ELIB – Էլեկտրոնային Գրադարան | Գրքեր, նյութեր, հոդվածներ

ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ՖԻԶԻԿԱՅԻ ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Ա. ԿԻՐԱԿՈՍՅԱՆ

ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ

ՖԻԶԻԿԱՅԻ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՄԱՍ II

Ա© Ա© ԿԻՐԱԿՈՍՅԱՆ

ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ՖԻԶԻԿԱՅԻ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ԵՐԿՐՈՐԴ ՀՐԱՏԱՐԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՄԱՍ ԼԼ

ԵՐԵՎԱՆ

ԵՊՀ ՀՐԱՏԱՐԱԿâՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ 538.9 ԳՄԴ 22.37 Կ 530 Հրատարակության է երաշխավորել ԵՊՀ ֆիզիկայի ֆակուլտետի գիտխորհուրդը Ուսումնամեթոդական աշխատանքների մատենաշար պրոֆ. Ա. Կիրակոսյանի ընդհանուր խմ ագրությամ Êմ ագիր՝ ակադեմիկոս ¾. Մ. Ôազարյան Գրախոսներ՝

ֆմգդ., պրոֆ. Ա. Մուրադյան ֆմգդ., պրոֆ. Ա. Սահակյան

Ա. Ա. Կիրակոսյան Կ 550 Պինդ մարմնի ֆիզիկայի ներածություն, Մաս ԼԼ/Ա. Կիրակոսյան: Եր.: ԵՊՀ հրատ., 2015, 564 էç: Դասագրքի ԼԼ մասում շարադրված են դասական էլեկտրոնային տեսությունը, էլեկտրոնային գազի քվանտային տեսությունը, տրված են նախնական տեղեկություններ յուրեղում էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրի գոտիական կառուցվածքի մասին: Առանձին գլուխներ են նվիրված գերհաղորդականության երնույթի, պինդ մարմնի մագնիսական հատկությունների ն արատների ուսումնասիրմանը: Տրված են նախնական տեղեկություններ ամորֆ պինդ մարմինների ն հեղուկ յուրեղների մասին: Նախատեսված է Երնանի պետհամալսարանի ֆիզիկայի ն ռադիոֆիզիկայի ֆակուլտետների, Արցախի պետական համալսարանի նագիտական ֆակուլտետի, Հայաստանի ազգային պոլիտեխնիկական համալսարանի կի եռնետիկայի, կիսահաղորդչային սարքերի ֆիզիկայի, նյութա անության ն հարակից նագավառներում մասնագիտացող ակալավրների, մագիստրոսների ն ասպիրանտների համար: Գիրքը կարող է ûգտակար լինել նան պինդ մարմնի ֆիզիկան ինքնուրույն ուսումնասիրել ցանկացող գիտաշխատողների ն ×արտարագետների համար: 538.9 22.37 ISBN 978-5-8084-2016-8

 ԵՊՀ հրատ., 2015  Ա. Կիրակոսյան, 2015

Նվիրում եմ ծնողներիս՝ Ավետիսի ն Արմենուհու հիշատակին

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Գլուխ 71. Դասական էլեկտրոնային տեսություն § 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

Դրուդեի էլեկտրոնային տեսությունը …………………………………… 8 Մետաղի էլեկտրահաղորդականությունը …………………………….. 10 Մետաղի դինամիկական հաղորդականությունը ……………………... 15 Մագնիսադիմադրություն: Հոլի երնույթը ……………………………… 21 Ջերմահաղորդականություն: Վիդեման-Ֆրանցի օրենքը: Զեեբեկի երնույթը ………………………………………………………. 27 § 6. Լորենցի էլեկտրոնային տեսությունը …………………………………. 32 § 7. Կինետիկ հավասարման լուծումը: Կինետիկական գործակիցների հաշվարկը …………………………………………….. 37 Գլուխ 711. Մետաղների տեսությունն ըստ Զոմերֆելդի § 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը …………………………………………….. 43 Էլեկտրոնային գազը հիմնական վիճակում ………………………….. 45 Էլեկտրոնային գազը զրոյից տարբեր ջերմաստիճաններում ………. 52 Էլեկտրոնային գազի ջերմունակությունը …………………………….. 58 Էլեկտրոնային գազի էլեկտրահաղորդականությունը ն ջերմահաղորդականությունը ………………………………………….. 63 § 6. Դասական տեսության մեջ Ֆերմի-Դիրակի քվանտային բաշխման օգտագործման հիմնավորումը ……………………………. 70 § 7. Դասական էլեկտրոնային տեսության թերությունները ……………… 72 Գլուխ 7111. Գոտիական տեսության հիմունքները § 1. Էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան պարբերական դաշտում: Բլոխի թեորեմը ……………………….…………………………………. 77 § 2. Կրոնիգ-Պեննիի մոդելը ………………………………………………… 84 § 3. Կրոնիգ-Պեննիի մոդելը: Վերլուծական արտահայտություններ ……. 92 § 4. Քվազիիմպուլս: Արտաքին դաշտի ազդեցությունը բյուրեղում շարժվող էլեկտրոնի վրա: Արդյունարար զանգված …………………. 97 § 5. Հաղորդիչներ ն մեկուսիչներ: Խոռոչի գաղափարը …………………. 103

Գլուխ 1Ճ. Պինդ մարմինների մագնիսական հատկությունները § 1. Պինդ մարմինների դասակարգումն ըստ մագնիսական հատկությունների ……………………………………………….……. 115 § 2. Ատոմային դիամագնիսականություն: Բոր-Վան-Լենենի թեորեմը ………………………………………………………………… 119 § 3. Ատոմային ընկալունակության հաշվարկը ………………………….. 126 § 4. Դիէլեկտրիկների մագնիսական ընկալունակությունը ……………… 130 § 5. Ազատ էլեկտրոնների ուղեծրային դիամագնիսականությունը ……. 135 §6. Ատոմների ն իոնների պարամագնիսականությունը: Կյուրիի օրենքը ………………………………………………………… 147 § 7. Սպինային պարամագնիսականություն ……………………………... 157 § 8. Մագնիսական կարգավորվածություն ……………………………….. 165 § 9. Ֆեռոմագնիսականություն ……………………………………………. 171 § 10. Ֆեռոմագնիսի մագնիսացվածության կախումը ջերմաստիճանից ն արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից ……………………………………………………… 174 § 11. Հակաֆեռոմագնիսականություն …………………………………….. 181 § 12. Ֆեռիմագնիսականություն …………………………………………… 188 § 13. Փոխանակային փոխազդեցություն: Հայզենբերգի մոդելը ………… 197 § 14. Սպինային ալիքները ֆեռոմագնիսներում ………………………….. 204 § 15. Մագնիսական անիզոտրոպություն …………………………………. 213 § 16. Ֆեռոմագնիսական դոմեններ ……………………………………….. 218 Գլուխ Ճ. Գերհաղորդականություն § 1. § 2. § 3. § 4.

Գերհաղորդականության հայտնագործումը ………………………… 230 Իդեալական դիամագնիսականություն: Մայսների երնույթը ………. 236 Միջանկյալ վիճակ: 1 ն 11 սեռի գերհաղորդիչներ …………………… 242 Գերհաղորդիչ վիճակի ջերմադինամիկան: Ջերմունակության թռիչքը ………………………………………………………………….. 250 § 5. Լոնդոնների տեսությունը …………………………………………….. 258 § 6. Հոսքի քվանտացում: Կուպերյան զույգեր …………………………… 265

§ 7. Գերհաղորդականության միկրոսկոպական տեսության ֆիզիկական հիմունքները: Կուպերի խնդիրը ………………….……. § 8. Գաղափար գերհաղորդականության ԲԿՇ տեսության մասին …… § 9. Ջոզեֆսոնի երնույթները ……………………………………………… § 10. Գաղափար բարձրջերմաստիճանային գերհաղորդականության մասին ……………………………………...

Գլուխ Ճ1. Արատները բյուրեղներում § 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

Բյուրեղային արատների դասակարգումը …………………………... Կետային արատներ ………………………………………………….. Կետային արատներն իոնային բյուրեղներում ……………………... Դիսլոկացիաներ ………………………………………………………. Դիսլոկացիայի առաձգական դաշտը ………………………………..

Գլուխ Ճ11. Ամորֆ մարմիններ ն հեղուկ բյուրեղներ § 1. Ամորֆ մարմիններ ……………………………………………………. 333 § 2. Ամորֆ մարմինների առաձգական հատկությունները ……………… 340 § 3. Գաղափար հեղուկ բյուրեղների մասին …………………………….. 344 Հավելված 1. Ֆիզիկական մեծությունների աղյուսակ ………………….. 355 Հավելված 4. Մետաղների տեսակարար դիմադրությունները ն էլեկտրոնային խտությունները ………………………….. 356 Հավելված 5. 7111.1.11 ն ՄԼԼԼ. 1.12 առնչությունների արտածումը ……

Հավելված 6. Տարրերի կրիտիկական ջերմաստիճանները ն կրիտիկական մագնիսական դաշտերը …………………… 358 Գրականություն ……………………………………………………………. 359

ԳԼՈՒԽ 71

ԴԱՍԱԿԱՆ ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

§ 1. Դրուդեի էլեկտրոնային տեսությունը 1897 թ. Ջ.Ջ. Թոմսոնը հայտնագործեց էլեկտրոնը: Երեք տարի անց Պ. Դրուդեն ստեղծեց էլեկտրոնային տեսություն, որը հաջողությամբ բացատրում էր մետաղների էլեկտրա- ն ջերմահաղորդականությունը: Էլեկտրոնների համախումբը ետաղում Դրուդեն դիտարկել որպես էլեկտրոնային գազ ն հաշվարկել մետաղի որոշ պարամետրեր` օգտվելով գազերի կինետիկ տեսությունից: Այս տեսության պարզագույն տարբերակում մոլեկուլները համարվում են կոշտ, միատեսակ գնդեր, որոնք փոխազդում են միայն կարճատն բախումների ժամանակ: Քանի որ մետաղն էլեկտրաչեզոք է, ապա էլեկտրոնների հետ մեկտեղ մետաղում պետք է լինեն նան դրական լիցքավորված մասնիկներ (իոններ), որոնք, համաձայն Դրուդեի, անշարժ են ն համակշռում են էլեկտրոնների բացասական լիցքը: Էլեկտրոնային գազի կարնոր բնութագիրը խտությունն է` 1սմ3-ում պարունակվող էլեկտրոնների թիվը` N 2 , (1.1) ո   N4 V որտեղ N 4 -ն Ավոգադրոյի հաստատունն է,  -ն` նյութի խտությունը, 4 -ն` հարաբերական ատոմային զանգվածը, 2 -ը` ատոմի արժեքականությունը, այսինքն` այն էլեկտրոնների թիվը, որոնք հեռանում են ատոմից, երբ առանձին ատոմներից առաջանում է մետաղը: Մետաղներում էլեկտրոնների խտությունը 1022 սմ

3

կարգի մեծություն է ն փոփոխվում է 0, 91  1022 սմ

մինչն 24, 7  1022 սմ

3

-ից (ԸՏ)

(B6) (Հավելված 4):

Մետաղներում էլեկտրոնային գազի խտությունը մոտ 1000 անգամ մեծ է նորմալ պայմաններում դասական գազի խտությունից` Լոշմիդտի թվից` ոL  2, 7  1019 սմ

3

: Չնայած այս հանգամանքին, ինչպես նան ուժեղ էլեկտ-

րոն-էլեկտրոն ն էլեկտրոն-իոն փոխազդեցությունների առկայությանը, Դրու8

դեի տեսության մեջ էլեկտրոնային գազի ուսումնասիրության համար կիրառվում են չեզոք, նոսր գազերի կինետիկ տեսության մեթոդները: Դրուդեի էլեկտրոնային տեսության մեջ արվում են հետնյալ հիմնական ենթադրությունները. 1. Երկու բախումների միջն ընկած ժամանակամիջոցում հաշվի չի առնվում էլեկտրոնի փոխազդեցությունը մյուս էլեկտրոնների ն իոնների հետ, այլ կերպ ասած` արտաքին էլեկտրամագնիսական դաշտերի բացակայությամբ յուրաքանչյուր էլեկտրոն շարժվում է ուղղագիծ ն հավասարաչափ: Արտաքին դաշտերի առկայությամբ էլեկտրոնը շարժվում է Նյուտոնի օրենքներին համապատասխան, ընդսմին հաշվի են առնվում միայն այդ դաշտերը, իսկ մյուս էլեկտրոնների ն իոնների լրացուցիչ բարդ ազդեցությունը հաշվի չի առնվում: Այն մոտավորությունը, որի դեպքում արհամարհվում է բախումների միջն ընկած ժամանակամիջոցում էլեկտրոն-էլեկտրոն փոխազդեցությունը, հայտնի է որպես անկախ էլեկտրոնների մոտավորություն, իսկ երբ արհամարհվում է էլեկտրոն-իոն փոխազդեցությունը, ապա գործ ունենք ազատ էլեկտրոնների մոտավորության հետ: 2. Բախումն ակնթարթային պատահար է, որը հանկարծակիորեն փոխում է էլեկտրոնի արագությունը: Էլեկտրոնները հետ են թռչում դրական իոններից, ինչպես կոշտ գնդերից, իսկ էլեկտրոնի բախումները մյուս էլեկտրոնների հետ ընդհանրապես հաշվի չեն առնվում (նկ. 96): Իրականում այս պատկերը հեռու է ճշմարտացի լինելուց: Բարեբախտաբար, շատ խնդիրներում կարնոր չէ բախման մեխանիզմի մանրամասն իմացությունը. բավական է միայն ենթադրել, որ գործում է ցրման որնէ մեխա-

Նկ. 96. Էլեկտրոնի բախումներն իոնների հետ

նիզմ: Կարելի է օգտագործել ցրման պրոցեսի մի քանի ընդհանուր հատկություններ, առանց սահմանափակվելու այս կամ այն մեխանիզմով: Այդ ընդհանուր հատկությունները տրվում են հետնյալ երկու ենթադրություններով. 3. Միավոր ժամանակում էլեկտրոնի ցրման հավանականությունը 1  է, իսկ dt ժամանակամիջոցում` dt  :  -ն կոչվում է ռելաքսացիայի ժամանակ կամ ազատ վազքի ժամանակ ն կախված չէ էլեկտրոնի դիրքից ն դրա արագությունից: 4. Էլեկտրոնների ն շրջապատի միջն ջերմային հավասարակշռություն հաստատվում է բացառապես բախումների շնորհիվ: Բախումները պահպանում են տեղային ջերմային հավասարակշռությունը հետնյալ կերպ. բախումից անմիջապես հետո էլեկտրոնի արագությունը կապված չէ բախումից առաջ դրա ունեցած արագության հետ, ընդ որում արագությունն ուղղված է պատահական ձնով, իսկ մեծությունը համապատասխանում է այն տիրույթի ջերմաստիճանին, որտեղ տեղի է ունեցել բախումը: 1-4 ենթադրությունների հիման վրա Դրուդեի մոդելի շրջանակներում հաշվարկենք մետաղների որոշ ֆիզիկական բնութագրեր ն համեմատենք դրանք փորձից հայտնի տվյալների հետ:

§ 2. Մետաղի էլեկտրահաղորդականությունը Օհմի օրենքի համաձայն` հոսանքի ուժը հաղորդիչում համեմատական է դրա ծայրերին կիրառված լարմանը`

1

Ս , R

(2.1)

որտեղ հաղորդիչի R դիմադրությունը կախված է նմուշի ձնից, չափերից, ինչպես նան նյութի տեսակից: Դրուդեի տեսությունը հնարավորություն է տալիս բացատրելու (2.1) կապը ն գնահատելու հաղորդիչի դիմադրությունը: Ինչպես գիտենք, vi արագությամբ շարժվող էլեկտրոնը համարժեք է 7i  e vi / V խտությամբ հոսանքի ( e -ն տարրական լիցքն է, e -ն` էլեկտ-

րոնի լիցքը, V -ն` հաղորդչի ծավալը): Գումարելով բոլոր N էլեկտրոնների ստեղծած հոսանքների խտությունները` կստանանք.

7

 i 1

7i  

 vi  eոv ,

V i 1

(2.2)

որտեղ v

 vi

N i 1

(2.3)

վեկտորն էլեկտրոնների միջին արագությունն է, որն անվանում են նան հոսընթացի (դրեյֆ) արագություն: Այն էլեկտրոնների համակարգի` որպես ամբողջություն շարժման արագությունն է: Մետաղի կամայական կետում էլեկտրոնները շարժվում են բոլոր հնարավոր ուղղություններով ն ունեն տարբեր արագություններ: Արտաքին դաշտերի բացակայությամբ էլեկտրոնների շարժման բոլոր ուղղությունները հավասարահնարավոր են, ուստի v  0 : Արտածենք էլեկտրոնների համակարգի շարժման հավասարումը, երբ էլեկտրոնների վրա ազդում է / արտաքին ուժը: Էլեկտրոնի միջին իմպուլսը t պահին նշանակենք ք(t ) -ով ն հաշվենք այն dt ժամանակ անց` ք(t  dt ) -ն: Հավանականությունն այն բանի, որ պատահական Է պահին տվյալ էլեկտրոնը կբախվի մինչն t  dt պահը, այսինքն` կբախվի dt ժամանակահատվածում, dt  է, ուստի dt -ում չբախվելու հավանականությունը կլինի 1  dt  : Բախման բացակայությամբ էլեկտրոնը շարժվում է արտաքին ուժի ազդեցությամբ ն ձեռք է բերում լրացուցիչ / (t )dt  Օ(dt )2 իմպուլս ( Օ( dt ) 2 -ն նշանակում է (dt )2 -ու կարգի մեծություն): Այսպիսի էլեկտրոնների ներդրումը

Է  dԷ պահին ունեցած իմպուլսի մեջ հավասար է  dt    1    ք(t )  / (t ) dt  Օ(dt )  :   

(2.4)

Այժմ որոշենք dt -ում բախված էլեկտրոնների ներդրումը: Այսպիսի էլեկտրոնների թիվը համեմատական է dt  -ին: Քանի որ բախումից անմիջապես հետո էլեկտրոնի արագությունը (ն իմպուլսը) ուղղված է պատահական ձնով, ապա յուրաքանչյուր բախված էլեկտրոնի ներդրումը միջին իմպուլսում t  dt պահին պայմանավորված կլինի dt -ի ընթացքում տեղի ունեցած բախումից

հետո / (t ) ուժի շնորհիվ ձեռք բերած որոշակի իմպուլսով, որը / (t )dt կարգի է: Այսպիսով` բախված էլեկտրոնների ներդրումը

 dt    f (t ) dt - Օ(dt )   

(2.5)

կարգի է: (2.4) ն (2.5) արտահայտություններից հետնում է, որ t  dt պահին էլեկտրոնի իմպուլսը`

 

ք(t  dt )   1 

dt 

  ք(t )  / (t ) dt  Օ (dt )   / (t ) dt    

 ք(t )  / (t ) dt 

dt 

(2.6)

ք(t )  Օ(dt ) 2 :

Կատարելով սահմանային անցում` dt  0 , կստանանք` dք dt



ք 

 / (t ) :

Նկ. 97. ա. E էլեկտրական դաշտի, բ. էլեկտրոնի արագության ն գ. հոսընթացի արագության կախումները ժամանակից

(2.7)

Այս հավասարումից հետնում է, որ էլեկտրոնների` իոնների հետ բախումների շնորհիվ ծագում է էլեկտրոնների շարժումն արգելակող, արդյունարար «շփման» ուժ`  ք  անդամը: (2.7) հավասարման օգնությամբ որոշենք էլեկտրոնի հոսընթացի արագությունը հաստատուն, համասեռ էլեկտրական դաշտում, որի E լարվածությունը զրոյից տարբեր է (0, T ) ժամանակամիջոցում (նկ. 97, ա): Էլեկտրոնի վրա ազդող

/  eE

(2.8)

ուժի ազդեցությամբ երկու հաջորդական բախումների միջն յուրաքանչյուր էլեկտրոն կատարում է արագացող շարժում (նկ. 97, բ): (2.7) հավասարումից հոսընթացի արագության համար կստանանք (նկ. 97, գ)` v

ք ո



e E   1  exp   ո  

t 

 :

 

(2.9)

Այս արտահայտությունից հետնում է, որ էլեկտրական դաշտը միացնելուց t   (սակայն t  T ) ժամանակ անց էլեկտրոնները ձեռք են բերում հոսընթացի հաստատված (ստացիոնար) արագություն` v  vD  

e E , ո

(2.10)

որին, ըստ (2.2) առնչության, համապատասխանում է հոսանքի հաստատուն խտություն`

ոe 2  E  E : (2.11) ո (2.11) արտահայտությունն Օհմի օրենքն է դիֆերենցիալ տեսքով, իսկ 7

ոe2  ո մեծությունը մետաղի էլեկտրահաղորդականության գործակիցն է: Եթե  -ից անցնենք նյութի տեսակարար դիմադրությանը` 



, 

(2.12)

(2.13)

ապա, օգտվելով դրա փորձնականորեն չափված արժեքներից, (2.12) բանաձնով կարելի է գնահատել ռելաքսացիայի  ժամանակը`



ո ո e2

(2.14)

Տեսակարար դիմադրությունը կախված է ջերմաստիճանից: Սենյակային ջերմաստիճաններում այն մի քանի մկՕմսմ կարգի մեծություն է (տես Հավելված 4): Եթե

  -ով նշանակենք տեսակարար դիմադրությունը` ար-

տահայտված մկՕմսմ-ով, ապա (2.14) առնչությունը կարելի է արտագրել հետնյալ հարմար տեսքով`

 35  ո0 14 10 վ ,    ո  

(2.15)

որտեղ ո0  1022 սմ 3 : Փորձնական տվյալների համաձայն` սենյակային ջերմաստիճաններում  - 1014  1015 վ կարգի մեծություն է: Նույն պայմաններում էլեկտրոնի միջին ջերմային արագությունը`

1/2

v7  (3kB7 ո)

- 10 սմ/վ: Ազատ վազքի l =vT միջին երկարության համար ստացված ար-

ժեքները 1  10 Å տիրույթում են: Քանի որ l - a -ին` միջատոմային հեռավորությանը, ապա ստացված արդյունքը լիակատար համաձայնության մեջ է Դրուդեի` իոնների հետ էլեկտրոնների բախման վերաբերյալ արված 2-րդ ենթադրության հետ: Հարկ է նշել, որ Օհմի օրենքը` (2.11) հավասարումը, տեղի ունի թույլ դաշտերում, երբ vD  vT (տես նան (6.5) պայմանը): T  300 Կ-ում կարելի է թույլ համարել 104 Վ/սմ-ը չգերազանցող լարվածությամբ դաշտերը: Եթե արտաքին էլեկտրական դաշտն անջատվում է ( E  0 , երբ t  T , նկ. 97. ա), ապա (2.7) հավասարումից հետնում է, որ անջատելուց հետո Է վ անց հոսընթացի արագությունը տրվում է (նկ. 97, գ)

 t v(t )  vD exp     

(2.16)

արտահայտությամբ, որի համաձայն` ուղղորդված շարժման արագությունը ձգտում է զրոյի: Նշանակում է` դաշտն անջատելուց հետո t -  ժամանակ անց համակարգը ջերմային հավասարակշռության վիճակում է:

Օգտվելով vD -ի ն E -ի միջն (2.10) կապից` ներմուծենք մի նոր բնութագրի` շարժունության գաղափարը: Շարժունությունը սահմանվում է որպես հոսընթացի արագության ն դաշտի լարվածության միջն համեմատականության գործակից` e (2.17) vD   E   E : ո Մասնավորապես, էլեկտրոնի շարժունությունը`

e  ո

(2.18)

ն ունի նույն նշանը, ինչ որ մասնիկի լիցքը: (2.12) ն (2.18) բանաձների միջոցով էլեկտրահաղորդականության գործակիցը կարելի է արտահայտել հետնյալ բանաձնով`   eո : (2.19) Ընդհանուր դեպքում, երբ համակարգն անիզոտրոպ է, էլեկտրահաղորդականության, տեսակարար դիմադրության ն շարժունության գործակիցներն արտահայտվում են երկրորդ կարգի թենզորներով:

§ 3. Մետաղի դինամիկական հաղորդականությունը Ենթադրենք` էլեկտրոնային գազը ժամանակի ընթացքում փոփոխվող էլեկտրական դաշտում է: Սահմանափակվենք ներդաշնակորեն փոփոխվող դաշտերով, երբ E ( t )  E ( ) exp( it ) : (3.1) Այս դեպքում (2.7) հավասարման լուծումը կփնտրենք ք (t )  ք( ) exք( i t )

(3.2)

տեսքով: (3.1) ն (3.2) առնչությունները տեղադրելով (2.7) հավասարման մեջ` ք() անհայտ գործակցի համար կստանանք. ք( ) 

e E   1  i

Մյուս կողմից, (2.2) արտահայտության համաձայն` 7 (t)  eոv(t)  7() exp(it ) ,

(3.3)

(3.4)

որտեղ 7 ()  

eո ք( ) ո



ոe2 E ( ) ո(1  i)

 () E () :

(3.5)

() մեծությունը կոչվում է դինամիկական կամ բարձրհաճախային հաղորդականություն ն տրվում է հետնյալ բանաձնով`  , ( )  1  i որտեղ  -ն ստատիկ էլեկտրահաղորդականության գործակիցն է:

(3.6)

Եթե   1 , ապա (3.6) բանաձնից հետնում է, որ ()   : Այսպիսով`

  0  1  (երբ  - 1014 վ, 0 - 1014 ռադ/վ) հաճախությամբ փոփոխվող դաշտում էլեկտրոնի վարքը գործնականորեն չի տարբերվում էլեկտրաստատիկ դաշտում դրա վարքից: Եթե (3.1) առնչության փոխարեն արտաքին դաշտի ժամանակային կախումը ներկայացնենք E(t)  E()exp(it) տեսքով, ապա (3.6) բանաձնի փոխարեն կստանանք` ( ) 

 1  i

(3.7)

Դաշտի լարվածության E (t )  E ( ) exp(it )

E (t )  E ( ) exp( it )

(3.8)

ներկայացումները համարժեք են, քանի որ ֆիզիկական իմաստ ունեցող իրական E(t )  12 E ( )(exp (it )  exp ( it ))  E( ) օօՏ(   t ) մեծությունը կախված չէ exp -ի նշանից: Նույն դատողությունն իրավացի է նան 7 -ի համար. 7 (t ) 

( 7  7 ) 

(  E   E  ) :

(3.9)

( ) կոմպլեքս հաղորդականությունը ներկայացնելով  |()| exp(i)

տեսքով` (3.9) առնչությունից կստանանք. 7  () E () օօՏ( t  ) :

(3.10)

Համաձայն (3.10) բանաձնի` դինամիկական հաղորդականության կոմպլեքս լինելը, նշանակում է հոսանքի ն լարման միջն փուլի շեղում, ընդ որում,

հոսանքը փուլով հետ է մնում լարումից: (3.6) բանաձնը ներկայացնելով էքսպոնենտային տեսքով,  փուլի համար կստանանք`

tg   :

(3.11)

Այս բանաձնից հետնում է, որ  -ի աճին զուգընթաց հոսանքի շեղումը լարումից դառնում է ավելի ու ավելի զգալի, որը վերջին հաշվով պայմանավորված է էլեկտրոնների իներտությամբ: Այժմ ուշադրություն դարձնենք հետնյալ երկու հանգամանքների վրա: 1. Ինչպես հայտնի է, ժամանակի ընթացքում փոփոխվող էլեկտրական դաշտը շրջապատում մակածում է մագնիսական դաշտ, հետնաբար` պետք է միաժամանակ հաշվի առնել ն՛ էլեկտրական, ն՛ մագնիսական դաշտերը, որոնք ազդում են էլեկտրոնի վրա: Սակայն էլեկտրոնի միջին իմպուլսի համար գրված (2.7) շարժման հավասարման մեջ հաշվի ենք առել էլեկտրոնի վրա ազդող միայն էլեկտրական դաշտի eE ուժը` անտեսելով մագնիսական H դաշտում ազդող (e/ c)[v, H ] Լորենցի ուժը: Այդ ուժերի հարաբերությունը` FE FH



( e / c ) vH



c E vH

c v

(3.12)

ն շատ մեծ է մեկից, քանի որ հոսանքի խտության յ - 1 Ա/մմ2 ն էլեկտրոնների խտության ո - ո0  1022 սմ 3 բնութագրական արժեքների համար էլեկտրոնների հոսընթացի արագությունը` v  յ eո - 0,1 սմ/վ կարգի մեծություն է: Հետնաբար` մակածված մագնիսական դաշտի անտեսումը լիովին հիմնավորված է: 2. (2.7) հավասարման մեջ ենթադրվում է, որ բոլոր էլեկտրոնների վրա ազդում է նույն ուժը, բայց այս ենթադրությունը կարող է խախտվել, եթե դաշտը կետից կետ փոփոխվում է: Հարկ է նշել, որ կետում հոսանքի խտությունը որոշելու համար բավական է հաշվի առնել դաշտի ազդեցությունն էլեկտրոնի վրա վերջին բախումից հետո անցած ժամանակամիջոցում, այսինքն` այնպիսի հեռավորությունների համար, որոնք ազատ վազքի երկարության կարգի են` r  l   v0 : Ուստի, եթե էլեկտրական դաշտը r - l հեռավորությամբ կետերում էապես չի փոփոխվում, ապա կարելի է յ -ն հաշվարկելիս ընդունել, որ դաշտն ամբողջ

տարածության մեջ տվյալ պահին նույնն է, ինչ որ r կետում: Այսպիսով` արված ենթադրությունից բխող 7 ( r , )  ( ) E ( r , )

(3.13)

առնչությունն իրավացի է, եթե էլեկտրական դաշտի փոփոխման բնութագրական երկարությունը`  -ն, զգալիորեն գերազանցում է ազատ վազքի l երկարությունը`   l : (3.14) Մետաղներում (3.14) պայմանը խախտվում է տեսանելի լույսի ալիքի երկարությունից (  - 8  103  4  103 Å) փոքր ալիքի երկարությամբ էլեկտրամագնիսական ալիքների համար: Նկատի ունենալով արված պարզաբանումները` ուսումնասիրենք էլեկտրամագնիսական ալիքի տարածումը մետաղում: Գրենք Մաքսվելի հավասարումները միջավայրում 7 հոսանքի առկայությամբ, ն երբ մակածված լիցքի խտությունը զրո է` մiv E  0 ,

rօt E  

մiv H  0 ,

rօt H 

1 H c t

4 c

7

, 1 E c t

(3.15) :

(3.15) հավասարումներում բոլոր մեծությունների ժամանակային կախումները կփնտրենք exp ( it ) տեսքով: Նկատի ունենալով նան (3.13) կապը` որոշ ձնափոխություններից հետո (3.15) հավասարումներից կստանանք 2 E ( r, ) 

2 c2

() E ( r, )  0

(3.16)

ալիքային հավասարումը, որտեղ

()  1  i

4() 

(3.17)

մեծությունը կոմպլեքս դիէլեկտրական թափանցելիությունն է: Մեծ հաճախությունների տիրույթում, երբ   1 , (3.18) առաջին մոտավորությամբ (3.17) ն (3.6) առնչություններից հետնում է, որ

    1  i

4



 i

1

4 2

1

2p 2

(3.19)

որտեղ

2p 

4 4 ոe 2   ո

(3.20)

մեծությունն այսպես կոչված պլազմային հաճախությունն է: Եթե    p , ապա ()  0 , ն (3.16) հավասարման լուծումները տարածության մեջ էքսպոնենտային օրենքով մարում են, այսինքն` ալիքը չի կարող տարածվել միջավայրում: Սակայն եթե    p , ապա ()  0 , ն (3.16) հավասարումն ունի

տատանողական

լուծումներ,

որոնք

համապատասխանում

են

մետաղում տարածվող ալիքին: Այսինքն`    p հաճախությամբ ալիքների համար մետաղը թափանցիկ է: Այս եզրակացությունը ճիշտ է, եթե    p հաճախության համար տեղի ունի (3.18) պայմանը: Օգտվելով  -ի (2.14) արտահայտությունից` կստանանք. 1/ 2

 ո0    ո 

 p   2  103 



(3.21)

Քանի որ  -ն մի քանի մկՕմսմ-ի կարգի է, իսկ ո0 ո - 0, 04  1 , ապա

p   1 : Փորձում, իրոք, հայտնաբերվել է ալկալիական մետաղների թափանցիկությունն անդրամանուշակագույն տիրույթում:  p -ին համապատասխանող ալիքի երկարությունը կարելի է գնահատել (3.20) առնչության օգնությամբ` p 

2 c p

1/ 2

 ո0   10 Å : ո  

 3, 3 

(3.22)

Սակայն հարկ է նշել, որ (3.22) բանաձնով հաշվարկված արժեքները փորձից ստացված տվյալների հետ բավարար համաձայնության մեջ են միայն ալկալիական մետաղների համար:

Դիէլեկտրական թափանցելիության (3.19) բանաձնից հետնում է էլեկտրոնային գազում լիցքի (r, t ) խտության տատանումների հնարավորությունը, որոնց ժամանակային կախումը տրվում է exp ( it ) օրենքով: Իրոք, անընդհատության ն Պուասոնի հավասարումներից հետնում է, որ (3.23) մiմ 7 (r, )  i(r, ) , մiմ E(r, )  4(r, ) :

(3.24)

Նկատի ունենալով նան (3.13) կապը` կստանանք.

i(r, )  4()(r, ) :

(3.25)

(3.25) հավասարման ոչ զրոյական լուծում ունենալու պայմանը`

1 i

4()  ()  0 

(3.26)

Նկ. 98. Պլազմային տատանումների առաջացման մոդելը

հավասարումը հենց    p հաճախությունը որոշող պայմանն է (տես (3.19) բանաձնը): Տվյալ դեպքում (3.26) հավասարումն այն պայմանն է, որն ապահովում է լիցքի խտության ալիքի տարածումը միջավայրում (մետաղում): Այս տատանումների (ընդունված է անվանել «պլազմային») բնույթը կարելի է հասկանալ հետնյալ պարզ մոդելի օգնությամբ: Ենթադրենք` էլեկտրոնային գազը որպես ամբողջություն x -ով շեղել ենք դրական ֆոնի նկատմամբ (նկ. 98): Շեղման ուղղությամբ համակարգի եզրերին կառաջանան հակառակ նշանի մակերնութային լիցքեր s   eոx խտությամբ, որոնց ստեղծած դաշտը` E  4s : Էլեկտրոնային համակարգի

շարժման հավասարումը կարելի է ներկայացնել

Nոx  eN 4s

կամ

 x  2p x  0 ,

(3.27)

բանաձնով, որը նկարագրում է  p հաճախությամբ երկայնական տատանումներ: Կան բազմաթիվ փորձեր, որոնցում հայտնաբերվել են լիցքի խտության պարբերական փոփոխություններ  p հաճախությամբ:

§ 4. Մագնիսադիմադրություն: Հոլի երնույթը Ուսումնասիրենք էլեկտրոնային գազի հաղորդականությունը համասեռ հաստատուն մագնիսական դաշտում: Ինչպես հայտնի է, մագնիսական դաշտը vi արագությամբ շարժվող լիցքի վրա ազդում է Լորենցի ուժով` զ /i  [vi , H ] , c

(4.1)

որտեղ զ -ն մասնիկի լիցքն է: Այդ ուժը համեմատական է արագությանը, ուստի միջին իմպուլսի համար գրված (2.7) հավասարման մեջ էլեկտրոնների վրա ազդող (4.1) ուժերի միջինի համար կարող ենք օգտվել (4.1) բանաձնից`

vi -ն փոխարինելով միջին (հոսընթացի) v արագությամբ: Եթե կա նան հաստատուն E էլեկտրական դաշտ, ապա միջին իմպուլսի համար շարժման հավասարումը`

dք e ք  e E  [ ք, H ]  : dt ոc 

(4.2)

Ենթադրենք` էլեկտրական դաշտի լարվածության վեկտորն ( x, y ) հարթության մեջ է` E ( Ex , E y , 0) , իսկ մագնիսական դաշտն ուղղված է 2 առանցքով` H (0, 0, H) : (4.2) հավասարումն արտագրենք պրոյեկցիաներով`

dpx eH  eEx  py  dt ոc dpy eH  eE y  px  dt ոc dp2 0 : dt

px ,  py , 

(4.3)

Հավասարումների (4.3) համակարգում առկա

c 

eH ոc

(4.4)

պարամետրը մագնիսական դաշտում էլեկտրոնի շրջանային («ցիկլոտրոնային») հաճախությունն է: Ստացիոնար վիճակում, երբ հոսանքի 7 խտությունը հաստատուն է, (4.3) համակարգից հետնում է, որ

px ,  (4.5) 0  eE y  c px  p y :  Նկատի ունենալով (2.2) կապը ն (4.5) համակարգի հավասարումները բազմապատկելով  ոe ո արտադրիչով, համակարգը կարելի է ներկայացնել 0  eEx  c p y 

 Ex  յx  c յ y ,  E y  c յx  յ y ,

(4.6)

տեսքով, որտեղ  -ն ստատիկ էլեկտրահաղորդականության գործակիցն է, երբ H  0 (տես (2.12) բանաձնը): Լուծելով (4.6) համակարգը յx -ի ն յ y -ի նկատմամբ` կստանանք. յx  յy 

 1  ( c )2  1  ( c )

( Ex  c E y )   xx Ex  xy E y ,

(4.7)

(c Ex  E y )   yx Ex   yy Ey :

Այսպիսով` (4.7) հավասարումների համաձայն` մագնիսական դաշտին ուղղահայաց հարթության մեջ էլեկտրոնային գազի հաղորդականությունը նկարագրվում է երկրորդ կարգի թենզորով`

 xx ik     yx  որտեղ

xy   ,  yy 

 xx   yy 

 1  ( c )2

 xy   yx  

  xx ( H ) ,

(4.8)

c  1  ( c )2

  xy ( H ) :

Եթե (4.6) համակարգը լուծենք Ex -ի ն E y -ի նկատմամբ, կստանանք` Ex 

յx 



Ey  

c  

c 

յ y   xx յx   xy յ y ,

 յx 



(4.9)

յ y   yx յx   yy յ y :

(4.9) հավասարումների օգնությամբ որոշվում է տեսակարար դիմադրության թենզորը`

 xx   yx 

ik  

xy 

 , 

 yy 

որտեղ  xx   yy 



 xy   yx 

c 

   xy ( H ) :

(4.10)

(4.8) ն (4.10) բանաձների օգնությամբ կարելի է ik ն ik թենզորների բաղադրիչներն արտահայտել իրար միջոցով`  xy   xx   yy  2 xx 2 ,  xy   yx   2 , (4.11)  xx   xy  xx  2xy

 xx   yy 

 xx 2xx  2xy

,  xy   yx  

 xy 2xx  2xy

(4.12)

Տեսակարար դիմադրության (հաղորդականության)` մագնիսական դաշտի լարվածությունից կախման երնույթը հայտնի է որպես մագնիսադիմադրություն: Քանի որ մագնիսական դաշտը չի ազդում այդ դաշտի ուղղությամբ շարժվող լիցքի վրա, ապա էլեկտրոնային համակարգի հաղորդականությունը 2 առանցքի ուղղությամբ մնում է նույնը, ինչ որ մագնիսական դաշտի բացա23

կայությամբ

((4.3)

համակարգի

երկրորդ

հավասարման

համաձայն`

p2  cօոst ): Եթե զրոյից տարբեր է նան էլեկտրական դաշտի լարվածության 2 բաղադրիչը` E2  0 , ապա հոսանք կառաջանա նան 2 առանցքի ուղղությամբ`

յ2  E2  22 E2 , 22   :

(4.13)

Այսպիսով` E ն H վեկտորների կամայական փոխդասավորության դեպքում հաղորդականության թենզորը կունենա հետնյալ տեսքը`

 xx  ik    yx   0

xy  yy

0   0  ,  22 

(4.14)

որի բաղադրիչները տրվում են (4.8) ն (4.13) արտահայտություններով: Այժմ ուսումնասիրենք փորձում մագնիսադիմադրության չափման հնարավորությունը:

Նկ. 99. Հոլի երնույթի ( E y լայնական դաշտի առաջացման) սխեմայական պատկերումը

Նմուշն ընտրենք ժապավենաձն թիթեղի տեսքով (նկ. 99, ա): Կիրառված արտաքին E ( Ex , 0, 0) դաշտն ուղղված է x առանցքով, ուստի էլեկտրոնների հոսընթացի արագությունը կունենա հակադիր ուղղությունը, մագնիսական դաշտը բացակայում է (նկ. 99, ա): Երբ H  0 , էլեկտրոնների վրա ազդում է Լորենցի ուժը, որն էլեկտրոններին շեղում է դեպի թիթեղի ստորին եզրը (նկ. 99, բ): Էլեկտրոնները բաշխվում են ստորին եզրի երկայնքով, իսկ վերին եզրի մոտ առաջանում է դրանց պակաս, այսինքն` դրական լիցքի ավելցուկ: Լիցքի վերաբաշխման պրոցեսը մագնիսական դաշտին ուղղահայաց հարթության մեջ շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչն որ վերաբաշխման հետնանքով թիթեղում առաջացած ներքին էլեկտրական դաշտում էլեկտրոնի վրա ազդող ուժը համակշռում է Լորենցի ուժը: y առանցքի ուղղությամբ էլեկտրոնի վրա ազդող ուժը, հետնաբար` ն հոսանքի խտության յ y բաղադրիչը, հավասարվում է զրոյի, ն թիթեղում հաստատվում է յx հոսանքը (նկ. 99, գ): E y դաշտը, որն անվանում են Հոլի լայնական դաշտ, որոշվում է (4.6) հավասարումներից, երբ յ y  0 `

Ey  c  Ex  

eH  Ex : ոc

(4.15)

Դաշտի լարվածության E y բաղադրիչը փորձով կարելի է որոշել, չափելով թիթեղի վերին ն ստորին եզրերի միջն առաջացած պոտենցիալների տարբերությունը` VH -ը: Հոլի չափումների համաձայն` VH -ն ուղիղ համեմատական է հոսանքի

յx խտությանը, մագնիսական դաշտի H լարվածությանը ն թիթեղի d լայնությանը`

VH  RH յx Hd ,

(4.16)

իսկ RH մեծությունը Հոլի գործակիցն է: (4.15) ն (4.16) առնչություններից Հոլի գործակիցը որոշվում է` RH 

VH յx Hd



Ey յx H



(eH  ոc) Ex ( ո e  ո) Ex H



eոc

(4.17)

արտահայտությամբ, որի համաձայն` ազատ էլեկտրոնների համար

RH  0 , այսինքն` RH -ի նշանը համընկնում է ազատ լիցքակիրների նշանի հետ, իսկ RH -ի արժեքը կախված է միայն էլեկտրոնների խտությունից: Այս պարզ արդյունքը` (4.17) բանաձնը, հետնանք է այն ենթադրության, որի համաձայն ռելաքսացիայի  ժամանակը միննույնն է բոլոր էլեկտրոնների համար, անկախ դրանց արագություններից: Այս ենթադրության հետնանքն է նան այն տեսական արդյունքը, ըստ որի` տեսակարար դիմադրությունը կախված չէ մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Իրոք, (4.6) հավասարումներից առաջինի համաձայն` Հոլի հաստատված դաշտում, երբ յ y  0 ,

յx  Ex ,

(4.18)

այսինքն` հաղորդականությունը նույնն է, ինչ որ H  0 դեպքում: Փորձում չափված RH գործակցի միջոցով (4.17) բանաձնից էլեկտրոնների ո խտությունը որոշելիս ծագում է դժվարություն, կապված այն բանի հետ, որ RH -ը կախված է մագնիսական դաշտի լարվածությունից, ջերմաստիճանից ն նմուշի այլ բնութագրերից: Որոշ իմաստով սա անսպասելի է, քանի որ նշված մեծություններից կախված հիմնական բնութագիրը`  -ն, չի մասնակցում (4.17) բանաձնում: Այնուամենայնիվ, ինչպես հետնում է ավելի ընդհանուր տեսությունից, շատ մետաղների համար Դրուդեի տեսության շրջանակներում ստացված (4.17) արտահայտությունը շատ ցածր ջերմաստիճաններում ն ուժեղ ( H  104 Գս) դաշտերում, իրոք, համապատասխանում է իրականությանը: Աղյուսակ 23-ում տրված են Հոլի RH գործակցի արժեքները որոշ մետաղների համար ո ո   1 RH eոc հարաբերության տեսքով, ընդ որում`

ո  1 RH ec այն խտությունն է, որի դեպքում փորձում չափված RH -ը համընկնում է (4.17) բանաձնով հաշվարկված արժեքի հետ: Աղյուսակ 23-ի տվյալներից հետնում է, որ ալկալիական մետաղների համար Դրուդեի տեսության համընկնումը փորձի հետ բավական լավ է, ազնիվ մետաղների (Ըս, Ճլ, Ճս) համար` համեմատաբար վատ, իսկ որոշ մե26

Աղյուսակ 23.

Հոլի գործակցի արժեքները Մետաղ n*/n

Մետաղ

n*/n

Լ1 Na Ճ

0,8 1,2 1,1

Ճլ Ճս B6

0,2

RԵ

1,0

Խլ

0,4

ԸՏ

0,9

լո

0,3

Ըս

1,5

Ճ1

0,3

1,3 1,5

տաղների համար ընդհանրապես տեղի չունի: Այս վերջինների համար

RH  0 , այսինքն` դրանցում հոսանքը պայմանավորված է ոչ թե էլեկտրոնների, այլ դրական լիցք ունեցող մասնիկների ուղղորդված շարժումով: (Այս փաստի որակական բացատրությունը տրված է 7111.4-ում):

§ 5. Ջերմահաղորդականություն: Վիդեման-Ֆրանցի օրենքը: Զեեբեկի երնույթը Դրուդեի տեսության ամենամեծ նվաճումը Վիդեման-Ֆրանցի` դեռնս 1853 թ. փորձով հայտնաբերված օրենքի բացատրությունն է, որի համաձայն` մետաղի ջերմահաղորդականության ն էլեկտրահաղորդականության գործակիցների հարաբերությունը ջերմաստիճանի գծային ֆունկցիա է`  (5.1)  LT ,  որտեղ L համեմատականության գործակիցը (Լորենցի թիվ) նույն արժեքն ունի բոլոր մետաղների համար (Աղյուսակ 24): Այս բացատրության շրջանակներում ենթադրվում է, որ ջերմային հոսքի հիմնական մասը պայմանավորված է էլեկտրոններով: Ենթադրության համար հիմք է ծառայում այն փաստը, որ մետաղները շատ ավելի լավ են հաղորդում ջերմությունը, քան մեկուսիչները: Եթե մետաղե ձողի ծայրերի միջն պահպանվում է ջերմաստիճանների հաստատուն տարբերություն, ապա ձողում հաստատվում է ջերմության

ստացիոնար հոսք: Միավոր ժամանակում հոսքի ուղղությանն ուղղահայաց միավոր մակերեսով անցած էներգիան (ջերմային հոսքը)`

յզ  T :

(5.2) Աղյուսակ 24.

Լորենցի թիվը (փորձնական տվյալներ)

Մետաղ

L , 108Վ2 Կ 2

Լ1 Na

273 Կ 2,22 2,12

373 Կ 2,43

Մետաղ

L , 108Վ2 Կ 2



Ճս B6

273 Կ 2,32 2,36

373 Կ 2,36 2,42

2,23



Խլ

2,14

2,25

RԵ

2,42



Ի6

2,61

2,88

Ըս

2,20

2,29

Ճ1

2,14

2,19

Ճլ

2,31

2,38

7ո

2,28

2,30

Ջերմահաղորդականության գործակիցը`   0 , ուստի ջերմային հոսքն ուղղված է T -ին հակառակ, այսինքն` ջերմաստիճանի նվազման ուղղությամբ: Քանի որ էլեկտրոնային գազը Դրուդեի մոդելում դիտարկվում է որպես դասական իդեալական գազ, ապա կարելի է օգտվել ջերմահաղորդականության գործակցի` դասական գազերի կինետիկ տեսության հայտնի բանաձնից` (5.3)   l v cv , որտեղ l -ն ազատ վազքի միջին երկարությունն է, v -ն` միջին ջերմային արագությունը, cv -ն` գազի միավոր ծավալի ջերմունակությունը, որը միատոմ գազի համար տրվում է հետնյալ բանաձնով`

cv 

ոk B ,

(5.4)

որտեղ k B  1, 38  1016 էրգ/Կ Բոլցմանի հաստատունն է: Կազմելով (5.3) արտահայտության ն էլեկտրահաղորդականության գործակցի (2.12) բանաձնի հարաբերությունը ն նկատի ունենալով, որ

ոv 2



ոv2



k BT ,

(5.5)

կստանանք`  



3  kB    T : 2 e 

(5.6)

(5.6) առնչության աջ մասը համեմատական է բացարձակ ջերմաստիճանին, իսկ համեմատականության գործակիցը կախված է միայն հիմնարար` kB ն

e հաստատուններից, քանի որ կոնկրետ մետաղը բնութագրող ո ն l մեծությունները կրճատվում են: Այսպիսով` (5.6) կապը համընկնում է (5.1) առնչության հետ, ն Լորենցի թվի համար ստացվում է L

 T



3  kB  8 2 2    1,11  10 ì  Î 2 e 

(5.7)

արժեքը, որը միջին հաշվով գրեթե երկու անգամ փոքր է Աղյուսակ 24-ում բերված տվյալներից: Հարկ է նշել, որ էլեկտրահաղորդականության հաշվարկի սկզբնական տարբերակում Դրուդեն սխալմամբ ստացել էր (2.12) բանաձնով տրվող ճիշտ արտահայտությունից երկու անգամ փոքր արտահայտություն, որի պատճառը հետնյալն է: Էլեկտրոնի ուղղորդված շարժման արագությունը բախումից անմիջապես հետո զրո է, իսկ հաջորդ բախման պահին, այսինքն`

 ժամանակ անց, այն  eE ո է, ուստի հոսընթացի միջին արագությունը` eE   eE  [v(0)  v( )]   0  : (5.8) 2 ո  2ո Սակայն պետք է նկատի ունենալ, որ էլեկտրոններն ունեն ազատ վազքի տարբեր ժամանակներ` 0   բոլոր հնարավոր արժեքներով: t , t  dt ժամաD

vոv 

նակահատվածում բախման հավանականությունը w(t)dt է, ընդ որում` w( t ) 



 t   

exp  

(5.9)

ֆունկցիան էլեկտրոնի` (0, Է ) ժամանակահատվածում ազատ (առանց բախման) շարժման հավանականությունն է: Հետնաբար` ուղղորդված շարժման` ըստ բոլոր էլեկտրոնների միջինացված արագությունը`





vaմ  w(Է ) v ( Է ) dԷ 



   

eE  Է  dԷ : exք      ո ո  

eEԷ

(5.10)

Նշված սխալի հետնանքով Լորենցի թվի համար ստացվում է

k  LD  3  B   2, 22  108 ì 2  Î2 (5.11)  e  արժեքը, որը հիանալի համաձայնության մեջ է փորձի հետ: Այս հաջողությունը մեծապես խթանել է Դրուդեի մոդելի հետագա հետազոտությունները: Այժմ ծանոթանանք Զեեբեկի երնույթին, որի համաձայն` անհամասեռ տաքացված ձողում ծագում է ներքին էլեկտրական դաշտ` ուղղված ջերմաստիճանային գրադիենտին հակառակ: Ջերմաստիճանային գրադիենտի ազդեցությամբ էլեկտրոնները կատարում են ուղղորդված շարժում` ուղղված դեպի ձողի ցածր ջերմաստիճանով ծայրը: Քանի որ էլեկտրոններն ունեն լիցք, ապա դրանց ուղղորդված շարժումն իրենից հոսանք է ներկայացնում, այսինքն` ձողի տաք մասից դեպի սառը մասն էլեկտրական լիցք է տեղափոխվում: Դրա հետնանքով ձողի բարձր ջերմաստիճանով ծայրը լիցքավորվում է դրական, իսկ ցածր ջերմաստիճանով ծայրը` բացասական: Լիցքի վերաբաշխման հետնանքով առաջացող այդ ներքին դաշտն աստիճանաբար արգելակում է լիցքի հետագա վերաբաշխումը, այնպես որ հավասարակշռության վիճակում գոյություն ունի հաստատված ներքին էլեկտրական դաշտ, որը լիովին համակշռում է ջերմաստիճանների տարբերությամբ պայմանավորված միջին արագությունը, իսկ էլեկտրական հոսանքը հավասարվում է զրոյի: Ջերմաստիճանների տարբերության հետնանքով առաջացած ջերմաէլեկտրական դաշտի լարվածությունը` (5.12) E  ՕT , որտեղ Օ գործակիցը կոչվում է դիֆերենցիալ ջերմաէլեկտրաշարժ ուժ: Այն որոշելու համար ենթադրենք, որ ջերմաստիճանային գրադիենտն ուղղված է x առանցքով: Որնէ x կետում էլեկտրոնի միջին արագությունը, պայմանավորված T -ով`

vՕ 

[vx ( x  vx )  vx ( x  vx )]   vx

d vx dx

 

d  vx 



 : (5.13)

dx  2 

Քանի որ ըստ արագությունների բաշխումն իզոտրոպ է, ապա կարելի է (5.13) արտահայտությունն ընդհանրացնել, անցնելով «եռաչափ» v արագությանը`  vx2    v2y    v22    v2  ,

այնպես որ (5.13) արտահայտության փոխարեն կստացվի vՕ  

d  v2  

 d

 v 2 T :  dx  6  6 dT Հավասարակշռության վիճակում vE  vՕ  0 ,

(5.14)

(5.15)

որտեղ vE -ն տրվում է (2.10) բանաձնով: Օգտվելով (2.10), (5.12), (5.14) արտահայտություններից` (5.15) պայմանից կստանանք դիֆերենցիալ ջերմաէլշուի արտահայտությունը. Օ

1 d  ո v 2  



3e dT 

v :    ոe 

(5.16)

Ինչպես ն   հարաբերությունը, Օ գործակիցը կախված չէ ռելաքսացիայի

 ժամանակից: Օգտվելով դասական էլեկտրոնային գազի ջերմունակության (5.4) արտահայտությունից` Օ -ի համար կստանանք. Օ

kB 2e

 0, 43  104 ì  Î : 1

(5.17)

Սենյակային ջերմաստիճաններում մետաղների դիֆերենցիալ ջերմաէլշուի բնութագրական արժեքները 1մկՎ/Կ կարգի են, այսինքն` գրեթե 100 անգամ փոքր են, քան (5.17) արտահայտությամբ տրվող արժեքը:

§ 6. Լորենցի էլեկտրոնային տեսությունը Դրուդեի տեսության մեջ գործ ունենք միջինացված էլեկտրոնների հետ, այսինքն` կինետիկական գործակիցները հաշվելիս բոլոր էլեկտրոններին վերագրվում է միննույն միջին արագությունը: Սակայն էլեկտրոնային գազում առկա են բոլոր հնարավոր արագություններով էլեկտրոններ: Բացի այս, ընդհանուր դեպքում էլեկտրոնները կարող են նան տարածականորեն անհամասեռ բաշխված լինել: Ազատ էլեկտրոնային գազն ավելի կատարյալ` վիճակագրական մեթոդներով նկարագրելու համար անհրաժեշտ է օգտվել կինետիկ տեսության ն վիճակագրական ֆիզիկայի ապարատից: Վիճակագրական մեթոդներով հաշվարկներ կատարելիս անհրաժեշտ է ժամանակի կամայական t պահին գիտենալ էլեկտրոնների բաշխումն ըստ արագությունների ն կոօրդինատների, այսինքն` էլեկտրոնների f (t, r, v) բաշխման ֆունկցիան: Վերջինս սահմանվում է հետնյալ առնչությամբ` dN  f (t, r , v) d r dv ,

(6.1)

որտեղ dN -ն այն էլեկտրոնների թիվն է, որոնց արագություններն ընկած են v, v  dv տիրույթում, իսկ կոօրդիանտները` r , r  dr տիրույթում: (6.1) ար-

տահայտությունից հետնում է, որ f (t, r , v)dv մեծությունն այն էլեկտրոնների խտությունն է, որոնց արագությունները v, v  dv տիրույթում են: Հետնաբար` միավոր ծավալում էլեկտրոնների թիվը (էլեկտրոնների խտությունը)` 

ո( r, t ) 

 f (r, v, t) dv :

(6.2)



Բաշխման ֆունկցիան փոփոխվում է ինչպես արտաքին դաշտերի ն անհամասեռությունների ազդեցությամբ, այնպես էլ բախումների հետնանքով ն ընդհանուր դեպքում բավարարում է Բոլցմանի կինետիկ հավասարմանը: Սակայն որոշակի ենթադրությունների օգնությամբ, որոնք հաշվի են առնում քննարկվող համակարգի առանձնահատկությունները, Լորենցն առաջարկել է կինետիկ հավասարման մի նոր տարբերակ: Լորենցը ենթադրել է, որ

1. ցրող կենտրոնները (մետաղի իոնները) պինդ գնդեր են ն էլեկտրոնների հետ բախվելիս իրենց պահում են որպես առաձգական մարմիններ (առաձգական հարվածի մոտավորություն), 2. էլեկտրոնների բախումներն իրար հետ կարելի է անտեսել (անկախ էլեկտրոնների մոտավորություն), 3. բոլոր ցրող կենտրոնները միասին զբաղեցնում են մետաղի ամբողջ ծավալի չնչին մասը, 4. եթե մետաղն անհամասեռ է կամ կան ջերմաստիճանային գրադիենտներ, ապա էլեկտրոնի ազատ վազքի l միջին երկարության կարգի հեռավորություններում բոլոր մեծությունները փոփոխվում են փոքր չափով`

d4  l 4  4 : dr

(6.3)

5. Արտաքին դաշտում ազատ վազքի միջին երկարությանը հավասար ճանապարհին էլեկտրոնի ձեռքբերած էներգիան շատ փոքր է դրա միջին ջերմային էներգիայից` (6.4) el E   : Քանի որ l   vT , իսկ  - ոvT2 , որտեղ vT -ն էլեկտրոնի ջերմային արագությունն է, ապա (6.4) պայմանը կարելի է ներկայացնել նան այլ տեսքով` eE  ո vT

կամ vD 

e E ո

<< vT ,

(6.5)

այսինքն` արտաքին դաշտում էլեկտրոնի ձեռքբերած ուղղորդված շարժման արագությունը շատ փոքր է դրա միջին ջերմային արագությունից: 4. ն 5. ենթադրությունները ներկայացնում են դանդաղ փոփոխվող ն թույլ դաշտերի մոտավորությունը: Այժմ արտածենք Լորենցի կինետիկ հավասարումը: Եթե t պահին էլեկտրոնը r ( x, y, 2) կետում է ն ունի v( vx , v y , v2 ) արագություն, ապա dt ժամանակ անց, եթե բախում տեղի չի ունեցել, այն կհասնի r  vdt ( x  vx dt , y  v y dt , 2  v2 dt ) կետը ն կունենա v  a dt ( vx  ax dt , v y  a y dt , v2  a2 dt ) արագություն: Շարժման ն արագացման հե33

տնանքով t պահին dr dv  dxdyd2d v x d v y d v z ծավալում եղած էլեկտրոնները t  dt պահին կհայտնվեն d r dv  dx dyd2 d vx d vy d v2 ծավալում: Արագության ն արագացման փոքր փոփոխությունների հետնանքով drdv  dr dv :

(6.6)

Բախման պրոցեսում էլեկտրոնի արագությունը փոփոխվում է վերջավոր չափով, այսինքն` եթե բախումից առաջ էլեկտրոնի արագությունը v, v  dv տիրույթում էր, ապա բախումից հետո այն այլնս չի պատկանի նշված տիրույթին: Նույն ձնով, բախումից առաջ v, v  dv տիրույթին չպատկանող էլեկտրոնը բախման հետնանքով կարող է հայտնվել այդ տիրույթում (նկ. 100): Բախումների հետնանքով dt ժամանակամիջոցում, d r dv ծավալում էլեկտրոնների թվի փոփոխությունը նշանակենք հետնյալ կերպ`

f    t  dtdr dv :   st

(6.7)

(6.1), (6.6) ն (6.7) արտահայտություններից կարող ենք գրել հաշվեկշռի հավասարում d r dv ծավալում էլեկտրոնների թվի համար`

f   dtdr dv   t  st

dN (t  dt )  dN (t )  

(6.8)

կամ

Նկ. 100. Բախումների հետնանքով d v տիրույթը լքող (1-ով նշված գծեր) ն dv տիրույթ մտնող (2-ով նշված գծեր) էլեկտրոններ (բախումները նշված են  -ով):

f   dtd r dv :   t  st

f (t  dt, r  v dt, v  adt ) dr dv  f (t, r, v) d r dv  

(6.9)

որտեղ a  Ի ո , Ի -ն էլեկտրոնի վրա ազդող ուժն է, իսկ [ f  t]st մեծությունը բախումների ինտեգրալն է` միավոր ծավալում, միավոր ժամանակում բաշխման ֆունկցիայի փոփոխությունը, պայմանավորված բախումներով: Բախումների ինտեգրալի արտահայտությունը սահմանելուց հետո միայն (6.9) առնչությունը ձեռք կբերի ստույգ մաթեմատիկական իմաստ: Որոշենք ցրող կենտրոնների հետ էլեկտրոնների բախումների ինտեգրալի արտահայտությունը: Կենթադրենք, որ կենտրոններն անշարժ ամրացված են, ունեն R շառավիղ ն բաշխված են N 0 խտությամբ: Այն էլեկտրոնների թիվը, որոնք միավոր ժամանակում բախվում են ցրող կենտրոնի dՏ  R 2d մակերեսին ն որոնց արագություններն ընկած են v, v  dv տիրույթում (այսպես կոչված « dv էլեկտրոններ»), հավասար է

dՏ հիմքով ն n v բարձրությամբ գլանում էլեկտրոնների թվին (նկ. 101)` dՏn v f (v) dv  R 2dv օօՏ f (v) dv ,

(6.10)

որտեղ ո -ը dՏ -ի նորմալն է, իսկ  -ն` v -ի ն ո -ի միջն անկյունը: Միավոր ծավալում, միավոր ժամանակում « d v էլեկտրոնների» բախումների ընդհանուր թիվը հավասար է



dv N0 R 2 v օօՏ  f (v) d  adv :

(6.11)

Նկ. 101. Էլեկտրոնի բախվելը ցրող կենտրոնին (կոշտ գնդի մոդել)

Սա հենց այն էլեկտրոնների թիվն է, որոնք 1սմ3-ում 1վ-ում դուրս են ընկնում d v տիրույթից: Այն էլեկտրոնների թիվը, որոնք 1սմ3-ում 1վ-ում բախումների հետնանքով դառնում են « dv էլեկտրոններ», հավասար է



dv N 0 R 2 v օօՏ  f (v) d  Եdv ,

(6.12)

որտեղ v' -ն այն էլեկտրոնի արագությունն է, որը բախումից հետո ունի v արագություն: Քանի որ բախումն առաձգական է, ապա |v'|-|v|- v ,

(6.13)

իսկ v  v անցման ժամանակ արագության փոփոխությունը` v  v  2 vn օօՏ  : (6.14) (6.11) ն (6.12) արտահայտություններից բախումների ինտեգրալի համար կստանանք`

f    t   Ե  a  N 0 R v [ f (v)  f (v)]օօՏ  d :   st



(6.15)

(6.15) արտահայտությունը տեղադրելով (6.9) հաշվեկշռի հավասարման մեջ` կստանանք կինետիկ հավասարումը Լորենցի տեսքով` f t

v

f r



F f ո v



 N 0 R 2 v [ f (v)  f (v)]օօՏ  d :

Այն գծային, ինտեգրոդիֆերենցիալ հավասարում է

(6.16)

f (r, v, Է ) բաշխման

ֆունկցիայի համար: Բախումների ինտեգրալի (6.15) արտահայտությունից հետնում է, որ արտաքին դաշտերի ն գրադիենտների բացակայությամբ ստացիոնար վիճակի բաշխման ֆունկցիան բավարարում է f ( v)  f ( v ) պայմանին, այսինքն` այն կախված է միայն էլեկտրոնի արագության մոդուլից` f0 (v)  f0 (|v|)  f0 ( v 2 ) :

(6.17)

Դասական վիճակագրությունում f0 -ն տրվում է Մաքսվելի բաշխման ֆունկցիայով`

 ոv2  f0 ( v )  4 exp   ,  2k T  B  

 ո  4  ո   2k BT 

3/ 2

(6.18)

որտեղ ո -ն էլեկտրոնների խտությունն է:

§ 7. Կինետիկ հավասարման լուծումը: Կինետիկական գործակիցների հաշվարկը Արտաքին ազդեցությունները խախտում են համակարգի հավասարակշռական վիճակը` առաջ բերելով համապատասխան հոսքեր: Կինետիկական գործակիցները կապ են հաստատում պատճառի (ազդեցության) ն հետնանքի (հոսքի) միջն ն որոշվում են համակարգի հիմնական բնութագրերով: Համակարգում ծագող հոսքերը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գիտենալ (6.16) հավասարման լուծումը: Ենթադրենք` էլեկտրոնային գազը հաստատուն էլեկտրական դաշտում է, որն ուղղված է x առանցքով: Նույն առանցքով ուղղենք նան ջերմաստիճանային գրադիենտը: Դանդաղ փոփոխվող ն թույլ դաշտերի մոտավորության շրջանակներում (տես 4. ն 5. ենթադրությունները) (6.16) հավասարման լուծումը կփնտրենք f (v, r )  f0 (v)  f1 (v, r )

(7.1)

տեսքով, որտեղ բաշխման ֆունկցիայի որոնելի f1  v, r  ուղղումը նույն կարգի է, ինչ որ արտաքին էլեկտրական դաշտի լարվածությունը ն ջերմաստիճանային գրադիենտը` f1 (v, r ) - Օ(E, dT

dx ) :

(7.2)

Հարկ է նշել, որ ստացիոնար վիճակի բաշխման ֆունկցիան T  T ( x) կապի հետնանքով անբացահայտորեն կախված է x կոօրդինատից, այսինքն` f0 -ն Մաքսվելի տեղային բաշխում է T ( x) ջերմաստիճանով: Ձնափոխենք (6.16) հավասարման ձախ մասը, դրանում պահելով միայն E -ին ն dT dx -ին համեմատական անդամները`

f t

 0,

F f ո v



f

v

r

eEx  f

 f0 r



ո  vx

v

 f1 r

eE  f0 ո  vx



 vx

 f0 x

eE  f1 ո  vx

- Օ( dT dx ) ,



eE  f 0 ո  vx

(7.3) - Օ (E) :

Այժմ ձնափոխենք (6.16) հավասարման աջ մասը: Նպատակահարմար է բաշխման ֆունկցիայի ուղղումը ներկայացնել f1 (v)  vx ( v) ,

(7.4)

տեսքով, որտեղ ( v ) -ն անհայտ ֆունկցիա է: Ենթադրվում է, որ այն կախված է միայն արագության մոդուլից: (7.4) առնչության համաձայն` f1 ֆունկցիան հակահամաչափ է ըստ vx -ի: f1 -ի այսպիսի ընտրությունը համապատասխանում է այն իրողությանը, որ Ex դաշտի ն dT dx գրադիենտի առկայությունը խախտում է տարածության իզոտրոպությունը, տվյալ դեպքում` x ն  x ուղղությունների համարժեքությունը: Օգտվելով (7.4) նշանակումից, ինչպես նան նկատի ունենալով (6.14) կապը v -ի ն v  -ի միջն, կստանանք`

 [ f (v)  f (v)]օօՏ  d  ( v)  (vx  vx ) օօՏ  d   2v( v)  օօՏ  օօՏ2  d ,

(7.5)

որտեղ  -ն x առանցքի հետ ո նորմալի կազմած անկյունն է: Հաշվենք (7.5) բանաձնում ըստ մարմնային անկյան ինտեգրալը: Օ կետից (նկ. 101) տանենք v -ի ուղղությանը զուգահեռ ՕԵ ուղիղը, որից կհաշվենք ո -ին զուգահեռ ՕQ ուղղի կազմած  անկյունը (նկ. 102):  բնեռային անկյան հաշվարկը տարվում է ԵՕՃ հարթությունից: Քանի որ օօՏ   օօՏ  օօՏ   Տiո Տiո  օօՏ  ,

(7.6)

ապա ըստ d  Տiո  d d մարմնային անկյան ինտեգրալը`



 2

օօՏ  օօՏ2  d 



2



Տiո  d օօՏ2 (օօՏ  օօՏ   Տiո  Տiո  օօՏ ) d 

 2

 2

 Տiո  օօՏ

 d օօՏ  



օօՏ  ,

(7.7)

որտեղ (նկ. 102) v օօՏ   x : v

(7.8)

Սահմանենք նան ազատ վազքի միջին երկարությունը հետնյալ առնչությամբ`

l

N 0 R 2

(7.9)

Նկ. 102. Գնդի մակերնույթի n նորմալի, x -երի առանցքի ն էլեկտրոնի արագության ուղղությունների միջն անկյունները

Ձնափոխություններից հետո (6.16) հավասարման փոխարեն ստացվում է vx

 f0 x



eE  f0 ո  vx



vx l

v( v)

(7.10)

առնչությունը ( v ) անհայտ ֆունկցիայի համար: Որպես հավասարակշռական վիճակի բաշխման ֆունկցիա Լորենցն օգտագործել է Մաքսվելի բաշխումը` (6.18) բանաձնը: Այս դեպքում (7.10) առնչությունից  (v) ֆունկցիայի համար հետնում է ( v)  

f0 ( v) l  eE T

dT  ոv2 3       v  k B dx  2k BT 2 

(7.11)

արտահայտությունը, որի համաձայն` ( v ) ֆունկցիան կախված է միայն արագության մոդուլից: Այժմ որոշենք համակարգում հաստատված հոսանքի խտությունը:

Ենթադրության համաձայն` էլեկտրական դաշտը ն ջերմաստիճանային գրադիենտն ուղղված են x առանցքով, ուստի զրոյից տարբեր կլինի հոսանքի խտության միայն x բաղադրիչը` 

յ x  e





v x f ( v ) dv   e







vx f0 ( v) dv  e



 vx f1(v) dv :

(7.12)



Աջ մասի առաջին ինտեգրալը զրո է, քանի որ ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում արագությունների իզոտրոպ բաշխման հետնանքով հոսքերը բացակայում են: Մաթեմատիկորեն այս փաստը պայմանավորված է ենթաինտեգրալ vx f0 ( v) ֆունկցիայի կենտությամբ: Նկատի ունենալով (7.4) նշանակումը` կստանանք. 

յx  e

 vx (v) dv :

(7.13)



Քանի որ ( v ) ֆունկցիան կախված է միայն արագության մոդուլից, ապա դժվար չէ համոզվել, որ 





vx2 ( v) dv 







v2y ( v) dv 







v22 ( v) dv 







( v) dv :

(7.14)

Արագությունների տարածության մեջ դեկարտյան կոօրդինատներից անցնելով գնդային կոօրդինատների, (7.11), (6.18) ն (7.13) արտահայտություններից կստանանք` յx  

4e



 v ( v ) d v 

4el   eE 3 dT  ո4 dT  15  , 4    13  3T   k B 2 dx  2k BT dx 

(7.15)

որտեղ (տես Մաս 1, Հավելված 2) 



1 2k 1 ( )  x 2k 1e x dx 



2k 1

ո : 2 k BT

, k  0,1, 2, ,

(7.16)

(7.17)

Տարրական ձնափոխություններից հետո հոսանքի խտությունը կարելի է ներկայացնել հետնյալ վերջնական արտահայտությամբ`

յx 

4ek B ln 1/ 2

3( 2  ոk BT )

 eE 1 dT    :  k B 2 dx 

(7.18)

Ջերմային հոսքի խտությունը հաշվելու համար պետք է միայն (7.12) արտահայտության մեջ էլեկտրոնի լիցքը` ( e )-ն, փոխարինել էլեկտրոնի էներգիայով` ոv 2 2 -ով, ուստի` 

զx 





ոv2

vx f (v) dv :

(7.19)

Հաշվարկները, որոնք չեն տարբերվում վերը կատարվածներից, հանգեցնում են հետնյալ վերջնական արդյունքին` 1/ 2

 2k T  զx   k B ոl  B   ո   

 eE 3 dT     :  k B 2 dx 

(7.20)

Հաշվենք էլեկտրահաղորդականության գործակիցը: Երբ T  cօոst , որը համապատասխանում է փորձում հաղորդականության չափման պայմաններին, (7.18) բանաձնից կստանանք` յx  E ,



ոle 2

3 ( 2  ոk BT )1/ 2

(7.21)

Ջերմահաղորդականության գործակիցը որոշելիս պետք է նկատի ունենալ, որ հաստատված (ստացիոնար) ջերմային հոսք ստանալու համար անհրաժեշտ է ապահովել eE 1 dT  0 (7.22) յx  0 կամ k B 2 dx պայմանի կատարումը, որը համարժեք է էլեկտրոնների ուղղորդված շարժման արագության զրո լինելու պայմանին (տես (5.15) բանաձնը): (7.20) ն (7.22) արտահայտությունների համաձայն` 1/ 2

 2k T  dT dT զx   k B ոl  B    ,   dx  ո  dx ուստի ջերմահաղորդականության գործակիցը`

(7.23)

1/ 2

 2k T    k B ոl  B  : (7.24)  ո    (7.21) ն (7.24) բանաձների համաձայն` Վիդեման-Ֆրանցի օրենքը կընդունի հետնյալ տեսքը`

1/ 2

 2k T   k B ոl  B   ո  T 3   

3  2 ոk BT 

1/ 2

4ոle 2T

k   2 B  ,  e 

(7.25)

այսինքն` Լորենցի թվի համար ստացվում է LL  2(kB e)2 արժեքը, որն ընդհանուր առմամբ ավելի վատ է համապատասխանում փորձին, քան Դրուդեի տեսությամբ ստացված LD  3(kB e)2 արժեքը: Վերջապես, (7.22) առնչությունից հետնում է դիֆերենցիալ ջերմաէլշուի արտահայտությունը, որը համընկնում է (5.17) բանաձնի հետ:

ԳԼՈՒԽ 711

ՄԵՏԱՂՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆՆ ԸՍՏ ԶՈՄԵՐՖԵԼԴԻ

§ 1. Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը Դրուդե-Լորենցի դասական էլեկտրոնային տեսությունը հաջողությամբ բացատրեց մետաղների մի շարք հատկություններ: Սակայն լինելով զուտ դասական, այս տեսությունը չէր կարող բացատրել, մինչն անգամ որակապես, բազմաթիվ ֆիզիկական հատկություններ, որոնց հիմքում, ինչպես պարզվեց ավելի ուշ, ընկած են քվանտային օրինաչափություններ: Բավական է հիշել թեկուզ էլեկտրոնային գազի ջերմունակության պարադոքսը, ինչպես նան պարամագնիսական ընկալունակության պրոբլեմը: Ինչպես հայտնի է, դասական տեսության արդյունքները հավաստի են այնպիսի պայմաններում, երբ քվանտային երնույթների դերը կարելի է անտեսել: Եթե մասնիկին վերագրվող ալիքային «փաթեթի» չափը` Դը Բրոյլի ալիքի B երկարությունը, զգալիորեն փոքր է մասնիկների միջն միջին r հեռավորությունից`

B  r ,

(1.1)

ապա մասնիկների ալիքային «փաթեթների» վերադրում տեղի չի ունենում, ուստի կարելի է օգտվել դասական տեսությունից: Համակարգի վիճակը բնութագրող մակրոսկոպական պարամետրերի միջոցով արտահայտված (1.1) առնչությունը (Մաս 1, 17.1)` N  հ2

 B    V  Mk BT 

3/ 2

 1

(1.2)

պայմանը դասական (Բոլցմանի) վիճակագրության կիրառելիության չափանիշն է, որտեղ N -ը մասնիկների թիվն է, V -ն` համակարգի ծավալը, M -ը` մասնիկի զանգվածը, T -ն` համակարգի ջերմաստիճանը: Ի տարբերություն մոլեկուլային գազերի, էլեկտրոնային գազը մետաղներում, սենյակային ջերմաստիճանում չի բավարարում (1.2) չափանիշին, քանի որ էլեկտրոնի զանգվածն ավելի քան 104 անգամ փոքր է միջին մոլեկուլային զանգվածից, ն, բացի այդ, մետաղներում էլեկտրոնային խտու43

թյունները շուրջ 103  104 անգամ գերազանցում են նորմալ պայմաններում մոլեկուլային գազերի բնութագրական խտությունը: Գնահատման համաձայն` մետաղներում էլեկտրոնային խտության

ո  N /V  ո0  1022

սմ  3

բնութագրական արժեքի համար ն T  300 Կ ջերմաստիճանում B  104 -ի կարգի մեծություն է, որը համապատասխանում է (1.2) չափանիշին հակառակ անհավասարությանը: Քանի որ B - T 3/2 , ապա սենյակայինից ցածր ջերմաստիճաններում այն էլ ավելի մեծ արժեքներ կընդունի: Այսպիսով, հանգում ենք այն եզրակացության, որ էլեկտրոնային գազը մետաղում չի կարելի նկարագրել դասական վիճակագրությամբ: Էլեկտրոնների նկատմամբ քվանտային վիճակագրության կիրառումը հիմնվում է քվանտային մեխանիկայում հայտնի նույնականության սկզբունքի ն Պաուլիի սկզբունքի վրա, որի համաձայն` յուրաքանչյուր քվանտային վիճակում կարող է լինել միայն մեկ էլեկտրոն (կամ, ավելի ընդհանուր ձնակերպումով, կիսամբողջ սպինով մասնիկ` ֆերմիոն): Այս սկզբունքից անմիջապես հետնում է, որ եթե գործ ունենք մեծ թվով էլեկտրոններից կազմված համակարգի հետ, ապա դրա նույնիսկ ամենափոքր էներգիայով (հիմնական) վիճակում բոլոր քվանտային վիճակները, այդ թվում` նան ոչ փոքր էներգիաներ ունեցողները, զբաղեցված կլինեն: Սա է էլեկտրոնային համակարգը նկարագրող Ֆերմի-Դիրակի քվանտային վիճակագրության հիմնական տարբերությունը Բոլցմանի դասական վիճակագրությունից, ըստ որի` կամայական թվով մասնիկներ կարող են ունենալ միննույն էներգիան ն իմպուլսը: Մասնավորապես, դասական համակարգի ամենափոքր էներգիան զրո է, երբ բոլոր մասնիկներն ունենան զրոյական էներգիա: Ֆերմի-Դիրակի բաշխման հայտնագործումից հետո Զոմերֆելդն այն կիրառեց մետաղի էլեկտրոնային համակարգի նկատմամբ, որը հնարավորություն տվեց ազատվելու Դրուդեի տեսության մեջ առկա հիմնականում ջերմադինամիկական հակասություններից: Փաստորեն Զոմերֆելդի մոդելն էլեկտրոնային գազի Դրուդեի դասական մոդելն է, միայն այն տարբերությամբ, որ էլեկտրոնների բաշխումն ըստ արագությունների (էներգիաների) նկարագրվում է ոչ թե դասական (բոլցմանյան), այլ Ֆերմի-Դիրակի քվանտային բաշխումով, որն ունի հետնյալ տեսքը`

    f  i    exp i  1 kB T  

1

(1.3)

f (i ) -ն հավանականությունն է այն բանի, որ իդեալական էլեկտրոնային

գազում ջերմային հավասարակշռության վիճակում էլեկտրոնն զբաղեցնում է i էներգիայով քվանտային վիճակը: 

մեծությունը քիմպոտենցիալը,

ջերմադինամիկական պարամետրերի ֆունկցիա է ն որոշվում է այն պայմանից, որ էլեկտրոնների N թիվը համակարգում տրված մեծություն է`

 f (i )  N ,

(1.4)

(i )

որտեղ գումարումը կատարվում է քվանտային թվերի ( i ) հավաքածուով որոշվող բոլոր քվանտային վիճակներով: Քվանտային թվերի ( i ) հավաքածուով որոշվող i էներգիաները համապատասխան Շրյոդինգերի հավասարման սեփական արժեքներն են:

§ 2. Էլեկտրոնային գազը հիմնական վիճակում Ուսումնասիրենք էլեկտրոնային գազի հատկությունները հիմնական վիճակում, երբ T  0 Կ: N էլեկտրոններն զբաղեցնում են V ծավալ ն քանի որ չեն փոխազդում իրար հետ (անկախ էլեկտրոնների մոտավորություն), ապա հիմնական վիճակը կարելի է որոշել, հաշվելով սկզբում առանձին էլեկտրոնի էներգիական մակարդակները V ծավալում, իսկ հետո` լրացնել այդ մակարդակները, նկատի ունենալով Պաուլիի սկզբունքը: Ազատ էլեկտրոնի համար Շրյոդինգերի ստացիոնար հավասարումն ունի հետնյալ տեսքը`



2   2 2 2  2 2     :  2  2  2     2ո   x 2ո y 2 

(2.1)

Մետաղի V ծավալում էլեկտրոնի շարժման սահմանափակությունը հաշվի առնելու համար անհրաժեշտ է օգտվել սահմանային պայմաններից, որոնց պետք է բավարարեն (2.1) հավասարման լուծումները:

Հարմարության համար մետաղի ծավալն ընտրենք L  V 1/3 կողով խորանարդի ձնով: Նկատի ունենալով, որ տեղափոխման երնույթների ուսումնասիրման համար հարմար է օգտվել վազող էլեկտրոնային ալիքներից` դիմենք այսպես կոչված «շրջանային» կամ Բոռն-Կառմանի սահմանային պայմաններին (Մաս 1, 111.7)`  ( x  L , y, 2 )   ( x , y, 2 ) ,  ( x , y  L , 2 )   ( x , y, 2 ) ,

(2.2)

 ( x , y, 2  L )   ( x , y, 2 ) :

(2.1) հավասարման նորմավորված լուծումն ունի k (r) 

eik r

(2.3)

տեսքը, իսկ դրան համապատասխանող սեփական էներգիան` ( k ) 

 2k 2 2ո

(2.4)

որտեղ k -ն կոօրդինատից անկախ կամայական վեկտոր է: k վեկտորի իմաստը պարզելու համար նկատենք, որ (2.3) արտահայտությունն իմպուլսի օպերատորի սեփական ֆունկցիան է ք  k սեփական արժեքով`

 1 i kr  1 i kr քˆ k  i  e   k e  kk : V  V 

(2.5)

Այսպիսով, k (r ) ալիքային ֆունկցիայով նկարագրվող էլեկտրոնն ունի ք իմպուլս` համեմատական k -ին, որը կարելի է մեկնաբանել որպես ալիքային վեկտոր: Այժմ օգտվենք (2.2) սահմանային պայմաններից: Ինչպես հետնում է (2.3) ն (2.2) արտահայտություններից, k վեկտորը կարող է ընդունել միայն այնպիսի արժեքներ, որոնց համար տեղի ունեն հետնյալ պայմանները` ik L

eik x L  e y  eik 2 L  1 , (2.6) որոնցից ստացվում են ալիքային վեկտորի բաղադրիչների արժեքները` 2 2 2 kx  ոx , k y  ոy , k2  ո2 , ոx , ոy , ո2  0,  1,  2, : (2.7) L L L

Նկ. 103. Քվանտային ( k x , k y ) վիճակները երկչափ k - տարածության մեջ

Այսպիսով, եռաչափ k -տարածության մեջ էլեկտրոնի քվանտային վիճակները նկարագրվում են այնպիսի ալիքային վեկտորներով, որոնց բաղադրիչները 2 L մեծության պատիկներ են (նկ. 103): k -տարածության մեջ յուրաքանչյուր այդպիսի k վեկտորի (յուրաքանչյուր վիճակի) բաժին է ընկնում

( 2 L )d ծավալ, որտեղ d -ն տարածության չափայնությունն է: Մասնավորապես, եռաչափ k -տարածության միավոր ծավալում վիճակների թիվը` (2 L )



L3 ( 2 )



V ( 2 )3

(2.8)

Նկատի ունենալով Պաուլիի սկզբունքը ն էլեկտրոնի երկու հնարավոր սպինային վիճակները, յուրաքանչյուր էներգիական մակարդակ կարող է զբաղեցնել միայն երկու էլեկտրոն` k  ն k  վիճակներում: Համակարգի ներքին էներգիան կընդունի նվազագույն արժեք այն դեպքում, երբ բոլոր մակարդակները զբաղեցված են երկուական էլեկտրոններով` k  0 վիճակից մինչն առավելագույն kF ալիքային թվով վիճակը: Զբաղեցված վիճակները

k -տարածության մեջ մի գնդում են, որի kF շառավիղը (Ֆերմիի շառավիղ) կարելի է որոշել մասնիկների թվի ն զբաղեցված վիճակների թվի հավասարության պայմանից`

N 2

4

k F3

( 2 ) 3



k F3 32

V :

(2.9)

Անհրաժեշտ է նշել, որ չնայած ալիքային վեկտորի ընդունած արժեքների ընդհատությանը, (2.9) հավասարությունը գործնականորեն ճշգրիտ է, քանի որ N -ը շատ մեծ է ( 1022  1023 ), իսկ մեկ վիճակին բաժին ընկնող

( 2)3 V ծավալը` շատ փոքր, որի հետնանքով զբաղեցված վիճակների տիրույթը գործնականորեն գունդ է: (2.9) առնչությունից որոշվում է Ֆերմիի kF շառավիղը` 1/ 3

 

k F   32

N



V

 (32 ո)1/3 :

(2.10)

k  kF վիճակները k -տարածության մեջ ազատ են: Այսպիսով, kF շառավղով գնդի (Ֆերմիի գունդ) մակերնույթը (Ֆերմիի մակերնույթ) իրարից սահմանազատում է զբաղեցված ( k  kF ) ն ազատ ( k  kF ) վիճակների տիրույթները: Էլեկտրոնային գազի հիմնական վիճակը նկարագրելու համար անհրաժեշտ է գիտենալ էլեկտրոնների խտությունը, քանի որ դրա բոլոր բնութագրերն արտահայտվում են վերջինիս միջոցով: Այսպես` Ֆերմիի իմպուլսը` pF  k F  (32 ո)1/ 3 ,

(2.11)

Ֆերմիի էներգիան` F 

pF2 2ո



 2 k F2 2ո



2 2ո

( 3 2 ո) 2 / 3 ,

(2.12)

Ֆերմիի արագությունը` vF 

k F ո



 ո

(32 ո)1/ 3 :

(2.13)

Աղյուսակ 25-ում տրված են մի շարք մետաղներում էլեկտրոնային գազի որոշ բնութագրեր: Ինչպես հետնում է բերված տվյալներից, k F - 108 սմ1,

vF - 10 սմ/վ, F - 1, 5  15 էՎ:

Որոշենք էլեկտրոնային համակարգի ներքին էներգիան հիմնական վիճակում, երբ k  kF վիճակները զբաղեցված են.

 2k 2 , 2ո k kF

Ս0  2



(2.14)

որտեղ 2 գործակիցը պայմանավորված է էլեկտրոնային սպինի երկու հնարավոր կողմնորոշումներով: Ընդհանրապես

 F (k )

(2.15)

տեսքի գումար կարելի է հաշվել, կատարելով անցում ինտեգրալի (Մաս 1, 111.7.12): Եթե F(k) ֆունկցիան 2 L կարգի հեռավորություններում էապես չի փոփոխվում, ապա (2.15) գումարը կարելի է ներկայացնել dk , F(k)  F(k) ( k) k





(2.16)

տեսքով, որտեղ ( k )  (2)3 V մեծությունը k -տարածության մեջ մեկ թույլատրելի k -ին բաժին ընկնող ծավալն է: Վերջապես, կատարելով անցում այսպես կոչված ջերմադինամիկական սահմանին ( V   , N   ,

N V   ), կստանանք` dk

 F(k)   83 F(k) : V  V ոim

(2.17)

(2.14) ն (2.17) բանաձներից հետնում է էլեկտրոնային գազի հիմնական վիճակի էներգիայի արտահայտությունը` Ս0  2

( 2 )



2k 2 2ո

4 k 2dk 

V  2k F5 10 ո



N F :

(2.18)

Մեկ մասնիկին բաժին ընկնող էներգիան`

Ս0 3  F : (2.19) N 5 Այս էներգիան մետաղների տեսության մեջ խաղում է նույն կարնոր դերը, ինչ որ   3kBT 2 էներգիան` դասական վիճակագրության մեջ: 

Ֆերմիի էներգիային կարելի է համապատասխանության մեջ դնել

TF 

F kB

(2.20)

Ֆերմիի ջերմաստիճանը: Եթե F էներգիան արտահայտենք էլեկտրոն-վոլտով, ապա TF ջերմաստիճանի համար կստանանք` TF  F ( ¿ì )  1,16  104 Կ :

(2.21)

TF -ը կարելի է մեկնաբանել որպես ջերմաստիճան, որի դեպքում դասական գազի մասնիկի միջին ջերմային էներգիան հավասարվում է Ֆերմիի էներգիային: Ակնհայտ է, որ TF -ը ոչ մի կապ չունի էլեկտրոնային գազի ջերմաստիճանի հետ, որը քննարկվող դեպքում զրո է: Ինչպես երնում է Աղյուսակ 25-ից, TF -ի բնութագրական արժեքները 104  105 Կ տիրույթում են: Աղյուսակ 25.

