,

1580.

1578. թ«1-5554

ապա

1577. 5-58 1579.

Հ1

(ո:չչ)

ապա

միջա-

է:

ֆունկցիան դիֆերենցելի է (օ:ծ) միջակայքում: Ապա-

ցուցել, որ ցանկացածերկու անմիջականհարնան լոկալ մաքսիմումի կետերիմիջն գոյություն ունի լոկալ մինիմումիկետ: 1582.

Ապացուցել, որ եթե |.:ծ| միջակայքում որոշված ցիան բավարարում է

1(-ը

հաստատուն

/(5)

ֆունկ-

|/(ո)-70ո)ՏՆրա-»չ| պայմանին, որտեղ

է, թ»1,

լ.:Ե5|միջակայքից,ապա /(») 1583.

իսկ ճլ-ը -ը

ն 2չ-ը

ցանկացած կետեր են

նույնաբարհաստատուն

է:

Ապացուցել, որ եթե /՛(5)-ը կրկնակիդիֆերենցելի է |.:ծ| միջակայքում, ընդ որում

7(2)»0,

/(0)Հ7/(4)-0

7/՛0)»0,

«6(ԹչԵ)

ապա

(6էե|:

1584.

Դիցուք /(»)

5(5) ֆունկցիաները կրկնակի դիֆերենցելի են (4:Ե)

միջակայքում: Ապացուցել,

70) 1585.

1586.

(2)

որ

եթե

/"(2)-ջ՛ԸՇ),

«6

(8:եծՖ)ապա

ֆունկցիաները իրարից տարբերվումեն գծային ֆունկ-

ցիայով: Ապացուցել, որ ցանկացած երրորդ աստիճանի բազմանդամն ունի գոնե մեկ շրջման կետ: Եռանկյան երկու կողմերի գումարը հավասար է 4-ի, իսկ նրանցով կազմված անկյունը Զ-ի: Ինչպիսի՞նպետք է լինեն այդ կողմերի երկարությունները, որպեսզիեռանկյանմակերեսըլինի մեծագույն:

1587.

Տրված Տ մակերեսն ունեցող ուղղանկյուններիցգտնել այն, որի պա-

րագիծը փոքրագույննէ: 1588.

1589.

Ուղղանկյուն եռանկյան էջի ն ներքնաձիգի գումարը հաստատուն Ինչպիսի՞նպետք է լինեն այդպիսի եռանկյան սուր անկյունները, պեսզի այն ունենա մեծագույն մակերես: Գտնել ամենամեծ ները ընկած են

օ:

որ-

մակերեսունեցող ուղղանկյունը, որի երկու գագաթն օ»

իսկ չորրորդը` յ -3--:՛ 1590.

է:

առանցնքներիվրա, երրորդը` (0:0) կետում, պարաբոլայիվրա:

Գտնել ամենափոքրերկարություն ունեցող հատվածը, որ

ռ.

կողմով

հավասարակողմեռանկյունը բաժանում է հավասարամեծպատկերների:

են տ

1591.

բարձրություն ունեցող սուրանկյուն եռանկյունը ներգծված է ուղղանկյուն, որի երկու գագաթներըգտնվում են եռանկյան հիմքի վրա: Գտնել այդպիսիուղղանկյան առավելագույն մակերեսը:

1592.

Տրված ( ծնիչն ունեցող կոներիցգտնել այն, որի ծավալը մեծագույնն

հիմք

է: Բ

1593.

շառավղով գնդին ներգծել գլան, որի լրիվ մակերնույթիմակերեսը լինի մեծագույնը:

1594.

Բ շառավղով գնդին ներգծել գլան, որի ծավալը մեծագույննէ:

1595.

Գտնել ամենամեծ

ծավալ ունեցող կանոնավորեռանկյուն պրիզմայի

բարձրությունը,որը ներգծածէ

Ք շառավղով գնդին:

5 լրիվ

1596.

մակերնույթիմակերեսն ունեցող գլաններիցհաշվել մեծագույն ծավալը:

1597.

հիմքի շառավիղ ն 77 բարձրությունունեցող կոնին ներգծված է կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա: Ինչպիսի՞նպետք է լինի պրիզմայի բարձրությունը,որպեսզինրա ծավալը լինի մեծագույնը:

հիմքի շառավիղ ն 77 բարձրությունունեցող կոնին ներգծված է մեծագույն ծավալ ունեցող գլան: Գտնել գլանի հիմքի շառավիղըն բարձրությունը: Թ

1598.

առանցքայինհատույթի պարագիծըհավասար է 2Ք-ի: Ինչպիսի՞ն պետք է լինի կոնի բարձրությունը,որպեսզինրա ծավալը լինի մեծագույնը:

1599. Կոնի

1600. Տրված են

դրական թվերը: Գտնել :-"

փոքրագույն արժեքը, եթե հայտնի է, (գ

են

ո,

դրականթվերը: Գտնել 2

մեծագույն արժեքը, եթե հայտնի է, (4

ո«»0,

չ»0ն

Հ-»ՀԳ

ԸՕՌ5Ւ):

Տրված

1601.

որ

ջ" արտահայտության

որ

«»0,

»". արտահայտության չ»»0

չ«ԻջչջՀժ

«ՕոՏՌ:

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը

1603.

,-32-՝

1605.

չ»536"

»-ՏՈոչ-փՇօՏ2

1607.

ՏՈ

1608.

,-«բ

1609. | »Հոլոփո

1610.

»ՀաՀՃոք»

1611.

1602.

1604. 1606.

2-14» Հօ"

2»Հշ05

»«շԳաակ»

ԳԼՈՒԽ

ԽՄ

ՖՈՒՆԿՑԻԱ, ԱՆՈՐՈՇ ԻՆՏԵԳՐԱԼ,

ՈՐՈՇՅԱԼ ԻՆՏԵԳՐԱԼ

ՆԱԽՆԱԿԱՆ

1. ԱՆՈՐՈՇ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ԳԱՂԱՓԱՐԸ

ֆունկցիայի նախնական7՛ վերԷ(»)-ը կոչվումէ (2) ջավոր կամ անվերջ միջակայքում, եթե 7-(«)-ը ՊՃ-ում դիֆերենցելի է ն Մ Եթե Բ-ն 7 -ում /Ր-ի նախնականն է, ապա /-ի ՄՏԲ(Հ/Օ): Սահմանում:

նախնականներիբազմությունը (7"(2)-

բոլոր

Եթե Է-ն

Սահմանում: լոր

7 -ում

Ը: Ը` 8)

բազմություննէ:

/-ի որնէ նախնականնէ,

ապա

նախնականներիընդհանուր տեսքն արտահայտող7/՞(5)

տությունը, որտեղ Ը -ն կամայականհաստատուն ինտեգրալ

ՃՊմիջակայքում ն նշանակվում

/-ի

բո-

արտահայ-

է, կոչվում է / -ի անորոշ

սիմվոլով: Այս նշա|7/օ4.

նակման մեջ /(«)-ը կոչվում է ընդինտեգրալ ֆունկցիա, իսկ 7 (:)44-ը՝ ընդինտեգրալարտահայտություն: Թեորեմ: Վերջավոր կամ անվերջ միջակայքում որոշված ցանկացած անընդհատֆունկցիա ունի նախնական:

2. ԱՆՈՐՈՇ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

սակ 1.

ա) Որոշ տարրական ֆունկցիաների անորոշ ինտեգրալների աղյու-

|0..-Ը

ք»մ:- 1

/Բ-ոխիե

-Ը,(ք»-Ս)

իխ'.»Հ--ՀԸ,(«»0,օ»1 րուն--60581:Է-Շ զ

5. 6.

ՀԱՇՎՄԱՆ (ԻՆՏԵԳՐՄԱՆ)

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐԸ

մմ.

ՀՏպուժՒՇ

8. 9,

բ5 բ5 ՏԼՈ՛

ՇՕՏ՛

--օք:աէՇ

ՀքաՀԻՇԸՇ

Իշ

--տրօք--ՀԸյ

Ը-Ջ--տու»Ը Վճ -յշ Հ

Ճ.

Է»-շ

5-ճ

Հճ

ՀԸ,

((»0)

(ւ»0) (270)

ըրբ--ՀհիփոչսիՇ. Ճ

13.

---|ո

5-2 ՏՈօօօ5--ԻՇ

11.

Հ---ՅրՇ1--ՀԷԸՇ,,

ՃՁ

(«»0)

վճ ՀօՀօրիւչ //ոստ.-Հիվո Հ«իչԸ.

(ւ»0)

բ) Ինտեգրալի գծայնությունը Թեորեմ: Եթե /(«)

նախնականներ, ապա

ՕՐ(օ)-3ջ(2)

ջ(»)

ֆունկցիաներըտրված միջակայքումունեն

ցանկացած

Օ..

Մ հաստատունների համար

համար ֆունկցիան այդ միջակայքում նույնպես կունենա

նախնականն

/5762::8503)4:Հ օ|/(26:3824: գ) Փոփոխականի փոխարինում Թեորեմ: Եթե Շ(/)-ն կանն է, իսկ քում, ապա

(2.:/3) միջակայքում ջ(Ռ ֆունկցիայի նախնա-

Փ:(2:5) -»(0-/3) ֆունկցիան դիֆերենցելիէ

(.չծ)

ջ(Փ(»)):Փ՛(») ֆունկցիան ունի նախնական(օ:5)-ում

/թ(269-924.

6(0(3)-Ը,

»«

(ծ)

միջակայն

դ) Մասերով ինտեգրում Թեորեմ: Եթե ս(«)

ջակայքում ն ս՛(«):5(«) ապա

5(») ֆունկցիաները դիֆերենցելի են տրված միֆունկցիան ունի նախնականայդ միջակայքում,

ս(2):»՛(») ֆունկցիան նույնպեսունի նախնականն

խ()(Հ

ս():502)-

ի՛03(ճե:

Հաճախ մասերովինտեգրմանբանաձնըգրում են հետնյալ տեսքով`

ի»

3. ՈՐՈՇՅԱԼ

(ոճ 3

Եթե ջ,Հլ,:::,:, ՀՃ, ՀԵ

Խճ

Հա-Ն-

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

(2)

ԳԱՂԱՓԱՐԸ

թվերը բավարարում են «ց

Հյ

ՀՀշ

Հ":

պայմանին,ապա կասենք, որ տրված է |.:ծ| հատվածիտրոհում ն

(Լ...)

կնշանակենք այդ տրոհումը 7(չյ,յ,:::,2,)-ով:

0-0:

հատվածները կանվանենք տրոհման հատվածներ, իսկ որտեղ /Ճ,.-չ

տրոհման տրամագիծ: Դիցուք /-ը

-Ճ

«լ

Հ Հ(ձյ.,ձ,:Հ.)-Ը

Հ6։. ա)

4(1)Հոո Ճ. -ն,

(ռչ5) հատվածի

|ո:չԵ) հատվածի որնէ տրո-

վրա որոշված ֆունկցիա է, 7(չլչ:լ:2շ»-::»2,)-ը՝ հում, իսկ

ո-7

0-0:12:--::ո-1)

պայմանին ո-1

բավարարողկետերի որնէ համախմբություն:Կազմենք Ժ

գուՖ7(է)ՃԽ. (20

մարը: Այն կանվանենք /՛ ֆունկցիայի` համապատասխանողինտեգրալայինգումար:

7 տրոհմանը ն

7 թիվը կոչվումէ

Սահմանում:

/՛ ֆունկցիայի որոշյալ ինտեգրալ(Ռիմա-

նի ինտեգրալ) |.:ծ| հատվածում,եթե ցանկացած Ք»0 յուն ունի Փ»0

Հ համախբությանը

թվի համար գոյութ-

թիվ այնպիսին,որ 4(7) ՀԺ պայմանինբավարարողցանկա-

ցած տրոհման ն դրան համապատասխանող ցանկացած Հ համախմբության համար ճիշտ է |Ժ--7Մ|ՀՔ անհավասարությունը:Այդպիսի7 թվի գոյության

դեպքում /-ը կոչվում է |. ծ) հատվածումինտեգրելի(Ռիմանիիմաստովինտեգրելի),իսկ

7 -ն՝

7/(»)-ի

որոշյալ

ինտեգրալն նշանակումէ՝

/7(ճ.-7Հնոժ 4(7)-50

4. ՈՐՈՇՅԱԼ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ԳՈՅՈՒԹՅԱՆ

ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԸ

ա) Ինտեգրելիության անհրաժեշտ պայմանը: Թեորեմ: |ծ)

հատվածումինտեգրելիֆունկցիան սահմանափակէ:

բ) Ինտեգրելիության անհրաժեշտ ն բավարար պայմանը: Դիցուք 7-ը |ոտ:ե| հատվածում որոշված սահմանափակֆունկցիա է, իսկ 7(չյ,:»2շ»-::»2,)-ը

|ոչել|հատվածիտրոհում: Նշանակենք՝

ո,

Հ1ՈՒԼ/(2)), 11 ՀՏսքՄ (2), Օ «օ«լա:ո.յ)

Հ1/-ո,,

»6լ ւոյ)

(Հ0:1--ո-1):

Թեորեմ: Որպեսզի |.:ծ5|հատվածում սահմանափակ/ ֆունկցիան լիԴ-1

նի ինտեգրելի, անհրաժեշտէ ն բավարար

սինքն` ՄՔ»0

3ծ»0

մո 2,ԺՃ,0

պայմանը,այ-

չ-0

այնպիսին, որ Ճ՛7(ո,,յ,-::,:5,)

տրոհման համար

Դ-1

Հճ 4(12)ՀծՀՖՕՃԽ. :-0

գ) Տրված Ր

տրոհման դեպքում 5,

ո-1

Ֆո.

1-0

լա

ո-1

»Ֆ1/Ճ.

գու-

չ-0

ստոմարներըկոչվում են /՛ ֆունկցիայի Դարբուի համապատասխանաբար ն րին վերին գումարներ: Այս նշանակումովինտեգրելիությանանհրաժեշտն

բավարարպայմանըկարելի է գրել դ) (չել

մ-ր

Մ)

Տ-)

նան

իտ(5, -Տր ) -0 )-5

ձնով:

հատվածում սահմանափակֆունկցիայի համար 7 Տսքտ, ն Հ

թվերը վերջավոր են

կոչվում

են այդ

ֆունկցիայի համապա-

տասխանաբարԴարբուի ստորին ն վերին ինտեգրալներ: րությունը համարժեք է ինտեգրալիգոյությանը:

5. ԻՆՏԵԳՐԵԼԻ

անկհավասա-

ԴԱՍԵՐ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ա) Թեորեմ. |. ծ) հատվածում անընդհատֆունկցիանինտեգրելիէ:

բ) Թեորեմ. |.:5| հատվածում սահմանափակն միայն վերջավորթվով

խզումներունեցող ֆունկցիան ինտեգրելիէ: գ) Թեորեմ. |. : ծ | հատվածում մոնոտոն ֆունկցիան ինտեգրելի է:

6. ԻՆՏԵԳՐԵԼԻ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ

ա) Եթե /՛-ն ինտեգրելի է |.:Ե|-ում ն

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

0.6

ապա

Օ-/

ֆունկցիան

նույնպեսինտեգրելիէ |.:Ե|-ում ն՝

թ, (2). ռլ (2). -

բ) Եթե /Ր-ն ու ջ-ն ինտեգրելիեն |.:Ե|-ում,

ինտեգրելիէ |.:ծ|-ում

ապա

Ք) (7 -Ժ

նույնպես

-ն

|/694::|ջ034. |Մ03-803)4:-

Կասենք,որ |.:ծ| հատվածումորոշված /(չ)

Սահմանում:

ֆունկցիան

բավարարում է Լիպշիցի պայմանին,եթե գոյություն ունի 1//»0 սին, որ ցանկացածչ.,,

թիվ այնպի-

6:56) կետերիհամար տեղի ունի

Մ)-762)511:-2.| անհավասարությունը: գ) Թեորեմ. Դիցուք /(«)-ը

ինտեգրելի է |օ:ծԵ|-ում, իսկ

նրա ճշգրիտ եզրերն են |ճ:ծ|-ում: Եթե ջ(ջ)-ը քում

Ք(/6))

այդ

բարդ

պես |/|-ըն

որոշված է (7:7/)

միջակայքում բավարարում է Լիպշիցի

»-ը

7/-ը

միջակայ-

պայմանին,

ապա

ֆունկցիան ինտգրելի է |ո:ծ) միջակայքում: Մասնավորա-

/՛-ին ինտեգրելիկլինեն |ռ:ծ) հատվածում:

դ) Եթե /-ն

«-ն ինտեգրելի են |ա:ծ|հատվածում,

ու

ապա

/-Ք-ն

նույնպես ինտեգրելի է |.:Ե|-ում: ե) Եթե /՛-ն ինտեգրելի է |.:ծ|-ում

րելիէ |:

|6:4|Շ|2:ծ6|,ապա 7/-ն ինտեգ-

4) -ում:

7. ՈՐՈՇՅԱԼ

Եթե Հ-ն /(»)

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

ֆունկցիայի որոշման տիրույթիկետ է,

Մ6յ»-0

ապա

ընդունված է

համարել

Եթե /՛-ը ինտեգրելի է |.չԵ)-ում, դունված է նան գրել

ապա

էյ աոի

/7/6օշծ. ՝

-լ/ւժո.|/(օո.

փոխարենըն-

ա) Ինտեգրալի ադիտիվությունը: Եթե / -ն ինտեգրելի է ռ:ծ|

վածում,ապա |.:ծ| հատվածիցանկացած 6,

հատ-

/0,77կետերի համար`

թո.|/(34--|/(Ժ: ք

բ) Ինտեգրալի մոնոտոնությունը:

լո:Ե|-ում,

«ՏԵ

Եթե Ր-ն

Ը6լ:ծ),

/(Հջ(9),

քջ-ն ինտեգրելի

ու

են

ապա՝

աո

ՄՀ

գ) Միջին արժեքի թեորեմը: Եթե /Ր-ն ինտեգրելի է |օռ:ծ|-ում ե

(6 լԹ:ե)),ապա Հ/՛

ոՏ7/(Հ1(,

թիվ այնպիսին,որ

7ո

Հ յ

ՀՃ/

//(6:-սՓ-օ) Մասնավորապես,եթե /-ն ունի Հ

անընդհատ է |ռ:ծՖ|-ում,ապա գոյություն

|.:ծ| կետ այնպիսին,որ

//(օ4:Հ-.7()6-օ) դ) Միջին արժեքի ընդհանրացված թեորեմը:

Եթե /-ն (»(ՕՀ0,

ջ-ն

ու

(Ր«լ:ծի,

թիվայնպիսին,որ

ինտեգրելի

են

լաչել| հատվածում, ջ(»2)20,

ոՀ/(ԹՀՏՃՐ(Թ6լռ:Ե|),ապա ն

Հ ս Հ 1/

ք Մասնավորապես, եթե /՛

գոյություն ունի յ/

90)4:-ն

|ջ(94:

անընդհատ է |.:Ե) -ում,

ապա

|ո:Ե5|,որ

Մ(Թ:.Թ:.--70):իԹ6:

ՈՐՊԵՍ ԻՆՏԵԳՐՄԱՆ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԸ

8. ՈՐՈՇՅԱԼ

ինտեգրելի է լո:51-ում,

Դիցութ /-ն

ՀԱՏՎԱԾԻ

ՎԵՐԻՆ ՍԱՀՄԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ

Փ(Ժ-

|/(04՛(:«ո:ծ):

ճշմարիտ են հետնյալ պնդումները ա) Փ(«)-ը անընդհատ է |:5|-ում, բ) եթե /՛-ն անընդհատէ 2, է այդ կետում ն

|ռչծ| կետում, ապա Փ()

-ը

դիֆերենցելի

Փ/(»,) (0) -

գ) Եթե /՛-ն անընդհատ է |օ:ծ|-ում, ապա Փ(2)-ը (2)

-ի նախնականէ

2:Ե|-ում:

Ց. ՈՐՈՇՅԱԼ

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ՀԱՇՎՄԱՆ

(ԻՆՏԵԳՐՄԱՆ)

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐԸ

ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ա) Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձնը: Եթե /-ն իսկ 2Ք(5)-ը նրա նախնականնէ` Բ՝(5)

//(2::-

վածում ունեն ս՛(։չ)

7/(2) («5 |ճ:Ե|),ապա

Բեյ,

60)-ԲԱ)-

բ) Մասերով ինտեգրում: Եթե «(«)

անընդհատ է |լճ:ծ)-ում,

ֆունկցիաներն |.:ծ|

(2)

հատ-

5՛(») անընդհատածանցյալներ,ապա

խճ »0)4:

»(ց|ի՛004:

(2):

ճՁ

գ) Փոփոխականի փոխարինում: Եթե Փ:|2:/3)-»լռ:եծ| ֆունկցիան

լ,

8| հատվածումունի Փ՛(/) անընդհատածանցյալ, Փ(.)-ճ,

ապա

լօ :ծ5|-ումանընդհատցանկացած /՞ ֆունկցիայի համար` ծ

//Թօժ--|/(օ)օ(04/

7(3)Հե,

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Դիտողություն. տարրականֆունկցիաներիանորոշինտեգրալներիաղյուսակը ստացանքհիմք ընդունելով պարզագույնտարրականֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը: Յուրաքանչյուր բանաձն այդ աղյուսակից հնարավորությունէ տալիս ստանալու ըստ անորոշ ինտեգրալի սահմանման համապատասխան բանաձնըանորոշ ինտեգրալի:Սակայն անորոշ ինտեգրալներիաղյուսակիՏ 3, 676 9-13 բանաձներիանալոգըչկա պարզագույն տարրականֆունկցիաներիածանցյալներիաղյուսակում: Հիմնավորենքնան այդ բանաձներիճշմարտացիությունը` )Տ 3 բանաձնըճիշտ է ցանկացած ինտերվալիհամար, որը չի պարունակետը: Իրոք, եթե «»0,

կում «--0 .

/--ուՀԸ: չ

լո(-չ)

մար:

Թ9-

Եթե «Հ0,

Ը:

Տ.

փոփոխականիփոխարինումՀ»

«4 յ 5 Ժ. յ 41-Հ) Վ0-

Հ)

որ

հա-

44/

Հաք ՒՇՀՀԼաաԸ

«Ը (գ»0) -բ-ՏԷՋ 8ոօչյո՞-

).10-

հետնում

(«»0)

ճՃ

բանաձնիցէ,

բանաձնըճիշտ է ցանկացած :«»:0

21 աքՀՀԸ

ճ ԻՋԻզ կատարենք«

Ճ-

35 3

( ո(-»:): .

ապա

Այնպես, որ

մո»/-Լ բանաձնիցհետնում

ապա

կատարենքչ

Ճ--

ե.

յՎօ-ռ

ճե:

Ւշ-շ

|---Հ---.ո

)Փ11-

յ գ.

ՅԼՇՏԼՈ/Հ

ճ/

ՐՆ

փոհոխականի 4-4

Ձ/

ՎոԱ-6) «ՎԱ-Բ

«4/

Գ:

յ Վ-Ր

ՅՏՈ--ԻԸ .

փոխարինում«2

420127-0

Էէ «410

(օ»0

-Շ

)

որա

«-0

աք

-օլ-ոէշի«ՇՀ--ՈՒ-ճգԸ -2-(ոլո24

2՝գ

|է

(.»0) Գ. -րիփո ՀօիւԸ

Փ12-

Վճ

նշանակենք 7(»)

Ճ.--

ՎՀ Հ

«Ի

| Ե)

04:-|Թ--Յ-

ՎԱ)»: (օ)»-/

շշ

Վետնաբար

Ա.--Թ4-, Բշ

ձն)

որտե րտեղից ստանան ք

Այդ դեպքում

(թ

Մ -ՇԸ որը)թԸ-տիոՎոՀո ր՛-«ՐՑ) (7Բ--7,

Հճ

Օգտվելով փոփոխականի փոխարինման ն մասերով ինտեգրման բանաձներից, գտնել ինտեգրալները

(8ո6էք 7)

ո Ճ

14»

նշանակենք /-- ՅոՇէքջ «, 4/-

լԲա9՞ բ, ի" զ.Հ500ւԸ1-7

ոթ

|Օ,-Փ""Ժ.

ճձ -

նշանակենք /

Բ իո

բ,

ոմա:

բ"

Հ|-

5"Վ|-

7:764:,

2000. -

14007

Հճ Յետնաբար 1 ճու21ԿԸՀ զաաՀոՀԸ

բի

Մխ

Այս ինտեգրալում կատարենք

Հ»

4/ ՛՛4|-

ւԸ

(7»-6)""-Ը

րքը 7:2001

բշ

7-6,

5 տեղադրությունը: 4/

-Ունենք Ճձ

ԷՀ

աա

Սո 4)

ԻՔ

աղյուսակայինինտեգրալների36

Բ 1"

Ճ-Քանի

-(«-1) 837 -3:241-(«-1 «32-1«32«-17Հ1,

չ՛

որ

ապա

6-9"

Տ-լ) :3|(«-1) ԷՅ -1)

25-77 Ց)

ւ-3. 40:-Շ-Ի

0-8

Հ.

բանաձնից)

Հ.

յ («-7.

Է3

ռ-7

Վետնաբար

6-8

Հ.

յ 93(.-1բ -

ՒՇ

5.Շ-ն

ճ:

ոթ ԷԼՐ Ծ--

Ճ-Քանի

որ

(42:52)

138. «| 6-» 7(447) :

4-7

ապա

ԱՐ ԱորդՐՀ« Լիլո 44) 1Թ-նթ 4447) 16»

աու

16-4-Ի

1.11.

6) 7112

Շ աքծ

ձ.--Ունենք

թի Ի.1

1--չ Ճ

հետնաբար

Էոր«2-1

Հ---«Յլք----ՀՇԸ

25»

Բջ | 8-17

՛'Փ'ՀԺնչ

Իռ Լ

ՐԳ.

Ի-չ»|2-Ճ

նշանակենք«----

Հք:

2-2

Կունենանք

շ- --բ»ՅԼՇե բ ւք

ԴԳԸՇՀ

ճ.

ե-»

47:--7՛

Ճ --Քանի որ

-(՛՛ -4:)--Օ-2)

ապա

Գ: -յ 4: -| 46-2) ԱԵՏՈՀ-2ՀԸ յ Վճ-տ :Բ4-06-2" ՛"Վ4-6-2) Ը

(օգտվեցինքաղյուսակայինինտեգրալներիՏ

բանաձնից)

բ--Ջ-Վ»

-37-4

ԻԼ. «-Յո4-ի-չ|

Ճ-Քանի

որ

տեգրալներիՏ

ըստ

ապա

բանաձնի

յք րունա Ն-3) ւ7 -

ԷՅ

շուք

ԼԸ.աւաւամաւ

աղյուսակային ին-

-3:-4

-|ո

-Շ

նայա Ը

Վի-ը «|

Ճ--Քանի

որ

4:.՛ -4:-17

ապա

2 «1 աաշ2-1 -Լ| «Ր-3|

Գ. յ 4: -4.:.417 »

7--

10)

|քշժ. Ճ-

11) Ճ

իը -|

Է4

Վ(ՇօՏ2)

Տո

ՇՕՏՓ.--| :

ՇՕՏ7

ՎԸ

-|ո|605:|ՀՇ

|տոշա

Օգտվելով կեսանկյանբանաձներիցկարողենք գրել

1-6Շօտ2:.

Ջու»

-ջ

ՎՁետնաբար

քո .

-ծ-

Շ0Տ27)2:

ծ...

|»

0...

լ ր

25:42»

1. Հ---ՏոշաէՇ

ոո"մ.

12) Ճ

-Ունենք

Տո

(ԼՑ:

Ո-օօ92:1

»-(Ջո 2

-Զջ-11-2աշ-

ԼԷ ՇօՏ42

2:)-ՅՈ-26652»-օ05

շշ

0052.Ի1

6654:

հետնաբար՝

ճո" -

13) Ճ--

224(22) (65

3-38

քո57:

: -1

ք«- բ

ՇՕՏ

270:

-Է

ՇՕՏ

42:

42:4(42)665 ը

տտ 4Ճ.էՇ

772:

Օգտվենք Տո

Օ՛:

6օՏ3

ՏԼՈ 52

:Շ0Տ

ՏԼո(Օ/Է /Թ)Է Տւո(0- /3) 7:

Տո 125 -Տո

հետնաբար`

րո5:

:ՇՕՏ

74:

2/տո 122

Տո

22):

թո2:4(2:)-- թուշոմմ2»)--, «125

օ0512::Ը

բանաձնից

14)

Տո՞յ Ճ-

Էշ» Էշ. Է---.---Հ--

ե. Տլո՛ւչ

լ||ԼԻ Շք՛թ ի շ

«2Ժ(Հջ72)82)

Մ ԻԸ /(:ց»)|օջ՛ո1ա»)--օաո-ՏՏ

274: 15)բՎ455լո2-Ի960517

--ՏԲՅՅՒ-Տո

Տո

Ճ-Նշանակենք տնաբար՝

2Տ1ո:5:օօՏռմ

Տլո 22:

Տո

22.2:

յ Վ45Տո1:5-960517 յ Վ365լո2-9 ՄՀ

-Ընդինտեգրալ Հ

հատվածում: Կատա-

ի,Ե:"ի

4օօՏ|Ա/:

«Ցու

տեղադրությունը:

«0571 4օ051,

(քանի որ

Ե:ի

Վետնաբար`

նօօ57-

ՃՇ0Տ/ԶՀ

Քանի որ Տու

ոշ

ք-5 թա-ջ-

ֆունկցիան որոշված է |-.:.|

ՁՏլո՛ք,

յՎճ-չՓ.Հ

ն հե-

փ, գ»0 իի'-»տ

Կունենանք «/4- -5՞ ՀՎ «Հ

16)

րենք

պոշմ:-

ր«80-1ԱՏաոոցօտ «Ը

«մ,

օաՀ

ՀՀ,

օօ51Հ.Ա-3

ՀՅ-ո Ճ

«՛ի|---2 զ՞

Վօշ-

14 ՇօՏ2/

ն ՈՀ

Ճ/

«ՀՅ ԾՃ-, ԱՐ"

"ի

զ՞

Տո 2/ շ

յ«

ապա

Ւ-ի Տեղադրելով ատո՞: աբի ն

կստանանք`

արտահայտությունները, վերջնականապես ՄՀ

ի՛-

Հոթ

սովոՀԱր-` -

ԷՇ

10. ՄԱՍԵՐՈՎ ԻՆՏԵԳՐՈՒՄ

Հաշվել ինտեգրալը

իշոո:

1) ՄՀ

(ու-)

ընդունենք սՀոշ,

Ճ-

նանքԽ-Հ.,,

1-2

ո-Ւ1

ոՀ)

ո-1

ու--.ո-Հ1 ո.-2

ընդունենք ս

Հ.

Օգտվելով (2) բանաձնից կստա-

ո-1

բ-ոօտոմ:

2) ՄՀ Ճ-

ՀԺ:

ոՀ)

ՊԼ-շ

ՄՀ--.

ԻՐ

ՅրօՏլո

ՖՀ--,

յ,

«Ա,

լոլ

ո-1

ԷՇ

օգտվենք (2) բանաձնից՝

|ՎԼ-» աատո»-2 Հատում ) ՊԼ-ոՓր--շժ:

Հյշ1ր-2ամ Ճ ոավութմոթցուՒծ1-::2

ԷԸ -աավուտով-ո -շաատուգԸ-զ|» ավո»

ի -605»մ.

)7Ճ--

ընդունենք ս

Ն-Տո»,

մս 2:

ո,

օ0Տ:4:

օգտվենք (2) բանաձնից`

ԺՀյ-Ջու-2խ-Ջոյմ:

Վերջին ինտեգրալը հաշվելու համար ես մեկ անգամ օգտվենք (2) 65 ՀՏպոշատ: Կստանանք 4ս - ճ:, --Շ0ՏՆ, նաձնից,ընդունելով ս -«, մե բաո Ի

|ՇՕՏԱ:

-:մՇօտյմ-Է

բա-

-2«6Շ0Տ:-ՀՏուՀվԸ:

մի բերելով ստացվածարդյունքները,վերջնականապեսկստանանք՝ Մ

4) ՄՀ

թ"«օտ,

-(2-2)-Տո»Հ2:օ05:ԷԸ

4,ե «0

Ընդունենք ս

ՏՅ:

5 Հօօտեւժ::

թ" -Ջոփամ:

Կունենանք Ճն

ծ»

ՇՕՏ

2-62,

Ճ»ՀՏոծչմ.,

Փ.ՀՏեւ բ" «Տոծ:մ.-Ե

Տո ծւ :

մեկ անգամ կիրառենք (2) բանաձեը՝

նս

ինտեգրալը: հաշվելու բ" Տոծոծ: ճԱՀՅ:6",ՆՀ-

6:06",

Հի"

որտեղից Տո ծմ:

Վերջնականապեսկունենանք. մ

Լուծելով

այս

ճ.

4 շո .օ0Տ5.--«-Մ Լ: :9ոեռ,

Ճ--

Ճո-

ՄՀ

հավասարումըՄ -ի նկատմամբ,կստանանք` ՃՇՕՏԵւ

Մ-

ԵՏլո ծ»

ճ՞ Էե՞

ջո -Ը

բիո Հոժ,,զ»0

ընդունենք ս

Վ:

«7-«Ժ

Էզ,

նկիրառենք (2) բանաձնը`

ճ',Ն-են Էզ

ՄՎՀա-ՎոՀՕ-

2--«-

|մոզ

5-Վ:ՎՕ-

ՀՎ .ո.վոչ«-7««իՐ5 Վո Իզ

ոզ ա

2 ՒՅՑ

Վ0Հճո

ոլս»-

որտեղից,լուծելով Մ -ի նկատմամբվերջին հավասարումը,կստանանք`

ՆրիվոՀշխԸ

7ՀՃՅՏՐՏՎ

Տրոհելով տրված հատվածը ստորին ն վերին գումարները. ա) /(2)Հ4:5-3,

բ) /(«)Հօ0Տ2,

«6վ|-2:4|

65|

հավասար մասերի, գտնել Դարբուի

ա) Ճ-

վածում,

Քանի

որ

/-ը աճող

(/0)-4»0,

անընդհատ ֆունկցիա է |-2:4)

«օ(-2:4)),

հատ-

ինչպիսին էլ լինի ։--2Հ

ապա

տրոհումը, ֆունկցիան յուրաքանչյուր Լո, 7. |

ՀԿՀՀՃՀ:::Հ:-ԳՑ

(էՀ 1:2:.::ո) տրոհմանհատվածում իր ամենափոքրն ամենամեծ արժեքնե-

կընդունիհամապատասխանաբար այդ հատվածիձախ ն րում:

րը

-Ունենք

ձ ն

ըստ

խնդրիպայմանի

ծայրակետե-

աջ

է -0:12:. Խ.-5.ո «-245Է, ՛

հետնաբար`

«Փուճ Տ

ՑՆ Է-ճ

5»

ՑՑո-

Հ.

