Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական եղանակներ-Հտ.2

ՍԱՀԱԿՅԱՆ, ՆՈՐԱՅՐ ԲԵԿՆԱԶԱՐՅԱՆ,

ՀԱՄԼԵՏ ՀԱԿՈԲՅԱՆ, ԽԱՆԻԿ ՔԵՐՈԲՅԱՆ

ՍԵԼՍ

ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅԱՆ

ՏՆՏԵՍՈՒԹՅԱՆ

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

Գործույթների հետազոտումը տնտեսությանկառավարմանխնդիրներում

ՀայաստանիՀանրապետությանկրթությանն գիտության նախարարությանկողմից թույլատրված է որպես բարձրագույն ուսումնականհաստատություններիուսումնական ձեռնարկ

ՀՀ ԳԱԱ «Գիտություն» հրատարակչություն

Երնան

ՏԵՏՐԻ

Ճ2ՃՔՄՃԻՆՎ

Խ(ՐԹԼՏ ՏՃՒՃԵՄԾՃԻՆ, ՎՕՏՃԽՔ

ՒԼՃԽԱԼԻՂ ԷԼՃՀՕՔՄՃԻՆ ԼԻՃԻՒԱՆ

ԽԼՃՂԻԼԵԽՐՃՂԱԸՃԼՆ

ԼԷՏՕՔՅՃԻՆ

37Ա-ՂԵՒՕԾԽՏ ՕԲ

ԷՇՕԻՊՎՕԽՐ ՃԻԼՃՆԽՏ)Տ

ղ ՀՇՏՇուՇհ Օքճոճնօոտ էօԼ Խ(2ՈՅՏՇՈՇու Պ6ատԿճղ 2001

«117 ՇՃՃԽՏՒԼ ԽՐ ԲՒՈԸ

ԷԼ(ՕԹՃՈՏԵԲԵՒՃՅՃԹՋՒԼ

ՃՃԱՂ: ՃԷՔՕլ14881

ՃՃՕԱՑԻ,

ԼՃԽԼԼ՛1

ԽՃՐԵԽՃ ԼՈՎԵՇՃԱՒ ԽԷ:ԼՕԵ

ՃՆ

ԱՈՅՃ3։ՒՕԱՕԽԱՃՔ

1ՇՇղՇոՕԲՅՈՒՇՕոՇքճոյու

Մոքճողծքււմ 3թՕ1ՕԽՈՂՅՕ1

Էքշոու

tfwufiwqllmwlJ.wfi fuйpwqllpfibp' �й. qpm. qnlJ.mnp, UJiln:j}. finйbli CwhpwqJwfi �й. qpm. qnlJmnp, UJiln:j}. tqniwpq '1-wfiphuwfi Cwpwqpwfil!P fuйpwqllp' Ч,pntJp Uu1wfiJwfi

C).S..t, 33 q.ur1- 65 S - 778 Q.pwfunulilip'

mhfufi . qpm. qnlJmnp, ЩJIП:\). lch!pqnй l.,wu_w2Jwfi, .ц, 4q. fiwfuwpwpntpJwfi IJppwlJwfi pwphфnfuniйfihpp IJ.hfimpnfip UUJuhUUS�4U wnwplJwJwlJ.wfi hwfidfiwдnqni.J.

S - 778 SfimhuntpJwfi IJ.bp1nicmtpJwfi йwphйwmplJ.wltwfi bqwfiwlJ.fihp. tfwu 11. q.npcmtJpfihpp hbmwqnmittйl! mfimhuntpJwfi IJ.wnwlJ.wpйwfi fufiilltpfihpniй: {f.Uwhwlt]wfi, 1.,.PblJ.fiwqwpJwfi, ..:,...:,w4npJwfi, lu.ЛhpnpJwfi -hp. 2001, t2 389: ПшnwfiwlJwfi dbnfiwplJ.шй wpawpml.ntй hfi mfimbuшpJwfi ppwlJ.pбwlJ.fibpp IJ.hp1шcmtpJwfi 1, npn2niйfibpp ltwJwgйwfi йwphйwmplJ.wlJ.wfi hqwfiwlJ.fibpf!' Ь"pwq phpp щ1wfiwlJ.npniйfi nt IJ.wnwlJ.wpntйl!, щw2wpfihpp IJ.wnwlJ.wpйwli mbuntpJntfifi ш прпzшйfiЬрр IJ.wJwgйwfi hpйnili11fibp{!, blJ.wйшmnlJ. йwplJ.nlJ.jwfi qnpaJ!lipwglihpfi ni hbppbpp mhuntpJПtlif!, йwmppgwJpli nt pwqйw11wлfuwqhpJ! h wлli: l.,wfuwmhulJ.wЬ- t wщwqw mfimhuwqhmlibpp, IJ.wnwlJ.wpplfihpp, qnpawpwpfih JIP, йwphйwmplJ.nufibpp, бwpmwpwqhtnfihpp h WJl hwpwt!]tg йwuliwqllmnipJwйp pw1tw1wlJ.ppwmp 1, йwqllumpwmшpwJp nшwfinqlibpp hwйwp: OqmwlJwp IJ.JPfip fiwh wuщflpwlitnlibpp, qpmw2fuwutПIJ.fibpp, mlimhuntpJwli mwppbp oqwlJ.fibpшй mlimbuwlJ.wli IJ.bp1nicmtpJwfi, IJwnwlJ.wpйwfi h IJ.wqйwlJhpщ lWltwfi hwpghpnlJ. qpwqфщfihpp hwйwp:

q.(JY}. - 65 0601000000 703(02)- 2001 ISBN 5 - 8080 - 0480 - 2 «q.npawpwpfibpp !. qpmfiwlJ.wfilibpp йpntpJntfi» ..:,4 © tfUwhwltJwli, ©

�·,Z

..:,..:, q.uu «q.pmntpJntli» hpwmwpwlJ.�шpJш Q...,2i.w. QPw..l--c-----,-..

մասին Հեղինակների փ

գիտությունՄելս (Սամվել) Ա. Սահակյան`ֆիզիկա-մաթեմատիկակամ ների թեկնածու, դոցենտ: Ավարտել է Երնանի պետական համալսարանի ֆակուլտետը Սոսկվայի պետականհամամեխանիկա-մաթեմատիկական լսարաճի ասպիրանտուրան,որտեղ ն պաշտպանելէ թեկնածուականատենախոսությունը: 1967-1972թթ. աշխատել է Մոսկվայի պետական համալսարանում: 1972-1975թ.թ.ղեկավարելէ ԳԱ հաշվողականկենտրոնիընդհանուրկառաէ Երնանիժողովրդականտճնտեդասավանդել վարմանբաժինը: 1975-1984թ.թ. թվականիցԵ̀րնանի պետականհամալսասությանինստիտուտում,իսկ ֆակուլտետում: րանի տնտեսագիտության կարգովեղել է ՀԽՍՀ պետպլանիէկոնոմի1979-1989թթ.համատեղման ն ինստիտուպլանավորմանգիտահետազոտական կայի արդյունաբերության գիտականղեկավարը: բաժնիաշխատանքների տի հատուկհետազոտումների 1990-1995թթ.եղել է ՀՀ ԳԽ պատգամավոր` տնտեսությանզարգացման ենթահանձնաժաղովի ճախագահ: Գիտական հետաքրքրություններիոլորտն են գռրծույթների հետազոտումն ու կառավարումը,մակրոտնտեսագիտությունը: Հեղինակ է ավելի քան ն 5 մենագրությունների, 70 գիտականհրապարակումների այդ թվում բուհերի ուսանողներիհամարմեկդասագրքի ն երկուուսումնականձեռնարկի: 1998 թվականից «Գործարարների ն գիտնականների միություն» ոչ կառավարականկազմակերպությանղեկավարնէ: ֆՓ

Ա. Բեկնազարյան` Նորայր տնտեսագիտության թեկնածու, դոցենտ: Ավարտել է Երնանի պետականհամալսարանի մեխանիկամաթեմատիկակաճ ֆակուլտետը, Երնանի պոլիտեխնիկականինստիտուտիասպիրամտուրան: Թեկնածուական ատենախոսությունըպաշտպանել է Երնանճիժողովըրդականտնտեսությանինստիտուտում: Աշխատել է կառավարմանհամակարգերի գիտահետազոտական լաբորատորիայում(1964-1966թ.թ.),էլեկտրոմեխանիկայիհամամիութենական ինստիտուտում(1966-1968թ.թ.): 1968-ից աշխատում է գիտահետազոտական Հայաստանիպետականճարտարագիտականհամալսարանում: Գիտական հետազոտություններիոլորտներն են տնտեսությանվերլուծության մաթեմատիկականեղանակները ն տնտեսաչափական կանխատեսման մռդելները:Հեղինակ է 33 գիտականաշխատություններին 5 ուսումճամեթոդականձեռնարկների: 1998 թվականից «Գործարարների ն գիտնականներիմիություն» ոչ կառավարականկազմակերպությանպատասխամատուքարտուղարնէ:

Խանիկ Վ. Քերոբյան՝ տեխնիկականգիտություններիթեկնածու,դոցենտ: Գերազանցությամբավարտել է Երնանի պոլիտեխնիկականինստիտուտի ռադիոէլեկտրոնիկայիֆակովտետը,եղել է Լենինյան թոշակառու:Սովորել է Կինի պետականհամալսարանի մեխաճիկամաթեմատիկական ֆակուլտետում` պատահական գործընթացներ ն վիճակագրությունմասնագիտացմամբ: Ավարտել է Կինի պոլիտեխնիկականինստիտուտիասսպլիրանտուրան, որտեղն պաշտպանելէ թեկնածուականատենախոսությունը: 1979-1990թթ.աշխատել է մի շարք գիտահետազոտականինստիտուտճերում, կազմակերպել ն ղեկավարել է գիտահետազոտականլաբորատորիաներ: Դասավանդելէ Երնանի ն Կինի պոլիտեխնիկականինստիտուտներում,Կինի պետականհամալսարանում: Գիտական հետազոտություններիոլորտն են գործույթների հետազոտման, բարդ համակարգերիմոդելավորմանն օպտիմացմանեղանակները: ն 6 մենագրությունների: Հեղինակէ 100-իցավելիգիտականաշխատությունների 1998-ից համակարգչայինն տեղեկատվականհամակարգերիհայկական ասոցիացիայիփոխնախագահնէ, «Տեղեկատվականտեխնոլոգիաներ ն կառավարում»միջազգայինամսագրիգլխավոր խմբագիրը: փիփփ

Համլետ Ց. Հակոբյան` ֆիզիկա-մաթեմատիկականգիտությունների թեկնածու, դոցենտ: Սովորել է Երնանի պետական համալսարանի մաթեմատիկայիֆակուլտետում,ավարտելէ Մոսկվայիպետականհամալսարանի հաշվողականմաթեմատիկային կիբեռնետիկայիֆակուլտետի ասպլիրանտուրան, որտեղ ն պաշտպանել է թեկճմածուական ատենախոսությունը: 1978 թվականիցաշխատում է Երնանի պետական համալսարանիինֆորմատիկայի ն կիրառական մաթեմատիկայիֆակուլտետում, եղել է մաթեմատիկականկիբեռնետիկայի ամբիոնի վարիչ: Գիտական հետազոտությունների ոլորտներն են դիսկրետ մաթեմատիկան,գրաֆների տեսությունը: Հեղինակ է 20-ից ավելի գիտական աշխատություններին 4 ուսումնամեթոդականձեռնարկների: 1995 թվականիցՀայաստանի նկարիչներիմիության անդամ է:

Վերջաբանիփոխարեն Ձեռնարկում շարադրվածնյութը ընթերցողինծանոթացնումէ ժողովրդակաճ տնտեսությանպլանավորման,կառավարման նվերլուծության խնդիրներում գործույթների հետազոտման ժամանակակից մաթեմատիկական եղանակներին:Թե հեղինակներինինչքանովէ հաջողվել հասնել այդ նպատակին, թողնումենք ընթերցողիդատին: Գործույթների հետազոտում առարկան, որը հայտնի է նան որպես կառավարմանգիտություն անվանումով, սերտորենառնչվում է համակարգչային գիտության,տնտեսագիտության,վիճակագրությանն կիրառական մաթեմատիկայի հետ: Գործույթների հետազոտմանզարգացումն անմիջակաճորեն կապված է լայն իմաստով կազմակերպչականխնդիրներումինտուիցիան գիտականորենհիմնավորված արդյունավետորոշումների կայացմամբ փոխարինելու հետ: Գործույթների հետազոտումըգործնականումկիրառելիս անհրաժեշտէ որոշել հետազոտվող խնդրի նպատակը, նկարագրել այլընտրանքային լուծումները, սահմանել վերջիններիսարդյունավետությունը,կառուցել խնդրի մաթեմատիկականմոդելը, ցույց տալ դրա համարժեք լինելը ուսումնասիրվող սկզբնականխնդրինն ընդունվածճպատակիհամաձայն գտնել լավագույն լուծումը: Օգտագործվողմաթեմատիկականեղանակներըբազմազանեն. ներառում են մաթեմատիկայի հարուստ զինանոցը,, հիմք են հանդիսանում տնտեսության տարբեր օղակներում գործող համակագերի կազմակերպման ն կառավարմանխնդիրներիլուծման համար ն ընդգրկումեն` լ. Մաթեմատիկականծրագրումը, որտեղ փնտրում են համակարգի լավագույն գործունեությունըշատ փոփոխականներիհարաբերական պարզ կապերիառկայությամբ: 2. Հավանականային գործընթացները,որոնք նկարագրում են համակարգի զարգացումըժամանակի մեջ ն որոնց վարքը բնութագրվում /պայմանավռրված/է պատահականելքերով: 3. Խաղերի տեսությունը,որը նկարագրում ն հետազոտում է շուկայի մասնակիցների կամ կազմակերպիչների միջն դաշինք կազմելու ն /կամ/ մրցակցելումոդելներ: 4. Պլանավորման ու կառավարմանմոդելների մի ամբողջ ընտանիք, որոնք լայն կիրառություն են գտել արտադրության ն սպասարկման տարբեր ոլորտներում: Բակալավրիատի համալսարանական ծրագիրը պարունակում է գործույթների հետազոտման մաթեմատիկականեղանակմերի հետնյալ երկու ուղղությունները` Մաթեմատիկական եղածրագրումօ̀պտիմացմանմաթեմատիկական ճմակները,որոնք ուղղված են արտադրության արդյունավետ կազմակերպ.

ՄԼ

մանը, տնտեսականհամակարգերիհիմնականբնութագրերիհաշվարկմանը՝ ձեռներեցությանն կառավարմաննճպատակներով: ." Մատրիցային խաղեր, երբ շուկայի մասնակիցներըգտնվում են իրար նկատմամբ խիստ ներհակ՝հակամարտվիճակում: Մագիստրոսներինառաջարկվող ծրագիրը ընդգրկում է գործույթների հետազոտմանմաթեմատիկական եղանակներիհետնյալ բաժինները՝ Նախագծերի,արտադրականն սպասարկմանհամակարգերի,ձեռնարկության պաշարների պլանավորման ու կառավարման մոդելները, որոնք լայն կիրառությունեն գտել գործարարաշխարհում. Հավանականայինգործընթացները,որոնց վարքը բնութագրվումէ պատահական ելքերով, որոշումների կայացումը ռիսկի պայմաններում, եկամուտով մարկովյան գործընթացները,հերթերի տեսությունը, նմանակման եղանակները. Խաղերի տեսության այն բաժինները,ռրտեղ շուկայի մասնակիցներն ունեն բանակցելուն դաշինք ստեղծելուիրավունք: Այդ հարցերին են նվիրված «Տնտեսության վերլուցության մաթեմատիկական եղանակներ» դասագիրքի 1 մասը, որը հրատարակվելէ 1997թ, ն սույն Ա մասը: Եթե առաջին մասը նախատեսվածէ բակալավրերիհամար, ապա երկրորդմասը հիմնականումնախատեսվածէ մագիստրատուրայում ն ասպիրանտուրայումսովորողներիհամար: Ձեռնարկիհետ միաժամաճակհրատարակվումէ 11 մասը՝ «Գործույթների հետազոտումըտնտեսությանկառավարմանխնդիրներում»խնդրագիրքը, որտեղ հավաքված են «Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական եղանակներ»դասագրքի 1 ն Լ մասերում շարադրվածտեսականնյութի յուրացմանն ու կիրառմանըվերաբերողխնդիրներն վարժություններ: ՀՀ բարձրագույն ուսումնական հաստատություններիուսանողները առաջին անգամ են մայրենի լեզվով ծանոթանալու գործույթներիհետազոտման ժամանակակիցմաթեմատիկականեղանակներին: Շնորհակալությունեմ հայտնում Ամերիկայի Միացյալ Նահանգների միջազգային զարգացմանգործակալության(ՍՏՃԱ)) Եվրասիահիմնադրամին ֆինանսական աջակցության համար, ձեռնարկիգրախոսներ՝պրոֆեսորներ Նորայր Ենգիբարյանին, Թորգոմ Նալչաջյանին, Սարգիս Սարգսյանին, դոցենտ Սիհրդատ Հարությունյանին ձեռնարկիշահագրգիրն օգտակար քննարկումներիհամար: Մենք հեռու ենք այն մտքից, թե այս ձեռնարկըձերծ է թերություններից, ուստի շնորհակալությամբ կնդունենք ձեռնարկի լավացմանը հետամուտ ամեն մի առաջարկություն: ծրագրի ղեկավար` Մելս /Սամվել/Սահակյան »

ՄԼ1

ՂԱ.

ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ

ԿԱՌԱՎԱՐՈՒՄ

ԾՐԱԳՐԵՐԻ

ԵՎ

Սիայն մի փոքրիկմասըցույց տվի, Սնացածներըթողնելով,որ

դուք

Սրանցմիջոցով ուսումնասիրեք, /Թեպետոչ լրիվ ու ամբողջությամբ: Գրիգոր Նարեկացի Մատյանղղբերգության,Բան Զ.,Դ,

Ե. 1979:

Մուտք Ծրագիրըաշխատանքներիհամախմբություն է, որոնք կատարվում են որոշակի տրամաբանականկարգավորությամբ.աշխատանքներիմի մասի կատարման համար պարտադիր է, որ ավարտված լինեն ուրիշ աշխատանքներ: Աշխատանքներիկատարումներըբնորոշվում են ժամանակի ն ռեսուրսներիծախսերով: Պահանջվում է ծրագրի կատարումըպլանավորել այնպես,որ օպտիմացվենծախսերը: Մինչե ծրագրերի պլանավորման ու կառավարման եղանակների ստեղծումը ցանցերի օգնությամբ ոչ մեծածավալ ծրագրերը պլանավորում էին տարբեր եղանակներով:Ժամանակակից ծրագրերի բարդանալը պահանջեց մշակել ավելի արդյունավետեղանակներ: Ցանցի միջոցով պլանավորմանու կառավարմանզարգացման հիմք հանդիսացանծրագրերի կառուցվածքայինն օրացուցայինպլանավորման, ինչպես ճան օպերատիվկառավարմաներկու եղանակներ,որոնք համարյա ստեղծվեցինԱՄՆ-ում 1956-58 թ.թ. ն հայտնի են որպեսկրիմիաժամանակ տիկականուղու եղանակ(ՇԻԽ/- Շդնօճլ Քո հ16Լհօմ)ն ծրագրերի զարգացման ն վերանայմանեղանակ (ՔՔՔ՛1 -- ՔՕյօօէ (Իոօքյատ)Էսոլխճեօո ճոմ Ք6ԽԼՇա ՂՆօշուզսօ): Առաջին եղանակը մշակվել է շինարարության ծրագրերի համար «Բ. 1. Ծս Քօո 46 Խ1Հոօսոտ ճ: Շօուքռո» ընկերությանկողմիցն հետագայում զարգացվելԽ/(4սօ1)/6550618(65 ընկերությանաշխատանքներում,երկրորդը` «Փոլարիս» հրթիռներովզինված սուզանավերի ստեղծմանգիտահետազոտականն փորձառականաշխատանքներիպլանավորմանծրագրի համար ԱՄՆ-ի ռազմածովային ուժերի նախարարության պատվերի խորհըրդատվական ընկերությանկողմից: Հետագայում այս եղանակներըամփոփվեցին ն ստացան ծրագրերիպլանավորումն կառավարումանվանումը: Ցանցի միջոցով ծրագրերիպլաճավորումնու կառավարումըմեծ համակարգերի կառավարմանժամանակակից տեսության բաժիններից մեկն է, ուստի ԱՄՆ պետականմարմիններնընկերություններից ընդունումեն միայն են նան այնպիսի առաջարկներ,որոնք պարունակում այս եղանակի վրա

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

հիմնվածնախագծմանցանց: Ծրագրերի ցանցի միջոցով պլանավորումն ու կառավարումըբաղկացած են հիմնականում երեք փուլից` կառուցվածքային պլաճավորում,օրացուցային պլանավորումն օպերատիվկառավարում: Ծրագրերը նկարագրվում են ցանցերով,որոնցում հանգույցներիքաճակճերը կախված են ծրագրում եղած աշխատանքների քանակից: Ըստ հանգույցներիքանակների՝ծրագրերըդասակարգվումեն հետնյալ ձնով. ա) համարվում են փոքր, եթե հանգույցներիքանակը չի գերազանցում 1000-ից: բ) համարվում են միջին, եթե հանգույցների քանակը 1000-ից մինջն 10000 է:

գ) համարվում է մեծ, եթե հանգույցների քանակը գերազանցում է 10000-ից: 1.

Ծրագրերիներկայացումըցանցերիմիջոցով

Գործնականում ծրագիրը նկարագրվում է աշխատանքներով, այդ աշխատանքներըբնութագրողթվային տվյալներովն կատարման հերթականությամբ:Պլանավորմանմոդելում պետք է կառուցվիցանցը, որի համար անհրաժեշտ է լինում ներկայացնելվերջավոր քանակությամբ աշխատանքներիցուցակը, ամեն մի աշխատանքիհամար նշելով՝ ա) այն աշխատանքները,որոնք պետք է ավարտված լինեն տվյալ աշխատանքիկատարումնսկսվելուց անմիջապեսառաջ: բ) այն աշխատանքները,որոնց կատարումն սկսվելուց անմիջապես առաջ պետք է ավարտվածլինի տվյալ աշխատանքը: Աշխատանքներիցուցակի ն կատարման հաջորդականությանորոշումը բավականին ծավալուն գործ է, ն անհրաժեշտ է, որ դրան մասնակցեն մասնագետներ:Աշխատանքներիընտրությանն դրանցկատարմանժամանակի ու պահանջվող ռեսուրսներիհամար անհրաժեշտ է, որ նկարագրող թվայինտվյալներիհամախումբըորոշակիիմաստովլինի համասեռ: Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր աշխատանքիկատարումնունի սկիզբ ն

ավարտ: Այն աշխատանքները, որոնց ուրիշները չեն ճախորդում կոչվում են սկզբնական, իսկ այն աշխատանքները,որոնց ուրիշները չեն հաջորդում, կոչվում են վերջնական: Աշխատանքների կարգավորվածություն, ցանցում նկարագրվում է պատահույթների օգնությամբ: Պատահույթներըայն պահերն են, որ միմիանցից բաժանում են անմիջապես իրար հաջորդող աշխատանքների կատարումը՝աշխատանքներիմի մասի ավարտը ն մյուս մասի սկիզբը: Պատահույթներիցմեկը սկզբնականէ: Դա այն պահն է, երբ ոչ մի աշխատանք

ծրագրերիներկայացումըցանցերիմիջոցով

դեռ չի սկսվել, իսկ մյուսը՝ վերջնական,երբ բոլոր աշխատանքներնավարաված են: Այսպիսով, ամեն մի աշխատանք կարող ենք բնութագրել երկու պատահույթներով այդ աշխատանքի սկզբնական պատահույթով (երբ ավարտված են այդ աշխատանքին նախորդող բոլոր աշխատանքները) ն այդ աշխատանքի վերջռական պատահւոյթով (երբ ավարտված են այն բոլոր աշխատանքները,որոնք նախորդում են այդ աշխատանքին հաջորդող աշխատանքին): Կասենք, որ պատահույթն իրականացված է, եթե ավարտված են բոլոր աշխատանքները, որոնց վերջնական պատահույթը այդ պատահույթնէ: Կասենք, որ մի պատահույթ նախորդում է մյուսին, եթե նա ավելի շուտ պետք է կատարվի, քան մյուսը: Դիցուք՝ ունենք ծրագրի աշխատանքների Է ցուցակը՝ Է 1Թլ,62,...,.6ո) ն՝ ամեն մի 6, )-12....,տ, աշխատանքի համար ունենք Ճ(օ) ն 8(օ) ցուցակները, որտեղ Խ(օ)-ն այն աշխատանքներն են, որոնք անմիջապես նախորդում են 6 աշխատանքին, իսկ Ճ(օ)-ն այն աշխատանքներն են, որոնք անմիջապես հաջորդում են օյ-ին: Եթե 5(պ)-Ժ, ապա օյ-ն սկզբճական աշխատանք է, եթե Ճ(գ)-2, ապա Օ-ն վերջնական աշխատանք է: Այս տվյալները բավարար են ծրագիրը նկարագրող ցանց կառուցելու -

համար: Ցանցը գծագրորենպատկերվումէ հանգույցներին այդ հանգույցները միացնող սլաքների միջոցով: Հանգույցները ծրագրի պատահույթներն են, որոնք կհամարակալենք ոչ բացասական ամբողջթվերով՝ ՄՀ/(0,1,2.... ,ո), ընդ որում պատահույթների համարակալումըկկատարենք այնպես, որ եթե մի պատահույթը նախորդումէ մյուսին, ապա նա կունենա ավելի փոքրըհամար: Այդպիսի համարակալումըբնական ձնով կարգավորում է պատահույթները ն հեշտացնում հետագա հաշվարկները: Ակնհայտ է, որ այս համարակալման դեպքում սկզբնական պատահույթը կունենա 0 համարը, իսկ վերջնականը՝ամենամեծ ո համարը: Ցանցի մեջ սլաքներով (աղեղներով) կներկայացնենք աշխատանքները: Եթե 6 աշխատանքի համար սկզբնական պատահույթը լ-ն է, իսկ վերջնականը 12-ը (յՀ), ապա 6 աշխատանքը կներկայացնենք օ-(լ,ն) տեսքով ն գծագրում լ հանգույցից դեպի )չ հանգույց կտանենք (գծ. 1.1):

(2-------«09

սլաքր

Գծ. 1.1

Գործնականում առաջանում են այսպես կոչված բաղադրված աշխատանքներ՝ կազմված տարրական մասերից, որոնց կատարմանըհաջորդում են ուրիշ գործողություններ: Օրինակ՝ Շ աշխատանքը կազմված է 6ճլ, ծշ, 6: գործողություններիցիսկ 67, 6, օ՛ գործողություններըհաջորդում են համա-

Ե//.

պատասխանաբար6.,

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում 6շ, 6

ԾԹ

գործողություններին(գծ. 1.2):

6լ

»-Օ »Օ Գծ.

1.2

Այս դեպքերում ավելի ճպատակահարմար է լինում ցանցում ներկայացնել,երեք աշխատանքի միջոցով (գծ. Լ3)՝ մեկը 6., օ՛ գործողություններիցկազմված աշխատանքնէ, (ճշանակենք 6. -ով), մյուսը՝ յ, 6շ, 6-ից (նշանակենքՇշ-ով), իսկ երրորդըօ̀յ, 6շ, 63, օ--ից 6,

67 6՛, օ՛ աշխատանքները որոշ

(նշանակենք 6.-ով): Նոր աշխատանքներիկատարմանժամանակները ն ռեսուրսներըհավասար կլինեն համապատասխանբաղկացուցիչ գործողությունների ժամանակներին ռեսուրսներիգումարին: Շ3

ԲՀՀ -

Գծ.

1.4

Կառուցվող ցանցը հետագա հաշվարկներըպարզեցնելու ն հեշտացնելու համար պետք է բավարարիհետնյալ պայմաններին. ա) կամայականաշխատանքըցանցում ներկայացվումէ մեկ սլաքով, բ) երկու տարբերաշխատանքներչունեն միաժամանակնույն սկղբնական ն վերջնական պատահույթները: Առաջին պայմանին բավարարելու համար կենթադրենք,որ աշխատանքները զույգ առ զույգ իրարից տարբեր են, ն ծրագրում ամեն մի աշխատանք կատարվում է միայն մեկ անգամ: Եթե ծրագիրնայնպիսինէ, որ անհրաժեշտ է լինում միննույն աշխատանքի կրկնություն, ապա այդ կրկճություններըկհամարենքնոր աշխատանքներ: Որպեսզի կարողանանք կառուցել այնպիսի ցանց, որը բավարարի ճան երկրորդպայմանին, ներմուծումենք այսպես կոչված թվացյալ աշխատանքներ, որոնց կատարմանժամանակը ն ռեսուրսներըհավասար են 0-ի: Գծագրորեն թվացյալ աշխատանքները կներկայացնենք կետագիծ սլաքներով: Նան անհրաժեշտությունէ առաջանում ավելացնելու նոր պատահույթներ: Եթե «՛ ն օ՛ աշխատանքներիհամար Ճ(67) Ճ(627)ն 8(-7) 8(օԴ, են մինճույն սկզբնական 1լ ն վերջապա այդ աշխատանքներն ունենում 1չ նական պատահույթները(գծ. 1.4): Այժմ որպեսզի ցանցը բավարարի բ) պայմանին, անհրաժեշտ է Հ

ծրագրերիներկայացումըցանցերիմիջոցով

կատարել հետնյալ չորս ձնափոխություններիցորնէ մեկը, ավելացնելով 1: ճոր պատահույթը ն մեկ թվացյալ աշխատանք(գծ. 1.5):

Այսպիսի ձնափոխությունըկանվանենք0.ձնափոխություն: Թվացյալ աշխատանքի ներմուծումը նան աճհրաժեշտ է ցանցում աշխատանքներիանմիջական հերթականության կապերը տրամաբանորեն ճիշտ արտահայտելուհամար: Օրինակ` ա) եթե 8(-ԴԹ(օԴ-(6:63),ապա ցանցում դա հնարավոր է կա16.67), տարել 2.6-րդ գծագրում պատկերված եղանակով: բ) եթե 8(օԴապա ցանցում դա հնարավոր է կա(6.6), 8(օԴ-(67), տարել 1.7-րդգծագրում պատկերված եղանակով:

»-( )

»-

---«Օ

-օ

լ լ

թ-

Գծ.

-Վ»-

6՞

1.6

-ի»-

Գծ.

1.7

Պարզ է, որ միննույն ծրագրի համար գոյություն թվացյալ աշհատանքների ն պատահույթների քանակներով տարբերվող ցանցեր, որոնք բավարարում են ն՛ ա) ն՛ բ) պայմաններին: Հաշվարկներիպարզության առումով գերադասելի են այն ցանցերը, որոնցում թվացյալ աշխատանքներիքանակն ավելի քիչ է: Ցանցը կարող ենք կառուցել, օրինակ, հետնյալ ալգորիթմիմիջոցով: ունեն

Ցանցի կառուցմանալգորիթմ Առաջին քայլ: Աշխատանքներիցուցակից ընտրենք ն նշենք սկզբնական աշխատանքները: Կառուցենք գծապատկեր, որտեղ 0 հանգույցը սկզբնական պատահույթն է, իսկ այդ հանգույցից դուրս եկող սլաքները սկզբնականաշխատանքներն են (գծ.1.8): Երկրորդքայլ: Աշխատանքներիցուցակից ընտրենք ն նշենք առաջին չնշված 6 աշխատանքը,որի համար բոլոր աշխատանքները8(6)-ից նշված են: Ավելացնենք նոր 1 հանգույցը, որի մեջ մտնում են բոլոր սլաքները, են որոնք համապատասխանում Ց8(օ)-իաշխատաճքներին, ն ռրից դուրս է

Ն//.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Ալաքը (գծ. 1.9): գալիս 6-ին համապատասխանող

Գծ.

1.8

Գծ.

1.9

Ալգորիթմի ընդհանուր քայլից առաջ նախորդքայլերում կառուցված ցանցում աշխատանբների մի մասն ունի թե՛ սկզբնական ն թե՛ վերջնական պատահույթներ,մյուս մասը՝ միայն սկզբնականպատահույթներ: Ընդհանուր քայլ: Աշխատանքներիցուցակից ընտրենք ն նշենք առաջին չնշված Շ աշխատանքը, որի համար բոլոր աշխատանքները Թ(օ)-ից նշված են: Եթե այդպիսի աշխատանք գոյություն չունի, ապա կանցնենք վերջին քայլին: Այդ - աշխատանքի համար Ց(շ) ցուցակը տրոհենք հետնյալ կերպ (գծ. 1.10) Ց(6) ԸԽքլա...ՍԾսԽլն...ՍԽ, Ռրտեղ՝ Շ-ն այն աշխատանքներնեն 8(օ)-ից, որոնք ունեն սկզբնական,բայց չունեն վերջնականպատահույթ: 0,-ն, 1-1,...,ք, այն աշխատանքներնեն 8(6)-ից, որոնք ունեն միննույն Վ վերջնականպատահույթը, որը վեջնականչէ ուրիշ աշխատանքների համար, բացի թ-ին պատկանողաշխատանքներից: Խ.-ն,)-Լ1....,զ,։ այմճաշխատանքներն են 8(-)-ից, որոնք ունեն միննույն Խ վերջնական պատահույթը, որը վեջնական է ճան ուրիշ աշխատանքներիհամար, բացի Բ.-ինպատկանողաշխատանքներից: -

«-Հ-

ԸՀԷԼԼ Ժ-

Մ ՄՄ

ա) Եթե Շ-Օ, թ-1, զ-0, ձ, հանգույցից(գծ. 1.11):

ապա

կկառուցենք

Գծ.

բ) Եթե Շ-Թ, ք-0, զ-1,

պաքը,

Մ ԳՀ.

որը դուրս

1.10

գալիս

1.11

ապա կավելացնենք նոր էյ, հանգույցը, Բյ-ին

Շրագրերիներկայացումըցանցերիմիջոցով

պատկանողբոլոր սլաքները կտանենք դեպի էյ հանգույցը, կավելացնենք

(էլ չ8յ) թվացյալ աշխատանքը ն քլ հանգուցից (գծ. 1.12):

դուրս

կհանենք 6

պաքը

Ի,

Գծ.1.12

գ) Հակառակդեպքում՝ եթե ՇՀԹ, քՒզ»1 կամ ԸՇ"Ձ2,ապա կկատարենք հետնյալը (գծ. 1.13): Կավելացնենք նոր հանգույցներ՝ 5,քէ՛լ,...,.զ, Շ-ին պատկանող բոլոր սլաքները կտանենք դեպի 5 հանգույցը, Խյ-ին պատկանող բոլոր սլաքները կտանենք դեպի եյ հանգույցը, կավելացնենք(4,5),

՞1,...ք.(Է1,5),)-1....Փ(Է1,.), -1.....զ.

ճոր թժ2զ թվացյալ աշխատանքներ

կկառուցենք - աշխատանքինհամապատասխանողսլաք, գալիս 5 հանգույցից: ն

քլ

,----ՀՊ

ք, Ի--Ի--Հ

Իլ

/--"--Պ

որը

-----Հ

դուրս

Էզ

Գծ.

1.13

Վերջին քայլ: Կավելացնենք նոր՝ վերջնական պատահույթ (հանգույց), այն բոլոր աշխատանքները(սլաքները), որոնք վերջնական պատահույթ չունեն կտանենք դեպի այդ հանգույցը: Ալգորիթմի ավարտին միննույն սկզբնական ն վերջնական պատահույթներն ունեցող բոլոր աշխատանքն

ներիհամար կկատարենքՕ ձենափռխությունը: Դժվար չէ նկատել, որ ցանցի կառուցման այս ալգորիթմում բավարարվում ենք` ամեն մի Շ աշխատանքի համար տալով այդ աշխատանքին միայն անմիջապեսնախորդողաշխատանքների Թ(-) ցուցակը: Նշենք ճան, որ այս ալգորիթմը առաջացնում է նան պատահույթների համարակալում ըստ պատահույթների կառուցմանհերթականության:

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Կառուցված ցանցը որոշ դեպքերումկարելի է փոքրացնել, «խոշորացնելով» աշխատանքները:Այսպես, օրինակ, եթե Լ,.... ՇՈչ62,...0»5»0- (51), յ աշխատանքներն իրար հաջորդում ենն 1.,շ....,դ, պատահույթներիհամար աշխատանքը, չկան մտնող ն դուրս եկող ուրիշ սլաքներ, ն չկա ճան (շյ) ապա 6լ,6շ,...,6. աշխատանքներիհաջորդաբար կատարումը կհամարենք մեկ ՇՀԸ.,կ,) աշխատանք(գծ. 1.14): -

Փ--Փ--Փ

--»Թ---Փ Գծ.1.14

Այդ «խոշորացված» - աշխատանքի կատարման ժամանակը հավասար կլինի 6լ,6շ,...,օ. կատարմանժամանակներիգումամաշխատաճքների րին: Աշխատանքների«խոշորացում» կարող ենք կատարել նան այն դեպքում, երբ այդ աշխատանքները մի մեծ ծրագրի ենթածրագիր են: «Խոշորացված» աշխատանքի կատարման ժամանակը այս դեպքում կարող ենք համարել այդ ենթածրագրիկատարման նվազագույն ժամանակը: Նշենք, որ աշխատանքները«խոշորացնելիս»«խոշորացվում»են նան պահանջվող ռեսուրսները,որը ինքստինքյանկարնորխնդիրէ: Ցանցը կառուցելուց հետո կարող ենք ստացված պատահույթները վերահամարակալելհետնյալ կերպ:

Պատահույթների(ցանցիհանգույցների)վերահամարակալման ալգորիթմ Առաջինքայլ Այն հանգույցը,որտեղսլաք չի մտնում, համարակալենք0: Դիցուք` նախորդ` 1-ին, 2-րդ....,:-1-րդ քայլերում համարակալվել են համապատասխանաբար4.-1,4շ,...,... հանգույցներ, որռնք ստացել են 0,1....,ու.յ-1 համարներ,ռրտեղ դ, -/լ-է/շ-է.../.լ: է-րդ քայլ (է»1): Չհամարակալված հանգույցներից դիտարկենք այն բոլոր հանգուցները, որոնց համար մտնող բոլոր սլաքները դուրս են գալիս ճախորդ քայլերում համար ստացած հանգույցներից: Այդ հանգույցների քանակը նշանակենք /4-ով ն համարակալենքուլ,ուլ-Է1....,ու.լ Էգ--Լ համարներով: Ալգորիթմը կավարտվի, երբ համարակալված կլինեն բոլոր հանգույցները: Այս համարակալումըպատահույթներըկարգավորում է ըստ շերտերի՝ է-րդ քայլում համարակալված 4, պատահույթները կկազմեն է-րդ շերտը: Հեշտ է նկատել, ռր յուրաքանչյուր շերտում հանգույցներըիրար հետ սլաքներով միացված չեն, ն Ճ-րդ շնրտի պատահույթների նախորդողպատահույթները ք-ից փոքր համար ունեցող շերտերից են: Նշենք նան, որ այս

ծրագրերիներկայացումըցանցերիմիջոցով

համարակալումնայնպիսին է, ռր ամեն մի աշխատանքիսկզբնական պատահույթի համարը փոքր է վերջճռականպատահույթիհամարից (այսինքն, եթեօ-(Ա,)), ապա 1Հ)),որը հեշտացնում է հետագա հաշվարկները: ՞Նշանակենք8(է)-ով ցանցի բոլոր այն պատահույթները,որոնք անմիջապես նախորդումեն քՔ-ին,ն Ճ(:)-ով այն բոլոր պատահույթները, որոնք անմիջապեսհաջորդումեն է-ին (գծ. 1.15):

8(բ)

Ճ(է)

Գծ.

1.15

Հանգույցների դասակարգումըըստ շերտերի մեծ ցանցերի համար ավելի հարմարէ կատարելՖորդի հետնյալ ալգորիթմիմիջոցով:

Ֆորդի ալգորիթմ/քայլաշար/ Դիցուք ցանցի հանգույցներն

ունեն

0,1....,ո թվերով:

կամայական համարակալում

Նախնական փուլ (0-փուլ): Յուրաքանչյուր է, է-0,....ո, կհամապատասխանեցնենք գ(է)»-0 թիվը: Ընդհանուր փուլ (ք-փուլ): Յուրաքանչյուր է, է-0,...,ո, կհամապատասխամեցնենք`

Փ.(')որտեղ

Գ, ւ

ոճ

հանգույցին հանգույցին

ց.0),

վթ-|Ն,եթեւ»ե, եթելՀի`

Ալգորիթմըաշխատանքըկավարտի, եթե հերթականփուլում ստացված թվերը համապատասխանաբար հավասար են նախորդ փուլում ստացված թվերին: Ալգորիթմովստացված հանգույցի բ համարը ցույց է տալիս այն շերտըր, որտեղ գտնվում է այդ հանգույցը: Նկատենք նան, որ այդ թիվը ցույց է տալիս սկզբնականհանգույցիցմինջն 1-րդ հանգույց տանող ամենաերկար ուղու սլաքների քանակը:

ԱԶ

7/1.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Ծրագրի աշխատանքների կատարման ժամկետների հաշվարկըցանցերիվրա

Աշխատանքների ծրագրի համար կառուցված ցանցը հնարավորություն է տալիս պարզ ձնով ն արագորենկատարել որոշակի հաշվարկներ՝ կապված ծրագրի աշխատանքների կատարման ժամկետների ն պահանջվող պաշարների օպտիմացմանհետ: Այս բաժնում կդիտարկենքժամկետների հետ կապված հարցերը: Պարզության համար կենթադրենք, որ ծրագրիկատարումնսկսվում է Օ պահին: Սկզբնական փուլում աշխատանքներիԷ ցուցակի հետ միասին տրվում են նան այդ աշխատանքների կատարման ժամանակները՝

«(6լ),1(օշ),:(6ո))»

որտեղ 1(65)-ն աշխատանքի կատարման տնողությունն է (ակնհայտ է, որ ((6)»0): Եթե 6 աշխատանքը նկարագրվում է պատահույթների (1յ) զույգովապա (65)-ն կգրենք նան 1(,յ) տեսքով: Եթե աշխատանքըթվացյալ է, ապա դրա կատարման տնողությունը հավասար է 0-ի: Կոռւսումնասիրենքհետնյալ հարցերը: ա) Ամենաքիչը ինչքա՞ն ժամանակ է պահանջում ամբողջ ծրագրի կատարումը(նշանակենքայդ ժամանակը՛1-ով): բ) Ի՞նչ ժամկետներումկարող է կատարվելյուրաքանչյուր օ աշխատանք, որպեսզի ամբողջ ծրագիրն ավարտվի ՛Լ ժամանակում: Առաջին հարցի համար էական դեր են խաղում որոշակի այսպես կոչված կրիտիկականաշխատանքները,որոնց կատարման ժամկետներից էապես կախված է ամբողջ ծրագրի կատարման ճվազագույն 1 ժամանակը: Սնացած ոչ կրիտիկական աշխատանքներիցյուրաքանչյուրի կատարման ժամկետն կարող է փոփոխվել, որը չի ազդում ծրագրի կատարմաննվազագույն ՛Ւ ժամանակի վրա: Այդ դեպքում ասում ենք, որ ռչ կրիտիկական աշխատանքն ունի ժամանակիոեզերվ կամ պահուստ: Այսպիսով, յուրաքանչյուր 6 աշխատանքի համար սահմանվում են հետնյալ չորս ժամկետները՝ Ղ«(Տ) սկսվելու ամենաշուտ ժամկետը Ղ: (5)- սկսվելու ամենաուշ ժամկետը

Ղլ(6) վերջւննալու ամենաշուտժամկետը Ղ(5) վերջանալու ամենաուշ ժամկետը: Այս ն հաջորդող թվերի սահմանումները ենթադրում են, որ աշխատանքների ամբողջ ծրագիրը պետք է ավարտվի ՛1 ժամկետում: Անհրաժեշտություն է առաջանում յուրաքանչյուր է, է -0,...,.ո պատահույթի համար սահմանել հետնյալ երկու ժամկետները` Ղ1(4) իրականացմանամենաշուտժամկետը Ղ(չ) իրականացմանամենաուշ ժամկետը: 0, Ղ1(Ճ)ՀԼ), 1(ո) Հ՛1(ո)Հ 1: Ակնհայտ է, ռր ՛1(0) -՛1(0) -

Շրագրիաշխատանքներիկատարմանժամկետներիհաշվարկըցանցերիվրա

Նախորդ բաժնում նկարագրված համարակալումն այնպիսին է,

որ

եթե 16 8(է), ապա 1Հէ ն եթեյճ Ճ(է), ապա յ»: Քանի որ է պատահույթի իրականացմանընախորդում են

8(է)-ին պատկանողբոլոր պատահույթներիիրականացումները,իսկ 8(է)-ին պատկանող բոլոր 1 պատահույթներիցդուրս եկող (,.) աշխատանքներիկատարումը, ապա պարզ է, որ 1042) ոո» Է10) 16,է)): Հ

Ը 8(ե)

Քանի որ բ պատահույթի իրականացումընախորդումէ Ճ(է)-ին պատկանող բոլոր պատահույթներիիրաականցմանը,իսկ Ճ(5)-ին պատկանող կամայական յ պատահույթի (ոյ) աշխատանքի կատարումը նույնպես նախորդումէ յ)պատահույթի ապա պարզ է դառնումնան, որ իրականացմանը, ուռ 110)-(.): 1() -

Ջ/Ա)

Այս թվերիհաշվարկները կատարվումեն հետնյալ երկուալգորիթմներով:

Ցանցի ուղիղ անցման (մղման) այգորիթմ Ղ1(օ)Հ0:10)Հ

Ոէ

(10)

10,է)),

«Հ

12....ո:

Այս ալգորիթմիավարտինստանում ենք Ղ-՛1(ո) թիվը:

Ցանցիհակադարձանցման(մղման) ալգորիթմ Ղ(ո)ՀՂ:Ղ1()-

ոռ

410)-.))):

եՀո-Լնո-շ.....0:

Ուղիղ ն հակադարձ անցման ալգորիթմներիցյուրաքանչյուր է պատահույթի համարստանում ենք 1(է) ե ՛(է) թվերը: Սահմանում: 6-(եյ)) աշխատանքը կանվանենք կրիտիկական, եթե 10-10), 10-70) ն10)-10)-16)): Պնդում 1: Եթե մի որնէ բ պատահույթի համար 1(:)-՛1(է), ապա գոյություն ունի այնպիսի է, էճ 80/2) պատահույթ, որ (էմ) աշխատանքը կրիտիկականէ:

104) Ապացուցում:

ոու(10)Է10,է))::

Դիտարկենք այն Է-ը,

որի համար այս մաքսիմումը հասանելի է` 1(:)-1(1)Է:4.46) Այստեղից1(6«7-1(-)- 1(4,է):

8(է) Ճ(՛

Գծ.

2.|

է:

Է(1),

(գծ.3.1):

7/7

Ղ(4)-

որ

410)

Ա),

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

հետնաբար՛1(-

ՀԼ(.)

486) -1(2)

145)

117,

այսինքն ՛Է(Է՞ ՀՂ1(Է7): Բայց քանի որ 147 Հ 1(է), ապա ՛Լ(է՛) 10 ՛) ն 102) 107 ()ն է: (էէ) աշխատանքըկրիտիկական Պնդման ապացուցումիցնան բխում է, որ եթե Ղ(:)»՛Լ(ճ), ապա կրիտիկական են բոլոր (էէ), 1՛6 8(Է), աշխատանքները,որոնց համար 1(.) մաք(ԷԷ )-՛Լ(ւ.): սիմումը դառնում է հասանելի՝ Ղ(Է՛7-Է Թեորեմ 1: Ցանցում սկզբնական պատահույթից մինչն վերջնական պատահույթը գոյություն ունի գոնե մեկ ուղի, որի բոլոր աշխատանքները կրիտիկականեն: Ապացուցումըհետնում է 1(ո)-1(ո) պայմանից ն պնդում 1-ից: 0-ից մինչն ռո հանգույց տանող այն ուղին, որի բոլռր աշխատանքները կրիտիկականեն, կոչվում է կրիտիկականուղի: Թեռրեմից հետնում է որ յուրաքանչյուր կրիտիկական աշխատանք պատկանում է որնէ կրիտիկական ուղուն: Կրիտիկական ուղով որոշվում է փաստորեն ծրագրի կատարման ճվազագույն 1 ժամկետը,իսկ այդ ժամկետում ծրագրի ավարտը պահանջում է, որ կրիտիկական ուղու իրար հաջորդող աշխատանքներըկատարվենառանցընդհատման, մեկը՛մյուսի ավարտիցանմիջապեսհետո: Պատահույթնճերի համար ստացված 1(չ) ն Ղ(է) թվերը հնարավորուեն թյուն տալիս պարզ ձնով հաշվել օՀԸ,)) աշխատանքի համար սահմանված ժամկետները(տե'ս գծ. 3.2)՝ 1:(6) 10): 140) 10) 1)» ո -10)6) 1-10): Հ

10) ո 105)

ԻՑ

)

Թ ՀԺԵ-ԻՑ-Կ

1(9

ռ(ջ

)

ՊԹ

:(շ

Փ Թ

Գ--------ֆ --Կավոաանատանաաատաաաաավթի Հ.Հ. աա

ա---

Գծ. 2.2

Գործնականումկիրառում են ճան ժամանակիհետ կապված պահուստային ժամանակները, որոնք որոշվում են ուղիների, պատահույթների ն աշխատանքներիհամար:

հաշվարկըցանցերիվրա Շրագրիաշխատանքների կատարմանժամկետների

Դիտարկենք ցանցում սկզբնական ն վերջնական պատահույթները միացնողԼ ուղին: Լ ուղու ժամանակիպահուստ կոչվում է ՃԱ.) թիվը՝ Սահմանում: Ք(Լ) Հ1-Ղ1(1), որտեղ 1-ն ծրագրի կատարմաննվազագույնժամկետնէ, իսկ ՂՂո)Հ

Ք(Լ) թիվը ցույց է տալիս, թե Լ ուղու աշխատանքներիտնողությունները ինչքանով կարող ենք ավելացնել` ծրագիրն ավարտելով ՛Է ժամկետում: Ակնհայտ է, որ Ք(Լ)-0 այն ն միայն այն դեպքում, երբ Լ ուղին կրիտիկականէ: ճ պատահույթի ժամանակի պահուսակոչվում է Ք(չ) թիվը՝ Սահմանում: 1 (է)-1(է): Ւ(:) Ճ(ո)-ն ցույց է տալիս, թե Է պատահույթի իրականացումըինչքանով կարողենք ուշացնել՝ ծրագիրն ավարտելով՛7 ժամկետում: Ստացված արդյունքներից հետնում է, որ ճ-ն պատկանում է կրիտիկական ճանապարհին այն ն միայն այն դեպքում, երբ Ք(.)-0: 6-(,)) աշխատանքիհամար սահմանվումեն ժամանակի հետնյալ չորս ո(Թ), 7շ(6), ո(Թ), ռ(6) պահուստները (տե'ս գծ. 3.2): -

Սահմանում:

ո(օ)-ո(.)-10)-10)-4.) ռ(օշ)-ռ(.)-10)-10)-6)) ո(օշյ-ո())-210)-10)-21) ո(Փ)-ո(Ն)-10)-10-(5.)): ոլ(6) թիվը կոչվում է ՇՀ աշխատանքիժամանակի լրիվ պահուստ: Էշ(6) թիվը կոչվում է 6 աշխատանքի ժամանակի առաջին տեսակի մասնավոր պահուստ (կամ մասնավորպահուստ): (ծ) թիվը կոչվում է - աշխատանքի ժամանակի երկրորդ տեսակի մասնավորպահուստ (կամ պարզապես ազատ պահուստ): ո4(6)թիվը կոչվում է Հ աշխատանքիժամանակի անկախ պահուստ: (Ցանցային պլանավորման որոշ աշխատանքներում /ւ(6)-ն կոչվում է ազատ պահուստ, իսկ ո(6)-ն հատուկ անվանում չունի): Քանի որ 10)316,))510)510) 10)Տ10)Տ10) 16.)), ապա /ւ.(.))Հ0, ոշ(.))20, ո(.))20: ոԸւ.)) թիվը կարող է լինել բացասական, ե այդ դեպքում նճա իրական իմաստ չունի: (6)-Ը,)) աշխատանքի ժամանակի լրիվ պահուստը ցույց է տալիս, թե պատահույթի իրականացմանամենաշուտ ժամկետից հետո 6 աշխա-տանքի կատարմանժամանակից բացի ինչքան ժամանակ է մնում մինչն յ) պատահույթի իրականացման ամենաուշ ժամկետը:

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Ն.

(ՕՀ) աշխատանքի ժամանակի մասնավոր պահուստը ցույց է տալիս, թե ւ պատահույթի իրականացման ամենաուշ ժամկետից հետո 6 աշխատանքի կատարման ժամանակից բացի ինչքան ժամանակ է մնում

մինչն ) պատահույթիիրականացմանամենաուշ ժամկետը: (5)-(.)) աշխատանքի ժամանակի ազատ պահուստըցույց է տալիս, թե չէ պատահույթի իրականացման ամենաշուտ ժամկետից հետո - աշխատանքի կատարման ժամանակից բացի ինչքան ժամանակ է մնում մինչնյ պատահույթիիրականացմանամենաշուտ ժամկետը: Եթե օՀ(,)) աշխատանքի ժամանակի անկախ պահուստը ոչ բացասական է, ապա այն ցույց է տալիս, թե չ պատահույթիիրականացմանամեճաուշ ժամկետից հետո - աշխատանքի կատարման ժամանակից բացի ինչքան ժամանակ է մնում մինչն յ) պատահույթի իրականացմանամենաշուտ ժամկետը: Եթե 1լ(շ)ՀՕ, ապա հնարավոր չէ, որ 1 պատահույթը իրականացվի ամենաուշ ժամկետում, ն յ) պատահույթը` ամենաշուտ ժամկետում: Հեշտ է նկատել, որ ո(օ) ց (5--1:(6) -Պ (9-12) -Ղ/ (2-16(6)-:5): -Ղ

օ«(ե)) աշխատանքի ն պատահույթի ժամանակի պահուստների սահմանումներիցհետնում է, որ ՒՆ) ո(ն))-ռ6)) ո(ն))-ո0))80) ու(.))-ո(ե)) Է0)Է86) 2())- 50.) - Ւ0)-Ք0) -

էչ(.))-ո.)

50)

ո(Ն)-ո(,)) ԻԿ): Ստացված այս կապերից բխում է, որ կամայական է պատահույթի համար ճշմարիտ են ճան հետնյալ արդյունքները: Թեորեմ 2: Հետնյալ պնդումներըիրար հավասարազորեն. ա) 10:)-0, բ) 1(9-1(2, գ) ո(Խ))-ռ(.)), կամայականյ, )Հ Ճ(:) պատահույթիհամար, դ) ո(Խ))-ո(ե)), կամայականյ, )Հ Ճ(Ճ) պատահույթիհամար, ե) ղնչէ)-:(է), կամայական1, 16 (5) պատահույթիհամար, զ) Շ(,է)-ունչէ), կամայական1, 16 8(5) պատահույթիհամար: Հետնանք 1: Կամայական (.յ) աշխատանքի համար ՃՌ)-Ք()-0 այն ն միայն այն դեպքում,երբ ու(Ն))-226.)-.(.)-անչ)): Հետնանք 2: 6-0.) աշխատանքը կրիտիկական է այն ն միայն այն դեպքում, երբ ղ()-()-ո()-ո(ն))-0: ապա ակնհայտ է, որ ոլ(6)Հո(օ), մասնավորապես, Քանի որ 1()ՀԼ(), եթե ոլ(6)-0, ապա ո(օ)-0: Կրիտիկականաշխատանքիհամար տեղի ունեն հետնյալ հեշտ ապացուցվող իրար համարժեք պնդումներ: -

Նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպմանաշխատանքների/սնդիր

Պնդում 2: օ աշխատանքըկրիտիկականէ այն ն միայն այն դեպքում, ն (օ(9-11 երբ 14(-Ր-(շ), 14-46): Շ 3: Պնդում աշխատանքը կրիտիկականէ այն ն միայն այն դեպքում, երբ արդ աշխատանքիժամանակիլրիվ պահուստըհավասաը է 0-ի: Ցանցի համար նկարագրված բոլոր հաշվարկները գործնականում ներկայացվում են հետնյալ աղյուսակ (2. 1)-ի միջոցով. Աղյուսակ 2.1 Աշխա- իԿատարման Ամենաշուտ Ամենաուշ Ժամանակի պահուստ տանք Տ

ժամանակը|

|Թ

սկիզբ | ավարտ| սկիզք | ավարտ| րի

ՆԹ

ոօ

| ԵՓ |

|ոժց|

մասնավոր|

ռօ

ազատ

ոՓ|

անկախ

ոտ)

Ամբողջ ծրագիրը կարելի է կատարել ավելի շուտ, եթե որոշակի աշխատանքների կատարման ժամանակները փոքրացնենք: Ակնհայտ է, որ այդ աշխատանքները պետք է պատկանեն կրիտիկական ուղիներին՝ յուրաքանչյուր կրիտիկական ուղի պետք է պարունակի այդպիսի աշխատանք: Եթե կրիտիկական ուղին միակն է, ապա փոքրացնելով այդ ուղու կամայական ոչ թվացյաչ աշխատանքի կատարման ժամանակը փոքրաճում է նան ծրագրի կատարման նվազագույն ժամկետը: 3.

Նկարների ցուցահանդեսի կազմակերպման աշխատանքներիխնդիր

Այս բաժնում կդիտարկենք ցանցային եղանակով ծրագրի պլանավորհետ կապված հարցերը իրականությունից վերցված մի օրինակով: Կդիտարկենքցուցահանդեսի կազմակերպմանհետ կապված աշխատանքները, կկառուցենք ցանցը ն կուսումնասիրենք կառուցված ցանգըր: 3.1 աղյուսակում թվարկված են այն աշխատանքները, որ անհրաժեշտ են նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպմանհամար: Կառուցենք թվարկված աշխատանքներից կազմված ցանցը 2-րդ բաժնում նկարագրվածալգորիթմի /քայլաշարի/միջոցով: 1-ին քայլ (գծ. 3.1): Ընտրում ենք 6յ ն ծօյ-ը, քանի որ 8(6«:)-8(61):2: Վերցնում ենք 0 պատահույթը: Կառուցում ենք ծլ ն օգ սլաքները: ման

Ղծ.3.1

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Ն11.

3.1

Անմիջապես

նախորդողժամանակը

Աշխատանքիանվանում

(ժամերով)

ձնա

ձ Տ

ան 1

Ցու

տում

Երաժշտության սարքավորումների տ

մն

ան

սոսնձում

Ռադիո- ն հեռուստատեսային

6լլ6

67» 68» 6լշ

Հրավիրատոմսերին ծալովի

Շյ, 68

Յու Շ

6լշչ6

Ձնավորմանվերջնական փուլ

613» 615» 616 Շյր,

2-րդ քայլ (գծ. 3.2): Ընտրում ենք

ն 6շ սլաքը:

6շ-ը,

Գծ.3.2

ավելացնում 1-ին պատահույթը

3. 'viJшplilipft gmgшhшliJJliиft IJшqtfшlJlipщtfшli ш2Juшшшliplilipft JuliIJftp

3·).11}. J:!WJl (qb. 3.3): Cfimpшu Ыiр е4·1!, wtlb· !inнI 2·).11}. щwmwhntJJЭI! L. е4 UlШJ;![! (wtqnppJЭ· tшg щр): up q) qЬ

4·pq рwл (qb. 3.4): C!impшu b!i9 es·I!, wtlb· LWQUШ\l es ULW!![! (w1qnpp]ЭUp ш) qЬщр):

5·pq ршл (qb. 3.5): Cfimpntu bfi9 е6·1!, wtlb1wgfiшu е6 ULШPI! (wLqnpppup ш) qЬщр):

Q.b. 3.3

Q.b. 3.4

6·pq ршл (qb. 3.6): C!impn1u bfip ег(!, wtlb LWQ!intu 3-м щwmwhnlJJЭI! ii_ е7 ULWPI! (wLqnpp]ЭQ.b. 3.5 Up q) qЬщр): 7·pq J:!WJL (qb. 3.7): C!impntu b(ip еа·(! L. шчbLШQUntU еа ULWIJ[! (щqnрр]Э· up w)qbщp):

Q.b. 3.6

Q.b. 3.7

5/1

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

(գծ.348): 8-րդ քայլ Ընտրում ենք 6ջ-ը, ավելացնում 4-րդ պատահույթըն 6ջ սլաքը (ալգորիթմիգ) դեպք):

9-րդ քայլ (գծ. 3.9): Ընտրում ենք Հյօ-ը ն ավելացնում 6յօ սլաքը (ալգորիթմի ա) դեպք):

Գծ.

10-րդ քայլ (գծ. 3.10): Ընտրում ենք հույթը ն 6յլ սլաքը (ալգորիթմիգ) դեպք):

6յլլ-ը,

ավելացնում 5-րդ

3.9

պատա-

Գծ. 3.10

Նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպմանաշխատանքների խնդիր

11-րդ քայլ (Գծ. 3.11): Ընտրում ենք (ալգորիթմիա) դեպք):

6լշ-ը

ավելացնում

6լշ

սլաքը

Գծ.3.1 12-րդ քայլ (գծ. 3.12): Ընտրում ենք 65/»ը, ավելացնում 6-րդ պատահույթը, (6,5) թվացյալ աշխատանքը (կետագիծ սլաքը), ն 6յ» սլաքը (ալգորիթմիբ) դեպք):

Գծ.

3.12

13-րդ քայլ (գծ. 3.13): Ընտրում ենք օյգ-ր ն ավելացնում օգ սլաքը (ալգորիթմիա) դեպք): 14-րդ քայլ (գծ. 3.14): Ընտրում ենք 6լչ»-ը, ավելացնում 7-րղ պատահույթը ն 6յչ սլաքը (ալգորիթմիգ) ղեպք): 15-րդ քայլ (Գծ. 3.15): Ընտրում ենք 6օյօ»-ը, ավելացնում 8-րդ պատահույթը ն 6յօ պլաքը (ալգորիթմիգ) դեպք):

Ե//.

Շրագրերիպլանավորումն կառավարում

Գծ.

3.14

Գծ.

3.15

Նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպման աշխատանքների խնդիր

16-րդ բայլ (գծ. 3.16): Ընտրում ենք 6լչը, ավելացնում9-րդ պատահույթը, (9,8) թվացյալ աշխատանքը(կետագիծսլաքը) ն 6յ7 սլաքը (ալգորիթմի գ) դեպք):

Գծ. 3.16

17-րդ քայլ (գծ. 3.17): Ընտրում ենք 6յ:-ը, ավելացնում 10-րդ ն 11-րդ պատահույթները,(10,8) ն 0,11) թվացյալ աշխատանքները(կետագիծ սլաքները) ն օյ: սլաքը (ալգորիթմիգ) դեպք):

Գծ.3.17

Ն//.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

18-րդ քայլ (գծ. 3.18): Ընտրումենք 6լջ-ը, ավելացնում 12-րդ պատահույթը, (12,2) թվացյալ աշխատանքը (կետագիծ սլաքը) ն 6յջ սլաքը (ալգորիթմիբ) դեպք):

19-րդ քայլ (Գծ. 3.19): Ընտրում ենք հույթը ն 6շջ սլաքը (ալգորիթմիգ) դեպք):

6շօ-ը,

ավելացնում 13-րդ պատա-

Նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպման աշխատանքներիխնդիր

20-րդ քայլ

հույթը ն

6շլ սլաքը

(Գծ. 3.20): Ընտրում ենք (ալգորիթմիգ) դեպք):

6շլ-ը,

ավելացնում 14-րդ պատա-

Գծ. 3.20

21-րդ քայլ (գծ. 3.21): Ընտրում ենք հույթը ն օշշ սլաքը (ալգորիթմիգ) դեպք):

6շչ-ը,

ավելացնում 15-րդ

պատա-

Գծ.

3.21

Ե/Լ

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Վերջին քայլ (Գծ. 3.22): Ավելացնումենք 16-րդպատահույթըն կատա6.66 ն 6շ66 զուգահեռսլաքներիհամար: րում Ճ ձնափոխությունը

Պատահույթների վերահամարակալումը կատարենք ներկայացված ալգորիթմի միջոցով: ԼԼյս վերահամարակալումիցստացված ցանցը ներկայացված է 3.23 գծագրում: Այսպիսով, կառուցված ցանցը պարունակում է 19 հանգույցներ (պատահույթներ), 22 սլաքներ (ներկայացված աշխատանքներ) ն 7 կետագիծ

Նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպմանաշխատանքներիխնդիր

սլաքներ՝ (2,3), (5չ6), (7,9), (813), (8:14), 10,12), 12,13),ռրոնք համապատասխանումեն թվացյալ աշխատանքներին:Այդ ցանցում կարող ենք «խոշորացնել» Շշց, 621, 622 աշխատանքներիհաջորդաբար կատարումը, համարելով այդ երեք աշխատանքներըորպեսմեկ աշխատանք:

0:11:

Ո:

Պտ

Գծ.3.24

Հանգույցների դասակարգումը կատարելով ըստ շերտերի` ստանում ենք, ռր ցանցի հանգույցները բաժանվում են 12 շերտերի, որոնք պատկերված են 3.24 գծագրում:

ը Գծ.

3.25

Օգտվելով ցանցի ուղիղ անցման, ինչպես նան հակաղարձ անցման ալգորիթմներից,հաշվարկենք ստացված ցանցի աշխատանքների կատարման ժամկետները:Արդյունքներըպատկերված են 3.25 գծագխում, որտեղ պաքների վրա գրված են այդ աշխատանքներիկատարմանհամապատասխան ժամկետները:Ուղիղ անցման ալգորիթմիարդյունքներըգծագրում պատկերված են պատահույթներինհամապատասխանողներքնի վանդակներում,

Ե//.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

իսկ հակադարձ անցման ալգորիթմի արդյունքներըվ̀երնի վանդակ-ներում: Այս հաշվարկներիցհետնում է, ռը կրիտիկականճանապարհն է 0, 1, 3, 5, 6, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18 սատահույթներովանցնողուղին, ն այդ ուղին պարունակում է 6լ, 62, Շճ, 68» 617: 618» 6շօ» 621» 622 կրիտիկականաշխատանքները ն (5,6) ու (10,12) թվացյալ կրիտիկականաշխատանքները:Այս ծրագրի կատարման ամենաշուտ ժամկետը հավասար է 75 ժամի: Աշխատանքներիհամար կատարված հաշվարկներըներկայացնենք3.2 աղյուսակի միջոցով (կրիտիկական աշխատանքներըվերցված են շրջանակներիմեջ): Կատար-|

որ Հր

Ամենաուշ սկիզբ| ավարտ | սկիզբ| ավարտ |

Աղյուսակ 3.2

Ամենաշուտ

Ժամանակի պահուստ

լրիվ| մասճավոր | ազատ

անկախ

նակը

թ)

«(2

շի

6ռ

օ«

.օ.

|(ջ

լ լ

Ն)

"թ

«Փ|)

| 30 | | 33 | 32 | 34 | 36 | 30 | | 37 | 38 | 39 | 36 | 37 | 59 | 32 | 6 | 43 | 36 | 4 | 39 | 68 | 38 | 68 | (4| 6 | | 647 | | 39 | 70 | Փ | 31 | օ

ՊԹՕ /ոԹ

ան

|26|

| | |

ռ(6)

ո.

ո)

|31

յ0

| | | |

| |

|39|

3.3 աղյուսակում ներկայացված են կի պահուստները:

իւ ԹՃ)|96|1|

01112|3|4|5

ն բաշխումը Ռեսուրսներիօրացուցայինպլանավորումը

|)6|7

01726|

բոլոր

6|26|31|

պատահույթներիժամանա-

|10111|12 26|

26|

|13|14|

3.3 Աղյուսակ

0|28|10|10|0|0|0

Ռեսուրսներիօրացուցայինպլանավորումըն բաշխումը

Դիցուք` ծրագրի համար կառուցված է մի ցանց, որի պատահույթները Մ-(0,1,...,ո)-ը, իսկ աշխատանքները՝ ԷՀ (6լ,6շ,...,Շո)-ն: Ծրագրիցանցային մոդելի հաշվարկների վերջնական փուլն է օրացուցային պլանավորումը,որում անհրաժեշտ է հաշվի առնել ն լավագույն ձնով բաշխել եղած ռեսուրսները: Ենթադրվում է, որ յուրաքանչյուր 6, )-1....,.տ, աշխատանքի համար տրվում է 5 թիվը, որը ցույց է տալիս աշխատողների քանակը, որոնք օյ աշխատանքըկարող են կատարել1(6.)ժամանակում:Հաճախ անհրաժեշտէ լինում լուծել հետնյալ խնդիրը: Ռեսուրսների հավասարաչափբաշխմանխնդիր: Յուրաքանչյուր Ն 0ՀԷՏԼ, պահին 2(9-ով նշանակենք է պահին օգտագործվող ռեսուրսների(տվյալ դեպքում՝ աշխատողների)քանակը, այսինքն` Ֆ8(5), 2(2են

ՀԵ(յ

ռրտեղ Ե(1-ն

պահին կատարվողաշխատանքների ցանկն է: Նպատակն է աշխատանքներիկատարումը այնպես պլանավորել, որ ու. 2(է) Լ

0ՏԷՏԼ

թիվը լինի նվազագույնը: Այս խնդիրը այսպիսի ընդհանուր դրվածքով մաթեմատիկականլուրջ դժվարություններ ունի ն մինչե այժմ չի մշակված մի այնպիսի եղանակ, ռրով կարելի լինի գտնել լավագույն լուծումը: Գործնականում խնդրի համար հաճախկազմվում են հետնյալ երկու օրացուցայինպլանճերը: ա) Վաղ (կամ ձախ) օրացուցային պլանավորում` յուրաքանչյուր 6 աշխատանքսկսում են Ղ.(6) պահին: բ) Ու. (կամ աջ) օրացուցային պլանավորում` յուրաքանչյուր Հ

աշխատանքսկսում են

Ծ(օ) պահին:

Վաղ ն ուշ օրացուցայինպլանավորումները հնարավորությունեն տալիս իրար հետ համեմատելով,կազմել ռրոշ դեպքերում ավելի լավ պլանա-վորում, որում օգտագործվող ռեսուրսների առավելագույն քանակր ավելի փոքր կլինի, քան վաղ ն ուշ օրացուցային պլանավորումներիժամանակ:

Ն//.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Օրացուցային պլանավորմանհամար հաճախ օգտագործվումէ 7-Հ(է ֆունկցիան պատկերողՀանտի դիագրամը, որում հորիզոնականառանցքը ցույց է տալիս ժամանակը,իսկ ուղղահայաց առանցքը՝ռեսուրսները: Վաղ ն ուշ օրացուցային պլանավորումներըդիտարկենք,օրինակ, ճախորդ բաժնում նկարագրված ցուցահանդեսիկազմակերպմանխնդրի համար: Ստորն բերվող աղյուսակում տրված է այդ խնդրի յուրաքանչյուր 6յ աշխատանքի համար աշխատողների 8, քանակը, որոնք օ աշխատանքը կկատարենպահանջվող է(6) ժամանակում 4.1 Աղյուսակ

ՏՎՏ.ՆՏ.ՆՏ.

16165666

165. ԼՏ

ԼԱԾ

անՏաԼԾՆ ԱԾՆ

ՏԱԼ ԼՏԱա

է(6)|6 |24124|3|2|16|1|3|412|613|2|Լ11|3|301117|1ԼլԼէ13 Խ|3|411|6|212|3|13|311|1612|12 111113

ՏԱՆ ԼՏ

ՆՇ20.16211.Շ22

|1612|3|31|6|6

(ա,բ) գծագրերում Հանտի դիագրամներըպատկերված են համապատասխանաբարվաղ ն ուշ պլանավորումներիդեպքերում նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպմանծրագրիհամար: Վաղ պլանավորմանդեպքում 3.2 աղյուսակից (տես ՛10(օ) ն ՛1լ(6»)սյուճակնճեր)հետնում է, որ, օրինակ, 39-41 ժամերին միաժամանակ կատարքանակըհավասար վում են 6լլ, Շլճ, օլ7 աշխատանքներըն աշխատանքների Ի 8(6լ Ւ 42(6յյ) 6Ւ3Է6 15 (տես աղյուսակ 4.1): Ուշ պլանաէ (6) ն Պ(ծ սյունյակներ) հեվորման դեպքում 4.2 աղյուսակից (տես (6) 4.1

տնում

է, որ, օրինակ, 69-րդ ժամին միաժամանակկատարվում են

6.լ,

6լ3,

աշխատանքներըն աշխատանքներիքանակը հավասար է Է Է 6Ւ2ՒԻԼՒ3Ւ6ՒԷ3-21 (տես Յ(Շղլ) 8(6:3) Յ(6ագ)Ի 8(6: Է 8(6լ) Ի 8(6լջ) հետնում է, որ վաղ պլանավորմանդեպաղյուսակ 4. Լ): 4.1 (ա, բ) գծագրից քում աշխատողներիառավելագույն քանակը հավասար է 15-ի, ուշ պլաճավորման դեպքում` 21-ի: Նույն ծրագիրը կարելի է կատարել 12 աշխատողներով, եթե ռչ կրիտիկականաշխատանքներից64, 64» 610, 612» 613» 614» 615» 6.6 65-ը կատարվեն վաղ պլանավորմանձնով, իսկ 64, 67, 6ջ, 6յլ, աշխատանքները` ուշ պլանավորմանձնով: Այս երրորդ պլանավորմանը համապատասխանողՀանտի դիագրամըպատկերված է 4.1(գ) գծագրում: Այս երեք դիագրամներումմուգ գույնով ճնշվածէ կրիտիկական աշխատանքներինհամապատասխանողաշխատողներիքանակը (երեքում էլ նույնն է): Ակնհայտ է, որ այս երեք դիագրամճներում նշված մակերեսներն իրար հավասար են (այն է՝ 485) ն ցույց են տալիս ծրագիրն ամբողջությամբ կատարելու համար անհրաժեշտ աշխատանքայինժամերի 5 քանակը՝ Շյգ» Շ16: 617, 19

1()-ճյ: իշ)

Ցուցահանդեսի կազմակերպմանխնդիրը լուծելիս առաջանում են նոր մոտեցումճեր, եթե ամեն մի աշխատանքի կատարման ժամանակի ն ռեսուրսների հետ միասինսահմանենք նան պահանջվողծախսը:

ՄԱՄԱ

էի

ՈԱ

Ռեսուրսների օրացուցային պլանավորումըն բաշխումը Արա

աաա

աաաարաաաաաաաաաաարարղոաարոյոտ

շՎ: ԱՆ-Ն

ԳԿ.մ 152022 242628

ԾԹ

Գ-Ի

ՐԻՆ"

2ԱԱԱԱԱԶԱԶ

ԱԱ

ԱԱԱԶԱԱԸԱԱԱԱԱԼԱՎԱՆԱԱԱԱՂ

ԱՂԱՑ

ԱԱԱԿԱԿԱՂ

ԱԳԱ

ՔԱ

ԱԼ

աա

Ղակ

ԱԳԱ

ՐԳ ԵՐՐ 58 60 62 64

Ֆ»

Իթ» 72 7475 Ր

Բ)

ԱՁԱԱԱԱՑԱԿԱ

ԱՆԱ ԱԱ ԱԱԱԱԱ ԱՂ

Աե

14Վ

0ՂՎ

«1

ծ.

Ը-Ն

ԻՐ

11220

24 24 26 28

-Յ-Ն-Ն

ԻՐԻ

16182022

"Դ-Ի

Բ-Ի 32 34

ԻՐԻ

«6

Դ-Ի ԱՐԻՒՆ

իր

Ի-ԿՎ-ՆԻԿ-Ի

«Հ

Տ8

).75

Գ)

ԻՐԱ

Տ8

Խ»-

-Ւթ»

)1)5

Գծ.4.1

Շրագրերիպլանավորումն կառավարում

Ե/Լ

Դիցուք՝ 4.2 աղյուսակում տրված են այդ ծրագրի 6. աշխատանքների համար սովորական կատարման((6յ) ժամանակները,8, ռեսուրսներըն «օ(գ) ծախսերը (դրամով), ինչպես նան արագ կատարման(սահմանային) 1(օ) ժամանակները, 81 ռեսուրսները ն օ(օյ) ծախսերը: Աղյուսակից հետնում է,

որ, օրինակ, օլ աշխատանքը սովորականումկատարվում է 3 հոգով 6 ժամում ն արժե 15000 դրամ, իսկ արագ այդ աշխատանքըկկատարվի9 հոգով

2 ժամում ն կարժենա 27000 դրամ: Աղյուսակում տվյալները պարզության համար վերցված են այնպես, ռր յուրաքանչյուր 6 աշխատանքի «ծավալը» մճա նույնը՝

(«"60:-է(6յ):81 ,

իսկ օ(օ5)-նհաշվարկված է հետնյալ բանաձնիմիջոցով` «(5) 20004 -- 500:2:1(6) 500-4-((6օ)-Ւ4): Վերջին բանաձնը կազմված է իրականությունից վերցված հետնյալ պայմանից՝յուրաքանչյուր աշխատողի հրավերքը արժե 2000 դրամ, ն նրա մեկ ժամըանկախաշխատանքիբնույթից գնահատվումէ 500 դրամ: Աղյուսակում աշխատանքների սովորական կատարման ժամանակճերն ու ռեսուրսները համընկնում են արդենդիտարկվածժամանակներիռւ Հ

ռեսուրսների հետ, իսկ67» 68, 61» սովորականն

արագ համընկնում են:

Շ15, ՇԼ8չ 620» Շ21» 622

աշխատանքների համար

կատարմանժամանակները,ռեսուրսներնու ծախսերը

Նախորդ բաժնում կատարած հաշվարկներիցհետնում է, ռր ստվորական կատարման տվյալների դեպքում ծրագիրը կարելի է կատարել 75 ժամում, ծախսելով 380500 դրամ: Այս ծրագիրը կարելի է կատարել ավելի շուտ, եթե փոքրացնենք

ստացված միակ կրիտիկական ուղու ռչ թվացյալ 61, 62, 66, 68» 617, 618 020, 621, Շշշ Աշխատանքների կատարման ժամանակները: Այս աշխատանքներից ընտրենք այն աշխատանքը,որի համարորոշված է ձօ Ճ.

«օ(-օԹ .4(Թ)-

թիվը: Աղյուսակից հետնում է, որ այս թիվը որոշված է 6լ, 6շ, 66, 67 աաշխատանքների համար ն նվազագույն արժեքը՝ 1000-ը ընդունում է 6շ-ի համար (վերցնում ենք նվազագույնը, որպեսզի ծրագրի կատարման ժամամճակի կրճատումը կատարենք ավելի էժան): Եթե ընտրված օչ աշխատանքի կա24 ժամից իջեցնենք մինչն 8 ժամ,ավելացնելովծախտարման ժամանմակը սը 16000 դրամով, ն կատարենք նոր հաշվարկները, ապա կտեսնենք, որ ամբողջ ծրագրիկատարմաննվազագույն ժամանակըկլինի 69 ժամ, 6 ժամ ավելի քիչ: Այս ուղղությամբ կարելի է շարունակել ն ավելի մանրամասն ուսումնասիրել նկարներիցուցահանդեսիկազմակերպմանխնդրի կատարման ժամկետիկրճատումը ռեսուրսների ն, հետնաբար, ծախսերի ավելացման դեպքում:

Ռեսուրսներիօրացուցայինպլանավորումըն բաշխումը

Այսպիսով, գործնականում ծրագրերի ցանցային պլանավորմանհամար դիտարկումեն ճան ավելի ընդհանրացվածխնդիրներ: Ենթադրենք,որ կամայական 6 աշխատանքիհամար տրվում են 4(6) ն Ծ(»), 4(65)Հ ք(»օ), թվերը, որոնք սահմանափակումեն 6 աշխատանքի կատարման(65) ժամանակը՝ 4(6) ՀՀ) Հ ՇԸ): Դիցուք` 6 աշխատանքիհամար նան տրվում է այդ աշխատանքի կատարման 6«(6)արժեքը (գինը), որը կախված է օ աշխատանքի կատարման ժամանակից (հիմնականումայդ արժեքը փոքրանում է կատարմանժամանակը մեծացնելիս): Այստեղից հետնում է, որ 6 աշխատանքի «(6) արժեքլ ամենամեծն է, եթե օ-ն կատարվում է 4(65) ժամանակում ն՝ ամենափոքյլը, 6-ն եթե կատարվումէ (6) ժամանակում: Աղյուսակ 4.2 Սովորականկատարում: Աշխատանք

1(6յ)

6յ 6լ Շշ

Արագ կատարում

«(6

16)

օ(օ)

ՃՇ

՛-

15000

27000

56000

72000

14000

24000

Շգ

21000

27000

Շ5

10000

Շճ

10000

18000

)

Շգ

10500

Շջ

12000

18000

2ն

6յլ

30000

42000

6յշ

15000

6յ1

10000

10500

102000

150000

16500

24500

15000

21000

Շգ

Շլ: 6լ6 Շլ

Շլչ Շլց Շ20 Շ22

22500

Ծրագրերիպլանավորումն (լառավարում

Ն/Լ

դեսլքերում գործնականում 6 աշխատանքի կատարման արժեքը վերցվումէ հետնյալ երկու բանաձներիցմեկի միջոցով՝ օ«(6) ո(օ) սօ) (Թ) կամ օ(2) 4(6)/(3), որտեղ ա(տ), ՆԹ) ն «օ)-ն օ աշխատանքի համար վերցված հաստատուն գործակիցներեն: Մենք կօգտագղրցենքայս բանաձներիցառաջինը: Ռրոշվում է նան ծրագրի կատարման արժեքը, որը հավասար կլինի ծրագրի բոլոր աշխատանքների արժեքների(գների) գումարին` Շատ

ԱԼ

26(6):

Այս տիպի խնդիրճերի շարքում կարնոր տեղ է գրավում հետնյալ խնդիրը.

Նվազագույն արժեք ունեցող ծրագրիկատարման պարամետրականխնդիր

Տրված 1, «Հ/Հ, թվի համար անհրաժեշտ է ծրագրիյուրաքանչյուր աշխատանքի համար գտնել այն (6), 4(6)ՀԱ((Շ)ՏՇ(օ-)կատարման ժամաճակը, որի դեպքում ծրագրի կատարման նվազագույն Ղ ժամկետը չի գերազանցում 7 թվից, իսկ ծրագրիարժեքըկլինի ճվազագույնը: Եթե 1, 1-0,...,ո, պատահույթիիրակաճացմաճժամամճակը նշանակենք (6), ապա այս խնդիրըկարող ենք ձնակերպելճան հետնյալ ձնով. Տրված են ծրագրիցաճցը, ն 4(6.),...,4(5ո), Ե(6ւ),...,(6ո), թվերը,որտեղ Հ/Հք: Աճորաժեշտէ գտնելայնպիսի 16), (5շ),...,(6ո), (0), Ա),...,ճ), թվեր, որ Գ(6) ՀՀ(6) ՀՇ(օ) Կօ-ի համար (Հ) Հ0)-:60 ՊԿօՀ(,))-ի համար ւ(()-4(0)Հ4 ուռ 5 Շ(շ)

Քանի ապա

ռր

«(6)»

Խաշ

-7()13))

Ֆա)

(213),

խնդիրըհավասարազորէ հետնյալին`

(6) Հ Շ(») -1(6) Հ -ձ(օ) 14Թ- 44)-102Հ0 է(ո) (0)54 -

ոճ

Ֆ-Մ(6)է(2)

ի համար ՄՇ-ի համար ՄՇ-

ԿօՀԱՈ)-իհամար

Ռեսուրսներիօրացուցային պլանավորումըն բաշխումը

Ստացված խնդիրը ներկայացնեճքմատրիցայինտեսքով`

Ե:

7ՃՀՇ եչ"

որտեղ 5-ը

Ե-նռետնյալ ոՀոֆՒ1-չափանիվեկտորներնեն

Շ -ն

1(շ)....06ռ),(0),(Ա).....«(ո)) ((աշ,

(ԽԹլ),(«(62),...,0(6ո),0.0.....0), հետնյալ 3-1 չափանի վեկտորն է՝ Շ -(Ս(6լ),օԸշ),....Զ(6ղ)-մ(51),-0(6շ),...,-Ձ(Շո),0,0.....0,1): ԵՀ

հետնյալ (ողո 1)»«(3ոոՒ1) չափանի մատրիցն է՝

Ճ -ն

|-1

լ0:-:0

01--0

| 00--1 ::

|0-1--

ԷՈ

|0 0».-լ

0| :

10.-.-0

01--0 :

00--1

ուլ

ԷՊ

«Հ.

ԻԼ

ող

ատամի

0-ն

(ոՒ1)չ«ո-չափանի զրոներիցկազմված մատրից է: Լեթեւ-06յ -ի սկզբնական պատանույթն է, Ճ-Ոո- 277 Լեթեյ-06յ -ի վերջնական պատակույթն է,

1-0,1,...,ո, յ-1.2,...,ո:

Ստացված խնդիրըգծային ծրագրման խնդիր է: Հայտնի է, որ գծային ծրագրման ստորն բերվող խնղիրճերը մեկը մյուսի երկակին են՝ ՃՏ6Շ ոո Ե)

Ճ.ՀԵ ոլո շ2

Տեղի ունի հետնյալ լեմը.

Լեմ.

Ա"

ՍՃՏՇ Եջ

ճՃճ-Ե

ոո

Շճ

խնդրի երկակին :

խնդիրն |:

Ն.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Ապացուցում. 7 վեկտորը ներկայացնենք 7-»՛-)՞՛ 7՛20,)՛»0:

ՍՃՀ6օ խնդիրը գրենք Ե)

ոք

Եթե դիտարկենք

տեսքով, որտեղ

7Ճ-74ՃՏՇ տեսքով: Ե երք |

Ճ-|2|մատրիցը 7-07)

Ե-ԹԺ,-ծ)վեկ-

տորները,ապա նույն խնդիրը կարող ենքգրել

ՖՃՀՇ տեսքով: ոոշ2 ԵՄ Վերջինիսերկակին է

520.

Ճշ ՀԵ լո օչ

Ճ4ՀԵ հավասարազորէ

ՃԵ

խնդիրը:

ն -Ճ:--Ե

կան խնդրի երկակին է

Ճշ «Ե ոլո Շչ

կամ Ճ-Ե:

Հետնաբար՝ սկզբնա-՛

խնդիրը:

Ուստի ն օգտվելովայս լեմից, ստանում ենք, որ ՛

Տոա5 ՃՀՇ Հ

ճդրի երկակին խնդրի երկակիէ

20.- խնդիրը խնդիրը,

4Ճճ-Ե

որտեղ 2-ը 3ոՒԼ-չափանի հետնյալ վեկտորնէ. Ճ (Ջ(6),...»9(6ո),ե(6.)...չե(6ո)16.),....86ո),"): Երկակի խնդիրը գրելով բացված տեսքով, ստանում ենք հետնյալ խնդիրը. Գտնել 8(6.),...Ք(6ո)» ե(6.),...,հ(6ռ), 15.),...,81(6ո) ն 7 այնպիսի ոչ բացասականթվեր, որ հ(6:) Ի 16.) (6) (61) Ք(6շ) հ(օշ) Ւ 1(6շ) Ն(շշ) .

9(6ո)

հ(Շո) Ւ է(Շո) Խ

«օՃ6)

1օ»-

Ֆ 1Ւ(2)յ»Վ

6680)

-Խ

(օո) եթելյ»-0

եթել»0ո, նթել»ո

ու(չ.2):6)-24(գ)ե()::4-).

ե բաշխումը Ռեսուրսներիօրացուցային պրասնավորումը

որտեղ ջ(6յ, հ(թ), 1-1,...,ռ, Ը) խնդրի առաջին երկու անհավասարումներով համապատասխանող երկակիխնդրի տրվալխմբերի սահմանափակումներին փոփոխականներնեն, 1(5)-ն երրորդ անհավասարումներովտրվող խմբի սահմանափակումներինհամապատասխանողերկակի փոփոխականներն են, ն Ն-ն՝ 1(ո)-(0)Ձ. անհավասարմանըհամապատասխամուղ երկակի փոփոխականնէ: Քանի որ Ք(6յ) հ(6յ)- է(5) (5), )-Լ....,ո, ապա համաձայն գծային ծրագրմանհավասարակշռությանթեռրեմի(տես |11ի 78 էջ) երկակի խնդրի համար գոյություն ունի այճպիսի լուծում, որ ջ(օ) ն հ(օչ) թվերից մեկր հավասար կլինի 0-ի: Այստեղից հետնում է, որ Ք(6) ոո» (0, 76) (6) հ(օ) ոա (0: մօ) «(6)): Հետնաբարերկակի խնդիրըկարելի է ձենակերպել հետեյալ կերպ. Գտնել 1(6.),1(Շշ),...,((Շո) ն 7 այնպիսի ոչ բացասական թվեր, որ մինիՄսցվի -

չ 26)

ո22(0:7(6,) Է(6.))-

-Խ(6յ)) 2Խ Ի4(օյյտու(0:106.) Է

գումարը:

(5) փոփոխականըներկայացնենք 16) (Տ) Է Ե(6) -

տեսքով, ռրտեղ

հ(6.)20,Շ(օ)20 ն հ(Շ)ՏՆ6), Զ(6յ)Հ«5:

Այդ դեպքում Ո(6)-ի գործակիցը գումարի մեջ կլինի ք(օյ)-ն, իսկ Շ(6)-ի գործակիցը -4(6): Եվ մինիմացվողգումարը կարող ենք գրել

զգայ) չք(4,4(6,)Զ6յո6/))»1

տեսքով:

յ"

Եթե դիտարկենքԿե(օյ)ե (6), Խ(6յ)) եթեւՀ1 .(6)եթեւ-2

Բ-12, )-Ն...,ո,

ճ.(6)

թվերը, որւտեղ

ք(6:) -

եթ (օյ) եթեւ-1 (օյ) եթեւՀ-2 թռ

մինիմացվող գումարի մեջ դեն խետելով հաստատուն անդամները, երկակի խնդիրըկարող ենք ներկպյացնճել հետնյալ տեսքով. ն « այնպիսի ռչ բացասական 1,2, )-1,...,տ Գտնել այնպիսի 1(6յ), Էէթվեր, որ ապա

Խ(5) Հ Նե(6:), Է՞1,2,)-1,...,ռ ուո(4"

- Ֆ.Խ4ւ(օյ)ն.(6լ)): «1յ-1 է

7/1

Ծրագրերի պլանավորումն կառավարում

Եթե ծրագրի ցանցի յուլւլաքանչյուր 6 աշխատանքին համապատասխան պաքը կրկնապատկենք(տե'ս գծ. 4.2), որից հետո մեկի համար սահմանենք թռղունակությունը,որը հավասար է 5(6)-ի, ն արժեքը, որը հավասար է Ծ(օ)-ի, իսկ մյուսի համար` թուլունակությունըն 4(»5)արժեքը, ապա երկակիխնդիրըայս նոր ցանցում հոսքային խնդիր է: օօ

ԱԶԱՂՇ)

Օօ օօ,

Գ(6)

Գծ. 4.2

Ստացված հոսքային խնդրի համար կարու ենք կիրառել Ֆալկերսոնի ալգորիթմը նե ստացված արդյունքների միջոցով ստանալ նվազագույն արժեք ունեցող ծրագրի կատարմանպարամետրականխնդրի լուծումը (տե'ս.

5,111)»: 5.

Տվյալների հավանականային բաշխումով ցանցերի միջոցովպլանավորմանխնդիրները

Մինչն այժմ մենք դիտարկում էինք այնպիսի ծրագրեր, որոնց աշխատանքների համար ենթադրվումէր, ռր տրված է դրանցկատարմանճշգրիտ ժամանակները:Սակայն այդ ենթադրությունըգործնականումքիչ է հանդիպում, քանի որ ցանցային պլանավորման եղանակը օգտագործվում է այնպիսի ճոր ն բարդ մշակումների պլանավորմանհամար, որոնց աշխատանքների կատարման ժամկետճերը նախապես հայտնի չեն ն կարող են հավասարվելմի շարք արժեքներիցմեկին: Այսպիսով՝ յուրաքանչյուր 6 աշխատանքի կատարմանժամանակը պատահականմեծություն է, որը բնութագրվում է իր բաշխման օրենքով ն հետնաբար, թվային բնութագրիչներով՝ միջին արժեքով կամ մաթեմատիկականսպասելիով (այդ արժեքը նշանակենք (6) -ով) ն ցրվածքով (այդ արժեքը նշանակենք«(6)-ով): Վիճակագրականտվյալների հետազոտումըցույց է տվել, որ տարբեր տիպի աշխատանքներիտնողություններիհամար կարելի է կիրառել մաթեմատիկական վիճակագրությանբնագավառումհայտնի 8-բաշխումը: Հետազոտվող ծրագրի համար գործնականում յուրաքանչյուր6 աշկատարման ժամանակի համար տրվում են հետնյալ երեք թվեխատանքի ըը, որոնք որոշվում են ծրագրի կատարմանպատասխանատուներին փորձագետներիհարցումներիհիման վրա: ա) Կ((6)՝ լավատեսականգնահատական, որը ցույց է տալիս Շ աշխատանքի կատարման նվազագույն ժամանակը,.որը կստացվի Հ աշխատանքի կատարմանբարենպաստպայմաններիդեպքում:

ճ.

Տվյալների հավանականբաշխումով ցանցերիմիջոցովպլանավորմանխնդիրները

բ) Ե(6)` հոռետեսական գնահատական,որը ցույց է տալըս տանքի կատարման առավելագույն ժամանակը, որը կստացվի տանքիկատարման անբարենպաստպայմաններիդեպքում: գ) ւ՛(6-)` հավանական գնահատականը, որը ցույց է տալիս

աշխաաշխա-

աշխա-

տանքի կատարման միջին ժամանակր, որը կստացվի Շ աշխատանքիկատարմանսովորականպայմանների դեպքում: Յուրաքանչյուր 6 աշխատանքի կատարմանժամանակի Ց բաշխման ենթադրությունը հնարավորություն է տալիս Լ(օ) -ի ն Զ(5)-իհամար ստանալ հետնյալ թվային գնահատականնելը՝ կ(6)Հ 4:(օ)3 Ն)

1(6)

ՀՈՐ

«()Նշենք,

Ր"

Եա | ա

սռվռորաբար մասնագետներիհամար բավականին դժվար է տալ աշլսատանքի հավանական գնահատականը, ն այդ դեպքում է) -ն ստանալու համար օգտվում են ավելի պարզեցված ն ոչ այնքան ճշգրիտ հետնյալ գնահատականից,ոիլ հիմնվում է միայն լավատեսական ն հոռետեսականգնահատականներիվրա՝ որ

Աաաա:

Այսպիսով, յուրաքանչյուր 6 աշխատանքի համար հաշվում են այդ աշխատանքիկատարմանժամանակիմաթեմատիկականսպասելին` ((6) -ն, ցրվածքը՝ 2-(օ)-ն: Որոշ դեպքերում անհաժեշտ է լինում գտնել սկզբնակւսն պւստահույթից դուրս եկող Լ, ուղու աշխատանքների կատարման ժամանակի միջին արժեքը կամ մաթեմատիկականսպասելին ն ցրվածքը: Աշլսատանքներիիբավականին մեծ քանակությունների դեպքում կարող ենք օգտվել հավանականության տեսության կննտլաււնականսահմանային թելւեմից, դրից հետնում է, ոլ 1. ուղու աշխատանքների կատարման ժամանակի միջին է(.) արժեքը ն (Լ) ցրվածքը հավասար կլինեն այդ ուղու աշլսատաճնքների միջին արժեքնելւի ն ցրվածքների գումարին` ն

1(.)-

ՏԱՑ) ն(Լ)-

ՖՐ):

Նշենք, որ եթե աշխատանքների կատարման ժամանակի նամար վերցնենք միջին արժեքները ն կատարենք նախորդ բաժիններում նկարագրված ժամանակի հետ կապված հաշվարկները, ապա ստւսցված կրիտիկական ուղու երկարությունը նույնպես հավասար կլինի ուղու աշխատանքներիկատարման ժամանակիմիջին արժեքին: Ցանցային պլանավորման տվյալների հավանականային բաշխման

Ե.

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

ուղղության համար հիմնականումդիտարկվումէ հետնյալ խնդիրը:Յուրաքանչյուր պատահույթի համար պատասխամճատու ամձի կողմից սահմանէ վում այդ պատահույթի իրականացմանցանկալի վերջնականժամկետը ն, օգտվելով աշխատանքի համար որոշվող (6) ն 26) գճահատականներից, ուղու (Լ) ն (Լ) արժեքներից,կատարվումէ հաշվարկ, որի արդյունքում ստացվում է սահմանված ժամկետում պատահույթի իրականացման հավանականայինգնահատականը(տե'ս|4,5|): 6.

Ստուգողականհարցեր

Որոշեք, թե հետնյալ պնդումներիցորն է ճիշտ ն որը՝ սխալ: 1. 2.

Կամայականթվացյալ աշխատանքիտնողությունըհավասար է 0-ի: Կամայական թվացյալ աշխատանքի ռեսուրսը հավասաը 0-ի: է Կամայական ոչ թվացյալ աշխատանքի կատարման ժամանակը0-ից մեծ է:

Կամայականոչ թվացյալ աշխատանքիռեսուրսը0-ից մեծ է: Գոյություն ունի աշխատանքներիծրագրի ցանց, որը պարունակումէ կողմնորոշվածցիկլ: 6. Գոյություն ունի ցանց, որի համար 2-րդ բաժնում նկարագրվածաշխատանքներիխոշորացումիցհետո ստանում ենք մեկ աշխատանք: 7. Գոյություն ունի ցանց, որի համար 2-րդ բաժնում նկարագրվածաշխատանքներիխոշորացումիցհետո ստանում ենք երկու աշխատանք: 8. Գոյություն ունի ցանց, որը չի պարունակումթվացյալ աշխատանք: 9. Եթե օլ 8(6շ), ապա օչ աշխատանքըպետք է սկսվի անմիջապես 6լ-ի ավարտիցհետո: 10. Եթե 6լ6 8(6շ), ապա 66 Ճ(6.): 11. Եթե 6լ6 8(6շ) ն Շշ6 8(63), սպա 6յ6 8(6:): 12. Եթե 6յճ. Ճ(6շ), ապա 6չ աշխատանքը պետք է ավարտվածլինի 6լ աշխատանքի սկզբից անմիջապեսառաջ: 13. Եթե օլ աշխատանքի ավարտից անմիջապեսհետո սկսվումէ 6Շշաշխատանքը, ապա 626 Ճ(6լ): 14. Եթե ծրագրի բոլոր աշխատանքները կատարում է մեկ աշխատող, ապա ծրագրի ավարտմանամենաշուտ ժամկետը հավասար է բոլոր աշխատանքներիկատարմանժամանակներիգումարին: 15. Գոյություն ունի այնպիսի ծրագիր, որի բոլոր աշխատանքներըկրիտիկական են: 16. Գոյություն ունի այնպիսի ծրագիր, որի մեկ աշխատանքնէ կրիտիկա4.

կան:

17.

Ստուգողականհարցեր

2-րդ բաժնում նկարագրված պատահույթներիվերահամարակալումից

հետո, եթե 1Հյ, ապա ւ պատահույթը պետք է կատարվի ավելի շուտ քան

) պատահույթը: Ցանցի կրիտիկականուղու բոլոր աշխատանքներիկատարման ժամաճակներիգումարըհավասար է 1-ի: լ9. Ցանցի բոլոր կրիտիկական աշխատանքների կատարման ժամաճակների գումարըհավասաը է 1-ի: 20. Ցանցը կարող է ունենալ մեկից ավելի կրիտիկականուղիներ: 21. Կրիտիկական ուղիների երկարություններըկարող են լինել տարբեր: 22. Կրիտիկականուղին կարող է պարունակելթվացյալ աշխատանք: 23. Եթե ուղին անցնում է կրիտիկականաշխատանքով,ապա այն կրիտիկական է: 24. Կրիտիկական տարբեր ուղիներ կարող են ունենալ ընդհանուր աշխատանք: 25. Կամայական ցանցի կամայական կրիտիկական աշխատանքի կատարման ժամանակը փոքրացնելովփոքրանում է ծրագրի կատարման նվազագույնժամկետը: 26. Եթե սսկզբնականպատահույթից վերջնականպատահույթը միացնող կամայականուղի անցնում է 6 աշխատանքով,ապա 6 աշխատանքը լԼ8.

27. 28. 29.

30. 31.

32. 33.

34.

կրիտիկականէ: Կրիտիկականաշխատանքիժամանակիլրիվ պահուստըհավասար է 0-ի: Եթե աշխատանքի ժամանակի լրիվ պահուստը հավասար է 0-ի, ապա այդ աշխատանքը կրիտիկականէ: Եթե պատահույթի ժամանակի պահուստը հավասաը է 0-ի, ապա այդ պատակույթը պատկանումէ կրիտիկկանուղուն: Եթե պատահութ պատկանում է կրիտիկկան ուղուն, ապա նրա ժամանակի պահուստը հավասարէ 0-ի: Եթե ուղու ժամանակի պահուստը հավասար է 0-ի, ապա այն կրիտիկական է: Եթե ուղին կրիտիկական է, ապա նրա ժամանակի պահուստը հավասարէ 0-ի: Կամայական ցանցում գոյություն ունի աշխատանբ, որի համար ժամանակի լրիվ, մասնավոր, ազատ ն անկախ պահուստներն իրար հավասար են:

Կամայական աշխատանքի ժամանակի ազատ պահուստը չի գելւազանցում լրիվ պահուստից: 35. Աշխատանքի ժամանակի անկախ պահուստը կարող է լինել բացասական: Նշված պնդումներիցսխալ պնդումների համարձերն են` 4,5,7,9,| է,12, 13, 9,21,23.25:

Ե//Է

Ծրագրերիպլանավորումն կառավարում

Գրականություն ՅՕ8ոտոն

Ը. 1. Քորզաւ 1. Ճ. ԽԱՅՈԵԽՈՂԼՎՇՇԵՍՇ

ԽՇՂԾրԵԼ

քՕ88չում. -Խ/Լ: Է1Լշուճ,1965. օԱՇՈՇԵռ ԽՈւղոօքՔ. 8. ԱԷՔ՛1 -

1965.

10:ռ5 860151 Շոու ՒԿՇՇ5ՔՇ

Փօքր 1.1..Փոուծքօօր 7111. 10 ԼօՕդծճուօ Լ. Լ աւ.

-ԽԼ:

ԷԼռ,

116ք օ ճոող./-Ի1.:Ի/1ոք,

օօ.

ՇՇՂԵՑՕՐԾ

Ր. ԸՇՂԵՑԵԼՇ ոլօ1ԾՈԵԼ

11քօքօօօ, 1968.

1166610828 86ՕոՇքու ու

մ 1.2. ԽԼօԾրծյու

ԽՈւք,1581

Փոռոած մն. Լ8քօտ2-ԼԱոոօ Ճ..

Հողա '1610/51

ՂՅՀ8 2. Թոշոծշճքծ8 1ՇՇՈՇՈՕԲՅՒԽՇ 1985. 10. 21Շ6ոծրօեճոած օոօքոոյու8 997. 1ՕԷԱՈ18.,

11.

ՈղւոմքՕ884018

ոոճքաքօոճտն

ոշ

7ոքոճտղօ-

ոքտո(օէՇԱԱՏ.

ճուռ./ 11օրքօր.

ՇԵ:

քնա.

օՀԴԵԼԼ/116ք օ ճու

օոօքուուն1.2.

Չ:ՕԷՕԵԱՂՆՇ.

ոքոՇոծա.116ք.

-ԽԼ: հ աք, 1981. հ1օրրօքճ1Աչո.,ՉԽՈՀՀՐքՉ6ո. ԽՈխաւճ 3. 'ՃԽաօքտոմեւ օողոնւՅշԱտ մ Աճ

-ի/.:

ոդում-

Յուղ./ -ԽԼ:Թ.:օոօխաաՁ,

1968.

ԽօՓոնն/.., 1Շ68361 -Խ/Լ.:

116ք. 6

ոքճտռծումճ.

ՇՇՂԵՑՕՐՕ

/116ք աու/ օ

116ք

ճուղ./

-ԽԼ:Ի/Թթ,1984. -ԽԼ.:

ԷԲ,

-Ի/.: /11օոքօր. ԷԼԱԼԽՃքԵԽօթմ/

Սանակյան Մ.Ա. ն ուրիշներ: Տնտեսության վերլուծությանմաթեմատիգիտուկական եղանակներ./Գործույթներիհետազոտում.Կառավարման թյուն/ Սաս 1, ԷԿԱԳՄԱՀԲ, Երնան, 1997: Գողոտօո Մ/.Լ.,ՃլեռջիւՏ.Ը.Քոոօն621 հ/ճոճջօոոծու ՏՇԼՇոօծ.0աւծս»/ 3րօտՏ, 19977.

առա.

որՐ

Թ.

ՊԱՇԱՐՆԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ԿԱՌԱՎԱՐՄԱՆ

աղատել, սակայն տնտեսվածմնալ... Գրիգոր Նարեկացի Մատյան ողբերգության,բան Բ,Բ, Ե.1979:

Մուտք Պաշարների կառավարմանխնդիրներն առաջանում են, երբ աճհրաժեշտ է լինում ստեղծել նյութական ռեսուրսների կամ սպառմանապրանքների պաշարներ, նպատակ ունենալով տվյալ ժամաճնակահատվածումբավարարել արտադրության ն բնակչության պահանջարկը: Գործույթների հետազոտմանտեսության մեջ դրանց առանձնահատուկ տեղ է հատկացվում,որովհետն պաշարներիկառավարմանլավագույն վարվելակերպի ժամանակին կատարված ընտրությունը հնարավորություն է տալիս ազատել զգալի քանակությամբ շրջանառու միջոցներ, ինչն ի վերջո

նպաստումէ ռեսուրսներիարդյունավետօգտագործմանը: Պաշարներիկուտակումըհանգեցնում է որոշակի ծախսերի,որովհետն անհրաժեշտ է լինում դրանց պահպանությանը հատկացնել տարածքներ, ստեղծել որոշակի պայմաններ, պահել համապատասխանաշխատակազմ ն այլն: Այդ տեսանկյունից բնական է ենթադրել, որ ամեն մի ձեռնարկության նպատակն է ունենալ ըստ հնարավորին նվազագույն մակարդակով պաշարներ: Այնուամենայնիվ, պետք է հաշվի առնել նան այն հանգամանքը, որ պահանջարկը մեծ մասամբ լինում է անորոշ, ն այդ պատճառով որքանքիչ է լինում պաշարների մակարդակը,այնքան հաճախ է առաջանում պատվերներ կատարելու կարիքը, ն, որպես հետնանք, մեծանում է արտադրանքի պակասի առաջացման հավանականությունը: Այս կամ այն արտաղրանքի պակասի առկայությունը որոշակի կորուստների աղբյուր է դառնում ցանկացած ձեռնարկության համար, ինչպես արտադրության ոլորտում, այնպես էլ հաճախորդներկորցնելու առումով: Այսպիսով, պաշարի չափր ն պատվիրման պահր որոշվում են համապատասխան ընդհանուր ծախսերի ֆունկցիայի նվազագույն արժեքով, ներառյալ այն ծախսերը, որոնք պայմանավորված են ավելցուկային պաշարով ե պակասիհետ կապված կորուստներով: Պաշարների կառավարման խնդիրներում օգտագործվում են բազմազան մաթեմատիկականգործիքներ. ինչպես դասական՝դիֆերենցիալ հաշվի ն Լագրանժի բազմապատիկներիեղանակը, այնպես էլ ժամանակակից օպտիմացման եղամակներ՝գծային ն ոչ գծային, դինամիկ ծրագրման, հերթերի տեսության, որոշումների ընդունման, նմանակման ե այլն:

/1.

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Հիմնական հասկացություններ ն պաշարների կառավարմանմոդելներիտեսակներ

1.1

Պաշարների կառավարմանխնդիրներ

Պաշարների կառավարմանմոդելներիընդգրկումըբավականին լայն է՝ սկսած դետերմինային՝այս կամ այն ճշտությամբ կանխատեսելիհամակարգերի մոդելներից մինչն բարդ մոդելներ, որոնցում հաշվի է առնվում պատվերի մատակարարմանժամկետներիկամ պահանջարկի անորոշությունը: Պաշարների կառավարմանամեն մի մոդելի լուծումը ի վերջո պետք է պատասխանի հետնյալ երկու հարցերին ա) ինչ՞ քանակությամբարտադրանք (ապրանք) պաշարել ն բ) երբ"պատվիրել: Առաջին հարցի պատասխանը տրվում է պատվերի ծավալի միջոցով, որը կարողէ ժամանակի ընթացքումփոփոխվել` կախված իրավիճակից: Երկրորդհարցի պատասխանըկախված է պաշարներիկառավարման համակարգի ձնից: Եթե համակարգը ենթադրում է պաշարի վիճակի պարբերական վերահսկում հավասար ժամանակահատվածներում (օրինակ՝ շաբաթը մեկ, ամիսը մեկ ն այլն), ապա նոր պատվերիպահը սովորաբար համընկնում է յռւրաքանչյուր ժամանակահատվածի սկզբի հետ: Իսկ եթե է համակարգումնախատեսվում պաշարի վիճակի անընդհատվերահսկում, ապա պատվերի տրման պահը որոշվում է պաշարիառկա մակարդակով: Պատվերիծավալը ն պատվիրմանպահը որոշվում եմ՝ ելնելռվ պաշարների կառավարման համակարգի նվազագույն գումարային ծախսումների պայմանից: ՝

Պաշարների

Պատվերի

կառավարման Ձեռքբերման -

համակարգիծախսեր

ծախսումներ

| ձնակերպման | ս ր ծախսե

Կորուստներ Պահպանման ՛

ծախսեր

պակասուրդ

Ձեռքբերման ծախսերը կարնոր գործոն են դառնում, երբ միավոր արտադրանքիգինը կախված է լինում պատվերի ծավալից: Դա պայմանավորված է որանով, որ, երբ պատվերի ծավալը մեծանում է, ապա միավոր արտադրանքիգնի որոշակի զեղչ է արվում: ծախսեր են ն Պատվերների ձնակերպման ծախսերը հաստատուն են պատվերների տրման հաճախությունից, իսկ պահպանության կախված փոփոխունծախսերը աճում են պաշարի մակարդակըբարձրանալուց: Վերջապես, պակասուրդի առաջացող կորուստները անհրաժեշտ արտադրանքիպաշարի բացակայությամբպայմանավորվածծախսերնեն: 1-ին գծանկարում պատկերված են գումարային ծախսերի կորը ն վերոհիշյալ չորս բաղադրիչներիկախումներըպաշարի մակարդակից,որտեղ՝

ն պաշարներիկառավարման մոլելների տեսակներ Հիմնականհասկացություններ

2. 3.

4. 5.

գին (Ծախսեր) Պատվերների ձեակերպմանծախսեր Պահպանությանծախսեր Տուգանքներիհետ կապվածկորուստներ: Գումարա ծախսեր Գնման

--փի-

»-

գԳՓ

Հարկ է նշել, որ պաշարների կառավարմանմոդելի մեջ պարտադիր չէ բոլոր չորս ծախսերի ներառումը, մանավանդ, երբ դրանք աննշան գումար են կազմում: Բացի դրանից, որոշ դեպքերում բոլոր ծախսերի ներառումը չափազանցբարդացնումէ գումարայինծախսերիֆունկցիայի տեսքյլ: Պաշարներիկառավարման՝վերնում բերված խնդրինկարագրությունը բավականին պարզ է, ն հարց է առաջանում, թե ինչո՞վ է բացատրվում այդ դասի խնդիրների ն դրանց լուծման եղանակների բազմազանությունը: Այդ հարցի պատասխանըպայմանավորված է միայն պահանջարկի բնույթից. որը կարող է լիճել դետերմինայինկամ ռավանականային: Ստատիկ

Ղետերմինային

| ղարզազույն | | մոդելներ շ պարանը

Պահանջարկ Հավանականային

Ստագիոնար

չրարդ մողելներ յ

)

հաաաաաաաաաակայթ

Ոշ ատացիոնար

Գծ.2

2-րդ գծանկարում բերված է պահանջարկի այն կառուցվածքը, որ ընդունված է պաշարներիկառավարմանտեսության մեջ: Այսպես, դետելւմինային պահանջարկը կարող է ստատիկ լինել այն իմաստով, որ սպառման հաճախությունը ժամանակի ըճթացթում մնում Էէանփոփոխ, կամ էլ դիճամիկ,երբ պահանջարկը ստույգ հայտնի է, բայց փոփոխվում է ժամանակից կախված:

/Ճ.

Պաշարների կառավարմանտեսություն

Պատահական պահանջարկը կարուլ է լինել ստացիռնար (կայուն). երբ պահանջարկիհավանականության խտության ֆունկցիան ժամանակի ննթացքում անփոփոխ է, ն ոչ ստացիոնար, երբ այն փոփոխուն է: Ստատիկ պահանջարկը գործնականում հազվադեպ է հանդիսյւմ, ն այն կարելի է ւլիտարկելորպես պարզագույն դեպք: Օրինակ, թեպետնհացի պահանջարկը օրեցօլ, կարող է փոփոխվել, բայց այդ փոփոխությունները կարող են լինել այնքան աննշան, որ դրանց ստատիկ լինելու ենթադրությունը էապես չի աղավաղում իրականությունը: Պաշարների կառավարման ամեն մի համակարգումպաշարների մակարդակը փոփոխվում է պարբերաբար, ընդ որում՝ մակարդակի նվազումը որոշվում է պահանջարկի բնույթից: Պաշարը լրացնելու նպատակով ժամանակի որոշակի պահին տրվում է նոր պատվեր: Որոշ ժամաճակ անց, որն անվանվում է մատակարարմանժամամակ, պատվերը կբավարարվի, իսկ մակարդակը կբարձրանա:Դրանից հետո սկսվում է պաշարների կազմավորման նոր պարբերաշրջան: (Տե՛ս գծ. 3): Պատվերի մակարդակը Հերթական պատվերի ծավալր

Պատվերի

ինեիի ե

կետը

ման ս

Մատակարարման

ժամանակը

Պաշարի

բացակայություն Գծ.3

Լ.2

Օգտագործելինշանակումներ

պատվերիծավալը պատվերիայն ծավալը, որ տրվում է 1-րդմիջակայքի սկզբում զօ պատվերիլավագույն ծավալը Լ -պահանջարկը որոշակի ժամանակահատվածում դ -1-րդ միջակայքի պահանջարկը Տ. պաշարի մակարդակը 1-րդմիջակայքի սկզբում Տ պաշարիմակարդակը1-րդմիջակայքի վերջում՝ Տ-Տչ-ղ ն Տլ-Տ-ւՒզ Տօ պաշարի լավագույն մակարդակը է ժամանակի միջակայք Ե -երկու հաջորդական պատվերների միջն ընկած ժամանակի միջակայքը եջ պատվերներիմիջն ընկած լավագույն ժամանակիմիջակայքը զ

Դետերմինայինմոդելներ

-այն ժամանակահատվածը,որի համար որոշվում է լավագույն վարվելակերպը Զ -լրիվ պահանջարկը 1 ժամանակահատվածում Շլ -միավոն արտադրանք պահպանման ծախսերը միավոր ժամանակաշրջանում Շշ տուգանքի (տույժի) չափը (մեծությունը) միավոր արտադրանքի պակասուրդիդեպքում ԸՇչ պատվերի կատարման հետ կապված ծախսերը (գնման ն արտադրությանդեպքում) Օ -սպասվելիք գումարային ծախսերը Օօ սպասվելիք գումարային ծախսերի նվազագույն չափը 5(ո) հավանականությունը,որ պահանջարկը կկազմի ք միավոր արտադրանք 1(ո)- ւ պատահական մեծության հավանականությանխտությունը Ւ() պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան 5(ՐՀՏ) հավանականություն, ռր պահանջարկը չի գերազանցի Տ մաԼ

Ւ(Տ)

Տ Հ

կարդակը

հավանականություն,որ պահանջարկըչի գերազանցիՏ |8(ո)մտ

մակարդակը: 2.

Դետերմինայինմոդելներ

Չափազանց դժվար է ստեղծել պաշարների կառավարման մի այնպիսի ընդհանուր մոդել, որտեղ հաշվի առնված լինեն գործնականում դիտարկվող պայմանների բոլոր տարատեսակները: Նույնիսկ եթե դա իրականացվեր, ապա դժվար թե այդ մոդելը վերլուծորեն լուծելի լիներ: Ստորն ներկայացվողմոդելներից հինգը մենարտադրանքայինեն, իսկ մեկում հաշվի է առնվում մի քանի «մրցող» արտադրատեսակներիազդեցությունը: Մոդելների հիմնական տարբերությունը կախված Է պահանջարկի բնույթից (ստատիկ կամ դինամիկլինելուց):

Մոդելների հետազոտման համար օգտագործվում են մաթեմատիկական վերլուծությունիցհայտնի դասական, ինչպես նան գծային, ոչ գծային ն դինամիկծրագրման եղամակներ: 2.1

Մենարտադրանքային ստատիկ մոդել պակասուրդի բացակայությանդեպքում

Դիցուք՝ մի ձեռնարկատերպարտավորվել է իր հաճալսորղին ՛Ի ժամանակահատվածումմատակարարելհավասարաչափբաշխված 1 քանակությամբ որոշակի արտադրանքորի պակասուրդը բացառվում Է:

14.

Պաշարներիկառավարման տեսություն

Այսինքն` չբավարարված պահանջարկի դեպքում տուգանքը անվերջորեն մեծ է (Ըշ-»»5): Արտադրությանփոփոխունծախսերըկախված են` Շլ միավորարտադրանքիպահպանությանն Շչ արտադրանքիմիավորխմբաքանակիթողարկմանծախսերից: Ձեռնարկատերըպետք է որոշի խմբաքանակներիթողարկմանհաճախությունը ն յուրաքանչյուր խմբաքանակիծավալը: Նկարագրված իրավիճակը պատկերվածէ 4-րդ գծանկարում: -

Դիցուք` զ-ն արտադրանքիխմբաքանակի ծավալն է, Է-ը երկու հաջորդական խմբաքանակներիթողարկման միջն ընկած ժամանակահատվածը Է-ը՝ լրիվ պահանջարկնէ նախատեսված՛Լ ժամանակահատվածում: Պաշարի մակարդակը

Էլ

Լ.

Մատակարարման ժամանակահատվածը

Պատվերի

ստացման

պահը

Ժամանակ

Գծ.4

Այդ դեպքում Ճ/զ-ն ցույց կտա արտադրանքիխմբերի թիվը 7 ճակահատվածում,իսկ -՞.---Հ-

ժամա-

ՂզԽ: զ/

Բր

Եթե է միջակայքն սկսվում է պահեստում զ քանակությամբ արտադրանքի առկայությամբ ն ավարտվում պաշարի բացակայությամբ, ապա զ/2-ը կլինի միջին պաշարը ձե ժամանակահատվածում, իսկ (գ/2)Շլե-ը կկազմի պահպանությանծախսերը այդ միջակայքում: Այսպիսով, պաշարների ստեղծման ընդհանուր ծախսերը (է, ժամանակահատվածումհավասար կլինեն՝ Շյե:գ/2-ԷՇչ-ի,որտեղ Շչ-ը արտադրական ծախսերն են: Ղ ժամանակահատվածում լրիվ ծախսերը որոշելու համար ընդհանուր ծախսերըպետք է բազմապատկելարտադրանքիխմբերիթվով՝ է ՇչՆզ: ԳՀ(Ըյե գզ/2ՀԸՇյ)Նզ ԸՇլ՛Է՛զ/2 Պարզ է, որ արտադրանքիխմբաքանակիծավալը մեծացնելիսընդհանուր ծախսերի առաջին գումարելին աճում է, իսկ երկրորդը` նվազում:. Պաշարների կառավարման բերված խնդրի լուծումն այն է, որ պետք է որոշել խմբաքանակի լավագույն չափը` զօ-ն, երբ ընդհանուր ծախսերը ճվազագույնն են: Այդ չափի որոշումը պատկերվածէ 5-րդ գծանկարում: Հ

Դետերմինայինմոդելներ

Գծ.5-

Որոշենք Օ ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը՝ զրոյի հավասարեցնելով նրա ածանցյալը ըստ զ-ի՝

«Չ զ

ՕՔ

զ՛

որտեղիցկստանանքՈւիլսոնի հայտնի բանաձնը՝ զ0-

Վ2ՔԸ,/1Ըլ

հնարավոր ՇԸ, ա-ՀՑԵ-7 ՕՐ ՂԸ, Փ-Հ:ՐգոՀ

Այժմ

որոշել 1-0

Օ.1.1)

Օյ-ն՝

Օ.12)

--«2ՔԸ

թր

են

ԻԸ,Ք/2ՔԸ./ՂԸ, -

ՎՉՔՂԸ,Ը,

(2.1.3)

Օրինակ Ձեռնարկատերըպետք է մեկ տարում պատվիրատուինմատակարարի24000 միավորարտադրանք:Ընդ որում` մատակարարումը,ըստ պայմանագրի,պետք է կատարվիյուրաքանչյուր օր: Միավոր արտադրանքի պահպանման ծախսերը մեկ ամսում կազմում են 0.1, իսկ միավոր խմբաքառակի արտադրականծախսերը՝350 պայմանականդրամ միավոր (պղմ): Անհրաժեշտ է որոշել խմբաքանակի զ լավագույն չափր, լավագույն Էզ ժամանակահատվածըն հաշվարկել սպասվելիքտարեկան ընդհանուր ծախսերի նվազագույն Օյ, արժեքը: Լուծում: Տվյալ դեպքում` Ղ-12 ամիս, Ք-24000 միավոր, Ըյ- 0,լպդմ ե Շշ-350 պդմ: Հետնաբար՝ 1:

2 «24000350 Հս--------12:01

Փ-Վ

միավոր, - 3140 հավոլ

2-12-:350 աՅ.վվ--------Կ"

»"Խ87ամիս| Հ 22900:61

Օ.-

12:0,1-350 Վ2-24000-

8,Լշաբաթ. փախա

պդմ:

Լ. Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Օրինակ 2: Ձեռնարկության որոշակի արտադրատեսակի պահանջարկը, որը արտադրությանընթացքոմծախսվում է անընդհատն հավասարաչափ, կազմում է տարեկան 120000 միավոր: Պատվերըտրվում է տարին մեկ անգամ, իսկ մատակարարումըկատարվումէ միննույն ծավալի խմբաքանակներով, որոնց պահպանմանծախսերըկազմում են օրեկան 0,35 պղմ, իսկ ամբողջ խմբաքանակի մատակարարումը՝10000 պդմ: Պահանջարկի բացակայության պատճառով արտադրանքիթողարկման հապաղումըանթույլատրելի է: Պահանջվում է` լ. Որոշել արտադրանքիխմբաքանակիառավել արդյունավետծավալը ն մատակարարումների միջն ընկնողլավագույնժամանակահատվածը: 2. Պաշարի հետ կապված ծախսերը նվազագույն ծախսերի համեմատ քանի՞տոկոսով կավելանան, եթե արտադրանքիխմբաքանակի ծավալը կազմի 5000 միավոր: 3. Պատասխաններ՝4335 միավոր, 13 օր: 1,2 72-- ով: 2.2

Արտադրանքիխմբաքանակիարտադրության մոդել

Ենթադրենք,որ Ք ն Ծ տարբերարտադրողակամությամբերկուհաստոցների վրա հաջորդաբար մշակվում է զ ծավալի մանրամասերիխմբաքանակ: Ընդ որում երկրորդհաստոցիարտադրողականությունը ավելի ցածը է, քան առաջինհաստոցինըՔ » թ: Բնականաբար,առաջինհաստոցիաշխատանքի ընթացքում մանրամասերի մի մասը կուտակվում է, ապա պաշարվում մինչն որ հնարավորլինի դրանցմշակումը երկրորդհաստոցիվրա: Տվյալ դեպքում առաջին հաստոցի աշխատաժամանակի ընթացքում պաշարները հավասարաչափ աճում են զրոյից մինչն զ՛ ն ապա սկսում են նվազել մինչն զրո, երբ խմբաքանակի բոլոր մանրամասերի մշակումը ավարտվումէ: Նկարագրվածարտադրությանպայմաններումարտադրանքիխմբաքանակի պաշարների փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում պատկերվածէ 6-րդ գծանկարում: զ

Պաշարի մակարդակ

Հ/Վւ

Հ--լ

Վ ԼԽԼԽԼ

ՉՀ

պարբերություն պարբերություն

Ժամանակ

(տարի) Գծ.6

Դետերմինայինմոդելներ

Հարց է առաջանում թե ո՞րն է խմբաքանակիլավագույն ծավալը ն ի՞նչ հաճախությամբպետք է թողարկել: Մեկ տարում սպասվելիք գումարային ծախսերը կներառեն արտադրության ն պահպանության ծախսերը: Որպեսզիորոշենք պաշարի միջին մակարդակը,մանրամասն դիտարկենք նրա փոփոխության ընթացքը մեկ պարբերաշրջանում:Եթե մանրամասերի թողարկումնիրագործվում է տարեկան թ արտադրողակամությամբ, իսկ երկրորդ հաստոցի արտադրողականությունըթ է, ապա պաշարների համալրումը հավասարէ (Ի-)-ի: Եթե արտադրության պարբերաշրջանը տնում է էլ տարի, ապա արտադրանքիընդհանուրծավալը այդ ժամանակահատվածումկկազմի զՀ թկ միավոր, որտեղից էլ զ/թ տարի: Պաշարի առավելագույնմակարդակը հավասար է (6-0) Կ- (Բ-ք) զթ միավորի, իսկ միջին մակարդակը՝ Հ

(Ք--ք)զ/25: Այժմ հնարավոր է կազմել սպասվելիք գումարային ծախսերի նպա-

տակային ֆունկցիան` ՉՀ-Ը.քծ/զԳ Օլ(-0)զ/2Ի, որը նվազագույն արժեք է ընդունում, երբ` Օ՛Հ -Ը.ք/զժՀ Ըլ(թ .2)/2ի

Այս առնչությունից էլ կորոշվի խմբաքանակիայն լավագույն ծավալը, որի դեպքում գումարային ծախսերը նվազագույնն են`

շԸԾ

Օրինակ 3: Դիցուք` առաջին հաստոցով մեկ ամսում մշակվում է 2000 միավոր մանրամաս, որը շարունակում է երկրորդ հաստոցով մշակել ամսեկան 500 միավոր քանակությամբ, իսկ մնացածը պաշարվում է: Ձեռնարկության մասնագետների գնահատմամբ` պահպանության ծախսերը կազմում են տարեկան միջին պաշարների արժեքի 2022-ր, իսկ միավոր արտաղրանքի արտադրականծախսերը կազմում եմ 2.5 պդմ: Որքա՞նմանրամասիցպետք Է բաղկացած լինի խմբաքանակը ն ի՞նչ հաճախությամբ պետք է կազմակերպել մանրամասերի մշակման պարբերաշրջանը: Ինչպիսի՞ն կլիներ հարցերի պատասխանը, եթե խմբաքանակի արտադրական ծախքերը հնարավորլիներ իջեցնել մինչն ա) 500 պդմ-ի, բ) 250 պղմ-ի:

11.

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Խնդրի ելակետային տվյալներնեն` ՇչՀ 1000 պդմ՝ մեկ խմբաքանակթողարկելիս, ք ամսական 500, կամ տարեկան 6000 մանրամաս, Ֆ ամսական 2000, կամ տարեկան24000, ՇլՀ 0,2-2,5 0,5 պդմ՝ միավոր մանրամասթողարկելիս: 1. Մանրամասերի մշակման լավագույն մակարդակը ըստ Լուծում: (2.2.1) բաճնաձնի կկազմի` --5656.8 5657 միավոր: զօ -.|2-1000-6000/0.524000/(24000-600) Հ

Մեկ տարումանհրաժեշտկլինի թողարկել` 1,06 խմբաքանակ, ք/զց 6000/5657 հետնաբար,խմբաքանակներիթողարկմանհաճախությունըկկազմի՝ զօ/0 0,94 տարի, կամ 11,24 ամիս: Սպասվելիք նվազագույն գումարային ծախսըմեկ տարումկլինի՝ Օօ» 1000-1,6 Ժ 0,5-18000-5657/2-24000 2121,32 պդմ: Գործնականում զօ ստացված մեծությունը ճպատակահարմարէ կլռրացնել մինչ մռտակաամբողջթիվը: Եթե մեկ տարում թողարկվի մանրամասերիմիայն մեկ խմբաքանակ՝ 6000 միավորիչափով, ապա վերըհաշվարկվածծախսերըկկազմեն` 2125 պդմ: ՕօՀ 1000 -Ժ0.5-18000.6000/2-24000 Բնականաբար, ձեռնարկության ղեկավարությունըկնախընտրիարտադրությանկազմակերպմանվերջին տարբերակը: 2. ա) Եթե խմբաքանակի արտադրական ծախսերը նվազենմինչն 500 պդմ,ապա 4000 միավոր, զօ- |2-500-6000/0.5-24000/(24000-600)-Հ

խմբաքանակ, զօ/ք 2/3 տարի, կամ 8 ամիս, իսկ 1500 պդմ: Օշ» 500 :1.5 Հ 0.5-18000-4000/2-24000 բ) Համանման հաշվարկներիարդյունքները տալիս են՝ զօ- 2828 միավոր,Ծ/զօՀ-2.12 խմբաքանակ, զօ/0 0.47 տարի,կամ 25.6 ամիս ն, վերջապես` Օ՞Հ 1066.6 պդմ:

ք/զօՀ

1.5

2.3

Սնենարտադրանքային ստատիկմոդել պակասուրդով

Այս ենթաբաժնում դիտարկվող մոդելում ենթադրվումէ, որ պահանջարկը գերազանցումէ սլաշարները,որի հետնանքովառաջանումէ պակասուրդ ն վերջինիսհամապատասխան չափով՝ տուգանք: Նման իրավիճակէ պատկերված7-րդ գծանկարում,որտեղիցհետնում է որ յուրաքանչյուր 1, միջակայքիսկզբում ենթադրվումէ Տ ծավալովպաշարի առկայություն:

աշարի

Դետերմինայինմոդելներ մակարդակը

տի ԼԱՎ

(գ

ե. էչ 3 »

Եռաննյուններինմանությունից հետնում կ

ժամանակ

.Գ97

է`

-Տւ.ՆԵՀ-ՑՅՏՆ,

Միջին պաշարի ծավալը էլ ժամանակահատվածումկազմում է 5/2, որի հետնանքովպահպանության ծախսերը կեավասարվենԸլէլՏ/2, իսկ միջին պակասուրդը ն դրան համապատասխանողտուգանքը է ժամանակահատվածումկկազմի(զ-Տ)/2 ն Շշե(զ-Տ)/2: Այսպիսով, սպասվելիք գումարային ծախսերը ամբողջ ժամանակահատվածումկորոշվենհետնյալ արտահայտությունից`

«ՇՀ ՇՏՇԵՀԸՏ զ

(ՆՏ)

Տեղադրելովէլ-ի, էշ-ի ն Ե-ի արժեքները,կստանանք՝ Տ Օ(զ,5)

ԼՏՇՐ. (Վ-ՏՇչ1 ՇԸ.

ՇԱ

ԻԿ

Վերջին հավասարումիցհնարավոր է լավագույն զ, դուրս բերել՝լուծելով հետնյալ համակարգը. (գ-5)Ը,7 99 ՏԸՐ --Ե---Է ՉՏ գ զ -

..ՏՇԼՆՃԳ

ժզ

որտեղից հետնում

է`

2գ

զօ-

Տ ն

հետնաբար՝

-0, 24Տ)՛ Ը,ՐՇՏ զ: --

4զ

բո- ԼՀ2ՔԸ, ՂԸ,25«Շ«ԸԸ, վո-2ՔԸ,

Տի

Տ) --

-ծ-

ԴՇ

Ը,

արժեքները

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

14.

«ք

2165. ՕԻՇչ. ՔԸ,

(2.3.1)

Ը,

Ռրպեսզի ստանանք Օ-0ն,նկատենք,որ

ՀՏ

ՏԿԱՐ են

Տեղադրելով 5օ-ի ն էօ-ի արժեքներըելակետային հավասարմանմեջ կատարելովպարզեցումներ, ի վերջո ՕՀ որտեղ

Ք---

ԿԲ

Վ2ՔՂՇլԸ,

(2:3.2)

մեծությունը, որի արժեքները գտնվում

են

|0:1|միջա-

կայքում անվանվում է չբավարարված պահանջարկներից առաջացած վնասներիխտություն: Այդ մեծության արժեքը կարնոր կարգավորիչդեր ունի այն խընդիրներում, որտեղ ստեղծվում է այնպիսիիրավիճակ,երբ պաշարներըանբավարար չափով են կամ լիովին սպառված են: Ակնհայտ է, որ ՔՀ1 պայմանը հանգեցնումէ զօ-ի ն Էօ-ի արժեքներիմեծացման, իսկ Տօ-ի ն Օօ-իփոքրացման ն, բնականաբար, տվյալ Թ-ի արժեքի դեպքում զօ-ի ն Տօ-ի արժեքները ճպատակահարմարէ ընտրել այնպես, ռր բավարարվի Ք-5ց/զցպայմանը: Օրինակ 4: Դիցուք` պահպանվումեն 1-ին օրինակիբոլոր ելակետային պայմանները, սակայն Շշ տուգանքի չափը միավոր արտադրանքիպակասուրդիդեպքումկագմում է 0.2 պդմ: Օգտվելովվերը բերված բանաձներից,ստանում ենք՝ '

Օօ»

0.1:02 2: |2:24000-350 0.2 12-0.1 Հ

24010:990

2-12-350

ՍԿԸԶՑԵՆ.

12-01

0.2

61:62-:

միավոր, իավոր

2:12:350 0.1-Է0.22.29 ամիս9.9 շաբաթ, 0.2

վ |24000-01

«/2-2400012:0.1-350:

պդմ:

Այսպիսով լավագույն վարվելակերպիդեպքումսպասվելիք պակայժամանակի ուրաքանչյուր պարբերությանվերջում կկազմի 1522 միավոր:

սուրդը

Դնտերմինայինմոդելներ

Գների «խզումներով»մենարտադրանքային ստատիկմոդել

Հաճախ միավորարտադրանքիգինը գործնականումկախված է լինում գնվող խմբաքանակի ծավալից: Նման դեպքերում գները փոփոխվում են թռիչքաձն, կամ էլ զեղչեր են արվում մեծաքամակգնումներիհամար: Մինչն այժմ դիտարկվողմոդելներումայդ հանգամանքը անտեսվում էր, ն գնման ծախսերը հաստատուն էին, այնպես որ չէին ազդում պաշարի մակարդակի վրա: Այժմ դիտարկենք պաշարների կառավարմանմի մոդել, որում հաշվի կառնվի վերը նշված գների փոփոխման հանգամանքը: Ենթադրվում է, որ միավոր արտադրանքի գինը հավասար թյ-ի, երբ զՀ գ'-իցն հավասար է քշ-ի, երբ զՀզ., թյ» իսկ զ՛-ը պատվերի ծավալն է, որը գերազանցվելիս գնազեղչ է տրվում: Այդ դեպքում որոշակի է ժամաճնակահատվածումկատարված գումարային ծախսերն ընդգրկում են գնման պաշարների ձնակերպման ն պահպանության ծախսերը: Ժամանակի միավորի համար դրանք հետնյալն են`

քշ,

ՇՔ

Ը.

ԸՇ

թյ--ՔՀՎ-Հ--Վ-իզ,երբզՀ րհ Իշ:

ՒԷ քշ---թ շշ

ԿՈԹԳՀզ

Է-ՀՀ-Հ-Լզ,երբզՀզ: զ,երբզ2գ զ

Այս ֆունկցիաները պատկերված ԽԻ

են

գջանկարում:

8-րդ

ԱՏ:

1-ին գռտի

գոտի |2-րդ

3-րդ

գոտի

ել

Գծ.8

Անտեսելովգների իջեցման ազդեցությունը, զո տվ նշանակենք պատվերի այն ծավալը, երբ Բյ ն Բշ ֆռւնկցիաներնրնդունում են իրենց նճվազագույն արժեքները: Ակնբախ է, որ՝ Վո՞

Վ2ՔԸ, /1ՇԸ,

Է, ն Ճշ գումարային ծախսերի ֆունկցիաների տեսքից հետնում է, որ պատվերի զ լավագույն ծավալը կախված է նրանից, թե գծանկարում պատկերված երեք գոտիներից որում է գտնվում գնի խզման կետը: Այդ գոտիների սահմանային արժեքները պարզաբանվում են Ք,(զո)-Քշ(Վյ) հավասարման լուծումից ստացվողզ.-ի արժեբի միջոցով: Ընդ որում` » առաջին գոտում 0 Հ զ՝Հ զո,

ՍԸ

Պաշարների կառավարմանտեսություն

երկրորդգոտում գոՀզ՝Հզ» երրորդգոտումզՀզլ: Խլ(զո)-ԾՑշ(Վլ) հավասարման լուծումների երեք հնարավոր դեպքերը պատկերված են 9-րդ գծանկարում: »

ւ)

0«գ'«զը

ԷԿ)

զո

զ,

Գլգ'

զ"

զլ

զ Գծ.9

Այսպիսով, պատվերի զօ ըսվագույն ծավալը կորռշվի հետնյալ առնչություններից զո» Գօ-

եթեՕՀզ՝ Հզո

զ", եթեզ, Հզ՝ զո»

Հզյ

եթեզ՝ Հզլ:

Պաշարների լավագույն ծավալի հաշվարկման քայլաշարը ներկայացնելհետնյալ քայլերի հաջորդականությամբ՝ լ. Որոշել

զո |2ՔԸ,/ՂՇլ

կարելի է

եթե զ"-ՀԳո(Լին գոտի), ապա զո-զո, ն խնդիրը լուծված է: Հակառակ դեպքում անցնել 2-րդ քայլին: ն պարզել,թե 2-րդ 2. Որոշել զյ-ի արժեքը Խ:(զոյ-Իշ(զյ) հավասարումից ն 3-րդ գոտիներինկատմամբորտեղ է գտնվում զ -ի արժեքը. ա) եթե զոՀ զ Հ զ. (2-րդ գոտի), ապա զօ-զ,

Դետերմինայինմոդելներ

բ) եթե զ'Հզ. (3-րդ գոտի), ապա զօ- զո: Օրինակ 5: Դիտարկենք պաշարների կառավարման մոդելը հետնյալ ելակետային տվյալների համար. Շչ-10 պդմ, Շյ-Լպդմ, միավոր ժամանակահատվածում պահանջարկը՝Խ/1Հ5 միավոր, քլ -2 պդմ, քչ-1 պդմ նզ «15

միավոր:

Լուծում:

Նախ՝ որոշենք զղ-ի արժեքը՝ գո-|2-5-10/1

միավոր,

ապա քանի որ, զ »զո-ից, անհրաժեշտ է որոշել, թե զ -ը որ գոտում է գտնվում:Դրա համար հաշվենք զյ-ի արժեքը՝օգտվելովԽ(զո)-Բշ(Վ.) հավասարումից: Տեղադրելովհամապատասխանարժեքները,ստանում ենք՝

զ7--30զյ100 0, որտեղ զյ-26,18, զշ-3,82: Հ

ընտրվում է դրանցից ավելի մեծ արժեք՝ զյ: Քանի ենք, որ զ --իարժեքը գտնվում է 2-րդ գոեզրակացնում Եվ այսպես, զօ-զ 15 միավոր, իսկ միավոր ժամանակումգումարային ծախսերը կկազմեն` 15,83 պդմ/օր: Խշ(15) 1.5 10.5/15--15/2 Ըստ սահմանման`

Հզյ, զոՀզ

որ տում:

սպա

Բազմարտադրանքային ստատիկմոդել`պահեստային տարածքներիսահմանափակտարողություններիդեպքում

Վերնագրում նշված սահմանափակումը պայմանավորում է տարբեր արտադրատեսակներիքանակների փոխադարձ կապը: Դիցուք՝ ռ արտադրատեսակներիպահպանությանհամար նախատեսվածպահեստային տարածքի առավելագույն թույլատրելի մակերեսը Ճ-է: Ենթադրենք, որ 1-րդ արտադրատեսակիմիավորի պահպանության անհրաժեշտ մակերեսը հավասար է Հ-ի, իսկ պատվերի ծավալը կազմում է զ, միավոր: Այդ դեպքում պահեստային տարածքի պահանջարկի սահմանափակումը հետնյալն է՝

Հոզ Հճ:

Օ2.5.1)

1-1

Ենթադրենքնան, որ յուրաքանչյուր արտադրանքի պաշարները համալրվում են ակնթարթորեն, պակասուրդ չի թույլատրվում ն գնազեղչեր չկան: Պահանջվում է որոշել զ, ռչ բացասական փոփոխականների այնպիսի արժեքներ, ռրոնք բավարարեն (2.5. սահմանափակմանը.իսկ

Խ(զզշ... Ղ)-

է»)

«Բ.ո

եո ո րշՀո.ն-

զ,

)

նպատակային ֆունկցիան ընդունի իր նվազագույն արժեքը: Այստեղ /-ն, Ըջ-ն ն Օ-ն համապատասխանաբար միավոր ժամանակահատվածում1-րդ միավոր արտադրանքիպահանջարկը,պատվերի ն պահպանության ծախսերն են: Խնդրի ընդհանուր լուծումը կարելի է գտնել Լագրանժի բազմապա-

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

12.

տիկների եղանակի միջոցով: Սակայն մինչն այդ եղանակի կիրառումը, անհրաժեշտ է այն լուծել առանց հաշվի առնելու (2.5.1) սահմանափակումը: Եթե ստացված

28Ըա/Ը (Հ

եո)

արժեքները բավարարում սահմանափակմանը, ապա խնդրի լուծումն ավարտված է: Հակառակ դեպքում` վերնում նշված եղաճակով լուծում ենք դասակամ մաթեմատիկականծրագրման խնդիրը: Այս դեպքում պետք է որոշել զ-երի ճոր արժեքները, որոնք պահեստի ընդհանուր մակերեսի (2.5.1) սահմանափակմանըբավարարում են հավասարման տեսքով: Կառուցենք Լագրանժի ֆունկցիան` Լ (ՆզԳ»»...»գո) Ճ(Գ»զշ»...»Գոեն

«(8 |-է| "| 58.Տովնիոո 1-1 ա

«վ

որտեղ 4-ն Լագրանժի բազմապատիկն է: Լուծելով

աց

ւ"

ճ»Լո)

2ոՎ

Հ--ՀՖԻցլզ-ձՃՀ-0

ար

համակարգը,կստանանք զ-երի

4-ի համապատասխան արժեքները:

Երկրորդ հավասարումից հետնում րարի (2.5.1) սահմանափակմանը: Առաջին հավասարումիցհետնում

զ»

է, որ

զ: -ի արժեքը պետք է

բավա-

է, որ

28Ը./(Ըյ -218)6-

Նո):

(2.5.2)

Ուշագրավ է, որ զ: -երի արժեքները կախված են Լագրանժի 4: բազմապատիկիարժեքից: Բացի այդ, 4:50 դեպքումզ -երի արժեքները համապատասխանումեն առանց սահմանափակմանխնդբըիլուծմանը: 4-ը կարելի է գտնել փորձարկումներին սխալներիեղանակով: Քանի որ ըստ խնդրի դրվածքի 4ՃՀ0-ից, ապա 4-երի հաջորդական ստուգման ընթացքում որոշվում են

4--ըն

միաժամանակ

գ:-երի

այն

ար-

ժեքները, որոնք կբավարարենհավասարմանտեսքով տրված (2.5.1) մաճափակմանը: Օրինակ 6: Դիտարկենք երեք արտադրատեսակներով(ո-3) պաշարճերի կառավարմանմի խնդիր,որի տվյալներըբերված են 2.1 աղյուսակում: սահ-

Դետերմինայինմոդելներ

2.1

ւսակ

Արտադրանք: լ

Շ(պդմ)

Ք./Ի միավոր| Շչ(պդմ)

0.3

0.1 0.2

ճ.(մ) լ

| լ

մակերեսը կազԴիցուք` պահեստային տարածքների ընդհաճուր է 25մ7: Համապատասխան հաշվարկների արդյունքները ըստ (2.5.2) պահեստային մակեբանաձնի միաբերված են 2.2 աղյուսակում: Ճ-25մ7 րեսի վերաբերյալ սահմանափակումը բավարարվում է որպես հավասամիջակայքում: 14--ի բություն 4-ի ինչ-որ արժեքի համար` 4-|-0,25,-0,37) արժեքը կարելի է գճահատել գծային միջարկումների միջոցով, որոնցով ն կորոշվեն զ: -երի արժեքները: 2.2 աղյուսակից հետնում է, որ 1:-ի արժեքը շատ մոտ է -0,3-ի, հետնաբար զ: -երի մոտավոր արժեքներըկլինեն` Ճ

մում

զ:Հ6,7, զ

սակ

0.05

0.10

-0.15 -

0.20

0.25

0.30

Եթե

/Ճ Հ

-7չ6ն

զչ-

10,6:

2.2 զ)

11.5 10.0 9.0

8.2 7.6 7.1 6.7

52,4մ՞-, ապա

զշ

շոգ,

-Ճ

զ:

20.0 14.) լ).5

24.5 17.3 14.9 13.4

46.6

8.9 8.2 7.6

12.2

Ւ3.7

10.6

0.|

10.0

11.3

զ. -երի արժեքները կարելի

հաշվի առնելու (2.5.1) սահմանափակումը,որր

16.4

10.4

Ւ|.6

ստանալ առանց համարժեք Լ 4-:- 0 դեպքին: է

Վ փուլանոց դինամիկ մոդել Մենարտադրանքային Առաջարկվող մոդելում ենթադրվում է, որ պահանջարկը հայտնի

2.6

է,

սակայն ժամանակի ընթացքում կարող է փուլ առ փուլ փոփոխվել, իսկ պաշարի մակարդակը, փուլերին համապատասխան, պարբերաբար վերահսկվում է: Չնայած մատակարարման ուշացումը թույլատրելի է, մոյղլելում ենթադրվում է, որ պաշարի համալրումը կատարվում է ակնթարթորեն՝փուլի սկզբում, ն պակասուրդըբացառվում է: Դինամիկ դետերմիճային մոդելի կառուտոմը հանգում է ժամանակի վերջավոր հորիզոնի հետազոտմանը: Դա բացատրվում է նրանով, որ համապատասխան խնդիրներիթվային լուծումների ստացման համար պահանջվում է օգտագործել դինամիկ ծրագրման եղանակը, որը տվյալ դեպքում գործնականորեն կարելի է կիրառել միայն վերջավոր փուլերի (քայ-

1/4.

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

լերի) առկայության դեպքում: Սակայն, մեր խնդրի պարագայում դա լուրջ խոչընդոտ չէ, որովհետն հեռավոր ապագայում պահանջարկըսովորաբար էական ազդեցություն չի ունենում դիտարկվողվերջավոր ժամաճնճակահատվածում ընդունվողորոշումներիվրա: թ-1.2,...,Վ,.փուլերիհամարպահպանելովնախկինճշանակումները՝ ԳՍ պատվիրվողարտադրանքիքանակը (պատվերիչափը) ո -արտադրանքի պահանջարկը Տ .-ելակետայինպաշարը (0-րդփուլիսկզբում),լրացուցիչճերմուծենք՝ Շգ -միավոր պաշարի պահպանության ծախսերը,որոնք 1-րդփուլից անցնում են (-Է1)-րդ փուլ Շչ պատվերիձնակերպմանծախսերը է(զ)- սահմանային ծախսերիֆունկցիան: (Գ) ձՇՒե(գ) Դիցուք` --

Հ-

Ճ«վԱՏՅ ւվ0,եթեզ

»0

4215:

ԿԽ.

է(գ) ֆունկցիան հետաքրքրություն է Ճճերկայացնում միայն այն դեպքում, երբ միավոր արտադրանքիգնման ծախսերը փոփոխուն են ժամանակի ընթացքումկամ գոյություն ունի գների«խզում»: Քանի որ արտադրանքիպակասուրդըբացառվումէ, ապա պահանջվում է որոշել գ-երի այնպիսի արժեքներ,որոնք մինիմացնենպաշարների ձնակերպման, գնման ն պահպանման ընդհանուր ծախսերը ըստ բոլոր Վ փուլերի: Պահպանությանծախսերըենթադրվումեն ուղիղ համեմատական Տլ1Հ. ՏՒզ-ղ մեծությանը, որն իրենից ներկայացնում է պաշարի այն ծավալը, դր 1-րդփուլից անցնում է (1:1)-րդ փուլ: Արդյունքում՝պահպանության ծախսերը 1-րդ փուլում կկազմեն ԸՇլ-Տչչչ միավոր: Այս ենթադրությունըը0նդունվում է բացառապես խնդրի դրվածքը պարզեցնելուճպատակով,որովհետն մոդելը հեշտությամբկարելի է ընդհանրացնելծախսերի գործառույթի ամեն մի տեսքի համար: Դինամիկ ծրագրմանմոդելի կառուցումըկպարզեցվի,եթե խնդրի լուծման ընթացքըներկայացնենք9-րդ գծանկարումբերվածսխեմայիտեսքով`

բե

ՏՍ

իվ

ՏՈ Տլ

ոմ

ՏԱՍ

Տույ

գո

Յուրաքանչյուր փուլ համապատասխանումէ մեկ քայլի: Օգտագործելով դինամիկ ծրագրման անդրադարձ հավասարումը՝ 1-րդքայլում որոշենք համակարգիվիճակները որպես ելակետային Տ պաշարի ծավալ: Դիցուք՝ 6(Տլ) ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է ընդհանուրնվազագույմ ծախսերը 1, 1-1.....ՎՀ,փուլերում: Անդրադարձհավասարումնունի հետնյալ տեսքը.

Դետերմինայինմոդելներ

Ք(5)

տո

Սու(զո))

ԳոՒՏԱՀՈԿ

զիչ0

Ւ(Տ)

Հան զի

Հ6

ԱԳ)»,

էյ

Էզ -ո)Հ

-ո))ճՀԼ

Էզ

է,

Ուղիղ անդրադարձհավասարումըկարելի է ստանճալ1-րդ փուլի վիճակներըորոշելով՝որպես պաշարի ծավալը փովի վերջում: 10-րդ գծանկարում այդ վիճակներըտրված են 5..լ մեծություններով: Ամեն մի քայլում 5..լ մեծություններըպետք է բավարարենհետնյալ սահմանափակումներին. ՕՀ

Այսպիսով, սահմանային

Տլ:

ՀուլԻ..ի

պատվիրվող արտադրանքի ծադեպքում

1-րդփուլում կարող է լինել այնքան մեծ,

վալը՝ գ-ն (ՀՆԻ)

որ

Տլ

պաշարը

բավարարիհաջորդ բոլոր փուլերի պահանջարկներին: Դիցուք` ճ6(Տլլ)-ը նվազագույն ընդհանուր ծախսերն են 1,2....-րդ փուլերում,երբ հայտնիէ 1-րդփուլի վերջումպաշարի 5..: քանակը: Այդ դեպքումանդրադարձայինհավասարումըկունենա հետնյալ տեսքը. Բ(Տ» Սե(Ն)ՀՇտԻ -

չոմու

ԻՇՏո է(Տ:)ՀաաՍԵԿ,

ԴԼՏազ

-ն

)

ճՀԼՒ):

Օրինակ7: Դիտարկենք դինամիկդետերմինայինպահանջարկովերեքփուլային պաշարների կառավարման համակարգը: Խնդրի ելակետային տվյալները տրված են 2.3 աղյուսակում: Աղյուսակ 2.3 Փուլ | Պահանջարկը Միավորարտադրանքի Պատվերի Ո) (ո) ձնակերպման պահպանության ծախսերը (Ը)

ծախսերը (Ըլ)

3.00

լ.00

7.00

3.00

6.00

2.00

Նախնական պաշարր առաջին փուլում կազմում է 1 միավոր: Ենթադրվում է, որ միավոր արտադրանքի ձեռքբերման սահմանային ծախսերը առաջին երեք միավորի համար կազմում են 10 պդմ, իսկ լրացուցիչ միավորներիհամար՝20 պդմ: Հետնաբար՝

ՕԳ) (ՈՀ

լո:

1109, 20(.,-3),

եթեՕՀզ,ՀՅ. եթեզ.24

ն հաշվարկների արդյունքները միաբերԽնդրի լուծման քայլաշարը ված են 2.4 2.6 աղյուսակներում: -

44.

Քալ

1՝

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Հ3,0ՀՏչ5

ըլ

2346:

Աղյուսակ 2.4 ճ(Վ/Տ»)

(զ)

5-14

15151758

ՅԻ

Լավագույն

ՇՏ:

Ոտ

Քանի

5լ-1, ապա զլ-ի նվազագույնարժեքը հավասար է ոլ-Տ:-3-1-2

ռը

Քայլ2՝

2, 0ՀՏ:Հ

12Հ

Աղյուսակ 2.5 Շ(զշ5Թ:) Ծշ(զշ) Է Օշ53

զ.-0 Տ: ԼԸ:5:

3/).. 4.1

|Լ

Է5

Իշչ(զ2)-017

0-55

|-64

Հ63

6-97

23:76

|33է55

|Հ9

|-8

94118

|36Է76

Հ)23

43-Է34

Յ101

124139

|29Է118

|39-97

49476

11 4,

69Է55

ՀՅ125

Քայլ3՝ Ք(Գ5Ժ

| 4655 |

Խ:(գ)

Հ124

ՏչՕյ

86Է23 "109

89:34

10923

Շ(ՏՒո-Փ)

2677-103

Այսպիսով, լավագույն լուծումն

կկազմեն99

է՝զ/-

պդմ:

Լավագույն

16Է100-116

|-50

(ՀՏ

ընդհանուրծախսերը

40-Է23

Օ-123-

6.5)

|30Հ34

2.6 Աղյուսակ

լուծումը

Ա.Վ

Լավագույն

ճ(53ռ-զշ)

36463-99

2, զչ-

56Է50Հ106

6(ՏՉ

զ:

3նզ:- 3, իսկ նվազագույն

մոդելներ Հավանականային

Հավանականային մոդելներ

3.1

Նախնական տեղեկություններ

Վերը քննարկված մոդելներում ենթադրվում էր, որ ինչպես պահանջարկը, այնպես էլ պատվերների մատակարարմանժամանակը հաստատուն մեծություններ են: Մակայն գործնականում բազմակի պաշարների կառավարման համակարգերում վերջիններս պարունակում են անորոշության տարր՝ պահանջարկը ժամանակիընթացքումփոփոխվում է ն, որպես հետնանք, պատվերների տրման ժամանակահատվածներըլինում են տա-

րբեր:

Ի տարբերություն դետերմինային մոդելների «պարբերություն» հասկացությունը փոխարինվումէ «պարբերաշրջան» հասկացությամբ,որովհետն պահանջարկըժամանակի ընթացքումփոփոխվում է: Նման համակարգերում հազիվ թե հնարավոր լինի կիրառել այն մաթեմատիկական մոդելները,որ օգտագործվում էին մինչն այժմ: Եթե պահանջարկի մակարդակըորոշված չէ, ապա ենթադրվումէ, որ այն փոփոխվում է որոշակի բնութագրերինհամապատասխան, որոնք կարելի է ստանալ փորձառական տվյալների հիման վրա, կամ էլ ընդունել,որ պահանջարկըորոշվում է բաշխման հայտնի օրենքներով՝Պուասոնիկամ բնականոն: Եթե պահանջարկի մակարդակը, ն՛ մատակարարման ժամանակըփոփոխական են, ապա հնարավոր է, որ առաջանան այնպիսի իրավիճակներ, որ պաշարը բացակայի: Եթե կրկնվող պատվերի մակարդակը որոշվում է՝ ելնելով միջին ժամանակահատվածում միջին պաշարի բավարարման սկզբունքից, ապա սլաշարի բացակայությունը կարող է առաջանալ տարվա ընթացքում գործող պաշարների կազմավորման` որոշ պարբերաշըջաններում: Դիցուք` պաշարի բացակայության հավանականությունը ցանկացած պարբերաշրջանում հավասար է0,2-ի: Նթե պատվերը տրվում է տարեկան մեկ անգամ, ապա յուրաքանչյուր տարում պաշարի պակասուրդի հնարավորությունը մեծ չէ, բայց եթե տարվա ընթացքում հայտը տրվում է օրինակ 50 անգամ, ապա պաշարի պակասուրդր ի հայտ կգա 50:0,2-:10 անգամ: Պաշարների պակասուրդի հավանականության ընդունելի մեծությունը որոշելու համար, անհրաժեշտ է պարգել սպասարկման այն մակարդակը, որին նպատակ ունենք հասնելու: Սպասարկման մակարդակը որոշվում է (1-թ) մեծությամբ, որտեղ ք-ն պակասուրդի ի հայտ գալու հավաճականությունն է: Այսպես օրինակ, եթե պաշարի պակասուրդի հավանականությունը մեկ պարբերաշրջանում հավասար է0,2-ի կամ 2022-ի, ապա սպասարկման մակարդակր հավասար Է 8072-ի, ն այն բարձրացնելու համար պետք է փոքրացնելպակասուրդիի հայտ գալու հավանականության մեծությունը՝ փոխելով կրկնվող պատվերի ծավայր:

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Վերջինս կարելի է մեծացնել` սպասարկմանմիջին ժամանակահատվածում միջին պահանջարկին ավելացնելով այսպես կոչված պահուստային պաշարի ծավալը: Որքան մեծ է այդ ծավալը, այնքան փոքր է պաշարների պակասուրդի հավանականությունը,բայց մեծ են պահպաճության ծախսերը: Պաշարի պակասուրդի արժեքի նվազեցումը բնականաբար, պետք է փոխհատուցվիպահպանությանծախսերիավելացումով: Պահուստային պաշարի համապատասխան ծավալի ընտրությունը կախված է այն կոնկրետ նպատակից, որին ձգտում են հասնել: Այդպիսի նպատակ կարող են լինել ինչպես սպասարկման նվազագույնմակարդակի ապահովումը, այնպես էլ նվազագույն գումարային ծախսերը: Տարբերում են պաշարներիկառավարման երկու համակարգեր,որոնցում հաշվի են առնվում պահանջարկի ն պատվերի սպասարկման ժամանակի անորոշությունները՝ ա) Կրկնվող պատվերիմակարդակայինհամակարգն բ) Կրկնվողպատվերիպարբերաշրջանայինհամակարգ: Առաջին տեսակի համակարգերում փոփոխական ժամանակահատվածների միջակայքներում պատվիրվումեն ռրոշակի ծավալով արտադրանքճեր: Ընդ որում պատվերներըտրվում են լայն պահերին,երբ պաշարի մակարդակընվազումէ մինչն նախապեսհաշվարկվածարժեքը: Երկրորդ համակարգերումո̀րոշակի հաստատագրվածժամանակային միջակայքներում պատվիրվումեն տարբերքանակությամբարտադրանքներ: 3.2.

Կրկնվող պատվերիմակարդակայինհամակարգ

Ա-մոդել՝ սպասարկմաննվազագույն մակարդակիապահովում: Ուսումնասիրվողմոդելը տալիս է պատասխանհետնյալ հարցերին` ա) պաշարներիմակարդակիոր՞ արժեքի դեպքումպետք է ներկայացճել նոր պատվերի հայտ: բ) Որքա՞նեն ընդհանուրտարեկանծախսերը: Մոդելի լուծումն իրագործվում է երկու փուլով. նախ` հաշվարկվում է պատվերի լավագույն ծավալը` ջշ-ն ըստ մեզ հայտնի Ուիլսոնի բանաձնի, ապա դրա հիման վրա որոշվում է կրկնվող պատվերիհաստատագրվածՃ մակարդակը: Խնդրի լուծման տվյալ մոտեցումը ռչ միշտ է տալիս լավագույն արդյունքը, սակայն հնարավորություն է ընձեռում ստանալու լավագույնին մոտ լուծում: Կրկնվող պատվերիԽՃծավալը հաստատագրելուհամարանհրաժեշտէ իմանալ, թե պատվերի կատարման ժամանակաշրջանումինչպես է փոփոխվում պահանջարկըն սպասարկմանմակարդակիսպասվելիքարժեքը: Օրինակ 8: Տարեկան 50 (5 օրյա) շաբաթ աշխատող ձեռնարկության հավաքման արտադրամասըօգտագործումէ որոշակի մանրամասեր,որոնց միավորը մատակարարից (առաքողից) գնվում է 250 դրամով: Պահանջարկը պարբերաբարփոփոխվում է, սակայն այն մոտավորապեսկարելի է

Հավաճականայինմոդելներ

նկարագրել բնականոն բաշխվածոըրթյանօրենքով, որի միջին արժեքը ն միջին քառակուսայինշեղումը համապատասխանաբարհավասար են 80: ն 10 մանրամասեր 1 օրում: Յուրաքանչյուր պատվերիսպասարկման հաստատագրվածժամանակահատվածը8 օր է, իսկ ձնակերպման ծախսերը կազմում են 12500 դրամ: Ըստ ձեռնարկությանմասնագետներիգնահատման պահպանության ծախսերը կազմումեն միջին տարեկանպաշարներիարժեքի2024--ը: Ռրպիսիք՞են յուրաքանչյուր պատվերի ծավալը ն կրկնվող պատվերի մակարդակը, եթե պաշարների պակասուրդը ավելի քան 20 պարբերաշրըրջաններում ցանկալի չէ: Ինչպիսին՞պետք է լինի կրկնվող պատվերին համապատասխանող պահուստային պաշարիմակարդակը: Լուծում: Դիցուք` պահանջարկը հաստատուն է ն հաստատագրված է միջին արժեքի չափով: Խնդրի ելակետայինտվյալներն են` Ըչ- 12500 դրամ մեկ պատվերիհամար 000 մանրամաս տարեկան ԾՀՏ0»«5025-20 Շլ-0.2-250-50 դրամ մեկ մանրամասիհամար տարեկան: Հաստատուն պահանջարկի դեպքում` գո

-.վ2Ը,Ծ/Ըլ Վ2-12500:20000/503162.3: Հ

Ռրպեսպատվերիծավալ ընդունենք3162 մանրամաս:Պաշարի պակասուրդի առավելագույն թույլատրելի մակարդակը համաձայն խնդրի նախճական պայմանի կարող է լինել 20 պարբերաշրջաններիցմիայն մեկում, այսինքն` միջինում պարբերաշրջանների միայն 592-ում է թույլատրվում ունենալ պաշարճերիպակասուրդ:Հետնաբար սպասարկման մակարդակը հավասար է 9502-ի: Հաշվի առնելով, որ մեկ օրվա պահանջարկը մոտարկվում է նորմալ բաշխման օրենքով, կարելի է ենթադրել, ռր սպասապկմանժամանակահատվածում նս այն բաշխված կլինի նույն օրենքով: Պահանջարկիմիջին արժեքը մատակարարմանութ օրվա ընթացքում կազմում է 80-8-640 մանրամասեր, իսկ միջին քառակուսային շեղումը՝

80-10

մանրամաս:

Պահանջարկի բաշխվածություն,՝ մատակարարման ժամանակահատվածում պատկերված է 11-րդգծանկարում:

Ղզծ.11

/4.

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Կրկնվող պատվերի մակարդակը`Ք-ը, ըճտրվում է` ելնելով հետնյալ պայմանից. հավանականությունը, որ պահանջարկի մեծությունը փոքր է կրկնվող պատվերի մակարդակից, կլինի 0.95-ից ոչ պակաս: Ճ-ը իրենից ճերկայացնումէ միջին արժեքին գումարած 2 քանակով շեղումներ, որտեղ `

Ճ-640

Նորմալ բաշխման աղյուսակներից, որոնք տրվում են վիճակագրության դասընթացների հավելվածներում,գտնում ենք, որ եթե Ի(շ» ( ապա 2-

1,645:

Հետնաբար՝

Է -640

28.28

)

0,5-ի, ի

--640 164528,28 Ք

որտեղից՝ Բ-686,55: Այսպիսով` կրկնվող պատվերի մակարդակը կարելի է ընդունել

մանրամաս, որից զպ-47-ը (687-640) կկազմեն պահուստային պաշարը: Մանրամասերիայդ քանակը անհրաժեշտ կլինի պահանջարկի տատաձզումներիդեպքում սպասարկման մակարդակը ապահովելու համար: Ընդ որում, ենթադրվումէ, ռր դրանք են գտնվում պահեստումպարբերաշրջանի ամբողջ ժամանակահատվածում,այնպես որ միջին տարեկան պաշարի մակարդակըկկազմի (գ/2-Է47)մանրամաս: Հետնաբար,եթե հաշվի չառնվի պաշարի պակասուրդիարժեքը, ապա ընդհանուրտարեկան ծախսերըկկազմեն՝

Գ-ՇչԾ/գԳ-Ըլ/(գ/2-Իզա)-

12500-20000/3162-ՒԷ50/(3162/2-47) 160465 դրամ: Տարեկան պահուստային պաշարի արժեքը հավասար է 50:47-2350 դրամ: Բ-մոդել՝ նվազագույնարժեքի ապահովում: Անհրաժեշտ է հիմնավորված որոշում կայացնել նախորդ` ա) ն բ) հարցերի վերաբերյալ ինչ ն Ա-մոդելում, բայց նպատակունենալով հասնել տարեկանընդհամճուր Ծախսերինվազագույնարժեքի: Ա-մոդելի խնդրի լուծումը ցույց տաճք հետնյալ օրինակով: Օրինակ 9: Սեծածախ վաճառքի խամութըկատարումէ ռրոշակի մակճիշի հեռուստացույցճերիգնումներ՝ մեկ միավորիհամար վճարելով 125000 դրամ: Տարվա 300 օրվա ընթացքում վաճառքի միջին ծավալը կազմում է 475 հեռուստացույց: Յուրաքանչյուր պատվեր իրականացնելիս խանութը ծախսում է 25000 դրամ, իսկ պահպաճությանծախսերը կազմում են միջին տարեկան պաշարներիարժեքի 1502-ը: Հ

Հսվանակաճային մոդելներ

Պատվերի մատակարարման ժամանակահատվածը3 օր է, ընդ որում վերջին 50 պարբերաշրջաններիտվյալների հիման վրա ստացվել է պահանջարկներիհաճախություններիհետնյալ բաշխումը(տեն աղ. 3.1): Աղյուսակ 3.1 Հեռուստացույցների պահանջարկը(հատ) մատակարարման

011123

|5|6

ժամամակահատվածում

Պաշարի պարբերա7քջանների քանակը

8|5|2

Ամեն անգամ, երբ հեռուստացույցների պաշարը սպառվում է, խանութը կատարում է շտապ պատվեր, որի հետ կապվածլրացուցիչ ծախսերը գնահատվումեն մեկ հեռուստացույցիհամար մռտավորապես 10000 դրամ: Անհրաժեշտէ տալ հետնյալ երեք հարցերիպատասխանները. Խանութը որքա՞նհեռուստացույց պետք է միանվագ պատվիրի ն ինչպիս՞ին պետք է լինի կրկնվող պատվերի մակարդակը, որպեսզի նվազագույնի հասցվենտարեկան գումարային ծախսերը: Պահանջվում է նան գտնել պահուստային պաշարի այն ծավալը, որ համապատասխանումէ կրկնվող պատվերի Լուծում: Շչ-25000 դրամ, ՇՀ125000 դրամ/հեռուստացույց, ԸՇյ»-0,15:125000Հ- 18750 դրամ/ճեռուստացույց, Շշ- 10000 դրամ/հեռուստացույց: Ընդհանուր տարեկան ծախսերը կազմվում են երեք գումարելիներից՝ պատվերի ձնակերպման, միջին պաշարի պայպանության, պահուստային պաշարի ն վերջապես, պաշարի պակասուրդի հետնանքով կատարված տարեկանծախսերից: Այսպիսով` Օ Շք/զԻԸ դզ/24Ը զպ Շշի լզաավ), որտեղ զա-ն`պահուստային պաշարի ծավալն է, հմլզաավ)-ը տարվա ընթացքում պաշարի պակասուրդիմաթեմատիկականսպասելին է: Նախ՝ հաշվարկենքպահանջարկիմիջին արժեքը.

մակարդակին:

զ-

35.6: 18750

վ2Ը,:0/Ը,

Հ2-25000-475/

Պատվերիհաստատագրվածծավալն ընդունենք 36 հեռուստացույց: Անհրաժեշտ է որոշել պահուստային պաշարի այն մակարդակը, որի դեպքում վերջին երկու ծախսերը ընդունում են նվազագույն արժեք, որովհետն առաջին երկուսը հաստատուն

ՇԾ/ՀԸ:գզ/2

25000

են ենհավասար են՝

475/36:1875036/2

667360 դրամ/տարի: Եթե պահանջարկը մատակարարմանժամանակահատվածումչի գերազանցում միջին պահանջարկիարժեքը, ապա պակասուրդը բացառվումէ, իսկ հակառակ ղեպքում առաջանում է պակասուրդ: Հ

/4.

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Միջին օրական պահանջարկը կազմում է 475/300-1,58 հեռուստաիսկ պահանջարկը մատակարարման (սպասարկման)ամբողջ ժամա3-1,58Հ-4,75 նակահատվածում՝ հեռուստացույց:Թույլ տալովինչ-որ սխալանք, ընդունենք,որ դա կազմում է 4 հեռուստացույց: Մատակարարմանժամանակահատվածումպահանջարկի հավանականություններիբաշխումը կարելի է ռրոշել հեռուստացույցներիհամապատասխանբաշխումից (տես աղյուսակ 3.2): Աղյուսակ 3.2 ցույց,

Հեռուստացույցների պահանջարկը(հատ) մատակարարման ժամանակահատվածում Պաշարի պարբերաաններիքանակը

|16|8

0.02 | 0.04 Հավանակամնությունը

18.15

/10|18

0.12 | 0.16 | 0.20 | 0.16 | 0.16 | 0.10 | 0.04

Սատակարարմանժամանակահատվածումհամապատասխան.պահանջարկների համար անհրաժեշտ պահուստային պաշարների ծավալները բերվածեն 3.3 աղյուսակում: Աղյուսակ 3.3 Հեռուստացույցների "Պահանջարկի պահանջարկը(հատ) հավանակա-

մատակարարման

ժամանակահատվածում

նությունը

" աճառ ման մի առերաժ պահուստային պաշարը

0.20

0.16

0.10

0.04

Պահուստային պաշարի յուրաքանչյուր արժեքի համար հաշվարկենք մեկ պարքերաշրջանումպաշարի պակասուրդիմաթեմատիկականսպասելինճերը:Ստացված արժեքներըքազմապատկելովտարվա ընթացքումպարբերաշրջանների քանակով կստանանք պաշարների պակասուրդի մաթեմատիկականսպասելիներըտարվա կտրվածքով: Տվյալ պահուստայինպաշարին համապատասխանողսպասելի ընդհանուր արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է հաշվի առնել ինչպես լրացուցիչ պաշարի պահպանության ծախսերը (1870 դրամ/հեռուստացույց), այնպես էլ պաշարի պակասորդի հետ կապված ծախսերը (10000 դրամ/հճեռուստացույց):Պարբերաշրջաններիքանակը մեկ տարում կազմում է 475/36-13.2:

Աղյուսակ

մոդելներ Հավանականային

3.4.

| Բավա- | տային| րարված պաշար | պահան-

Պահուս-

Պաշարներիպակասուրդի սպասելի

Տարվա Պաշարների| անի ընթացքում| պակասուրդ | ընթացքում

ա ջարկ

Տարեկան արժեքը (դրամժ/տարի)

մաթեմատիկական -

յին

պաշար

75000

0,528-10000Հ

3:18750-

0,0441:0,15| 0,18-13,22 |

2,376-10000Հ

2-18750»

23760

37500

0,18

0,1 0,16-0,48

3: 0,0442: ԻԼ:

0,04-13,2-

0.528

0,04-0,04

2,376

0,48-13,2Հ2 | 6,336-1000063360 6,336

| Ընդհա| մենը

4-18750Հ-

1: 2.

Պահուստա-

56250

1:1875018750

75000 61530 ծ1260 82110

Ինչպես երնում է 3.4 աղյուսակից, նվազագույն ընդհանուր արժեքը ստացվում է, երբ պահուստային պաշարը կազմում է 2 հեռուստացույց: Եթե ենթադրենք, որ մատակարարման ժամանակահատվածում պահանջարկի միջին արժեքը հավասար է 4-ի, ապա կրկնակի պատվերր կկազմի 4-2-6 հեռուստացույց: Այդ դեպքում տարեկանընդհանուր ծախսերը հավասար 728620 դրամ/տարի։ կլինեն` Օ 66736037500Է23760 Այսպիսով հանգում ենք այն եզրակացությանը,ռր տարեկան նվազագույն գումարային ծախսերն ապահովելու համար խանութը պետք է պարբերաբարպատվիրի 36 հեռուստացույցից բաղկացած խմբաքանակճեր, երբ պաշարներիմակարդակընվազում է մինչն 6 հեռուստացույցի: Հ

3.3.

Կրկնվող պատվերիպարբերաշրջանայինհամակարգը

Կրկնվող պատվերիպարբերաշրջանային մողելների ճպատակն է պատասխաններտալ հետնյալ երկու հարցերին. ա) Որո՞նք են հաստատագրված միջակայքի այն սահմանները, որոնց ներքո պետք է իրագործվիպահանջարկիպատվերը, բ) Ի՞նչ քանակությամբ (ծավալով) արտադրանք է անհրաժեշտ պատվիրել: Ինչպես ն պաշարի մակարդակային մոդելում, տվյալ խնդրի լուծումը է երկու փուլով: կատարվում Նախ՝ հաշվարկվում է պարբերաշրջանիտնողությունը` հաշվի չառնելով պահանջարկի ն մատակարարմանժամանակահատվածի տատանումներր, որից հետո ընտրվում է նրա հաստատագրված արժեքր: Նշենը, որ պաշարների կառավարման համակարգում գործնականում ստուգումները կատարվումեն հարմարավետժամանակահատվածներում: Այդ իսկ պատճառով ՛--ի հաստատագրված արժեքըտրվում է ամբողջի ճշտությամբ: Նման մոտեցումը սռվորաբար հնարավորություն է տալիս ստանալ ոչ թե լավագույն, այլ նրան բավականաչափմոտ լուծում: `

14.

Պաշարների կառավարմանտեսություն

Ուսումնասիրվող համակարգն այժմ հետազոտենք, ինչպես ն 3.2 ենթաբաժնում երկու տեսանկյունից` սպասարկման նվազագույն մակարդակի ապահովում ն գումարային ծախսերի նվազեցում: Ա-մոդել՝սպասարկմաննվազագույն մակարդակիապահովում Որոշենք կրկնվող պատվերի տրման այն միջակայքը, որում պաշարճնճերի ձնակերպման ն պահպանության ընդհանուր տարեկան ծախսերը ընդունում են նվազագույն արժեք, ն անտեսենքպահանջարկիու մատակարարման ժամանակահատվածիտատամումները: Եթե, օրինակ, կրկնվող պատվերի միջակայքը հավասար է ՛Ր տարի, ապա, բնականաբար մեկ տարում պատվերներիքանակը կկազմի 1/1 ն, հետնաբար, յուրաքանչյուր պատվերի զ ծավալը հավասար կլինի զ-ք.1, որտեղ Ծ-ն տարվա պահանջարկն է: Իսկ եթե պահուստային պաշարը անտեսել, ապա պաշարի միջին մակարդակըկկազմի՝զ/2-Ծ՛/2 միավոր: Այսպիսով, ընդհանուր տարեկանծախսերըկորոշվեն հետնյալ բանաձնից`

ՕՀ ՕՈ/ՑՒԸ(ԾՆ/2):

Օ-ն իր նվազագույնարժեքըկընդունի,երբ՝

-.վ2Ը,/Ըլթ:

0.3.1)

(3.3.1) բանաձնով որոշված ՛1-ի արժեքը կարելի է ճշգրտել` ստուգումների համար հարմարավետ ժամանակահատվածստանալունսլատակով: Եթե, օրինակ, հաշվարկների արդյունքում ստացվում է ՂՀ4,2 օր, ապա նպատակահարմար է կլորացնել ն ընդունել մեկ շաբաթ (հինգ օր): Օրինակ 10: Ենթադրենք` ինչ-որ արտադրատեսակիհամար տարվա ընթացքում սպասարկմանմակարդակըհամընկնում է պակասուրդիծավալի մեկ անգամ ի հայտ գալու հետ, ընդ որում կրկնվող պատվերի պարբերաշրջանը կազմումէ չորս շաբաթ: Ենթադրենք նան, որ տարինբաղկացած է 50 շաբաթից, իսկ պատվերի մատակարարման հաստատագրված ժամանակահատվածըկազմում է 2 շաբաթ:

Տվյալ արտադրատեսակի շաբաթական պահանջարկըմոտարկվում է բնականոն /նորմալ/ բաշխմամբ, որի միջին արժեքը ն քառակուսային շեղումը համապատասխանաբարհավասար են՝ 300 ն 50 միավորի: Լուծում: Պաշարի պարբերաշրջաններիտարեկան քանակը կկազմի 50/4-12,5, միավոր իսկ մեկ պարբերաշրջանումպաշարի պակասուրդիհավանականությունը՝ 1/12,5-0,08-ի: Հետնաբար,այն սպասարկմանմակարդակը, որը պետք է ապահովել, հավասաը է 0,92-ի: Լուծման ընթացքում պետք է հաշվի առնել փոփոխուն պահանջարկը, որը ձնավորվում է կրկնվող պատվերի ամբողջ պարբերաշրջանիընթացքում ն մատակարարմանժամանակահատվածում:

մոդելներ Հավանականային

Ելակետային տվյալների համաձայն փոփոխունպահանջարկիմիջին արժեքը ն քառակուասյին շեղումը 6 շաբաթում («պարբերաշրջանիտնողությունը` 4 շաբաթ» է «մատակարարմանժամանակահատվածը՝ 2 շաբաթ») համապատասխանաբարկկազմեն 6-300--1800 ն «6-50 միավոր արտադրանք: Պահանջարկիբաշխման գծանկարը բերված է ստորն:

|600

Գծ.12

Պատվերի ծավալն ընտրվումէ այնպես, ռր պաշարի մակարդակնաճի մինչն 1 մեծություն: հ/1՛ր իրենից ներկայացնում է միջին արժեքին գումարած 2 քանակությամբշեղումներ, որտեղ

(/-1800)/122,5:

1800)/122.5) 0.08-ի Նորմալ բաշխմանաղյուսակիցգտնումենք՝ 5(2-(Խ(ն 2 Հ1,405, հետնաբար՝հ/ 1800 - (1405-122,5) 1972,1 միավոր: Եզրակազություն՝պաշարները 4 շաբաթը մեկ անգամ ստուգելու ժամանակ պետք է տրվի նոր պատվեր, որի չափը հնարավորությունկտա արտադրատեսակներիպաշարի մակարդակըհասցնել 1972 միավորի: Այս դեպքում հնարավորկլինի սպասարկմանմակարդակըապահովել9222-ի չափով, կամ -

միջինում տարվաընդացքումկլինի պաշարների մեկ պակասոսրդ: Բ

մոդել՝ նվազագույն արժեքի ապահովում

Այն մոտեցումը, որը կիրառվեց Ա մոդելում, կարելի է օգտագործել նան կրկնակի պատվերի գործնականում առավել ընդունելի պարբերաշրջանի տնողությունըորոշելիս: Պաշարի այն ԽԼ մակարդակը, որի դեպքում ստացվում է ընդհանուր տարեկան ծախսերի նվազագույն արժեքը, կարելի է որոշել համանմանոբեն 3.2 ենթաբաժնումտրված եղանակով: Օրինակ 11: Օգտագործելով 8-րդ օրինակի ելակետային տվյալները, որոշել կրկնակի պատվերիտրման հաստատագրվածմիջակայքը: Ը-25000 դրամ/հեռուստացույց ք-475 հեռուստացույց /տարի ՇՀ 125000 դրամ/ հեռուստացույց ՇՀ 18750 դրամ/ հեռուստացույց Շշ- 10000 դրամ/ հեռուստացույց ԼՀ-3 օր:

24.

Լուծում:

բանաձնից` ՂՀ

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Կրկնակի պատվերի լավագույն միջակայքը որոշենք (3.3.1)

475) ՎՕ:25000:)/(18750:

Ենթադրելով,որ

0,07տարի 0,07-300 Հ

2Լաշխատ.օր:

տարին բաղկացած է 50 6-օրյա աշխատանքայինշաբա-

թից, կրկնակի պատվերի տրման առավել ընդունելի միջակայքը գործնականում նպատակահարմարէ համարել 4 շաբաթը: Հերթական պատվերը կատարելիս նրա ծավալը պետք է լինի այնպիսին, որ պաշարներիմակարդակը հասցվի մինչն հ/ մեծություն, որովհետն այդ դեպքում նվազեցվումեն

պահուստային պաշարի պահպանության ն պակասորւդի հետ կապված ընդհանուր ծախսերը: Պահուստային պաշարի ծավալը ռրոշվում է որպես ԽԼ-ի ն կրկնակիպատվերիպահանջարկիմիջին արժեքի տարբերություն: Մեր օրինակում` կրկնակի պատվերի պարբերաշրջանըկազմում է 4.6-24 օր, իսկ մատակարարմանժամանակահատվածը՝3 օր: Այսպիսով, անհրաժեշտ է հաշվի առնել այն միջին պահանջարկը,որ առաջանում է 27 օրվա ընթացքում,այսինքն`(475/300)-27-42,75 հեռուստացույց: Պահուստային պաշարը հավասար կլինի ԽԼ-42,75, իսկ նրանց պահպանության ծախսերը կկազմեն (ԽԼ-42,75)-18750 դրամ/տարի: Մպասվելիք տարեկան այն ծախսերը,որոնքառնչվումեն պաշարի պակասուրդիհետ, կախված են 27 օրվա ընթացքում պահանջարկի տատանումներից:Ցավոք, հետագա հաշվարկները հնարավոր չեն ելակետային տվյալների սղության պատճառով: Գործնականում անհրաժեշտ կլիներ մոտարկելպահանջարկիբաշխումը ն ստուգել նրա հուսալիությունը` հավաքագրելովլրացուցիչ տվյալներ: Միայն դրանից հետո հնարավոր կլիներ կատարել (3.2) ենթաբաժնում արված համանման վերջնականհաշվարկները:

Պատահականընդհատունն անընդհատպահանջարկով պաշարներիկառավարմանմոդել

Ենթադրենք, որ 1 ժամանակահատվածիհամար տրված է 7 պահանխտուջարկի ք(ո) բաշխման օրենքը, կամ Փ(ո) հավանականությունների Է է (ԼՀՏ), ապա ավելցուկ թյունը: Եթե պահանջարկը պաշարից ցածր արտադրանքիգնումը (պահպանությունը,վաճառքը) կպահանջիլրացուցիչ (Տ-ո Շլ ծախս ն 0-Տ) Շշ ծախս, եթե պաշարներըանբավարարեն (:»Տ): Պատահական ընդհատուն պահանջարկի դեպքում, որի բաշխման օրենքը ք(ո) է, ընդհանուր ծախսերի մաթեմատիկականսպասելին ունի հետնյալ տեսքը. 3.4.0 Չ(5)-Ըլ ԴՇ,

Ֆ»(06-

Ֆ6(0(--5):

հաշվի՝ գումարելին

Լ առնոմ գնման (պահպանուԱյստեղ առաջին թյան) այն ծախսերը, որոնք պայմանավորված են (Տ-:) միավոր ավելցուերկրորդը պայմանավորված է պակասուրդի կայինարտադրանքով,իսկ հետնանքով (--Տ) միավորարտադրանքիտուգանքիմեծությամբ:

Հավանականայինմոդելներ

Պատահական անըդհատ պահանջարկիդեպքում, որը տրվում է Փ() խտությամբ Օ(Տ)- ի համար ունենք` հավանականությունների

Չ(5)-Շ|Տ-ռ (ո4ոՒՇ,/6-Տ)0)4::

Պաշարների կառավարմանխնդրի լուծումը տվյալ դեպքում պատասխան է տալիս այն հարցին, թե ինչ` 5 մակարդակի պաշարներ պետք է ապահովել, որպեսզի ընդհանուր Ծախսերի մաթեմատիկականսպասելին ընդունի նվազագույն արժեք: Ապացուցված է (տե'ս |6|), որ այն պետք է բա-վարարիհետեյալ կրկնակիանհավասարությանը. (3.4.2)

Ե(չ Հ Տո-1)ՀՔՀ ԵՍ ՀՏջ),.

որտեղք-ն չբավարարված պահանջարկից առաջացածվնասներիխտություննէ: Պաշարի լավագույն մակարդակը` Տօ-ն, անընդհատ պահանջարկի դեպքում, ըստ տրված ք-ի արժեքի, հնարավոր է որոշել նան գծանկարի միջոցով (տե'ս գծ. 13): Ք(ո)

»-

Տ.

Գծ.13

Օրինակ 12:

Ձեռնարկությունըմտագիր է գնել սարքավորումներիրենց պահեստամասերով:Վերջիններիս միավորի արժեքը 5 պդմ է: Սարքավո-

րումը խափանվելու դեպքում պահեստամասիբացակայության պատճառով ն ծախսերը` կապված նոր պատվերի իրականացման նրա պարապուրդը են հետ, կազմում պդմ: Սարքավորումներիփորձնական բաշխումը ըստ փոխարինվող պահեստամասերիքանակի, տրված է 3.5 աղյուսակում:

Աղյուսակ 3.5

Փոխարինվող պահեստամասերի անակը՝ 7

քանակությամբպահեստամաս փոխարինելուհավամականուունը` Ք(:)

0.90

| լ

00Լ

0.01

Անհրաժեշտէ որոշել պահեստամասերիայն քանակը, որ անհրաժեշտ է գնել սարքավորման հետ, որպեսզի նվազագույնի հասցվեն ընդհանուր ծախսերը:

14.

Լուծում:

Ըստ

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

պայմանի Ըյ

5, Շշ

100, հետնաբար՝

Հ.Մ...

ք-

0952:

5-100 ՇլՀՇչ Պահանջարկիբաշխման ֆունկցիայի հաշվարկված արժեքները տըըված են 3.6 աղյուսակում:

Աղյուսակ 3.6

Տ-Լ

Ե(ԼՀՏ)

0.00

0.90

0.95

0.97

0.99

»6

Լ00

Աղյուսակից երնում է, որ պաշարի լավագույն մակարդակն է Տօ-3, որովհետն այդ արժեքի դեպքումբավարարվում է (3.4.2) անհավասարումը՝ Թ(3) Հ 0.952Հ Ք(4): Օրինակ 13: Լուծել նախորդ խնդիրը ը պատահականպահանջարկի անընդհատության պայմանի դեպքում, երբ այն բաշխված է ցուցչային օրենքով՝ Լ-օ» (թ որտեղ 4- 0.98: Լուծում: Պահեստամասերի պաշարներիլավագույն մակարդակը՝Տօ-0 -

որոշենք1- 6-5 «թ հավասարումից Տ0--

Տեղադրելով4Հ 0.98, ստանում Տօ

Լոք)

ենք

--1 7ո0.02 0.98 »

Այս խնդրի պայմաններումենթադրենք,որ պաշարի սպառումըմիավոր ժամանակումհաստատումն է: Նման իրավիճակը կարելի է պատկերել գծանկարիմիջոցով (գծ. 14):

Հավանականայինմոդելներ

է ԼՏՏ դեպքին, երբ Այստեղ, 14(ա) գծանկարըհամապատասխանում պահանջարկը չի գերազանցումպաշարներիմակարդակը, իսկ 14(բ) գծաճկարը՝այն դեպքին, երբ ք »Տ: Հարկ է նշել, որ իրականում ինչպես ն պատկերված է 14-րդ գծանկարներում,Տ() ֆունկցիայի գրաֆիկը աստիճամաձն բեկյալ է, բայց մոդելի հետազոտումըպարզեցնելուճպատակով մենք այն դիտարկումենք ուղիղի տեսքով: են Պաշարների միջին մակարդակները,որոնք համապլաատասխանում 14(ա) ն 14(բ) դեպքերինհամապատասխամաբարհավասար կլինեն`

86-ԻՑ" Է

Տ, 5126-Տ

լ Տ

--ծ----

-(զ-՝:

պակասուրգը կկազմի՝ վերջին

Միջին պաշարների առնելով,որ էլ-Տ՛Ւ/--ի ն Հ(-Տ)1/2-ի |

Է ժամանակահատվածում, հաշվի

դեպքում

-.-((-Տ)---

ՏՀշՕ

Տ)՛ 1 («-Տ) ՞շ լ Ցո է

Ընդհանուրծախսերիմաթեմատիկականսպասելինհավասար կլինի՝

Հ Տք(ո)/2ո:Ը, Ֆ(ո-Տ)շք(՛/2-: չ 5-26. Օ(Տ)-ը նվազագույն արժեք ընդունումայն 5,-ի 6), Ապացուցված բավարարում հետնյալ Կ համար, աաոթյարը, (ԹԼՀ(Տ-1): (Տ-1) )ՀՔԹՀ|Լ(ոՀՏԺԷ(ԹՏՀ- 1) - Ք(ո)/ո|, Ֆ»Ռ/" կամ պարզեցվածտեսքով` Չ(Տ)-Ըլ

(»ՏԳէ

/-ՏՀ|

որ

որը

125541

Լ(5-1)ՀՔՀԼԹ),

որտեղ Լ(Տ)

43)

ՀՏ)Հ5»1/2) ՖԵ(Թ/ո: օՏ«1

Օրինակ Պահեստավորվածարտադրանքըհավասարաչափծախսվում է մեկ ամսվա ընթացքում: Միավոր արտադրանքի պահպանության ծախսերըկազմում են 1 պդմ, իսկ տուգանքըմիավորի պակասուրդի դեպքում` 20 պդմ է: Արտադրանքի պահանջարկիվերաբերյալ մեկ ամսվա կտրվածքով վիճակագրականտվյալները ներկայացվածեն 3.7 աղյուսակում: 14:

Ադյուսակ 3.7 Պահանջարկը(:) Վիճակագրական

հավանականություն՝ (ո) 0.1 0.2

0.2

0.3

0.)

0.1

0.0

Անհրաժեշտ է որոշել մեկամսյա պաշարի լավագույն մակարդակր:

Սլ

Լուծում:

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Նախ՝ որոշենք օ»-Զ...

ՇլԸչ

20..09524:

Հետագա հաշվարկներիարդյունքներըմիաբերվածեն հետնյալ աղյուսակում. 3.8

ուսակ

20)

0.1

0.2

0.3

0.1

»6|

ՀՑ »-թ

| | |

րը

6 Իշլ

Հո

».

Լ(5)

Թո /

Ք( ՀՏ)

Ք(

1թ»ռ Տ.

0.445

0.2225

0.1

0,3225

0.100

0.145

0.3675

0.3625

0.100

0.045

0.025

0.020

0.1575

0.3 0.5 0.8

0.6675

0.9

0.9900

0.020

0.000

0.0000

1Լ.0000

1.0

1.0000

օօ

0.200

0.000

0.245

0.000

0.0900

0.0000

Տ)է

0.8625 0.9575

Աղյուսակից ընտրենք Տց-ի այն արժեքը, որ բավարարում է (3.4.3) պայմանին: Ակնբախ է, որ դա 5Տցօ-3արժեքն է: Հետնաբար՝ սպասվելիք նվազագույն գումարային ծախսերը կկազմեն` Օ(3)» 1(0.1-3 Հ 0,2:2,5 Հ 0,2:2 - 0,3-1,5) Ժ 1-(0,1:1,125Ւ 0,1:0,9) է Է 20.(0,1:0,125- 0,1:0,4) 2,9095 պդմ: Հ

3.5

Պաշարներիկառավարմանմոդելներ, երբ մատակարարման հապաղումըհաստատագրվածէ ժամանակով

Պաշարների կառավարման`մինչն այժմ դիտարկվող մոդելներում ենթադրվում էր, որ պաշարներիհամալրումըգործնականում տեղի է ունենում ակնթարթորեն: Սակայն մատակարարմանհապաղման ժամանակը որոշ իրավիճակներում այնքան նշանակալի է լինում, որ այն անտեսելչի կարելի ն պետք է մոդելում հաշվի առնել: Դիցուք` 1 ժամանակահատվածումպատվիրվել են ռ քանակությամբ արտադրանքի խմբաքանակներյ̀ուրաքանչյուրը ՇԷ-՛Լ/ո հաճախությամբ պարբերաշրջանում:Նշանակենք Տյպով պաշարի նախնական մակարդակը առաջին 1-րդ պարբերաշրջանի սկզբում,իսկ Տ, դ ն զ-ով՝ համապատասխամճաբար ն համալրման պահանջարկի պաշարի ժամանակահատվածի պաշարի, քանակները: Այդ դեպքում ռ-րդ ժամանակահատվածի վերջում պահեստ

Հավանականայինմոդելներ

զ իսկ կմուտքագրվի չ

սպառումը կկազմի չդ

միավոր արտադրանք,

այսինքն`

Ֆզլ -Ֆո Տո Տլ.ա՞ -

15)

կամ Տո

Տ-ո որտեղ Տ

ՏոպիՀզ

չ:1-

Պահանջվում է որոշել խմբաքանակի հայտի այն ծավալը, որ անհրաժեշտ է պատվիրելվերջին`ո-րդ ժամանակահատվածում: Գումարային ծախսերի մաթեմատիկական սպասելին կորոշվի ըստ (3.4.1) բանաձնի,իսկ պաշարիլավագույն ծավալը՝ (3.4.3) կրկնակի անհավասարումից: Ռրոշելով պաշարի Տց լավագույնմակարդակըն գիտենալովզւզշ,..., զո) մեծությունները,հնարավոր է հաշվարկելվերջին պատվերի զ/-ի ծավալը՝ զո

բանաձնիօգնությամբ:

- Տօ-(Տն.պ.Ւ 2,4.)

Օրինակ 15: Յուրաքանչյուր օր մատակարարվողշուտ փչացող մթերխանութում ընդունվում է հայտը ներկայացվելուց 7 օր հետո: Հերթական պատվերը ներկայացվելու պահին մթերքի պաշարը կազմում էր 10 պդմ: Միավոր թարմ մթերքը նույն օրն իրացվելիս տալիս է 0,95 պդմ եկամուտ, իսկ եթե այդ օրը չի իրացվում, ապա վաճառվում է 0,1 պդմ վնասով: Փորձնական տվյալների հիման վրա ստացվել է տվյալ մթերքի պահանջարկի հետնյալ բաշխումը.

քր

Աղյուսակ 3,9 Ր

Ե(Դ) լ

նւՍ)

0.00

0.08

0.01

0.02

0.03

0.02

0.00

0.05

0.02

0.0)

0.11

0.01

0.0)

|90

0.01

0.13 0.00

| |

0.10 »200 0.00

Հայտը ներկայացվելուց 7 օր հետո անհրաժեշտ է որոշել պատվիրվող մթերքիլավագույն զ, ծավալը: Լուծում: Որոշ հայտերի չբավարարելու հետնանքով վնասների խտու-

թյունը կազմել է`

0,905: 0,95/(0,1-0,95) Պահանջարկի բաշխման ֆունկցիայի հաշվարկված արժեքներր բերված են 3.10 աղյուսակում: ՔՀ

Պաշարների կառավարմանտեսություն

ԼԱլյուսակ 3.10

ԵՏՏ Տ

10 | 10

| 20 | 20 |

30 | 30

Բ(5)-

ԲՏ)-

Տ|՛

են

ԵՐՏ) Է(Տ)-

ՔԱՏ) Է(Տ)-

0.96

0.00

0.16

0.76

0.00

0.27

0.84

0.97

0.39

0.89

0.98

0.03

0.53

0.92

0.99

0.94

1.00

0.08

0.66

Վերը բերված (3.4.9) անհավասարմանը բավարարում է Տօ-120 արժեքը, որովհետնՔ(120) Հ 0.905 Հ Ի(130):Այսպիստով, հանգում ենք հետնյալ եզրակացությանը՝ յոթ օրվա համար լավագույն պաշարը կկազմի 120 պդմ:

Հետնաբար՝պատվիրվողմթերքիծավալըյոթերորդօրվա համարկլինի՝ զշՀ 120 (1-Է(1Օ-20ՒԷ10ՒԷ10-Է20-10))30 պդմ: -

Ստուգողականհարցեր լ.

Ինչպիսի՞ծախսերիցեն կազմվումպաշարներիկառավարմանհամակարգի գումարայինծախսերը:

Ինչպե՞ս է որոշվում մատակարարվող արտադրանքիխմբաքանակների միջն ընկած լավագույն ժամանակահատվածը:

Ինչպե՞ս է որոշվում յուրաքանչյուր խմբաքանակիլավագույն ծավալը մենարտադրանքայինստատիկ մոդելում պակասուրդիբացակայու-

թյան դեպքում: 4.

Ինչպե՞ս է որոշվում պատվերի լավագույն ծավալը պակասուրդովմենարտադրանքայինստատիկմոդելում:

Ինչպե՞ս են որոշվում գումարային ծախսերինվազագույնմակարդակը պակասուրդիբացակայությանն առկայության դեպքում:

6. 7.

Ինչպե՞սեն որոշվում պատվերներիմիջն ընկած լավագույնժամանակի միջակայքըպակասուրդիբացակալությանն առկայությանդեպքում: Ինչպե՞ս է որոշվում արտադրանքիխմբաքանակիլավագույն ծավալը

Ո՞ր մեծությունն

"Նկարագրեք պաշարների լավագույն ծավալի հաշվարկման ստատիկ մոդելում: շարը գնազեղչովմեւռարտադրանքային

արտադրությանոլորտում:

է կոչվում չբավարարված պահանջարկների հետնանքով վնասների խտություն ն դա ի՞նչ կարգավորիչդեր է խաղում պակասուրդովստատիկ մոդելում: քայլա-

Ստուգողականհարցեր 10.

Ինչպե՞ս է որոշվում արտադրանքներիպաշարներիլավագույն ծավալները սահմանափակտարողությամբ պահեստայինտարածքներիդեպ-

քում: 11.

Նկարագրեք դինամիկ ծրագրման մոդելի կառուցվածքը մենարտադրանքայինպաշարների կառավարմանհամակարգերում:

12.

Ինչպիսի՞տեսք ունի անդրադարձայինհավասարումըմենարտադրանքային Ի փուլանոց դինամիկմոդելում:

13.

Պաշարների մակարդակի ո՞ր արժեքի դեպքում պետք է կատարել նոր պատվերիհայտ կրկնվողպատվերիմակարդակայինհամակարգում:

է4.

Ինչպիսի՞ն է ընդհանուր տարեկան ծախսերը կրկնվող պատվերի մակարդակայինհամակարգում:

15.

Որո՞նքեն հաստատագրվածմիջակայքի այն սահմանները,որի ներքո պետք է իրագործելպահանջարկիպատվերը:

16.

Ի՞նչ ծավալովարտադրանքանհրաժեշտ է պատվիրելպարբերաշրջանային համակարգում:

17.

Որոնք ե՞ն կրկնվող պատվերի մակարդակայինհամակարգերումպաշարներիկառավարման Ա ն Բ մոդելներիէական տարբերությունները:

18.

Ինչպե՞սէ որոշվում պաշարներիտրման լավագույն ժամանակահատվածը կրկնվող պատվերիպարբերաշրջանայինհամակարգում:

19.

Ինչպե՞սեն որոշվում պաշարներիլավագույն մակարդակներըպատահական ընդհատուն ն անընդհատ պահանջարկներովպաշարների կառավարման մոդելներում:

20.

Նկարագրեքպաշարների կառավարմանմոդելը, երբ հաշվի է առնվում հաստատագրվածժամանակովմատակարարմանհապաղումը

14.

Պաշարներիկառավարմանտեսություն

Գրականություն լ.

2. 3. 4.

5. 6. 7.

Սահակյան Մ.Ա. ն ուրիշներ. Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկական եղանակներ /Գործույթների հետազոտում. Կառավարման գիտություն/Մաս 1, Երնան, ԷԿԱԳՄԱՀԲ, 1997.

ՂօԿԽՀՇթ. ՃօղողԿՇՇԼՏՇՈՔԻԼՇ ԽՇՂԾՈԵԼ ՃոՆՈՒՅ2

6 Յաւղ./-Խ/Լ.: ԱՇոօ 5 Շօքտո3, 1999. ՈՂ16ք.

ԽՇՇտօրօրճողՇ օոօքատմ

ՀԵՕԽՕԵՍԱՇ.

:ՕԷԼՈ 511997. որօչօ ՒԼ, ՇրաոօֆոուԼԼ.Խ16ւօո»ւ

1էՕԷԼՈՂՆՆ

1997. 8 ոօՀոՇրՕԲՀւած օոօքշլք ճՀ. Թոօրթոտծ

Եւ

Լեւ,

քշր.

ԽՕղաո

1681650618.

ԷԼ ԼԱ.

Բքշխօքո/-ԽԼ:

քօածատք /16ք.

ճուղ./-Ի1.:

օ աաու/- Է/Լ: ոք, 2, /116ք. հ/

ճՄՎոօօաքճողծետծ

-ԽԼ.: Էա ւ2,1977.

ճ. Խ(Եօրել Խօփֆոռո ԽԼ.:փ/ոք,1968.

/1օղ

ոքտւում

Ղա

Ճօոուօշծօքո3.

20342861868ււօ8

մօշտօրօոճճնց

1985.

/116ք.օ Հուո./

32026488

օոշքճոու /16ք.

Փքճու./

8. 9.

. Կօղոո Լնո., Մճճու ՛1. -ԽԼ: ԷԼ գոռ,1968.

7., ճւօֆ 8., ճքոօֆ ՎՇքզուօը Շ

10.

8որյլ./-ի/1.: ԷԼճչւ2,1968.

Մ/ւոտլօո

ՍՏՃ, 11.

ՇԱօդՇ ել Մաքճողծօոոց32Ո2օ85Խ2

Ճճճուտ

Մ/.Ն.Ճ1ԵռջիւՏ.Շ.

Թոոօնօ21

1997.

Ւնաօտ Բ, Լմեօոոճո

ՍՏՃ,

71. Թոօրօճոօ 8 ոօօղօրօոճմտծ

Օ. 1ոնօմսօնօո

Յուղ./

/116ք. ՕԱՇքոոտն

ՏՇԼՇոօօ,Ծածսր/ ԲոՇՏՏ, Խ1ճոճթծողծու էօ

1993.

Բ, Քքքօո Օ, Տօհոււմ: Քոջլաօօմ ԸԼԷ5 ,1991.

/116ք.6

օքօՃնօոտ1օտ68ոշհ.

Խ1ԼՇՕՐԾՅ էլե

Ը, 1Լոնօմսօէօո/ տճոճջօտծու Տ616ոօշօ. ԻՎ.Մ.:

12.

Օօսյմ

13.

ՏՇ1Շոօօ. Քւօուօօ Տհօքշո Ճ.ԽԼճոճջծոծոլ

-Մ2Ր՛

ԷԼՅԱ,ՍՏՃ, 1988.

Ճ.

ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ

ԸՆԴՈՒՆՄԱՆ

ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐ

Ներկան անգո է, անցյալն՝ անորոշ,

գալիքն՝անստոյգ,... Գրիգոր Նարեկացի, Մատյանողբերգության, բան Ծ,Ե,Գ, Ե.

1979:

Մուտք Ժամանակին ն ճիշտ որոշումների ընդունումը ամեն մի անհատի ն հատկապես ղեկավարի գործունեության առանցքն է: Սխալ ն պարզապես անհեթեթ որոշումները կարող են ունենալ անուղղելի, իսկ հաճախ նան ճակատագրականհետնանքներ: Ուստի որոշումներ ընդունելիս շատ կարնոր է, որ բոլոր հնարավոր միջոցներն օգտագործվեն «լավագույն» որոշումը գտնելու համար: Որոշումներ ընդունելիս անհրաժեշտ է հստակ ձնակերպել, թե ինչ է նշանակում«լավագույն» որոշում, ում համար է այն լավագույննն ինչ նպաէ Միննույն տակով ընդունվում: իրավիճակումորոշում ընդունող տարբեր անձինքկարող են կայացնելմիմյանցից տարբեր, իսկ հաճախ նան հակադիր որոշումներ: Այս իմաստով «լավագույն» որոշումների ընդունումը կախված է որոշումներ ընդունող անձի նախապատվություններից, նրա հետապրնդած նպատակներից,փորձառությունից ն այլ սուբյեկտիվ գործոններից: «Լավագույն» որոշումներ անձը կարող է ընդունել ինչպես ներրմբռնման, տրամաբանական,այնպես էլ տարբեր մաթեմատիկականեղանակների օգնությամբ: Անկախ որոշումներ ընդունող անձի ճախապատվություններիցն ճրա կողմից օգտագործվող եղանակներից, «լավագույն» որոշումներ կայացնելու համար անհրաժեշտ Է իրականացնել հետնյալ րնթացակարգերը: » Ձնակերպելլուծվող հիմնահարցինպատակները: » Ընտրել որոշումներիգճահատման չափանիշները: » Որոշել հիմնահարցի լուծման հնարավոր տարբերակները: » Յուրաքանչյուրտարբերակիհամարկանխատեսելհնարավոր ելքերը: » Գնահատել առանձին ելքերի արդյունքները: » Ըստ տրված չափանիշների րնդունել «զավագույն» որոշումները: Որոշումների ընդունման խնդիրները ն դրանց լուծման ելանակները շատ բազմազան են: Այդ խնդիրները կարող են դասակարգվել րստ տարբել հայտանիշների: Օրինակ՝ ըստ որոշումներիգնահատմանչափանիշների թվի տարբերում են մենաչափանիշ ն բազմաչափանիշորոշումների ընդունման խնդիրներ: Մենաչափանիշ խնդիրների լուծման տարբեր եղանակներին

Ճ.

Որոշումներիընդունմամճ հիմունքներ

մենք ծանոթացել ենք առաջին հատորում || ն սույն գրքում: Ըստ անորոշությունների գործոնի` տարբերում են` որոշակիության (դետերմինիկ) ն անորոշությունների(կամ ռիսկային) պայմաններում որոշումների ընդունման խնդիրներ: Որոշումների ընդունման դետերմինիկխնդիրներըբնորոշվում են լուծվող խնդրի մասին ամբողջական ն հավաստի տեղեկատվության առկայությամբ: Այս տեսակի խնդիրներիցեն առաջին հատորից մեզ ծանոթ մաթեմատիկականծրագրմանխնդիրները: Երկրորդ դասի խնդիրճերը ըստ անորոշություններիտեսակի բաժանվում են` հավանականային, «բնական» ն վարքի անորոշություններով խնդիրների: Ըստ որոշումներ ընդունողների թվի տարբերում են` որոշումների անհատապեսն խմբովի ընդունման խնդիրներ: Այս բաժնում կդիտարկվենանորոշությունների(ռիսկի) պայմաններում, մենաչափանիշն երկչափանիշ անհատականորոշումներիընդունմանխընն լավագույն որոշումների ընդունդիրճերում օգտագործվող ման եղանակները:

չափանիշները,

Որոշումներիընդունմանտարրեր

Որոշուների ընդունման ժամանակ անհրաժեշտ է առաջնորդվել որոշակի չափանիշներով:Եթե որոշված են հիմնախնդրիճպատակները,ապա որոշումներ ընդունողն ընտրում է հնարավոր որոշումների (լուծումների) գնահատման չափանիշները ն լավագույն որոշումի ընդունման եղանակները: Մենք կդիտարկենք`՝ » առանց ելքերի հավանականության արժեքների օգտագործման (կամ վարքի անորոշություններով)որոշումներիընդունմանխնդիրներ: » ելքերի հավանականությանարժեքների օգտագործմամբ(կամ հավաճականայինանորոշություններով)որոշումներիընդունմանխնդիրներ: Վերն ասվածըկքննարկենքհետնյալ օրինակով: Օրինակ 1: Ենթադրենք դուք «Առագաստ» սրճարանի տնօրենն եք: Հաճախորդներիպահանջարկըբավարարելուհամար ամեն առավոտ դուք պետք է գնեք որոշակի քանակությամբ գաթա: Նախորդ օրերին գաթայի պահանջարկիտվյալներըբերված են 1-ին աղյուսակում: Նղյուսակ 1 Գաջայի օրական սլահանջարկը 10 | 15 | 15 հաճախականությունը Բացարձակ '

Հարաբերականհաճախականությունը (հավանականությունը)

0.1

Դիցուք՝ դուք գաթան կարող եք գնել հատը 70 դրամով ն սրճարանում վաճառել 130 դրամով: Որպեսզի սրճարանը լավ համբավ ունենա դուք

մ.

Որոշումների ընդունմանտարրեր

հաճախորդներինմիշտ մատուցում եք թարմ գաթա, իսկ օրվա ընթացքում չիրացված գաթաները երեկոյան վաճառում եք հատը 30 դրամով: Ինչպես երնում է 1-ին աղյուսակից, ամեն առավոտ դուք կարող եք գնել 1-ից 5 գաթա: Ձեզ հարկավորէ որոշել ամեն առավոտ սրճարանիհամար գնվող գաթաներիքանակը: 1.1

Որոշումներիընդունմանչափանիշներ

Վերը բերված խնդիրը ուսումնասիրենք որոշումների ընդունման տարբեր չափանիշների օգնությամբ: Այս դեպքում որոշումների ընդունման համար օգտվում են մաքսիմաքսի, մաքսիմինի,մինիմաքսի,Գուրվիցի, Սնիջի նայլ չափանիշներիցն դրանց համապատասխանեղամճակներից: Նշենք, որ անորոշությանպայմաններումորոշում կայացնելիս (ինչքան գաթա գնել) դուք չեք կարող վերահսկել դրանց համապատասխան ելքերը (ինչքան գաթա կվաճառվի), քանի որ դրանք պայմանավորված են հաճախորդների պահանջարկով: Այսինքն` դիտարկվող խնդրում ռրոշումների ելքերը «անորոշության գործոններ» են: Լավագույն որոշման ընտրության համար կազմենք հնարավոր լուծումների ն դրանցհամապատասխանելքերի Ճ-|ոչ| մատրիցը,որտեղ 4.-0 լ որոշման նյ ելքի դեպքումեկամուտիկամ կորուստիարժեքնէ: Դիտարկվող խնդրի բոլոր լուծումների ն ելքերի համար եկամուտների արժեքները բերված են 2-րդ աղյուսակում: Աղյուսակ 2 Վաճառքի համար առկա գաթայի քանակը ըը Ա ը ին

Հնարավորելքերը. գաթայի օրակա 0

պահանջարկը

նոո)

է20

120 180 140

| Լ

| Է

.100

Գտնենք խնդրի լավագույն լուծումները որոշումների ընդունման տարբեր չափանիշների դեպքում:

Մաքսիմաքսիչափանիշ Այս չափանիշի դեպքում լավագույն որոշումն ընտրվում է առավելագույն եկամուտիմաքսիմացման պայմանից: Մկզբում, րստ եկամուտների Ճ մատրիցիտողերի,որոշվում են այնուիետն՝ Ա.