Էլեկտրոնային գազի որոշ բնութագրեր

Տարր

ճ (էՎ)

kճ (Å1)

v ճ (108 սմ/վ)

7ճ (104 K)

7ո / 7ճ

Լ1 Na Ճ RԵ ԸՏ Ըս Ճլ Ճս B6 Խլ Ըa Տո Ճ1

4,74 3,24 2,12 1,85 1,59 7,00 5,49 5,53 14,3 7,08 4,69 3,93 11,7

1,12 0,92 0,75 0,70 0,65 1,36 1,20 1,21 1,94 1,36 1,11 1,02 1,75

1,29 1,07 0,86 0,81 0,75 1,57 1,39 1,40 2,25 1,58 1,28 1,18 2,03

5,51 3,77 2,46 2,15 1,84 8,16 6,38 6,42 16,6 8,23 5,44 4,57 13,6

0,0083 0,0098 0,0136 0,0145 0,0165 0,0166 0,0193 0,0208 0,0094 0,0112 0,0205 0,0228 0,0068

Կարնոր հետնություն կարելի է անել մետաղի հալման ( Tո ) ն Ֆերմիի ջերմաստիճանների համեմատությունից: Մետաղների մեծ մասի համար

Tո TF հարաբերությունը 102 կարգի մեծություն է (տես Աղյուսակ 25), ուս50

տի էլեկտրոնային գազի հատկություններն էլեկտրոնների ջերմային շարժուման հետնանքով միայն փոքր փոփոխություններ են կրել: Աղյուսակ 25-ից հետնում է նան, որ Ֆերմիի արագությունը լույսի արագության 0,01 մասի կարգի մեծություն է: Այն գրեթե 10 անգամ գերազանցում է սենյակային ջերմաստիճանում ( T - 300 Կ) դասական տեսությամբ էլեկտրոնի միջին արագության համար ստացվող արժեքը: Այժմ ուսումնասիրենք (1.3) բաշխման ֆունկցիան T  0 Կ դեպքում: Երբ i   , f (i )  1 , իսկ երբ i   , f (i )  0 : Սա համարժեք է մեզ արդեն ծանոթ իրադրությանը, երբ i  F էներգիաներով բոլոր մակարդակներն զբաղեցված են, իսկ i  F էներգիաներով մակարդակները` ազատ: Հետնաբար` քիմպոտենցիալը` (T )  F , երբ T  0 Կ:

Նկ. 104. Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան T  0 Կ ջերմաստիճանում

Նկ. 104-ում պատկերված է Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը T  0 Կ-ում (Ֆերմիի «աստիճանը»): (1.3) բաշխման ֆունկցիան T  0 Կ-ում կարելի է ներկայացնել միավոր թռիչքի ֆունկցիայի միջոցով`

1 , f ( i )  ( F  i )   0 ,

i  F , i  F :

(2.22)

T  0 Կ ջերմաստիճանում էլեկտրոնային գազն անվանում են լրիվ այլասերված, նշելով այն փաստը, որ այդպիսի գազի հատկությունները հիմնավորապես տարբերվում են դասական էլեկտրոնային գազի հատկություններից:

§ 3. Էլեկտրոնային գազը զրոյից տարբեր ջերմաստիճաններում Պարզենք էլեկտրոնային գազի ջերմադինամիկական բնութագրերի կախումները գազի ջերմաստիճանից: Այդ նպատակով որոշենք էլեկտրոնային գազի ներքին էներգիան: Անկախ էլեկտրոնների մոտավորությամբ համակարգի ներքին էներգիան հավասար է բոլոր մակարդակներում էլեկտրոնների էներգիաների գումարին` Ս 2

 (k ) f (k) ,

(3.1)

որտեղ 2 f (k) մեծությունը (k ) էներգիայով էլեկտրոնների միջին թիվն է: Բաշխման ֆունկցիայի կախումը k ալիքային վեկտորից արտահայտվում է էներգիայի միջոցով, ընդ որում քվանտային թվերի

(i) հավաքածուն

բաղկացած է k x , k y , k 2 մեծություններից ն միարժեքորեն որոշում է (k ) էներգիայով մակարդակը (էլեկտրոնի քվանտային վիճակը որոշելու համար անհրաժեշտ է տալ նան սպինային քվանտային թիվը): Ջերմադինամիկական սահմանում

Ս



( k ) f (( k )) dk : (3.2) 4 3 Մասնիկների թվի (1.4) արտահայտությունը կընդունի հետնյալ տեսքը` V N  3 f ( ( k )) dk : (3.3) 4 Քանի որ (3.2) ն (3.3) բանաձներում ենթաինտեգրալ արտահայտությունները կախված են (k ) -ից, ապա նպատակահարմար է վիճակների թիվը նույնպես



արտահայտել էներգիայի միջոցով: Նշանակենք Օ() -ով վիճակների խտության ֆունկցիան, այսինքն` միավոր էներգիական տիրույթում վիճակների թիվը: ,   d տիրույթում վիճակների թիվը հավասարեցնելով k , k  dk տիրույթում վիճակների թվին, կստանանք`

Օ ( ) d 

V 4

k 2dk



d 

( 4)

V 

k 2dk :

(3.4)

Նկատի ունենալով (2.4) դիսպերսային օրենքը, վիճակների խտության ֆունկցիան ներկայացնենք հետնյալ տեսքով` Օ ( ) 

Vո  

2 2

1/ 2

k

Vո  2ո 

  2  2   2 

 V  41/ 2 ,

(3.5)

որտեղ

4

1  2ո    22   2 

3/ 2

(3.6)

Օ() ֆունկցիայի կախումն էներգիայից 1/2 օրենքով պայմանավորված է միմիայն (2.4) դիսպերսային օրենքով ն ոչ մի առնչություն չունի վիճակագրության հետ: Օ() -ի միջոցով է արտահայտվում համակարգի միավոր ծավալին բաժին ընկնող վիճակների խտության ֆունկցիան`

g  

Օ  V

 41/ 2 ,

(3.7)

Նկ. 105. Վիճակների խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը քառակուսային դիսպերսային օրենքի դեպքում

որի գրաֆիկը պատկերված է նկ. 105-ում: Միավոր ծավալին բաժին ընկնող վիճակների թիվը ,   d տիրույթում հավասար է նկ. 105-ում ընդգծված մակերեսին:

Արտագրենք (3.2) ն (3.3) արտահայտությունները, օգտագործելով (3.5) ն (3.7) բանաձներով որոշված ֆունկցիաները. 



Ս   f ( ) Օ ( ) d ,

(3.8)



N

 f ( ) Օ ( ) d  :

(3.9)

Ներքին էներգիայի խտությունը տրվում է u

Ս V





  f ( ) g ( ) d ,

(3.10)

իսկ էլեկտրոնների խտությունը` 

ո

 f ( ) g ( ) d

(3.11)

բանաձներով: (3.8)  (3.11) բանաձներում f () -ն Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան է` f ( ) 

   e

k BT

1

(3.12)

Գրված ինտեգրալները հաշվելու համար նախ ուսումնասիրենք f ( ) ֆունկցիայի վարքը: Ինչպես հետնում է (3.12) արտահայտությունից, f () -ն էապես փոփոխվում է   kBT      kBT տիրույթում, ընդունելով    կետում 1/2 արժեքը: T  0 Կ-ում   (0)  F արժեքին համապատասխանող կտրուկ «աստիճանը» լղոզվում է, ընդ որում` լղոզման չափը k BT -ի կարգի է (նկ. 106, ա): Սա նշանակում է, որ    էներգիայով վիճակները մասամբ դատարկվում են, իսկ    վիճակները` մասամբ լրացվում էլեկտրոններով: Ջերմաստիճանից կախված փոփոխվում է նան (T ) սահմանային էներգիան, սակայն ինչպես ցույց կտանք ստորն, kBT  F դեպքում բավարար ճշտությամբ կարելի է ընդունել (T )  (0)  F :

Բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալը տրվում է    kBT    f e    cհ 2    k BT     kBT 4k BT  2k BT  e  1

(3.13)

  արտահայտությամբ, որը    արգումենտի զույգ ֆունկցիա է (նկ. 106, բ): Այն    կետում ունի սուր մաքսիմում, որի մեծությունը (4k BT )1 է: Եթե kBT   , ապա (3.13) արտահայտության ինտեգրալը` 



f

  d  f (0)  f ()  e k T  1  1 , B

(3.14)

ուստի երբ T  0 ,   f  ֆունկցիան իրեն պահում է որպես «դելտա»ֆունկցիա` 

f 

 (  F   ) :

(3.15)

Այսպիսով` բաշխման ֆունկցիան էապես փոփոխվում է միայն  -ի շրջակա k BT -ի կարգի լայնությամբ տիրույթում:

Նկ. 106 ա. Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիայի ն բ. դրա ածանցյալի գրաֆիկները

Նկատի ունենալով

f () ն f () ֆունկցիաների նշված հատկություն-

ները, արտածենք հաշվարկային բանաձն



1

F

 f ()  d

(3.16)

տեսքի ինտեգրալի համար, որտեղ F() ֆունկցիան բավարարում է հետնյալ պայմաններին` 1. երբ   0 , F() -ն աճում է ոչ արագ, քան 1 ( 0    1 ) ,

(3.17)

2. երբ    , F() -ն աճում է ոչ արագ, քան exp (  k BT ) -ը: Այս պայմաններն ապահովում են (3.16) ինտեգրալի զուգամիտությունը: (3.16) ինտեգրալում կատարելով մասերով ինտեգրում ն ստացված ինտեգրալում տեղադրելով    կետի շուրջ F() ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը` F ( )  F ()  (   ) F () 

(   ) 2 F ()   ,

(3.18)

1 ինտեգրալը կարելի է ներկայացնել 1  L0F ()  L1F ()  L2 F () 

(3.19)

արտահայտությամբ, որտեղ L0 , L1, L2 ,... գործակիցները որոշվում են հետնյալ ընդհանուր բանաձնով` Lո  

   (  )ո ո!  

f 

ո  0,1, 2, :

d ,

Օգտվելով (3.13) արտահայտությունից ն անցնելով ինտեգրման

(3.20)

2

 (  ) kBT փոփոխականին` կստանանք. Lո 

(k BT )ո ո!

      

2 ոd2 (e 2  1)(1  e  2 )

 Շո (k BT )ո ,

(3.21)

եթե ո -ը զույգ է: Կենտ ո -երի դեպքում ենթաինտեգրալ ֆունկցիան կենտ է, ն

Lո  0 : Շո գործակիցները մեկի կարգի թվեր են. այսպես, օրինակ, Շ0  1 ,

Շ2 

2 ,

Շ4 

74 :

(3.22)

(3.18)  (3.22) բանաձներից (3.16) ինտեգրալի համար ստացվում է հետնյալ ասիմպտոտային վերլուծությունը` 1  F ( ) 



( k BT ) 2 F ( ) 

7

( k BT ) 4 F 1V ()   :

(3.23)

Որպես (3.23) բանաձնի կիրառության կոնկրետ օրինակ որոշենք էլեկտրոնային գազի քիմպոտենցիալը, օգտվելով նորմավորման պայմանից` գրված (3.11) տեսքով: Վերջինս համեմատելով (3.16) առնչության հետ` կորոշենք F() ֆունկցիան. F 





F ( )  g( ) d :

 g ( ) ,

(3.24)

Քանի որ էլեկտրոնների խտությունը ջերմաստիճանից անկախ, տրված մեծություն է, ապա նպատակահարմար է (3.11) պայմանի ձախ մասում դրա փոխարեն գրել (3.23) ինտեգրալի արժեքը T  0 Կ դեպքում, երբ բաշխման ֆունկցիան տրվում է (2.22) բանաձնով, այսինքն` F





g ( ) d  g ( ) d 

2



(k BT ) 2 g ()  Օ(T 4 )

(3.25)

կամ 0  (   F ) g (  F ) 

2

( k BT ) 2 g (  F ) :

(3.26)

(3.26) բանաձնից կորոշենք քիմիական պոտենցիալը`   F 

2 g (  F ) 6 g(F )

(k BT ) 2 :

(3.27)

Հարկ է նշել, որ (3.27) բանաձնից կարելի է օգտվել նան անկախ էլեկտրոնների այլ մոդելների դեպքում, երբ դիսպերսային օրենքը քառակուսային չէ: Ազատ էլեկտրոնների համար (3.7) ն (3.6) առնչություններից հետնում են վիճակների խտության ֆունկցիայի ն դրա ածանցյալի արտահայտությունները   F կետում` g(F ) 

1  2ո 

  22   2 

3/ 2

1F/ 2 

3ո 2 F

(3.28)

g( F ) 

g(  F ) 2 F

(3.29)

իսկ (3.27) բանաձնով որոշվող քիմպոտենցիալը`

 2  k T  2  B   F 1     :  12  F    

(3.30)

Վերջին բանաձնի համաձայն` ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց քիմպոտենցիալը նվազում է, իսկ դրա փոփոխությունը համեմատական է (k BT F )2  (T TF )2 մեծությանը, ուստի անգամ հալման ջերմաստիճանում

այն 104 կարգի մեծություն է (տես Աղյուսակ 25): Մետաղի գոյության ամբողջ ջերմաստիճանային տիրույթում մեկ էլեկտրոնին բաժին ընկնող ջերմային էներգիան` kBT  F : Այս պայմաններում էլեկտրոնային գազը կոչվում է ուժեղ այլասերված: Հետնաբար` կամայական ջերմաստիճանում մետաղներում էլեկտրոնային գազն ուժեղ այլասերված վիճակում է:

§ 4. Էլեկտրոնային գազի ջերմունակությունը Մետաղների դասական էլեկտրոնային տեսության համար էլեկտրոնային գազի ջերմունակության պրոբլեմը մնաց անլուծելի: Բանն այն է, որ դասական տեսության շրջանակներում էլեկտրոնների համախումբը մետաղում դիտվում էր որպես դասական գազ, ուստի յուրաքանչյուր էլեկտրոնի բաժինը գազի ջերմունակության մեջ պետք է լիներ

3kB 2 : Մեկ մոլ մետաղի ջերմունակության մեջ էլեկտրոնների ներդրումը` ՇVe  2N 4 ( 3kB 2 )  3R2 2 , որտեղ R -ը գազային հաստատունն է, իսկ 2 -ը`

մետաղի արժեքականությունը: Դասական էլեկտրոնային տեսության համաձայն` սենյակային ջերմաստիճաններում մետաղի լրիվ ջերմունակությունը պետք է լիներ հավասար ցանցի ն էլեկտրոնային գազի ջերմունակությունների գումարին`

 

ՇV  ՇVg  ՇVe  3R  1 

2

,

2

(4.1)

ն, հետնաբար, զգալիորեն տարբերվեր մեկուսիչ նյութի` միայն ցանցային

ՇVg  3R մոլային ջերմունակությունից: Սակայն փորձից հետնում է, որ ն՛ մետաղների, ն՛ մեկուսիչների համար սենյակային ջերմաստիճաններում տեղի ունի Դյուլոնգ-Պտիի օրենքը` ՇÙ»ï³Õ  ՇÙ»ÏáõëÇã  3R . Ավելի նուրբ չափումների համաձայն` մետաղում

էլեկտրոնային ջերմունակության ներդրումը սենյակային ջերմաստիճաններում չի գերազանցում 3R արժեքի 19-ը: Ստացվում է այնպես, որ էլեկտրա- ն ջերմահաղորդականությանը մասնակցող ն կարծես լրիվ ազատ շարժվող էլեկտրոններն ինչ-ինչ պատճառներով ջերմունակության մեջ ներդրում չունեն (էլեկտրոնային գազի ջերմունակության պարադոքս): Պարադոքսն իսկույն բացատրվում է, երբ դասական բաշխման փոխարեն օգտագործվում է Ֆերմի-Դիրակի քվանտային բաշխումը: Էլեկտրոնային համակարգը տաքացնելիս ջերմային էներգիա կարող են կլանել միայն լղոզման տիրույթի էլեկտրոնները, որոնց էներգիաների տարբերությունն ազատ վիճակների էներգիաներից k BT -ի կարգի է (նկ. 107):

Նկ. 107. Լրացված վիճակների խտության` էներգիայից կախման գրաֆիկը

(k B7   ճ ) Խորքային էլեկտրոնները չեն կարող կլանել k BT մեծությամբ ջերմային էներգիան, քանի որ մոտակա էներգիական մակարդակներն զբաղեցված են: Ջերմային եղանակով կարող են ակտիվանալ ն, այսպիսով, իրենց պահել որ59

պես դասական մասնիկներ միայն   F -ի շուրջ k BT տիրույթի էլեկտրոնները, որոնց թիվը` N

N - g (  F ) k B T V - k B T

F

(4.2)

իսկ էլեկտրոնային գազի ներքին էներգիայում դրանց ներդրումը` Ս - N k B T -

N F

( k BT ) 2 :

(4.3)

Ջերմունակության համար (4.3) արտահայտությունից ստացվում է

 Ս  T ՇVe    - Nk B TF  T V

(4.4)

գնահատականը, որի համաձայն` էլեկտրոնային ջերմունակությունը դասական տեսությամբ ստացվող - NkB արժեքի T / TF մասն է: Մասնավորապես, սենյակային ջերմաստիճանում` T - 300 Կ, T / TF - 0, 01 : Այժմ արտածենք էլեկտրոնային ջերմունակության համար ճշգրիտ արտահայտություն kBT  F տիրույթում: Այդ նպատակով հաշվարկենք էլեկտրոնային գազի ներքին էներգիան, որը (3.8) ն (3.23) բանաձների միջոցով կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` 



Ս  Օ ( ) d 

2

(k BT ) 2

d d

 Օ()   

(4.5)

(4.5) բանաձնում հաշվի առնելով T 2 -ն համեմատական բոլոր անդամները` կստանանք. F

Ս





Օ ( ) d 



F

Օ ( ) d 

2

(k BT )2 Օ () 

2

(k BT ) 2 Օ ()   

(4.6)

  2 2  Ս 0   F (   F ) Օ (  F )  (k BT ) 2 Օ (  F )   (k BT )2 Օ ( F )  O(T 4 ) :   6 Քանի որ   F - T 2 ն Օ() -ի գործակիցը նույնպես T 2 կարգի է, ապա քառակուսի փակագծերում Օ() -ի ն Օ() -ի արգումենտը փոխարին60

ված է F -ով: Նկատի ունենալով նան (3.26) հավասարումը, էլեկտրոնային գազի ներքին էներգիան ն ջերմունակությունը կարելի է ներկայացնել հետնյալ արտահայտություններով`

Ս  Ս0 

2 (k BT ) 2 Օ (  F ) ,

(4.7)

 Ս  2 2 ՇVe    k BՕ ( F )T :   T V

(4.8)

(3.28) ն (3.7) բանաձների միջոցով ջերմունակության (4.8) արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել

ՇVe 

k T 2 2 T N kB B  N kB F TF

(4.9)

տեսքով, որը որակական գնահատումով ստացված (4.4) արտահայտությունից տարբերվում է ընդամենը թվային գործակցով: (4.9) բանաձնի համաձայն` մոլային ջերմունակությունը`

ՇVe  T ,



2 N 4 k B 2 2TF



2 R2 2TF

(4.10)

Ցածր ջերմաստիճաններում, երբ T  TD , որտեղ TD -ն Դեբայի ջերմաստիճանն է, մետաղի ջերմունակությունը կարելի է ներկայացնել էլեկտրոնային ն ցանցային ջերմունակությունների գումարի տեսքով`

ՇV  T  T 3 ,

(4.11)

որտեղ  հաստատունն արտահայտվում է TD -ի միջոցով (Մաս 1, 17.5.12)` 

12 4 R 5TD3

(4.12)

Ներմուծենք T0 ջերմաստիճանը, որի դեպքում էլեկտրոնային ն ցանցային ջերմունակությունները հավասարվում են (նկ. 108, ա)` 1/ 2

T0     

1/ 2

 5  1/2  TD   2 TD    242   TF 



1/ 2

 TD  1/2  2 :  TF 

 0,145 TD 

(4.13)

Երբ T  T0 , ջերմունակության մեջ գերակշռում է գծային անդամը, իսկ

T  T0 դեպքում` խորանարդայինը: T0 -ի արժեքները մի շարք մետաղների համար տրված են Աղյուսակ 26-ում: Մետաղների մեծ մասի համար T0 -ն մի քանի կելվինի կարգի մեծություն է:

Նկ. 108. ա. T0 ջերմաստիճանի որոշումը, բ.

T -ուց կալիումի համար

 ( ՇV /T

ՇV /T

հարաբերության կախումը

-ն չափվում է մՋ/մոլ  Կ2 միավորով):

Փորձում ստացված արժեքները հարմար է մեկնաբանել, կառուցելով

ՇV

T մեծության կախումը T 2 -ուց, որն ուղիղ գիծ է: Դրա թեքությունը հա-

վասար է (4.11) բանաձնում առկա  հաստատունին, իսկ ուղղի շարունակությունը ՇV T առանցքից հատում է  -ին հավասար հատված: Նկ. 108, բ-ում պատկերված է ՇV T -ի` T 2 -ուց կախման գրաֆիկը կալիումի համար:  հաստատունի միջոցով որոշված Դեբայի ջերմաստիճանի արժեքները որոշ մետաղների համար բերված են Աղյուսակ 26-ում: Փորձում  գործակիցը չափվում է մեծ ճշտությամբ, սակայն տեսական ն փորձնական արժեքները երբեմն զգալիորեն տարբերվում են իրարից: Այդ տարբերությունը կարելի է վերագրել ազատ էլեկտրոնի զանգվածի համեմատությամբ, մետաղում էլեկտրոնի զանգվածի փոփոխությանը, քանի որ (4.10) առնչության համաձայն`  - 1 TF -1 F - ո ն

Աղյուսակ 26.

Մետաղների որոշ պարամետրեր

Տարր Լ1 Na Ճ RԵ Ճլ Ճս Ըս B6 Խլ Տո Ճ1

7D ,Կ

7D / 7ճ 0,079 0,065 0,061 0,051 0,059 0,051 0,065 0,093 0,070 0,057 0,056

70 ,Կ 3,9 1,5 0,8 0,4 1,9 1,2 3,2 5,8 1,7

 ex ոtհ  :  ո

 , մՋմոլ1Կ 2 տես. 0,74 1,09 1,67 1,93 0,63 0,63 0,50 0,50 1,00 1,80 0.92

փորձ. 1,76 1,47 1,97 2,43 0,67 0,67 0,67 0,21 1,34 3,64 1,26

ոԷh/ո 2,3 1,3 1,2 1,3 1,1 1,1 1,3 0,42 1,3 2,0 1,4

(4.14)

ոtհ մեծությունն ընդունված է անվանել ջերմային արդյունարար զանգված: Դրա տարբերությունը ազատ էլեկտրոնի ո զանգվածից պայմանավորված է այնպիսի գործոններով, ինչպիսիք են էլեկտրոնի փոխազդեցությունը բյուրեղային պարբերական դաշտի, ատոմների (իոնների) տատանումների, ինչպես նան այլ էլեկտրոնների հետ:

§ 5. Էլեկտրոնային գազի էլեկտրահաղորդականությունը ն ջերմահաղորդականությունը Էլեկտրահաղորդականության ն ջերմահաղորդականության Զոմերֆելդի տեսության մեջ արվում են նույն ենթադրությունները ն օգտվում են նույն կինետիկ հավասարումից, ինչ որ Լորենցի էլեկտրոնային տեսության մեջ (տես 71.6): Տարբերությունն այն է, որ Մաքսվել-Բոլցմանի ֆունկցիայի փոխարեն որպես հավասարակշռական բաշխման ֆունկցիա օգտագործվում

է Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը, իսկ ազատ վազքի երկարությունը, որը Լորենցի տեսության մեջ տրվում է (71.7.9) բանաձնով, Զոմերֆելդի տեսության մեջ կատարում է տեսության պարամետրի դեր: Այն ընդհանուր դեպքում կախված է էլեկտրոնի էներգիայից` l  l() ն կարող է որոշվել տեսական ն փորձարարական տվյալների համեմատումից: Արտաքին էլեկտրական դաշտի ն ջերմաստիճանային գրադիենտի առկայությամբ բաշխման ֆունկցիայի անհավասարակշռական մասը կարելի է ներկայացնել f1 ( r, v)  vx ( v)

(5.1)

տեսքով, որտեղ ( v ) ֆունկցիան տրվում է (71.7.10) բանաձնով` l  f eE  f0  ( v)    0  : v   x ո vx  vx 

(5.2)

Հավասարակշռական f 0 ֆունկցիան v x -ից կախված է էներգիայի միջոցով, ուստի  f0

 ոvx

 vx

 f0 

(5.3)

ն, հետնաբար` ()  

l ( )   f 0



v  x

 eE

 f0 

:

(5.4)

 

Հոսանքի խտությունը` յx  

e V

 vx ( k ) f ( k ) :

(5.5)

(2.17) առնչության միջոցով կատարելով անցում ըստ k -ի գումարից` ինտեգրալի ն օգտվելով (71.7.14) ն (5.4) բանաձներից` կստանանք. յx  

e2 E





vl( )

 f0 

g ( ) d  



f

 vl()  x0 g() d

(5.6)

Նման ձնով ջերմային հոսքի խտության համար ստանում ենք զx 

ոeE





v3l( )

 f0 

g ( ) d 



f

 v l()  x0 g() d

(5.7)

արտահայտությունը: g() -ն տրվում է (3.6)  (3.7) բանաձներով: Զոմերֆելդի տեսության շրջանակներում որոշենք էլեկտրահաղորդականության ն ջերմահաղորդականության գործակիցների արտահայտությունները: 1. Էլեկտրահաղորդականություն Դիտարկենք հոսանքը համասեռ, հավասարաչափ տաքացված լարում: Այս դեպքում f0 հավասարակշռական բաշխման ֆունկցիայում  ն T պարամետրերը կախված չեն կոօրդինատից, ուստի  f0  x  0 , ն (5.6) բանաձնի համաձայն`

յx   E ,   



f

v ( ) l ( ) g (  ) 0 d  : 3  

(5.8)

Էլեկտրահաղորդականության  գործակցի համար ստացված արտահայտության ինտեգրալում ներդրում ունի միայն F -ի շուրջ k BT -ի կարգի էներգիական տիրույթը, քանի որ դրանից դուրս  f0  ածանցյալը զրո է (տես (3.13) բանաձնը ն նկ. 106, բ): Առաջին մոտավորությամբ այդ ածանցյալը կարելի է փոխարինել «դելտա»-ֆունկցիայով`  f0 

 (  F  ) :

(5.9)

(5.9) ն (5.8) առնչությունների համաձայն` 

vF lF gF 

vF lF

3ո 2 F



ոe2 F ո

(5.10)

որտեղ F 

lF vF

(5.11)

(«Ի» ցուցիչով նշանակված է տվյալ մեծության` Ֆերմիի էներգիային համապատասխանող արժեքը): (5.10) բանաձնն արտաքուստ լրիվ համընկնում է Դրուդեի տեսության մեջ ստացված (71.2.12) արտահայտության հետ: Սակայն F -ը կախված չէ ջերմաստիճանից, ի տարբերություն (71.2.12) բանաձնում գրված  -ի, որը,

լինելով հակադարձ համեմատական միջին ջերմային արագությանը` կախ1/ 2

ված է 7 -ից: (5.10) բանաձնից հետնում է մի կարնոր արդյունք`



ne 2lճ ոv ճ

- n 2/3lճ :

(5.12)

Սա նշանակում է, որ էլեկտրահաղորդականության գործակցի մեջ ներդրում են տալիս ոչ բոլոր էլեկտրոնները, այսինքն` ոչ բոլոր ազատ էլեկտրոններն են մասնակցում հաղորդականությանը: Այսպիսով, ի տարբերություն Դրուդեի տեսության, որտեղ բոլոր ազատ էլեկտրոնները մասնակցում են հաղորդականության պրոցեսին («ազատ էլեկտրոն» հասկացությունը նույնական է «հաղորդականության էլեկտրոն» հասկացությանը), Զոմերֆելդի տեսության մեջ առաջ է գալիս նոր` «հաղորդականության էլեկտրոն» հասկացությունը: 2. Ջերմահաղորդականություն Դիտարկենք էլեկտրոններով ստեղծված ջերմային հոսքը: (5.6) ն (5.7) բանաձներում առկա  f0  x ածանցյալը պայմանավորված է ջերմաստիճանային գրադիենտով, ուստի այն կարելի է ներկայացնել

 f 0  f 0 T  x T  x

(5.13)

տեսքով, որտեղ  f0 T ածանցյալը նպատակահարմար է արտահայտել

 f0  ֆունկցիայի միջոցով: Դժվար չէ համոզվել, որ  f0 T



 f0    

   T



 

ոv 2  f0

T 

2T 



 f0  

     : (5.14)   T T 

(5.13) ն (5.14) արտահայտությունները տեղադրենք հոսանքի խտության (5.6) ն ջերմային հոսքի խտության (5.7) բանաձների մեջ:  f0  x -ով անդամները կարելի է գրել մեկ միասնական տեսքով` 

f



  T

ո T

 v l     x0 g    d   T  T   x Ki  2T  x Ki2 , i

որտեղ i  1, 3 , ինչպես նան կատարված է նշանակում`

(5.15)





Ki  vil()

 f0 

g ( ) d  :

(5.16)

Ինչպես գիտենք, հաստատված ջերմային հոսքի դեպքում (տես 71.5), տեղի ունի յx  0 պայմանը: (5.6), (5.15) ն (5.16) բանաձների միջոցով նշված պայմանից որոշվում է ներքին (ջերմաէլեկտրական) դաշտի լարվածությունը` E

1 T  

 ո K3     : e  x  T T 2T K1 

(5.17)

(5.17) ն (5.7) բանաձներից ջերմային հոսքի համար հետնում է

զx  

ո2 K32  K1K5 T T   12T K1 x x

(5.18)

արտահայտությունը, որտեղից ջերմահաղորդականության գործակիցը



 ո2  K32  K5  :   12T  K1 

(5.19)

Ki ինտեգրալները հաշվարկելու նպատակով (5.16) բանաձնում կատարենք մասերով ինտեգրում ն օգտվենք (3.23) վերլուծությունից` 



Ki  Fi ( )

 f0 

d  Fi ( ) f 0 ( )





F

 f0 i d 

      Fi ( )  (k BT ) 2 Fi( )   ,  

(5.20)

որտեղ կատարված է Fi ()  vil() g()

(5.21)

նշանակումը: Նկատի ունենալով նան, որ Fi ()  Fi (  F )  Fi(  F )(   F )  Օ(T 4 ) ,

(5.22)

(5.19) բանաձնից կորոշենք ջերմահաղորդականության գործակիցը`

 2  2   4  (   F ) B  ( k B T ) Շ  , 12TK1    որտեղ կատարված են հետնյալ նշանակումները` 

ո2

(5.23)

4  F32 (  F )  F1 (  F ) F5 (  F ) ,

(5.24)

B  2F3F3  F1F5  F1F5 ,

(5.25)

Շ  2F3F3  F1F5  F1F5 ,

(5.26)

իսկ ըստ էներգիայի Fi ն Fi ածանցյալները վերցված են F կետում: (5.21) նշանակման համաձայն` 4  0 : Անմիջական հաշվարկներով կարելի է համոզվել, որ նան B  0 : Քանի որ (5.23) արտահայտության համարիչը T 2 կարգի է, ապա հայտարարում կարելի է K1 -ը փոխարինել F1 (F ) ով: ո գործակիցը հաշվելիս պարզվում է, որ l() -ի 1 ն 11 կարգի ածանցյալներն ըստ էներգիայի կրճատվում են, ն ջերմահաղորդականության գործակցի համար ստացվում է հետնյալ վերջնական արտահայտությունը` 

2 ոlF 3 ոvF

k B2 T :

(5.27)

T  0 Կ ջերմաստիճանում ջերմահաղորդականության գործակիցը`   0 , ի

տարբերություն էլեկտրահաղորդականության գործակցի, որը T  0 Կ -ում զրոյից տարբեր մեծություն է: Նշենք մի կարնոր հանգամանք նս: (4.9) բանաձնի համաձայն` էլեկտրոնային գազի միավոր ծավալի ջերմունակությունը` cV 

ՇVe V



2

k B2 g ( F )T 

2 ոk B2 T 2 F



2 ոk B2 T ոvF2

(5.28)

Համեմատելով cV -ի այս արտահայտությունը (5.27) բանաձնի հետ, ստանում ենք   cV lF vF

(5.29)

առնչությունը, այսինքն` դասական կինետիկ տեսության արդյունքը: Այս արդյունքն, իհարկե, անսպասելի չէր: Եթե դասական տեսության մեջ ջերմահաղորդականության պրոցեսին մասնակցում են բոլոր մասնիկները, որոնց վերագրվում է v միջին ջերմային արագություն, ապա քննարկվող դեպքում նույն դերը կատարում են Ֆերմիի մակերնույթի մոտ k BT -ին

համեմատական էներգիական շերտի էլեկտրոնները, որոնց միջին արագությունը vF է: (5.27) ն (5.10) առնչություններից Վիդեման-Ֆրանցի օրենքը կարելի է ներկայացնել հետնյալ կերպ`  



2  k B    T : 3  e 

(5.30)

Այս արդյունքը, ինչպես արդեն նշվել է, պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ մետաղը բնութագրող n ն l մեծությունները կրճատվում են: (5.30) առնչությունից Լորենցի թվի համար ստացվում է

2  k B  (5.31) 3  e  արժեքը, որը միջին հաշվով ավելի լավ է համապատասխանում փորձին, քան LՏ 

Դրուդեի տեսությամբ ստացված LD  3(k B e) 2 արժեքը: (5.17) արտահայտությունից ն դիֆերենցիալ ջերմաէլեկտրաշարժ ուժի սահմանումից (տես 71.5.12 բանաձնը) հետնում է, որ

1    ո K3  Օ    (5.32)  : e  T T 2T K1  Նկատի ունենալով քիմպոտենցիալի (3.30) արտահայտությունը ն օգտվելով (5.20)  (5.22) բանաձներից, որոշ ձնափոխություններից հետո Օ գործակցի համար կստանանք հետնյալ վերջնական արտահայտությունը`



  (5.33)  :  F   Հարկ է նշել, որ, որպես կանոն, ռելաքսացիայի ժամանակի` էներգիայից ունեցած կախումն էապես չի ազդում մետաղի հատկությունների վրա: Բացառություն է կազմում ջերմաէլշուն, որի (5.33) արտահայտության մեջ բացահայտորեն մասնակցում է l (  ) ածանցյալը: Մասնավորապես, եթե ռելաքսաd ոո l    k  2 k BT  Օ B 1  e 6 F  d ոո v   

ցիայի ժամանակը`   l v - l 1/ 2 -  1/ 2 , այսինքն`, l( ) -ն կախված չէ էներգիայից, ապա

Օ

k B  2 k BT 2e 3 F

 ՕD

2 k BT 3 F

(5.34)

Այս արտահայտությունը Դրուդեի տեսությամբ ստացված արդյունքից (տես 71.5.17) հիմնականում տարբերվում է kBT F գործակցով, որը սենյակային ջերմաստիճաններում 102 կարգի մեծություն է: (5.34) բանաձնով ստացված արժեքը` Օ - 106 Վ/Կ, մոտ է փորձում դիտվող արժեքներին: Դժվար չէ համոզվել, որ (5.34) արտահայտությունը կարելի է ստանալ նան (71.5.16) բանաձնից, նրանում տեղադրելով էլեկտրոնային ջերմունակության (4.8) արտահայտությունը:

§ 6. Դասական տեսության մեջ Ֆերմի-Դիրակի քվանտային բաշխման օգտագործման հիմնավորումը Ինչպես արդեն նշվել է, Զոմերֆելդի էլեկտրոնային տեսության հիմքում Լորենցի դասական էլեկտրոնային տեսությունն է, որտեղ էլեկտրոնի վիճակը որոշվում է միաժամանակ կոօրդինատով ն իմպուլսով: Մյուս կողմից, Զոմերֆելդի տեսության մեջ օգտագործվում է Ֆերմի-Դիրակի քվանտային բաշխումը: Հարց է առաջանում, թե որքանո՞վ է հիմնավորված նման մոտեցումը: Հայտնի է, որ էլեկտրոնի շարժման դասական նկարագրությունը հիմնավորված է այն դեպքում, երբ դրա կոօրդինատը ն իմպուլսը չափվում են այնպիսի ճշտությամբ, որը չի խախտում անորոշությունների առնչությունը: Մետաղում էլեկտրոնի բնութագրական իմպուլսը k F -ի կարգի է, ուստի դրա իմպուլսի p անորոշությունը պետք է շատ փոքր լինի k F -ից: Կոօրդինատի անորոշությունը պետք է բավարարի   x   - ո 1/ 3 - r p k F k F

(6.1)

անհավասարությանը, որտեղ էլեկտրոնների միջն միջին r հեռավորությունը մի քանի Å-ի կարգի մեծություն է: Այսպիսով, դասական նկարագրությունը հիմնավորված է, եթե կոօրդինատի անորոշությունը շատ մեծ է ցանցի հաստատունից: Հետնաբար, չի կա70

րելի դասականորեն նկարագրել միջատոմական կարգի հեռավորություններում տեղայնացված էլեկտրոնները: Սակայն մետաղում հաղորդականության էլեկտրոնները կապված չեն որոշակի իոնների հետ, այլ ազատ շարժվում են մակրոսկոպական նմուշում, ուստի դրանց կոօրդինատների անորոշության բնութագրական չափը` x - V 1/3 - L  r : Դրուդեի մոդելում էլեկտրոնի կոօրդինատների գիտենալն էական է հիմնականում երկու տեսակետից: 1. Երբ մետաղի վրա ազդում է անհամասեռ էլեկտրական դաշտ կամ առկա է ջերմաստիճանային գրադիենտ, ապա անհրաժեշտ է տալ էլեկտրոնի կոօրդինատներն այնպիսի  x ճշտությամբ, որը զգալիորեն փոքր է արտաքին ազդակների փոփոխման բնութագրական երկարությունից: Որպես կանոն, այդ բնութագրական երկարությունները շատ մեծ են Å-ից, ուստի անհրաժեշտ  x -ի ապահովումը չի հանգեցնում իմպուլսի զգալի անորոշության: Օրինակ` լույսի ալիքի էլեկտրական դաշտի էապես փոփոխման երկարությունը`  - 1000 Å-ի կարգի է, ուստի եթե x - 100 Å (   ), ապա

k - 1 x - 106 սմ1, այն դեպքում, երբ ո - 1023 սմ3, k F - 108 սմ1  k -ից: Սակայն եթե  -ն 100 Å կարգի կամ ավելի փոքր է, ապա k - k F , ուստի այս դեպքում պետք է օգտվել քվանտային մեխանիկայից: 2. Դրուդեի մոդելում անբացահայտորեն ենթադրվում է, որ էլեկտրոնը կարելի է տեղայնացնել այնպիսի տիրույթներում, որոնց գծային չափերը զգալիորեն փոքր են ազատ վազքի միջին երկարությունից` x  l (նկ. 109), այլապես անիմաստ է օգտվել բախումների մասին պատկերացումից: Նկատի ունենալով  x -ի բնութագրական արժեքները ( x  a -ից` ցանցի հաստատունից), չի կարելի հավատ ընծայել այն դասական դատողություններին, որոնց համաձայն l  10 Å. Բարեբախտաբար, l -ը զգալիորեն գերազանցում է բերված արժեքը: Իրոք, օգտվելով ռելաքսացիայի ժամանակի (71.2.15) բանաձնից ն նկատի ունենալով, որ բնութագրական էլեկտրոնային արագությունը vF -ի կարգի է, ազատ վազքի միջին երկարության համար կստանանք` l  vF  

2, 7  ո0      ո 

2/3

103 Å :

(6.2)

Նկ. 109. Էլեկտրոնի տեղայնացման տիրույթների չափերը ն ազատ վազքի երկարությունը

Սենյակային ջերմաստիճաններում տեսակարար դիմադրությունը մի քանի մկՕմսմ կարգի մեծություն է, իսկ ո0 ո պարամետրը փոփոխվում է 0, 04  1 տիրույթում, ուստի l -ը մի քանի հարյուր Å-ի կարգի մեծություն է:

Ջերմաստիճանի նվազմանը զուգընթաց l -ը զգալիորեն աճում է: Այսպիսով, կան բազմաթիվ երնույթներ, որոնցում ն՛ առանձին էլեկտրոնի, ն՛ էլեկտրոնների համախմբի վարքը կարելի է բավարար ճշտությամբ նկարագրել դասական մեխանիկայով:

§ 7. Դասական էլեկտրոնային տեսության թերությունները Դասական էլեկտրոնային տեսությունը հաջողությամբ բացատրում է մետաղների բազմաթիվ հատկություններ: Այն բացահայտ թերությունները, որոնք բնորոշ են Դրուդեի տեսությանը, էլեկտրոնային գազը դասական վիճակագրությամբ նկարագրելու հետնանք են: Այս հանգամանքով է պայմանավորված ջերմունակության պարադոքսը, երբ էլեկտրոնային ջերմունակությունը մոտ երկու կարգով փոքր է ստացվում դասական տեսությամբ կանխատեսված արժեքից, ինչպես նան ջերմաէլշուի հաշվարկված արժեքը, որը սենյակային ջերմաստիճաններում մոտ երկու կարգով գերազանցում է փորձում դիտվող արժեքները: Ինչպես համոզվեցինք, Զոմերֆելդը հաջողությամբ վերացրեց նշված թերությունները, օգտագործելով Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրությունը, սակայն թողեց առանց փոփոխության ազատ էլեկտրոնների մոդելի մյուս հիմնական ենթադրությունները: Այսպիսի մոտեցման հետնանքով ազատ էլեկտրոնների

Զոմերֆելդի տեսության շրջանակներում ստացվող շատ քանակական արդյունքներ հակասում են փորձին: Բացի դրանից, Զոմերֆելդի տեսությունը պատասխան չի տալիս մի շարք սկզբունքային հարցերի: Ստորն նշենք այն հիմնական փաստերը, որոնց բացատրությունը դասական էլեկտրոնային տեսության շրջանակներում չի համապատասխանում փորձին: 1. Էլեկտրահաղորդականության գործակցի ջերմաստիճանային կա-

խումը (ստատիկ հաղորդականություն): Փորձից հայտնի է, որ էլեկտրահաղորդականության գործակիցը ջերմաստիճանից կախված փոփոխվում է: Լորենցի տեսության համաձայն` այդ կախումը տրվում է T 1/2 օրենքով (տես 71.2.21), որը հակասում է փորձին, որի համաձայն բարձր ջերմաստիճաններում  - T 1 (  - T ), իսկ ցածր ջերմաստիճաններում  - T 5 (  - T 5 ) : Փորձում դիտվող վարքը բացատրելու համար Զոմերֆելդի տեսության մեջ արհեստականորեն մտցվում է ջերմաստիճանից կախված ռելաքսացիայի ժամանակ: 2. Հոլի գործակից Դասական էլեկտրոնային տեսությամբ Հոլի գործակցի համար ստացվում է RH  1 eոc արտահայտությունը, որը կախված չէ ջերմաստիճանից, ռելաքսացիայի ժամանակից ն մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Փորձում չափված արժեքները նույն կարգի են, ինչ որ RH -ի բանաձնից ստացվածները, սակայն փորձում դիտվում է կախում ինչպես մագնիսական դաշտի լարվածությունից, այնպես էլ ջերմաստիճանից: Որոշ մետաղներում (B6, Խլ, լո, Ճ1) Հոլի գործակիցը դրական է, փաստ, որն այս տեսության շրջանակներում ընդհանրապես անհասկանալի է: 3. Մագնիսադիմադրություն Դասական տեսության համաձայն` մագնիսական դաշտին ուղղահայաց ուղղությամբ մետաղի դիմադրությունը կախված չէ դաշտի լարվածությունից, որը հակասում է փորձին: Որոշ դեպքերում (օրինակ` Ըս-ի, Ճլ-ի, Ճս-ի համար) փորձում դիմադրությունը դաշտի լարվածությունից կախված կարող է անվերջ աճել, ընդ որում, որոշ դեպքերում էլ այն կախված է դաշտի նկատմամբ նմուշի կողմնորոշումից:

Փորձում դիտվում է նան երկայնական մագնիսադիմադրության ( H || E ) երնույթը, որն ըստ դասական տեսության` գոյություն ունենալ չի կարող: 4. Ջերմաէլշու Գործակցի մեծությունը կարգով համընկնում է փորձի հետ, սակայն նշանը միշտ չէ, որ համընկնում է տեսության կանխատեսածի հետ: 5. Վիդեման-Ֆրանցի օրենք Այս օրենքի բացատրությունը դասական էլեկտրոնային տեսության մեծագույն նվաճումն է: Իրականում այն համապատասխանում է փորձին սենյակային ջերմաստիճաններում, հաճախ` նան շատ ցածր (մի քանի կելվին) ջերմաստիճաններում: Միջանկյալ ջերմաստիճանների տիրույթում այն տեղի չունի, ն Լորենցի  T թիվը կախված է ջերմաստիճանից: 6. Էլեկտրոնային ջերմունակություն Զոմերֆելդի տեսության կարնոր նվաճումն էլեկտրոնային գազի ջերմունակության պարադոքսի բացատրությունն է: Ջերմունակության գծային օրենքը լավագույնս տեղի ունի ալկալիական մետաղների համար, փոքր-ինչ վատ` ազնիվ մետաղների ն վատ` անցումային (Ի6, Խո) մետաղների համար (  -ի արժեքը շատ փոքր է տեսական արժեքից), ինչպես նան B1-ի ն ՏԵ-ի համար (  -ի արժեքը շատ մեծ է տեսական արժեքից): Նշված, ինչպես նան մի շարք այլ դժվարությունների հետ մեկտեղ, դասական էլեկտրոնային տեսության մեջ կան հիմնարար դժվարություններ. 1. Ինչո՞վ է որոշվում հաղորդականության էլեկտրոնների թիվը: Տեսության մեջ ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքական էլեկտրոնները դառնում են հաղորդականության էլեկտրոններ, իսկ մյուս էլեկտրոնները մնում են կապված իոնների հետ: Հարց է ծագում, թե ինչո՞ւ է այդպես ն ինչպե՞ս վարվել այն դեպքում, երբ տվյալ մետաղն ունի մի քանի տարբեր արժեքականություն (օրինակ` Ի6): 2. Ինչո՞ւ որոշ տարրեր մետաղներ չեն: Մեկուսիչների գոյությունը խոսում է վերն ընտրված փորձառական կանոնի լուրջ թերությունների մասին: Ինչո՞ւ, օրինակ, բորը (B) մեկուսիչ է, իսկ հարնան ալյումինը (Ճ1)` լավագույն մետաղ, ածխածնի «ալմաստ» տարաձնը մեկուսիչ է, իսկ «գրաֆիտ» տարաձնը` հաղորդիչ:

Նշված դժվարությունների հաղթահարման ուղիներ գտնելու համար անհրաժեշտ է մեկ անգամ նս քննարկել այն մոտավորությունները, որոնք ընկած են դասական էլեկտրոնային տեսության հիմքում: Դրանցից հիմնականներն են. ա. Ազատ էլեկտրոնների մոտավորություն Ենթադրվում է, որ իոնների դերը մետաղում աննշան է: Նրանք ոչ մի ազդեցություն չեն գործում էլեկտրոնների վրա բախումների միջն ընկած ժամանակամիջոցում: Իրականում ն՛ Դրուդեի, ն՛ Զոմերֆելդի մոդելներում իոնները միայն ապահովում են մետաղի էլեկտրաչեզոքությունը: բ. Անկախ էլեկտրոնների մոտավորություն Հաշվի չի առնվում միջէլեկտրոնային փոխազդեցությունը: գ. Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն Ենթադրվում է, որ բախման արդյունքը կախված չէ բախման պահին էլեկտրոնի վիճակից: Պինդ մարմնի ճշգրիտ տեսություն կառուցելու համար անհրաժեշտ է հրաժարվել այս մոտավորություններից: Սակայն տեսությունը կառուցելիս կարելի է զգալիորեն առաջ գնալ, եթե սկզբում փորձենք բարելավել ազատ էլեկտրոնների մոտավորության որոշ կողմեր, շարունակելով օգտվել բ. ն գ. մոտավորություններից: Դասական էլեկտրոնային տեսության դժվարությունների հիմնական պատճառը ա. մոտավորությունն է, որն, իր հերթին, բաղկացած է մի քանի պարզեցումից: 1. Բախումների միջն ընկած ժամանակահատվածում արհամարհվում է իոնների ազդեցությունն էլեկտրոնների վրա: 2. Չի պարզաբանվում իոնների դերը բախման պրոցեսում: 3. Հաշվի չի առնվում այն հանգամանքը, որ իոնները, որպես ինքնուրույն դինամիկական օբյեկտներ, կարող են իրենց ներդրումն ունենալ տարբեր ֆիզիկական երնույթներում: Եթե, օրինակ, չարվեն 2. ն 3. պարզեցումները, ապա կարելի է բացատրել Վիդեման-Ֆրանցի օրենքը նան միջանկյալ ջերմաստիճաններում, ինչպես նան էլեկտրահաղորդականության ջերմաստիճանային կախումը: Կարնորագույն նշանակություն ունի 3. պարզեցումից հրաժարվելը, այսինքն` իոնների դինամիկական վարքի հաշվառումը: Պարզվում է, որ եթե հաշվի չառնենք իոնների շարժումը («անշարժ իոնների» մոտավորություն),

ապա անշարժ իոնների ստատիկ դաշտը կարելի է լրիվ հաշվի առնել ազատ էլեկտրոնների մոդելի փոքր ձնափոխության միջոցով, ընդ որում այդ տեսության մեջ բախումներն ընդհանրապես բացակայում են: Իոնների դերը բախումներում բացահայտվում է միայն դրանց շարժման հաշվառման շնորհիվ:

ԳԼՈՒԽ 7111

ԳՈՏԻԱԿԱՆ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

§ 1. Էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան պարբերական դաշտում: Բլոխի թեորեմը Ազատ էլեկտրոնների մոդելը հաջողությամբ բացատրում է մետաղների մի շարք էլեկտրոնային հատկություններ, սակայն բազմաթիվ այլ ֆիզիկական հատկություններ այս մոդելի շրջանակներում չեն բացատրվում: Մասնավորապես, ազատ էլեկտրոնների մոդելը չի կարող պատասխանել այն հիմնական հարցին, թե ինչո՞ւ որոշ նյութեր բյուրեղային վիճակում հաղորդիչներ են, իսկ մյուսները` մեկուսիչներ կամ կիսահաղորդիչներ, որոնց հատկություններն էապես կախված են ջերմաստիճանից: Մետաղների ն մեկուսիչների ֆիզիկական հատկությունների ն հատկապես` էլեկտրահաղորդականության, տարբերությունները բացատրելու համար անհրաժեշտ է վերանայել ազատ էլեկտրոնների մոդելը, առաջին հերթին հաշվի առնելով բյուրեղային մարմնի ամենահիմնական հատկությունը` տարածական պարբերականությունը: Բյուրեղում յուրաքանչյուր էլեկտրոնի վրա ազդում է բյուրեղի ներքին դաշտը, որն ստեղծում են տարածական ցանցի հանգույցների շուրջ տատանվող իոնները ն բյուրեղում առկա բոլոր էլեկտրոնները: Էլեկտրոնի վրա ազդող, ժամանակի ընթացքում միջինացված ներքին բյուրեղային դաշտի պոտենցիալը խորանարդային բյուրեղում, օրինակ`

100 ուղղությամբ

պատկերված է նկ. 110-ում: Բյուրեղի մակերնույթին մոտենալիս բյուրեղային դաշտի պոտենցիալի պարբերականությունը խախտվում է, ցանցի հաստատունն այդ տիրույթում փոփոխվում է, սակայն ցանցի մի քանի հաստատունի չափով բյուրեղի ծավալի մեջ խորանալիս կարելի է մեծ ճշտությամբ համարել, որ ցանցի հաստատունն այլնս չի փոփոխվում (եթե, իհարկե, ցանցում արատներ չկան): Հետագա ուսումնասիրություններում կենթադրենք, որ նմուշն օժտված է տարածական պարբերականությամբ, որն էլ համարժեք է այն ենթադրությանը, որ նմուշն ունի «անվերջ» մեծ տարածական չափեր (Մաս 1, 1.1):

Նկ. 110. Էլեկտրոնի պոտենցիալ էներգիայի գրաֆիկը. բյուրեղն զբաղեցնում է x  0 տիրույթը:

Այսպիսով, ծագում է հետնյալ հիմնական հարցը. ինչպե՞ս է բյուրեղի պարբերական պոտենցիալն ազդում էլեկտրոնի վիճակի ն, դրանով իսկ, բյուրեղի ֆիզիկական հատկությունների վրա: Այլ կերպ ասած, ինչպե՞ս են փոփոխվում ազատ էլեկտրոնի քվանտային վիճակները բյուրեղի պարբերական պոտենցիալային դաշտի ազդեցությամբ: Այս հարցին պատասխանելու համար նախ ն առաջ անհրաժեշտ է պարզել էլեկտրոնի վիճակը նկարագրող ալիքային ֆունկցիայի վարքը պարբերական դաշտում: Պարզության համար քննարկենք միաչափ խնդիրը, այսինքն` որոշենք էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան միաչափ, անսահմանափակ բյուրեղում: Միաչափ բյուրեղում Շրյոդինգերի հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետնյալ ընդհանրացված տեսքով` d 2 dx 2

 f ( x )  0 ,

(1.1)

որտեղ f (x) 

2ո 2

[  V ( x )] ,

(1.2)

ո -ն էլեկտրոնի զանգվածն է,  -ն` էներգիան, V (x) -ը` պարբերական պոտենցիալը (ավելի ստույգ` էլեկտրոնի պոտենցիալ էներգիան պարբերական դաշտում):

Հետագա հաշվարկներում կօգտվենք միայն պոտենցիալի պարբերականության հատկությունից, այսինքն, կենթադրենք, որ f ( x  a)  f ( x ) , (1.3) որտեղ a -ն ցանցի հաստատունն է` պոտենցիալի տարածական պարբերականության բնութագիրը: Այսպիսի մոտեցման դեպքում ստորն ստացվող արդյունքները կրում են համընդհանուր բնույթ, այսինքն` կախված չեն f ( x) ֆունկցիայի, այսինքն` V ( x) պոտենցիալի կոնկրետ տեսքից: Ուսումնասիրենք (1.1) հավասարումը: Այն երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է, ուստի  պարամետրի ամեն մի արժեքի համար ունի երկու անկախ լուծումներ` g( x) ն հ( x ) : (1.1) հավասարման ընդհանուր լուծումը կարելի է ներկայացնել այդ անկախ լուծումների գծային համակցության տեսքով` ( x )  4g( x )  Bհ( x ) , (1.4) որտեղ 4 -ն ն B -ն հաստատուն գործակիցներ են: f ( x) ֆունկցիայի (1.3) հատկության համաձայն` (1.1) հավասարմանը բավարարում են նան g( x  a) ն հ( x  a) լուծումները: Քանի որ (1.1) հավասարման կամայական լուծում պետք է արտահայտվի անկախ g( x) ն հ( x ) լուծումների միջոցով, ապա կարելի է g ( x  a) ն հ( x  a) լուծումները ներկայացնել հետնյալ կերպ` g( x  a)  1g( x)  2հ( x) ,

(1.5)

հ( x  a)  1g( x )  2հ( x ) ,

(1.6)

որտեղ 1, 2 , 1 ն 2 գործակիցները հաստատուններ են: (1.4)  (1.6) առնչությունների համաձայն`  ( x  a)  4g( x  a)  Bհ( x  a)  (14  1B)g( x)  (2 4  2B)հ( x) :

(1.7)

Այժմ ապացուցենք, որ ( x  a) ֆունկցիան միշտ կարելի է ներկայացնել ( x  a)  ( x )

(1.8)

տեսքով, որտեղ  հաստատունը պետք է որոշել: (1.4), (1.7) ն (1.8) հավասարումներից հետնում է, որ

 ( 1   ) 4  1B  0  2 4  (2   )B  0 :

(1.9)

Հավասարումների (1.9) համակարգը կունենա ոչ զրոյական լուծում` 4  0 ,

B  0 , եթե դրա որոշիչը զրո է, այսինքն`

1   1   2    1  2    12  21   0 : 2  2  

(1.10)

Կարելի է ցույց տալ (Հավելված 5), որ

12  21  1 , 1  g(a) , 2  g(a) ,

1  հ(a) , 2  հ(a) ,

(1.11) (1.12)

որից հետո (1.10) պայմանը կընդունի հետնյալ տեսքը`

 2  2L0  1  0 ,

(1.13)

որտեղ կատարված է նշանակում` 2L0  g(a)  հ(a) :

(1.14)

(1.13) հավասարման լուծումները տրվում են

 1  L0  L20  1 ,  2  L0  L20  1

(1.15)

արտահայտություններով ն բավարարում են  1 2  1

(1.16)

պայմանին: Հարկ է նշել, որ (1.14) նշանակման համաձայն` L0 մեծությունը կախված է (1.1) հավասարման  պարամետրից, այսինքն` էլեկտրոնի էներգիայից: Այսպիսով, ապացուցվեց, որ գոյություն ունի  հաստատունի երկու արժեք (բացի L0  1 դեպքից), ն, (1.8) առնչության համաձայն, երկու ֆունկցիա` (1) ( x  a)   1 (1) ( x ) ,

(1.17)

 ( 2 ) ( x  a)   2  ( 2 ) ( x ) :

(1.18)

Եթե |L0 |  1 , ապա  1 ն  2 արմատներն իրական են, ընդ որում` դրանցից մեկը մեծ է, իսկ մյուսը` փոքր մեկից: Այս դեպքում, օգտվելով (1.17) ն (1.18) առնչություններից, կստանանք` (1) ( x  ոa)   1ո(1) ( x) , ( 2) ( x  ոa)   2ո( 2) ( x) :

(1.19)

Եթե ո   , ապա  1ո   , իսկ  ո2  0 (կամ հակառակը), այսինքն, երբ

x   , (1) ( x )   , իսկ ( 2) ( x )  0 (կամ հակառակը), իսկ երբ x   ( ո   ), (1) ( x )  0 , իսկ ( 2) ( x )   : Այստեղից հետնում է, որ ո՛չ

(1) ( x ) -ը, ո՛չ ( 2) ( x ) -ը, հետնաբար` ն դրանց գծային համակցությունը, չեն կարող ծառայել որպես էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիա տարածական պարբերականությամբ օժտված միջավայրում: Եվ քանի որ L0 պարամետրի արժեքը որոշվում է  էներգիայով, ապա կարելի է պնդել, որ բյուրեղում չեն կարող գոյություն ունենալ  էներգիայով էլեկտրոնային վիճակներ, որոնց համար |L0 |  1 : Այսինքն` այդպիսի էներգիաներով վիճակներն «արգելված» են: Եթե |L0 |  1 , ապա կարելի է ընդունել, որ L0  օօՏ ka , որտեղ k -ն իրական հաստատուն է: (1.15) բանաձների համաձայն`  1,2  օօՏ ka  i Տiո ka  exp( ika) ,

(1.20)

(1,2) ( x  a)  eika(1,2) ( x) ,

(1.21)

հետնաբար`

այսինքն` էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիայի արգումենտը ցանցի հաստատունով փոխելիս ֆունկցիայի մոդուլը չի փոխվում, փոխվում է միայն դրա փուլը: Հետնաբար` ն՛ (1) ( x ) -ը, ն՛ ( 2) ( x ) -ը, ն՛ դրանց գծային համակցությունը կարող են լինել Շրյոդինգերի հավասարման լուծումներ: Այսպիսով, բյուրեղում կարող են իրականանալ միայն այնպիսի  էներգիայով էլեկտրոնային վիճակներ, որոնց համար |L0 |  1 : Այսինքն` այդպիսի էներգիաներով վիճակները «թույլատրված» են: Էլեկտրոնի (1.21) ալիքային ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել նան ( x )  e ikx u( x )

(1.22)

տեսքով, որտեղ u( x) ֆունկցիան ունի նույն պարբերությունը, ինչ որ տարածական ցանցը: Իրոք, (1.22) ն (1.21) առնչությունների համաձայն` u( x  a)  e

ik  xa

 ( x  a)  e

ik  x a ika

u( x)  eikx ( x)  u( x) ,

այսինքն`

u(x  a)  u( x) :

(1.23)

Այս արդյունքները կարելի է ձնակերպել որպես թեորեմ, որի համաձայն` պարբերական դաշտում էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան միշտ կարելի է ներկայացնել k ( x )  eik x uk ( x )

(1.24)

տեսքով, որտեղ uk ( x ) ֆունկցիան ունի նույն պարբերականությունը, ինչ որ տարածական ցանցը (Ֆ. Բլոխ, 1928 թ.): Եթե հաշվի առնենք նան էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիայի ժամանակային կախումը, ապա լրիվ ալիքային ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել   i  i t k x     t  k x    u (x)  e  k ( x, t )  e uk ( x ) k

(1.25)

տեսքով: Այս ալիքները նկարագրում են էլեկտրոնի «ազատ» շարժումը բյուրեղում, երբ դրա վրա ազդում է միայն բյուրեղի ներքին դաշտը, իսկ արտաքին ուժերը բացակայում են: Այս ալիքները հայտնի են որպես Բլոխի ալիքներ: Ի տարբերություն ազատ տարածության մեջ տարածվող Դը Բրոյլի ալիքների, Բլոխի ալիքի լայնույթը` uk ( x ) ֆունկցիան, մոդուլված է, այսինքն` տարրական բջջի տարբեր կետերում ընդունում է տարբեր արժեքներ: (1.25) ալիքում առկա k մեծությունը կատարում է նույն դերը, ինչ որ ազատ տարածության մեջ շարժվող էլեկտրոնի իմպուլսը: Եռաչափ պարբերական դաշտի դեպքում Բլոխի թեորեմը տրվում է (1.24) բանաձնի ընդհանրացված տարբերակով`  k ( r )  eikr uk ( r )

(1.26)

առնչությամբ, որտեղ k -ն էլեկտրոնի ալիքային վեկտորն է, իսկ uk ( r ) ֆունկցիան ունի բյուրեղի տարածական ցանցի պարբերականությունը: Շրյոդինգերի հավասարման լուծման (1.24) կամ (1.26) ներկայացումը համապատասխանում է այն ֆիզիկական իրողությանը, որ էլեկտրոնին r ն

r  l կետերում հայտնաբերելու հավանականությունը չպետք է կախված լինի տարրական բջջի դիրքից, այսինքն` տեղափոխության l վեկտորից (տեղափոխական համաչափության հատկություն): Իրոք, Բլոխի թեորեմի համաձայն` էլեկտրոնին r  l կետում հայտնաբերելու հավանականությունը`

w( r  l )  k ( r  l ) k ( r  l )  e ikl k ( r )eikl  k ( r )  k ( r ) k ( r )  w( r ) :

Բլոխի (1.26) թեորեմից անմիջապես հետնում է, որ իդեալական պարբերական դաշտում k ալիքային վեկտորը պահպանվում է: Այլ կերպ ասած` իդեալական պարբերականությամբ օժտված ցանցում էլեկտրոնը չի ցրվում: Էլեկտրոնի ցրումները պայմանավորված են ցանցի պարբերականության խախտումներով` իոնների ջերմային տատանումներով ն արատներով: Ուստի իդեալական պարբերականությամբ օժտված բյուրեղի էլեկտրական դիմադրությունը զրո է: Այժմ պարզենք, թե ինչպիսի արժեքներ կարող է ընդունել k մեծությունը (տես (1.20)): Միաչափ դեպքում, օգտվելով Բոռն-Կառմանի շրջանային պայմանից (Մաս 1, 111.2.16)` k ( x  Na)  k ( x) ,

(1.27)

որտեղ L  Na մեծությունը միաչափ բյուրեղի երկարությունն է, ն Բլոխի թեորեմից` k ( x  Na)  eikNak ( x )

(1.28)

կստանանք, որ k մեծության ընդունած արժեքները որոշվում են exp(ikNa)  1

(1.29)

պայմանից`

kո 

2 2 ո ո Na L

( ո  0, 1, 2, ) :

(1.30)

Եթե n ամբողջ թվի ընդունած արժեքները սահմանափակենք (  N 2 , N 2 ) տիրույթում, ապա kո մեծության համապատասխան արժեքների բազմությունը կլրացնի Բրիլյուենի առաջին զոնան`

  : (1.31)  kո  a a Եռաչափ բյուրեղի դեպքում k ալիքային վեկտորի թույլատրելի արժեք

ներն ստացվում են (1.27) ն (1.28) բանաձների ընդհանրացումից պատկանում են k -տարածության մեջ   kai   ,

i  1, 2, 3

(1.32)

առնչություններով որոշվող Բրիլյուենի առաջին զոնային:

Ստացված արդյունքները նույնաբար համընկնում են բյուրեղային ցանցի տատանումները բնութագրող q ալիքային վեկտորի սեփական արժեքները որոշող բանաձների հետ (Մաս 1, 111.7): Համընկնումն, անշուշտ, պատահական չէ, քանի որ ն՛ ցանցային դինամիկայի հիմնական հավասարումների լուծումների, ն՛ պարբերական դաշտում էլեկտրոնի համար Շրյոդինգերի հավասարման լուծումների տեսքը հետնանք են միննույն ֆիզիկական պատճառի` բյուրեղական ցանցի տարածական պարբերականության: Հետագայում, նկատի ունենալով վերը նշվածը, էլեկտրոնի k ալիքային վեկտորի, Բրիլյուենի զոնայում դրա ընդունած արժեքների բաշխման ն դրանց թվի մասին տեղեկություններ ստանալու նպատակով կարող ենք օգտվել Մաս 1, 111-ում ստացված արդյունքներից:

§ 2. Կրոնիգ-Պեննիի մոդելը Էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիայի տեսքը պարբերական դաշտում որոշելիս առնչվեցինք այնպիսի իրադրության, երբ էլեկտրոնի էներգիան կարող է ընդունել որոշակի` «թույլատրված» արժեքներ, իսկ էներգիայի այլ արժեքներ էլեկտրոնն ընդունել չի կարող, դրանք էլեկտրոնի համար «արգելված» են: Այժմ պարզենք, թե ինչպիսին է պարբերական դաշտում էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրի բնույթը: Շրյոդինգերի հավասարման մեջ V (r ) պոտենցիալ էներգիայի վերլուծական տեսքը, որպես կանոն, հայտնի չէ: Եթե անգամ այն հայտնի լիներ, ապա Շրյոդինգերի հավասարումը կբերվեր երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներով, պարբերական գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարման, որի լուծումը հնարավոր չէ ներկայացնել վերլուծական տեսքով: Ուստի խնդիրը կարելի է առավելագույնս պարզեցնել, դիտարկելով միաչափ բյուրեղի դեպքը ն ընտրելով էլեկտրոնի պոտենցիալ էներգիայի համար ամենապարզ վերլուծական արտահայտությունը, որը բավարարում է պարբերականության պայմանին: Այս մոտեցումը (մոդելը) առաջարկել են Ռ. Կրոնիգը ն Վ. Պեննին 1931 թ.: Կրոնիգ-Պեննիի մոդելի շրջանակներում միաչափ բյուրեղի պոտենցիալը մոտարկվում է հետնյալ մոդելային պոտենցիալով (նկ. 111)

 0 , ոc  x  ոc  a , V ( x)   V0 , ոc  a  x  (ո  1)c ,

(2.1)

այսինքն` այն ուղղանկյուն, a լայնությամբ պոտենցիալ փոսերի անվերջ համակարգ է, որոնք միմյանցից բաժանված են Ե լայնությամբ արգելքներով:

ո -ը փոսի համարն է ( ո  0,  1,  2, ), c -ն` պոտենցիալի պարբերությունը` caԵ : (2.2) Այս մոդելը, լինելով բավականաչափ կոպիտ, այնուհանդերձ չափազանց օգտակար է, քանի որ բացահայտորեն ցուցադրում է պարբերական դաշտում էլեկտրոնի քվանտային (ալիքային) բնույթով պայմանավորված առանձնահատկությունները: Բլոխի թեորեմի համաձայն` (2.1) պարբերական պոտենցիալով դաշտում էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան տրվում է (1.24) առնչությամբ (պարզության

համար հետագա հաշվարկներում uk ( x ) ֆունկցիայում k ցուցիչը բաց է թողնված)` ( x )  eikx u( x ) :

(2.3)

(2.3) արտահայտությունը տեղադրելով Շրյոդինգերի միաչափ հավասարման մեջ` կստանանք հավասարում u( x) պարբերական ֆունկցիայի համար`

Նկ. 111. Էլեկտրոնի պոտենցիալ էներգիան միաչափ բյուրեղում ըստ Կրոնիգ-Պեննիի մոդելի

d2u dx

 2ik

du dx

 

  k 2  2 

2ո 

 

V ( x) u  0 ,

(2.4)

որտեղ





( 2ո)1/ 2 :

(2.5)

Օգտվելով պոտենցիալի (2.1) արտահայտությունից` (2.4) հավասարումից` կստանանք. d 2 u1 dx

d 2 u2 dx

 2ik

du1

 2ik

du2

dx dx

 (k 2  2 )u1  0 ,

ոc  x  ոc  a ,

(2.6)

 (k 2  2 )u2  0 ,

ոc  a  x  ( ո  1)c ,

(2.7)

որտեղ u1 ( x ) -ը (2.4) հավասարման լուծումն է փոսի տիրույթում ( V  0 ),

u2 ( x ) -ը` արգելքի տիրույթում ( V  V0 ), իսկ 



 2ո(  V0 )1/2

(2.8)

Հաստատուն գործակիցներով (2.6) ն (2.7) հավասարումների լուծումներն ունեն էքսպոնենտային տեսք` exp( 1,2 x ) , որտեղ 1  i(k  ) ,

 2  i(k  ) :

(2.9)

ո -րդ փոսում (2.6) հավասարման լուծումը կարելի է ներկայացնել

u(ո) ( x)  4ո exp i(  k ) x   Bո exp  i(  k )x 

(2.10)

տեսքով, իսկ ո -րդ արգելքի տիրույթում`

u(ո) ( x )  Շո exp i(  k ) x   Dո exp  i(  k ) x 

(2.11)

տեսքով, որտեղ 4ո , Bո , Շո ն Dո մեծությունները կամայական հաստատուններ են: Եթե օգտվենք u( x) ֆունկցիայի պարբերականության պայմանից`

u1(,ո2) ( x  ոc)  u1(,ո2) ( x)  u1(,02) ( x) ,

(2.12)

առնչություններ կստանանք 4ո , Bո , Շո ն Dո անհայտ հաստատունների միջն: Իրոք, (2.10) ն (2.12) բանաձների համաձայն, փոսի տիրույթում (0 x a )

40ei( k ) x  B0ei( k ) x  4ոei( k )( x ոc)  Bոei( k )( x ոc) , (2.13)

որտեղից

4ո  40ei( k )ոc ,

Bո  B0ei( k )ոc :

(2.14)

Նույն ձնով արգելքի տիրույթում ( Ե  x  0 ) (2.11) ն (2.12) բանաձներից հետնում են

Շո  Շ0ei(k )ոc , առնչությունները:

Dո  D0ei(k )ոc

(2.15)

ամակարգի պարբերականության հետնանքով 41,..., 4ո ,

B1,..., Bո , Շ1,..., Շո ն D1 ,..., Dո հաստատուններն արտահայտվում են ըն-

դամենը 4` 40 , B0 , Շ0 ն D0 անհայտ հաստատուններով: Վերջինները որոշվում են (2.3) բանաձնով տրվող լրիվ ալիքային ֆունկցիայի ն դրա ածանցյալի վրա x  0 ն x  a կետերում դրվող անընդհատության պայմաններից: (2.3), (2.10), (2.11), (2.14) ն (2.15) բանաձներից հետնում են ալիքային ֆունկցիայի արտահայտությունները փոսի ն արգելքի տիրույթներում` i x ոc 

1( ո)  x    40e



i x ոc 

(2ո)  x   Շ0e



 B0e

i x ոc   ikոc

(2.16)

i x ոc   ikոc

(2.17)

 D0e





(2.16) բանաձնում քառակուսի փակագծերում գրված արտահայտությունն էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան է ո  0 բջջին պատկանող փոսում:

ո -րդ բջջին պատկանող փոսում էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան` 1( ո ) ( x ) -ը, 10 ( x ) -ից տարբերվում է միայն exp(ikcո) փուլային արտադրիչով: Նույնը

տեղի ունի նան (2.17) արտահայտությամբ տրվող արգելքի տիրույթի ալիքային ֆունկցիայի համար: Ալիքային ֆունկցիայի ն դրա ածանցյալի անընդհատության 1,0 (0)   2,0 (0) , 1 ,0 (0)  2,0 (0) (2.18) 1,0 ( a)   2,1 ( a), 1 ,0 ( a)  2,1 ( a) պայմաններից հետնում է, 40 , B0 , Շ0 ն D0 անհայտ գործակիցները բավարարում են հավասարումների հետնյալ համակարգին`

40  B0  Շ0  D0  0 i40  iB0  iՇ0  iD0  0

: (2.19)

eia 40  eiaB0  eiԵikcՇ0  ei ԵikcD0  0 ieia 40  ieia B0  ieiԵikcՇ0  ieiԵikc D0  0 որն ունի ոչ զրոյական լուծում, եթե նրա որոշիչը զրո է`

i

i

1 i

1 i

eia

e ia

e iԵikc

eiԵikc

ieia

ie ia

ie iԵikc

ieiԵikc

0:

(2.20)

Տiո a Տiո Ե  օօՏ a օօՏ Ե  օօՏ k (a  Ե)  օօՏ k c

(2.21)

Բացելով որոշիչը` կստանանք 

2   2 2

հավասարումը, որը կապ է հաստատում , a, Ե,V0 ն k մեծությունների միջն: Քանի որ  ն  մեծությունները, (2.5) ն (2.8) բանաձների համաձայն` արտահայտվում են էլեկտրոնի  էներգիայի միջոցով, ապա (2.21) հավասարումը անբացահայտորեն ներկայացնում է  -ի ն k -ի միջն կապը` (k ) դիսպերսային հավասարումը տրված V0 , a ն Ե պարամետրերով նկարագրվող պարբերական դաշտում: Ուսումնասիրենք (2.21) տրանսցենդենտ հավասարումը: Եթե (2.21) հավասարման ձախ մասը ներկայացնենք` f   

2   2 2

Տiո a Տiո Ե  օօՏ a օօՏ Ե  4 օօՏ  a   

(2.22)

տեսքով, ն, օգտվելով երկու անկյունների տարբերության կոսինուսի արտահայտությունից` հավասարեցնենք Տiո a ն օօՏ a անդամների գործակիցները, կստանանք 4 լայնույթի ն  փուլի արտահայտությունները`



( 2   2 ) 2



422

4  1 

1/ 2



Տiո 2 Ե 



(2.23)

tg  

2   2 2

tgԵ :

(2.24)

  0 կետում f (  ) ֆունկցիան ընդունում է առավելագույն արժեք` 1/ 2

1/ 2

 2ոԵ2V0  ոԵ2V0  2ոԵ2V0  f (0)  cհ   sհ   1: (2.25)   2    2  2     Էներգիայի մեծացմանը զուգընթաց 4 (  ) լայնույթը մոնոտոն նվազում է` միշտ մնալով 1-ից մեծ  -ի ն՛ կեղծ (երբ 0    V ), ն՛ իրական (երբ V0     ) արժեքների համար (նկ. 112):

(2.21) հավասարման աջ մասն արժեքներ է ընդունում [1, 1] տիրույթում: f (  ) ֆունկցիայի` [1,1] տիրույթում արժեքներին համապատասխանում են իրական k -եր: Մյուս կողմից, եթե | f ( )|  1 , ապա  -ի այդ արժեքներին համապատասխանող k -երի համար օօՏ k ( a  Ե)  1 կամ օօՏ k ( a  Ե)  1 ,

(2.26)

որտեղից բխում է, որ k ալիքային թիվը կոմպլեքս է` Im k  0 : Այս դեպքում (2.3) լուծումները չեն բավարարում ալիքային ֆունկցիայի վրա դրվող ֆիզիկական պահանջներին: Կոմպլեքս ալիքային թվերին համապատասխանող էներգիայի արժեքներ էլեկտրոնն ընդունել չի կարող, այսինքն` էներգիայի այդպիսի արժեքներն էլեկտրոնի համար «արգելված» են (նկ. 112-ում մուգ տիրույթները): Այսպիսով, պարբերական դաշտում էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրն ունի շերտավոր կառուցվածք` այն բաղկացած է էներգիայի` իրար հաջորդող «արգելված» ն «թույլատրելի» սեփական արժեքների տիրույթներից, որոնք կոչվում են համապատասխանաբար արգելված ն թույլատրելի էներգիական գոտիներ: Էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրի որոշ ընդհանուր հատկություններ անմիջականորեն բխում են (2.21) հավասարումից, տրված կրճատ տեսքով` f ( )  օօՏ kc : (2.26) ա. Եթե (2.26) հավասարման աջ մասում k -ի փոխարեն տեղադրենք

 k , ապա հավասարումը կմնա անփոփոխ, այսինքն` k ն  k ալիքային թվով քվանտային վիճակներում էլեկտրոնն ունի նույն էներգիան: Այլ կերպ

Նկ. 112. f (  ) ֆունկցիայի գրաֆիկը ն էներգիայի «թույլատրելի» (սպիտակ) ն արգելված (մուգ) տիրույթները

ասած, էլեկտրոնի դիսպերսային հավասարումն ալիքային թվի զույգ ֆունկցիա է` (  k )  ( k ) : (2.27) Այս պայմանը տեղի ունի յուրաքանչյուր էներգիական գոտու համար: բ. Եթե (2.26) հավասարման մեջ կատարենք անցում նոր` k ալիքային թվի, որը k -ի հետ կապված է

k  k 

2 l , c

l  1,  2, 

(2.28)

առնչությամբ, ապա հավասարումը կմնա անփոփոխ, այսինքն` k ն k ալիքային թվերով քվանտային վիճակներում էլեկտրոնն ունի նույն էներգիան`

 

( k )    k 

2  l   ( k ) , c 

l   1,  2,  :

(2.29)

Սա նշանակում է` պարբերական դաշտում էլեկտրոնի էներգիան ալիքային թվի պարբերական ֆունկցիա է, որի պարբերությունը 2 c է: գ. (2.26) հավասարումն ածանցենք ըստ էներգիայի. d c Տiո kc  , dk f ( )

(2.30)

որտեղ f   df d : Այս առնչության աջ մասն ընդունում է զրոյական արժեքներ միայն k   ո c ( ո  0,1, 2, ) կետերում, որոնցում

f ()  0

(նկ.112): Հետնաբար` (k ) ֆունկցիան էքստրեմալ արժեքներ կարող է ընդու90

Նկ. 113. (2.21) հավասարման լուծումները` ո (k ) էներգիական գոտիները (հոծ գծեր)

նել միայն Բրիլյուենի զոնայի կենտրոնում ն դրա սահմանների վրա, բայց ոչ զոնայի ներքին կետերում (բացի k  0 կետից): Ինչպես տեսանք, արգելված գոտուն պատկանող էներգիաների համար ալիքային թիվն ընդունում է կոմպլեքս արժեքներ`

k  Re k  i Im k  k1  ik2 :

(2.31)

օօՏ kc ֆունկցիան իրական է կամայական k -ի համար, ուստի

k

 ո  ik2 , ո  0, 1, 2,  , c

(2.32)

իսկ k2 մեծությունը, որպես  էներգիայի ֆունկցիա , որոշվում է ( 1) ո օh(k 2c)  f ( )

(2.33)

Նկ. 114. Էլեկտրոնի էներգիայի բերված գոտիական սխեման

հավասարումից: Երբ    , | f ()|  1 արգելված գոտիներին պատկանող էներգիաների համար, ուստի k2  0 , այսինքն` k  k1 , ն էլեկտրոնի վարքը գործնականորեն համընկնում է ազատ էլեկտրոնի վարքի հետ: Նկ. 113-ում պատկերված է (2.21) հավասարումից ստացվող (k ) դիսպերսային հավասարումը ն (2.33) հավասարումից որոշվող k 2 ( ) ֆունկցիան (մանր կետագծեր) արգելված գոտիներում: Օգտվելով (2.28) առնչությունից` k ալիքային թվի փոփոխման տիրույթը կարելի է սահմանափակել (  c ,  c) տիրույթով (Բրիլյուենի առաջին զոնայով) ն (k ) դիսպերսային կորը դիտարկել միայն այդտեղ: Դրա համար անհրաժեշտ է նկ. 113-ում պատկերված կորերը 2ո c -ով տեղափոխել

(  c ,  c) տիրույթ ( ո  1,  2,  ): Արդյունքում կստացվի այսպես կոչված բերված գոտիական սխեման (նկ. 114, տես նան Մաս 1, 111.5):

§ 3. Կրոնիգ-Պեննիի մոդելը: Վերլուծական արտահայտություններ Դիսպերսային հավասարման բացահայտ տեսքը գտնելու նպատակով օգտվենք այն հանգամանքից, որ խնդրի պարամետրերը` V0 , a , Ե մեծությունները կարող են ընդունել կամայական արժեքներ: Մասնավորապես, ստորն կենթադրենք, որ արգելքի լայնությունը` Ե  0 , իսկ բարձրությունը` V0   , բայց այնպես, որ ԵV0  cօոst :

(3.1)

Քանի որ   V0 դեպքում (2.8) առնչությամբ տրվող  մեծությունը կեղծ է`   i ,

  0 , ապա (2.21) հիմնական հավասարումից հետնում է, որ

 2  2 2 

Տh  Ե Տiո a  օh  Ե օօՏ a  օօՏ k (a  Ե) :

Երբ Ե  0 , (2.8) ն (3.1) առնչությունների համաձայն Ե 

2ո V0    

1/ 2

Ե



 2ոV0Ե 1/2 Ե1/2 - Ե1/2  0

(3.2)

Տh Ե  Ե ,

օh Ե  1 ,

caԵa ,

ուստի (3.2) հավասարումը կընդունի

Տiո a  օօՏ a  օօՏ ka a

տեսքը, որտեղ պոտենցիալային արգելքը բնութագրող P տրվում է հետնյալ արտահայտությամբ` P

 2Եa

ոV0Եa

 cօոst : 2 Ուսումնասիրենք (3.3) հավասարման լուծումները P



(3.3) պարամետրը

(3.4) պարամետրի

տարբեր արժեքների դեպքում: 1. P  0 : (3.3) հավասարումից կստանանք` 1/ 2

օօՏ a  օօՏ ka

 2ո   2    

a  ka ,

հետնաբար`

 2k 2 , (3.5) 2ո որն ազատ մասնիկի դիսպերսային հավասարումն է: 2. P պարամետրի մեծ արժեքների համար (3.3) հավասարումը հարմար է ներկայացնել Տiո a 1 (3.6)  օօՏ a  օօՏ ka a P P 

տեսքով: Եթե P   Ե  cօոst , V0   , որը համապատասխանում է անվերջ խոր պոտենցիալ փոսի մոտավորությանը, (3.6) հավասարումից հետնում է, որ

Տiո a 0 , a

(3.7)

այսինքն`

a   ո ,

ո  1,  2,  :

(3.8)

Նշենք, որ ո  0 արժեքը բացառվում է, քանի որ այդ դեպքում (3.8) հավասարման ձախ մասը հավասար է մեկի:

(3.8) ն (2.5) առնչություններից հետնում է, որ էլեկտրոնի էներգիայի արտահայտությունը`

ո 

2  2 2ոa

ո2 :

(3.9)

Այսպիսով, P   դեպքում թույլատրելի էներգիական գոտիները վերածվում են ընդհատ մակարդակների: 3. P  1 ն վերջավոր է: Ֆիզիկորեն այս դեպքը համապատասխանում է տվյալ հանգույցի հետ ամուր կապված (կամ փոսում տեղայնացված) մասնիկին, որն, այնուամենայնիվ, կարող է թունելային անցումներ կատարել մի հանգույցից (փոսից) մյուսը: Ասվածին համապատասխան, (3.6) հավասարման լուծումը կփնտրենք (3.10) a  ո   ,   1 (ո  0) տեսքով: Սահմանափակվելով գծային ( -  ) անդամներով` կստանանք. 