144:

ւ-ց

66-72-72-6-72 Ը-ՏՓրգզ124.6-2.. ո

Տր Ը

աՖյյի ո 2.Է-Ֆորճ, ռ-5:)-Տֆխ :|--5

Տծդ11."ՈՒՄ,. 22.22.6472 ա

66,

ֆունկցիան նվազող

բ) Ճ-Շօտ:

հատվածում: Հետնաբար ցանկացած 2 ման

անընդհատ ֆունկցիա է Հ0Հ

Ճճ

ՀՀ. Հ:::ՀՀ,

համար կոսինուսը տրոհման յուրաքանչյուր |, յ::,)

-շ

տրոհ-

(էՀ12.-::ո)

հատվածում իր ամենափոքր ն ամենամեծ արժեքները կնդունի համապատասխանաբար այդ հատվածի աջ ն ձախ ծայրակետերում: է-012: Ունենք Ճ:,--7-, չ, ՀԷ, շը" շո' '

ՀՖողխլ--շօԶ րար (141)2

ՅՅ... 2ոդ

շո

Տո-----:ՇՕՏ

22»

(11)7

Տո--

4...

4դ

ո-1

Դ... ՏՈ----Շ0Տ---ՕԶ .

(օգտվեցինք Ֆ՝605յ ո--

բանաձնից)

չոշ

Ո-1

ՏՈ-------ՇՕՏ

57. ՀՓԱՈԽ.--շո

Տ.

ո-1

7-0

ոճ

22ո,

Տո

բնո

4ո

Հ. Ընդունելով ինտեգրալի գոյությունը` հաշվել ինտեգրալը` դիտարկելով այն որպես հարմար ձեւով ընտրված ինտեգրալային գումարների սահման

ա)

բ)

քոմ. է.

իջ

ա) Ճ-|0:7|

ծ.(է րը:

հատվածը տրոհենք

հավասար մասերի ն որպես

հատ

Է2:---ո) կետերվերցնենք տրոհման ., Կազմենք ինտեգրալայինգումարը՝ Հ

,է/ո (ԷՀԼ2:::Դ

ՏՈ--:ՏՈ----.

ՍՊ 7 Տու-7..

2Հ.

ԺՀՖ7Մ(ե)Ճ--"-

լո (օգտվեցինք Ֆ`Տլո -

Քանի ապա

որ

(ՒԼ

2:22. ՏՈ--

2ոռ

ԴՀ1

Տո-ՕԶ-Ջո--ՕԶ

կետե-

բանաձնից)(0:60)

ՏԱՈ--

7/(չ")-պՋոչ ֆունկցիան անընդհատ է |0:77) հատվածում,

անկախտրոհմանեղանակից ն

(Հ, համախմբությանընտրությունից.

ինտեգրալային գումարները, երբ տրոհման տրամագիծը ձգտում է 0-ի, ձգտում են

րոչե.

ինտեգրալին:Մասնավորապես`

հռ Ժ,

իո մ.

8-5»

Հաշվենք նռ Ժ,

նռ

ժ,

Ո-՞օ

-ը

ոլոր2

րո

Դ-5»5

Ը2117-րուի«12-րոո-3 Տո-՛լ

2ո

2ռդ

Հետնաբար Բոչ.-2

Վերցնենք |14| հատվածի կամայական 7 տրոհում

բ) Ճ-

Հ.)

Հ. -վ"

համախմբություն վերցնենք

.ւՀ0.12::::ո) 1ՀԾՀզ

տրոհման կետերն են:

դեպքում

ԹՀԼ2Զ:---ո),

լ"

որպես որտեղ

(Դա հնարավոր է, քանի

ՀվբզՀզ)։

Հ7) ՖՈՆ

-Ֆ

Ժ-

խԽղ

Է-1

(-ԿԽո)՞

կ.

ԿԽԽխԽ

Կ)

Քանի

ենթադրել էինք ինտեգրալի գոյությունը,

որ

| հոժ:

ապա

Սակայն կայ

հռ աե"

որ

Գետնաբար բար

իջ

Հաջորդականության անդամները ներկայացնելով որպես որոշակի ֆունկցիայի ինտեգրալային գումարներ` գտնել հաջորդականության սահմանը րոշ 1-՞օ5

ոգիզբ

Աք հո

էշ

ա)

նշանակենք շ կ ք

) Ճ-

շոգ

Հ ՕԺ., դ

ԴՀԼ2:::-:: Ունեն

է Նշ

»Վ(

է-

Ը46

Հեշտ է տեսնել, որ Ժ,-ը իրենից ներկայացնումէ /(0-

ֆունկ-

ցիայի ինտեգրալայինգումարը |0:1|հատվածում, երբ այդ հատվածըտրոհված է

հատ

հավասարմասերի ն որպես Հ, (էՀ 1:2:---ո) կետեր վերցված

են տրոհման չ,

(էՀ12::::ո)

կետերը: Քանի

որ

/՛-ը անընդհատ է

0:1| հատվածում,ապա |

հոժ,-

23 Ի 4»:

Հաշվենք ինտեգրալը

քո55344» շոՅ:4» | ԴրՏոՐԴԷ

2344:

ՀետնաբարհուԺ, "-

մլդ

բ) Ճ-

նշանակենք Ժ,

օ.ՀՖ--,

Հը շք»: ՛

«"չ

«ՖԽ

-թ-2: Հրռւովծ-17 ՛

ՁնափոխենքԺ,,-ը:

դչլշ...

Նկատենք, որ Ժ,-ը իրենից ներկայացնումէ (2)

Թ-ջշ

ն Ֆ"ւրկցիա -

յի ինտեգրալայինգումարը |0:1| հատվածում այն տրոհման համար, երբ

10:11)հատվածը տրոհված (Հժ Լ2::::ո) Հ

հատ

հավասար մասերի, իսկ որպես ծ.

կետերընտրվածեն տրոհման

եշ ա

Քանի որ /՞-ը անընդհատ է |0:1| հատվածում, ապա

(էՀԼ12:..-ո)

կետերը:

-Լ---

հոժ

5-2:

թ"

ինտեգրալը

Հաշվենք

Ա-Ն: 1

25»-5 5-25 մ»-1 3: Ւթ-շ

Ցա

|5-2:Խ5-Է-

55-68 »յվ-3-25-2վ

120.

-55-6Ք

Հետնաբար հտ Ժ,

Օգտվելով Լոպիտալի կանոնից` գտնել սահմանը

հո`

|Ըացծ՞ժ/

«-50

Ճ-

Ունենք

ֆունկցիան հո |1զժ"410: Իրոք, քանի որ (ճոօէքէ)՛0

անընդհատ

(86 /2օաժ" Հ

7(-օօ:Իօօ:,

«(:3)

:ապա.

արժեքի

միջին

ըստ

որտեղ «(2»)-ը պատկանումէ 0 ն

թեորեմի ծայրակե-

տեր ունեցող հատվածին ն քանի որ ապա

(ուօէքը՛ֆունկցիան սահմանափակէ,

հո(ճէք«(:5-0:

Այնպես որ Լոպիտալի կանոնը կիրառելի է: Կիրառելով այն առնելով, որ

աաա

Ճ/

հոր «գավոր» 7-50

|ռ:ծ5յ) միջակայքում

նե

Ապացուցել, որ եթե ոչ բացասական7

7()»0,

հաշվի

(րօք »)- կստանանք՝

|ա:

լի է

«լռել

/(չ)

ֆունկցիան ինտեգրե-

անընդհատության կետում

ապա 9|

Ս» Ճ-

Քանի

կետում ֆունկցիան անընդհատ է

ս,

թյուն ունի լո -ծ:»ցԷծ)Շլո:չեյ

7/(«)-62»0,

անընդհատֆունկցիայի համապատասխանհատկության` գոյու-

ըստ

ապա

որ

լ -ծ:գ-Էծ):

միջակայք այնպիսին,

որ

72»5.

Օգտվելով ինտեգրալի ադիտիվությանհատկությունից՝

տրոհենք7/4: ինտեգրալըերեք ինտեգրալներիգումարի`

յաո-Մ

յ 7624:

Հծ

(տ.

«օծ

-ծ

Առաջին ն երրորդ գումարելիներըշնորհիվ /(2)Հ0, նի,

ոչ

բացասական են: Քանի

որ

79»5.

«6|վռ:ե| պայմա-

լլ -ծ:2գ Էծ),

ապա

ըստ

ինտեգրալիհամապատասխան հատկության` ծ

ո-ծ

Եվ հետնաբար

Ձա"4:-6-ծ»0 Հ

7:25 նի|

օժ. »

Տրված երկու ինտեգրալներից ո՞րն է մեծ

Դ.- իո: բտո»ժ:,

Ձնափոխենք 7), -ը

ՅչՀ-

իչտո»մ:իտո»տ: --

Կատարելովփոփոխականիփոխարինում` -24

Դ.--

/չ5ոե:

Հետեաբար`

ճ -

ԺՈ,

կստանանք

/ա-ոՏում /-»5ո -

ճմ.

/աՀ»տոոմ:իպուժ:Հ/ վում:-27.»0

),.-7:-

7)չ »յ

Որոշել արտահայտության նշանը

-դ

բշ

ՇՕՏ

ճտ շ

Ճ-

-դ

Հտ

|ոշօօՏ»մ:| օօՏ:մ:Հ | օօՏոմի

-տ

Ձնափոխենքբշ ՇՕՏ:Ճմ, ինտեգրալը` կատարելուվ«ԷՊ-7

փուփո-

խականիփոխարինում:Կստանանք՝

շո

Հր

ի՛

Ը0Տ:.-3

ԸՕՏ/Ա/

շո

|2-՛ ԸՕՏ

շ7

Վետնաբար՝

-ո

Հո

բշ ԸՕՏ ե,-

77 -(«-Պ)

որ

2 27

ապա

ն»-Օ-73'իթօտոժ:

Քանի

-տ

(225-ո7)»0,

չո 2ո| ն

«6

տրվածարտահայտությունըդրականէ

605220, Մ

Ապացուցել անհավասարությունը

0Հ

ԲԷՏՏո շ

1-5

..ՀՅՕՒ Վ2) ճ

Ճ--

նշանակենք /(»«)-

Ճ6

գտնենք նրա փոքրագույն ն

մեծագույն արժեքները այդ հատվածում:

22:(4-5)-»7

(«-5)՛

-10»Հ16

(--5)՛

7(Թ2-20ա5:պՀՉ2, ՏՏ: :-Տ6լ4| 707-6 ՕՀ. 70)-4. Մոքր Քանի

-0,

ԱՆ

-4. 0Հ7()Հ4:

26|14|, ճո»20.

որ

Լ:4)

0Հ/(9-9ուաՏ4-Տու»

ապա

|Լ4|: Ինտեգրելով անհավասարությունը|1:4|հատվածում, կստանանք

բ1-5 որու

0Հ

խորան

Հ4

ինտեգրալը խոշոր

Հաշվենք լ

«Տլ 1 թոշամ:--Հատով ՞ 2 -30-Վ2)

Վերջնականապեսկունենանք. 4.2

0Հբ5-5 Դիցուք /(»«)-ը դրական

կայքում: Ապացուցել,

որ

:Հ3(2:.Վ2): ճմ

անընդհատ ֆունկցիա է |0:--5») միջա-

1/4

չ(»2)-2

յ7(ո4

ֆունկցիան աճող է

կայքում: Ճ

Բավական է ցույց

տալ, որ

»՛(5)»0,

«6

(0:-»)

այդ

միջա-

»0)Հ

:7(|/(04--7(2|7(04 ջ

Քանի որ (»--/) 20

|տով (ընդհամենը 7 Հ, 76 10:51

ինտեգրալինշանի վրա)

----ճ

|ա

կետում է դառնում 0,

/(5)»0

|26-ո/74

(2-Ի),

«6

որը

չի ազդի

ապա

7՛(2)-ը

խիստդրական է (0:--օօ) միջակայքում, հետնաբար »(»«)-ը խիստ աճող է այդ

միջակայքում: Ապացուցել,

որ

եթե

ֆունկցիան անընդհատ պարբերական

(7 պարբերությամբ) ֆունկցիա է (--»:--

5»)միջակայքում,

6-17

կացած

թվի համար տեղի ունի

|/(»)4:-

ապա

ցան-

հավասարությու|/՛(»)4։

նը: Ճ-

Օգտվելով ինտեգրալի համապատասխան հատկությունից`ներկաՕՀ

յացնենք

յ 7(2)4:

ինտեգրալըերեք ինտեգրալներիգումարի տեսքով

/7(04:- |ա.

ՕՐ

(2.

ՕՀՐ

|/օփ

«ՀՐ

Ձնափոխենք |74.

ինտեգրալը կատարելով «7-7

փոփոխա-

կանի փոխարինումը ե օգտվելով ֆունկցիայի պարբերականությունից: Կստանանք

|/ (34. |/(04-/7Ժ4» |/(-:-724--

Քանի

որ

ըստ

/7(ճ.Հ--|/(ԹՀ.

պայմանավորվածության Գ

ապա

վերջնականապես կունենանք ճՀՐ

|/տա--

ատ

Գտնել նախնականը

|(1-2»)4: 1614. ի «00-2)»:. 1612.

1616. Բր:

1618.5

ՅՒԱ-ր

1622.

1626.

1617. ընտ

ԱՀ»

1620. Բ

ի»: 14: 1615. /Թ-» 2.

1613.

1-2

|ը"'.օ""Ժ. ճ.

թթ

ի(1Ի»).

1628. րի: 5-1 1630.5

1619.Տ

14: սառւէՏ Բոր»

1621.

ԼՐ

1623. ո

1632. ր 34.

ԼԶԾ--

1636.

1638.

22. 7"

| Մշ» |/1-3.ժ.

1640.բ

1644-րտ

1629. բՏ5:Շ0Տ՛

1631.

Ճ-Տլո՛չ

իշ" Ժ. .

1633.

Տոմ:

ճ.

(627. յԲիՑ

մ»

իւ2

|ա

--օշ

Տո

1635յ 1637.

ր,

Հ.

| բ--

:) 1639. բո-» Ի

1641. Հ-3Ն

ճ.

իջ 1 -

1644.

1646.

1648.

1650.

ե.

յ5

Փ.

1645. յ 5-127-92-

Հ35-10 6:-7

3:-2

յ 37 -7.Հ1

1647. յ 2-37

է»-.-

1649. |5.-,Հ2

2-1

1654.

1656.

1658.

25-1

(-5--Վ

1651. բ------

Ո-ԲՅՎ3-4:-4»-

1653.

ՆԱ

Տ 1657. /բ

3:2-6

-4:45

1652.

Ի527

այի

32 -1 -աՀ1

45-43

1655. Բ-----

(թ Ն

Վ42

225-5

մ.

մմ.

1659. |2

ճ:

Ի6:

ՎՏ

1660.

իշի" «12:

1661. բ-ՈՀմի

1662.

ք: փո-12:

1663.

1664.

1666.

1668. 1670.

ճ:

յ 174531 յ 2-1

1665.

ճ:

|փ.-1

Լ-Ցփ Հ:/: ե.

1667. յ

ՎՀ

"2: Հ.

յ 6 մշ" օ-".

1672.

/փ"

1674.

յ ՎԼՀՀ"

«1

օճե.

1):

Հ.

1669. յ փ."

1671. յ

.75:

1673. լ-2

1675. բ«Վ: 12.

1677. ք.-Ե-(2 ՀՍ0Օ՛ 2)

1676. Ո --Ջ-(«Է 1(22.-3)

1678. Լ-ՀԵ-ր(.՛ 4) ԻԵ՛) 1680.

լո

(»Ֆ:)

լու:

Է բՀ

1685.

|ք:

1688.

Լ--Յ-ՏԼո՛ ՇՕՏ

1687.

1690. | Փ.

1694.Լ3 չմ,

1696. քո" 5.

|Բո4:-օ055:ժ: 37-Տ1ո՛ 5:

1702.|Տո 1704.

7. -օօ5՝

բրո ՏԼո՞

1706. բ255 Հ/ՇՕՏ

1708.

Տո-ֆԻՇօտ2

ՏԱՅ Ւր-----

1710. ԲՑՏ Տո՛չ

1712.

լո(9»)

Իոշ, Է-----

1689.

ճւ

բուն»

|քԺ:

բԸ-ՅՅ-. 36Շ05-՛«Ի

45լո՛չ

ը:

«22

Ժ.

ԸՕՏ

1692. ո՛ւոն

1700.Տո՛

1691. |

պոչ

1698.

(ո»Ե)

Է». 1683. բ25 չո4»

չոչ:Նոլրու

1686.

բ--ՏԵ-. (Է 4): Հե)

1681.

"4,

1682. լ-Յ-1684.

1679.

7. 1693.|լօ5-

1695.եւ

24.

7. 1697.665"

1699.

ճո3»-«օ55»ժ:

57: 1701.քո՛4, -ԸՕՏ՞

1703.քոչ-օօՏ»մն Տյու,

ՒՐ-շ. 1707. բՎԶՏ5Տո՛ --ԲՅՅ---Է96057 2 1705.

Տլո

Տլո 274:

-ՇՕՏ Ւր --թ1711. Ց2. 1709.

1713.

շաղ

ՇՕՏ

աո

1714.

ՇՕՏ

352, մ

1716. ՈՉ ՊՎ1

166057

Ւր

1718.

1715.

ք-ՀՑՅԺ2:

Տո

մ. ՏՈ

շա. Հ

ԳոՏյո

Բաթառ ւթ

1719.

1720.

ԱՅԵՑ» Բջ»

1721.

1722.

յ մ. շշ

| 1723.

1724.

իժ -

աար

Բ ՏԱթ ՔՆԳ.

(-տի

1725. Էք:-2: Մ

-ԼՆ

1727. Գ. : 0 Հօ)

Կիրառելով մասերով ինտեգրման մեթոդը` գտնել նախնականը ուժ:

1728. 1730. 1732.

1734. 1736.

|ո(»14: |(416: ի՛ ոչ.

կո(Հ-Վ14:)4:

1738.ի ՇՕՏ

1740.ի Շ05-0.

օտ ե: 1744. կում: 1746.թ Յ1ՇՏ1ո270: 1742.

ճա

1748. յ աո

|ո՛չմ. 1731. |: ոո 1733. իո... 1735. ի"ում, (ւ»-) 1737. |ոորն: 1739.ի Տլո(32 4), 1741.ի Տո՞ ճե 1725.

1743.ոօօօ5(5»:--3)4: 1745.

ոմ: |ոռոօկլ

ո). 1747.//65(ո

ՅՐԵ00ՏՆ 1749. Ը----

Ո-ԶՐՓ

1750. ոո

1751. 165Վ.

ո).

|Բ:-Ջոփժ: 1754.բ" Վո մ., ճ- Էէ

|Ցո»1ո(ա»)ժ: 1755.բ" .ՇՕՏԵՆԱ:, 0 ԷԵ՞ «0 1753.

1752.

»0

Գտնել 7/(«) ֆունկցիայի այն նախնականը, որի գրաֆիկն անցնում է տրված կետով Տո

«4

|3 ան3

ՕՏ

1756. 762 Հ: Լ զաապաաաաա»» ՎՏու-Շօտմ 1757.

1758.

/(2)-:Վ1-,

եմ

ՆՐՈ:-2) լ

Ն(0Ա:-1 24-97

1759. 703 ---ծ-----կ

1760. ռ

/(0---ՀԵ«ՈԻո».

1761.

/()Հո,

սի| "3

ե/(6:4)

ոլ:)

1762.7(2)«Յ6Ջով»,

ՀՏ.

1763.

(62) -3:-չ

|3 ա)

Տո՞:

1764.

1765.

/()--Ջ-.

Խ/|0:-

ՎՇՕՏՃ

Տրոհելով տրված հատվածը ստորին ն վերին գումարները

հավասար մասերի, գտնել Դարբուի

1766.

/(2)-3:-2.

«6

1767.

/(2)-»:Է4.-5,

:6|-6:-2)

1768.

/(2)ՀՏո,

1769.

/(«)ՀՇօՏ,

Ճ0:-

|-3:4|

| | ճ

1770.

/(2)-».

|-2:3)

1771.

/(2)Հ3:,

|0:9|

1772.

Ապացուցել,որ եթե (2) ֆունկցիանգծային է |.:ծ5|հատվածում,ապա տրոհման հատվածի յուրաքանչյուր այդ համար այն ինտեգրալային գումարը, որի համար որպես «, (եՀ-12:--:ռ) կետեր ծառայում են

տրոհմանհատվածների միջնակետերը,(Ը,

մ.

ԵՀ-Լ2:-..Ռ,

հավասարէ ինտեգրալիթվայինարժեքին

Ընդունելով ինտեգրալի գոյությունը` հաշվել ինտեգրալը` դիտարկելով այն որպես հարմար ձնով ընտրված ինտեգրալային գումարների սահման:

1774. յ (4-3:) մ:

1773. յ (7 --3)ժ.

1775.

|(9-5»)4:

|(7:-4)4.

1776.

1777.

իժ:

-Յ

Ցուցում. օգտվել

ծ՝՛ Է-1

աաավա

Է1

բանաձնից

1778.ոոմե.

ոճ պո----Ջո---Ձ .

Տոն.

Ցուցում. օգտվել 2-)

ոՀ

--Հ--Հ-

բանաձնից

Տո

մ, 1779. 165

աե

Ցուցում. օգտվել

է-|

պո----6օ05---0

"605Է0--4:--Հո

Տյո

բանաձնից

բ:

1780.

Հ,

1781. Է "1

Ցուցում. տրոհմանկետերը ընտրել այնպես,որ կետերը կազմեն երկրաչաւիականպրոգրեսիա: 4.

իր

1782.

Ցուցում. վերցնել Ը,

Հ...

1:42... 1-12:-.::ո

1783. յբժ: յ

Ցուցում. տրոհմանկետերը ընտրել այնպես,որ կետերըկազմեն երկրաչափականպրոգրեսիա: Հաշվել ինտեգրալը

1784.

)

1786.

1788.

4,5

| («2»).

2-14:

1787. Լոչմո|

|--չԺ:

1789.

յ. /Բօ5-

1791. /8ո՛27.

-ոդ

1792.յ

ՏԼո

|--շ չո՛չ

32:51 5»00:

-շդ

ը 2: 1793./6տ

1794.յլ Փ»:Իօթ) ՏՅ Հ4:41

1796. --Ծյ 271

-Վ

Փ,

զի

1795.Լ

չ.:

1797. յ «Լ-Թ: `

1Օ:է1:

1798.

վՎԼ-2,

1790.

1785.

Ժ.

1799.

ճե

1Է»՛

-ՇՕՏ

2»)

Ճա.

մոշ»

1800.

1801.

քորո

ծ. / -2:-8

"22:41

1804.

1806.

1808.

Էրո-թ իր

Հ.

1810. բշ -ո

բ"

ՈՀ3Յ

ծ. 2:

1814. աաա

«Վ1-ճ:

1811. |

-3 Վ»

թ Ճա.

1813.

թգ

|4-2.

1815.

1816. /թ:'րը

ո.

1817. |

ապր 1818.

---21«2պո՛չ

1820.

Հ.

լ բրո

Բ-շոոշ»

Տո

1822.

Ճ.

)ԷՊ-շ

1809.

1812.

2:3:-2»՛

1807.

թ-ը

ԶԵ.

1805.

12-51:

1819.

Բոշտոշչտպո:տ:

1821.

1823.

քո

բրոշ. Տո

2:64.

--ԸՕՏ47

1824. բի-ՇՕՏ

1825. |

22564:

1827. բ

|/1-6օ052»մ:

1826.

1829. բուժ:

1828. ոմն

բոօջոո 1831. ւմ:

1830.ոօտուժ:

եչ

1833.ոօզին:

1832. խ՛

Տո,

իք«օտ աե:

1835.

աուրա

1837.

|1-չ|մ:

1839.

184.

ո.

ետ

/Ցոոո-Տոյամ:0 .

-դ

1843.

|6օ57ռ:

:ՇՕՏյամ:

-7տ

ու: 1844. տո

|ո |Ժ: Ը

ար:

Ց:

Ապացուցել, որ ցանկացած ունի հավասարությունը

| մշ" -24.

Բր: 1:

1842.

ԲԺ:Է1

(840.

լոծ

ճե:

1838.

1836.

Շօ0Տ2:6:

«Տո

1834.

ՕՏ

Հ0

ու

ԴՀՈ ոլո

-ո

1»

ամբողջ թվերի համար տեղի

Հաջորդականության անդամները ներկայացնելով որպես որոշակի ֆունկցիայի ինտեգրալային գումարներ` գտնել հաջորդականության սահմանը

Տ"

մ Ղէ Դ-թօօ հռ

1845.

1846.

ՊՎՏ

րոշ, ւբ ոշ ծ

էո ւ

1847.

1850.

ուժ: ՎՊՀ 3 ծ

շ, 1853. հո» -7 5: կո

1851.

"-- ՎՑո՛-4էշ

չ:-----Հշ16ո՞-9լ

1855. նո

րլ

հոծ

1857.

2,3ո՞

րոշ,7ո՞ ծ

1859. հո

4է՝

Տե Հ

էո:

4է՛

ն հ --տլո--

րոշ,ո ծ

1863. լող

րոշ,

ո՞ւ

րոշութը հռթծ----

րոշ, 5ո՞ ՅԷ Յ 1854. հոծ Բ-ը

է.

նղ՝--Էր ո

1856.

1858.

1860.

1861. րոֆ ոո,

1862.

1864.

՞2

Տ-Չէ րոշ, -թ--բ է՛

կող»

"-« արե 6ռ

"բ

1852.

2ռ

1Ի-.Ի

կող

1849.

1848.

)

կո

5ո՞

ձե

րոշ,-( նո

կո .

-(աոոչ-ոռ (.ՒՒ)-

«Վե

--ԸՇօտ--

ոռ)

Գտնել ածանցյալը 1865.

1867.

1869.

Վո. 4"

ԵԼ ԵԼ --

Հճ. ո/

Ճ/

Ո«Ր4/

1866.

1868.

1870.

ՇօՏ(7/-)4/

ձ.-

4":

Փ.ԱՀՐ

ՇՕՏՆ

ու Ճ/

Ճ.

Ս չ

|2-«4

Օգտվելով Լոպիտալի կանոնից` գտնել սահմանը

նո2-չ--լյ զԱ

1871.

«50

ա 1լո-Տ

1873.

5-50

1874.

ՀՔ ՓՈ՛ճ4/

| 5141 հռ --| Տոմ

1875.

Ջու

Մթճ ք

/1աաո՛4

հուշ

1872.

Որ--------5-ՖՎ

) լո(1ՀՌ4/

հո-շ-----Րպլո/ .

1876.

«9

Են

Տրված երկու ինտեգրալներից ո՞րն է մեծ

ք 1877.

թո՛«ճ..,

ղ-

բշ».

Աշ

1878.

բ՝2

ղ-

լ ,

1879.

բ"

ղ-

ՇՕՏ՛7...

ղ,-

ող

1880.

7., իտո

էքե. :

ղ-

ի"

ՇՕ5-«մ.

ղ,

ւտ:

շդ

Որոշել արտահայտության նշանը )

1881. )

1882.բ»2'2:

ոչ.

շո

1883. իոտռ մ.

1884. ի՛

ՇՕՏ

Ա.

աե

Ի (ոշ

1886.

1885.

1887.

րի

Լ.

Ապացուցել անհավասարությունը 1889.

աա...

:ՇՀՍՕ-»ը

բ-25--Հ2(«--7

--(--1Հ

1890.-ՀԼ-

Տո,

:2ԷՍԹՅ-»)

9.-ՀԸՈ ՉՀ

ԱՀ-

Ջո՞

:2:Հ10-22)

շո

1892.-2«/ՕՏՋուՀվոշոյժ:Հ 7: բ

ը չ»Ա.ՀՀ-:-23:3(232

|տո7-օօ5»5-

1893. 0 Հ :

1Ր»-3ի

ոո". Հ0 /(ո0շԷ)-2աօք

1894.

«Վլ| 2:

1895.

ՏԼՈ՞

ՇՕՏ

1896.

«2-9

-ՈՌՀ

բ յ

ֆ5

ո)

Հ120:3Թ)

Հ 26(62 օ" ճե: -1)

Ե -րՔ«չՇ-Ս

1897. շ--ՌՀ

1898.

1899. |Ր2-5

1900.

-3ՀԱ

զո Ք

2.-9`

Է16

ցո

ՀՅՏ

254-7

Հ:Հ

Դիցուք /(«)-ը

-3)

8(2--Վ2) ոմւՀ

1901..26ՀՐ ցու 1902.

Հոն'

6Փ.Հ

2-3

Ւ:

0Հ

իբ

42(2-ՍՀ

դրականն անընդհատֆունկցիա է |0»-Է»»)միջակայ-

ն (ոըձ/

քում: Ապացուցել, որ Փ(»:)---

704:

ֆունկցիան աճող է

այդ

միջա-

կայքում: 1903.

ֆունկցիան անընդհատն դրական է |0:1|

Ապացուցել, որ եթե /(«)

ոռ

հատվածում,ապա 1904.

ենը

Ապացուցել,որ եթե /(«2)

չ,.

կետում, /(ո5) Հ (2),

Ապացուցել, որ եթե ոչ դրական /(»)

1906.

|8:ծ| անընդհատությանկետում /(ճյ) ՀՕ,

դրական թիվ այնպես,որ

Ապացուցել, որ եթե

ոչ

լ.չ5| միջակայքումն

7/4:

ապա

Հ -յլ:

բացասական /(«") ֆունկցիան ինտեգրելի է ց6

|.:ծ) անընդհատությանկետում /(չյ)»0, ծ

ապա

«6վռե|

ֆունկցիան ինտեգրելի է լճ:ծ) ծ

գոյություն ունի

|/(04:Հ|ջ2)4.

/(,)ՀՏ(Կ).ապա

միջակայքում ն չ,

(25) ֆունկցիաներըինտեգրելի են |ճ:ծ|

միջակայքում, անընդհատ են

1905.

մին

/ո/ւյտ

գոյություն ունի 1/ դրականթիվ այնպես, որ

7/4:

1/:

1907.

Դիցուք /(«)

ֆունկցիան անընդհատ է |օ:ծ) միջակայքում: Ապացու-

ցել,

1908.

միայն այն դեպքում, երբ /(«)»Հ0,

|ճ:Ե|:

Դիցուք թվային ուղղի վրա որոշված /(»«) ֆունկցիան զույգ է: Ապացուցել, որ եթե այն ինտեգրելի է յուրաքանչյուր վերջավոր միջակայքում,

1909.

| (24:50 այն

որ

1/4

7-"(2)Հ

ապա

ֆունկցիան կենտ է:

Դիցուք թվային ուղղի վրա որոշված /(»«) ֆունկցիան կենտ է: Ապացուցել, որ եթե այն ինտեգրելի է յուրաքանչյուր վերջավոր միջակայքում,

7/"(«)

ապա

/(04/ֆունկցիան

զույգ

է:

1910.

Դիցուք /(»«) ֆունկցիան անընդհատ է ն դրական |2:ծ5)հատվածում:

ք (34է

Օգտվելով Փ(»)-

ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունից,ապած

ցուցել, 1911.

որ

գոյություն ունի .»0

Դիցուք /(«) ծում:

ֆունկցիան անընդհատէ

Օգտվելով Փ(»)Հ

ապացուցել,

թիվ այնպիսին,որ

որ

7 (47

գոյություն

//(օ4.

բացասական|ճ:ծ) հատվա-

ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունից, ունի

.,.»0

թիվ

այնպիսին,

որ

յՄ()..Հ-Օ:

1912.

Ապացուցել,որ եթե /(«) ապա

1913.

գոյություն ունի

Ապացուցել, որ եթե

ֆունկցիան ինտեգրելիէ |.չծ| հատվածում, կետ (Օ ՀՇ Հծ) այնպիսին,որ

//(04.- 7097.

ինտեգրելի է |.:ծ| հատվածում 75 ֆունկցիան

միջակայքից,ապա կախնրանցփոխադարձդասավորությունիցտեղի ունի

ն ՝չ6շ»Օ

կետերըկամայականկետեր են

ա-

իժ

այդ

ան-

|/(աճ:

1914.

Ապացուցել, որ եթե (.:ծ| հատվածում անընդհատ /(«) ՀԵ

ֆունկցիան

կետի նկատմամբսիմետրիկ կետերում ընդունում է հավասար

արժեքներ` /(«)Հ./(«ՀԵ-»),

ապա

26|ռ:Ե|, 0Հե

(6ժ.-2|/ա4: 1915.

Ապացուցել, որ եթե (.:ծ| հատվածում անընդհատ /(»«) ֆունկցիայի համարտեղի ունի

1916.

/4.-2վա:5-»4:

Ապացուցել, որ եթե |0:1) հատվածում անընդհատ /(:)

ֆունկցիայի

համար տեղի ունի

)..|/(6ո

ա)

2).

բ)

ԷՏ 2). շ |/6տ

թ/ճռ)..-

1917.

Ապացուցել, որ եթե /(չ)

ֆունկցիան անընդհատ, պարբերական(7

պարբերությամբ)ֆունկցիա է (--»օ:--օ») միջակայքում, ապա ցանկաՕՐ

ցած Օ թվի համարտեղիունի 1918.

Դիցուք /(«)

յ 7).

