Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական եղանակներ-Հտ.1

Հ. Լ. ՍԱՐԳՍՅԱՆ,

Ռ. Ն. ՏՈՆՈՅԱՆ

Մ. Ա. ՍԱՀԱԿՅԱՆ,

Ս. Դ.ՍԱՐԳՍՅԱՆ,

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐ

ՏՆՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

Գործույթների ճետազոտում Կառավարման գիտություն լ

Թույլատրված է Հայաստանի Հանրապետության կրթության ն գիտության նախարությանկողմից որպես դասագիրք բուճերի ուսանողների համար

ԷԿԱԳՄԱՀԲ

Երնան 1997 -

ԽԼԵԼՏ

Ճ. ՏՃՒՃ

ՃԻՆ ԽՄ

ԼՃՅԾ

ՏՃԱԵՇԱՏ 0. ՏՃ-ՔՇՏՄՃՈ,

ԽԼ4Ղ

Լ. ԽՃ

ՏՃՔՇՏԵՃԻՆ

ՔՃԲ4ՃՔԵԼ Վ. ՐՕՎՕԴԽՃԱ

ԼԵՆ Լ4Ղ1ԸՃՆ

ԳՂԻՂԷԱՕՍՏ ՕԲ

ԻՇՕՎՕԽԸ

ՃՎՃՆՃԽՏԵՏ

Օքճոճկ0ոՏԱ6Տ62ո-հ

հԼՃՈՅջՇՈՇու ՏԸՇՈՇՇ

լ

ՄՇԼԸՇՆՁՈ 1997

-

ՇՃՃՆՔԻԵ, ՐՈ. ՇՃՔՃՈՇՔԻ,

Շ.Ա. ՇՃՔԿՃՈՇՔԻ, 6.Ւ. 1ԼՕՒՕՔԻ

Խ.ճ.

ԽՃԼԷԱՃԼՈԿԷՇԵԻՄՈԷ

ԱԷԼՕՌԵԼ

ՃՒ ՃՈՄՅՃՅՃՕՒՕԽԱՈՒՆՈ

ՄՇՇոճոօՅՅԵԱ/Շ ՕՈՇքՅԼլ/ տ

ՒՅՄԵՁՄոքՅՅոծե 18 լ

ԷքՇՅՅԵ

-

f1.8� 51+33 q.\j'f}, 65.5+22.18у73 8-778

Jurlpшq/rpfibp' UuibфwG U'шJ14nu1wG П.шфw1Ь1 SnGn1wG

f1.wuwqf1JIRI! qJlbl bG' lfa1u (Uшrl,[щ) U..UшRшl/Jшfi (11, V-VII q1n1JuGbJ1), 1..шJ// l,.Uшрqщша (1 q1ni]u), Uшpq/ru IJ..Uшpqщшfi (111 q1ni]u), П,шфшJЬ[ t.1.SnfinJшfi(ll, IV q1niJuGbJ1)

S-778 SGuibunipJwG t!bJ11n16n1pJwG t1wpbuwuif14w4wG b11.wGw4GbJ1/U'wu 1. q.nJ16nL]pGbJ1fi fibuiwqn1nn1u, 4wn wчwJ1uwG qfiuin1pJn1G: U'.Uwfiw4JwG, �.UwJ1qU]WG, U.UwJ1qUJWG, П-.SnGnJwG. - bJ1., 1997. - 320 ti:

C}.wuшqJIQПLU WJ1bWJ1bчn1u bG 1nGuibun1p1wG f1J1шчfiбw4GbJ1G ПL UПJJ.b\GbJI[!, 1').JIWGg чbJ11n1bn1p1wG uwpbuw1nf14w4wG ПJ1П2 bJJ.WGw4GbJ1' qbw1f1G bJ1WqJ1n1u 1.i. bJ14w4fin1p1wG 1nbun1p1n1G, qfiu4J1bU1 oщuifi­ uwguшG JuGJJ.f1J1GbJ1, n� q�w1f1G bJ1ШqJ1ПLU, JJ.f1Gшuf14 bJ1WqJ1ПLU 1.i. Juw'lbJ1f1 1nbun1p1niG: �wJuwuibuчwb t шщwqw uiGuihuшqb1nGbJ1f1, uwpЬuwuф4nu­ Gi:iJ1f1, бwJ11ЛWJ1wqb1nGbJ1fi 1.i. ш11 fiшJ1w4fig uшuGwqfiuinчct1wup pw4ш1wчJ1fiш1nfi 1.i. uwqfiu1ЛJ1WU1ПLJ1Wlfi niuwGnJJ.GbJlfi fiWUWJI: U.1G 4WJ1b1fi t oq1nшqnJ1bb1 nJ1щbu JJ.Wuшqf1J1R "q.ПJ1bn11pGhJ1fi fih1nwqn1nn1u", "4шnwчwJ1UWG qf11nn1p1n1(i". "U'шpЬuшuif14ш4шG bJ1ШqJ1nLu" 1.i. "tГwphuw1n }14ш4шG 1nG1nhuшqf11nn1p1n1Gn1u" hJJ.шGш4GbJ1[! qwu[!GpwgGhJ1G niun1uGшuf1J1b1fiu: Oquiw4шJ1 41f1Gfi Gwli. wuщfiJ1wG1nGhJ1fi, qfiuiw2Juwuin11.GhJ1f1, uiGuihun1p1wG 1ЛШJ1рЬJ1 011.w4GbJ1ПLU 1nG1nbuw4wG чbJ11n1bn1p1wG, 4wnwt/.WJIUWG 1.i. 4w u !i�1i""' Ч qpшJJ.чn11.GbJ1f1 fiШUWJI:

*

©

lГ.Uwfiw41wG, . WJ1qu1wG U.UwJ1qu1wG, П-.SnGn1wG

q.\j'C}. 6s.s+22.1sy13

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

1 Տնտեսական իրավիճակներն մոդելներ (13). 81.Տնտեսական շրջա(14): 82.Մոդելները ն մոդելավորումը որոշումներ կալացնելիս (18): պտույտ 83.Բարիքների արտադրությունը, բաշխումը ն սպառումը տնտեսության մեջ. Պարետոլի փոխզիջումներ(25):84.Տնտեսականիրավիճակների մոդելներ(34): Ա Նախագիտելիք (52):

Ա1 Գծային ծրագրման խնդիրը ն երկակիության տեսությունը (65). 81.Գծային ծրագրման խնդիր (65): 82.Գծալյին ծրագրման խնդրի երկրաչափական մեկնաբանումը (66): 83.Գծային ծրագրման երկակիության տեսութլուն (70): 84.Գծային ծրագրման խնդրի ճենքային լուծումներ (80): 85.Հենքալին լուծման օպտիմալության ճալտանիշը (86): 86.Սիմպլեքս ալգորիթմ (91): 87.Սկզբնականթույլատրելի ճենքի որոշումը (95): 88.Խնդիրներ (102): ԼՄ Դիսկրետ օպտիմացման խնդիրներ (110). 81.Օպտիմացման որոշ խնդիրներ գրաֆների ճամար (110): 82.Հոսք ցանցում (125): 83.Ցանցում առավելագուլն Բոսքը գտնելու ալգորիթմ (130): 84.Երկկողմ գրաֆի առավելագուլն զուգակցման խնդրի լուծում (135): 85.Օժանդակ խնդիր (138): 86.Նեղ տեղերի խնդրի լուծումը (141): 87.Տրանսպորտալինխնդիր (146): 88.Նշանակումների խնդիր (153): 89.Ամբողջաթիվ գծային ծրագրման խնդիրներ (155): Յ/ Ոչ գծային ծրագրում (163). 81.Ոչ գծային ծրագրման խնդրի առաձնա-

Ռատկությունները (163): 82.Մաթեմատիկական ծրագրման դասական խնդիր: Լագրանժի բազմապատկիչների եղանակ (166): 83.Լագրանժի բազմապատկիչների մեկնաբանումը (173): 84.Ոչ բացասական փոփոխականներով ոչ գծային ծրագրման խնդիրը (177): 85.Ոչ գծային ծրագրման խնդիրը: ԿունԹակերի պայմանները (180): 86.Թամբակետ (182): 87.Կուն-Թակերի թեորեմը (186): 88.Լագրանժի ֆունկցիայի տնտեսագիտական մեկնաբանումը (192): 89.Լագրանժի ֆունկցիան ն գծալին ծրագրման երկակի խնդիրները (194): 810.Առաջադրանքներ(198): 7/1 Ուռուցիկ ծրագրման խնդրի լուծման եղանակներ (201). 81.Թուլլատրելի ուղղություններ. օպտիմալության ճալտանիշներ (201): 82.Գրադիենտի եղանակ (204): 83.Համալուծ ուղղությունների եղանակ (207): 84.Գծային Բամակցման եղանակ (208): 85.Արգելքի եղանակ (209): 86.Քառակուսային ծրագրում (211), 87.Առաջադրանքներ(218): 7/11 Դինամիկ ծրագրում ծրագրման տարրերը1(220): (220).81.Դինամիկ Տ82.Դինամիկծրագրման տարրերը- 2 (229): 83.Խնդիրների լուծման տեսական օրինակներ (237) Լրացում. Որոշումների կայացման մարկովյան գործընթացներ (253): ո

Գրականություն (261):

շինք խաղ (263): 82.

Հ1857««Ֆ

՛

խաղեր անդաշինք Օպտիմալութլած սկժբուժքցերե ընդլալնում

Հավելված. Անճակամարտ

(263). 81.Քնականոն տեսքի անդա-

խաղերում

(280): 84.Լավագուլն լուծում83.Անդաշինք խաղի խառը ների Բատկությունները (289): 85.Հավասարակշոութլունը Բամատեղ խառը (291): 86.Բանակցութլուններիխնդիր(295): 87.Բնութագվարվելակերպերում րիչֆունկցիալիտեսքով խաղ(301):88.Ը -միջուկ(308):89.Ծեպլիի վեկտոր(312): (267).

ւ

ՆԱԽԱԲԱՆԻ

ՓՈԽԱՐԵՆ

1996թ. սեպտեմբերին Ամերիկայի Միացյալ Նաճանգների միջազգային զարգացման գործակալության Եվրասիա ճիմնադրամը շնորձ ճատկացրեց՝ տնտեսագետ ուսանողների Բամար 1983թ. ճրատարակված "Մաթեմատիկական ծրագրավորում" (Մ.Սաճակյան, Ս.Սարգսյան, Ֆ.կարապետյան) ուսումնական ձեռնարկի վերամշակված տարբերակի ստեղծման համար: Ափսոսանքով ենք նշում, որ ալլնս մեզ Բետ չէր այդ ձեռնարկի ձեղինակներից մեկը՝ երջանկաճիշատակ Փլորա Կարապետյանը: Նոր ժամանակները պաճանջումԷին Էապես վերանալել ձեռնարկի ճիմնադրույթները, ալն լրացնել անճրաժեշտ տնտեսագիտականու մաթեմատիկական տեղեկատվությամբ: Մենք մեծագույն պատասխանատվությամբ ն նույնիսկ բծախնդրությամբ ենք վերաբերվել դասագրքի ստեղծման թիմի կազմավորմանը, ընտրելով խնդրո առարկա բնագավառում Բանրապետության լավագույն մասնագետԳգիտակներին՝Հ.Սարգսյանին,Ռ.Տոնոլանին, Ս.Մարկոսյանին,Վ.Ասլանյանին: Հեղինակների խումբը, նկատի ունենալով Բանրապետությունում իրականացվող արմատական փոփոխությունները, ժողովրդական տնտեսությունում ստեղծված նոր իրավիճակներն ու Բարաբերությունները, կարնորելով մաթեմատիկայի դերը տնտեսական գործընթացների վերլուծության ն ուսումնասիրման ճարցերում, բուռն քննարկումներից ն մտորումներից ճետո, նպատակաճարմար գտավ ստեղծելու նոր դասագիրք: Հեղինակները Բուսովեն, որ այն կնպաստի օպտիմացման մաթեմատիկական եղանակների յուրացմանը, մրցակցային շուկայական տնտեսության պայմաններում ծագող նոր խնդիրների ճետազոտմանն ու լուծմանը, ինչպես նան կօգտագործվի տնտեսության վերլուծության, կառավարման,գործարարության ն ալլ ոլորտներում: Թե դա ինչքանով Է Բաջողվել իրականացնել, թողնում ենք ընթերցողի դատին:

իրենց դիտողություններով ն խորճուրդներով դասագրքի ստեղծօգնել են շնորճի սաճմաններում անցկացվող սեմինարի աշխատանքների մասնակիցները: Հեղինակների խումբը շնորճակալություն Է ճայտնում սեմինարների բոլոր մասնակիցներին ն, Բատկապես, դոցենտներ Հ.Մարզպանյանին, Գ.Գալստյանին (Երնանի պետական ճամալսարան), պրոֆեսոր Ռ.Սարգսլանին, դոցենտներ Ս.Մկրտչյանին, ԻՌ.Խաչատրյանին(Երնանի ՃարտարագիտականԲամալսարան) ն Երնանի պետական ճամալսարանի դիսկրետ մաթեմատիկայի ամբիոնի դասախոսներին: Պարտք ենք ճամարում ճատուկ շնորճակալությունճալտնել Վաճագն Տոնոլանին, որն ամենալն բարեխղճությամբ ն անտրտունջ իրականացրեց դասագրքի համակարգչային շարվածքը ն բազմակի շտկումներն ու վերաշարումները: Շնորճակալ ենք Էկոլոգիայի ն կենսագործունեության անվտանգության գիտութլունների միջազգային ակադեմիայի Բալկսւկան բաժանմունքի նախագաճ Գ.Փիրումլանից՝ նպաստավոր պալմաններ ստեղծելու ճամար: Հատուկ ուզում ենք նշել մեր լավ բարեկամ, Սանկտ Պետերբուրգի պետական ճամալսարանի պրոֆեսոր Լնոն Պետրոսյանին, որը մեզ տրամադրեց "Անճակամարտ խաղեր" բաժնի շարադրանքը: Շնորճակալություն ենք Բալտնուն նան կառավարման, տնտեսագիտության տեսության ն տնտեսագիտականկիբեռնետիկայի երրորդ կուրսի մեր այլն ուսանողներին, որոնք ջանասիրաբար փնտրում ն հայտնաբերում էին գրքում տեղ գտած վրիպակները: Վերջապես, Բեղինակների անունից, Բաճույքով շնորճակալություն եմ ճայտնում մեր տիկնանց՝ Անաճիտին. Ցողիկին, Նելլիին ն Ժենյային, որոնք անսաճման Բամբերությամբ ճԲանձն առան ամեն նեղություն, որպեսզի մենք Բնարավորություն ունենայինք այս ընթացքում ազատ լինելու ալլ ճոգսերից: Մենք ճեռու ենք այն մտքից, որ դասագիրքը զերծ Է թերություններից: Գոճունակությամբ կընդունենք գրքի լավացմանը նպաստող բոլոր առաջարկություններն ու դիտողությունները: մանն

ճունիսի, 1997թ.

"ՄԹայԼ ՀՎ.

Մելս (Սամվել) Սաճակյան Ծրագրի ղեկավար

ԽՈՍՔ

ԳՐՔԻ

ՄԱՍԻՆ

Որոշումների կայացման ճիմնախնդիրները մարդու կյանքում, ժամանակին ձամընթաց. առանձնակի կարնորություն են ստանում: Հնարավոր տարբերակների բազմությունից լավագույնի ընտրությունը նվազ Բավանական Է դառնում: Դրան քիչ են օգնում փորձը. բնազդը: Սակայն գիտությունը մարդկանց մենակ չի թողնում: Գործուլթների ճետազոտումը ն կառավարման գիտությունն աստիճանաբար ձնավորեցին որոշումներ կայացման գիտական տեսությունը, որի ճիմքերը կարելի էր գտնել ռազմական արվեստի, առնտրի, արտադրության կազմավորման փուլերում: Ներկայումս, տնտեսական տարբեր իրավիճակներում, առանց օպտիմացման մաթեմատիկական եղանակների կիրառությունների գործնականում անճնար Է ակնկալել այլընտրանքային տարբերակներից լավագույնի ընտրությունը: Ջեռնարկությունների արտադրական ծրագրի մշակում, ռեսուրսների ն ներդրումների ռացիոնալ բաշխում, սպառողական ապրանքների ճավաքածուի որոշում, աշխատակազմի ռացիոնալ ընտրություն, պաշարների կառավարում. սրանք ալն խնդիրներն են, որոնց լավագույն լուծումները պաճանջում են օպտիմացման մեթոդների կիրառություններ: Մրցակցային շուկայի պայմաններում օպտիմացման խնդիրներն առաջանում են բոլոր տնտեսավարողսուբլեկսների, ալդ թվում՝ անճատ ձեռներեցի, ձեռնարկության, կառավարության գործունեության ժամանակ: Հետնաբար, ժողովրդական տնտեսության բոլոր օղակներում մեզ անձրաժեշտ են որոշակի կրթական մակարդակ ունեցող տնտեսագետ-մասնագետներ, որոնք պետք է տիրապետենարդյունավետ կառավարման եղանակներին ն օՇպտիմացմանժամանակակից կիրառություններին: Հեղինակները ընթերցողին են առաջարկում Բճայերեն լեզվով ներկա գիրքը, որը, կարծում եմ, օգտակար կլինի ուսանողությանը ն բոլոր նրանց, ովքեր իրենց առօրյայում առնչվում են լավագույն որոշումների կայացմանը:

լրարրրոաաաաաաարը

աջա շժ«`---Օ-

Միքաել Քոթանյան ակադեմիկոս

ՀՀ ԳԱԱ

::

:

Ընթերցողին առաջարկվող Մ. Սաճակյանի, Հ. Սարգսյանի. Ս. Սարգսյանի ն Ռ. Տոնոյանի «Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական եղանակներ» գիրքը պարունակում Է կառավարման գիտության ն գործույթների ճետազոտման ալն ճիմնական մաթեմատիկական եղանակները, որոնք, որպես կանոն, ընդգրկված են ալդ բնագավառի ճամարլա բոլոր արնմտյան դասագրքերում. գծային ն ոչ գծային ծրագրում, դինամիկ ծրագրում, ճոսքեր ցանցերում, խաղերի տեսություն: Սակալն սուլն ձեռնարկը, ի տարբերություն ավանդական կատնտեսական ռուցվածքով դասագրքերի. պարունակում Է նան իրավիճակների նկարագրեր, որոնք ճնարավորություն են տալիս ըմբոնելու ն լուրացնելու գրքի ճետագա բաժիններում ձնակերպված մաթեմատիկական մոդելների Էությունը ն դրանց ճամարժեքությունը իրականությանը: Ընդճանրապես, կառավարման գիտության ն գործուլթների հետազոտման խնդիրների բազմազանությունը դժվարեցնում Է ալդ բնագավառի բոլոր ուղղությունների ներկայացումը մեկ գրքի սաճմաններում: Առաջարկվող գիրքը նուլնպես չէր կարող զերծ մնալ դրանից: Բալց ն ալնպես, ճեղինակները, լուծելով լուրատեսակ ուսապարկի խնդիր, գտել են ծավալի լավագույն բաշխումն ըստ թեմաների՝ ապաճովելով շարունակական կապը բաժինների միջն: Առաջարկվողգիրքը մասամբ կլրացնի այն մեծ բացը, որ աոկա է ճայերեն լեզվով մասնագիտական գրականության ստեղծման բնագավառում: Այն շարադրված Է գրավիչ, Բստակ լեզվով, մաթեմատիկական բավարար խստությամբ: Քաղաքակիրթ տճՃասարակության(ճուսանք, որ մենք էլ կդառնանք ալդպիսին) տնտեսական ճամակարգում ներկա ն ապագա սերունդների ճաջող գործունեության ճամար գիտական մեթոդների կիրառումը անճրաժեշտություն Է: Այս գիրքը խիստ օգտակար կլինի բոլոր մասնագետների Բամար, ովքեր առնչվում են գործույթների ճԲետազոտման ն կառավարման գիտության մաթեմատիկական եղանակների ուսումնառությանը ն օգտագործմանը: Հանրի Ներսիսյան ակադեմիկոս

ՀՀ ԳԱԱ

/7//7»7 '

:

ՍտեփանՄարկոսյան ֆիզիկա-մաթեմատիկական գիտ. դոկտոր. պրոֆեսոր

է)

ՄՐ

ՀԵՂԻՆԱԿՆԵՐԻ

ՄԱՍԻՆ

Մելս (Սամվել) Ա.Սաճակյան, ֆիզիկա-մաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ: Ավարտել Է Երնանի պետհամալսարանի մեխ.-մաթ.ֆակուլտետը, Մոսկվալի պետճամալսարանի ասպիրանտուրան, որտեղ ն պաշտպանել է թեկնածուական ատենախոսությունը Աշխատել Է Մոսկվայլի պետճամալսարանում (1967-1972թթ.), ՀայաստանիԳիտությունների ազգային ակադեմիայի հաշվողական կենտրոնում (1972-75թթ.): թվականից դասավանդել է Երնանի ժողովրդական տնտեսության ինստիտուտում. իսկ 1984 թվականից` Երնանի պետական ճամալսարանում: Եղել է Հայաստանի Հանրապետության Գերագուլն խորճրդի պատգամավոր 1990-1995թթ.: Գիտական նախասիրութլուններն են՝ գործութների ճետազոտում ն միկրոկառավարում, մակրո ն տնտեսագիտություն (տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական մեթոդներ): Հեղինակ Է 60-ից ավելի գիտական ճրապարակումների, 4 մենագրությունների, ալդ թվում՝ երկու ուսումնական ձեռնարկի: Մասնակցել Է մի շարք միջազգային գիտաժողովների աշխաճանդես է տանքներին: Արդի տնտեսագիտական ճարցերի շուրջը գալիս ճանրապետական մամուլում: -

Հայկ Լ.Սարգսյան, տնտեսագիտության դոկտոր, ԵՊՀ-ի պրոֆեսոր: Սովորել Է Երնանի, Նովոսիբիրսկի ն Մոսկվայի պետճամալսարանների տնտեսագիտության ֆակուլտետներում, ավարտել Մոսկվայի պետճամալսարանի ասպիրանտուրան, որտեղ ն պաշտպանել Է թեկնածուական ն դոկտորական ատենախոսությունները: 1974թ. դասախոսական աշխատանքի Է անցել Երնանի պետճամալսարանում, Երնանի ժողովրդական տնտեսության ինստիտուտում: 1978-88թթ. աշխատել Է ՀԽՍՀ-ի գիտությունների ակադեմիայի տնտեսագիտության ինստիտուտւմ: 1990-92թթ.եղել Է Հայաստանի Հանրապետության Էկոնոմիկալի առաջին փոխնախարար: Հրապարակել Է շուրջ գիտական աշխատություն ն երկու մենագրություն: -

Գիտական ճետաքրքրությունների ոլորտներն են՝ մակրոտնտեսագիտությունը, սոցիալական ու տնտեսական ճամակարգերի վերլուծություն ն կառավարումը: Մասնակցել Է մի շարք միջազգային գիտաժողովների աշխատանքներին: 1996 թվականից Երնանի պետհամալսարանի տնտեսագիտության ֆակուլտետի կառավարման ն գործարարության ամբիոնի վարիչն Է: "»

տնտեսագիտության թեկնածու, ԵրԺՏԻ-ի Երնանի պետճամալսարանի ֆիզիկամաթեմատիկական ֆակուլտետում, ավարտել Է Սանկտ Պետերբուրգի (Լենինգրադ) 6պետճամալսարանի ասպիրանտուրան:1967 թվականից դասավանդել Է Երնանի պետճամալսարանում, իսկ 1975 թվականից՝ Երնանի ժողովրդական տնտեսության ինստիտուտում: է Թեկնածուսկան ատենախոսությունը պաշտպանել ԽԵրնանի ժողովրդական տնտեսության ինստիտուտի գիտական խորճրդում: Է Գիտական ճետաքրքրություների ոլորտն տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական մոդելավորումը: Հեղինակ Է 20-ից ավելի գիտական աշխատությունների, մեկ ուսումնական ձեռնարկի: 1992 թվականից ԵրԺՏԻ-ում էկոնոմիկալի մաթեմատիկական մոդելավորման ամբիոնի վարիչն Է: Մասնակցել է մի շարք միութենական գիտաժողովների աշխատանքներին:

Սարգիս Դ.Սարգսյան պրոֆեսոր: Սովորե

-

է

Փ

ո

Ռաֆայել Ն.Տոնոյան ֆիզիկա-մաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ: Սովորել Է Երնանի ն Մոսկվալի պետճամալսարանների մեխանիկա-մաթեմատիկականֆակուլտետներում, ավարտել Է Մոսկվայի պետճամալսարանի ասպիրանտուրան: Աշխատել է ԽՍՀՄ գիտությունների ակադեմիայի Նովոսիբիրսկի բաժանմունքի մաթեմատիկայի ինստիտուտում: Թեկնածուական ատենախոսությունը պաշտպանել է Ուկրաինալի գիտությունների ակադեմիայի կիբեռնետիկայի ինստիտուտում: 1967 թվականից աշխատում Է Երնանի -

պետճամալսարանիինֆորմատիկայի ն կիրառական մաթեմատիկայի է ֆակուլտետում, երկար տարիներ եղե մաթեմատիկական կիբեռնետիկայի ամբիոնի վարիչ. ֆակուլտետի դեկան: Գիտական ճետաքրքրություններիոլորտը դիսկրետ մաթեմատիկան Է: Հեղինակ Է 12 գիտական աշխատությունների ն 8 ուսումնական ձեռնարկների: ն միութենական գիտաժողովնեՄասնակցել է մի շարք միջազգային րի աշխատանքներին:

մ

Լ ՏՆՏԵՍԱԿԱՆ

ԻՐԱՎԻՍԱԿՆԵՐ

ԵՎ ՄՈԴԵԼՆԵՐ

Յուրաքանչյուր անճատ ձգտում Է իր ճիմնական միջոցներն օգտագործել ալնպես, որ ստացվող արդլունքը լինի որքան Բնարավոր Է մեծ: Ա. Սմիթ,՛՛Ազգերի ճարստությունը՛՛ 1776թ

Տնտեսության կառավարման ամենատարբեր ասպարեզներում առաջանում են այնպիսի իրավիճակներ, երբ պահանջվում Է ընտրել տարբերակներից լավագուլնը: Ընտրության կայացման գործընթացները ճետազոտվում են նկարագրային ն կանոնական (նորմատիվ) ճալեցակետերով, ալն է՝ ինչպես Է կատարվում ընտրությունը ն ինչպես պետք է կատարել ընտրությունը: Լավագույն որոշումների կայացման մաթեմատիկական մոդելների կիրառությունների շարադրումից առաջ ներկալացվում Է ճանրաձայլտ "տնտեսական շրջապտույտը": Դա բացատրվում է երկու պատճառով: Նախ՝ ռացիոնալ տնտեսավարումը, ռացիոնալ գործունեությունը Է ըմբոնել կանոնական եղանակների ն օպտիմաց(6օօոօոււշ1ո.)կարելի ման մաթեմատիկական մոդելների կիրառման միջոցով: Սաճմանա-

փակ ռեսուրսների բաշխման միջոցով առաջադրված նպատակներին ճասնելու հիմնախնդիրներն դրանցով պալմանավորված իրավիճակներ առաջանում են շրջապտույտի մասնակից գրեթե բոլոր տնտեսական գործակալների՝ տնային տնտեսությունների, ձեռնարկությունների, կառավարության ՈՌամար: Շրջապտույտի դիտարկումը առավել առարկալական ու տեսանելի Է դարձնում միկրոտնտեսագիտական վերլուծություններում Շպտիմացման եղանակների կիրառությունները: Երկրորդ պատճառն ալն է, որ շրջապտույտը կազմավորող

միկրոտնտեսականօբյեկտների փոխադարձ կապերի

ու

ազդեցությունների ուսումնասիրութլամբ է, որ բացահալտվում են մակրոտնտեսական որակական փոփոխությունները, ն ամբողջական պատկերացում է ստեղծվում տնտեսական ճամապարփակ երնույթների մասին: Ջեռնարկի ներկա գլխում քննարկվում են տարաբնույթ տնտեսական իրավիճակների որոշ մոդելներ: Դրանց ճետազոտումը, լավագույն լուծումների փնտրման եղանակները կտրվեն Բաջորդ գլուխներում բերված օպտիմացման մաթեմատիկական եղանակները ներկայացնելուցճետո:

Տ 1. Տնտեսական

շրջապտույտ

Տնտեսական ռեսուրսների (աշխատանքի. ձեռնարկատիրական ունակության. կապիտալի, ճողի) սաճմանափակության ճետնանքով Է ընտրություն կատարելու ճարցը, ճասարակության առջն ծառանում թե ինչ արտադրել ն ինչ քանակությամբ. ինչ տեխնիկա ն տեխնոլոգիա օգտագործել, արդյունքի ստեղծման ճամար ճասարակության որ խավերի վրա ճենվել, որպեսզի ապաճովվի տնտեսության արդլունավետ գործունեությունը ն ալլն: Ամեն մի Բասարակություն տնտեսութլան կազմակերպման ճիմնախնդիրը լուծում Է յուրովի: Վարչաճրամալական տնտեսությանը բնորոշ Է կենտրոնացված պլանավորումը: Շուկայական տնտեսությունում ի՞նչ. ինչպե՞ս ն ու՞մ ճամար ճարցերը լուծվում են ու շուկայական առաջարկով պաճանջարկով: Խառը տնտեսական համակարգում գլխավոր դերը խաղում Է շուկան, որի գործողությունը զուգորդվում Է կենտրոնացված որոշումների ազդեցություններով: Շուկայական տնտեսությունում գործում են տնտեսական գործունեության առանձնաձատուկ խթաններ ու սկզբունքներ, որոնց ճիմքն են ազատ ձեռնարկչությունը, աշխատելու ցանկություն ունեցող յուրաքանչյուր անձի ճամար զբաղմունքի ազատ ընտրությունը, ամեն մի գնորդի ճամար սպառման բարիքների ազատ ընտրությունը (ընտանիքի բյուջեի սաճմաններում): Գործարարությանն շուկայական ընտրության խթանը տնտեսական շաճն Է: Ջեռնարկիչները ձգտում են առավելագույն շաճույթի կամ երբեմն Էլ նվազագույն կորուստների: Արտադրության գործոննեեն րին տիրապետողները ճետամուտ գործարարության ոլորտում դրանց օգտագործման դիմաց առավելագույն Բատուլցի ստացմանը: Տնտեսագիտության դասընթացում շուկայական տնտեսության շրջապտույտն ուսումնասիրելիս տեսել ենք, թե գներն ինչպես են Բավասարակշոում արտադբրութլունըն սպառումը (կամ առաջարկն ու պաճանջարկը): Ջեզ ճայտնի են նան ճիմնական տնտեսական գործակալները: Տնտեսությունն ամբողջությամբ ներկալացվում Է որոշակի տնտեսական գործակալների (ճաստատութլունների) ճամախմբի տեսքով, որոնցից լուրաքանչյուրը լուծում Է տնտեսավարման իր առջն ծառացած Բիմնախնդիրները: Ամեն մի իրական տնտենությունում նման ճաստատությունները բազմաթիվ են, սակայն դրանցից տնտեսագիտությանուսումնասիրման առարկա են դառնում միալն Բիմնօրինակային ճաստատությունները: Սրանք ինքնուրույն որոշումներ կայացնող տնտեսական միավորներ են. որոնք ընդգրկում են.

ըանճատը կամ ընդճանուր ծՓնայլին տնտեսությունները տնտեսութլուն վարող մարդկանց խմբերը (որպես կանոն՝ ընտանիքը), որոնք արտադրության գործոնների սեփականատեր են ն ձգտում են առավելագուլնս բավարարել իրենց պաճաճջմունքները: Ջեռնարկությունները՝ իրավական անձի իրավունքներից օգտվող ճիմնական տնտեսական միավորները (անճատական ճձեռնարկութլուն, գործընկերություն ն ընկերակցություն, որոնք ձգտում են առավելագույնի հասցնել շաճույթը, իսկ արտադրության գործոններն են ն այն ուրիշ արտադրանք թողարկելու օգտագործւմ

ձեռնարկություններին,տնային

տնտեսություններին ու

կառավարությանը վաճառելու Բամար: տնտեսական գործառույթներ Տնտեսությունւմ կարնոր իրականացնող Բաստատություն Է (առավարությունը: ձճեռնարկությունների միջն Տնալին տնտեսությունների ու կատարվող փոխանակության "կապակցող օղակի" դերում են ապրանքների ու ծառայությունների, արտադրության գործոնների ն ֆինանսական միջոցների շուկաները: Փոխանակությունը բնութագրող ճոսքերը կախված են ֆինանսական Բաստատությունների ն կառավարության ազդեցության չափերից: ճամակարգի ամբողջական Տնտեսության՝ որպես ուսումնասիրություն՝ պաճանջում Է քննարկել այդ ճամակարգի առանձին "մասնակիցների" (դրանց խմբերի) 6`տարաբնույթ նպատակները ն խնդհրները: Այդ խնդիրները մեծ մասամբ հանգում ճնարավոր այլընտրանքային որոշումներից (լուծումներից) մեկի ընտրությանը: Այդպիսի որոշումների կալացմամբ ձնավորվում են են

շրջապտույտի ճոսքերը (օգտագործվողաշխատանքի ն թողարկվող արտադրանքի քանակություն, ապարտավորություննրի դիմաց վճարումները ն ալլն)::։ Հատկանշական է, որ շրջապտույտի յուրաքանչյուր մասնակից իր որոշումները կայացնելիս լուծում Է լավագույն տարբերակի ընտրության որոշակի խնդիրներ: Այլ կերպ ասած՝ մասնակիցների կողմից լավագույն որոշումների ընդունումը ելնում Է առաջադրված նպատակներից ու դրանց ճասնելու

սաճմանափակումներից: Վերոճիշյալ տնտեսականգործակալները սերտորեն փոխազդում են ապրանքների ն ծառալությունների, արտադրության գործոնների ն ֆինանսական շուկաներում: Թե դա ինչպես է իրագործվում, դիտարկենք ատնտեսագիտությունթց ձեզ ՆՃայտնի ցուցանիշների շրջանակներում: ն Ազգային եկամուտների արտադրության ծախսեի փոխկապակցության մեջ, ինչպես ճայտնի է, Բամախառն ներքին

WJHJ.!ПlGp{! (U.) fiw2чwrччnнI t nrщhu uщwnn11wчwG Ьw)uuhrJ, (U ). GbJ111J1n1uGhJ1J, (\.,) u. wщrwGpGhJ1J, n1 Ьwnw1n1p1n1GGbrJ, чrw чwnwчwrn1p1wG Ьw)uuhrJ, (4) q.n1uwr' U.=U+ \н4: \..2цwЬ fiw-qwuwrn1u{! -qbJ1wpbJ1n1u t фwч 111G111bun1p1wG{!: U.1G uJ,w1G ЩWJ1qh9Gn1u t UUIПJIU. pGGwrччn11 finupbJ1J, Gчwrwq.rn1p1n1GJ! (Gч. 1 ): SG111buwчwG uJ,w-qnJ1GhJ1J, uJ,2u. -qбwrn1uGЬ:J1J, finuphJ1J, чwu h­ чwun1111GhJ1J, П1 Ьw)uun1uGhJ1J, finuphJIJ, 2J1fWЩUIП11111P uwчrn111G111h­ uwчwG '1PUIWJIЧUWG wGfirwдh2111n1p1n1GJ! щw1uwGwчnrчwЬ t GrwGnч, Пfl 111G111Ь:uwчwG UIWJIWpGn11p uJ,wчnrGЬ:JIJ, fiWUWJI au.w­ ЧhJ1щчЬ:1J,p JuG11J,rGЬ:J1{!, ПJlpWG ti uJ,u1wG9J,g UIWJ1phJ1чЬ:G, nщ11чwЬ Ь:G UWЧJIПU1G111Ь:uwчwG fiw-qWUWJIWЧ2nn1p1wG wщwfinч_uwGI!: U'wч­ J1ПU1G111huwчwG fiwцwuwrwч2nn1p1n1G1! w1G RЬ:GpG t, nrJ,G uJ,wanч­ -qЬ:1nq' U1G111Ь:uwчwG UIWJIWpGnчp uJ,wчnrGЬ:rJ, fiWUWJI аt...wчЬ:rщчwЬ JuG11J,J1GhJ1t! wщwfin-qn1u hG 111GU1huwчwG Ь:Gpwfiwuwчwrq.Ь:J1J, Gщw111wчwuh111 q.nyibn1Ghn1p1n1GI!: Ч.hJ11! phyi-qwb fiw-qwuwyiuwG tlhf uщwnn1ul! (U) 111Gw1J,G 111 G111hun1p1n1GGЬ:J1J, чn11uJ,g q.G-qn11 wщrwGpGЬ:JI G n1 Ьwnw1n1p1n1GGЬ:J1G Ь:G, GhJ111J1n1uGhJ11! (\.,)' aЬ:nGwrчn1p1n1GGЬ:J1J, чn11uJ,g WJ1UIW)1JIWЧWG чwrn11n1p1n1GGЬ:J1J, (2hGphJ1, uhpЬ:GwGЬ:JI, UWJ1PWЧПf1П1\fGЬ:J1 1.i. w11G) аЬ:nр phJIUWG nщ11n1p1wup ЧW111WJ1Ч.П1'\ Ьw)uun1uGЬ:J1G Ь:G: \,hJ1)1Jln1tJGhJ1J! Ghrwnn1u Ь:G Gwu. pGwчwrwGw1J,G 2J,GWJ1WJ1n1p1n1GJ! t... WJIU1W)1J1wчwG щw2wrGЬ:rn1tJ 111Ь:11J, n1GЬ:gn11 фnфn)un1p1n1GGЬ:J1{!: 4wnwчwJ1n1p1wG Ьw)uuhyiJ, (4) чwqun1u Ь:G Ьwnw1n1p1n1GGЬ:J1J, (oJI' ЧJIJi)ПlJi)lWG, wnn112wщwfin1p1wG) t... wщrwGpGЬ:rJ, (or' фwuфn12111 ц 11wuwq.J,J1p) 11),uwg чw111wrчn11 ч_бwJ1n1tfGЬ:J1{!: U.1uU1h1'\ ihG 1!G)1q.J1ЧЧn1u 1ЛJ1WGuфhJ1111 (фn)uwGgJ,ч) ч_бwJ1n1tfGhJ11! (or' чЬ:Guwpn2wчGЬ:J11! ц Gщwu111GbJ1{!) t... un1puJ,11J,wGЬ:J1J! (1rwfiw111чwgn1uGhJ11! ): '"1Giщh"u Ь:G q.n1wGn1u (U+\.,+4) wqq.w1J,G Ьw)uuhyiJ, ч_бwruwG nhun1ruGhJ11!: U.'1.J!lП1J11! uЬ:чG t ' wqq.w1J,G Ь:чwun11111!: q.n1n1p1n1G n1GЬ:G -qбwrn1uGЬ:J1J, finuphJ1 aЬ:nGwrчn1p1n1GGЬ:J1J,9' 11Ь:щJ, Шll 111G111Ь:uwчwG uJ,w-qnrGЬ:J1, J,uч RЬ:111n' GnrJ,g 11Ь:щJ, aЬ:nGwrчn1p1n1GGЬ:J1: U'Ь:J1 рЬ:rwЬ Ь:чwun1111GЬ:yiJ, · n1 Ьw)uun1uGЬ:J1J, RnuphJ1J, 2JlfWЩU1n11111J, Gчwrwq.rn1p1n1G1! iP GЬ:rwnЬ:1 111G111Ь:un1p1wG ЧWJIUПJI fiw111-qwЬGЬ:J1J,9 uhчl!' фn)uwnn1p1n1GGЬ:rJ, 2n1чwG: 8Gw1J,G 111G111Ь:un1p1n1GGЬ:J11! J,rЬ:Gg )u.Gw1n11.n1p1n1GGЬ:J11! фn)u Ь:G 111w1J,u '1J1WUWUIGЬ:yiJ,G: 9Ь:nGwrчn1p1n1GGЬ:J11! unч.nJ1WJ!WJ1 wчЬ:1)1 2w111 GЬ:J111J1n1uGЬ:J1 Ь:G чw1nwrn1u, pwG 2wfin11pG t' '1-JIWuwчwG uJ,2ngGЬ:J11!' фn)u wnGЬ:1nч J).JIWUWUIGЬ:JIJ,g: 4wnwч.wrn1p1n1GGЬ:J1{! Gn11Gщhu Ьw)uun1u Ь:G wчЬ:1J, 2w111, pwG q.wGdч_n11. fiWJ1ЧhJ1G n1 UIПlJ1phJ1G hG. n1GЬ:Gn1u Ь:G щwчwun1yi11nч p1n12Ь:GЬ:J1:

Վճարումների ճԲոսքեի ամբողջական պատկերման ճամար Է ընդգրկել նան ֆինանսական միջոցների շուկան: միջոցով տնտեսությունների ու տնային Վերջինիս են ֆինանսավորվում ձեռնարկությունների խնալողություններով ն բյուջեի պակասուրդը (եթե կա): Ֆինանսական ներդրումները միջոցների շուկայում վարկերի (փոխառությունների) առաջարկն ու է գնի դերը կատարում պաճանջարկը հճավասարակշող շաճադրույքը: Տնտեսությունում վճարումների նկարագրված Բոսքերը պատկերված են նկ. 1.1-ում (տե'ս, |22)): անճրաժեշտ

Եկամուտ

ա գործոնների շուկաներ Արարա

բ--------Վ

|

|

|

|

Գ

|

միջոցների

| |

Ւ--"

|

Պետ

բյուջեի բացը

| Զուտ ճարկեր --

|

|

վտատգարուում

Պետական

յ

Ջեռճարկությումներ

|

ԶԸ

գնումներ Մասնավորներդրումներ

|

Սպառողական Ս

ՏՏ

շուկաներ |

լ

ազանի վ.

ր

Ֆինանսական

Մասնավոր խնայողություններ

| |

|

Արտադրության գործոնների վճարումներ

ծախսեր Աա ւթ

շուկամեր

ի

Է

| |

|

ճասույթ | Ջեոմարկությունների

նկ. 1.1 Դրամական միջոցների շրջապտույտը

տնտեսութլունում

Նկարագրությունը պարզեցնելու Բամար ենթադրենք. թե ամբողջ թողարկում են ձեռնարկություննրը: Գործարար (ոճեօոճ| խնալողության գծով ազգալին եկամուտը քոօՈէօո Եստլոօտտ ՏՅՆլոք)գնում Է ֆինանսական միջոցների շուկա: Տնային տնտեսությունները, ունենալով տնտեսան ռեսուրսներ, դրանք տրամադրում են ձեռնարկությլուններին.որոնք. իրենց Բերթին, ունն պահանջարկ արտադրության գործոնների նկատմամբ: Ս.րտադրությանգործոնների դիմաց վճարումը ձեռնարկությունների արտադրանքը

ճամար ծախք է. իսկ տնային տնտեսությունների ճամար՝ եկամուտ: ու Տնային 6տնտեսութլուննրը անճրաժեշտ ապրանքների են ծառալությունների պաճանջարկ ներկայացնում ապրանքների ու ն ծառալությունների շուկայում արտադրության գործոնների վաճառքից ստացած եկամուտը ծախսում ալդ ապրանքների ու ծառալություննրի համար: ձեռքբերման Ջեռնարկությունները. են առաջարկելով ն իրացնելով թողարկված արտադրանքը. ստանում են համապատասխան եկամուտ, որով կրկին ձեռք բերում արտադրության գործոններ, ն գործընթացը շարունակվում Է վերը նկարագրված տրամաբանությամբ: Նկատենք. որ եկամուտների ն ծախսումների միաժամանակյա ճոսքերն անընդճատ կրկնվում են, ն ալդպես ձնավորվում Է եկամուտների ու ծախսումների ճոսքերի շրջապտովտը:

Շրջապտուլտի արդլունքում, ըստ Էության. ձնավորվում են արտադրության ընդճանուր ծավալը, ընդճանուր եկամուտը ն ընդճանուր զբաղվածությունը: Տնային տնտեսությունների, ճձեռնարկությունների ռացիոնալ տնտեսավարման ցուցադրման ձաջող օրինակ են գլխի վերջում բերված աղյուսակները (տե՛ս, |13): Առանձնաճատկություններից ելնելով՝ արճմիությունների ն կառավարության՝ որպես տնտեսական ճաստատությունների,. ռացիոնալ գործունեության աղյուսակները չեն բերվում: Աղյուսակներում ճռրմատիվ կանոններն ալն սկզբունքներն են, որոնց Բիման վրա իրականացվում Է տրված սաճմանափակումների պալմաններում նպատակալին ֆունկցիայի առավելագույն արժեքն ապահովող ռացիոնալ տնտեսավարման միջոցների ընտրությունը:

Ֆ2. Մոդելները

ն

մոդելավորումը

որոշումներ կայացնելիս

Համակարգայլին վերլուծության. մասնավորապես որոշումների փաստերի, որոշակի կայացման եղանակները հճենվում են Այդ երնույթների ուսումնասիրությաննկարագրման վրա: են. սաճմանափակված նկարագրությունները միշտ ճարաբերական են ուսումնասիրվող առարկայի մասին մեր ունեցած գիտելիքներով: տասնամյակներում լայնորեն ՛Մոդել՛՛ տերմին վերջին օգտագործվում Է տնտեսական (ն այլ) ճամակարգերը ճանաչելու, դրանց գործընթացները կանխատեսելու ն կառավարման խնդիրները Բետազոտելու ճամար: Մոդել, մոդելավորում բառերի գործածության ժամանակ մենք նկատի ենք ունենալու որոշակի նկարագրություն,որն

արտացոլում Է ուսումնասիրվող օբլեկտի, այն առանձնաճատկությունները, որոնք ճետաքրքրում են բուն ճետազոտողին: Նկարագրությունների ճշգրտությունը ն որակը որոշվում են նախ ն առաջ մոդելի ճամապատասխանությամբ ալն պաճանջներին. որ առաջադրվում են Բետազոտողի կողմից: Կարնորվում են նան ալն արդյունքները, որ ակնկալվում են ստանալ մոդելի կիրառման միջոցով: Մոդելի որակից են կախված իրավիճակի վերլուծությունը. որոշումներ կայացնելը: Մոդելը պետք Է բավական ճիշտ արտացոլի երնույթները, սակալն դա դեռ բավարար չէ: Այն պետք է լինի նան "գործունակ". պիտանի՝ օգտագործման ճամար: Այս առանձնաձատկություններով ճանդերձ, գոյություն ունեն մոդելների կառուցման ն Բետազոտման համընդճանուր սկզբունքներ: Մոդելավորումը որպես գիտական ճանաչմամ մեթոդ: Մեր կողմնորոշումները. ինչպես ցույց Է տալիս գրքի վերնագիրը, ուղղված են կառավարման որոշումնրի կայացման մաթեմատիկական եղանակների Բետազոտմանը: Գործույթների Բետազոտումը ն կառավարման գիտությունը, որը Է մասնավորապես պարունակում մասնավոր ճանրայլին ն արդլունավետ ձեռնարկություններիղեկավարների կողմից որոշումներ կայացնելու ձանձնարարականներ, հետազոտման իրենց զինանոցում պետք է ունենան ուսումնասիրվող օբլեկտի ճանաչման, որոշակի խնդրի մոդելի ձնակերպման ն լուծման մեթոդներ: Նկատենք, որ գործարարության կառավարման դպրոցներում գործույթների ճետազոտումը ն կառավարման գիտությունը երբեմն նուլնացվում են (տե՛ս, |35)): Դժվար չէ տեսնել, որ մեզանից լուրաքանչյուրի կողմից ընդունվող կամ մեր շրջապատում որոշումների կայացման իրադրություններում միննուլն մասնակիցներն" են, որոնց թվում են՝ 1.Փռփոխականներին պարամետրերի բազմությունները, որոնք տրոճվում են՝ թովլատրելի փոփոխականների, որոնց արժեքներն ընտրում Է որոշում կայացնողը: "արտաքին` կամ արտածին փոփոխականների, որոնց արժեքների որոշումը Բիմնախնդրի մոդելավորման շրջանակներից դուրս է: Ալդ փոփոխականները որոշում կայացնողի կողմից վերաճսկելի չեն: ցպարամետրերի բազմության, որոնց արժեքները դիտարկվող խնդրի շրջանակներում շատ որոշակի են: 2.Մոդելը, որպես տարբեր փոփոխականներն ու պարամետրերը կապակցող Բարաբերակցություններիբազմություն: »

»

»

3.Նպատակային

Փֆունկցիան որի ճամար փնտրվում է նվազագուն կամ արժեքը կախված առավելագույն փոփոխականների ու պարամետրերի ընդունած արժեքներից: 4.Հաշվողական որոշում եղանակները. որոնց միջոցով կալացնողը կարողանում է գնաձատել տարբեր լուծումների արդլունքները: Դիտարկված որոշումների կայացման եղանակները ճաճախ քանակական են: Մենք չենք ենթադրում. որ անխտիր բոլոր որոշումների կայացման խնդիրները բերվում են քանակական վերլուծության: Սակալն որտեղ դրա ճնարավորությունը կա. այդ վերլուծություն անձրաժեշտ է կատարել՝ գտնվելով կառավարչի դերում. ն այն կապաճովի արդլունավետ որոշման կալացում: Մոդելների ողջ բազմությունը ընդունված է բաժանել երկու խոշոր դասի` առարկալական ն երնակալական մոդելներ: Առաջին խումբ մոդելներն ունն բնակա`՝ կամ արճեստական ծագում ն (քարտեզ. տողմացուց. շոգեքարշի մանրակերտ պալլն) Առարկալական մոդելների կիրառութլունները տնտեսագիտության մեջ սաճմանափակ են: Այստեղ բացակալում Է Բասարակական մակարդակին բնորոշ արտերնուլթը՝ աշխատանքը: Ալդ է պատճառը. որ երբ նկարագրվում են կենսաբանական ճամակարգերում տեղի ունեցող գործընթացները. ապա խոսվում է նպատակաձարմար գործողությունների (ի տարբերություն մարդկային Բասարակության մեջ ընթացող նպատակամետգործողությունների) մասին: Երնակալական մոդելների դասը գիտական ճանաչման մեջ ճիմնականում դրսնորվում Է ալնպիսի մոդելներով. որոնք օգտվում են մաթեմատիկայի լեզվից: Երբ ճիմնախճդիրը ձնակերպված Է, ապա քանակական վերլուծության համար անճրաժեշտ է ունենալ օբլեկտի մաթեմատիկական մոդելը: Մոդելի փոփոխական մեծությունները սաճմանելի ն չափելի են: Տնտեսական երնութներ (ժամանակի մեջ գործընթացների) ուսումնասիրության ժամանակ որպես կարնոր փոփոխականներ կարող են Բանդես գալ ապրանքի գինը ն քանակը. շաճադրույքը, ն փողի փոխանակման դրուքը ալլն։ Փոփոխականների ն պարամետրերի միջոցով ձնավորվում են մոդելի սաճմանափակումները ն նպատակալին ֆունկցիան: Որպես օրինակ քննարկենք ընտանիքի սպառողական վարքը նկարագրող մոդելը: Մոդելում որպես սպառող Բանդես է գալիս որոշակի տիպի ընտանիք: Վերջինս բնութագրվում Է սպառվող բարիքների (ապրանքների ն ծառալությունների) հավաքածուի նկատմամբ նախապատվելիության (գերադասելիության)

ճարաբերությամբ կամ օգտակարության ֆունկցիայով. ինչպես նան բյուջետային սաճմանափակումով: Բլուջետալին սաճմանափակումը ցույց Է տալիս, որ ապրանքների ձեոք բերման դրամական ծախսերը չեն կարող գերազանցել ընտանիքի դրամական եկամուտը: Եթե սպառվող ապրանքների Բավաքածուն ներկայացվում Է

-

(ալդճշ»...Խ.)

ոչ

բացասական վեկտորի միջոցով.

ապա

սպառման

լավագուլն վարքի մոդելը ճանգում Է ալնպիսի 2 -ի ընտրությանը. որը բավարարում է ընտանիքի բլուջեի սաճմանափակմանը. ն որի

Է իր դեպքում սպառողի օգտակարության ֆունկցիան ստանում առավելագուլն արժեքը: խնդրի մաթեմատիկական մոդելը կառուցելու ճամար կատարենք ճետնլալ նշանակումները.

թ-

»

(թյ քշ»--:: քո)-ն

սպառվող ապրանքների գների վեկտորն է.

Տ5Ֆ-ըընտանիքիեկամուտն է, .ս(տ)-ը՝ ընտանիքի օգտակարության ֆունկցիան: Մոդելը կունենա Բետնյալ տեսքը. Գտնել ոչ բացասական Հլ,չճշ»...... թվեր, որոնք բավարարում

»

»

են

(2)

քլ

Հ

քշչշծ...ԺքոՈՃ

ՏՏ»

անձավասարմանը,

ն

որոնց Բամար

ֆունկցիան ընդունում է իր առավելագուլն արժեքը:

Ընտանիքի սպառողական վարքի 2 (ո.ճշ.....Ճ.) վեկտորի թույլատրելի արժեքների բազմությունը բերված մոդելում որոշվում Է գների թ վեկտորի ն Տ եկամտի միջոցով: Ընտանիքի սպառման -

գերադասելիության կառուցվածքի որոշումից օգտակարության

ֆունկցիան

տալուց

ճետո

մեն,

կամ

Կ(5)

պետք

է

կարողանանք լուծել խնդիրը: կախված ա(ճ") օգտակարության ֆունկցիայի տեսքից՝ մենք կունենանք մաթեմատիկական ծրագրման տարբեր բարդության խնդիրներ: Գործուվթների ՄԲետազոտմանը բնորոշ եղանակներով որոշումների կայացման գիտական մշակումները մեծապես կիրաովո'մ էին երկրորդ աշխարհամարտի տարիներին: Սակայն դրանց ծիլերն ի այտ են եկել շատ ավելի վաղ: Մասնավորապես. մաթեմատիկական մեթոդների կիրառման առաջին պարզագույն մոդելները տակավին առաջարկել են Ֆ.Քենեն. 18-րդ ն |..Վալրասը, 19-րդ դարերում: Առավել բարդ մոդելները 20-րդ դարի 30-40-ական թվականներին առաջարկել են Չ.ֆոն Նելմանը. Լ.Կառտորովիչը. փՔ.Դանցիգը՝ ն ալլ՝ գիտնականներ: Զնալած ալդ Բետազոտություններին տրված բարձր Գնաճատականներին. ալդ մոդելները, որպես կառավարման որոշումների կայացման արդյունավետ միջոցներ, գործադրվեցին միայն վերջին մտնասնամլակնճերում,որը պալմամավորված Է Բետզճետե ուժեղացող տնտեսական մրցակցությամբ. նան ն ինչպե տեղեկագիտության ԲՃԲամակարգիչների ընձեռած

հնարավոոութլուններով՝ ընտրելու ճամար:

այլընտրանքային

լուծումներից

լավագույնն

Մոդելների կիրառման դժվարությունները պալմանավորված են նրանով, որ դժվար է սոցիալ-տնտեսական գործընթացների ճամար, որոնցում առկա են սոցիալական. մարդկային, ճձճոգեբանական

գործոններ,

կառուցել մի ճամապարփակ ճամակարգ: Դժվարությունները պայմանավորված են տնտեսության մասին մեր գիտելիքների սաճմանափակությամբ, ինչպես նան ալն փաստերի ոչ ճետ ամբողջական Ննկարագրությամբ, որոնց գործ ունի տնտեսագետը: Մոդելավորման եղանակը ենթադրում է առարկալի նախնական ուսումնասիրություն, նրա Էական բնութագրերի առանձնացման վրա ճիմնված մոդելի կառուցում, մոդելի փորձառական ն տեսական վերլուծություն, ստացված արդյունքների Բամադրում մոդելավորվող օբլեկտի տվյալների ճետ, մոդելի կատարելագործում: Որպես, գիտական Ճանաչողության արդյունավետ միջոց, մոդելավորումը Բետազոտում Է սոցիալ-տնտեսական գործընթացների ն երնուլթների փոփոխության օրինաչափութլունները, ն դրա ճիման վրա առաջարկվում են զարգացման բնուլթին վերաբերող որոշակի վարկածներ: Մաթեմատիկականմոդելավորումը Բնարավորություն Է տալիս, Օ-ճետազոտելԼ։տնտեսակա`՝ Օկամ սոցիալական բարդ ամակարգերի գործունեության սկզբունքները դրանց մշակել ն մաթեմատիկական մոդելները. ստուգլ ճշգրտել տեսական դրույթները, զարգացման տարբերակների Բնարավոր բազմությունից ընտրել լավագույնը՝ ըստ որոշակի օպտիմալության ճալտանիշի: Ինչքան էլ ռեսուրսները սաճմանափակ լինեն, միշտ կարելի է գտնել դրանց օգտագործման լավագույն ձնը: Այս իմաստով օպտիմումի ճձասկացությունը Բաճախ դառնում է թյուրըմբռնման պատճառ: Դա պալմանավորված Է նրանով. որ այն արտահայտվում Է միայն նախօրոք ձնակերպված նպատաններով Եվ այս տեսակետից: տնտեսական օպտիմում՝ ճասանելի Է դառնում տնտեսամաթեմատիկական մոդելի (ն ոչ թե իրական ճամակարգի) առումով: Տնտեսության կառավարումը բարելավելու ճիմնական ուղիներն են՝ ճեռանկարային ն ընթացիկ ծրագրերի մշակումը, տնտեսության ՃԲավասարակշիռզարգացման ապահովումը, գնաճի մեղմումը ն ալլ խնդիրներ, որոնց լուծման ճամար անխուսափելիորեն կիրաովում են մաթեմատիկական մեթոդներ ն մոդելներ: Մոդելներով կանխագուշակումների անխուսափելիությունը պայմանավորվում է նան նրանով, որ լալնընդգրկուն տնտեսափորձերնանթուլլատրելի են ն կարող են թանկ նստել Բասարակության վրա:

Թվարկված ճիմնաճարցերը վկայում են. որ տնտեսության կառավարման խնդիրները խիստ բարդացել են. ուստի չի կարելի բավարարվել տնտեսական ղեկավարների սոսկ ներըմբոնողական բարեմտությամբ. որն առաջանում Է կառավարման բարդ որոշումներ Ճանապարհին: Բազմաթիվ սանճմանափակումների կայացնելու մեջ ներմուծվող արտածին հաշվառումը, մոդելի ճշգրիտ վարկածներիցդրանց պարամետրերի բազմատարբերակ ձճնակերպումը նպատակային ֆունկցիանների ընտրությունը ն ճնարավոր են դարձնում լավագույն որոշումների կայացումը անկախ նրանից. թե կառավարման որ օղակի ճամար է ձնակերպվում խնդիրը: Դրա ճամար անձրաժեշտ Է ունենալ տնտեսագետների. ճասարակագետների. մաթեմատիկոսների հճամատեղ ջանքերով ճամադասված մշակումներ, "մարդ-մեքենա" ճամակարգեր: Այդ որ ժամանակ ալնքան Էլ ուժգին չի ճնչի Ջ. Կլարկի ալն ասույթը. «Ամեն ինչ. բացի բանականությունից, ենթակա է նվազող Բատուլցի օրենքին":

Մաթեմատիկականծրագրում (ՄԾ):

Կառավարման,

որոշումների կայացման. գործույլթների Բետազոտման խնդիրները սովորաբար ճանգում են այնպիսի թվերի Բամախմբի ընտրությանը, որոն, որոշակի նպատակի (ֆունկցիայի) առավելագույն կամ նվազագուլն արժեք են տալիսմ փոփոխականների որոշակի սաճմանափակումների պայմաններում: Ի տարբերություն դասական ՆՄԾ-ւմ տեսության Էքստրեմումի լխնդիրների. Բիմնական է ուշադրությունը դարձվում ալն խնդիրներին. որոնցում առկա են փոփոխման որոշող փոփոխականների տիրույթը սաճմանափակումներ: ՄԾ խնդրի նպատակային ֆունկցիան ուսումնասիրվող խնդրի նպատակի մաթեմատիկական նկարագրությունն է: Այն, որպես կանոն, ռ-չափանի Էվկլիդյան տարածությունում որոշված ֆունկցիա է:

Եթե

«Հ (այշ,...2:,)

մոդելի սաճմանափակումներին, ալն Բամարվում Է թույլատրելի, իսկ բոլոր են լուծումների թույլտարելի վեկտորները կազմում Տ (Բնարավորությունների) թույլատրելի բազմությունը: ՄԺ Տ խնդիրը թուլատրելի լուծումնրի բազմությունից այնպիսի « վեկտորի ընտրությունն է, որի դեպքում /(2) նպատա-

կային ֆունկցիան

վեկտորը

բավարարում

Է

Է նվազագուլն կամ առավելագույն արժեք Այդ խնդիրը կգրենք հետնյալ կերպ՝ երբ « ՀՏ,կամ

ստանում

Տ բազմության վրա:

7(8)

ոո,

7(»)-» ոոճւ,երբ«Տ,

որտեղ

Տ -ը

ո-չափանի էվկլիդյան տարածության ենթաբազմություն Է: ընդճանուր խնդրում առանձնացվում են երեք ճիմնական տեսքերը՝ ՄԾ դասական խնդիր. ոչ գծային ծրագրման խնդիր (ոչ ԳԾ խնդիր) ն ԳԾ խնդիր: ՄԾ դասական խնդրում Տ բազմությունը նկարագրող բոլոր սաճմանափակումները ներկալացվում են Բավասարումների տեսքով՝՛ ՄԾ

ու2)

որտեղ

Ճ2:.

Ք(լ

Հ

28)

Հ

էլ,

չքլ(2),Ք2(5),....ՔոԹ)

Ել» Եշ,....Եղ-ը ԳԾ Ոչ

12,....ու:

ճայտնի

տրված թվեր

ներկայաացվւմ

(Հ

ֆունկցիաներն

են.

իսկ

են:

խնդրոմ սաճմանափակումնրի ճամակարգը փոփոխականների ոչ բացասական լինելու

Է

ն անձավասարումներով կամ («լ Հ0,չշ Հ 0.....Ճղ Հ0), ճավասարումներով որոշվող սաճմանափակումներով՝ 8.(8) Լ(Օդ::29-..55ղ) Տ Ել 1 Ն2....,ու: ԳԾ Ոչ խնդիրների կարնոր դաս Է ուռուցիկ ծրագրման խնդիրը. ն որում նպատակային 0սաճմանափակումները ֆունկցիան նկարագրող ֆունկցիաները ուռուցիկ են: ԳԾ խնդրի նպատակային ֆունկցիան գծային ֆունկցիա է՝ Ը ՇՃ. որտեղ տրվածԷ 72) զՅյլ Հ ՕշՒ...ԻԸլեղ («լ,ճշ,...»Ը,)

պալմանով

Հ

Հ

-

վեկտորը

ն

փնտրվում Է

Հ

չ«

Հ

(ել ճշչ...Ճղ)

վեկտորը,

ն

կան երկու

տեսքի սաճմանափակումներ՝ Լ. 2: 2. լ

ճլշ»շ-Է-..«ԷՅլեղ

Հ

ել,

ԷՀ

Ն2,....ո.

Հ0րչշ Հ 0,...ղ Հ0: Հետնաբար, ԳԾ խնդիրը ոչ ԳԾ խնդրի մասնավոր դեպքն Է, որում նպատակային ֆունկցիան ն սաճմանափակումները գծային են: Հաճախ ՄԾ ամեն մի՛ խնդրի ճամապատասխանեցվում Է նրա երկակի խնդիրը, որոնց Բամատեղ ուսումնասիրությունը արգասաբեր Է ինչպես լավագույն լուծումների փնտրման թվալին մեթոդների, այնպես Է որակական վերլուծության առումով: Երկակիության տեսությունն ուսումնասիրում Է օպտիմացման կառուցակարգի տարբեր կողմերը բնութագրող երկակի խնդիրների զովգի միջն կապը: Երկակիության տեսության ճետնություններն արտադրության լավագույն ծրագիրը Բամադրում են արտադրության գործոնների գնաճատականների ճետ: Այս տեսությունը սերտորեն կապված Է խաղերի տեսության ճետ, որն ալս կամ այն իմաստով է (ստրատեգիան) բացաճայտում լավագույլն վարվելակերպը ներճակային (կոնֆլիկտային) կամ անորոշ իրավիճակներում:

միջոցով ճձնակերպվում ն լուծվում են տնտեսության. կառավարման. նախագծման, ռազմական գործի ն այլ կարնոր խնդիրներ: Մենք թվարկեցինք օպտիմացման խնդիրների միալն մի մասը. են սուլն շարադրվասծ եղանակները որոնց`" ճետազոտման զանգվածալին կառավարման. Օպտիմալ ձեռնարկում: սպասարկման. պաշարների կառավարման. նմանակման (իմիտացիոն) ն ալլ եղանակները տեղ կգտնեն ներկա ձեռնարկի 2-րդ ՄԾ

մասում:

93. Բարիքների արտադրությունը, բաշխումը ն սպառումը տնտեսության մեջ. Պարետոյի փոխզիջումներ Այս բաժնում կքննարկենք տնտեսագիտության տեսանկյունից ավելի ճետաքրքիր ն արժեքավոր բարիքների կամ արդյունքի բաշխման որոշ Այդ խնդիրների «զարգացումը» խնդիրներ դիտարկենք երկու անձանց՝ Ռոբինզոնի ն Ուրբաթի տնտեսության օրինակով: Նախ. դիտարկեն, մեկ մարդու տնտեսությունը Մարդը բնության մեջ միալնակ Է, զբաղվում է Բավաքչութլամբ. ստեղծում բարիքներ, իր որոշակի բավարարում ապաճանջմունքները: Հասկանալի է, որ այդպիսի տնտեսությունը վերացական տնտեսությունում խիստ պարզունակ է հասկացություն է: Նման ներկայացված բարիքների բաշխման հիմնախնդիրը. չկան ներճակներ (կոնֆլիկտներ), չկա շաճերի բախում: Ուրբաթի ճալտնվելը արդեն էապես փոխում Է իրավիճակը: Երկու անձից բաղկացած ճՃասարակության ալսպես կոչված բարեկեցության ֆունկցիան հայտնի չէ, չի արդեն ինքնին ներկայացվում փորձի վրա Բճիմնվածտվյալներով: Երկու անձինք. որոնք, ի դեպ, ճանդես են գալիս ն՛ արտադրողի ն՛ սպառողի դերերով, արդեն կարող են վարել իրենց տնտեսությունը: Վերջինս կբնութագրվի երկու որոշակի մասնակիցների միջե առաջացող տնտեսական քԲճարաբերություններով: Այդ ԲՃարաբերութլունների ամբողջական պատկերի բացահայտումը. որքան Էլ ճետաքրքիր լինի. է քննարկվող խնդիրների ճամատեքստից. ուստի մենք դուրս կդիտարկենք սոսկ տնտեսությունը վարելու եղանակները: Օրինակ, Ռոբինզոնը վարձում է Ուրբաթին, կամ. մեկ ուրիշ դեպք՝ գործատուն ինքը Ուրբաթն է: Սղլուսմդեպքը. նրանցից լուրաքանչլուրը առանձին- առանձին վարում է իր տնտեսությունը ն, անձրաժեշտության դեպքում, փոխանակում որոշակի բարիքներ.

մվ (մտոսցտ Օտվճկուսծ ցտթիսմոկոտեօ «ասծվն) մնսստխոո օնտ Վ վցտնտվ ԵղՈ :վմմտի օտղոնսսոթո վմս տոմ «մմոսմն 1ղմղմոմղիի զ նսմտկ մըցրնսՂ:մղդճտվըկմօմսԵ ռտղկոտվեսնցոլղտ նսիսսոռռ Վնսստծ բող ցտկոմնոտմո ցնսծուղիտսո մղդջտղկմտի օղ րւսմտդտմ դմղդդւմօոսղմտցսղջ՝ 6յցյսմմ տոմ վովոցենտ րւսիցմսնետռտեօօղ ոլտջտց (րւսմղցլղնսր նսմղմոմղի ծճվըդքոմուռ ղ ողաոՀռվ) Սվմղց6տժդմցմսե ցտկոմնտտմտ ոմսն րւսմղցրւսոմղկտղջ ոողտողտ վմնցո| նսիղմտըըՄ ծվրնսկ մղ Հիսրւսսռո աւսմտցմ վմղդղտմղմմտտ ցնսետիոլ րւսցծոքող տղ մղքըրձսշսմս ռոտ -մչՀվմտիոստկ վետրմվփ մծղմղդսղջ մս-Հռվ վոլսփոտլոմ ռղրո տոցցտ կտդվմօ ողոչձչըվ -մմղցծվղտոցոտր դտրմտռիտողտցՀ ղ դտրոլճտմ վմղզդմվմույ (102) "ո,ղտ) մրոսմսիտղնսր դտրատտո չրւսլղնսր նսիկմոցռմ ղմստո 1ղիսնՑտտմտդղմսվվոցոտր մզ նսմտղ մճմոտվ նլտ ողմղմ "Օ'1սթիսսշղտմտոոտիովցտղտողտցտ դղիսկսոռոտկմմղեմտղոծւսսող ցօոկտողտցտ մս ղմ 'մռռղվոռտոռ վճմով ցլտ վիմտ վՀ նղտոլզլ :մրոթիսդոմոցկղր 6վտղվոնցտիսմ ծռտմն իսմղըդվրմղտ մղդոմսողս օտիոոլոջ :մցտմոտ «վե 1լղմետմոկըդ մմղդցորոթ 1սղցոռոց ռվղտօցվիտմվռնսԵռիու իստոռրվ վղոծսմս զ տշղքոտմսռո մմղ «մղցդղոցվիտմվվովոցւլտ օղ րւսՍտծոսո "6վղջ ցորմտիտողտցտ օոիովոկ «ուսումս աիսողտդտ վմոմմ՛լյ ղ վըոսեդվմսվյ'իսովռուղ :(խսմղցրւսկմոտվն ոԼմօստ մղը ողոտղտոցվ րւսղտուսմտտ օղ մղըրւսաօւս1 վովոռվ Հռոմն ՎՎ Վ ճմոս 11տ)Վ վղզփտուսոլցոտմրւսճղըդնտջորով վմղյտծ ոո վղզիտ ծվղղր միվմ վմղընստտողՀո (րւսիվտկղլսկ) րւսոռրոնղտ "Վ

ՎղմսԱՂզվղ -րսսմվ Վ Վնսոռմ ռտղկտմցոտվսնդմ մրւսմնտծմտվ ոլոռ մս 'ՃցղտողՂ :րւսծմով ըցռորտովտցԵվմուսլնմտ վմցտտողվՀշոծռղմվ օղ օտիսԵեմեոցոծ ցԵռիցնո մմոմմ.լյ ղ ԱցսեդվմսՎյմս ,ՎՇ :իսրւսսռ Օտրով|շոմ վմղըցմցւսմլնմտրւսրվն օղ վմղռրւսծվեոլափ Հվ մռոռմցդ րող մմղցոՀ վմղցճվղոցոռր րւսիծզըցնոջորույ դղ ողոՀռվ Ղմ "մճմուց ցտ րացր զ ծոմ րւսմղմողն նոլշվվ 1սղմտի մուսշռսողտցՏ չմրւստԵք 6ցտմցը1սլղցծոով վցնսԵուղիոստ մմղթմտ վատվծկուսփռվտկտտոխհը վիմտորով զ մտղո ցոկտցմ իսճսձվր վլտվծկուսփ օցվտկտտտոդ վղոչսմս) Կ(նսիտլոտյտտմոտ ղ

Փմւսծ վղռտոփռց մւսցովնըմ ղղր օղ րւսիմսիտցորլտո մճոմմ.՛լյ Ղ մցսԵցվմսՎյրւսնտեռմոռ ուր :մց1ա6ւսողտցտ րւսմտի ցղ նղտորուվ մլյտմդ մմղ մշտղմտի դցտղտողտոմվ 1ղիտստ մցղկմոցըԺ չրւսծւստտր ռղ մղդդւս16ւսԼոսոց

մոմոջմոնտոլսփ

-Ամղոդմցոմոռ

օջռիմնոտմտ

ցօղ

րւսղոդտոսփ

առավելագույնի Է պալմաններում:

ճասցնում

բյուջետային

սաճմանափակումների

"մոտավոր Այս ամենը. սակալն. իրական կյանքում տեղի Է ունենում դատողություններով՝, ն որոշում կայացնողը (լինի նա անձատ ձեռներեց. ֆիրմայի կառավարիչ. ճարձրաստիճան պաշտոնյա, թե սոսկ սպառող) գործում Է ռացիոնալ՝ իրավիճակի իր ընկալմանը ձճամապատասխան: որակել Է Ամերիկացի ճոգեբան. տնտեսագետ Գ. Սալմոնը ալդ դրույթը որպես սաճմանափակ բանականության վարկած: Ի դեպ. ալդ դրույթից է 1978թ. արժանացել Բետնող մշակումների Բամար նա տնտեսագիտության բնագավառի նոբելյան մրցանակի: Դիտարկվող մոդելում ենթադրվում է, որ կան 7ՀՆ2....,տ

անճատներ: Մոդելում արտադրական գործընթացներ ն Հ Ն2.....ռ արտադրության գործընթացը ներկայացվում Է որպես ինչ-որ արդլունքներ ալ արդյունքների վերամշակելու. ճձնափոխելու գործընթաց: Արտադրութլան գործընթացը, այսինքն՝ արդլունքների

ճնափոխման գործընթացը կբնորոշվի (զլ,...,6լ) որտեղ Ն2....,(-ը ցույց

են

տալիս

մեծությունը: Եթե

վեկտորի միջոցով.

արդյունքների Բամարներն են, իսկ ճլ,...,0լ ալդ

օ,

Հ0.

արդլունների ապա

թողարկման

կամ

թվերը

ծախքի

1-րդ արդյունքը ծախսվում է

ն,|

քանակությամբ: Եթե որնէ արդյունք ն՛ ծախսվում Է, ն՛ թողարկվում. ապա վեկտորի ճամապատասխան տարրը թողարկման ն ծախքի տարբերությունն Է: Այստեղ արդյունք ճասկացությունը գործածվում Է լալն առումով: են Որպես արդյունքների Ճանդե գալիս մեծություններ, ծառալությունները, աշխատանքի տեսակները, բնական ռեսուրսները. Եթե տեղեկատվությունը. սարքավորումները ն այլն: ձեռնարկությունը ճեռուստաստուդիան է, ապա վերջինս, տնօրինելով շենքերը, սարքավորումները ն ծախսելով սպասարկու անձնակազմի աշխատանք, էլեկտրաէներգիա ն այն ամենը, ինչ բնորոշ է ալդ կազմակերպմանը, թողարկում է Բեռուստածրագրեր: արտադրության Արտադրական գործընթացները Բամարակալված են 12...., թվերով ն ճայտնի են նրանց բնորոշ վեկտորները՝ 1Հ-Ն2,....ո: 4: (ճլճշ-50յ)» Ենթադրվում է, որ բացի արտադրական գործընթացները բնորոշող վեկտորներից տրված են սկզբնական ռեսուրսներ: Այդ ռեսուրսները ներկայացվում են Ե- (ել,...,ծլ) Բավաքածուի միջոցով: Հ

Յուրաքանչյուր արտադրական գործընթաց կարող է կիրաովել տարբեր լարունութլամբ:Կենթադրենք, որ երբ 5-րդ արտադրական

-մստղի

(Ը)

«()նԲ(5,)այ-ոռ

մյղըց6ղցտոլոտտոռտորով

վղոցվի փսճցոմոմսք օոիսՀծղվղիշոց :ԱմղցմտՀշոռ ցողտցմեկղո վմղդնսսոռո էոխոմղը մցոռրսոխռոմւսցոցնցմ Վ մտոտիով մուս տոսմնոտմո Ղու ցողկտջիսմը վըյւս վնղտ մոռրոյ մսցոցվնցմ 11 6սսշկղղիտց

ԻԻՀ 5 Հ վՃղւսէնմո մս "Վ րւսվղոտցտծը տՎ, :։մցորնոխ Փ Հ 4 ըւսիմոմռիռոմ ղմղ "Վ ջշտիսշղտմռոտիոյ ՆՈ մտովի ցոլԹիսողտըցտ Հ

Գողդտիդտկ

աջոմոռիով

վմղըմստկղի

(ՀՈԿ

:Օտղտմն ռղցվ| մս ՎՀ մվնռտմոփռ մմղոչվմնոնոմ

վ-«

:Ամուսմլնմո (

Վ

րչսիշսմս ողմսմղթմովըր իսծճսծվր վմղդմտշոխռ

ցտկոցմեղո ղ իսմս :մմստհղի ("պ "4/ 44) պ ,մմղդցըւսաւսուսմո| վմղցծոմցմօմսեե ցտղտմնտտմո Վ րւսմտցմ դըդւսմտիսմնոտմզղ :Վ մստղղի ռողոռոռծոմ Հ

Հ մմ «(րոնն ու մվ ա)Հթ ց սաջտմտիով վմղդոմվմոմ ոժոմ ցողոնսնոթռո Վ ըսմտըմ տովցո մասը աս'մոմոմսիսը :Ացոցվտոտ ցուլիսմվողտտեօ րող լո162ւսօտիմոմռոիոմ

մորոյց փսջոտմռիով (124:

վտոցցռ նմ-:

ՍտվծճկոսՓ

(«ո

դտաիսմտղտտեօծ

վմղդճուսննմտ դմստկղի (2) օոիսմողոտտեօ տխոտ "զ

նմ-

"41-52

տոտ

Վ

րսմծոշիսըմ սշոմոիոց

-զ

ղզմՂ:Վ ՍտվծկուսՓ դվլտիմ

վտովցտ նմ-:չ

:մտովցտ

0-72

9-7

7 Վ ցնսմկ

մտմոտցտոլոտտոռորոչջ

վմս Վ ուս

կիտողտվմզտտողվչշո

ց-պվ

թհսօղրվմըոտոռո|Հո

ՂՎՂՎ:1 օ"ւսանհսկտցոմ

նսիցվմօօցտ ծճծվրնսկ վտտսցտ

վճուսմնմտ նմ-յ

դ-"Փ

նմ,

նղտմս (/2:""" ցղ վցտլոյ մս 'Ադղմնոցողղ :իսմղդմոռՀշոռ Փօ 102) նանանիննն վմղցՄռւսԼնմո «իսմղըո1սԹհստրցվճդտտողՀո ղատ «իսմղց4դւսրծտցյոռ ծօյղմվ մրտրտտհղդվմղդճուսլնմո ցնովր '

Հս օղ

Հ

րնսիմեռծիսցմ ( ա"""""2'լ

Հ

7) մմղցտոսռտ րւսռւասողտցՏ :

"Իզ

(զ

Է

օվ)-4

"վով մճռւսնմտ օռիծտտո իվվմսո՛ՀչՀ վմղդծտավդմշմմԵեքռտղվոմնոտմտ տոտ -զ դմստղղի

:նյ)

Սոռրսոմվհ վմղցծովցըմօմսԵցոտկոռմնոտմո մ- ("Գր :իսծսծվր

վմստփղղի("2'պ''" "ԸՉ'վ'12'վ)

վճուամնմո

«մրոլօտւսդւսմո| վ

ոո

պ

Հ

ՂՎՈ

վիծոնոկմղդղ մրւսոլսփողջ

Վ ըձնսիօմսեռտեօ մծոծլդմօմսԵ

սպառողների օգտակարության ֆունկցիան, որի բաղադրիչներ, մեծություններն են տվյալ վիճակում: չ Բաշվեկշոված վիճակների Այսպիսով, երբ սաճմանեցին, բազմությունՑ՝ ն սպառողների օգտակարության ֆունկցիաները. Է լուրաքանչյուր սպառողի ճամար ձնակերպել անձրաժշտ նպատակ: ԲՂականԷ ենթադրել. որ սպառողներից ամեն մեկը ձգտում Է իր օգտակարության ֆունկցիան՝ առավելագուլնի հասցնե

ու-Կ(Կ): ինքնին Բասկանալի է. որ նշված հարցադրման մեջ կա ներքին ճականություն սպառողների մի մասի բարեկեցության Էական որպես կանոն. իրագործվում Է մլուս մասի բարելավումը, բարեկեցության հաշվին: Այսուճանդերձ գիտությունը մշակե|)լթ9Է որոշ ընդճանուր չափանիշներ, որոնք կոչված են գնաճատելու, թե բարեկեցությունը Է որքանվ բարձրանում, առաջարկվող տնտեսական փոխզիջումների քաղաքականության արդյունքում ձնավորվող շնորճիվ: Իսկ թե ինչպիսիք են այդ փոխզիջումները. դա կքննարկենք ստորն: Պարետոյի փոխզիջումներ: Բազմաչափանիշային խնդիրների վերլուծության արդյունավետ մեթոդներից մեկը առաջարկվել է իտալացի տնտեսագետ Պարետոլի կողմից 1904 թ: Մասնավոր դեպքում ենթադրենք. որ ոչ թե անճատներն են ընտրում իրենց սպառողական բարիքների վեկտորը. այլ ինչ-որ մեկն իր անտեսանելի ձեռքով`. որոշել է բոլոր անճատներին տրամադրել

նույն7"՝- (.լ»525...»Ճղ) վեկտորը: Ենթադրենք նան, դեպքում

բոլոր

որ

(2)Հ

ո)

անճատները

4-ը

անճատների ճամար

Ակնճայտ է,

որ

բոլոր

ունի մեկ

գոյություն մ

այլ

։

վնկտոր, որի

:

կգերադասեն

«ից.

2 վեկտորները. որոնք բավարարում են վերը ուստի ալն բոլոր նշված անճավասարությանը. ընդունելի չեն ոչ մեկի Բամար: Սակալն

այլն չ՝

վեկտորներ. գորոն`։՞ ՄՃճամար գոլությոն չունի անճավասարությանը բավարարող . բոլոր աս(5) չափանիշների Բամար, չդիտարկել չի կարելի, որովճետն կանտեսվի առնվազն մեկի շաճը: » գվեկտորի բոլոր այդպիսի արժեքների բազմությունը անվանվում Է Պարետոյի բազմություն:

Պարզության ճամար դիտարկենք երկու սպառողների ճամար օգտակարության ֆունկցիայիս-(ալ,սչ) դեպքը. որի

որոշված

ժամանակ՝

ոլ( 5) -» Պարզ է,

սչ) -» տու: » որ փոփոխականի ամեն մի թույլատրելի արժեքի ճամապատասխանում Է (պլչմչշ) ճարթության մեկ կետ (տե'ս, նկ. 1.2) ն

ոճ,

ալչալ(«

որոշում

են

ա-սա(Թ)

ինչ-որ

ի"

«Եշմ

պարամետրական

ճավասարումները

կոր:

Ձ

ՃՆՀ.շ

փ» »

նկ. 1.2

ծԸ

Պարետոյի բազմությանը կպատկանեն կորի ճծ ն «մ մասերը: կտորը ակնճայտորեն չի պատկանում Պարետոյի բազմությանը,

որովճետն

ալ

-ի աճին Բամընթաց մեծանում

Է նան

աշ-ը:

Որոշումների կալացման խնդիրներում Պարետոյի լուծում ասելով նկատի է առնվում այնպիսի : վեկտորների ընտրությունը, որոնք պատկանում են Պարետոյի բազմություններին: Դժվար չԷ տեսնել, որ Պարետոյի լուծումը չի առանձնացնում միակ լուծում, այլ սոսկ նեղացնում Է այլընտրանքների բազմությունը, որը ճամեմատաբար ճեշտացնում Է որոշում կալացճելը: Վերադառնալով բարիքների բաշխման ն սպառման մեր կողմից դիտարկվող մոդելին: Նշենբ, որ օգտակարության տիրույթը՝ ՆՍ «ա

Հ(աչեշչ....Այ)/Կ

ՀԵ(Խ)»ԽՀՅԾՅՀ-..ՀՅՃ

-ՖԺԹ)

բազմությունը, որպես կանոն.. ուռուցիկ բազմություն Է, ն ունի նկար 1.3-ում բերված տեսքը: Նկարում ստվերագծված պատկերի թավ եզրագիծը Պարետոյի կետերի բազմությունն Է: Այս դեպքում կասենք, որ ւ պատկանում է Ս բազմության Պարետոլի եզրագծին միալն այն դեպքում, երբ գոյություն չունի ք պայմաններին: ք՝ ՕՍ որը բավարարում է չս,

Սաճմանումից Բետնում Է, որ օգտակարության ՍՄ տիրույթի ալն կետերը, որոնք Պարետոյի եզրագծին չեն պատկանում, բոլոր անճատներին չեն կարող բավարարել, քանի որ կարելի Է բարելավել նրանցից գոնե մեկի վիճակը (ճիշենք. որ նրանցից ամեն մեկը ձգտում Էր

ու)

օգտակարության

ֆունկցիայի առավելագուլն արժեքին).

չվատացնելով մյուսների վիճակը: Պետք Է, իճարկե, նկատել, որ Պարետոլի օպտիմալության բոլոր անճատների կարող են լինե այդ կետերը չէ, որ ձեռնտու սովորաբար չի հասարակությանը: Հասարակությունը ճամակերպվում ն ՛՛դուրս կմղի՛ բաշխման այնպիսի եղանակը, որի դեպքում իր բոլոր անդամները աշխատում են մեկ մարդու ճամար՝ ապաճովելով նրա օգտակարության ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը: Այսպիսին Է Պարետոյի լուծումների կամ օպտիմալության մեկնաբանությունը, որի բազմազան կիրառություններն արդյունավետ են տնտեսագիտական ն ընդճանրապես մարդկային Բասարակության մեջ ընթացող նպատակամետ գործողություններն ու գործընթացները նկարագրելիս: Պարետոյի սկզբունքը կամ հայտանիշը պնդում է, որ որնէ մեկին վնաս չպատճառող ն որոշ մարդկանց օգուտ բերող (իրենց սեփական սուբլեկտիվ գնաճատմամբ) ամեն մի քաղաքականություն ինքնին բարելավում Է: Այսպիսի տպնդումը`՝ ։»ճետաքրքիր է իր վերլուծական եզրաճանգումներով: կտրոնների օրինակը: Սաճմանափակսննդամթերքի բաշխման ժամանակ, եթե ստիպված ենք այն նորմավորել. սովորաբար ավելի լավ Է կիրառել կտրոններ, քան՝ ֆիքսված նորմաներ: Այս դրույթը ճռետնոմ Է Պարետոլի օպտիմալության ՔՃալյտանիշից։ Նթե

լուրաքանչլուր բնակչին տրվում Է. դիցուք. 10 կտրոն այն պայմանով. որ մեկ կիլոգրամ կարագի Բամար պետք Է տրվի 3 կտրոն. իսկ մեկ կիլոգրամ շաքարի ճամար 1 կտրոն. ալնուամենալնիվ սպառողը դեռ պաճպանում Է ընտրության որոշակի ազատութլուն: Սննդամթերքի գինը արտաճալտելով կտրոնների ավելի շատ քանակությամբ՝ կարելի Է իճարկ նպատակաճարմար ձնով սաճմանափակել լուրաքանչյլուր սննդամթերքի սպառումը: կտրոնները լուրաքանչյլուն սպառողի Բնարավորություն են տալիս օգուտ ստանալ ալն առումով. որ նա կարող է իր ցանկությամբ որոշել գնելիք սննդամթերքի քանակությունները՝ ընդսմին ոչ ոքի վնաս չպատճառելով: Փորձեք բացատրել. թե ինչպիսի՞ սաճմանափակող ճանգամանքներ կային. երբ դժվարին 1991-1992 թթ. մեզանում կիրառվող կտրոնային էր ԲՔԲամակարգըամրագրում յուրաքանչյուր անձի ճամար նույն քանակությամբ սննդամթերքի ձեռքբերման իրավունքը:

Ապրանքների լավագույն բաշխման օրինակը նուլնպես կարող է բերվել պարետո ձալտանիշի կիրառությանը: Դիցուք .« ն )՝ քանակությամբ առաջին ն երկրորդ տեսակի

ապրանքները պետք է լավագուլն ձնով բաշխել 2 սպառողների միջն: Սաճմանենք առաջին սպառողի օգտակարության ֆունկցիան որպես ալ

Հ

(Կ»1):

սպառողինը՝

երկրորդ

ն

առաջին. իսկ

դեպքում ..լ-ը

»շ-ը

տչ

Տվյալ

/2(2»):):

-

երկրորդ սպառողի

մոտ

առաջին տեսակի ապրանքի քանակությունն է, իսկ ,լյլըն

եղած չչ-ը.

ճամապատասխանաբար. երկրորդ տեսակի ապրանքի քանակութորը տնօրինում են առաջին ն երկրորդ սպառողները: Տեսնենք. թե որքան կարելի Է մեծացնել առաջին սպառողի «լ

յունն է.

օգտակարությունը, չնվազեցնելով

մյուս օգտակարությունը: Տվյալ դեպքում խնդիրն ալն Է, արժեք

ստանա

սլ

1)2(5..75)Հ Դ ին, Ւ2Հ-» Զի

սպառողի որ

ս":

առավելագույն

/՛(ել»Ֆլ)-ը. երբ

Հ

(ՀօոՏէ) աշչ

Ն աա

..

.

այսինքն՝ երկրորդ սպառողին չպետք Է վնաս պատճառովի,ն

ալսինքն՝ սնեովումԷ

ն յ:

ապրանքների

ընդճանուր քանակությունը: Այս սխնդիրների լուծման եղանակներին տիպի կծանոթանաք ձեռնարկի 5-րդ գլխում:

դուք

ն

չր սՍոՈծոնո 11 վՀ մմվնդոլոռրվվ նո մս ողոցնո «րւսիստցտոխռ վՀ ոտցի օցվկղրՎզՎղմս մմղ «Ամղմողն ցո ցիտվբ յղ րաիղմտտվն ,մդվոնտ ՝-վմվնցոլոդրվց մաղմող ցտրմնտրով դտնիսմտկտտեօ ծցոջցտ ցվջցտստ Վ րասստծոռմ նտ մմղ "րւսժողն դտ ցնտվր Վ մտղվոտեօ մշվցտտեոց վեստղմտլ, "Չտոռ հմզկ 1 :ցվմղդշվմսա ոտցի ղ 6ծցոկնմտր մս-չդվ րւսմղմ օզ Վնսպյտչ Ճմըասմս "մրտրտոկը վմղցդտղվտմոմոտցեցտցվովոցոո Հ վղստմվվ ողոտղտով :6վմղդդւսլաւսստմվկ վշվռոտնով օը Լնոռղուս մվատկոցկո տոչ վատղմոկ, օտթիսորվտոօ վլղմող ոռոխռհոտմոտա սցդտկոմտնոմ վ դողտողտտտ ողոռմսիոդոռր "Օվմղդրւսծոմցոցյնըդմ վղոշսմս Վ րամղմտմղի մմոսո| մվՂ :ղ ցտԵետրեռմ րւսմղցուս աւսօմԱլմղի վմղդմվնցոլոցրվս ցտղվտտվեռողտցտ ցործոլոկ վմղռրւսշսմս ԱմղդռւսԹթիսսոմվղվշվցտտԼոց :ցժվնսաստտո ումր խիսլղստցտտոչՀչ ոտդի տմոտրոց վնտղմոկ, վնսսոռհո ղր մմղդդտրնոռ դոսեռիտ| զ րւսշսմս մյւմթոսսոմվկ

վովռուտ վշվցոտտԼլովվլստղմով, :(Վ 91ա1շռսօղրուստտտոռվ ոսփսփցո

իսլղցնսծլ մուսլր ««ա) մղղր ծ6վծճդոմնրւսդծոռյ

ռվմղքմո ցնսԵետլղիտստ«Հո

ղ

ո

Ա-Հո) Հով

1ղց6ծտրվոմտրմդվզ րսցտղդոտծ

Գողը ղ Սվզ դուսվկմղ մմղցմցտմոտ մմղ -րւսմղմողն լղ "Վ ոնուղտղս մրւսծղտա Ո :դվոռը դորո|շում վտրողղ ղծվր ծդումը իսլղոտ4 վա դռղիովշտմզ մՃտղոողոՀռվ մմվղդ4դոմոտ ղծվր վմղդնսսոթո ղծ| 1ղտոն իսփոՀ մս-4վ րձսռշմտոնՎ մսիտմոցս մուս ւսստմվկվ վշվցոտմով վլատղմոկ, րւսկոռըվմօ օոռիղմոցը4 օտորվչշոմ ցնսետիտլ վմղց4ցտմոտ մս ։Վղտողը ՎՀ մոտիքՎյ :0ղմստվետողտցտ րւսիցոմոցղղր ող ողոՀռվ օղ ողոչռվ Ղղ Ամմղդդւսաթնսծկոմղմոմոցօտիմղմ մմղի րւսիշսմս 81սղդ6ոռմւս1 ղմ Վոռտ ծնսծ "մցորմտոռիով ոլո Լոդսոնտմղի ստղ Հ. ձող րակմոծոսզղ :մվնցոլ/ Արւստսեոոտղվ վմնցոլ ՈՆ

:ճոյլ /շոյլ

-

"ոմ

1"ոմ

ւղ օդնսը 1զ մտրոց վմղդնսսոխռո1սկմղ ԱմղցուսթիսՑկոմղմոմույց 1սկմղ վմղդդւս թիւսմտղոտեօ ցվնոցորցվտո վմղդձդոմոռ մմղ «րւսիո|վշտմ ռող իսղջ ցնսեռիտԼ ղծվր վմղդնսսոխոո Ամղըց4դոմոռ մս

Մ

Վոռտ -

ճնսճ

Շղյլ

մող րւսկմտծոստ Խամղկցնսը

ղ Վ

որո

"Մ

Հ

`

«7 ՀՀոյլ

ղ

"ՄՀ ոյլ

Բարը մտրով վնսսոոո

մուս անսմտղկոտեօ դվատդտրյտո վմցտմռոտ դվծտստ

օցվծոսող ղղ

54. Տնտեսական իրավիճակների մոդելներ են Ստոր, դիտարկվում տալնպիսի Կ խնդիրներ, որոնք դասակարգվում են ոչ թե տնտեսական գործակալների մոտ իրենց առաջացման բնույթով այն մաթեմատիկական մոդելների կառուցվածքներով (ԳԾ խնդիր, դիսկրետ օպտիմացման, ուռուցիկ ծոագրմանն ալլ խնդիրներ):

4.1 Գծային ծրագրման խնդիրներ: ԳԾ խնդրին բերվող բազմաթիվ տնտեսական իրավիճակներից այս բաժնում կդիտարկենք արտադրության գծային մոդելը ն դիետի խնդիրը: չԱրտադրության գծային մոդելը ինչ-որ Ենթադրենք ձեռնարկության արտադրության ծրագիր Է մշակվում: Հայտնի են նրա տեխնոլոգիական ճնարավորութլուններն ու առկա ռեսուրսների գործընթացում արտադրության քանակությունները: Դիցուք,

մասնակցում

Շլ»Շշչ...,Շ,

են

(մետաղ,

ռեսուրսներ

Էլեկտրաէներգիա, աշխատանք ալլն), որոնք կարող ինչպես ծախսվել, այնպես Էլ թողարկվել: Արդյունքները թողարկվում են այսպես կոչված գծային տեխնոլոգիական եղանակներով: Վերջինս յուրօրինակ կտա, թե տվյալ "դեղատոմս" է, որը ցուց տեխնոլոգիական եղանակը 01ՄԲամամասնություննրով Է ինչ օգտագործում ռեսուրսները: Խ տեխնոլոգիական գործընթացը որը ներառում է ն

ռեսուրսներ, որոշվում Է Օճլ,ճշչ....Ճղ

են

թվերի ճավաքածուի միջոցով:

Օյ ռեսուրսը տվյալ տեխնոլոգիական գործընթացում օգտագործվող է, եթե

ա,-ն բացասական

Է ն թողարկվող, եթե

Օ,-ն դրական

Է:

Արտադրության գծային մոդելն ունի ՔԽլ.Ք......Ք. տեխնոլոգիական գործընթացները

նկարագրվում Է

ն

միջոցով, որտեղ Օյ (երբ Օյ Հ0)

կամ

-ն

ՕՕ, թվերի

«ոռ

մատրիցի

Օյ, ռեսուրսի քանակն Է, որն օգտագործվում Է

Է (երբ Օ»0) թողարկվում

Ք տեխնոլոգիական

գործընթացի միավոր լարունության կիրառման դեպքում: Օ, թվերից մատրից: աղյուսակը կանվանենք արտադրողականությլունների 3, գործընթացի մակարդակը կամ լարունությունը ռեսուրսներն օգտագործվում կամ թողարկվում

Ասենք, Է,

եթե

որ

ՕԼԿԽ»Զչխտ:::20անլ

քանակներով:

.. են

էէ)

"մղդց6:սկղտտվոոհկոդվմօ) մրտրտողը վմղօւսլցոնցցո տծղքոմցդոտ վղոտշչսմս մղմտծյոյոռ դորիսյտոտոցդ (վմտտ ղոլորոսղ "ովրտ) րւսցտիտոյտկոցորտք մսիովր Վ օտիմտ ճդղմնոժմըղ :Վ մվնցո|ՈՎ, ողոցնսը մլզնսր ոռողողվտորղձոր վմս «իսրւսօւս1 «վմնցո| վտղվն, օտիչսղ ողոոնտ 1ղիշսմս Վ նսմտղ մմօռիծսսող քդյորսոհտֆո վմմղմրոնդդՈղ :մմվնցյոյ վտղվլ

ցնսետիուլ

ցնսմսըմ

յվ

դենտմոյղ ըրսկմոծոսզ

ոչ

«ՄցղտողՂ) :րամիողն վմղդրակոփոցորյտո

վ-՛9

մս

ԾՈագ Ոռ "ՎՀ.

ցտկտոռնճոմ

Հս

մմղքմտ ցնսետետիը ԻՅՅ4Հ օղ

:Ողցոմոդղղր

րոսղտփոցորվտո վցոտծը

քՎ:Վ

«ԹՀԹ

Սուսաօւստտցտտմո

ն:

աուն

մտրտց

ա""-"2յմվ Վ

/

րւսցտտո

ծցսմս

«մղիմ

րւսսիմտոփ'իսովռունղը :մմղոո|ոց

վցճոտցկ վցնսետետից ղ մղմտծցոյտո տ ՛ջ վիսստոտող մմս 'մցտ թիսմտցմ վլուո վովոցլո ցո սմնոտմո ծղեգով մմվնցոլ :(վմղդդւսարսդւսմոլ մմղոո|վոց ուս աիսմնոժցղ տովո| օտվցողտիոմ օղ

ռտղոտտրղրով

րասմոռտոկղդվկմղ

մող »-

կով

ցորսոմվկ

օղ

նղտոլտ)

րամողն

դոտլտսդւսմոլ

րոսրետղ մմղոոլտց դոլմսղմոդսղջ

մրոօւսդւսմտլ

մսիտվր մծճոժմդցմշջմսե «Մ

մս

րւասմողն 'Ղ վցտլոց

ղ 6վոմւսողս /Օ մսիտվր ՛ջ ցետիցսո 1զղմոնսժ Վ րւսիճդոցոռ տարամնտտմտ դոտրմտմտիտմ մդղմնտվցղՂ :մմղնսր դվրռջե վկմտճցոտսյտոջտիմտ իսմղոոյտջ դիսեռտեռիցը ճողոմղկող՝

այրքլ:

::գՈ

գ

Ոք

վմղդրակմուն

Վ ցմորասԵ

մղոտոդռտմ նսիղմոնս`լ ըամղդծումըԱցմսծ մասմ

ոմց

(ոռ մորով

վոմսողս

վմղդդւսԹիսուսմոԼ -ոռտոհորով ողտոմմ։ Վ

(վմուսԼնվմռ)

ցտղտմնտտմտ ցտիմջ :սօոմռիով

վցուռ

«նր

զոմ

ա

ցտղտոտճտմ

նսռոռոլ

Հս

ցդվմղդծոմդմցմսե դտտղվտվեսնցողտ"ը '::'"4'2Մ րբաիշսմսԱ մյտոտռ դքըտկոմնտտմո րասղնսՈ սա

«նթ

12շ

ք

լաշ

շաշ

-.

1շ

«թ

.-

ալ

ք զ

թ)

Ճարպեր. ածխաջրեր, վիտամիններ, ճանքալին աղեր ն ալլն): Հայտնի են թե՛ այդ սննդանլութերի քանակն առկա սննդամթերքների մեջ ն թե՛ օգտագործվող սննդամթերքների միավորի գինը: խնդիրն ալնպիսի կերաբաժնի որոշումն Է, որը կբավարարի անրաժեշտ սննդանլութերի պաճանջարկը ն միաժամանակ կլինի ամենաէժանը: Ենթադրենք ընդճանուր դեպքում ունենք 7 Ն2....,ո -

է սննդամթերքներ. որոնցից պարունակում լուրաքանչյուրը ւՀ Ն2...., 7 տիպի սննդանյութեր: Հայտնի է, որ կերաբաժնում պետք

ծլ միավոր առաջին սննդանլութից,. ծչ միավոր

Է լինի առնվազն

երկրորդ սննդանյութից նյութից: Հալտնի է. օգ. Ս

ն

այլն, ն, վերջապես.

1-րդ սննդսւնյլութից։ Տրված Հ, գները (յ

Հ

Ն2....,ո):

7-րդ սննդամթերքի ալն քանակությունը, կերաբաժռնիմեջ. կլինի

ապա

Հ...-Ճյլ յ

«լլ

.

միավոր

7-րդ

/-րդ սննդամթերքի միավորը պարունակում Է

որ

քանակություն

սննդամթերքների

ծ,

ն

են

նան

աոկա

Եթե նշանակենք 5Ճյ-ով որը

ծրագրում ենք մտցնել

1-րդ սննդանլութի քանակությունը նրանում քանի որ ալն պետք Է բավարարի նվազագուլն

պաճանջարկը, ուստի՝

Ել, (Հ ԼՆ2....ո): Կերաբաժնի գինը կներկայացվի Բետնյալ տեսքով. Հ

Գ լՃլԷ-:.Է0Ճր

Հ

Հ

«լելԻ...ԳՇղՆՃր:

խնդիրը ճանգեց այնպիսի

ոչ

բացասական լ,Հ2ճշ,....Ճղ

ընտրությանը, որոնք բավարարում ճետնլալ Բամակարգին. ՛

Գլլել »

օ.օ... օօ.0օօօօՓօ9օօ4օ9օՓՓօՓօօ6ԳօՓօօօ00օօօՓօօօօօօ

Հոլ ել ն

է

ո2Ճ2-է::

որոնց ճամար

արժեք:

անճավասարութլունների

Ճո Հ էլ: :-ԷԳլո

61272:

է

են

թվերի

Հ

ԷՅ

ատոՀ ծոյ:

«լչլՀ...ԷՇլո,

ֆունկցիան

ստանում

Է նվազագույն

Դիսկրետ օպտիմացման խնդիրներ: Ջեոնարկությունների 0ապլանավորման շատ գործունեության կազմակերպման ն խնդիրներում պաճանջվում Է որոշակի արտադրական ռեսուրսների Թվարկենք ապաճովում: նպատակաճարմար օգտագործման դրանցից մի քանիսը. արտադրանքի առաքման կամ ճումքի մատակարարման արդլունավետ եղանակների որոնում,

տրված աշխատատեղերում աշխատանքների կամ աշխատողների բաշխման արդլունավետ կազմակերպում. որոշում կատարվելիք աշխատանքների ճերթականության (ինքնաթիռների չվացուցակի կազմում կամ Բամակարգիչների ծրագրային ճամակարգերի աշխատանքի կազմակերպում): Նշված տիպի խնդիրները գործնականում լուծվում են առաջին ճալացքից խելացի թվացող ն որոշումների կալացման չափօրինակ դատողութլունների վրա Բիմնված եղանակներով: Սակալն ստացված լուծումները Բաճախ անճաջող են լինում ն պաճանջում են :ոացուցիչ ծախսեր կամ աշխատանքային ռեսուրսներ: Ալդ խնդիրների մեծ մասն ունի որոշակի առանձնաճատկություն. նպատակին ճասնելու Բնարավորություննեի քանակը վերջավոր, բալց բավականաչափ մեծ Է ն, ճետնաբար. բոլոր ՄԲնարավորություններն թիվ ուսումնասիրելու, դրանցից լավագույնն ընտրելու բնական թվացող եղանակն անիրագործելի Է: Դիտարկենք ալդ բնույթի մի քանի խնդիրներ: Առավելագույն զուգակցման խնդիր: Պարի ղպրոցն ավարտում են ռ ն ո տղանր աղջիկներ: Ավարտական հանդեսի է կազմակերպման ճամար անձրաեշտ ընտրել նրանցից պարազուլգեր (հանդեսի ընթացքում զույգերը չեն փոխվում): Կան իրար համակրող տղաներ ու աղջիկներ (ալդ զգացմունքը փոխադարձ է) ն իրար չճամակրողներ. ալդպիսիներից պարազույգ կազմելը բացառվում Է: Հանդեսի կազմակերպիչները ցանկանում են, որ մասնակցող պարազուլգերի քանակը լինի ըստ ճնարավորին շատ: Դպրոցն ավարտող տղաներից ն աղջիկներից ի՞նչ եղանակով պետք է ընտրել առավելագուլն թվով պարազուգեր: Նշված խնդրի մաթեմատիկական մոդելի ձնակերպման Բամար տղաներին ճամարակալենք 1Ն2....,/, իսկ աղջիկներին Լ12....,ո թվերով ն դիտարկենք 4 աղյուսակը (մատրիցը). որն ունի տ ռ ն պուն: Այդ աղյուսակի 1-րդ տողի (1ՀՄՀյո) 7-րդ

(1Հ./

Տ

Ս

1, եթե ըդ տղան Բամակրում Էյ 0, հակառակ դեպքում:

Հեշտ է նկատել,

( է -րդ տղա,

որ

յ

-րդ

ճամապատասխանումԷ աղլուսակի Օ.,, -1 աղյուսակի յուրաքանչյուր ամենաշատը

մի

ամեն

տղա

ն

սյան

վանդակում գրենք Օ., թիվը, որտեղ

ո) ճատման -

տող

մեկ

ն

-

րդ

աղջկան,

աղջիկ) պարային զույգին տարրը

ն

ընդհակառակը,

բնորոշում է մի պարազույլգ: Քանի որ լուրաքանչյուր աղջիկ կարող է ճանդես գալ պարազույգերի պարազուլգում, ուստի

ընտրությունը նշանակում Է 1-երի ընտրություն աղյուսակի տարբեր տողերից ն տարբեր սյուներից: Այսպիսով, առավելագույն թվով ճետնյալ պարազուլգեր կազմելու մեր խնդիրն ունի մաթեմատիկական ձնակերպումը.