ո

 ( 1)ո օօՏ ka  1 : 

P 

(3.11)

(2.5), (3.9)  (3.11) առնչություններից հետնում է էլեկտրոնի դիսպերսային հավասարումը`

 

ո (k )  ո  1 

2

  ( 1) P

ո 2ո օօՏ ka :

(3.12)

Տրված ո -ի դեպքում ( ո -ն էներգիական գոտու համարն է) k -ի փոփոխման հետ էլեկտրոնի էներգիան փոփոխվում է ոmiո ն ոmոx արժեքների միջն, որոնք համապատասխանաբար որոշում են ո -րդ թույլատրելի գոտու հատակը ն առաստաղը: n -րդ էներգիական թույլատրելի գոտու լայնությունը`

 n   nmax   nmiո 

4 n n 2 , Ֆ Ֆ

(3.13)

այսինքն` որքան բարձր է էներգիական գոտին, այնքան լայն է այն: Տրված

ո -ի դեպքում գոտու լայնությունը` ո - 1 P , այսինքն` որքան «ամուր» է կապված էլեկտրոնը տվյալ հանգույցի հետ, այնքան նեղ է էներգիական գոտին:

Նկ. 115. (3.3) հավասարման ո  1, 2 ն 3 լուծումների (էներգիական գոտիների) գրաֆիկները, երբ P  2 . կետագծերով կորերը համապատասխանում են ազատ 2 2 էլեկտրոնների մոտավորությանը (էներգիան չափված է 1    / 2ոa միավորով):

Քննարկվող մոդելի շրջանակներում, (3.12) բանաձնից հետնում է, որ կենտ համարով էներգիական գոտիների հատակները k  0 կետում են, իսկ առաստաղները` k   (2ո  1) a կետերում (Բրիլյուենի զոնայի եզրերին), զույգ ո -երի դեպքում` հակառակը: ո -րդ արգելված էներգիական գոտու լայնությունը սահմանվում է որպես հաջորդ` վերին ո  1 -րդ թույլատրելի գոտու հատակին ն ո -րդ թույլատրելի գոտու առաստաղին համապատասխանող էներգիաների տարբերություն` mոx gո  ոmiո  ո1  ո  1  ո

ո1 : P

(3.14)

Այս արտահայտությունից հետնում է, որ արգելված գոտու լայնությունը P -ի մեծացման հետ աճում է: Նկ. 115-ում պատկերված են (3.3) հավասարումից P  2 դեպքում ստացվող առաջին երեք ( ո  1, 2, 3) էներգիական գոտիները, երբ   k   / a

(բերված գոտիական սխեմա): P պարամետրի տարբեր արժեքներին համապատասխանող դեպքերի քննարկումը հնարավորություն է տալիս պարբերական դաշտում էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրի շերտավոր բնույթը մեկնաբանելու հետնյալ ֆիզիկական դատողություններով: P   դեպքում միաչափ ցանցը կարելի է պատկերել որպես N  1 թվով պոտենցիալ փոսերի հավաքածու, ընդ որում, քանի որ բոլոր պոտենցիալ փոսերը (ցանցի հանգույցները) նույնական են, ապա էլեկտրոնի` (3.9) բանաձնով տրվող էներգիական մակարդակները նույնն են բոլոր փոսերում: Էլեկտրոնը տվյալ էներգիայով վիճակ կարող է ունենալ, N փոսերից յուրաքանչյուրում, այսինքն` էլեկտրոնի վիճակն ըստ դիրքի N -պատիկ այլասերված է:

Նկ. 116. ո -րդ էներգիական գոտու առաջանալն ո -րդ ընդհատ էներգիական մակարդակից ( P1  P2 )

Եթե P պարամետրն ընդունում է մեծ, բայց վերջավոր արժեքներ, ապա փոսերն սկսում են «փոխազդել», այսինքն` մի փոսի ներկայությունը (որն էլեկտրոնը «զգում» է թունելային անցման հնարավորության հետնանքով) ազդում է հարնան փոսում էլեկտրոնի էներգիական մակարդակի դիրքի վրա: Դրա հետնանքով տվյալ էներգիայով մակարդակի այլասերումը հանվում է` N -պատիկ այլասերված մակարդակը վերածվում է իրար մոտ դասավորված էներգիական մակարդակների «խրձի»` էներգիայի թույլատրելի արժեքների գոտու, որտեղ մակարդակների թիվը N է (նկ. 116): P պարամետրի նվազմանը զուգընթաց թույլատրելի գոտիների լայնությունները մեծանում են:

§ 4. Քվազիիմպուլս: Արտաքին դաշտի ազդեցությունը բյուրեղում շարժվող էլեկտրոնի վրա: Արդյունարար զանգված Եթե Բլոխի uk ( x ) լայնույթը հաստատուն մեծություն է, ապա էլեկտրոնի (1.22) ալիքային ֆունկցիան վերածվում է exp(ikx) հարթ ալիքի, որը նկարագրում է p  k իմպուլսով ազատ էլեկտրոնի շարժումը, որին համապատասխանում է



 2k 2 p2  2ո 2ո

(4.1)

էներգիա: § 2-ում ստացված արդյունքների համաձայն` էներգիայի   V0 արժեքների համար էլեկտրոնի դիսպերսային հավասարումը հանգում է (4.1) բանաձնին: Էլեկտրոնի քվանտային վիճակը նկարագրող k մեծությունը շարժումը բնութագրող հաստատուն է, իսկ k մեծությունն ունի իմպուլսի չափայնություն: Երբ էլեկտրոնի էներգիան մեծանում է, այսինքն` էլեկտրոնն ավելի ու ավելի «ազատ» է դառնում, k մեծության արժեքները մոտենում են ազատ մասնիկի իմպուլսի ն  -ի հարաբերությանը: Ընդսմին, այս եզրակացությունը կապ չունի պարբերական պոտենցիալի կոնկրետ տեսքի հետ: k մեծությունը նկարագրում է էլեկտրոնի դինամիկական վարքը բյուրեղային ցանցում, այնպես, ինչպես իմպուլսը` էլեկտրոնի վարքը վակուումում: Նշված նմանություններից ելնելով` k մեծությունն անվանել են քվազիիմպուլս, որը միաժամանակ նշում է նան դրա` իմպուլսից տարբեր լինելու հանգամանքը: Այս տարբերությունն ավելի հստակեցնելու համար հարկ է նշել, որ բյուրեղային պոտենցիալի առկայությամբ էլեկտրոնի ակնթարթային իմպուլսը շարժման հաստատուն չէ: Սակայն կարելի է հաշվել էլեկտրոնի միջին արագությունը, քանի որ տրված էներգիայով վիճակում k քվազիիմպուլսն ունի խիստ որոշակի, հաստատուն արժեք: Ուսումնասիրենք էլեկտրոնի շարժումը բյուրեղում արտաքին դաշտում:

Էլեկտրոնի շարժումն ավելի ակնառու դարձնելու նպատակով տեղայնացնենք էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան, վերադրելով տարբեր k -երով լուծումներ: Էլեկտրոնը «ներկայացնող» ալիքային փաթեթի խմբային արագությունը տրվում է d 1 d (4.2) vg  v   dk  dk բանաձնով, որտեղ օգտագործված է էլեկտրոնի էներգիայի ն հաճախության միջն    կապը: (4.2) բանաձնից հետնում է, որ բյուրեղային դաշտի ազդեցությունն էլեկտրոնի շարժման վրա ամբողջությամբ պայմանավորված է (k ) դիսպերսային հավասարումով: Եռաչափ բյուրեղում էլեկտրոնի միջին (քվանտամեխանիկական) արագությունը որոշվում է (4.2) բանաձնն ընդհանրացնող 1  1 (4.3) v  k ( k )  k  առնչությամբ, որտեղ k    k -ն գրադիենտն է k -տարածության մեջ: Եթե բյուրեղը E արտաքին էլեկտրական դաշտում է, ապա դաշտի ազդեցությամբ dt ժամանակում էլեկտրոնի էներգիան կփոխվի

d  eEdx  eEvdt 

d dk dk

(4.4)

չափով: (4.2) ն (4.4) բանաձներից հետնում է, որ

dk  

eE dt 

(4.5)

կամ

dk dp (4.6)   eE  F , dt dt որտեղ p  k -ն էլեկտրոնի քվազիիմպուլսն է, F  eE -ն` էլեկտրոնի վրա 

արտաքին դաշտում ազդող ուժը: Եռաչափ բյուրեղի դեպքում

dք Ի : dt

(4.7)

(4.6) բանաձնի համաձայն` էլեկտրոնի քվազիիմպուլսի փոփոխման արագությունը հավասար է էլեկտրոնի վրա ազդող արտաքին ուժին: (4.6) բանաձնը Նյուտոնի 11 օրենքի նմանակն է ն ցույց է տալիս, որ պարբերական

դաշտում էլեկտրոնի քվազիիմպուլսն արտաքին դաշտի ազդեցությամբ փոփոխվում է ճիշտ այնպես, ինչպես ազատ էլեկտրոնի իմպուլսը:Եթե բյուրեղն արտաքին մագնիսական դաշտում է, որի H լարվածությունն այնպիսին է, որ էներգիական գոտիական կառուցվածքը մնում է անփոփոխ, ապա (4.7) հավասարումը տեղի ունի նան Լորենցի ուժի առկայությամբ` dk e (4.8)     v, H  : dt c Նկատի ունենալով (4.3) առնչությունը` (4.8) հավասարումը կարելի է ներկայացնել dk dt



e c 2

[ k ( k ), H ]

(4.9)

տեսքով: Քանի որ յուրաքանչյուր k կետում k (k ) վեկտորն ուղղահայաց է (k)  cօոst մակերնույթին, ապա (4.9) բանաձնից հետնում է, որ k -տարածության մեջ էլեկտրոնը շարժվում է այդ մակերնույթով, ընդ որում` դրա քվազիիմպուլսի պրոյեկցիան մագնիսական դաշտի ուղղության վրա` kH վեկտորը մնում է հաստատուն: Եթե բյուրեղը E էլեկտրական ն H մագնիսական դաշտերում է, ապա շարժման հավասարումն ընդունում է հետնյալ տեսքը` dk dt

 

 e  E 

 v, H   : 

(4.10)

Միաչափ պարբերական դաշտում էլեկտրոնի արագացումը կարելի է որոշել, ըստ ժամանակի ածանցելով (4.2) բանաձնը` dv dt



1 d  d  1 d 2  dk :    dt  dk   dk 2 dt

(4.11)

Նկատի ունենալով նան (4.6) հավասարումը` կստանանք. dv dt



1 d 2 2 dk 2

F :

(4.12)

Այս արտահայտությունը համեմատելով Նյուտոնի 11 օրենքի` a  F ո ձնակերպման հետ, գալիս ենք եզրակացության, որ F -ի գործակիցը կատարում է հակադարձ զանգվածի դեր: Սահմանենք էլեկտրոնի արդյունարար զանգվածը հետնյալ արտահայտությամբ`

ո



1 d 2 2 dk 2

(4.13)

Պարբերական դաշտում էլեկտրոնին վերագրելով ո արդյունարար զանգված` այն կարելի է համարել ազատ ն դրա շարժումն արտաքին դաշտում նկարագրել որպես ազատ էլեկտրոնի շարժում: Եթե բյուրեղային դաշտը բացակայում է, ապա էլեկտրոնի (4.1) դիսպերսային հավասարումից ն արդյունարար զանգվածի (4.13) սահմանումից հետնում է ո  ո արդյունքը, այսինքն` արդյունարար զանգվածի տարբերությունը մասնիկի իրական (վակուումում ունեցած) զանգվածից հետնանք է բյուրեղային ցանցի ազդեցության: Հարկ է նշել, որ պարբերական դաշտում արդյունարար զանգվածի ներմուծումն էլեկտրոնի վարքը նկարագրելու հարմար միջոց է: Արդյունարար զանգվածը զանգված չէ սովորական իմաստով` այն չի որոշում էլեկտրոնի գրավիտացիոն ն իներցիոն հատկությունները: Այն կարող է վակուումում էլեկտրոնի զանգվածից ն՛ մեծ, ն՛ փոքր լինել: Ավելին. այն կարող է լինել նան բացասական այն k -երի համար, որոնց դեպքում d 2  dk 2  0 : Այժմ ուսումնասիրենք էլեկտրոնի դինամիկան արտաքին էլեկտրական դաշտում ն պարզենք միաչափ բյուրեղային պարբերական դաշտի առկայությամբ պայմանավորված դրա առանձնահատկությունները (նկ. 117): Դիցուք` t  0 պահին էլեկտրոնը k  0 կետում է: E  0 դաշտի ազդեցությամբ էլեկտրոնը կարագանա, էներգիան կմեծանա, ն այն կզբաղեցնի գոտու ավելի ու ավելի մեծ էներգիաներով քվանտային վիճակներ: Փոքր k -երի համար, քանի դեռ (k ) - k 2 , էլեկտրոնի արագությունը` v  k ո - k , քանի որ արդյունարար զանգվածը`

ո  2 (d 2 dk 2 )1  ո

մնում է հաստատուն: Այսպիսի էլեկտրոնն իրեն պահում է որպես «նորմալ» մասնիկ` ունի դրական, հաստատուն զանգված ն արտաքին ուժի ազդեցությամբ արագանում է: k -ի մեծացմանը զուգընթաց (k ) կորն աճում է ավելի դանդաղ, քան պարաբոլը, ո -ն սկսում է մեծանալ, իսկ v -ի աճը դանդաղում է: Ճ կետը

(k )

կորի շրջման կետն է` այդ կետում

(d dk ) 4  mոx , իսկ (d 2 dk 2 ) 4  0 , ուստի էլեկտրոնի արագությունը դառ100

Նկ. 117. Էլեկտրոնի ա. էներգիայի, բ. խմբային արագության ն գ. արդյունարար զանգվածի` ալիքային թվից կախման գրաֆիկները միաչափ բյուրեղում արտաքին էլեկտրական դաշտում

նում է առավելագույնը, իսկ ո   : Ճ շրջման կետն անցնելիս ո -ը փոխում է նշանը` այն դառնում է բացասական, որի հետնանքով k -ի հետագա մեծացման հետ էլեկտրոնի արագությունը փոքրանում է, չնայած արտաքին ուժի ն՛ մեծությունը, ն՛ ուղղությունը մնացել են անփոփոխ: B կետում` Բրիլյուենի զոնայի սահմանի վրա էլեկտրոնը կրում է բրեգյան անդրադարձում ն հայտնվում B' կետում: B'Ճ' տիրույթում այն արագանում է արտաքին ուժին հակառակ ուղղությամբ, ն արագությունը փոխվում է զրոյից մինչն vmոx , իսկ արդյունարար զանգվածը` ոp -ից մինչն : Ճ' շրջման կետում ո -ը փոխում է նշանը ն դառնում դրական, ուստի Ճ'Օ տիրույթում էլեկտրոնն արագանում է արտաքին ուժի ուղղությամբ, դրա արագությունն

աստիճանաբար աճում է, իսկ ո -ն ընդունում է ո հաստատուն արժեքը: Այսպիսով` պարբերական դաշտում էլեկտրոնն արտաքին հաստատուն էլեկտրական դաշտի ազդեցությամբ կատարում է պարբերական, ժամանակի մեջ կրկնվող շարժում: Էլեկտրոնի այսպիսի վարքը պայմանավորված է արտաքին F ուժի ն բյուրեղային դաշտում էլեկտրոնի վրա ազդող ներքին ուժի հարաբերակցության փոփոխությամբ: ՕՃ տիրույթում ներքին ուժը, մնալով փոքր արտաքին ուժից, աստիճանաբար մեծանում է ն Ճ կետում հավասարվում է արտաքին ուժին: Այս տիրույթում էլեկտրոնն արագանում է արտաքին ուժի ուղղությամբ, սակայն արագացման մեծությունը փոքրանում է ն Ճ կետում հավասարվում զրոյի` (dv dt ) 4 - (d 2  dk 2 ) 4  0 : Քանի որ արտաքին ուժը մնում է հաստատուն, ապա էլեկտրոնն «իրեն պահում» է այնպես, որ կարծես դրա զանգվածն անընդհատ մեծանում է` Ճ կետում դառնալով անվերջ: ՃB տիրույթում բյուրեղային ցանցն էլեկտրոնի վրա ազդում է ավելի մեծ ուժով, քան արտաքին ուժն է, ուստի էլեկտրոնը ձեռք է բերում բացասական արագացում, դրա արագությունը փոքրանում է ն B կետում դառնում զրո: Այսինքն` էլեկտրոնն իրեն պահում է որպես բացասական փոփոխական զանգվածով մասնիկ: B կետում անդրադարձման հետնանքով k -ն փոխում է նշանը ( k   a    a ), ն էլեկտրոնը հայտնվում է B' կետում: B'Ճ' տիրույթում այն արագացվում է ցանցի դաշտով, որը դրա վրա ազդում է ավելի մեծ ուժով, քան արտաքին ուժն է, ուստի արագանում է ճ -ին հակառակ ուղղությամբ, իրեն պահելով որպես բացասական փոփոխական զանգվածով մասնիկ: Ճ' կետից աջ ներքին ուժը դառնում է արտաքին ուժից փոքր, ն էլեկտրոնն իրեն պահում է որպես սովորական` ո  cօոst  0 զանգվածով մասնիկ: Որոշենք E  cօոst դաշտում միաչափ բյուրեղում էլեկտրոնի շարժման

T0 պարբերությունը: T0 ժամանակում էլեկտրոնի k քվազիիմպուլսը փոխվում է 2 a չափով, ուստի (4.5) հավասարումից հետնում է

T0 

2 aeE

(4.14)

առնչությունը, որտեղ a -ն ցանցի հաստատունն է: Թույլ` E  104 Վ/սմ դաշտերում T0  1011 վ կարգի մեծություն է ն զգալիորեն գերազանցում է էլեկտրոնի կյանքի  - 1014 վ միջին տնողությունը:   T0 պայմանը բացառում է իրական բյուրեղում էլեկտրոնի պարբերական շարժման հնարավորությունը, քանի որ մինչն Բրիլյուենի զոնայի սահմանին հասնելը ն անդրադառնալը, էլեկտրոնը բազմիցս ցրվում է բյուրեղում առկա արատների վրա: Վերջին տարիներին ստեղծված արհեստական պարբերական կառուցվածքներում` գերցանցերում (ցանցի c  100 Å հաստատունով), որոշակի պայմաններում

T0 -  , ն դիտվում են երնույթներ, որոնցում ի հայտ է գալիս էլեկտրոնի շարժման պարբերական բնույթը: Հարկ է նշել, որ բյուրեղի պարբերական դաշտում շարժվող էլեկտրոնի խնդիրը ն արդյունարար զանգվածով էլեկտրոնի խնդիրը միննույն արտաքին ուժի դեպքում տալիս են միննույն արդյունքը, եթե էլեկտրոնի վիճակները ընկած են էներգիական գոտու էքստրեմումների շրջակայքում, որտեղ արդյունարար զանգվածը հաստատուն մեծություն է:

§ 5. Հաղորդիչներ ն մեկուսիչներ: Խոռոչի գաղափարը Պարբերական դաշտում էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրի բնույթի պարզաբանումը հնարավորություն ընձեռեց միասնական հիմքի վրա բացատրելու մարմինների` ըստ հաղորդականության դասակարգումը հաղորդիչների ն մեկուսիչների: Դասական պատկերացումների համաձայն` հաղորդիչների ն մեկուսիչների տարբերությունը պայմանավորված է հաղորդիչներում այսպես կոչված «ազատ» էլեկտրոնների առկայությամբ, որոնք անարգել կարող են շարժվել բյուրեղի ծավալում ն արտաքին, կամայական չափով թույլ էլեկտրական դաշտի ազդեցությամբ ձեռքբերել շարժման ուղղորդված բաղադրիչ, այսինքն` ստեղծել էլեկտրական հոսանք: «Ազատ» համարվում է այն էլեկտրոնը, որի լրիվ էներգիան` 1 -ը, ավելի մեծ է, քան բյուրեղային պոտենցիալի Vո առավելագույն արժեքը (նկ. 118): Եթե էլեկտրոնի լրիվ էներգիան`

2  Vո , ապա այն կարող է շարժվել միայն երկու հարնան մաքսիմումների

միջն զb տիրույթում` այն «կապված» է ցանցի որոշակի հանգույցի հետ, ուստի չի կարող մասնակցել ազատ էլեկտրոնների ուղղորդված շարժմանը: Այսպիսով, դասական մոտեցման դեպքում շրջանցվում է հետնյալ հիմնական հարցը. ինչո՞ւ որոշ նյութերում կան «ազատ» էլեկտրոններ, իսկ մյուսներում` չկան: Քվանտամեխանիկական մոտեցումը քննարկվող խնդրին բերում է այն եզրակացության, որ բյուրեղային ցանցում էլեկտրոնները մի բջջից մյուսը կարող են անցնել ինչպես   Vո , այնպես էլ   Vո դեպքում, երբ անցումը կատարվում է թունելային եղանակով` առանց էներգիայի փոփոխության: Բյուրեղում էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան   Vո դեպքում բոլոր կետերում զրոյից տարբեր է: Ուստի, չնայած արգելքների առկայությանը, էլեկտրոններն ազատ են, քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրը կարող է հայտնվել կամայական տարրական բջջում, այսինքն` շարժվել բյուրեղով: Այս տեսանկյունից բյուրեղի բոլոր էլեկտրոններն այս կամ այն չափով ազատ են: Մի բջջից մյուսն անցման հավանականությունն ընդունում է տարբեր արժեքներ, կախված էլեկտրոնի էներգիայից, արգելքի բարձրությունից ն լայնությունից: Ատոմի ներքին թաղանթին պատկանող էլեկտրոնների համար

  Vո , ուստի հավանականության խտությունը, բացի տվյալ ատոմը պարունակող բջջից, մնացածներում շատ փոքր է` |k |2  1 :Այս էլեկտրոնները գործնականորեն «տեղայնացված» են, «կապված» տվյալ ատոմի հետ,

Նկ. 118. «Ազատ» (1  Vո ) ն «կապված» (2  Vո ) էլեկտրոնը բյուրեղում ըստ դասական պատկերացման

ուստի չեն կարող մասնակցել էլեկտրահաղորդականության պրոցեսին: Ընդհակառակը, ատոմի արտաքին` թույլ կապված էլեկտրոնների համար |k |2 մեծությունը զգալի է բյուրեղի բոլոր տարրական բջիջներում, ուստի այս էլեկտրոնները կարող են շարժվել ամբողջ բյուրեղով ն էլեկտրական դաշտի առկայության դեպքում` մասնակցել հոսանքին: Սակայն հաղորդիչների ն մեկուսիչների տարբերությունը պայմանավորված է ոչ թե դրանցում մեծ կամ փոքր թվով թույլ կապված կամ արժեքական էլեկտրոններով, այլ էլեկտրոնների շարժման ազատությունը սահմանափակող այլ գործոններով: Համակարգում էլեկտրական հոսանք ծագելու համար անհրաժեշտ է, որ արտաքին էլեկտրական դաշտը համակարգում ստեղծի էլեկտրոնների` ըստ իմպուլսների բաշխման անհամաչափություն, այսինքն` այնպիսի վիճակ, երբ դաշտի ուղղությամբ ն հակառակ ուղղությամբ շարժվող էլեկտրոնների թվերը տարբերվում են իրարից: Ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում, երբ արտաքին էլեկտրական դաշտը բացակայում է, էլեկտրոնների բաշխման ֆունկցիան իմպուլսի զույգ ֆունկցիա է` f 0 (  ք )  f 0 ( ք) :

(5.1)

Այսպիսով, հարցը հանգում է հետնյալին. հնարավո՞ր է արդյոք թույլ արտաքին էլեկտրական դաշտի միջոցով խախտել էլեկտրոնների բաշխման ֆունկցիայի զույգությունը, այսինքն` համակարգում ստեղծել էլեկտրոնների` ըստ իմպուլսների բաշխման անհամաչափություն` f (  ք; E )  f ( ք; E ) : (5.2) Ինչպես գիտենք, էլեկտրոնները բյուրեղում զբաղեցնում են քվանտային վիճակներ, որոնք կազմում են էներգիական թույլատրելի գոտիներ: ո -րդ էներգիական գոտում յուրաքանչյուր քվանտային վիճակ տրվում է քվանտային թվերի ( k , s2 ) հավաքածուով, որտեղ k (k x , k y , k 2 ) -ն ալիքային վեկտորն է,

s2 -ը` սպինի պրոյեկցիան: Քվանտային վիճակների թիվը որոշվում է քվանտային թվերի հնարավոր թույլատրելի արժեքներով: Քանի որ տարբեր ֆիզիկական վիճակներ նկարագրող ալիքային վեկտորները հաստատուն խտությամբ բաշխված են Բրիլյուենի առաջին զոնայում, որտեղ դրանց թիվը N է ( N -ը տարրական բջիջների թիվն է նմուշում), իսկ տվյալ k -ով քվանտային

վիճակում, համաձայն Պաուլիի սկզբունքի, կարող է լինել երկու էլեկտրոն, ապա յուրաքանչյուր էներգիական գոտում էլեկտրոնի թույլատրելի քվանտային վիճակների թիվը 2N է: Եթե T  0 Կ-ում էներգիական գոտիները լրացնենք էլեկտրոններով, ապա դրանք կզբաղեցնեն մեկ կամ մի քանի ստորին էներգիական գոտիներ, իսկ վերջին գոտին կարող է լինել մասամբ կամ լրիվ լրացված: 1. Դիցուք` ամենավերջին էներգիական գոտին մասամբ է լրացված: Եթե արտաքին դաշտը` E  0 , ապա էլեկտրոններն ըստ քվազիիմպուլսների բաշխված են համաչափ` p քվազիիմպուլսով ամեն մի էլեկտրոնի կարելի է համապատասխանության մեջ դնել  p քվազիիմպուլսով էլեկտրոն: Հետնաբար` չլրացված գոտու էլեկտրոնների միջին քվազիիմպուլսը կլինի հավասար զրոյի, որը համապատասխանում է համակարգի ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակին:

Նկ. 119. Մասամբ լրացված էներգիական գոտին ն էլեկտրոնի արագությունը. արտաքին էլեկտրական դաշտը բացակայում է` E  0 (ա. զույգ գոտի, բ. կենտ գոտի): Լրացված վիճակները ստվերագծված են:

Նկ. 119-ում պատկերված են էլեկտրոնի էներգիայի ն արագության` k քվանտային թվից կախման գրաֆիկները կենտ (ա) ն զույգ (բ) գոտիների համար, որոնցում էլեկտրոններով զբաղեցված վիճակները ստվերագծված են: Եթե E  0 , ապա դաշտի ուղղությամբ շարժվող էլեկտրոնները կդանդաղեցվեն, դրանց էներգիաները ն քվազիիմպուլսները կփոքրանան, իսկ դաշտին հակառակ շարժվող էլեկտրոններինը` կմեծանան: Գոտում առկա մեծ էներգիայով ն մինչն դաշտ միացնելն ազատ մակարդակները կլցվեն, իսկ ավելի փոքր էներգիայով ն մինչն դաշտ միացնելը զբաղեցված մակարդակները կդատարկվեն: Այսպիսով, էլեկտրական դաշտի ազդեցությամբ մասնակիորեն լրացված գոտու էլեկտրոնները վերաբաշխվում են, դրանց բաշխման ֆունկցիան դառնում է անհամաչափ ըստ p -ի, իսկ միջին արագությունը` զրոյից տարբեր, ուստի առաջանում է հոսանք (նկ. 120): Այսպիսով, եթե էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրում վերջինը մասամբ լրացված թույլատրելի գոտին է, ապա արտաքին թույլ էլեկտրական դաշտում դրանում կառաջանա հոսանք, այսինքն` այդպիսի բյուրեղը հաղորդիչ է:

Նկ. 120. Մասամբ լրացված էներգիական գոտին ն էլեկտրոնի արագությունն արտաքին էլեկտրական դաշտում` E  0 (ա. զույգ գոտի, բ. կենտ գոտի) Լրացված վիճակները ստվերագծված են:

Հարկ է նշել, որ T  0 Կ սահմանափակումն սկզբունքային նշանակություն չունի, քանի որ, անգամ սենյակային ջերմաստիճանում, էլեկտրոնային գազն ուժեղ այլասերված է` kBT  F (0) : Սակայն ջերմաստիճանի դերը կարնորվում է այլ առնչությամբ: Ջերմաստիճանի բարձրացման հետ մեծանում է ցանցի հանգույցների շուրջ իոնների տատանումների լայնույթը (Մաս 1, 17.7), ն էլեկտրոնների բախումները ցանցին ավելի հաճախակի են դառնում: Այդ բախումներն ուղեկցվում են էլեկտրոնների էներգիայի կորուստներով, ուստի տրված արտաքին դաշտում հաստատվում է դինամիկ հավասարակշռություն դաշտից էլեկտրոններին տրված ն էլեկտրոններից բյուրեղային ցանցին տրված հզորությունների միջն, որից հետո էլեկտրոնների միջին արագությունն այլնս չի աճում` հանգեցնելով հաստատուն դաշտում հաստատուն հոսանքի գոյության: 2. Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ վերջին էներգիական գոտին լրիվ լրացված է:

ա բ Նկ. 121. Լրիվ լրացված էներգիական գոտին ն էլեկտրոնի արագությունը (ա. զույգ գոտի, բ. կենտ գոտի)

T  0 Կ-ում բոլոր քվանտային վիճակներն զբաղեցված են էլեկտրոննե-

րով: Հաջորդ թույլատրելի էներգիական գոտին, որը վերջին, լրիվ լցված գոտուց բաժանված է  g լայնությամբ արգելված գոտիով, լրիվ ազատ է (նկ. 121): Լրացված գոտու էլեկտրոնների միջին իմպուլսը զրո է, քանի որ ըստ իմպուլսների բաշխումը համաչափ է: Եթե E  0 , ապա լրացված էներգիական գոտու էլեկտրոններն արագանալ չեն կարող, քանի որ տվյալ քվանտային վիճակի էներգիայից ն՛ մեծ, ն՛ փոքր էներգիաներով բոլոր վիճակներն զբաղեցված են: Հոսանք առաջանալու համար անհրաժեշտ է վերջին լրացված գոտուց էլեկտրոններին «տեղափոխել» հաջորդ, ավելի մեծ էներգիաներով ազատ գոտի: Դրա համար անհրաժեշտ է նրանց հաղորդել արգելված գոտու լայնությունը գերազանցող էներգիա: Եթե արգելված գոտու լայնությունը շատ փոքր չէ, ապա թույլ արտաքին էլեկտրական դաշտը չի կարող էլեկտրոններին հաղորդել պահանջվող էներգիան, ուստի նմուշում հոսանք չի առաջանա: Այսպիսով` լրիվ լրացված վերջին էներգիական գոտիով բյուրեղը մեկուսիչ է: Այս հայտանիշի օգնությամբ որոշենք տրված ատոմներից բաղկացած միաչափ բյուրեղի հաղորդիչ լինելու պայմանը: Դիտարկենք N տարրական բջիջներով միաչափ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր բջջում կա s հատ ատոմ` 2 կարգաթվով ն նույն 2 արժեքականությամբ: Լրացված էներգիական գոտիների թիվը հավասար է էլեկտրոնների թվի ն մեկ գոտում տեղերի թվի հարաբերությանը` Ns2 1 (4.3) N0   2s : 2N 2 Ատոմի էլեկտրոնների թիվը կարելի է ներկայացնել որպես փակ էլեկտրոնային թաղանթների զույգ թվով էլեկտրոնների ն վերջին թաղանթի արժեքական էլեկտրոնների թվի գումար` 2  2ո  2 , որտեղ ո  0,1, 2, : Հետնաբար` լրացված գոտիների թիվը`

N 0  ոs 

s2 :

(4.4)

Եթե s -ը զույգ է, ապա, անկախ 2 -ից, N 0 -ն ամբողջ է, ուստի գործ ունենք մեկուսիչի հետ: Սակայն եթե s -ը կենտ է, ապա N 0 -ի ամբողջ կամ կիսաամբողջ լինելը կախված է 2 -ի արժեքից`

N0  ոs  ո2 

(4.5)

Եթե 2 -ը կենտ է, ապա վերջին էներգիական գոտին լրացված է կիսով չափ, ն բյուրեղը հաղորդիչ է: Եթե 2 -ը զույգ է, ապա բյուրեղը մեկուսիչ է: Միաչափ բյուրեղի համար ստացված այս հետնությունը, որպես կանոն, կիրառելի չէ եռաչափ բյուրեղի դեպքում, քանի որ դրանում դիտվում է էներգիական գոտիների «ծածկման» երնույթը, երբ Բրիլյուենի զոնայի որնէ կետում վերին գոտու էներգիան ավելի փոքր է, քան դրանից ցածր գոտուն պատկանող էներգիան (ընդհանուր դեպքում` Բրիլյուենի զոնայի այլ կետում, նկ. 122): Եթե գոտիները «ծածկվում» են, ապա մեկուսիչին բնորոշ վերջին լրացված գոտու փոխարեն, առաջանում են երկու (երբեմն` ավելի), մասամբ լրացված գոտիներ, ն բյուրեղը ի հայտ է բերում զգալի հաղորդականություն: Այսպես, հիմնային ն ազնիվ մետաղներում տարրական բջջին բաժին է ընկնում մեկ էլեկտրոն, ն, ինչպես ցույց է տալիս փորձը, դրանք լավագույն հաղորդիչներ են` տիպիկ մետաղներ`   105 Օմ  սմ կարգի տեսակարար դիմադրությամբ (տես Հավելված 4):

Նկ. 122. Էներգիական գոտիների «ծածկվելը »

Աղյուսակ 26.

Հազվագյուտ հողային մետաղների հաղորդականությունը Տարր Տարր  (105Օմ1սմ1)  (105Օհմ1սմ1)

Ը6 Pո Nմ Տո Eս Շմ

0,12 0,15 0,17 0,10 0,11 0,07

ՂԵ թy էօ Ղո YԵ Լս

0,09 0,11 0,13 0,16 0,38 0,19

Հազվագյուտ հողային մետաղներում տարրական բջջին բաժին է ընկնում երկու էլեկտրոն, այսինքն` դրանք «պետք» է լինեին մեկուսիչներ, սակայն էներգիական գոտիները «ծածկվում» են, ուստի դրանք մետաղներ են (Աղյուսակ 26: Տվյալները տրված են առանց մնացորդային դիմադրության, T  295 Կ): Եթե T  0 Կ, ապա վերջին լրացված գոտուց (որն ընդունված է անվանել արժեքական) որոշ էլեկտրոններ ջերմային շարժման արդյունքում կարող են ձեռք բերել մինչն մոտակա դատարկ գոտին (որն ընդունված է անվանել հաղորդականության) ընկած արգելված գոտու լայնությանը հավասար էներգիա ն անցնել հաղորդականության գոտի: Այս պարագայում թույլ էլեկտրական դաշտի կիրառումը կբերի հոսանքի առաջացման: Որքան փոքր է տվյալ արգելված գոտու լայնությունը, այնքան շատ էլեկտրոններ տրված ջերմաստիճանում կարող են անցնել հաղորդականության գոտի: Ջերմաստիճանի բարձրացման հետ հաղորդականության գոտի անցնող էլեկտրոնների թիվն արագ աճում է, որի հետնանքով մեծանում է T  0 Կ-ում մեկուսիչ բյուրեղի էլեկտրահաղորդականությունը: Էլեկտրոնների` հաղորդականության գոտի անցումների հետնանքով արժեքական գոտու առաստաղի մոտակայքում որոշ քվանտային վիճակներ ազատվում են: Արժեքական գոտում մնացած էլեկտրոնները, դաշտի ազդեցությամբ մեծացնելով իրենց էներգիաները, կարող են զբաղեցնել այդ ազատված վիճակները: Այսպիսով, T  0 Կ-ում արտաքին դաշտն ի վիճակի է վերաբաշխել նան լրիվ չլրացված արժեքական գոտու էլեկտրոնների բաշխումն ըստ իմպուլսների ն ստեղծել հոսանք:

Երբ արժեքական գոտում որնէ էլեկտրոն, դաշտում մեծացնելով իր էներգիան, զբաղեցնում է ազատված քվանտային վիճակ, ապա դրա ազատված քվանտային վիճակն էլ զբաղեցնում է մեկ այլ էլեկտրոն (նկ. 123. Տ0 -ն հաղորդականության (6) գոտու հատակն է, Տ0 -ն` արժեքական ( Տ ) գոտու առաստաղը): Դրա հետնանքով էլեկտրոնի ազատած քվանտային վիճակը շարժվում է էլեկտրոնի շարժման ուղղությանը հակառակ ուղղությամբ, այնպես, ինչպես տրված էլեկտրական դաշտում կշարժվեր էլեկտրոնի լիցքի բացարձակ արժեքին հավասար  e լիցքով ն դրական զանգվածով մասնիկը: Այսպիսի շարժունակ վիճակները, որոնք բնութագրվում են էլեկտրոնների պակասորդով ն շարժման բնույթով նման են դրական լիցքով մասնիկների շարժմանը, կոչվում են խոռոչներ: Էներգիական գոտում որնէ քվանտային վիճակում խոռոչի առկայությունը համարժեք է այդ վիճակում էլեկտրոնի բացակայության: Տեսականորեն զգալի դյուրին է քննարկել ոչ թե էլեկտրոնների «փոխանցումավազքը», այլ դրան համարժեք մեկ մասնիկի` խոռոչի շարժումը:

Նկ. 123. Խոռոչի առաջանալն արժեքական գոտում. մուգ կետիկներով պատկերված են էլեկտրոնները:

Երբ էլեկտրոնն արժեքական գոտուց անցնում է հաղորդականության գոտի, ապա բյուրեղում միաժամանակ առաջանում է երկու լիցքակիր` էլեկտրոն (հաղորդականության գոտում) ն խոռոչ (արժեքական գոտում), որոնք E  0 դեպքում մասնակցում են հոսանքի ստեղծմանը, այսինքն` հոսանքը պայմանավորված է ն՛ էլեկտրոնների, ն՛ խոռոչների ուղղորդված շարժումով: Հարկ է հիշել սակայն, որ խոռոչի գաղափարի ներմուծումը պարզապես հարմար տեսական հնարք է. խոռոչն իրական մասնիկ չէ, ինչպիսին էլեկտրոնն է, այն չի կարող գոյություն ունենալ վակուումում: Այն նյութերը, որոնց էլեկտրահաղորդականությունը պայմանավորված է վերը նկարագրված ֆիզիկական պրոցեսներով, կոչվում են կիսահաղորդիչներ: Կիսահաղորդիչների ն մեկուսիչների միջն տարբերությունը որոշ իմաստով պայմանական է: Որքան փոքր է հաղորդականության ն արժեքական գոտիների միջն ճեղքի լայնությունը, այնքան ավելի շատ էլեկտրոններ կարող են ջերմային ակտիվացման ճանապարհով անցնել հաղորդականության գոտի, ուստի ն ավելի մեծ կլինի նմուշի հաղորդականությունը: Նկ. 124-ում պատկերված են էներգիական գոտիների լրացման դիտարկված դեպքերը, երբ T  0 Կ (ա` մեկուսիչ, բ` կիսահաղորդիչ, գ` մետաղ, դ` մետաղ. գոտիների «ծածկումը»: fFD -ն Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան է):

Նկ. 124. Էներգիական գոտիների լրացումը ա. մեկուսիչում, բ. կիսահաղորդչում, գ. մետաղում, դ. մետաղում, երբ գոտիները «ծածկվում » են:

Հաղորդականության գոտի անցած էլեկտրոնները նորից կարող են վերադառնալ արժեքական գոտի, որտեղ կան ազատ քվանտային վիճակներ: Քանի որ ջերմային շարժման հետնանքով էլեկտրոնների անցումները հաղորդականության գոտի չեն դադարում, ապա տրված ջերմաստիճանում դեպի հաղորդականության գոտի ն հակառակ ուղղությամբ էլեկտրոնային հոսքերն իրար համակշռում են: Հաստատվում է շարժուն հավասարակշռություն, որի ընթացքում էլեկտրոնների ն խոռոչների խտությունները մնում են հաստատուն: Գոտիական տեսության շրջանակներում խոռոչի գաղափարի ներմուծումը հնարավորություն տվեց հեշտությամբ բացատրելու որոշ մետաղների Հոլի RH գործակցի դրական լինելու փաստը (71.4, Աղյուսակ 23): Նշված մետաղներում տեղի ունի էներգիական գոտիների «ծածկում» (նկ. 122), ն լրիվ չլրացված գոտու առաջացում, որի ներդրումը Հոլի գործակցում դրական է ն գերազանցում է մասնակիորեն լրացված գոտու էլեկտրոնների ներդրումը:

ԳԼՈՒԽ 1Ճ

ՊԻՆԴ ՄԱՐՄԻՆՆԵՐԻ ՄԱԳՆԻՍԱԿԱՆ

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

§ 1. Պինդ մարմինների դասակարգումն ըստ մագնիսական հատկությունների Նյութը կազմող տարրական մասնիկները` էլեկտրոնները, պրոտոնները ն նեյտրոններն օժտված են իմպուլսի մոմենտով, որը հետնանք է ինչպես դրանց ուղեծրային շարժման, այնպես էլ սեփական մեխանիկական մոմենտի` սպինի գոյության: Հայտնի է, որ ն՛ ուղեծրային շարժման, ն՛ սպինի հետ կապված է մագնիսական մոմենտ, ուստի տարրական մասնիկները իրենցից ներկայացնում են տարրական մագնիսներ, ն դրանցից կազմված յուրաքանչյուր համակարգ` միջուկ, էլեկտրոնային թաղանթ, ատոմ, մոլեկուլ, մակրոմարմին, սկզբունքորեն մագնիսականության աղբյուր է: Այս տեսանկյունից բնության մեջ գոյություն ունեցող բոլոր մարմինները մագնիսական նյութեր են, այսինքն` մագնիսականությունը համընդհանուր բնույթ է կրում: Նյութերի դասակարգումն ըստ մագնիսական հատկությունների կարելի է կատարել երնութաբանորեն` օգտագործելով նյութի մագնիսական որնէ բնութագիր, առանց պարզելու մագնիսականության կոնկրետ կրողներին ն դրանց միջն գործող փոխազդեցությունները: Ընդունված է այդ դասակարգումը կատարել ըստ մագնիսական ընկալունակության նշանի ն մեծության: Նյութը H լարվածությամբ մագնիսական դաշտում ձեռք է բերում որոշակի մագնիսական մոմենտ` այն մագնիսանում է: Եթե M -ով նշանակենք նյութի միավոր ծավալի մագնիսական մոմենտը, որն ընդունված է անվանել մագնիսացվածություն, ապա կապը մագնիսացվածության ն դաշտի լարվածության միջն տրվում է (1.1) M  H բանաձնով, որտեղ  -ն նյութի մագնիսական ընկալունակությունն է: Նյութում մագնիսական դաշտը բնութագրվում է ինդուկցիայի Թ վեկտորով`

Թ  H  4M  H 1  4   H ,

(1.2)

որտեղ  -ն նյութի մագնիսական թափանցելիությունն է ն արտահայտվում է մագնիսական ընկալունակության միջոցով`

  1  4 :

(1.3)

Ընդհանուր դեպքում մագնիսական ընկալունակությունը ն մագնիսական թափանցելիությունը երկրորդ կարգի թենզորներ են, ուստի (1.1) ն (1.2) առնչությունները տեղի ունեն միայն իզոտրոպ մարմինների համար: Հետագայում կենթադրենք, որ գործ ունենք իզոտրոպ պինդ մարմնի` բազմաբյուրեղի հետ: (1.1) սահմանման համաձայն`  մեծությունը չափազուրկ է`



M , H

(1.4)

քանի որ M -ը ն H -ը նույն չափայնությունն ունեն:  -ի հետ մեկտեղ հաճախ օգտագործվում են միավոր զանգվածի ընկալունակության`  -ի ն մոլային (ատոմային) ընկալունակության`  -ի հասկացությունները`

 

 

Hո H

 

 

,     ,

(1.5) (1.6)

որտեղ V -ն մարմնի ծավալն է,  -ն` խտությունը,  -ն` մոլերի թիվն ո զանգվածում,  -ն` մոլային զանգվածը: Ըստ մագնիսական հատկությունների` պինդ մարմինները բաժանվում են երեք խմբի. ա. Դիամագնիսական նյութեր (դիամագնիսներ), որոնց ընկալունակությունը բացասական է`   0 , բացարձակ արժեքով 106  105 կարգի մեծություն է ն կախված չէ ջերմաստիճանից ն մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Մագնիսական թափանցելիությունը`   1 , ուստի Թ ն H վեկտորները գործնականորեն նույնն են:

բ. Պարամագնիսական նյութեր (պարամագնիսներ) , որոնց ընկալունակությունը դրական է`   0 ն 105  103 կարգի մեծություն է. կախված է

ջերմաստիճանից, սակայն գործնականորեն կախված չէ մագնիսական դաշտի լարվածությունից:   1 , ուստի Թ ն H վեկտորները գրեթե նույնն են:

գ. Մագնիսակարգավորված կամ ուժեղ մագնիսական նյութեր (ֆեռոմագնիսներ, հակաֆեռոմագնիսներ, ֆեռիմագնիսներ), որոնց ընկալունակությունը դրական է ն շատ անգամ մեծ պարամագնիսների ընկալունակությունից, էապես կախված է ջերմաստիճանից ն մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Այս նյութերի մագնիսական թափանցելիությունը կարող է ընդունել շատ մեծ արժեքներ, ուստի Թ ն H վեկտորներն իրարից կարող են զգալիորեն տարբերվել: Դիամագնիսական ն պարամագնիսական հատկությունները բնորոշ են նյութերին բոլոր ագրեգատային վիճակներում, սակայն մագնիսակարգավորված վիճակ հնարավոր է միայն բյուրեղներում: Քանի որ դիամագնիսների ն պարամագնիսների ընկալունակությունը շատ փոքր է մեկից` ||  1 , ապա այս նյութերի համար ընդունված է «թույլ մագնիսական նյութեր» անվանումը: Թույլ մագնիսական նյութերում մագնիսացվածությունը մագնիսական դաշտի լարվածության գծային ֆունկցիա է, ուստի ընկալունակության



M H



dM dH

(1.7)

սահմանումները համարժեք են: Ի տարբերություն թույլ մագնիսական նյութերի` ուժեղ մագնիսական նյութերը բնութագրվում են երկու տարբեր ընկալունակություններով` լրիվ ընկալունակություն, որը սահմանվում է (1.1) առնչությամբ, ն դիֆերենցիալ ընկալունակություն, որը սահմանվում է որպես

d 

dM dH

(1.8)

ն կախված է մագնիսական դաշտի լարվածությունից ոչ գծային օրենքով: Ուժեղ մագնիսական նյութերի մյուս առանձնահատկությունը «նյութի ընկալունակություն» ն «նմուշի ընկալունակություն» հասկացությունների տարբերությունն է: Բանն այն է, որ ուժեղ մագնիսական նյութի մագնիսացվածությունը կախված է ոչ միայն ընկալունակությունից (նյութի տեսակից), այլ նան նմուշի երկրաչափական բնութագրերից, քանի որ մագնիսացման հետնանքով նմուշում առաջանում է արտաքին մագնիսական դաշտին հակա117

Նկ. 125. Ուժեղ մագնիսական նյութի էլիպսարդաձն նմուշը H 0 արտաքին մագնիսական դաշտում. M -ն էլիպսարդի մագնիսացվածությունն է, H d -ն` ապամագնիսացնող դաշտը:

ռակ ուղղված, այսպես կոչված «ապամագնիսացնող» դաշտ` Hd (նկ. 125), որի մեծությունը համեմատական է նմուշի մագնիսացվածությանը`

Hd  4ոM :

(1.9)

ո գործակիցը կոչվում է ապամագնիսացնող գործոն ն համընկնում է Մաս 1, 7-ում ներմուծված ապաբնեռացման գործակցի հետ: Դրա մեծությունը (համասեռ նյութում) կախված է միայն նմուշի ձնից: Գումարային մագնիսական դաշտը նմուշում`

H  H0  4ոM  H0  4ոH

(1.10)

որտեղից արտաքին դաշտի լարվածությունը`

H0  H (1  4ո) : Նմուշի ընկալունակությունը` M M  0    : H 0 H (1  4ո) 1  4ո

(1.11)

(1.12)

Ապամագնիսացնող գործոնի արժեքներն ընկած են 0  ո  1 տիրույթում, ուստի թույլ մագնիսական նյութերի համար 4ո  1 ն 0   , այսինքն` նմուշի ընկալունակությունը համընկնում է նյութի ընկալունակության հետ, սակայն ուժեղ մագնիսական նյութերում 0 ն  մեծություններն իրարից կարող են էապես տարբերվել: Փորձարարական հետազոտություններում, որպես կանոն, ուժեղ մագնիսական նյութի նմուշին տալիս են բարակ, երկար գլանի ձն, որի դեպքում ո  1 ն 0   :

Հետագա շարադրանքի առաջին մասը (§§ 2-7) նվիրված է թույլ մագնիսական նյութերի, իսկ երկրորդ մասը (§§ 8-16)` ուժեղ մագնիսական նյութերի ուսումնասիրությանը:

§ 2. Ատոմային դիամագնիսականություն: Բոր-Վան Լենենի թեորեմը Դիամագնիսականությունը պայմանավորված է էլեկտրական լիցքերի` արտաքին մագնիսական դաշտը մասնակիորեն էկրանավորելու հատկությամբ: Դա Լենցի կանոնի դրսնորումն է, որի համաձայն` կոնտուրում մագնիսական հոսքի փոփոխությունը դրանում մակածում է հոսանք, որը խոչընդոտում է այդ հոսքի փոփոխությանը: Հետնաբար` դիամագնիսականությամբ օժտված են առանց բացառության բոլոր մարմինները, սակայն այն շատ հաճախ ի հայտ չի գալիս ավելի ուժեղ պարամագնիսականությամբ քողարկվելու պատճառով: Ծանոթանանք դիամագնիսականության դասական տեսությանը (Պ.Լանժըվեն, 1905 թ.): Պարզության համար նախ դիտարկենք մեկ էլեկտրոնի շարժումը մագնիսական դաշտի ուղղությանն ուղղահայաց հարթության մեջ: Արտաքին մագնիսական դաշտի բացակացությամբ էլեկտրոնը պտտվում է միջուկի շուրջը կուլոնյան ուժի ազդեցությամբ (նկ. 126, ա), ուստի դրա շարժման հավասարումն է

ո02r 

e2 r2

(2.1)

որտեղից որոշվում է էլեկտրոնի 0 անկյունային արագությունը` 1/ 2

 e2  0   3  : (2.2)  ոr    Երբ մագնիսական դաշտի լարվածությունը զրոյից աճելով, հասնում է որոշակի H արժեքի, էլեկտրոնի ուղեծրով սահմանափակված մակերեսով մագնիսական հոսքն աճում է, որի հետնանքով ծագում է ուղեծրի շոշափողով

ա բ Նկ. 126. էլեկտրոնի շարժումը H վեկտորին ուղղահայաց հարթության մեջ. ա. H = 0 , բ. H  0 ուղղված մակածված էլեկտրական դաշտ: Այն փոփոխում է էլեկտրոնի գծային արագությունը (նկ. 126, բ-ում պատկերված դեպքում էլեկտրոնի արագությունը փոքրանում է): Միաժամանակ էլեկտրոնի վրա ազդում է Լորենցի ուժը`

ԻL  

e  v , H  , c 

(2.3)

որն ուղղված է շրջանի շառավղով (նկ. 128, բ): Լորենցի ուժի հաշվառումով էլեկտրոնի շարժման հավասարումը կընդունի

e ո2r  ո02r  rH c

(2.4)

տեսքը, որտեղ  -ն մագնիսական դաշտում էլեկտրոնի պտտման նոր հաճախությունն է, (  ) նշանները համապատասխանում են շրջանագծով պտտման երկու հնարավոր ուղղություններին: (2.4) հավասարման լուծումներն են`  1,2  

eH 2ոc

 eH    0 : ոc  

 

(2.5)

Եթե մագնիսական դաշտի լարվածությունը բավարարում է

H  H 0 

2ոc0 e

 ոc2  2  2  r 3   

(2.6)

ա բ Նկ. 127. Էլեկտրոնի շարժումը հարթության մեջ, որի նորմալը 2 առանցքից շեղված է   0 անկյունով. ա. H = 0 , բ. H  0 : պայմանին, ապա (2.5) բանաձնից հետնում է, որ eH (2.7) 1,2    0 : 2ոc Մագնիսական դաշտի ազդեցությամբ էլեկտրոնի պտույտի հաճախության փոփոխությունը`

L 

eH 2ոc

(2.8)

մեծությունը, կոչվում է լարմորյան հաճախություն: Այն բնութագրում է էլեկտրոնի ուղեծրային շարժման վրա արտաքին մագնիսական դաշտի ազդեցության չափը: (2.2)

(2.6) բանաձներից հետնում է, որ երբ r  aB  0, 53 Å,

0 - 1016 ռադվ 1 , H 0  109 Գս: Հարկ է նշել, որ փորձում կիրառվող մագնի-

սական դաշտերը չեն գերազանցում 107 Գս-ը, ուստի արտաքին H դաշտը կարելի է համարել թույլ: Եթե էլեկտրոնային ուղեծրի հարթության նորմալը դաշտի լարվածության ուղղության հետ կազմում է զրոյից տարբեր անկյուն (նկ. 127, ա), ապա նորմալով ուղղված կլինի նան էլեկտրոնի ստեղծած փակ հոսանքի մագնիսական մոմենտի ո վեկտորը: Եթե H  0 , ապա էլեկտրոնի վրա կազդի

Ճ  [ո, H]

(2.9)

ուժի մոմենտ, որը պայմանավորում է համակարգի L մեխանիկական մոմենտի փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում`

dL  Ճ  [ ո , H] : dt

(2.10)

Նկատի ունենալով համակարգի մեխանիկական ն մագնիսական մոմենտների միջն

ո

e L 2ոc

(2.11)

կապը, (2.10) հավասարումը կարելի է ներկայացնել

dո e  [ո, H]  [ո, L ] dt 2ոc

(2.12)

տեսքով, որտեղ L վեկտորն ուղղված է H -ով, իսկ դրա մեծությունը տրվում է (2.8) բանաձնով: (2.12) հավասարման համաձայն` ո վեկտորը L անկյունային արագությամբ պտտվում է H վեկտորի շուրջը, ընդ որում դրա մեծությունը ն H -ի ուղղության հետ կազմած անկյունը չեն փոփոխվում ժամանակի ընթացքում (լարմորյան կոնապտույտ, նկ. 127, բ): Իրոք, եթե (2.12) հավասարումը սկալյարորեն բազմապատկենք նախ` ո -ով, իսկ հետո`

H -ով, ն նկատի ունենանք, որ ( ո[ո, H ])   H [ո, H ]  0 , կստանանք` dո

dt dո



1 d

(|ո|2 )  0, |ո| cօոst 2 dt dոH d H  ( Hո )  |  0, ոH  cօոst : dt dt dt

(2.13)

Այսպիսով, անկախ էլեկտրոնային ուղեծրի հարթության դիրքից, արտաքին մագնիսական դաշտը հանգեցնում է էլեկտրոնի պտտման անկյունային արագության փոփոխության L -ով: Մագնիսական դաշտում էլեկտրոնի ձեռքբերած լրացուցիչ L անկյունային արագությունը պայմանավորում է լրացուցիչ հոսանք`

i

e e e2 H ,  L  TL 2 4ոc

որի ստեղծած մագնիսական մոմենտը`

(2.14)

e2 HՏ , ո  iՏ   c 4ոc2

(2.15)

որտեղ Տ -ն էլեկտրոնի ուղեծրով սահմանափակված մակերեսի պրոյեկցիան է դաշտին ուղղահայաց հարթության վրա`

Տ  ( x 2  y 2 )  2 :

(2.16)

2 կարգաթվով ատոմի` արտաքին մագնիսական դաշտում ձեռքբերած մագ-

նիսական մոմենտը`  M1   2 ո  

e2 H 4ոc

 ( xk2    yk2  ) ,

(2.17)

k 1

որտեղ  փակագծերը նշանակում են տարածական միջինացում: Գնդային համաչափությամբ օժտված ատոմի համար

 xk2    yk2    2k2    Rk2  ,

(2.18)

որտեղ Rk -ն k -րդ էլեկտրոնի ուղեծրի շառավիղն է: Եթե նյութի միավոր ծավալում պարունակվում է N1 ատոմ, ապա (2.17) ն (2.18) բանաձներից հետնում է մագնիսացվածության M  N1  M1   

e2 N1 2 6ոc

R2  H

(2.19)

արտահայտությունը, որտեղ R2  

 Rk2  

(2.20)

k 1

մեծությունն էլեկտրոնային ուղեծրերի միջինացված շառավիղն է: (1.1) սահմանումից ն (2.19) արտահայտությունից հետնում է, որ

e2 N1 2 6ոc

R2   

e 2 N 4 2 6ոc 

R2  ,

(2.21)

որտեղ N 4 -ն Ավոգադրոյի թիվն է: (2.21), (1.5) ն (1.6) բանաձներից միավոր զանգվածի ն մոլային ընկալունակությունների համար ստացվում են հետնյալ արտահայտությունները`

 



e2 N 4 2

    

6ոc 

R2  ,

e2 N 4 2

(2.22)

 R2  :

(2.23) 6ոc Վերջին բանաձնում տեղադրելով հիմնարար հաստատունների արժեքները` կստանանք`

| | 2, 832  1010 2  R 2 

(2.24)

Այս բանաձնից հետնում է, որ | | մեծությունը կախված է միայն էլեկտրոնային ուղեծրի շառավղից: Եթե ընդունենք  R 2  - 1016 սմ2, ապա (2.23) բանաձնից

| |- 106 2 ,

(2.25)

որը կարգով համընկնում է փորձի հետ (Աղյուսակ 27): Աղյուսակ 27-ում տրված են իներտ տարրերի ն ալկալի-հալոիդային միացություններում իոնների մոլային ընկալունակությունները: Միննույն հորիզոնականում տրված իոններն ունեն միննույն (շարքի իներտ տարրերի) էլեկտրոնային փոխդասավորությունը: Աղյուսակ 27.

Ալկալի-հալոիդային միացություններում իոնների ն իներտ տարրերի ատոմների մոլային ընկալունակությունները Իոն

| |, 106 սմ3/մոլ

Տարր

| |, 106 սմ3/մոլ

Li+

0,7

է6

1,9

6,1

7,2

9,4

24,2

Ճ+

14,6

Ճո

19,4

34,5

RԵ+

22,0

Ճո

28,0

50,6

ԸՏ+

35,1

43,0

Bո լ

Իոն

Ը1 -

| |,106 սմ3/մոլ

Դիամագնիսական ընկալունակության վերը բերված հաշվարկը զուտ դասական է ն հաշվի չի առնում ատոմի սպինը: Այդ պատճառով  -ի,  -ի ն

 -ի արտահայտությունները վերաբերում են փակ` Տ  0 սպինով էլեկտ124

րոնային թաղանթներ ունեցող ատոմներին (այսպես կոչված ատոմային դիամագնիսականություն): Ընկալունակության (2.21) բանաձնն արտածելիս անբացահայտորեն ենթադրվել է, որ տարրական շրջանային հոսանքները կայուն են, որը հակասում է դասական պատկերացումներին: Այժմ ապացուցենք, որ արտաքին մագնիսական դաշտում լիցքերի դասական համակարգի մագնիսական մոմենտը հավասարակշռության վիճակում զրո է (Բոր-Վան-Լենենի թեորեմ): Արտաքին մագնիսական դաշտում դասական մասնիկների (լիցքերի) համակարգի համիլտոնիանն ընդհանուր դեպքում ունի հետնյալ տեսքը`



զ  2ո  քk  ck ( Akex + Akiո )   Ս (r1, r2 ,, rN ) , k k 1

(2.26)

որտեղ ք k -ն k -րդ մասնիկի իմպուլսն է, ոk -ն` զանգվածը, զk -ն` լիցքը, Ս ( r1, r2 ,, rN ) -ը` մասնիկների փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան,

Akex -ն` արտաքին մագնիսական դաշտի վեկտոր-պոտենցիալը, իսկ Aiո  k

ո զ v յ յ

 crk յ

(2.27)

յ k

անդամը լիցքերի շարժումով ստեղծված ներքին մագնիսական դաշտի վեկտոր-պոտենցիալն է: Դասական համակարգի վիճակագրական ինտեգրալը` 

2cl 



 2  exp    dք1dք2  dք N dr1dr2  drN : k BT   (V )

    





 (V )

(2.28)

(2.28) բանաձնում տեղադրելով (2.26) ն (2.27) արտահայտությունները ն անցնելով ինտեգրման նոր փոփոխականների` զ Pk  քk  k Akex  c

զյ p յ

 ո cr յ k

(k  1, 2,..., N ) ,

(2.29)

յ kյ

(2.28) վիճակագրական ինտեգրալը կարելի է ներկայացնել 

2cl 



  



 

exp  

 k BT 

Pk2    ( ք1 , ք2 ,, քN )

 2ոk  ( P1, P2 ,, PN ) d P1d P2 d PN  k 1









   exp  kBT Ս (r1, r2 ,, rN )  dr1dr2 drN

(V )

(2.30)

(V )

տեսքով: (2.29) առնչություններից բխում է, որ

( ք1, ք2 ,, քN )  ( P1, P2 ,, PN )

ձնափոխության

1

( ք1 , ք2 ,, քN ) ( P1 , P2 ,, PN )

(2.31)

յակոբիանը կախված չէ արտաքին H մագնիսական դաշտից (տես (2.29)), ուստի 2cl մեծությունը կախված կլինի համակարգի V ծավալից ն T ջերմաստիճանից, բայց ոչ արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից`

2 cl  2 T , V  : Ջերմադինամիկայի հայտնի առնչության համաձայն` համակարգի մագնիսական մոմենտն արտահայտվում է համակարգի F ազատ էներգիայի միջոցով`

M 

k T  1  F   :  B  ոո 2    V  H T ,V V  H T ,V

(2.32)

2 -ը կախված չէ մագնիսական դաշտի լարվածությունից, ուստի M  0 : Այսպիսով, հանգում ենք կարնոր եզրակացության` մագնիսականությունն իր էությամբ զուտ քվանտային երնույթ է:

§ 3. Ատոմային ընկալունակության հաշվարկը Այժմ արտածենք ատոմային ընկալունակության ընդհանուր քվանտամեխանիկական արտահայտությունը: Եթե էլեկտրոններից բաղկացած համակարգը (ատոմ, իոն) արտաքին մագնիսական դաշտում է, ապա դրա համիլտոնիանը տրվում է

1  e e  2ˆ    քˆ k  Ak   Ս    sˆk rօէ Ak  ո c ոc   k k

(3.1)

արտահայտությամբ, որտեղ օպերատորն է,

քˆ k  ik -ն

5ˆk -ն` սպինի օպերատորը,

մագնիսական դաշտի վեկտոր-պոտենցիալը

k -րդ էլեկտրոնի իմպուլսի

4k  4(rk ) -ն` արտաքին k -րդ էլեկտրոնի տեղում,

Ս  Ս ( r1, r2 ,, rN ) -ը` էլեկտրոնների էլեկտրաստատիկ փոխազդեցության ն արտաքին էլեկտրական դաշտի հետ փոխազդեցության էներգիան, e  0 . գումարումը կատարվում է ըստ համակարգի բոլոր էլեկտրոնների: Ենթադրենք, որ արտաքին մագնիսական դաշտը համասեռ ն հաստատուն է, ն վեկտոր-պոտենցիալն ընտրենք

(3.2) 4  [ H, r ] տեսքով, որտեղից, նկատի ունենալով H  cօոst պայմանը, կստանանք` rօէ A  

մiմA 

rօէ[ H , r ] 

( r) H  (H )r  (r ) H  ( H ) r 

( H մiմ r  H ) 

մiմ[ H , r ] 

(3.3) ( 3H  H )  H ,

( r rօէ H  H rօէ r )  0 :

(3.4)

(3.1) համիլտոնիանում ձնափոխենք կինետիկ էներգիայի օպերատորը. 1  e 1  2 e e2 2   ˆ ˆ ˆ ˆ ք  A  ք  ( ք A  A ք )  Ak    k  k k k k k k 2ո  c 2ո  c  c2 



2 2ո

k2 

ie c

(k Ak  Ak k ) 

e2 c

Ak2 :

(3.5)

Օգտվելով (3.4) պայմանից` կարելի է գրել, որ

(k Ak  Ak k )  k ( Ak )  Ak k   (k Ak )   2 Ak k   մiմAk  2 Ak k   2 Ak k 

այսինքն` 4k ն k օպերատորները կոմուտացվում են: Եթե մագնիսական դաշտն ուղղված է 2 առանցքով` H  H(0, 0, H) , ապա

4kx   Hyk ,

4ky 

Hxk ,

4k2  0 ,

(3.6)

        2 4k k  2  4kx  4ky  yk   H  xk  ,  xk  yk   xk     yk 4k2  4kx  4ky 

1 2 2 H ( xk  yk2 ) :

(3.7) (3.8)

(3.3)  (3.8) արտահայտությունների օգնությամբ Համիլտոնի (3.1) օպերատորը կներկայացվի eH ˆ e2 H 2 2ˆ  2ˆ0  ( L2  2Տˆ 2 )  2ոc

8ոc

 ( xk2  yk2 )

(3.9)

տեսքով, որտեղ 2ˆ0 -ն համակարգի համիլտոնիանն է արտաքին դաշտի բացակայությամբ, Lˆ 2 -ը համակարգի էլեկտրոնների ուղեծրային շարժման մեխանիկական մոմենտի`

Lˆ 

 rk , քˆ k 

(3.10)

օպերատորի 2 բաղադրիչն է, իսկ Տˆ 2 -ը` էլեկտրոնների սեփական մեխանիկական մոմենտի (սպինի)

Տˆ 

 5ˆk

(3.11)

օպերատորի 2 բաղադրիչը: Այսպիսով` արտաքին մագնիսական դաշտն ազդում է ն՛ ուղեծրային, ն՛ սեփական շարժման վրա, ընդ որում այդ ազդեցությունը նկարագրվում է eH ˆ e2 H 2 2ˆ   ( L2  2Տˆ 2 )  ( x 2  yk2 ) 2  k 2ոc

8ոc

(3.12)

օպերատորով: Հետագա հաշվարկները կկատարենք, օգտվելով խոտորումների տեսությունից, քանի որ ստորն կատարված գնահատումների համաձայն` ներկայում փորձում ստացվող մագնիսական դաշտերում 2ˆ  օպերատորով պայմանավորված փոփոխությունը շատ անգամ փոքր է ատոմի գրգռման էներգիայից:

Խոտորումների տեսության համաձայն` ո -րդ մակարդակի էներգիայի փոփոխությունը ռումով, տրվում է

2ˆ  օպերատորի երկրորդ կարգի անդամների հաշվաEո  ո 2ˆ  ո 

ո 2ˆ  ո



(3.13)

Eո  Eո

ոո

արտահայտությամբ, որտեղ Eո -ը 2ˆ0 օպերատորի սեփական արժեքն է: (3.12) ն (3.13) բանաձներից հետնում է, որ ատոմի ո -րդ մակարդակի էներգիայի` մագնիսական դաշտի ազդեցությամբ պայմանավորված փոփոխությունը` Eո 

eH 2ոc

ո Lˆ 2  2Տˆ 2 ո  

e2 H 2 8ոc 2



2 2

e  H

4ո 2 c 2



ո Lˆ 2  2Տˆ 2 ո

ո  ո

Eո  Eո



(3.14)

ո xk2  yk2 ո :

(3.14) բանաձնն այն հիմնական արտահայտությունն է, որի միջոցով կատարվում է ատոմների, իոնների ն մոլեկուլների ընկալունակության հաշվարկը: Այս բանաձնով կարելի է հաշվել նան բյուրեղի մագնիսական ընկալունակությունը, եթե այն կարելի է ներկայացնել որպես թույլ դեֆորմացված ազատ ատոմների կամ իոնների հանրույթ: Գնահատենք Eո -ի առանձին գումարելիների կարգը: Եթե ո Lˆ 2  2Տˆ 2 ո  0 , ապա այն միավորի կարգի է, հետնաբար`

e H ո Lˆ 2  2Տˆ 2 ո 2ոc

e H  c , ոc

(3.15)

որտեղ

c 

eH ոc

(3.16)

մեծությունն էլեկտրոնի շրջանային (ցիկլոտրոնային) հաճախությունն է:

H - 105 Գս դաշտում c -ն 103 էՎ կարգի մեծություն է ն զգալի փոքր է ատոմի գրգռման էներգիայից, որը էՎ կարգի մեծություն է:

(3.14) բանաձնում երկրորդ գումարելին համեմատական է

e2 2 H 2 4ո 2 c 2

 |Eո  Eո | 1

ոո

( c )2 c  c  

(3.17)

մեծությանը ն շատ փոքր է առաջին գումարելուց, քանի որ ատոմի գրգռման բնութագրական էներգիան` Eո  Eո -   c : Վերջապես, նկատի ունենալով, որ

ո ( xk2  yk2 ) ո

անդամն ատոմի

բնութագրական չափի` a0  2 ոe2 մեծության քառակուսու կարգի է, երրորդ գումարելու համար կստանանք` e2 H 2

ո ( xk2  yk2 ) 2  8ոc

  

ո - Օ( c2 ոa02 )   Օ c2 ոa0

- ( c )2

e a0

 c

c e2 a0

 c ,

2 

 ոe 2 

(3.18)

քանի որ e2 a0  27 էՎ: Կատարված գնահատումներից հետնում է, որ (3.14) բանաձնում H -ի գծային անդամը, անգամ շատ ուժեղ` H - 104 Գս լարվածությամբ դաշտում միշտ հիմնականն է, եթե, իհարկե, այն նույնաբար զրո չէ:

§ 4. Դիէլեկտրիկների մագնիսական ընկալունակությունը Ուսումնասիրենք մագնիսական ընկալունակության հաշվարկի (3.14) հիմնական բանաձնից բխող մի քանի կարնոր մասնավոր դեպքեր: 1. Եթե բյուրեղը կազմված է փակ (լրացված) էլեկտրոնային թաղանթներ ունեցող ատոմներից կամ իոններից, որոնց սպինը, ուղեծրային մոմենտը, ինչպես նան լրիվ մոմենտը հավասար են զրոյի` Lˆ 0  Տˆ 0  Jˆ 0  0 , (4.1) ապա հիմնական 0 վիճակի էներգիայի E0 ուղղման մեջ զրոյից տարբեր է միայն (3.14) արտահայտության երրորդ գումարելին`

E0 

e2 H 2 8ոc





xk2  yk2 0 

e2 H 2 12ոc

 0 Rk2 0

(4.2)

որն արտածելիս օգտվեցինք փակ էլեկտրոնային թաղանթներով ատոմի գնդային համաչափության հատկությունից հետնող (2.18) պայմանից: Այժմ հաշվենք համակարգի մագնիսական ընկալունակությունը:

Eո ատոմային մակարդակների միջն զգալի (էՎ կարգի) էներգիական տարբերության հետնանքով դրանց ջերմային գրգռման հավանականությունը գործնականորեն զրո է, ուստի կարելի է այն հաշվի չառնել, որը համարժեք է T  0 Կ ենթադրությանը: Այս պայմաններում համակարգի ազատ էներգիան հավասար է ներքին էներգիային, ուստի (2.32), (1.4) ն (4.1) արտահայտությունների օգնությամբ կստանանք` 



M H



1  F 

1      E0  E0      HV  H V ,0 HV  H V ,0

1  E0 





HV  H V ,0



Ne2 6ոc2V

 0 Rk2 0 k 1



Ne 22i 6ոc 2V

(4.3)

R2  ,

որտեղ N -ը համակարգի ատոմների թիվն է, 2i -ին` էլեկտրոնների թիվն իոնում (ատոմում), իսկ  R 2  -ը տրվում է (2.20) բանաձնով: Այս արտահայտությունն ատոմային դիամագնիսականության` «դասականորեն» ստացված (2.21) արդյունքն է, որի միջոցով կարելի է հաշվել իներտ գազերի բյուրեղների, ինչպես նան պարզ իոնային (օրինակ` հողալկալիական) բյուրեղների դիամագնիսական ընկալունակությունը, քանի որ թվարկված բյուրեղներում իոնների` բյուրեղական դաշտի ազդեցությամբ պայմանավորված դեֆորմացիան շատ փոքր է ն կարող է անտեսվել (տես Աղյուսակ 28): 2. Դիտարկենք այն դեպքը, երբ պինդ մարմինը բաղկացած է մեկ չլրացված էլեկտրոնային թաղանթ ունեցող ատոմներից: Եթե ատոմի լրիվ մոմենտը` J  0 , իսկ L  Տ  0 , որը տեղի ունի հնարավոր տեղերի կեսից մեկով պակաս էլեկտրոններ պարունակող էլեկտրոնային թաղանթ ունեցող ատոմում (օրինակ` d -թաղանթում ( l  2 ) հնարավոր տեղերի թիվը 2  (2l  1)  10 է, f -թաղանթում ( l  3 )` 2( 2 l  1)  14 , ուստի d - թաղանթ ունեցող ատոմում կունենանք 10 : 2  1  4 , օրինակ` Ըո2+, Խո3+, իսկ f 131

թաղանթ ունեցող ատոմում` 14 : 2  1  6 , օրինակ` Eս3+), ապա (3.14) արտահայտության առաջին գումարելին, որն ատոմի սեփական մագնիսական մոմենտի էներգիան է մագնիսական դաշտում, հավասար է զրոյի`

e e (4.4) ո Lˆ 2  2Տˆ 2 ո  0 Lˆ 2  2Տˆ 2 0  0 , 2ոc 2ոc որը պայմանավորված է J  0 վիճակի համաչափությամբ: Սակայն, ի տարբերություն լրացված էլեկտրոնային թաղանթով ատոմի, (3.14) արտահայտության երկրորդ գումարելին դիտարկվող դեպքում զրոյից տարբեր է, ուստի հիմնական վիճակի էներգիայի փոփոխությունը` 2 2

E0  

e  H

2 2

4ո c



0 Lˆ 2  2Տˆ 2 ո

ո 0

Eո  E0



e2 H 2 8ոc

 (xk2  yk2 ) 0

(4.5)

(4.3) ն (4.5) բանաձներից հետնում է 7 մասնիկների համակարգի մագնիսական ընկալունակության արտահայտությունը` 2 2



e  N

 2ո c V 2 2

ո 0

0 Lˆ 2  2Տˆ 2 ո Eո  E0



e 2 N2i

6ոc V

R2  :

(4.6)

Քանի որ Eո  E0  0 ( ո  0 ) (հիմնական վիճակի էներգիան ամենափոքրն է), ապա առաջին անդամը միշտ դրական է, այսինքն` այն նպաստում է մագնիսական մոմենտի` դաշտի լարվածության ուղղությամբ ն համապատասխանում է պարամագնիսականության առաջացմանը (վանֆլեկյան կամ բնեռային պարամագնիսականություն): 3. Այժմ քննարկենք այն դեպքը, երբ էլեկտրոնային թաղանթի լրիվ մոմենտը` J  0 : Կատարված գնահատումների համաձայն` (3.14) արտահայտության մեջ հիմնականը մագնիսական դաշտի լարվածությանը համեմատական առաջին գումարելին է, որը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` e (4.7) ( Eո )1  H ( J 2  Տ2 )  B H ( J 2  Տ2 ) , 2ոc որտեղ e (4.8) B   0, 927  1020 էրգ/Գս 2ոc

մեծությունը մագնիսական մոմենտի քվանտն է` Բորի մագնետոնը, իսկ հորիզոնական գծիկով նշված է համապատասխան օպերատորի քվանտամեխանիկական միջինը: Նկատի ունենալով, որ J 2 -ը մագնիսական դաշտում շարժման ինտեգրալ է, դրա միջին արժեքի համար կարող ենք գրել` J 2  ոJ , որտեղ ոJ -ն Jˆ 2 օպերատորի սեփական արժեքն է: Տ2 միջինը հաշվելու համար նախ գրենք Տ̂ օպերատորի պրոյեկցիան Ժ վեկտորի ուղղության վրա` ˆ ˆ) ˆ ˆ ) )ˆ ( S) ( S) Sˆ J  nJ  , J J2

(4.9)

իսկ հետո` դաշտի ուղղության ( 2 առանցքի) վրա` ˆ ˆ) ( S)

ոJ

ˆ ˆ) : (4.10) ( S) J J2 (4.10) արտահայտությունը տեղադրելով (4.7) բանաձնում` կստանանք. Տ2 

J2 



 Eո 1   B H  1   

ˆ ˆ   S) ո J2 

(4.11)



ˆ ˆ սկալյար արտադրյալը կորոշենք S)



Lˆ2  Ժˆ  Տˆ



ˆˆ  Ժˆ 2  Տˆ 2  2 ԺՏ

նույնությունից, որը միջինացնելուց հետո կստանանք`

ˆ ˆ  ո |ԺՏ ˆ ˆ | ո  1  J  J  1  Տ  Տ  1  L  L  1 : ԺՏ  2

(4.12)

Այս արդյունքը տեղադրելով (3.28) բանաձնում ն կատարելով

gJ  1 

J  J  1  Տ  Տ  1  L  L  1 2 J  J  1

(4.13)

նշանակումը, որը հայտնի է որպես Լանդեի բազմապատկիչ, ( Eո )1 էներգիան կարելի է ներկայացնել կրճատ ձնով`

(Eո )1  E1  BոJ gJ H ,

(4.14)

որտեղ ոJ  J , ( J  1),,( J  1), J , այսինքն` ընդունում է 2 J  1 հատ արժեք: Այսպիսով` H  0 դաշտում ( 2 J  1 )-պատիկությամբ այլասերված

հիմնական վիճակը H  0 մագնիսական դաշտում ճեղքվում է առանձին վիճակների, որոնցից յուրաքանչյուրի էներգիան տրվում է (4.14) բանաձնով: Եթե (4.14) բանաձնը ներկայացնենք

E1  J H

(4.15)

J  BոJ gJ

(4.16)

տեսքով, ապա մեծությունն իրենից կներկայացնի ատոմի էլեկտրոնային թաղանթի մագնիսական մոմենտը, ընդ որում () նշանն արտահայտում է այն փաստը, որ մագնիսական մոմենտն ուղղված է ոJ մեխանիկական մոմենտին հակառակ (տես (2.11) առնչությունը): (3.14) ն (4.5) բանաձներն արտածելիս ենթադրվել է, որ հիմնական ն առաջին գրգռված մուլտիպլետի միջն էներգիական հեռավորությունը`

ELՏJ   ELՏJ  kBT ,

(4.17)

երբ ազատ էներգիայի մեջ հիմնական ներդրումը տալիս են հիմնական մուլտիպլետի ( 2 J  1 ) հատ վիճակները: Մյուս կողմից, հիմնական վիճակի այլասերման հետնանքով մագնիսական դաշտում նույն մուլտիպլետին պատկանող մակարդակների միջն

 E1 ոJ ,ոJ 1  B gJ H

(4.18)

էներգիական հեռավորությունը կարող է զգալի փոքր լինել k BT էներգիայից: Եթե ներմուծենք բնութագրական

T0 

B gJ H kB

(4.19)

ջերմաստիճանը, ապա T  T0 պայմանը H - 104 Գս դաշտերում տեղի ունի, սկսած տասնյակ կելվինից: Այս պայմաններում մագնիսական ընկալունակությունը հաշվարկելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել էներգիական մակարդակների ջերմային գրգռման հնարավորությունը ն օգտվել F ազատ էներգիայի (բայց ոչ ներքին էներգիայի) արտահայտությունից:

§ 5. Ազատ էլեկտրոնների ուղեծրային դիամագնիսականությունը Բոր-Վան-Լենենի թեորեմի համաձայն` դասական լիցքերի համակարգի, այդ թվում ն էլեկտրոնային գազի, մագնիսական ընկալունակությունը զրո է: Հասկանալի է, որ դասական քննարկման դեպքում բացակայում է լիցքի սեփական մագնիսական մոմենտի գաղափարը, ուստի խոսքը վերաբերում է ուղեծրային շարժումով պայմանավորված մագնիսականությանը: Դասական համակարգի էներգիայի անկախությունը մագնիսական դաշտի լարվածությունից հետնանք է այն հանգամանքի, որ շարժվող լիցքի վրա դաշտում ազդող Լորենցի ուժն աշխատանք չի կատարում` e (5.1) 4  FL r    v, H  v  t  0 , c որի հետնանքով էլեկտրոնների հավասարակշռական բաշխման ֆունկցիան մագնիսական դաշտում չի փոփոխվում: Այլ է իրադրությունը քվանտային դիտարկման դեպքում: Մագնիսական դաշտում, դաշտի լարվածության վեկտորին ուղղահայաց հարթության մեջ էլեկտրոնի շարժման տիրույթը սահմանափակվում է շրջանագծով, որի շառավիղը` rc 

v c



p ոc

(5.2)

որտեղ v -ն ( p -ն) էլեկտրոնի արագության (իմպուլսի) բաղադրիչն է դաշտի H վեկտորին ուղղահայաց հարթության մեջ (նկ. 130), իսկ c -ն` էլեկտրոնի շրջանային հաճախությունը (տես (3.16)): Ուղղահայաց հարթության մեջ շարժման սահմանափակման հետնանքով էլեկտրոնի էներգիան քվանտանում է, ն այն կարելի է գնահատել անորոշությունների առնչության օգնությամբ, որի համաձայն` r p   : Կոօրդինատի  r

անորոշությունն էլեկտրոնի տեղայնացման տիրույթի

չափերի կարգի է` r - rc , p - p ,

ուստի անորոշությունների առնչու-

թյունից ն (5.2) բանաձնից հետնում է, որ

rc p 

p ոc

p 

p2 ոc



կամ  

p2 2ո



c

-H :

(5.3)

Նկ. 128. Էլեկտրոնի շարժումը համասեռ հաստատուն մագնիսական դաշտում (դասական պատկերացում)

Մագնիսական

դաշտի ուղղությամբ

էլեկտրոնի արագությունը չի

փոխվում` v2  cօոst , ուստի էլեկտրոնի էներգիան, դաշտի լարվածությունից կախված, աճում է գծային օրենքով, որի հետնանքով էլեկտրոնային գազը կունենա էլեկտրոնների ուղեծրային շարժումով պայմանավորված դիամագնիսականություն: Որոշենք էլեկտրոնային գազի ուղեծրային դիամագնիսական ընկալունակությունը քվանտային տեսության շրջանակներում (Լ.Դ.Լանդաու, 1930թ.): Ենթադրենք` իդեալական էլեկտրոնային գազը z առանցքով ուղղված համասեռ հաստատուն H(0, 0, H) մագնիսական դաշտում է, որը նկարագրվում է 4(0, Hx, 0) վեկտոր-պոտենցիալով: Էլեկտրոնի համար Շրյոդինգերի հավասարումն ունի հետնյալ տեսքը`

 1 2 1  e 1 2  pˆ x  pˆ 2  ( x, y, 2 )  ( x, y, 2 ) :   pˆ y  Hx   2ո  c  2ո   2ո

(5.4)

Ձախ մասում գրված Համիլտոնի օպերատորը բացահայտ ձնով չի պարունակում y ն 2 կոօրդինատները, ուստի pˆ y -ը ն pˆ 2 -ը կոմուտացվում են համիլտոնիանի հետ, այսինքն` դրանց սեփական արժեքները պահպանվում են: Ուրեմն, (5.4) հավասարման լուծումները կարելի է ներկայացնել ( x, y, 2 )  exp [i( yk y  2k 2 )] u( x )

(5.5)

տեսքով, որտեղ k y  py  , k 2  p2  մեծություններն ալիքային վեկտորի

y ն 2 բաղադրիչներն են , իսկ u( x) ֆունկցիան որոշվում է (5.5) արտահայտությունը (5.4) հավասարման մեջ տեղադրելուց հետո ստացվող

 2 d 2 ոc2 ( x  x0 )2     u( x )   u( x )  2ո dx 

(5.6)

հավասարումից, որտեղ կատարված են հետնյալ նշանակումները` x0  

c eH

ky  

k y ոc



vy c

,    

 2k 22 2ո

(5.7)

(5.6) հավասարումը միաչափ, ներդաշնակ տատանակի Շրյոդինգերի հավասարումն է, որի սեփական արժեքները տրվում են

 

ո   ո  c  ո 

1

ո  0, 1, 2,

,

2

(5.8)

բանաձնով (Լանդաուի մակարդակներ), իսկ սեփական ֆունկցիաներն արտահայտվում են Էրմիտի H ո բազմանդամների միջոցով` u0 ( x  x0 ) 

(  H )1/ 2

2ո ո !

 ( x  x0 ) 2   x  x 0   Hո   , (5.9) 2 2H    H 

exp  

որտեղ 1/ 2

 c    eH 

H  

1/ 2

     ոc 



(5.10)

պարամետրը մագնիսական երկարությունն է, որը բնութագրում է x 0 կետի շուրջն էլեկտրոնի տեղայնացման տիրույթի գծային չափերը: (5.5) ն (5.9) բանաձների համաձայն` էլեկտրոնի վիճակը մագնիսական դաշտում որոշվում է k y , k 2 ն ո քվանտային թվերով (առանց սպինային վիճակի հաշվառման), իսկ էլեկտրոնի էներգիան, (5.9) ն (5.8) բանաձների համաձայն` տրվում է 2 2  2 k 22 1   ky  ո,k  c  ո     ո  2  2ո 2ո 

(5.11)

արտահայտությամբ ն կախված է միայն երկու` ո ն k 2 քվանտային թվերից: Այսպիսով, տեղի ունի էներգիական մակարդակների այլասերում ըստ k y քվանտային թվի` բոլոր քվանտային վիճակներում, որոնք իրարից տարբերվում են միայն k y -ով, էլեկտրոնն ունի միննույն էներգիան: Այլասերման պատճառը համասեռ մագնիսական դաշտում ներդաշնակ տատանակի էներգիայի անկախությունն է տատանակի կենտրոնի x0 կոօրդինատից, կամ, (5.7) բանաձնի համաձայն` k y -ից: Էներգիայի (5.11) ն ազատ էլեկտրոնի էներգիայի 2 2 2k x2  k y 2k 22 2k 2 2k 22 kx ,k y ,k2      2ո 2ո 2ո 2ո 2ո

(5.12)

արտահայտությունների համեմատությունից հետնում է, որ մագնիսական դաշտում H -ին ուղղահայաց (տվյալ դեպքում` xy ) հարթության մեջ էլեկտրոնի շարժումը քվանտանում է`  

 2k 2 2ո

 

 ո  c  ո 

1

 ,

2

(5.13)

իսկ H -ի ուղղությամբ էլեկտրոնի էներգիան մնում է անփոփոխ: Պարզենք  ո,k 2 մակարդակի այլասերման պատիկությունը, այսինքն` որոշենք, թե քանի տարբեր արժեքներ կարող է ընդունել k y բաղադրիչը: Ենթադրենք` էլեկտրոնն Lx , L y ն L2 կողերով զուգահեռանիստում է:

Մագնիսական դաշտում էլեկտրոնը տատանվում է x0 կենտրոնի շուրջը, որը պատկանում է Lx կողին, այսինքն`

0  |x0 |  Lx ,

(5.14)

կամ, եթե նկատի ունենանք x0 -ի (5.7) նշանակումը`

0  ky 

eH Lx : c

(5.15)

Քանի որ k y -ն ընդունում է քվազիանընդհատ արժեքներ, որոնց միջն հեռավորությունը` k y  2 L y , ապա eHLx c մեծությամբ տիրույթում k y -ի տարբեր արժեքների թիվը` gո 

(eHLx c) 2 L y



Lx L y eH 2 c



Տ 2  2H

(5.16)

որտեղ Տ  Lx L y -ը համակարգի մակերեսն է մագնիսական դաշտին ուղղահայաց հարթության մեջ: Տ1   2H -ն էլեկտրոնի տեղայնացման տիրույթի մակերեսն է, որտեղ կարող է լինել երկու էլեկտրոն` հակառակ սպիներով, ուստի Տ Տ1 հարաբերությունը ներկայացնում է x0 կոօրդինատի, այսինքն`

k y -ի տարբեր արժեքների լրիվ թիվը: Հարկ է նշել նան, որ gո -ը կախված չէ ո -ից, այսինքն` մագնիսական դաշտում բոլոր էներգիական մակարդակներն ունեն այլասերման միննույն պատիկությունը, որը (5.16) արտահայտության համաձայն, համեմատական է մագնիսական դաշտի լարվածությանը: Նկ. 131-ում պատկերված են ազատ էլեկտրոնի քվազիընդհատ   սպեկտրը (ա) ն Լանդաուի մակարդակները (բ): Այլասերման պատիկության (5.16) արտահայտությունը կարելի է արտածել նան այլ եղանակով, ելնելով վիճակների թվի հասկացությունից:

H  0 դեպքում վիճակների թիվը dk x dk y տիրույթում (առանց սպինի հաշվառման)` dg 

dk x

dk y

2  Lx 2  L y



Lx L y ( 2 )

dk x dk y 

Տ 2

k  dk  

Տո 2 2

d  :

(5.17)

H  0 դեպքում xy հարթության մեջ շարժման քվանտացման հետնանքով

 -ի ամենափոքր հնարավոր փոփոխությունը, (5.13) արտահայտության համաձայն` հավասար է (ո1  ո ) -ի, ուստի ո1

g

   

ո

Տո 2

d  

Տո 2

(ո1  ո ) 

Տոc Տ :  2 2 2H

(5.18)

N էլեկտրոններից բաղկացած համակարգի ջերմադինամիկական բնութագրերը որոշելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգի վիճակագրական գումարը: Դիտարկելով էլեկտրոնների համակարգը որպես իդեալական գազ, որը նկարագրվում է բոլցմանյան վիճակագրությամբ, այն կարելի է ներկայացնել հետնյալ բանաձնով` 1 N (5.19) 2 21 , N! որտեղ 21 -ը մեկ էլեկտրոնի վիճակագրական գումարն է`

21 







exp   kB(iT)  :

(5.20)

(i )

Քվանտային թվերի հավաքածուն` (i)  ( ո, k 2 , k y , s2 ) , որտեղ s2 սպինային քվանտային թիվն ընդունում է երկու արժեք, միարժեքորեն որոշում է էլեկտրոնի վիճակը: Քանի որ էլեկտրոնի էներգիան մագնիսական դաշտում կախված է միայն ո -ից ն k 2 -ից, ապա, կատարելով գումարում ըստ k y -ի ն s2 -ի,

21 -ը կարելի է ներկայացնել 21 



ո,s2 k y ,k 2

   c  1   2k 22   ո,k 2  L2  g dk exp   ո     k T  2 k BT  2  2ոk BT    B   ո  

exp  

 

(5.21)

տեսքով, որտեղ ըստ քվազիանընդհատ k 2 փոփոխականի կատարվել է անցում գումարից` ինտեգրալի: (5.21) բանաձնում անվերջ երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը`

Նկ. 129. Էլեկտրոնի երկչափ շարժման էներգիան ( ) ա. H  0 դեպքում (ազատ շարժում,  -ն ընդունում է քվազիանընդհատ արժեքներ), բ. H  0 դեպքում (շարժումը քվանտացված է,  -ն ընդունում է ընդհատ արժեքներ): 

 ո 0

 c   exp(  c 2k BT )   1    2 Տh c   ո    2  1  exp(  c k BT )  k BT   k BT 

exp  

1

, (5.22)

իսկ ըստ k 2 -ի ինտեգրալը` 

1/ 2  2k 22   2ոkBT  : exp    dk   2ոkBT  2  2    



(5.23)

Նպատակահարմար է նան c - ն ներկայացնել հետնյալ կերպ` օգտագործելով Բորի մագնետոնի (4.8) սահմանումը. eH e H    2 H  2 B H : ոc 2ոc

(5.24)

(5.16), (5.22)  (5.24) բանաձների օգնությամբ մեկ էլեկտրոնի 21 վիճակագրական գումարը կարելի է ներկայացնել հետնյալ արտահայտությամբ`

21 

ՏeHL2 ( 2ոk BT )1/ 2

 H  4  c Տh  B   k BT 

 ոk BT 

V

  2 

2 2

B H

3/ 2

k BT

 H  Տh  B   k BT 

(5.25)

որտեղ V  ՏL2  Lx L y L2 -ը համակարգի ծավալն է: Օգտվելով համակարգի մագնիսացվածության որոշման (2.32) արտահայտությունից, կստանանք`

M 

k T  1  F   B ոո 2    V  H T ,V V H

 k BT  H   H  օth B   ոB L  B  ,  k BT   B H  k BT  որտեղ n -ն էլեկտրոնների խտությունն է, իսկ 

N B V

L( x )  օth x 



ex  e x



(5.26)

(5.27) x e e արտահայտությունը Լանժըվենի ֆունկցիան է: Ուսումնասիրենք մագնիսացվածության վարքը տարբեր սահմանային դեպքերում: 1. Թույլ մագնիսական դաշտեր`

x Նկատի ունենալով

x

B H  1 : kBT

(5.28)

x  1 արժեքների համար L( x)

ֆունկցիայի

վերլուծությունը` L( x) 



 Օ(x 5 )

(5.29)

(5.26) բանաձնից մագնիսական ընկալունակության համար կստանանք`



 ո2 M  ոB B   B , H 3kBT 3k BT

(5.30)

որից հետնում է էլեկտրոնային գազի` ուղեծրային շարժումով պայմանավորված դիամագնիսականությունը: 2. Ուժեղ մագնիսական դաշտեր`

x

B H  1 : kBT

(5.31)

Այս դեպքում L( x) ֆունկցիայի վերլուծությունը տրվում է L( x )  1 

 Օ(e2 x )

(5.32)

արտահայտությամբ, ուստի մագնիսացվածությունը`

M  ոB :

(5.33)

Եթե T  0 Կ, (5.30) բանաձնից հետնում է, որ    , որը հակասում է փորձին: Պատճառն այն է, որ (5.30) արտահայտությունն արտածելիս օգտվել ենք բոլցմանյան վիճակագրությունից, որն ակնհայտորեն խախտվում է ցածր ջերմաստիճաններում: Այնուամենայնիվ, (5.30) արտահայտությունից կարելի է ստանալ էլեկտրոնային գազի դիամագնիսական ընկալունակության ճիշտ արտահայտությունը, եթե էլեկտրոնների լրիվ n խտությունը փոխարինենք Ֆերմիի մակերնույթին հարող k BT լայնությամբ շերտի` իրենց «դասականորեն» պահող էլեկտրոնների ոT խտությամբ (711.3.28)`

ոT  kBTg(F ) 

3ոkBT : 2F

(5.34)

(4.31) արտահայտության մեջ կատարելով անցում ո -ից ոT -ին` կստանանք էլեկտրոնային գազի ուղեծրային դիամագնիսականության արտահայտությունը (Լ. Լանդաու).