ոււ(4:յ)-երը,

մանիցընտրվումէ լավագույն որոշումը:

ողո» ոճո(ճպ) պայ-

24.

Որոշումների ընդումման հիմունքներ

3-րդ աղյուսակում բերված են բոլոր հնարավոր ռրոշումների համար առավելագույնեկամուտները:Ինչպես երնում է աղյուսակից, այս չափանիշի դեպքում ամեն առավոտ սրճարանըպետք է գնի 5 գաթա: սակ

Օրվա ընթացքումառկա ան

Օրվա առավելագույնեկամուտը,

առա

Նշենք, որ նման չափանիշի դեպքում, երբ որոշումն ընդունվում է ըստ հնարավոր առավելագույն եկամուտի մեծության ն անտեսվում են մյուս տարբերակները,ընդունված որոշումը կապված է մեծ ռիսկի հետ ն համապատասխանումէ խադամոլիվարքին: Բ. Մաքսիմինիչափանիշ Այս չափանիշը համապատասխամումէ որոշումների ընդունման հռռետեսականմոտեցմանը:Լավագույնն է համարվումայնպիսի որոշումը, որը է նվազագույն եկամուտը:Սկզբում եկամուտներիՃ մատրիմաքսիմացնում -ն, որից հետո ցից հաշվում են պայմանից գտնվում է

ոլոլոյ)

ոճ:ուո(4.)

լավագույն որոշումը: սակ

Օրվա ընթացքում առկա

Օրվա նվազագույնեկամուտը, 60 Հ-

Դիտարկվող խնդրում նվազագույն եկամուտներիարժեքները բերված 4-րդ աղյուսակում: Մաքսիմինիչափանիշի համաձայն սրճարանը ամեն առավոտ պետք է գնի մեկ գաթա: Գ. Մինիմաքսիչափանիշ Աիս չափանիշիդեպքումլավագույն է համարվումայնպիսիորոշումը,որը մինիմացնումէ առավելագույնհնարավորկորուստները:Այս դեսյքումՃ մատրիցի տարրերը ցույց են տալիս տարբերելքերինհամապատասխանողհնարավոր կորուստներիարժեքները:Բոլոր լուծումներիհամար հաշվարկվումեն առավելա գույն կորուստներիարժեքները` ոոշ.(8.յ)-ն, այնուհետն ընտրվումէ են

)

Ո(ճ.յ)-ի )

Որոշումներիընդունմանտարրեր

նվազագույնարժեքն ապահովողլուծումը՝

ուլը ոճ(8,)-ն:

Օրի-

նակ, եթե գաթայի պահանջարկը հավասար է 2-ի ն սրճարանը գնել է 2 ապա նրա եկամուտը կկազմի 120 դրամ: Եթե նույն պահանջարկի դեպքումսրճարանըգնել է 3 գաթա, ապա նրա եկամուտըկկազմի 80 դրամ, իսկ հնարավոր կռրուստը՝ 40 դրամ: Այս 40 դրամը անվանում են բաց թողնված եկամուտ կամ հնարավոր կորուստ: Դիտարկվող խնդրում սխալ որոշումներիդեպքում հնարավոր կորուստներիարժեքները բերված են 5-րդ աղյուսակում, իսկ տարբեր ելքերի համար առավելագույն հնարավոր կորուստները՝6-րդ աղյուսակում: գաթա,

Աղյուսակ

Հնարավորելբերը. գաթայիօրական

Վաճառքի համար առկա գաթայի քանակը (լուծումների տարբերակճեր)

պահանջարկըյ

Աղյուսակ 6 Օրվա ընթացքումառկա գաթայի քանակը

Օրվա ընթացքումառավելագույն հնարավոր կորուստը, (լրամ)

նվազագույնը Հ-նվազագույնը

Հ-

Ինչպես երնում է 6-րղ աղյուսակից, այս չափանիշի դեպքում լավագույն որոշումը համապատասխամումէ սրճարանի կողմից օրական 3 կամ 4 գաթա գնելուն: Այս դեպքում երկու որոշումներն էլ համարժեք են: Դ. Գուրվիցի փոխզիջումայինչափանիշ Գուրվիցի չափանիշը ծայրաստիճան լավատեսական ն հոռետեսական հ ն 1- հ կշռային գործակիցների վարքերիմիջն հաշվեկշիռ է հաստատում հօ ն միջոցով, որտեղ (0,1) միջակայքին կոչվում է հռռետեսության գործակից: Այս չափանիշի դեպքում լավագույն որոշում ընդունելու համար սկզբում ընտրվում է հ գործակիցը: Եթե Ճ մատրիցի տարրերը ցույց են տալիս տարբեր ելքերի դեպքում հնարավոր եկամուտները, ապա որոշվում են ՀԱՈ.1ա)

հոճուոյհյուոճ,

արժեքները,իսկ հնարավորկորուստներիդեպքում որոշվում են

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

ՀԱ1-հ)յոչւյյ

լոմ )

Ո.ւլբ)

)

արժեքները: Լավագույն որոշումն ընդունվումէ հետնյալ պայմաններից.

որ '

լհոո» յ

Է(-հյուոճ,) յ

ուոլհուոճ,Հ(1- հ)ոո»ոյ|:

(1.2բ)

(12ա)

Գուրվիցի չափանիշի դեպքում սկզբում հաշվում են լավագույն ն վատագույն տարբերակները:Այնուհետն (1.1ա) ն Ո.1բ) բաճաձներովորոշվում են գումարային միջինները: Լավագույն որոշումն ընդունվում է համաձայն (.շա) ն (.2բ) չափանիշների: Խնդրի հ գործակիցը, եկամուտների լավագույն ն վատագույն արժեքները բերված են 7-րդ աղյուսակում: Աղյուսակ

Օրվա

ընթացքում

առկա գաթայի

Օրվա

եկամուտը,

(դրամ)

ցածր | բարձը|

քանակը

ո Ընդամենը Աաաա (օր/դրամ)

2.4

24.

0.6

3.6

|-40|

140«-

առավելագույնը

Նվազագույն եկամուտն ստացվում է մեկ գաթայի, իսկ առավելագույնը՝ գաթայի գնման դեպքում: Եթե հոռետեսությանհ գործակիցըհավասար է 0.4-ի, ապա ըստ Գուրվիցի, լավագույն որոշումն է 5 գաթայիգնումը' Տ

Սնիջի ափսոսանքիչափանիշ Սինիմաքսի չափանիշը այնքան «հոռետեսական» է, որ հաճախ կարող է բերել ոչ տրամաբնականորոշումների: Սնիջի չափանիշը թույլ է տալիս ուղղել վիճակը կորուստներինոր 8 մատրիցիներմուծմամբ: 8 մատրիցը կոչվում է «ափսոսանքի»մատրից,իսկ նրա տարըերը ցույց են տալիս «իրական ն ամենաբարենպաստլուծումների միջն» «ափսոսանքի» արժեքը: 8 մատրիցիԵլ տարրերըորոշվում են հետնյալ բանաձնից՝ (8.)-8յ» եթե ոյ եկամուտ է Ե.

յ-

Ի-ոլռ ոո

(8)»

եթե ճյ կորուստ է

որտեղ Ե տարրերըհավասար են )-րդ սյունակի լավագույն` ոոճ(8լյ)արժեքի ն

8-ի տարբերությանը:Այսպիսով,Ել-երըարտահայտումեն

ընդուորոշում

Որոշումներիընդունմանտարրեր

նողի «ափսոսանքը»,երբ նա յ ելքի դեպքում չի ընդունելլավագույն որոշում: Սնեիջիչափանիշի դեպքում անկախ նրանից, թե Ճ մատրիցի Ճյ տարրերը եկամուտներ են, թե կռրուստներ Ց մատրիցի տարրերը կորուստներ են: Հետնաբար Սնիջի չափանիշի դեպքում լավագույն որոշումը ընդունվում է միայն մինիմաքսիչափանիշիօգնությամբ. ուոոտ»(ել): ) :

Մեր խնդրումլավագույնորոշումն է 5 գաթայի գնումը: Ինչպես տեսնում ենք տարբեր չափանիշների դեպքում ստացվում են տարբեր արդյունքներ: Զ. Առավելագույնհավանականությանչափանիշ Այս չափանիշի դեպքումլավագույն որոշումն ընդունվում է համաձայն ամենահավանականեկամուտներիմաքսիմացման պայմանի: Հիշեցնենք,որ դիտարկվողխնդրումգաթայի պահանջարկիհավանականությունները տրված են 1-ին աղյուսակում: Առավելագույն 0.3 հավանականությունը համապատասխանումէ 3 ն 4 գաթայի պահանջարկին: Այժմ դիտարկենք այս ելքերի համար եկամուտները ն ընտրենք դրանցիցառավելագույնը ( տե՛ս. աղ.8): Աղյուսակ 8

Օրվա ընթացքում

առկագաթայիքանակը

Օրվա առավելագույն եկամուտը (դրամ) 180, երբ գնված է 3

240, երբ գնված է

4 ն

ավելի

ավելի Հ-առավելագույնը

Պարզ է, որ այս չափանիշի դեպքում սրճարանը պետք է գնի 4 գաթա: Է. Միջին արժեքի օպտիմացմանչափանիշ Որոշումների ընդունման խնդիրներում հավանականություններիօգտագործման ամենատարածված եղանակը եկամուտների կամ կորուստների միջին արժեքների Շպտիմացումնէ: Այս դեպքում լավագույն որոշումն ընտրվում է համաձայն միջին եկամուտիմաքսիմացման կամ միջին կորուստի մինիմացման չափանիշի: Մենք կօգտվենք միջին եկամուտներիմաքսիմացման չափանիշից: Դիցուք՝ Է(ո)-ը միջին եկամուտն է` Է(ո)-

Հք,

էՀ)

Այստեղ ու-0 ն թ-ն 1-րդելքի եկամուտի ն հավանականությանարժեքներն են, իսկ ո-ը՝ ելքերի քանակն է: 5 գաթայի գնման դեպքում Խ(ո)-ի արժեքը հավասար է` 0.1չ«- 100)-(0.2»«0.0)-Է(0.3»2«100)Է(0.32«200)Հ(0. Ե(ո) 12300)Հ 110դրամ: Այսինքն՝ սրճարանի օրական միջին եկամուտը կկազմի 110 դրամ: 9-րդ աղյուսակում բերված են տարբեր որոշումների դեպքում սրճարանի միջին եկամուտի արժեքները: Հ

ձ6

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Ճ.

Աղյուսակ

Գաթայի

Օրվա եկամուտը(դրամ) Օրվա ընթացքում գնված գաթաներիքանակը (լուծումների տարբերակներ)

օրական

հնարավոր

պահանջարկը լ

Հավաճականությունը

0.1

0.2

0.3

.240

0.1

Ինչպես հետնում է 10-րդ աղյուսակի տվյալների վերլուծությունից, սպասելի եկամուտների առավելագույն արժեքը հավասար է 140 դրամի: Լավագույն ռրոշմանըհամապատասխանումէ 3 կամ 4 գաթայի գնումը: Աղյուսակ 10

Հնարավորելքերը, գաթայիպահանջարկը օրվա ընթացքում

Օրվա ընթացքում գնված գաթամերի

(լուծումների տարբերակներ) քանակը

Օրվա սպասելի եկամուտը (դրամ)

Կորուստներիմինիմացման դեպքում որոշումներիընդունման համար օգտվում են կորուստների աղյուսակից ն հնարավոր ելքերի հավանականություններից(աղյուսակ 11): Աղյուսակ 11

Հավանակաառկա գաների ավոր Աոբարքում նությունը քանակը պահանջարկը լ Հնարավոր

Հնար ելքերը՝ օրվա

կորուստը,

օրվա

0.1

0.2

0.3

0.1

մ.

Որոշումներիընդունման տարրեր

Լավագույն համարվում է այնպիսի որոշումը, որն ապահովում է նվազագույն միջին կորուստ: Ինչպես տեսնում ենք 12-րդ աղյուսակից, դիտարկվող խնդրում նըրվանս լավազագույն կորուստը հավասար է 46 դրամի: Այսինքն` այս դեսպյքում է 3 կամ գաթա գնելը: գույն լուծմանը համապատասխանում Աղյուսակ

Հնարավորելքերը, օրվա պահանջարկը |

Օրվա լ

առկա գաթաներիքանակը ընթացքում

Օրվա սպասելի

հնարավոր

կորուստը (դրամ)

1.2

Հավաստիտեղեկատվությանարժեքը:

Որոշումների ընդունման խնդիրներումանորոշությունը կարելի է փոքրացնել լրացուցիչ տեղեկություններ հավաքելով: Հասկանալի է, որ նման տեղեկատվության համար հարկավոր է վճարել: Այն առավելագույն գումարը, որ նման դեպքում պետք է վճարել կազմում է հավաստի տեղեկատվության արժեքը: Եթե նախօրոք հայտնի է, թե ինչպիսի ելք կիրականանա, ապա կարելի է ընդունել այնպիսի որոշում, որն ապահռվի առավելագույն եկամուտ: Օրինակ, «Առագաստ» սրճարանի խնդրում ճշտելով հաճախորդներիկողմից գնվող գաթաների քանակը, կարելի է հասնել առավելագույն եկամտի: Գնվող գաթամերի քանակի վրա այստեղ ազդում է դրանց պահանջարկը: Սպասվող միջին եկամուտը հավասար է` 60:«Օ0.ԷԷ 1202«0.2- 18020.3--:2402«0.3-:300»«0. Է- Լ86 դրամ Հավաստի տեղեկատվության արժեքը հավասար է ստացված միջին եկամռիտի՝ 186 դրամի ն առանց հավաստի տեղեկատվության առավելագույն սպասելի միջին եկամուտի՝ 140 դրամի, տարբերությունը` 186 140 46 դրամ: Այսպիսովհավաստի տեղեկատվությանարժեքն է 46 դրամ: Եթե հայտնի է հավաստի տնղեկատվության արժեքը, ապա հայտնի է այն առավելագույն գումարը, որ կարելի է վճարել ելքերի հավանականությունների մասին լրացուցիչ տեղեկություններիհամար: Դիտարկվող լխրնդրում գաթայի պահանջարկի մասին ճշգրիտ տեղեկատվության համար սրճարանը կարող է վճարել օրական 46 դրամ:

Ճ.

Լ3

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Ռիսկի գնահատմանհամար միջինարժեքին կանոնականշեղման օգտագործումը

միջին կորուստների լավագույն որոշումներ ընդունելու համար նախորդ բաժնում մենք օգտվեցինքեկամուտների կամ կռրուստներիաղյուսակներից: Այդ աղյուսակները հաճախ լրացվում են նան հնարավոր տարբեր ելքերի եկամուտների հավանականությունների արժեքներով, ռրոնց վերլուծությունը թույլ է տալիս գնահատել յուրաքանչյուր հնարավորորոշման ռիսկիաստիճանը: Որոշումների ռիսկի գնահատման համար սովորաբար օգտագործում են եկամուտներիմիջին քառակուսային՝կանոնականշեղումը կամ ցրվածքը: Դիտարկենք երկու ներդրումներիեկամտաբերությանն ռիսկի համեմատման խնդիրը: Օրինակ 2: Դիցուք` տրված են երկու ներդրումներիհնարավոր զուտ եկամուտներըն դրանց հավանականությունները(աղյուսակ 13): Ըստ միջին եկամուտների կամ

սակ

ամեմատ

Զուտ ն.

եկամուտը

-2Զ

-լ

Հա Ան Բն

0.1

0.1 0.1

0.2 0.1

0.3 0.1

0.2 0.1

0.2 0.2

0.2

Առաջին ներդրմանհամար միջին եկամուտըհավասար է Է-(-32Օ)է(-2»0)(-1»«0. 1)-Է(0»0.2)Է(1»«0.3)-Է(2»0.3)-Է(320.2)ՒԷ(420Հ1200000 դրամ: Երկրորդ ներդրմանդեպքում` Եշ-(-3»0.0)Է(-220)(-159.1)-Ւ(020.13)-Է(1»0.1)-0»«0. 0-ԷԹ»«0.2)Է(4«0.2)11100000 դրամ: Եթե համեմատենք միայն ներդրումների միջին եկամուտները,ապա ակնհայտ է, ռր առաջին ներդրումը լավագույնն է: Սակայն նման գնահատականը հաշվի չի առնում դիտարկվող ներդրումների ռիսկը, այսինքն` հնարավոր արդյունքների ցրվածքը: Այս խնդրում ճերդրումներիոիսկը կարելի է գնահատելդրանց եկամուտներիցրվածքի կամ միջին քառակուսային (կանոնական)շեղման՝ Օ-ի օգնությամբ: Հավանականություններիբաշխման ցրվածքը Ժ՞՛ կարելի է որոշել հետնյալ բանաձնով. օ- թու -(8(ո)՛, որտեղ ող.-ն1-րդներդրմանեկամուտնէ, իսկ թ-ն տվյալ եկամուտիստացմաճ հավանականություննէ: 14-րդաղյուսակումբերված են երկու ներդրումների միջին եկամուտներիարժեքներըն համապատասխանհաշվարկները:

մ.

Որոշումներիընդունմանտարրեր

Եկամուտը

ներդրում

0.1

-0.1

0.)

0.2

0.3 0.2 0.2

0.3 0.4 0.6

0.3

1.0

1.2

3.0

0.8 1.8

Առաջին ներդրմանհամար՝

Ժ2»-3.0-(12)-» 1.56:

Որտեղիցներդրմանռիսկիհամարկստանանք`

-՛Վ156-1.25

մլն. դրամ: Երկրորդներդրմանռիսկիհամար համապատասխանաբար՝ ժլ

օ:-69-(Լ1)Հ

569,

օչ-

2.385

մլմ դրամ:

Ինչպես երնում է ստացված տվյալներից, առաֆջիններդրման ռիսկը ավելի փոքրըէ, քան երկրորդինը (1.25Հ2.385) ն եթե որպես որոշումների ընդունման չափանիշ օգտագործվի ռիսկի մեծությունը, ապա ակնհայտ է, որ նախապատվությունըպետք է տրվի առաջին ներդրմանը: Դիտարկվող խնդրում ինչպես ցույց է տալիս սպասելի եկամուտների ն ռիսկի համեմատությունը, նախընտրելինառաջին ներդրումնէ: 1.4

Որոշումներիօգտակարությանգնահատում

Դիտարկվածօրինակների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ որոշումների ընդունման միննույն խնդիրը լուծելիս տարբեր չափանիշների կիրառումը կարող է հանգեցնել տարբեր լուծումների: Քննարկման ժամանակ մենք հաշվի չառանք, թե այդ չափանիշներն ընտրող անձը ինչին է նախապատվություն տվել: Այսինքն` որոշումների ընդունման ժամանակ այդ անձը որքանով է հակված ռիսկի դիմելու, կամ կրա համար ինչ արժեք ունեն տվյալ մեծությամբ եկամուտր կամ կորուստը: Օգտակարությանվերլուծությունը ռրոշում ընդունողին թույլ է տալիս ըստ իր նախապատվություններիգնահատել տարբեր որոշումների օգտակարությունը ն վերը քննարկված չափանիշներիօգնությամբ դիանցից ընտրել լավագույնը: Քանի որ եկամուտների(կամ կռրուստմերի)միննույն արժեքները որոշում ընդունող տարբեր անձանց համար կարող ենճ ունենալ տար-

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

բեր օգտակարություն,ապա հասկանալի է, ռր որոշումներիընդունման միննույն չափանիշիդեպքումնրանքկստանանտարբեր«զավագույն»լուծումներ: Օրինակ 3: Ասվածը քննարկենք 500 պդմ ներդրումներիերկու տարբերակների համեմատման օրինակով: Առաջին տարբերակի համաձայն գումարը կարելի է ներդրել ռիսկազերծ գործարքի մեջ տարեկան 105--ով ն տարվա վերջին ստանալ 550 պդմ: Ըստ երկրորդ տարբերակի, գումարը կարելի է ներդրելռիսկավոր գործարքի մեջ ն տարվա վերջին կամ ստանալ 1000 պդմ, կամ կռրցնել ամբողջ գումարը: Տեսնենք թե ինչպիսինէ 550 պդմի օգտակարությունըորոշումներ ընդունող տարբեր անձանց համար: Դիցուք` առաջին ներդրոդը ուսանող է, որն այդ գումարով պետք է վճարի իր հաջորդ տարվա ուսման վարձը: Այս գումարի կորուստը նրան կզրկի ուսումը շարունակելու հնարավորությունիցուստի այդ ներդրման օգտակարությունընրա համար շատ բարձը է: Օգտակարությանգնահատման համար ուսանողին առաջարկենք ճախքան որնէ որոշում կայացնելը գնահատել այն առավելագույն Ք հավանականությունը, երբ 550 պդմ հավաստիռրենստամալու կամ Ք հավանականությամբ 1000 պդմ ստանալու ն Լ-թ հավանականությամբ կրախիմատնվելուելքերըիր համարհամարժեքեն: Դիցուք` Թ-0.95: Եթե Ս(2)-ով նշանակենք 2 գումարի օգտակարությունը, ապա՝ Սւ(550) Ե Ս(1000)--(1-Ք) Ս(0): Եթե Ս(0)-ն ընդունենք հավասար է0-ի, իսկ Ս(1000)-100-ի, ապա 550 պդմ-ի օգտակարությունըկգնահատվի95 միավոր: Պետք է նշել, որ օգտակարության սանդղակը կարող է ընտրվել կամայականորեն: Գործնականում հաճախ են օգտագործվում |0.1) ն |0.100)միջակայքերը: Այսպիսով դրամական 0-550-1000 սանդղակըփոխարինվեցօգտակարության 0-95-100 սանդղակով: Դիցուք՝ երկրորդ ներդրողը 500000 պդմ դրամագլուխ ունեցող ձեռներեց է: Հասկանալի է, ռր 500 պդմ-ի կորուստը նրա համար էական նշանակություն չունի, ն որոշման ընդունմանժամանակ ռիսկը մեծ դեր չի խաղում: Ձեռներեցին նույնպես առաջարկենքգնահատել Ք հավանականությունը: Դիցուք` այս դեպքում Ք-0.2-ի: Հետնաբար 550 պդմ-ի օգտակարությունը նրա համար հավասար կլինի՝ Սշ(550) 02«Ս(1000)-0.8«ՆՍ(0) 0.2»4100 20: Այսինքն` ձեռներեցի համար 550 պդմ-ն ունի 20 միավոր օգտակարություն: Այս դեպքում գումարային 0-550-1000 սանդղակըփոխարինվումէ 0-20-100 օգտակարության սանդղակով: Այսպիսով միննույն գումարային սանդղակը կարելի է փոխարինել տարբեր օգտակարության սանդղակներով: Օգտակարության սանդղակի կիրառման առավելություններիքննարկման համար դիտարկենքճերդրումների հետ կապված միջին եկամտիմաքսիմացման հետնյալ խնդիրը: Օրինակ 4: Դիցուք` դուք ունեք 5000 պդմ բնակարանգնելու համար: Նման գումարը չի բավարարումբնակարան գնելու, ն դուք պատրաստ եք -

Որոշումներիընդունմանտարրեր

պդմ ներդրել դրնէ գործարքի մեջ: Ձեզ առաջարկվում է գումարի ներդրմաներկու տարբերակ: Առաջինիդեպքում գումարը տարեկան 902-ով ներդրվում է բանկում, ն տարվա վերջին դուք ստանում եք 5450 պդմ: Երկրորդ տարբերակիդեպքումգումարը ներդրվումէ ռիսկավորգործարքիմեջ, որի հաջողության հավանականությունըհավասաը է 0.3-ի ն տարվա վերջին դուք կարող եք ստանալ 30000 պդմ: Գործարքի ձախողման դեպքում` 0.7 հավանականությամբդուք կարող եք կորցնել 5000 պդմ գումարը: Յուրաքանչյուր տարբերակիեկամուտներըբերված են ւտորն:

Աղյուսակ

Հնարավորելքերը Հաջողված գործարք Չհաջողված գործարք Միջին եկամուտը (պդմ)

Գումարի ներդրման հնարավոր տարբերակները

Գործարք

Բանկ

30000

0.3

0.7

րոն

Ինչպես երնում է աղյուսակից, ըստ դրամական սանդղակի առավելագույն միջին եկամուտը ստացվում է գումարը գործարքի մեջ ներդնելու դեպքում: Սակայն ճման ներդրումըկապվածէ մեծ ռիսկի հետ, ն գործարքիձախողման դեպքում դուք կկորցնեք ամբողջ գումարը ն տուն գնելու հնարավորությունը: Օգտակարությանսանդղակը ունի հետնյալ տեսքը. նվազագույն եկամուտ 0 պդմ, առավելագույն եկամուտ 30000 պդմ: Այսինքն` Ս(0)-0 ն Ս(30000)-100 միավոր: Նախորդ օրինակի նմանությամբ որոշենք 5450 պդմ-ի օգտակարությունը: Դիցուք` գործարքի հաջողության 0.6 հավանականության դեպքում ներդրման երկու տարբերակներն էլ ձեզ համար համարժեք են: Հետնաբար,առաջին ներդրմանօգտակարությունը՝ Ս(5450)-ր հավասար կլինի` Ս(5450) 0.62«Ս(30000) Ժ 0.4»«Ս(0) 0.64 100 40.4»«0-60 /միավոր/: Դիտարկվող խնդրի համար օգտակարության գնահատականներըբերված են 16-րդ աղյուսակում: -

Աղյուսակ

Գումարի ներդրման

Հնարավորըելքերը Հաջողվածգործարք Չհաջողված գործարք Միջին օգտակարությունը

հնարավոր տարբերակները | Հավանականություն Գործարք

Բանկ -

0.3

0.7

Ինչպես հետնում է աղյուսակից ըստ առավելագույն միջին օգտակարության լավագույն լուծմանը համապատասխանում է գումարի ռիսկավզերծ

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

ներդրումը,որը առավելագույնմիջին եկամտիչափանիշիհամաձայն ընդունարդյունքըպայմանավորվածէ գործարքի հաջողության մեծ ռիսկով: Այդ ռիսկի գնահատման համար կառուցենքօգտակարության գնահատականներիեկամուտներիցկախման կորը: (0,Ս(0))-(0,0) ն (30000,Ս(30000))-(0,100) կետերը միացնելով կստաճանք մի ուղիղ գիծ (տե՛ս գծ. 1). ված որոշման ուղղակի հակադարձնէ: Նման

Սմ 100Ւ-80

Օգտակարության գնահատական ռիսկիչդիմող

Ւ--Պ

շ01-.,

ռիսկի դիմող , Լ

74Եկամուտ (հազար պղմ) Գծ.1

պդմ-ի օգտակարության գնահատականը՝ (5450,Ս(5450)) Եթե (5450,60) կետը, գծից բարձր է, ապա դուք զգուշավորությամբեք ընդուճում որոշումները,հակառակդեպքում, դութ նախընտրումեք ռիսկավորներդրումները: Դիտարկվող խնդրի դեպքում դուք նախընտրումեք ռիսկի չդիմելու զգուշավորվարքը:

Որոշումներիծառ

Որոշումների ծառ

Դիտարկված օրինակներումորոշումների ընդունումը կատարվում էր մեկ անգամ: Գործնականշատ խնդիրներումհաճախ ենք հանդիպումհաջորդական որոշումների ընդունման անհրաժեշտությանը,երբ ընդունված որոշումը պայմանավորում է մի այլ որոշում (կամ որոշումներ) ընդունելու անհրաժեշտությունը:Որոշումների նման հաջորդականությունըհնարավոր չէ նկարագրել ն հետազոտել եկամուտների աղյուսակների օգնությամբ: Այսպիսի դեպքերումօգտվում են այսպես կոչված որոշումներիծառի եղաճակից: Որոշումների ծառը իր կառուցվածքովնման է հավանականությանտեսությունից մեզ հայտնի հավանականությունների ծառին: Այս եղանակն օգտագործում են այն դեպքերում, երբ անորոշության պայմաններում անհրաժեշտ է ընդունե տարբեր որոշումներ, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է ընդունված նախորդ որոշման (որոշումների) կամ ելքի (ելքերի) արդյունքներից: Որոշումների ծառը արտացոլում է լուծվող հիմնախնդրի կառուցվածքը ն կազմված է բնից, հանգույցներից ու դրանցից դուրս եկող ճյուղերից: Որոշումների ծառը ներկայացվում է ձախից աջ: Նրա ճյուղերը ցույց են տալիս հնարավոր այլընտրաճքային որոշումները ն դրանց ընդունման դեպքում հնարավոր ելքերը: ծառի ներկայացման համար օգտագոռրծվում են երկու տեսակ ճյուղեր հնարավոր որոշումներին համապատասխանող կետագծերն ելքերինհամապատասխանողհոծ գծեր: Որոշումների ծառն ընդգրկում է երկու տեսակ հանգույցներ: Ուղղանկյունով նշանակվումեն որոշումներիընդունման հանգույցները, իսկ շրջաճնակով՝հնարավոր պատահական ելքերին համապատասխանողհանգույցները: Քանի որ որոշում ընդունողը չի կարող ազդել բոլոր հնարավոր ելքերի վրա, ապա ծառի հետազոտմանժամանակ նա գնահատում է միայն տարբեր ելքերի հավանականությունները: Որոշումների ծառի հետազոտումը կատարվում է մի քանի փուլերով: Սկզբում` «շարժվելով ձախից ղեպի աջ», կառուցվում է ծառի կմախքը, որտեղ որոշումներին համապատասխանող ճյուղերի մռտ գրվում են դրանց հետ կապված ծախսերը, իսկ ելքերի ճյուղերի մոտ` դրանց ճռավանականությունները: Այնուհետն կատարվում է տարբեր ելքերի հավանականությունների ն դրանց համապատասխանողեկամուտների հաշվարկը: Երրորդ փուլում կատարվում է տարբեր հանգույցներումմիջին եկամուտներիհաշվարկը ն «շարժվելով աջից ղեպի ձախ» ընդունվում են առավելագույն միջին եկամուտներապահովող որոշումները: Նախքան որոշումների ծառի եղանակի քննարկմանն անցնելը, վերհիշենք հավանականության տեսությունից մի քանի սահմանումներ ն բանաձներ:

Ճ.

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Դիցուք` Ճ-ն ն 8-ն կամայական պատահույթներ են: Ք(Ճ)-ով ն թ(8)-ով նշանակենքդրանցհավանականությունները: Ճ ն 8 պատահույթներիգումարը (նշանակենք Ճա) այնպիսի պատահույթ է, որին համապատասխանումէ կամ Ճ, կամ Ց պատահույթներիկամ էլ դրանց միաժամանակյա իրականացումը: Ճ ն Ց պատահույթների արտադրյալը (նշանակենք ՃՑ) այնպիսի պատահույթ է, որին համապատասխանումէ Ճ-ի ն Ց-ի միաժամանակյա իրականացումը: Ճ ն Ց պատահույթները կոչվում են անհամատեղելի,եթե դրանք միաժամանակ իրականանալ չեն կարող, այսինքն դրանց արտադրյալը անհընար պատահույթ է: /Ճյ4Ճշ,...1Ճո, Սապատահույթները կազմում են անհամատեղելիպատահույթների լրիվ խումբ, եթե. ա) ցանկացած 1»յ-ի համար ՃՈՎՃյ-նանհնար պատահույթ է, բ) Ճլաճշա... աղ գումարը հավաստի պատահույթէ: Եթե Ց պատահույթի համար Ւ(8)»0-ից, ապա կամայական Ճ պատահույթի հանդես գալու պայմանական հավանականությունը,պայմանով, որ 8 պատահույթը տեղի է ունեցել (նշանակենք Ք(Ճ|Թ)-ով) որոշվում է հետնյալ բանաձնով՝ Ե(Ճ|8) Փ(ՃՐՑ)/5(8): Այս բանաձնիցՃ ն Ց պատահույթների արտադրյալի համար կստաճնանք՝ Ե(ՃՐՑ) Ք(Ճ8)/5(8) Ե(Ցիճ)Ե(ձ): Եթե Ճ ն Ց պատահույթները միմյանցիցանկախ են, ապա՝ թ(ՃՐՑ) Ք(Ճ)Ե(8), Ֆ(Ճ|) Ե(Ճ), Ֆ(8լճ) Ե(8): Եթե 7Ճլ,4Ճշ,...,Ճղ: զատահույթները կազմում են անհամատեղելի պատահարներիլրիվ խումբ, ապա կամայական 8 պատահույթիհամար ճշմարիտ են լրիվ հավանականությունների՝(2.1) ն Բայեսի (2.2) բանաձները՝ `

Բ(8)

»Ք(Ց|ու)Ք(Ճ.)»

Օ.1)

լա)

Ֆին) Ք(,|Թ)-

չ6(8իռ,) 804.)

02)

Դիցուք՝ «Կատակ» ձեռնարկությունըդիմել է բանկին մեկ Օրինակ տարով 15 մլն. դրամ վարկ վերցնելու հայտով: Նախորդ տարիներիփորձից բանկին հայտնի է, որ վարկառուների 456-ը վարկը չի վերադարձնում: Բանկը կարող է «Կատակ» ֆիրմային տարեկան 1556-ով այդ գումարի վարկ տալ, սակայն նա կարող է նան այդ գումարը տարեկան 922-ով ներդրել որնէ ռիսկազերծ գործարքի մեջ: Վերջին դեպքում բանկը ունի ներդրվածգումարը հետ ստանալու 10022--անոց երաշխիք: 5:

Որոշումների ծառ

Այսպիսով բանկը պետք է ընդունի «Կատակ» ձեռնարկության վարկավորելու կամ գումարը ռիսկազերծ գործարքի մեջ ներդրելու որոշում: Խնդրի լուծման համար կարող են օգտագործվել ինչպես եկամուտների աղյուսակի, այնպես էլ ռրոշումներիծառիեղանակները: Դիտարկենք երկու եղանակներնէլ: Եկամուտներիաղյուսակի եղանակ Դիտարկվող խնդրում բանկին անհրաժեշտ է ընդունել այնպիսի որոշում, որը մաքսիմացնի տարվա վերջին ստացվելիք զուտ եկամուտը, այսինքն` տարվա վերջին ստացվելիք ն տարվա սկզբին ներդրված գումարների տարբերությունը: Եթե բանկը վարկավորի «Կատակ» ձեռնարկությաանը ն տարվա վերջին հետ ստանա ամբողջ գումարն ու շահը, ապա ճրա զուտ եկամուտըկկազմի՝ (15.000.000--0. 15»Հ15.000.0003--15.000.000 2.250.000 դրամ: Եթե «Կատակ» ֆիրման տարվա վերջին չվերադարձնի գումարը,ապա բանկը կկորցնի 15000000 դրամ: Եթե բանկը գումարը տարեկան 9972-ովներդրի անռիսկ գործարքի մեջ, ապա տարվա վերջին նրա զուտ եկամուտըկկազմի 1350000 դրամ: Խնդրի տվյալները բերված են 17-րդ աղյուսակում: Հ

Աղյուսակ 17 Հնարավոր թավոր ելքե ելքերը

Վարկը վերադարձվում է Վարկը չի վերադարձվում

Սպասվելիք զուտ եկամուտը

ՀԱարավոր որոշումները | Հավանակա-

վարկտալ 2250000 -

վարկ չտալ

15000000

նությունը

0.96

0.04

1560000 1350000

Տվյալների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ ընտրված չափաճիշի դեպքում բանկը պետք է ընդունի «Կատակ» ձեռնարկության վերաբերյալ վարկավորման որոշում, որի դեպքում իր առավելագույն զուտ եկամուտը կկազմի 1560000 դրամ: Որոշումների ծառի եղանակ Այս դեպքում ես կօգտվենք որոշումների գնահատման նույն չափանիշից: Խնդրի որոշումների ծառը բերվածէ 2-լս գծանկարում: Ճ ն 8 հանգույցներում սպասվելիք զուտ եկամուտները հաշվարկվում են հետնյալ կերպ. հանգույց՝ 1560000 դրամ: (17250000»«0.96:0.04«0) 15000000 8 հանգույց՝ (16350000»41.0 1Է5000000) 1350000 ղրամ: Ճ Քանի որ հանգույցում սպասվող զուտ եկամուտը ավելի մեծ Լ, ապա բանկր կընդունի «Կատակ» ձնռնարկությանիվարկավորելու որոշում: Ճ

Ճ.

Որոշումների ընդունմանհիմունքներ Տարվա վերջին ստացվելիքգումարը

(մլն.դրամ)

Վարկավորել

17.25

0.56)

1.56 --

Վարկավորել ...-՛ Չվարկավորել -

ճւ) -

ռիսկազերծ

Այժմ քննարկենք ավելի բարդ իրավիճակ, երբ նախքան վարկավորորոշում ընդունելը բանկը կարող է ստուգել հայտող ձեռնարկությունների վստահելիությունը,վճարունակությունըն մրցունակությունը:Նման ստուգմանհամար բանկը կարող է դիմել հաշվաստուգիչծառայություններ իրականացնող«Աուդիտ» ֆիրմային, որը մեկ ձեռնարկությանստուգման համար պահանջում է վճարել 80000 դրամ: Այսպիսով նկարագրվածիրավիճակում բանկը պետք է կայացնի երկուորոշում. Նախ՝ հայցվոր ձեռնարկության հաշվաստուգում կատարել, թե ոչ ն, երկրորդ,«Կատակ» ձեռնարկությանը վարկավորել,թե ոչ: Առաջին որոշումը կայացնելու համար բանկը կարող է ստուգել «Աուդիտ» ֆիրմայի տված տեղեկությունների հավաստիությունը: Դրա համար ճա կարող է, օրինակ, ըճտրել «Աուդիտ» ֆիրմայի կողմից արդեն հաշվաստուգված հազար ձեռնարկության ն անհատ: Համապատասխան տվյալներըբերված են 18-րդաղյուսակում` ման

սակ

Առաջարկությունը ստուգումիցհետո

Սկզբում վերլուծենք որոշումների ծառի 4-րդ հանգույցի հնարավոր ելքերը: Եթե բանկն ընդունում է «Կատակ»-ին վարկավորելուորոշում, ապա տարվա վերջին 0.04 հավաճականությամբգումարը հետ չի ստանա, իսկ 0.96 հավաճականությամբձեռնարկությունըկմարիվարկը: ԷՒհանգույցում սպասվելիքեկամուտըկկազմի՝

Որոշումների ծառ

ՔԲ(Բ) 17.25»40.96--020.04- 16.56մլն. դրամ: Եթե բանկն ընդունի գումարի ռիսկազերծ ներդրմանորոշում, ապա հանգույցում սպասվելիք եկամուտըկկազմի՝ Ե(Օ)-16.355«1.0Հ16.35 մլն. դրամ: Հ

Տարվա վերջին ստացվածգումարը (մլն.դրամ)

Վարկը մարվումէ

22-15

ՀՀՀ.

Վարկավորումը

է երաշխավորվում

(0.75)

Ձեռնարկությունը .՛

ն)

,՛

Վարկըչի մարվում 0

՝--Լ

Վարկը մերժվում է

(0.25)

լ7.25

«ՓՀՀ-ր» Շ)

Ռիսկազերծ

գործարք

16:35 :

Վարկը մարվում է

(0.9)

Վարկը տրվում է

հաշվաստուգվումէ,՛

(0.98)

Վարկը տրվում է

Ն..ո

17.25

(0.1)

շր

ո լ5

Վաբկըչի մարվում -Վարկավորումը րաշխավորվ չի Ռիսկազերծ ՀՀ.-15 `-գործարք Վարկըմերժվումէ ՝Վ«ԹԺ------ 1635 -

աշխավորվու

Ձեռնարկությունըչի

հաշվաստուգվում

Վարկըմարվում

ՀՀՀ

«Հ

լ725

(0.96)

Վարկը տրվում է -

Սրա.

Վ Է ՀՀՀ ՛

-|5

Վարկը մերժվում

չի մարվում Վարկը

ԷՓ----Ռիսկազերծ

16.35

գործարք Գծ.3

Այժմ քննարկենք ելքերի հավանականությունները Ճ հանգույցում: Ինչպես երնում է աղյուսակից, «Աուդիտ» ֆիրման երաշխավորում է հայցվոր ձեռնարկություններից միայն 7522-ի վարկավորումը: Հետնաբար` Ճ հանգույցից դեպի 2-րդ հանգույց գնացող ճյուղը կունենա 0.75 հավանականություն, իսկ դեպի 3-րդ հանգույց գնացող ճյուղը` 0.25 հավառականություն: Տեսնենք, թե ինչի են հավասար 8 հանգույցի ելքերի հավանականությունները, եթե հայտնի է, որ «Աուդիտ» ֆիրման երաշխավորել է վարկավորումը: «Կատակ» ձեռնարկության վարկը մարելու հավանականությունը, պայմանով, որ վարկավորումը երաշխավորվել է, կարելի է որոշել

Ճ.

Որոշումների ընդունմանհիմունքներ

պայմանական հավանակամությունների կամ Բայեսի բանաձնից: 18-րդաղյուսակիցորոշենք հետնյալ հավանականությունները. (վարկավորումը երաշխավորվածէ, ն վարկըմարվել է) 0.735: թ(վարկավորումըերաշխավորվումէ) 0.75: Ֆ(վարկավորումըերաշխավորվածէ, բայց վարկը չի մարվել) 0.015: Ե(վարկավորումըչի երաշխավորված,բայց վարկը մարվել է) 0.225: (վարկավորումը չի երաշխավորված է, ն վարկը չի մարվել) 0.025: (վարկավորումը չի երաշխավորված) 0.25: Այստեղից 8 հանգույցում վարկը մարելու ելքի պայմանական հավաճականությանհամար կստանանք` Ի(վարկավորումըերաշխավորվելէ ն վարկը վերադարձվելէ) -

---Հ--

0.735 0.75

Ի(վարկավորումըերաշխավորվելէ) 50.98.

Իսկ 8 հանգույցում վարկը չմարելու ելքի պայմանական հավաճականությունըհավասարկլինի 0.02-ի: ք հանգույցի համար վարկը մարելու ն չմարելու ելքերի պայմանական հավանականություններըկորոշվեն ճույն ձնով՝ է) թ(վարկավորումըչի երաշխավորվելէ ն վարկըվերադարձվել

Ֆ(վարկավորումըերաշխավորվածչէ)

0.25

Իսկ Ծ հանգույցում վարկը չմարելու հավաճականությունըհավասար կլինի 0.1-ի: Այսպիսով ավարտվում է որոշումների ծառի կառուցման փուլը: Այժմ որոշենք ծառի հանգույցներում սպասվելիք եկամուտներըն ընտրենք առավելագույն եկամուտապահովողայլընտրանքները:Նախ քննարկենք 8նՇ հանգույցները: 8 հանգույցում սպասվելիքեկամուտըհավասար է` Ե(Ց) Հ 17.25»«0.98--0»40.02 Հ 16.905 մլն. դրամ,իսկ սպասվելիք զուտ եկամուտը՝ 16.905--15-:1.905 մլն. դրամ: Շ հանգույցում սպասվելիքեկամուտը՝հավասար է 16.35»«1.0 16.35 մլն. դրամ, իսկ սպասվելիքզուտ եկամուտը՝ Ե(Ը) 16.35--15 1.35 մլն դրամ: Այժմ դիտարկենք որոշումների ընդունման հանգույցները (քառակուսները): Այստեղ առավելագույն սպասվելիք եկամուտը` 1.905 մլն. դրամ, ստացվումէ Ց ելքի դեպքում,երբ ընդունվումէ «Կատակ» ձեռնարկությանը վարկ տալու որոշում: Ռրոշումներիծառի 2-րդ հանգույցի վրա գրվում է այդ հանգույցում սպասվող եկամտի արժեքը ն ընդգծվում է վարկ տալուն համապատասխանող ճյուղը, իսկ մյուս այլընտրանքային ելքերը` ճյուղերը, ճնշվումեն 2« նշանով (տե՛ս գծ.4): Հ

Հ.

Որոշումների ծառ

Տարվա վերջին ստացված գումարը (մլն. դրամ) Վարկը մարվում է

1.905

Վարկավորումը

երաշխավորվումէ

(1686) է հաշվաստուգվում

,՛-00չ

ԸՀՀ« ՐՀՀՀ

Վարկըչիմարվոմ Ռիսկազերծ

գործարք

է Ժ---(0.75) Վարկը մերժվում -Հ

Վարկը մարվումէ

Ձեռնարկությունը

-լ5

աշ

0.02)

0.25)

Վարկավորումը չի երաշխավորվում

--ՀԼ

.ՖԷ՛

ՀՀ.

ՀՀԼ.

Ռիսկազերծ շ-Հգործարք

16.35

Վարկը մարվումէ (0.96)

Վարկըտրվումէ

ՀՀՀ

Վարկը չի մարվում

Վարկը մերժվում է

Ձեռնարկությունը ՀՀՀ չի հաշվաստուգվում

16.35

(0.9) (0.1)

Վարկը տրվում է

17.25

(0.98)

Վարկը տրվումէ

լ725

1.56 2-15

20430 14 |: ՀՀ»Շ.-15 Վարկը չի մարվում

է Վարկը մերժվում

16.35

Ռիսկավզերծ գործարք

Գծ.

Նույն ձնով հաշվարկները կատարվում են ճան ք ն Է հանգույցների համար: Ս ելքի համար սպասվելիք եկամուտը որոշվում է` 17.25»40.9--0»0. | 15.525 մլն. դրամ: Է(օ) Քանի որ, ձեռնարկության հաշվաստուգումն արժե 0.08 մլն. դրամ, ապա Ճ հանգույցում սպասվելիք զուտ եկամուտը հավասար կլինի՝ 1.766-0.08 1.686 մլն. դրամ, իսկ սպասվելիքգուտ եկամուտը` 15.525--15 0.525 մլն.դրամ: Բ ելքի համար սպասվելիք եկամուտր հավասար է` 16.35 մլն. դրամ, ԷՒ(Ե) 16.35541.0 իսկ սպասվելիք զուտ եկամուտը՝ 16.35--15 1.35 մլն. դրամ: Այսպիսով 3-րդ հանգույցում առավելագույն սպասվելիք եկամուտը հավասար է 1.35 մլն. դրամի: Հետնաբար,բանկը պետք է ընդունի «Կատակ» ձեռնարկությանըվարկ տալը մերժելու որոշում ն գումարը ճերդրի տարեկան -

Հճ. Որոշումներիընդունման հիմունքներ

995-ովռիսկազերծգործարքի մեջ: Այժմ դիտարկենք Ճ ն 1-ին հանգույցները:Օգտագործելով2-րդ ն 3-րդ հանգույցներում ստացված արդյունքները,/. հանգույցում սպասվելիքեկամուտի համար կստանանք` 1.766 մլն. դրամ: 1905»«0.75--1.3520.25 Ե(Ճ) Հետնաբար 1-ին հանգույցում սպասվելիք առավելագույն եկամուտը կլինի 1.686 մլն. դրամ, այսինքն` բանկը պետք է ընդունի «Կատակ» ֆիրմայի հաշվաստուգմանորոշում: Որոշումների ծառի վրա սլաքներով նշանակված են հանգույցներում առավելագույն սպասվելիք զուտ եկամուտներ ապահովող որոշումներին համապատասխանողճյուղերը: Օրինակ՝ դիտարկված խնդրում 1-ին հանգույցում պետք է իրականացնելհայցվոր ձեռնարկությանհաշվաստուգում, եթե հայտող ձեռնարկությանվարկավորումներաշխավորվում է, ապա 2-րդ հանգույցում պետք է ընդունել վարկավորմանորոշում, հակառակ դեպքում, 3-րդ հանգույցում պետք է ընդունել տարեկան97:-ով ռիսկազերծ Մճերդրում կատարելու որոշում: Որոշումների Ծառի վերջնական տեսքըբերված է 4-րդ գծապատկերում: Հ

2.2.

Որոշումներիզգայունությանվերլուծություն

Ինչպես տեսանք քննարկված օրինակում,ծառի օգնությամբընդունված որոշումներըկախվածեն նրա հանգույցներումելքերի հավաճականություններից: Քանի որ գործնականխնդիրներումհանգույցների ելքերի հավանականություններըսովորաբար կանխատեսվում են որոշակի սխալով, ապա ընդունելովորնէ որոշում` անհրաժեշտ է պարզել, թե որքանով է դա կախված նշված հավանականությունների արժեքների փոփոխությունից (կամ սխալից) ն ինչպիսին է ընդունվածորոշումների «ամրության պաշարը»: Այսինքն պետք է գնահատելդրանց զգայունությունը:Նման վերլուծությունը կատարվում է այն ընդունվածորոշումների զգայնությունը հետազոտելու ճպատակով, որոնք ընդունվել են` նկատի ունենալով հանգույցների ելքերի հավանականություններիփոփոխությունը: Օրինակ 6: Դիցուք` «Արմենիկում» դեղագործական ձեռնարկությունը մշակել է շուկայում լայն պահանջարկունեցող մի նռր դեղամիջոց:Սակայն մի շարք բարդ տեխնոլոգիականգործընթացներիօգտագործումըդեղամիջոցի արտադրությունը թանկացնում է 2.5 մլն. պդմ-ով: Դիցութ` ամբողջ արտադրական գործընթացիկազմակերպումըտնում է մեկ տարի ն միայն 0.55 հավանականությամբ կարելի է ապահովել նրա տեխնիկականանվտանգությանանհրաժեշտ մակարդակը: Արտադրությանանվտանգության մակարդակի բարձրացմանհամար կարող է ներդրվել նրա համակարգչային վերահսկման համակարգ (ՀՎՀ): Հայտնի է, որ նման համակարգի մշակման ն ներդրմանհամար պահանջվումէ մեկ տարի ժամանակ ն արժե 1 մլն. պդմ: Պահանջվողանվտանգությանմակարդակնապահովող համակարգի մշակման հավանականություն, հավասար է 0.75-ի: Ընդ որում

Որոշումներիծառ

վերահսկմանհամակարգիմշակումը կարելի է սկսել ինչպես արտադրական գործընթացի հետ միաժամանակ, այնպես էլ արտադրություննսկսելուց հետո, երբ պարզ կլինի տեխնոլոգիական գործընթացներիանվտանգության իրական մակարդակը: Եթե համակարգչայինվերահսկման համակարգի մշակումն սկսվի արտադրական գործընթացիհետ միաժամանակ, ն վերջինիսանվտանգությանմակարդակըհամարվի բավարար, ապա վերահսկման համակարգիներդրումըավելորդկլինի, իսկ ձեռնարկությունըկկրի 1 մլն պդմ-ի վնաս: Մյուս կողմից, եթե համակարգի մշակումը հետաձգվի, իսկ տեխնոլոգիականգործընթացները չբավարարենանվտանգությանպահանջներին, ապա ձեռնարկությունըստիպված կլինի նոր դեղամիջոցիարտադրությունը հետաձգել մեկ տարով՝ մինչն համակարգի մշակումը ն տեղադրումը: Եվ, վերջապես, եջե անվտանգ արտադրության կազմակերպումն անհրաժեշտ է, իսկ վերահսկմանհամակարգը չի ապահովում պահանջվող մակարդակը, ապա ձեռնարկությունը, չունենալով դեղամիջոցի արտադրության այլընտրանքային եղաճակներ, ստիպված կլինի հրաժարվել նման

նախագծից:

Եկամուտը Արտադրությունը (հազ. պդմ) աճվտանգէ

Միայնարտա-

դրությանմշակում

(0.55)

(0.45)

7՛ -2.5 7՛ չ/ .. Արտադրությունը Ւ `

` Արտադրությանն ՀՎՀ-ի մշակում

Առանց ՀՎՀ-ի մշակման

Ն-35 `

Նախագծի

ձախողում Արտադրությունը

անվտանգէ

(0.45)

(055)

ՀՎՀ-ն

պիտանի է

(0.75)

Արտադրությունը աճվտանգչէ

(0.55) ՀՎՀ-ն

պիտանի չէ Գծ.5

Եթե ձեռնարկությունըդեղամիջոցիարտադրությունը կազմակերպումէ մեկ տարում, ապա նրա եկամուտը, առանց հաշվի առնելու արտադրական միջոցների մաշվածքագրումը համակարգչային վերահսկման համակարգի արժեքը կկազմի 10 մլն. պդմ:

Ճ.

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Եթե դեղամիջոցիարտադրությունըհետաձգվի մեկ տարով, ապա շուկայում հնարավոր մրցակիցների հայտնվելու պատճառովձեռնարկության եկամուտները 10 մլն. պդմ-իցկընկնեն 8.5 մլն. պդմ-ի: Դեղագործական ձեռնարկության ղեկավարությանը անհրաժեշտ է ընդունել հետնյալ որոշումները՝ լ. Ինչպես կազմակերպել դեղամիջոցի թողարկումը, որպեսզի ձեռնարկությունն ստանա առավելագույն եկամուտ: 2. Ինչպիսին է ընդունվողորոշման զգայունությունը: Անցնենք խնդրի լուծմանը: Խնդրի որոշումների ծառը բերված է 5-րդ գծագրում: Ծառի կառուցման համար հաշվարկենք նրա հանգույցներում սպասվելիք զուտ եկամուտները: Ծ հանգույցում սպասվողեկամուտըհավասար է 8.520.75--0»0.25 6.375 մլն. պդմ, իսկ սպասվելիք զուտ եկամուտը՝ 6.375-1Հ5.375 մլն. պդմ: ԵԷ հանգույցում սպասվելիք զուտ եկամուտը, հավասար է 0-ի: Հետնաբար,2 հանգույցում պետք է ընդունելՀՎՀ-ի մշակման որոշում, որի դեպքում կստացվի5.375 մլն. պդմ զուտ եկամուտ: Ճ հանգույցումսպասվեղզուտ եկամուտըհավասաը է 5.419 մլն. պդմ, 1040.55-5.375»0.45)-2.5 իսկ Ց հանգույցում` 1050.553(1020.75-ՒԷ02«0.25)»0.45)--3.55.375 մլն. պդմ: Հետնաբար 1 հանգույցում պետք է ընդունել միայն արտադրական գործընթացիմշակման որոշում: Եթե մեկ տարի հետո պարզվի, որ արտադրությունը աճվտանգ չէ, ապա ձեռնարկությունը կանցնի վերահսկման համակարգի մշակմանը ն տեղադրմանը: Արտադրական գործընթացի 5 անվտանգությանհավանակամությունից կախված՝ հետազոտենք ընդունված որոշման զգայունությունը: Նշենք, որ Ճ ն Ց հանգույցներում սպասվելիք զուտ եկամուտներըմիմյանց շատ մոտ են ն համապատասխանորենհավասար են` 5.419 ն 5.375 մլն. պդմ: Դիտարկվածդեպքում Ք-0.55-ի: Տ-ի կամայական արժեքի դեպքում Ճ հանգույցում սպասվելիք զուտ եկամուտըհավասար է՝ 102Փ-Է5.375»«1-Ք)-2.5 4.625թ32.875 մլն. պդմ, իսկ Ց հաճնգույցում` 102ՀԵ-(10Հ0.7530240.25)(1-Ք)-3.5 2.5Թ34.0 մլն. պդմ։ Հավասարեցնելովերկու արդյունքները,կստանանք` 4.6252Է2.875 2.5814.0, որտեղից՝ Ք 0.529: '

Արտադրությունը

(5.419) Միայն արտադրության մշակում ՛ ՛

7՛ 05.419)

ոՀ

անվտանգէ

ՀՎՀ-ն

(0.45)

ԳՐ--Վ.,.-՛՛ Վ

ոդ

ՐՀՀ..

(5375

Առանց ՀՎՀ-ի՝Րմշակման

«23.5

Արտադրությանն ՀՎՀ-ի մշակում

Եկամուտը (հազ. պդմ)

լ0

(0.55)

Արտադրությունը անվտանգչէ

Ներդրումների փաթեթիընտրությանխնդիր

6:375)

(045)

Նախագծի ձախողում

րտադրությունը անվտանգէ

(0.55)

. ՀՎՀ-ն

պիտանիէ

(0.75)

Արտադրությունը անվտանգչէ

լ0

(0.55) ՀՎՀ-ն

պիտանի չէ

Գծ.6

Այսպիսով, եթե արտադրական գործընթացի անվտանգության Ր հավանականությունը հավասար է 0.529-ի, ապա երկու երկրնտրանքներն էլ կբերեն միննույն զուտ եկամուտը: Եթե Բ-ն փոքր է 0.529-ից, ապա գործընթացի ն վերահսկման համակարգի մշակման որոշումը կբերի ավելի մեծ զուտ եկամուտ, այսինքն` անհրաժեշտ կլինի սկզբնական որոշումը փոխարինել այլընտրանքայինով: Քանի, որ Ե-0.529 սահմանային արժեքը շատ մոտ է 0.55-ին, ապա ընդունված սկզբնական որոշումը զգայուն է Բ-ի արժեքի փոփոխման նկատմամբ ն Ք-ի արժեքի նույնիսկ փոքր աճը կարող է հանգեցնել այդ որոշման փոփոխմանը: 3.

Ներդրումներիփաթեթիընտրությանխնդիր

Նախորդ բաժնում քննարկեցինք ներդրումներիգնահատման խնդիրը. երբ որոշում կայացնողը, ելնելով սպասվելիք եկամտաբերությունից ն դիսկի մեծությունից, համեմատելով տարբեր ներդրումներիցսպասվելիք առավելագույն հատույցները, ընտրում է գումարների լավագույն ներդրման տարբերակը: Այս խնդիրըանմիջականորենկապված է տնտեսագիտության մեջ հայտնի ներդրումներիփաթեթիընտրության խնդրի հետ:

վմոտ կզր մս զ ուսկտցաՀչըՊՆ :տիմոտ ղվզը1 մտոտիոզ ճ"կտցտրոթ ցտրտղոտմվտ վճղձոփ .0ծցվոլո "մտզկրտթ դտրմնմղՂ :մսիտվր 000001 1 տսրետկմմուրածնսիմնմղցտսզղձոֆ 9221 Ացվճզձոփ զ կով 1 929 մու Վ ցտկղմոտ վձղձոփ Մ :մղզցձղզձուի ցվնոծցամ Վոամզմտտրտկղ մվղզիոոխոո -տցմկմզ ք ղ 7 «ակմղցօղ օտիկմածուստ ցվնսմնմղցՀհս6վՆ :/, :Ակովս ով Արսնղ: ցտկոցսցակ ղ մըաձամղմոտրոկղ ցվծվը 6ցտմն ցղ ուսմիօմսետտ -9օ ՍղզցշվցոփոձցտրտովացԵ վմղցձղձոփ վմղցուսմնմղցողամլյ 1Վոքմղմ -ոմզի աղսոմղցը ծզըրվձղձոփ մցոմն 1ղցծտրոկ ուաՀսմսդ մոսնղՀ ցտղտց ցվծվո վմզձնզզբմո մղմմտտ 1ղտովոցԵ ցվզ -Ալոկ ւս ցցւսմ(4սմզմտտորտկզ -տ՛ :ռ1ա41աօտիո|շոմ ցտղտցմեկո0-1 1 նսմոկ մնսմնմզՎՂ ցսցտկտցմվցւս ցոկավտտոխ մա 4ամղմոտոտոտկղ վզղձոտոփ ողոցոսը Ամս զ ում մասօզը օտիրծող ծվծցտմն էլ ողոցոո «վմղճնձղթմտցվջցտստ ողոձցվ մս 'վցյստ վիչով լ մտղո մնսմնմզցովղզցծտրոկուսՀսմսցտրմնմղցվմղցմոխրսԵ:ուսմ -Ցոձցմ վկտոցտրոքցորտղոտմվտ կղը ցրովը 1պտսծոտղվմմղմեոճայմ վձղձոտփովոտտ զ 1ոսձ մըաք(Ձամնոմձցղզ ՍտնրՂ :ցղ տսիտոտցտի մմղձնզղք -մտ մախմ վձղմտփ ցվծմղի վղտոդտրտթցտրտղոտմվտ մս զ ասիմնոձզ -0ՂԶ :ծզը վմղզձտփօտծոկնոմ ծվմղզձնձղթմոմղմմոտ աղմնմզը 'ղտցտր -ոտք ցորտղոտմվտ վձղձոփ լ ոսիսկ մմս «իսկտցորութ վկաչսմո լ տոմ -տորո տոց մմս մոռուսմԵ ՞ վվոչսմս վյա ցնսմնմղցցվզտխ 0-3) վղտցտրուք մվ 1 ոսիմեոտճացմղ ցս 4սօտի :ԱրտրնղՀցողացսցոկ ա իսմղթմա ցվծվոը -ովշտմ ցսցտկտցմվյւս մում Վամղմոտորողկղ վմղձնձճղթմտ մսիտկովյ տմի վմղց4ՌՈսմն 1որղտղվ Վ ըախյովկմուս մսողտ վծվիսդմող ցտնսմտցմ վճղձուփվմղցրամնմվղւ իսձօտիմծ ս իսմղթմո ցվծվը"իսլովծկցւսգՓցտրո|շոմ 1 աիՀսմսցմ ղ 1 ամաօզը ցտկտվտտոխ մյաք41ասմզմտտրոկղ վմղձնձղքմո ցոր :րաձոմմվտ օղը 1ղիոխփսփ 1 նսմոկ ուսմծտձցմ վվտցտրոք ղ իսմզցցսօ -մսԵե զ ցտծոցտծ մըւսմ(4ամղմտտրոկղ օտիմսիոցտոլոխ ովմզըդվծմղԻ:9ղ Ղ վմզցցւսմմմմմղկցԱ ըմղձնձղթմտ1մ օմղորստղցքտմվմղցում մսամվտղցքտմ «վմղցց ա 1ակմացսղջ մղզմմտտմմղձնձղքմո վզտողտ նմսմկմզ :մմղորստ -տտմոխ տղկրտքոցմոկ ղոցվմօ 'ցզ 6վմղձնձղթմտվղոոզտ ցտկտտղխո ՍորՂ :մվոՀ նրտկղ մցվթոմոտծմավտՀ ցտոոատոխտրոավէլ ողոցքա «մմորւսԵ օտիմնմղց ողուցվ 1 բացտտո իսեմոկ օտիմսիտովչոմղ դվծմզիվզոցտրոթ օտնտղոտմվտ վմղձնձղթմտ րտոկտիմոտ մնսմնմղց ղ "իսմոսմնտոսկստ ցՍոկղմտտ ցզ ըուսիմետձացմմմղձնձղքմո վլզտողտ ցվծամտը:մմղձնձղք -մտ մսիտկովս էլ ողուցքո «օմղզետկովս ոզոչցվ ցղ ուսօմսետտծօ մորով Սորմսիողծցվմղմոփ ուսցոտկտցօմսՆ:իսղոտնմոկտրվկովս 1ս մրտքմւմմղմ -տտրոհզ վզտչսասզ ուսիմետճացմմմս մոտվտրտովօտինծողկծ6վմզմնձղք -մոտ մղմմտտ զ տսցծտքոկմղը ծվողմվ Աձղձտփ վմղցրամնմղղ :6վրնսկ վծվիսկմող վմմոչ տզծտողտցտ վցտքով 42561 1 օտիկմտծոստ մուսօաա ցոկտոռն վմնցո|ցաքձւսմմտցմ ղ ցորմսիողց վմղմոփ վմղցումնմղղ մզցճցարվկցորցւմնցմ վմզցրոաճսմՍ

դոցաօ

Ֆ0լ

խնդիր Ներդրումների փաթեթիընտրության

հետո Ճ փաթեթի դեպքում ճերդրողը կստանա 108000 միավոր, իսկ 8-ի դեպքում` 112000 միավոր: Եթե ներդրողըհաշվի առնի միայն սպասվելիք եկամուտիմեծությունը, ապա ակնհայտ է, որ նա կնախընտրի8 փաթեթը Դիցուք` Ճ ն Ք փաթեթներիեկամտաբերությամկանոնականշեղումները համապատասխանորենհավասաը են` 1092-ին 2092-ի: Ինչպես երնում է ստորն բերված 20-րդ աղյուսակից, ներդրողը Ց փաթեթի դեպքում 0.02 հավանականությամբ մեկ տարի հետո կստանա 70000 միավորից պակաս գումար, իսկ Ճ փաթեթիդեպքում 70000 միավորիցպակաս գումար ստաճալու հավանականությունըհավասար է զրոյի:

Աղյուսակ 20 Տարվա վերջին ստացվելիք գումարը

(միավոր)

Տարվա մակարդակիցցածը գումար ստանալու հավանականությունը Ճ փաթեթ 8 փաթեթ

70000

80000

90000

100000

110000

120000 130000

կերպ 8 փաթեթի դեպքում ներդրողը 80000 միավորից ցածր գումար կստանա 0.05 հավանականությամբ,իսկ Ճ-ի դեպքում նման ւպատահույթի հավանականությունըդարձյալ հավասար է զրոյի: Եթե շարուճնակենքվերլուծել աղյուսակը, ապա կտեսնենք, որ ներդրողը Ց փաթեթի դեպքում 0.27 հավանականությամբկարող է ստանալ 100000 միավորից պակաս գումար, իսկ Ճ-ի դեպքում նման պատահույթն ունի միայն 0.21 հավանականություն:Քանի որ ներդրողն ունի ընդամենը 100000 միավոր սկզբնական գումար, ապա դա նշանակում է, որ նա Ց փաթեթի դեպքում ավելի մեծ՝ 0.27 հավանականությամբկարող է ստանալ բացասական արդյունք, քան Ճ-ի դեպքում՝ 0.21 հավանականությամբ: Ի վերջո՝ ադյուսակից հետնում է, որ Ճ փաթեթըպակաս ոիսկավոր է քան 8-0, ն ճերդրողի համար կարող է լինել ավելի նախընտրելի: Ներդրողի կողմից Ճ կամ Ց փաթեթի ընտրությունը կախված է նան նրա նախաւպատվություններիցո̀րն է նրա համար նախընտըելի, ռիսկի դիմե՞լը,թե՞ եկամտաբերությունը:Հաշվարկներումենթադրվումէ, որ երկու փաթեթներիեկամտաբերություններն էլ ունեն բնականոն բաշխվածություն: Այսպիսով ներդրումների փաթեթի ընտրության խնդիրը կարելի է ձնակերպելորպես երկչափանիշօպտիմացմանխնդիր: Նույն

Ճ.

Ւ|

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Ներդրումներիփաթեթիգնահատմանչափանիշները

Դիցուք` ներդրողնունի ռրոշակի Շ գումար, որը ցանկանում է ներդրել արժեթղթերիցբաղկացած փաթեթում: Յուրաքանչյուր արժեթուղթ բնո-

րոշվում է իր միջին եկամտաբերությամբ՝ Է,

կանոնական շեղումով`

օ.,

Եթե Շ-ով նշանակենք 1 արժեթղթում ներդրված գումարի մեծությունը, ապա :«-ԸՇ/Ը հարաբերությունը ցույց կտա ներդրման փաթեթում տվյալ արժեթղթիմասճաբաժինը՝կշիռը: ք -ով նշանակենք փաթեթի միջին եկամտաբերությունը,իսկ օ-ով նրա կանոնականշեղումը: Ի արժեթղթերից բաղկացածփաթեթիհամար 1 -ն ն Ժ-ն որոշվում են հետնյալ բանաձներից. ւ5ՆԻՎ:

"ֆոր -Աֆօյոոյի ւօ

Այստեղ յ-ն

1ն

4.7

յ արժեթղթերիեկամտաբերություններիհամասփոման

(Շօս` կովարիացիա) մատրիցի տարըն է: յ-ն ցույց է տալիս | ն ) արժեթղթերի եկամտաբերություններիփոխազդեցության չափը: Եթե Ժյ»0 դրականէ, ապա դա ճշանակում է, որ ւ արժեթղթիեկամտաբերությանաճը

պայմանավորում է յ արժեթղթի միջինից բարձր եկամտաբերություն, իսկ ԺյՀՕդեպքում 1 արժեթղթիեկամտաբերությանաճը պայմանավորումէ յ արժեթղթի միջինից ցածր եկամտաբերություն: ՕԺչ-0-իդեպքում ւ նյ արժեթղթերի եկամտաբերություններըիրարից անկախ են: Օյ գործակիցները կարող են որոշվել Օ-Օ

ՕԹյ

բանաձնով,որտեղ Թչ-ն 1 նյ արժեթղթերիեկամտաբերություններիհարաբերակցության գործակիցն է: Թյ-ն փոփոխվում է (-1,1| միջակայքում: Եթե Թյ- -1, ապա երկու 1 ն յ արժեթղթերիմիջն գոյություն ունի բացասական հարաբերակցություն, Թյ--Է1-իդեպքում,դրական հարաբերակցություն,իսկ միմյանցից անԹյ-0-ի դեպքում՝ 1 ն ) արժեթղթերի եկամտաբերությունները են: կախ Օրինակ, եթե Թյ-Է1, ապա արժեթղթիբարձր (ցածը) եկամտաբերությունը ուղեկցվում է ) արժեթղթի բարձր (ցածր) եկամտաբերությամբ: ԹՐ -1-ի դեպքում 1 արժեթղթի բարձր (ցածր) եկամտաբերությունըուղեկցվում է յ արժեթղթիցածր (բարձրը)եկամտաբերությամբ: Նշենք համասփռման` Օօ: մատրիցի մի քանի հատկություններ: Այն քառակուսայինմատրից է ն ունի ԻՎ տողեր ու Հ սյունակներ: Մատրիցի , անկյունագծային տարրերը հավասար են 1 արժեթղթի եկամտաբերության ցրվածքին՝ Օլ--Օ՞: Շօս մատրիցը համաչափ մատրից է, այսինքն` Օչ-Օյ, 1)-1.2,....Է: Դիցուք՝ ներդրմանփաթեթըկազմված է երեք 4, 8, Շ ձեռնարկությունների արժեթղթերից:21-րդ աղյուսակում բերված են նշված արժեթղթերիփաթեթում ունեցած մասնաբաժիններըն միջինեկամտաբերությունները:

Ներդրումներիփաթեթիգնահատման չափանիշներ

0.2325

0.4070

0.3605

16.202 24.600 22.822

3.77

10.012: 8.2200

Փաթեթիմիջին եկամտաբերությունը`ք 2296: Եթե արժեթղթերի եկամտաբերությունների համասփռման մատրիցը հավասար է՝ 146 187 145 854 104 145 104 289

ՇՕօԿ »| 187

Ապա փաթեթիՕռիսկը՝ կանոնականշեղումը կորոշվի (4.1) բանաձնից՝

»16.6570: ՛-|Էֆութ.| թ

(՞1յ»1

4.1.

Լավագույն ներդրմանփաթեթիընտրությանխնդիր

Եթե ԹԷ0 պահին ներդրողն ունի Շ գումար, որը նա ցանկանում է ներդրել | ռիսկավոր արժեթղթերից բաղկացած փաթեթի մեջ, ապա լավագույն փաթեթի ընտրության խնդիրը կարող է ձնակերպվել հետնյալ երկչափանիշ օպտիմացման խնդրի տեսքով`

«ֆո "|

-՝

ֆա ո

Ոլ

121):

ամ

հետնյալ սահմանափակումներիդեպքում` Վ

առատ

Է»"-ՆԽ

լոյ

Խնդրի նպատակնէ

:շ0,

ՆԱՎ:

ռիսկավորարժեթղթերիհամար ընտրել այնպիսի

շ., ւ» 1,Վ, որ ստացված ներդրմանփաթեթնունենա առամասնաբաժիններ՝ ն նվազագույնկանոնականշեղում՝ Ռիսկ: վելագույնմիջին եկամտաբերություն Լավագույն փաթեթի ընտրության խնդիրը կարելի է լուծել բազմաչափանիշ օպտիմացման տարբեր եղանակներով: Դիտարկենք Մարկովիցի առաջարկած գրաֆիկական-վերլուծականեղանակը: Այս եղանակի հիմքում ընկած են ներդրողիանտարբերությանկռրերը ն արդյունավետ փաթեթներիբազմությունը:

Ճ.

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Անտարբերությանկորերն ունեն խիստ անհատականբնույթ ն բնութագրում են ներդրողինախապատվություններըեկամտաբերությանն ռիսկի նկատմամաբ:Այս կորերը կառուցվում են Է ն Ժ բաղադրիչներիհամակարգում, որտեղ ուղղահայաց առանցքին համապատասխանումէ փաթեթի միջին եկամտաբերությունը, իսկ հորիզոնականինհամապատասխանումէ փաթեթիռիսկը` Ժ կանոնական շեղումը: Ստոըն 7-րդ գծապատկերումբերված են ներդրողի անտարբերության կորերի օրինակներ: Անտարբերության կորերը բնութագրվումեն հետնյալ հատկություններով. Մեկ անտարբերությանկորի վրա գտնվող բոլոր փաթեթներըներդրողի համար համարժեք են: Միենույն ներդրողի անտարբերությանկորերը միմյանց զուգահեռ են ն չեն կարող հատվել: Ներդրողի համար կարելի է կառուցել անվերջ թվով անտարբերության կորեր: Անտարբերությանկորի վրա փաթեթըորքան դեպի ձախ ն վերե գտնվի, այնքան ավելի նախապատվելի է ներդրողիհամար: Այստեղ ենթադրվումէ, որ ներդրողըխուսափում է ռիսկից ն միենույն ռիսկի դեպքում նախընտրումէ առավել միջին եկամտաբերություն ունեցող փաթեթը:

ՐՊ

1042 2005

Գծ.

Գծագրում բերված /Ճ. ն Թ փաթեթներըներդրողիհամարհամարժեքեն: Օրինակ՝ 8 փաթեթիռիսկը 2 անգամ մեծ է Ճ փաթեթի ռիսկից, բայց նա ապահովում է Ճ-ի համեմատությամբ1.5 անգամ մեծ միջին եկամտաբերություն: Ներդրողի համար Շ փաթեթը ավելի ճախընտրելիէ քան Ճ ն Ց փաթեթները, որովհետն նա գտնվում է ավելի բարձր անտարբերությանկորի վրա, քան Ճ ն Ց փաթեթները:Թե ինչպիսի փաթեթկնախընտրիներդրողը, դա կախված է նրա նախապատվություններից:Լավագույն փաթեթի ընտբության խնդիրը լուծելիս Մարկովիցը ենթադրումէ, որ ներդրողըմիննույն միջին եկամտաբերությանդեպքում նախընտրումէ ճվագագույնռիսկը, իսկ Գործմիննույմ ռիսկի դեպքում`առավելագույն միջին եկամտաբերությունը: նականում ներդրողներըկարող են ունենալ ռիսկի նկատմամբ տարբեր նախապատվություններ:

Լավագույն ներդրմանփաթեթիընտրության իսնդիր

Հասկանալիէ, որ նրանք կունենան ճան տարբերանտարբերությանկորեր: Մտորն գշապատկերումբերված են ներդրողներիտարբեր նախապատվություններին համապատասխանողկորեր: Օրինակ` գծապատկերում |լ կորը համապատասխանումէ մոլի ներդրողին,որը նախընտրումէ մեծ ռիսկի հետ կապված փաթեթները, իսկ ք կորը համապատասխանումէ ռիսկի նկատմամբ անտարբեր ներդրողին: Սոլի ներդրողի համար Ց փաթեթը ավելի նախապատվելիէ քան Ճ-ն, իսկ չեզոք ներդրողի համար այս երկու փաթեթներնէլ համարժեքեն: Անտարբերության կորերի կառուցման համար ներդրողին գնահատման են տրվում տարբեր ստուգանմուշայինփաթեթներ:

Գծ.8

Ներդրողի ընտրած համարժեք փաթեթներիբազմության օգնությամբ էլ կառուցվում են անտարբերությանկորերը: Լավագույն փաթեթիընտրության համար ներդրողը պետք է ըստ միջին եկամտաբերության ն ռիսկի գնահատի բոլոր երկընտրանքայինփաթեթները ն, օգտվելով անտարբերության կորերից, դրանցից ընտրի լավագույնը: Սակայն Ի արժեթղթերից կարելի է կազմել անվերջ թվով փաթեթներ: Ւ| արժեթղթերից բաղկացած փաթեթներիհամախումբը կազմում է թույլատրելի փաթեթների բազմությունը: 9-րդ գճապատկերումբերված է այդպիսի բազմության մի օրինակ: Ըստ Մարկովիցի՝լավագույն փաթեթի ընտրության համար ներդրողին բավական է գնահատելմիայն արդյունավետ բազմության մեջ մտնող փաթեթները,որոնցիցյուրաքանչյուրը. ա) Տրված ռիսկի արժեքի դեպքում ապահովում է առավելագույն միջին եկամտաբերություն: բ) Միջին եկամտաբերությանտրված արժեքի դեպքում ապահովում է նվազագույնռիսկ: Նշված երկու պայմաններին բավարարող փաթեթների համախումբը կոչվում է արդյունավետ փաթեթներիբազմություն:

Ճ.

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Օօ

» »

Գծ.9

Այժմ քննարկենք թույլատրելի փաթեթներիբազմությունումարդյունավետ բազմությանտեղաբաշխմանհարցը: 9-րդ գծապատկերիցերնում է, դր թույլատրելի բազմությունում ամենափոքըռիսկն ունեցող փաթեթինհամաէ Է կետը, իսկ առավելագույնմիջին եկամտաբերությամբ պատասխանռում փաթեթին` Տ կետը: Փոփոխվող ռիսկի արժեքի դեպքում առավելագույն միջին եկամտաբերությունապահովողփաթեթներիբազմությունըկազմումէ թույլատրելի բազմության Է ն ԷԼ կետերի միջն ընկած վերին սահմանը, իսկ փոփոխվողմիջին եկամտաբերությանդեպքում նվազագույն ոիսկ ապահովող փաթեթներիբազմությունը կազմում է թույլատրելի բազմության ՏնՕ կետերի միջն ընկած ձախ սահմանը: Քանի որ արդյունավետբազմության փաթեթներըպետք է միաժամանակբավարարեննշված երկու պայմաններին էլ, ապա այս բազմությանտարրերըկգտնվենթույլատրելի բազմության Է ն Տ կետերիմիջն ընկած վերինձախ սահմանի վրա: Փաթեթների արդյունավետ բազմությունը գոգավոր է ն չի կարող պարունակելիջվածքներ ու բարձունքներ: Արդյունավետբազմության ձնի քննարկման համար դիտարկենքերկու` 1-ին ն 2-րդ արժեթղթերիցբաղկացած փաթեթներիբազմությունը:Դիցուք՝ փաթեթիմեջ 1-ին արժեթղթիմասնաբաժինըհավասաը է 2լ-ի, իսկ 2-ի՝ 1-»-շ-ի: 1--ին ն 2-րդ արժեթղթերից է կարելի կազմել տարբեր փաթեթներ՝փոփոխելովդրանց 2լ ն ճշ մասնաբաժինների արժեքները: Դիցուք` այս արժեթղթերիմիջին եկամտաբերությունները հավասար են ոլ-572 ն ոշ-1596, իսկ ռիսկերը` օլ-2072 ն Ժշ-4072: Դիտարկենք այս արժեթղթերիցկազմվածհետնյալ փաթեթները՝ Աղյուսակ 22 Ճ

0ՀայՀ1Լ 0ՀաչՀ1

ԷէԼ00 | | 000 |

| |

0.17

| |

0.00 1.00

խնդիր Լավագույններդրմանփաթեթիընտրության

փաթեթները կազմված են միայն 1-ին ն միայն 2-րդ արժեթըղթերիցհամապատասխանաբարն 1Հյ-570, Օչ-Օլ52072 իսկ ոշ-ոշ1544, կարելի է օբ -Օշ-4092: 8,Շ,ը,Ձ ն Բ փաթեթների Է միջին եկամտաբերությունը որոշել հետնյալ բանաձնից` Է լչ«590- 21556, Ճ

ն Օ

իսկ

կանոնականշեղումը՝ ռիսկի մեծությունը՝ հետնյալ բանաձնից.

Հ|6.2«400) (5241600)

Քանի որ, օ.-ՕգԹյ, համար կստանանք`

Քննարկվող կստանանք՝

2"2,0,օԻ:

որտեղից Օ-ի ԺրօՀՔոօ«20240Հ-թոգշ»«800,

ապա

2:լ».,Ք,6800):: -0ժ«400-- 43241600:

փաթեթների միջին

եկամտաբերությունների համար

ըլ-6.794, Է-«8.396, էը51092, Է-11.794, դ 13.394:

Քանի որ, հարաբերակցությանքըչ գործակիցը փոփոխվում է |-1.1) միջակայքում, ապա դիտարկվող փաթեթներիհամար որոշենք ռիսկի (նվաարժեքները: զագույն՝ ՔյչՀ -1-ի ն առավելագույն` Աղյուսակ 23

ՔՐ

ՕԱ արժեքները Օ արոր

Նվազագույն

Փաթեթներ Ճ

ռիս

Առավելագույն

23.33 26.67

30.00

է,

33.33

36.67

40.00

ռիսկի

10-րդ գծապատկերում բերված են դիտարկվող փաթեթները: Պետք է ՕՕ որ առավելագույն ռիսկ ունեցող բոլոր փաթեթներըգտնվում ենՃն կետերըմիացնողգծի վրա: Դա նշանակում Է, որ դիտարկվողարժեթղթերից չի կարելի կազմել այնպիսի փաթեթ, որի ռիսկի արժեքը գտնվի այս գծից ավելի աջ: Այս արժեթղթերիցկազմված փաթեթներըկգտնվենգծի վրա կամ նրանից ձախ: Դա նշանակում է, որ փաթեթի մեջ ներառված արժեթղթերի թվի մեծացումը հանգեցնում է նրա կանոնական շեղման փոքրացման: Կանոնական շեղումների նվազագույն արժեքներ ունեցող փաթեթները գտնվում են Ճ, (8.3965,0) ն Օ կետերը միացնող հատվածների վրա: Հետնաբար, դիտարկվող երկու արժեթղթերիցչի կարելի կազմել փաթեթ, որի կանոնականշեղումը լինի ավելի ձախ, քան նշված հատվածները: Քանի որ, Թլ-ն արժեքներ է ընդունում |1.1) միջակայքից, ապա դիտարկվող արնշել,

Լ Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

ժեթղթերիցկազմվածփաթեթներըկգտնվենստորնբերված եռանկյան մեջ: Օրինակ, 2յ-0.5, «շ-0.5 դեպքումդիտարկվողփաթեթներըկգտնվեն եռանկյան մեջ բերված կորի վրա: Որքան թլշ-ը մոտ է-1-ին այնքան այս կորը գոգավորկլինի -

3ՅՓ

ԻՊ

4060.

Գծ.10

Արդյունավետբազմությաննշվածհատկությունները ճշմարիտեն ճան Ւ| արժեթղթերիցկազմվածփաթեթներիհամար: Լավագույն փաթեթիընտրության խնդիրըլուծվում է հետեյալ կերպ:Սկզբումկառուցվումեն ճերդրողի անտարբերությանկորերըն Վ արժեթղթերիցկազմվածփաթեթներիարդյունավետբազմությունը: Այնուհետն որոշվում է անտարբերությանկորի ն արդյունավետբառձմության կետը: ք

շոշափման

»օ6

համապատասխանողփաթեթը ապահովում է

գոլ

տվյալ անԱյս կետին ն տարբերությանկորի դեպքումառավելագույնմիջին եկամտաբերությունը ճերկանվազագույն կանոնական շեղումը` ռիսկը: Այս դատողությունները յացված են 11-րդ գծապատկերում,որտեղ լավագույն փաթեթին համապատասխանումԷ Օ կետը:

4.2.

խնդիր Լավագույններդրմանփաթեթիընտրության

Փաթեթներիարդյունավետ բազմությանկառուցմանալգորիթմ

Ալգորիթմիհիմքում ընկած է «անկյունային» փաթեթների հաջորդական կառուցմանեղանակը: Անկյունային փաթեթներըարդյունավետ բազմության այնպիսի տարրեր են, որոնք ունեն հետնյալ հատկությունը՝ երկու հարակից անկյունային փաթեթների համադրմամբ կարելի է կառուցել արդյունավետբազմությունում նրանց միջն ընկած բոլոր հնարավոր փաթեթները: Ալգորիթմիաշխատանքըքննարկենք երեք արժեթղթերիցբաղկացած փաթեթներիհամար արդյունավետ բազմությանկառուցմանօրինակով: Ալգորիթմիսկզբում որոշվում են բոլոր դիտարկվողարժեթղթերիմիջին ն Շօ7 մատրիցը:Դիցուք՝ քննարկվող Ճ.,8 ն Շ արեկամտաբերությունները ժեթղթերի համար միջին եկամտաբերությունները ն կռվարիացիայիմատհավասարեն՝ րիցըհամապատասխանաբար

այ

146 187 187 854 104 145 104 289

(16.2: 24.6: 22.8), Շօմ-|

Այնուհետն արժեթղթերը կարգավորվում են ըստ միջին եկամտաբերությունների աճի: Դիտարկվող օրինակում առավելագույն եկամտաբերություն՝ 24.656 ունի Ց արժեթուղթը: Ըստ արժեքի՝ երկրորդ եկամտաբերությունը՝ 22.826 ունի .Շ արժեթուղթը: Իսկ ամենափոքրեկամտաբերությունը՝ 16.222 ունի Ճ արժեթուղթը: Առաջին «անկյունային» փաթեթը կազմվում է առավելագույն միջին եկամտաբերությունունեցող արժեթղթից: Քննարկվող օրինակում առաջին «անկյունային» փաթեթը կազմված կլինի միայն Ց արժեթղթից ն կունենա 2(1) կշռային վեկտորը:

401)

Հ|

0,0 10|: 0,0

Այս փաթեթի միջին եկամտաբերությունըն ռիսկը համապատասխանորեն հավասար կլինեն 24.625»-ին 29.2296-ի: 12-րդ գծապատկերումում առաջին անկյունակայինփաթեթը նշանակված է Շ(1)-ով: Երկրորդ«անկյունային»փաթեթըկառուցվումէ ըստ եկամտաբերության առաջին ն երկրորդ արժեթղթերից (մեր օրինակում՝ 8 ն Շ արժեթղթերից): Այս «անկյունային» փաթեթի կշռային վեկտորն ընտրվում է այնպես, որ ստացված փաթեթըունենա նվազագույնռիսկ` կանոնականշեղում: Եթե 7-ը Ց արժեթդթի մասնաբաժինն է փաթեթում, ապա Ը արժեթղթի մասնաբաժինը հավասար կլինի 1-7-ի: Երկրորդ «անկյունային» փաթեթի կանոնական շեղումը կորոշվի հետնյալ բանաձնից. այրի

Ժ, Հ(Ժր)

ՀԾ-Ա-))

Հ2Ա-

Ֆ)օրւ)

Օչ-ի նվազագույն արժեքը ստացվում է 7-0.20 դեպքում: Հետնաբար, երկրորդ «անկյունային» փաթեթի կշռային վեկտորը հա-

Ճ.

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

վասար կլինի՝ 0.00

:(2-|

0.20

0.80

իսկ նրա միջին եկամտաբերությունըն ռիսկը համապատասխանորենկորոշվեն հետնյալ բանաձներից. 1652, 1 Հ24.620.20-Է22.820.80Հ-23. : Հլ5.89046: Օչ-(854»0.04--289»«Ս.64--2»0.25«0.822104) Գծապատկերում երկրորդ «անկյունային» փաթեթը նշանակված է Շ(2)-ով: Քանի, որ առաջին ն երկրորդ փաթեթները հարակից են, ապա նրանց միջն ընկած ամեն մի արդյունավետփաթեթ կարելի է ստանալ նրանց համադրությունից: Այսպիսի փաթեթներիկշռային վեկտորը` ճլշ-ը որոշվում է հետնյալ բաճաձնից. 7 լշ-

2Գ( լ )Է( 1-2)»օ.(2),

որտեղ 2-ը փոփոխվում է 0.1) միջակայքում: Երրորդ «անկյունային» փաթեթը կազմվում է ըստ եկամտաբերությաներկրորդ ն երրորդ արժեքներն ունեցող արժեթղթերով:Դիտարկվողօրինակում Շ ն Ճ արժեթղթերով:Այս

արժեթղթերիմասնաբաժինները՝ 7-ը ն 1-7-ը, որոշվում են այնպես, որ երրորդ «անկյունային» փաթեթի կանոնական շեղումը լինի նվազագույնը: Դիտարկվող օրինակում երրորդ անկյունային փաթեթի ռիսկի արժեքը որոշվում է հետնյալ բանաձնից. Փ,

«(0Հ3 Ժօ:01-7) Է2501-7)օ,-)շ:

Փ-ի ճվազագույն արժեքը ստացվում է :--0.01-ի դեպքում: Հետնաբար, երրորդ«անկյունային» փաթեթիկշռային վեկտորը2(3)-ը, հավասարկլինի՝ 0.99

2(3)»| 0.00

0.01

իսկ նրա միջին եկամտաբերությունըն կանոնական շեղումը կորոշվեն հետնյալ բանաձներից.

օչ-

16.2»0.99--22.8»«0.01

16.2722,

3 -՝12.0894: (000122289-0.995:146:2»«0.01»0.99»:145)

Գծապատկերումերրորդ «անկյունային» փաթեթընշանակված է Շ(3)ով: Քանի, որ երկրորդ ն երրորդ փաթեթներըհարակից են, ապա դրանց միջն ընկած ամեն մի արդյունավետ փաթեթ կարելի է ստանալ դրանց համադրությունից: Այսպիսի փաթեթների կշռային վեկտորը կորոշվի հետնյալ բանաձնից. Ճշ5--

(2)է1-2»օ.(3):

Լավագույններդրմանփաթեթիընտրությանխնդիր

Ռրտեղ 2-ը փոփոխվում է |0.1յ միջակայքում: Օրինակ, եթե 7-0.33-ի, ապա նման արդյունավետ փաթեթիկշռային 2շ5

վեկտորըհավասարկլինի՝ 0.57

2:-0:33»0«(2)Է0.67»օ«(3)

0.07 0.36

Ալգորիթմը նման ձնով շարունակվում է մնացած արժեթղթերիհամար: Վերջին (մեր դեպքում Շ(3)) «անկյունային» փաթեթին համապատասխանում է արդյունավետ բազմությանԷ կետը:

Ը)

Շ(2)

Շ(3)

Օ Գծ.12

Գրաֆիկական-վերլուծականեղանակի դեպքում «անկյունային» փաթեթների օգնությամբ հաշվարկվում են արդյունավետ բազմության նան մյուս տարրերը: Սռվորաբար երկու հարակից փաթեթներիմիջն հաշվարկվում են 10-ից 20 արդյունավետ փաթեթներ՝արդյունավետ բազմության կորը ճշգրտելու նպատակով:Ալգորիթմիաշխատանքն ավարտվում է փաթեթների արդյունավետ բազմության կորը ճշգրտելուց հետո: Ներդրողի անտարբերության կորի ն արդյունավետ փաթեթների բավմության տարրերի որոշումից հետո կատարվում է ներդրման լավագույն փաթեթիընտրությունը:Ինչպես արդեն նշվել է, նման փաթեթին համապատասխանում է ներդրողի անտարբերության կորի ն արդյունավետ բազմության շոշափման Օ՝ կետը: Այս կետին համապատասխանողեկամտաբերության բ ն ռիսկի Օ՝ արժեքներիորոշումից հետո, կատարվում է լավագույն փաթեթի կազմի ընտրությունը: Դրա համար արդյունավետ փաթեթների բազմության մեջ վերցվում են այնպիսի երկու հարնան անկյունային փաթեթներ, որ լավագույն փաթեթի եկամտաբերության արժեքը գտնվի այս փաթեթներիեկամտաբերություններիմիջն: Դիտարկվող օրինակում Օ՝ կետի եկամտաբերությունը գտնվում է երկրորդ ն երրորդ անկյունային փաթեթների եկամտաբերություններիմիջն: Քանի ռր հարնան անկյունային

Ճ.

Որոշումների ընդունմանհիմունքներ

փաթեթներիհամադրմամբկարելի է կառուցել նրանց միջն ընկած ամեն մի արդյունավետ փաթեթ, ապա լավագույն փաթեթում անկյունային փաթեթներիմասնաբաժինները՝7-ը ն (1-5)-ը, կորոշվենհետնյալ բանաձնից. Բ ՀԽՀԱ-եղ, որտեղ ոլ-նն

պղ-ըհամապատասխանումեն ` -ից բարձր, այսինքն` երկ-

ցածը, այսինքն` երրորդ եկամտաբերությունունեցող անկյունային փաթեթներին: Այստեղից7-ի համար կստանանք` րորդ

.-Փ

.ծ8

«Լու ոու-նը

Լ-ռ.

:Օ.ռԶ-դ

Ռիսկավորն ռիսկազերծարժեթղթերիցներդրումային փաթեթներիձնավորումը

Ներդրումային փաթեթներ ձնավորելիս ճերդրողներըաշխատում են նրանցում ընդգրկել ըստ հնարավորինբազմատեսակարժեթղթեր:Փաթեթձնաշնորհիվ կարելի է զգալիորենփոքրացնել ներիբազմատեսակացմանմ վորվող փաթեթներիռիսկը: Նախորդ բաժնում մենք դիտարկեցինքմիայն ռիսկավոր արժեթղթերիցկազմված փաթեթները:Նշեցինք, որ նման արժեթղթերի ն դրանցից կազմված փաթեթներիեկամտաբերությունըպատահական մեծություն է ն բնութագրվում է միջին արժեքով ու կանոնականշեղումով: Ներդրման այսպիսի փաթեթներըկոչվում են ռիսկավորփաթեթներ: Ռիսկազերծ արժեթղթերը ն դրանցից կազմված փաթեթները բնութագրվում են եկամտաբերությանհաստատուն արժեքով: Նման արժեթղթերի եկամտաբերությանկանոնականշեղումը, ինչպես ճան ամեն մի այլ արժեթղթիհետ հարաբերակցությանգործակիցը հավասարեն զրոյի: Այս բաժնում կքննարկենք ռիսկավոր ն ռիսկազերծ արժեթղթերից կազմված ներդրմանփաթեթներիձնավորմանխնդիրը: Պարզության համար սկզբում կդիտարկենք մեկ ռիսկավոր ն մեկ ռիսկազերծարժեթղթից կազմված փաթեթներիբնութագրերը:Դիցուք` ո-ը ն ռԶ-ըռիսկավոր ն ռիսկազերծ արժեթղթերի եկամտաբերություններնեն, իսկ Գ-ը ն օշ--ը դրանց կանոնական շեղումները:Եթե 2լ-ով նշանակենք ռիսկավոր արժեթղթերի կշիռը (մասը,բաժինը) փաթեթում, իսկ 2շ-ով` ռիսկազերծ արժեթղթերինը,ապա դիտարկվող արժեթղթերիցկազմված փաթեթների Է եկամտաբերությունըն Ժ կանոնականշեղումը կարելի է որոշել հետնյալ բանաձներից. : Հռլ ոՃՇ (5.1) Ժ

201 101

2ոլոօի-

ճնավորումը 117 փաթեթների Ռիսկավորն ռիսկազերծարժեթղթերից ներդրումային

Հ-Աօ0ԻՄ1-լ) 01 Է2:01-լ)օչի:

Քանի որ ռիսկազերծարժեթղթիօչ- 0 ն Օշչ- 0, ապա դիտարկվողփաթեթներիԺ կանոնականշեղման ն Լ հկամտաբերությանհամար (5.1) բաճաձնից կստանանք՝ ՕՀ լՕլ, ո "(ո --ք, ) Է ռ Հ

Որտեղից՝

«ցաք Ս

Օլ

Սակայն (5.2)-ը նկարագրում է (դ,գլ)

(5.2)

(ռ,0) կետերով անցնող գծի

հավասարումը:

Հետնաբար, դիտարկվող արժեթղթերից կազմված բոլոր փաթեթները կգտնվեն (դ,Ժ) ն (ռ,0) կետերը միացնող գծի մրա: 5-ին տալով տարբեր արժեքներ, կարելի է ստանալ ռիսկավոր (ղ.,Օյ) ն ռիսկազերծ (ո, ,0) արժեթըղթերիցկազմվածբոլոր հնարավոր փաթեթները: Այժմ դիտարկենք Վ-1 արժեթղթեր պարունակող ռիսկավոր փաթեթից ն մեկ ռիսկազերծ արժեթղթիցկազմված ներդրման փաթեթները: Դիցուք՝ ռիսկավորփաթեթիեկամտաբերությունըհավասար է Է -ի, իսկ կանոռնական շեղումը` 6 -ի: Այս դեպքում ռիսկավորփաթեթիցն ռիսկազերծարժեթըղթերից կազմված փաթեթների Է եկամտաբերությունը ն Ժ կանոնական շեղումը, նախորդ օրինակի նմանողությամբ, կարելի է հաշվել հետնյալ բանաձներով. 7- ել / Դշ ռ ի

«(16

220: Է

2.01

ռիսկավոր փաթեթի, իսկ տչ ռիսկազերծ արժեթղթի Այստեղ լ-ը կշիռներն են: .Քանի որ, 2շ- 1Է-չլ,օշ-0, Օլշ-0, ապա՝ (5.3) ԼՀԿ(-ռ)Ւռ,օ-լծ: .

Սակայն (5.3)-ը նկարագրում է (ոչ,0) Կ (ո, 6) կետով անցնող գծի հավասարումը:Հետնաբար, նախորդ օրինակի նմանողությամբ, ռիսկավոր փաթեթիցն ռիսկազերծ արժեթղթիցկազմված բոլոր փաթեթներըկգտնվեն (ճչ,0) ն (ո, Ժ) կետերը միացնող գծի վրա: Եթե Ճ-(4(1)...,2(Վ-1),0)-ն ռիսկավոր փաթեթի, իսկ Ց (0,0,...,0,1)-ը ռիսկազերծ արժեթղթի կշռային վեկտորներնեն, ապա դրանցից կազմված փաթեթներիկշռային 24- (1), ՃՈ) վեկտորիհամար կստանանք` Հ

Ճ-

Ճա ԺԱ-յյ)Ց:

Այժմ դիտարկենք ռիսկազերծ արժեթղթերից ն ռիսկավոր փաթեթից կազմված ներդրման փաթեթների թույլատրելի ն արդյումավետ բազմությունների կառուցվածքը:

Դ.

Որոշումներիընդունմանհիմունքներ

Ստորն 13-րդ գծապատկերումցույց է տրված ճախորդ բաժնում դիտարկված երեք արժեթղթերիցկազմված փաթեթներիթույլատրելի բազմությունը, երբ հաշվի են առնվում նան ռիսկազերծարժեթղթերը:

Ւ-

Է-

(

»Օ Գծ.

բազմությունըկազմված է

Այս դեպքում թույլատրելի ռիսկազերծ արժեթղթերին ռիսկավոր փաթեթներիբոլոր համադրություններիցստացվող փաթեթներից: Թույլատրելի բազմությունումանհրաժեշտ է առանձնացնել նրա երկու գծային սահմանները (տե'ս. գծ.14): Ներքին գիծը ռիսկազերծ արժեթղթինհամապատասխանող( ճչ,0) կետը միացնում է առավելագույն

եկամտաբերությունունեցող ռիսկավոր փաթեթին համապատասխանողՏ կետին, իսկ վերին գիծը՝ ( չ,9) կնտը միացնում է այդ կետից արդյունավետ բազմությանըտարված շոշափողին: Շոշափման ՛Ղ կետին համապատասխանումէ ռիսկավոր արժեթղթերից կազմված որոշակի արդյունավետ փաթեթ:Այս փաթեթըյուրահատուկ է նրանով, որ նրա ն (ռ,0) կետը միացնող գծից ավելի ձախ ն ավելի վերն գտնվող փաթեթներթույլատրելի բազմությանմեջ չկան: Հետնաբար,ըստ արդյունավետբազմության սահմանման, (ճ,,0) կետը 1-ին միացնող գծի վրա գտնվող փաթեթները,1-կետը 5-ին միացնող կորի վրա գտնվող փաթեթներիհետ միասին, կկազմեն դիտարկվողխնդրի արդյունավետ բազմությունը: ( չ,0) կետը 1-ին միացնողգծի վրա գտնվող փաթեթներըկազմված են 1` կետին համասլատասխանող ռիսկավորփաթեթիցն Մ ռիսկազերծ արժեթղթից, իսկ կետը Տ-ին միացնող կորի վրա գտնվող փաթեթներըկազմված են միայն ռիսկավորարժեթղթերից: Դիտարկվող օրինակում արդյունավետ բազմությունը կառուցվում է են հետնյալ կերպ: Սկզբում, ըստ եկամտաբերությանաճի, դասակարգվում ռիսկավոր արժեթղթերը ն նախորդբաժնում քննարկված եղանակովդռրոշվում է առաջին «անկյունային» Շ(1) փաթեթը,որին համապատասխանումէ

ձեավորումը 119 Ռիսկավորն ռիսկազերծարժեթղթերից ներդրումայինփաթեթների

առավելագույնեկամտաբերությունունեցող արժեթղթիցկազմված փաթեթը: Այնուհետե կառուցվում է երկրորդ «անկյունային»` Շ(2), փաթեթը, որը կազմված է ամենամեծ եկամտաբերություննունեցող առաջին երկու ռիսկավորարժեթղթերից: Եթե (ոչ,0) կետից Շ(1) ն ՇՕ) կետերը միացնող կորինկարելի է տանել շոշափող՝ ՛Լ կետը գտնվում է նշված կետերը միացնողկորի վրա, ապա դորոշվում են 7 կետի կորդինատները,ն ավարտվում է արդյունավետ բազմության կառուցումը: Հակառակ դեպքում կառուցվում է Շ(3) «անկյունային» փաթեթը:

Է-

ԼՆ

1022 2002 3042

Եթե 1 կետը գտնվում է Շ(3) ե Շ(2) կետերը միացնող կորի վրա, ապա որոշվում են նրա կորդինատները,ն ավարտվում է արդյունավետ բազմության կառուցումը: «Անկյունային» փաթեթներիկառուցումը շարունակվում է այնքան, մինչն որ որոշվի 1 կետին համապատասխանող փաթեթը: Լավագույն փաթեթի ընտրության համար այս դեպքում անհրաժեշտ է դիտարկել երկու տարբերակ:

Առաջին դեպքում անտարբերության կորի ն արդյունավետ բազմության շոշափմանՕ՝ կետը գտնվում է (ռ,0) ն՛Լ կետերի միջն (տես գծ. 15): Այս դեպքում լավագույն փաթեթը կազմված է ( ղ,0) ռիսկազերծ արժեթղթերից 1 կետինհամապատասխանողոիսկավորփաթեթից: Երկրորդ տարբերակի դեպքում անտարբերության կորի ն արդյունավետ բազմության շոշափման Օ՝ կետր գտնվում է ՛1 ն Տ կետերը միացնող կորի վրա: Այս դեպքում լավագույն փաթեթր կազմված է միայն ոիսկավոր

արժեթղթերից:

ՃԸՇՈրոշումներիընդունմանհիմունքներ

ւ.

Գծ.

Երկու տարբերակներիդեպքում լավագույն փաթեթիկշռային վեկտորը որոշվում է նախորդբաժնում դիտարկված օրինակի նմանությամբ:

Գրականություն լ.

2. 3. 4.

ՍահակյանՄԱ. ն ուրիշներ: Տճտեսության վերլուծության մաթեմատիհետազոտում.ճառավարման գիկական եղաճռակներ./Գործույթների տություն/ Մաս 1, Երնան, ԷԿԱԳՄԱՀԲ, 1997.

՛ՂՕխոՇՔ. ՃՕողՎՇՇՂՏՇԵԻԵԼՇհ(ՇՂԾՈ»Լ

Ո16ք.օ աայ/-ԽԼ:ԱՇոօ Ք հԼ., ԸՇոօփաը ՕԶոռօմօ

:օ1111.,1997. ԼնռքոՄ., Ճառք 1997.

Տ. 6.

Բռա:

24. Ճուտ

28470138

1, ԲտխաւԼե

/116ք.օ քօածճում.

քաոծոռն/116ք.օ Յուղ./-ԽԼ.:

Սոթտօշույու /116ք.օ մոմ.

ԽԼՀԱԼՓՔՃ,

Յոււ/.-ԽԼ.:

ՍՈոտեո Մ7Մ.Լ., ճեղքել 5.Շ. Բոճշնօշլ

ՍՏՃ,1997

203:241618Շ18011

ՈՇՏՂՇՈԵԽՕՇՈԼ.

օօքրոծ, 1999. Ք. Խ1օրււ սքումոում

ԷԼոչուճ1977. Տոլօոօծ. Թաւեսո/ԻօտՏ, ԽԹոռճքատծու

.է|էյ,,,,".ԽՒթԻՔՔԲԲ»ԲՔԲՔԲԵՔԵՒԽ

., Ղ ԼՆ ւ

ՃԼ

ԵՎ ՄԱՐԿՈՎԻ ՇՂԹԱՆԵՐ

ՈՒ ԿԻՍԱՄԱՐԿՈՎՅԱՆ.

ՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ

Շատերիհամար մնում են դեռես անքացատրելի, ինչ-որ կերպ կարելիէ այն մեկնաբանել:

Թեն

Գրիգոր Նարեկացի, Մատյան ողբերգության բան Հ,Ը. Ն. 1979

Մուտք Մարկովի շղթաները, մարկովի ու կիսամարկովյան գործընթացները հավանակամություններիտեսության լավ հետազոտված բաժիննելից են: Դրանք մեծապես կիրառվում են գռրծույթների հետազոտմանտեսության մեջ ն տնտեսագիտությանբազմաթիվխնղիրներլուծելիս: Մարկովի շղթաների, մարկովյան ու կիսամարկովյանգործընթացների վարքն ու յուրահատկությունները հասկանալու համար այս բաժնում կդիտարկենք դրանց կառուցվածքային նկարագիրը: 1.

Մարկովիշղթաներ

Պատահականմեծությունների (Հ(ո)) հաջորդականությունըկազմում է Մարկովի շղթա, եթե Հ(ո) մեծության արժեքը ցանկացած ո-ի համար կախվածէ միայն Հ(ո-1) պատահական մեծության արժեքից ն կախված չէ

Հ(ո-2),Հ(ո-3),... արժեքներից:

Մենք կդիտարկենք այն դեպքը, երբ Հ(ո)-երըամբողջաթիվ են ն արժեքներն ընդունում են ՔՀ (0,1,2,...) բազմությունից: Դիտարկենք որնէ համակարգ,որն իր վիճակներըփոխում է ժամանակի 1 0,1,2,... պահերին ն ժամանակի ցանկացած սնեռված պահին կարող է գտնվել 1: բազմության միայն մեկ վիճակում: Համակարգի վարքլ: նկարագրվում է Մարկովիշղթայով, եթե. 1. ժամանակի է-0 պահին համակարգը գտնվում է որնէ | վիճակում, 16 Է, 2. ժամանակի 1-1 պահին համակարգը ս վիճակից նորյ վիճակ անցճում է թյ 1)20 հավանականությամբ,ընդ որում ցանկացած | վիճակի հա. մար Ֆթ,յ()Հ1, Հ

ԲԵ

ժամանակի1-2 պահին համակարգր յ) վիճակից որնէ

անցնում է

թյ, (2)

Հ0

հավանականությամբն այդպես շարունակ:

վիճակ

ՀԼ

Մարկովիչջղթաներն մարկովյան ու կիսամարկովյանգործընթացներ

Այդպիսով համակարգի վարքի ամբողջական նկարագրման համար պետք է ունենալ. 1) համակարգի հնարավորվիճակների բազմությունը՝Բ» (0,1.2....), 2)

Լ-

պահին վիճակների սկզբնական բաշխման ք՛»-(ք,6

Ի) վեկ-

տորը,

3) ո-րդ քայլում մի վիճակից մյուսը մեկ քայլով անցումներիհավանականությունների9(ռ) մատրիցը՝ Ե()- |թյ (ո)

Եթե Հ(ո)-ը՝ ո-րդ անցումից հետո (ո պահին) շղթայի վիճակն Հ(ո) ), 1, ապա շղթայի իսկ Հ(ո-1)-ը շղթայի վիճակն է ո-լԼ պահին, ն Հ(ո-1) են անցումների հավանականությունները բնորոշվում մարկովյան հատԴա է` կությամբ: նշանակում Հ(ո) շղթայի վիճակներիցանկացած Հ(սլ) 1., ւ խմբի համար, որտեղ սլՀնչՀ...ՀնչՀո--1, ծ(աշ) ն,...Հ(դ) Խձ(-1) պատահականմեծության պայմանական բաշխումըկախված չէ Հ(սլ), Հ(սշ), Հ(Աչ)-իարժեքներից՝ 1, Հ(սշ) էշ...Հ(պ) թ4Հ(ո) յես) .ծՀո-1)-ԴՀԷ: ո-0,1.2,...: (ո), 1) թյ չո) )Մ(ո-1)51)- թյ Հ

...յ

Այստեղ

թյ (ո)-ը՝ Մարկովի շղթայի

ո-րդ

քայլում

վիճակից յ վիճակ

անցման հավանականությունն է: Այսպիսով կարելի է տալ հետնյալ սահմանումը. 1: Մարկովի շղթաները ընդհատ թռիչքաձնպատահական Սահմանում գործընթացներեն, որոնց անցումային հավանականություններըբնութագրվում են մարկովյան հատկությամբ: Այժմ կատարենքՄարկովիշղթաներիպարզագույնդասակարգումը: 2: Մարկովի Սահմանում շղթան կոչվում է համասեռ, եթե նրա թյո) անցումներիհավանականություններըկախված չեն ռո անցմանպահից թյ(ո)Հ-թջ եյ ճէ, ո-0,1շ...: Մարկովյան շղթան կոչվում է վերջավոր, եթե նրա է վիճակների բազմությունը վերջավոր է՝ ԷՀ (0,1,2....,ԻՍ, ՎՀ»: Վերջավոր, համասեռ Մարկովի շղթայի անցումների հավանակամություններըբավարարումեն հետնյալ պայմանին՝ 0.1) թ(Հ(ո) )6(ոլ) 1, Հ(ոշ)-12...,«(ԽԺ- ն. օԹ)Հ- Ե ԱսյՀնչՀ...ՀեւՀՏ) Ք(ծ(ո) 565) -1)- քլ(ո-Տ): Այսպիսով համասեռ Մարկովիշղթայի Ի4Հ(ո) յ|է(Տ) 1) պայմանական անցումային հավանականություններըկախված են միայն ո-տ տարբերությունից: (1.1) բանաձնումհամասեռ շղթայի մարկովյանհատկությունը արտահայտվում է առաջին հավասարությամբ ն մեկնաբանվումէ հետնյալ կերպ: Սահմանում

Սարկովիշղթաներ

Շղթայի վարքը Տ պահից հետո, 4Հ(5)-ի վիճակի հայտնի արժեքի դեպքում, կախված չէ մինչն 5 պահը (անցյալում) շղթայի վարքից: Համասեռ Մարկովի շղթայի ոՒտՏ քայլում անցումներիհավաճակամություններըբավարարում են Կոլմոգորով-Չեպմենիհավասարմանը՝ (1.2) 1յ6ք, Տոլ, քյ(ոՒՏ)

2,թւ()թ,յ6) ,

հանդիսանում է Մարկովի շղթաների հավաճականային հատկությունճերի հետազոտմանելակետային առարկան: (1.2) բանաձնը ակճնայտորեն դուրս է բերվում Մարկովի շղթայի համասեռության հատկությունից ն լըիվ հավանականությունների բանաձնից: Նմանապես, (1.2) բանաձնը ն լրիվ դավանականությունների բանաձննօգտագործելովՄարկովիշղթայի Հ(սյ)-յլ, (Աշ) )շ,...,ձՀ(խց)) վիճակների վերջավոր հաջորդականությանռամատեղ պայմանականբաշխման համար, կարելի է գրել` թ(ծ0յ) Հ-)յ, (աշ) )շ,..., ե) -)մծԹ)-))1), (սլ-Տ) քյ: (աշ-սյ),..., ք, յ (ա-ն, որը

Հք

որտեղ՝ ՏՀԱլՀԱշՀ...Հնյ: Եթե 7(ո)-ը Մարկովի շղթայի ո-րդ քայլում ւ վիճակ ընկճելու ռավաէ, իսկք"-ն` ճականճությունն շղթայի սկզբնականբաշխումմէ՝

ք- (թ,

ապա

68),

շղթայի վիճակներիանպայման բաշխումը որոշվում է 2(ո)

».քյք,(ո),16Է,ո-.շ,...:

ճե

Ճ(ո) հավանակամճություննճերը կարելի է որոշել նան հետնյալ անդրադարձ բանաձնից՝ 0.3) մ(ո)- »ոյ(ո-1)քյ։ 16Ը, ոՀ|,շ....: թե՞

Բանաձեիհաջորդականկիրառումով7(ո) (7(ո), 6 Է| վեկտորիհամար կստանանք՝ (ո) թշթ(1)5(2)....,(ո), ո-12...., որտեղ (ո) (ո)|-ը Մարկովի շղթայի անցումներիմատրիցն ||թյ է ո-լսլ պահին: -

Համասեռ

ստացվում է`

շղթաների դեպքում, երբ Ք(ո)-Ի, ոշ1, (ո)

վեկտորի համար

(ո) թյբ", ո»1,2...., (14) որտեղ ք"-ը՝Թ մատրիցի ո-րղ աստիճանն է: ԴիտարկենքՄարկովիշղթաների մի քանի օրինակներ: Օրինակ 1: Քննարկենք քոլեջի ուսանողի վարքը ուսումնառության չորս տարիներիընթացքում: Ենթադրենք, որ յուրաքանչյուր ուսումնական տարի ուսանողը թ հավանականությամբդուրս է մնում քոլեջից, զ հավանակամությամբ մնում է նույն կուրսում ն ք հավանականությամբփոխադրվում է հաջորդ կուրս: Պարզ է, որթքԺոՒզ-1նթ»0,ո»0, զ»0: Կազմենքուսանողի

Ճէ

Սարկովիշղթաներ

մարկովյան

ու

կիսամարկովյանգործընթացներ

վարքը նկարագրու Մարկովի շղջան՝ ներմուծելովհետնյալ վիճակները. Տ.- սռվրում է երրորդկավասում, Տ- քոլեջից դուրս է մնացել, Տշ- քոլեջն ավարտել է, Տ«- Ամվռրումէ երկրոլոլ կուրսում, Տ3- սռվռրում է չորրորդ կուրսում, Տճ- Ասվում է առաջին կուրսում: Շղթայի անցումների հավանակամություններիՔ մատրիցը ունի հետնյալ տեսքը՝ լ00000 010000

քոզ000

Եչ-|ք0գ00| ք00զգ0 ք000ղզ

Եթե շղթայի հնարավոր վիճակների բազմությունը վերջավոր է, ապա շղթան կոչվում է վերջավոր Մարկովի շղթա, հակառակ դեպքում` հաշվելի վիճակներիբազմությունով Մարկովիշղթա: Եթե Ք44(ո-1) լլ,չ(ոՒ2) Լշչ..., Հէ) ա) հավանականությունները ռ-ից կախվածչեն վիճակներիռ"անկացած 1լ:1շ,...,դ, խմբի ն Բ-0.1,2,...-ի համար, ապա համասեռ Մարկովիշղթան կոչվում է ստացիոնար: Մարկովի շղթաների ուսումնասիրմանժամանակ կարնոր է իմանալ նրանց վիճակներիդասակարգումը:Բերենք Մարկովի շղթաների վիճակների հատկությունների հետ կապված մի քանի սահմանմումներ: Վիճակների վերջավոր 1,լ,...»1,չ)խումբը որոշում է 1 վիճակից յ) վիճակ Տ երկարության ուղի, հթե՝ ք քլ». քլյ»0:) վիճակը կոչվում է ւ վիճակից հասանելի, եթե Հ

Հ-

գոյություն ունի յ-ից ւ վիճակ տանող ուղի: Երկու լ ն յ) վիճակներկոչվում են հաղորդվող, եթե ) վիճակը հասանելիէ -րց, իսկ : վիճակը յ)-ից: ւ վիճակից ւ վիճակփակ ուղին կոչվում է չ վիճակի ցիկլ: Այդ ուղու երկարությունը կոչվում է ցիկլի երկարություն: Եթե թ.(ո) » 0, ապա գոյություն ունի 1 վիճակի ո երկարությանցիկլ: ո թվերի ձ. ընդհանուր ամենամեծ բաժանարարը,որի համար թ.(4)»0, կոչվում է ւ վիճակի պարբերություն: Դիցուք` Քյ-ը որնէ չ վիճակի հետ հաղորդակցվողբոլոր վիճաների դասն է: Պարզ է, որ Քյ-ի բոլոր վիճակներըհաղորդակցվողեն: Այսպիսի Քլ բազմությունը կոչվում է հաղորդակցվող վիճակների դաս: Այսպիսով Է բազմությունը բաժանվում է հաղորդակցվողվիճակներիչհատվող դասերի: Եթե Բյ-Բ, ապա Մարկովի շղթան կոչվում է չվերլուծվող: Եթե Ել-ը պարուճակում է միայն .մեկ վիճակ, ապա այն կոչվում է կլանման վիճակ: Կլանման 1 վիճակի համար թյ 1, քյ 0, 1»), քանի որ այդ վիճակից չի կարելի անցնել որնէ այլ վիճակ: ՔԽլդասը կոչվում է փակ, եթե նրա ցանկացած16 Բլ վիճակի համար 16 Քլ անցումային հավանականություններըմեծ են զրոյից՝ ք,» 0 միայն յճ Ել վիճակներիհամար: Հաղորդակցվողվիճակներիփակ դասը կոչվում է էրգոդիկդաս: -

մ.

Սարկովիշղթաներ

Էրգոդիկ դասումընդգրկվածվիճակներըկոչվում են վերադարձելի, իսկ չընդգրկվածները՝անվերադարձելի:Մարկովյանշղթան ընկնելով էրգոդիկ վիճակներիդաս, այնտեղից այլնս դուրս չի գալիս: Կախված մարկովյան շղթայի վիճակների տեսակից` տարբերում են վերադարձելին անվերադարձելիվիճակներիբազմությունով շղթաներ: Առաջին տեսակի Մարկովի շղթաների վիճակների Ե բազմությունը կազմված է մեկ կամ մի քանի էրգոդիկ, փւխչհատվող ենթաբազմություն-

ներից: Երկրորդ տեսակի շղթաների դեպքում Ք բազմությունը բադկացած է երկու փոխչհատվող` Բջ անվերադարձելի վիճակների ն Բյ վերադարձելի, էրգոդիկվիճակների ենթաբազմություններըց: Եթե Բլ բազմությունը բաղկացած է մեկ վիճակից, ապա այդպիսի շղթան կոչվում է կլանմամբ Մարկովի շղթա: Չվերլուծվող Մարկովի շյլթան կոչվում է ոչ պարբերական, եթե նրա յուրաքանչյուր վիճակի պարբելոււթյունը հավասաը է 1-ի: Եթե շղթայի յուրաքանչյուր վիճակի պարբելությունը մ»1, ապա չվերլուծվող Մարկովի շղթան կոչվում է պարբերական`մ պարբերությամբ:Փակ դասի բոլոր վիճակները ունեն նույն Վ պարբերությունը, որը կոչվում է դասի պարբերություն:Եթե մ»), ապա դասր կոչվում է պարբերական. Գործույթների հետազոտմանխնդիրներում, երբ որպես մաթեմատիկական մոդելներ օգտագործվում են Մարկովի շյլթաները, կախված նրանց տեսակից,ուսումնասիրվում են ռետնյալ հիմնական հարցադրումները: ԷրգռդիկՄարկովիշղթաների դեպքում` լ. Ինչպիսի՞ն է ռ քայլից հետո յ վիճակ ընկնելու հավանականությունը, եթե սկզբնական1 0 պահին շղթան գտնվել է | վիճակում: 2. Ինչի՞ է ռավասարշղթայի 1 վիճակում մնալու միջին ժամանակլ ն նա է ինչպես կախված շղթայի սկզբնականբաշխումից: 3. Ինչի՞ է հավասար 1 վիճակից յ վիճակ ընկնելու քայլերի նվազագույն քանակի միջինըն այլն: Մարկովիշղթաների դեպքում՝ Ինչի՞ է հավասար անվերադարձելի | վիճակից էրգոդիկ ինկնելու հավանակամությունը: 2. Ինչի՞ է հավասար շղթայի ) վիճակում մնալու միջին ժամանակը մինչն անցումը էրգոդիկբազմություն: 3. Ինչի՞ է ռավասար 1 անվերադարձելի վիճակից մինչն էրգոդիկ բազմություն ընկնելու քայլերի նվազագույնքանակի միջինը ն այլն: Կլանմամբ Մարկովիշղթաներիհամար ճշմարիտ | հետեյալ թեորեմը: Թեորեմ: Վերջավոր վիճակների բազմությունով կլանմամբ Մարկովի շղթաներում ո քայլերից հետո, երբ ո -» », կլանման վիճակ ընկնելու հավանականությունը, անկախ սկզբնականբաշխումից, ձգտում Է մեկի: Դիցուք Մարկովի շղթայի վիճակների 1: բազմությունը տրոհված է Հ

Արաբ

նթաբամեթյւն .

տվյալ

շժ.

Մարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընքացներ

ԵՀ Եօեքլ, Խոր Թ, երկու Էջ ն Ել փոխչռհատվողենթաբազմությունների՝ որտեղ Էս-ն` անվերադարձելիվիճակների, իսկ Էլ-ը կլանման վիճակների

ենթաբազմություններնեն: Կլանմամբ Մարկովի շղթաների անցումային մատրիցը կանոնականձնով ունի հետնյալ տեսքը.

Գիորտեղ »-|ր 1-9 է:

կլանման վիճակներին համապատասխանող միավոր մատրից է, 0-ն գրոյական տարրերով մատրից է, Ճ-ը աճվերադարձելիվիճակներից կլանման վիճակներիանցման բլ, 16 էօ, յճ Ել ռավաճականությունների մատրիցնէ, իսկ Օ-ն անվերադարձելի վիճակներիԷջ բազմությունում բ,, 1)Շ 5օ, աճցումների հավանականությունների մատրիցնէ: Թեորեմ: Կլանմամբ Մարկովի ցանկացած շղթայի համար Է-Օ մատրիցը հետադարձելի է, ընդ որում հետադարձ(1-Օ) մատրիցըորոշվում է` Լն

ճ-0"-21Ի0Հ«0Յ.-Ֆ0": ւ-0

Սահմանում

Կ-Ա-Օ)

մատրիցը կոչվում

կլաճմամբ Մարկովի

շղթաի հիմնարարմատրից: Հիմնարար Է| մատրիցիոլ, տարրերը Նյ6 Քց, ցույց են տալիս շղթայի) վիճակ ընկնելու միջին քանակությունը, պայմանով, ռր սկզբնականպահին շղթան գտնվել է 1 վիճակում: Ի մատրիցի ու, տարրերը կարող են որոշվել նան հետնյալ հավասարումներիհամակարգից՝ (1.5) 16 էջ, քույ» ոյ -ծլ

որտեղ ծ,-ն՝ Կրոնեկերիհաստատուներնեն՝

ծլ-1, եթե 1»), ն ծչ-0, եթե 1»):

(Շարունակություն):Ուսանողներիվարքը նկարագրողՄարկովի շղթան ունի կլանման երկու վիճակ՝ 5 ն 5շ, որոնց համապատասխաճում են ուսանողիքոլեջից դուրս մնալը ն քոլեջն ավարտելը: Մեր օրինակում Լ-Օ ն Վ մատրիցներըունեն հետնյալ տեսքը. Օրինակ 1

քղ

1-9 ՌՀՀ

1/(ք-ռ

--0-Չ

Վ.

(թառ

քՀո

-րքԻլր

-ոքՀոր

ԼՍ(ք-դ

չո Վթյթգթօո ո/(քՀռ. ո/(թ:ռ' մ(թՀ:Ռ- (Էդ

Ւ մատրիցումզրոներըցույց են տալիս բարձր կուրսիցցածր կուրս անցումներիանհնարությունը: Ւ մատրիցըհաշվենք ք, զ, Է հավանակա-

մ.

Սարկովիշղթաներ

ճություններիհետնյալ թվային արժեքներիդեպքում՝ք

ԽՎ-0861Լ10 0.67 0.86 0.11 0.52

0.67

0.2, զՀ0.1նղՀ

0.7:

0.11

Դիցուք` Հ-(ճ2, 16 Էց)-ն Մարկովի շղթայի անցումների միջին քանակի վեկտորն է մինչե կլանման պահը: ՛ վեկտորի տարրերը որոշվում են հետնյալ հավասարումների համակարգից` (16) յՀ էւ, ՛-

Իֆոթ, չ

կամ մատրիցներիտեսքով` 7- ՒԼ Մարկովյան շղթայի ւ անվերադարձ վիճակից յ կլանման վիճակ (վերջավոր քայլերի ընթացքում) ընկնելու Ել,հավանականությունը հավասար է՝ (ԲԷ, ԼՅ 0.7 ԽՀ քեւ

ՇԷց

մատրիցներիտեսքով՝ 8 ԼՔ, ռրտեղ՝ 8Է | Ե. Օրինակ Էէ (շարունակություն): Եթե նշանակենք 3-ճ(քժդո)-ի, ապա շղթայի բնութագրերիհամար կստանանք Կամ

(քք)

1-1

Լ-ք

լ |Ւ 100|,, Ր Ր 10 ք՛ ք Ր լ

1Ո-Ր|

լ-Բ

1-ք"

Ո-ր

|1-Բ

ԲԸ

ք: ք՞

Ցանկացած կուրսի ուսանողի համար քոլեջը բարեհաջող ավարտելու հավանականությունը կախված է Ըխ(թժո) հարաբերությունից: Ըն ուսանողի հաջորդ կուրս փոխադրվելու հավաճականությունն է պայմանով, որ ուսանողը այլես այդ կուրսում չի սովորի: Բ պարամետրի աստիճանները են տալիս, որ ամեն անգամ, երբ ուսանողը թողնում է. հելթական ցույց կուրսը, նա ոչ թե թողնում է ուսումը, այլ փոխադրվում է հաջորդ կուրս: Յուրաքանչյուր կուրսում սռվորելու տնողության վրա սահմանափակումնել չեն դրվում: Եթե բացառենք նույն կուրսում մնալու հնարավորությունը զ-0, (-ոն ապա կստանմանք՝ 1`

Լլ

Լ00|

|լ

10»:

1ԻԳոշ

1ԻԼԻՈՀԸ

իսկ Ց մատրիցը կմնա անփոփոխ: Դիտարկված թվային արժեքների դեպքում կստանանը՝

Խ-|0861110 0.67 086 1110 0.52

0.67

0186 1.11

ւ.11

|198| Ֆ»715|265| 3.17

լ,

0.22 0.78 |04006 053047 0.63 0.37

ՊԼ

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

մատրիցի առաջին սյանը համապատասխանում են քոլեջից դուրս մնալու հավանականությունները,իսկ երկրորդին`հաջողությամբ ավարտեՑ մատրիցի տարրերի վերլուծությունը ցույց է լու հավանակամությունները: տալիս, ոլւ ուսանղը առաջին ն երկլորդ կուլաերում 0,5-ից ավելի հավանականությամբ կալրաղէ թողնել քոլեջը, իսկ երլորդ ն չորրորդ կուրսելում` հաջողությամբավարտել: Սահմանում 5: Վերջավոր, ոչ պարբերական Մարկովի շղթան, որի բոլոր վիճակներըհաղորդակցվում են ն կազմում մեկ փակ դաս կոչվում է կանոնավորՍարկովի շղթա: Կանոնավոլ վերջավոր Մալրկովիշլթայի համար գոյություն ունի Ց

Քլ հոթ"

«Ճ,

ՃՀՔ Ք.

Ք»

Քո

Թ»

Քղ

սահմանը: Ճ-ն՝` ԻՇԺ( չափի հավանականային մատրից է: Ճ մատրիցի տողերը կազմված են միննույն ք (թ, 165) հավանականային վեկտոլվց: Այսինքն՝ ք վեկտորիբոլոր տարրերըոչ բացասական են ն բավարարումեն նորմավորմանպայմանին`

ՀՍԼՀԼ 16Է,

Ընդ որում, Ք վեկտորը հանդիսանում է հետնյալ հավասարումներիհամակարգիհամարմիակ լուծումը. (1.8) ԾՔ- ԽԹյլ » ճէ, '

Ւ:

կամ մատրիցներիտեսքով՝ .Հ Ք Ք: Ք վեկտորը կոչվում է Մարկովի շղթայի սահմանային (ստացիոնար) բաշխման վեկտոր կամ ստացիոնար բաշխում, իսկ նրա ք, տարրը ցույց է տալիս շղթայի ւ, 16 Է վիճակում գտնվելու հավանականությունը անվերջ մեծ թվով անցումներից հետո: ք. -ը հավասար է 1 սկզբնականվիճակից 1 վիճակ առաջին անգամվերադառնալուքայլերի միջինքանակին: Այդ պատճառով ք, հավանականություններըկարելի է մեկնաբանել ճան որպես շղթայի 1 վիճակ ընկնելու հաճախականություններ: Ճ մատրիցը բավարարում է հետնյալ հավասարումներինՃ̀Ք-ՔՃ, Ճ՞թ"ՀՃ, որտելւլո,ո-1,2,,..,: Կանոնավոր Մարկովիշղթան կլինի ստացիոնար, եթե Ք վեկտորը վերցնենք որպես սկզբնական բաշխում: Վերջավոր կանոնավորՄարկովի շղթայի համար գոյություն ունը՝

շ-0ՒՑ-Ճ)՝

մատրիցը, որը կոչվում է կանոնավոր շղթայի հիմնարարմատրից: Դիցուք՝ ո-ն շդթայի 1 սկզբնական վիճակիցյ վիճակ առաջին անգամ ընկճելու անցումմճերի միջին քանակությունն է: Նշանակենք հ/ |րույ||: Հ

մ.

ԽՍմատրիցի ույ

Սարկովիշղթաներ

տարրերը որոշվում են (1.9) հավասարումներիհամա-

կարգից՝ոյ-

Ֆու

-թյոլյփ1,

1.9)

1/ք, 1յ6 ք: Է

տյ-

Օրինակ 2: Քննարկենք սռցիոլոգիական`մասնագիտություննելի շալրժունակության (մոբիլության) խնդիրներում Մարկովի շղթաճնելւիկիրառման օրինակ: Խնդրի դրվածքըն տվյալները վերցված են |3) գրքից: Սասնագիտություններիշարժունակության հետազոտման նպատակով անցկացված սոցիոլոգիական հարցումների հիման վրա ըստ վարկանիշի առաջարկվում է մասնագիտություններիհետնյալ դասակարգումը. 1. Մասնագետնել ն բարձրագույն վարչական աշխատււլներ: 2. Տնօրեններ ն կառավարիչներ: 3. Վարիչներ,տեսուչներ ն նման կարգի այլ ծաւայուլներ: 4. Նույնը, բայց ավելի ցածր կարգի ծառայուլներ: Տ. Ֆիզիկական աշխատանք կատարող ն դրակավոլում չունեցող աշխատողներն շարքային ծառայողներ: 6. Ֆիզիկական աշխատանք կատարող ճրոշ որակավորում ունեցող աշխատողներ: 7. Ֆիզիկական աշխատանք կատալաղ ն որակավորում ունեցող

աշխատողներ: Տարբերդասերնընդունելովռրպեսվիճակներ,կառուցենքմասնագիտություններիշարժունակությունընկարագրողՄարկովիշղթան, որի վիճակների բազմության տարրերն են 1,7-ը: Ըստ վիճակագրականտվյալների, շլլթայի Ք մատրիցը ունի հետնյալ տեսքլ` անցումային հավանակամո՛ււթյունների

թ-

0.388 0.107 0.035 0.021 0.009

0.147 0.267 0.101 0.039 0.024 0.013 0.008

0.202

0.227 0.188 0.112 0.075 0.041 0.036

0.062 0.20

0.191 0.212 0.123 0.088 0.083

0.140 0.207 0.357 0.473 0.391 0.364

0.047 0.053 0.067 0.124 0.171 0.312

0.235

0.016 0.020 0.061 0.062 0.125 0.155 0.274

Շղթայի ստացիոնար բաշխման ք վեկտոլչը դավասալ

է`

Թ» (0,023: 0.041: 0.088: 0.127: 0.410: 0.182: 0.129):

Շյլթայի անցումներիմիջին քանակի հ/ մատրիցը հավասալ

իլ

ի//

լ || 439 63.1 -3| 70.13

2| 4| 5| 6|

26.2 24.2

9.9

10.1

30.5

9.2 8.5 8.0 7.9

3.5

8.|

7.6 2.9

11.5 1.1

է՝

72.3 33.012.7 2.67.0 10.0|՝ 737 339 13.58.7 2.4 0.5 9.3 34.6 14.1 9.1 2.6 5.5 88 75.0 34.8 Լ4.3 9.2 2.7 5.9 7.7

մատրիցիանկյունագծային տարրերը հավասար

են ք

ստացիոնար

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

բաշխման վեկտորի համապատասխանտարրերի հակադարձին:ուլ. տարրերը ցույց են տալիս համապատասխանյ-րդ դասում ընդգրկված մալդկանց մասը: Որքան փոքր է մարդկանցմասը տվյալ դասում, այնքան մեծ է այդ դաս անցումների միջին քանակը: 1-րդ դասից )-րդ դաս ընկնելու անցումներիմիջին քանակը համեմատենքոու-ի հետ: ԽԼ մատրիցիցերնում է, որ ցանկացած | դասից յ դաս ընկնելու անցումներիմիջին քանակը նվազում է. երբ 1 դասը մոտենում է (հասարակականվարկանիշիիմաստով)) դասին: Հետազատենքմիջին դասումընդգրկված3,4,5 մասնագիտականխմբերի վարքը բարձրագույն (1 ն 2) ն ստորին (6 ն 7) դասերն ընդունելով որպես կլանման վիճակներ: Նման կլանմամբ Մարկովի շղթայի Օ ն Ք մատրիցներըհավասար են`

ր ա

ՉՀգ|

0.19) 0.12 0.431

0.112 5| 0075 լ

Բ «4

0.123

0.473

3| 0.035 0.21 5| 0.009

0.101

0.067 0.124

0.061 0.062

0.024 0.171

0.125

Դիտարկվողկլանմամբշղթայի հիմնականբնութագրերըհավասարեն`

3| 144 Հ 4| 0.36 5| 0.29

0.58 Լ60 0.45

1.45 Լ55 2.47

-4|

3/ 0.08 0.20 0.42 Ց Հ4| 006 0.14 0.49 5| 0.04 0.11 0.49

3.5) 5| 3.21

)

0.30 0.32 0.36

Այստեղ վեկտորը ցույց է տալիս շղթայի անցումների միջին քանակը, (3,4,5) բազմության ցանկացածսկզբնականվիճակից մինչն (3,4,5) բազմությունից առաջին անգամ դուրս գալը: Ց մատրիցը ցույց է տալիս (3,4,5) բազմությունից դուրս գալիս (1,2) կամ (6,7) վիճակները ընկնելու հավանականությունները:Միավորելով(1,2)-ը բարձրագույն(Բ), (8,4,5)-ն միջին (Մ), իսկ (6,7)-ը ստորին (Մ) դասերում, Ց մատրիցի օգնությամբ կարելի է հետազոտել միջին դասից դուրս գալիս բարձրագույն կամ ստորին դասերն ընկնելու հավանականությունները: Այդ հավանականություններըհավասար են` Բ

0.28

Մ 40.20 50.15

ալ 0.85

Սարկովյան գործընթացներ

13)

Մատրիցի տարրերի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ ստորին դասի յուրաքանչյուր վիճակից սւռորին դաս անցնելու ռավանականությունըավելի մեծ է, քան բարձրագույսդաս անցնելունը: Որքան ցածր է մասնագիտության վարկանիշը, այնքան փոքրըէ միջին դասից բարձրագույնն անցնելու հավանակամնմոււթյունը: Մարկովիշյլթանի վարքը առավել պատկերավորներկայացնելու համար օգտագործում են նլչա անցումները ն վիճակները նկարագլող գրաֆը, որի գագաթներինհամասլատասխանում են շղթայի վիճակները, իսկ ուղղորդված կողերին՝ անցումները: Յուրաքանչյուր գագաթի մոտ գրվում է նրան համապատասխամող վիճակի համարը (մեծությունը), իսկ կողի մոտ` անցումային ռավանականության մեծությունը: 2.

Մարկովյան գործընթացներ

Այժմ քննարկենք անընդհատ ժամանակով Մարկովի շղթաները մալկովյան գործընթացները: Դիտարկենք վիճակներիվերջավոր կամ թվարկելի է, բազմություրով համասեռ 4Հձ(). 0). մարկովյան գործընթացը, որը ճախսրդ բաժնում քննարկված Մարկովի շղթայից տարբերվումէ նրանով, որ է ժամանակային պարամետրը անընդատ է փոփոխվում ե մի վիճակից մյուսը անցումը հնարավոր է ժամանակի ցանկացած 1 պահին: Մարկովի ընդնատ շղթաների ճմանությամբ դիտարկենք մի համակարգի վալրքը, որի` ժամանակի լ 1ջացքումդըսնորած գործելւսկերպը ճկարագրվում է մարկովյանգործընթացով: Ժամանակի սնեռյալ («0 սկզբնականպահինհամակարգըգտնվում է վիճակների Է բազմության որնէ | վիճակ: մ: 16 1: »

վիճակում համակարգր մնում է Ճյ»0 պարամետլտվ ցուցչային օրենքով բաշխված ճյ պատահական ժամանակ: » 1Հ 0, պահին համակարգը (ակնթարթոլչեն) թյյ Հ 0 հավանականությամբ անցում է կատալւում 1 վիճակից նոր՝յ վիճակ: Ընդ որում թյ հավանականությունները ցանկացած 16 Բ-ի համար բավարարում են հետնյալ պայմանին. »

չ.յ-1:

յ վիճակում համակարգը մնում է 4-0 պարամետրով ցուցչայիձ օրենքով բաշխված 0յ պատահական ժամանակ ն այդպես շարունակ: Այսպիտւվ մարկովյան գործընթացի վարքը համարվում է ամբողջությամբ որոշված, եթե տրված են` »

ՃԼ

Մարկոմիշդբյսներ

սկզբնական

մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

ք-«4քճ, 16 Ք) բաշխումը, որի օգնությամբ ւ նտրվում է

գործընթացիելակետային վիճակը Է-0 պանին: 2. գործընթացի Է, բազմության վիճակներում մնալու ժամանակների պատահական մեծությունների ցուցչային բաշխման 4. պարամետրերը: 3. 1 վիճակից յ վիճակի անցման հավանականություններիՔ |քյի մատրիցը, կամ միավռրելով 2 ն 3 կետերը՝ Օ Ճ(5-Ք ակնթարթայինմատրիցը, որտեղ Ճ-Վ6:1: 1)«թ), Է-(ծլ: 1)6Ք) միավոր մատրից Լ. իսկ ծյ-ն՝ Կրոնեկերիռաստատուններնեն: 6: Մարկովյան գործընթացը ամբողջությամբ սրոշվում է Սահմանում վիճակներիսկզբնական բաշխման ք վեկտորով ն Օ ակնթարթային մատԷ

րիցով:

թ (Ս-ով

նշանակենք գործընթացի է ժամանակում ւ վիճակից ) վիճակ անցման հավանականճությունը, կամ (որ նույնն է) է ժամանակից հետո 15 պահին զործընթացիյ վիճակում գտնվելու հավաճականությունը, պայմանով, որ սկզբնականՏ պահինգործընթացըգտնվելէ 1 վիճակում: թ (Ս ՔԼՀ(ԷՏ) 669 - 1), 1)6է: Ակնհայտ է, որ քյ()-ն կախված չէ սկզբնականՏ պահից: Հ

Ք) սկզբնականբաշխմանդեպքում (1.2) ք-վքջ,16 Գործընթացի

կստաճանք՝ ճնաձնից

թո(էԷՏ) 2, քյ(0թյ6)։

68,

էօ.

թ(Ս-

քե

բա-

(2.1)

(0,

որտեղ ք(0-0` է պահին գործընթացի չ վիճակում գտնվելու հավանականությունն է: է 1 վիճակում: ՆշանաԴիցուք՝ որնէ 0 պահին գործընթացըհայտնվել կենք Օա-ովգործընթացի մինչն հաջորդ վիճակ անցնելու պատահական ժամանակը: 0-ին ւ վիճակից դուրս գալու սպասման ժամաճակմ է: Մարիկովյանգործընթացում ճ, 16.5 պատահական մեծությունները ունեն ցուցչային բաշխում՝ `

Ճ(9ՀԻ(զՀմորտեղ կ-ն ոչ բացասական հաստատուն խտություն կամ՝ հաճախություն:

42 -ը ցույց

6",

է ն

կոչվում է

վիճակից ելքի

տալիս գործընթացի 1 վիճակում մճալու միջին

ժամա-

նակը: ՃՀ 0-ի դեպքում 1-ն հանդիսանումէ կլանմանվիճակ, 4Հ օ»-իդեպքում1-ն ակնթարթայինվիճակ է, որում գործընթացիմճալու ժամանակը հավասար է զրոյի:

Սարկովյան գործընթացներ

Իսկ 0Հ/Հ«օ դեպքում գործլնթացի վիճակի փոփոխման հավանականությունը ձէ «իոքը» ժամանակիընթացքում հավասար է՝ ՃՃճէՀ0(4Ժ,

-0: որտեղ` հռ0(Ճ)/ճ4

վիճակում ճ պատահական ժամանակ մնալուց հետո մարկովյան գործընթացըքյ հավանականությամբանցնում Է յ վիճակ: քյ անցումային հավանականությունները որոշում են գործընթացի վարքը նրա անցումներիպահերին ն նկարագրում գռրծընթացներմուծված Մարկովիշղթան: ճՃԼ տնողությամբժամանակահատվածումմարկովյան գործընթացը

բ (յ

ՇՊ

)թյ յճւ Հ

հավանականությամբկատարումէ անցում 1 վիճակից ) վիճակ անցման հաճախություննէ` 2 ՀՃքյ։ նյ Էւթյ,

յ)վիճակի, որտեղ յ-ն

| վիճակից

Ճ-Ֆ/յ:

4 Հ-4

Բյ

0.2) բանաձնի համաձայն գործընթացիանցումային թյ(0) հավանականություններիհւսմարկաիելի է գրել հետնյալ հավասալրումները՝ բ (ժռ

ք, :

(ձցթ,(Ս

| ֆբ, Թթի -

ւյ«է:

Հաշվի առնելով, որ ՃԼ-»0-ի դեպքում լ- թո(ձ) Ճճլ Ւ 0(Ճ1), թ(ձԼ) յճն Ի 0(ՃՍ, Նյօ Է ք().հավանականություններիհամար կստանանք՝ -

ա.

ԱՀՃԺՍ-ք.0ճ -

Հ 2.14,

թա

- շթ.(ՍՐեյ Բոյ

Նույնատիպ հավասարումներ կարելի է կազմել ճան պարամետրի(41) բացասական աճի դեպքում: Այդ հավասարումներում անցնելով Ճ1-50 սահմանի, ապացուցվում է ք) ածանցյալի գոյությունը: Անցնելով սահմանի, նրբ Ճ1-50, թ,(1), ռավանականություններիհամար կստանանքհետնյալ ղիֆերենցիալ հավասալրումները՝ (2.2) (0) - ծ, քյ(ՍՀ

շթ (Ս ,

ք (ՍՀՖքա(Ս4յ. ի

օէ,

(2.3)

որտեղ ծյ-ն՝Կրոնեկերիհաստատուններն են: (2.2) ն (2.3) հավասարումները կոչվում են համապատասխանորեն Կոլմոգորովի ուղիղ ն հակադարձ դիֆերենցիալ հավասալումննելր:թ(Ս հա-

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

վանականություններիհամար նմանատիպ դատողություններիօգնությամբ կստանանք` թ(Ս-Ֆթ.(9յ. 36Է: ունեն

Էրգոդիկ մարկովյան գործընթացներիհամար, երբ 1-»»5, գոյություն սահմանային արժեքները` ք(1) հավաճնականճությունների թ

-հոքյ(Ս,

շքյՀ-1,յ6Է:

0ՀքՀ1.,.

Այստեղ ք. սահմանային հավանականությունները կախված չեն գոռրծընթացի սկզբնական բաշխումից, իսկ մարկովյան գործընթացի (ք, )ՀԷ) բազմությունը կոչվում է ստացիոնարբաշխում: քյ ռավանականությունները որոշվում են հետնյալ հավասարումներիհամակարգից.

ք.4

քյՂյ. ՖԽ

ֆք-1:

Ճէ,

Ա33

Եթե Հ(ւ) մարկովյանգործընթացիսկզբնականբաշխումը համընկնումէ ճրա ստացիռնարբաշխման հետ Ք(Հ(0-1)Հք., 16Ք, ապա ժամանակիցանկացած է»0 պահի Հ(է) գործընթացիվիճակների բաշխումը կմնա անփոփոխ, ինչը նշանակում է, ռր գործընթացըգտնվումէ ստացիոնարռեժիմում: Հ(0 մարկովյանգործընթացիէ ժամանակումանցման Ք(Ւ-|ք,(յ| մատրիցի տարրերը, հավանականություններըկարող են ռրոշվել նան հետնյալ մարկովյան վերականգնմանինտեգրալ հավասարումներիհամակարգից`

թ()

)Փ. ծլօ",

Ֆր ի6 "քյ

է)6Է:

(24)

Կոլմռգորովիդիֆերենցիալ հավասարումներըկարելի է ստանալ (2.4) հավասարմանըստ է-ի դիֆերենցմամբ: որոշվում է Օ-|չ)| Այսպիսով,մարկովյանգործընթացըամբողջությամբ ակնթարթային մատրիցով կամ գործընթաց ներմուծվածՄարկովի շղթայի Ե թյ անցումային հավանականություններիմատրիցին 4Հ (զ, 16 8) հաճախություններիվեկտորիմիջոցով: Սարկովյան գործընթացի ն նրա ներմուծված Մարկովի շղթայի ստացիոնարք ն ք բաշխումներիկապըտրվում է հետնյալ բանաձնով`՝ 16 Է: թ (2.5) (թղ)/ օյ -

Այստեղդ.-ն մարկովյանգործընթացի1 վիճակումմնալու միջին ժամաճակնէ՝ ԴՂ- 1/4, ԾՔ: (2.5) բանաձնենունի հետնյալ հավանականային մեկնաբանությունը. Թ-ն ցույց է տալիս մարկովյան գործընթացի1 վիճակ ընկնելու հաճախությունը, իսկ ռդ-ն՝ գործընթացի1 վիճակում գտնվելու ստացիոնար միջին ժամանակը:» Քյղլ-ն ցույց է տալիս գործընթացի կամայական վիճակում )

գտնվելու ստացիոնար միջին ժամանակը: Հետնաբար ք.-ն կարելի

է ճան

Սարկովյան գործընթացներ

մեկնաբանել որպես ստացիոնար ռեժիմում մարկովյան գործընթացի | վիճակումգտնվելու ժամանակի տնողությանմիջին երկարություն: Գործնական կիրառություններում հարմար է օգտագործել Մարկովի շղթաների հետնյալ կառուցվածքը: Դիցուք՝ մարկովյան գործընթացիյուրաքանչյուր վիճակի համար տրված են 4Ճյհաճախություններով ցուցչային բաշխմամբ համախմբում անկախ պատահական մեծությունների խումբը Օյ» 1)6 Է, 1»): Այսինքն`

կյօք, Բբ: թգ 0-6" վերջավոր վիճակների բազմությունով կանոնավոր Մարկովի շղթան տրվում է հետնյալ ստոխաստիկառնչություններով` 168: (2.6) ճ, Հողոզ, Ը

Պատահականմեծությունների հավասարությունըենթադրումէ դրանց բաշխման ֆունկցիաներիհավասար լինելը՝

Ք(ռյ»ՍՀ

Ք(ուոճյՀԺ: յ

Մարկովյան գործընթացիվիճակներում մնալու պատահական ժամանակները հավասար են ցուցչային բաշխմամբ Օյ, անկախ պատահական մեծությունների նվազագույնին, իսկ մեկ վիճակից մյուսին անցումները որոշվում են 6յ-երից նվազագույնիարժեքով: Օյ պատահական մեծությունը անվանում են ւ վիճակից յ անցման սպասմանժամանակ: (2.6) ստոխաստիկհավասարությունները,որպես մեկնարկային կարող են օգտագործվել մարկովյան գործընթացների հետագծի մոդելա-վորման ժամանակ:

Մոդելավորումըկատարվում է հետնյալ կերպ: Սկզբում տրվում է գործընթացի սկզբնական զ վիճակը: Այնուհետն մոդելավորվումեն ճ.յ, յ«Ի ցուցչային բաշխմամբ պատահական մեծություններըն որոշվում է նլւանցից նվազագույնը, օրինակ 1-ը: Այդ դեպքում 1 վիճակում գործընթացիանցման սպասման ժամանակըհավասար է`՝ 0... -ի, որից հնտո մարկովյան գոլւծընկանցնի 1 վիճակ ն այդպես շարունակ: (2.6) ստոխաստիկ հավասարությունները թույլ են տալիս որոշել մարկովյան գործընթացի բոլոր բնութագրերը: Օրինակ, 1 վիճակում մնալու Օ, ժամանակը կունենա 4, հաճախությամբ ցուցչային բաշխում, որը հավասար է Օյ պատահական մեծությունների հաճախություններիգումարին՝ 4- Ֆ..: թացը

քե

որոշվում Գործընթացի անցումային հավանակաճնությունները

տնյալ բանաձնից`

քյ

ՀԵլճյ

| 2/4: Հոլոճ, Հ

են հե-

ՃԼ

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսսմարկովյանգործընթացներ

Այսպիսով (2.6) բանաձներնկարագրում է մարկովյան գործընթացի վարքը որոշող հավանականայինպատահույթները:Գործընթացի տրված 1 վիճակում գործում են վերջավոր թվով անկախ պատահական գործռոննել, որոնք կարող են հանգեցնելգործընթացիվիճակի փոփոխության:Գողրծոններից յոււաքանչյուրը կարող է փոխել գործընթացի վիճակը ճ., ցուցչային բաշխմամբ պատահական ժամանակից հետո: Այն գործոնը, որն տունի ազդեցության նվազագույն ժամանակ, կհանգեցնի գործընթացի վիճակի փոփոխության 1-ից). պայմանով, որ «յ

-դլոճ,:

Մարկովյան գործընթացներիվարքը պատկերավոր ներկայացնելու համար օգտագործում են անցումային գրաֆները: Կախված մարկովյան գործընթացի ներկայացման ձնից ն հետազոտվող ռեժիմից` օգտագործում են անցումների ռավանականայինգրաֆը, հաճախություններիգրաֆը կամ գործընթաց ներմուծված Մարկովի շղթայի անցումային գրաֆը: Գործընիսկ թացի վիճակներին գրաֆում համապատասխանում են գագաթները, անցման հավանականություններին`գրաֆի ուղղորդված կողերը: Օրինակ՝ մարկովյան գործընթացըդիֆերենցիալ տեսքով նկարագրմանժամանակ 1 գագաթիցանցումմճերը ներկայացվումեն դետնյալ տեսքով`

ւլի յ

ճէ

ճն

Ստացիոնար ռեժիմիհետազոտման ժամանակ գործընթացի հաճախություններիգրաֆը ունի հետնյալ տեսքը՝ լ ճյ

ԹՀ«--(չ--»0Օ:

յ Գործընթաց ճերմուծված Մարկովի շղթայի անցումային գրաֆը ունի հետնյալ տեսքը՝ է

Քե

թյ

ՕՀ«--(2--»Օ:։

լ է յ Բերենք մարկովյան հավանականայինմոդելների կառուցման փուլերի ամբողջականուրվագիծը: 1. Ելնելով հետազոտվողհամակարգի աշխատանքիառանձնահատկություններից, նրա առանձին`ֆիզիկականհնարավորն հետազոտմանհամար անհրաժեշտիրական վիճակներիցսահմանվում է համակարգիվիճակ հասկացությունը ն կառուցվումէ նրա հնարավոր վիճակներիՔ բազմությունը: .

Պուասոնիգործընթաց

Յուրաքանչյուր 1, 16 Ե:վիճակի համար րոշվում ենճ այն անկախ գործոնների համախումբը,որոնք հանգեցնումեն 1 վիճակից ), յ: Ք վիճակ անցմանը ն այդ անցման սպասման ճշ, պատահականժամանակիմեծությունը: Օյ-երիմիջոցով որոշվում են Օ-|չյ| ակնթարթայինմատրիցիտարրերը: 4.-ն 1 վիճակից ) վիճակ անցման սպասման ժամանակի հաճախությունն է, 2.

Ք(ոյ»Ա-6-"",

իսկ /4-ն 1 վիճակում մնալու ժամանակի հաճախություննէ: Այսպիսով՝ Ճշ Ֆլ -/. ,որտեղ՝ ԵԼՕյշՍՀ-"6 Հ

Կառուցվում է գռրծընթացի անցումների գրաֆը ն որոշվում են կամայական 1 վիճակից կամայական յ վիճակ անցումների հավանականությունները՝ յ/ն, ՆԷ: թյ 3.

Պուասոնիգործընթաց

Գործույթների հետազոտմանտեսությանտարբեր բաժիններում`հերթերի, հուսալիության, պաշարների տեսության ն այլ հավանականային կիրառական ուղղություններում պատահարների հոսքերը նկարագրելիս հաճախ է օգտագործվում Պուասոնի գործընթացը: Դիտարկենք մեկը մյուսին հաջորդող համասեռ պատահարների հաջորդականությունը, որի երկու հաջորդական պատահարների առաջացման պահերի միջն ընկած ժամանակահատվածի Օ տնողությունը ունի 4»0 պարամետրով (հաճախությամբ) ցուցչային բաշխում՝ թ/2.»

Դիտարկենք

Հ(0-ն,

որը

Ք»

ցույց

ՀՇ

-4..

(0,1,2,...) վիճակներովհամասեռ մարկովյան գործընթացը՝ է տալիս է ժամանակում հանդես եկած պատահարների

քանակը: Օգտվենթ վերը բերված մարկովյան մողելի կառուցման ընթացակարգերից ե հետազոտվող պատահարների հաջորդականության համար կառուցենք Հ(1) մարկովյան գործընթացի տարիերը: Առանձնացնենք այն գործոնները, որոնք հանգեցնում են չժ) գործընթացի վիճակների փոփոխման: Գործընթացիցանկացած վիճակում այդպիսի գործոն է պատահարի հանդես գայր, որի սպասման ժամանակը, այսինքն` անցման սպասման ժամանակը, հավասար է Զ-ի: Միննույն ժամանակ, 1 վիճակում մնալու ժամանակը նույնպես հավասար է Զ-ի (տես (2.6)): Հետնաբար, 1 վիճակից 181 վիճակ անցնելու 4, լ հաճախությունըհավասալ է 4-ի, իսկ անցումի րոյ հավանականությունը`մեկի: Այսպիսով Հ() մարկովյան գործընթացի Օ

է.

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

ակնթարթայինմատրիցիտարրերըկորոշվեն հետնյալ կերպ՝ ՃՀճաւտ Ճճ- -Ճ- -4ն4չՀ0, եթե յՀԼ կամ յ»ւՒ1: Եթե թ(0-ով նշանակենք1 ժամանակի ընթացքում ւ քանակով պատա1, բ(0) 0, ռարների հանդես գալու ռավանականությունը,ապա ք(0) -՞1,2,... սկզբնականպայմանների դեպքում նրանց համար (2.2)-ից կարելի է ստանալ ձետնյալ դիֆերենցիալհավասարումներիհամակարգը՝ -

ք.(է) -4քո() ք՛(Է) -4ք(ՍԻ2ք. (0,

1»0Լ2շ....

Բերված սկզբնական պայմանների դեպքում (3.1)-ից ք(ժ, հավանակամություններիհամար

թ 0--

Կոաած Օմ. ուաստնի :

1-012....,

3.1) 1- 0,2...

Շ:

Վերջինս հանրահայտ բաշխումն է, այսինքն՝ հետազոտվող պատահույթների հաջորդականությունը(ռոսքը) պուասճնյան է: Գործընթացի Օ ակնթարթային մատ:իցի տարրերը կարելի է որոշել նան դիֆերենցիալ եղանակի օգնությամբ: Ըստ Հ(0 գործընթացի վարքի ճկարագրիձէ ժամանակի ընթացքում նրա մ վիճակից 1Ւ1 վիճակ անցման հավանականությունըհավասարէ`

վիճակից կանությունը՝ իսկ

դուրս

Հ2ՈէՀ 0(Ճժ, թլու(Ճ) 1-6" չգալու, այսինքն այդ վիճակում մնալու հավանա-

6-"Հ 1-48էՀ 0(Ճժ: ք(Ճ 1 վիճակից մյուս հնարավոր անցումների հավանճականությունները Ճէ փոքը ժամանակի ընթացքում հավասար են 0(Ճժ)-ի: Տեղադրելովթ.չյ(Ճժ-ի ն քւ(Ճ0-ի արժեքները(2.2) բանաձնի մեջ, Ճէ-50 սահմանային անցումից հետո կստանանք (3.1) դիֆերենցիալ հավասարումները: ծ() գործընթացիանցումների գրաֆը ունի հետնյալ կառուցվածքը՝ Հ

1լ-244

61-44.

1-44

մ է «Ա ինն

1-414Ճէ

մո լ

Բազմացմանն կործանմանգործընթաց

Բազմացման ն կործանման գործընթացը լայն կիրառություն է գտել գործույթների հետազոտման,օրինակ՝ սպասարկման ն հուսալիության վեր-

Բազմացման ն կործանմանգործընթաց

լուծության խնդիրներում: Բերենք գործընթացի սահմանումը ն հետազոտենք նրա բնութագրերը: Սահամնում 7: Բազմացման ն կործանման է կոչվում վելրջավոր կամ հաշվելի թվով վիճակների է- (0,1,2,...) բազմությունով համասեռ տարրերը հավամարկովյան գործընթացը, որի Օ ակնթարթային

ած

մատրիցի

սար են՝

ՃաՀճՃ»50Ճա-Տն»0.

Խոչ0ն4յՀ0,եթեի-յթ|:

Եթե գործընթացիվիճակներիքանակը վերջավոր է Է (0,1.2....,ԷՄ, ԻՐՀօ5, ապա 14դ--0: Գործընթացի վիճակների ք) հավանականություններըորոշվում են հետնյալ դիֆերենցիալհավասարումներիհամակարգից` քօ(Ս Հ-7եքօ(Ս բլքյ(Ս, Է

ք (6)

(Օ-ն

Հ-Ճճ.ք.

լ)ք(ՍՀ

1Հ

ԷՔ,

քո(Ս Հ4`քո-լ()-

ռոք),

12...

Է-Ն

(4.1)

ՆՊ սկզբնական բաշխման դեպքում: Գործընթացի վիճակների ստացիռնարհավանականություններըորոշվում են հետնյալհավասարումներից` քօ(0)

1, թ(0)Հ0,

49քջ հւթ,. (ե Է)ք, -4Ճ.թ քոք Հ4ոթոյ: -

(4.2)

1ՀԼՋ-1

յթ.

Թաքլ-ԷԱ, ք,-204.2. նլյ1շ..-

Համակարգիլուծումը ունի

բ,-

տեսքը`

4.ն-.4.

ււ

քկքն..քն

Ստացիոնար ռեժիմում բազմացման ցումային գրաֆը բերված է ստորն:

Լ-404Ճ1յ (ԱԻրայյճւ

կործանման գործընթացի ան-

1-(ՆՒա)ճմ

1-(նԻիշ)ճէ

Աշճէ

ին

2ԽՃԼ

իլ ---«««յթ2

Ւ(4ո լ Ւրոււյձէ քէ

են

.Լ-քաճմ

ԱԻՆ լ"

ել

տագանար բախ. հայտնի ՞

է, որ Անվերջ թվով վիճակների դեպքում գոյության համար անհրաժեշտ է ն բավարար հետնյալ պայմանմճերի կատարումը. ման

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկռվյանգործընթացներ

ֆ 24.2.

Ֆնտար-Հ

Հա,

` րմշ.-18.

4լ4»..«կ

օօ:

Այդ դեպքում քլ ստացիոնարհավանականություններնունեն հետնյալ տեսքը՝ ք

որտեղ`

2,մյ, -1,

-զ

յ20

գ-..ու-մ Ալնշ:.Վկ չ

0,12,...:

Գործընթացիանցումներիհաճախությանգրաֆն ունի հետնյալտեսքը՝ Ճլ 4.2 Ճել

եշ

ԱԽ-լ

Աչ

եզ

Քննարկենը գործընթացի (4.1) անցումային ն (42) ստացիոնար ռեժիմներիհավասարումներիստացմանմի քանի եղանակներ: Դիֆերենցիալ եղանակիդեպքում քննարկվում են Ճէ ժամանակահատվածում 1 սկզբնական վիճակից գործընթացի անցումների հավանականությունները: Ըստ գործընթացիվարքի նկարագրի՝թ.(Ճէ) ն թյ(Ճց)հավանականություններըհավասար են` |- (ԱՀՃՃԷ- 0(ՃԾ, ԿՀ" քլ(Ճ0 Փր" ՀՇ

քրո(40 Հ0-66-" թոյ(Ճց

ՃՃ(Ա-աձծ

(ՓՏՐ

կճԱ-Կձժ

ճէ

0(ձծ,

ճէ

0(4Ս:

Ստոխաստիկ հավասարությունների եղանակի դեպքում նախնական են համարվում ցուցչային բաշխում ունեցող ծ պատահականմեծությունճերը: Պարզության համար ենթադրենք, որ գործընթացը նկարագրում է սահմանափակ հերթով հայտերի սպասարկմանհամակարգի աշխատամնքը: Այս դեպքումգործընթացի1 վիճակին համապատասխանումէ համակարգում 1 քանակությամբ հայտեր գտնվելու պատահույթը: 0..:-ին կհամապատասխանիհամակարգի 1 վիճակում նոր հայտի գալուն սպասելու ժամանակը, իսկ Ճ.լ-ին` համակարգում հայտի սպասարկմանավարտին ժամանակը հասպասելու ժամանակը: Գործընթացի 1 վիճակում մնալու ՕՁ վասար է` ..

Գ,

ուռ

(0.չ:., Օ-1),

Օ0Հ

Օյլ,

Օմ

ԼՎ-1,

ՕՈ:

Ըստ (2.6) բանաձնի, գործընթացի ւ վիճակում մճալու կունենա հետնյալ բաշխումը՝

թգ»

ՍՀ Ժո",

1-ՆԱ-1,

Օ,

ժամանակը

Բազմացմանն կործանմանգործընթաց

թ/ 0») Հօ "թ(ու» Ս Հօ", իսկ գործընթաց ներմուծված Մարկովի շղթայի անցումային թյ հավանականություններըկորոշվեն հետնյալբանաձներով՝ թյու

Ճ/(-էլե),

քլ

ՍԱՆ),

1-ԼՊ-1,

1: 1, քույԳործընթացիստացիոնարբաշխման (1.19) հավասարումներըկազմվում են հաճախությունների հաշվեկշռի օգնությամբ: 1 վիճակից գործընթացի դուրս գալու հաճախությունը՝ 4.-Էյկ: Դեպի 1 վիճակ 1-1-ից հաճախությունը հավասար է /4Ճ.յ-ի,իսկ 1ՒԼ վիճակից դեպի 1 վիճակ` ճչ.լ-ի: 1-րդ վիճակի համար հաշվեկշռի հավասարումն ունի հետնյալ տեսքը՝

քս

թ(ՊԷլե)

թույու 1218-1, 4այքո.|: քռքո

քն

քն կթ, Գործընթաց ներմուծված Մարկովի շղթայի անցումների գրաֆը բեր-

ված է ստորն՝

ամեր)

ա/ն-ր)

այա)

4Մ(ելեր)

(նչա)

ՍԿՍԵ

Պ/(1-ի)

ՅԹԵ.)

Կ-|

2. քուլ)

Օրինակ4: Որպես տնտեսագիւտռական խնդիրներում հավանականային (մարկովյան) մոդելներ, ն նրանց հետազոտման եղանակների կիրառմանօրինակ` քննարկենք Լեռնտնի հանրահայտ հաշվեկշռային մոդելը: Դիտարկենք 7 ճյուղերից բաղկացած պարզագույն տնտեսական համակարգը, որում յուրաքանչյուր ճյուղ թողարկում է միայն մեկ տեսակի ապրանք: Տարբերճյուղերը համագործակցում են միմյանց հետ այն ադումով, որ նրանցիցյուրաքանչյուրը որպեսզիկարողանաշարունակել իր արտադրությունըպետք է գնի մյուսների կողմից թողարկվող որոշակի քանակի արտադրանք: Դիցուք գ, -երը տեխնոլոգրական գործակիցներ են, որոնք են տալիսյ ճյուղի արտադրանքի քանակը, որը պետք է գնվի ւ ճյուղի կողմից մեկ դրամին համարժեք ապրանք արտաղրելու համար: Օ-ով նշանակենք զյ տարրերից բաղկացած ք կարգի քառակուսային մատրիցը: ցույց

Հեշտ է նկատել, որ Օ մատրիցի տարրերը ոչ բացասական են, իսկ տողերի նրանցգումարը բավարարում է հետնյալ պայմանին՝

զ յ-1

ՀՆ

Լ..."

ըստ

(43)

Օ մատրիցի տարրերի օգնությամբ կարելի է հետազոտել առանձին ճյուղերի շահութաբերությունը: Եթե 1-րղ սյունակի տարրերի գումարը հավասար է մեկի, ապա նրան համապատասխանողճյուղն աշխատում է առանց շահույթի, իսկ խիստ

ՃԼ

Մարկովիշղթաներ ն մարկովյան ու կիսամարկովյանգործընթացներ

անհավասարության դեպքում տվյալ ճյուղը կլինի շաղութաբեր: Տնտեսագիտական խնդիլրնելում(1.20)-ը անվանվում է Օ մատրիցի արտադրողականության պայման: Անցնենք ճյուղերում թողարկվող արտադրանքիքննարկմանը: Դիցութ՝ շ,-ն 1-րդճյուղի արտադրանքիդրամային համարժեքնէ, ըսկ Ճ(ել,2շ.....«0-ը այդ համարժեքներիցբաղկացած վեկտոր տողն է: Քանի որ ւ ճյուլը կարիք ունի յ ճյուղի ճգ, քանակության արտադրանքի, ապա ՃՕ-ն անհրաժեշտ ծախսերիվեկտորնէ: Եթե զ-ն -դ ճյուղի վերջնական սպառմանըհատկացվող գումարն է, ապա սպառման 7- (6լ,6շ,....6) վեկտորի տարրերը պետք է բավարարեն հետնյալ պայմաճին` 7 »0(6.լ5 0,625 0...., 6.2 0): Հետնաբար, տնտեսության հավասարակշռության պայմանը,որի լլեպքում բավարարվում են ինչպես միջճյուղային, այնպես էլ վերջնական սպառման կարիքները,կունենա հետնյալ տեսքը` 2Ճ-2Օ-7: (4.4) Ծախսեր-թողարկում հաշվեկշռայինայս մոդելում պահանջվումէ գտնել (4.4) հավասարման ը ոչ բացասական լուծումները: Այդ խճդրի լուծման համար կարող ենք օգտագործելՄարկովիշղթաները: Հաշվեկշռային մոդելին համապատասխանողՄՍարկովի շղթան կառուցվումէ հետնյալ կերպ. լ. Շղթայի վիճակներ են հանդիսանում Լեռնտնի մոդելի ւ ճյուղերը, ավելացված նս մեկ՝ կլանման 0 վիճակը, որը կանվանենքբանկ: 2. Անցումային Ք մատրիցիտարրերըորոշվում են հետնյալ կերպ. ք0լ, բօյ 0, յ» 0, քյ Գյ, ն)»0, -

թօՀ

1-զց,

թ-0:

)

Մարկովյան շղթան կարելի է մեկնաբանել հետնյալ կերպ: Եթե 1-րդ ճյուղում ներդրվում է 1 դրամ, ապա նա այդ գումարը օգտագործում է յ, )-Ն2,...,1 ճյուղերի արտադրանքըգնելու համար, իսկ մնացորդն, այսինքն թ-ն, եթե այն կա, ճյուղի շահույթն է, որը ճերդրվումէ բանկ: Այս մոդելում բանկը հանդիսանումէ կլանման վիճակ, այսինքն` նա միայն ստանում է գումարներ ն ոչ մի ներդրում չի կատարում: Այսպիսով բանկ, այսինքն 0 վիճակ, կարող են ընկնել միայն շահույթով աշխատող ճյուղերը, ռրոնց մոտ թց»0-ից: Որպեսզի համակարգը կարողանա ապահովել ցանկացած պահանջարկ, նա պետք է կազմված լինի որոշակի շահութաբեր ն նրանցից կախված ոչ շահութաբեր ճյուղերից: Վերջիններս կարող են բանկ ընկնել միայն շահութաբեր ճյուղերի միջոցով: Բանկի, որպես էրգոդիկ կլանման 0 վիճակի, միակության պայմանը մարկովյան մոդելում ապահովում է ԷՎ հիմնարար մատրիցի գոյությունը, իսկ տնտեսագիտական խնդրում` համակարգի ցանկացած պահանջարկբավարարելու հատկությունը:

Բազմացման ն կործանման գործընթաց

Եթե նշված պայմանը չը բավարարվում ն Մալկովի շղթան ունի ուրիշ, 0-ից տարբեր, էրգոդիկ ենթաբազմություններ,ապա համակարգըչի կալուղ բավարարելցանկացած պահանջարկ, ն նրա Վ մատրիցը գոյություն չունի: Ընդհանուր դեպքում, երբ պայմանը չի բավարարվում, կատարվում է Ք մատրիցը վերլուծություն, որի արդյունքում ճրանից հեռացվում են ինչպես 0-ից տարբեր էրգոդիկ ենթաբազմությունները,այնպես էլ նրանց հետ կապված անվերադարձելիվիճակները, որոնց տնտեսագիտականմոդելում համապատասխանւմ են ոչ շահութաբեր ճյուղերը: Նման ձնափոխություններից հետո ստացված նոր Մարկովի շղթան, ն նրան համապատասխան տնտեսագիտականմոդելը, բոլոր ճյուղերի համարբավարարում են թյ» 0-ից պայմանին: Լեռնտնի մոդելի սչ բացասական լուծումները գոյություն ունեն միայն այն ժամանակ, երբ համապատասխան մալրկովյանմոդելում բանկը հանդիսանում է միակ կլանման վիճակը: ԴիտարկվողՄարկովիշւլթայի համար գոյությունունը ՎՀ- (1 Օ)' ռիմնարար մաւտրհցը,որի ոլ տարրերը ցույց են տալիս արտադրանքի այն քանա.կությունը, որ յ ճյուղը պետք է արտադրի, որպեսզի 1 ճյուղը կատարի 1 դրամի պատվեր: Քանի որ) ճյուլը 1 դրամ արժողության ապրանքի արտադրումից ստանում Է քյ շահույթ, ապա 1 ճյուղում 1 դրամ ներդրումիցյ ճյուղը կստանա ոյք շահույթ: Քանի որ 0-ն` բանկը, միակ կլանման վիճակն է, ապա բոլոր շահույթների գումարը հավասար կլինի`

շութ» Հ

Այստեղից հետնում է, որ պատվիրատուի կողմից վճարված չլրամը որպես շահույթ կուտակվում է շահութաբերությամբ աշխատու ճյոսլելում: Քննարկենք նան հետնյալ հարցի. նթե 1-րդ ճյուլն: ստանում է մեկ ղրամի պատվեր, ապա դա ինչպիսի գործնական ակտիվություն կառաջացնի տնտեսությունում: Ըստ մողելի՝ դա կպահանջի յ ճյուլի ույ միավոր արտայլրանք: Ընդհանուր արտադրանքիքանակքրկլինի՝

թնի

Պահանջալկի7՛ վեկտորի դեպքում ընղհանուր արտաղրանքը կորոշվի Հարտաղրյալվով: Դիտարկննք մի ծօլլինակ:Դիցուք` նրեք ճյուղերի համար տնխնոլոգիական գործակիցներըտրված են հետնյալ Օ մատրիցով՝ 7"

Օ-|

2.0

1/4 /2 /4լապա/2 0 12

/: ւշ ի Մ ) ր 1/2Ֆ

1/2

ՃԼ

իսկ -Ա-Օ)՛

Մարկովիշղթաներ ն մարկուվլյանու կիսչսմարկովյանգործընթացներ

մատրիցի ն |

վեկտորի համար կստանճանք՝

12/5 0 6/5 6/5 6/5 0 12/56/5 12/5

ա) 18/5

Այստեղից հետաւմ է, ոլ 2-րդ ճյուղում 1 դրամի պատվերըխթանում է դրամի ապրանքի արտադրություն,որից 6/5-ը՝ Լ 6/5-ը՝ Ա՛ն 0 1Ա ճյոտում: Այդ դրամից 1 ճյոպը կստանա 6/5-1/4-3/10 շանույթ, Ա-ը՝ 6/5-1/4»3/10, իսկ 11-ը 0-0Հ0 շահույթ: Եթե տրվի 7՛-(1,3,2) պահանջարկ,ապա ճյոււլլերըկարտադրեն՛7ԴՎ-(54/5,6,6)միավռրարտադրանք:Ամբողջ արտադրանքիարժեքը հավասար կլինի 7 -22,8 դրամ:

Կիսամարկովյանգործընթացներ

Մարկովյան գործընթացնեոի նմանությամբ դիտարկենք հետնյալ վերջավոր վիճակներիբազմությունով համակարգիվարքը. լ. Ժամանակի սկզբնական ԹԺՕպահին համակարգը 6(0)-Օ, պատահական ժամանակիընթացքումգտնվումէ հնարավորվիճակների Ե-(Նշ,...) բազմությունից որնէ ւ վիճակում, որից հետո (ակնթարթորեն)անցնում է որնէ յ, յ Ե վիճակ: Ընդ որում համակարգիմինչն տվյալ յ վիճակ անցնելը 1 վիճակում մնալու ժամանակը 44-0ն՝Օլ() բաշխման ֆունկցիայով պատահական մեծություն է: 2. Համակարգիանցումը 1 վիճակից յ) վիճակ կատարվումէ քյ հավաճնականմությամբ՝ քՀ 0, Հվ, 35 :

2.5: Բո.

Եթե յ վիճակից 0(1)-0 պատահականժամանակից հետո կատարվում է անցում որեէ 1, 6 Է:վիճակ, ապա ) վիճակում համակարգը մնում է ՕՕ) բաշխման ֆունկցիայով օ. պատահականժամանակ: Այսպիավ կիսամարկովյան համակարգի վարքը նկարագրվում է երկու հաջորդականությունների օգնությամբ. (Հ(ո), ո»0)՝ ո-րդ անցումից հետո համակարգիվիճակների ն 46(ռ), ոշ0)՝ ո ն ուլ անցումներիմիջն ընկած համակարգի վիճակներում մճալու ժամանակներով: (Հ(ո), ոշ0) հաջորդակամությունը նկարագրում է 9 անցումային մատրիցով վերջավոր Մարկովի շղթա, որը կոչվում է կիսամարկովյան գործընթաց (ԿՄԳ) ներմուծվածՄարկովիշղթա: Ցանկացած 1 ն յ վիճակների համար Օյ(0-ով նշանակենք այն համատեղ հավանակամնճությունը, որ գործընթացի1 վիճակումմնալու Օ, ժամանակի տնողությունը չի գերազանցում է-ն, ն գործընթացը 1 վիճակից անցում է կատարումյ) վիճակ (.յ6 Ք): 3.

(Հ(ոԼ)»յ,

Կիսամարկուլյանգործընթացներ

Հ. | Հ(0)-, Հ(1)ն.....ծ()5Ն, 6(0), 0(1),...,8(ո-1))ՀթՎՀ(ո-1) Հ), ո) Հ«ի(ո)Հ1)Հ«թվՀ(ո՝1)»)(ո)»1)-Ե(0(ո)Հվ(ոՀ 1)», Հ(ո)»ւ) քյօ:09, Լ)յօ8, որտեղ՝

6(ո)

թյ-Թ(Հ(ոչ1)Հյ|(ո)»1),Օ0ՀԻԼ0(ո)վե(ոՒ1)Հ),Հ(ո)-1):

Հետնաբար՝

ՕԳ)

որտեղ` թ-

Օյ»),

քյՕ0042,

2.0,(»5)Հ չքլ 5ք

ճէ:

-1,

Օ() ֆունկցիաներըբավարարումեն հետնյալ պայմաններին` Գյ2)-0, եթե ՃՀՕ, 1,6 Է, 2420-իդեպքում Օ,(:)-երը աջից անընդհատչնվազող ֆունկցիաներ են,

20.09ՀԼ,

եթե 2-0, 16 Է:

Օ(Ս տարրեր ունեցող Օ(1) մատրիցըկոչվում րից, կամ ԿՄԳ-ի անցումային մատրից:

ք"-( քը,16 Է)-ռվ

կիսամարկովյան մատ-

նշանակենք գործընթացի սկզբնականբաշխումը, իսկ

ՒԼ(1)-ով՝1 վիճակումմնալու ժամանակիբաշխման ֆունկցիան՝ 16է: ՒԼ()-

ՀԳ,

համարվում է տրված, եթե ոլուշված են նրա վիճակների Է բազմությունը, սկզբնական բաշխման ք"վեկտորը ն Օ() կիսամարկովյանմատրիցը: ԿՄԳ-ն համարվում է կանոնավոր,եթե վերջավոր ժամանակահատվածում մեկ հավանականությամբկատալվում են վելւջավորթվովանցումներ: Դիցուք` թյ(Ս-ն է պահին գործընթացի յ վիճակում գտնվելու հավանականությունն է պայմանով, որ (0 սկզբնական պահին ԿՄԳ-ն գտնվել է 1 Այս դեպքում լրիվ հավանականությունվիճակում` բ,(ՍՀԵ(Հ(ՍՀ)յ|Հ(0)-1): ների բանաձնի օգնությամբ ք.յ(1)-իհամար կստանանք հետնյալ մարկովյան վերականգնմանհավասարումները՝ ԿՄԳ-0

ո(Ս

0Վե(7յ-

5.թն

ՀԵԷ0

-")40,

Ա68,

(5.1)

որտեղ ծյ-երը`Կրոնեկերի հաստատուններն են: Բանաձեն ունի պարզ հավանականային մնկնաբանություն ն ստացվում է ԿՄԳ-ի առաջին թռիչքի (վիճակի փոփոխության)պահի հեսղազոտման միջոցով: Հաշվի առնելով ԿՄԳ-ի առաջին թռիչքը, որը տեղի է ունենում բանաճ. պատահական ժամանակից հետս, լրիվ հավանակաճնճությունների ձնից թյ(ն)-իհամար կստանանք՝ 0-Ի օԲԱՍ -) ՕՏՆԱ()-, ք()Հ- ԱՀ), որտեղ առաջինգումարելին հավասար է՝ 1 -ձԱ (0): թ14()-), զ» Ա4Հ0)-

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյան ու կիսամարկովյանգործընթացներ

Երկրորդ գումարելին որոշվում է լրիվ ռավանակաճություններիբանաձնից` հաշվի առնելով թռիչքի պահին ԿՄԳ-ի համասեռությունը ն մարկովյան հատկությունը՝ ջ(24(0-) ԱՀ ԱԵ(0)- -

ԷՇԵ

Ե020)Հ:Ե»Հզ

(0)-1)-ՔԵ(ԹՀ-

Հո

-)Ժ0)ՀԹ-Ֆ

է.

Մթյ(240.6):

Առաջին գումարելին ստացվում է ռետնյալ դատողություններիօգնությամբ: Մկզբնական Է-0 պահին գործընթացըգտնվել է ւ վիճակում, իսկ նրա առաջին թռիչքը տեղի է ունեցել է ժամանակիցհետո` Օ.»է: Երկրորդ գումարելին ստացվում է հետնյալ կերպ: Սկզբնական 4(0)-1 վիճակում ԿՄԳ-ն (2, «Էժչ) մնացել է ..-3.Հէ ժամանակ, որից հետո 4Օ(2) հավանականությամբ Լ-« ժամաԷՇ Ք է է, անցում կատարել որնէ վիճակ: ժամաճնակահատվածում ԿՄԳ-ն է է ճակի ընթաշքում սկզբնական վիճակից ) վիճակ անցում կատարում քե(է-5) հավանականությամբ: ՄՍարկովյան վերականգնմանհավասարումներիվերլուծությանհամար օգտագործում են ըստ է փոփոխականիԼապլաս-Մտիլտեսիձնափոխու'

թյունը՝

116 Ց (9-16"թյ(ցժ., Գյ(9- |5-"«Չ.(0, լՁ

Թ"ԳԵՆ(Ժ,

Լապլաս-Ստիլտեսիձնափոխությանպարամետրնէ: Անցնելով (5.1)-ում ըստ է փուհուխականիԼապլաս-Ստիլտեսի ձնափոխությանը կստանանք հետնյալ հանրահաշվական հավասարումների համակարգը՝ (52) ԱԽ 869որտեղ 5»0-ն՝

20.Թ8:6-գ69,

որտեղ՝

Փ9-ծյ1-86))5:

(5.2) հավասարումներըմատրիցներիտեսքով կգրվեն՝

5(5)--Օ(966- 069,

որտեղ՝ 56)-

67.

8Թ516,69» 8(9-18,6ի:

Հետնաբար (5.2) հավասարումների լուծումների կստանանք՝ Այստեղ

(1-0(5))-"-ը՝ Լ-Օ()

թ(տ5) մատրիցի

Ե6)-(1-069) 56): մատրիցիհետադարձմատրիցն է:

համար

Կիսամարկովյանգործընթացներ

Ի տարբերություն մարկովյան գործընթացների, թյ(0 անցումային հավանականություններըԿՄԳ-ն ամբողջությամբ չեն որոշում: Մակայն նրանց հատկությունները կարնոր դեր են խաղում ԿՄԳ-ի էրգոդիկ ռեժիմի

հետազոտման ժամանակ: Եթե ԿՄԳ-ի ներմուծված Մարկովի շղթան էրգոդիկ է ն վիճակներում մնալու միջին ժամանակները սահմանափակ են, ապա գործընթացը կոչվում է էրգոդիկ: Նման ԿՄԳ-ների թյ() անցման հավաճականությունների համար, անկախ սկզբնական բաշխումից, է-»օ5 դեպքում գոյություն ունեն հետնյալ սահմանները`

ո-հոբյ(ՍՀ Թյյ/22,.)6Է,

որտեղ Թ-(թ, 16 Ի)-ն ԿՄԳ-ի ներմուծված Մարկովի շղթայի ստացիոնար բաշխումն է, իսկ Դ-ն գործընթացի 1 վիճակում մնալու միջին ժամանակն է:

Այսինքն`

դՀ/Ա-Է)Փ., 6ն:

գտնվելու

ԿՄԳ-իյ վիճակում ոյ ստացիոնար հավանականությունները բավարարումեն հետնյալ պայմաննելին՝ «Է: 0Հ"Հ1, 7-51,

-«(7,յ)ՇԷ) ստացիոնար բաշխումը կարելի է որոշել հավասարումներիհամակարգից` Ֆ(յ/Ղ)ոթյ, օն, տոյ -|: դ

նան

հետնյալ

6ր

Դիցուք՝ Ել-ը՝ կլանման, իսկ Իլ Դ: ՀԺ: անցումային վիճակների բազմություններն են` Է»:յահ,, Նշանակենք ՓԱ)-ւով մինչե կլանման պահը (իլ բազմությունն ընկնելը) ԿՄԳ-ի Էց բազմության վիճակներում մնալու ժամանակի բաշխումը, պայմանով, որ Է-Օ սկզբնական պահին գործընթացըգտնվել է 1 վիճակում, 16 Է՛, իսկ ճ-ով՝ այդ ժամանակի միջին արժեքը: Օգտվելով լրիվ հավանականությունների բանաձնից, Փ(Ս-երի համար կարելի է գրնլ ռետնյալ մարկովյան վերականգնմանհավասարումները՝ Դիտարկենք կլանման վիճակներով ԿՄԳ:

Է-ն

Փ()

Ֆ Չյ( ՍՀ

բել

5եց0

|Փ(-2)40,62),

6շխչ

(5.3)

ձնափոռխու(5.3) հավասարումներում անցնելով ԼԼապլաս-Ստիլտեսի թյան, Փլ(5) -երի համար կստանանք հետնյալ հանրահաշվականհավասարումների համակարգր՝

Փ.(5)Հ Ֆ 0.6) »|լ

որտեղ Փ.(5)Հ

/Թ"ց,(յձ :

հեց

0,606),

(5.4)

Հէ

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

Հաշվի առնելով, որ`

«ԱՋ

ղ-

ԹԵ,

է-0

(5.4) ռավասարումներիդիֆերենցումովկստանանք՝ ճէ: դ Ֆ քյ,

(5.5)

ՏԷց

Պետք է նշել, որ գործնական խնդիրներումԿՄԳ-ների նկարագրման համար օգտագործվում են մի քանի հավանականային կառուցվածքներ: Մարկովյան գործընթացների նմանությամբ դիտարկենք հետնյալ կառուցվածքը: Դիցուք` ԿՄԳ-ի յուրաքանչյուր վիճակի համար տրված են ճ.՝ 1 վիճակից յ) վիճակ անցման սպասման ժամանակները, 16 Ե: Օյ սլատահական մեծությունները միմյանցից անկախ են, ոչ բացասական ն ունեն անընդհատբաշխման ֆունկցիանճեր`

Ճ(2 ԱՆ: ՈԱ Ճ(0--

1-6

որտեղ /,(է) ֆունկցիան որոշում է թյունը: Քանի որ՝

ձեյ(0

Ճ(0),

Ճյ(շ

1 վիճակից )

վիճակ անցմանհաճախու-

ԳՃղ(0/0 Խ(-ՖԼՀ

գյՏ1Հ ժկօյ» ժ, կարելի է մեկնաբանել որպես (ԵԼՒմ0 միջակայքում : վիճակից յ վիճակ անցման հավանականություն, պայմանով, որ մինչն է պահը անցում տեղի չի ունեցել: ԿՄԳ-ի 1 վիճակում մնալու Օօ,ժամանակըն նրա բաշխման էԼ(է ֆունկցիան որոշվում են հետնյալ կերպ` ապա

«'յ(-ն

էն(0 ոլոլճլ), ջե

գ.-

ռրտեղ/.()-ն

ՀՍ-Փ(ոտոլգյ)ՀՍՀ1-օ"Ծ, Ւ12

Ե(զ

գործընթացի1 վիճակից դուրս գալու հաճախությունն է՝ Ճ02, տլ()), 16է: թր»լ

Գործընթացի 1 վիճակիցյ) վիճակ

անցումը կատարվումէ այն դեպքում,

երբ Օ.Հ0., 1յՇ Է: ԿՄԳ-ի անցումային մատրիցի Օւ() տարրերը որոշվում են հետնյալ

բանաձնով`

ԳՕ-

(

|ԱՄ- Ճ(ձՃ.0) Օէ»)

(

Հ"

Դմճլ0ժ, 168: -

Այս բանաձնից կարելի է որոշել նան ներմուծված Մարկովի շղթայի անցումային հավանականությունները՝ ք ն

ԳԸ»)

6"4ոյ(2,

էյ6է,

ԿՄԳ-ի 1 վիճակում մնալու ժամանակի բաշխման ֆունկցիան`

էլ()-(աՀԱՀԼՓՇ"Ց,

16բ:

6. Սեծ

չափակայնությամբխնդիրներիլուծմանեղանակներ

Դիտարկենքհետնյալ մասնավորդեպքը: Դիցուք՝ բոլդր 6., 16: պատահական մեծությունները ունեն 4. հաճախություններովցուցչային բաշխում՝ '

Ճ(ՍՈՀ-Փ",

ԱՅՔ, ընդ որում ոչ բոլոր Ճյ-երնեն հավասար

որտեղ /.յ-երըվերջավոր են, 420 զրոյի: Այդ դեպքում գործընթացի վիճակներում մնալու բաշխված են ցուցչային օրենքով՝ ն

էԼ()Հ1-67"

որտեղ 4:

ժամանակները

168,

պարամետրերըվերջավոր են ն

4- -Ճյ-

զրոյից տարբեր՝

Խ4.։0Հ2լՀՀ»,

Հէ:

Հյ

Այդպիսի ԿՄԳ-ն հանդիսանում է անընդհատ ժամանակով Օ-յինյ ակնթարթայինմատրիցով Մարկովի շղջա: Այս դեպքում ԿՄԳ-ի անցումային Օ() մատրիցիտարրերըկորոշվեն ռետնյալ բանաձնով՝

Չ.60)-թյԱ-6՞Չ,

լյ68:

Այստեղ ճերմուծված Մարկովի շղթայի ք, անցումային հավանճականությունները հավասար են` թ 4/7, 1/օ8: Սարկովյանշղթայի 1 վիճակումմնալու միջին ժամանակը`դ-ն, հավասար է 4, հաճախության հակադարձմեծությանը՝ 1/4: դ ԿՄԳ.

6. Մեծ

չափակայնությամբխնդիրներիլուծման եղանակներ

Գործույթների հետազոտման ն տնտեսագիտականշատ խնդիրների հետազոտումը կապված է մեծ չափակայնությամբ գծային հավասարումների լուծման հետ: Նշենք, օրինակ, պլանավորման, կառավարման, պա-

հեստավորմանխնդիրները ն այլն: Մեծ չափակայնությամբ խնդիրների արմատական լուծումը ներկայումս որոնվում է խոշորացման, ագրեգավորմանն մասնատման ճշգրիտ ն ն մոտավոր եղանակների մշակման կիրառման ոլորտներում: Նշված եղաճմակներըթույլ են տալիս մեծ չափակայնությամբ խնդրի լուծումը կամ հանգեցնել մի շարք փոքը (ցանկալի) չափակայնությամբ խնդիրների լուծման` պահպանելով սկզբնական խնդրի մանրամասն նկարագիրը, կամ էլ հանգեցնել խոշորացված, փոքրըչափակայնությամբ մեկ խնդրի լուծման, անցնելով սկզբնական խնդըի խոշորացված նկարագրմանը:Անկախ նրաճից, թե որ մոտեցումն է իրագործվում առաջինը, երկրորդը թե դրանց զուգորդությունը, նշված եղանակներում կարնոր ընթացակարգ է սկզբնա-

ԴԷ

Մարկովիշղթաներ

մարկովլյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

կան խնդրի լուծումնեիի վերականգնումը: Կախված այդ ընթացակարգի արդյունքից` տարբելում են ճշգրիտ ն մոտավոր խոշորացման, ագրեգա-

վորման ն

եղանակները:

մասնատման

Դասական խոշռրացմանխնդիր Դիցուք` Ճ-|ոյյ-ն ոչ բացասականտարրերովմատրից է, ռրի տարրերը որոշակի արտադրանքի միավորի թողարկման համար անհրաժեշտ նյութերի ծախսի գործակիցներն են, 2-(չլ,...,Ճ)-ը ճնշվածորոշակի արտադրանքի լրիվ թողարկման վեկտոլրն է, իսկ 7-Օ...»7-ը որոշակի արտադրանքի վերջնական թողարկման վեկտորն է: Ապա միջճյուղային հաշվեկշռի հավասարումըունի հետնյալ տեսքը. Վ

ճլ

Սլ

Էչ

Է),

16112...

կամ

«Հ (6.1) Ճ2ԴՄ: Դիցուք` | արտադրանքներիթողարկումըիրականացվումէ Ճ/ ճյուղերում: Ընդ որում առաջին ճյուղում արտադրվումեն 1-ից Տլ արտադրանքները, երկլորդում` ՏյԷ1-ից Տշ, ն այլն, ՃԽ/-րդ ճյուղում` ՏոԼլՒ1-ից Տի արտադրանքները:

Ճ-իճլ|-ովնշանակենքԽԵՃ/

չափակայնությամբ(ԽԼՀԻՐմիջճյուղային

հաշվեկշռի ծախսերիգործակիցներիմատրիցը, 2:

ճյուղերի Օ4.....Ճա)-ով՝

արտադրանքիլրիվ թողարկմանվեկտորը, իսկ Մ -հ...,Պե)-ով՝ ճյուղերի

արտադրանքիվերջնականթողարկմանվեկտորը: Ըստ դասականագրեգավորմանտեսության`

2-ր: (6.2) Այստեղ Ղ-|նյ|-ն ագրեգավորմանկամ խոշորացման մատրիցն է, որի էչ տարրը հավասար է 1-ի, եթե ) արտադրանքը թողարկվումէ ւ ճյուղում, ն եյ- 0՝ հակառակդեպքում: ՛1 մատրիցնունի հետնյալ կառուցվածքը. `

----»----Վ

ԷՈ

100... :

Իշ

--------վ

ԷՀ

ս.

Ի--`Վ

----Դ---Հ

ՀԱ

Ո:

(6.3)

Այստեղ պարզության համար ենթադրվումէ, որ բոլոր արտադրանմքճերը համարակալված են ըստ իրենց զուգորդմանկարգի: Այսինքն` եթե 1-րդ ճյուղում արտադրված են ԻիՀՏ-Տ., թվով արտադրանքներ, ապա դրանք համարակալվածեն5, 1-ից մինչն Տլ:

ճ. Սեծ

Պարզ է, որ`

ՀԽ

կ:

մատրիցը՝ կշռային

Ներմուծենք խոշորացման

Օբ Ը-

չափակայնությամբխնդիրներիլուծման եղանակներ

Օլ5.0

.սն005: ւ».

0-5,

դրի Օյ տարրերը ցույց

ս.

են

ւ.

սա. ՕլՏալ

տալիս

ան

(64)

Օս

արտադրանքիտեսակարար կշիռըյ

ճյուղի թողարկած ամբողջ արտադրանքում:Ապա ագրեգավորված`միջճյուղային հաշվեկշռիհավասարումըկունենահետնյալ տեսքը.

2-42,

որտեղ՝

Մո):

Ճ «ՂՃԸ՛,

ԱյստեղԸ՛-ն ստացվումէ Շ մատրիցիվերաղասավորումից:

Եթե

Օյ-երը որոշվում են

հաշվեկշռի սկզբնականմիջարտադրանքային

լուծումներիօգնությամբ՝ հավասարման

Օյ-.

չ»..

ՇԻՆ, )5 (12.....ԽՌ,

դժվար չէ համոզվել, ռր դրանք ապահովում ճշզրիտ ագրեզավորման(խոշորացման) պայմանը՝ ապա

Ֆֆյ,

Ճ.-

25,-լ41

են

(6.5) (6.1) հավասարման

6Ա2,...խյ:

Այսպիսով դասական ագրեգավորման խնդրում

Օյ

գործակիցների

որոշման համար անհրաժեշտ է ունենալ (6.1) ռավասարմանլուծումները: Ագրեգավորմանն խոշորացման եղանակներըտարբերվում են Շ մատրիցի տարրերի որոշման եղանակներով: Քննարկենք գծային հանրահաշվական հավասարումների ճշգրիտ ն մռտավոր խոշորացման եղանակները, որոնք լայն կիրառում են գտել նան պատահականգործընթացների ռետազոտման խնդիրներում:

Ճշգրիտ խոշորացմանեղանակ գծային հավասարումների ճշգրիտ Սկզբում դիտարկենք համասեռ խոշորացման խնդիրը: Դիցուք՝ տրված է՝ մ

ՕՀ

(6.6)

ֆզյքբյ,։ Ճ.2.....Է) յ-1

գծային հավասարումների համակարգը, որտեղ Ք-|թյ-ն`

ոչ

բացասական

241.

Սարկովիշղթաներ

մարկովյաճու կիսամարկովյանգործընթացներ

տարրելով հավանականային մատրից է` ռ

քլ

իսկ ՕՀ(դյ,...,0Խ)-ն

ոչ

0ՏքյՏ1, 16 (,2,...Ռ,

Հյ,

բացասական վեկտորէ`

0ՀԳՀ),

Ֆզ

(1,2....Է1,

(6.7)

-1:

ԻԼ

Դիցուք` Ւ| փոփոխականներըբաժանվածեն երկու խմբի: Ենթադրենք, որ առաջին խմբում ընդգրկված են 1-ից Էկ փոփոխականները,իսկ երկրորդում՝ՒՍՀ1-ից ՒԷ Խոշորացված հավասարումների համակարգի կառուցման համար որոշվում են խոշորացման Շ ունեն հետնյալ կառուցվածքը.

մատրիցները, որոնք տվյալ դեպքում

Շ՛-

լ 0

ՇՀ

ՄԱ 5

զր

Օ) ՕԹ.

-.զ

ԵՇ

իի

(6.8)

ՒՎ-ԻՈ

ԱյստեղՇ՛ մատրիցըՇ-ի կիսահակադարձ մատրիցնէ ն Ը՛ «Ղ՛: ոն 2 վեկտորների տարրերը բավարարումեն հետնյալ պայմաններին`

0ՀՕ.7 Հ|,

112,...Խ), 16.

0ՀՕՏՀ,

35» 4-1

ՖՕՏ

ՈՈՒՆԻԱՀ2,...ԷՌ,

Կապերի Ք մատրիցը ներկայացնեճքըստ ֆ-

թ 11 Ք 12 ւ

Ք2շ

-1:

Թթիլոլ

բլոկների՝

Այստեղ Բ.լյ-ը՝ ԻլչՀՎ. չափակայնությամբ մատրից է, որի տարրերըցույց են տալիս փոփոխականներիկապը առաջինխմբում: Ք)չ-ը Իր«ՈՎ-Իղ)չափակայճությամբ մատրից է, որի տարրերը ցույց են տալիս առաջին խմբի փոփոն հետ: Բլշ-ը՝ (Հ-ԻՆ)»Ն խականներիկապը երկրորդ խմբի փոփխականճների 5շշ-ը՝ (Վ-ԻՆ)»«(Վ-Իկ) մեկնաբանվումեն համապատասխանորեն: 013ն.6:2 վեկտորները որոշվում են հետնյալ հավասարումներից.

օԹ- Գ ոթԲԻ2Ա

օԹ.- օթ

ԹԽ),

Ա-ը,

-ն ֆոտ

(69)

Ֆո

(6.10)

1-1

պյՀԼլ

ճ. Մեծ

խնդիրներիլուծման եղանակներ չափակայնությամբ

Խոշորացված հավասարումներիռամակարգնունի հետնյալ տեսքը.

ճ-4թ, որտեղ՝

ճ-0Ը

զ -1,

(6.11)

«(զ.ճյ),

Փ-ՇՔԸ:

Սկզբնական համակարգի Օ լուծումների, Շ մատիիցի Օր, 1-12 տարրերի ն խոշորացված համակարգի 4., 151,2 լուծումների միջն գոյություն

ունեն

հետնյալ առնչությունները. Ի

Օլ

-Ֆօ.

օՀճզ,

այ

56. իկ»

ճչ-

(6.12)

«զղ|ճյ,)-12,

(6.13)

1614Ն2,..,.Էկ), եջեյ-1

(6.14) (Շ4ԻկԻ1,Կ.-2,....ԻՌ, եթե )-2: Այստեղ (6.12)-լ: սույց է տալիս սկզբնականն խոշորացված հավասարումների լուծումների կապը, (6.13)-ը որոշում է խոշորացման Շ մատրիցի տարրերը ն ապահովում է ճշգրիտ խոշորացման պայմանը, իսկ (6.14)-ը թույլ է տալիս վերականգնել սկզբնական համակարգիլուծումները, եթե հայտնի են խոշռրացված համակարգիլուծումները ն խոշորացմանմատՀ րիցը: Պետք է նշել, որ խոշորացման ընթացակարգն ունե փոխանցականության հատկություն, այսինքն` արդեն խոշորացված համակարգը նորից կարող է ենթարկվելխոշորացման: Այժմ դիտարկենք անհամասեռ գծային հավասարումների խոշորացման խնդիրը:Դիցուք՝ տրված է` Է

"Հոլլ

14(Ն2,....Ծ

է)»

հավասարումներիհամակարգը, որտեղ րով մատրից է, 0Հ8.Հ1, 1)6

(6:15)

տարրե|ըւյ|-նդչ բացամտական

ՃՀ Է

(1.2,....Ե), Շոլ1,

իսկ -Օ/ո..«78-ը՝

ցասական տարրերովվեկտոր է:

Համակարգի խոշռրացման համար կառուցենք րումների հետնյալ օժանդակհամակարգը. ի|

ճշ

ՖԽճյյ, լա

0ՏԱՏ),

համասեռ

զ.

(1,2,...Ս,

ոչ

բա-

հավասա(6.16)

-1:

Այստեղ՝ Բ-|թ,|-նհավանականային մատրից է, որի տարրերը որոշվում հետնյալ բանաձներով. քյ

(6.15)

Հ Յյէքն,

լ5

,/2».

,ե-1-

Խյ6 (,2..... 2.8, Ի" ..

ԷՄ:

(6.16) համակարգերի լուծումները միմյանց հետ կապված են`

են

2ՃԼ.

Սարկովիշղթաներ ոՀ

մարկովյան ու կիսամարկովյանգործընթացներ

ԵՕ,.(12... ).Ե-Ֆ)

իլ լ

/Ֆ.ն 15)

(6.17)

հավասարումներով: Անհամասեռ հավասարման խոշորացման համար օգտվենք համասեռ հավասարումներիհամար բերված ալգորիթմից: Դիցուք` (6.15) հավասարումներիփոփոխականներըխոշռրացվում են երկու խմբերով 11,2,...,Իկ) ն ՄԱՀլ....,ԻՍ: Ապա ըստ (6.14)-ի ն (6.17-ի ճրանց լուծումների համարկստանանք՝ "Հ

Եա-ԵՃԶԱՆ

«21, յօ Ա2,....ԷՌ, եթե Շ1նյօ ՌԱոՒՆԱՀ2.....ԷՌ, եթե 1-2: յ Օ 11) 1՞) Ի

8լՀԵճ-ՖԵզ ճ

ալ

որտեղ

«0-0

Իլ

Ֆո, Թ)

Կ»

Ֆ»,

»խլՀ1

(6.18)

«ցյ/զ Հեցյ/եզ,-«լյ/4.:

Այսպիսով, (6.15) համակարգի խոշորացումը համարժեք է օժանդակ (6.16) համակարգի խոշորացմանը,ընդ որում դրանց խոշորացման Շն Շ-՞ մատրիցներըհամընկնում են: Եթե օժանդակ համակարգիցորոշվել են Շն

մատրիցները,ապա տնյալ տեսքը. Շ՝

Այստեղ՝

(6.15)-ի խոշորացված համակարգը կունենա

հե-

2-27:

2-2Ը,Մ-ՆԸ,

ՃՀՇՃԸ:

Սոտավորխոշորացմանեղանակ Պետք է նշել,

որ մոտավոր խոշորացման եղանակներըլայն կիրառություն են գտել բարդ համակարգերի ուսումնասիրման ն գործույթների հետազոտման խնդիրներում: Ներկայումս օգտագործվում են մոտավոր խոշորացման բազմազան եղանակներ, որոնք տարբերվում են կիրառվող մաթեմատիկականմոտեցումներով ն իրենց ընթացակարգերիգործնական մեկնաբանություններով: Այս բաժնում կդիտարկենքԿորոլյուկի առաջարէ իր պարզ կառուցվածքով ու արդյունքկած եղանակը,ռրն առանձնանում ների մաթեմատիկականհիմնավորությամբ: Եղանակի հիմքում ընկած է այն ենթադրությունը, որ իրական բարդ համակարգի վարքը կարելի է նկարագրել որոշակի իմաստով նրամ մռտիկ այսպես կոչված հիմնային, ավելը պարզ համակարգի օգնությամբ: Երկու համակարգերի վարքերի մոտիկությունը գնահատվում է նրանց կապերի (անցումային) մատրիցներիտարբերության միջոցով: Ընդունվում է, որ այդ տարբերու-թյունն ունի նախօրոք սահմանված8 փոքր պարամետրիկարգ: Դա թույլ է տալիս, հետազոտելով հիմնային, համակարգի բնութագրերը, գնահատելսկզբնական(իրական) համակարգիբնութագրերը:

Սեծշափակայնությամբ խնդիրներիլուծման եղանակներ

Դիցուք` հետազոտվում է (6.6) ռամասեռ հավասարումների համաՔ կարգը, որի անցումային մատրիցըթույլ է տալիս հետնյալ տրոհումը. |

Եց

88:

Այստելլ Եց-ն բլոկներով անկյունագծայինհավանականայինմատրից է, ռլը բնութագրում է հիմնային համասեռ համակարգը: Այս մատրիցն տալիս է սկզբնական համակարգի տրոհումը ըստ փոփոխականներիխմբերի: Եթե համակարգըտրռեվումէ Խ( խմբերի,ապա Բ.-ն ունի հետնյալ կառուցվածքը.

թու

Օօ

0 էս

ՔՀ

անե

0...

թա

մատրիցը ցույց է տալիս սկզբնական համակարգիշեղումը հիմնաՆրա տարրերը ունեն ք փոքրըպարամետրիկարգ ն բավարարում են յինից: հետնյալ հավասալությանը՝ եյ «0, :16(/Ն2..... 7: Ց

2 -ով

1գյ-ովնշանակենք Բլ ենթամատրիցիձախ ու

վեկտորները՝

զ -Օքյ.,

նյ

ՖԽ02-1, 0ՏՕՍՏ1 )օՎյ.....Խ), յյ-

յ-Ի(.յՀ|

աջ

սեփական (619)

Ք0օ1ը)»1611,2....ԷԾ: Այստեղ 1, վեկտորի բոլոր տարրերը հավասար են 1-ի: Խոշորացման Ը

Շջ մատրիցներըկառուցվում են հետեյալ կերպ.

Օր 0

աՀ.

0վ:չ-

|»

ուկ

(6.20)

Լյ

Մոտավոր եղանակով կառուցված խոշորացված համակարգի Ճ ծումները որոշվում են հնտնյալ հավասարումներից՝ Խ

ճ-Ֆճյք,, յ Ք-ը՝ Այստեղ

ՍՀԱՏՆ

18152...

Ս,

չճ-ԼԸ լ

լու-

(6.21)

խոշորացված համակարգի կապերի մատրիցնէ՝

թ-ԸյթԸ::

Սկզբնական համակարգի լուծումները վերականգնվումեն հետնյալ բանաձնով.

աՀճԸց Ի0(8):

Պետք րիթմական

(6.22)

է նշել, որ մոտավոր եղանակը, չնայած ճշգրիտի հետ մեծ

ալգս-

ընդոանրությանը ունի սկզբունքային տարբերություն Ե

24.

Սարկովիշղթաներ ն մարկովյանու կիսամարկովյանգործընթացներ

մատրիցիտրդհմանընթացակարգում:Եթե ճշգրիտ եղամճակի դեպքում կաեն խմբավորվել հավասարման ցանկացած փոփոխականները,ապա մոտավորիդեպքումխմբավորվումեն միայն այն փոփոխականները,որոնք բավարարում են խմբից դուրս գալու հավանակամության0(6) կարգի փոքրության պայմանին: Այսինքն՝ մռտավոր եղաճակի դեպքումպահանջվումէ, որ Ց մատրիցի տարրերն ունենան 0(8) կարգ: Մյուս կողմից` մոտավոր եղանակի դեպքում ռնարավոր է այնպիսի հիմնային համակարգ ընտրել, որը կարող է ապահովել ինչպես խճդրի լուծման մեծ ճշտությունը, այնպես էլ Ք. մատրիցի անհրաժեշտ հատկություններն ու համակարգիհետազոտման արդյունավետությունը: Քննարկենք բերված եղանակներիառանձնահատկությունները:Առաջին հերթին նշենք ինչպես ամբողջ ալգորիթմի, այնպես էլ նրա առանձին ընթացակարգերիկառուցվածքը, որը թույլ է տալիս օգտագործվող մատրիցների ն լուծումների ստոխաստիկբնույթի շնորհիվ վերահսկել ն մեկնաբանել հետազոտվող խնդրի ինչպես միջանկյալ, այնպես էլ վերջնական արդյունքները` Վերլուծական ն օպտիմացմանշատ խնդիրներում խոշորացման եղանակներն արժեքավոր են ոչ միայն հաշվողական տեսանկյունից, այլն իմաստայինու մեթոդական:Եթե ճշգրիտխոշորացմանեղանակների հաշվողական բարդություննունի նույն կարգը, ինչ որ Գաուսի բլոկներով արտաքսման եղանակը,ապա մոտավորխոշորացմանեղանճակի արդյունավետությունըպայմանավորված է ք փոքրըպարամետրի ն հիմնային համակարգիհաջող ընտրությամբ: Օրինակ (շարունակություն): Դիտարկենք Լեռնտնի մոդելի խոշորացման խնդիրը: Դիցուք՝ միավորվումեն առաջին երկու ճյուղերը: Բերված անհամասեռ հավասարումների խոշորացման ալգորիթմի համաձայն կառուցենք բաց մոդելին համարժեք փակ հավանականային (մարկովյան) մոդելը, որի անցումային թ մատրիցիտարրերըկորոշվեն հետնյալ բանաձնով՝ րող

քլ

զյԻդե, որտեղ դ

/Ֆո

կՀ1-

28. :

Կարելի է ստուգել, որ Ք մատրիցը հավանականային է՝ նրա յուրաքանչյուր 1-1,2,3 տող բավարարումէ

2,8 ԻԼ պայմանին:

Քնճարկվող

օրինակումԵ Ք»|

մատրիցիհամար կստանանք`

13/243/24 8/24 1/24 15/248/24 |

ճ. Մեծ

չափակայնությամբխնդիրներիլուծմանեղանակներ

Մարկովյան շղթայի ստացիոնար բաշխման Թթ վեկտորը որոշվում է հետնյալ հավասարումների համակարգից՝ 3.

2:6.