Տրված Է

կարգի

«ո

4Հ-(ռայ) մատրիցը, որտեղ

ճ, -0

կամ

Անճրաժեշտ մատրիցում ընտրել առավելագույն թվով 1-եր, ցանկացած երկուսը գտնվում են տարբեր տողերում ն

1:

Է ալդ

որոնցից

սյլուներում: տարբեր

Եշանակումներիխնդիր: Տրված են ո աշխատանքային տեղեր ն աշխատողներ: Ենթադրենք, որ ճայտնի Է աշխատողներից յուրաքանչյուրի 0արդյունավետությունը (միավոր ժամանակում

Է.

ոռ

ստացվող եկամուտը) յուրաքանչյուր աշխատանքատեղում աշխատելուց: Անճձրաժեշտէ յուրաքանչյուր աշխատողի

ճանձնարարել մեկ աշխատանք ն յուրաքանչյուր աշխատանք ճանձնարարլկլ մե' աշխատողի՝ այնպե, որ 0ընդճանուր արդյունավետություն՝ աշխատողների արդյունավետությունների գումարը, լինի առավելագուլնը: Նշված խնդրի մաթեմատիկական մոդելի նկարագրման ճամար 1Ն2...,դԴ թվերով ճամարակալենք աշխատատեղերն ու աշխատողներին ն դիտարկենք ո«ոռ կարգի

ՊՀ(այ)

մատրիցը, որտեղ

Օ-ն

1-րդ աշխատատեղում յ -րդ

աշխատողի արդյունավետությունն Է (1ՀՄՀո,1Հ7Հո)

Ջնակերպված խնդրի

աշխատատեղում

աշխատողների

պալմաններին բաշխումը

բավարարող Ն2....,ո կորոշվի

միջով, որտեղ 75Լ1Ն2....,ո)-» (12.....ո) տեղադրության Է: 2(է)-ն աշխատանքը կատարողն Հետնաբար, վերը նշված առավելագույն արդյունավետությունն ճետնյալ ունի ապաճովող բաշխումը գտնելու խնդիրն մաթեմատիկական ձնակերպումը: մատրիցը, որտեղ «յ Հ0: Տրված Է ո«ոտ կարգի 4Հ-(ա) տարրերի

հ -րդ

Անճրաժեշտ Է գտնել 1Ն.2,...,, տարրերի այն

Դ

տեղադրությունը, որի

ո

համար

ռո)

Քանի

Գումարը ստանում

ե-1

2:...-ոՀէ

որ

1Ն2....ո

Է առավելագույն արժեքը:

տարրերի տեղադրությունների քանակը

է, ուստի լավագույն լուծման գոլությունն ակնճալտ է.

թվով տեղադրությունների վերջավոր գումարճերից ամենամեծըկա:

60ՃԲամապատասխանող

Կարելի Է առաջարկել լավագույն լուծում գտնելու ճետնյալ եղանակը. լուրաքանչյուր 2, տեղադրության ճամար հաշվում ենք ո

Ֆա)

հ-1

Գումարը

ն

ընտրում այն տեղադրությունը, որի ճամար

Է: ճաշվված գումարի արժեքը ամենամեծն Սակալն գործնականում ալն իրագործել Բնարավոր չԷ, քանի որ դեպքում առնվազն պաճանջվում Է աճռելի թվով (օրինակ ո-20

-

201»

1075)գործողություն:

Նեղ տեղերի խնդիր: Բաշխման խնդիրներում, ճաճախ, կատարման առնել աշխատանքնեի անճրաժեշտ Է ճաշվի ճերթականությունը որոշող տեխնոլոգիականսաճմանափակումները: Նախորդ՝ նշանակումների խնդրում ալդպիսի սաճմանափակումներ չկային. դիտարկվող աշխատանքները կատարվում Էին միմյանցից անկախ: Մլուս ծայլրաճեղ դեպքը ճոսքագիծն է. այլն կազմված Է Ն2,....ռ ճամարներով աշխատատեղերից, լուրաքանչյուր դետալ սկզբում մշակվում Է առաջին, ալնուճետն երկրորդ, երրորդ ն ճաջորդական տեղերում: ո-րդ տեղում ստացվում Է պատրաստի արտադրանքը: Եթե ւ -րդ տեղում միավոր ժամանակում մշակվում Է թվերից նվազագույնը ցույց կտա հ դետալ, ապա հլհշ...,հ, ճոսընթաց գծում միավոր ժամանակում արտադրվող պատրաստի գծի Ճոսընթաց արտադրանքի քանակը: Բնական Է արտադրողականության ճետնյալ սահմանումը. -րդ աշխատատեղի արտադրողականությունը՝ հ.-ն միավոր ժամանակում, այդտեղ մշակված դետալների քանակն Է, իսկ

հ

Հ

ուո(իխ,խչ,...,հ.) ճոսքագծի

արտադրողականությունն Է: Դիտարկենք Բետնյալ խնդիրը. Տրված են Ն2,...,ո ճամարներով աշխատատեղերից կազմված Բոսքագիծը ն ո թվով աշխատողներ. են ճայտն՝ աշխատողներից լուրաքանչյուիթի արտադրողականությունը յուրաքանչյուր տեղում: Անճրաժեշտ Է լուրաքանչյուր աշխատողի նշանակել մեկ աշխատատեղում՝ լուրաքանչյուր տեղում Բոսքագծի նշանակելով մեկ կատարողի ալնպես, որ լինի առավելագուլնը: արտադրողականությունը Այս խնդրի մաթեմատիկական մոդելի նկարագրման ճամար ն Ն2,....ո ճԲամարներով 6ՃԲամարակալեք աշխատողներին

դիտարկեսք

ո»«ո

կարգի

Եաշխատատեղում /-ր

4Հ(այ,) աշխատողի

մատրիցը, որտեղ Օյ-ն

:-րդ

արտադրողականությունն

է

(1Հ:Տո,1Հյ/Հո):

Խնդրի

պայմաննրին

բավարարող

աշխատատեղերում տարրերի

աշխատողների բաշխումը կորոշվի

2:112.....ո) »

Ն2,....ոյ

1Ն2,....ո

տեղադրության միջոցով, որտեղ

Պ(1)-ն

հ -րդ

աշխատատեղում աշխատողն Է: Հետնաբար. վերը նշված նեղ տեղերի խնդիրն ունի ճետնյալ մաթեմատիկական ձնակերպումը. Տրված Է ո«ո կարգի 4Հ(ա) մատրից, որտեղ «յՀ0:

Անճրաժեշտ

Է գտնել

Ն2,....ո,

տարրերի

տեղադրություն, որի

դ

ճամարՈղովճլ արտաճայտությունը ստանում ,(1)»22,(2)5:::5.ուա(ո))

Է

իր առավելագույն արժեքը: Նեղ տեղերի խնդրի ձնակերպումը շատ նան Է նշանակումների խնդրի ձնակերպմանը (տրված մատրիցի ճամար անճրաժեշտ Է գտնել տեղադրություն), սակայն նպատակային ֆունկցիաները Էապես տարբերվում են միմյանցից: Շրջիկ գործակալի խնդիր: Տրված են ո քաղաքներ, որոնցից մեկում գտնվում Է գործակալը Նա պետք է շրջագալի այդ քաղաքները՝ լուրաքանչյուրում լինելով մեկ անգամ, ն վերադառնա մեկնակետ քաղաքը: Խնդիրը ճետնյալն Է. ի՞նչ ճերթականությամբ պետք Է այցելի այդ քաղաքները, որպեսզի անցած Ճանապարհը լինի նվազագույնը: ն ենթադրենք, որ Համարակալենք քաղաքները 12,3,....»

գործակալը սկզբում /-րՈ

քաղաքից

քաղաք

քաղաքում Էր:

տանող

Եթե գործակալն ընտրել է

4,ով

նշանակենք

երկարությունը:

ճանապարհի

Նճ,քեչ...,.ել

1-րդ

ճերթականությունը (1

քաղաքից գնում Է կ, դ-ից՝ ե, է-ից՝ էչ ն այլն, իսկ է, լ-ից վերադառնում 1 քաղաքը), ապա անցած ճանապարնը կլինի Հ ւԴճղ Էդո ԴՑԱւ: Հետնաբար խնդրի մաթեմատիկական մոդելը Բետնյալն է.

Տրված Է

ԾՀ(մյ)

մատրիցը,

որտե

Անճրաժեշտ Է գտնել 2.3....,ո

(1ՀՀո,15Տո)

լ

սի կռ»...

տեղափոխություն, որի ճամար

Հ0

4-0

տարրերի ալյնպի-

մլյ Հ 4ղ,3--ԴՃ.,ւ

ստանա իր ամենափոքր արժեքը: արտաճալտությունը

Քանի

ն

տարրերից տեղափոխությունների քանակը ճնարավոր ուստի գործակալը պետք Էէ (ո-1:) տարբերակներից ընտրի մեկը: ո-ի փոքր արժեքների ճամար խնդիրը ո-

է,

որ

2,3,....ո

կարելի Է լուծել բոլոր տարբերակների քննարկումով: Պարզ է. որ մեծ ո -երի դեպքում բոլոր տարբերակների քննարկումը գործնականորեն անիրագործելի Է: ՍՈՏրանսպորտային խնդիր: Դիտարկենք որնէ արտադրանք տ ճձեռնարկություններ (ճետագալում կասենք 7» թողարկող

արտադրողներ)

արտադրանքը սպառող

նրանց

ն

ո

ո սպառողներ) ՆՍնեռենք (ճետագայու՝ ձեռնարկություններ ժամանակի միավոր (օր, շաբաթ. ամիս կամ եռամսյակ) ն ենթադրենք, թե միավոր ժամանակում արտադրողներից որ ճայտնի է, Նսպառողներից ինչքան ՕԷ արտադրում. իսկ յուրաքանչյուրն յուրաքանչյուրին ինչքան արտադրանք Է անճրաժեշտ ստանալ արտադրողներից (ինչքան Է սպառում) Ենթադրենք նան, որ արտադրողից սպառողին արտադրանքի տեղափոխման ծախսերը տեղափոխվող արտադրանքի քանակից կախված են գծալնորեն: Անճրաժեշտ Է որոշել, թե որ արտադրողից. ինչքան արտադրանք պետք Է տրադամադրել ամեն մի սպառողի, որպեսզի. ստանա լուրաքանչլուր սպառղ իրեն անճրաժեշտ քանակությամբ արտադրանք. յուրաքանչյուր 89 արտադրողից վերցվող արտադրանքի քանակը շատ չլինի իր արտադրածից. արտադրանքը սպառողներին ձասցնելու տրանսպորտային ծախսերը լինեն նվազագույնը: Նշված խնդիրը ճայտնի Է տրանսպորտային (երբեմն Հիչկոկի, խնդիր անունով: Նրա մաթեմատիկական մոդելի ձնակերպման համար 1,2,...,77 թվերով ճամարակալենք արտադրողներին, 1.2....,ո թվերով՝ սպառողներին ն ենթադրենք, որ. »

»

»

»

6.-ն

միավոր ժամանակում 1-րդ արտադրողի արտադրած

արտադրանքի քանակն է, 1Հ7Հ7ո: »

5Ֆյ-նմիավոր ժամանակում յ/-րդ ապառողին անճրաժեշտ արտադրանքի քանակն է,

»

«յն

Ւ-րդ

1Հ

արտադրողից

Տո: 9յ-րդ

սպառողին

միավոր

արտադրանքի տեղափոխմանծախսերն է:

յով

նշանակենք

1-րդ

հասցվող արտադրանքի քանակը: Այդ դեպքում է -րդ

արտադրողից (1 ՀԺՀ)

յ-րդ

արտադրողից

չ.ռյ,

սպառողին

գումարը կլինի

վերցված արտադրանքի քանակը, իսկ

:-1

յ

սպառողին (1Հ7

գումարը՝ յ-րդ

քանակը:

Այսպիսով, վերը՝ նշվա. մաթեմատիկական մոդելը ճետնյալն Է. Տրված

են

կարգի

յռ«ո

Ելչեշ,...Ե.

գլ,22:...0,:

(ճշ)

ոչ

Տո)

տրանսպորտային ոչ

բացասական

Անճրաժեշտ է գտնել ո,

(1Հ:Հո.1ՀյՀո)

տրված արտադրանքի խնդրի

բացասական թվերը տարրերով Հ0

ն

մատրիցը

թվեր այնպես.

որ

Դ

յ

ՀԳ,

1Հ Լ2.....ո:

նմ

4-1

ն

որի

յ ՀԵ, )-Ն2....,ո, ճամար

5... 3»՝«ա ՄՇ :-17-1

նվազագուլն արժեքը: Դժվար չԷ ստուգել,

արտաճալտութլունը

ստանում

է

իր

տրանսպորտալին խնդիրը ԳԾ խնդիր է, տեսքը սակալն սաճմանափակումների պարզագույն են) 0, (ճամապատասխան մատրիցի տարրեը կամ -. Բնարավորություն Է տալիս ալն լուծելու ավելի պարզ ն արդլունավետ ալգորիթմի միջոցով: որ

4.3

Ոչ գծային ծրագրման խնդիրներ: Արժեթղթերի ընտրության խնդիրը ` Տնտեսության մեջ ներդրումներ կարող են անել բազմաթիվ սուբյեկտներ: Ենթադրենք՝ ն "Գունմետ" դուք "Քիմնյոթ» ճձեռնարկութլունների ֆոնդային բորսայի բրոքերային գրասենյակի մակլեր եք ն խորհրդատվություն ստանալու Բամար՝ թե

որ ձեռնարկությունում ներդրումներ կատարել ն ("Քիմնլութի" "Գունմետի" բաժնետոմսերով) ձեզ Է դիմում ձեռնարկություններում հաճախորդը Զսաճմանափակելոով այս ներդրվող փողի քանակությունը՝ ճաճախորդը ճետնլյալ պայմաններն Է առաջադրում. ինքը շաճագրգոված Է ինչպես շաճաբաժնի, այնպես Էլ արժեթղթի արժեքի աճով, ներդրվող փողի գումարը որոշելիս, ճարկային սանդղակի դրուլքաչափերից ելնելով պաճանջում Է 2շաճաբաժնի ճամեմատությամբ արժեթղթի արժեքի աճը հաշվարկել Օճ»1 գործակցով, »

»

ռիսկի

ցուցանիշներ"`

լ

լ,

-

մտցնել|Սր 3՝"ռիսկի

ելնելով

նկատառումներից 5շ

-

1»)

ն

լ

(2.7.ծ

Հչ-ծ

դրական մեծություններ են): Զեր խնդիրն Է ալ ն շչ փոփոխականներն այնպես ընտրել,

որ

բավարարվեն նշված պայմանները, իսկ շաճաբաժնի ն արժեթղթերի արժեքի տարեկան աճի կշոված մեծությունը լինի առավելագույնը: Ենթադրվում Է, որ կարճաժամկետ գործարքները արգելվում են: նպատակով Կխորձրդատվութան Ենթադրեն՝` բանիմաց կատարած ճետազոտությամբ դուք պարզել եք, որ ճաջորդ տարի

«Քիմնլութում" սպասվում Է ճավելաճ հլ տոկոս՝ արժեթղթի արժեքի ն 5լ

տոկոս՝ շաճաբաժնի ճամար, իսկ "'Գունմետ"

ձեռնարկությունում

ճավելաճը կազմելու Է Բամապատասխանաբար (չ

ն

5չ

տոկոս:

Որոշակիության ճամար կընդունենք, որ էլ Հեչ ն 5լ»5:: ձնակերպել Առաջարկվում Է ինքնուրուլն նշված երկու ներդրումների լավագույն բաշխման ձեոնարկություններում մաթեմատիկական մոդելը: Ռւղնորահոսքեի գնահատման խնդիր: Տնտեսութլունում երբ Բազվադեպ չեն այնպիսի իրավիճակները, փոփոխականներին է բնորոշ վարքի ճավանական բնույթը: Դիտարկվող ուղնորաճոսքերի" խնդիրը դասվում Է այդպիսի իրավիճակների շարքին: Խնդիրը բովանդակում Է "առավելագույն անորոշություն" նպատակայինֆունկցիա: ո ն կա Ենթադրենք, որ քաղաքում ճամայլնք Է քաղաքապետարանին Բետաքրքրում տրանսպորտային միջոցների լավագույն բաշխումը ըստ երթուղիների: Ք -ով նշանակենք 1-րդ համայնքի աշխատող բնակիչների թիվը, 9 -ով յ-րդ

աշխատողների թիվը,

»յ-ով

ք-րդ ճամալնքում բնակվող

համալնքում աշխատողների թիվը: Պարզ Է,

2: 5,

ո

ՅՔ.,

2", ՅՈ:

ճալտնի մեծութլուններ

ուղնորաճոսքերը՝ չ

:

Քանի

որ

Բամայնքում

են ն

ն

7-րդ

որ

մենք պետք Է գնաճատենք

ո՛ անճայտների դեպքում ունենք

2ո

Ճավասարումներ, Բարմար լուծման ընտրությունն անձնար Է թվում: Ալդուճանդերձ, տարաբաշխման "անորոշության պարագան" ճնարավորություն Է ընձեռում գործնականում բավականին մեծ

Տրված Ճշգրտությամբ որոշել արժեքները: ».ուղնորաճոսքերի սաճմանափակումների պալմաններում նկարագրությունը անորոշության չափի (Էնտրոպիայլի) մաքսիմումի ճիման վրա իրականացվում Է

ՍՀ-Ֆ

ոյ

յո»,

նպատակային ֆունկցիալի առավելագուլն արժեքը:

միջոցով.

որի

ճամար փնտրվում

է

բովանդակալից "Առավելագույն անորոշության" մեկնաբանությունը տե՛ս, մասնավորապես, |24)-ում: Խնդիրներ: 1) Ոչ ԳԾ խնդրի ճետազոտումը լուրացնելուց ճետո առաջարկում ենք վերադառնալ ուղնորաձոսքերի դիտարկված խնդրին ն ճամոզվել. որ //7 ֆունկցիան իր առավելագուլն արժեքն Է ընդունում. երբ Ն

նան

----՞չ Բ

որտեղ

ո

-Ֆ Ս:

Ք

-

՛

2) Փորձեք "'ուղնորաճոսքերի" խնդիրը վերաիմաստավորել ալլ բնուլթի տնտեսական իրավիճակների ճամար՝ տեղեկատվության Բոսքերը կապի միջոցներում, տնտեսության բազմարդլունք Բոսքերո. տնտեսության ստվերալնության հոսքերը ըստ ոլորտների ն ալլն: Անորոշության մաքսիմումի Բալտանիշով կարելի Է փնտրել ոչ միալն Բոսքեը տրված պայմաններով. այլն ճոսքերի փոփոխման պալմանները ցանկալի ուղղություններով: Ձեռնարկության Ներդրումների բաշխման խնդիր: ղեկավարությունն ուսումնասիրում Է իր երեք մասնաճյուղերի վերակառուցման խնդիրը: Ալդ նպատակով նախատեսված Է 6 մլն դրամ: Մասնաճյուղի վերակառուցման լուրաքանչյուր տարբերակ

բնութագրվում Է

Շ,

ծախքով

որոնց արժեքները բերված

են

ն

դ

սպասվելիք եկամտով

աղյուսակ

Հ

Ն2.3.

1.1-ում:

Ջեռնարկություն Նախագիծ

շ

աղյուսակ

1.1

են, որ նշանակում Առաջին տողի 0-ական ծախքերը մասնաճյուղում վերակառուցում չի նախատեսված: Խնդիրն ալն է, որ ձեռնարկության ղեկավարությունը պետք է որոշի, թե ամեն մի մասնաճյուղում ինչքան ներդրումներ կատարի. առավելագուլն որպեսզի 6 մլն դրամի սաճմաններում ստանա եկամուտ: իճարկե, այս խնդիրը կարելի Է լուծել ճատարկման եղանակով դիտարկելով բոլոր ճնարավոր տարբերակները. որոնց Է: Պարզ է նան, որ ոչ բոլոր տարբերակներն են քանակը 3«4«2Հ124 ընդունելի. որովճետն ընդճանուր ծախքը կարող Է գերազանցել 6 մլն դրամից: Օրինակ, 1-ին, 2-րդ ն 3-րդ մասնաճյուղերի ճամար 3-րդ, 4-րդ ն 2-րդ նախագծերից կազմված տարբերակը թույլատրելի չէ. (մլն դրամ) է. մինչդեո որովճետն ընդճանուր ծախսը 2չ5:1-8 ղեկավարությունը կարող Է ներդնել ընդամենը 6 մլն դրամ: Զեոնարկությլան Ռեսուրսների բաշխման խնդիր: գործունեության ծրագրերը կազմելիս, ճաճախ ճանդիպում ենք Է իրավիճակների, երբ քանակությամբ անձրաժշտ ինչոր ռեսուրսներ բաշխել տարբեր արտադրատեսակներ թողարկելու ճամար: Դիցուք պետք Է արտադրել / տեսակի արտադրանք. ն (ոՀ Ն2.....Մ) ո-րդ տեսակի արտադրանքի 5, քանակի թողարկման

ճամար

պաճանջվում

է

սպասվելիք շաճույլթը ք,(»,)

ալնպիսի

(Օ...2:.)

«("ոյ) է:

քանակությամբ

ոեսուրս,

իսկ

Պաճանջվում Է կազմել թողարկման

ծրագիր.

որ

օգտագործվող

ռեսուրսի

ընդճանուր ծախքը չգերազանցի միավորը. սպասվելիք ընդճանուր շաճույլթը լինի առավելագուլնը: Նկարագրված խնդրի մաթեմատիկական մոդելը կունենա ալսպիսի տեսք. մ

Քլ

(լ)

քշ(82)Ի-..Է քյ («Խ)-»

է

Շլ(Ցլ)Հ (շ)Ի.ԷՇ(ղ) 0Հայ

Այստեղ

ՏԵ, | -նն

ֆունկցիաները երբ

ոՀ

"ոՀ

ոչ

ն

տւ.

ՏՍ.

Նշ....Ռ: Ծ-ն

տրված մեծություններ են. Հ«,(»)

բացասական են. ընդ որում «,(0)-0.

ն

քթ,(Ճ,)

ք,(0)-0.

12....,Ռ:

Բազմաքայլ| գործընթացներում որոշումների կայացումը անորոշության պայմաններում: Վերը դիտարկված ներդրումների ն ռեսուրսների բաշխման օրինակներում լավագույն որոշումների կայացման մոդելները ելնում էին իրավիճակի դետերմինացված պալմաններից: Ստորն քննարկվող իրավիճակը ճաշվի է առնում որոշումների կայացման գործընթացի հավանական բնույթը: Վերջինս ՎՏ

իրավիճակների անորոշությամբ: նկարագրող Այդպիսի իրավիճակները մոդելներից մեկը ճենվում Է |34): մարկովյան գործընթացների վրա (տես, Որոշումների կայացման մարկովյան գործընթացի կիրառությունը դիտարկենք բրուտի.գործելակերպի օրինակով: Ամեն Բրուտի խնդիր շաբաթ բրուտը, Օ:ամանեղեն է պատրաստում (օրինակ՝ գինու կարաս) ն շաբաթվա վերջին ճանում վաճառքի: Բրուտը իր գործը ձեռնակելիս կարող Է գտնվել երկու վիճակներից մեկում. կարասը շաբաթվա վերջին վաճառվում Է կամ չի վաճառվում: Եթե վաճառվում է, կասենք, որ բրուտը գտնվում Է զավ" կամ 1 վիճակում, իսկ Բակառակ դեպքում` "վատ" կամ 2 վիճակում: իր փորձից ելնելով` նա գիտե, որ եթե նախորդ շաբաթ պալմանավրված

Է

ապագա

գտնվել է լավ վիճակում, ճայտնվել։|Սլավ, վիճակներում:

թ,

իսկ

ապա

թչշ-1-թլ

քթլլ

ճավանականությամբ կարուլ Է տխավանականութլամբ վատ

վեկտորի թվակալները Բճամընկնումեն բրուտի

նա գտնվել Է վիճակների Բամարների ճետ: Եթե նախորդ շաբաթ վատ վիճակում, ապա ճամապատասխան ճավանականություններն

են`

քչ

վատ վիճակից անցում լավ վիճակի

ն

քչչ-1-քչ

վատ

վիճակից անցում վատ վիճակի: Այսպիսով, բրուտին Բայտնի Է վիճակից վիճակ անցնելու 2»2 մատրիցը: Բավանականությունների Ք (թյ) -

Ենթադրենք, որ բրուտին ճայտնի է նան այն եկամուտը, որ կունենա վիճակից վիճակ անցնելիս: Ալն տրվում Է եկամուտների Ջ 2»«2 մատրիցով: Եկամուտների մատրիցի տարրը բացասական է, երբ չվաճառված կարասը չի վաճաովում (վատ վիճակից անցնում Է վատ վիճակի): ճետո Ք մատրիցով բրուտը շաբաթ կարողանում Է որոշել, թե ոռ ինքն ինչ ճավանականությամբ կճայտնվի լավ կամ վատ վիճակում, իսկ 2 ն Ց մատրիցներով՝ գնաճատել սպասվելիք եկամուտը: Լավ վիճակում ճայտնվելու Բավանականությունը մեծացնելու ճԲնարավորություն ունի դիմելու գովազդի: նպատակով բրուտը Բնական Է, որ ալդ դեպքում կփոխվեն եկամուտների ն անցման ճավանականությունների Ջ ն թ մատրիցները: Ենթադրենք՝ դրանք ենթ

նտ: «բազմաքալլ" գործընթացով Այժմ բրուտ,՝ Օ։Օ`գտնվոմէ ամեն ռորոշումնրի կայացման վիճակում. պալմանավորված շաբաթվա սկզբին նա պետք Է որոշի՝ գովազդ անե՞լ. թե՞ ոչ: Ակնճայտ Է, որ գովազդի ծախսերը փոխում են նրա եկամուտները:

Է մի նոր խնդիր. ամեն շաբաթվա Բրուտի առջն ծառանում սկզբին ինչպիսի՞ որոշում կայացնել, որպեսզի դ շաբաթների ճամար ընչորի լավագույն վարքը, որի դեպքում սպասվելիք ընդճանուր եկամուտը կլինի առավելագուլնը: Այսպիսով, բրուտի գործելակերպը ո, շաբաթների ճամար դրանց վիճակ անցումներով ն նկարագրվում Է վիճակից ճավանականություններով, որոնք կախված են գովազդի մասին որոշում կայացնելուց, որն էլ իր ճերթին ազդում Է սպասվելիք եկամտի ընդհանուր գումարի վրա: Նկարագրված գործընթացը որոշումների կայացման՝ մարկովի գործընթացների դասին պատկանող խնդիր է, որի լուծման եղանակին կծանոթանաք ձեռնարկի 7-րդ գլխում:

խաղերի տեսության խնդիրներ Տնտեսական որոշ իրավիճակներում լավագույն լուծումները փնտրվում են ճերճակի կամ անորոշության պայմաններում: Ներճակի ճետ անորոշության կապը պարզաբանելու ճամար դիտարկենք ճետնյալ իրավիճակը: Երբ շուկա Է Բանվում ինչ-որ ապրանք, նրա մասին կարող են ճայտնի լինել՝ ճշգրիտ պաճանջարկը, պաճանջարկի ծավալների արժեքների Բնարավոր ն, վիճակագրական սապաճանջարկի բաշխումը՝ վերջապես Նաքճմանները՝ դրանց արժեքների բնութագրերի բացակայության պալմաններում: Երրորդ դեպքը որակվում Է որպես անորոշություն. ալն բնորոշ Է, օրինակ, սեզոնային ապրանքներին, երբ պաճանջարկը կախված Է բնակլիմայական պալմաններից ("ներճակ բնության դեմ"): Այդպիսի անորոշությունը բնութագրվում Է շուկալում մրցակցության պայմաններով (ոչ կատարյալ մրցակցություն, սրցակցություն քչերի միջն), որի արդյունքում բավարարվում է պաճանջարկի անճալտ մի մասը: Ներճակային իրավիճակներում խելամիտ որոշումների կայացման սկզբունքները խաղերի տեսության Բիմնախնդիրներն են: Խաղերի տեսությունը ճիմնադրել Է Ջ.Ֆոն Նելմանը: Խաղերի տեսությունում որոշումներ կայացնող անձերը խաղացողներն են, նպատակային ֆունկցիան՝ լուրաքանչլոր խաղացողի ճամար Է տարբե (երբեմն միմյանց` տՃԲակադիր) Խաղացողներից լուրաքանչյուրի նպատակն իր շաճումի ֆունկցիալի մաքսիմացումն Է: 1960-ական թվականներից ուշադրություն դարձվեց խաղացողների մեծ զանգվածով խաղերին, որոնցում առանձին խաղացողը չէր կարող Էապես ազդել ընդճանուր ելքի վրա: Խաղերի ալդօրինակ մոդելները Բատկանշական Էին ալնպիսի իրադրությունների Բամար,

որոնցում կալին մեծ թվով շատ "փոքր" անճատներ (սպառողները՝ տնտեսությունում. ընտրողները՝ քվեարկություններում): Խաղերի տեսությունը. սաճմանումներից մեկի ճամաձալն. մի քանի մարդկանց մասնակցությամբ ներճակային իրավիճակների ճանգուցալուծման մոդել է, որում ներճակի Բաղթաճարման ամար կիրառվում Է երկու ճիմնական եղանակ ճամաձալնություն ն հաշտություն: Խաղային լուրաքանչլուր մոդել պետք է նկարագրի. թե ով ն

ինչպես Է մասնակցում ներճակին, ով ինչ կերպ Է շաճագրգոված ներճակի այս կամ այն ելքում: Ենթադրվում Է, որ խաղի մասնակիցը կարող Է այլընտրանքների ինչ-որ ճավաքածուից կատարել որոշակի ընտրություն: Այսպիսով. /սաղը դա բոլոր խաղացողներին (անձեր կամ դրանց

խմբերը. ձեռնարկություններ, երկրներ ն ալլն) ճԲայտնիկանոնների համախումբ է. որոնցով սաճմանվում Է, թե ինչ կարող է անել յուրաքանչյուր խաղացող. ն ինչպիսին են ճետնանքներն ու շաճումները նրանց առանձին գործողությլունների արդյունքում: Խաղում քայյը դա խաղի ալն պաճն Է, երբ ամեն մի խաղացող պետք Է կատարի: ճՃճնարավոր տարբերակներից մեկի ընտրություն Խաղացողի շաճումը սովորաբար կախված Է ոչ միայն իր կողմից նան կայացված ընտրությունից, այլԼ՝ մյոս 0(խաղացողների

ընտրությունից: Խաղերի տեսության կենտրոնական ճասկացությունն Է վարվելակերպը, որը սաճմանվում Է որպես նախքան խաղի սկիզբը են որոնք որոշում ձնակերպված կանոննեի ձավաքածու

տարբերակի

ընտրութլունը

Ճնարավոր

առաջացող

իրադրություններում: Խաղային մոդելները դասակարգվում են ելնելով այս կամ այն Բայտանիշներից` խաղացողների կամ վարվելակերպերի թվից, վճարային ֆունկցիայի Բատկություններից ն ալլն: Մինչ այժմ դիտարկված մոդելները (ՄԾ խնդիրները) կարելի է դիտարկել որպես մեկ խաղացողով խաղային մոդելներ: Եթե խաղացողների թիվը երեք ն ավելի է, կարող են ստեղծվել երկու ն ավելի խաղացողների դաշնախմբեր. որոնք ճետապնդում են իրենց ճամաձալնեցնում են ընդճանուր նպատակ ն վարվելակերպերը: Գործնականում, շատ ճաճախ, դաշնախումբը գնաճձճատումԷ նա ստանում է ալդ իրադրությունն այն շաճումով, որ իրադրություններից իրադրությունում: Դաշնախումբը երկու նախընտրում Է ալն. որում մեծ Է իր շաճումը:

սաճմանում Է խաղացողների ու Խաղերի տեսությլուն՝ դաշնախմբերի լավագույն վարվելակերպերի սկզբունքներն այս կամ այլն դասին պատկանող խաղային մոդելի շրջանակներում, քննարկում Է ալդ սկզբունքներով պալմանավորված իրավիճակների գոյությունը ն դրանց փնտրման եղանակները: Խաղերի տեսության խնդիրների ծձետ դուք ճակամարտ որոշ ճԲակամատ ն ոչ կծանոթանաք ձեռնարկի վերջին գլխում: են կիրառությունները բազմազան Խաղերի տեսության (օրինակ, շուկայում տնտեսությունւմ ռազմական գործում, խնդիրներում, ձեռնարկության վարվելակերպերի որոշման ճավասարակշիռ վիճակների ճասնելու խնդիրներում ն ալլն) տեխնիկական գիտություններում:

Ամփոփման փոխարեն: Գործովթնեի ձճետազոտման ն կառավարման գիտության խնդիրներին նվիրված այս ներածական Գլխում ծանոթացանք տնտեսությունում "մոդելավորման ն դրա շուրջ" ճարցերի նեղ շրջանակի ճետ: Քննարկվեցին տնտեսական իրավիճակների մոդելավորման որոշ սկզբունքներ ձնակերպվեցին մաթեմատիկական ծրագրման այս կամ այն դասին պատկանող որոշ մոդելներ, որոնց լավագույն լուծումների փնտրման արդյունավետ եղանակները կներկայացվեն գրքի Բաջորդ բաժիններում: Քննարկումից դուրս են մնացել գործութների ճետազոտման արդլունքների կիրառություններին վերաբերող շատ ճարցեր, որոնց թվում են. ինչպե՞ս ծառալեցնել գործույթների Բետազոտումը կառավարչին ն գործարարությանը, ինչպե՞ս ղեկավարել գործուլթների ճետազոտման նախագծի մշակումը ն նախագիծնիրականացնող ստորաբաժինը, ինչպիսի՞ն են գործուլթների ճետազոտման ն կառավարման գիտության ձեռքբերումները ն ո՞րն է ապագան: Հուսով ենք, որ Բարցերի այդ շրջանակը կլուսաբանվի գրքի երկրորդ մասում: »

»

»

"

2-1

հտուսմնո մոռրոյ վմզցո1ԿԱ Կիսնոսոօ Ղ

օտկվրոցվն վմղքԵ իսլղցսո վիշուց

ճՑվրձասոողրսմզց քոսը

ղոց

ողհոձով

վմղցժ0ոտմոռ

մսլսմ

մընհսը վով

ԾվքԵ մուսն/ւսմզմոմույ

-օռիտոցողտցորոք

ցոնիսմողոտեօ Ծվնոցոտրցտո մս

նսիոոոռ "'ճվմզցտճսարոհղ

ողո լտ ճզոլշոմ

մտւսրոկղ դտկոցջցոռ

րոատծոթոո ղ փվծոմըմ

Ղծվր վմղդուսահսնոսոցջ

ղվմզըճցոմոզ |

ջոիոիող «Ճ.զ6զնոցոլ օՂ

մղցօսռտղկ

իվտոտրմսՂ,

շտիմտ Առւսլօիսօղր վտրոհղ ցտղտցքցտ

վմղց80ոմոտ մտւսրողղ

Ղ

մմզցԵ վմզցո1Աօիսնոսոջ

Ղ

մւսքովնցմ ը'սծռտԵտմղԵե ՍՂՀմմղոո|ոց մւսցովնցմ

վմղցՕ1ԿԹիս(ոսոօ

(բնսըԵռտցղր) մմղցԵ Հս

1ըտ 'մմղմսղ

վղմոձոստ

ող

վմղդՎդոմոռ

ղ

"Օտկտոցոցվգ|

գտիմՏ

մըւսռսմտըմ

մղցրւսկ

-տփոցտրյոր (մղցճվօմսԵ)

մմզողտնմողոր ցտրսոտխոո

ցտնիստվեոցոուր

մմղցուսահսնսէորոլ

Պ

վմղըո1Աօհսնոստց վմղցմկոմռոտոմսլսւյ)

մղոծսծվր Լսլզցոով

ցվղկոտոխղ,

6վմղցղտնմողտր ՍԱտղ 6վծցորոք

Ստրսոթռո

'Քվրւսնոթո ղվծոծյըմ

տ՛տեռոռ

Կ ողո

|

ողհոչցվ գոխորոկ

վմղզցց1սԱԹռսնոնտջ վմվղցդժԺցաոտոմոռ

Ղ մանմ

գոխորոկ կտվծկրաՓ

|

ւմոսոիսմողտտե0Օ | Օտրթհսմտղտտեօվնսսոռհր

տվճկոոսՓ

ցվնողտտոՂ,

մղըց1սաիսողտ նռ

01սարստվետողտցտ

ղցտկտոռն

մսը Օտ թհստվետողտըՏ

ՍտկտոտվՎ,

ՍՕՂԿՇիստոտոռվՍորմոիտողտցտ 1ոցսվծոս ողոմս մնսստոր

Ձեռնարկությունըորպես ռացիոնալ տնտեսական գործունեութլան ճաստատություն |

Տնտեսագիտությաննոր Դասական տնտեսագիտությունդասականն ալլ տեսություններ

Նպատակա| Ձեռնարկության

|

լին ֆունկցիա

Այն ձեռնարկություններում, որոնց կառավարիչները միննուլն ժամանակ սեփականատերերըչեն, նպատակային ֆունկցիան կարող Է լինել իրացման ծավալը

շաճույթի ֆունկցիան՝ կախված արտադրանքի թողարկումից ն գործոնային ծախքերից

Նպատակին | Արտադրանքի

Բասնելու

թողարկման

Գովազդայինգործունեության

մակարդակը

ն

Ապրանքանլութական միջոցներ գործոնայիը ծախքերի ակարդակներ պաշարները

(գործիքներ)

Սաճմանա- Տեխնոլոգիական.

փակումներ

|

արտադրանքի թողարկումը կախված Է գործոնային ծախքերից

րիական ցիա)

Տրված Է պաճանջարկի կորը.

|

թե թողարկվող արտադրանքի գները (մենավաճառ) ալլ ոչ

Տրված են առաջարկի կորերը, թե գործոնների ծախսերի

ալլ ոչ

գները (մենագնում)

Շաճույթըչի կարող իջնել որոշակի մակարդակից Այլ ֆիրմաների գործողութլունները (խմբաշնորճ)

Նորմատիվ Սաճմանալին կանոններ եկամուտները

Բավասարեցրեք բոլոր ծախքերի գծով ձեռք բերված գործոնների Գներին

Մրցակցությանճամար օգտագործեք ոչ միալն գները, այլն ալլ եղանակներ, օրինակ՝ գովազդը. Ապրանքանլութական

պաշարներն ալնպես օգտագործեք, որ, չնալած վաճառքի տատանումներին, ապաճծովվիարտադրութլան կալունությունը աղյուսակ

1.3

1.

ՆԱԽԱԳԻՏԵԼԻՔ

Դեպի մոլորութլուն տանում են ճազարավոր ուղիներ, իսկ դեպի ճշմարտություն՝ միալն մեկը: Ժ.Ռուսո

4.

Գծային հանրահաշիվ: Ենթադրում ենք.

որ

ընթերցողը ծանոթ

է գծային Բանրաձաշվի դասընթացի ձիմնական գաղափարներին ն

փաստերին (գծային ն Էվկլիդյան տարածություններ, վեկտորների

ն ճամախմբի գծայնորեն կախվածութուն անկախություն, երկու տարածության ճենք, վեկտորների սկալյար արտադրյալ, վեկտորների կազմած անկյուն ուղղաճալաց վեկտորներ, մատրիցների արտադրյալ, գծային ճավասարումների ճամակարգ, նրա լուծման գոյությունը ն եղանակները):

ո

Է" -ով կնշանակենք իրական թվերի դաշտի վրա սաճմանված -չափանի Էվկլիդյան տարածությունը:

Ենթադրենք

Նրանց սկալյար արտադրյալը ճե- Օլքլ ճը ...«ԷԳո:

ք|ով

կնշանակենք

Ենթադրենք 1ՀՀո: րդ

4.Հ

4-ն

ԵՖԵ-(հրչ...»2)«Է՞:

Հե,

4-(զլչ6շ)...0ր)

նշանակենք

վեկտորի երկարությունը՝

մատրից

տ«ռ

է.

կանվանենք (6:1»6:2»::.56ա)-ը

տողի վեկտոր, իսկ 41-

Վերճիշենք

տ».

ճե

ճիշենք,

ն

որ

|ռ|-ոռ:

Պ4Հ(օյ),

1515»,

4-Հ(գ,) մատրիցի

չ-

7-րդ պան վեկտոր: (641»62յ»-::50ոյ)-ն՝ մատրիցի

ն

«Հ

(ո"լ»շ»---»Ճոը) վեկտորի

սաճմանումը. վեկտորի Հ...Էորն", (ոլջ.ոչր.....2, 8) ոլն: աշն

արտադրյլալի՝ 4-5 4-5

ինչպե

-

նան

Հ

Հ

վեկտոր

(յլչջշ»-..»»ո)

ն

արտադրլալի` »-/4 վեկտորի սաճմանումը. ջ.

4-(8,2-),...,2՞))

-

ջլճլ

Հ

Ֆշճչ--..ՀՖոճո:

մատրիցի

Նշենք,

որ

Դիցուք

»

»

(ջ- 4) Ք": օ«

ջ(4:5)

Հ

4»:

Հ

կասենք, որ ։ վեկտորը

դրական Է (կգրենք »»0), դրական թվեր են,

եթե նրա

բոլոր

բացասական Է (կգրենք »։«Հ0), բաղադրիչները ոչ բացասական թվեր են:

վեկտորից

ն

կգրենք 2».

Կասենք,

որ

նրա

եթե

ոչ

Ենթադրենք 2,572 ՀԲ":

բաղադրիչները բոլոր

Է

մեծ

վեկտորը

«շ, եթե »-»«»0:

»

եղանակով կսաճմանվի տ ՀՀ անճավասարությունը: Նշված սաճմանումները ճնարավորություն են տալիս ամփոփ տեսքով գրելու գծալին Բավասարումների կամ անձավասարումների համակարգերը: Այսպես, օրինակ, գծալին անճավասարումների Նման

Օլ:

Դ

Տ

4լ2252-Է-:.36լոՃղ

-է ճ22:62-Է-:.Է02րՆո Հ 12

.....00006օ0ՓօՓօ660օ0օօօ60օօօ0օ002օՓօ0օօ6օօօ

ԼԵ

Ւ

աղ Տ.Ս ճո272-է:":ՒՅ

Բամակարգը կարելի Է գրել 4,«Հ/.,

ոլն: Ի «շա...»

կամ

-

(պյդ.

Ե).

2Ճ«2«401-4) »

կետերի

օ

-

կամ

Ն2,...,յ,.

տեսքերով,

4Հ(գյ),

որտեղ

բազմությունն անվանենք ուռուցիկ. եթե 0ՀՂՏԼ

թվի

«Հմ

կետերի

1ք. կամոր

նուլնն Է, եթե բազմության ցանկացած

ճետ

Ե,

Հ

(8լ:/չ։...28.):

հԼ«- Ջ"

Սաճմանում:

ցանկացած

ծ

«ՀԵ

Հ

ն

միասին բազմությանն

են

պատկանում

ճամար նան

ն

ալդ

կետերը միացնող ճատվածի բոլոր կետերը: Թվարկենք այս սաճմանումից բխող մի քանի պնդումներ. .երկու ուռուցիկ բազմությունների ճատումը ուռուցիկ է. գծային Բավասարումների Բամակարգի լուծումների բազմությունն ուռուցիկ Է, գծային անտավասարումնենի ՄԲամակարգի լուծումների բազմությունն ուռուցիկ Է: »

»

»

Ենթադրենք

քք",

իսկ

ճավասարման լուծումների ճիպերճարթությլուն:

ա-ն

իրական

թիվ

բազմությունն

է.

թ..-ճ

անվանենք

:մդոնիսմմովմղաովս

նտ

զ

ՖՏ

րսոողտոթռ

շմ «մռմողտղվ «ղ մցտրմտոտիուվլոլ տւսՎմոցվմղովց նստոծցտ 2 մս 'ղտը մցզտտկՂ, դուտսրետմ յյ Հ

Վ րամոմոռիտմ մտղկ »

Ր

ենենԼԸ '0»ժ տոտ

օտիտ.

մս

«(Փ»»ճ"

Վ

:0»44-Հ-(զ-2)4---շ4-զմՀռ՞-զմ վցտմ

մս

«'6վրնսկ ուսէՈ

րոսղտղվ ողոտծվրըտ '«241-»5

Ղ

զ) ճցտցտտող՝0

:0Հ(--2)2-

զ-2-Ժ «-1

:22:մ

6վյւմմաւսմտոտիովըռ Օճցրռզոսնըմզմղ

մմղ'"վցտրվտո իսլղը67'Ո

:օ0-92-ց9Հ2-»ջ2»-»ջ(ա:2-ջ09-9ոափ:-ց6-Փ9

"զ.ցընսը մս րող

'օՕ-92-9Հ6Շ4-0-:«-օ0-8-՝-ԳՉ 'մռմողտղվ 'ղ ղ

վմստկղի

«»

կվծւասմս մ-յ/

՝

յմ»

'

վյոժ

մս

վիմ յ/

ը 5/7

տոտ

օտծտկդոծ լոնտաիսրեռմյր

»

» 0

տծտկըոծ

'Վ դումծսրեռմ

զ)(--գՀ»-ՓԹԺ-զԳՓ)

:(շ-

«իսովոորը :տմի

Վ օմղքմտ դիսետետիը վեռովծկուսֆ (չ)վ

յմ

(շ)վ

մորու

-(/-Հ:/

օջտծտկցտծդոնիսրետմ կով "յ/»»

մտրով վմստկղի Սոնիսրետմ օճցվուո

տո

(լ2)վ Հ(«)վ

Հ

(ԸթյՏ5»:)"Բ

(050) տոռ

«տվծկուսփ տովնդմյ

-Ա-(տ)վ ղով

Վ ոսնիսրեռմ

`

(5)Տ1775

«

-(շ)վ

զմզ 'ծվբնսկ ուսէր

մս 'ողոդլտ վրւս դւսլմւս1սԵ (:)95»շ տ օշտիշսմվմ տմի ռտլաիսրետմ նոտ

ղոփ

ղոփոցորյտո

(օյ (»«-գՉ(«-գ)-Ի-ցի-

:ցովծկրափ

(յչ)Տ

ց-

վյոժ

մս

օտիշսմս տմի ցոքմարԵում

ե-Վջչի- Ի5»»"9Գ-(»5

՝ յմ Ճցյղկմտտվնղ մուս օւսրեռմ |

:1 տզկ Վղմս դուշւսրետմ Վողցդոտրկոր

յբ

05 «նսծճվվ, «Վ :5Հ»-:Մմ

ղ

2»

զ-Մ

տոտ

'Մւսիսմմոյմղտվմ

մս

յյ»

զ

(յյտ3)4Ճ

վովոդլտ վուս

.-:-մ

դ1ս14սրետմ

ՂՂՀ

սսԵ

ուա

-ղվծճստս մուսԿնսրեռմ

հտփ

ՂՎՂՀ(ցվոռր դոնի սՎմովմղովյ

:Վ մզցուսնիսրեռմ

նսիտոծցտ)

/

րղմսղ.քյ

ղվծւսնւս ԱոՂԱՈս Վմոցմղաովվմս «զ տնտսոկՂ

Դիտողություն Անջատող ճիպերճարթության մասին թեորեմը մենք կօգտագործենք նան Բետնյալ ձնակերպումով.

Եթե

1:

Թեորեմ բազմություն է

5:11,

ն

4-ն

վեկտորներն

իսկ

փակ

ուռուցիկ

գոլություն ունի այնպիսի ք»

ապա

6ժՈ(թ»

նԿ(.

»

գ

նրա սյուն

-ը

զլօԳ...ԷՕյճ":6լ Հ0,...,.,

3/-էյվ»-

-

գ):

2,2-,....0՞

մատրից է,

«ո

են,

բազմությունը

թեՀգ

ճիպերճարթություն, որ

Դիցուք

3"

Հ0)

ճնարավոր ոչ վեկտորների, բոլոր բազմությունը՝ Օ:այդ սուն բացասական գործակիցներով գծային Բամակցությունների 4-ը ուռուցիկ. փակ ենթաբազմություն Հեշտ Է ստուգել, որ է: բազմություն

Թեորեմ

Կա'մ

(Ֆարկաշ)

ճամակարգն ունի

ոչ

.'25-Ֆ

ճավասարումների

բացասական լուծում, կա'մ նրա )4Հ

անճավասարումների ճամակարգն ունի լուծում: Է» երկու Նախ ցուց տանք որ այդ

0. եչ

ճՃամակարգերը

միաժամանակ լուծում ունենալ չեն կարող: Իրոք, եթե

42-Ե

իսկ

)"-ն ջ4Հ0, Ե

ՀՕ

(ջ՛.4)5-

Հ0,

լուծումներ են,

ապա

Հ0

20,

անճավասարումների ճամակարգի որը

ճակասում Է

)«(48:)-ջ"ԵՖՀ0

պալմանին:

Ենթադրենք,

որ

45-Ֆ.

կամ,

ճԲավասարումներիհամակարգը տանք,

որ

նույնն

է,

ալդ

նույնն է.

ոլ2:Հ...Հոյշ"

բացասական լուծում չունի,

ջծ Հ0.

դեպքում լուծում կունենա »4Հ0.

ջե Հ0,

)ռ70,

Բամակարգը: Քանի չէ

ոչ

որ

ներկայացնել

որ, ըստ

7Հն...,ո

-Ֆ

ն ցույց

կամ,

որ

անճավասարումների

ենթադրության, Ե վեկտորը ճնարավոր

2՛,...,2՞

վեկտորների

ոչ

բացասական

գործակիցներով գծային ճամակցության միջոցով. ուստի Ե -ն չի պատկանում վերը սաճմանած փակ ուռուցիկ բազմությանը: Բայց ալդ դեպքում, թեորեմ 1-ի ճամաձալն, գոյություն կունենա ք»Հռ անջատող

ճիպերճարթություն, ինչպես

այնպիսի

Շ

կետ,

որ

Մ(»

«3

նան

քթՀօ,

//

բազմության պատկանող

թծՀօն

քՇ-ճ:

Քանի

նքանի

որ

27 «1.

թվի ճամար

4Հ0

Սակայն ք(46)

թ(46:)Հ.: Օ-0

ցանկացած

որ

-

4-քճ

Հ

4.

4-6

«4/(4),

ապա

այսինքն,

4ՃՀօռ.

ուստի

քճ7 Հ0, -1..ո:

ապա

Մաթեմատիկական անալիզ: Ենթադրենք, որ ընթերցողը ծանոթ Է մեկ կամ մի քանի փոփոխականներից ֆունկցիաների անընդճատության, ածանցյալի, դիֆերենցիալի գաղափարներին, դիֆերենցելի ֆունկցիաների ճատկությլուններին, Թելլորի բանաձնին, անբացաճալտ ֆունկցիայի գոյության թեորեմին: Հ

ֆունկցիան որոշված Է Ք" -ում, իսկ

Դիցուք՝ /(5)

կետի

Է՞:

Կասենք Ջ՝-ը / ֆունկցիայի (տեղային) մինիմումի

Սաճմանում:

կետ Է, եթե

Տ Շ

որտեղ Հա(2-)Կ(։ Հա(»՞3(/6-)Հ27(2).,

շրջակայք

Երբ

է:

բավարարում Է ցանկացած

(/(»)Հ/Թ)

2 «Բ

ո(ո՞)-ը 2`

անճավասարությունը

կետի ճամար 2`

-Հը կանվանենք

/

ֆունկցիայի բացարձակ մինիմումի կետ: Սառսանում:

Կասենք »--ը /

ֆունկցիայի պայմանական( 5

Է,

նկատմամբ) (տեղային) մինիմումի կետ Յո(»-)Մ( «աշ՞)ԴՏ)(Մ762-)5763։ Եթե բավարարվում անճավասարությունը

համար, նկատմամբ): Եթե »

»

»

եթե

7(5)5762)

ցանկացած

«5

կետի

կանվանենք ճամապարփակ մինիմումի կետ (5-ի (Հչ.

նշանը

կստանանք »

Է

-ի

փոխարինենք

(չ

ճամապատասխան

Ննշանով ապա սաճմանումները

"մաքսիմումի" վերաբերլալ: Եթե (չժ) կամ (շչ) նշանը փոխարինենք (Հ) կամ (») նշանով, ապա կստանանք "խիստ մինիմումի" կամ "խիստ մաքսիմումի Բասկացությունները: Եթե ընթացիկ շարադրանքից ճասկանալի Է, թե ինչպիսի Է ապա մասին` ։Օ խոսքը, մինիմումի (մաքսիմումի) «պալմանական" բառը չենք օգտագործի:

ԽԵթեկարնորչէ նշել, որ 5` մաքսիմումի թե մինիմումի կետ Է, կօգտագործենք Էքստրեմում" Բասկացութլունը:

ոլ

Էյ

Ուռուցիկ

բազմությունը

(«-Փ

ուռուցիկ

«(1-0)»

(Մ,5-

Էէ,

եթե

Կ(Ն:օՏ

0ՀՕՀ1)

Պճ

ուռուցիկ բազմության վրա որոշված

Տ

կանվանենք

ՀՏ)

ՏՀՔ՞

գիտեն,

«Տ):

Սաճմանում::

ֆունկցիան

Ինչպես

ֆունկցիա

(գոգավոր)

(գոգավոր),

ուռուցիկ

/(չ) եթե

(0ՀՕՀ1)

Ժռ

օ7(8:)0-օ)/27Հ7(265

Է1-0)»3):

(/(5:):1-06)/(23)Հ7/(2

7/(»)

Դիֆերենցեի

Սաճմանում

65)

Հ1-

մասնակի

ֆունկցիայի

ածանցյալներից կազմված վեկտորը կանվանենք /(»)

ֆունկցիայի

գրադիենտ՝

Ք64յ(5)

(71/49 188չ...291/4"):

Պ/Հ

Հ

Ուռուցիկ (գոգավոր) ֆունկցիաների վերաբերյալ ճշմարիտ ճետնյալ թեորեմները (ապացույցը, տե՛ս, ||): 3: (5,8) Թեռրեմ

/Փեորեմ 4:

«

է"

1/Թ)ՏՀԹ.

Թ

«տ

են

176)ՀԹ9

վեկտորների բազմությունն ուռուցիկ Է: Ուռուցիկ (գոգավոր) ֆունկցիաների գումարն ուռուցիկ (գոգավոր) ֆունկցիա Է:

Թեորեմ5: Որպեսզի Տ ուռուցիկ բազմության վրա որոշված դիֆերենցելի յ՛(») ֆունկցիան լինի ուռուցիկ (գոգավոր), անձրաժեշտ Է

ն

բավարար,

որ

74222762

ՒԽԹ»-)

Մ(2Հ72

77-53)

Թեորեմ6:

Տ

ուռուցիկ բազմության վրա որոշված /(չ)

ուռուցիկ (գոգավոր) ֆունկցիայի ճամար տեղային Էքստրեմումիկետերը ճամընկնումեն:

Քառակուսային ֆունկցիաԷ կոչվում ներից

ՕՀ

ցանկացած

գյո», :

է.1-1

երկրորդ

կարգի

լ,

ն

2շչ...»"Ճ. ճամասեռ

ճամապարփակ փոփոխականբազմանդամ՝

Եթե Օ(5)

վերցնենք

«Ը».

Հ

որտեղ

Սաճմանում:

«-Հզ..

Ը

Փ.-Հ(ԽԷՂԳՈ)/2.

(շչյ) սիմետրիկ

Հ

ոշ

ո

16),

ապա

մատրից է:

Կասենք՝ Օ քառակուսային ֆունկցիան

»

դրական որոշված Է, եթե

»

բացասական որոշված Է. եթե

»

կիսադրական որոշված Է, եթե

Մշ

(25 0) Մո

«Ջ»0, :«Ը.Հ0,

(50)

Մ"

Հ0,

«Ը

Հ0: կիսաբացասական որոշված Է, եթե Թեորեմ 7: Որպեսզի քառակուսային ֆունկցիան լինի ուռուցիկ, անքրաժեշտ է ն բավարար, որ ալն լինի կիսադրական որոշված: Հետագալում դրական (բացասական) որոշված քառակուսային ձնի մատրիցը կանվանենք դրական (բացասական) որոշված: «Ը»

Մ

»

Թեորեմ ծ: Որպեսզի Ը մատրիցը լինի դրական որոշված, անքրաժեշտ Է ն բավարար. որ նրա բոլոր գլխավոր մինորները լինեն դրական (Սիլվեստրի պալմանը): Թեորեմ 9: Որպեսզի Շ մատրիցը լինի կիսաբացասական որոշված, անճրաժեշտ Է ն բավարար. որ գլխավոր մինորները լինեն նշանափոխ (բացասական, դրական ն ալլն): Էքստրեմումի կետի որոշ պայմաններ: Մեկ փոփոխականիցֆունկցիայի ճամար ճշմարիտ Է. Թեորեմ առաջին (ո-1) ապա

»

»

Եթե

10:

ց

ստացիոնար կետում /(չ)

կարգի ածանցյալները

աց-ն /(5)-ի

/»(ւց)

են, իսկ

/»(ոյ)»0,

ճամար

շրջման կետ Է, եթե ո-ը կենտ Է Էքստրեմումի կետ Է, եթե ո-ը զուգ եթե

զրո

ֆունկցիայի

ՀՑ

նմինիմում, եթե

Է, ընդ որում մաքսիմումի,

/»(ոյ)»0:

Խ՞ -ում որոշված այնպիսի ֆունկցիա Է, որ նրա

Դիցուք՝ /(2)-ը

առաջին ն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները 2-7" անընդճատ են:

Թեորեմ

11:

Եթե »-՞ -ը Էքստրեմումի կետ Է,

Տեղին Է Բիշեցնել, պալմանը, կոչվում

են

որ

ապա

կետում -0:

կետերը, որոնք բավարարում են Ճ/(»)-0

ստացիոնար:

Թեորեմ

12:

»-

ստացիոնար կետը /

(մաքսիմումի) կետ Է, եթե

ֆունկցիայի մինիմումի

(7.»,) մատ-

կետում Հեսսի՝ ԺՄ(5)-

այդ

րիցը ճամապատասխանաբար դրական (բացասական) որոշված Է:

7/(5) ֆունկցիան «՞ կետի շրջակայքում վերլուծենք Թեյլորի

ՒԷ»

բանաձնի մնացորդային

0 ՀՅ

ձՃ2)-702՝)-

(8

Հ1

անդամով:

(345.2

Դիցուք` 5՞--ը մաքսիմումի կետ Է, ձ:

"0-ի

ճամար, ճետնաբար

անընդճատությունից

ձ.՛ Ա(5)ձ2-ը

1286:

Ի

Էէ,

որ

Մճետնում

քառակուսային

ձն

(5`Հ

ձմ

Է, ապա

/(2-

05)ձ»: Հ

Ճ.)Հ/Ը՞)

0Ճ:)ձՃ2Հ0

ն

Ա(՞)Հ0.

Ճշ

/Մ(«)ճ2Հ0

ք

բոլոր

(Հեսսեի) քանի միայն

միալն ալն դեպքում, երբ //(Ջ՞)-ը բացասական որոշված մատրից է:

որ ն .)

Այսպիսով, որպեսզի 2` ստացիոնար կետում լինի մաքսիմումի կետուս լինի կետ, բավարար Էէ, որ Հեսսեի մատրիցը այդ բացասական որոշված: Հիշեցնենք որ Մ մատրիցը դրական Է որոշված, եթե նրա բոլոր գլխավոր մինորները (գլխավոր անկյունագծով դասավորված) դրական են, ն բացասական է որոշված, եթե անկյունագծային մինորների նշանները ճձամընկնումեն

(-1)",

2.

նշանի

12,...,

Նյուտոնի

ճետ:

/(5) եղանակը:

ֆունկցիայի ճամար Մ/(«)-0

ճավասարման լուծումը ընդճանրապես ճանգեցնում Է ոչ գծային ճավասարումների ճամակարգի լուծմանը. կապված է որոշակի դժվարությունների ճետ: Այդ պատճառով շատ կարնոր Է ալդպիսի Բավասարումների լուծումները գտնելու ալգորիթմ ունենալը: Ստորն մենք կդիտարկենք այդպիսի ալգորիթմներից մեկը՝ Նյուտոնի ալգորիթմը: Դիցուք՝ ունենք ոչ գծային ճավասարումների ճամակարգ.

7Թ)Հ-0,

1512....,ո

»'-ն

տրված կետ է: Օգտվելով Թեյլորի բանաձնից՝ մեր ճամակարգըկարելի Է ներկայացնել Բետնյալ մոտավոր տեսքով.

ն

7(8')»ՋՐ(")6--»')-0,

ԷՀ 12,...յո,

կամ մատրիցային տեսքով

4Ճ:Ի8.2-5:)-0. որտեղ 8յ

Յակոբիի մատրիցն Է.

-ն

ՑՈ"))

8, ՀԻԲՇ

|

...«.....օօ««

Եթե

Ծ/Ո(Ճ),

իկ

:-12.....ո

մատրիցը չվերածվող Է,

ն

(Թ.Թ: անկախ են.

գծորեն

է.

5ՀԽ-8.

Այսպիսով,

Ց,

ապա

վերջին ճավասարումից Բետնում

7Օ2)Հ0,

(Հ

12....յո

հավասարումների

ճամակարգի մոտավոր լուծում գտնելու ճամար առաջին քալլում վերցնում ենք 2,

«ց սկզբնական արժեքը, իսկ ալնուճետն

արժեքների ճամար, եթե ճայտնի Է 2: -ն,

ապա

-ի 0, 1,

(")-ի միջոցով

ենք արլ -ը: Գործընթացն ավարտվում է, երբ երկու հաջորդական արժեքների տարբերության բացարձակ արժեքը՝

ստանում

թո»

մեր

ոչ

փոքր Է պաճանջվող ճշտութլունից: Ալդ դեպքում 2-ը

գծալին ճավասարումների մոտավոր լուծումն է:

Դիսկրետ մաթեմատիկա: Դիցուք՝ 1՛ Հվելչշչ...»»ք)-ն

3.

վերջավոր

բազմություն

կանվանենք (աչ»)

ն

)՛

(տջ»')

է:

6)՛

Երկու տարրերից կարգավոր զույգ: կարգավոր զույգերը ճավասար կճամարենք միմիալն բազմության

1 -ով նշանակենք

)՛

բազմության տարրերից

զուլգերի բազմությունը՝ ,-

Դիտարկենք Մ(ա ՀՄ)((աչս)

ՀՔ)

զույգը

բոլոր

կարգավոր

Ա ՇԱՎՅԱՈՂՅՀԺՔԵ

ՔԲՇ աե

բազմությունը,

որը

բավարարում

Է

պալմանին: կանվանենք կողմնորոշված գրաֆ կամ օրգրաֆ

կնշանակենք Շ-(Թ.թ): օրգրաֆի գագաթներ,

պյս 38:։պայմանանւշնանը

դեպքում:

ո-ա'նջ»»Հ»'

(Ք)

(աւ)

որնէ

Է

բազմության

բազմության

տարրերը

ն

կանվանենք

տարրերը՝ աղեղներ:

ՕՇ

Այսպիսով, ՛

Հվցլջշջ...»5»ք:

աղեղների

ն

Յուրաքանչյուր գագաթը

«

օրգրաֆը՝

«Ք

Ք

աղեղ ունի

կանվանենք (մ,»)

16լչ6շ»...»6)

Հ

բազմություններով:

(մ5») տեսքը, որտեղ ս,«7՛:

Հ

աղեղի սկիզբ,

Շ -(7,Թ) Հետագայլում

գագաթների

Է

որոշվոմ

ս

գագաթը՝ աղեղի ծալր:

»

օրգրաֆը ճարթության վրա Բաճախ

պատկերելու ենք ճետնյալ կերպ. գագաթներից լուրաքանչյլուրին ճամապատասխանեցնեու (տարբեր են, Բարթութան կետ գագաթներին՝ տարբեր կետեր), 6 (մյ) աղեղը պատկերելու ենք ս Հ

գագաթնեին ճամապատասխանող կետերը միացնող, անընդճատ գծի միջոցով, որը չի անցնում որնէ այլ գագաթի համապատասխանող կետով, սլաքով նշելով 7» ծայրակետը: ն

»

Այսպես, օրինակ՝ Շ յ

0՛,

-

Բ) օրգրաֆը,

որտեղ

54556)

ՀվԵլչ5շ93»9գ

(լ »Ֆշ ),(5շ »5լ)(Թ2753 ), (5 »Ֆգ ), (54»)5 )(չ կարելի Է պատկերել Բետնյալ ձնով (նկ. 2.1): Է-

Ա

),(չ

2.56 )

5):

նկ. 2.1

6 օրգրաֆի

ՇՀ-(8)

Բաջորդականությլուն՝ Բղդ)(ջչ,..(

գագաթների

Օ։անվանենք

աան

Շ

լ

-ից

օրգրաֆի

53...

ուղի,

միմյանցից

լ»5, եթե

տարբեր

աղեղներ են:

Կասենք,

որ

»լ-ից»,.

ուղին

պարզ

գագաթները չեն կրկնվում (բացի, թերնս, »լ ուղին կանվանենք փակ ուղի կամ օրցիկ,

օրինակ`

վերը

պատկերված

գրաֆում

ուղի է, Հչ

եթե

նրանում

դեպքից): »լ-ից եթե »լ

»,

Այսպես,

Ֆյյջլոչո5):54»55»5.

ճաջորդականություն

»չից

ճաջորդականությունը՝ 5շչ-ից ,, Շ-

».

ուղի

պարզ

ուղի:

օրգրաֆի գագաթների

0՛, Բ)

ճաջորդականությունը կանվանենք ՖՏՂՈՀՀՀԱ- Ծ(Թչլ»5չլ) ն

ճանապարձը

(5:չ»: լ)

Ք

իսկ (»չլ»»:)

կազմող

Ք

լ

-ից

չ,

իսկ

0 ջշ,»չչ»չչ»յ

Ֆլ Փշյ

937-279 Ֆյ լ9Ֆի

է,

Ճանապարձճ, եթե

կամ (5ղւլ»»:) 628)

միմյանցից տարբեր

աղեղները

դեպքում աղեղը կանվանենք ճանապարձճի ուղիղ աղեղ,

դեպքում՝ ձակառակ աղեղ:

ՕՔ

Ակնճատ Է, որ ճակառակը ճիշտ չԷ:

Կասենք,

լուրաքանչյուր

».,-ից

որ

չ,

ուղի

ճանապարճը

ճանապարճ Է,

պարզ

եթե

»,

»լ»,.:

Այսպես, օրինակ

դեպքից):

վերը պատկերված օրգրաֆում

ճաջորդականությունը 54-ից

ճաջորդականությունը՝ »:-ից »չ

96592 .Եգյ9չչ5շ

Ճանապարք է,

»չ

պարզ

ճանապարճ,

ճհաջորդականությունը՝ցիկլ: Ընդունում ենք,

իսկ »յ,»չ,5գչ»: ուղի Է

»լ -»,

Ճճանապարձնանվանենք փակ ճանապարճ կամ ցիկլ,

96596:9գ993,5շյԵլչ5շ

տարր

բայց

ճանապարր է, եթե

նրանում գագաթները չեն կրկնվում (բացի, թերնս,

5լ-ից

են:

որ

մեկ

պարունակող ս ճաջորդականությունը միաժամանակ «-ից ն ս-ից ս"ճանապարճ:

«

Հեշտ Է ստուգել, որ եթե Շ-(.թ) օրգրաֆում » .գոլություն ունի ո-ից ուղի, ապա գոյություն կունենա նան սո-ից » պարզ ուղի, գոլությլուն ունի 6-ից » ճանապարն, ապա գոյություն կունենա նան ռ-ից » պարզ ճանապար:

»

»

Կասենք, ցանկացած

որ ա,»

(7,472)

օրգրաֆը

կապակցված է, եթե նրա

գագաթների ճամար գոյություն

ունի

ս-ից

»

Ճանապարհ: ենք միայն Հետագալում, կանոն, դիտարկելու որպես ն կապակցված օրգրաֆներ անընդհատ չենք կրկնի կապակցված բառը:

Մենք կդիտարկենք սաճմանվում

են

նան

որպես (՛,7Ճ)

գրաֆներ,

չկողմնորոշված զուգ,

որտեղ

յ

որոնք

Հվցլջջշջ....5ք)-ն

գագաթների բազմություն

է,

իսկ

Հվա,...»:Հ-Ը

»։«»`2Ճ7 բազմությունը: Յուրաքանչուր Է 1՛-ից՝ ունի աՀա) ենթաբազմություն

կողերի

կող երկու տարրանոց ն »օ2)՛ տեսքը սօ7,

Դասավորությունը նշանակություն չունի. (ա») կամ (»,ս) գրելաձներից յուրաքանչյուրը կօգտագործենք նուն կողի ճամար: Եթե (ս, ») -ն կող է, ապա կասենք, որ ս ն » գագաթները Բարնան են: Հետագալում չկողմնորոշված գրաֆ բառակապակցության ն կօգտագործենք գրած բառը այն կնշանակենք փոխարեն Շ-(Օ՛ 2) պալմանանշանով: ռս»:

247)

Շ-0

գրաֆը՝

տճարթությթան վրա

կպատկերենք՝

գագաթներից լուրաքանչյուրթին տճամապատասխանեցնելովկետ (տարբեր գագաթներին տարբեր կետեր), իսկ ամեն մի «Հ-վաչ) » ս, ն կողին գագաթները միացնող ն մյուս գագաթներին ճամապատասխանողկետերով չանցնող անընդճատ գիծ: Այսպես, օրինակ, Օ (0՛, ,) գրաֆը, որտեղ Հ

ՄՀ

թլչշչ9:չեգչ31:56:5.)

ՏՒԱԼՆ

ՆԴՈՂԱԱՆՈՂԱՏՈՌՂԱԴՂՈՒՂՄՈՂՌՈՄՈՂՈՄՂՈՂՒՂՄՈՂ2))

կարելի է պատկերել ճետնյալ ձնով.

Շ

«029

գրաֆի գագաթներիՖլ

ճաջորդականությունը՝ կանվանենք

Թրջշ ԽՍ:

լյ)-ն

Կասենք, որ »լ-ից

Շ »,

»լ-ից

»,

եթե »լ

ջ,

1»եր

ճանապարհ,

գրաֆի միմյանցից տարբեր կողեր

ՔՃանապարճը պարզ

նրանում գագաթները չեն կրկնվում (բացի, թերնս,

5-ից

29 83:55

եթե են:

ճանապարճ է, եթե

Հ,

դեպքից):

ճանապարհըկանվանենք փակ ճանապարծք,կամ ցիկլ,

Հլ:

Ց

9,

՞

Ժ2՞-

2"

Հ"

0"

Մ,

59Ը.

Ի

ԻՍ

Ա։պկպՁ|Ե

հաջորդականությունը՝

56»57

Իղ՞ղ

»չ-ից

շ

Ե,

»,

ՏԵՍԻ

պարզ

"

ճանապարհ,

իսկ »չչթգ,56557»55-ը՝ ցիկլ: Շ--Ժ-

ցանկացած ճանապար:

7,7) գրաֆը ս

ն

»

կանվանենք

կապակցված

եթե

նրա

գագաթների ճամար գոլությլուն ունի ս-ից

»

ԱԼ

ԳԾԱՅԻՆ

ԽՆԴԻՐԸ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԾՐԱԳՐՄԱՆ

ԵՐԿԱԿԻՈՒԹՅԱՆ

ազատ

ԵՎ

Ամեն ինչ լավին Է ձգտում մրցակցությամբ այս գծային աշխարճներից լավագուլնում: Դ.

Գեյլ

5 Լ Գծային ծրագրման խնդիր Ենթադրենք՝ տրված Ե -(ել,Եշ»....Ե.)

ն

են

4Հ(ճյ)

ո-չափանի

յտ«ո

ՀՀ

մատրիցը,

(լչճշչ...»6ո)

ո

-չափանի

վեկտորները:

(45,6)

եոլակի համար ձնակերպենք երկու խնդիր: Սովորական տեսքի գծային ծրագրման (ԳԾ) մաքսիմացման «2» ոչ խնդիր: Գտնել ո-չափան՝ բացասական վեկտոր, որը /42ՀԵ բավարարի անճավանարումների ճամակարգին ն որի Բամար »-Ը

սկալյար արտադրյալի արժեքն առավելագույնը լինի: Վերը ձնակերպված խնդիրը կգրենք Բետնյալ տեսքով՝ 25-Ը»

«ՀԵ,

(1.1)

ոու,

(1.2)

«0:

կանոնական տեսքի

ԳԾ

մաքսիմացման

խնդիր:

«Գտնել

ծ -չափանի ։Ճ ոչ բացասական վեկտոր, որը բավարարի Է ճավասարումնեի համակարգին, ն որի ճամար 2»-Շ սկալյար արտադրալլի արժեքն առավելագույնը լինի: Վերը ձնակերպված խնդիրը կգրենք Բետնյալ տեսքով՝ /4:-

ո

Ճ-Շ-՞

(2.1)

ոու,

4ճ2ՀԵ,520:

7(82)-Շ

ֆունկցիան կանվանենք ԳԾ

(2.2)

խնդրի նպատակային

ֆունկցիա:

Հիշեցնենք, որ առաջին գլխի 84-ում ձնակերպված "դիետի" ն "տրանսպորտային" խնդիրները սովորական տեսքի մինիմացման ԳԾ խնդիրներ են: (1.2. (22) կամ 6սաճմանափակումներին բավարարող Ճ Հ(ճլ»62շչ...»:ղ) վեկտորն անվանենք Բամապատասխան խնդրի

լուծում, իսկ ալն լուծումը, որի ճամար /(")-2-Շ Է իր առավելագուլն արժեքը, նպատակային ֆունկցիան ստանում ԳԾ լավագույն լուծում: Լուծել խնդիրը նշանակում Է գտնել նրա լավագույն լուծումը ն նպատակային ֆունկցիայի լավագուլն արժեքն թուլլատրելի

ալդ

կետում:

Նկատենք,

մասում

որ

45ՀԵ

մտցնելով

անճավասարումների Բամակարգի ձախ :) (Խ,լ5Ճու23:::55 լրացուցիչ ոտ

ԻԻՀ Ե փոփոխականներ, կստանանք ճավասարումների ճամակարգ, որն ունի ոչ բացասական լուծում, եթե ն միալն եթե

42ՀԵ լուծում:

անճավասարումների

ճամակարգն ունի

ոչ

բացասական

Այսպիսով, եթե մենք կարող ենք լուծել կանոնական տեսքի ապա կկարողանանք լուծել նան սովորական տեսքի

խնդիրներ, խնդիրներ:

ԳԾ ԳԾ

Առաջին Բալացքից կարող Է թվալ, որ (2.1)(2.2) պայմանական Էքստրեմումի խնդիրը կարելիԷ լուծել դիֆերենցիալ ճաշվի ճայտնի եղանակներով, որոնք նկարագրված են մաթեմատիկական անալիզի դասընթացներում Սակալն ճիշենք որ դիֆերենցիալ ճաշվի եղանակները ճնարավորություն են տալիս որոշելու նպատակային ֆունկցիայի միալն Էքստրեմումի այն կետերը, որոնք ընկած են դիտարկվող տիրույթի ներսում, այլ ոչ թե եզրին: Մյուս կողմից, ինչպես ճետագալում կնկատենք, ԳԾ խնդրի լավագույն լուծումները, որպես կանոն, միշտ գտնվում են որոշման տիրութի եզրին: ն ԳՄ Հետնաբար խնդրի լուծմա ճետազոտման ճամար են որակապես նոր եղանակներ: Սույն գլխի ճաջորդ անճրաժեշտ պարագրաֆները նվիրված են ձենց ալդ եղանակներին:

52. Գծային ծրագրման խնդրի երկրաչափական մեկնաբանումը խնդիրը պարունակում Է Պարզագույն դեպքում, եր` ԳԾ ընդամենը մեկ կամ երկու փոփոխական, դժվար չԷ այն մեկնաբանել ն լուծել երկրաչափական եղանակով: Չնայած նշված դեպքերը գործնական նշանակություն ունենալ չեն կարող, այնուամենայնիվ դրանց ուսումնասիրումն անճրաժեշտ է՝ ինչպես ԳԾ խնդրի մի շարք կարնոր ճձատկություններըը բացաճայտելու, այնպես Էլ ընդճանուր դեպքում նրա լուծման եղանակները երկրաչափորեն ընկալելու տեսակետից:

Նախքան երկու փոփոխականներով ԳԾ խնդրի ճետազոտումն սկսելը, երկրաչափորեն նկարագրենք երկու փոփոխականներով անճավասարման լուծումների առաջին աստիճանի Ճա Էծ» ՏԸ բազմությունը: է, որ սպդ անձավասարման՝ բավարարող Ակնատ թվազուգ իրենից կներկայացնի յուրաքանչյուր 6 (ալջո»շ) կոորդինատների դեկարտյան ուղղանկյուն ճամակարգով որոշված Ճլօ»չ հարթության կետ, իսկ լուծումների բազմությունը՝ ճել Է ծ» ՇՀ ուղիղով առաջացած կիսաճարթություններից մեկը: Որպեսզի որոշենք ճոալԷծ։, ՀԸ անճավասարման լուծումների բազմությանը -

է ճամապատասխանող կիսաճարթությունը, բավական կիսաճարթություններից մեկին պատկանող որնէ ներքին 4 կետի

(ռելե

-Շ

ուղղին

չպատկանող)

կոորդինատները տեղադրել

տրված անձճավասարման մեջ: Եթե այդ կետի կոորդինատները բավարարեն տվյալ։ անճավասարությանը, ապա որոնելի կիսաճարթությունը կլինի ճենց այն, որին պատկանում Էր /,4 կետը, ճակառակ դեպքում՝ մյուս կիսաձարթությունը: Օրինակ 1: Որոշել 2»լ Հ 3:չ Հ6 անճավասարման լուծումների բազմություն Բանդիսացող կիսաճարթությունը: Կառուցենք 2»լ 3:56 ուղիղ գիծը (գծ. 1)

ն

վերցնենք 1

կիսաճարթությանը պատկանող 4(4.1) ներքին կետը: Այս կետի կոորդինատները չեն բավարարում տրված Է անճավասարման 2»լ 3,չ անճավասարմանը, ուստի լուծումներին Բամապատասխանող կետերի երկրաչափական տեղը կլինի .4 (4.1) կնտը չպարունակող 1 կիսաճարթությունը (տե'ս, նկ. 3.1): 3.

վնորմսը

(15:52)

ճցղզոլափտնղտ ԿղյտեւսԵ

ոդղմվ

72դվ

աջ ղմղ ցզցջտկ ցղզմսդորվտոդո (մմղցմղթմո մնվոս ԾՀՀա24 օտդւսնցԱ վնտվճկուսՓ դվտղտտոթցը ղոց «Վոտմողտղս)մմղդմղթմո վ-Ծ մս Վղցողտ Վ տծշղշ:զ մվնդոլ|ՍործտորվովրչՂ4 '0շտրծորվոմոր մմվնդոլ (2-2)-(1-շ) Ղմ '6վռտմը օտիոլող քվմղմսղ օվնողոնմտկոր ցվմղդմղքմտ ցնսետմմսափրող դցդնսեռօղը նսցյտվոռտոտտրով վմտղրոմոտ 5 դղ րւսոտկտոխ մցսմս '«մմղտղկդտ (ցողզցտրետմ ՁՕՎԿԱԽ) վմնսմվտ վլղմտոլոսմ 1ղդտե զ տշղքտմյցտ եղող :(վղմսկ օցվնտղտնմողտրվլովծկցւսՓ

ԵՎ Ճցոցոտող սղյտեւսե աշ ` մվրտտդցմ վմղցնվնս Աղոցմզքմտ ցվնտիմ մղմմտտ իսնտտ դռվմտղրտմտո7 :մմղքմո ցնսդղվր վուսնդմղ րւստղկ մսԹցոմոմւասԼ վօե նվնւս

ցւստոտոռվ

ք աջ մս զ Եմոլ, 2-2 Ի ոշ -2 ՀԱԻ ցտվծկուսՓ ցվնտղտտոխհը :մրւս0ւս1 ցնսԵռիոլ վմնցոլ 1զցտԵմռղջմսփ Ղ «(2 ՛օԵ) Վ 9ւմղցտրեռմ մմրսմվտ վլղզմտոլնսծ վմնցոլ (2-2)-(1-2) ..00զմնտժցՂ ՎՕՎԱԽՍԽ :(դ8 2 ՂԵ'ողտ) Վ ոսնիսրեռմ ղվճմսսւսցլտ ոոտ «ՎՀղմտտոտնմճմնսմվտվլղմտունսճ/ ղղ ցմդվուո «ավմնսմվտ նտ Վ րոսցտկղտտխողոցնսը մշտիտով նսործովր մմղտղվ ւսղմղ օտղվտնորտկվնսցյտղտտոռ դվմնսմվտ մս վլղմտուլնսվ րւսմղմողն մսլսմ Ղղիեսրտց ՎՀ մոտիքՎ, ղ ոալկցոռրետմ «օվե նվնւս «ԱՎնտեռտսոց 'օռիտով «տղկ Լլ ողոցլտ «1ստիսրեռմ ղմտտոն ողոձդվ 1ղդվ|Վ նսմոկ մմնսմվտ վլղմտոլնսծժ վմնցո։է։ մս «զ վետցտկոտ» :մնսմվտ վլղզմտոլւնսշ` վմնցոլ (22) -«1:2) ճ0զցտիցտ ցոտր մասցովնըմ նտ վմղցըդւսաիսմմոցտովիլ :մդւս1օւսրեռմ օռիծոտոտո ճվրւստով վմղդդ1ս16 ւս Վմոցտովղկ նտ վցծոԼողմղըկ ծ6վռղմվօդւսթհսրեռմ վմղտղղ մսլսմ նսմռոմտիոտմ Սվեմոկորով վտուսմ 'Վզ դյկղի Տվմղցդւսմիսմմոցտովղկ (շշ) օոտծոծոստ իսջե նվնւս նսցտվոռտոտոտրով մլյտորղզտոփոցտրվոռ մըյւսօիսրետմ վմղտղղ նսմոմտիոմ մդորկվկտփոցորվտռ Հ

նտ

փսԹցոճոմ.սԼ վ-(2-2) Վցտողտ ողոՀցվ :6զր Սոնի սմմոյ 42505: Անղտ ցտկտփոձոմկմղ ցոթհսրեռմ վմղտղվ նսմոմտիոմ դցվեմտղորով վմղդրւսմտոտիոցսցտ (22) վմնըտոլ|լոնտ Ճյցղշսմս ոլոՂղ 22)

ա:

122:

:::Ղ

ՈՓ

-

լզ «-

բջ

ձճողկմտտվն մմվնցոլ

5 Վ Հ5-Շ

Ավ

եչըջ

աջ-2

փիսմողտմւսցոցվնցմ իսմղդդտղվտոլափսփ՛ւսղմղ րքեր

ուղղությամբ, ն անսաճմանորեն կնվազեն, եթե այն զուգաքեռ տեղափոխենք Ը գրադիենտի Բակառակուղղությամբ: Հետնաբար, որպեսզի որոշենք մաքսիմացման խնդրի լավագույն լուծումները, անձրաժեշտ Է "լլ Է Շշ»չ Գ ուղիղը Շ(ճլչճշ) վեկտորի

ուղղությամբ ինքն իրեն զուգաձճեռտեղափոխել, այնքան, քանի դեռ թույլատրելի տիրոււթի ճետ ընդճանուր կետ ունի: Թույլատրելի տիրույթի ճատումը մակարդակի կորի ճետ ալն դիրքում, երբ նրա ճետագա զուգաճեռ տեղափոխումը Դ/ԴՔԲՕԵբազմանկյան ճետ չի ճատվում, կլինի խնդրի լավագույն լուծումների բազմությունը: Ըստ ԽՃ-ն մաքսիմումի նկար 3.-ի կետ Է, իսկ (ՔՄ) ճատվածի յուրաքանչյուր կետ մինիմումի կետ Է:

նկ. 3.2

ՕրինակՀ: Լուծել

Հ

ԳԾ խնդիրը

-2ալՒ3ոչ-»օԺ,

- -28, լ ա 3ոլ 2»: Հ-24,, լ է»:չՀ3 -

Որպեսզի կառուցենք խնդրի թույլատրելի տիրույթը, նախ որոշենք լուրաքանչյուր սաճմանափակմանըԲամապատասխանողկիսան ալնուճետն՝ դրանց ընդճանուր մասը (տե'ս. նկ. 3.3): ճՃարթությունը ինչպես երնումԷ նկարից,

3/

կետը

-2ոլ Է3:չ

ֆունկցիայի

մաքսիմումի կետն Է նրա թուլլատրելի տիրույթում, քանի որ 37-ը (1) ն (1) ուղիղների Բատման կետն Է, ուստի լուծելով այդ ուղիղներին համապատասխանողճավասարումների ճամակարգը,կստանանք 4/ -4, ։չ-6: կետի կոորդինատները՝ զ ն

Հ

նկ.

3.3

Նպատակային ֆունկցիայի արժեքը ճաշվելով 24: կստանանք Հո, Նույն նկարից երնում է, որ -

այս

կետում՝

-2պԺԷ3»շ

նպատակային ֆունկցիան խնդրի թույլատրելի տիրույթում ներքնից անսաճմանափակէ, Բետնաբար՝ մինիմացման խնդիրըլուծում չունի: ն ԳԾ (Խխնդրի 66ՄՃԲետազոտտման լուծման վերոճիշյալ երկրաչափական մեկնաբանումը Բնարավորություն Է տալիս անելու հետնյալ եզրաճանգումները. խնդրի թույլատրելի լուծումների բազմությունը ուռուցիկ է, եթե այն դատարկչէ, մաքսիմացման (մինիմացման .պաճանջով խնդիրը լավագուն լուծում ունի այն ն միայն այն դեպքում, երբ թույլատրելի տիրույթը դատարկ չէ, իսկ նպատակային ֆունկցիան այդ տիրույթի վրա վերնից (ներքնից) սաճմանափակ է, եթե խնդիրն ունի լուծում, ն թուլատրելի տիրույթի գագաթների բազմությունը դատարկ չէ, ապա լավագույն լուծում է նան ալդ տիրույթի գագաթներից գոնե մեկը: ինչպես կերնա ճետագա շարադրանքից, փոփոխականների քանակից անկախ. նշված ճատկություններով օժտված է ցանկացած ԳԾ խնդիր: »

»

»

Տ3. Գծային ծրագրման երկակիության տեսություն Այս պարագրաֆի ճիմնական նյութի շարադրանքին անցնելուց ձարկ ենք ճամարում ուշադրություն ճրավիրել այլն փաստի վրա, որ, որպես կանոն, լուրաքանչլուր տնտեսագիտական խնդրի ճամար կարելի է ձռակերպել մեկ այլ տնտեսագիտականխնդիր, կամ, ինչպես ընդունված է անվանել՝ երկակի խնդիր, որը սերտ կապի մեջ է տրված ուղիղ խնդրի ճետ, ն որի ճետազոտումը Բնարավորություն Է առաջ

խնդրի վերաբերյալ ինչպես տալիս կատարել սկզբնական քանակական, այնպես Էլ որակական արժեքավոր վերլուծություններ: Ասվածը պարզաբանելու նպատակով. որպես սկզբնական՝ այսպես կոչված ուղիղ խնդիր դիտարկենք 1-ին գլխի 54-ից մեզ "նորմալ կերի" խնդիրը: արդեն ծանոթ "դիետի՛"'խնդրին ճամանման Նորմալ կերի խնդիրը ն նրա մաթեմատիկական մոդելը: Աճասնապաճական "Ա" ֆերման, որը վարսակի, եգիպտացորենի ն Է կերակրելու խոշոր եղջերավոր առվուտի խառնուրդով Է անասուններին, ճետամուտ որոշելու կերաբաժնի ալնպիսի պարունակի սպիտակուցների, կալցիումի ն կառուցվածք, որը վիտամինների նախապես սաճմանված նվազագույն չափերը. միննուլն ժամանակ նվազագույնի ճԲասցնելով կերաբաժնի վրա կատարվող ծախսերը, երբ ճայտնի են վարսակի, եգիպտացորենի ն առվույտի գները, ինչպես նան դրանցից լուրաքանչյուրի պարունակած սննդային տարրերի քանակությունները (աղյուսակ 3.1):

Կերատեսակ

Սճնդալին տարրեր մգ-ներով

Կերա-

տեսակի

կգ-ով

սպիտակուց կալցիում

Վարսակ Առվույտ Եգիպտացորեն

տարրերի

Սննդամթերքների

նվազագույն քանակը

վիտամիններ

գինը

շ

յ

շ

աղյուսակ

Նկարագրված

խնդրի

Բետնյալ տեսքը.

Մ(Խոշչ2:)

3Ճլ

Հ

Է

մաթեմատիկական մոդելը

22շ է Տ,»

3.1

կունենա

ոո,

50..լ 4 20.-չ 18026:Հ 2000, 6:.լ Հ 4.շ Հ 3ոչ Հ 120, 2ոլ Իշ փել Հ 44, Հ 0, ճլ Հ 0,ռշ Հ 0, որտեղ

ա,

»:չ

ն

յը

ճամապատասխանաբար կերաբաժնի

պարունակածվարսակի, առովուլտին

եգիպտացորենի

քանակություններն են, իսկ /(չլ,5շ»55)-ը դրանց վրա կատարված ծախսը (կերաբաժնի գինը): "Նորմալ կերի" դիտարկված խնդրի պայմաններից ճետնում Է, որ անասնապաճական ''Ա" ֆիրման օրաբաժինը կարող Է կազմել ոչ

միալն ն ոչ անպալման վարսակի. եգիպտացորենի խառնուրդով, այլ նան մեկ ուրիշ տարբերակով, ալն է՝ սպիտակուցի, կալցիումի ն վիտամինների խառնուրդով: Նկատի ունենալով այս ճանգամանքը., ենթադրենք ինչ-որ "Բ" ֆիրմա. ճաշվի առնելով "1" աղլյուսակում բերված տվյալները. ծրագրում Է, ''Ա" ֆերմալին վաճառելու ակնկալիքով, կազմակերպել ն սպիտակուցի, կալցիումի վիտամինների արտադրություն: Բ" Բնականաբար, ֆիրմալի առջն ծառանում Է ճետնլալ խնդիրը. Հաշվի առնելով "նորմալ կերի" ուղիղ խնդրի "1" աղյուսակում բերված տվյալները. սպիտակուցի. կալցիումի ն վիտամինների գներ ինչպիսի մրցունակ սաճմանել (մրցունակ վարսակի, եգիպտացորենի ն առվուլտի գների նկատմամբ), որպեսզի մեկ կերաբաժնի հաշվով նշված իրացումից ստացվելիք ճասույթը լինի

առավելագույնը: Այս խնդրի մաթեմատիկական մոդելը Բետնյալն է.

7(9)

Հ

2000ջլ 120»,

44»:

-»

ոու

Տ0ջլ-Է6չ-Է2»:Հ3 20»: Է4»չՀԺ»:Հ2 180»լ է 35շչԷ) ՏՏ ւ ՀՕ»շչ Հ 0»: Հ 0, որտեղ

յլ,»

կալցիումի

35 -ը

»չ,» ն

համապատասխանաբար սպիտակուցի,

վիտամինների գներն են,

իսկ

7/(ջլ»»շ:))-ն՝

մեկ

կերաբաժնի ձաշվով դրանց իրացումից ստացվելիք Բանսույթը: Այս փոխկապակցված խնդիրների տնտեսագիտական լուրջ վերլուծության ճամար կարնոր Է ստացված ԳԾ խնդիրների միջն գոլություն ունեցող որակական ն քանակական առնչությունների Է այս պարագրաֆի բացաճալյտում, որն Էլ. կազմելու բովանդակությունը: Գծային ծրագրման երկակի խնդիրներ: Ենթադրենք՝ տրված է սովորական տեսքով ճետնյալ ԳԾ խնդիրը. 7(Ջ)

Հ

«լլ

Է

Դ...ԳՅբ յ

լլ Հ

ՕՀրՀ--.ԷՇՆՃը

ԷԳ

ՃոՀ Ցլո

-»

ել,

(3.1)

ու,

էՀ

1...

0.7 -Ն2...,ո:

վերնում նկարագրված Հետնելով միջն ճամապատասխանող մոդելների

(3.17-(3.3) դիտարկենք օրինաչափություններին՝ սերտորեն առնչված Բետնյալ ԳԾ խնդիրը.

(3.2) (3.3)

խնդիրներին նկատված ցխնդրի ճետ

7)»

ել

41131Է

Հ Շյ:) 02/2: .ԴՅոյՖո

Հ

հլջշէ..ՀԵջ,

-» Հ

տո.

(3.4)

Խ.ո.

(3.5)

(5.6)

.Հ-0,1ՀԼ...ո:

(.17-0Օ.3) փոխադարձ խնդիրները երկակի խնդիրների զուլգ: Պալմանականորեն ալդ խնդիրներից մեկը (օրինակ՝ (3.1)-Օ.3)-ը) անվանելու ենք ուղիղ խնդիր, իսկ մյուսը Օ0(նշվածդեպքում՝ (3.4)-Թ.6)-ը: տրված ուղիղ խնդրին ճամապատասխանող երկակի խնդիր: Այժմ նկարագրենք տրված խնդրի երկակի խնդիր կազմելու կանոնները ալն դեպքի Բամար, երբ որպես ելակետային ուղիղ խնդիր վերցված Է մաքսիմացման (3.1)-(3.3) խնդիրը: Նախ, ուղիղ խնդրի (3.2) ճամակարգի յուրաքանչյուր 7-րդ ն

կանվանենք ԳԾ

(5.4)-Թ.6)

.

սաճմանափակմանը համապատասխանեցվում Է երկակի խնդրի

չ,

փոփոխականը: Որպես երկակի խնդրի նպատակալին ֆունկցիա վերցվում

Է

ծ. գործակիցներով

չ,

փոփոխականներից կախված

գծալին ֆունկցիան: Ինչ վերաբերում է երկակի խնդրի (3.5)

սաճմանափակմանը՝

7-Ն2...,ռո,

ապա

ճամակարգի յ -րդ

այն

ամբողջությամբ

փոփոխականին Բամապատասխանող

որոշվում Է ուղիղ խնդրի «,

գԳործակիցներից կազմված

411:0275:-:50յ»Ըյ

սան

ն

յ

փոփոխականի նշանի վրա դրված սաճմանափակման միջոցով, իսկ երկակի խնդրի ջ, փոփոխականի վրա դրված սաճմանափակման

անճավասարության նշանը վերցվում է ուղիղ խնդրի 1-րդ սաճմանափակման անհավասարության նշանին ճակառակ: ն Լեմ 1 (Հիմնական անհավասարություն): Եթե 2 (ելչ»...5ղ) -

Հ

(թլ»չ»-..»»ղ)

(.4)-(3.6)

վեկտորները ճամապատսախանաբար(3.1)-(3.3)

երկակի խնդիրների թույլատրելի լուծումներ են, ապա՝

21717ՀՖւ-1/-1 47): Քանի

որ

»

ՖԵւչ.:

Տ

յ-1 Է»

ն

ն

ջ

վեկտորները երկակի

(3.7)

խնդիրների

թույլատրելի

լուծումներ են, ապա նրանք ՃԲամապատասխանաբար ն (3.2)-(33 կբավարարեն (8.5)-(0.6. անճավասարումների Հ 1Ն12...,", ապա (3.2)-ի ճպմակարգին: Հաշվի առնելով, որ չ,Հ0.

-րդ հետո

անձճավասարության երկու կողմերը »,-ով կունենանք. գ.

:Ճւ): Է

Ւ" ԴՑաՖո):

6:25):

Գումարելով

նուն

կունենանք

օյ»

Տ

նշանի

Ել),

էՀ

(38)

բազմապատկելուց (3.8)

12,....ո:

:ատճճավասարությունները՝

ՏՆԵ):

յ-ո-1

(0.9)

1-1

Նույն ձնով, (3.5-ի

յ/-րդ անճավասարության երկու կողմերը

բազմապատկելով 5յ-ով

գումարելով նույն

ն

նշանի

անճավասարությունները՝ կունենանք.

Ի սյ»),

Հ

բ»:

(3.10)

աննավասարություններից

յ-ն-1

ճետնում է, որ երկակի 0.10) խնդիրների զույգի ցանկացած թուլլատրելի լուծումների Բամար ճիշտ Է (3.7) ճիմնական անճավանսարութունը:.) Հետնանք 1: Մաքսիմացման խնդրի նպատակային ֆունկցիայի ամեն մի Բնարավոր արժեք, որն ստացվում Է խնդրի ցանկացած թույլատրելի լուծման ճամար, չի կարող գերազանցել երկակի խնդրի մինիմացվող թույլատրելի լուծումների բազմության վրա նպատակալին ֆունկցիայի ընդունած ամեն մի արժեքին:

(3.9)

Թ.)

Լեմ2: ն

լուծումներ ապա

ն

-"

Եթե Ջ"

ն

ջ՝ վեկտորները ճամապատասխանաբար (3.1)երկակի

(Թ.47(.6)

որոնց

են,

խնդիրների

ճամար

«լյ

Հ

այնպիսի

թուլլատրելի

օշո2Ի...-ԷՇ,».ծլ)1...ԷԵլ),» -

վեկտորը (3.1)-(3.3) խնդրի լավագույն լուծումն Է, իսկ »

վեկտորը՝ (3.4)-(3.6) խնդրի լավագույն լուծումը: Է» (3.7) ճիմնական անճավասարությունից ՕԹ.1)-(Թ.3) խնդրի ցանկացած

որ ըստ

Է,

որ

թոպլատրելի լուծման

ելյոՀ...Էէ,ջ, անճավասարո ապա պայմանիԵլ: -...-Իծ,լջ:,Հ «լ 3-.ՇԽ,

ճամար ճիշտ Է «լլՀ...ԷՇ,»,

Սակալն քանի

(ալչշ»...75.)

Բետնում

ցանկացած (ալչճշչ..-»Ճղը)

Հ

թովլատրելի

լուծման Բամար ճիշտ է

2` այսինքն՝ թուլլատրելի լուծումն իսկապես (3.1)-(3.3) խնդրի լավագույն լուծումն է: Նույն ձնով, օգտվելով Բիմնական անճավասարությունից, երկակի ԸլԽլ...Շ րղ

Տ

«լ»

Գ...ՇղԽ

.անճավասարությունը,

ջ" թուլլատրելի լուծման

խնդրի ցանկացած

Ել լ3-

Գեղ» Հել Ի..ՀԵս),ղ,

այսինքն՝

ճամար կունենանք

չջ" վեկտորը

(3.4)-(3.6)

խնդրի լավագույն լուծումն Է: .) (8.4-Օ.6) ԳԾ երկակի խնդիրներից մեկն Լեմ 3: Եթե (3.1)-(.3), ունի լավագույն լուծում, ապա մյուսն ունի թույլատրելի լուծում: ՒԷ» Ենթադրենք՝ (3.17(3.3) խնդիրն ունի տ. (ռլ,....::) -

լավագույն լուծումը ն ցույց թույլատրելի լուծում: Իրոք, լուծումների բազմությունը Բամակարգնանձամատեղելի նան Բետնյալ ճամակարգը. Գլ1--::ԴճոյՖու 1յ ): Հ0, ԷՀ 12,. առ, 12,...ո: ս Հ0,)Հ

-

տանք, որ (3.4)(8.6) խնդիրն ունի (3.4)(3.6) եթե խնդրի թուլատրելի (3.5)-(9.6) դատարկ է, կնշանակի է: Այդ դեպքում անձամատեղելի կլինի

յ») Ն2...5,

Շյ

Հ

(3.11)

Գծային տՃԲամակարգիանճամատեղելիությաան :Ֆարկաշի թեորեմից (տե'ս, Գլ. 2, 81) Բետնում Է, որ այս դեպքում ճամատեղելի կլինի ճետնյալ ճամակարգը. Հ0, ԼՀՆ2......, Գ.լ2լ-է.:.Է6ոՀր Շլ2լ 3:..ԷՇրՏյ ՀՕ, -

(3.12)

4յՀ0.7-Ն2..

Դիցուք`

(2լ»...»2,)

վեկտորը

(3.12)

ճամակարգի որնէ

Հեշտ է ստուգել, որ ։4) (բ Տլ. վեկտորը բավարարումԷ(3.2)-(3.3) ճամակարգին, ալսինքն՝ (3.1)-(5.3) խնդրի թուլլատրելի լուծում է: Եվ քանի որ ճլձլ-...ԷՇո2Հ, Հ0, իսկ լուծում Է, իսկ 5-5

Շ-2

Հ

Ըլել Հ...-ԷՇլեղ

-շ։

-

-

(Ը

Հլ3...ԻՇղՀլ) սպա .

6:25»

-

«լոլ Հ...ԷՇրՃղ:

Վերջինս Բակասում է ալն ենթադրությանը, որ 2` վեկտորը (3.1)(3.3) խնդրի լավագուլն լուծումն է: .) ն Լեմ (32-33 (3.5)(0.6. Եթե ճամակարգերից

յուրաքանչյուրն առանձին-առանձին ճամատեղելի Է, ալսինքն՝ եթե երկակի խնդիրների թույլատրելի լուծումների բազմությունները դատարկ չեն, ապա Բամատեղելի է նան ճետնյալ ճամակարգը. Գլ

Է-".ԳԳՆՃո

4լյ)1-է::«ԷՅոյ)ո 5, Հ0,չ,

Հ

Եւ 1ՀԼ..,ու

`յ»)

Ն...ո,

ծլջլ-...ԷԵ,Ֆ,ո» 0,Հ 1... ու) Ն...

Շլ'լ Դ--.ԺՇրԽո Հ Հ

Տ

(3.13)

Հ

Եթե ենթադրենք, որ (3.13) ճամակարգն անձամատեղելի է, անճամատեղելի կլինի նան ճետնլալ Բամակարգը.

Է»

ապա

ԳլլՃլ Է: Գ6աԽ ԷՔ

Գլյ)13:::Ի6ոյ)յ

-

Վյ

-Եւ Հ

ՀՆ...

ՇՀ

ՆԽ...»

(3.14)

-:2-ԷՇր (էլջլԻ-..ԷծղՖո)-0-0, Հ0չք Հ01ՀԼ..,5Ե0Հ0: 5, Հ0,զ,Հ 0,7ՀԼ...ո:ջ

Օլ

Եղ

-

Գծային տՃամակարգի անճամատեղելիության Ֆարկաշի թեորեմից (տե'ս, Գլ. 2, 81) կճետնի, որ այդ դեպքում ճամատեղելի պետք է լինի ճետնլալ ճամակարգը. (ա) Գլ յալ է... Գոյա Է ՇյդՀ 0,7-Ն...,ո, ԳլլելԻ-..ԳՅճր ել ս Հ0,:Հ

-

ծւղ Հ 0,

Լ...,ո-»,

ԷՀ Լ...,ոո

(բ)

Հ0,)/ՀԼՆ..5-դՀ0,

(գ)

ելալԷ...ԺԵռղողի ՇլցլԻ--ԻՇրեղ փ0-դ

ՀՕ:

(3.15)

(դ)

ճամակարգի համատեղելիությունն Այսպիսով. (3.13) ապացուցելու Բամար բավական Է ցույց տալ, որ (3.15) ճամակարգն անճամատեղելի է: Իսկ (3.15) ճամակարգի անճամատեղելիությունն ապացուցելու ճամար բավական Է ցույց տալ, որ եթե որնէ (ո ոՀ1)-

(ալ,2շ:... 74.5 9լ»52»:::5Ֆոչ) վեկտորի բաղադրիչները բավարարումեն (3.15)-ի (ա), (բ). (գ) անճավասարումներին,ապա (դ) անձավասարմանըբավարարել չեն կարող: իսկապես, եթե նշված 7» վեկտորի բաղադրիչները բավարարում են (ա), (բ), (գ) անճավասարումներին, ն 7 ՀՑ, ապա ճեշտ Է ստուգել, չափանի

տյ

որ

Հ

Հ»/դ,

յ-ն...

ն

չ»Հ-Ճ/դ,

:Հ-Ն..,յտ

թվերը

ն (35»(.6) ճամապատասխանաբար կբավարարեն (3.2)(33) Բամակարգերին,ուրեմն ն ճիմնական անճավասարությանը`

դ

(3.16) (Հլ 3-..ԷՇղեղ) 1 դ Հ (-ելալ-...-Եղնո)/դ: Եթե (3.16) անճավասարության երկու կողմը բազմապատկենք Հ -(ելոլ -ով, կստանանք՝ ԸլԵլ Հ...ՀՇղղ Է...Էծոմ ո):

վեկտորը չի Վերջին անճավասարությունից կճետնի, որ յ բավարարում (դ) անճավասարմանը: Այժմ քննարկենք ալն դեպքը, երբ դ-0 ն ցուց տանք, որ եթե վեկտորը բավարարում (պլչ...Աոնլջ-:-55ո:0) անճավասարումներին, այսինքն եթե ԳլյԱլԺ...Էճոյմ, Հ 0,7-1...ո,

Հ

«լլ

...ԷՅլ

եղ

տռ ո

Հ01Հ1Ն..յո.

Է

(ա),

(բ), (գ) (3.17)

(3.18)

ս ՀՕ,

Հ

1...,Խե»յ Հ 0.)

Հ

Ն....ո,

Հ0: ելաՀ...-է,լճ,ղ ի Շլել...ՀՇղղ Դրա ճամար վերցնենք (3.2)-(3.3) ճամակարգի ցանկացած (Խլչ529:..2Ճղ) լուծում (ըստ պալմանի ալն ճամատեղելի է), (3.173-ի

ապա

երկու կողմերը բազմապատկենք »յ-ով, )

7-ի: Արդյունքում կստանանք,

Սակալն, քանի

Ֆ՝ծս.