ոT  B2 3k BT



ո B2 F



ո B2 2 2/3

 (3 )

ո1/ 3 ,

(5.35)

որը կախված է միայն էլեկտրոնային գազի խտությունից: Մագնիսական դաշտում իդեալական էլեկտրոնային գազի ջերմադինամիկական մեծությունների ճշգրիտ հաշվարկը կատարվում է Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության շրջանակներում, ընդ որում` ազատ էներգիայի համար ստացվում է հետնյալ արտահայտությունը (առանց սպինի հաշվառման) F  N 

VeHk BT 22c

 

 

  ո (k 2 )     dk 2 , kBT  

  ոո 1  exp  ո0 



(5.36)

Նկ. 130. Ցինկի միաբյուրեղի մագնիսական ընկալունակությունների   2  x տարբերության` 1 H -ից կախման փորձարարական կորը

որտեղ   (T,V , N ) ֆունկցիան համակարգի քիմպոտենցիալն է: Այս արտահայտության հաշվարկը կապված է զգալի մաթեմատիկական դժվարությունների հետ, սակայն բերում է կարնորագույն արդյունքի, որի համաձայն` բոլոր ջերմադինամիկական մեծություններն ըստ 1 H -ի պարբերական ֆունկցիաներ են, որն առավելապես արտահայտվում է ուժեղ մագնիսական դաշտերում ն ցածր ջերմաստիճաններում, երբ B H  kBT : Մասնավորապես, մագնիսական դաշտը մոնոտոն փոփոխելիս էլեկտրոնային գազի դիամագնիսական մոմենտի պարբերական փոփոխությունը հայտնի է որպես Դե-Հաազ-Վան-Ալֆենի երնույթ ն առաջին անգամ դիտվել է բիսմութում (B1) 1930 թ.: Նկ. 130-ում տրված է ընկալունակության` ( 1 H )-ից կախման փորձարարական կորը ցինկի համար T  4, 2 Կ ջերմաստիճանում. օրդինատների առանցքի վրա տեղադրված է 2 ն x (կամ y ) առանցքների ուղղությամբ 7ո-ի միաբյուրեղի մագնիսական ընկալունակությունների

  2  x

տարբերությունը: Ջերմադինամիկական մեծությունների` ըստ 1 H -ի պարբերական վարքը մագնիսական դաշտում որակապես կարելի է բացատրել հետնյալ դատո144

ղությունների օգնությամբ: T  0 Կ-ում Ֆերմիի մակարդակից ներքն բոլոր մակարդակները զբաղեցված են, իսկ դրանից վեր` բոլորն ազատ են (նկ. 133): Էլեկտրոնային գազի ո - 1022  1023 սմ3 խտությունների դեպքում Ֆերմիի էներգիան մի քանի էՎ-ի կարգի մեծություն է (տես Աղյուսակ 25), ուստի լրացված էներգիական մակարդակների թիվը` N1 

F 2 B H

1012

20

- 103  104

(5.37)

կարգի մեծություն է անգամ H - 104  105 Գս դաշտերում: Երբ մագնիսական դաշտի լարվածությունն աճում է, մեծանում է Լանդաուի մակարդակների միջն 2B H հեռավորությունը, ն H -ի որոշակի արժեքի դեպքում լրացված մակարդակներից ամենավերինը հավասարվում ն անցնում է Ֆերմիի մակարդակը: Դրանից հետո էներգիական մակարդակների բաշխումը նմանվում է նախկին բաշխմանը, միայն այն տարբերությամբ, որ այժմ Ֆերմիի մակարդակից ներքն կա N1  1 մակարդակ (նկ. 133): Քանի որ (5.37) գնահատման համաձայն, N1  1 , ապա այդ տարբերությունը գործնականորեն աննշան է, այդ իսկ պատճառով նոր, ավելի մեծ մագնիսական դաշտում համակարգի վիճակը կլինի լիովին համարժեք հին վիճակին, որն էլ նշանակում է պարբերական կախում մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Որոշենք ջերմադինամիկական ֆունկցիաների փոփոխման պարբերությունը: Մագնիսական դաշտի լարվածության մեծացմանը զուգընթաց, (5.16) բանաձնի համաձայն` մեծանում է յուրաքանչյուր էներգիական մակարդակում տեղերի թիվը: Այդ տեղերը զբաղեցվում են ամենավերին մակարդակից դեպի ստորիններն անցնող էլեկտրոններով, երբ վերջինս գերազանցում է Ֆերմիի մակարդակը: Քանի որ համակարգում էլեկտրոնների թիվը կախված չէ դաշտի լարվածությունից, ապա N  N1g1  (N1  1)g2  cօոst :

(5.38)

Օգտվելով (5.16) ն (5.37) արտահայտություններից` (5.38) պայմանը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով`

Նկ. 131. Լանդաուի մակարդակները. մագնիսական դաշտի լարվածության H1 ( H2 ) արժեքի դեպքում ամենավերին` 8-րդ (7-րդ) մակարդակը համընկնում է Ֆերմիի մակարդակի հետ:

 F  F H1    1 H 2 , 2 B H1  2 B H1 

(5.39)

2 1 1      B H H H F  

(5.40)

որտեղից հետնում է

արտահայտությունը: Այն ջերմադինամիկական ֆունկցիաների փոփոխման պարբերությունն է ըստ 1 H փոփոխականի ն գործնականորեն հաստատուն մեծություն է: (1 H ) -ի միջոցով կարելի է արտահայտել նան ըստ H -ի փոփոխման պարբերությունը`

2 1 H  H2  H1  H12     H12 B , F H

(5.41)

որն, ի տարբերություն (1 H ) պարբերության, փոփոխվող մեծություն է:

§ 6. Ատոմների ն իոնների պարամագնիսականությունը: Կյուրիի օրենքը Եթե ատոմի (իոնի) կամ մոլեկուլի սեփական մագնիսական մոմենտը զրոյից տարբեր է, ապա այդպիսի մասնիկներից կազմված նյութը պարամագնիս է: Մասնավորապես, զրոյից տարբեր մագնիսական մոմենտ ունեն չլրացված էլեկտրոնային թաղանթում կենտ թվով էլեկտրոն պարունակող ատոմները (օրինակ` ալկալիական մետաղները), քանի որ էլեկտրոնների գումարային սպինը, որը կիսամբողջ (  միավորով) մեծություն է, չի կարող համակշռվել ուղեծրային մոմենտով, որը միշտ ամբողջ է: Պարամագնիսականությամբ կարող են օժտված լինել նան զույգ թվով էլեկտրոններ ունեցող ատոմները կամ մոլեկուլները: Արտաքին մագնիսական դաշտի բացակայությամբ մարմնի մագնիսացվածությունը զրո է, քանի որ ջերմային շարժման հետնանքով մասնիկների մագնիսական մոմենտներն ունեն պատահական ուղղություններ: Սակայն մագնիսական դաշտի աճին զուգընթաց բոլոր մասնիկների մագնիսական մոմենտները ձեռք են բերում դաշտի ուղղությամբ բաղադրիչներ, որոնք, գումարվելով, ստեղծում են զրոյից տարբեր մագնիսացվածություն: Ստորն ծանոթանանք պարամագնիսականության դասական տեսությանը (Պ. Լանժըվեն, 1905 թ.): Դիտարկենք  մագնիսական մոմենտների իդեալական գազ` արտաքին

H լարվածությամբ մագնիսական դաշտում:  մագնիսական մոմենտի պոտենցիալ էներգիան այդ դաշտում`

7  H  2 H  H օօՏ  ,

(6.1)

որտեղ 2 -ը մագնիսական մոմենտի պրոյեկցիան է դաշտի լարվածության ուղղությամբ,  -ն`  ն H վեկտորների կազմած անկյունը: Հավանականությունն այն բանի, որ  վեկտորի ուղղությունը

(, )

ուղղության շուրջ d  Տiո dd մարմնային անկյան մեջ է, տրվում է Բոլցմանի բաշխման ֆունկցիայով`



 H օօՏ    d  4 exp   d ,  k BT   k BT 

f ( , )d  4 exp  

7 

(6.2)

իսկ նորմավորման 4 հաստատունն արտահայտվում է մեկ մասնիկի վիճակագրական ինտեգրալի` H -ից կախված մասի միջոցով`

2

 21 ( H , T ) 



 H

 

d Տiոd exp 

 k BT



4k BT



H

օօՏ   

Տh

H k BT

(6.3)

Վիճակագրական գումարի մնացած մասը կախված է համակարգի ծավալից ն ջերմաստիճանից ն մագնիսացվածությունը հաշվելիս դեր չի խաղում (կարելի է ենթադրել, որ  մոմենտը գամված է ն միայն կարող է սնեռված կենտրոնի շուրջը պտտվել բոլոր ուղղություններով): N մագնիսական մոմենտների համակարգի ազատ էներգիայի` H -ից կախված մասն արտահայտվում է 21 -ի միջոցով`

 4k BT

F ( H , T )   Nk BT ոո 21  H , T    Nk BT ոո 

 H

Տh

H 



k BT 

(6.4)

բանաձնով, որը տեղադրելով (2.32) արտահայտության մեջ, մագնիսացվածության համար կստանանք` M 

  H  H k BT   ո  օth    ոL   ,   V  H T ,V  k BT H   k BT  1  F 

(6.5)

որտեղ ո -ը մագնիսական մոմենտների խտությունն է: (6.5) բանաձնն արտահայտում է մագնիսացվածության` ջերմաստիճանից ն մագնիսական դաշտի լարվածությունից կախումները: Ուսումնասիրենք մագնիսացվածության վարքը տարբեր սահմանային դեպքերում: 1. Ուժեղ մագնիսական դաշտեր ` H x  1 : (6.6) k BT Օգտվելով L( x) ֆունկցիայի (5.32) վերլուծությունից` մագնիսացվածության համար ստանում ենք

M  ո

(6.7)

արտահայտությունը, որի համաձայն` բոլոր մագնիսական մոմենտներն ուղղված են դաշտի ուղղությամբ, այսինքն` տեղի ունի հագեցում` մագնիսացվածությունը կախված չէ դաշտի լարվածությունից ն ջերմաստիճանից:

2. Թույլ մագնիսական դաշտեր

x

H  1 : k BT

(6.8)

Նկատի ունենալով x  1 արժեքների համար L( x) ֆունկցիայի (5.29) վերլուծությունը, մագնիսացվածության համար կստանանք` M  ո

H 3k BT



ո 2 3k BT

H  H ,

(6.9)

որտեղ



ո 2 : 3k BT

(6.10)

Ընդունված է մագնիսական ընկալունակության (6.10) արտահայտությունը ներկայացնել հետնյալ տեսքով`



Շ , T

(6.11)

որը հայտնի է որպես Կյուրիի օրենք պարամագնիսների համար, իսկ

Շ

ո 2 3k B

(6.12)

մեծությունը կոչվում է Կյուրիի հաստատուն: Նկ. 132-ում պատկերված է մագնիսացվածության կախումը H kBT փոփոխականից: Ազատ էներգիայի (6.4) բանաձնի օգնությամբ համակարգի էնտրոպիայի` դաշտի լարվածությունից կախված մասը կարելի է ներկայացնել

Նկ. 132. Լանժըվենի ֆունկցիայի գրաֆիկը

  4k BT H  H  H    F  Տh L     Nk B  ոո  k BT  k BT  k BT    T  H   H

Տ(H , T )   

(6.13)

արտահայտությամբ: Երբ T  0 Կ, x  H kBT   , ուստի

 H     :  k BT 

Տ( H , T )   Nk B ոո 

(6.14)

Այս արդյունքը հակասում է ջերմադինամիկայի երրորդ օրենքին, որի համաձայն, երբ T  0 Կ, Տ  0 (Նեռնստի թեորեմ): Նշված հակասությունը հետնանք է դասական տեսության սահմանափակության ն պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ դրանում հաշվի չի առնված մոմենտի տարածական քվանտացումը, որի համաձայն` տրված Ժ մոմենտի պրոյեկցիան ընդունում է 2 J  1 հատ արժեք` ոJ  J , ( J  1),, J  1, J : Ի տարբերություն դասական քննարկման, երբ մագնիսական մոմենտի պրոյեկցիան դաշտի ուղղությամբ` 2   օօՏ  մեծությունն ընդունում է անվերջ թվով արժեքներ (  անկյունը փոփոխվում է անընդհատ 0,   տիրույթում), տարածական քվանտացման հաշվառումով մագնիսական մոմենտի պրոյեկցիայի արժեքները տրվում են (4.16) բանաձնով: Մագնիսական մոմենտի տարածական քվանտացման հաշվառումն իրականացվում է (6.3) վիճակագրական ինտեգրալից գումարին անցումով, որի մեջ տեղադրվում է մագնիսական մոմենտի էներգիայի (4.14) արտահայտությունը` J

21 ( H , T ) 

  B g J ոJ H   k BT 

 exp 

ոJ  J

 eո ,

(6.15)

J

որտեղ



B g J H : kBT

(6.16)

(6.15) վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը` J

 J

e ո  e  J 

e( 2 J 1)   1 

e 1



Տh  ( J  1 2)  Տh(  2)

(6.17)

Ազատ էներգիայի (6.4) սահմանման մեջ տեղադրելով (6.17) բանաձնը ն ածանցելով այն ըստ H -ի` կստանանք մագնիսացվածության արտահայտությունը.

 J g H 

M  ո B g J JBJ  B J  ,

 k BT 

(6.18)

որտեղ BJ ( y) -ը Բրիլյուենի ֆունկցիան է` 2J  1

BJ ( y ) 

 2J  1  1  1 y  օth   2J  2J  2J

օth 

 

y :

(6.19)

Ուսումնասիրենք մագնիսացվածության վարքը տարբեր սահմանային դեպքերում: 1. Ուժեղ մագնիսական դաշտեր`

y

J B gJ H  1 : kBT

(6.20)

Արգումենտի մեծ արժեքների համար BJ ( y ) 

2J  1   2J  1  1   1 1  2 exp   y   1  2 exp     2J  J   2J   J 1

y J

 

y  

(6.21)

1   2 J  1 e 2 y  ,  

e J ուստի մագնիսացվածության համար ստացվում է

M  ոB gJ J

(6.22)

ակնհայտ արդյունքը: 2. Թույլ մագնիսական դաշտեր`

y

J B gJ H  1 : kBT

(6.23)

Օգտվելով օth y ֆունկցիայի վերլուծությունից`

օth y 

BJ ( y)

1 y y3    , y 3 45

(6.24)

ֆունկցիան արգումենտի փոքր արժեքների համար կարելի է

ներկայացնել հետնյալ արտահայտությամբ`

BJ ( y) 

J 1 3J

y

( J  1) (2 J 2  2 J  1) 90J

y3   :

(6.25)

J մեծության ամենափոքր արժեքը 1 / 2 է, ուստի y  0 կետում BJ ( y) ածանցյալի արժեքները սահմանափակված են

1 3  J     BJ  0   1  J  1 2  տիրույթում: BJ ( y) ֆունկցիայի ( M JոgJ B չափազուրկ մագնիսացվածության) գրաֆիկները J -ի մի քանի արժեքների համար տրված են նկ. 133-ում (1. J  1 2 , 2. J  1 , 3. J  7 2 , 4. J   ): (6.18) ն (6.25) բանաձների համաձայն`

M  ո B g J J

2 2 J  1  B g J JH ոB g J J  J  1 H   H , 3J k BT 3k BT

(6.26)

ուստի մագնիսական ընկալունակությունը



ո2B g J2 J  J  1 3k BT



Շ , T

(6.27)

իսկ Կյուրիի հաստատունի նոր արժեքը`

Նկ. 133. Բրիլյուենի ֆունկցիայի գրաֆիկները. 1. J  1/ 2 , 2. J  1 , 3. J  7 / 2 , 4. J 

Շ

ո2B g J2 J  J  1 3k B

(6.28)

(4.19) գնահատման համաձայն` Կյուրիի օրենքը տեղի ունի շատ լայն ջերմաստիճանային տիրույթում, սկսած (104 H ) Կ ջերմաստիճաններից: Փորձում Կյուրիի հաստատունը որոշվում է 1  T Շ կախումն արտահայտող ուղիղ գծի թեքության միջոցով (նկ. 136): Այժմ համեմատենք պարամագնիսական ն ատոմային դիամագնիսականության ընկալունակությունները: (6.27) ն (4.3) բանաձների համաձայն` p d



g J2 J  J  1

2

2 2 i k BT

ո R 2 

(6.29)

Շմ3+ իոնի համար ( J  Տ  7 2 , L  0 , g J  2 , 2i  61 ) սենյակային ( T - 300 Կ) ջերմաստիճաններում | p d | 500 : Նշանակում է` J  7 2 մոմենտով չլրացված թաղանթի պարամագնիսական ներդրումը լրիվ ընկալունակության մեջ շուրջ 500 անգամ գերազանցում է բոլոր էլեկտրոնների դիամագնիսական ներդրումը ն որի բացարձակ արժեքը Շմ-ի համար, ըստ (2.21) բանաձնի (   8, 23 գ/սմ3,   157, 25 գ/մոլ)` |d |  9, 5  106 :

Նկ. 134. Կյուրիի օրենքի գրաֆիկը. ուղղի թեքությամբ որոշվում է Կյուրիի հաստատունը:

Մագնիսացվածության (6.18) ընդհանուր արտահայտությունից սահմանային անցումով կարելի է ստանալ (6.5) դասական արդյունքը:

Իրոք, երբ   0 , վերջավոր մագնիսական մոմենտ ստանալու համար անհրաժեշտ է, որ միաժամանակ J   : Այս դեպքում

gJ B J  gJ

e J  : 2ոc

(6.30)

Մյուս կողմից, երբ J   , BJ  y  

2J  1 2J

 2 J  1 H  1  1 H    օth   J k T J   2 J k BT  B 

օth 

 օth

H k BT



 H   1   L , 2  J   k BT 

1 2 Jk BT 2J

 Օ

H

այսինքն`

 Jg  H 

M  ոgJ B JBJ  J B 

 k BT 

 0 J 

 H   ոL  :  k BT 

Պարզենք մագնիսական մոմենտների իդեալական «գազի» համար ստացված արդյունքների կիրառելիությունը պինդ մարմնում, քանի որ նրանում ատոմի (իոնի) վրա կարող է որոշիչ լինել շրջապատի ազդեցությունը: Ինչպես ցույց է տալիս փորձը, հազվագյուտ հողային տարրերի իոններ պարունակող մեկուսիչ բյուրեղների պարամագնիսական ընկալունակությունը մեծ ճշտությամբ նկարագրվում է Կյուրիի (6.27) օրենքով: Դրանում առկա Շ հաստատունը կարելի է ներկայացնել

Շ

ո 2B peff

3k B

(6.31)

բանաձնով, որտեղ ներմուծված է Բորի մագնետոնների արդյունարար թիվը`

peff  gJ J ( J  1) :

(6.32)

Աղյուսակ 28-ում տրված են peff -ի արժեքները չլրացված 48 էլեկտրոնային թաղանթով հազվագյուտ հողային տարրերի եռարժեք իոնների համար, որոնք որոշվել են (6.32) բանաձնով ( peff , տես.) ն ստացվել են փորձից` Կյուրիի հաստատունի չափումներից ն (6.31) բանաձնից ( peff , փորձ.): Փոր154

ձի ն տեսության մեծ ճշտությամբ համընկնումը (բացի Eս3+-ից ն Տո3+-ից) հնարավորություն է տալիս եզրակացնելու, որ շրջապատը գործնականորեն չի ազդում 48 թաղանթի էլեկտրոնների վրա: Բանն այն է, որ 48 թաղանթն իոնի «խորքում» է (դրա շառավիղը 0, 3 Å է) ն էկրանավորված է շրջապատի ազդեցությունից 5Տ2 ն 5ք6 լրացված էլեկտրոնային թաղանթներով: Eս3+ ն Տո3+ իոնների համար դիտվող զգալի շեղումները տեսությունից հետնանք են այն բանի, որ տրված L -ի ն Տ -ի, այսինքն` տրված մուլտիպլետի համար սենյակային ջերմաստիճաններում տարբեր (հիմնականում` փոքր) J -երով մակարդակների միջն հեռավորությունը` EJ ,J 1 - kBT , այնինչ Կյուրիի օրենքն ստացվել է EJ ,J 1  kBT ենթադրության դեպքում: Աղյուսակ 28.

քe// -ի արժեքները հազվագյուտ հողային տարրերի եռարժեք իոնների համար 48-թաղանթի peff , տես. peff , փորձ. կազմությունը

Տարր

Լa Ը6 Pո Nմ Pո

Տո Eս Շմ ՂԵ թy էօ Eո Ղո YԵ Լս

0,00 2,54 3,58 3,62 2,68 0,84 0,00 7,94 9,72 10,63 10,60 9,59 7,57 4,54 0,00

դիամագն. 2,4 3,5 3,5  1,5 3,4 8,0 9,5 10,6 10,4 9,5 7,3 4,3 դիամագն.

Այլ է իրադրությունն անցումային մետաղների, օրինակ` երկաթի խմբի իոնների համար: Թեն դրանց համար նույնպես տեղի ունի Կյուրիի օրենքը, սակայն փորձին ավելի մոտ են peff -ի այն արժեքները, որոնք որոշվում են

peff  Տ(Տ  1) բանաձնով, այսինքն` կարծես ուղեծրային L մոմենտն ընդհանրապես բացակայում է: Այս փաստը հայտնի է որպես ուղեծրային մոմենտի «սառեցում», որն ավելի ընդհանուր երնույթի` բյուրեղական ներքին էլեկտրական դաշտում էներգիական մակարդակների ճեղքման մասնավոր դրսնորումն է: Ի տարբերություն 48-էլեկտրոնների, երկաթի իոնի 3մ- թաղանթը փաստորեն «ամենադրսինն» է, ուստի ն առավել ենթակա բյուրեղային անհամասեռ դաշտի ներգործությանը: Բյուրեղային դաշտի ազդեցությամբ խախտվում է կապը L ն Տ վեկտորների միջն, ուստի վիճակներն այլնս չի կարելի դասակարգել ըստ J -ի արժեքների: Բացի այդ, բյուրեղային դաշտը մասնակիորեն կամ լրիվ վերացնում է ատոմի` տրված L -վիճակի (2L  1) պատիկ այլասերվածությունն ըստ L2 -ի: Ինչպե՞ս հասկանալ մոմենտի «սառեցման» երնույթը: Կենտրոնահամաչափ դաշտում (օրինակ` միջուկի կուլոնյան դաշտում) դասական ուղեծրի հարթությունը տարածության մեջ սնեռված է, ուստի մոմենտի բոլոր բաղադրիչները` Lx , L y , L2 -ը, պահպանվում են: Քվանտային մեխանիկայում այս դեպքում պահպանվում են L2 -ն ն L2 -ը: Եթե դաշտը կենտրոնահամաչափ չէ, ապա ուղեծրի հարթությունը տարածության մեջ պտտվում է, մոմենտի բաղադրիչներն այլնս հաստատուն չեն ն կարող են միջին հաշվով զրո դառնալ: Չնայած L2  0 , սակայն զրո է դառնում նան

L2 -ի միջինը ն քանի որ մագնիսական մոմենտի 2 բաղադրիչը, համաձայն (2.11) առնչության, համեմատական է L2 -ին, ապա զրո է դառնում նան այն:

§ 7. Սպինային պարամագնիսականություն Էլեկտրոնների ուղեծրային շարժումով պայմանավորված մագնիսացվածությունը որոշելիս ենթադրվել է, որ էլեկտրոնները չունեն սեփական մագնիսական մոմենտ: Ստորն կհաշվարկենք էլեկտրոնի սեփական մագնիսական մոմենտի ներդրումն էլեկտրոնային գազի մագնիսացվածության մեջ: Կենթադրենք, որ էլեկտրոնի ուղեծրային շարժումը չի ազդում էլեկտրոնի սեփական մագնիսական մոմենտի վրա, այսինքն` հաշվի չենք առնի սպին-ուղեծրային փոխազդեցությունը: Քանի որ էլեկտրոնն ունի սեփական մագնիսական մոմենտ`  B , ապա դասական վիճակագրության շրջանակներում էլեկտրոնների համակարգի մագնիսացվածությունը ն ընկալունակությունը կարելի է որոշել` (6.26) ն (6.27) բանաձներում տեղադրելով J  Տ  1 2 , g J  2 `

M

ո2B ո 2 H ,  B : k BT k BT

(7.1)

ա բ գ Նկ. 135. Սպինային պարամագնիսականության առաջանալը. ա. H  0 դաշտում կան նույն թվով (Ւ) ն () սպիներ ( M  0) , բ. H  0 տեղի է ունենում սպիների վերաբաշխում, գ. H  0 ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում (Ւ) սպիների թիվը մեծ է () սպիների թվից ( M  0) : Սակայն փորձը ցույց է տալիս, որ մետաղների մեծամասնության մագնիսական ընկալունակությունը կախված չէ ջերմաստիճանից, իսկ դրա

մեծությունը սենյակային ջերմաստիճաններում մոտ 100 անգամ փոքր է (7.1) բանաձնով տրվող արժեքից: Վ. Պաուլին ցույց է տվել, որ փորձի հետ համընկնող արդյունքներ կարելի է ստանալ, եթե էլեկտրոնային գազը նկարագրվի Ֆերմի-Դիրակի բաշխումով: Արտաքին մագնիսական դաշտի բացակայությամբ էլեկտրոնային գազի արդյունարար մագնիսական մոմենտը T  0 Կ-ում զրո է, քանի որ կան նույն թվով ն հակառակ ուղղություններով սպիներ: Որնէ ուղղության զուգահեռ (Ւ) ն հակազուգահեռ () սպիներով վիճակների խտություններն իրար հավասար են (նկ. 135, ա)`

g  ( )  g  (  ) 

g ( ) ,

(7.2)

որտեղ g() -ն վիճակների խտության լրիվ ֆունկցիան է: Եթե H  0 , ապա, սեփական մագնիսական մոմենտի էներգիայի 7   2 H արտահայտության համաձայն, H -ին զուգահեռ (Ւ) սպինի ( 2  B ) էներգիան փոքրանում է B H -ով, իսկ հակազուգահեռ () սպինի ( 2  B ) էներգիան` մեծանում B H -ով: Տեղի է ունենում (Ւ) ն () սպիներով վիճակների էներգիական մակարդակների` իրար նկատմամբ 2B H տեղաշարժ (նկ. 135, բ), որի հետնանքով (Ւ) ն () վիճակների միատեսակ լրացումն այլնս չի համապատասխանում համակարգի նվազագույն էներգիային: Հավասարակշռության վիճակին անցնելիս () սպիներով էլեկտրոնների որոշ մասն զբաղեցնում է ավելի փոքր էներգիաներով ն ազատ (Ւ) վիճակները, որի հետնանքով համակարգի լրիվ էներգիան փոքրանում է, ն համակարգը ձեռք է բերում զրոյից տարբեր մագնիսական մոմենտ (նկ. 135, գ): Գնահատումների համաձայն` փորձում ստացվող նույնիսկ ամենաուժեղ մագնիսական դաշտերում B H  F , ուստի B H էներգիական շերտում g () ֆունկցիաների փոքր փոփոխությունները կարելի է անտեսել ն (Ւ) ն () սպիներով էլեկտրոնների խտությունների փոփոխությունները ներկայացնել (7.3) ո  g (F )B H առնչությամբ: Համակարգի մագնիսացվածության համար (7.3) առնչությունների օգնությամբ կստանանք`

M  Bո  (  B ) ո  B (ո  ո )   2B H  g (F )  g (F )   B g(F )H :

(7.4)

Նկատի ունենալով վիճակների խտության ֆունկցիայի (711.3.28) բանաձնը` (7.4) առնչությունից կստանանք էլեկտրոնային գազի մագնիսական ընկալունակության արտահայտությունը (Վ. Պաուլի, 1927 թ.)`

   2B g(F ) 

3ո2B : 2 F

(7.5)

Դժվար չէ համոզվել, որ այս բանաձնն անմիջականորեն ստացվում է (7.1) բանաձնից, եթե դրանում էլեկտրոնների լրիվ խտության փոխարեն տեղադրենք «դասական» էլեկտրոնների խտության (5.34) արտահայտությունը: Սենյակային ջերմաստիճաններում  -ի փորձնական արժեքի գրեթե 100 անգամ փոքրությունը (7.1) դասական արժեքից պայմանավորված է հենց ոT ն ո խտությունների հարաբերությամբ: Իրոք, (5.37) առնչության համաձայն`

ոT 3k BT 3 T 102   - 0, 01 : ո 2 F 2 TF 104

(7.6)

Այժմ որոշենք էլեկտրոնային գազի սպինային պարամագնիսական ընկալունակությունը ջերմաստիճանների ամբողջ տիրույթում: Մագնիսական դաշտի ուղղությամբ կողմնորոշված սպիներով էլեկտրոնների թիվը ,   d տիրույթում որոշելու համար անհրաժեշտ է որոշել g () վիճակների խտության ֆունկցիան H  0 դեպքում: (Ւ) սպինով էլեկտրոնի իմպուլսը որոշվում է p  2ո(  B H )

1/ 2

  B H

(7.7)

արտահայտությամբ, ուստի վիճակների թիվը  ,   d  տիրույթում` g  (  )d   

4 p2 dp ( 2  )3



1  2ո 





42   2 

4 2ո (   B H )( 2ո)1/ 2

3/ 2

833 2(   B H )1/ 2 1/ 2

(   B H ) d  

d 

(7.8) g (   B H )d ,

որտեղից հետնում է, որ

g () 

g(  B H ) ,

  B H :

(7.9)

Նույն ձնով կարելի է ստանալ () սպիներով վիճակների խտության ֆունկցիայի արտահայտությունը` g () 

g(   B H ) ,

  B H :

(7.10)

(7.9) ն (7.10) արտահայտությունների օգնությամբ (Ւ) ն () սպիներով էլեկտրոնների խտությունների համար կստանանք` 

ո 



f ( ) g  (  ) d  

B H 

ո 



f ( ) g  (  ) d  

B H



B H 



f () g (   B H ) d 



f    g     B H  d 

B H



 f (  B H ) g() d ,

(7.11)



 f (  B H ) g () d ,

(7.12)

որտեղ f () -ն Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան է: Համակարգի մագնիսական մոմենտը բոլոր էլեկտրոնների սեփական մագնիսական մոմենտների գումարն է` M   B (ո  ո ) 



B

  f (  B H )  f (  B H ) g() d ,

(7.13)

իսկ էլեկտրոնների խտությունը` ո  ո  ո 



  f (  B H )  f (  B H ) g() d :

(7.14)

Վերջին արտահայտությունն անբացահայտորեն որոշում է համակարգի քիմպոտենցիալը որպես ջերմաստիճանի, էլեկտրոնների խտության ն մագնիսական դաշտի լարվածության ֆունկցիա` (7.15)   (T, ո, H ) : (7.14) արտահայտության օգնությամբ պարզենք քիմպոտենցիալի կախումը մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Քանի որ B H   բնութագրական միջին էներգիայից, ապա (7.14) բանաձնում բաշխման ֆունկցիան կարելի է վերածել շարքի ըստ B H «փոքր» պարամետրի`



ո

 2

 f

 f ()g() d  (B H )  2 g() d   





(7.16)

 B H   :  

 f ()g() d  Օ 

Այս արտահայտությունը (B H  )2 կարգի անդամների ճշտությամբ համընկնում է H  0 դեպքում գրված նորմավորման պայմանի հետ, ուստի նշված ճշտությամբ քիմպոտենցիալը`  (T , ո, H )   (T , ո, 0) , (7.17) իսկ մագնիսացվածության (7.13) արտահայտությունից հետնում է, որ 

M   2B H

f

  g() d  H :

(7.18)

(7.18) առնչությունից բխում է էլեկտրոնային գազի պարամագնիսական ընկալունակության ընդհանուր բանաձնը` 



 2B

f

  g() d :

(7.19)

Քննարկենք մի քանի մասնավոր դեպքեր: 1. Լրիվ այլասերված էլեկտրոնային գազ` T  0 Կ: Այս դեպքում f 

 (    F ) ,

(7.20)

ն (7.19) բանաձնից ստացվում է (7.5) արտահայտությունը: 2. Ուժեղ այլասերված էլեկտրոնային գազ ` kBT  F : (7.19) ինտեգրալը մասերով ինտեգրելուց հետո բերվում է (711.3.23) տեսքի, որտեղ F ( )  g ( ) , ուստի

  2 2d g   2B  g    kBT   2   :   d       

(7.21)

Նկատի ունենալով  քիմպոտենցիալի ջերմաստիճանային ուղղումը` (տես 711.3.27) g ( ) -ի համար կստանանք.

 2  k T 2   dg  B (    )  g (  )    , (7.22)  F F 1    d F   F  

g ( )  g ( F )  

Նշենք նան, որ (7.21) բանաձնում (k BT )2 գործակցի շնորհիվ g քք( ) -ն կարելի է փոխարինել g քք( F ) -ով`

 d2g   d2g  g( F )  2    2    2 : 4 F  d   d F

(7.23)

(7.22) ն (7.23) արտահայտությունները տեղադրելով (7.21) բանաձնում` կստանանք ուժեղ այլասերված էլեկտրոնային գազի մագնիսական ընկալունակության արտահայտությունը.



 2  k T 2  B  (T ) (7.24)    (0) 1     ,  12   F    12   F   որի համաձայն` էլեկտրոնային գազի պարամագնիսական ընկալունակությունը գործնականում կախված չէ ջերմաստիճանից: 3. Դասական էլեկտրոնային գազ: Այն նկարագրվում է դասական (բոլցմանյան) բաշխումով`   2B g (  F ) 1 

 2  k BT  

f ( )  exp

k BT

(7.25)

որի միջոցով (7.19) բանաձնից կստանանք` 

2B k BT





f ( ) g ( ) d 

ո2B k BT

(7.26)

Վերջինս դասական արդյունքից` (6.10) բանաձնից, տարբերվում է 1 3 գործակցով, որը հետնանք է դաշտի ուղղության վրա էլեկտրոնի սպինի միայն երկու պրոյեկցիայի գոյության, ի տարբերություն դասական տեսության մեջ հնարավոր բոլոր պրոյեկցիաների, որոնք ընկած են (B , B ) տիրույթում:

Հարկ է նշել նան, որ (7.26) բանաձնը համընկնում է (7.1) բանաձնի հետ, քանի որ վերջինս ստացվել է Կյուրիի օրենքից տարածական քվանտացման հաշվառմամբ: Սպինային ընկալունակությունը գնահատելու համար (7.5) արտահայտության մեջ տեղադրենք Ֆերմիի էներգիայի  2k F2 2ո ն Բորի մագնետոնի

B  e 2ոc արտահայտությունները.

  6  a0k F  1, 3  10 a0k F ,  2 

(7.27)

որտեղ   e2 c  1 137 մեծությունը նուրբ կառուցվածքի հաստատունն է,

a0  2 ոe2  0, 53 Å` Բորի շառավիղը, kF -ը` Ֆերմիի ալիքային թիվը: Էլեկտրոնների մետաղական խտությունների համար a0kF - 1 ն   106 : Այսպիսով`  -ն ունի փոքր` դիամագնիսական ընկալունակության կարգի արժեք, որը զգալի փոքր է իոնների պարամագնիսական ընկալունակությունից: Այս հանգամանքը պայմանավորված է ջերմային անկարգավորության նկատմամբ Պաուլիի սկզբունքի գերակայությամբ, որն ավելի արդյունավետ ձնով է ճնշում մագնիսական դաշտի ազդեցության տակ սպիների` նույն ուղղությամբ դասավորվելու ձգտումը: Իրոք, մագնիսական դաշտի կողմնորոշիչ ազդեցության չափանիշը մագնիսական B H էներգիայի ն էլեկտրոնի  միջին էներգիայի հարաբերությունն է: Դասական էլեկտրոնային գազում  - kBT , իսկ այլասերված գազում  - F , ուստի

B H B H kBT B H T

 H    B , F kBT F kBT TF kBT

(7.28)

քանի որ T  TF : Էլեկտրոնային գազի ուղեծրային դիամագնիսական ընկալունակության (5.35) ն սպինային պարամագնիսական ընկալունակության (7.5) արտահայտությունների միջն տեղի ունի

d    s

(7.29)

կապը, որից հետնում է, որ էլեկտրոնային գազի լրիվ ընկալունակությունը`

   s  d 

ո2 s  B  0 , F

(7.30)

այսինքն` ազատ էլեկտրոնային գազը պարամագնիսական է: Եթե ազատ էլեկտրոնային գազի մոդելը կիրառենք, ինչպես սովորաբար արվում է, մետաղների նկատմամբ, ապա (7.30) արդյունքը համարժեք է այն պնդմանը, որ բոլոր (ոչ ֆեռոմագնիսական) մետաղները պարամագնիսներ են: Սակայն հայտնի է, որ կան շատ մետաղներ, որոնք դիամագնիսներ են: Որակապես այս փաստը բացատրվում է այն հանգամանքով, որ մետաղում (ավելի ճիշտ` բյուրեղի պարբերական դաշտում) էլեկտրոնի էներգիական սպեկտրը զգալիորեն տարբերվում է ազատ էլեկտրոնի սպեկտրից (7111.3): Մասնավորապես, դիսպերսիայի քառակուսային օրենքի դեպքում, ոչ մեծ իմպուլսների տիրույթում էլեկտրոնին վերագրվում է ո արդյունարար զանգված, որը կարող է էապես տարբերվել ազատ էլեկտրոնի ո  9,1  1028 գ զանգվածից: Ի տարբերություն սպինային պարամագնիսականության, որը որոշվում է ազատ էլեկտրոնի ո զանգվածով, ուղեծրային դիամագնիսականությունը որոշվում է ո զանգվածով, ուստի դրանում Բորի մագնետոնի փոխարեն պետք է ներմուծել Բորի «արդյունարար» մագնետոնը`

e e ո  B   B  : (7.31)  2ոc 2ո c ո Նշված փոփոխությունից հետո էլեկտրոնային գազի լրիվ ընկալունակությունը` B 

   s  d  Եթե ո  ո

3ո2B 20F



ոB 2 20F

 1  ո 2   s 1      :  3  ո  

(7.32)

3 , ապա լրիվ ընկալունակությունը`   0 , ն էլեկտրոնային

գազը դիամագնիսական է, հակառակ` ո  ո

3 դեպքում այն պարամագ-

նիսական է: Դիամագնիսական ընկալունակությունը համեմատաբար մեծ արժեքներ է ընդունում որոշ կիսահաղորդիչներում, որոնք բնութագրվում են փոքր`

ո  0,1ո կարգի արդյունարար զանգվածներով:

§ 8. Մագնիսական կարգավորվածություն Պարամագնիսական նյութերում, մասնավորապես` պինդ պարամագնիսներում, արտաքին մագնիսական դաշտում ձեռքբերված մագնիսական մոմենտը` մագնիսացվածությունը, պայմանավորված է արտաքին դաշտի ուղղորդող ն ջերմային շարժման քաոսայնությունը բնութագրող էներգիաների` B H -ի ն k BT -ի հարաբերակցությամբ: Բյուրեղային ցանցի հանգույցում տեղայնացված մասնիկին բաժին ընկնող միջին մագնիսական մոմենտը տրվում է (6.18) բանաձնով, որի համաձայն` H  0 դեպքում, կամայական ջերմաստիճանում միջին մագնիսական մոմենտը զրո է (նյութի պարամագնիսական վիճակ): Որոշ պինդ մարմիններում, որոշակի ջերմաստիճանից ցածր ջերմաստիճանային տիրույթում, մեկ մասնիկին բաժին ընկնող մագնիսական մոմենտը զրոյից տարբեր է նան արտաքին մագնիսական դաշտի բացակայությամբ: Այդպիսի պինդ մարմիններին ընդունված է անվանել մագնիսակարգավորված: Զրոյից տարբեր, տեղայնացված մագնիսական մոմենտները կարող են փոխել կամ չփոխել մարմնի մագնիսացվածությունը: Եթե մագնիսական մոմենտները փոխում են մագնիսացվածությունը, ապա միկրոսկոպական մակարդակում գոյություն ունեցող մագնիսական կարգավորվածությունը, անգամ արտաքին մագնիսական դաշտի բացակայությամբ, ի հայտ է գալիս մակրոսկոպական մագնիսացվածության ձնով, որը կոչվում է ինքնաբեր (սպոնտան) մագնիսացվածություն: Այդպիսի կարգավորված վիճակն ընդունված է անվանել ֆեռոմագնիսական (նկ. 136, ա): Եթե միկրոսկոպական մակարդակում գոյություն ունեցող կարգավորվածությունը չի բերում մակրոսկոպական մագնիսական մոմենտի առաջացման, այսինքն` առանձին, զրոյից տարբեր մագնիսական մոմենտների գումարը զրո է, ապա այդպիսի մագնիսակարգավորված վիճակն ընդունված է անվանել հակաֆեռոմագնիսական (նկ. 136, բ): Պարզագույն ֆեռոմագնիսական նյութերում բոլոր տեղայնացված մագնիսական մոմենտներն ունեն միննույն մեծությունը ն գրեթե նույն ուղղությունը, իսկ հակաֆեռոմագնիսական նյութերում մագնիսական մոմենտները կազմում են միննույն կառուցվածքն ունեցող ն իրար մեջ ներդրված մագնիսական ենթացանցեր: Յուրաքանչյուր ենթացանցում բոլոր մագնիսական մո165

ա բ գ Նկ. 136. Մագնիսական կարգավորվածություն. ա. ֆեռոմագնիսական, բ. հակաֆեռոմագնիսական, գ. ֆեռիմագնիսական մենտները ն նրանց ուղղությունները նույնն են, սակայն ենթացանցերի գումարային մագնիսական մոմենտներն իրար հավասար են ն ուղղված են հակառակ, այնպես որ մագնիսական ենթացանցերի գումարային մագնիսական մոմենտը զրո է: Եթե ենթացանցերի մագնիսական մոմենտներն իոնների կամ դրանց թվի տարբերության հետնանքով իրար հավասար չեն, ընդ որում դրանց տարբերությունն առանձին մագնիսական ենթացանցերի մոմենտների կարգի է, ապա այդպիսի մագնիսակարգավորված վիճակն ընդունված է անվանել ֆեռիմագնիսական (նկ. 136, գ. ընդունված է նան «չհամակշռված հակաֆեռոմագնիսականություն» անվանումը): Որոշ նյութեր, հակաֆեռոմագնիսականությամբ օժտված լինելով հանդերձ, ունեն ինքնաբեր մագնիսական մոմենտ, որը կազմում է առանձին մագնիսական ենթացանցի մագնիսացվածության 103  102 մասը: Այսպիսի ինքնաբեր մոմենտը որոշակի պայմաններում ենթացանցերի մագնիսական մոմենտների խիստ հակազուգահեռության խախտման հետնանք է: Այդ նյութերն ընդունված է անվանել թույլ ֆեռոմագնիսական: Ֆեռիմագնիսականությունը կարելի է դիտել որպես մագնիսական կարգավորվածության ամենաընդհանուր վիճակ, որը բնութագրվում է երկու ն ավելի մագնիսական ենթացանցերի գոյությամբ: Մագնիսակարգավորված մետաղների համար տեղայնացված մագնիսական մոմենտի գաղափարը կիրառելի չէ, ուստի դրանց դասակարգումն ըստ մագնիսական հատկությունների կատարվում է սպինային խտության ֆունկցիայի միջոցով`

Աղյուսակ 29.

Ֆեռոմագնիսների 1c ն M0 բնութագրերը

Նյութ

7c , Կ

M0 ,Գս

Նյութ

7c , Կ

M0 ,Գս

Ի6 Ըօ N1 Շմ թy ԸոBո3 ԽոB1

Ճս2ԽոՃ1 Ըս2ԽոՃ1 Ըս2Խոլո EսՕ EսՏ ԽոՃՏ ՇմԸ13

16,5 2,2

s2 (r ) 

ո (r )  ո (r )  , 2 

(8.1)

որը որոշված է յուրաքանչյուր կետում կամայական 2 ուղղության համար:

ո ( r ) -ով ն ո ( r ) -ով նշանակված են տարբեր սպինային () վիճակներում էլեկտրոնների խտությունները: Մագնիսակարգավորված

վիճակում

մետաղում զրոյից տարբեր է նան

s2 (r)  0 :

Ֆեռոմագնիսական

 drs2 (r) ինտեգրալը, իսկ հակաֆեռոմագ-

նիսական մետաղում այդ ինտեգրալը կամայական z -ուղղությամբ զրո է: Մագնիսակարգավորված վիճակում մագնիսացվածությունը (ֆեռո- ն ֆեռիմագնիսներում) կամ ենթացանցերի մագնիսական մոմենտները (հակաֆեռոմագնիսներում) ամենամեծ` M 0 արժեքն ունեն T  0 Կ ջերմաստիճանում ն ջերմաստիճանի աճին զուգընթաց, որպես կանոն, նվազում են` որոշակի ջերմաստիճանում հավասարվելով զրոյի: Ֆեռո- ն ֆեռիմագնիսական նյութերում այդ ջերմաստիճանն ընդունված է անվանել Կյուրիի ջերմաստիճան (Կյուրիի կետ)` Tc , իսկ հակաֆեռոմագնիսական նյութերում` Նեելի ջերմաստիճան` TN : Tc կամ TN ջերմաստիճանից բարձր ջերմաստիճաններում մագնիսակարգավորված նյութն անցնում է պարամագնիսական վիճակի: 29, 30 ն 31 աղյուսակներում տրված են որոշ ֆեռո-, հակաֆեռո- ն ֆե-

ռիմագնիսական նյութերի 7c ն 77 ջերմաստիճանները ն առավելագույն ինքնաբեր մագնիսացվածության արժեքները: Մագնիսակարգավորված վիճակում (T  Tc ) ինքնաբեր մագնիսացվածության կախումը ջերմաստիճանից նկարագրվում է աստիճանային օրենքով`

M (T ) - (Tc  T ) ,

(8.2)

ընդ որում` տարբեր ֆեռոմագնիսների համար, փորձից ստացված տվյալների համաձայն` 0, 33    0, 37 : Tc բնութագրական ջերմաստիճանին պարամագնիսական տիրույթից մոտենալիս ( T  Tc , T  Tc ) աստիճանային օրենքով է աճում նան ֆեռոմագնիսի ընկալունակությունը`

(T ) - (T  Tc ) 

(8.3)

ընդ որում` տարբեր նմուշների համար 1, 2    1, 7 :

ա բ Նկ. 137. Նիկելի ա. տեսակարար ջերմունակության (կՋ/կգԿ միավորով) ն բ. տեսակարար դիմադրության    ք  ջերմաստիճանային գործակցի (Կ-1 միավորով) կախումները ջերմաստիճանից Հակաֆեռոմագնիսական նյութերում (T ) -ն ընդունում է առավելագույն (վերջավոր) արժեք T   Tc կետում, իսկ Tc անցումային կետում առավելագույնն է (T ) ածանցյալը:

Աղյուսակ 30.

Աղյուսակ 31.

Ֆեռիմագնիսների 1c ն M0 բնութագրերը

Հակաֆեռոմագնիսների 1N ջերմաստիճանը

Նյութ

7c ,Կ

M0 ,Գս

Նյութ

77 ,Կ

Նյութ

77 ,Կ

Ի63Օ4

ԽոՕ

ՃԸօԻ3

ԸօԻ62Օ4

Ի6Օ

ԽոԻ2

67,34

N1Ի62Օ4

ԸօՕ

Ի6Ի2

78,4

N1Օ

ԸօԻ2

37,7

ԸսԻ62Օ4

ԽոԻ62Օ4

ՃԻ6Ի3

ՄՏ

Y3Ի65Օ12

ՃԽոԻ3

88,3

Ըո

Հարկ է նշել, որ T  Tc կետում մագնիսակարգավորված նյութերի ոչ միայն մագնիսական, այլ բոլոր ֆիզիկական բնութագրերն ունեն այսպես կոչված ֆեռոմագնիսական շեղումներ (անոմալիաներ), որոնցով ն այս նյութերը տարբերվում են թույլ մագնիսական նյութերից: Ֆեռոմագնիսական շեղումների առկայությունը հնարավորություն է տալիս բավականաչափ մեծ ճշտությամբ նյութի ոչ մագնիսական բնութագրերից որոշելու անցումային ջերմաստիճանը: Նկ. 137-ում պատկերված են նիկելի տեսակարար ջերմունակության (ա) ն տեսակարար դիմադրության ջերմաստիճանային գործակցի (բ) ջերմաստիճանային կախման կորերը, որոնց վրա հստակորեն երնում են T  Tc կետում ֆեռոմագնիսական շեղումները: Մագնիսակարգավորված նյութերի կառուցվածքային ուսումնասիրությունների լավագույն միջոցը մագնիսական նեյտրոնագրությունն է, որն ուսումնասիրում է մագնիսակարգավորված նյութերում դանդաղ նեյտրոնների ցրման օրինաչափությունները: Քանի որ նեյտրոնն ունի մագնիսական մոմենտ` ո  1, 91 N , ( N  5, 4  104  B ) , ապա նեյտրոնագրերում, բացի բրեգյան մաքսիմումներից, որոնք պայմանավորված միջուկների վրա նեյտրոնների ցրումով ն առկա են նան կարգավորվածությունից զուրկ բյուրեղներում, առաջանում մաքսիմումներ, որոնք պայմանավորված են նեյտրոնների մոմենտների ն էլեկտրոնային սպիների փոխազդեցությամբ:

են ատոմային մագնիսական են լրացուցիչ մագնիսական Ընդսմին, լրա-

ցուցիչ (մագնիսական) մաքսիմումները հեշտությամբ տարբերվում են սովորական մաքսիմումներից, քանի որ ջերմաստիճանի աճին զուգընթաց դրանց ուժգնությունը նվազում է ն 7  7c տիրույթում հավասարվում զրոյի:

ա բ Նկ. 138. Մանգանի վանադիտում ա. նեյտրոնների ցրման բրեգյան (111) ն (200) մաքսիմումները որոշակի ջերմաստիճաններում, բ. մաքսիմումների ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկները Մագնիսական մաքսիմումները փոփոխվում են նան արտաքին մագնիսական դաշտի ազդեցությամբ: Նկ. 138, ա-ում պատկերված է նեյտրոնների ցրման բրեգյան (111) ն (220) մաքսիմումների J ուժգնությունների փոփոխությունները` կախված ջերմաստիճանից հակաֆեռոմագնիսական նյութում (մանգանի վանադիտ` ԽոՄ2Օ4, 77  56 Կ), իսկ նկ. 138, բ-ում` այդ գծերի ուժգնությունների ջերմաստիճանային կախման կորերը: Ինչպես երնում է գծագրերից, երբ 7  77 , մաքսիմումների ուժգնությունները գործնականորեն կախված չեն ջերմաստիճանից:

§ 9. Ֆեռոմագնիսականություն Ֆեռոմագնիսական վիճակի հիմնական առանձնահատկությունն արտաքին դաշտի բացակայությամբ նյութում վերջավոր ինքնաբերական մագնիսական մոմենտի (հագեցման մագնիսացվածություն) գոյությունն է

0  T  Tc ջերմաստիճանային տիրույթում: Ինքնաբեր մագնիսացվածության գոյությունը ֆեռոմագնիսներում երնութաբանորեն բացատրել է Պ.Վեյսը 1907 թ.: Վեյսի վարկածի համաձայն` ֆեռոմագնիսական վիճակում բյուրեղում մագնիսական մոմենտների միջն գործում է արդյունարար փոխազդեցություն, որն ստիպում է բոլոր մոմենտներին ուղղվել իրար զուգահեռ ն միննույն ուղղությամբ: Այդ փոխազդեցությանը համապատասխանության մեջ է դրվում ներքին արդյունարար մագնիսական դաշտ` H E (ընդունված են նան «Վեյսի դաշտ», «մոլեկուլային միջին դաշտ» ն «փոխանակային դաշտ» անվանումները): Ներքին H E դաշտը կողմնորոշիչ ազդեցություն է ունենում մագնիսական մոմենտների ջերմային շարժման վրա, հանգեցնելով գումարային մագնիսական մոմենտի առաջացման: Միջին դաշտի մոտավորության շրջանակներում, արդյունարար ներքին դաշտը համեմատական է նմուշի մագնիսացվածությանը`

H E  M ,

(9.1)

որտեղ  մեծությունը կոչվում է մոլեկուլային դաշտի կամ Վեյսի հաստատուն ն կախված չէ ջերմաստիճանից: (9.1) բանաձնում M մագնիսացվածությունը համապատասխանում է H E դաշտում ն T ջերմաստիճանում ջերմային հավասարակշռության վիճակին: Ներքին մագնիսական դաշտի լարվածությունը կարելի է գնահատել, իրար հավասարեցնելով H E դաշտում մագնիսական մոմենտի առավելագույն էներգիան ն Tc ջերմաստիճանում մեկ մագնիսական մոմենտին բաժին ընկնող ջերմային էներգիան`

gJ B JHE (T  0Î) - kBTc :

(9.2)

Երկաթի համար ( J  Տ  1, g J  2 , Tc  103 Կ) կատարված գնահատման համաձայն` H E  7  106 Գս: Համեմատության համար նշենք, որ ցանցի հաստատունի կարգի ( a - 2  3 Å) հեռավորությամբ կետում մագնիսական մոմենտի երկբնեռային դաշտի լարվածությունը`

B

- 103 Գս a3 կարգի մեծություն է` առնվազն 1000 անգամ փոքր արդյունարար ներքին դաշտի H E լարվածությունից: Hd -

Գնահատումներից ակնհայտորեն բխում է, որ H E ներքին դաշտը չի կարող լինել մագնիսական երկբնեռային փոխազդեցության արդյունք: Եթե այն իր ծագումով պայմանավորված լիներ մագնիսական երկբնեռային փոխազդեցությամբ, ապա ֆեռոմագնիսական կարգավորվածությունը, համաձայն (9.2) առնչության ն արված գնահատականի, կանհետանար Tc -

B Hd kB



B H E Hd kB

 Tc

Hd HE

- 103 Tc - 1 Կ

կարգի ջերմաստիճաններում: Այսպիսով, ներքին մագնիսական դաշտի գոյությունը պայմանավորված է ոչ մագնիսական բնույթի փոխազդեցությամբ: Ծանոթանանք ֆեռոմագնիսական վիճակի երնութաբանական տեսությանը, առանց պարզելու ներքին արդյունարար դաշտի ծագման պատճառը, որը հնարավոր է բացատրել միայն քվանտային տեսության շրջանակներում: Եթե ֆեռոմագնիսական նյութը պարամագնիսական վիճակում է` T  Tc , ապա, Կյուրիի օրենքի համաձայն (տես (6.11) բանաձնը), M

Շ T

 H  H E    H  M  , T

(9.3)

որտեղ Շ -ն Կյուրիի հաստատունն է, իսկ H -ը` արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունը: Նկատի ունենալով մագնիսական ընկալունակության (1.4) սահմանումը` (9.3) հավասարումից կստանանք.



M Շ :  H T  Շ

(9.4)

Նկ. 139.

  1 մեծության ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկը նիկելի համար.

կետագծերով շարունակված ուղիղը համապատասխանում է Կյուրի-Վեյսի օրենքին:

Այս առնչության համաձայն` H  0 դեպքում զրոյից տարբեր մագնիսացվածություն ( M  0 ) ի հայտ է գալիս Կյուրիի կետում`

Tc  Շ

(9.5)

ջերմաստիճանում: Այսպիսով, պարամագնիսական վիճակում ֆեռոմագնիսական նյութի մագնիսական ընկալունակությունը նկարագրվում է Շ  (9.6) T  Tc առնչությամբ, որը հայտնի է որպես Կյուրի-Վեյսի օրենք: Այս օրենքը մեծագույն ճշտությամբ տեղի ունի T  Tc ջերմաստիճաններում, սակայն երբ

T  Tc , (T ) կախումը տրվում է (8.3) օրենքով: Նկ. 139-ում պատկերված է միավոր զանգվածի ընկալունակության հակադարձ մեծության ջերմաստիճանային կախման կորը նիկելի համար, իսկ կետագծերով պատկերված է բարձրջերմաստիճանային տիրույթից կատարված արտարկումը: Օգտվելով (9.5) առնչությունից ն Կյուրիի հաստատունի (6.28) բանաձնից` մոլեկուլային դաշտի հաստատունի համար կստանանք. 

Tc Շ



3k BTc 2 2 ոgJ B J ( J

 1)



3k BTc  N 4 gJ2B2 J ( J  1)

(9.7)

Երկաթի համար ( Tc  103 Կ,   56 գ/մոլ,   7, 8 գ/սմ3, J  Տ  1 , gJ  2 ) կատարված գնահատման համաձայն`   5000 : Ուստի, օգտվելով Աղյուսակ 30-ում տրված երկաթի հագեցման մագնիսացվածության M0  1750 Գս արժեքից, (9.1) առնչությունից կստանանք` H E  M - 9  106 Գս, որը, բնականաբար, համընկնում է (9.2) առնչությունից ստացված գնահատականի հետ:

§ 10. Ֆեռոմագնիսի մագնիսացվածության կախումը ջերմաստիճանից ն արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից Վեյսի տեսության շրջանակներում որոշենք ֆեռոմագնիսի ինքնաբեր մագնիսացվածության կախումը ջերմաստիճանից ն արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից տարբեր սահմանային դեպքերում: Օգտվելով պարամագնիսական նյութի մագնիսական մոմենտի (6.18) բանաձնից ն դրանում H -ի փոխարեն տեղադրելով լրիվ դաշտի

H  HE  H  M

արտահայտությունը` մագնիսացվածությունը որոշելու

համար կստանանք

 g  J  H  M   M  M Տ 0 BJ  J B  k BT  

(10.1)

տրանսցենդենտ հավասարումը, որտեղ MՏ 0  ոgJ B J հագեցման մագնիսացվածությանը համապատասխանում է բոլոր մագնիսական մոմենտների` զուգահեռ ն միննույն կողմն ուղղվածությունը, BJ ( x) -ը Բրիլյուենի ֆունկցիան է (տես (6.19) բանաձնը): Անցնելով նոր փոփոխականի`



gJ B J   H  M    H  M  , kBT kBT

(10.2)

որտեղ   gJ B J -ն մեկ մասնիկի մագնիսական մոմենտն է, (10.1) հավասարումը կարելի է ներկայացնել

M  ոBJ   

(10.3)

տեսքով: (10.2) կապից M -ը նույնպես արտահայտենք  -ով`

M

k BT H  :  

(10.4)

Այսպիսով` (10.1) հավասարման լուծումը հավասարազոր է (10.3) ն (10.4) հավասարումների համատեղ լուծմանը, երբ անկախ փոփոխականն  -ն է: (10.3) ն (10.4) հավասարումները պատկերենք ( M ,  ) հարթության մեջ (նկ. 140, Ճ կորը տրվում է (10.3), իսկ Ց ուղիղը` (10.4) հավասարումով): Ճ ն Ց կորերի հատման Ք կետի կոօրդինատները (10.3) ն (10.4) հավասարումների համակարգի լուծումներն են: 1. Քննարկենք նախ H  0 դեպքը ն որոշենք ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախումը: Այս դեպքում Ց ուղիղն անցնում է Օ կետով: ա) Ցածր ջերմաստիճաններ`   1 : Երբ T  0 Կ, Ճ ն Ց կորերի հատման Ք կետը տեղաշարժվում է դեպի  -ի մեծ արժեքների տիրույթ, իսկ մագնիսացվածությունը ձգտում է սահմանային M Տ 0 արժեքին: Օգտվելով Բրիլյուենի ֆունկցիայի` արգումեն-

Նկ. 140. (10.3) ն (10.4) հավասարումների գրաֆիկական պատկերումը ( M , ) կոօրդինատային հարթությունում. H  0 դեպքում Ց ուղիղն անցնում է O կետով (կետիկներով ուղիղը):

տի մեծ արժեքների համար (6.21) վերլուծությունից ն դրանում տեղադրելով  հաստատունի (9.7) արտահայտությունը` (10.3) բանաձնից կորոշենք ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախումը.





M  MՏ 0 1 

 3 Tc   :  J  1 T 

exp  

(10.5)

Նշենք, որ այս արտահայտությունը ճիշտ չի նկարագրում մագնիսացվածության ջերմաստիճանային վարքը T  0 Կ տիրույթում (տես §12):

բ) Բարձր ջերմաստիճաններ`   1 : Ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց Ց կորի թեքությունն աճում է, ն հատման Ք կետը տեղաշարժվում է դեպի արգումենտի փոքր արժեքների տիրույթ: Երբ Ց ուղիղը համընկնում է Ճ կորին կոօրդինատների սկզբնակետում տարված (ՕԾ) շոշափողի հետ, Ք կետը համընկնում է Օ կետի հետ, որը համապատասխանում է M  0 վիճակին:   0 կետում Ճ ն Ց կորերի ածանցյալների հավասարության պայմանից, նկատի ունենալով նան (5.25) վերլուծությունը` կստանանք.

k T  dM   B 0  ոBJ     d    0

0



J 1 ո : 3J

(10.6)

Այս առնչությունը որոշում է այն T0 ջերմաստիճանը, որի դեպքում M  0 ` T0  

 2 ո  J  1 3Jk B



 2B g J2 ոJ  J  1 3k B

J 2 2B g J2 ո  J  1 3Jk B



(10.7)

 Շ  Tc ,

որտեղ Շ -ն Կյուրիի հաստատունն է: T  Tc տիրույթում Ճ ն Ց կորերի հատման միակ կետը   0 կետն է, որին համապատասխանում է M  0 վիճակը (նկ. 141) : Պարզենք ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախման տեսքը T - Tc տիրույթում: Օգտվելով (6.25) վերլուծությունից ն դրանում պահելով նան 3 -ին համեմատական անդամը` (10.3) հավասարումը կարելի է ներկայացնել

     3  M  ո( 4  B )  ո  4 M  B  M   k BT   k BT 

(10.8)

տեսքով, որտեղ

4

J 1 , 3J

B

( J  1)( 2J 2  2J  1) 90J 3

(10.9)

(10.6), (10.7) ն (10.9) առնչությունների համաձայն`

4ո2  Tc , kB

(10.10)

   ո 3( 2 J 2  2 J  1)  Tc  1  Tc  ո   B    T  3     4 (ո)3 10( J  1)2  T  M Տ20  k BT 

B

 Tc  1 ,   T  M Տ20

 a

a

3( 2 J 2  2 J  1) 10( J  1) 2

(10.11)

ուստի (10.8) արտահայտությունը կընդունի հետնյալ վերջնական տեսքը`

M MՏ0

  M   T T     c c  1    a     0 : T   T   MՏ0    

(10.12)

Պարամագնիսական տիրույթում T  Tc , ն (1  Tc T )  0 , ուստի (10.12) հավասարումն ունի միայն զրոյական լուծում` M  0 , որը համապատասխանում է ինքնաբեր մագնիսացվածության բացակայությանը: Եթե T  Tc , ապա (10.12) հավասարումից մագնիսացվածությունը`

 Tc   T

M  M Տ 0 a 1/ 2 

3/ 2

1/ 2

 Tc   T  1  

- (Tc  T )1/ 2 ,

(10.13)

որը փորձում դիտված (8.2) օրենքից տարբերվում է  ցուցչի արժեքով: Այս հանգամանքը, ինչպես նան մագնիսացվածության` (10.5) բանաձնից բխող արդյունքի ն փորձի չհամընկնելը, երբ T  0 Կ, ցույց են տալիս միջին դաշտի մոտավորության սահմանափակությունը:

Եթե բոլոր ջերմաստիճաններում ( 0  T  Tc ) Ք հատման կետի կոօրդինատները տեղադրվեն M M Տ 0 ն T Tc առանցքների վրա, ապա կստացվի ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախման կորը J -ի ամեն մի արժեքի համար: Նկ. 141-ում պատկերված են M (T ) կորերը J   ,

J  1 ն J  1 2 արժեքների համար ն փորձում երկաթի () ն նիկելի (օ) համար ստացված արժեքները: Տեսական կորերը բավականաչափ լավ են մոտարկում փորձնական տվյալները. նիկելի համար ստացված արժեքները մոտ են J  1 2 կորին, իսկ երկաթի համար ստացվածները` J  1 կորին: 2. Այժմ ուսումնասիրենք ֆեռոմագնիսական նյութի մագնիսացվածության կախումն արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Նկատի ունենալով ընդհանուր դեպքում մագնիսացվածության ոչ գծային կախվածությունը մագնիսական դաշտի լարվածությունից` որոշենք դիֆերենցիալ ընկալունակությունը`

dB d dM d  ո J   ոBJ ք() : dH d dH dH (10.2) հավասարման համաձայն` d   dM       d , dH k BT k BT dH k BT k BT d 

(10.14)

(10.15)

ուստի (10.14) ն (10.15) առնչություններից կստանանք դիֆերենցիալ ընկալունակության արտահայտությունը`

d 

ո2BJ      ո2 k B T  BJ    kB  

(10.16)

Պարզենք d ֆունկցիայի վարքը տարբեր սահմանային դեպքերում:

ա. Ցածր ջերմաստիճաններ` T  Tc (   1 ): Օգտվենք BJ () -ի` արգումենտի մեծ արժեքների համար (6.21) վերլուծությունից ն որոշենք դրա ածանցյալը`

BJ    

  exp    : J  J

(10.17)

Նկ. 141. Ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկները. փորձնական տվյալները պատկերված են փոքրիկ խաչերով (երկաթի համար) ն շրջանակներով (նիկելի համար):

Երբ T  0 , (10.16) արտահայտության հայտարարը համեմատական է T ին (տես (6.21)), ուստի դիֆերենցիալ ընկալունակությունը`



d - T 1BJ () - T 1 exp  

H

 Jk BT



M 

0 :

Jk BT 

(10.18)

Ընկալունակության նման վարքը պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ արտաքին մագնիսական դաշտը շատ փոքր է ներքին արդյունարար դաշտի համեմատությամբ, ն զգալի d ստանալու համար անհրաժեշտ են ուժեղ մագնիսական դաշտեր: Այս իմաստով T  Tc տիրույթում  -ն անվանում են ընկալունակություն ուժեղ դաշտերում:

բ) Բարձր ջերմաստիճաններ` T  Tc , ինչպես նան T - Tc (   1 ): Նկատի ունենալով, որ H  HE ն   1 , (10.1) հավասարման աջ մասը վերածենք շարքի ըստ  -ի, պահելով նան 3 -ի կարգի անդամները, իսկ ըստ  -ի գծային անդամում կպահենք նան H -ին համեմատական անդամը: Այս մոտավորությամբ (10.3), (10.8)  (10.12) առնչություններից հետնում է

M  Tc 1  T MՏ 0 

  Tc   M  Tc H   a  T   M   T M     Տ0  Տ0

(10.19)

հավասարումը, որտեղից որոշվում է M -ը: Դիֆերենցիալ ընկալունակության սահմանումից ն (10.19) հավասարումից հետնում է, որ

 3H  T  d    2  1     Tc    M

1

(10.20)

որտեղ M -ը (10.19) հավասարման լուծումն է: (10.19) հավասարումը (10.12) հավասարումից տարբերվում է միայն աջ մասում առկա անդամով: Ուսումնասիրենք (10.19) ն (10.20) հավասարումները տարբեր դեպքերում: 1) Եթե T  Tc , ապա (10.19) հավասարման ձախ մասի երկրորդ գումարելին կարելի է անտեսել առաջինի նկատմամբ, ուստի M

Tc (T  Tc )

H

Շ T  Tc

H :

Այս արտահայտությունը տեղադրելով (10.20) բանաձնի մեջ` կստանանք. Շ d    , (10.21) T  Tc որն իրենից ներկայացնում է Կյուրի-Վեյսի օրենքը: 2) Եթե T  Tc կամ T  Tc , ապա (10.19) հավասարման ձախ մասում անհրաժեշտ է պահել երկու գումարելիներն էլ, իսկ ընկալունակությունը հաշվարկել (10.20) բանաձնով: 3) Եթե T  Tc , ապա մագնիսացվածության կախումը մագնիսական դաշտի լարվածությունից տրվում է 1/ 3

 H  M  MՏ0    aM Տ 0 

- H1/3

(10.22)

օրենքով, որը հաստատվում է ֆեռոմագնիսական մետաղների ն համաձուլվածքների համար փորձում ստացված տվյալներով: Ընկալունակության (10.20) բանաձնից բխող

d 

1M - H 2/3 3H

(10.23)

առնչությունն անմիջապես հետնում է նան (10.22) բանաձնից ն դիֆերենցիալ ընկալունակության (1.8) սահմանումից:

§ 11. Հակաֆեռոմագնիսականություն Մագնիսական մոմենտների հակաֆեռոմագնիսական դասավորության դեպքում տարբեր մագնիսական ենթացանցերի պատկանող հարնան սպիներն ուղղված են իրար հակառակ, ուստի միմյանց չեզոքացնում են: Այս չեզոքացման հետնանքով ինքնաբեր մագնիսացվածությունը գործնականում հավասարվում է զրոյի, ուստի հակաֆեռոմագնիսական նյութը դասակարգվում է որպես թույլ մագնիսական, իսկ դրա մագնիսական ընկալունակությունը 105  102 կարգի մեծություն է, ինչպես ն պարամագնիսական նյութերինը: Սակայն, ի տարբերություն պարամագնիսների, հակաֆեռոմագնիսում մագնիսական մոմենտների հակազուգահեռ դասավորությունը պայմանավորված է հենց ուժեղ փոխազդեցությամբ, որը խոչընդոտում է մագնիսական մոմենտների կողմնորոշմանն արտաքին մագնիսական դաշտի ուղղությամբ, ն որի հետնանքով հակաֆեռոմագնիսի մագնիսական ընկալունակությունը կարող է լինել նան ավելի փոքր, քան պարամագնիսինը: Ջերմաստիճանի բարձրացման հետ մագնիսական մոմենտների կարգավորվածությունն աստիճանաբար խախտվում է, որի հետնանքով, հակառակ պարամագնիսների, մագնիսական ընկալունակությունը մեծանում է: Որոշակի TN ջերմաստիճանում (Նեելի ջերմաստիճան) մագնիսական ենթացանցերի մագնիսական մոմենտների գումարը դառնում է զրո, ստեղծվում է լրիվ անկանոն, քաոսային վիճակ, որից հետո ջերմաստիճանի հետագա աճի հետ մագնիսական ընկալունակությունը, ինչպես ն պարամագնիսներում, նվազում է: Հակաֆեռոմագնիսի մագնիսական ընկալունակության ջերմաստիճանային կախման կորը պատկերված է նկ. 142-ում: Ծանոթանանք հակաֆեռոմագնիսականության երնութաբանական տեսությանը (Լ. Նեել, 1932 թ.): Պարզության համար դիտարկենք երկու մագնիսական ենթացանցերից բաղկացած կառուցվածք, որտեղ յուրաքանչյուր

Նկ. 142. Հակաֆեռոմագնիսի մագնիսական ընկալունակության ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկը մագնիսական մոմենտի ամենամոտ հարնանները պատկանում են մյուս մագնիսական ենթացանցին: Միջին մոլեկուլային դաշտի տեսության շրջանակներում «1» ենթացանցի որնէ հանգույցում արդյունարար ներքին մագնիսական դաշտի լարվածությունը կարելի է ներկայացնել

H1   11 M1   12 M2

(11.1)

տեսքով, որտեղ M1 ( M 2 )-ն առաջին (երկրորդ) մագնիսական ենթացանցի մագնիսական մոմենտն է,  11 -ը` մոլեկուլային դաշտի հաստատունը, պայմանավորված «1» ենթացանցի մագնիսական մոմենտների (սպիների) փոխազդեցությամբ,  12 -ը` «1» ն «2» ենթացանցերի սպիների փոխազդեցությամբ: Նույն ձնով «2» ենթացանցի որնէ հանգույցում արդյունարար ներքին մագնիսական դաշտի լարվածության համար կարելի է գրել`

H2   21 M1   22 M2 :

(11.2)

Քանի որ «1» ն «2» ենթացանցերը համարժեք են, ապա

 11   22   ,

 12   21   ,

(11.3)

ընդ որում   0 , իսկ   0 , ինչպես նան

M 2   M1 ,

(11.4)

այսինքն` ենթացանցերի մոմենտները հավասար են ն ուղղված հակառակ: (11.1)  (11.4) առնչություններից հետնում է, որ

H1  (  )M1 ,

(11.5)

H2  (  )M2 :

(11.6)

Մյուս կողմից, «1» ն «2» ենթացանցերի մագնիսացվածությունների հավասարակշռական արժեքները կարելի է ներկայացնել (6.18) արտահայտության միջոցով, դրանում արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածության փոխարեն տեղադրելով արդյունարար մագնիսական դաշտի արտահայտությունը համապատասխան ենթացանցի համար`

M1 

       M1  ո  H1  ո BJ  BJ   ,  k BT  k BT  2  

(11.7)

M2 

     M2  ո  H 2  ո BJ  BJ   ,  k BT    k BT  2

(11.8)

որտեղ ո -ն ատոմների խտությունն է ( ո 2 յուրաքանչյուր ենթացանցի համար): Ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց M1 ն M 2 մագնիսացվածությունները նվազում են ն T  TN ջերմաստիճանում դառնում զրո: Երբ

T - TN ն M1,2  0 , կարող ենք օգտվելով BJ ( x) ֆունկցիայի (6.25) վերլուծությունից` M1 

ո  J  1 (  )

 2  3J

k BT



M1  Օ( M13 )  ,



(11.9)

կամ

 ո 2 ( J  1)(  )

M1 



6 Jk BT



 1  Օ( M12 )   0 :



(11.10)

Եթե M1  0 , ապա պետք է զրո լինի փակագծերի մեջ գրված արտահայտությունը, այսինքն` ո 2 ( J  1)(  ) 6Jk BT

 1  Օ(M12 ) ,

ն երբ M1  0 , (11.11) բանաձնից կորոշվի Նեելի ջերմաստիճանը`

(11.11)

TN 

ո2  J  1    



6Jk B

ո 2B g J2 J  J  1    Շ        , (11.12) 3k B

որտեղ Շ -ն Կյուրիի հաստատունն է: Այժմ ուսումնասիրենք հակաֆեռոմագնիսական նյութի վարքն արտաքին մագնիսական դաշտում: Հարկ է նշել, որ արտաքին դաշտի առկայությամբ մագնիսական ենթացանցերի մագնիսացվածությունների մեծությունների հավասարության (11.4) պայմանը խախտվում է: ա. Եթե նմուշը H լարվածությամբ դաշտում է, որն ուղղված է «1» ենթացանցի մագնիսացվածության վեկտորի ուղղությամբ, ապա «1» ն «2» ենթացանցերի մագնիսացվածությունները որոշվում են

   H   M1   M 2   ո BJ   , k BT  

M1 

(11.13)

   H   M 2   M1   (11.14)   k BT   տրանսցենդենտ հավասարումների համակարգից: Որոշենք հակաֆեռոմագնիսի «երկայնական» ( H  M1 ) մագնիսաո BJ

M2 

կան ընկալունակությունը`

|| 

  M1  M 2  H

(11.15)

Ածանցելով (11.13) ն (11.14) հավասարումներն ըստ H -ի` M1 H



M 2 H

ո



BJ

ո

BJ

 

M1 M 2  1     , k BT  H H   

M 2 M1  1     k BT  H H 

ն գումարելով իրար այս արտահայտությունները` կստանանք. || 

ո 2

BJ

k BT   ո 2      BJ  1   2 k BT 

(11.16)

որտեղ BJ -ն Բրիլյուենի ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ իր արգումենտի: Եթե ջերմաստիճանը մոտ է TN -ին ն դրանից փոքր-ինչ բարձր է` T  TN , ապա BJ ( x) ֆունկցիայի արգումենտը (տես, օրինակ, (11.13) բանաձնը)`

x   ( H  M1  M2 ) kBTN  1 , ուստի, նկատի ունենալով (6.25) վերլուծությունը, կարելի է համոզվել, որ ո 2 kB

BJ 

ո 2 J  1 kB



ոg J2 2B J ( J  1) 3k B

Շ :

Ներմուծելով նոր բնութագիր`

a  Շ      ,

(11.17)

որն ընդունված է անվանել հակաֆեռոմագնիսական նյութի Կյուրիի պարամագնիսական (կամ ասիմպտոտային) ջերմաստիճան, (11.16) առնչությունը կարելի է ներկայացնել Շ ||  (11.18) T  a բանաձնով, որը հակաֆեռոմագնիսի համար T  TN տիրույթում Կյուրի-Վեյսի օրենքի նմանակն է: ( ||1,T ) հարթության վրա ||1 ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է T առանցքը a կետում (նկ. 143):

Նկ. 143. Հակաֆեռոմագնիսի «երկայնական» ( H  M ) ընկալունակության հակադարձ մեծության` ջերմաստիճանից կախման գրաֆիկը

Հարկ է նշել, որ եթե ֆեռոմագնիսական նյութի համար առաջին մոտավորությամբ Կյուրիի պարամագնիսական ( a ) ն ֆեռոմագնիսական ( Tc ) ջերմաստիճաններն իրար հավասար են, ապա հակաֆեռոմագնիսական նյութերում դրանք էապես տարբերվում են իրարից ( a ն TN ): Իրոք, քանի որ M1 ն M 2 մագնիսացվածություններն իրար հակառակ են ուղղված, ապա

  0 , ն, (11.12) առնչության համաձայն, TN  0 , իսկ a -ն, ըստ (11.17) նշանակման, տարբերվում է TN -ից ն կարող է լինել նան բացասական`

a  0 , եթե  || : TN ն a ջերմաստիճանները կապված են TN  a

 ||  a  ||

(11.19)

առնչությամբ, որը հետնում է (11.12) ն (11.17) բանաձներից: T  TN կետում, (11.18) արտահայտության համաձայն` Շ Շ 1 1 ||     : (11.20) TN  a Շ (  )  Շ (  )  || Ջերմաստիճանի նվազմանը զուգընթաց յուրաքանչյուր մագնիսական ենթացանցի մագնիսացվածությունն աճում է, իսկ BJ ածանցյալը նվազում էքսպոնենտային օրենքով (տես (6.21) բանաձնը), ն երբ T  0 , ||  0 (նկ. 144):

Նկ. 144. Հակաֆեռոմագնիսը ենթացանցերի մագնիսացվածություններին ուղղահայաց մագնիսական դաշտում

բ. Այժմ որոշենք հակաֆեռոմագնիսի մագնիսական ընկալունակությունը ենթացանցերի մագնիսական մոմենտներին ուղղահայաց արտաքին H մագնիսական դաշտում`   -ը (նկ. 145): Մագնիսական դաշտի ազդեցությամբ «1» ն «2» ենթացանցերի մագնիսացվածությունները թեքվում են միննույն ուղղությամբ, այնպես որ, անգամ T  0 Կ ջերմաստիճանում, ընկալունակությունը զրոյից տարբեր է: Եթե

արտաքին դաշտն ուղղված է x առանցքով (նկ. 145), ապա «1» ենթացանցի արդյունարար մագնիսական դաշտի բաղադրիչները`

H1x   M1x   M 2 x , H1y   M1y   M 2 y :

(11.21)

Քանի որ «1» ն «2» ենթացանցերը համաչափ են, ապա

M1x  M2x ,

M1y   M 2 y ,

(11.22)

հետնաբար` (11.21) ն (11.22) արտահայտություններից

H1x       M1x , H1y       M1y :

(11.23)

Քանի որ արտաքին դաշտն ուղղված է x առանցքով, ապա արդյունարար մագնիսացվածությունն ուղղված կլինի H 0 ( H 0 x , H 0 y )  ( H  H1x , H1y ) արդյունարար դաշտի ուղղությամբ`

H 0 x H  H1x H       M1x M1x    , H0 y H1y M1y      M1y

(11.24)

Նկ. 145. Հակաֆեռոմագնիսի մագնիսական ընկալունակության ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկը. կետագծերով կորը համապատասխանում է բազմաբյուրեղային նմուշին:

որտեղից`

M1x  

H : 2

(11.25)

(11.22) ն (11.25) առնչություններից հետնում է ընկալունակության

 

M x M1x  M 2 x 2 M1x 1 1     H H H  ||

(11.26)

արտահայտությունը, որը համընկնում է (11.20) արտահայտության հետ: Այսպիսով, ( 0, TN ) տիրույթում   -ը մնում է հաստատուն (նկ. 145): Անհրաժեշտ է նկատի ունենալ, որ նկ. 145-ում պատկերված կորերը նկարագրում են միաբյուրեղի մագնիսական ընկալունակությունների վարքը: Բազմաբյուրեղային նմուշի ընկալունակությունն ըստ անկյան համապատասխան ձնով միջինացման արդյունք է (նկ. 145,  P կորը):

§ 12. Ֆեռիմագնիսականություն Ի տարբերություն հակաֆեռոմագնիսական նյութերի, որոնցում առանձին մագնիսական ենթացանցերի մագնիսացվածություններն իրար հավասար են ն ուղղված հակադիր կողմեր, ֆեռիմագնիսական նյութերում մագնիսացվածություններն իրար հավասար չեն, իսկ դրանց տարբերությունը ենթացանցերի մագնիսացվածությունների կարգի է: Ֆեռիմագնիսականության երնութաբանական տեսությունն ստեղծել է Լ. Նեելը (1948թ.) պարզ մոդելի հիման վրա, որի համաձայն` ֆեռիմագնիսական

Նկ. 146. Ֆեռիմագնիսի մոդելն ըստ Նեելի

նյութը բաղկացած է միննույն տեսակի ատոմներից, որոնք բաշխված են «1» ն «2» ենթացանցերի միջն a : Ե հարաբերությամբ (նկ. 146), ընդ որում

a  Ե 1 : (12.1) Տվյալ ենթացանցի կամայական հանգույցում միջին մոլեկուլային դաշտը, ինչպես ն հակաֆեռոմագնիսներում, որոշվում է որպես այդ ենթացանցի ն մյուս ենթացանցի մագնիսացվածություններով ստեղծված արդյունարար դաշտերի գումար: «1» ն «2» ենթացանցերի հանգույցներում արդյունարար մագնիսական դաշտերը տրվում են համապատասխանաբար H1   11 M1   12 M 2 , H2   21 M1   22 M2

(12.2)

բանաձներով: Կենթադրենք, որ միննույն ենթացանցին պատկանող հանգույցներում սպիների փոխազդեցությունը ֆեռոմագնիսական բնույթ ունի`

 11  0 ,  22  0 , իսկ տարբեր ենթացանցերի սպիների փոխազդեցությունը` հակաֆեռոմագնիսական`  12   21  0 : Կատարենք նշանակումներ`

 12   21  w ,

 11  w ,

 22   w ,

(12.3)

որտեղ  (  ) գործակիցը բնութագրում է միջին մոլեկուլային դաշտը «1» («2») մագնիսական ենթացանցում (արտահայտված

w միավորներով):

Նշանակենք նան J1 ( J 2 )-ով «1» («2») ենթացանցի մեկ հանգույցին վերագրվող միջին մագնիսական մոմենտը` բազմապատկած համակարգի մասնիկների թվով: Մագնիսական ենթացանցերի մագնիսացվածություններն արտահայտվում են J1 ն J 2 մեծությունների միջոցով`

M1  aJ1 ,

M 2  ԵJ 2 :

(12.4)

(12.2)  (12.4) բանաձներից հետնում են ներքին արդյունարար դաշտերի արտահայտությունները` H1  w(aJ1  ԵJ 2 ) ,

H2  w(ԵJ 2  aJ1 ) :

(12.5)

Մագնիսական մոմենտների հավասարակշռական արժեքները H դաշտում, ինչպես ն §§ 10,11-ում քննարկված դեպքերում, որոշվում են

 w  aJ1  ԵJ 2   H  J1  ոBJ   , k BT    w ԵJ 2  aJ1   H  J 2  ոBJ   k BT  

(12.6)

տրանսցենդենտ հավասարումներից: Որոշենք ֆեռիմագնիսի մագնիսական ընկալունակությունը: Սահմանման համաձայն`



J J M    aJ1  ԵJ 2   a 1  Ե 2 : H H H H

(12.7)

(12.6) հավասարումներից որոշելով J1 H ն J 2 H ածանցյալները ն տեղադրելով (12.7) արտահայտության մեջ, կստանանք`

Շ

T  ՇwaԵ      2 

T  Շw  a  Ե  T  Շ 2 w2 aԵ    1

(12.8)

որտեղ

Շ

ո2 BJ : kB

(12.9)

Ուսումնասիրենք ընկալունակության (12.8) արտահայտությունը պարամագնիսական տիրույթում: Այս տիրույթում BJ ֆունկցիայի արգումենտը շատ փոքր է մեկից, ուստի, օգտվելով (6.25) վերլուծությունից` կհամոզվենք, որ (12.9) առնչությամբ որոշված մեծությունը Կյուրիի հաստատունն է` Շ

ո 2 J  1 kB



ո 2B g J2 J  J  1 3k B

Ընկալունակության ջերմաստիճանային կախումը հարմար է ներկայացնել 1 T     (12.10)  Շ 0 T   տեսքով, որտեղ ներմուծված են հետնյալ պարամետրերը. 0

 w( 2aԵ   a 2  Ե 2 )

  Շw2 aԵ  a(   1)  Ե(  1)  ,

(12.11)

  ՇwaԵ(     2):

Երբ T   , (12.10) արտահայտության երրորդ գումարելին ձգտում է զրոյի, ուստի (12.10) բանաձնով տրվող ֆունկցիայի ասիմպտոտը`

Նկ. 147. Ֆեռոմագնիսի մագնիսական ընկալունակության հակադարձ մեծության` ջերմաստիճանից կախման գրաֆիկը

1 T    Շ 0

(12.12)

ուղիղը, հատում է օրդինատների առանցքը 01 կետում ն ունի Շ1 թեքություն, իսկ ասիմպտոտի հատման կետն աբսցիսների առանցքի հետ որոշում է այսպես կոչված Կյուրիի ասիմպտոտական ջերմաստիճանը (նկ. 147)` Շ a   : (12.13) 0 Մյուս կողմից, երբ ջերմաստիճանը նվազում է, 1 (T ) ֆունկցիայի գրաֆիկն ավելի ն ավելի է հեռանում Ճ ասիմպտոտից, ն T f ջերմաստիճանում, որը կոչվում է Կյուրիի ֆեռիմագնիսական կետ, այն հավասարվում է զրոյի`

1(Tf )  0 (նկ. 147): T f ջերմաստիճանի սահմանումից ն (12.8) բանաձնից բխում է T f ջերմաստիճանը որոշելու

Tf2  Շw  a  Ե Tf  Շ2w2aԵ    1  0

(12.14)

հավասարումը, որի լուծումները տրվում են

Tf 

Շw  a   Ե  2 

 a  Ե 2  4aԵ  

(12.15)

արտահայտությամբ:

Եթե T f  0 , ապա ամբողջ ջերմաստիճանային տիրույթում նյութը պարամագնիսական վիճակում է: Եթե T f  0 , ապա 0  T  T f տիրույթում նյութը ձեռք է բերում ինքնաբեր մագնիսացվածություն, որը տրվում է

M  aJ1  ԵJ 2

(12.16)

արտահայտությամբ, իսկ J1 -ը ն J 2 -ը որոշվում են (12.6) հավասարումներից

H  0 ն T  T f դեպքում: Եթե T f  0 , ապա, (12.15) արտահայտության համաձայն,

a  Ե 

 a  Ե 2  4aԵ  0

կամ

  1 :

(12.17)

Եթե   0 ,   0 , ապա (12.17) ն (12.15) առնչություններից հետնում է, որ

T f 1  Շw(a  Ե)  0 , T f 2  0 ,

(12.18)

այսինքն` նյութը ֆեռիմագնիսական վիճակում է: Եթե   0 ,   0 , ապա

T f 1  0 , T f 2  Շw(a  Ե)  0 ,

(12.19)

այսինքն` նյութը պարամագնիսական վիճակում է: Ֆեռիմագնիսական վիճակի ամենակարնոր առանձնահատկությունն այն է, որ մագնիսական ենթացանցերի ինքնաբեր մագնիսացվածությունների ջերմաստիճանային կախումները կարող են էապես տարբեր տեսքեր ունենալ, կախված  ,  , a , Ե պարամետրերի արժեքներից: Այդ կախումների մասին պատկերացում կազմելու համար պարզենք, թե T  0 Կ ջերմաստիճանում ինչպես են փոփոխվում J1 ն J 2 հավասարակշռական մագնիսացվածությունները:

H  0 դեպքում, տրված J1 ն J 2 մեծությունների համար արդյունարար մոլեկուլային դաշտի ն մագնիսացվածությունների փոխազդեցության (12.20) E   aJ1H1  ԵJ 2 H 2 ,

էներգիան (12.5) բանաձների օգնությամբ կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` (12.21) E   w( a2 J12  2aԵJ1J 2  Ե2 J 22 ) : Կախված J1 ն J 2 մեծություններից, E -ն ընդունում է նվազագույն արժեքներ, որոնց մեծություննները որոշվում են  ,  , a ն Ե պարամետրերի արժեքներով: Հնարավոր է չորս դեպք: 1. Պարամագնիսական վիճակ`

J1  J 2  0 ,

(12.22)

ն (12.21) առնչության համաձայն` E0 :

(12.23)

2. Լրիվ հագեցման վիճակ, երբ J1 ն J 2 մեծություններն ընդունում են առավելագույն արժեքներ`

J1  ո ,

J 2  ո ,

(12.24)

E   wո22 (a2  2aԵ  Ե2 ) :

(12.25)

3. «1» ենթացանցի մագնիսացվածությունն առավելագույնն է` J1  ո , իսկ «2» ենթացանցը հագեցած չէ, ն դրա մագնիսացվածության հավասարակշռական արժեքը որոշվում է էներգիայի մինիմումի պայմանից` a E  0 , որտեղից` J 2  ո , (12.26) J 2 Ե

 1 E   wո22a2     :  

(12.27)

4. «2» ենթացանցի մագնիսացվածությունն առավելագույնն է` J 2  ո , իսկ «1» ենթացանցինը որոշվում է էներգիայի մինիմումի պայմանից`

E  0 , որտեղից` J 1

J1  

1  E   wո 2 2Ե2     :   

Ե ո , a

(12.28) (12.29)

Թե թվարկված դեպքերից որը կիրականանա T  0 Կ-ում, կախված է  ,  ,

a ն Ե պարամետրերի արժեքներից: Եթե ենթացանցի մագնիսացվածությունը հագեցված չէ (3. ն 4. դեպքեր), ապա ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց մագնիսական մոմենտների կարգավորվածությունը խախտվում է: Ուստի, կախված J1 ն J 2 մեծությունների հարաբերակցությունից, արդյունարար մագնիսացվածությունը` որպես ջերմաստիճանի ֆունկցիա, կարող է արագ նվազել կամ, ընդհակառակը` աճել, որը ն հանգեցնում է M (T ) կախման բազմազանության: Նկ. 148-ում պատկերված են ֆեռիմագնիսի ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախումների հնարավոր կորերը: Միայն ֆեռիմագնիսին բնորոշ առանձնահատկություն է այն փաստը, որ ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց հնարավոր է ինքնաբեր մագնիսացվածության նշանի (ուղղության) փոփոխություն որոշակի կետում` TK , որն ընդունված է անվանել համակշռման (կոմպենսացիայի) ջերմաստիճան (նկ. 148, դ): Մագնիսացվածության նման ջերմաստիճանային վարքը պարզելու համար ենթադրենք, որ H  0 , T  T f ն օգտվենք (12.6) հավասարումներից: Սահմանափակվելով BJ ֆունկցիայի վերլուծության առաջին անդամով ն նկատի ունենալով (6.28) առնչությունը` կստանանք.