-քծ,

-1:

Որտեղից, Թ վեկտորիհամար ստանում ենք 3/20, 8/20): ԹՀ Օ9)/20, Բաց մոդելի լուծումները որոշվում են

1-13 "լ-թ, բանաձնի օգնությամբ, որտեղ 2-- 40: Հետնաբար՝ ".18,«չ- 6, ":- 16: Խոշորացման մատրիցիորոշման նպատակով 1 ն կառուցենքանցումային Քլ մատրիցը՝ »

(6.23)

վիճակների համար

9/24 15/24իվա| 8/24 Գօ-|9.Հ 9/24 15/24 Հի Հա

թլ մատրիցիձախ անշարժ ՕՁ վեկտորի տարրերնեն՝ ձ

ՀետնաբարխոշորացմանՇԸ

ն Ը

0/4, 1/4):

մատրիցներըկունենան հետեյալ տեսքը.

«(ԱԻ ո1ց,-վյ վ 0,

Այստեղից կորոշվեն խոշորացված անցումային Ք մատրիցը վեկտորը՝

թ-ՇթԸ,

-իջթ):

նրա ձ

0/5. 2/5):

լուծումները կլինեն` Խոշորացվածհաշվեկշռային մոդելի

2-2Շ՛

(24,է6):

(6.18) բանաձնն օգտագործելով 2 վեկտորի տարրերի համար, կստանանք՝

2-6.

1-12, Կ -40:3/5»24,

16: Ճշ -40-2/5

Խոշորացված պահանջմունքիվեկտորը հավասար է 42): 7-Ղ1Շ Տ

Իսկ ամբողջ արտադրանքիարժեքը կլինի՝

"լ Է :,

40:

Այժմ կառուցենք խոշորացված հաշվեկշռային մոդելը, որը որոշվում է խոշռրացվածտեխնոլոգիականգործակիցներիմատրիցով, 2 խոշորաց-

ված վեկտորով ն 7 խոշդրացվածպահանջմունքիվեկտորով՝

ՃՒ

Սարկովի շղթաներ

մարկովյանու կիսամարկովյամգործընթացներ

Օ-ԸՕԸ, «-2Շ,7-7Ը» Հ

Ոքթի Ճ

7-02)

0ե38)

(ԹՕ)-Էր:

Որտեղից խոշոլւացված մոդելիլուծումներիռամարկստանանք՝

Ճլ-

24,

4չ-

16:

Այսպիսով երկու տարբեր եղանակներով կարելի է կառուցել ն ւետազոտել խոշորացված հաշվեկշռային մոդելը: Օրինակ (շարունակություն): Դիտարկենք շարժունակությանխնդրում շղթայի խոշռրացման հարցը: Պետք է նշել, որ ինչպես մի շարք կիրառություններում, այս դեպքում նս խոշորացման ընթացակարգըն նրա օգնությամբ ստացված արդյունքներըհետազոտվող համակարգի մասին տալիս են ռրակապես նոր տեղեկատվություն:Դիցուք՝ ըստ դասերի միավորվումեն հետնյալ վիճակները. առաջին դասում, որը պայմսնականորեն կանվանենք բարձրագույն դաս, 1 ն 2 վիճակները,երկրորդ` միջին դասում՝3,4ն5 վիճակները,իսկ ստորինդասում՝ 6 ն 7 վիճակները: Խոշորացման Ը ն Շ մատրիցներնայս խնդրումունեն հետնյալտեսքը.

«վ

0.359

0.641

0.141

0.203

0.656

010:

ի--

Խոշորացված խնդրիանցումային թ մատրիցըհավասար է`

0.068

թՀ|0053

0.011

իսկ խռշորացվածշղթայի ստացիոնարբաշխումը՝

-(0064:0.625:

0:311):

թ մատրիցի հետազոտումը տարվում

ուղղությամբ: Առաջին` դիտարկվում պետության ամբողջ բնակչությունը ն կանխատեսվում է որոշակիժամանակի ընթացքում, օրինակ՝ մեկ կամ մի քանի սերունդների է

է երկու

համար նրա բաշխումը ըստ դասերի: Այս դեպքում թ-ն անվանում են «կոլեկտիվ գործընթացի» անցումային մատրից: Երկրորդ` դիտարկվում է առանձին ընտանիքի պատմությունը: Այս դեպքում տական գործընթացի»անցումային մատրից:

Ք -ն

կոչվում է

«անհա-

ճ. Սեծ

չափակայնությամբխնդիրներիլուծման եղանակներ

15.

Առաջին ուղղությամբ թ մատրիցի հետազոտումը ցույց է տալիս, որ բարձրագույն դասի ընտանիքներիզավակների43.292-ը մնում է նույն դասում, 5072-ըանցնում է միջին դաս, իսկ 6.896-ը՝ ստորին դաս: Միջին դասից 5.3002-ն է անցնում բարձրագույն դաս, 69.990-ըմճում է նույն` միջին դասում, իսկ 24.826-ը անցնում է ստորին դաս: Հետաքրքիր են անցումները ստորին դասից: Այստեղ 1.125-ըանցնում է բարձրագույն,50.492-ըմիջին, իսկ 48.5942ը մնում է սեփական դասում: Բարձրագույն դասից ստորին լաս անցումների քանակը 6 անգամ մեծ է, քան ստորինից բարձրագույն անցումները: Միջին դասից առավել, մոտ 5 անգամ, մեծ է ստորին դաս անցնելու ռավանականությունը, քան բարձրագույն դաս:

«Անհատական գործընթացում» թ մատրիցի տարրերի ռետազոտումը է տալիս, թե ինչպիսի հավանականությամբ զավակը կընտրի դոր ցույց մասնագիտությունը ն կմնա համապատասխան դասում: Օրինակ, եթե լնտանիքը պատկանում է բաձրագույն դասին, ապա զավակի նույն դասում մնալու հավաճականությունը հավասարէ 0.432-ի, միջին դաս անցնելունը՝ 0.5, իակ տտորին դաս անցնելունը՝ 0.068: Այդպիսով բարձրագույն դասի ընտանիքների զավակների համար գրեթե 7 անգամ մեծ է միջին դասում հայտնվելու հավանականությունը, քան ստորինում: Իսկ ստորին դասի ընտանիքներիզավակների համար գրեթե 46 անգամ քիչ է ստորին դասից անմիջապեսբարձրագույն,քան միջին դաս անցնելուհավանականությունը: Տեսնենք, թե բնակչությունը մեկ սերունդ հետո ինչպիսի դասային կառուցվածք կունենա, եթե նլակետային պահին նա ունի հետեյալ կառուցվածքո՝ 1026 - ստորին ղաս, 7022- միջին ն 2099 -բարձրագույն դամ: ռ սերունդներից հետո բնակչության դասային կառուցվածքը կարելի Է որոշել հետնյալ բանաձնով. աի": (ո) Քննարկվող դեպքում 4(1) վեկտորի համար կստանանք` -

0.432

(ո1).1)ո(1))

(0.2:0.7:0.1)| 0053

0.011

-(0.125:0.638:0.237):

0.5 0.699 0.504

0.248 0.485

Այստեւլլենթադրվում է, որ թ մատրիցը անվուփոխ է բոլոր սերունդների համար: Պ(1) վեկտորի տարրերիվերլուծումը ցույց է տալիս, որ մեկ սերունդը անց բարձրագույն դասը բնակչության մեջ 2022-ի փոխարեն կազմում Լ ընդամենը 12.572, իսկ ստորին դասը 1072-ից23.722-ի Լ հասնում հարաբերականորենկայուն (63.842 7042-իփոլխալեն)միջինյյասի պայմաններում: Նթե բնակչության նախնական յլասային հարաբնրակցությունը (կաստացիսնար բաշխման ռուցվածքը) ռամընկնում է շղթայի 6.(62.06) հետ` ճ -(0.064: 0.652: 0.311), ապա, ինչպես ոետնում է շղթայի էրգոդիկությունից, հաջորդ սերունդների համար բնակչության ոլասայինկառուցվածքը

21.

Մարկովիշղթաներն մարկովյանու կիսամարկովյան գործընթացներ

կմնա անփոփոխ:Քնճարկվող դեպքում2շ-(0.2: 0.7: 0.1) սկզբնականբաշխման առկայությամբմեկ սերունդհետո ստանում ենք` ո(1)-(0.125. 0.638: 0.237): Այսինքն` բնակչության դասային կառուցվածքում հիմնական փոփոխությունները` տեղաշարժերը, նկատվում են ստորին ն բարձրագույն դասերի միջն: Հաշվարկներիօգնությամբդժվար չէ համոզվել, որ միայն 5-րդ սերնդի օրոք է հաստատվում բնակչության կայուն դասային կառուցվացքը: Այս դեպքում Պ(5)-ը Ճ -ից շեղված է չնչին մեծությամբ:

Գրականություն լ. 2.

8.Ը. Բօքօոաօտ

ԽՇշաշոտԼա, -ԽԼ: Է

ուշ,

օր

Շկատ լն.

զօօյած

ոօրծյու

ԷԼուօ82 7Պուճ, 1989 ոքաօշոտում ./ 16ք. օ Յոու/՛12.

ՇԽՇՂՇԵԼ-Իծ8:

8օքօճւօօրԵքո

ԵօոօզոեյՇ ԱՇոռ

օօ

Շբ. Խ1ճքաօոո./

ուոու./

Քռքօսիջ.Եւօեճելնի/,Ղոոմօտ Մճոճելօտ գոմ ՏէօՇիճչնծ ՔԼՕ66ՏՕոոԿ -էոլ, 1ոօ., 1991. Խ16Շ Մ.Ա. ն Սահակյան ուրիշներ.Տնտեսությանվերլուծությանմաթեմատիկակաճ եղաճակներ/Գործույթների հետազոտում.Կառավարմանգիտւթյուն / Մաս 1,ԷԿԱԳՄԱՀԲ, Երնան, 1997 մհճոշտ10Տ ՏՇՏ.

8. 8րշրաչոծ8 1Եօրոօ «Փղոօք -ՍԼ: Խ/աք,

-ՎՇՄ օէ:

«Հաաա

ՃԱ.

ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ

ԿԱՅԱՑՄԱՆ

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ

ՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

Հիմքըզցում եմ, բայց չեմ ավարտում: Գրիգոր Նարեկացի Մատյան ողբերգությանբան Հ.,Ա.՛Բ, Ե.

Մուտք Եկամուտներովպատահականգործընթացներըլայն կիրառում են գտել սոցիալական,տնտեսական ն տեխնիկականհամակարգերիկառավարման ու պլանավորման վերաբերյալորոշումներիկայացման խնդիրներում: Գործույթների հետազոտմանխնդիրներումդիտարկվում են վերջավոր ն անվերջ պլանավորման ժամանակով, եկամուտների վերագնահատմամբ ն առանց վերագնահատման,կլանման վիճակներովկառավարվող պատահական գործընթացներիօպտիմացմանխնդիրներ: Այս բաժնում կքննարկվեն անվերջ պլանավորման ժամանակով կառավարվողՄարկովիշղթաները ն կիսամարկովյանգործընթացները: 1.

Եկամուտներով Մարկովի շղթաներ ն կիսամարկովյան գործընթացներ

Լ. 1 ԵկամուտներովՄարկովիշղթաներ Դիցուք` տրված է վերջավոր վիճակների բազմությունով համասեռ, էրգոդիկՄարկովիշղթա Հ(1),4(2)։...,Հ(ո),..., որը, ինչպես գիտենք, որոշվում է

(Է,ք,թ) եռյակով: Այստեղ Ք-(1,2,....ԻՄ-ը՝ վիճակներիբազմություննէ, ք -( ք».

քշ.-..,քի)-ն՝շղթայի

սկզբնական բաշխումը, իսկ

|թյի-ն՝ մեկ քայլում

անցումներիհավանականություններիմատրիցը: ԴիտարկենքՄարկովիշղթաներումեկամուտներիկուտակմանհետնյալ կառուցվածքը: Եթե ժամանակի ո պահին Մարկովի շղթան գտնվումէ ւ վիճակում` Հ(ո) 1, 16 Ք, ապա ստացվում է ո(Հ(ո))-ո եկամուտ: Ենթադրվումէ, որ շղթայի բոլոր վիճակներում դ, եկամուտներըվերջավոր են: Հ

(ո)

Ֆ(Հ()),ո-0,Լ2,...

Տ-0

գումարներիհաջորդականությունըկոչվում է Մարկովի շղթայի վրա կուտակման գործընթաց:7(ո)-ը հավասաը է շղթայի ո անցումներից հետո կուտակված գումարային եկամուտին: Գործնականում եկամուտներով Մարկովի է, »(ո)-ի միջին արժեքը, այսինքն` ո անցումնեշղթաներում հետազոտվում

ՀԱԼ

Որռչումների կայացման Սարկովյանգործընթացներ

րից հետո կուտակված գումարային միջին` (ո) եկամուտը 1 սկգբնական վիճակիդեպքում: Կ(ո)ի համարեկամուտների հաշվեկշոիհավասարումն ունիհետնյալտեսքը.

ԿՈՀո«ՖՀ(ո-քյ,

6ռո-Լ12:...:

(1.1)

Այն ստացվում է հետնյալ կերպ: Դիցուք՝ շղթան գտճվում է ւ վիճակում: Այդ վիճակից ո անցումների (քայլերի) ընթացքում սպասվող գումարային միջին եկամուտը՝"(ո)-ը, հավասաը է 1 վիճակում անմիջապես (մեկ քայլից) սպասվողմիջին դ եկամտին մնացած ո-1 անցումներիցսպասվող ԿՎ

2թյ'յո-0 Թլ գումարային միջին եկամտիգումարին: Կատարենքհետնյալ նշանակումները.ւՀ (ոոշ...,ո)-ը մեկ քայլում անմիջականսպասվողեկամուտներիվեկտորնէ, Ճ(ռ) (Մլ(ո),Ճշ(ո),...,ՄԻ(ո))-ըո քայլերում սպասվողգումարայինմիջին եկամուտներիվեկտորնԷ: Այսպիսով(1.1) հավասաըումըվեկտորականտեսքով կլինի՝ Խ(ո) ՀՀ Խ(ո-1), ոՀ ԼՆ2,...: (1.2) Հայտնի լտե'ս. 1), որ վերջավոր, էրգոդիկ երբ Սարկովի շղթաներում, է Ռ-»օ5, Մ(ո)-ը ունի հետնյալ վերլուծությունը. 16 Է: (ո) (1.3) ոք Է մլ է 0(1), ո-5, Այստեղ «.-երը կշռային գործակիցներնեն, ռրոնց մեծությունը հավասար է Ճ(ո)-ի ասիմպտոտին օրդինատներիառանցքիհատմամբստացված հատվածին: ջ-ն ամիջական (մեկ քայլում) սպասվող գումարային միջին եկամուտն է` 414) Հ

Տ-ՖՔղ,

որտեղ ք, -երը՝Մարկովիշղթայի ստացիոնարհավանականություններնեն` (1.5) "6-1

օհ:

2.Բյթյ:2 :

Ինչպես երնում (1.3)-ից, դեպքում, «(ո)-երը անսահմանափակ են: Այդ պատճառով առանց եկամուտների վերագնահատմանէրգոդիկ Մարկովի շղթաների օպտիմացման խնդիրներում որպես նճպատակային ֆունկցիա օգտագործվում է ջ գործակիցը` անմիջական ստացվող գումարայինմիջին եկամուտը: Տեղադրելով(1.3)-ից «(ո)-ի արժեքը (1.1)-ի մեջ ն խմբավորելովփոփոխականճերը Ք գործակցի համար կունենանք հետնյալ հավասարումների համակարգը. 1: 1-1,2,.... (1.6) քոՀ-որ»է

ո--»օօ

աճում

շոգ,

Էյ

մ.

ԵկամուտովՄարկովիշղթաներն կիսամարկովյանգործընթացներ

Քանի որ (1.6) Վ հավասարումներիհամակարգը պարունակում է ԷՈՒ) անհայտներ` ջ,Մլ,Մշ,...,Միջ ապա ք-ի որոշման համար ընդունվում է, որ մլ կշռային գործակիցներից մեկը, սովորաբար Մր-ը, հավասար է 0-ի: (1.6) հավասարումներիհամակարգըմենք կօգտագործենքկառավարվող Մարկովի շղթաների օպտիմացման գծային ծրագրման խնդրի լուծման ժամանակ՝ Հովարդիիտերացիոն ալգորիթմիընթացակարգերում(տե՛ս. (2,6|): Քննարկենք կլանման վիճակով,Մարկովիշղթաները: Դիցուք` 1 վիճակը շղթայի կլանման վիճակն է, իսկ թ -ը՝ կլանմամբՄարկովի շղթայի մեկ քայլում անցումների հավանակամություններիմատրիցն է: թ մատրիցի գոնե մեկ, օրինակ`1-րդ,տողի համար ճշմարիտ է հետնյալ պայմանը. Ի

2,6,

(ւ7

Հ:

Այստեղից հետնում է, որ Մարկովիշղթան ք,լ»0 հավանականությամբ վիճակից մեկ քայլում կարող է ընկնել 1` կլանման վիճակ: Հայտնի է, որ ո-»օ» դեպքում կլանմամբ Մարկովի շղթան ցանկացած 1, 1Հ2,3,...,,« վիճակից վերջավոր քայլերի ընթացքում 1 հավանականությամբընկնում է կլանման վիճակ: Դիցուք` տրված են՝ 7ՀԸշչդչ,...,դլ) մեկ քայլում սպասվողմիջին եկամուտճերի վեկտորը,ք''Հ սկզբնականբաշխումը ն շղթայի Ք անցումներիմատրիցը:Բնականաբար, ենթադրվումէ, որ

(քշ.քյ....քո) շղթայի Ի

Ֆքյ-1նք

-0:

Հակառակ դեպքում հնաարավոր է հենց 0 պահին դրական հավանակաճությամբ ընկնել կլանման վիճակ: : սկզբնական վիճակից մինչն կլանման վիճակ ընկնելը ո քայլերից սպասվող(ո) գումարայինմիջին եկամուտները կարելի է որոշել հետնյալ հավասարումներիհամակարգից. Կ(ո)

ոՒ

ե քյսյ(ո-ք,

)-2

1-23,....

ԷՆոչՆ2,3...:

0.8)

Հայտնի է, որ կլանմամբ Մարկովի շղթաներում մեծ ո-երի դեպքում (ո-»«») սպասվող գումարայինմիջին եկամուտմերը` Ճ.(ո)-երը սահմանափակ են: Հետնաբար, Ս)Հ2, Վ ն ո-»օօ դեպքում չնվազող |"(ո)) հաջորղականությանհամար գոյությու ունի սահման` տ հռ Կտ), ւ- 23,.... ԻԷ -

Այստեղ Կ-ն սկզբնական 1 վիճակից մինչն կլանման վիճակ (1 վիճակ) ընկնելն սպասվողգումարային միջին եկամուտն է: Անցնելով (1.8)-ում սահմանի, երբ ո--»օ»օ, Կ-երի համար կստանանք հետնյալ հավասալրումների համակարզը. ԻՈ

Պ-ոՒծքյեյ, յ:2

1-23...

ԷԸ

(19)

լ.

Որոշումների կայացման Սարկովյանգործընթացներ

Դիցուք` ԿՀ(Ճ2,Մ),....7-ը մինչն կլանման վիճակ ընկնելը սպասվող գումարային միջին եկամուտներիվեկտորնէ: Այս դեպքում (1.9) հավասարումներիհամակարգըվեկտորականտեսքովկգրվի՝ ԽՏ

լ՛Ի

վեկտորիհամարկստանանք՝ լուծումների՝ "ՀԱւթ՛:ւ՛-ԽԼւ"

Հետնաբար,(1.9) համակարգի

Խ՛

շղթայի -ՔԴ7":

Այստեղ Խ(-ը կլանմամբ Մարկովի հԼ-

հիմնարարմատրիցնէ,

Այժմ քննարկենքեկամուտներիվերագնահատմամբ Մարկովիշղթաները: Դիցուք` Թ-ն` եկամուտների վերագնահատմանգործակիցն է, ռրտեղ՝ թ-ն ցույց է տալիս, որ Մարկովիշղթայում ստացված եկամտի յուրա0ՀԹՀ1: քանչյուր միավոր ո անցումներիցհետո կունենա 8" արժեք: Թգործակիցը կարելի է մեկնաբանելմի քանի եղանակով: Օրինակ, 8-ն կարելի է դիտարկել դռրպես մեկ քայլում միավորեկամուտբերողկապիտալիմեծություն: Այս դեպքում 8-ն կարելի է ռրոշել ԹՀ1/(1ԷԹ՞) բանաձնով, ռրտեղ Ք՞-ըշահուէ: թադրույքի մեծությունն Ոչ զրոյական շահութադրույքիդեպքում, երբ 8-0 կստանանք 0 Հ Թ ՀԼ: Գործույթներիհետազոտմանշատ խնդիրներում8-ն մեկնաբանվումէ ճան որպես եկամուտներիկուտակմանգործընթացիշարունակմանհավանականություն:Այս դեպքում (1-/)-ն հավասարէ մեկ քայլում գործընթացի դադարեցման (խզման) հավանականությանը:Նշված մեկնաբանությունները բացահայտում են վերագնահատվածեկամուտներով ն կլանման վիճակով գործընթացներիընդհանրությունը:Երկու խնդիրներինէլ յուրահատուկ են հետնյալ առանձնահատկոթյունները. Որպես նպատակային ֆունկցիա օգտագործվում է գումարային միջին եկամուտներիվեկտորը: Գումարայինմիջին եկամուտներըսահմանափակեն: Եթե "(ո,8)-ով նշանակենք 1 սկզբնականվիճակիցշղթայի ռ անցումներից հետո սպասվող գումարային միջին վերագնահատվածեկամուտը, ապա, (1.1)-ի նմանությամբ, Ճ(ո,8)--իհամար կարելի է գրել եկամուտների հաշվեկշռի անդրադարձհավասարումը՝ »

(ութ)

Ց քյմ(ո-ՆթԹ),

է,

ո-Ն2»3...:

(1.10)

Հայտնի է, որ ո-ի մեծ արժեքների դեպքում գումարային միջին վերագնահատված եկամուտները սահմանափակ են: Հետնաբար, Ճ(ո,/)-ի համար (1.10)-ից, երբ ո--»»», կստանանք՝

"(Թ-նոպ(ութ), Ո--«օ

6-քբ,

րու). «(Թ-ոՒԲ յ-

է:

(4.1)

ԵկամուտովՍարկովիշղթաներ ն կիսամարկովյանգործընթացներ

Այստեղ .(3)-ով նշանակված է 1 սկզբնական վիճակի դեպքում սպասվող գումարայինմիջին վերագնահատվածեկամուտը: Նշանակենք «(Թ) ((Թ,"շ(Թ....,7«(Թ))-ով գումարայինմիջին վերագնահատված եկամուտների վեկտորը: Հետնաբար, (1.11) համակարգը վեկտորականտեսքով կգրվի՝ -

«(3

որտեղից հետնում է`

Թ6(Թ,

"«(Թ- (Էթթ)

ւ:

Այստեղ 8Ք-ն`մի մատրից է, որն ստացվում է Ք-ից նրա բոլոր տարրերը Թգործակցովբազմապատկելով: Հեշտ է նկատել, 0Ք անցումայինմատրիցին կլանմամբՄարկովիշղթաԻ՛ յի անցումային մատրիցիընդհանրությունը:Իսկապես, քանի որ 0 Հթ Հ1, ապա վերագնահատմամբՄարկովի շղթայի անցումային մատրիցի ցանկացած տողի համար ճշմարիտ է հետնյալ անհավասարությունը.

2.98Հ1,

16Է:

Հետնաբար կարելի է ասել, որ Թ եկամուտների վերագնահատման գործակցով ն Ք մեկ քայլում անցումների մատրիցով վերագնահատմամբ Մարկովի շղթային համապատասխանում է ԹՔ անցումային մատրիցով կլանմամբ Մարկովիշղթա: Այս դեպքում Մարկովիշղթայի յուրաքանչյուր 1 վիճակումկլանման հավամականությունըհավասար է (1-Թ)-ի: Լ2

Եկամուտներովկիսամարկովյանգործընթացներ

Դիցուք` տրված են Հ(Ս կիսամարկովյանգործընթացի (ԿՄԳ-ի) բոլոր տարրերը՝վիճակներիԷՀ (1,2....,ԻՄ բազմությունը, կիսամարկովյան Օ(Ս (0) ն մատրիցը սկզբնականբաշխման թ"-(քյ,քչ,....քե)վեկտորը: -

Ինչպես հայտնի է, Օ(ւ) մատրիցի տարրերը բավարարումեն հետնյալ պայմաններին. Թե, 168, Չ.(-Ֆ8,-1,. (0-0, ԲԲ

որտեղ թյ» Օ(»)-ին ճերմուծված Մարկովի շղթայի մեկ քայլում վիճակից յ վիճակ անցման հավանականություննէ: Նշանակենք՝ ԿԳՄ

էե(Ս

2.Օյ(0 -ով, ՀՔ յ

ԿԳՄ-ի 1 վիճակում մնալու ժամանակի բաշխման ֆունկցիան, իսկ նրա միջին արժեքը՝ դ

Հ Բ: Հ/Ա-ԱԼԸ)Կւ-ով,

Դիտարկենք ԿՄԳ-ներում եկամուտների կուտակման հետնյալ կագտնվում է 1 վիճակում: Այդ վիճակում մնալու

ռուցվածքը: Դիցուք` ԿՄԳ-ն

Ճա.

Ռրոշչումներիկայացման Սարկովյանգործընթացներ

ժամաճակի մեկ միավորի համար ստացվում է դ եկամուտ: է ժամանակի ընթացքում ստացված եկամուտներըկարելի է նկարագրել ճ(1) կուտակման գործընթացիօգնությամբ` ւ

(Հս),

օ(0-

որտեղ՝ 7(Հ(ս))-ղ, եթե ժամանակի պահին ԿՄԳ-ն գտնվում է 1 վիճակում: Նշենք, ռր Օ(Ւ-ն ամեն մի 4-ի համար պատահականմեծություն է: Մենք կհետազոտենք Օ(0-ի միջին արժեքը, այսինքն` է ժամանակի ընթացքումկուտակված գումարայինմիջին եկամուտը: Պ(Ս-ով նշանակենք ճ()-ի միջին արժեքը, այսինքն` է ժամանակի ընթացքում կուտակվածգումարայինմիջին եկամուտը,պայմանով, որ 4 0 սկզբնական պահին ԿՄԳ-ն գտնվել է ւ, 165. վիճակում: 7(Չ-ի համար կարելի է գրել հետնյալ վերականգնմանհավասարումները. ս

(Հ

Ա-ՔԼԱ(ՑյեոՒ

|»

քԲօց

ԿԱ-:»:490.2,6525.

(12)

Հավասարումներն ստացվում են ԿՄԳ-ի առաջին թռիչքի պահի հետազոտմամբն հետնյալ դատողություններիմիջոցով: առաջինթռիչքըտեղի Առաջինգումարելինստացվումէ, եթե գործընթացի ունենա ժամանակիէ պահից հետո, այսինքն՝ գործընթացը մինչնժամանակի է պահը սկզբնական 1 վիճակում մնա 1-ՒԼ() հավանականությամբ:Այդ ժամաճակահատվածումստացված միջին եկամուտը հավասար է Էղ-ի: Երկրորդ գումարելին ստացվում է ԿՄԳ-ի համասեռության ն մարկովյան հատկություններիու լրիվ հավանականություններիբաճաձնիօգնությամբ: Դիցուք` ԿՄԳ-ի առաջին թռիչքը տեղի է ունեցել » («ՀՍ պահին, ն գործընթացը1 վիճակիցժՕ.(2) հավաճականությամբանցել է ) վիճակ: Գումարային միջին եկամուտը այս դեպքում հավասար է ո-ի ն ) սկզբնական վիճակից Է ժամանակահատվածում կուտակված գումարային 7(է-) միջին եկամուտների գումարին: Պարզ ձնափոխություններից հետո (1.12) հավասարումըկարելի է բերել հետնյալ տեսքի. Հի: աթ» Բո-49109:ո-/1-1Ն0)4., ԲԵ

(113)

Վերականգնման հավասարումների լուծումների ստացման համար օգտագործվումէ Լապլաս-Ստիլտեսի ձնափոխությունը: Կատարենք հետնյալ նշանակումները.

Չ(ՏՀԱ6"ԺԿ(Ծ, 86)Հ15"49,(9.հեչ

Թ(-«6-հ6), 8-խյցի,

Հե

աօտ

մ.

ԵկամուտովՍարկովիշղթաներ

թյ(5) Թթ6)Հ|:

Դ)

ԽՏ)Հ|

ԱԱ)

կիսամարկուլյանգործընթացներ

Թո)

Անցնելով (1.13) հավասարումներում ըստ Է փոփոխականի ԼապլասՍտիլտեսի ձնափոխությանը կստանանքհետնյալ հավասարումները. (5), 16է, (1.14) Կ6)ՀԹ6)Բ: որը վեկտորական տեսքով կգրվի՝ (5) Թ6) Կ6)ջ6):

2."698

Այստեղիցորոշում ենք հավասարումներիհամակարգիլուծումները՝

26) -ԱՒԱՐ)66)),

26) -Ա-869-

-ը՝ վերականգնմանմատրիցնէ` որտեղ Խ1(5)

Խ(5)-01-6--Է

Հայտնի է, որ վիճակների վերջավորբազմությունովէրգոդիկԿՄԳ-ների համար, Տ--»0-իդեպքում (5) -երը թույլ են տալիս հետնյալ վերլուծությունը. 00), «ւ

«ՀՏԿ

«Բ:

Հայտնի է, որ այս հավասարումից, երբ 1 -» ստանալ հետնյալ վերլուծությունը.

16Ի:

ՈՕՀՓՒԷԿՀ0Ա)

Այստեղ "-երը կշռային գործակիցներ են, ջ-ն սպասվող ստացիռնարմիջին եկամուտն է՝

(0-ի

(1.15) միավոր ժամանակում

| թյ.

Քոռ

Օ.16)

(ՀԷ

համար կարելի է

որտեղ (Թ.,16Ք)-ն ներմուծված Մարկովիշղթայի ստացիոնարբաշխումն է` թ

2,ԹյթյԲԷ,2,6:-|:

Դիցուք` 7-ն ԿԳՄ-ի վիճակում գտնվելու ստացիոնար հավանականությունն է: ջ գործակցիհամար (1.15) բանաձնից կստանանք` :

ջ-Ֆող,ոչՀ-ՔԻ Հէ

«է

Թյոյ

բր:

Օպտիմացման խնդիրներում ջ գործակցի որոշման համար գործվում է ճան հավասարումներիհետնյալ համակաըգր. դյ

Հ Կ

Հող,

Ֆքլմյ,

օգտա-

2.17)

161:

Բէ

Քանի

ռր, (1.17) Ւ հավասարումների համակարգր պարունակում է անհայտներ՝ք, յ, Ճշ,...,ՄԽ» ապա Ք-ի որոշման համար ընդունվում է, որ կշռային գործակիցներիցմեկր, օրինակ «բ-ր, հավասար զրոյի: Ւ|

Որոշումներիկայացման Սարկովյանգործընթացներ

Դիտարկենք կլանման վիճակներով եկամուտներովԿՄԳ-ները: Այս գործընթացներում հետազոտվում են մինջն կլանման պահը կուտակված գումարայինմիջին եկամուտները: 1 վիճակը Դիցուք` Է-|1,2,....Ի. վիճակների բազմությունովԿՄԳ-ում միակ կլանման վիճակն է: «(Ս-ով նշանակենք մինչն կլանման վիճակ անցնելը է ժամանակում կուտակված գումարայինմիջին եկամուտը, պայմանով, որ Է-0 սկզբնական պահին ԿՄԳ-ն գտնվել է 1, 15 (2,3.....Վ) վիճակում: «(Ս-ի համար (1.12) հավասարումներինմանությամբկստանանք`

«Ս-ՖԽՍՃ-»40,62):ո/0-ՆՅ.,Է23..:

(118)

Քանի որ, դիտարկվողԿՄԳ-ներում վերջավոր ժամանակում մեկ հավանականությամբկլանման 1 վիճակը հասանելի է ցանկացած 1 վիճակից 16 (2,3,...,.ԻՄ,ապաԷ-»»«« դեպքում«.(0-երի համարգոյություն ունեն`

1--2,3,...Վ

-հո(Ս,

սահմանները: Հետնաբար, (1.18)-ումանցնելովսահմանի,երբէ-»»օ, կստաճանք՝ Վ

ոտ

Կ-

Ֆյքլ, Էշ

1-2:3,....Վ:

1.19)

Կատարելովհետնյալ նշանակումները՝ 127)շ

Մշ ,

|Ծ

Դո

Իդ

ՄԱՆ

0.19) հավասարումներիհամակարգըկարելիէ գրել վեկտորականտեսքով՝ ԿԻ ՔՊ՛, (1.20) Ւ՛-ն՝ որտեղ կլանմամբ ԿՄԳ-ի ներմուծված Մարկովիշղթայի անցումային մատրիցն է, իսկ ո՛-ը ւ վիճակում ստացվող միջին եկամուտն է: Համեմատելով (1.9)-ը ն (.20)-ը, դժվար չէ համոզվել, որ կլանման վիճակներով Մարկովի շղթաները ն ԿՄԳ-ները նկարագրվում են նույն հիմնարար հավասարումներով:

ԵկամուտներիվերագնահատմամքԿՍԳ-ներ

Այսպիսի ԿՄԳ-ներում ընդունվում է, որ եկամուտներիվերագնահատումը իրականացվումէ ցուցչային օրենքով, որի պարամետրըհավասար է Զ-ի: Դա նշանակում է, որ եթե ժամանակի որնէ պահին ստացվում է միավոր եկամուտ, ապա է ժամանակից հետո այդ եկամուտըկարժենա ա միավոր: Թ գործակցի նմանությամբ Օ մեծությունը կարելի է մեկճաբամճել նան որպես գործընթացիխզման (կլանման) հաճախություն, այսինքն` 4է տնողությամբ փոքր ժամանակահատվածումգործընթացիխզման (դադարեցման) հավանականությունը հավասարկլինի ՕՎ-ի:

մ.

ԵկամուտովՄարկովիշղթաներն կիսամարկովյան գործընթացներ

ԵկամուտներիվերագնահատմամբԿՄԳ-ներում սովորաբար հետազոտվումէ վերագնահատվածգումարային միջին եկամուտը: Դիցուք` «.(3-ն` է ժամանակի ընթացքում ստացված գումարային միջին եկամուտնէ, պայ-մանով, որ սկզբնական է-0 պահինգործընթացըգտնվել է 1 վիճակում, իսկ 7լ(Օ) -ն ռ դրույքով վերագնահատված գումարային միջին եկամուտն է, պայմանով, որ սկզբնականԷ-0 պահին գործընթացը գտնվելէ 1 վիճակում: Ինչպես արդեն նշվել է, վերագնահատման Ճ. դրույքը կարելի է դիտել որպես եկամուտներիկուտակմանգործընթացիխզման հաճախություն: ՞Նշանակենք՝

(6) Այստեղ 7. (..)

-ն

6.0),

168:

կարելի է մեկնաբանել որպես 1 սկզբնականվիճակից

մինչնգործընթացիխզմանպահը կուտակվածգումարայինմիջին եկամուտ: կստանանք՝ Տեղադրելով (1.15) հավասարումներում Տ5Հ-Օ-ի,

(0)-ՀԱ-ե(օ)): Օ Այստեղ

8յ(.)-նն հւ(6)-ն

Ֆ5.(6)4/(օ),

(1.22)

համապատասխանորենՕ,՛(1 ն ԷԼ(0 ֆունկցիա-

ճերի Լապլաս-Ստիլտեսիձնափոխություններնեն են հետնյալ հավասարությունները.

հ,(0)-

«Ք:

չոյօ)- չ

5-6

կետում: Ճշմարիտ

/Թ-«ՀՕ,0Ժ,68:

ԹԵ0Ց

Վեկտորականտեսքով (1.22) հավասարումը կգրվի՝ (6) Թ(.)Տ(6)(0), -

որտեղից`

««)-Ա-80623)-

2(օ0)-0Ա4Ա(3))

20):

(1.23)

(1.24)

Սա եկամուտների վերագնահատումով ԿՄԳ-ների հիմնարար հավասարումն է գրված Լապլաս-Ստիլտեսի ձնափոխության տեսքով: Այսպիսով, ինչպես կլանմամբ ԿՄԳ-ներում, եկամուտների վերագնահատմամքգործընթացներումնս կուտակված գումարային միջին եկամուտները վերջավոր են ն որոշվում են գծային հավասարումներիհամակարգից: Նշենք, որ (1.22) հավասարումներում անցնելով սահմանի, երբ Օ-50, էրգոդիկ ԿՄԳ-ներից կարելի է ստանալ մեզ արդեն հայտնի 7(ճա)-ի

ասիմպտոտականվերլուծության բանաձնը՝

(Ա)

մՀ«0Ա),ճէ:

(125)

Այստեղ ք-ն միավոր ժամանակում ստացվող ստացիոնարմիջին եկամուտնԷ:

21.

Որոշումների կայացմանՍարկովյանգործընթացներ

Եկամուտներովգործընթացներում դիտարկվումեն եկամուտներիձնավորման տարբեր կառուցվածքներ: Օրինակ` Մարկովի շղթաներում եկամուտները կարող են ստացվել ինչպես որնէ վիճակում գտնվելու համար, այնպես էլ այդ վիճակից որնէ այլ վիճակ անցնելու համար: Այս դեպքում ցանկացած 1 վիճակի հետ կապվածլրիվ գումարայինեկամուտըհավասարէ՝

ը -ո

Հոդ

ԿՄԳ-ներում դիտարկվում է ճան եկամուտներիմեկ ուրիշ, ավելի ընդհանուր կառուցվածք: Եթե գործընթացըգտնվում է 1 վիճակում, ն նրա հաջորդ վիճակը)-ն է, ապա ստացվում է մի եկամուտ, որի մեծությունը որոշվում է տրված Ք.(վք ֆունկցիայով: Այստեղ 4-0 1 վիճակում մնալու պատահական ժամանակն է, իսկ է-ն 1 վիճակ ընկնելու պահից անցած ժամանակն է, որտեղ0 ՀԼՀ շ: Եթե ու(վՕ ֆունկցիան բավարարում է Ք.(0|թ-0, Բ(Աօ-Խյ(ժ պայմաններին, ապա 1 վիճակում ստացված վերագնահատված միջին եկամուտը կլինի՝

5(6)-Ֆ այդ

ԺԲ

|/Թմ.յ2 իզ,

Մասնավորդեպքում,երբ Ք.(4|ք դիտարկվածկառուցվածքը: 2.

«բ:

«ղդ, կստանանքեկամուտներիմինչ.

ԿառավարվողՍարկովիշղթաներ

Դիտարկենք վերջավոր քանակով վիճակների Ի-(1,2....Ի3 բազՄարկովի շղթան (ԿՄՇ), որմությունով Հ(Օ,Հ(17....,Հ(ո),....կառավարվող տեղ Հ(ո)-ըշղթայի վիճակն է Ժամաճակիո պահին: Շղթայի յուրաքանչյուր 1 վիճակում թույլատրելի որոշումների (այլընտրանքների)քանակը վերջավոր է ն տրվում է Բ -11.2....է:), 16. բազմությունով: ժամանակի ո պահին Քնճարկենք ԿՄՇ-ի վարքը: Դիցուք` ԿՄՇ-ն Ք ն է է գտնվում որոշումը, ապա անկախ 4(0),Հ(1)...., վիճակում ընդունվել Հ(ո-1)-րիցն մինչն ո պահը ընդունվածորոշումներից` 2.1

1. 2.

ը" եկամուտ, անցնում է յ) վիճակ՝ շղթան ւ վիճակից քյ 1): Ե հավանականությամբ ստացվումէ

չբ Ենթադրվումէ,

որ

-Է

ՕՀթյ,

ՆՇք,

Բր,

բոլոր ոճեկամուտճմերը

1-8:

16 Է ն

Բ6

Խ-երի համար սահ-

մանափակեն: Այսպիսով, Մարկովիշղթաների կառավարմանխնդիրը նրա անցումներիպահերինբոլոր վիճակներումորոշումներիընդունմանխնդիրէ:

Կառուցենք Ք.,

ԿառավարվողՄարկովիշղթաներ

ՆԻբազմությունների ուղիղ (դեկարտյան) արտադ-

Բ-ը կոչվում է վարվելակերպերիբազմություն, իսկ րյալը՝ նրա տարրերը՝վարվելակերպեր: Դիցուք` Նն-ը ժամանակի ռո պահին ընդունված վարվելակերպն է՝ ՇաԲ, որի Են) տարրը ցույց է տալիս ո պահին 1 ԵՀ(ԵՌ),ԵՕ)....,ԵՌՉ), վիճակումընդունված որոշումը: 1: Վարվելակերպը կոչվում է ստացիոնար, եթե նրա տարՍահմանում րերը կախվածչեն շղթայի անցումներիթվից: Հետագայում ստացիոնար վարվելակերպըկնշանակենք Բ-(11), (1), ..ք ՌՈ)վեկտորով, որի (ն) տարրը անկախ է անցումների ո թվիցն ցույց է տալիս շղթայի ւ վիճակումընդունված(10)6Ւ, որոշումը, էօ Բ: Այսպիսով ստացիոնարվարվելակերպունեցող ԿՄՇ-ները ռրոշվում են. վիճակների Է բազմությունով, թույլատրելի վարվելակերպերիԻԷ բազմություԲ-Ի

չէշ«...«Ճղ:

Հ (քջ.քջ....,քզ)՝ սկզբնական բաշխման վեկտորով, ո՛- (ո/,ռ....ոլ)՝

նով, քո

վարվելակերպիդեպքում, եկամուտճերիվեկտորով ն թոք վարվելակերպի մատրիցով: դեպքում մեկ քայլում անցումների հավանականությունների Հետագայում կդիտարկենքստացիոնար վարվելակերպ ունեցող կառավարվողՄարկովիշղթաներիվարքը: Քննարկենք եկամուտներիվերագնահատմամբ ԿՄՇ-ներ: Դիցուք՝ Ճ/չ(0-ը քվարվելակերպիդեպքում վերագնահատված գումարային միջին եկամռւտներիվեկտորնէ: 2: Ր վարվելակերպը կոչվում է 8 լավագույն, եթե Թ-ի սնՍահմանում համար ճշմարիտ է եռյալ արժեքի դեպքում բոլոր քՇ ԷԻվարվելակերպերի ք

ՄՏ(Ը)ՀԽ»(Օ

պայմանը: Թեռրեմ 1: ԵկամուտներիվերագնահատմամբԿՄՇ-ների համար գոյություն ունի 8 լավագույն ստացիոնարվարվելակերպ: Լավագույն ստացիոնար վարվելակերպերի որոշման համար կարելի է օգտագործելգծային ն դինամիկծրագրման եղանակները,Հովարդի իտերացիոն ալգորիթմը:Դինամիկ ծրագրմանօգնությամբ խնդրիլուծումը բերված է առաջին հատորում: Այդ պատճառով այստեղ կքննարկենք Հովարդի ալգորիթմըն գծային ծրագրմանխնդիրը: Հովարդիալգորիթմըբաղկացածէ երկու ընթացակարգից:

Կշիռներիռրոշման ընթացակարգ Կամայական թույլատրելի ք(ՇՒ վարվելակերպի համար անհայտների նկատմամբ, լուծվում Է 1.

ԿՀԸ -.

անեն

ՇԷ Շի

ՒԷ

հավասարումներիհամակարգը,որտեղ

էն):

լճշ,...7ո

21.

Որոշումների կայացման Մարկովյանգործընթացներ

Որոշումների լավացմանընթացակարգ Յուրաքանչյուր 16: վիճակի համար Օ(,Ց-ով նշանակենք այն Ք-երի, Ք Բ, բազմությունը, ռրոնց համար լ,Խշ,....Մո-ի առաջին ընթացակարգում որոշված արժեքներիդեպքում ճշմարիտէ հետնյալ պայմանը.

ր"

յ ԷՑջթյ

»սԿյ 168:

Եթե բոլոր 1, 16 Ե վիճակների համար ՕՄ(,8բազմությունները դատարկ են, ապա Էը՝ Թլավագույն վարվելակերպէ: Դիցուք` գոյություն ունի գոնե մեկ 16: վիճակ, որի համար ՕԱ, բազմությունը դատարկ չէ: Նման վիճակների բազմությունը նշաճակենք Է.-ով: Լավացված` Ճ վարվելակերպը կառուցվումէ հետնյալ կերպ. յուրաքանչյուր 16 Է. վիճակի համար «0)-ն` Օն, բազմության կամայական տարրն է, իսկ 12 Ե,-ի դեպքում ընդունում ենք ճՆ)-ք(ո): Օ. վարվելակերպի ձնավորումից հետո կատարվումէ անցում մեկ ընթացակարգին: Քննարկվող խնդրում Թ գործակցի միջոցով ապահովվում է գումարային միջին եկամուտների սահմանափակ լինելը: Թի արժեքի փոփոխությունը հանգեցնում է խնդրի լավագույն լուծումների փոփոխության: Սահմանային դեպքում, երբ Թ-»1, Մյ(ո)-ից ստանում ենք առանց վերագնահատման գումարայինմիջինՄ(ո) եկամուտների վեկտորը՝ Մ(ո)Հ (ո):

լող

Ինչպես է (1.3)-ից էրգոդիկՄարկովիշղթաներում Ճ՛(ո)-ը՝ գումարային միջին եկամուտներիվեկտորը, ո--»օ» դեպքում անսահմանափակ աճում է: Այդ պատճառով առանց եկամուտներիվերագնահատմանԿՄՇներում որպես օպտիմացման չափանիշ (նպատակայինֆունկցիա) օգտագործվում է միավորժամանակում ստացված միջին եկամուտը՝Ք -ը: Սահմանում 3: ք վարվելակերպըկոչվում է լավագույն, եթե Ի բազմության ցանկացածԲԼտարրի համար ճշմարիտ է հետնում

Մ՛ (ո)

Հո)

պայմանը: վերագնահատմանԿՄՇ-ների համար Թեռրեմ 2: Առանց եկամուտների գոյություն ունի լավագույն ք ստացիոնարվարվելակերպ' Լավագույն ստացիոնար վարվելակերպի որոշման համար գծային ծրագրմանխնդիրնունի հետնյալ տեսքը

(9 -Ֆ

ԱՅՅ

ՃԼո՛)-Ֆ

ոյ

դեպքում. հետնյալ սահմանամփակումների

ԵՅՅ

Ֆոյքի 16Է, չ

բե

աա

2:2111-3::

ԿառավարվողՍարկովիշղթաներ

Այստեղ 2,6. -1-ը Սարկովի շղթայի ք վարվելակերպիդեպքում 1 վիճակում 12լ

գտնվելու հավանականությունն է: ալգորիթմըհետնյալն է: Այս խնդրի լուծման Հովարդիիտերացիոռն

Կշիռներիորոշման ընթացակարգ Որնէ սկզբնական 1ԾՔԲ վարվելակերպիհամար ք,խլ,Ճշ,...,ՄԿ.: անհայտների նկատմամբ ընդունելով, որ Կե-0, լուծվում է հավասարումների հետնյալ համակարգը. 1.

Ա-Լ

ԸԼԻԽԿքյ,-12,...Է

ջԻՊ-

Որոշումներիլավացմանընթացակարգ Օգտագործելով թ-ի ն տ-երի ւ-1.2,..., Վ,որոշված արժեքները, յուրաքանչյուր 1ՇԷ վիճակի համար ընտրվում է ՕՈ,Օ բազմության այնպիսի ռ տարր, ՔԸ Բ, որը բավարարում է հետնյալ պայմանին. 2.

ՔՒԿՀ

Կ-|

բրՀ Ֆ քք

-Ն2,.... -

յ-1

ԷԼ

Եթե Օ(,Ռ բազմությունըդատարկէ բոլոր վիճակներիհամար, ապա Էր լավագույն վարվելակերպնէ: Եթե գոնե մեկ վիճակի համար Օ(,Ռ-ը դատարկ չէ, ապա լավացված Զ վարվելակերպըորոշվում է հետնյալ կերպ. ա) Օ(,8Ց,եթե ՕԱ,Օ-ը դատարկ չէ, ն ճՈ)-(0), եթե Օ(,Ռ-ը դատարկ է: Դրանից հետո անցում է կատարվում 1 ընթացակարգինռ սկզբնական վարվելակերպով: Քանի որ դիտարկվող օպտիմացմանխնդրումվարվելակերպերիՔ բազմությունը վերջավոր է, ապա Հռվարդի ալգորիթմովվերջավոր թվով իտերացիաներիընթացքումորոշվում է Ո լավագույնստացիոնարվարվելակերպը: Թեորեմ 3: Եթե որնէ Բ՛Շ Ի վարվելակերպիհամար ճշմարիտ է «Ք

Կ()»ո

«ՔԿ

Բ ստացիոնար վարվելակերպի դեպքում

անհավասարությունը,որտեղ ջ(Ռ-ը մեկ անցման ժամանակ ստացվող միջին եկամուտն է, ապա ք(Ր՛) Հ բ(Ռ: Իսկապես, դիցուք` 7-ն 7(1),/Օ),...7/( ԷՍ)տարրերուվ վեկտոր է, որոշվում է հետնյալ հավասարությունից.

-ո

ՀՔ՛Կ()-ո -թԿԱԸ): է, որ 1/7 վեկտորը բավարարում է

որը

7/0 պայմա3-րդ թեորեմից հետնում նին: 7/»0 անհավասարությունընշանակում է, որ 7՛ վեկտորի բոլոր բաղադրիչները մեծ են 0-ից: Երկու Ր ե (՛ վարվելակերպերի համար ճիշտ են հետնյալ հավասարումները.

ԷԽ(Դ-ո

ջ(ՈՒՒԿ(Ց

ՔԸ),

ԳԲԽ(8:

(2.2) (2.3)

Ճ/.

Որոշումների կայացման Մարկովյանգործընթացներ

(Տես. Հովարդի ալգորիթմի 1 ընթացակարգում),որտեղ 1-ն՝ մեկերից բաղկացած վեկտոր սյունակ է: Սռաջին` (2.2) հավասարումից հանելով երկրորդը` (2.3)-ը, ն կատարելով հետնյալ նշանակումները. ճ8 9(Է7- 8(ծ, ՃՄՃ Մ(Է3-Մ(Ց, Հ

կստանանք՝

(ձջ) ԼԷՃԾ /ԴՔՃՄ: (2.4) Հավասարման երկու կողմերը ձախ կողմից բազմապատկելովԿՄՇ-ի ստացիոնարբաշխման Ք(Ց վեկտորովկստանանք` (2.5) ճջ 0(0(ձջ)ԼՀ Բ(87, քանի որ ըստ ք(Ց վեկտորիսահմանման` "(0- (06, -

չ.(-Լ:

:։

Եջե երկու ընթացակարգում որնէ 1 վիճակի համար Օ(.,9 բազմությունից ի հայտ են գալիս մեկից ավելի թույլատրելի որոշումներ, ապա լավացնող վարվելակերպնընտրվում է հետնյալ պայմանից. պ-1

լո՞Հ Ֆքյմյ1-»ոու: ւ

ՍկզբնականԲվարվելակերպն ընտրվումէ ո" -» 2.2

տու

պայմանից:

Կլանման վիճակներովԿՄՇ-ների օպտիմացմանխնդիր

Պարզության համար ընդունենք, որ 1 վիճակը շղթայի միակ կլանման վիճակն է: Այս դեպքում բոլոր (6: վարվելակերպերի ն որնէ 1 վիճակի համար ճշմարիտ է հետնյալ պայմանը.

Իք:Հ.

Հետնաբար, դիտարկվող ԿՄՇ-ն

1-28: որնէ 1 վիճակից

քոյ»0

հավանա-

կանությամբ բոլոր վարվելակերպերիդեպքում կարող է ընկնել կլանման 1 վիճակ: Ինչպես եկամուտներիվերագնահատմամբխնդրում,այս դեպքումնս գումարային միջին եկամուտները սահմանափակ են, ն որպես նպատակային ֆունկցիա օգտագործվումէ շղթայի մինչն կլանման վիճակ անցնելը գումարային միջին եկամուտճերի"՛-(Թշ,...,Մի') վեկտորը: Թեորեմ 4: Կլանման վիճակներովԿՄՇ-ների համար գոյություն ունի է լավագույն ստացիոնար վարվելակերպ: Լավագույն ( վարվելակերպի որոշման համար գծային ծրագրման խնդրի նպատակայինֆունկցիան է՝ :

/46Խլ

ֆորմ-5

դեպքում. հետնյալ սահմաճնափակումների

ոու

ԱՌ3

ԿառավարվողՍարկովիշղթաներ

«1-5

(1ւել

քյ»:

՞2,3....

Հ0

ք),

-2։3,...Վ,

ԷՆ(06Ք,

(2.6)

(թյ.....քո)-ն շղթայի սկզբնականբաշխումնէ: ԼավագույնՐ վարվելակերպի որոշման Հովարդի իտերացիոն ալգո-

որտեղ ք"

րիթմը ունի հետնյալ տեսքը: լ. Կշիռների որոշմանընթացակարգ Կամայական(6 Ի վարվելակերպիհամարՃշ,Մ),....7Կ անհայտներինկատմամբ, վերցնելով Ք-10), լուծվում է հետեյալ հավասարումներիհամակարգը.

Ա-ԲՎՖքԽ.

ւթ: ):

Է23,...Վ: »

Որոշումներիլավացմանընթացակարգ Օգտագործելովմեկ ընթացակարգում«.-երի որոշվածարժեքները,յուրաքանչյուր ՒԷ-2,3,....Վ վիճակի համար բոլոր Բճ Բ, դեպքում գտնվում է Օ0,Ռ բազմության այնպիսի տարր, որի համար ճշմարիտ է հետնյալ պայմանը. 2.

-23,...

ԿՀԱՎՏՔԿԽ,

)-2

յ:

Կ:

Եթե Շ0,Ռ բազմությունը դատարկ է, ապա:Բ վարվելակերպըլավագույնն է: Եթե որնէ ւ վիճակի համար ՇԱ, բազմությունըդատալկ չէ, ապա լավացված ճ վարվելակերպը կառուցվում է հետնյալ կերպ. ճն): Օ6,Ռ՝ եթե ՕՈ,Ո-ը դատարկ չէ, ն Օն-քն) եթե Օ0,Դ-ը դատարկ է: Այնուհետն կատարվում է անցում առաջին ընթացակարգինՕ սկզբնականվարվելակերպով: Օրինակ 1: Դիցուք` կենտրոնականբանկը արտարժույթի ներարկումների օգնությամբ աշխատում է պահպանել դրամի փոխարժեքը նախօրոք

որոշված տիրույթում: Դրա համար փոխարժեքիփոփոխմանամբողջ տիրույթը բաժանվում է ԲԷ) չհատվող վերջավորթվով մասերի (վիճակների)՝ ԷՀ 10.1....,8), որտեղ 0 վիճակին համապատասխանումէ դրամի փոխարժեքինվազագույնարժեքը, իսկ 1Ճ-ին` սահմանային (առավելագույն) արժեքը: Դրամի փոխարժեքի չափումները կատարվում են ժամանակի հավասար հատվածներից հետո Շ0,1,2,... պահերին՝ օրինակ` օրը մեկ անգամ: Չափումների արդյունքում որոշվում է փոխարժեքի վիճակը` ձ-ն: Ժամանակի ընթացքում փոխարժեքների ծ., -0,1,2,... հաջորդականությունընկարագրվումէ Ք(ձ.յ-)ե-1)-թյ. յՀ Է ստացիոնարանցումներիհավանականություններովՄարկովիշղթայով. Հյ, քյշ0, 1յՇ Է: ՛

2թ,

Ժամանակի յուրաքանչյուր ԺԷ0.1,2.... պահի չափումների արդյունքով կենտրոնականբանկը դրամի փոխարժեքիկայունացմանհամար րնդունում է ներարկումներկատարելուորոշում: Թ,-ով նշանակենք դրամի փոխարժեքիւ

Ճո.

Որոշումների կայացման Սարկովյան գործընթացներ

վիճակից Տ վիճակ բերելու որոշման հավաճականությունը,պայմանով, որ չափման պլահինփոխարժեքըգտնվել է 1 վիճակում:Ծ., ռրոշումներիհավաճականություններըբավարարումեն հետնյալ պայմաններին. ՆՏՇԲ: (2.7) 5.5. «1, 0շ0, ԵՅՅ

Հաշվի առնելով Ծ. հավանականություններըդրամի փոխարժեքի վարքը ժամանակի ընթացքում կնկարագըրվիզ, ստացիոնարանցումային հավանականություններովէրգոդիկ կառավարվող Մարկովիշղթայով. ի

2:թ.0, ԼւյծԷ: »

Կառավարվող Մարկովի շղթայի ստացիոնար 7, 16Ք հավանականություններըորոշվումեն հետնյալ հավասարումներիհամակարգից. 7.

(ԲԷ, ԱՅՅ

ե:

ոյ

Ւ13

Շղթայի յուրաքանչյուր վիճակում (դրամի փոխարժեքի համար) Կենտրոնականբանկըկարողէ որոշումընդունել` 1. դրամիփոխարժեքը թողնելդիտարկված1 վիճակում, 2. աարտարժույթի ներարկմանօգնությամբդրամի փոխարժեքը1 վիճակից բերել 5 վիճակ:

Երկրորդորոշմանիրականացումըպահանջումէ որոշակիՆՋծախսեր`

եթե ընդունվել է

ՃԱ1-ՇԹ-ԼՆո-ՅԽ-Լ

Ճ1-Ծո-05-ն

որոշումը՝կատարել

արտարժույթիկանխարգելիչներարկում, ընդունվելէ որոշումը՝ կկատարե եթե թեընդունվել էՔՔորոշումը՝ րել

արտարժույթիարտակարգներարկում:

Այստեղ Ճլ-ը արտարժույթի միջին քանակն է, որը ժախսվում է կանխարգելիչներարկմանհամար, իսկ Ճշ-ը՝ արտարժույթիմիջին քանակը, երբ դրամի արժեզրկմանմակարդակը բարձր է սահմանային արժեքից: Կենտրոնականբանկի կողմից ընդունված որոշումներըմեկնաբանվում վիճակներումկանխարգելիչՃլ մեծության ճեհետնյալ կերպ. :-0,8-1 րարկումներիշնորհիվ դրամի փոխարժեքըպահվում է թույլատրելիտիրույթում, 1-Ի վիճակում կատարվում է /2շ, /Ճշջտճլ մեծության արտար-ժույթի արտակարգ ներարկում՝ դրամի փոխարժեքը սահմանային մեծու-թյունից թույլատրելի տիրույթ բերելու համար: Դրամի փոխարժեքի կարգավորմաննուղղված միջին տեսակարար ք ծախսերըորոշվումեն հետնյալ բանաձեով. են

ձշ

Է-15-1

Սուն

Ք-0

ճեմ ՖոՍնր: 0Բ-0

Կառավարման նպատակը կենտրոնականբանկի կողմիցայնպիսի թր որոշումների ընդունումն է, որոնք ապահովեն ք ծախսերի ճվազագույն մեծությունը:լ, որոշումներըպետք է բավարարեննան (2.7) պայմաններին:

ԿառավարվողՄարկովիշղթաներ

Կատարելովհետնյալնշանակումները՝ Ճր- Ծր, 01/42, գծային համապատասխան խնդիրըկձնակերպվիհետնյալ կերպ.

(/Ճ.)-

ծրագրման-»ոռ,

չուչ2ՖՀոր Է-15-1

Ք-0

Հու-Ֆ Հորթ-0,

8-0

-0Է,

:«0Թ-0

ԼՀՈԼՀ

ԻԵ»

-Ա

(00

Գծային ծրագրմանխնդրի շոռ լուծումներից թր տարրերըորոշվում են հետնյալ բանաձնով.

-ճչ/Ֆոո-1. «

Բ,-0,8:

իո

|| որոշումների մատրիցի տարրերը հավասար են 1-ի կամ 0-ի: Եթե Օ.- 1, ապա 1 վիճակումկենտրոճականբանկը ոչ մի ներարկում չի կատարում: Եթե Օլյ- 1, ապա 1 վիճակում անհրաժեշտ է արտարժույթիներարկում կատարել: ք,- 1, 155 տարրերըկազմում են արտարժույթիլավագույն ճերարկման տիրույթը, իսկ այդ տիրույթում ամենափոքրըհամարն ունեցող վիճակին համապատասխանումէ լավագույն ներարկմանՒ մակարդակը: Դիցուք` փոխարժեքի փոփոխման ամբողջ տիրույթը բաժանված է 7 մասի: Իսկ արտարժույթիփոխանակմանդրույքի փոփոխմանվիճակագրությունից Ք |թյ|մատրիցըհավասար է՝ ք

0.02 008

թվ-|005

ֆունկցիան խնդրի նպատակային

Ապա օպտիմացման

է՝

չ». 2»»», հետնյալ խահմանափակումների դեպքում. "20, 15606: 0,- 06, -Հ ուո

յ«Օ5-0

չ»,-

1505-0

ւզ

յՀ

-3».

Հէ,

Է-05-0

Խնդրի լուծման արդյունքումորոշվել են ||| մատրիցի տարրերը, որոնք տրված Ք գործակցիարժեքի դեպքում մինիմացնումեն ներարկվողարտար-

2471 Որոշումների կայացմանՍարկովյանգործընթացներ

ժույթի ծավալները: Եթե թ 0,09, վում է հետնյալ |Ծյ|մատրիցը. Հ

խնդրի լուծման արդյունքում ստաց-

ապա

լ00000 010000 001000 100000): 100000 100000 100000

թյվչ|

Մատրիցի յուրաքանչյուր տող պարունակում է մեկ ոչ զրոյական որի արժեքը հավասար է 1-ի: Միավոր տարրերի մի մասը գտնվում է գլխավոր անկյունագծում, մնճացածները՝առաջին սյունում: Մեկերի առաջին սյունակում գտնվելը ցույց է տալիս արտարժույթիփոխանակմանդրույքի մինչն նվազագույն արժեք իջեցնելու պարտադիրանհրաժեշտությունը, իսկ գլխավոր անկյունագծի վրա` փոխանակմանդրույքի փոփոխմանանհրաժեշտություն չկա: թ պարամետրիտարբեր արժեքների դեպքում լավագույն կանխարգելիչներարկումներիվիճակներըհետնյալներն են. տարը,

ՕՀՔՀՕ,01

0,05-0,08

0,09

0,1-0,2

0,04ՀՔՀ1:

Կառավարվողկիսամարկովյանգործընթացներ

3.1 Դիտարկենք վիճակների վերջավոր Ք-11,2.....ԻՄ բազմությունով կառավարվող կիսամարկովյան գործընթացը (ԿԿՄԳ-ն): Գործընթացի է թույլատրելի որոշումյուրաքանչյուր 16 Է վիճակին համապատասխամում ների (այլընտրանքների)Խ:-11,2....,ե) վերջավորբազմություն: ԿԿՄԳ-ի վարքը նկարագրվում է հետնյալ կերպ: Դիցուք` ԿԿՄԳ-ն գտնվում է 16 Ք վիճակումն կայացվել է ՔՃ 1. որոշումը: Ընդունում ենք, որ՝

վիճակում միավոր ժամանակ մնալու համար ստացվում է ը" եկամուտ. 2. անկախ նախորդ վիճակներում կայացված որոշումներից ն գործլ..

ընթացի նախապատմությունից, նրա հետագա վարքը որոշվում

Գյ (0`ւ

վիճակից ) վիճակ է ժամանակի ընթացքումմեկ քայլում անցման հավամճականություններով,1.,յ6Ք: Ենթադրվումէ, որ

Է՞-երը, ԲԲ

Ք, 16, սահմանափակմեծություններեն:

բազմությունը՝ է-ով նշանակենքԿԿՄԳ-ի թույլատրելիվարվելակերպերի Ւ-ԵլչՀէշ»...2ՉՀ-լ Այստեղ »«-ը դեկարտյան արտադրյալինշանն է:

Կառավարվողկիսամարկույանգործընթացներ

4: (Բ

վարվելակերպը կոչվում է ստացիոնար,եթե յուրաքանչյուր վիճակում ընդունված այլընտրանքը ամբողջությամբ որոշվում է տվյալ վիճակով ն կախված չէ ո՛չ այդ վիճակ ընկնելու պահից, ո՛չ էլ գործընթացի նախապատմությունից,այսինքն՝ գործընթացինախորդվիճակներից, նրանցում մնալու ժամանակներիցն ընդունված այլընտրանքներից: Ստացիռնար վարվելակերպը նկարագրվում է ք-(11),82)....,(Է0) վեկտորով, որի քն) տարրին համապատասխանումէ գործընթացիմ վիճակում կայացված որոշումը՝ 10)6 Ք8.,16Է: Գործնականում քննարկվում են ԿԿՄԳ-երի օպտիմացման խնդրի տարբերդրվածքներ: Օպտիմացմանամեն մի խնդրում օգտագործվում են համապատասխան նպատակային ֆունկցիա ն լավագույն ստացիոնար վարվելակերպիորոնման եղանակ: Ինչպես արդեն նշվել է, եկամուտներիվերագնահատումովն կլանման վիճակներով ԿՄԳ-ներում գումարային միջին եկամուտներըսահմանափակ են, իսկ առանց եկամուտների վերագնահատման, էրգոդիկ ԿՄԳ-ներում՝ անվերջ: Այս պատճառով առաջին տեսակի ԿԿՄԳ-ների օպտիմացման խնդիրներում որպես նպատակային ֆունկցիա օգտագործվում է գումարային միջին եկամուտը, իսկ երկրորդի դեպքում` միավոր ժամանակում ստացվողմիջին եկամուտը: Սահմանում

3.2

Եկամուտի վերագնահատմամբԿԿՄԳ-ների օպտիմացմանխնդիր

Դիցուք` Խ(ռ..է)-ը՝

վերագնահատման գործակցի ն

ԲՐվարվելակերպի

դեպքում գումարային միջին եկամուտների վեկտորն է` Ճ(..8Է) Սահմանում

(է(1.8), (6.8)...

Ա(Շ.),

5:Ր6ՔԲվարվելակերպըկոչվում է

ԷՒ:

լավագույն (ՕՏ 0), եթե

«Հ(ճ.Ր)Հ2(0.0 ցանկացած(Շ վարվելակերպիհամար: Թեորեմ 5: Եկամուտների վերագնահատմամբ ԿԿՄԳ-ի համար գոյություն ունի ստացիոնար Օ լավագույն վարվելակերպ: ռ լավագույն վարվելակերպի որոշման համար օգտագործվում են գծային ծրագրման եղանակը, Հովարդի իտերացյյիոնալգորիթմը ն ղրանց տարբեր վերափոխումները:Դիտարկվող ԿԿՄԳ-ների օպտիմացման համար ձնակերպենք համապատասխան գծային ծրագրման խնդիրը: Պարզության համար դիտարկենքխառը ստացիոնար վարվելակերպերը: Է

-ը՝ Դիցուքժ̀ո" ման

16 Է,

ՀԲ,

գործընթացի | վիճակում Ք որոշման լնդուն-

հավանականություննէ: Պարզ է, որ՝

Տժո 1,

ԱՊ

ճ20,

(ի,

ոօխ:

ՃԱ.

Որոշումների կայացման Սարկովյանգործընթացներ

Կամայական ստացիոնարԲ վարվելակերպիհամար ՃԽ(Զ,է)վեկտորըորոշվում է հետնյալ հիմնարարհավասարումից.

6(օ):

5(6.8-(4-4(3)-

3.1)

ք- (ք,...քա) սկզբնականբաշխմանդեպքումգումարային վերագնահատված միջինեկամտիհամաըկստանանք՝

ք 0.0-թ':0-467-602-

Այստեղ՝

ճ-գ63`

(ԳԲ, ՇԲ, ԲԵՍ)

ֆ.թ ո025Թ:

Հոլ|։

բաշխումն օգտագործելով կամայական ք ստացիո-

նար վարվելակերպիհամար, կստանանքհետնյալ հավասարությունը.

Ֆ Ֆ թյքյ()թյ(օ)4յ,

ք -«(.1-

(3.2)

ԲԷ Բն,

որտեղ՝ ր

52)-Հ-Ա-հր Օ -

Նշենք,

որ

քյ(ռ)

(6),

հր()Հ -

68: Ֆզյ(0), թե -

մեծությունները կախված են

մ"

հավանականու-

թյուններից ն Բվարվելակերպից: Ներմուծելով նոր փոփոխականճեր՝ Հ0, 5) Ֆքշրյ(0)4բ

)օԷ,

«Ք

ք: (Օէ)

-ի համարկստանանք՝

ք -Ֆ2Ռ-ՖՖ

Թ (0):

ԲՆ հհ)

Գումարային միջին վերագնահատվածեկամուտներըմաքսիմացնողՕՕ լավագույն ստացիոնար վարվելակերպի որոշման գծային ծրագրման խնդիրըձնակերպվումէ հետնյալ կերպ.

5 Ֆ

Բե բՀեյ

Թ (յ

-»ոճ

հետնյալ սահմաճափակումներիդեպքում.

ջո -Ֆ

Ք-եյ

6ք

Բեր

ՎԱ)

1120,68,

քյ,

ոն,

ոօթլ

դրականեն, ապա գոյություն ումի գծային ծրագրման քջ-ները խնդրի չխառնված հենքային լուծում` «բ-ը հավասար է 0-ի կամ 1-ի: Եթե «Հ |, ապա Ր լավագույն ստացիոնարվարվելակերպումԲ()- Բ-ի: Եքե բոլոր

Կառավարվողկիսամարկովյանգործընթացներ

Դիտարկված ԿԿՄԳ-ում լավագույն վարվելակերպիորոշման համար օգտագործենք նան Հովարդի իտերացիոն ալգորիթմը, որը բաղկացած է հետնյալ երկու ընթացակարգերից. 1. Կշիռներիորոշման ընթացակարգ Կամայական ստացիոնար 156Բ սկզբնական վարվելակերպի ն զ գործակցի տրված արժեքի համար "լ,"շ,...,ի անհայտների նկատմամբ լուծվում է հավասարումներիհատնյալ համակարգը.

"Հ Թ

(0)

Ֆզլ(օ)։յ,

68,

որտեղ Ք-ը համապատասխանում է ընտրված Ր վարվելակերպին` Ք-10),

այսինքն` Տվեկտորի1-րդտարրին: 2. Որոշումների լավացման ընթացակարգ Օգտագործելովյ,Կշ,...,Կպ-երի որոշված արժեքները, յուրաքանչյուր Լ, 16 Բ վիճակի համար գտնում ենք ՕՈ,Ց բազմության այնպիսի Ք տարր, որի համարճշմարիտ է հետնյալ անհավասարությունը.

Թ"(ռ)

թամ

Հլ

Եթե Օ(,Ց բազմությունը բոլոր 1-երի, 16Բ համար դատարկ է, ապա Բ վարվելակերպըհամարվում է Օ.լավագույն:.Եթե գոյություն ունի գոնե մեկ ԼՔ վիճակ, որի համար ՇՈ,Ք բազմությունը դատարկ չէ, իսկ Ե.-ը բոլոր այդպիսի վիճակներիբազմությունն է, ապա լավացված ՛/ վարվելակերպը ձնեավորվումէ հետնյալ կերպ. 71): Օ0,Ծ, երբ 16 Է., ն 7Ը)-10), երբ 10 Է.: Այնուհետն 7-ն ընդունելով որպես սկզբնականվարվելակերպ,անցնում ենք մեկ ընթացակարգին:

Սովորաբար սկզբնական

վարվելակերպնընտրվում

Թշ(Օ), 66

գործակիցներիմաքսիմացմանպայմանից: Քանի որ ԿԿՄԳ-ի վարվելակերպերի Բ բազմությունը վերջավոր է, ապա ալգորիթմը վերջավոր թվով քայլերից հետո որոշում է խնդրի Օ լավագույն լուծումները: Եթե ալգորիթմիերկու ընթացակարգումմի քանի վարվելակերպերեն բավարարումօպտիմացմանպայմանին`

Հ ոոչլթ'(օ)զ.(օ):2(6.0),

Չ(6.Ր")

ապա

նրանք բդլորն էլ

լավագույն են:

Առանց եկամուտիվերագնահատմանԿԿՄԳ-ների օպտիմացման խնդիր

Ինչպես արդեն նշվել է, այս դեպքում որպես նպատակային ֆունկցիա օգտագործվում է միսվոր ժամանակումստացվող միջին ստացիոնարեկամուտը` Ք-0ն: «(ԵՌ-ով նշանակենք ք վարվելակերպիդեպքում է ժամանակի րնթացքում ստացված գումարային միջին եկամուտների վեկտորը՝

ալ.

Որոշումներիկայացման Սարկովյանգործընթացներ

Կ(ԵԹՀԸՈ(ԵՑ.....«Ն0):

Տրված սկզբնական ք" -(քյ...,քի) բաշխմանդեպ-

քում դիտարկենքհետնյալ սահմանը՝

(0-նտ

«(ԵԾ ՛

որտեղ ք(Ծ-ը՝ ք վարվելակերպի դեպքում միավոր ժամանակում ստացվող

միջին եկամուտն է: ջ(Ք-ը հավասարէ՝ :«0-

թութքոո. Է

որտեղ Ք(Ծ-(թ(8....,Ք.(Թ)-ն՝

Տ-10)

Բ,

Րվարվելակերպիդեպքում ԿԿՄԳ

Մարկովի շղթայի ստացիոնար բաշխումն է, իսկ

դլ՝

-ըն

(33)

ԹԻ,

ո"

ներմուծված

-ը

համապա-

տասխանորեն ՐԲ վարվելակերպի դեպքում ԿԿՄԳ-ի )-վիճակում մնալու միջին ժամանակը ն այդ վիճակում միավոր ժամանակում ստացվող եկամուտն են: Բ(Բ վեկտորի տարրերըորոշվում են հավասարումներիհետնյալ համակարգից. (8, «ՀԵ, Ք(0-

20,0)թ,

ձո()-Է Ք(0Հ0,

յ«ի:

04)

Ր վարվելակերպըկոչվում է լավագույն, եթե Բ բազմության ցանկացածքտարրիհամարճշմարիտէ հետնյալ անհավասարությունը. Սահմանում

Կ(ԵՐ)Հ (էք:

Առանց եկամուտներիվերագնահատման,էրգոդիկԿԿՄԳ-ի Թեորեմ համար գոյություն ունի լավագույն ստացիոնար վարվելակերպ: Ք(8-ը մաքսիմացնող ստացիոնար վարվելակերպի որոշման խնդիրը ձնակերպվումէ հետնյալ կերպ. 6:

Հոյ բող-Ֆոո

(.5)

հետնյալ սահմանափակումներիդեպքում`

յետ

թէ

16Է,

2:21122:21:242

Հէ

-0,

(3.5-ը այսպես կոչված կոտորակագծայինծրագրմանխնդիրն է, որը փոփոխականներիփոխարինմամբկարելի է հանգեցնել գծային ծրագրման խնդրի: Կոտորակագծային ծրագրմանխնդրում կատարենքհետնյալ նշանակումները. ՔՔ

ՏՀ0, -ջրուր.

Մր

Բբ

Սեր

6Ք,

Կառավարվողկիսամարկովյանգործընթացներ

ԷԲ

-|լ:

Այստեղից՝գծային ծրագրմանխնդիրը կձնակերպվիհետնյալ կերպ.

ԻՈ

-»

ոու,

Բ.

հետնյալ սահմանափակումներիդեպքում. Մ"

Ն"

--Ֆ-Յ-Ի՝0, դ` չող է

ԿՃՀ0,

չ.

Ք.

(.6)

լ6Բբ,

Բախ, օբ:

Քննարկենք լավագույն ստացիոնար վարվելակերպերիորոշման Հովարդի իտերացիոնալգորիթմը: 1. Կշիռներիորոշման ընթացակարգ Որնէ ԲԹՔԲսկզբնական ստացիոնար վարվելակերպի համար ընդունեԽի--Օ ք,Կլ,Պշ,....ՄԵլ անհայտների նկատմամբ լուծվում է հավասալով

րումների հետնյալ համակարգը.

Խ-լ

ՀՌ"

ղք

)51

քյ,

Ք-11)6 Է,

1-12,...

ԷԸ

Որոշումներիլավացման ընթացակարգ Օգտագործելով«.-երի ն ք-ի որոշված արժեքներըյուրաքանչյուր 1, (6 Է վիճակի համար, գտնվում է ՕՈ, բազմության այնպիսի տ տարրը, որը բավարարում է 2.

Վ-1

2,թյ -խԽ1 անհավասաըությանը: Եթե բոլոր վիճակների համար Օ(,Օ Ր Ք

ՀԼ" (դո)

բազմությունը դատարկ է, ապա վարվելակերպըլավագույնն է, իսկ ջ-ն միավոր ժամանակում ստացվող միջին եկամտիառավելագույն արժեքն է: Եթե որնէ 1, 16 Ք վիճակի համար ՕՄ(,Օ-ըդատարկ չէ, իսկ Է,-ը այդպիսի ւ վիճակների բազմությունն է, ապա կառուցվում է լավացված Փ վարվելան ՓԱ)-(0), կերպը` Փ(): Շ(,9, երբ )6։, երբ Օ(0,Ց-ը դատարկ է, Բ Է,: Այնուհետն անցում է կատարվումմեկ ընթացակարզինՓ լավացվածսկզբնական վարվելակերպով: Հովարդիալգորիթմիցլավագույն ստացիոնարվարվելակերպըգտնվումէ վերջավոր թվով քայլերից հետո: Եթե գոյություն ունեն օպտիմացման պայմանին բավարարող մի քանի վարվելակերպեր՝ Ծր Ք բ. ւք դ

ս,

ուլ,

ԷՖ ի

թյմյի

նրանցից յուրաքանչյուրը լավագույնն Լ նակում ստացվող նույն միջին եկամուտը: ապա

1ՇԷ,

բերում է միավոր ժամա-

221.

3.4

Որոշումներիկայացման Սարկովյանգործընթացներ

ԿլանմամբԿԿՄԳ-ներ

Ինչպես արդեն նշվել է այդպիսի ԿԿՄԳ-ների օպտիմացմանխնդիրը է եկամուտների վերագնահատմամբԿԿՄԳ-ների օպտիմացման խնդրին: Երկու խնդիրներում էլ գումարային միջին եկամուտները վերջավոր են ն նրանց օպտիմացման համար օգտագործվում են նույնատիպ նպատակային ֆունկցիաներ: Պարզության համար ենթադրենք, որ ցանկացած Ր վարվելակերպի, ք: Բ դեպքում 1 վիճակը ԿԿՄԳ-ի միակ կլանման վիճակն է: Գործընթացի կլանման վիճակը հասանելի է ճրա ցանկացած վիճակից ցանկացած (6Բ նման

վարվելակերպի դեպքում:

ք" -(թչ,.,.քի) սկզբնական բաշխման դեպքում

մինչն կլանման պահըստացված գումարայինմիջին եկամուտըհավասաըէ՝

քԽ՛--

որտեղ Ք՛-ը՝ Այստեղ՝

ԿՄԳ

քոխ՛,

ներմուծված Մարկովի շղթայի անցումնայինմատրիցն է:

(շդշ,. յԱՂԾ,

Խ՛-

(Ճշ,..ՄԱ) :

գոյություն ունի լավաԹեղրեմ 7: Կլանման վիճակներով ԿԿՄԳ-ում գույն ստացիոնարվարվելակերպ: Դիտարկվող ԿԿՄԳ-ների օպտիմացմաննպատակնէ գտնել ք"7-ը Ր ստացիոնարվարվելակերպը: մաքսիմացնող Եկամուտների վերագնահատմամբխնդրի նմանությամբ դիտարկենք կլանմամբԿԿՄԳ-ի գծային ծրագրմանխնդիրը՝ Վ

Ֆ. Ֆ

Էշ Քօրյ

ղյդոյ ոո

3.7

հետնյալ սահմանափակումներիդեպքում` Վ

չ"-ՖՖ 51714 քյ» -քլ ոյ20, օյ

Բ6թ, )-2:3....Կ:

խնդրում նս լավագույն վարվելակերպիորոշման համար կարող է օգտագործվելՀովարդի իտերացիոն ալգորիթմը: 1. Կշիռներիորոշման ընթացակարգ ԱնԿամայական (ՇԷ սկզբնականվարվելակերպիհամար Ճշ,7),...,Մկ հայտների նկատմամբլուծվում է հավասարումներիհետնյալ համակարգը. Նշենք,

որ այս

«ղդ

ֆքյմյ, )-2

023...ԻՌ:

Ռրոշումներիլավացմանընթացակարգ որոշված արժեքները յուրաքանչյուր Ն Օգտագործելով -երի 16 12,3,....ԷՌ վիճակի համար գտնվում է ՇԱ,Օ բազմության այնպիսի ոռ տարը, որի համար ճշմարիտէ հետնյալ անհավասարությունը. 2.

տչ.

ոդ

քլ ոշ":

ՍՀ.

ԿառավարվողՍարկովիշղթաների ն ԿՄԳ-ների խոշորացումը

դատարկ է, Եթե Օ(,Ծ բազմությունը բոլոր 1-երիհամար, 16 (2,3,..., է: ապա վարվելակերպըլավագույնն Եթե գոնե մեկ վիճակի համար Օ1Մ,Ծ բազմությունըդատարկ չէ, իսկ ՔԲ.-ըբոլոր նման վիճակներիբազմությունն է, ապա լավագույն1՛ վարվելակերպըկառուցվում է հետնյալ կերպ. 7(1)6Օ(.ք, երբ 16 Է, ն 70)6 16), երբ 12 Է.: Այնուհետն ընդունելով-ն որպես սկզբնական վարվելակերպ,անցնում ենք մեկ ընթացակարգին: Սկզբնականքվարվելակերպիվեկտորի 1-րդտարրը ընտրվումէ դր1, ոշչվո՞

02,3...8

պայմանից: Ալգորիթմըվերջավոր թվով քայլերից հետո ռրոշում է մինչն կլանման պահն ստացվող գումարային միջին եկամուտները մաքսիմացնող լավագույն Է ստացիոնարվարվելակերպը: Պլանավորմանանվերջ ժամանակովԿԿՄԳ-ների ն ԿՄՇ-ների օպտիմացման խմդիրներումհիմնականում օգտագործվում են գծային ծրագրման եղանակը,Հովարդիիտերացիոն ալգորիթմըն վերջինիստարբեր փոխակերպումճերը:Գործնականխնդիրներիլուծման համար առավել նախընտրելիեն իտերացիոնալգորիթմները: Սակայն իտերացիոնալգորիթմներըթերություններից զեղծ չեն: Նրանց հիմնականթերություններըպայմանավորված են մեծ չափայնությանգծային հավասարումներիլուծման անհրաժեշտությամբ: Նշված ալգորիթմների արդյունավետությունը կարելի է զգալիորեն բարձրացնել օգտագործելով ագրեգավորումը,խոշորացման կամ մասնատման եղանակներնու ալգորիթմները:

Կառավարվող Մարկովի շղթաների խոշորացումը

ԿՄԳ-ների

Գծային ծրագրման, իտերացիոն ալգորիթմների ու դրանց տարբեր վերափոխությունների միջոցով լավագույն կառավարման վարվելակերպի որոշման բարդությունը հիմնականում պայմանավորվում է օպտիմացման խնդրի մեծ չափայնությամբ: Օրինակ` գծային ծրագրման խնդրում հենքային լուծումների որոշման ժամանակ, իսկ Հովարդի ալգորիթմում՝կշիռների որոշման ընթացակարգում, պահանջվում է լուծել կապերի Բ մատրիցով ԻՊչափայնության գծային հավասարումներիհամակարգը: ԿառավարվողՄարկովի շղթաների ն ԿԿՄԳ-ների օպտիմացման խրնդիրների չափի փոքրացման համար կիրառենք մեզ հայտնի խոշորացման ճշգրիտ ն մոտավոր եղանակները:

Ճ/.

4.1

Որոշումների կայացման Սարկովյանգործընթացներ

ԿառավարվողՄարկովիշղթաներիխոշորացում

ԿՄՇ-

բազմությունը,

Բ վարվելա-. Դիցուք` տրված են՝ -ի վիճակներիՁԵ թ՛ ն ո կերպերիբազմությունը, անցումային մատրիցը մեկքայլում սպասվող միջին եկամտի վեկտորը: Պահանջվում է կառուցել խոշորացված ԿՄՇ-ի

բաղադրիչները` Ք լ

(12...

Ե),Ի, Ն

ն՛՛-ը:

ԽոշորացվածԿՄՇ-ի կառուցմանհամարԷ-(1....,ԻՌ բազմությունըտրոհվում է ԽՃ չհատվողենթաբազմություննճերի՝

ՍԿՒԼՆ...Կ),

Բ -

առան

ԵԼՔ,

ե"

ԲՐԵ- Չ, Թ». ՍՔ.-Ք: լ

1 վիճակում թույլատրելի որոշումների բազմությունն է,

Եթե Բ.-ն շղթայի Ւ-ԽլչՀ.շ«...«Ճո-ը` թույլատրելի վարվելակերպերի բազմությունը, խոշորացվածԿՄՇ-ի համար կստանանք՝

ԲԲ

որտեղ

5 ՀԽ

իսկ

ապա

2յ».»8.,

աժե 2Ելչ

ԸԼՆԷ,Բ-ԱՎՈԼ...1):

Բերվածառնչություններիցհետնում

է, որ սկզբնականն խոշորացված ԿՄՇ-ների կառավարմանվարվելակերպերիքանակներըհավասար են, ն սկզբնականշղթայի յուրաքանչյուր ք վարվելակերպինմիարժեքորենհամա-

պատասխանումէ խոշորացվածշղթայի ք վարվելակերպ:

5-(12), Մասնավորապես,եթե Ք-(1,2,3), Էյ-(12), Էշ-(1.2,3), -1ն որտեղ 1 վիճակին համապատասխանումէ Ել-(1,2), իսկ 2-ին՝ Քշ-(3), ապա

Խչ6շ-

(12»(1.2:3)

Ճչ-

((,1,(12,013,0.1,0,2)0,3),

Բյ: Վարվե-

լակերպերի թիվըսկզբնականն խոշորացվածշղթաներումհավասար է 6-ի:

Ընդ որում խոշորացված շղթայի ԷՀ (11) վարվելակերպինհամապատասխանում է սկզբնական շղթայի ք(11:1) վարվելակերպը, ք-(2:17-ին՝ 411:2:1)-ն ն այլն: Հաշվի առնելով 1-ի ն Բի միարժեք համապատասխանությունը, հետագայում ցուցիչներումկօգտագործենքմիայն Ըը: ԱնցնենքխոշորացվածԿՄՇ-ի անցումային 5 մատրիցին մեկ քայլում

միջին եկամուտների 1

վեկտորի որոշմանը: Դիցուք` ք վարվելակերպի խոշորացմանճշգրիտ ալգորիթմովորոշված են խոշո-

դեպքում մեզ հայտնի Շք րացման նՇ՛ մատրիցները՝

«0

--0

աի

Քռ»«0|

109 --0 շուվօ 1-0

ԿառավարվողՍարկովիշղթաների ն ԿՄԳ-ներիխոշորացումը

հետնաբար՝

ՕջԸ՞,

թո

Օր

գ»

Խոշորացվածշղթայի մեկ քայլում ստացիոնարմիջին եկամուտըորոշվում է հետնյալ բանաձնով.

2501:

(4.1)

«Է

Թեորեմ 8: Սկզբնական ն խոշորացված, ԿՄՇ-ների մեկ քայլում ստացված ստացիոնար միջին եկամուտներըբոլոր (ՀԻ վարվելակերպերի համար հավասաըեն`

ջ/ 1 -

Ապացուցում: Ելնելով մեկ քայլում ստացվող ստացիոնարմիջին եկամտի մեծության (4.1) բանաձնից ն սկզբնականու խոշռրացված ԿՄՇ-ների ռընէ Բ վարվելավարվելակերպերիմիարժեք համապատասխամությունից, կերպիհամարկստանանք՝

ց-

Ֆոք/

«բ

Ֆբո ՀԺ: «ֆ ֆժ/տո «ՖՐ թ. 2ոճյ

չ8աբ

Թեորեմ 9: Եթե ՐՇ Ւ-ը խոշորացված ԿՄՇ-ի լավագույն ստացիոնար վարվելակերպնէ, ապա նճալավագույննէ ճան սկզբնականԿՄՇ-ի համար: Ապացուցում:Դիցուք` Ր վարվելակերպըխոշորացված խնդրի լավագույն լուծումն է: Հետնաբար,ցանկացած Ը 16 Բ վարվելակերպիհամար՝

ճը"

-ք»0:

Համաձայն8-րդթեռրեմի՝

Հետնաբար՝

8 «8 նջ -ք։

ձջ-քո-ջ,

ձջ

ձջ»0:

8-րդ ն 9-րդ թեռրեմները թույլ են տալիս սկզբնական մեծ չափայնությամբ օպտիմացմանխնդիրը փոխարինել ավելի փոքր (ցանկալի) չափայնությամբ խոշորացված ԿՄՇ-ի օպտիմացմանխնդրով: Քանի որ ճշգրիտ ալգորիթմը խոշորացման Շ մատրիցի տարրերի որոշման ընթացակարգումպահանջում է հակադարձ մատրիցների հաշվարկում, ապա խնդրի մեծ չափայնության դեպքում դա կարող է հանգեցնել հաշվողական զգալի բարդությունների: Ուստի ավելի նճպատակահարմար է օգտագործել խոշորացման մոտավոր ալգորիթմը, որը հակադարձ մատրիցներիհաշվարկման ընթացակարգերչունի: Դիցուք` սկզբնական ԿՄՇ-ի անցումային թ՛ մատրիցի համար ճշմարիտ է ըստ 6 փոքր պարամետրիվերլուծությունը`

ք. չբ"

(4.2)

Որոշումների կայացման Սարկովյանգործընթացներ

Այստեղ Ք) -ը հիմնային շղթայի բլոկներովանկյունագծային անցումային

մատրիցն է, իսկ :2 մատրիցը ցույց է տալիս հիմնային շղթայի շեղումը սկզբնականից:

վարվելակերպիդեպքում

թ մատրիցըԻ բազմությունը տրոհում է Հ չհատվող Է,, բազմությունների: Ք մատրիցնունի հետնյալ կառուցվածքը.

Քր թ

0...

0 էր

ենթա-

1-1:

0.-թլ

որտեղ Քչ -երը հավանականայինմատրիցներեն:

Եթե

Թ:-ըն Թյլ)-նհամապատասխանորենսկզբնական ն 4-րդհիմնաՔրմատրիցի աջ

յին շղթաների ստացիոնար բաշխումներն են, իսկ 1-ը

սեփական վեկտորն է,

Շչճն Ը: խոշորացման մատրիցները կորոշ-

ապա

վեն հետնյալ կերպ. -(

Թա .

Շ-

որտեղ՝

Ծո)

Այ

ՀԵՐՑ

ԵՑ

ՕՕ

«Փա

թմ-Խ)-0,

1ՀԼՆե,

0»

Ն չ Բաթ"

Ճել

Լ1-Ք)1-0,

.նք,ԹԲ:

Խոշորացված ԿՄՇ-ի համար 5 անցումային մատրիցը մուտների վեկտորը որոշվում են հետնյալ բանաձներից. թ -Ըջթ՛ԸԸ, 7 »Ըմ,

-՛

եկա-

(4.3)

իսկ շղթայի ստացիոնարբաշխումը՝

611-Ւ1)Հ0, ՖԺւ-ԼԹՔ

հավասարություններով: Սկզբնական շղթայի

ստացիոնար բաշխման

համար ճշմարիտ է հետնյալ վերլուծությունը.

ք'

Նշանակենք2)

Թ/Ը5-0(6:

-ով սկզբնականԿՄՇ-ի

մեկ քայլում ստացվող միջին եկամուտը:

(44) ք

դեպքում վարվելակերպերի

Թեռրեմ տալիս ըստ

ԿառավարվողՍարկովիշղթաների ն ԿՄԳ-ների խոշորացումը 10:

Եթե սկզբնական ԿՄՇ-ի անցումային

Ք մատրիցըթույլ

փոքրըպարամետրի(4.2) վերլուծությունը,ապա

ջ.) -ը

կարելի է

ներկայացնելհետեյալ ձնով.

8-80:

(4.5)

0(ծ, ԹԻ,

որտեղ81-0՝ խոշորացվածշղթայի մեկ քայլում ստացվածմիջին եկամուտնէ՝ - ԲԱ - Բրո Թեորեմ 11: Եթե սկզբնական շղթայի անցումային կացած (ԲԲ

դեպքում ըստ վարվելակերպի

Ք մատրիցը ցան-

փոքր պարամետրիթույլ է տալիս ապա ցանկացած ստացիոնար 1 վարվելակերպ, որը լավագույնն է խոշորացված շղթայի համար, 0(8) ճշտությամբլավագույնը կլինի նան սկզբնականշղթայի համար: 10-րդ ն 11-րդ թեռրեմները թույլ են տալիս մեծ չափայնությամբ սկզբնական խնդիրը փոխարինել փռքր (ցանկալի) չափայնությամբ խոշորացված նույնատիպ խնդրով: Նշենք մոտավոր խոշորացմանալգորիթմի մի քանի առանձնահատկություն: Քանի որ 8՛ մատրիցի ընտրության ժամանակ թույլատրվում է ք

ն Է վեկտորի տարրերըվերջավոր են, (4.2)վերլուծություն,

կարելի

է բացահայորոշակի ազատություն, ապա ք փռքր պարամետրը տորեն չառանձնացնել. միայն բավական է ապահովել Թ մատրիցի տարրերի Օ(6) կարգը: Խոշորացված ԿՄՇ-ն պարունակում է Օ(ո) ճշգրտությամբ ջ՛-ի օպտիմացման համար անհրաժեշտ ողջ տեղեկատվությունը:Դա թույլ է տալիս, օգտագործելով համապատասխանթեռրեմները, Օ(8) ճշգրտությամբ գտնել սկզբնական մեծ չափայնությամբ խնդրի լավագույն լուծումները: Բերված ալգորիթմների կիրառմամբ օպտիմացման խնդիրները չեն օգտագործում լուծումների վերականգնման ընթացակարգեր ն մասնակի լուծումների բազմամակարդակգնահատականներ,ինչը լավագույն ստացիոնար վարվելակերպի որոշման խնդիրներում հանգեցնում է հաշվողական գործողություններիծավալի զգալի տնտեսման: Ճշգրիտ ն մոտավոր խոշորացման ալգորիթմներըկարող են կիրառվել ճան վերագնահատվածեկամուտներով ե կլանմամբ ԿՄՇ-ների օպտիմացման խնդիրներում: Այս դեպքում արդեն օգտագործվում են անհամասեռ հավասարումներիխոշորացման ալգորիթմները: 4.2

ԿԿՄԳ-ների խոշորացմանխնդիր

Խոշորացված ԿԿՄԳ-ի կառուցման համար կենթադրենք, որ տրված է սկզբնական ԿԿՄԳ-ի վիճակների Բ բազմության տրոհումը ԽՃ չհատվող Է,Քշ,...,Էլ, ենթաբազմությունների:Խոշորացված գործընթացի վիճակների

Ե բազմության տարրերի ռրոշվում

են

Իլ ենթաբազմությունների խոշորաց-

ՂԱ.

Որոշումների կայացման Սարկովյանգործընթացներ

մամբ (միավորմամբ) մեկ 1, վիճակում, Է -(12,...Ք):

Խոշորացված գործ-

ընթացի վարվելակերպերի բ բազմությունը կորոշենք ԿՄՇ-ների համար վերը բերված եղանակով: Խոշորացվածգործընթացիժ՛ եկամուտներիվեկ-

տորի ն Ֆ՛ մատրիցի համար օգտագործվում են խոշորացնույն Շն Ը մատրիցները,որոնց տարրերը որոշվել են վերը: Խոշորացված ԿԿՄԳ-ների համար վիճակներում մնալու միջին ժամանակների

ման

անցումային

դ' վեկտորըորոշվում է

դ' առնչությունից: Այսպիտվ,եթետրված են

Շ'ղ'

ԿԿՍԳ-ի տարրերը՝ սկզբնական Է, ւթ. դ, Է-ն լ

վիճակների Է

տրոհումը չ

բազմության առանձին չհատվող ենթաբազմուապա ճշգրիտ խոշորացման եղանակի օգնությամբ կառուցվում Շն Շ" խոշորացմանմատրիցճները,ն որոշվում խոշորացվածԿԿՄԳ-ի

թյունների, են տարրերը`

ք թ

դ, Բն

Բ-ը:

Քննարկենք ԿԿՄԳ-ների օպտիմացմանխնդիրներումխոշռրացման եղանակներիօգտագործմանհարցը: Դիցուք` դիտարկվում է առանց եկամուտներիվերագնահատման ԿԿՄԳ-երի օպտիմացմանխնդիրը: Ինչպես գիտենք, այս խնդրում ռրպես ճսլատակային օգտագործվում է ժամամակումստացված -ը։ միավոր միջին եկամուտը՝ք Թեորեմ 12: Ցանկացած 1ք6Ք վարվելակերպիհամար սկզբնական ն խոշորացվածԿԿՄԳ-ճերի միավոր ժամաճակումստացված ստացիոնար միջին եկամուտներըմիմյանց հավասար են՝

ֆունկցիա

81 ջ/ . -

Թեորեմ 13: Եթե Բ6Ք-ը՝խոշորացվածԿԿՄԳ-ի լավագույն ստացիոնար է, ապա ճա լավագույննէ ճան սկզբնականԿԿՄԳ-ի համար: վարվելակերպճն Այս թեորեմների ապացուցումը կատարվում է ԿՄՇ-ների համար դիտարկվածի նմանությամբ: Այստեղ հաշվի է առնվում, որ միավոր ժամաճակում ստացվողստացիոնարմիջին եկամուտըկարելիէ որոշել ջՀ-

ուղ

բանաձնով,որտեղ 7.-ն0՝ԿՄԳ-ի ստացիոնարբաշխումնէ: Բերված թեռրեմները թույլ են տալիս մեծ չափայնությամբ ԿԿՄԳ-ի օպտիմացման խնդիրը փոխարինել ավելի փոքր (ցանկալի) չափայնությամբ խոշորացվածխնդրով: Խոշորացված խնդրի լուծման համար կարող են օգտագործվելինչսլես գծային ծրագրման եղանակը,այնպես էլ Հովարդիիտերացիոնալգորիթմը:

ԿառավարվողՍարկովիշղթաներին ԿՄԳ-ներիխոշորացումը

Եթե ԿԿՍՄԳ-իք/ անցումային մատրիցըկարելի է վերլուծել ըստ պարամետրի՝

փոքր

թշ ք/--թ՛,

(4.6)

8. 80: 0(3

(4.7

(48)

ն ղդու վեկտորներիտարրերըցանկացած 16 Բ վարվելակերպիդեպքում սահմանափակ են, ապա միավոր ժամանակում ստացված ստացիոնար միջին եկամուտը՝ 9-ը,ես կարելի է վերլուծել ըստ 8 փոքր պարամետրի: Թեորեմ 14: Միավոր ժամանակում ստացված ստացիոնար միջին Ք-ի համար ցանկացած/Շ Է վարվելակերպիդեպքում ճշմարիտէ եկամուտի՝ Հ

վերլուծությունը,որտեղ`

«8

Թեորեմ 15: Եթե ցանկացած Թ

0(3:

Բ ստացիոնար վարվելակերպի համար

ք/ անցումային մատրիցը թույլ է տալիս ըստ 6 փոքրըպարամետրի (4.6) դն լ վեկտորների տարրերը սահմանափակ են, ապա վերլուծությունը, խոշորացված ԿԿՄԳ-ի լավագույն ստացիոնար վարվելակերպը լավագույնն է ճան սկզբնականԿԿՄԳ-ի համար:

Ճճմլ

Որոշումներիկայացման Սարկովյանգործընթացներ

Գրականություն լ.

Ք.

ՈՎՇՇՏօՇ Ճ'օոճքը.Ատոմի 1963. ո ւռ, ԷԼ

ոքօոքճաւքօքուած

-ԽԼ.: 2.

տ.

Խոտո, 8.

Օշա.

դոռ, 1977. թօրօօթւոՇ 11,ԼԱքոտ.Շ. -ԽԼ.: Է

-ԽԼ:

ԷԼ ոո,1985

Փ.,ՓքոռառոԼ.

ԽճքաօտՇատՇ

ԱքՕԱՇՇՇԵԼ

հԽԱաքաօտորտՇ քօավաօօծւ ԸրտաազօաաօՇ

Էր

քաշող.

ոքուուն

ՕՈՌԼԵՆԵԽՕՇ

տ ՀԵոոադԿՇՇԽՕՇ Հշաաօօ1Ե

տաքճտոօքքծ.

օ6Շոյշարրմ ած.

Նողչառ

-ի/Լ: ԹողածՔ Շ8ք35,1988 Ծզոլօ| Ի. էլայւոճո, ԽԱնհծա 1. ՏօԵՏ|1. ՏէՇՇհոտնօ հ104615 ւո

Խ(216Խ21ՃՎՇՇԵՔՑ ՈՕրօ.

Թ6տո2րՇհ.ՄօԼ 2. ՏԱիոտեօ

լոօ., 1988.

Օքաուշոնօո.

ԱՄ

Մօր:

ի/6

ՕքծոճնօոՏ ՕԽ-Ւն|,

ԾՄոճուծ9ԼօԵՅԵԼնջեօ ՏՏՇուՏ. ՄօԼ 1,2. -ԱՇԽ-Մօղ: ԿՈՇ» Տօոտ,Լոօ.,1978. 7. Պոյոօ Լ.մոոտծօո, Տ. Շհոտնւո Ճլեռքիլ հշոճքօոշու Տօլշոօօ.

Խօրո|մ Ճ. Թում.

յօհո

Ծսդեսդ

ծէ

1997. Իր6տ5Տ,

ուրիշներ. Տնտեսությանվերլուծությանմաթեմատիկականեղանակներ.Գործույթներիհետազոտում,Կառավարման գիտություն / Մաս 1/չ ԷԿԱԳՄԱՀԲ, Երնան, 1997.

Սահակյան

Մ.Ա.

«1/2

ՃԱ.

ՀԵՐԹԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Սովորումեմ միշտ, սակայն ճշմարիտ Գիտությանհասու չեմ դառնումերբեք: Գրիզոր Նարեկացի, Մատյան ողբերգությանբան Հ,Ա.Բ.