2.7.օյս»

Հ0:

7:5:ռյս», -չ.(Ֆ. 4") 1-1

որ

(թլ552»-5»5-ո)

յ-ն-1

1-1Լ..,տ

ն

ձնափոխությունները,

կատարենք

Է, որ

ճետնում

»»

բազմապատկենք

02.»

.)

երկակի խնդիրների այնպիսի գոլությունը,

պալմանի

վեկտորը Դ-0

նս

ու

Ստացված

Հ0:

չի բավարարում (դ) անճավասարմանը: Ապացուցված լեմը փաստորեն երաշխավորում

դեպքում

ապա

գործողություններն

նույն որ

Ֆես.

1-1

ճամակարգի որնէ

երկու կողմեր,

կստանանք,

անճավասարությունից

Հ

7-1

լուծում, (3.18-ի

ըստ

7Հ-Լ-1

Նուլն ձնով, եթե վերցնենք (3.5)(3.6)

Հ0:

:-1

».-ով,

որ

գումարենք

ն

Ն...,,

Հ

որոնց

ճետնանք 1-ի ուղիղ լուծումների,

այդ

կունենանք,

որ

ճամար ն

թվում

5»

ն

չ

6-5ՀԵ-ջ:

ն

ուղիղ

է

թուլլատրելի լուծումների

Սակալն քանի

որ

ըստ

երկակի խնդիրների ցանկացած թուլլատրելի 2, ն

2-5-5Ֆ-»,

, վեկտորների ճամար Ը`-5

այսինքն`

ճամապատասխանաբար կլինեն ուղղ լավագուլն լուծումներ (տե'ս, լեմ 2-ը):

» ն

ն

ջ

երկակի

Հ

ծ.).

ապա

վեկտորները

խնդիրների

Հետնանք 2: Եթե ԳԾ (3.1-(3.3) ն (3.4)-(8.6) երկակի խնդիրների թույլատրելի լուծումների բազմությունները դատարկ չեն, ապա երկու ունեն խնդիրներն էլ լավագույն լուծումնե՝ 60նպատակալին ֆունկցիաների ճավասար լավագուլն արժեքներով: Ստացված արդյունքների ամբողջությունը ամփոփ ձնով ներկայացվում է ԳԾ խնդիրների երկակիության տեսութլան առաջին թեորեմի միջոցով:

Թեորեմ 1: Եթե ԳՄ խնդիրն ունի լավագույն լուծում, ապա նրա երկակի խնդիրը նուլնպես կունենա լավագուլն լուծում ն, բացի ալդ, նպատակային ֆունկցիաների լավագույն երկակի խնդիրների արժեքները կլինեն իրար ճավասար: Թեորեմի ապացույցն ստացվում Է 3-րդ լեմի, այնուճետն 4-րդ լեմի ն ճետնանք 2-ի միջոցով: մինչն այժմ Երկակի `խնդիրների նկարագրված բոլոր ճատկությունները վերաբերում Էին լավագուն լուծումների գոյությանը կամ նպատակային ֆունկցիաների առավելագույն ն նվազագույն արժեքներին: Սակալն պարզվում է, որ երկակի խնդիրների լավագույն լուծումներն օժտված են մի շարք այնպիսի խնդրի ճատկություններով, որոնք արտաճալտվում են սաճմանափակումներին լուրաձճատուկձնով բավարարելու միջոցով: Երկակի խնդիրների լավագույն լուծումների ալն ճատկությունները (առնչված խնդրի սաճմանափակումներին բավարարելու առանձնաձատկություններով), որոնց ուսումնասիրումը Բետաքրքրում են Էէ մեզ կազմում երկակիության տեսության երկրորդ (հավասարակշոության) թեորեմի բովանդակությունը: ն (3.1)(3.3) (3.4)-(5.6) Թեորեմ 2: Որպեսզի ԳԾ երկակի

խնդիրների(լ,....::) ճանդիսանան

ալդ

բավարար, որ պալմաններին.

(ջչ,-..»»:)

ն

թովպլատրելի լուծումները

խնդիրների լավագույն լուծումներ, անձրաժեշտ Է ն նրանց բաղադրիչները բավարարեն ճետնյալ

-6յ)-5-001ՀԼ..ո, -0,7ՀԼՆ...ո, փ0լյ)ր-Ի«Գճոյ)ո (4141 4:2Ճ2-Ւ:"-ՒՑ Ֆ.):ջ: (ո,

Խո

Է

-

(3.19)

Անճրաժեշտություն Քանի որ (1,...»52) ն (ջ:,...»).) վեկտորները ճամապատասխանաբար(3.1)-(3.3) ն (3.4)-(3.6) երկակի խնդիրների լավագուլն լուծումներ են, ապա ըստ երկակիության առաջին թեորեմի՝ Է»

Օլ» ֆ Օջ...ԷԸՇլՃ. ել)

Հ

-

Եչ2...ԳԵղ»ո:

(8.20)

Մլուս կողմից, որպես թուլլատրելի լուծումներ, ալդ վեկտորների է պետք բավարարեն ճիմնական անճավասարությանը.

բաղադրիչները 5 «յ»

7-1

(3.20)

ն

ՀՖ

օյ»

(-21/-1

Հ

Ֆէ.չ.:

(.21)

ւ-1

(3.21) առնչություններից ճետնում

Է

(5.22)

չՍտացված

Մֆսյ»): Ֆե:

ո

-

21/21 /

ւ-1

ճամարժեք Է

(5.22) հավասարությունների շղթան ճետնյալ ճավասարությունների զույգին.

ԻԵ)

«յո -0,

1 ,-1

»:(Ֆզյ» 7-1

-

Քանի

ե)»

(5.23) (524)

0:

-

որ

(Օշ)-«յ)»" Հ0,

Օյ» յ

ա)2

Հ

(Մ-Ն...)

0,

(

(5.25)

1.....77),

-

լուծումների (3.23)(3.24-ից կճետնի, որ լավագույն բաղադրիչները բավարարում են (3.19) անրաժեշտ պալմաններին: ապա

Բավարարություն: Դիցուք՝ լուծումները բավարարում

են (3.19)

7"

ՇյՃյ-

ե)».-

(2ճյ):)»,» (Հ

Օ.«,

(Խ.,....:1)ն (91...)

Ն...ո), (3.26)

ճՀ

Ն..ոժ:

ճավասարություններն Գումարելով (3.26)

ըստ

7-ի,

/ՀԼ..,ո

ն

թուլլատրելի

պայմաններին, այսինքն՝

1-ի,

ըստ

Հ

1.....տ,

առանձին-առաձին, կստանանք ճետնյալ

գումարային Բավասարությունները.

5)»: չ.«- »(ֆսյ»: Հել- »(ջսյ» )»

-

յ-1

Այսպիսով, ստացվեց, ըստ

2-րդ

լեմի

Ա

ւ-1

որ

նշանակում

"լալ

է,

յ-1

ել» Հ..Եւջ. Վ...ԳՇրտ, Հ

(լ,....)

որ

իսկ

դա

(լ...)

ն

վեկտորները լավագուն լուծումներ են: .) անձճրաժեշտ ն Ապացուցված թեորեմի (3.19) բավարար է, որ եթե (3.1)-(3.3) պալմաններից ճետնում խնդրի գոնե մեկ լավագույն լուծման ճամար

(5լ»....).)

»,

0,

ապա

լավագույն լուծման Բամար

երկակի խնդրի ցանկացած

ա 6յ: «յ»: Ժ...ԻՅոյ) -

/Ժ

Արդլո՞ք ինչ-որ իմաստով ճիշտ Է նան Բակառակը: Վերոճիշյալ խնդրի Բարցի հստակ ձնակերպման ճամար ԳԾ սաճմանափակումները տարբերակենք ճետելալ սկզբունքով: Սաճմանու: ԳԾ 1-րդ (7-րդ) խնդր սաճմանափակումը կանվանենք կոշտ սաճմանափակում, եթե նրա բոլոր լավագույն լուծումնեն այդ սաճմանափակմանը բավարարում են որպես ճավասարություն: Հակառակ դեպքում՝ ոչ կոշտ սաճմանափակում: ԳԾ խնդրի սաճմանափակումների այսպիսի տարբերակման թեորեմից դեպքում երկակիության տեսության երկրորդ

անմիջականորեն է

մեկը. ւՀ

ճետնում

422--.ԴՅոյջու ինչպե

նա.

Է, որ եթե երկակի խնդիրների «, Հ0

6 ՀՑ,

յՀ0

7-Ն2....,ո ն

գլ

ն

սաճմանափակումներից Է

4222Հ...ԷԳղԾղ

-ԵծլՀ0,

սաճմանափակումներից մեկը կոշտ չէ. ապա մլուսը կոշտ Պարզվում Է, որ այս իմաստով ճիշտ Է նան ճակառակ պնդումը. եթե երկակի խնդիրների նշված սաճմանափակումների զույգից մեկը կոշտ Է. ապա մյուսը կոշտ չԷ (ապացույցը տե'ս. |23|-ում): 12.....ու

է:

Ավարտելով երկակի

խնդիրների լուծումների

զուտ

մաթեմատիկական առնչությունների ճետազոտումը՝ նկատենք, որ եթե ԳՄ ուղիղ խնդիր` որոշակի տնտեսագիտական խնդրի մաթեմատիկական մոդել է, ապա, որպես կանոն (ինչպես այս պարագրաֆի սկզբում դիտարկված "նորմալ կերի" խնդրի դեպքում). նրան Ճճամապատասխանող երկակի խնդրին կարելի Է տալ սկզբնական խնդրի բովանդակությամբ պալմանավորված տնտեսագիտական մեկնաբանում: Դեռ ավելին, երկակի խնդիրների միջն գոլոթլուն ունեցող այն բոլոր կապերը, որոնք ճձետնում են են երկակիության լեմերից ու թեորեմներից, նուլնպես ստանում որոշակի տնտեսագիտական մեկնաբանում:

54. Գծային ծրագրման խնդրի ճենքային լուծումներ ԳԾ խնդրի թուլլատրելի լուծումների բազմության Բենքային լուծումների ենթաբազմությունը ն նրա ճատկությունները ուսումնասիրելու ճամար դիտարկենք կանոնական տեսքով ճետնյալ ԳԾ խնդիրը. Հ2-» աու, (4.1)

«Հէ.

(4.2)

»Հ-0. որտեղ

/-ն

(4.3) ո:«.տ

կարգի մատրից է:

Է այն դեպքը, եր`"։ :45Հ-Ե Ուշադրության արժան Բամակարգի լուծումների բազմությունն անվերջ Է, ճԲավասարումների ն ալս դեպքում, անշուշտ, ճետաքրքրական Է(4.1)-(4.3) խնդրի ճամար տալ ճետնլալ ճարցերի պատասխանները. խնդիրը թովլատրելի լուծումներ ունի՞, ն եթե այո, ապա՝ խնդիրը լավագուլն լուծումներ ունի՞, ն եթե այո, ապա՝ ինչպես՞ գտնել լավագույն լուծումներից գոնե մեկը: Նշված ճարցերի ճետազոտումն իրականացվում Է մի թվալին եղանակով, որը Բալտնի Է ԳԾ խնդրի լուծման սիմպլեքս եղանակ անվանումով, ն որի Բիմքում ընկած են ԳԾ խնդրի այսպես կոչված ճենքային թուլլատրելի լուծումների բազմությանը վերաբերող երկու թեորեմներ՝ գոլության թեորեմը ն ճիմնականթեորեմը: Այդ նպատակով դիտարկենք ԳԾ խնդրի սաճմանափակումների (4.2)-(4.3) ճամակարգը ն առաջին ճերթին փորձենք նկարագրել տ գծայլնորեն անկախ հճավասարումնրից բաղկացած (4.2) ճամակարգի լուծումների բազմությունը, Հո պալմանի դեպքում: Դրա ամար (4.2) համակարգի »«, անճայլտի գործակիցներից »

»

»

կազմված

սյունը

Ննշանակենք

անդամներից կազմված ներկայացնենք

ոլն

Հ

չն

ծ

2ճ/ով

(յ-1..ո).

2:-ոով

սյունը

ն

Է...Էոյն" Հճ"

ազատ

քտամակարգը (4.4)

վեկտորական տեսքով:

Ենթադրենք՝ (4.2) ճԲամակարգիանճալտների գործակիցներից կազմված մատրիցի ռանգը տ Է: Այդ դեպքում կարելի Է ընտրել Ձ",...,6'"

գծալնորեն անկախ սյուներ,

վեկտոր,

այդ

թվում

ն

Եք

ներկալացնել որպես 2"',...,2'" Դիցուք՝

ն

ամեն

(/Հ-0....ո)

սյուն

(4.2)

Մ-|յ/»5,.,:ՀԼ...,»տ.յ

վեկտորները

ճենքի գծային Բամակցություն:

27 Հայտ"...Գորյն"", () Հէ....ո), իսկ

մի 7ո-չափանի

Հ

ճՃամակարգը՝ ճենքին

Ն..,ո):

(4.5)

Լուծենք ճավասարումների

ՔՃԲամապատասխանողԿե ոՅԾ,

անճալտների նկատմամբ. դրանք այսուճետն կանվանենք ճենքային անճայտներ, իսկ մնացած «, (/Հ/) անճայտները՝ ազատ անճայտներ: Տեղափոխելով Ճ,

(ՄՀ)

ազատ

անճայտները (4.4)

հավասարման

աջ մաս

տեղադրելով 27 (յ -0.լ...,ո)

ն

վերլուծության (4.5) արտաճալյտությունները՝կստանանք. "լ

ե)

շն"

Հ

1-1

գն"

ե)

եմ

Ս (թյն")յ

-

Զ(ագ-Ֆ »ն": ՓԻ

ւՀ1

1-1

» աշե ճետնաբար, 2... յմ 1-1 Հաշվի առնելով

վեկտորների

ւ-1

ՃԱՃ) )4., -0:

Ձ",....0"

վեկտորների

գծային

անկախությունը՝ կստանանք, որ 5.

2, յ

-օ-

չ

1-12...

(4.6)

ո:

յ

Այսպիսով, մեզ ճետաքրքրող սաճմանափակումների (4.2)-(4.3) Բամակարգի լուծումների բազմությունը կնկարագրվի «, (/Հ/) ազատ

որոնց

անճայտներին տրվող այն

բոլոր

(4.6-ի միջոցով որոշված

ոչ

2,

բացասական արժեքներով, (-1Ն2,...,»յտ) ճենքային

անճալտների արժեքները նուլնպես կստացվեն ոչ բացասական: Մասնավոր դեպքում, եթե ճ վեկտորի վերլուծության

գործակիցները բացասական չեն, ապա ազատ հավասար արժեքներին ճամապատասխանող

Աա

առնչություններով ճամակարգին:

որոշված

անճայտների զրոյի «7

կբավարարի

վեկտորը

(4.2)(4.3)

Այն ճենքը,ըստ որի . վեկտորի վերլուծության Գործակիցները բացասական չեն, կանվանենք թույլատրելի ճենք, Սահմանում

Ճչօ

ԻՆիիաա

1:

վեկտորը՝ (ալչ....Օղ) թովլատրելի ճենքային լուծում, կամ ավելի կարճ՝ ճենքային լուծում: Սաճմանում 2: ԳՄ խնդիրն անվանենք չվերածվող, եթե նրա բոլոր ճենքային լուծումների դրական բաղադրիչների թիվը 7ո Է: Դիտողություն 1: Առաջին սաճմանումից ճետնում Է, որ Բենքային լոծման դրական բաղադրիչներին տճամապատասխանողսյուն վեկտորները գծալնորեն անկախ են: Հեշտ Է ստուգել, որ ճիշտ Է նան ճակառակը: Հետնաբար, որպեսզի (4.2)-(4.3) ճամակարգի լուծումը լինի ճենքալին, անձրաժեշտ Է ն բավարար, որ նրա դրական բաղադրիչներին ճամապատասխանող սյուն վեկտորները լինեն գծալնորեն անկախ:

իսկ

(4.7)

առնչություններով

որոշված

Քանի

/1.

,ո»«ոռ

որ

մատրիցի

սյուներ կարելի Է ընտրել

ոչ

ո

սյուներից

գծայնորեն անկախ

յ,

ավելի, քան Շշ՛ եղանակներով,

ապա

թուլլատրելի ճենքերի թիվը, ճետնաբար (4.7) տարբեր, առավել բանաձնով նրանց ճամապատասխանողճենքային լուծումների թիվը նս

չի կարող գերազանցել Շշ" թվից, այսինքն՝ ճենքային լուծումների բազմությունը վերջավոր է: Օրինակ 1: Գտնել համակարգի ճենքալին լուծումները

ճլ

3եշ-Է4::-«զՀ--Տ

Հ -

Հ

2. Է2ոլ 0,5շ

Հ

ճ.

վեկտորը վեկտորների՝

Էլ

0,5

-Տ8

Հ

0,

Հ 0:

վերլուծենք

ըստ

2.27

գծալնորեն -անկախ

(-յի «մ2) Լ 3).ճետնաբար, - ԿԱՅԱ

Լուծելով ճամակարգը՝ կունենանք Ճօշ Հ0,

-2,

յլ

4.,2` սյուները գծալնորեն կախյալ են

ն

Բենք լինել չեն կարող:

Դիտարկենք 2:,2" գծալնորեն անկախ սյուները, ըստ

վշ.,2՞)

տենքի։ Լուծելով

վեկտորական ճավասարումը՝ կունենանք (ո

որ

(ո ',ո՞)-ը թուլլատրելի Բենք չէ:

ապա

վերլուծենք,

Քանի

-3:

ց

',ո՞)-ը թուլլատրելի

»ցլ

-

15»ց

Հ

2" վեկտորը

այլն. ն

7չ ճնտնաբար,

Բենք է, որին ճամապատասխանող ճենքային

լուծումըկլինի

(1,0,0,7) վեկտորը: Նուլն ձնով

կունենանք

Ճշ

--3»

Հ

ն

1:

Լան

(2,2)

Բենքի ճամար հենքի

ճամար՝

ն -7: (Թ3,27) ճենքի համար՝ չգ -05:ոյ աշ-3Ֆ»-14 Այսպիսով, տրված ճամակարգի ճենքային լուծումներն են (1.0.0,7), (0,3,0,14) ն (0:0:0,5:7) վեկտորները: Թեորեմ 1: Եթե (4.2)-(4.3) ճամակարգն ունի լուծում, ապա ունի նան Բճենքային լուծում: Է» Թեորեմն ապացուցելու ճամար բավական Է ցույց տալ (4.2)-(4.3) ճամակարգի այնպիսի լուծման գոյությունը, որի դրական բաղադրիչներին ԲՃԲամապատասխանող սյուն վեկտորները լինեն 1): (տե'ս, գծայնորեն անկախ դիտողություն

Երբ ո Հ1, ապա թեորեմի ապացույցն ակնձալտ Է: Ենթադրենք՝ թեորեմի պնդումը ճիշտ Է 1 Հո դեպքում ն ցույց տանք, որ ճիշտ նան Ճո կլինի պալմանի դեպքում: Դիցուք՝ (ՕՇլ,...,».ղ) վեկտորը ճամակարգի լուծումն է: Եթե ա, բաղադրիչներից գոնե

(4.2)-(4.3)

մեկը ճավասար լինի

Հետնաբար. կարող

զրոյի, ենք

կճանգեն

ապա

ենթադրել,

ք

դեպքին:

Հո

(.լյ.....՝ղ)

որ

վեկտորը

բավարարում Է

:84...Հճղ-ն" «8,

Օլ

(418)

յՀԼ...յո

0յ»0.

պալմաններին: Մյուս կողմից, եթե 2',...,2՞

վեկտորները գծալնորեն

անկախ են. կնշանակի (Օ՛,...,ռ՞) վեկտորը ճենքային լուծում Է: Հետնաբար, այս դեպքում նս թեորեմի պնդումը ճիշտ Է:

Քննարկենք այն դեպքը, երբ 2՛,...,.ռ" վեկտորները գծալնորեն կախյալ են: Այս դեպքում պարզ Է, որ գոյություն կունենան ոչ բոլորը միաժամանակզրոյի Բավասար 4լ....,4, թվեր, այնպես, որ

:414...44.-8-0:

(4.9)

Ընդ որում, կարելի Է ենթադրել,

որ

4, թվերից գոնե մեկը

դրական Է (հակառակ դեպքում բավական Է (4.9)-ը (17-ով):

/4): ոմո(.յ

ՓՃԶ-

Դիցուք

Հարկ

յ»

եղած

անճալտների ճԲամարակալումը՝կունենանք 6,

(4.9)-ը բազմապատկենք

(ճշ

կունենանք

-

»-2»3,....հ,

ճամակարգի ամար

կանլուծում

թվով

624չ):62-..Է(Զ,

0041Հ0,

7-Օ

Օյ

ն -

Հ

Մ7յ

Հ

փոխելով

Այնունճետն

ճլ/4լ:

6004.):6"- 2,

ապա

ն

քանի

որ

աճ:փայճ՞ Հ...Էոյն"Էք

(0,7՛2»...57ո)վեկտորը այնպիսի

ոչ

բացասա-

Է, որի դրական բաղադրիչների թիվը փոքր Է ո-ից:

միջոցով2Հ 5(2)

դեպքում,

ճանենք (4.8)ից, արդլունքում

Դիտողություն 2: Հենքային լուծման ընդգրկում Է նան տրված 2Հ (ռլ,0շ».-.»:ղ) եղանակ,

բազմապատկել

-

գոյության ապացույցն թուլատրելի լուծման

(7լ»7՛2»-.:57լ) ճենքային լուծումն ստանալու մի այնպիսի որի Հ

դեպքում

0,7 ՀԼն...չո),

եթե ապա

.5(»2)-Լ/ճ,-0,7ՀՆ...,ո) 5(2) Օ5(2):

ն

Թեորեմ2 (Հիմնական թեորեմ): Եթե ԳԾ (4.1)-(4.3) խնդիրն ունի լավագույն լուծում, ապա ունի նան լավագուլն ճենքային լուծում: ՒԷ» փոխելով փոփոխականների Հարկ եղած դեպքում խնդրի Բամարակալումը, կարող ենք ենթադրել, որ (4.17(4.3) լ լուծումը դրական բաղադրիչներով լավագույն վեկտորն Հ(ադ..51:0,....0) ` (1Հ.ԽՀ«ո) տեսության թեորեմ 1-ի՝ (4.1)-(4.3) երկակիության Ջ՞

խնդիրը նս կունենա լավագուլն լուծում: Դիցուք՝

Համաձայն

է:

խնդրի երկակի

» վեկտորը երկակի "

ոջ. 30:0,....0) խնդրի լավագույն լուծումն է: Այդ դեպքում »՝ վեկտորը, որպես (4.1)-(4.3) խնդրի լավագույն լուծում, ն ճավասարակշոության թեորեմի օպտիմալության անրաժեշտ -

բավարար

(2յջ՝ -«յ)»,

7-12...,.

0,

պայմաններին:

Եթե »" վեկտորը ճենքային լուծում չէ, գոլություն ունի այնպիսի 2 (2լ»...»2:»0»...,0) Հ

52)

կբավարար

ապա

ըստ

թեորեմ 1-ի

Բենքային լուծում, որի

դիտողություն 2): Հետնաբար, 2 ճենքային լուծումը ակնճալտորեն կբավարարի լավագույն լուծում ճամար

լինելու (ճ,

502)

12 -6)Հ2

(տե՛ս,

«0,

(/-Լ...,ո)

բավարար պայմաններին:

.Ս

Առաջին Բալացքից թվում Է, թե օգտվելով ճիմնական թեորեմից` կարելի Էր առաջարկել ԳԾ խնդիրը լուծելու ճետնյալ ուղին. գտնել ն նրա ճենքային լուծումները (որոն, վերջավոր թվով են) ճատարկելով ընտրել լավագույն լուծումը: Սակայն գործնականում

խնդրի լուծման այդ եղանակն անիրագործելի է, որովճետն նախ, ինչպես կտեսնենք ճետագայում, լուրաքանչյուր ճենքային լուծման որոշումը կապված Է ծավալուն ճաշվարկների ճետ, երկրորդ, որ առավել լուրջ» Բանգամանք է, որ ճենքային լուծումների թիվը, վերջավոր լինելով Բանդերձ, գործնական խնդիրների Բամար Բաճախ կարող Է այնքան մեծ լինել, որ ճնարավոր չլինի որոշել խնդրի լավագույն լուծումը: Սակայն եթե ճնարավոր լիներ խելամիտ ու նպատակասլաց ձնով Էապես կրճատել դիտարկվող Բենքալին լուծումների քանակը՝ խուսափելով բոլոր Բենքային լուծումները կուրորեն ճամեմատելուց, ապա խնդրի լուծման Բնարավորությունը առավել իրական կլիներ: Հենց այս գաղափարի կոնկրետ իրականացման ձներն Էլ կազմում են ԳԾ խնդրի լուծման այսպես կոչված սիմպլեքս, եղանակի ողջ բովանդակությունը: Դրանց բացաճալյտմանը ձեռնամուխ ենք լինելու ճաջորդ պարագրաֆներում:

Ւյ

5.

Հենքային լուծման օպտիմալության

ճայտանիշը

ԳԾ խնդրի լավագույն լուծումը որոնելիս, բոլոր ճենքալին լուծումները ճատարկելուց խուսափելու ճամար. կարնոր Է ունենալ ճենքային լուծման օպտիմալության (խնդրի լավագույն լուծումը լինելու, եթե ոչ անձրաժեշտ ն բավարար, ապա գոնե բավարար պալմանները՝ այսպես կոչված օպտիմալության Բայտանիշը:

Դիցուք` վեկտորների 2"',...,2'" տեսքով ճետնյալ ԳԾ խնդրի Ը «2 ՀՇլելՀ...ԷՇղեղ

4:1Ճլ Դ...ԳՃչ

դ

-»

Ե,»1

-

-

ճամախումբը կանոնական

օԺ

Օ.1)

1...

(5.2)

5, Հ0,)ՀԼ...յո

Օ.3)

թույլատրելի Բենք Է, իսկ Սց»

Ճ-"|10, `

բանաձնով

եթեյ»Տյո՞Լ...,տ եթեօ«Մ-(/»51-Լն..,ռ) Նվեկտորը

4 --(զլչ...»:07)

որոշված

այդ

ճենքին

ճամակարգի Բենքային լուծումը: ամապատասխանող, (5.2)(5.3) հենքային լուծման Բամարսաճմանենք (ճլ»...0ղ)

ձյ

ՇՈԿԻ

Հ

6յ)6օ7

ԻՇԽ

Գգնաճատականները,որտեղ »., -երը 27 սյուն վեկտորի վերլուծության

գործակիցներն են

ըստ

2",...,8'"

Բենքի:

Օպտիմալության հայտանիշ: Եթե լուծման Ճ4,, (/6/)

հենքային

4-(լ,....:ղ)

գնաճատականները բացասական չեն,

ապա

վեկտորը (5.1)(5.3) խնդրի լավագուլն լուծումն Է, եթե (.լ»-.-»:ղ) վերջինս մաքսիմացման խնդիր Է: ՒԷ» Քանի որ (5.1)(5.3) խնդրի ցանկացած 2 (պ....»Ճ.) Հ

թույլատրելի լուծում բավարարում Է չ.,

Հօ

-

ճավասարումների Բամակարգին (տե՛ս, (4.6)-ը),

"

6-5-օղ» 2»

-

՛

"

-

ֆո»

4-1

Հ

Տ (լ օժ

-

«(ո

Զո)",

1-1

եւմ

-

)2 յօ"

ապա

Թրա

Շօղոաօ2 ձյ»յ: Ռ3Վ

15..."

ԽՃ,»

-

(5.4)

Այն

որ

որ Ճ, փաստից,

)-1 -

է

նտ,Հ0, 7ՀԼ...չո

Հ0,յ«Մ

Այսպիսով

ստացվեց,

(ալջ.::52:ղ)» թոգլատրելի լուծման ճամար՝ Դիտողություն: (5.4»ից

Բենքային լուծման Ճ,,

նան

Շ:5

որ

ճետնում

Է,

ցանկացած

ՀՇ:0:

է, որ եթե (ճլչ...,.,)

հետնում

գճաճատականները դրական չեն,

(/6/)

(2լ»...»:ղ) վեկտորը (5.1)(5.3) խնդրի լավագույն լուծումն Է, եթե վերջինս մինիմացման խնդիր Է: գնաճատականները Եթե տրված ճԲենքայինլուծման Ճ, (ՄՄ) ճայտանիշի՝։ բավարար չեն բավարարում օպտիմալության է, որ լավագույն լուծման որոնումը պալմաններին, ապա պարզ շարունակելու ճամար անճրաժեշտ Է փնտրել մեկ ալլ ձճենքային լուծում: Սաճմանում: (5.17(5.3) խնդրի երկու թուլատրելի ճենքերն անվանենք ճարնան ձենքեր, իսկ նրանց` -ճամապատասխանող ճենքային լուծումները ճարնան ճենքային լուծումներ, եթե ալդ հենքերը տարբերվում են միայն մեկ վեկտորով: Ավելորդ չԷ նշել, որ ճարնան Բենքային լուծումները կարող են ճամընկնել, եթե խնդիրը վերածվող Է: Տրված Բենքային լուծմանը ճարնան ճենքային լուծումը որոշելու ճամար ճարկ Է լինելու օգտվել|Ս րլ37ո-չափանիվեկտորական ապա

տարածության Բենքերին վերաբերող մի քանի ճՃատկություններից, որոնք Էապես կիրառվելու են ԳԾ խնդիրների լուծման սիմպլեքս եղանակի ճձիմնավորմանն կիրառման ամբողջ ընթացքում: Հենքերի ալդ մի քանի ՏԲատկությունները, որոնք սովորաբար չեն պարզաբանվում բարձրագույն ճանրաճաշվի դասական դասընթացներում, ստորն ներկալացված են երեք լեմով: Ենթադրենքվեկտորների (5.5) քլ»քշչ.:.»ք Ջ" ճամախումբը՝ ո:

-չափանի վեկտոր: Վերլուծենք զ

զ Հզլքլ ն

տարածության ճենք է,

Է

ճչքչ-...-Էճ յ քլ

-ն ըստ

է.:.ԷԾո

իսկ զ-ն

կամալական

(5.5) ճենքի

քո»

(5.6)

(6.5) ճենքի թ, վեկտորը փոխարինենք զ վեկտորով:

Լեմ 1: Որպեսզի վեկտորների

"Քո թլ»քշ»::::Ք. 154»թա:15-:

(5.7)

Ցամախումբը նուլնպես լինի Զ՞" տարածության Բենք, անճրաժեշտ Է բավարար, որ Օյ «0:

ն

Անճրաժեշտություն: Եթե (5.7) ճամախումբը ճենք է. իսկապես «այ «0: Հակառակ դեպքում (5.6)ից կճետներ, Է»

կախված

գծայնորեն

վեկտորը

քլ, թ.,.... Ք. լ»

է

ապա

որ

քւ :լ»--»քո

վեկտորներից, այսինքն՝ (5.7) ճամախումբը ճենք լինել չի կարող:

Բավարարություն: Ենթադրենք

Ճ: Ք Ւ..ՀՅ.տանք,

ն ցույց

թ.

/, 0,

որ

իրոք, եթե 8, «0,

Է

ապա

Հ

«0,

այ

2ո-ԽոԻ-ՀՄո18-41:

Նախ

ԼՆ..,ո:

Քո-0

տանք.

ցուց

որ

(58)

-0:

(5.8)-ից կունենանք

Վ-(8):Թ--«1..183-ր..: Քո: (Ճ.ւ7 8): թ...ւ3-:(ք, 1 5.)ք

(59) `

Գումարելով (5.6)-ին (5.9)-ը, կստանանք.

օ-(պՀ(41/Թ)Բւ-.. էզք.«Հ(ռ,

Սակալն քանի անկախ են,

ապա

ւժճ. (ռ.|1))թ,:

(8.

որ

տրված պալմանին:։ Ուրեմն Թ

որը

ճակասում Է որ

(5.5)

(5.7) ճենքերի,

ըստ

ապա

2Թ-8-(7. 1գօ)գլ.1»8,

(8. 16)

Բամապատասխանա-

գործակիցներնեն վերլուծության

կամայական ք վեկտորի

:-Ն2..,տ

«Օ.,

ՁԶյ, -0,

Թ1»....8.թվերը

ն

ն

որտեղ

վեկտորները գծալնորեն

Ալդ դեպքում (5.8)-ից կԲետնի,

0:

բար

8.

որ

(5.10

Լեմ 2: Եթե /լ,...,»/ղ

Հ

/8.))բ.. ւէ,

բթլ,...,քչ»-..»ք.»

(5.10)ից կճետնի,

8. -0,.Հ1Ն2...,ո:

թվեր

զ

1-12,...,ո,

վեկտորի

(511)

վերլուծության

գործակիցներն են ըստ (5.5) Բենքի: Է». Ըստ պալմանի ունենք

: քւ է:--ԷԲո՝ Քո -Թ-քլՒՅ-ք...ԷՅ -Պ-..ՀՐ.- 5, զ -զլ- քլ ԷՕ: քչԳ...էՕյ քլ... ` քոչ

(5.12)

Ք-ր-քթլԷԹ:թ-..-ԷԹ.

`

(5.13-ի

մեջ

խմբավորելով

ըստ

զ վեկտորի ք, -երի՝

Հ

(5.13)

(ճլ 0):

(5.14)

փոխարեն տեղադրելով (5.14)-ը

Լ...,ո,

կունննանք

ն

6. Ւճյ. ւտ)թ Է (4:Էճլտ,)Բւ-.. Ժ-.-Հ(Մո զքաթչ Ժճոր.) բ:

թ-

Հ

Համադրելով ճաշվի առնելով,

վերլուծել 0 «ւՀ

ն ճետ ստացված արտաճալտութլյունը (5.12)ի որ թ վեկտորն ըստ տրված ճենքի կարելի է

ձնով՝

միակ

այսինքն՝ (5.11)-ը:

Լ...,7դ.,

օ-2

կստանանք

Թ-Օլ.

ք

-

.)

Ենթադրենք թ վեկտորի վերլուծության /յ....,/,, (55) ճենք բացասական չեն ն (5.6) գործակիցները ըստ Որպեսզի թ վեկտորի վերլուծության վերլուծության մեջ Օյ «0: Լեմ

3:

Թ.»....Թ.գործակիցները անհրաժեշտ Է

ն

(5.7)

ըստ

բավարար,

որ

ճենքի

բացասական չլինեն.

նս

ոլո(ք/64:)-

(ա) Օյ, »0,(բ)

Անդրաժեշտություն: Համաձալն լեմ 2-ի 8,

Է».

9.0

Ց.չ-0,

ապա

է.

պարզ

5-Թ-(.16.յ)օ:Հ0,

(»

ԽՀ

ն..յո),

3, /օլ,

ն

եթե

Այնուճետն, քանի

0:

որ

-

(Ց. 1զ.):

ապա

/. 1/0. Հ.

որ

/ճյ. եթե

Օլ»0, (Հ Ն2.....ո): Ստացված անճավասարութլունը նշանակում Է, որ ճիշտ Է նան (բ) պալմանը: Բավարարություն: Քանի որ ըստ (ա) պայմանի Օյ »0, ապա Թ.Հ0

պայմանից կճետնի,

Թ-Թ-րչօլ, (բ)

ըստ

ապա

որ

5.

-

Թ 1Օյ

ԹՀ/ՌչՀ0. եթե ռ, պալմանի

2Բ-Օ(Տ1օ.,- 8. |օ)Հ0:

Հ0:

Հ0:

Այնուճետն, քանի

իսկ եթե

ռլ

Օլ։

»0,

որ

ապա

ճետնաբար

Ենթադրենք՝ վեկտորների 2",...,2'"

ճամախումբը (5.1)-(5.3)

խնդրի թուլատրելի հենք է, իսկ շ. վեկտորն այդ ճենքին չպատկանող այնպիսի վեկտոր, որի վերլուծության գործակիցներից գոնե մեկն ըստ ալդ ճենքի դրական է:

Եթե

/ լլ) ոմո(:.օ

«ը»

Հ

Ճ.ց 1Ճյլչ

ապա

ըստ

3-րդ լեմի, 2"

վեկտորը

փոխարինելով 2' վեկտորով, կունենանք տրված Բենքի Բարնան թույլատրելի ճենքը: Ընդ որում, եթե

մ

Օյ

Ճչցչեթե 7 ՀՏ. 1ՀԼ..

(5.12)

եթեյօ/

կոորդինատներ ունեցող կետը սկզբնական ճենքալին լուծումն Է, ապա

ճԲարնանճենքալին լուծման

կորոշվեն Բետնլալ բանաձներով՝

եթեյ եթե

0,

Հաշվենք

(5.1)

(--Տայ)Հ

ղ

ՀՇ

-չ

"ս

մո

-

:

Ը,

Ճ: ւ

Այսպիսով` :

-

«7:

ՇԸ, Ճլ-ՇԱՀ

ճա

օղ.

Տ

2: օյ,»

«ալ

շ.«յգյ 7-1 2.«յօյ----Ճւլ յ-1 '

Օ.13)

-

նպատակային ֆունկցիայի արժեքը (5.13)-ով

որոշված կետում

2 ՆՆԵ, յ՞1

կոորդինատները ըստ 2-րդ լեմի

Ճլ»եթե) Հ Տ1-1...

Մյ)"

(ց

Ան -

.

Օ.-

օ,

Վ

ա-ՀՅՖզ, Ճոլ

Է-

լ-Ֆ

Վ

«գ.

Ի)

Հ.

ւ

ճլֆ

:-1

ձ

/

։

(5.14)

լ:

շ'. որ եթե բանաձնից ԲՃԲետնում է, վեկտորին ճամապատասխանող ձ. գնաճհատականը փոքր Է զրոյից,. ապա (5.13)-ով որոշված վեկտորը կլինի ալն ճարնան ճԲենքալինլուծումը, (5.14)

որի ճամար նպատակային ֆունկցիայի արժեքի աճը

իսկ

(5.13)-ով

(աօ|»): Ճ| Է:

վեկտորի

ճամար

նպատակալին ֆունկցիայի արժեքը կնվազի (»չց /Ճրլ)-Ճլ-ի

չափով:

եթե

Ճյ»0,

ապա

որոշված

Նշված

ճանգամանքն ալն երաշխիքն որ Ճնարավորություն Է տալիս խուսափել բոլոր Բարնան Բենքալին լուծումները Բատարկելուց ն Էապես կրճատել դիտարկվող ճենքային լուծումների թիվը: Հարկ Է նշել, որ կարելի Է բերել ԳԾ խնդիրների մտացածին օրինակներ, որոնց ճամար նման մոտեցումը չի բացառում բոլոր կամ Բամարյա բոլոր ճենքային լուծումների Բատարկումը: Քննարկենք ալն դեպքը, երբ Բենքին չպատկանող ճ՛ վեկտորի, ըստ

Է,

տրված

ճենքի,

վերլուծութան

գործակիցները

»յՀ0

Այս դեպքում ըստ 3-րդ լեմի 4: վեկտոր պարունակող, տրված ճենքին Բարնան թույլատրելի Բենք գոլություն չունի, սակայն ճիշտ Է (5.1)-(5.3) խնդրի վերաբերյալ ճետնյալ լեմը: (ւ

Հ

Ն2.....7դ:

Լեմ 4: Եթե շ'

վեկտորի՝

ճենքի վերլուծության ձլ

(ձլ»0),

Հ

ապա

(5.1)-(5.3)

ըստ

խնդրի թույլատրելի

գործակիցները դրական չեն

1-1...»

յ

ն

խնդրի թուլլատրելի լուծումների բազմության

վրա (5.1) նպատակային ֆունկցիան անսաճձմանափակ Է վերնից (ներքնից): Է» Օգտվելով (5.2) ճավասարումների Բամակարգի լուծումների բազմությունը ներկալացնող (4.6) բանաձնից՝

Ն2....,ո"՛ 2. ԽյՃյ որոշենք (5.2) համակարգի ալն լուծումների ենթաբազմությունը, -Կ0-

1Հ-

։

բոլոր

են

ստացվում

(Մ 67,

«Ս) արժեքների ճամար: Դժվար չԷ ստուգել, Ճ:0

Ճ.(0-

-

անճայտների

ազատ

ճել» եթե/

-

Տ: 1

-

եթեյ-7 եթեյ/ ՀՊ,/»1

0,

«յ-0.

յժ,

որոնք

որ

ստացված

1... 771

(5.15)

վեկտորը ցանկացած ոչ բացասական 0 -ի ճամար (5.1)-(5.3) խնդրի թույլատրելի լուծում է: Հաշվենք (5.1) նպատակային ֆունկցիայի արժեքը (5.15)-ով որոշված կետում. (Կո -0-այ)է 2.«յ-2Ճ(0) 2.«,,

յ-

զ

:-

.60 -

Այսպիսով,

Էշ,:(0)9-»:« հռ

բ -

/-1

ինչ

որ

պետք Էր ապացուցել:

եթե ձլ եթե ձլ

օ, Օյ

շ.«.,"Ճ.ց -0-ձլ: :-

Հ0 »

0,:

.)

Հետնանք: Եթե ճերթական ճենքին չպատկանող գոնե մեկ 2' վեկտորի վերլուծության գործակիցները` յ Հ0. /ՀԼ..,դոն ձյ Հ0. (ձլ»0, ապա բացառելով մնացած ճենքալին լուծումների դիտարկումը՝ բացաճայտվում Է մաքսիմացման (մինիմացման) խնդրի լուծում չունենալու փաստը:

96. Սիմպլեքս ալգորիթմ ԳԾ խնդիրների լուծման սիպլեքս եղանակը Բամառոտակի կարելի Է բնութագրել որպես խնդրի լուծում գտնելու կամ լուծում

չլինելու փաստը բացաճալտելու վերջավոր ն ամենակարնորը, որպես կանոն, բոլոր ճենքալին լուծումների ճատարկումը բացառող, կարգավորված ճաջորդական գործողությունների շարք: Նկարագրենք (5.1)-(5.3) խնդրի լուծման սիմպլեքս եղանակը մաքսիմացման դեպքի ճամար: Նախնական ` քայլ: Որոշել|Սր (5.1)-(53) խնդրի որնէ 805 Հվ." ,...,2"")

սկզոնական թուլլատրելի ճենքը (թե ինչպես

որոշել 822) ճենքը. տե՛ս, 87):

Քայլ

1:

Որոշել.

`

ԺՀ-0Լ...,ռ)

թուլլատրելի ճենքի, 47

ճերթական Թ

ըստ

վեկտորների

ան,

վերլուծության

(1-

1...,ո)

գործակիցները, (5տ5.2)ճավասարումների՝ ճամակարգը ճենքալին անճայտների նկատմամբ լուծելու, իսկ եթե րթչՀ1, Ծա», Բաշվողական տեսակետից ավելի Բարմար (թ-1

Ե,

Ճա

ա).

ՀԽ. -Ն...յո

Օ-Ց

,

:շ- 5 (թ-1) է իհ.1

ՇՇՐԱՀՑՅԱ

թ

(ջ-1) Ճ.

Մ

:

Հ

(6.1) Ն....ո

անդրադարձ բանաձնի միջոցով (տե'ս, (5.11)-ը):

Քայլ

2:

ճ5

Հաշվել

Դ

(5

Քայլ|լրլթ93: Որոշել

115-:Չ.

ապա

շա"

-

Հ

144»ՀԳ)

ճենքային

ըստ

(6.2)

67:

-Ց.

բազմությունը:

լուծման

Եթե

օպտիմալության

ճայտանիշի՝ ո»... /

»չեթե ) 5լ»---»5ռ վա 0, եթե /»5,ՀԼՆ...)5.)յ Հ

Հ

Ն2:...յռ

կոորդինատներ ունեցող Բենքային լուծումը կլինի լավագուլն լուծում, իսկ Ճցայսինքն

»..ա

վ

նպատակային ֆունկցիայի առավելագույն արժեք.

խնդրի լուծումն ավարտված Է:

Քայլ

4:

Եթե (2)

բազմությունները: Եթե է, ապա

ըստ

«

Ժ,

ապա

որոշել

-

117 բազմություններից )

նիզ»»01,

«11

գոնե մեկը դատարկ

85-ի 4-րդ լեմի (5.1) նպատակային ֆունկցիան թուլլատ-

րելի լուծումների բազմության վրա անսաճմանափակ Է վերնից, ն խնդրի ճետազոտումն ավարտված է, քանի որ ալն լուծում չունի: օ1Թ. Քայլ 5: Եթե ապա նշել

5»ՕՉ,

պատկանող

բազմութանը

ցանկացած

|

թիվ

ն

թվին

պդ

(ջ)

Քայլ ե

6:

ոլո

7»

Փոխարինել Թ»)

տորո

»ց:

Է «05 5

ճամապատասխանող --

-,

պայմանով որոշված

թուլլատրելի ճենքի 2"

84»

ն

հ

թիվը:

վեկտորը «'

ճեն ք

ճարնան արնա

ռո,...2ո Ի,....2"3 թուլլատրելի ճենքի ճամար կրկնել քայլերի ձաջորդականությունը (սկսած առաջին քալլից): Եթե (5.1-(5.3) խնդիրը վերածվող չէ, այսինքն նրա ճենքային 0-7

Հ

լուծումներից յուրաքանչյուրի ճամար

7»

(թՀ1) )-7)-

(1.

լք)

»0,

իսկ Ճլ Հ0,

ապա

ըստ

(ջ)

ՊՃե0 «(» ճլ

«(թ

բանաձնի (տե՛ս, (5.14)) ճեշտ Է ճամոզվել, որ սիմպլեքս եղանակով որոշված ճաջորդական Բարնան հենքային լուծումների ճամար (6.3) 7(ա"5)» /( 5), ք- 0.լ....: Մյուս կողմից, քանի որ (5.1)-(5.3) խնդրի ճենքալին լուծումների թիվը վերջավոր է, ապա իրարից տարբեր ճարնան ճենքային լուծումներին ճամապատասխանող (6.3 .Ճճաջորդականությունը նունպես կլինի 6Հետնաբար, վերջավոր թվով վերջավոր: բազմակրկնություններից ճետո կամ կորոշվի լավագույն ճենքային տե՛ս 3-րդ քայլը), կամ կբացաճայտվի ՀՌ, լուծումը (երբ ձ, Հ0,

նպատակային ֆունկցիայի վերնից անսաճմանափակ լինելու փաստը (տե'ս, 4-րդ քալլը): Այսպիսով, կարելի Է պնդել, որ ցանկացած չվերածվող ԳԾ խնդրի ճետազոտումը կավարտվի սիմպլեքս ալգորիթմի վերջավոր թվով բազմակրկնությունների միջոցով: Որպեսզի Բնարավոր լինի իրականացնել սիմպլեքս ալգորիթմի ճերթական (քթՀ1)-րդ բազմա-

կիկնությունը, արդեն ընտրված թ. անճրաժեշտ (Հ

Լ....ոյ

Է Հ

ունենալ

0,....5)

2)

թուլլատրելի Բենքի ճամար,

վեկտորների

գործակիցները

ն

վերլուծության

լթ

օպտիմալության Բայտանիշի

ճն»(/)6Մ)

լր

լոծության

84» Բենքի: Հարմար Է.

գնաճատականներըրստ գործակիցները,

ն 405գնաճատականները

որ

վեր-

խնդրի

ալլ

պարամետրերը ամփոփ ձնով ներկայացվեն, այսպես կոչված, սիմպլեքս աղյուսակի միջոցով: Նկարագրենք ք-րդ բազմակրկնությանը համապատասխանող ընթացիկ սիմպլեքս աղյուսակի կառուցվածքը: Ընթացիկ սիմպլեքս աղյուսակ Բենք

ՒԱ

2:

ճլ

Շշ

Շչլ

Ճլլ

Շ..

Ճլշ

ւ|:

Ըճ

6.

ձ,

|

Ճ

|

|

ՊՃոշ

ճու

|

Ճոշ

|

ձ.

|»

"

ՀԱ

-

Պոմ

--

|

-

ց

Պլ

""

|

2 ել

ճլ

՛-

Պու

ձլ

2:

|

ճլ

Ընթացիկ սիմպլեքս աղյուսակի առաջին տողում գրված են -1 թիվը, նպատակային ֆունկցիայի «ց. ազատ անդամը ն ճլ,Շշ....,6ռ գործակիցները, իսկ վերջին տողում՝ ընթացիկ ճենքային լուծմանը ճամապատասխանող նպատակային ֆունկցիայի Ճց արժեքը ն ալդ ճենքային լուծման օպտիմալության ճայտանիշի

գնաճատականները:

Աղյուսակի

ճենքի

ոչ

"Բ"

սյունակում նշված

են

անպալման կարգավորված 2",...,2'"

ՃՊլ,...,Ճլ»...,»4ղ

ճերթական թուլլատրելի

վեկտորները," «չ "-ի

սյունակում` նպատակալին ֆունկցիայի ճենքային փոփոխականների գործակիցները, իսկ Բաջորդ յուրաքանչյուր 27 -ին ճամաՇո, պատասխանող սյունակում գրված

վերլուծության 2 գործակիցներն Վերջին

"60"

են

ըստ

(ՄՀ0,Ն...չո)

ընթացիկ ",....8"

վեկտորի քենքի:

սյունակը լրացվում Է միայն այն տողերի 2», /»,

ճարաբերություններով, որոնք ճամապատասխանումեն ընտրված գլ սյունակի »չ դրական տարրերին:

Համառոտակի նկարագրենք բերված սիմպլեքս աղյուսակի միջոցով ճաջորդ (թ 1)-րդ բազմակրկնությանը Բամապատասխանող սիմպլեքս աղյուսակն ստանալու եղանակը: Ենթադրենք՝ ընթացիկ սիմպլեքս աղյուսակի վերջին տողում գոյություն ունի գոնե մեկ

ալնպիսի Ճլ սյունակի

գնաճատական, որին ճամապատասխանող 2: ի

ՀՕ

(1Հ Տլա-.55ղ) թվերից գոնե մեկը դրական Է (հակառակ

«յ

ՀԼ...,ո

դեպքում, եթե Ճ, Հ0, ԷՀ

Տլ

Տող»ապա

կամ եթե Ճյ ՀՕ,

ալյ Հ0,

սակայն

խնդրի ճետազոտումն ավարտված կլիներ): 0"

սյունակում լրացված թվերի նվազագույնին

Բամապատասխանող

տողի 2" վեկտորը փոխարինելով 2: վեկտորով՝ կունենանք ճաջորդ թույլատրելի ճարնան ճենքը: Պարզ է, որ (քթՀ1)-րդ հ -րդ

սիմպլեքս աղյուսակի առաջին

տողը

կմնա անփոփոխ,

ճենքային վեկտորը կփոխարինվի 2.

"ճ"

վեկտորով, "ճշ"

սյան 2": սլան «,,

գործակիցը «,/-ով, իսկ աղյուսակի մնացած տարրերը կճաշվարկվեն սիմպլեքս աղյուսակի ձնափոխման (6.1), (6.2)

ն

(5.14) բանաձներով:

57. Սկզբնական թույլատրելի ճենքի որոշումը Ենթադրենք` տրված Է կանոնական տեսքի

ԳԾ

խնդիր.

ո

Դ

գյ»,

Խյ Հ0,)

-

եւ, ւՀ

12....,ռ

(7.2)

(7.3)

ՀՆ2....չո

Առանց ընդճանրություն, խախտելու կարելի Է ենթադրել, որ (4ՀՆ2...,ոռ): 5: Հ0, Այս խնդրի սկզբնական թույլատրելի ճենքը գտնելու ճամար միաժամանակ դիտարկենք ճետնյալ օժանդակ խնդիրը.

7--Ճուլ-

Ճ1--"-Ճաո

տու

ո

գյ», Էմո.

)-1

5յՀ0,)-

Հ

ծ,

1,2....,(ո4

ւՀ

Ն2,....ռ ո)

(7.4)

(7.5) (7.6)

Քանի

յ, -0.

որ

բավարարում

(/ՀԼ2...,ո).

(7.5)-(7.6)

են

ճու:

-

ծ. ՕՀԼ2.....)

սահմանափակումներին

լուծումների բազմության վրա

լավագույն լուծում:

7Հ0.

ապա

ն

թվերը թույլատրելի

օժանդակ խնդիրն ունի

Բացի ալդ. ճեշտ է տեսնել, որ 2՞'/,2՞'7,....2"'" միավոր վեկտորների ճամախումբը օժանդակ խնդրի թույլատրելի ճենք է. ն ըստ

ճեռքի «7

ալդ

գործակիցները

(7Հ0.լ....ո)

հավասար

վեկտորների վերլուծության

կլինեն

«.-ի:

Էյ

Այսպիսով. ունենալով

թույլլատրելի Բենքը՝ օժանդակ խնդիրը կարելի Է լուծել սիմպլեքս եղանակով

ն

որոշել

ինչպես

լավագուլն ձենքը: Նկարագրենք առկալության դեպքում (7.4)-(7.6) խնդրի ճամար թուլլատրելի ճենք Լեմ 1: Որպեսզի (7.1)-(7.3) բազմություն՝ դատարկ չլինի,

ոու -

/,ւ-ըբ, ալնպես

2" ,2".....42

էլ

5"

ալն բավարար պալմանները, որոնց խնդրի լավագուլն Բենքը (7.1)-(7.3)

է:

խնդրի թուլատրելի լուծումների անձճրաժեշտ է ն բավարար, որ

ի

Է»

Անճրաժեշտություն

Ենթադրենք,

որ

(7.1)-(2.3)

թուլլատրելի լուծումների բազմությունը դատարկ չԷ,

խնդրի

ն

(չլ,:6»...»:Ճ) վեկտորը ալդ թույլատրելի լուծումներից մեկն Է: Ալդ դեպքում ճեշտ Է նկատել, որ (ոՀ ո)-չափանի դ ("ոշ»-..54Ճո:0:0.....0) "վեկտորը -

(7.4)-(7.6) խնդրի թուլլատրելի լուծում Է, որի ճամար

կողմից. (7.4)-(7.6)

(ՊԵՏՈ)

խնդրի

/(դ):

Հ0-

լավագույն լուծումն Է, իսկ

7)

-

0:

Մյուս

մի թուլլատրելի լուծման ճամար

ամեն

Հետնաբար. 7 վեկտորը օժանդակ խնդրի

Մու-0:

Բավարարություն:Ենթադրենք՝ Մու 0: Այս դեպքում ակնճայտ Է, որ (7.4)-(7.6) խնդրի լավագույն լուծումը կունենա ճետնյալ տեսքը՝ Հ

դ`

Հ

(ԳՅՏրո..:3:0:0,....0): Քանի

օժանդակ

Պլ»)...

որ

դ.

խնդրի

վեկտորի

սաճմանափակումնեին,

կոորդինատներն

ճամակարգին, որն Էլ կնշանակի. բազմությունը դատարկ չԷ: .|

կոորդինատները բավարարում

դ-

վեկտորի

(7.2)-(73) կբավարարեն խնդրի թուլլատրելի լուծումների

էլ որ

ապա

են

Լեմ

Եթե

2:

Մու՞0, ապա

գոյություն

ունի

2.,2,....2"

վեկտորների բազմությանը պատկանող օժանդակ խնդրի 2"',...,2:" լավագույն Բենք: Եթե

ՒԷ»

Մութ0.

ինչպես տեսանք, (7.4)-(7.6)

ապա,

խնդրի

բաղադրիչները ճավասար կլինեն լավագույն լուծման վերջին զրոյի, ճետնաբար, եթե խնդիրըչվերածվող Է, ապա լեմը ճիշտ է: Իսկ եթե խնդիրը վերածվող է, ապա նրան ճամապատասխանող Բենքերից լեմի պայմաններին բավարարող ճենքը կարելի Է որոշել վերջավոր թվով սիմպլեքս ձնափոխությունների միջոցով: օժանդակ խնդիրը կամ Այսպիսով, լուծելով (7.4)-(7.6) կճայտնաբերենք, որ (7.1)-(7.3) խնդիրը թույլատրելի լուծումներ չունի 7,

(7,

կամ կորոշենք ալն 2",...,2'"

0),

լավագույն ճենքը,

որը

2: կբավարարի լեմի պայմաններին Եվ քանի որ վեկտորի վերլուծութան գործակիցնեն ըստ այդ ճենքի կլինեն ոչ բացասական ապա այն կդառնա (7.1)(7.3) խնդրի ճամար թույլատրելի ճենք: Նկարագրենք 83-ի սկզբում դիտարկված "նորմալ կերի" խնդրին համապատասխանող ԳԾ խնդիրը կամ այդ խնդրին ճամարժեք, կանոնական տեսքով

Հ

ալ Հ2»այԷՏ»

-»

Տ0լ Հ 207. Հ 180»յ 6:.լ -է 4, -Է 3գ Ճչ

-

-

Նյ

Հ

0:7

-

ոլո աչ Հ120

-

(7.7)

Ն2....,6,

ԳԾ

խնդրի լուծման սիմպլեքս եղանակը: Նկատենք, որ (7.7) ԳԾ խնդրի տ,»"չ»5: փոփոխականները արտաճալյտում են կերաբաժնի պարունակած սպիտակուցի, կալցիումի ն վիտամինների նվազագույն քանակութլուններին գերազանցող մեծություններ:

խնդրի սկզբնական թուլլատրելի ԹՇ) Բենքը որոշելու ճամար լուծենք դրան ճամապատասխանողօժանդակ խնդիրը (տե'ս, 87) կամ ալդ խնդրին ՃԲամարժեք ճետնլալ ԳԾ խնդիրը. (7.7)

Մ-»աԻ Իջ»

ոո

2000, 50..լ Հ 20,.շ Հ 180». լ Է. 120, 6 փ 4շ Է 2ոյ ոլ Էգ 2լ իՃշ Էյ փՀց 44, ՆՃյՀ 0,7 12,...9, Հ

-

-

-

(7.8)

Տ

որտեղ

փոփոխականները արտաճալտում

յյցչ«ջ

են՝

թե ինչքանով

պակաս վարսակի, առվուլտի եգիպտացորենի Բամակցությամբ կերաբաժնի սպիտակուցի. կալցիումի ն վիտամինների նվազագուլն են

ն

իսկ

քանակությունները,

ֆունկցիան՝

կերատեսակների

ձրի

առկալության պայմաններում վճարովի (մեկի ճավասար պալմանական գներով) սննդային տարրերով բաղկացած կերաբաժնի գինը:

Եթե

Մո -0,.

կնշանակի

կերատեսակների ճԲամակցությամբ

(առանց վճարովի սննդային տարրերի) ՝նորմալ կերի" խնդրի պաճանջներին բավարարող կերաբաժին գոլություն ունի, ճակառակ

Մող»0-ապա

դեպքում` եթե

կնշանակի դրանց համակցությամբ

ալդպիսի կերաբաժին գոյություն չունի. այսինքն՝ (27) խնդրի թուլլատրելի լուծումների բազմությունը դատարկ Է, ն, ճետնաբար, ալդ

խնդիրը լուծում չունի: Կազմենք (7.8) խնդրի

2,242:

միավոր

վեկտորներից բաղկացած թուլլատրելի ճենքին ճամապատասխանող սիմպլեքս աղյուսակը: Ճ

Ճճ

Ջ

Զ

զ:

զ

«7

լ

20080

25|

129)614|1.3|10|-Վ

եխ

լ

Ճ,

|

ՀՕ

|

|

|

|

լ

|

զ

180|

184|

օ'

լ

լ

|

լ

|

լ

|

|

|

լ

|

456 Կ.

|

|

01|0

լ

աղյուսակ 3.2

Ստացված աղլուսակի թվալին տարրերին կարելի է տալ համապատասխանող "նորմալ կերի" խնդրի բովանդակության իմաստալին մեկնաբանումներ: Աղյուսակի "2:"-ին ճամապատասխանող սյունակի Բաջորդական երեք թվերը, սկսած երկրորդից, ցույց են տալիս միայն վճարովի սննդային տարրերից բաղկացած կերաբաժնի կառուցվածքը (2000 մգ սպիտակուց. 120 մգ կալցիում, 44 մգ վիտամիններ), իսկ 2164 թիվը այդ կերաբաժնի ճամար ծախսվելիք գումարը: Աղյուսակի "«2"-ին ճամապատասխանող սյունակի ճաջորդական երեք թվերը. սկսած երկրորդից, ցույց են

տալիս կերաբաժնի մեջ սննդալին տարրերի ալն չափաքանակները (50 մգ սպիտակուց, 6 մգ կալցիում, 2 մգ վիտամիններ), որոնք կարելի Է փոխարինել 1 կգ վարսակով, իսկ 58 թիվը ցույց Է տալիս այդպիսի փոխարինման ճետնանքով կերաբաժնի մեջ սննդային տարրերի ծախսերի ն փոխարինված չափաքանակներին ձհամապատասխանող կատարված կգ գնի չափով վարսակի ալդ փոխարինման ճամար 58): ծախսի տարբերությունը (Տ50-1-6:1-2-1-1.0Հ Այսպիսով, տրված թուլլատրելի կերաբաժնի մեջ վարսակի լուրաքանչլուր 1 կգ-ի օգտագործման դեպքում կերաբաժնի վրա կատարվելիք ծախսերը կրճատվում են 58-ով: Սակալն վարսակի առավելագույն քանակությունը, որով կարելի Է փոխարինել տրված կերաբաժնի սննդալին տարրերը, չի կարող 2000:50-40, 120:6-20, 44:2-22 թվերի լուրաքանչյլուրից ավելին լինել (տե'ս, աղյուսակի "0 "սյունակը), քանի որ վարսակով կարելի Է փոխարինել սննդային տարրերի միայն կերաբաժնի պարունակած քանակությունները: Նման մեկնաբանություններ կարելի Է տալ 1-ին սիմպլեքս աղյուսակի նան մյուս սլունակներում գրված թվային մեծություններին: Շարունակելով կերաբաժնի մեջ վարսակի օգտագործման ճետնանքների քննարկումը՝ նշենք, որ դրա մեջ վարսակի առավելագուլն թույլատրելի 20 կգ-ի օգտագործումը կճանգեցնի կերաբաժնի կառուցվածքի այնպիսի փոփոխության, որ վճարովի կալցիումն ամբողջությամբ կփոխարինվի 20 կգ վարսակի պարունակածկալցիումով: ճենքի 2: վեկտորը փոխարինելով 2' Տրված 7,227 վեկտորով, ալնուճետն՝ ստացված

2՛,2:,2-

ճենքի 27 վեկտորը «`

27,2.,25 ճենքի շ7 վեկտորը 26 վեկտորով ն, վերջապես, կստանանք ճարնան թուլլատրելի ճենքեր, որոնց վեկտորով կճամապատասխանեն Բետնյալ երեք սիմպլեքս աղլուսակները. Ց

«ր

գ

1000|

.1

գ

Ճ,

|

104|

|

Ց

ց

|

4/6

|

|-26|)

|

-3806| 155

յ

326|155

25 26

գ

|

|

|

|

լ

|

5096|

|

16|

|26|

Հ

-

|526|

-

|

լ

-50/6|

|

1000/

|16|0

|

ո" յ

|

226|

|վ586|0

|

աղյուսակ

3.3

Ս

ա:

2'|

25|

|

ձ,

.1

|0| ||

Վ

|

|0| |Տ|

շշ

լ

|12|

|55|

1/2 |

155|

-

|0| 151)1|

|

2|

|

212.

.-3

գ

-

|

Հ2|/0|0

լ

|

| 0 | 11|1| 1 | 25|11|0:| -պ25 |356

1.

Կ"

-

| |

0|-Վ

0|-Վ|

աղյուսակ Ճ

։Փ

Կ,

Վ

5)

2.|

0|

25|

| |

ձյ|

ՔԿ

4.Փ..

|0|

0|

ՎԹ

|

|

|

| 1|

| 0|

|0|

|

|

|

|

զ:

Հ

4:

գ"

յ

լ

-25|

1/25|

-150|

150|

-3325|

|3/25|

-

Վ

Վ

|

Վ

3.4

աղյուսակ 3.5

26,2..2` ճենքին ճամապատասխանող կերաբաժինը վճարովի սննդալին

տարրեր

ծախսերի գումարը

չի

Է

զրո

ն

պարունակում

(7ո

-

0):

նրա վրա

կատարված

Հետնաբար 2",2:,25,

ճենքը

(7.7) խնդրի թուլատրելի ճենք է, որին ճամապատասխանող սիմպլեքս աղյուսակը 3.5-րդ աղյուսակից ստանալու ճամար բավական Է վերականգնելկերատեսակների իրական գները ն ճաշվել ալդ գներին ձամապատասխանող 4.ց,Ճլ»...»46 թվերը: Բ

ՇՇ

գ.

շ.

է

Վ5

|315

2"

լ

ՏՏ

Պ/Տ

Ճ

|

|

|

| |

| 935 |

|

|

գ"

Ի25|

36:31)5

-150|

40:2/5

325|

120:93/5

աղյուսակ 3.6

2շյշ:.,2: թովլատրելի ճենքին խնդրի Այսպիսով, (77) ճամապատասխանող սիմպլեքս աղյուսակը կունենա Բետնլյալտեսքը. Աղյուսակ 3.6-ում կերաբաժնի կառուցվածքը բնութագրող «ռո» սյունակի թվերից ճետնում Է, որ կերաբաժինը պարունակում Է 40 կգ վիտամինների ճետնանքով կերաբաժնի մեջ վարսակ, որի պաճանջվող նվազագուլն քանակությանը գերազանցող մեծութլունը 36 մգ Է, կալցիումինը՝ 120 մգ, իսկ գինը՝ 120: Առվուլտը բնութագրող «--2» ճ

է, որ 1 կգ առվույտը կարող Է սյունակի թվերից ճետնում փոխարինել 2/5 կգ վարսակի, ընդ որում կերաբաժնում վիտամինների Բավելուրդը կաճի 1/5 մգ-ով, կալցիումինը՝ ծ/5 մգ-ով, իսկ ալդ փոխարինման ճետնանքով կերաբաժնի վրա կատարված ծախսերը

կաճեն 4/5 միավորով: Եգիպտացորենըբնութագրող "25 7-ի սյունակի Է, որ 1 կգ եգիպտացորենը կարող Է փոխարինել թվերից ճետնում կգ վարսակի (կերաբաժնի մեջ օգտագործվելիք վարսակի քանակութլունը կնվազի 3.6 կգ-ով), 31/5 մգ վիտամիններին 93/5 մգ կալցիումի. իսկ ալդ փոխարինման ճետնանքով կերաբաժնի վրա կատարված ծախսերը կնվազեն 29/5 միավորով: ճենքի շճ վեկտորը փոխարինելով 25 վեկտորով՝ կստանանք ճետելալ սիմպլեքս աղյուսակը.

(աշո,ո`)

Շր

Բ

2:

Ճ,

գ:

գ:

180/31 592/31

|

267631|

ի

շ

-1/31 16/31

-19/31

«5

2`

լ

-1/155

5/31

1/310

-18/31

-7/310

-29/31

աղյուսակ

3.7

ենք, կերաբաժնի կառուցվածքի ցանկացած Ինչպես փոփոխություն Բանգեցնում Է կերաբաժնի ճամար կատարվելիք ծախսերի աճի ճետնաբար, տրված Բենքին Ճամապատասխանող տեսնում

։:

-592/31,

»:-0,

»:

Հ180/31

վեկտորը լավագույն լուծումն Է,

իսկ 2676/31-86,32-ը՝ նվազագույն ծախսը: Շարունակելով խնդրի ճետազոտումը՝ որոշենք 83-ում բերված "նորմալ կերի" խնդրին

համապատասխանողերկակի խնդրի

1»)2»)5լավագույն լուծումը:

Հավասարակշոությաան թեորեմի անճրաժեշտ

ն

Է

բավարար,

որ

Մամաձայն

ջլ,չչ»»5

(տե՛ս,

83)

վեկտորը բավարարի

ճետնլալ Բամակարգին.

(505:-Է6»չ

2»: -3)» -0 (20): 4): Է): -2),.-0 4(180ջ: Է 3ջշչԷ: -Տ)»: -0

(62: 4.1 -Է3»:- 120)», -0

Սո 0,7: Հ

կամ

Հ

0.9)Հ0,

505 Է6ջչ-Է2»:-3

20: Է4»չ-Է)»:Հ2 4180: Է3»չԺ:-5

-

.Հ0,.Հ0,:Հ0 համակարգին:

Երկակի խնդրի լավագույն լուծումը կլինի ջլ -7/310, «29/31:

Սա

նշանակում է.

որ

)չ

-0,

կերաբաժնի պարունակելիք

կալցիումի նվազագույն քանակության աճը չի Բանգեցնի կերաբաժնի գնի աճի: Ինչ վերաբերում Է կերաբաժնի ,պարունակելիք սպիտակուցի ն վիտամինների նվազագույն քանակություններին, ապա դրանցից լուրաքանչյուրի նվազագույն քանակությունները 1 մգով փոփոխելու դեպքում կերաբաժնի նվազագույն գինը / 310, է29 / 31 միավորով: ճամաապատասխանաբարկփոխվի Հ՛7

Տ8. Խնդիրներ

ն

վարժություններ

Լուծել ճետնյալ ԳԾ խնդիրները. 1. Ջեռնարկությունն՝ Օ։Օ`իրերեք տեսակ սաճմանափակ է ռեսուրսներով պատրաստվում արտադրել երկու տեսակ արտադրանք, որոնցից լուրաքանչյուրի Բամարկարելի է օգտագործել երկու տարբեր տեխնոլոգիաներ: Որոշել, թե որ արտադրանքից ինչ տեխնոլոգիալով ն ինչքան պետք Է արտադրել, որպեսզի սպասվելիք շաճույթը լինի առավելագուլնը, եթե Բնչյլտնի են յուրաքանչյուր տեխնոլոգիայով միավոր արտադրանքի համար ոեսուրսների ծախսերը, սպասվելիք շաճույւթները ն ռեսուրսների պաշարները, որոնք բերված են 3.8 աղյուսակում:

Ռեսուրս

Միավոր արտադրանքի վրա կատարվող ծախսը "Ա`

արտադրանքի

"Բ"

արտադրանքի

վրա

ա

Լտեխնոլոգիա

մեքենա

արկղ աշխատող

|

11 տեխնո-

լոգիա

նոլոգիա |

ների

պաշար-

ները

11 տեխ-

նոլոգիա

շ

12000

լ

լ

լ

20000

1Լտեխ-

Ռեսուրս-

100000

Միավոր արտա-

դրանքից

սպասվելիք շաճուլթը

աղլուսակ

3.8

Իր բյուջեից ամսական ճատկացնելով մլն. դրամ՝ ձեռնարկություն, ցանկանում Է գովազդել իր արտադրանքը՝ օգտվելով ճեռուստատեսությլունից ն ռադիոլից: Ալդ գումարը պետք է երկու օբլեկտների միջն այնպես բաշխել. որ գովազդը ապաճովի ձեռնարկության արտադրանքի առավելագույն իրացումը: Հալտնի է որ ճեռուստատեսութլամբ ն ռադիոյով գովազդի մեկ րոպեն արժե ն համապատասխանաբար 20000 Նախորդ դրամ: ժամանակաշրջանի փորձը վկալում Է, որ ճեռուստագովազդի մեկ րոպեն ապաճովում Է 25 անգամ շատ արտադրանքի իրացում. քան ռադիոգովազդինը. բալց. չնալած դրան, ձեռնարկությունը որոշել է ռադիոցանցն օգտագործել 2 անգամ ավելի ՃԲաճախ. քան Ռեռուստատենությունը: Օգտագործելովխնդրի տեղեկությունները՝ որոշել գովազդին Բատկացվող այն գումարի սաճմանը. որը գերազանցելիս լավագուլն լուծումը չի փոխվի. որոշել այլն պայմանները, որոնցում գովազդը կարելի է իրականացնել միալն ռադիոլով: 3. Բանկն իր ունեցած ազատ դրամական միջոցները նարող է օգտագործել երկու նախագծերի ֆինանսավորման ճամար: 1-ին է նախագիծը երաշխավորում ներդրումից մեկ տարի անց յուրաքանչյուր 100 դրամի դիմաց 70 դրամ շաճույթ, 2-րդ նախագիծը՝ յուրաքանչյուր 100 դրամի դիմաց 200 դրամ շաճույթ. բայց երկու տարի անց: 1-ին նախագիծը ֆինանսավորելու դեպքում ներդրումներ կարելի է կատարել ամեն տարի, իսկ 2-րդի դեպքում՝ երկու տարին մեկ: 40 մլն. դրամ կապիտալը երկու նախագծերի միջն ըստ տարիների ինչպե՞ս բաշխել. որ սպասվող շաճույթը., ներդրումները կատարվելուց երեք տարի անց, լինի առավելագուլնը: 4. Ցանկապատ ձնավորող վարպետը 220 սմ երկարությամբ մետաղլա ձողերից կտրում է 90. 100. 120 սմ երկարությամբ ձողեր: 2.

»

»

Կազմել կտրման առավել նպատակաճարմար տարբերակներ, ն գտնել, թե որ տարբերակով քանի ձող պետք Է կտրել, որպեսզի կորուստները լինեն նվազագույն, եթե Բայտնի է, որ վարպետին անրաժեշտ են նշված ձողերի ճետնլյալ քանակությունները.

Լից 300, ԼԷից՝ 500, ԼԱԼից՝ 600

5.

ճատ:

Ջեռնարկությունը, որը պատրաստում

պարտավորվել

Է ծիրանի անուշեղեն,

սեզոնի ընթացքում պատվիրատուին մատակարարել 0,18տ չիր, 0,8տ ջեմ ն 1,2տ մուրաբա: Հումքը կարելի Է ձեռք բերել Արագածոտնի կամ Արմավիրի մարզերում (մեկ տոննայի ճամար վճարելով ճամապատասխանաբար՝110 Բազ. ն 100 հազ. դրամ): Փորձը ցույց Է տվել, որ Արագածոտնիմարզի ծիրանի մեկ տոննայից ստացվում Է 0,03տ չիր, 0,լտ ջեմ ն 0,48տ մուրաբա, իսկ Արմավիրի շրջանի ծիրանից ճամաապտասխանաբար՝0,01, 0,2.ն 0,3: Որոշել, թե ձեռնարկությունը ո'ր մարզից ինչքա'ն ծիրան գնի, որպեսզի պատվերը կատարի նվազագուլն ծախսումներով: Մարզերից մեկում ծիրանի գինը ամրագրելով, իսկ մյուսում Բումք ձեռք բերել փոփոխելով որոշել՝ ե՞րբ Է նպատակատճարմար միալն Արմավիրի մարզից, միալն Արագածոտնի մարզից: է

» »

6. Հրուշակեղենի "Անի" ֆաբրիկան, որի կարողությունը ճնարավորություն է տալիս մեկ ամսում արտադրել 5տ ճրուշակեղեն, պատրաստվում Է արտադրել շոկոլադ ն կարամել այնպիսի ճարաբերակցությամբ, որ առավելագույնի ճՃասցնի իր 2շաճույթը: որ Շուկայի շոկոլադի ուսումնասիրությունից ապարզվել| է, պաճանջարկը մեկ ամսում 2 տոննայից ավելի չի լինի, իսկ կարամել կսպառվի 3 տոննալից ոչ պակաս: Գտնել շոկոլադի ն կարամելի արտադրության լավագույն քանակությունները, եթե՝ »

»

՞

երկու արտադրատեսակների մեկ շաճույթները ճավասար են,

տոննայլից ստացվող

շոկոլադի մեկ տոննայից ստացվող շաճույթը 1,5 անգամ ավելի Է, քան Լտ կարամելի իրացումից ստացվող շաճույթը, ճամապատասխանշաճույթների ճարաբերություննԷ

Սպառողը կարագ

3:5:

պանիր գնելու ճամար կարող Է իր եկամտից ճատկացնել ամսական 5 ճազ. դրամից ոչ ավելի: Պանրի մեկ կիլոգրամն արժե 1,3 Բազ., իսկ կարագինը՝ 1,4 ճազ. դրամ: Սպառողը յուրաքանչյուր տեսակի մթերքից օգտագործում Է ամսական 1,5կգ-ից ոչ պակաս: Գտնել սպառման ալն տարբերակը, 7.

ն

ՈՀ:

ԱՀՀ

Հռ

31:21...

ճծա Հ-

ռ

ա- (բ

Հ/Հ

«021

Հոր 12: լ»: ոա

Հ-Ի

ԻԳ (շշ

0ՀՅՑՀ Տլ» - ոջ

215.245 «Հաւնե-

ա.4- Հ/Հ ոշ(լ

չիսսռոցջտոռ ցո սղտփոցորցտոցտ վլովծկուսֆՓ օվտկտտոխց տմի ցոնհսրեռմ վմղդրւսօՀԱԼ(մ 'իսսոցտոփ 1սլղդվլ ղմտտտն մյուս նիսրետմ վմզցրաօւսԱ1 (տ Պտռղուս վՀչրչսօւսլ մմվնցոլ :մղցրւսօւս1 մրոիսրեռմ իվծցո (մ «րւսօւս|ղտվը (տ ո՛դղդւսկ մմվնցդոլ րւսմողն ծըսմս «մմղոմղքմո դտ վմտղրտմոռ 11 1ղշսմս Արաս -տմոդկղր ոտղտփոձոմղվմղ վմղըմվնըոլ ՈՖԵ իսլղցմսեռտեՕ

0»»-ռա5լ5550

Հ5ա5լ

ճ5ռ5շ աա

ա

ՎՀԼ

Ըմ Հ

ե»2

աՀ« լ 0Հ-

Հ:

ճեաՀ«-Հ-ռ(

Հ«-ՀՀ (6

00» Հո

ԱԱԾ

ռՏ

01 Հ 25 շ»Իո-

Հ-

Ճա

ՀՀ

0ՀՅ0Հ» ց: 9չա-նք

ջշ

Հ

ե.(շ

01 Հ

Հ

ջ

Կլ

Կլ ա-

ե- ոջ)

ՕՀ

աշ(ֆ

շա«-ԾԲ-

ԱՀ:

ՀՏՀ

լ

բ-ն լՀով

նք

Հ)

Հ-

-

ռոՒԿֆա»

0Հ0Հ

825 ռֆոՓ215

ֆջչԾԻ

եյ

աֆ( `

(9

0Հ0Հի 0Հ55 Եա

ոԼ(/

ա«--

1:21.. աշլ նց

95 ռբ295 Հլ Հ 2-1 --Հռ-

լՀռո-եչ

ոջ ոջ Տ »-

Հ-Ի

տա

0ՀՅՅ0Հ»

ռա: 05 Օ401 ՀՀՀ Հ»

պա։«-ճ-Ն(բ

տա

Հ-

ա

ն(լ

1ղօւս|մմղցմվնցոլ Լուղտղչ» -՛ղմսփոՀոմկմղ

վմոո

Պցր մռվԵ 4դչվ վեռմող

:01ստոտոյ

կով "իս-2չշ տցտղկցոմ մեռմող ղաղ 'վիմոտողհ ցմղցուսնհսկոցոռոմվմոոռ :0Ղ

Ա-ն

նղտմս "'Սովծկուսֆ 45քբ Հ 13-շ (20:

:)Տ

-

վնսսոխռո րւսիծոռց

վօնսԵուղիոսող

զ

տնի

ղ

սմտղոտեօ վմս

ուսմողն

4) ալ

25:

Հ

-»

5) պ -Հշ-»

տու

2.49 -3Հ Հ

Ճլ

7)

պ

8: 2աՀՅ լ

շ

ԳՈՑՏ1 ո-2: արիշ:

շ

Է 3»ոլ 2:

լ

ՃՀ0,չՀ0

ՀՕ,»

9)

»ոու

տՅճ

2,4

՛

ալ

Է2».

լ

-» տու

ՃելՀ»չՀ1

Հ6

ճլԻ:չՀ4

Հ0

-»

Ճլ-«ՃչՀ6 ՀելԷ»: Տ3 Ճլ Հ0,տչՀ0

Տ

Հ

-'ե-»տտ

2ոլ Էշ

6)

Ճլ-

Ց

ճել-ՃՀ-2 Հ0.«չՀ0

ոո

2շՀ1 Հ0յտչ

Ճլ «լ

չ0

-

Հ0

Օպտիմալության ճալտանիշի միջոցով ստուգել

.,շ.

գագաթի

լավագույն լուծում լինելը ճետնլալ խնդիրների Բամար.

-Վզ Էշ

Տ:

-»

2) -Կ

տու

Ճ Հ0.7Հ

».

փայ-»ոու

5, ՀՕ) 5օ (,13)

Հ

ՃԻ Ճլ

Խ23

(210)

-

4) պ Էշ

Հ-34

-2ալԷ չԷ

Ճլ-2:Հայ-1

ոու

-

-

Իշ

Խ՝ՕՀՂ»յ-»

Ճլ-Ճ-ՅՂ-2 Ճլ 2: 10

ՃշՀ::-2 31 Է 2»:չ-»:5:-1 Ճ, Հ0, Հ Լ23 "գ (0,181) 3) լ

-

Է

Էյ

-» ոու

Էլ

-Ճչ-»լ-2

2: -«,:Հ2:.-3

Ն23.4 5, Հ0,յ) 5. (ՆԼ0,0)

12,3

Հ

-

-

Լուծել ճետնյալ ԳԾ խնդիրները՝ սկզբնական թուլլատրելի Բենք վերցնելով տրված վեկտորների համախումբը 1) 2 Ճլ

Էշ Է

2»

Հ

Հ

ալ-» ոու

3ալ Է Տոլ

-

«լ

Ճ-ՅՃ-ՀՅ`Ի2ալ-1 5, ՀՕ,

Հ

(8",2`) պէ

ՅԵ

5,

Հ0,Հ-

Է:

ՃՍ ՀՕ,

Ն2,3,4

Հ

Է:-Տ

Է 2-9

127374

ա

Ճլ-Յ-ՀՅՒ-2

(8,8)

-ռ-Տալ-ՀԿ-»ոու

Ճլ ԷԳ: Հ 4:: ՃԻ չՀՅՏա

Ի2-"պի:ա-««-»տո

Ճ

2) պ

3Կ ԳՅ:

Ն2.....6

ԷՒ -6

4) «լ

Է»աշէԻ)

-»

-ԶոլԷ:չԻ:2:-3-4 Ճլ- 2,2 Ւ: -1 5, Հ0.7ՀՆ23

առի

ոու

Լուծել ԳԾ խնդիրները` որպես ելակետային ճենքալին լուծում վերցնելով պայմաններում նշված ց -ն 1) լ ճլ

-

4:

ոու

Տ: -Հլ-»

-

2) պ Իշ

ոու

լ փԷՅաչԻ ոյ Է2ու-5

Է45: Է»լ-Տ Է 2-9

ոլ Ժա ՒՏլ

25 -«յԻ:լ-1

Ճց (Ն0,10)

260 (0,1,0.1) 4) պր Էյ Ժչյ -» ոու

ճ Հ0,

12734

:Հ

3)

Է

Ճլ-»

ոու

լ փա Էոյ Է3ա-3 ճլԻչ-ԷԻա-1

Ւ3ա-1 ճլփ:շչ-2»: 2ոլ-Ճշ-Հ՝փՅալ-2 Հ

ԿՐ ԾԽԾ

Ն2,3,4

-

ալԷ2»չ- ոլ

Ճչ Հ 0, 1

Հ

Ճ.Հ0,

Հ

Է»

ՀՃլ-շՒ

Ն2,3,4

Հ0,:Հ Ն2,34 (00,9 թ »

-

Լուծել ԳԾ խնդիրները սիմպլեքս եղանակով 2) պաշ Էյ 1) պ Վլ Է2»լ-» ոու

12:34

"Պէ 2:չ ԷՅ:

ՃլԻչԷ4:-ալփո-1

Ճ-»Ճ-ոլԷչ-6»,

Ն: Հ 0, :

-

Ւ»

1,2....,5

2:

3) 2ոլ Հաշ -։:

«0

ՃԻ

Ճ:-:.-3

ԳԾ

փո

Ն2,3,4

-

խնդիրների երկակի խնդիրները 2) 2լ

-

յռ Ւ3յ Է4»յ-»

ճլԻչԻՃ 2ոլ Իշ լ Իշ տտ

Է2ոյ-» ոու

Է-Տ

0, չ

-

ե

Ճլ

ՃլԻ»:չ-»: Ճլ-ՃԽՒ-"Ճ.Հ2

ճլ-::Հ3 Ճլ Հ0,»շչ

լ Իշ

Հ1

12734

փյ

-ոյ

ՏՏ

-»«լ Է»

4)

ու

-

ՃլԻ2:-»:23 ոլ րժ լ -0,»չ «0 -

է

է» Վալ էա

Կազմել ճետելալ 4»յ -» ու

1) պ 10»

Հ0,1Հ

։

փայ

ՒՏալ-» ոու

ՃլԻ:չ-"Խ-3 Ճլ-"Յալ--1 2 Ի: Է՝--Տ

-ապլ-2ոչ-3Յուէ-0

ոյ Հ0,)-

-»

Էլ

փ:

փալՀ-2

-

- 3 Էլ

Հ0,,20

4) պ Է»

ՃլփԻչ-: Ճլ-չ է ճլ

Ճլ

տո

Էլ

լ

Է2ոլ -

Էլ

գ

Տ10

2ու -»

ոու

ԷՒՏ1

-Կ-ՅԽՏՉ2

-«լչԷ2 է» Հ0աչ Տ0ոչՀ0

Հ0

5)

Կ

-

Է:

-3Կ-»ո/ո

6) 2ալ1

ՃԻՎՀաԵ-Ւ:-2

ԿԱՎ: ԿՈՅ

4», 2

Է»:

-» ոու

ճՃլԻ2»Հ2

132 ՀՏ

-2այՀայ-2

շոլ Հ:

Հ

ՃԻ:

»լ-0

Երկակի խնդիրների երկրաչափական վերլուծությամբ պարզել Բետնլալ խնդիրների լավագույն լուծման գոլութլունը, ն եթե լուծում ունեն, գտնել նպատակային ֆունկցիաների լավագուլն արժեքները 1) ալ ՀՀ

ՀՀ»

Ճ-ՅՀ0 Կլ փ:

ՃՀ0,Հ 3) լ

2) 2

տո

Իլ»

Յոլ 2:

Ի»Յ-».22

-

Լ2....,5

Է:

2»յ

Հ

2»լ-»

Հ

է

-ալփ

Հ

5 Հ0,-

լ

ալ

Ի

6) լ

Հ

2»շ

Ճլ ԻՃ Ճլ-:Ճ

ՏՏ

Է

-»

Է»:

Է

ու

Կ-Յ«Հ3

12.....5

ոո

աԻլՀ2

ՅԷ

27 - «2: 7ՀՆշ.....:6 Ճ Հօ Կլ

ոու

Գ3ալԷ4ոլ-»

4) պ 2»

ոո

Կլ Էշ

փ

լ

-«չ-Ճ-2

-»

ՃՀ0,յՀ- Լ2.....4

ՃշԻՀլԷ»ԾլՀ2 լ Է փաԻալյՀ2

5) լ

եշտ:

ել

Է2»

«Էյ

-

Հ

3ոլ

Հ

-«.-8

4ալ

Հ

Տ». -»

ոո

Գլէ::Հ2

Է: Է:

Տ6

Ճյ Հ0,յՀԼՆ2.....5 7) 6

3»

25. -»

-

8) ղ-»Ճշ-»9

ոո

Կ-33»լՀ-1

Այր

3-աԳֆափա»4

2:լԻ2:-4:5:Հ2

Ճլ

«լզ-Չ2»-»ոո

Հ0«5շչՀ0,:,20

յ

Որոշել. թե ,» ն ջ վեկտորները արդյոք տրված ԳԾ երկակի խնդիրների լավագույն լուծումնե՞րն են 1) լ ՒԷ10»շԷ 8ոչ -» ոչ 2) -2ալ -»ՃշՀԳ»"լ-Կ-»ոռ ՃԻ4: Ճլ ճ

Է

Հ12,3

(Ն0,1),Ֆ

Հ

Է65չ- 2-8 2711. 12734 5, Հ0, յ Ճ (-2,-Տ) (10,0,0.6),) Ճլ

25 -:,:-0

5 Հ0,) -

Է»-2

Հ

(9/2.-7/2)

-

Հ

ն

դրանց

-»

3) պ ԻշՀալ

2ոլ Էչ -Է2» Հ2 Գոլ Է2: Է: Հ2 Ն2,3 5, ՀՕ) Ճ (1/31/3) (0,1/3.1),»

Տոլ 3ոլ

Հ

Ճ

Հ

-

-»

4) լ Է4»շ Է:

ոու

ոու

12: Է 2»: -9 1057-Է4»: - 11

Է Է

5Հ0յՀ-123 -

(10,2),

(3/ 14.1/14)

Հ

Ռրոշել, թե տրված վեկտորներից ո՞րն Է ԳԾ խնդրի լավագուլն լոծումը, եթե ճալտնի Է նպատակալին ֆունկցիալի լավագուլն արժեքը լ-»օ«2 1) 7 Հ 2: -3ոչ այէ 2լ չՃլ ճլ

Ճշ

Է

2 Է»լ-24 -Է2»: Հ10

շ-

Հ -

2»

Է

ՃՀ0յ-Լ..4

5:

4»:

Հ 22

(35 /2.11/ 2.0),52

-

(0.0,11/ 2.35),յ/.,

-

Հ

-

(0,0,5,34)

2)7 ՀՏչլ-2ջչ-6»:-Է4ջգ

շլ3ջլ

ՒԷ2յ-12 2»: Է Տջգ »: Դ 3ջշ ԷՏ): Է ջչլՀ16

Ժ

ֆլ

-

Է

յշ

2»

Է: -

2):

-»օ4

Հ30

20, :ՀԼ...5

ջ' )՝

(5,0.0,1.10), ջ՞ 470,4.0,26), յ,

-

Հ

(0,0,0,2,20)

-

-

Օգտագործելով երկակիության խնդիրների ճամար ստուգել տրված լինելը 1) ոլ

Ի

65շ Ի Տոլ-» ոու

լ Էշ

2ճ.Հ0, 2123 -

(10)

ԷՅ Է»-» ոու

3) պ -ՏոՒ2»ո-ա Ճ-ՅՃՒ: ոլ Ի

ՃԳ Ճ

2)

Է2:,:-2

Ճլ-չՒ3ոլ

Ճլ -

2-րդ թեորեմը ճետնյալ վեկտորի լավագույն լուծում ։7

-Կ-Էչ 3ոյ

2:շ-

20,5

Է

Էչ Հ6

4ոլ- Տո

Ի»ւ-Կ-»-ՀՅ1 Հ0,5Հ0

(00,Ն0,Ե-1)

լ Իշ

ՃլԻՃ:-Յ9-2-1 ՃլԷ2:չլ 20,250, -

3ոլ

Ճլ ճշ Ճ

-»

Էլ

ոու

Էէ2ուՀՏՏ

(10,1.-1)

4) շոլ

փ6աչՏ0

Էլ

Ի

-

-

ոշ

Հոլ

-

6»լ-՞»

տու

ճշ Է 2» Հ15 2:ռշ- լ -2:".ւ5-4

Ժ3-։"Հ0 (-12....,4 "20, -

(3,0,1.3)

17.

ԴԻՍԿՐԵՏ

ՕՊՏԻՄԱՑՄԱՆ

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

Թե

ի՛նչ մաքառումի, կամ ի՛նչ չտեսնված Հեքիաթային ու բարձր մեծագործության ես ընտրել, մեզ կպատմես միալն Օանապարծձ Վերադարձիդ,եթե վերադառնաս ն ոտքդ չդիպչի փորձության: -

Ե.Չարենց

Լ. Օպտիմացման որոշ

ա) կարճագույն ուղու ն

ենթադրենք,

որ

խնդիրներ գրաֆների ճամար

խնդիր: Դիտարկենք Օօ 07,Խ) -

նրա

լուրաքանչուր

(ս»7»

օրգրաֆը աղեղի

ճամապատասխանեցված Է Ժ(ա,»)Հ0 թիվ, որը կանվանենք աղեղի երկարություն (կշիռ): Մենք կօգտագործենք երկարություն բառը, չնայած չենք ենթադրի, որ ցանկացած աս, ,, ». գագաթների համար ն 4ժ(ա»)Հ4(5,») Հ 4) 4(ա)Հ4(Թս) բավարարվում են

պալմանները:

Շ-(7,Թ)

օրգրաֆի

տրված

ուղու

րչելչՖշ»--.7.-

երկարություն կանվանենք 4(5ցչթլ)Է 4(5լչ5չ)Գ...Է4( ալ») Օատ

տրված

գործնական խնդիրներ ճանգում

»ց ն

ս,

են

Շ-(7,ՔԲ)

թիվը: օրգրաֆում

գագաթների ճամար »ց-ից սց այն ուղին գտնելուն,

որի երկարությունն ամենափոքրն Է (ենթադրվում Է,

որ

»ց-ից

ոց

ուղի

Ջնակերպված խնդիրը կանվանենք »օ-ից ոց կարճագույն ուղին գտնելու խնդիր: Ստորն կառաջարկվի ալգորիթմ նրա երկարությունը Բաշվելու ճամար: Ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում լուրաքանչյուր »6«Մ գագաթի վերագրվումԷ 1(») թիվ. այն »օ-ից » գագաթը արդեն գտած գոյություն

ունի):

երկարությունն Է: Այս տվյալը փոփոխվում Է »ց-ից » ավելի կարճ ուղի գտնելիս: ինչ-որ պաճից ալգորիթմը եզրակացնում Է, որ արդեն գտնվել Է »ց»-ից » կարճագույն ուղին ն » գագաթին ուղու

վերագրված 1(») նշումը այլնս չի փոփոխվում:

Շ-(7,Բ)

օրգրաֆում

ցից

ուղին գտնելու

կարճագույն

»

ալգորիթմը: Սկզբնական արժեքների վերագրում 7-ին քայլ. գագաթին վերագրվում ս

/(»ց)-0

Է

թիվը.

գագաթներին վերագրվում Է /(»)

ջ»"ց

ժամանակավոր նշումը:

-Շ

Որպես ճաջորդ քայլում դիտարկվող

ց-ն

այս

Մնացած

նշումը ճամարվելու Է Բ/եմնական(փոփոխման ենթակա չէ): ք

ընդունում ենք

գագաթ

քթՀ»ց:

Նշումների փոփոխում: Դիտարկվում Է 2-րդ քայ. ա/յ(ք,ո)6.)

թ

3-րդ

տլո(1(ո),1(ք)

ս"

Է

գագաթ

ս

4(ք.ո)):

Ժամանակավոր նշում ունեցող գագաթներից ընտրում

քայլ.

ենք ալն համարում

արդյունքում

բազմությանը պատկանող լուրաքանչլուր

է նոր, ժամանակավոր նշում`

ստանում

որի

գագաթը,

որի նշումն ամենափոքրն է, 1(ա՞) նշումը ճիմնական (ձետագալում չփոփոխվող) ն որպես

գագաթը,

ենք

ընդունում Ավարտի պահի որոշում կամ կրկնում

Բաջորդ դիտարկվող

ք գագաթ

ս՞-ը թ-ա:

4-րդ քայլ. եթե ք-- սյ, ապա 1(ք)-ն »ց-ից սց կարճագուլն ուղու երկարությունն Է ն ալգորիթմն ավարտում է աշխատանքը. ճակառակ դեպքում՝ վերադարձ 2-րդ քալլին: Ապացուցենք. որ նշված ալգորիթմն իրոք գտնում է »ց-ից » կարճագույն ուղու երկարությունը: Ընդունենք, որ ալգորիթմի աշխատանքի որնէ փուլում ն հիմնական նշումներ ունեն բազմության գագաթները, )ղ Օ7՛ յուրաքանչյուր

»

երկարությունն

ուղու

1(»)

գագաթի է:

նշումը

Ցույց տանք,

1(ա՞)-ը

ընտրված ս" գագաթի ճամար ուղու

երկարությունը:

Եթե »ց-ից սա- կարճագույն բացի)

պատկանում

ընտրությունից

ճետնում

են

հլ Է, որ

ուղու

»ց.-ից

կարճագույն

»

ալգորիթմի 3-րդ քալլում կլինի »ց-ից ս կարճագույն

որ

գագաթները

բոլոր

բազմությանը,

1(ո՞)-ը 5ց-ից

ապա

ս

ս

(ա՞-ից

գագաթի

կարճագույն

ուղու

երկարությունն Է: Եթե »:-ից ս՞ ը կարճագույն ուղին պարունակում

է

ս՞-ից տարբեր գագաթներ ուղու

ՎՂելբազմությունից,

1 -ին չպատկանող առաջին՝ ա կարճագույն

5-ից սլ

Մ

ուղուն ալ-ից "`

չէ »ց-ից

սլ

ուղու

կարճագույն

ն

ոլ գագաթը

ալդ

նկատենք, որ

երկարությունը ճավասար Է »ց-ից

ուղու

երկարությունների գումարին

ուղու

նշենք

ապա

ն

ալն փոքր

երկարությունից:

ս գագաթի ընտրման կանոնից

ճետնում

Բետնաբար, /(ա՞)-ըիրոք ց -ից ս՞ կարճագույն

Է, որ ուղու

ՀԼ) 1(ա՞)

ն,

երկարությունն Է:

առաջարկված ալգորիթմում ԴիտողությունՆն քանի գնաճատական ստացած յուրաքանչյուր ս գագաթի ճամար 1(ա)-ն »ցօ-ից ս կարճագուլն ուղու երկարությունն Է, ապա որ

հաստատուն

պարզ

է,

որ

»օ-ից դեպի

բոլոր

գագաթներ տանող կարճագույն

ուղիները գտնելու ճամար բավական Է ալգորիթմի 4-րդ քայլի ճետնլյալձնափոխությունը. 4` -րդ քայլ. եթե բոլոր գագաթների նշումները հիմնական են,

յուրաքանչյուր գագաթի նշումը գ-ից դեպի այդ գագաթ կարճագույն ուղու երկարությունն է, են ալգորիթմն ավարտում է աշխատանքը:Հակառակ դեպքում' վերադարձ 2-րդ քայլին: Շ օրգրաֆում որնէ գագաթիցդեպի մնացած գագաթներ տանող կարճագուլն ուղիները գտնելու ալգորիթմի աշխատանքը պարզաբանող օրինակ: Դիտարկենք նկար 4.1-ում պատկերված օրգրաֆը, որտեղ աղեղի կողքին գրված թիվը նրա երկարությունն Է (կշիռը), ն գտնենք »ց0օՑգագաթից դեպի մնացած գագաթները տանող կարճագույն ապա

ուղիների երկարությունը:

Առաջին քայլում

գագաթին վերագրվում Է

»ց

(0),

մնացած

գագաթներին՝ («) ն երկրորդ քայլում դիտարկվում Է »ց գագաթը, որի արդյունքում ստացվումԷնկ. 4.2-ում պատկերված վիճակը: ջչ գագաթի նշումը ամենափոքրն Է, ալն այլլնս չի փոփոխվելու ն ճաջորդ

քալլում

դիտարկվում Է

ալգորիթմի 2-րդ քայլը 5. (3) ն

ստանում

Նշված, ունի

բայց

»չ

գագաթը.

ճաջորդ

քայլում 5.

Նշված 5շ (4)

(4)

ն

քՀ

են

լ

».

գագաթը

(կատարվում Է

դեպքում): Արդյունքում նոր նշումներ

են

(6) գագաթները (նկ. 4.4):

նկ.4.3

նկ.4.4

չդիտարկված գագաթներից ամենափոքր նշումն ունի ալդ նշումն ալլնս չի փոփոխվելու ն Բաջորդ քալլում

գագաթը.

թք-»չ

(կատարվում է

դեպքում): Արդյունքում նոր նշումներ

դիտարկվում Է

ն »չ

դիտարկվում Է քալլը

5չ

գագաթը

չ(5) գագաթները (նկ. 4.3): չդիտարկված գագաթներից ամենափոքր նշումն ալն դառնում Է Բաստատուն նշում ունեցող, ն

ալգորիթմի 2-րդ քայլը ստանում

քՀ

».

»չ

գագաթը

(նորից կատարվում Է ալգորիթմի 2-րդ

դեպքում): Արդյունքում նոր նշում Է

ստանում

».(5)

գագաթը:

վմղդ4տԵռԵ տմը ղմղ Փոմե րնսկկմղ ճօողցտիցտդֆտմե (7 '4)-5 (ե չԱվնդոյ դործկտեւսե ցոիսետլաիտառվփտմե րնսկկմզ ցղնմտ դրՎվմսելո ւսլղցտԵ ՑԻՈ:5վնւս ցնրսԵոծմող :ճ5ղ 1ղզմեռմտփղը ցնսը 1զցտԵրսֆոմԵմօ (2՛'/4)-Զ 6վ-«4 «նսծղըւս ըա տսմողմղ

Վ օտղտիտմ օղմտողվսփւսելզցտե մյմոռոցոջց ցսոռոողվոտտոռհֆտրով «ո, (7'4/)-ք Տ6վ:տ րսֆտմե մտմողտղ» Օնսեռցմոկ Սղ մտոտիուվ ծդոտԼրվր մմղցդւս(ւսմողմղ 1սնս նսցդտվոռտոխորով ցոմըդ ղ վվմտոռդոց րւչսմս նդ-չյ :վնւս 6վ-«4 րոսՓֆտմեմօ(7'/4)-Զ վոտոլոռտոթորովցկ վյմոոոդոջ ճ՛

մսՋդոմոմասք

օ7

Տվ:

րափտմե (7'/4)-Զ

:Այւսնսմողմղ

իսլզոդվմտոլսփնսկ

վմղդնղնո

դւսթհսմոկմղ

մողմորոց (Հ"4/2-Զ

Վ

վնղնո

մս

'Վ եմոլ,

վնսդ (4"ո) ը0տվոտտոռորով (4:72)

442)»

բրրսիտտո մփոմեմօ

:իսենսԵ

(ո)

ղ

(45Դ

մսճնցոմոմասքԼծ6վփոռմե

դքղմստոռո

(:70-Զ

:0(5 2») Տ503»1(0ը)) փսկոցոնղ Լուղտղս մռողշսմսմուս օիսրետմ ց վմղընղնտ ղով 'Ադոնիսրետմ վմղցՎՈԵՊՌԵ Վ րաեոսցկվըցմրով վֆտմե (ՀՀ, մուս անսրետմվմղդմոծռծ վմս 'մՓփոտմԵմօ ՎողցոտրստՈ :ռվմնցոլ ւսլղցտԵ ցվնւս դոսԵեռցջմող ջ մս 'Հցտտ 6նսց

րւսՓոռմԵմծօ 1ղցճղծցով Վ վղզմոկ մմվնցո|օռիչը

:Վ 9ԱԺճսփոցղրոդռւսԱթիսմողմղվմս Ավմտոոցոց

6վ-64 1ղցտՎ,:մղցՎոռԵտԵ«ո

ղ 24 օղ

02"

շտիծչըրոսցոմվըղ դ1Ա1ւսմոկմղ

վուս ցմսԹցոմոմմ 6վմղնս վմս մՓոռմԵ օտիծղոթոդ (74)ՀԶՂՎ օտիմՏ ՛Վ Օնուղտղս մմվնցո|վվմտոռդոց ցնսծոջմող ր'սՓոմՎ, :ԱմոռրձսԵ վմղդդւս աւսմողկմղ վմղնսկ վսմտոտցտոջ Հյողցտիցտկ ուսաիսմողմղ վսմտոռցոց ՀՎխվծշկ) ասաիսմտկմղ Ր ՅԳՅՈՆ

գ:

վնսկճցղցտիցտկ վնսկ 75/24)»: («'/Դ2Հ-Զ

վֆտմե

(զ'4Դ)-2

Ամս իվմ Վ Չտիծղոոոլոռտուխուրում 0Հ(»:յք փսոցտմոմսք ոմըդ մս 'ճճցղմնտաողղ մֆոմե

ճղղմտտվն

-մվնցո| վյմտոտցտց

ցրսետջմոլ

(Վ

Վ 9":Ա14սմողմղ 1սնմս ցնսԵռցմողկ նսդտտ ՎՊԵԹԵ նտ 6վ-04 ըրւսշդ վշտԵետԵմսԹցոմոմասԼ վփոմե ջոիմղղտտփ րւս-6-ջ ՛կը "տցոծոսո ռղՀ մղդրւսշը մսը 6վրւսղմտտվն 6ռտմը մս Վղտողդ Վ տՀծղվՂ «Արւսշդ Տ

քիսողվր ցղըւս ոմղցմտծտծ «4

ղ

օտիղմտտվնՀ ղ օռիշՂ,

բազմությունը ճնարավոր Է երկու ենթաբազմությունների տրոճել ալնպես, որ միննուլն ենթաբազմութլան գագաթները իրար ճարնան չլինեն կամ, որ նույնն Է, եթե 1՛ բազմությունը կարելի Էէ ներկալացնել տեսքով, որտեղ Տ-՞7-ՓԾ պալմանները. ապա եթե ((ա,») 62) ն(էճաՏ), բ -Տար

եթե (էս, 5)

2)

ն

ԹՔ57), ապա

ն

բավարարվում

(5

6Ր),

են

ճետնյալ

(Կ 65):

Հետագայում, հաճախ, երկկողմ գրաֆը կնշանակենք (5.71:7Ճ) եոյակի միջոցով: Մ 12,34,5.6) գագաթներով ն Այսպես, օրինակ՝ Հ

Մ

Հ

(Ա2ԽԱՏՆԱՅԻԹ5,86,0,0)

ՀՀԼՆ34)ա

կողերով գրաֆը երկկողմ է.

42:56) ` տրոճումը

վերը

է

բավարարում

նշված

պալմաններին:

-ծ

ՎՊԱՌԳՏՖ--

ՀՎ

/

նկ. 4.6

(Տ5.1,4)

երկկողմ

գրաֆի

կողերի

(զ...)