J1 

Շw Շw  aJ1  ԵJ 2  , J 2  ԵJ 2  aJ1  : T T

(12.30)

Քանի որ T  TK ջերմաստիճանում M (TK )  0 , ապա M  aJ1  ԵJ 2  

Շw TK

Շw

 ( a2  aԵ) J1  (Ե 2  aԵ) J 2   

TK 

  a  Ե   Ե  a  aJ1  0 :

(12.31)

Այսպիսով, տարբեր նշաններ ունեցող մագնիսացվածություններով վիճակների բաժանման սահմանը որոշվում է հետնյալ պայմանից`

a    1  Ե   1  0 :

(12.32)

Նկ. 148. Ֆեռիմագնիսի ինքնաբեր մագնիսացվածության` ջերմաստիճանից կախման հնարավոր դեպքերը

Եթե a    1  Ե   1 , ապա M  0 , իսկ եթե a    1  Ե   1 , ապա

M  0 : Դժվար չէ տեսնել, որ (12.32) պայմանի դեպքում (12.11) բանաձնով որոշվող  մեծությունը զրո է, ուստի վերանում է ինքնաբերական մագնիսացվածություն առաջանալու միտումը: Ֆեռիմագնիսների դասական ներկայացուցիչներն են ֆեռիտները, որոնց ընդհանուր քիմիական բանաձնն է ԽՕԻ62Օ3, որտեղ Խ-ը մետաղի (7ո, Ըմ, Ի6, N1, Ըս, Ըօ, Խլ) երկարժեք կատիոնն է: Հարկ է նշել նան ֆեռիտնռնաքարերը, որոնք խորանարդային կառուցվածքով մեկուսիչ բյուրեղներ են Խ3Ի65Օ12 ընդհանուր բանաձնով, որտեղ Խ-ը եռարժեք մետաղի իոն է, իսկ Ի6-ը` երկաթի եռարժեք իոնը ( Տ  5 2 , L  0 ):

Նկ. 149. Շմ3Ի65Օ12 նռնաքարի մեկ բանաձնային միավորին բաժին ընկնող մագնիսական մոմենտի` ջերմաստիճանից կախման գրաֆիկը

Հազվագյուտ հողային ֆեռիտ-նռնաքարերում Խ3: իոնները հազվագյուտ հողային մետաղների խմբից են ն տեղադրվում են 6-ենթացանցի հանգույցներում: Երկաթի 5 իոններից 3-ը զբաղեցնում են մ-ենթացանցի, իսկ 2-ը` a-ենթացանցի հանգույցները: a-ենթացանցում մագնիսական մոմենտներն ուղղված են մ-ենթացանցի մագնիսական մոմենտներին հակառակ: 6-ենթացանցի մագնիսացվածությունն ուղղված է a- ն մ-ենթացանցերի գումարային ( 3  5B  2  5B  5B ) մագնիսացվածությանը հակառակ (նկ. 149): T  0 Կ ջերմաստիճանում Շմ3Ի65Օ12 նռնաքարի մեկ բանաձնային միավորին բաժին ընկնող մագնիսական մոմենտը` 1(0)  (3  7  5) B  16 B , որտեղ 7 B -ն գադոլինիումի (Շմ) մեկ իոնի մագնիսական մոմենտն է: Ցածր ջերմաստիճաններում Շմ-ի 3 իոնների գումարային մագնիսացվածությունը մեծ է երկաթի իոնների գումարային մագնիսացվածությունից, սակայն ջերմաստիճանի բարձրացման հետ այն կտրուկ նվազում է, որի հետնանքով բյուրեղի լրիվ մագնիսական մոմենտը դառնում է զրո ն ապա նորից աճում` շնորհիվ Ի63: իոնների ներդրման գերակշռման: Նկ. 149-ում պատկերված է Շմ3Ի65Օ12-ի մեկ բանաձնային միավորի մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկը:

§ 13. Փոխանակային փոխազդեցություն: Հայզենբերգի մոդելը Ուժեղ մագնիսական նյութերի ֆիզիկական հատկություններն ուսումնասիրելիս ենթադրվել է, որ դրանցում գոյություն ունի H E ներքին արդյունարար մագնիսական դաշտ, որի ազդեցությամբ տարրական մագնիսական մոմենտները ձեռք են բերում որոշակի կարգավորված դասավորություն: Կարելի էր ենթադրել, որ մոմենտների միջն գործող մագնիսական փոխազդեցությունը, որին համապատասխանության մեջ է դրվում H E դաշտ, պայմանավորված է մագնիսական մոմենտների երկբնեռային փոխազդեցությամբ: Սակայն § 9ում կատարված գնահատումների համաձայն` այդ փոխազդեցությամբ հնարավոր չէ բացատրել մագնիսական մոմենտների միջն իրական փոխազդեցությունը: Մագնիսական փոխազդեցության հիմնական պատճառների թվից կարելի է բացառել նան սպին-ուղեծրային փոխազդեցությունը, որը, սակայն, կարնոր դեր է խաղում առանձին ատոմի լրիվ մագնիսական մոմենտը որոշելիս: Մագնիսական փոխազդեցության հիմնական աղբյուրն էլեկտրոնների էլեկտրաստատիկ (կուլոնյան) փոխազդեցությունն է: Սակայն, ի տարբերություն անմիջական ուժային փոխազդեցության, մագնիսական փոխազդեցությունը կախված է էլեկտրոնների (մագնիսական իոնների) սպիների ուղղություններից ն Պաուլիի սկզբունքի հետնանք է: Որպեսզի պարզենք կապը համակարգի էներգիայի ն սպինի միջն, դիտարկենք ընդամենը երկու էլեկտրոն ունեցող համակարգ ն օգտվենք ջրածնի մոլեկուլի տեսության որոշ արդյունքներից (Մաս 1, 11.6): Ինչպես գիտենք, էլեկտրոնային համակարգի ալիքային ֆունկցիան օժտված է հակահամաչափության հատկությամբ, այսինքն` փոխում է իր նշանը, երբ կատարվում է երկու էլեկտրոնների փոխատեղություն` r1, s1  r2 , s2 : Սպին-ուղեծրային փոխազդեցության անտեսման ն արտաքին մագնիսական դաշտի բացակայության պայմաններում համակարգի համիլտոնիանը կախված չէ սպինից, ուստի ալիքային ֆունկցիան տրվում է կոօրդինատային`

(r1, r2 ) ն սպինային` ( 51, 52 ) ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով`  (r1, 51; r2 , s2 )  (r1, r2 )( s1, s2 ) :

(13.1)

Հնարավոր սպինային վիճակներից, որոնց համապատասխանում են 51 ն 52 սպիների 2 -պրոյեկցիաների որոշակի արժեքներ (այն է` s21  1 2 (  ),

s2 2  1 2 (  ), որը համառոտակի կնշանակենք s21, s2 2 |  |  սիմվոլով, ինչպես նան մնացած երեք հնարավոր վիճակները` |  , |  ն |  ), կարող ենք կազմել հետնյալ գծային համակցությունները`

1 ( 51, 52 ) 

2 ( 51, 52 ) | 

|   |   ,

Տ |51  52 | 0, Տ2  s12  s2 2  0,

13.2 

Տ  1,

Տ2  1,

13.3

|   |  ,

Տ  1,

Տ2  0 ,

13.4 

Տ  1,

Տ 2  1 :

13.5

3 ( 51, 52 ) 

4 ( 51, 52 ) 

 ,

Այս չորս ֆունկցիաներից 1(51, 52 ) -ը հակահամաչափ է`

1(52 , 51)  1(51, 52 ) ,

(13.6)

իսկ մնացած երեքը` համաչափ`

i (52 , 51)  i (51, 52 ) ,

(i  2, 3, 4) ,

(13.7)

հետնաբար` Տ  0 (սինգլետ) սպինային վիճակում համակարգը կնկարագրվի համաչափ կոօրդինատային s (r1, r2 ) ֆունկցիայով, իսկ Տ  1 (տրիպլետ) սպինային վիճակում` հակահամաչափ as (r1, r2 ) ֆունկցիայով: Կոօրդինատային (r1, r2 ) ալիքային ֆունկցիան բավարարում է Շրյոդինգերի հավասարմանը`

  2ˆ    

 2ո



(12   22 )  V ( r1 , r2 )   ( r1 , r2 )  E( r1, r2 ) , (13.8)



որտեղ V (r1, r2 ) -ը տրվում է (Մաս 1, 11.2.2) բանաձնով: (13.8) հավասարման ամենափոքր սեփական արժեքները, որոնք համապատասխանում են սինգլետ` s ն տրիպլետ` as լուծումներին, նշանակենք, համապատասխանաբար Es -ով ն Et -ով: Համակարգի հիմնական վիճակում համակարգի սպինը կլինի զրո` Տ  0 , եթե Es  Et ն կլինի մեկ` Տ  1 ,

եթե Et  Es : Այսպիսով` առկա է փոխադարձ կապ (13.8) հավասարման լուծման համաչափության ն համակարգի լրիվ սպինի միջն, որը պայմանավորված է ոչ թե ուղղակի սպին-ուղեծրային փոխազդեցությամբ, որն ընդհանրապես հաշվի չի առնված (13.8) հավասարման մեջ, այլ Պաուլիի սկզբունքով: Պարզենք էլեկտրոնային համակարգի լրիվ սպինի կախումը սինգլետ ն տրիպլետ վիճակներում էներգիաների տարբերությունից: Այդ նպատակով կառուցենք նոր օպերատոր` այսպես կոչված սպինային համիլտոնիան, որի սեփական արժեքները համընկնում են (13.8) հավասարման Es ն Et սեփական արժեքների հետ, իսկ սեփական ֆունկցիաները որոշում են համապատասխան վիճակներում համակարգի լրիվ սպինը: Երկէլեկտրոնային համակարգի լրիվ սպինի օպերատորի քառակուսին` Sˆ 2  ( sˆ  sˆ )2  sˆ2  sˆ2  2 sˆ sˆ : (13.9)

1 2

Փոխարինելով օպերատորների քառակուսիները համապատասխան սեփական արժեքներով` sˆ12 

11

11  3 ˆ2  3 , 52    1   ,   1  22  4  4

22

Տˆ 2  Տ  Տ  1 ,

(13.10)

կստանանք`

 3  , Տ  0, 1 3   5ˆ15ˆ2   Sˆ 2  5ˆ12  5ˆ22   Տ  Տ  1     4 (13.11)  2 2 2  1 , Տ 1 :  4 Հետնաբար` որոնելի սպինային օպերատորը կարելի է ներկայացնել

2ˆs  (Es  3Et )  ( Es  Et ) sˆ1sˆ2

(13.12)

տեսքով, որի սեփական արժեքներն են Es -ը (երբ Տ  0 ) ն Et -ն (երբ Տ  1 ): Առաջին` E  ( Es  3Et ) 4 գումարելին կախված չէ սպինից ն ըստ սպինային 4 հնարավոր վիճակների (1 սինգլետ ն 3 տրիպլետ) միջինացված էներգիան է, որը որպես հաստատուն կարելի է բաց թողնել, իսկ երկրորդ գումարելին կախված է համակարգի սպինից: Ընդունված է սպինային համիլտոնիանը ներկայացնել հետնյալ տեսքով (Վ. Հայզենբերգ, 1927 թ.)`

2ˆs   J sˆ1sˆ2

(13.13)

որտեղ

J  Es  Et :

(13.14)

Եթե J  0 , ապա, (13.13) առնչության համաձայն` համակարգի փոքր էներգիայով վիճակին համապատասխանում է երկու էլեկտրոնների սպիների զուգահեռությունը ( Տ  1), իսկ J  0 դեպքին` հակազուգահեռությունը ( Տ  0 ): Ի տարբերություն մագնիսական երկբնեռային փոխազդեցության  1 2  2 ( 1 R )(  2 R )  (13.15)   R  R էներգիայի, որը կախված է մագնիսական մոմենտների տարածական դիրքերից  R արտադրյալի միջոցով, սպինային համիլտոնիանով տրվող փոխազu12 

1 

դեցության էներգիան իզոտրոպ է` այն կախված է միմիայն 51 ն 52 սպիների փոխադարձ դիրքից: Այս իզոտրոպությունը հետնանք է (13.8) հավասարման

2ˆ օպերատորի սպինային անկախության ն կախված չէ նրա տարածական համաչափությունից: (13.14) արտահայտությամբ տրվող J մեծությունը, որն ընդունված է անվանել փոխանակային փոխազդեցության հաստատուն կամ պարամետր, կարելի է ներկայացնել J

Օ4 1  Տ2



Օ4 1  Տ2



2( 4  ՕՏ 2 ) 1  Տ4

(13.16)

տեսքով, որտեղ Օ -ն` կուլոնյան, 4 -ն` փոխանակային, իսկ Տ -ը` ծածկման ինտեգրալներն են (Մաս 1, 6.25  6.28 բանաձները. 7s  Es , 7as  Et ): R հեռավորությունը մեծացնելիս ( R  aB ) J (R) մեծությունը նվազում է էքսպոնենտային օրենքով: Ընդհանրացնենք (12.13) արտահայտությունը N էլեկտրոններից կազմված համակարգի համար`

2ˆs   J iյ sˆi sˆ յ , i յ

(13.17)

որտեղ 5ˆi -ն i -րդ էլեկտրոնի սպինի օպերատորն է, իսկ J iյ  J ( Riյ ) մեծությունը` (iյ) զույգի փոխանակային փոխազդեցության պարամետրը: Անհրաժեշտ է նշել, որ, որպես կանոն, N էլեկտրոնների համար գրված (13.17) արտահայտությունը կիրառվում է նան Տˆ  

 5ˆi , Տ  1 2 գումաi

րային սպինով ատոմների դեպքում`

2ˆs    J  Sˆ Sˆ :

(13.18)

Այսպիսով, մագնիսական մոմենտների կարգավորվածությունը մագնիսական բյուրեղներում պայմանավորված է (13.18) համիլտոնիանով նկարագրվող փոխանակային փոխազդեցությամբ: Տեսության մյուս խնդիրը փոխանակային փոխազդեցության J   J ( R , R ) հաստատունի նշանի որոշումն է, որով պայմանավորված է մագնիսական կարգավորվածության բնույթը` ֆեռոմագնիսական, թե հակաֆեռոմագնիսական: Եթե J  0 , ապա էներգիապես ձեռնտու է այնպիսի վիճակ, երբ հարնան ատոմների սպիները հակազուգահեռ են: Այսպիսի վիճակը համապատասխանում է հակաֆեռոմագնիսական կարգավորվածությանը (նկ. 136, բ): J  0 դեպքում տեղի ունի ֆեռոմագնիսական կարգավորվածություն, երբ բոլոր ատոմների մագնիսական մոմենտներն իրար զուգահեռ են (նկ. 136, ա): Հետագա հաշվարկներում պարզության համար կենթադրենք, որ սպինն իրեն պահում է որպես դասական մեխանիկական մոմենտ: Եթե փոխանակային փոխազդեցության J պարամետրի նշանը որոշում է մագնիսական կարգավորվածության բնույթը, ապա դրա մեծությունը որոշում է մագնիսական կարգավորվածության վիճակը նկարագրող երնութաբանական բնութագրերը, մասնավորապես` Կյուրիի ջերմաստիճանը: Իրոք, (13.18) համիլտոնիանն արտագրենք հետնյալ տեսքով`





2 s      ք J  S  S   2  : 

 



 

(13.19)



Մոլեկուլային դաշտի մոտավորության շրջանակներում Տ սպինի հարնան սպիները պետք է փոխարինել իրենց միջին արժեքներով`

S  S  

g B

 ,

(13.20)

որտեղ  -ն ատոմի միջին մագնիսական մոմենտն է: Այս դեպքում փոխանակային փոխազդեցության միջին էներգիայի համար կարելի է գրել 2 s   J  S S   J  S S  J  S    HE , (13.21) g  B      



որտեղ միջին մոլեկուլային մագնիսական դաշտի լարվածությունը` HE   J  S  J   : gB  ( g B )2 



(13.22)

Այս արտահայտության օգնությամբ մոլեկուլային դաշտի  հաստատունի համար կստանանք` H E  M  ո 

( gB )2



 J 



որտեղից` 

ո ( g B )2

 J 

(13.23)



Նկատի ունենալով մոլեկուլային դաշտի  հաստատունի ն Կյուրիի ջերմաստիճանի միջն կապը, ինչպես նան Կյուրիի հաստատունի (6.28) արտահայտությունը, կստանանք` Tc  Շ 

ո( gB

 )2

J 

ոg 2B2 Տ  Տ  1



3k B



Տ  Տ  1 3k B

 J  :

(13.24)



J  գործակիցները հեռավորությունից կախված շատ արագ նվազում են, ուստի (13.24) գումարում կարելի է սահմանափակվել միայն ամենամոտ հարնանների մոտավորությամբ: Նշանակելով այդ հարնանների թիվը 2 -ով, Կյուրիի Tc ջերմաստիճանի համար (13.24) բանաձնից կարելի է գրել` Tc 

ընդ որում

Տ (Տ  1) 3k B

2J ( a) -

J ( a) kB

(13.25)

J ( a) - 

e2 a

  Ec ,

(13.26)

որտեղ a -ն ցանցի հաստատունն է, Ec -ն` էլեկտրաստատիկ (կուլոնյան) փոխազդեցության էներգիան, իսկ  մեծությունը որոշվում է հարնան հանգույցների ատոմների ալիքային ֆունկցիաների ծածկումով: Գնահատումների ժամանակ կարելի է օգտվել



Tc Tո

(13.27)

բանաձնից, որտեղ Tո -ը բյուրեղի հալման ջերմաստիճանն է:  պարամետրը համեմատաբար մեծ է 3մ-տարրերի միացությունների համար ն փոքր է հազվագյուտ հողային միացությունների համար, քանի որ 48-էլեկտրոնները բավականաչափ խորն են ընկած ատոմում ն դրանց ալիքային ֆունկցիաները շատ քիչ են ծածկվում: Սա է պատճառը, որ հազվագյուտ հողային իոնների մագնիսական կարգավորվածությունը տեղի է ունենում համեմատաբար ցածր ջերմաստիճաններում:

Նկ. 150. ա. Ուղղակի փոխանակության, բ. գերփոխանակության, գ. անուղղակի փոխանակության սխեմայական պատկերումները

Մագնիսական փոխազդեցության վերն ուսումասիրված դեպքը հայտնի է ուղիղ (կամ անմիջական) փոխանակություն անվամբ, քանի որ այն պայմանավորված է երկու իոնների էլեկտրոնների ուղղակի կուլոնյան փոխազ203

դեցությամբ (նկ. 150, ա): Սակայն հաճախ մագնիսական իոնները միմյանցից բաժանված են ոչ մագնիսական (լրացված էլեկտրոնային թաղանթներ ունեցող) իոններով: Նման մագնիսական իոնների միջն մագնիսական փոխազդեցությունն իրականացվում է ոչ մագնիսական իոնի էլեկտրոնների միջոցով, ն որն ավելի էական է, քան մագնիսական իոնների ուղղակի փոխանակային փոխազդեցությունը: Մագնիսական փոխազդեցության դիտարկվող դեպքը հայտնի է որպես գերփոխանակություն (նկ. 150, բ) ն իրականանում է մեկուսիչ մագնիսական բյուրեղներում: Հազվագյուտ հողային մետաղներում մագնիսական փոխազդեցությունն իրականացվում է այլ ճանապարհով: Բացի անմիջական ուղղակի փոխանակային փոխազդեցությունից, որը բավականաչափ թույլ է 4f- էլեկտրոնների համեմատաբար ուժեղ տեղայնացման հետնանքով, մագնիսական իոնները հիմնականում փոխազդում են հաղորդականության էլեկտրոնների միջոցով (նկ. 150, գ): Փոխանակային փոխազդեցության այս դեպքը հայտնի է որպես անուղղակի փոխանակություն:

§ 14. Սպինային ալիքները ֆեռոմագնիսներում Ուժեղ մագնիսական նյութերի ջերմադինամիկական հատկությունները որոշելու ն, մասնավորապես, ինքնաբեր մագնիսացվածության ջերմաստիճանային վարքը ցածր ջերմաստիճանների տիրույթում ճշտելու համար անհրաժեշտ է քննարկել սպինային համակարգի գրգռված վիճակը: Հիմնական վիճակում ( 7  0 Կ) ֆեռոմագնիսի բոլոր մագնիսական մոմենտները (սպիները) ուղղված են նույն ուղղությամբ (նկ. 151, ա): Սպինային համակարգի ամենափոքր էներգիայով գրգռված վիճակը համապատասխանում է մեկ սպինի` այդ ուղղությունից շեղվելուն: Քանի որ այդ սպինը փոխազդում է հարնան սպիների հետ, ապա դրա շեղումը հաղորդվում է հարնաններին: Այսպիսով` սպինի շեղումը չի մնում տեղայնացված, այն տարածվում է ամբողջ բյուրեղով որպես սպինային ալիք: Նկարագրված մեխանիզմը նույնական է բյուրեղային ցանցի որնէ հանգույցի ատոմի տատանողական շարժման ն ցանցում առաձգական ալիքի առաջացման մեխանիզմի հետ: Նկ. 151, բ. ն գ.-ում պատկերված է սպինային ալիքը միաչափ ցանցում ժամանակի տրված պահին: Յուրաքանչյուր սպին

կատարում է կոնապտույտ, ն դրա փուլը որոշվում է k ալիքային թվով (սպինային ալիքի երկարությունը`   12a , որտեղ a -ն ցանցի հաստատունն է): Որոշենք ֆեռոմագնիսում սպինային ալիքի դիսպերսային հավասարումը`   (k) կախումը:

Նկ. 151. Ֆեռոմագնիսի ա. հիմնական վիճակը, բ. գրգռված վիճակը (սպինային ալիքի առաջացումը), գ. սպինային ալիքը գծային շղթայում. ալիքը պատկերված է սպինային վեկտորների ծայրերով անցնող կորագծով:

Ենթադրելով, որ սպինն իրեն պահում է որպես դասական մեխանիկական մոմենտ, կարող ենք օգտվել շարժման դասական հավասարումներից: Կենթադրենք նան, որ տվյալ սպինը փոխազդում է միայն իր ամենամոտ հարնան սպիների հետ: R հանգույցի ՏR սպինի փոխազդեցության էներգիան մոտակա R   հանգույցների 2 հատ ՏR սպիների հետ կտրվի

2 R  J SR  ՏR

(14.1)



արտահայտությամբ, որտեղ J -ն փոխանակային փոխազդեցության իզոտրոպության հետնանքով միննույնն է բոլոր 2 հարնանների համար: (14.1) արտահայտությամբ տրվող էներգիան կարելի է մեկնաբանել որպես ՏR սպինի էներգիա արդյունարար «արտաքին» մագնիսական դաշտում`

2 R   s H R ,

5  gB ՏR ,

(14.2)

որի լարվածությունը` (տես նան (13.22) բանաձնը)

HR  

J ՏR : gB 



(14.3)

Ինչպես հայտնի է մեխանիկայից, մասնիկի իմպուլսի մոմենտի ( ՏR ) փոփոխման արագությունը հավասար է մոմենտի վրա ազդող ուժի մոմենտին` d dt

 ՏR   [ s , H R ]  





[s , ՏR ]  J ՏR ,  ՏR  : (14.4) gB 





Արտագրենք (14.4) շարժման հավասարումն ըստ պրոյեկցիաների` x dՏR J   ՏRy ՏR ՏRy    ՏR dt    

 ,  

dՏRy J  2 x x   ՏR ՏR ՏR   ՏR   dt   

 ,  



(14.5)

 dՏR J x x   ՏR ՏRy   ՏRy ՏR :    dt      Հավասարումների (14.5) համակարգը ոչ գծային է, քանի որ համակարգի հավասարումների աջ մասերը պարունակում են սպինի պրոյեկցիաների արտադրյալներ: T  0 Կ վիճակում սպինի ուղղությունից փոքր շեղումների



(թույլ գրգռումների) համար կարելի է համարել Տ R2  Տ ն (14.5) հավասաx y րումների աջ մասերում արհամարհել Տ R ն ՏR պրոյեկցիաների արտադրյալ-

ներով անդամները: Նկատի ունենալով նան, որ

 ՏR2   2Տ , (14.5) համա

կարգի փոխարեն համակարգը` dՏ Rx dt



կստանանք

J

 2ՏՏ R  Տ  

գծային



Տ Ry    



JՏ 

հավասարումների

 2Տ R   



Տ Ry   , 

dՏ R 0 : dt

(14.6)



 dՏRy J  JՏ  x x x x   Տ ՏR  2Տ  ՏR  ՏR     2ՏR      dt       



հետնյալ



  ,  

(14.7)

(14.8)

 cօոst  Տ պայմանը: (14.6) ն (14.7) (14.8) հավասարումից հետնում է ՏR

հավասարումների լուծումները կփնտրենք վազող ալիքների տեսքով` x y ՏR  u exp[i( kR  t )] , ՏR  v exp[i(kR  t)] ,

(14.9)

որտեղ u ն v անհայտ լայնույթները բավարարում են

iu 

 JՏ   2  exp  ik  v=0,    



 JՏ   2  exp  ik  u  iv=0    

(14.10)



հավասարումների համակարգին, որի ոչ զրոյական լուծումներ ունենալու պայմանից ստացվում է սպինային ալիքի դիսպերսային հավասարումը`

 JՏ   JՏ   2  exp  ik  =  2  օօՏ  k  :         Մասնավորապես, միաչափ բյուրեղի դեպքում (      a , 2  2 )  k  



  k   2 JՏ 1  օօՏ ka  :

(14.11)

(14.12)

Ինչպես հետնում է (14.11) առնչությունից ն (14.10) համակարգից, v  iu , (14.13) հետնաբար` (14.9) առնչություններով տրվող պրոյեկցիաները մեծությամբ հավասար են, իսկ ժամանակի յուրաքանչյուր պահի` փուլով շեղված են  2 ով, որը նշանակում է ՏR վեկտորի կոնապտույտ 2 առանցքի շուրջը: Եթե ka  1 , (14.11) հավասարումից հետնում է սպինային ալիքի դիսպերսային հավասարումը երկարալիքային սահմանում JՏ 2 2 (14.14) ( k )  a k ,  որը նույնությամբ տեղի ունի ն՛ պարզ (    a, 0, 0 ; 0,  a, 0 ; 0, 0,  a ), ն՛ ծավալակենտրոն (    a 2 ,  a 2 ,  a 2 ), ն՛ նիստակենտրոն (    a 2 ,  a 2 , 0 ;

 a 2 , 0,  a 2 ; 0,  a 2 ,  a 2 ) խորանարդային ցանցերի համար:

Ի տարբերություն ձայնային ալիքների, որոնց համար երկարալիքային սահմանում   k  - k , սպինային ալիքների դեպքում  k  - k 2 , որը պայմանավորում է ֆեռոմագնիսական նյութի որոշ ջերմադինամիկական բնութագրերի առանձնահատկությունները: Որոշենք ֆեռոմագնիսական նմուշի մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախումը ցածր ջերմաստիճանների տիրույթում` օգտվելով սպինային ալիքների (14.11) դիսպերսային հավասարումից: N սպիների համակարգի լրիվ սպինը հիմնական վիճակում հավասար է

NՏ , քանի որ բոլոր սպիներն իրար զուգահեռ են ն ուղղված միննույն կողմը (նկ. 151, ա): Երբ համակարգում գրգռվում է սպինային ալիք, համակարգի լրիվ սպինը փոքրանում է, քանի որ խախտվում է սպիների զուգահեռությունը: Կապ հաստատենք սպինային ալիքի լայնույթի ն սպինի z -բաղադրիչի y x միջն: Քանի որ ՏR , ՏR  ՏR - Տ , ապա





Տ 2   Տ 2  Տ x2  Տ y2 



1/ 2

  

 Տ 1 

1/ 2

Տ2 

 Տ 2 

Տ

Տ2 2Տ

(14.15)

որտեղ Տ  Տx2  Տy2  2u2 : Եթե ոk -ով նշանակենք գրգռված սպինային

ալիքների թիվը ( ոk  0, 1, 2, ), որոնց ալիքային վեկտորը

k է ն նկատի

ունենանք, որ ամեն մի նոր սպինային ալիք առաջանալիս համակարգի լրիվ սպինի բաղադրիչը 2 ուղղությամբ փոքրանում է միավորով, կստանանք` NՏ 2  NՏ  ոk  NՏ 

Nuk2 Տ

կամ

ոk 

Nuk2 , Տ

(14.16)

uk2 

Տ ոk : N

(14.17)

որտեղից`

(14.1) բանաձնի համաձայն` սպինային համակարգի փոխանակային էներգիան ամենամոտ հարնանների մոտավորությամբ տրվում է

Ս  N 2 R   JN

 SR SR  JNՏ2 օօՏ  SR SR  

(14.18)



արտահայտությամբ: SR ն SRr սպիների միջն  անկյունը կապված է սպինային ալիքում ՏR ն ՏR սպիների միջն փուլերի k տարբերության հետ հետնյալ առնչությամբ (նկ. 152)`

2Տ Տiո

 k ,  2uk Տiո

որտեղից`

u   k օօՏ   1  2  k  Տiո 2   2  Տ 

 : 

(14.19)

Նկ. 152. Սպինային ալիքում սպինի վեկտորի հաջորդական դիրքերը

(14.19) ն (14.18) արտահայտություններից հետնում է, որ փոխանակային էներգիան`

Ս   JNՏ 2

 uk2 2  k  Տiո   Տ  2   



 2  k    JN2Տ  JNuk 2 Տiո  2  



    JN2Տ 2  JNuk2  2  օօՏ k    JN2Տ 2  k ,     



   (14.20)

որտեղ

  k  JNuk2  2  օօՏ k       



(14.21)

մեծությունը սպինային համակարգի գրգռման էներգիան է: Նկատի ունենալով (14.17) ն (14.11) արտահայտությունները` k գրգռման էներգիան կարելի է ներկայացնել

k    k  ոk

(14.22)

տեսքով, որը համընկնում է ներդաշնակ տատանակի էներգիական սպեկտրի հետ: Ուստի ջերմային հավասարակշռության վիճակում k ալիքային վեկտորով գրգռումների (սպինային ալիքների) միջին թիվը կտրվի Բոզե-Այնշտայնի բաշխումով`

   k   ոk  exp  1 kBT  

1

(14.23)

T  0 Կ ջերմաստիճանում համակարգում գրգռված սպինային ալիքների լրիվ

թիվը (անկախ k ալիքային վեկտորի արժեքից) տրվում է



ոk 



ոk 

Vd k

 ( 2 )3

ո

ոk 

0

 Օ () ո ()d

(14.24)

արտահայտությամբ, որտեղ k -ով ինտեգրումը կատարվում է Բրիլյուենի զոնայի 0 ծավալով, ո -ը սպինային ալիքի ամենամեծ հնարավոր հաճախությունն է, իսկ վիճակների խտության ֆունկցիան` Օ( ) 

4k 2 dk

 2 3 d

V :

(14.25)

Երբ k  kmոx , որը համապատասխանում է Բրիլյուենի զոնայի սահմանին, kո   , ուստի, նկատի ունենալով (14.11) առնչությունը, կարելի է գրել, որ (տես նան (13.25) բանաձնը) (k mոx ) k BT



ո k BT



2JՏ2 k BT



6 Tc Տ 1 T

(14.26)

որտեղ 7c -ն Կյուրիի ջերմաստիճանն է: Քննարկվող դեպքում T  Tc , ուստի մեծ հաճախություններով (մեծ k -երով) սպինային ալիքների ներդրումը (12.24) ինտեգրալում կարելի է հաշվի չառնել նրանց միջին թվի էքսպոնենտային կարգի փոքր լինելու պատճառով ն ինտեգրումը կատարել ( 0, ) տիրույթում: Այսպիսով, հիմնական ներդրումը (14.24) ինտեգրալում պայմանավորված է փոքր ( ka  1 ) ալիքային թվով սպինային ալիքներով, որոնց դիսպերսային հավասարումը տրվում է (13.14) առնչությամբ: Այս մոտավորությամբ վիճակների խտության ֆունկցիայի (13.25) արտահայտությունից ն (13.14) բանաձնից հետնում է, որ V   

3/ 2

1/ 2 (14.27)    : 4 2  JՏa2  (14.23) ն (14.27) արտահայտությունները տեղադրելով (14.24) ինտեգրալում` կստանանք.

Օ ( ) 

 k

ոk 

    2   2   JՏa2  V

 k BT    2   2   JՏa2  V

3/ 2  1/ 2

3/ 2 

1/ 2d

 exp ( kBT )  1 

 k BT    t 2  e  1  2   JՏa2 



t dt

3/ 2

(14.28)

 3  3    , 2 2

որտեղ  ( x ) -ը Ռիմանի ձետա-ֆունկցիան է, ( x) -ը` գամմա-ֆունկցիան.   3 2   2, 612 ,   3 2   2 :

Մագնիսացվածության

փոփոխությունը տրվում է հետնյալ բանաձնով` M 1 1  ոk , M 0 N 0Տ V k



հարաբերական

(14.29)

որտեղ N 0  Օ a3 մեծությունն ատոմների թիվն է միավոր ծավալում, իսկ Օ  1, 2, 4 համապատասխանաբար պարզ, ծավալակենտրոն ն նիստա-

կենտրոն խորանարդային ցանցերի համար: (14.28) ն (14.29) բանաձներից հետնում է ֆեռոմագնիսական նմուշի մագնիսացվածության ջերմաստիճանային կախման արտահայտությունը T  Tc տիրույթում`

 0, 0587  k T 3/ 2   M  B M T   M 0  1    M 0 1   JՏ   , M ՏՕ     0   

(14.30)

որը հայտնի է որպես Բլոխի « 3 2 -ի օրենք»: T 3/ 2 ջերմաստիճանային կախումը հետնանք է (14.14) դիսպերսային հավասարման ն, ի տարբերություն (10.5) արտահայտության, համապատասխանում է փորձարարական արդյունքներին: Ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց մագնիսացվածության նվազումը պայմանավորված է սպինային ալիքների թվի մեծացմամբ: Նկ. 153-ում պատկերված է գադոլինիումի ( Tc  293 Կ) հարաբերական մագնիսացվածության` (T Tc )3/ 2 -ից կախման գրաֆիկը, որն ուղիղ գիծ է, ն համապատասխանում է Բլոխի (14.30) օրենքին: Սպինային ալիքներ կարող են գրգռվել նան հակաֆեռոմագնիսական նյութերում: Սպինային ալիքների տեսությունը հակաֆեռոմագնիսներում զգալիորեն բարդ է. ամենաընդհանուր դեպքում դրանցում գրգռվում են իրարից տարբեր դիսպերսային հավասարումներով սպինային ալիքներ: Մասնավորապես, իզոտրոպ հակաֆեռոմագնիսական նյութում, արտաքին մագնիսական դաշտի բացակայությամբ, սպինային ալիքի դիսպերսային հավասարումը կամայական k -երի համար գծային է`

 k  

1/ 2 Ja Տ  Տ  1 k :  

(14.31)

Սպինային ալիքների դիսպերսային հավասարման իմանալը հնարավորություն է տալիս որոշելու նան համակարգի ջերմունակության մեջ դրանց ներդրումը: Մասնավորապես, վերն արված ենթադրությունների շրջանակներում, օգտվելով (14.23), (14.27) առնչություններից ն ջերմունակության սահմանումից, կարելի է որոշել սպինային ալիքների ներդրումը ֆեռոմագնիսի ջերմունակության մեջ` F ՇVՏ 

 5/ 2  3/ 2  3/ 2    V      k BT  t dt   ո   Օ   d   2     t T T  4  JՏa     e   



Vk  k T   3B  B  a  JՏ 

3/ 2

15  5 2  32

3/ 2

 4T 3/ 2 :

(14.32)

3/ 2 Նկ. 153. Գադոլինիումի հարաբերական մագնիսացվածության կախումը (T /Tc ) ից. փոքրիկ խաչերը նշում են փորձնական տվյալները:

Առանց մանրամասն արտածումների, նկատի ունենալով միայն (14.31) դիսպերսային հավասարման նմանությունը (այն է` գծայնությունը) ցանցային տատանումների դիսպերսային հավասարմանը երկարալիքային սահմանում (Մաս 1, 17.4.7) ն ցանցային ջերմունակության արտահայտությունը (Մաս 1, 17.4.37), հակաֆեռոմագնիսի ջերմունակության մեջ սպինային ալիքների ներդրման ջերմաստիճանային կախման համար կստանանք` 4F ՇVՏ - T 3 , որը Դեբայի օրենքի նմանակն է:

§ 15. Մագնիսական անիզոտրոպություն Բացի փոխանակային փոխազդեցություններից, որոնք որոշում են մագնիսական կարգավորվածության բնույթը ն ունեն կուլոնյան ծագում, մագնիսակարգավորված նյութերում կարնոր դեր են խաղում նան մագնիսական բնույթի ուժերը, որոնք զգալիորեն թույլ են կուլոնյան ուժերից: Փոխանակային փոխազդեցությունն օժտված է իզոտրոպությամբ, քանի որ այն հանգեցնում է փոխազդող սպիների զուգահեռության կամ հակազուգահեռության (կախված փոխանակային ինտեգրալի նշանից) ն ոչ մի կերպ չի որոշում դրանց ուղղությունները տարածական ցանցի նկատմամբ: Միայն փոխանակային փոխազդեցության առկայության պայմաններում մագնիսակարգավորված բյուրեղի մագնիսացվածության վեկտորի ուղղությունը բյուրեղում կլիներ լրիվ անորոշ: Սակայն, ինչպես ցույց է տալիս փորձը, իոնների մագնի213

սական մոմենտները (սպիները) մագնիսակարգավորված բյուրեղում ուղղված են ոչ թե պատահականորեն, այլ բյուրեղագրական առանցքների նկատմամբ միանգամայն որոշակի անկյուններով: Այս երնույթը` մագնիսացվածության վեկտորի կախումը ուղղությունից, հայտնի է որպես մագնիսաբյուրեղագրական անիզոտրոպություն ն պայմանավորված է մագնիսական բնույթի փոխազդեցությունների գոյությամբ: Այս փոխազդեցություններից առաջինը երկբնեռ-երկբնեռ փոխազդեցությունն է, որը   gBՏ մագնիսական մոմենտով ն իրարից rij հեռավորությամբ i ն յ մոմենտների համար տրվում է

3( Si riյ )( S յ riյ )  g 2 B2   Si S յ   (15.1)  riյ3  riյ2  արտահայտությամբ, որի համաձայն` փոխազդեցության էներգիան կախված է riյ շառավիղ-վեկտորի կամ, այլ կերպ ասած, բյուրեղային ցանցի նկատEiյ 

մամբ Si ն S յ սպիների դիրքից: Փոխազդեցության հետնանքով սպիները ցանցի նկատմամբ կողմնորոշվում են այնպես, որ դրանց լրիվ էներգիան ըստ ցանցի բոլոր ատոմների, այսինքն` Eiյ մեծությունների գումարը լինի նվազագույնը: Ընդսմին, միմյանց նկատմամբ հարնան սպիների կողմնորոշումը մնում է անփոփոխ, քանի որ այն պայմանավորված է շատ ավելի ուժեղ փոխանակային փոխազդեցությամբ: Բյուրեղագրական ուղղությունը, որով ուղղվում են սպիները էներգիայի մինիմումի պայմաններում, ընդունված է անվանել հեշտ մագնիսացման ուղղություն կամ հեշտ մագնիսացման առանցք: Մագնիսական բնույթի մյուս փոխազդեցությունը, որը նույնպես կախված է սպիների` ցանցի նկատմամբ կողմնորոշումից, պայմանավորված է սպին-ուղեծրային փոխազդեցությամբ, որը բնութագրվում է Esl -   LS 

(15.2)

էներգիայով, որտեղ L -ն ատոմի ուղեծրային մոմենտն է, որը որոշում է ատոմի (իոնի) էլեկտրոնային ամպի տեսքը,  հաստատունը կախված չէ

L -ից ն Տ -ից ն համեմատական է (2e2 c)2 մեծությանը ( 2 -ը ատոմի կարգաթիվն է): Բյուրեղում ատոմների (իոնների) էլեկտրոնային թաղանթները

որոշակի դիրքեր են գրավում տարածական ցանցի նկատմամբ, որն, իր հերթին, հանգեցնում է ցանցի նկատմամբ սպիների որոշակի կողմնորոշման: Մագնիսաբյուրեղագրական անիզոտրոպությունը սխեմատիկորեն պատկերված է նկ. 155-ում, որից հետնում է, որ էլեկտրոնների փոխանակային փոխազդեցության էներգիաների տարբերությունը հետնանք է էլեկտրոնային ամպերի ծածկման տարբերության: Մագնիսական փոխազդեցություններին համապատասխանության մեջ է դրվում որոշակի էներգիա, որը կախված է մագնիսական մոմենտի տարածական դիրքից ն կոչվում է անիզոտրոպության էներգիա: Անիզոտրոպության էներգիան զգալիորեն թույլ է փոխանակային փոխազդեցության էներգիայից, քանի որ ունի ռելյատիվիստական ծագում. իրոք

 2B

 B2

 e  Eiյ - 3 - 3 -   riյ aB  ոc 

 ոe2   e2  ոe 4 - 2 Ry ,  2  -    c      

(15.3)

 2e2  Esl -  -  Ry - 2 2 2 Ry ,  c    որտեղ   e2 c  1 137 մեծությունը նուրբ կառուցվածքի հաստատունն է, իսկ

Ry  ոe4 22  13, 6 էՎ`

Ռիդբերգի

էներգիան:

(15.3)

բանաձնի

համաձայն` Eiյ - 104 էՎ, իսկ Esl - 102 էՎ ( 2 - 10 ): Այս է պատճառը, որ բյուրեղի մագնիսացվածության մեծությունը որոշելիս անիզոտրոպության էներգիան հաշվի չի առնվում. այն որոշում է միայն մագնիսացվածության վեկտորի ուղղությունը:

Նկ. 154. Հարնան իոնների էլեկտրոնային թաղանթների ծածկման անիզոտրոպությունը հանգեցնում է մագնիսաբյուրեղագրական անիզոտրոպության:

Նկ. 155. ա. Երկաթի ն բ. կոբալտի միաբյուրեղների մագնիսացման կորերը

Խորանարդային բյուրեղի (օրինակ` երկաթի) հեշտ մագնիսացման ուղղությունները համընկնում են խորանարդի կողերի հետ, իսկ վեցանկյունային բյուրեղի (օրինակ` կոբալտի) հեշտ մագնիսացման ուղղությունը համընկնում է վեցերորդ կարգի առանցքի հետ: Նկ. 155-ում տրված են մագնիսացվածության` արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից կախման գրաֆիկները տարբեր բյուրեղագրական ուղղությունների համար: Ինչպես երնում է բերված կորերից, երկաթի համար հեշտ մագնիսացման ուղղություն է [100] , կոբալտի համար` [0001] ուղղությունը, իսկ դժվար

մագնիսացման ուղղություններն են համապատասխանաբար [111] -ը (Ի6) ն

[1010] -ն (Ըօ): Եթե բյուրեղը մագնիսացվել է ինչ-որ ուղղությամբ, ապա նմուշի միավոր ծավալի մագնիսական անիզոտրոպության էներգիան արտահայտվում է մագնիսացվածության վեկտորի` բյուրեղագրական ուղղությունների հետ կազմած ուղղորդ կոսինուսներով` (15.4) Ea   (1, 2 , 3 ) , որտեղ  -ն i ուղղորդ կոսինուսների զույգ ֆունկցիա է, քանի որ բյուրեղագրական առանցքների հակառակ ուղղությունները մագնիսական տեսակետից իրար համարժեք են: Խորանարդային բյուրեղների համար այն նան համաչափ ֆունկցիա է i   յ փոխատեղությունների նկատմամբ: Ըստ i փոփոխականների ամենացածր` քառակուսային կարգում, նշված պայմաններին բավարարում է 12  22  32 ձնը, որը, սակայն հավասար է միավորի ն չի կարող նկարագրել անիզոտրոպության երնույթը: Հաջորդ` ըստ i փոփոխականների չորրորդ ն վեցերորդ աստիճանի անդամները տրվում են համապատասխանաբար

14  42  34  1  2(1222  2232  1232 )

(15.5)

16  62  63  1  3(1222  2232  1232 )  3122232

(15.6)

ն բանաձներով, որոնք հետնում են (12  22  32 )ո  1 (ո  0,1, 2,) նույնությունից: Այսպիսով, ներառյալ i փոփոխականների վեցերորդ կարգի անդամները, խորանարդային բյուրեղի անիզոտրոպության էներգիայի խտությունը կարելի է ներկայացնել

Ea  K1 (1222  2232  1232 )  K2122232 ,

(15.7)

արտահայտությամբ, որտեղ K1 ն K 2 գործակիցները կոչվում են անիզոտրոպության առաջին ն երկրորդ հաստատուններ: Հաճախ (15.7) բանաձնում երկրորդ գումարելին անտեսվում է առաջինի նկատմամբ: Անիզոտրոպության հաստատունների նշանները ն մեծությունները որոշում են տվյալ բյուրեղի համար «հեշտ» մագնիսացման բյուրեղագրական ուղղությունը:

Նկ. 156. Երկաթի անիզոտրոպության առաջին` K1 ն երկրորդ` K2 հաստատունների ջերմաստիճանային կախումները

Նկ. 156-ում պատկերված են անիզոտրոպության հաստատունների ջերմաստիճանային կախման կորերը երկաթի համար ( K -ն տրված է 105 էրգ/սմ3 միավորով): Ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց անիզոտրոպության հաստատունները նվազում են ն ձգտում զրոյի, երբ T  Tc :

§ 16. Ֆեռոմագնիսական դոմեններ Ֆեռոմագնիսի ֆիզիկական հատկություններն ուսումնասիրելիս մինչն այժմ ենթադրվել է, որ բյուրեղի ամբողջ ծավալում մագնիսացվածությունը (փոքր տատանումների ճշտությամբ, պայմանավորված սպինային ալիքների գոյությամբ) ունի միննույն մեծությունն ու ուղղությունը: Սակայն եթե սենյակային ջերմաստիճաններում դիտարկենք, օրինակ` երկաթի ( Tc - 1000 Կ) մի կտոր, ապա հեշտությամբ կհամոզվենք, որ նրա մագնիսացվածությունը շատ փոքր է հագեցման վիճակին համապատասխանող արժեքից, ն հագեցում ստանալու համար պահանջվում է արտաքին մագնիսական դաշտ: Այս փաստը բացատրելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել մագնիսական մոմենտների երկբնեռային փոխազդեցությունը, որն առայժմ արհամարհվել է փոխանակային փոխազդեցության նկատմամբ: Սակայն փոխանակային փոխազդեցությունն ունի ցանցի հաստատունի կարգի գործողության շառավիղ, ուստի սպիների միջն հեռավորությունն աճելիս այն շատ

արագ (էքսպոնենտային օրենքով) նվազում է, ի տարբերություն երկբնեռային փոխազդեցության, որը նվազում է r 3 օրենքով: Այս երկու փոխազդեցությունների մրցակցության արդյունքում մակրոսկոպական նմուշի մագնիսական փոխդասավորությունը կարող է բավականաչափ բարդ լինել, քանի որ հսկայական թվով սպիների երկբնեռային փոխազդեցության էներգիան դառնում է զգալի, ն դրա ազդեցությունը կարող է էապես փոխել փոխանակային փոխազդեցության տեսանկյունից նպաստավոր սպինային փոխդասավորությունը: Երկբնեռային փոխազդեցության տեսանկյունից ֆեռոմագնիսական նմուշի համասեռ մագնիսացվածության վիճակը բոլորովին նպաստավոր չէ: Իրոք, համասեռ մագնիսացվածության վիճակում նմուշի հանդիպակաց մակերնույթներին տեղի ունի մագնիսացվածության թռիչք, քանի որ նմուշում M  0 , իսկ դրանից դուրս M  0 , այսինքն` մiv M  0 : Համաձայն մագնիսաստատիկայի հիմնական հավասարման`

մiv Թ  մiv  H  4M   0 ,

(16.1)

կամ

մiv H  4 մiv M  0 , (16.2) որտեղից անմիջապես հետնում է, որ H  0 : Ընդունված է ասել, որ նմուշի մակերնույթին առաջանում են «մագնիսական բնեռներ» (նկ. 157, ա): Նմուշը «վերածվում է» մագնիսի, որը շրջապատող տարածության մեջ ստեղծում է զգալի էներգիայով օժտված մագնիսական դաշտ: Մագնիսական էներգիան` (16.3) Eո  B2dV , 8 որտեղ ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածությամբ` ներառյալ նմուշի V ծավալը:



Նմուշից դուրս M  0 , B  H - r 3 , իսկ նմուշի ներսում H  0 , ուստի

Թ  4M :

(16.4)

(16.3) բանաձնով գնահատենք մագնիսական էներգիան`

Eո 

8

  4M 

dV 

H 2dV - 2M 2V : 8



(16.5)

Երկբնեռային փոխազդեցության, հետնաբար ն մագնիսական էներգիան էապես կփոքրանա, եթե նմուշը տրոհվի առանձին մակրոսկոպական տիրույ219

ա բ Նկ. 157. Դոմենների առաջացումը. ա. միադոմեն նմուշ, բ. նմուշի տրոհումն ավելի փոքր դոմենների թների` դոմենների, որոնց մագնիսական մոմենտների ուղղությունները խիստ տարբեր են (նկ. 157, բ): Իրոք, եթե նմուշը տրոհվի ո դոմենի, ապա յուրաքանչյուր դոմենում հագեցման մագնիսացվածությունը կլինի M / ո , իսկ նմուշի մագնիսական էներգիան`

M Eո - ո   V - M 2V , (16.6) ո  ո  որն ո անգամ փոքր է դոմենների չտրոհված նմուշի մագնիսական էներգիայից: Հետնաբար` մագնիսական (երկբնեռային) փոխազդեցության տեսանկյունից նպատակահարմար է նմուշի` հնարավորին չափ շատ դոմենների տրոհվելը: Մյուս կողմից, դոմենների տրոհված նմուշում հարնան դոմենների սպիներն ունեն իրարից զգալիորեն տարբեր ուղղություններ, որի հետնանքով սպիների փոխանակային փոխազդեցության էներգիան մեծանում է: Սակայն վերջինիս կարճազդեցության հետնանքով այն կմեծանա միայն դոմենների բաժանման սահմանին մոտ տեղակայված սպիների համար: Սրան հակառակ, երկբնեռային փոխազդեցության էներգիայի փոքրացումն իրենից ներկայացնում է ծավալային երնույթ: Հետնաբար` դոմենների տրոհվելու հետնանքով նմուշի լրիվ էներգիան փոքրանում է, քանի որ բոլոր սպիների

երկբնեռային փոխազդեցության էներգիայի արդյունարար նվազումը, որպես ծավալային երնույթ ( - V -ին), կարող է գերազանցել դոմենների բաժանման սահմաններին մոտ տեղակայված սպիների փոխանակային փոխազդեցության արդյունարար աճը, որպես մակերնութային երնույթ ( - ՏD ), եթե, իհարկե, դոմենները դեռնս շատ փոքր չեն (տես` ստորն): Միջդոմենային սահմանի առաջացումով պայմանավորված աճը կարելի է փոքրացնել, եթե մի դոմենից մյուսին անցնելիս սպիների ուղղությունները փոխվեն ոչ թե ցանցի հաստատունի, այլ դրանից զգալիորեն մեծ երկարության վրա, ընդգրկելով որոշակի անցումային շերտ (դոմենային կամ Բլոխի պատ, նկ. 158): Իրոք, սպիները դասականորեն դիտարկելիս երկու սպինի փոխանակային փոխազդեցության էներգիան` H s   J S1S2   JՏ 2 օօՏ  ,

(16.7)

որտեղ  -ն սպիների միջն անկյունն է: Երկու հարնան 180-աստիճանային (   180 ) դոմեններին պատկանող սպիների համար (նկ. 158) H s  JՏ 2 : Մյուս կողմից, եթե մի դոմենից մյուսին անցումը կատարվում է N հավասար քայլերով, ապա երկու հարնան սպիների միջն անկյունը`    N ( N  1 ), իսկ դրանց փոխանակային փոխազդեցության էներգիան`

H s   JՏ 2 օօՏ

 1   2     JՏ 2 1     : N  2  N  

(16.8)



Սպինի շրջվելը 180 -ով կատարվում է N քայլով, ուստի դրա համար պահանջվող էներգիան` E  N  H s  (  JՏ 2 )  





2 2N

JՏ 2 ,

(16.9)

որը 2N 2 անգամ փոքր է H s  JՏ 2 էներգիայից: (16.9) արտահայտության համաձայն` E - N 1 , ուստի անցումային տիրույթը` Բլոխի պատը, կարող է հաստությամբ հավասարվել նմուշի չափերին: Սակայն դրան խոչընդոտում է մագնիսական անիզոտրոպության երնույթը, այսինքն` Բլոխի պատի վերջավոր l0 լայնությունը հետնանք է անիզոտրոպության էներգիայի գոյությամբ:

Նկ. 158. Սպիների ուղղությունների փոփոխությունն անցումային շերտում (Բլոխի պատ)

Գնահատենք l0 -ն (նկ. 158): Պատի միավոր մակերեսին բաժին ընկնող էներգիան հավասար է փոխանակային փոխազդեցության ն անիզոտրոպության էներգիաների գումարին`

  ex  a :

(16.10)

Պատի միավոր մակերեսով անցնող ատոմային (սպինային) շղթաների թիվը (նկ. 158-ում պատկերված է մեկ այդպիսի շղթա) 1 a2 է: Բազմապատկելով այն մեկ ատոմային շղթայի E էներգիայով` (16.9) արտահայտությամբ` կստանանք միավոր մակերեսին բաժին ընկնող փոխանակային էներգիան.

ex 

E 

2 JՏ 2 2Na2

(16.11)

Ըստ մեծության կարգի, պատի միավոր մակերեսին բաժին ընկնող անիզոտրոպության էներգիան` a 

KNaՏ0 Տ0

 KNa ,

(16.12)

որտեղ K -ն անիզոտրոպության հաստատունն է, Տ0 -ն` պատի մակերեսը: Տեղադրենք (16.11) ն (16.12) արտահայտությունները (16.10) առնչության մեջ ն որոշենք դրա մինիմումն ըստ N -ի`

2 JՏ 2  d     Ka  0 ,  dN  2a2 N 02   N  N0

(16.13)

որտեղից` 1/ 2

 JՏ 2  N0    3   2a K    Բլոխի պատի հաստությունը`

(16.14)

1/ 2

 JՏ 2  l0  aN 0    ,  2aK    իսկ պատի միավոր մակերեսին բաժին ընկնող էներգիան`

(16.15)

1/ 2

 JՏ 2 K  0   KaN 0     a  2aN 0   2 JՏ 2

(16.16)

Թվային գնահատումներ կատարելու համար նպատակահարմար է ստացված արտահայտություններում օգտագործել փոխանակային J ինտեգրալի ն Կյուրիի Tc ջերմաստիճանի միջն (12.25) կապը, որի օգնությամբ կստանանք` 1/ 2

k T  N 0   B 3c   Ka 

1/ 2

k T  l0   B c   Ka 

1/ 2

 Kk T  0   B c   a 

(16.17)

Երկաթի համար ( Tc  1000 , a  3 Å) սենյակային ջերմաստիճաններում ( K  4  105 էրգ/սմ3) ստացվում են հետնյալ բնութագրական արժեքները`

N0  300 ,

l0  1000Å  105 սմ ,

0  1 էրգ/սմ3 :

Այսպիսով` երկու հարնան դոմենների միջն անցումային շերտի լայնությունը` l0  a , իսկ սպինի պտույտն իրականացվում է N0  1 սպիների փոքր` 0   N 0  1օ անկյունով պտույտներով արդյունքում: Այժմ որոշենք դոմենի բնութագրական չափերը: Դիտարկենք շերտավոր դոմենային կառուցվածքով ֆեռոմագնիսական նմուշ, որն ունի L կողով խորանարդի տեսք (նկ. 159, ա): D -ն դոմենի լայ-

նությունն է, ո -ը` դոմենների թիվը: Նմուշի մագնիսական էներգիան տրվում է (15.6) բանաձնով`

Նկ. 159. Նմուշի տրոհումը դոմենների. ա. շերտավոր դոմենային կառուցվածք, բ. Լանդաու-Լիֆշիցի տիպի դոմենային կառուցվածք Eո 

M 2V 

L3 ո

M 2  DL2 M 2 ,

(16.18)

իսկ դոմենային պատերի լրիվ էներգիան` Ew  0 L2 ո 

0 L3 D

(16.19)

Նմուշի միավոր ծավալին բաժին ընկնող էներգիան`





DM 2

( Eո  Ew )  0  D L L3

(16.20)

ունի նվազագույն արժեք, երբ

 M2  d    02  0 ,  dD  L D0   D  D0

(16.21)

որտեղից` 1/ 2

 L0    M2 

D0  

իսկ էներգիայի խտությունը`



( L0 )1/ 2 - L1/ 2 ,

(16.22)

1/ 2

2   0  0  2 M  0  D0  L 

(16.23)

(16.22) բանաձնի համաձայն` որքան մեծ է հագեցման M մագնիսացվածությունը, այնքան փոքր է դոմենի D0 հաստությունը, այսինքն` այնքան շատ դոմենների է բաժանվում նմուշը. 1/ 2

ո0 

 L  L LM   M   D0 ( L0 )1/ 2  0 

(16.24)

Մյուս կողմից, մեծ 0 -ին համապատասխանում է մեծ D0 , այսինքն` պատ ստեղծելու համար անհրաժեշտ էներգիայի մեծացումը խոչընդոտում է դոմենների բաժանման պրոցեսին: Թվային գնահատումների համաձայն` M  2  102 Գս

մոմենտով

L  1 սմ կողով երկաթի խորանարդային նմուշի համար D0  5  103 սմ, որն ավելի քան երկու կարգով գերազանցում է Բլոխի պատի l0 հաստությունը, իսկ

0  5  102 էրգ/սմ3:

Համասեռ

մագնիսացված

նմուշի

համար

0 - M 2 - 4  104 էրգ/սմ3, այսինքն` դոմենների չտրոհված վիճակում մագնիսացման էներգիան մոտ երկու կարգով գերազանցում է նույն նմուշի էներգիան դոմենների տրոհված վիճակում: Սա է պատճառը, որ ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում ֆեռոմագնիսական նմուշը տրոհվում է դոմենների: Դիտարկենք մեկ այլ` Լանդաու-Լիֆշիցի տիպի դոմենային կառուցվածք (նկ. 159, բ): Տվյալ դեպքում նմուշի հանդիպակաց նիստերին մագնիսական բնեռներ չեն առաջանում, ուստի մագնիսական դաշտը նմուշից դուրս բացակայում է, ն Eո  0 : Եռանկյուն կտրվածքով «փակող» դոմենները շերտավոր դոմենների նկատմամբ ունեն 90 -ով շեղված ն դժվար մագնիսական առանցքով ուղղված մագնիսական մոմենտներ, ուստի դրանց հետ կապված է մագնիսաբյուրեղագրական անիզոտրոպության որոշակի էներգիա` Ea  KV1 ,

(16.25)

որտեղ V1 -ը «փակող» դոմենների զբաղեցրած ծավալն է`

V1 

D2 L 4 ո

2ո 

DL2

(16.26)

(16.26), (16.25) ն (16.19) բանաձներից հետնում է նմուշի միավոր ծավալի էներգիայի արտահայտությունը`

 

1  0L3 DL2  0 KD ,  K    2  D 2L L3  D

(16.27)

որն ընդունում է նվազագույն արժեք`

Նկ. 160. Փոքր չափերով ( R  R0 ) միադոմեն նմուշ 1/ 2

 2 K  0   0   L 

(16.28)

(16.29)

երբ 1/ 2

 2 L  D0   0   K 

Ինչպես ն շերտավոր դոմենային կառուցվածքում, D0 - L1/ 2 ն 10/ 2 : Էներգիայի խտության (16.23) ն (16.28) արտահայտությունների համեմատությունից հետնում է, որ շերտավոր դոմենային կառուցվածքն ավելի նպաստավոր է, քան Լանդաու-Լիֆշիցի տիպի կառուցվածքը, եթե 0  0 , այսինքն` 1/ 2

1/ 2

   2 K  2M  0    0  կամ K  2M 2 , (16.30)  L   L  որը համապատասխանում է ուժեղ անիզոտրոպության դեպքին: Հակառակ`

K  2M 2 դեպքում իրացվում է Լանդաու-Լիֆշիցի տիպի դոմենային կառուցվածքը: Մի տիպի կառուցվածքից մյուսին անցնելու ճշգրիտ պայմանը տրվում է հետնյալ առնչությամբ`

K  2M 2 :

(16.31)

(16.23) ն (16.28) արտահայտությունների համաձայն` նմուշի էներգիայի խտությունը դրա չափերի փոքրացման հետ աճում է L1/2 օրենքով ն բավականաչափ փոքր L -երի դեպքում կարող է այնքան մեծանալ, որ դոմենային կառուցվածքի առաջանալը դառնա էներգիապես ոչ ձեռնտու, ն նմուշը մնա միադոմեն վիճակում: Բանն այն է, որ նմուշի չափերը փոքրացնելիս դոմենային պատերի էներգիան կազմում է նմուշի էներգիայի ավելի ու ավելի մեծ մասը: Գնահատենք նմուշի ամենամեծ չափը, որից հետո այն կմնա միադոմեն վիճակում: Եթե նշանակենք R -ով դոմենի շառավիղը, ապա ըստ մեծության կարգի

Ew - 0 R 2  M 2 R 3 - Eո , որտեղից`

R  R0 -

0 M

0 - K1/ 2 K

(16.32)

Երբ  - 1 էրգ/սմ2, M  2  102 Գս ն R0  105 սմ, այսինքն` ավելի փոքր`

R  R0 շառավղով նմուշները կլինեն միադոմեն վիճակում (նկ. 160): Հարկ է նշել, որ, բացի քննարկված գործոններից, դոմենային կառուցվածքի վրա էական ազդեցություն կարող է ունենալ նան նմուշի կոնկրետ ձնը: Հակաֆեռոմագնիսական բյուրեղներում գումարային մագնիսական մոմենտը զրո է, ուստի մագնիսաստատիկ էներգիան զրո է, հետնաբար` պատճառներ չկան, որպեսզի նմուշը տրոհվի դոմենների: Այնուամենայնիվ, ինչպես ցույց են տալիս փորձերը, որոշ դեպքերում հակաֆեռոմագնիսական նյութերը նույնպես ունեն դոմենային կառուցվածք, որը, չնայած էներգիական տեսանկյունից ձեռնտու չէ, սակայն կարող է լինել բավականաչափ կայուն: Այժմ ուսումնասիրենք արտաքին մագնիսական դաշտի ազդեցությունը ֆեռոմագնիսական նմուշի դոմենային կառուցվածքի վրա: Դոմենների տրոհված նմուշն ապամագնիսացված` M  0 մագնիսացվածությամբ վիճակում է: Արտաքին մագնիսական դաշտ կիրառելիս ծագում է զրոյից տարբեր մագնիսացվածություն, որը դաշտի մեծացմանը զուգընթաց աճում է մինչն բյուրեղի հագեցման մագնիսացվածության M 0 արժեքը: Մագ227

նիսացվածության` արտաքին դաշտից ունեցած ոչ գծային կախումը (նկ. 162, ա) պայմանավորված է երկու` իրարից անկախ պրոցեսներով. 1. Արտաքին դաշտի նկատմամբ «հարմար» ձնով կողմնորոշված մոմենտներով դոմենների աճ` այլ, «ոչ հարմար» կողմնորոշմամբ դոմենների հաշվին: Այս պրոցեսն իրականանում է թույլ արտաքին մագնիսական դաշտերում ն հետնանք է դոմենային սահմանների դարձելի տեղափոխության, այսինքն` երբ արտաքին դաշտը ձգտում է զրոյի, դոմենային սահմանները վերադառնում են իրենց սկզբնական ( H  0 ) դիրքերին (նկ. 161, ա, 1 տիրույթ`

0  H  H1 ): Դաշտի հետագա աճը հանգեցնում է դոմենային սահմանների անդարձելի տեղափոխության (նկ. 161, 11 տիրույթ` H1  H  H2 ):

Նկ. 161. ա. Մագնիսացվածության ոչ գծային կախումն արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից, բ. հիստերեզիսի օղակը

2. Ուժեղ ( H  H2 ) արտաքին դաշտում դոմենների մագնիսական մոմենտների վեկտորների պտույտ` դաշտի ուղղությամբ (նկ. 161, 111 տիրույթ): Եթե մագնիսական դաշտը փոխվի 0  Hmոx  0  Hmոx  0 հաջորդականությամբ, ապա նմուշի մագնիսացվածության` կախումը | -ից կպատկերվի նկ. 161, բ-ում պատկերված կորով` հիստերեզիսի օղակով (ընդունված է նան «տեխնիկական մագնիսացվածության կոր» անվանումը), որը բնութագրվում է հետնյալ մեծություններով` հագեցման M 0 մագնիսացվածությամբ, մնացորդային M r մագնիսացվածությամբ ն | c կոէրցիտիվ դաշտով: M 0 -ն բնու228

թագրում է նյութը, իսկ M r ն H c մեծություններն էապես կախված են նմուշի նախապատմությունից` դրա մեխանիկական, ջերմային ն մագնիսական մշակումից, արատների տեսակից ն դրանց խտությունից (այսպես կոչված կառուցվածքազգայուն բնութագրեր): Հիստերեզիսի կորի բացատրությունը հանգում է բազմադոմեն նմուշներում դոմենային պատերի շարժման, ինչպես նան մագնիսական դոմենների ստեղծման պրոցեսի բացատրությանը միադոմեն, այսինքն` հագեցած նմուշներում: ա

Նկ. 162. Միաբյուրեղային նմուշի դոմենային կառուցվածքի փոփոխությունը. ա. արտաքին դաշտի լարվածությունն ուղղված է հեշտ մագնիսացման առանցքով, բ. որոշակի անկյուն է կազմում այդ առանցքի հետ:

Նկ. 162-ում պատկերված է միաբյուրեղային նմուշի դոմենային կառուցվածքի փոփոխությունը մագնիսական դաշտի աճին զուգընթաց, երբ դաշտն ուղղված է հեշտ մագնիսացման առանցքի ուղղությամբ` (ա), ն երբ այն հեշտ մագնիսացման ուղղության հետ որոշակի անկյուն է կազմում (բ): Հնարավոր է նան դոմենային սահմանների տեղաշարժ ն դոմենների մագնիսական մոմենտների պտույտ` միաժամանակ: Շատ փոքր` R  R0 չափերով միադոմեն, այսինքն` հագեցած մագնիսացվածությամբ մասնիկների համակարգը կարող է մագնիսանալ միայն մագնիսական մոմենտի պտույտի միջոցով, ընդ որում, այդ պտույտի համար կարող են պահանջվել շատ մեծ մագնիսական դաշտեր, պայմանավորված ինչպես մագնիսական անիզոտրոպությամբ, այնպես էլ մասնիկների ձնի անիզոտրոպությամբ:

ԳԼՈՒԽ Ճ

ԳԵՐՀԱՂՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

§ 1. Գերհաղորդականության հայտնագործումը 1908 թ. Հ. Կամեռլինգ-Օնեսին հաջողվեց հեղուկացնել վերջին իներտ գազը` հելիումը (հեղուկացման ջերմաստիճանը` Tհ  4, 2 Կ), որը հնարավորություն ընձեռեց կատարելու ֆիզիկական հետազոտություններ 1  10 Կ ջերմաստիճանների տիրույթում: Մետաղների, մասնավորապես պլատինի (Pt) ն ոսկու (Ճս), էլեկտրական դիմադրության չափումների հիման վրա Կամեռլինգ-Օնեսը եկավ այն եզրակացության, որ երբ T  0 Կ, մետաղի դիմադրությունը ( R ) ձգտում է դրա մնացորդային դիմադրությանը, որի մեծությունը կախված է նմուշի մաքրության աստիճանից (նկ. 163., R0 -ն դիմադրությունն է 0  C -ում): Պետք էր սպասել, որ կատարյալ մաքուր պլատինը ն ոսկին հելիումի հեղուկացման ն ավելի ցածր ջերմաստիճաններում կունենան անվերջ փոքր դիմադրություն (նկ. 163, ամբողջությամբ կետագիծ կորը համապատասխանում է կատարյալ մաքուր ոսկուն): Այսպիսի պատկերացումը չէր հակասում քվանտային տեսությունից բխող եզրակացություններին: Իրոք, պինդ մարմնի տեսության համաձայն, երբ T  0 Կ, հավասարակշռության դիրքերի շուրջ տատանվող ատոմներից յուրաքանչյուրին բաժին ընկնող միջին ջերմային էներգիան նվազում է էքսպոնենտային օրենքով (Մաս 1, 17.2.14)` (, T )  exp(  kBT ) , որտեղ  -ն տատանումների հաճախությունն է: Կամեռլինգ-Օնեսի իրավացի ենթադրության համաձայն` քանի որ մաքուր նմուշների դիմադրությունը պայմանավորված է ատոմների շարժումով, որի ուժգնությունը ջերմաստիճանը ցածրացնելիս էապես նվազում է, ապա փորձի արդյունքները լիովին համապատասխանում են տեսության եզրակացություններին: Սնդիկի հետ կատարված փորձերը (սնդիկը կարելի է ստանալ շատ մաքուր վիճակում) կարծես հաստատեցին այս ենթադրությունը, սակայն կա-

Նկ. 163. Պլատինի ն ոսկու դիմադրությունների ենթադրյալ վարքը ջերմաստիճանը ցածրացնելիս

տարելագործված չափիչ սարքերով կատարված փորձերը ցույց տվեցին, որ դիմադրությունը նվազում է ոչ թե աստիճանաբար, այլ թռիչքաձն, մի քանի հարյուրերորդական աստիճանների տիրույթում ընկնելով գործնականում մինչն զրո (նկ. 165. փորձում դիմադրությունը սնդիկի հալման ջերմաստիճանում ունեցած դիմադրության համեմատությամբ փոքրանում է շուրջ 106 անգամ): Փաստորեն, տեղի էր ունենում սնդիկի անցում նոր վիճակի, որը, ելնելով դրա արտակարգ էլեկտրական հատկություններից, Կամեռլինգ-Օնեսն անվանեց գերհաղորդիչ վիճակ, իսկ երնույթը` գերհաղորդականություն (1911 թ.): Հետագա փորձերը ցույց տվեցին, որ գերհաղորդականության հատկությամբ օժտված են բազմաթիվ այլ նյութեր` մետաղներ, կիսահաղորդիչներ ն տարբեր համաձուլվածքներ, այսինքն` գերհաղորդիչ վիճակը նյութի նոր վիճակ է: Այն ջերմաստիճանը, որի դեպքում նյութը նորմալ` R  0 վիճակից անցնում է գերհաղորդիչ վիճակի, կոչվում է կրիտիկական ջերմաստիճան` Tc : Աղյուսակ 33-ում տրված են Tc  2 Կ կրիտիկական ջերմաստիճանով քիմիական տարրերի (տես նան Հավելված 6) ն որոշ միացությունների կրիտիկական ջերմաստիճանները: Որքա՞ն է դիմադրության թռիչքը գերհաղորդականության վիճակին անցնելիս, այլ կերպ ասած, որքանո՞վ կարելի է խոսել էլեկտրական դիմադրության անհետացման մասին:

Նկ. 164. Սնդիկի դիմադրության կախումը ջերմաստիճանից (փորձ). գրաֆիկի վրա R -ը տրված է օմով:

Սկզբնական փորձերում, որոնցում դիմադրությունը չափվում էր ավանդական եղանակով ( R  Ս 1 , չափվում է նմուշին կիրառված Ս լարումը ն նմուշով անցնող 1 հոսանքը), գերհաղորդականության վիճակին անցնելիս դիմադրությունը փոքրանում էր ավելի քան 1000 անգամ: Ինչ վերաբերում էր Աղյուսակ 33.