Ն.1979

Մուտք Գործնականում հերթերի հանդիպում ենք ամենուրեք` ռանրախանութում կամ շուկայում գնումներ կատարելիս, օդանավակայանումկամ երկաթուղու կայարանում՝ ճանապարհ գնալիս, պոլիկլինիկայում կամ հիվանդաճռցում` բուժվելիս, թատրոնում ն նույնիսկ բուհում քննություն հանձնելիս: Որքան էլ հիմնավորված,իսկ ռաճախ նան արդարացիլինի մեր վրդովմունքը հերթից` որպես երնույթի գոյությունից, նրա կանոնակարգից ն կառուցվածքից. այնուամենայնիվ, պետք է հավաստել այն փաստը, որ հերբո 'սրտացդլում է բնության կարնորագույն օրենքներից մեկը` սահմանափակ թողունակության կամ միջոցների սակավության պատճառով առանձին հոսքերի կամ մեկ հոսքի տարրերի մրցակցությունըհանգեցնումէ հերթագոյացման: Անկախ մրցակցող հռսքերի կամ դրանց մասը կազմող տարրերի ն մրցակցության առարկա հանդիսացողմիջոցներիկոնկընտ բովանդակությունից՝ հերթագոյացմանգործընթացների ուտւմնասիրությամբ է զբաղվում է հերթերի տեսությունը: Ինչպիսի՞ օրենքներով են կարգավորվումհերթերը, ինչպիսի՞ցուցանիշներով են բնութագրվում, ինչի՞ կարող են հանգեցնել հերթ կազմող տարրերի կամ դրանց սպասարկմանմիջոցների այս կամ այն վարքը ն կառուցվածքը: Նման օրինակ ն շատ ուրիշ հարցերի ուսումնասիրմամբ է զբաղվում հերթերի տեսությունը: Հերթերի ռղետազոտմանխնդիրներըառավել են բարդանում, երբ հոսքը ն ղրա սպասարկման միջոցների բնութագրերի անկանոն, անկանխատեսելի,հավանականային նն: 1. 1.1

Հերթերիտեսության տարրերը Սպասարկմանհամակարգ

Հավանականային հոսքերով հերթերի ուսումնասիրմանհամար օգտագործվում են հատուկ մաթեմատիկականմոդելներ, որոնք հաճախ անվանվում են սպասարկմանհամակարգեր: Սպասարկման համակարգի ամբողջական նկարագրման համար անհրաժեշտ է տդրոշելնրա հետնյալ երեք բաղադրիչները Մուտքի հոսքը նկարագրողհավանականայինգործընթացը: »

ՃՈՒ

Հերթերիտեսություն

Հոսքի տարրերն սպասարկող միջոցների բնութագրերը, կառուցվածքը, տեղակայումըն տեղաբաշխումը: Հերթի տարրերիսպասարկման օրինաչափությունը: Հերթերի տեսության մեջ մուտքի հոսքի տարրերըկոչվում են հայտեր, սպասարկման միջոցները սպասարկման սարքեր, սպասարկման կարգը՝ սպասարկման կանոն: Սպասարկման կամակարգերի տարրերի տարբեր օրինակներբերված են աղյուսակում 1-ում: »

սակ

Պահանջարկի

Սպասարկման

Հեռա

Բեռնատ

Բեռնատ Ա

զան ենա ենա

ենա

Սարքերը

էու

տեսա

Խոսա Բեռն

Վերա

Հաճա

Գնում

Հաճա

Բուժում

Հեռա Մ

ննում մ մ

Սպասա

Վաճ Հ

մենանճ հո

Խա

Բանվորճ

ենա

Սպասարկմանհամակարգերումմուտքի հոսքը հաճախ նկարագրում երկու հաջորդական հայտերի գալու պահերի միջե ընկած ժամանակահատվածի Ճ(է) բաշխման ֆունկցիայի օգնությամբ՝Ճ(Ժ-Ե(նրկու հաղորդական հայտերի միջն ընկած ժամանակը Հ է): Հերթերիտեսության մեջ՝ որպես կանոն, ենթադրվումէ, ռր մուտքի հոսքի երկու հաջորդական հայտերի միջն ընկած ժամաճակահատվածները միմյանցից անկախ, միննույն բաշխումն ունեցող պատահական մեծություններ են: Դիտարկվում են համասեռ, օրդինար, առանց հետազդեցության ն ստացիռնար հոսքեր: Այդ դեպքումՃ( բաշխման ֆունկցիան միարժեքորեն որոշում է հոսքը: Համասեռ հոսքում առանձին տարրերըմիմյանցից տարբերվում են միայն իրենց հանդես գալու պահով: Հոսքը կոչվում է օրդինար, եթե Ճէ փոքր ժամանակիընթացքումմեկից ավելի հայտերի գալու հավանակամությունը ավելի բարձր կարգի փոքր մեծություն է քան 4է-0: Ստացիոնարհոսքում չ ժամանակի ընթացքում այս կամ այն թվով հայտերի գալու հավանականությունըկախված է միայն այդ ժամանակի տնդղությունից ն կախված չէ ժամանակային առանցքիվրա 4-ի գտնվելու տեղից: Հոսքերի կարնորագույնհատկություններիցէ հետազդեցության բացակայությունը, ըստ որի, երկու` լ ն 2չ փռխչհատվող ժամանակահատվածներից մեկում հանդես եկած հայտերի թիվր կախված չէ մյուսում եկած հայտերի թվից՝ անկախ 4-ի ն ք-ի ժամանակային առանցքի վրա ունեցած տեղից: Միաժամանակ օրդինարությամբ ն հետազդեցությանբացակայությամբ օժտված միակ հոսքը Պուասոնի հոսքն է: Պուասոնի ստացիռնարհոսքում են

/Հերթերի տեսությւսն տարրերը

երկու հարնան հայտերի գալու պահերի միջն ընկած ժամանակի տնւղությունը ունի 4 պարամետրովցուցչային բաշխում` Ճ(0- 1-6", է»0, 4»0, ռրտեղ 4-ն կոչվում է հոսքի հաճախություն ն ցույց է տալիս միավոր ժամանակում եկած հայտերի միջին քանակը: Սպասարկմանհամակարգերում երկրորդ կարնորագույն բաղադրիչը հայտերի սպասարկման համար անհրաժեշտ ժասմանակի տնողությունն է, որը պատահական մեծություն է 8(0-թ(հայտի սպասարկման ժամանակի տնողությունըՀԼ) բաշխման ֆունկցիայով: Սպասարկման համակարգի կառուցվածքի նկարագրման համար որոշվում են հետնյալ մեծությունները. հերթի կամ հերթերի տարողությունը համակարգում, որտեղ կուտակվում են սպասարկմանսպասող հայտերը, ն սպասարկող սարքերի թիվը: Սովորաբար հերթի տարողությունը նշանակում են Բ տառով՝ ՀՇ ԻՆ իսկ համակարգումսպասարկողսարքերիքանակը՝ տ տառով` ո6 Վ, որտեղ Կ-ը բնական թվերի բազմություն է` Իթ (0,1.2....): Եթե տ » 1, ապա յուրաքանչյուր սարքի համար տրվում է հայտերի սպասարկման ժամանակի 8(0 բաշխման ֆուճկԴիան: Եթե ռամակարգում մուտքի հոսքերի քանակը մեծ է մեկից, ապա նրանցից յուրաքանչյուրի համար տրվում է Ճ() բաշխման ֆունկցիան ն Թ մեծությունը: Մպասարկմանհամակարգի կարնորագույն կառուցվածքային բնութագրերից է հերթից եկող հայտերի սպասարկման կարգը: Սպասարկման կարգի օրինակ կարող են ծառայել. առաջինն եկավ, առաջինն սպասարկվեց, կամ՝ վերջինը եկավ, առաջինն սպասարկվեց կարգերը, հերթից եկող հայտերի պատահականսպասարկումըե ույլն: Սպասարկմանհամակարգերումհաճախ դիտարկվումեն հոսքերի այնպիսիխմբավոլումներ, որոնց միջե հաստատված են սպասարկմանսալքերն զբաղեցնելու առաջնություններ: Օրիճակ` բացարձակ, հարաբերական, դինամիկ ն այլ առաջնությամբ հայտերի սպասարկում: Նման համակարգելը ամվանում են առաջնություններովսպասարկմանհամակարգեր: Սպասարկման համակարգերումդիտարկվում են հայտերի վարքի ճան այլ դեպքեր՝ հայտերի գերակայության, հերթից հերթ կամ մի սպասարկման սարքից մեկ այլ սարք անցման, հերթից կամ սպասարկման սարքից տչ լրիվ սպասարկված հայտի հեռացում, «խաբեբայություններ» հերթում ն այլ հետաքրքիրդեպքեր, որոնք մարդկանց խորթ չեն առօրյայում: Սպասարկման համակարգերի տիպերի տարբերակման համար օգտագործվում են Կենդալի առաջարկածչորս դիրքեր պարունակող հետնյալ պարզ հապավումները` ՃլՑլո|ք, որտեղ Ճ-0ն նե 8-ն ցույց են տալիս համակարգի մուտքի հոսքի ՃՈ) ն հայտերի սպասարկմանժամանակի 8(1 բաշխման ֆունկցիաներիտիպերը, տ-ը՝ համակարգումսպասարկման սարքերի քանակն է, իսկ Ք-ն՝ համակարգումհայտերի սպասմանտեղերի քանակը: Ճ-ի ն 8-ի տիպերիհամար օգտագործվումեն հետնյալ նշանները. հ/Լ ցուցչային բաշխում (Մ7/ճուօ"4ո): -

211.

Է, ՒԼ

Հերթերիտեսություն

կարգի էռլանգի բաշխում (Եղշոջռո): կարգի հիպերցուցչայինբաշխում ՌԼ7քօրօքօոօոն): Ծ հրաստատուն մեծություն (6շոուուջնօ): Օ -կամայական բաշխում (Օճոծոչէ: Մասնավորդեպքում, եթե այս նշաններըգտնվում են Ճ-ի տեղում, ապա ճրանց համապատասխանբաշխման խտությունը 2(0-4Ճ()/4-ն կունենա հետնյալ տեսքը՝ -

267,

ԽԸ

(Հ

«(Օ-

էր` «(0 ք՝

4(1412-«ե (1-9

ՀՕ"

(զ.

ՀԼ

040Հ1),

2(-ծ(«Ս-54-1

ՕԾ՝ ո()-ն

մ.

կամայական է: Այսպես, Պուասոնիմուտքի հոսքով ն ցուցչային բաշխմամբ սպասարկման ժամանակով, ո նույմատիպսպասարկմանսարքերովն անվերջ հերթով դասականսպասարկմանհամակարգընշանակվումէ հետնյալկերպ՝ ԽՈԱլոտթօկամ Խ(լո: Սպասարկմանհամակարգերիվարքի նկարագրմանհամար, կախված մուտքի հոսքի ն հայտերի սպասարկմանժամանակիբաշխման ֆունկցիաների տեսակից օգտագործվումեն տարբեր պատահականգործընթացներ, ըստ որոնց հերթերի տեսությունը պայմանականորեն բաժանում են երկու մասի` մարկովյան ն ոչ մարկովյան: Հերթերի մարկովյան տեսու-թյունն ընդգրկում է մարկովյան գործընթացներով նկարագրվող սպասարկ-ման համակարգերը,ռրոնք հաճախ կոչվում են ճան մարկովյան-համակար-գեր: Այս համակարգերում Ճ(0 ն 8() բաշխման ֆունկցիաները ցուցչային են: Հերթերի ոչ մարկովյան տեսությունը ուսումնասիրում է սպասարկմաննան այնպիսի համակարգերը,որոնցում հոսքերից առնվազն մեկը կամ հայտերի սպասարկմանժամանակն ունեն ցուցչայինից տարբեր բաշխում: Մարկովյան սպասարկման համակարգերի ուսումնասիրմանը նճվիրված այս բաժինը հիմնված է Կոլմոգորով-Չեպմենի հավասարումներիվրա: Մասնավորապես, մարկովյան համակարգերի ուսումնասիրման համար օգտագործվում են բազմացմանն կործանման գործընթացները,որոնց հիմճական բԱււթագրերըն հատկություններըդիտարկվածեն 2 բաժնում: |

1.2

Հերթերիբնութագրերըն պահպանմանօրենքները

Հերթերիտեսությունը գործույթների հետազոտմանկարնորագույն բաժիններից է, որն ուսումնասիրում է հոսքային համակարգերիգործառույթի օրենքները. նրանց հատկություններնու բնութագրերը:Հերթերիտեսության հիմքում ընկած են մի շարք հիմնարարօրենքներ՝պահպանմանօրենքները:

/.Հերթերի տեսությանտարրերը

են հերթերի տարբերբնութագրերիանփոփոԱյս օրենքները հաստատում խականճությունըհայտերի մուտքի հոսքի ն սպասարկման ժամանակի բաշխման օրենքից,հերթումհայտերի սպասարկմանկարգից ն այլն: Հերթերի տեսության խնդիրներին վերլուծության եղանակներիուսումնասիրումը տեղին է սկսել հերթերի տեսության հիմնական խնդիրների, հիմնարարբնութագրերին պահպանման օրենքներիքննարկումով: Հերթերի տեսության խնդիրներ, պայմանականորեն բաժանում են երկու խմբի՝ վերլուծության ն օպտիմացմանխնդիրներ: Առաջին խմբի խնդիրներում հետազոտում են հերթերի գործառույթի բնութագրերը` կախված նրանց տարբեր պարամետրերից,կառուցվածքից, հայտերի սպասարկմանկարգից ն այլն: Այս խմբի կարնոր խնդիրներից են նան հերթերի ստացիոնար ռեժիմների գոյության պայմանների հետազոտումը` կախված հերթի բեռնվածության գործակցից, նրա բնութագրերի գնահատումըն այլն: Երկրորդ տիպի խնղիրները`օպտիմացմանխնդիրները,բաժանում են երկու ենթջախմբի՝ հերթերինախագծմանն լավագույն կառավարմանխնդիրների: Առաջին ենթախմբիխճդիրներում րստ տրված նպատակային ֆունկցիայի կատարվում է հերթի պարամետրերի, կառուցվածքի, սպասարկման սարքերի թվի, դրանց տեղակայմանընտրություն ն այլն: Երկրորդ ենթախմբի խնդիրներում`կախված հերթի վիճակից, ըստ տրված նպատակային ֆունկցիայի, կատարվումէ հայտերի սպասարկմանկարգի ն հերթիպարամետրերի կառավարում: Առաջին ենթախմբի խնդիրները նպատակային ֆունկցիայի վերլուծական հայտճի տեսքի դեպքում սովորաբար բերվում են ոչ գծային ծրագրման խնդիրների տեսքի, որոնց հետազոտման եղանակճերը ն տարբերկիրառությունները քննարկված են առաջին հատորում: Իսկ երկրորդխմբի խնդիրներում կառավարվողմարկովյան ն կիսամար-կովյան գործընթացներումլավագույն վարվելակերպի որոշման խնդիրների, ռրոնց հետազոտմանեղանակճերը ն տարբեր կիրառություններըքննարկ-ված են սույն հատորի 211 բաժնում: Հերթերիօպտիմացմանխնդիրներում որպես ճպատակային ֆունկցիա սովորաբար օգտագործում են հերթի գործառույթի հետ կապված միջին կորուստները,կամ եկամուտները: Անցճենք հերթերի տեսության որոշ պահպանման օրենքննրի քննարկմանը: Հերթերի հետազոտման շատ եղանակների հիմքում ըճկած է մի հիմճարար օրենք` հոսքի պահպանման օրենքը, ըստ որի ցանկացած սպասարկման համակարգում հայտերի թվի աճի հաճախությունը հավասար է նրա մուտքի ն ելքի հոսքերի հաճախությունների տարբերությանը: Այդ օրենքը թույլ է տալիս, անկախ հետազոտվող սպասարկման համակարգի բարդությունից,նրա բնութագրերի համար կազմել համապատասխան հավասարումներիհամակարգ: Քննարկենք Օ|Օ|| տեսակի մեկ սպասարկման սարքով հերթի հիմնական բնութագրերին պահպանման օրենքները:

ՃԱԼ

Հերթերի տեսություն

Կատարենքհետնյալ նշանակումները՝

է-ն սպասարկման համակարգ եկող երկու հաջորդական հայտերի միջն ընկած ժամանակիմիջին արժեքն է, 4 ՀԼ/Ւն սպասարկման համակարգիմուտքում հայտերի հոսքի հաճախությունն է, 2-ը սպասարկման սարքում մեկ հայտի սպասարկմանժամանակի միջին արժեքն է, եւ Հ1/4-ը սպասարկման համակարգում հայտի սպասարկման հաճա-

խությունն է: Քննարկենք հերթերի հետնյալ բնութագրերը՝ Թթ -սպասարկման համակարգի բեռնվածությանգործակիցը, Ւ|

Ին

սպասարկմանհամակարգումհայտերի միջին թիվը,

հերթում հայտերի միջին թիվը, -հայտի սպասարկման համակարգում մնալու ժամանակի միջին արժեքը, Ֆ/ հերթում հայտի սպասելուժամանակիմիջին արժեքը: Քննարկենք Թ բեռնվածությանգործակիցը,որը կարնոր դեր է խաղում հերթի ստացիոնարռեժիմների ուսումնասիրման խնդիրներում:ք գործակիցը կարելի է որոշել ն մեկնաբանել տարբեր եղանակներով:Ստորն կքննարկենքդրանցից մի քանիսը: Դիցուք՝ Ջ-ը սպասարկմանհամակարգիցպահանջվողհայտերի սպասարկման արագությունն է, իսկ Շ-ն համակարգի թողունակություննէ՝ հայտերի սպասարկման առավելագույն արագությունը:Բեռնվածության թ գործակիցը որոշվում է հետնյալ հարաբերությամբ`

ԹՀ-Աի/Ը:

Պարզ է, որ ՀՇ պայմանի դեպքում համակարգում կձնավորվի վերջավոր հերթ ն համակարգ եկող բոլոր հայտերը կսպասարկվեն: ՇՀՃ-ի պայմանի դեպքում՝ թողունակության անբավարարության պատճառով, համակարգը կմատնվի գերբեռնվածության վիճակի, իսկ հերթում հայտերի անհավաթիվը արագորեն ն աղետալիորեն կաճի: ՃՀՇ (այսինքն` ՀԼ) սարությունը հանդիսանումէ դիտարկվող համակարգիստացիոնարռեժիմի գոյության անհրաժեշտ ն բավարար պայմանը: Համակարգիստացիոնար ռեժիմը դեպքում գոյություն ունեն նրա վարքը բնութագրող բոլոր պատահական մեծությունների սահմանային բաշխումները: Ստացիոնար ռեժիմի գոյության դեպքում համակարգեկող բոլոր հայտերը զրոից մեծ հավանականությամբ սպասարկվում են վերջավոր ժամանակում: Երբեմն, օրինակ օ|ք|1 տեսակի սպասարկման համակարգում, 2-1 սահմանային արժեքը նույնպեսընդգըըկվումէ հերթի ստացիոնարությանտիրույթում: Թ բեռնվածության գործակիցը որոշվում է նան որպես սպասարկման համակարգի մուտքի հոսքի Հ հաճախության ն հայտի սպասարկման չճ -

/.Հերթերի տեսության տարրերը

/99

միջին ժամանակի արտաղրյալ՝

ԹՀ41: Եթե համակարգումհայտերի սպասարկումը կատարվումէ ոտ սարքերի միջոցով, այսինքն` դիտարկվում է Օ/Օյո տեսակի համակարգը, ապա Թ-ի բեռնվածության գործակիցըորւշվում է` Թ 1Ղ2/ռ բանաձնով: Հերթերի տեսության կիրառություններումսպասարկմանհամակարգի մուտքում աշխատանքի հաճախությունը երբեմն անվանում են բեռնվածության հաճախություն ն չափում են էռլանգներով:Օ|Օ|1տեսակի համակարգում բեռնվածության հաճախությունն հավասար է համակարգի Ք բեռնվածության գործակցին,իսկ Օ|Օիռտեսակի համակարգում`ք -ի: Իսկապես, քանի որ, միավոր ժամանակում սպասարկմանհամակարգում տտացվում են միջին թվով 14 հայտեր, որոնցից յուրաքանչյուրը պահանջում է միջինը 2» միավոր սպասարկման ժամանակ (սպասարկման սարքի աշխատանք), ապա համակարգի մուտքում աշխատանքի (բեռնվածության) հաճախությունը հավասար կլինի 42-ի, այսինքն` համակարգի բեռնվածության գործ:ռկցին: Թ բեռնվածության գործակիցը կարելի է մեկնաբանել նան որպես ստացիոնարռեժիմում համակարգի սպասարկողսարքի զբաղվածության ժամանակիմաս կամ զբաղվածությանհավանականություն: Դիցուք` Բ.-ն ստացիոնարռեժիմում համակարգիսպասարկողսարքի զբաղվածության հավանականությունն է, իսկ 6-1-Ր.-ի՝ պարապուրդի հավանակամությունն է: Հնարավորին չափ մեծ ք ժամանակի ընթացքում համակարգիսպասարկման սարքը զբաղված կլինի շԲլ ժամանակ: քժամաճակի ընթացքում համակարգում սպասարկված հայտերի թիվը հավասար կլինի մոտ 1.7 4-ի, իսկ համակարգում ստացված հայտերի թիվը՝ մոտ 44-ի: ռեժիօրենքի համաձայն, համակարգի ստացիոնար Հոսքիպահպանման մում 7 ժամանակի հնարավորին չափ մեծ արժեքի դեպքում համակարգում ստացված ն սպասարկված հայտերի թանակներըմիմյանց դավասար են ն, հետնաբար, ճշմարիտ է Հ

215Հ1Եյ/ն

հավասարությունը,որտեղից` Ը-»»օ-ի դեպքում, ստանում

Այսպիսով՝ Օ|Օ|1տեսակի

ենք`

Հիլ:

համար ճշմարիտ է՝ համակարգի ԹՀ

|-հւ-

իլ:

Այժմ քննարկենքստացիոնարհերթերի ես մի կարնորօրենք, որը կապ է հաստատում սպասարկման համակարգում հայտերի միջին թվի, մուտբային հոսքի հաճախության ն հայտերի համակարգում մնալու միջին ժամանակի միջն՝ Լիթլի բանաձնը: Դիցուք` Օ(Ս-ն (0,1) ժամանակի ընթացքում համակարգում ստացված հայտերի թիվն է, իսկ 7(Ս-ն` (0,1) ժամանակի ընթացքում ռամակարգում

Ճա.

Հերթերի տեսություն

բոլոր հայտերի մնալու գումարային ժամանակն է: (0, ժամանակի ընթացքում հայտերի ստացվելու մ. հաճախությունը կարելի է որոշել հետնյալ

բանաձեսռվ՝

(ՈՒ 1-ով նշանակենք (0,) ժամանակի ընթացքումհամակաըգ եկած բոլոր հայտերով միջինացված մեկ հայտի համակարգում գտնվելու ժամանակը: 1.-ն կարելի է որոշել հետնյալ բանաձնով՝ 1 -1()/օ0): Հ

Ւ-ն (060 ժամանակի ընթացքում հռամակարում ստացված հայտերի միջին թիվն է, ապա այն կարելի է որոշել` Եջե

ՒԼ ՀՀ(Է)/է

բանաձնով,որտեղից` Էմ-ի համար, կստանանք`

Լմ

Եթե հերթը գտնվում հետնյալ սահմանները՝

լլ:

ատացիոնար ռեժիմում

գոյություն

ունեն

4-լո,Ղ1-նող Է-»»

ապա

համակարգումհայտերի միջին թվի համարկստանճանք՝ Պ-

հու,

Այսպիսով ստացիոնար ռեժիմում. երբ ճշմարիտ է ՕՀԶՀ1 պայմանը, համակարգում հայտերի միջին Պ թիվը հավասար է համակարգում հայտերի ստացվելու 1, հաճախության ն համակարգումհայտի մնալու միջին ՛Է ժամանակիարտադրյալին՝/՛1: Սա հերթերիտեսությունից հայտնի Լիթլի բանաձնն է՝ Վ- 71 '

Այս բանաձնը ճշմարիտ է սպասարկմանբոլոր համակարգերիհամար, անկախ հայտերի մուտքի հոսքի Ճ() ն դրանց սպասարկման ժամանակի 8/0 բաշխման ֆունկցիաների տեսքից, հերթում գտնվող հայտերի սպասարկման կարգից կամ սարքերի թվից ն այլն: Սա հերթերի տեսության է: պահպանման օրենքներիցմեկն Քանի որ, 1Հ ԷՖ, որտեղ ՄՄ-ն հերթում հայտերի մնալու (սպասելու) միջին ժամանակնէ, ապա Վ-ի համարԼիթլի բանաձնից կստանանք՝

Պ-21-14(4

իսկ

մԴՀ

Ա ՀԻկ:

Այստեղ

ՊՎ.-ՃՃ-ի՝հերթումգտնվող (սպասող) հայտերի միջին թիվն է,

Վ. 12-ի

սպասարկմանսարքում գտնվող (սպասարկվող) հայտերի

միջին թիվն Բանաձնից հետնում է, որ համակարգի Թ-ի բեռնվածության գործակիցը հավասար է սպասարկման սարքում հայտերի միջին թվին` է:

/.Հերթերի տեսոթյան տարրերը

ԹՀԻՆ»իսկ Օ|Օթ»տեսակի համակարգի դեպքում` հայտերի սպասարկմամբ զբաղված սարքերի միջին թվին: Այժմ քննարկենք հայտերի առաջնություններովսպասարկմանհամակարգերումգործուլ պահպանման օրենքները:Կդիտարկենքհայտերի առաջնււթյուններով սպասարկման այնպիսի համակարգեր,որոնցում ոչ մի աշխատանք (նոր սպասարկման հայտ) չի ստեղծվում ն չի կորչում: Համակարգում աշխատանքի կորստին կարող է համապատասխանել,օրինակ, համակարգից հայտի հեռանալը նախքան նրա սպասարկմանավարտը, իսկ աշխատանքի ստեղծմանը կարող է համապատասխանելհերթի առկայության դեպքում նրա սպասարկող սարքի (իսկ Օ|Օլո տեսակի համակարգի դեպքում` որնէ սարքի) պարապուրդը: Նման` կուտակված աշխատանքը պահպանող համակարգերըկոչվում են «պահպանական»:Այսպիսի համակարգերում պահպանման օրենքները հենվում են է պահին համակարգում կուտակված անավարտ աշխատանքի` Ս(Ս-ի, հայտերի սպասարկման կարգիցանկախ լիճելու հատկության վրա: Ս(3)-ն կարելի է որոշել ճան ռրպես է պահին համակարգում գտնվող բոլոր հայտերի սպասարկման գումարային ժամանակ կամ է պահին համակարգում ստացվող հայտի սպասման հնարավոր (վիրտուալ) ժամանակ: Ս(3)-ի սահմանումից հետնում է, որ Ս()»0 պայմանի դեպքում 1 արագությամբ (անկյունային գործակցով) նվազող ոչ բացասականֆունկցիա է, իսկ համակարգում հայտերի ստացվելու պահերին նա ունի այդ ոայտերի սպասարկման ժամանակի արժեքին հավասար ուղղահայաց թռիչքներ: Այստեղից պարզ է, որ Ս(Ս»0-ի դեպքում համակարգն զբաղված է հայտերի սպասարկմամբ,իսկ Ս(0Հ0-ի դեպքում ազատ է հայտերից: Դիտարկենք է թվով հայտերի հոսքերով ԽլՕ|Լ տեսակի, առաջնություններով սպասարկման համակարգը: Դիցուք` համակարգում ռայտերի հոսքերը համարակալվածեն 151,2,...,: թվերով: Կընդունենք, ոլ մեծ ռամար ունեցող հայտերի հոսքին համապատասխանումէ ավելի բարձր առաջնության կարգ, այսինքն` ) համարի հոսքին պատկանողհայտերը ունեն ավելի բարձր սպասարկման առաջնություն քան 1,2,...1-1 համարներին պատկանողները: Կատարենք հետնյալ նշանակումները. 4 1-րդառաջնությանհայտերի հոսքի հաճախությունը, 151,2....ք:

7,752 :

առաջին ն

ւ-րդ առաջնության հոսքի հայտերի սպասարկմանժամանակի

երկրորդկարգի մոմենտները:

1-րդ առաջնության հոսքի հայտերով համակարգի գործակիցը՝ Թ.

բեռնվածությ

-ճՃլ:

համակարգիմուտքում հայտերի գումարայինհոսքի հաճախությունը՝ 4-ՆՆ:

Հերթերիտեսություն

Ճլ

Թնամակարգի բեռնվածությանգործակիցը՝

Ք-2թ-

ն:

համակարգումհայտերի սպասարկմանմիջին ժամանակը՝ 1-21 /4 4.»

Մժ,ռերթում 1-րդառաջնության հայտերի մնալու միջին ժամանակը: Ըստ պահպանմանօրենքի` ցանկացած Խ/((Օ|1 տիպի պահպանական

համակարգիհամար ճշմարիտ է հետնյալ հավասարությունը.

ՔՄ6

եթե ՀՍ

«|Ա-թ)՝

»,

որտեղ՝ ւ

Մ»

քննարկվող

1Յ

եթեքչ1,

չո»

համակարգի համար Թ գումարը, անկախ Այսինքն՝ համակարգում օգտագործվող առաջնությունների բարդությունից, միշտ մնում

է հաստատուն:

Պահպանման օրենքից հետնում է, որ ռրնէ առաջնության հայտերի հերթում մնալու միջին ժամանակի`՝Պ/-ի արժեքի փոքրացման նպատակով նրանց սպասարկմանկարգի ձենափոխման ցանկացած փորձ կհանգեցնի որոշակի հոսքերի հայտերի Պո-երիյւ արժեքների մեծացման: Այսինքն` որնէ առաջնությանհայտերի հերթում սպասելումիջին ժամամակիփոքրացունը անպայմանկհանգեցնիհերթում որոշակի առաջնություններիհայտերի սպասելու ժամամակներիմեծացման: Եթե բոլոր 1-երիհամար 4-3, ապա պահպանմանօրենքիցկստանանք՝

ենի -12,...

- 1Կ.-

Լ-թ)

Սակայն Լիթլի բանաձնից հայտնի է,

/չԳՈ-

որ

Խր չ

որտեղից ցան-

կացած պահպանողականսպասարկմանկարգիդեպքումկստանանք`

Հ»-ՖԱ,Հ « ա"

2են Հ

ԸՕոջէ:

(0-ք) Եթե ՄՄ-ն հերթումհայտերի մնալու միջին ժամանակնէ, ապա՝ Խ-

Ի/1-

ՊԺԱ-ք)

«ուտէ:

2, -ի պայմանի դեպքում հերթում հայտերի միջին թիվը ն հերթում սպասելու միջին ժամանակը կախված չեն հայտերի սպասարկման կարգից:Նշենք, որ 2 պայմանի դեպքում համակարգումհայտերի թվի բաշխումը նույնպես կախված չէ հայտերի սպասարկմանկարգից: Պահպանման օրենքներն օգտագործվում են ինչպես հերթերի բնուԱյսպիսով

/(Հերթերիտեսության տարրերը

թագրերի վերլուծության, այնպես էլ դրանց օպտիմացմանն կառավարման խնդիրներիլուծման համար: Դիտարկենք հերթում հայտերի առաջնություններով սպասարկմանկարգիլավագույն տարբերակիընտրությանխնդիրը: Օրինակ 1: Դիտարկենքմաքսայինծառայության հաճախումներիսպասարկմանլավագույնկարգի ընտրությանխնդիրը: Դիցուք` ներմուծվող կամ արտահանվող բեռների ձնակերպման համար հաճախորդներըդիմում են մաքսային ծառայությանը: Հաճախորդների սպասարկման ընթացքում մաքսատունը ապաովում է նրանց բեռների պահեստավորման ն մշակման համար անհրաժեշտ պայմաններ ռւ տարածքներ: Դիցուք` ժամանակիյուրաքանչյուր պահին մաքսատունըկարող է կատարել նիայն մեկ հաճախորդի հայտի սպասարկում`բեռների մշակում ն

ձնակերպում:

Կախված ներմուծվող կամ արտահանվող բեռների տեսակից ն նշաճակությունից` սննդամթերք, տնտեսական ապրանք, վառելանյութ ն այլն հաճախորդներիհայտերը բաժանվում են Ք թվով խմբերի: Օրինակ՝ տնտեսական ապրանքները կարելի է ընդգրկել մի խմբում, վառելանյութը մյուս խմբում, իսկ սննդամթերքըերրորդում ն այլն: Որքան բարձր է խմբի համարը, այնքան առաջնային է այդ խմբի մեջ ընդգրկված բեռների մշակման ն ձնակերպմանհայտելւի սպասարկումը: Դիտարկենքտարբերխմբերի հայտերի սպասարկմանհարաբերական առաջնություններովկարգը: Եթե 1 ռամարի խմբի բեռների սպասարկման հայտն ստացվելու պահին մաքսատունն զբաղված է ոաճախորդների հայտերի սպասարկմանբ, ապա հայտը հերթի է դրվում` սպասելով մինչե մաքսատունը ազատվի 1-1, 1:2,..., Է համարների խմբերի ն ւ խմբի ավելի վաղ եկած հաճախորդների հայտերից: Նթե հաճախորդի գալու պահին մաքսատունը ազատ է ապա անմիջապես սկսվում է նրա հայտի սպասարկումբ՝ բեռներիմշակումը ն ձեակերպումը: Հաճախորդի հայտի սպասարկման ավարտից հետո նրա բեռները հանվում են մաքսատանպահեստներիցն տարածքներից: Դիցուք՝ մաքսատանը | համարի խմբի բեռների սպասարկման հայտերի հոսքն ունի 4. հաճախությամբպուասոնյան բաշխում, իսկ մաքսատանը նրանց սպասարկմանժամանակը 2, միջին արժեքով 13(1) բաշխմանֆունկցիա: 1 համարի խմբի բեռների մաքսատան հերթում միավոր ժամանակ, օրինակ՝ մեկ ժամ կամ մեկ օր, սպասելու դեպքում հաճախորդներիվնասները` կորուստները, կազմում են ՇՕ միավոր: Կորուստները կարալ են պայմանավորված լինել բեռների- պահեստավորման ծալյսսերով, նրանց փչացմամբ, փոխադրամիջոցներիվարձակալմանծախսերով, պայմանագրային ժամկետների խախտմամբ ն այլն: Քննարկենք մաքսատան հերթում հաճախորդների սպասումով պայմանավորված գումարային միջին կորուստներըմինիմացնողբեռների տարբեր խմբերի միջն հարաբերական առաջնությունների լավագույն կարգի

նշանակմանխնդիրը:

21.

Հերթերիտեսություն

Դիտարկվողխնդրում մաքսատան աշխատանքըկարելի է ներկայացնել հ թվով հարաբերական առաջնություններովհայտերի սպասարկման Խ(Օ|1տեսակի համակարգիօգնությամբ: Մաքսատանաշխատանքըկքննալկենք ստացիոնարռեժիմում.երբ ճշմարիտ է հետնյալ պայմանը.

Հ17 Հ1:

Ստացիոնար ռեժիմում մաքսատան աշխատանքի դեպքում հաճախորդների մրավոր ժամանակում գումարային Շ միջին կորուստներըկարելի է ռրոշել հետնյալ բանաձնով. ՇՀ

որտեղ՝ Օյ.

ԱՔ, :

Ը,2/

451 լ

-նճ մաքսատան 1 խմբի

հայտերով պայմանավորվածբեռնվա-

ծության գործակիցն է, իսկ Փո-ն մաքսատան հերթում ւ խմբի հայտերի սպասման միջին ժամանակն է: Կատարելով հետնյալ ճշանակումները՝ 6- Օ/լ, Ք-Ք լ գումարային

միջին կորուստների մինիմացման խնդիրը կարելի է ձնակերպել որպես Ֆնջ. գումարի մինիմացման խնդիր: Քանի որ դիտարկվող համակարգը «պահպանական»է, ապա առաջնություններովհամակարգերիպահպանման օրենքի համաձայն (տես բաժնում) հայտերի տարբեր խմբերի միջն հարաբերական առաջնությունների ցանկացած վերաբաշխմանդեպքում ճշմարիտ է հետնյալ պայմանը՝ Ֆ.Էջ: ԸՕոջէ: Միավոր ժամանակում գումարային Շ միջին կորուստների նվազագույմ արժեքն ապահովող առաջնություններիվերաբաշխմանկարգը որոշվում է` ՈՀՇՀ...Հճ պայմանից: Այսինքն` որպեսզի գումարային Շ միջին կորուստները լինեն նվազագույնը,անհրաժեշտ է հայտերի խմբերի միջն առաջնություններըբաշխել ըստ 6 մեծություններիարժեքների աճի՝ որքան մեծ է 6-ի արժեքը, այնքան առաջնային է նրանհամապատասխանող հայտերիխմբի սպասարկմանկարգը: Դիտարկենք հետնյալ թվային օրինակը: Դիցուք` մաքսատանըդիմող հաճախորդների հայտերը բաժանված են երեք խմբերի: Առաջին խմբում ընդգրկված են սննդամթերքի բեռները, երկրորդում`վառելանյութինը,իսկ ապրանքներինը: երրորդում՝անտեսականն արդյունաբերական Դիցուք` համապատասխանխմբերիհայտերն ունեն հետնյալ պարաՇ

մետրերը՝

4լ-0.1, 1շ-0.1, 4:-0.2, Ֆլ Հ1, 2չՀ1, 2:53, ՇՕլ-22,Շշ-10, Ը:-15: Գումարային Շ կորուստներըմինիմացնողհայտերի սպասարկմանառաջնությունների նշանակման կարգը կարելի է որոշել հետնյալ հարաբերությունների օգնությամբ`

Շլ/ճլ

22/2»

Շչ/Ճչ5

10/1»

Ը:/2:

15/3:

/.Հերթերի տեսությանտարրերը

Այսպիսով՝ սպասարկման առավելագույն առաջնություն պետք է ունեառաջինխմբի հայտերը՝ սննդամթերքիբեռները: Այսինքն` այս խմբի նոր է առաջնությունների նշանակման լահամարը, որը ռամապատասխամնում վագույն կարգին, կլինի 3-ը: Երկրորդը կլինեն վառելանյութինը, որոնց ճոր համարը կլինի 2-ը, ն, վերջապես, երրորդը կլինեն տճտեսական ն արդյունաբերական ապրանքների բեռները, որոնց նոր համարը կդառնա 1-ը: Առաջնությունների նման նշանակման դեպքում գումարային Շ միջին կմրուստների նվազագույն արժեքը հավասար է 54.498-ի: Առաջնությունների ցանկացած այլ նշանակման դեպքում գումարային Շ միջին կորուստների արժեքը կլինի ավելի մեծ: Օրինակ, առաջնությունների հետնյալ նշանակման կարզի դեպքում, երբ առավելագույն առաջնություն ունեն տնտեսական ն արդյունաբերականապրանքներիբեռները,որոնց ճոր համարնէ 3-ը, երկրորդըկլինեն վառելանյութերը, որոնց նոր համարն է 2-ը, ն, վերջապես, երրորդը կլինեն սննդամթերքի բեռները, որոնց նոր համարն է 1-ը՝ գումարային Շ միջին կորուստների արժեքը հավասար կլինի 149.5-ի: Այժմ քննարկենք հաճախորդներիհայտերի խմբերի միջն սպասարկման բացարձակառաջնություններիդեպքումգումարային ւ. միջին կոլւուստների արժեքը մինիմացնող առաջնությունների նշանակման կարգր: Եթե մաքսատան հաճախորդներիսպասարկումըկատարվում է հայտերի ընդհատվածսպասարկումըշարունակելուտարբերակովբացարձակառաջնություններով ն մաքսատանը 1 համարի խմբի հայտերի սպասարկմանժամաճակը ունի յ, 1-1,2,...,. հաճախությամբցուցչային բաշխում, ապա միավոր ժամանակում գումարային Շ միջին կռրուստների արժեքը մինիմացնող բացարձակառաջնություններինշանակմանլավագույն կարգը համընկնումէ հարաբերականառաջնություններիդեպքումվերը քննարկվածկարզի հետ: ճան

1.3.

Մահմանափակհերթ՝ Խ(ԽՈ1լԷ:

Դիտարկենք մարկովյան սպասարկմանհամակարգի` վարքը, ոիի բաղկացած Լ մեկ սպասարկման սարքից ն ունի հերթում հայտերի կուտակման սահմանափակքանակությամբ տեղեր: Կենթադրենք, որ համակարգի մուտքում հայտերի հոսքը ունի Պուասոնի բաշխում 4, պարամետրով(հաճախությամբ), եթե համակարգում հայտերի քանակը հավասարէ 1-ի: Հայտերի սպասարկման ժամանակը ունի ցուցչային բաշխում / պարամետրով (հաճախությամբ), նթե համակարգում հայտերի քանակը հավասար է 1-ի: Համակարգում հայտնրի սպատարկումը իրականացվումէ հետնյալ կերպ: Եթե հայտի գալու պահին դամակարգում ուրիշ հայտեր չկան, ն սպասարկող սարքը ավատ է, ապա անմիջապես սկսվում է հայտի սպասարկումը: Եթե սպասարկող սարքը զբաղված |, ն հերթում կան |) թվով հայտեր՝ 1ՀՃ, ապա նոր հայտը հերթ է կանգնում ն համակարգում մնում է մինչն իր սպասարկման ավարտը: Հերթի առավելագույն հնարավոր երկարությունը սահմանսփակ է ն հավասար Է Խ-ի: Երե հայտիգալու պահին համակարգումկան 24 | հայտեր (մեկը սպասալկվում է,

Ճա.

Հերթերիտեսություն

իսկ Բ հայտեր գտնվում են հերթում), ապա եկած հայտը մերժվումէ: Ժամանակիսկզբնական(Է-0) պահինհամակարգըհայտերիցազատ է: Հերթից հայտերի սպասարկումը իրականացվում է այսպես կոչված արդարացի հերթի սկզբունքով` այսինքն` ով շուտ է հերթի կանգնել, նա ավելի շուտ կսպասարկվի: Պետք է ճշել, որ համակարգերումհերթից հայտերի ընտրության կարգը չի ազդում համակարգիորոշ կարնոր բնճութագրերի վրա: Օրինակ` համակարգի հաջորդական սպասարկումից ազատ միջակայքերի երկարությունները կամ հերթում գտնվող հայտերի քանակը կախված չեն հայտերի հերթից ընտրության կարգից: Մարկովյան համակարգերի մի շարք այլ բնութագրերի անկախությունը հայտերի հերթից ընտրության կարգից պայմանավորված է հայտերի սպասարկման ժամանակի ն դրանց մուտքի հոսքի ցուցչային բաշխման հատկություններով: Դիտարկվող համակարգի վարքը կարելի է նկարագրել համասեռ մարկով-յան գործընթացով:Գործընթացիվիճակ ասելով կհասկանանքտվյալ չէ պահին համակարգում եղած հայտերի քանակը: Գործընթացի հնարավոր վիճակների Է բազմությունը վերջավոր է ն բաղկացած է 0,1,2,...Ճ- 1 տարրերից: Ինչպես նշվել է 21 բաժնում, համակարգի վարքը նկարագրողմարկո-

վյաճ գործընթացիհետազոտումըհանգում է համապատասխանՕ հաճախություններիմատրիցիտարրերի որոշմանը ն Կոլմոգորով-Չեպմենիհավասարումներիլուծմանը: Վերջիններս նկարագրումեն համակարգիանցումային ռեժիմը` կախված է ժամանակից, իսկ Է-»օ» դեպքում համակարգի ասիմպտոտայինվարքը՝ մասնավորապեսստացիոնար դոեժիմը: 21 բաժնում քննարկված են մարկովյան գործընթացին նրա մասնավոր դեպք հանդիսացող բազմացման ու կործանման գործընթացի համար Օ մատրիցի տարրերի որոշման երկու եղանակներ` գործընթացի անցումային հավաճականությունների ն տարբեր վիճակներում անցման սպասմանժա-մանակների ստոխաստիկառնչություններիեղաճակները: Դիտարկվող համակարգիվարքը նկարագրվումէ վիճակների վերջավոր ԷՀ-/(0.Լ,....ՃԺ1) բազմությունով բազմացման ու կործանման գործընթացով: Այժմ անցնենք Օ մատրիցի տարրերի որոշմանը երկու եղանակների օգնությամբ: Դիտարկենք Ճէ «փոքը» ժամանակի ընթացքում համակարգի վիճակի հնարավորփոփոխություններիհավանականությունները: Դիցուք` 7(0-ն՝ ժամանակի է պահին համակարգում 1 քաճակի հայտեէ: Դիտարկենք համակարգումհայտերի րի գտնվելու հավանակամնությունն քանակի հնարավոր փոփոխությունները (ԵԷՒՃ) Ժամանակահատվածում: Ժամանակի էՒՃէ պահին համակարգըկգտնվի 1 վիճակում,եթե կատարվելէ հետնյալ անհամատեղելիփոխբացառող երեք պայմաններիցորնէ մեկը՝ է 1. Ժամաճմճակի է պահին համակարգումհայտերի քանակը հավասարը 1-ի, ն (ԵՒՃԾ ժամանակահատվածումվիճակի փոփոխությունչի կատարվել.

/.Հերթերիտեսության տարրերը

Ժամանակի 1 պահին համակարգումհայտերի քանակը հավասար է 6ճ-1)-ի,ն (ԵՒՃձ0 ժամանակահատվածումեկելէ ճոր հայտ. 3. Ժամանակի 1 պահին համակարգում հայտերի քանակը հավասար է (1-Ւ1)-ի,ն (ԵԺՃ0 ժամանակահատվածումսպասարկվել է մեկ հայտ: հավասար Առաջին պատահույթի (պայմանի) հավանականմությունը է1 ն պահին համակարգի վիճակում գտնվելու 7() հավանականության Ճլ ժամանակահատվածում1 վիճակից 1 վիճակ անցման ք,չ(Ճ0 հավանականության արտադրյալին: Երկրորդ պատահույթի հավանականությունըհավասար է է պահին համակարգի 1-1 վիճակում գտնվելու 7..յ() հավանականությանն Ճլ ժամանակահատվածում1-1-ից 1 վիճակ անցման բ, ,(Ճ) հավանականությանարտադրյալին: Երրորդպատահույթիհավանականությունըհավասար է է պահին համան Ճւ ժամանակահատկարգի11 վիճակումգտնվելու7.,լ() հավանականության վածում 11-ից է վիճականցմանբ,,յ.(Ճ) հավանականությանարտադրյալին: Գործընթացի ցանկացածուրոշ վիճակներիցւ վիճակ, կամ նշված երեք դեպքերումմիջանկյալվիճակներընկնելովաճցումներիհավանականություններըՃէ ժամանակիընթացքումունեն 0(41) անվերջփոքրմեծությանկարգ: Այսպիսով 7(ԼՒՃԼ) հավանականությունների համար լրիվ հավանականություններիբանաձնիցկստանանք` 14 1Հ: Դ(ԼԷՃՍ ո(Սր(ձԻո.լ(Սթ.(ՃՍՒո»ւ(Սթ,.(Ճ0:0(4), ն 1-0-ի 1281-ի դեպքերում համապատասխան հավասարումները ունեն հետնյալ տեսքը՝ (ԼԷ) (Սքոա(ՃՍԻ(Սթյո(Ճ1):0(4Ժ, Ս ա(ՒՃՍ (Սթուտու(Ճ0Ի (Սրատո(ձ010(4Ժժ: (0.1) Նշենք նան, որ (է) հավանականությունները (-ի ցանկացած արժեքի համար պետք է բավարարեն ճորմավորմանհետնյալ պայմանին` 2.

ԽՀլ

չո

(12)

Օգտվելով ցուցչային բաշխման հետազղեցության բացակայության

հատկությունիցն լրիվ հավանականություններիբանաձնից, թյ(ձլ) անցումային հավաճականությունների համար կստանանք՝ ""ԱՈ-6օշ")Հ( թու(Ճ) -ցքճնեՃա0(4Ս ՃՃա0(41, 120, «6

թ(ՃՍ

Հ6""0 թ(ձլ)

ՀՇ օո

ւօ"

աբ

0(4Ս ՃԱ

(ԱՋ1լձժՍր,

յոլճ

(լԻ)ճե0(ՃՍ,

ա0(ՃՍ,

120,

թ1:

ք(Ճ1) հավանականությունների արժեքները տեյլադրելով (1.Լ) հավասարումներիմեջ, փոփոխականներիխմբավորումիցն ԸԷՃԼ-50) սահմանային անցումիցհետո ապացուցվում է 7/(է) ածանցյայի գոյությունը:

ՊԱԼ.

Հերթերի տեսություն

Այստեղից (է) հավանականությունների համարստացվումէ դիֆերենցիալ հավասարումներիհետնյալ համակարգը. ձո(է/ձ. - (չԷ ա)Պ(0 - 4. ո(0 Է - հւտւ(Ց, 15155, ձ(0/4էՀ -/ճ.(ժ աուն), Հ

ժու

-րււուա(0 Ւ շուն): (1.3) Քանի որ ԺՀ0 պահին համակարգը ազատ է հայտերից, ապա 7(է0 բաշխումը բավարարում է նան հետնյալ պայմաններին. (0) Հ 1, Պ(0)Հ0,

1ՀՀԻ-լԼ,

Համակարգի վարքը նկարագրող մարկովյան գործընթացի անցումների հավանականայինգրաֆըբերված է ստորն՝ ւ(0/4էՀ

Լ-Ճէ

1Լ-(ՂԻա)ձէ

կշճ

իլձէ

օխ

Լն

91-(նշա)ձն Աոճէ

24:

1-(ԱԺացձւ

ա) 4

նն

էե.

ՃԽ

ըչձէ

ձէ

մել

1-աւյձե

են

ՉՀՃՊՃՃ 1"

Իսկ գործընթացիհաճախության Օ մատրիցնունի հետնյալտեսքը. -

ա.

7. -(լէլա)

ՉՀՎ0

ճլ -(եԷ նչ) ԵՈ:

քւ

եշ

: (ել - էւ) Այ

Ճ-

Օ մատրիցի տարրերի ն (0 հավանականությունների որոշման համար նան կարելի է օգտվել գործընթացի անցումների հաճախությունների գրաֆից ն գործընթացիյուրաքանչյուր վիճակում հայտերի հոսքի հաճախությունների հաշվեկշռից: ԿԱՄ հաճախությունների հետնյալն է.

որոոթոցի թ մշ

էե.

Գծն

էո

Տ Ճո.

աին գործընթացի` որնէ հաճախումները Ճ

Է|

:: վիճակից վիճակ ընկնելու հաճախությունների տարբերությունը պետք է հավասար լինի այդ վիճակում հավաճականությունների հաճախության փոփոխությանը: Քննարկվողդեպքում 1-1 ն 1-1 վիճակներից դեպի 1 վիճակ հաճախությունները,համապատասխանորենհավասար են ն 4.Պ-(0-ի: ւ վիճակից դուրս գալու հաճախությունըհավասար է քւՊ:(0-ի

Ըստ

դուրս

գալու

ն այդ

/Հերթերի տեսության տարրերը

(եւ)7(0-ի, իսկ ւ վիճակում հավաճակամնությունների փոփոխությունըհավասար է մ7:(1/41-ի (հիշենք պատահականմեծության բաշխման խտության հավանականային մեկնաբանումը): Այսպիսով, ըստ հաճախությունների՝ հաշվեկշռի 1 վիճակի համար կստամանք՝ ԹԼ ձո(Ս/ժէ- ո.(Սե.-Պ(Ս(ԱՒ Ն) ու(Թրւ (1.4) 0նԲՀ1| վիճակներիհամար կարելի է գրել հետնյալ հավասարումնելը՝ ժա(Ս/4ԼՀ

մու

ո(Սրւ2օ(0,

աու(Մ-րւուո(): Դժվար չէ համոզվել, որ (1.4) հավասարումներիհամակարգը ճշտորեն համընկնում է (1.3)-ի հետ: Այսպիսով` հավասարումներըկազմելու համար բավական է որոշել Օ մատրիցի տարրերը ն կիրառել Կոլմոգորով-Չեպմենի ուղիղ կամ հակադարձ հավասարումները: Օ մատրիցի տարրերի որոշման «()/ԼՀ

մեկ այլ կառուցվածքային եղանակ, որը հիմնված է ստոխաստիկհավասարությունների ն գործընթացներմուծված մարկուվյան շղթայի վրա, դիտարկված է Ճ բաժնում: Ո՛3) հավասարումների լուծումների որոշումը ն հետազոտումը Պույնիսկ պարզագույն սպասարկման համակարգերիհամար կապված է հաշվողական մեծ բարդություններիհետ: Այդ իսկ պատճառով գործնակաճում դիտարկվում է համակարգերիստացիոնար ռեժիմը: Գտնենք մեր համակարգի համար 1 վիճակում գտնվելու 2, ստացիոնարհավանականությունը: Եթե հանակարգի համար գոյություն ունի ստացիոնար ոեժիմ, ապա : Այստեղից ձ7.(1)/4Հ-0ն 7.5 7, 0ՀյՀԲՀ 1 հավանականությունների

հոտ,(Ս

համար ճշմարիտ է հետնյալ հավասարումներիհամակարգը.

ԱԽՈՆ ԱՂԵՆ ՈՒՂՈՒ

Ճ«քն,

(1.5) քեւ ՊՀ ոու: (1.5) հավասարումներն արտացոլում են ստացիոնար ռեժիմում գործընթացի ւ վիճակ մտնող ն դուրս եկող հոսքնրի հաճախությունների հավասար լինելը: (1.5) հավասարումները կազմելու համար բավական է հաճախություններիգրաֆում առանձնացնել որեէ 1 գագաթ ն հաշվել դեպի ւ գագաթ եկող 0-1 ն 1 վիճակներից) ն ս գագաթից դուրս եկող (2-1 ն 1 վիճակները) հոսքերի հաճախությունները, որոնց հաշվեկշռի հավասալության պայմանից կստանանք (1.5) համակարգի հավասարումները: Համակարգը պետք Է լրացնել 7, ՕՀԼՏՃՀ 1, հավանակաճությունների նորմավոլրման

պայմանճով՝

ԷՀ)

Ֆո»

(1.6)

ԱՂԱ

(1.5) հավասարումներիհամակարգի լուծումներնունեն հետնյալ տեսքը.

ոո.

ւ-1

յ-0

ա),0ՏՏԽՒԼՆ

(1.7)

Հերթերի տեսություն

ճմ.

որտեղ 7ը-ն որոշվում է (1.6) պայմանից՝ ո

ՀՄԱ: ՛

ԵՀՈ-1

ՀԱ/ու: լյ

Ո.7-ը մարկովյան համակարգերի տեսության հիմնական հավասարումն է, որից որպես մասնավոր դեպքեր ստացվում են մարկովյան շատ համակարգերիլուծումները: Այդ լուծումները գտնելու համար պարտադիր չէ կազմել հաշվեկշռի հավասարումները.բավական է համոզվել, որ համակարգի վարքը նկարագրվում է բազմացման ու կործանման գործընթացովն որոշել նրա հաճախություններիՕ մատրիցը: Այժմ քննարկենք (1.4) հավասարումների ստացիոնար լուծումների գոյության հարցը: Դիտարկվող դեպքում, քանի որ համակարգի վարքը ճկարագրողմարկովյան գործընթացըէրգոդիկ է, ապա 1-5» դեպքում գործընթացը միշտ ունի ստացիոնար (կայուն) 7: լուծումներ: Եթե ԽՃ-» (Տ-ն ձգտեցնում են -Ժ-»-ն), ապա ստացիոնար լուծումների գոյության համար անհրաժեշտ է, 70-ից: Մտացիոնար լուծումների գոյությունը հետազոտելու համար կազմենքոնտնյալ գումարները. Տ-

ԱԿ

1-10

/աւ):Տ-

».

մԱճա/Ճ:):

-11-0

Դիտարկվող բազմացման ու կործանմանգործընթացիբոլոր վիճակները էրգոդիկկլինեն միայն այն դեպքում,երբ 0.8) ՏլՀ»նՏչՀ»Հ: Նշենք, որ միայն էրգոդիկության(1.8) պայմանի բավարարմանդեպքում գոյություն ունեն (1.4) հավասարումներիկայունացված 4. լուծումները: Էրգոդիկության պայմանը բավարարվում է միայն այն դեպքում, երբ սկսված ռրնէ 1 վիճակից (/րեչլ) հաջորդականության բոլոր անդամները փռոքըեն մեկից, այսինքն` երբ գոյություն ունեն այնպիսի սօն օՀ1-ից, որ բոլոր 15:0-երիհամար ճշմարիտ է 4/չգ.լՀ Շ Հ 1 անհավասարությունը: Հերթերի տեսության շատ մոդելներում նշված էրգոդիկության պայմանը բավարարվում է, ինչը թույլ է տալիս օգտագործել բազմացման ու կործանման գործընթացի շ հավանականությունների համար ստացված ընդեանուըր լուծումները: Այժմ անցնենք դասական սպասարկմանհամակարգերիստացիոնար բնութագրերիհետազոտմանը: 1.4

Անսահմաճափակհերթ՝ ԽՈԽ(1:

Համակարգումհայտերի մուտքի հոսքն ունի Պուասոնի, իսկ նրանց սպասարկմանժամանակը՝ ցուցչային բաշխում, համապատասխանորեն ն է նկարագրել ո, պարամետրերով: Համակարգի վարքը կարելի բազմացման ու կործանման գործընթացով, որի անցումների Ճյ հաճախություններըհավասար են`

/.Հերթերի տեսությանտարրերը

Ճու-.

-01շ...., մյւՀ լե 1-0,1,2,...: Համակարգում հայտերի քանակը սահմանափակ չէ, իսկ դրանց սպասարկումըկատարվումէ արդարացիհերթի սկզբունքով: Համակարգի վարքը նկարագլող բազմացման ու կործանման գործընթացի Է վիճակների բազմությունը բաղկացած է հետնյալ տարրերից` Է-(0,1,2,...,ո,...), որտեղ ո-ը համակարգումհայտերի քանակն է: Գործընթացի անցումների` հաճախությունների գրաֆն ունի հետնյալ տեսքը՝

նո.

ւռ

ք.

"ւ

1 վ ո

Եթե բավարարվումեն էրգոդիկության(1.8) պայմանները` Տ-

չ0/թ'

Հ,

Տշ

ՀԱ"

«6,

է51

համակալգը ունի ստացիոնար ռեժիմ, որի հետնյալ բանաձներով.

ապա

Ղ-

լուծումները որոշվում են

120, »-10-2 »կոա-Օրթ, 0/3):

(1.9)

'Հ

Հեշտ է նկատել, որ համակարգի էրգոդիկությանպայմանները բավարարվում են միայն ն միայն "'ՃՀ1-ից ղեպքում: 7 ռճավանականության համար 5յ-ի զուգամիտմանպայմանից կստանանք` 7-1)(մատ-1-ք, որտեղ ԹՀրխր--ն համակարգի զբաղվածության (բեռնվածության) գործակիցնէ: ստացիոնար հավանականություններիհամար կստանանք՝ ՊՃ դ

(1-թ)ք.,

(1.10)

1-0,1.2,...

Այսպիսով, կայուն ռեժիմի դեպքում համակարգում մ հայտերի գտնվելու հավանականությունը կախված է միայն 4-ի ն ք-ի հարաբերությունից` դամակարգիբեռնվածությանք գործակցից: Համակարգի բնութագրերի որոշումը: Համակարգում հայտերի Ի միջին քանակի համար մաթեմատիկականսպասելիիբանաձնից ունենք՝

Ջ-Ֆող «(ւ0

Թ/Ա-թ): բ) տ' -Ա-)թ-Է(ԷՔԴ92 ,-օ

Լիթլի բանաձնը կիրառելով համակարգում հայտի մնալու Լ միջին ժամանակիհամար, կստանանք` ւ- Ա/1,1-Ք/0-թ241Սամ թ)

Համակարգիկարնոր բնութագինրիցէ հայտերիգտնվելու հավանակամությունը՝

նան

համակարգում )-ից

ոչ

քիչ

Հերթերի տեսություն

Ճայ

-ֆոլ-ՖԹԱ-թ)-Ք,Էլ...: յ"

րւ

Հերթումհայտերի միջին քանակը՝

-ն, ռրոշվում է հետնյալ կերպ:

Դիցուք` հերթում ռայտերի պատահական քանակն է: Ակնհայտ է, ռր Ճ-0-ի, եթե համակարգումհայտեր չկան ն 7-ո-1-ի, ոՀ1,2,..., եթե համակարգում կա ռ հայտ (ո--Ժ1-ը՝հերթում ն մեկը՝ սպասարկմանսարքում): Հերթում ռո հայտերի գտնվելու հավանականությունը,երբ ո»0-ից, հավասար է 2-ի, իսկ ո-0-ի դեպքում` (7ո-Ւլ)-ի: Հետնաբար, հերթում հայտերի Էի Կ-ն

միջին քանակը հավասար է

քո, -Ա-ք-ք'/(թ): Ֆ(ո-

Ստորին զ ինդեքսը զսծսօ (հերթ) բառի սկզբնատառնէ: Հայտի հերթում չսպասելու (զրոյական սպասման) հավանականությունը հավասար է 7շ-ի, 7շ-1-թ, իսկ միավոր ժամանակում համակարգով անցած հայտերի միջին թիվը հավասաը է /4-(1-ոշ)յ-ի: Դա այսպես կոչված է: Այն թույլ է տալիս հեշտությամբ համակարգի ծախսի հավասարումն որոշել 75-իարժեքը: 1.5

Սահմանափակհերթովսպասարկման համակարգը

Դիցուք` համակարգում հայտերի քանակը սահմանափակ է ն հավասար է Բ-ի: Դա նշանակում է, որ համակարգումառավելագույնը կարող են հատ հերթում, իսկ մեկր սպասարկմանսարքում: գտճվել ԵԼ հայտեր` ԽՃ Եթե որնէ հայտի գալու պահին համակարգում հերթի երկարությունըհավասար է Ք-ի, ապա այդ հայտըմերժվում է ն չի սպասարկվում: Պայմանավորվենք,որ համակարգի հայտերիմուտքի հոսքի ն սպասարկմանժամանակիբաշխմանֆունկցիաներըցուցչային են՝ 4 ն մ պարամետրերով: Համակարգի վարքը կարելի է նկարագրել վիճակների վերջավոր ԵՀ-40.1....6-1) բազմությունով բազմացմանու կործանման գործընթացով, որի անցումներիհաճախութուններըհավասարեն՝ 4, եթեւՀԽ-1,

չ-

10, եթեւչՀթ

էւ լե ԹՆ2,....1ՒԼ վերջավոր է, ապա համակարգը միշտ էրգոՔանի որ Խ բազմությունը դիկ է ն ունի ստացիոնարբաշխում: Գործընթացիանցման հաճախություններիգրաֆը ն Օ մատրիցըունեն հետնյալ տեսքը. Հ

ռր

ո. յ,

/.Հերթերի տեսությանտարրերը

Չ-չ0

-ՕԱՀ`ր).-.

ԱՄՀ

ս-ա

Օգտվելով (1.7) բանաձներից,համակարգիստացիոնար հավանականությունների համար կստանանք՝ 1-1

7Հ-

ոլա),

ՀՆ

յ"0

ո-0,

ՀԱՀ,

կամ ո

-ո(1/ր),

1ՀՔ-1,

է.)

Այստեղ 7շ-ն որոշվում է "7,

լ-0

ո-

տ»0,

ֆալ:

նորմավորմանպայմանիցն հավասարէ՝

ե չավ «իտե//ր Ժա"

Որտեղից`գործընթացիստացիոնարհավանականություններիհամար կստանանք՝ ո-Ա-Ք/Ա-թ, Թ-ի

.-Ա-ք)ք /(- ք"),

դ-0,

0ՀՀԽՀ.

էո):

Համակարգումհայտերի միջին Վ քանակը հավասար է` Ք4|

Ֆլ,

ՒՀ-

իսկ հերթի միջին

Իգերկարությունը՝ --

ԻՎ»

Հայտերի համակարգում է

ԽՀլ

շ,6-Սո,

հերթում

1, մնալու ժամանակների միջին

արժեքներըորոշվում են Լիթլի բանաձեի օգնությամբ, ըստ որի՝ ԱՀԵԿ/1, 1-ԻԽ/4: Այսպիսով դասական սպասարկմանհամակարգի հիմնական ստացիոնար բնութագրերի հետազոտումն ավարտվում է: Անցնենք սպասարկման համակարգերի գործնական կիրառությունների քննարկմանը ավտոտեխսպասարկմանձեռնարկության օրինակով:

ՂԱԼ

2. 2.1

Հերթերիտեսություն

Ավտոտեխսպասարկման ձեռնարկությանմոդել Սպասարկմանհամակարգինկարագրություն

Որպես սպասարկմանհամակարգի տիպային օրինակ, որի ծառայությունների հետ առօրյա կյանքում բավականին հաճախ ենք առնչվում, դիտարկնենք ավտոտեխսպասարկմանձեռնարկությունը,որը սպասարկում է որոշակի տարածքի բնակիչների ավտոմեքենաները:Շուկայական մրցակցության պայմաններում նման ձեռնարկությանարդյունավետության ապահովումը պահանջում է ռետազոտել ինչպես հաճախորդներիպահանջները, նախասիրություններըն վարքը, այնպես էլ ձեռնարկության աշխատանքի կազմակերպման ն կառավարման տարբեր եղանակները, նրա առանձին ծառայություններիկազմը ն հաճախորդներիսպասարկմանկարգը: Ձեռնարկությանաշխատանքի կազմակերպմանձների նե հաճախոլդմերի սպասարկմանկարգի հետազոտման ն ընտրության ժամանակ պետք է հաշվի առնել, որ հաճախորդներին ձեշնարըկությաննպատակներըն չափանիշներըկարող են հակադրվելմիմյանց: Օրինակ՝ եթե հաճախորդներին հետաքրքրումէ արագ, որակյալ, էժան ն առանց հապաղումներիսպասարկումը,ապա ձեռնարկությունըշահագըգրռված է ապահովել իր ունեցած միջոցների առավելագույն բեռնվածությունը ն եկամտաբերությունը: Վերջիններս պայմանավորցված են այնպիսի գործոններով, ինչպիսիք են ձեռնարկության ծառայությունների ն սպասարկող բրիգադների քանակը, նրանց տեխնիկականզինվածությունը, աշխատողների մասնագիտական որակավորումը, սպասարկման ամբողջականությունը,ծառայություններին բրիգադներիթողունակությունըն այլն: Ձեռնարկության աշխատանքի կազմակերպման տարբեր եղաճակների գնահատման համարկարող են օգտագործվել հերթերի տեսության տարբեր մոդելներ, որտեղ ձեռնարկությունը դիտարկվում է որպես մեկ ընդեանրացված սպասարկման համակարգ կամ միմյանց հետ փոխկապակցված տարբերսպասարկման համակարգերիցանց: Դիտարկենք ավտոտեխսպասարկմանձեռնարկությունը,որպես սպասարկման համակաըգ: Ձեռնարկությանմուտքի հոսքը ձնավորվումէ հաճախորդների հայտերով: Հաճախորդների սպասարկման հայտերը կա-րելի է երնույթներ, որոնց հանդես դիտել որպես միմյանցից անկախ առաջացող գալու պահերի միջն ընկած ժամանակը նկարագրվումէ որոշակի բաշխման ենթադրենք, որ օրենքով: Հաշվարկների համար բավարար ճշտությամբ Պուասոնի բաշխում, իսկ հայտերի հոսքը ունի ձեռնարկությանմուտքում երկու հաջորդականհայտերի գալու պահերիմիջն ընկած ժամաճակը՝ցուցչային բաշխում: Դիտարկենքհաճախորդներիվարքի երեք տարբերակներ, ռրռնք պայմանականորենկանվանենք՝

Ավտոտեխսպասարկման ձեռնարկությանմոդել

ա) Համբերատարհաճախորդ: բ) Անհամբերհաճախոլւդ: գ) Հաշվենկատհաճախորդ: Առաջին դեպքում հաճախորդները դիմելով ձեռնարկություն` նրա ծաեն ռայությունների ն բրիգադների զբաղվածության դեպքում պատրաստ համբերատար սպասելու մինչն իրենց հայտի կատարման ավարտը: Երկրորդ դեպքում հաճախորդները գալով ձեռնարկություն, կախված այդ պահին ձնավորված հերթի երկարությունից,ծառայությունների ն բրիգադների զբաղվածությունից, կարող են հրաժարվել հերթում սպասելուց կամ սպասարկումից: Երրորդ դեպքում հաճախորդները կարող են հեռանալ հերթից, եթե նրանց սպասարկման սպասելու ժամանակը գերազանցում է որոշակի տրված մեծությունը: Այժմ դիտարկենքձեռնարկությունումհաճախորդներիհայտերի սպասարկմանկազմակերպմանմի քանի հնարավոր տարբերակներ: լ. Հաճախորդներին սպասարկում են տ նտւյնատիսլ աշխատակազմերը՝ բրիգադները,որոնք կազմված են ամբողջականսպասարկմանհամար անհրաժեշտ տեխնիկական միջոցներով ն արհեստավարժ մասնագետճերով:Բրիգաղներնաշխատումեն միմյանցիցանկախ, իսկ նրանց կողմից

հաճախորդիամբողջական սպասարկմանժամանակը. ներառյալ անսարքությունների որոշումը ն նորոգումը,ունի ցուցչային բաշխում: 2. Ձեռնարկության աշխատանքային բրիգադները կազմված են ըստ որոշակի մասնագիտությունների,ն"հաճախորդը ամբռղջական սպասարկում ստանալու համար պետք է անցնի մի քանի բրիգադներով`ծառայությունների ցանցով: Այս դեպքում նս ընդունենք, որ տարբեր ծառայություններում ու բրի.գադներումհաճախորդիսպասարկմանժամանակմունի ցուցչային բաշխում: Այժմ քննարկենք ձեռնարկությունում հաճախորդներիհերթի կազմակերպումը ն հերթից նրանց սպասարկման կարգը: Նշենք, որ ձեռնարկությունում հերթագոյացումը, մի կողմից, թույլ է տալիս բարձրացնել նրա ծառայությունների բեռնվածությունը ն ամբողջ ձեռնարկության թողունակությունը, իսկ մյուս կողմից, լրացուցիչ ծախսեր է պահանջում տարածքների վարձակալման ն հերթի կազմակերպմանհամար: Դիտարկենք հաճախորդների հերթի կազմակերպմանհետնյալ տարբերակները: յ. Հաճախորդներին սպասարկում են տ բրիգադնելր,հերթում սպասելու տեղերը բացակայում են: Եթե բոլոր բրիգաղներըզբաղված են, ապա նոր եկած հաճախորդներիհայտերը մերժվում են: 2. Հաճախորդներինսպասարկում են տ բրիգաղնելր,հերթերի առավելագույն երկարությունը ձեռնարկությունում սահմանափակված է 520, ԽՇԱՎ հաստատունով: Եթե հերթերից մեկում կան Բ հաճախորթյնել,ն այդ հելթ է

չՃ.

Հերթերիտեսություն

գալիս ՃԺ|-րդը, սպա նրա հայտը մերժվում է: Հաճախորդըայս դեպքում կարող է կամ փորձել որոշակի ժամանակից հետո նորից դիմել այս ձեռնարկությանըկամ մերժումիցհետո դիմել մեկ ուրիշ ձեռնարկության: 3. Հաճախորդներինսպասարկում են ոռ բրիգադներ,իսկ նրանց հերթերի երկարություններըսահմանափակվածչեն: Համբերատարհաճախորդը կարող է ձեռնարկությունումսպասել մինչն իր սպասարկմանավարտը: 4. Հաճախորդներիսպասարկումը ձեռնարկությունումսկսվում է անմիջապես, նրանց գալու պահին` որքան հաճախորդ,այնքան սպասարկող բրիգադ տարբերակով: Ձեռնարկությունըիր մշտական հաճախորդներիկամ, համապատասխան պայմանագրիդեպքում, ռրնէ ֆիրմայի արտադրած կամ վաճառած ավտոմեքենաների գնորդների համար կարող է իրականացնել ինչպես երաշխիքային սպասարկում, այնպես էլ պատահական ընթացիկ հաճա-

խորդների սպասարկում: Առաջին դեպքում` երաշխիքային սպասարկման սպասող հաճախորդներիթիվը սառմանափակէ ն ժամանակի ընթացքում քիչ է փուիռխվում: Երկրորդդեսլքում ձեռնարկությանհաճախորդներիհոսքը ձնավորվումէ ինչպես նրա սպասարկմանտարածքումբնակվողավտոտերերի,այնպես էլ տարանցիկհաճախորդներիկողմից: Վերջապես,նկարագրենքձեռնարկությունումհաճախորդներիհերթից սպասարկման կարգը: Չնայած հնարավոր սպասարկմանկարգի բազմազանությանը, հետագայում կդիտարկենք հաճախորդների սպասարկման «արդարացի» հերթի տարբերակը, երբ հաճախորդների սպասարկումն իրականացվումէ ըստ նրանց հերթի: Այժմ անցնենք ձեռնարկության գործելակերպը նկարագրող սպասարկման համակարգերիքննարկմանը: Պարզության համար սպասարկման համակարգերը կնշանակենք հերթերի տեսությունում ընդունված. հապավումներով: 3.

Խ/(Ե/կո|Ճ տիպիսպասարկմանհամակարգ

Դիտարկենք տ նույմատիպ սպասարկմանբրիգադներիցբաղկացած ձեռնարկության մոդելը: Ենթադրենք, որ հաճախորդներիհոսքը ձեռնարկություն ունի Հ, հաճախությամբ (պարամետրով) Պուասոնի բաշխում: Յուրաքանչյուր բրիգադում հաճախորդի սպասարկման ժամանակն ունի քս պարամետրովցուցչային բաշխում: Եթե հաճախորդի գալու պահին ձեռճնարկությունումազատ է գոնե մեկ բրիգադ, ապա ճրա հայտը անմիջապես ընդունվում է սպասարկման, ն նա ձեռնարկությունում մնում է մինչն իր ամբողջականսպասարկմանավարտը (այսինքն՝ դիտարկվումէ համբերատար հաճախորդներիտարբերակը): Եթե հաճախորդիգալու պահին բոլոր բրիգադներնզբաղված են, բայց հերթում կան ազատ տեղեր, ապա հաճա-

ԽՈԽ/(ոլԲտիպի սպասարկմանհամակարգ

խորդը հերթ է կանգնում ն համբերատար սպասում մինչն իր սպասարկման ավարտը: Հաճախորդների սպասարկումըձեռնարկությունում իրականացվումէ ըստ նրանց ունեցած հերթի՝ ով եկել է առաջինը նա էլ սպասարկվում է առաջինը:Յուրաքանչյուր հաճախորդսպասարկվումէ միայն մեկ բրիգադի կողմից: Յուրաքանչյուր բրիգադ միաժամանակ ունակ է սպասարկելու միայն մեկ հաճախորդի: Ձեռնարկությունում հաճախորդներիհերթի երկարությունը սահմանափակված է ԽՀ 0, Բճ | հաստատունով:Եթե հաճախորդի գալու պահին հերթումբոլոր Բ տեղերը զբաղված են, ապա նրա հայտը մերժվում է: Սպասարկման համակարգի բնութագրերի հետազոտման համար կառուցենք նրա վարքը նկարագրողբազմացման ու կռրծանման գործընթացը: Որպեսգործընթացիվիճակներ՝դիտարկենքհամակարգում(այսինքն` հերթումն սպասարկողսարքերիմոտ) գտնվողհաճախորդներիթիվը: Հետազոտվող գործընթացիվիճակներիթիվը վերջավոր է, իսկ վիճակներիԷ բազմություն ունի հետնյալ տեսքը. ՔՀ (0,1,2,...,ոՒ Լ): ԳործընթացիՕ հաճախություններիմատրիցիտարրերըորոշվում են հետնյալ հավասարություններով.

ՃՀ-'Ն, `

՞-0ոՀի,

| ի,

եթեւչո, եթեւչռո:

ոլ,

Քանի որ գործընթացիվիճակներիԲ բազմությունը վերջավոր է, ապա համա-կարգի համար գոյություն ունի ստացիոնար ռեժիմ: Գործընթացի գրաֆըբերված է գծագրում:

աու

ո-յ.

ոի

ասու ործրնթուցի ագիոոը ավանականույյո Ի

են

հետնյալ հավասարումներից.

խու,

1Տու1, (4ա)դ 1. ԷՈՒԼ) ու, (-ռք)ող 4ոոյԻլմնույ (ԼԷ) Հո.

.լ, ՊՏ ՋոՓՒՒ-1,

41եոււ1 Ող բավարարումեն նորմավորմանպայմանին՝ -

0.1)

:ւ""

ոչ

ւ-0

Հավասարումների լուծումներըկարելիէ ներկայացնելհետնյալ տեսքով.

Հերթերիտեսություն

27.

ՀԼ(յթ տ»

1-20,

«`ա» ւ-01 ամնականություն

Մոէ

Մո

7 ստացիոնար ԳործընթացիՁ հետնյալ հավասարումներից.

ՊՀ

որոշվում

են

էտ,

(ՆԷԼա)տ Ճո. նէ 1)ըմո.լ,1Հ -1, (հուշող ույտ ոՒլ» (ՂԷ) /1.լԷու

լ, ՊՏԼՑոՒՒ-1,

ոու» 47նույ1 նորմավորմանպայմանին` է

3.1)

նբավարարում են

Հլ

Ֆո

(20

»1: |

Հավասարումներիլուծումներըկարելիէ ներկայացնել հետնյալտեսքով.

(յր)

Մո

Շ-

Պօ» 1-0ո, .

(/ու)"ռ, 1-08

Այստեղ 7ը-ն` համակարգիպարապուրդիհավանականություննէ ն որոշճնշանակումները՝ վում է նորմավորմանպայմանից:Ներմուծելով հետնյալ Ք(,օ97

:(-0.,

Ե6,օՀՓ/Ն

ՕՀ

չօ'/ւ- չթ(.օ)մու :

համար կստանանք` հավանականությունների ո, ԻՄ,օո, 1-0,ռ Հ

7ուՀ«ԵՍ, 0ո., լ-0.

Օ) (ու, «Ը ֆազ 2. «Իտա ի

"ւ

բոլոր արժեքՔանի որ գործընթացըստացիռնարը լուծումներ ունի ների դեպքում, ապա հետագայում կդիտարկենք երկու դեպք` 251 ն 2-1: Նշված դեպքերումը-ի համար կստանանք`

70Յ

-չ

1/Ք(ո.ռտ)

սար

ԵՖ

Մթ(ուռ) Ք(ուօ)ո՞ -ծ-

ՃԵ(ո,),

երբ». երբ

Անցնենք սպասարկմանհամակարգիբնութագրերիհետազոտմանը: հավաՀաճախորդի սպասարկման Ի, (55166) հավանականճությունը է հաճախորդի գալու պահին գոնե մեկ ազատ բրիգադ կամ հերթում

Խ/կուլլոլէ տիպիսպասարկմանհամակարգ

գոնեմեկ ազատ տեղ լինելու հավանականությանը՝ ՈՀ

ՔՀ

յ:

Ֆ դ-1-7-1-»ՈՉ

1-0

Յ.2)

Համակարգում հաճախորդներիսպասարկմամբ զբաղված բրիգադ-

ների միջին քանակը հավասար է՝

Տո, ՀոՖ

ՀՕ

-ԵԽ-(1/թ),

տ`

որտեղից,հաշվի առնելով (3.2)-ը, ք -ի համար կստանանք՝ .- ՕՂ- ոո) : Հետեւսբար, մեկ բրիգադի զբաղվածության7. (Ծսշ) թյունըհավասարկլինի՝

հավանականու-

ո.-Բ/ո-Օ/ոԱ- ճու):

Ձեռնարկության լրիվ բեռնվածության հավանականությունը հավանրա բոլոր բրիգադներիզբաղվածությանհավանականությանը՝

սար է

-վ՞

-ԽՊու

լ-չ

ԽՀլ

Պո:

Էլ միջինքանակըհավասարէ՝

Հերթումհաճախորդների. --

ԻԼ Հոու -

1լ-2ճ(Հ«4-»)Լյ եթե 1-2

ոռ

Խ(Ճ

շթ

եթե շ

«1, Հ

Հաճախորդների հերթում մնալու միջին 1գ ժամանակը որոշվում Լիթլի բանաձնիցն հավասարէ`

Կ-ԻՆ /1 :

Իսկ ձեռնարկությունում (սպասարկման համակարգում) հաճախորդների մնալու է միջին ժամանակըորոշվում է հետնյալ բանաձնից`

ւ-(Ա-ՀՏ)/1-Ի/7,

որտեղ Ի -ը սպասարկմանհամակարգումհաճախորդներիմիջինքանակնէ: Դիտարկված սպասարկման համակարգի օգնությամբ կարելի է հետազոտել ձեռնարկության նան անհամբեր հաճախորդների բնութագրերը: Այդ դեպքում հաճախորդներիվարքը կարելի է նկարագրել հետնյալ կերպ. եթե հաճախորդրիր գալու պահին ձեռնարկությունում գտնում է գոնե մեկ ազատ բրիգադ կամ հերթում գոնե մեկ ազատ տեղ, ապա նճա մնում է ձեռնարկությունումն սպասում իր սպասարկմանը: Եթե ձեռնարկությունում հերթի երկարությունը հավասար է Խ-ի, ապա հաճախորդը հեռանում է ձեռնարկությունիցկամ դիմում է ուրիշ ձեռնարկության:

Հերթերիտեսություն

Դալ

Դիտարկված համակարգի օգնությամբ կարելի է հետազոտել նան առանց հերթի (Ճ- 0) ն անվերջ սպասման տեղերով ու համբերատարհաճախորղներով(Ճչ- օօ)ձեռնճարկությունների բնութագրերը: Նշված դեպքերի համար Ճ ստացիոնար հավանականությունները համապատասխանդրենհավասարըեն՝

օ'տղ-

25"

Ը 1»յիթ(,0)/2(8ւօ),1-0տ,Ք-0, Օօ» հայտա ն: )

թօ

։1

Ֆա-

չոոթ-Ը.

տԱ-»

թղ"

Ք(ոդօ) ԷՔճ(ոո)--

1-շ

1-տոչլ

1-յ

ւ-0,...ո,

(33)

Հ»,

1-5:

(3.3) բանաձնը կոչվում է Էռլանգի կորուստներիբանաձն ն թույլ է տալիս 1 տ-ի դեպքում հաշվել համակարգում հաճախորդներիհայտերի մերժման (կորստի) հավանակաճությունը:Նշված դեպքերիհամար բնութագրերը կարելի է հաշվել ԽՈԽ(ո|Ի տիպի համակարգիհամար ստացված -

բանաձներիօգնությամբ: 4.

ԽՈԽԼլտ|Ճ տիպի ն հերթումմնալու սահմանափակ ժամանակովձեռնարկությանմոդելը

Դիցուք` նախորդ բաժնում դիտարկված ձեռնարկությունը սպասարկում է «անհամբեր» հաճախորդների, որոնք, եթե հերթում մնալու նրանց ժամանակըգերազանցում է որնէ- պատահական մեծությանը,թողնում են հերթը ն հեռանում: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ն ունի 7 պարամետրով ցուցչային բաշխում, այսինքն` 5-ն հաճախորդներիկողմից հերթը լքելու հաճախությունն է: Ձեռնարկությունում ճաճախորդների սպասարկումնիրականացվում է տ նույնատիպ բրիգադների կողմից: Հերթում հաճախորդներիքանակը սահմանափակէ ն հավասար է Խ-ի: Հաճախորդներիհոսքը ունի Պուասոնի բաշխում, իսկ նրանց սպասարկման ժամաճակն՝ունի համապատասխանորեն4. ն Ս պարամետրերովցուցչային բաշխում: Եթե հաճախորդը իր գալու պահին ձեռնարկությունումգտճում է գոնե մեկ ազատ բրիգադ, ապա նա անմիջապես ընդունվում է սպասարկման: Եթե բոլոր ու բրիգադներըզբաղեցված են, բայց հերթում կա գոնե մեկ ազատ տեղ, ապա հաճախորդը հերթագրվում է: Եթե հաճախորդի գալու

Խլիլիո| տիպի ն հերթում մնալու...

պահին ձեռնարկությունում հերթի երկարությունը հավասար է Բ-ի, նըա հայտը մերժվումէ: "Նախորդմոդելինմանությամբ այս սպասարկմանհամակարգիվարքը նս կարելի է նկարագրել վիճակներ: Է վերջավոր բազմությունով՝ ԷՀ40,1,...,Ք- ո) բազմացմանու կործանմանգործընթացիօգնությամբ,որի անցումային Օ մատրիցիտարրերը որոշվում են հետնյալ կերպ. ապա

ճն

1-0ոՀԽ,

կիո

եթե

0,ոռ,

եջեւ-0,5:

այմԷ1Ն,

Գործընթացիանցումների գրաֆը բերված է ստորն: լ

ՕՏ

ուլ

2լ

(ատրչՈ-տխԽ-(ոլա0(-ոՀԼ)»)

արե

աօք,

ոռ

ՏԾՐ

Քանի որ գործընթաշի վիճակների Է-(0.1.....ոՒՃ) բազմությունը վերջավորէ, ապա համակարգիհամար գոյություն ունի ստացիոնարռեժիմ: Հաշվենք գործընթացի դ ստացիոնար հավանականությունները, որոնց համապա-տասխանհավասարումներիհամակարգնունի հետնյալ տեսքը՝ 43.- ուլն

(Հայտ

(Դո

Հո.Է 1)լմո, լ, -0.ո-1, ցոո-ոո.Էա մ)Պոլ,

ոու» (ԳՈլՈՒՒԼՈոււ 47նու-1Ւ(ՈԱՒՒՑՒԼ) Ը

(ոէ

Ս):

լտծումները կարելի Համակարգի ձներով.

(20.8

-1,

ՂԱու-լ: ներկայացնել հետնյալ

բանա-

ո-(ԱՔՒ-ր '

0»

ոՀ

ՀՅ

"(որ - յ)

1-0,Ո,

:՞-0Խ:

յ-1

Կատարենք հետնյալ նշանակումները. «Հ /լե՛/- ՄՄ ծ- ոլմմ: 7, հավանականությունըորոշվում է նորմավորման պայմանից՝

Անան

Ֆլ

1-0

որտեղից`

-1,

(4.1)

Հերթերիտեսություն

211.

«ՎՏո««ֆի/օ»դի

ըօ»ս /|բացՀոածի: ոռաչի'/ը հագյլաութ -

7-ի արժեքըտեղադրելով(4. Է)-ի մեջ, 7չ-երիհամար կստամանք՝ .-

Ա.»

Ք(.օ)07

7եոււ Հ

ղ ոտոուֆիի' ի Է

Դիցուք՝ ծ-ն

ոչ

յլ

(-0ՕՊ,

(6: մ)

1-0,28:

ծՀ

բացասականամբողջ թիվ է. ապա՝

Ած:

.7Փ,

որտեղից`

Հ.

9Ք6.3

.Ք(Ոծ,Դ-Ք(5.7. թ(8 6.3

"Ո:

րր

Անցնենքձեռնարկությանբնութագրերի հետազոտմանը:Ջեռնարկության զբաղվածբրիգադներիմիջին Ք. քանակըորոշվում է հետնյալ բանաձնով. --

Բ-ն

ո,

Հոտ

1-0

Օոուօ)Հոթ(ոօ))Թ04:6.806, ))Թ6.7). (2(ո,9)Հ Ք(ո,օ))(Թ04Էծ,7) Ք(6,7))/5(6,7) -

Հաճախորդներիսպասարկման5, հավանականությունըհավասար է՝ թ,»

Ք //1:

Հերթումհաճախորդներիմիջին

մ-ր... ս գ.

ով

Լի քանակը հավասար է՝

թնաօ)(Թ04-4.))86.0)»6.7) Հ 6,7) -Ք(6,13)/Թ(6,7 (Թ(ո,օ) Ե(ո,օ))(ԹԱՑ `

Մեկ բրիգադի զբաղվածության հետնյալբանաձնով.

7ե-թ/ տ:

հավաճականությունըորոշվում

Ձեռնարկությանլրիվ բեռնվածությանհավանականությունըհավասարէ`

ն հերթում մնալու... ԽլԽլո| տրապրի

"ւ

ո.-չուսՀող

/Թ(6, 1728 46,7)-Ք0 -Լ):

Հաճախորդներիհերթում մնալու միջին

ժամանակը հավասարէ՝

Կլ /1 :

Իսկ ձեռնարկությունումմնալու միջին ժամաճակը, ըստ Լիթլի բաճաձնի, հավասար է՝

ւ-( Ա.ՀՔ)1-Է/2,

որտեղՎ -ը ձեռնարկությունում հաճախորդներիմիջին քանակն է: Ձեռնարկությունում հերթի առկայության հավանականությումըհավասար

է՝

թոգ-

Պո(Հ(Խ-ծ,)7Ք(ծ.7))/5(6,7,

իսկ հերթի գոյության միջին ժամանակը՝ ը "4

Ք(«46,7/)-Ք(00,) թ(ծ.73

որտեղ ոօզ ն զօ կրճատումներն են հետնյալ ՕԱՇԱՇՇՀ1ՏէՇոշ. համապատասխանաբար:

բառերի` ոօռ-Շոռթ(7

զսշսօ

Մեկ բրիգադի զբաղվածությանմիջին ժամանակըհավասար է` Է

"ը

(446.2 թ(ծ.7)

86.2

Դժվար չէ համոզվել, որ ղիտարկվածսպասարկմանհամակարգլ: Ֆ-:0-ի դեպքում համընկնում է նախորդ բաժնում քննարկված համակարգի հետ: Ինչպես ն նախորդ բաժնում, կարելի է հետազոտել ձեռնարկության բնութագրերըԴ-ի, է-ի, ն 5-ի տարբելւ արժեքների դեպքում:

ԽՈՒԽ(ոռ տիպի ն անհամբերհաճախորդներով սպասարկմանհամակարգ

Դիցուք` ձեռնարկությունը բաղկացած է նույնատիպ սպասարկմանո բրիգադներից ն ունի հաճախորդներիսպասման համար անսահմանափակ թվով սպասման տեղեր`հերթ: Ձեռնարկության մուտքում հաճախորդների հոսքը Պուասոնի է՝ 1, պարամետրով,իսկ նրանց սպասարկմանժամանակը ցուցչային է` ո պարամետրով:Եթե հաճախորդի գալու պահին ձեռնարկությունում կա գոնե մեկ ազատ բրիգադ, ապա անմիջապես սկսվում է հաճախորղի սսլասարկումը: Եթե բոլոր բրիգադներըզբաղված նեն,ն հերթի երկարությունը հավասար է 1-ի, ապա հաճախորդը բը,հավանականությամբհերթ է կանգնում,իսկ 1 ք, հավանականությամբհեռանում է ձեռնարկությունից:

Հերթերիտեսություն

Ձեռնարկության բնութագրերը հետազոտելու համար նրա վալքը կարելի է նկարագրել վիճակների Ե բազմությունով` ԵՀ(0,1.2....,) բազմացման ու կործանման գործընթացով,որի Օ մատրիցիտարրերըորոշվում են հետնյալ կերպ. ան 20,ո,

Հ54բլ,

մո

1- ՈոՒլ, ոէշ....,

իք, եթելչտ,

եթջեւշտ:

ոք,

Գործընթացիամցումային գրաֆը բերված է ստորն:

Յւ.

(տո-լյր

այւ

լւ

եր

7 ան

ոնի

ստացիոնար հավանականություններըորոշվում ճերի հետնյալ համակարգից. ՀՀ աո, .

են

հավասարում-

Հուլէ ատ, Էետ-1, (Գայ (Աու) ո-1Աո.յէ ուր ւլ» ոյ Պու 1-12:3...: որու: (ԿՒու շոու» /Ճ/տյմ: Բերված Կատարենք հետնյալ նշանակումները Օ-/4/յՆ 7Հ

հավասարումներից 7 հավանականություններիհամար այնուհետն կստաճանք՝ զ

2--

1-0,ռո: ո-ԶՐՊց» Լ

հավանճականությունը որոշվում է նորմավորմանպայմանից`

Ֆո,Հ1,

«0

,-Հ--Ր--Հ-ոՎ:

Հարովալուչ շիթյ

աԼ

6:)

Գործընթացի ստացիոնար ռեժիմի գոյության պայմանը ակնհայտ է. անհրաժեշտ է, որ տջ»0-ից,այսինքն` (5.1) բանաձնում հայտարարի շարքը զուգամիտի: Եթե ներմուծենքհետնյալ նշանակումները՝ (ուց)

Ֆճ'/Լ,

քնոյ)

1-1

բօ

ԻՑ

Օ"/ոլ,

Փ-»Ֆ.7 118,»Փ-1Ծյ, Թ.

ԽԽ/լո| տրայինանհամբեր...

ապա

հավանականությունների համարկստանանք`

դ. Ե(6.)Ք(ո,օ) -

Մոնո

նո

Ք(ո,օ3օ

Փ2» ՞Ն2:3,...

ւ-

Անցնենք համակարգիբնութագրերիհետազոտմանը: Ձեռնարկություն փաստացիմուտք գործած հաճախորդներիհաճախությունը ռավասաը է`

1-Ֆո:

Ի.

Հերթում հաճախորդների բանաձնից.

միջին քանակը որոշվում

երն

է-0

հետնյալ

շար

լ-

Հաճախորդներիհերթում մնալու միջին ժամանակը հավասար է`

եՀ-ԵՆ/4Հ:

Զբաղված բրիգադներիմիջին Ք քանակը հավասալ է՝

ՔՀ

-ոյզր(ո-1,0):

Ձեոնարկությունումհաճախորդներիմիջին Ա քանակը հավասալ

է՝

Պ-ԽոՀՔ,

իսկ ռաճախորդների ձեռնարկությունում մնալու միջին Լ հավասալ է՝

ժամանակը

(-/2:

Եթե թ-1/014 |)-ի, կստանանք`

հավաճակաճությանների համար (5.1)-ից

ապա տ

7նո:: ոմ -

շյՀ-Հ------------.--: լ

Ք(ո,ռ)

Եթե թ-6՛,

դրտեղ 0ՀՅ Հ),

1-0: 10,1....

(Աո),

Ք(ո,0)67

ապա՝

1Հ-0,ո: .

---տլ,

"ւ-Ս

ոմ

: )

0,1,2,. .-

լ -

Ք(ո,օ) ԷՔ(ո.0)Ֆ.276

ա` `

21.

Հերթերիտեսություն

Բերենք մի քանի հետաքրքիրառնչություններ կապված՝ ք, գռրծակիցների տեսքի ն Պոլ. հավանականճությունների բաշխման օրենքների հետ:

Եթե թ-(ՎԺԾ/ՂԼԻԿՎՈՒՄ)ի,

որտեղ ՒՇ-օօոտ, ապա ու-ն ոնի երկանդամ բաշխում: թ.-ԱՎԻԼ)/(ՎՈՀ)-ի դեպքում` բացասականերկանդամ բաշխում, իսկթ- 6"-ի դեպքում, որտեդ 4 օօոտէ, նւրմալ բաշխում: -

ԽՈԱԽ(լտո տիպի ն ՎԻհաճախորդներովփակ սպասարկմանհամակարգ

Դիտարկենք ձեռնարկության աշխատանքն այն դեպքում, երբ նա կատարում է սահմանափակ Ի թվով հաճախորդներիերաշխիքային սպասարկում: Այս դեպքում կենթադրենք, որ յուրաքանչյուր հաճախորդ ձեռճարկությանը դիմելու անհրաժեշտություն է ունենում /, պարամետրովցուցչային բաշխում ունեցող ժամանակահատվածներում:Եթե հաշվի առնենք, որ հաճախորդների ձեռնարկությանըդիմելու պատճառը ավտոմեքենայի անսարքություններնեն, ապա, ինչպես հայտնի է հուսալիության տեսությունից, մուտքի հոսքի ցուցչային բաշխման ենթադրությունըբավականին հիմ-

նավորվածէ: Դիցուք` ձեռնարկությունումհաճախորդներիսպասարկումն իրականացվում է տ նույնատիպ բրիգադների կւղմից։ Պարզության համար ենթադրենք, որ բոլոր հաճախորդներն էլ համբերատար են ն, գալով ձեռճմարկություն,այնտեղ (հերթում ն սպասարկող բրիգադների մոտ) մնում են մինչն իրենց սպասարկման ավարտը: Հաճախորդիսպասարկման ժամաճակը մեկ բրիգադումունի /չ պարամետրովցուցչային բաշխում: Ձեռնարկությանաշխատանքը կարելի է նկարագրել վերջավոր թվով վիճակների Ք բազմությունով բազմացման ու կործանման գործընթացով: Որպես գործընթացի վիճակ համարենք ձեռնարկությունում հաճախորդների քանակը: Դժվար չէ համոզվել, որ Է բազմության տարրերը հավասար են

0,1,2,...,ԷԷ

ման ապա

Դիտարկվող սպասարկման համակարգը կոչվում է փակ սպասարկհամակարգ: Եթե ձեռնարկությունում գտնվում են ռ հաճախորդներ, նոր հաճախորդներիգալու հաճախությունը կախված է ո-ից ն հավա-

սար է՝

4Ա-ո)-ի:

Համակարգիվարքը նկարագրողբազմացմանու կործանմանգործընթացի Օ մատրիցիտարրերը որոշվում են հետնյալ հավասարություններով. Ճ5 413),

1-0,

|ա,

եթելչտ,

որ,

եթելւչա:

Խլի(|ո| տիար ն

հաճախորդներով...

Հետագայում պարզության համար կենթադրենք,որ Հ»ո-ից, այսինքն՝ համակարգումկարոլ է հերթ առաջանալ: Գործընթացիանցումներիգրաֆը բերված է ստորն:

«ք քու վե ներմ նար աքեշի ԿՐոր ացն Համեեարց 2ր

3ւ

ՀՒ, տբ

ռեժիմ, րագրող որոշվում եճ հետնյալ հանրա 2, ստացիոնարհավանականճությունները վասարումներից. Ւ7Ե- թոլ, 1-օտ-1, (Գա) Սու (Սր, օտն

(ԱՎԱՒԻույդ

Սուլ ոթտ..,1-տ,Վ-1,

Հ ող.լ: Հավասարումներիլուծումները ունեն հետնյալ տեսքը. ոո

"ՀԿԵ

ՈԴիՐ

1:2:3:...1

ԽՐ

Ւ(Վ-)կվ

Ի տտ" ղ--. (Վ-յ

ՈՀԱՀԱ:

ոց.

|ք

|».«ու ո

Ներմուծելով հետնյալ նշանակումները.

մյ,

զ-

Շո---Ը (ո-ր)յու՛ տ

համար կստանանք` հավանականությունների

«ՇԽ»

ՀՈ,

է.

Հ----րն տոր

1-Շր

ոյ,

ՈՏՍՀԱՎ: .

Այստեղ 7,-ն որոշվում է նորմավորմանպայմանից՝ լ

ջո

շք

ՖԸ: /(տո"") Այժմ անցնենք ձեռնարկության բնութագրերիհետազոտմանը:Ձեռնար"0

կությանզբաղված

չՇ"ճ'

Ս."

որոշվում հետնյալ բանաձնով. քանակը

թ միջին -

չո

Հո

Ֆո:

Ձեռնարկությանհաճախորդներիմիջին Վ քանակը հավասալ --

ԽԻ

Ֆլ: «Լ

է`

ՃՒ

Հերթերիտեսություն

Հերթումհաճախորդներիմիջին --

հի

քանակը հավասարէ՝

ՒԼ

շո»:

լ:

Հաճախորդներիհերթում սպասելու միջին

ժամանակըհավասար է`

ե-ՀԵ/Ճ-Ի/ՃԱ-Ծ-լա,

իսկ ձեռնարկությունում նրանցմնալու է միջին ժամանակըհավասար է`

ւ-/Ք-ՀԵՃԿ-Ծ:

Ձեռնարկությունում հաճախորդների զրոյական սպասման հավանականությունը հավասար է` թրա -

4-(Վ-ՒԷՑ4

-ն

տ-1

Ֆո. 1-0

՛-1

5Շճ,

հավասարությունըցույց է տալիս համակարգիկայուն

ռեժիմում հաճախորդներիհռսքի միջին հաճախությունը ն կոչվում է համակարգի ծախսի հավասարում: Ձեռնարկության աշխատանքի արդյունավետության չափանիշ են հանդիսանում նան հետնյալ գործակիցներըբ̀րիգադների բեռնվածության

գործակիցը՝

Հ1'/ոյ -(Վ-ՍՀ1/ոս-«(ԳՎ-Ւյօ/ո, Ն

հերթում հաճախորդներիսպասմանգործակիցը՝ ԼՏ Պլ/Վ -

բրիգադներիպարապուրդիգործակիցը

Քչ-«(ո-Ջ)/ո։

ԽվԽ/ո|Ճտիպիսահմանափակհերթովն Վ հաճախորդներովփակսպասարկմանհամակարգ

Այս համակարգում,ի տարբերություննախորդբաժնումդիտարկվածի, հերթումհաճախորդներիառավելագույնթիվըսահմանափակէ ն հավասարէ 5-ի: Եթե ձեռնարկություն հաճախորդները գալու պահին տեսնում են, որ հերթում բոլոր տեղերըզբաղեցվածեն, ապա նրանց հայտերը մերժվումեն: Մերժված հաճախորդներընոր հայտ կարող են ներկայացնել միայն որոշակի ժամանակիցհետո, որն ունի 1 պարամետրովցուցչային բաշխում: Ձեռնարկությանհաճախորդներիքանակը սահմաճափակ է ն հավասար է Կ-ի: Յուրաքանչյուրհաճախորդձեռնարկությանը դիմումէ իր նախորդ սպասարկմանավարտիպահից 4 պարամետրովցուցչային բաշխում ունե-

Խ(Խրում տիպիսահմամավփակ հերթով...

հետո: Ձեռնարկությունումհաճախորդների ժամանակահատվածից սպա-սարկումն իրականացվում է ո (տ Հ Ի նույնատիպ բրիգադների միջոցով: Դիտարկենք ըստ գրաված հերթի հաճախորդների սպասարկման կարգը: Հաճախորդների սպասարկման ժամանակն ունի մ պարամետրով ցուցչային բաշխում: Ձեռնարկության վարքը կարելի է նկարագրել վերջավոլւ վիճակների Է-40,1....,ՃԷտ) բազմորթյուն ունեցւղ բազմացման ու կործանման գործընթացով, որի անցումները Օ մատրիցի տարրերը որոշվում են հետնյալ կերպ. 1-20տոՀՔ, ՃՀ-4/4ՈՊՎ-Հ), ցող

ո-ի իչ,

եթեյՀո, եթեւՀռ:

Գործընթացիանցումներիգրաֆը բերված է ստոլրն: ր

այր ոս

ոլ

ո-|

ԹԱՎ

(Վ-ա-1)Ն

ՌԳ-Լո)յ,

ոյւ

ՈՖՒԷ-1 իզ (ԳՀ-ո-Ե:1)Ն

Գործընթացն ունի ատացիոնարռեժիմ, որի 7, հավանականություններըորոշվում են հետնյալ հավասարումներիհամակարգից. ՒՍ քոլ, Տո, ՒԱՒ րա, լ, (ԳՈ. անո (ԿԱՃԻ -

(Գ-ո)ՂՒույո,

(Հ-ոՒԼ)Ճոու

Ղ-ոյոո

ՒուՄեու,

ՊՏ ԼՀՈՒՒ-1,

ՌԱ ԼՎ) Նույ, (Գ-տոԵՒԼ/Ոաաւ: (Ա-ո-Ե) ՀՒոյցորւՀավասարումների համակարգի 7. լուծումներն ունեն հետնյալ տեսքը.

(ԷԼ

դ-ԻՊ-2-Ռ-ՒՍ ե 1:2:3-...-1

դ-«ԸՇխ --Լի

որտեղ

ՕՀ

4/յ: իսկ յ-ն

լլ

զ'տց ոյո'՞"

ԽՕ 70, 1Հող,

ՄՊՀ

ՍՀՈՒԽ,

որոշվում է նորմավորմանպայմանից` 1ոֆմ

Ֆո, Հ1,

յՀ0

յ 1-1

Ն.)

1-0

Ա.4 ՀՈ

(ոռ /(ուո'")) ՝

Անցնենք ձեռնարկության բնութագրերիորոշմանը: Հաճախորդներիմերժման Է, (ոօյօօէ) հավանականությունըորոշվում

Ճո

Հերթերի տեսություն

հետնյալ բանաձնով. թ,

(ո

-ԸրՀՃ

նմ

ԼՑ) Օլ:ՀԱՃ

ոո"

Ւր քանակը հավասարէ`

Հերթումռաճախորդներիմիջին

Վ, իսկ

ՇՏ

տո,

1-1

ՒՄ" ոլո

ԴՐ,

"ղը,

միջին Վ քանակը՝

Գեոնարկությունում հաճախորդների ֆո-ռիֆո, Էֆ0Հ ոճ, Մ "| Վ-

ոտ

Ձեռնարկությունում զբաղված բրիգադների միջին Ք վասալ է՝

քանակը

հա-

(որո, ան Ըյօ ոչԸր" իսկ պարապուրդիմեջ գտնվող միջին քանակ` բրիգադների Ք-

Հտ,

7օ

Բլ

ուղ

ար

Հո-Ք: ո»- Հ(ո-նռ. 1-0

Հերթումհաճախորդներիսպասելու է միջինժամանակըհավասարէ՝ -

Ա /1Գ-1Ս:

Ձեռնարկությունումհաճախորդների մնալու է միջին ժամանակը հա-

վասար է՝

է-Պ/4Վ- 8):

Ձեռնարկությանծախսիհավասարումնունիհետնյալտեսքը.

42-Ը:

Հաճախորդների պարապուրդի քլ ն բրիգադների պարապուրդի Էշ գործակիցներըհամապատասխանորենհավասար են`

ՀԻՒ/ՈՆԲշ ո/ո։ -

Մարկովյանսպասարկմանցանցեր

Առօրյա կյանքից կարելի է բերել բազմաթիվ օրինակներ, երբ հաճախորդների, գնորդների, հիվանդներին այլ հայտերի սպասարկումըիրակահետ է նացվում միմյանց փոխկապակցվածտարբեր սպասարկմանհամակարգերի միջոցով: Հիշենք՝ գնորդների սպասարկումը հանրախանութում, երբ գնումներ ն վճարումներ կատարելիս նրանք սպասարկվումեն հանրախանութի տարբեր բաժիններում ն դրամարկղերում:հիվանդներիսպասարումը պոլիկլինիկայում կամ հիվանդանոցում, որտեղ հիվանդության

ծ.

Սարկովյանսպասարկմանցանցեր

23/

ախտորոշման ն բուժման համար նրանք անցնում են տարբեր լաբորատորիաներով, հաճախորդների սպասարկումը ավտոտեխսպասարկման ձեռնալրկությււնում, երբ ավտոմեքենայի անսարքությունների է անցնել ձեռնարկության ռրոշման ն վերականգնմանհամար աճնճոիրաժեշտ տարբեր ծառայություններովու բրիգադներով,ն այլն: Միմյանց հետ փոխկապակցված սպասարկման համակարգերիբազմությունըկռչվումէ սպասարկմանցանց:Սպասարկմանցանցերըբնութագրվում են իրենց կառուցվածքով, ցանցում ընդգրկված սպասարկմանհամակարգերի ն սպասարկվող հայտերի թվով ու տեսակներով,սպասարկմանհամակարգերումհայտերիսպասարկմանկարգով, հայտերիմուտքիհոսքի ն դրանց սպասարկմանժամանակիբաշխման օրենքով ն այլն: Սպասարկման ցանցի կարնոր կառուցվածքային տարրերից են նրա հանգույցները, ռրոնց համապատասխանումեն ցանցում ընդգրկված սպասարկման համակարգերը: Ցանցի կառուցվածքը, ճրա հանգույցների միջե եղած.կապերը նկարագրվում են ուղղորդված գրաֆի օգնությամբ: Գրաֆի գագաթներինհամապատասխամում են ցանցի հանգույցճերը, իսկ ուողված կողերին`հայտերի հոսքերը ցանցի մի հանգույցից դեպի մյուսը: Կախված ցանցում գտնվող հայտերի Ք թվից`տարբերվումեն բաց ն փակ սպասարկմանցանցեր: Բաց ցանցում հայտերի Ք թիվը պատահականմեծություն է, իսկ փակ ցանցում հաստատուն մեծություն է՝ ՔՀօօ: Եթե ցանցում սպասարկվողբոլոր հայտերը նույնատիպ ենճ,ապա նման ցանցը կոչվում է համասեռ: Ցանցում հայտերի տեղաշարժերը, այսինքն` ցանցի մի հանգույցից մյուսը անցումները, նկարագրվում են անցումների կամ երթուղային 2 հավանականային մատրիցով` Բ-|քյ|: Անցումների Բ մատրիցի թյ տարրերը ցույց են տալիս ցանցի ւ հանգույցում հայտերի սպասարկումիցհետո նրանց յ հանգույց անցնելու հավաճականությունը: Դիտարկենք հ, ՕՀի1ՀՀ»օ հանգույցներից բաղկացած բաց համասեռ սպասարկման ցանցը: Նման ցանց հայտերը գալիս են որեէ արտաքին աղբյուրից` 0 հանգույցից: Արտաքին աղբյուրից ցանցի ւ հանգույց հայտը կարող է ընկնել թյ, հավանականությամբ՝ ի/

2,թ.