ենթաբազմությունը կանվանենք զուգակցում, եթե նրա ցանկացած երկու կող կից չեն (չունեն ընդճանուր գագաթ): Վերը պատկերված գրաֆում (3,6), 11,5) կողերը զուգակցում են:

Զուգակցում են կազմում նան (12), (3,5) ն 14,6) կողերը: ԴիտարկենքԲետնյալ խնդիրը. Տրված Է (Տ,7,27) երկկողմ գրաֆը: Գտնել այդ գրաֆի այնպիսի զուգակցում, որի կողերի քանակն առավելագույնն է: Ջնակերպված խնդիրն անվանեն, երկկողմ գրաֆի առավելագույն զուգակցման խնդիր: 1-ին գլխում քննարկված առավելագուն զուգակցման (առավելագույն թվով պարազույգերի կազմման) խնդիրը Բեշտությամբ Բանգեցվում է վերը ձնակերպված խնդրին: Իրոք, նշանակենք տղաների բազմությունը Տ 85լ,52»....5,). -

աղջիկների

բազմություն

7Հփլ.քչ...ո)

ն

սաճմանենք

Ճ

զույգերի բազմությունը.

1550) «Ճ

ՀՀ(տ տղանն քյ աղջիկը համակրում

են

միմյանց):

Դժվար չէ նկատել, որ առավելագուլն թվով պարազուլգերի կազմման ճամար բավական Է գտնել կառուցված (Տ,7:24) երկկողմ գրաֆի առավելագուլն զուգակցումը: Դիտարկենք (5Տ,17:24) երկկողմ գրաֆը, որում 5 85լ5շ»-..55ո)» Հ

7Հ

Որոշ դեպքերում

Ալէ...)

ներկայացնել 1ԼՀ

Հո

ն

ճարմար Է երկկողմ

տարրերից կազմված ճետնյալ (.,),

գրաֆը

ՄՀ»,

մատրիցի միջոցով. 1, եթե (5:56) Հ. |0, եթե (8:0) «74,

ճյ-

կանվանենք (5,7:24) մատրից:

երկկողմ գրաֆին ճամապատասխանող

որը

Պարզ

է,

որ

համապատասխանում

գրաֆի

լուրաքանչյուր

Է

մատրից

այդ

5,քյ))

Օ,--1

կողի

տարրը

ն

ընդճակառակը, իսկ ոչ կից կողերին Բամապտասխանող 1-երը գտնվում են մատրիցի տարբեր տողերում ն տարբեր սլուներում: Հետնաբար, երկկողմ գրաֆում առավելագուլն զուգակցում գտնելու խնդիրը կարելի Է նան ձնակերպել ճետնյալ կերպ. կամ 1 Տրված Է յո«ռ կարգի (այ) մատրիցը, որտեղ ՕՁ,-0 Ղ1ՂՀմԼՀՏա1Հ/Հո):

Անճրաժշտ

Է

ալդ

մատրիցում

ընտրել

առավելագույն թվով 1-եր, որոնցից ցանկացած երկուսը գտնվում են տարբեր տողերում ն տարբեր պուներում: Քննարկենք (5,7: երկկողմ գրաֆում զուգակցում գտնելու մի այլ

խնդիր:

Դիցուք

վերագրված

(5,171:42) գրաֆի Է

(երկարություն): (Տ,7:24) անվանենք

Ժ(չ.)

յուրաքանչյուրժ »:«-(5Ռ6Ճ

Ժ4(») Հ Մ(տ,Հ0 գրաֆի

Է 4(»շ)Ժ...Է4(Ճ.)

թիվ,

որը

լչ»շչ...."չ

կողի

անվանենք կողի կշիռ

զուգակցման կշիռ

թիվը:

Դիտարկենք ճետնյալ խնդիրը. Տրված Է (5,7:2) երկկողմ գրաֆը, որի յուրաքանչյուր կողի վերագրված Է կշիո: Գտնել ալդ գրաֆում այնպիսի զուգակցում, որն ունի առավելագույն կշիո։ Ձնակերպված խնդիրը կանվանենք երկկողմ գրաֆում առավելագույն կշռով զուգակցում գտնելու խնդիր:

Նկատենք, որ Ճ/(5 6 Ճ)(4(2) Հ1) դեպքում ձնակերպված խնդիրը երկկողմ գրաֆի առավելագույն զուգակցում գտնելու խնդիր Է: (Տ,1:42) երկկողմ գրաֆում առավելագույն կշռով զուգակցում գտնելու խնդիրը կարելի է ձնակերպել նան ալլ տեսքով: Դիցուք`

Տ

7ՆՀԱ»նջ....ե)

ՀԱպ5շ»..55ո)»

15.» )«2Ճ կողի կշիոն է: (5,7:42) նենք

(4չ)» զ.Ժ

7ՏՀ տ,

Հռ

4(5:չ1,)» եթե 15,1)

|0,

ն

.4(5»8)-ն

գրաֆին ճամապատասխանեց-

մատրիցը, որտեղ ՕՃ,

Բակառակ դեպքում:

Դժվար

չէ

առավելագույն

ստուգել,

կշոով

երկկողմ

(5տ5,7:42)

որ

զուգակցում գտնելը

ճամարժեք

գրաֆում Է

(4),

157Հո, մատրիցի տարբեր տողերից ն տարբեր սյուներից առավելագույն գումար ունեցող տարրեր ընտրելուն: Նկատենք նան, որ 1-ին գլխում ձնակերպված նշանակումների ո դեպքում երկկողմ գրաֆում առավելագուլն խնդիրը հանգում Է կշռով զուգակցում գտնելու խնդրին: Տ իրոք, դիցուք 8(5լ»Տշ»-..»5ո-ն աշխատատեղերն են, 1ՀՄՀ,

Հ

Հ

Հվղչնջ...»ե)-ը

որտեղ

աշխատողները: Դիտարկենք (Տ.7,2)

27Հ Ա5լչ1)/1515:51ՀյՀՏո)

ն

թող

օյ

Հ

գրաֆը,

Ժ(Տպ»է):Հեշտ

Է

(4) մատրիցի տարբեր տողերից ն տարբեր սյուներից ունեցող առավելագույն գումար տարրերի ընտրությունը ստուգել,

որ

յուրաքանչյուր աշխատողի Բամար աշխատանքը կորոշի այնպես, որ աշխատողների արդլունավետությլուններիգումարը լինի առավելագույնը: Մի անգամ նս նշենք նշանակումների խնդրի 1-ին գլխում նկարագրվածմաթեմատիկական մոդելը: Տրված Է ո«ո կարգի 4-(այ) մատրիցը, որտեղ «ճ, Հ0:

Անճրաժեշտ Է գտնել 12.....ո

տարրերի

համար յ,(լ) արժեք:

Գումարն ընդունում Է առավելագույն

է

Օշո(2)-:"ՒԶոո(ո)

Դ

տեղադրությունը, որի

Հետագալում ձնակերպված երկու խնդիրների ճամար էլ կառաջարկվեն լուծման արդյունավետ ալգորիթմներ: Դիտողություն. նշենք, որ ձնակերպված խնդիրները ճեշտ չեն: Առաջին ճայացքից լավ թվացող ալգորիթմները ընդճանուր դեպքում

չեն գտնում լավագույն լուծումը: Այսպես, օրինակ,

1ԼՀ/)Հոռ

մատրիցի

տարբեր

տողերից

ն

(4),

տարբեր

15:55,

սյուներից

առավելագուլն գումար ունեցող տարրեր ընտրելու ճամար շատ բնական Է թվում ալն ալգորիթմը, որը լուրաքս նչյուր քալլում ընտրում Է մատրիցի ամենամեծ ջնջում այն պարունակող տողն ու տարրը, սյունը ն կրկնում ընտրությունը, մինչն որ ընտրված լինեն բոլոր տողերի կամ սյուների ներկալացուցիչները: Նշված ալգորիթմը ստորն պատկերված մատրիցի Բամար ընտրում Է 60-ը, ճետո 30-ը ն 4ը: Ընտրված տարրերի գումարը 94 է: Լավագուլնն Է 59:«59Հ30-148 ընտրությունը: 10 59 4 20 60 59 30 7 8

դ) Նվազագույն կմախքային ծառի խնդիր: Գրաֆն անվանենք եթե ալն կապակցված Է ն ցիկլ չի պարունակում: Հեշտ է ստուգել, որ ծառի ցանկացած ս ն » գագաթների ճամար գոյություն ունի ս-ից » միակ Ճանապարք, ն ք գագաթ ունեցող ծառն ունի ծառ,

Ք-1

կող:

0՛,

ՇՀ

Ճ,) գրաֆի կմախքային ծառ անվանենք ալն ծառը,

որի գագաթների բազմությունըԲամընկնում Է գրաֆի գագաթների 1՛ բազմությանը, իսկ ալդ ծառի լուրաքանչյլուր կող պատկանում Է գրաֆի կողերի բազմությանը: Այսպիսով, կմախքային ծառն ստացվում Է կապակցված գրաֆից որոշակի կողեր դեն նետելով ալնպես, որ ստացված գրաֆում ցիկլ չլինի, բայց կապակցվածությունը պաճպանվի: Պարզ Է. որ նույն Շ-0Թ0Ճ) գրաֆից ճնարավոր Է ստանալ տարբեր կմախքային ծառեր: Այսպես, օրինակ 1-ը

ն

7շ-ր նկ.

4.7-ում

պատկերված

Օ

գրաֆի կմախքալին ծառեր են: լ

շ

՞6

լ

շ

նկ.4.7

յ

Ենթադրենք, որ ՇՀ (՛,424) կապակցված գրաֆի լուրաքանչյուր թիվ կողի «Հա,չօ27 կողի վերագրված Էէ Ճ(:) Հ4(ա)Հ0 երկարությունը (կշիռը): Գրաֆի կմախքային ծառի երկարություն

անվանենք նրա կողերի երկարությունների գումարը ն դիտարկենք ճետնյալ խնդիրը. Գտնել ՕՇ-0Ճ7) գրաֆի այլն կմախքային ծառը, որն Է: ամենակարճն Նշենք, որ ալդպիսի ծառ գոյություն ունի, քանի որ կմախքային ծառերի քանակը վերջավոր է: Այս խնդիրն անվանենք գրաֆում նվազագույն կմախքային ծառ գտնելու խնդիր: Ջնակերպված խնդրին են ճանգում մի շարք գործնական Է որոնցում խնդիրներ, անձրաեշտ որոշ 0բնակավայրեր ճեռախոսային կամ այլ տիպի կապի գծերով միացնել այնպես, որ կապն ապաքովվ սծ լինի ցանկացած երկու բնակավայրերի միջն ն օգտագործվող հաղորդալարի երկարությունը լինի նվազագուլնը: Ստորն կնկարագրվի գրաֆում նվազագույն երկարությամբ կմախքային ծառ գտնելու ալգորիթմը: Ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում, արդեն կառուցված ծառին ճերթականորեն ավելացվում են մեկ գագաթ ն մեկ կող, որը նոր ավելացված գագաթը միացնում Է արդեն կառուցված ծառի որնէ գագաթին: Փ-(Ո.»Ճ) Դիցոք կապակցված գագաթների գրաֆի

1՛ Հվալ,ջշ»...,»5»։

բազմությունը

երկարությունն Է (եթե

15,չ»,) 627,

4(»»»)-ն

է,

ապա

Խւչ»յ)

4(5,5»,) կհամարենք

կողի օ-):

Սկզբնականարժեքների վերագրում. 4-ին քայլ.րնդունում ենք ՇՀԹթլյյն ՒԺ: (Ս-ն

արդեն նառուցված ծառի գագաթների, իսկ Ւ -ը կողերի բազմությունն Է): Ծառին ավելացվող գագաթի ն կողի ընտրություն. 2-րդ քայլ. յուրաքանչյուր ս «Մ ՎՍ գագաթի ճամար գտնում ենք ս՝ ՇՍ գագաթ ալնպես, որ 4(ա՝,»)ս) ն ս գագաթը նշում

(ո՞,Թ(ա)) զովգով, որտեղ /(ա) գաթ

նշել Բնարավոր չԷ,

3-րդ նիշը՝ (5)

գագաթը

4(ա՞,ս): Եթե այդպիսի ս՞ նշում ենք (-,օ«)

ընտրում ենք այնպիսի 5", 2(5))

քայլ. -

ս

տոժ(»,

-

ուո սօ

ԴՄ

ն

Ս(ս)

»

ՕՍ

գա-

պայմանանշանով: «710

գագաթն ավելացնում

գագաթ,

որի

Մ

բազմությանը,

հ

բազմությունը

իսկ (5,5)

կողը` Մ բազմությանը: Ավարտի պառճիորոշում կամ կրկնում:

24-րդքայլ.

եթե

լվ

Հ

դ,

ապա

ընտրված կողերի

կկազմի կմախքային ալգորիթմն ավարտում Է աշխատանքը, հակառակ դեպքում՝ վերադարձ է կատարվում 2-րդ քայլին: ծառ, ն

Ակնճալտ Է, որ նշված ալգորիթմն ընտրել Է կմախքային ծառ: Ապացուցենք, որ այն, իրոք, նվազագույն երկարությամբ կմախքային ծաո Է:

Ենթադրենք Բակառակը. ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում ստացված կմախքային ծառը նվազագույն երկարություն չունի: Դիցուք ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում ստացված ծառի կողերը »լ,ջշ»...»»ք-լ

գրված այն ճերթականությամբ, որով

են՝

բազմության մեջ: Դիտարկենք նվազագույն կմախքային ծառերի բազմությունը: Ամեն մի նվազագույն կմախքային ծառի ճամար նշենք այդ ծառին չպատկանող հաջորդականության ամենափոքր լչՖշչ-..»»ւ նրանք մտել

են

փ

ճամարով կողը (մեր ենթադրության

ճամաձալն այդպիսին կա):

Ընտրենք ալն 179մինիմալ կմախքային ծառը, որի դեպքում նշված ճամարը

Է, ենթադրենք է

ամենամեծն

է (1ՀՃՀք-1):

Ալսպիսով,

1. նվազագույն կմախքային ծառը պարունակում Է կողերը, չի պարունակում

»,

լ

ֆլ,ֆշչ...»»ո

կողը, ն, մեր ենթադրության համաձայն,

գոյություն չունի լչՖշ»-»Ֆ:-լ»), կողեր պարունակող նվազագույն կմախքային ծաո: Բայց մենք կկառուցենք 1լ նվազագույն կմախքային ծառ, որը կողեր, ն ստացված ճակասությունը պարունակում Է ջլ,»շչ...»չ կապացուցի, որ ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում ստացված ծառը նվազագուլն երկարությունունի: Սլ-ով նշանակենք այն ծառի գագաթների բազմությունը, որի

կողերն

են՝

Ֆլ,ջշ».-.»),.-լ:

1. ծառի կողերի բազմությանն ավելացնենք Քանի

սԿ«ՍլչժՍլ: ճանապարճ,

ապա

չչ

որ

1.

ծառում

որի գագաթներից մեկը սՀԾլ,

գոլություն ալնպես,

որ

ունի

գոյություն

կողն ավելացնելուց

Բետո

իսկ մյուսը

-|ճաչ») կողը,

չչ

ս'ՀՍլ

»"'«Սլ:

»

կառաջանա ցիկլ,

»ԺԾլ:

կունենա ցիկլին պատկանող մի ուրիշ ն

ա-ից

Հետնաբար, (ա',»')

կող,

Հանենք ստացված գրաֆից (ս',»')

կողը: Արդլունքում ստացված ծառը նշանակենք 1լ-ով: Փաստորեն

ստացվել Է 7-ից ավելացնելով:

ծառն

(ա»)

կողը ճանելով

ն

|ա',»')

կողն

Ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում կառուցված ծառի կողերի բազմության մեջ մտցվել Է ա,» կողը, իսկ ա',»') կողը դիտարկվել Է ն չի մտցվել: Հետնաբար, ա») կողի երկարությունը չի գերազանցում (ա',»') կողի երակարությանը: Դա նշանակում Է, որ 1լ ծառի երկարությունը չի գերզանցում 7. ծառի երկարությանը: Այնպես որ 7լ-ը նվազագույն կմախքային կողերը,

:5Ֆ2::-:»)ւ.

ն

ծառ

Է, որը պարունակում է

ալգորիթմն իրոք գտնում Է նվազագույն

երկարությամբ կմախքային ծաո: Քննարկված խնդրին մոտ Է Շտայներիխնդիրը.

Հարթության վրա տրված

են

ՊՂղ»)լ:Ճ2(շ:չ)-.::4.:).)

կետերը: Անճրաժեշտ Է կառուցել Բատվածներ (պարտադիր չԷ, որ յուրաքանչյուր ճատված անպայման միացնի տրված կետերի որնէ զույգի) այնպես, որ այդ կետերից ցանկացած երկուսը միացված լինեն այդ ճատվածներից կազմված բեկյալ գծերով, ն բոլոր Բատվածների երկարությունների գումարը լինի նվազագույնը: Եթե ձնակերպված խնդրում պաճանջվեր, որ տրված կետերն ոչ թե արդյունքում միացված լինե, Օ։»ճատվածներով, այլ` ճատվածներից կազմված բեկյալներով, ապա եշտ Է ստուգել, որ խնդիրը կճանգեր նվազագույն երկարությամբ կմախքային ծառը

գտնելուն մի գրաֆում, որի գագաթներն են 1,4...» այդ կետերը միացնող ճատվածները, իսկ կողի ճամապատասխան ճատվածի երկարությունը: Սակալն այլ կետերից բացի, ,/41,/42»....4. ճյուղավորման

ճնարավորութլունը

Էապես

Այսպես, ճարթության

/41(0,1),.4չ(0,3)»45(4:0)

համար

կմախքալի

նվազագուն

երկարությամբ 1/144.17 4.8-ում

պատկերված

ծառ

փոխում ն

4.

կողերն

են

կշիոն

է

կետերում է

վիճակը:

«(4:4)

կետերի

կճանդիսանա

Հ

բեկյալը, իսկ Շտալների խնդրի լուծում՝ նկ.

4-33

երկարությամբ

41,4չ4::4.:0լ:0.

գագաթներով ծառը: Հեշտ Է ստուգել, որ 4 3/3 Հ10Հ6ՀՎ17: Շտալների խնդիրը դիսկրետ օպտիմացման դժվար խնդիրներից Տ -երի դեպքում նրա լուծման արդլոււավետ եղանակներ

րա

չկան:

Շ

ե) Գրաֆի համիլտոնյան ցիկլի խնդիր: Դիտարկենք

գրաֆը: Այս գրաֆի պարզ

բոլոր

Հ

0՛,33

գագաթները պարունակող ալ,ճշ,...»2.»Աայ

ցիկլն անվանենք /ամիլտոնյան ցիկլ:

Այպիսով, ճամիլտոնլան ցիկլն անցնում գագաթներով՝ լուրաքանչլուրով մեկ անգամ:

գրաֆի

Է

բոլոր

(4.4)

Ճ.(0.3)

Ճ(01)

նկ.

4.8

0)

Գրաֆում համիլտոնյան ցիկլ գտնելու խնդիրը ճետնյալն Է: Տրված Է ՇՀ(՛,4) գրաֆը. պարզել թե այդ գրաֆում արդյոք գոլություն ունի՞ ճԲամիլտոնյանցիկլ: Նշենք, որ ձնակերպված խնդիրը գրաֆների տեսության դժվար խնդիրներից Է. չնայած գրաֆի պարզ ցիկլերի քանակը վերջավոր է, այնուամենայնիվ գրաֆում Բամիլտոնյանցիկլի գոյությունը պարզելու արդյունավետ եղանակ ճալտնի չԷ: Դիտարկենք գրաֆում ճամիլտոնյան ցիկլ գտնելու խնդրի մի տարբերակ: Դիցուք` Ճ,-ը այսպես կոչված յրիվ գրաֆ է. նրա գագաթների է, ն ցանկացած ԼՀԺ»«յ7Հո

բազմությունը ՀՆ2....,ո)

գագաթներ Բարնան են, 4Հ1.յ)-ն կող է: Պարզ է, գոյություն որ ալդ

ունեն

0,5- (ո - 1):

երկու տարբեր որ

այդ

գրաֆում

ճամիլտոնյան ցիկլեր: Ենթադրենք նան,

գրաֆի յուրաքանչյուր էմ,)) կող ունի երկարություն (կշիռ)`

(ցանկացած 1Հ.յչ։Ճ

Հո

արժեքների ճամար

մ,յԷճյ Հմա պայմաններին բավարարող)

ն

4, Հ4,, այդ

4-0

4, ն

պայմաններում

դիտարկենք Բետնյալ խնդիրը.

Գտնել

Ճ.

լրիվ

գրաֆի

այն

համիլտոնյան

ցիկլը,

որն

ամենակարճնԷ Այս խնդիրն անվանենք շրջիկ գործակալի խնդիր: Դժվար չէ նկատել, որ այն իրոք ճամընկնում Է 1-ին գլխում ձնակերպված շրջիկ գործակալի խնդրին:

Դիտարկենք ճեռավորությունների

Պարզ է,

որ

Նղչեչ...»ե,

լչԼ

ռ

ո

«

կարգի (մ)

ճամիլտոնյան ցիկլի

4լ,

Հ

մատրիցը:

ձո:

էլէշ

ԴՃ.

երկարությունն ալդ մատրիցի տարբեր տողերից ն տարբեր սլուներից ընտրված տարրերի գումար Է: Սակայն միշտ չէ, որ մատրիցի տարբեր տողերից ն տարբեր է սյուներից ընտրված տարրերին Բամապատասխանում ցիկլ (օրինակ, ընտրությանը ճամիլտոնան 4լլ:22::::50 ոռ

համիլտոնյան ցիկլ չի ճամապատասխանում): 7112.....ո) » 1Ն2.....ո) տեղադրությանը ճամապատաս-

խանեցնենք 1Ն.2.....ո գագաթներով ն (1 Պ(1)),12,(2)),....Սո (7) կողերով գրաֆը: կասենք, որ 7 տեղադրությունը ցիկլ Է, եթե նրան Բամապատասխանողգրաֆը ճամիլտոնյան ցիկլ Է: Հեշտ Է ստուգել, որ մատրիցի տարբեր տողերից ն տարբեր սյուներից ընտրված տարրերին ճամապտասխանում Է Բամիլտոնյան ցիկլ, եթե ն միայն եթե այդ ընտրության համապատասխան 7 տեղադրությունը ցիկլ Է: Այժմ կարող ենք առաջարկել շրջիկ գործակալի խնդրի մաթեմատիկականմոդելի նոր ձնակերպում: են ն Ն2...ռ Տրված նրանց միջն բնակավալրրը

Բեռավորությունների գտնել Ն2,....ո

Հոմ)

ո»,

տարրերի

կարգի (մ,)

մատրիցը: Անճրաժեշտ Է

27տեղադրություն, որը ցիկլ Է ն որի

42.0) Ւ" ::Դ6ոո(ո)Գումարն ընդունում

ճամար

է նվազագույն արժեք:

Նշենք ձնակերպված խնդրի ն նշանակումների խնդրի Էական տարբերությունը. նշանակումների խնդրում 72-ն փնտրվում էր 1.2.....ո տարրերի բոլոր տեղադրութլունների բազմությունից, իսկ շրջիկ գործակալի խնդրում՝ ցիկլ տեղադրությունների բազմությունից: Զնայած այս "չնչին" տարբերությանը, նշանակումների խնդրի ճամար հայտնի են լուծման արդյունավետ ալգորիթմներ, իսկ շրջիկ գործակալի խնդրի լուծման արդլունավետ ալգորիթմի գոյության հարցը դիսկրետ մաթեմատիկայի դժվար ն դեռնս չլուծված խնդիրներից Է: Շրջիկ գործակալի խնդրի լուծման Բամար կարելի Է առաջարկել ճետնլալ ալգորիթմը: Հերթականորեն դիտարկենք բոլոր ճամիլտոնյան ցիկլերը՝ Բաշվելով նրանց երկարությունը, ն ընտրենք այն ցիկլը, որն ամենակարճն է: Բայց բոլոր Բամիլտոնլան ցիկլերի մեծ է ն ո-ի նույնիսկ ոչ շատ արժեքների քանակը 0,5(ո-1: դեպքում այս ալգորիթմը գործնականում անիրագործելի է:

Շրջիկ առնտրականի խնդրի լուծման Բամար շատ բնական Է ձճարնան"ալգորիթմը. թվում ճետնյալ՝ ամենամոտ Որպես առաջին գագաթ ընտրում ենք 1-ը: Յուրաքանչյուր ք -ի ճամար

0ՀՒՀո-1.

գագաթները,

եթե

ապա

արդեն

որպես

մ,

ընտրված

գագաթ

լ

պ Նղ....,դ

են

Հ

ընտրում ենք չընտրված՝

ն գագաթներից այն, Անկ ել) որ լի Է: ճեռավորությունն ամենափոքրն Սակալն պարզվում Է, որ ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում ստացված Նղշչե,...»ե լչ 1 Բամիլտոնյան ցիկլը կարող Է լավագույնը (ամենակարճը) չլինել: Ավելին, կան օրինակներ, որոնց ճամար "ամենամոտ հարնան` ալգորիթմի գտած լուծումը Էապես տարբերվում Է լավագույն լուծումից: ԱպացուցվածԷ, որ ցանկացած ո բնական թվի Բամար կարելի Է նշել Բեռավորությունների ո»«ո կարգի (մ) մատրից, որի ճամար

(52,....ո)

ճարնան"

"ամենամոտ

ալգորիթմի գտած համիլտոնյան ցիկլի երկարությունը (1/3) 10ջչ(ոՒ1) անգամ մեծ Է լավագուլն լուծումից:

Ստորն կառաջարկվի շրջիկ գործակալի խնդրի լուծման որոշ առումով ավելի լավ ալգորիթմ: Ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում հերթականորեն 3,4,5.... ցիկլեր: կառուցվում են գագաթ պարունակող պարզ Նրանցից լուրաքանչյուրր ստացվում Է արդեն կառուցվածից՝ որոշակի տեղում մեկ գագաթ ավելացնելով: Ալգորիթմի առաջին քայլում ընտրվում Է 1 գագաթին ամենամոտ՝ կազմվում 1ղ1 ճաջորդականությունը ն ՇՀ-|(Նղ) կ գագաթը, բազմությունը: Տ-րդ քայլում

ճաջորդականությունը (ցիկլը)

բազմությունը, ամենամոտ

4,

որը

Հ(վնզ,...ե լ) չպատկանող գագաթներից ցիկլին

նրա գագաթների

ընտրվում Է ցիկլին

գագաթը, -

ն

ՆԽվչք,...դ լ1

ունենալով

(2ՀեՀո-1

Ս

որոշվում Է

4,) ոմո(ուր

պալմանից Նմչ...5..)0»եւլ»-5.

կազմվում

(0, 6Ս,յց օՄՍ).

112 Նկա.»

ե.1

ցիկլը,

որն

է

նոր

ստացվել

ունեցած ցիկլի մ, գագաթից անմիջապես ճետո 7ց-ն ավելացնելով:

Է

Ալգորիթմի աշխատանքի արդլունքը

(ո-1)-րդ

նտացված 1,էլ, է2,...»4..-լ1

ճամիլտոնյան ցիկլն է:

վել (.,)օԽՍօ»ե.լյկողերը:

Քանի

քայլից

ճետո

Առաջարկված ալգորիթմը նս միշտ չէ, որ գտնում Է լավագույն լուծումը (նվազագույն երկարությունն ունեցող ճամիլտոնյան ցիկլը): Ցույց տանք, որ ալս ալգորիթմը կարող է սխալվել ամենաշատը երկու ստացված ալգորիթմի։ աշխատանքի արդյունքում անգամ. երբե չի գերազանցում ճամիլտոնյան ցիկլի երկարությունը լավագույն լուծման կրկնապատիկին:. Նկատենք, որ ալգորիթմի լուրաքանչյուր քալլում եղած ցիկլին ավելանում Է նախորդ բաժնի ալգորիթմով որոշվող նվազագուլյթ կմախքային ծառի որնէ կող: Ալգորիթմի 1 -րդքայլում եղած ցիկլից Բանվել Է Ա,,1.,լ) ն ավելաց-

Հյ,

էճ,

քայլում եղած ցիկլի երկարությունը կավելանա

ոչ շատ,

որ

ժ,,,

չուստի

քան

24,

է -րդ

.

է)`

Այսպիսով, ալգորիթմի աշխատանքի արդյունքում ստացված ճամիլտոնյան ցիկլի երկարությունը չի գերազանցում նվազագուլն կմախքային ծառի երկարության կրկնապատիկին: Մլուս կողմից, պարզ Էէ, որ նվազագուլն ճամիլտոնյան ցիկլի երկարությունը մեծ Է նվազագույն կմախքալին ծառի երկարությունից: Այնպես որ, նշված ալգորիթմը իրոք կարող է "սխալվել" ամենաշատը երկու անգամ:

Տ2. Հոսք ցանցում

ԴիտարկենքՇ-(-.թ)

օրգրաֆը. նրանում առանձնացնենք երկու գագաթ, որոնցից մեկը ճետագայում կնշանակենք 5 տառով ն կանվանենք ակունք, իսկ մյուսը ք-ով ն կանվանենք /ճռսարան: Ենթադրենք, որ լուրաքանչյուր (ա) «Ք աղեղի վերագրված Է «(ա ոչ բացասական թիվ, որը ալդ կանվանեն, աղեղի թողունակություն: Ցանց կանվանենք ալն օրգրաֆը, որում առանձնացված են Տ, 7 գագաթները, ն տրված են աղեղների թողունակութլունները: Ցանցի լուրաքանչյլուր սա: գագաթի ճամար սաճմանենք « Ք) 4620ՀԾ/(ո5) «Ք) ն 8(ո)Հ2Ծ/(Ր.ա) բազմությունները:

Կասեն,

որ

ցանցում տրված աղեղի

Է հ

Շ-(7,թ)

օրգրաֆին՝

ճամապատասխանող

մեծութլամբ ճոսք, եթե լուրաքանչյուր

ձամապատասխանեցվածԷ

/(ա,»)

թիվ ալնպես,

(ս)

«7

որ

Ֆ` /(«»)-

Ֆ3 /(Րյո)յ-Վ-ի,

««4(ա) ն

««8(ս)

ցանկացած (2,5) 0 Հ

(ա)

սՀ5,

եթես-Ն,

0, մնացած դեպքերում,

աղեղի ճամար ԷԵ

«(.5):

Հ

Այսպես. օրինակ նկ.

4.9-ում

բազմությունը

գագաթների

հ, եթե

)՛

պատկերված Է մի ցանց. որի Հ

(յց,

աղեղների

5շյչչՖգ,5..1).

բազմությունը՝ է

Հ

(5251). (57:):.(Թ2:59):02:.):. (գ) (15), (40.515): 05.2.05.0),

իսկ աղեղի կողքին գրված թվերից երկրորդը նրա թողունակությունն Է, իսկ առաջինը՝ Բոսքի մեծությունը (ցանցում Բոսքի մեծությունը4 է):

Պայմանավորվածություն նշանակումների մասին: Հետագալում օրգրաֆը

ն

ճամապատասխան ցանցը կնշանակենք նույն

պալմանանշանով: Գագաթների

ՏՄ

ն

Շ-(.թ) 1-12

ենթաբազմութլունների ճամար (Տ,7)-ով

կնշանակենք ցանցի այն աղեղների բազմությունը, որոնց սկիզբը պատկանում Է Տ, իսկ ծայրը՝ 7 բազմությանը. 6 Է): (Տ, 1) Հ((25)/6 ՇՏՆ6Շրն(չ)

Աղեղներ ԽՄ բազմության վրա որոշված ցանկացած ք(ա.») ֆունկցիայի Բամար կօգտագործենք ճետնյալ նշանակումները. 5: (ա.ս) (ա, 1) Հ

Ք(ա.5) Ֆ՝ սօՏ

Հ

ջ(Տ.»)

5`Ք(ե,.) Ք(Տ»1): Հ

(ա)«(Տ,Ր)

«Շ1

վ

չվնւս 7 6վ-Տ ոողուս ցՍՂԱՀիսներւսծդոտոծ ջտիճտտո տիտ «մմղցնղնտ վմղդճջտիմտղ ոմղ ՛մոմողտղչ ԿԱողըցծոսղցծճվծդտծ (զ'/4)-Զ

(Տ'5)

:դվ- Տ .Ամնտջղով 'ռվմս 'Վ Եմտո մմտետԵ

(Տ'Տ)

Ղ

ռվ- `

դվծտստ

`

Վ րսցտղտոփ մմվեղո վմս 'նղնո վիցտԵեղ

։ԱՎտԵեռԵ օվծճմղիմոտն 1սնսա

յ

սրետմ

Վ րսոոկտոռ

8վՏ5 :։նղնտ Վզղմս վճօոռիմտղ «ԱՀսմվ մս «Ա«ցղտողՂ 7 6վ-5

Վ հոսկողւսմոխհ վնւս վր ըղրտ

չրւսծցտք (գ՝,1)Հ

վմղցնդնր

դուսնիսրետմ (Տ'Տ) » Հջոռիմտկմցղըդտիդտ մս'Վցվովոցլտ

:Տ5.1ՀՏ31ՂՏ35

ԿվմղըՎմտետռԵ վծըլոծ

415Տ

2:27-5

դուս օիսրծոմումցղ

«մցղմնոշժըղ

մս

Հռոմիօտոնիսրեռմ ղոփոցորցտո Վ ոտվծկուսփ տոտվսնդմըցտ դըդւսնիսօղր վճոսյ Ղ ղտփ օտիշսմս տչվր Ճոսվ մրոնիսօղրը օնսծոլղիտսո ըսծդոծ մս "վուս ուսա օիսմմսԵ :րմվմսելո տղիոցւսլնմո վլղիռ 8վրմվմսելտ ոմղլռրվո «զող ՃըցղՀչՂ մորոտոցդոտրցւս1լռոմը ովլատտ Վ դում 1պղկմտծտոստ օիսմսիտմոդց վմղցրսկոփոցորցոո ցլողտո «զ մվնցո| ՈՓԵ մմվնցոլ մմողտ եմոռ 1սղցտԵ Վոսս մրուօիսօղր ցնսծոլղիոնտ ըձսծցոծ մս մՃցյղտողՂ :ԱՅոսկ մրտնիսօղը դնսեռոլղիոսո ընսծըոճ (գ',/1) Զ զըտԵ Հ

՛Ամվնցո|ցոկոդրվա Գցզոմղղվողծ

(2-2)

(42725

մոռրոյ վնղնո

(48)7Մ (42)

օոճտկդոծ

ղ

«րւսմղմողն օոծոցր «0 Հո ղվղ Կ-ԼՀ(Թ 7-7 ղմղ

(12)

Հ

'ողոցլտ ցիվմ (44")/

մս

վնղնո

Վ ջօտիծղցտվոռտոռորով

վ

մճոսվցմրոլօծսօղր

վ Վ

'Վոսվ մրտնիսօղր

մանցտմոմսք

զ»(4(2)

Չտռիմտըւսծդոծ (4 ',1)-

Զ

մս

զմաղ

մդղոռւլ

"մրւսռորվտո Լ1ուղտղսոցղուսղ ըձսծըոծ (4 ",/1) Զ իսմղդրւսկտցոծց ուղ -

("2 վՎտԵռԵ

մորու

Հ

օտծողցոծ տհոտ

Ղ

Ղ (4)Հ (թ) մս «ղոց Վ Եմով,

Ը'()8)

Ժ(1'5)8Հ-

:(2:5)8 5:41

մմղըուսնաւսրեռմոժցղ

(ԼՐ Վ'5)8 «դղդւսՀմմոտ մւսցովնցմ զմղ

Ացղտողղ

մս

մ-/ մս

մս

Վ

եմտռ

ոտոռ

'ողոդնտ Վոսց վլղմտոլնսմ

'(չ'Տ)»-(5'5)/ /

մրտլիասցջղրվ

-(Տ'ՏՖ)Մ-ս ղ

մջտիմտհ

82Լ

մղ

(5Տ'5)

:ոխրադուցանսմ վճջոիմտկ 1ղշը ըւսծցտծ զ 1ղինսծոց ՂՎղ վզի Սնսետետիդ րաաճդտետմղեվմ մրւսնրաջղր վմոսվ ցրսետլզիոսթ րածճդոտծմս «Վ րորսղտղվ ծվնղտուր :մցոթիսղտցւսնստ վմշռիմտղ վմոսս վլեղմտուոսծ| օոծտկցտծ րւսճդտետմղե վչ մուսլօւսօղր րւասրղմսղմ օոռիծճսծոռզղ ԱմսթադոմճտմսԼմս «ԱՎ լրոասիշըց :Ամջոիմտկդցիսետեռիդ Վցղցտիցտ 91 "Ղ վմս 'Ճօշտիմտկ տղզուսկ ում արսմսԵ Սմմսփոցղրտ մուս թիսղտցւսնսմ ցտնաիսրետմ ,/լ վմղըօրռԵտԵ :մրոթիսրետմովցղ ` մոմողտղչ -զ վծրտծ Վ կրասիիշսմմ ՀՅՀշտիմտկ փսացոմոմսք մսիոծմղի մղտցոմ վմղդմշտիմտկ վծցտծ (զպ'/4)-Զ մս 'մռղտողՂ, վճջտիմտկ ( 5'5) մցղցտիցոկ րւմԱմտԵռտղս«մմռր ակոցւանսծ|

աի

վմղդդւսէմւսղտըւսնսմ վմղըցնղնտվմշտիմտկ միվմ

Հսծ

Ը

ողոտծվրցո

ճվծըյսմս «մմղցուսաիսմտոռիովըցտ

ՕՀ(Տ"Տ)7

Ղ

:6ղիծճսճոոտ

դղիճտտոկ դմողն

ծճվյորնտո -

(5'5)2

:մրղմսղժ վղտղսկ

(Տ'5)25(Տ'5)Մ7 մս

(շշ)

դտաիսմտոտիով ցորնդռ

«(5:537(5'5)Մ Հ(Տ'Տ7Մ (55) -

«մցղտոկՂ, վրղմսղջյ -

-(5'5)7:ԾՆ'5)7-(5'ՏՐՏ)-(ՏՐՏ'Տ)7/-Կ

վտուս'0-ՏՏ

ւ

-տեռե

ղ

մսվյտժ

ՏՐՏՀ./4

(5:27 - (/5)7 -Վ մատցտտոկ«մմղցդւսնիսմտոռիով նսցոոլոռտոխռֆռրոյ ցվմղց նսցտոկտոռ ցվ- Փ իսլղմոռրւսՆ :դվմղըօորլոխ (լ-շ) Վ ուսմ

-ոմռոիռմ ցո

զ Վոսս մրուշիսօղր վ

ոո

ըրւսճըոծ մ- / ՂՎՂ «Կ (55) Հվ

:(Տ'5)25(5'5)7

-

/ մրոտլեւսօղը

մորով վմոսվսվլղմտոլոս::

վմօտիմտկ

պ ղ

7 մրուտսցղր

(ջ'Տջ) օտճտկցտծ վծդոծ (գ'/1)- Զ :րդմաղց/ չԱվրւսնդ 1ոււղտղվ Վ Ենստոը:Մոսյ Թռ

վ Վ

րածցտծ օտիծտտո Ալղըցծոսղմ

Զ

ցտիմտ րածցտծ ('/)տոտ

ծվծցտծ

"ԱդղմնոտմոՂ

մս

6վ-5

:Սմոռոցոծ տցղցւս '«մմղցնղնտ ցութշիսրետմ

(զպ'/4/)-Զ մղ

մս

«Պտը

վՀ ռ1ս1ժւս1սԵ

(5'5)՞(Տ'5) Վ

Եմոլ,

առավելագույն մեծությամբ ոսք

Է,

կտրվածք:

իսկ

(5,5) Հը

նվազագույն

Ն

ցանցում Փորդ-Փալկերսոնի թեորեմ: Ցանկացած Օ -(7՛,Խ) Է նվազագույն առավելագույն ծձոսքի մեծությունը ճավասար կտրվածքի թողունակությանը: Է» Ենթադրենք, որ /-ը Շ-(7,Ք) ցանցում առավելագույն մեծությամբ Բոսք Է (արդեն նշել ենք, որ ալն գոյություն ունի):

Թեորեմն ապացուցելու ճամար բավական Է նշել ալնպես,

որ

7(5.5) «(Տ,5) -

հ

ապահովում են

-

ն

/(5,5)

/(Տ5:5)-7(5,5)

-

-0:

Իրոք,

(5.5) այս

կտրվածքն

պայմանները

օ«(5:5) Բավասարությունը:

Սաճմանենք Տ բազմությունը ճետնլալ կանոնների միջոցով. ակունքը պատկանում Է Տ -ին. 5 ՇՖ, եթեսճջն ապա ճՖ, /(ո,») Հ«(ո»), »

»

/(Թչս)»0,

եթեսօտն

«

ապա

«5:

«5: Ցույց տանք, որ (5,5)-ը կտրվածք Է, այսինքն` Մ «Տ: Ենթադրենք ճակառակը. Տ -ի սաճմանումից ճետնում Է, որ եթե » 65, ապա ցանցում »-ին միացնող Ճանապարձճ,որի ուղիղ գոյություն ունի Տ գագաթը աղեղների ճամար ճոսքը փոքր Է թողունակությունից, իսկ ճակառակ աղեղների ճամար հոսքը դրական թիվ է: Իրոք, նշված Բատկությունը Է ակունքի Բամար, ն պաճպանվում Է բ) ն գ) կանոնների միջոցով գագաթ ավելացնելուց: Դիցուք 5 Կ եշ....չնռւ լ 8 Լ 5-ից է ալն ճանապարճն Է, որի ստուլգ

Հ

ուղիղ աղեղների վրա ճոսքը փոքր Է թողունակությունից, իսկ ճակառակ աղեղների վրա Բոսքը դրական թիվ է: Սաճմանենք ճ,

թիվը (:

Հ

Ն273....,1

1) Բետնյալ եղանակով.

-

Էրաւց -

ԱԱՆՇՈՆ

Սաճմանենք նան Շ

Հ

0,

7՛(8,5)

2)

Մ(ալչլ),

եթե (արռ,չլ) -ը աղեղ Է, եթե (ա.չլչպլ) ն Է աղեղ: -

Հ

ոԼոչճլ,ճչ,...»6չ.լ)

թիվը

ն

նոր` /՛

ճոսք

ցանցում.

7(ո,5) ՀՎ7(8,») 7(6,5),

Հ -

աղեղ

Է ճ,եթե(ա,չ)-ն նշված Մանապարձիուղիղ ճ,եթե(ա,»)-ն նշված Աանապարճիճակառակ աղեղ Է մնացած դեպքերում:

Հեշտ Է ստուգել,

Բայց պալմանին: հ:

Է

դա

ն

կտրվածք է:

(ա,»)«(Տ,Տ),

ապա

/(ա,»)-0:

»

եթե

որ

նրա մեծությունը

Տ

բազմության

որ.

7(ո,»)

ն

ճոսքի առավելագույնության

ապա

եթե (ե,»)

/

(տ,5)-ը

ն

ճոսք Է

ք

(5:5),

»

/(Տ,Տ)

5-ից

ճակասում Է

Հետնաբար` (օՏ սաճմանումից ճետնում է,

Ալնպես

/՛'-ը

որ

Հ «(8.»),

(Տ,5) կտրվածքը բավարարում

պալմաններին:

Է

/(Տ,Տ5) «(5,5) -

.)

5 3. Ցանցում առավելագույն ճոսքը գտնելու ալգորիթմ Ցանցում առավելագույն ճոսքը գտնելու ալգորիթմի ընդճանուր

նկարագիրը:

Ալգորիթմի Բիմքում ընկած Է Շ (7,Ք) ցանցում առավելագույն հոսքի մասին թեորեմի ապացուցմանգաղափարը: Ալգորիթմը, դիտարկելով Շ -(7,8) ցանցում / ճոսքը, կամ -

եզրակացնում Է, որ այն առավելագույն Է ն ավարտում աշխատանքը, կամ էլ կառուցում Է նոր Բոսք՝ ավելի մեծ մեծությամբ: ճամար Ալգորիթմի։ աշխատանքի ավարտն ապաճովելու ենթադրենք, որ՝ Շ -(թ,բ) ա) (աչ)«իաղեղների ցանցի բոլոր թողունակությունները ամբողջ թվեր են, բ) / Բոսքի ճամար նս, որից ալգորիթմն սկսում Է իր աշխատանքը,

/(օոչ») թվերը ամբողջ

են

(կարող ենք ալգորիթմն սկսել

Մ7(ո»)

Հ0

ցանկացած (ա,») բոլոր

(ա)

6.

6.

աղեղի համար

աղեղների ճամար

Բոսքից):

Ալգորիթմի աշխատանքը կազմակերպվում Է երկու փուլով, որոնցից մեկը կանվանենք /4 գործողություն, մյուսը` Ց գործողութլուն: 4 գործողության ընթացքում ստուգվում Է, թե յ ճոսքը արդյոք լավագույնն Է, թե ոչ, ն եթե լավագույնը չէ, ապա նշվում է այն լավացնելու ճամար եղանակը: 8 գործողությունը կատարվում Է, երբ ալգորիթմը եզրակացրել է, որ ճոսքը առավելագուլնը չէ: Նրա արդյունքում ստացվում Է նոր՝

ավելի մեծ մեծությամբ ճոսք, որի արժեքը յուրաքանչյուր աղեղի ճամար դարձյալ ամբողջ թիվ է: 4. գործողության նկարագիր գործողության ընթացքում ցանցի յուրաքանչյուր գագաթ գտնվում Է Բետնյալ երեք վիճակներից որնէ մեկում. ա) դեռնս չի նշվել, բ) նշվել Է, բայց չի դիտարկվել, Գ) նշվել Է ն դիտարկվել: գործողության սկզբում նշված ն դիտարկված գագաթների բազմությունը դատարկ Է, նշված, բայց չդիտարկված Է Տ գագաթը՝ Տ(-չօ) նշումով: Մնացած գագաթները Բամարվում են դեռնս չնշված: 4. գործողության մեկ քայլը որնէ նշված, բայց չդիտարկիված գագաթի դիտարկումն Է (առաջին նշվածը առաջինն Է դիտարկվում), որի արդյունքում ալն դառնում է նշված ն դիտարկված, ն կարող են նշվել դեռնս չնշված գագաթներ:

Տ

-ից տարբեր յուրաքանչյուր

Է, որտեղ (" --ը

Է

Է կամ -), իսկ Հ(ա) -ն ամբողջ դրական թիվ է:

ս(»-,2(ո)) գագաթի

Բետնյալը. եթե (ա,»)ՀԵ, ապա

5»-ն 2Թ)

-ն

յ/(տչո) Հ «(ոչ»)

ն

»,

գագաթը

դեռնս չի նշվել,

,

Հ

տո(2(ա)6«(4:5) «Ե,

նշվում Է՝ (ա 8(Թ)

դիտարկման ժամանակ կատարվում Է

նշվում Է՝ 5(ա՝ 2(5)), որտեղ

եթե (»,ս)

գագաթի նիշը (»",ճ2(ա))զույգ

ս

Հ

-

/(»չս)»0

/(4.5)), ն

»

գագաթը

դեոնս չի նշվել,

ապա

,ճ(»)), որտեղ

ոո(2(6),7/(5,ո)):

գործողությունը կատարվում է բոլոր նշված, բալց չդիտարկված գագաթների ճամար. քանի դեո չի նշվել Մ գագաթը: ք գագաթի նշման դեպքում կատարվում է Ց գործողությունը: Եթե բոլոր նշված, բայց չդիտարկված գագաթների դիտարկումից ճետո չի նշվել է գագաթը, 4 գործողությունն ավարտվում Է / ապա

հոսքը առավելագույնն է եզրակացությամբ: 8 գործողության նկարագիրը. 8 գործողության արդյունքում նշվում Է 5-ից Մ Ճանապարձճ, որի ուղիղ աղեղների վրա Բոսքը ավելացվում Է Հ(ք -ով, իսկ Բակառակ աղեղների վրա նվազեցվում թողնելով նույնը:

Է

չ«(Ռ-ով՝

մնացած աղեղների վրա

կարելի Է անել Բետնլալ սխեմալով. Որպես ճերթական գագաթ ընտրվում Է Մ-ն, Դա

լ.եթե

ճերթական

»(ա՛',2(5))-ն

գագաթը

է,

ապա

(աջ) «5

աղեղի վրա Բոսքը ավելացվում Է «(ք -ով,

2.եթե Բերթական

»(ս

գագաթը

պակասեցվում Է «(Ւ) -ով,

,

«(»))-ն

է, ապա

աղեղի ճոսքը

3.որպես ձերթական գագաթ ընտրվում Է » -ն. եթե ճերթական 5 -ն Է, Ց գործողությունը գագաթը ավարտվում Է, ճակառակ դեպքում կատարվումԷ1-ը: Արդլունքում Տ -ից ք Բոսքի մեծությունն ավելանում Է «(/) -ով: Քանի որ ամեն անգամ Թ գործողության կատարումից ճետո հոսքը ավելանում Է առնվազն 1-ով ( 2(17 -ն բնական թիվ է), ուստի

գործողությունը անվերջ անգամ չի կարող կատարվել: Հետնաբար, ինչ-որ պաճի 1 գործողությունը կավարտվի, երբ բոլոր նշված ն չդիտարկված գագաթները դիտարկվել են ն չի նշվել ք գագաթը: Տ-ով նշանակենք նշված ն դիտարկված գագաթների է, որ

պարզ

Ց

բազմությունը

բազմությունը (65):

կտրվածքի Մ(.,6)

Հ

7(5,ա)

-

Տ-ով

(96-55),

«(8չ»),

(ա)

Պարզ Է,

իսկ

որ

(Տ,Տ)-ը

(5ռ)6ՀՔ,

0 (հակառակ դեպքում

գագաթը):

Հետնաբար, իրոք, /

ս6Տ, ս

գագաթների

կտրվածք է, ընդ որում

ԿՃՖ,

«ի,

(չնշված)

մնացած

աղեղների ճամար »

«Տ

աղեղների

ճամար

գագաթի դիտարկիումից կնշվեր

»

Բոսքը առավելագույնն Է: Այսպիսով, եթե

ամբողջ թիվ է ն աղեղի համար «(աչ)-ն աշխատանքը սկսում է այնպիսի Ր հոսքից, որ

ցանկացած (ա)ՀԵ ալգորիթմն

ցանկացած (ս)

ՓԵ

աղեղի համար /(աչ)-ն

ամբողջ թիվ է,

ապա

ստացված /ց առավելագույն հոսքը նս ցանկացած աղեղի ոամար ամբողջ թիվ է: Ալգորիթմի աշխատանքըպարզաբանող օրինակ. Գտնենք նկ. 4.10ում պատկերված ցանցում 5-ից առավելագուլն մեծությամբ Բոսք (լուրաքանչյուծ աղեղի կողքին գրված է նրա թողունակությունը): Որպես սկզբնական թովւլատրելի ճոսք վերցնում ենք 0 Նկ. 4.11-ում վրա 7/-0: մեծությամբ ճոսքը՝ բոլոր աղեղնեի յուրաքանչյուր աղեղին վերագրված թվազուգի առաջին բաղադրիչը արդյունքում

Բոսքի մեծություն թողունակությունը:

երկրորդ

Է,

բաղադրիչը

պաճին պատկերված Է նկ. 4.12-ում: է Կատարվել Բետնյալը. նշվել է Է

որի ընթացքում

գագաթը,

գագաթները: Դիտարկվել Է

նշումներ

են

են

ստացել

գագաթը,

լ(տ,5)

ն

որի շնորճիվ

(5լ չ5) գագաթները: Դիտարկվել Է գագաթը:

Դիտարկվել է

(առաջին նշվածը առաջինն Է դիտարկվում), որի շնորճիվ

»չ գագաթը

Է

»լ

որի շնորհիվ նշվել Է »չ(5չ,2)

»չ գագաթը,

նշվել

ն 7

գործողության ավարտի

գագաթի՝ (5,-- օո), դիտարկվել

նշումներ

5.(5:2)

ստացել 5. (»լ 1)

աղեղի

նկ.4.11

նկ.4200.

Ցանցի վիճակն առաջին անգամ

տվյալ

(541)

գագաթը:

/4

գործողությունն

ավարտվում Է

՛

գագաթի նշումով. Բոսքը Բնարավոր է լավացնել: Կատարվում Է Թ գործողությունը. կառուցվում Է Ճանապարձը. որով ճոսքը մեծացվում Է 1-ով, ն ստացվում Է նոր, թույլատրելի Բոսք: Նկ. 4.13-ում պատկերված Է ցանցի վիճակը Ց գործողությունից Բետո, ն ընդգծված Է Բոսքը մեծացնող ճանապարհը:

(Տ

-

նկ.4.12

(պո)

ճկ.4.13

Նոր, թուլլատրելի ճոսքի համար նորից կատարվում է 4 գործողությունը, որի ավարտի պաճին ցանցի տեսքը պատկերված է նկ. 4.14-ում:

Կատարվել Է ճետնյալը: Նշվել Է 5(-,օ) որի

նշումներ

արդյունքում

Դիտարկվել

գագաթները:

Արդյունքում նշումներ գագաթները:

»չ

են

ստացել

են

են

»լ,

ստացել

գագաթը

»լ(5::4)

այլնոււնտն

».(5:,4),

գործողութլունը ավարտվում Է

է լավացնել:

դիտարկվել, ն

».(5-22)

գագաթները:

»չ

5,(52:2)

գագաթի դիտարկումից նշվել Է է

ն

7(»:,1)

ն

».(52:2)

գագաթը:

գագաթի նշումով. Բոսքը Բնարավոր

Կատարվում Է Ց գործողությունը. նշվում Է ճառապարճը, որով ճոսքը մեծացվում Է 1-ով: Նկ. 4.15-ում պատկերված Է ցանցի վիճակը Ց ճետո, գործողությունից ընդգծված Է հոսքը լավացնող Ճանապարհը:

նկ.4.15

նկ.4.14

Նոր ճոսքի ճամար նորից կատարվում Է /4 գործողությունը, որի ն ցանցն ունի նկ. 4.16-ում ավարտի պաճին նշվել Է / գագաթը, պատկերված տեսքը: Հոսքը ճնարավոր է մեծացնել 2-ով: կատարվում է գործողությունը, որի արդյունքում ստացվումԷ նոր ճոսք (նկ. 4.17):

«52

Փ

Խ(Տ3)

Ստացված

Մ(Մչ.2)

0,2

նկ.4.16

(3

հճոսքի

ճամար

նորի

(նկ. 4.18): Հետնաբար, ճոսքը գագաթների

նկ. 4.17

կատարվում

գործողությունը, որի ավարտի պաճին նշվել Է

Ց

է

է

գագաթը՝ (5,2)

ճնարավոր Է ավելացնել

2-ով: Նշված

(5

2), ՂԵՎ 2), 5չ( 5»2), (5:

3):

(լ

3),Ել (5` 3),5

հաջորդականությունը միարժեքորեն որոշում Է 5,թլչ5չ,»5:,5շչյչ1 ճանապարհը, որի

բոլոր

աղեղները, բացի (»շ,»:)-ից.

ուղիղ

են:

Ուղիղ աղեղների Բոսքը ավելազվում Է 2-ով, իսկ (5շ,5:)-ի ճոսքը՝ պակասեցվումԷ2-ով: Արդյունքում ստացվումԷնկ. 4.19-ում պատկերված ցանցը:

4.18 նկ.

ճկ. 4.19

Ստացված ցանցի ճամար ալգորիթմի աշխատանքը դարձյալ սկսվում Է 4 գործողությունից: Արդլունքում ստացվում Է ճետնյալ իրավիճակը (Նկ. 4.20):

«(617

Նշվել

ն

դիտարկվել

չդիտարկված առավելագույնն

նվազագուլն.

են

Տ

Է, Հ

չի

(Տ,5)

իսկ

(5,»լչ57,5:),

գագաթները, չկա նշված

Տյ»լ,5..»չ

7ն

գագաթ:

Մ(Ծ.»1)

նկ.4.20

նշվել: կտրվածքի

Ստացված

ն

ճոսքը

թողունակությունը՝

Տ Հ(շչգ:Ռ:

9 4. Երկկողմ գրաֆի առավելագույն ղուգակցման խնդրի լուծում Դիցուք

տրված

Է

Օ-(5,7:2)

երկկողմ

գրաֆը,

որտեղ

Այդ գրաֆի աոռավելագուլն ՀԱՏՏ2»...25ը) ն 7-Սմոչ....ո): զուգակցումը ընդճանուր գագաթներ չունեցող առավելագույն թվով Տ

կողերի բազմություն Է: Այն գտնելու ճամար կօգտագործենք ցանցում առավելագույն Բոսք գտնելու ալգորիթմը. ունենալով ՇՀ (Տ,7:27)

երկկողմ գրաֆ՝ կկառուցենք Օ

Հ

(7,8)

ցանց, կգտնենք ալդ ցանցում

առավելագույն Բոսքը, որը ճնարավորություն կտա գտնելու Օ գրաֆի առավելագույն զուգակցումը: Փ Որպե ցանցի գագաթների բազմություն, ընդունենք ան)աջր, ճետնյալ կերպ. /

իսկ աղեղնեի

«(լ

ՍԽբազմությունը սաճմանենք

ԱՀ-ՏնջճՇՓՖյ (214213214-212121113 17 այ ՇՃնսճՏ,5»6Շ7:

Բոլոր (ա»)Հ:Ե աղեղների ճամար ընդունեն, «(ա»)-1: Կառուցվածցանցը կունենա նկ. 4.21-ում պատկերված տեսքը.

Օգտագործելով արդեն քննարկված ալգորիթմը՝ այս կարող ենք կառուցել / առավելագույն ճոսք: Նշենք,

ցանցում որ

բոլոր

ամբողջաթիվ արժեքներ՝ կամ 1. բոլոր աղեղների թողունակությունը 1 Է ն աղեղով ճոսքը չի գագաթից գերազանցում թողունակությանը: Քանի որ 5, 1ՀՒՀյ: աղեղների վրա այն ընդունում Է

սկսվող

(է։,1Հ/

Հո

գագաթ

մտնող) աղեղներից ամենաշատը մեկի

վրա Է ճոսքն ընդունում 1 արժեք, ուստի

Օ« (57:24) Հ

գրաֆի կողերի

Ճց ՀԱՏՌՈ/ՐՐ5:Ո«2Ճն/(581 ն նրա կողերի քանակը ճավասար Է բազմությունը զուգակցում է, Շ (7, Բ) ցանցում առավելագույն Բոսքի մեծությանը:

Հեշտ Է նկատել նան,

որ

ՇՀ(Տ,7:24)

գրաֆի առավելագույն

զուգակցման կողերի քանակը չի գերազանցում Շ-(Թ.,Թ առավելագույն Բոսքի մեծությանը: Իրոք, եթե

6չն,)

Եղն».

(ն

կողերը զուգակցում են,

ապա

ցանցում գրաֆի Օ

0՛,Ք)

-

ցանցի ալդ կողերին ճամապատասխան աղեղները պարունակող Տ-ից ք ուղիների աղեղների վրա ճոսքի արժեքն ընդունելով 1, մնացած աղեղների վրա՝ 0, կստացվի Տ -ից ք, ք մեծությամբ ճոսք:

Այսպիսով, վերը

նշված եղանակով

գտնված

Հ(0՛,5:27) (Շ

գրաֆի կողերի 24: բազմությունը առավելագույն զուգակցում Է:

Արդեն նշել ենք,

որ

ՕՀ(Տ5,7:4)

երկկողմ գրաֆը կարելի է

ներկայացնել 0,1 տարրերից (Օյ) մատրիցի միջոցով, որտեղ Ը:

Շ

Բանգում

`

1, եթե |0, եթե

-

գրաֆում էր

15,1) 5,1)

«2

67:

առավելագույն

(այ)

մատրիցում

զուգակցումը

գտնելու

առավելագույն

թվով

խնդիրը 1-երի

ընտրությանը, որոնցից ցանկացած երկուսը գտնվում են տարբեր տողերում ն տարբեր սյուներում: Հետագալում այդ ձնով ընտրված 1-երը կանվանենք անկախ 1-եր: Եթե (ա) մատրիցի 0 պարունակող վանդակները ճամարենք ոչ թույլատրելի, տեսքը:

ապա

վերը ձնակերպված խնդիրը կունենա Բետնյալ

կարգի աղյուսակ, որի որոշ վանդակներ ոչ Տրված Է «ռտ թույլատրելի են (նշված են): Անճրաժեշտ Է մնացած վանդակներում տեղավորել առավելագույն թվով անկախ 1-եր (ցանկացած 2-ը գտնվում են տարբեր տողերում ն տարբեր սյուներում): Վերը նշվեց, որ այս խնդիրը կարելի Է լուծե Շ գրաֆին

Շ ցանցում առավելագույն Բոսքը գտնելու ճՃամապատասխանող

միջոցով: Քանի որ այն մասնավոր տիպի ցանց Է, ուստի ստորն կտանք նրանում առավելագույն ճձոսքը գտնելու ալգորիթմի նոր՝ աղյուսակին Բարմարեցված շարադրանքը:

Տ.

Օժանդակ խնդիր

Դիտարկենք տ«ոռ կարգի աղյուսակ, որի որոշ վանդակներ (նշանակենք նրանց բազմությունը Ւ ) ճամարվում են ոչ թուլլատրելի: Ենթադրենք, որ աղյուսակի տողերին ճամապատասխանեցված են իսկ սյուներին: տրված զլ.02,...,»0ղ. ամբողջ ոչ ել,ծչ,....5» բացասական թվերը:

Ենթադրենք նան. որ աղյուսակի յուրաքանչյուր թուլլատրելի վանդակում գրված Է ոչ բացասական թիվ, այնպես որ լուրաքանչյուր տողի վանդակներում գրված թվերի գումարը չի գերազանցում այդ տողին ճամապատասխանեցված թվին, ն լուրաքանչյուր սյան վանդակներում գրված թվերի գումարը նս չի գերազանցում ալդ սյաը տհճամապատասխանեցվածթվին: Այդպիսի աղյուսակն անվանենք (հ:զլ,....6ռ:Ել»...»5.) սաճմանափակումներին բավաաղլուսակ: Քննարկելու ենք ճետնյալ խնդիրը. Ատպոմանափակումնեին բավարարող (Խ:ճլ:....6ոածլ»-..25) աղյուսակներից գտնել այն աղյուսակը, որի վանդակներում գրված է: բոլոր թվերի գումարը ամենամեծն Եթե (յ) վանդակում գրված թիվը նշանակենք /,, ապա րարող

ձնակերպված խնդիրը կարելի է ներկայացնել ճետնյալ տեսքով. Գտնել //, Հ0 թվերն այնպես, որ

7յ -0.երբ 7-1

մյ

Հճ.

(յ)

«Ւ:

.1Հ172.....ո:

(5.1)

Ւ1

ն

որոնց

ՀԵ, 7-Նշ....ո: ճամար

3՝

121)-1

7.

արտաճալտություն`՝

ստանում

է

իր

արժեքը: ԳԾ է Ան խնդր սակայն սաճմանափակումների ն նպատակալին ֆունկցիալի պարզ տեսքը Բնարավորություն Է տալիս նրա լուծման ճամար առաջարկել արդյունավետ ալգորիթմ: ցանց, որում առավելագույն ճոսքը ԿառուցենքՇ -0.Է)

ամենամեծ

գտնելու խնդիրը լուծելիս կլուծվի

նան

(5.1) խնդիրը:

Որպես ցանցի գագաթների բազմություն ընդունենք Մ Ա) ԱՏ: :5Տ5)ՑաԱ»նյ.56): ՀԹ)Ս

Սաճմանենք ցանցի աղեղների

բազմությունը.

ՇՎՏլ»529.:-55,լ) ԱԽ1Հ1-212111117717701 սԿ-Տն

«ԿՀ

թՀՍն(.յ/)

Աղեղների թողունակությունը սաճմանենք ճետնյալ կերպ. Շ(մ,»)

որտեղ

Հ

գլչ

եթեսՀՏչ»ՀՏ.,ԼՀ՛Ն2....,7,

Ե,» եթե»-Խ«Հ

Հ

ք») 12....,ո «3: (յ) եթես-Տ.,ծ Հն

2-Ոոու(օլչ6շ»...»6,):

Դժվար չԷ ստուգել,

է,

հոսք

Հ

որ

եթե յ/-ը կառուցված ցանցի թուլլատրելի

մյ Հ7(55էյ)

ապա

թվերը

կճանդիսանան

(Բ: օլ»-..54ո5ծլչ::.5ծղ) սաճմանափակումներինբավարարող ն 0սաճմանափակումների աղյոսա`՝ նշված ընդճակառակը. բավարարող լուրաքանչյուր աղյուսակ միարժեքորեն որոշում է

Շ-(7,թ)

ցանցի թույլատրելի ճոսքը: Ընդ որում Բոսքի մեծությունը ճավասար Է աղյուսակի բոլոր թվերի գումարին: Հետնաբար, (տ.1) խնդրի լուծման ճամար բավական Է ճամապատասխանցանցում գտնել առավելագույն մեծությամբ ճոսքը: Ստորն կտրվի նշված ցանցում առավելագույն մեծությամբ Բոսքը ճետ գտնելու նոր, աղյոււակի աշխատելուն ալգորիթմի ճարմարեցված շարադրանքը: 5, գագաթի փոխարեն օգտագործվում Է

1-րդ

տող,

ք,

գագաթի

փոխարեն՝ աղյուսակի

յ/-րդ

սյուն

արտաճալտությունները: Օժանդակխնդրի լուծման ալգորիթմի նկարագիրը. Ալգորիթմն իր աշխատանքը սկսում Է նշված ցանցին Բամապակարգի աղյուսակից, որի որոշ վանդակներ ոչ տասխանող «ո թույլատրելի չեն

են

(ջնջված

փոփոխվում),

01542»-:-::50,յ»

են՝

տողերին

սԱյուներին՝ծլ,Եշ,...,5,

վանդակների Բամար

//(յ) -0

/,/-0

ն

ՔՃամապատասխանեցված

են

նրանց ճամապատասխանող թվերը: Բոլոր (1)

(պայմանավորվենք

0-ն

թուլլատրելի չգրել

ն

ալդ

վանդակները անվանենք դատարկ վանդակներ): 4. գործողության նկարագիրը

գործողության ընթացքում աղյուսակի լուրաքանջչյուր տող կամ սյուն գտնվում Է ճետնյալ երեք վիճակներից որնէ մեկում. ա) դեռնս չի նշվել, բ) նշվել Է, բայց չի դիտարկվել, Գ) նշվել Է ն դիտարկվել: 4 գործողությունը սկսվում Է աղյուսակի ալն տողերի նշումով,

2.7

որոնց համար

(81)

Յուրաքանչյուր այդպիսի

Հո:

պայմանանշանով, որտեղ

-

զ

նշվում Է

տող

2./չ:

-

)-1

գործողության մեկ քայլը որնէ նշված, բայց չդիտարկված տողի կամ սյան դիտարկումն է, որի արդլունքում ալն դառնում է նշված ն դիտարկված, ն կարող են նշվել դեռնս չնշված սլուներ կամ տողեր:

չ():8.)

տողի (յ

-ն

սյան ճամար Է կամ -) դիտարկման ժամանակ

կատարվում է ճետնյալը. Եթե (յ) վանդակը թույլատրելի է ալն նշվում Է

ապա

)(:6ծյ),

(մ,ծյ) պայմանանշանով, որտեղ ծ,

(Հ-ն

սյան

տողի

ճամար

կատարվում Է ճետնյալը. եթե /չ»0 ալն նշվում Է (),8.)

գործողությունը չդիտարկված տողերի ու

կատարվում է

Եթե

որնէ

բոլոր

սյուն,

ն

որ

-

6.»

դիտարկման

է)

1-րդ

պալմանանշանով, որտեղ

ալնպիսի յց սյուն,

7-րդ սյունը նշված չէ,

ն

նշված չէ,

տողը Հ.

Հ

ապա

ոլո(ծ,,/,):

նշված, բալց կատարվում Է բոլոր սլուներիի ճամար, քանի դեռ չի նշվել

2,

ՀԵ,: Այդպիսի սյուն նշելու դեպքում

է-1

գործողությունը: նշված տողերը ն սլուները դիտարկվել են,

որի

ժամանակ

7 ՀԵ,

ճամար

ապա

:-1

.Վ.

ն

չի նշվել

գործողությունն

Է ավարտվում Է աղյուսակում գրված թվերի գումարն ամենամեծն եզրակացությամբ: Ենթադրենք, որ 4 գործողությունն ավարտվել Է յց սյան դ

(լչծյ,)

նշումով, որտեղ

ծ,

-

2,

է-1

-ՃՓ»0: լ

Այս դեպքում կատարվում Է 8 գործողությունը, որի արդլունքում աղլուսակի որոշ վանդակներում գրված թվերը փոփոխվում են ն բոլոր գրված թվերի գումարն ավելանում Է առնվազն 1-ով: 8 գործողության նկարագիրը 4-ին քայլ. Սաճմանվում Է ՀՀ ոմո(ծըչծ,յ) թիվը ն կազմվում սյուների

տողերի

ն

համարների

ն»-:2,

կյ»

հաջորդականությունը, որտեղ

ժ). (ւ

-

(մ

-

սյունը

ն

նշվել

Է

ա.

տողի

դիտարկման

ժամանակ

նշվլ

է

յ,

պան

դիտարկման

ժամանակ

0,Ն2,...,.-1)

մ

տողը

0,Ն2,....Խ-0

կ, տողը նշվել Է 2-րդ

հ

քայլ.

Հ

գործողության սկզբում:

արժեքների ճամար (.,/,

Ն2,....հ

գրված թվին ավելացվում Է

Յրդ

եՀ-Նշ...,հԻ-1

քայ.

վանդակում գրված

գործողությունը

ն

թվերից

/,

նոր

լ)

վանդակում

Ք,

արժեքների

Բանվում Է

(լ...)

ճամար

ավարտվում

Հ,

Է

թվերից կազմված աղյուսակի համար

սկսվում Է

/4 գործողությունը: Ընթերցողին ենք թողնում ապացուցելու որ շարադրվածը ցանցում առավելագույն Բոսք գտնելու ալգորիթմն Էր. արդյունքում

ստացված

/,

թվերը

Բոսքին ն ամբողջաթիվ

Ճամապատասխանում

են

առավելագույն

են:

56. Նեղ տեղերի խնդրի լուծումը Առաջին գլխում դիտարկված՝ հոսքագծի աշխատատեղերում աշխատողների արդյունավետ բաշխման ճետ կապված նեղ տեղերի խնդրի մաթեմատիկական մոդելը Բետնյալն Է. մատրիցը, որտեղ «ճ,Հ0: Տրված է ոո կարգի 4Հ(այ) Անճրաժեշտ

է

գտնել 7:/1.2....,ո)

-» (12,...,ո)

տեղադրություն, որի

արտաքալտությունն ընդունում Է Բամար ոմոլճլ,(լ)»022»(2)»:::5Օու(ո))

ո(.4)-ով իր առավելագույն արժեքը: Է, ունի): (ակնճալտ որ այն գոյություն

նշանակենք

այդ

արժեքը

Տրված

մատրիցի

ն

Ք

թվի

Բամար սաճմանենք

աղյուսակը. նրա (1) վանդակը Բամարենք թուլլատրելի, եթե

/4(թ)

«ՀԲ,

ալդ վանդակը կճամարենք ոչ թույլատրելի: Ենթադրենք. որ առավելագույն թվով անկախ 1-երի քանակը, որոնց Բնարավոր Է դասավորել (8) աղյուսակի թուլլատրելի

ճակառակ դեպքում

վանդակներում. կ

ա)եթե

Հ

տ է: ո.

Հեշտ Է ստուգել,

ՀԹ: Ճա(4)

Ս Հու.ապա

բ)եթե

որ

ա(4)Հթ.

ապա

Այսպիսով, 7.(.4) -ի արժեքը գտնելու ճամար բավական է նշել մատրիցի

ամենամեծ

Ս

Բնարավոր Է դասավորել

Մլուս կողմից, եթե Թը տո( ոլո ոշ Հ

1Հ.Հո1ՀյՀո

Բատ

,/4(38) մատրիցում

որի դեպքում

տարրը, ո

անկախ 1-եր:

լո ոշ Օյ»1Հ/Հո1Հ5:Հոռ 2,յ),

/3օ-ից մեծ լինել չի կարող: Վերը թվարկված Բատկութլունների Բիման վրա առաջարկվում Է նեղ տեղերի խնդրի լուծման ճետնյալ ալգորիթմը. /-ին քայլ. կազմում ենք 4 մատրիցի /0ց-ին չգերազանցող բոլոր տարրերի կարգավորված Բաջորդականությունը՝ 5»4/»/Թ/2»... ապա

ն է

պարզ

է. որ ,ո(.4) -ի արժեքը

պարամետրին վերագրում 0 արժեք: 2-րդ քայլ. կազմում ենք .4(Ժ.) աղյուսակը ն, օգտագործելով

օժանդակ խնդրի լուծման նրա թուլլատրելի ալգորիթմը, վանդակներում՝ դասավորում առավելագույն թվով 1-եր: Եթե դասավորված 1-երի քանակը ո Է, ալգորիթմն ավարտում Էէ աշխատանքը. ալդ 1-երը բնորոշում են լավագուլն բաշխումը ն

(47-28.

սապրատասխանով, Ճակառակ դեպքում

մ-ի

նորից կատարվում 2-րդ քալլը: Ընթերցողին ենք թողնում ապացուցելու, որ այս իրոք, գտնում Է նեղ տեղերի խնդրի լավագույն լուծումը: ավելացվում

արժեքին

Է 1ն

ալգորիթմն,

Դիտարկենք առաջարկված ալգորիթմի աշխատանքը

պարզաբանող օրինակ: Դիցուք՝ ճոսքագիծն ունի վեց աշխատատեղ ա1, աշ, ա3, ա4, արտ, աճ, վեց աշխատողներ՝ կ1, կշ, կ3, կ4, կտ, կ6 ն տրված Է աշխատողների յուրաքանչյուրի արտադրողականությունը ամեն մի աշխատատեղում: `

Անճրաժեշտ Է յուրաքանչյուր աշխատատեղի ճամար աշխատող ընտրել այնպես, որ ճոսքագծի արտադրողականությունը լինի ըստ ճնարավորին մեծ (նկ. 4.22):

Պարզ Է,

/օ 6.

որ

(2րդ կատարողի արտադրողականության

արժեքը6 Է, իսկ մնացածներինը՝ վեցից մեծ) ն ալգորիթմի առաջին քալլում նշվում Է մատրիցի տարրերի 6»2-5»4»3»2»1 ամենամեծ

ճաջորդականությունը

ն

ընտրվում նրա առաջին անդամը՝ /ժ)

-

6:

Ալնուճետն կազմում ենք /4(6) աղյուսակը. վանդակը ճամարվում Է թույլլտարելի, եթե մատրիցի Բամապատասխան տարրը վեց Է կամ վեցից

մեծ:

կ1| կ2

| կ3 | կ4|կ5

|կօ

այ| 7|6 |3| 3|2 |2

աշ|8|5 |4| 2|3 |3 ա3Յ8|5

|2

|3

ա4|2|3 |)9 | 815|5 ատ|3|1 |6|

517|8

ած|2|2 |8|

418|3

Է

Ճ(6)-

|

Կ

|

ֆ

|

Հ

|

.Ջ

"

|.

մ

Հ

|

իճ

։

Ի

|

Կ

|

`

նկ.4.22

Օժանդակխնդրի լուծման ալգորիթմի միջոցով

այս աղյուսակում պետք Է դասավորենք առավելագույն թվով անկախ 1-եր: Ստորն կնկարագրենք ալդ ալգորիթմի աշխատանքը. պալմանավորվենք տողը կամ սյունը նշելիս չգրել Ք -ը, քանի որ այն միշտ 1 Է: Օժանդակ խնդրի լուծման ալգորիթմն աշխատանքն սկսում է՝ անկախ 1-երի որնէ թույլատրելի դասավորությունից: Մենք կսկսենք այն դասավորությունից, որն ստացվում Է, երբ առաջին ճանդիպած թույլլատրելի վանդակում գրում ենք 1, ն անցնում Բաջորդ տողին ու սյանը: գործողությունն սկսելու պաճին նշվում են աղյուսակի այն տողերը, որոնք 1 չեն պարունակում ն աղյուսակն ունի նկ. 4.23-ում պատկերված տեսքը. Նշված տողերի դիտարկումից ճետո նշվում են աղյուսակի առաջին, երրորդ ն Բինգերորդ սյուները, որոնց դիտարկումից ճետո կստանանք նկ. 4.24-ում պատկերված աղյուսակը.

:

`

|

չՀ|

:

|»

«|»|վ1 |

Հ

|

|:

Աջ

«|

|»

:

Լ

Ը)

:

.

լ

|»

|

|

()

|

|Օ

|)

(5) ։

(6) 4.24

Ը)

|

ՀՍ

ՈՂ)

«|ւ

:

(2)

նկ. 4.23

|

լ

։

46|2|:2

»

Լ

Ը

||

Հ

Է:

Հ

| ()

(6)

նկ.

Սկսում ենք դիտարկել դեռնս չդիտարկված առաջին, չորրորդ ն Ռինգերորդ տողերը: Առաջին տողի դիտարկման ժամանակ նշվում Է 1 չի պարունակում, ն կատարվում Է երկրորդ սյուն, որը գործողությունը, որի արդյունքում (1.2) ն (2.1) վանդակներում գրվում Է 1. իսկ (1.1) վանդակում գրված 1-ը ջնջվում է: Արդլունքում ստացված աղյուսակի ճամար նորից սկսվում Է ալգորիթմի աշխատանքը՝ չպարունակող տողերի նշումով (նկ. 4.25): Այս նշված տողերի դիտարկումից ճետո նշվում են առաջին, երրորդ ն ճինգերորդ սլուները, որոնց դիտարկումից Բետո աղյուսակը կունենա նկ. 4.26-ում պատկերված տեսքը. 1| Ճ

Է

|

Հ

|

|

չ

|»

| |

|»

|»

։

|.

Հ

նկ. 4.25

|

1|

|»

|Օ(Օ `

լ :

|.

"|

|

Օ()

|

|

«Աո

«

|

Հ|

|

ճ

Հ

5|

ւ

9)

Փ

|»

նկ. 4.26

|

Հ

|

«

| Ը)

|:

| Թ)

06)

(5)

»|Օ Փ

Երկրորդ տողը դիտարկելիս ոչ մի սյուն չի նշվում, իսկ չորրորդ սյուն: ն դիտարկելիս նշվում Է 1 չպարունակող չորրորդ Ց կատարվում Է գործողությունը, որի արդյունքում (4,4) ն (63) տողը

վանդակներում գրվում Է 1, իսկ (4.3) վանդակի 1-ը ջնջվում է: Արդյունքում ստացված աղյուսակի ճամար նորից սկսվում է ալգորիթմի աշխատանքը՝ 1 չպարունակող տողերի նշումով. նշվում Է միայն երրորդ տողը. որը դիտարկելիս նշվում Է առաջին սյունը, որի դիտարկումից ճետո՝ երկրորդ տողը: Ալդ տողի դիտարկումը ոչինչ չի նշում, ն օժանդակ խնդրի ալգորիթմը աշխատսւնքն ավարտում է՝ ստացված դասավորությունը լավագույնն է պատասխանով(նկ. 4.27): Քանի որ դասավորված 1-երի քանակը փոքր Է 6-ից, ուստի անցնում ենք նոր 4 (5) աղյուսակի կառուցմանը ն նրանում առավելագույն թվով 1-երի դասավորման խնդրի լուծմանը: Քանի որ Բին աղյուսակի թուլլատրելի վանդակները մնում են թույլատրելի, ուստի օժանդակ խնդրի լուծման ալգորիթմը կարող ենք սկսել նախորդ քալլում դասավորված 1-երից (նկ. 4.28):

|

1/5

|ո

|»

|»

|«

Հ

|.

Ե:

.

:

մ

:

:

(3)

«

նկ. 4.27

1|

«|Ո)

|ո

.

|

5,

լ Հ

|

Օ) «|

:

:

:

:

3:

|ո

|»

.

Հ

|:

|.

«

Հ

|»

|»

.

|

Ը)

:

"

նկ. 4.28

Նշված միակ՝ երրորդ տողի դիտարկումից ճետո նշվում են առաջին ն երկրորդ սյուները, որոնց դիտարկումից Բետո՝ առաջին ն երկրորդ տողերը: Այդ տողերը դիտարկելիս սյուն չի նշվում, ն օժանդակ խնդրի լուծման ալգորիթմն աշխատանքն ավարտում է՝ ստացված դասավորությունը լավագույնն է պատասխանով: Դասավորված 1-երի քանակը փոքրԷ 6-ից, ն անցնում ենք նոր՝ 4(4) աղյուսակի կառուցմանը ն նրանում առավելագույն թվով 1-երի դասավորման խնդրի լուծմանը: Երրորդ տողը դիտարկելիս նշվում են առաջին ն երկրորդ սյուները: Այդ սյուները դիտարկելիս նշվում են. առաջին ն երկրորդ տողերը, երկրորդ տողը դիտարկվելուց նշվում Է երրորդ սյունը, որի դիտարկումից՝ վեցերորդ տողը: Շարունակելով գործընթացը՝ կստանանք նկ. 4.29-ում պատկերված աղլուսակը:

11» |

|է |

ո

:

ո

.

|»

Ճ

Ճ

|.

|

|»

Ց

3)

(3)

|1

.

(0. (60

()

(4)

(5)

|» | ո|

1|)»2

| (1)

լ

|

Օ)

| (3)

`

`

Հ

|»

.

ճ

|ջ

լ

|.

:

0)

նկ. 4.30 Է չպարունակող վեցերորդ Զորրորդ տողը դիտարկելիս նշվում սյունը: Կատարվում Է 8 գործողությունը, որի արդյունքում (2.3), (3,1), (6.4) ն (4,6) վանդակներում ավելանում Է 1. իսկ (2,1), (6,3) ն (4,4)

նկ. 4.29

վանդակներում գրված 1-երը ջնջվում են: Արդյունքում ստացված աղլուսակում դասավորված Է 6 ճատ անկախ 1 (նկ. 4.30): Հետնաբար, (անլկշ),(աշ.կ3), (ա3,կ1), (աձ,կծ), (ա5,կ5), (ած,կ4) բաշխումը, որի դեպքում ճոսքագծի արտադրողականությունը4 է,

լավագույնն Է:

97. Տրանսպորտային խնդիր Վերճիշենք առաջին գլխում սաճմանված տրանսպորտալին խնդրի մաթեմատիկականմոդելը: «ո ոչ բացասականթվերը ն րված են լ,0չ»...0յդտել»Եշ»....5ղ կարգի

(ճյ)

ոչ

բացասականտարրերով մատրիցը:

Անճրաժեշտ Է գտնել ո, որ

բավարարվեն

Ֆլ

յ"

եմ

Ֆլ

ւ-1

4ՀՆ2....."

Տ,

-

է,

»

յ

-

Ն2,....8

(1Հ1ՀոԼՀյՀՏո)

թվեր այնպես,

ո

Պտ

անճավասարությունները, ն 2 7»յօ

ց

արտաճալտությունը

ստանա

իր նվազագույն արժեքը: րանսպորտային խնդիրը ԳԾ խնդիր Է, որի ճամապատասխան « ուտ (ոՀ ո) կարգի մատրիցի տարրերը 0, 1 ն -1 են)Օգտագործելով նրա պարզագույն տեսքը՝ լուծման Բամար կառաջարկենք մի պարզ ն արդլունավետ ալգորիթմ: Հեշտ Է նկատել, որ սպառողների պաճանջարկը կարելի Է բավարարել եթե ն միայն եթե ամբողջ արտադրանքի քանակը փոքր չէ բոլոր պաճանջարկների գումարից՝

2Լ-

1-1

:

)-1

Մենք կենթադրենք, բավարարում

»:գ,

են

-

ւ-1

ծ,

ԵլչԵշ,...»5ղ

ն

լ,42»...,4,

որ

թվերը

պայմանին, ամբողջ արտադրանքի

յ-1

քանակը ձավասար Է ընդճանուր պաճանջարկի քանակին: Դրանով ընդճանրութլունը չենք խախտի. եթե արտադրանքի քանակը մեծ Է պաճանջարկից, ապա կարող ենք ենթադրել, որ կա (ոՀ1)-րդ

սպառողը,

27,4-չ,ծյ յ1

որին

ավելցուկը կտրամադրվի

1-1

առանց տրանսպորտալին ծախսերի:

Ենթադրենք նան,

որ

ն բացասական թվեր են (6,»5,չ6յ) տրանսպորտային

ծ,

ճ,,

բոլոր

ն

6,

թվերը ամբողջ

անվանենք ձնակերպված խնդիրը

խնդիր», կազմել

ն ճամոզվել, Ընթերցողին առաջարկում են երկակին ճետնյալ խնդիրն է. (6.,5,չ6յ) տրանսպորտային խնդրի

որ

Գտնել Օլչ2շ»....:ո:/լ:/12»::::0, բավարարվեն

ՇԱ փ

ոչ

ոչ

որ

բացասական թվեր այնպես,

ՏՕյ15:5Տո15ՏյՏո

անճավասարությլունները ն -

ւ-1

ճ.գ.Դ 2. 8.է, յ-1

արտաճալտությլունը ստանա

իր առավելագույն արժեքը:

Ծրկակի

խնդիրն ունի ճետաքրքիր մեկնաբանություն, որի նկարագրման ճամար նորից ձնակերպենք տրանսպորտային խնդիրը: Ձեոնարկությունն ունի որնէ արտադրանքի ՍԽ արտադրողներ ն ալդ արտադրանքն օգտագործող ոռ սպառողներ: Հայտնի է, թե միավոր ժամանակում նրանցից լուրաքանչյուրն ինչքան Է արտադրում կամ օգտագործում: Արտադրանքը արտադրողից սպառողին տեղափոխման ճամար ձեռնարկությունն օգտվում Է 7, տրանսպորտային ձեռնարկության ծառալությունից. վճարելով «-Ը,

տադրանքից յ

սպառողին

գումար

Է -րդ

ար-

քանակի արտադրանք տեղափոխելիս: Անճրաժեշտ թե որ արտադրողից ինչքան պետք է ամեն տրամադրվի մի սպառողի, որպեսզի լուրաքանչյուր սպառող ստանա իրեն անձրաժեշտ քանակի արտադրանքը, լուրաքանչյուր արտադրողից վերցված արտադրանքի քանակը շատ չլինի իր արտադրածից ն տրանսպորտային ծախսերը լինեն նվազագույնը: -րդ

։«

Է որոշել,

Ենթադրենք,

տրանսպորտային ձեռնարկություն, որը նոր եղանակով Է կազմակերպում արտադրողից սպառողին արտադրանքի տեղափոխումը: Նլ-ն առաջարկում է գնել ողջ արտադրանքը արտադրողներից, ն տեղափոխել իր միջոցներով վեիավաճառել սպառողներին՝ ապաճովելով նրանց պաճանջարկը: Նա առաջարկում Է նան 1-րդ արտադրողից միավոր արտադրանքի գնման Օ, ն յ-րդ սպառողին նրա

որ

վերավաճառման

ԲայտնվելՍրԷ նոր

Թ, գներն այնպես,

իր նպատակաձարմար (լինի օգտվելու Նախկինում միավոր արտադրանքը 1-րդ

որ

ձեռնարկությանը

ծառայություններից: արտադրողից 7-րդ

սպառողին տեղափոխելուց ձեռնարկությունը ծախսում Էր «յ գումար, իսկ 7լ ձեռնարկության

դիմելիս՝ ծառայությանը

-.Է/,:

Այսպիսով, երկակի խնդրի սաճմանափակումները նշանակում

են, որ ձեռնարկությունը չի տուժի արտադրանքի տեղափոխումը նոր

եղանակով կազմակերպելուց:

տրանսպորտային Մլոս կողմից,։ բնական` Է նան ձեռնարկության նպատակը. առավելագույնի ճասցնել իր շաճույթը՝

3-89),երկակի խնդրի նպատակայինֆունկցիան: -ջոռտ: :

/-

Հիշենք ճալտանիշը.

այդ

խնդիրների

զովգի

ճամար

օպտիմալության

եթե

1ՀՀՀԹ,

«յ,

15ՏյՏռ

բաղադրիչներով

վեկտորը

տրանսպորտայինխնդրի լուծում Է, իսկ (ճլչՕ2շ»...».ռ»/1»/2»---58,.)-ն՝ երկակի խնդրի լուծում, ապա նրանք կլինեն ճամապատասխան խնդիրների լավագուլն լուծումը, եթե ն միալն եթե բավարարվում են Բետնյալ պայմանները (: Ն2,...,7ո). Ն2....,78: յ Հ

ա) եթե -Օլ

բ)եթե գ) եթե

Ի

տյ

թյ

Հճ»

ՀՃլչ

)-1

չ

յ

ապա

ապա

Ել

»

1Հ-

Հ-

ապա

Հ0,

«-0,

8,

-0:

Մեր ենթադրության ճամաձալյն 5»:գ, 1-1

-

73, ,

ն

յ-1

ճեշտ Է նկատել,

տրանսպորտային խնդրի ն նրա երկակի խնդրի ցանակցած լուծումներ բավարարում են օպտիմալության ճալտանիշի բ) ն գ) պայմաններին: Իսկ օպտիմալության ճայտանիշի ա) պայմանը խնդրի լուծման կօգտագործենք տրանսպորտային Էապես առաջարկվող ալգորիթմում: որ

(ալճշչ-..»Օոք:12»--.»8ո)

Դիցուք`

ցվեկտորը

(աչչծյչ6չ)

տրանսպորտային խնդրի երկակի խնդրի որնէ լուծում Է: Դիտարկենք ճետնյալ խնդիրը: 1Հ5:Հա, 15ՏյՏռ թվեր այնպես, Գտնել /,Հ0,

որ

բավարարվեն

Ֆ 7, Հճ...

Ն2...չո

7-1

ւ-1

եթե

-.Զ,

7,

Տ

Ե,

ԷԹ, ՀՇյչ

պայմանները,

Տ

Ն2,...,Դ

/-0

ապա

նեն

7»

ո

Ֆֆ՛ր/,

4-1յ-1

արտաճայտություն

ստանա

իր

առավելագույն արժեքը: Այս խնդիրն անվանենք (4.,/8,) օժանդակխնդիր:

Հեշտ

Է տեսնել,

(յ)

որ

-ՕւԻՀք,Հյ

«ԷՀ»

ենթադրության

դեպքում ալն մեր կողմից արդեն քննարկված օժանդակ խնդիրն է.

(4

:425--:28որել:Ծշ»...»ծլ)սաճմանափակումներինբավարարող ալն

աղյուսակի գտնելն է, Է: գումարը ամենամեծն

որի վանդակներում գրված

բոլոր

թվերի

Տրանսպորտալին խնդրի` այլն Էապես տարբերվում է ն սաճմանափակումներով ն նպատակային ֆունկցիայի տեսքով: Սակալն, ճեշտ Է ստուգել, որ եթե նրա լուծումը բավարարում է տրանսպորտային խնդրի սաճմանափակումներին, ապա (45,6) այլն տրանսպորտային խնդրի լավագույն լուծում է: Այդ փաստը կօգտագործենք ալգորիթմի աշխատանքի ավարտի պահը որոշելու ճամար:

(աչծյ,6յ)

տրանսպորտային

խնդրի

լուծման

ալգորիթմի

նկարագիրը. 4-ին քայլ. դիտարկում ենք տրանսպորտային խնդրին երկակի խնդրի որնէ լուծում. օրինակ Գ

-0,

1Հ172.....ո:

ք

2-րդ քայլ. կազմում ենք

Հ

ալդ

ոոճ,,

12«4Հ

յՀՆ2....,ո:

լուծման ճամապատասխան(0,»/,)

օժանդակ խնդիրը ն ալն լուծում արդեն շարադրված օժանդակ խնդրի լուծման ալգորիթմով: լուծումը 3-րդ քայլ. եթե ստացված /,1ՀՄՀաԼՀյՏո) տ

բավարարում է5:

ո

Է-1)-1

ե)

-ֆ.օ։ պայմանին, ալգորիթմն ավարտում

է

1-1

9ստացված- լուծումը՝ Օ։`տրանսպորտային (խնդրի աշխատանքը. Է ճակառակ դեպքում՝ մապրաատասխանով, լուծումն լավագույն կատարվում Է 4-րդ քայլը: 4-րդ քայլ. կատարվում Է ՇԸ գործողությունը, որի արդլունքում ստացվում Է տրանսպորտային խնդրին երկակի խնդրի նոր լուծում ն անցնում 2-րդ քալլին: Այժմ նկարագրեն, ՇԸ գործողությունը ն ցույց տանք, որ ալգորիթմն իրոք գտնում Է վերջավոր թվով քայլերից ճետո տրանսպորտային խնդրի լավագույն լուծումը: օժանդակ խնդիրների լուծման Տրանսպորտային ն է, որ Շ գործողությունն ալգորիթմենրի նկարագրումից ճետնում սկսվում Է, երբ դիտարկված աղյուսակի թույլատրելի վանդակներում Գրված ր/,. թվերին ճամապատասխան՝ կատարվել Է 14 '

ԼԼ ղ Վ ոսօւս1

վմնդո| վղտկմղ

մ-

(զ:

"2:

2Յօ)

մս

վցոմ

'մսմվ

:Վ ուսօւս1 վմնցոլ վղվողմղցվմնցոլ ցվրռտմսոոցոմտ

(2: գ"

5)

մմստղղի ցողտոռճոմ

Հս

Չոծւսնող

մս

չրածողն ղոսողույ

'մցոտ ծնսց

«9 Ի

«Ր» (մզ

ԿՊաժողն ղոտսողոյ «2-:2| 15 ւղղ

Հ

վտուս ող վլղմտոլնսձ/

(Ր»5Ռ5

ռվյտրոռ

մմղդղտոնցտի նսմոմտիոմ

(/-ա»Թ) պա

-ջ

։(Անստ նմ-:

5-2

«րւսմողն ղտստկոց)

րասմողն ղոստկոս)

0-47

տխոտ

'վմղնստ

մղոնցտռի (Ռո) տոտ

ոտիշդ4

(դ

Ղ

:22Յշ)

ճցղցորյոր մղիշռկ րւսնոմ

1-7

զժղ (Ե

«լ»:

ա

մղիշդղ ովլղիղմոտվն մ՛ումմո /»/Ղ

տոտ

մղիշռկ ռվլղղմոռտվնմնստ Հս

ք

42Յռ) մռղ61սսուլ

նղտմս «Ամստկղի (219: :0 Հս

2"

29: կով "Վ ռրւսօւսլ վմնցոլ վղողմղ մմստկղի («ք մս

:միվմ

վյոժ

ցվծոսո

«Անստ նմ-, նմ-/

«(մռւսո նմ-/ Վ վղմտոլնսմ

-Ամղդցտր1տի1Լուղտղսօղ -ԱՉմսԵ 7 մս «ղոք Ղ րսղտղց

ղմղ (4

15:

նմ-

«Ր5/Ր

րմսմոռղնղտսողուվ) զմղ (տ

5:

ղ

վստ 1սլղիոո ըւսիմոմոիում

ռուս թիսն

ծվրւսմեռմողց վրմվմսելո օոռիշՂ

:1 991աիսրետմ վմղուսքոցռիՀռ4 (Վա

կով

վա"՞"«Դ-7

"24)-Ր

'«ԱՀցղմնոմըող

մս

վմղդւսմո

:մդւսօիսրեռմ օտիկղմոտվնղ ՉՌռիՀց կով 'վմղնստ օտիղվմտտվնղ օոռիշը Յողկտդոծը իս-/

փս-Ր

15Ռ-

լ"

«Յ-

լռ

կով»

47՛Հ

մտորոյ վմս «ռւսէո1զիշց

վՀ ղ'ռղ 1զիղմտտվն մմղցւս1ո ղ Ամղնստ օոռիծց մս1սմ "ԱդԼոլօրսնսջմսԵ

ուստի

եթե «1նյ Շ-Մկամ:«1ն/«7 -զՅՀԹԾ, -ՕՀՍ-1-զ Էր-ծ, եթեւօնյ«մ -Օլ Ի Էծ, եթեւճ:1ն/6Մ, -Օլ Թ, ՀճՇյ պայմանը բավարարվում Է բոլոր : Ն2....,ո -

7-Ն2.....ո

արժեքների դեպքում (է օ1,

իսկ

7-7

ն

դեպքում նշված

անճավասարությունը բավարարված Է ծ -ի սաճմանման Շ

Բամաձանն): նկարագիրը. վերը նշվածի համաձայն կառուցվում երկակի խնդրի նոր լուծում՝

գործողության

որոշվում

է

ծ

թիվը,

ն

(.լչ02»....0:Թ8:2....8.): Ապացուցեն, որ առաջարկված ալգորիթմը գտնում է տրանսպորտային խնդրի լավագույն լուծումը: Նախ, պարզ Է, որ ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում Ց գործողությունը

կարող

Է

անգամ (ամեն անգամ

կատարվել

ամենաշատը գլ

կատարելիս

8-ն

արժեքն ավելանում Է առնվազն 1-ով):

27.»/,

Մեր ենթադրության համաձայն 4,,5,չ6, 1Հ.,յ Հո)

ամբողջ,

սաճմանված

ծ-ն

ոչ

բացասական են

ն

եթե

Է

ճչՀ...Է4,

արտաճայտության

թվերը

(15:Հոյ

Օ.,/2, ամբողջ

կլինի ամբողջ դրական թիվ, ճետնաբար,

թվերը նուլնպես կլինեն ամբողջ, ոչ բացասական: Հաշվենք երկակի խնդրի նպատակային ֆունկցիայի

փոփոխությունը

1-1

շ«-

7-1

ՕԹ,

արժեքի

Օչ»/, լուծումից Օլ:8յ լուծմանն անցնելիս.

:-1

Հեշտ Է նկատել, որ

են, ապա

161)օ7

յ-1

«7

13)

ՀՀԵ» ն

ճետնաբար, Ը գործողության արդյունքում երկակի խնդրի նպատակային ֆունկցիայի արժեքը ավելանում Է առնվազն 1-ով: Քանի որ ալն վերնից սաճմանափակ Է, ուստի վերջավոր թվով քալլերից ճետո ալգորիթմըաշխատանքը կավարտի երրորդ քայլում գտնելով 2.2. 7, -3,օ։ պայմանին բավարարո /չ թվերը: Ակնձայտ Է, որ դրանք կլինեն տրանսպորտային

(4,,ծ,»6)

խնդրի լավագույն

| ոժումբ

Տ8. Նշանակուսների խնդիր Առաջին գլխում ձնակերպել ենք նշանակումների խնդիրը: ո աշխատատեղեր ն ո աշխատողներ, ն տրված է ոչո /(Ուճենք կարգի ոչ բացասական տարրերով (Ձ..,) մատրիցը, որտեղ «յ-ն րդ

աշխատողի

արդլունավետություն

Է

/-րդ

աշխատատեղում:

Անճրաժեշտ Է ամեն մի աշխատողի հանձնարարելմեկ աշխատանք՝ յուրաքանչյուր աշխատանք ճանձնարարելով մեկ աշխատողի ն ալնպես, որ աշխատողների արդյունավետությունների գումարը լինի առավելագույնը: Կամ, որ նույնն է, անճրաժեշտ Է գտնել Ն2....,ո տարրերի այնպիսի

տեղադրություն, որի համար Օլ)

Ւ շո) Ւ

Վ...Օդո(ո) Գումարն ընդունում է իր առավելագույն արժեքը:

Ենթադրենք,

որ

..-ները

ամբողջ թվեր

են

ն

ցույց

տանք,

որ

է նշանակումների խնդիր՝ Նանգոմ արդեն քննարկված տրանսպորտային խնդրի լուծմանը, Բետնաբար, ալն գտնելու ճամար օգտագործենք տրասնպորտային խնդրի լուծման ալգորիթմը: Ն,2,....ռ ճամապատասխանեցտարրերի 2, տեղադրություն

նեն,

0,

տարրերից,

ռ«ոտ

կարգի

(ոյ),

այսպես կոչված.

տեղադրության մատրիցը, որտեղ

Ս

1, եթե 2(1)- յ, 0, Բակառակ դեպքում:

կարգի Նկատենք, որ ստացված 0, 1 տարրերից ո«ռ տեղադրության մատրիցի յուրաքանչյուր տող ն լուրաքանչյուր սյուն պարունակում Է ճիշտ մեկ ճատ 1 ն այս պալմանին բավարարող յուրաքանչյուր մատրից ճամապատասխանում Է տարրերի որնէ Ն2.....ո տեղադրության: Նշանակումների խնդիրը կարելի է ձնակերպել ճետնյալ կերպ. ն ամբողջ Տրված է ո«ո կարգի (այ) մատրիցը, որտեղ Օյ 0 թվեր

են:

Անճրաժեշտ Է գտնել

կարգի այնպիսի

ո«ռ

տեղադրության մատրից, որի համար 2.

22»,

ւ17-1

(յ)

արտաճքալտությունն

ընդունում Է իր ամենամեծ արժեքը: Կամ, որ նույնն Է, անճրաժեշտ Է գտնել 2», Հ10,1) թվեր այնպես, որ բավարարվեն

Ֆո,

1, :-

-

12.....ո

1-1

Հյ

1, 7

Տ

ւ-1

7 ֆայ,

ն

Տ

Ն2.....ո

արտաճայտությունն

-17-1

իր ամենամեծ

ստանա

արժեքը:

Այս ձնակերպումով նշանակումների խնդիրը տարբերվում Է տրանսպորտային խնդրից. սաճամանափակումներըպարունակում են կամ 1 պալմաններով ն նպատակային ֆունկցիայի նշանը, «յ -0 -

արժեքը գտնելու պաճանջով (տրանսպորտային խնդրում պաճանջվում էր գտնել նպատակային ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը): ն թվերը Սաճմանենք 41 տ ոու 0, յ Շ-1/-ճյ ամենամեծ

-

1ՀՅՀո1ՀյՀո

ՂՀԼՀԽԼՀՀո)::

Դիտարկենք ճետնլալ տրանսպորտային խնդիրը.

Գտնել

«,Հ0

թվերն այնպես,

որ

բավարարվեն

ո

"

ւՀ

ԵԽՀՆԼ :-1

Ն2,....ո,

չո,

յՀ-Ն2,....ո

պայմանները,

ն

Հ1,

)-1

ո

7.7ռյոյ

ւ-1)51

արտաքալտությունը ստանա իր ամենամեծ արժեքը: Այս տրանսպորտային խնդրի ճամար առաջարկված ալգորիթմը գտնում Է «չ, լավագուլն լուծումը, ընդ որում չ, թվերը ամբողջ են ն, ճետնաբար, Դ

կամ

1 են:

Խնդրի սաճմանափակումներիցբխում Է,

որ

ո

5 Ֆ»յ

նԱճետնաբար »., թվերը բավարարում են

Հո

121751

Ֆո

-1,

է-

յ

-1,

7ՀՆշ,...չո

12,...,ո

է-1

)-1

6տսաճմանափակումներին:Քանի խնդրի նշանակումնրի բազմությունն ընկած նշանակումների խնդրի լուծումնեի տրանսպորտալին խնդրի լուծումների բազմության մեջ ն

որ

Է

շշ

ոյօյ

-

ո-11-

:51)»1

5,

յյ»

չ-17-1

ուստի «չ թվերը նշանակումների խնդրի լավագույն լուծումն

են:)

59. Ամբողջաթիվ գծային ծրագրման խնդիրներ Դիտարկենք

ԳԾ

խնդիրներ,

որոնցում

փոփոխականները

բավարարում են լրացուցիչ պալմանի՝ ընդունում են ամբողջաթիվ արժեքներ: Այդպիսի խնդիրներն անվանենք ամբողջաթիվ գծային ծրագրման (ԱԳԾ) խնդիրներ: Այսպես, օրինակ, սովորական տեսքի մաքսիմացման ԱԳԾ

խնդիրը ճետնյալն Է. ՃՇ

-

ոու,

42Հե, ն 5-ը ամբողջաթիվ վեկտոր Է (նրա ամբողջ թվեր են): »Հ0

բոլոր

բաղադրիչները

Ակնճայտ Է, որ եթե ԱԳԾ խնդրի ճամապատասխանԳԾ խնդրի որնէ լավագույն լուծում ամբողջաթիվ վեկտոր Է, ապա ալն կճանդիսանա լավագույն լուծում նան ԱԳԾ խնդրի ճամար: Այդպիսի իրավիճակների մենք ճանդիպել ենք 84-ում նկարագրված ալգորիթմի գտած մաքսիմալ մեծությամբ ճոսքը ամբողջաթիվ էր, տրանսպորտային խնդիրը լուծելիս ստանում Էինք ամբողջաթիվ լավագույն լուծում: Սակալն միշտ չէ, որ լավագույն լուծումների մեջ կա ամբողջաթիվը: Կան ԳԾ խնդիրներ, որոնք ունեն լավագույն լուծում, ԱԳԾ խնդիրը թուլլատրելի լուծում չունի: իսկ ճձճամապատասխան Օրինակ. դիտարկենք կանոնական տեսքի ԳԾ խնդիրը.