ք:

հավասարությունը

ֆունկցիան անընդհատ դիֆերենցելի է |.:ծ) հատվա-

ծումն

ձ,Գտնել հռո: 1919.

|/օյտ-524Տ/կ«:6-9| Դ

4,:

Ապացուցել,որ եթե 7/(5) ֆունկցիան ինտեգրելի է |.:ծ| հատվածում, ապա

կամայական 6 »0

կամայական6,6

|2:ծ| ն

թվի համար կգտնվիայնպիսի ծ»0

36 |6:Ե|, 0Հ/-ՕԶ

ունի

յ7

)|մ.

ՀԲ

անհավասարությունը:

թիվ, որ

ՀԺ թվերի համար տեղի

ԳԼՈՒԽ

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ:

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

1. ԿՈՐԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

ա) Եթե տարածական կորը տրված է »«Հ(Ռ,

(լո:

(Ո,

»Հյչ(Դ,

2Հ2(Դ

պարամետրականհավասարումներովն գոյություն ունեն

2/0) անընդհատածանցյալներ,երբ

|ո:7|,

ապա

կորի երկարու-

թյունըհաշվվում է հետնյալ բանաձնով՝

00:40

(Էւ լո:7 ի),ապա կորը հարթ է, ն նրա երկարությանբանաձնըընդունում է հետնյալ տեսքը՝ Եթե 2(-0

ին

(«6 |ո:չԵ), անընդհատդիֆերենՀ» կորի երկարությունըորոշվում է հետնյալ բանա-

ա) Եթե հարթկորը տրված է

ցելի ֆունկցիայով, ձնով`

ապա

2. ԱՐԹ

ա) Դիցուք 7(«)-ը

ցիաներեն

ջ(2:Տ7/(2)

Հարթությանվրա

բ/06.

(3)

ՊԱՏԿԵՐԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ

ջ(»)-ը |ռ:ծ|)հատվածի վրա անընդհատֆՖունկռ6լո:ծի:

Աա

2ԹՀ»Հ7Մ(9

անհավասարություններիհամակարգինբավարարող (2: ») կետերի բազմության (սեղանակերպի,կորագիծսեղանի) մակերեսըհաշվվում է հետնյալ բանաձնով` ծ

||Մ(9-803)2:

ՏՀ-

բ) Եթե տրված հարթ պատկերը սահմանափակողկորը (պատկերիեզպարամետրականհավարագիծը)որոշվածէ «Հա(3, ՀԹ, (6:70) սարումներով »(/)-ն

անընդհատ է, իսկ «(/)-ն՝

անընդհատ դիֆերենցելի

լո:7 1 հատվածում, ապա տրված պատկերիմակերեսը հաշվվում է հետնյալ

բանաձնով՝

իծ

Տ-

(5)

3. ՊՏՏՄԱՆ

ՄԱՐՄՆԻ ԾԱՎԱԼԸ

լօ:5 | հատվածում անընդհատ 7 (») (70) Հ0) ֆունկցիայի գրաֆիկով նչՀճ, «ՀԵ, »Հ0 ուղիղներով սահմանափակվածպատկերնօօ: առանցքի շուրջ պտտելիսառաջացածմարմնիծավալը հաշվվում է հետնյալ բանաձնով` ՛-

4. ՊՏՏՄԱՆ

"|(ծ:

(6)

ՄԱԿԵՐԵՍԸ

ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹԻ

լո:Ել հատվածումանընդհատ 7/՛(5) ածանցյալ ունեցող /(:) ֆունկցիայի գրաֆիկն օչ առանցքիշուրջ պտտելիսառաջացածմակերնույթիմակերեսը հաշվվում է հետնյալ բանաձնով՝

ՏՀ2ո|/(91Ա-(78)

5. ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ

Սահմանում:

քում

ն Մ»

Դիցուք /(«)

ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄԸ

ֆունկցիան որոշված է |օ.:-Հօօ) միջակայ-

թվի համար ինտեգրելի է

|ճ:4)

հատվածում:

սիմ-

վոլը կոչվում է անիսկական ինտեգրալ: Եթե գոյություն ունի սահմանը (վերջավոր,

Հ»»

կամ -»»),

ապա

նռ

(4:

|/(»4:

այն համարվում Է

անիսկականինտեգրալի արժեք: Եթե նշված սահմանը վերջավոր է, ապա անիսկականինտեգրալը կոչվում է զուգամետ, իսկ եթե այդ սահմանն անվերջ է, կամ գոյություն չունի, ապա անիսկականինտեգրալը համարվում է ձնով սահմանվում է անիսկական ինտեգրալը տարամետ: Համանման (-»5:4| միջակայքում: ֆունկցիան որոշված է(--օօ:-Էօօ)միջակայքումն ինտեգրելի

Եթե /(:«)

ցանկացած |ճ:Ֆ| հատվածում, ապա

|/4:

անիսկական ինտեգրալը

կոչվում է զուգամետ, եթե որնէ Ը թվի համար միաժամանակզուգամետ են

--օ

//7.

անիսկական ինտեգրալները, հակառակ դեպքում՝ վատ.

-«-օ

//6.

անիսկական ինտեգրալը համարվում է տարամետ:

|7(4-ի

||7օ24,.Հ |/աճվ --Չ

արժեքկոչվում է

գումարը, եթեվերջինսիմաստունի:

բ) Անսահմանափակֆունկցիայի անիսկականինտեգրալ: Սահմանում:

Դիցուք /(»)

լ.:Ե5) հատվածում որտեղ 4Հծ:

ՀՖ) (ռօ

ֆունկցիան որոշված ու անսահմանափակէ ինտեգրելի ցանկացած |:

|/(օ4.սիմվոլը կոչվում է

ֆունկցիայի անիսկական

ինտեգրալ|.:ծ5| հատվածում:Եթե գոյություն ունի

ո ծ

(վերջավոր,Հօ

,4| միջակայքում,

կամ --օօ), ապա այն համարվում է

(2.

սահմանը

7/6. անիսկական

ինտեգրալիարժեք: Եթե նշված սահմանըվերջավոր է, ապա անիսկական ինտեգրալըկոչվում է զուգամետ, իսկ եթե այդ սահմանն անվերջ է, կամ

գոյություն չունի` անիսկականինտեգրալըհամարվումէ տարամետ:

Համանման

ձնով սահմանվումէ

նան

/7օ4. անիսկականինտեգրալ,

ՏՀԵ: քում, որտեղ 4»«, Այդ դեպքում անիսկականինտեգրալը համարվում է զուգամետ, եթե որնէ ՇԺ (.:ծ) դեպքում միաժամանակզուգամետ են Ը

7/4. ն 7/4. անիսկականինտեգրալները,ընդ որումընդունվումէ, ճ--

որ

|/(Թժ--|/(Ժ4

6. ԱՆԻՍԿԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼԻ

ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅԱՆ

ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

ա) Կոշիի սկզբունքը: Թեորեմ: Եթե /(«)

ֆունկցիան անսահմանափակ է |օ.:ծ|-ում

ինտեգ-

րելի ցանկացած | 4:ծ|

Շ (ճ:ծ)

հատվածում, որտեղ (4»«)

ապա

|/(94:

անիսկականինտեգրալի զուգամիտության համար անհրաժեշտ է ն բավարար, որ ցանկացած 6ճ»0 թվի դեպքում գոյություն ունենա 47 (6) թիվ Հ

այնպիսին,

րարվի

որ

յուրաքանչյուր |.4:47|Շ(ճ.4)

7624:

Հ Ք

հատվածի համար բավա-

անհավասարությունը:

Համանման

ձնով ձնակերպվում են Կոշիի սկզբունքի տարբերակները մյուս անիսկականինտեգրալներիդեպքում: բ) Բաղդատման առաջին հայտանիշը: ն ջ(«) ֆունկցիաները որոշված են լճ:--օ5) -ում ն Թեորեմ: Եթե /(չ) ցանկացած «4»ռ դեպքում ինտեգրելի են |լռ:4| հատվածում

0Հ7(ԺՀՔԸ).

(.ՀԼո:ՀՀ3),

ապա

|ջ(ո)ժ:անիսկական ինտեգրալի

հետնում զուգամիտությունից

|74:

-ի զուգամիտությունը:

գ) Բաղդատման երկրորդ հայտանիշը: Թեորեմ: Եթե /(»«) ն ջ(:)

ֆունկցիաներըոչ բացասականեն |.:---»5)

միջակայքում,ցանկացած 4».

գոյություն ունի Լու----

1-»օօ

-օ

704 ոո

դեպքում ինտեգրելիեն |ճ:,4) հատվածում

-խԽ

Ը)

վերջավոր ն 0-ից տարբեր սահմանը,ապա

ինտեգրալներըկզուգամիտեն կամ կտարամիտեն

ձնով ձնակերպվում միաժամանակ: Նման

բաղդատմանհայտանիշներիտարբերակներըմյուս անիսկականինտեգրալներիհամար: են նան

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Գտնել այն պատկերի մակերեսը, 6:--7- պարաբոլովն «ՃԳ ուղղով: ա)

որը

սահմանափակված է

Գտնենքպարաբոլին ուղղի հատման կետերի աբսցիսները`նկատի ունենալով,որ այդ կետերում պարաբոլին ուղղի օրդինատներըիրար հավաՃ-

սար են:

ՀԵ4Թ-ՏՒ4Հ-0,

6-7

պ-1,

«չ-4

Համաձայն (4) բանաձնի. Տ»վ(

2-7

-«-4).Հ|(2-7

-446Հ--»

-4վ

բ) Գտնել այն պատկերիմակերեսը,որը սահմանափակվածէ շ

Է 43.-1 Ե ձ

Ճ-

(գ»0, Ե»0)

Կորի հավասարումից հեեթե («:ջ) կետը պատկա-

տնում է, որ

նում է կորին, ապա

(-7:-ջ)

(2:-)),

կետերը նս պատկանումեն

կորին: Այնպես, որ կոորդինատների առանցքները կհանդիսանանայդ կորի սիմետրիայի առանցքներ ն հետնաբար պատկերը, որի մակերեսը այդ

(լիպս)

22. | Հ ն

060.

պահանջվումէ հաշվել, այդ առանցքներովտրոհվում է պատկերների(տե՛ս գծագիրը):

հավասարա-

4 հատ

մեծ

Նշանակենք 5. -ով այն պատկերիմակերեսը, որը սահմանափակվածէ 025,

օ»

ջ»-Պզ՛

առանցքներով ն

-չ՛

կորով, որտեղ

«,

արգումենտը

փոխվում է |0: .| հատվածում:

ՏՏՀ Կատարելով7 .

ին

իի: թր»-ոմ.-3

ճՏ1ոք,

-՞

Քանի որ 5 Գգ)Հաշվել

թօ:

4Տլ,

ապա

յն

Շ0Տ2/)4/

26.

օծ

տեղադրությունըկունենանք`

(1-5-

Հետնաբար5) Տտ

պատկերի Տ մակերեսըհավասարէ

»-4:5-»--5

պարաբոլով

Կ-0,

:։չ-3

«ծ-ի

աբսցիսներ

ունեցող կետերումպարաբոլինտարվածշոշափողներով սահմանափակված պատկերիմակերեսը: Ճ

--Նախ գտնենք «լ -0

«չ-3

կետերում պարաբոլինտարված շո-

շափողների հավասարումները, օգտվելով

ԽՈՕԿ:»,)

կետով տարված շոշափողի`

ֆունկցիայի գրաֆիկի

Օգ) -լ)

(գ)

հավա-

սարումից: 4:35

Ֆ-Հ14-2յ

ճշ Հ3

կետում տարած շոշափողիհավասարումը կետում տարածշոշափողի հավասարումը

Գտնենքշոշափողների հատման կետի աբսցիսը`՝լուծելով

4:445Հ14-22, նում

Պատկերը, որի մակերեսը ցանկանում ենք գտնել, իրենից ներկայացէ երկու սեղանակերպ պատկերների միավորում: Առաջինըսահմանա-

փակված է վերնից` »--4:--5 լով, կողքերից` «-0

5-8

-շ

ուղղով, ներքնից`

4:-»՛Ի5

պարաբո-

ուղիղներով: Երկրորդը` սահմանափակվածէ

վերնից` »-14-2»:

րից:̀-2

ն 2,3

ուղղով, ներքնից`

7--4:»-»

պարաբոլով,կողքե-

ուղիղներով:Վետնաբար

|(«5-42-Ֆժո

Տ-

|(4-2.-4:ւ-Ֆժ--Հ Մ

Հետազոտելովինտեգրալներիզուգամիտությունըկախված թ

պարա-

մետրից "«ճ. ՀՇառատաա ) լ

բ)

Ճ.

ձՃ-ա)

համար ինտեգրելի է|Լ 4|

ֆունկցիան ցանկացած 4»1

հատվածում,ընդ որում

ՐԻՐ

Եթե ք»1,

զ"

աԶ-----.ք»տ1 բՋ«2. 1-քթ| 1-ք 1-թ

Ի-

ա .

ապա

չունի: Հետնաբար,եթե

-Ֆ«օօ

Ի(ՓՀ--զ' ք-

եթե թՀ1

գոյություն

դեպքում:Իրոք

4-5 բ-Հո4-5ՀՀ-ի,երբ Է»: յ

դեպքում ինտեգրալը զուգամետ է, թՀ1Լ դեպքում՝

Այսպիսով թ»1

տարամետ:

բ) Ճ--նշանակենք (6)

Ունենք Ի(օ)-

-Ֆ4օօ

1, ինտեգրալը զուգամետ է, եթե ք Հ1, ինտեգրալը

տարամետէ: Ինտեգրալըտարամետէ նան թ 1

Ի(7Հ-

հռ Ի(4)

ո.

Ե:

բ..

(0ՀՕՀՍ

(14-27), եթեք»1

|---Հ1-թ «7 ա

Ն2

եթե ք

--1

Հետնաբար հո Օ-Ծ

ՔՀ.

եթե

ոռ Ք(2) ՀՀՀ եթե թՀ1|:

քՀԼլն

-ք

ՕԾ

Այսպիսովինտեգրալըզուգամետ է, երբ ք Հ1 ն տարամետէ, երբ ք 51: Վաշվել անիսկականինտեգրալը

Ճ.

իք.

Ճ-- ըստ սահմանման

ԻՏ-- Հ ԼՏ-- «502.փվ» 2մ:Հ» հո

Հո. ի

«ժԱֆլ

նշանակենք ՔԲ(4)-

41մ.

ք,4-1

4»1

Է(4Հ-

«1

ի"-1 Է" ու

Փ.-

նո

-Մ-

24/|.--

Վ2

4-ն Վ2

Հ:

Էբ-

ԲՅ-Ի ո հտ Ժ(4)4-Ծ-«օ

)

լ Հ-Հ-ՅՈՐՋ---Լ

Ճ--նշանակենք Ժ(4)»-

«Ա

ա-----ՅՒՇԼ

Բ(4)Հ

Էքվո-1

«Ր-3)

Գ)

21ո3 հո2(ո3-ոմ«-/6)|-

բ) Ճ--

Լ-Յ--ԽՈՀՀՎ:)

հռ

4Հ-2

բադ 1

հո 4-5-«օ

ի. տվու

Հ-ՁԼՇՏԼո1

ՅՐՇՏԼՈ

Անիսկականինտեգրալը հետազոտելզուգամիտությանտեսակետից "Ը

ա)

ՎԶՀՅ

բ)

Ի4

իտոր» 4:37. ։

ա) Նշանակենք /(::

3Վ22-3

ՀՏ.» ւք.)

2 Լ.

որտեղիցկհետնի,որ

որ

ջ(չ)

Ունենք՝

ք-5

բր»ՀՀվԻՏ «-ջ-

1Ի--

:ռ

:3 Քանի

Է»):

լոլո

2-»--«օ

-ք 5»

-ԻՑՎ--- 7

ֆունկցիայի անիսկականինտեգրալըտարամետէ

ե5 , -

ապա ըստ

բաղդատմաներկրորդ հայտանիշիմեր ինտեգրալը Մ

նս տարամետէ:

բ) Ճ--նշանակենք /(:

յ-31:-Ցո՞3», 4:3ի: 7:

»օր:4»)

օգտվենք

բաղ-

դատման առաջինհայտանիշից:

Ունենք Քանի

որ

ջ(չ)

3. «3. Ճո.Յո՞»: Հար՞ք'

ՏԼո՛3:

«6

ԼԻ»)

--3-ֆունկցիայի անիսկականինտեգրալըզուգամետ

չռ

ե-Շ ի, »

նս

ապա

մեր ինտեգրալը ըստ բաղդատմանառաջինհայտանիշի

Մ զուգամետ է: ք ն զ պարամետրերիցկախված հետազոտել ինտեգրալի զուգամի-

տությունը:

Ճ --

ԼՏ

չոչ

Դիտարկենքթ պարամետրիբոլոր հնարավորարժեքները:

ա) թ»1: Այս դեպքում ք -ն կարելի է ներկայացնել ք 1-20

որտեղ Զ/

տեսքով,

0: Ընդինտեգրալֆունկցիան ներկայացնենքհետնյալ տեսքով՝ լ

700Հ-րշ:Ք0),

որտեղ ջ0Հ-շ--շ

չոչ

Ցույց տանք, որ ցանկացածզ -ի համար

հո 202)Հ

նռ «թ»

չո ը

(1)

Իրոք` եթե զ Հ0-ը (1)-ը ակնհայտ է: Ենթադրենք զ ՀՕ:

Ք(2)

-ը

Այդ դեպքում

կնդունի հետնյալ տեսքը:

լըճ

ՔՀ Նշանակենք 1ոչ

ուր Օ

Երբ 2

տոկո

Լ-»ՀՎօօ ա.

Հ. որտեղ ԹՀ-զ»0 1 -»

«օօ,

-»

«յոր Օո.օ ՛

(ՀՀ

Հօօ

Օճ

հետնաբար՝

ԷԹ»

Կիրառելով է անգամ Լոպիտալի կանոնը, որտեղ էճ -|յ)-Է1

ունենալով,որ /9-- քՀՕ կստանանք`

կոր-կոժ-ք լ

1-45

(Հօ

282)":«(Թ-Է 0 -ի..(Թ-

կղ ԷՀ

(

Այսպիսով հո ջ(2)20,.»0,գց68 Հետնաբարգոյություն ունի չ, »2

0Հջ(Հ)ՀԼ, Որտեղիցկհետնի

այնպիսի թիվ, որ «6

լոՒՖ)

ւ.չ5-Ւ

նկատի

7Հ Ըստ

ոռ

8(2Հ-րշ:

ԻԹ)

բաղդատմանառաջին հայտանիշիկհետնի

(2)

| 27.ինտեգրալի

ն հետնաբար զուգամիտությունը

ինտեգրալիզուգամիտությունը: |76ա4.

Վերջնականապեսստացանք, որ եթե ք»1,

ապա

ինտեգրալը ցանկա-

ՔՊ-իհամարզուգամետ է:

ցած զ.

բ)թ-1| Կատարելով 1ո՛չ

ՀՒ

փոփոխականիփոխարինում,կստանանք ՆԲ

.Փ

|«ոա.

ոշ

Ինտեգրալըկլինի զուգամետ,եթե զ

չ՛

1 ն տարամետ,եթե զ

Հ1

գ) քՀ) Այս դեպքում թ-ն կարելի է ներկայացնել թ-1-22.

Ներկայացնենք ընդինտեգրալ /(չշ)

օ»0:

2-4, րող

որտեղ ջ(«2)-«՛(ոչ)

ենք ցույց

տալ,

ջ(2)-

հո

(ոչ)

ւՂ-Օ Հ),

ապա

1-.

|7 (54:

|/ 64.

«»2յ:

Այն-

աԼ.

|--շ ինտեգրալըտարամետ

ել

տարամետկլինի

այնպիսին,որ ջ(2)»1,

լայ: օօ): Քանի որ

րամետ կլինի

նույն ձեով, ինչպես ա) դեպքում կա-

«Հ«,0:»0,զօ

Հետնաբարգոյություն ունի ո, »2

ֆունկցիան հետնյալ տեսքով`

որ

հո

պես, որ 7/(չ)»

տեսքով, որտեղ

ինտեգրալըն հետնաբարտա-

ստացանք: ինտեգրալը:Այսպիսովվերջնականապես

Եթեք» 1, ապա ցանկացածզ ։ / համարինտեգրալըկլինի զուգամետ: Եթե ք -1, ապա ինտեգրալը զուգամետէ, եթե զ » 1 ն տարամետէ, եթե զՀՏ1: Եթե ք Հ1,

ապա

ինտեգրալը ցանկացածզ

համար կլինի տարա-

մետ:

Հաշվել տրված կորերով սահմանափակվածպատկերի մակերեսը

2243, »-3-42, ,-2-22-2-,

ջՀ-1

1923.

,-7

»-2

1924.

»---Հ՛,

»Ի:5Ի2»-0

1925.

,--չ՛ Վ4չ,

5-34

1926.

47-82--,

4Հ:3Ի6

1920. 1921. 1922.

Ի,

1927.ՖՀՏՀ21-»,

20,

-Հ0, «.Հ-2,2Հ-1

2:.-»Է4Հ0

1928.

»-8-Ի2:-»2-,

1929.

չ՛

-6:-4»Հ13Հ0,

1-2»-1Հ0

1930.

-8:.-»Ի5-0,

2:.-չՀԻ1-0

1931.

Հ,

1932.

,-4-չ-,

»-շ».

Հ:

-2»

ջՀ-45-2

1936.

,-3:-2-9,

-2-1,

1937.

»-3-2--,

ջՀ-Ր,7-5

1934. 1935.

ՀՀ

1938.

7՛ 1,

1939.

,--7-,

1940.

ԻՀ1,

»Հ-0

2:-»Է4Հ-0,

Վ1, Հ Ի2Հ1, ,-«-237-,

1933.

2-0

2Հ-1,

ՖՀ-2-52ջ--6,2-0,ռՀ0)

2Հ--1

ՖՀ2:.,»5--2

Հ-22541 :«Հ--4 ջ»-,2--2, 2-3

1941.

»-1-»-,

-247.2--3,»2--Ն5

1942.

չ՛ Հ1-չ,

ջ»-22-1,

1943.

)՛

1944.

ջշ -24: - 48 5-9-2)շ

1945.

1946.

3) -16:-Ի32-0,

8.16,

Հ-(«-4)՛,

Հ-ն)

:-0

ՖՀ16-՛, 4:4-3»-8Հ-0

ջ-0

1947.

ՖՀ6.",

1948.

Հօ,

ՀՇ-,

"ոշ

1949.

67,

»Հծ",

1950.

2627, »--32-,

1951. ՖՀ-,

1953.

2-չ

750,

«-2

4»-:51-4Հ-0

5-1

1955. ,»----,

ո(0,25)

»փ42:Է1-0

5-1

,)Հ----,

3-22

1952.

1954.

«2281, «.Հ-2

4-3 շ

»-3-5:-32մ

1-7

1956.

,Հ--շչ,

ծ-ծՀ2-1,2Հ1

1957.

Վա,

«Ի»2,»0

1958.

»-ՎԼԱ-շ,

2181,

1959.

Հ,

թմ

1960.

,-ՀՎՀ-1,

ջՀ2-1, 221

1961.

Հ»,

»-Վ:

1962.

,Հոչ,

7-6,

1963.

Հ,

2-ՀՏ,

1964.

Հ,

1965.

»-2Հ1,

6052,

»Հ-0

»-»-շ.

0052,

5-0

1966.

1967. ժ 1968.

լ -----Հ-չ 14»

»ՀՏոյ,

7Հօօ52,

2«Հ-3

2-6

չ՛ ա

5-0

»-2-ՏպՋու, .

Ճ4

1969.

Տու,

1970.

,Վչ|,

»-2

1971.

»Վա-լ|,

ջ»-1Ի652-32-

1972.

7 -2:,

1973.

1974.

«-Վ8-)"

ՖՀՎա,, «2-2

-Է5

,չՎոչ|,

«-շչ254

20 «Հ--,2Հ-6

1975.--43-4

1976.

Տու,

1977.

ՖՀՏՈ

1978.

2:41

1979.

Վաշվել

2241, այն

2»»-15

|«ո«2) Ճ4

պատկերի մակերեսը,

որը

դինատականառանցքներով: Հաշվել այն պատկերի մակերեսը,

որը

Գտնել Հ

ջ»1 կորով, այդ

Ճ-6

Գտնել

առանցքով:

ուղղով սահմանափակվածպատկերիմակերեսը:

»-2--2:Հ2

կորով, կորի

տարված շոշափողով ն «1 կերի մակերեսը:

Գտնել

կորի 74/(1:1) կետից տարած շոշափողով ն

տում

1984.

ն օ)

առանցքով: Վաշվել այն պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակվածէ ոչ

» 1983.

սահմանափակված է

պարաբոլով, 1/(3:5) կետում նրա շոշափողով

կորով ն Ն/(օ:1) կետում նրա շոշափողով ն 1982.

սահմանափակված է

պարաբոլով, 7/(3:6) կետում նրա շոշափողով ն կոոր-

-25-3

ջ»:-2:Ի2 1981.

ջ»-0,

2605,

ջ»տ 1980.

((ՕՀ«Հ/)

ջՀպՋոչ,

ջ-»՛-2:.Է2

»-աուգ3

կորով ն

օ»

առանցքի հետ հատման

կե-

ուղղով սահմանափակվածպատ5-1

աբսցիղ ունեցող կետից

կորին տարված շոշափողով սահմանափակվածպատկերի

մակերեսը: 1985.

Հաշվել

Հր

կորով ն 4/(2:1,5) կետից այդ կորին տարված շոշա-

փողներովսահմանափակվածպատկերիմակերեսը:

1986.

Հաշվել

»-չ7՛, »-6:Հ27,

»-32-42,

(-3Տ:«Հ4)

կորերով սահ-

մանափակվածպատկերիմակերեսը: 1987.

Հաշվել

»-չ»՛Ի4,

»Հ-3:5Է32,

»-14-3:,

(4Հ»աՀ2)

կորերով

(3ՀՀ4)

կորերով

2-0

աբսցիսներ

սահմանափակվածպատկերիմակերեսը: 1988.

Հաշվել

Ի5,

յ»

»Հ-:ՃՀ17,

»-29-2:,

սահմանափակվածպատկերիմակերեսը: 1989.

1990.

Հաշվել

4:29

պարաբոլով ն զ Հ-3,

ունեցող կետերում պարաբոլին տարված շոշափողով սահմանափակված պատկերիմակերեսը: -Է1 պարաբոլովն ճՃլՀ0, ՃչՀ3 աբսցիսներունեՀաշվել » -45-կետերում պարաբոլին տարված շոշափողներով սահմանափակված պատկերիմակերեսը: Գտնել է-ի այն արժեքը, որի դեպքում 7»-ԽՀ9 ուղղով ն

ցող 1991.

տմ Գ7աԷ5

պարաբոլով սահմանափակվածպատկերն ունի փոք-

րագույն մակերեսը:

Հաշվել կորի երկարությունը 1992.

Վաշվել

»-Յոփ:

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանափակ-

ված է «--0 1993.

Հաշվել

ն «Հ3

»-3վն-ը'

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանա-

փակվածէ «1 1994.

1995.

Հաշվել

աբսցիսներունեցող կետերով:

ն. ՄՀ4

»-Ճ-1ո»

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանա-

Հ1

փակվածէ

Հաշվել

ՀԱ:

փակվածէ «--0 1996. Հաշվել

աբսցիսներունեցող կետերով:

«ՀՇ

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանա-

աբսցիսներունեցող կետերով:

ն «1

ջ»վա-5-1

փակվածէ 1997. Վաշվել 7

ված է «2

աբսցիսներունեցող կետերով:

ն «1

1ո(»--1) ն «ՀՏ

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանաաբսցիսներունեցող կետերով:

կորի աղեղի երկարությունը,որը սահմանափակ-

աբսցիսներունեցող կետերով:

1998.

Վաշվել »--ոտոչ ված է

1999.

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանափակ-

-3 -5 աբսցիսներունեցող կետերով: նչ

Վաշվել »-1-յոշօտջչ»

-5 աբսցիսներունեցող կետերով:

փակված է «-0ն» 2000.

Վաշվել

ՖՀՎԼ-յ՛

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանա-

ԷՅրՏյոյւ

մանափակվածէ «-0Օեչ 2001.

Հաշվել

ՖՀՎԼ-յ՛

կորի աղեղի երկարությունը, որը

աբսցիսներունեցող կետերով:

-թ

կորի աղեղի երկարությունը,

ԷՅ`օՇօՏ:

սահ-

որը

սահ-

մանափակվածէ «-0եչ«

աբսցիսներունեցող կետերով:

կորի աղեղի երկարությունը, որը »-1Ի-օտոտ-ՎԼՀ. սահմանափակված է «0 ն 7-3/4 աբսցիսներունեցող կետերով:

2002.

Վաշվել

2003.

Հաշվել »

-2:

ՏՏ

վածէ«Հ-0նչ«Հ 2004.

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանափակաբսցիսներունեցող կետերով:

-Բո-»

Հաշվել

պարաբոլի աղեղի երկարությունը, որը սահմա-

նափակված է «»»յ»0 2005.

Հաշվել է,-0եչ«Հ9

2006.

Վաշվել

»-շշ՝

Վաշվել

Հաշվել

նՀ-ոշ

Հաշվել ված է «ոջ

աբսցիսներունեցող կետերով: աբսցիսներունեցող կետերով:

ՀՀՎ2-»կորի աղեղի երկարությունը,

փակվածէ «--0 2009.

ն«Հ4

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանա-

ՃոօՏլոշ" կորի աղեղի երկարությունը,որը սահմանափակ-

ված է «--ո7 2008.

աբսցիսներունեցող կետերով:

կորի աղեղի երկարությունը, որը սահմանափակված

ք »-Հի:

փակվածէ «1 2007.

ն »1

ն «-1

որը

սահմանա-

աբսցիսներունեցող կետերով:

«241-627 կորի աղեղի երկարությունը,որը սահմանափակնՄ/Հոճծ4

աբսցիսներունեցող կետերով:

Հաշվել պարամետրական հավասարումներով տրված կորի երկարությունը 2010. «ՀՄ-ՏոՒք, »Հ1-605է, 0Հ/ՄՀ2Ճ7

46051,

2011.

2012.

"ՀՄՏՈՒ

2013.

«6-38,

2014. 2015. 2016.

ՀՇ

օՏՋու,

0Հ/ՒՀՉ/

ՏՎՈՒ-/օտ, ԸՇօտք, Հ

0ՀՄՀ2

»Հ4Ի,(«Հ0)

46051,

6-84,

ՕՋոէ,

0ՀՒՀՉ27

30(2՛ -Բ), ՕՀ0)

Շ0Տ/, ջՀ6

ՏՈՒ, 0ՀՄՀ7

Հաշվել տրված կորերով սահմանափակված պատկերն օ: քի շուրջը պտտելիս առաջացած մարմնի ծավալը: 2017.

Հաշվել այն մարմնիծավալը, որն առաջանում է

»«»-4ն

առանց-

»-0

կո-

րերով սահմանափակված պատկերիպտտումիցՕօ: առանցքիշուրջը: 2018.

Հաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է

2"ՀլնչաՀ4

գծերովսահմանափակված պատկերիպտտումիցՕմ առանցքիշուրջը:

2019.

Հաշվել այն մարմնիծավալը, որն առաջանումէ փ.,"Հ1նչՀ0 6: առանցքի շուրգծերով սահմանափակվածպատկերիպտտումից Հ

ջը: 2020. 2021.

2022.

Վաշվել այն մարմնիծավալը, որն առաջանումէ Վա ն ջ»-7- կորերով սահմանափակվածպատկերիպտտումից Օօ: առանցքիշուրջը: Հաշվել

այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է

2»

2»5-2»-3Հ-0 կորերովսահմանափակվածպատկերիպտտումից Օմ առանցքիշուրջը: Վաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է 67", :-1նե»-0 կորերով սահմանափակվածպատկերիպտտումից օչ առանցքի շուրջը:

2023.

Վաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է 7 Հ5:6", «-1ն պատկերիպտտումից Օօ: առանցքի » -0 կորերովսահմանափակված շուրջը:

2024.

Հաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է » 0

ջ»ա:-Հ",5-21ն

պատկերիպտտումից օչ կորերով սահմանափակված

առանցքի

շուրջը:

2025.

Հաշվել այն մարմնիծավալը, որն առաջանումէ

»--5,

ջչ-0նեչՀ2

կորերով սահմանափակվածպատկերիպտտումից Օմ առանցքիշուրջը:

2026.

Հաշվել այն մարմնիծավալը, որն 7-0

շի ՀՕ,

առաջանում է

կորերովսահմանափակվածպատկերիպտտումից 0:

2-1,

առանցքի

շուրջը: 2027.

Հաշվել այն մարմնիծավալը, որն առաջանում է

ջ՛

»-2,:2-0

-2:,

կորերով սահմանափակվածպատկերի պտտումից Օօառանցքիշուրջը. 2028.

Վաշվե

մարմնի ծավալը,

այն

»-ՃՏու,

(0Հ«Հտ)

որն

ՀՏլո՞ւ,

առաջանում է

կորերոով սահմանափակված պատկերի

պտտումից Օօ: առանցքիշուրջը: 2029.

Վաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է »Տոշ,

»-0,

|«ո«2)

կորերով սահմանափակվածպատկերի պտտումից

օա

առանցքի շուրջը: 2030.

ՎԱ",

Գաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է

կորերովսահմանափակվածպատկերիպտտումից 0:

»-0,

առանցքի

շուրջը: 2031.

բյու

Հաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է

»»-0,

Հօ

7Հ6,

կորերովսահմանափակվածպատկերիպտտումից օչ

առանցքիշուրջը:

2032.

Հաշվել այն մարմնի ծավալը, որն առաջանում է սահմանափակվածպատկերիպտտումից օչ

Հաշվել տրված կորն մակերնույթի մակերեսը: 2033.

,-Վ«,2Հ»Հ6

2035.(0

օ.

6),

0ՀաՀոշ

ՀԻ-»1 կորով զ

առանցքիշուրջը:

պտտելիս առաջացած

առանցքի շուրջ,

2034.