Այստեղ ընդունվումէ, ռը քա-0: 1-րդհանգույցում սպասարկվելուցհետո հայտը թշ հավանականությամբկարողէ լքել ցաճցը՝ ընկնել 0 հանգույց: Երթուղային թ մատրիցի տարրերը բավարարում են հետնյալ պայմաններին. Ւ

0Հթ,Տ1, թյ )Հ0

Հվ,

նյճ (0,12.....

ԽՍ:

ԴՄԱՒ

Հերթերիտեսություն

Այսպիսով,ցանցի Ը երթուղայինմատրիցըհավանականայինմատրից է: Սպասարկմանցանցերի հետազոտմանխնդիրներում Ք մատրիցը դիտարկվում է որպես ցանցում հայտերի տեղաշարժերը նկարագրող էրգոդիկ, չվեիլուծվող մարկովյանշղթայի անցումային մատրից: Բաց ցանցում հայտերի մուտքի հոսքը որոշվում է շթ Հ .- ոլ պատահական մեծությունները համատեղ բաշխմամբ. որտեղ 1-երը հայտերի գալու պատահականպաներն են, Ք Հ 1, Հ 0,0ՀկՀԵՏ...: Եթե 2 պատահական մեծություններըհամախմբումանկախ են ն բոլոր Ք Հ 1-երիհամար ճշմարիտէ

Ճր(Ս-Ե ԱՐՏԱ, Ճլ(ԹՀՃշ(Հ...Ճ0

պայմանը, ապա ցանցի մուտքի հոսքը ամբողջությամբորոշվում է Ճ() բաշխմանֆունկցիայով: Եթե փակ սպասարկմանցանցի բոլոր հանգույցներում հայտերի սպասարկման ժամանակներն ունեն ցուցչային բաշխում, իսկ բաց ցանցի դեպքում նան մուտքի հոսքն ունի Պուասոնի բաշխում, ապա նման ցանցերը կոչվում են մարկովյան կամ ցուցչային: Եթե ցանցի որնէ 1-րդհանգույցում հայտերի սպասարկմանժամանակիբաշխման 8(, ֆունկցիան,1-1,2,...,ոլ կամ ցանցի մուտքի հոսքն ունի ցուց:'սյինից տարբեր բաշխում, ապա նման ցանցերը կոչվում են ոչ մարկովյան: Հետագայում մենք կքննարկենքմիայն համասեռ, մարկռվյանփակ ն բաց սպասարկմանցանցելը, որոնց համար

(ՍՀԱ,

8(Ս-1-ՓՈՆ

Այստեղ 4-ն` արտաքին աղբյուրից հայտերի հռսքի հաճախություննէ, իսկ

կպ-ն՝ցանցի :-րդ հանգույցում հայտերի սպասարկմանհաճախությունը: Որոշենք ստացիոնարռեժիմում բաց ցանցում շրջապտույտ կատարող հայտերի հոսքերի հաճախությունները: Դիցուք՝ 4-նճ ստացիոնար ռեժիմում ցանցի 1-րդ հանգույցի մուտքում հայտերի հոսքի գումարային հաճախուէ, որ 1-րդ թյունն է: Հայտերի հոսքի հաշվեկշռի պայմանից հետնում հանգույցից հայտերի ելքի հոսքի գումարային հաճախությունը նույնպես պետք է հավասար լինի 4-ի: Քանի ռր յ-րդ հանգույցից 1-րդհանգույց հայտերի հոսքի հաճախությունը հավասար է /քյ-ի, ապա կայունացվածդեժիմում ցանցիհանգույցներիհամար ճշմարիտեն հետնյալ հավասարումները.

ՒԼ

4 -1եքց Ֆ4թյ ,-0.12....,իՆ

(8.1)

որտեղ /օ-ն արտաքինաղբյուրից՝ 0 հանգույցից հայտերի հոսքի գումարային հաճախություննէ: է միարժեքորեն 26-ի արժեքի հայտնի լինելու դեպքում(8.1)-իցկարելի որոշել 4.--երի1-1.2,....ԽԼ արժեքները:Նշենք, որ բաց ցանցերում`/4օ»:0,իսկ փակ ցանցերում 4-0: Վերջին դեպքում ցանցում հայտերի Ք քանակը հաստատուն մեծություն է ն տրվում է ցանցի հետազոտման սկզբնական պայմաններում: Փակ ցանցում 4, հաճախություններըորոշվում են հետնյալ համասեռ հավասաըումներիհամակարգից.

ձ.

Մարկովյանսպասարկմանցանցեր ԽԼ

Ճ Հիլ

-Նշ,....իԸ

(8.2)

Ինչպես գիտենք, նման հավասարումներիհամակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ: Այսինքն՝ եթե հայտնի է (8.2)-ի որնէ 4-(4......Ղո) լուծում, ապա ցանկացած Թ3»0-իհամար Թ84-(թ/լյ,...,Թ4Խ)-ն՝նույնպես կլինի (8.2) հավասարումներիհամակարգիլուծում: Փակ ցանցերում 4-երի միարժեք որոշման հանար հետագայում կընդունենք,ռր դրանք բավարարում են հետնյալ նորմավորմանպայմանին` եւ

Հ1-1: 1-1

Այս դեպքում 4-երը կարելի է մեկնաբանել որպես սպասարկման ցանցի երթուղային Ե մատրիցի վրա կառուցված մարկովյան շղթայի ստացիոնարհավանականություններ: 4.-երի նման մեկնաբանումը թույլ է տալիս զգալիորենպարզեցնել փակ ցանցերի հետազոտումը: Բաց ցանցում Ճ հաճախականություններըկարելի է ներկայացնել հէ ոնյալ տեսքով ճՃ- ն, 1Ի0.12....,խՆ որտեղ ա-երը կոչվում են փոխանցմանգործակիցներ ն որոշվում են (8.1) հավասարումներիհամակարգից:Փակ ցանցում 4.-երը կարելի է ներկայացնել որնէ, օրինակ առաջին,հանգույցի հաճախությանօգնությամբ` Թլ2,...,հԼ ՃՀ կ, օ, Բաց ցանցում գործակիցները ցույց են տալիս հայտի ցանց գալու մինչն պահից ցանցից նրա հեռանալու պանը, այսինչն` ցանցում մնալու ընթացքում հանգույց ճրա ընկնելու միջին քանակլ, իսկ փակ ցանցում` 0. ցույց է տալիս որնէ հանգույց երկու հաջոլդական հաճախումների միջե ընկած ժամանակի ընթացքումհայտի 1 հանգույց ընկնելու միջին քանակը: Կենթադրենք, որ ցանցի -րդ հանգույցում հայտերի սպասարկումն իրականացվում է ռո, նույնատիպ սպասարկման սարքերի միջոցավ: -րդ հանգույցի մեկ սպասարկման սարքում հայտերի սպասարկման ժամանակն ունի ո, պարամետրովցուցչային բաշխում: Բաց սպասարկման ցանցի ստացիոնար ռեժիմում գտնվելու համար անհրաժեշտ է, ռր նրա բոլոր հանգույցների սպասարկման համակարգերը բավարարենչհագեցածության պայմանին՝

ՀմՀ1 (Հրա),

1-12,....ԽԸ

(64.3)

Քանի որ Ճ-ճ/կ, ապա բաց ցանցի ստացլունար ռեժիմի գոյության անիրաժեշտ ն բավարար պայմանը կարելի է ներկայացնել հետնյալ անհավասարությամբ. ԿՀ /6.):

ուռկ

Փակ ցանցերում յ, պարամետրերի ցանկացած վերջավոր արժեքների դեպքում գոյություն ունի ստացիոնար ռեժիմ: Այս սլեպքում որնէ

Հերթերիտեսություն

հանգույցում (8.3) պայմանի խախտումը հանգեցնում է տվյալ հանգույցում հայտերի գերկուտակման: Փակ ցանցում նման հանգույցները կոչվում են ցանցի նեղ տեղեր ն որոշվում են հետնյալ պայմանից.

/հ.)ՀԲ.-Քո, ուոն,

որտեղ քոա-ն կւչվում ցանցիհագեցմանգործակից: Այժմ անցնենք սպասարկման ցանցերի բնութագրերիորոշմանը: Դիտարկենք Ճ պարամետրովՊուասոնի բաշխմամբմուտքի հոսքով, հ/Լ հանգույցներով, համասեռ, մարկովյան բաց սպասարկման ցանցը: Հայ-տերի սպասարկումըցանցի 1-րդհանգույցում իրականացվումէ լ պարամետրով լ նույմնատիպսպասարկման սարքերով: Ցանցի հանգույցներում հայտերն սպասարկվում են արդարացի հերթի կարգով: Իսկ ցանցում դրանց տեղաշարժերը նկարագրվում են Ք երթուղային մատրիցով: Ցանցի վարքի նկարագրմանհամարդիտարկենքհետնյալ հ1 չափսի մարկովյանգռրծլնթացը՝ 0Հու(ժ,12-Ն2,....ԽՆ 0, Ւ(Ց-լու(ծ,ոչն),...,ո(Ս), ո է որտեղ (8-ն` ժամանակի պահին ցանցի 1-րդ հանգույցում (հերթում ն սպասարկման սարքերում) գտճվող հայտերի գումարյալ թիվն է: է

Նշանակենք Ւ(ո,1)-Ք(ոլ(3-ոլ,...ո(0-ոխչՄ-ով

ժամանակիէ պահին

ցանցի ո-(ոլ,ոշ....,ոկ) վիճակում գտնվելու հավանականությունը: Եթե ցանցի համճգույցները բավարարումեն չհագեցվածության(8.3) պայմւսնին, ապա բաց ցանցի համար գոյություն ունի ստացիոնար ռեժիմ: Ե(ո)-Ք(ոլ,ոշ,...,ուց-ով նշանակենք ստացիոնարռեժիմում ցանցի ո վիճակում գտնվելու հավանականությունը՝ թ(ո) հտ (ոէ: »

Էէ-»

Ե(ո)-երի համար կարելի

Օգտվելով հայտերի հոսքի հաշվեկշռից գրել հետնյալհավասարումներիհամակարգը՝

աի:ծ(ոյի(ո)ը Ւ

Էջ

-Ֆչծ(ոյ-1յյ(ուՀ 151յՏ.

Սրւլքյթ(ոլչոչշ,...ոլլոյ

լոլ -Նոյչլ,..,ու

Նուլ,-.,ոյ)Հ

Ֆծ(ոլ -1)1չթյգե(ոլ,ոշ,...չոլԼույլ,...Ոյլ)-

որտեղ ծ(5)-

65)

2.7(դլ

Սրւք ցե(ոլ,ոշ,....ոլ

բ եթե Լ

եթեր

12... ՀՕ,

ո,

լ,

Նուլլ,-..Ո)չ

(8.4)

եթեռտոլ, եթեոչՀոլ:

ֆունկցիան ցույց է տալիս, որ դատարկ հանգույցում հայտերի սպասարկման հաճախությունը հավասար է զրոյի: 7(ո) մեծությունը ցույց է

ճ.

Սարկովյանսպասարկմանցանցեր

տալիս 1-րդ հանգույցում միաժամանակ սպասարկվողհայտերի քանակը, երբ հանգույցում կան դչ հայտեր: (8.4) հավասարման ձախ մասը հավասար է ռ վիճակից դուրս եկող հայտերի հոսքի գումարային հաճախությանը,իսկ աջ մասը՝ ցանցի մյուս վիճակներիցդեպի ո վիճակ հոսքի գումարային հաճախությանը: Նշանակենք Ք(ո)-ով ցանցի առանձնացված Ա-րդհանգույցի սպասարկման համակարգում ո հայտերի գանվելու ստացիոնար հավանականությունը: Այժմ ցանցի ստացիոնար Ե( ո ) բաշխումը որոշվում է հետնյալ բանաձնով. Ք(ո)- Բլ(ու)չ«Քշ(ոշ)չ« ...«ՔԽ(ուժ: (8.5) (8.5) բանաձնը ներկայացնում է ցանցերի տեսության մեջ հայտնի Ջեքսոնի թեռրեմը,ըստ որի բաց ցանցի ստացիոնարբաշխումը հավասար է նրա առանձնացված հանգույցների սպասարկման համակարգերի ստացիոնար բաշխումներիարտադրյալին: Ներմուծենք /3(ո) ֆունկցիաները` "

8(ո)-

ռ,

եթեռՀո,

տ,

եթե ոշո,:

Այժմ (8.4) հավասարումների համակարգից ցանցի Ծ(ո) բաշխման համար կստանանք՝

")-Աթա) ԵՆԴի ս"Յ(ո)

-ԶՋ--

Ե(ո

որտեղ Օրյ-ը նորմավորմանհաստատուն

է՝

6Հ-.

Սար

Կտ

ուՀՕ ւ»)

Իսկ Իո)

թ,

ամմ (ո,

գ-փոխանցման գործակիցները որոշվում են Գ.-

(8.6

Օս",

ստացիոնար

Ֆ.ճյքյ.,

տնա

6.7

հավասարումներից.

1-12.....Մ1

յ-

թավանականությունները (ոյ 5(0)--9---ճ". ոռ(ո) որոշվում են ռետնյալ բանաձնով.

2,....Խ1

ռանգույցում

Այստեղ Ր/(0)-ն` ցանցի 1-րդ հայտերի բացակայության (այսինքն՝ հանգույցի պարապուրդի) հավանականությունն է: Այժմ դիտարկենքփակ սպասարկմանցանցերը: Ինչպես արդեն նշվել է, նման ցանցերում հայտերի ընդհանուր քաճակը հաստատուն է, օրինակ՝ հավասար է Թ-ի: Նման ցանցի վարքը նկարագրող ԿՃԱ)-(ուն),ու(),...,ոխ()) մարկովյան գործընթացի համար միշտ գոյություն ունի ստացիոնար ռեժիմ, որի Ե( ո) ռավանականությունները ռրոշվում են հետնյալ հավասա-

Հերթերիտեսություն

ՃԱԼ

հումմերից.

Ք(ո) Ֆծ(ու)(ու)աւԷՀ

-Ֆծ(յԱնա

Սր(ոլ

Սոլթյթ(ոլ,ոշ,..ոյ-ԼՆոյլշոլլոլփ

նու):

Փակ ցանցի վարքը ճկարագրողմարկովյան գործընթացիվիճակների

ո վեկտորիտարրերըբավարարումեն հետնյալ պայմանին, Ւ/

Խու-Ք

իսկ նրա տարբեր վիճակների քանակը հավասար է Ք հայտերի հԽ1հանգույցներում տեղադրմանտարբերակներիքաճակին` Շր -ի: (8.8) ռավասարման լուծումներն ունեն հետնյալ տեսքը՝

|ա

Կ(ԿՆ

թ(ո)-

1|--

ՇԱ)

Ցո)

Այստեղ Օս(Հ)-ը նորմավորման հաստատունն բանաձնով.

ենը ոլ

Օո(8)Նշենք,

որ

(8.9)

է ն

որոշվում է հետնյալ

8.10

8ա)՝

48.10)

գումարումըկատարվում է

Ֆու-Ք

ոռ

պայմանին բավարարող վեկտորի տարրերի բոլոր հնարավոր արժեքներիհամար: Փակ ցանցի համար 0, գործակիցներըորոշվում են հետնյալ հավասարումճերիհամակարգից. ԻԼ

ԳՀխճյքյ» ԻԼ

Ւ/

Խճ»1, լ

1-ԼՆԻԼ: .

հիմնական ստացիոճմարբնուԴիտարկենք սպասարկման ցանցերի, թագրերը: Փակ ցանցերիհամար 1-րդհանգույցից հայտերի ելքի հոսքի 4(8) հաճախությունը` հանգույցի թողունակությունը,հավասար է տվյալ հանգույցում միավորժամանակումսպասարկվածհայտերիմիջին քանակին`

- 3Ք(ութ)ը,ՕԿԱԵԼ)/ ՕոԾ,

8.11

-օլ

որտեղ Խ(ո,Ք)-ը ցանցի 1-րդհանգույցում հայտերի քանակի սահմանային բաշխումն է՝

.(ուք)

2: (Շո Գ-ո)-::ՇԽԹ-ո-17/6(),

«-ծ/ր:

ծ.

Սարկովյանսպասարկմանցանժեր

Եթեք, -ի 1-րդ հանգույցում զբաղված սպասարկման սարքերի միջին

քանակն է. ապա՝ |

Ք: 4(5)/ս, -

Ջ//8.յ-գայ/գր:

(8.12)

Այստեղից հանգույցների թողունակության 4(Ճ) գործակիցների համար կարելի է ստանալ`

100/4(Թ

ճ/գ:

Ցանցի 1-րդհանգույցում հայտերի միջինքանակը հավասար է՝

Խ(Թ)-Ֆո"ՇոԹ-ո)/00Թ),Թ-1Լ2.ԽՆ ԱԷ)

(413)

Լիթլի բանաձնի, 1-րդ հանգույցում հայտերի մնալու միջին

Ըստ

(2) ժամանակը հավասար է հանգույցում հայտերի միջին քանակի ն ճրա մուտքի հոսքի հաճախության հարաբերությանը՝

ԿԹ)- ԿԹ)/21(8, ՀԼ:

(8.14)

Եթե Ճ(8)-ը հայտի 1-րդ հանգույցից դուրս գալու պահից մինչն այդ հանգույց առաջինանգամ վերադառնալուպահն ընկած ժամանակի տնողության միջին արժեքնէ, ապա ճրահամարկստաճանք՝

-էշ....Ն Մ(ԾՀ-ՖԱլ/զլ)ն(8), -

որտեղից`

68.15)

(Ծ-Օ/գ:

(Մ

Այստեղ 0, հարաբերությունըցույց է տալիս հայտերի )-լոդհանգույց երկու հաջորդական անցումների ընթացքում յ հանգույց ընկնելու միջին

քանակը:

Բաց ցանցերիմի քանի բնութագրերիհամար բերենք բանաձները:

Դիցուք՝ Գ -ը՝ ցանցում, իսկ լ -Ա՝ -րդ հանգույցում հայտերի միջին քանակներնեն: Այս դեպքում Խ-ըն Խ -Ա որոշվում են հետնյալ բանաձներով.

Պ, ՀՔ/Ա-թ),

ւ.

Ըստ

ԻԼ.

1-1

4-1

ԻՆ Հ)Ք./(-բ.):

Լիթլի բանաձնի՝ Վ-/՛Լ,

8.16)

68.17)

որտեղ է-ն հայտերի ցանցում մնալու

միջին ժամանակն է: Բաց ցանցում է-ն որոշվում է հետնյալ բանաձեռվ. -

ւ«մլոֆթ/ո-թ|:(8.18) Խ

1-յ

Օրինակ2: Դիտարկենքավտոտեխսպասալկման ձեռնարկությանաշխա-

Ճ71/.

Հերթերիտեսություն

տանքը, որի ծառայությունները կազմված են ըստ որոշակի մասնագիտությունների տիլւապետոյլ: մասնագետներով:Ձեռնարկությանհաճախորդնելը ամբողջական սպասարկում ստանալու համար անցնում են նրա ծառայու-թյունների ցանցով: Կախված հաճախորդներիավտոմեքենաներիանսարքությունների տեսակից` ձեռնարկությունումկատարվում է դրանցընթացիկկամ հիմճականնորոգում: Ձեռնարկության ծառայությունների կառուցվածքը ն հաճախորդների սպասարկմանփովերըբերված են գրաֆում:

Ձեռնարկությանը դիմած յուրաքանչյուր հաճախորդի ավտոմեքենայի ղամար սկզբում կատարվում է անսարքությունների պարզում (1-ին հանգույց), որի արդյունքներով որոշվում է նորոգման համար անհրաժեշտ աշխատանքներիցանկը: Դիցուք՝ 1 հանգույցում զլ հավանականությամբ ընդունվում է ավտոմեքենայի ընթացիկ նորոգում, իսկ 1-զլ հավանակաճությամբ` հիմնական նորոգում կատարելու որոշում: Գրաֆում ընթացիկ վերանորոգմանը համապատասխամումէ 2 հանգույցը, իսկ հիմնական նորոգմանը՝ 3-րդ ն 4-րդ հանգույցները: Ավտոմեքենաներիհիմնական նռրոգման աշխատանքներնիրականացվումեն երկու փուլով: Առաջինփուլում (3-րդ հանգույց) կատարվում է ավտոմեքենաներիվիճակի գնահատում,որի արդյունքներովդրանք զչ հավանականությամբկարող են ճանաչվելհիմնական նորոգման համար պիտանի (4-րդ հանգույց), իսկ 1-զ, հավանականությամբ՝ ոչ պիտանի: Վերջին դեպքում հաճախորդները(3-րդ հանգույցից) հեռանում են ձեռնարկությունից: Ընթացիկ ն հիմնական նորոգումներիավարտից հետո, այսինքն` 2-րդ ն 4-րդ հանգույցներում սպասարկվելուց հետո, կատարվում են ավտոմեքենաներիտեխնիկականվիճակի վերջնականստուգում ն համապատասխան փաստաթղթերիձնակերպում (5-րդ հանգույց), որից հետո հաճախորդները հեռանում են ձեռնարկությունից: Ընդունենք, որ հաճախորդների հոսքը նկարագրվում է Պուասոնի բաշխումով 1 հաճախությամբ: Ձեռնարկության տարբեր ծառայություններում հաճախորդների սպասարկումն իրականացվում է դլ, 1215 թվով նույմատիպ բրիգադներով: 1-րդ հանգույցում հաճախորդների սպասարկման ժամանակն ունի ցուցչային բաշխում չ, հաճախությամբ:Ձեռնարկության ծառայություններում հաճախորդների հերթերը սահմանափակ չեն: Գալով ձեռնարկությունհաճախորդներըհամբերատարսպասում են մինչն

ձ.

Սարկովյանապասարկմանցանցեր

իրենց ամբողջական սպասարկման ավարտը: Հաճախորդների սպասալկումը իրականացվումէ արդարացի հերթի սկզբունքով: Ձեռնարկության աշխատանքի նկարագրման համար օգտվենք բաց մարկովյան սպասարկմանցանցի մոդելից: Այս դեպքումցանցըբաղկացած է 5 հանգույցից: Ձեռնարկությունում հաճախորդներիտեղաշարժը նկարագրող Ք երթուղայինմատրիցն ունի հետնյալ կառուցվածքը. Օզ 1-զ. ՔՀ|/ՕՕ

1-զ,0:

Ձեռնարկության բնութագրերը սրոշենք նրա պարամետրերիհետնյալ պայմանական արժեքների դեպքում. զյ-0,8: զչ-0,6: ա-1,5, էե-2: 5-07: նե-0,15: աՀ է,5: ոյ-2: ոշ-2: ոյ |: ու-3: ու-2: 4Հ2,5: Սկզբում որոշենք ցանցի հանգույցների հոսքերի հաճախությունները՝ 2լ-452,5: 4շ-4գլ-2: 5"211-գ)-0,5: /ԿՀ43զշ-0,3: 25-427-Խն»2:3: Դժվար չէ համոզվել, որ ցանցի բոլոր հանգույցների համար բավարարվում են ստացիոնարռեժիմի գոյության պայմաննելրը՝

ճ/ույկՀ Լ, 515:

Հետնաբարկարելի է հետազոտելցանցի ստացիոնարբնութագրերը:Դրա համար որոշում են` , հանգույցի բրիգայների զբաղվածության Բ գործակիցը, հաճախորդների միջին թիվը`

Կ,

հերթում հաճախորդների միջին

թիվը՝Խ. հանգույցում հաճախորդներիմնալու ն հերթում սպասելու միջին չ

ժամանակը:Ձեռնարկությանբնութագրերըբերված են 2-րդ աղյուսակում: սակ

Ծ,

հանգույցի համարը

0.83

0,7) 0,67 0,77

Ի,

Ի.

եո

4.57 է,|0

6.24

Լ05

0,55

2,38

5,00 7.93 է,62

3:58

0,38 2.19

3.13

ՆՏ3

Ն23 0.95

Ջեռնարկությունում հաճախորդների միջըն Ւ թիվը հավասար է՝ 2.

Խ-

16,95: Ֆիլ Հ6,24Է2, ԷԷ2.5-:2,38Է3,73 Հ

(-յ

Ջեռնարկությունումավտոմեքենաներինոլոգման միջին (ք.ժամանակը հավասար է ցանցում այն հաճախորդների մնալու միջին ժամանակին, որոնք ցանցից հեռանում են 5-րդ հանգույցից: Նման հաճախորդների մասը ձեռնարկություն եկած հաճախորդների

Հերթերիտեսություն

մ.

ընդհանուրթվից հավասար է` ՉՀ Գ(Լ-գւ)զշ Հետնաբար՝

0,8

0,2»«0,6 0,92: -

Ն Կ Ի(Ղ.6շԻ) ԷՃՂ-զլ)(կԷզչ(կ Հե))/Չ -

1.62)))/0,92 7.16: 9. Հերթերի ոչ մարկովյան տեսության հիմնական արդյունքներիընտրանի -

2.05

(0,8(105 Լ62)

0,2(5.0Հ- 0,6(7,93-

Գործնական խնդիրների լուծման ժամանակ Ճ() ն 8() բաշխման ֆունկցիաները հաճախ ունեն ցուցչայինից տարբեր բաշխում: Դա պայմանճավորումէ հերթերի հետազոտման ավելի ընդհանուր եղանակներին միջանկյալ տեսության կիրառման անհրաժեշտությունը: Առանց կանգ առնելու այդ եղանակների ն դրանց կիրառման առանձնահատկությունների վրա, որոնք բավականին ամբողջական ն խորը շարադրված են հերթերի տեսությանը նվիրված գրականությանմեջ, բերենք ՕլՕլռ, ԽկՇիռ, ն Օլ տիպի սպասարկման համակարգերիհիմնական բնութագրերի համար ստացվածմի շարք արդյունքներ: է թ ՕլՕիտ տիպի համակարգերի համար կարնորագույնպարամետրը զբաղվածությանգործակիցը`

2-փյո,

որը ցույց է տալիս համակարգումզբաղված սպասարկմանսարքերի միջին քանակը: Այստեղ 4-ն մուտքի հոսքի հաճախությունն է, Ճ-ն` հայտի սպասարկման միջին ժամանակը,իսկ տ-ը՝ համակարգումսպասարկողսարքերի թիվը: Այսպիսի սպասարկմանհամակարգիկայունության համար անհրաժեշտ է՝ 0 ՀՕ Հ1 պայմանի բավարարումը: Համակարգումհայտերի մնալու միջին 1 ժամանակըհավասար է հերթում դրանց մնալու միջին 7 ժամաճակի ն հայտի 2 սպասարկմանմիջին ժամանակիգումարին`՛1 24-Ֆ/: համաձայն,համակարգումհայտերիմիջին Վ քանակըն Լիթլի բաճնաձնի Հ

հերթումհայտերի միջին Էիքանակըհամապատասխամորեն հավասարեն`

Գ-11

-15.

Օլ|Օլո տիպիհամակարգերիհամար 7/

7, Էտք

Մեծ բեռնվածության դեպքում (երբ Թ-1), Պ-ի հաշվարկի համար հարմար է օգտագործելհետնյալ մոտավորբանաձնը. .

(0: ԷԺ.)1 շո՞1- ք)

ռրտեղօ՛

Հերթերիոչ մարկովյանտեսության..

Օշ-ը հայտերի մուտքի հոսքի

դրանց սպասարկման ժամա-

նակի ցրումներն են: ԽկՇլլ, տիպի համակարգում հայտերի միջին Ա քանակը ն հերթում հայտերի սպասման միջին Մ ժամանակը որոշվում են Պոլյաչեկ-Խինչինի բանաձնով՝ Ց» 24(453/00-թ)), |

-(2-)/20- թ)):

Սպասարկման այսպիսի համակարգի զբաղվածության ժամանակի միջին արժեքը ք

օ3 միջին քառակուսային ցրումը հավասար են` Տ-3/1-թ), օ:-Ե32:20)0ն

թթ:

Այսպիսի համակարգի զբաղվածության պարբերությունում սպասարկված հայտերի միջին ո քանակը ն Ժ: ցրումը որոշվում են հետնյալ բանաճներից.

օ:-ԹԱ-Թ»Յ0Թ0-թ::

ո-ՍԱ-թ), 2» Ւ-Ն2,.....

պարամետրերովՔ առաջնություններովհայտերի

հոսքով հ/|Օ|1տեսակի համակարգերումկուտակված չավարտված աշխատանքը պահպանող ցանկացած սպասարկմանկարգի դեպքում ճշմարիտ է պահպանմանօրենքը՝ Հ

ռրտեղ՝

շոր

-ի -

Կ.-Ն»

Խօ/Ա-

/2.

թ),

երեք Հ|՝ եխեթՀ1,

2-չթ:

Դիտարկենք բացարձակ առաջնություններով սպասարկման համակարգերը: Այս համակարգերում եթե հայտի սպասարկման ժամանակ գալիս է առավել առաջնային հայտ, ապա սարքում գտնվող հայտի սպասարկումն ընդհատվում է ն անմիջապես սկսվում է նոր եկած հայտի սպասարկումը: Կախված համակարգում սպասարկումն ընդհատված հայտերի հետագա վարքից՝ տարբերում են մի քանի դեպքեր. 1.1. Առավել առաջնային հայտերից համակարգի ազատվելուց հետո սպասարկման սարքն անմիջապես անցնում է ընդհատվածհայտերի սպասարկման շարունակմանըրստ նրանց առաջնության ն ընդհատված տեղից: է.2. Բարձր առաջնություն ունեցող հայտնրով սպասարկումն ընդհատված ցածր առաջնություն ունեցող հայտերը թողնում են համակարգը՝ կորչում են: 1.3. Գերառաջնային հայտերից համակարգի ազատվելուց հետո ընդ-

Հերթերիտեսություն

հատված հայտերի սպասալկումը վերսկսվում է առանց հաշվի առնելու ընդհատումից առաջ դրանց սպասարկման վրա ծախսված ժամանակը (մակալդակը): 2. Հարաբերական առաջնությամբ սպասարկմանհամակարգում, եթե սկսվել է որնէ առաջնային հայտի սպասարկումը,ապա այն շարունակվում է մինչն սպասարկման ավարտը՝անկախ համակարգ եկած առավել առաջնային ռայտերի քանակից: Այսինքն` այս դեպքում հայտերի առաջճություճը հաշվի է առնվում միայն որնէ հայտի սպասարկումն ավարտվելու պահին, ճոր հայտի՝ սպասարկմանսարք վերցնելու ժամանակ: Նման համակարգումհայտերի սպասարկման ընդհատումներչկան: Լ.1 տլւպի համակարգերում1 առաջնությանհայտերի հերթում ն համակարգում մնալու միջին ժամանակները հաշվարկվում են հետնյալ բանա-

ձներով

Մ---Յ----20-օ.)0-օ)` "

Ն-պՀհ,

ար

ԿՀ-Ֆ/ՃԿ, 7 ՆՔ

ԽՀ

Խ/Ա-օյ)

Այս համակարգիհամար ստացիոնարբախշմանգոյության պայմանն ունի հետնյալ տեսքը. Ք

ճտ

Հ1:

լալ

ման

Հարաբերական առաջնությամբ համակարգում ստացիռնար բաշխգոյության պայմանն ումի հետնյալ տեսքը. ռ

Ֆլ

Հ1:

1-2

Իսկհամակարգի «լ

ձներով.

1, բնութագրերըորոշվում են հետնյալ բանա-

-Ժ.)1-Ժ:)), 218) /օո ԷՀ

ՆՊՀՊԱՀ ել:

Պետք նշել, ռր առաջնություններովհամակարգերումնույնպես գորէ Լիթլի բանաձեր, ինչը թույլ է տալիս ինչպես յուրաքանչյուր առաջնության, այնպեսէլ հայտերի գումարայինհոսքի համար հերթում ն սպասարկման համակարգում ռրոշել հայտերի միջին քաճակը՝ է

ծում

աի -...

Ի: «1.

ՔՀ

ի աշն տ.)

Լ. չ

Գ-Իլ

26.

40.

10.

11.

12.

13.

Ստուգողականհարցեր

Ստուգողականհարցեր Պուասռնիբաշխմանմիջիճարժեքնու ցլւվածքըհավատալլինելչեն կարող: Եթե զանցվածայինապասարկմանհայտերի մուտքի պահերըբաշխված են ըստ Պուասոնի օրենքի, ապա իրար հաջոլդող հայտերի միջնընկած ժամաճակահատվածները բաշխվածեն էքսպոնենցիալ: Եթե մուտքի հոսքը պուասոնյան է, ապա ժամանակի անվերջ փոքը հատվածում համակարգկարող է մոսոք գործել երկու հայտ: Պուասճնյան մուտքի հոսքի հայտերի միջին հաճախությունը հավասար է՝ ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի բաշխված, հաջորդական հայտերի միջն ընկած միջին ժամանակահատվածին: Եթե համակարգումհայտերի մուտքի պահերը պուատնյան բաշխում ունեն, ապա վերջին մուտքի պահից անցած ժամանակահատվածիցէ կախվածհավանակաճնությունն այն բանի, որ հետագա որոշակիժամանակահատվածումտեղի կունենա սպասարկմանհերթականհայտիմուտքը: Եթե իրար հաջորդոո հայտերի միջն ընկած ժամանակահատվածները բաշխված են էքսպոնենցիալ, ապա ըստ հաշվի յուրաքանչյուր երրորդ (ընթացիկի համեմատությամբ) հայտերի մուտքի պահերը նույնպես բաշխված են էքսպոնենցիալ: Եթե իր հերթում սպասող հաճախորդըանհամբեր է,ապա նա կարո՞ղէ իր հերթից անցնել մի այլ հերթ: Որոշ ժամանակ հերթում սպասելով ն համոզվելով,որ սպասարկումն իրականացվումէ չափազանց դանդաղ, հաճախորդը կարո՞ղէ հրաժարվել ապասարկման տվյալ համակարգից: Անհամբեր հաճախոլսյի հերթից հերթ անցնելը արդյո՞քբացատրվումէ նրանով,որ հաճախորդըհույս ունի կիճատելիր սպասման տնողությունը: Սպասման տնողությււնների բաշխումը կախված է այն բանից, թե հերթի որ կանոնակարգով է կատարվում սպասման նամակարգի մեջ մուտք գործող հայտելւը սպասարկման ընղդուներոհերթականությունը: Սպասման միջին տնողությունը ավելի կարճ է այն համակարգում, որտեղ սպասարկմանհամակարգ մուտք զոլւծող պահանջների քանակը սահմանափակվումէ: Սպասարկման մեկ հայտին տրված սպասման միջին ժամանակը պատահական մուտջի հոսք ունեցող սպասարկման համակարգում ավելի քիչ է, քան կամայական ընտրված հայտի սպասմանմիջին ժամանակը յուրաքանչյուր հաճախորդի սպասարկման սննռուն ժամանակ ունեցող համակարգում: Սպասաիկման համակարգ մտնող հայտերի արդյունավետ հաճախությունը չի կարող գերազանցել սկզբնաղբյուրից սնրվող պահանջների ստացման չվերահսկվող հաճախությանը:Նթեհայտնի են ստացիոնար հավանականություններիարժեքները, որոնք համապատասխանումեն

Ճ/է

Հերթերիտեսություն

համակարգում եղած հայտերին. կարելի է հաշվել զանգվածային սպասարկման համակարգի բոլոր հիմնական գործառական բնութագրերը՝ հաճախորդների մուտքի ն ելքի բաշխման պահերի կամայական տեսակճերի համար: 14. Սպասարկմանմեկ սարք ունեցող զանգվածային համակարգումստացիոնար վիճակը երկարատնժամանակահատվածումհասանելի է .երբ մեկ միավոր ժամանակի ընթացքում մուտք գործող հաճախոլդների միջին թիվըփոքր է մեկ միավոր ժամանակիընթացքում սպասարկվուլ հաճախորդներիմիջին թվից ն եթե հերթի երկարությունըսահմանափակէ: 15. Մպասարկող համանման սարքերի միավորումը չի կարող հանգեցնել մուտք գործողհայտերիսպասմանմիջինտնողությաննվազեցմանը: 16. Այն փաստը, որ լցակայաններում ավտոմեքենաների վարորդներըիրենք են միացնում ն անջատում բենզապոմպը,հնարավորություն է տալիս լցակայանը դիտարկել որպես ինքնասպասարկմանհամակարգ: լ7. Ավտոմեքենաների կայանմանը հատկացված տարածքը կարելի է դիտար-կել որպես զանգվածային սպասարկման համակարգ, որում սպասարկ-ման հանգույցների քանակը հավասար է այն տեղերի քանակին, որոնցից յուրաքանչուրը կարող է ծառայել մեկ ավտոմեքենայի 18. 19.

կայանման: Գերակայությամբ համակարգիմեջ ավելի բարձր գերակայությամբ հայտի մուտք գործելու դեպքում սպասարկումըչի կարողընդհատվել: Պուասոնյան մուտքի հոսքի ելքի հոսքը նույպես պուասռնյանէ:

Գրականություն լ.

2. 3.

Ր. ԲօՓոռո, Ք. Ճքոօո. ԽԱճՇՇշօ8օ6Շ 0607՞աոթճոտՇ ո Ո16ք.Շ Փքճու./-Ի/Լ.:Խութ, 1965. ՃոՇնաքօո71 ՛Լօօքող Խ(1ՇՇ08010 օ6այշաոճու ն. /116ք.Ը

ոթողօչածէւգ. Դօօքոզ

1ՕՇ1քՕ68.Շ, 1979. Լ. Օօաօտեւ Քօողծրօոուաու քոք

օոօքշաո

1. 3

-ի/.: ԷԼոյու2,1978. Լ.-., Լօօքոզ ՕԳՇքօրոծճ. 5. ԽՃօու Լ1., Լնօո Լ ԽՈՀթոթւ 1Շօքուտ "(16608010

4. Ճօոօ

ՇԲՋ3Ե, 1981.

/116ք.օ ուռւ/

-ԽԼ:

06078281.

Հճ. ԱՇօղտրօոճքոծօոօքոատն. ՛1.2,- հ1.: հ/ոք, 1982 Լաօրծճւօ 5.8., ԽՃՕՑՃոՇաււօՄ.ՒԼ Թրշղշճտծ 8 1Եօքուծ

Խնճւտք-

Խաք, 1978. -Է1Լ.: Քճրոօ

Ղա ՀԲ.

ճուտ./ -ԽԼ:

-ի/1.:

ԷԼճւ2,

1984.

ԾոազքոռԼ. ԼԼ, ԵօՎոքօ»1ԼԼԼԼ, Ճօրճք -ի/.: ԷԼոյու8,1989.

ՇԲՇՆՇԻԼՈՀ.

ՈՔՈՇՈԵՔԵՇ:

ՀԺ.

214.

Ճուտ

հԱշօօտօրօ :

ՕՎՇքեոօճ

օ66յոյՏԵԼՎՔՇ-

ՃԼՄ.

ՆՄԱՆԱԿՄԱՆ

ԵՂԱՆԱԿ մի նոր կերպարանք: Փոռխված՝ կստանան Ասպարեզկգանգործերը ծածուկ,... Գրիքոր Նարեկացի, Մատյանողբերգության բան Հ.(Թ.Ր, Ն.

Սուտք Սռաջին հատորում ն սույն հատորի նախընթաց բաժիններում ծանոթացանք գործույթների հետազոտման զանազան մոդելներին ն դրանց վերլուծական եղանակներին:Դիտարկված խնդիրները ն մոդելները բավական պարզ էին: Սակայն իրականությունը շատ ավելի բարդ է ն հաճախ հանդիպումեն այնպիսի խնդիրներ,որոնց լուծումները դուրս են գալիս վերը դիտարկված մոդելների շրջանակից: Նման դեպքերում ստիպված ենք դիմելու ԸՇռրծույթներիհետազոտման ավելի հզոր ն ընդհանուր եռղակի՝ ինչպիսինէ նմանակումըկամ նմանակողմոդելավորումը: Այս եղանակն օգտագործվում է այն բոլոր դեպքերում, երբ խնդիրը վերլուծականեղանակներովլուծելը կամ անհնարին է կամ էլ՝ անարդյունավետ: Նմանակման գաղափարըշատ պարզ է ն թույլ է տալիս հետազոտվող համակարգիմոդելի հետ կատարել փորձեր, քայլ առ քայլ դիտարկել նրա վարքը, հավաքել զանազան տվյալներ ն գնահատել մոդելի գործառույթի բնութագրերը, ն այլն: Բարղ համակարգերի հետազոտման շատ Խնդիրներում նմանակումը հետազոտողին մատչելի միակ հնարավոր գործիքն է: Նմամակող մոդելավորումը իր մեծ հնալավորությունների ն ճշգրտության շնորհիվ լայնորեն կիրառվում է ինչպես ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության, այնպես էլ տնտեսագիտական, տեխնիկական, սոցիալական ն այլ բարդ համակարգերիհետազռտմանխնդիրներլուծելիս: 1.

Նմանակմանընթացակարգեր

Որպեսզի հասկանալի լինեն նմանակման կիրառելիությանշրջանակները,դիտարկենքերեք հարց. Իրենից ի՞նչ է ներկայացնումնմանակմանեղանակր. » Երբէ նպատակահարմարնրա օգտագործումը Ինչպիսի՞ընթացակարգերիցէ նա բաղկացած: Նմանակման եղանակը համակարգի գործառույթի հետազոտման, նրա հետագա վարքի կանխատեսմանն տարբեր վարվելակերպերի գնահատման (նպատակով թվային-ալգորիթմական մոդելների ստեղծման ն դրանց հետ փորձեր անելու գործընթաց է: »

Ժո

Նմանակմանեղանակ

Որպես համակարգերի հետազոտման փորձառականեղանակ` նմաճակումը մյուս փորձառական եղանակների համեմատությամբ ունի մի շարք առավելություններ,այդ թվում`փորձերիկրկնությունն ու փորձի պայմանների վերարտադրությունը,դրանց դյուրին դադարեցումնու վերսկսումը փորձերի պայմանների կառավարելիությունը ն այլն: Նմանակման ժամանակ փորձարկման առարկա են հանդիսանում ոչ թե իրական համակարգերը, այլ դրանց ալգորիթմական մոդելները: Սոդելավորման ժամանակ համակարգիչներիկիրառումը թույլ է տալիս զգալիորեն կրճատել գիտափորձերի անցկացման ժամանակը ն պակասեցնելհնարավոր սխալները, համակարգի վարքը հետազոտել ինչպես ժամանակի որոշակի պահին (ստատիկ նմանակում), այնպես էլ տնականժամանակահատվածիընթացքում (դինամիկնմանակում): Որպես համակարգերիհետազոտման թվային եղանակ՝ նմանակումը հիշեցնում է նախընթացբաժիններից մեզ հայտնի մյուս թվային եղանակները: Մակայն, եթե վերջիններիսկիրառություններըսահմանափակվածեն քննարկվող մոդելներիբարդությամբն չափայնությամբ, ապա նմանակման մոդելներըզերծ են նման սահմանափակումներից: Բարդ համակարգերիհետազոտմանժամանակ անհրաժեշտ է հաշվի առնել պատահական գործոնների ազդեցությունը դրանց բնութագրերին վարքի վրա: Նման համակարգերըվերլուծական եղանակներովհետազոտելը հաճախ պահանջում է, որ դրանց վարքը նկարագրողպատահական գործընթացները բավարարեն կայունության, համասեռության,անընդհատության ն այլ պայմաններին:Սակայն նշված պայմաններիբավարարման դեպքում անգամ, ինչպես նշվել է 241 բաժնում, նման համակարգերի հետազոտումը հաճախ կապված է հաշվողական բարդ ընթացակարգերիհետ: Այդպիսիհամակարգերիհետազոտմանհամար ավելի նպատակահարմարէ է օգտագործել հավանականային նմանակման եղանակը, որը Մոնտե Կարլոյի եղանակ անվանումով: Հաշվի առնելով նմանակող մոդելավորման մեծ հնարավորությունները, սակայն իրականացման զգալի աշխատատարությունը, այս եղաճակի յուրաքանչյուր կիրառում պետք է ըստ ամենայնի հիմնավորվածլինի: Նմանակումը նպատակահարմարէ օգտագործել հետնյալ պայմաններից որնէ մեկի առկայության դեպքում՝ » Համակարգի հետազոտմանվերլուծական եղանակներտակավին գոյություն չունեն: » Համակարգի հետազոտմանվերլուծական եղանակներ գոյություն ունեն, սակայն դրանց ընթացակարգերը շատ բարդ են ն աշխատատար: » են Հայտնի համակարգիբնութագրերի բանաձները,սակայն դրանց չէ: կիրառումըմեծ բարդությանպատճառովնպատակահարմար .- Համակարգիբնութագրերիգնահատման հետ միասին ճան անհրաժեշտ է նրա վարքի դիտարկումըտնականժամանակի ընթացքում:

հայտնի

մ.

Նմանակման ընթացակարգեր

Իրական պայմաններում համակարգերը վարքի դիտարկման ն փորձերի կազմակերպման դժվարությունների պատճառով դրանց ռետազոտման միակ հնարավոր գործիքը նմանակման եղանակնէ: Համակարգերի նմաճակումըմի բարդ ու բազմափուլ գործընթաց է. որը է հետնյալ փուլերից. Համակարգիմոդելավորմանխնդրի բռվանդակալիցնկարագրում: Համակարգիալգորիթմականմոդելիձեակերպում: 3. Տվյալների հավաքում ն մշակում: 4, Սոդելի աշխատանքի ծրագրավորում: 5. Սոդելի ն իրականպատկերիհամարժեքությանգնահատում: 6. Գիտափորձերի ռազմավարական ն մարտավարականծրագրում: 7. Նմանակման մոդելի փորձարկում: 8. Արդյունքներիվերլուծություն: 9. Իրագործում: 10. Փաստագրում: Անցնենք նմանակման եղանակի առանձիտ փուվերիբովանդակության մեկնաբանմանը: 1. Ինչպես որ ամեն մի ուսումնասիրություն, նմանակումը նույնպես սկսվում է հետազոտվող հիմնախնդրի ն ճպատակներիձնակերպումից: Հետազոտմաննպատակներըսովորաբար ձնակերպվումեն` Հարցերի տեսքով, որոնց պետք է պատասխանել համակարգը հետազոտման արդյունքում: Դրա համար անհրաժեշտ է մոդելավորման սկզբում հստակ ն հասկանալի ձնակերպել համակարգի հետազոտման խնդիրները, տալ դրանց հնարավոր լուծումների գնահատման չափանիշները: Վարկածների տեսքով. որոնք պետք է ստուգվեն համակարգի հետազոտումով:Այս դեպքում անհրաժեշտ է պարզորոշ ձենակերպելստուգման ենթակա վարկածները ն դրանց գնահատման՝ ընդունման կամ մերժման, չափանիշները: » Գնահատականների տեսքով, որոնք պետք է կառուցվեն համակարգի բնութագրերի համար: Համակարգի տարբեր վարվելակերպերի, մուտքիփոփոխականներին պարամետրերիտարբեր արժեքների դեպքում, նրա բնութագրերի համար կառուցվում են տարբեր գնահատականներ ն վստահելիությանմիջակայքեր: 2. Համակարգի մոդելավորման նպատակների ձնակերպումից հետո "անհրաժեշտէ կառուցել նրա ձենական-ալգորիթմականմոդելը, որը համակարգի մուտքի փոփոխականներըկապում է նրա կառավարմանն ելքի փոփոխականներիհետ: Այս ընթացակարգումառանձնացվում են համակարգի վարքը բնութագրողհիմնական գործոնները են կառուցվածքային տարրերը: Դա պահանջում է համակարգի բաղադրիչների ն դրանց փոխազդեցություններիվերլուծություն: »

բաղկացած շ

Ճո.

Նմանակմանեղանակ

Համակարգիալգորիթմականմոդելի կառուցման ժամանակ հաշվի են առնվում համակարգիվայւքը նկարագրողէական Լիուրոխականները,մոդելի բարդությունը, ծրագրավորման լեզվով ներկայացվելուդյուրությունը,:մոդելավորվող համակարգի գործառույթի նկարագրման ճշգրտությունը ն այլ գործոններ: Մոդելավորմւսնհաջորդ փուլին կարելի է անցնել, եթե համակարգի մոդելում հաշվի են առնված մուտքի բոլոր էական փոփոխականնեըր, ճիշտ են ձնակերպված մուտքի ն ելքի փոփոխականներիփոխադալրձ ֆունկցիոնալ կապերը, ստույգ են գնահատված մոդելի պարամետրերը ն այլն: 3. Համակարգիյուրաքանչյուր ւետազոտում ընդգրկում է նրա վարքը, բնութագրող տարրերը, դրանց փոխազդեցությունը,ինչպես նան գործադույթի պայմանները բնութագրող տվյալները հավաքման ու մշակման ննթացակարգը:Մոդելավորմանայս փովում ուսումնասիրվում են համակարգի վարքը նկարագրող ինչպես քանակական, այնպես էլ որակական տվյալները, ն որոշվում է փորձառական ու տեսական հավանականային բաշխումների օգտագործման նպատակահարմարությունը:Նտսնակման ննթացքում տվյալների ստացման համար սովորաբար օգտագործվում են թվային եղանակներ ն համակարգչային ենթածրագրեր: Պատահական թվերի ն մեծություններիստացմանտարբեր թվային եղանակներըն դրանց

Ֆորտրանծրագրերըկքննարկվեն2-րդ ենթաբաժնում: 4. Հաջորդ քայլում կատարվում է համակարգի ալգորիթմականմոդելի ծրագրավորում, այսինքն` ռրնէ ծրագրավորմանլեզվով նրա նկարագրում: Նմանակման մոդելները սովորաբար ունեն բարդ տրամաբանական կան տարրերիփոխռուցվածք ն բնութագրվում են իրենց ենթահամակարգերի ազդեցությունների դինամիկ փոփոխմամբ: Մոդելների առանձնահատկությունները պահանջում են դրանց նկարագրմանն իրականացմանհամար օգտագործել ծրագրավորմանհատուկ լեզուներ: Այդպիսի լեզուներից մեծ ն այլն: տարածում են գտել ՕՔՏՏ-ը, /1ԾՃՏ-ը ՇՕՑՆՕՇ-ը ԴԻՆԱՄՈ-ն են Ծրագրավորման հատուկ լեզուները բնորոշվում մի շարք առավելություններով, որոնցից կարելի է նշել` մոդելների ծրագրավորմանպարզությունը » նմանակմանընթացքին հետնելուհնարավորությունը ծրագրայինփոփոխություններիիրականացմանճկունությունը » մոդելի կառուցվածքում անհրաժեշտ փոփոխությունների իրականացման ճկունության ապահովումըն այլն: Համակարգի ալգորիթմականմոդելի կառուցման ն ծրագրավորման լեզվի ընտրության փուլերի կարնոր խնդիրներիցեն համակարգիվիճակի ժամանակային կոորդինատներիճշգրտումըն համակարգումտարբեր պատահույթների ու տարրերի փոխազդեցության համաձայնեցվածության ապահովումը: »

մ.

Նմանակմանընթացակարգեր

Պետք է հաշվի առնել. որ ալգորիթմական մադելի գործառույթն ընթաէ համակարգային` արհեստական ժամանակում, որի ընթացքում անհրաժեշտ է ապահովել տարբեր պատահույթները հանդես գալու կարգն ու նրանց միջն եղած ժամանակային միջակայքերը: Օգտագործվում են մոդելավորման ժամանակի ներկայացման երկու ե փոփոխական միջակայհիմնական եղանակ` ժամանակի հաստատուն քերով, որոնք հաճախ անվանվում են նան սնեռված քայլով ն մինչն հաջորդ պատահույթը քայլով եղանակներ: Առաջին եղանակի դեպքում համակարգային ժամանակի հաշվարկն իրականացվում է նախօրոք որոշված հաստատուն տնողությամբ ճէ ժամանակային միջակայքերով: Երկրորդ եղանակի դեպքում մոդելավորվոալհամակարգի վիճակը նորացվում է յուրաքանչյուր էական պատահույթը հայտնվելիս: Ստոըն գծանկարումբերված են նշված ելլանակների դեպքում համակարգայինժամանակիհաշվարկի օրինակներ: նում

ԷՐ:ԷլԷլ Ւր/ Շշ 63

Տլ

64-65

| ի 5:Տ ԳԲ

Տ.-ՏՏ

են

Ճձլ

` Տ

Շ6

լ Հ

Տշ

ժամանակ

» ժամանակ

Այստեղ ժամանակային առանցքի վրա ցույց է տրված ծ պատահույթների հաջորդականությունը: Սլաքները ցույց են տալիս երկու եղանակճերի դեպքում ռամակարգային ժամանակի աճի կետերը ն հերթականպատանույթների հայտնվելու պահերը: Առաջին եղանակի դեպքում համակալգային ժամանակի աճի կետերի հաջորդականությունմըհետեյալն է` Տյ:Էլ, Տշ-Շշ,...,.Տ5-66» ուտեղ ժամանակի աճի Տ.,Տշ,...,5: կետերը համընկնում են Շլ,62»....66 պատահույթների հայտնվելու պահերի հետ: Նթե ե-ն 1-րդ պատահույթի հայտնվելու պահին համակարգային ժամանակի արժեքն է, ապա Տ, 151,2,.... Խ-0: Նըրկրորդ եղանակի լլեպքում, համակարգային էՀեկ. ժամանակը ընդունում է հետեյալ արժեքնելը՝

Տ -ՃԼՏ) -24Ն...,5:::54Լ Այս դեպքում համակարգային ժամանակի աճի պահերը կախված չեն պատահույթներիհայտնվելու պահերից ն որոշվում են միայն ՃԼ-ի արժեքով: Երկու եղանակներն էլ մեծ կիրառում են գտել նմանակող մոդելավորման մեջ: Նղանակի ընտրությունը պայմանավորված է խնդրի առանձնահատկություններով, պահանջվոյլ ճշգրտությամբ:

Նմանակման եղանակ

Այս փուլի իրականացման համար սովորաբար օգտագործվում են վիճակագրականգնահատման ն վարկածների ստուգման տարբեր եղաճակներ: Ստուգվում են ինչպես մոդելի ոիմքում ընկած վարկածները, այնպես էլ գիտափորձերի հիման վրա արված եզրահանգումները:Այս նպատակների համարհիմնականումօգտագործվում են` » մրջին արժեքների ստուգումը ցրվածքի ն կովարիացիայի վերլուծությունը » ըստ համաձայնության չափանիշների ստուգումը » ռեգրեսիայի ն հարաբերակցությանվերլուծությունը: 6. Այս փուլում իրականացվումէ համակարգի մոդելավորմանանհրաժեշտ տվյալներն ապահովողգիտափորձերիծրագրումը:Որոշվում են րամակարգի մոդելի փորձերիթիվը, սկզբնականպայմանները, դրանց տվյալների հավաքման ու մշակման եղանակները:Նմանակման փորձեր կատարելիմ համակարգի գործառույթի կայունացված ռեժիմին ռամապատասխանող վիճակին հասնելուհամալ: պահանջվումէ որոշակի՝ անցումային,ժամանակ: Այս փովի ընթացքումորոշվում եճ չիորձերիայճպիսիսկզբնականպայմաններ, որոնք կրճատումեն անցումային ռեժիմի տնողությունը:Այնուհետն որոշվում է մոդելավորմանարդյունքների ճշգրտություննապահովող անցավազքերի նվազագույն թիվը: Անցավազքերիթվի որոշման տարբեր վիճակագրականեղանակներըդիտարկվումեն 4-րդ ենթաբաժնում: 7. Այս փուլում իրականացվումեն համակարգիալգորիթմականմոդելի համակարգչային փորձարկումներըն նրա զգայունության վերլուծությունը: Հետազոտվում է մոդելի տարբեր պարամետրերիփոփոխություններիազդեցությունը համակարգի բնութագրերի վրա: Դրա շնորհիվ հնարավորություն է ստեղծվում զգալիորեն բարձրացնել վստահելիությունըմոդելավորման արդյունքների նկատմամբ: 8. Այնուռետն կատարվում են գիտափորձերիօգնությամբ ստացված արդյունքներիվերլուծությունը, հետազոտվող համակարգի վարքին ու բնուէ թագրերին վերաբերող վարկածներիմշակումը: Վերջինս հնարավորություն ու ն տալիս նոր վարկածների իրավիճակների ստեղծում, մոդելավորում հետազոտում: 9. Այս փուլի ընթացակարգումկատարվում է ստացված արդյունքների գործնական կիրառումը, որն իր հերթին հետազոտման նոր խնդիրների աղբյուր կարող է հանդիսանալ: 10. Վերջին փուլի ընթացակարգում կատարվում է համակարգի մոդելավորման, ճրա օգնությամբ ստացված արդյունքների ներդրման ու օգտագործմանողջ գործընթացիփաստագրումը: Մի շարք գործնականումհետաքրքրություն ներկայացնող համակարգերի, այդ թվում, հերթերի,պաշարների կառավարմանն մարկովյանու կիսամարկովյան գործընթացներինմանակման մոդելներըկքննարկվեն 3-րդ ենթաբաժնում: 5.

2. Մոնտե

2. Սոնտե

Կարլոյի եղաճակ

Կարլոյի եղանակ

Հավանականային նմանակման մոդելների կառուցմանժամանակ անորաժեշտ է ապահովել ըստ տրված աղյուսակի կամ ըստ հավանականային բաշխման օրենքի պատահական մեծությունների` մոդելի պարամետրերի, փոփոխականներին ցուցանիշների,ստացման հնարավորությունը: Այդ նպատակով ներկայումս լայնորեն օգտագործվում է Մոնտե Կարլոյի եղանակը: Եղանակն իր անվանումն ստացել է 40-ական թվականների վերջին ֆոն Նոյմանի ն Ուամի կուղմից Լոս Ալամոսում (ԱՄՆ) «Մոնտե Կարլո» ծածկանվամբ գաղտնի ծրագրով միջուկային հետազոտություննել կատարելիս: Այս ելանակն այնքան արդյունավետ եղավ, ուլ շատ արագ տարածվեց տնտեսության տարբեր բնագավառնելում բարդ հավանականային համակարգերհետազոտելիս: Ներկայումս Մոնթե Կառլոյի եղանակն օգտագործվում է ինչպես բարդ հավանականային, այնպես էլ դետերմինիկ

համակարգերիհետազոտմանխնդիրներում: Դիցուք` Ճ պատանույթի հանդես գալու հավանակւողությունը հավամոդելավորման համար բավական է ունենալ սար է ք-ի: Այս պատանհույթի (0,1) միջակայքում հավասարաչափ բաշխում ունեցող ՛ թիվ: Եթե "ծ լ(0,թ| միջակայքին, ապա համարվում է որ տեղի է ունեցել Ճ պատանույթը:Իսկ հակառակ դեպքում, երբ քՀՐՀ|, Ճ պատահույթը տեղի չի ունեցել: թլ,քշ....,քո մողելավռորմանհամար Մոնթե հավամականություններովպատակնույթների Կարլոյի եղանակում օգտագործվում են (0,1) միջակայքում լավասարաչափ բաշխում ունեցող պատահական թվեր: Նման բաշխում ունեցող պատահականթվել. ստանալու համար կարելի է օգտագործել պատահական թվերի աղյուսակները, համակարգչային հատուկ ենթածրագրերիկամ հավասարաչափբաշխված պատահականթվերի այլ, օրինակ համանման, աղբյուրներ: Համակարգչային հատուկ ենթածրագրերիօգնությամբ ստացված հավասարաչափ բաշխված պատահական թվերը կոչվում են կեղծ պատահականթվել: |0,1|| միջակայքում հավասարաչափ բաշխում ունեցող կեղծ պատահական թվերի ստացման տարբեր եղանակները ե ՖՓորտրան լեզվով դրանց ենթածրագրերը ղիտարկված են հաջորդ ենթաբաժնում: Պատահական մեծությունների մռդելավորման համար կարող են օգտագործվել ինչպես չափումների օգնությամբ ստացված փորձառականտվյալները, այնպես էլ հայտնի հավանականմություւնների բաշլսման |ստության ֆունկցիաները: Դիտարկենք առանձին պատահույթների ն պատահական մեծություններիմոդելավորման եղանակները: Անկախ պատաոււյթների ՃՀ (ՃլՃշ,....ՃԿ) լիիվ |սմբիմոդելավոլւման համար նույնպես բավական է ունենալ ը պատահական թվի մեկ արժեք: Համարվումէ, որ Ճր պատահույթը հանդես է նկել, եթե Տր,

լ»)

ո-2,....ԻՆ ՏՐՀՖր,, (51

քյ-Ս,

Ֆր, -1:

ւ»)

(2.1)

ՃՈ

Նմանակման եղանակ

Նշանակենք ԻԹ)-թ:7ՀՀ1-ով 7 պատահական մեծության կուտակման բաշխման ֆունկցիամ: Եթե 7 պատահական մեծությունը անընդհատ է, իսկ Ւ(.)-ը բացարձակ անընդհատ է, ապա ԲՇ)-

ՈՍժւ,

որտեղ 1Թ2)-48(2:)/ժ:4-ը 7 պատահական մեծության հավանականությունների բաշխման խտության ֆունկցիան է: Ընդհատ պատահական մեծության դեպքում Ի(.)-ը որոշվում է հետնյալ բանաձով. ԲՐ)

- ՖԱԿ), «0

որտեղ 122) ֆունկցիան արգումենտի ամբողջական արժեքների դեպքում որոշվում է հետնյալ բանաձնով. ՒԷ(ց ԲՇՀժ, էՀ0,12, ...: Տրված Ւ(.) հավանականություններիբաշխման ֆունկցիայով անընդհատ պատահական մեծությունների մոդելավորմանհամարօգտագործվում ն այլ են ոչ գծայիս ճնափոխությունների, արտաքսումների, բաղադրյալ

եղանակմերը: Ոչ գծային ձնափոխություններիեղաճակներիցամենատարածվածը հակադարձֆունկցիաի եղամճակնէ: Այս եղանակիդեպքում նախ կառուցում են 7 պատահականմեծությանՔ(:) բաշխմանֆունկցիան:Այնուհետն Ւ(7)-ւ պայմանից, որտեղ --ը |0,1) միջակայքում հավասարաչափբաշխում ունեցող պատահականթիվ է, որոշվում է 7 պատահականմեծությունը: Խիստ մոնոտոն ԷԲ(2) ֆունկցիայի դեպքում 7 պատահական մեծությունը միարժեքորեն որոշվում է Է(«) ֆունկցիայի հակադարձ ձնափոխությամբ: Եթե Է՛(»)-ը Ք(:) ֆունկցիայի հակադարձնէ, ապա »-Բ (4): Օրիճակ, 1/ո, պարամետրովցուցչային բաշխում ունեցող 7 պատահականմեծությոան մոդելավորմանհամար այս եղանակիօգնությամբկստանանք` 7 --ոյո(1-ռ), 1/ոյօ2թ(7/Թ)): Եթե 7-ը ընդհատ պատահական մեծություն է, ապա նրա արժեքները որոշվում են Բ(7-1)ՀւՀԲԸՇ) պայմանից, որտեղ 1-ը |0,1| միջակայքում հավասարաչափբաշխումունեցող պատահական թիվ է: Դիտարկենք Սոտնե Կարլոյի եղանակի կիրառման մի պարզագույն օրինակ: Դիցուք՝ մեկ ժամյա պարբերություններիընթացքում տուրիստական ձեռնարկության մոտ ոավաքված հաճախորդների թիվը ն դրանց բերված են 1-ին աղյուսակում: հավանակամնությունները Սոդելավորենք 5 ժամվա ընթացքում ձեռնարկության մոտ հաճախորդների թիվը: Կառուցենք հավանականությունների կուտակման բաշխման Է(.) ֆունկցիան: Այնուհետն պատահական թվերի աղյուսակից (տես հավելված) վերցնենք հինգ երկնիշ թիվ, օրինակ` 09,54,42,80 ն 20, ն կառուցենք դրանց համապատասխան տասնորդականթվերը` 0,09: 0,54: 0,42: 0,80: 0,20: Այս թվերիցյուրաքանչյուրն օգտագործենքմեկ ժամի ընթացքում -

2. Սոնտե

Կարլոյր եղանակ

ձեռնարկության մոտ հավաքված հաճախորդների թվի որոշման համար: (2.1) բաճաձնի օգնությամբ ստացված տարբեր ժամերին ձեռնարկության մոտ հավաքված հաճախորդներիթվերըբերված են 2-րդ աղյուսակում: Աղյուսակ 1.

Հաճախորդների թիվը

Հավաճմասկանու-

Կուտակված Բ(Հ) հավանականությունը

թյունը

0.40

0.25

0.65

0.20

0.85

0.15

1.0

Պատահական թվերի աղյուսակից վերցնելով նմուշներ, կարելի է համոզվել, որ հաճախորդներիթիվը նկարագրվածօրինակում կունենա ճույնպիսի հարաբերականհաճախություն, ինչպիսին բերված է 1-ին աղյուսակում: Նման 5 նմուշների օգնությամբ ստացված հաճախորդներիթիվը (տե՛ս աղ. 2) կունենա արդեն հավանականայինբնույթ: 2.

սակ

Ժամանա յ

Պատահական

աճա

0.09

0.54

0.42

0.80

0.20

Նմանակման մռդելավորմանլխնդիրնելրում`սկզբնական տվյալների ն փորձերի արղյունքների հետազոտման ժամանակ, հաճախ անհրաժեշտ է լիճում ստուգել, թե փորձառական կամ նմուշային տվյալները որքանով են տարբերվում համապատասխանտեսականբաշխման օգնությամբ ստացվածներից: Դրա համար վիճակագրական եւլանակներով ստուգվում է 115 վարկածը, ըստ որի ընտրանքայինտվյալների րհամախումբըտեսակամորեն կանխատեսվածի համեմատությամբ չնչին տարբերություն ունի: Նման վարկածի վիճակագրականգնահատման համար օգտագործում են համաձայնեցման չափանիշները: Գործնականում մեծ կիրառություն է գտել 2 շշ վիճականըինորոշվում է հետեյալ բանաձնով. չափանիշը:

-ֆ-) Ց

որտեղ 1յ--ն պատահույթննրի խմբի դիտարկվուլղհաճախությունն է, է-ն 4-րդ խմբի սպասվող (տեսական) դաճախությունն է, Բ-ն պատահույթնելյի |սմբերի թիվն է: Եթե,22-0ապա դիտարկվող ն տեսակամորեն կանխատեսված հաճախականություններիարժեքները ճիշտ համընկնում են, իսկ 72-0-ից դեպքում լրիվ ռամընկնելիություն չկա: Որքան մնծ է 22-ն,դիտարկվող ն սպասվող արժեքներիմիջն այնքան մեծ է տարբերությունը:

Նմանակման եղանակ

են նրա աղյուԱյս դեպքում 2-ի հաշվարկային արժեքը համեմատում սակային արժեքնելի հետ: 2-ի արժեքներըաղյուսակավորվածեն ազատության տարբեր աստիճանների թվի ն 1-ռ վստանելիության հավանակամության տարբեր մակարդակներիհամար:

Հարբածանցորդիխնդիրը

Մոնտե Կարլոյի եղանակի օգնությամբ դիտարկենք հարբած անցորդի վարքի նմանակման խնդիրը: Դիցուք՝ ռարբածըգտնվում է խաչմերուկում ն սթափվելուհամալ որոշում է զբոսնել քաղաքում: Հերթականխաչմերուկում նրա հարավ, նյուսիս, արնելք կամ արնմուտք շարժվելու հավանականությունները ընդունենք իրար հավասար: Տեսնենք թե հարբածը ինչպիսի հավանականությամբ 10 խաչմերուկ անցնելուց հետո կգտնվի զբոսանքն սկսելու վայրից 2 խաչմերուկ հեռավորության վրա: Հարբածի գտնվելու վայրը ն շարժման ուղղությունը կնկարագրենք (2.7) վեկտորով, որտեղ 2-ը ցույց է տալիս արնելքից արնմուտք ուղղությունը, իսկ 7-ը՝ հարավից հյուսիս: Խաչմերուկից դեպի արնելք գնալուն համապատասխանումէ 2-ի մեկ միավորովաճը, իսկ արնմուտք գնալուն՝ մեկ միավորով նվազելը: Նմաէ 7-ի մեկ միավորով ճապես, դեպի հյուսիս գնալուն համապատասխանում աճը, իսկ հարավ գնալուն՝ մեկ միավորովճվազելը:Եթե զբոսանքիսկզբնական վայրը նշաճակենք (0,0)-ով, ապա հարբածի յուրաքանչյուր քայլից հետո կարելի է ճշգրիտ որոշել սկզբնակետիցճրա հեռավորությունը:Եթե լ0 խաչմերուկից հետո` զբոսանքի վերջում, 2-ի ն 7-ի բացարձակ արժեքների գումարը հավասալ կլիճի 2-ի, ապա հարբածը կգտնվի սկզբնակետից 2 խաչմերուկ հեռավորության վրա: Քանի որ քաղաքի խաչմերուկներում բոլոր ուղղություններով շարժվելու հավանականություններըիրար հավասար են, ապա հարբածը որնէ ուղղությամբ կշարժվի 0.25 հավանականությամբ: Քաղաքում մեր հերոսի զբոսանքը նմանակելու համար պատահական թվերի աղյուսակից վերցնենք 10 երկնիշ պատահական թվեր՝ յուրաքանչյուր խաչմերուկի համար 1 թիվ հաշվով: Պայմանավորվենք,որ պատահական թվի 00-ից 24 միջակայքում արժեքներին համապատասխանումէ մեր հերոսի խաչմերուկի, դեպի արնելք շարժվելը ն 2-ի 1-ով աճը, 25-ից 49-ը արժեքներին` դեպի արնեմուտքշարժվելը ն Հ-ի 1-ով նվազելը, 50-ից 74 արժեքներին`դեպի հյորսիս շարժվելը ն 7-ի 1-ով աճը, իսկ 75-ից 99-ը արժեքներին՝դեպի հարավ շարժվելը ն 7-ի 1-ով ճվազելը: Ստորն բերված է նմանակման 5 փորձերի արդյունքները(տես աղ. 3) ն խնդրի մոդելավորմանալգորիթմիբլոկ-սխեմամ,որտեղԽ-ը՝ անցած խաչմերուկներիթիվն է: Ինչպես հետնում է աղյուսակից, հարբածը ք-3/5 հավանականությամբ կգտնվի(0,0) սկզբնակետից 2 խաչմերուկհեռավորությանվրա:

Հարբած անցորդիսնդիրը

Աղյուսակ 3. Անցումների| Կ բկ

Լփորձ

11 փորձ

Տ Յ

|Հ-

)0|

Ն0

Ց Յ

1.1

89|

Լ-լԼ|

14|

8Լէ|

2.-| 2,2 | 04| 48| Լ-2| 19| Ն-3| 2.-3 | 44|

45|

0.1

76|

96|

0.-1|

30|

օ4|

0,-2 |

0,-Լ

53|

57|

0,0 |

38|

96|

0.-Լ|

79|

Առ

43|

Խ|Հ2

-Ն-1Լ| Այո

06|

43|

|Հ

Տ Յ

1Լ0 | 06| 88| Լ-) | 95| 10| 2,-) | 04|

0.1

1Մ

ԱԼփորձ

73|

05|

3-1| 2-Լ| 3,-Լ | 2.-)|

67|

լ0|

Լ-3|

21|

3.1

Լ-4| 0.-4|

95|

3-2

|11| 4-2

Ո)

Ոչ

| |

95| 73|

76| 30|

փորձ ՀՇ

Լ0

գ |2|

Յ 6՝

Լ-1|

79| 54|

Այո

0,0 0.1 0.0

76|

2.) 3,) 3,0 | 20 |

64|

2,-Լ|

| 2,) 2,0|

փորձ

0,)

28| 05| 7)

0,0 0.1

75| 53|

29|

Այո

Հասկանալի է, որ 5 փորձերը բավարար չեն ք հավանականության ճշգրիտ գնահատմանհամար: Փորձերիքանակի ընտրության հարցը կդիտարկենքփորձերիծրազրմանընվիրվածբաժնում: Հարբած անցորդիվարքի ճմանակմանմոդելիբլոկ-սխեմա Աղյուսակից երկնիշ Լ

Սկզբնական

պատահական

տվյալների

թվերի ընտրում

1-1

մ-1«1

7-1

7-7:1

մուտ

Խի

Տպագրել 2,4,2-ի արժեքները

ԻՔՆ

ոչ

ր10

ա"

Վերջ

217.

Նմանակման եղանակ

«Կեղծ» պատահականթվերի ստացում

Նմանակման ընթացքում տրված բաշխման ֆունկցիայով պատահական թվեր ստաճալու համար օգտագործվումեն դավասարաչափբաշխված պատահական թվերի տարբեր աւլլբյուրներ:Ներկայումս հայտնի են հավասարաչափբաշխված պատահականթվերի համակարգչայինվերարտադբրության բազմաթիվեղանակներ: Ծրագրայինեղանակներիմիջոցով հաշվում են այսպես կոչված կեղծ պատահական թվերը, որոնք չնայած իրենց դետերմինիկ առնչություններովռաշվարկմանը,(0,1) միջակայքումունեն դավասարաչափ բաշխվածթվերին բնորոշ վիճակագրականհատկություններ: Հատուկ վիճակագրական թեսթերով (ռաճախական, ինքնահարաբերակցական ն այլն) ստուգվելուց հետո կեղծ պատահական թվերի հաջորդականությունը կարելի է օգտագործել որպես «իրական» պատահական թվերի հաջորդականություն: Կատարյալ աղբյուրից ստացված կեղծ պատահական թվերի հաջորդականությունը պետք է կազմված լինի հավասարաչափ բաշխված, վիճակագրականորենանկախ, վերարտադրելի ն չկրկնվող թվերից: Կեղծ պատահական թվերի աղբյուրը պետք է նան աշխատի արագ ն ունեճա նվա-

զագույն մեքենայական հիշողություն: Գործնականում լայն կիրաոււթյուն են գտել կեղծ պատահականթվերիստացմանհամընկնելիությանհետնյալ երեք եղանակները բազմապատկական, խառը ն համակցված: Համընկնելիության եղանակներիհիմքում դրված է ամբողջթվերիհամեմատելիության հատկությունը: Երկու Ճ ն 8 ամբողջ թվեր համարվում են ըստ տ մոդուլի համընկնելի, եթե գոյություն ունի այնպիսի ամբողջ Ճ թիվ, որ Ճ-8-Խոա: Ճն 8 թվերի համընկնելիությունըըստ ո մոդուլիգրվում է հե-տնյալ կերալ. (4.1) ՃՀՑ(ոՅՎ տ): Բանաձնը նշանակում է, որ Ճ. ն Ց թվերի տարբերությունը առանց մնացորդի բաժանվում է ո թվի վրա: Օրինակ՝ Լ897»7(ո04 5), 4339»390աօ4 10): Համընկնելիության բոլոր եղանակաները հիմնվում են հետնյալ անդրադարձբանաձնի վրա. ուլ (4.2) ճուր (ոոօձոռ), ն են: 7-ն, որտեղ բ-ն ոչ բացասական ամբողջ թվեր ու-ը, ոո-ը (4.2) բանաձնից ու-ի համար կստանանք` ու»2 ոխ (4.3) -1)/Ս-1)(տօ4տ), Եթե տրված են ոց սկզբնականարժեքը, Հ ն յմ հաստատունները,սպա (4.3)-ը որոշում է ամբողջ թվերի այնպիսի (ոլ,ոշ,...) հաջորդականություն, որի տարրերը կազմված են (Ճոշա(ն-1)/(4-1)) հաջորդականությանտարրերի տ թվի վրա բաժանումից ստացված մնացորդներից:Քանի որ ցանկացած 1251-ի համար ուՀո, ապա միավորմիջակայքում կարելի է կազմել (ռլ/ռ) ռացիոնալ թվերիհաջորդականությունը: Հ

«Կեղժջ պատահակամթվերի ստացում

Համընկնելիության եղանակներն իրարից տարբերվում են 4-ի. ռղ-ի ն ն-ի արժեքների ընտրությամբ: Օրինակ բազմապատկական եղանակի ղեպքում չ2-0, իսկ ոո մոդուլն ընդունվում է հավասար ք-ի, որտեղ ք -ն համակարգչում օգտագործվող հաշվարկային համակարգի թվերի քանակն է, իսկ օ-ն՝ թվի գրանցման համար օգտագդրծվողմեքենայական բառի երկարությունը: Երկուական մեքենայի ամալ: թ-2, իսկ տասականի դեպքում` թ-10: Երկուական մեքենայում ո-2Ե, որտեղ Ե-ն մեքենայական բառի մեջ երկուական թվերի քանակն է: Այս եղանակի օգնությամբ ստացված հաջորդականությանառավելագույնպարբերությունըհավասար է 2Ե-ի: Խառը եղանակի դեպքում/ծ«0: Այս պարամետրիառկայությունը թույլ է տալիս ո-ի տրված արժեքի դեպքում ստանալ այնպիսի կեղծ պատալական թվեր, ռրոնց արժեքները գտնվում են (1, ո-1) մոիջակայքում: Ներկայումս ծրագրավորման բոլոր լեզուներում կան կեղծ ւպատահական թվերի ստացման կանոնական ենթածրագրեր, որոնք ի պատիվ ԱՃԻԾ Ըօքօոճնօո ձեռնարկության, որը մշակել է պատահական թվերի առաջին ծրագրերը, կրում են ԽՃԱՎՉ կամ ԼԲՃԻՎԾՍԻ ւնվանումը: 5.

Պատահականթվերի ստացում

Նմանակման խնդիրներում առավել հաճախ օգտագործվում են պատահական թվերի բաշխման հետնյալ ֆունկցիաները. անընդհատ բաշխումներից` հավասարաչափ, բնականոն, ցուցչային, գամմա, իսկ ընդհատ բաշխումներից` երկրաչափական,Պասկալի, նրկանդամ, Պուասոնի: Ստոըն բերված են դրանց հիմնական բնութագրերըն Ֆորտրան լեզվով պատահական մեծություններիստացման ծրագրերը:

Հավասարաչափբաշխում Բաշխման խտության ֆունկցիան`

16225 1/(Ե-

երբ ՅՀշՀԵ

8),

10:)-0, հակառակ ղեպքրում:

2 ե Ե: Պարամետլրելրը՝ Մաթեմատիկականսպասելին՝ Ե(:)-(Եո)/2: Ֆորտրան ծրագիրը՝

ՏՍՑՃՕՍՂՈՎՒ

լ.

3. 4.

Ցրվածքը՝

ՄՎՈԻ/(Ճ,8,25) ԲՃԱ0(Ն) «ՀՃէԷ(8-ճ)"Ք ՇՃԼԼ

ԱՒՂՍՈԻՎ ԼԻ

Խ(:)-(Ե-ո)՛/12:

Նմանակմանեղանակ

Բնականոն /նորմալ/ բաշխում Բաշխման խտության ֆունկցիան` 164)» աք(-Շ

Պարամետրերը՝լէ.

քը.)/203)/0,

Վ25.-»Հ:

ՀՀ»:

Օ.:

Մաթեմատիկականսպասելին՝(2) Ֆորտրան ծրագիրը`

Ցրվածքը՝ Կ(4)--օ2:

չե:

(1ԵՃ,Տ102,2)

ՏՍՑՋՔՕՍՄԼՈԹԵՔ ԿՕՃԽԼՃՆ

ՏԱԽ

թ04151"12

ՇՃՆԼ

ձ.

ՏՍԽՈԼ-ՏՍԻԼ

Ճ-

ՀՔ՛ԼՍԵՆՎ

ԽՃԻՈԾԵ(Վ)

Տ1Լ0 "(ՏՍԻԵԼՓ)

ԷՀ

Ցուցչային բաշխում Բաշխման խտության ֆունկցիան` 12) 46ճք(-/ն.),4»0, 220 4: Պարամետրը՝ սպասելին` Խ(.) 1/4: Ցրվածքը՝ Մաթեմատիկական ԿԽ(-1/17: Ֆորտրան ծրագիրը՝

ԷՃՔՏԷՒԼ (Է, 7)

ՏՍՑՃՕՄՂՈԱԵ

ՇՃՆԼ

ՃՀ--Էշ"ԼՆՕՕ

ՀԵԼՍՈՎ

ԷՍ

(Լ)

ԲՃՒՍ

(է)

բաշխում Բաշխման խտությանֆունկցիան` Գամմա

Օ-)

7(օՀ

Օօ"

6ւք(-Օո) չ

(--1)

Պարամետրերը՝6. է: Ծրագրում Ճ Մաթեմատիկականսպասելին` Ք(.) Ֆորտրան ծրագիրը՝ Հ

ՏՍՑՔՕՄԼՈԱ

լ.

ՂՃՀ

2041-ՆԻ

զ -

Խ/օ:

ՕՃԽԻԾԸՃ

1.0

Գ)

ՕՃՆԼ

ՂԵ-ՂԲ"ռԲ

Ճ--ՆԼՕօՕՂՏԵ)լնՃ

ԻՃՄԻՍ

ՒԲՈՍՒԱՎ

0-0, Է»0, 220:

Ցրվածքը՝ Կ(:) (ԽՃ)

Խ/օշ:

Պատահականթվերի ստացում

Երկրաչափականբաշխում Բաշխման խտության ֆունկցիան՝ 1()- քզ՞,:2 0,12....: ն ք զ, 0ՏքՀ1, զ Պարամետրերը՝ 1-ք: զ/ք՛: սպասելին՝Ք(.) զ/ք: Ցըվածքը՝ Կ(:) Մաթեմատիկական Այս բաշխումը Պասկալիբաշխման մասնավոր դեպքն է, երբ էՀ -

Պասկալի բաշխում Բաշխման խտության ֆունկցիան`

(9-2

ֆդ'2-0,1,2,...: չ

Պարամետրերը՝է, ք, զ: «-ն ամբռղջ թիվ է ՕՀ քՀ 1, զ-1-ք: Էզ/ք: Ցրվածքը Մ()Մաթեմատիկականսպասելին` Ե(չ) Ֆորտրան ծրագիրը՝ ԲՃՏԸՃԼ

ՏՍՑՔՕՍԼԱՔ

(Բ.0:) Հ

լ.

ԴՔ-10

ՕԲ- ԼՍՕ(օ)

ք05

էգ/ք-:

1-18

ԲՃՎԵ(Ս

ՇՃԼԼ

Ղ1.-1Ք"ք

«-Ի2

ՔԻԼՍԻՎ

ԷԱ

ԼՕՕՂՔ)/ՕՔ

Երկանդամ բաշխում Բաշխմանխտության ֆունկցիան` ք(2)

է թգ".

:-0,1,2,...ո:

Պարամետրերը՝թ, զ, ռ, ոլւտեղ 0Հ ք Մաթեմատիկականսպասելին՝ 6(2.) Ֆորտրան ծրագիրը` լ.

«0.0

ՔՕ61-

ՇՃԼԼ

1Է(8-թ) 5,5

ոթ:

-2-Ւ

1.0

ՇՕՒՈԼՈՎՍԱ

ԷԱՂՍԵԿ

ԲԻԾ

1-ք:

Ցրվածքը՝ Կ(2)

8ՊՎՕԻ/ԼԸՎՆԻ,Հ)

ԼԱ ՔՃԻԾ

զ-

Հ |:

ՏՍՑՃՕՍՂՈԱԸ

(Է)

ոբզ:

Ճո

Նմանակման եղանակ

Նմանակմանմոդելի կառուցում

Ցանկացած մղդել կարելի է դիտել որպես որեէ իլլական համակարգի վերացարկում,ռրն օգտագործվումէ նրա բնութագրերիռետազոտման,գնահատմամ, վարքի կանխատեսմանն կառավարման համար: Հետազոտողը մոդելի օգնությամբ կարող է ուսումնասիրելմոդելավորվողհամակարգիմեկ կամ մի քանի պարամետրերի փոփոխության ազդեցությունը նրա ելքի փոփոխականներիկամ ամբողջ համակարգիվարքի վրա: Համակարգի մւդելի որակը գնահատվում է նրա իրական պատկերին համարժեքլինելու ունակությամբ,այսինքն համակալգիվարքի,ճրա տարբեր նկարագմանճշտությամբ:Մի կողմից` բաղադրիչներիփոխազդեցությունների մոդելը պետք է ճիշտ նկարագրիհետազոտվողհամակարգիգործառույթը ն հաշվի առնի նրա վարքի հիմնական առանձնահատկությունները:Մյուս կողմից` մոդելը պետք է բավականին պարզ լինի, ոլւպեսզի հնարավոր լինի ղասկանալ նրա հիմնականհատկություններըն օգտագործվի արդյունավետորեն: Ցավոք՝ իրականությանըհամալժեք մոդելճե՞ըհազվադեպեն լինում պարզ, իսկ պարզ մոդելներըհաճախ շատ հեռու են իրականությունից: Համակարգերիմաթեմատիկականմոդելները սովորաբար բաղկացած են հետնյալ չորս տարրերից` » բաղադրիչներ ափոփոխականներ » Նպարամետրեր » ֆունկցիոնալ կապեր: Մոդելի բաղադրիչները իրենցից կարող են ներկայացնել հետազոտվող համակարգի տարբեր ենթահամակարգերի մոդելներ: Վերջիններս իրենց հերթին կարող են ունենալ բարդ կառուցվածք ն կազմված լինել ավելի պարզ ենթահամակարգերից ն այդպես շարունակ: Մոդելի բաղադրիչների ընտրությունը պայմանավորված է համակարգի մոդելավորման ճպատակներիցու բարդությունից: Փոփոխականներըներմուծվում են հետազոտվող համակարգի տարհամար: Դրանք համապաբեր բաղադրիչներիմիջն կապերի նկարագրման տասխանորենբաժանվում են` կախյալ, անկախ, կառավարմանն վիճակի փոփոխականների: Կախյալ փոփոխականներընկարագրում են համակարգի ելքի պարամետրերը: Դրանք որոշվում են համակարգի գործառույթի հավասարումներից: Մոդելի յուրաքանչյուր ելքին համապատասխանում է մեկ հավասարում: Օրինակ` ձեռնարկության ելքի փոփոխականներ կարող են լինել նրա ծախսերը, արտադրանքը,վաճառքը, շահույթը ն այլն: Հաճախ ելքի փոփոխականներիմի մասն օգտագործվումէ նան ռրպես վիճակի փոփոխականներ: Վերջիններս բացահայտորեն չեն մտնում համակարգի կառավարման ռրակը բնութագրող հավասարումներիմեջ ն ներմուծվումեն մոդելի նկարագիրըամբողջացնելու նպատակով: »

Նմանակման մոդելի կառուցում

Կառավարման փոփոխականներըոլոշվում են համակարգր կառավարող մարմնի կողմից: Օրինակ` երկրի տնտեսության կառավարման փոփոխականներկալող են լինել վարկերի ու հարկերի տոկոսադրույքները, իսկ ձեռնարկության համար` արտադրանքի քանակը ն տեսականին,

օգտագործվող աշխատուժը

այլն:

Ֆունկցիոնալ կապերը ոլաշում են համակարգի մոդելի փոփոխականների ու բաղադրիչների փոխազդեցությունը ն բաժանվում են երկու դասի՝ նույնություններ ն գործառույթի բնութագրերիհավասարումներ: Ընդ որում նճույնություններըհանդես են գալիս կամ սահմանումների,կամ համակարգի բաղադրիչները բնորոշալ հաստատունների ձնով: Նույնությունների օրինակներ են ձեռնարկությանշանույթի սահմանումը` որպես նրա լրիվ եկամուտի ն լրիվ ծախսերի տարբերություն, ձեռնարկության ակտիվի հավասարությունը նրա մասնավոր կապիտալի ու վարկերի գումարին ն այլն: Բնութագրերըիրենցից ներկայացնում են մոդելի ելքի ն վիճակի փոփոխականների մաթեմատիկականառնչությունների տեսքով ալւտահայտված կապը մուտքե փոփոխականներիհետ: Բնութագրերիօրինակներ են տնտեսության մակրոտնտեսականցուցանիշները, տնտեսության որնէ ճյուղի արտադրանքի պահանջարկի ֆունկցիան, ձեռնարկության արտադրական ֆունկցիաներըն այլն: Համակարգի գործառույթիհավասարումներիպարամետրերըորոշվում են վիճակագրական գնահատականմերի օգնությամբ: Դիտարկենք համակարգերի հետազոտման խնդիրներում մեծ կիրառություն գտած մի քանի նմանակման մոդելներ: 6.1

Մարկովիշղթայի

կիսամարկովյան գործընթացներիմոդելներ

Մարկովի շղթաները կիսամարկովյան գործընթացները մեծ կիրաեն գտել գործույթների հետազոտման` հերթերի,պաշարների, պահեստավորման, կառավարման ն այլ խնդիրներում: Դիտարկենք վերջավոր թվով վիճակների Է-(0.1.....Վ) բազմությունով ն մեկ քայլում անցումն

ռում

Ք-|թ,|

ների մատրիցով Մարկովի շղթան, որի մեկ վիճակից մյուսը անցումները կատարվում են ժամանակի ընդհատ1-0, 1,2,... պահերին: Նման մոդելները օգտագործվում են, օրինակ` առնտրի պլանավորման խնդիրներումսպառողական պահանջարկի նմանակման համար: Այս դեպքում շղթայի առանձին վիճակներինհամապատասխանումեն տարբեր որակի համասեռ ապրանքների տարբեր գերադասման կառուցվածքները: Մարկովի շրղլղթան նմաճակվում է նրա Թ մատրիցի տողերի օգնությամբ: Համարվում է, որ շղթան մեկ քայլում 1 վիճակից անցում է կատարումյ վիճակի, երն

Իբ,

ՏՐՀ

ւ-Ս

Իթ,

Ւ-0

դ-ր (0,1) միջակայքից կեյլծ պատահական թիվ է: հաջորդականության օգԱյպիսով կեղծ պատահականթվերի /,,ոշ,..., ըդ նությամբ հ/ քայլերի ընթացքումմոդելավորվում է Մարկովի շղթայի վարքը:

որտեղ

47.

Նմանակմանեղանակ

Այժմ դիտարկենք վերջավոր ԷՀ(0,1...., վիճակսերի բազմությամբ կիսամարկովյանգործընթացներիմռդելավոլվում խնդիրը: Ինչպես նշվել է ՃԼ բաժնում, կիսամարկովյան գործընթացներըկալտղ են որոշվել մի քանի եղանակով: Դիտարկենք հետնյալ երկու եղանակները, երբ գործլլնթացըորոշվում է՝ 1. Օ(է) անցումային մատրիցիօգնությամբ: 2. Անցման սպասման Օ-իճյ| ժամանակների ն ճրանց Է(Ժ-ԱԲ,()|, Բո(0 Բ(ռյՀ Ս բաշխման ֆունկցիամերիմատրիցներիօգնությամբ: Առաջին դեպքում, գործընթացըորոշվում է անցումների հավանականությունների (0 |Օ(Ս| մատրիցով, որի Օյ(0 տարրերը որոշվում են բանաձնից:Նմաճակումն իրականացվում է հետնյալ կերպ: Գ() թյՕ(0-ի Է Ք)-ն 6-(Օ, Դիցուք՝ գործընթացի բազմության վիճակներում մնալու ժամանակներիպատահակամմեծություններիվեկտորն է: Յուրաքանչյուր1 վիճակի համար սկզբում մոդելավորվում է Օւ(0 բաշխման ֆունկցիայով 6 պատահական մեծությունը, այնուհետն Բ մատրիցի 1-րդ տողի (Մարկովի շղթայի նմանությամբ) համասեռ

ի-0

ՏՐՀշ

)

Է»0

քա:

նմանակմանպայմանիցորոշվում է գործընթացիհաջորդյ, յ ք վիճակը՝ Նմանակման համակարգայինժամանակըտրվում է հետեյալ բանաձնով Ո-՛Լլ Էծ, թ1.2,..., էճ Է, ռրտեղ ՛1լ-ճ համակարգային ժամանակն է ' անցումների դեպքում, ՛19-ն համակարգային ժամանակի արժեքն է մոդելավորման սկզբնական պահին, 0չ-ն 1-րդ քայլում դ, վիճակում գործընթացի մնալու ժամանակնէ: Երկրորդ դեպքում տրված է Օ-|0չյ|անցման սպասման ժամանակների մատրիցը, որի Օ, տարրը գործընթացի 1 վիճակից յ վիճակ անցման սպասման ժամանակիպատահականմեծությունն է: հայտնի է ճան Բ.(ժ-ն՝ Օյ մեծության բաշխման ֆունկցիան: Նմանակումն իրականացվում է հետնյալ կերպ: Գործընթացի 1 վիճակում 168 որոշվում են Բչ() բաշխման ֆունկցիայով Օյ պատահական մեծությունների ճլ,02շ..... գռ արժեքները: Այնուհետն ճյ։02շ»....:: թվերից գտնում ենք 0..-ուով ճ., յճ Է) ն ընդունում, որ գործընթացը 1 վիճակից անցում է կատարում Տ վիճակ, որից հետո նմանակում ենք գործընթացիհաջորդվիճակ անցումը ն այդպես շարունակ: 6.2

Հերթերի մոդելներ

Ինչպես հայտնի է 2411 բաժնից տնտեսական, տեխնիկականն այլ համակարգերի գործունեությունը գործնականում կապված է, հաճախորդների պատվերներին հայտերի սպասարկմանհետ: Որպես հայտեր կարելի է դիտել արտադրության կամ առնտրի պատվերները,մեքենայի վերանորոգումը, հիվանդների բուժսպասարկումը, ուսանողներից քննությունների ընդունումը ն այլն:

Նմանակման մոդելիկառուցում

Որպես սպասարկմանսարքեր` արտադրական գործընթացի տարբեր փուլերը, բանվորական բրիգադնելը, բժշկական լաբւարատորիան,դլամարկղը ն այլն: Սպասարկման համակարգերիտարբեր օրինակնել: ն դրանց հետազոտման վերլուծականեղանակներըքննարկված են ՃԱԼ բաժնում: Հերթերի առաջացման հետ կապված վնասները պայմանավոլվում են հաճախորդների կորստով, պահեստավորման, սպասարկման միջոցները պարապույյի ն այլ ծախսերով: Հերթերի հետազոտման խնդիրը տնտեսագիտական տեսանկյունից հանգում է պատվերների ն հայտերի հելյթում նպասելու ն համակարգի սարքերի պարապուրդի հետ կապված կորուստճերի նվազեցմանը: Այժմ դրտարկենք սպասարկմանհամակարգերի նմանակման մոդելճերի կառուցման մի քանի օրիճակներ:Մկզբումքննարկենքմեկ սպասարկման սարքով ն անվերջ հերթով Օ տեսակի համակարգը: Դիցուք` Ճ(1-ն համակարգիմուտքի հռսքի, իսկ 8(0-ն ռայտերի սպասարկմանտեղղությանբաշխմանֆունկցիաներնեն:

ժի

6.2.1

համակարգինմանակմանմոդել Օ|օ||

Ելքի փոփոխականներ Մ հայտի հերթում մնալու միջին ժամանակը. 10: հերթական հայտի ստացմանն սպասելիս համակարգի պարապուրդիմիջին ժամանակը: -

Վիճակի փոփոխականներ

Ֆ/կ-1-րդ հայտի սպասմանժամանակը,1՞1,2.3,...ռ: 1մն -րդ հայտի ստացմանն սպասելիսհամակարգիպարապուրդիժամանակը, Ր 1,2,3,...,ո: Մուտքիփոփոխականներ -

Ճկ Էրդ ն ՈՒԼ)-րդ հայտերիստացմանմիջն ընկածժամանակահատվածը: Տե - 1-րդհայտի սպասարկմանժամանակը, 1Հ1,2,3....,ո: -

Համակարգիգործունեության բնութագրեր 1(Ճէ

երկու հաջորդական հայտերի ստացման պահերի միջե լւնկած ժամանակահատվածների բաշխմանխտությանֆունկցիան: 1(ՏՍ- հայտերի սպասարկման ժամանակի բաշխման խտության ֆունկցիան: Նույնություններ -

Մե» ՄՍ,

14-՛Լ/ոյճ1:

ՃՈ

Նմանակմանեղամակ

համակարգինմանակման մողելիբլոկ-սխեմա: Օլճ|/ լ

Սկզբնականվիճակի հաստատում

Գ Ճէ-ի արժեքների ստացում

ՃԼԷՀՃԼ-ՄՄէ

ՏԼ-ի արժեքների ստացում

ի«---

--Հ-թ

ԽԼ-0

ՏԷՃԼ

Մ/Հ

Դո

ԽԷ

Խ-0

լ 11:-0 վ

1Աէ-ՃԼՏէ

է1 13|

Դա

ԺԵՂ վ

Այս բլոկում գրոյի են բերվում մոդելի մի շարք փոփոխականներ՝ առաջին հայտի ստացվելու ժամանակը, դրա սպասման ժամամճակը,համակարգի պարապուրդիժամանակը, ինչպես ճան լրիվ սպասման պարապուրդիժամանակները:Դրանով իսկ հաստատվում է համակարգիսկզբնական վիճակը ն գրանցվումէ առաջինհայտի ստացվելուփաստը: 2. Որոշվում է նոր (երկրորդ) հայտի հայտնվելու հարաբերականժամանակր, որը հաշվարկվում է նախորդ (առաջին) հայտի ստացվելուպահից: լ.

Նմանակման մոդելի կառուցում

3. Ստացված մեծությունից հանվում է նախորդ հայտի սպասման ժամանակը:Այս տարբերությունըորոշում է նոր հայտի գալու հարաբերական ժամանակի նոր արժեքը: Նրա հաշվանքլ: այժմ-տարվում է նախորդհայտի սպասակկումնսկսվելու պահից: 4. Որոշվում է հայտի սպասարկման ժամանակի անսղությունը: Եթե այն գերազանցում է նոր հայտի ստացվելու հարաբերական ժամանակը, ապա վերջինս պետք է սպասի հերթում: Նոր հայտի սպասման ժամանակը այս դեպքում հավասար է նախորդ հայտի սպասարկման տնողության ն նրա ստացման հարաբերականժամանակի տարբերությանը: Այդ տարբերությունը հաշվարկվում է 7-րդ բլոկում, որից հետո 8-րդ բլոկում վերահաշվարկվում է համակարգում լրիվ սպասման ժամանակը: Եթե նոր հայտն ստացվելու հարաբերական ժամանակը մեծ է նախորղ հայտի սպասարկման ժամանակից,ապա նա չի սպասում հերթում: Այս դեպքումառաջանում է պարապուրդ, որի մեծությունը որոշվում է 12-րդում, ռրպես նշված ժամանակների տարբերություն: 13. Կատարվում է համակարգի պարապուրդի լրիվ ժամանակի վերահաշվարկ: Եթե հայտի ստացվելու հարաբերական ժամանակը ն նրբա ն սպասարկման ժամանակը միմյանց հավասար են, ապա պարապուրդ հերթչեն առաջանում: 2-րդ բլոկից սկսվող ցիկլը կարելի է կրկնել բազմակի անգամ ն այդպիսսվ դիտարկել կամայական թվով հայտեր: Նման հաշվարկների օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգի հավանակամային բնութագրերի, օրինակ՝ պարապուրդի,հերթումսպասելուհամակարգումմնալու ն այլ ժամանակներիմիջին արժեքները ն դրանց վիճակագրականգնահատականները: Բերված մոդելի պիտանիության ստուգման համար կարելի է անցկացնել ըստ հատուկ բաշխման ֆունկցիաների, օրինակ, ցուցչային բաշխման, համակարգի մոդելի փորձարկումներ ն նրա բնութագրերի համար ստացված վիճակազրական գնահատականները համեմատել վերլուծական եղանակով հայտնի արդյունքների հետ: 2:11 բաժնում դիտարկվող սպասալրկմաճ համակարգի համար, երբ մուտքի հոսքն ունի 4 պարամետրով Պուասոնի բաշխում, իսկ սպասարկման ժամանակը` ւ պարամետրով ցուցչային բաշխում, համակարգի կայունության 4/1 «1 պայմանի բավարարմանդեպքում նրա ռրոշ բնութագրերի համար` (ռայտերի հերթում սպասելու միջին ժամանակի, համակարգի բեռնվածության, հերթի միջին երկարության, դամակարգումհայտերի միջին քանակի, համակարգումո հայտերի գտնվելու (20) հավանականության ն այլն) ստազվել են վերլուծական բանաձներ: Մոդելի ճշտության ստուգման համար անհրաժեշտ է հաշվել նան նրա համապատասխանբնութագրերի ցրվածությունը: Դրա համար մոդելի փորձարկումներըկատարվում են կեղծ պատահական թվերի ստացման ծրագրի տարբեր սկզբնականարժեքներիդեպքում: Ստացված արղյունքները թույլ են տալիս հետազոտել բաշխման

Նմանակմանեղանակ

ֆունկցիաների պարամետրերի փոփոխման ազդեցություն, համակալգի բնութագրերի վիճակագրական գնճահատականմերիվրա ն մոդելի զգայունությունը: Որոշ ձնափոխություններիցհետո բերվածմոդելումկարելի է դիտարկել հայտերի տարբեր սպասարկումներիկարգերը, հերթի երկարությունը ն այլ բնութագրիչներ: Դիտարկված մոդելը կարելի է նան օգտագարծել որպես ավելի բարդ համակարգի(օրինակ՝ սպասարկմամցանցի) բաղադրիչ: ՍպասարկմանՊ նույնատիպ սարքերովմոդել

6.2.2

Դիտարկենք այժմ սպասարկման Ի նույնատիպ սարքեր ունեցող ՕԼՇԼԱ ռամակարգինմանակման մոդելը, ռրի մի շարք կիրառություններ ն մարկովյան մոդելը բերված են 211 բաժնում: Դիցուք` Ճ(0-ն համակարգում երկու հաջուրդականհայտերի ստացվելու պահերի միջն ընկած ժամանակի բաշխման ֆունկցիան է, իսկ 8()-ն 1-րդ սարքում հայտի սպասարկման ժամանակիբաշխման ֆունկցիան է: Ենթադրենք,որ Է-0 սկզբնականպահին համակարգը ազատ է հայտերից: Մոդելընկարագրողփոփոխականներըհամանման են նախորդ՝Օ|Օ|1, մոդելի ռամարօգտագործվածներին, բացառությամբ` ՂՅլ բացարձակժամանակը1-րդհայտն ստացվելուպահին, 6-1)-րդ ն ւ-րդ հայտերի սպասարկման ավարտի պահերի Ղո-ՏեյԻ1ժե, միջն ընկած ժամանակահատվածը, 1-1,2,...,ԷՆ )-1,2,..., Ն Ղե բացարձակժամանակը1-րդսարքի կողմից 1-րդհայտի սպասարկման ավարտիպահին, Տոսո-Լեւլյ մեծության նվազագույն արժեքը բոլոր յ-երի համար -

)5Ն2,.... ԷԸ Ենթադրվում է

որ համակարգումառաջին հայտի ստացվելու պահին են հետնյալ սկզբնականպայմանները՝ բավարարվում ՃկՀ0, 1մեյ- 0, Մեկ 0,)- Ն2....ԷՆ

1(յյ

Տեւ, ՏԻ0յՀ 0, յ)- 1,2,...,ԻՆ

1-րդհայտի հայտնվելուց հետո մոդելի վիճակի փոփոխականներիարժեքճերը որոշվում են եյ մեծությունների նվազագույնարժեքներնապահովողյ համարի համար գրված հետնյալ բանաձներով. Եթե ՛1ճկ » Տուռ, ապա Ծ կ, ՛18ե Տուո, ն Մեյ 0, :-1.2....: Եթե 14ե Հ Տուռ, ապա Մեյ Տողւո Ղե ն14 գ 0, 1-2....: կրկնակի դեր է խաղում: Նշենք, որ ւ ինդեքսը բերված առնչություննճերում 1-ն համապատասխանում է համակարգում Ճե՛ն 1ճկ փռփոխականներում ստացված հայտի համարին,իսկ Տ4 մ,, 14 գ, ե, Լե, ) ն Մկ-ում 1-ն ցույց է տալիս յ-րդ սարքումւ հայտի սպասարկմանհամարը: Մոդելինմանակմանալգորիթմիբլոկ-սխեմանբերված է ստորն: Հ

ճ.