ՀՅոլ Նշ ոու, Հ1, -Ջշ ԻՎՅոլ ՎՅոլ -

-»

(ճլո52»:53)20: Հեշտ Է նկատել, որ 1 է, ն խնդրի արժեք

նպատակային ֆունկցիայի լավագույն լուծումների բազմությունը

լավագույն

է: Անմիջականորեն ստուգվում է, որ 0օ)143,6.0)/օՀ0) ՀՅոլ-ռշ ԻՎՅոլ1 ճավասարումը ոչ բացասական ամբողջաթիվ

«14

կանոնական տեսքի ԱԳՄԾ լուծում չունի, իսկ Բամապատասխան խնդիրը չունի թույլատրելի լուծում:

Կան նան ԳԾ խնդիրներ, որոնց ն ճամապատասխան ԱԳԾ խնդիրների լավագուլն լուծումներն իրարից բավականաչափճեոռու են: Դիտարկենք սովորական տեսքի ԳԾ խնդիր. լ

-»

Ճշ

ՈՅ,

Բ:

Զո Հ1)յդլ 0, 2ո»շ (25 1)ոլ Հ 2շո,, (Կլ»2:2)Հ 0: Նկ. 4.31-ում պատկերված Է ալդ խնդրի թուլլատրելի լուծումների բազմությունը ո-3 դեպքում: (ո,ո-Է0,5 կետը խնդրի լավագույն ԱԳԾ լուծումն է: Համապատասխան խնդիրն ունի թույլատրելի երկու լուծում՝ (0,0) ն (0,1), ն պարզ է, որ նրա լավագուլն լուծումը (0,1)-ն Է: դ-ը կարելի Է ընտրել այնպես, որ ալդ լուծումների տարբերությունը դառնա նախորոք տրված ցանկացած թվից մեծ: -

-

ԳԾ

խնդրի

Լավագույն լուծումը

ԱԳԾ խնդրի լավագույն լուծումը

նկ.4.31

են

ԱԳԾ խնդիրներն Էապես դժվար են ճամապատասխան ԳԾ խնդիրներից, ն նրանց լուծման արդլունավետ ալգորիթմ չկա, ն, ճավանաբար, անճնար Է ալդպիսի ալգորիթմի կառուցումը: Սակալն ԱԳԾ խնդիրների որոշակի դասերի ճամար կան արդյունավետ ալգորիթմներ: Ստորն նկարագրենք դրանցից երկուսը: Հատումների եղանակ ԱԳԾ խնդիրը լուծելու ճամար կազմվում

լուծվում Է ԳԾ խնդիրների խջչխլ,խշչ,... Բաջորդականությունը, մինչն ճերթական լուծած ԳԾ խնդրի լուծումը լինի ամբողջաթիվ վեկտոր: խց-ն ԱԳԾ խնդրի ճամապատասխանԳԾ խնդիրն Է: Եթե 7-րդ խնդրի լավագուլն լուծումը ամբողջաթիվ վեկտոր Է, ապա այն կլինի ԱԳԾ խնդրի լավագույն լուծում: Եթե նրա լուծումը ամբողջաթիվ ն

վեկտոր չէ,

ապա

կազմվում Է նոր ԳԾ խնդիր՝ խ,,լ: Այն ստացվում Է

խ,-ի սաճմանափակումներին մեկ սաճմանափակում ավելացնելով: Ալդ սաճմանափակումըընտրվում Է ալնպես, որ խյ-ի ճամար սիմպլեքս ալգորիթմի միջոցով գտած լավա»

»

գույն լուծումը չի բավարարում ալդ սաճմանափակմանը, ԱԳԾ խնդրի բոլոր թույլատրելի լուծումները բավարարում

են

այդ սաճմանափակմանը: Պարզ Է, որ ավելացվող սաճմանափակման ընտրման եղանակը կբնորոշի ԳԾ խնդիրների խցչխլչխշշ... ճաջորդականությունը: Կան սաճմանափակումների ավելացման տարբեր եղանակներ: Քննարկենք պարզագույնը, որն առաջարկվել Է Հոմորիի կողմից: Դիտարկենք կանոնականտեսքի մաքսիմացման ԱԳԾ խնդիրը.

ՃՇ

Ոճւ,

-»

(.-Հ

Ե,

ՃՀ-0ն 5-ըամբողջաթիվ վեկտոր Է: Ենթադրենք, որ Շ -ն ամբողջաթիվ վեկտոր Է, ն ճամապատասխան ԳԾ խնդրի թույլատրելի լուծումների բազմությունը սաճմանափակԷ: Դիցուք՝ ԱԳԾ խնդրին ճամապատասխանԳԾ խնդիրը սիմպլեքս Է ալգորիթմով լուծելիս ստացվլ ։, վեկտորներից կախված 8 ՇԱՆ2.....ո) ճենքալին լավագույն լուծումը, որն ամբողջաթիվ չէ: Դիտարկենք ալգորիթմի ավարտի պաճին սիմպլեքս աղյուսակը՝ (Ն2....,ո): պարզության ճամար ենթադրելով, որ 8 Հ

Ե

2:

Ճլօ

ՕՏ

Նշօ

օ

Հ

ոց

ձց

ձլ

9.-

ջ"1

Ճլոււ

Ղշու1

լ

ճու

9...

Ճշ

Սիմպլեքս

Զ"

ալգորիթմի

-

ց,

եր

շո »,ո

Ր"

ձղ

աշխատանքի նկարագրի ճամաձայն

ալգորիթմի գտած լավագույն լուծումը որտեղ .«

Ճլո

ՅՑ"

Ճո:

Ճո

զ

ն

չ,

Հ-0,

(61,522...) երբ 1248:

ամբողջաթիվ չԷ, ուստի գոյություն կունենա

վեկտորն է,

Քանի այնպես,

որ որ

այն

»չ -ը

ամբողջ թիվ չԷ:

Որպես նոր սաճմանափակում վերցվում Է » Է, եջ Հ 1».,ն «8

անճավասարումը, որտեղ |գ)-ով նշանակված է մասը:

Դժվար չԷ ճամոզվել. այդ

որ

անճավասարությանը:

թվի կոտորակային

գ

(Կլ»2»...251) վեկտորը չի բավարարում

Ապացուցված է (տես, |5թ,, որ ԱԳԾ խնդրի ցանկացած թուլլատրելի լուծում բավարարում Է այդ սաճմանափակմանը, ն նշված եղանակով սահմանափակումներ ավելացնելու դեպքում վերջավոր թվով խնդիրներ լուծելուց անպայման խց,խլչխչ,... կստանանք ԱԳԾ խնդրի լավագովն լուծումը: Քննարկենք նշված եղանակը պարզաբանող օրինակ. ճ-ՀՅ:-»աոու.

4:

Հ

-Ճլ

3ոչՀ12

ԷՒ» Հ0

Հ0 ն ամբողջաթիվ Է: (Խլ»5Ճ2) ԱԳԾ կազմենք նշվա խնդրին կանոնական տեսքի ԳԾ խնդիրը՝ խց-ն.

60Ճամապատասխանող

5շ-» տու, 4ել 3 -

Էյ Էգ

ել Իշ

(լ25Ճ2:5ՃԽ39:2:գ)Հ0: Երրորդ գլխում նկարագրված սիմպլեքս ալգորիթմի միջոցով լուծենք այս խնդիրը (աղչուսակ 1-ը ն 2-ը ճամապատասխանում են ալգորիթմի սկզբին ն ավաիտին): 12 | 4 0 | 1

լ

լ

-

աղլուսակ 1

12/7 12/7 12/7

յ

լ

յյ7

աղյուսակ 2

խց-ի լավագույն լուծումը՝ (12/7,12/7,0,0)-ն ամբողջաթիվ չէ:

խց-ին ավելացնում ենք նոր սաճմանափակում (աղյուսակ 2-ի երկրորդ տողին ճամապատասխանող).

ՄԻ:ԵԻԿ Հ Է

կամ, որ նույնն Է

Է4»լ

5:

ՀՏ:

Պարզ Էէ, Ճ:

Ի4լ

«չ«

-

-

որ

խց-ին պետք

Բավասարումը (չչ

Է

ավելացնենք նրան ճամարժեք Հ

0):

Կազմումն լուծում ենք խլ-ը.

-»

5Ճշ

ու,

4»: Է3շչԷէ»

-աելԷԷ

«12

ՃՎ4»:-».-Տ (թլ9:52::Խ3::Ճ::Ճ9)20: Այս խնդիրը լուծելուց ստանում ենք լավագույն (9/4,1,0,5/4,0) ն նրան ճամապատասխանողաղյուսակ 3-ը: 9/4

լ

Լ/4

լուծումը՝

-3/28

լ

1/7

5/4

1/4

լ

-1/4

1/7

13/4

աղյուսակ 3

Քանի

ստացված լուծումը ամբողջաթիվ չէ, ուստի խլ-ին

որ

ավելացնենք նոր սաճմանափակում երրորդ տողին ձճամապատասխանող.

ԱՀԸ որը

ալ

Հ

3ու

-

այս

անգամ աղյուսակ

3-ի

20.

անճավասարումն Է:

Կազմումն լուծում ենք խշ-ը. ճլ Էշ

4լ -

ել

-»

ու,

Էէ3ոչ Էլ փչԷ

»չՀ4»:.-"-Տ ՃլԻ3ու-"Ճ-Ն

Հ12, -0,

»

(.լ:527::539244 55556)5 0:

Այս

ենք լավագույն լուծումը՝ լուծելուց ստանում Այն ամբողջաթիվէ ն մեր ԱԳՄ խնդրի լավագույն

խնդիրը

(2,1,1,1,0,0): լուծումն Է:

ԱԳԾ ն խնդր լուման 6`առաջարկված ալգորիթմը ունն սաճմանափակումերն շատ պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն: Նկարագրելու ճամար նկատենք, որ առաջին սաճմանափակումից՝ »յԺ4ձռոՀ5 ն »5Հ12--4"պ-3ռ.

ԿՀՊՃԽ-Հշ

առնչություններից

Է, որ աչ Հ1:

ճետնում

Այսպիսով, որպես առաջին սաճմանափակում վերցնել «ճշ Հ1 անճավասարությունը: Երկրորդ`

Ճչ-ի,

»«լչլի

Հ

յ

3աչ Հ1

կարելի Է ներկալացնել

Հլ

Հ

ենք

սաճմանափակման մեջ տեղադրելով

ա-Պլէ4ալԷէՏ

ն

կարող

արժեքները կստանանք, ՀՏ

որ

ալն

տեսքով:

Դիտարկենք ՃլՕՃչ ճարթության այն կետերի բազմությունը, որոնք բավարարում են ԱԳԾ-ի սաճմանափակումներին՝ ԳոլԷ 3:

Ալն

Օ48

Հ

-ալՒաչՀ0,

12.

պՀ0,

»չՀ0:

եռանկյան ամբողջաթիվ կետերի բազմությունն Է (նկ.

4.32): ՀամապատասխանԳԾ խնդրի լուծումը

ամբողջաթիվ չէ.

ն

,շ

Հ

կետն Է: Ալն

անճավասարության միջոցով կատարվում

Է թուլլատրելի լուծումների բազմության առաջին ճատումը (նկ. 4.32):

Այժմ

արդեն

անձրաժեշտ

առավելագուլն արժեքը Օ44չ8

գտնել

Է

բազմության վրա: Այն /1(9/41)

կետում ֆունկցիայի արժեքն է: Քանի

որ

ուստի ավելացվում Է երկրորդ՝ ալ Ժ6»չ

խնդիրը ճանգում Է Օ4/4148

ֆունկցիայի

»չ

/լ-ը ՀՏ

նս

ամբողջաթիվ չէ,

սաճմանափակումը,

բազմության վրա

:չ

ֆունկցիայի

առավելագույն արժեքի գտնելուն: Ալգորիթմի գտած 4 (2,1) ամբողջաթիվ Է լուծումն է:

ն

միաժամանակ դիտարկված ԱԳԾ

ն

կետը

խնդրի լավագուլն

Նշենք, որ նկարագրված ալգորիթմում ԱԳԾ խնդրի լուծման գործընթացում լուծվող ԳԾ խցչխլչխշ,... խնդիրների քանակը կարող է բավականաչափ շատ լինել: Դրանում կճամոզվեք, եթե փորձեք նպատակային լուծել վերը դիտարկված ԱԳԾ խնդիրը լ Հ »շ -» ոու ֆունկցիայի դեպքում:

7,

Ի, ՃՀ

Օ

նկ.4.32

ԱԼԷ4

Խ

Հր

գնահատման Դիսկրետ եղանակ: Օլուղավորման ն օպտիմացման խնդիրները լուծելիս ճաճախ օգտվում են ճետնյալ եղանակից. լուծվող խնդիրը "տրոճում" են ենթախնդիրների ալնպես. որ նրանցից ոմանց լուծումը քննարկվող խնդրի լուծումն է: Միաժամանակ, ենթախնդիրներին տրվում են "'գնաճատականներ", որոնք ցույց են տալիս, թե որքանով է ճեռանկարալին (բանական) ալդ ենթախնդրի ն քննարկվող խնդրի լուծումների ճամընկնումը: Երբեմն, լուծելով որոշ թվով ճեռանկարային խնդիրներ՝ ստանում են քննարկվող խնդրի պատասխանը: Պարզ է. որ ասվածը տեսակետ է դիսկրտ օպտիմացման խնդիրների լուծմսան ալգորիթմների Բուն ճամար: մշակման ալգորիթմը նկարագրելու ճամար անձրաժեշտ է ճստակ ձնակերպել| խնդրի "տրոճման". ենթախնդիրների 'գնաճատման", նրանց լուծման եղանակի ն Բաջորդականության ընտրման Բարցերի պատասխանները: Ստորն կնկարագրվի այդ գաղափարն օգտագործող ալգորիթմ՝ ԱԳԾ խնդրի լուծման ճամար: սովորական տեսքի Որոշակիության ճամար դիտարկեն, մաքսիմացման ԱԳԾ խնդիրը. ՃԲ

-»

ոու,

42Հե., Ճ

Հ

խով

նամբողջաթիվ վեկտոր է: նշանակեն

նրա ճամապատասխան ԳԾ

խնդիրը

ն

ենթադրենք, որ ալն ունի լավագույն լուծում: Նկատենք, որ եթե ալն ամբողջաթիվ վեկտոր է, ապա կճանդիսանա նան լավագույն լուծում ՍԳԾ

խնդրի ճամար: Այն դեպքում. երբ խց-ի լավագույն լուծումը

ամբողջաթիվ

վեկտոր չէ.

նրան ճամապատասխան

խ ց-ի արժեքը

կարելի Է ընդունել վերնից գնաճատական ԱԳԾ լուծման արժեքի ճամար. ալն չի կարող

մեծ

խնդրի լավագույն

լինել խց-ի լավագուլն

արժեքից:

Նշենք նան, որ ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում կազմում ն լուծվում են ԳԾ խնդիրներ, որոնցից լուրաքանչլուրում անպալման մասնակցում են 425ՀԵ. 5-0 սաճմանափակումներընէլի ինչ-որ լրացուցչներ: Ալգորիթմը նկարագրելիս մենք կնշենք միայն ալդ լրացուցիչ սաճմանափակումները: Օյուղավորման ն գնահատման ալգորիթմը: Քայլ 1: Ընդունել. որ հեռանկարային խնդիրների բազմությունը (խց) -ն է, հերթական դիտարկվող խնդիրը խց-ն Է,

լավագուլնին Բավակնող լուծումը որոշված չէն 4 --օ: Քայլ 2: Լուծել ճերթական դիտարկվող խնդիրը ն ալն ճանել ճեռանկարային խնդիրների բազմությունից: Եթե նրա լուծումը

ամբողջաթիվ է, հավակնող,

ն

արժեքը

հիշել

ճեռանկարայլին

այն.

մեծ

Է

նրա

խնդիրների

4-ից,

այն համարել լավագույնին

արժեքը

վերագրել

բազմությունից

դեն

49-ին, նետել

ն

ալն

խնդիրները, որոնց գնաճատականներըչեն գերազանցում 49-ին: Եթե

(2,32....:2)

նրա 9

-

որնէ

ամբողջաթիվ

ոչ

լրացուցիչ

դրանց

լուծումը ամբողջաթիվ չէ, ընտրել լուծման

.

կամ ՀԼ(ՐՀ|

մտցնել

բաղադրիչ, կազմել երկու ԳԾ խնդիրների

«Հ

լո

1-1

սաճմանափակումներով,

ճձեռանկարայլին խնդիրների

յուրաքանչյուրը 6... գնաճպտականով:

բազմության

ն

մեջ՝

Քայլ 3: Եթե Բեռանկարային խնդիրների բազմությունը դատարկ նրա որպես ճերթական դիտարկվող խնդիր վերցնել չէ խնդիրներից մեկը ն առավելագուն գնաճատական ունեցող վերադառնալ քալլ 2-ին: Եթե ճեռանկարային խնդիրների բազմություն, դատարկ է, ալգորիթմն ավարտում Է աշխատանքը՝ լավագույնին ճավակնող լոծումը ԱԳԾ խնդրի լուծումն Է պատասխանով:

7.

ՈՉ ԳԺԱՅԻՆ

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

իմանալըքիչ Է, պետք Է նան կիրառել: Ջգտելը քիչ Է, պետք Է նան գործել: Յո. Գյոթե

Ոչ գծային ծրագրման (ոչ

ԳԾ)

խնդիրները առաջացել են տնտեսագիտության(Բատկապես՝ միկրոտնտեսագիտության), կառավարման ն բնագիտության խնդիրներ ճետազոտելիս, ն այժմ ունեն լայն կիրառություններ նշված բնագավառներում:

ՏԼՈչ

գծային ծրագրման խնդրի առանձնաճատկությունները

Դիտարկենք, թե ինչպիսի առանձնաճատկություններ կարող են ճանդիպել ոչ գծային ծրագրման խնդրի լուծման ընթացքում: Նախ, ոչ ԳԾ խնդիրը ճամեմատենք ԳԾ խնդրի ճետ: Բնական Է կատարել ն նպատակային ֆունկցիանեի թուլատրելի լուծումների Տ ճամեմատում: տիրուլթը նկարագրող սաճմանափակումների ինչպես գիտենք, ԳԾ խնդրում նպատակայինֆունկցիան գծային ֆունկցիա Է, իսկ երկրաչափորեն դա նշանակում Է, որ, կախված տարածության չափից, մենք գործ կունենանք ուղիղ գծի, ճարթության կամ ճիպերճարթության ճետ: կետերի Տ բազմությունը, որ որոշվում է գծային սաճմանափակումների ճամակարգի լուծումների բազմությամբ, վերջավոր գագաթներով ուռուցիկ բազմություն Է: Վերջապես,ԳԾ խնդրի լավագույն լուծումը (եթե այն գոլություն ունի) փնտրվում Է Տ բազմության գագաթների մեջ, իսկ նպատակային ֆունկցիայի տեղային ն Բամապարփակ Էքստրեմումի արժեքները ճամընկնում են: Ոչ ԳԾ խնդրում, որի սաճմանափակումները ոչ են, թույլատրելի լուծումների Տ բազմությունը կարող է գծային ուռուցիկ չլինել. ավելին, նուլնիսկ ոչ մի գագաթ չունենալ: Օրինակ, դիտարկենք ոչ գծային սաճմանափակումներով որոշված ճետնլալ Տ բազմությունը. Խ(Կ»52)-»:-250, -45Ճ0, Խ(»Ճ)Հ

Խ(:շ)5-

Ճլ-0,

ռ-

ՑՀ(դ-2"

ոչ»0:

Հ 4,

մ

նկ. 5.1

նկ. 5.2

Ակնայտ է, որ ստացված Տ բազմությունը (նկ. 5.1ի ստվերագծված մասը) ուռուցիկ չէ: Այսպիսով. առաջին առանձնաճատկությլուն այն Է, որ թույլատրելի լուծումների բազմությունը կարող Է ունենալ ցանկացած կառուցվածք: Տ Մի ալլ օրինակ բազմությունը որոշված է ճետնյալ պալմաններով (տե'ս, նկ. 5.2)՝

Խ(պ:»2)5»:Ի53-4Հ0,

0, ՃչՀ0: Ճլ Զնայած որ սա ուռուցիկ բազմություն է, սակայն ունի անթիվ բազմությամբ գագաթներ: Հիշենք. որ սիմպլեքս՝ ալգորիթմը ճենքային լուծումների Է (դրանց քանակն (գագաթների) նպատակամետ ճամեմատում Է): Է, անպալման վերջավոր Պարզ որ անվերջ բազմությամբ ալդպիսի լուծումների դեպքում այս եղանակը կիրառելի չէ: Այսպիսով, երկրորդ է, որ դեպքում առանձնաճատկութուն այն ընդնանուր կետերի օպտիմալության հատկությամբ օժտված ենթադրվող Բամեմատումովոչ ԳԾ խնդիրը լուծել անհնար Է: Սակալն անձրաժեշտ Է նշել, որ երբ միայն նպատակային ֆունկցիան Է ոչ գծային, իսկ սաճմանափակումները գծային են, սիմպլեքս եղանակի ճիմնական սկզբունքները կարող են օգտակար լիճել, օրինակ՝ քառակուսալին ծրագրման խնդրի ճամար: Երրորդ առանձնաճատկություն՝ այն է, որ նպատակային ֆունկցիայի ոչ գծալնության պատճառով լավագույն լուծումը կարող Է լիճել ինչպես եզրային, ալնպես Էլ ներքին կետ: Օրինակ՝

7(Խ»5.) -10»լ

Հ

հլ(Կլ»5Ճ2) 8 - Ճ

20»շ

ճլՀ0,

ալ

2720:

լ:

-

2:

-

2։1.-» ոու,

Հ0չ

հԽչ(Ճլ:52)-8-»շչՀ0,

հչ(ել»52) -10-

Հ

-»«չՀ0

Թուլլատրելի լուծումների Տ բազմությունը ուռուցիկ Բնգանկլուն նկ. 5.3): Ֆունկցիան իր ճամապարփակ մաքսիմումին ճասնում Է Տ բազմության եզրի վրա գտնվող (4,6) կետում, որը գագաթ չէ: Հետնաբար, չնայած Տ բազմությունն ունի վերջավոր ծայրակետեր (ընդամենը ճինգ ծայրակետ), լավագույն լուծումը Մ(ԽլչՃշ) ֆունկցիայի ոչ գծային լինելու պատճառով ծայրակետ չէ: Է

(տե՛ս,

Դեռ

հխլ(ալչ5շ) սաճմանափակումը փոխարինենք

եթե

ավելին,

"լ -»շՀ0

ապայմանով,

ապա

թուլատրելի

լուծումների

Տ

բազմությունը կընդարձակվի այնպես, որ լավագույն լուծումն արդեն կլինի 5 բազմության ներքին կետը: Դիտարկենք մի այլ օրինակ, որտեղ ն՛ նպատակային ֆունկցիան, ն՛ սաճմանափակումները ոչ գծային են.

7)

-

խլ միշ -2)-»ուո -

Ժ»1-1-0: Հա)Հպ-»Հ0,

ԽՐ): Թուլլատրելի լուծումների բազմություն,

պարաբոլի ներսում ընկած շրջանագծի (տե՛ս, նկ. 4) աղեղ Է (Տ -ը ներքին կետ չունի): Այս խնդրի լավագույն լուծում Է ճանդիսանում նպատակային ֆունկցիայի նվազագույն մակարդակային կորի վրա գտնվող արժեքով

շրջանագծի աղեղի

) կետը (մակարդակային կոր ասելով (0.542.0.542

ճասկանում ենք կետերի այն բազմությունը, որոնց վրա ֆունկցիան ճաստատուն Էէ): Եթե խնդիրը լուծենք առանց սաճմանափակումների, (2.2) ապա կետը կլինի բացարձակմինիմումի կետը:

(Հ2)

՛» նկ. 5.4

Տ2. Մաթեմատիկական ծրագրման դասական խնդիր Լագրանժի բազմապատկիչների եղանակ Հետնյալ խնդիրը 7(8)-5 ոո, ԽԹ) 0,

:-12,...,Ի. ֆունկցիաները Ք՞-ում

որտեղ /չհ»...Խ.

(2.1) (2.2)

որոշված, դիֆերենցելի

մաթեմատիկական ծրագրման ֆունկցիաներ կանվանեն, դասական (ՄԾԴ) խնդիր: (2.2) ճամակարգին բավարարող 5 կետը (վեկտորը) կանվանենք ՄԾԴ Տխնդրի թովպլատրելի լուծում, իսկՆ 5-ԵՎե(9-0) են,

բազմությունը ՄԾԴ խնդրի թույլատրելի լուծումների բազմություն (տիրույթ) կամ թովլատրելի բազմություն (տիրույթ): Ենթադրենք »- ՄԾԴ խնդրի տեղային լավագույն լուծումն Է: Պարզության ճամար ենթադրենք նան, որ /(9, ԽՏ), (:ՀՆ...,ո)

ֆունկցիաների գրադիենտները անընդոճհատ են թուլատրելի իսկ Ն2....,77 տիրույթում, հ.(«) ֆունկցիաների գրադիենտները Հ

գծալնորեն անկախ են 2` կետում:Ենթադրենք՝ կարելի Է կիրառել անբացաճալյտֆունկցիայի գոլության թեորեմը (2.2) ճամակարգի նկատմամբ 2 ՇՏ կետի բավականաչափ փոքր շրջակայքում ն ո փոփոխականներից )ո-ը արտաճալտել մնացած ո- ո փոփոխականների միջոցով ն, տեղադրելով /(5) նպատակային ֆունկցիայի մեջ, ստանալ ո-տ փոփոխականներով ոչ պայմանական Էքստրեմումի խնդիր: Տեսականորեն պարզ ալս մոտեցումը ճաճախ Բնարավոր չէ իրականացնել, քանի որ գործնականում ճԲամարլյաանճնար Է տ փոփոխսկանները արտաճալտել մնացած ո - յո փոփոխականներով: Այնուամենալնիվ, հնչպես կճամոզվենք Բետագա շարադրանքից, ալդ մտաճաղացմամ փոխակերպված իրականացումը՝ Լագրանժի բազմապատկիչների օգնությամբ, Բնարավոր է դարձնում պայմանական Էքստրեմումի խնդիրը ճանգեցնել ոչ պալմանական Էքստրեմումի խնդրի: ոդ-3 մասնավոր դեպքի ճամար Ալդ եղանակը նկարագրենք Մ-2,

7(ալչ3225:)

ոո

-»

որա

-

Խչ(:52:23)-06: ոլ

Հ

0,

Ենթադրենք՝ Բավասարումների Բամակարգից կարելի Է որոշել Ալդ դեպքում վերը նշված խնդիրը կդառնա Կ(5:), Հ

մեկ փոփոխականով

ոչ

պայմանական Էքստրեմումի խնդիր՝ գտնել

/(ոլ(25),8(5:):55): ոլո Ակնաճալտ է. Է, ապա

որ

եթե (ալ(65),6չ(53), 55)

կետում Ճիշտ

ալդ

-Մ.6(ա),

(6-3),

(ԵՐ),

-

(Ե),

-

են

-ը

կետը մինիմումի կետ

Բետնյալ առնչությունները.

ԷԹ),

Հ7..2:):1-9.

Հ(ե(- 3,0), Ւ(ե-),,:1Հ0. (ե(),(1), (Ե ,ոլ(լ),«(ԵՇ ոլ(2), ՀԵՇ), 1-0:

Ոատի ((ոլ),, (աշ), 1) վեկտորը Բետնյալ Բամակարգիլլուծումն է.

ՄՇ՞),, ՀՄ (ե՞),, ՀՇ): Օշ(5-)),, (2. Հ

ՒՄ

է, 6-)::7..6:))5 0.05), (080-),.): -

006-)»:(ԽԸ-)),.):

0,

(2.3)

Քանի որ (2.3) ճամակարգն ունի որոշիչը` 9 -ն, պետք Է լինի 0

հ ՄԽ 15 |), (ե), (ե). (ո). (ե), (ո),

օ(5՞)

իսկ վերջինս նշանակում է,

որ

ոչ

զրոլական լուծում,

(24)

|-Օ,

/(«).հլ(),Խ()

ֆունկցիաների

գրադիենտները` կետում գծալնորեն կախված

կգտնվեն

նի

Մել -)-ըն

թվեր,

որ

Ւ

Ֆ/(Ջ՞) Է ՄԽ(Ջ)

ՖխԽ(5)-0.

Է

Այսպիսով. ՀԱԻ:

դ

ապա

ճետնաբար՝

(Ց) այցին)-0: Սակալն, ըստ ենթադրության )-ը գծալնորեն անկախ են, ուստի սլ» 0ն ԽՄեչ(»:

ԽԹ)

որտեղ լ

են,

միաժամանակ զրոլի ճավասար /ղ,սշչչ

ոչ

նրա

ապա

(2.5)

եթե 5- լավագուլն լուծումն Է,

լ

գոյություն

ունեն

ալնպիսի 4լ

Լ.4)Հ70)4նհ(»):

ն

4»)

4չ թվեր,

որ

ֆունկցիան

(2.5)-ը

ստույգ

Է:

կանվանենք

Լագրանժի ֆունկցիա. իսկ 4լ ն 4 փոփոխականները Լագրանժի բազմապատկիչներ: Ընդճանուր՝ (2.1)-(2.2) խնդրի դեպքում նման ձնով կարելի է ստանալ օպտիմալության անրաժեշտ պալմաններ՝

ՖԼ(Ջ",1)

-

Հ.Գ»)

Մ/(5):

-0,

ւ-1

1Ա1)-/(:74Խ3:

որտեղ

Սակայն

ւ-1

ոլո 1(5,1) ոմո(/ (5) -

»

»

հ.(5-)-0 ոո 1(»,4)-

Է

Իձե(»)

ն

:-1

ՅՆ...

քանի

որ

խնդրի լուծումների

ճամար

(Ն՞,41)-2/(Թ")։

Ուստի

ապա

ոո /(5):

Այժմ տանք Լագրանժի բազմապատկիչների երկրաչափական մեկնաբանությունը: Դիտարկենք ճետնյալ խնդիրը. /(») -» ոլո, երբ հ(5)-0

Ցանկացա.

»։«-Ք՞

կետի

ճամապատասխանեցնենք

ծ-/Թ)

ԿՀԻԹԺ)

ն

ենթադրենք,

որ

թվերի ն

կարտապատկերվի

հ(»)

ՀՕա

Պարզության

զույգը:

ճամար

ֆունկցիաների որոշման տիրույթը

Բարթությանը

պատկանող

ուռուցիկ

բազմության վրա: Տրված խնդրի լուծումը կգտնվի ալդ ուռուցիկ բազմության եզրի վրա: ծՕս ճարթության վրա դիտարկենք օօՀԵՍ -Ը ուղիղ գիծը ն ինքն իրեն զուգաճեռ տեղափոխենք մինչն Ֆ տիրույթին շոշափելը: Պարզ է, որ շոշափման կետերը կգտնվեն Տ բազմության եզրի վրա: Եթե այս ձնով վարվենք բոլոր Բնարավոր ո:ողութլուններով տարված ուղիղների ճետ, ապա շոշափման կետերի բազմությունը կճամընկնի բազմության

եզրի

«ծՀԵՄ-Շ

ճետ:

Պզուգաճեռ

ուղիղների

ընտանիքում կա մի ուղիղ, որը շոշափում տիրութի եզրը ն է սկզբնակետից ավելի փոքր Բեռավորության վրա գտնվում, քան ալդ ընտանիքին պատկանող ցանկացած մեկ ալլ ուղիղ, որը բազմության ՀԸ ճետ ունի ընդճանուր կետ: Սակալն. ինչպես ճայտնի Է, Օ«ժՀԵՍՄ Է

ուղղի ճեռավորությունը սկզբնակետից ճամեմատական Է «-ին, ուստի սկզբնակետից ԹԾ-ին շոշափող նվազագույն ճեռավորություն ունեցող ուղղությունը որոշելու ճամար անհրաժեշտ է նվազագուլնի

գծ ԷԵՍ

ճասցնել

գ/(Ջլչ2:...235) Դծել...)

Հ

ալսինքն գտնել /(չլ,...,5ղ) 4»0: ոչ

Է

4.(լ»...»5ղ)

-»

մեծությունը, տտ, որտեղ 4-ԵՖ/գ

ն

Այսպիսով, պայմանական Էքստրեմումի խնդիրը ճանգեցվում Է

պայմանական Էքստրեմումի Բետնյալ խնդրին՝ գտնել

ողո

1.(»,

1)

:

Հաճախ հ.(«) :- Ն2,...,. ֆունկցիաները լինում են ճետնյալ տեսքի՝ 15 12.....8: հ.(»)Հ Ե-բ.յ(»), Այս դեպքում օպտիմալության անճրաժեշտ պայմանները կգրվեն այսպեն՝

Լ(.,4)-

2.2Մ8.(:)

7)-

-0,

կամ

1,

1,

-

-

2:4(8),, եՍ-Ն2»«ոթ

,ծ

-

-

Ք(8)

Հ

5)

0, ԹԼ2,..,ո:

Օպտիմալության անրաժեշտ (2.6) պայմանները արտածելիս ենթադրվում Էր, որ ք, (Ճ) ֆունկցիաների գրադիենտները գծալնորեն անկախ Էին: Անճրաժեշտ պալմանները, երբ Պջ.(»") -Ն..,.տ գծորեն կախված տրվում

են

ավելի մանրամասն (տե'ս,

են.

Լ(8.4)-

|31): Ալդ պալմանները

2.4(ծ, Ք.(5))

Ճ7(5)-

-

ֆունկցիայի միջոցով:

ն որ Նկատեն. Լագրանժի ֆունկցիայի Լագրանժի Է բազմապատկիչների եղանակը ճնարավորություն տալիս շրջանցել անճալտների մի մասի անմիջական արտաքսման անճրաժեշտությունը: Այսպիսով. ՄԾԴ խնդիրը՝ գտնել /(2) -» ոլո, երբ ծ, ջ.(5)-0 -

ռՀԼՆ..,ո)

լուծելու

քայլերը:

Քայլ

ճամար անձրաժեշշտ Է կատարել ճետնյալ

Մտցնկլ

1ին

Լագրանժի

բազմապատկիչների

վեկտորը, որտեղ Խ-ը ճավասար Է խնդրի 4-(կչ4տջ:.-.«4ղ7) սաճմանափակումների թվին: ԿառուցելԼագրանժի ֆունկցիան

15,4)

/Թ)Հ

-

-Ք.2) 2.40:

(2.7)

Քայլ 2-րդ: Հաշվել Լագրանժի ֆունկցիայի բոլոր առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները ն Բավասարեցնել զրոյի:

1-Ի. Լլ

-Ե-

ջԸ))5

7 (2)-07-12... 0.:Հ-12..

Քայ 3-րդ: Լոծել (2.8)

(2.8)

արարումների

ճամակարգը ն գտնել

)): Արդյունքում ստանում ենք անձրաժեշտ լուծումները ("4` պալմանին բավարարող լուծումների բազմություն: Քայլ 4-րդ: Ստուգել երկրորդ կարգի բավարար պայմանը՝ կառուցել Հեսի մատրիցը ն ճաշվել դրա Ծ որոշիչը: Եթե 9 Հ0, ապա բոլոր

Ճ՝`

ալն կլինի կետը (տեղալին) մաքսիմումի կետ Է, եթե Թ»0, Թ-0. անել չենք մինիմումի կետ: Եթե եզրակացություն (տեղային) կարող: Օրինակ 1: Գտնել /(ոլչ2չ) 2»լ է 32 -» ոու, երբ -

Տ(Ցլ52)Հ

-Չոլ 2,1: Հ

կառուցենք Լագրանժի ֆունկցիան

Գ 3 Հ 1(Խ.:52:4) 41:51 2») Հաշվենք մասնակի ածանցյալները ն ճավասարեցնենք զրոյի 24 2/0, 1,

-

Հ

1,

«Հ3-21Հ0,

մ. Հ14Ի 1 2ոչ-0: Լուծենք ստացված ճավասարումների Բամակարգը -

4:53/2,

ՀՕՀ»)12Հ 13/18

Հ-2/3,

Ստուգենք բավարար պայմանը

.

02գ

:

0-2|--Տ1

ք"-0

2»:

»--12,

ք՞ ՀՕ, ճետնաբար Ջ՝ (-2/313/ 18)-ը մաքսիմումի կետ Է: Այժմ դիտարկենք մի օրինակ, որը ցուլց Է տալիս, թե ինչպես, օգտվելով Լագրանժի անճրաժեշտ պայմաններից, կարելի Է ստանալ ընդճանուր բանաձն որոշակի դասի խնդիրների ճամար: -

Գտնել

-Է

ՇլՃշ

Շշ»շ

Ի»-իԻ

զլ»

զչ»32ելլ»շ

-

Հ

-»

տո,

Բազմապատկելով նպատակային ֆունկցիան (1)ով՝

կստանանք մաքսիմացման խնդիր "ՕՃշ

-

Շշ2-

զ

-

ոօ

-

էլոլող -»

ոու

պիխ-հ Կառուցենք Լագրանժի ֆունկցիան

1(»52:4) Հ-ՕԿ -Օռ-ԱԿ «25 ելու Է40-»-») Հաշվենք բոլոր առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները ճավասարեցնենք զրոյի: -

ւ,

-

-

ն

-6ճլ- 2զլել-եոչ-4Հ-0,

.

էլ ՀԱԵ-լ-«շ-0: Լուծենք ճավասարումների Բամակարգը. Առաջին երկու ճավասարումներից «լ-ը արտատալտենք չ-ի միջոցով: Տեղադրենք երրորդ հավասարման մեջ: կստանանք Կ ՀԱ(-գ)Է:04շ Ե)|/04գլ 5): -

-

Ճլ Էշ

.

-

հավասարումից

5՝ Հ|Հլ-Գ)ՀԵՕզլ

3)1/2(զլ Էզ

-

ենք

ստանում

է)

-

"-ե-»ա,

-է):

ՃՀ--Գ- զի Էգ.

Ստուգենք բավարար պայմանը, նկատի ունենալով.

որ

-2զլ, 1,.»լ

-ե

Տո Հ1,

Լ,»

Հ1,

Ք»

--(72:Ը241)-

օ՝

Այսպիսով,

-2զլ 1...

-

՝

-

Հ

(-:Ը2գչ)::2:0)-(7.Ըթ)։

մեն, զլՀզչ:-ծԵՀ0, ունեն տեղային է, մեր սկզբնական խնդրի ճամար մաքսիմումի կետ, կամ որ նուլնն տեղային մինիմումի կետ: Օրինակ 2: Օծանելիքի խանութի տերը ցանկանում Է գովազդել իր ապրանքը ն ալդ նպատակին ճատկացնում է օրական 40000 դրամ: Նա է թե' թե' 9ցանկանւմ օգովազդլ ռոադիոլով ն ճեռուստատեսությամբ: Պարզ է, որ նրա ծախսերը սաճմանափակված են 40000 դրամով: Հետնաբար, եթե ոադիոյլով գովազդելուն ճատկացված գումարը նշանակենք ալ. իսկ ճեռուստատենությամբ եթե

գովազդելու գումարը

կունենանք Հլ

ապա

շ,

Ենթադրենք։՝ գովազդի ընդճանոր արտաճալտվում Է Բետնյալ բանաձնով.

փ

»շ

-

40000:

։տարեկան

ծախսը

500000 Մոլ») - 1052:2ոլ»շ Ժ 152 400» 320»: Օծանելիքի խանութի տերը պետք Է լուծի ճետնյալ -

խնդիրը. 7 (ալ)

Ճլ Ժ.Ճշ

-

Հ

7: զ

Հ

(Կ-Ջ)

:

Հ

եԵ(2գ-էծ)

2(զլ Էզշ -

40000

-

-

Ե)

15650,44

-

Հ

-

40000

15650.44

24349,56

Էզչ-Ե-10415-2-23»0

Այսպիսով.

.:

-2434956

ամենօրյա գովազդի ծախսն Է:

ԳԾ

40000

Այս խնդիրը վերը ճետազոտվածի մասնավոր դեպքն Է: Ունենք ճլ -400. ճշ -320. զլ «10, զշչ 15, ՖՀ-2, Է ՛

ոչ

տո

-» -

-

դրամի,

ն

»շ-1565044

դրամ

"վ գ

Գողիշոշ

մ մս

ղ

տոմ

:ա"'"21-։:

ԱԺ»

մս

'զ Եմովկ, :Վ դրս

դլոլծդտօտ վնովծկցւսՓ((գ)

'վ զ

ղոց

տոմ

ող

ՎՍ.Պ.Ո մ-

Հ (7

-

,ԱւսծվՎ,

«(47

"1-1

դոտկտոլափսփ Ամմղգ

մս 'Վռղ8:սծռոոզը .ԱռղմնոժմըդՂ :8վմղցրւսովսփսփ

ջօջոիոլող մոլմղմոմղի

զ

1-1

յԱ

(2-գ4-Թ

:ա""241-1

մղցովծկուսՓ վլղծողմղՓվն "(Չ»-» :(գ,/7-,7

մցյղմնոժող

ցոսեռիոլԼ վմնցոլ 2"

(19)

մղդումասօղր

օղ

աշ""" վմղըցուստոտտոռվ

դուօսուսմմտԵԵ վնտվծկուսփ օվնողտտտհոց ովտտ մսիոմղքմո

օղ

մմղ

տվճորմսփցով -ովլղզցջոտմոռ

դմղցդորոխ տՀղքոմյցտ դոթաիսլտրվտտօ դտրօւասլ վմնցոլ| քվծղիծտտո ՀՎյսմս «մմղց4վվղտոոռրեոմ վքըցտմեոզ ՆՈՈ

վքդտմեռո՝լ Ը 5

վմրւսոդոմտոդղղր վմղդչվղտոոտրեռմ

:Վ Ուսօ1Ա1ՕնսԵռիու

ԱՐ"ԼՎԼ-Ի

աղչ»տ

Վ

Ղ

մսիտեսե

:այ1Հ

(2)/

դովծկուսփ

ԿՈՐՈՎ ՆՀԻՈ-1-2ՀՈՒԼՀմԵեմողորոյ վմղդրւսմտոռիդյ

"պմցղօւս

ւ"

:0»5»ՅՎ-1»5 7 ՎՎՀՈ0Հ7-1-»պ-Հ

կշ"

վեմոտոկվճոստ

վլսմե մդղցճղմոոռիուվ ղ մմղդլուծդոջոռովղոցոռր մսլսմ վնառվճկուսՓ վքոտմետ՝լ մողիշոշջ գ»

լ"

(«2-07

Ւ«պ»«Զ--

"ցովծկուսՓ վքդոմԵո՝| ՃցղծւսսոՒլ լ

1»: «ռեա

«-

ո.-

սլ

-

(օ)7

1ղըտծ :8 տռվմՕ

2.Ի,(»-(5)(:,):,

Խ-7ԽԹ):(2-)Հ-

(3.2)

.

ծ),

9.62

ւՀԼ...տ

սաճմանափակումների

ֆունկցիաների ճամար կունենանք

2.(8Թ),

(5.(»-:,որտեղ ծլ,

Ճ.-

1,

-

()ը

.

երբ Հք

28.2 ),,(ա):

1Հ-

-

հե

երբ 121:

Հ0,

ն ծ

-ձ.

-

12,....ո, Կամ

(3.3)

0 Ֆե -12,...յո:

(3.3) ճամակարգի աջ ն ձախ մասերը բազմապատկենք

գումարենք

ըստ

է

-ի

ավելացնենք (3.2)-ին: կստանանք

ն

ռ

ո

7,2»3)- ռճծձ:

14,-ով,

Է

հ-1

շ.Մ,, -

Է

Ճ(..-),1(5),,:

(34)

»« ն 4. Բաց վեկտորներ՝ պետք Է բավարարեն օպտիմալության անճրաժեշտ պալմաններին, ճետնաբար`

(7-4

:-12....ո:

ինչպես

ճայտնի Է, ածանցյալը ֆունկցիապի փոփոխման արագությունն Է, ուստի Լագրանժի բազմապատկիչները ցույց են տալիս նպատակային ֆունկցիայի լավագույն արժեքի փոփոխության չափը՝ կախված խնդրի սաճմանափակումների ճաստատունների փոքր աճերից: Այստեղից ստացվում են կարնոր ճետնանքներ, ինչպես, օրինակ՝ սաճմանափակումնեի ծ. Բաստատունի փոքր փոփոխությունը Բանգեցնում Է նպատակային ֆունկցիայի լավագույն Էական (փոքր) փոփոխության: Եթե արժեքի նույնպիսի ոչ 7) նպատակալին ֆունկցիան մեկնաբանենք որպես

ՃՀ(աջշ»:..Ճ)

լուծման

ֆունկցիան՝ որպես ւ

Հ

Ն2....,ու

"

չ -րդ

ճամապատասխան ծախս, իսկ ռեսուրսի ծախսեր",ապա

բազմապատկիչը կմեկնաբանենք որպես

ք.(2)

Լագրանժի 14., 1 -րդ

ռեսուրսի

"Գին" (գնաճատական): Լագրանժի 4, բազմապատկիչը փաստորեն Է տալիս նպատակային ֆունկցիայի լավագույն արժեքի ցուց

փոփոխման արագությունը՝ կախված

: -րդ ռեսուրսի փոփոխությունից, ն եթե ռեսուրսի փոփոխություւը կատարվի լրացուցիչ մեկ միավորով, այն կարելի Է մեկնաբանել որպես

սաճմանային

Քանի

գին:

4,.-ն ընդճանուծ ծախսումների փոփոխման Բարաբերությունն Է ռեսուրսների քանակին, ապա այն ասում են, ունն գն՝ կամ. ինչպե. "ստվերային գնի" չափողականություն: Վերջում նշենք որ Լագրանժի բազմապատկիչների այս տնտեսագիտական բովանդակությունը գործում Է նան ալն դեպքում, երբ ոչ ԳԾ խնդրի սաճմանափակումների ճԲամակարգըտրված Է որ

անճավասարությունների տեսքով, իսկ 2 ն 41 փոփոխականների վրա դրված են ոչ բացասական լինելու պալմաններ:

Օրինակ 1: Դիտարկենք

2" -3«-»

Հ-

ու,

2 Հ 2աչ-Ե:

-

Կառուցենք Լագրանժի ֆունկցիան՝ Լ(:1252:4) 3 Է 4(0 52-2ա): Հաշվենք մասնակի ածանցյալները ն Բավասարեցնենք զրոլի՝ 1, 2424: -0 -

-

Հ

1.

--3-21-0

Լ, ՀԵՀ»: -2ոլ-0: Լուծենք ստացված ճավասարումների ճամակարգը՝

"լ

4: --3/2,

ո

Հ2/3,

Հ(Հ4/9)/2Հ

(9ԵՀ4)/18:

Հաշվենք նպատակային ֆունկցիայի լավագուլն արժեքը որպես ֆունկցիա ծ գործակցից. -

Հ

Հաշվենք

(25), ապա

2»-3ա

2(0)-

4/3-(9Ե44)/6-

Հ-3/2-

չ«4/3-3(95 44/18) -4/3-3(95Է4)/18(8-9544)/6-(2-9Ե/6):

նպատակային ֆունկցիայի

24: Հետնաբար,

2՞-ըկնվազի

24՝

-

-3/2

եթե

ծ-ին

ածանցյալն

ըստ

Եչի

տանք մեկ միավոր աճ,

միավորի չափով:

Օրինակ «Որակյալ ապրանքներ" ձեռնարկության մեջ ընդգրկված են ո մասնաճյուղեր: Հայտնի է, որ մասնաճյուղերը թողարկում են միատեսակ արտադրանք: Ջեռնարկության նպատակն Է թողարկել զ քանակությամբ ճամախառն արտադրանք. ընդ որում Բայտնի է, որ յ-րդ ծավալի արտադրանք թողարկելիս

(7

Հ

Ն2....,ո

)

մասնաճյուղի ընդճանուր ծախսերը կլինեն

(1722)52,

Է փորձարարական տվյալների

որտեղ 6,-ն որոշված

ճիման վրա: Ջեռնարկության առջն ծագում Է ճետնյալ խնդիրը. ի՞նչ ծավալի արտադրանք պետք Է թողարկի 7-րդ (7 Հ Է2....,ո ) մասնաճյուղը, որպեսզի ընդճանուր ծախսերը լինեն նվազագուլնը: Խնդրի մաթեմատիկական մոդելն Է՝

37/2)»:տո.

7(-

յ-1

Իոյ- ՍԽ,

»յՀ0,

Հ-12,...,ո:

Կազմենք Լագրանժի ֆունկցիան

Լ(5.4)

-

Հաշվենք (ՀԼն..յո)ն

Ե

Լ,

-

2»):

7(0:4(2-

ՎՈ:2յ,2

)-

Լ(8.4)

ֆունկցիայի

փոփոխականների

ածանցյալներն

ըստ

0,

յ

ճավասարեցնենք զրոյի.

ն

/6«)-4 -0, ը

ե-Ա-Ֆ»յ-0: յ-1 Ստացված ճավասարումների ճամակարգից գտնում ենք յ

փոփոխականի », արժեքը.

»,

-

«յՎ1 143,7ՀՆշ2....,ո.,որտեղ

Հետնաբար, "Հճ նվազագույն արժեքն Է

չգ): է է,

յ-1

նպատակային

«յ)/-րդ

որ

ծավալի

ընդճանուր ծախսերը կկազմեն 2`

/( Ի

Խնդրի լուծումը ճուշում ,Ղ

-1Վ3-Խ/Ֆ.«յ: ֆունկցիայի

յՀ

թողարկի », ՀճյԽ/Ֆշյ

ն

մասնաճյուղը

արտադրանք.

/(5--յ)՞ յ1

:

այս

պետք է

դեպքում

նկլինեն նվազագույնը:

54. Ոչ բացասական փոփոխականներով ոչ

գծային ծրագրման խնդիրը

Ոչ բացասական փոփոխականներովոչ

7(Թ)-»տռ,

ԳԾ խնդիրը

ճետնյալն Է. (4.1) (4.2)

5-0,

ոչ գծային ֆունկցիա Է, 2» ՀՔ": որտեղ /(2)-ը Տ-ով նշանակենք (4.2) սանճմանափակումներին բավարարող կետերի բազմությունը:

(4.17-(4.2) խնդրի «` լավագուլն լուծումը կարող է գտնվել ինչպես

տիրույթում, այնպես էլ նրա եզրի վրա: Եթե 2--ը Տ բազմության ներքին կետ Է, ապա 5" վեկտորը դրական է: Այս դեպքում, ինչպես Տ

արդեն գիտենք, օպտիմալության անճձրաժեշտպայմանն այն է,

նպատակային

Փֆունկցիիաի

կետում զրո

են

մասնակի

բոլոր

(ենթադրվում Է, որ

դրանք գոյություն կամ, որ նույնն Է՝

ունեն

ն

//

որ

ածանցյալները »՝

անընդճատ են)

/(")-0:

(4.3)

Սակալն, ինչպես վերը նշվեց, 2- լավագույն լուծումը կարող Է գտնվել նան թույլատրելի տիրույթի եզրի վրա (տե՛ս նկ. 5.5 ա), բ)ն գ) մեկ փոփոխականի դեպքերը): Խնչպես երնում Է նկարից, այն նպատակալին ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներն ըստ են զրոյի, լավագույն կետում փոփոխականների, որոնք Ճավասար անճրաժեշտաբար ոչ բացասական են: Ստացանք ոչ ԳԾ խնդրի լուծման օպտիմալութան անճձրաժեշտ պայմանների ոչ խիստ Բիմնավորումը, երբ խնդրի փոփոխականների վրա դրված Էր նրանց ոչ բացասական լինելու պայմանը: ձր

ձք

|

Ն/»5

Ակ. 5.5 ա)

Ալժմ ապացույցը,

եժ

)

7-0

-------------Վ» Ակ. 5.5բ)

ԻԻ-----------»

եչ

նկ. 5.5 Գ)

բերենք օպտիմալության անճրաժեշտ պալմանների երբ Ջ՞ լավագույնլուծումը Տ բազմության եզրի կետ է:

Ենթադրենք 5՝-ը ցանկացած

տեղային մինիմումի

դրական

հ

ճամար

(/չ՝

ուղղության

ուղղություն

»-

այնպիսի.

5.

որ

6Տ Է

442՝ փ

կետի

ն

Այս դեպքում

Ճչճ

թուլլատրելի

կանվանենք

թուլլատրելի

ն

կամայական

վեկտորը

կետի ճամար, եթե գոյություն ունի

7,576: 5`

թվի

»,

«0:

կետ է.

ՇՏ

թիվ

4»0

)կունենանք՝

հճ:):

(4.4)

շրջակայքում

ֆունկցիան

կարելի

է

ներկալացնել Թեյլորի բանաձնի միջոցով՝ է 762: փեճ-)Հ /2)ՒհԽՑ/(-)ՃԽ: Է (/2)ե(Ճ-՞): Է ):Ճ5 0եճռ

(45)

՝

որտեղ 0ՀՕՀԼ,իսկ (5.4)

Ս

(55.

ն

անճավասարությլունը

հՄ/(2")Խ-

-ր՝ Հեսսի մատրիցն Է: առնչութլյուների կճետնի

ԷԲ

յին:

Ի

0.ճ»՞)Ճ»-

ճիմնական (4.6)

չ0:

Ստացված անճավասարության երկու կողմերը բաժանելով դրական թվի վրա՝ ստանում ենք

6: ոճ»), Իչե(ո)Ա

ՑՖ/(2-)Ճ»՝

պայմանը »՞-Իի է: անճձրաժշտ պայման (4.7

բավականաչափ

փոքր

ցանկացած թուլլատրելի

Ճո

Հ0.երբ

12,

Ի,

)

Քանի

որ

Խյ

տեղային մինիմումի որ Ենթադրելով

(4.7)-ից

Է,

Ճ.

(4.7)

չ0:

Ի

"`

կստանանք

ուղղության

կետ

լինելու թիվը

հԽ»-0

ՊՃ/(» )ձտ՝Հ0՝

ճամար: Ուստի, եթե

ապա

(4.8)

Հ0:

«0, յ

ապա

/Ճչշ" թուլլատրելի

բաղադրիչը կարող Է լինել միայն (4.8)-ից կսատանանք

7,2-)Հ0.եթե », Մյուս կողմից, եթե

»,

ոչ

/-րդ

բացասական մեծություն. ուստի (4.9)

-0: Հ

ուղղության

0, ապա

Ճ.,

աճը կարող է լինել ինչպես

դրական, ալնպես Էլ բացասական: Ալդ դեպքում (5.8)-ից կստանանք

հ

Բ,(8")-0, եթե »,»0: (4.9)

ն

(4.10)

(4.10) պալմաններից ճետնում

7.,(2):»Հ0, Գումարելով

այդ

Է, որ

7Հ12,..ո: ճավասարություններն ըստ յ -ի, կստանանք

»7,(2)»-0

(4.11)

կամ,

որ

միննույլնն Է,

Ց/(2՞):»--0

(4.12)

Այսպիսով, եթե 5" կետը /(») կետ է, ապա անճրաժեշտաբար առնչությունները.

ֆունկցիայի տեղային մինիմումի ալդ

կետում ճիշտ

Ծ/(8")20, Ֆ/(»՞).»"-0,

են

ճետնյալ

(4.13)

կամ

7,(25)Հ0,:5Հ0 ԻՋ ):»,

ԽՀ 0, )

-

«0,

(4.14)

«»0

Ն2....ո:

Այսպիսով, (4.13) կամ (4.14) պայմանները (4.1)-(4.2) տեսքի ոչ խնդրի օպտիմալության անճրաժեշտ պալմաններ են: Ստացվածարդյլունքները կկիրառենք Բաջորդ պարագրաֆում՝ ոչ ԳԾ ճիմնական խնդրի օպտիմալության անճրաժեշտ պայմաններն արտածելիս: ԳԾ

Եթե «-ը

(4.17(4.2)

խնդրի ստացիոնար կետ է,

Բիմնական անճավասարությլունից ստացվում Է նան կետ լինելու անճրաժեշտ (ուռուցիկ ֆունկցիայի

ապա

(4.6)

»՞-ի մինիմումի դեպքում

նան

բավարար) պայմանը` Խ(Տ)-ի (Հեսսի մատրից) կիսադրական որոշված լինելը: Ապացուլցը թողնում ենք ընթերցողին:

ՏՏ. Ոչ գծային ծրագրման խնդիրը: Կուն-Թակերի պալմանները Հետազոտենք ճետնյալ տո /(2). Ք.

(Ց)ՏԵեւ

ոչ ԳԾ

խնդիրը:

(5.1) (5.2)

Հ-ն...

"0:

(5.3)

Լրացուցիչ

Տտ.անձայտների

կարող ենք բերել 35-ում

միջոցով (5.1)-(5.3)

ոչ

ԳԾ

խնդիրը

դիտարկված խնդրի տեսքին, երբ (5.2)

անճավասարությունները

փոխարինենք

Ք.(Ճ)Է5.-5

-1Ն..7:։ հավասարումներով, որտեղ Արդյունքում 520, կստանանք (5.1)(53) խնդրին ճամարժեք փռփոխականների ոչ բացասական սաճմանափակումներով Բետնլալ խնդիրը (ապացույցը թողնում ենք ընթերցողին): (5.4) 7(2)-»տո, (5.5)

ճ(Թ)ՀՏ-ՀԵԽ,1Հն..8.

»«Հ-0.5»0:

Կառուցենք

(5.6)

(5.4)(տ6)

ֆունկցիան.

Լ(..5.4)

7)

-

կամ

Լ(55.1)-

-

մինիմացման

շ.4(ծ, -

Տլ

խնդրի

Լագրանժի

-Ք.(2))

է): 722:2:4ա00:5--

(Մաքսիմացման խնդրի ճամար Լագրանժի ֆունկցիան ունի

1(2,5,1)- /(8)Հ

ճետնյալ տեսքը.

Ի16, -Տ5:-Ք.0)))

1-1

Եվ այսպես, անճրաժեշտ Է գտնել

Լ(8:5,4)5-

25»0.5

(Տ.7)-(5.8)

պալմանները.

0:

(Մ(2434(.)5 :-1

-Ե)-»ոռ

(5.7) (5.8)

խնդրի ճամար գրենք օպտիմալության անձրաժեշտ

Լ.

Լ5

0,

շ

Լ,,-5յ-

Լլ

0,

1Հ

Հ0.)-12,.....

ո

1,.:5:-0,

-0, Ն.

Տ Հ0,

կամ

1-41, Լ,, :յ

12,....ո

(5.9)

Հօ.

-

(Ի, ԷՖճ(1),,)»-9.

6.10)

ւ-1

ն,-ԵԱ)ՒՏպ-ելՀ0,

(5.11)

Լ, -4.Հ0.

(5.12)

1, :5 Տ, Հ0

-4(7(2կամ ..(8)-3Ֆ

Համաձալն(5.

5)-Հ6, Հ0,

(5.13) (5.14)

-12,...ո:

13)-իկամ 4,Հ0

ն

5.Հ0,

կամ 4-0,

5 Հ0

կամ

Ուստի Լագրանժի ֆունկցիայի 5. փոփոխականները կարելի Է ընդհանրապես չդիտարկել, ն (5.7-ի փոխարեն դիտարկել 4-5.

-0:

15.4)

-

76):

Ֆ41(.06)- ծ.)

անճրաժեշտ պալմաններն

ֆունկցիան: Ալդ դեպքում (5.9)(5.14)

են

7, Է2.40:) ),, -0 Ի, 5,

թն չ20,)-1..շե յ

(5.15)

-0,

Ք.(2)- ծ. Հ0, (Ք.()-եւ)1.-0

(5.16)

11127.

(5.15)-ը պալմաններն

Լ(.,4) են

ըստ

ֆունկիալի

մինիմումի

փոփոխականի, իսկ

անրաժեշտ

(5.16)-ը՝

ֆունկցիայի մաքսիմումի անձրաժեշտ պայմանները՝ ըստ (5.15)-(5.16) է

7(».1)

պալմաններին բավարարող ( ՞, 4` )

ֆունկցիայի թամբակետ, իսկ (5.15)-(5.16)

նույն

1 -ի:

զուլգը

կոչվում

պայմանները՝

5.1-(5.3 խնդրի լուծման պայմաններ: անձրաժեշտ

կուն-Թակերի

օպտիմալության

56. Թամբակետ ինչպես տեսանք նախորդ պարագրաֆում, ոչ ԳԾ խնդրի լուծման օպտիմալության անձրաժեշտ պալմաններն արտածելու ընթացքում դեր կարնոր խաղաց Լագրանժի ֆունկցիան: Ուռուցիկ ն ԳԾ մասնավորապես խնդիրների ուսումնասիրման ժամանակ Լագրանժի ֆունկցիան նուլնպես կարնոր դեր Է խաղում՝ ճատկապես թամբակետ ձասկացությաճ առնչությամբ: Այս պարագրաֆում կապացուցենք մինիմաքսին ն մաքսիմինին վերաբերող թեորեմներ: Ընդ որում, պալմանավորվենք 1(չ,ֆ)-ով նշանակել|Սլ թքորնե ֆունկցիա

որոշած

դեկարտյան

Պ4-«Ց

ՑԵ": կապացուցենք թամբակետի արտադրյալի վրա, 4-Ի, ն անճրաեշ. (կամ) բավարար պայմաններին գոլութան վերաբերող, ինչպես նան թամբակետի ն մինիմաքսի ու մաքսիմինի միջն գոյություն ունեցող առնչությունները: Սաճմանում:

Ասենք,

որ

:«",». վեկտորների

ֆունկցիայի ճամար թամբակետ Է 2

«4»

1(»,ջ)

զույգը

68.,եթե

Լ2-,))Հ162:.»):51(5):) ցանկացած ,

ն

)

վեկտորների ճամար,

ճՃամապատասխանաբարպատկանում միննույնն Է, եթե

որ

ոո ոճչ1(5.))211: է

Թեորեմ

Եթե

բազմության վրա (2 ոու

ոլո «4

Լ(Ջ՞,ֆ )Լ(չ,ջ)

են

ն

առումը 1(5.)): ֆունկիան

4,» ,8),նգոլություն

որոնք

տիրովթներին կամ,

Ց

որոշված

է

«8

ունեն

Լ(5,ջ),

(6.1)

1(5,)ջ),

(6.2)

ն

ռո

5օ4

ոո

«8

ապա տչ

«8

ոլո »օ4

1.(2,)

Հ

տոոուԼ(8.)):

(6.3)

Ֆունկցիայի մինիմումի ն մաքսիմումի սաճմանումներից կճետնի, որ ցանկացած 2 Շ.4, , ՀՑ տարրերի ճամար ՒԷ»

1.5.) առ "6,

Հ

Սակայն

Լ1(.))Հ

(6.4)

ոճ: Լ(2.):

(6.4-ի

ձան

ճամապատասխանաբար2.

ն

-ից

մասերը

աջ

անկախ

են

թ-ից: Հետնաբար. հաշվի առնելով

ն

(6.1) ն (6.2) պալմանները՝ կստանանք

252ոո «64

1.(5.)

«8

տոտ

Հ

1(».ֆ):

իօ8Ց

«64

Հաջորդ

թեորեմը

Թեորեմ

Ենթադրենք 1(»,ջ)

վերաբերում

է

(6.1)

արտաճայտությունների Բավասար լինելու անճրաժեշտ պալմաններին: 2:

բազմության վրան գոլություն ոշ

Ֆօ8

ոլո ««4

1(2,))

Որպեսզիոճ բավարար,

որ

ոլո

ն

ուո «4

1(8,թ) ոլո

-

ոճ

ֆունկցիան որոշված է

1(ճ5չջ) ֆունկցիան

Ֆօ8

ո25

ոլո Լ(5,ջ)

ունենա

Ենթադրենք

անձրաժեշտ Է

ն

թամբակետ:

ոչ ԼԹ.)-ԼԹա»»)

ն

Ալդ դեպքում

ոլոԼ»)

1(5,ջ)-

«օ4

4«8

1(5, »):

ոու -

1(8-»):

ն (6.2) բավարար

ունեն

Ֆ) ոլո1(5,)) ոու. չթօ8 1(2,

Անճրաժեշտություն

ն

(6.5)

ն «Ց

-

Ցույց տանք,

ոշ

«8

«4

1`.)

(6.6):

(տ5",ջ.) կետը կլինի 7(տո,ջ) ֆունկցիայի

որ

Նն (65 (66) որ պայմանի Քանի ըստ ճավասարությունների ձախ մասերը Բավասար են, ուրեմն ճավասար են նան աջ մասերը՝

թամբակետ:։

ոլո

1Լ(»,ջ՝) -

1(2:,)):

ոու

«8

Բայց միշտ ճիշտ

են

ճետնյալ առնչությունները.

ոլո

Լ(5,»-)

ոՀ

1(»5-,ջ) Հ 1(8:,):)

«8

(6.7)

ՀԼ(",):)

(6.8) (6.9)

(6.7)

(6.8) առնչություններից կճետնի

ն

1(5-,ֆ) ՀԼԹՋ",)՝):

ոչ

լ13:)

(6.10)

Իսկ (6.7)ն (6.9) առնչութլուններից կճետնի, որ

1(»,»-) Հ1(8-,»3:

ոլո «օ4

(6.10)-ից

(6.11)-ից կճանգենք ճետնյալին՝

ն

Հ«ԼԺ,3:Հ1(5»3

Լ(,») «5654.

բոլոր

(611)

կետերի համար, այսինքն

Ց

»՞",ջ`

զուլգը

թամբակետ է:

Բավարարություն: Ենթադրենք, որ 1Լ(»,ջ)

գոյություն ունի Ֆ

ֆունկցիայի Բամար

(25-,ջ-) թամբակետ, ալսինքն՝ ցանկացած

«օ4ն

կետերի Բամար

Լ(`,Ֆ) (67-ից

ԼԹ՞,»-)5 ոչ

Ֆօ8

ՀԼԹ",»)

ՀԼ.)

):

կարող

ենք

գրե

ուո1(», Ճ6

1(5-,ջ)

ռւ(».,))«1(»,»)

ն

Հետնաբար`

Լ(՝,)")

Հ

(6.12)

Հ

տու»): «64

(6.13)

Սակալն 1.(5,ջ)

ոլո

ոչ

լո

1(5,ջ՞)

է137

213:

Ճ6օ4

Հ

`

Լ(5՝ չ))

(6.14)

ոու

(6.15)

ոոմոմոԼ(»5.)): »օ4

(6.13), (6.14) ն (6.15) առնչություններից ճետնում ոլո

ոշ

օ8

1(5,ֆ)

Հ

Լ(Ը՝,)՝)ՖՏ

Սակալն ըստ 6.1 թեորեմի ոլո Լ(5,»)Տ ո

««4

ոլոոուԼ(».)):

Բացի ալդ, (6.16)-ից

ոչ «8

ոլո «64 ոո

Լ(5չֆ)-

(6.16)

Էհեռելալ անկճավասարությունը. ճիշտ

ոտոուԼ(8.)):

«4

Հետնաբար, ոու ոլո Լ(5,»)«8

ոուոլոԼ(8.)):

Է, որ

կճետեի, որ

ռո ոու1(2,))-

Լ(5՝ .Ֆ ):2

3: Որպեսզի Թեորեմ

(»-»4-) կետը լինի ֆունկցիայի թամբակետ, անճրաժեշտ է, որ 1.

շ.

1(»,4) դիֆերենցելի

)ՀԱշ,ո: 1. 2:4:)-»5 20, Աո43:4 Հ0, 1: Հ0 :Հ12.....ո:

(5420, 24350,

Այս թեորեմի ապացուլցը բխում Է 85-ի արդյունքներից, որտեղ ստացվել էին Կուն-Թակերի պայմանները: Անճրաժեշտության 1-ին պայմանը նշանակում Է, որ գոյություն ունի

Լ(5,4)

նշանակում Է, ըստ

ըստ

2-ի, իսկ 2-րդ պայմանը

Լ(5,1)

ֆունկցիայի մաքսիմումը

ֆունկցիայի մինիմումը որ

գոյություն ունի

4:

Որպեսզի (",4-)

1-ի: Թեռրեմ

կետը

լինի

թեորեմի

պալմաններին բավարարող 1(5,1) դիֆերենցելի ֆունկցիայի թամբակետ, բավարար է, որ ճիշտ լինեն 1, 2 ն ճետնլալ պայմանները՝ 3. Մ.

4.

1(»,4՞) ուռուցիկ Է: 1(8",1) գոգավոր Է:

Մ41Հ0

(».,1)

Ինչպես գիտենք, դիֆերենցելի ուռուցիկությունը ճամարժեք Է Է»

Լ(..4")2

Լ"

ֆունկցիայի

1"): 9.Լ142-»)

կամ

Լ(8.4")Հ Լ",1")::Խ,Լ(՝4"),

-Չ.Լ՝41:)5՝

(6.17)

անճավասարությանը, որտեղ -"

.1(8.,4):5--

Ֆ,Լ(",4:).5-Ֆ

ո

.

՞

«

».1,,(5::4:)::, յ-1

՞

1,243:

Հետնաբար,6.4 թեորեմի 1-ին պալմանից կստանանք

,Լ(8",4՞)-525-0, Ս,ԼԹ՝,4)20,

«20:

Օգտվելով(6.17)-ից՝ կունենանք

ԼԹ-1):Հ

16.4):

Նույն ձնով, դիֆերենցելի լինելը ճամարժեք Է

(6.18)

1(»՞",4-)

ֆունկցիայի

գոգավոր

16,4):

Լ(.4)Հ ո

-

». 1,,ռ

ւ

7:

Ա24)4-

"

)-Վ

անճավասարությանը ն, քանի

Լ(8".,:4՞) 4: ապա

(6.19)

թեորեմի 2-րդ պալմանից,

որ 6.6

Խ4:)

Հօ.

երբ 1լՀ0.

«0

(6.19) առնչությունից կստանանք

16.1):

15.1) (6.18)

ն

(6.20)

(6.20) անճավասարություններից կճետնի, որ իսկապես

ւ(8",1)

Լ(՞.1).ՀԼ(Ր.4):-

Հ

Տ 7. Կուն-Թակերի թեորեմը Ենթադրենք՝ տրված է տո, 7(2)-» բ(8)Հ0

հ(2)ՀԵ-

ոչ ԳԾ

(7.1)

«20:

Թեորեմ:Եթե(,-4"-)-ը ոչ թամբակետէ`

Տ

-

խնդրի Լագրանժի ֆունկցիայի

ԳԾ

ն |1|4Հ0)

(վե(»)Հ0,5Հ0)

կարտլան արտադրյալի վրա, Ւ»

ճետնլալ խնդիրը

ապա

բազմություններիդե-

5-ը խնդրի լավագույն լուծումն Է:

Լ(5,4) - /()ԷՖ.4Խ(5) Ենթադրենք (5՞,4՞)-ը չ-1

ֆունկցիալի թամբակետ Է: Այդ դեպքում ցանկացած զույգի ճամար

7623:

341.(Հ/Թ4Ֆ4Խ.6572Թ ւՀ1

«Հ0

4:34.

Լագրանժի ն

1-0

(02

ւ-1

որտեղից կստանանք ճետնյալը.

չն»): չ2Խ6"): Բալց քանի

ըստ

պայմանի

ցանկացած

ճշմարիտ

է

վերցնելով

4, 7

որ

ն

4-0,

(7.3) 4. Հ0,

74, Հ0, երբ 7

Հ «Հ

իսկ (7.3-ը

4-12,...,».

Ն2...../7

դեպքում, ուստի

է, կստանանք, որ

հ,(5")Հ0,

«81

մուսնիսրետմ

աՀ: 10Հ ՉՀ(622թ-5 Ճյցյղկոցտծդ իս- ջ վլզմտտլնս` վմղդրւասաօւսմ

մսիտԵսե մ- (չ«)վ :Վ տվճկուսֆՓ

'0Հա

(4

(9՝/) աւ"

(ա'"""

Դ

կով 'ղվճ1սսս

Ր

մ-

(2)/

նղտմս

ՂՀՈՎՀԸՈ)3

'սյա «- (2)/ "ԱմվնցոլԱուղտղվ ՈՎՍ 1 Չոիմտ մս 'մցղմնոձող րբեր :0վնսծճմղժդմճող րւճսընսձ| մմոսճոթզղ

::241 Հ

նսցոկտոռ

1:գՀ(25

վտղկ յ" մողրուցվմս 'Այւս սխե վովոդոռ վղտղցղ 6վցտրնտոռցու մսմորւսԵեղս

մռոնիսրետմ

`.

մսիտեսԵ մմղդովծկուսփ

'Օղ :

ՀԴ'ԳՉՀ(աճ)43մս

(2):2

մմղ «րւսմողն

«ողոդնտ

'տղղ

մսիտցոռղ նսցտկտոխռ

,,

օւսլսԵ մցոււսրետմ մորտվ վոմձղնըցվ, օոծտղցտծ Փ վուս դասա տո ղղ դութիսմսիտցսցող Վ րոսմոմտիտմ մուսնօիսրեռմ «Սվղորն

աշւՀ:'4Հ(24Թ-Տ ողոոողով

դ-

:

դմդվուտ '(

:Վ

:րացորյտոր

ցրացաս| դրիսԵեռիոլվմնցոլ ՈՓՖ

2)/ Հ(2)/Մ մտրոյ

'վղտղցղ 6վմղդուս1մաՀդԿո (5"/)

մս

Տ

«Մցղոտլ

մս. Ր

Հս

վմոսմվտ

վ Ղ

օտճոկդոծ (Ե՛/) 'Օ՛/) լ

(5"/)

:05(օ2Կ74 մորով վ-՛

Սվ-Տ մոմտղտղց Տ»

մմղ"05(չ)վ

օտծոկդոծ նսրտկտոռ

վմղցըռորնոխվմնցոլ տույ -

0-72

122)

մցվոնո ւ

'050ԹԿՄՂ մս

ա"

ծվցորոռ

'05»(ԺԿ

ՀՂ-:

Փվրնսղ «ք

-0Հ:

'վղտղցղ

ուսո յ"

:0ՀՕԹՉԿՈՃ

Ծրղփս

ոսձողն

0-7

ղտը

զ

տծվց մ-(ջ-/):Տ»

ճդվոնտ

«ա""""«

1 -(

կուն-Թակերի թեորեմը: Եթե կանոնավորությլան պայմանին ՒՀ

1....յու.

ապա

որպեսզի «`

լուծում, անձրաժեշտ Է

ն

բազմությունը բավարարում է (այսինքն: 35 ՀՏ. ..(55) ՀԵ..

կետը լինի (7.6)-(7.7)

բավարար,

վեկտոր ալնպես. որ (2- ,1՞) զովգը ֆունկցիալի թամբակետ:

Բավարարությունըճետնում

Է»

Տ

որ

խնդրի լավագույն

գոլություն

լինի (7.6)-(7.7)

ունենա

խնդրի Լագրանժի

Է վերը բերված

թեորեմից:

Անճրաժեշտություն: Դիցուք՝ »` կետը (7.6)-(7.7) ՈՒԾ խնդրի է: է. լավագուն լուծումն Այդ դեպքում ակնձյտ որ անճավասարությունների

Մ. ե

-

/6՞)

.(5)ՀՅ,1-

ՀՅ,

12,...,ոջ

համակարգը կլինի անճամեմատելի: ԱնճամեմատելիԷ Բամակարգը.

մ/2)-/2:3)ՀՅ -Ք.(2)

Հ0,:Հ

Հ

ճետնլյալ թ

12....,7ո,

Ցանկացած ո-չափանի :»«Հ0 կետի ճամար Օ(8) բազմությունը սաճմանենք հետնյալ կերպ՝ 0(5)

նան

(ա 82-542ո)8

»762)-725:4»Ե

ԽՀ1-չափանի

-8.2)

ԷԼ.ո):

(7.8):ի անճամատեղելիությունից կճետնի, որ .Բ"'' տարածության զրո կետը ցանկացած «2-ի ճամար չի պատկանի ((«) բազմությանը: Նշանակենք 5 Հ0-ի

ՕՀ

ճամարՕ(»)

ՍՉ()։

Քանի

«օր

որ

զրո

կետը ցանկացած

չի պատկանում, բազմությանը

ապա

զրո

կետը

չի պատկանի նան Օ բազմությանը: Հեշտ Է ցույց տալ, որ Օ ուռուցիկ բազմություն Է ն զրո կետ չի պարունակում, ապա գոյություն ութի Օ բազմությունը ալդ կետից անջատող ճիպերճարթություն ալնպես, որ

22 :53:421»0,

(7.9)

'-1

Օ բազմությանը պատկանող ցանկացած (2ց»2) կետի ճամար: Ցույց տանք.

որ

4:

չղ Հ0,

ւՀ

12.....ո..

Հ0.

Իսկապես, եթե (Հյ,4Հլ»....2ղ)«0

:ՀՆ2...,ու: ապա

(2

Հ

ք»

4լ Է /ղ»:-:22ո

Է

Մո)60:

ն

Այժմ

ենթադրենք,

ՀՎԿՀԽՀտա)

որ

(4.

Վերցնելով

ՀՑ):

ՇՕ կետը (որտեղ //յ -ն բավականաչափ մեծ (21542»..-54յ 15:54) ն Է) դրական թիվ տեղադրելով (7.9)-ի մեջ` գալիս ենք ճակասության:

Ալժմ ցուլց տանք, որ 42 »0: Ակնճալտ Է, վեկտորի ն Ք դրական թվի Բամար եթե ապա

«(8)Հ

/Թ)-7/Թ:)858,

22(8)

(2 (5):2:(8),..22.(6)

Հ

Տեղադրենք (2)-ը

26:

ՔՀ-»

..(Թ):5.

ցանկացած

«5

12,....ո.

60:

(7.9)-ի մեջ

ՃՄ(2-723 Այստեղից

«0)-5-

որ

ՀՕ

2:40, 03:56: -

դեպքում կստանանք ճետնյալը.

2Ճ17(8)-/Ը՞))Է 2.4,

Հետնաբար, եթե 47 0, կետի ճամար

-Ք.(8))20,2«Տ: ապա

Տ

(7.10)

բազմության ցանկացած

չ:206.-.023)20:

0.11)

1-1

Սակալն այնպիսի

յ

2.4:

-

որ

Ք.)

(7.11) ն .12)-ից

ԿԱՀ:Հո)(1

ապա

4:

1-1...

20,

բոլոր

ապա

(7.12)

կճետնի, Հ),

ունի

արժեքների

«0:

զրոլից տարբեր Էր: Ուրեմն

.ՀԼ..,տ

ծ-ք.(»")Հ0,

որ

համար: Բալց, քանի

պայմանի գոյություն

կանոնավորության

ըստ

65,

որ

4:

-

0:

Ստացվեց,

որ

եթե

2-0,

բայց 4: գործակիցներից գոնե մեկը

4.

0:

»

Առանց ընդճանրություն՝ խախտելու կարելի Է ենթադրել, որ 1: Նշանակենք (4......4.) 4` ն ապացուցենք, որ («՞,4:)-ն -

Լագրանժի ֆունկցիայի թամբակետ է: Եթե (7.12) առնչությունը գրենք 5" կետի ճամար, կունենանք՝ ւ

Ի2(.-թ 0-20:

(7.13)

Սակալն քանի

որ

ծ.-ջ.(չ)Տ0,

ՀՏ,

:-12,...,.,

ապա

2.44,-.6346:

(7.14)

2.4(.-823-6:

(.15)

(8.8)

(8.9) առնչություններից կճետնի

ն

Եթե 4, Հ-1,

ապա

(7.12)-ը կգրվի Բետնյալ տեսքով.

2.45,

7Թ)-7(23

..(»))20

-

կամ, օգտվելով (7.15)-ից

2.71,-Ք.2))-1Մ76-): 2.4.Մ, -..(»)1.

76): ալսինքն՝

Լ(՞45)ՀԼ6.4): Մլուս

կողմից.

(7.16)

քանի

որ

(4.4,.....4ո)Հ0

ցանկացած

ծ, բ.(2)Հ0, -

վեկտորի ճամար

:ՀՆ2....տ,.

ապա

31լծ, Ք(»)1Հ0: -

4-1

Ուստի, օգտվելով (7.15)-ից, կարող ենք գրել

7237: այսինքն

-80-)15 24175

76"):

2.4է, -8.»3)),

Լ(8-,1),ՀԼԹ",4):

(7.16)

ն

(7.17-ից

ճետնում

(7.17) է, որ

(5",4՞)-ը

(7.6-(7.7)

Լագրանժի ֆունկցիայի թամբակետ է: .) Հետնլյալ օրինակով ճամոզվենք, որ եթե Տ բավարարում կանոնավորության պայմանին, ապա թեորեմի եզրակացությունը կարողէ ճիշտ չլինել: (5)

-»

խնդրի

տիրույթը չի կուն-Թակերի

ոլո,

2»0:

միակ կետն է, որը չի Թույլատրելի Տ տիրութը ։«»-0 բավարարում կանոնավորության պայմանին: Լավագույն լուծումը 0, ճամապատասխանԼագրանժի ֆունկցիան՝ կլինի »Հ

Լ(օ.1)Հ»«Հ

ն 2Հ0,

տիրույթում թամբակետ գոյություն չունի:

4Հ0

Է Ընթերցողին առաջարկվում ստուգել ստոր, խնդիրների ճամար կուն-Թակերի թեորեմի պայմանները: Օրինակ 1: 7(Ջ) ո( ԷՒ3)Էշ-» ոու.

բերված

Հ

25 ՀԳ

ՃԻ

ճՃլ Հ0»«չՀ0:՝

76)

ֆունկցիան

գոգավոր

Է,

Ք(լ.»22)-ը՝

իսկ

ոտուցիկ.

ճետնաբար կուն-Թակերի պայմանները անձրաժեշտ ն բավարար են: մեր Գրենք դրանք խնդրի՝ |Լագրանժի

41) ոպ Է3)Ի»շ-«(4-

Լ(5լ::2»

Ճ

Հ

-

ֆունկցիայի ճամար.

2»)

1,

«0, -1/(գ:3)-4 շ) Է," -Օ/աՀ3-4):»-6. 3) է,, -1-2/լ Հ0, Հ, 4) :5:-ւ1-2ն):»չ

1...

Լյյ-4-։ռղ-2:Հ0,

60.Նյ-4-(4-»-2»)-4Հ0, 4-0:

Նկատենք, պալմանից

որ

տեսնում

3) պայմանից ճետնում

ենք,

որ

հետնաբար՝ 1/("լՀ3)-4 փոփոխականների

պայմաններից

Խնդրի

Է, որ 6)-ում

լուծումն

է

Հ1/2

Հ1/2.

իսկ 1)

Հ0

ճամար,

ո

ճամար.

2.շ

4 -0-

-

»

Հ0, -

":

որ

7 (0,2)

4-0

ն

"2-0

գտանք,

ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը՝ /ոո որը

բոլոր

արժեքների

`

որ

բոլոր

Այսպիսով.

Բետնում

լավագույն

Հ0

կամայական

.լ-0:

պալմանում

1/( ւ 3)

է.

-0.

0, այսինքն՝ »2 -

2)

ուրեմն

4լ»0

Հ

2:

նպատակային ո3չ2:

Վերջում նկարագրենք |Լագրանժի ընդճանրացված եղանակը, կարող է օգտակար լինել: Լագրանժի ընդճհանրացվածեղանակը: Դիցուք՝ ունենք խնդիր, որտեղ պաճանջվում է գտնել -» ոլո 7.) Ք.(Ճ)Հե "Հ

ւՀ

12..."

պալմանը ընդգրկված է ճամակարգում: 19|

Լագրանժի ընդճանրացված եղանակի Էությունը. եթե ոչ պայմանական օպտիմումի կետը չի բավարարում խնդրի բոլոր սաճմանափակումներին, ապա պայմանական օպտիմումը պետք Է ճասանելի լինի թուլլատրելի լուծումների բազմության եզրային կետում: Ուստի մեկ կամ մի քանի սաճփմանափակումներ ալդ կետում դառնում են ճավասարումներ, ն ձաշվողական գործընթացը ճետնյալն Է. Քայլ 1-ին: Լուծել խնդիրն առանց սաճմանափակումների՝ -» տո 7)

Եթե ստացված օպտիմումի կետը բավարարում Է (8.14)-ին, ավարտել ճաշվումները, ճակառակ դեպքում վերցնել ճ 1 ն անցնել 2-րդ քալլին: Քայլ 2-րդ: Ցանկացած հ անճավասարություններ դարձնել հավասարումներ ն Լագրանժի եղանակով գտնել /(«)-ի լավագույն -

արժեքը

տվյալ

է

ՃԲավասարումների առկայության

դեպքում:

Ակնճալտ Է, որ մնացած ։-է պայմանները ճաշվի չեն առնվում: Եթե ստացված լուծումը բավարարում Է (8.14) Բամակարգի ճաշվի տ- ւ. չառնված ապալմաննեին. ապա օպտիմումը: Հակառակ դեպքում այլ է

գտնված Է տեղային անճավասարությունները

դարձնել Բավասարումներ (դրանց քանակը

Ը:

է):

Եթե տեղային

օպտիմումը չի գտնվել, անցնում ենք 3-րդ քալլին: Քայլ 3-րդ: Եթե հ «ո, թուլատրելի լուծում չկա, ճակառակ է դեպքում վերցնել -էՀ«1նանցնել քալլ 2-ին: Այս եղանակը Էական թերություններ ունի Նախ ալն չի ապաճովում ճամապարփակ օպտիմում գտնելը: Բացի ալդ, եթե ք«զ, օրինակ ք Հզ, ապա օպտիմումի կետը ք ԲավասարումնՒէրով քան Փպտիմումի կետը զ հավասարումներով: Այս իրավիճակը կարող Է առաջանալ միալն ալն դեպքում, երր ք սաճմանափակումները՝ զ սաճմանափակումների միշտ

չէ,

որ

ավելի

լավ

է,

ճավաքածուի ենթաբազմություն են:

Տ8. Լագրանժի ֆունկցիայի տնտեսագիտական մեկնաբանումը Դիտարկենք արտադրաճյուղի ն շուկայի ճետնյալ տնտեսական փոխազդեցությունը |12): Արտադրաճյուղը ձգտում Է առավելագույնի ճասցնել արտադրանքից ակնկալվող շաճույթը: Շուկան ձգտում Է նվազագույնի ճասցնել արտադրաճյուղի շաճույթը: Ենթադրվում է

նան, որ շուկան Է կառավարում այն ճումքի գինը, որ արտադրաճյուղը խնդիրը նկարագրում Է գնում Է շուկայում: Դիցուք ոչ ԳԾ ձեռնարկության առաջադրած նպատակը առավելագույնի ճասցնել արտադրանքից ստացվող եկամուտը: Հետնաբար, վաճաովող է, որ կստացվի արտադրության ապն շաճութնՆ ՄԹ)րը

(պտոշչչ:..»5ր)մակարդակի դեպքում, որտեղ «յ» 7-Լ...չո-ը

Հ

ապրանքի թողարկման ծավալն Է:

րդ

չ

Հ

(չլչեշչ...»Ճղ)

ճամախումբը

թողարկելու ճամար արտադրաճյլուղին անճձրաժեշտԷ 1Հ Ն2....,7:,

քանակությամբ

ք-րդ

ւՀՆ...տ, ԽՀ

ճումքի

ո:

տեսակի ծ.

Բումք, որն առկա Է շուկայում: ք.(5)-ը, այն

ծավալն

է,

որն

անճձճրաժեշտԷ

("պջեշը..»Ճղ) ճամախումբը թողարկելու ճամար: Նշանակենք

ա): Եթե

խԽ»)Հե-

հ(Թա)»0.

արտադրաճյուղը լրիվ չի օգտագործում

ավելցուկ Է մնում,

իսկ եթե հ.(5) Հ0,

նշանակում

ապա

է,

որ

1-րդ տեսակի ճումքը -րդ

ապա

ն

տեսակի ճումքը

պակաս Է, ուստի արտադրաճյուղը չի կարողանա իր նախատեսած ծավալով արտադրանք թողարկել: Այսպիսով, ունենք ճետնլալ ոչ ԳԾ խնդիրը 7(Ջ) -» ոու,

խԽ(5)Հ0, :Հ-1..,5: Այս խնդր Լագրանժի ֆունկցիայի :տնտեսագիտական մեկնաբանումը ճետնյալն Է: Դիցուք 4, Հ0, որը : -րդ Բումքի միավորի գինն Է: Եթե /.(5)»0, ապա արտադրաճյուղը կկարողանա վաճառել Բումքի ավելցուկը ն ստանալ 14 խԽ(Ճ)քանակությամբ լրացուցիչ եկամուտ: Նման ձնով, Հ

եթե

հ(«")Հ0։,

ապա

քանակությամբ

արտադրաճյուղը՝

ճումք

(ելչեշչ...»Ճլ)

ապահովելով

Լագրանժի

ֆունկցիայի

Ճ

Հ

Հ

ծախսելով

պետք

/,խ(52)

է

գնի

հ(»)

գմիավոր փող

ն

ճամախմբի ցանկալի մակարդակը:

7(ո1)-/(6(0:24Խ) ւ-1

արժեքը

(ալջեշ»...5»Ճղ)ճամախմբի թողարկումից ստացվելիք շաճույթն

Սա պարունակում Է այն շաճույթը, որն ստացվում Է 2

է:

(ոլյչշ»....:.) ճամախումբը թողարկելիս ն Բումքի գնման (վաճառման) շնորտիվ: Այսպիսով, |.ագրանժիֆունկցիան ցույց է տալիս շուկայի ծախքերը: --

Այժմ ենթադրենք. են

ն

որ

արտադրաճյուղը

շաճուլթը՝

ընտրելով

Բասցնել իր թողարկման

Շուկան փորձելու

Է

Լ(թ)

գները շուկալում որոշված

1...

Ճ Հ(եխյճշ»...2"Ճ) նա

որ

:-

ցանկանում Է առավելագույնի

Բամախումբը,այլսինքն՝

վեկտոր.

4,

լավագույն

պետք է գտնի

գտնել

(1)

Հ

ոու «0

1- (4լ»...24ղ)

Լ(54):

գների ալնպիսի

նվազագույնի ձճասցնիԲումքի ճամար ընդճանուր ծախսը` Հ

տո 1Հ0

4(8,4):

Շուկայում առկա Է մրցակցալին Բավասարակշիռ իրավիճակ. եթե

ոլո 1(».4)ոու 1(».4) ն

Հ

թամբակետ է:

(5՞,4)-ը Լագրանժի

ֆունկցիայի

Ալդ դեպքում արտադրաճյուղը շաճուլթ ստանալու

նպատակով չի կարող փոփոխել արտադրության

»-

Հ(պ,...:-)

մի ճամախմբի մակարդակը: Ընդ որում. ճումքի գների ոչ փոփոխություն չի կարող պակասեցնել արտադրաճյուղի շաճույթը: Տ9. Լագրանժի ֆունկցիան

ն

գծային ծրագրման

երկակի խնդիրները Այս պարագրաֆում ցույց կտանք. որ ԳՄ ուղիղ խնդրի Լագրանժի բազմապատկիչները կարող են ճանդես գալ մի նոր դերում` որպես ԳԾ երկակի խնդրի փոփոխականներ: Այնուճետն կքննարկենք Կուն-Թակերի պայմանները ԳԾ խնդրի ճամար ն ցույց կտանք. որ ԳԾ երկակիության թեորեմները Կուն-Թակերի թեորեմի հետնանքներն

են:

Դիտարկենք սովորական

ճետնյալ

տեսքի

ԳԾ

երկակի խնդիրների

զուլգը. Հ

Շ2-»

(9.1)

Ու,

(225 Ճ-0,

ս

-

ջե -»ուո,

(9.2)

126,

որտեղ

Հ-(4)

Գրենք 19գ

այս

յ։«ո

մատրից է. ԵՀՔ",

ՇՇՔ",

ՇՔ",

ՀՔ":

երկու խնդիրների Լագրանժի ֆունկցիաները

ո(.41) )0»թ) որտեղ 4

Ի

-

4(0-4»),

(9.3)

-)ծ-04-:որ-)ե:(«-:7ր

(9.4)

ո-չափանի, իսկ Զ-ն ո-չափանի վեկտորներ են:

-ն

Հեշտ Է նկատել, որ վերցնելով Լ(,,))

-

Ե.)

-

»-4,

Ո)

մ-»,կունենանք

-Յ)ե-

45.

երկակի խնդիրների Լագրանժի ֆունկցիաները այսինքն` ուղիղ են, Լագրանժի խնդրի ընդ որում ուղիղ Բամընկնւմ ֆունկցիայի բազմապատկիչները երկակի խնդրի Լագրանժի փոփոխականներնեն ն՝ ընդհակառակը: Ալժմ գրենք Կուն-Թակերի պալմանները՝ ն

Ս

-Ց-

24:50.

(9.5)

32.» 1,,":.-(.Է.»

ը,

-Ե-

(9.7)

Հ0.

(28)

)».-0,

)-Ն2....,ո

Հ0,

4Հ12...,տ

ջ.Հ0,

ինչպես տեսնում ենք, (9.5) ն (9.7) պայմանները ուղիղ ն երկակի խնդիրների սաճմանափակումներն են, իսկ (9.6) ն (9.8) պալմանները ոչ այլ ինչ են, քան ոչ կոշտության պալմաններ, լավագուլն լուծումներ.

երբ«-«.,»-չ: Քանի

որ

ուղիղ

ն

երկակի խնդիրների Լագրանժի ֆունկցիաները

համընկնում »՝ .Ե)ծ -

են. ուստի կունենանք

«5. ճո Լ(5, Ի): ոլո1(7,5) ոու երկակի խնդիրների նպատակային ուղիղ ն

ոլո

Հ

ճ.

-

Հ

Վերջինս ֆունկցիաների լավագույն արժեքների ճավասարութլան մեզ արդեն հայտնի արդյունքն է: Վերջում նշենք, որ Կուն-Թակերի թեորեմի ապացուցման ընթացքում տիրուլթի կանոնավորությանը վերաբերող խնդրի պալմանի անճրաժեշտութլունը վերանում է՝ սաճմանափակումներհ գծայնութլան պատճառով:

Որպեսզի (»1,22....,:) վեկտորը լինի (9.1) խնդրի լավագույն լուծում, անձրաժեշտ Է, որ գոլություն ունենան Լագրանժի բազմապատկիչների այնպիսի ոչ բացասական (31535553) Թեորեմ

1: Ա.

որոնց ճամար

արժեքներ.

(532»-::23) Ր.

ն

-

միաժամանակ

վեկտորը լինի երկակի խնդրի լավագույն լուծումը:

(չլ,շ»-...»»ո)

Որպեսզի

լուծում.

մ(ո,ջ) Լ(5՞,ջ),

տո

անճրաժեշտ

(ճլ:2::-:5:Ճ)

վեկտորը լինի (92)

է,

գոյություն

որ

բազմապատկիչների

այնպիսի

ոլուն(»,»)

արժեքներ, որոնց ճամար

-

խնդրի լավագույն ոչ

Լագրանժի բացասական

ն

միաժամանակ

ունենան

Լ(»չջ),

(Ճլ22»-.:5:Ճղ) վեկտորը լինի երկակի խնդրի լավագույն լուծումը: Է» Բավական Է ապացուցել թեորեմի առաջին մասը, քանի նույն ձնով ապացուցվում Է

որ

մյուսը: Ենթադրենք՝ «- վեկտորը

նան

(9.1) խնդրի լավագույն լուծումն Է: Երկակիութլան առաջին թեորեմից

կճետնի,

որ

(9.2) խնդիրը նուլնպես կունենա լավագուլն թ` լուծում:

Ցանկացած

ոչ

բացասական «,.

7ՀՆ2.....»

թույլատրելի

լուծումների Բամար ճձաշվենքճետնյալ տարբերությունը՝

Լ(5-,»)-

է6.5)-

» ՇՃյ-

չ ): 5,-

ր

յ-1

5.(«,

-

-

յՂ

)» Հոյ»: է:1

Եզա-Ֆե-ոյ»յ) չ ք1)

Եթե ճաշվի առնենք, իսկ ապա

(յ-

յ-1

-

(«յ յ: )»յ: )-1 -

որ

ճյ):)»,Հ0,

(շ,- Ի

ջճյո)Կ ՀՅ.երբ

-12....,ո,

41Հ

(9.9)-ից

կճետնի,

(9.9)

որ

:Հ0

1(2",»)Հ1Լ(Թ,ջ՞)

երբ /-12...,ո", ն

չ.4: ԼԷ

ցանկացած

բացասական 2», թուլլատրելի լուծումների ճամար, այսինքն՝

ոռ: Լ(»,ջ-)

Հ

1(5-,»")

ալն, ինչ պաճանջվում Էր ապացուցել:

.)

ՀՕ: ոչ

ԳԾ խնդր լուծման թեորեմի միջոցով Այսպիսով, օպտիմալության անճրաժեշտ պալմանը ճանգեց Լագրանժի ֆունկցիայի "մասնակի-պալմանական" էքստրեմումի խնդրի լավագուլն լուծմանը, երբ փոփոխականների վրա դրված են միալն ոչ բացասական լինելու սաճմանափակումներ: Թեորեմը, որի ապացուցման ընստորն կշարադրենք, կուն-Թակերի թեորեմի (տե՛ս. 87) թացքը մասնավոր դեպքն Է: Եվ քանի որ այս մասնավոր դեպքի ճամար կունու պարզ Թակերի թեորեմի ապացուցումը կլինի անճամեմատ ճասկանալի. ավելորդ չենք Բամարում բերել նան ապացուցումը:

Թեորեմ2: Որպեսզի 2

»" վեկտորները

ն

ճամապատասխանա-

(9.2) երկակի խնդիրների լավագույն լուծումները. լինեն (9.1) անճրաժեշտ է ն բավարար, որ ցանկացած ոչ բացասական Հ-ի ն Ֆ -ի ճամար ն

բար

Լ(5»)-)ՀԼԹ:չ»

)ՀԼՇ:»)),

որտեղ 7(չ5,»)-ը (9.1)ն

(9.10)

(9.2) խնդիրների Լագրանժի ֆունկցիան է:

Անճրաժեշտությունը Բետնում

Է»

Է 1-ին թեորեմից:

Բավարարություն: Խնթադրենք՝ «",ջ" թամբակետն Է, բար

(9.1)

տանք,

ն

ցանկացած )

որ

2--ըն ջ՝

-ը,

(9.3) ֆունկցիայի

ճամապատասխանա-

(9.2) խնդիրների լավագույն լուծումներ

5-ը

որ

տանք,

ն ցույց

զուգը

են:

Նախ

ցույց

(9.1) խնդրի Բամար թուլլատրելի լուծում է: Քանի որ

Հ 0

ճամար

1(5`,ջ-) ՀՄ(5՞,ջ). ապա՝

«2.0:51 - «յ»»,)Տ Է 20.- 0», )

յ-1

յ

որտեղից

կունենանք,

անճավասարությանը՝

»(»-))0.1

»«"-ը

բավարարում

Բետնլալ

է

Բայ»)

(9.11)

Հ0:

յ1

Հետնաբար, եթե որնէ (9.11)-ի մեջ տեղադրելով

յ

ճակասությլուն կառաջանա:

յ-ի

)»

ճամար

Ե,

-)2»--

լ,

Ուրեմն`

-Ֆ.

"

այյ

Հ0.

ՀԱ.»

ՃԿԱ(ԼՏԼՏ»),

ե-

ապա

իղ

շ.«

Ս

-

յ

Ժա

/

այսինքն

2--ը իսկապես

(9.1) խնդրի ճամար լուծումն է: Նույն ձնով.

քանի

որ

կամայական

ոչ

բացասական

Ճ

վեկտորի ճամար ճիշտ է

Լ(8,»)ՀԼԹ՞,) անճավասարությունը, ցուլց կտանք, որ »՝ վեկտորը (9.2) խնդրի լուծում Է: Ալժմ եթե (9.11) անճավասարության մեջ տեղադրենք յլ կստանանք ջո -0, ջչ Հ...Հ Հ

Է".»)«0:

Ը):(ե-

Մյուս կողմից, քանի

ԿՀ(1ՀՅՀոժ,

որ

ջ` թուլլատրելի լուծումներ

Ս)

("ն

)20

(9.13)

ցանկացած

որ

"»0

ճամար

կստանանք

»/(«-Ֆոլ)-0, Ստացված (9.13) երկրորդ թեորեմից

(9.14)

7ՀԼ2.....հ:

է-1

են:

:.

:Հ12.....ռ:

-0,

Նույն Լ(5,Ֆ՝) Հ Լ(5՝,»՝)։

(Խ-

են), ապա (9.12)-ից կճետնի, որ

Է",)քանի ձնով.

.(ծ.-

լավագույնն

(9.12)

ն

Բետնում

(914) Է, որ

պալմաննեից ն երկակիության »" ն չ՝ թուլլատրելի լուծումները

.)

510. Առաջադրանքներ 1.

շալ փ»

1)

"Ի:

Հ 0,

ոլ ոլ

ղո

Դ:չՀ9

Հ9,

Հ0,»չՀ0,

-2ոլԷՏո -3ո

ոլԺ»"-Ն Հ 0,»շ լ

ՀՎ

Ժե Յոլ

2)

ե

»

Հ0,»շչ

լ

3)

Հետազոտել ոչ ԳԾ ճետնյալ խնդիրները.

Է20-»«ա.

Հ

0,

45-30

ՏՏ Տգ

122-2-26

օէ

:107-ռ-»օ5

«8

5) Տոլ Է4չ-»

ՀոչՀն ճլ Հ05,շ 20,

-

Հ0,

Հ0,5չ

1-:2-»օթ,

7)

էշ 9)

.

8)1-:2-»օա,

1-»51-:3Հ0, Հ.» ց, բ.

ճՃլ31Հ0, Ն

Ն

251 Ի -»«մ, «1,

աչԻոյ

Ի

11) լեշ

լեց

Հ

Ճլ ԻՃ

Է:

Հ

2.

փ

Տլ

-321-»

Է

2»շ

լ Է

Հ

լ

3) 20ոլ Է 18, Է

ՃԻ

3աշԷչ

Տոլ Է 2»շ Էչ ոյ

Է

12)

1,1»,

22 Է»:

Հ

Տ9,

Ճլփ:ՀՏԼն ճլ Հ0,շչ Հ0:

ոու,

"Է:

2)

16,

-

Հ

2-1

-

ոու,

4) -4(ռ

30,

60,

Հ

Հ0,յՀԼ...4

ՀՏ15,

Հ0յՀՍ....5

-Տղ-ձՓռ-»որ,

3ել 2ռ -2»:Հայ-Տ, 11»լ Հ 6»շ Հ լ Հ 2յ

40,

Հ

ՃՀ0,/ՀԼՆ....4 ճլ

ի

Հետազոտել ՄԾ ճետնյալ դասական խնդիրները.

2:

Հ

Հ0,

1) Տոլ 6-1 ճլ

0,

Է շոլ -» Հ4,

Հ0,5շ Հ0,չ

ճլ

-» մ

10) յղ»չ»յ 22.

Հ0,ոչ Հ0,։չ

ոլ

4,

51:31Հ4.

2» Հ9, ել Է2:Հ2, ճլ

Ժ25շ-»

6) ալ

96,

-5) -Օչ-11

ոու,

3եշ էչ Հ 30, Էշ էպ -15, Տլ Ժ 22» Է» Հ60, ոլ Խլ

Հ

"Հ0,յՀ-Լ...5.

3. Ոչ ԳԾ խնդիրների ճամար ստուգել, թե տրված վեկտորներից ո՞րն է խնդրի Լագրանժի ֆունկցիայի թամբակետ

79/(Թ)--2-:Թ246-»ոատը, Ճլ փ Ճլ 0, Հչ-

Հ

ՏՏ

(1-13),

(0.0.0),

.2)/(8)-

-Տոլ- ո: Ւե

52:12 Ճլ

Հլ 22 Հ

Հ0,»5չՀ0,

-»

ոու,

-4:Հ4

(0,1,-4), (0,0.0),

7(Թ)Հ-225: շոլ

3)

-

-ԳոլՒԷ3

ԷՏ

ոու,

-»

8»լ- 3: -Է3»աչՀ 40, -2ալէ»:չ-:2:--Ֆ Ճշ Հ0,

(0,4,2,6,-1), (-2.0,7.0,-3), 4)7(5) Հ -35օՒ 11:լ Հլ

Հ

Հ

Էլ

ԷՅ

Է

-»

ոու,

Ճլ-աչԷ3Յոա Հ-7 Հ2, Տլ Հ 275 -:: Ճ:Հ0, 22Հ Տ

(0,2,2,2.0), (0,0,0,0,0),

5) Մ7(թ)Հ -ալ ԻԳ» -լ»

ՃլԻ2ոչԷ»:-3 -0, 2ոլ ԷՃշչ-»: Հ 0: Ճլ Հ0»շ 2: ՀՀ

Տ

6) /(.)Հ

2լ

Հ

(10,2.0.1), (0,5Ն1,12), Է

-լ

-

256.

ՃՒ

՝

0,

»չ-

-

գ

-

աու,

Է

-Նլ-

Ւ30չյ -

105:

այ.7

Հ0,7 1,....75, Մյ -. Հլ (0,0.1,0,0,--2,3,--1), Նյ

-

Է

-

Հ

8ոչ

Տ6»չ

-

-»

ուղ,

20, -11,

-

2շ

Հ

(0,0,0,0,4,-1,0,8):

4.

լուծում

Ստուգել, թե տրված

-ո1Հ6-» ոու,

1-1

ՃՒ»ԾՀՏ

լ 5'-

0,

(,-1),"Հ

(0,0),

ճ,

վեկտորներից որո՞նք

2)

-

Տո- 14

Հ

(0,0),5''

լավագույն

-» ոու,

:24:142ա-4»"ՀՓ Ճլ Հ0,չ 50,

5'

են

Հ

(0,1),

ՊՂ ՈՒՌՈՒՑԻԿ

ԾՐԱԳՐՄԱՆ

ԼՈՒԾՄԱՆ

ԽՆԴՐԻ

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐ

Հաճախ, ձգտելով դեպ լավագույնը. կորցնում ենք լավը: Շեքսպիր "Արքա Լիր

Լ Թույլատրելի

օպտիմալության

ուղղություններ. հայտանիշներ

Դիտարկենք ճալտանիշներ, որոնց միջոցով ցույց Է տրվում (ՈՒԺ) լուծման թույլտարելի ծրագրման խնդրի ուռուցիկ օպտիմալությունը: Եճթադրենք՝ տրված է ՈՒԾ խնդիր 7(Թ)-»ոտոռ, ՅԿՇՏ,

որտեղ /՛(»)-ը

ուռուցիկ ֆունկցիա Է, իսկ սաճմանափակումներով

որոշվող թուլլատրելի լուծումների

ուռուցիկ բազմությունն Է.

5-(աԱր(Թ)50146վ,8:Թ)-0Ւ:61ն),

1.1)

որտեղ »յ Հ0.7Հ-Ն2....ողան-

ք.(2)-2422-ել Եթե (1)-ում

ջ,(»)

«ի,,

Ե

ԱՉ..." ղՐդ-0 1օ1Հ112.....ոյ: ՀԽ,

ֆունկցիաները

Սաճմանում

գծային են,

ոչ

թվակալների բազմությունը նշանակենք 1

(1.2)

Է

ապա

դրանց

«ՖՏ-ի

ճամար

հ:

ՏՖ6օ-ե, վեկտորը կանվանենք

«

թուլլատրելի ուղղություն, եթե գոյություն ունի այնպիսի

4»0

թիվ.