,»--,1Հ:«Հ2 Ճ

2036.

ՀԵՀ 1Ց652

2037.

Տու,

0Հ«Հտ

Հաշվել տրված կորն

2038.

օչ

2-27)

առանցքի շուրջը

,0Հա.Հճ.

պտտելիս առաջացած

մակերնույթի մակերեսը:

2059. 2040.

-46Շօտ),

ոռ."-փիջ-վ 2042.

.-Տոջ,

0Հ»Հ4

-.Տ»Տ0 3Հ»Հ4

0Հ»Տշ

Հաշվել անիսկական ինտեգրալը

2043.

Էք: 2045. բոս

2044.

2047.

ՍԱորՀ 2049. Էր-

2048.

2051. ԼԱԼ.

2052. փո

2053. բո««4

2054. վոր:

2055. մր"«05371.

2056.

ԷՏ 2046. րթ

Զ2050. Բ:

ԷՋ.

2057. ի ա.

-»

ՀԶ

"Հ 20.

իոդտոն

|54743

2061.

2063.

2058. յ

2062.

Էբ»

2068.

Կիրթ

ճ«.

էք

աար

|լ

|---օօ5--Ժ:

|Հ էե

յ աա,

2066.

2067.

2071.

2065.ո,

Աա: 2064.

Դ:

ՅԼՇԼք

Ճ.

--5

2072.

Ւր» ա.

յց

Փ.

յ, ո՛չ 2073.

(Տո

Բո: Բր"Հ

2077.

ոչ

բՎՏ 1076.

ոմ: Ի:

լոմ,

2079.

Էշ

2075.

2074.

չի: Դ1

2078.

«Հ

Շ0Տ2):: -օօտչմ

Ճ.

Ւրաա»

2080.ի

Անիսկական ինտեգրալը հետազոտել զուգամիտության տեսակետից յ

2081. ր

2082.

(020)

ՎԵ

բ: Ի2

2083.

2084.

յ 24.

ԲՐԻ

11 22:Հ»շ

աաըք»

2089.

|-----------ճ'

2088.

7Տ1Ո՛իր յ0Վ2Հ»:

2090.

2087.

աոա

Հ2-Տլո2»

2091. լ

ոչ

605: 23իւ |-------Ճ 3-1

Տո2չ

2092. իու" 2094.Տո»

Էրբ«

2095. :՛ ւվո-1 2097.

ուր

բրո:

յ Էջ լ

:Հ3 |--------ՃԵ

Ճ.

2093.

(ո»0

ՄԻՒՍ

31.77

(2,

2096.

ոէ) |--------ե'

ՒՐ-շ

2098.

ւի Ճ

լ -շՀ Տո 3» Մ

13)

ԳԼՈՒԽ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ

1. ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ

հ"

ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

(պՅԽ)::15Խ:5Խ--::Ճ.6

բազմությունը, որի

տար-

րերի գումարման ն իրականթվով բազմապատկման գործողություններըներ-

(22:

4:)Ւ Թ»):

(ոչ:

մուծված են

ՀՑ

24:)Հ(ԶՃ022::::104Ճղ)բանաձներով`

տարածություն է ն նշանակվում Է Բ":

չափանի գծային

| չթվաԺԻ»ԻԻ:

սահմանվում է 2"

-ի տարրինորմը: Ցանկացած 2,»

րի) համար |:-»Է

ՎԹ-»)Հ(ռ-))3--ՀՕո-)ո)

այդ

Ւ)Ֆըդ)ն

Իջ»22 Էշ:

Ք"

բանաձնով

կետերի (տարրե-

թիվը կոչվում

կետերի հեռավորություն: Սահմանում:

Տրված

Է"

«6

կետի ն Ք»0

թվի համար 5(օ:8)

Հ (6

8":|:2-ՕՀՔ)

բազմությունըկոչվում է . կենտրոնով ն Ք շառավղով բաց գունդ, այն անվանում են նան . կետի ք -- շրջակայք, կամ պարզապես` Օ. կետի գնդային շրջակայք:

Սահմանում:

Տրված

ճ6

Պ"

կետի

ճյ»0,

6,չ»0,..6Ք,»0

թվերի

համախմբությանհամար

Տ(6:

6:82»:

248)ՀԱՏ ՈՒ :|պ-զ ՀՔ» | -ճ

բազմությունը կոչվում է

Հճ":

Խ-ճ:

ՀՔ)

կետի ուղղանկյունշրջակայք:

Թեորեմ: Տրված «6 Մ" կետի ցանկացած գնդային շրջակայք պարունակում է այդ կետի ուղղանկյուն զուգահեռանիստ շրջակայք ն հանգունո. րեն կետի ցանկացած ուղղանկյուն զուգահեռանիստ շրջակայք պարունակումէ այդ կետի գնդային շրջակայք:

Ք"

բազմությունը կոչվում է սահմանափակ,եթե ՀՃ/ այնպիսին, որ 47Ծ/աՀ1/, կամ որ նույնն է 31/»0, որ 56 5(0:7/):

Դիցուք 7

Թ" որնէ բազմություն է, այդ դեպքում

կետը կոչվում է 24 բազմության ներքին կետ, եթե 77-ը

«2

ա)

պա-

րունակումէ ո, կետի որնէշրջակայք (գնդային կամ ուղղանկյուն), Մ" կետը կոչվում է 7

բազմությանխտացմանկետ (կուտակման կետի ցանկացածշրջակայք պարունակումէ կետ, սահմանայինկետ), եթե ռօ 4. բազմությանկետ, որը տարբեր է ճ -ից, գ) Ճ -ըկոչվում է բաց բազմություն, եթե նրա բոլոր կետերըներքին կետեր են, դ) 1 -ը կոչվում է փակ բազմություն, եթե այն պարունակումէ իր բոլոր խտացմանկետերը: բ)

Օ6

Տրված 4

Մ"

բազմության համար Թ"

14-ի լրացում:

2. Ք" -Ի ԿԵՏԵՐԻ

Սահմանում:

«Հ

Ք"

ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ

կետը կոչվում է քո,

հաջորդականությանսահման ն գրվում է հու, դեպքում ասում են նան,

147բազմությունը կոչվում

որ

ՀՕ,

ՍԱՀՄԱՆ

(որ, :.:ոՀՆ2:-3 եթե հռ| «, -օթ0:Այդ

զուգամիտում է « -ին, կամ չ.,-ը ձգտում է

«,-ը

Գ-ին:

(ե)

Թեորեմ: Որպեսզի 2-ի

կետային հաջորդականությունըզուգա-

միտի 4 -ին, անհրաժեշտէ ն բավարար Լո"

ձ,,

(1Հ12:-::)

պայմանը:

Թեորեմ: 27-ի ցանկացած (ո) սահմանափակկետային հաջորդակա-

նությունիցկարելի է անջատել զուգամետենթահաջորդականություն: Սահմանում:

Ք"-ի

կետային հաջորդականությունըկոչվում է

ֆունդամենտալ(ինքն իր մեջ զուգամետ), եթե Մճ»0 Մող»ԽՍ,Սե»ԽՀլա-յ Հճ:

Թեորեմ: Որպեսզի 8" -ի

ՀԽ

այնպիսին, որ

կետայինհաջորդականությունըլինի զու-

գամետ, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ այն լինի ֆունդամենտալ:

3. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Դիցուք /«ՇՔ",

Եթե Կ«օ

ՕԹ:

մեջ է դրված որոշակի/(2)

(պե:

ՍԱՀՄԱՆ

կետինհամնապատասխանության

::4:ո)6Ւ

թիվ,

ապա

ասում

են, որ

բազմությանվրա տրված է

7:47

փոփոխականիիրականարժեքֆունկցիա՝

ոչ

7-ը կոչվում է /Ր-ի որոշման տիրույթ, իսկ հ Հ(7/(Թ2):56 47)

ԾՏԻ:

բազմությունը` /՛-ի արժեքներիբազմություն: 4.

Ր:7-ԾՖ3

(Կոշի): Դիցուք «Շո",ՒՇՔ,

Սահմանում

նճօճ

Ո՞Ր կետը

բազմությանխտացմանկետ է: 5 թիվը կանվանենք7/(»)-ի սահման, երբ

7-»4

նո(ՀԵ,

նկգրենք

եթե Մճ»0,

0Հ2«-ՕՀծՀ|/Թ)-ԵՀճ: հո լլ 5) -Ֆ0շ

Հծ»0

հտ/()-ՀԵ

այնպիսին,որ ՄՇ

գրառումը երբեմն կգրենք

Մ(պ,շ»:::չ24դ)-Ե տեսքով, որտեղ «(ալ,62»::-չ6դ)-ը

բազմության

կետ է: խտացման

/«Շո",

(Հայնե): Դիցուք

Սահմանում

/:7-5)3)

ՒՇ,

ն 0օ6ի

կետը 7/7 բազմության խտացմանկետ է: ծ թիվը կանվանենք /(») -ի ման, երբ

(ւՀ

նկգրենք

ոռ/()Հծ.

եթե Կ()ՇԱՃ,Խ»տճնյ

սահԾԿ,

ոռ/02,)ՀԵ:

12:::2-»

Թեորեմ: Կոշիի ն Վայնեիսահմանումներըհամարժեքեն:

(/ՃԺՀ8՛)

Տրված /:4-»Ք

Սահմանում:

կետի համար հռ հռ 7(8չ2շ) ն

ֆունկցիայի ն շ-(զ.օ»)

հռ հռ 7(8լչ5չ)

սահմաններ: ՆՐ

սահմաններըկոչվում են

հաջորդական

Հաջորդական սահմանի գաղափարը հեշտությամբ ընդհանրացվումէ ցանկացած1:74

-»

է"

(14 Օ 8") ֆունկցիայիհամար:

4. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Սահմանում:

ֆունկցիան չ սին, որ Մ ն Մ

Դիցուք 7,

/Ո7-5Ւ,

ԻՒՇՔ,

կետում կոչվում է անընդհատ,եթե ՄՔ»0,

6 7, |2-:ՀծՅ//Թ)-7Ըգ)|Հ

բազմության խտացման կետ է,

է համարժեք Աւ7(22)Հ(յ)

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅՈՒՆԸ

ապա

պտտ: 3ծ»0

7/6) այնպի-

Բ: Մասնավորապես,եթե չյչ

կետում անընդհատությունը

հավասարությանը:

Եթե ֆունկցիան «, կետում անընդհատչէ,

ապա

այն չչ-ում կոչվում է

կոչվում է խզմանկետ:

խզվող,իսկ յ-ն

Ֆունկցիան, որն անընդհատէ իր որոշման տիրույթիյուրաքանչյուր կետում կանվանենքանընդհատֆունկցիա: Մեկ փոփոխականիանընդհատ ֆունկցիաներինվերաբերող տեղային (լոկալ) ն համապարփակ(գլոբալ) բնույթի շատ հատկություններ,որոնք ձնաբաժնում` գրեթեանփոփոխ կերպվածեն սույն խնդրագրքիհամապատասխան պահպանվումեն նան մի քանի փոփոխականիֆունկցիաների համար: Այդ մասինթեորեմը: շարքիցնշենք բարդ ֆունկցիայիանընդհատության

Թեորեմ: ո ՒԷՀ12:

ֆունկցիաներիցյուրաքանչյուրնանընդհատէ 7

ԱՆԱՆ)

մության

(ՄՇի",

/767-»(Փ(Ռ:Փ.(-:::24(0)6 42: Այծդ դեպքում,

(ՀԼ2.-:::»)

օ.օ

7:27-Ծ58տ, Հ Շի"), Փ.:7-5հ,

Դիցուք

(.(2ո):9.(.-:559,(0))

կետում, կետում,

իսկ

7/(ո)-ը

բազ-

անընդատ

7(պ(Դ:Փչ(83:::::9,(0)

ապա

եթե է

բարդ

ֆունկցիանանընդհատ է 7. կետում:

5. ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՄԱՍՆԱԿԻ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ

Դիցուք

77Շ

Մ"

Տ(ԹածՀ:

ծ»0,

"61,

/:24-»8, (աւ).

բազմությունը բաց է

լ.«(շ-Փ»ծ)),

Աե

Փա)

(անր

որ),

1ՀՄՀ:

Փ(.) Սահմանում:

մեկ փոփոխականիֆունկցիայի

Փ՛(2")1ՀՄՀԴ

վերջավորածանցյալը, եթե այն գոյություն ունի, կոչվում է «Հ-7/() ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալ ս, կետում` ըստ « փոփոխականին է` նշանակվում

Եթե

ս»

7(,), 7/6ջ) ՏՏ, Ցու մայոժ,

ունի ածանցյալ

ֆունկցիան ըստ ։, 1ՀՒՀա)

ԱՏՀ»)

փոփոխականիմասնակի

բազմությանբոլոր կետերում,ապա

խականի ֆունկցիայի մասնակիածանցյալնյ կոչվում է /(»)-ի

նայն:

7, 27-՞»8

կետում ըստ յ

փոփո-

փոփոխականի

երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալ «չ կե135

տում`

ըստ

«, փոփոխականներին նշանակվում է`

97(:.,:3,:::85)

ո ժ-,

7/0)

(Կ).

այլն: Եթե մասնավորապես յ -1,

1" 7:

97(«) ծւժ:, Ժեժո, ս

ապա օգտագործվումեն նան

(2) նայլ նշանակումներ:

ձնով սահմանվումեն նան ավելի բարձր կարգի մասնակիածանցյալները: Տրված կետում բարձր կարգի մասնակի ածանցյալի արժեքը կախված չէ տարբեր փոփոխականներինկատմամբածանցմանհերթականությունից, եթե օրինակ,ստացվածխառնածանցյալներըանընդհատեն այդ կետում: Նման

6. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ԼՐԻՎ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ:

ԲԱՐՁՐ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼՆԵՐ

Դիցուք Ր:42-»8

Սահմանում:

"67

(Խ,:::55)

ց. կետում,

ՀՃց:

Կասենք, որ /(չ)

եթե գոյություն ունեն

ռ6. 1)

ճ(9,6209»:::չ20:) այնպիսիք,որ Մ

7ՕՇփ",

41,.1,,:::,4,,

Ճ-

բաց

բազմություն է,

ֆունկցիան դիֆերենցելի է թվեր

2ջ-ում անընդհատ

անվերջ փոքր ֆունկցիաներ (երբ

-»2ց)

Օ Ճ -5:

424-»«Ի 4206-Ի 40-Ի -լ) 020302շ -չ) Է"""ի ՕՕ)06,, -ն)

7Թ-7/(ա)ՀԱՐ).

կամ որ միննույնն է

4252-4202

722-7(8)Հ որտեղ Ք -

-5)Ւ:Ի4,6,

ՎԸ- յ ԻՐ.- յ աէր

Եթե /(»)-ը

յ,

կետում դիֆերենցելի է,

-Հո)Ւ0(Թ,

-3ն յ ապա

նրա դիֆերենցիալ (լրիվ

դիֆերենցիալ, առաջին կարգի դիֆերենցիալ) »չ

4/(գ)Հ- 4

-«)Ի4Ճ26-Ց)ՀՅ

4.6,

-5:)

կետում կոչվում է

գծայինֆունկցիան:

ա) ֆունկցիայի դիֆերենցելիության անհրաժեշտ պայմանը: Թեորեմ: Եթե /:2-»

բազմության ս,

կետում,

(է հ") ֆունկցիան դիֆերենցելի է ՛ «Շ

ապա

այդ

կետում գոյություն

ունեն

բաց

մասնակի ածանցյալները, իսկ գ/(ռյ) դիֆերենցիալն ընդու-

(ՀՆ2,:::) նում է

4/(.)

Հ.

Ւ, (ա)2. ՒԷ

(գ)ժե

Փե, Գեղ մեծությունները կոչվում որոշվում են մ

(Հ

են

Ն2,::

0)ժել

տեսքը, որտեղ ժզ,

արգումենտներիդիֆերենցիալներ ն

ո) հավասարություններով:

բ) Ֆունկցիայի դիֆերենցելիության բավարար պայմանը:

(ՀՔ")

Թեորեմ: Եթե /:47»1 «.

կետի ինչ-որ շրջակայքում ունի

ածանցյալներ, որոնք անընդհատ են

ֆունկցիան 7

7/(),

յ,

բաց

բազմության

0ՀՆ2-ո)

կետում,

ապա

մասնակի ֆունկցիան յ

կետումդիֆերենցելի է: գ) 7(2)

ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը ո. կետում

սահ-

մանվում է որպես նրա 4/(»«) առաջին կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալ ճ.

կետում, 4/(»)

-ն

ընդունելովորպես յ, «շ,:::,42,

փոփոխականների ֆունկ-

ցիա, հաստատագրելով(ֆիքսելով) Ճո,4..,-::,2:, մեծությունները: Համանման

ները:

ձնով սահմանվումեն ֆունկցիայի ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալ-

7. ԲԱՐԴ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

ՄԱՍՆԱԿԻ ԱԾԱՆՑՅԱԼՆԵՐ

ԵՎ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼՆԵՐ

Թեորեմ: Եթե

մասնակիածանցյալներ 4 ճՀՆԶ,---ոդ

ֆունկցիան ունի Շ

Ք"

բաց

0ՀՆ2,::-ոդ

անընդհատ

բազմությանբոլոր կետերում,իսկ Փ(/)

ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրն ունի

990.

-1շ..

-"թ)

մասնակիածանցյալներ7՝ (ե

ապա 7`

89.150

բաց

բազմությանբոլոր կետերում,ընդ որում՝ 59ո0 անբ 5ն))ի6

Ր(ԺԱ.ե.""

բազմությանբոլոր կետերումգոյությունունեն «Հ

7(.0ե.-Ն)Փ.( Ա")

59,(.ն.ո58))

ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները,որոնք որոշվում բանաձներով` բարդ

Ց ուծ 9ռ.. ՓԽ ժ. օպ ժ, ժշ ժե

Փո

ծւ:, գ

են

հետնյալ

-12..թ): (Էէ

Եթե, բացի թեորեմում նշված պայմաններից

(«ՀՆ2,:::ք, «600 ՛

ԼՀՆԽ2,-:: բարդ

մասնակի ածանցյալները

ֆունկցիան 7

ՀՑ

ծոռ

-ում

Ճ.. տեսքը,

ՎՋՆՔՀՎ-ՎՑԸ

ծ... ժշ

քը, սակայն այստեղ սակայն այստեղ:

Դիցուք 2-/(չ,») Հ

ապա

դիֆերենցելի է, ն նրա դիֆերենցիալը պահպանումէ

ՏՐՎԱԾ ՈՒՂՂՈՒԹՅԱՄԲ:

8. ԱԾԱՆՑՅԱԼ

անընդհատ են 7 -ում,

նան

ԳՐԱԴԻԵՆՏ

ֆունկցիան որոշված է Ք.

(չ»Ֆց) կետը Թ-ի ներքին կետ է, իսկ

բազմության վրա,

(ճլչ4չ)-ը միավոր վեկտոր է:

Ք՛ հարթությանմեջ Խ, սկիզբ ն . վեկտորիուղղություն ունեցող ճառագայթը կարելի է

տալ

«ՀՀՀ,

ԷՒ4չ

Հ)

(10: »))

պարամետրական

հավասարումներիմիջոցով: Սահմանում: 7(2.») ֆունկցիայի Ճ վեկտորի ուղղությամբ ածանցյալ

Խ Հ(չ)Ֆը)

կետումկոչվում է հետնյալսահմանը,եթե այն գոյություն ունի`

9/(5::)»)

օ0Զ

Ասում են նան,

թե

իղ

70. Գլ:

(30

9/(25:30) -ն

ըԴ18)-/0::3).) /

4-ի ուղղությամբ / ֆունկցիայի փոփո-

խությանարագություննէ 7, կետում: Եթե 4

միավոր վեկտորն ունի տրված ( ճառագայթի ուղղությունը, ապա «Ձ վեկտորիուղղությամբ ածանցյալ»-ի փոխարեն ընդունված է նան ասել « ճառագայթիուղղությամբածանցյալ»: Թեորեմ: Եթե 2 /(.,») ֆունկցիան դիֆերենցելի է 7, Հ(»ց:»ց) ներՀ

քին կետում, ապա այդ կետում ցանկացած Ձ միավոր վեկտորի ուղղությամբ

-ն

ունի ածանցյալ ն

9/(2:)»)

ԸՐԱ»):

.05:3:)-6շ:

է 5 -(7/«0ո:)0:7:0օ:5))վեկտորն անվանել յ՛

Ընդունված

ցիայի գրադիենտ (4:»)

կետում

դիենտի սահմանումը,կարելի է գրել`

/(2:)9)): (ջոոժ

ֆունկ-

Օգտագործելով գրա-

9/(4::3.)

2:6-|Ք|օօ:«(8.4):

Այս հավասարությունից հետնում

4-ի ուղղությամբ ածանցյալը գրադիենտիուղղությունը: Ասփոփոխականիֆունկցիաների

է, որ

կնդունիմեծագույն արժեք, եթե 4-ն ունենա վածը հեշտությամբ տարածվում է նան ,, վրա, երբ

»2:

9. ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

Դիցուք 2Հ7/(2,») իսկ 7,

ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄ

բազմությանվրա,

(25օ:)օ)-ն 9-ի ներքին կետ է:

հ, Հ(ձցչՖց) կետը կոչվում է (2,

Սահմանում:

Հմշ)

) Հ (Ի)

ֆունկցիայի

այնպիսին, որ ՄՔՃ 5(5:ծ)Հ»

մաքսիմումի(մինիմումի) կետ, եթե 1ծ»0

ֆունկցիան որոշված է 2.

(համճապատասխանաբար /(Ք)Հ

7/()):

Մաքսիմումի ն մի-

նիմումի կետերը կոչվում են էքստրեմումի կետեր (տեղային էքստրեմումի ' եւոեր):

մահմանում: կետը կոչվումէ ԽՀ(Ճ:)ց)

/ (2, ») ֆունկցիայիստացիո-

նար կետ, եթե այդ կետում /՛-ը դիֆերենցելիէ ն

Ի(2)Հյ(2)Հ0։ ա) էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը: ֆունկցիան հ, Հ(Ճ:»չ)

Թեորեմ: Եթե 7/(չ,»)

էքստրեմումի կետում

ունի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ,ապա ք, -ն ստացիոնարկետ Ի

(2)Հ7.)Հ0: բ) էքստրեմումի բավարար պայմանը:

ստացիոնարկետի ֆունկցիան 1 -(29:9) Թեորեմ: Դիցուք /(2,չ) ինչ-որ շրջակայքում ունի երկրորդ կարգի անընդհատմասնակի ածանցյալ-

ներ:Նշանակենք

Այդ դեպքում Եթե Ճ»0,

-7:(5)-7:(2)-(7:0)): ապա

Խ կետում /

որում, մաքսիմում՝ դեպքում:

-ն

ունի տեղայինէքստրեմում, ընդ

7:(25)Հ0դեպքում ն

մինիմում՝

7:(62)»0

Եթե ՃՀՕ,

ապա

7.-ն էքստրեմումիկետ չէ: Ք"

Բերված սահմանումները ն պնդումներնընդհանրացվում են նան տարածություններում,երբ »2:

10. ՀԱՐԱԲԵՐԱԿԱՆ ԷՔՍՏՐԵՄՈՒՄ

(74ՕՈ") -527Խ.)-0էՀՆՉյ,

Դիցուք տրված են /:27-»

Փ,(Կ:

ֆունկցիան, չո

(Հոջ

հավասարումների(կապի հավասարումներ)համակարգը ն ը

«(ա.-ւա)

բազմության

ներքին կետը, որը բավարարում է կապի հավասարում-

ներին: Սահմանում:

յ-ն

Կասենք, որ

/ ֆունկցիայի հարաբերական(պայմա-

նական) մինիմումի կետ է, եթե չ, կետի որնէ շրջակայքի բոլոր այն

կետե-

րի համար, որոնք բավարարում են կապի հավասարումներին,ճշմարիտ է

7(2)Հ5 7( յ)

անհավասարումը:Նման ձեով սահմանվում է

նան

հարաբերա-

կան մաքսիմումիգաղափարը: Հարաբերականէքստրեմումիլուծման խնդիրըհաճախհանգեցվում է

Էդո:

4.4:54/)Հ 76)

Ֆ41Փ.0 Է-|

րո)

Լագրանժի ֆունկցիայի սովորականէքստրեմումիհետազոտմանը՝

4. փոփոխականներըկոչվում են Լագրանժի բազմապատկիչներ: ա) Հարաբերական էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմաններն արտահայտվում են

ՓԼ(2)

ծ.

Փ,(2)-0,

Լ2,:

ՀՆ2.-:-,ո

հավասարումներիհամակարգով, որոնցից որոշվում

են

/.,4չ,-::,4,

ան-

հայտները ն հարաբերականէքստրեմումիհավակնող լ, 5.,:::,2,, կետերը: բ) Վարաբերական էքստրեմումիբավարարպայմանները: Ենթադրենք 2չ-ն /(«) ֆունկցիայի համար հարաբերականէքստրե-

մումի հավակնող կետ է (է

Խ2,:::7)

ն այդ

կետի ինչ-որ շրջակայքում /(«)

Փ,02)

ֆունկցիաներն ունեն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալ-

ներ, որոնք անընդհատեն «, կետում: Այդ դեպքում /(«)

ֆունկցիան », կե-

ունի հարաբերական մաքսիմում (մինիմում), եթե 7-ի երկրորդ դիֆերենցիալը` 4" 1()Հ0 Փղ,Ժ".:-",4, փոփոխականնետում

(4105)»0)

րիյուրաքանչյուր համախմբությանհամար, որը բավարարումէ

(ԷՀՆշ,-.),

Տ-ՑՓԵԸԿ)

ծ»,

Հլ»

11. ՄԻ ՔԱՆԻ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ

7-1

յՀ

պայմաններին:

էԼԱՍՏԻԿՈՒԹՅՈՒՆ

Դիցուք 2Հ7/(5,») ք, ն

Հ(:)օ)

4,2

ֆունկցիան տրված է

կետը 2-ի ներքինկետ է, իսկ Ճ,2

7/(չ)օ

Ց)-7/(0::3,)-ն

Սահմանում:

7(չ».») նկատմամճբ` կոչվում է

7 (5)

Ք-՛ բազմությունում,

ԹՇ Գ

Ճ:)9)-7Օ.:)գ)-ն

ֆունկցիայիմասնակիաճերնեն:

ֆունկցիայի էլաստիկության թ,

բաշ

եոտի

Ճ.2

Ճ'

սահմանը,իսկ /-ի էլաստիկությաննույն կետում -ի

Բասօ-

| թղ ԷՒ-Ֆ .

կետում »-ի

նկատմամբ`

րոծ| Ճ.2 շ

սահմանը: Մեկ փոփոխականիֆունկցիայի էլաստիկությանըվերաբերողբ), գ) ն դ) հատկություններնայստեղ պահպանվումեն անփոփոխ,իսկ զ) հատկության գրելաձնըբարդանում է:

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

Բոլոր պնդումներըկձեակերպենքն կապացուցենք թ: տարածության համար: 1. Ապացուցել, որ 4/(2,:7,) զուգամետ կետային հա(ոՀՆ2,::) ջորդականությունը սահմանափակ է: Հակառակը ճիշտ չէ: Բերել համապատասխան օրինակ: Ճ.--Ենթադրենք հռ 1/, /չ: Ըստ սահմանման դա նշանակում է, որ Հ

հռ

2(1/,:11/)-0,

որտեղ

Թ(1/:51)-ով

նշանակել ենք 4/,

կետերիմիջն եղած հեռավորությունը: Որպես զուգամետ թվային հաջորդասահմանափակէ: Նշանակում է գոյուկանությանԶ(1/,:41.)-ն (ոՅՆ2,--)

2(41Ր:21)Տզ,(ո-Ն2,::3:

թյուն ունի ճ »-0Օ այնպիսին, որ

Մյուս կող-

մից, ըստ եռանկյանանհավասարության`

Ք(0:11.)Հ 2(0:4/) (41:11).

նշանակելով

(41,) -ը

«ՀԿՀՔ(014/)),

(՛ՀՆ2,::5

թ(0:74/,)ՀՀ,

կունենանք

(ոՀ-Ն2,-:3

սահմանափակէ:

Հակառակըճիշտ չէ: Օրինակը բերելու համար ապացուցենք հետնյալ պնդումը՝ Որպեսզի 4/,(2,:),) գամիտի14/7 (2շ:)

կետային հաջորդականությունըզու-

(ոՀՆ2,չ::Դ

կետին,անհրաժեշտէ ն բավարար,որ

նո,

Դ-5«օ

հոյՀ)յչ:

Հա,

Դ-՞«օ

Անհրաժեշտությունըբխում է հետնյալ անհավասարություններիցն երեք հաջորդականություններիվերաբերյալթեորեմից:

0Հի, -"|ՀՎՇ-»0.-)) 0Հ), -)վ|ՏՎՕՇ, -չյ)

ՒՕ,

ն1)

(1:

-)չ)- թ(1(,:811)

(ո

ՀՆ2,::3

Բավարարությունըհետնում է հետնյալ անհավասարությունից 0Հ

(41:11)-ՎՕ-»«Հ(Օ.-)յ)

ո-ի,

(Հ-Ն2,-:3

(անհավասարությունըհիմնավորելուհամար, բավական է երկու մասն էլ քառակուսիբարձրացնել: Պնդումն ապացուցվեց: Ապացուցենքնեսմեկ օժանդակպնդում, որի հիմնավորումըբխում է վերը բերված անհավասարություններից՝: Որպեսզի 17/,(5,:»,)) (ւՀՆ2,-::)

կետային հաջորդականությունըլի-

նի սահմանափակ,անհրաժեշտ է ն բավարար, որ սահմանափակլինեն

եՎ),

(ՀՆ2,--)

թվայինհաջորդականությունները:

Իրոք` անհրաժեշտությունըհետնում է 0Հ

1, ՀԵՀ».

)ո

0Տ.ԽԱՀՏՎԵԺջ:

(ւՀ

,2,::3

անհավասարություններից, բավարարությունը

ք(11:0)-Վա Հ): անհավասարությունից:

ո|։

(«՛ՀՆ2,::5

(ե)

Այժմբերենք հակառակօրինակը:Վերցնենք7/,

ոթ") լ

ն.

(ո

Ն2,::5

կետայինհաջորդականությունը:Այն սահմանափակհաջորդականությունէ,

բ լ

որովհետնայդպիսինեն

Ցույց

բաց

Ն2,--)

-Ցույց

տանք,

5(4/::8)

որ

տեր են: Վերցնենք որնէ 1/՛-

տանք,

ցույց

չէ, որովհետե տարամետ չէ

բազմության բոլոր կետերը ներքին կե-

5(1/::8):

Նշանակենք Ք՛

Դիցուք Ճ/-ը 5(1/:8՛) Շ 5Տ(4/1:86):

որ

«176ք՛ 2011: ՆՌ Հճյ բազմությունը

5(1/:8)

բազմություն է: ձ

թվային հաջորդակա-

թվայինհաջորդականությունը:

որ

տալ,

(ոՀՆ2,::

Վ7/,)-ը զուգամետ

նությունները: Սակայն

Ը»,

(-5Դ.

ն.

Բ- 2(1/::1Ր)

կամայական կետ է ն

5(1/՛: Բ) : Օգտվելով եռանկյանանհավասարությունիցկստանանք

ԽՌթ(11: 81):ք:

21: Հ

Հ ՔԱ :11-Է6՛Հ ՈՌ

Թ(Ն(::1(-:-:6-2(11::81)»8

Այնպես, որ թ(Ն/չ: Ն)

ՀՔ,

որտեղից հետնում

5(1/9:6): Ար-

է, որ 7/6

դյունքում ստացվեց, որ Տ(7/9:8) բազմությանցանկացած74/՛ կետի համար գոյություն

ունիհ

5(4/:8) Հ Տ(1::6):

5(4Ր:8)

կետի

այդ

Իսկ

նշանակում է,

դա

այնպիսին,

շրջակայք որ

5(1/9:8)-ը

բաց

որ

բազմու-

թյուն է:

Դիցուք ՇՕ,(Ժ64)

ՕՀ

ՍՕ,

Օ:4

բաց

Վերցնենք որնէ 4/6 որ

Օ,

շրջակայք

5(11:8)ՕՕ:

բազմություն է Բշ -ում:

Ապացուցել,

որ

բազմություն է:

ՆՈՀ Օշ,: Քանի 5(4/:8)

բաց

Օ:

-ն բաց

Գոյություն ունի .շ:

այնպիսին,

որ

բազմություն է, գոյություն ունի Ճ/, կետի

այնպիսին,

որ

Այսպիսով ստացանք, որ ՝

25(4Ճ1:8)ՇՇ,:

Առավել

նս

բազմությանյուրաքանչյուր 7/

կետ ներքին կետ է: ՎետնաբարՕ բազմությունըբաց բազմություն է:

ցանկացած բազմությամբ փակ բազմությունների հատումը փակ բազմություն է Ք՛ -ում: Ճ Դիտողություն: Եթե ,4 Շ Ց, ապա սահմանային կետի սահմանումից հետնում է, որ ,4-ի յուրաքանչյուր սահմանայինկետ սահմանային կետ է նան 8 -ի համար: Նշանակենք 1-՞ Ո 1,, որտեղ 1՞,-երըփակբազմություններեն Բ՛ -ում: Ապացուցել,

որ

Օօ

Դիցուք Ճ/.-ն սահմանային կետ է 1՞-ի համար: Քանի

0.6

որ

ապա

4/6

ԲՐՇԲԻ,,

-ն սահմանայինկետ է յուրաքանչյուր 1",-ի համար ն քանի 14/2

1", (Ժ6 4) փակ բազմություններ են,

բար

որ

ապա

1/6 3, (Ժ6 4):

Հետնա-

Բ:

Այս նույն խնդիրը կարելի է լուծել մեկ այլ եղանակով, օգտվելով նախորդ խնդրի արդյունքիցն երկակիությանբանաձնից՝ ,

Ը.ո)-Ս». (որտեղ Բ՛-ը է՞,-ի լրացումն է մինչն Թ: տարածությունը) ն հետնյալ պնդումից: Որպեսզի 1՞ բազմությունը Թ՛-ում լինի փակ, անհրաժեշտ է ն բավարար, որ նրա լրացումը լինի բաց: Նախ ապացուցենքերկակիությանբանաձնը:Նշանակենք

ենՇ-Ս

Օ64

Բ՛:

Ենթադրենք7/չ 6 ք": Այստեղից հետնում է,

կանում Ռ Ք, բազմությանը, որտեղից էլ կհետնի, Օօ

որ

/՞

-|Ո | Օ64

7/չ -ն չի

որ

պատ-

7/-ն չի պատկանի

որնէ ի, բազմությանը ն հետնաբար այն կպատկանիԻ, բազմությանը, առավել նս այն կպատկանի Օ-ին: Հետնում

է, որ

4/6

Ի,

ղից կհետնի, որ 7/6

որնէ 6.