Որոշ նյութերի կրիտիկական ջերմաստիճանները

Տարր

7c , Կ

Միացություն

7c , Կ

NԵ Ղշ PԵ Լa Մ Ղa էլ Տո լո Ղ1

9,26 7,77 7,19 6,06 5,30 4,48 4,15 3,72 3,40 2,39

NԵ3 (Ճ10,8Շ60,2) NԵ3Տո NԵ3Ճ1 Մ3Տ1 Մ3Շa NԵN ԽօN NԵ3Ճս Լa3լո Ղ12Ըօ

20,9 18,05 17,5 17,1 16,5 16,0 12,0 11,5 10,4 3,44

դրա անհետանալուն, ապա կարելի էր միայն պնդել, որ այն դառնում է չափիչ սարքի զգայնությունից փոքր, այնպես որ այն հնարավոր չէր չափել: 1914 թ. Կամեռլինգ-Օնեսն առաջարկեց շատ փոքր դիմադրությունների չափման լավագույն եղանակ` չափել գերհաղորդիչ օղակում մակածված հոսանքի մարումը: Եթե օղակի դիմադրությունը լինի զրոյից տարբեր, ապա էլեկտրական հոսանքի էներգիան աստիճանաբար կվերածվի ջոուլյան ջերմության: Գիտենալով գերհաղորդիչ օղակի երկրաչափական չափերը ն փորձում չափելով օղակում հոսանքի մարման ժամանակը, կարելի է գնահատել օղակի դիմադրությունը գերհաղորդիչ վիճակում: Դիտարկենք կապարե օղակ, որը հաստատուն մագնիսի դաշտում նորմալ վիճակում է, այսինքն` նրա ջերմաստիճանը` T  Tc (նկ. 165, ա.): Սառեցնենք կապարե օղակը մինչն T  Tc , դարձնելով այն գերհաղորդիչ, ն ապա հեռացնենք մագնիսը: Օղակ թափանցող մագնիսական հոսքի փոփոխությունը դրանում մակածում է 1 s հոսանք: Էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն` մակածման հոսանքի էներգիայի փոփոխությունը միավոր ժամանակում հավասար է R դիմադրությամբ օղակում անջատված հզորությանը` 

որտեղ L -ն տրվում է

d 1 2  L1 s   1 s R , dt  2 

(1.1)

օղակի ինդուկտիվությունն է: (1.1) հավասարման լուծումը

 R  1 s (t )  1 s (0) exp   t   L 

(1.2)

բանաձնով, որտեղ 1 s (0) -ն հոսանքն է սկզբնական` t  0 պահին: Օրինակ, եթե t  1 ժամում 1 մմ հաստությամբ կապարե լարից պատրաստված r  5 սմ շառավղով օղակում ( L  1, 3  107 Հն) հոսանքը փոքրանա 19-ով, այսինքն` 1 s (t ) 1 s (0)  0, 99 , ապա (1.2) բանաձնից դիմադրության համար կհետնի R  3, 6  1013 Օմ գնահատականը: Նշանակում է` գերհաղորդիչ վիճակին անցնելիս կապարե օղակի դիմադրությունը փոքրանում է ավելի քան 108 անգամ:

Նկ. 165. Գերհաղորդիչ հոսանքի մակածումը կապարե օղակում. ա. T  TՇ , J  0 , բ. T  TՇ , J Տ  0

Ս. Քոլինզի փորձում գերհաղորդիչ օղակում մակածված հոսանքը պահպանվել է 2, 5 տարուց ավելի (փորձն ընդհատել է փորձարարը): Նշված ժամանակամիջոցում հոսանքի փոփոխության բացակայության փաստից հնարավոր եղավ գնահատել օղակի տեսակարար դիմադրության վերին սահմանը`

 mոx  1021 Օմսմ: Անցյալ դարի 60-ական թվականների

սկզբներին Ջ. Ֆայլի ն Ռ. Միլսի փորձում ուսումնասիրվել է NԵ0,757ո0,25 համաձուլվածքից պատրաստված սոլենոիդում գերհաղորդիչ հոսանքի նվազումը միջուկային մագնիսական ռեզոնանսի (ՄՄՌ) ճշգրիտ մեթոդով: Ստացված արդյունքների համաձայն` հոսանքի նվազման ժամանակը գնահատվել է առնվազն 105 տարի: Որոշ փորձնական տվյալների համաձայն` գերհաղորդիչ վիճակի անցնելիս դիմադրությունը թռիչքաձն փոքրանում է 1014 անգամ: Այս թիվը պատ-

ա բ Նկ. 166. ա. Մագնիսը մոտեցվում է գերհաղորդիչ վիճակում պահվող կապարե ափսեին (մագնիսը պահող թելը ձգված է), բ. մագնիսը «ճախրում է» ափսեի վերնում (թելը ձգված չէ):

կերացնելու համար կատարենք հետնյալ համեմատությունը. գերհաղորդիչ ն նորմալ վիճակներում մետաղի դիմադրությունների հարաբերությունն ավելի փոքր է, քան կապարի ն սովորական մեկուսիչի (օրինակ` չոր փայտի) տեսակարար դիմադրությունների հարաբերությունը: Բերված տվյալներից կարելի է վստահորեն եզրակացնել, որ գերհաղորդիչ վիճակում դիմադրությունը (հաստատուն հոսանքի դեպքում) իրոք անհետանում է: Գերհաղորդիչ վիճակում չմարող հաստատուն հոսանքի գոյության փաստն ապացուցվում է նան «ճախրող» մագնիսի հանրահայտ փորձով: Փոքրիկ հաստատուն մագնիսն իջեցվում է գերհաղորդիչ վիճակում պահվող կապարե ափսեի վրա (նկ. 166, ա): Լենցի կանոնի համաձայն` ափսեի կտրվածք թափանցող մագնիսական հոսքի փոփոխությունն ափսեում մակածում է այնպիսի ուղղությամբ հոսանք, որի ստեղծած մագնիսական դաշտը վանում է մագնիսը, պահելով դրան ափսեից որոշակի հավասարակշռական հեռավորությունում (նկ. 166, բ. փոքրիկ մագնիսին կապված թելը ձգված չէ): Քանի դեռ ափսեում հոսանքները չեն մարել, այսինքն` քանի դեռ այն գերհաղորդիչ վիճակում է, մագնիսը «ճախրում է» ափսեի վերնում: Գերհաղորդիչ վիճակում մետաղի դիմադրությունը զրո է: Սակայն Կամեռլինգ-Օնեսի փորձերից պարզվել է, որ առանց բարձրացնելու մետաղի ջերմաստիճանը ( T  Tc ), կարելի է «քանդել» գերհաղորդիչ վիճակը, եթե նմուշը տեղադրվի որոշակի լարվածությամբ մագնիսական դաշտում: Մագնիսական դաշտի լարվածության ամենափոքր արժեքը, որի դեպքում գերհաղորդականությունն անհետանում է, այսինքն` նմուշն անցնում է նորմալ վիճակի, կոչվում է կրիտիկական (շեմային) դաշտ` H c : Կրիտիկական դաշտի արժեքը կախված է նմուշի ջերմաստիճանից: Այդ կախումը բավարար ճշտությամբ կարելի է մոտարկել պարաբոլական օրենքով (Տյուինի օրենք)`

Նկ. 167. Նմուշի գերհաղորդիչ (Տ ) ն նորմալ (N ) վիճակների տիրույթները

  T 2  Hc (T )  Hc0 1     ,   Tc    

(1.3)

որտեղ Hc0  Hc (0) -ն կրիտիկական դաշտի արժեքն է T  0 Կ-ում (նկ. 167, Հավելված 6): Hc (T ) կորը բաժանում է իրարից գերհաղորդիչ (Տ ) վիճակի ն նորմալ (N ) վիճակի տիրույթները, իսկ նկ. 167-ը գերհաղորդիչ վիճակի ֆազային դիագրամն է ( Hc , T ) կոօրդինատներով:

§ 2. Իդեալական դիամագնիսականություն: Մայսների երնույթը Մետաղական հաղորդչի էլեկտրական դիմադրության զրո դառնալը

Tc -ից ցածր ջերմաստիճաններում հանգեցնում է չափազանց կարնոր հետնանքի` գերհաղորդիչ կոնտուր թափանցող մագնիսական լրիվ հոսքը մնում է հաստատուն, քանի դեռ կոնտուրի դիմադրությունը` R  0 : Եթե կոնտուրը H համասեռ մագնիսական դաշտում է, ապա մագնիսական հոսքը դրա Տ կտրվածքով (նկ. 168, ա)`

  HՏ : Եթե մագնիսական դաշտը ժամանակից կախված փոփոխվի, ապա կոնտուրում կմակածվի հոսանք, որը, Լենցի կանոնի համաձայն, կխոչընդոտի կոնտուր թափանցող հոսքի փոփոխությանը, ն որի մեծությունը կորոշվի մակածման ԷլՇՈւ-ի մեծությամբ: Նկատի ունենալով նշված ԷլՇՈւ-ի առկայությունը կոնտուրում, վերջինիս համար Օհմի օրենքը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` dH d1 (2.1) Տ  L  1R : dt dt Եթե կոնտուրը գերհաղորդիչ վիճակում է, ապա R  0 , ն (2.1) հավասարումից հետնում է (2.2) L 1  Տ H  cօոst

Նկ. 168. ա. Գերհաղորդիչ օղակն արտաքին մագնիսական դաշտում, բ. մագնիսական դաշտի փոփոխությունը հանգեցնում է օղակում չմարող հոսանքի առաջացման:

առնչությունը, որի ձախ մասը կոնտուր թափանցող լրիվ մագնիսական հոսքն է` ստեղծված արտաքին H մագնիսական դաշտով ն կոնտուրով հոսող մակածման հոսանքով: Եթե մագնիսական դաշտը փոփոխվի, ապա կոնտուրում կմակածվի լրացուցիչ հոսանք, որը կհամակշռի արտաքին դաշտի փոփոխմամբ պայմանավորված հոսքի փոփոխությունը: Մասնավորապես, եթե H դաշտը դառնա զրո, ապա ամբողջ մագնիսական հոսքը պայմանավորված կլինի միայն մակածման հոսանքով: Այժմ ենթադրենք, որ նմուշը սառեցվել է ն բերվել գերհաղորդիչ վիճակի, այսինքն` այն դարձել է իդեալական հաղորդիչ` R  0 : Նմուշի ներսում ընտրված կամայական կոնտուրի դիմադրությունը զրո է, հետնաբար` դրանով անցնող մագնիսական հոսքը չի կարող փոփոխվել: Այս պնդումը ճիշտ է, եթե մագնիսական դաշտը նմուշում ժամանակից կախված չի փոփոխվում`

 0 : Թ

(2.3) Այսպիսով, մագնիսական հոսքի բաշխումը նմուշում պետք է մնա այնպիսին, ինչպիսին էր դիմադրությունը զրո դառնալու պահին: Ուսումնասիրենք այսպիսի իդեալական հաղորդչի վարքը տարբեր պայմաններում: 1. Ենթադրենք` նմուշն անցնում է գերհաղորդիչ վիճակի արտաքին դաշտի բացակայությամբ, որից հետո կիրառվում է մագնիսական դաշտ: Քանի որ նմուշում Թ ինդուկցիան փոփոխվել չի կարող, ապա պետք է մնա հավասար իր սկզբնական, այսինքն` Թ  0 արժեքին: Հետնաբար` արտաքին մագնիսական դաշտը նմուշում մակածում է չմարող հոսանքներ, որոնք, հոսելով նմուշի մակերնութային շերտով, նմուշի յուրաքանչյուր կետում ստեղծում են կիրառված մագնիսական դաշտին հավասար ն հակառակ ուղղված

դաշտ: Նմուշից դուրս մակերնութային հոսանքների դաշտը գումարվում է արտաքին դաշտին (նկ. 169, ա):

Նկ. 169. ա. Գերհաղորդիչ յs հոսանքը ն դրա մագնիսական դաշտը, բ. մագնիսական H i դաշտը նմուշի ծավալում բացակայում է:

Քննարկվող դեպքում մագնիսական դաշտը չի թափանցում նմուշի ծավալ, ուստի դրանում մագնիսական դաշտը բացակայում է (նկ. 169, բ):

Նկ. 170. Նմուշի վիճակի փոփոխության փուլերը, երբ այն անցնում է գերհաղորդիչ վիճակի H  0 դեպքում:

Ընդունված է ասել, որ նմուշը ցուցաբերում է իդեալական դիամագնիսականություն: Եթե արտաքին դաշտը դառնա զրո, ապա նմուշը կմնա իր սկզբնական` չմագնիսացված վիճակում: Նկ. 170-ում պատկերված են նմուշի վիճակի փոփոխության հաջորդական փուլերը:

2. Ենթադրենք` նմուշն արտաքին մագնիսական դաշտում նորմալ վիճակում է ( T  Tc ): Դաշտը կթափանցի նմուշի մեջ, ն ներքին դաշտը գործնականում չի տարբերվի կիրառված դաշտից (եթե նմուշը ֆեռոմագնիսական նյութից չէ): Եթե նմուշն անցնի գերհաղորդիչ վիճակի, ապա դիմադրության զրո դառնալը չի անդրադառնա դրա մագնիսացման վրա, ն դաշտը նմուշի ներսում կմնա անփոփոխ: Սակայն եթե սկսենք փոքրացնել արտաքին մագնիսական դաշտը, ապա իդեալական հաղորդչում կմակածվեն մակերնութային հոսանքներ, որոնք կպահպանեն նմուշի ծավալում մագնիսական ինդուկցիայի սկզբնական արժեքը: Հետնաբար` նմուշը կմնա մագնիսացված վիճակում (նկ. 171): Նկ. 170-ում ն նկ. 171-ում պատկերված փուլերից վերջին` չորրորդ փուլում նմուշը միննույն պայմաններում է ( H  0 , T  Tc ), սակայն դրա մագնիսացվածությունը տարբեր է: Այսպիսով, հանգում ենք եզրակացության, որ իդեալական հաղորդչի մագնիսացվածությունը միարժեքորեն չի որոշվում արտաքին պայմաններով` այն կախված է առաջին փուլից չորրորդին անցման եղանակի ընտրությունից: Սակայն Վ. Մայսների ն Ռ. Օքսենֆելդի` գնդաձն նմուշի շուրջ մագնիսական դաշտի բաշխման մանրակրկիտ չափումները (1933 թ.) ցույց են տվել, որ անկախ անցման եղանակի ընտրությունից, վերջնական վիճակը միշտ համընկնում է նկ. 169, բ-ում պատկերված վիճակի հետ, այսինքն` մագնիսական հոսքը դուրս է մղվում գերհաղորդչի ծավալային տիրույթից: Այլ կերպ ասած, գերհաղորդիչ վիճակում նմուշի ներսում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան զրո է` Թ0 : (2.4) Այս փաստը հայտնի է որպես Մայսների երնույթ: Նկ. 172-ում պատկերված են գերհաղորդիչ նմուշի մագնիսացման տարբեր եղանակներ: Անհրաժեշտ է մեկ անգամ նս շեշտել, որ Մայսների երնույթը չի հետնում իդեալական հաղորդականության R  0 պայմանից: Իրոք, Օհմի օրենքի համաձայն` E  7 , (2.5) ուստի եթե յ  0 , ապա   0 պայմանից հետնում է, որ E  0 : Մյուս կողմից, Մաքսվելի

rօէE  

1 B c t

(2.6)

  0 , որը (2.3) պայմանն է, որի համաձայն, երբ հավասարման համաձայն` Թ R  0 , մագնիսական հոսքը փոփոխվել չի կարող: Մայսների երնույթը հակասում է այս պնդմանը, ն հիմք է տալիս եզրակացնելու, որ իդեալական դիամագնիսականությունը ( Թ  0 ) ն իդեալական հաղորդականությունը (   0 ) գերհաղորդիչ վիճակի երկու, իրարից էապես տարբեր առանձնահատկություններ են:

Նկ. 171. Նմուշի վիճակի փոփոխության փուլերը, եթե այն անցնում է գերհաղորդիչ վիճակի H  0 դեպքում:

Նկ. 172. Գերհաղորդիչ նմուշի մագնիսացման եղանակները. ա. H  0 , T  TՇ , բ. H  0 , T  TՇ :

Ուսումնասիրենք մագնիսական ինդուկցիայի փոփոխությունը` կախված արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից, երբ նմուշը տարբեր վիճակներում է: Եթե նմուշը ոչ ֆեռոմագնիսական մետաղ է նորմալ վիճակում, ապա մագնիսական ինդուկցիան նմուշում գործնականում չի տարբերվում արտաքին դաշտից, քանի որ   1 , ն (նկ. 173, կետագիծը) B  H  H :

(2.7)

Եթե նմուշն անցել է գերհաղորդիչ վիճակի, ապա այն իդեալական դիամագնիս է, ուստի արտաքին դաշտի լարվածությունը մեծացնելիս մագնիսական ինդուկցիան մնում է հավասար զրոյի: Երբ այն հավասարվում է H c կրիտիկական լարվածությանը, նմուշն անցնում է նորմալ վիճակի, ն դրանում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան փոխվում է (2.7) առնչության համաձայն (նկ. 173): Մաքուր` արատներ չպարունակող նմուշի համար այս պրոցեսը դարձելի է, այսինքն, եթե արտաքին դաշտի լարվածությունը փոքրացվի ն դառնա հավասար H c -ի, ապա նմուշը կանցնի գերհաղորդիչ վիճակի ն դրանում

H  Hc բոլոր արժեքների համար Թ  0 (նկ. 173. կրկնակի սլաքները պատկերում են հակառակ պրոցեսը):

Նկ. 173. Մագնիսական ինդուկցիայի վարքը

Ինչպես գիտենք (1Ճ.1.2) միավոր ծավալի մագնիսական մոմենտը` M մագնիսացվածությունը ն Թ ու H վեկտորները կապված են

M

Թ  H 4

առնչությամբ, որից ն (2.7) բանաձնից հետնում է ընկալունակության  (  1) 4

(2.8)

(2.9)

արտահայտությունը: (2.8) ն (2.9) բանաձների համաձայն` նորմալ վիճակում նմուշի մագնիսական մոմենտը ն մագնիսական ընկալունակությունը գործնականում զրո են: Երբ T  Tc , գերհաղորդիչ նմուշում Թ  0 , M   H 4 , հետնաբար`

, 4

(2.10)

որը համապատասխանում է իդեալական դիամագնիսին: Նկ. 174-ում պատկերված են գերհաղորդիչ նմուշի մագնիսական մոմենտի ն մագնիսական ընկալունակության կախումներն արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից:

Նկ. 174. Գերհաղորդչի ա. մագնիսական մոմենտի ն բ. մագնիսական ընկալունակության` դաշտի լարվածությունից կախման գրաֆիկները

Մայսների երնույթի մաթեմատիկական արտահայտությունը` (2.4) պայմանը, խախտվում է զանգվածեղ նմուշի մակերնութային բարակ շերտում, որի հաստությունը կախված է ինչպես մետաղի տեսակից, այնպես էլ ջերմաստիճանից ն, որպես կանոն, 105 սմ կարգի մեծություն է: Այս պատճառով բարակ մետաղական թաղանթներում ն կոլոիդային մասնիկներում, որոնց հաստությունը կամ չափերը մակերնութային շերտի հաստության կարգի են, Մայսների երնույթը չի դիտվում:

§ 3. Միջանկյալ վիճակ: 1 ն 11 սեռի գերհաղորդիչներ Գերհաղորդչի ներսում մագնիսական ինդուկցիայի զրո լինելը պայմանավորված է մակերնութային հոսանքներով, որոնց մեծությունը ն բաշխումն այնպիսին է, որ դրանց ստեղծած ներքին դաշտը հակառակ է ուղղված կիրառված արտաքին դաշտին ն համակշռում է այն:

Իրադրությունը կարելի է ներկայացնել երկու ձնով: 1. Գերհաղորդիչ նմուշի ներսում

Թi  Hi  Mi  0 , նմուշի մակերնույթին

յs  0 , նմուշից դուրս

Թe  H  Hs , որտեղ Hi -ն ն Mi -ն` դաշտի լարվածությունը ն նմուշի մագնիսական մոմենտն է նմուշի ներսում, յs -ը` մակերնութային հոսանքի խտությունը, իսկ

Hs -ը` դրա ստեղծած մագնիսական դաշտի լարվածությունը, որով ն պայմանավորված է H դաշտի «աղավաղումը» նմուշի մոտակայքում (նկ. 169, բ): Սակայն ավելի հարմար է համարժեք ներկայացումը, որի համաձայն` մագնիսական դաշտում գերհաղորդիչը ներկայացվում է որպես մագնիսական նյութ` ներքին դաշտով ն մագնիսական մոմենտով: Այսպիսով, համաձայն այսպես կոչված «դիամագնիսական» ներկայացման` 2. գերհաղորդիչ նմուշի ներսում

Թi  0 , Hi  0 , Mi  0 , նմուշի մակերնույթին

յs  0 , նմուշից դուրս

Թe  H  Hs , որտեղ Hs -ը պայմանավորված է նմուշի մագնիսական մոմենտով: Այս մոտեցման համաձայն` (2.8) բանաձնից հետնում է, որ

M  Mi  

Hi , 4

(3.1)

այսինքն` նմուշն իդեալական դիամագնիս է (2.10) արտահայտությամբ տրվող ընկալունակությամբ: Նկ. 174, ա-ում պատկերված է զանգվածեղ, բարակ ն երկար գլանաձն գերհաղորդչի մագնիսացվածության կախումը դաշտի լարվածությունից, որն

ուղղված է գլանի երկայնական առանցքով: Երբ արտաքին դաշտը` H  Hc , նմուշն անցնում է գերհաղորդիչ վիճակի, ընդ որում դաշտը լրիվ դուրս է մղվում նմուշից: Այսպիսի վարք ունեցող գերհաղորդիչներն ընդունված է անվանել 1 սեռի գերհաղորդիչներ: Այժմ պարզենք, թե ինչպես է ազդում նմուշի երկրաչափական ձնը դրա գերհաղորդականության վրա: Ենթադրենք` նմուշն a  Ե կիսառանցքներով պտտման էլիպսարդ է, ն արտաքին դաշտն ուղղված է մեծ կիսառանցքով, որը համընկնում է կոօրդինատային համակարգի x առանցքի հետ: Սահմանային պայմաններից, նկատի ունենալով նան համասեռ էլիպսարդում Թ , Hi ն Mi վեկտորների հաստատունությունը ն զուգահեռությունը H արտաքին մագնիսական դաշտին, հետնում է, որ

Hi  H  4ոx Mi ,

(3.2)

որտեղ ոx ապամագնիսացման գործակիցը տրվում է դիէլեկտրական էլիպսարդի ապաբնեռացման գործակցի

ոx 

 1  2  1   ոո  2  2  1  2  

(3.3)

բանաձնով (Մաս 1, 7.2.8),   (1  Ե2 a2 )1/ 2 : (3.1) ն (3.2) արտահայտություններից հետնում է, որ

H , 1  ոx

(3.4)

H : 4 (1  ոx )

(3.5)

Hi  Mi  

«Անվերջ» գլանի դեպքում ( a  Ե ,  0 ) ոx  0 , ուստի նմուշի մակերնույթի բոլոր կետերում արտաքին դաշտը նույնն է, որի հետնանքով նմուշը մնում է լրիվ գերհաղորդիչ վիճակում, քանի դեռ H  Hc , իսկ երբ

H  Hc , այն ամբողջությամբ անցնում է նորմալ վիճակի: Ընդհանուր դեպքում Թ -ի նորմալ բաղադրիչի ն H -ի տանգեցիալ բաղադրիչի անընդհատությունից հետնում է, որ էլիպսարդաձն նմուշի (նկ. 175)

հասարակածի վրա

H զ  Hi 

H , 1  ոx

(3.6)

իսկ բնեռներում`

H p  Bi  0 :

(3.7)

Բացի «անվերջ» երկար գլանաձն նմուշից, կամայական ձնի նմուշի ապաբնեռացման գործակիցը` ոx  0 , ն դաշտը նմուշի շուրջ անհամասեռ է, ուստի ծագում է հետնյալ հարցը. ի՞նչ կկատարվի գերհաղորդիչ նմուշի հետ, եթե ոx  0 , այսինքն` երբ H զ  H c  H : Մանրամասն քննարկենք գնդի օրինակը ( ոx  1 3 ): Եթե արտաքին դաշտը գնդի հասարակածի վրա հավասարվի 2Hc 3 -ի, ապա (3.6) բանաձնի համաձայն` հասարակածի վրա ներքին դաշտը`

Hզ  Hc ,

(3.8)

ն առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե գունդը կանցնի նորմալ վիճակի: Սակայն եթե դա տեղի ունենար, ապա նորմալ վիճակում,   0 պայմանի հետնանքով կստացվեր, որ

Hi  H 

Hc  Hc ,

(3.9)

այսինքն` գունդը նորմալ վիճակում է կրիտիկականից թույլ մագնիսական դաշտում:

Նկ. 175. Գերհաղորդիչ էլիպսարդը մագնիսական դաշտում

Այս պարադոքսը կարելի է լուծել, եթե ենթադրենք, որ երբ Hi  Hc , նմուշում հնարավոր է գերհաղորդիչ ն նորմալ ֆազերի համատեղ գոյությունը (այնպես, ինչպես հեղուկ ն գոլորշի ֆազերի համատեղ գոյությունը, եթե ճնշումը հավասար է հագեցած գոլորշու ճնշմանը): Պարզության համար կարելի է ենթադրել, որ Hc (1  ոx )  H  Hc դեպքում գունդը տրոհվում է նորմալ (7 ) ն գերհաղորդիչ (Տ ) շերտերի, որոնք զուգահեռ են կիրառված դաշտին (նկ. 176, ա): Մագնիսական ուժագծերի մի մասը շրջանցում է գունդը, իսկ մյուս մասն անցնում է դրա նորմալ վիճակում մնացած տիրույթներով. նորմալ տիրույթում` B  Hc , իսկ գերհաղորդիչ տիրույթում` B  0 : N ն Տ տիրույթները բաշխված են այնպես, որ մագնիսացվածությունը գծային օրենքով փոփոխվում է H  Hc (1  ոx ) դաշտում ունեցած Mi  

4

Hi  

H 4(1  ոx )



Hc 4

(3.10)

արժեքից մինչն Mi  0 արժեքը, երբ H  Hc : Այսպիսով` Hc (1  ոx )  H  Hc տիրույթում Mi  

4  ոx

( Hi  H )  

4  ոx

(Hc  H ) ,

Hi  H  4ոx Mi  Hc , Bi  H i  4  M i  H c 

ոx

(Hc  H ) :

(3.11) (3.12) (3.13)

Մագնիսական դաշտի Hc (1  ոx )  H  Hc արժեքների համար նմուշը մասամբ նորմալ, մասամբ` գերհաղորդիչ վիճակում է, որն ընդունված է անվանել միջանկյալ վիճակ: Հարկ է նշել, որ միջանկյալ վիճակ գոյություն ունի մագնիսական դաշտի որոշակի` H  ոx Hc տիրույթում կամայական ձնի նմուշի համար, բացի անվերջ երկար գլանից ( ոx  0 ): Միջանկյալ վիճակում նմուշը բաղկացած է գերհաղորդիչ տիրույթներից` դոմեններից, որոնք իրարից բաժանված են նորմալ վիճակի տիրույթներով: Դոմենային կառուցվածքի առաջանալը, ինչպես ն մագնիսակարգավորված նյութերում (տես 1Ճ.15), պայմանավորված է նմուշի` տրված վիճակում հնա246

րավոր նվազագույն էներգիա ունենալու միտումով: Նկ. 176, -ում պատկերված է անագե գնդի միջանկյալ վիճակի կառուցվածքը ( T  2, 85 Կ,

H  0, 7Hc , նորմալ տիրույթներն ստվերագծված են):

Նկ. 176. ա. Գնդի տրոհումը նորմալ ( N ) ն ( Տ' ) գերհաղորդիչ շերտերի, բ. անագե գնդի միջանկյալ վիճակի կառուցվածքը. նորմալ տիրույթները ստվերագծված են:

Նկ. 177-ում տրված են Mi ( H ) , Hi ( H ) ն Bi ( H ) կախումներն արտաքին դաշտի փոփոխման 0  H  Hc տիրույթում անվերջ գլանի ( ոx  0 , 1 կետագծեր) ն գնդի ( ոx  1 3 , 2 հոծ գծեր) համար:

Նկ. 177. Անվերջ գլանի ( ոx  0 , կետագծեր) ն գնդի ( ոx  1 3 , հոծ գծեր) ա. մագնիսական մոմենտի, բ. մագնիսական դաշտի լարվածության ն գ. մագնիսական ինդուկցիայի կախումներն արտաքին դաշտի լարվածությունից

11 սեռի գերհաղորդիչներում գոյություն ունի ներքին` Hc1 (T ) կրիտիկական դաշտ, որից փոքր դաշտը չի կարող թափանցել նմուշի մեջ: Երբ մագնի247

սական դաշտի լարվածությունը գերազանցում է վերին` Hc2 (T ) կրիտիկական արժեքը, նմուշն ամբողջությամբ անցնում է նորմալ վիճակի, ն մագնիսական հոսքը թափանցում է նմուշի մեջ: Արտաքին դաշտի

Hc1(T )  H  Hc2 (T ) միջանկյալ արժեքների համար հոսքը մասամբ է թափանցում նմուշի մեջ` դրանում ստեղծելով միկրոսկոպական չափերի ( - 105 սմ) նորմալ ն գերհաղորդիչ տիրույթների տրոհված բարդ կառուցվածք, որն ընդունված է անվանել խառը վիճակ: Խառը վիճակում 11 սեռի գերհաղորդչում մագնիսական դաշտը նմուշի ծավալ է թափանցում բարակ մրրկային թելերի (լարերի) տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրի ներսում դաշտն ունի մեծ արժեք, այնպես որ այդ տիրույթում նյութը նորմալ վիճակում է: Լարի միջուկից դուրս նյութը մնում է գերհաղորդիչ վիճակում, իսկ յուրաքանչյուր լար շրջապատված է մրրկային հոսանքներով, որոնք էկրանացնում են լարի ներսում գոյություն ունեցող մագնիսական դաշտը: Նկ. 178-ում պատկերված է 11 սեռի գերհաղորդչում մագնիսացվածության ն ինդուկցիայի` արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից կախման գրաֆիկները (ենթադրվում է, որ նմուշն ունի անվերջ երկար գլանի տեսք): H c արժեքն ընտրված է 4M ( H ) կորի տակ ընկած ն OHc հիմքով եռանկյան մակերեսների հավասարության պայմանից:

ա բ Նկ. 178. 11 սեռի գերհաղորդչում ա. մագնիսական մոմենտի, բ. ինդուկցիայի` արտաքին մագնիսական դաշտի լարվածությունից կախման գրաֆիկները

Նկ. 179. PԵ96լո4 11 սեռի գերհաղորդչի խառը վիճակը ( T  1, 1 Կ, մուգ կետերը մրրիկների ելքերն են):

Նկ. 179-ում պատկերված է 11 սեռի գերհաղորդիչ PԵ96լո4-ի մակերնույթին խառը վիճակում կոբալտի փոքրիկ մասնիկների բաշխման էլեկտրոնային միկրոլուսանկարը, որտեղ հստակորեն երնում է մրրկային թելերով ստեղծված ցանցը (մուգ կետեր): Աղյուսակ 34.

11 սեռի որոշ գերհաղորդիչների բնութագրեր

11 սեռի գերհաղորդիչ Խօ3R6 Ղ12NԵ NԵ3Տո NԵ3Ճ1 Մ3Տ1 Մ3Շa NԵ79(Ճ173Շ627)21

|c2 (4,2K), Գս -100000 -230000 -300000 -240000 -200000 -410000

7c , Կ 18,7 -20,7

Ի տարբերություն 1 սեռի գերհաղորդիչների, որոնց կրիտիկական դաշտի արժեքները 102  103 Գս կարգի են, 11 սեռի այսպես կոչված «կոշտ» գերհաղորդիչներում վերին H c 2 կրիտիկական դաշտը կարող է հասնել մինչն

105 Գս-ի (Աղյուսակ 34), որի շնորհիվ դրանք ունեն մեծ կիրառական նշանակություն: Նրանցից պատրաստում են սոլենոիդներ, որոնցում հնարավոր է ստեղծել ուժեղ` 105 Գս ն ավելի մեծ լարվածությամբ կայուն դաշտեր:

Անհրաժեշտ է հստակորեն իրարից տարբերել 11 սեռի գերհաղորդիչների խառը վիճակը 1 սեռի գերհաղորդիչների միջանկյալ վիճակից: Միջանկյալ վիճակի առաջացումը պայմանավորված է ապամագնիսացման գործակցի զրոյից տարբեր լինելու հանգամանքով ն կախված է նմուշի ձնից, իսկ խառը վիճակը 11 սեռի գերհաղորդչի ներքին հատկությունն է ն առաջանում է անգամ անվերջ երկար գլանում, որի ապամագնիսացման գործակիցը` ոx  0 :

Նկ. 180. 11 սեռի գերհաղորդչի ֆազային դիագրամը. նորմալ (N), միջանկյալ (M) ն գերհաղորդիչ (Տ) ֆազերը

Նկ. 180-ում պատկերված է 11 սեռի գերհաղորդչի ֆազային դիագրամը, որտեղ նշված են գերհաղորդիչ (Տ կամ մայսներյան), խառը (M կամ շուբնիկովյան) ն նորմալ (N ) ֆազերը:

§ 4. Գերհաղորդիչ վիճակի ջերմադինամիկան: Ջերմունակության թռիչքը Մայսների երնույթի հայտնագործությունից հետո պարզ դարձավ, որ, անկախ գերհաղորդիչ վիճակի անցման ձնից, մագնիսական դաշտը միշտ դուրս է մղվում նմուշի ծավալից, այսինքն` T  Tc ն H  Hc (T ) պայմաններում գոյություն ունի միայն գերհաղորդիչ ֆազը:

Եթե գերհաղորդիչ նմուշի ջերմաստիճանը բարձրացվի, ապա այն նորից կանցնի նորմալ վիճակի: Նշանակում է` նորմալ ն գերհաղորդիչ վիճակների միջն անցումը դարձելի է: Այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս նմուշի հատկություններն ուսումնասիրելիս կիրառելու ջերմադինամիկայի հզոր ն համընդհանուր մեթոդները: Նմուշի էներգիան նպատակահարմար է ներկայացնել Գիբսի Օ(T , P, H ) ջերմադինամիկական պոտենցիալով, քանի որ այն կախված է փորձում հեշտությամբ փոփոխվող T , P ն H անկախ փոփոխականներից:

Օ պոտենցիալի դիֆերենցիալի համար ջերմադինամիկայի հիմնական հավասարումից բխում է dՕ  ՏdT  VdP  .d H (4.1) արտահայտությունը, որտեղից նմուշի Տ էնտրոպիան, V ծավալը ն . մագնիսական մոմենտը կարելի է ներկայացնել

 Օ  Տ   ,   T  P , H

 Օ  V  ,   P T , H

 Օ    H  P,T

.  

(4.2)

առնչություններով: Հաստատուն ճնշման ( dP  0 ) ն հաստատուն ջերմաստիճանի ( dT  0 ) դեպքում

dՕ  .d H ,

(4.3)

որը նմուշի էներգիայի փոփոխությունն է, պայմանավորված արտաքին H դաշտի կատարած աշխատանքով: Հետագայում կընդունենք, որ . ն H վեկտորներն ուղղված են միննույն ուղղով ն գործ կունենանք դրանց մեծությունների հետ ( . -ը կարող է լինել նան բացասական, եթե . ն H վեկտորները հակազուգահեռ են):

Օs (0) -ով նշանակենք գերհաղորդիչ նմուշի Գիբսի ջերմադինամիկական պոտենցիալը H  0 արտաքին դաշտում: H  Hc արտաքին մագնիսական դաշտում Օs ( H ) էներգիան կարելի է ներկայացնել H



Vs ( H )

Օs ( H )  Օs (0)  .dH   Օs (0)  dH 



M (V , H ) dV

(4.4)

առնչությամբ, որտեղ M(V , H ) -ը նմուշի մագնիսացվածությունն է: Էլիպսարդաձն նմուշում մագնիսացվածությունը համասեռ է` այն կախված չէ ծավալից: Եթե անտեսենք նան ծավալի թույլ կախումը մագնիսական դաշտից (մագնիսաստրիկցիա) ն Տ  N անցման հետնանքով նրա չնչին փոփոխությունը` ընդունելով, որ Vո  Vs  V , ապա (4.4) առնչությունից կստանանք` H



Օs ( H )  Օs (0)  V M ( H ) dH  :

(4.5)

H c կրիտիկական դաշտում երկար, գլանաձն նմուշի համար (ոx  0) (4.4), (4.5) ն (3.1) բանաձներից հետնում է, որ Օ s ( H c )  Օ s ( 0)  V

H c2 8

(4.6)

Եթե նմուշը կամայական ձնի է ( ոx  0 ), ապա այն կլինի միջանկյալ վիճակում, երբ H  Hc (1  ոx ) , ուստի (4.5) բանաձնով Օs ( Hc ) -ն հաշվարկելիս անհրաժեշտ է օգտվել (3.1), (3.4), (3.11) ն (3.12) առնչություններից: (4.5) բանաձնում առկա ինտեգրալն M(H ) կորի տակ ընկած մակերեսն է, ուստի նկ. 170, ա-ից հետնում է, որ միննույն H c հիմքով ն միննույն Hc 4 բարձրությամբ բոլոր (այդ թվում` ն՛ 1, ն՛ 2 ուղիղներով կազմված) եռանկյուններն ունեն միննույն` H c2 8 մակերեսը: Այսպիսով, անկախ նմուշի ձնից, նմուշի մագնիսացման համար արտաքին դաշտի կատարած աշխատանքը տրվում է (4.6) առնչության երկրորդ գումարելիով: Հայտնի է (տես 1Ճ), որ նորմալ վիճակում ոչ ֆեռոմագնիսական նմուշի մագնիսական ընկալունակությունը չափազանց փոքր է ( |d |- 106  105 ,  p - 104  103 ),

ուստի դրա

ջերմադինամիկական

Օո

պոտենցիալը

գործնականորեն կախված չէ մագնիսական դաշտի լարվածությունից` Օո ( Hc )  Օո (0) :

(4.7)

Գերհաղորդիչ ն նորմալ ֆազերի հավասարակշռության պայմանը դրանց ջերմադինամիկական պոտենցիալների հավասարությունն է` Օո ( Hc )  Օs ( Hc ) ,

(4.8)

որտեղից տրված ճնշման դեպքում որոշվում է ֆազային հավասարակշռության Hc  Hc (T ) կախման կորը: (4.6)  (4.8) առնչություններից հետնում է գերհաղորդիչների ջերմադինամիկայի հիմնական հավասարումը H  0 մագնիսական դաշտում` Օո (T , P, 0)  Օ s (T , P, 0) 

VH c2 8

(4.9)

Էնտրոպիայի (4.2) արտահայտությունից ն (4.9) բանաձնից կստանանք` Տո (0)  Տs (0)  

VH c dH c , 4  dT

(4.10)

որտեղ հաշվի չի առնված ծավալի թույլ ջերմաստիճանային կախումը: Եթե T  Tc ն Hc  0 , ապա Տո  0   Տs  0  : Եթե 0  T  Tc , ապա (1.3) առնչության համաձայն` dHc dT  0 , այսինքն` զրոյական մագնիսական դաշտում Տs  0   Տո  0  : Նշանակում է` գերհաղորդիչ ֆազն ավելի կարգավորված է, քան նորմալ ֆազը: Մյուս կողմից, երբ T  0 , Ներնստի թեորեմի համաձայն` Տs  0   Տո  0   0 , հետնաբար` T  0 կետում dHc dT  0 , որը համապատասխանում է (1.3) առնչությանը: Այսպիսով, Տո  0   Տs  0  տարբերությունը, հավասարվելով զրոյի T  0 ն T  Tc կետերում, անպայման կունենա առավելագույն արժեք (0, Tc ) տիրույթի որնէ կետում:

Նկ. 181. Օո , ՕՏ պոտենցիալների, էնտրոպիաների Տո  Տs տարբերության ն Օ կլանված ջերմաքանակի ջերմաստիճանային կախման գրաֆիկները

(4.10) հավասարումից ն թաքնված ջերմության Օ  T (Տո  Տs )

(4.11)

արտահայտությունից հետնում է որ Օ  0 , երբ T  Tc (անցում զրոյական դաշտում) ն Օ  0 , երբ Hc  0 : Այսինքն` գերհաղորդիչ վիճակից նորմալ վիճակին իզոթերմ ( T  cօոst ) անցման ժամանակ ջերմություն է կլանվում`

Օ  0 , ուստի 0  T  Tc տիրույթում նորմալ վիճակին անցումն 1 կարգի ֆազային անցում է (թռիչք ունի ջերմադինամիկական պոտենցիալի 1 ածանցյալը` Տ -ը), իսկ T  Tc կետում անցումը 11 (կամ ավելի բարձր) կարգի է, քանի որ առաջին ածանցյալը` էնտրոպիան, անընդհատ է, սակայն թռիչք ունի 11 կարգի ածանցյալը` ջերմունակությունը: Նկ. 181-ում պատկերված են Օ ո ն

Օs պոտենցիալները, էնտրոպիաների Տո  Տs տարբերությունը ն Օ կլանված ջերմաքանակը` կախված ջերմաստիճանից: Համակարգի ջերմունակությունը հաստատուն ճնշման դեպքում արտահայտվում է Գիբսի ջերմադինամիկական պոտենցիալի միջոցով`

  2Օ   Տ  : ՇP  T    T  2    T  P  T  P , H

(4.12)

Գերհաղորդիչ ն նորմալ ֆազերի ջերմունակությունների տարբերության համար (4.12) ն (4.9) առնչություններից կստանանք` Շs  Շո 

VT 

d 2 Hc  dHc     Hc   : 4  dT    dT  

(4.13)

Երբ T  Tc , Hc  0 ն (4.13) արտահայտությունից հետնում է, որ

Շ  Շs  Շո 

VTc  dHc  0 , 4  dT T

(4.14)

այսինքն` ջերմունակությունը Tc կետում ունի վերջավոր թռիչք: (4.14) առնչությունը հայտնի է որպես Ռուտգերսի բանաձն ն մեծ ճշտությամբ տեղի ունի մի շարք գերհաղորդիչների համար (Աղյուսակ 35):

Աղյուսակ 35.

Ջերմունակության թռիչքը որոշ գերհաղորդիչներում

Տարր

7c , Կ

Տո լո Ղ1 Ղa PԵ

3,72 3,40 2,39 4,39 7,2

∆ո, 103 Ջ  մոլ1 Կ 1 տեսական հաշվարկ ըստ կալորաչափական Ռուտգերսի բանաձնի տվյալներ 10,6 10,6 9,62 9,75 6,15 6,2 41,6 41,5 41,8 52,6

T  Tc տիրույթում, ջերմաստիճանի նվազմանը զուգընթաց (4.13) հավասարման աջ մասը փոքրանում է, ն T  T  կետում Շ(T  )  0 : (1.3) առնչությունը տեղադրելով (4.13) հավասարման մեջ ն արդյունքը հավասարեցնելով զրոյի` կորոշենք T  ջերմաստիճանը`

T 

(4.15)

Երբ T  T  , Շs  Շո , ն երբ T  0 , ապա Շs ն Շո ջերմունակությունները, ըստ ջերմադինամիկայի երրորդ օրենքի, ձգտում են զրոյի: Ինչպես հայտնի է, նորմալ հաղորդչի ջերմունակությունը կարելի է ներկայացնել հաղորդականության էլեկտրոնների Շոe  T (711. 4.9) ն ցանցային Շոg  T 3 (Մաս 1, 17.5.12) ջերմունակությունների գումարի տեսքով: Փորձնական տվյալներից հետնում է, որ գերհաղորդիչ վիճակի անցնելիս ցանցային ջերմունակությունը գործնականորեն չի փոփոխվում, ուստի նմուշի ջերմունակությունների Շs  Շո տարբերությունը պայմանավորված է նմուշի էլեկտրոնային համակարգի փոփոխությամբ`

Շs  Շո  Շse  Շոe :

(4.16)

Փորձերը ցույց են տալիս, որ գերհաղորդիչ վիճակում էլեկտրոնային ջերմունակության T գծային անդամը փոխարինվում է ցածր ջերմաստիճաններում

շատ ավելի արագ զրոյի ձգտող անդամով, քան T -ն է: Նկ. 182-ում պատկերված են ալյումինի` նորմալ ն գերհաղորդիչ վիճակներում ջերմունակության ջերմաստիճանային կախումները (կետերով տրված են փորձում ստացված արժեքները): T  Tc տիրույթում նորմալ վիճակ ստեղծվում է H  300 Գս թույլ մագնիսական դաշտի օգնությամբ, որը «քանդում» է գերհաղորդիչ վիճակը, չազդելով ջերմունակության մեծության վրա: Բնութագրական է Շs (T ) կախման վարքը 0, 3 Կ-ից ցածր ջերմաստիճանների տիրույթում կարելի է մոտարկել exp(  kB T ) էքսպոնենտային կախումով, որտեղ առկա  մեծությունը բնութագրական էներգիայի իմաստ ունի ն T  0 Կ-ում (0)  0 :

Նկ. 182. Նորմալ (Շո ) ն գերհաղորդիչ (Շs ) վիճակներում ալյումինի ջերմունակության ջերմաստիճանային կախումները. Շ -ն չափված է մՋ/մոլ  Կ միավորով:

Ջերմաստիճանային նման վարքը յուրահատուկ է այն համակարգին, որի հիմնական ն գրգռված վիճակների միջն առկա է 2 մեծությամբ էներգիական ճեղք:

Գնահատենք էլեկտրոնային ջերմունակության գծային կախման  գործակիցը նշված ցածրջերմաստիճանային տիրույթում, որտեղ Շse անդամը կարելի է անտեսել Շոe անդամի նկատմամբ: (4.13) ն (4.16) բանաձների համաձայն, երբ Շse  Շոe , Շոe d 2Hc  V  dH c       H c T 4  dT  dT 2   T 0

(4.17)

Երբ T  0 , օգտվելով (1.3) բանաձնից, կստանանք`

V  Hc  0     : 2  Tc 

(4.18)

(711.4.8) բանաձնի համաձայն`  գործակիցը համեմատական է ֆերմիմակարդակի վրա վիճակների խտության N ( F ) ֆունկցիայի արժեքին, հետնաբար` T  0 Կ ջերմաստիճաններում փորձից ստացվող Hc (T ) կախման միջոցով կարելի է որոշել էլեկտրոնային համակարգի N ( F ) կարնորագույն բնութագիրը: Քննարկված խնդիրներում նմուշի ծավալի հաստատունության մասին ենթադրությունը հիմնավորելու նպատակով օգտվենք N  Տ ֆազային անցման արդյունքում նմուշի ծավալի

V  Vո ( Hc )  Vs ( Hc ) 

Vs Hc  Hc    4   P T

(4.19)

փոփոխության արտահայտությունից: Տարբեր փորձերից հետնում է, որ

(Hc P)T ածանցյալի բնութագրական արժեքները 109  108 Գս1 կարգի են: (4.19) բանաձնով կատարված գնահատումների համաձայն` երկար գլանի երկարության հարաբերական փոփոխությունը 108 -ի կարգի մեծություն է, որը հիմնավորում է ծավալի հաստատունության մասին վերն արված ենթադրությունը:

§ 5. Լոնդոնների տեսությունը Գերհաղորդիչ վիճակին անցնելիս նմուշի ծավալից մագնիսական դաշտի դուրս մղվելու մասին պնդումը կրում է մոտավոր բնույթ: Իրոք, եթե այդ դուրս մղումը լիներ լրիվ, ապա մագնիսական դաշտը հաղորդչի մակերնույթի վրա պետք է վերջավոր արժեքից թռիչքով ընկներ մինչն զրոյական արժեք, որը հնարավոր կլիներ միայն անվերջ մեծ խտությամբ մակերնութային հոսանքների առկայության դեպքում: Հասկանալի է, որ այդպիսի հոսանքներ գոյություն ունենալ չեն կարող, ուստի պետք է ենթադրել, որ մագնիսական դաշտը որոշ չափով թափանցում է նմուշի մեջ, ն դրա մերձմակերնութային բարակ շերտում ծագում են արտաքին դաշտն էկրանացնող հոսանքներ: Այս հոսանքներն էլ հենց նվազեցնում են դաշտը մինչն զրո, ապահովելով գերհաղորդչի ծավալում Թ  0 պայմանը: Մայսների երնույթի քանակական ուսումնասիրությունը տեսականորեն առաջինն իրականացրել են Ֆ. ն Հ. Լոնդոնները: Առաջարկված երնութաբանական տեսությունը հիմնվում է այսպես կոչված էլեկտրոնային «երկհեղուկ» մոդելի վրա, որի համաձայն` գերհաղորդչում T  Tc ջերմաստիճանում միայն

ոs (T ) խտությամբ հաղորդականության էլեկտրոններ կարող են մասնակցել գերհաղորդիչ հոսանքի ստեղծմանը: Երբ T  0 Կ, «գերհաղորդիչ» էլեկտրոնների խտությունը ձգտում է էլեկտրոնների ո լրիվ խտությանը, իսկ երբ T  Tc , ապա այն ձգտում է զրոյի: Մնացած ո  ոs (T )  ոո (T ) խտությամբ էլեկտրոնները կազմում են «նորմալ» էլեկտրոնային «հեղուկ», որի մասնակցությունը հոսանքին անպայմանորեն ուղեկցվում է դիսիպացիայով` էներգիական կորուստներով: Քանի որ գերհաղորդչի դիմադրությունը` R  0 , ապա կամայական չափով թույլ էլեկտրական դաշտում առաջացած հոսանքին մասնակցում են միմիայն «գերհաղորդիչ» էլեկտրոնները: E լարվածությամբ էլեկտրական դաշտում «գերհաղորդիչ» էլեկտրոնի շարժման հավասարումը կարելի է ստանալ (71.2.7) հավասարումից, դրանում ցրումներով պայմանավորված ռելաքսացիայի ժամանակը ձգտեցնելով անվերջության (    , դիմադրությունը` R  0 ) ն էլեկտրոնների ո խտության փոխարեն տեղադրելով «գերհաղորդիչ» էլեկտրոնների ոs խտությունը:

Անցնելով նան «գերհաղորդիչ» էլեկտրոնների vs արագությունից գերհաղորդիչ հոսանքի խտությանը` 7s  eոsvs , կստանանք`

dյs e 2 ոs  E : (5.1) dt ո Սա Լոնդոնների առաջին հավասարումն է ն նկարագրում է R  0 դիմադրությամբ (իդեալական) հաղորդիչը: (5.1) հավասարման մեջ ըստ ժամանակի d dt  t  (v) լրիվ ածանցյալը կարելի է փոխարինել  t մասնական ածանցյալով, քանի որ գերհաղորդիչ հոսանքի իրական vs արագությունները շատ փոքր են Ֆերմիի vF բնութագրական արագությունից: (5.1) հավասարումը տեղադրելով Մաքսվելի 1 Թ rօt E   c t

(5.2)

հավասարման մեջ, կստանանք`

e2ոs   Թ  0 :  rօt յs  t  ոc 

(5.3)

(5.3) առնչությունը ն Մաքսվելի

rօt Թ 

4 յs c

(5.4)

հավասարումը, որտեղ շեղման հոսանքներն անտեսված են յs -ի նկատմամբ, որոշում են իդեալական հաղորդչում մագնիսական դաշտերն ու հոսանքները: Äամանակից անկախ կամայական Թ ն յs վեկտորները (5.3) ն (5.4) հավասարումների տրիվիալ լուծումներ են, ուստի այդ հավասարումները համատեղելի են Թ -ի կամայական արժեքների դեպքում: Սակայն այս արդյունքը հակասում է գերհաղորդչի վարքին մագնիսական դաշտում, քանի որ գերհաղորդիչ նմուշի ներսում B  0 : Մայսների երնույթը կարելի է նկարագրել, եթե (5.3) հավասարման լուծումների բազմությունից ընտրվեն միայն այն լուծումները, որոնք բավարարում են

rօt յs  

e 2 ոs Թ ոc

(5.5)

հավասարմանը, որը Լոնդոնների երկրորդ հավասարումն է: Այսպիսով, ի տարբերություն (5.3) հավասարման, որը տեղի ունի առանց կորուստների հաղորդիչ միջավայրի համար ն նշանակում է փակագծերում գրված rօt յs  e2ոs Թ ոc մեծության անկախություն ժամանակից, գերհաղորդչի առանձնահատկությունն ավելի խիստ պայման է դնում, այն է` ժամանակից անկախ հաստատունը պետք է լինի զրո: Մագնիսական դաշտի վարքը գերհաղորդչում պարզելու նպատակով Լոնդոնների (5.5) հավասարման մեջ տեղադրենք յs -ի արտահայտությունը (5.4) հավասարումից.

rօt rօt Թ  

4ոse2 ոc2

Թ :

(5.6)

Քանի որ rօt rօt B  [,[, B]]  (B)  2 B , ն Թ  մiv Թ  0 ,

(5.7)

ապա (5.6) ն (5.7) առնչություններից կստանանք

2 Թ 

2L

(5.8)

հավասարումը, որտեղ 1/ 2

 ոc 2  L   (5.9)   4 ո e2  s   պարամետրն ունի երկարության չափայնություն: (5.8) հավասարումից հետնում է, որ այն չունի Թ  cօոst  0 լուծում, այսինքն` գերհաղորդչում համասեռ մագնիսական դաշտ գոյություն ունենալ չի կարող: Եթե գերհաղորդիչն զբաղեցնում է x  0 կիսատարածությունը, իսկ մագնիսական դաշտն ուղղված է 2 առանցքով` Թ  Թ(0, 0, B2 ) (նկ. 184), ապա (5.8) հավասարումից հետնում է

d 2 B2 dx



 2L

B2  0

(5.10)

հավասարումը, որի B2 (0)  B0 եզրային պայմանին բավարարող ն x   վերջավոր լուծումը`



B( x )  B2 ( x )  B0 exp  

x 

 :  L 

(5.11)

Այսպիսով` գերհաղորդչի ներսում ( x  0 ) դաշտը նվազում է էքսպոնենտային օրենքով, x  L խորությունում փոքրանալով e  2, 71 անգամ:  L մեծությունը կոչվում է լոնդոնյան թափանցման խորություն: Մագնիսական դաշտը գերհաղորդչում զրոյից տարբեր է մերձմակերնութային շերտում, որի հաստությունը  L -ի կարգի է:

Նկ. 183. Մագնիսական ինդուկցիայի` x կոօրդինատից կախման գրաֆիկը

Ընտրված երկրաչափության դեպքում (5.4) հավասարումն ընդունում է հետնյալ տեսքը` 

dB2 dx



4 c

յsy ,

յsx  յs2  0 ,

(5.12)

հետնաբար, նկատի ունենալով (5.11) արտահայտությունը, հոսանքի խտությունը կարելի է ներկայացնել հետնյալ բանաձնով` յsy 

cB0 4 L



 x    յ0 y exp    ,  L   L 

exp  

x 

(5.13)

որի համաձայն` հոսանքը զրոյից տարբեր է  L կարգի հաստությամբ մակերնութային շերտում :

Թափանցման  L խորությունը ոs (T ) խտության միջոցով կախված է նմուշի ջերմաստիճանից: Փորձարարական տվյալների համաձայն` L (T ) կախումը կարելի է լավագույնս մոտարկել

  4  T  1      L  0    Tc    

 L T 

1/ 2

(5.14)

արտահայտությամբ, որտեղ  L (0) -ն թափանցման խորությունն է 0 Կ-ում:

Նկ. 184. Անագում թափանցման խորության կախումը ջերմաստիճանից

Նկ. 184-ում պատկերված է թափանցման խորության կախումը ջերմաստիճանից անագում: Երբ T  Tc  L T  L  0



1

T 

2

Tc 

1 



1/ 2

(5.15)

հետնաբար` կրիտիկական ջերմաստիճանին մոտենալիս մագնիսական դաշտն ավելի ն ավելի խորն է թափանցում նմուշի մեջ, ն Tc ջերմաստիճանում  L (Tc )   , այսինքն` նորմալ վիճակի անցնելիս մագնիսական դաշտը լրիվ թափանցում է նմուշի մեջ: Գնահատենք  L (0) մեծությունը: T  0 Կ-ում գերհաղորդչի բոլոր էլեկտրոնները «գերհաղորդիչ» են` ոs  ո - 1022 սմ3: Այս արժեքը տեղադրելով (5.9)

բանաձնում` կստանանք. L (0)  600 Å: Աղյուսակ 36-ում բերված են  L (0) ի արժեքները մի քանի գերհաղորդիչների համար: Նշենք, որ սնդիկում(էլ)

 L (0) -ի որոշակի տիրույթի առկայությունը հետնանք է անիզոտրոպության`

 L (0) -ի կախման մագնիսական դաշտի ուղղությունից: Աղյուսակ 36.

Տարր

L(0), Å

Ճ1

Թափանցման խորության արժեքները որոշ մետաղներում Ըմ էլ լո NԵ PԵ Տո Ղ1

380  450

Լոնդոնների (5.5) հավասարման ֆիզիկական իմաստը պարզելու նպատակով գրենք 4 վեկտորական պոտենցիալով դաշտում զ լիցքով ն ո զ զանգվածով մասնիկի իմպուլսը`

քs  ոզvs 

զ A: c

(5.16)

vs արագությունից անցնելով հոսանքի խտությանը` vs  յs զոզ , որտեղ ոզ -ն մասնիկների խտությունն է, (5.16) բանաձնը ներկայացնենք հետնյալ կերպ`

յs 

զոզ ոզ

քs 

զ2ոզ

4 :

ոզc

(5.17)

«Երկհեղուկ» մոդելի համաձայն` գերհաղորդիչ վիճակում լիցքակիրներն ունեն քs  0 իմպուլս (« p »-տարածության մեջ տեղի է ունենում «կոնդենսացում»), ուստի (5.17) բանաձնից հետնում է

յs  

զ2ոզ ոզc

4

c 4 2

(5.18)

հավասարումը, որը համարժեք է (5.5) հավասարմանը, ն որտեղ 1/ 2

 ոզc2    4զ2ոզ   

(5.19)

Ինչպես հետնում է գերհաղորդականության միկրոսկոպական տեսությունից (§7), գերհաղորդիչներում որպես լիցքակիրներ հանդես են գալիս էլեկտրոնա263

յին զույգերը` զ  2e լիցքով, ոզ  2ո զանգվածով ն ոզ  ոs 2 խտությամբ: Այս արժեքները տեղադրելով (5.19) արտահայտության մեջ` կստանանք թափանցման լոնդոնյան խորության (5.9) բանաձնը: Ընդհանուր դեպքում լրիվ հոսանքը «նորմալ» ն «գերհաղորդիչ» հոսանքների գումարն է`

յ  յո  յs :

(5.20)

«Նորմալ» հոսանքը նկարագրվում է Մաքսվելի հավասարումներով ն Օհմի օրենքով`

յո  ո E ,

(5.21)

որտեղ ո -ը «նորմալ» էլեկտրոնների հաղորդականությունն է: Այսպիսով, գերհաղորդիչ մետաղը նկարագրող (5.20), (5.21), (5.5) ն (5.1) հավասարումների համակարգի օգնությամբ կարելի է որոշել տարբեր վիճակներում գերհաղորդչում հոսանքների ն դաշտերի բաշխումը: Հարկ է նշել, որ Լոնդոնների հավասարումները հիմնարար ֆիզիկական սկզբունքներից չեն արտածված ն չեն բացատրում գերհաղորդականության երնույթը: Դրանք որոշակի սահմանափակումներ են, որոնք դրվում են էլեկտրամագնիսականության հավասարումների վրա, որպեսզի ստացված օրինաչափությունները համապատասխանեն փորձի արդյունքներին: Լոնդոնների հավասարումները լրացուցիչ պայմաններ են, որոնց ենթարկվում են գերհաղորդիչ հոսանքները: Լոնդոնների տեսությունը որակապես բացատրում է փորձում ստացված բազմաթիվ օրինաչափություններ, սակայն տեսության քանակական համապատասխանությունը փորձին շատ դեպքերում հեռու է բավարար լինելուց: Բանն այն է, որ այս տեսությունն իր էությամբ դասական է, դրանում էլեկտրոնները դիտվում են որպես դասական մասնիկներ, այնինչ գերհաղորդականության երնույթում հիմնական դերը կատարում են քվանտային օրինաչափությունները: Լոնդոնների տեսության մեջ ենթադրվում է, որ թափանցման  L խորությունը կախված չէ մագնիսական դաշտի լարվածությունից ն նմուշի չափերից: Առաջին ենթադրությունը համարժեք է այն պնդմանը, որ «գերհաղորդիչ» էլեկտրոնների թիվը կախված չէ մագնիսական դաշտի լարվածությունից: Սակայն հայտնի է, որ մագնիսական դաշտն էապես ազդում է էլեկտրոնների

վարքի վրա, ընդհուպ մինչն գերհաղորդիչ վիճակի վերացումը: Այս տեսանկյունից Լոնդոնների տեսությունը համապատասխանում է թույլ դաշտի մոտավորությանը: Երկրորդ ենթադրության սահմանափակությունը դառնում է ակնհայտ հատկապես բարակ ( L - 103 Å կարգի հաստությամբ) թաղանթների գերհաղորդիչ հատկություններն ուսումնասիրելիս: Նշված թերություններից զերծ է Վ. Գինզբուրգի ն Լ. Լանդաուի տեսությունը, որը նույնպես երնութաբանական է, սակայն հիմնվում է քվանտային մեխանիկայի ն երկրորդ կարգի ֆազային անցումների տեսության վրա:

§ 6. Հոսքի քվանտացում: Կուպերյան զույգեր Գերհաղորդիչ վիճակում օղակում հոսանքը պահպանվում է առանց փոփոխության գործնականորեն անվերջ երկար ժամանակ: Կարելի է ասել, որ «օղակ Ւ հոսանք» համակարգը ստացիոնար, այսինքն` ժամանակի ընթացքում չփոփոխվող վիճակում է: «Օղակ Ւ հոսանք» համակարգի համար այլ ստացիոնար վիճակ կարելի է ստանալ, եթե օղակը սառեցվի մեկ այլ մեծությամբ մագնիսական դաշտում: Դաշտն անջատելիս օղակում կմակածվի գերհաղորդիչ հոսանք, որի մեծությունը կախված է դաշտի լարվածությունից: Նման հնարավոր ստացիոնար վիճակներից ամենափոքր էներգիա կունենա

յs  0 ` առանց հոսանքի վիճակը: Կարելի է մտածել, որ մագնիսական դաշտի լարվածության ընտրությամբ կարելի է ստանալ կամայական մեծության հոսանք: Սակայն, քվանտային մեխանիկայի համաձայն` ստացիոնար վիճակները որոշվում են համակարգի վրա դրվող քվանտացման պայմաններով: Հետնաբար` բնական է ենթադրել, որ «օղակ Ւ հոսանք» համակարգը նս կարող է ունենալ քվանտացման պայմաններով որոշվող ստացիոնար վիճակներ: 1950 թ. Ֆ. Լոնդոնը կանխատեսել է գերհաղորդիչ օղակում մագնիսական հոսքի քվանտացման երնույթը: Եթե ենթադրենք, որ «օղակ Ւ հոսանք» համակարգը որոշակի քվանտային վիճակում է, ապա քվանտացման պայմանը կընդունի հետնյալ տեսքը`

 քsdl  ոհ ,

ո  0,1, 2, ,

(6.1)

որտեղ քs -ը գերհաղորդիչ հոսանք ստեղծող մասնիկի իմպուլսն է, dl -ը` հետագծի տարրը, Շ -ն` ինտեգրման կոնտուրը, (նկ. 185, Տ -ը գերհաղորդիչ տիրույթն է, N -ը` նորմալ տիրույթը, որտեղ մագնիսական դաշտի լարվածությունը զրոյից տարբեր է. կետագծով պատկերված է Շ կոնտուրը): քs իմպուլսը որոշում է մասնիկի դը Բրոյլի ալիքի երկարությունը`   հ | քs | ն կապված է մասնիկի «կինետիկական» (մասնիկի կինետիկ էներգիան որոշող) ոvs իմպուլսի հետ (5.16) առնչությամբ: (5.17) առնչության օգնությամբ քվանտացման (6.1) պայմանը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` ոզ հ յsdl  4dl  ո : (6.2) c զ զ ոզ



Նկ. 185. Ինտեգրման Շ կոնտուրը

Օգտվելով Ստոքսի թեորեմից`

 4dl   rօt4dՏ Շ

(6.3)

որտեղ Տ -ը Շ կոնտուրով սահմանափակված մակերեսն է, ն նկատի ունենալով rօt 4  Թ կապը, (6.2) առնչության փոխարեն կստանանք`

ոզ

 յsdl  c  ԹdՏ  զ ո : զ ոզ 

(6.4)

(6.4) առնչության ձախ մասում գրված մեծությունը Ֆ. ն Հ. Լոնդոններն անվանել են ֆլյուքսոիդ, որի երկրորդ գումարելին (առանց 1 c գործակցի) մագնիսական հոսքն է Տ մակերեսով (ներառյալ նան թափանցման շերտը): (6.4)

պայմանի համաձայն` ֆլյուքսոիդը կարող է ընդունել միայն ընդհանուր, հ զ մեծության բազմապատիկ արժեքներ, այսինքն` այն քվանտանում է: Եթե Շ կոնտուրն ամբողջությամբ գերհաղորդիչ տիրույթում է, որտեղ

յs  0 , ապա (6.4) հավասարումից հետնում է մագնիսական հոսքի քվանտացման պայմանը`

cհ

 ԹdՏ   s  ո զ

 ո 0 ,

ո  0,1, 2,

(6.5)

այսինքն` Շ կոնտուրը «ձգող» Տ մակերեսով մագնիսական հոսքը կարող է ընդունել միայն  0 մեծության բազմապատիկ արժեքներ, ընդսմին

0 

cհ զ

(6.6)

մեծությունը մագնիսական հոսքի քվանտն է («ֆլյուքսոն»): Լոնդոնների տեսության մեջ որպես «գերհաղորդիչ» լիցքակիրներ հանդես են գալիս էլեկտրոնները, ուստի մագնիսական հոսքի քվանտի համար ստացվում է հետնյալ արժեքը`  (0L ) 

cհ զ

 4, 14  107 Գսսմ2 :

Սակայն, ինչպես ցույց են տալիս փորձերը, (Ռ. Դոլ ն Մ. Նեբաուեր, Գերմանիա, 1961 թ.; Բ. Դիվեր ն Ու. Ֆեյրբենկ, ԱՄՆ, 1961 թ.), մագնիսական հոսքի քվանտի համար ստացվում է երկու անգամ փոքր արժեք` cհ (6.7) 0   2, 07  107 Գսսմ2 : 2e

Նկ. 186. Անագե գլանիկում  0 մեծության կախումը մագնիսական դաշտի լարվածությունից

Այս արտահայտությունից ն (6.6) սահմանումից հետնում է, որ զ  2e , այսինքն` գերհաղորդիչ հոսանքը պայմանավորված է էլեկտրոնային զույգերով (այսպես կոչված «կուպերյան զույգեր»), որոնց վերագրվում է նան ոզ  2ո զանգված: Նկ. 186-ում պատկերված է անագե գլանիկում մագնիսական հոսքի չափումների արդյունքը` բերված մագնիսական հոսքի`  0 մեծության կախումը գլանիկում «բռնված» (կամ «սառեցված») մագնիսական դաշտի մեծությունից (Բ. Դիվեր, Ու. Ֆեյրբենկ): Նկարից հստակորեն երնում են մագնիսական հոսքի 0, 1 ն 2 քվանտներով վիճակները: Հարկ է նշել, որ (6.4) արտահայտության մեջ ոզ զ2ոզ գործակցի մեծությունը կախված չէ այն բանից, թե ինչ մասնիկներով է տեղափոխվում հոսանքը` առանձին էլեկտրոններո՞վ, թե՞ կուպերյան զույգերով: Վերջին դեպքում, բացի զ  2e ն ոզ  2ո առնչություններից, որպես լիցքակիրների խտություն պետք է վերցնել ոզ  ո 2 մեծությունը: Մագնիսական հոսքի քվանտացման երնույթը վկայում է նան կուպերյան զույգերի ուժեղ փուլային կոռելյացիայի (փոխկապակցվածության, փոխհամաձայնեցվածության) մասին, քանի որ, փորձի համաձայն, բոլոր կուպերյան զույգերն ունեն միննույն ո քվանտային թիվը: Հաջորդ` ո  քվանտային թվին անցնելիս բոլոր կուպերյան զույգերն անցնում են միննույն նոր` ո -ով որոշվող քվանտային վիճակին: Եթե մեկ առանձին կուպերյան զույգ իր քվանտային թիվը մեծացնի միավորով, իսկ մյուսները մնան նույն ո -ով վիճակում, ապա դրա հետ կապված մագնիսական հոսքի փոփոխությունը`   0 Nc , որտեղ N c -ն կուպերյան զույգերի թիվն է տվյալ ջերմաստիճանում: N c թվի մակրոսկոպական բնույթի պատճառով  -ն շատ անգամ փոքր է փորձում դիտվող  0 արժեքից: Ներմուծելով կուպերյան զույգի գաղափարը` արտաքին մագնիսական դաշտում գերհաղորդիչ հոսանքի քվանտամեխանիկական բանաձնը կարելի է գրել ընդհանրացված տեսքով, դրանում վերցնելով զ  2e ն ոզ  2ո `

յs  

  e    2e  2e      i        i        2ո   c  c      

(6.8)

Այս արտահայտությունից, որն առաջարկել են Վ. Գինզբուրգը ն Լ. Լանդաուն, կատարելով որոշ ենթադրություններ` կարելի է ստանալ Լոնդոնների տեսության (5.5) (կամ (5.18)) հավասարումը: Իրոք, ենթադրենք, որ  ալիքային ֆունկցիայի փոփոխությունը տարածության մեջ պայմանավորված է միայն նրա փուլի փոփոխությամբ` (r ) || exp[i(r)] ; || cօոst :

(6.9)

Ֆիզիկորեն այս ենթադրությունը նշանակում է, որ կուպերյան զույգերի խտությունն էապես չի տարբերվում ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում դրանց խտությունից: Կուպերյան զույգերը կարող են տեղափոխվել, բայց չկուտակվել ն ոչ էլ ոչնչանալ: (6.9) հավասարումը տեղադրելով (6.8) արտահայտության մեջ` կստանանք.

 2e 2  2 e A    : (6.10)  ոc  ո   (6.10) հավասարման աջ ն ձախ մասերի վրա ազդելով rօէ օպերատորով ն նկատի ունենալով, որ կամայական ֆունկցիայի համար rօt()  0 , կստա7s   

նանք Լոնդոնների հավասարումը`

e 2 ոs Թ, ոc որտեղ որպես կուպերյան զույգերի խտություն հանդես է գալիս rօt յs  

ոs  2 | 2 |

(6.11)

մեծությունը: Այս համապատասխանեցումը հիմնավորված է, եթե  -ն մեկնաբանվում է որպես կուպերյան զույգի ալիքային ֆունկցիա: Գերհաղորդիչ հոսանքի (6.10) արտահայտությունից ուղղակիորեն հետնում է նան մագնիսական հոսքի քվանտացման (6.5) պայմանը: Իրոք, եթե (6.10) արտահայտությունն ինտեգրենք Շ փակ կոնտուրով, որն ամբողջությամբ գերհաղորդիչ տիրույթում է (նկ. 185) ն դրանում տեղադրենք յs  0 , ապա նկատի ունենալով նան (6.3) առնչությունը, կստանանք` 2e2 ոc

s  

e ո

 dl :

(6.12)

Մյուս կողմից, քանի որ  ալիքային ֆունկցիան միարժեք է, ապա փակ կոնտուրով պտտվելիս դրա փուլը պետք է փոփոխվի   2ո մեծությամբ, որտեղ ո -ն ամբողջ թիվ է: Հետնաբար` 

 dl   l dl   d    2ո : Շ

(6.13)

(6.12) ն (6.13) բանաձների համաձայն` s 

c 2e

2ո 

հc 2e

ո   0ո :

(6.14)

Արված ենթադրությունների շրջանակներում ստացված այս ոչ խիստ ապացուցումը հիմնավորում է գերհաղորդիչ վիճակը (6.9) ալիքային ֆունկցիայով նկարագրելու իրավացիությունը:

§ 7. Գերհաղորդականության միկրոսկոպական տեսության ֆիզիկական հիմունքները: Կուպերի խնդիրը Գերհաղորդականության երնույթի փորձարարական ուսումնասիրությունները ն երնութաբանական տեսությունների արդյունքները համոզիչ ձնով ցույց տվեցին, որ գերհաղորդիչ վիճակն օժտված է որոշակի կարգավորվածությամբ, որն ի հայտ է գալիս նորմալ վիճակից գերհաղորդիչ վիճակին անցնելիս: Ամեն մի կարգավորվածություն, անկախ դրա ծագման ֆիզիկական պատճառներից, հետնանք է որոշակի փոխազդեցության, որի ուժգնությամբ էլ հենց որոշվում է տվյալ կարգավորված վիճակին անցնելու բնութագրական ջերմաստիճանը: Օրինակ` գազերի, հեղուկների ն պինդ մարմինների փոխադարձ փոխակերպումները պայմանավորված են ատոմների ն մոլեկուլների միջն գործող ուժերով, ընդ որում մեկ մասնիկին բաժին ընկնող կապի էներգիաներն ընկած են 102 էՎ-ից մինչն մի քանի էՎ տիրույթում (Մաս 1, 10  13 Աղյուսակներ), ն որոնց համապատասխանում են մի քանի տասնյակից մինչն մի քանի հազար կելվին բնութագրական ջերմաստիճաններ: Եվ հատկանշական է, որ անցման ջերմաստիճանի նվազման հետ նյութն անցնում է ավելի կարգավորված վիճակի (գազ  հեղուկ  պինդ բյուրեղային մարմին):

Ցածր ջերմաստիճանների տիրույթում հանդես են գալիս ավելի ն ավելի թույլ փոխազդեցություններ: Օրինակ` 104 էՎ ( T - 1 Կ) էներգիաները բնութագրական են ատոմների ն մոլեկուլների մագնիսական մոմենտների փոխազդեցության համար ն կարող են նպաստել մագնիսական կարգավորվածության առաջացմանը (1Ճ.7, 1Ճ.14): Գերհաղորդիչ վիճակին անցման կրիտիկական ջերմաստիճաններն ընկած են 102 Կ  10 Կ տիրույթում (Աղյուսակ 33, Հավելված 6), ուստի բնական է ենթադրել, որ գերհաղորդականության պատճառ փոխազդեցությունը բավականաչափ թույլ է: Կատարենք գնահատումներ: Նորմալ մետաղի ն գերհաղորդչի 1սմ3-ին բաժին ընկնող էներգիաների տարբերությունը, (4.9) բանաձնի համաձայն` H c - 103 Գս դաշտում 105 էրգ կարգի մեծություն է: Քանի որ մետաղի 1սմ3-ը պարունակում է N - 1022 էլեկտրոն, ապա գերհաղորդիչ վիճակում յուրաքանչյուր էլեկտրոնին բաժին է ընկնում (105 1022 ) էրգ  105 էՎ էներգիա: Մյուս կողմից, հայտնի է, որ մետաղներում էլեկտրոնների կուլոնյան փոխազդեցության էներգիան էՎ-ի կարգի է ն դրա անտեսումը բոլորովին չի խանգարում ժամանակակից մետաղների տեսությանը` համարժեքորեն նկարագրելու դրանց ֆիզիկական հատկությունները: Այսպիսով, անհրաժեշտ է բացատրել էլեկտրոնային համակարգում կարգավորվածության առաջացումը, պայմանավորված 105 էՎ կարգի էներգիայով, որը շատ անգամ փոքր է տեսության շրջանակներում անտեսվող էներգիայից: Գերհաղորդականության երնույթը բացատրելու համար անհրաժեշտ է նախ ն առաջ գտնել այն փոխազդեցությունը, որի հետնանքով էլեկտրոնային համակարգում առաջանում է կարգավորվածություն: 1950 թ. Հ. Ֆրյոհլիխը տեսականորեն ցույց է տվել, որ էլեկտրոնների ն բյուրեղային ցանցի տատանումների միջն փոխազդեցությունը կարող է հանգեցնել էլեկտրոնների միջն լրացուցիչ փոխազդեցության, որը որոշակի պայմաններում դրսնորվում է որպես ձգողություն: Եթե այն գերազանցի էլեկտրոնների միջն վանողությունը, ապա մետաղում կառաջանա էլեկտրոնների արդյունարար ձգողություն ն, որպես հետնանք` գերհաղորդականություն: Ինչպե՞ս պատկերացնել պինդ մարմնի բյուրեղային ցանցի միջոցով իրականացվող էլեկտրոն-էլեկտրոն փոխազդեցությունը:

Ենթադրենք` ք1 իմպուլսով էլեկտրոնը տարածվում է բյուրեղում: Ինչ-որ պահի այն գրգռում է ցանցը, այսինքն` ստեղծում տատանում, կամ ինչպես ընդունված է ասել, արձակում է ֆոնոն*) , որը մինչ այդ գոյություն չուներ, ն անցում է նոր` ք1 իմպուլսով վիճակի: Իմպուլսի պահպանման օրենքի համաձայն`

ք1  ք1  q ,

(7.1)

որտեղ q մեծությունը ֆոնոնի իմպուլսն է: Ծնված ֆոնոնն անմիջապես կլանում է մի այլ` ք 2 իմպուլսով էլեկտրոնը, անցնելով նոր` ք 2 իմպուլսով վիճակի, ընդ որում`

ք2  ք2  q :

(7.2)

Այսպիսով` ք1 ն ք 2 իմպուլսներով էլեկտրոնները ցանցի միջնորդությամբ անցնում են ք1 ն ք 2 իմպուլսներով վիճակների, այսինքն` ցրվում են իրար վրա, որն էլ հենց նշանակում է փոխազդեցության առկայություն էլեկտրոնների միջն, որի դեպքում, (7.1) ն (7.2) բանաձների համաձայն, դրանց գումար իմպուլսը չի փոխվում`

ք1  ք2  ք1  ք2 :

(7.3)

Նկ. 187, ա-ում տրված է էլեկտրոնների փոխազդեցության գրաֆիկական պատկերը: Այժմ պարզենք փոխազդեցության բնույթը: Երբ էլեկտրոնը ք1 իմպուլսով ն  ք  ք12 2ո էներգիայով վիճակից

անցնում է ք1 ,  ք1 վիճակի, միջավայրում ծագում է էլեկտրոնային խտության փոփոխություն   (  ք1   ք1 )  հաճախությամբ: Դիցուք` այսպիսի փոփոխության դեպքում տվյալ տեղում առաջանում է էլեկտրոնների տեղային խտության աճ: Իոնները կձգվեն դեպի այդ տեղը ն, քանի որ ունեն զգալի զանգվածներ, ապա բացասական լիցքի հավելուրդը համակշռելուց հետո էլ 3)

Ընդունված է ցանցի` որոշակի հաճախությամբ ն ալիքային վեկտորով տատանմանը (մո-

դին) համապատասխանության մեջ դնել

 ք   ք

էներգիայով ն

ք  k

իմպուլսով «մաս-

նիկ»` ֆոնոն, այնպես, ինչպես էլեկտրամագնիսական դաշտի տատանման մոդին համապատասխանության մեջ է դրվում այդ դաշտի քվանտ` ֆոտոն:

Նկ. 187. ա. Էլեկտրոնների փոխազդեցության գրաֆիկական պատկերը, բ. p ն  p էլեկտրոնների փոխազդեցությունը վիրտուալ ֆոնոնի փոխանակման միջոցով (մուգ գույնով նշված է pF շառավղով ֆերմի- մակերնույթը)

դեռ կշարունակեն շարժվել նույն ուղղությամբ, որի հետնանքով կառաջանա լիցքի վերահամակշռում: Այսինքն` տվյալ կետում այժմ կստեղծվի դրական լիցքի ավելցուկ, որն էլ կձգի երկրորդ էլեկտրոնը: Այս ձգողությունը կառաջանա, եթե ցանցի հարկադրական տատանումները փուլով համընկնում են հարկադրող ուժի, այլ կերպ` էլեկտրոնային խտության փոփոխության հետ, որը կատարվում է   (  ք1   ք1 )  հաճախությամբ: Ինչպես հայտնի է, հարկադրական տատանումները փուլով համընկնում են արտաքին ուժի հետ, եթե տատանողական համակարգի սեփական հաճախությունը մեծ է հարկադրող ուժի հաճախությունից` 0   : Այսպիսով` երկու էլեկտրոնների փոխազդեցությունը կունենա ձգողության բնույթ, եթե էլեկտրոնային խտության  հաճախությունը փոքր է բյուրեղային ցանցի սեփական տատանումների Դեբայի բնութագրական D հաճախությունից, որը (Մաս 1, 17.4, 111.3) կախված է տատանվող մասնիկի (իոնի) M զանգվածից`

D - M 1/ 2 :

(7.4)

Հ. Ֆրյոհլիխի առաջարկած էլեկտրոն-էլեկտրոն փոխազդեցության ֆոնոնային մեխանիզմը հաստատվել է երկու, իրարից անկախ փորձարարական խմբերի (Է. Մաքսվել ն Ս. Ռեյնոլդս ու այլք) հայտնաբերած իզոտոպա273

յին երնույթով, որի համաձայն` տվյալ մետաղի տարբեր իզոտոպներ ունեն տարբեր կրիտիկական ջերմաստիճաններ ն տարբեր կրիտիկական մագնիսական դաշտեր: Իզոտոպային երնույթը նկարագրվում է հետնյալ առնչություններով` Tc M a  cօոst , H 0c M a  cօոst ,

(7.5)

ընդ որում, տարրերի մեծ մասի համար a - 0, 5 (Աղյուսակ 37): Աղյուսակ 37.

a պարամետրի արժեքները Տարր

Տարր

7ո Ըմ

0,45  0,05

Տո

0,47  0,02

PԵ

0,49  0,02

0,32  0,07

էլ

0,50  0,03

Ղ1

0,61  0,10

(7.4) ն (7.5) առնչությունների համաձայն`

Tc - D ,

H0c - D :

(7.6)

Այսպիսով` իզոտոպական երնույթից հետնում է, որ չնայած գերհաղորդիչ վիճակի անցնելիս մետաղի բյուրեղային ցանցը գործնականում փոփոխություններ չի կրում, այնուամենայնիվ այն անմիջականորեն մասնակցում է գերհաղորդիչ վիճակ ստեղծելուն: Եթե իզոտոպի զանգվածը մեծ է, ապա

D -ն համեմատաբար փոքր է, ցանցի` էլեկտրոնով պայմանավորված տեղային բնեռացումը փոքր է, ուստի ն փոխազդեցությունը` թույլ: Դրա հետնանքով կրիտիկական ջերմաստիճանը նվազում է, որն էլ հաստատում է փորձը: Ցանցում էլեկտրոնների միջն արդյունարար ձգողության ի հայտ գալը կարելի է մեկնաբանել ավելի ընդհանուր` քվանտամեխանիկական փոխանակային փոխազդեցությունների տեսանկյունից, որի համաձայն փոխազդող էլեկտրոնները փոխանակում են ֆոնոններ: (Ընդունված է էլեկտրոնի ստեղծած ն մյուս էլեկտրոնի կլանած ֆոնոնն անվանել «վիրտուալ», այսինքն` առանց էլեկտրոնի գոյություն չունեցող, ի տարբերություն ռեալ ֆոնոնների` ցանցի տատանումներին համապատասխանող քվանտների): Գերհաղորդականության միկրոսկոպական մեխանիզմը հասկանալու գործում հաջորդ վճռորոշ քայլը կատարել է Լ.Կուպերը 1956 թ.: Նա ցույց է տվել, որ T  0 Կ-ում ազատ էլեկտրոնային գազի նվազագույն էներգիայով

հիմնական վիճակը էլեկտրոնների միջն կամայական չափով թույլ ձգողության առկայության պայմաններում դառնում է անկայուն: Թվում է քիչ հավանական, որ կամայական չափով թույլ ձգողություն եռաչափ դեպքում բերի երկու էլեկտրոնների կապված վիճակի (էլեկտրոնային զույգի) առաջացման: Իրոք, անորոշությունների առնչության համաձայն,

r0 շառավղով զույգում էլեկտրոնների իմպուլսների անորոշությամբ պայմանավորված էներգիան  2 ոr02 կարգի մեծություն է, ուստի կապված վիճակ կառաջանա, եթե կապի էներգիան գերազանցի այդ մեծությունը (Մաս 1, 11.6): Սակայն Լ. Կուպերը ցույց է տվել, որ նման քիչ հավանական թվացող հնարավորությունը կարող է իրականանալ Պաուլիի սկզբունքի ն մնացած էլեկտրոնների` զույգի վրա ազդեցության շնորհիվ: Էլեկտրոնային համակարգի T  0 Կ-ում հիմնական վիճակի անկայունության ծագման (հետնաբար` ն կուպերյան զույգի առաջացման) պատճառը պարզելու նպատակով ուսումնասիրենք երկու առանձնացված էլեկտրոնների վարքը, որոնք r1 ն r2 կետերում են, ն որոնց իմպուլսներն ընկած են pF շառավղով ֆերմի-գնդոլորտից դուրս` p1, p2  pF : Նշանակենք այդ էլեկտրոնների ալիքային ֆունկցիան  (r1, r2 ) -ով ն առայժմ դիտարկենք միայն այնպիսի վիճակներ, երբ զույգի զանգվածների կենտրոնը դադարի վիճակում է: Այս դեպքում ալիքային ֆունկցիան կախված է միայն r1  r2 տարբերությունից ն այն կարելի է ներկայացնել հարթ ալիքների գումարի տեսքով`  ( r1  r2 ) 

 g( ք) exp   ք( r1  r2 ) , i

(7.7)

որտեղ |g ( ք)|2 մեծությունը հավանականությունն է այն բանի, որ մի էլեկտրոնը ք , իսկ մյուսը`  ք իմպուլսով վիճակում է: Քանի որ բոլոր p  pF վիճակները զբաղեցված են, ապա Պաուլիի սկզբունքի համաձայն, g( ք)  0 ,

եթե

p  pF :

(7.8)

(7.7) արտահայտությունը տեղադրելով երկու էլեկտրոնի համար գրված Շրյոդինգերի հավասարման մեջ`

 2 2 2 2  1   2  V ( r1 , r2 )   ( r1  r2 )  E  ( r1  r2 ) ,  2ո  2ո 

(7.9)

ձախից բազմապատկելով exp  iք (r1  r2 )   արտադրիչով ն ինտեգրելով ըստ r  r1  r2 փոփոխականի, կստանանք հավասարում անհայտ g( ք) ֆունկցիայի համար`

ք2 2ո

g ( ք) 

Vք, ք ք g( ք ք)  Eg( ք) ,

(7.10)

քք

որտեղ

V ք, ք' 

 V (r ) e

i ( ք  ք' ) r 

dr (7.11) L մեծությունը երկու էլեկտրոնների փոխազդեցության V (r) էներգիայի մատ3

րիցական տարրն է ք ն ք վիճակների միջն, L3 -ը` համակարգի ծավալը: Եթե E  2F , ապա (7.10) հավասարումն ունի անընդհատ էներգիական սպեկտր ն նկարագրում է երկու էլեկտրոնների ցրումը ( ք1  ք ) սկզբնական վիճակից ( ք1  ք) վերջնական վիճակ (նկ. 187, բ): Ցույց տանք, որ երկու էլեկտրոնների միջն արդյունարար ձգողության դեպքում, երբ V (r)  0 , հնարավոր է այդ էլեկտրոնների կապված վիճակի առաջացում, որին համապատասխանում է բացասական կապի էներգիա: Պարզության համար ենթադրենք, որ (7.11) մատրիցական տարրը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով`

Vք , ք 

 V0  ,   L3  0, 

»Ã» F 

2ո

ք'

2ո

  F  D ,

(7.12)

ÙÝ³ó³Í ¹»åù»ñáõÙ:

Այս ենթադրության համաձայն` երկու էլեկտրոն իրար ձգում են միայն այն դեպքում, երբ դրանց էներգիաները ֆերմի-մակերնույթին հարող D լայնությամբ շերտում են: Նկատի ունենալով (7.12) մոտավորությունը, (7.10) հավասարումից կստանանք`

( 2 ք  E ) g( ք)  

V0 L3

 g( ք) :

(7.13)

ք

Կատարենք նշանակում` Շ

 g( ք)  cօոst

(7.14)

ք

որտեղ գումարումը կատարվում է միայն ֆերմի-մակերնույթին հարող D շերտում ընկած վիճակներով: (7.13) հավասարման համաձայն` g( ք) 

Շ E  2 ք

(7.15)

որը տեղադրելով (7.14) նշանակման մեջ, կստանանք էլեկտրոնային զույգի E էներգիան որոշելու հավասարումը`

 E  2  ք   1 :

(7.16)

ք

Նկատի ունենալով էլեկտրոնային համակարգի մակրոսկոպական բնույթը, (7.16) հավասարման մեջ ըստ ք -ի գումարից անցնենք ինտեգրալի (711,2.17)` d ք

L (2)

 2  ք  E  1 :

(7.17)

Ենթաինտեգրալ արտահայտությունը կախված է միայն իմպուլսի մոդուլից, ուստի անցնելով էներգիային ն ներմուծելով վիճակի խտության ֆունկցիան սպինի մեկ ուղղության ն ծավալի միավորի համար` N ( ) d 

dk  ( 2 )



d ք ( 2  )3

(7.18)

(7.17) հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով` F D

f ( E )  V0

   

F

N ( ) d  V0 2  E

D    

N (    F ) d 2 F  E  2

1 :

(7.19)

Սահմանենք էլեկտրոնային զույգի կապի էներգիան որպես երկու չփոխազդող էլեկտրոնների ն էլեկտրոնային զույգի էներգիաների տարբերություն`

  2F  E :

(7.20)

Քանի որ D  F , ապա կարելի է (7.19) ինտեգրալում կատարել

N (  F )  N (F ) մոտավորությունը ն հաշվել ինտեգրալը` D  V0 N (  F )   

d 2  



 

N (  F ) V0 ոո  1 

2D   1,  

(7.21)

որտեղից հետնում է կապի էներգիայի վերջնական արտահայտությունը`



2D   exp   1 N (  ) V F 0 

(7.22)

Այսպես կոչված թույլ կապի մոտավորությամբ, երբ N (F )V0  1 ,



 :  N ( F )V0 

  2D exp  

(7.23)

Ստացված արդյունքի յուրահատկությունն այն է, որ անգամ շատ թույլ ( V0  0 ) ձգողական փոխազդեցության դեպքում գոյություն ունի   0 կապի էներգիա ն, հետնաբար` երկու էլեկտրոնների կապված վիճակ: Կամայական չափով թույլ ձգողական պոտենցիալի համար վերջավոր կապի էներգիայի գոյությունը պայմանավորված է լցված վիճակների ֆերմիգնդոլորտի գոյությամբ: Իրոք, F  0 դեպքում (7.19) հավասարման աջ մասը` D

1 (E) 



N ( )

d 2  E

(7.24)

ինտեգրալը, E  0 -ում 1 (0) վերջավոր մեծություն է, քանի որ N ( ) - 1/ 2 : Եթե E  0 , ապա 1 (E)  1 (0) կամ V01 (0)  V01 (E)   f (E)  1 : Այս պայմանից հետնում է, որ V0 1 (0)  1 դեպքում կապված, այսինքն` E  0 վիճակներ չկան: Սակայն, եթե N()  cօոst , ապա 1 (2F )   , ուստի կամայա-

կան չափով փոքր V0 -ի համար միշտ կգտնվի այնպիսի   2F  E  0 , որ

1 (2F  )  1 V0 , ն որի լուծումը տրվում է (7.22) արտահայտությամբ: (7.23) արտահայտությունը չի կարելի վերածել շարքի ըստ V0 -ի, երբ

V0  0 : Այս արդյունքից հետնում է, որ գերհաղորդականության միկրոսկոպական տեսությունը հնարավոր չէ կառուցել խոտորումների ստանդարտ տեսության շրջանակներում:

§ 8. Գաղափար գերհաղորդականության ԲԿՇ տեսության մասին Գերհաղորդականության միկրոսկոպական տեսությունը, որը հաջողությամբ բացատրում է փորձում դիտվող օրինաչափությունները, ստեղծել են գերհաղորդականության երնույթի հայտնագործությունից 46 տարի անց` Ջ. Բարդինը, Լ. Կուպերը ն Ջ. Շրիֆերը 1957 թ. (գերհաղորդականության ԲԿՇ տեսություն): ԲԿՇ տեսության մեջ, Կուպերի խնդրի համեմատությամբ, կատարվում է հաջորդ քայլը` կառուցվում է հիմնական վիճակ, որտեղ կուպերյան զույգեր են կազմում բոլոր էլեկտրոնները: Այս մոտեցումն ավելի ընդհանուր է, քան Կուպերինը, քանի որ յուրաքանչյուր էլեկտրոն կատարում է կրկնակի դեր` ա. Պաուլիի սկզբունքի համաձայն` ապահովում է իմպուլսների արժեքների անհրաժեշտ սահմանափակում, որը մյուս էլեկտրոններին հնարավորություն է տալիս ստեղծելու կապված զույգեր կամայական չափով թույլ ձգողության առկայության պայմաններում, բ. մասնակցում է որնէ կապված զույգի ստեղծմանը: Ուսումնասիրենք գերհաղորդչի հիմնական վիճակը, որն իրացվում է T  0 Կ-ում, ն որին համապատասխանում է նվազագույն էներգիա: Նորմալ մետաղում նվազագույն էներգիայով վիճակին իմպուլսային տարածության մեջ համապատասխանում է լրիվ «լցված» ֆերմի-գնդոլորտը, իսկ դրանից դուրս` ազատ վիճակների բազմությունը: Այս վիճակում էլեկտրոնային համակարգի կինետիկ էներգիան ամենափոքրն է, իսկ պոտենցիալ էներգիան ազատ էլեկտրոնների մոդելի շրջանակներում պարզապես բացակայում է:

Նկ. 188. T  0 ջերմաստիճանում ( ք,  ք) էլեկտրոնային վիճակի զբաղեցվածության հավանականության` իմպուլսից կախման գրաֆիկը

«Միացնենք» էլեկտրոնների միջն բյուրեղային ցանցի միջնորդությամբ փոխազդեցությունը: Այն ունի ձգողական բնույթ, ուստի էներգիայի մեջ կտա բացասական ներդրում` փոքրացնելով համակարգի լրիվ էներգիան: Էլեկտրոնների փոխազդեցությունը (ցրումը) հնարավոր է, եթե ( ք1, ք2 ) սկզբնական վիճակը զբաղեցված է, իսկ ( ք1 , ք2 ) վերջնական վիճակը` ազատ: Հետնաբար` T  0 Կ-ում լրիվ լցված ֆերմի-գնդոլորտն այլնս չի համապատասխանի համակարգի լրիվ էներգիայի նվազագույն արժեքին (կինետիկ էներգիայի աճը փոքր է փոխազդեցության բացասական պոտենցիալ էներգիայից): ԲԿՇ տեսության մեջ էլեկտրոնների միջն փոխազդեցությունը նկարագրվում է հետնյալ հիմնական մոտավորությամբ: Այն էլեկտրոնները, որոնց էներգիաները ֆերմի-էներգիայից տարբերվում են ոչ ավելի, քան D -ով ( D -ն Դեբայի հաճախությունն է), փոխադարձաբար ձգվում են, ընդ որում դրանց փոխազդեցության էներգիան հաստատուն է: Մնացած էլեկտրոնները չեն փոխազդում: Էլեկտրոնների փոխազդեցության մատրիցական տարրը տրվում է (7.12) արտահայտությամբ: Փոխազդող էլեկտրոնների էներգիաներն ընկած են  

( pF  p) 2 2ո



( pF  p) 2 2ո



2 pF p ո

 4 F

p pF

- D

(8.1)

լայնությամբ շերտում: (8.1) արտահայտությունից հետնում է, որ p pF



D 4 F

TD 4TF

(8.2)

Բնութագրական ջերմաստիճանների կարգը` TD - - 102 Կ, TF - 104  105 Կ, ուստի` p pF - 103 : Այսպիսով` էլեկտրոնային համակարգը մի վիճակում է, երբ ֆերմի-մակերնույթից դուրս որոշ վիճակներ զբաղեցված են, իսկ դրանից ներս կան որոշ ազատ վիճակներ: Դրա հետնանքով T  0 Կ-ում ֆերմիմակերնույթը դառնում է «լղոզված» ի հաշիվ ոչ լրիվ զբաղեցված (  ք  F ) ն ոչ լրիվ ազատ (  ք  F ) վիճակների: Նկ. 188-ում պատկերված է T  0 Կ-ում

( ք,  ք) երկէլեկտրոնային վիճակի զբաղեցված լինելու w( p) հավանականության` իմպուլսից կախման գրաֆիկը: Ի տարբերություն նորմալ մետաղի (նկ. 188, կետագիծ), անգամ բացարձակ զրո ջերմաստիճանում էլեկտրոնների բաշխումն ըստ իմպուլսների

p  pF կետում խզում չունի: ԲԿՇ մոտավորությամբ էլեկտրոնային համակարգի հիմնական վիճակի ալիքային ֆունկցիան կառուցվում է հետնյալ ձնով: Խմբավորենք N էլեկտրոններն ըստ N 2 զույգերի ն ենթադրենք, որ յուրաքանչյուր զույգ նկարագրվում է կապված վիճակի (r, 5; r, 5) ալիքային ֆունկցիայով ( 5, 5 -ն էլեկտրոնների սպիներն են): Այնուհետն դիտարկենք N - էլեկտրոնային ալիքային ֆունկցիա, որը N 2 նույնական ալիքային ֆունկցիաների արտադրյալ է`

 ( r1, s1; r2 , s2 ;; rN , sN )   ( r1, s1; r2 , 52 )  ( r3 , s3; r4 , s4 )( rN 1, sN 1; rN , sN )

(8.3)