որ

«Ի/4565Ֆ:

Սաճմանումից լուծում Է: Օրինակ, եթե 5-0

Բետնում Տ

Է, որ

-(/Ս»Հ0),

(2 ապա

45)-ը «-0

նույնպես թույլատրելի կետում կամայական

վեկտորը թուլլատրելի ուղղություն Է:

ներքին կետ է, Եթե չ-ը բազմության, 2» կետում կլինի թույլատրելի: ուղղությունը

ապա

կամայական

Դիցուք պաճանջվում Է գտնել /(2)-ի

Սահմանում:

«Հ

Եթե

արժեքը:

վեկտորը բավարարում

է

անճավասարութլանը, ապա Տ վեկտորը անվանում ենք Բամար Բարմար ուղղություն:

Սաճմանումից Մ7(.

45:65, ԺԷ

է,

ձետնում

թուլլատրելի

ուղղություն.

ուղղություն Է,

ապա

եթե

ն

կետում

։

այդպիսին կլինի

նան

Հ/(») կետի

թվի

ճամար

նունպես

կլինի

լ.

Խ41"ճ|վ0.4լ| («Հ45:-ը

ապա

45) ։, Տ

եթե ինչոր

որ

մինիմում

(«2Հ 4լտ5)-ը Բարմար

ՃՇ|0,4լ|(«Հ 1/5)-ը:

Ճ4

Օպտիմալության հայտանիշ: Որպեսզի ` թույլատրելի լուծումը լինի ՈՒԾ խնդրի լավագույն լուծումը, անձրաժեշտ ն բավարար է, որ 5` -ի ճամար ճարմար ուղղություն գոյություն չունենա:

Անորաժեշտություն: Իսկապես. եթե 2-ը լավագույն լուծում Է Բարմար ուղղություն է, ապա. ըստ սահմանման, կգտնվի

Է».

ն

5-ը

ալնպիսի 4»0. բալց

դա

որ

45)

Է

Բնարավոր չէ, քանի

Հ/(-)

որ

2:

-ը

մինիմացման խնդրի ճամար,

լավագույն լուծումն Է:

Բավարարություն: Դիցուք՝ 5-ը լավագույն լուծում չէ Բամար չկա ճարմար ուղղություն: Եթե ՝

ուրեմն գոյություն ունի «ց «Ճ-

Վերցնենք 7(«)-

5-յ-Ֆ.,

Հ1.5)Հ

կետում. իսկ

դա

տում

ՀՍ

Հ15 -ՊՋ

/(5)

ն

ջ.(5)

ն

ճարմար ուղղություն է »՝ .)

ֆունկցիաները դիֆերենցելի

Նշանակենք

1(2)-Ս6ղչքլ02)Հ (2)

Հ/(:):

Բակասում Է մեր ենթադրությանը: որ

»՞-ի

լավագույն լուծումը չէ,

ոյ

7(5՞). այսինքն՝Տ -ը

Այժմ ենթադրենք. են, ն տ, ՇՏ-ին:

կետն /(",)

-ը

ն

0).

«112.....ոխ»յ - 0):

(1.3) (1.4)

Թույլատրելի ուղղության գոլության պայմանը: Որպեսզի «2կեգոլութլուն ունենա Տ թուլլատրելի ուղղություն, անձրաժեշտ Է, որ ՀՅ 4«1(8), ԿՏ.(2):5 Ցո (8)5-25-0161ն,

(15)

5 Հ0,)

(17)

«7(»):

(16)

Որպեսզի »։« կետում 5-ը լինի թուլատրելի ուղղություն. բավարար է, որ ճիշտ լինեն (1.5)-(1.7) պալմանները ն ճետնլալ լրացուցիչ պայմանը. ՀՕ Ծջ,(Ջ»-)5

«1(Թ)Ր5

Անորաժեշտություն

Է»

ուղղություն

Է

Հետնաբար,

14 «Հ(0,4լ|)ն

0Հ5(Թ ն

(18)

գլ.

5-ը

Ենթադրենք

ուստի

Մ/Պ

թույլատրելի

6(04ի»0

»«Հ454Թթ:

6«1(») ճամար.

/5)- ..(«)Հ24ԴՄ..(ա)Տ ԺԷ

45)Հ Ք.(«

Գ

ճամաձալն

կետում,

2-ի 5-րդ թեորեմի (1.5) պայմանը ապացուցված է:

«1չ, ապա գ'5- ծ, -0, օ'(« Հ1/5)-Ե,-0, երբ նան (1.6) պայմանը ն վերջապես՝ Հետնաբար ճշմարիտԷ

Եթե

(5.Հ 45),

ի

ՀՀ

15յ Հ125Հ0,

Բավարարություն Դիցուք (1.5)-Ա.8) պալմանները: 1 6 7(»)Դ

Ժ2)

ւ

Հետնաբար, ջ,(2

Հ

(«Հ

որ

ք(5Վ/5Հ0

ապա

«Ե

այք

5.

ցանկացած

45) Հ0

մ

«մլ 11(»)

ճամար, երբ 4

Եթե յ «(Լ2....,ո)17(82), այնպիսի 4:

թիվ,

են

«7(»)Դ1չ ն

Տ

Հ0

երբ ն

14 ճլ0,4|:

46|լ0,4 |: Երբ փֆունկցիաների

Ք() որ

ջ («Հ

45)ՀՅ,

ՃՇ|0: 42|:

ապա

«յ»0

ն

կարելի

Է

գտնել

որ

45), ՀՀ /5,»0,

(«Հ

երբ

»0

Յ.-

45)Հ0.

անընդճատութլյան պատճառով կգտնվի մի 4 »0., բոլոր

ճշմարիտ

ն

էչ ճամար.

կգտնվի մի այնպիսի 4լ»0,

ւ6կճ1Թ),

56օՔ՞

«6-5.

Հրո աՅ 445)-2)/-

1-50,

ն

«10,1|:

46լ0,741|:

երբ /67(»ն

կո

Հ|054չ) կամալական 7 6(12....,ո)17(2):

Վերջապես, կամալական Ք. («Է

(թ

ճամար

45)Տ0, երբ 61(2)11:,

Ք.(» Գ45) Հ0,երբ Հ

4 Հ0

45),

Հ0,

է

Հմջ,

երբ / Հ7(5):

(1.5,

(1.7)

(1.6.

1-ի

մասերը տվյալ

Հետնաբար.

ն

պայմանների

ճամաձալն, որովճետն ձախ համար 14-ից գծային ֆունկցիաներ են:

յ-ի

օլ0,4)

կամայական

47.4):

4- տոկ,

Դիցուք`

համար

»:ՀԻ/5ՇՏ.

դիտարկում ենք մինիմացման խնդիր`

որտեղ

/(2)-»ոոո,

"65:

Հարմար ուղղության կետում գոլություն ունենա բավարար.որ

Մ/(5)5

գոյության հայտանիշ: Որպեսզի «ՀՏ ճարմար ուղղություն, անճրաժեշտ Է

ն

(1.9)

ՀՕ:

Անճրաժեշտություն: Եթե 5-ը ճարմար ուղղություն Է, ապա կգտնվի մի այնպիսի 424»0 թիվ, որ /(«Հ145Հ/Թ): 7) Է»

ֆունկցիալի

լինելուց՝

ուռուցիկ

կստանանք

0»7/(2Հ/45)-/(5) 4ԴԽ/(8)5 այլն. ինչ պաճանջվում Էր: Բավարարություն: Ունենք Հ

ան

ո

ՂՄ2»)-76)1աա

կգտնվի

հետնաբար.

անընդճատության յունը

ստուլգ

յրը

47/03: ՀՕ,

այնպիսի

մի

4լ-0

թիվ,

/(«Հ/5-/Թ)Հ0

շնորճիվ

Է կամայական 14 Ճճլվ0: 4լ| համար:

որ

7/(2-ի

անճավասարութ.|

Տ2. Գրադիենտի եղանակ Դիցուք՝ տրված Է լավագույն

Ծ/(»՞)-ը Ճ

ոու

խնդիրը, որտեղ յ

-ը

գոգավոր Է: «՝

լուծումը գտնելու ճամար օգտվենք ալն փաստից, ցուլց

Է տալիս ֆունկցիալի աճման

թվից կախված

չ'Հ

ացԷՃԽ/(Յ)

որ

ուղղությունը: Կազմենք

վեկտորը, որտեղ

ց

-ն

վեկտոր է՝

ճնարավորութլան դեպքում սկզբնական ճաշվարկի ճամար ճարմար 25»0 ընտրված: Ընտրենք նան բավականին փոքր թիվ, որն օգտագործելու ենք ճաշվարկն ավարտելու ճամար: Ըստ պալմանի 7(8) -ը գոգավոր Է, ն եթե ճաջորդական անդրադարձ հաշվարկների շնորհիվ

/(Ճ5)

ֆունկցիայի

գրադիենտի բաղադրիչները դառնան

թվից փոքր, կասենք, որ 5 ճշտությամբ հաշվել ենք 2 լավագույն լուծումը. որն Էլ ընդունում ենք որպես ճաշվարկի ավարտի կանոն: Նկարագրենք անդրադարձ ալգորիթմի քայլերը: 4-ին քայլ. Վերցնենք կամայական 2»0 փոքր դրական թիվ ն

սկզբնական Բաշվարկի ճամար ինչ-որ մի 7 վեկտոր: 2-րդ Կառուցենք քայլ. Անդրադարձ քայլ: (Դ ՀՋ0 3 Հ ՕՑ/(Ը 5) ն «-ն՝ ճառագայթը գտնենք լուծելով Բետնյալ խնդիրը. ոչ

/(ՋՐ 7

չ-1

3)): օՄ/(ԸՅ

ինչքան կարելի Է Բեռանալ /(«") ֆունկցիայի Հնարավոր Է,

որ

լուծում չունի

ն

ունի

ա

«27

դեպքում խնդրի լուծումով գտնում ենք թե աճման

կետից

ուղղությամբ:

չգտնվի մի վերջավոր Օ թիվ: Այդ դեպքում խնդիրը /(»5) ֆունկցիան անսաձմանափակ է: Եթե խնդիրն

լուծոմ

ն

2-0,

ճաշվարկն

ապա

ավարտված Է

լավագուլն լուծումը Բենց »50-ն Է: Հակառակ դեպքում (օ՞»0)

ն

նոր

Բաշվարկային կետը դառնում Է գ զ7(Թ1 95), :512...: Նոր «0 կետի ճամար ստուգվում է հաշվարկի ավարտման կանոնը, եթե ալն ճիշտ Է, ապա լուծումը գտնելու գործընթացն ավարտված է, եթե ոչ՝ վերադառնում ենք 2-րդ քալլին: Դիտարկենք մի օրինակ, երբ /՛(») ֆունկցիան քառակուսային 7(թ) Մ/(2)

որտեղ Մլ

Ջ-

զալ ԷՕ

Հ

(լլ

Հ

Հ

/

-

ՍլզՕ

ւ7

-

-

2)

Ւ

Ա2Ճ2):6«2 -

24125» ԱԿ

-

Է

զ.)

Է

Ու:

-»

Վ2252)) ԼՄլ.Մշի -

Մչ- յլ:

ոլ,

Վերցնենք կամայական 5. փորձնական վեկտոր ն հաշվենք Հ Հ ՕՄ/(Ճյ) (:2) օԼՄլ:7չ): Այս խնդրի Բամար կարնոր չէ, Հ

թե ինչպես ենք ընտրում 5"

-ն:

Գտնենք «` -ը՝ լավագուլն քայլի երկա-

րությունը, որպես Բետնյալ խնդրի լուծում.

Այստեղ «`

-

-Ֆլլզլլ»լ

գ

զոլ)

Ժ

«52

օ

702: ՕԾլ,»ՆՕշ): ոոճչ

-«1-2

Ի

Մ: :72:42(Ժչ)

օ

«2» »

-Օ).

Գրադիենտի եղանակը կարելի Է կիրառել նան ՄԾ խնդրի Լագրանժի ֆունկցիայի նկատմամբ՝ ճաշվի առնելով երկու կարնոր հանգամանք. 1. Քայլի երկարությունը՝ ռ. թիվը. պետք է ընտրվի այնպես, որ տրված ուղղությամբ շարժվելիս դուրս չգալ թույլատրելի լուծումների Ընդ որում ա-ի փոքր լինելը մեծացնում Է բազմությունից: մոտարկումների քանակը: 2. Գրադիենտի ուղղությունը սովորաբար չի Բամընկնում ալն գծի ուղղությանը. կետին:

որը

ա" սկզբնական կե.որ միացնում Է 2" օպտիմումի

Տեղին Է նշել, որ քայլի երկարությունը՝ Օ թվի ընտրությունը, շատ գիտական ճետազոտութլունների առարկա Է եղել: Գրադիենտի եղանակները տարբերվում են քայլի ընտրությամբ ն ուղղության վեկտորի նորմավորմամբ: Հետաքրքրասեր ընթերցողը կարող է օգտվել ճամապատասխան գրականությունից |16,32): ՄԾ խնդրի Լագրանժի ֆունկցիայի թամբակետ գտնելու ճամար գրադիենտի եղանակի կիրառումը ճետնյալն է: Ընտրենք ոչ բացասական (22,4) սկզբնական վեկտոր: Քայլ 1-ին Հաշվենք Լագրանժի ֆունկցիայի

(»տ',4")

արժեքը

Լյ,

12,..ո՛.

Հ

Քայլ 1 բանաձնով.

-Է

Ա)

-

յ

1-րդ: Հաշվենք

Ի »/

-

պարամետրի

ընտրության լուծումները.

տո 1(5, չ-0

-

1.յ(»"»4").

15 12,....ո: է

Է1-րդ մոտարկման վեկտորը ճետնյալ

եթե» -0ՆԼ,,,»0

ՖԼույ։ եթեչյյ

Օա

»0

ն

ԾԼ,,յ

425-0նլյ,

եթե

Իզ

ՄԼ,

ՄԼլյյ։եթե 4: »0նԾլյ,

)

Հ0,

Հ

12....յո

Հ0

ՀՕ, Է-Ն2,....ո

0,Ն2...:

-

Նկարագրված

Օլ

Էւ (4'),

0,

մ:

ք

Հ

-

Նշանակենք

կետում:

գրադիենտի

-

ալգորիթմի զուգամիտությունը կախված Է

տարբերակներից :4.):

արժեքի Օրինակ, Օյ ճետնյալ երկու խնդիրների

ընտրությունից:

խելամիտ

աԼ,

Օ,

Ճճլ-0

են

Լ(ոյ:մ

Է

աԽԼալ)» 0.

-

Ոմո(ճլչա.):

53. Համալուծ ուղղությունների

եղանակ

Ողորկ ֆունկցիայի, ինչպես օրինակ՝ քառակուսային ծրագրման «Հ նպատակային ֆունկցիայի 7-(5) «Օամինիմումի (մաքսիմումի) արժեքը գտնելու ճամար գոլություն ունեն բազմաթիվ արդլունավետ եղանակներ: Դրանցից Է նան ճամալուծ գրադիենտների եղանակը: Այս եղանակը սերտորեն կապված Է նպատակալին ֆունկցիայի ճասկացության գծապատկերի՝ էլիպսի համալուծ ուղղություններ ճետ: Գաղափարը ընկալելու ճամար ասենք. որ եթե էլիպսի մեջ տանենք զուգաճեռ լարեր, ապա վերջիններիս կենտրոնների երկրաչափական տեղը կլինի մի Բատված. որն անցնում Է էլիպսի Հ

կենտրոնով:

Դիցուք երկու

դչ

այդ

ճատվածի ուղղությունն է, իսկ դլ -ը՝ լարերի: Այդ կոչվում

ուղղությունները

«0»

համալուծ

քառակուսային

կամ

փոխադարձ

նկատմամբ

փոխադարձ

ճամալուծ

են

ձնի

Բամալուծ ուղղությունները սաճմանվում

են

որպես այնպիսի 7յլ «0

դչ

են

ճետնյալ պայմանին.

«0

վեկտորներ, որոնք բավարարում

դւՕդշ

(0,

-

դչ)

-

(Օղլ,0դչ)-

ն

0:

Ենթադրենք տրված Է ոչ պայմանական էքստրեմումի ճետնյալ խնդիրը. ոո: Ի(ո) «ՕԷ-» Համալուծ գրադիենտների եղանակի էությունն այն է. որ ճաշվարկները սկսելու Բամար նախ ընտրվում Է մի սկզբնական Ւ վեկտոր: Հաշվում ենք նպատակային ֆունկցիալի գրադիենտի է տալիս արժեքը ալդ 2. կետում: Քանի որ գրադիենտը ցուց նպատակային ֆունկցիայի աճի ուղղությունը, ապա շարժվում ենք դրա ճակառակ ուղղությամբ, կամ, ինչպես ընդունված է ասել, ճակագրադիենտի ուղղությամբ, մինչն չենք ճանդիպում այլն " է իր տեղային կետին. որի վրա նպատակային ֆունկցիան ճասնում նվազագույն արժեքին: Ալնուճետն Բաշվում ենք նպատակային Փունկցիայի գրադիենտի արժեքը լ կետում ն շարժվում ենք դրաՂ համալուծ ուղղությամբ. ն այդպես շարունակ. մինչն որ ճասնում ենք նպատակային ֆունկցիայի նվազագուլն արժեքին: Ալժմ ենթադրենք, որ 4 -բդ քալլում (Բ Հո ) մենք շարժվել ենք 5" Հ

ուղղությամբ

ն

ասել

ո"

կետին: Համաձալն վերը շարադրված

ԵԼԱ2

օնտվր 1ղց6տիոլ զ վլղմող մրւսօւսլ ջտիծճոտոը:մվնցո| ՈՎՓ Հող լսլղցտԵ մմստհղի վլզմտոլնսվ րւսօւսմ մորոյ :. "իսովոոր

Ղ

:չրաստղկ 'Ճ օտիՀշով ցղ օմղդմղքմտ վմղոցչվմնտնոմ վտդղվնոմԵ վնովծկուսՓ (չ)/

մմղդծվկվոցմսե վեովծկուսՓ ռվլտտղոտոռՂ, :0ՀՃ

զ»: Ճծա

նուղտղկ Հռղ րւսօւս1 մորով

«-

«-(լ2)/4Ճ 03". Հ

"Ամվնցո|ՂԵ :ցժվմղցրւսվկտփոցոռրվկտո ցվլտցԵ ռտմՎզ,

Վ րառծտրվոմոր 1 խամտմտիոմ ղ ռովծկուսՓ (չ)/ (--Ֆ-(2Ֆ) մմս 'Աստղղի « վլղմոտլնսմ վովռցլտ 1ղցտԵ Վ րւսիծըյոցոլ, 5:

(574

-Է

Ն

- ԿՅ

-

գ5Ճ- ՋԿգ»»Մ4Էգ5Ջ17 7

մ- (2)/ Մոզ ըց6ոԼոկղմվղց փիիսմողտ մսիոտար Լ1ոլղտղկս

աԾՓվղջոդոմվմսլղջյ իսլղիտեՕ :1 վլղծդղմղֆվն ցովծկուսծ (»չ)/ մս «ՃմդղրաամնոմցղՂ օտվնոոկղտտոհը :րւարոմ նմ վմղըցղմտիշով ՆԱիծտտո դմս -զ րաս վլղմտոլնսվ «Ասծվզ, 0-5 Վ

(6)

:0Հ2

(2-Ֆ)

`

Վ»:

ձեւա «0՞Ֆ) (5)/ :6վԵմտղտրոց վմղցուսօնսմռոռիոցցտ ռվլոօԵ բողկ վմղցրւսմռոռիով օտիրետկ մեմողտրտվ վմղդորւսակղոփտցտրցյտո 6ցյսմս «մորով վմղդմվնըո| ոտ ՊԵ ՀԿ Վ վլղստմվղ մղտցոնղ նսիղմոտվվյ,

Վ

կտցտնղ դործկորով

դվլոցծՓ -ֆ Տ

1(ոմ ս ցտմ վլղզիռո Հս մրւսցւս| :ստղվ 61սմղմոտտոդ ցնսեռիու 1լղդտե զ վլղզմող իսծսձծվր վղոցտնղ վմղդտցղվնոմԵ Չլալորով մորով վմղցովծկուսֆ դվլռուսվոսՈոմ մս "Վ օտիճսծտոխո'ր քանտսծկորով դվնտջե վ(յ4Ճ Ղ Դղմստոտփ Վ,"

Վ

:«մռւսմաիսննաս օատսնորով1 Էէ- Ճ

մմս

0ՀղղճՕՃ իսղցա

ղ

(յ)71Ճ

մդյղ ըրւսյտե մրւսմտոռիոց

ՀօՂ րաիշոց

,վմղդուսնեռսնստոն

միալն ալն դեպքում, երբ )օչ(8՞)» չի երաշխավորում,

որ

/(«՞)»./(8:):

Ցավոք, ալդ պայմանը դեռ

Դա տեղի կունենար, եթե

5--ը

գտնվեր »' կետի բավականաչափ փոքր շրջակայքում: Եթե ՄՄ(«՞)»»յ (85), ապա |2",2-|Բատվածի վրա գոլություն ունի »:՞: կետ այնպես,

որ

»

(8),

ճետնում

դա

Է /(»)

ֆունկցիայի

անընդճատությունից: Այդ 277 կետը գտնելու ճամար կազմենք աե1 -(-գ) «05 Հ: Հօ -529,0ՀօՀ Ճամակցություն: Սաճմանափակումնեի ճՃճամակարգը ճետնաբար, թուլլտարելի լուծումների բազմությունը՝ նուլնպես թույլատրելի լուծում է: ռ թիվը ուռուցիկ, ուրեմն 2 կարելի է մեկնաբանել գրադիենտի եղանակին Բամանման, որպես գծային գծային

Է,

1 կետը գտնելու ուղղությամբ: քալլի երկարություն (5 -«:) ճամար պետք Է լուծել ճետնյալ մաքսիմացման խնդիրը ա մեկ

փոփոխականի Բամար Նկարագրված

ընթացակարգը

ժամանակ, մինչն է -րդ

քայլը,

հ(.)

որ

պետք

ունենա

ալգորիթմի աշխատանքի վերջին

Ո" 400: -53)5» է

շարունակել

ոու:

այնքան

(2) Հ.Թ)

պալմանը: Այն

»յ(»«-) Հ(Ցյ),

ճամարվում է

բավարարվի

երբ տեղի

-

քալլ:

Տ5. Արգելքի եղանակ Նախորդ բաժիններում ծանոթացանք գրադիենտի եղանակի ն ՃԲամալուծ ուղղությունների երկու տարբերակի հարմար բաժնում եղանակներին: Այս կդիտարկենք մի նոր տարբերակ, որը նան ԳԾ Է կիրառելի ոչ խնդրի ճամար, բայց այն վերապաճումով, որ թուլլատրելի լուծումների բազմությունը պետք Է պարունակի ներքին կետեր: Այս եղանակի իմաստն այն Է, որ սաճմանափակումների ճամակարգով տրվածոչ ԳԾ խնդիրը վերաձնակերպվում է որպես առանց սաճձմանափակումներիօպտիմացման խնդիր, որը կարելի է լուծել գրադիենտի եղանակի միջոցով: ՛Եթե խնդիրը ՈՒՄ խնդիրների դասից է, ապա ճաջորդական հանգում ենք` միակ ճամապարփակ լուծումների ընթացքում լավագույն լուծմանը, ճԲակառակդեպքում, գտնում ենք տեղային

լավագուն լուծումներից որնէ մեկը: Այսպիսով. այդ եղանակի կիրառման նպատակն է՝ ընդճանուր տիպի ոչ ԳԾ խնդիրը լուծել Բաջորդական ոչ պալմանական օպտիմացման խնդիրների միջոցով, գրադիենտի եղանակի միջոցով լուծել մի շարք ոչ պալմանական օպտիմացման խնդիրներ. որոնք մոտարկում են ոչ ԳԾ խնդրի լավագույն լուծումը, ՈՒԾ ոչ խնդիրների ճամար գտնել տեղային լավագույն լուծում: Ոչ ԳԾ խնդիրների լուծման այս եղանակի ճիմքում դրված է արգելքների ֆունկցիայի կիրառումը, որն ունի ճետնյալ տեսքը. »

»

»

8(5)-

Իթ,-Ք.():::

ւ-1

բ»

(5.1)

:

յ-1

8(»5) ֆունկցիան օժտված Է Բետնյալ երեք ճատկություններով՝ »

»

»

»

Է թույլատրելի փոփոխական վեկտորը ճեռանում լոծումների բազմության եզրից, ապա ֆունկցիայի արժեքը շատ Է փոքրանում, Փունկցիայի արժեքը շատ է մեծանում, երբ , փոփոխականը մոտենում Է թուլլատրելի բազմության եզրին, ֆունկցիայի արժեք` ձգտում է երբ անվերջ, Է փոփոխականը,մոտենալով եզրին, ձգտում զրոյի: Ց(2) ֆունկցիայի առաջին տ գումարելիները արգելք են

երբ

ծ.-Ք(ՃՀ0,

-Ն2....ռ

սաճմանափակումնրի

ճամակարգը

խախտելու ճամար, իսկ ճաջորդ գումարելիները ։» փոփոխական վեկտորին արգելում են անցնել ոչ բացասական լինելու սաճմանը (նան ընդունել զրոյին մոտ արժեքներ): Առանց սաճմանափակումների խնդիրը ճետնյալն Է՝ -» ոու (5.2) Ֆ(8:ո) /Թ)-8(5) Հ

Ւ-ը դրական պարամետր Է, դրա միջոցով արգելվում Է 25 ընթացիկ լուծմանը մոտենալ թուլլտարելի լուծումների բազմության եզրին: Դրանով իսկ նոր լուծումը միշտ լինում Է ներքին կետ,

որովճետն երբ «-ը

մոտենում

Է եզրին՝

լէ,

-ք.()|:,

կամ

-Յ

ֆունկցիաներից գոնե մեկն ունենում է շատ մեծ բացասական արժեք, ինչը բացառված է նկարագրված մոտեցման շնորձիվ: Հաջորդական լուծումները, այսպիսով, միշտ ներքին կետեր են, ն դրանով իսկ է Բնարավորություն ռստեղծվում օգտվե|Սրլ)լ9ոչ պայմանական օպտիմացման խնդիրների լուծման եղանակներից. մասնավորապես գրադիենտը հարմար ուղղության եղանակից:

Դիցուք՝ »--ը խնդրի լավագույն լուծումն է, իսկ 2-ը առանց սաճմանափակումների խնդիրների շարքից ստացված լավագույն Է պատկանում լուծումների որը թույլատրելի մոտաոկում, բազմությանը: Եթե

|/(»5-)/(Ջ')|

ՀՔ,

որտեղ

8-ը

բավականին փոքր

դրական թիվ է, ապա կարող ենք եզրակացնել, որ 2 -ճշգրտությամբ գտել ենք նպատակային ֆունկցիայի լավագույն արժեքը, ն «'-ը օպտիմալ լուծումն Է: արգելքի եղանակի կիրառմանալգորիթմ Ռչ ԳԾ խնդրի

Վերցնել բավականաչափ փոքր

6»0

ն ծ»0

թվեր:

Սնզբնական քայլ. Գտնել որնէ թուլատրելի 7. լուծում: Վերցնել ցանկացած 7Հ0 (7-ի ընտրութլունթից է կախված ն զուգամիտության արագությունը՝ տե՛ս, |12): Վերցնել 1-1 0ՀզՀ1Լթիվ: 4.

շ.

Հաջորդ

եղանակընլոծել 5.

քայլ.

"1

լուման

ճամար կիրառել գրադիենտի

(5.2) խնդիրը: Դիցուք՝ նոր լուծումն է ա":

Վերջին քայլ.

Եթե

կամ |ու-»վՀ5. |/(ո")-7(5")|ՀՏ

ծ»0 փոքր թիվ է, ճաշվարկը դադարեցնում ենք ն Ֆ" -ն ընդունում ենք որպես լավագույն լուծում: Հակառակ դեպքում 7 -ը փոխարինում ն վերադառնում 2 կետին: ենք զ:7-ով է-»/1Հ1-ով

Պարզ Է, որ ՈՒԾ խնդրի դեպքում ալգորիթմը ճնարավորություն Է տալիս գտնել ճամապարփակ լավագույն լուծումը: Ընդճանուր դեպքում պետք է փորձել 2" սկզբնական թույլատրելի լուծման այլ տարբերակներ ընտրելով գտնել տեղային լուծումներ ն դրանցից ընտրել լավագույնը, բայց դա երաշխիք չէ. որ կգտնենք ճամապարփակ լավագուլն լուծումը:

Տ

6.

Քառակուսային ծրագրում

Խնդրի դրվածքը: ՈւսումնասիրենքՈՒՄ խնդրի մի մասնավոր դեպք՝ քառակուսային ծրագրման խնդիրը: (6.1) 7(8) 6:25Է0,5:"Օ5 -» ոու, 1.

Հ

«Հէ, Ճ»0,

(6.2) (6.3)

որտեղ Օ-ն սիմետրիկ կիսաբացասական որոշված մատրից է, 2,Շ«Ք՞.

ո«ոռ

մատրից է.

ծ «Ք:

/(») ֆունկցիան գոգավոր է. ուստի նպատակային ֆունկցիայի տեղալին ն Բամապարփակ առավելագույն արժեքները ճամընկնում են. ն լավագույն լուծումը միակն Է: Ընդճանուր դեպքում /(»5) ֆունկցիայի մակարդակային գծերը են: (6.27(6.3) էլիպսներ 6սաճմանափակումների Բամակարգի լոծումների բազմությունն ուռուցիկ բազմանիստ Է (ենթադրում ենք, որ այն դատարկ չէ): Երկրաչափորեն խնդիրն ալն է. որ պետք է 4-յ»«

ո

գտնել /(:5) ֆունկցիայի առավելագույն արժեքին ճամապատասխանող մակարդակային կորի մի կետ, որը պատկանի ալդ բազմանիստին: Նկարի 6.1-ի վրա պատկերված են երեք ճնարավոր դեպքերը.

մակարդակային կոր

ճկ.

6.1

տեսնում իր ենք 6Ննպատակային ֆունկցիան ինչպես Է գագաթում, առավելագույն արժեքը կարող ընդունել բազմանկյան

կողի վրա կամ ներքին կետում (2`

լավագուլն լուծումն Է): Լագրանժի ֆունկցիան. կուն-Թակերի պայմանները: Քառակուսային ծրագրման խնդրի պայմանները, երբ Օ մատրիցը կիսաբացասական որոշված Է, բավարարում են ՈՒԾ Կուն-Թակերի

-ը

թեորեմի անճձրաժեշտ ն բավսրար պայմաններին: (1)(3) ճամար Լագրանժի ֆունկցիան ունի Բետնյալ տեսքը.

ա(ե 4») 052054 կուռ-Տակկերի պայլմաններն են՝. Լ(8,ո)

«

(6.4)

-

Լ.-ՇՀ05-ա4Հ0

(6.5.1)

ո4):5-0

1,-5-(Հ05-

խնդրի

(6.5.2)

(6.5.3)

"0

2-Ֆ-45Հ0 Լ,-ս-(Ե-/4»)6-0

(6.5)

(6.5.4) (6.5.5) (6.5.6)

սչ-0:

Եթե (6.5.1), (6.5.4) Բամակարգում լավագույն լուծման ճամար ստացվել Է խիստ անճավասարութլուն, ապա ճամապատասխան ., ն

փոփոխականները

ա.

զրո

են:

(6.5.1)

5Բամակարգում խիստ

անհավասարության դեպքում գումարվում Է »»0 լրացուցիչ վեկտոր, (6.5.4) իսկ ճամակարգի անճավասարությունից ճանվում Է ։»0 լրացուցիչ վեկտորը: Լ.րացուցիչփոփոխականների վերաբերյալ ԿունԹակերի թեորեմից ճետնում Է, որ եթե լավագուլն լուծման դեպքում

ջյ»0,

ապա

(6.5.1) համակարգում անձավասարությունը խիստ է ն

դրան համապատասխանող «յ

հավասար Է զրոլի:

փոփոխականը (6.5.2) ճամակարգում

Եթե Ճյ փոփոխականի լավագույն արժեքը

մեծ

Է

զրոյից, ապա դրան ձամապատասխանող արտահճալտությլունը(6.5.1)ում դառնում Է Բավասարում: Նուլն դատողությամբ (6.5.5) ն (6.5.6)

ճամակարգերի ճամար Բամախատասխանորեն 39

»0

ն

ա -0,

ն

(6.5.4 ` անճավասարությունը խիստ է: խոսքը ապայմանների կոշտության ն ոչ կոշտության մասին է: Ներմուծելով լրացուցիչ ոչ բացասական փոփոխականներ (6.5.1) ն (625.4 անճավասարութլունների ճամակարգը վերածվում է ճամակարգի.ճավասարումների (6.6.1) Շ40:-ս4:5-0

Ե-452-»Հ-0 5:

(6.6.2)

(6.6.3)

առ -0

5Հ20,.2Հ0.520,

(6.6.4) Հ0:

(6.6.5)

(6.6)

ճամակարգը բաղկացած Է "Հ. ճավասարումներից ն տ) փոփոխականներից: (6.6.3) պայմանից ճետնում Է, որ 2ո

(6.6) 2-(

ոՀ

քանակի

«յ

ն

փոփոխականներից

»յ.

փոփոխականներ պետք Է Բավասարվեն զրոյի

` պայմանից

(6.6.4)

»։

քանակությամբ

ճամանմանությամբ եք ` փոփոխականներից (անդ)

շտ

ն

քանակությամբ փոփոխականներ նունպես հձավասարվեն զրոյի: Հետնաբար. եթե լավագույն լուծում գոյություն ունի, ապա դա պետք Է լիճի (6.6) համակարգի ճենքային լուծումներից որնէ մեկը: Հաշվի առնելով (6.6) սաճմանափակումները՝ սիմպլեքս ալգորիթմը կարելի է կիրառել քառակուսային ծրագրման խնդրի լուծման Բամար: Աջ մասում գտնվող (-Շ) վեկտորի բաղադրիչները նշանի սաճմանափակումների տեսանկյունից ազատ են. այդ անորոշությունից ազատվելու նպատակով գումարենք ն ճանենք մեկական ոչ բացասական 2| թ3ն 2շչ փոփոխականներ: Արդյունքում (6.6.1) ճավասարումների Բամակարգիճամար կստանանք

Օ0:-ա4ԻՎ57Է2լ-2Հ--Ը: ձնով վարվենք (6.6.2) ճամակարգի ճետ. ճաշվի առնելով,

Նման որ

ծ

վեկտորը

ոչ

բացասականէ, գումարենք »Հ0

փոփոխական

վեկտորը

42:54ջ-է: Հավասարումների (6.6) համակարգիվերջնական տեսքը կլինի.

Օ.-ա4-Է5Է2լ-2չՀ--ԸՇչ ««:ԹՀջ

-Ֆ.

»-5 0, թռ 0, 520.2Հ0,Հ0,5Հ0,220,220,5Հ0:

(6.7)

-

-

բաղադրիչների ճԲամակարգում (-ՇԸ) վեկտորի որոշ բացասական լինելու դեպքում ճամապատասխան ճավասարումների որպեսզի աջ աջ ն ձախ մասերը պետք Է բազմապատկել (-1)ով, մասում գործակիցներ: ունենանք միայն ոչ բացասական ազատ Հիշնցնենք, որ նման ձնով վարվում էինք նան սիմպլեքս ալգորիթմը սկսելիս, երբ ճեն, ստանալու նպատակով ներմուծում Էինք արձեստական փոփոխականներ (մեկական ամեն մի ճավասարման ն »»0 ճամար): Մեր խնդրի ճամար ներմուծելով 2լՀ0, 2-0 (6.7)

արճեստական

փոփոխականներ

կարող

ենք

Նկառուցել

ալդ

փոփոխականներին ճամապատասխանողվեկտոր-սյուներից կազմված սկզբնական ճենք. որի մեջ կլինեն

ույ,

վեկտորներ.

ո

քանակությամբ շ,

ն

2,

ու

քանակությամբ

յ,

,

։

Միջանկյալ օպտի-

մացման խնդիրը ձնակերպելու ճամար ավելացնենք

ջ, -» -Ֆֆ

տու

1-1

մտացածին նպատակային ֆունկցիան: Կառուցենք սիմպլեքս աղյուսակը ն արտաքսելով ,. արհեստական փոփոխականները, միաժամանակ ճետնելով, որ զրոլի ճավասարվեն «ա. » ն ջջ փոփոխականները՝ կատարենք սիմպլեքս քալլ: Անցնում ենք նոր Բենքի, որի մեջ չպետք Է մտնի վերը նշված »., ռա, » ն 39 փոփոխականներից ոչ

2,» -ը ճավասարեցնել զրոյի, ապա ստացված լուծումը բավարարի (6.7) համակարգին:

մեկը: Եթե մեզ

պարտադիր չէ,

Բաջողվի

որ

Դրան կխանգարի

որոշ

առկայությունը: Հիշենք, խականներ,

այդ

թվում

ն

2, որ

ոչ

շյ

արճեստական փոփոխականների

լուծման մեջ պետք Է լինենո

ավելի, քան

խականներ: Ստացված լուծումը բավարարումԷ(6.8)

ի

(6.8.2)

»»-0, ս

520,

-0,

Եթե

պայմաններին.

(6.8.1)

ԺՖ.4յ,»0,

ր

Հո փոփո-

քանակությամբ «յ, փոփո-

ո

2Հ20,5»20, »Հ0:

աղյուսակից

սիմպլես

փոփոխականները ն

այն 2,

(:Հ

(6.8)

(6.8.3) (6.8.4)

2).

արտաքսենք

բոլոր

որոնք չեն մտնում

լուծման մեջ, ապա մնացած փոփոխականները կկազմեն Բավասարումներիցբաղկացած Բետնյալ Բամակարգը. որտեղ

այն

ճենքային են

ոՀ)

42:»-է,

05-ո4:45Հ:12--6. Ք-ն

լ2

մատրիցն Է,

որը

Հ,

փոփոխականներին Է

ճամապատասխանումընթացիկ լուծման մեջ: Ալժմ մնացել Է լուծել ճետնյալ ԳԾ խնդիրը.

-Հյ-»

ոու,

յ

Օ:-ս4457Հ/7ՄՀ-ճ, 4:-4» 7.

ԱՂ

»«Հ0,2

-

20,5

-ֆ, 0,

(6.9)

»0,9Հ0,2520,

ն

ազատվել

արհեստական

(4-12

4,

փոփոխականներից՝

պաճպանելով (6.8.2)-(6.8.3) պայմանները: Այդ դեպքում կունենանք (6.9) պայմաններին բավարարող Բենքային լուծում: Ստացված լուծումն ըստ Կուն-Թակերի թեորեմի կլինի քառակուսային ծրագրման խնդրի լավագուլն լուծումը: Խնդրի լուծման ընթացքում պետք է Բետնել ճետնյալ երկու կանոններին՝ 1.

եթե

փոփոխականը ձենքային լուծում

»,

է,

ապա

»յ

փոփոխականըհենքային լուծմանը չի պատկանում, Բակառակը. 2. եթե ս, փոփոխականը մտնում Է ճենքային լուծման մեջ, ապա ն

փոփոխականը հենքային լուծմանը չի պատկանում. 5. ճակառակը: Քառակուսային ծրագրման խնդրի լուծման օրինակ:

Մ(Խ»:53:7)

Հ

Տոլ

Ի

6»

2»: 1-5 -

-

ն

ոու

-աելԻյչԻ:Հ-Ն Ճ-ՀՀ:`-3 Ն2.....4։ չյ 0.) Հ

Հ-Փֆունկցիան՝ (8չոլ Է6»չ)

գծային

ն

(-2»1-73)

բացասական

ֆունկցիաների գումարն Էէ, ուստի այն

որոշված քառակուսային գոգավոր է: Այս խնդրի ճամար Լագրանժի ֆունկցիան կլինի՝ 1(,,1)

Հ

2»2 2

ՏոլՀ6։"ռ-

Օպտիմացմանանձրաժեշտ Լ(5,ռ)

Հ

Տոլ ճոչ

Հ

-

ն

'Ղ4ալ-շչ-:՝)ԷՃ2Թ-»-»«:

բավարար պալմաններնեն.

2 -1Հա0Մ4Հ"-»ռդ-»Թ)Էա:Յ-"ռ-)

-

1.-Տ8-գոԻա-աՀ0,Լլ-6-2ռ-պՀ0,

Լ. Լ,

-կչ

-

ՀՅ,

"Ե: Հ0,

5 Հօ.)

50,

է,, Հ3Յ-ալյ-լ-0,

Հ1Իպ-»ռ-»:-0,

1.» Լ,

է,

--ԱլՏ0,

1-26, 1,

-լ-

0,

.

ՀՆ234:

1-Ն234 լրացուցիչ փոփոխականներ ն »,Հ0, անճավասարութլյունները դարձնենք ճավասարումներ: Հիշեցնենք նան, որ Լագրանժի բազմապատկիչների վրա մեր դեպքում նշանի տրված է (2-ը որովճետն դրվում, սաճմանափակում չի

Ներմուծենք

ճավասարումներով: Հեշտ Է նկատել,

»Հ0

ն

ջՀ0, 2չ»0 փոփոխականներիներմուծման կարիքը նուլնպես չկա: Փնտրվող օպտիմալ լուծումը կլինի ճետնյալ պայմաններով որոշվող խնդրի Բենքային լուծումը.

8-4ոլ

ալ-աոշչէլ

6-2»:շ-ալ-ԷՖչ մղ Իլ

-

«0

-

-աշՒլ

-լԷ չԷ Հալ Է»: -3 լ լ ՀՀՃշ-5շ

յ

ա)յ-ջյ)

Հ

Հ0,»յ Հ0,յ Հ0,»շ Հ 0,5

Հ

լ-Ֆլ-0

Հ

Ն2734,

Հ 0, Հ0, Հ0,,շչ Հ0,5: Հ0,5չ Հ0չ Լոլ»լ 0,:շջշ Հ0տյջց Հ0,ոգյչ

Ճլ լ

Հ

Քանի չունեն,

որ

ալ ն

սչ

ճամակարգից` տեղադրելով

արտաքսենք

Պարզեցումից

սԿչչայլ

0:

-

փոփոխականները նշանի սաճմանափակում

դրանք

ապա

ալտ,

որ

ճետո

ալգորրիթմի

սիմպլեքս

եղանակով լուծում ենք Բետնյալ խնդիրը. -2լ-422-

ՈՅւ,

- լ Ժ0-5չ -ջ Էլ ԻՀլՀԻ0-2-8 2-6 -ՖչփԻգՀԻ

գլ Է0-չշ-0-այ-Ւ0-չլ -Ճ Կլ

2-:շ

ԺՒՊՃչ -յյ

5, Հ 0,», Հ Ակնճալտ Է,

Է

ճգ

0, 7 ՀՆ2,Ֆ4,

25,25,2-,2:'"

որ

Հ

Հ0,

լ

12:

վեկտոր սյունակները կարելի Է

ընտրել որպես սկզբնական ձենք, ճաշվի առնելով նան,

12,..4:" Դա

-

նշանակում Է,

որ

»,

ն

5-0,

որ

փոփոխականները

տ.

միաժամանակչեն կարող պատկանել Բենքային լուծմանը. Բ

Ը

գն

Ճյ

2:

|

'|ո

իք

ԵՋ

ո

|

13110610 |-

գ

Ոլ

2:

2"

ՒԼ,

010|վ0 01017

41010

|շ

ր

լ

լ

օ|

01116

|

աղլուսակ

6.1

ՔԻ

Ձ

Շ

ճ

շ5

013|01|1

0|

|0|

զ

Կ

|

0Փ|0|0|

Փ

զ"

|/4|

||4|

0|101|Լ10

||

|

Ջ'

|-Ց|

46|

Կ"

| 4 | |: 4| 14| (4

| |

4|

|Վ|.|6|0|12|0|0|01Վ1|վ110|0|1

ձյ

աղյուսակ 6.2

Փ

Ք

զ:

Ջտ Ց

2:

յ

եք

լ

Ճ

|

1/2

|

«

ց"

|

|

1/2

Կ

|

1/4 | -1/4

1/4

Վ/4

|

|

1/2

Կ"

|

| |

1/4

1/2

|

-Սշ

աղյուսակ

Այսպիսով. մեր խնդրի լավագույն լուծումն է

.:-0,»

:

-

1. ն

: -2,

6.3

»շ 3,

նպատակային ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը՝

17: 7(65:25355551) -

Տ7. Առաջադրանքներ Ստուգել. թե տրված կետի ճամար թուլլատրելի, հարմար կամ երկուսն Էլ միասին. 1)

-

1-21

Ի

ոլոչ-6»շ-»

252Հ ձոլ 2: 52Վալ Էա

աու,

ՀՏ. ՀՇ,

3ոլ Է 2»շչ Հ6, Հ 0, Ճ Հ0,շ Ճ

-

(11).

Տլ

Հ

(0,-Ս,

Տշ

Հ

(Ն,

Տ:

Հ

(3,2).

որ

ուղղություն

Է

--:Ի6ղպ

2)

Տաշ

-» ոու,

52-ել- Ճշ Հ «-4ղ-ռՀՏ3 Կ Հ

ա)»

-

գ)»

Հ

0,

(10),

5լ

(0,2),

-

բ)»

0,5շ

(3.4). Տլ

Տ

Հ

-

-

(10).

5չ

(ՆՑ).

5.

-

(10). 5,

- -2).

(0.1).

-

5.

(-170). 5շ Հ(-ԻԵ-9

-

5)

(3. -

(15):

Լուծել քառակուսային ծրագրման ձետնյալ խնդիրները. 1) Յոլ

2ռ

-

1/2)

-

-

ոու

-պ»շ-»

2»: Էշ Հ» Է 25 Հ2

ճլ Ճլ

Հ0,»աչ Հ 0,

2) 4

8-2»:

ՃԽլՀ։:Հ3

ճՃլ-Ճ:ՏՆ Ճլ Հ0,»շ 3) ճո

Հ

-(/2):

Հ

շոռ

ոո

-»

0,

փՖռ-»«-(1/2)2

-

պլ»չ-»

Ո8Խ

փ 2» Հ 2, 25լ Էշ ՀՕ Ճլ Հ0,»շ Հ0,

ճլ

4) 4ոլ 105

ի

Հ

-2-:2-

պոա-» ոու,

2», Հ6.

Տ Ճլ Էչ Հ0: Ճլ 0,»

ԽՊՂԼ ԴԻՆԱՄԻԿ

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

Ուղիղ ճանապարձճովգնացող կաղը առաջ

Տ

Լ

կանցնի ճանապարձից շեղված վազորդից: Փ.Բեկոն

Դինամիկ ծրագրման տարրերը- 1

Դինամիկ ծրագրումը (ԴԾ) մաթեմատիկական մի ճնարք է՝ մշակված որոշակի տիպի օպտիմացման խնդիրների լուծման ճամար: Այն ճնարավորություն Է տալիս բարդ մաթեմատիկական խնդրի լուծումը Բանգեցնել մի շարք ավելի պարզ խնդիրների Բաջորդական լուծմանը: Մաթեմատիկականծրագրման գծալին, ոչ գծային, ամբողջաթիվ, ինչպես նան ցանցային խնդիրների լուծման Բամար գոլություն ունեն չափօրինակ մոտեցումներ: Լավագույն լուծումը գտնելու ճամար կարելի է օգտագործել սիմպլեքս ալգորիթմը, գրադիենտի եղանակը. նշումների եղանակը ն ալլն: ԴԾ խնդիրների ճամար նմանատիպ չափօրինակ մոտեցումներ գոլություն չունեն: ԴԾն ունի որոշակի առանձնաճատկություններ, որոնցից առաջինն այն Է. որ խնդրի լուծումը իրականացվում Է փուլ առ փով, ընդ որում, լուրաքանչյուր փուլում առկա Է միալն մեկ կառավարվող փոփոխական: Երկրորդն ալն Է, որ օգտագործվում են անդրադարձ ճավասարումներ. որոնց միջոցով փուլերը կապվում են միմյանց ճետ, ընդ որում վերջին փուլում գտնվում է խնդրի լավագույն լուծումը: Եվ երրորդ, որ կիրառվում Է ընկղմման սկզբունքը, երբ խնդրի լուծման Ռամարլուծվում են ճամանման ավելի պարզ խնդիրներ: ԴԾ ոչ սովորական եզրերը ն դրույթները որոշակի դժվաւություններ են առաջացնում դրանք լուրացնելիս ն օգտագործելիս: Այդ դժվարությունները ճաղթաճարելու նպատակով ծանոթանանք երկու պարզագույն խնդիրների: Օրինակ 1: Ամենաերկար երթուղու խնդիր: Ենթադրենք ուսանող զբոսաշրջիկները որոշել են ամառալին արձակուրդին Ա վայրից ուղնորվել Բ վայր: Քարտեզն ուսումնասիրելիս նրանք նկատում են, որ կան Ա վայրից Բ վայր տանող բազմաթիվ ուղիներ. որոնք անցնում են մի շարք բնակավայրերով: Թղթի վրա նրանք գծում են Աից Բ տանող բոլոր երթուղիներն ու բնակավալրերը ն ստանում նկ.

ԼՇ« վս ղշ| '6վռոմը օտիոլողկ :մմօ նմսձտչ :մղղր Վղմս Ց8վմղմտիոկոդմ նմ վողն 1լղիքմտչ ռզ նսմող մյոմըդ մմօ րտղ նմ 'նմշ Սվճոտստմս «զ Եմով, :ժվնւսամմղմողմզոռղրտ 1ղմտդմ Վ ոռղտտոթց ծռումը մս «ղող մռղչվչ :։ցտդե զ Ճտղո մոս ցղզցվլ օոՀշսմս զ մտղո մռոմդ «ճոստ 68ասմղդկղրծ6վմոոիտղտռմ ցտղոտմմղվ «Օտլտսիոսո մմ րակոըւսմմտչ Վ ըտլտսիոտսո վատդոկոտ :մյմոտտդոց ղչյվր 6վմոտիտկոռմ հղր ռնովր ղ նղտդնտ րւսմղշվե Անմսճով մմղդնսդտուս մս 'մդղմնոմողկ Հող ռող րւսցծցռ րւսմօ ղր :1Վ4 վցտտվո մղոռցոնղ օռիչց մս "զ Եմտո ոխռտ «մռեռվ վռտմ վր ղովցնսը րող "մւսմոց վռտմ վր Վ տոՀ մղտդոճ վմղդնղնո ղ վմղցՎռԵտԵ մմղ ծնույ :։մմտղմղոցղրո նսցտտ :չյ իսլղմտռմ ծվծցտմն ղ մվմղդվնւսմմղ մսիտմոդց մսլսմ իսզղվմոռիմ իսղոցոնղ ցորկմոտույ 1ղցտե Վ վլղմող մրւսօւսԼ ծ6վ-ՈՂ մղտցոմ վմղմոռիողտցմ ՂաՂ :ո1սնոսքմտի վմնով տո «Վ4 տոչ ողոմս դվնսծմղմդմ մող ըրւսղմոտծոսո ցմվնցո| 1սղցտԵ ռվնմսմմղ ցմոտողտցղրտնսցոտ :յ ծ6վ-ղ րւսՓփոմեմօ օռիՀչղՂ:մմվնցո| մսլղդտԵ ռվնւսմմղ մտղմղոռղրտ նսցոտտ:յ) 6վ-Վ վիցս| զ ՃՎտղտո «մռմողտղչ :Օվնւսմմղ մողմղոտռղրո 1ղմտըմ դղ րւսշսմս մցյտմդ մմղոմղտի իսլոցողցոց ցուօսնմսփրոժց 1ղդովշսմրմ ոդնսԵուղիոսո չմոտկմղ ղ ցմտղ մղցվնւս դտետրետմ նսդտտ յ 6վՊՈ տղ մս "Սղ րւստոփկըղոց մմղցնսցտուս ովլղմվոռոցը.սուս ըՄԵղտմոչչ:ռ1տ ղ`րղ ֆի մետիողոցմ նմ- ղՀռվր 6վ-Ո "Վ րղ Հ մետիտկոցմ նմ-շ ղՀռվր 6վ-Վ `ղտդվմՕ :ռղ |մղդուս2ոսմսիռսղվ Չոնղ ղծվր վմղմլտիողոցմ վմղդցնղնզղ օռիմԵ տսր

օոռովլոուտտոռրովվմղիմ

չ։մմղդվնւագմղ նսդճովը մմղմոռիոկղուցղմ նտ ռող րասմղղտտոռ մմղցնղնոՂ հով ռող դմղմնտիտղողմ մմղդօիռեռԵ ջոիլոկոմորուվ նղտմս (ԱՓոմԵմօ օռիմղղվտտոհխ րւս-լ-/ ւ

բնակավայրում են գիշերել. նրանք կարող են շարժվել դեպի որնէ ճարնան բնակավայր. եթե գիշերել են 2-րդ բնակավալրում, ապա կարող են շարժվել դեպի 5-րդ կամ 6-րդ բնակավայր, իսկ եթե գիշերել են 3-րդում՝ դեպի 5-րդ. 6-րդ ն 7-րդ բնակավայրեր ն ալլն։ Երբ են ճամփորդության ընթացքում նրանք գիշերում որոշակի են բնակավայրում. համարենք որ ուսանողները գտնվում բնակավայրի Բամարին Բամապատասխանողվիճակում: Գտնվելով որոշակի վիճակում՝ նրանք որոշում են կալացնում՝ ասենք՝ գտնում են լուծումը, թե դեպի որ բնակավայր գնան: Դեոնս չգիտենք. թե ինչպես են ձանգում ալդ որոշմանը (գուցե բարի կախարդն Է ճուշում կամ մասնակիցներից մեկի ներքին ձալնը): Բայց եթե նրանք Ա-ից Բ ամենաերկար երթուղին ընտրելու նպատակ ունեն ն գտնվում են որնէ է -րդ բնակավայրում, ապա պարզ Է, որ 4-ից Բ ընտրվելիք երթուղին նես պետք է լինի ամենաերկարը: Խնդրի դրվածքից ելնելով լավագույն երթուղի ասելով ճասկանում ենք Ա-ից մինչն Բ տանող ամենաերկար երթուղին: Մենք ճանգեցինք ԴԾ օպտիմացման սկզբունքի առաջին տարբերակին. Լավագույն երթուղու ցանկացած ենթաերթուղի լավագույնն է: խնդրի լուծմանը մենք կճանգենք՝ փուլ առ փուլ դիտարկելով ն որոշակի գագաթներ (վիճակներ) տրված վիճակին համապատասխան որոշում կայացնելով (լուծումը գտնելով) նշելով այն աղեղը, որով պետք է շարժվեն: Ասենք որ Տ գագաթը պատկանում Է ո-րդ փուլին, եթե Ա-ից 5 գոյություն ունի ո աղեղ պարունակող երթուղի, ն գոլություն չունի ո-ից ավել աղեղ պարունակող երթուղի: Առաջարկվող ալգորիթմը ճերթական ոՀ Ն2.... արժեքների

ճամար դիտարկում Է ո"-րդ փուլին պատկանող բոլոր գագաթները (վիճակները) ն դրանցից յուրաքանչյուրի ճամար որոշում Ա-ից ալդ գագաթը տանող ամենաերկար երթուղու երկարությունը: Ալգորիթմը նկարագրելիս կօգտագործվի նան վարք գաղափարը: Մեր դեպքում տրված վիճակում վարքը Ա-ից մինչն ալդ վիճակ որնէ երթուղու Օէ: Լավագուլն ընտրություն, վարքը ամենաերկար երթուղու ընտրությունն է: Այսպիսով, ուսանող-զբոսաշրջիկների խնդիրը լուծելու ճամար պետք Է որոշվի վիճակից վիճակ անցնելու ճաջորդականությունը: Ընտրված վիճակների ճաջորդականությլունը պետք Է կազմի փնտրվող ամենաերկար երթուղին, որը սկզբնական Ա վիճակից տանում Է դեպի վերջնական Բ վիճակ: Այժմ տեսնենք, թե դա ինչպես կարելի Է իրականացնել:

Ալգորիթմը նկարագրելու ճամար մեզ պետք են ճետնյալ նշանակումները: /,()-ով նշանակենք սկզբնական գագաթից (վիճակից) ո-րդ փուլին պատկանող ամենաերկար երթուղու երկարությունը որտեղ Լ-ը

/Պ-ը

(վիճակը)

գագաթը 7Հ 1Ն2.....Մ7.

ո-12....1

վիճակների (գագաթների) քանակն Է օրգրաֆում. իսկ 1ՆՀ-6: ԾԽ-15. թիվն է: Նկար 7.1-ում է-ով

փուլերի

նշանակենք(1

յ),

աղեղի երկարութլունը (նկատենք,

օրցիկլ չի պարունակում, եթե(1, յ) -ն աղեղ Է, ապա ն

որ

Պարզ է,

որ

գագաթները ճամարակալված են

օրգրաֆը ալնպես,

Հյ)

որ

7Խ(61)Հ0, /02)ՀԽԱ0)ԺՒկ-20:43Հ-3,

մհ) Հ/0)

Էկ

/ԹԳ)

Հ0ՀՏՀ-5: (ՕՀել Առաջին փուլի գագաթների ճամար Բաշվարկներն ավարտված են: Սկզբնական գագաթից երկրորդ փուլին պատկանող որնէ գագաթ տանող երթուղու երկարությունը Բաշվելիս կօգտվենք առաջին փուլի ճաշվարկներից: Այսպես, օրինակ 5 գագաթ տանող երկու երթուղի կա, որոնց երկարությունը

-0Հ7Հ-7,

/Օ)չեչ. (5) ալդ երկու ճնարավորություննեից երթուղին՝

(5)

-

Հ

Հ

Հ

հ0)ժեչ. պետք Է ընտրել ամենաերկար

Տ:7-3| 26):15(5)| աուլ3-

տոլ

10:

-

-

Ստացված 10 թիվը, որը սկզբնական գագաթից դեպի 5 գագաթ տանող ամենաերկար ուղու մեծությունն է, գրում ենք 5 գագաթի շրջանակի մոտ (շրջանակի մեջ գագաթի ճամարն է): Գտնենք 72 (6)-ը:

2(0-70)Հեւ-77(076) (6) Նման

(7

/Օ)Հեւ -

ոճ

ր()Հեւ-11

8,

(6):/22(6):/2(6)) Հ

ոո:

(:118)

Հ

11:

եղանակով կստանանք

- /(3)չԷ-77Բ0)Հ ոուլ7,(7):/7(7))-

/Գ)ՅՀկ,-5.

ոուր:9)-9: (7) 2-րդ փուլի ճաշվարկներն ավարտված Ռաշվարկներին: Այս փուլին պատկանում ճետնաբար՝ Հ

են: են

Մ.նցնենք 3-րդ փուլի

ն

գագաթները.

Թ)

տուլ/Ը)(2) յշ(5):Էեց.176)Հ (60)

-

709)

Է

-

-

Հ

ել)-

ով

2(ՏՀեջ, 50)Հյ(0Ժեց.Թ:0)»(9) էջ| տուլ10 6,11-«8,9 7-19

ոուլ10

Հ

7,114 10,9 Հ 4|-

Հ

Շ()Հ

Տ

Ե: 75Թ6)-

ՇԸ)

Հ

Հ

Գրենք ճաշվարկների անդրադարձ ճավասարումը փուլից (ոՀ 1)-րդ փուլ անցնելու ճամար ԴԾ

մհուժ)Հ

Այստեղ յ-ն այն

մ

աէ ոո»ԼՄո0) (ոՀ1)-րդ

փուլի

Է. 8(7)-ն

գագաթ

ո-րդ

նախորդ փովերի

գագաթների բազմությունն Է, որոնց ճամար (2.

/)-ն

աղեղ է:

ՇարունակենքԲճաշվարկները. 10)

Հ

|21 Հ 6.19

7012)

Հ

10)5լչ

77(1))01), 41-27

-

ոովոԹ)

-

Հ

եւ)

կղ.)

-19ՒԷ5Հ24

թուլ/ 2213),/55(13)|- տոլ ոու|25 Հ 9,27 է 10-37

Հ -

(4)

ել

Հ

տոլ:

-

-

(3)

տոոլ/ 1010)503):

(10) կլ: Ժ

2Ա1Հ

ոուլ/2014)2704)|-

-

ոուլ/Ռ(11)Յ կլ» 2402) կգ) - 132) - 32 Վերջապես. ԲՃաշվենք ուսանող-զբոսաշրջիկների նպատակը 505) ոշչլ/:(13) Է Է:5:)504) Է Էտ) -

-

Հ

կլյ)Հ

խնդրի

-

ոու|37Վ 11732 14) Հ

-

Ալսպիսով, փնտրվող երթուղու երկարությունը 48 կմ Է: Մեզ մնաց գտնել բուն երթուղին՝ ամենաերկար Ճճանապարճձին գտնվող գագաթները: Դրա ճամար վարվում ենք ճետնլալ կերպ: Գտած թվից ճանում ենք կից գագաթը միացնող աղեղի ճամեմատում երկարություն` ն տարբերություն շրջանակի մոտ ճետ: գրված թվի Եթե ալդ երկու թվերը ճամընկնում են, ապա տվյալ պատկանում Է ամենաերկար երթուղուն: Այդպես շարժվելով գագաթը հակառակ ուղղությամբ՝ կճասնենք սկզբնական գագաթին ն կգտնենք փնտրվող լավագույն երթուղին: Ուսանող-զբոսաշրջիկների խնդրի համար ալն ճետնյալն Է՝ |1,3,6,8.11,13.15): մի Մենք ծանոթացանք ԴԾ եղանակի նս առանձնատճատկությանը: Յուրաքանչյուր գագաթի ճամար լուծում ենք օպտիմացման խնդիր ն վերջում ստանում ենք ճիմնական խնդրի լուծումը:

Օրինակ 2: Ներդրումների բաշխման խնդիր: Ջեոռնարկության ղեկավարությունն ուսումնասիրում Է երեք մասնաճյուղերի վերակառուցման խնդիրը: Ալդ նպատակի ճամար նախատեսված Է 6 մլն դրամ: Յուրաքանչյուր մասնաճյուղի զարգացման տարբերակ բնութագրվումԷ Հ, ծախքով ն Դ եկամտով մ 12,3 (տե'ս, աղյուսակ 7.1): Հ

ո

տարբերակներ

ո լ

Աղյուսակ

7.1

Առաջին տողի 0-ական ծախքերը նշանակում են. որ մասնաճյուղում վերակառուցում չի նախատեսված: Խնդիրն ալն է, որ ղեկավարությունը պետք Է որոշի, թե յուրաքանչյուր մասնաճյուղի ճամար ինչքան ներդրում կատարվի, որպեսզի 6 մլն դրամի սաճմաններում ստանա առավելագույն եկամուտ: Կառուցենք վերը նկարագրված ներդրումների բաշխման խնդրի օրգրաֆը ն ցույց տանք, որ առավելագույն եկամտի խնդիրը բերվում Էէամենաերկար ուղին գտնելու Քամարժեք խնդրին: Նախ՝ ներդրումների բաշխման խնդիրը ներկայացնենք որոշումնեի կայացման բազմափուլ գործընթացի տեսքով: Այս խնդրի ճամար ստեղծում ենք մտացածին փուլեր: Առաջին փուլում դիտարկվում է միայն մեկ մասնաճյուղ, օրինակ՝ 1-ը: Երկրորդ փուլում դիտարկվում Է երկու մասնաճյուղ, օրինակ՝ 1-ը ն 2-ը: Հաջորդ փուլում (մեր օրինակի Բամար վերջին փուլում) դիտարկվում են 1-ին, 2-րդ ն 3-րդ մասնաճյուղերը միասին: Աղեղի երկարությունը թուլլատրելի նախագծերի իրականացումիցսպասվելիք Դ եկամտի մեծությունն է: հետնյալ Կատարենք

նշանակումները՝

ճւ

-1-ին փուլում ճատկացված ներդրման քանակն Է

Ճշ

-1իննշ-րդ

Ճչ

-

ներդրումն է՝

Նշենք,

փովերում ճատկացված ներդրման քանակն է

1-ին, 2-րդ տչ որ

-

ալ

ն

3-րդ մասնաճյուղերին Բատկացված ամբողջ

6: ն

տշ-ը

ամբողջ թվեր

են

ն

ընդունում

արժեքներ: Ներդրումների բաշխման խնդրի օրգրաֆը նկար 7.2-ում:

են

0.1.....6

բերված է

մասնաճյուղ

մասնաճյուղեր

էլ

1-ին փուլ

Օփուլ

«լի

Նկ. 7.2 ամեն

1ն2

1,

2-րդ փուլ

3-րդ փուլ

մի արժեքի ճամապատասխանում են

օրգրաֆի

ն եկամուտ` 0,6,8,...8, որոշակի գագաթ՝ (1-0),(1-1).....(1-6) որն 0ն արտաճալտում Է կապը 1-ին փովերի միջն: Ճ շչ-ինճամապատասխանումեն (2-0), (2-1)....,(2-6) գագաթները ն

դրանց ճամապատասխան եկամուտները: Վերջապես, »չ «6,ն3-րդ փուլում ունենք ընդամենը մեկ գագաթ: 3-րդ փուլում դիտարկվող աղեղների մոտ գրված են վիճակից վիճակ անցումից ստացվող առավելագույն եկամուտները:

Հիշեցնենք,

որ

Է, պայմանով, որ

2-րդ փուլում բաշխվող ներդրման քանակն

»շ-ը

գումար, ն,

առաջին փուլում Բատկացվել Է լ

Բետնաբար չ-«լՀ-0

ն

կազմում Է 2-րդ մասնաճյուղի ճնարավոր

Բասանելիք ներդրման քանակը: Այդ անճավասարությունը թելադրում

յուրաքանչյուր օրգրաֆի կառուցվածքը: Այսպիսով, լշ»::-ի Է որոշակի վիճակ թույլատրելի արժեքի ճամապատասխանում փուլերից որնէ մեկին: (գագաթ), որը պատկանում է Հ1.:-2.:-3 Է

դիտարկվում են սկզբնական փուլը ն զրո գագաթը Բաշվարկները պարզեցնելու նպատակով: ն 2-րդ աղեղների Քննարկենք փուլի գագաթների Սաճմանման մեծությունը բովանդակությունը: ճամաձալյն շ-չլ ւ-0

միայն 2-րդ փուլում բաշխված ներդրումներն են,

թույլատրելի

է

(ոլչ:,չ)

ն

աղեղը

միայն ալն նախագծերի ճամար, որոնց իրականացման

ծախքը չի գերազանցում

.չ

Ալդ աղեղի երկարությունը

-լ-ին

նախագծերի 7չ-ի առավելագույն արժեքն է: Այսպես, օրինակ. եթե

ճԽ-1ն Ճշ

-

լ

աշՀՏ, Հ4.

ն

ապա

2-րդ փուլում բաշխված ներդրումը կկազմի

թուլլատրելի

են

առաջին

նախագծերը, քանի

որ

"3-

է րդ" նախագծի եկամուտը ամենամեծն վերագրվում Է միավոր: 2-րդ փուլի »«շ

լ»

-

Պլ Հ2,

ն աղեղին (դ-13), (1.3). աղեղի ճամար թուլլատրելի նախագիծ չկա, աղեղի երկարությունը 0 է:

ճամապատասխան աղեղ

վատագուլն դեպքում

շը

գոլութլուն

չունի,

կարող է ձավասար լինել

լ

քանի

որ

-ին:

Դժվար չէ նկատել. որ լուրաքանչյուր աղեղ կապված է որնէ նախագծի ճետ: Մեր նպատակը 0 փուլի Օ գագաթից 7-3 փուլի 6 գագաթ տանող ամենաերկար ուղին գտնելն է. որի երկարությունը

առավելագույն եկամուտն

է:

Ճլ»5շ»::

փոփոխականների

"0"

7-3 փուլի փուլի "6" սաճմանումից գագաթը գագաթին միացնող կամայական ուղին ճամապատասխանում է նախագծերի թուլլատրելի Բամակցությանը: Դժվար չէ նկատել նան, որ որոշ աղեղներ չեն ազդում լավագույն լուծում գտնելու վրա: 7-2 Դրանք կարելի է չդիտարկել: (րինակ, Փ Լն փովերի միջն (0,1 աղեղը կարելի է անտեսել, քանի որ ,-մլն դրամ ճետնում

է, որ

է

-

ներդրումը 2-րդ փուլում ոչ մի եկամուտ չի բերում. այդ գումարը բավական չէ 2-րդ նախագծի իրականացման ճամար: ՄԱլդպիսի

աղեղների անտեսումը զգալիորեն նվազեցնում Է անճրաժեշտ ճաշվարկների ծավալը: 0 փուլի "0" գագաթից :-3 Օրգրաֆը կառուցելուց ճետո ւ "6" է փուլի գագաթի միջն պետք գտնել ամենաերկար ուղին: -

տ7տ(Ց)-ով նշանակենք

.

փուլում

«.

տանող

գագաթ

ամենաերկար ուղու երկարությունը: Քանի որ Հ-0-ն ելակետալին փուլն է. ապա ճձճեշտԷ նկատել, որ մեր խնդիրը ձճանգեց վերը դիտարկված ամենաերկար երթուղու խնդրին: Այնուճետն կատարենք ճաշվարկներն ըստ փուլերի ստացված վերջնական արդյունքները գրելով գագաթների շրջանակների վերին մասում:

Փուլ

որտեղ Պ(0,ոլ)-ը (0,ոլ) աղեղի Ո/(Կ)Հյգ(0)Էղ(0,տլ), երկարությունն է (եկամուտը): Կունենանք՝ տ(0)-0:40Հ-0. ՈՈ)Հ0՝46Հ6, /իհ()Հ0Հ8-Հ8, 1:

մհ) Հ-0Հ8Հ8. /Ո(4Հ-0Ի8Հ8,

Ո(Թ)-0Հ-8-8,

տ(6)- 48-98: Փուլ 25: Այս փուլում, ի տարբերություն նախորդի, Բաշվարկում ենք 0նից մինչն գագաթներ տանող բոլոր շչ-0,1Ն2,,4,5:6 ամենաերկար ուղիները: Նկատենք, որ մինչն

ճավասար Է մինչն

մեծություն,

տանող ամենաերկար երթուղու

»«չ գագաթ

գագաթ

տ

ամենաերկար

աղեղի երկարությունը

մեծությանը՝ գումարած (ալ,»չ)

ն

ուղու

վերցված

թուլլատրելի աղեղների: այդ գումարի մաքսիմումը ըստ բոլոր է Ասվածը կարելի արտաճայտել մեզ ճայտնի անդրադարձ ճավասարման միջոցով.

յոքԼՈ0)

Ի»)Հ-

Էռ՞(ա:Ճ:

(ճլ:5չ

Արդլունքում կունենանք՝ տ(0)-0«Վ0-0 Հ

տու(0

Հ 0,6

Հ

ուէ0

Հ

7չ Գ)

-

ով0

յռ (5)

Հ

(2)

7. (3)

2 (6)

0,6-Է0)-6

տճվ0

ԽՈ)

-

Հ

-

Է0,8-0)Հ-8

10,6-Է08-08-0Հ10

Հ 10,8 Հ տուչ0 Հ 14,6 Է11,8

108-:08--08-0)-18

ոտով0 Հ 14,6

1Ն8

Է116

Է

0808-01-16

-

10,8-- 0,8

Է

0,8 0)

-

20:

Ընդգրկված թվերը մինչն Ճամապտասխան գագաթ տանող ամենաերկար ուղու երկարությունն են: Ալդ թվերը օգտագործվում են Բաջորդ փուլում ճաշվարկներ կատարելու Բամար: Փուլ

Նախորդ փուլի նմանությամբ մինչն

3:

ամենաերկար ուղին

75(»5)

-

տո

(ռլշ:1)

Հ

|/2(52)

տՅո(0 5,6

Է

Հ

տանող

գագաթ

արտաճալտութլունն է

որոշող

Հաշվարկի արդլունքում

73 (6)

«,

ո(Ճշչ5:)): ստանում

5,8

Է

5,10

ենք -

5.16

Հ

5.18

-

5.20 -Է0)

Հ

23:

Լավագույն ուղին (նախագծերի ճամսյսկցութլունը գտնելու համար վերջին գագաթից ետ են շարժվում դեպի սկզբնական գագաթ՝ ճիշելով Բամապատասխան գագաթների համարները: |Էավագուլն համակցությունը 1-ին մասնաճյուղի ճամար 3-րդ տարբերակն է, 2-րդի ճամար՝ 2-րդը, ն 3-րդ-ի ճամար՝ նուլնպես 2-րդ-ը: Սպասվելիք առավելագուլն եկամուտը 23 մլն դրամ Է:

52. Դինամիկ ծրագրման տարրերը 2 -

Ուսանող-զբոսաշրջիկների ն ներդրումների բաշխման խնդիրների լուծման դիտարկված եղանակը ճնարավորություն է տալիս բացաճալտել ԴԾ-ին բնորոշ Բասկացություններ. երկու դեպքում էլ Բանդիպեցինք վիճակ ճասկացությանը. է որը որոշակի փոփոխականների ն բնութագրվում պարամետրերի միջոցով. փուից փուլ անցնելու համար թույլատրելի վարվելակերպի (լուծումների) տարբերակներից ընտրել միալն մեկը. որոշում կալացնելու արդյունքում կատարվում է անցում ճաջորդ փուլին պատկանող մի նոր վիճակի. որնէ վիճակում գտնվելու նախապատմությունը չի ազդում ապագա որոշումների կալացման վրա, որոշումների կայացման վիճակի նպատակը լ.

»

»

»

»

»

փոփոխականներից կախված ինչ

որ նպատակային ֆունկցիայի օպտիմացումն է: Ընթերցողը պետք է ընդունի այս ոչ խիստ. ինչ-որ չափով ընդգրկում անորոշ սաճմանումներն ու պնդումները. որովճետն Մ-ն Է ոչ միալն խիստ մաթեմատիկական ձնակերպումներ. այլն ն բանականությանը չհակասող ճետազոտողի փորձառություն

Բնարամտություններ:

Ստորն փորձենք մանրամասնել ԴԾ-ի ճիմնարար տարրերը՝ վիճակ. փուլ. վարվելակերպ, վարք հասկացությունները: Վիճակ Վիճակի սաճմանման ճամար միօրինակ մոտեցում չկա: Դա ԴՄ-ի եղանակի` դժվարությամբ Կ նրբորեն սաճմանվող Բասկացություն է: Վիճակ՝ պետք Էէ նկարագրել այնպիսի ն ու փոփոխականների ապարամետրերի միջոցով այնպիսի մանրամասնությամբ, որ ճնարավորություն ստեղծվի կատարելու ընթացիկ երկընտրանքային ճաշվարկները ն ունենալու դրանց գնաճատականները՝ լավագույն վարվելակերպ գտնելու ճամար: Ըստ Թանճալի,Բետնյալ երկու ճարցերի պատասխաններըկարող են օգնել ալդ ճասկացության պարզաբանմանը. 1. Ինչպե՞ս Էէարտաճալտվում կապը փո՛ւլերի միջն: Հ. Ի՞նչ տեղեկատվություն է պետք, որպեսզի որնէ փուլում թուլլատրելի որոշումը կայացվի առանց ստուգելու նախորդ փուլերում ընդունված որոշումների թուլլատրելիությունը: Փուլ Հաջորդ ճիմնարար ՏԲասկացությունը որոշումների կայացման գործընթացի տրոճումն Է փուլերի (քայլերի): Լինում են երջանիկ դեպքեր, երբ դրանք անմիջականորեն բխում են խնդրի դրվածքից: Օրինակ, փուլեր են օրերը, ամիսները կամ տարիները՝ տնտեսական բնույթի խնդիրների Բամար, արտադրանքի թողարկման ճաջորդականությունը, որոշումների կալացման խնդրի տրոճումը ենթախնդիրների ն այլն: Հաճախ փուլերը մտացածին են: Փուլ ն վիճակ ճասկացությունները սերտորեն կապված են միմյանց ճետ: |Լինում են դեպքեր, երբ նմանատիպ վիճակների ճՃամակցության միջոցով կարելի Է ստանալ փուլերը ն դրանց Օրինակ. օրգրաֆի ճամար նմանատիպ Բաջորդականություն: վիճակներ են այն բոլոր գագաթները, որոնց ճամար սկզբնական գագաթից ամենաշատ աղեղներ պարունակող ուղու աղեղների է :-Ն2...: քանակըէ Է, Շատ կարնոր է նռն փուլերի քանակը: Փուլը պետք է լինի այնպիսին, որ Բնարավորութլուն տա օպտիմացումը կատարել պարզ երկար ն ճաճախ անիմաստ եղանակով ն խուսափել բարդ. հաշվարկներից: վարվելակերպ, որոշում, վարք: Գտնվելով որոշակի վիճակում՝ հնարավորություն կա անցնելու տարբեր Բարնան վիճակների. որոնք են վիճակում որոշակի բնորոշում վարվելակերպը Տրված այդ վիճակին կանվանենք վարվելակերպի ընտրությունը ճամապատասխանող որոշման կայացում կամ լուծում: Նշենք. որ ամեն մի վիճակի ճամար ընդունվում է ընդամենը մեկ որոշում (վարվելակերպ):

Վարքը ամեն մի վիճակի ճամար ընտրված վարվելակերպերի ենք սկզբնական բազմությունն Է, եթե դրա արդլունքում ստանում վիճակից դեպի դիտարկվող վիճակը տանող ուղի: «Վարքի գնաճատականըալդ ուղու երկարությունն Է: Տրված վիճակի Բամար լավագույնն ալն վարքն է, որի ճամար ընտրված ուղին ամենաերկարն Է: Վարքի այս սաճմանումը օգտագործվում Է ալն խնդիրների ճամար, երբ որոշումների կայացման գործընթացը դիտարկվում Է սկզբնականից (ացիկլիկ օրգրաֆում աղեղների սլաքների ուղղութլամբ) դեպի վերջնական վիճակ (տե'ս, նկար 7.3ա.բ):

նկ.

7.3ա.

Վարքի նմուշ օրինակ 1-ում

նկ. 7.3բ. Լավագույն վարք օրինակ

1-ում:

Ւալն կիրառություն ունի վարքի մեկ այլ սաճմանում: Վարքը մի վիճակի ճամար ընտրված վարվելակերպերի բազմությունն է, եթե դրա արդլունքում ստանում ենք տրված վիճակից դեպի վերջնական վիճակ տանող ուղի: Վարքի գնաճատականը նորից ալդ ուղու երկարությունն Է (տե'ս, նկար 7.4ա.բ): նան

ամեն

Փ

»9

նկ. 7.4բ. Լավագույն վարք օրինակ 1-ում

ԴԾ-ի առանձնաճատկություններից մեկն Էլ ալն Է, որ լավագույն վարք գտնելու Բաշվարկը կարելի Է կատարել ինչպես սկզբնականից դեպի վերջին վիճակ, այնպես Էլ ճակառակ ուղղությամբ (տե'ս, նկ. 7.5):

՛

Օպտիմալության սկզբունք (տարբերակ 2): .Յուրաքանչյո վիճակի ճամար գոյություն ունի սկզբնական վիճակից ալդ վիճակի բերող լավագույն վարք: Օպտիմալության սկզբունք (տարբերակ 3): Լավագուլն վարք օժտված Է այն ճատկությամբ, որ ինչպիսին Էլ լինի Տ վիճակ ճաջորդ որոշումները պետք է կազմեն լավագույն վարքը Տ -ի ճամար մաթեմատիկակս Օպտիմալության սկզբունքների ձնակերպումը Բնարավորություն Է տալիս ստանալ Բելման անդրադարձ Բավասարումները: դիտարկվս Անդրադարձ ճՔավասարումներ:Վերը օպտիմացման խնդիրները նկարագրվում էին

Մ

-

ոռւմ.Իէ,),

Հ

Ն23.....Մ-1

անդրադարձ Բավասարումների միջոցով: Այստեղ (,-ն ՀԼ...,Մսկզբնական վիճակից դեպի / մեծություն

է,

ճանդիպում

ենն

իսկ

վիճակ տանող ամենաերկար

8 -ԱՍ/(ոյ)-նաղեղէ):

նմանատիպ

անդրադարձ

ուղ

Գործնականո Մճավասարումնե

Աճդրադարձճավասարումների կառուցվածքը սերտորեն կապված

օպտիմացմանսկզբունքների ճետ: Ստորն կառաջարկվի ալգորիթմ, որը, օգտագործելով անդրս դարձ ճավասարումները, գտնում Է օրգրաֆում ամենաերկար ուղի Մենք կենթադրենք, որ օրագրաֆը օրցիկլ չի պարունակում. աղե ների երկարությունները ոչ բացասական թվեր են, գագաթները ճս մարակալվածեն 1Ն,2,3,... Մ: թվերով ալնպես, որ եթե (ո, յ)-ն աղե չ

է, ապա

Հ

յ: Ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում լուրաքանչյուր

գագաթ

-

(յ

նշվում

Խ23,...,/)

Է

»,

թվով.

այն

փոխվում է

ալգորիթմի աշխատանքի ընթացքում ն ալգորիթմի ավարտի պաճին 1-ից / գագաթ տանող ամենաերկար ուղու երկարությունն Է:

Հետադարձ մղման ալգորիթմ Քայլ 1: Վերցնենք լ -0.

Հ--

Քայլ

Հ:

)

Քայլ

Եթե /Մ- Դ,

5»,

Ի

էլ -ով, եթե ալն

-ն

ճավասար

ԾԵրկրորդ քայլում մեծ

աղեղի ճամար

ալգորիթմն ավարտում Է աշխատանքը:

Հակառակ դեպքում վերցնենք յ

2-ին: Դիտողություն

(ոյ)

)Հ2:

Գէ):

Ո2յլվյ,»,

քալլ

էԽՀ-23.....8Մ,

մտնող լուրաքանչլուր

գագաթ

ընդունենք »,:3:

Հ.

Է 5,

յ) Հ

»,ն

-ից: Ալգորիթմի

1 ն

վերադառնանք

փոխարինվում Է

այլս քայլը

կատարվում Է

մտնող լուրաքանչլուր աղեղի ՄԲամար, ընդ որում ճամեմատությունը կատարվում Է ըստ /-ի աճող ճամարների:

գագաթ

Ալգորիթմի միջոցով գտնում ենք ամենաերկար երթուղու մեծությունը: Որպեսզի գտնենք երթուղուն պատկանող գագաթները, անձճրաժեշտէ լրացուցիչ ճիշել ամենաերկար երթուղի կազմող աղեղները: Կանգ չառնելով դրա կազմակերպման եղանակների վրա՝ ընթերցողին խորճուրդ ենք տալիս դիմել |7| Այժմ դիտարկենք նուլն խնդիրը լուծող մեկ այլ ալգորիթմ, որտեղ

կատարվում

գործողությունները, բայց

նուլն

են

ճերթականությամբ: Ուղիղ մղման ալգորիթմ.

Քայլ

4:

Քայլ

2:

Վերցնենք է -րդ

լ

-0նջյ

գագաթից

դուրս

Հ-«,

ՍՀ2:3)....-1,

եկող լուրաքանչյուր (է,))

այլ

:-1:

աղեղի

Բամար ընդունենք »,:Հ Ոուվ»,,», ՒԼ,): ալգորիթմբ ավարտում Է աշխատանքը: Քայլ 3: Եթե ւՀՊ-1. -ն Հակառակ դեպքում վերցնենք ճավասար 4-1 ն վերադառնանք քալլ 2-ին: ն Համադրելով ուղղ ճակադարձ մղման ալգորիթմները՝ Բամոզվում ենք, որ քալլ 2-ի շնորճիվ դրանք Էապես տարբերվում են իրարից. իսկ Բաշվման տեսանկլունից` չեն տարբերվում: Ուղիղ մղման ալգորիթմում աղեղները դիտարկվում են ալն գագաթների ճամար, որոնց լավագուլն ուղիները ճալտնի են, ալսինքն մ գագաթից դուրս եկող աղեղները ճաշվարկների ճիմք են: Իսկ ճետադարձ

մղման ալգորիթմում աղեղները դիտարկվում են ալն գագաթների ուղղությամբ, որոնց ճամար լավագույն ուղիները դեոնս ճայտնի չեն: Այդ տեսանկյունից ուղիղ մղման ալգորիթմը նախընտրելի Է ն Բարմար Է կիրառել ուղիների բազմության ցանկացած կառուցվածքի դեպքում: 2. Մեր ուսումնասիրած օրինակները ճնարավորություն են տալիս ձնակերպել նան ԴԾ-ի եղանակին բնորոշ որոշ օրինաչափություններ (տե՛ս, աղյուսակ 7.2):

Խնդիր

Ընդճանուր կառուցվածքային օրինաչափությլուններ

ուսանողզբոսաշր-

ջիկների խնդիր

ճամփոր-

|

ներդրումների

Փուլ

Գործ-

ընթաց

1 օր

դություն

ներ-

դրումների |

մասնա-

ճյուղերի (1)(1.2)

Վիճակ

(լուծում)

ճաջորդ բնակավայրի ընտրությունը

բաշխման բաշխում քանակը

խնդիր

Վարվելակերպ

հանգրվանելու վայր

մասնաճլուղի տարբերակի

ընտրությունը

ԽԲատկացված ներդրման քանակ

(1.2.3)

աղյուսակ 7.2

Այժմ ստանանք անդրադարձ ճավասարումների ընդճանուր տեսքը: Կատարենք Բետնյալ նշանակումները. Տ -ո-րդ փուլին պատկանող վիճակի փոփոխական. Տղ -Գ-րդ փուլին պատկանող բոլոր վիճակների բազմություն.

4,

-ո-րդ

փուլում ընտրված վարվելակերպ (որոշում),

ք, (5) թույլատրելի վարվելակերպերի բազմությունը

վիճակի

համար, Ւ,

Հ

Մ(Տղ»0ղ)-եկամտի ֆունկցիան, որն ստացվում վիճակում 4,

5-1

Հ(5ո»4ո)-վիճակի

է 5,

որոշում կայացնելիս,

ձնափոխության ֆունկցիա. որի

միջոցով որոշվում Է տրված վիճակին ն ընտրված վարվելակերպին փամապատասխանողվիճակ: Որոշումների կալացման գործընթացի սխեման ներկալացված Է

նկար 7.6-ում:

4, Տո

փուլ ո

|

Տու

»

փուլ ոյ

մն

Տ.

փուլ

ր

(ո-1) փուլեր

մեկ քալլ

Է(տ.)

Տո.չ

ո.

ր

-

4.

մ.

Ո(Տզ.)

Ի

նկ. 7.6

քոու)

Նպատակային ֆունկցիայի արժեքը ո -րդ փուլից մինչն առաջին փուլ ընկած ճատվածում ճավասար է մեկ քալլից ստացված Ս փուլերից ստացվող Է, (5ո»4ղ) եկամտին գումարած մնացած (ո նպատակային ֆունկցիայի արժեքը օք 7Ն)լո(5ո:4ո)Ժ ւ )Է -

ՍՂՄՂԾ)

որտեղ Տո-լ

ՀՅԽ(Տոչ4ո):

-

0:

Ուղիղ մղման ալգորիթմի ճամար ճաշվարկը կատարվում է Մ»յ2»-../Խ `ճաջորդականությամբ,։ իսկ հակադարձ մղման ալգորիթմի Բամար՝/Խ»/Խ լ»::::յ/ղ Բաջորդականությամբ:

Ընկղմման սկզբունքը: Բերված օրինակները բացաճալտում են ԴԾ-ի բնորոշ առանձնաճատկութլունները: Հիշենք, որ ուսանողների խնդրում պաճանջվում էր որոշել մինչն "15" գագաթ տանող ամենաճրկար երթուղու մեծությունը: Այս խնդիրը լուծելու փոխարեն մենք լուծեցինք ավելի ընդճանուր խնդիր. գտանք 1 գագաթից դեպի բոլոր գագաթները տանող ամենաերկար երթուղիները ն միայն վերջում ստացանք մեր խնդրի լուծումը: Մենք կիրառեցինք ընկղմման սկզբունքը, որի իմաստը ճետնյալն է. խնդիրը լուծելու ճամար ձնավորվում Է նուլնատիպ օպտիմացման խնդիրների բազմություն, որին պատկանող բոլոր խնդիրները լուծելիս ստանում ենք նան մեր խնդրի լուծումը: Ասվածը ամփոփվում է Բետնլյալմոտեցմամբ. Ելակետային խնդիրն ընկղմվում է օպտիմացման խնդիրների բազմության մեջ, ն յուրաքանչյուր վիճակի ճամար լուծվում է առանձին խնդիր:

Ամփոփում: ԴՄ եղանակով խնդիրներ լուծելու ճամար Բարմար Է օգտվել քալլերի հետնյալ Բաջորդականությունից. 1. Խնդիրը տրոճել ենթախնդիրների՝ փուլերի Ն.2.....1.: չ 2. Սաճմանել վիճակը բնութագրող վեկտորը. մասնավոր է դեպքում ալն կարող լինել մեկ փոփոխական: 35"..Ամեե ճամար լքվարվելակերպերի փովի սահմանել (որոշումների) Թ,(5) բազմությունը (Որոշել

4. Ւ,

-

(54)

վիճակում

մ

Հ

Ն2.....1.:

լուծման

ճետնանքով ստացվող

անմիջական եկամտի ֆունկցիան:

Որոշել

5.

ո

Տ

վիճակում

լուծում կիրառելուց ճաջորդ

ստանալու ձնափոխության ֆունկցիան`

զ

Հ

զ

վիճակ

(5,4):

Գրել Բելմանի անդրադարձ ճավասարումները Է,(5) օքքլո(5,4) Ի,լ(զ1))-ճակադարձ մղման

6.

-

դեպքում,

ք,(5)

ն

մ)

Հ

օքւլո(5:4)Հ յո

ՍՂԱ)

ալգորիթմի

ւ(1))-ուղիղ մղման ալգորիթմի դեպքում:

7. Օգտվելով վերը բերված ուղիղ (ճակադարձ) մղման ալգորիթմենրից՝ լուծել օպտիմացման խնդիրը: Մեկ անգամ նս նշենք. որ ինքնին ԴԾ-ն ոչ թե օպտիմացման, ալլ մեծ" խնդրի լուծումը մի խումբ "փոքր" խնդիրների Բաջորդական լուծման ճանգեցնող եղանակ է:

Ց3. Խնդիրների տեսական լուծման օրինակներ /հեսուրսների բաշխման խնդիրը: Փարբերակ տրված Է ոչ ԳՄ Բետնլյալխնդիրը՝

1:

Խնթադրենք

Խ/(Հ)-Ծ»ոու

Հ-

յ

ոյ

գյ»յՀէ,

Հ

0,

օյ»

0. )-

(3.1)

12....,ո

յ-ամրողջ է,

որտեղ յ -ը ցանկացած աճող ֆունկցիա է, իսկ «,-ն

-1Լ...յո

ն ծ-ն

տրված մեծություններ են: (5.1) խնդիրը մեկ սաճմանափակումով ամբողջաթիվ ծրագրման խնդիր է: (3.1) տեսքի խնդիրներ առօրլալում ճաճախ են Բանդիպում, օրինակ՝ ինքնաթիռի բեռնման խնդիրը:

Եթե (3.1) խնդրի նպատակային ֆունկցիան լիներ գոգավոր.

ն

»,

փոփոխականների վրա դրված չլիներ ամբողջ լինելու պայմանը, ապա այն կարելի Էր լուծե Լագրանժի բազմապատիկների եղանակով ն լավագույն դեպքում ճնարավոր կլիներ որոշել մի որնիցե տեղային մաքսիմումի կետ: Անշուշտ. կարելի Էր նան փորձել (3.1) խնդիրը լուծել` ճաշվի «յ, ամբողջ լինելու պսլմանը

չառնելով

»,

լուծման

ն

արժեքները

կլորացնելու միջոցով ստանալ խնդրի մոտավոր լուծումը: Սակալն կարելի Է բերել օրինակներ, որ ալդ մոտավոր լուծումը նույնիսկ թուլլատրելի չլիիի ն կամ եթե խնդրի սաճմանափակումներին բավարարի էլ, ապա շեղումը նպատակային ֆունկցիայի լավագույն արժեքից ճնարավոր Է, որ շատ մեծ լինի: Նկարագրենք ԴԾ եղանակով (3.1) խնդրի լուծումը: Նախ՝ ճամապատասխան մասշտաբի ընտրության միջոցով, միշտ կարելի Է ենթադրել, որ խնդրի բոլոր ճալտնի պարամետրերը ամբողջ թվեր են: ԽԵնթադրենք՝ (3.1) խնդրի նպատակալին ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը ճավասար Է2՝ -ի, այսինքն՝

Հ"-

)-Խ0), (2.76,

ոու ՊլՊ2:-

որտեղ 5՝«,», յ՞յ-

յ-1

Ճո

ՀԵ,

եյ -ն

յ1

ոչ

բացասական ամբողջ թվեր

են:

Նկարագրենք քայլերի ալն Բաջորդականությունը, որի միջոցով

2--ը: Առաջին

կարելի Է որոշել

քայլում որոշենք

ֆունկցիայի առավելագույն արժեքն

լ

Ճլ.:ջ»....7Ճղ

ո-1

ԽԸԱ,.)4չ

տու Պո-1

լ."

ճամար

ֆունկցիայի

ՑՃլւ:2»....

(3.2)

Ճո

2.7,

յ-1

-ով նշանակենք ,-ի

()Հյ(այէ

որ

յ-1

արժեքը կլինի այլն արժեքը, որի

ո-1

աճ Ճլ:Ճշ.-.«Ճո-1

արտաճալտության մեջ

պալմանից առանձնացվեց, քանի

-ի ճամար: Պարզ Է,

առավելագուն

ռ

ոշւ

նպատակային

փոփոխականների արժեքները կախված կլինեն չ.,-ի

2,/,(»,)

արժեքից:

սնեռած

շ

որ

(3.2)

յ-1

գումարելին մաքսիմումի

նրա արժեքը կախված չէ

մնացած

ւ

լ,եշչ...»Ճ.

բավարարեն

0"

փոփոխականներից, որոնք

4,»

ՏԵ-

յ

է

պետք

(8.3)

սաճմանափակմանը: Ուստի (3.2) արտաճալտության երկրորդ գումարելու արժեքը կախված կլինի միայն ոմ լող

Տ.)

-աժուը

ծ--«,».

ազի

0.4) ր

ընդ որում մաքսիմումը որոշված

Է

ըստ

փոփոխականների, որոնք բավարարում ենթադրենք,

որ

մեծությունից, այսինքն՝

Բ, լ(0Ե-օ,».)

են

այնպիսի (3.3)

լ

Հլ,չշ»...»5,

պայմանին: Այժմ

ֆունկցիալի արժեքը որոշված է

.,

փոփոխականի այն ամբողջ արժեքների Բամար, որոնց դեպքում ՕՀ ՏԵ ն,ղ-ը ամբողջ է:

Ուստի անմիջապես ստացվում Է,

շ-

(Հ) ոռոէ/

7,-(0

-

որ

(3.5)

ճո),

'

որտեղ Ճո

Հ

0,Ն2,...,|5 / 6,|.

իսկ |5/գ,|-ով

(3.6)

նշանակված Է ծ/«,

ինչպես երնումէ (3.5)-ից,

2՞ -ը

թվի ամբողջ մասը: ն

միաժամանակ

»., -ը

վերջավոր

են, որոշվում եթե հեշտությամբ եղանակով ֆունկցիայի արժեքները ճայտնի են (3.6)-ով որոշվող

համեմատման

է, լ(9-գղղ)

կետերի Բամար: Տեսնենք՝ ինչպես կարելի է ճաշվել 1, լ(0ը,

երբ

»,

Հ

0,Ն2....,(05/4,|:

(3.4)

արտաճայտութլյունը,

Ցղո)-

ֆունկցիայի արժեքը, կարելի է գրել

ճաշվվում Է Ք, լ(Ե-ճրտդ)

որի

ըստ

նան

այսպես՝

,.0)-

ոչ

լուայ

որտեղ

2/0).

ո-1

յայ

)-1

Տէ,

յ-ն

(3.7)

ոչ

բացասական, ամբողջ թվեր

են:

(3.8)

(3.7)-(3.8) խնդրի ճետ վարվելով Ճիշտ նուլն կերպ, ինչպես (3.1) խնդրի Բետ, կունենանք՝

Ի,-1(ծ) Հ

ո-1

Մ, ւ(,,

ՈՅ

յ-1

Ճո-ւ

ւ).

-«ո

որտեղ

է, -չ()երբ

576 ),

ոու Ճլ'Ճշ:-""Ճո-1

յ՞1

փոփոխականներըբավարարում

ՊոԳոլրնր չ

ատ Հ

-ամբողջ 7

են

12....,ո-2

Հ

սաճմանափակումներին, իսկ «, լ փոփոխականը կարողԷ միալն ճետնյալ ամբողջ արժեքները՝ ճու

ծ՞Ն2.....|8/6, լ):

Հ

Այսպիսով. եթե ունենայինք որոշակի

ընդունել

կետերի

ճամար,

7, չ(չ)

ապա

ֆունկցիայի արժեքներ

կճաշվեինք

նան

Ի, յ(չ)

ճետաքրքրող կետերում: Նման ն այլն հլ(թ) գործողությունը կարող ենք կրկնել 7. :(5),5,. (Ժ),... ֆունկցիաների ձճամար,որտեղ ֆունկցիայի

(թ)

Հ

տու/

մեզ

(Կ).

(3.9)

0,Ն2....,(2/«լ|: Այս ընթացքում մենք ստիպված ենթադրում Էինք, որ Բնարավոր :-ո-Նո-2....2:1 Խ(Դ), ֆունկցիաների արժեքները ճաշվել

իսկ ալ է

արժեքները

-

որոշակի կետերում: Սակալն բավական Է նկատել, որ (3.9)-ից արդեն ալնուճետն կարելի է հեշտությամբ ճաշվել Իլ(Թ)-ն»

202:»505:»-.ք,..()-ը (5.9) խնդրի ճամար

ն, վերջապես, թ

2-ը, եթե Բայտնի

են

փոփոխականի թուլլատրելի արժեքները: Այս

ճարցին կանդրառնանք քիչ ճետո, իսկ մինչ

այդ

դիտարկենք

.

հ,.(2)Հ-

Պու

Ճղ

».7Թ,):

հ

ՀՆ2....,ո

7-1

ֆունկցիաների Բաջորդականությունը, որտեղ մաքսիմումը որոշվում Է փոփոխականների, որոնք ըստ ոչ բացասական ամբողջ Հղ,շ»...»:Ծ.

են՝ բավարարում

չՍԵ

ՀՀ,

յ-ն

ոչ

բացասական ամբողջ թվեր են,

սաճմանափակումներին:

Պարզ է,

որ

անմիջապես կարելիէ որոշել հլ(չ)

ֆունկցիան, իսկ

մնացած Իլ (ծ) ֆունկցիաներն արդեն կարելի Է ճաշվել ե-1

Խ.(Հ)

Հալ

(ա)փ

27)

ոճ.

»--ՅՃա-1

Պլ.

անդրադարձ բանաձների օգնությամբ, որտեղ աջ մասի երկրորդ այնպիսի աորոշվոմ Է գումարելու առավելագուն արժեքը փոփոխականներիճամար, որոնք բավարարում են ւ-1

2,47»,Փ-գլլ, Հ

Խյ

-

-

ամբողջ, յ

սաճմանափակումներին, այլսինքն՝ ոչ

Այսպիսով՝ Ւ,(ծ)- ոճչլ/:(թ) ք երբ

ո,

-

ցույց

|, ն, ճետնաբար. 2՞

0.Ն2,...,|6/գլ

Ալժմ

Խ2....,է

ինչ է. քան Ի, լ(Է-ճլչյ):

ալլ

«յ

1(օ-

-

տանք, թե (3.1)

խնդրի

-

Խ(ծ):

լ, 2,...,»:

լավագույն

լոծումը՝ ինչպես լչվերնում նկարագրված կարելի Է որոշել գործողությունների իրականացման ընթացքում: Նախ ճաշվում ենք

հլ (է) ֆունկցիայի արժեքները Հ Հ 0,Լ...,Ֆ ո(ժ)-

ող

»լ«10.1.....|4/օյ)

կետերում՝

Մա)

(0.10)

բանաձնի օգնությամբ:

Եթե ալ(ժ)-ով նշանակենք (3.10) սպա

բոլոր

(ծ)

- /( (Հ),

լուծումները

Հ-0,է....5 Հ-ի

տարբեր

խնդրի լավագույն լուծումը,

կներկալացնենք (3.10) արժեքների

խնդրի

ձճետնյալ

ճամար

աղլուսակի տեսքով. Հ լ

|

|

(Հ) Բ(0) ոմ)

|

|

ու)

ու(ժ) ԿԱ)

աղյուսակ 34

Մլնուճետս. օգտվելով անդրադարձ բանաձնից. ճաշվենք Քչ(Հ) ֆունկցիայի արժեքները դարձյալՀ

Էչ()Հ

Ու

ոչ

Վո1...վճուր

բանաձնով: Ակնճալտ է,

տ(0)Է տ

(Հու

0.1....,5

Հ

(ռա)

Բ

կետերում՝

-4չ».))

(3.11)

որ

(2)

«-42)

ՀԽ62-«ա/«չ)

թվերից առավելագույնը որոշում Է ինչպես Իչ(չ) քը.

ֆունկցիայի արժե-

այնպես Էլ «»չ փոփոխականի լավագույն 4.(Հ) մեծությունը: Այս-

տեղ ճարկ Է նշել,

12(ծչ) ֆունկցիալի արժեքները ճաշվելիս

որ

Բրաժեշտ էր հլ(ծ-4չ»»չ)

-ի արժեքներն ունենալ միալն շ

արժեքների ճամար, որոնք ընկած

բողջ

Սակալն քանի էր.

բողջ

ապա

որ ըստ

ենթադրության

ամբողջ կլինի

նան

օչ

են

-ի այն

անամ-

|0,|Հ/ «չ|) միջակայքում:

պարամետրը նուլնպես ամ-

(Հ -«շչ»չ)-ը:

Հետնաբար, Ք(շ)

ֆունկցիալի այն արժեքները, որոնք 1 աղյուսակում գրված են Հ -0,1.....5Ե կետերի Բամար, բավական են, որ կարողանանք ճաշվել

էչ(Հ) կին

ֆունկցիայի արժեքները Հ 0,է...,5Ֆ Հ

Բամանման

Եվ

աղլուսակ կազմենք

այսպես,

ֆունկցիաների

ճաջորդաբար ։Օ`ն

լուծման

նրաց

-

ն

նրան ճամապատանս-

որոնք ճավասար կլինեն (3.1) խնդրի նպատակային

բաղադրիչին:

- (Ե. 25-54

որոշված Է

/5(Հ),14(Հ)....»2.(Հ)

ճաշվելով

ֆունկցիայի առավելագույն շ՞ արժեքին ման

1 աղլուսա-

Քշ(Հ) ֆունկցիայի ճամար:

համար վերջապես կարող ենք ճաշվել Ք.(ծ)

խանող 2,(ծ),

ն

06ՃԲամապատասխանող մաքսիմումի կետերը Հ 0,Ս...,.5Ֆ արժեքների

արժեքներ՝

Ճ.(ծ,5.0)»...»5.(Հ)

նան

կետերում

»--ը,

ն ալդ

խնդրի լավագուլն լուծ-

Որպեսզի գտնենք (3.1) խնդրի լավագուն բաղադրիչները. նկատենք,

մնացած լչշ,-.-»:Ճ,

որ

երբ արդեն

փոփոխականներըպետք Է

բավարարեն, բացի ամբողջ լինելու պայմանից, նան ո-1

5 0յոյ ՏԵ-գր»,

,:

(0.12)

ո-1

2./,(5",)

սաճմանափակմանը՝

ֆունկցիային

արժեքը

ամենամեծ

ճաղորդելու պայմանով: Սակալն (3.12) սաճմանափակման դեպքում ո-1

Ճղ»22:-"Ճո-:

ուստի,

յ-1

(-

ւՀ

օրա)

Ֆ/(:)-ՔԽ:((0-

ոշ,

Գթա): լ()

ո

օգտվելով

0.3)

ՔՃԲամապատասխան

ֆունկցիայի

աղյուսակից՝ անմիջապես (3.12) բանաձնից կորոշենք դատողություններով կորոշենք

»:-1ՀՅԵզ(Ե-Ք-02,

թ

5. շե

».