Ո բ,

Հակառակը: Ենթադրենք 1/6 Օ:

4-ի համար: Հետնաբար4/7,6 ի,

Ո Բ,

հետնաբարայն կպատկանի

Որտե-

բազմու-

թյան լրացմանը,այսինքն` կպատկանի 1" -ին: Ստացվեց /"ՇՕՇնՕՇԲ, որտեղից կհետնի 1՞

Այժմապացուցենքպնդումը:

Անհրաժեշտությունը: Ենթադրենք 1-ը փակ Է 8՛ Օ-ի՛1ԲՀ իԻ՛ բազմությունը բաց է:

-ում:

Ցույց տանք, որ

Դիցուք Ճ/ 6 ՕՕ: Բ-ի փակությունից կհետնի, որ 7/,-ն չի կարող1"-ի համար սահմանային կետ լինել ն հետնաբար սահմանային կետ չլինելու

հատկությունիցկհետնի, որ գոյություն ունի 1/, կետի 5(119:8,) շրջակայք

այնպիսին,որը բացի գուցե 4Ճ/չկետից ոչ մի կետ չի պարունակում 7` մությունից: Եվ քանի որ

Ճ/չ-ն

որ

1/չ-ն էլ չի պատկանում 8-ին,

ապա

բազ-

ստացվեց,

-ն բաց բազմությունէ: -ի ներքին կետ է: ՎետնաբարՇՕ

Բավարարությունը: ԵնթադրենքՕ

-ն բաց է:

Ցույց տանք, որ 7՞ -ը փակ է:

Դիցուք 1/չ -ն որնէ սահմանայինկետ է 7 -ի համար:Քանի որ Օ -ն

7/:-ն

է, ապա

-ի համար ներքին կետ լինել չէր կարող, հակառակդեպքում

այն չէր լինի 7 -ի համար սահմանայինկետ: Հետնաբար 7/, կհետնի, որ 1/.

բաց

6 Օ:

Որտեղից Մ

1՞: Ի -ը փակ է:

Այժմ հեշտությամբկարող ենք լուծել Նշանակենք 7՞-

3» 4

խնդիրը:

Ո Բ,, որտեղ Բ, (.6

Օ64

բազմություններըփակ են ,

ի՛

-ում:

Ըստ

երկակիությանբանաձնի՝

»՛-|ՈԵ.-Ս Բ,: Քանի

Ի,

որ

ապացուցած պնդմանը վերը

(06.4)

փակ բազմություններ են,

բ.

4) կլինեն բաց բազմություններ Թ2»-ում ն հետնաբարըստ երրորդ

(06

ապա

խնդրի` բաց կլինի նրանց միավորում

ըստ

Ս Բ,

Բ՛ բազմությունը:Որտեղից Մ

էլ, ըստ պնդման,կհետնի,որ 7՞ -ը փակ է: 5.

Ապացուցել, 7`

որ

փակ բազմությանը պատկանող (Մ(,, (ո Հ1,2,:::

կետայինհաջորդականությանսահմանը Աս պատկանումէ Ճ

ԴիցուքԷր1(, ՀՆ/չ: Ենթադրենք հակառակը` 4/6

11.-ն |. )-ի սահմանն տնում

/՛ -ին:

65(41:8) ոՀո, է, որ

է, ապա

ՄՔ»0,

7": Քանի որ

Յոյ(ք) համար այնպիսին, որ

համար: (1) Ընդ որում 4/, » 7/.. (ւՀոյ):

4/,-ն Բ-ի համար սահմանային կետ

()-ից

հե-

է` իրեն չպատկանող:

Եկանքհակասության:Նշանակում է 4/ց-ն պատկանումէ7"-ին:

արդյոք

Օգտվելով սահմանի սահմանումից, պարզել` գոյություն ունի՞ տրված սահմանը:

ա)

Ճ-օգտվեն,

Կե") խոն)

(ոՀ Ն2,::)

անն

սահմանումից:

Հայնեի

սահմանի

Վերցնենք

կետայինհաջորդականություն-

ները: Ըստ կետայինն կոորդինատայինզուգամիտություններիհամարժեքության ունենք նու ոԾ-

Ըւյ

1/,՛

Սակայն

3.2

ո՞ր

Դ-Ֆօօ

Օ(0:0)

լո/1:2|-4

-1.աՀԱ2-Չ,

Ըւժ

հռոտք/

-Օ(0:0)..

որա

ղդ)

Ւ Տ--ՀՏ3(ՌՀՆԵԶ,"՝,

7 --:0 ո

/ -:0

հռ

դ-Ֆօօ

-Դ

յշ

5»

Քանի որ բ)

Ճ-

ֆունկցիան սահման չունի 0(0:0) կետում:

ապա

Վերցնենք 7/.

Էք ար)

(ո՛-Ն2,-:)

ոո

կետային հա-

ջորդականությունները:Երկու հաջորդականություններնէլ ձգտում են 0(0:0) կետին, սակայն

ՅՅ

0-2-բ-Ի0

բո /|1:0)-0 Ո

(ՌՀՆ2,: 5,

0»»-

111197

Դ ո

ՀՀ

Եշ

ո/(1:2: Ի: 11411

"5ֆունկցիան 0(0:0) 7.

Վաշվել սահմանը

ա) հռո

Ֆ»-Ծ.

բ)

»-»3-ի,

Հետնաբար

թյունից: Ունենք

»» 0ՀԼ----ո Իջ|

Գ)

(25 չջ:"""

2-3»-»-»0:Մյուս

կողմից

կոտո

39 նո3-9 ՅԺ 5

՞Ց (ոո:

ա:

օգտվենք

ապա

Ջո Ց

)

-) հո--7«20 Իջ Ֆ-Ֆ

ա) Եթե «-»0,

Ճ--

Տո(39).,

«9

բ)

կետում սահման չունի:

ՖԵՇՔ

ի ՄՀ)

ՏՏ-ի

ՀԵ՞»0) անհավասարու5

Ի)20

Որտեղիցկհետնի, որ

Է: Գ) Ճ-- ունենք

հռո:

Քանի

որ

Է»

ազմ

Ւ) 1. Չը

-հռիչ|թիդ)

Իջշ -վ-0, նռ|օօ5ի

ապա

Ի)

ունենք 1" տեսքի անորոշու-

3-50

»-»0: Օգտվելով մեկ փոփոխականիֆունկցիաների սահմաններին վերաբերվողհամապատասխան հատկություններից,կունենանք թյուն, երբ « -»0,

նո

Ճ-»0 Ֆ»-50

(665

Ի)

Սահմանըհաշվելիս իրենհամարժեք

թյո

Գջ1-| հու«օ5վ-

Հժ"

ՄՎյ1

Հրո

-6:

.-0

Ի") չեր Զ`

Վ»

| անվերջ փոքրը փոխարինեցինք (1-օօ5փ» Ի

Իջ")անվերջփոքրով: 26»

Վաշվել հաջորդականսահմանները 2.2

«րո

կոռնո-ւ-7--5-50 յ Ֆ Հ(Ո-))

«-50

2.2

Հկո0Հ0 5-50

-Հհո0Հ հնոնո-Ը---շ-կո-չ Ֆ-50 7 ) «(2.-ջ) Ֆ-»0)7 Ֆ-50

«50

Հետազոտել հաջորդականն կրկնակի սահմաններիգոյության տեսակետից

հո. 5-50

հո

Ճ-50

Քանի

ոռ Ֆ-3 ԼՈ.

որ

Տլո--

)

ջ)Ջո--Տո--

հոտո «-50

իդ:

ԻպՋո-

1-50

լ )

գոյություն չունի, հետնաբարհաջորդականսահման

գոյություն չունի: նման դատողություններովկտեսնենք, որ գոյություն չունի հռ

Ֆ-50

նոնոՀ))տո՞ւցու1

«-50

)

հաջորդական սահմանը:Հիմա հաշվենք կրկնակի

որովհետն («Հ սահմանըհ̀ոնԷջ)տո-տո---0,

րա

իսկ

)

անվերջ փոքր է,

»)-ը

սահմանափակեն, հետնաբարարտադրյալը Ցո--ըն Ցո-ւ-ը

)

փոքր է: Այսինքնհաջորդականսահմաններըգոյություն չունեն, կի սահման գոյություն ունի: 8.

Ելնելով

անընդհատության Կոշիի սահմանումից, ապացուցել

2-Դ)

ֆունկցիայի անընդհատությունը

Բավական է

ունի ծ(8)»0

Է)

3:.Է4»

կրկնա-

76:2)-31 Ճ --

բայց

անվերջ

ցույց

տալ, որ

ցանկացածք »0

թիվ այնպիսին, որ |«-4/:Հծ,

Հ Ք

(4:3) 74/

կետում:

թվի համար գոյություն

|»-3|ՀՓ պայմանից հետնի

անհավասարությունը,որտեղ /(4:3)-

շգ:

Դիտարկենքմեր ֆունկցիան 1/.(4,3) կետի

Տ(11..1)Հվ06)):խ-4ՀԼի-3/Հդ քառակուսի շրջակայքում ն

փորձենքգնահատել

այդ

շրջակայքի բոլոր

1-Ի) 32-44,

7/(25,») կետերի համար

արտահայտությունը:

Ունենք

տատ

24.

34»

24: 6-24» -75»-100)|

25|

24թ»--4»|

-24-16)Հ(24»- -24-9)-(75»-75:4)-(100»--100-

յ.

243» --4)| թ:31 75 Խ-4 100 9-3 Հի-4 թ«4 չե-3| 24 Թո-Հ4)| թոձ)| 3:-Հ4)| թոո4)|՝ Երբ Ճ/(»,») կետը պատկանում է Տ (11.,1.1)-ին

թ-4 .

լոր

թ:3 .

33:42

Հետնաբար

4».

17. թո 33:42

ե-Վեքնի-Վ-քԵ-3- ճւ) 24|`

Էշչե-3ՀԵ-4-Ք-3:(«504.էյ) Վերցնենք որնէ

ռոմ ք

ծ(8)-

ք6»0

թիվ ե

թիվը: Հենց որ

Ի) 25 3:24) 24 որ

թիվ վերցնենք

ի- 4/Հծ,ի- 3|Հծ(1)-ից կհետնի `

անհավասարությունը: Իսկ սա նշանակում է,

որպես ծ(8)»0

Հճ

7/(»«:)) ֆունկցիան անընդհատէ 1/(4:3)

տում: 9.

կե-

Վետազոտել 2.3

Ցո) 705»241-օ6502։

)

Ի»)

եթե՛0 Հ Ժ»՛ եթե-՛

Հ27

ֆունկցիան անընդհատության տեսակետից 0(0:0) կետում:

Դրա համար բավականէ պարզել. ա) գոյություն ունի՞ ֆունկցիայի վերջավորսահման (0:0) կետում: բ) Եթե գոյություն ունի, արդյո՞քայն հավասար է ֆունկցիայի արժեքին կետում: Է ջ-) անվերջ փոքր ֆունկցիանեՓոխարինելով Տլո(ո՞ջ:) ն 1--օօտ(5՛ Ճ

այդ

րը

իրենց համարժեք` 2»:

ԷՏ

վոն») Հ»)

նից): Քանի

որ

257.

«Տ(Թչ»յ) Ֆ-50

25: սՀ|

շե՛ Իջ՛ ի անվերջփոքրերով, կստանանք

կղ.

1-65

(օգտվեցինք

«ոռի 2:21 Յ»՛ |-« »

ոջ

Հ,

Է)

Էջ

ր,

«0

անհավասարությու-

ֆունկցիայի սահմանը (0:0) կետում հավասար է ֆունկցիայի Մ

արժեքինայդ կետում, ապա ֆունկցիանանընդհատէ այդ կետում: 10.

Ստուգել,

որ

/աՀ("Յ» ֆունկցիան ցանկացած

----Ծ--,

եթե»

եթե չ-՛

ԺԻ)Մ Է

ջ՛

ՀԾ. ուղղի վրա անընդհատ

է (0:0)

կետում,

սակայն որպես երկու փոփոխականի ֆունկցիա այն (0:0) կետում անընդհատ չէ: Ճ Վերցնենք (0:0) կետով անցնողորնէ` յ Լ»0) 1.., («6 (-:ԻՓ): ուղիղ ն ցույց տանք, որ ինչպիսին էլ լինի այդ ուղղի վրա գտնվող Հ

(Ծո),

(ոՀ-Ն2,--)

կետային հաջորդականությունը,որը ձգտում է

0(0:0) կետին, ֆունկցիայի արժեքներիհամապատասխանհաջորդականությունը ձգտում է Օ թվին: Եթե այս պայմանըտեղի ունի, ապա կասենք, որ 7(:ջ) ֆունկցիան ,» Ե ուղղի վրա անընդհատ է 0(0:0) կետում: Իրոք՝ -

Վերցնենք Մ.)

1/ (ե .

(ոՀՆ2,--:)

( ) ,)-Ծ 0(0:0):

հու յ (5, ն

0-ի ձգտող հաջորդականություն:

7(5,ք ո)

ա-ի

ո) Ա

Խ,)-հկո----Հ-0

ը, Ի:

ա.

51Ի

-երի ն -երի

առանցքներիվրայով ֆունկցիան (0:0) կետում ունի 0-ին

հավասարսահման, որովհետն (2.0)

ցանկացած»

Ե.

(0: ջ)

Վետեաբար ֆունկցիան

ուղղի վրա (0:0) կետում անընդհատէ: Սակայնայն որ-

պես երկու փոփոխականիֆունկցիա (0:0) կետում անընդհատչէ, որովհետն այդ կետում այն սահման չունի: Իրոք՝

աո) «Ա ն

ոռ

(ՀՆ2,-.)

ոռ

երկու կետայինհաջորդականություններըձգտում են (0:0) կետին,սակայն

այդ

11.

որ

ոտ

ֆունկցիան (0:0) կետում

սահման

:2-՞-շ

չունի: Հետենաբար

կետումանընդհատչէ: Գտնել

ֆունկցիայի Յոօէք3Ճ

Է). Ը5)-Հ» |

չշ

ծ:

առաջին ն երկրորդ կարգի

Չս ժ.գչ

-Ժ»ի"

խաւ». Փ

Փա

9.»

(2:22`

(ո Էջ")

Հ)» -2-

ժ:ժ: (ո»») 12.

Հ--"Հ.-ԸՐ5. ա |Հ-Ե-ու-1-5-:

նակի ածանցյալները:

«Ց

ՅԼ

Քանի այն

Ապացուցել,

-»

(2Յ»3).

Իւծ

էջ)

մաս-

ջ-տ

(0 Ի) յ

»Դ»'

9ս

-շ2օ

ժ»՛ (ոՀ

որ շ

7-ից

՛ Ի »՛ եթե

ո"

ֆունկցիան (0:0) կետում դիֆերենցելի չէ:

Ճ --

Ֆունկցիան անընդհատէ ամբողջ հարթությանվրա: (0:0) կետում անընդհատությունըհետնում է հետնյալ անհավասարությունիցն երկու միլիցիոներներիընդհանրացվածկանոնից`

Հ»

|.12:05:0)|

ինըԷ9»:| ` 12|2»:-0»|``

Մնացած կետերում ֆունկցիան անընդհատէ, որպես երկու անընդհատ ֆունկցիաներիհարաբերություն,որի հայտարարը 0 չէ: Ամբողջհարթության վրա գոյություն ունեն ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներնըստ ըստ 2-ի -ն ըստ -ի:Իրոք, եթե :՛ Է ջ՛ »0, ապա

Է9))-»2:8. 6. 185" (4 Ի9)7յ (47ԻՉ) յ

9 280

ժ:

որ

մանման՝

7(2:0) Հ 7/(0:ջ)50,

Ի9»՞յ

ապա

ժ/

-9)չ-)

(47

(4 Ի9»՛յ

9» Քանի

(45 Գ9ջ)-18»-2»

մասնակի ածանցյալի սահ-

ըստ

ժ/

բոր 3»:

--(0:0)---(0:0)Հ0 )

)

նկատենք, որ մասնակի ածանցյալներըորպես երկու փուիփոխականի ֆունկցիաներ անընդհատչեն (0:0) կետում: Իրոք տում:

են

22)

ոո

(՛՛ՀՆ2,:::):

չունի (0:0) կե-

(0:0) կետին,սակայն

Լո՞ո

9... հո.

ՑՅ

ՓԼ

որ

ո՞ տիդ-3|54)եա'դ "/

Ը)

ոո

կետային հաջորդականությունները,որոնք ձգտում

Հ-(11.)Հ ծ: Գ

ռո

ը սահման

Դրանում համոզվելու համար, բավական է վերցնել 7/,

Ճլ,

Օգտվելով դիֆերենցելիությանպայմանիհետեյալգրելաձնից՝

(59:)9)4Ճ» Օք -5 (ա:ջյյխւ:Ց Գ օ

ՃՐ(49:2).)

ֆ ճ»7 իկ Ա(Ճ:ձջ) -»0 երբ որտեղԾՀ-ՎԽ,

Ճ.-»0,

ձչ-»0,

կունե-

նանք`

Ճ.-:Ճ

4/(:0-ոգցոր

7 ձ)ձջ)ՎՃ.

«Ե:

եթե վերնիհավասարուցանկացած/Ճ., Ճչ աճերիհամար:Մասնավորապես, թյունումվերցնենք4Ճ) /Ճ:» 0, ապա կունենանք Հ

Ճ:՛ ::: Բ ԲԻ գո Հ9Ճ: որտեղից` Օ(Ճ::

Ճ:)Հ

13/2

2- 13 ,

խԽՀՕԱ(ՐԽ.ձջ)-ՃԽ-վ2 (ՃԵճ»)՝

չի ձգտում 0-ի, երբ /Ճ« -ը ձգտում է 0-ի:

որը

Եկանք հակասության:Նշանակում է ֆունկցիան դիֆերենցելի չէ (0:0) կետում: Բերված օրինակը ասում է այն մասին, որ ֆունկցիան դիֆերենցելիությանբավարարպայմանումմասնակի ածանցյալներիանընդհատության Մ պայմանը4/0(5.:»ց) կետումէականպայմանէ: 13.

Ստուգել, որ

այ

ս-ք'(«Գջ՛),

ֆունկցիան բավարարում է նշված հավասարմանը

9.42 ծ:

բյ ա)

)

սչշ", Ճ-

9»

"Թ,

Չո

--«31շ(1 5 257) Ի ջ)--------Հ-:27 «05

ժս

Յթ(2Իջ.------Հ-2 805) Հն 20122...2

04») -օտ(7Ի)յ)

սեԿ1:7ա

յՏՏ--Փ" Փ.

Հ-»--Հ",

605(2՛ Իջ)

ա 69կ

ԿԽ

(2՛ Հ ջ-)

2»Տ Կ

ծ»

ԱՅ .-1շ». ջ

6090 6-7)

Ի »-) ՇՕՏ-(»՞

Հր »

--ր« ջ

-շ» թ».

1 շ»--7 Հլ ՛

Դիցուք /-ըն

14.

Ստուգել, որ

ք -ն

երկու անգամ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են:

ալոեվո»

ֆունկցիան բավարարում է

)

5:2

-:0

հավասարմանը:

ԼՑ: «5«Ղ 0»

աակ Հարթակի 7/)

օօ.

Ց»նի

5/2

արադ ի:

ն:

տենիակիան)

անչա) ինչքան)

դ-ի եջ

օնյթժ-

»-1"Թե «2-5Ըի։« Հնար 2» 9941թ .94:.յ|վ2. ՑԻ իոլ: յի ԻԼ ն» ի: Ի »

»՞

0»

շԳԼ

ա ոն ԱրԻաշ 2»:

8).

ւ»

Ղ2)

15.

Վետազոտել ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումները

Գ) -3`ջ

սՀ: Ճ-

Գտնենք ֆունկցիայի ստացիոնարկետերը:

3.3) Հո

3-3: ծո 9»

ժ:

Ֆո-3.-0

ստացիոնարկետերեն: Գետազոտենքայդ նից: Ունենք`

74/(0:0)

Չս

9-ս

"»

ծ-՛

1Ո

ժ»ը

(4/Ռ- Է0Ո -55(08:52 թ»

Հաշվենք

շկ

շն

մի

կետերը 1/0: կետերըէքստրեմումիտեսանկյու-

որ

---6::---Հ-3ն--Հ-6 `

Լուծելով համակարգը` կստանանք,

ժ-ս

Շ3»50

ֆունկցիայի արժեքները

1/չ կետերում:

Ց:

6 9-5 6: 0)-

| օ| 9-ս

ժ:9»

(0.

--ԶՀ0

1Ո(0:0) կետը էքստրեմումիկետ չէ:

1:17-5» 520055 (2:ւո) 2.

մի

Հ6.6-9Հ27»0

1/1) 16.

կետը լոկալ մինիմումիկետ է: ս,

Գտնել ֆունկցիայի

տրված տիրույթում

«7-5

մեծագույն

Տ :0-6 շ

ՆՐ 0:13)կետը էքստրեմումի կետ է: Եվ քանի որ

»0,

ապա

-3:11Հ-1: ն

փոքրագույն արժեքները

-2»Ժ, ԾՀ|-:3թՎ-3:3):

Ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույնարժեքները 2 փակ, սահմանափակտիրույթում գտնելու համարվարվում ենք հետնյալ կերպ: ա) Գտնենք ս ֆունկցիայի ստացիոնարկետերը: բ) Հաշվենք ա ֆունկցիայի արժեքները այն ստացիոնարկետերում, որոնքպատկանումեն / տիրույթին: գ) Հաշվենք ս ֆունկցիայի մեծագույն տիրույթիեզրագծիվրա:

փոքրագույն արժեքները 9

թվերը: Այդ թվերից փոքրը կլինի տիրույթում: ֆունկցիայի փոքրագույն,մեծը` մեծագույնարժեքները ԾԹ դ) Բաղդատենք ստացված բոլոր

ս Վ) -2)չ: --Հ2աՀՀ -2:7

օս

Հ-»2

ժչ

ժ:

ՖՕ5Ի)»-2)Հ0 -2»-0.. -2:-0

շա) 2:77

:2»Ի25-2)-0

Լուծելով համակարգը,կստանանք,որ Ճ/(0:0),

Նքչ

ը»:

1/.(2:0)

կետերըստացիոնարկետեր են, ընդ որում

կանում են 9 տիրույթին:

ս(0:0)Հ0, Այժմ հաշվենք

ս(2:0)Հ0,

բոլոր

|3:3),

ՃՈ(0:2)

կետերըպատ-

5:2)--ք

ս(0:2)Հ0Ան

ֆունկցիայի փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները 0

տիրույթի եզրագծի վրա: Դրա համար գտնենք «(2:-3),

ս(3:)),

3:3),

Կ::)),

Լ3:3)

»6

|-3:3), սՕ:3),

ֆունկցիաների(որպես

մեկ փոփոխականիֆունկցիաներ) փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները համապատասխան միջակայքերում: Ի9:Ի6:5Հ155-3»2., ս(::-3)Հ -32 3:3)

ո-3

ս՛(5:-3)Հ15-62,

ս՛-0,

սԸ3-3)5-45-27--72,

ս0:-3)-45-27Հ-18,

-5.5.5.-յտ75,

ս(::3) ՀՅ:

95-62-37

Գ3չ,

ս՛Հ6283,

ս(Ա3:3)527-9518,

(Լ35-5

3:3|

ս՛»-0,չ-12 ս(3:3)

22149536,

Կ(-3:)Հ9»-3» Հ6»Հ155»-3»,»6ԼԷ3:3|. ս՛(-3:))Հ15-6»,

ս՛-0,

,-5

ս(-3:-3)Հ

-45-27Հ-12,

ս(-3:3)Հ27-9»18,

(3-5-5-5-ա»

-6»ՀՅ» Հ3,։, ս(3:2)Հ29»-3»

.»օԼ3:31,

ս՛(3::Հ6»33,

ս՛-0,

ս(:-3)-27-9Հ18,

ս(:3)Հ27-9Հ36,

»--շ

Ը-ո-3-3--5

Այսպիսով ս(:-3)

ֆունկցիայի փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները

Լ-3:3) հատվածում` համապատասխանաբար-72 ս(::3) -ինը՝

36, ս(-3:ջ)-ինը՝

18,75,

ն ն

18,775 թվերն են, վերջապես` ս(3:ջ)

ֆունկցիայի փոքրագույն ն մեծագույն արժեքները |--3.3|հատվածում՝ ն 36

Բաղդատելով -ի այս արժեքներըստացիոնարկետերում ճ ֆունկցիայիընդունածարժեքներիհետ, վերջնականապեսկստանանք. թվերն են:

Սոլո --/2

Աո

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը 2099.

«-«Հ-Վվ»

2101.

ս-ՎԱ-Հ Հվ» -1

2103.

«Հվ16-»7-»"

2102.

ո(-«- ջ)

2104.

ո(4-»- -ջ՛)

2106.ս

2105.

2107.

ԿՀՈ/Է--Հ--չ

2100.

րող

-առտոշ

2:2-

2108.

«ՅԵՏ» ճոծչո(1--) )

«ՀՎ

21.2

Է»

Ապացուցել|լթհԲ"-իկետային հաջորդականությունների

հատկությունները 2109.

Որպեսզի 1/,

ո) (աւյը",ւ-:

սահմանափակ,անհրաժեշտ է

լո"| (ւՀ

ող,ոճ

12:

-Ս4-չ7

-չ)

հետնյալ

կետային հաջորդականությունըլինի

բավարար, որ սահմանափակ լինեն

Մ) թվայինհաջորդականությունները:

2111.

Զուգամետկետային հաջորդականությունըսահմանափակէ: Հակառակը ճիշտ չէ: Բերել օրինակ: Զուգամետ հաջորդականությանսահմանըմիակն է:

2112.

Որպեսզի1/,

2110.

(որ: ո) կետայինհաջորդականությունըզուգամիտի 7/(4.,2».-:-:ո) կետին, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ տեղի ունենա

հետեյալ հավասարությունը՝

նռ" 2113.

Որպեսզի 71/.("ըր

Հ,

(ՀԷ2:---ո)

ո)

կետային հաջորդականությունը լինի

ֆունդամենտալ,անհրաժեշտ է 2114.

5». (ԷՇ 12:

ո,

Որպեսզի 1/.

(,ը":-- ո)

ոճ

բավարար,որ ֆունդամենտալ լինեն

Մ) թվայինհաջորդականությունները: կետային հաջորդականությունըլինի

զուգամետ, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ այն լինի ֆունդամենտալ: 2115.

Ցանկացածսահմանափակ41, («",77",:::2 ա) կետային հաջորդականությունից կարելի է անջատել զուգամետ ենթահաջորդականություն: Ապացույցըկատարել Թ՛ համար:

կետի ցանկացած գնդային շրջակայք պարունակում է 2116. ԽՈ(80:39:29)

ուղղանկյուն զուգահեռանիստշրջակայք ն հակառակը: բաց գունդը բաց բազմություն է: ո-- չափանի Ցանկացածթվով բաց բազմություններիմիավորումըբաց բազմությունէ: Վերջավորթվով բաց բազմությունների հատումըբաց բազմությունէ: Ցանկացած թվով փակբազմությունների հատումըփակ բազմություն է: Վերջավորթվով փակբազմություններիմիավորումըփակբազմությունէ:

2117. 2118. 2119. 2120. 2121.

փակ բազմությանը պատկանող 7/,

2122.

(աւարի

կետային

հաջորդականությանսահմանըես պատկանումէ Օ -ին: Որպեսզի Օ բազմությունը 2 -ում լինի փակ, անհրաժեշտէ րար, որ նրա լրացումը լինի բաց:

2123.

բավա-

ելնելով սահմանի Կոշիի սահմանումից` ապացուցել հավասարությունը

2124. հո

Հ»-1

2125.

»-5-1

Ֆ-2

2126. հու Հ2)2)-9 5-52 2128. հո(»2ջ")-10 3-31

ո .

2130.

Է Տ-3-2

Ե. 4Հ)

26): նռ------Հ--1

2127.նո(«--»-)5-1 Ե5-2

2129. հո(»-» Հ2:Ի»-3)»-6 Ֆ-52

2131.

Հ»շ

7:Էջ

Ի) նոՀ--23---2

ամ 2:53»

2132.

(-»)»15 հող

2133.

723. նո-----Հ--

ոոիո

Հետազոտել ֆունկցիայի սահմանի գոյությունը 1134.

2136.

1138.

1-2»-

262-3

ոչ 237.

2135.

հու-2---5Հ2»

հող--չ2-չ Գ)

2137.

կո

Գ» «50224:

"07

2.3ՆՎ

ԹԻՑ, կղ. ՀՅ "204: 5(»-2)

03:

36222-2.. Ի2(»-2) 3(«-1(»-2

»ռ-)

2139.

լո-2-5-փ) «02

նո--23-5 Ը. 2» Հ3(»-Մ՛

2140.

2142.

ոչ 42 Ւ)ՅԻ "5

2144.

նո-25--3: Հ»

241.

2.2

նո-,----52» .

2143.

ամ 2«-1:-(2Ի7՛

ՀԱ-))

նո

2145.

«50 նղ

2148.

2150.

Լո

2147.

յտու. ախ

Ըը

2149.

Ցո25

հո(չ՛ Հ»

---3-չ

«աոաԷջ

Հաշվել ֆունկցիայի սահմանը 2146.

կղ26-52-3099.

նո

Ւ):

Ի--ՋՏՀԹՅՏ

կող---Մ---3-ՎՅԹԻ9)

2151.

2152. կո-29.4: Է9)

կո---3-չ Էջ «ա

2153. կու ւ.

ՏՏԾ--7 («Հ»)

ՀոԼ-Չ :

Տո -

2154.

նղ

Իջ" «01-6օօՏվ Ջո(5-)

ԾՈ

2158.

Լոր

2157.

-1-6օօՏ.վՎ|»|

-------Յ------

յշ

«2

Ճ--

վոչ»

Տ.

նո

2163. նո(ոԻ

Ֆ-»Հ«օ

.-3

2164. նո|ջօ5 2»3)"իո»

Ը)

ոՀ | 1-օ65թ Տոլյոր թոլ նղ

Հեր

Ի)7).0 նո 02՛

Ֆ-50

2159.նո(1ԷՏո(29))"

թո)

2162.

«ա

2160.կո--2-7-չ .

րո |

բլ

վոԻ» 4-2

)

Գտնել (ճ:Ե) կետում 7(») ֆունկցիայի հաջորդական սահմանները

2165.

/(",))-ՏպՋո

2166.

7(.

2167.

72.5).2253»

2168.

/()--ՀԲՅ-

24-Ի)»

Հճ»: Ի»

4-0,ՖԵՀ0

ՏՅ:

Տո|չ|-Տո|չ»|

2169.

2170.

/(ա»)---.Փ-Ց

վ: Ի)

18»5`

մ)

/(ո,))Հ

2171.

զ-0,ԵՀ0

4-0,ԵՀՕ0

զ-0.,Ե-Հ» մ»0,

/(2,ջ) Հ|ԹՔ.( Իջ):

2172.

Ե»-»

զ».

Ի)

զ-օ,է-օ»

զՀ0,

ԵՀ-Հ«օօ

ճՀ1,ԵՀ0

Ելնելով անընդհատության Կոշիի սահմանումից`ապացուցել /(«,))

ֆունկցիայի անընդհատությունը 11

(4)

կետում

(:2)

2173.

/(Ճ,)Հ2

-57-:

Ն.

2174.

/(2,2)-»:

Է2»:

03:35

2175.

/(2,»)Հ2

Է»:

Ն1(2:2)

2176.

/()-Յ:

17.

7(.7-5 2» Ի,` Ի2չ

2178.

/(",»)Հ

2179.

(5,

մ.0:3)

4:-3)»

ութ

25-5»

»-Ճ

«Էջ

ե0:-2) 10 (-4,-2)

0:-2)

2180.

/(2,չ)

..109.,

Իջ

2181.

/0.-ՀԵՅ:Է)

ԽՈ(-Է-2)

է,

էւ0:-2)

2182.

/(.2)--ԸՑ-բ---»»»ս/(0,0)-0: Հետազոտել 7(2,))

ֆունկցիան անընդհատության տեսակետից

3.92

2183.

ՅՅ,

/(2,))Հ4յ3

ԵԸԼ-2)

եթե չԷ

«0

Ի)

եթե 7: Հ) --0

2184.

5.3

«ԵՅԻ ծ

2185.

(ՀՀ-Ը:

եթե

Տ»

Հ»

/(.))Հ-4»

0, 2»

ՀԻ 2187. 2188.

բի»

| 0,

«Էշ

Ի) եթե

:-՞ Էջ եթե

«0

չ՛ Է եթե

աո

»՛ Իջ"-0 եթե

0, 2186.

«՛ Էջ »-0 եթե

եթե» Է)

չ՛ Է» եթե

չ՞ Հ)" եթե

չ՛ Է, եթե

2189.

/(,»)Հ24

.-ջ »Ի)-

:՛ Հ եթե

2190.

/(2,))Հ

եթեչԻ)»»«0 թ »

՛ եթե »:355-Թ-, 42» 3:

2.2

/(.,»)ՀՀ:

3,Իջ

Ք.Իջ

եթե «՞Հ

Լ3»

2» ---Հ-5»

/(2,»)Հ135

/(»)»247

Տո(չ»)

հետ

Ի)"

2197.