Այս ֆունկցիան նկարագրում է մի վիճակ, որտեղ բոլոր էլեկտրոնները զույգզույգ կապված են, այսինքն` կազմում են նույնական երկէլեկտրոնային վիճակների համախումբ: Սակայն (8.3) ֆունկցիան չի բավարարում Պաուլիի սկզբունքից բխող հակահամաչափության հատկությանը, ուստի անհրաժեշտ է այն դարձնել հակահամաչափ: Այսպիսով`  ( r , s ;; r , s )  4ˆ ( r , s ;; r , s ) , (8.4) BՇՏ 1 1

1 1

որտեղ 4̂ օպերատորի ազդեցությունը հանգում է  -ի վրա N ! 1 այլ ֆունկցիաներ գումարելուն, որոնցից յուրաքանչյուրն ստացվում է (8.3) ֆունկցիա-

յից բոլոր հնարավոր փոխատեղություններով` վերցրած ( 1 ) կամ ( 1 ) գործակցով, կախված փոխատեղությունների թվի զույգ կամ կենտ լինելուց: ԲԿՇ տեսության մեջ (r, 5; r, 5) ֆունկցիաները համարվում են սինգլետ, ուստի դրանց կոօրդինատական մասերը` (r, r) ֆունկցիաները, համաչափ են: Եթե կապված զույգի վիճակն օժտված է տեղափոխական համաչափությամբ, այն է` (r, r)  (r  r) , ապա վերջինս կարելի է ներկայացնել (7.7) տեսքով, այսինքն` որպես մեկէլեկտրոնային վիճակների ալիքային ֆունկցիաների արտադրյալների վերադրում: (7.7) արտահայտության յուրաքանչյուր գումարելի նկարագրում է հակառակ ուղղված սպիներով ն հակառակ ուղղված իմպուլսներով վիճակ` ( ք ;  ք ) : Քանի որ (7.7) գումարը նույնական զույգերի վիճակների վերադրում է, ապա այն տեղայնացված է կոօրդինատների r  r1  r2 տարածության մեջ: Գնահատենք զույգը նկարագրող ալիքային ֆունկցիայի տեղայնացման տիրույթի բնութագրական 0 չափը: (7.7) գումարում հիմնական ներդրում են տալիս այն մեկէլեկտրոնային վիճակները, որոնց իմպուլսներն ընկած են (8.2) առնչությամբ որոշվող p տիրույթում, ուստի, օգտվելով անորոշությունների առնչությունից, կստանանք` 0 -

 p

F

k F D

- 105  104 սմ

(8.5)

( k F - 108 սմ1; F - 103 D ): Մեկ կուպերյան զույգի զբաղեցրած 30 կարգի ծավալով տիրույթում կլինեն ավելի քան 30ո - 10151022 - 107 այլ զույգերի կենտրոններ: Այսինքն` կուպերյան զույգերը չի կարելի պատկերացնել որպես անկախ մասնիկներ, դրանք տարածության մեջ «խառնված» են իրար, որն էական է հիմնական վիճակի ալիքային ֆունկցիայի կայունության համար: Այսպիսով` հիմնական` նվազագույն էներգիայով վիճակ առաջանում է, երբ p տիրույթին պատկանող իմպուլսներով էլեկտրոնները կազմում են

( ք ;  ք ) կուպերյան զույգեր: Այս վիճակը հաճախ անվանում են կոնդենսացված, քանի որ կուպերյան զույգերն առաջացնում են նվազագույն էներգիայով վիճակ այնպես, ինչպես գազի ատոմները խտանալիս առաջացնում են հեղուկ (ի դեպ, կուպերյան զույգերի համակարգը երբեմն անվանում են

նան էլեկտրոնային կոնդենսատ): Բոլոր կուպերյան զույգերը պատկանում են միննույն քվանտային վիճակին ն ունեն միննույն էներգիան, քանի որ դրանք անընդհատ ցրվում են մեկէլեկտրոնային վիճակների միջն, որոնց համապատասխանող իմպուլսներն ընկած են p տիրույթում: Նվազագույն էներգիայի տեսանկյունից իրար հակառակ ուղղված ք ն

 ք իմպուլսներով զույգերի առաջացումը կարելի է բացատրել հետնյալ ձնով: Երկու էլեկտրոնների փոխազդեցության ժամանակ տեղի ունի իմպուլսի պահպանման (7.3) օրենքը: Որքան շատ են անցումները ( ք1, ք2 ) ն ( ք1 , ք2 ) վիճակների միջն, այնքան մեծ է դրանց բացասական ներդրումը համակարգի լրիվ էներգիայի մեջ: Եթե, օրինակ, ք1  ք2  q (նկ. 189), ապա նշված անցումներին կարող են մասնակցել միայն այն էլեկտրոնները, որոնց իմպուլսներն ընկած են իրարից q հեռավորությամբ կենտրոններով ֆերմի-գնդոլորտների p հաստությամբ գնդային շերտերի հատումից առաջացած օղակաձն ծավալում, որի կտրվածքները նկ. 189-ում ստվերագծված են: Եթե q վեկտորն աստիճանաբար փոքրացնենք, ապա ստվերագծված տիրույթները (իմպուլսային տարածության մեջ` օղակաձն ծավալը) կմեծանան: q  0 կամ որ նույնն է` ք1   ք2 դեպքում, համակարգի լրիվ էներգիայի փոքրացմանը կնպաստեն բոլոր այն էլեկտրոնները, որոնց վիճակներն ընկած են 2D լայնությամբ էներգիական շերտում: Այժմ ծանոթանանք ԲԿՇ տեսության կարնորագույն հասկացություններից մեկի` էներգիական սպեկտրի ճեղքի գաղափարին, որի գոյությունը հետնում է բազմաթիվ փորձերից (էլեկտրամագնիսական ճառագայթման կլանումը գերհաղորդչում, ջերմունակության ջերմաստիճանային վարքը (§ 4), էլեկտրոնների թունելային անցման երնույթները ն այլն): Փորձենք որնէ եղանակով (օրինակ` ճառագայթահարման կամ տաքացման միջոցով) գերհաղորդչին էներգիա հաղորդել: Եթե կուպերյան զույգին հաղորդվում է էներգիա, ապա կարելի է կարծել, որ զույգի էներգիայի մեծացումը տեղի կունենա (7.7) ալիքային ֆունկցիայում առկա իմպուլսների մեծացման հաշվին: Սակայն  (r ) ֆունկցիան արդեն պարունակում է բոլոր այն իմպուլսները, որոնք ընկած են p - pF D F շերտում ն բավարարում

է լրիվ իմպուլսի զրո լինելու պայմանին: Հետնաբար` չի կարելի մեծացնել զույգի էներգիան, մեծացնելով զույգ կազմող էլեկտրոնների իմպուլսները ն միաժամանակ պահպանել դրանց հակաուղղվածության ն հավասարության պայմանը: Եթե զույգը «քանդվի», ապա առաջացած էլեկտրոններն այլնս չեն ունենա հավասար ն հակաուղղված իմպուլսներ, ուստի այլնս չեն կարող մասնակցել մեծ թվով ցրումներին, որոնց մասնակցում է կուպերյան զույգը, որի արդյունքում այդ ցրումներով (փոխազդեցությամբ) պայմանավորված պոտենցիալ էներգիան գործնականորեն կդառնա զրո: Անիմաստ է խոսել զույգում առանձին էլեկտրոնների իմպուլսների մասին (7.7) բանաձնով տրված (r) ֆունկցիայով որոշվող վիճակում: Ընդհակառակը, զույգը քանդվելուց հետո կարելի է էլեկտրոնին վերագրել որոշակի իմպուլս, քանի որ այն գործնականորեն ազատ մասնիկ է: ԲԿՇ տեսության համաձայն` կուպերյան զույգը քանդելու ն ք ն ք իմպուլսներով (կամ  ք ն  ք  էներգիաներով) էլեկտրոններ ստանալու համար պահանջվող էներգիան` 1/ 2

E  E ք  E ք ք  (  ք   F ) 2   2 





1/ 2

 (  ք ք   F ) 2   2 





, (8.6)

որտեղ  մեծությունը էներգիական ճեղքի կիսալայնությունն է: (8.6) արտահայտությունից բխում է կուպերյան զույգը քանդելու համար անհրաժեշտ ամենափոքր էներգիան 2 է ն համապատասխանում է  ք   ք   F արժեքներին:

Նկ. 189. ք1  ք2  q առնչությանը բավարարող ք1 ն ք2 իմպուլսները պատկանում են ստվերագծված կտրվածքներով օղակին, որն ստացվում է նկարը q -ով ուղղված առանցքի շուրջը 3600-ով պտտելիս:

Նորմալ մետաղում էլեկտրոնը | ք|  pF զբաղեցված վիճակից | ք' |  pF ազատ վիճակ տանելու համար անհրաժեշտ էներգիան`

Eո  E ք ,ո  E ք,ո  |F   ք |  | ք  F | ,

(8.7)

որը ձգտում է զրոյի, երբ | ք| ն | ք ' | մեծությունները ձգտում են Ֆերմիի սահմանային pF իմպուլսին: Այսպիսով, նորմալ մետաղի էլեկտրոնային սպեկտրում ճեղք չկա` (8.7) մեծությունը կարող է ընդունել զրոյից սկսած կամայական արժեք: Գերհաղորդչի էլեկտրոնային համակարգի էներգիական սպեկտրում ճեղքի գոյությունը պայմանավորված է երկու պատճառով: Նախ` կուպերյան զույգի տրոհումն էլեկտրոնների հանգեցնում է դրանց կապի էներգիայի վերացման, այսինքն` զույգը քանդելու համար անհրաժեշտ է ծախսել որոշակի էներգիա` այնպես, ինչպես մոլեկուլն ատոմների տրոհելիս: Երկրորդ` եթե էլեկտրոնը զբաղեցրել է ք  վիճակը, իսկ ք  վիճակն ազատ է, ապա մնացած (չտրոհված) կուպերյան զույգերն այլնս չեն կարող անցնել

( ք ;  ք ) վիճակի, ուստի ցրումների թիվը, որոնց կարող են մասնակցել զույգերը, կփոքրանա: Որպես հետնանք` կփոքրանա դրանց կապի էներգիան ն դրանց (բացասական) ներդրումը համակարգի լրիվ էներգիայի մեջ ն գերհաղորդչի լրիվ էներգիան կմեծանա: Էներգիական ճեղքի մեծությունը ջերմաստիճանի բարձրացմանը զուգընթաց փոքրանում է: Իրոք, եթե գերհաղորդչի ջերմաստիճանն այնպիսին է, որ kBT - 2 , ապա բազմաթիվ կուպերյան զույգեր կենթարկվեն ջերմային տրոհման, ն « ք » տարածության շատ վիճակներ զբաղեցված կլինեն էլեկտրոններով: Լրացված վիճակների էլեկտրոնները, ինչպես նշվեց, չեն կարող մասնակցել զույգերի միջն փոխադարձ անցումներին ն, հետնաբար` գերհաղորդչի լրիվ էներգիայի նվազմանը: ԲԿՇ տեսության մեջ էներգիական ճեղքի ջերմաստիճանային կախման համար ստացված կորը պատկերված է նկ. 190-ում: T  Tc տիրույթում (T ) կախումն արտահայտվում է (T ) - (Tc  T )1/ 2

(8.8)

բանաձնով, որի համաձայն` (Tc )  0 , այսինքն` T  Tc ջերմաստիճանում

գերհաղորդիչն անցնում է նորմալ վիճակի: Էներգիական ճեղքի համար ԲԿՇ տեսության հայտնի հավասարումից

(Tc )  0

դեպքում

ստացվում

կրիտիկական

ջերմաստիճանի

արտահայտությունը`



 :  N (F ) V0 

k BTc  1,14D exp  

(8.9)

T  0 Կ ջերմաստիճանում էներգիական ճեղքը`



Eg  0   2(0)  4D exp  

  :

 N ( F )V0 

(8.10)

(8.9) ն (8.10) բանաձներից հետնում է էներգիական ճեղքի ն կրիտիկական ջերմաստիճանի միջն կապը` 2  0  k BTc

 3, 52 ,

(8.11)

որը լավագույնս համընկնում է տարբեր փորձերում ստացված քանակական տվյալների հետ: (8.9) բանաձնից անմիջականորեն հետնում է իզոտոպական երնույթի բացատրությունը: Իրոք, բանաձնում առկա էքսպոնենտային արտադրիչը կախված չէ իոնի զանգվածից, իսկ Դեբայի հաճախությունը` D - M 1/ 2 :

Նկ. 190. Գերհաղորդչի էներգիական ճեղքի` ջերմաստիճանից կախման գրաֆիկն ըստ ԲԿՇ տեսության

Այժմ ցույց տանք, որ գերհաղորդչի էներգիական ճեղքի գոյության փաստից անմիջապես հետնում է գերհաղորդչի հիմնական հատկությունը` դրանում չմարող հոսանքի գոյությունը:

Նկ. 191. Ֆերմի-գնդոլորտի տեղաշարժը ք -տարածության մեջ, երբ գերհաղորդիչ հոսանքը զրո չէ:

Եթե գերհաղորդչում ծագել է հոսանք, ապա բոլոր զույգերն ունեն միննույն P իմպուլսը: Այս դեպքում զույգի ալիքային ֆունկցիան ձնավորող վիճակները կունենան ( ք  P 2) , (  ք  P 2)  իմպուլսներ, հետնաբար` իմպուլսային

տարածության

մեջ

ֆերմի-գնդոլորտը

կտեղաշարժի

P 2

վեկտորի չափով (նկ. 191): Դիցուք` հոսանքն ուղղված է x առանցքով, այսինքն` P  (P, 0, 0) : Դիտարկենք ( pF  P 2 , 0, 0) իմպուլսներով էլեկտրոններից կազմված կուպերյան զույգը: Առավելագույն` ( pF  P 2)2 2ո կինետիկ էներգիայով (1) էլեկտրոնին էներգիապես ձեռնտու է անցնել (2) էլեկտրոնի մոտ` ( pF  P 2)2 2ո իմպուլսով ազատ վիճակի, որի արդյունքում համակարգի էներգիան կնվազի

1  P 1  P pF    pF    pF P (8.12)   2ո  2 2ո  2 ո մեծության չափով: Բայց այս դեպքում զույգը կքանդվի, որի արդյունքում համակարգի էներգիան կմեծանա 2 -ով: Եթե P -ն բավականաչափ փոքր է, ապա էներգիայի (8.12) շահումը չի կարող ծածկել 2 կորուստը, այսինքն` զույգի քանդվելը էներգիապես նպատակահարմար չէ: P  0 իմպուլսով վիճակը, լինելով մետաստաբիլ, այսինքն` ավելի քիչ կայուն, քան P  0 վիճակը, այնուամենայնիվ կարող է գոյատնել անվերջ

երկար ժամանակ: Այս վիճակը կսկսի քանդվել, երբ զույգի տրոհումը դառնա էներգիապես նպատակահարմար, այսինքն` եթե 2 ո P  Pc  : (8.13) pF Եթե համեմատենք (8.1), (8.2) ն (8.13) կհամոզվենք, որ Pc կրիտիկական իմպուլսը համընկնում է pF շառավղով ֆերմի-մակերնույթի շուրջ 2p շերտի լայնության հետ, որին պատկանող իմպուլսներով էլեկտրոնները միայն կարող են կազմել կուպերյան զույգեր:

Pc իմպուլսին համապատասխանում է յc կրիտիկական հոսանք` յc 

ոs P ո e ո e : 2evc  ոse c  s  s 2ո pF k F

(8.14)

Գնահատենք յc հոսանքը: Եթե ընդունենք, որ T  0 Կ-ում ոs - 1022 սմ3,  - 1 Կ -1016 էրգ, k F - 108 սմ1, ապա յc - 106 Ա/սմ2: Եթե T  0 Կ, ապա որոշ կուպերյան զույգեր, անգամ յc -ից փոքր հոսանքների դեպքում, տրոհվում են էլեկտրոնների, որոնք իրենց պահում են «նորմալ» մասնիկների նման` կարող են գրգռվել, ցրվել, ն եթե դրանք մասնակցում են հոսանքին, ապա առաջանում է դիմադրություն:

§ 9. Ջոզեֆսոնի երնույթները Գերհաղորդչում չմարող հոսանքի գոյությունը պայմանավորված է կուպերյան զույգերի շարժումով: 2ո զանգվածով ն 2e լիցքով զույգի արագությունը որոշվում է «կապված» էլեկտրոնների զանգվածների կենտրոնի արագությամբ: Ինչպես ն սովորական մասնիկներին, կուպերյան զույգին նս կարելի է վերագրել ալիք, որը ներկայացվում է

i   0   ( r ) exp  PR    ( r )  P  R   

(9.1)

արտահայտությամբ, որտեղ P -ն զույգի լրիվ իմպուլսն է, R -ը` զանգվածների կենտրոնի շառավիղ-վեկտորը: Էքսպոնենտային արտադրիչը նկարա288

գրում է զույգի` որպես ամբողջություն, շարժումը ն համապատասխանում է վազող ալիքի: Բոլոր կուպերյան զույգերը բնութագրվում են միննույն P իմպուլսով, ուրեմն` ն ալիքի նույն երկարությամբ`   հ P , ուստի  P  R  հարթ ալիքը պահպանում է փուլի կոհերենտությունը կամայական չափով մեծ հեռավորություններում: Իրոք, քանի որ P  0 , ապա, ըստ անորոշությունների առնչության, x -  |P|   : Ի տարբերություն գերհաղորդչի, նորմալ մետաղում հաղորդականության էլեկտրոնները ցրման հետնանքով զգալիորեն փոփոխում են իմպուլսները: Եթե ցրման հետնանքով իմպուլսի փոփոխությունը` |P|- pF , ապա կոհերենտության երկարությունը` x -  pF - k F1  108 սմ, այսինքն` էլեկտրոնային ալիքները կոհերենտ են շատ փոքր` ցանցի հաստատունի կարգի հեռավորություններում:

Նկ. 192. Թույլ կապով համակարգեր

Գերհաղորդիչներում կուպերյան զույգերի կոհերենտության ցայտուն դրսնորման ապացույցներից են 1962 թ. Բ. Ջոզեֆսոնի հայտնագործած երեվույթները: Ջոզեֆսոնի առաջին երնույթը. թունելային անցում ունեցող համակարգում հնարավոր է գերհաղորդիչ հոսանքի գոյություն Ս  0 պոտենցիալների տարբերության դեպքում: Ջոզեֆսոնի երկրորդ երնույթը. երբ գերհաղորդիչ հոսանքը գերազանցում է որոշակի (կրիտիկական) արժեք, թունելային անցումը դառնում է բարձր հաճախությամբ էլեկտրամագնիսական ալիքների առաքման աղբյուր: Հետագայում պարզվել է, որ Ջոզեֆսոնի երնույթները բնորոշ են ոչ միայն թունելային անցումների, այլ այսպես կոչված թույլ կապի բոլոր տեսակների համար, այսինքն` գերհաղորդիչ շղթայի այն տեղամասերի համար,

որոնցում կրիտիկական հոսանքն էապես փոքրացված է, իսկ տեղամասի չափը կոհերենտության երկարության կարգի է: Նկ. 192-ում պատկերված է թույլ կապի իրականացման մի քանի տարբերակ ( Տ ` գերհաղորդիչ թաղանթ, i ` մեկուսիչ շերտ,  ` կոհերենտության երկարություն): Իրարից բարակ մեկուսիչ շերտով բաժանված երկու գերհաղորդիչներից կազմված համակարգն իրեն պահում է որպես մեկ` միասնական գերհաղորդիչ: Այսպիսի թույլ կապով համակարգերում դիտվող գերհաղորդականությունն ընդունված է անվանել «թույլ գերհաղորդականություն», քանի որ համակարգի կրիտիկական պարամետրերը, օրինակ` կրիտիկական հոսանքը, զգալիորեն փոքր են սովորական գերհաղորդիչ համակարգերի համապատասխան պարամետրերից: Թույլ գերհաղորդականությամբ համակարգերում դիտվող երնույթների հիմքում ընկած են գերհաղորդիչ վիճակի քվանտային հատկությունները, մասնավորապես այն հանգամանքը, որ բոլոր կուպերյան զույգերը նույն քվանտային վիճակում են ն նկարագրվում են նույն ալիքային ֆունկցիայով, այնպես որ դրանց վարքը փոխհամաձայնեցված է` դրանք կոհերենտ են: Եթե ունենք միննույն գերհաղորդչի` իրարից մեկուսացված, նույն ջերմաստիճանով երկու կտոր, ապա դրանց ալիքային ֆունկցիաների մոդուլները պետք է համընկնեն, իսկ փուլերը կարող են լինել կամայական: Ստեղծենք կտորների միջն թույլ կապ, այսինքն` այնպիսի միացում, որն էապես չազդի կտորների վրա, այլ խաղա գրգռման դեր: Կապի առկայությամբ առաջանում է միասնական համակարգ` մեկ ալիքային ֆունկցիայով, որը կարելի է դիտել որպես երկու կտորների ալիքային ֆունկցիաների վերադրման հետնանքով առաջացող ինտերֆերենցի արդյունք: Այսինքն` կապի հետնանքով տեղի է ունենում ալիքային ֆունկցիաների փուլերի փոխհամաձայնեցում, որն ընդունված է անվանել փուլային կոհերենտություն: Ջոզեֆսոնի երնույթներն ուսումնասիրենք երկմակարդակ համակարգի պարզ մոդելի օգնությամբ: Նշանակենք 1 -ով ն  2 -ով 1 ն 2 համակարգերի ալիքային ֆունկցիաները: Եթե համակարգերը մեկուսացված են, ապա ալիքային ֆունկցիաների փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում նկարագրվում է Շրյոդինգերի հավասարումով`

i

1  E11 , t

i

 2  E2  2 , t

(9.2)

որտեղ E1 -ը ն E2 -ը 1 ն 2 համակարգերի հիմնական վիճակների էներգիաներն են: Եթե համակարգերը կապվեն թույլ կապով, ապա 1 -ի փոփոխությունը կազդի  2 -ի վրա ն հակառակը: Կապի առկայությամբ 1 ն  2 ֆունկցիաները կորոշվեն հետնյալ հավասարումների համակարգից`

i

1  E11  K  2 , t

(9.3)

i

 2  E2  2  K 1 : t

(9.4)

Ֆիզիկորեն կապը 1 ն 2 գերհաղորդիչների միջն նշանակում է թունելային եղանակով կուպերյան զույգեր փոխանակելու հնարավորություն, որի ուժգնությունը որոշվում է K հաստատունով: Երկու թույլ կապված գերհաղորդիչների առանձնահատկությունը երկու վիճակներ ունեցող մեկ այլ համակարգի, օրինակ` H 2 մոլեկուլի իոնի, համեմատությամբ այն է, որ 1 ն  2 ֆունկցիաները նկարագրում են մակրոսկոպական լրացման թվերով վիճակներ: Այս դեպքում ալիքային ֆունկցիայի լայնույթի քառակուսին կարելի է դիտարկել որպես կուպերյան զույգերի խտություն ն գրել, որ

1  ո1 exp(i1 ) ,

 2  ո2 exp(i2 ) ,

(9.5)

որտեղ ո1 -ը ն ո2 -ը կուպերյան զույգերի խտություններն են 1 ն 2 գերհաղորդիչներում, իսկ 1 ն 2 -ը` փուլերը: (9.5) արտահայտությունները տեղադրելով (9.3) ն (9.4) հավասարումներում ն առանձնացնելով ստացված հավասարումների իրական ն կեղծ մասերը` կստանանք.

dո1 2K  ո1ո2 Տiո(2  1 ) , dt 

(9.6)

dո2 2 K  ո1ո2 Տiո(1  2 ) , dt 

(9.7)

 d1 ո 1    E1  K 2 օօՏ(2  1 ) , dt   ո1 

(9.8)

 d2 ո 1    E2  K 1 օօՏ(1  2 ) : dt   ո2 

(9.9)

Ինչպես հետնում է (9.6) ն (9.7) հավասարումներից, ո1  ո 2 : Եթե 1 ն 2 համակարգերը նույն գերհաղորդիչներից են, ապա ո1  ո2 ն

dո1 2K dո  ո1 Տiո(2  1 )   2 : (9.10) dt  dt Զույգերի խտության փոփոխությունը 1 գերհաղորդչում բազմապատկելով դրա V ծավալով ն զույգի 2e լիցքով, կստանանք 1-ից 2 գերհաղորդիչ թույլ կապով անցնող հոսանքի արտահայտությունը` dո 2Kո1 1 s  2eV 1  2eV Տiո(2  1 )  1 s mոx Տiո(2  1 ) , (9.11) dt  որտեղ առավելագույն (կամ ջոզեֆսոնյան) հոսանքը` 4eVKո1 1 s mոx  : (9.12)  Այս բանաձնի համաձայն` ջոզեֆսոնյան հոսանքը կախված է ինչպես գերհաղորդչի, այնպես էլ մեկուսիչ շերտի բնութագրերից (արգելքի լայնությունից ն բարձրությունից): Այսպիսով, արտաքին լարման բացակայությամբ թույլ կապով կարող է հոսել հաստատուն հոսանք, որն արժեքներ է ընդունում 1 s mոx ն  1 s mոx տիրույթում, կախված փուլերի 2  1 տարբերությունից (Ջոզեֆսոնի ստացիոնար երնույթ): Նկ. 193, ա-ում պատկերված է թույլ կապի վոլտ-ամպերային բնութագիծը (սկզբնակետով անցնող ն մասամբ կետագծված ուղիղը համապատասխանում է Օհմի օրենքին): Հարկ է նշել, որ 1 ն 2 գերհաղորդիչները միացված են հոսանքի աղբյուրին, որն ապահովում է դրանցում ո1  cօոst , ո2  cօոst պայմանների իրականացումը (նկ. 193, բ):

Նկ. 193. ա. Թույլ կապի վոլտ-ամպերային բնութագիծը, բ. հոսանքի աղբյուրն ապահովում է ո1  cօոst ն ո2  cօոst պայմանների իրականացումը:

Այժմ ուսումնասիրենք Ջոզեֆսոնի ոչ ստացիոնար երնույթը: (9.8) ն (9.9) հավասարումներից ո1  ո2 դեպքում հետնում է, որ d dt

(2  1 ) 



( E1  E2 ) :

(9.13)

Եթե E1  E2 , ապա 2  1  cօոst ըստ ժամանակի: Սակայն եթե գերհաղորդիչների միջն կիրառված է պոտենցիալների Ս տարբերություն, ապա

E1  E2  2eՍ :

(9.14)

(9.13) բանաձնի համաձայն` փուլերի 2  1 տարբերությունը ժամանակից կախված փոխվում է

2  1 

2eՍ t  0 , 

(9.15)

գծային օրենքով, որտեղ 0 -ն փուլերի տարբերությունն է t  0 պահին: (9.15) բանաձնը տեղադրելով ջոզեֆսոնյան հոսանքի (9.11) արտահայտության մեջ, կստանանք`

 2eՍ  1 s  1 s mոx Տiո  t  0  ,    այսինքն` անցումով հոսում է

(9.16)



2eՍ 

(9.17)

հաճախությամբ փոփոխական հոսանք (Ջոզեֆսոնի ոչ ստացիոնար երնույթ): (9.17) բանաձնի համաձայն` երբ կուպերյան զույգն անցնում է թույլ կապով, առաքվում կամ կլանվում է   2eՍ էներգիայով քվանտ: Զրոյից տարբեր գերհաղորդիչ հոսանքը կարող է պայմանավորված լինել ոչ միայն փուլերի տարբերությամբ ((9.11) բանաձն), այլ նան մագնիսական դաշտի վեկտորական պոտենցիալով: Ըստ հաշվարկների, մագնիսական դաշտում թույլ կապով անցնող թունելային հոսանքը, երբ մագնիսական դաշտը թույլ կապի հարթության մեջ է, տրվում է 1  10

|Տiո(  /  0 )|   / 0

(9.18)

բանաձնով, որտեղ  -ն լրիվ մագնիսական հոսքն է թույլ կապի տիրույթում, 0  հc 2e -ն հոսքի քվանտն է, իսկ 1 0 պարամետրը կախված է ջերմաստիճանից ն թույլ կապի բնութագրերից, բայց ոչ մագնիսական դաշտի լարվածությունից:

Նկ. 194. Թունելային հոսանքի` մագնիսական դաշտի լարվածությունից կախման գրաֆիկը Տո-ՏոՕ-Տո հպակում

Նկ. 194-ում պատկերված է թունելային հոսանքի կախումը մագնիսական դաշտի լարվածությունից Տո-ՏոՕ-Տո հպակում: Երբ   ո0 , որտեղ ո -ն ամբողջ թիվ է, 1  0 : Այժմ քննարկենք այն դեպքը, երբ շղթայում զուգահեռ միացված է երկու թույլ կապ (նկ. 195, ա): Ենթադրենք, որ 1 ն 2 կետերի միջն փուլերի տարբերությունը a անցումով a է, իսկ Ե անցումով` Ե : Մագնիսական դաշտի բացակայությամբ

a  Ե : Եթե մագնիսական դաշտը զրոյից տարբեր է ն թունելային հպակների հարթության մեջ է, ապա շղթայի մակերես թափանցող  մագնիսական հոսքը պայմանավորում է a ն Ե կետերի միջն փուլերի տարբերություն, որը տրվում է

Ե  a 

2e  c

(9.19)

արտահայտությամբ: (9.11) բանաձնի համաձայն` 1 s1  1 s mոx Տiո a ,

1 s2  1 s mոx Տiո Ե ,

(9.20)

ուստի լրիվ հոսանքը`

Նկ. 195. ա. Երկու թույլ կապերի զուգահեռ միացումը, բ. հոսանքի` մագնիսական հոսքից կախման գրաֆիկը 1  1 s mոx (Տiո a  Տiո Ե )  1 s mոx 2 Տiո

 a  Ե

օօՏ

 a  Ե



(9.21) e   e     Տiո  Ե   : c   c   Նկատի ունենալով մագնիսական հոսքի քվանտի (6.7) արտահայտությունը` (9.21) բանաձնը կարելի է ներկայացնել հետնյալ տեսքով.  2 1 s mոx օօՏ 



    Տiո  Ե    : 0   0  

1  2 1 s mոx օօՏ  

 

(9.22)

Ստացված բանաձնից հետնում է, որ զուգահեռ միացված տեղամասով



1 mոx  2 1 s mոx օօՏ  

 

  0 

(9.23)

լրիվ առավելագույն հոսանքը` կախված տեղամաս թափանցող մագնիսական հոսքի (դաշտի լարվածության) մեծությունից, փոփոխվում է պարբերաբար` ընդունելով առավելագույն արժեք` 21 s mոx , երբ   ո0 ն դառնալով 0 , երբ   (ո  1 2)0 , որտեղ ո  0,1, 2, (նկ. 195, բ): Երկու թույլ կապերից (ջոզեֆսոնյան տարրերից) կազմված տեղամասը գերզգայուն չափիչ սարքի` քվանտային ինտերֆերաչափի (ՏՕU1Ծ` գերհաղորդիչ քվանտային ինտերֆերաչափական սարք) հիմնական մասն է: Այս սարքով կարելի է չափել կամայական մեծություն, որի փոփոխությունը կարելի է փոխակերպել մագնիսական հոսքի փոփոխության: Սարքի զգայնության սահմանափակումը պայմանավորված է միայն ջերմային աղմուկով ն, ըստ տեսական գնահատումների, կարող է լինել 105  0 - 1012 Գսսմ2 կարգի: Այսպես, եթե ինտերֆերաչափի (զուգահեռ միացված տեղամասի) մակերեսը 1 սմ2 կարգի է, ապա դրանով կարելի է չափել մինչն 1010  1011 Գս կարգի մագնիսական դաշտեր: Համեմատության համար նշենք, որ երկրագնդի մագնիսական դաշտի լարվածությունը մոտ 0, 5 Գս է:

§ 10. Գաղափար բարձրջերմաստիճանային գերհաղորդականության մասին 1986 թ. շվեյցարացի գիտնականներ Ի. Գ. Բեդնորցը ն Կ. Ա. Մյուլերը հայտնագործեցին գերհաղորդականության երնույթն այսպես կոչված մետաղ-օքսիդային խեցեղեններում (կերամիկաներում)` Ba-Լa-Ըս-Օ համակարգերում, որոնց կրիտիկական ջերմաստիճանը` Tc  30  35 Կ ն զգալիորեն

գերազանցում էր մինչ այդ հայտնի ամենաբարձր կրիտիկական ջերմաստիճանը` Tc  23, 2 Կ, որը դիտվել է NԵ3Շ6 միացությունում: Կառուցվածքային հետազոտություններից պարզվել է, որ այդ խեցեղենը մի քանի ֆազերի խառնուրդ է, որոնցից գերհաղորդիչ է Լa2-xBaxԸսՕ4 քիմիական բանաձնով նկարագրվող ֆազը: Ստրոնցիումային խեցեղենի համար գերհաղորդիչ է Լa2-xՏոxԸսՕ4 ֆազը, ընդ որում Լa1,8Տո0,2ԸսՕ4 միացությունում դիտվում է խիստ նեղ գերհաղորդիչ անցում Tc  36 Կ ջերմաստիճանում: Շատ շուտով պարզ դարձավ, որ Ի. Գ. Բեդնորցը ն Կ. Ա. Մյուլերը հայտնագործել են պինդ մարմնի ֆիզիկայի մի նոր ուղղություն` օքսիդային բարձրջերմաստիճանային գերհաղորդականությունը (ԲՋԳՀ): Այս հայտնագործությունը կարնորվում է նան այն տեսանկյունից, որ ցույց տրվեց որոշ տեսական գնահատումներից բխող առավելագույն կրիտիկական ջերմաստիճանի վերին` Tc - 30 Կ սահմանի բացակայությունը: Մի քանի ամիս անց, 1987 թ. գարնանը սինթեզվեց այսպես կոչված «1-23» համակարգը` ՃBa2Ըս3Օ7, որտեղ Ճ-ն մետաղ է, որը կարող է լինել իտրիում (Y) կամ լանթանի ընտանիքի որնէ ներկայացուցիչ, օրինակ` Շմ, էօ, Pո, Լս: Այս համակարգի կրիտիկական ջերմաստիճանը 90  95Կ տիրույթում է, այսինքն` գերազանցում է «ազոտային արգելքը» TN  77 Կ` ազոտի հեղուկացման ջերմաստիճանը*). Մասնավորապես, YBa2Ըս3Օ7 միացության համար Tc  92 Կ: Արդեն 1987 թ. տարեվերջին սինթեզվեցին բիսմութային խեցեղենները` B14(ՏոԸa)6ԸսՕ16, ( Tc  105 Կ) ն թալիումային խեցեղենները` Ղ12BaԸa2Ըս3Օ10 Tc  125 Կ ռեկորդային կրիտիկական ջերմաստիճանով: Այսպիսով, եթե 75 տարվա ընթացքում (1911-1986 թթ.) կրիտիկական ջերմաստիճանը բարձրացել էր ընդամենը 19 Կ-ով` 4,2 Կ-ից (սնդիկ) մինչն

23,2Կ (NԵ3Շ6), այսինքն` մոտ 0,3 Կ ` մեկ տարում, ապա ԲՋԳՀ -ներում այն մեկ տարվա ընթացքում 35Կ -ից հասավ 125Կ -ի:

Ներկայում «ճախրող» մագնիսի միջոցով Մայսների երնույթը կարելի է ցուցադրել առանց բարդ փորձարարական սարքավորումների, որպես սառեցնող հեղուկ օգտագործելով հեղուկ ազոտ:

Ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ բոլոր ԲՋԳՀ-ները, անկախ դրանցում առկա արատներից, պատկանում են պերովսկիտների բյուրեղագրական ընտանիքին ն ներկայացնում են խեցեղեններ` մետաղական ն ոչ մետաղական տարրերից (սովորաբար` թթվածնից) կազմված պինդ նյութեր:

ա բ Նկ. 196. Պերովսկիտների (ՃՑՃ3) իդեալական կառուցվածքը. ա. խորանարդային մոդել, բ. բազմանիստային մոդել Պերովսկիտների իդեալական կառուցվածքը խորանարդային է ն նկարագրվում է ՃBՃ3 բանաձնով: Յուրաքանչյուր խորանարդ կազմված է երեք տարբեր քիմիական տարրերից (Ճ, B, Ճ), վերցված համապատասխանաբար 1:1:3 հարաբերությամբ: Ճ ն B տարրերը մետաղական կատիոններ են, Ճ-ը` ոչ մետաղական անիոն: Ճ տարրը` երկու մետաղական տարրերից ավելի խոշորը, զբաղեցնում է խորանարդի կենտրոնը, B-ն` խորանարդի գագաթները, իսկ Ճ անիոններն զբաղեցնում են խորանարդի 12 կողերի կենտրոնները (նկ. 196, ա): Երբեմն խորանարդային մոդելի փոխարեն օգտագործվում է բազմանիստային մոդելը (նկ. 196, բ): Վեց Ճ անիոնները, որոնք շրջապատում են յուրաքանչյուր B կատիոն, կազմում են ութանիստի 6 գագաթները: Այս մոդելում հիմնական կառուցվածքային տարրը բջջում դառնում է ութ ութանիստերից կազմված խումբը, որի անդամները կապված են գագաթներով ն դասավորված են Ճ կատիոնի շուրջը: ԲՋԳՀ պերովսկիտները դրսնորում են ամենաբազմազան էլեկտրական հատկություններ, պայմանավորված կառուցվածքային փոփոխություններով ն բյուրեղային կառուցվածքի արատներով: Որպես կանոն, դրանք մի քանի ֆազերի խառնուրդ են: Մասնավորապես, լավ ուսումնասիրված Y-Ba-Ըս-Օ

միացությունը երկու հիմնական ֆազերի խառնուրդ է, որոնցից մեկը, որը կազմում է խառնուրդի մոտ 2/3-ը, բաղկացած է փոքր, հարթեցված եզրերով հատիկներից ն պարունակում է Y, Ba ն Ըս համապատասխանաբար 2:1:1 հարաբերությամբ ն ունի կանաչավուն գույն: Մյուս ֆազը, որը սն գույնի է ն կազմված է անթափանցիկ, կանոնավոր ձն ունեցող հատիկներից, պարունակում է Y, Ba ն Ըս` 1:2:3 հարաբերությամբ: Այս ֆազը «1-2-3» միացությունն է, որն օժտված է գերհաղորդականությամբ, ն որի տարրական բջջի կառուցվածքը պատկերված է նկ. 197-ում: Տարրական բջիջը կազմված է երեք խորանարդից: Պղինձը (Ըս) զբաղեցնում է B-դիրքերը, բարիումը (Ba)` Ճ-դիրք, իսկ իտրիումը (Y)` Ճ-դիրք կենտրոնական խորանարդում: «1-2-3» միացության երկու հիմնական` YBa2Ըս3Օ7 ն YBa2Ըս3Օ6 ձներում էլ իտրիում պարունակող կենտրոնական խորանարդի ուղղաձիգ չորս կողերի վրա թթվածնի ատոմներ չկան: Ինչպես երնում է նկ. 197-ից, YBa2Ըս3Օ7 կառուցվածքի տարրական բջջում կա երկու հարթություն, որոնք պարունակում են Ըս ն Օ ատոմներ ն որոնք ուղղահայաց են Շ-առանցքին (նկ. 197-ում ստվերագծված հարթությունները): Ըս-Օ հարթություններ կան նան բիսմութային ն թալիումային խեցեղեններում: Փորձ է արվել կապ հաստատել այդ հարթությունների թվի ն կրիտիկական ջերմաստիճանի միջն: Այսպես, Լa1,8Տո0,2ԸսՕ4 միացության տարրական բջջում կա մեկ Ըս-Օ հարթություն, ն Tc - 40 Կ: «1-2-3» համակարգում կա այդպիսի 2 հարթություն, ն Tc  90 Կ( -2  40 Կ), իսկ թալիումային խեցեղենում`

կամ

հարթություն,

համապատասխանաբար

Tc  100 Կ

( -2  40 Կ) ն Tc  120 Կ ( -3  40 Կ) կրիտիկական ջերմաստիճաններով: ԲՋԳՀ-ների համակողմանի հետազոտությունների արդյունքում պարզվել է, որ նոր տիպի գերհաղորդիչների մակրոսկոպական հատկությունները հիմնականում չեն տարբերվում լավ ուսումնասիրված «հելիումային» գերհաղորդիչների հատկություններից: Փորձից հետնում է, որ այս նյութերում նս մագնիսական հոսքի քվանտը` 0  հc 2e , այսինքն` լիցքի տեղափոխությունը կատարվում է էլեկտրոնային զույգերով: ԲՋԳՀ-ները 11 սեռի գերհաղորդիչներ են: Դրանց յուրահատկությունն ի հայտ է գալիս հատկապես կրիտիկական մագնիսական դաշտի չափումներում: Մասնավորապես, արտակարգ մեծ արժեքներ է ընդունում H c 2 կրիտի299

կական դաշտը, որը T  0 Կ-ին մոտ տիրույթում կարող է գերազանցել

106 Գս արժեքը: Աղյուսակ 38-ում բերված են T  0 Կ-ում H c 2 դաշտի ն

dHc2 dT մեծության արժեքները, մի քանի ԲՋԳՀ-ների համար, երբ T  Tc :

Նկ. 197. YBa2Ըս3Օ7 ֆազի տարրական բջջի կառուցվածքը

Օքսիդային ԲՋԳՀ-ներն օժտված են զգալի մագնիսական բյուրեղագրական անիզոտրոպությամբ: Կախված արտաքին մագնիսական դաշտի ուղղությունից (օ-առանցքով, թե դրան ուղղահայաց), H c 2 -ը կարող է փոփոխվել տասնյակ անգամ: Դրանով պայմանավորված անիզոտրոպություն է հանդես բերում ն կոհերենտության երկարությունը: Ամենամեծ հարաբերությունը` մոտավորապես 40 անգամ, դիտվում է Ba2Տո2ԸaԸս2Օ6 միացությունում, որտեղ օ-առանցքով ||  1 Å, իսկ դրան ուղղահայաց ուղղությամբ`   42 Å: Կոհերետության || երկարության փոքրությունը օ-առանցքի ուղ-

ղությամբ ցանցի հաստատունից նս մի փաստարկ է այն բանի օգտին, որ առնվազն տվյալ միացությունում գերհաղորդականությունը պայմանավորված է իրար հետ թույլ կապված Ըս-Օ հարթությունների երկչափ էլեկտրոններով:

Աղյուսակ 38.

ԲՋԳՀ-ների որոշ բնութագրեր

Միացություն BaPԵ0,75B10,25Օ3 Լa1,8Տո0,2ԸսՕ4 YBa2Ըս3Օ7 Ba2Տո2ԸaԸս2Օy Ղ12Ըa2Ba2Ըս3Օx

7c , Կ

d|c/d7, Գս/Կ,

|c26 , 104Գս , |c2-ի

երբ 7  7c

առավելագույն արժեքը

4,5  6

ԲՋԳՀ-ների յուրահատկությունները պայմանավորված են իրենց կառուցվածքային առանձնահատկություններով: Խեցեղենների պատրաստման տեխնոլոգիայի համաձայն` նմուշները կազմված են գերհաղորդիչ հատիկներից, որոնք իրար են միանում շիկամշակման պրոցեսում ընթացող քիմիական ռեակցիաների շնորհիվ: Հատիկների ներսի համեմատությամբ տարբեր հատիկների կցատեղերում գերհաղորդիչ հատկությունները «ճնշված» են: Դա, մասնավորապես, պայմանավորված է շիկամշակման պրոցեսում հատիկի ծավալում առկա խառնուկների` հատիկի մակերնույթ դուրս գալով, ինչպես նան հատիկների սահմանների ոչ իդեալականությամբ: Այլ կերպ ասած, խեցեղեն նմուշը կարելի է դիտարկել որպես բազմաթիվ գերհաղորդիչ բյուրեղահատիկներից կազմված ն միմյանց հետ թույլ ջոզեֆսոնյան անցումներով կապված մի համակարգ: Այսպիսի համակարգի մագնիսական հատկություններն ավելի բարդ են, քան համասեռ նմուշինը, քանի որ կախված են բազմաթիվ գործոններից` հատիկների միջն տարբեր անցումների կրիտիկական հոսանքներից, անցումներում «բռնված» մագնիսական հոսքերից ն այլն: Խեցեղեններում կրիտիկական հոսանքները մեծ չեն: Խեցեղենից պատրաստված ամենաորակյալ լարում T  77 Կ-ում յc  4  10 3 Ա/սմ2: Նույն ջերմաստիճանում զգալի մեծ կրիտիկական հոսանք` յc  10 6 Ա/սմ2, հաջողվել է ստանալ YBa2Ըս3Օ7 ԲՋԳՀ-ից պատրաստված թաղանթում օ-առանցքին ուղղահայաց ուղղությամբ: Օքսիդային ՃBa2Ըս3Օ7 գերհաղորդիչների անսպասելի հատկություններից մեկն էլ կրիտիկական ջերմաստիճանի անկախությունն է այն բանից, թե

Ճ տարրը մագնիսական է, թե՞ ոչ: Ինչպես հայտնի է, «սովորական» գերհաղորդիչներում մագնիսական խառնուկների անգամ մոտ 19 խտությունն էապես ցածրացնում է կրիտիկական ջերմաստիճանը, քանի որ մագնիսական մոմենտի ն կուպերյան զույգի էլեկտրոնների փոխազդեցության հետնանքով զույգը քանդվում է: Օքսիդային գերհաղորդիչներում այս երնույթը չի նկատվում: Դեռ ավելին` պարզվել է, որ հաղորդականության էլեկտրոնները ն Ճ տարրերի էլեկտրոնները կազմում են կարծես իրարից անկախ համակարգեր. էլեկտրոններն անցնում են գերհաղորդիչ վիճակի, իսկ Ճ ատոմների մագնիսական մոմենտները` մագնիսակարգավորված վիճակի (համապատասխան ջերմաստիճանում), որպես կանոն` հակաֆեռոմագնիսական: Այսպես, ՇմBa2Ըս3Օ7 ( Tc  95 Կ) միացությունում գերհաղորդիչ ֆազում T  2 Կ ջերմաստիճանում ջերմունակությունն ունի մաքսիմում, որը վկայում է հակաֆեռոմագնիսական կարգավորվածության առկայության մասին (1Ճ.7): Որակապես այս փաստը կարելի է բացատրել, ենթադրելով, որ հաղորդականության (իսկ T  Tc -ում` գերհաղորդիչ) էլեկտրոնները կազմում են երկչափ համակարգ, որի վրա համեմատաբար հեռու մագնիսական ատոմները գործնականորեն չեն ազդում: Ջերմունակության չափումներից հետնում է ԲՋԳՀ-ի էներգիական սպեկտրում էներգիական ճեղքի առկայությունը, սակայն տարբեր մեթոդներով ստացված արդյունքները զգալիորեն տարբերվում են իրարից: Այնուամենայնիվ, կարելի է համարել հաստատված, որ 2 kBTc հարաբերությունը ն՛ լանթանային, ն՛ իտրիումային գերհաղորդիչների համար գերազանցում է ԲԿՇ տեսությունից հայտնի 3,52 արժեքը: Գնահատումների համաձայն` YBa2Ըս3Օ7 միացության համար այն ընկած է 6-ի ն 8-ի միջն: Հասկանալի է, որ ԲՋԳՀ-ների հատկությունների բացատրությունն էլեկտրոն-ֆոնոնային փոխազդեցության վրա հիմնված ԲԿՇ տեսության շրջանակներում, առանց դրա էական փոփոխության, հիմնավորված չէ (ԲՋԳՀ-ներում կրիտիկական ջերմաստիճաններն էապես բարձր են): Սակայն չի կարելի բացառել էլեկտրոն-ֆոնոնային փոխազդեցության դերը բարձրջերմաստիճանային գերհաղորդականության երնույթում: Չնայած ներկայումս առաջարկվել են ԲՋԳՀ բացատրության տարբեր մեխանիզմներ (ֆոնոնային, բիպոլարոնային, էքսիտոնային ն այլն), այնուամենայնիվ, դեռնս ստեղծված չէ այդ երնույթի միասնական տեսությունը:

Հետազոտությունները ցույց են տալիս, որ էլեկտրամագնիսական դաշտում ԲՋԳՀ-ներն իրենց վարքով չեն տարբերվում սովորական գերհաղորդիչներից` փակ օղակում հոսանքը պահպանվում է, տեղի ունի Մայսների երնույթը ն այլն: Տարբերությունն այն է, որ «սովորական» գերհաղորդիչներում բոլոր հատկություններն ի հայտ են գալիս հելիումային ջերմաստիճաններում` իսկ ԲՋԳՀ-ներում` ազոտական ջերմաստիճաններում: Այս հանգամանքը մեծապես խթանում է ԲՋԳՀ-ները գործնական նպատակներով կիրառելու փորձերը:

ԳԼՈՒԽ Ճ1

ԱՐԱՏՆԵՐԸ ԲՅՈՒՐԵՂՆԵՐՈՒՄ

§ 1. Բյուրեղային արատների դասակարգումը Իդեալական բյուրեղային կառուցվածքների մաթեմատիկական տեսությունը (Մաս 1, 1) հնարավորություն է տալիս բացատրելու բյուրեղների այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են խտությունը, առաձգականությունը, ջերմունակությունը, դիէլեկտրական ն մագնիսական թափանցելիությունները: Այս հատկությունները կոչվում են ծավալային կամ ոչ կառուցվածքազգայուն: Բոլոր իրական բյուրեղները, ինչպես բնության մեջ հանդիպող, այնպես էլ արհեստականորեն ստացվող, իդեալական չեն` դրանցում միշտ առկա են կառուցվածքային խախտումներ, որոնց անվանում են անկատարելություններ կամ արատներ: Բյուրեղների ծավալային հատկությունները գործնականորեն կախված չեն դրանցում առկա արատներից: Սակայն կառուցվածքային արատներն էապես ազդում են բյուրեղների մի շարք այլ հատկությունների վրա: Այսպես, բազմաթիվ բյուրեղների ն, մասնավորապես, կիսահաղորդիչների էլեկտրահաղորդականությունը կարող է ամբողջությամբ կախված լինել քիմիապես օտար խառնուկների առկայությունից: Շատ բյուրեղների գունավորումը հետնանք է դրանցում առկա արատների: Բյուրեղների լյումինեսցենցը գրեթե միշտ կապված է խառնուկների առկայության հետ: Դիֆուզիայի երնույթն էապես արագանում է շնորհիվ արատների առկայության: Պինդ մարմինների մեխանիկական ն պլաստիկ հատկությունները, որպես կանոն, պայմանավորված են արատներով: Թվարկած, ինչպես նան բյուրեղների շատ այլ հատկություններ, զգալիորեն կախված են դրանց կատարելության աստիճանից, ուստի կոչվում են կառուցվածքազգայուն: Բյուրեղային կառուցվածքի արատներից բացի, կարնոր նշանակություն ունեն այլ տիպի անկատարելություններ` էլեկտրոնային կառուցվածքի խախտումները, որոնք ազդում են հատկապես բյուրեղների կարնորագույն էլեկտրական ն մագնիսական հատկությունների վրա: Սովորաբար, արատ են անվանում բյուրեղի կամայական տիրույթ, որտեղ միկրոսկոպական մակարդակով մասնիկների (ատոմների, իոնների, մո304

լեկուլների) դասավորությունը կտրուկ տարբերվում է իդեալական բյուրեղին բնորոշ դասավորությունից: Բյուրեղի ֆիզիկական հատկությունների վրա արատի ազդեցության բնույթը մեծապես կախված է արատի «չափայնությունից», այսինքն` տարածական չափումների թվից, որոնց ուղղությամբ արատն ունի մակրոսկոպական` ցանցի a հաստատունից շատ անգամ մեծ, չափեր: Կետային կամ զրո չափանի արատ է կոչվում բյուրեղային ցանցի աղավաղումը, որը տեղայնացված է ատոմի ծավալի կարգի մեծությամբ տիրույթում: Եթե ատոմների կանոնավոր դասավորությունը խախտվում է միայն որոշակի գծի փոքր ( - a ) շրջակա տիրույթում, ապա այդպիսի արատը կոչվում է գծային կամ միաչափ: Եթե ատոմների կանոնավոր դասավորությունը խախտվում է որոշակի մակերնույթի փոքր ( - a ) շրջակայքում, ընդգրկելով միջատոմային հեռավորությունների կարգի շերտ, ապա այդպիսի արատը կոչվում է մակերնութային կամ երկչափ: Եռաչափ կամ ծավալային արատ է կոչվում բյուրեղային ցանցի կամայական աղավաղում, որը տարածական երեք ուղղություններով էլ ունի մակրոսկոպական չափեր: Արատի ազդեցությունը բյուրեղի ֆիզիկական հատկությունների վրա կարող է դրսնորվել երկու ճանապարհով: Նախ` արատին հարող տիրույթում բյուրեղը խաթարված է, ն արատը հանդես է գալիս որպես բյուրեղի տեղային անհամասեռություն: Երկրորդ` արատի առկայությունը հանգեցնում է արատից զգալի հեռավորություններում բյուրեղային ցանցի ստացիոնար աղավաղումների, որոնք, վերջին հաշվով, դրսնորվում են որպես ատոմների շեղումներ իդեալական բյուրեղում դրանց հավասարակշռական դիրքերից: Այսպիսով, բյուրեղում արատը կատարում է նան շեղումների դաշտի աղբյուրի դեր: Արատի շուրջ ծագող շեղումների դաշտը կախված է բյուրեղային ցանցի (մատրիցի) վրա արատի ազդեցության բնույթից: Ծանոթանանք բյուրեղային ցանցի տարբեր կառուցվածքային արատների կոնկրետ օրինակների: Պարզագույն կետային արատներ են «սեփական», այսինքն` տվյալ բյուրեղային կառուցվածքին պատկանող միջհանգուցային ատոմները: Ինչպես

Նկ. 198. ա. Միջհանգուցային ատոմ, բ. թափուրք

բխում է անվանումից, միջհանգուցային ատոմը տեղ է զբաղեցնում իդեալական ցանցի ատոմների հավասարակշռության դիրքերի միջն (նկ. 198, ա): Եթե ատոմը չի զբաղեցնում բյուրեղական ցանցի հագույցը, այսինքն` հանգույցը թափուր է, ապա այդպիսի արատն անվանում են թափուրք (նկ. 198, բ): Եթե տվյալ բյուրեղային կառուցվածքի միջհանգուցային դիրքում «օտար» (այլ քիմիական տարրի) ատոմ է, ապա այդպիսի արատը կոչվում է ներդրման խառնուկ (նկ. 199, ա), իսկ եթե «օտար» ատոմն զբաղեցնում է «սեփական» (մատրիցի) ատոմի հանգույցը, ապա այդպիսի արատը կոչվում է տեղակալման խառնուկ (նկ. 199, բ): Միջհանգուցային ատոմը («սեփական» կամ «օտար») ստեղծում է ցանցի իդեալականության տեղային խախտում, ընդ որում ատոմի մոտակա հանգույցները շեղվում են արատից դեպի «դուրս»:

Նկ. 199. ա. Ներդրման խառնուկ, բ. տեղակալման խառնուկ

Նկ. 200.

Անիոնային ն

կատիոնային թափուրքներ

Թափուրքը միջհանգուցային ատոմից տարբերվում է նրանով, որ դրա ստեղծած շեղումներն ուղղված են դեպի «ներս»` դեպի թափուրքը: Այսպիսով, միջհանգուցային ատոմը ն թափուրքը կարծես հակառակ նշանի արատներ են, ն որոշակի պայմաններում, հնարավոր է դրանց ոչնչացումը (անիհիլացում): Այսպիսի կետային արատների առաջացման ամենապարզ սխեմայի համաձայն` ատոմը, տարբեր գործոնների ազդեցության հետնանքով, թողնում է «իր» հանգույցը ն անցնում միջհանգուցային դիրքի, միաժամանակ ստեղծելով թափուրք ն միջհանգուցային ատոմ: Արատների այս զույգն ընդունված է անվանել Ֆրենկելի արատ կամ ֆրենկելյան զույգ: Ատոմին «իր» հանգույցից հանող գործոններից են, օրինակ, ջերմային ֆլուկտուացիաները, ռենտգենյան ճառագայթահարումը, մեծ էներգիաներով մասնիկները: Ի տարբերություն մետաղական ն կովալենտ կապերով բյուրեղներում առաջացող կետային արատների` իոնային բյուրեղներում, որոնք կազմված են իրար մեջ ներդրված դրական ն բացասական իոնների ենթացանցերից (Մաս 1, 11), առաջանում են երկու տեսակի` կատիոնային ն անիոնային թափուրքներ (նկ. 200): Այս թափուրքները տարբերվում են իրենց էլեկտրական հատկություններով: Իրոք, բյուրեղային ցանցի հանգույցում դրական իոնի բացակայությունը (կատիոնային թափուրք) էլեկտրական լիցքի բաշխման տեսանկյունից համարժեք է այդ հանգույցում բացասական լիցքի հայտնվելուն: Հետնաբար` կատիոնային թափուրքը բյուրեղում հանդես է գալիս որպես բացասական լիցքավորված կետային արատ: Համանման ձնով, անիոնային թափուրքը դրական լիցքի կրող է: Բյուրեղի էլեկտրաչեզո307

քությունը կպահպանվի, եթե իոնները ոչ թե հեռանան բյուրեղից, այլ անցնեն միջհանգուցային դիրքեր (Ֆրենկելի արատ), կամ էլ եթե անիոնային ն կատիոնային թափուրքները (իոնների հավասար արժեքականության դեպքում) առաջանան հավասար քանակություններով (Շոտկիի արատներ): Իոնային բյուրեղներում թափուրքի շուրջ ծագող տեղային դեֆորմացիաները տարբերվում են ոչ իոնային բյուրեղներում դիտվող դեֆորմացիաներից: Թափուրքին ամենամոտն են նույն նշանով իոնները, ուստի թափուրքի անմիջական մոտակայքում գործում է վանող (հրող) ուժ, ն մոտակա իոնները շեղվում են թափուրքից «դուրս» ուղղություններով: Ամենամոտ հաջորդող հարնաններին, հակառակ նշանի իոնները ձգտում են շեղվել դեպի թափուրքը: Ուստի, իոնային բյուրեղում թափուրքի շուրջ ծագող դեֆորմացիոն դաշտն ունի բավականաչափ բարդ բնույթ: Քանի որ իոնային բյուրեղներում լիցքի էլեկտրաստատիկ դաշտը գործնականորեն չի էկրանավորվում, ապա լիցքավորված թափուրքներն օժտված են լրացուցիչ կուլոնյան էներգիայով, որից զուրկ են ոչ իոնային բյուրեղներում առաջացող թափուրքները: Այս հանգամանքն էներգիապես ձեռնտու է դարձնում հակառակ նշաններով թափուրքներից կազմված զույգի առաջացումը, որն անվանում են երկթափուրք: Ընդհանրապես, երկթափուրքների առաջացումն էներգիապես ձեռնտու է նան ոչ իոնային բյուրեղներում: Երկթափուրքը նույնպես կետային արատ է: Նույնը վերաբերում է նան 3, 4 ն ավելի թափուրքներից կազմված կոմպլեքսներին: Խառնուկային ատոմները նույնպես կարող են առաջացնել տարբեր կոմպլեքսներ` միավորվելով ինչպես իրար հետ, այնպես էլ մատրիցի սեփական արատների` թափուրքների ն միջհանգուցային ատոմների հետ: Եթե կոմպլեքս կազմող թափուրքների թիվը շատ մեծանա, ապա առաջ կգան որակապես նոր հատկություններ: Քննարկենք մի օրինակ, երբ միավորվող թափուրքները մեկ ատոմային հարթության մեջ են ն առաջացնում են սկավառակ: Նկ. 201-ում պատկերված է թափուրքների հարթ կուտակման լայնական կտրվածքը չռելաքսված (ա) ն ռելաքսված (բ) փոխդասավորության համար, ինչպես նան մեծ շառավղով թափուրքային սկավառակի եզրի փոխդասավորությունը (գ): Սկավառակի եզրերի ատոմների միջն գործող ձգողության ուժերի ազդեցությամբ առաջանում է (բ) փոխդասավորությունը: Սկավառակի շառավղի բավականաչափ մեծ` R  a , արժեքների դեպքում դրա եզրի որնէ կետում ա308

Նկ. 201. Թափուրքների կուտակումը մեկ ատոմային հարթության մեջ. ա. չռելաքսացված փոխդասավորություն, բ. ռելաքսացված փոխդասավորություն, գ. եզրի փոխդասավորությունը

տոմների փոխդասավորությունը կախված չէ R -ից (գ), իսկ դրա միջին մասում բյուրեղի նորմալ կառուցվածքը վերականգնված է, առկա է միայն ցանցի առաձգական ոչ մեծ ձգում: Նկ. 201, գ-ում պատկերված փոխդասավորությունը համապատասխանում է ատոմային հարթության մի տիրույթի, որն ընդհատվում է որոշակի գծի, տվյալ դեպքում` սկավառակի եզրի երկայնքով: Քանի որ R  a , ապա առաջացած արատը մեկ ուղղությամբ` սկավառակի պարագծով, ունի մակրոսկոպական չափեր, ուստի այն միաչափ կամ գծային արատ է: Այն անվանում են եզրային դիսլոկացիա: Ակնհայտ է, որ մյուս երկու (նկարի հարթության մեջ ընկած) ուղղություններով, ընդհատվող հարթության եզրից փոքր` r - a կարգի հեռավորություններում ատոմների փոխադարձ դիրքերը շատ քիչ են տարբերվում իդեալական բյուրեղին համապատասխանող դիրքերից, այսինքն` նշված երկու ուղղություններով արատն ունի միկրոսկոպական չափեր: Այժմ ծանոթանանք երկչափ կամ մակերնութային արատի մի օրինակի` դարսման արատի հետ: Դիտարկենք նիստակենտրոն խորանարդային ցանց: Հայտնի է (Մաս 1, 1.4), որ այն կարելի է պատկերել որպես ատոմ-գնդիկների շերտերի խիտ դարսվածք 111 բյուրեղագրական հարթություններում, ընդ որում շերտերի դարսվածքը կարելի է ներկայացնել ...ՃBԸՃBԸՃBԸ... հաջորդականությամբ: Ենթադրենք, որ այս ցանցի որնէ, օրինակ` Ը, շերտում առաջացել է թափուրքների կուտակում այնքան մեծ չափերով, որ առաջացած սկավառակի հանդիպակաց եզրերի Ճ ն B հանգույցների ատոմների ձգողության հետնանքով այդ եզրերը միակցվում են (միակցման տեղը կնշենք սլաքով` ): Դրա հետնանքով հանված Ը հարթության տեղում ատոմային հարթությունների կանոնավոր հաջորդականությունը դառնում է խախտված` ...ՃBԸՃBԸՃBՃBԸՃBԸ...: Այսպիսի խախտումն անվանում են դարսման ա309

րատ: Երկու չափումներով այն ունի մակրոսկոպական չափեր, իսկ արատի հարթության նորմալի ուղղությամբ կանոնավոր դասավորմանը համապատասխանող հարթություններն սկսվում են հենց հաջորդ ատոմային հարթությունից: Այսպիսով, դարսման արատը ցանցի երկչափ արատ է: Նույն տիպի արատների օրինակներ են նան միջհատիկային սահմանները բազմաբյուրեղներում, դոմենային սահմանները սեգնետաէլեկտրիկներում ն ֆեռոմագնիսներում, նմուշի մակերնույթը: Բյուրեղային կառուցվածքի եռաչափ (ծավալային) արատների թվին են պատկանում այլ բյուրեղական կառուցվածքով ներխառնուկները (երկրորդ ֆազի անջատում), ամորֆ ներխառնուկները, նմուշի հոծության խախտումները (ճաքեր, ծակոտիներ):

§ 2. Կետային արատներ Կետային արատների ազդեցությունը բյուրեղի ֆիզիկական հատկությունների վրա պայմանավորված է ինչպես արատների տեսակով, այնպես էլ դրանց խտությամբ: Դիտարկենք N միատեսակ ատոմներից բաղկացած բյուրեղ ն որոշենք դրանում ո թափուրքների թիվը ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում: Եթե բյուրեղը հաստատուն P ճնշման տակ է, որը, մեծ մասամբ, համապատասխանում է փորձում իրականացվող պայմաններին, ապա հարմար է որպես անկախ ջերմադինամիկական պարամետրեր ընտրել P , T , N մեծությունները ն օգտվել ջերմադինամիկական կամ Գիբսի Օ(P,T, N; ո) պոտենցիալի` հավասարակշռական վիճակում ըստ ո փոփոխականի նվազագույնը լինելու պայմանից`

 Օ  0 :    ո  P ,T ,N

(2.1)

Գիբսի պոտենցիալը որոշվում է Օ ( P, T , N ; ո)  Ս  TՏ  PV  F  PV

(2.2)

արտահայտությամբ, որտեղ Ս -ն համակարգի ներքին էներգիան է, F -ը` ազատ էներգիան, Տ -ը` էնտրոպիան ն V -ն` ծավալը:

Պարզենք Օ ֆունկցիայի կախումը թափուրքների թվից: N ատոմից ն ո թափուրքից բաղկացած բյուրեղը հարմար է ներկայացնել որպես N  ո ատոմից բաղկացած իդեալական բյուրեղ, որից ո ատոմ հեռացվել է: Այս դեպքում, առաջին մոտավորությամբ, կարելի է ծավալի` ո -ից ունեցած կախումը ներկայացնել V (ո)  ( N  ո) v0

(2.3)

բանաձնով, որտեղ v0 -ն իդեալական բյուրեղում մեկ ատոմին բաժին ընկնող ծավալն է: Թափուրքների յուրաքանչյուր կոնկրետ փոխդասավորության համար կարելի է հաշվարկել առաջացած ոչ իդեալական բյուրեղի F0 (ո)  Ս  TՏ ազատ էներգիան: Քանի որ ո  N (եթե ո  N , բյուրեղի գա-

ղափարը կդառնար անիմաստ), ապա կարելի է ընդունել, որ F0 (ո) մեծությունը կախված է միայն թափուրքների թվից, բայց ոչ դրանց փոխադարձ դիրքից: Բացի այդ, էնտրոպիայի Տ արժեքին անհրաժեշտ է ավելացնել նան մի անդամ, որը հաշվի է առնում ո թափուրքներն N  ո հանգույցներում բաշխելու բոլոր հնարավոր ձներով պայմանավորված «անկարգության» չափը`

Տc  kB ոո

( N  ո)! : N ! ո!

(2.4)

(2.2)  (2.4) բանաձներից Գիբսի Օ պոտենցիալի համար կստանանք հետնյալ արտահայտությունը` ( N  ո)! (2.5) Օ( P, T , N ; ո)  F0 (ո)  k BT ոո  P( N  ո)v 0 : N ! ո! N ն ո թվերը մակրոսկոպական են, ուստի, օգտվելով Ստիռլինգի բանաձնից` ոո M !  M ոո M  M ,

M  1 ,

(2.6)

ինչպես նան (2.5), (2.6) արտահայտություններից ն (2.1) պայմանից` կստանանք.

N  F0    Pv 0  k BT ոո  1    0 :  ո  ո   P,T ,N

(2.7)

Նկատի ունենալով ո  N պայմանը, կարելի է գրել, որ

 F0   F   0   ,  ո    P,T ,N  ո  P,T ,N ,ո0

(2.8)

որտեղ  մեծությունը կախված չէ թափուրքների թվից: Այսպիսով` (2.7) պայմանի համաձայն, Օ  Օmiո , եթե

   Pv 0  ո  N exp    : k BT   Պարզենք  բնութագրական էներգիայի իմաստը:

(2.9)

F0 ազատ էներգիան ո թափուրք պարունակող ցանցի Ս 0 հավասարակշռական պոտենցիալ էներգիայի (Մաս 1, 111) ն ատոմների ջերմային տատանումների FT ազատ էներգիայի գումարն է` F0 ( P, T , N; ո)  Ս0  FT :

(2.10)

Որպես կանոն, FT գումարելին շատ փոքր է Ս 0 -ից, ուստի զրոյական մոտավորությամբ (2.8) բանաձնից կստանանք`

 Ս 0  ,   ո  P ,N ,ո0

0  

(2.11)

որը կախված չէ ջերմաստիճանից: 0 -ն այն էներգիան է, որն անհրաժեշտ է հանգույցից ատոմը հեռացնելու համար: Կարելի է ընդունել, որ 0 -ն մեկ ատոմին բաժին ընկնող կապի էներգիայի (1 էՎ) կարգի մեծություն է: (2.9) բանաձնում Pv 0 գումարելին մթնոլորտայինին մոտ ճնշումների դեպքում ( P0  105 Պա) 105 էՎ-ի կարգի մեծություն է, որը 0 -ի նկատմամբ կարելի է անտեսել: Այսպիսով, ջերմադինամիկական հավասարակշռության վիճակում թափուրքների թիվը`

   ո  N exp   0  :  k BT 

(2.12)

Եթե N -ը ցանցի հանգույցների (ատոմների) թիվն է 1սմ3-ում, ապա (2.12) բանաձնը ներկայացնում է թափուրքների խտությունը:

(2.12) բանաձնի համաձայն` T  0 Կ ջերմաստիճանում հավասարակշռական վիճակում ո  0 , այսինքն` բնության մեջ առանց արատների բյուրեղներ գոյություն ունենալ չեն կարող: Սենյակային ջերմաստիճաններում,

0 - 1 էՎ բնութագրական արժեքների համար ո N  exp( 40)  1017 , ն թափուրքների միջն հեռավորությունը` r0 - 106 a - 102 սմ: Սակայն հալման ( Tո - 1000 Կ) ջերմաստիճանի մոտակայքում ո N հարաբերությունը կարող է ընդունել 104 կարգի արժեքներ, իսկ r0 - 10a - 107 սմ: (2.10) բանաձնում FT անդամի հաշվառումը բերում է (2.8) առնչությամբ որոշվող  էներգիայի որոշ փոքրացման, քանի որ (FT  ո)0  0 , որը հետնանք է թափուրքների առկայության պայմաններում տատանողական որոշ մոդերի հաճախությունների փոքրացման: Դրա հետնանքով ո -ի արժեքները որոշ չափով մեծանում են: Թափուրքների թվի (2.12) արտահայտությունն ընդհանրացնենք տարբեր տիպի թափուրքների ն տարբեր տիպի միջհանգուցային ատոմների համար: Եթե բյուրեղում կա յ տիպի ո յ կետային արատ ն ո յ  N յ , որտեղ N յ -ն այն հանգույցների (միջհանգուցային դիրքերի) թիվն է, որոնք կարող է զբաղեցնել յ տիպի արատը, ապա, անտեսելով Pv 0 անդամը, կարելի է գրել`

 յ  ո յ  N յ exp    ,  k BT 

 F  : յ   0   ո յ    ո յ 0

(2.13)

Որպես կանոն,  յ  k BT , ն եթե  յ -ի երկու ամենափոքր արժեքների միջն տարբերությունը նույնպես զգալիորեն մեծ է k BT -ից, ապա արատների ճնշող մասը կունենա ամենափոքր  յ -ն ն ո1  ո յ ( յ  1 ):

§ 3. Կետային արատներն իոնային բյուրեղներում (2.13) բանաձնն իրավացի է այն դեպքում, երբ որնէ տեսակի արատների թիվը կախված չէ այլ արատների ներկայությունից, այսինքն` բոլոր ո յ փոփոխականներն իրարից անկախ են: Սակայն եթե ո յ մեծությունների միջն կան որոշակի կապեր, ապա խնդիրը պետք է նորից լուծել, հաշվի առնելով այդ կապերը: Օրինակ` իոնային բյուրեղում չեն կարող գոյություն ունենալ միայն դրականի իոնների ենթացանցի թափուրքներ, քանի որ հավելուրդային բացասական լիցքերի կուլոնյան փոխազդեցության էներգիան կընդունի մեծ արժեքներ: Այդ հավելուրդային լիցքը պետք է համակշռվի կամ միջհանգուցային դրական իոններով, կամ բացասական իոնների տեղերում թափուրքներով, կամ էլ այս արատների որնէ համակցությամբ: Հետնաբար` Օ պոտենցիալի մինիմումը պետք է որոշել համակարգի էլեկտրաչեզոքության

 զ յո յ  0

(3.1)

յ  ,

լրացուցիչ պայմանի դեպքում, որտեղ զ յ -ն յ տեսակի արատի լիցքն է ( զ յ  e բացասական իոնի տեղում առկա թափուրքի ն զ յ  e դրական իոնի տեղում առկա թափուրքի կամ միջհանգուցային իոնի համար): Կազմելով

Օ  Օ  

 զ յո յ

(3.2)

ֆունկցիան, որտեղ  -ն Լագրանժի անորոշ գործակիցն է, ն որոշելով դրա մինիմումը, (3.2) առնչության փոխարեն կստանանք`

  յ  զյ  ո յ  N յ exp    : k BT  

(3.3)

(3.3) արտահայտությունը պետք է բավարարի (3.1) լրացուցիչ պայմանին, որտեղից ն որոշվում է  գործակիցը: Ամենափոքր էներգիաներով, « » ն «» նշաններով արատների համար (3.3) բանաձնից կստանանք`

   e  ո  N  exp     , k BT  

(3.4)

   e  ո  N  exp     , k BT  

(3.5)

որտեղ   miո( յ ) , զ յ  e : Քանի որ մնացած այլ տեսակի արատների համար  յ    , ապա

ո յ  ո , զ յ  e , ո յ  ո , զ յ  e ,

(3.6)

ուստի էլեկտրաչեզոքության (3.1) պայմանից հետնում է

ո  ո

(3.7)

հավասարությունը: (3.4), (3.5) ն (3.7) առնչությունների համաձայն`

     ո ո  N  N  exp      ո k T B  

(3.8)

     exp    (3.9)  :  2k BT  (3.4) ն (3.5) արտահայտություննից բխում է, որ էլեկտրաչեզոքության պայմանը բերում է մի նշանի արատների թվի մեծացման ն հակառակ նշանի արատների թվի փոքրացման` ի հաշիվ e լրացուցիչ գումարելիների: Արդյունարար թիվը հավասար է արատների այն թվերի միջին երկրաչափականին, որոնք գոյություն կունենային լրացուցիչ պայմանի բացակայությամբ (   0 ): ո  ո   N  N  

1/ 2

Նկ. 202. ա. Շոտկիի արատներ, բ. Ֆրենկելի արատներ

Իոնային բյուրեղներում էլեկտրաչեզոքության պայմանը կարելի է ապահովել տարբեր եղանակներով: Օրինակ` կարող են իրար հավասար լինել դրական ն բացասական իոնների թափուրքները (Շոտկիի արատներ, նկ. 203, ա), ինչպես նան միջհանգուցային իոնները ն դրանց թափուրքները (Ֆրենկելի արատներ, նկ. 202, բ): Առաջին հնարավորությունը հիմնականում իրականանում է ալկալի-հալոիդային բյուրեղներում, իսկ երկրորդը` արծաթի հալոգենիդներում: Հնարավոր է մեկ տարբերակ նս, երբ առկա են միջհանգուցային դրական ն բացասական իոններ` հավասար քանակություններով: Սակայն այս տարբերակն ամենայն հավանականությամբ չի իրագործվում, քանի որ միջհանգուցային իոնի առաջացումը կապված է ավելի մեծ էներգիա ծախսելու հետ, քան պահանջվում է հանգույցում թափուրք ստեղծելու համար: Կետային արատները, հատկապես` թափուրքները, զգալիորեն ազդում են իոնային բյուրեղի էլեկտրական հատկությունների վրա: Իոնային բյուրեղներն օժտված են իոնային հաղորդականությամբ` դրանցում հոսանքը պայմանավորված է դրական ն բացասական իոնների ուղղորդված շարժումով: Տեսակարար դիմադրությունն ունի ուժեղ արտահայտված ջերմաստիճանային կախում ն փոփոխվում է 102  108 Օմսմ տիրույթում: Իոնային բյուրեղի էլեկտրահաղորդականության` ջերմաստիճանը բարձրացնելիս դիտվող կտրուկ աճն անմիջականորեն պայմանավորված է թափուրքների թվի (2.13) բանաձնից հետնող աճով: Բանն այն է, որ իոնների հոսընթացը բյուրեղով էապես հեշտանում է թափուրքների առկայության պայմաններում, քանի որ թափուրքը բյուրեղում տեղափոխելու համար պահանջվում է զգալի քիչ էներգիա, քան խիտ դարսված ատոմային շերտերի միջով իոնը տեղափոխելու համար անհրաժեշտ աշխատանքն է (նկ. 203, ա-դ): Փորձնականորեն ապացուցված է, որ ոչ շատ բարձր ջերմաստիճաններում ալկալի-հալոիդային ն արծաթի հալոգենիդի իոնային բյուրեղների հաղորդականությունն ուղիղ համեմատական է երկարժեք խառնուկի (օրինակ` Ըa, Ըմ, Ba, Տո) խտությանը: Այս երնույթի պատճառն այն է, որ էլեկտրաչեզոքության պայմանի շնորհիվ, օրինակ` Na: իոնին տեղակալած Ըa:: իոնն ապահովում է նս մեկ Na: իոնի տեղում թափուրքի առաջացումը, այսինքն` երկու Na: իոնի փոխարեն ցանցում ներդրվում է մեկ Ըa:: իոն: Այս մասին է վկայում այն փաս316

տը, որ խառնուկներ պարունակող բյուրեղի խտությունն ավելի փոքր է, քան մաքուր բյուրեղինը: Իրոք` Ըa:: իոնի զանգվածը (40 զ.ա.մ.) ավելի փոքր է, քան երկու Na: իոնների գումարային զանգվածը (46 զ.ա.մ.): Թափուրքների առկայությունն իոնային բյուրեղներում ցայտուն ձնով դրսնորվում է հատկապես նմուշների օպտիկական բնութագրերում: Հայտնի է, որ ալկալի-հալոիդային բյուրեղները թափանցիկ են սպեկտրի տեսանելի մասում: Բյուրեղի գունավորումը, ի թիվս այլ պատճառների, պայմանավորված է նան դրանում մետաղի իոնի լրացուցիչ քանակի ներդրումով, որը կարելի է իրականացնել` բյուրեղը տաքացնելով ալկալիական մետաղի գոլորշիներում ն ապա այն արագ սառեցնելով: Նատրիումի գոլորշիներում տաքացված NaԸ1-ը դեղնում է, կալիումի գոլորշիներում տաքացված ՃԸ1 -ը` կարմրում: Բյուրեղների գունավորումը պայմանավորված է դրանցում նոր տիպի կետային արատների, այսպես կոչված գունավորման կենտրոնների առաջացումով: Պարզագույն գունավորման կենտրոնը Ի-կենտրոնն է: Սովորաբար այն ստեղծում են ալկալիական մետաղի գոլորշիներում բյուրեղը տաքացնելով կամ այն ռենտգենյան ճառագայթներով ճառագայթահարելով: Ի-կենտրոնը բաղկացած է էլեկտրոնից ն դրան պահող անիոնային թափուրքից (նկ. 204):

Նկ. 203. Իոնային բյուրեղում թափուրքի շարժման հաջորդական քայլերը (ա  բ  գ  դ)

Նկ. 204. Ի-կենտրոն (էլեկտրոնՒանիոնային թափուրք)

Իոնային բյուրեղի մեջ ալկալիական մետաղի լրացուցիչ քանակ ներարկելիս առաջանում են անիոնային թափուրքներ: Ալկալիական մետաղի արժեքական էլեկտրոնը կապված չէ ատոմի հետ ն շարժվում է բյուրեղում, ի վերջո բռնվելով անիոնային թափուրքի տեղում ն ստեղծելով կապված վիճակ: Իկենտրոնի մոդելի օգտին են խոսում հետնյալ փորձարարական փաստերը. ա. Ի-կենտրոններով պայմանավորված կլանման շերտերը բնութագրական են տվյալ բյուրեղի համար ն կախված չեն Ի-կենտրոններ ստեղծելու համար օգտագործված ալկալիական մետաղի տեսակից: Օրինակ` ՃԸ1-ի Ի-շերտը նույնն է ն՛ Na-ի, ն՛ Ճ-ի գոլորշիներում այն տաքացնելիս: Հետնաբար` ալկալիական մետաղի հիմնական դերը բացասական իոնի տեղում թափուրք ստեղծելն է, որը բերում է դրան կապված էլեկտրոնի հայտնվելուն ն որի էներգիական մակարդակներով էլ հենց որոշվում է կլանման սպեկտրը: բ. Քիմիական վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ ալկալիական մետաղի գոլորշիներում տաքացված բյուրեղի 1սմ3-ում պարունակվում է 1016  1019 կարգի լրացուցիչ, այսինքն` տարրաչափությամբ (ստեխիոմետրիայով) պահանջվող քանակից ավելի ատոմ, որը համապատասխանում է Ի-շերտի լրիվ օպտիկական կլանման չափումներից ստացվող արդյունքին:

Նկ. 205. ա. M-կենտրոն (երկու հարնան անիոնային թափուրքներ Ւ2 էլեկտրոն), բ. Թ-կենտրոն (երեք հարնան անիոնային թափուրքներ Ւ3 էլեկտրոն)

գ. Գունավորված բյուրեղի խտությունը սովորաբար ավելի փոքր է, քան չգունավորված (մաքուր) բյուրեղինը: Բյուրեղի գունավորումը կարող է պայմանավորված լինել նան գունավորման այլ կենտրոններով: Օրինակ` M-կենտրոնը բաղկացած է (100) հարթության երկու հարնան անիոնային թափուրքներից ն դրանց կապված երկու էլեկտրոնից (նկ. 205, ա), իսկ Թ-կենտրոնը` բացասական իոնների ենթացանցի (111) հարթության երեք անիոնային թափուրքներից ն երեք էլեկտրոնից (նկ. 205, բ): Նկ. 206-ում պատկերված է ՃԸ1-ի կլանման գործակցի` փորձում ստացված կախումն ընկնող լույսի ալիքի երկարությունից: Կլանման սպեկտրում դիտվող ռեզոնանսները պայմանավորված են Ի-կենտրոնների տարբեր համակցություններով: Ինչպես երնում է նկ. 206-ից, օպտիկական կլանման ռեզոնանսներն արտահայտված են նվազ կտրուկ, քան մեկուսացված ատոմների կլանման սպեկտրներում դիտվող ռեզոնանսները: Դրա պատճառն այն է, որ սպեկտրային գծի լայնությունը հակադարձ համեմատական է գրգռված վիճակի կյանքի տնողությանը: Մեկուսացված ատոմները կարող են վերադառնալ հիմնական վիճակին միայն համեմատաբար դանդաղ պրոցեսի` ֆոտոնի առաքման արդյունքում: Պինդ մարմնում «ատոմը» (գունավորման Ի-, Mկամ Թ-կենտրոնը) ուժեղ փոխազդում է շրջապատի հետ ն արագ կորցնում է իր էներգիան:

Նկ. 206. ՃԸ1-ի կլանման գործակցի` լույսի ալիքի երկարությունից կախման կորը

§ 4. Դիսլոկացիաներ Պինդ մարմինը որպես իդեալական բյուրեղ դիտարկող մոդելի անհամապատասխանությունը փորձին դրսնորվել է հատկապես պլաստիկ, այսինքն` մնացորդային ն ոչ դարձելի դեֆորմացիա առաջացնելու համար պահանջվող լարման մեծությունը տեսականորեն գնահատելիս: Որոշենք պլաստիկ դեֆորմացիա առաջացնող սահմանային լարման արժեքն իդեալական բյուրեղի համար: Վերջինս կարելի է ներկայացնել որպես իրար զուգահեռ ն d հեռավորությամբ հարթությունների ընտանիք (նկ. 207, ա): Դիտարկենք բյուրեղի սահքի դեֆորմացիան, երբ յուրաքանչյուր ատոմային հարթություն ինքն իրեն զուգահեռ, տրված ուղղությամբ տեղափոխվում է իր հարնան ստորին հարթության նկատմամբ x չափով (նկ. 208, բ): Փոքր (առաձգական) դեֆորմացիաների համար պահանջվող  լարումը որոշվում է Հուկի օրենքից`

Օ

x , x  d , d

(4.1)

որտեղ Օ -ն բյուրեղի սահքի մոդուլն է տրված ուղղությամբ: Մեծ` |x| d շեղումների համար Հուկի (4.1) օրենքը տեղի չունի: Սահմանային դեպքում, երբ x շեղումը հավասարվում է սահքի ուղղությամբ ցանցի հաստատունին`

x  a , բյուրեղի տեղաշարժված ն չտեղաշարժված մասերի ներքին փոխդասավորությունները նույնական են (նկ. 208, գ): Այսինքն` x  0 ն x  a դեֆորմացիաների համար   0 : Առաջին մոտավորությամբ ( x) ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել ( x ) 

Օa 2 d

 2  x  a 

Տiո 

(4.2)

տեսքով, որից փոքր` x  d դեֆորմացիաների դեպքում ստացվում է Հուկի (4.1) օրենքը: (4.2) արտահայտության համաձայն` սահմանային` «ջարդող» լարումը համապատասխանում է xc  a 4 չափով շեղմանը ն տրվում է

c 

Օa 2d

(4.3)

Նկ. 207. Պլաստիկ դեֆորմացիան իդեալական բյուրեղում. ա. չդեֆորմացված վիճակ`   0 , բ. սարքի դեֆորմացիան, գ. շեղումը` x  a ,   0

առնչությամբ: Նկատի ունենալով, որ a - d , սահմանային c լարման համար ստանում ենք c 

(4.4)

արժեքը: Ավելի ճշգրիտ հաշվարկների համաձայն` c  Օ 30 : Աղյուսակ 39ում տրված են մի քանի պինդ մարմինների սահքի մոդուլների` փորձում դիտվող սահմանային ex c լարման արժեքները, ինչպես նան սահմանային լարման տեսական ն փորձարարական արժեքների հարաբերությունը:

Աղյուսակ 39.