լ-ը։ Նման

արժեքները՝

յա

թ)» ւՀ-12.....ո-1:

Այսպիսով, ո փոփոխականներով (3.1) խնդրի լավագուլն լուծումը որոշելու Բամար անճրաժեշտ Է լուծել նույն տիպի մեկ փոփոխականով խնդիրներ` չնայած վերջավոր. սակայն բազմիցս անգամ: ծՓարբերակՀ: Այժմ դիտարկենք 1-ին գլխի 84-ում բերված

ռեսուրսների բաշխման խնդիրը: Հիշեցնենք,

մաթեմատիկական մոդելն ունի Բետնյալ տեսքը. թւ(Ճլ) Է քշ()Յ...Հ քմ(յ) -» ոու,

«լ(Կլ)

նրա

2)Յ...ԴՕա(ա)ՏԱ, «Օշ

0ՀայՀէծ, Խ-նն

որ

Ե-ն

չղ-ը

ամբողջ Է,

ոՀ

12....,/7

(«,) ֆունկցիաները ոչ ամբողջ արժեքներ, ընդ որում

տրված մեծություններ են,

բացասականեն

6,

ընդունում ռոՀ-12... «(0)-0,. թ`("Խխ)-ը »թղ()-0, 7 պայմաններին են: բավարարող ցանկացած ֆունկցիաներ Պ-1 է Ենթադրենք արդեն թողարկվել 1ից մինն արտադրատեսակը: Ձեռնարկության տրամադրության տակ կմնա ինչոր , քանակի չօգտագործված ռեսուրս: Ընդունում ենք. որ ալն ամբողջ թիվ է, քանի որ տոռեսուրսներըօգտագործվում են ամբողջական մասերով ն առկա է 0Հ7ՀՍՏ անճավասարությլունը: 5 ն

են

քանակի ռեսուրսը նուլնպես պետք է բաշխել ո-ից մինչն Ռ համարների արտադրանք թողարկելու ամար: Նշանակենք այն առավելագույն 7(9)-ով եկամուտը, որ յ, քանակի ռեսուրսի

բաշխումից

կարելի

Է

ստանալ

թողարկելիս: Խնդիրն այն է,

որ

գտնելու ճամար պետք Է

մ(մ)-ն

ո-ից

մինն

Պ/

արտադրանք

պետք է գտնել /լ(մ)

մեծությունը:

լուծել 7/-(մ

Հ

1) քանակի խնդիրներ՝

ն ,Հ0.լկ...,1: Ն2...../ արժեքները ճաշվելու նպատակով ո 71) Այսպիսով, կիրառում ենք ընկղմման սկզբունքը. սկզբնական խնդրի մտ(4) առավելագուլն եկամուտ գտնելու Բամար լուծում ենք /7/-(/1-1) Հ

ընթացիկ խնդիրներ: ծուց տանք. որ մեր խնդիրը բերվում Է ցիկլ չպարունակող գրաֆում ամենաերկար ուղու խնդրին: Որպես վիճակ վերցնենք Թ.) զուլգը. որը պատկերում Է այնպիսի իրադրություն, երբ ճամանման

անճրաժնեշշտ Է

բաշխել

միավոր

յ»

ռեսուրս,

ո-ից

մինչն

արտադրանք ճամար: Ալդպիսի թողարկելու դեպքում անճրաժեշտություն չկա իմանալ, թե ինչպես ենք ճասել (ոջ) վիճակին: Այստեղ » -ը վիճակի փոփոխականն է,

ճամարները՝

սաճմանման

իսկ ո-ը՝

Տ,

Հ

վիճակի պարամետրը,

որ

Հ0,Ն....հ)

(ջ)

ՀՀ-Ը)

փուլի ճամարը:

վիճակների բազմությունն Է ո-րդ

Խնդրում անցումը կատարվում Է (ոջ) որտեղ

Է տալիս

ցույց

բոլոր

փուլում:

վիճակ,

վիճակից (ոՒՆՀ)

թուլլատրելի

«յ,

արժեքների ճամար:

լուրաքանչլուր զուլգին ճԲամապատասխանեցնենքօրգրաֆի

գագաթը.

որից

լուրաքանչլուրը,

(0Հ։ՏԵ (օ4Ն»-՝Շ())

ն

դուրս

կգա աղեղների մի ճավաքածու, որոնցից

ինչպես վերը ամբողջ գագաթ:

է)

նշվեց, կճամապատասխանի 5չ,-ի

որնէ թույլատրելի

արժեքի

Աղեղի երկարությունը քո(2,)

ն

է:

կմտնի

Խնդիրը

3գագաթ բերվում է (Նմ) սկզբնական գագաթից մինչն (ԺՀՆչշչ 2-ը ազատ տանող ամենաերկար ուղին գտնելուն, որտեղ է ն քանակի ռեսուրսն փոփոխական է զրո է, եթե ընդունենք, որ է 1Խ2,...,Խ ճամարներով սպառվի ամբողջութամբ պետք Է ցույց արտադրանք թողարկելիս: Ընթացիկ խնդիրներում Հ-ը տալիս չօգտագործված ռեսուրսի քանակը: Այժմ ձնակերպենքընթացիկ խնդիրների դասին պատկանող խնդիրը ն անդրադարձ ճավասարումները: Խնդիրը ձնակերպելու է հնարամտություն: Դա ճամար ապաճանջվում է որոշակի պատճառներից մեկը, որ վիճակ ն փուլ ճասկացություններն ունեն ալդպիսի կարնորություն, ն խնդրի ճիշտ դրվածքը կախված. Է վիճակների ն փովերի ընտրությունից:

Ջնակերպենք ընթացիկ խնդիրների դասին պատկանող խնդիրը: ո» որ արտադրատեսակից »«,. միավոր արտադրելը կասեն, թուլլատրելի է, եթե Հ,(Ճ")Հ»,

0ՃաՏՊՏԵ

ն

ամբողջ թիվ է:

ոյր

ճամար ք,(2,)Գ /ոու(9- Շ(Ճ)) մեծությունը ճավասար Է այլնեկամտին, որ կարելի է ստանալ , քանակի ռեսուրսի բաշխումից

Տրված -ի ո

արտադրատեսակներթողարկելու ճամար: իսկապես, սպասվելիք եկամուտն Է, որ ստացվում Է ճ,(ճ",) քանակի

-ից մինչն

ք,(Ճղ)-ը

Մ

ռեսուրսի ծախսից ն Ֆ-«ո(

«,

քանակի արտադրանք թողարկելիս: Մնացած

աղ) քանակի ռեսուրսը պետք Է տրամադրվի (ո չ1)-ից

մինչն

ճամարի արտադրանք թողարկելու լավագույն տարբերակին: ԴԾ անդրադարձ ճավասարումները կլինեն Խ/

075ոռ

ՀԻՆԴ

մու գու Բո(Հո)

-

(ա),

»

Հ

0,է...,ք

-ԼՆ...1:

Անդրադարձ Բավասարումը ճշմարիտ է նան եթե բավարարվում են /,.լ(-0., »-0Ն...,/Ճճ

ո

Հ

Մ «1

դեպքում,

առնչությունները:

Սրանք միշտ կան, եթե պայմանավորվում ենք, որ մ քանակի (ՄԲամարներով ռեսուրսը ամբողջությամբ սպառվում է 12..,Խ արտադրանք թողարկելու ճամար կամ (Դ/-Հ1):-րդ մտացածին արտադրանք չի թողարկվում: Հավասարումների Բամակարգը լուծվում Է ճետադարձ մղման ալգորիթմի միջոցով: Հետադարձ մղման ալգորիթմով ռեսուրսների բաշխման խնդրի լոծման ընթացքում անդրադարձ ձավասարումը լուծվում է ո-ի

նվազող )

-0,1.2,...,5

Բաջորդականությամբ: Այսինքն՝

յուրաքանչյուր

արժեքների ճամար ճաշվում ենք /,(ջ)-ը,

այնուճետն

ալսպես շարունակ մինչն //՛(1): ւ) Անդրադարձ ճավասարումը կարելի Է լուծել նան ուղիղ մղման ալգորիթմի միջոցով, քանի որ ելնելով այն փաստից. որ ոչինչ չարտադրելիս ոչինչ չի ծախսվում, Բետնում է (3.14) հ(0)250նԽ(Թ)ՏԽԸՕՀՄ)

7:

-ը ն

անճավանսարությունը,բոլոր ո-ի ճամար ոՀ Լ...,//: Պաճեստավորման խնդիր: Ենթադրենք ունենք որոշակի տարողությամբ մի պաճեստ, որտեղ կարելի է պաճեստավորել ինչ որ մեկ տեսակի ապրանք: Պաճանջվում Է որոշել տվյալ ապրանքի պաճեստավորման, վաճառքի ն գնման (արտադրության) այնպիսի

վարք. որ տրված Մ` ժամանակաձատվածների(փուլերի) ընթացքում ստացվող եկամուտը լինի առավելագույն, եթե ճայտնի են ն վաճառքի ու պաճեստում եղած ապրանքի սկզբնական պաշարը գնման գները ըստ փուլերի: Նախ կատարենք ճետնյալ նշանակումները. Եապատճեստի տարողությունը »պատեստումեղած սկզբնական պաշարը է -րդ

6լ-

1-րդ փուլում ապրանքի վաճառքի գինը

թ,5:

փուլում ապրանքի գնման գինը

1-րդ փուլում գնված ապրանքի քանակը

-

1-րդ փուլում վաճառված ապրանքի քանակը:

Հաշվի առնենք նան, որ 1. չ -րդ փովի վերջում պաճեստում եղած պաշարները չեն կարող լինել ավելին, քան պաճեստի Ե տարողությունն Է (Հ 12.....7): 2. Լ-րդ փուլում վաճառված ապրանքի քանակը չի կարող ավելին լինել, քան (--1)-րդ փովի վերջում պաճեստում եղած ապրանքի քանակն է: 3.

մի

մ

Գնված կամ վաճաոված ապրանքի

փուլում

ոչ '

1)

,:1

են ն

ջ,) Հ

8, չ-

2.5, ա /-1

:-

2,

Ֆ Է

2)»:

բացասական -

»,

ն ջ,

բավարարում են

Ն2,...,

ւ-1

ՀԵՒ

(3.15)

12...

3)»չ0,).Հ0,:-12,...,8Ւ Իսկ

եթե

եկամուտը

Պ-դ

փովին

նշանակենք

-Ւ,

-

քանակներն ամեն

ով,

ճամապատասխանող ընդհանուր ապա խնդրի նպատակային

ֆունկցիան կլինի ո

ո

-

(3.16)

Ֆ(թյ)յ -«յ»)յ)

"

յ"

պետք Է գտնել (3.16)-ի մաքսիմումը (3.15) սաճմանափակումների դեպքում: ԴԾ անդրադարձ բանաձներից օգտվելու նպատակով

ն

դիտարկենք

ֆունկիանեի

0/0)

ճաջորդականությունը՝

ցանկացած ոչ բացասական59-ի ճամար, որտեղ

(Թ) մտ

Հ

տո, (2)

15 12.....Մ.,

(5.17)

իսկ «ե,ջ-ը

Երբ

ւ Հ1.

հ) "0

բավարարում

Հ

են

(3.15) պալմաններին:

կունենանք

- ո21(թ.)յՊլ) -

(0.18)

ջլ Հ»,

Բետնաբար՝

մփ6)-Հ թյ: 2, Եթե տ6)Հ

(0.19)

ապա

ոշոր):-ճԳԻ/Ո(ԹՀՃ-»)Ի

(5.20)

Հ0:7»Վ-)յՏԵ:

(3.21)

որտեղ մաքսիմումը փնտրվում Է Բետնյալ տիրույթում.

0Հյ

Հ»

Եթե նշանակենք ՖԻ:ապա

(3.22)

Հա,

(3.20)-ը կգրվի ճետնյալ ձնով. 70) (5) (ի

(0.23)

ոճա.

Հ

որտեղ Փ(ա.»)

ոուլբւ):

-

(5.24)

զ"):

-

Պրո

երբ Ի:

-յ-ռա.

լ

Տ»,

ԿՀ0,

20:

(3.25)

Որպեսզի որոշենք

Փ.(ա.) ֆունկցիան, անձրաժեշտ Է գտնել (3.24) գծալին ֆունցկիայի մաքսիմումը (3.25)-ով որոշվող ուղիղ գծի հատվածի վրա: Սակալն երբ 0ՀԱԿՀ», ալդ հատվածի ծայրակետերը կլինեն (ւ. 0. ջ)-ը: Եվ քանի որ գծային ՀԵ-ո-ըըն(Ցպա-այ)յ, Հ

ֆունկցիան իր առավելագույն արժեքը կարող ճատվածի ծալյրակետերում, ապա Փ,(ճ.5)

իսկ եթե Փ.(ա.5)

Հ

ոուլքյ,(5

ՀսՀ Հ

-

ո),

Ց, ապա

է

ընդունել

միայն

քլ, Ըա|: -

նման

դատողություններով՝

տւ|-Կ«(6-»),քս-Ըս|:

Մանրամասնությունները կգտնեք |/7|-ում: Խնդիրների լուծման օրինակներ: Օրինակ 3. Պաշարների կառավարման խնդիրը: "'Հալկական պատկերացում ունենալով իր կաճույք" ձեոնարկութլունը, ստույգ

արտադրանքի նկատմամբ

փուլերի (օշրինակ՝ ըստ ըստ եռամսյակների) Բաջորդ տարվա պաճանջարկի մասին. ցանկանում Լ

կազմել ծրագիր արտադրական Բաշվի առնելով հետնյալ պալմանները: Արտադրության Բամար պաճանջվող ժամանակն ալնպիսին է, որ -րդ փուլում արտադրված արտադրանքով կարելի է բավարարել նույն փուլի պաճսնջարկը: Ձեռնարկությունը ճնարավորություն ունի կուտակել պաշարներ Բաջորդ փուլերի պաճանջարկը բավարարելու արտադրության նպատակով: Հայտնի են ծավալից կախված արտադրական ծախսերը, որոնք գծային չեն, ն միավոր պաշարի պաճպանման ճամար անճձճրաժեշտծախսումը: Ջեռնարկությունն սկսում է առանց սկզբնական պաշարների, արտադրություն փովերի պարտավոր է ժամանակին բավարարել ըստ Է ցանկանւմ պաճանջարկները՝ ն Ննվազագուլնի ճասցնել արտադրության ն պաշարի պահպանման ճամար ծախսումները: Խնդրի մաթեմատիկական մոդելը կառուցելու ճամար կատարենք Բետնլալ նշանակումները. Ճ.

-ք-րդ

փուլում արտադրության քանակն է.

4.

-Լ-րդ

փուլի վերջում պաշարի քանակն է,

Ճ

4, (.»4.)

Հ

Հ

Ն2....,7, 0.1...,/

-1,

մի փուլում արտադրական -ճեռնարկության զորությունն է, -պաշարի առավելագուլն քանակն Է. որը ձեռնարկությունը կարող է պաճել, -ք-րդ փովում արտադրանքի պաճանջարկն Է, որը ճայտնի ամեն

պաճին,

է (0

-

-րդ

(Հ

Ն2....,/,

փուլում արտադրության

ն

պաշարի պաճպանման

ծախսերն Մոդելի տեսքը ճետնյալն Է. են:

Խ

Ֆ՝6(Խլչ4:)-»

ոո

1-1

2,

Տ.

քՀ

(1-րդ փուլում արտադրության ծավալը չի կարող

Ն2.....//

գերազանցել ձեռնարկության արտադրական

ճզորությանը),

Ճ.Հ0., 4, Հ.Հ

յ-ն

ամբողջ Է, 0.լ....,/7/

-

ք

1(7

Հ

-րդ

՛

Ն2....,/, փուլի պաշարի քանակը չի կարող գերազանցել

պաշարների պաճպանման ճնարավորությանը),

4.0. գ.

Հ0

(վերջումպաշար

չպետք Է մնա),

Գց

4,

(առաջին փուլ

-

Գլ. լ ՊՃ- ճլ:

Հ

սկսվում Է առանց պաշարի),

(լուրաքանչյուրփուլում պառանջարկը պետք

Ն2.....Ռ/

1Հ

բավարարվի):

է

Ոչ գծային նպատակային ֆունկցիայով այսպիսի ամբողջաթիվ ծրագրման խնդրի լուծումը կապված Է որոշակի դժվարությունների հետ, որոնցից կարելի Է խուսափել. եթե ալն ներկալացնենք ԴՄ լեզվով: Պարզության համար ենթադրենք՝ 7 1Ն2,3,:4 ծրագրալին տարվա Հ

եռամսյակներն

4լ-ը վերջին եռամսլակի պաճանջարկն Է. իսկ 4.-

են.

ը՝ առաջինի: Համակարգի վիճակը լուրաքանչյլուր եռամսյակի (փուլի) սկզբում` առկա պաշարների քանակն է, իսկ վարքը՝ ըստ փուլերի արտարության ծավալնեոն են: Հասկանալի է, որ արտադրանքի քանակի վերաբերյալ ընթացիկ որոշում ընդունելիս ամեննին էլ պարտադիր չէ իմանալ, թե ինչպես Է ձեռք բերվել սկզբնական պաշարի մակարդակը (որն էլ ԴՄ օպտիմացման սկզբունքներից մեկն Է): Կատարենք Բետնյալ նշանակումները.

7(ճՃ)-6ղ

սկզբնական պաշարի դեպքում նվազագույն ծախսումներն փուլերի համար, ապաճովող արտադրանքի քանակն է:

մնացած

են

յո(:ղ)-ը

Ճո(.ո)-

Երբ ոՀ-0,

ո

/0(0)-0.

ՀՆ2.....ոլո(ժլ,4).

ոՀ1,

զլ

ո-2,

(ո)

Հ

Կ

ուոլշչ(5չ:62)|

Է

Հ

(մլ

-

ճլ)։ (լ)

Հ

զԱ(Վլ 41:0) -

յ (4):

Ընդճանուր անդրադարձ ճավասարումը կընդունի ճետնլալ տեսքը. Է : ՂԱ) (ոճ) ւ) յու(ճ, -

ոմոլօ,

Ասվածը պարզաբանելու նպատակով լուծենք ճետնյալ թվային

օրինակը.

4լ

-

(վերջին փուլի պաճանջարկը). 4չ -3,

4 -3, «(ճչ4) «(3)

Հ

«ՀՏ, Հ

Կ

ՀՏ

123,445.

«(ո)Էիօ,հ-1Լ,

16, «(4)Հ

18, «(5)

Խնդրի լուծման աղլուսակներով

4-4.

«(0)-0. Հ

0,

-

4: Հ4,

09Ն2.3,4,

«0()Հ10,

«Օ)Հ-

Թ,

20:

բազմաքալ՝։

գործընթացի

ներկայացնենք

փուլ1. ոՀ-1,

/ (ոլ)

Հ «(4-օլ)

հլ

|

(լ)

գ

շ 3|

-

-

-

|

1:16

10.18 | | | 0213 | 10116

164116

13412416

134213 133410

| | |

162413 163410

|

18213

| |

164.0

շ

|

|

10134

|

132428

-4))Հ /2(6չ)

18.34 18-1«31

16-2:28

1843: 18

16:3-18

184417

|

աղյուսակ 2

184228

16-13

134113

|

-

Տ

16-34

լ

-

Ի

շ

3)

204.0

-

20)

20«3.10

18«4:0

|

Ի)

204«2:13

|

18:3:10

| |

184116

տմո(շ5(55) (45 ոլ

/3(4)-

16-18

-

փուլ3.-3,

«|

|

|

/(վ

20«1«31 34

202418

շ

|

20«3:18

20-4-17

աղյուսակ

/(դ((4:)Հ-

փու 4.ոՀ4,

(օլԺլ-3)Հ տմո(«.(:.) Է

(լ)

Հ

շ

լ

-

-

(աչ Է»շ-3)Ժէ տ/ո(«չ(5շ)

/2(62)-

փուլ2.Հ-2,

աղյուսակ

Ր0(չ)

Ճ զ

16-52

18: 146

20:«-2--41

հշ.»

|

Տ

աղյուսակ

Ստացված արդլունքների ճամաձայլն՝ սա լավագուլլն լուծումն է. 1 եռամսյակում պետք Է արտադրել 5 միավոր (վերջում պաշարը կկազմի 3 կկազմի 2 միավոր), 11-ում՝ 5 միավոր (վերջում պաշարը 11Էում՝ ն միավոր), (ոչինչ չի արտադրում պաշարը վերջում՝ 0), 17ում 4 միավոր, իսկ արտադրութան ն պաշարի պաճպանման տարեկան ծախսը կկազմի միավոր: Օրինակ 4. ինքնաթիոի բեռնման խնդիրը: Ինքնաթիռը կարելի է բեռնել / տեսակի իրերով, որոնցից լուրաքանչյուրի ծավալը », Է. ւ

Հ

Է, իսկ գինը՝ ր,:

Ն2,...,/7

Պաճանջվում Է գտնել առավելագուլն արժեք ունեցող բեռի կառուցվածքը, եթե ինքնաթիռի տարողությունը 7» է: Խնդրի մոդելը կունենա Բետնյալ տեսքը. Է

լլ 5, -ն ոչ

քշյշ-Է-..-Է

Է

Քլ

ք Կր -»

ՈՅ,

Ֆշոշ-Է...ԷՖԽԽՃի: ՏԵ,

բացասական ամբողջ թիվ է,

ւ

Հ

Ն2....,Մ/:

ԴԾ

տարրերով այլս խնդիրը կարելի է ներկայացնել ճետնլալ կերպ: Խնդրում փուլերը մտացածին են: 1) : -րդ փուլը ճամապատասխանեցնենք իրերի թվակալին: 2) ջ

վիճակը

չ -րդ

փուլում իրերի գումարային ծավալն է:

3) վարքը նկարագրվում Է ընտրությամբ. 5 -ն

փուլերում ճաջորդական բեռի

բոլոր

ւ-րդ փովում է տեսակի ապրանքի քանակն է.

0ՀԿՀլԼ/».|, որտեղ|» /5»,|-ն 5/5»: թվի ամբողջ

մասն

է:

Անդրադարձբանաձեր կունենա Բետնյալ տեսքը. տաճ 7/)լ )), ԷՀ 12.....Ռ (ԹայուՕ յ -

ո

7ր)-.

:)-ն

-0,1....|5/5.)

|յչճյ),

ամ

0Հ»ր

-1,

ՏԼԵ/5,)

իրերի առավելագույն արժեքն է, որոնց բեռնման մասին

որոշում Է ընդունվել 1,1Հ 1...

փուլերի ընթացքում: Լուծենք ճետնյալ թվային օրինակը. ւ

Հ

5)

Ն2.34,

Հ4,

Հ,

թգ ՀԴ0,

լ

3,

թլ 40,

9-1, քլ

Հ

5-2,

ք-50.

20:

Հաշվարկները ներկայացնենք աղյուսակներով

փուլ գ

4.

/4(»գ) շ

ոճ

-

ոու

20»),

ալ

ճ«

«|

71/57

::

7.)

շ

20|

20|

40|

20|

40|

20|

40|

20|

40|

20|

40|

| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

փուլ 3. /5(99)

Հ

| |

տու(70»: Հ յգ(3:

-

Ճ3

5:

|

4»:)),

է)

աճա

Բ

լ

-|7/4|-1

|»

փուլ

2.

Նշ ջշ

/2(92)Հ

ոոճւէ50:-չ Հ

-

25.)), ոո

-17/21-3

Օշ)

».

փուլ

1.

Մ)

ոռործոլչդ չ

-

զ

-3»)).

ոու

7/31-2

մտ)

յ

-

ո

լ

ինքնաթիոր լավագույն ձնով կբեռնվի, երբ »:-0,

ո:

«յ

-0,

Հ1:

Այսպիսի բեռի արժեքն Էլ կկազմի

»չ

-3.

170 միավոր:

Լրացում

Որոշումների կայացման մարկովյան գործընթացներ 41.

Անորոշություն: Որոշումների կայացման բավականին լայն

ճնարավոր չէ ճշգրիտ կանխատեսել վիճակները: Օրինակ, ճնարավոր չէ ճշգրիտ իմանալ 0ւարտադրանքի այսօրվա ներդրումնեի ՄԲաշվին ստացվելիք սպառման սպասվելիք քանակը: Անձճատ ձեռներեցն ի վիճակի չէ կանխատեսելու ապրանքի այն ճշգրիտ քանակը, որը կվաճառվի առաջիկա ամսիներին: Դիտարկենք անորոշության պայմանները ճաշվի առնող մի պարզ մոդել: Նշանակենք (ո,տջ)-ով ո-րդ փուլի որնէ վիճակ, 4 -ն դասի խնդիրների ճամար ապագա

որոշում կալացնելու փոփոխականն է,

՛

(5,զ)

-ն

ալն եկամուտն Է,

կարելի Է ստանալ, եթե (ոտ)

վիճակում ընդունվել է

անցում Է կատարվել (ոզ)

վիճակի: Ծ,(ջ)-ը

վիճակում (5)

որոշումների

վիճակից (ոզ)

թուլատրելի

բազմությունն

որոշումը փովի

ո-րդ

որ

ն

5-րդ

թ,(5չզ)-ն՝

է,

վիճակի անցնելու ճավանականությունն է

ն

կախված չԷ (ո,ս) վիճակի նախապատմությունից:

Ենթադրենք՝ ծրագրային ժամանակը տրոճված Է ո«Ն2.....Մ: Փովից փուլ անցումը կատարվում

//

փուլերի՝

է

փուլերի

համարների աճման կարգով: Պաճանջվում Է գտնել ընդճանուր եկամտի մաթեմատիկական սպասման առավելագույն մեծությունը ծրագրի կատարման ամբողջ ժամանակաշրջանի Բամար:

Նշանակենք

/.(տր:-ով

ո-ից

մինչն

Թ

փուլերի սպասվելիք

(Օգտվենք

ընդճանուրծ եկամտի առավելագուն մեծություն: օպտիմացման երրորդ սկզբունքից: Ենթադրենք՝ ընթացիկ պաճին գտնվում ենք (ոչ) մ

կայացրել ենք

որոշումը

Եզ) անցման շնորձիվ

վիճակի: (ո,տ)-ից (ոչ եկամուտ, իսկ (5:գ)Է յո

Նզց) վիճակի

/,,լ(զգ)

եկամուտը ո

(ոէ

է

վիճակում,

անցում ենք կատարել ինչ-որ (ո

ն

ստանում

Էզ)

ենք 7,(5չգ)

ճամար սպասվելիք ընդճանուր

Հետնաբար, մեկ քայլից

ււլ(Վ)եկամուտ (տե՛ս,

Ժ

ենք

ստանում

նկար 7.7): ՈՀ)

/

-րդ

փուլի

բազմություն Վվիճակների

/

/ |

Հ.--ֆ

ք, (5,զ

Տ

՛.

(5,զ)

մեկ

| |

լ

ո

Լ

զ

` քայլ

|

,.

ւ.Էզ) '

թ

/ ՈՎ

Ւ|

ք(5)-Ֆք(5գ)1(5:4)Յ

7.)

վ

նկ.

Անցումը

(ոչտ-ից

7.7

(ոՒնզ)-Ի

կատարվում

է

ք4(5,գ)

Բավանականությամբ, եթե ընդունվել Է 4 վարվելակերպը: Ուրեմն՝ ընդճանուր առավելագույն եկամտի մաթեմատիկական սպասման Բամար ունենք

7.65)

Հ

(54) քո(5:զ)ն2 ոու «ք, 2

կամ. նշանակելով`

Մու)

զ

72(5-Ֆ

որտեղ նվ(5)-ը ք2(5,գ)-ո1(5:գ) »

զ

վիճակում գտնվելու մեկ քայլից սպասվելիք

(5)

է. կստանանք եկամուտն

7(ԹՐ)- ոէ

4«Օ,

(5)

-

Հ քշ(5:գ) ու).

հՀԽՊ-ԼՆ...1.

«

0): Մզ(/Խ..(զ) Առաջին գլխում քննարկվում էր "բրուտի խնդիրը". որի

պալմանով, 2.

որ

-

Էությունը Բետնյլալն էր. ինչպիսի վարք ընտրել Մ հաջորդական շաբաթների ճամար, որպեսզի ընդճանուր սպասվելիք եկամուտը ամանեղենի վաճառքից լինի առավելագույնը: ծանոթանանք մարկովյան Բրուտի խնդրի լուծումից առաջ ճետ: գործընթացի Դիտարկեն մի ճամակարգ, որը ժամառակի ընթացքում վիճակներում: Վիճակից վիճակ համակարգը գտնվում է 7 Ն2...../ Հ

Լ

անցնում Է միավոր ժամանակում, կատարվում Է ք,

ճավանականությամբ.

նախապատմությունից: Պարզ է,

շղթա.

վիճակից /

որ

թ, յ

որը

վիճակ անցումը

կախված չէ անցման

-1ն0Հքյ

41:

Այսպիսի ՃԲավանականգործընթացը անվանում ենք մարկովյան բնութագրվում Է անցման ճավանականությունների որը

ԵՀ-(թյ)

մատրիցով:

Ռ»«Պ

Ընդունենք՝ բրուտը գտնվում Է լավ վիճակում, եթն ամանեղենը վաճառվել է, հակառակ դեպքում՝ վատ վիճակում: Բրուտի խնդրում "ղավ" վիճակը անվանենք 1 վիճակ, իսկ "վատ" վիճակը՝ 2 վիճակ: Վիճակից վիճակ անցման ժամանակ միավորը 1 շաբաթն է, իսկ այդ երկու Բնարավոր վիճակների Բամար անցման մատրիցն Է բ

|

0,5

Այս մատրիցը ն սրանով պալմանավորված վերցված են |34)ից:

բոլոր

Բաշվարկները

՛ (ոլ(օ,չ(9.....2.. որպես Ճամապատասխան վիճակներում գտնվելու անցումներից ճետո է հայտնի վիճակը եթե Բավանականություննրի վեկտոր, ճետնում /-0 Է, որ սկզբնական պատին:Սաճմանումից

Սաճմանենք

2(՝

Հ

03),

նմ

Իո(ո--1Ն 0Հ"(ՑՀԼ

Ւ-0.լ...,

(141)

Հ

.ո.(Ռթյ,

1-1

(2

0,ն...:

Բերված բանաձնը :լեկտորական տեսքով կգրվի

27(1Հ 1)

տ():Թ:

Հ

Եթե կատարենք Բամապատասնխանտեղադրումներ ճամար, ապա դժվար չէ նկատել. որ (1) պալմանը կգրվի

(0)-Ք՛,

ք

Հ

0.լ...

0.1... տեսքով: 1 ն "վատ" 2 Բրուտի խնդրում սկզբնական պաճին "լավ` վիճակների մեկնակետից ճաջորդական վիճակներում ճայտնվելու Բավանականությունները բերված են աղյուսակ 4ա.բ-ում:

(ո

Հ

(Հ

Սպասվելիք ճավանականութլուններ

Մեկնարկ լավ վիճակից

շ

ԵՂԱ)

0.5

0.45

0.445

0.4445

|

0.44445

2չ(Ց

0.5

0.55

0.555

0.5555

|

0,55555

Հ

Տ

աղյուսակ

7.5ա

Մեկնարկ վատ վիճակից

շ

ՂԱ)

0.4

0.44

0.444

0.4444

|

0.44444

ՂԱ)

0.6

0.56

0.556

0.,5556

|

0.55556

լ

|

.-

աղյուսակ 7.5բ

ինչպես

ենք. երկու դեպքում էլ

տեսնում

լ(1-»4/9,

իսկ

վիճակներում կախված չեն մեկնարկային գտնվելու ճավանականութլուները վիճակից: Մարկովյան գործընթացները, որոնք օժտված են ալդպիսի էրգոդիկ։ Էրգոդիկ մարկովյան անվանում են ճատկութլամբ, գործընթացների ճամար ճշմարիտ Է Բետնյալ թեորեմը. ճետնաբար՝

2չ(-»5/9.

Թեորեմ.

դ

-

Ք.

քայլերից

շատ

ոլ Հ1

Բճետո

1 ն 2

ճավասարումների Բամակարգն ունի

միակ դրական լուծում: (1) է

բանաձնից.

1Լ5Հ-

շԵ

`

դչ

0Տոլ

Հ

է-1

Բրուտի -

ք-»օ-..

ճետնում

է,

նռ(7-".,

որ

`

կամ

12,....Խ

-

երբ

Ճ.

-

1:

օրինակի

0,6շ.

ոլ

Է

տչ

ճամար -

1:

կունենանք

Այսպիսով. բրուտը

լ

Հ

0,Տոլ Է0.4Դշ.

պետք Է իմանա.

որ

երկար ժամանակ իր պատրաստած ամանեղենի քանակության 4/9 մասը ճաջողակ է, իսկ 5/9-ը՝ անճաջող: Այժմ ենթադրենք, որ է վիճակից / վիճակ անցնելիս ստանում ենք ո, եկամուտ: ո, տարրերը կազմում

են

եկամուտների

տ Մչ«7

մատրիցը:

Որոշակի ք ժամանակաճատվածի ճամար որոշենք սպասվող եկամուտը (մաթսմատիկական սպասումը կամ միջինը): Սաճմանենք »,(ք) սպասվող եկամուտը ք Բաջորդական ան-

ցումներից, եթե տվլալ պաճին համակարգըգտնվում Է

չ

վիճակում:

Խ

5.(0Հ (Հ

7-1

յն,

չ,ճ-1),

Ն2,....Ռ/՛,

Ն2....`

(Հ

Ինչպես երնում Է (2) ճավասարումից, սպասվող լրիվ եկամուտը կազմված Է երկու գումարելիներից: Խ/

Ֆքյոյ

ո

ւ զ.

Հ

Ն2,....Մ.,

Խ/

ն

Ֆթյ»(1-1.

)-1 (Հ

Ն273....:

մեծությունն անվանվում Է ասմիջական սպասվող եկամուտ

/

վիճակի Բամար: Վեկտորական տեսքով Բավասարումը կգրվի 5(0Հ7ԻԽ(-1),

որտեղ 5»(ք)-ը

ոՀ

ՌՄ

Ն2»3....,

թվով ».(ո) տարրերի վեկտոր Է, որն անվանվում է

լրիվ եկամուտների վեկտոր: Այժմ տեսնենք, թե բրուտի օրինակում ինչպես է ստացվում սպասվելիք եկամուտը: Ենթադրենք. որ նա ունեցել Է ճաջողակ ամանեղեն (Բամակարգը գտնվել Է 1 վիճակում) ն ճաջորդ շաբաթ ունեցել Է ոչ պակաս Բաջողակ ամանեղեն (ճամակարգը վիճակից անցել Է 1 վիճակի) ն ալդ շաբաթվա ամար ստացել 9 միավոր (ենթադրենք՝ 9 ճազար

Եթե շաբաթը ավարտվել է ոլ-9: անճաջողակ ամանեղենից անճաջողակ ամանեղենի անցումով (2 վիճակից անցել է 2 վիճակի), ապա բրուտը կորցնում է 7 միավոր. կամ 7չ --7: Եկամուտների Ենթադրենք նան, որ ռլ Հռչ-3: դրամ) եկամուտ: Ալսպիսով,

մատրիցը կլինի

ո-(3.3):

Հաշվի առնելով.որ

Ծ-

(5 05)կարող ենք գտնել ւ

Հ

(5)

:

Եթե բրուտն ունի ճաջողակ ամանեղեն. ապա ճաջորդ շաբաթվա սպասվելիք եկամուտը կլինի 6 միավոր, իսկ անձաջողակ ամանեղենի դեպքում սպասվող կորուստները կլինեն 3 միավոր: Մինչն բրուտի գործունեության լավագույն վարքի դիտարկումը, որը ձնակերպված օրինակի վերջնական նպատակն է. դիտարժան են ճետնլալ դեպքերը: Է իր գործը դադարեցնել 7 Ենթադրենք. որ բրուտն ուռում ճետո: Նա, բնական Է, կոետաքրքրվի սպասվելիք եկամտով: շաբաթ Ալդ ճարցին պատասխանում Է (3) անդրադարձ ճավասարումը. որի ճամար անհձրաժեշտ է ունենալ

», (0)

սկզբնական եկամուտները:

Եթե բրուտն իր գործը դադարեցնում է՝ վաճառելու (գործը մեկ ուրիշին տալու նպատակով, ապա »լ(0), »չ(0) կլինեն գործի եթե վաճառքի Գները, գործը դադարեցվում է համապատասխանաբար լավ կամ վատ վիճակներում: Բրուտի սպասվելիք եկամուտները (ճարմարության ճամար ընդունենք »լ(0) »չ(0) 0) ճամաձայն (37-ի կլինեն՝ Հ

Հ

Բրուտի սպասվելիք լրիվ եկամուտները

շ

»լ(0

7.5

8,55

9,555

|

105555

5չ(0

|

-04444

|

|

աղյուսակ

Տ

Այսպիսով, եթե մինչն գործի դադարեցումը մնացել Է 5 շաբաթ, ապա բրուտի սպասվելիք լրիվ եկամուտը 10,5555 միավոր կլինի, եթե գտնվել Է սկզբնական լավ վիճակում, ն Բամապատասխանաբար՝ 0,5556 միավոր, եթե գտնվել է սկզբնական վատ վիճակում: Աղյուսակում ճաշվարկները շարունակելով 6-րդ ն Բաջորդ շաբաթների ճամար՝ կարելի Է ճամոզվել, որ նայած գործի սկզբնական վիճակին՝ լրիվ եկամտի տարբերությունը կազմում Է 10 միավոր. իսկ համար (անկախ վիճակից) անցման լուրաքանչուր քայլի Հ1, բավականին մեծ ք -երի ճամար: (41) (11) -»(Թ (Բ Մարկովյան Էրգոդիկ գործընթացի ճամար ճայտնի է, որ մեծ է -երի ճամար գոյություն ունի Տ մատրիցը` Տ (5,)Հ-(ո).ն -

Հ

Հ

Ճշմարիտ Է վեկտորական տեսքով գրված ձետնյալ բանաձնը. »(/)ՀՒք-Իէ»,

որտեղ ք

Հ

(ջլ»Ք2».-.-»88)»

Ք:

Հյ

Ֆոլո

Հ

յ

1-1

-

ք:

Բացվածվիճակում (4) արտաճալտությունը կգրվի՝ 5: (1) ՀքՔԺ».: 5.

մեծությունը անվանվում Է վիճակը բնութագրող պարամետր

կամ կշիո:

Դժվար չէ

ճամոզվել,

5»չ(0-Հք-40/9,

իսկ

որ

բրուտի խնդրում »լ(0-7ՌՒԷ50/9,

2ի

աղյուսակ

մեկնաբանությունները

(5) բանաձնով: ճիմնավորվում Հաջորդական որոշումների ընդունման անդրադարձ բանաձն: Նշանակենք Թ.-ով մ Ն2....,./ վիճակներում տրված վարվելակերեն

պերի բազմությունը: Կասենք, որ վարքը որոշված Է, եթե

ն 7

բոլոր

թվերի ճամար որոշված Է 4, «ՍՖ վարվելակերպը: Լավագույն կճամարենք այնպիսի վարքը, որը սպասվող լրիվ եկամուտը առավելագույնի Է Բասցնում բոլոր ւ ն / թվերի Բամար: Այսպիսով, ցանկացած 1 -ի Բամար կունենանք Խ

(1:15 .(ՒՑ-

ու

ճլո «»,(|,

շա

»(դ)

-

0,12....:

Գրված անդրադարձ ճավասարում`՝ ՕՑԴԾի ձեզ Ճայտնի օպտիմալության սկզբունքի կիրառություններից Է: Օգտվելով մեր նշանակումներից ն ճաշվի առնելով անմիջապես սպասվող եկամուտները՝ վերը բերված անդրադարձ ճավասարումը կարող ենք գրել ճետնյալ կերպ. Խ

(ՒՄ ւՀ

-

Ն2,...,/.,

ռուլց: չ:թյ»,(0)-

(5)

ԱՅ/

(Հ

0.Ն...:

Այս ճավասարումների ճամակարգի լուծումը լուրաքանչյուր 1-ի ք-ի ճամար կճուշի, թե ինչպիսի վարք ընտրել: այդ լուծումների Լավագույն վարքը բաղկացած է ճաջորդականությունից, որով ն կորոշվի սպասվելիք առավելագույն եկամուտը վերջավոր 7 ժամանակի համար: Բրուտի խնդրի սկզբնական տվյալները ամփոփված են աղլուսակ 6-ում: Այստեղ ենթադրվում է, որ բրուտն ունի չորս վարվելակերպ ն (տես, սյունա) դրան 0ճՃԲամապատասխանող երկրորդ եկամուտների երկու մատրից (տե'ս, չորրորդ սյունակ): ն

Բրուտի խնդրի սկզբնական տվյալները

Անցման Եկամուտները ճավանականությունը

Վարվելա-

Վիճակ

4:

կերպ մ, ,

Աճմիջապես սպասվող եկամուտը Ա

զ.' Լամա-

նեղենը Բաջո-

|

րաե

վաճառք առանց գով.

վաճառք

դպա

|

0.5 0.5

08|

0,6

0,3

լ

,

2-ամա- աման.վաճ. 0,4 նեղենը աղ.լլավացմ անճաաման.վաճ. ջողակ Է | լավացում. 0,7

|

,

աղյուսակ

7.7

Բրուտի խնդրի լուծումը: Օգտվելով աղյուսակն3-ի տվյալներից ն լուծելով անդրադարձ հավասարումների (") ճամակարգը տրված ԼՀՆ2 5.(0)20, պալմաններով՝ կստանանք բրուտի խնդրի լուծումը, ներկայացված Է աղյուսակ 7.8-ում:

որը

Բրուտի խնդրի լուծումը

շ

»յ(9

8.2

»:չ(Զ

-

շ

շ

շ

-

շ

չ

շ

՛

ՂԱ) 4չ0)

|

| |

12.222

աղյուսակ 7.8

Այսպիսով, դիտարկված օրինակի Բամար լավագույն վարքը Բետնյալն է. սկսած երկրորդ քայլից (շաբաթից) բրուտը պետք է, եղած վիճակից անկախ, կիրառի 2-րդ վարվելակերպը: Մարկովյան գործընթացներին առավել խոր ծանոթանալու ցանկություն ունեցողներին խորճուրդ ենք տալիս կարդալ |19) գիրքը:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Մ.Ա.Սաճակյլան. Ս.Դ.Սարգսյան,Ֆ.Ծ.կԿարապետյան. Մաթեմատիկական ծրագրավորում, ԵՊՀ Բճրատ.,Երնան, 1983թ.: 2. Փոլ Ա.Սամյուելսն, Ուիլյամ Դ.Նորդճաուս. Տնտեսագիտություն-1 (Մակրոտնտեսագիտությլուն),"Ապոլոն", Երնան 1995: 3. ԽԼՃօՔո. ԽԼ. 1977. Թ8Շրօոռծ 8 օՂԾրԵլ օԱԽԱԹՅոր:. երր ""ԷԼոՄոո"", 4. 1 ԼԷԼՃ6քոԽ68, 8.Փ.Ճոոօրու. ԽՈ21ՇԵՐ111ՎՇՇՏՕՇ ոքօրքոունւ մքՕ82816. 1.

"115".

Յո.

5. 6.

71. 1976.

/ՃՃա ԽՅՒ6Ց.

Հնւօօ

Մո Ս3ո. "Դն ոշ". ԽԼ 1981. ոքօրքնելմքօ82:ած.

Չ6ՃՕԷՕԽԱԿՇՇԵՀՑ

Բ

1ՇՇոՇԱՕՅՀՈԲ6

7.Ե2ՄԱԼՕՂԵ,

7օօքոտ օոօքուուն. Սղ. «ԸՕՏՇՂՇՒՕօՇ քճուօ''.ԽԼ 1965. Բ

Ը.11քօոՓ»«.11քուոճրքւծ32128

7. Ք. Եաւոճո,

ոքօրքճումոքօոճ քոք.Սր. "Էն

8. Լ

Ցորոօք. ՕՇԵԾՑԵԼ

ԽՇՇոՇոօ8ՀՒ

Խ(Լ.1973.

ռք",

Սր.

3ճրճգ..

Ե.

ԸՕՏՇՂՇԽՕՇ

ՇՐՕ

ԷԼՏորոմոօօոքօղքճոաաքօոճտոծ.

Քորոօ'', հ.

7օօքոջ.

Մ3ո.

Էրջուոն

ոօր«օ1.

Նո.

ԽԼՇՂՕՈԵԼ օՈՂՔԵՈՒՎՅՅԼԱԼԸ Է

'Աքօրքօօօ'',

1975.

8.Փ.

ԽԼ 1981.

32878884 ռո օրռո. 11ք2:11ԳՇՇաքծ

0Օ

Բ7քօՄ

Սր. ոթօրքճեւոքօտ2ոռգ. 16. 8. 2քոճոօ. Խ12ՂՇԽՂՔ8ՎՇՇԽՇՇ ոքօրքներւքթօԲ4 715.

Սու.

''Էնչուճ"",հ1.

Լ.

ոճուօ,

Է...

ՈՇորոՇՅոօօ

19. 2.

1980.

ԽՈճու,

որր.

Թոյլլօ''. հ.

"ոու".

886.

ոթօրքճոո(քթօորոծ.

Ո3ր.

1972.

հ. ԼԱօք.11ոռծճոօօ Ճճքճրօրօ84,ՒԼ Ց.Վօքոռաօտ,

ոթօրքերւմքօ84ոռծ,

Ը.Օօճոր.

ԽԱՂՇՒԼՂԱՎՇՇԽՕԼՕ

11. 1976.

Խօոոք,8. Ճքշղոծ. ԷԼՇղքոՇճոօօ

ԿԸՕՏՇՂՇԽՕՇ

18.

Բ

ՕՇԻՕՑԵԼ ո այօրօ828ոՇ օոշքճոտք1. Խ1օՂԾրօոօրՑԳՇՇԽՔՇ Ը.

ԽԱՂՇԽԵՅՂՈՎՇՇՏՔՇ

ԿԽՇԴԾՈԵԼ. 11օո. քո. 1ո. Ի1օոծքո, Չոխտոքծո.ԷԾո.

իլքք",

17.

ոքոոլՇոշոը

1969.

Խ126Ի1211ՎՇՇԽԽՇ ԽԱԽոքաթոճրօք.

5ԵՕԷՕԻԽԱԿՎՇՇԵՀՏ

1963.

'1. 1966. ՝11քօղքօօօ"",

օ6օ6ու6ոտգ. Մր.

15.

`'Խաք".

ԽԼ, 1982.

ճռղու.11ործճոօծճ ոքօրքնիՈւաքթօ8288Շ,

12. 32որտողո 8.11.

14.

1-3. Սո.

օեղ.

11. ո.

13.

Մոշ''. ԼՅ օոօքութմլ.Էր.

Կօրշղօե. Սղ. "ԱԼ", ԽԼ 1օօթոք ոճոՇ նոԵն: 3:ՕԽՕԽԱՎՇՇՃՔ:

ԹԵՐՎԵՇՈՔՈՇՈԵՔԵԼՇ

Խ ճո: .Խ1Լ.1»քռ, 111«օԲօօ8. ԵւՔ 1թոոօքշոտծիքելՇ

9. 1.

ՈԱԱՃԽԱՎՇՇԻՕՐՕԾ

ԽԼ 1965.

Ս3ո. ''Թտծ

ոթօղշօօել ԽՈճքոօտշհոծ

ք

ողւօո'". Խոօտ, 1975.

ոթաճցոոմ

քծոթոոն.

ԽԼ 1977.

20. 21.

ետ 8 ԽՕԽԱԵՒՕՂՇքԻԼ

8 3:Օ1ՕԽՈ16Շ. 8.Խ(ճոռքօտ. հ1օր Խ/Լ. 1979. երը. 36

ԵԽՈ/քոՓ. ԸօտքօխՇքւօծ ուծ նոօօոքօրքմեաաթօոճ8տծ.

ոո.

''ԽԼոք",1984.

ԽԼ 1994. ճճքօտճօիօհուա2, Թո. "ՈԼ", Ճ.Էն աճնոծ. 8ԵաւՄ ԵՂԵՇօրքարքե Ք հ18ՇԵԼ41ՆԱՎՇՇԵՅՑ

22. Է ԽԹուճԵւօ.

23.

Յո.

Էր. "Բոռ",

8 օՅՇՆՇԵՕՇՈՀՆՎԾՅ.

Բ.Ը

օԱՑԽՈՅՅՈՑՑ.

ԽՇԽԾոոճոօքոճտ Ճ.Բոճրթն ոթ), երու. Ք 1985. ԽԼ. Սր. ՇՈ: օ615. ''Խ1տք'',

24. 8.Օոօւլտ. 25. 26.

ԷԼՐաաւօն

ԽԼԸՑՅԵՈ, Խ.Ղյ/ոճօտքթմուճք. ԼքոՓեւ

քոր.

"Պ/ոթ",ԽԼ,

27. Ճ.ՂՈշ2.

քոր.

"ոք",

«օտ

ո

ՔՇՇՈՇՈՕԲՅՆՔՇ

օոծքուոք, 1.

30.

Լ.Մ/ճ:-ոբոութ.

ԷԼՀւտոնոօօ

Խ1-Ծո»ւ 1ԼԼՓուոոոծ, Ճ.1Ւ2թօտ8-Մ1ո2Շ.

ջրր.

Սոր.

28211838

ատւօնոօծ ՃՇրտո. ԷԼ

8 օօթու.

Էր.

Ք ՈՍՔԱԽԱԿՇՇՃօՇ

"ԽԼոք".ԽԼ 1967.

33.

'ԽԼոք",ԽԼ.

Ք.օԲճքո.

րոր. 35. ոմ

37.

38.

ՇօՂԵՆ.

"ոք", ԽԼ,

ոքօրքներւթօքո

ո ՈՕՂԾԵՔ

"'Էճւռ".

1966.

ործ.

8 օՇԾՐ.

1974.

ոքօրքոերւթօԲՅրոծ Լոտ 8ՎՇՇոօՇ Լ

ո

ո1քճՕրշբրՇ

ԱքՕՈՇՇՇԵԼ.

1964.

Ք.Վոժօոտօո, ՍՇոուտ |.ՏոՇՇոծժ,հօտ

ՕսճոնՅԱՄօ

ԽԼՇԼհօ45

Թո 8ստւոծջտ. Բւնհ

Ճ.ՄՄմնճոոտ.

Շօ. Խմ. ԿՄ/6Տւ ԵսԵնջոհւռք

/խ-շհռոմ Խ(օյծոռ,Ծոոճւք16Տօք Խ16Լ,ՇոՄՇ7, ՕքծոճնօոտՔ6Տօոոշհ (Ծ Խ(ճոճքօտՇու.1988 ՏՇօօոմ Եճաոօո, Էճոո. ՕՇւմԵօո Օօոգօո, 150661 ԹՒՇՏՏոշո, Տճոքօոմ Շօհո. ՕսճոււՃԱՆՇ Շշյաւօո ԽՈճեւոջԹո 8ստւոօտտ.՛Րհւոմ ԽԵճննօո. ՔւՇոսոօօ. Էլ Էոյքշաօօ4 ԸՇհքտ. ճշտ Ն.ԽքքՏ, ԽԱՇիռծ| Տ.Լոօսծ. ԼուօոմսՇԿօո էօ Օքօոճոօո Ք-տճոՇհ ոմ Խ/ՃՈՅթՇոՇուՏԸւՇոօօ. Խ(ՇՕոճն Ւն| 8օօ5 Շօտքճո. ոմ էօ Խ1ճոճքՇտՇծու ՏԸԱՇոօօ. Ճո ԹՇւոճոմ ՊՄ.՛1271օ-. ԼուօժսՇնօո Թոօո. 805ւօո, Լ,օոմօո, ՏՄ4ոօ, ՛10ոօուօ.

36. Իւշու 37.

"մաք". Խ1, 1972.

ԽԼ 1973.

1.45. Լ ՇոՇՎԵՇՈՇճոօՇոքօրքմոոոթՕԲՅոիՇ քո.

34.

ռք",

Խ16դօրեւ

ոքօրքներ(ւքօ84886.

32. 11 ՔԽՈՑՀՂԵՇՈՑՄ.

ԵՇղործմքօծ 11քոռոճոոօծ

5Թո.

1-2,

ոքօրքճեոոքօ88քոծ.

ԽԼ 1984. "ԽՈոք",

Ա0166ք 71.Փօքո,1ԼՓաուօքօօտ.

31. 1.

/ՃՐԾքոո լ

ԽԼ 1985.

ՈԾՇՈՇԱԾՏ2ՂՇՈԵՔԾՔ6637/Շ1088օ1

ԽոդորոՀղոն.

ջնու

ԽԼ 1986.

րլ.

Ճաօքոի

1984.

ԾՅօրօքած 8

28. Ճ.Փոռւթօ, 29.

3ՃՕԷԺԾԽՈՒՅ.

"Խաք",ԽԼ 1972.

Տ.Յսմուշե,

ԹՇոուտ

Վ րսիսկ

'Վ

ցովծկուսփ

վրւսստչ

վնսճոնտո|

:նոո| Ճցվշտոնդո նմ. Փօոտիշսմս

լեն

տմի (ռոնժւսրեռմ

վմղդողտցվիտոմվ վնոտո|)'«1Լ-Ճ7 ս

ցՍոտւտմողղն վմղդուսմնիսրետմ վմղոմղկտլզիմռոի

Ո

-մուսմնիսրետմ

նմ-7 ց-'7

"Վ ցում

վմղոմղկուղիմտի

վմղցնսճոնտող|մասրեռմ

(խԽ»տ/1Ռ'Խ517'Խ)-1

'մեմտկորով

.,վնոտլմնտտմո

վմղցնսծոնտոլ

փսմոռր

(ա":::24)-

վնսծոնոռոլ

ԽՄնղտմս

տացոտրյտր

'մՃճոռղնցվծոռսո մռղղմոտվՎյ,:մմղմտտող մղդրւսմտցի վկտդրնսկ ղ մմղդուսաւսդնոջորտվկ ռող ըրւսիմտոլնսմ մմղ -մշվեոմմտի օոռիծկոտօմսեեռորովղՂղ ՝իսմղդդռսդտկ վնոտոլ| Վ օտի ղեմո դդւսաթիսօռիմսիտդորոոռ ղծձվր վմղըդնսճոնտոլ մմղ "մջշվեոմմտի մռվշտն դտ օղ ըրւսմղմմվոտըրւսմղնտո|տմորողովցտ էլ իսսոջտոռ 6ւսծկոօմսեռրով նղ :մյւաաւսդնտջոռրով ւս դդում իսմղըդդռսցողվնտո| մս «մղդդւսլաւսղովմղըդ վովոդլո ղիստծոմ վմղըորասակստՀչ ռղ մսիոռմոդվ դնտկոր :մցոռործոցօղր վմղընսծոռնոռոլ 1սկմղ իսլղց6ղեցտվ (մդւսլօղսմտցմ վմղդրւսաշսմսօռիծղցլոջորով) մուս նսծկոցմսետրով վովոնլտ Վ ըրւսմսիտտոռրվ դմս (րւսնռոո| տմորոկոց զ մտդյդտ 745վ) վմղդղտջվիտմվ տղիովոծոլսփ մորով վմղդնսծոնող| 1սկմղ 1ղդծնղեդովց Վ նսմոկ 'ողոոմսիոցոտը մվնտկտվ մս "Վ. դցտրնտոցտ ծլտմմ «.Վղիտով ՊՊՎ, :0զցվ օղ նսմող մմղվմոտշ վմղըցնսծոնոո| մս "Վ օրւսդտմը մռույ :իսմողն տմորողկովս ցլտվր րւսիստոռ վ դտ մս Վղտողըդ Վ վղմող տոտ «վոռր վմղցլզնսր ոմն ղ ցոնիսղոցմղը 6դտջցտ ւսկմղ ձռղոսո| ղ ԱՂ մրտ տռստմորոկոցցո վղոռցջվիտմվ6նսմովտցվի 'մռողտղվ տմն ողոմս "ղ իսիմ ջօղր վմղդճվղվոցոռր ող րւսիմեռծասդմ մմղըմվնցոլ օողկոմվ ցործոկող վմղըրւածսմսա ը1սմղցըտրնտո կովմղՂ `լ՛լ

նող| մցվշտնցո

վմողտ ցսդտղոդ։) 15

ՄԺՎՆՈՊ ՏԺՈՌՈՒՈՂՈ

«մսողֆսմիովցոմտուռրոյ

վեմւամմղտղկ,տկոտր ՂՍԻԶԼ

տիլղիտչ

ՂՈՔՈՍՍՏԶՆ

ո

խաղն անդաշինք

անձանց

խաղացողները

միաժամաակ

բազմությունից

ընտրում

են

չ.-ն,

խաղացող

Եթե 2,

Է

ստանում

Է

իրարց

արդյունքում ձնավորվում Է

ն

ԽՃ) իրավիճակը: Դրանից

«Հ(արռ»

ճետնյալ ձնով. անկախ 2, «Ճ.

ընթանում

ն

ճետո

յուրաքանչյուր

7. (5) շաճում: Սրանով խաղն ավարտվում Է:

մաքուր վարվելակերպերի բազմությունները վերջավոր են,

խաղը կոչվում Է ո թվով անձանց անդաշինք վերջավոր խաղ: Երկու մասնակիցներով անդաշինք խաղը կոչվում Է երկանձ է խաղ: Այսպիսով երկան անդաշին, խաղը որոշվում

ապա

1.3

Ր

Հ

(4 Ճշ:

Աշ) ճամակարգով, որտեղ 2՛լ

վարվելակերպերի

բազմությունն

Ճշ-՝

է,

վարվելակերպերի բազմությունը, Ճլ

«

առաջին խաղացողի

-ը

երկրորդ

խաղացողի

Ճշ-ը՝ խաղի իրավիճակների

Բ-ը ն ԱչՃլ«4Ճչ5 Բ՞-ը՝ մոլ42լ«4Ճչ» ն "2" համապատասխանաբար, 1" խաղացողների շաճումների ֆունկցիաներն են: Երկանձ անդաշինք վերջավոր խաղը կոչվում Է Դա երկմատրից խաղ ապալյլմանավորվածԷէ նրանով, որ բազմությունը խաղացողներիմաքուր վարվելակերպերի ն 12....,ո համապատասխանաբար ճամարակալելով Ն... Է երկու թվերով՝ շաճումների կարելի գրել ֆունկցիաները բազմությունը,

իսկ

մատրիցների տեսքով

մղ

ճղլ

Հ.ՃՀվե

Ընդ

Օլ

Վ.

""Օող

Օլ:

որոմ

ն

Ց

համապատասխանաբար իրավիճակում, երբ

մ

Ծո Բ 1/ռՀ-Թ8-յլ.............. Թու",

մատրիցնրի

Թ

ն2 խաղացողների շաճումներն

«7,

«1.

:

4/-112....,ո),

Հ

տարրերը են

(1.7)

(12.....ո):

վերը շարադրվածի, երկմատրից խաղն ընթանում Է ճետնլալ ձնով. առաջին խաղացողն ընտրում է տողի ւ ճամարը, իսկ երկրորդը` (միաժամանակ ն առաջինից անկախ) սյան / ճամարը: Ըստ

Արդյունքում

|

խաղացողը՝

/3, /շ(պ:»,)

Է

խաղացողը ստանում

Նկատենք. նկարագրել

-

որ

նան

ն

Է 4.

-

Մլ(2.չ»յ) շաճումը. իսկ

Հ

շաճումը:

մատրիցներով երկմատրից խաղը կարելի (4,8) մատրիցով, որի (ո»«ո)-չափանի

`

յուրաքանչյուր

7ՀՆ2...,":

(28)

տարրը

ն

Ց

թվերի

զուգն

է,

Հ

Ն2....,ո.

մատրիցներով որոշված խաղը նշանակենք

ԼՐ Հ (48):

Եթե երկանձ անդաշինք խաղն ալնպիսին Է, որ ցանկացած ն ԼՐ-ն ճամար լ(»,)) յ»օՃշի «օմլ Հ-Աշ(չ»»), ապա ճակամարտ խաղ է: Մասնավոր դեպքում, երբ երկմատրից խաղի Օլ -թլ։ ստանում ենք մատրիցային խաղ: Հ

Օրինակ

1.

("Ընտանեկան

վեճ"):

Դիտարկվում

է

Ճ

(42թ) . (4:1) (0,0)

(1:8)-

մատրիցով երկմատրից խաղը:

Կան

ալս խաղի տարբեր մեկնաբանութլուններ, բալց առավել Բալտնին ԲճետնյալնԷ: Ամուսինը (խաղացող 1) ն կինը (խաղացող 2) կարող են երեկոյան երկու ժամանցներից ընտրել մեկը` կա'մ ֆուտբոլի

կա'մ թատրոնը (աչ,/չ):

մրցախաղը (ճլչ/յ)),

Եթե նրանք

տարբեր ցանկություններ (ճլ,/7չշ) կամ (ճշ),

ապա

ունեն

մնալու

են

տանը: Ամուսինը գերադասում Է ֆուտբոլի մրցախաղը, իսկ կինը՝ թատրոնը: Սակայն երկուսի ճամար առավել կարնորը երեկոն միասին անցկացնելն Է, քան առանձին (թեկուզ ն գերադասելի): Օրինակ 2. («Խաչմերուկ` խաղ): Երկու ավտովարորդներ. որոնք շարժվում են փոխուղղաճալաց ճանապարճներով, միաժամանակ ճանդիպում են խաչմերուկում: Նրանցից լուրաքանչլուրը կարող է կանգ առնել (1-ին վարվելակերպ՝ Օլ կամ /լ) ն շարժվել (2-րդ վարվելակերպ՝

աչ

Ենթադրվում է,

կամ /չ):

որ

խաղացողներից

յուրաքանչյուրը նախընտրում Է կանգ առնել, քան ենթարկվել վթարի. ն շարժվել, եթե մյուսը կանգ Է առնում: Այս ճակադրումը կարելի Է

ձնալնացնել որպես

Բ Թ.

.»-(ԱԱ. -

(1.1)

Ղ-

ժթ) ռ. 2)

Ձ

մատրիցով -խաղ (ոչ բացասական երկմատրից որ զգում Է կանգ ալն դժգոճությանը, ճամապատասխամնումմ է ճանապարհը խաղընկերոջը զիջած խաղացողը):

թիվը

առած

ն

Օրինակ 3: Սաճմանափակռեսուրսի բաշխումը (ճաշվի առնելով սպառողների շաճերը): Ենթադրենք՝ ոռ սպառողներ կարող են ծախսել (կուտակել) 4»0 քանակությամբ որնէ սաճմանափակ ռեսուրս: Նշանակենք 1 -րդ սպառողի ծախսած (կուտակած) ռեսուրսի ծավալը Ճ.-ով: Յուրաքանչլուր սպառողի ստացած շսմտումը կախված վեկտորից. գնաճատվում է ՃՀ(Կ`Ճ2»--.2»Ճ) փ(ո,չ.....2ղ) ֆունկցիայով, եթե սպառված (կուտակված) ռեսուրսի ընդճանուր ծավալը չի գերազանցում տրված դրական 6.Հ./4 մեծությունը. ալսինքն՝ եթե

5»

ՀՅ.

ւ:1

։ճ Հ0,

ճակառակ դեպքում, 1-րդ սպառողի

շաճումը Բաշվվում Է ք.(ել,շջ...Ճղ) ենթադրվում է,

որ

խիստ նվազում է`

Դիտարկենք

եթե

-»

»0,

ֆունկցիայի միջոցով, ընդ որում ապա

ռեսուրսի օգտակարությունը

ջ, (ճլչ5շ»:..5:Ճղ) ՀԽ(ԸՀՂՅշ»::551):

ԱՎԱՌԵԴԱԿՈՆՈՄՂՌՅ))

անձակամարտ բնականոն տեսքի խաղը, որտեղ խաղացողների շաճումների ֆունկցիաներն են` ո

էԼ

(Խլ.::5:Խ)-

Ճ. -|0ճյ|.

Խ(Խը»...25ր)»

եթե

Ք.(Կլո3ռյ...»:լ)»

եթե

0Տզ.Հ14,

Ֆճլ Հ,

:-1

շոլ

ՀՕ

Ֆ.»»06

է-1

12.....ոյ:

Օրինակ 4: (Աղտոտումից օդային ավազանի պաճպանման տեսախաղային մոդել): Արդյունաբերական շրջանում գտնվող ո ձեռնարկություններից լուրաքանչյուրն ունի մթնոլորտ վտանգավոր Ըստ ժամանակի խառնուրդների արտանետման աղբլուր: ն տիրույթի, միջինացված վնասակար խառնուրդի մեծության մոտավոր արժեքը մթնոլորտում աղտոտման աղբյուրների դեպքում կարելի Է ճաշվել զՀՖ

«լոլ.

ՕՀ

ԷՀ-Ն2,....ս

ՀԳ,

բանաձնով:

Ենթադրենք

վնասակար խառնուրդի սաճմանային թույլատրելի խտության (ՍԹԽ)

արժեքը

0ՀՖշլզլ էւ

է:

Ջեռնարկություններըճամարելով

խաղացողներ՝ կառուցեն, մթնոլորտի աղտոտման վիճատճարույց իրավիճակը մոդելավորող խաղ: Ենթադրենք՝ լուրաքանչյուր մ ձեռնարկություն կարող Է շաճագործման ծախսերը նվազեցնել՝ մեծացնելով «, արտանետումը: Սակայն եթե աղտոտման մակարդակը գերազանցում Է (ՍԹԽ)

թադրենք՝ Ճ «|04,|)

ւ

մեծությանը, տուգանվում Է

Տ, »0

չափով: Են-

խաղացողը (ձեռնարկությունը) Բնարավորություն ունի բազմությունից ընտրելու տ. արժեքը: Խաղացողների

շաճումների ֆունկցիաներն են,

«ԱՏԵ ՑՑԻՑՎ

Խուա)

որտեղ Խ(ալչ...,Ճղ.) ֆունկցիաները անընդճատ են

ն

աճող ըստ

չ,

-ի:

Տ2- Օպտիմալության սկզբունքներն անդաշինք խաղերում Անճակամարտ խաղերի տեսության մեջ օպտիմալության սկզբունքների մշակման միասնական մոտեցում չկա: Ըստ էության, կա այդպիսի սկզբունքների մի ամբողջ բազմություն, որոնցից լյուրաքնաչյուրը ճձիմնվում Է խաղացողների վարքագծի ն խաղի կառուցվածքին վերաբերող որոշ լրացուցիչ ենթադրությունների վրա: Բնական Է ենթադրել, որբ խաղի լուրաքանչյուր խաղացող ձգտում Է Բասնելու ալնպիսի« իրավիճակի, որ իր շաճումի ֆունկցի241

այի արժեքը լինի առավելագույնը: Սակալն շաճումի17, ֆունկցիան

կախված է ոչ

միայն չ

-րդ

խաղացողի վարվելակերպից.

այլ

նան

մյուս

խաղացողների ընտրած վարվելակերպերից: Այդ պատճառով

իրավիճակները, որոնք -րդ խաղացողին տալիս են մեծ շաճումներ, մյուս խաղացողների ճամար կարող են ալդպիսին չլինել: Այսպիսով, ճիշտ այնպես, ինչպես ձճակամարտխաղի դեպքում առավելագույն շաճումն ստանալու խաղացողների ձգտումը ներճակ բնույթ ունի, ն այն ճարցադրումը, թե խաղի մեջ որ վարքագիծն է "ղավ" կամ ղավագույն", ինքնին վիճելի Է: Այստեղ կան մի քանի մոտեցումներ: Դրանցից են Նեշի Բավասարակշոությունը ն դրա տարբեր ընդճանրացումները: Այն դեպքում, երբ Ր խաղը ճակամարտ Է, Նեշի ճավասարակշռությունը ճամընկնում Է Բավասարակշոություն Բասկացության ճետ, որը օպտիմալության ճիմնական սկզբունքն է ճակամարտ խաղում:

Դիցուք՝

(ելո... 17:42::15.25:5)-ը

Հ

չ,-ն՝

իրավիճակ Հ, իսկ

է-րդ խաղացողի

կնշանակենք

Բամընկնում են,

5:

5`

Սաճմանում:

Հ

(Վո): Հ

Մթա)

(պր.

Ակնճայտ է.

(վ)

ապա

»-ից տարբերվում Է միալն նրանով,

որը

չ,-ով:

վարվելակերպը փոխարինված Է

».

Արդլունքում կստանանք որը

խաղի կամայական

է-րդ խաղացողի որնէ վարվելակերպ:

Կառուցենք մի իրավիճակ. որ

Լ

որ

իրավիճակը. եթե

»-ը

ն

»ո-ը

(9... 155...)

հավասարանշ ություն, եթե

բոլոր

,

իրավիճակը կոչվում Է Նեշի

ն

4ՀԼշ...,ո-երի

ճամար

ճշմարիտ Է

1.1(2)ՀՅ16Շ:ա)

(2.1)

անճավասարութլունը: 2.5 Նեշի Բավասարակշոության սաճմանումից մի

լ

խաղացող

վարվելակերպից:։

շանճագրգոված

(2.1-ի

չէ

ՄՃամաձալն.

Է, որ ոչ

ճետնում

յ»:

ճրաժարվելու

»:-իԻ

փոխարեն

վարվելակերպի դեպքում, նրա շաճումը միալն կարող Է նվազել, երբ մնացած խաղացողները չեն ճրաժարվում ճավասարակշիռ ..-՝ իրավիճակը ձնավորող իրենց վարվելակերպերից: Այսպիսով, եթե .օգտվել խաղացողները նախապես պայմանավորվել են ճավասարակշիռ իրավիճակին պատկանող վարվելակերպերից, ապա պալմանավորվածությունից անձատական շեղումը շաճավետ չէ ճրաժարվող խաղացողի ճամար:

Սահմանում: 17.2

ճավասարակշիո, եթե մեկ իրավիճակի մեջ:

Երկու անձանց

մտնում Լ

Հ

վարվելակերպը կոչվում

Է

Նեշի ճավասարակշոության թեկուզ

(7Ճղ24շ:մկ,82չշ)անդաշինք խաղի ճամար

(5՞,»՞) իրավիճակը ճավասարակշշիոԷ, եթե

հղ")

ՀԱԵՀ.»).112.ՀՅԻ6»)

անճավասարությունները դեպքում:

է

ճշմարիտ

են

բոլոր

(2.2)

»«ճռմլ

ն

չօՖ

Մասնավորապես. (4,8)

(Ր,)՞)

ո) երկմատրից խաղի ճամար

կլինի Նեշի ճավասարակշոության իրավիճակ, եթե

զուգը

ԳԱ

(ոչ

ՏԱ

(2.3)

Ց: ՀԹ: անճավասարությունները

ստուլգ

սյուների ճամար: Այսպես,

(.լչ81) ն

ն

(.շչ/լ)

(.շ,Թչ)

են

բոլոր

տողերի

(61

ն

օրինակի ճամար ճավասարակշիո են իրավիճակները. իսկ 2 օրինակի ճամար՝ (ռլ, /չ)

-ը:

Հիշեցնենք Բակամարտ խաղերի օպտիմալության սկզբունքները: Դիտարկենք Լ-ՀՃ,Ռ,71» ճակամարտ խաղը: Յուրաքանչյուր խաղացողի վերջնական շաճումի մեծությունը կախված Է ինչպես իր. ալնպես Էլ ճակառակորդի վարվելակերպից։ Ալդ պատճառով. ձգտելով ստանալ ըստ ճնարավորին մեծ շաճում, լուրաքանչյլուր խաղացող պարտավոր է իր վարվելակերպն ընտրելիս Բաշվի առնել հակառակորդի վարքագիծը: Խաղերի տեսությունում ենթադրվում Է, որ երկու խաղացողներն ստանալ Էլ գործում են խելամտորեն. այսինքն ձգտում են առավելագույն շաճում՝ Բաշվի առնելով, որ մրցակիցը գործում է իր ճամար լավագույն ձնով: Քննարկենք ալն Բարցը. թե խաղում ի՞նչ Է երաշխավորված առաջին խաղացողի ճամար: Ենթադրենք` խաղացողն ընտրել է ,. վարվելակերպը: Այդ Այդ ժամանակ վատագուն դեպքում նա "կշաճի' ոտմոմ(չջ): ,

պատճառով

ռա

միշտ

կարող

մեծության շաճում (այստեղ ուո(ոշ2ւ)

է -ը

ապաձճովել

տո

վերցվում Է

ըստ

27) Եթե էքստրեմումները ճասանելի խաղացողը միշտ կարող է ստանալ

Հ

ՏսթմոքՄ(».չ)

13:21Ա

չեն.

ոո ,

-

բոլոր

ապա

/Մ(».չ) «Ւ,

առաջին (2.4)

մեծությանը ինչքան ասես մոտ շաճում, որը կկոչենք խաղի ստորին արժեք: իսկ եթե (2.4)-ի Էքստրեմումները ճասանելի են (օրինակ, » մատրիցալին խաղերի մեջ), ապա մեծությունը նան կոչվում է մաքսիմին: առավելագույնի ճասցնելու Նվազագուն շաճումը միջոցով ։. վարվելակերպերի կառուցման սկզբունքը կոչվում է մաքսիմինի սկզբուն. իսկ ընտրված այդ սկզբունքով վարվելակերպը՝ | խաղացողի մաքսիմինային վարվելակերպ:

Նույն կարգի դատողություններ կարելի Էէկիրառել 2 խաղացողի փոխարեն: Ենթադրենք՝ նա ընտրել Է » վարվելակերպ: Այդ ժամանակ վատագույն դեպքում

"տանուլ" Է տալիս

նա

տու

մ(»,ջ): Ալդ

պատճառով 2-րդ խաղացողը միշտ կարող Է իր ճամար ապաճովել ոլո տչ Մ(2, չ) մեծությունը: -

»

»

ՀոքբասքԱ(աւչ)

(2.»)

,օ1

թիվը կոչվում Է խաղի վերին արժեք, իսկ այն դեպքում, երբ (2.5)-ի մեջ Էքստրեմումները ճասանելի են՝ մինիմաքս։ Ընդ որում, առավելագուլն կորուստը նվազագույնի ճասցնելու միջոցով ստացված յ, վարվելակերպի ձնավորման սկզբունքը կոչվում Է մինիմաքսի սկզբունք, իսկ այդ սկզբունքով ընտրված յ վարվելակերպը՝ 2 խաղացողի մինիմաքվարվելակերպ: Ընդգծենք, որ մինիմաքսի (մաքսիմինի) վարվելակերպի գոյությունը որոշվում Է (2.5)-ոովն (2.47-ով արտաքին Էքստրեմումի ճասանելիությամբ: «ո Դիցուք՝ տրված Է մատրիցային խաղը: Այդ դեպքում (2.4)ի ն (2.5»-ի մեջ Էքստրեմումները ճասանելի են, իսկ խաղի ստորին ն վերին արժեքները ճամապատասխանաբար Բավասարեն՝ սային

ոո

`

ոլ

ՎՀ/Հո1Հ

ոլո

ոու

»-

(2.6)

Օյ

Հո

գ,

1Հ:ՀոՀյՀո

(2.7)

7`

Խաղի մինիմաքսերը

ն

ձնով.

Ճլլ

.շ.«««««««

Ճո ոն '

ճլ

....«.օ«««

..

2"

...«.«օ««օ

Օ.լ

ոո 6ց

ոլո

Զ,յ

»

-

ոու լ

ոլոռ,

ՈՅՃ0Զ.,,

Հ

մաքսիմիները կարելի Է որոշել Բետնլալ

ՄՈ

'

ՀԶ

Հ

ոյո

մ

ոու

Ե)

Ցանկացած ճակամարտ է՝ ՀՀ 2,7, Լեմ. Լ ճակամարտ խաղում՝

Ա»

խաղի ճամար ճշմարիտ Է. (2.8)

ՖՀ», կամ, Տոթ մոք Մ(2.ջ) «61

Հ

ոքտսքՄ(».չ):

Ֆ6«Ւ«Մ

(2.9)

5 86-ի թեորեմ 2-ից. որտեղ պետք ճետնում Էգլ. Լեմի ապացույցը 1ոք -ով: իսկ ողո-ը՝ -ը փոխարինել 5սք -ով. 2.3 Դիտարկենք ճակամարտ խաղում մասնակիցների վարքագծի խաղի մեջ օպտիմալության ճարցը: Հակամարտ 1 -ՀՃ,,.Մ»-

Է

ոճ

իրավիճակը ճամարել բնական Է ալյդպիսի (Ճ՛,7)«Ճ7»«Խ լավագույն. որից ճրաժարվելը ոչ մի խաղացողի Բամար շաճավետ չէ: Խաղերի տեսության մեջ օպտիմալության այդպիսի սկզբունքը կոչվում Է ձավասարակջշոությանսկզբունք: Սաճմանում:

իրավիճակը կոչվում թամբակետ, եթե

Ա»)

«Հ

հճավասարակշոության իրավիճակ

Է

ԽԵ.»)ՀՈ.))

Եթե (2.10)-ում

(2.10)

նշանակենք

ԽՄլ--Սչ

-

Ա.

ապա

Նշանակենք բազմություն

ճավասարակշոության մասնավոր ճավասարակշիռո իրավիճակների

բոլոր

որ

Նեշի

դա

դեպքն է:

Պարզ է.

կամ

«Է:

«Հմ.

բոլոր

(».,»3)

ճակամարտ խաղի ճամար

1 -ՀՃ.1,Ա»

խաղի Ճ(1)-ով: 1`

«2-5:

2(1)

մատրիցով խաղի դեպքում. խոսքը վերաբերում Է շաճումների

Լ

մատրիցի թամբակետերին, ալսինքն՝ այնպիսի (4",յ՞) կետերին. բոլոր

մ 641 6.

յ

Մ.Պ-ւերի

ն

ՀՕ...

ւյ

ՀԳ..:

անձավասարումը:

Օրինակ՝

/4-

որ

ճամար ճիշտ Է

մն

լ ։

մատրիցով

խաղի

ճամար

(շ.2)ը

ճավասարակշիո իրավիճակ (թամբակետ) է:

խաղում հավասարակշիռ իրավիճակների

Հակամարտ

բազմությունն ունի Բետնլալ ձատկությլունները.

Թեորեմ: Ենթադրենք

(«,:)-ը

(2,)5)-ը

ն

խաղի երկու կամալական ձավասարակշիո իրավիճակներ դեպքում. 1.

Մ(ռ,):)

Հ

Է,))-

Խ(Ց,:)

2. («.)2)»(5.1) «2(1):

-

1Լ՝

ճակամարտ են:

Այդ

Եւ») (2.11)

ճետնում Է. Թեորեմից որ շաճումի ֆունկցիան բոլոր ճավասարակշիռ իրավիճակների ճամար ընդունում Է միննույլն արժեքը: Ուստի ներմուծենք Ճետնլալ սաճմանումը.

(»"չջ)-ը

Դիցուք`

Սաճմանում:

Լ

խաղի ճավասարակշիռ

իրավիճակն է: Ալդ դեպքում

Ս(չ.)-)

»-

խաղի արժեք:

Լ

թիվը կոչվում է

(»,ջ՞)

խաղի

Ր

(2.12)

ճավասարակշիո իրավիճակը

ն

»

արժեքը

խաղի լուծումը: Աժմ բացաճալտեն ճավասարակշոունյյան սկզբունքի ն ն մինիմաքսի մաքսիմինի սկզբունքների փոխադարձ կապը ճակամարտ խաղում: Թեորեմ: ՐՀՃ..Ա» խաղի ճավասարակշիռ իրավիճակի գոլութլան ճամար անճրաժեշտ ն բավարար է, որ գոլություն ունենան տւոտսքՄ(»,ջ) ն ոճճլոր Մ (2, ջ) այնպես, որ միասին կազմում

են

,

,

չ

".

Մ(չ,ջ)

ոշ

Հ

կ

Ճ

Ընդ որում

Հ

ոոտսքԱ(աջ)

խաղացողի մաքսիմինային «ց վարվելակերպը ն 2

խաղացողի մինիմաքսային խաղի (4յ:)9)

(2.13)

Հ»:

»

վարվելակերպը ձնավորում

յց

են

Ր

ճավասարակշիո իրավիճակը:

Ալն խաղերը, որոնց ճամար գոլություն ունեն ճավասարակշիռ են լիորոշ իրավիճակներ, կոչվում խաղեր: Տվյալ թեորեմը Է բացաճալտում խաղի լիորոշութլան ճալտանիշը ((2.13) պայմանը): Հետնանք: Որպեսզի (ու» ո) մատրիցային ԼՐ խաղը լինի լիորոշ., անճրաժեշտ ն բավարար է, որ տլո

ոչ

Օ.,7

12ՀոԼՀՀո

-

ոլո

ոու

1ՀՀոԼՀյՀո

:

«ի է

Օրինակ՝

ոլո յ)

ոշ

'

0.

-

Ոճ Ն

ոլո յ)

ոչ

'

Օ.,

1»

մատրիցային խաղի ճամար (2.1)ը

իրավիճակ

ոլո «յ յ

-2:

իրավիճակ

ճավասարակշիռ -

ճավասարակշիռ

ոշ

Է

(2.14)

Օօ,

ոլո ճ,, յ

-0:

է:

Ընդ

որում՝

(1Գ մատրիցային խաղի ճամար գոլություն

չունի,

քանի

որ

Հիշեցնենք,

Լ-(ՃՃշչ,/)

որ

Հլ «20-ին պատկանող (»՞,ջ՞) Է, եթե )

36ճակամարտխաղի զոկգը

ճամար

հավասարակշիռ իրավիճակ

ՀԱ(Տ՝,»')Հ է (5-,)),

«6ճշմլ: 6Ճշ: Հակամարտ խաղերի Բիմնական Բատկություններն են. 1՝. Խաղացողին շաճավետ չէ ճակառակորդին ճայտնել այն վարվելակերպերը (մաքուր կամ խառը), որ ինքը պատրաստվում է կիրառել: Իճարկե, եթե խաղացողը մտադիր Է օգտագործել լավագույն վարվելակերպը, ապա նրա շաճումը չի նվազի այն բանից. որ նա ճայտարարում Է ալդ մասին, բայց դրանից նա ոչինչ չի շաճի: 24. Դիցուք՝ 2(Է)-ն Ը խաղի ճավասարակշիո իրավիճակների Աո)

բազմություն է: Եթե

(ո,»)

ճավասարակշիո իրավիճակներ են, իսկ

»-

«2(1),

ա»)

«2(1)-նն 5»

-ն

)«2()-ն

խաղի

Լ

խաղի արժեքն է,

ապա

(2.15)

«26),

Ս(.)ջ)-ԱԼ2.»)-Ո(Ր»)-Ո7(.,)):

(2.16)

Բամատեղ 34. Խաղացողներըշաճագրգովածչեն գործողությունների մշակման ճամար շփումներ ունենալու խաղից առաջ:

46, Եթե Ը խաղի ճամար գոյություն ունի ճավասարակշիո 1 ն 2 խաղացողիրավիճակ, իսկ «-ըն 7-ը փամապատասխանաբար ների մաքսիմինային ն մինիմաքսային վարվելակերպերն են, ն՝ (5չ») 62(1) ճավասարակշիո իրավիճակԷէ ընդհակառակը:

ապա

Պարզաբանենք, արդյո՞ք երկմատրից խաղերն օժտված են այս ճատկություններով: Օրինակ 5: Դիտարկենք "ընտանեկան վեճ" խաղը: Ինչպես ն արդեն նշվեց, այն ունի երկու ձավասարակշիո իրավիճակ՝ (ճլ,/լ)

(.շ,8շ):

Ընդ որում

(ալ)

խաղացողի ճամար, իսկ Է ՌԲակասում

իրավիճակը շաճավետ Է առաջին

(աշ,8չ)-ը

երկրորդ խաղացողի:

Դա

(2.16)-ին, քանի որ այս իրավիճակներում խաղացողների են: Այնուճետն նշենք, որ թեպետ (ճլ,/կ).

շաճումները տարբեր

(.չ,22)-ը

ն (ռչ) (.յ,/շ) զույգերը Նեշի ճավասարակշոության իրավիճակներ չեն, այսինքն՝ շ" հատկությամբ օժտված չեն: Եթե 1-ին խաղացողը խաղընկերոջը ճալյտնում է, որ մտադիր է ընտրելու Օլ վարվելակերպը. ն եթե 2-րդ խաղացողը Բամոզված Է, որ

Բավասարակշիո իրավիճակներ են,

Էլ կվարվի.

ալդպես

նա

իրեն ոչինչ

չի

մնա

անելու, քան ընտրելու Ժլ վարվելակերպը: Համանման դատողություններ կարելի ապա

է անել ն երկրորդ խաղացողի ճամար` Այսպիսով. խաղացողներից յուրաքանչյուրի ճամար շաճավետ Է առաջինը ճալտարարել իր վարվելակերպի մասին, որը Բակասում Է ճակամարտ խաղերի 1:

հատկությանը:

Ենթադրենք. որ խաղացողները մինչն խաղն սկսելը միմլանց չեն շփվում. ալլ միաժամանակ ն իրարից անկախ են ընտրում իրենց վարվելակերպերը (ինչպես որ նախատեսվում է անդաշինք խաղի կանոններով): Կատարենք դատողություններ 1-ին խաղացողի փոխարեն: Նրան ձեռնտու Է. որ իրականացվի (Օճլ,/դ) իրավիճակը: հետ

Բալց 2-րդ խաղացողին

ձեռնտու

1ին խաղացողն ընտրի

0.

ընտրել

Օլ

վարվելակերպը.

Է

(աշ,/չ)

իրավիճակը: Ուստի. եթե

վարվելակերպը.

ապա

2-րդը կարող Է

ն

նրանք երկուսն էլ տանուլ կտան (շաճումների վեկտորնԷ (0.0)): Այդ դեպքում 1-ին խաղացողի ճամար

(2շ,8չ) իրավիճակի դեպքում ինքը կունենա 1-ի ճավասար շաճում: Բայց իմաստ

ունի

երկրորդ ընտրել

(.շ,

ընտրել

խաղացողը

լ

աչ

վարվելակերպը,

ն

որ

դատողություննրով

ճամանման

վարվելակերպը.

քանի

այս

կարող է դեպքում 2 խաղացողներն էլ

0լ)իրավիճակում դարձյալ տանուլ կտան:

Այպիսով, տեղի ունի ալն դեպքը, երբ իրավիճակը ձեռնտու Է (ն 1-ին խաղացողի ճամար: ալդ իսկ պատճառով անկայուն) է Նմանօրինակ (2րդ կարելի խաղացողի տեսանկյունից) Բետազոտել (Ճշ,/2չ) իրավիճակը: Է խաղն սկսելուց առաջ Այսպիսով. խաղացողներին ձեռնտու մասին, որը պալմանավորվել (Բամատեղ գործողությունների ճակասում Է 30 ճատկությանը: Դժվարություններ են առաջանում նան ալն մինիմաքսային պատճառով, որ մաքսիմինային ն վարվելակերպերի զույգը ճավասարակշիո չէ: Այսպիսով, ունենք խաղի մի ալնպիսի օրինակ. որի ճամար ճակամարտ խաղի 1--4" ճատկությլուններից ոչ մեկը տեղի չունի: Եվ այսպես, Նեշի ճավասարակշոության տարբեր վիճակներում խաղացողների վեկտորները կարող են տարբեր լինել: Բացի այդ, Նեշի ճավասարակշոությաան իրավիճակների բազմությունը, ի տարբերություն ճակամարտ խաղերի հավասարակշիռ իրավիճակների Եթե բազմության, ուղղանկյունաձն չէ: Ճ ն .Է2 -ը ճավասարակշռոության երկու (Սլա.95)-ը Հ

Ե.)

տարբեր իրավիճակներ են, ապա » իրավիճակը, որը բաղկացած է » ն իրավիճակներն առաջացնող վարվելակերպերից ն չի 5 -ի ճետ, կարող Է ճավասարակշիո իրավիճակ ճամընկնում 5-ին Նեշի ՔԲավասարակշիռ իրավիճակը օպտիմալության չլինել: բազմային սկզբունք Է ալն իմաստով, որ Ճավասարակշոության տարբեր իրավիճակները տարբեր խաղացողների ճամար կարող են տարբեր աստիճանի նախընտրելի լինել: Այսպիսով, ալն ճարցը. թե ճավասարակշռության ո՞ր իրավիճակը կարելի Է ընդունել որպես օպտիմալության սկզբունք, բոլոր խաղացողների Բամար ձեռնտու մնում Է չլուծված: Հետագալում ցուլց կտրվի, որ օպտիմալության սկզբունքի բազմալնություն շատ մասնակիցներով կառավարելի ներճակ գործընթացների լավագույն վարքի Էական բնութագրիչն Է: Նան նկատենք, որ ի տարբերություն ճակամարտ դեպքի. 1 -րդ

խաղացողի «. ճավասարակշիռո վարվելակերպը միշտ չէ. որ ապահովում Է Նեշի ճավասարակշոության իրավիճակի առնվազն

ո)

շաճումը, քանի

որ

դա

Էապես կախված Է նրանից, թե մյուս

խաղացողները արդլոք կընտրեն Նեշի Բավասարակշոության տվյալ թե Ուստի, իրավիճակի պատկանող վարվալակերպեր, ոչ: հավասարակշիռ իրավիճակը չպետք է մեկնաբանել որպես 1 -րդ խաղացողի լավագուն վարվելակերպ: Այդպիսի մեկնաբանումը իմաստավորված Էէ միայն խաղացողների ցվարվելակերպերի Բավաքածուի, այսինքն՝ իրավիճակների ճամար: 6ՃԲավասարակշռոութան իրավիճակի կարնոր Նեշի առանձնաքատկությունն ալն է, որ ալդ իրավիճակից երկու ն ավելի խաղացողների շեղումը ճԲնարավոր է՝ մեծացնի շեղվողներից մեկի շաճումը: Դիցուք՝ Տ Շ /-ը որոշ խաղացողների ենթաբազմություն

«Հ(ա,..,".1)-ը

(դաշինք) է

ն

Նշանակենք

.չի»,-ով

Ց.

ՇՏ

խաղում ինչոր

Լ

այն իրավիճակը,

ցվարվելակերպերը

Այլ կերպ՝ փոխարինելուց:

Տ

ճավասարակշիո

Է բոլոր

էւ2)2 112) 1 6. Տ -ի ճամար:

ճետնում, թե

։

ՇՏ

իրավիճակից կստացվի վարվելակերպերով

դաշնախմբի խաղացողներն իրենց

վարվելակերպերը փոխարինում են

Նեշի

լ.

որ

իրավիճակ է:

»,

վարվելակերպերով: Եթե

իրավիճակ Է, ապա

»՞-ը

(2.1)-ից ամեննին չի (2.17)

Այդ անձավասարության ճշմարիտ լինելը ճետագայում

կտրվի պարզագույն օրինակներով:

ցույց

է Նեշի ճավասարակշոություն ճասկացություն կարելի ուժեղացնել՝ պաճանջելով կատարել (2.17)-ի պալմանը կամ էլ (2.17)-ի թուլացված պալմանը 4 6 Տ -ի խաղացողներից գոնե մեկի Բամար:

։," իրավիճակը կոչվում Է խիստ Բավասարակշիո,

Սատմանում։

եթ`՞0ցանկաած

դաշիքի

ՏՕ

ն

»«չ

Հյլո-Ի է6Տ

ճամար

բավարարվում Է

Տո

(՞)Հ

ՖՈ 6՝ ոյ)

(2.18)

ԱՀ)

անճավասարությունը: (2.18) պայմանը երաշխավորում Է խաղացողների միջն

դաշինք

Տ

ստեղծելու նպատակով ճամաձալնության գալու

աննպատակաճարմար լինելը, քանի որ ցանկացած դաշնախմբի մեջ կգտնվի է խաղացող, որին այդ դաշնագիրը ձեռնտու չի լինի: Ցանկացած խիստ ճավասարակշիո վիճակը ճավասարակշիո Է: Եթե խիստ ճավասարակշոությունը գոյություն ունենար խաղերի բավականին լալն դասում, ապա անդաշինք խաղերի ճամար այն կարող էր ընդունելի օպտիմալության սկզբունք լինել: Սակայն նրա գոլությունը ճազվադեպ է:

Օրինակ 6: Դիտարկենք

(4,8)

-(68 ա) օ,. `

(55)

(010)

«

միակ Քհավասարակշիռ Այստեղ (աշ,Թշ) իրավիճակը (ոչ խիստ հճավասարակշոություն, խաղացողներին Է (11. տալիս շաճումնեի վեկտոր: Սակայն եթե երկու խաղացողները խաղան (ճլ, լ)» նրանք կստանան (5,5) շաճումների վեկտոր, որը շաճավետ է երկուսին Էլ: Այդ իրավիճակը հավասարակշիռ չէ, սակայն լավագույնն Է երկուսի ճամար Էլ: Այսպիսի պարադոքսներ Բակամարտ խաղերում չեն լինում: Ինչ վերաբերում Է այս որոշակի դեպքին, ապա ստացվում է. որ եթե երկու խաղացողներն Էլ միաժամանակ ճրաժարվեն ճավասարակշիռ վարվելակերպերից, ապա յուրաքանչյուրը կարող է ավելին շաճել: 2.5 Օրինակ 6-ը ճանգեցնում Է ոչ դաշնախմբային խաղերում սկզբունքներ կիրառելու օպտիմալության այնպիսի այլ ճամապատասխանող որոնց ճնարավորության մտքին,

երկմատրից

խաղը:

իրավիճակները երկու խաղացողների ճամար Էլ ավելի շաճավետ են, քան Բավասարակշիո իրավիճակներում: Այդպիսի օպտիմալության սկզբունք Է Պարետոյի օպտիմալությունը:

Դիտարկենք (Ժ(»))

Հ

(0Ո0),....1.)).,

»««24.,

«Ալդ

«-ՇՃ վեկտորների բազմություն, այսինքն խաղացողնրի ճնարավոր բոլոր իրավիճակներում շաճումների վեկտորների արժեքների բազմությունը: Սաճմանում: Անդաշինք ԼԸ խաղի Բամար 2 իրավիճակը կոչվում Է Պարետոլի օպտիմալություն, եթե գոլություն չունի ալնպիսի «7 իրավիճակ, որի ամար

ո: 2)Հ2101(12), ԿՀ,

Ճ:Թ2),

Է, ց(5)»

գոնե մեկ չց Շ / -ի ճամար անճավասարությունները ճշմարիտ

Պարետոլի օպտիմալության նշանակենք 7"

բոլոր

իրավիճակների

են: .)

բազմությունը

-ով:

տպատկանելությունը . բազմությանը 5. իրավիճակի բովանդակության առումով նշանակում Է, որ գոյություն չունի այլ « Ց"

իրավիճակ, ճամար:

որը

.. -ից գերադասելի լինի

բոլոր

խաղացողների

ն Նշենք 0Բավասարակշո իրավիճակներ Պարետոյի օպտիմալության իրավիճակ ճասկացությունների բովանդակության տարբերությունը: Առաջին իրավիճակում ոչ մի խաղացող միայնակ գործելով չի կարող մեծացնել իր շաճումը, երկրորդում՝ բոլոր

խաղացողները միասին գործելով (անգամ խիստ) չեն կարող մեծացնել լուրաքանչյլուրի շաճումը: Նկատենք նան, որ սնեռված Ճավասարակշիռ իրավիճակ ընտրելու Բամաձայնութլյունը յուրաքանչյուր անձճատ խաղացողին արգելում Է շեղվել այդ իրավիճակից: Պարետոլի օպտիմալության իրավիճակից շեղվող խաղացողը որոշ դեպքերում կարող է իր շաճումն խիստ Էապես մեծացնել: ՆՄիննուն ժամանակ, նան 0Պարետոլի անկասկած ճավասարակյշիո իրավիճակը

Այսպես, 6 օրինակում (ճշչ,/,) իրավիճակը ճավասարակշիո է. բայց Պարետոյի օպտիմալութլուն չէ: Մինչդեռ իրավիճակը. ընդճակառակը. Պարետոյի (ճլչ։/) է, օպտիմալություն բալց տճավասարակշիռ իրավիճակ չէ: երկու ճավասարակշիռ "Ընտանեկանվեճ" խաղում (ճլ,/կ). (.շչ/չ) են ն միննույն ժամանակ իրավիճակներն էլ խիստ ճԲավասարակշիո օպտիմալության իրավիճակ

է:

Պարետոյի օպտիմալություն. բայց ինչպես նշվեց օրինակ 5-ում, փոխադարձաբար փոխարինելի չեն: Համանման պատկեր առկա Է նան ճաջորդ օրինակում: Օրինակ 7: Դիտարկենք "խաչմերուկ"խաղը (տե'ս, օրինակ 2):

(աշ),

(աչ)

իրավիճակները Բավասարակշիռ են

(ճլ,/լ)

օպտիմալություն

ն

Պարետոյի

Է, իրավիճակը Պարետոյի օպտիմալություն

Բավասարակշիո չէ: Յուրաքանչյուր խաղացողի Բավասարակշոության վարվելակեպը "կանգ ալք.

բայց

վարվելակերպն

խաչմերուկը,

ն

է,

եթե

առնել"

խաղացողը ոէհրոշել| լ թԷ անցնել Է ընտրել ՕչԺչ "շարժվել"

մյոս

ընդճակառակը՝

ճամար

ձեռնտու

վարվելակերպը. եթե մլուս խաղացողը որոշել Է կանգ առնել: Սակալն Է միայն յուրաքանչյուր խաղացող երկու միավոր շաճում ստանում

"շարժվել" վարվելակերպն

Օչ(Թշ)

ընտրելիս,

այդ

պատճառով,

այստեղ անխուսափելի Է պայքարը առաջատարի դերի ճամար, այսինքն՝ լուրաքանչլոր խաղացող շաճագրգոված Է առաջինը ճայտարարել. որ ինքն է ընտրել "շարժվել"վարվելակերպը: Նկատենք. որ Բանգեցինք ճամանման ճետնության "Ընտանեկանվեճ" խաղը վերլուծելիս (տե'ս օրինակ 5):

խաղում (Պլ 4Ճշչմկչ2Աշ) 2 2-ով «վարքագիծը 2'.,

Վերլուծենք երկու անձանց

ԼՐ Հ

առաջատար-ճետնորդ տարբերակի նշանակենք ճամապատասխանաբար 1-ին ն 2-րդ խաղացողների լավագույն պատասխանների բազմությունները, որտեղ

ՀՎ(դ»5)

15)

Հ

(2.19)

մն(:52)):

սք Ա

1205)

ՀՎ)

(ենթադրվում Է, ճասանելի են):

որ

սք

(2.20)

(ո):

»

(2.19-ում

Երկու

Սաճմանում:

Հ

ն

(2.20)-ում

անձանց:

Լ

ճշգրիտ վերին եզրերը

խաղում

(ոս)

»«Ճշ

իրավիճակն անվանենք Շտակելբերգի մ -հավասարակշոություն, իսկ

1լ-ն

1-շաճում, եթե (լ,

մ.-

Ա

առ)2

,չ)

աթ

277ն ճշմարիտ Է

Օլ»»)«27

հավասարությունը, որտեղ

Հ

Ճ(ջ,ջչ)

Ն2,

չ -հավասարակշոություն մեկնաբանել ճետնյալ՝ կերպ:

1-7:

ճասկացությունը կարելի է Ենթադրենք ՛(խաղացողին

(առաջատարին)

շաճումների

ճայտնի

երկու

Է

ֆունկցիաները

խաղացողնրի

Սլ

Քքշ

ն

ճետնաբար՝ ցանկացած

ն

խաղացողի 2բազմությունը: Այդ (ճետնորդի) լավագուլն պատասխանների ժամանակ. օգտվելով ալդպիսի տեղեկատվությունից. նա ընտրում Է իր շաճումը առավելագուլնի ճասցնող «զ վարվելակերպը: Ալսպիսով վարվելակերպի

01ՏՃամապատասխանողերկրորդ

ք.,-ն 1-րդ խաղացողի շաճումն Է, որը ՐԸ խաղում լավագույն ձնով Է գործում "առաջատարի"դերում: ր 221)-ն Լեմ Եթե խաղի Նեշի անձանց հավասարակշոության իրավիճակների բազմությունն է. իսկ 2

27 -ը 1. 2 խաղացողների լավագուլն պատասխանների (2.19) բազմություններն են. ապա

2(1)-2Ր2-:

(2.20)

ն

(2.22)

Դիցուք

ՒԷ»

ն

Նեշի

(ալչ5չ):Փ62(1)-ն

ճավասարակշոությաւն

վիճակ է: Ալդ դեպքում Հ (աթ), հո(57»դ)

Եդ)

Հռ)

անճավասարությունները ճշմարիտ

են բոլոր

Բամար: Այստեղից

հ

(555)

-

(ոլ:352)-

բխում

2-2:

է (2.23) ն

Սատմանում:

Հ

Ճշ-ի

(2.23)

/Ո(:լ.».):

(2.24)

Տսք

Այսպիսով, (ռլ»52)

-.

(պ:.)

սթ

Ճշ

(ւլչ52)

ՇՃլին

է.

Բետնում

Ճլ

էն

»

62"

ն

(ոլ»5չ)

«

2-,

ալսինքն՝

Հակառակ պատկանելությունը անմիջականորեն (2.24)-ից:

..

կասենք.

երկու անձանց (ղղ, Ճշ,մ ղն) է, առաջատարության պայքարն առկա եթե գոլութլուն չունի խաղում « Շ ալնպիսի (ոլ, Ճշ) լ Ճշ իրավիճակ, որ

ք, Հպ»),

որ

Հ

15-12:

(2.25)

,Մչ) խաղն ունի (224 Պարետոլի օպտիմալության ն Նեշի ճավասարակշոված առնվազն (պ): տարբեր շաճումների վեկտորներով իրավիճակներ՝ (յլչՖչ) Թեորեմ: Եթե երկու անձանց

Հ

ապա

(2.26) (ոլ (ալ։.5շ11 (Ցլ:5)) - Օոհ(ջլՖշ):Աշ »Ֆշ ), է խաղում աոկա պայքարը առաջատարության համար: Է» Համաձայն (2.22-ի՝ Նեշի (պ,22Շ2(1) ճավասարա-

կշռության ցանկացած իրավիճակի Բամարճշմարիտ

ոլ

են

ա2ա)ՀԱ.:-12

Ր անճավասարութլունները։ Ենթադրենք ճակառակը, ալսինքն խաղում բացակայում Է պայքարը առաջատարության ճամար: Ալդ

դեպքում գոյություն ունի (4լ,

քո(Խլռ) Հմ

22) Ճլ Շ

«Ա(րքա),

Հէ ՀԽ):

էւ(լ:Ֆչ) Բաց

(ալչ"շ)»

օպտիմալությլուն են:

(ղջ)

Ճշ իրավիճակ, որի ճամար

«

1-12

(2.27)

1-12:

(2.28)

իրավիճակները

Հետնաբար.

(2.27),

Պարետոյի (2.28)

անձավասարությունները դառնում ճավասարություններ, որը .) հակասումԷ2.26-ին: Վերջում նկատենք, որ "Ընտանեկան վեճ" ն "Խաչմերուկ" խաղերը բավարարում են 2.6 թեորեմի պայմաններին, Բետնաբար, ալդ խաղերում աոկա Է պայքարը առաջատարության Բամար: են

53- Անդաշինք խաղի խառը ընդլայնում Սկզբում դիտարկենք. ճակամարտ մատրիցային խաղի դեպքը: Ենթադրենք Լ խաղում գոլություն չունի Բավասարակշիռ իրավիճակ: Ալդ դեպքում 82-ի ճԲամաձալնունենք յ »0. (3.1) Օյ 3.1

ոլոոոճւ ուռալոճ -

իսկ մինիմաքսի ն մաքսիմինի վարվելակերպերը լավագույնը չեն: Ավելին. խաղացողների Բամար ձեռնտու չէ ալդ վարվելակերպերից օգտվելը. քանի որ դրանցից ճրաժարվելու դեպքում կարող են ստանալ ավելի մեծ շաճում: երբ տանք, որ խաղացողի ընտրած Օրինակով ցուց Է ճակառակորդին, նրա վարվելակերպը ճայտն դառնում են մինիմաքսի քան լինել, կորուստները կարող ավելին դեպքում: Դիցուք՝ վարվելակերպի

«09

Այս մատրիցի Բամար ոլո ն

այսինքն`

6., ո22 ւ

Հ3,

6, ոլո ն

ո '

ճավասարակշիո

խաղացողի մաքսիմինի մինիմաքսի

իրավիճակ գոյություն

վարվելակերպն Է

վարվելակերպն

խաղացողն ընտրում Է

Հ-1,

յ

է

յ

չ՛-1,

չունի:

իսկ երկրորդի

Ենթադրենք`

-2:

Առաջին երկրորդ

վարվելակերպը, իսկ առաջինը՝

/-2

վարվելակերպը: Ալդ դեպքում առաջինի շաճումը 3 է, այսինքն՝ 2 միավորով ավելին, քան մինիմաքսի դեպքում: Սակալն, եթե երկրորդ խաղացողը կոռաճիառաջինի ընտրությունը, ապա իր վարվելակերպը 1, ն առաջինը կստանա 0-ի հավասար շաճում, այսինքն՝ կդարձնի յ մեկով պակաս, քան մինիմաքսի դեպքում: Նման դատողություններ կարելի է անել նան երկրորդ խաղացողի ամար: Հարց է առաջանում. ինչպե՞ս գործեն խաղացողները մինիմաքսի ճարցի անճավասարության դեպքում: այս Պարզվում է, որ պատասխանը վարվելակերպերի պատաճական ընտրությունն է: Այդպիսի գործողությունները նախ՝ ապաճովում են վարվելակերպի առավելագույն գաղտնիությունը (ընտրության արդյունքը չի կարող հայտնի դառնալ Բակառակորդին, քանի որ անճայտ Է Բենց իրեն՝ խաղացողին), երկրորդ` վարվելակերպի պատաճական ընտրության խելամիտ ձնը ապատովում է վարվելակերպերի օպտիմալությունը: Սածձմանում: ԼՐ մատրիցալին խաղի ճամար մատրիցի տողերի 14//7Հ-(12..,7 ճամարների բազմութան վրա .Բավանական բաշխումը կոչվում է | խաղացողի խառը վարվելակերպ: Համանման ձնով սաճմանվում Է երկրորդ խաղացողի խառը վարվելակերպը, որը մատրիցի սլուների ճամարների 7Պ (12....,ո) բազմության վրա Բավանական բաշխումն է: ճետ Խառը վարվելակերպի բերված սաճմանման կապված՝ նախկինում սաճմանված վարվելակերպերը կանվանենք "մաքուր`: 1-ին խաղացողի ։ խառը վարվելակերպը Բետնյալ վեկտորն է. Հ

(մեծ ....Ե)ՀՇՔԻ՞,

«Հ

ՖԵՆ

ւ

ծ

»0.

1-Ն2....ո:

(32)

2-րդ խաղացողի խառը վարվելակերպի վեկտորն է Ք՞ -ից՝ Շ ր՞. 5`դ, (դլչդշ»...23,ղ)

Հ

ծ. Հ0 ՄՇՈ

ն

դյՀ0

`

դյ Հ0,

-

Լ2.....ո:

թվերը կարելի Է մեկնաբանել, որպես

մաքուր վարվելակերպերի

(3.3) «41

ն

ընտրության ճամապատասխան չել

ճավանականություններ. երբ խաղացողներն գտվում Ֆ խառը վարվելակերպերից:

են

իրենց

«ն

Նշանակենք 7 -ովն 5 -ով համապատասխանաբարառաջին ն երկրորդ խաղացողների վարվելակերպերի բազմությունները: Դժվար չէ նկատել. որ լուրաքանչյուր խաղացողի խառը վարվելակերպերի բազմությունը ներփակ սաճմանափակ (կոմպակտ) բազմություն է վերջավոր չափի էվկլիդյան համապատասխանտարածությունում: Սաճմանում:

Դիցուք՝

չ.