/()ՀՎ

Հ)»

եթե ԷՖ)

չ՛ Հ ջ՛ եթե

Տո(»՞-»") եթե Վ «2

եթե:-Էջ՛ -0

Տո(չ՞ջ) ոՀ» 1,

չ՛ Հ ջ՛ եթե

2196. 7(»-

եթե 7-՛-Է)՛

2»

0, 2195.

-:0

՛ Հ )՛ -:0 եթե

2» 2194.

«0

եթե չոԷջ:

/(ջ)Հ4՛

-:0

.՛ Ի »՛ եթե

2193.

՛ Հ) «0 եթե

/(",)Հ42

ջ՛

7. -Է 2 «0 եթե

0, 2192.

չ՛ Հ եթե

Լ,

2191.

-:0

Ի)

չ-՛ Է եթե

«0

Տո(2)) 2198.

)ջ

/(2,)ՀՎ

եթե) »-:0

2199.

եթե) -0

Ցո»)Ի)»)՝

0 Հ եթե

/(:,»)Հ41-օ05(7

2200.

եթե շ.՛

Ցո) Ի)»)՝ Ցո») 0,

2202.

Տրվածէ

եթե 7-՛ -Է

-Հ1-օօ5(7 Իջ՞)`

(2)

»՛

)՛

Հ27 ,

Եդ

Հ2: չ

)՛

կետում

Ն/(0:0)

կետում

Հ2: »

»0

4/(0:0) կետում:

եթե»

51(0:0)

Է՛-0

եթե թ Հյ

/(,»)Հ427-Ի)»-

11(0,0) կետում

0 Հ :՛ Էջ եթե

եթե 7 -շք-չ

0 Հ) եթե

/(»)-41-օ080-

2201.

11:(0:0) կետում

Ապացուցել, որ ֆունկցիան » փոփոխականիցանկացածֆիքսված

ար-

ժեքի դեպքում որպես միայն չ փոփոխականիֆունկցիա անընդհատէ, 2-ի ցանկացած ֆիքսված արժեքի դեպքում որպես միայն չ» փոփոխականի

ֆունկցիա անընդհատ է, սակայն որպես երկու փոփոխականիֆունկցիա (0:0) կետում անընդհատչէ:

աշ 2203.

Ստուգել,

որ

7(5,»)Հ42:

ծեո Հ) եթե չ-՛

ջ՛

«0

ֆունկցիան ցանկա-

-:0

Ե. ուղղի վրա անընդհատէ

(0:0) կետում սակայն որպես երկու փոփոխականիֆունկցիա (0:0) կետում անընդհատչէ:

ցած ,

Գտնել ֆունկցիայի առաջին յալները

երկրորդ կարգի մասնակի ածանց-

2204.

Կ-»ջ-)»52

2205.

2206.

2207.

-.Վ2»43»

սԿ-: Է)»-3Ժ Հօ"

2208.

Հ.վ25--5»-

2209.

2210.

աՀ(2-»Հչ")

2212.

2214.

ս-ՀՀ3

ք (3: -4»-) )

2218.

ԱՓ-Ի)

2220.

ս-6

2222.

ոտլո---.

ՅՇէջ(ո թ)

2224.

2226.

աՀվոԻչ

սՀ(Տ՛»-2»')

2213.

ս-

ոո»)

2215.

Հոթ Ը

Տոչ

2211.

Հ.Վ2»՛-3)-

2216.

պՋոյջշԻ)յ"

«Հ

ժշ

ՀՓ"""

2217.

2219.

2221.

ս-ոխփԷ) |

2223.

ս-յուջ-

ոօէք

2225.

2227.

ԱՀ

ՅՐՇՇՕՏ(2-Ֆ)

ՓՐՒԻ Տ

2229.

2228. սՀպՋո|ոջ42՛)

1-5

|շ Է»Հ2)

ս «605

յ. (0:1)-ը, եթե 7(5,»)» 7.(0:1)-ըն

2230.

Հաշվել

2231.

Հաշվել 7 (12) -ըն

2232.

Հաշվել 7 (4)

2233.

Ճշմարի՞տէ արդյոք ա) /(2,Ֆ)

7.0:2)-ը,

7,(0:0)- 7,

ՅՇՏԼո

բ /ԸՆ»)24Վ

Ճ-)

7»

հիշ | ոլր2

Վտո3:2-97-

եթե /(",)Հ

-ը,

չ»:

եթե /(2,))Հ

օ" Տո(»)

(0: 0)

հավասարությունը,երբ

73)

«0

24:70

2234.

Գոյությո՞ւնունի արդյոք

7, (0: 0)

մասնակիածանցյալը,եթե

«ԹԻ

Ի" Ի) -0

Դիցուք Բ-ըն ջ-ն երկու անգամ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են: Գտնել ս ֆունկցիայի առաջին ն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները: 2235.

2237.

6-Ի

2239.

ս-

իո»

2238.

ԿՀ

/(:)):Ք25-))

2240.

ս-

ի:"

) 2241.

)

սՀ/ՕՀՀ-)չ) Ցույց

տալ,

(7 -)")

2236.

2242.

(Տո

2:6օօՏ))

հետնյալ ֆունկցիաները (0:0) կետում դիֆերենցելի

որ

չեն: 2243.

/(.»)-3ԹԾ

2245.

/(2,))Հ

2246.

/(2,)Հ«/2-չ|

2247.

2248.

2244.

վ" Հ» ՐԾ) 437Ի4»0,

ՀՑ

Ի»

/(.))Հ442

0, Ստուգել,

որ

1-Ի) մնա

2Ի)1-0 յ

21.2

Ի)

«0

2Ի)1-0

ֆունկցիայի բավարարում է նշված հավասարմանը

2249. ս-ո(ո չժ"), է66

/(.-6Յ»:

2--Ի--»-2

2250.

Հ1ո|6շԳՇ"

2251.

-1ո(2 -»"),

2252.

աի. )

»Փ

Ֆ)

9-2

ծ:

ՓսԿ

օս.

ծ.

ւնր.» ծ.

2256.ԿՀԵփԵՎՏՈՆ,

ոո ծ.

2257.

սք

2259.

ս ----օօ5(2-ջ),

2260.սՀՃՎՈԾ, 2261.

ս-Ջո՛կչ Հ»), » շ

աՀ»,

2263.

ոն. 9-ս ծ. ՛ Փ

Հ--7Հ-»0

73, ս

)

.2,94գ, 9»

օս

9»

5»

9ս

օս

9»

Փ»՛

ՅԼՇԷՔ--,

9»

ոխ նգ 9:

2262.

օս

3, :

՛ գ,

-----»-0

2258.սօ",

|2ՀԻ»՛-),

Է'

գն

2255.ս»:փջՅծ",

)

Յ:-

ո('.-.փ|,

2253.

ս-

ԼԼ «Փ ծ.

2254.

ծ.

ոն.

ս--շք-շ. Է» լ

--գ---

--ՅՀ--»0

օս

(

սո

2264.

)

Իջ

Յաշ

Շ:.-0

Փս

.ԿՀԵ-,

օս

իո"

2-6760Տ54»,

2266.

2267.

2-6

2268.

ԱՀՇ"

Փայցա ը 7.

6053»,

Ի)ջ-6Ր, Էջ-6-,

2ՀՀ-6

2270.

Ջոտծչ,

ԱՀ-6"Ջ

2269.

2271.

ս-Փ-ոլո -ջ"),

2272.

սոր"

Գջ'),

ՀԿՏՀ Ֆ) ա

ծս

Տ-2-2

5 թ ԶԷ

ւե ւյտոլը»

)

1ՎՀՀՃ'65",

22774.

շմ. 9:-՛ «Հշառլո-Ֆի

9:05

Փ.

2276.

ո(ա.-ծ)),

ԱՀ.:65

ԱՀ.

ԴՎ)ջ::"՞, -60ՏՈՆ,

9-ս Զոշ ՛

9-ս

Դր»

րկ ածա. Փ:

|330 9-ս

օգ,

օժ

:-2ս

ծս

ծ. Հա)

2273.

ԲՐԵԼ-0

Դիցուք /-ը

ջ-ն երկու անգամ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ ֆունկցիան բավարարում է նշված հավասարմանը: ն

Ստուգել,

որ

2278.

/(«-Օ)Հ

2279.

սՀՄԹԺՀ))Ի):902-)»)։

2280.

ԱՀԿ»

4»),

9-ս

ժ-ս

Յ-

չ9-ս ԱՆԱՆ:

)

ս-/1-

)

Փոս

ոթ»

Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը 1/(չ:ջ) ուղղության ս

2282.

ս",

2283.

կետում,

ո(«-4)),

2284.ս Հու

Ի)

Ջո(22Ի»),

2285.

2286.

-Շօ5(3:-2ջ),

2287.

Ն/(1:1) կետում որոշել

ըստ

տրված (

ա) 45` անկյուն:

Խ/(3:1) կետում որոշել

/(ո,ջ)-»-

այն ուղղության, որն -երի 2288.

ս.

մ)

ծս

Էշ-3ո 1/03:0), »|-Ճ Խ/(5:1), ո/|-2 Ճ/0Ա:1), |»ղ-4 ոճ) |շւղ-գո 22) ըաղ-Յո

2»-3»-,

2281.

են:

ֆունկցիայի ածանցյալը, ըստ

առանցքի հետ

բ) 90

կազմում է գ) 0` անկյուն

անկյուն:

/(2,») թ -3:-»-1

ֆունկցիայի ածանց-

յալն առաջին կոորդինատայինանկյան կիսորդիուղղությամբ: 2289.

Ճ/(1:2) կետում որոշել (ու) ըստ

2290.

ֆունկցիայի ածանցյալն

62(4:6) վեկտորի ուղղության:

1/(1:2) կետում որոշել 7(ո,ջ) ըստ

-3:»»-1 Հ

ոաջ)

ֆունկցիայի ածանցյալն

6(3:4) վեկտորիուղղության:

Հետազոտել ֆունկցիայի լոկալ էքստրեմումները ոՀ:

2291.

2293..Կ

Հ»

Հ(»-1

Իջ -3Ժ

(6-2-))

2295.

աՀ)

2297.

ս«(ԸՀ»Փ

2299.

ս-1-վԸ

2301.

Հյ,

Ի)

Հ)»

Իջ)

-2:Է)»

2292.

«Հ-Ի»

2294.

ԿՀ»

2296.

ս-2» Իջ -7 -2»-

2298.

ս-,ՀՀ-Հ--,(«»0,»»0)

Ի) -7

-2Ժ-ջ՛

2.)

Հօ"(827՛ -6թ 3)

2300.

2302.

«ՀԵՀ»

-4ոչ-10ո»

Գտնել ֆունկցիայի էքստրեմումները

2303.

Ի3)2-2-7ջ

2304.

ս-1-:5Հ2չ»-67-ջշ

2306.

ս-:«՛-ԵՀջ՛

2308.

2305.

-2՛

-2:,-4)՝

2307.

-2:Է2)-

2309.

ՀՒ)» -2:-ջ

2310.

սԱՀ»ԻՀԾՀ»Հ-ջՀ1

2311.

ոՀ:

Ի» -15թ

2312.

ս-«

2313.

ս-42-4»-2-ջշ

2315.

ԿՀ»

2317.

ԿՀ

2319.սՀ:

«2-32 -2)»-Հ10

2316.

ԿՀ»

ԻՀ)

-3.-6չ

2318.

աՀ

2320.սՀ:

Հճ

)Վ2:

2323.

ԿՀ)" -4ջշ.

-65ՀՏ

ս-ՅոՀ2թ-»-1

-2:-3»

Ի`

ԷՏ»

2314.

ԷՀ)

2321.

2322.

չշ Հ4.-Ի4)

Կ-:«վ-7

-Հ)ջՀ3:-2չՀ1

Է)»-2ու-18ո» Ի): -2յ

-4-2)-

-)ԻճՀ3

Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն ն փոքրագույն արժեքները 2324. 2325.

Հ3:.-2»-,

ԱՀ

փՀ-ջ-, ԿԱՀ 7-7

0ՕՀ|-12իլ2:3)

-2Ծ,

2326.

2327.

ԿՀ

2328.

ԿՀ:

2329.

սՀ«-2Ֆ-3,

2330.

Կ-«Է)ջ՛ -12:Հ16», Կ-:-»«Ի)ջ-,

2331. 2332. 2333.

2334.

օՀ-|0:2խ«|0:3|

Է) -3Ժ.,

-3-ՀԻ)»,

օԾ»|-:3)«Լ-3:3) ք

ՀԼ-2:1թլ13)

օԾ-ԼՀ4:3։«12:5)

0ՀաՀԼ, 0ՀչջՀ1-չ 2-Ի) Հ25

դրական թիվը տրոհել երեք դրական գումարելիների այնպես, որ նրանց արտադրայլը լինի մեծագույնը: Ճ դրական թիվը վերլուծել երեք դրական արտադրիչներիայնպես, որ նրանց խորանարդներիգումարըլինի փոքրագույնը:

Գտնել 2թ պլարագծովուղղանկյուն, որն իր կողմերից մեկի

շուրջը

պտտելիս առաջացնումէ մեծագույնծավալի գլան:

ԳԼՈՒԽ

ՄՍ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

Վավասարումըկոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում,եթե անհայտ ֆունկցիան հավասարմանմեջ մասնակցումէ նան ածանցյալի նշանի տակ: Եթե որոնելի ֆունկցիան մեկ փոփոխականիէ` չ (5), ապա հավասաՍահմանում:

րումը կոչվում է սովորականդիֆերենցիալ հավասարում: Դիֆերենցիալհավասարումըկոչվում է 7-րդ կարգի, եթե հավասարմանմեջ մասնակցող անհայտ ֆունկցիայի ամենաբարձրկարգի ածանցյալը 7-րդ կարգիէ: Այն ընդհանուր տեսքով գրվում է Սահմանում:

ԻՐ: տեսքով, որտեղ 7-(դ,Ռ։:::նյ)-ը ՕՀ իսկ

»(2)-ը որոնելիֆունկցիան է ն

)Հ0, Պ"" տիրույթում տրված ֆունկցիա է, Ը

ո-1

Դիֆերենցիալ հավասարմանլուծում կոչվում է յուրաքանչյուր («6 (ճե)

)

Փ()

ֆունկցիա, որն իր ածանցյալների հետ միասին տեղադրելով

հավասարմանմեջ այն դարձնում է նույնություն՝

Ի(.9(Փ(9:02

(ց)-0:

Փ(1-ի գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալայինկոր, իսկ (ճ:ծ) միջակայքը`դիֆերենցիալ հավասարմանլուծման որոշման տիրույթ: Եթե դիֆերենցիալ հավասարումըլուծված է բարձր կարգի ածանցյալի նկատմամբ`

աար

րան

մավ|ապա

հավասարումը կոչվում է նոր-

մալ դիֆերենցիալ հավասարում: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համար կլինի` »՛Հ 7(25:)): Առաջինկարգի սովորականդիֆերենցիալհավասարմաններկայացման առավելընդհանուրտեսքն է` 7/(2: ջ): է Մ(2:ջ)4»Հ-0:

Դիֆերենցիալ հավասարումն ունի անվերջ թվով լուծումներ ն երբեմն հարկ է լինում լուծումների բազմությունից ընտրել որոշակի պայմանինբավարարողլուծումը:

Մ/(0:ջ)հավասարմանայն

րարումէ չը 7(6-))-ը

լուծման որոնումը, որը բավա-

»Հ»(»)

(ոգ) սկզբնականպայմանին,կոչվում է Կոշիի խնդիր,որտեղ

տիրույթում տրված ֆունկցիա է ն (չշ:»ց)

-ն կամայականկետ է

ք-ից: Թեորեմ (Կոշիի խնդրի լուծման գոյության ն միակության մասին): եթե /(«ջ)

(5)

ֆունկցիաները որոշված ն անընդհատեն

տիրույ-

թում, ապա ա) Թ տիրույթի ցանկացած (2,:»չ)

կետով անցնում է որնէ ինտեգրա-

լային կոր, բ) (25539) կետով անցնող ինտեգրալայինկորը միակն է:

Կոշիի խնդրի լուծումը կոչվում է

Հ /(չ:ջ)

հավասարմանմասնավոր

լուծում կամ սկզբնականպայմանինբավարարողլուծում: Դիֆերենցիալ հավասարմանլուծումները կարող են ներկայացվել բացահայտ,անբացահայտ,պարամետրական տեսքով:

Տ (Թ:ջ)

կոչվում է

»ՀՓ(«:Ը)

այդ

հավասարմանբոլոր մասնավորլուծումների բազմությունը

հավասարմանընդհանուրլուծում,

բացահայտտեսքով ն

հաճախ ներկայացվումէ

մասնավորլուծումները ստացվումեն Հ -ին

թվայինարժեքներ տալով: Որոշ դեպքերում »՛ ման

որը

գործընթացըհանգում է Փ(շ, ջ,օ)-0

/(ո:ջ)

հավասարմանլուծ-

տեսքի առնչության,որում հավա-

սարման լուծումները մասնակցում են անբացահայտձնով, Ը: ջ) հավասարմանընդհանուրինտեգրալ:

կոչվում է

որը

Հ.

Դիտարկենք գործնականում առավել հաճախ հանդիպող դիֆերենցիալ հավասարումները:

1. ԱՆՋԱՏՎՈՂ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ

Անջատվողփոփոխականներովկոչվում են

րենցիալ հավասարումները,որտեղ /(«) են

»՛

«(ջ)

//()5(7)

տեսքի դիֆե-

ֆունկցիաները որոշված

(ճ,ծՖ) ն (ճ,Ժ) միջակայքերում: Այն դեպքում, երբ /(օ)-ը

(»6 («4))

ջ(ջ)-ը

հավասարմանընդհանուրինտեգրալըգրվում է Փ(»)

առնչությամբ,որտեղ Փ(»)-ը

ՀԱՐԻ ՔՆ

ջ()»0

անընդհատ են ն

իսկ Թ(:)-ը

00-ի

Բ(2)ԷՇԸՇ

որնէ նախնա173

կամայական հաստատուն

կանն է, --ն

Փ(ջ)-ը

ունենում

է Փ-.

ստանում

Փ-

(ո)

հակադարձ,ե հավասարմանընդհանուր լուծումը

(Ի(»)Ժծ), (շ6 Թ)

Օրինակ: Լուծել (1

ն»

է: Տրված պայմանների դեպքում

տեսքը:

»(1-»՞)4»

հավասարումը:Պետք է

փոփոխականներըանջատել, դրա համար հավասարմաներկու կողմը

պետք է բաժանել

վրա, կստանանք` (1-- »)(1-Է.ջ7)-ի

4»

ատ

ՀԱԻ

որն ինտեգրելովկստանանք

չՓֆ

հւ» իչ»:

իթ», --շիշ.

ո(ջ- Է1Հ-1ո(7՛ Ի1)Հ1ոոշ, (ինտեգրմանհաստատունըկարելի է գրել հարմար եղանակով),

ո(»- 1»

1լ5-`.,

շա.

ՀՖԼ----1 7-1

Ստացվածֆունկցիայի որոշման տիրույթըմիջակայք է,

1 դեպքում:

Պատասխան՝ քՀ1 »ՀԺլվ

2. ԱՆՋԱՏՎՈՂ

ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐՈՎ

ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ

ԲԵՐՎՈՂ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

տեսքի հավասարումը կոչվում է համասեռ

հավասարում: 2 7 սեռ

դիֆերենցիալ

բանաձնովներմուծելով նոր որոնելի ֆունկցիա՝ համա-

հավասարումըբերվումէ անջատվողփոփոխականներով հավասարման:

Այդ դեպքին են բերվում նան (զաԷել» Է

ճ)Հ(ճշՒԵչ»-Է`Ը,):6-0

քի հավասարումները,հիմնականումկատարելով զ -Էեյ

կամ

2Հ-

տես-

37-)ց

տեղադրությունները,կախված նրանից զուգահեռ են զաՒելԻճ-0 ճշ:

2-ը

նե

Եչ»-ԷԸ, Հ0 ուղիղները, թե հատվում են մի (ոյ: ց) կետում:

Օրինակ: Գտնել ընդհանուրինտեգրալը,եթե

Հ Հջ)մե-(2

Ի:

)ՓՀ-0

Քանի որ հավասարմանգործակիցները միենույն (4-րդ) աստիճանիանդամներիցբաղկացածբազմանդամներեն, ուստի հավասարումըհամասեռ է ն

հետնաբար,

2-2նշանակմամբ,որտեղ

նոր անհայտ ֆունկցիան է

2-ը

հա(»-ի փոխարեն)հավասարումըկբերվի անջատվողփոփոխականներով

վասարման:Ունենք

202242,

«-»ԺՓ

որոնք տեղադրելով հավա-

սարմանմեջ, կստանանք

(Ը

Էշ

2)(24:8:42)-0

.Խ.-(12Է:2)::-(2:Ի72)

(27)

2-0

11122212

Տար

"(14 2)22-7:1- շշ), 5(1-2)»0,

Ենթադրելով, որ

5:(1-2)-ի,

հավասարմաներկու կողմը բաժանենք

կստանանք(-(1-- 2) Հ0 (14

դեպքը կքննարկենքստորն)

2:)4շ Փ

1-2

որն ինտեգրելով,կունենանք

յճԻ2)2 յք-"1-2

յն -142)42 շ-

-րո|չ|,

Ձ.

-|`՛ Ի1Փ-2|---Հոխ|, 2-1 ինտգրելովե հաստատունըգրելու հարմար ձեով, կստանանք

ոշ(2-7-Հ--

22: 31

Ի61-11

11-28 -321-6շ

«(2-1)-6

ՇՀ--

կունենանք Էն: -2»-3ոյ-6ոյ

Լ(-»"-««

,((»0):

Եթե»-(1-

2)--0, ապա

«-0

Ակնհայտ է «--0

կամ 2-1:

տրված հա-

դեպքում ընդունելով --0,

վասարման լուծումն է, իսկ 2-1 պատասխաըըկլինի` Լմ

Պատասխան` (,-»)՛-.:6:

վերջնական

2» 34-61) յ

11)

Օրինակ: Գտնել ընդհանուր ինտեգրալը ն տրված սկզբնականպայմանին բավարարողմասնակիլուծումը, եթե

(3: »-4)»7՛-4:-2»-2: Տեղադրենք »5-Ե,

Զ)-3

որտեղ ճ,ծ-ն հաստատուններ են: ճ-ն

«ՀՈՒՃ

ն ԵՖ-ն ընտրելու սեռ

ենք այնպես, որ նոր փոփոխականներովստանանք համահավասարում: Ունենք

աը

44244)

Փ.շ Ճ

որից հետո հավասարումըկընդունիհետնյալ տեսքը`

(3(1 Է:6)Է5ԻԵ-4)5-4/-25-Ի40-2Ե-2: ճ-ն

Ե-ն

ընտրենք այնպես,

Հետնաբար7 Հ5Հ1,

«ՀՈՀ1

308-420

որ

Հ»

44-2Ե-2Հ0

4-1,

ԵՀ|Լ

հավասարումըկընդունի հետնյալ տեսքը՝

(31-:5)5-4/-25, որը

առաջին կարգի համասեռ

հավասարում է:

«5 նշանակմամբ հավա/

սարումը կբերվի անջատվողփոփոխականներովհավասարման 5՛ --27-2`

2Ո(21 2)

(2-3)42

25-44

4 -22ՒՀ5

ԱՅ: թ Լ

2 4 -52/--(շ՛ Է 52-4)4:-5 (2 3)

22/-5

ԷՅԵՅ.--յր:

Է52-4

«5(»-)2--462-

Սա

)

Էրկստանանք՝ -ՀՏ2«--ՎՅԱ-դո ը:20-

Գտնելով ինտեգրալներըն տեղադրելով 2

Ա- :52-2:4416-|

եղավ հավասարմանընդհանուրինտեգրալը:

9-41

ՇՀ10|-----դեպքում պք

(2:23

ընդհանուրրի ղադրելով ընդ

տեղադրելով

ին-

տեգրալիմեջ, կստանանքմասնակիլուծում:

3. ԳԱՍՏԱՏՈՒՆ

Դիտարկենք զլ:02.::606

"Իգ"

(-1)

ԳՈՐԾԱԿԻՑՆԵՐՈՎ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ

Հ--ԻԱ

լ»

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ

Էճյ»-0

հավասարումը, որտեղ

Վավասարումըլուծելու համար կազմենք Ի: 42-Ի գլ 1: ԻԳ, լ1փ0-0 բնութագրիչհավասարումը, որի իրականարմատներնեն /.,4..:::, համապատասխանաբար 7լ,շ.:::չո. արմատներնեն ճ.

,/յ,.շ

խանաբար ճ.,6.:-:.6,

Փա 0"

Գո.

պատիկություններով,իսկ ոչ իրական

183,.:::,2, ԷԼ,

(Թ»0)

թվերը` համապատաս-

Այդ դեպքում հավասարման ւպլատիկություններով:

ընդհանուրլուծումը հետնյալ ՀՐ"

1, թվերը՝

3... 6"

Ֆունկցիաների Դ"17" 01", ԱՀԼՀԵ):

գծային կոմբինացիանէ.

76՞'՝

0051.

պո»:

65" 0050»,

62" պոչ

ՈՀ/ՏոՏ:

Օրինակ: Լուծել հավասարումը

ջ-փ)ջ՛-12»»0 Նշանակենք

«5 կունենանք

(45Ժ 4-12)0 որտեղից 14-4-12»-0,

«0

կոչվում է տված դիֆերենցիալ հավասարման Դիֆեբնութագրիչհավասարում:Լուծելով այն, կստանանք 4 6-4, 4չ 3: որը

րենցիալհավասարմանարմատներըկլինեն` ,լ(5)-

ջչ0)ՀԸ՞:

Դիֆերենցիալհավասարմանընդհանուրլուծումը կլինի`

Ըշջչ(22Հ

22ՀԸ»լ0)Հ

ՕՐ" ԻԸչը",

Շչ կամայականհաստատուններեն: Օրինակ: Լուծել հավասարումը

որտեղ Ըլ

ջո -3ջ

-ֆ

Դիֆերենցիալհավասարմանբնութագրիչհավասարումըկլինի` -4-0 4: -341: 34 որտեղից 4(1: --34- 34--1)»0, Ստացվեց, որ 4 -0-ն

կամ 4(4-1)

5-0:

արմատ է ն 4, 4-4.

պարզ

1-ը

եռապատիկ

դիֆերենցիալհավասարմանգծորեն անկախլուծումարմատէ: կՀետնաբար ներն են` 30": (2565 1, »,0)52", 7:0)Հ»Թ»:, Հ

Ընդհանուրլուծումը կլինի`

)0)-ԸյԻԸչօ

Ը`

Ըլտշ6՝-Ըլ Հ(Ըչ ՀԸրՀԸլ-)6:,

որտեղ Ըլ,Ըշ,ԸյչԸլ թվերըկամայականհաստատուններեն:

Օրինակ: Լուծել հավասարումը ջփ)ջՀ0 Բնութագրիչ հավասարումըկլինի` 47-10,

4շ Հ-Լ,

այսինքնհավասարումնունի

ոչ

որտեղից 4--1,

451,

իրականարմատներ:Հավասարման

ընդհանուր իրական լուծումը կլինի` չ(2)ՀԸլօօ5:ՀԸչտպոչ, որտեղ Ըլ,Ըշ-ը կամայականհաստատուններեն:

4. ԱՌԱՋԻՆ

ԿԱՐԳԻ ԳԾԱՅԻՆ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում կոչվում է Իո)» ՀԵ(.) տեսքիհավասարումը,որտեղ «(») ն Ֆ(չ) ֆունկցիաները

անընդհատֆունկցիաներ են (Զ., /3) միջակայքում: Եթե Ե(չ)-0,

երբ

«6

(ռ,Թ),

ապա

հավասարումըկոչվում է գծային

համասեռ, ն նրա ընդհանուր լուծումը տրվում է

բանաձնով: Եթե Ե(»2)«0,

ապա

«ՄՅ

ա1314

հավասարումը կոչվում է գծային անհամասեռ, որի

ընդհանուր լուծումը ստացվում է համապատասխան գծային համասեռ հան վասարմանընդհանուրլուծման անհամասեռիորնէ մասնակիլուծման գումարի տեսքով:

Անհամասեռ հավասարմանմասնակիլուծումը կարելի է գտնել հաստատունի փոխարկման(վարիացիայի)եղանակով,համաձայնորի անհամասեռ

ի"

հավասարմանմասնավորլուծումը փնտրվում է լ (ռօ

քով, որտեղ Օ(«)-ը

»փօԹ)»ՀԵթ) Օ(2)-

պետք է ընտրել այնպես, որ

հավասարման լուծումը:

ԱՏԵ

1831:

Ճ.

»լ(5)-ը

տես-

դառնա

Արդյունքում ստացվում է

հետնաբար անհամասեռ

հավասարման ընդհա-

նուր լուծումը կհամընկնի

-լո(ոյմ: - Բո.

0)Հ6:6

շո:

տեսքիֆունկցիաներիբազմության հետ:

Օրինակ: Լուծել (147) -4:7»Հ»7-1Ի»5-)հավասարումը: համասեռ հավասարումը Պետք է լուծել համապատասխան

(147 )»՛-4»5Հ-0, անջատենքփոփոխականները` Ժ-

»»

«թոլ

մո

Օ/-ն հաստատուն

շի

ո")

0-քի(

իւ»

-ՕԱ14»)

է:

Կատարենքհաստատունիվարիացիա.տրված հավասարմանմասնակի 5") տեսքով: լուծումը փնտրենք չ (21 Հ

Ունենք 7 մեջ, կունենանք

(Գ

6՛(:)(1Ի2:)Ի4::

7(0(204232Ի4:00))-4-00)(4»)-:60»).

Բ(Հ5օ4(Թ5--յ.18

«ԱՄԻ Հ

Հվ-----ԱՓ--

Փ-Ի րր 1Ի»-

(թ

Օ(2)-

ՎԻ.-

ո 1 (252

-Ծ--մսու

1-7

Վետնաբար

որը

տեղադրելովտրված հավասարման

զքո

76:

ԱՒ»)

կլինի տրված հավասարմանընդհանուրլուծումը:

»՛Է2»»-:Ճ

Օրինակ: Լուծել պայմանով: Լուծենք »՛-Է22»

Փ Օ-ն

համասեռ 0 համապատասխան

) հաստատումն է:

Կատարենքհաստատունիվարիացիա.

ՕԹ): ", 50/0): օ-" Տեղադրենք տված հավասարմանմեջ

-2.0(»):6"

65): -"

00:

հավասարումը.

ոի

Է-2իժ:»)յ-

Հ5ո|

-2:յն

»Օ-շսկզբնական

հավասարումը

Օ(:): -"

250(2):

"յ, Հ

բշ"Ժ. --

օ)Հ

0,0"

Ը,

»-8«ր

տեղադրելով » -ի մեջ, կստանանք քում Ը Հ1/2:

Պատասխան`

Իսկ

»Օ-շդեպ-

-ջՀօո"Հ-շ: լ

,Շ

Օրինակ: Լուծել Փ.-»պո հավասարումը, լուծումը զ) 6: զ փնտրելով «(») տեսքով: Հավասարման երկու կողմը բաժանենք 4»-ի վրա ն տեղադրենք Հ

ՀՀ՛(ջ): Կստանանք7՛-- «Տո

ջ՞67

-«0ՏՖ.

համասեռ հավասարումը: Լուծենք համապատասխան

-չպո)-0,

հաստատուն

ոլթ Ժ.-Տոյց»,

բոջժ».

է: Կատարենքհաստատունիվարիացիա՝ «Հ

Օ(Ֆ)օ5"-5

7՛

Օ՛()05:

Տեղադրենք հավասարմանմեջ:

Օ՛(ջ)օ"

օ(Ս)Հ'2"

Օ(9)65" ԷԻ

-Օ(3) Տո»

ւ.

Է6()

05.

թշ"ՓՀ-չ

»00)Հ

Պատասխան՝

-Շ0Տ5

7-06

Ջոջ «05557

ջշօ»-«թ -

ԷԸ

||Թ»:

որտեղ Օ-ն

Գտնել անջատվող փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասար-

ման ընդհանուր ինտեգրալը ն տրված սկզբնական պայմանին բավարարող մասնակի լուծումը 2335.

պոչ

Ա 221:2

»՞ -1

2339.

)7՛

2341.

7-7

2343.

յ»

2345.

(Է

2347.

»Վ1Է

2349.

(1-85)

2351.

ՀոՇէքոմ:

2353.

6" մ)

Համե,(0-0

2355.

՛-1-»

2344.

ՀՈՒ)»

12346.

2348.

,՛Տուչ-Ի(182)605:-0

-«ԱՀջ)

2350.

»':Ի«ՎՀՀԺ»:Հ-0

չձ4»

2352.

()Հ0

2359. 2361.

22» Հ)"

-32՛

(«Էջ ) ԵԷ

.-0

2363.թ՛-ջԻ:9-Հ 2365.

2367.

2369.

»2Հ-ՏոՀ 7,

/----2 մ) ,

2354.

2356.

6".

4):

ԷԻ

ծ"

(7 Է2»84)Փ

չուն,

(0)Հ1

8իճ

Ք.Հ»:

)81-.

ՏուՀջոջչ:

համասեռի բերվող դիֆերենցիալ հավասարումներ

-Ժ|է|

6-4,

2357.

Հ)

2342.

Հ0 փ ով1Իջ-"

Համասեռ

2338.

)՛Տոջ

)Ի(աԷ:7)4-0

)՛-Շ05-

2340.

2336.

2358.2 2360.

Ի60Տ

ՎՐ"

2362.

(2: Է3»- մ:-Տմ»-0 ի-2

2364.»53Ի

2366.

ջու)»

2368.

չ-Հ-3--

Ի):

322-5»2: 62

2370.

Հ3Ի)ֆ-3

«-ջՀ1

4»

2292թ

Գտնել հաստատուն ընդհանուր լուծումը

գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարման

2381.