Որոշ մարմինների սահքի մոդուլները ն սահմանային լարումները Նյութ G, 1010 Պա ex , 105  ex

Անագ (միաբյուրեղ) Արծաթ (միաբյուրեղ) Ալյումին (միաբյուրեղ) Ալյումին (բազմաբյուրեղ) Երկաթ (բազմաբյուրեղ)

1,9 2,8 2,5 2,5 7,7

Պա

Աղյուսակի տվյալներից հետնում է, որ սահմանային լարման փորձարարական արժեքը 102  103 անգամ փոքր է դրա տեսական արժեքից, նշանակում է` բյուրեղի` վերը դիտարկված սահքի մեխանիզմը չի համապատասխանում իրականությանը: Փորձի ն տեսության միջն տարաձայնությունը հիմք ծառայեց ենթադրելու, որ իրական բյուրեղներում գոյություն ունեն դիսլոկացիաներ (Գ. Թեյլոր, Է. Օրովան, Մ. Պոլյանի, 1934 թ.): Նկ. 208-ից ակնհայտ է, որ Ճ դիսլոկացիան առաձգականորեն դեֆորմացված միջավայրում տեղաշարժելու համար պարտադիր չէ խզել Ք ն Ք ատոմային հարթությունների միջն բոլոր կապերը: Բավական է միայն խզել ՑՇ կապը ն վերականգնել ՃՇ կապը (նույն գործողությունը կատարվում է նկարի հարթությանը զուգահեռ բոլոր ատոմային հարթություններում): Դիսլոկացիայի գծի շուրջ մեծ լարումների առկայության պայմաններում այդպիսի խզման համար անհրաժեշտ են c -ից մի քանի կարգով փոքր լարումներ: Հաջորդ փուլում խզվում են ԾE ն հաջորդ կապերը, մինչն որ սահքը հասնում է բյուրեղի եզրին: Բյուրեղից դուրս եկած դիսլոկացիան բյուրեղի մակերնույթին ստեղծում է մեկ ատոմի բարձրությամբ աստիճան: Եթե այդ նույն հարթությամբ անցնեն շատ դիսլոկացիաներ, ապա առաջացած աստիճանի բարձրությունը կմեծանա ն այն հնարավոր կլինի դիտել զինված աչքով: Այսպիսով, դիսլոկացիաների շարժման արդյունքում բյուրեղի մի մասը ոչ դարձելի ձնով սահում է մյուս մասի վրայով, այսինքն` դիսլոկացիաների շարժումը հենց բյուրեղի պլաստիկ դեֆորմացիան է:

Նկ. 208. Դիսլոկացիայի շարժումը բյուրեղում

Դիսլոկացիաների տեսության մեջ սահմանային (ջարդող) լարման համար ստացվել է հետնյալ արտահայտությունը (Ռ.Պայերլս)`

0c 

 2Օ 2d  exp   , 1   a 1    

(3.5)

որտեղ  -ն Պուասոնի գործակիցն է ( 0    0, 5 ): Բյուրեղների մեծ մասի համար

  0, 3 , ուստի (3.5) բանաձնից

0c

4

da

դեպքում կստանանք

2

 3  10 Օ - 10 c , որը համապատասխանում է փորձին:

Սահքի դիսլոկացիոն մեխանիզմի օրինակ կարող է ծառայել հատակին փռված գորգի շարժումը: Այն ամբողջությամբ որոշակի l չափով տեղաշարժելու համար պահանջվում է զգալի ջանքերի գործադրում, սակայն գորգը նույն չափով կարելի է հեշտությամբ տեղաշարժել, եթե դրա լայնությամբ ստեղծենք ծալք ն տեղաշարժենք այդ ծալքը (նկ. 209):

Նկ. 209. Սահքի դիսլոկացիոն մեխանիզմի օրինակ. գորգի շարժումը

Այժմ տանք դիսլոկացիայի հստակ սահմանումը: Դիտարկենք ատոմային հարթության մի մաս ն դրանում կառուցենք փակ կոնտուր (Բյուրգերսի կոնտուր), որն անցնում է ցանցի հանգույցներով, ժամացույցի սլաքի պտտման ուղղությամբ: Դիցուք` կոնտուրն սկսվում է Ճ կետում ն, անցնելով Ց, Շ ն Ծ կետերով, փակվում է Ճ կետում (նկ. 210, ա): Կրկնենք նույն կոնտուրի կառուցումը հարթության այն մասում, որը հատում է ընդհատվող ատոմային կիսահարթության եզրը ն այնպես, որ կոնտուրն ընդգրկի այդ եզրը: Եթե կոնտուրի սկիզբն ընտրենք Ճ կետում ն նույն թվով քայլերով, ինչպես (ա) դեպքում, հաջորդաբար անցնենք Ց, Շ ն Ծ կետերը, կհասնենք Ճ՛ հանգույցին, որը չի համընկնում Ճ հանգույցի հետ (նկ. 210, բ): Այսինքն` Բյուրգերսի կոնտուրն ունի անկապություն` Ճ՛Ճ հատվածը: Բյուրեղի առաձգական դեֆորմացիայի հետնանքով դիսլոկացիայի շրջակայքում քայլի (երկու հանգույցների միջն) երկարությունը հավասար չէ չդեֆորմացված ցանցում քայլի երկարությանը, ուստի Ճ՛Ճ  a -ին` ցանցի հաստատունին: Այն կհավասարվի a -ին, եթե «հանվի» ցանցի առաձգական դեֆորմացիան, օրինակ` բյուրեղը ՕՏ հարթությամբ հատելով ն թողնելով, որ այն գա հավասարակշռական վիճակի: Ե վեկտորը, որը Բյուրգերսի կոնտուրի վերջնական Ճ՛ կետը միացնում է սկզբնական Ճ կետի հետ, կոչվում է Բյուրգերսի վեկտոր: Այն դիսլոկացիայի` գծային արատի քանակական բնութագիրն է: Այսպիսով, դիսլոկացիան բյուրեղի գծային արատ է, որի համար Բյուրգերսի կոնտուրն ունի զրոյից տարբեր անկապություն: Բյուրգերսի Ե վեկտո-

Նկ. 210. Բյուրգերսի կոնտուրը. ա. իդեալական բյուրեղում, բ. դիսլոկացիայով բյուրեղում

րի նշանը կախված է Բյուրգերսի կոնտուրի շրջանցման ուղղությունից, իսկ վերջինս որոշվում է դիսլոկացիոն գծին տարված l շոշափողով: Հետնաբար` դիսլոկացիան բնութագրվում է Ե ն l վեկտորներով: Ե ն l վեկտորներով անցնող հարթությունը կոչվում է դիսլոկացիայի սահքի հարթություն: Բյուրգերսի կոնտուրի կառուցման կանոնից հետնում է, որ Բյուրգերսի վեկտորի մոդուլը հավասար է միջատոմային հեռավորություններից որնէ մեկին, որպես կանոն` ամենափոքրին: Լրացուցիչ ատոմային հարթության եզրը շրջապատող ն 2  3 ատոմային տրամագծի կարգի չափերով տիրույթը, որտեղ տվյալ ատոմի ամենամոտ հարնանների թիվը (կոօրդինացիոն թիվ` 2 ) միարժեքորեն չի որոշվում, կոչվում է դիսլոկացիայի միջուկ: Բյուրեղի մնացած մասը, որը պարունակում է իդեալական կառուցվածքի չնչին աղավաղումներ, կոչվում է առաձգական տիրույթ (ընդունված է նան «լավ բյուրեղ» անվանումը): Նկ. 210-ում կոնտուրը կառուցելիս ենթադրել ենք, որ այն հարթ է, ն Ե ու

l վեկտորներն իրար ուղղահայաց են: Այդպիսի դիսլոկացիան կոչվում է եզրային: Նկ. 211, ա-ում տրված է եզրային դիսլոկացիա պարունակող բյուրեղի տարածական պատկերը: Եզրային դիսլոկացիան կարելի է ներկայացնել հետնյալ ձնով: Եթե իդեալական բյուրեղից հեռացնենք մեկ ատոմային կիսահարթություն ն հեռացված կիսահարթության տարբեր կողմերի երկու հարնան հարթությունները ճշտորեն համընկեցնենք իրար, ապա ատոմների` իդեալական բյուրեղին բնորոշ դասավորությունը կմնա անփոփոխ ամենուրեք, բացի չհեռացված կիսահարթության եզր հանդիսացող ուղիղ գծի անմիջական շրջակայքից: Եթե Ե ն l վեկտորներն իրար զուգահեռ են, ապա դիսլոկացիան կոչվում է պտուտակային: Ատոմների դասավորությունը պտուտակային դիսլոկացիայի շուրջ ն նրա Բյուրգերսի կոնտուրը պատկերված են նկ. 211, բ-ում: Բյուրգերսի կոնտուրով շրջանցելով պտուտակային դիսլոկացիան, Ճ սկզբնական կետից գալիս ենք Ճ՛ վերջնական կետը, որը մեկ միջհարթությունային հեռավորությամբ վեր է Ճ կետից: Կատարելով նս մեկ պտույտ նույն ուղղությամբ, վեր կբարձրանանք մեկ հարթությամբ նս: Այսինքն` պտուտակային դիսլոկացիա պարունակող բյուրեղը կարելի է ներկայացնել որպես մեկ ատոմային հարթություն, որն ունի պտուտասանդուղքի տեսք:

Նկ. 211. ա. Եզրային դիսլոկացիա, բ. պտուտակային դիսլոկացիան ն նրա Բյուրգեսի կոնտուրը

Նկ. 212. Խառը տիպի դիսլոկացիա

Դիսլոկացիան բնութագրող Ե ն l վեկտորները կարող են իրար նկատմամբ կողմնորոշված լինել կամայական ձնով` կազմել սուր կամ բութ անկյուն: Այդ դեպքում դիսլոկացիան կոչվում է խառը տիպի: Նկ. 212-ում պատկերված դիսլոկացիան Ճ կետում ունի եզրային, իսկ Ց կետում` պտուտակային բնույթ:

§ 5. Դիսլոկացիայի առաձգական դաշտը Դիսլոկացիայի շուրջ բյուրեղային ցանցն աղավաղված է, սակայն դիսլոկացիայի միջուկից դուրս շեղումները փոքրանում են այնքան, որ դրանք կարելի է որոշել առաձգականության գծային տեսության շրջանակներում: Անվերջ, իզոտրոպ միջավայրում դիսլոկացիայի ստեղծած առաձգական դաշտի շեղման վեկտորի ն լարումների թենզորի բաղադրիչների համար ստացված են վերլուծական արտահայտություններ: Դրանք պարզ տեսք ունեն հատկապես անվերջ երկար պտուտակային դիսլոկացիայի համար: Եթե կոօրդինատական 2 առանցքն ուղղենք l վեկտորի ուղղությամբ, ապա շեղման վեկտորի բաղադրիչները կարելի է ներկայացնել

ux  u y  0 ,

u2 

Ե Ե y  ոrօtg 2 2 x

(5.1)

բանաձներով, որտեղ  -ն ազիմուտային անկյունն է, x -ը ն y -ը կետի կոօրդինատներն են ՃՕY հարթության մեջ: (5.1) բանաձներից ն Հուկի օրենքից հետնում են լարման թենզորի բաղադրիչների արտահայտությունները` ՕԵ y ՕԵ x  x2   ,  y2  ,  xx   yy   22   xy  0 : (5.2) 2 x  y 2 x  y 2 Եզրային դիսլոկացիայի առաձգական դաշտի շեղման վեկտորի բաղադրիչները տրվում են Ե 

 y xy  ոrօtg  , 2  x 2(1   )( x  y ) 

ux 

uy  

Ե  1  2

 x2  y2 ոո( x 2  y 2 )   , 2   4(1   ) 4(1  )( x  y ) 

(5.3)

u2  0 ,

իսկ լարման թենզորի բաղադրիչները`  xx   D

y (3x 2  y 2 ) (x  y )

2 2

 xy  D

 yy  D

y (x2  y2 ) (x  y )

x (x2  y2 ) ( x 2  y 2 )2

2 2

,  22  2 D

y x  y2

(5.4)

 x2   y2  0

արտահայտություններով, որտեղ D

ՕԵ 2 (1  )

(5.5)

(5.2) ն (5.4) առնչությունների համաձայն` ik թենզորի զրոյից տարբեր բաղադրիչները հեռավորությունից կախված նվազում են r 1 օրենքով`

|ik |-

D : r

(5.6)

Այսպիսով, եթե նույնիսկ դիսլոկացիաներ պարունակող մարմնի վրա արտաքին լարումները բացակայում են, դրանում միշտ առկա են ներքին լարումներ, որոնց աղբյուրը դիսլոկացիաներն են: Ներքին լարումներն ըստ կարգի կարելի է գնահատել, ենթադրելով  - D R0 , որտեղ R0 -ն դիսլոկացիաների միջն միջին հեռավորությունն է: Դիսլոկացիաների քանակական բնութագիր է ծառայում նյութի միավոր ծավալում դիսլոկացիաների գումարային երկարությունը կամ, որ նույնն է, միավոր մակերեսը հատող դիսլոկացիաների թիվը: Այդ մեծությունը կոչվում է դիսլոկացիաների խտություն`  ն չափվում է սմ 2 միավորով: Հասկանալի է, որ R0 - 1/ 2 , ուստի  - D1/ 2 : (5.1)  (5.4) առնչությունների վերաբերյալ հարկ է կատարել հետնյալ պարզաբանումը: Չնայած դրանք գրված են անվերջ ն իզոտրոպ միջավայրի համար, այնուամենայնիվ այդ բանաձները բավարար ճշտությամբ կիրառելի են նան բյուրեղների համար գրեթե բոլոր, ֆիզիկական հետաքրքրություն ներկայացնող դեպքերում: Դիսլոկացիա պարունակող միջավայրը ներքին լարումների շնորհիվ օժտված է առաձգական էներգիայով, որն ընդունված է անվանել դիսլոկացիայի էներգիա: Դա այն աշխատանքն է, որն անհրաժեշտ է առաձգական միջավայրում մեկ դիսլոկացիա ստեղծելու համար: Հաշվենք գծային դիսլոկացիայի էներգիան: Բյուրեղը պատկերենք որպես R շառավղով ն L երկարությամբ մի գլան ն այն հատենք մինչն դրա առանցքը հասնող հարթությամբ, առաջացնելով հատույթ xՕշ կոօրդինատային հարթության մեջ (նկ. 213):

Պտուտակային դիսլոկացիա ստեղծելու համար հատույթի եզրերն իրար նկատմամբ 2 առանցքով տեղաշարժելու համար պահանջվող F2 ուժը որոշվում է լարման թենզորի  y2 ( x, 0) բաղադրիչով, իսկ եզրային դիսլոկացիայի դեպքում, երբ տեղաշարժը կատարվում է x առանցքով, Fx ուժը որոշվում է

 yx ( x, 0) բաղադրիչով: Հետնաբար` xՕշ հարթության մեջ dՏ  Ldx մակե-

 i ( x, 0)Ldx(i  yx, y2) ուժի կատարած աշխատանքը «Բյուրրեսի վրա ազդող  գերսի Ե » վեկտորը 0 -ից Ե փոփոխելու համար կլինի` ԵR

Ei 

   i  x, 0; Ե LdxdԵ ,

(5.7)

0 r0

 i ( x, 0; Ե) արտահայտուորտեղ r0 -ն դիսլոկացիայի միջուկի շառավիղն է:  թյունները ստացվում են (5.2), (5.4) ն (5.5) բանաձներից Ե  Ե փոխարինումով ն վերցնելով y  0 `

i  yx

 yx ( x, 0; Ե) 

i  y2

 y2 ( x, 0; Ե) 

ՕԵ

2 (1  ) x

ՕԵ 1 2 x

(եզրային դիսլոկացիա) ,

(պտուտակային դիսլոկացիա) :

(5.8) (5.9)

Նկ. 213. Գլանի հատումը ՃՕZ հարթությամբ

(5.8) ն (5.9) արտահայտությունները տեղադրելով (4.7) բանաձնում ն կատարելով ինտեգրումները, եզրային դիսլոկացիայի էներգիայի համար կստանանք`

E 

LՕԵ2 4 (1  )

ոո

R r0

(5.10)

իսկ պտուտակային դիսլոկացիայի էներգիայի համար`

E 

LՕԵ2 R ոո 4 r0

(5.11)

արտահայտությունները: Խառը տիպի դիսլոկացիայի էներգիայի համար, նկատի ունենալով Բյուրգերսի վեկտորի բաղադրիչների Ե  Ե Տiո  ն Ե  Ե օօՏ  արտահայտությունները, (5.10) ն (5.11) առնչությունների օգնությամբ կստանանք` E  E (Ե )  E (Ե ) 

LՕԵ2 4(1  )

(1   օօՏ2 ) ոո

R r0

(5.12)

Ինչպես հետնում է դիսլոկացիայի միավոր երկարությանը բաժին ընկնող էներգիայի`   E L ն   E L ն (5.10) ն (5.11) արտահայտություններից, անվերջ մեծ բյուրեղի դեպքում ( R   )  ն  մեծությունները տարամիտում են, ինչպես ոո R -ը: Իրականում սովորական չափերով բյուրեղը պարունակում է բազմաթիվ դիսլոկացիաներ, որոնք, որպես կանոն, ունեն պատահական բաշխում: Դրա հետնանքով դիսլոկացիաների ստեղծած առաձգական դաշտերը տեղ-տեղ իրար մարում են, տեղ-տեղ` ուժեղացնում: Կարելի է ընդունել, որ տվյալ դիսլոկացիայից որոշակի R հեռավորությամբ կետերում դրա դաշտը համակշռված է հարնան դիսլոկացիաների դաշտերով, ուստի R -ը կլինի միջին միջդիսլոկացիոն R0 - 1/ 2 հեռավորության կարգի: (5.10) ն (5.11) արտահայտությունները տարամիտում են նան r0  0 սահմանում: Սակայն ատոմներն ունեն վերջավոր չափեր, ուստի դիսլոկացիայի միջուկում միջավայրը ոչ մի կերպ չի կարելի համարել անընդհատ, հետնաբար` առաձգականության տեսությունն այդ տիրույթում կիրառելի չէ: Բնական է ցանցի հաստատունի կարգի շառավղով այդ տիրույթը բացառել քննարկումից: Մյուս կողմից, միջուկից դուրս տիրույթը, որտեղ կենտրոնացած են առաձգական դեֆորմացիաները, այնքան մեծ է, որ, որպես կանոն, կարելի է հաշվի չառնել միջուկով պայմանավորված երնույթները:

Գնահատենք ոո( R r0 ) արտադրիչը: Եթե ընդունենք, որ շիկամշակված բյուրեղներում, որպես կանոն,

 - 107 սմ-2 կարգի մեծություն է, իսկ

1/ 2 1 r0 - Ե  2, 5 Å, ապա R r0 - R0 r0 -  Ե  10 , ն ոո( R r0 )  10 : Բերված

հաշվարկները հնարավորություն են տալիս գնահատելու դիսլոկացիոն գծի ուղղությամբ մեկ միջատոմական հեռավորությանը բաժին ընկնող էներգիան, որը, օրինակ, պտուտակային դիսլոկացիայի համար ( a  Ե ) տրվում է E0   Ե 

ՕԵ3 4

ոո

R r0

 ՕԵ3

(5.13)

բանաձնով ն կոչվում է դիսլոկացիայի գծային էներգիա կամ դիսլոկացիայի գծային ձգման էներգիա: Օ - 1010 Պա ն Ե  2, 5 Å բնութագրական արժեքների համար E0 -ն էՎ-ի կարգի մեծություն է: Եզրային դիսլոկացիայի դեպքում նույն E0 բնութագիրը, համաձայն (5.10) բանաձնի, (5.12) առնչությունից տարբերվում է (1  )1 - 1 գործակցով, ուստի նույն կարգի մեծություն է: Աղյուսակ 40-ում տրված են (5.13) բանաձնով E0 -ի համար հաշվարկված արժեքները մի քանի պինդ մարմինների համար: Այդ արժեքներն ընկած են 3  10 էՎ ն ավելի մեծ էներգիաների տիրույթում: Աղյուսակ 40.

Որոշ նյութերում E0 բնութագրական էներգիայի արժեքները

Նյութ

Օ, 1010 Պա

E0 , էՎ

Նյութ

Օ, 1010 Պա

E0 , էՎ

Ճ1 Ըս Ճլ Ը (ալմաստ)

2,85 7,56 4,4 43,0

3,1 5,3 4,5

Շ6 ՃԸ1 Տ1 Ֆ

6,7 0,6 7,9 15,1

9,3

Փոքր գծային էներգիայով օժտված են փոքր Բյուրգերսի վեկտոր ունեցող դիսլոկացիաները, որոնք էլ հիմնականում առկա են բյուրեղներում: Կատարված գնահատումները հանգեցնում են մի կարնոր եզրակացության: Եթե անգամ դիսլոկացիան ունենա ընդամենը ցանցի 10 հաստատունի հավասար երկարություն, ապա դրա էներգիան կլինի 100 էՎ-ի կարգի մեծու331

թյուն, որին համապատասխանում են 106 Կ կարգի ջերմաստիճաններ: Այս գնահատականից հետնում է, որ դիսլոկացիաները չեն կարող առաջանալ ջերմային ֆլուկտուացիաների հետնանքով (դրանց հավանականությունն անգամ հալման ամենաբարձր ջերմաստիճանին ( Tո  3500 Կ, վոլֆրամ) մոտ տիրույթում exp( 300) կարգի մեծություն է), ուստի ջերմային հավասարակշռության վիճակում պինդ մարմնում դիսլոկացիաներ լինել չեն կարող: Այլ կերպ ասած, ի տարբերություն կետային արատների, դիսլոկացիաները ջերմադինամիկապես հավասարակշռված արատներ չեն, դրանց խտությունը կախված չէ ջերմաստիճանից: Դիսլոկացիաների վերը շարադրված համառոտ տեսությունը հնարավորություն է տալիս ոչ միայն ճիշտ բացատրելու բյուրեղներում դիտվող պլաստիկ դեֆորմացիայի երնույթը, այլն որակապես հասկանալու ն քանակապես բավարար ճշտությամբ հաշվարկելու պինդ մարմինների տարբեր մեխանիկական բնութագրեր: Դիսլոկացիաները մեծապես ազդում են պինդ մարմինների նան մյուս` էլեկտրական, մագնիսական, ջերմային ն օպտիկական հատկությունների վրա: Դրանց դերը հատկապես կարնորվում է բյուրեղների աճի պրոցեսում:

ԳԼՈՒԽ Ճ11

ԱՄՈՐՖ ՄԱՐՄԻՆՆԵՐ: ՀԵՂՈՒԿ ԲՅՈՒՐԵՂՆԵՐ

§ 1. Ամորֆ մարմիններ Ամորֆ անվանում են այն նյութերը, որոնք կոնդենսացված վիճակում չունեն բյուրեղային կառուցվածք, սակայն, ի տարբերություն հեղուկների, օժտված են առաձգական հատկություններով` ունեն զրոյից տարբեր սահքի մոդուլ: Ամորֆ նյութերը կարելի է բաժանել երկու խմբի` ատոմներից ն ոչ շատ բարդ մոլեկուլներից բաղկացած նյութեր ն պոլիմերներ` ամորֆ միացություններ, որոնք միմյանց հետ կապված պարզ մոլեկուլների հսկայական կազմավորումներ են 104  106 հարաբերական մոլային զանգվածներով: Ստորն կուսումնասիրենք միայն առաջին տիպի ամորֆ նյութերը: Բյուրեղներում մասնիկների տարածական բաշխման կարգավորվածությունը, որը նույնությամբ կրկնվում է կամայական չափով մեծ հեռավորություններում, կոչվում է հեռակա կարգ: Ամորֆ մարմիններում հեռակա կարգը բացակայում է. գոյություն ունի միայն մոտակա կարգ, այսինքն` միայն հարնան մասնիկների տարածական բաշխման որոշակի կարգավորվածություն, որը մեծ հեռավորություններում «լղոզվում» է` անցնելով անկարգավորվածության: Սակայն մոտակա կարգի առկայությունն ամորֆ մարմիններում հնարավորություն է տալիս պահպանելու տարրական բջջի գաղափարը: Իրոք, եթե ամորֆ մարմնում որնէ մասնիկ ընտրելով կենտրոն` կատարենք ՎիգներԶեյտցի բջջի կառուցման գործողությունները (Մաս 1, 1.2), ապա բյուրեղային կառուցվածքին բնորոշ Վիգներ-Զեյտցի բջջի (նկ. 214, ա) փոխարեն կստանանք ոչ նույնական ն անհամաչափ բազմանիստեր (նկ. 214, բ): Քանի որ այս բազմանիստերից յուրաքանչյուրը (Վորոնոյի բազմանիստ) պարունակում է մեկ ատոմ, ապա այն չի կարող էապես տարբերվել Վիգներ-Զեյտցի բջջից: Հետնաբար` ամորֆ նյութում յուրաքանչյուր մասնիկ ունի շրջապատ, որը չի կարող շատ տարբերվել այդ նյութի խտությանը մոտ խտությամբ բյուրեղում մասնիկի շրջապատից: Այսպիսով, ամորֆ մարմնում մոտակա կարգն առկա է տարրական բջջի դեր կատարող Վորոնոյի բազմանիստի շրջանակ333

ներում: Յուրաքանչյուր հաջորդ տարրական բջիջ նախորդի նկատմամբ փոքր-ինչ շրջված է, ընդ որում, պտույտի ուղղությունը կրում է պատահական (վիճակագրական) բնույթ: Այս է պատճառը, որ ամորֆ մարմիններն իզոտրոպ են:

Նկ. 214. ա. Վիգներ-Զեյտցի բջիջը, բ. Վորոնոյի բազմանիստը

Ամորֆ նյութերը որոշակի պայմաններում ապակիանում են, այսինքն` տեղի է ունենում անցում հեղուկ վիճակի հատկություններից ն օրինաչափություններից պինդ վիճակին բնորոշ հատկություններին: Ջերմաստիճանը կամ ճնշումը փոփոխելիս ամորֆ նյութի անցումը հեղուկ վիճակից պինդ վիճակի, կոչվում է կառուցվածքային ապակիացում: Այսպիսի անցման ժամանակ փոխվում են նյութի ծավալը, ջերմունակությունը, ինչպես նան մեխանիկական, էլեկտրական ն այլ հատկություններ: Կամայական ջերմաստիճանում հեղուկում առկա է որոշակի հավասարակշռական մոլեկուլային կառուցվածք: Մոլեկուլները կատարում են ջերմային տատանումներ հավասարակշռության դիրքերի շուրջը 1 0 հաճախությամբ, որը մոտ է բյուրեղներում ատոմների տատանումների հաճախություններին, իսկ տատանումների լայնույթը որոշվում է տվյալ մասնիկին հարնան մասնիկների ընձեռած «ազատ ծավալով»:   0 ժամանակ անց հավասարակշռության դիրքերը տեղափոխվում են մասնիկների չափերի կարգի ( - 108 սմ) հեռավորություններով: Ըստ մեծ թվով մոլեկուլների միջինացված

 մեծությունն այն բնութագրական ժամանակն է, որի ընթացքում մասնիկը տեղափոխվում է հարնան մասնիկների միջն միջին հեռավորության`  - ո01/3  ( N 4 )1/3

(1.1)

մեծության չափով, որտեղ ո0 -ն մոլեկուլների խտությունն է,  -ն` մոլային զանգվածը,  -ն` նյութի խտությունը: Ջրի համար   3  108 սմ է: Սակայն հեղուկում մոլեկուլների տեղափոխությունները կատարվում են ոչ թե անընդհատ, այլ որպես ակտիվացված թռիչքներ, ցատկեր, որոնք կապված են որոշակի պոտենցիալային արգելքների հաղթահարման հետ, ն որոնց 7 «բարձրությունը» պայմանավորված է տվյալ մասնիկի` իր հարնանների հետ փոխազդեցությամբ: Մասնիկի «նստակյաց» կյանքի  տնողությունը ժամանակավոր հավասարակշռության դիրքում հակադարձ համեմատական է ցատկի w հավանականությանը ն գործակցի ճշտությամբ տրվում է

-

 7  - exp   w  k BT 

(1.2)

առնչությամբ: Այն որոշում է հեղուկում մոլեկուլի` ջերմային շարժման շնորհիվ տեղափոխության միջին արագությունը` v    : Ջերմաստիճանը փոփոխելիս հեղուկի կառուցվածքը վերափոխվում է` ձգտելով տրված ջերմաստիճանին համապատասխանող հավասարակշռական վիճակին: Վերակառուցման արագությունը կախված է  բնութագրական (ռելաքսացիայի) ժամանակից: Բարձր ջերմաստիճաններում ռելաքսացիայի  ժամանակը փոքր է, ուստի հեղուկի կառուցվածքը գործնականորեն չի տարբերվում ջերմադինամիկական հավասարակշռական կառուցվածքից: Հատկությունների (օրինակ` ծավալի, նկ. 215, ա) փոփոխությունը պայմանավորված է մասնիկների փոխադարձ դիրքերի ն դրանց միջն հեռավորությունների փոփոխությամբ (նկ. 215, ա, ՃՃ՛ տիրույթ): Հեղուկը վերջավոր արագությամբ սառեցնելիս  -ն արագ մեծանում է, ն կառուցվածքի փոփոխությունն սկսում է հետ մնալ ջերմաստիճանի փոփոխությունից: Համակարգը դադարում է լինել հավասարակշռական: T2 ջերմաստիճանն ապակիացման տիրույթի վերին սահմանն է: Դրանից ցածր T1 ջերմաստիճանից սկսած  -ն այնքան է մեծանում, որ կառուցվածքի փոփո335

խություններն ընդհանրապես դադարում են: T1 ջերմաստիճանը ապակիացման տիրույթի ստորին սահմանն է, որից ցածր ջերմաստիճաններում նյութը պինդ վիճակում է (նկ. 215, ա, Շ՛Ց տիրույթ): Պինդ վիճակում ամորֆ նյութը կոչվում է ապակիացած նյութ կամ պարզապես ապակի:

Նկ. 215. ա. Ամորֆ նյութի ծավալի` ջերմաստիճանից կախման գրաֆիկը. Tg -ն ապակիացման ջերմաստիճանն է, բ. ֆիզիկական 7 պարամետրի` ջերմաստիճանից կախման գրաֆիկը

Ապակիացումը ն դրա հակառակ պրոցեսը` փափկացումը, տեղի է ունենում մինչն մի քանի տասնյակ աստիճանի հասնող ջերմաստիճանային տիրույթում: Պայմանականորեն այդ անցումը բնութագրում են Tg ապակիացման ջերմաստիճանով կամ Tg փափկացման ջերմաստիճանով: Ամորֆ նյութի ծավալային հատկություններն ուսումնասիրելիս սովորաբար այդ ջերմաստիճանն ընտրվում է որպես ՑԾ ն ՇՃ ուղղագիծ հատվածների հատման կետի աբսցիս (նկ. 215, ա), իսկ ջերմունակությունն ուսումնասիրելիս որպես Tg ջերմաստիճան ընտրվում է ՇP (T ) կորի շրջման կետը: Ապակիացող նյութի հավասարաչափ սառեցման պրոցեսում դրա որնէ ֆիզիկական 7 պարամետր փոփոխվում է նկ. 215, բ-ում պատկերված ձնով: 7 պարամետրի փոփոխությունը կախված է միայն ջերմաստիճանից ն դրա փոփոխման T  զ արագությունից: Որքան դանդաղ է ընթանում նյութի սա336

ռեցումը, այսինքն` որքան փոքր է զ -ն, այնքան ավելի ցածր ջերմաստիճանում է սկսվում նյութի կառուցվածքի սառեցումը, այսինքն` այնքան ավելի փոքր է Tg -ն: Նկ. 215, բ-ում զ1  զ2  զ3 , ուստի Tg1  Tg 2  Tg 3 : Ավելի լայն իմաստով ապակիացում նշանակում է նյութը կազմող մասնիկների շարժման կոնկրետ տեսակի սառեցում (համապատասխան «ազատության աստիճանի» «անջատում»): Այն կարող է լինել շարժում, որն ապահովում է մարմնի դեֆորմացիան սահքի լարման ազդեցության տակ, լիցքավորված մասնիկի շարժում էլեկտրական դաշտի ազդեցության տակ ն այլն: Սակայն կարնորագույն նշանակություն ունի հեղուկում մասնիկների այն տեղափոխությունների «սառեցումը», որոնք ջերմաստիճանը կամ ճնշումը փոփոխելիս ապահովում են հեղուկի կառուցվածքի կամ, այլ կերպ ասած, նյութը կազմող մասնիկների փոխդասավորությունը, որն էլ հենց իրենից ներկայացնում է կառուցվածքային ապակիացում:

Նկ. 216. Փափկեցման պրոցեսում նմուշի ծավալի աճը

Պինդ ամորֆ նյութը տաքացնելիս դրա հատկությունների փոփոխման բնույթը փափկացման տիրույթում կախված է նմուշի ջերմային նախապատմությունից: Նմուշի հատկությունները կախված են ոչ միայն տաքացման արագությունից, այլ նան նմուշում առկա հաստատված (սնեռված) կառուցվածքից, այսինքն` նախնական սառեցման արագությունից, քանի որ դրանով է որոշվում «սառեցված» կառուցվածքը: Տվյալ ջերմաստիճանում որքան շատ է սնեռված կառուցվածքը տարբերվում նույն ջերմաստիճանում ջերմադինամիկական հավասարակշռական վիճակից, այնքան ավելի «անոմալ» են փափկացման տիրույթում նմուշի հատկությունների փոփոխությունները: Եթե

տաքացման արագությունը մեծ է նախորդած սառեցման արագությունից, ապա փափկացման տիրույթն ընկած է ապակիացման տիրույթից վեր: Փափկացման տիրույթում նմուշն ունի ավելի խիտ կառուցվածք, քան տվյալ ջերմաստիճանում հավասարակշռական կառուցվածքը. կառուցվածքի ռելաքսացիան բերում է մասնիկների ավելի փոքր խտությամբ դարսման, այսինքն` փափկացման պրոցեսում նմուշի ծավալի կտրուկ աճի (նկ. 216): Ապակիացման կամ փափկացման պրոցեսում նյութի որոշ հատկությունների, մասնավորապես` ջերմունակության, բավականաչափ կտրուկ փոփոխությունը հիշեցնում է ֆազային անցում: Սակայն կառուցվածքային ապակիացման սկզբունքային տարբերությունը ֆազային անցումներից պայմանավորված է մի շարք փաստարկներով: Նախ` 11 կարգի ֆազային անցումներում նյութը որոշակի համաչափությամբ վիճակից անցնում է ավելի բարձր համաչափությամբ օժտված վիճակի, այնինչ «հեղուկ  ապակի» անցումը կապված չէ կառուցվածքային փոփոխության հետ: Երկրորդ` ֆազային անցումները կատարվում են ջերմադինամիկական հավասարակշռական ֆազերի միջն, իսկ ապակիացման դեպքում կատարվում է անցում հավասարակշռական ֆազից (հեղուկ) անհավասարակշռական համակարգի (ապակի): Եվ, վերջապես, սառեցման մեծ արագությունների դեպքում 1 կարգի ֆազային անցման սկզբի T0 ջերմաստիճանը կարող է կախված լինել արագությունից, այսինքն` կարող է դիտվել հեղուկի գերսառեցում: Սառեցման արագության մեծացման հետ գերսառեցման աստիճանը մեծանում է, իսկ T0 -ն` իջնում, այնինչ արագության մեծացումը բերում է Tg ջերմաստիճանի բարձրացման (նկ. 215, բ), որը ցուցադրում է այս անցման ոչ ջերմադինամիկական բնույթը: 11 կարգի ֆազային անցման պրոցեսում թաքնված ջերմությունը կլանվում է շատ նեղ ( 1 Կ-ից փոքր) ջերմաստիճանային տիրույթում, ուստի ջերմունակությունն անցման Tc կետում ընդունում է շատ մեծ արժեք: T  Tc ջերմաստիճաններում նորից բյուրեղին տրված ջերմության քանակը ծախսվում է մասնիկների տատանողական էներգիայի մեծացման վրա` արդեն նոր մոտակա կարգին համապատասխանող բաշխման համար: Ուստի այս տիրույթում ջերմունակությունը նորից մոտ է իր նախկին` T  Tc տիրույթում

ունեցած արժեքին: Այսպիսի վարքն էապես տարբերվում է ամորֆ նյութի` փափկացման պրոցեսում ցուցաբերած վարքից, երբ ՇP ջերմունակությունը, աճելուց հետո էլ շարունակում է պահել իր մեծացած արժեքը, որը պայմանավորված է մոտակա կարգի անընդհատ կատարվող վերակառուցման համար պահանջվող լրացուցիչ ջերմաքանակի կլանումով: Նկ. 217-ում պատկերված են քվարցի (Տ1Օ2) բյուրեղային երկու տարատեսակների` քրիստոբալիտի (1), տրիդիմիտի (2) ն ամորֆ Տ1Օ2-ի (3) ջերմունակությունների կորերը, որոնք հաստատում են ամորֆ նյութի ջերմունակության վերը նկարագրված վարքը: Այժմ համեմատենք նմուշի ծավալի ջերմաստիճանային վարքը «հեղուկ  բյուրեղ» ն «հեղուկ  ամորֆ նյութ» անցումներում: Նկ. 218-ում a66՛6՛՛ կորը պատկերում է հեղուկի ծավալի փոփոխությունը բյուրեղացման պրոցեսում: Հալման Tո ջերմաստիճանից ցածր ջերմաստիճաններում նվազագույն ազատ էներգիա ունի բյուրեղը, ուստի T  Tո ջերմաստիճանում նյութը մետաստաբիլ հավասարակշռության վիճակում է (6a՛ հատվածը):

Նկ. 217. Բյուրեղային քվարցի տարատեսակների ջերմունակությունների ջերմաստիճանային կախման կորերը. քրիստոբալիտ (1), տրիդիմիտ (2), ամորֆ Տ1Օ2 (3) ( Շ p -ն չափված է կՋ/կգ  Կ միավորով):

Նկ. 218. Նմուշի ծավալի կախումը ջերմաստիճանից. զcc՛c՛՛ կորը համապատասխանում է հեղուկի բյուրեղացմանը, զcմմ՛ կորը` ապակիացմանը:

Հեղուկը հաջողվում է գերսառեցնել համեմատաբար փոքր (6մ) ջերմաստիճանային տիրույթում, քանի որ մետաստաբիլ հավասարակշռություն պահպանելու համար անհրաժեշտ է չափազանց դանդաղ սառեցում` T  0 . Այդ տիրույթից ներքն նյութն անհավասարակշիռ ապակիացման վիճակում է (մմ՛ հատվածը): Ասվածից հետնում է, որ գերսառեցված հեղուկը տարբերվում է ապակուց: Գերսառեցված հեղուկի վիճակը սահմանային «հավասարակշռական» վիճակ է ապակու համար:

§ 2. Ամորֆ մարմինների առաձգական հատկությունները Ամորֆ նյութերի հիմնական առանձնահատկությունը` սահքի մոդուլի ն դինամիկական մածուցիկության` միաժամանակ զրոյից տարբեր լինելն է, որը հատկապես ցայտունորեն է դրսնորվում ապակիացման տիրույթում: Ուսումնասիրենք այդ տիրույթում ամորֆ նյութի առաձգական հատկությունները սահքի դեֆորմացիայի պրոցեսում: Հուկի օրենքի համաձայն` առաձգական դեֆորմացիայի պրոցեսում մարմնում ծագող  լարումը համեմատական է  հարաբերական դեֆորմացիային`   Օ :

(2.1)

Եթե դեֆորմացիան կատարվում է վերջավոր   d dt արագությամբ, ապա համապատասխան ձնով փոփոխվում է նան մարմնում ծագող լարումը, այսինքն`   Օ :  (2.2) Մարմնի պլաստիկության հետնանքով դրանում ծագող լարումները մասամբ «ներծծվում» են, ուստի աճում են ավելի դանդաղ, քան զուտ առաձգական դեֆորմացիայի դեպքում: Մածուցիկ հոսքի պայմաններում «ներծծման» արագությունը համեմատական է լարմանը, ուստի «ներծծման» հաշվառման նպատակով (2.2) հավասարման աջ մասում կարելի է ավելացնել  -ին համեմատական անդամ`  M

  Օ 

 M

(2.3)

որտեղ  M -ը ժամանակի չափայնությամբ գործակից է: Եթե (2.3) հավասարումը ներկայացնենք

   M     Օ M 

(2.4)

տեսքով, ապա  լարման ն հոսքի  արագության միջն կապից կարելի է որոշել մածուցիկության գործակիցը`   Օ M :

(2.5)

(2.5) ն (2.3) արտահայտություններից հետնում է Մաքսվելի հավասարումը` Օ    Օ : (2.6)  Ուսումնասիրենք (2.6) հավասարման լուծումները տարբեր դեպքերում: 1. Ենթադրենք, որ մինչն t  0 պահը մարմինը դեֆորմացված չէ, այսինքն` t  0 , (t )  0 : Այս դեպքում (2.6) հավասարման լուծումը տրվում է

  t   Օ ( t ) 

 t  t   dt  

(t ) exp  M   M

(2.7)

առնչությամբ: Պարզենք  M գործակցի ֆիզիկական իմաստը: Դրա համար ենթադրենք, որ t0  0 պահից սկսած  դեֆորմացիան մնում է հաստատուն`

(t )  (t0 )  cօոst : (2.7) հավասարումից կստանանք լարման արտահայտությունը t  t0 պահերի համար`

 t  t0   ,  M 

(t )  (t0 ) exp  

(2.8)

որի համաձայն`  M -ն այն ժամանակամիջոցն է, որի ընթացքում լարումը t0 պահին ունեցած (t0 ) արժեքից փոքրանում է e  2, 71 անգամ:  M -ը կոչվում է մաքսվելյան ռելաքսացիայի ժամանակ: Մեծ մածուցիկության դեպքում (2.6) հավասարման Օ  անդամը կարելի է արհամարհել  -ի նկատմամբ, որը համապատասխանում է առաձգական դեֆորմացիային: Հակառակ սահմանային դեպքում, երբ մածուցիկությունը փոքր է ն Օ   անդամը` մեծ  -ից, մարմնում ծագող լարումները հասցնում են անընդհատ «ներծծվել», ն դիտվում է նմուշի հոսում: (2.6) հավասարման համաձայն` առաձգական կամ պլաստիկ հատկությունների ի հայտ գալը պայմանավորված է ոչ թե  M -ի կամ  -ի արժեքներով, այլ դեֆորմացիայի  արագության ն պլաստիկ հոսքի   արագութ-

 0 ) յան հարաբերակցությամբ: Երկարատն ազդող լարումների դեպքում (  կարելի է դիտել մեծ մածուցիկությամբ նյութի պլաստիկ դեֆորմացիա (     ):

Մյուս

կողմից,

հարվածային

լարումների

դեպքում,

երբ

  Օ  , անգամ փոքր մածուցիկությամբ նյութում պլաստիկ դեֆորմա ցիան չի հասցնում զարգանալ, ն նյութն իրեն պահում է որպես առաձգական մարմին`   Օ  : Քննարկենք, օրինակ, կուպրի վարքն արտաքին ազդեցության տակ սենյակային ջերմաստիճանում, երբ դրա մածուցիկությունը`   1010 պուազ է: Փորձում դեֆորմացիայի բնութագրական արագությունը`  - 10 վ1, ուստի ընդունելով կուպրի համար սահմանային լարման բնութագրական արժեքը`

 p - 108 Պա, կստանանք`  p  - 102 վ 1 - 103  , այսինքն`    p  : Այս պայմաններում կուպրը փխրուն ձնով կոտրվում է` առանց պլաստիկորեն դեֆորմացվելու, այսինքն` իրեն պահում է որպես պինդ մարմին:

2. Այժմ ուսումնասիրենք (2.6) հավասարման լուծումն այն դեպքում, երբ մարմինը ենթարկվում է պարբերական դեֆորմացիայի` (t )  0 Տiո t :

(2.9)

(2.6) հավասարման լուծումը փնտրելով նույն  հաճախությամբ ֆունկցիայի տեսքով, կստանանք` 0

(t ) 

1    M 

Տiո( t  ) ,

(2.10)

որտեղ լարման ն դեֆորմացիայի միջն  փուլը որոշվում է

tg 

 M

(2.11)

առնչությամբ: Մեծ հաճախությունների դեպքում, երբ   M1 ,   0 , ն (t ) 

 M

0 Տiո t  Օ(t ) ,

որը համընկնում է (2.1) հավասարման (Հուկի օրենքի) հետ: Այսպիսով` մեծ հաճախությունների դեպքում ամորֆ մարմինը դրսնորում է առաձգական հատկություններ: Փոքր հաճախությունների դեպքում, երբ   M1 ,    2 ,

(t )  0 օօՏ t   ,

(2.12)

որը Նյուտոնի հավասարումն է մածուցիկության համար: Այսպիսով` փոքր հաճախությունների դեպքում ամորֆ մարմինը դրսնորում է հեղուկին բնորոշ մածուցիկ հատկություններ: Մածուցիկության առկայությունը հանգեցնում է ամորֆ մարմնում ներքին շփումով պայմանավորված մեխանիկական էներգիայի կորուստների: (2.9) ն (2.10) առնչությունների միջոցով որոշվում է միավոր ծավալում մեկ պարբերության ընթացքում անջատված էներգիան` Օ

02  1  (  M )



02

 M

 M 1  (  M ) 2

(2.13)

որն առավելագույն` Օmոx  02 2 M արժեքն է ընդունում, երբ    M1 :

Ամորֆ նյութերը բնության մեջ ավելի քիչ են տարածված, քան բյուրեղները: Ամորֆ նյութերի թվին են պատկանում արնակնը (ընդունված է նան ծիածանաքար կամ օպալ անվանումը), վանակատը (օբսիդիան կամ «սատանի եղունգ»), սաթը, հանքաձյութերը (բիտումներ), խեժերը ն այլ նյութեր: Ամորֆ նյութեր ստացվում են նան արհեստական եղանակով: Քանի որ ցածր ջերմաստիճաններում բյուրեղացման պրոցեսը շատ մեծ ժամանակներ է պահանջում, ապա ամորֆ վիճակ կարելի է ստանալ հալույթի արագ սառեցման միջոցով: Օրինակ` հալելով բյուրեղական քվարցը ն այն արագ սառեցնելով, ստանում են ամորֆ քվարցե ապակի: Ամորֆ մետաղները (մետաղական ապակիներ) մետաղական համաձուլվածքներ են ապակիացման վիճակում ն ստացվում են հալույթի գերարագ` մինչն 106 Կ/վ արագությամբ սառեցման եղանակով:

§ 3. Գաղափար հեղուկ բյուրեղների մասին Մի շարք օրգանական նյութեր պինդ բյուրեղային վիճակից անցնում են իզոտրոպ հեղուկ վիճակի ոչ անմիջապես, այլ մեկ կամ ավելի թվով միջանկյալ վիճակներով (ֆազերով), որոնց ընդունված է անվանել հեղուկբյուրեղային: Միջանկյալ վիճակին, որն անվանում են նան մեզոֆազ կամ մեզոմորֆ ֆազ, բնորոշ են ինչպես սովորական հեղուկի հատկություններ (հոսունություն, կաթիլային վիճակում լինելը, կաթիլների միացումն իրար մոտեցնելիս ն այլն), այնպես էլ պինդ բյուրեղային մարմնի հատկություններ (անիզոտրոպություն): Այսպիսի տարաբնույթ հատկությունների զուգակցումն էլ բերել է նյութի նոր ագրեգատային վիճակի` «հեղուկ բյուրեղի» հասկացությանը: Հեղուկ բյուրեղի յուրահատկություններն ուսումնասիրելու համար վերհիշենք, թե ինչ է տեղի ունենում պինդ բյուրեղային մարմնի հետ հալման ջերմաստիճանում: Ինչպես գիտենք, բյուրեղում մոլեկուլների զանգվածների կենտրոնները կազմում են եռաչափ տարածական ցանց կամ, ինչպես ընդունված է ասել, բյուրեղային վիճակին բնորոշ է հեռակա կարգը: Հեղուկ վիճակում հեռակա կարգը վերանում է, ն հեղուկը բնութագրվում է մոտակա կարգով: Եթե բյուրեղը կազմող մոլեկուլներն անիզոտրոպ են, այսինքն` դրանց ձնը զգալիորեն տարբերվում է գնդայինից, ապա բյուրեղային վիճակում մոլե344

կուլների զանգվածների կենտրոնների բաշխման հեռակա կարգի հետ մեկտեղ, առկա է նան մոլեկուլների կողմնորոշումների հեռակա կարգ: Որպես կանոն, նշված երկու տիպի հեռակա կարգերը բյուրեղի հալման ջերմաստիճանում անհետանում են` բյուրեղը հալվում է, անցնելով իզոտրոպ հեղուկ վիճակի: Սակայն հեղուկ բյուրեղների դեպքում իրադրությունն այլ է: Հալվելիս հեղուկ բյուրեղի վերածվող (կամ մեզոգեն) բյուրեղում հալման ջերմաստիճանում մոլեկուլների զանգվածների կենտրոնների դիրքերի կարգավորվածությունը շատ փոքրանում է կամ անհետանում, սակայն կողմնորոշման կարգավորվածությունը որոշ չափով պահպանվում է: Այսպիսի բյուրեղների մոլեկուլները, որպես կանոն, մի ուղղությամբ խիստ ձգված կամ սեղմված են ն դրանց երկար առանցքներն իրար զուգահեռ են, որը մասամբ խախտվում է ջերմային ֆլուկտուացիաների ազդեցությամբ: Եթե բյուրեղային մարմինն ունի հեղուկբյուրեղային ֆազ, ապա հալման ջերմաստիճանում այն վերածվում է բավական պղտոր հեղուկի, որն օժտված է խիստ արտահայտված երկբեկման հատկությամբ: Հետագա տաքացման ժամանակ, որոշակի ջերմաստիճանում պղտոր հեղուկը դառնում է թափանցիկ, որը վկայում է իզոտրոպ հեղուկի առաջացման մասին: Այդ ջերմաստիճանը կոչվում է լիաթափանցության (պայծառացման) ջերմաստիճան` Tl : Հալման Tո ն լիաթափանցության Tl ջերմաստիճանները որոշում են այն ջերմաստիճանային տիրույթը, որտեղ միջանկյալ ֆազը` հեղուկ բյուրեղը, ջերմադինամիկապես կայուն է: Ե՛վ հալումը, ն՛ պայծառացումը 1 կարգի ֆազային անցումներ են, ուստի բնութագրվում են անցման թաքնված ջերմությամբ ն խտության թռիչքաձն փոփոխությամբ, ընդ որում Tl կետում անցման թաքնված ջերմությունը ն խտության փոփոխությունը կարգով փոքր են հալման Tո կետում ունեցած համապատասխան արժեքներից: Եթե հեղուկ բյուրեղն առաջանում է բյուրեղային նյութի տաքացման արդյունքում, ապա նյութը կոչվում է թերմոտրոպ: Պինդ բյուրեղային վիճակի ն իզոտրոպ հեղուկ վիճակի միջն կարող են գոյություն ունենալ այլ միջանկյալ ֆազեր, որոնք ընդունված է անվանել լիոտրոպ: Ի տարբերություն թերմոտրոպ հեղուկ բյուրեղների, որոնք միաբաղադրիչ նյութեր են, լիոտրոպ հեղուկ բյուրեղները բազմաբաղադրիչ համակարգեր են, որոնց վարքը կախված է լուծիչի քանակից:

Հարկ է նշել, որ հեղուկբյուրեղային վիճակի գոյությունը պայմանավորված է ոչ միայն ջերմաստիճանով, այլն նյութի խտությամբ: Դրանում կարելի է համոզվել հետնյալ որակական դատողությունների հիման վրա: Եթե անիզոտրոպ մոլեկուլների խտությունը մեծ չէ, ապա դրանք միմյանցից հեռու են: Դրանցից յուրաքանչյուրը կարող է ազատորեն պտտվել տարածության մեջ` գրավելով կամայական դիրք, ուստի այդ մոլեկուլներից կազմված հեղուկը կլինի իզոտրոպ: Եթե մոլեկուլի ամենամեծ չափը նշանակենք l -ով, ապա մեկ մոլեկուլին միջին` v 0  l 3 ծավալ բաժին ընկնելու դեպքում մոլեկուլը v0 ծավալում կարող է ունենալ կամայական ուղղորդվածություն: Եթե մոլեկուլների խտությունը մեծացնենք, ապա մեկ մոլեկուլին բաժին ընկնող ծավալը կփոքրանա l 3 -ից, պտտվելիս մոլեկուլներն իրար կխանգարեն ն ստիպված կլինեն գրավելու շատ թե քիչ չափով զուգահեռ կողմնորոշում: Եթե մոլեկուլի տրամագիծը նշանակենք 2a -ով, ապա մեկ մոլեկուլին

v 0  la2 ծավալ բաժին ընկնելու դեպքում մոլեկուլները կդասավորվեն երկար առանցքներով իրար զուգահեռ, քանի որ մոլեկուլների միջն փոքր հեռավորություններում գործող վանողական ուժերը բացառում են դրանց` ավելի, քան 2a -ով իրար մոտենալու հնարավորությունը: Հետնաբար, եթե մեկ մոլեկուլին բաժին ընկնող ծավալը la2  v 0  l3 տիրույթում է, ապա մոլեկուլների համակարգն օժտված կլինի որոշակի կողմնորոշումային կարգավորվածությամբ: Հեղուկ բյուրեղ առաջացնող նյութերի մոլեկուլների չափերի մասին պատկերացում կազմելու համար բերենք օրինակներ: Ոչ մեծ օրգանական մոլեկուլների համար հաճախ ընտրվում է պինդ ձողի մոդելը, որի չափերն են` l  20 Å ն a  5 Å: Որոշ սինթետիկ պոլիպեպտիդներ համապատասխան պայմաններում ընդունում են l  300 Å երկարությամբ ն 2a - 20 Å հաստությամբ ձողի ձն, իսկ ծխախոտի խճանկարի մանրէի բնութագրական չափերն են` l - 3000 Å, a  100 Å: Ներկայումս ընդունված է հեղուկ բյուրեղները դասակարգել երեք հիմնական տիպերի` նեմատիկներ, խոլեստերիկներ ն սմեկտիկներ: Ծանոթանանք դրանց կառուցվածքային առանձնահատկություններին: 1.Նեմատիկ հեղուկ բյուրեղներ (նեմատիկներ)

Նկ. 219. Նեմատիկ հեղուկ բյուրեղ

Նեմատիկում մոլեկուլների զանգվածների կենտրոնների դիրքերի միջն հարաբերակցությունն այնպիսին է, ինչպես սովորական իզոտրոպ հեղուկում: Նեմատիկների տիպիկ ներկայացուցիչների մածուցիկությունը 0,1 պուազի կարգի է (համեմատության համար նշենք, որ T  300 Կ-ում ջրի մածուցիկությունը 0,01 պուազ է): Նեմատիկի մոլեկուլները ձգտում են ուղղվել զուգահեռ որոշակի առանցքի, որը բնութագրվում է ո միավոր վեկտորով, որը կոչվում է ուղղորդիչ (դիրեկտոր) (նկ. 219): Նեմատիկն օպտիկապես միառանցք միջավայր է, որի օպտիկական առանցքն ունի ո ուղղորդչի ուղղությունը: Այսպիսի միջավայրն ունի երկու գլխավոր բեկման ցուցիչ, որոնցից մեկը ( ո0  ո ) բնութագրում է սովորական լուսային ալիքի տարածումը (լուսային դաշտի էլեկտրական լարվածության E վեկտորն ուղղահայաց է միջավայրի օպտիկական առանցքին), իսկ մյուսը` ոe  ո|| -ն` ոչ սովորական գծային բնեռացված լուսային ալիքի տարածումը ( E վեկտորը զուգահեռ է միջավայրի օպտիկական առանցքին): Նկ. 220-ում տրված են ո -ազոկսիանիզոլի բեկման ցուցիչների կորերը. ո -ը իզոտրոպ հեղուկի բեկման ցուցիչն է: ո -ի ուղղությունը տարածության մեջ կամայական է: Գործնականում այն որոշվում է թույլ ուժերով, օրինակ` հեղուկ բյուրեղը սահմանափակող անոթի պատերի կողմնորոշիչ ազդեցությամբ: Նեմատիկում ո ն ո ուղղորդիչների վիճակներն անզանազանելի են: Այսպես, եթե նեմատիկի մոլեկուլն ունի երկբնեռային մոմենտ, ապա «վերն» ն «ներքն» ուղղված երկբնեռների թվերն իրար ճշտորեն հավասար են, ուստի P  0 , ն համակարգը սեգնետաէլեկտրական չէ (Մաս 1, 7): Եթե նախազգուշական միջոցներ չձեռնարկվեն, ապա հալվելիս կամ հալույթը սառելիս առաջանում է թելանման տեքստուրա, որը հեղուկ բյուրեղ347

ների այս տիպի անվանման պատճառ է դարձել (հունարեն «նեմա»` թել բառից): Հաստ` 50  200 մկմ չափերով նմուշներում ն՛ բնական, ն՛ բնեռացված լույսով հստակորեն տեսանելի են այդ «թելերը», որոնք չունեն որոշակի, հաստատուն երկրաչափական ձն: Այդ թելանման տիրույթները միջավայրի օպտիկական անընդհատության խզման տեղերն են, որոնց անվանում են դիսկլինացիաներ: Դրանք միջանկյալ ֆազի առանձին, համասեռ «միաբյուրեղների», այսինքն` միննույն ուղղորդվածությունն ունեցող մոլեկուլներից բաղկացած տիրույթների միջն սահմաններն են: Յուրաքանչյուր այդպիսի «միաբյուրեղ» օպտիկապես համասեռ է:

Նկ. 220. n -ազոկսիանիզոլի բեկման ցուցիչները

Եթե նեմատիկի շերտում մոլեկուլներն իրենց երկար առանցքներով զուգահեռ են ուղղված պահող ապակիներին, ապա այդպիսի տեքստուրան կոչվում է հարթ (պլանար): Այն իր օպտիկական հատկություններով չի տարբերվում օպտիկապես դրական միաբյուրեղից կտրված թիթեղից, որի առանցքը զուգահեռ է օպտիկական առանցքին: Հնարավոր է ստեղծել նեմատիկի նան նորմալ շերտ, որտեղ մոլեկուլների երկար առանցքներն ուղղահայաց են պահող ապակիների հարթություններին: Որպես կանոն, նեմատիկի մոլեկուլները բավականաչափ ամուր են կպչում պահող ապակիներին, ուստի եթե հարթ շերտը պահող ապակիներից մեկը պտտենք որոշակի անկյունով, ապա դրա հետ կպտտվի նան նեմատիկի` ապակուն կպած շերտը: Վերջինս, իր հերթին, պտտում է իրեն անմիջականորեն մոտ շերտը ն այդպես, մինչն որոշակի խորություն, որը կարող է հասնել մի քանի մկմ-ի: Առաջացած կառուցվածքը հայտնի է որպես «թվիստկառուցվածք», ն այն օպտիկապես ակտիվ է:

Հեղուկ բյուրեղի նեմատիկ ֆազը հանդիպում է միայն այն օրգանական նյութերում, որոնց մոլեկուլների «աջ» ն «ձախ» ձներն անզանազանելի են, այսինքն` մոլեկուլի հայելային պատկերը նույնական է մոլեկուլին: Այսպիսի մոլեկուլն ընդունված է անվանել ոչ քիրալ: Սակայն նեմատիկ կարող է լինել նան քիրալ մոլեկուլներից կազմված խառնուրդը, եթե աջ ն ձախ քիրալությամբ մոլեկուլները վերցված են հավասար քանակներով: 2. Խոլեստերիկ հեղուկ բյուրեղներ (խոլեստերիկներ) Հեղուկ բյուրեղի մոլեկուլների չափի կարգի հեռավորությունների վրա խոլեստերիկ նյութը շատ նման է նեմատիկին: Խոլեստերիկում նս բացակայում է մոլեկուլների զանգվածների կենտրոնների դիրքերի հեռակա կարգը, իսկ մոլեկուլներն ուղղված են հիմնականում ո ուղղորդչի ուղղությամբ: Սակայն ո -ը տարածության մեջ չունի սնեռված ուղղություն` մի շերտից մյուսին անցնելիս դրա ուղղությունը փոխվում է: ո ուղղորդչի ծայրը տարածության մեջ գծում է պարուրագիծ, որի 2 -առանցքն ուղղահայաց է ո ուղղորդչի ուղղությանը բոլոր հարթություններում (նկ. 221), ուստի դրա բաղադրիչները տրվում են

ոx  օօՏ(զ0 2   ) , ոy  Տiո (զ0 2   ) , ո2  0

(2.1)

բանաձներով, որտեղ պտույտի առանցքի ուղղությունը ն  մեծությունը կամայական են: (2.1) առնչության համաձայն` պարույրի քայլը` P

2 |զ0 |

(2.2)

Նկ. 221. Խոլեստերիկ հեղուկ բյուրեղ

Նկ. 222. Ընտրողական անդրադարձման ալիքի երկարության կախումը ջերմաստիճանից. խոլեստերիլպելարգոնատ (1), խոլեստերիլկապրինատ (2) որտեղ զ0 ալիքային թիվը ձախ ն աջ պարույրների համար ունի տարբեր

նշաններ: Տրված ջերմաստիճանում, տրված նմուշում զ0 -ն միշտ նույն նշանն ունի: Ջերմաստիճանը փոփոխելիս զ0 -ն փոփոխվում է, ն, որպես կանոն` dզ0 dT  0 , այսինքն` պարույրի քայլը փոքրանում է: Սակայն կան խոլեստերիկներ, որոնցում dզ0 dT  0 : Այսպիսով, խոլեստերիկն ունի պարբերական կառուցվածք պարույրի առանցքի ուղղությամբ, ընդ որում պարբերության մեծությունը հավասար է պարույրի քայլի կեսին` P  L  , (2.3) 2 |զ0 | որը հետնանք է ո ն ո ուղղորդիչների համարժեքության: Պարբերության բնութագրական արժեքը 3000 Å-ի կարգի է, որը զգալիորեն գերազանցում է մոլեկուլների չափերը: Ի տարբերություն նեմատիկների, խոլեստերիկներում հնարավոր է տեսանելի լույսի դիֆրակցիա պարբերական կառուցվածքի վրա: Նկ. 222-ում պատկերված է ընտրողական անդրադարձման (անդրադարձման մաքսիմումներին համապատասխանող) ալիքի երկարության կա350

խումը ջերմաստիճանից խոլեստերիլպելարգոնատի (1) ն խոլեստերիլ-կապրինատի (2) համար: Ջերմադինամիկական տեսանկյունից խոլեստերիկը շատ նման է նեմատիկին, քանի որ ոլորման հետ կապված էներգիան մոլեկուլների զուգահեռ կողմնորոշումով պայմանավորված էներգիայի շատ փոքր` 105 մասի կարգի է: Մոլեկուլների պարուրաձն դարսվածքը խոլեստերիկի եզակի օպտիկական հատկությունների պատճառն է: Դրանցից հարկ է առաջին հերթին նշել շրջանային բնեռացված լույսի ընտրողական անդրադարձման հատկությունը, ինչպես նան չափազանց մեծ օպտիկական ակտիվությունը` միավոր երկարության վրա լուսային ալիքի էլեկտրական դաշտի լարվածության վեկտորի պտույտի անկյունը`  - 104 աստ/սմ (համեմատության համար նշենք, որ օպտիկապես ակտիվ, իզոտրոպ հեղուկում  - 1 աստ/սմ է): 3. Սմեկտիկ հեղուկ բյուրեղներ (սմեկտիկներ) Սմեկտիկ հեղուկ բյուրեղներն ավելի կարգավորված են, քան նեմատիկները: Դրանցում, բացի նեմատիկներին բնորոշ կողմնորոշումային կարգավորվածությունից, առկա է նան մոլեկուլների զանգվածների դիրքերի որոշակի կարգավորվածություն, քանի որ մոլեկուլները կազմում են շերտեր, որոնց

Նկ. 223. Սմեկտիկ հեղուկ բյուրեղ

միջն հեռավորությունները հավասար են որոշակի մեծության (նկ. 223), որը կարելի է որոշել ռենտգենյան ճառագայթների դիֆրակցիայի մեթոդով: Սմեկտիկում տարբեր շերտերի մոլեկուլների միջն փոխազդեցությունը զգալիորեն թույլ է նույն շերտին պատկանող մոլեկուլների միջն փոխազդեցությունից, որի հետնանքով շերտերը հեշտությամբ սահում են իրար նկատ351

մամբ: Շոշափելիս սմեկտիկը թողնում է օճառի տպավորություն (հունարեն «սմեգմա»` օճառ բառից): Տվյալ նյութի համար սմեկտիկ ֆազն առաջանում է ավելի ցածր ջերմաստիճանում, քան նեմատիկ ֆազը: Գոյություն ունեն սմեկտիկ հեղուկ բյուրեղների բազմաթիվ տարատեսակներ: Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:

Ճ-սմեկտիկը (նկ. 224, ա) շերտավոր կառուցվածք է, որի շերտերի հաստությունը մոտ է մոլեկուլի երկարությանը: Շերտի ներսում մոլեկուլների զանգվածների կենտրոնները չունեն դասավորման հեռակա կարգ. յուրաքանչյուր շերտ իրենից ներկայացնում է երկչափ հեղուկ: Համակարգն օպտիկապես միառանցք է, ընդ որում օպտիկական առանցքն ուղղահայաց է շերտերի հարթություններին: Շ-սմեկտիկը (նկ. 224, բ) շերտավոր կառուցվածք է, որի շերտերը երկչափ հեղուկ են: Համակարգն օպտիկապես երկառանցք է: Այս առանձնահատկությունը բացատրվում է, ենթադրելով, որ մոլեկուլների երկար առանցքները թեքված են շերտերի նորմալի նկատմամբ: Այս ֆազին բնորոշ կառուցվածքն ստացվում է, եթե նյութի մոլեկուլներն օպտիկապես ակտիվ չեն, կամ եթե խառնուրդը պարունակում է աջ ն ձախ քիրալությամբ մոլեկուլներ` հավասար քանակներով:

Նկ. 224. ա. A-սմեկտիկ, բ. ո-սմեկտիկ, գ. Ց-սմեկտիկ հեղուկ բյուրեղներ

Ց-սմեկտիկ (նկ. 224, գ): Եթե Ճ- ն Շ-սմեկտիկներում յուրաքանչյուր շերտ դրսնորում է երկչափ հեղուկի հատկություն, ապա Ց-սմեկտիկում շերտերն օժտված են պարբերականությամբ ն պինդ մարմնին բնորոշ կոշտությամբ: Ռենտգենյան ճառագայթների ցրումը ցույց է տալիս յուրաքանչյուր շերտում կարգավորվածության առկայություն: Շերտերը շատ ճկուն չեն: Ց ֆազը երեք հիմնական սմեկտիկ ֆազերից ամենակարգավորվածն է:

Եթե որնէ նյութ կարող է գոյություն ունենալ ն՛ Ճ, ն՛ B, ն՛ Ը ֆազերում, ապա դրանց առաջացման հաջորդականությունը ջերմաստիճանը բարձրացնելիս կլինի` Տ (պինդ մարմին)  B  Ը  Ճ: Օրինակ` նշված ֆազերն ունեցող նյութերի տիպիկ ներկայացուցիչն է ՏԲԲԱ (տերեֆտալ-բիս-( ո բութիլանիլին)) օրգանական միացությունը, որում դիտվում են անցումների հետնյալ ջերմաստիճանները (Ը-ով)

S   B   C   A   N  I , որտեղ N-ով նշանակված է նեմատիկ ֆազը, իսկ Լ-ով` իզոտրոպ հեղուկ ֆազը: Ներկայումս հայտնի են սմեկտիկների այլ տարատեսակներ, որոնց կոչում են «էկզոտիկ»: Հեղուկ բյուրեղների վերը դիտարկված բոլոր տեսակներում նյութի մոլեկուլներն ունեն մեկ ուղղությամբ խիստ ձգված, ձողաձն տեսք: Սակայն 1977թ. հայտնաբերվեցին հեղուկ բյուրեղներ, որոնց մոլեկուլները սկավառակի ձն ունեն: Այդպիսի մոլեկուլներից կազմված համակարգն անվանվեց դիսկոտիկ հեղուկ բյուրեղ: Ինչպես ն նեմատիկները, դիսկոտիկը նկարագրվում է ո ուղղորդիչով, որն ուղղված է մոլեկուլ-սկավառակների նորմալների գերադասելի ուղղությամբ:

Նկ. 225. Դիսկոտիկ հեղուկ բյուրեղ

Նկ. 225-ում պատկերված է դիսկոտիկի կառուցվածքը հեղուկբյուրեղային ֆազում: Յուրաքանչյուր սյունակում սկավառակները գրեթե զուգահեռ են, իսկ դրանց միջն հեռավորությունները կամայական են: Մոլեկուլները կարող են ազատ շարժվել սյունակների առանցքների ուղղությամբ, որոնք տարածության մեջ դասավորված են իրար զուգահեռ ն հարթության մեջ կազմում են կանոնավոր վեցանկյունային երկչափ ցանց: Դիսկոտիկի այսպիսի կառուցվածքը պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ երկու սկավառակ353

մոլեկուլների միջն ձգողության ուժն առավելագույնն է, եթե դրանք միմյանց զուգահեռ են ն տեղադրված մեկմեկու վրա ն նվազագույնն է, եթե դրանք միննույն հարթության մեջ են: Վեցանկյունային երկչափ ցանցն առաջանում է ուժեղ վանողական ուժերի գործողության շնորհիվ: Պինդ բյուրեղային վիճակում դիսկոտիկը տաքացնելիս նախ խախտվում են սյունակներ կազմող մոլեկուլների միջն հեռավորությունները, ն դիսկոտիկը վերածվում է հեղուկ նեմատիկ սյունակներից կազմված համակարգի, որտեղ դեռնս պահպանված է վեցանկյուն հարթ կառուցվածքը: Հետագա տաքացման արդյունքում քանդվում է նան երկչափ վեցանկյուն ցանցը, ն առաջանում է եռաչափ նեմատիկ, որը հոսում է, պահպանելով մոլեկուլ-սկավառակների հարթությունների զուգահեռությունը: Ներկայում ստացվում են դիսկոտիկներ, որոնցում նեմատիկ սյունակները հարթության մեջ կազմում են վեցանկյունայինից տարբեր համաչափությամբ երկչափ ցանցեր, որը պայմանավորված է մոլեկուլների կառուցվածքային առանձնահատկություններով, մասնավորապես` սկավառակների ձների տարբերությամբ: Հեղուկ բյուրեղները հայտնի են արդեն ավելի քան 125 տարի (առաջին հեղուկ բյուրեղը սինթեզել է ավստրիացի բուսաբան Ֆ. Ռայնիտցերը 1888 թ.), սակայն դրանց բուռն ուսումնասիրությունները ծավալվել են անցյալ դարի 70-ական թվականներից, որն առաջին հերթին պայմանավորված էր դրանց լայն կիրառություններով: Բանն այն է, որ հեղուկ բյուրեղների հատկությունները կարելի է փոփոխել չափազանց թույլ արտաքին ազդակների միջոցով, քանի որ հեղուկը հեշտ դեֆորմացվող միջավայր է: Հեղուկ բյուրեղների կիրառությունը հեղափոխել է տեղեկատվության ներկայացման տեսողական սարքերի` ցուցասարքերի բնագավառը: Հեղուկբյուրեղային, հատկապես լիոտրոպ, ֆազի ուսումնասիրությունն ունի կարնոր նշանակություն կենսաբանության մեջ, քանի որ կենսաբանորեն ակտիվ համակարգերում, այդ թվում` մարդու օրգանիզմում, կան հեղուկբյուրեղային կառուցվածքով կենսաբանական նյութեր (միոզին, կոլագեն, ԴՆԹ, լիպիդներ ն այլն): Եվ, վերջապես, հեղուկ բյուրեղների ֆիզիկան ժամանակակից ֆիզիկայի տարբեր բնագավառներում առաջարկվող տեսական մոդելների ստուգման ն փորձարկման հարմար «փորձադաշտ» է:

Հավելված 1. ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒՆՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿ

(ըստ Ճ-Էa7 մaէa Bօօէleէ, ԼaՆreո6e Berէele7 Naէiօոal ԼaԵօraէօr7, Տe6օոմ eմiէiօո, Jaոսar7 2001 գրքույկի) Նշանակում

Թվային արժեք ն միավոր (ՇՕՏE)

Էլեկտրոնի զանգված

9,10938188(72)1028 գ

Տարրական լիցք

4,803204201910 10 ՇՕՏEq

Պրոտոնի զանգված

1,67262158(13)1024 գ

Լույսի արագություն

2,997924581010 սմ/վ

  հ 2

6,62606876(52)1027 էրգվ 1,054571596(82)1027 էրգվ

Ավոգադրոյի հաստատուն

6,02214199(47)1023 մոլ1

Բոլցմանի հաստատուն

1,3806503(24)1016 էրգ/Կ

  e2 c

1/137,03599976(50)

Բորի շառավիղ

aB   2 ոe2

0,52917772083(19)108 սմ

Ռիդբերգի հաստատուն

Ry  ոe4 22

Մեծություն

Պլանկի հաստատուն

Նուրբ կառուցվածքի հաստատուն

13,60569172(53) (էՎ)

Բորի մագնետոն

  e 2ոc

0,927400(87)1020 էրգ/Գս

1 էլեկտրոն-վոլտ

1 էՎ

1,60217651012 էրգ

1 էՎ/ հ

2,4179891014 Հց

1 էՎ/ հc

8,065554103 սմ1

1 էՎ/ kB

1,16045104 Կ

Մաթեմատիկական հաստատուններ   3,141592653589793, e  2, 718281828459045

Հավելված 4. ՄԵՏԱՂՆԵՐԻ ՏԵՍԱԿԱՐԱՐ ԴԻՄԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ ԵՎ ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ԽՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Մետաղ Լ1 Na Ճ RԵ ԸՏ Ըս Ճլ Ճս B6 Խլ Ըa Տո Ba NԵ Ի6 7ո Ըմ էլ Ճ1 Շa լո Ղ1 Տո PԵ B1 ՏԵ 3)

 , մկՕմսմ 77 Կ 1,04 0,8 1,38 2,2 4,5 0,2 0,3 0,5 0,62 3,0 0,66 1,1 1,6 5,8 0,3 2,75 1,8 3,7 2,1 4,7

273 Կ 8,55 4,2 6,1 11,0 18,8 1,56 1,51 2,04 2,8 3,9 3,43 15,2 8,9 5,5 6,8 Հալվում է 2,45 13,6 8,0 10,6 19,0

373 Կ 12,4 Հալվում է ,, ,, ,, 2,24 2,13 2,84 5,3 5,6 5,0

19,2 14,7 7,8 Հալվում է 3,55 Հալվում է 12,1 22,8 15,8 27,0

n , 1022 սմ3*) 4,70 2,65 1,40 1,15 0,91 8,47 5,86 5,90 24,7 8,61 4,61 3,55 3,15 5,56 17,0 13,2 9,27 8,65 18,1 15,4 11,5 10,5 14,8 13,2 14,1 16,5

(78 Կ) (5 Կ) (5 Կ) (5 Կ) (5 Կ)

(78 Կ)

Նորմալ մթնոլորտային ճնշման տակ ն սենյակային ջերմաստիճաններում (բացի նշված դեպքերից):

Հավելված 5. (7111.1.11) ԵՎ (7111.1.12) ԱՌՆՉՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԱՐՏԱԾՈՒՄԸ

(7111.1.1) հավասարման մեջ տեղադրենք դրա g( x) ն հ( x ) անկախ լուծումները ն ստացված հավասարումները հանենք իրարից.

g  x  հ  x   հ  x  g  x  

d  g  x  հ  x   հ  x  g  x   0 : dx 

Փակագծերում գրված արտահայտությունը վռոնսկիանն է (Վռոնսկու որոշիչը)`

7  x   g  x  հ  x   հ  x  g   x   (2.1) առնչության համաձայն`

(7111.1.1)

g x

հ x

g  x  հ  x 

(2.1)

հավասարման

(2.2)

7  x   cօոst : Օգտվելով (7111.1.5) ն

(7111.1.6) բանաձներից` գրենք վռոնսկիանի արտահայտությունը կետում.

7  x  a   g  x  a հ  x  a  հ  x  a g  x  a    12  21  7  x 

xa

(2.3)

Վռոնսկիանի հաստատունության պայմանից հետնում է

12  21  1 (7111.1.11) առնչությունը: Եթե g( x) ն հ( x ) անկախ լուծումները կազմում են ֆունդամենտալ համակարգ, ապա տեղի ունեն հետնյալ պայմանները`

g 0  1 ,

g  0   0 ,

հ 0  0 ,

հ  0   1 :

(2.4)

Այս դեպքում 7  0   1 : (2.4) պայմաններից ն x  0 կետում (7111.1.5) ն (7111.1.6) հավասարումներից հետնում է, որ

g(a)  1g(0)  2հ(0)  1;

1  g(a),

հ(a)  1g(0)  2հ(0)  1;

1  հ(a),

g ք(a)  1g ք(0)  2հ ք(0)  2 ; 2  g ք(a),

(2.5)

հ ք(a)  1g ք(0)  2հ ք(0)  2 ; 2  հ ք( a) :

Հավելված 6. ՏԱՐՐԵՐԻ ԿՐԻՏԻԿԱԿԱՆ ՋԵՐՄԱՍՏԻÖԱՆՆԵՐԸ ԵՎ

ԿՐԻՏԻԿԱԿԱՆ ՄԱԳՆԻՍԱԿԱՆ ԴԱՇՏԵՐԸ

Տարր

7c , Կ

|c(0) , Գս

Ճ1 Ըմ Շa էf

1,196 0,56 1,091 0,09

էլ  (եռանկյունային)

4,15



էլ  լո լո Լa  (վեցանկ. խ. դ.)

3,95

3,4 0,14 4,9

Լa  (ՆԿԽ)

Խօ NԵ ՕՏ Pa

6,06

0,92 9,26 0,655 1,4

PԵ R6 Rս Տո Ղa Ղշ Ղh Ղ1 Ղ1 Ս Ս Մ Ֆ 7ո 7ո

7,19 1,698 0,49 3,72 4,48 7,77 1,368 0,39 2,39 0,68 1,80 5,30 0,012 0,875 0,65

  

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Ընդհանուր գրականություն 1. Վ. Êèòòåոü. 88åäåíèå 8 ՓèçèêՄ ò8åքäîՕî òåոà. Խ., ԷàՄêà, 1978. 2. Ճæ. Յàéոàí. 1քèíöèոԵ òåîքèè ò8åքäîՕî òåոà. Խ., Խèք, 1974. 3. Է. ՃøêքîՓò, Է. Խåքոèí. Փèçèêà ò8åքäîՕî òåոà (òò. I, II). Խ., Խèք, 1979. 4. Ճ. 1. ՃíԸåոüո. 88åäåíèå 8 òåîքèþ ոîոՄոքî8îäíèêî8. Խ., ԷàՄêà, 1978. 5. Ճæ. Եոåéêոîք. Փèçèêà ò8åքäîՕî òåոà. Խ., Խèք, 1988. 6. Վ. Êèòòåոü. Ýոåոåíòàքíàÿ òåîքèÿ ò8åքäîՕî òåոà. Խ., ԷàՄêà, 7. Վ. 7åքò, Ð. ՂîոԸîí. Փèçèêà ò8åքäîՕî òåոà. Խ., Խèք, 1966. 8. ՃÆ. Էàé. ՓèçèՎåԸêèå Ը8îéԸò8à êքèԸòàոոî8 è èõ îոèԸàíèå ոքè ոîոîùè òåíçîքî8 è ոàòքèö. Խ., 1Ë, 1970. 9. Լ. Ը. Æäàíî8. Փèçèêà ò8åքäîՕî òåոà. Խ., 1çä. ԽîԸêî8ԸêîՕî Մíè8åքԸèòåòà, 1961. 10. Ë. Ճ. ËàíäàՄ, Է.Խ.ËèՓøèö. ԸòàòèԸòèՎåԸêàÿ Փèçèêà, Վ. I, Խ., ԷàՄêà, 1976. 11. Ë. Ճ. ËàíäàՄ, Է.Խ.ËèՓøèö. Ê8àíòî8àÿ ոåõàíèêà. Խ., ՓԽË,1963. 12. Ð. ÊՄՇî. ԸòàòèԸòèՎåԸêàÿ ոåõàíèêà. Խ., Խèք, 1967. 13. ՂàՇոèöԵ ՓèçèՎåԸêèõ 8åոèՎèí. Ըոքà8îՎíèê, ոîä քåä. àêàä. 1.Ê.Êèêîèíà. Խ., Ճòîոèçäàò, 1976. 14. Ըհ. Kiէէel. Լոէrօմս6էiօո էօ Տօliմ Տէaէe Եհ7Տi6Տ, 8էհ eմ., 2004. 15. Օ. ՕrօՏՏօ. Տօliմ Տէaէe Եհ7Տi6Տ, 2ոմ eմ., 2013. 16. Եհ. Էօ8maոո. Տօliմ Տէaէe Եհ7Տi6Տ. Ճո iոէrօմս6էiօո, Wile7-ՄԸԷ, 2008 17. Է. Ը. Օսքէa. Տօliմ Տէaէe Եհ7Տi6Տ. ՄiէaՏ ԵսԵl. ԷօսՏe, ԵՄ՛ Լէմ. 2ոմ reմiՏeմ aոմ eոlarջeմ eմ., 2001. 18. Է. Լ. ՛սrէօո. ՛հe Եհ7Տi6Տ օ8 ՏօliմՏ. Օx8օrմ ՍոiմerՏiէ7 ԵreՏՏ, 2000. 19. Է. 1bոօհ, Է. Լüէհ. Տօliմ-Տէոէօ Քհ7siօs. 4էհ օxէօոsivօl7 uքմոէօմ ոոմ օոlոrgօմ օմ., Տքriոgօr, 2009. 20. 1. Ծ. Քոէէօrsօո, Ց.Շ. Ցոilօ7. Տօliմ-Տէոէօ Քհ7siօs. 1ոէrօմuօէiօո էօ էհօ Tհօօr7, Տքriոgօr, 2007.

71 գլխի գրականություն 1. 2.

Ճ. 8èոüԸîí. Ê8àíòî8àÿ òåîքèÿ ոåòàոոî8. Խ., 1941. 1. ԼքîԸԸå. Ը8îՇîäíԵå ՅոåêòքîíԵ 8 ò8åքäԵõ òåոàõ. Խ., Խèք, 1982. 711 գլխի գրականություն

1. 2. 3.

Լ. Եåòå, Ճ. ՅîոոåքՓåոüä. Ýոåêòքîííàÿ òåîքèÿ ոåòàոոî8. Խ., Ë., 1938. Փ. Յåéòö. Ըî8քåոåííàÿ òåîքèÿ ò8åքäîՕî òåոà. Խ., Ë., 1948. Ë. ÆèքèՓàոüêî. ԸòàòèԸòèՎåԸêàÿ Փèçèêà ò8åքäîՕî òåոà. Խ., Խèք, 1975. 7111 գլխի գրականություն

1. 2. 3. 4. 5. 6.

1. ԼքîԸԸå. Ը8îՇîäíԵå ՅոåêòքîíԵ 8 ò8åքäԵõ òåոàõ. Խ., Խèք, 1982. Ճ. Վքè8. 88åäåíèå 8 òåîքèþ è ոքèոîæåíèÿ ê8àíòî8îé ոåõàíèêè. Խ., Խèք, 1984. 1. 1. 1åòքî8Ըêèé. Ýոåêòքîííàÿ òåîքèÿ ոîոՄոքî8îäíèêî8, ԽèíԸê, 8ԵԸøàÿ øêîոà, 1964. Յ. ՓոþՕՕå. ՅàäàՎè ոî ê8àíòî8îé ոåõàíèêå, ò.1. Խ., Խèք, 1974. 1. 1. 1à8èíԸêèé. 88åäåíèå 8 òåîքèþ ò8åքäîՕî òåոà. 1çä. ËåíèíՕքàäԸêîՕî Մíè8åքԸèòåòà, 1979. J. Ե. Խ6Kelմe7. Տօliմ Տէaէe aոմ Տemi6օոմս6էօr քհ7Տi6Տ. Էarքer iոէerոaէiօոal eմiէiօո (2ոմ քriոէiոջ), 1969. 1Ճ գլխի գրականություն

1. 2. 3. 4. 5.

Ը. 8. 8îíԸî8Ըêèé. ԽàՕíåòèçո. Խ., ԷàՄêà, 1971. Ը. ՂèêàäçՄոè. Փèçèêà ՓåքքîոàՕíåòèçոà. Խ., Խèք, 1983. Լ. Ճ. ԸոîոåíԸêèé, 8. 8. Ëåոàíî8. ՓåքքèòԵ è èõ òåõíèՎåԸêîå ոքèոåíåíèå, ËåíèíՕքàä, ԷàՄêà, 1975. J. Է. Մaո Մle6է. ՛հeօr7 օ8 ele6էri6al aոմ maջոeէi6 ՏսՏ6eքէiԵiliէieՏ. Օx8օrմ, 1932. Տ. Blսոմell. ԽaջոeէiՏm iո ԸօոմeոՏeմ Խaէէer, Օx8օrմ ՍոiմerՏiէ7 ԵreՏՏ, 2001

K. Է. J. BսՏ6հօՆ, F. Լ. մe Bօer. Եհ7Տi6Տ օ8 ԽaջոeէiՏm aոմ Խaջոeէi6 ԽaէerialՏ, Տքriոջer, 2003 Ճ գլխի գրականություն

1. 2. 3.

8. ԵՄêêåոü. Ը8åքõոքî8îäèոîԸòü. Խ., Խèք, 1975. Ý. Ճ. Ëèíòîí. Ը8åքõոքî8îäèոîԸòü. Խ., Խèք, 1964. Ճ. ÐîՄç-1íԸ, Է. Ðîäåքèê. 88åäåíèå 8 ՓèçèêՄ Ը8åքõոքî8îäèոîԸòè. Խ., Խèք, 1972. 4. 1. Ճå Æåí. Ը8åքõոքî8îäèոîԸòü ոåòàոոî8 è Ըոոà8î8. Խ., Խèք, 1968. 5. 8. 8. Լոèäò. 88åäåíèå 8 ՓèçèêՄ Ը8åքõոքî8îäíèêî8. Խ., ԷàՄêà, 1982. 6. Ճæ. ԼքèՓՓåք. Ղåîքèÿ Ը8åքõոքî8îäèոîԸòè. Խ., ԷàՄêà, 1970. 7. Ð. Խ. Ճåéçåí. 8 ոèքå íàՄêè (Scientific American), Է8, 1988. 8. Ë. Լ. ՃԸոàոàçî8, 8. Է. ԼՄՇàíêî8. ԸոàՇàÿ Ը8åքõոքî8îäèոîԸòü. Յíàíèå, Ըåք."Փèçèêà", Է 4, 1982. 9. 8. 8. Խîùàոêî8. 8ԵԸîêîòåոոåքàòՄքíԵå Ը8åքõոքî8îäíèêè. Յíàíèå, Ըåք."Փèçèêà", Է 9, 1987. 10. 1. Լ. Եåäíîքö, Ê. Ճ. Խþոոåք. 7Ըոåõè ՓèçèՎåԸêèõ íàՄê (7ՓԷ), 156(2), 323, 1988. 11. J. B. KeէէerՏօո, Տ. N. Տօոջ. Տսքer6օոմս6էiմiէ7, ԸamԵriմջe ՍոiմerՏiէ7 ԵreՏՏ, Ճ1 գլխի գրականություն 1. 2. 3. 4. 5.

8àí Եþքåí. ՃåՓåêòԵ 8 êքèԸòàոոàõ. Խ., 1Ë, 1962. Ճæ. Ճèքò, 1. Ëîòå. Ղåîքèÿ äèԸոîêàöèé. Խ., Ճòîոèçäàò, 1972. Ճ. Է. Օքոî8. 88åäåíèå 8 òåîքèþ äåՓåêî8 8 êքèԸòàոոàõ. Խ., 8ԵԸøàÿ øêîոà, 1983. Ճ. Ճ. Êîòòքåոո. ՃèԸոîêàöèè è ոոàԸòèՎåԸêîå òåՎåíèå 8 êքèԸòàոոàõ. Խ., ԽåòàոոՄքՕèçäàò, 1958. Ճ. Խ. ÊîԸå8èՎ. ՓèçèՎåԸêàÿ ոåõàíèêà քåàոüíԵõ êքèԸòàոոî8, Êèå8, ԷàՄêî8à äՄոêà, 1981.

Ճ11 գլխի գրականություն 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ճæ. Յàéոàí. Խîäåոè ՇåԸոîքÿäêà. Խ., Խèք, 1982. Օ. 8. ԽàçՄքèí. Ըòåêոî8àíèå. ËåíèíՕքàä, ԷàՄêà, 1986. 1. 1. ÊîՇåêî. ՃոîքՓíԵå 8åùåԸò8à. Խ., Ë., 1çä. ՃԷ ԸԸԸÐ, 1952. Վ. 1. Փքåíêåոü. 88åäåíèå 8 òåîքèþ ոåòàոոî8. Խ., ՓԽË, 1958. 1. Լ. ՎèԸòÿêî8. Æèäêèå êքèԸòàոոԵ. Խ., ԷàՄêà, 1966. 8. äå Æå. ՓèçèՎåԸêèå Ը8îéԸò8à æèäêîêքèԸòàոոèՎåԸêèõ 8åùåԸò8. Խ., Խèք, 1982. Ճ. Ը. Ըîíèí. 88åäåíèå 8 ՓèçèêՄ æèäêèõ êքèԸòàոոî8. Խ., ԷàՄêà, 1983. Փèçèêà çà քՄՇåæîո '83. (ԸՇîքíèê íàՄՎíî-ոîոՄոÿքíԵõ Ըòàòåé), Խ., Խèք, 1983. Ë. Խ. Եոèíî8, Ը. Ճ. 1èêèí. ÆèäêîêքèԸòàոոèՎåԸêîå ԸîԸòîÿíèå 8åùåԸò8à. Յíàíèå, Ըåք."Փèçèêà", Է 6, 1986.

ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ

ԱԼ´ԵՐՏ ԱՎԵՏԻՍԻ ԿԻՐԱԿՈՍՅԱՆ

ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ՖԻԶԻԿԱՅԻ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ԵՐԿՐՈՐԴ ՀՐԱՏԱՐԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՄԱՍ ԼԼ

Համակարգչային ձնավորումը՝ . Կազմի ձնավորումը՝ Ա. Պատվականյանի Տեխ. խմ ագրումը՝ Վ. Դերձյանի

îպագրվաÍ ¿ §ìարդան ØÏրտչÛան¦ ²Ò տպագրատանÁ: ºրվանդ øáչար 7-62

âա÷սը՝ 60x84 1/16: Տպ. մամուլ 22.75: Տպաքանակը՝ 200: ԵՊՀ հրատարակչություն ք. Երնան, 0025, Ալեք Մանուկյան 1