-

(ձլ,...,ծոլ)

Ջ՞ -ը առաջին խաղացողի

խառը վարվելակերպն է: Ալդ դեպքում ոլ. -Ա/ւ «դ Հ.»0). էՆ2.....ոչ Նուլն ձնով՝ Ռ1/

որտեղ

հ, -Ս/)ՀՈո,

(3.4)

կկոչվի վարվելակերպի սպեկտր:

Հ

ղյ

9).

(3.5)

Մ Հ|1Ն2.....ո) որտեղ բազմությունը կանվանենք խաղացողի յ: խառը վարվելակերպերի սպեկտր:

երկրորդ

Այսպիսով. խառը վարվելակերպի սպեկտրը բաղկացած Է այնպիսի մաքուր վարվելակերպերից, որոնք ընտրվում են դրական ճավանականություններով: Պարզ է. որ ցանկացած .«(չ») խառը վարվելակերպի Բամար

11.Օ

(Ո

»«ՕԺ).

քանի

որ

«(9

ունս

ոչ

բացասական

բաղադրիչներ. որոնց գումարը Բավասար է 1-ի:

Դիտարկենք

ծ:

ծ

Հ1.

Հ0.

ա

Հ

721.

(էլ....,Հ....»ծղ)

1Հ12.,...,:

խառը վարվելակերպը, որտեղ

Այս վարվելակերպը 4-րդ տողի

ընտրությունը կանխորոշում Է 1 ճավանականութլամբ: Բնական է, խառը վարվելակերպը նուլնացնել առաջին խաղացողի 1 -րդ ս. «7 ընտրելու

տողն յ

(դլյա)

Հ

դ. «0.

12).

վարվելակերպի ճետ: «Նույն ձնով խառը վարվելակերպը. որտեղ դյ -1,

մաքուր

ՕՖ

ՀՆ2...,ո:

Նովնացնենք երկրորդ խաղացողի /

-րդ

ընտրելու մաքուր վարվելակերպի ճետ: Դրանով իսկ ստացվեց, որ խաղացողի խառը վարվելակերպերի բազմությունը նրա մաքուր վարվելակերպերի տարածության ընդլայնումն է: տողը

3.2

Ը

մատրիցալին խաղում խաղացողների(2.

խառը վարվեչակերպերի կամայական վարվելակերպերի իրավիճակ:

զույգը

ֆ).

կոչվում

օր, «5 Է

խառը

Այժմ որոշենք յ չ«ռ մատրիցային Լ խաղի առաջին խաղացողի (տչ) խառը վարվելակերպով իրավիճակին ճամապատասխանող շաճումը որպես նրա շաճումի մաթեմատիկական սպասում: Քանի որ խաղացողներն ընտրությունը կատարում են միմյանցից անկախ, ապա (չճ,յ) իրավիճակում, 2 ԱՐ.) (ժլ,.. ծո): ) (դրվող): Հ

Հ

շաճումի մաթեմատիկական սպասումը ճավասար Է 1(5.))

-

2 զյեղյ

Ընդ որում Մ(»չջ) -ի: Նկատենք,

Ֆ ՕՖ

վարվելակերպ վարվելակերպ, մ

0.))

է(5.)) որտեղ տողն

Օ,.,

ու

(չ

Հ-

Է

ըստ

«Շ«-ֆին

եթե խաղացողներից մեկն ընտրել Է մաքուր

կամ

մյուսը

իսկ

(»

խառը

կամ

«)

ապա

Ա(պ.))

-

(3.6)

Հ

ֆունկցիան անընդճատ է

որ

Հ զլղյ

-

Օլ).

-

)-1

Ա(5,»»5,) -

ւ-1

յծ

7,

Հ

Օ.7-նհամապատասխանաբար (ոչ«ո)

7-րդ սյունն

Հետնաբար, Լ, նոր`

(4)

-

չ-17-1

մատրիցի 1-րդ

են:

-ՀԴՈՊՄ,.1»-

-ՀՃՖ,Ա»

մատրիցային խաղից հանգեցինք

խաղի, որտեղ

ր

Ճ-րըն ր

խաղի խառը

իսկ ՔԶխառը ր խաղը կանվանենք Ր վարվելակերպերով շաճումի ֆունկցիան: խաղի խառը ընդլայնում: Հասկանալի է, որ 1 խաղը ր խաղի

վարվելակերպերի

բազմություներն

են,

ենթախաղն է, այսինքն՝ 1 ՇԻ: 1 խաղում (չ՛,»)

Սաճմանում:

իրավիճակ Է, իսկ

»

Մ(».չ)

Հ

իրավիճակը ճավասարակշիռ

ր խաղի արժեքն է, եթե

բոլոր

«

օն

ՕՖ -ների ճամար

Ա(։,ջ-) ՀԱՇ", 82-ից ճետնում նան

լավագույնն

մաքսիմինալին

ն

Է, որ են:

)

Տ

ԱՇ-

(3.7)

ւ):

(»5-,»՞) ճավասարակշիո վարվելակերպերը

Ավելին."»`

մինիմաքսային են.

ն

յ

քանի

վարվելակերպերը որ

տվյալ

դեպքում

արտաքին Էքստրեմումները անընդճատ Է

ն

ճասանելի

(Զ(5,չջ),

են

ֆունկցիան

, կոմպակտ բազմությունների վրա):

Թեորեմ (մատրիցային խաղերի ճիմնական թեորեմը): Ամեն մի մատրիցալին խաղ խառը վարվելակերպերում ունի ճավասարակշիո իրավիճակ:

Դիտարկենք Լ -ՀՃլ երկանձ անդաշինք խաղ: Ճշ, մլ,» Հայտնի է. որ նուլնիսկ ճակամարտ դեպքում սովորական մաքուր վարվելակերպի հավասարակշիռ իրավիճակ ընդհանրապես գոլություն չունի ։-Նովնիսկ մատրիցալին խաղերն ընդճանուր ունեն դեպքում ճավասարակշիոռ իրավիճակ միալն խառը է, վարվելակերպերում: Այդ տպատճառով բնական Նեշի ձավասարակշոությունը անդաշին խաղում փնտրել խառը վարվելակերպերի դասում: ինչպես որ Բակամարտ խաղերի դեպքում. խաղացողի խառը վարվելակերպը մենք նուլնացնում ենք մաքուր վարվելակերպերի բազմության վրա ճավանական բաշխման ճետ: Պարզության ճամար ենթադրենք, որ վարվելակերպերի Ճ, բազմությունները վերջավոր 3.3

են ն

սաճմանենք խաղի խառը ընդլալնում Բասկացությլունը: Դիցուք՝ 0.8) ԱԳԱՀ Ո ԱՆ ՈՒ»

կամայական, վերջավոր անդաշինք խաղ է: Որոշակիության ճամար

ենթադրենք,

որ

մ -րդ

խաղում

Նշանակենք,

աչով

1-րդ

վարվելակերպը,այսինքն՝ վարվելակերպերի վարվելակերպեր: Խ.

2.

7.

վարվելակերպը

խաղացողը ունի

7ս,

վարվելակերպեր:

խաղացողի կամայական խառը

ինչ-որ

ճավանական

բազմության վրա,

որը

բաշխում

անվանենք մաքուր

(»:) -ով նշանակենք Բավանականությունը, որը վերագրում

է

որոշակի

յ

ՇՊ.

մաքուր

2՛,-ով նշանակենք 4-րդ խաղացողի բոլոր խառը վարվելակերպերի բազմությունը: Դիցուք՝ ԼՄ խաղացողներից լուրաքանչյուրը կիրառում Է իր ճավանականությամբ խառը ս. վարվելակերպը, այսինքն /.(ճլ) վարվելակերպին:

ընտրում Է մաքուր վարվելակերպեր: Ենթադրենք, որ

«Հ

(տլ»...»Ճո)

նրա ճավանականությունը ճավասար է վիճակի Ճայտնվելու բաղադրիչ-վարվելակերպերի ընտրությունների ՔԲավանականությունների արտադրյալին, այսինքն՝ (5.9) (5): ԷՋ) յղԸղ)2րշ(Ըշ)»«..2»0 Հ

մստո| մռղ րւսդծդո իսղջ վդտնոց մմղ '6վ-(լ 8)

:վմղոմղկվուղիմռի 6վ(0լ՛5) Վ բրաղվմ

Ղ

վոմղվոլղիմտի մսոո| օոծողցտծ

տվմռրՀց9մորով

55(7Մ/յո)դ

ովցվճմղ

մլղդվլ տվմործց

տոտ

«զ

տվմորշց

վոմղկոլղիմտի

:մուսաիսմտոտիոյցտ

մըդւսմթօիսմտոտիոցցտտ(ախ)յ

մւսմռր ցողոնորտկ

՛«

խ-(ո:տ

Վմզ(լջ)

ՂՎ

օտկոտլորողկ մտորոց

վնսճոռնտոլնմ-,

ղմՂ

:րւսդնունցմ մսոոլ| վնողվ Վ րաիձսկ «իսրւսմոտոռիոկ (0լ--)

"մում օռսրեռոմ վմղոմղկոլղիմռի

լ

Վ րորսիշսմսցտվծկդւսՓֆվրւսցոծ ղով

վնսծոնտոլ

մ- // «Վ օուսանիսրեոմ վմղցնսծոռոնող|

,

մսճդոտմում.աԼ ց- 327 ր

րձսմս 'մնոոլ չուսցորատրը Ո»

- (Թար)

(րոդ Վցոցոտոհ 'վղ

Դ

Ռ- մսնսմ տոմ իսլղմորւսԵ

իսաղզղտոխտրեու :զՎ դհոմղկտոլզիմտի

մսոո| դռոկուորոկղ վնսծոնտոլ նմ-/

(աղյ (4189:

"5

րւսնտոլ

ւլ» ԽՈՌթԻ

Ա-7/ոսճվՎ,

լ

ո

ՀՐ"Ղ

սթ

Հ

(ադ

'"Ղ

ճողկտցոՀՂ,

(019)

ՑՕՀ»:Մ5յ

7-7

ԱՃ "4

«(ԹՈՐ նտ

-ԹոԹ

-()դ

Արւսոտոո ցողտկվտորղծոր դուսօղր դյտղտստտոթռ րասիըուսնըցմմղթմտ վեռտվծկուսՓ վրւսյտչ վնսծոնոոլ

զ

ողոմս "րւսղտցջվիտմվվ-7 :Վզ դւսմթիսօղր ցռտղտցտտոխռ նմ: վլտվծկուսփ վրւսյոՀ մզղթմո վնսծոնտոլ մսԹադոմոմ.աԼ նռ Հսմս զ րւսցծտցողտմվ «իսսոցտո «իսմղըցո1սԿ12ոսցողտցտիոց դռմղցղտցվիոմվ մղմմռտ իսմղոմղկտլղիմտի մւսմոտորմղոցվիռոմվ մսոոլ :ղտցջվիոռմվիսմղոմղկոլղիմտի մսոոլ

իսմղոմղկոլղիմռի

ո

:":2/:7/)

(7:

Վ րաիչսկ ուսօոմտիով

:մրւսովշտմ դտղոտդռիով

Հ

նսիշսմս իսմղոմղղվտլւղիմտի մսոո| 7"7/:::«2/7/ վմղդղոտցվիտմվ մսնսմ

1-7

տմի դտնօիսրեռմ

մղջոցոմ

ՂՎրաշսմս

(6-6)

երկմատրից ԼՐ(4,8) խաղի ճամար առաջին ն երկրորդ խաղացողների խառը վարվելակերպերի բազմությունը կարելի է որոշել ճետնյալ կերպ. 3534 (ռ«ո)

Ճ ՀՎ», Ճչորտեղ

ս

Հ

ԱՌ, -

Նչ»Հ0,»

Հ

ՀՅ),

-Ն»Հ0.

(1.....1)

Ք",

վարվելակերպերում Սլ

8"),

Հ

(1....,1)

Հ

Ք"

ինչպես

նան

(»,չ)

խառը

Մշ շաճումները, որպես մաթեմատիկական

ն

սպասում

ճլ(ՑյԴ

Հ

«ՆՄ. Ճչ( 5)

«8». «ճ«ճլ:

Հ

«Ճշ:

)

Հետնաբար. ձնականորեն կառուցվեց Լ(4,8) ընդլալնումը.

խառը

խաղի

Լ(4,Թ)

ԼՐ(4,8)- (Ճ5»4Ճշ.ՃլՃշ)

այսինքն

երկու

անձանց անդաշինք խաղը: ն Երկմատրից (ինչպս մատրիցայլին խաղի ճամար 10. (վե »0) խաղացողի բազմությունը կանվանենք 1

«Հ(Հ.սծո) վարվելակերպը.

ցխառոր որի

Հ

վարվելակերպի

խաղում:

(ոռ,))

/,

ճամար

Համանմանությամբ, 47, խառը

սպեկտր, վարվելակերպի

(/դ, »0)-ը՝ սպեկտր՝

իրավիճակը,

խառը:

4/1Հ-|12.....ո)`

«11.

իսկ

խաղացողի 7

Լ(4,8)

Հ

երկմատրից

(ռ«ո)

որտեղ երկու

թե'

(դլ,...չդո)

։,

ն

թե'

վարվելակեպերը լիովին խառն են, կանվանենք լիախառն: "Ընտանեկան վեճ" խաղի օրինակով ցուց տանք, որ խառը վարվելակերպ մտցնելը չի վերացնում անդաշինք խաղերի ժամանակ առաջացող դժվարությունները: Օրինակ 8: Դիցուք "Ընտանեկան վեճ" խաղում 1 խաղացողը ցանկանում է առավելագուն, մեծացնեկլ իր երաշխավորված շաճումը: Դա նշանակում Է, 0Հ

Հ 1

որ նա

մտադիր է ընտրել

խառը վարվելակերպն ալնպես,

մեծացնի Ալ(»./)

ն

ԱՊ(»/չ)

որ

».-(Հ1-4:)

առավելագույն չափով

երկու մեծություններից նվազագույնը.

ալսինքն՝

աոճոմու մ(«.1)1(2)-

Առաջին »286

(1/54/5).

խաղացողի որը

ոու

Խլ(«,81)Ն(./.)):

մաքսիմինի վարվելակերպն

է

նրան տալիս Է 4/5 միջին երաշխավորված

շաճում: Եթե երկրորդ խաղացողն ընտրի /լ

վարվելակերպը.

ապա

իսկ եթե օգտվի /չ

խաղացողների շաճումները կլինեն (4/5.1/5).

վարվելակերպից, ապա՝ (4/5.16/5): Այսպիսով. եթե երկրորդ խաղացողը կռաճում է. որ իր խաղընկերը հավատարիմ Է »" վարվելակերպին. ապա ինքը կընտրի

Թշ -ը

կստանա 16/5-ի չափ շաճում (եթե առաջին խաղացողը կարող

ն

Է ճիմնավորել երկրորդի կատարած

կարող է

լավացնել

նան

ընտրությունը.

Է

յ

իր

ինքը

վարվելակերպը.

Օյ

խաղացողների շաճումները կլինեն (16/5.4/5), ապա՝ (1/5.4/5): Այդ պատճառով նրան

մաքսիմինի

«(4/51/5)

եթե առաջինն ընտրի

ն

ապա

իր ընտրությունը): Նույն կերպ. եթե երկրորդ

խաղացողն ընտրում վարվելակերպը,

/չ

ձեռնտու

ապա

իսկ եթե ընտրի «Օշ. Է

յ" մաքսիմինի

վարվելակերպին պատասխանել Օլ վարվելակերպով:

Եթե երկու խաղացողներն Էլ դատեն

ալս

ձնով, կճանգեն (ճլ./չ)

իրավիճակին, որի դեպքում շաճումների վեկտորը (0.0)-ն է: Այս դեպքում (2:օ,»ցգ) խառը վարվելակերպերով մաքսիմինի իրավիճակը

Նեշի Բավասարակշոության իրավիճակ չի լինի: 3.5

Սառմանում

խաղի խառոր վարվելակերպերով իրավիճակը կոչվում Է Նեշի Բավասարակշոության իրավիճակ, եթե ն կամայական 1-րդ խաղացող նրա ցանկացած յրխ.-ն խառը Լ

վարվելակերպի Բամար ճշմարիտ Է ճետնյալ անձավասարությունը՝

Խ(Ժալա)ՀԱԽ(ո).:-12.....ու: է ինչպես երնոմ օրինակ 8-ից. մաքսիմին խառը վարվելակերպերով իրավիճակը պարտադիր չէ. որ լինի Նեշի Բավասարակշոության իրամիճակ խառը վարվելակերպերում: ն (ռշ,/դ) մաքուր Օրինակ 9: "Խաչմերուկ" խաղում կա (ճլ,/չ)

վարվելակերպերով Նեշի Բավասարակշոության երկու իրավիճակ: Ալդ իրավիճակները նան Պարետոլի օպտիմալություն են: Խաղի խառը ընդլայնման մեջ առաջանում է նս մի ճավասարակշոության իրավիճակ, ալն Է՝ »

Հյ

Հ(Ա-

որտեղ տ (10). -

(չ՞,)-). 2)/(2ռչ

-

Հս

(0,1),կամ

Է/0-

»

ա,

-՝

-Ա-:4)/(2-42),1/(0-

իրոք. ունենք հլ

(ռլլջ")

Հ

էլ

(ճշյչ")

Հ

Քանի

Հ(.Վ-8)/(2-5):Է(Ճ-

որ

8)/(4-8)-1-85/(02-5):

Հ

ցանկացած

ԽՐ»)

Հ

Ճչ(5.))

Հ

2».

Հ

(ժ.1- Հ)

Խա) »«ՇՃլ

բոլոր

դե

(5",ջ-)

-ը

(1-

դ) ճամար

ապա

ԽՃ»)

»ՕՃչ

-

կստանանք

ԽԸՆ»)

խառը վարվելակերպերի Բամար: Ուստի

Նեշի ճավասարակշոության, ավելին՝ լիախառն Բավասա-

րակշոության Հ

Հ

դ)Ճ5.Թ)-1-2/0-8)

.2)Ժ01-

Խ(».)).

ն

ն

Հե(լ.»)4:0-Ծ7Ճ(ո.»)-1-4/0-Թ.

հավասարությունները ճշմարիտ են, -

2).

8)/(2-8)Հ1-2/0-

(0-2/2-2)1-

իրավիճակ

Սակայն

է:

քանի

Խ(ո,չ)-

որ

8)) վեկտորը խիստ փոքր Է (.լ,/չ)

2/(2-

իրավի-

ճակում շաճումների (1,1) վեկտորից, ալն Պարետոյի օպտիմալություն չէ:

Դիցուք` Խ(ա՞)-ՍԿ(՝))-ը Նեշի ճավասարակշոության որնէ իրավիճակին ճամապատասխանողշաճումների վեկտորն Է: Նշանա-

Խ(ա՞)ն

Նկատենք, որ եթե ճակամարտ խաղերում շաճումների ֆունկցիայի արժեքը միննույնն Էր ճավասարակշռության բոլոր իրավիճակների Բամար ն, ճետնաբար, ճավասարակշոության իրավիճակ ունեցող ամեն մի Բակամարտ խաղի ձամար իրականացվում Էր միակ ձնով, ապա անձակամարտ խաղերի ճամար 5» մեծությունը միարժեք չէ: Այսպիսով, այս դեպքում կարելի Է խոսել միալն 7-րդ խաղացողի իրավիճակին Բամապատասխանողշաճումի կենք )՛

Հ

Ս):

»

մեծության մասին. որտեղ

բ

«Հիա:

Շ«.

խաղում (Օլ, 0չ) ճավասարակշոության

Այսպես, "Խաչմերուկ"

իրավիճակում (51552)

Բավասարակշոված շաճումների վեկտորը(1--

5,2)-ն

Է, իսկ

(»՞չ»-)

6)1-8/(2-8): իրավիճակում՝ (1- «/(23.6 Երկմատրից խաղերի ճամար հայտնի Է Բիմնարար թեորեմը. Թեորեմ: Դիցուք՝ Լ(4,8)-ն երկմատրից (տ: ո)-խաղ է: Այդ դեպքում 1-ին ն 2-րդ խաղացողների ճամար գոլություն ունեն Բամա-

պատասխանաբար «` ՇՃլն պեր.

որ

զույգը

ջ

Հ

Ճշ այնպիսի խառը վարվելակեր-

Նեշի ճավասարակշիո իրավիճակ Է:

Տ 4. Լավագույն լուծումների Բատկությունները Ներկայացնենք Բավասարակշոության իրավիճակների ալն ճատկությունները, որոնք օգնում են գտնելու երկու անձանց անդաշինք խաղերի լուծումը: 24.1

Թեորեմ: Որպեսզի խառը վարվելակերպերով (ս՞չ»՞) իրավիճակը լինի

Ր

-

(Ժլ.2442.7Ո.8չ) խաղի ավասարակջշոության իրավիճակ,

անճրաժեշտ է

ն

բավարար, որ խաղացողների «Շմլն 7 «Ճշբոլոր լինեն Բճետնյալ ճամար ճիշտ

մաքուր վարվելակեպերի անճավասարությունները.

Խլ(»-)

Տ

Ճլ(ա՞չ»՝),

(4.1)

Ճչ(ա՞,))Հ Ճո»):

(4.2)

մի մաքուր Անճրաժեշտությունն ակճալտ Է, քանի որ վարվելակերպ խառը վարվելակերպի մասնավոր դեպք է, ն, ճետնաբար, (4.1) ն (4.2) անճավասարությունները պետք Է ճշմարիտ լինեն: Բավարարություննապացուցելու ճամար անճրաժեշտ Է (4.1), (4.2) անճավասարություններում ճամապատասխանաբարանցնել 1ն 2 խաղացողների խառը վարվելակերպերին: .) Այս թեորեմը (ինչպես Բակամարտ խաղերի դեպքում) ցուլց է տալիս, որ խառը վարվելակերպերով իրավիճակի Բավասարակշիռ ն (41. (42) լինելն ապացուցելու ամար բավական Է անճավանարությունների պալմաններն ստուգել խաղընկերոջ միալն խաղի մաքուր վարվելակերպերի Բամար: Լ(4,8) երկմատրից ,յո«ոռ ն (4.1) (42) ճամար անճավասարութլյուննեը ճամապատասխանաբար կընդունեն Բետնյալ տեսքը. ամեն

ՒԷ»

Խճ-(,)

ճ-(:))որտեղ

)-

գլ)

Հ»

4»

21237:

օ.(57)-ն4(Թ8)

ԽԸ.)

-

7.

ճ.(5",)"),

մատրիցի տողերն (սյուներն) են,

մ

Հ

Ն2....,..

7ՀՆ2...,ո:

Հիշեցնենք, որ մատրիցալին խաղերի ճամար ամեն մի Էական մաքուր վարվելակերպ Բավասարակշոում Է ճակառակորդի արդլունքը կամալական լավագույն վարվելակերպը: Համանման ճշմարիտ է նան երկմատրից խաղերի ճամար: խաղ է, իսկ Թեորեմ: Դիցուք` Լ(4,8) -ն՝ երկմատրից (չո) ()«2(1)-ն խառը վարվելակերպերով իրավիճակ է: Այդ

դեպքում

ճՃւ0.ջ)

Ճ(»))

Հ

ճչ(5.))

(4.5)

Խչ(թյ))

Հ

(4.6)

հավասարությունները ճշմարիտ

1Շ

են բոլոր

4/(,-երի

ՀՊ.-երի

ն

Դ1,(Դ,)-ը «(») խառը վարվելակերպի սպեկտրն Է:

համար, որտեղ

(4.1) թեորեմի ճամաձալն ունենք

Է»

Հ Խն») Հ ՍԸ), 8Ր: Է Դիցուք ճշմաիտ անձավասարություն, այսինքն

ճւ(դ»»)

Նշանակենք

»

ն

-(ձլ,...»ծղ)

ՖՃՔ(:)-

Խա)

(4,-ում

գոն

մեկ

ՃլԸՕ»)), ը օ41Ր:

Հ

դեպքում եց»0

(4.7)

1-1

6խիստ (4.8)

վեկտորի բաղադրիչները Հ, -ով: Այդ

ԷՃԽ(Ն))

Հ

16օ3(,

Խ(ա)

-

ՀՀ

1«41,

Ե»:

Հակասությլունն Օ»ապացուցումԷ (4.5-ի ճշմարտացիությունը: (4.6)-ի ճշմարիտ լինելն ապացուցվում Է ճամանմանութլյամբ: Այս թեորեմը ճնարավորություն Է տալիս գտնել Լ(4,8) խաղում խաղացողների լավագուն խառը վարվելակերպերը: Իրոք, ենթադրենք, որ մենք փնտրում ենք (»շչջ) ԲՃԲավասարակշիռ իրավիճակը,

երբ

տրված

են

1/1,

վարվելակերպերի

ն

7,

սպեկտրները: Այդ դեպքում լավագույն վարվելակերպերը պետք Է բավարարեն գծային ճավասարումների Բամակարգին, 4,

Հ

որտեղ

.,

Հ,

»լ,»չ-ը

1ք.

)ՕՌ

յ:

ինչ-որ թվեր

(4.9) են:

Իսկ եթե (»չչջ)

իրավիճակը լիախառն իրավիճակ Է, ճամակարգը կընդունի

ճավասարակշիռ

(4.9) ճավասարումների

ապա

4) Հլս, «8

Հ

(4.10)

ջշչ».,

տեսքը, որտեղ

ս

Հ

(ն...,1).,

»Հ(1...1

-ը

Բամապատասխան չափի

միայն մեկերից բաղկացած վեկտորներ են, ծլ («չջ)

Հ

«4»,

5չ

Հ

«8» թվերը՝

խաղացողների շաճումները Բավասարակշիռո իրավիճակում:

95. Հավասարակշոությունը ձամատեղ խառը վարվելակերպերում Շարունակենք երկու անձանց խաղի դիտարկումը: Ինչպես արդեն նշվել Է, եթե նույնիսկ ճավասարակշիո իրավիճակը գերիշխող չէ (Պարետոլի օպտիմալութլյուն), Բնարավոր են դեպքեր, երբ մի Է առաջին խաղացողին, իսկ ճավասարակշիռ վեկտորը ձեռնտու Սա մյուսը երկրորդին: դժվարացնում Է երկուստեք ընդունելի լուծումներ գտնելը որն առաջանում Է անդաշինք խաղի ձնականացմման մակարդակում անճակամարտ ներճակության դեպքում Այդ պատճառով անճակամարտ ներճակությունը հետազոտում ենք ալնպիսի ձնականացումով, որը խաղացողներին թուլլատրում Է ճամատեղ որոշումներ կայացնել: Այս մոտեցումը լուսաբանենք «Ընտանեկան վեճ" խաղի օրինակով (տես 1-ին օրինակը): Օրինակ 10: Դիտարկենք "Ընտանեկան վեճ" խաղի խառը ընդլալնում: Խաղի խառը վարվելակերպերով շաճումների վեկտորներին ճամապատասխանողկետերի բազմությունը կարելի է ներկալացնել գծապատկերով (գծ. 1): 5.1

ւ

ւփ

(4)

(1,3)

3-Ւ «

(5/2,5/2)

2--

Վ

|

(4,1)

՛

ՐՈ) )

Վ

Ս

Է-»

գծ.1

Խ

|

գծ. 2

Բ

Գծագրում պատկերված են մաքուր վարվելակերպերով, Նեշի (41), ճավասարության 2 իրավիճակներ: (14), ..շաճումների վեկտորներով ն մեկ լիախաոն Բավասարակշիո իրավիճակ (4/5,4/5) շաճումի վեկտորով, որը լուրաքանչյուր խաղացողի ճամար պակաս նախընտրելի է, քան մաքուր վարվելակերպով ճավասարության ամեն մի իրավիճակը: Հիշեցնենք, որ ալստեղ Բավասարակշոության իրավիճակներն

են

(այչ),

(ճշ),

(3),

որտեղ

» Հ(1/54/5),

5 Հ 4/51/5),

իսկ

(ճայչճ)-ը,

(6շ:8չ)-ը

նան

Պարետոյի օպտիմալություններ են: Եթե խաղը կրկնվում Է բազմիցս, ապա արժե, որ խաղացողները կատարեն ճամատեղ ընտրություն: Այն Է՝ 1/2 ճավանականությամբ ընտրեն կամ (աշ,8շ) իրավիճակը: Այդ դեպքում (ոլ) խաղացողների միջին սպասվող շաճումը կլինի (5/2,5/2): Սակայն (5/2,5/2) կետը չի պատկանում անդաշին, խաղի ճնարավոր կետերի բազմությանը (գծ. 1), իրավիճակներին ճձամապատասխանող այսինքն չի կարող իրականացվել, եթե խաղացողները խառը վարվելակերպերն ընտրում են իրարից անկախ: Խաղացողների համատեղ խառը վարվելակերպ ասելով, (գյ: (մաքուր ճասկանալու ենք ճնարավոր բոլոր զուգերի վարվելակերպերով իրավիճակների) բազմության վրա ճավանական բաշխումը, որը պարտադիր չէ, որ առաջացած. լինի 1-ին ն 2-րդ խաղացողների մաքուր վարվելակերպերի պատաճձական ինքնուրույն ընտրությունից: Այդպիսի իրավիճակները կարող Է իրականացնել միջնորդը մինչն խաղն սկսվելը: Նշանակենք Լ(գ,5: խաղի Բամատեղ վարվելակերպը 4/-ով: Այդ դեպքում ճամատեղ վարվելակերպ օգտագործելիս 1 ն 2

ճՃչ(40)

շաճումները

` խաղացողենրի

շաճումների

խաղացողներին սպասվող ճւ00Ո, ճամապատասխանաբարհավասար են. ճԺՌորտեղ

Գյո: շ.օ

), ա, 4/

2.1.

8-()-ն՝

714Հ-

մատրիցներն են,

Ճ.(Ռ-

Հայ),

ընդ որում ս-3/-»-1,

սՀ

(Ն...5

Հ

Է",

Երկրաչափորեն, ճամատեղ խառը վարվելակերպերին Բամապատասխանողշաճումների վեկտորների վարվելակերպերին մաքուր կետերի բազմությունը ճամապատասխանողշաճումների վեկտորների բազմության ուռուցիկ թաղանթն է: 10րդ օրինակում բերված խաղի ճամար այն պատկերված 2-րդ գծագրում (գծ. 2): Է Հ

(....1)

ՕՔ:

Նկատենք,

որ

Դ/

1/ 52)ճամատեղ խառը վարվելակերպը

Պարետոյի օպտիմալություն

Էէ,

որին

ճամապատասխանում է

շաճումների (5/2,5/2) վեկտորը: Այսպիսով, Դ/-ը երաշխավորել որպես Ընտանեկան վեճ" խաղի լուծում:

կարելի

է

(յ)

խաղի

Լ(48)

7-րդ

երկմատրից

ճավանական

ճամատեղ

թվազովգերի

(յ))-ով

բաշխումը,

4/ՀԱայ)-ով (ոո)

Նշանակենք

Սաճմանում:

իրականացման

վարվելակեպի

պալմանական ճավանականությունը, երբ իրականացվում Է 1-րդ վարվելակերպը, իսկ ».())-ով՝ 1-րդ վարվելակերպի պայմանական ճավանականությլունը,

վերվելակեպն

7/-րդ

երբ

արդեն

Է

իրականացված:Ալդ դեպքում՝

ո(յ-

,

ֆյոշն կեֆյաւեթն -0.7ս,

,

0, եթե

չ՝ս,»0

եթե

եթե «Հո եթե ի:"յ-

Ր(4,8)

ւ

0.

ՀԼ...,ոբ

-(ա)-ը

ճամար

խաղի

,

Ն...

-

կանվանենք

խառը

վարվելակերպերով Բամատեղ ճավասարակշոության իրավիճակ, եթե

Ֆյու()

)-1

58»0)չ

:-1

5.2

ՀՖ1 օյ

3,»(2,

1, 1 «Ար.ոդ,

7.)

(5.1)

«Ա..ո):

խառը վարվելակերպերով Համատեղ

(4,8) խաղը կարելի Ենթադրենք ճետնյալ ձնով: խաղացողները են պայմանավորվել իրականացնել -(այ) վարվելակերպը. ն Է

մեկնաբանել

պատաճական մեխանիզմի օգնությամբ ստացվել Է այսինքն՝ առաջին (երկրորդ) ւ())-րդ ճամարը: Նկատենք,

(մեյ)

զուգը,

խաղացողը ստացել է վարվելակերպի որ լուրաքանչյուր խաղացող տեղյակ է

միայն իր իրականացմանը ն, ընդճանրապես, կարող է չհամաձայնել

իրականացնելուճամատեղ վարվելակերպի ալդ (ճամապատասխանաբար ՛/ -րդ) ճամատեղ վարվելակերպը ն

վարվելակերպը: Սակալն, մյուս

անճավասարութան

ձախ

կողմում

վարվելակերպով պայմանավորված

կողմից,

գրված 1(2:

քանի

ւ -րդ

ընտրել

որ

մեծությունը

(5.1)

(ոյ)

(խաղացողի սպասվող

շաճումն Է,

խաղացողներից ոչ մեկին

ապա

ձեռնտու

չէ 11

-

աչ)

ձճավասարակշոված վարվելակերպին Բամապատասխանող 1-րդ

(7-րդ) վարվելակերպը փոխարինել -ով ( ) -ով)։ Ակներնաբար (5.1) անճավասարություները բավարարված կլինեն, եթե 1(2) խաղացողի 1-րդ (յ) -րդ) վարվելակերպն այնպիսին Է, որի ճամար ս, -0,

ու(-Ի

7(9-

ն

կստանանք Ր անձրաժեշտ

ն

Տեղադրելով (5.1)-ի մեջ

Ս....յ:

Հ

ճամապատասխան արտաճայտությունները՝

ոչ )

իրավիճակի ճավասարակշոության

բավարար պալմանները, ալն է՝

ո

"

ռ

յայ

)-1

յ

4ՀԼՆ...ո,

-

չօչ,

)-1

ոռ

Ֆ՝ չոչ

2,Բոյ 2.6:62 ոյ Հ

է, : -(ն..,.ոէ,

Հ1, բոլոր

ւ-17-1

Հ0,բոլոր

յ,

(5.2)

) -1Ն...,ո)։

Հ

Հ

Նշանակենք 2.(Լ)-ով ճամատեղ խառը վարվելակերպերով ճավասարակշիո իրավիճակների բազմությունը: Թեորեմ: Աշմարիտեն ճետնլալ պնդումները՝ 1.

ում ոչ

2.

(ո»«ո)

Երկմատրից Լ(4,8), Եթե

բազմությունը Պ"՛"-

դատարկ ուռուցիկ կոմպակտ Է: ԼՐ(48) խաղի խառը (»,»)-ըԸ

իրավիճակ

է,

(Հայ)

որոշվող

վարվելակերպերով

Ճճամատեղ խառոր վարվելակերպերով իրավիճակը ճավասարակշիո կլինի միայն

ապա

այն դեպքում, երբ (»2,»)-ը

Նեշի հավասարակշիռ իրավիճակ

խաղի խառը վարվելակերպերով:

լինի Լ(4,8) թ.

խաղի 2.(1)

Դիցուք՝ (,»),

»

Հ

(Հլ. »ծո)»Հ

(լո:

»ղո)-ն.Լ(58)

խաղի խառը վարվելակերպերով իրավիճակ Է, իսկ ճամապատասխան իրավիճակ Է ալսինքն՝ սչ

Հ

ծ.դյ»

1Հ Ն2....,ո,

յ

ճամատեղ Հ

Ն2,...,ո:

4/-)-ր՝

վարվելակերպերով, 11-ի ճավասարակշիռ

է (5.2) պայման լինելու բավարա անճրաժեշ Օ:ն անճավասարությունների ոամակարգիճշմարիտ լինելը, այսինքն՝

ձԽ(,))

Հ

Ճճմ1չ)), ոյխ0»Հ

դՃչ(».)),

Շ.3)

),

7 «(Ն2....,ո,

որտեղ ,

) «Ա2,....ո):

Եթե Հ-0,

դյ-0,

Այդ իսկ պատճառով անճավասարություններն ակնձալտ (5.3) անճավասարությունների Բամակարգը Բամարժեք Է են:

ապա

ԽՃ.(ե) պատկանում

են

«

Լ(4,8)

(»2,»)-ը

Ճ(5))-ին.

Ճ6»»), Խչ(»))Հ

Է «(Ն2.....ո),

.

որտեղ որ

Հ

ն

)

(5.4)

«12...

Հ

յ-ն

ն

վարվելակերպերի սպեկտրին: Ենթադրենք,

»

խաղի խաոըրվարվելակերպերով Նեշի համասա-

րակշիռ իրավիճակ Է: Ալդ դեպքում. ճամաձալն բերված թեորեմի

ճՃ0.))

չն

ն

4.2

ենթակետում

հւլ(5»), հչ( 5.7) Խ7(5.չ) Հ

լավագույն վարվելակերպերի սպեկտրներից Բամար:

Հետնաբար, (5.4)

բոլոր

չ -երի

ն

անհճավասարությունները ճշմարիտ

յ-երի են

ն

247: 2.1):

Հակառակը, եթե (5.3)ը ճշմարիտ է, ապա վերցնելով (5.3) գումարը ն 4-ին 7-ի ճամար ճձամապատաասխանաբարկիրառելով 4.1

ենթակետի թեորեմը, կստանանք (չ,ջ)

կշիո իրավիճակ Է: 11 Շ 2.1) բազմության ուռուցիկ նրանից,

որ

7.(1)-ն

(5.2)

ն

,

որը

Նեշի Բավասարա-

կոմպակտ լինելը

Բետնում

Է

գծային անճավասարությունների

լուծումների բազմությունն է, որը սաճմանափակ է, իսկ ոչ դատարկ լինելը ճետնում Է խառը վարվելակերպերով Նեշի Բավասարակշիռ իրավիճակի առկայությունից: .)

Նկատենք,

որ

3/-

-

(1/2ւշ) ճամատեղ խառը վարվելակերպը

Բավասարակշիո Է "Ընտանեկան վեճ" խաղում (օրինակ 1), անձավասարությունները ստուգելով:

Է նկատել

որը

Ճճեշտ

Տ 6.Բանակցությունների խնդիր 6.1 Ալս պարագրաֆում ուսումնասիրվելիք Բիմնականճարցն ալն թե բանակցությունների ընթացքում խելամիտ խաղացողները ճամատեղ լուծում ընտրելիս ինչպես Բասնեն ճամաձալնության: Մինչն խնդրի ձնակերպումը մեկ անգամ նս անդրադառնանք ընտանեկան վեճ" խնդրին:

Է,

Օրինակ 11: "Ընտանեկան վեճ" խաղի ճամատեղ խառը վարվելակերպերի Բամար դիտարկենք թուլլատրելի շաճումների վեկտորների ճամապատասխանող ԱՃբազմությունը (գծ. 3-ի ստվերագծված տիրույթը): Է

ՎՆ)

ՀԻ

(5լ,55)-(5/2,5/2)

շ

Գծ.3

Է

Խաղացողները, գործելով ճամատեղ, կարող են Զ տիրույթում ստանալ խառը վարվելակերպով ցանկացած շաճում: Բայց դա չի նշանակում, թե նրանք կարող են պայմանավորվել խաղի ցանկացած ելքի վերաբերյալ: Այսպես, 1-ին խաղացողին առավել շաճավետ Է (4,1) կետը, իսկ 2-րդ խաղացողին՝ (1,4) կետը: Ոչ մի խաղացող չի ճամաձալնի բանակցությունների արդյունքին, եթե իր շաճումը մաքսիմինի արժեքից պակաս լինի, որովճետն այդ շաճումը նա կարող Է ստանալ ինքնուրուլն գործելով (անկախ խաղընկերոջ

ցանկությունից): Խաղացողների մաքսիմինային խառը վարվելակերպերը այս խաղում ճՃամապատասխանաբար 5 -(02,08) ն »" Հ(08,0.2) են, իսկ շաճումները՝ մաքսիմինային

(»/,2)-(078,0.2): Այդ պատճառով է, որ բազմությունը ճնարավոր 5 բանակցություններիճամար

վարվելակերպով

սաճմանափակվում անվանեն, խաղի

նկ. 3): Սա կետերով (տես, Գործելով բանակցությունների բազմություն

Է

4,5,2մ,6

ճամատեղ՝ խաղացողները միշտ կարող են Բամաձայնության գալ 4ծ ճատվածի կետերից ընտրելու շուրջը, որովճետն դա երկուսին Էլ

(ճծ

շաճավետ Է ճատվածը ճամապատասնխանումԷ Պարետոլան լավագուլն իրավիճակներին): 6.2 Նկետի Բանակցություննեի արդյունքում ՏՖ-ից (ոլչ»չ:

ընտրության

խնդիրը՝

անվանենք

բանակցություննրի

խնդիր:

Ալսպիսով,

ճասանք

մենք

երկմատրից խաղի

ճամար

ճաջորդ

հարցին:

տրված

են

Դիցուք

1(4,8)

բանակցությունների

Տ

մաքսիմինի շաճումներիի վեկտորը: բազմությունը ն (5,2) Է գտնել բանակցությունների խնդրի լուծման կանոն, Պաճանջվում այսինքն՝ գտնել այնպիսի Փ ֆունկցիա, որ

Փ(Տ,51,51) (55չ):

(6.1)

-

է, (61) որ Պարզվում որոշ խնդիրը, ենթադրությունների առկալության դեպքում, լուծելի է, ճշմարիտ է Բետնլալ թեորեմը:

Թեորեմ: Դիցուք՝

Տ -ը

բազմությունը, (0լ,0.) խաղի

Ր(4,.8)

խելամիտ որովճետն

ուռուցիկ կոմպակտ Է Պշ-ում, շաճումների

մաքսիմինային ն

զուգը

(59,52)-ն

վեկտորն

Տ

է:

ֆունկցիան բավարարում

Փ

են

Բետնյալ պալմանները. 1)

(8լ52)Հ(58»52),

2) Թլ»92)65, 3) եթե (լչ5»2) 65

4) եթե

ն

ն

(ջլչ)«ՏՇՏ

(լջչ)

Հ

(8լ,5:) ՀՓ(Տյ5լ,51),

5) դիցուք՝

Օլ»0,

Տ

7-ն

աչ»0

-ից ստացվում Է

գծային

դեպքում, եթե (9լ,5չ)

-

6)եթե (լ,5»չ)

ՇՏ

պալմանների

այնպիսի միակ Փ

Փ

Հ

8)

Բետնում

-

(5 Է, որ

Գ

Հ

որն

որ

Այդ

8լ»05: 85)» ՇՏ

(5շ,»լ)

առկայության

ֆունկցիա,

գֆունկցիան

Հ

52),ապա

9 Հ9ջ ն օ(Տչջյ,55),ապա »լ -5յչ։ Այդ

51 Օյլ Ի/Ժլ, 51 ՕշջիԺթշ.

ճձնափոխություննեի օգնությամբ:

Փ(Տ,լ

Փ(1,ճլ»լ Ժ 8,023

ապա(5լչ»չ) Հ (լչ5շ), ապա Փ(Տ»»9»55),

Թլչ5»չ)Հ(.լչ5չ),

բոլոր

դեպքում

(5լչ7)

գոլություն

«Տ,

ունի

Փ(Տ,»լ»52) (5լչ5.): -

արտապատկերում

Է

(տյր,»2)

բանակցություններիխաղը (5լ,5չ) վեկտոր շաճումների բազմության մե. ն բավարարում է 1-6 պայմաններին, կոչվում է Նեշի միջնորդության սխեմա, 1-6 պայմանները` Նեշի աքսիոմներ, իսկ

(լ.»չ)

վեկտորը՝ միջնորդության շաճումների վեկտոր: Այսպիսով,

միջնորդության սխեման օպտիմալության իրագործելի սկզբունքն Է բանակցությունների խաղի ճամար: Նախքան ապացուցմանն անցնելը թեորեմի պայմանները քննարկենք Ընտանեկան վեճ" խաղի օրինակով: 1) ն 2) պայմանների իմաստն ալն Է. բազմությունում,

Է տալիս, որ

ցույց

(ոլ,»չ)

Է մի

կետերով:3)

սաճմանափակվում Է 4,5,Ը,մ..

որը

սաճմանափակումը

(5լ,»չ) շաճումների վեկտորը գտնվում

որ

կետը պատկանում Է

Պարետոլի օպտիմալության կետերի բազմությանը: 4) պալմանը վկայում է կողմնակի վարվելակերպերից ֆունկցիայի անկախության մա-

(»լ,»չ)-ը

սին. այսինքն՝ եթե Տ

բազմության ճամար,

վերավաճառքի շաճումների վեկտոր Է բանակցությունների

ապա

բազմությունը

մինչն Տլ ընդլալնումից ստացվող լուծումը կլինի կամ (»լ,5,),

կամ՝

Տ -ին չպատկանող ալլ կետ: 5) սաճմանափակումը վկայում Է ալն մասին, որ եթե շաճումների ֆունկցիաները տարբերվում են միալն ն չափման ապա մասշտտաով ճաշվարի սկզբնակետով, են նան բանակցությունների տարբերվում արդլունքները: 6)

տալիս երկու խաղացողների իրավաճավասարությունը: 6.2 կետի թեորեմի ապացուցումը խարսխված Է հետնյալ օժանդակ արդյունքների վրա: 6.3 Լեմ կետ այնպես, որ Եթե գոյություն ունի (ջլ,5»չ 65 ճատկությունը ցուլց

ջլ»»ը

ն

5շ

»-»2.ապա. գոյությունունի

ենթաբազմության վրա. Տլ Ըստ պալմանի,

Հ

ոչ

Ըստ ենթադրության

-ը

լ

-

Է իր

ճասնում

քանի

որ

ֆունկցիայի տեսքից ելնելով կունենանք

9չ »»:: Եվ

քանի

(լ փ5.)/2,5

որ -

«5

0 մաքսիմումին:

դրական Է: Դիցուք՝ Տլ-ի վրա գոյություն

»լ»ջլ,

որ

5լ

որը

դատարկ կոմպակտ է, իսկ Ժ-ն

ֆունկցիայի մաքսիմումի երկու կետեր՝

Նկատենք,

կետ,

ֆունկցիան

4(5լ»»չ)|Թլչ5»չ)6Տչջլ»

Տ -ը

անընդճատ ֆունկցիա Է, հետնաբար ունեն

միակ (5լչ»չ)

6(5լչ5»2)-(5լ-»Ա:52չ-»լ)

մաքսիմացնում Է

Է»

է

Տլ-ը

ուռուցիկ է,

(51552)ն (51,52):

ճակառակ դեպքում

5, 52: Եթե »լ Հլ, ապա

Թ2 չ52)/2:Ունենք

(լ,5չ)

ապա

ՀՏլ, որտեղ

52)|: 2:0(5լչ5:)-«6 -.0Հ(դ -ել1)):։ 2):0(շ62-»):6:-|Թ -51)- (5չ 52)1/2-16լ -»9)-53))1/2Հ (51-»1)-(»շ -51))/4 -

Վերջին գումարի առաջին երկու գումարելիներից յուրաքանչյուրը ճավասար Է 0/2, իսկ երրորդ գումարելին դրական Է, որն անճնար Է, որովճետն Ց -ը՝ ֆունկցիայի մաքսիմումն Է: Այպիսով, (5լչ5»չ) կետը,

Տլ բազմության վրա մաքսիմացնում Է Օ ֆունկցիան, միակն Է: 6.4 Լեմ: Դիցուք՝ Տ -ը բավարարում է 6.3 կետի պայմաններին, կետն Է ն դիցուք՝ իսկ (»լչ»չ)-ն 6(5լչ»չ) ֆունկցիայի. մաքսիմումի որը

ծ(5լ»5չ)

Հ

5չ)»լ Է Օդ )»չ: Եթե

-

-

«Տ,

(9լչ»չ)

ճշմարիտ Է

ապա

ծ(5լ»52) ՀծԹլչ5»չ) անճավասարությունը: ՒԷ»

Ենթադրենք գոյություն ունի ալնպիսի (ջլ,»շչ)

ծ(5լչ5»2)»ծ(Թյլչ5»շ):

Գծայնությունից Բետնում

ծ(»լ -Փլչ»շ

Է, որ

005155) 0(:92)3

Հ

6Թ-),

ՀԻ

ն

-Ֆլչջչ

5շ)»

-

0:

կետ,

որ

(5152) 65,

ուռուցիկությունիկց ունենք

5-ի

տ-պՀշ(դպ-պ)

որտեղ

0Հ«Հ:

Հետնաբար,

-91)Ի82(ղ -9լ)6դ

Վերջին արտաճալտությունը 0(2) կարգի անվերջ փոքր է: մեծություն Հետնաբար, բավականին փոքր ճ«»0-ի ճամար ստանում

6(5լ,52)»0(5լչ»))

ենք

ճակասում Է Օ(լ,»չ) 6.5

Անցնենք

ճամար

ցույց

0(5լ 52)

-ը,

`անճավասարությունը,

արժեքի առավելագույնը լինելուն: 6.2

տանք,

որը

.Ս

ենթակետի թեորեմի ապացուցմանը: Դրա որ

(»լչ»,)

կետը,

որը

մաքսիմացնում է

բանակցությունների խնդրի լուծումն Է:

Ենթադրենք, բավարարված են 6.3 լեմի պայմանները: Հետնաբար, որոշված Է Օ(»լ,»չ) կետը, որը մաքսիմացնում Է 6(»լ,5շ)Ւ»

Կարելի է ստուգել, որ (5լ,»շչ) -ը բավարարում Է 6.2 ենթակետի թեորեմի 1)4) պալմաններին: Այն բավարարում Է թեորեմի նան 5)

ը:

պալմանին, որովճետն եթե ն

եթե

5լ

Հ

լօլ

Էթյլն

5շ

(51:52) |լ -(ալջջ րդ 2 -(.չեջ -

(ծլչջ,)

մաքսիմացնում Է

մաքսիմացնում է

փ

Հ

Օշ»չ

Գ

Թչ,

ապա

/շ)|Հ Օլ620(լ»52չ)։

Զ(տլ,»չ)-ը,

ապա

(5լ,52)-ը

-ը:Ցույց տանք, որ (51:53)բավարարում (5151)

Է 6)-րդ պայմանին:

5 Հ52: Ալդ (5լչ5չ)-ը

Դիցուք՝

դեպքում

ճետնաբար (»լ,5շչ)

սիմետրիկ է 6) պալմանի առումով

(5,,ֆլ) «Տլ

միակ կետն Է, Հ

Տ -ը

ն

6(8լ»9չ) Հ6(.Փլ):

6(»լչ»չ)-ը

որ

Քանի

ն

որ

մաքսիմացնում Է Տլ վրա,

(Թշչջլ), այլսինքն՝ 5լ

Հ

»շ:

Այսպիսով, (ջլ,»չ) կետը բավարարում Է 1)6) պայմաններին: Ցուլց տանք, որ այն բանակցությունների խնդրի միակ լուծումն Է: Դիտարկենք Ց

Հ-((5լ»5չ)/ծ(Թլ5չ)ՏծԹլ»չ)

բազմությունը: Համաձալն 6.4 լեմի ՏՕ: Դիցուք Ճ-ից Բետնլալ ձնափոխության օգնությամբ.

»: «(լ Գտնելով »լ ն

-5:)/(6լ -5:), 5: -(չ ն

»չ(6.3)ից

ՀՎ(.51)թյ Իշ

ք 51Հ0: -

Բալց

(6.2) 7-ն

ստացվում Է ճենց

-95)/62 -5:):

տեղադրելով (6.2)-ում՝

ն

(6.3)

ենք, որ

ստանում

ՀՉ),

սիմետրիկ Է, Ճճնտնաբար6) ճատկությունից

7-ն

լուծումը (եթե ալն գոյություն ունի) ընկած Է լ 5շուղիղի վրա, իսկ 3) Բատկոթյան, այն պետք է լինի (1.1) կետը, այսինքն ըստ (1,1) Փ(7,00): Վերցնելով (6.3) ձնափոխության Բակադարձը ն -

Հ

կիրառելով (5155)

Հ

ճատկությունը՝ ստանում

5-րդ

Փ(ՕԵ.,59):Բալց (8լչ92)65., իսկ

ճատկության ճիման վրա

(ջլ,5»չ)

զույգը

ենք,

որ

ճետնաբար, 4-րդ

ՏՊ,

լուծում է

փ Փ(Տ»»1»52)

ենթակետի լեմի պայմանները ճամար: Այժմ ենթադրենք, որ բավարարված չեն, այսինքն գոյություն չունեն (լ,»չշ) ՓՏ կետեր, 6.3

որոնց ճամար

Ել

»

59ն

ջչ»

ա) Գոյություն ունեն

դեպքում,

որպես

մաքսիմացնում Է

բ) Գոյություն 5շ

»55:

կետ,

որը

ունեն

»չ

կվերցնենք

25-ում -

»

»ջ ն այն

»չ»-

9: Այս

կետը,

որը

5ջսաճմանափակմանպալմանով:

այնպիսի կետեր, որոնց ճամար

Այս դեպքում, որպես (լ,»7) 5-ը

ճետնյալ դեպքերը.

կետեր, որոնց ճամար »լ

(»լչ»չ)

»լ -ը,

59:Հնարավորեն

մաքսիմացնում Է

»լ

-

»լ

-

լ

ն

Տ-ից կվերցնենք այնպիսի

59 սաճմանափակմանդեպքում:

գ) Բանակցությունների

Տ

բազմությունը վերածվում Է

(»ր,»2)

մաքսիմինային շաճումների կետի (օրինակ, մատրիցային խաղերի

դեպքը): Վերցնում ենք ջլ ք, 5չ 51: Անմիջականորեն կարելի Է ստուգել, որ այս լուծումները բավարարում են 1)6) ճատկություններին, ն այդ դեպքում 173) ճատկություններից ճետնում Է միակությունը: .1 -

տեսքով խաղ 87. Բնութագրիչ ֆունկցիայի 85-6-ում

երկանձ խաղի օրինակով ցուլց տրվեց, թե ինչպես խաղացողները, օգտագործելով ճամաձալնեցված վարվելակերպի ընտրության ճՃնարավորությունը,կարող են Բանգել անճակամարտ ներճակության փոխընդունելի Բանգուցալուծման (վարվելակերպային մոտեցում): Այժմ ընդունելու ենք, որ խաղի կանոնները թուլլատրում են ն շատճումի խաղացողների ճձամատեղ գործողություններ Դա վերաբաշխում: ենթադրում Է, որ տարբեր խաղացողների Բամար օգտակարությունները գնաճատվում են միասնական սանդղակով (փոխանցելի 2շաքումներ), ն այդ պատճառով էլ շաճումների փոխադարձ վերաբաշխումը չի խեղաթյուրում սկզբնական խնդրի բովանդակային դրվածքը: Բնական Է ճամարել, որ առավելագուլն ընդճանուր շաճում ստստանալու նպատակով 0(իխաղացողների միավորումը առավելագույն դաշնախմբում (բոլոր խաղացողներից բաղկացած դաշնախումբ) լավագույն արդյունքի կճանգեցնի անգամ ամեն մի խաղացողի տեսանկյունից: Ընդ որում մեզ Բետաքրքրելու է ոչ այնքան այն, թե խաղացողներ դաշնախումբը ինչպես Է ճայթայթում իր ընդճանուր շաճումը, այլ այն, թե դա ինչպես է բաշխվելու դաշնախմբի անդամների միջն (կոոպերատիվմոտեցում): 7-9 պարագրաֆներում դիտարկվելու Է ռ անձանց կոոպերատիվ խաղերի տեսությունը: Հետազոտվելու են ալն պալմանները, որոնց դեպքում նպատակաճհարմաարԷ 0խաղացողների միավորումը առավելագույլն դաշնախմբում, իսկ առանձին խաղացողներ չեն ցանկանա ստեղծել ավելի փոքր խմբավորումներ կամ գործել անճատապես: 7.1 Դիցուք` 7 էն...,ո)-ը բոլոր խաղացողների բազմությունն .

Հ

է:

Կամայական ոչ դատարկ

դաշնախումբ:

Սաճմանում:

Ա

ենթաբազմությունների

ՏՕ

ենթաբազմությունը կոչվում Է

բազմութան վրա որոշված

բոլոր

)՛(5)

6Բնարավոր Տ իրական ֆունկցիան

կանվանենք դո անձանց խաղի բնութագրիչ ֆունկցիա, եթե ցանկացած ՛Րն 5 (ԲՇՈՌ,ՏՇ) չճատվող ենթաբազմությունների ճամար (1)

Է»(Տ)

Հ»( ԿՏ),

(Չ)Հ0

(7.1)

անճավասարությլունըՃշմարիտ է: (7.1ը կոչվում Է գերգումարականության Բատկություն: Այն անհրաժեշտ է (Ր) թիվը որպես Ր դաշնախմբի երաշխավորված շաճում մեկնաբանելու ճամար, երբ այն գործում Է մյուս խաղացողներից անկախ: Նման մեկնաբանման դեպքում (7.1)-ը նշանակում է, որ ՏՐ դաշնախումբը պակաս 8Բնարավորություններչունի, քան երբ Տ ն Ր չճատվող դաշնախմբերը գործում են անկախ:՛ -ի գերմիավորումից ենք ցանկացած 5լ,....Ֆ,

ստանում

չհատվող դաշնախմբերի ճամար

(77): Ի»(5.) Հ

4-1

Սրանից մասնավորապես

գոյություն չունի 7 բազմության այնպիսի տրոճում, որի ընդճանուր երաշխավորված շաճումը գերազանցի բոլոր խաղացողների »(Խ) առավելագույն շաճումին: 7.2

Դիտարկենք Ի

Հ

ճետնում

Է, որ

(Ռ,(ռի-րչԱՌյիչյ)

անդաշինք խաղը:

Դիցուք ՏՊ դաշնախումբ կազմող խաղացողներն իրենց ջանքեր`՝ միավորում են ընդճանուր 2շաճոււթը մեծացնելու նպատակով: Որոշենք, թե նրանք իրենց ճամար ինչ առավելագույն շաճուլթ կարող են երաշխավորել: Տ դաշնախմբի անդամների ճամատեղ գործողութլունները նշանակում են, որ Տ դաշնախումբը իր անդամների անունից գործելով որպես մեկ խաղացող (այն նշանակենք 1), որպես մաքուր վարվելակերպերի բազմություն ունի Տի հնարավոր բոլոր խաղացողնեի վարվելակերպեի դեկարտյան արտադրյալի ճամակցությունները,այսինքն՝ բաղադրիչները.

Ճ,-1Լ.4Ճ.: Տ ճետնում

դաշնախմբի խաղացողների շաճերի ընդճանրությունից Է, որ Տ -ի (խաղացող 1-ի) ՍՄ չ(5) շաճումը խաղացողների

շաճումների գումարն Է. 1:22) - 1.5)» Ա)

որտեղ

»«-ՇՃյկ.

վարվելակերպերում:

ՀՃՀ(ԿպՏ-.5:Ճ)-Ը

իրավիճակն

Է

մաքուր

Մեզ ճետաքրքրում Է ալն ամենամեծ շաճումը, որ կարող են իրենց երաշխավորել -ի խաղացողները: խաղացողի ճամար վատագուլն դեպքում Մ 15 բազմության մնացած խաղացողները նոսնպես կարող են միավորվել որպես ճՃամատեղ 2 խաղացող 11" Ճուտ վարվելակերպերի բազմությամբ ն 1 խաղացողին 4ՀԽ

ՆՏ

տրամագծորեն

առակ ձգտումով (ալսինքն 2 խաղացողի շաճումը

ա՝

Է): Այսպիսի դատողությունների շնորճիվ 5

իրավիճակում 11:(5)

Ճ

-

դաշնախմբի երաշխավորված առավելագույն շաճումի Բարցը վերածվեց Րչ

Հ

(Ճջչ Ճո

վորված

Ր,

Հ

ՄՏ) ճակամարտ խաղում

առավելագուն

(ջչՃջ»89:)

շանումը

(եթե

ճետ

»(5)-ը

գոլութլուն

այն

»(5)

խաղացողի

Լ.

իսկ

րջ

այսպիսի

խաղի արժեքի

խաղացողների

5(ԿԽ)-ը

առավելագույն ընդճանուր շաճումն Է: Ակնճայտ Է,

խառը

խաղի »(5)-ի

որ

Բամընկնում Է

ունի),

խաղի

Լ.

ճարցի:

Բամեմատած, կարող Էլոկ

Մասնավորապես, նկատենք

մեկնաբանման դեպքում ճետ

որոշելու

այսոււետնձ կդիտարկենք

ուստի

ոնդլալնումը՝

խաղացողի երաշխա-

խառը ընդլալնման մեջ

երաշխավորված շահումը, 1. խաղի մեծանալ,

|

որ

»(Ֆ)-ը ի վերջո

ֆունկցիա Է միալն անդաշինք դաշինքից (ն թերնս սկզբնական խաղից, սակայն մեր դատողություններում այլն մնում Է անփոփոխ): Համոզվենք, որ սա անդաշինք խաղի բնութագրիչ ֆունկցիան է, որի ճամար բավարառո է ցուլց տալ (7.1) պալմանի ճշմարտացիությունը: Նկատենք, որ վերնում կառուցված լուրաքանչյլուր անդաշինք Տ

խաղի ճամար »(Թ) բայց

ըստ

սաճմանման

ԽՄ(շ)

31.0),

-

ԱՊ)

վերջին գումարը գումարելիներ չի պարունակում, ուստի ԺՄ(չ)-ը

նույնաբար զրո Է, Ւ

իրոք,

0:

մեմ

Հ((ԵԱճիա »(Տ)

Հ

պատճառով »(ԹԺ)

այդ

Հ

0:

(գերգումարականությանմասին): Անա)

Տսք մոք բջ

չո5

ֆունկցիան, որտեղ

Խչ(աջժ

/մչ

Անդաշինք

խաղի ճամար կառուցենք

(7.2)

Տ)»

205, Մուտ ՇՃրո»

15 Հ(ՃջՃոջ:85)

Ռակամարտխաղի խառը ընդլայնումն Է: Այդ դեպքում, 5-1-ՕՓ, ճամար, Ր Ռ,որոնց ճամար ճշմարիտ Է 5»(55ա17)Հ»(Տ)Ի»(7)

բոլոր

Լջ Տ

-երի

(7.3)

անճավասարությունը:

Օրինակ 12 ("Ջազ նվագախումբ" խաղ): Ակումբի տնօրենը 5(1) երգչին, 5(2) դաշնակաճարին ն (3 թմբկաճարին խոստանում Է 10000 Բամատեղ ելույթի Բամար վճարել դրամ: Երգիչ-դաշնակաճար զուգի ելութը նա գնաճատում Է 8000, թմբկաճար-դաշնակաճար զուլգինը՝ 6500, իսկ միալն դաշնակահարի ելույթը՝ 3000 դրամ: Այլ զովգեր ն մենակատարներ չեն դիտարկվում, քանի որ տնօրենը գտնում է, որ դաշնակաճարի մասնակցությունը պարտադիր Է: Երեկոյի ընթացքում երգիչ-թմբկաճար զույգը կվաստակի 5000 դրամ, երգիչը՝ 2000, իսկ թմբկաճարը միայնակ ոչինչ չի վաստակի: (Պջչ» Այսպիսով, ունենք կոոպերատիվ խաղ, որտեղ Ռ-։234., »-|(Նե2,3) 10000, »/1.2)-8000, »/(Ն,3) 5000, Հ

»(2,3)

Հ

»(1)

6500.

-

2000,

7/2)

Հ-

3000.

5/3)

Հ

դրամ:

անձանց կոոպերատիվ խաղի ճիմնական խնդիրը »(Պ) առավելագույն ընդճանուր շաճումը խաղացողների միջն լավագույն ձնով բաշխելու իրագործելի սկզբունքների կառուցումն Է: Դիցուք՝ 2-ը 1-րդ խաղացողի ստացած գումարն է (Դ) ռ

առավելագուլն շաճումը բաշխման ժամանակ, Սաճմանում:

ու»»(Ա).

(ճլ,ճշ:...»:ղ)

//

Հ

(Ն2....,ո):

վեկտորը. որը բավարարում Է (74)

145.

Իռ,-»()

(1.5)

ւ-1

Ա) մեկ բաղադրիչով դաշնախմբի պալմաններին, որտեղ »(Ա))-ն Տ Է, բնութագրիչ ֆունկցիայի արժեքն կոչվում Է բաժանք: (7.4-ը կոչվում Է անձճատական խոճեմության պայման ն նշանակում Է, որ մասնակցելով դաշինքին՝ յուրաքանչյուր խաղացող ստանում Է առնվազն ալնքան, ինչքան կարող Էր ստանալ՝ գործելով ինքնուրույն ն առանց մտաճոգվելու որնէ այլ խաղացողի աջակցելու մասին: (7.5) պայմանը նունպես պետք է կատարվի, քանի որ Հ

5`.

Հ(/)-ի

դեպքում գոյություն ունի գ` բաշխում, երբ

յուրաքանչյուր խաղացող իր Օ,

Ֆ՝`զ» (/),

ՇԽ

ապա

Մ-ի

բաժնից ավելի կստանա: Իսկ եթե

խաղացողները իրար մեջ բաժանում

անիրագործելի 2շաճումը, ն իրականացնելի չէ: Հետնաբար,

օր

այդ Օ.

են

պատճառով «ռԶ վեկտորը վեկտորը կարող Է թույլատրելի

համարվել միալն (7.5) պայմանի կատարման դեպքում, որը կոչվում Է կոլեկտիվ (կամ խմբակային) խոճեմության պալման: (7:4), (0.5) պայմանների ճամաձայն՝ որպեսզի ՕՀ (զլ....,.,) կոոպերատիվ խաղում բաշխույթ լինի անճրաժեշտ Է

վեկտորը (Մ,») ն

բավարար

լ»: «7 Հ»(Ա)Է7 ճավասարության ճշմարտացիությունը, ընդ որում 7 Հ0, 2.7: Հ»(Ռ2.56): Օ

16ի

Սաճմանում:

16ի

խաղը կոչվում Է Էական, երբ ճշմարիտ Է

(5)

»(1)Հ...Է5((ո))

Հ»(/)

(7.6)

անճավանսարութունը:Հակառակ դեպքում (/,») խաղը կոչվում Է ոչ Էական: Կամայական ա բաժանմունքի ճամար «ա(Տ5)-ովկնշանակենք

Ֆռ«ռ(5)

մեծությունը,

ԱՅ)

իսկ

`բաժանքնրի

բոլոր

«Տ

բազմությունը՝ Ծ -ով: Ոչ Էական խաղն ունի մեկ « ((,»(2)....,»04ո)) բաշխույթ: Մեկից ավելի խաղացողով ցանկացած Էական խաղում բաժանքների բազմությունն անվերջ է: Այդ պատճառով ալդպիսի խաղերի վերլուծութլունը կկատարենք գերակշռելու Բարաբերության օգնությամբ: Տ Սածմանում: դաշնախմբով ռօ բաժանքը գերիշխում Է / -

բաժանքին (նշանակումը՝

ՕՁ.»

16Տ,

Սաճմանան

դաշնախմբի

«»

(7.7)

Օ(Տ)ՀՏՆ(Տ):

առաջին

բոլոր

8), եթե պալմանը

նշանակում

է,

որ

անդամների ՃԲամարՕօ բաժանքը ԺՄբաժանքից

գերադասելի Է, իսկ (7.7Դ-ի երկրորդ պայմանն արտացոլում է Տ դաշնախմբում2 բաժանքի իրագործելիությունը (այսինքն Տ դաշնախումբը, իրոք, յուրաքանչյուր 1655 խաղացողի կարող է առաջարկել

մեծությունը):

Սափմանճում: Ասում

են,

որ

բաժանքին, եթե գոյություն ունի

Տ

.

բաժանքը գերակշոում Է

դաշնախումբ, որի ճամար

Մ

«»-8:

Գերակշռոություննանճնարին Է մեկ բաղադրիչով դաշնախմբի ն Մ-ի բոլոր խաղացողների բազմության ճամար: իրոք, 2,» /.-ից

կճետնի,

որ

Թ.

Հ(ո)).

ՀԶ,

կճետնի, ճ-Թ-հից

5`.»

4օի

6,

որ

ՀՆ(Դ),

ճակասում Է (7.4) պայմաններին: Իսկ

որը »

բոլոր

ւ

Բամար ն, Բետնաբար.

6-ի

ճակասումԷ (7.5) պալմանին:

որը

ւմ

Այս կամ այն դասում կոոպերատիվ խաղերի միավորումը դյուրացնում Է դրանց ճետագա դիտարկումը: Որպես այդպիսիք, կարելի է դիտարկել համարժեք խաղերի դասերը: 7.3

Էապես

Սաճմանում:

կոոպերատիվ խաղը կոչվում

(ԽՃ)

խաղին Բամարժեք, եթե գոլություն ալնպիսի ոռ իրական թվեր, ճամար ճշմարիտ Է »

(Տ)

Հ

որ

ունեն

Տ

դրական թիվ

ցանկացած ՏՈՄ

(Պ,)

է ն 6,,

(67

դաշնախմբերի

Թ(Տ5)ՀՖզ

(1.8)

ԱՅ)

հավասարությունը:

(Խ.») (Խ,»)-(Խ»)

(Կ)

ն

խաղերի ճամարժեքությունը

կնշանակենք

կամ »-»:

Ակնբախ Է,

:

Դրանում Բամոզվելու ճամար բավական Է » Հ»: (7.8) բանաձնում տեղադրել Հ -1, ճ-1, Այս ճատկությունը որ

5-7

կոչվում Է անդրադարձելիություն: Ապացուցենք հարաբերության Բամաչափությունը, այսինքն՝ որ ջ-ջ Է.» -»-ն: պալմանից ճետնում Իրոք, ընդունելով հ -1/կ,

«--Շ/Խ,

կստանանք

»(5)-պՎ»(5)ԷՖ«.,

այսինքն

»

-»

պալմանը: ն» Հ», ապա 7»: Այս Բատկությունը Վերջապես, եթե »-» կոչվում Է փոխանցականություն: Այն ստուգվում Է (7.8) բանաձնի ՃԲաջորդական կիրառմամբ: որ Բամարժեքության ճարաբերությունը Քանի անդրադարձական, ճամաչափական ն փոխանցական Է, այն ո անձանց խաղերի բազմությունը, տրոճում Է Բամարժեք խաղերի՝ փոխադարձաբարչճատվող դասերի:

Թեորեմ: Եթե

Օ. ՀկճլՀզ.

»

ն

արտապատկերումը

»

երկու խաղերը ճամարժեք են,

ապա

բանաձնով իրականացվող «54

բաժանքների բազմությունը Ֆ խաղի բաժանքների փոխմիարժեք արտապատկերում Է

խաղի

բազմության վրա այնպես,

օ» Թ

որ

պալմանը:

պալմանից

ճետնում

Է

Ստուգենք, որ «.: -ը (Դ,») խաղում բաժանք Է: Իրոք, Ւ»

զ: «էզ 5.

Ե (եզԻզ)

-

չՇՀի/

ւ ՀԽ

Օ -ի

Հետնաբար,

բավարարված

5`.

ՀՆ(Տ),

(0)

ՀԹ(է)է« Հ

Խ(Ո/)Հ

պատճառով,

այդ

«ՀկոյՀզո»08ԲՀ«-Թ ալսինքն՝ «՝ Է

ԱՅ)

(75Ի1) պայմանները

ն

«չ»Ք,

ապա

ճ»ր»

165»

(ւ»0)

ՀՍԱՖզլէ ՖզՀԹ(Տ)ՀՖզ

«5

(74),

ճամար

Այնուճետն, եթե

են:

օխ

Ի.

Ֆզ»-»(/):

«Մ

Հ»

ԱՅ

(Տ),

-6: Արտապատկերմանփոխմիարժեքությունը

ճակադարձՃ արտապատկերման

գոլության

օգտագործվեց

ճամարժեքության

խաղ, եթե բոլոր »(0))Հ0,

: Օ/7

-ի ճամար

(7)

1:

ճետնում

փաստից (դա ճարաբերության

ճամաչափությունն ապացուցելիս): .) 7.4 Կոոպերատիվխաղերի բազմությունը ճամարժեքության զույգ առ զույգ չոատվող դասերի տրոճելիս առաջանում Է յուրաքանչյուր դասից պարզագույն ներկայացուցիչների ընտրությանխնդիրը: Սատմանում: Լ(ՊՎ,Ֆ») խաղը կոչվում Է (0,1) տեսքի վերածված

Թեորեմ: Յուրաքանչյուր Էական կոոպերատիվ խաղ Բամարժեք

Է որնէ (0,1) խաղի: Ւ»

Դիցուք՝

Ք

։(7)-

ԼՆ (13

»

(Հմ

ՀՆԱ

"Թ

Ֆա)

«Մ

Այդ դեպքում » (1))»0,

22-Ի24: 7»(ԳՀ

ը

(7-1:

Թեորեմից

Է, որ գերակշռություն

ճետնում

Բասկացության ճետ առնչվող խաղերի ճատկությունները կարելի Է ուսումնասիրել վերածված տեսքի (0-1) խաղերում: Եթե »-ն կամալական (Պ.չ) էական խաղի բնութագրիչ ֆունկցիան է. ապա

(ո)

5(5)-

»(5----Տ..,ՆՏՇՈՊ »(7)

-

(7.9)

2.»(ն)

16"

ֆունկցիան նորմալացումն Օ

Ընդ որում, խաղի բաժանքն Է ցանկացած վեկտոր, որի բաղադրիչները բավարարում են Էէ:

Հ(ռլչ....:ղ)

168.

Օլ Հ0,

(0-1) ֆունկցիային ճամապատասխանող

Ֆճ.ՀՎ

(7.10)

պալմանին. այսինքն՝

բաժանքների բազմությունը

»,

հ,

Հ

(0,0,....1.0.....0)

Շ

7ՀԼ2....,ո

ճամընկնում Է

միավոր-վեկտորներով

առաջացած (ո - 1) չափանի սիմպլեքսին:

Տ8. ԸՇ-միջուկ Անցնում են, կոոպերատիվ խաղերում լավագույն վարքի 7.4-ում, սկզբունքների քննարկմանը: հիհնչպես նշվեց խոսքը վերաբերում է խաղացողների միջն առավելագույն ընդճանուր շաճումի լավագույն բաշխման սկզբունքներին: 8.1 (Պ,») Հնարավոր Է Մետնյալ մոտեցումը: Դիցուք կոոպերատիվ

խաղում խաղացողնեը

ճամար եկել

շաճույթի

բաժանք),

են

/

ամբողջ

դաշնախմբի

ալնպիսի Բամաձալնության (օ՝ բաշխման բաժանք Օօ -ին չի գերակշռում: Այս դեպքում

մի Է այն իմաստով, որ ոչ մի Տ դաշնախմբի կայուն բաշխումը շաճավետ չէ առանձնանալ մյուս խաղացողներից ն »(5) շաճումը միջն: Այս դատողությունները բաշխել դաշնախմբի անդամների են հանգեցնում չգերակշոող բաժանքների բազմության նպատակաճարմարությանմտքին: կոոպերատիվ տկխաղի չգերակշոող Սահմանում: (Դ/») նման

որ. ոչ

բաժանքների բազմությունը կոչվում Է ալդ խաղի Ը -միջուկ: Թեորեմ: Որպեսզի ռ. բաժանքը պատկանի կոոպերատիվ խաղի Ը -միջուկին, ՏՇՊ բոլոր անճրաժեշտ է ն բավարար, որ դաշնախմբերի ճամար ճշմարիտ լինի

Հօ(Տտ:Հֆա

(5)

(8.1)

16Տ

անճավասարությունը: Է» Ենթադրենք՝ խաղն Էական է: Այդ դեպքում ըստ 7.6 թեորեմի բավական Է այն ապացուցել տրված խաղին Բամարժեք (0-1) տեսքի վերածված խաղերի համար: Բավարարություն:Եթե Օ (ճլջ...».ղ) բաժանքը բավարարում Է Հ

(8.1)

պայմանին,

այն իսկապես կպատկանի

ապա

Ը

Հակառակ դեպքում կգտնվեր այնպիսի Թ բաշխույթ, այսինքն՝ Թ(5)»

(Տ)

(5)

ն

որ

Թ»«

Հանգեցինք (8.1) պայմանին

Հ»(Տ):

Օ(Տ) անճավասարությանը: Անճրաժեշտություն: (8.1) պայմանին չբավարարող կամայական բաժանքի ճամար գոյություն ունի Տ դաշնախումբ, որի ճամար

Բակասող »(Տ) Օ

(5)

-միջուկին:

Հ5(Տ):

»

Տ

բազմության տարրերի թիվը նշանակենք

5|-ովն

դիտարկենք Թ

ՀԱՆԱ,

165,

1-»(5)

"Րր" նշված տարրերով /Մ- (/յլ»...»/.)

2Ք(4/20-Ն.ԹՀ0ն

Թ». «

:

վեկտորը: Հեշտ Է նկատել,

Այստեղից Բետնում

Է Ը-միջուկին: 8.1 Թեորեմից ճետնում

Է, որ

Օ

-ն

որ

պատկանում

միջուկը բոլոր բաժանքների բազմության ներփակ ուռուցիկ ենթաբազմություն Է (Ը միջուկը է կարող լինել դատարկ բազմություն): 8.2 Դիցուք խաղացողները պալմանավորվում են ընտրել կոոպերատիվ ճամաձալնությունը:Բնութագրիչ ֆունկցիայի Է, որ

Շ

ն

գերգումարականությանճատկութլունից Բետնում

Է,

որ

ճամաձալնեցված որոշում ընդունելու ճամար մի բանակցություն կճանգեցնի բոլոր խաղացողների Մ դաշնախմբի ստեղծմանը: Մնում Է պարզել խաղացողների միջն (Դ) առավելագույն ընդճանուր ամեն

եկամտի բաժանքի, այսինքն`

որի ճամար

2.6,

օխ

Օ.

ՇՋ՞

վեկտորի ընտրության ճարցը,

-»(Խ):

ընտրելու վերաբերյալ խաղացողների

վեկտորն

ձ

ճամաձալնուրթյունն ստանալու նվազագույն պաճանջը

Օ,

Հ»(Աֆ,

Դիցուք խաղացողները պայմանավորվում են Զ որոշակի բաժանքի ընտրության շուրջը: Բաժանքի ընտրության դեմ կարող Է առարկել ինչ-որ Տ դաշնախումբ` պաճանջելով իր Բամար առավել շաճավետ բաժանք: Տ դաշնախումբճ այս պաճանջն առաջադրում է՝ սպառնալով Բակառակդեպքում խախտելընդճանուր ճամաձալնությունը (դա միանգամայն իրական սպառնալիք Է, քանի »(Մ) որ եկամուտը ձեռք բերելու ճամար պաճանջվում Է բոլոր խաղացողների միաճամուռ համաձայնությունը): Ենթադրենք՝ /ՎՂՏ մնացած խաղացողները այդ սպառնալիքին արձագանքում են Տ դաշնախմբի դեմ ուղղված միացյալ գործողություններով: Այդ Տ դեպքում »(5)-Ը դաշնախմբի երաշխավորված առավելագուլն եկամտի գնաճատականն Է: (8.1) պայմանը նշանակում է ՂՏ դաշնախմբի կողմից Տ դաշնախմբին ուղղված կայունացնող սպառնալիքի առկայություն: Այսպիսով, (Մ,5»5) խաղի Ը-միջուկը (Ոհ եկամուտ Օ։Ձ`բաշխելուդաշնախմբային առավելագուլն սպառնալիքների առումով կայուն բաշխույթների բազմություն Է: Բերենք բաժանքը Ը -միջուկին պատկանելու նս մեկ չափանիշ: Լեմ: Դիցուք՝ Օ-ն (Դ) խաղի բաժանքն Է: Այդ դեպքում «Օ-ն

պալմանն Է:

կպատկանի Ը -միջուկին միալն ն միայն այն դեպքում, երբ բոլոր Տ ՇՈ դաշնախմբերի Բամար ճիշտ Է (8.2) 5`գլ Հ(/)-Ֆ(ԺՆՏ)

անձավանսարությունը: ՒԷ» Քանի որ 3-2, ՀՖ(/),

ապա

(8.2) անճավասարությունից

կունենանք »(Գ1Տ)Հ

Ֆզ.,:

1«ԽՆՏ

Ալժմ լեմի պնդումն անմիջապես ճետնում Է(8.1)-ից: Ս բաժանքը պատկանում Է Շ(8.1-ից երնում Է, որ եթե . միջուկին, ապա որնէ դաշնախումբ չի կարող իր Բամար ապատովել Օ(Տ)-ին 5`. պատճառով գերազանցող շաճում: Այդ Հ

«Տ

աննպատակաճարմար Է դաշնախմբից տարբեր այլ

առավելագուն մասնակիցներով դաշնախմբերի գոյությունը:

7//

Այն մոտեցումը, որ Ը -միջուկը կարելի Է օգտագործել որպես կոոպերատիվ տեսութլունում օպտիմալության կարնոր սկզբունք, բավարար չափով ճիմնավորվում Է 8.1 թեորեմով: Սակալն, շատ դեպքերում, Ը -միջուկը կարող Է դատարկ լինել, իսկ այլ դեպքերում ն օպտիմալության բազմութալին սկզբունք Է (դատարկ չէ պարունակում է բազմաթիվ բաժանքներ): Օրինակ 13: Դիտարկենք "Զազ նվագախումբ խաղը: Երեք երաժիշտների 10000 դրամ առավելագուլն եկամուտը ստացվում Է նրանց ճամատեղ ելուլթի դեպքում: Եթե երգիչը թմբկաճարի ճետ ելութ է ունենում առանց դաշնակահարի. ապա երեքը միասին վաստակում են 6500-2000 դրամ: Եթե դաշնակաճարն Է ելույթ ունենում 3000-5000 միալնակ՝ դրամ: Վերջապես, եթե դաշնակաճարն ու երգիչը ելույթ են ունենում առանց թմբկաճարի, ապա ընդճանուր եկամուտը 8000 դրամ է: Մասնակի կոոպերացման ն անձատական վարքագծերի առումով խաղացողների նկարագրված ճնարավորություննեը ճաշվի առնելով. ո՞րն Է առավելագույն ընդճանուր եկամտի խելամիտ բաշխումը: վեկտոր "Ջազ նվագախումբ" (խաղում ՕՀ(պկճշչոաղ) ՇԸ -միջուկին

բ

Հ

կպատկանիմիալն ալն դեպքում, երբ

20,6

Հ

30,425Հ0

Օլ ճշ-Էճյ փ Օլ Օշ Հ80, նշ Է.

Հ6Տ.

լէ 0:ՀՏ

բազմությունը Այս (3500,4500,2000), (3500,5000, 1500), (3000,5000,2000) երեք բաժանքների ուռուցիկ թաղանթն Է: Այսպիսով՝ բոլոր երեք խաղացողների շաճումներ, որոշվում են 5 դրամի ճշտությամբ: Ը-միջուկի բնորոշ ներկայացուցիչը նրա կենտրոնն է միջին այսինքն` (ծալրակետերի թվաբանականը),

Օ՝

վեկտորը: ." երկանդամ դաշնախմբերը ունեն Օ.

Հ

Հ

(33:3:48,3:18:3)

Օյ

-

(է.

յ)

Հ

16:

`

բաժանքին բնորոշ Է, որ բոլոր միննույն լրացուցիչ եկամուտը՝

բաժանքը

Ը

-միջուկի ներսում արդարացի

փոխզիջումնԷ:

Նրանից, որ Ը -միջուկը դատարկ չԷ, չի ճետնում 7 -ի բոլոր խաղացողների կոոպերացման անճնարինութլունը: Դա պարզապես 8.3

նշանակում է, որ ոչ մի բաժանք չի կալունանա վերը նկարագրված պարզագույն սպառնալիքներով: Միջուկը դատարկ է, երբ միջանկյալ դաշնախմբերը չափից ավելի ուժեղ են:

5 9. Շեպլիի վեկտոր Արդեն դիտարկված օպտիմալության սկզբունքների բազմազանությունը, կոոպերատիվ խաղերում Շ-միջուկը, ինչպես նան այդ սկզբունքի գոյության խիստ պայմանները խթանում են օպտիմալության այնպիսի սկզբունքների որոնում, որոնց գոյությունն ու միակությունը ապաճովվեն լուրաքանչյուր կոոպերատիվ խաղում: Օպտիմալության այդպիսի սկզբունքներից Է Շեպլիի վեկտորը: Շեպլիի վեկտորը որոշվում Է աքսիոմով: Սաճմանում: Լ դաշնախումբը կանվանենք (Պ,5») խաղի կրող, (5-1): դաշնախմբի ճամար »(5) Է, Սաճմանումըպնդում որ խաղի կրողին չպատկանող ամեն մի խաղացող "'անբանի մեկն Է", այսինքն ոչ մի դաշնախմբում ոչինչ չի կարող ներդնել: Դիտարկենք 7Հվկնշ...,ո) խաղացողնեի կարգավորված եթե ցանկացած

Տ

Շ

//

|

բազմության կամալական Ք վերադասավորումը: Այս դասավորման ճետ կապված Է 2, տեղադրությունը, այսինքն այնպիսի 2.7 -» //

ֆունկցիան,

որ

մ

/-ի

ճամար

72,

7-ի

արժեքը

/Պ/-ից

տարր

է,

ո-

վերադասավորման մեջ ճամապատասխանումԷ մ Մ տարրը: Սաճմանում: Դիցուք՝ (»,Մ/)-ն ոռանձանց խաղ է: Ե-ն Մ 7-ն դրան իսկ բազմության տեղափոխություննէ, ճամապատասխանող տեղադրություն: (//, 7»)-ով նշանակենք ալն րին

Ք

(Մս)

խաղը, որի ճամար

սգո(ղ)402)»....70.)9

Հ

(5):

Ըստ Էության, (Մշ)

խաղը (Պ,»)-ից տարբերվում Է նրանով, դերերը փոխվել են վերադասավորությանը

խաղացողների ճամապատասխան: Վերը բերված սաճմանումների օգնությամբ ճնարավորություն Է ընձեռվում շարադրել Շեպլիի աքսիոմաբանութլունը: Նկատենք՝ քանի որ ռո անձանց կոոպերատիվ խաղերը ըստ Էության նույնանում են իրական (բնութագրիչ) ֆունկցիաների ճետ, ապա կարելի Է խոսել երկու ն ավելի խաղերի գումարի, ինչպես նան խաղը թվով բազմապատկելու մասին: 9.2 Ամեն մի (Դ,») կոոպերատիվ խաղին ճամապատասխանեցոր

վեկտորը, որի բաղադրիչները լշյՀ(Փլի.....,»Չ կամ ճամաձայնության խաղացողների կմեկնաբանեն՝ որպես ստացված շաճումներ: շնորճիվ միջնորդի կայացրած որոշման նենք

Ընդունենք, որ նշված ճհամապատասխանեցումը բավարարում ճետնյալ աքսիոմներին: Շեպլիի աքսիոմներ 1. Եթե Տ -ը (Մ) խաղի ցանկացած կրող Է, ապա

2, 0.(5)

Հ

Է

(5):

ԱՅ)

Ցանկացած 2 տեղադրության ն

2.

1 6/7

-ի ճամար

Փ.0)նթ1- օ.6): Եթե (ս)

3.

օ.լս - »)

ապա

ցանկացած կոոպերատիվ խաղեր են,

..լալՀօ.լ):

Դիցուք

Սաճմանում:

աքսիոմների,

(Դ,»)-ն

-նն -

Փ-ն ֆունկցիա

մի (Դ,5)

ամեն

Է,

որը,

ճամաձալն

1-3

խաղին ճամապատասխանում Է օլ»|

վեկտոր: Այդ պարագայում Փլ») -ն կոչվում Է (/,5)

խաղի արժեքների

վեկտոր կամ Շեպլիի վեկտոր: Պարզվում Է, որ այդ աքսիոմները բավարար են, որպեսզի միակ ձնով որոշվեն արժեքները ո անձանց բոլոր խաղերի Բամար: Թեռրեմ: 1-3 աքսիոմներին բավարարողն բոլոր (Դ,») խաղերի համար որոշված Փ ֆունկցիան միակն Է:

Թեորեմի ապացույցը Բենվում Է ճետնյալ արդյունքների վրա: Լեմ: Դիցուք ցանկացած ՏՄ դաշնախմբի ճամար (/Պ.)օչ) խաղը որոշվում Է հետնյալ կերպ՝ 9.3

»5(7)-

Այդ

է

0ՏԺ7Ի Տ

Հր (Պաչջ)։

դեպքում

միանշանակ որոշում

Փ.Լ»չ|որտեղ

-

ե

որ

Տ -ը

»

1,

աքսիոմները

Փլչօչ| վեկտորը՝

(9.2) 5 -ում:

»,-ի կրողն Է, ինչպես ցանկացած

մություն, որը պարունակում Է 7, Բամաձայն աքսիոմ 1-ի, եթե Տ

ճամար

5| խաղացողների քանակնԷ

Պարզ Է,

Է»

են

խաղի

Տ

բազ-

բազմությունը: Այդ դեպքում, ապա

Օ.Լ»,)Հյ:

Բալց

նշանակում Է,

դա

տեղադրությունն Է,

Տ

որ

Տ,

-»

Բ65:Եթե

օ.|».|Հ 1,

որ

7թ,

ապա

Հ

7-ն

ցանկացած

Հետնաբար,

),ջ,:

ձալն 2 աքսիոմի, ցանկացած1, յ ՀՏ -ի ճամար օ՛|.|

-

ճամա-

Փ,լ,| ճավա-

սարությունը ճշմարիտ է: Որովճետն ալդպիսի մեծությունների

ՓԽ.)

որոշվում

իսկ

Է,

(9.1)-ով, կոչվում

Է

է,

Ճաստատում

դրանց

Խաղը. որի

1655:

եթե

1/5.

լեմը

5»|Տ|

ընդամենը

նակն

Է

(Պ.,»,)

որ

5,

անձանց

ո

պարզ

գումար`

է,

բնութագրիչ ֆունկցիան պարզ

խաղ: Այսպիսով,

խաղի ճամար Շեպլիի

վեկտորը որոշվում Է (9.2) բանաձնի միջոցով, ալն Էլ միակ ձնով:

Հետնանք: Եթե

ՇՀ0,

1ՎԷԼ

Ապացույցն ակնճալտ Ալժմ

տանք,

ցույց

որ

Այսպիսով, Փ.|Թժ. |

Է:

եթե 5` Ը,»", Տ

-ը

Հ

«ՓՕ,|»,|,եթե

բնութագրիչ ֆունկցիա Է,

օ.Լ7.6,».| 2 Փ.Լշչ»».|» 6.օ.լ».) -

ՒԷ»

Երբ

«, Հ0,

ապա

«20:

ապա

(9.3)

:

-

Տ

.)

ապա

թայ-ԱՈԻՈՑՏ : ա

քաապա

(9.3)-ի առաջին Բավասարությունը աքսիոմ

3-ի պնդումն Է, իսկ երկրորդը` Բետնանքը: Եթե ս,»-ն ն «-»-՝ ճամաձալն աքսիոմ 3-ի՝ բնութագրիչ ֆունկցիաներ են, ապա Է (9.3)-իիՃշմարիտ լինելը Փլա-»|Հ օլալ- օլ»|: Այստեղից ճետնում կամայական

6,

-ի ճամար:

իսկապես, եթե »-

2,

2ճ»,- ջ

Շչ,

-ը

ԸԽ.(

5:620

բնութագրիչ ֆունկցիա Է,

ապա,

Ֆ(-6.)».),

5:Ը,Հ0

ճԲետնաբար,

»: (-6,)».) )2 6.Խ,|Օլ 5Տ:6 Տ:Ըչ ».«օլ».)- Ֆ»Շ գ)ջլո|-

Օլ»)

օլ

-

5:6,

9.4

Լեմ: Դիցուք՝ (Պ.»)--ն

ՖԸչթյ,

ՏՇՄ

ՀՕ

Տ:Ը, Հ0

Հ0

իրական այնպիսի -

-

Հ0

«,

թվեր,

-

21, չ-«

ի

ցանկացած խաղ է. կգտնվեն 2"

որ

(9.4)

որտեղ

որոշվում Է (9.1)-ով, իսկ գումարը, բացառելով դատարկ

15, -ն

/ բազմության բոլոր բազսություն, վերցված Է ըստ ենթաբազմությունների: Այս դեպքում (9.4) ներկայացումը միակն Է: Է» Վերցնենք

Ֆ(1"5(1)

«-

(9.5)

(Մր-ՇՏ)

(այստեղ`

ք-ն

7-ի տարրերի թիվն Է): Ցուց տանք,

Ֆ.օչ».(0)-

(Տ:ՏՀԻ)

։

-

|

որ այդ

եթե պայմաններին: իսկապես,

բավարարում են լեմի դաշնախումբ Է, ապա

Տ

Ֆօ-

(550

Ֆ

ՖԱ):

ՖԸ"

(27ՈՀՍն) (ՏԱ-ՀՏ5ՀՇ)

թվերը

ցանկացած

Ֆ(4)503))Հ-

(

(515օՍ):

Ս-ն

Հ,

125)

Քննարկենք վերջին արտաճալտութլան քառակուսի փակագծում գրված մեծությունը: 7 -ին ա-ի միջն կամայական Տ -ի արժեքի ճամար կա Շա

այնպիսի

Տ

տարրերով

Տ

բազմություն,

որ

7-Տ-ԺՇՍ:

Հետնաբար, փակագծում գրված արտաճալտութլունը կարելի փոխարինել Բետնյալ արտաճայտությամբ.

Շո

(1)

Հ

8-1

Բալց բոլոր

է

ԵՇճւԸ1)"՛":

5-1

դա

ՄՀո-ի

(1-1)

՛-ի երկանդամային վերլուծումն է, ճետնաբար ճամար ալն ճԲավասարԷ 0-ի, իսկ քՀ Կ-ի ոամար՝ 1-ի:

Այդ պատճառով

բոլոր

ՍՄ

-իճամար

3՝6,»,(Ս)

(5։ՏՀՄ)

(Ս):

Ապացուցենք(9.4)-ի ներկայացման միակությունը: Ցանկացած » տարաբնութագրիչ ֆունկցիային Բամապատասխանում Է --7 Շ / ծութլան տարր: իսկապես՝ կարգավորենք դաշնախմբերը: Ալդ կճամադեպքում ամեն մի ոչ դատարկ 7 դաշնախմբին (7 ՇՊ)

պատասխանի 5»(Ր) -ին ձավասար վեկտորի բաղադրիչ: Այդ վեկտորները, ինչպես որ ֆունկցիաները, նշանակենք » -ով: Ակնճայտ Է, որ ,

պարզ

բնութագրիչ ֆունկցիաներին կճռամապատասխանենայն-

պիսի վեկտորներ, որոնց բաղադրիչները 0 կամ 1 են: Ապացուցենք, որ պարզ բնութագրիչ ֆունկցիաները (ավելի ճիշտ՝ դրանց ճամապատասխանող վեկտորները) գծայնորեն անկախ են: իսկապես, դիցուք՝

».1»,(1) Հգ

ՏՇԽ

բոլոր

ՄՐՇՌՄ:

Ալդ դեպքում եթե Տ

5.(դ)Հ1Լ

Դիցուք՝

4ր

փ): Ալդ իսկ պատճառով

Հ

Շարունակեն`

Ճո-0: Հ

ճամար ճիշտ Է 75,(1)) -0.

Ո)

բոլոր

ՏՐ.

ապացուցումը Տ

«1-ի

ճամար

բոլոր

եթե Տր) 1Շ

ինդուկցիայի

4,

7-ի

Բամար

եղանակով:

Յուլց տանք.

-0:

ն

որ

Իսկապես.

0:

Ֆ՝`4չ»,.(1)-

ՏՇԽ

Ֆ4,»,.(1)24

Հ-0:

ՏՐ

8 1-ում Այսպիսով. ունենք 2՞-1 գծայնորեն անկախ վեկտորներ, ձետնաբար, ցանկացած 0 վեկտորը, իսկ դա նշանակում Է, որ ցանկացած բնութագրիչ ֆունկցիան միակ ձնով արտաճալտվում Է շ, պարզ բնութագրիչ ֆունկցիաների գծային ճԲամակցության տեսքով:

.1

Ապացուցենք 9.2 կետի թեորեմը: 9.4 կետի լեմը ցույց Է տալիս. որ ցանկացած խաղ կարող Է ներկայացվել խաղերի գծալին ճամակցության միջոցով, ն ալդ ներկայացումը (9.4) տեսքով միակն Է: Համաձալն 9.3 կետի՝ Փլ»| ֆունկցիան միակ ձնով որոշվում Է (9.3), 9.5

(9.2) առնչութլունների միջոցով: ՒԷ» Դիցուք՝ (Դ,»)-ն ցանկացած խաղ է: Այժմ ստանանք Փլ»|

վեկտորի արտաճձալտությլունը: Համաձայն 9.3, »-

«591512

(Թ55ՏՀ7)

(Տի

9.4

կետերի`

Ֆ«(/Տ):

ՀՏՀ

Բայց Ը,-երը որոշված են (9.5) բանաձնով: Տեղադրելով (9.5)-ը վերջին արտաճալտության մեջ՝ կստանանք Փյ-

2.(1750)-

3974/75»6)):

(ԱՄՇԻՌդ ՏԻԿՀՏՀԻՌ

(Տի«ՏՀԴ

Նշանակենք 7տ10-չ

:»Ֆ(1):""'(41/9):

(9.6)

(317ՐաՇՏՇՑ)

Ալնուճետն. եթե 2617:

ն

7-7'Խր),

ապա

7.(1) Հ-) (17):

երկու դեպքում Էլ բոլոր անդամները : ն միայն «1, ճետնաբար, դրանք միալն նշանով են նույնն տարբերվում: Այսպիսով, ունենք

իսկապես, (9.6)ի

աջ

են

ՓՐ)-

մասում

քՀ

.9յ()(7)

17. օ7ՇԽ)

Հ

»:(1Թ))|:

Եթե

:ՇՐ,

դաշնախմբեր, ինտեգրալը՝

0)

կան ճիշտ

ապա որ

Շ

Տ:

Չ"'Օ0/9-

ի չ- 1)" Ը

ի

1-2: -

Արդլունքում

չ-

այնպիսի տարրերով ենք ճայտնի

ստանում

Տ

որոշյալ

արգա

Այսպիսով, ունենք 7՛(7) Փ»յ-

Ը,

3Ֆ(-2յա-

(րօ1Հխ)

Հ

2" "Շո"

չի 'Ա-»)"մբ

ՑՄ (ո): ն, ճետնաբար,

(-1Թ-

1950)

-

0103):

(9.9)

«

(9.7) բանաձնը Շեպլիի վեկտորի բաղադրիչները որոշում է բացաճայտ տեսքով: Այդ արտաճալյտությունը բավարարումԷ 9.2-ի 1-3 աքսիոմներին: Նկատենք նան, որ Փլջ| վեկտորը միշտ բաժանք է: իսկապես

ՓԼ») -ի գերգումարականության ճամաձալն 9ՖՇու(-- 7: (ուդ

(1-17: .-0ս«9-:Կթ-

Փիլ:

ԱԽ«ՐՀ

դ

-1Մ(ի

-

գդ):

Եթե անտեսենք Շեպլիի վեկտորի աքսիոմային սաճմանումը, օգտվելով (9.7) բանաձնից, Շեպլիի վեկտորին կարելի Է տալ

9.6 ապա.

ճետնյալ

բովանդակային մեկնաբանությունը: Ենթադրենք՝

խաղացողները (ՌՄ բազմության տարրերը) որոշել են ճանդիպել որոշակի ժամի: Բնական է, որ ապատաճական շեղումների պատճառով նրանք ճանդիպավայր կճասնեն տարբեր պատերի: Ենթադրվում է, որ խաղացողների ժամանման բոլոր կարգերը ունեն վերադասավորումները) միննույն (ալսինքն՝ նրանց 1/7: ճավանականությունը՝ Ենթադրենք, որ եթե 1-րդ խաղացողը, տեղ հասնելով 7ՐձՎդ դաշնախմբի այնտեղ ճանդիպում Է Է »(Ր)0 - (7141) անդամների (ն միալն նրանց), ապա նա ստանում շաճումը. այլ կերպ ասած՝ նրա շաճումը այն սաձմանային մեծությունն է, որ նա բերում Է դաշնախմբին իր մասնակցությամբ: Այդ դեպքում Շեպլիի վեկտորի Փ,լջ| բաղադրիչը` 1 -րդ խաղացողի

շաճումի՝ մաթեմատիկական սպասումն Է ապատաձականացված սխեմայի պալմաններում: 9.7 Շեպլիի վեկտորի բանաձնը առանձնապես մատչելի է պարզ խաղերի դեպքում: իսկապես, »(7) »(718)) -ն միշտ ճավասար է 0-ի կամ 1-ի, ընդ որում ալդ արտաճայտությունը 1-ի Է ճավասար, եթե 7-

Դ17

շաճող դաշնախումբ Հետնաբար, ն

Էէ, իսկ

նյ

շաճող չէ: դաշնախումբը

:4-2:ա-8Մու,

Փ.5)-

4:57 որտեղ գումարումը տարածվում է այնպիսի շաճող դաշնախմբերի վրա, որոնց ճամար 71/1) դաշնախմբերը շաճող չեն: Օրինակ 14 (Գլխավոր խաղացողով խաղ): Խաղին մասնակցում են ոռ խաղացողներ, որոնցից մեկը կոչվում Է "գլխավոր": 5 դաշնախումբը շաճում Է 1, եթե կազմված Է կամ մեկ "գլխավոր" խաղացողից ն, բացի նրանից, նս գոնե մեկից կամ բոլոր ո-1 "ոչ գլխավոր" խաղացողներից: Եթե գլխավոր խաղացողի համարըո Է, ապա ալդ խաղի բնութագրիչ ֆունկցիան գրվում Է Բետնյալ կերպ

ՆՏ՞ոխյոն«ո 5(Ն...ո-1 0, մնացածքոլոր դեպքերում:

5»(5)-4,5

Պարզ Է, որ ցանկացած 7 թո) դաշնախմբի ճամար »(1)-1ն Հ-0պալմանները կատարվում են ալն ն միալն ալն դեպքում, (71 4չո)) երբ

2Հ

դ

Հո-1:

Հետնաբար,

ո-1

Փ,51-

ՖՇՐ:162-1:6ա-17Մո:-(-2)1ո,

է-2

ն, որովճետն խաղն ունի (0-1) Բամառոտացվածձն` ո-1

2...)

ւչ-1

ցր)

2/ո:

Բոլոր ոչ գլխավոր խաղացողները Բավասարիրավունքներ ունեն ն սիմետրիայի պատճառով օՓ.|»| 2/ո(ո-1,:-ԼՆ..,"-1: Այսպիսով, գլխավոր խաղացողի "մենաշնորճ" դիրքն իր ճամար անգամ մեծ շաճում, քան խաղի ապաճովում Է (ո-1)(ո-2)/2 շարքային" մասնակիցների ճամար: Օրինակ 15 ("Կալվածատեր ն բատրակներ"): Ենթադրենք, որ կան ո--1 բատրակլներ (1 1...,ո - 1 խաղացողներ)ն կալվածատեր (ո-րդ խաղացող), որը վարձելով է բատրակներ, բերքից ստանում Է է), իսկ եկամուտ (/(4)-ն միապաղաղորեն աճող 70) կարող: Դա եկամուտ ստանալ չեն բատրակներն իրեն,՝ նկարագրվում Է Բետնյալ բնութագրիչ ֆունկցիայի միջոցով՝ Հ

|

Հ

(5)318

ՄՏթ,ո,դեպքում:

«1705-7465,

Այստեղ

բոլոր

7(--1).

»(7) Հ»(1108)Հ

բազմությունների

7-լո)

որտեղ

ք»

|ր|ն(9.7)-ից

Բետնում

||

1,

»

Է

ո-1

ռ

Փ,151-

ճամար,

ԼԸ 10-1:6ա-

1/2.7(0։

մով/օ-1-

(-

Բոլոր բատրակների արդյունավետության պալմանների ճիման վրա ունենք

ն

սիմետրիկության

ո-1

Փ.51- 14/2--1(7-1-1:Ֆ7(9),

:ՀՆ..ո-1: ւ-1

Գրականություն

Ճ.Ք6էոօՏ72ո,Ինեօռ: Ճ.26ուօտօհ. օէ 3. Մ/օոմ Տաշուքօ

ՕՊՎՕՔՂՈՆԱԽ/ՈԼ2Ճ՛1ՕԻ.

Օոոծ

1. Նօօո

՛

'ԱՆՀԱԿԱՄԱՐՏ

»

»

-

էհօօո/,ՏԵՔՍԼԵՏ

1996.

`

ԽԱՂԵՐ" բաժինը ոուսերենից թարգմանել

են՝

Մ.Սաճակյանը Ս.Սարգյսանը

խմբագիր' »

ՆՄ.Սաճակյան

Դ|9

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅԱՆ

ՏՆՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐ

Գորձույթների ճձետազոտում Կառավարման գիտություն Մաս 1

Ծրագրի ղեկավար` Մելս (Սամվել) Սաճակյան

Խմբագիրներ՝ Ստեփան Մարկոսյան Ռաֆալել Տոնոյան

ՂԱ, 7, Մ, ՄԼ Կ1Լգլուխներ) «1, Լ Մ, ՄԼ Կ1գլուխներ)

Հեղինակներ՝ Մելս (Սամվել) Սաճակյան Հայկ Սարգսյան ՍարգիսՍարգսյան Ռաֆալել Տոնոյան

ճն Մ, ՃՆ ՄԱգլուխներ) (1 գլուխ) ՂԱ գլուխ) Լն. Խ գլուխներ)

ԼԼխնդիրները Լաուրա Սարդարյանը ԼԱԼ Կ-

ն

առաջադրանքները պատրաստել է

Շարադրանքիխմբագիր՝ Վրույր Ասլանյան Հրատարակիչ՝ Էկոլոգիայի ն կենսապաճովման անվտանգությանգիտությունռերի միջազգալին ակադեմիայի ճալկական բաժանմունք

Ծավալը՝

ճրատ.մամ.: Տպաքանակ՝1500: Ֆորմատ՝ 60484

Օֆսեթ տպագրության լաբորատորիա 375051, Երնան, Կոմիտասիպող. 49/3, ՀԳՏԼԳՀԻ

1/16