Է ՛-2»-0 չ"-8»-0 "Է 4» Է10»-0 "ՏԻՏ ՛-4»»0 չ"-3) Է3չ՛-չ»»-0 »"-՛-ջ՛Ի»Հ-0

2383.

չ՞

2385.

»" Է9չ"-0 »" -5»՞Է4չ»-0 ԻԺ4՛Ի3»-0 -64»" Ի9չ"»0

2371. 2373. 2375. 2377. 2379.

2387. 2389." 2391.

Է30-» Է30

2372. 2374. 2376. 2378. 2380. 2382.

Է 0»»-0

»"Է257-0 "-2»՛Է)»-0 "-)»՛Հ-0 "Ի ջ՛»0 չ"չ»-0 չ"-3»՛Է2»-0

2384." -»՛»0 2386. »" -16»-20 2388." Հ2»՞Է»0 2390.» -10չ՞Ի9»՛»0 2392. յ ԷՏ» Հ167՛»-0

Գտնել գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը 21.7

2393.

1-7)»

2395.

2397.»

-ջջՀ,

2399.

Է25Հ

ՆՖ-- լ

Ժ-)Ք:ՀՏՋու,

«6

ՀՇ0ՏՃ,

2401.

7՛Էջ-7օօ5,:»0

2403.

(Է),

»Էջք:2-չ2,

«6

2411.

«(1 1)» 2-3»

2413.

Ծ՛-»Հչոչ,

2415.

չԷ

2416.

«.Հ-

2398.

«Տո

չժ,

)(0)-շ

5:45)

2400.»Իջ-Ը-»0

յ»0

1-5

2402.

»՛ջտոչ-0

2404.

7-6",

2406.

»՛Ի ճջՀՏ1ոե»

2408.

7-6",

2412.

7-6",

2414.

,՛

Գ, լուծումը փնտրել «(չջ) ջ20»-»գ) լուծումը փնտրել

.»0

2»0

ԻՈ"

2410.

()-1

)օ»

-5, ն

2306.ո)՛Է-6"0

«6(07)

՛-»ԺՀ1Հչ,

2409. ՈՀ)»

՛-462Հ-:ԱՀ») -2)Հ0"Ի

2405. 446 2407.

Է5:5)

«օ(-Պ/2:ո/շ) ք:

2394. ,

«Հ

»0 (0-1

5»0 տեսքով

«(ջ) տեսքով:

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

32.

977.3:

978.3:

975.

-7:

976. 4

980.

2651:

981.

982.

3/2:

983.

986.

--3:

987.

16:

990.-շ:

991.

-8/27:

992.

5/9:

996.

3/(365):

997.

985.Ց.

995.

1000.

«(տո1 ՇօՏ1):

1003.

64(2ո4-73:

1016.

5»

1018.

1022.

102.

1001.

1004.

536:

-3»՞:

ՎՏ: 425

-3ո

0-»

Հ7ԸՕՏ

8/3:

984.

988.

26053:

989.

-17.

--5/8:

993.

6016:

994.

--4:

26:

998.

46":

999.

-7: ի:

09.7:

1005.

20-28... |

1032.

-------բ-Հ-Հ-««----ք.

1033.

1035.

4ՇՕՏ825--ՇօՏ27:

1036.

եթ«վշփչ-դ ՎոՒՀփ)

Տու

1-»:

Տ(ո՛

1038.

ՀԵՅ 2-7) 0Ի»)

1026.

1028.

1031.

1-5 11-»

1Չ

Շ0Տ2

6(ո՛ 3»): ռ

փուր)ք

-:1034

2-|

-ՏՑ4Ո8:605 4»:

։) «(9-351)6օ05»-2:5ո

Էրաշքավաու|:

1037.

-Հ-ջ-:

--ՀՊպՀ-32: շ

1029.

«2. ճիոն.-2մ»)

5) 6057»

1030.

2(5:ո1Հ6051):

------՛-------Ց-:

տո

1 ուՀԻ6(Ը0Տ2ԻՏու):

8:43.

1023.

/ «)(Տ1Ոմ ) Վ ՇՕՏ:)ՇՕ0Տ»-

մոշԼայ: -

Ո-»-») :

222:18):

21-2

1025.Շօ5 -

Տու:

1006.

2)23)2:(6-

(Հ

1020.

ԱՀ

8»

32(ո262օ54-Տպոձ4խ): 1002.

-6մ-6:Հ12

ՖՏՈ»-»6օ05:Հ7 4ՏՈ՛ճ

-1:

1017.

10189.

(4)

979.

----չ---: ՇօՏ(2՛ Հ 1)

1039,

՛՛ -դ շոտո/24

-----Րա------7:

3/2

-1շ

474 Հ2-

1040.

«ո4-2՛

չոչյոմո՝

--Լ----:

104.

«1-2

ո՛2:

)

---Ր---:

1-2

յ.

Շ0Տ.

աոտոնուը

6ՕՏ2

1 ու

1-»

1048.

1-2

Ա-ը

չ)

1041.

1125.

1044.(605: -Տուտո»

-----Յ-Է:

1046.

2":

|է

Ի-չ»

ռոՀու) :

«Տո(4216օ0Տ2-): 1049. 25յո(28:651825) , 1050. ՎԼ-477 ՊԼ-»" »

՛-

2:վ:-1

206605-71055.

241-»

1057. 1-6

22. Օ-ն

ԶՅՔՇ.

Յի

1056.

Յ-լ

չ-2

1063.

:«"(Հոչ»:

9-,

22-39 3(2--9)

1068.

5:-5:

1069.7:-7:1070.

1073.

1:-1:

1074.

1078.

4:-4:

1079.

5:-5:

1080.

0-2:

1083.

20:0:

1084.

9:4:

1085.

12:

1088.

Գոյությունչունի:--

1094.

)

պո22

»Հշմ, )

Է|: Հ--»:

1075.

2:-2:

(օք «-ոպոչ):

(Վոչ):

1065.

ՀԼԱԻ»՛

րար

14»

Յ3:Ա-»

ու-գո:1072. 877:-87-:

1071.

-14:14: 1076. 2|1ո2:-21ո2:1077.2:-2: 1081.

|լ61ո4: 1086.

օօ: օ« : գոյությունչունի: 1092.

շու) |

՛.

օ"-չ

2-57 46օէջ25ՀԻ------5

1067.

3:-3:

ՀՐԻ:

-օՏ|ոո)Վօօ51ո

1064.

ԻՀ--չ---:

1066.

ա) -1.-1:բ)

«տոր:

1059.

1061.

լ --1ուք»«Հ

1091.

1058.

Ա.

«1)

»:421Հ

--Հ

2(2

( ո) -

1060.(ոց"ւՃ-2Ի «Ի:ուրյու: 1062.

---Շ--:

(04-Ը:

օ«2. |

7816Տյո

1052.

»Հ-շ:

Իշ:

52: )

0:0:

1082.

-1-1:

-ԼԷԼ:

1087.

1-1:

1090.

Հ:-Զ:

1089.

0:1:

1093.Հ,

--3.:.4--,

)

ջն:

ջ»-չ---:

1096.

,»Հ-ՆՀՎ-,Հ--Հ--:

1098.

լ »Հ--աՀ----,

222"

1099.

»-

1100.

2/4

1097.

ջՀ24:Հ---2:

Յ,- ո38-2:»ոց.

»Հ---ՀՀ--,

Հ»

58),

1102.

(-Է-

1103.

(ւ),

104.

(12):

1107.

(օք::-27):

1110.

»Հ-ՀՀ3,

1113.

1105.

111.

Հ8.-3:114

22916

ո՞

627:

(17):

»Հյ.-21:

Հ42Ի1,

»Հ--ՀՀ--,

(2:7),(3-6):

1108.

Թո-9

Ա01.

լուքուք,

ոճ

2.2Ի

(7:-2106):

0:54),

»--ջթՈՃ:

»-225Հ1-27,

1106.

(:3-2է),

1109.

(3:0),

էօ 2:

Ը։2)

-Յ:-2,-գ3:

»--3:Ի4:

»Հ1«-14:

ջՀ-Տ.-2,

115.

»--Զու2. »-1ո-6:1117.--Տ»:

1116.

1118.

,-3»:

1112.

գ5242-1

1119.

«-4:

«Հ5:

1121.

«ՀՏ:

1122.

օՀ2:

1123.

.Հ-2:

1124.

«24:

(-1:-6):

1126.

օ-62:

1127.

օ-2:

1128.

«Հ-1:

1133.

1135.

4-26:

1137.

.-63-1,

1139.

«Հօ,

1141.

1144.

25'

օ----,ծ»--:

-3,

ծ--76

ՓՀ-36-4:

ԵՀ-0: լ

ԳՀ.ԽԵՀշ:

Ի4:

-26-2,

«-14-2,ԵՀՃ-13:

1150.

ԵՀ|.:

զ--1,

ռՀ0,

»«304Հ36

1136.

.Հ6-2,

1138.

«Հ

1140.

ռՀ3-1.02342:

5-1:

4-47

,Ֆ»-

ԵՀՇ:

1143.

«Հ-3,.ԷԵ--յ: `

զՀ-գԻո2,Ե--չ-3ոշ: 1147. 1ՀՎ--2ԱՈ Հ), 5-1: ԵՀՀ-1ոչ: օՀ1

ԵՀ-ՇՀ1:

1146. Հ2-ՀՏ,

1142.

Հ.-Տ0ՎԻ9: Հ9 -6, Ե--Տ860

1134.

1145.

1149. 115.

Ա--12..3. ծՀ-1245:

«-2,Ե-2723Հ1:

մո

օ--54-,ԵՀՏՎՈ--Ը-:

1152.

1157.

8:8-

Ղ-չ 0-թյի-Ք ա)

սջոճԽ

5 ջմն 154

---------Օէ:

1158.

ՎՏ

ՇՕՏ

ամմա 211

սմս

Գ) Ա՞Իճ՛ Դ)մ

2):

1.995:

1161.

1.007:

1162.

1.937:

1163.

2.012:

1164.

0.965:

1165.

--0.874:

1166.

1.043:

1167.

1.24:

1168.

0.81:

130».

1173.

1170. 5.

118.

Բավարարումէ: Չի բավարարում: է: Բամվարարում է: Բայլվարարում

1184.

Բավարարումէ: Բավարարումէ: Բավարարումէ: Բավարարումէ:

1183.

(Հ

72)37

2-1 (ա-:)7

ՀԻ":

25. (22 3)"

1187. 1190. 1193.

ճ-ո)5`

1188. 1191.

Հավ Նաղու: ավը» 3 ավո «-չ)՝ 1201.2-5)«վա-ճի: «վածու: 1200.

1202. 1203.

Լաո

Յո 3:42 ՎիտոՏ:

Ն 55(12:9"»(ԸԸ"Օ-»")

չ2)շ

3»

Տով-----ալի ռՀ1) (Հ2)

1199.4

-չ:

Բավարարումէ: Բավարարումէ: Բավարարումէ:

1185.

1158.

ՆՆ

42Տջոչւ (Ի

1182.

(Ի:

1197.

(2ո-11 ու` 1-2»

1176.

1179.

(44:2)57

1172.

ճէ

55.

13.

1175.

1180.

1192.

1189.

Ց.

1174.

1178.

1177.

1186.

80043

171.

ճէ

ոշ:

Իշ

1160.

1169.

2/0-»

ամ

ՀՆ

Հ: վոակ»շ

|-՛----------2' )81ՇՇՕՏ

1Ի 21ոշ)ոա:: )

ա (աշ

|ո32:

` Մ1աՏու Ճ:: 1156.

ջ.----Լ--

(Հտ

2164-::,, |«ՏՏ:

1154.

1159.

1153.

1240.

-11:

2:-2:

1241.

-1.

1245.2

1246.

1286. Տ:2

281.-1.

1293.2 1300.

1308.

1315.

շցց

-2:

1301.

1309.

1302.

1283.

1289.5:

1290. 4

---:1310.

1316.

1317.

ԱԴ,

1337.

1: 1338.

1344.

131.

1318.

«2:

1339.

12:

1292.

55.

1291.

118.

1314.

-3:

1319.

1320.

1321.

1333.

0:1328.

0:1327.

աճ

316:1341.22":

1340.

1285.

Թ12

լատ

շ: 1306.:: 1307.5:

1305.

ԵՔ: 3:

1332.

-Լ1:

28. 1298. 21. լշցջ,

1304.

0:1324.

թր,

1330.

1303.

1-1,

1. 1284.

1282. 7

16. 1295.45.1296. 125. շղ,

23:

ռր,

-11:

1243.

1294.

1322. 1329.

-2:2:

1242.

1336.

-Տ: 1:

225"4: 1343. օՅ":

1342.

13453:

1Թ4.1: Ճ

13501:5Ի--: »

1349.1-25-Ի2:-: ԻՃ

ԼԱՅՀ6Թ:

14.

«-Յ1-Հ:-7ՎՃ-:

1359.

Նվազողէ

1360.

Աճողէ

1361.

Աճողէ

1362.

Աճողէ

1363.

Աճող է

1364.

Նվազող է

135.

-Մ-Ե-Յ-Յ:

Լ «յ|

միջակայքում,աճողԷ

Լ «շ|

միջակայքում,նվազող է

1355.------:

Թ-2-5:1յ6

1354.Թ-55. 1355.(2:

.-Հ-:

2----ՀԻ---Հ--ՎԻ--:

1353.

358.

1-2Վ7---:

Լ1»»|

միջակայքում:

1»-|

միջակայքում:

(-»:--2|լի (0:--»)միջակայքերում,նվազողէ

|--2:0) միջակայքում:

միջակայքերում,նվազող է

միջակայքում:

Ը-1 ը:-Է»») ն

ոլ

(-»»:6|միջակայքում,նվազողէ |6:--օօ)միջակայքում: (--օ»:--1| ն

միջակայքերում:

միջակայքերում,աճող է

Լո-1 |0:--») լ

1365.

(-»:-1),

Նվազողէ

րովը:-Է»»)

միջակայքերում,աճողէ

(:3| միջակայքերում: 1366.

1367. 1368. 1369.

«-չ| 2»

Նվազողէ կայքում: Նվազողէ

միջա-

ն |2:--»») միջակայքում: միջակայքերում,աճողէ |0:2| (--»»:0| Նվազող է (--»»:--3) , (-3:--1) ն (-:-») միջակայքերում:

Աճողէ

(--շ»:-3)

կայքում: 1370.

Է1:|

միջակայքերում,աճողէ

է»

Աճող

5-1 |

միջակայքերում,նվազող է

միջա-

Լռո-3ո|Յո-ռ|

ք»|

միջակայքերում, նվազող է

Յո-նո

1371.

Աճողէ

1372.

Աճող է

1373.

Նվազողէ քում:

1374.

Աճող է

1375.

Աճող է

միջակայքում:

(-1:1) միջակայքում:

ԼՀո-3ո| Լ»-շ|(14) ի

միջակայքում,նվազող է

նվազող միջ.ակայքում, է

Գո»)

Նվս,զող է

1379.

Նվազող է

|միջակայքում,աճողէ ՈԹ (0:45

»|

նբ

միջակայքում,աճողէ

Նվազողէ(0:-Էօօ)միջակայքում:

1381.

Նվազող

|-10| ն |»)

միջակայքում:

բթ»)

միջակայքում:

է |3:4|միջակայքում,աճողէ |0:3)միջակայքում: ն |02| ն Նվազող է |--2:0| 2:22|միջակայքերում,աճողէ |-22:--2| միջակայռերում:

միջակայ-

(--»»:1)միջակայքում: Նվազող է (0:1) ն (1:շ-)միջակայքերում,աճողէ |օ:--5»)միջակայքում:

1380.

1382.

միջակայքում:

(-»».-|| ն |0:||միջակայքերում, նվազող

83/7. Նվազողէ 1378.

միջակայքում:

միջակայքերում,աճողէ

միջակաչքերում: 1376.

ոց

1383.

|-3:0|միջակայքում, աճող

Նվազող է

8-3

քերում: 1384. 1385. 1389.

1393. 1397.

Աճողէ

(--»:--1|ն |1:«-»)միջակայքերում: 1387. (-««:0|: 6 1386. (-»»-3|Ս|:-»): |-33|: 1388. -3: (-»»:-2|Ս|2:Է»): 1390. 2: 1391. |-3:3|:1392. (-«:-4|Ս|4:--»): 1394. 1395. 1396. |-4:4|: |1--»): |-3:3|: (-»»-4|Ս|4:-»»5):1398. |-5:5|: 1395. |5:--»): 1400.|13:-»):

14201.

33):

1409.

(-»»--3)Ս|3:-»):

1412.

(-»«:-6|Ս|6:-»):

1420.

1434.

«-0,

«ՀՀ:

1436.

2-0,

2Հ1,

Հողդ-չ: Մ

»«Հ-,

երբ 7-ը

ոդ

Հ-:

Կու

«-1:

1435.

ա.

ու

|-4:4|:

1411.

|-5:5|: 1415. |-6:6|:

1414.

1433.

ո-ի:

զույգ

է, ողո -0:

երբ

ո-ը

է, ճող Հ):

Հու:

Զու,

ոու

է: զույգ

1438.ո

|-4:4):

1413.

(-»-46|Ս|16-»):

«08.

1410.

Մու ՀՍ.

6»):

84895

-1):

1426.

55:

842.

զույգ 1437.

|0:-»») միջակայ-

ՀՐՀու,

երբ Է-ն

ՀԸՄ ԲԻՈ:

կենտ է,

Յո,

ույդ

ու ոու«ԸՑՃԻոի,

երբ է-ն

ՀՐԻՈՒ,

1-72 1439.

2Հ-1

2Հ9:

շող

144.

2-0,

.-Լ,3

ՀԱՀ

1443.

ւ.2:Մ

1444.

Կրիտիկականկետերչունի:

1445.

ոռ

1447.

Մու Հ):

Հ),

Պոր 51:

ոլո

ոն)

1440.

2Հ--,

1442.

ո-1:

2-7, Դու 22.7.

Պոտ

7 ոռ

21.

ոռ

«11.

ՖՈ)Հ0:

Հող

-3.Ֆ0):Հ-4:

23,2-5: 2)

1446.

ոու

1448.

էքստրեմումկետերչունի:

1449. ոո

2ք լ

--2 ԸՄԴ

-2,

Հ).

1450.

Հոր Յ-5:

Ը5)-0:

ող

1451.

շոր Յ-2:

ՖԸ2)-0,

Մա Յ3:

1452.

ող

1453.

Մոա-2:

1454.

Մու Հ-3:

1455.

ող

1456.

Յ0:

1458. Մ

1460.

ուռ

«5:

ա.

)(0)Հ-108:

Հող 0:

Ֆ0)-0:

»0--.ողչ-2,ՖԸ2)-Հողի

3-8,

(42-55.

ոռ

0-0:

50,

Ֆ(0)Հ-0:

բ ա-242: ԱԱ )

1457.

աո

շձ`

1459.

50)Հ66-5: Հող

1461.

էքստրեմում ջ ր

մող

:ա2:

Մո

կետեր րչ չունի: :

2. )Օ)

«1:

»0)555:

ֆչ(ՍՀ-2:

Հ-1:Ֆ(1)Հ-26օ:

38. 3.4 չիու:5|313 22-Ը, չնու-Ճ|--ՅՐ, (27) Հ1: մոա ռոււճ,ու-51(22 ո)Հ-1, ի Ւ, նուո-2 Հ2ոհՀ-Ը, չնու:55--.

ո,

ո.

ոջ

ոա

է«2:

լ,

-2ոէ

ւո

Հ27

Է,

էճ 2:

Հ:

»ԸՑՀ2-Ն 51: 0-2: (5 ոշ--: Մ

»1:

(6.

--1ԸՍՀ-:

ու

24է:

1466. 1468.

մոլը Հե,

1469.

(-1:3):

1474.

(-4:4):

625. Ի /( 256`

ոու ----

Է«2: ՀԶՈՒՒՆ,

1463.»

1465.

)0)Հ-324:

էքստրեմումկետերչունի:

1462.» -3:

1464.

ծ-ծ--

)(0)Հ5:

-4:

լդ

0, Գո՞ --ծ-լ

ող

ողը 2.

0)«4:

է-նզույգ է, (Դէ) Հ0: տոդ Հե, 1471. (-2:): (-3:2): 1475. 1476. (-4:4): (4:4): 1470.

է-ն

կենտէ, (ոէ)

Հ ո3:

1472.

(-Լ5):

1473.

1477.

(-3:3):

1478.

1479.

-1:

1484.

1488.

ա) ոո»

1489.

տո» --20,

1491.

ոլո»

1480.

Հ3,

-13:

148.

1485.

ոշ

Հ19:բ

1486.

1495.

ոյո-2,

1497.

ոլո

1492.

2,ոու»-1

1498.

1499.տո»ՎՏ,ոճւ»»-3:

ոոռջչ-ո»-շ:

1501.

ոու»-5:

21, ոու»-3:

ոլոջ»665,

1500.ոո

տյոՀ3, ոշւ»Հ9:

1496.ոլո»--6.,

-4:

-01:

ՀՕ,

ոու»-3:

1494.ոռջ

ո,

1487.

1490. ոո» 2,

ոշւ»-7:

ոճւ»-3: -149, ոշ»

1483.

տոչ»Հ-17,

-28, ոշւ»--Տ:

1493.ոոջ-

1482.

Ոոգջ»-66:

20,ուշ:

26:

Ոճ)

ոյոչ-2-ո4ճ4, ոչչշ-ո-:

1502.

1504. ոռջ--ՅԱՆ, տուջ «143: ոռջ-ճ, ոույ-Ճ::1.

1503.

տւո»--Վ19,ոու»»2:

1505.

1507.ոո»

--2,ոու»-5:

1506.ոլոջ-1-Վ2,ու»»2:

Հ-3, ոուջ-3:

1508.ոո»

1510. ոտջ-ոշ-7, ոռջ«ԶԵՑ, ոու)-0: ոաւչ-ՅԺ:

1509.

ոռջ--2, ոուչ-3:8:1512. ոաւչ-Յ/: 1513. ոոջ-Հ-, 158. ոյո--365, ոու»»-465:

1511.

ոռջ0,

1514.

ոչ

--46՞,

1515.

տո»

1527.

«539:

1528.

|Լ

-86-:

ոու

որա

1516.

Հ-ջը: 9.

1529.

տլոՀ-0, .

"20:

1532. Ճ7

1535.

լ --842:

1536.

»-15:

1537.

18:40.

.Հ-216:

1541.

»չ

1539.79 ----: 1543. 1545.

Գոգավոր է

1533. Կ

(0:--օօ)միջակայքում: 1544.

Ուռուցիկէ (--»5:0)

ո»-շ-):

7. «1721:

1531.

125.

արչթ

--443. Հ---:

25325

Ուռուցիկէ (0:--

(0:--օ») միջակայքերում:

Ճ4

լ,

1530.ոօ

շը:

1534. Կգ

Հշ8`

2".

-27:

1538.

»,

1542.

7, 2 ----:

5»)միջակայքում:

1546.

Ուռուցիկ է |0:--3) միջակայքումն գոգավոր է |3:--»5) միջակայքում, «3 շրջման կետ է:

1547.

Ուռուցիկ է

-Ք -Ջ

միջակայքերում,լ 1548.

1550.

լ. »:--3|միջակայքում ն

Ուռուցիկ են:

Ուռուցիկէ քում, «լ

1552.

շրջմանկետերեն:

(2.:(2: ո) միջակայքում, »| միջակայքում, էօ 2: » Հ,

(-»:-վ -1,

242.1.

1556.

|-2:2):

1559.

»-»-1

շու

Ճո

շա

շրջման կետեր

միջակայքում, է2, ճւ

Լ»«.-Վ2ԽՆ2::»)

գոգավոր

շրջման կետերեն:

Լ242:2-2|

տտ.

ուղղաձիգ ասիմպտոտներ: »-0

ն «ՀՍ

գոգավր

միջակայքերում,գոգավոր է |--1:1) միջակայ-

միջակայքում, ՃՇ 2: 7,

155.

է62,

շրջման կետերեն:

Հ1

Ուռուցիկ է

ուռուցիկ է |--3:.--օօ) միջակայքում,

շրջման կետ է:

(2: 77:20

1551.

10657շրջման կետ է:

Գոգավոր է

ն 2շ

միջակայքումե գոգավոր է ի0633:-») միջակայքում, (:1023:|

Ուռուցիկ է

1549.

Է-Ք|2.»-|

միջակայքում,գոգավոր է

հորիզոնականասիմպ-

տոտ:

հորիզոնականասիմպտոտ:

1560.

1561.

»-0

ուղղաձիգասիմպտոտ,7

1562.

»-0

ուղղաձիգասիմպտոտ,) 3:

1563.

7,--4

ուղղաձիգասիմպտոտ,

1564.

«--4

նչՀ3

1565.

.Հ

-2Վ2

2-2

1567.

»--2

1569.

1570. 1572.

7,--2

ուղղաձիգասիմպտոտն ն,»-2

«--4

55-17

ուղղաձիգ ասիմպտոտե ) Հ«-4

եջ

թեք ասիմպտոտ:

հորիզոնական

թեք ասիմպտոտ:

ուղղաձիգ ասիմպտոտներ:)

--շ» --»

թեք ասիմպտոտ:

ուղղաձիգ ասիմպտոտներ:»--1

ասիմպտոտ: 5: թեք ասիմպտոտ: »«--2

թեք ասիմպտոտ:

ուղղաձիգասիմպտոտներ: «Հ

1566.

1568.

-3»5-2

թեք ասիմպտոտ:

թեք ասիմպտոտներ:

թեք ասիմպտոտ:

1571. 1573.

Հ-չ

թեք ասիմպտոտ:

«37

թեք ասիմպտոտ:

1574.

1576.

1575.

»-

1577.

»«-0

1578.

:«-0 Ճ

Էշհորիզոնականասիմպտոտներ: Է-.-|թեք ասիմպտոտներ: ուղղաձիգասիմպտոտ,» ուղղաձիգասիմպտոտ,»

1586.2:2: 1590.

1595.

եհ

1591.

հորիզոնականասիմպտոտ:

ՎՏ կողմու| քառակուսի: 1588.

1587.

1592.

----օ:

ոշ

1593.

30:60": .

1589.

-՛յ-Բ:

Ա-Ի.5):1594 Է-Ք)

1-Ռ., 1598.28.7. 1599.28. 5845. 1597. -

1596.

«3

34675

տոկի՞ ՛

1614.

ՀԸ:

1616. ոով 1619.

ՀՇ: ա-մոՀ-1 ԽՀ

1621.

2ԻՎ

2ԻՎ7Հ1

ՀԸ:

1601.

ողո

--(32-1): ԷԸ:

ո՞ո՞վ

1600. 1613.

թեք ասիմպտոտներ:

» ՀԺ»

1615.

ԷՇ:

շո1Ի--ԻԸ: 4:

1620.

սօտոոՀ

զ"

Ի-չ

գռ ---ԻՇ:

«-ռոաքուը:

ոիչ-ՈՀճԻԸ: 1603.

ՀԸ:

1-1ո0

39.

27:-9:

ՀՇ:

չ-»

1612.

1617.

1622.

--»ոօք---ԷՇ:

«3

ՍՈՎՈ) 1624. ՀԸ: աօգոյ»չԸ: 1625. 18 (3: ԷԼ ւբ 1626. -4): 1627. «Է ո-Է»)ՒՇ: -«-10տի-5ՀԸ: 1629. -ք:-օքոՒԸ: լ

-ջօ"ԻՇ: 1634. 1633. -չրքօօ5:ԻԸ: աաչուշ-ՀՇ: 1630.

1631.

1ո(շ"2):

1636.

--ՀՐօՏո

ՀՇ:

1637.

Ց --Հ|2:

չոսքտ

-ԼՈ(ՀոՀԸ:

1639.

ՎՆ» ԺԱ

Հ)

Ը:

1632.

26՝:ՀԸ:

1635.

-2605Վ:-ԻԸ:

1638. 63.

---(1Լ-32)1

ՇԸ:

--.0-39

1640. «-4ոի-4|ԷԸ:

ԷԸ:1642. «32: 1-1---1

Հ-շթ՝ 643որ լ

1641.

ԼՈՀ-2ՀՎԸ:։

1647.

--ո2-3:1Ի5:|-----

ԼոտտոտչԸ:

ՀՏ

|3.-1

ՀԸ:

1643.

ո--

ՀԸ:

ոշ -7:չվՀԸ:

--Հ---ԳՎԸ: ց1-| որր" մոք

Լոիշ-չ-վ- 2:-:5-| ԲոոՑ-| յ

1648.

լո

ԴԸ:

1649. Հովո -5Ի

րջ" :ՐՐ-Հ ց

«Աո«3Տր

1651.

որո

1650.

3Վ2-4:Հ5ՀԸ:

1652. Լոտո ԷԸ: -շԹՅՎ-4ո: 2»-

-2Վ5-37-»77

1653.

«3

1659.

ո»

-------ՀՀԸ:

։խ՛

ղ:չթ

ոիժ-«ՀվչԸ։

ՀԸ: 2123Թ 1660.

ՀԱ

Ը: --1ո|՞, ՀՏ

Թ(Հ»՛0»-2):Ը:

1661.

1656. 165.

15052)

ՀՇ:

ո6ո-3-:Ը:

1, ՅՑ

2:-3.Ը: Վ29

Տ.ի.3

է654. Ս ջոր 1655.

-28ո65լո

1Ոռչշյ(ո-Թ

1662. գա: 32)

-)2Հ-Ը:

1663. 2ՎԸ-ը' Տ16-0'«2/2-12«2Խ-1«Ը: աե

2(-)

1665.

1666.

«(Հով

ոթՇ:

41ո(Հ:-1)«2(4»-1(4:-7)«ԸՇ: -)

ՀԸ:

Արա

1667.

ՏջուՀՇ:

դրերՀԸ:

ի« իոռիս եՇ

խոիանիշ:

1670.«իը

167.

չով"Վ-«"-Շ:

1672.

--/ո

2:-3

5"20Հ0

բ-շը լ

1678.

թ-

9---

ՁՐՇԷՔ------ՅՐԵէ

ԵՀ)

Լ...

(գ-եշԼոՒ»

(30

12.Ը:

1683.

ոչ-ոշ.ո|ոձճչւ|ՀԸ:

ԱԵ շթ

1685.

17:

("1 «Շ։

1625.

1677.

ՅՐԸ: 8 ----Յ`ՐԼ:Ք---Հ-ԸՇԸ:

ՀՇ: 2`

Ը.

|լոյլՀԸ:

1690.

02ԷՇ:

ո է

1693. ՆԵՆ

1694.

էք2-»:5ՀՇԸ:

1695.

1696.

ոշ: 3-1 Տ

1701.1.1

տոճո-

ոռ.

Տո՛

ԻԸ:

Տլոչ-1

ԷՇԸ:

տոշոէԸ:

1699.1

ոշ

92:

ոՀ-վոճւՀԸ:

«օտ8ոՀՇ:

ցուց»---Ջուճ:---ՏոձոչՇ:

տոլտո-ԸցոտոչՏոլա--Էպոշո«Շ: |6

3(Տո-2(ճոռ«(մո

1703.

ՏոչԻլ ՀՎ-

-Շէք-:2ՒԻՇ:

1697. 321

ո--Էօօ59:ՀԸ:

1700.1.

Տոճւ«Ը:

լ լո

1691.

17-17 ջոշյՀԸ:

ոլո»|ՀԸ:

1682.

-Սո|օօտ2|ՀԸ: 1687./ո|Տու|ՀԸ:1688. քչՒ-Շ:

1692.

1698.1

քթ

2(ոռ-271»Բո«Ը:

ՀՇ:

1684.

ԹԳ

1689.--բ-ճրք----

բջատոշ" «Ը:

Ւ(ա-եԻ ով ոա

1681.

-2ՅՈՐՏՈ62ՀԸ:

1673.ո

1674. ԱՀՀ" -Շ: Հ(6-4)Վ 1676.

:-ՏԵՈՎ)ՀԸ:

1669.

1668.

ՀԸ:

2-/ԸՕՏ2 (օօՏ17-5):

1704.

ոշայի ՍԸ: 1706.-ԸատոլԱ2Տո»)ՀԸ: «բխի վ2աջ Վ2 Վ2 1708.24 1707. 4:1255ո 2-96

1705.

1-Տոշ:

ՀԸ:

Ը: 1710. կորի

ՎՏՈ՞-«Շօ5ՀԸ:

1709.

1714.

1715.

-ո|ճջա|վՀԸ: -62Յ5

1717.

-1ՀԸ:

1713.

լո|ճօտու|ՀԸ:

1716.

Տլո0ոչ)ԻԸ: .

1711.

2աաաթվօ"" չո:(գայՀԸ:

1712.

ԻԸ:

ՀԸ:

24" «ոլա

վաո»:ՀԸ:

1720.-Ավաաաթժ' --բաաստԴա(մաօայՀԸ:

1718.

25ՀԸ:1719.

1721.

նատ»)Ը:

1724.

---Յօտո--Հ-------ՀՎԸ,

ճ-

1725.Զ

ԻԸ:

1722.

7Վ0-յմ

ՍԱ-Հ-Հ-1 Ո շշ" |

1727.

Հ--ր-----

7(ո7-/ոչՀ2)ՀԸ:

-Լ--Հ--«ՀԸ:

զ"Հ

ՅԸ

Լոտո

1736.

1738.

տտՏուՀԻօօ52ԷԸ:

1742.

ՀՀո

1732.

ՀԸ: )-ՎՀ2

-Ը:

չոչՀԸ

2Ճո-ՀԸ:

17433.

-ՈՀ»

ու----ը ՕՖ

Հ-ն"

ո`

1737.

ՀԸ:

»ո(ո՛ «1)-2:Ի28օթ

1730.

ճ՛

Ը: Հորվոււ-Տոոչծ

1740. 2

ՊԱ-՛

ճ»0:

ՏԵՏոՈւ-:ՅԸ--Հ-ՎԸ,

1731.

--Ե-ՀՎԸ:

ՀԸ:

0»0:

1729.

65ՀԸ:

Ի ՎԸ,

ո»-1

-.ՇօՏՀՏուՀԸ:

Տապու շաատ Հ

1739.

ՑոոԸ:

Վ2:ջո2:816052:ՀԸ: 1741. 1ռ. 1 րվոշգ-1օ052:»Ը: Տ

78րօցուՀԻՎԼ-»

ՀՇ:

ԻՇ: գնոտտո-Ա-2

1743.

ո)ՀԸ: ԲԱՀ մասկո-

2(ոոացո-ոգոսգոՀԸ 1746.

յ»ՅՐՇՏՅՈ

շ.--0-46յՈ-46 Իշրի-4 1744.

1745.

ՀՇ:

2(6օ4(ո»)-: Ցոո»օ):Շ:

1747.

-»-ՎԼ-

1749.

:«ջ:Ւո|օօՏ:|ՀՎԸՇ:

1748.

1750.շշ(Տո(ո»)-665(ո»))4Շ:

216605:ՀԸ:

չթ-յ ո:ո2վ6-«652Վ:-4Ը:

1751. 1752.

26054):Հ 4475ո

46094:ՀԸ:

ՀՏ ԵՆծԵՏչա

ոի ՏԸ: 1753.--օ05 »1ո(թ»):-

1754.

|/-6057

-ֆՇօտե

ՎԵ

Ը:

Տո»-665» 41:

Ե: ՀԵՏոծ

ցի 1755. 1756.3 անագրամաաաննամաաԱ ԻԵ 1757.

Յրէքօ- 27:

1763.

ՇԱՐՏՃ6ր»--լ:

20«ո») -21«ո»-2: ՀՅոս-1:4-2-: 2-շճոտոՀՐԵՑ ՎՈՏ -Հ8. 1764. 2:165ո(աօ6ո-5)Հ2 լ

7 ԶՐՇՏլո

14:

-2Վ40-32--

1766.ո

թոշ-68:

--ՒՏՈ-ժ,5, ՀՀԿ-ը «28-85-2352

ւան 1768.

1765."աոա

1762.

1759.

1760. 1762.

20-2)-լ0-2)-2:

1758.

52-Ը. շո

ոՀ

2)-

Օ-)72

2ի, Ցո-74ո

Հ1):

2-90"-9,

ԱՒԺԱոՒԴ,

Նր դատեք

Ջ-Յ----Հ 2": 258ո-7

2ո

4ո

(ՒՄ

Վ2Տո-)Դ

Վ2օօ9---7

1769. ՑՀԱԹ----Ջ-- | ՋՀԱ----ՅԻշո 2Տ:ո-4ո

1770. ԶԲ 5.

2920»:

» 3"

1783.

15: 1784 Է:

-Զ:

1790.

Պ:

1752.

1796.

1ՈՀՀ--105:105

1802.

ոշ:

1807.

7-4:

1808.2-2:

1812.

22:

188.

1817.

---:6

1822.

տ:

«Թ ուշ

2»Ճ

-- --ՄՇԷ

-----Ի-ո-:

1831.

1827.

1832.

Յ`

լո5

--Ը:

ո-4:

1819.

1823.

1828.

լ795.

17599

շ -:

1800.

1820.

գ3ո3Ւ-2:

1833.

1824.

1815.

412::

1829.

ՀՐՎածք-

ո4--Հ:

ՀՎԼ-Ք:

գ`

2.6 ոոտու:

Վ2

1825.

ԻԸ:

4-9:

18. :

1810. 2:43.

տոլ:

1782.

85 2

-7-:

1805.

1Ի43.

468.

2:35:

1804.

1809.

Պ-Հ:

1798.

ոշ:

լո2

135:1781. 15: 1788. Հ:

1786.

Է:

1: 178.

1779.

184. ԼԸ-4Թ)

71: ւ) լ

2-ոտ:

1818.

լ8.

1797.

1803.

56:

3-1

82:

1791.

լոտ,

195.

9: -3"0"-9.9 ՞

176.

գց50:31.

լ,

Ն» Տ, Դ

ց:

ո՞

«ՏՅ

5.»

4ո

122-)0"-0յլջցո-.

1771.

251ո--

2-2::

1834.

52.

լու

Է-ճօջ---

19826. .

2002 :

ճ «3 7.33

լ.

50" -ք:

շոտ Ը «շոսշ-Տ:

205-):

1836.

1835.

Է-շո22: .ռ-.0-9-աիոպ-8-տպ Տ») | -2

1837.

1840.

(2-8

242-դ:

1850.1. 1851. 3 Յ6ԵՑո2: 1852.15:

1849. 1.

1848.

1839.

1տոշ:1846 -(2Վ2-1:184. ) 8շյք 184.--:12 1845.

---ոօք---:

14.

1838.

1853. Տ.

55.շթ:

1854. 1855. 50Թ-2/)-:8Թ-1) :01-6Թ)1856. 1857.

--ո--: "3

1858.

1861. 25: 1865.

1879.

դւՀդ,:

1880.

ՀՕ: :

195,

1930. 4

18:

1937.

ՊԱՀԻ: ՎՀ

1871.

1878.

դ Հղդչ:

1924.

27.

1931.

1949. 4

1944.

1950.

1932.

1938. :

21:

1939.

36:

1951.

64:

1920.

1927.

Հ0: 9:

1921. 1928.

1934.

5. 1935.2

1940.

45:

1941.

18.75:

1946.

16:

1947.

1933.

1945.

42-4:

1926.

ՀՕ:

1883.

չ0:

1925.

դլ Տղ:

Հ0:

1882.

Հ0:

1887.

3.լոշ:

15.լո:

-շ:

1952. 8

52: Տ-313: 19584 16-93.լց55 195632 :1957-:1958. 6`

1959. 1. 1960.1. 1961. 5.

1864.--2:

--------բ---»:

1: 1877.

1876.

ՀՕ:

188.

1943.

Հ.գ:

ՀՕ:

1929.13 :

1948.1,

դլ Հղչ:

1923.

1: 1875.

1874.

1886.

ԹԹ

---ՁՐՇԼ

1863.1.

1867.

1860.

1873.

1942.

1862.ո3:

-Տոշ:

1936.

-|ո--: "7

1859.

5) --ՇՕՏ(6«ՕՏ7.5լո՞ 1970. 4:36": 5): :605(7.օ05-

1869.-Տ|Ո

1922. 3

5:416:

1966.

1872.

լ -ո-: 8".

1962.

1963.

208.3:

1964.

1: 1965.

3.2

2-գ:1968.Վ2-1: 1974. 2-2: 1972. 1973. -: 1977.5: ճո2--: 10ք,օ-1: -6: : ՀԱՏ: 1ո(34-10)-:3410 է

1966.

Ր:

1967.

7--2:

1969.

շո:

67:

1975.

1970.

1971.

1976.

1978.

1979.

ն3)

1983.

1984.

1991.

1996.

աատո՞:

3-ո2:

2003.

2002.

2011.

6ռ:

2015.

962:

2020.

2025.

1287:

202.

2:2ղ:

օշ2

Վ2 ո(2-/2)

2022.

2017.

2027.

Բ)

2031.

շտ

աի

2042.

րրՈ2:Է33|. 2-.Թ| շ-

ո:

»/2-«տմՀՎ2)): | ( ) 2043.

Հած::

Պ-:

2029.

25:

(«ագո

2037.

2015.

2035.8

«ՀՈճար-Ք|

2038.

2014.

2010.

2023. Պ(օ--7: 2024.2(2Հ1: Ճ(21-1:

2-7:

2009.

շոռ

-ր»:

«5)2034. Իո ոթՄել| Հ|առ-

12036. "ո)բ:

2030.41

18/2--31ո(212-43)::

Վ2(շ"-1):

2016.

չո: 2000. շշ չո: 6 -վո- Թթ)2005. ՇԲ Բ. 2004.

2013.

1999.

1998.

297. 1989.171.

4Ն-շի

337: 2007. 1 ոո 2«2.թ):2008 ՊՀ 2012.

1988.

75:

14: 1994 102. ը: 1995.

1997.

«Ք.

1987. 555.

2001.

1982.

1981.

1985. 1. 1986.

1990.

1980.

20/2-լո( «2 9յո: -

164. 2039. 2040. Լար 500::91ո3):

--:2044.

--:8 2045.---:2046. ճ

--:2041.

-Ճ.

2048.

ճ.

2049.

2050.

. 2060.3

դ) 2059.Ա Տ 1:

2064.

2070.

2065.

ան

ա-ն

2071.

1: 2053.

2052.

Հո:

205.

|ոշ25:

-չ:

2067.

2072.

չ:

2068.

Տլո--:

1ո(3-2-/2): ) 2069. 2(1-ո2): (

2073. ք.

2074.

2081.

Օ Հ|, տարամետէ, երբ . 21: Զուգամետէ, է, Զուգամետ երբ 7» Հ տարամետէ, երբ 7 Հ1: 2084. Զուգամետէ, երբ 7.» 1, տարամետէ, երբ Տարամետ է: 2086. Զուգամետէ: 2087. Տարամետ է: Զուգամետէ: 2089. Զուգամետէ: 2090. Զուգամետէ: Զուգամետէ: 2092. Զուգամետէ: 2093. Զուգամետէ: Տարամետ է: 2095. Զուգամետէ: 2096. Զուգամետէ: Զուգամետ է: 2098. Զուգամետէ: 2099. Տարամետ է: 20:

2082.

2083. 2085. 2088.

2091. 2094. 2097.

թՏՆ,|ջթ 2101.(Ը2:»), 2103.

-:ուղղից

2106.(ւ

2108.(6:

2102. (ւ):

2..0ՀչՀ շ): 1Հ:ա Ի) Հ 4)

2107.(ւ):

2143.

չունի: Սահման չունի: Սահման չունի: Սահման չունի:

2146.

2153.

շ:

2154.

2155.

2156.

2160.

2161.

2162.

2163.

2140.

2147.

պ)

2135. 2138. 2141. 2144.

2148.

(0: ):|»Ջ»|):

շառավղով բաց շրջան:

Սահման

Իջ

ներքն ընկածկետերիբազմությունը: 2104.

կենտրոնովն 2

Օ(0.0)

2105.

2137.

7 Հ1:

Օ(0,0) կենտրոնովն 4 շառավղովփակշրջան:

2100.

2134.

-4:

2080.

յ:

-1:

2075.

-շ:

2079.

2|).,./---

2078.

լ --1ոշ:

2063.

2076.

2077.

2054.

Ա(-Կարի Վ5

ՅՅ 123

-|1:

17058.

44343.2062.

2061.Ն

2066.

2051.

2-2 ո3Տ1-2: 2055. ճ: 2056-2-ր0ոթ Ի2

չունի: Սահման չունի: Սահման չունի: Սահման չունի: Սահման

2149.

Հ շժ

ՀՎ)

չունի: ունի: Սահման չունի: Սահման չունի:

2136.

Սահման

2139.

Սահման

2142. 2145.

2150.

-6:

2151.

2152.

2157.

2158.

2159.

2164.

2165.

0:1:

2166.

0:0:

2167.

2168.

-շ:2:

2169.

1:-1:

2170.

0:1:

2171.

ԷԼ:

2172.

Լ»:

Անընդհատէ: Անընդհատէ:

2186.

Անընդհատէ: Անընդհատէ:

2189.

Անընդհատէ:

2192.

Խզվողէ (0:0) կետում:

2183.

2184. 2187.

2196.

2197. Անընդհատէ: Խզվողէ (0:0) կետում:

Անընդհատէ:

2183.

Անընդհատ է (0:0) կետում:

2204.

Ս, «(2

Անընդհատէ:

Խզվողէ (0:0) կետում:

2195.

2200.

2191.

Խզվողէ (0:0) կետում:

2193.

Խզվողէ (0:0) կետում:

2188.

Խզվողէ (0.0) կետում:

2190.

2194.

2199.

Անընդհատէ: Խզվողէ (0.0) կետում:

2185.

Անընդհատէ: (0:0) կետում:

2198.

Խզվողէ

-3ջ՞),

Ս,, Հ-Փթ:

Մ: «6:

Մշ.«307 -ջ"): 2205.

Ս. -37՛ -3չ,

2206.

Մ.

Վ2:-3»

»-6»:

Հ-3:

լ ՍՆՑՀ-ԸՀ----: 2Վ2:5-3» ՎՕ»-3)

աՀ-----

ՈՂՍՆ»--ՐՅԻ

յշ

"մեան

Մ»,«6յօ"»

րոր» ։

-Տջ՞

2209.

Սո

-2վ2::3») 423» » ո» Ծո «2:62:ԱՀ2:15), Մ, «Յա1ջ16"

Ս, 2208.

աբար

ՍոՀ-Ր 2207.

Ս, -3)-

Հրամա»:

ի» -Տջ՛

Ս"

-Տջ) Վրո-5թթ

Մ,

ԱՀ): ՛

` 1072

"թո

-Տջ5)

ա» -Տջ՞)

7 -225տ»-: Մ, 271605ջ- Գ3)-: Ս». 2Տլոջշ: -

Ս, 225-605) -47-ջ- Տոջ- Գ6»: Ս7 «4օ05)՞: 2210.

Ս, ՀՏԱՀ22»-ջ"):

ՍՀ ՀՏՀ)» ԳՇ):

ՍՀ ՀՏԱՀ4Ճ-Հ4»): 2211.

07 Հ301»-2»:)

Ս, «20427 Ի 02 Հ3)-): 5 -2(47՝247)" Գ9ջ" Գ6»Հ6)"):

: Ս ՀՅ(Ջո-2)')(58-6»:):

Ս", 530»:(52--2ջ5)(25»- -2ջ-):

Ս, «6Ֆ(57--2»-)(255՝ -90»-ջ- 48"):

Սչ, «30»(55-2ջ-)(5»-ջՀ10-12Թ7-2չ"):

2212.

Մ.

-328՝ (35--4)՛ «05(3»--4»-)

2216.

-5) 058202 -4)):

--4ջ՞)

( 3-Ի5(3»-

«օ5-(35--4)-) 34 ( ԹԻՑ

ցշ0»-

-43)):

7-3:

»)

Ս՛--

«Ւրոջ:1

(Թ-ոջ)ջ»

ԸԻո)ջ)

072-1-71: 21.7.0՛ 21.5:.0- 2 Ն 225:

:1Ս5--Ե :Ս4-Ր-29-: Ս" (2--ջշի

«Հ

Ի)

Թջի՝

քր

7» ՀԱԻ ՛

2»

«-բ-ՀՔԵ---:

քո-35

Ծ՛

2քթ-3»

Տա-3»"

Ս""

(14 2»):

Ս «7»Իջ:6"6

նոյի,

Ս.» ձօ" 5):

-6)0»-3»ի՞

Ի: շյա" Ս, «26: Իո. Ծչ, Հաշ"

Ս,» 20"5

յմ

-9չ7 ՍՀ Ս«--ԲԹԻ----:

Վրոյջի՝

"Ր

22181

էջ՞(3»- -4)-) 256»-

2 -Էոջ)

չո»

Մ" 9. 2217.

.(3

Շ7,«Լ: Մ, 1. 0(ՍՀոջ)»

21.

ՍՀ 2215. --

)

օօ5(32-՛-4»-)

՛՞

Ծ՛

«057

19275էք՛(35 -4»-)

».

2214.

(32

«052

5»

Ս,

-4)շ ), 725 2»

25:-8 (32 --4)՞)

Ս,-՞

2213.

Ս,

605՛

«3280»3), օ052(3: --4)2)

22228 07-3 ): (32՛ -4»-)

Ս"Ս"

1422):

թ:

5): Ս,-(- Ի3»1)656:

ԷՇ իոն -(2ո»-»:) թր:

Ս,

-(5։Հ3շի

Հճ

թոն" թր:

5): Մշ, (տ Ի3ջ՛ «1075»:Ի95»-Է375)656 -

ՍՀ--- ՀԹ

1224»

Ս".

2220.

ՍՀ

Ի)»

14:

2:թ--2:-4չ:

3-2 2».

(2:22 Հջշ) Իո

-2»Ա4

Ս"5

14277 ԻԻ»

(2:22:

-2չ5

:»ջշի («2:22

Հ": (րատ Թեո» "»: Ս", 1 Մ, «Մշ »»». չ|շոտ 6053-346057 մ ավա» շի Մ, «ատի ""»: Սա 5 --ր

տո

"տ.

Ր»

չա.

ՍՀ

:ԼԱՀ-լո

Վ»Հ)

--ի«

222.

«2

2»

»-

)

Կոն: »

Ֆ Տլո

շչ231"

Ցու ԷԼ

:07-58.--5

Տո--

)

ՏՈ--

)

Տո՛--

2225,

Մ,,«--------Ը-Հ-Այ-----------: 4.

0,Գջ:)

)

0-35

Տո--

.գո---

ք-----Հ--.--.

».

կաա

Թի:

-՛

Ս---2.:22 .

իո»

Բր Հա:էլ: Ֆ

Տո ԿԱ ՍՀԱ "

Ֆ-Ը--ՄՀ-

(-«րթթՆ Տ» (2-2 գէ Ս, 5:

Ն.

վոչ»

:ՕՊՎՐՅ»)-թ

ԵՐՐ 2222.

)

2յտո 2. 46052: )

3.2 պՏո՛--

)

Բբ

Ս"

ու

ՅՈ ---:Ս7-

Ս:-

«0ԱՀո

աո

1Դ

շրջ

ոչ

մա

Ս"5

22047"), Ա».

( -յշ)շ ի՞

Ս.

222»

ո:

-)2

" .

ՍՀ Հ2(1:22)Մ: Ս, «ՃՍ: 2228.

յ».

(2Իջ2-շ) -)շ

՛՞

Ս «20427-)Մ:

ՍՀ «4աՍ:

աշ 27 Իջ ` 28:

ՍՀ

ը2-ջ1«»:) Ոշ

«2»Մ: Ս, «2:Ս: ՍՄ,

«2:Ս:

վոչ

ՀԱ,

ՍՀ

վոչ

ա2

4.2

«րԵր սանն, (շի

ՍՄ«-Ը--Յ-----ՆՍ/«---Յ----:

(Իջ)

.:ԺԸՀուց)շ

փ-ոՖ

( -յ՞ջշ ի՛

թ): 9)

«(Հո

Ը)»,

Ն" "Ոշ

2227.

ԼՍ"

յ».

0:«ո»ջ)2"

(«ո»)

տ".

(Հո,

Ա.Ջ Ս-»5 ա

2226.

)

Ս,

«2042»:

Հ4:Մ:

Ս: 22605(2- Ի» Է2-): Մ, 2ջ605(-՛Ի )՛ 2): -

Ս: -22606(2-Ի ջ՞ 27): Ս" 2(6օ6:(4Ի ֆ- Ի 27)-22-Ս): Հ

Ս, 2(60:(7-Ի ջ- Է27)-2»-Ս): Մ: Հ2(6050-Իջ Ս. «-4աՍ: Մ, «-4Ս: ՍՄ,Հ-4)2Մ: Հ

2229.

Ս, Հ-4:Տո20- Ի)

2230.

2232.

//(7:4)--7:

2235.

Ս՛ «2707 Ի):): Ս. «2/0 2)

0- Է»):

--ՎՏո2շ0՛ Էջ Իշ)-16:Ս:

21)-16»Մ: Ս5 «-4Տո20- Իջ

Ս",Հ-1ՅջՄ: Մ5 Հ-162Մ: /(0:7 1: 7«(0:7-0:

Ս,

25)-22՛Ս):

Մ, Հ-4)Տտ 207 Իջ: Իշ):

2):

Ս: --4շՏլո2(7- Իջ Էշ):

Ս,, -ՎՅլո2(՛ Իջ

2233.

27)-162Մ:

Ս» Հ-16)2Մ: 2251.

ա) այո, բ) ոչ:

Սո «2/0

/(:2)-0: 2234.

յ :(:2)-1/4: Ոչ:

ջ2)Է421707 Էջ-):

Գջ"):44»17՛0-Հ)"):

Մշ,«4Թ7'(Իջ"):

2236.

Ս: «270:

Հ)՞): Ս,»-2)/6- -)5): Ս2«-ԳՄ՛Շ՛ -)՛):

Ս. 2:07

-ջ

Ս.Ի

Ս «7՛օ-)): 2238.

(7 -))447-7՛0-

«--2/

2237.

4/5

Ս, Հ»-/6Շ--)): Սո -1-/Շ-»:

Սո-7Շ-):

Ս, Հջ-(օ)92-))Է7(Թ):9:2-»: ՍՀ) 7(9990-)):

ՍՀ»: (9)90--7(99:8:6-)):

Հա/Ր՛«92-))Է0-))779'26-3))-7275"2-)): ՛()ջ2-)-2:4(8992-))Ժ7(Թ99Հ-)): Ս, Հյ

Ս.Հ Ր(9)92-))Է97(9)92-3))-/(Թ992-):"099.2-»-

նոն

-յ

2239.

բա»7 Ի)

ՍՀ

9:99:

Բյ» | - ա7| իջ ա) «աթ: 26 Ս -5: ռ «թ/վ խոօ-Ճ/( 1 խո» Հա՞յ Բի: Ս,» -Լ (խոջ-Ճ7 Մ» ի) ԵՄ1 Ը»: ՄՀ ար :) Մ,:«-Ճրիչ Հ) ոճի: իո: | |ո"57: 2. ոիոո ի-ով աՀյ Ս»,--չ տիչ Հէն նոՀ) Ս.--Էր Ս.

Իր

)

2240.

(5)

)

Ֆ/)

»-

)

Ֆ)

29)»

)

5»

)

Մ.

2»):

1»

Ի7

)

224.

ՄՀ/ՇՀ»2-ԻՀՇՕ՝ՕՀ»»-)):

ՍՀՈՃՀ»52-)-2։.ՀԻ»»-)): Ս. ՀԺԼՕՀ»:-))Է2/12Ի»2-Ի206Ի»5-»: Սո Հ/ԼԱՀ»:--2/104»2-:262Ի»:-)): 2242.

Ս, ՀԺԼՇՀ»52-3-Խ0Ի»25-)): Մ. /(5/82:60Տ»)օօ55: Մ, Հ--յ/25/ո7:6օ05չ)տոջ: Հ

յ1(5184:605))605-7::

Ս" Հ-/(ոյ:60Տ»)Տ(ո:Հ

Ս,, Հ-)2(582:60Տ)605 5 /2չ(51ո5: ՇՕՏ Ս. Հ-/չ(18 2605 »)60555ո»:

--2Վ3:

»)Տ187»:

ոռ.

2. 2285.

2281.

-2:

2287.

ա)

2291.

(0:1) մինիմումիկետ է:

2293.

(11) մինիմումիկետ է, (0:0) էքստրեմումիկետ չէ:

2294.

(11): (-Է-Ծ

2295.

(2:3

2282.

2283.

-«2 :բ)

)212:2:9

Հ:գ)2:

2288.

-7Վ2

մինիմումիկետեր են, (0:0)

մաքսիմումի կետ

Մթ

--ՇՇ:

12290.

(10) մինիմումիկետ է:

2292.

է,

12289.

-յՎ7-

-ն

էքստրեմումիկետ չէ:

1(0:):»6(0:6))

մինիմումի կետ

է,

(6::»»»« Ը«ՀՕ)Ս(6:-»)) մաքսիմումիկետ է: 2296.

(0:0)-ն մաքսիմումիկետ է, (0:

1)-ըեն

(աժ -ն

2298. 2300.

(0:0)

-ն

մինիմումիկետ է,

չ: երի ի-ր

2301.

1)-ըն

2302. 1-27 2303. 2306.

»՞-Է»2-1

ոո

Ը:Հէ

-ը

շրջանագծի կետերը մաքսիմումի -ն

մաքսիմումիկետ է:

ի ւմ

մաքսիմումիկետ է:

(Ժ1.0)-ն էքստրեմումիկետ չէ:

կորի կետերըմինիմումիկետերչեն:

Սո, Լ. 1.7.-101.շ)ցգ.

մինիմումիկետեր են,

(0:0)

2299.

մինիմումի կետ է,

(0:Է

ջոկի

էքստրեմումիկետերչեն:

(0:0)-ն մինիմումի կետ է, կետերեն: (5:2) -ը մինիմումիկետ է:

2297.

Ը»

ո(0:0)»0:

2307.

22:

ՍուղԷ2:-1)--2: ուդ

2305. 2308.

ս. Ը::--րը:

6՛6

Շու(0.0)Հ10:

(10»-Վ:։ 2309.Ս ուո

2310.

Ս,..ԷՌՀ0: ուռ

Սու2:-2)58:

Սոլո(5:5) Հ -125:

Հ-3: Ս.«(Բ-1|-4: 2315. 2316. Ս.«(9:2|--3: Ս.«|21)--Յ:առ. 2312.

2313.

ս ի2

2318.

2320.

Սո(03)»-9: ոո

ո2-18/3:

3:-3)Հ--643: ՍուԸ:3:-3)58:3:

Սոս

2319.

ՍԷ

Ս..(0:0)-0:Ս, ԹՎՅԵՎ2)--8: Սո(0-2)-52: 232.

2322.

Մու(4:4)Հ15:

2325.

Սոր Յ1:

2327.

Սու

2329.

-2: Սոդա

2331.

Սու Հ1: Ծո

2333.

Արտադրիչները հավասարեն Սո:

2334.

Ուղղանկյանկողմերնեն

Սոր "Տ: 19: Սո

Հ-1

Սող «55: 50:

2338. 234.

2346.

-Շ0Տ2ԻՇ:

Տաշ:

--շՀԸ:

Հ3Յ6: Սո Սորա

2328.

Սո, Հ17: ՍողՀ-152:

2330.

Ծո 125:

Սոր 15:

«/3:

Ք/3 ն 25/3:

Տոշյ

2339.

ԺՊԼՎ

2341.

2:«Շ:

ՀԸ:

«ՐԸ

2337.

«(2 Հ0Հ-Ը:

2340.

ՀԱԻՏԻ -շչչԸ:

2343.

ԼԻ

ս»

Է(ՐՈՒՑ" -դ էՎ

--Լ--օ"ՎԸ:

61ջ-----

«)«92

2351.է.2»ոոաթ»-ոՇԱՀ»):2352.

ոՀ

տ---ք

աաՀ---

2347. ո

238.

2345.

Ը:

Էվ---1: Տո

«-Տ:

Հ-12:

Գումարելիներըհավասարեն

2332.

2336.

Սոլ

2326.

22:

-Փ

2344.

Սո 0:

2324.

2335.

Սուղ 4.-2)--4:

2323.

2350.

-1:

փ5-

-Տրօէք6ՎԸ: 3տո

«րՀ»

2353.

ԷՎ":

)

ի իո Պ2

2354.

-է

2358.

»ուօէջ(ո|Շ»|):2359.

12355.

ՀՊՎ

--Դ

բ.

2362.

ց-

2366.

Հ«ՓԸչ:

2357.

8շ

շ».3

2360.

ո|Շ»|

--ոլՇլ|:

5/4

ԺոատոՇ»: լ

2363.

ՀՎԸւ:

Ֆ-Ճ

Բ, 2365. 52»

-ի-» 7-06

իՑ

ամ

2361. 2364.

Ճ:

2368.ՇՎ6--2)ՀԹ-37՛

Յ8-ջ «6

Ը»:

.-Րչ-

ՀՇ":

2366.

603":

2367.

Ֆ-1

2ՉԶ:

-3 (շշ Իյ2)Ի5ո|չ:թ-Շ: 2369.2ոոօէթ37

չո

2370.

)Իո

ՇլՑո

լօ" ԳՇչօ՞":

ՀԸ:

2371.

ՀԸշօ0Տ52:

2373.

Վ6.- Ըշ ՕՏ 46»): »-6՞«(ՇլտՋո

Շլժ24»" Շշօ-72:

2372.

2374.

» 6

2376.

»-ՇլփԸչօ":

2377.

»-Ըյ6"

2378.

»-ՇՕլԻՇչԻԸյ՞:

2379.

»օ(Ը

2380.

»-Շլօ

2381.

»»-օ(ԸլՀԸշ:)ՒՕ6-՞:

2382.

»-6(Ը

2383.

»Հօ(ԸԻԸչՀԻՕ»):

2384.

»-Ըլ

23856.

2386.

(ԸՇլԷՇշ):

«(Ը

ՇԻ

ոթՀ, անո ՏԼո

Շլ

Շր):

Ը»):

Ըշ)ԻԸօ Ր:

ԸչՒՇյծ

` ՊԸլծ":

ՀՇլԷՇչՇլտոյւՀՇլօ053:: -

Ըլօ7" ԻԸչօ՞"Գ Ըլպո2:5ԻԸլ 60525: Օօ" ԻԸչօ" փԸյօ"ԳԸլօ՞":

2387.

Հ(Ըլ

Ըշ:չ)օօ553Հ(Ըլի Ըլ)տոչ:

2388.

2389.

2390.

»-ԸլԴԸչօ՝

Հ Ըլ Տո«պՅ»: ԸչտուՒԻՇլ 6օ05-/3:: Օլօ05:5Հ

ֆԸօ-

Ըլօ" ԳԸչօՐ:

2391.

»-ԸՇլՀՇՕչԺՇրԻօՀ(ԸլՀԸչժ:

2392.

»ԸլՀ(Ըչ

.2 տոյ:

2393.

»-Ը62

2396.

ւ ԸՇ":

2399.

չք

2402.

2404.

ՎԸյ)օօ522(Ըլ

Ըչ:)պՎո2.: 6-71

Ջոշ

-1:

2394.

»-Ը6

2397.

ԸՇ

2400.

օօտ»շո

«5.-555-4

--(ԴՏո22)-

«"

)

ՇօՏ2:.

ՎՇ.

2406.

2401.

-օ"

241.

-Ը-Վ-Ր-:

244.

Հօ

2409.

ՀՇ:

Ը6՞

ՀԴ)

2398.

«2-1ՀԸՇ՞:

2401.

1-աօէք»:-Ի---:

2412.

-Փ"

243.

ո(«-դը 1427.

ԴԵ

ՎԸ`-

2410.

լո)

"1":

ՇՓ"

Գ-:»ՀՀ:

Հ052-լ Ը.

-ջՀ

-1.

է:- Ե60ՏԵր չուԸՐ-":

ՓԳ:

Տո24Ի 460

ոիՒՇ, ԸՇ ով:

ՑՅր

2408.

ՇԱՀՀ)6

ռը

2405.

Ը-րառրո «Շիտ՝: շ

Վ5.

Տո

2403.

Հ--:

2395.

ՇՕՏ 7

«0:ո)

ԷՇ05)

ԸշաԻՅՎԸ--

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Ղազարյան, Ս.Մ. Հովհաննիսյան, Ռ.Ս. Դավթյան, Գ.Պ. Տոնոյան, «Մաթեմատիկականանալիզի խնդրագիրք տնտեսագետներիհամար», Երնան, 2007:

Հ.Գ.

ՄՆԱԼԽջոթյթոծը, ՅՅՈՅՎ

1984.

ոօ ԿՅՇ7Ե

/Ճ.

/1Լ Է712608,

8.11. Աճմոօո, 'ԼՈ.

ԽԱԼՇԽԱԼԱՎՇՇԽՕԽԻ ՀԵՅՈՒՅՄ»,

870քճա,

ՎՅՇԼԵ

հ/օ0ՇաՔճ, «Դ1շ7ոճ»-1986.

Ա1ոծջոռո, «ՇՇօքետու

ՈՇքոճտ, հ10օատճ. «ԷՐտեաշ»-

Գլւորգյան, Լ.Հ. Գալստյան, Ա.Կ. Թասլաքյան, Գ.Վ. Միքայելյան, Նավասարդյան, «Մաթեմատիկական անալիզի խնդրագիրք», Երնան, առաջին մաս 1998, երկրորդմաս, 1999:

Գ.Գ. Կ.Ա.

Հովհաննիսյան, Ռ.Ս. Դավթյան, Ն.Հ. Սինանյան, Բ.Վ. Գրիգորյան, «Մաթեմատիկականանալիզ», ուսումնամեթոդական ձեռնարկ, առաջին մաս, Երնան, 1985: Ս.Մ.

Դավթյան, Ռ.Ա. Ավետիսյան, Վ.Մ. Մանուկյան, Գ.Վ. Միքայելյան, «Մաթեմատիկականանալիզ», ուսումնամեթոդականձեռնարկ, երկրորդ մաս, Երնան, 1988: Ռ.Ս.

Զաքարյան, Հ.Ս. Առաքելյան, Հ.Մ. Խոսրովյան, Ֆ.Մ. Մինասյան, «Մաթեմատիկայիխնդիրներիշտեմարան»,մաս |, Երնան 2005:

Վ.Ս.

Ղազարյան, Ֆ.Հ. Մամիկոնյան, Ա.Հ. Վովհաննիսյան, Գ.Ա. Կարապետյան, «Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ»(խնդրագիրք), Երնան, 1988:

Հ.Գ.

Խ.3.

Եք Ֆան,

«Խ11ՇԽՈՂԱՒՅ

ող

3:ՕԱՕԽԱՇՐՕ8»,

«ՇՂՅՔՇԼՈհՈ0ՇԽԵ8Յ,

Խ21»- 1970

ՍԵԴՐԱԿ

ԱՌԱՔԵԼ

ՄՈՒՇԵՂԻ

ՀՈՎՀԱՆՆԻՍՅԱՆ

ԿԱՐԱՊԵՏԻ

ԹԱՍԼԱՔՅԱՆ

ՄԱԹԵՍԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԱՆԱԼԻԶԻ

ՏՆՏԵՍԱԳԵՏՆԵՐԻ

ԽՆԴՐԱԳԻՐՔ

ՀԱՍԱՐ

ՍՄԱՍՈ

Համակարգչայինաշխատանքները՝

Ն.Օ.

ԽՆԿԻԿՅԱՆԻ

Փ ՍՈԽՏԻ Տպագրության եղանակը`ռիզոգրաֆիա: Ֆորմատ` 704100 1/16, թուղթ օֆսեթ, Ա 1: Ծավալ` 13.25 տպ. մամուլ: Տպաքանակ 300: Ք.

Տպագրված է «ԼԻՄՈՒՇ» ՍՊԸ-ի տպարանում: Երնան, Պուշկին 40, տարածք 76, հեռ. 58.22.99 Է-ոՅ | /ոօԹնտստի.ՅՈ