Նմանակման մոդելիկառուցում

Սպասարկման8 նույնատիպսարքերովմոդելիբլոկ-սխեմա

Սկզբնական

տվյալների մուտք

1-1

1Հ1Հ 1

Ղու-օ0, աւյ-0

7|»

Տէ,)-1,Ա արժեքների

ստացում

որոն

ՂԱՐՂԺԱԹՏԼ

«---օ

լ9

ՏոՍոՀ՛Լ|լ

ճար» հացն

կի

ՀՈՅ

ԹՒՃ

Ւ--»

Վիճակագրական Արղյունքնե աա բնութագրերի կերպում հաշվարկ

Դշ

Նմանակման եղանակ

| թյացո-8-

ԿուՆ)Հ-թւք

Կոււ)-0

(մ(Լ)-0 |

281.

1աւ(Լ)-0 |

Խ(Ն)-0

շվ 141(Լ)-0

Տէչարժեքների

Տէլ արժեքների

ստացում

Տելարժեքների ստացում

Տ(ՀՏէլ

ՏԼՀՏէլ

ՏԷՀՏէլ

ՂՆ.)-ՂՅՒՄԵԱ.)-Տէ

Ւ--Թ-

Սոդելավորումն սկսվում է մոդելավորվողհայտերի Խ/Լ թվի, սպասարկսարքերի Է| թվի, Ճ() ն Ց(0- բաշխման ֆունկցիաներիմիջին արժեքների ն ցրվածքի ներմուծմամբ: Այնուհետն առաջին հայտն ստացվելու բացարձակ ժամանակը ն սպասարկմանսարքերի պարապուրդի ժամանակճերըբերվումեն զրոյական արժեքի: 3-6-րդ բլոկներիցիկլը ընդգրկումէ հաջորդ ԻԼ--1 հայտերն ստացվելուն 2-րդ բլոկից Վ համարների սարքերի սկզբնական պարապուրդիժամաճակների հաշվարկները: Համակարգումհերթ կարող է առաջանալմիայն առաջին ԻՊ հայտերը համակարգումստացվելուց հետո: 1-րդսպասարկման սարքի սկզբնական պարապուրդի ժամանակը հավասար է յ-րդ հայտն ստացվելլու պահի բացարձակժամանակին: ման

Նմանակման մոդելի կառուցում

7-րդ բլոկում գրանցվում է Ի թվով հայտերի ստացվելը: Նշենք, որ այս դեպքում սարքերիցյուրաքանչյուրը ստացել է մեկ հայտ: Այնուհետն որոշ"որից հետո հաշվում են այդ հայտերի սպասարկման ժամանակները, վարկվում են սարքերով առաջին հայտերի սպասարկումն ավարտվելու պահերը: 10-ից մինչն 15-րդբլոկը գործում է վերջավոր թվերի հաջորդականությունից ամենափոքր անդամը գտնելու ենթածրագիրն: Այդ ծլլագիրն օգտագործվում է Ղեյժամանակի ամենափոքըարժեքի որոշման համալ: Ցիկլի ավարտից հետո 1 ինդեքսի արժեքը ավելացվում է մեկով, որին համապատասխամումէ համակարգումնոր հայտի ստացվելը: 17-րդ բլոկում համեմատվում է դիտարկվածհայտերի 1 թիվը Խ/(-իհետ: Եթե /Հի/-ի, ապա նմանակումնընդհատվում է ն կատարվումէ համակարգի բնութագրերի վիճակագրականգնահատականներիհաշվարկ: Եթե ԼՀԻ1Լ-ից, ապա որոշվում է համակարգումհերթական հայտի ստացման բացարձակ ժամանակը: Դրանից հետո հաշվարկվում է նրա ն Լ-րդ (առաջին ազատ) սարքի ազատման ժամանակների ւ տարբերությունը: Կախված ւլ նշանից` հաշվարկվում է հերթում հայտի մնալու ժամանակը կամ հայտի ստացմանը Լ-րդ սարքի սպասման ժամանակը: Այնուհետն որոշվում է ընթացիկ հայտի սպասարկմանժամանակը: 37-րդ բլոկում այն գումարվում է հայտն ստացվելու ն սպասելու ժամանակներին: Դրանց գումարը իրենից ներկայացնում է բացարձակ ժամանակի արժեքը Լ-րդ սարքի ազատ գտնվելու սլահին: Դրանից հետո անցում է կատարվում 10-րդ բլոկ ն նորից կրկնվում են ազատ սարքի որոնման ընթացակարգը. հերթական հայտի ստացման ժամանակի ոլտաշումը, սպասման, սպասարկման ն պարապուրդի ժամամակների հաշվարկը ն այլն: Գործընթացը շարունակվում է մինչե 81-րդ հայտի համակարգում ստացվելը: Մոդելի միջոցով ստացված արդյունքների ստուգման համար կարող են գտագործվել 2. բաժնում Ճ(Ս ն 80) ֆունկցիաների 4 նռ պարամետրերովցուցչային բաշխման դեպքում ստացված բանաձները: 6.3

Պաշարների կառավարմաննմաճակմամ մոդել

Պաշարների կառավարման խնդիրներըհաճախ կարելի է ձեակերպել որպես մատակարարումներիլավագույն բաշխման տարբերակի որոնման խնդիր: Օրինակ, ինչքան պետք է ձեռնարկությունը արտադրի (պատվիրի) ն որքան հաճախ պետք է արտադրի (պատվիրի) որոշակի արտադրանք, որպեսզի 0վազագույնի հասցնի պահեստավորմանգումարային ծախսերը, մատակարալըումների կազմակերպմանծախսերը ե պակասուրդով պայմանավորվածկորուստները: Դիտարկենք պաշարների կառավարման մի համակարգ, որտեղ որոշակի ապրանթի ամենօրյա պահանջարկը ե մատակարարումների պատվերների բավարարմանժամանակը տրված բաշխման ֆունկցիայով պատահական մեծություններ են: Պահեստից ամեն ծր հանվող ապրանքի քաճակը որոշվում է ընթացիկ պահանջարկով:

201:

Նմանակման եղանակ

Երբ պաշարի մակարդակը իջնում է տրված մակարդակից (պաշարի վերականգնմանկետից), պահեստիղեկավալությունը կատարում է որոշակի՝ լավագույն քանակի, ապրանքի մատակարարման պատվեր: Պատվերի կատարման ժամանակիավարտից հետո ապրանքը հանձնում եւ պահեստ ն լրացնում այդ պահին եղած պակասը: Նկարագրված համակարգր բնութագրվում է հետնյալ փոփոխականներով ն ֆունկցիռնալ առնչություններով.

Ելքի փոփոխականներ ՂՇ համակարգի լրիվ ծախսերը, -

Վիճակների փոփոխականներ ՂՇ1 պաշարի պահպանմանլրիվ ծախսերը, հետ կապվածլրիվծախսերը, ՂՇ2 մատակարարումների կազմակերպման ՂԸՇ3 պահեստում ապրանքի պակասուրդից առաջացած լրիվ կորուստները, ՇԼՕՇՔ ընթացիկժամանակը, Ղ հերթականմատակարարմանժամամակը, Մ1 պահեստավորվածապրանքիքանակը, -

Մուտքի փոփոխականներ Ք. 1-րդօրվա համարպահանջարկը,1 1.2... Ելկ յ)-րդպատվերիկատարմանհամար ամհրաժեշտժամանակը, -

Կառավարման փոփոխականճեր ԵՕՕ մեկ մատակարարմանծավալը, ՃՕԲ պաշարի վերականգնմանկետը, -

Պարամետրեր Շ1 միավորապրանքիմեկ օր պահելու հետ կապվածծախսերը, Շ2 մեկ մատակարարմանկազմակերպմանծախսերը, Շ3 ապրանքիմիավորի պակասուրդի հետ կապվածկորուստները, պաշարի սկզբնականմակարդակը, դիտարկվող ժամանակիտնողությունը (օրերով): -

Համակարգի բնութագրերը

1((9) պահանջարկիբաշխման խտության ֆունկցիան, 1(6ԼՂ) պատվերիկատարմանժամանակիբաշխման ֆունկցիան: -

Նույնություն ՂՇ

ՂՇԼ

1Շ3:

Մոդելի օգնությամբ կարելի է հետազոտել ԷՕՕ ն ՔՕՔ մեծությունների ազդեցությունը լրիվ ծախսերի ծավալի վրա կամ գտնել 1Շ ծախսերը նվազեցնող ճրանց լավագույն արժեքները:Նմանակման մոդելի բլոկ-սխեման բերված է ստորն:

ճ.

Նմանակմանմոդելի կառուցում

Պաշարներիկառավարմաննմանակմանմոդելի բլոկ-սխեմա

Տվյալների մուսը

ՇԼՕՇԲՀ-0

1-0

ՂՇ1»50, 1Շ2»-0 ՂԸՇ3»20,1Ը»0

Լ-Տ1

ք-ի արժեքների ստացում

ԼՇ2-1Շ2.Ը2

ՂՇՀՂՐԸ1Հ

»1Շ2.1Շ3

20|

թԹԼՂ-ի արժեքների

| Վերջ|

տ Մոն1«ԵՕ09 Լ-

1:Զ.6Հ

ստավզում

28251

Մոդելավորումնմկսվում է ԵՕՕ, ՔՕԻ, ԸԼ, Ը2, Ը3, 81, ՛Ո1 մեծությունների ն ք ու ՔԼ7 փոփոխականներիբաշխումները նկարագրող պարամետ1, ՂՇ1, 1Շ2, 1Շ3 ն ՂՇ-ի արժեքրերի ներմուծմամբ: Այնուհետն ՇԼՕՇ, ները բերվում են զրոյի, իսկ պաշարի լւնթացիկ ՄԼ արժեքը հաստատվում է 81 մակարդակիվրա: Դ-րանից հետդ համապատասխան ենթածրագրի օգնությամբ որոշվում է պահանջարկիմեծությունը ն մեկ օրով առաջ է տարվում համակարգային ՇԼՕՇՃ ժամաճակը: 7-րդ բլոկում ստուգվում է մողելավորման ժամանակի ավարտիպայմանը: Եթե համակարգային ժամանակի ընթացիկ արժեքը գելւազանցում է ՂՂ-ին, ապա մոդելավորումն ավարտվում է ն հաշվարկվում են ՛1Շ լրիվ ծախսերը: Հակառակ դեպքում ստուգվում է ընթացիկ ժամանակի ե ավելի վաղ ստացված պատվերով մատակարարումնիրակամացվելու պահի համընկնման պայմանը:

Նմանակման եղանակ

Եթե պայմանը բավարարվումէ, ապա պաարի քանակը ավելացվում է ԷՕՕ մեծությամբ: Դլանից հետո, անկախ բլոկի աշխատանքի արդյունքներից, պաշարից հանվում է ընթացիկ պահանջարկը: Ստացված տարբերությունը կարող է լինել բացասական, այսինքն` պանեստիցհանվել է ամբողջ արտադրանքը, ն առաջացել է ճելլքվածք: Այս դեպքում հաշվարկվում են ճեղքվածքի հետ կապված կռրուստները: Ընդ որում ընդունվում է, ռը ճեղքվածքը չի կարելի փակել ապագա վաճառքի հաշվին: Կորուստների հաշվարկից հետո անհրաժեշտ է զրոյացնել պահեստում ընթացիկ պաշարմերիարժեքը (բլոկ 15): են պաշարիպահպանմանլրիվ ծախՀաջորդբլոկում վերահաշվարկվում սերը: Եթե պաշարի ընթացիկ մակարդակը գերազանցումէ ՋՕՔ-ի արժեքը, ապա կառավարումըանցնում է 5-րդ բլոկ: Այստեղ որոշվում է պահանջարկի նոր արժեքը ն կրկնվում է նկարագրված ողջ ընթացակարգը:Եթե պահեստում ապրանքիքանակը չի գերազանցումսահմանային մեծությունը, ծրագիրը դիմում է 18-րդ բլոկ, որը ստուգում է համակարգումավելի վաղ ստացված, բայց չիրագործված մատակարարման միստվերի առկայությունը: Եթե այդպիսի պատվեր կա, ապա վերադառնումենք 5-րդ բլոկ: Հակառակ դեպքում կառավարումըտրվում է 19-րդ բլոկ, որտեղ սկսվում է նոր պատվերի նկարագրումը:Այստեղ վերահաշվարկվումեն մատակարարումների կազմակերպմանհետ կապվածլրիվ ծախսերը:Այնուրետն որոշվում է նոր պատվերի կատարման ժամանակը: Ստացված արժեքը գումարվում է համակարգային ժամանակի ընթացիկ արժեքին: Այս գումարը որոշում է մատակարարմանիրակաճացման պահը: Գործողությունների ավարտից հետո ծրագիրըդիմում է 5-րդ բլոկ, ն սկսվում է մոդելավորման նոր ցիկլը: ԵՕՕ ն ՋՕթ կառավարմանփոփոխականների տարբեր արժեքների հետ կատարվող փորձերիցբացի կարելի է հետազոտել նան ՂՇ լրիվ ծախսերի լավագույն արժեթի վրա ՇՒԷ,Շ2,ՇՅ ն 81 պարամետրերի ազդեցությունը: Ընտրելով այս մեծությունները ն փոխելով դրանց բաշխումների պարամետրերըկարելի է որոշել համակարգիտարբեր բնութագրերը: 7.

Գիտափորձինմանակմանծրագրում

7.1

Նմանակման գիտափորձերիռազմավարականծրագրում

Գիտափորձերի ծրագրումը համակարգերընմանակող մոդելավորման կարնորագույն ընթացակարգերիցմեկն է: Գիտափորձերիծրագրումնիրականացվում է մոդելավորվող համակարգի վարքի ուսումնասիրման, նրա բնութագրերիհետազոտման ու գնահատման համար անհրաժեշտ տվյալներ ստանալու նպատակով: Ծրագրով է պայմանավորվածհամակարգի մոդելի փորձառականհետազոտմանտնողությունը ն ծախսերը, ստացված արդյունքների ճշտությունը, դրանց վիճակագրականվերլուծման կարգը, փորձարկումներիթիվըն այլն:

Գիտափորձինմանակման ծրագրում

Գիտափորձիծրագիրն ապահովում է հետազոտվոլ համակարգի բնութագրերի գնահատման ճշտությունը, թույլ է տալիս զգալիորեն կրճատել դրա համար անհրաժեշտ փորձերի թիվն ու ծախսերը: Նրա ընտրությունը կախված է նան համակարգի մոդելավորմաննպատակներիցն թույլատրելի ծախսելւից: Համակարգերի մոդելավորման խնդիրներում օգտագործվում են գրւտափորձերի ռետնյալ տեսակները. լ. Տարբեր երկրնտրանքների դեպքում համակարգի բնութագրերիմիջին արժեքների ն ցիվածքթի գնահատում, 2. Համակարգիվարքի ն բնութագրերիվրա տարբելլ փոփոխականների ն սահմանափակումների ազդեցության չափի ն կարնորությանորոշում, 3. Համակարգի բնութագրերի լավագույն արժեքներիորոնում: Առաջին տեսակի գիտափորձերը սովորաբար անվանում են միագործոն գիտափորձեր:Դրանք բավականին պարզ գիտափորձեր են, որոնց ծրագրում հիմնականում որոշում են նմուշի չափը, փորձի սկզբնական պայմանները ն ինքնահարաբերակցությանառկայությունը: Երկրորդ տեսակի փորձեռը անվանում են բազմագործոն գիտափորձեր: Դրանց արոլունքների մշակման համար օգտագործում են ցրվածքային ն ռեգրեսխւն վերլուծության եղանակները: Երրորդ տեսակի գիտափորձերում օգտագործվում եռ փորձարկումներիկազմակերպմանհաջորդականն ռրոնման եղա-

ճակները: Փորձերի ծրագրման ժամանակ դիտարկվում են երկու տեսակի փոփոխականներ՝ գործոններ ն բնութագրեր: Գործոնները գիտափորձի անկախ (մուտքի) փոփոխականներն են, իսկ բնութագրերը` ելքի կամ կախյալ փոփոխականները: Գիտափորձի ծրագրի ընտրության համար անհրաժեշտ է որոշել փորձի ծրագրման չափանիշները, կազմել փորձառական մոդելը ն

մշակել գիտաթորձի ծրագիրը: Գիտափորձի ծրագրի մշակումն իրականացվում է երեք փուլով: Սկզբում կառուցվում է ճրա կառուցվածքային մոդելը, այնուհետն՝ ֆունկցիոնալ ն փռրձառականմոդելները: Մոդելների ստեղծման ժամանակ հաշվի են առնվում փորձի ծրագրրման տետնյալ երեք չափանիշները` փոփոխվող գործոնների թիվը, յուրաքանչյուր գործոնի փոփոխման մակարդակճերի (արժեքների) թիվը, ելքի փոփոխականներիչափումների անհրաժեշտ թիվր: Առաջին չափանիշի դեպքում քննարկվում են համակարգի վարքի ն բնութագրերի վրա առավել ազդեցություն ունեցուլ գործոնները: Երկրորդ չափանիշի դեպքում քըննարկվում է գործոններիբնույթը` որակական թե քանակական, ոչ գծային երնույթների գնահատման ամհրաժեշտությունը ն քանակական գործոններե փոփոխման մակարդակների թիվր: Երրորդ չափանիշի դեպքում քննարկվում են տարբեր գործոնների փոխազդեցության հետազոտման անհրաժեշտությունը, սահմանափակումների բնույթը, բնութագրերի պահանջվող ճշտությունը ն այլն:

ՃԻ

Նմանակմանեղանակ

Առաջին երկու չափանիշները որոշիչ դեր են խաղում գիտափորձի կառուցվածքային մոդելի որոշման ժամանակ, որը բնութագրվում է գիտափորձի գործոնների թվով ն-յուրաքամչըււր գործոնի մակարդակների՝(արժեքների) թվով: Այս պարամետրերի ընտրությունը կախված է գիտափորձի նպատակներից,գորշծոններիչափման ճշտությունից ն այլն: Գիտափորձիկառուցվածքային մոյլելն ունր հետնյալ տեսքը՝ ՒՆ-զզշ...Գ. որտեղ ԷՀ.-ը գիտափորձի տարրերի թիվն է, է-ն գիտափորձի գործոնների թիվը, զ-ն 1-րդգործոնիմակարդակներիթիվը, 1-1.2,...,Է: Գիտափորձի գործոնների թիվը` է-ն, ն բնույթը՝ քանակական թե որակական, որոշվում են ելնելով գիտափորձինպատակից: Որոշվում են համակարգի հետազոտման կամ նրա վարքի գնահատման համար անհրաժեշտ բնութագրերը:Այնուհետն որոշվում են համակարգիբնութագրերի վրա ազդող գործոնները: Մովորաբարգիտափորձիգործոններիթիվը շատ մեծ է ն դրանցից առավել էակամների ընտրման համար անհրաժեշտէ. կատարել գործոնների վերլուծությում: Այնուհետն որոշվում է յուրաքանչյուր գործոնի օգտագործման կարգը: Գործոնները կարող են հաշվի առնվել հետնյալ երեք ձներով` լ. Գործոնը կարող է լինել հաստատուն ն դառնալ փռրձի սահմանային պայման: 2. Գործոնը կարող է լինել աճկառավարելիփոփոխական ն դրանով մեծացնել փորձիսխալները: 3. Գործոնը կարող է լիճել չափելի ն կառավարելի: Կառուցվածքային մոդելի ստեղծման հաջորդ քայլում հարկավոր է որոշել յուրաքանչյուր գործոնի մակարդակներիթիվը: Հաստատուն գոր-ծոնի մակարդակներիթիվը հավասար է երկուսի՝ զրո կամ որեէ թիվ: Ակնհայտ է, որ գործոնը մակարդակներիթիվը պետք է ընտրել ոնարավորին չափ փռոքը,սակայն՝ փորձի ճնպատակմճերի ապահովմանհամար բավարար: Եթե գիտափորձի բոլոր գործոնների մակարդակներիթիվը նույնն է, ապա ՒԻվ-ի համար կստանանք՝ ՒՆ» զ: (7.1) Գիտափորձը կոչվում է համաչափական, եթե բոլոր գործոններն ունեն հավասար թվով մակարդակներ:Ֆունկցիոնալ մոդելը որոշում է գիտափոռրձի ժամանակ անմիջականչափվող կառուցվածքայինմոդելի տարրերի թիվը: Եթե Ին-ը ֆունկցիոնալ մոդելի տարրերի թիվն է, ապա` ԻՈՀԱՆ: ՒԿ(-ԻՆ-իդեպքումֆունկցիոնալմոդելըանվանումեն կատարյալ,իսկ ՎՀԻՆ-ի դեպքում` անկատար: Եթե Ի-ը մեքենայի անցավազքերիընդհանուրթիվն է, իսկ թ-ն՝ կրկնություններիթիվը, ապա` (Հ (7.2) քզ-: Բանաձնից հետնում է, որ գիտափորձումանցավազքերիթ թվի մեկով ավելացումըհանգեցնում է գիտափորձերիընդհանուրթվի ավելացմանգ-ով:

Գիտափորձինմանակմանծրագրում

Մոդելավորմանմիջոցների սահմանափակությանպայմաններում ք զն է պարամետրերիճիշտ ընտրության համար կատարվում է Կ-ի վրա նրանց ազդեցությանվերլուծություն: Դրա համար հետազոտվում են հետնյալ հարաբերությունները՝ ժՎ/ԺԻ

զոզ

9Ա/9Ք ՉՎգ

ժն

ՉԽօզ՝' էք քլոզ Եթե էք»զ ն ն»զլոզ, ապա Կ-ի վրա գերիշխում է մակարդակների թվի ազդեցությունը,Քթ» զ ն ճ Հ զ ոզ դեպքում՝գործոններիթվինը,իսկքՀզ ն թոզ Հ1-ի դեպքում` կրկնությունների թվինը: Այս պայմանների հետազոտումը թույլ է տալիս առանձնացնել գիտափորձի ավելի ազդեցիկ պարամետրերը ն զգալիորենկրճատել փորձերի ընդհանուրքանակը: Այժմ դիտարկենքբազմագործոն գիտափորձերիծրագրման եղանակները: Դիցուք՝ որոշված են գիտափորձի ք, զ ն բ պարամետրերը: Անհրաժեշտ է հետազոտելելքի փոփոխականիվրա է գործոնների ազդեցությունը: Այս դեպքում օգտագործվում են ռեգրեսիայի վերլուծության եղանակները: Բազմագործոն գիտափորձերիհետազոտման պարզագույն եղանակը Է-1 գործոնների սնեռյալ արժեքների դեպքում ելքի փոփոխականի վրա է-րդ գործոնիազդեցությանորոշումնէ: Այս դեպքումգործոններըհերթովփոփոխում ենք ն հետազոտում: համակարգի մոդելի գործոններիվեկտորն է, Դիցուք` 2-(.լ»չշ,...2:)-ն իսկ «յ-ն յ-րդ գիտափորձի ժամանակ ո-ի արժեքն է` "-(ԿՆԿշ..ՃԺ, 1-1,2,...,դ, -ը՝ համակարգի մոդելավորմանժամանակ հետազոտվողբնութագրերից` մոդելի ելքի փոփոխականներից,մեկն է: 7-ը սկալյար մեծություն է ն նկարագրվումէ գիտափորձիդիտարկմանհետնյալ հավասարումով` 7 Ճ)Հղ(Ճ)ԺՏ(Ճ), որտեղ դ(24)-ը մոդելի արձագանքի ֆունկցիան է, իսկ 6(4)-ը գիտափորձի պատահական մեծուսխալն է: դ(Ճ)-ը դետերմինիկմեծություն է, իսկ 8Հ(Ճ)-րը թյուն է, որի միջին արժեքըհավասարէ զրոյի, իսկ նրա բաշխումը կախված է Ճ վեկտորից: Գիտափորձի նպատակն է ստանալ դ(Ճ) արձագանքիֆունկցիայի գնահատման համար անհրաժեշտ տվյալներ: Այդ ճպատակով գիտափորձի գործոնների տարբեր արժեքների համար դիտարկվում ն չափվում են (4) փոփոխականիարժեքները, որոնց օգնությամբ կառուցվում է դ(Ճ) ֆունկցիայի գնահատականը: Քանի որ 7(Ճ)-ի արժեքները պատահական մեծոյթյուններ են, ապա դ(2:)-ը գնահատում են 7(Ճ)-ի միջին արժեքի միջոցով: Եթե դ(24) ֆունկցիայի տեսքր նախօրոք հայտնի չէ, ապա ռեգրեսիայի վերլուծության եղաճակներիօգնությամբ կառուցվում են ըստ Ճ վեկտորի տարրերի բազմանդամներ ն (24) ֆռւնկցիան ներկայացվում է հետնյալ տեսքով. '

դ(Ճ) ի -

38» (-

ԺԱ:

չՌյ»»յ Ի... եյ

Ճո

Նմաճակման եղանակ

Այստեղ Թ, Թյ-երըռեգրեսիայիհավասարմանանհայտ գործակիցներն Գիտափորձի արդյունքներիվրա պատահականգործոններիազդեցության ն փորձերի թվի սահմանափակությանպատճառով /0,3.-իբոլոր արժեքները կարող են գնահատվելմիայն մոտավորապես: Այսպիսով, գիտափորձիարդյունքում կառուցվում է հետնյալ ֆունկեն:

ցիան.

Հետեւ

ԷՖելյլ», յ ե)

Ի...

որտեղ 7-ը դ(2) ֆունկցիայի գնահատականնէ, իսկ ԵչԵչ-երը՝փոքրագույն քառակուսիներիեղանակովհաշված Թ, Բ, գործակիցներիվիճակագրական գնահատականներնեն: Գիտափորձերիթվի ավելանալու հետ 7"-ին բոլոր է: Դիցուք` դ(2)-ի Եւ, Եյ-երի գնահատականների ճշտությունը մեծանում գնահատման համար կատարվում են ելքի 7 փոփոխականիդռ չափումներ: Այս դեպքում չլ,չշ,...,:. փորձերի կետերի հաջորդականությունը,որոնցում կատարվում են 7 ելքի փոփոխականի չափումները որոշում են գիտափորձի ծրագիրը: Դիտարկենք դ(2)-ի գնահատման համար համաչափական գիտափորձերիծրագրմանխնդիրը:Այս դեսլքումյուրաքանչյուր գործոն կարող է ընդունել միայն երկու արժեք: Նման գիտափորձում7 փոփոխականի արժեքների չափումները թիվը հավասար է 2-ի: . գործոններից յուրաքանչյուրը կարոդ է ընդունել որնէ սկզբնական մակարդակի նկատմամբ ստորին ն նրան համաչափականվերին արժեքները: Կընդունենք,որ 1-րդգործոնի ստորին արժեքի կոդը հավասար է --1-ի, այսինքն՝ չ---1, կամ ուղղակի (-), իսկ վերին արժեքը -1-ի՝ «-Է1, կամ (): Գիտափորձիծրագիրը ներկայացվումէ ծրագրմանհատուկ աղյուսակի օգնությամբ: Ստորն բերված 2- լրիվ գործոնայինգիտափորձի(ԼԳԳ) աղյուսակը:

Է Է

Այս աղյուսակը հիմնային է ավելի բարդ՝ 2: ԼԳԳ-ի աղյուսակներիկառուցման համար: 2: ԼԳԳ-ի մատրիցըկառուցվում է հետնյալ կեր,պ: Առաջին երկու` լ ն Ճշ գործոնների սյունակներում գրվում է 22 ԼԳԳ-ի մատրիցը: Երրորդ` 2: գործոնի սյունակում առաջին փորձերի համար գրվում են լլչլշ արտադրյալների արժեքները:Հաջորդ 27 փորձերի համար առաջին երկու սյունակճերում կրկնում են 2-7ԼԳԳ-ն, իսկ տչ գործոնի սյունում գրվում են լշ արտադրյալների արժեքները:2 ԼԳԳ-ի ծրագրմանաղյուսակը բերված է ստորն:

չ.

Գիտափորմինմանակմանծրագրում չ

Նման ձեռվ կառուցված ԼԳԳ-ի մատրիցներըունեն հետնյալ հատկությունները՝ Համաչափություն՝ցանկացած գործոնի սյունակի բոլոր տարրերի արտադրյալը հավասար է զրոյի՛ չլյճշյ...Ճոյ- 0, )-1,2,...,ի: Նորմավորվածություն` ցանկացած սյունակի քառակուսիների գումարը հավ ա"ար է փորձերիթվին`ոլ» շյ 3... ՏՆ2,... ք: դ ՀԷ, Ուղղանկյունություն՝ցանկացածերկու անդամ առ անդամ գումարըհավասար ու» 0, )Ք6: է զրոյի՝ չլյճ12Է22լճ2:-...Է Ճո 2 տեսակի ԼԳԳ աղյուսակներըունեն ճան պտտականհատկություն, այսինքն` պատասխանիֆունկցիայի գնահատմանսխալի ցրվածքը գործոճային տարածության ցանկացած կետում մնում է անփոփոխ: ԼԳԳ-0 թույլ է տալիս քանակապես գնահատել գործոնների բոլոր գծային կապերը ն փոխազդեցությունները: Սա նշանակում է, որ մի գործոնի արժեքը կախված է մյուս գործոնի արժեքից: Գիտափորձի արդյունքներով ռեգրեսիայի հավասարման գործակիցճերի հաշվարկի համար օգտվելով ԼԳԳ-ի ծրագրման մատրիցից, կառուցվում է Ք սյունակներիցն 2 տողերից կազմված հատուկ մատրից: Դրան ձախից ավելացնում են 2 կեղծ փոփոխականի սյունակը, որը կազմված է ()-ներից, իսկ աջից ավելացնում են փորձի գործոնների բոլոր հնարավոր տես ստորն բերված աղլյուսակը: արտադրյալները՛յշ, 24124223

տարրերի

սյունակների

արտադրյալների

Ճլ2

ՃլՃ

ի գ

եֆ

Ճ՛

Նմանակմանեղանակ

Աղյումակում բերփած է ռեգրեսիայի ռավասարման գործակիցների հաշվարկի համար 25 ԼԳԳ-ի հատուկ մատրիցը:Գործւնների արտադրյալների սյունակների տարրերը ստացվում են համապատասխան գործոնների անդամ առ անդամ բազմապատկումով: ԼԳԳ-ի մատրիցի ոսլղանկյունության հատկությանշնորհիվ Հել

ել,

12)

ռեգրեսիայի հավասարման գործակիցների համար ստացվում են անկախ գնահատականներ: Հավասարման գործակիցներ, գնահատականները որոշվում են հետնյալ բանաձներով`՝

Եջ ՀՀ, Ո :-լ

Եյ-

Լո. Ու»

Ե,

-1ֆ ԽՃ» ու»

ԹԱՆՆՆ ու

Գնահատականներիանկախություն, ապահովվում միայն ԼԳԳ-ի հատուկ ծրագրի ընտրությամբ: Եթե ծրագիրը կառուցվի կամայականորեն՝ ապա գնահատականճերը կլինեն են ռարաբերակցվածն հնարավորչի լինի մեկնաբանելստացված հավասա.ումը: 2ռտեսակի ԼԳԳ-ի օգնությամբ հնարավոր չէ գնահատել գործոնների երկրորդն ավելի բարձր աստիճանիգործակիցները:Դրա համար անհրաժեշտ է փորձարկումնել,կատարել գործոնների2-ից ավելի մակարդակների դեպքում: Փորձերիթվի կրճատմանարդյունավետեղանակներիցեն ոչ լրիվ գործոնային գիտափորձերը:Օրինակ, եթե անհրաժեշտ է գնահատել հավասարման գործակիցները,ապա 2" փորձերի փոխարեն կարելի է իրականացնելմիայն ԷՒԼ փորձեր: Սակայն փորձերի թվի կրճատումը հանգեցնում է իրազեկության նս պետք է մանրակրկիտ կորստի ն ինչպես ԼԳԳ-ի դեպքում ոչ ԼԳԳ-ն ծրագրել: Օրինակ, եթե2: ԼԳԳ-ում իրականացվենմիայն առաջին 4 փորձերը, ապա փորձի արդյունքների խառնվածության պատճառով հավասարման գործակիցներըչեն կարող անկախորենգնահատվել: է

7.2

Գիտափորձերիմարտավարականծրագրում

Գիտափորձերի ռազմավարականծրագրումից հետո անհրաժեշտ է քննարկել նրանց համակարգչային իրականացման մարտավարությանհետ կապված մի շարք խնդիրներ: Քանի որ հավանականային ճմանակմաճ մոդելներինբնորոշ են ֆլուկտուացիաները,ապա մոդելավորմանարդյունքների պահանջվող ճշտությունն ապահովելու համար անհրաժեշտ է անցկացնել կրկնական փորձարկումներ՝յուրաքանչյուր անգամ փոխելով մոդելի պատահականգործոններիարժեքները:Սովորաբար բարդ համակարգերի մոդելավորման ընդհաճուր ժամանակը սահմանափակ է իսկ դրանց նմաճակման մոդելների մեկ համակարգչային անցավազքը զգալի ժամանակ է պահանջում:

Գիտափորձինմանակման ծրագրում

Այս պատճառով գիտափորձերըծրագրելիսանհրաժեշտ է որոշել փորձերի կրկնության այն նվազագույն քանակը. որն ապառռովումէ մոդելավորման նպատակների իրականացման համար անհրաժեշտ տվյալնելը: Մյուս կւղմից՝ փորձերը պետք է կազմակերպելայնպես, որ հնարավոր լինի ապահովել դրանց միջոցով ստացփալ արդյունքների պահանջվուլ ճշտությունը: Գիտափորձերի արդյունքների ճշտության աստիճանը պայմանավորված է պատահական գործոնների արժեքների ցրվածքի մեծությունից: Ճշտության ցանկալի աստիճանը կարող է տրվել տարբեր եղանակներով: Օրինակ` կանոնական շեղման մասի տեսքով, միջին արժեքի մեծության տոկոսով,բացարձակ արժեքով նայլն: Գործոնի ազդեցության գնահատման սխալի փոքրացման համար օգտագործվում են տարբեր եղանակներ: Օրինակ` ցրվածքի փոքրացման կամ փոլձերի կրկնության թվի ավելացմանեղանակները: Փորձերի կրկնության թիվը ոլւոշվում է մոդելավորվոլղռամակարգի առավել կարնոլ: բնութագրի ճշտության ապահովման պայմանից: Եթե նման բնութագրերը մր քանիսն են, ապա փորձերի կրկնության թիվը որոշվում է նրանցից ամենամեծ ցրվածք ունեցող բնութագրով: Փորձերի պահանջվող թիվը կարելի է գնահատելնան փորձում հետազոտվողբնութագրերըմիջին արժեքների ն ճրանց միջին քառակուսայինսխալների հարաբերությունից: Դիտարկենք փորձարկումների ճշտությունը ն ծախսերը պայմանավորող հետնյալ գործոնները՝փորձի սկզբճականպայմանները,նմուշի չափը ն պարամետրերիստոխաստիկ զուգամիտումը: Սովորաբար մնանակման մոդելներն օգտագործվում են համակարգերի վարքը կայունացված ռեժիմում հետազոտելու համար: Հավանականային նմանակման մռդելնելոում գոյություն ունեն կայունացված ռեժիմին ոչ բնորոշ սկզբնական արդյունքների կարճատն շեղումներ: Նմանակման մոդելավորման արդյունքների վերլուծման ժամանակ անհրաժեշտ է հաշվի առնել նման անցումային ռեժիմները ն հաշվարկներից հանել դրանց համապատասխան արդյունքները: Այդ պատճառով անհրաժեշտ է ոլտշել մսդելի կայուն ռեժիմ մտնելու ժամանակը կամ դրա համար անհրաժեշտ փորձերի քանակը: Նմաճակման մոդելավորման ալդլյունքների վրա փորձարկումների սկզբնական պարբերության ազդեցությունը փոքրացնելու համար օգտագործում են հետնյալ մոտեցումները` լ. Որպեսզի անցումային ռեժիմի տվյալների թիվը կայունացած ռեժիմի տվյալների թվի համեմատությամբ աննշան լինի կատարվում են նմանակմանմոդելի երկարատն անցավացքեր, 2. Մոդելի փորձարկման սկզբնական անցավազքերի արդյունքնելը դիտարկումիցբացառվում են, 3. Որպես մոդելի սկզբնական վիճակ ընտրվում է նրա կայունացված ռեժիմինբնորոշ որնէ վիճակ:

ՃՈ

Նմանակման եղանակ

Մոտեցումներիցյուրաքանչյուրի օգտագործումը կապված Է մի շարք խնդիրների լուծման հետ: Առաջինմոտեցումըկարելի է օգտագործել միայն այն ղեպքում, երբ մոդելի մեկ անցավազքի իրականացումը մեծ ժամանակ չի պահանջում: Երկրորդ մոտեցմանըբնորոշ են հետնյալ թերությունները. սկզբնական հաշվարկներիիրականացմանհամար ժամանակն օգտագործվում է անօգուտ, եղաճակի օգտագործումը մադելավորմանժամանակի կրճատման պատճառով հաճախ հանգեցնում է արդյունքների ցրվածքի աճի, դեն նետվող տվյալների չափը որոշելու համար ամհրաժեշտ է իմանալ անցումային ժամանակի տեասրւթյունըն այլն: Մարտավարական ծրագրման երկրորդ կարնոր խնդիրը ընտրանքի չափայնության որոշումն է: Այս դեպքում անհրաժեշտ է որոշել մոդելի բնութագրերի պահաջվող ճշտությունը ն մոդելավորմանծախսերի նվազագույն արժեքը ապահովող ընտրանքինվազագույն չափայնությունը: Նմուշի չափայնությունը կարելի է որոշել երկու ճանապարհով՝ մոդելի աշխատանքից անկախ` ապրիորի, ն մոդելի. փորձարկման ընթացքում ստացմած արդյունքներիհիման վրա: Առաջին դեպքում օգտագործում են հավանականությունների տեսության կենտրոնական սահմանային թեռրեմի վրա հիմնված եղանակները: Օրինակ՝ համախմբիմիջին արժեքներիգնահատման,վստահելիմիջակայքերի եղանակներըն այլն: Դիտարկենքմոդելիպարամետրերիգնահատման վրա հիմնվածընտրանքիչափը որոշման մի քանի եղանակներ:

Համախմբիմիջին արժեքիգնահատմանեղանակ էիցուք` անհրաժեշտ է համախմբի իրական միջին արժեքի համար կառուցել այնպիսի շ գճահատական,որպեսզի՝ (7.3) թյ --ՄՀՃՏյՌՎ)-1-0 որտեղ 2.չ-ն ընտրանքիմիջիննէ, (1-0)-0ն (էէմ) միաջակայքի 2-ը պարունաունեն բնականոնբաշէ: Եթե ընտրանքիարժեքները կելուհավանակամնմությունն ո-ը կարելիորոշելհետնյալբանաձնից՝ խում, ապա ընտրանքիչափայնությունը՝ ոՀ (74) (Ժ2ռ) 71/47 որտեղ 2.,շ -ը երկկողմանիբնականոն վիճականին է: Այսպիսով ճո-ի ռրոշման համար անհրաժեշտ է իմաճալ՝ 1. Համախմբիփոփոխակաճմության (ցրվածության)մեծությունը՝ Ժ-ն: 2. Թույլատրելի ճ ռիսկի արժեքը: 3. Պարամետրըի իրական յք. արժեքի ն Ճչ գճահատականիտարբերում թյանը թույլատրելի արժեքը: Հաճախ ընտրանքի չափը կարելի է որոշել առանց Ժ. գրվածքի ն առանց Վ պարամետրըն իմանալու: Դիցուք անհրաժեշտ է գտնել ընտրանքի ո չափայնությունը, որը 0,95 հավանակությամբ ապահովում է մոդելի բնութագրի 2. գնահատականի սահմաններում գտնվելը: (չէէ րոտ)

Քանի

որ,

Գիտափորձինմանակմանծրագրում

ճ-Օ/դ, 2ո/շ-1,96, ապա ո-ի համար կստամանք՝ ո (022) /4Հ (,96ոյ), -

եթե տ»-4, ապա ոՀ6|:

Եթե փորձնականանցավազքիցհայտնի է ելքի փոփոխականիցրված2 քի գնահատականը, ապա նմուշի ռ չափը կարելի է որոշել հե-տնյալ բանաձնով՝

-(5/Փ,՛ (7.5) որտեղ աղյուսակավորված մեծություն է, 4-ն հավասար է վստանելիության միջակայքի կեսին, 52-ը փորձնական անցավազքի համար հաշվարկված ցրվածքի գնահատականն է: ո

1-ն

Վստահելիությանմիջակայքերի եղանակ Վստահելիությանմիջակայքերի կառուցման համար օգտագործվումէ ընտրանքի ցրվածքը կամ ընտրանքի միջին քառակուսային շեղումը: Համախմբի ցրվածքի գնահատումըկարելի է դիտել որպես` (7.6) Ք4(1-4)22Հ51ՀԱՅՎ)) 1-6 պայմանին բավարարող 57գնահատականիորոնման խնդիր: Այստեղ ժ-ն, ՕՀԺՀ1 57գնահատականին օ՛ իրական ցրվածքի մոտիկության աստիճանը բնութագրողթիվ է: (7.6)-ի մեջ հարմար է օգտագործել (ո-1) ազատության 22վիճականին` աստիճաններով Հ

(ո--1)57/0,

տալիս վստահելիության հավանականությունը դարձնել 7 ցրվածքից անկախ: Եթե ո-ը բավականաչափ մեծ թիվ է, ապա 22բաշխումը կարելի է մոտարկել բնականոն բաշխմամբ, որտեղից ո-ի համար կստանանք հետնյալ բանաձնը՝ որը

թույլ

142(2շ) /ժ":

(7.7)

Բերված եղանակները թույլ են տալիս որոշել պարամետրերի տրված ճշտության ապահովման համար անհրաժեշտ ընտրանքի չափը: Նմանակման գիտափորձերում հաճախ մոդելավորման սկզբում տրվում են ելքի փոփոխականներիվստահելիության միջակայքերը, ն մոդելի փորձարկումը դադարեցնումեն այն պահին, երբ փոփոխականներիարժեքնելի պատկաճում են այդ միջակայքերին: Դա թույլ է տալիս ընտրել անցավազքի ժամանակի լավագույն արժեքր: Նման եղանակի կիրառումը կապված է մի շարք բարդությունների հետ, որոնցից նշենք՝ լ. Վստահելիության միջակայքերի որդշման հետ կապված լրացուցիչ հաշվարկներիանհրաժեշտությունը: 2. Փորձի դաղարեցման պայմանները հաճախ կարուլղ են բավարարվել նմուշների շատ փոքր չափերի դեպքում, ինչը կարող է հանգեցնել մոդելիբնութագրերիգնահատմանսխալների: Նմանակող մոյլելավորման խնդիրներումնան օգտագործվում են փորձի ինքնաբերական դադարեցման տարբեր եյլլանակներ: Օրինակ` մոդելի

27.

Նմանակմանեղանակ

փորձարկումըկատարվում է 2 փովով: Սկզբում փարձնական անցավազք կատարում ընտրանքի ո չափն ստանալու համար, այնուհետն մոդելից ստացված ընտրանքի օգնությամբ որոշում են տրված ճշտությունը ապահովող ո՞-իարժեքը: Եթե ո՝'Հո-ից,ապա մոդելիանցավազքըդադարեցվումէ, հակառակ դեպքում անցավազքը շարունակվում է մինչն մնացած ո՝-ռ նմուշների արժեքներն ստանալը: Նմանակման մոդելի անցավազքի դալարեցման համար օգտագործում են ճան ցրվածքի փոքրացման,ըստ նշանակալիությաննմուշների հատուցման ն այլ եղանակներ: են

Ավտոտեխսպասարկման ձեռնարկությանմոդել

Որպես նմանակող մոդելավորմանկիրառության օրինակ դիտարկենք ավտոտեխսպասարկմանձեռնարկությանմոդելը: Նկարագրենք ձեռնարկության աշխատանքը ն հիմնակ:սն ենթադրությունները: լ. Ձեռնարկությունում հաճախորդնրիսպասարկումը կատարում են է մասնագիտացվածբրիգադները:Հաճախորդներնսկզբում սպասարկվում են 1-ին բրիգադիկողմից: Այնուհետն անցնում են 2-րդ բրիգադ ն այդպես շարունակ: ճՃ-րդբրիգադում սպասարկվելուց հետո հաճախորդներըհեռանում են ձեռնարկությունից: Եթե 1-րդ բրիգադում սպասարկումն ավարտվելու պահին ւՒ1-րդ բրիգադնզբաղված է, ապա հաճախորդըհերթագրվումէ այդ բրիգադում: Բոլոր բրիգադներում հերթի թույլատրելի երկարությունը անսահմանափակէ: Յուրաքանչյուր բրիգադումհաճախորդներիսպասարկումը կատարվումէ՝ «առաջինն է եկել՝ առաջինն է սպասարկվում» կարգով: Այսպիսով ձեռնարկության մոդելը կարելի է նկարագրել սպասարկման է հաջորդական ցանցիօգնությամբ, որտեղ 1-ը մուտքի հանգույցն է, իսկ է-ն սպասարկմանելքի հանգույցն է: 2. Յուրաքանչյուր բրիգադ բնութագրվում է սեփականարտադրական գործառույթով, որը կախված չէ մյուս բրիգադների արտադրականգործառույթներիցով : 3. 1-րդ բրիգադում միավոր ժամանակում սպասարկված հաճախորղդների գ (ՀՆ2,....Ք) թիվը (արտադրական արագությունը) պատահական մեծություն է: Արտադրականարագության ն(զ) հավանականությունների խտության ֆունկցիան ամբողջությամբորոշվում է ծրագրային ՂԽԼ ժամանակի ընթացքում 1-րդբրիգադիկողմից արտադրական գործոններիօգտագործմանմակարդակով:Փոփոխելովարտադրականգործոններիբաշխումը, ձեռնարկությունըկարող է փոխել զ, արտադրականարագությանբաշխման ֆունկցիան: Եթե 8(զ)-ն որոշված է, ապա հայտնի են նան նրա Ե(զլ) միջին արժեքը ն Պճւ(գ)-ի ցրվածքը:

ծ.

ձեռնարկությանմոդել Ավտոտեխսպասարկման

ձ. գ. արտադրականարագության նկարագրման համար հարմար է օգտագործել նրա հակադարձ 5Տե»Լ/զ,մեծությունը` մեկ հաճախորդի սպասարկմանհամար անհրաժեշտ ժամանակը,որը որոշում է 1-րդբրիգադը: Տե մեծության հավանականություններիխտության ֆունկցիան ն նրա պարամետրերն ամբողջությամբորոշվում են 1-րդ բրիգադի արտադրականգործոնների օգտագործմանմակարդակով: Նշանակենք 1(Տե)-ով Տե պատահական թվի հավաճականություններիխտության ֆունկցիան, իսկ Ե(ե)-ով ու ՄՀԼ(ե)-ով նրա միջին արժեքը ն ցրվածքը: Գործոնների բաշխման միջոցով ձեռնարկությունըկարող է փոփոխել Ե(նե)-ին 'ճւ(ն)-ի արժեքները: 5. Միավոր ժամանակում ձեռնարկություն եկած հաճախորդների 9 թիվը` (մ) հավանականությունների բաշխման խտությամբ, Ե(մ) միջին արժեքով ն Ճ/27(մ)ցիվածքով պատահականմեծություն է: Ձեռնարկությունը չի կարող ճշգրիտ կանխատեսել պլաճային 1ԽԼ ժամանակի ընթացքում հաճախորդների թիվը: Սակայն փոխելով իր գովազդի Ծախսերի ոազմավարությունը ճա կարող է ազդել ((մ) ֆունկցիայի տեսքի, Է(մ) ն Մոմ) մեծությունների արժեքների վրա Նշանակենք Ճե-ով 1-1-րդ ն 1-րդ հաճախորդների գալու պահերի միջն ընկած ժամանակահատվածի պատահական մեծությունը, 1(Ճե)-ով բաշխման ֆունկցիան, իսկ Ք(0-ով ու Ճճո(0-ով նրա միջինարժեքնու ցրվածքը: 6. Պլանավորմանամբողջ ժամաճակի ընթացքում ձեռնարկությունը առանց սահմանափակումներիընդունում է բոլոր հաճախորդներին: 7. Ձեռնարկությունը պլանավորման ՛՛հ1 ժամանակի սկզբում ընդունում է որոշում` գովազդի ծախսերի մակարդակի ն բոլոր բրիգադներում գործոնների բաշխման վերաբերյալ: 11 պլանավորման ժամանակի համար որոշվում են Ր(4)-ն, Ե(4)-ն, 2-(4)-ն ն Ր(գ)-ը, Ե(Վ)-ր ուժճւ(Վ)-ը: Այժմ դիտարկենք ձեռարկության վարքը նկարագրող մաթեմատիկական մոդելը: Կատարենք հետնյալ նշանակումները՝ Ճկ-1նե(0-1)-րդ հաճախորդներիգալու պահերիմիջն րնկած ժամանակը, Տեյ 1-րդհաճախորդներիսպասարկմանժամանակը 1-րդբրիգադում, Հ|,2,....ո. -1.2,...,ք, Մ/եյ 1-րդ հաճախորդ յ-րդ բրիգադի հերթում սպասման ժամանակը Հ1,2,...,ո: -1,2,...,ք, Ծե,- )-րդ բրիգադումմնալու լրիվ ժամանակը, Մն, 1-րդհաճախորդի)-րդ բրիգադում սպասարկվելու ժամաեյ-ԾելՒ՛ ճակը 151,2,...,ո: յ"12,..Է: Ընդունենք, որ առաջին հաճախորդի գալու պահին` (- Լ), ձեռնարկության վիճակը նկարագրվումէ հետնյալ առնչությունննրով՝ -

Ճեկ-0 Ծլլ- 0, Շեշ-Ծկ,, թեյ ՕլլժԾլլշՒ.. 0,Ծ/1յշ-0,Խ/(ւ-0 ԽԱԱԵշ եղ- Տն,

եշ-Տեշ,

ԿաՀՏեւ:

.Ի

Ծւլյլ.լ

(8.1)

(8.2) (8.3) 0.4)

Նմանակման եղանակ

ՂԻ"

Նոր հաճախորդներիգալու ժամանակ հավասարումներըհամապատասխանորենփոփոխվում են, ն (8.4) հավասարումնընդունումէ հետնյալ տեսքը՝

եյՀԴՄելԻՏել,կշ-ՄՄեշՒՏեշ,եշ 1-2,...,ռ: է Արդյոք հաճախորդը սպասում հերթում, թե բրիգադն է գտնվում եւՒՏելւ,

պարապուրդիմեջ, կախված է հետնյալ տարբերություններինշանից՝ Թ.ՐՀ-ն.լ,-Ճե: ՍւՇ-( լ էն.շ)-(ՃԵՒՄելՒՏել), թն -(ե.Ւ...Դե.յ, ՒՄ եւ.լ): Ս-ԱՃԵՒՏԵլԻՄել-ՒՏեշՒՄեշՒ...-ԷՏես Եթե յ-րդ բրիգադի համար 010»0, ապա նրա պարապուրդի ժամանակը հավասար է զրոյի, իսկ հաճախորդիսպասման ժամանակըհավասար է Խ/ն-Շւք, 122»3,....8, )-1,2,....Է: Եթե 0ւէՀՕ, ապա 1-րդհաճախորդի սպասման ժամանակըհավասար է զրոյի, իսկ բրիգադի պարապուրդիժամանակըհավասար է Ծեյ--Սոն, 1-2,3,...,8. )-12,....է: Եթե 16Հ0, ապա 1-րդ հաճախորդի սպասման ն բրիգադի պարապուրդիժամանակներըհավասար են զրոյի: Այժմ քննարկենք ձեռնարկության բնութագրերը:Ընդունենք, որ մոդելավորման ժամանակիտնողությունը 90 օը է (1-90), այսինքն ձեռնարկության աշխատանքների համար պետքէ մշակել 90 օրյա ծրագիր:Դիտարկվող խնդրում ելքի փոփոխականէ ձեռնարկությանշահույթը: Գիտափորձիգործոններ են արտադրականծախսերը (աշխատուժ, հումք, սարքավորումներ ն այլն) ն գովազդի ծախսերը: Երկու գործոններն էլ քանակական են: Դիցուք՝ ձեռնարկությունում դիտարկվում է աշխատանքների ծրագրման 5 է հետնյալցուցանիշները` տարբերակ,որոնցիցյուրաքանչյուրըպարունակում լ. Գովազդի ռազմավարություն: 2. Միջոցների բաշխումը տարբեր բրիգադներիմիջն: Ենթադրվում է, որ բրիգադներիթիվը՝ Բ-4-ի: 3: Շ լրիվ ծախսերը ն 5 տարբերակներիհամար սկզբնական տվյալներըբերված են ստորն: լ

տարբե-|

Ե(ժ)

րա

3,00

3.00

ԼՄ

3.75

3.15

| | |

3,33

5,0 5,00

--3

)-4

3,75

4,00

3.33

| |

5.00

Մոդելի հետազոտման ժամանակ պարզության համար ընդունենք,որ ք(4) ն ((զ) բաշխումները ցուցչային են: Դա նշանակում է, որ քննարկվող յուրաքանչյուր տարբերակամբողջությամբորոշվում է Շ լրիվ ծախսերի ն

ժեռնարկությանմողել Ավտոտեխսպասարկման

Է(4), Ե(գ), 1Հ1,2,3,4 պարամետրերիարժեքներով: Դիցուք` Ճէ ն Տէ պատահական թվերը նս ունեն ցուցչային բաշխում, իսկ նրանց միջին արժեքները հավասար են Է(Ճէ ՀԼ/Խ(ժ), Ե(Տեյ) -1/Ե(գ.). 1Հ1.2,3,4: Գիտափորձի ընթացքում ընդունվում է, որ մեկ հաճախորդիլրիվ սպասարկմանարժեքը հավասարէ 15 միավորի: Դիտարկենք նմանակմանմոդելի ալգորիթմըն բլոկ-սխեման: Ընդունենք, որ յուրաքանչյուր տարբելւակ մռդելավորման ՂԻ ժամանակի ընթացքում նմանակվում է 25 անգամ. Յուրաքանչյուր նճմանակումով որոշվում է ձեռնարկությոանամբողջ շահույթը`

թ»«Օ Ը, որտեղ մեկ հաճախորդի սպասարկման արժեքն է, Օ-ն՝ ծրագրային ԴԽ/ ժամանակի ընթացքում սպասարկված հաճախողների թիվը, իսկ Շ-ն ձեռնարկությանլրիվ ծախսը: Լ-ին բլոկում կատարվում է է բրիգադներիպարամետրերի՝ Ե(5(լյ), 1,8 ն Ք, Ը, 1ԽԼ Ե(ՃԺ, Վ արժեքների մուտքագրում: Այստեղ ԽՃ-լւմոդելի տարբերակներինմանակումներիկրկնության թիվն է: 3-րդ ն 4-րդ բլոկներում՝Լ-ի մեծությանը՝անցավազքիընթացիկհամարին,տրվումէ |Լ արժեք, իսկ Օ-ին սպասարկված հաճախորղներիթվին՝ 0 արժեք: 5-րդ բլոկում ստացվում են Ի-

Ք-ն

ցուցչային բաշխմամբ հաճախորղներիսպասարկմանժամանակների մեծությունները, որից հետո (8.1)-(.4) բանաձներով հաշվարկվում են պարապուրդի, հերթում առաջին հաճախորդի սպասելու ն յուրաքանչյուր բրիգա-

դում մնալու լրիվ ժամանակները:

Բլոկ-սխեմայում ռամակարզայինժամանակի ԸԼՕՇՃ

հաշվարկվում է որպես ճՃ-րդբրիզաղի պարապուրդի

փւփոխականը

սպասարկման

ժա-

մանակներիգումար: Մոդելավորումըդաղարեցվումէ, եթե ՕԷՕՇՔ-ի մեծությունը` համակարզային ժամանակը գերազանցում է ՂԻ1-ից: 8-րդ բլոկում որոշվում է երկու հաջորդականհաճախորդների գալու պանելի միջն ընկած Ճ՛7 ժամանակը: 9-րդ բլոկում որոշվում են է բրիգաղների սպասարկմանճոր ժամանակների մեծությունները: 13-21-րդ բլոկները կրկնվում նն յււրաքանչյուր բրիգադի համար: Համակարգայինժամանակը վերահաշվարկվում է 22-լաղբլոկում: Նթե ՇԼՕՇԽ»Ղ1Ի/1,ապա առաջին տարբերակի առաջին հաշվարկը,այսինքն` ալգորիթմիմեկ անցավազքը, ավարտված է: Այճուհետն կատարվում է դիտարկվողտարբերակիհամախամբողջշահույթի (տնսական) հաշվալկ՝ Ք

.(4)1Ի/1-ր իք

(ՂԻ

ՖԷ(4)/(Էզ,)- Ի(4))|-Ը. ժամանակում սպաելի ռաճախորդնճերի թիվն է: -

որտեղ Եթե ԼՀ ԻՎ,ապա Լ-ին գումարվում է | ն սկսվում է նոր հաշվարկ, ԼՀԱ-ի ղեպքում տարբերակիհաշվարկն ավարտվում է: Ջեռնարկության նմանակման մողելի պիտանիության ստուզման համար կարելի է օգտագործել բազմափուլ ցուցչային սպասարկմանցանցերի համար ստացիոնարռեժիմում ստացված բամնաձեննրը:

227.

Նմանակմանեղանակ

ձեռնարկությաննմանակամմն մոդելի բլոկ-սխեմա Ավտոտեխսպասարկման

Սկզբնական տվյալների մուտք

Ճ----Փզվ

Սսկզբնական վիճակի

հաստատում

Լ- |

Ծւ-0

5-6

Ծւ»0

19-27

Տո Ն)-ԵՔ

արժեքների

ՂՀԽՈԱՀՏՆԲՀԹՀ,,լ-0ՒՏԱՒՄ/կ

ստացում

ՇԼՕԸՔ-ԵւՀՏ:,

Ճէ-ի արժեքների ստացում

9ՇԼՕՇՔ-ԸԼՕՇՒՀՇՀՏվ

Հ0

ՇԼՕԸՇՃ

9-11

Խ/է»0 ւ»-ՆՄկ

Մ/ՍՀ-0

ԽԱԼ

Օ-0

ՂԵԼ

ՕՀՕ-ՀԼ

են

8»

Ծ-4Լ

Շահույթի արժեքների

տպագրում

| 12Ի

Ավտոտեխսպասարկման մճեռնարկության մոդել

Հետազոտմանժամանակ ենթադրվումէ, որ Ք(4)/Ք(զ)Հ1, այսինքն ծրագրային ՂԽԼ ժամանակի ընթացքում ձեռնարկությունը գտնվում է ստացիյուլլառնաի ռեժիմում: Ստորն բերված աղյուսակներում5 տարբերակներից քանչյուրի համար համեմատվում են շահույթի տեսական(բանձնից ստացվոդ) արժեքը ն նմանակողմոդելավորմամբստացված ընտրանքի միջինը: Տեսական արժեքները հաշվարկվել են 2-րդ աղյուսակի տվյալների օգնությամբ: Տվյալների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ բոլոր 5 տարբելակների նմուշային միջինները մոտ են համապատասխան տեսական արժեքներին, ինչը ռաստատում է նմանակմանմոդելի ն նրա հետ կատարված գիտափորձի արդյունքների ճշտությունը: Փորձի սկզբնական պայմաննելը ղիտարկվող տարբերակներում նույնն են` յուրաքանչյուր անցավազքի սկզբում ձեռնարկությունում հաճախորդներ չկան: Մոդելի յուրաքանչյուր տարբերակիհամար կատալվել է 50 անցավազքթ: Հաշվարկների արդյունքներըբերված են 2-րդ աղյուսակում, իսկ ընտրանքների միջինները ն շեղումներըբերված են 3-րդ աղյուսակում:Նմուշային միջինների ճշտության գնահատման համար կառուցենք 9926 հռավանականությամբվստահելիությանմիջակայքերը,որտեղՒԶ-ը ընտրանքիմիջինն է, Տ-ը ընտրանքի կանոնական շեղումը, Վ-50, 22շ-ը բնականոն բաշխման պրոցենալլն է, իսկ Ճ-ը՝ իրականշահույթի մեծությունը:

թ-ՋՀ2,,,Տ/ՎԱ

Յուրաքանչյուր ծրագրի համար 9926 վստահելիության միջակայքերը հավասար են` 2912ՀՃյՀ3040, 2918ՀԽշՀ3065, 2584ՀՔ17Հ2766,3185Հ8Հ3345, 3031Հ

Ք.Հ 3235:

Նշենք, որ 1 ն 2 տարբերակներիՔլ ն Քշ արժեքներըմոտենում են վստւսհելիության միջակայքերիսահմանին: Այդ տարբերակներում առաջանում են ամենամեծ հերթերը, դրա համար ձեռնարկության վարքը մոդելավորող գործընթացը դանդաղ է կայունանում ն Բլ ու 8շը վատ են մոտարկում համապատասխանստացիոնարարժեքնելը: Պլանային1Խ( ժամանակի մեծացման դեպքում | ն 2 տարբերակներընես կմտնեն ստացիոնար ռեժիմ ն անկասկած կնվացեն իրական շահույթի զմահատման ճշտությունը:

Ճ/7.

Նմանակման եղանակ

Հաշվարկներիարդյունքները Աղյուսակ 2

տարբերակ ելք

ոլ

3Լ30

2:45

Լ4

Լ6 լ8

2455.

Աղյուսակ 3

Տարբերակ| մ

դ յյլ /

Ն/

Սպասվող շահույթի արժեքը Ք

2918.64 2918.64 2704.00 3285.00 3147.50

Նմուշային

միջինը 2,

2976.40 2992.30 2675.20 3265.30 313190

Կանոնական շեղումը Տ 175.83 202.20 -250.51 22181 277.04

ձ.

ձեռնարկության մոդել Ավտոտեխսպասարկման

Հավելված Պատահականթվերի աղյուսակ

449|

164|

862|

653|

1043 3355 4256 5332 2650 5269 3781 8111 6253 4679 7881 5173 4089 1275 3774 1169 372 8833 966Լ 3225 1644 7503 5383 7136 5297) 6337 3958 526 9636 3854 4992 2243 ՎԱՅԱ 4353 4503 8497 5086 4341 7311 5185 743 5716 417| է300 9175 9776 8477 8902 923| 7677 1 153 7834 լ) 8276 4871 8221

Ճ7

Նմանակման եղանակ

Գրականություն Լ.

11ՇՇղօղօտուտծօոօքուան8 -

(101718,

Ճ. ՈՔոօաօք.85Շրծիւօ /16ք. օ ճուո./ -Խ/Լ: Խւք,

Ե1Շ610151.

8 2-2

ւք. Եշռօեօ ՒԼ (լ

Լ:

1ՕԽԼ

Էոտո,

ԽՕրութօԲՅԱիՇ

ԸՈՂՃԽԼ ԼԼ.

83:

1987.

11.

Շ. Յո ճոքոծո./Ա6ք. 6 ճուո./ 11օր քօր. 11. Ի1օտրօքճ,

ՇԵՇԾԻԼ Խ1օոռոմքօ82:ԱԼՇ ՇՈՕՀԹ ՅԵՐ:

ԱԽ 08806

ԽՕրՇուքօ82116

ՇԱՇԻԼ

1978.

-ԻԽԼ.:Էճոո,

/16ք.

1981.

ճուղ./

Քօշաւօտ,հ1./Ճ. Ըճճաճո. ԽԱ ոՀԵ(ՇԼԱԿՇԵՕՇ Ի1Օ01ՇՈԱ-

ԽԱւՀռխօո, ԼԵԼ

1976. :211/ՔՐԱՎՇՇԵՕԻՕ ոքօ838016182. -Խ1. Խ1օղոաո/թոոչ, Շ ԽՕրՇոՑիԼմ Խուա

ՍԵՔՂՁՃԱՑՕՔՃԻԵԼ

ԱՇոոօք. 22ՇՈՇքաիլՇո1էլ

քՕՔՅԵՈԾ

Ղ.

10Խ82.

Ք. ԼԼՇրւօս. -

ԱԽԱՈՅՈՑԾԵՒօՇ

ԱԼՃքօուծքռ.

8ԲՇՈՇԱԽՇ8 3ԵՕԱՕԽԱՎՇՇԵՕՇ

ԽՕՈՇոմքօ828ած. -Ի/1: Է1ոյՀռ.(984. Բ 1 ՇՇտօոօԲճոտծօոծշքուաւմ.ԽՈՇՄԾՈԶՈՕԼԱՎՇՇՀԱՇ ՕՇԱՕՑԵԼ

ԽԱՂՇԽՅՈԼՎՇՇՃԻՇ

ԷԼ Ոօղ ըօր. ռոքօֆ.

710168 Ճ.8.

5ՔօաՕԻՌուՇ.

1997.

ԽԱԼՎՇՇԻՈ»

հշ

ՇԱՇՆՇԻԼ.

լՇ

/116ք.

Հա

ճմւո./ -հ1:հնք,

ամր

1975.

3Ե010-

Հավելված

ԽԱՂԵՐԻ

ԼԵՎՈՆ

ՊԵՏՐՈՍՅԱՆ

Սանկտ Պետերբուրգիպետական համալսարանի արոֆեսոր

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Ի՛ճչ շահ սրանից, կամինձ ի՞նչ օգուտ...

Գրիգոր Նարեկացի, Մատյան ողբերգության,բան Զ,Ա, Ե. 1979

Խաղերի տեսությունը ժամանակակիցկիրառական մաթեմատիկայի ճյուղերից է, որը նպատակունի վերլուծել նմանատիպկամ տարբեր շահեր հետապնդողհակադիրկողմերի հարաբերությունմճերը: Խաղերի տեսությունըորպես գիտություն մշակել են Ջոն ֆոն Նոյմանը ն Օսկար Մորգենշստեռնը:Նրանք խաղերի տեսությունը զարգացրել են բարդ տնտեսական համակարգերում որոշումներ կայացնելու նպատակով: Իրենց «Խաղերի տեսություն, ն տնտեսական վարվելակերպը» գրքում (1944թ.), հեղինակներըպնդում են, որ դասականմաթեմատիկան,զարգացվելով մեխանիկայումն ֆիզիկայում կիրառվելուհամար, չկարողացավ նկա-

րագրել ն բացատրել տնտեսագիտությանմեջ ե հասարակակաանկյանքում տեղի ունեցող իրական գործընթացները: Նրանք ճան նկատեցին շատ ընդհանուր գործոններ, ինչպիսիք են հակամարտ շահերը, որոշումներ կայացնողների տարբեր նախրճտըրությունները, յուրաքանչյուր ամհատի կախումը իրական խաղերում, ե տնտեսական իրադրություններում այլ անհատների կողմից կայացվող որոշումներից:Ուստի, Օ.Մորգենշտեռնըն Ջ.Նոյմանը այս ճոր տիպիմաթեմատիկանանվանեցինխաղերի տեսություն: Նախկին Խորհուրդային Միությունում խաղերի տեսությունը լայնորեն տարածվեց 1968թ. Երեանում տեղի ունեյած Առաջին Համամիութենական խաղերի տեսության կոնֆերանսից հետո:Տեղին է նշել պրոֆեսոր Նիկոլայ Ն. Վորոբյովիհանգուցայինդերը նախկին սոցիալիստականերկրներում խաղերի տեսության տարածման ն զարգալյման մեջ:

Խաղերի տեսություն

Հեղինակի մասին Լնոն Պետրոսյանըծնվել է 1940թ.ք..Սաճկտ-Պետերբուրգում(Լենինգրադում) մտավորականների ընտանիքում: 1957թ. ընդունվել է Երնանի պետական համալսարանի մեխանիկա-մաթեմատիկականֆակուլտետը: 1960թ.փոխադրվելէ Լենինգրադիպետականհամալսարանիմաթեմատիկամեխանիկականֆակուլտետն մասնագիտացել խաղերիտեսությանգծով: 1965թ.պաշտպանել է թեկնածուական,իսկ 1972թ.դոկտորականատեճախոսութունը դիֆերենցյալ խաղերի ոլորտում: 1974 թվականիցՍանկտ Պետերբուրգիպետականհամալսարանիամբիոնի վարիչ է, իսկ 1975 թվականից համատեղությամբ` Կիրառական մաթեմատիկայի կառավարման գործընթացներիֆակուլտետիդեկանը: Լնոն Պետրոսյանը հավատարիմ է մնացել խաղերի տեսույանը ն այդ բնագավառում հասել է լուրջ արդյունքների՝ նա հրատարակելէ 15 մենագրություն ն դասագիրք, որոնցից 3-ը թարգմանվել են անգլերեն: Նա հեղիճակ է ավելի քան 150 գիտականաշխատության:Խաղերի տեսությանբնագավառում նրա ղեկավարությամբպաշտպանվելէ մի քանի տասնյակ թեկնածուականն դոկտորականատենախոսություն: Նա հրավիրվել է դասախոսելու աշխարհի առաջատար շատ համալսարաններում՝ Բերկլի, Քեմբրիդջ, Լօնդոս, Մոնրեալ, Տոկիո, Մյունխեն, Մեխիկո, Սան Պառվո, Հոնկոնգ... ն բազմիցսԵրնանի պետականհամալսարանում: Օճած Ղիշօր/ Թա» Լնոն Պետրոսյանը` «ոաոճնօու| ամսագրի ն «Օռոած ՛Լհօօո/ ձում Ճքքնօճեօոտ» տարեգրքիհիմնադիրխմբագիրնէ: Նա նան Ռուսական բաժանմունքիդինամիկխաղերի միջազգային գիտականընկերության նախագահնէ: -

Լ ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

ԽԱՂԵՐ

Բնականոնտեսքի հակամարտխաղի սահմանումը

Սույն բաժնի որոշ հասկացություններ ն սահմանումներ կրկնում են առաջին հատորի հավելվածում քննարկված հասկացություններն ու սահմանումները: Այդ կրկնությունը կատարվել է ամբողջականությունը չխախտելու ն ընթերցանությունըհարմարավետդարձնելունպատակով: 1.1 Սահմանում:

Հետնյալ համակարգզը՝ ՐՀ

Կ,ԵՒՍ (ն.1) որտեղ 24-ը 7-ը ոչ դատարկ բազմություններ են, ն ՔՈ 2Մ-5Ք.որնէ ֆունկցիա է, կոչվում է բնականոն տեսքի հակամարտխաղ: «6 Ճ ն 6 Մ տարրերը կոչվում են համապատասխանաբարառաջին ն երկրորդ խաղացողների վարվելակերպեր Ր խաղում: 24» դեկարտյան արտադրյալի տարրերը (այսինքն` վարվելակերպերի(2.7) զույգերը, որտեղ «2 ն »6Ծ կոչվում են իրավիճակներ: ԷՐ.) ֆունկցիան կռչվում է առաջին խաղացողիշահումի (վճարումի) ֆունկցիա, իսկ երկրորդխաղացողի շահումի ֆունկցիան սահմանվում է, որպես՝ -ԷԼԸ:,7): Այդ պատճառով 1(2,7) ֆունկցիան անվանում են նան պարզապեսՐ խաղիշահումի ֆունկցիա, իսկ 1՝ խաղը՝ զրո գումարով խաղ (քանի որ ցանկացած (2,7)« 2247 համար՝ Է(.7)-(-ԷՐ.,7))-0): Այսպիսով, օգտագործելով ընդունված տերմիճաբանությունը, որպեսզի Ր խաղը տրված լինի, պետք է տրված լինեն առաջին ն երկրորդ խաղացողների վարվելակերպերի2. ն 7 բազմությունները, ինչպես նան բոլռր իրավիճակների24/7 բազմության վրա որոշված ԷԼ շահումի ֆունկցիան: Ր խաղը մեկնաբանվումէ հետնյալ կերպ. Խաղացողներըմիաժամանակն միմյանցիցանկախ ընտրում են «624 ն 8՝3/ վարվելակերպերը:Արդյունքում առաջին խաղացողնստանում է 114.5) շահում (էԼ ֆունկցիայիարժեքն (2,7) կետում), երկրորդը`-1104,7)շահում: ն

1՝- («,7»էլ) Սահմանում: խաղը կոչվում է Ր-(Օ,,ԵՈ) խաղի ենթաՄՊ ն 1 22«4-5Ք: ֆունկցիան ԷԼ ֆունկցիայի նեղացումն է խաղ, եթե «Ը. Ճ»Գ/՛ բազմության վրա: Սույն բաժնում դիտարկվելու են հիմնականում այնպիսի հակամարտ խաղեր, որոնցում խաղացողների վարվելակերպերիբազմությունները վերջավոր են:

1.2 Սահմանում:

Այն հակամարտ խաղերը, որոնցում երկու խաղացողներն էլ ունեն վարվելակերպերի վերջավոր բազմություններ, կռչվում են մատրիցաինխաղեր:

Սատրիցայինխադեր

Դիցուք` (1.1) մատրիցային խաղում առաջին խաղացողն ունի ընդամենը տ թվով վարվելակերպ:Կարգավորենքառաջին խաղացողի վարվելակերպերի Ճ բազմությունը, այսինքն` Հ. ն Խ-/12,...,ո) բազմությունների միջն ստեղծենք փոխմիարժեքհամապատասխառնություն: Համանմանորեն, ն Ւ-112....,ո) եթե երկրորդ խաղացողնունի ո թվով վարվելակերպ,ապա բազմություններիմիջն կարելի է հաստատելփոխմիարժեքհամապատասխանություն: Այդ դեսպյքում1` խաղը լիովին որոշվում է Ճ-(8յ) մատրիցով, որտեղ՝ 16586 )6ԷԼ ճՃ))6ԻՇՉՆ Շո)օ2Գչ ԽՐԱՏ), Այստեղից էլ` խաղի անվանումը` մատրիցային: Ընդ որում Ը խաղն ԽԼ տող, իրագործվում է հետնյալ կերպ: Առաջին խաղացողն ընտրում է 186 հետ Ի իսկ երկրորդ խաղացողը՝ առաջինի միաժամանակո̀րնէ յՀ սյունակ: Որից հետո առաջին խաղացողն ստանում է ճյ շահումը, իսկ երկրորդը`-4. շահումը: Եթե շահումը հավասար է բացասական թվի, ապա իրականում խոսքը վորաբերվումէ այդ գումարըտանուլ տալուն: Շահումների Ճ մատրիցով 1` խաղը նշանակենք Լ -ով ն անվանենք (ոչ«ո) խաղ (ըստ Ճ. մատրիցիչափսերի): Եթե շարադրանքիցհասկանալի է, թե խոսքը ինչ մատրիցովխաղի մասին է, ապա Ճ ինդեքսըչենք նշի: Մատրիցային խաղում վարվելակերպերիհամարակալումըկարող է յուկատարվելտարբեր եղանակներով,հետնաբար կարգավորվածության րաքանչյուր հարաբերությանը, խիստ ասած, համապատասխանումէ դրա մատրիցը: Այսպիսով, վերջավոր հակամարտ խաղը կարող է նկարագրվել տարբեր մատրիցներով, որոնք միմյանցից տարբերվում են միայն տողերի կամ սյունակներիկարգով:

Օրինակ 1. (Քաղաքի պաշտպանություն): Այս օրինակը հայտնի է որպես "գնդապետ Բլոտոյի խաղ" |4): Գնդապետ Բլոտոն ունի ռտ հատ գունդ, իսկ իր հակառակորդը՝ո հատ գունդ: Հակառակորդը պաշտպանումէ երկու դիրք: Գնդապետ Բլոտոն դիրքը կգրավի, եթե հարձակվող գնդերի թիվը մեծ լինի դիրքը պաշտպանող գնդերի թվից: Հակառակորդ կողմերից պահանջվումէ գնդերըբաշխել երկու դիրքերիմիջն: Որոշենք գնդապետԲլոտոի (առաջին խաղացողի) շահումը յուրաքանչյուր դիրքում: Եթե իր գնդերը որնէ դիրքում ավելի շատ են, քան հակառակորդինը (երկրորդ խաղացողը), ապա իր շահումն այդ դիրքում հավասար է հակառակորդիգնդերի թվին գումարած մեկ (դիրքի գրավումը համարժեք է մեկ գնդի գրավմանը): Եթե որնէ դիրքումերկրորդխաղացողիգնդերը ավելի շատ են, քան առաջին խաղացողինը,ապա առաջին խաղացողըկորցնում է այդ դիրքում իր բոլոր գնդերը ն նս մեկ միավոր (դիրքը կորցնելու համար): Եթե տվյալ դիրքում երկու կողմերի գնդերիթիվը հավասար է, ապա ոչ ոքի է, ն կողմերից ոչ մեկը ոչինչ չի ստանում: Առաջին խաղացողի ընդհանուր շահումը հավասար է երկու դիրքերումստացված շահումների գումարին: Ակճերն է, որ խաղը հակամարտէ: 1.3

Բնականոն տեսքիհակամարտխաղի սահմանումը

Նկարագրենք խաղացողների վարվելակերպերը:Դիցուք` որոշակիուտո: Առաջին խաղացողն ունի հետնյալ վարվելակերպը. (ա-1) հատ գնդերն ուղարկել առաջին դիրք, շ-(-1,1)՝ գունդ ուղարկելառաջինդիրք, իսկ մեկը՝ երկրորդ,Ճշ-(Պ-2,2)....Ճո-Ո,ո-1), Ճո՞(0,ո): Հակառակորդը(երկրորդ խաղացողը) ունի այսպիսի վարվելաթյան համար, 2օ-(ռ,0)` բոլոր

լ ). կերպեր. 702(ո.0),)-(ո-1 »յո՞(0,ո): ,

Դիցուք` առաջին խաղացողն ընտրում է տօ վարվելակերպը,իսկ երկրորդ խաղացողը՝ »օ վարվելակերպը: Հաշվենք առաջին խաղացողի 200 շահումն այդ իրավիճակում:Քանի որ ոո, ապա առաջին դիրքում շահում է առաջին խաղացողը: Իր շահումը հավասար է (ոՒ)-ի (միավոր` դիրքը պահելու համար): Երկրորդ դիրքում ռչ-ոքի է: Այսպիսով՝ 2օ-ոՒ1: Հաշվենք 801դ-ը: Քանի որ տ»ո-յ, ապա առաջին դիրքում առաջին խաղացողի շահումը հավասարէ՝ ո-11-ո: Երկրորդ դիրքումշահում է երկրորդխաղացողը: Հետնաբար,առաջին խաղացողն այդ դիրքում կորցնում է մեկ միավոր: Այսպիսով` 2:-ո-1: Այս դատողությունները շարունակելով, ստանում ենք` 2օ-ո-իՒ1-1ԼՀ-ո-յ,1ՀյՀո: 8լլ-ո-1Ւ1Հղ, 8լյ-ո-)Ւ1-1-1-ո-)-1, 25)Հո: Եթե ո-1Լ»ո, ապա 8յգ-ՈՒ

1Է1ՀՈՒԶ,

Ընդհանուր դեպքում (ցանկացած տ ն ո թվերի համար) շահումների մատրիցի4, :20,դ,)-0,ո տարրերըհաշվվում են հետնյալ կերպ. ոֆՒշ,

81Հ-ԻՒ.7/)-

եթեռ-1»ո-)յ 1»), :1-) 1Հ),

ո-յՒՆԼ եթետ-1»ո-յ, ո-յ-, եթեռ-լ»ո-յ, -ՈՀ1ԼՀՎյ, եթեո-1Հո-յ,

1»),

-ո-2,. -1-Լ -տոՀւ-լԼ

12)

յՒԼ

եթետ-լՀո-), 1»յ,: եթետ-1Հո-)1Հյ, եթետ-:Հո-յ, 1Հ)յ

եթետ-1Հո-յ, 1»Հ):

եթջեռ-1Հո-,

Այսպես, տ-4, ո-3 դեպքում դիտարկելով բոլոր հնարավոր իրավիճակները, ստանում ենք այս խաղի շահումների Ճ մատրիցը՝

ՅՖ

0-1

Ճլ

ՃՀ-»)|-2 ռչ ո 4

Լ9

2-2|

Օրինակ (Շեղվելու խաղ): Առաջին ն երկրորդ խաղացողներն ըճտրում են 1 ն ո թվերի միջն ընկած համապատասխանաբար1 ն ) թվեր, ընդ որում առաջին խաղացողըշահում է ի-յ| մեծությունը: Այս խաղի մատրիցը 2:

Սատրիցայինխաղեր

քառակուսային է, (ոչ) չափսերի, յ-ի-յ|: Այդպես, եթե ո-4, մատրիցըունենում է հետնյալ տեսքը՝

ապա

խաղի Ճ

10123 21012|Լ 32101|ի 43210

Մաքսիմինայինն մինիմաքսիմայինվարվելակերպեր

2.1. Դիտարկենք Լ-ՕԽՖ.Ւը հակամարտ խաղը: Այստեղ խաղացողներից յուրաքանչյուրը իր վարվելակերպն ընտրելու միջոցով ձգտում է ստամալ առավելագույնշահում: Սակայն առաջին խաղացողիհամար այն որոշվում է (7) ֆունկցիայով, իսկ երկրորդի համար` -Է(5,7) ֆունկցիայով, այսինքն` խաղացողներինպատակներըլիովին ներհակ են: Հաշվի առնելով, որ -ՒԷԼ ֆունկցիայի մաքսիմումը գտնելու խնդիրը համարժեք է ԷԼ ֆունկցիայի մինիմումը գտնելու խնդրին,կարելի է եզրակացնել,որ առաջին խաղացողըձգտում է ԷԼ ֆունկցիայի առավելագույնարժեքին,իսկ երկրորդ խաղացողը՝նույն ֆունկցիայի նվազագույն արժեքին: Այս պատճառովէլ, առաջին խաղացողին հաճախ անվանում են մաքսիմացնող,իսկ երկրորդին` մինիմացնողխաղացող:Հիշեցնենք ընդհանուր հակամարտ խաղերի վերաբերյալ առաջին հատորի Հակամարախաղեր գլխումբերվածմի շարք սահմանումներն հասկացություններ: ՑանկացածԼ-(Ճ,7.էՕ հակամարտ խաղում (2.1) Ճ ՀՏսքւոք ԱՐ, 7) "ոռ

թիվն աճվանում խաղի ստորին արժեք: Եթե (2.1) արտահայտության արտաքին էքստրեմումը հասանելի է, ապա '« թիվն անվանում են նան են 1՝

մաքսիմին, կամ առաջին խաղացողիապահովված առավելագույնշահում: Վարվելակերպի ընտրության այդ սկզբունքն անվանում են մաքսիմինի, կամ ապահովված առավելագույն շահումի սկզբունք, իսկ այդ սկզբունքով ընտրված2 վարվելակերպը՝մաքսիմայինվարվելակերպ: Համանմանորեն` Մ Հ1ոք տՏսթԱ(», 5) (2.2)

7654:

թիվն անվանում են 1` խաղի վերին արժեք: Եթե այս արտահայտության արտաքին էքստրեմումըհասանելի է, ապա Մ-ն անվանում են նան մինիմաքս կամ երկրորդ խաղացողինվազագույնապահովվածկորուստ:Վարվելակերպ ընտրելու այդ սկզբունքնանվանում են մինիմաքսիմային,իսկ այդ սկզբունքով ընտրված 7/ վարվելակերպը՝մինիմաքսայինվարվելակերպ:

Հայտնի է, համար՝

որ

երկու փոփոխականի ցանկացած է1(4,7) ֆունկցիայի Տսք ոք "օյ

Սա

իրավիճակներ Հավասարակշռության

նշանակումէ,

որ

Է1(2,)Տ1ոք

ՏսքԷԼ(:.,57)

ցանկացած Լ-(Ճ,Մ,)

ՀԽ:

խաղում` (2.3)

Քանի որ մատրիցային խաղերը վերջավոր հակամարտ խաղեր են, այսինքն` վարվելակերպերի2Ճ ն Մ բազմություններըվերջավոր են, ապա մատրիցային խաղերում (2.1) ն (2.2) արտահայտություններիարտաքին էքստրեմումներըհասանելի են: Դիցուք` տրված է Լ մատրիցային (ոչ) խաղ: Այդ դեպքում

ոո

ԼՑՏՈ

ՖՀողո

լ5)5ո

լոլ, Լ5)50

ոճ:

Լ54Տտ

(2.4)

(2.5)

Այսպես,

ՃՀ|538 ն առաջին խաղամատրիցովԼ խաղում 7 ստորինարժեքը (մաքսիմինը)

ցողի 1, մաքսիմինային վարվելակերպը հավասար

արժեքը (մինիմաքսը)ն

վերին վելակերպըհավասար են` 3.

ՃՀ3,

են`

7-3,

Խ-2, իսկ 7

երկրորդ խաղացողի )ջ մինիմաքսային վար)օ-2:

Հավասարակշռության իրավիճակներ

3.1. Դիտարկենքհակամարտ խաղում խաղացողներիլավագույն (օպտիմալ) վարքագծի հարցը: Սահմանում: Ր-(4Ճ,Մ.Է 0 հակամարտ խաղում (2. ,7 ) իրավիճակը կոչվում է հավասարակշռության իրավիճակ կամ թամբակետ,եթե 3.7 (32)

ԱՐՀ) Հ ԷՇ Ր),

բոլռր «6 Ճ ն 767 համար: Ր խաղի հավասարակշռության բոլոր իրավիճակները նշանակենք 201): Պարզ է, որ 2(1) 22: Ր, մատրիցային (ոչ) խաղում հավասարակշռոության իրավիճակճերի սահմանումն ընդունում է հետնյալ տեսքը: ("յ ) իրավիճակը հավասարակշռության իրավիճակ է ԼՐ, խաղում, եթե (միացնելով (5.1 ն (3.2) Տ 8«լ բոլոր 1ՀՀՀտ ն ԼՀյՀո համար: անհավասարությունները) 8.» Հ յ: է.

10.)

ԱՐՀ),

Սատրիցայինխաղեր

Թամբակետում մատրիցի 4թյ» տարրը միաժամանակն փոքրագույնն է իր տողում, ն առավելագույնըիր սյունակում: Նախորդ՝ 2.1. կետում դիտարկված ՃՀ|538

մատրիցովխաղում (2.2) իրավիճակը հավասարակշռված է: 32. Ր հակամարտ խաղում հավասարակշռության իրավիճակների բազմությունը օժտված է այնպիսի հատկություններով, ռրոնթ թույլ են տալիս խոսել հավասարակշռության իրավիճակին պատկանող վարվելակերպերիլավագույն լինելու մասին:

Թեորեմ: Դիցուք՝ ( Ր

51,771), (52.32) իրավիճակներըհավասարակշիռ են

հակամարտխաղում: Այդ դեպքում` )

էա..)-

ԷՐ, )-ՔՐա)ՔԴ.) 2)(«.:)62(1, (5..2:)62(Ը:

Ապացուցում:Հավասարակշռության իրավիճակի սահմանումից՝

Է.) Ւ.)2)

ՀԵՐՆ )Տ

ԷՐ.)

(3.3)

ՀԷՐԿ.3:)ՀՔՐԿ».7)

6.4)

Ճ ն 763 համար: (3.3) անհավասարության ձախ մասում տեղադրենք 27, իսկ աջ մասում` 2 : (3.4) անհավասարությանձախ մասում տեբոլոր

«6

ղադրենք 2:, իսկ աջ

մասում

ՀԻ)

ԷՐ.) Որտեղից հետնում

3: Կստանանք՝

ՀԷ(ա)ՀԵՐ.»7:

ՏԻՐ)

ԷՐ)-

Է0ա:)-

ԻՐ

ԷՐ»)

0.5)

հավասարությունը: Ցույց տանք երկրորդ պնդման ճշմարտությունը: Դիտարկենք (2.. ա) իրավիճակը:(3.3)-(3.5) առնչություններիցստաճում ենք` Է(»,7:) բոլոր

62,

1.7) ՀԷՐԿ,3:)Հ-

767 համար:

ԷՐ,5.)ՀԱՐԿ.5)

(21,535)իրավիճակիհավասարակշռված լինելը

ապացուցվումէ համանմանորեն: Թեորեմից հետնում է, ռր հավասարակշռության բոլոր իրավիճակներում շահումի ֆունկցիան ընդունումէ միննույմ արժեքը: Ուստի խելացի է ներմուծել հետնյալ սահմամճումը: Սահմանում: Դիցուք` (1,՞)-ը հավասարակշռությանիրավիճակ է Ր խաղում: Այդ դեպքում ՄՀ Յ.7) ԷԸ) ւ.

իրավիճակներ Հավասարակշչռության

թիվըկոչվում է 1՝ խաղի արժեք: Թեորեմի երկրորդ պնդումից մասնավորապեսհետնում է մի այսպիսի փաստ: 7(Լ) բազմությանպրոեկցիաները 2: ն Մ բազմությունների վրա

նշանակենք

ԱԱ

Ջ"ն7՝

աան

Հ-Սբթօ,

2-7

Յ7ՀՆ:

ՇՆ ՅՅ

այսինքն` '«2(5),

620)):

Այդ դեպքում70" բազմությունըկարելի է ներկայացնել (3.8) 242) »Ճ՝ հետնում է պնդումն երկրորդ պնդումից: տեսքով: Այս անմիջապես թեորեմի Սահմանում: (3) բազմությունը կոչվում է առաջին (երկրորդ) խաղացողի լավագույն վարվելակերպերի բազմություն, իսկ դրա տարրերը՝ առաջին(երկրորդ)խաղացողիլավագույն վարվելակերպեր: Նկատենք, ռր (3.5) հավասարությունը ցույց է տալիս, որ խաղացողի լավագույն վարվելակերպերըկարող են փոխարինել միմիանց, այսինքն` լավագույն վարվելակերպերի ցանկացած զույգ կազմում է հավասարակշռության իրավիճակ, իսկ շահումը այդ իրավիճակում հավասար է խաղի արժեքին: 3.3. Խաղացողների վարքագծի լավագույն լինելը չի փոխվի, եթե խաղի վարվելակերպերիբազմություններըմնան նույնը, իսկ շահումի ֆունկցիան բազմապատկվի որնէ դրական հաստատունով (կամ դրան գումարվի

թիվ): (մասշտաբի վերաբերյալ): Դիցուք` Լ-(Ճ.Ծ,է0-ը երկու հակամարտխաղեր են, ընդ որում՝

հաստատումն

Լեմ

ՌԼԷՃ, Թ»0,

Ւ՛-

Այդ դեպքում՝

ՕՀ

«օոտն

20175 20213),ԿՐչ

Շօոտէ

ՐՀ(Ճ,ՖԵՒ)ը

(3.9)

(3.10)

ԿՈՒՑ:

Ապացուցում: Դիցուք` (5. ,ջ՞)-ը հավասարակշռության իրավիճակ խաղում: Այդ դեպքում ունենք՝ «Տ ՅԱՆ, ԷՒ) ԲԱՇ): ԱՇ»), )ԷՕՀ

ՒԼ(Ե»Ր) ԲԱ

ԱՇ») ՅԱՏ» 76 7 համար: Ուստի՝ (3): 20137,2026 203):

)Էօ-

բոլոր

«6

Ճ.ն

է Ր

Հակառակը,դիցուք՝ (2,7)6 701): Այդ դեպքում` ԱՇ) -(ՍԹն.») ն, համանմանորենդատելով, ստանում ենք, որ (2,7)6 2Ա): Ոատի՝ 2013-7(1), ըստ որում ճիշտ է հետնյալ հավասարությունը` Թոմ /12.7):0սբ -1Ր()Տվյալ լեմը վկայում է այն մասին,

որ

միայն շահումների հաշվման

սկզբնակետովն դրանց չափման մասշտաբով միմյանցից տարբերվողցանկացած երկու խաղեր վարվելակերպայինհամարժեք խաղեր են:

Սատրիցայինխաղեր

3.4. Այժմ հաստատենք հավասարակշռության սկզբունքի ու մաքսիմինի ն մինիմաքսիսկզբունքների փոխադարձկապը հակամարտխաղում: Թեորեմ: ՈրպեսզիԼՀ(Ճ,Մ, է) հակամարտխաղում գոյություն ունենա հավասարակշռության իրավիճակ, անհրաժեշտ է ն բավարար, որ գոյություն ունենան մինիմաքսըն մաքսիմինը՝

ամուսք ԼՐ.) ոռմու էԼ(.)) ,

կատարվիհետնյալ հավասարությունը՝ Լոք Լ, ) ոոտսք ԱՌ,))Հ7 Մռ ՈՅ Հ

բոլոր

՛,

Ապացուցում: Անհրաժեշտություն:Դիցուք` 26 2: ն 767 համար ճիշտ են

ԷԵ) ՀԻԹ)

Տսք

Դրա

հետ

էԼ, 7`)ՀԷԱՐ`,3):

մեկտեղունենք՝

ԼոքՏսք 812.) ՀՏսքէԼ. )

(3.12)

(5 3Ր)6215: Այդ դեպքում

ՀԷՇ-)

անհավասարությունները,որտեղից`

(.11)

Յ.13)

Օ.14) (.15)

Համեմատելով(3.14)-ը ն (3.15)-ը, ստանում"ենք՝ ) ոքտսք ԷԼ(2,

Հտսքէ(»,»՞)ՀԼՇ՞,)"):

(3.16)

Համանմանորեն դատելով, հանգում ենք հետնյալ անհավասարություններին`՝ Է(.,)): ԷԼ(2",3-) Տմոք(Ճ`,)) ՀՏսթոոք

Այսպիսով՝ 1ոք Տսք ԷԼ(5, ,

Օ.17)

7) Հ Տսքւոք1(5, 7): ,

Մյուս կողմից, միշտ ճիշտ է (2.6) հակառակ անհավասարությունը: Այսուհետն, ստանում ենք՝ (3.18) ՏսքյոքԷ1(2,7) 1ոք Տսք 12.3): Հ

)

իրականամումեն Ընդ որում (3.16) ն (3.17) անհավասարությունները որպես հավասարություններ՝ ոք սք

էլ.)

տսք/ոք Է(».3)

--Տսք ՛

ոք

ԷԼ.

ԷԼԸ՞,3-),

է(Ը՞,)) ՀԷՇ-,)"),

էքստրեմումներըհասամելի այսինքն` մինիմաքսի ն մաքսիմինի արտաքին են դառնումհամապատասխանաբար 7 նմ կետերում: Բավարարություն:Դիցուք մինիմաքսնու մաքսիմինըգոյություն ունեն՝

Հավասարակշռության իրավիճակներ

»)Հ

1ոք ԷԼ(.,

ոչ

ուոտսք

ԷԼ.)

1ոք 12...

(3.19)

սք

(3.20)

0.12) հավասարություննուժի մեջ է: Ցույց տանք, հավասարակշիռէ: Իրոք՝ ն

(«-3)

որ

ԷԼ", )) - տմոք ԷԼՇ,))

ԷԼ" 2")

Հ մոք

Ա՞,՞)

Հտսքո(.,)՞) ուոտսքէլ (2,5):

(0.21)

իրավիճակը

(3.22)

Ըստ (3.12) հավասարության, մինիմաքսը հավասար է մաքսիմինին, իսկ (3.21)-ից ն (3.22)-ից հետնում է, որ այն նան հավասար է 110:-,)՞)մեծությանը, այսինքն` (3.21)-ի ն (8.22)-ի անհավասարություններըկատարվում են որպեսհավասարություններ:Այժմ ունենք`

ՒԷՐ՞,)

ՒՆ",)")

ոք է

(5՝,))

(3)

ՀՏսք

Հ ԷԼ՞,3), Հ ԷՐ.)

ն 67 2(Ր): համար,այսինքն՝(2՞,»՞)6 Նշենք, որ ապացուցմանընթացքում տրվեց,որ մինիմաքսին մաքցույց: սիմինիընդհանուրարժեքըհավասարէԷԼ: .)՞)՝ խաղի արժեքին,ընդ որում թեորեմիպայմաններումմինիմաքսային(ճաքսիմինային) ցանկացած 702.) վարվելակերպը լավագույն է, այսինքն («-,»՞)իրավիճակը հավասարակշիռէ: Թեորեմիապացուցմանընթացքումստացանքհետեյալ պնդումը: Հետնություն: Եթե (3.11)-ում մինիմաքսըն մաքսիմինըգոյություն ունեն ն հասանելի են համապատասխանաբար ն « կետերի վրա, ապա՝ 3) բոլոր «62

ոճ»

Լոք Լ(4.,7)Հ ԷԼ, ,

7) Հ

ուոջսթԷԼ. ,

1):

(3.23)

Հիշեցնենք, ռր այն խաղերը, որոնցում գոյություն ունեն հավասարակշռության իրավիճակներ, կոչվում են լիորոշ խաղեր, հետնաբար թեռրեմը կարելի է վերաձնակերպելհետնյալ կերպ: Որպեսզի խաղը լինի լիորոշ, անհրաժեշտ է ն բավարար, որ մինիմաքսը ն մաքսիմինը (3.1 1)-ում գոյություն ունենան ն տեղի ունենա (8.12) հավասարությունը: Նշենք, որ Լ մատրիցային խաղում (3.11)-ի էքստրեմումները միշտ հասանելի են, ուստի այդ խաղերի համար թեռրեմն ընդունում է հետնյալ տեսքը:

Հետնանք 2: Որպեսզի Լ, անհրաժեշտէ ն բավարար, որ ոո

ոշ

)Հ1.2...դ151.2,..ո

մատրիցային (տչ)

ոճ

«1,2...

ողո

տյոէ2,.

խաղը լինի լիորոշ, (3.24)

Նկատենք, որ 1.3 կետում բերված օրինակներում ձնակերպված խաղերը լիորոշ չեն, իսկ 3.1 կետում բերված խաղը լիորոշ է:

Սատրիցայինխաղեր

Խաղի խառն ընդլայնում

Դիտարկենք Լ, մատրիցային խաղը: Եթե այդ խաղում գոյություն ունն հավասարակշռության իրավիճակ, ապա մինիմաքսը հավասար է մաքսիմինին, ընդ որում հավասարակշռության իրավիճակի սահմանման համաձայն, խաղացողներից յուրաքանչյուրը կարող է հակառակորդինհաղորդել իր լավագույն վարվելակերպը, ն այդ հանգամանքըխաղացողներից ոչ մեկին չի կարող լրացուցիչ օգուտ տալ: Այժմ ենթադրենք,որ Լ, խաղում գոյություն չունի հավասարակշռության իրավիճակ: Այդ դեպքում ըստ 3.4 կետիթորեմի ն 2.2 կետի լեմի ունենք՝ (4.1) ոլոոու8.- ոշուոշյ »0 4.1.

)

Այս դեպքում մաքսիմինային մինիմաքսային վարվելակերպերն լավագույն չեն: Ավելին, խաղացողներինձեռնտու չէ այդ վարվելակերպերը կիրառել, քաճի որ նրանք կարող են ստանալ ավելի մեծ շահում: Մակայն հակառակորդին իր վարվելակերպի ընտրության մասին տեղեկացնելը կարող է հանգեցնել ավելի մեծ կորուստների, քան մաքսիմինային կամ մինիմաքսայինվարվելակերպերիդեպքում: Իրոք, թող Ճ մատրիցնունի հետնյալ տեսքը՝ ն

"ո

-| )ի (73Լ

Այս մատրիցիհամար

ոո ոճ )

825,

ոաոյոճլ )

-3,

1՞-ովնշաայսինքն` հավասարակշռության իրավիճակ գոյություն չունի: (1 -1), իսկյ -ով՝ նակենք առաջին խաղացողի մաքսիմայինվարվելակերպը երկրորդ խաղացողի մինիմաքսային վարվելակերպը () -2): Դիցուք՝ երկրորդ խաղացողն ընտրում է իր մինիմաքսային յ -2 վարվելակերպը, իսկ առաջինն ընտրում է :-2: Այդ դեպքում վերջինը կստանա 5, այսինքն 2 միավորով ավելի, քան մաքսիմինայինն է: Մակայն եթե երկրորդ խաղացողը կռահի առաջին խաղացողի ընտրությունը, ապա նա կփոխի իր վարվելակերպը, ընտրելով )-1, ն այդ դեպքում առաջինը կստանա ընդամենը 2 միավոր, այսինքն մեկ միավոր ավելի քիչ, քան մաքսիմինիդեպքում: Համանման դատողություններ կարելի է ան ել ճան երկրորդ խաղացողի Ըստ համար: էության, հարցն այն է, թե (4.1) գումարը ինչպես բաժանել խաղացողներիմիջն: Պարզվում է, որ այդ դեպքում խելամիտ կլինի, որ խաղացողները գործեն պատահականորեն, ինչը կապահովի վարվելակերպի առավելագույն գաղտմճիություն:Ընտրության արդյունքը չի կարող հայտնի դառնալ հակառակորդին,քանի որ դա նույնիսկ իրեն՝ խաղացողին,հայտնի չէ քանի դեռ պատահականսարքը չի աշխատեցվել:

Խաղի խառն ընդլայնում

4.2. Սահմաճում: Պատահականմեծությունը, որի արժեքները խաղացողի վարվելակերպերնեն, կոչվում է խաղացողիխառը վարվելակերպ: Այսպես, ԼՐ, մատրիցային խաղում առաջին խաղացողի խառը վարվելակերպը պատահականմեծություն է, որի արժեքները Ճ մատրիցիտողերի 16 71համարներնեն, ԽԼ-41,2,...տ): Համանմանորեն է սահմանվում երկրորդ խաղացողի խառը վարվելակերպը, որի արժեքները Ճ մատրիցի յ6 Է/սյուճերի համարներնեն: Հաշվի առնելով խառը վարվելակերպի այս սահմանումը, նախկին վարվելակերպերըկանվանենք "մաքուր": Քանի ռր պատահական մեծությունը բնութագրվում է իր բաշխվածությամբ, ապա հետագայում խառը վարվելակերպը կնույնացնենք մաքուր վարվելակերպերիբազմության վրա տրված հավանականայինբաշխվածության հետ: Այդպիսով, մատրիցային խաղում առաջին խաղացողի « խառը վարվելակերպըտ չափանի վեկտոր է` «Հ

(է...ԵՀՔ",Ֆծ -1,

եչ0, Է1....յո:

Համանմանորեն, երկրորդ խաղացողի չափանի վեկտոր է` ,-

Օր,....ոո), 2,դ,

(42)

խառը վարվելակերպը

720,)՞1,...ո:

(4.3)

Ընդ որում ե20 ն 20 թվերը 1-51 ն յԱ մաքուր վարվելակերպերի ընտրությանհավաճականություններնեն խաղացողներիկողմից համապատասխանաբար2 ն 7 խառը վարվելակերպերիօգտագործմանդեպքում: Առաջին ն երկրորդ խաղացողների խառը վարվելակերպերիբազմությունները նշանակենք համապատասխանաբար 2-ով ն 7-ով: Դժվար չէ նկատել, որ յուրաքանչյուր խաղացողի խառը վարվելակերպերի բազմություն, կոմպակտ է համապատասխան վերջավորչափանի Եվկլիդեսյան տարածության մեջ (փակ, սահմանափակբազմություն): Սահմանում: Դիցուք` «-(էծլ,...,ձո) Ճ-ը առաջին խաղացուլի խառը է: Այդ դեպքում` վարվելակերպմն

(4.4) ԽՆ»Ալ 16 Խն ձ»0), 7» որտեղ |1.2,...,ոտ)-ը, կանվանենք սպնկտը: վարվելակերպի Ի/Համանմանորեն, երկրորդ խաղացողի 7-(դլ,...,ղղ) Մ խառը վարվելակերպիԻլ, սպեկտրըսահմանվումէ հետնյալ կերպ. (4.5) Խ-ՍԼ6 Ն, դ»0), ռրտեղ ԿԱ,2,...,ո): Խառը վարվելակերպի սպեկտրը բաղկացած է այն մաքուր վարվելակերպերից, որոնք ընտրված են դրական հավանականություններով: Ցանկացած :« խառր վարվելակերպի համար ԽՆ»2, քանի որ վեկտռրիբադադրիչներըոչ բացասական են, ն դրանց գումարը հավասար է մեկի (տե՛ս (4.2)|: |

Սատրիցայինխաղեր

Ճ, որտեղ ձՀԼ, ձ-0, "Ն 1Հ-Ն2,...յո: Դիտարկենք ս-(չյ,...,ձ.....ձճ Այսպիսի վարվելակերպըթելադրում է Ճ մատրիցի 1-րդտողի ընտրությունը 1 հավանականությամբ:Բնական է ս.ճ Ճ խառը վարվելակերպընույնացնել Էրդ տողի ընտրության, այսինքն` առաջին խաղացողի 16 ԽԼ մաքուր վարվելակերպի հետ: Համանմանորեն,ՃԽ՛-(Ռյ....,Դ,...,ոո)օ3. որտեղ դ-1, դ-0, 12), )-1,2,....ո, խառը վարվելակերպը նույնացնենք երկրորդ խաղացողի )6 Վ մաքուր վարվելակերպիհետ: Այսպիսով մենք ստացանք, որ խաղացողի խառը վարվելակերպերիբազմությունը իր մաքուր վարվելակերպերի տարածությանընդլայնումնէ: Սահմանում: ԼՐ,,մատրիցայինխաղում խաղացողներիխառը վարվելակերպերի(5,7) զույգը կոչվում է խառը վարվելակերպերովիրավիճակ: Լ, մատրիցային (ոո) խաղում առաջին խաղացողիշահումը խառը վարվելակերպերով(5,7) իրավիճակում սահմանենք որպես իր շահումի մաթեմատիկական սպասելի: Խաղացողների կողմից վարվելակերպերի ընտրությունը կատարվում է միմյանցից անկախ, ուստի 2-(ծլ,...,ձո) ն 7-(դո....ո) խառը վարվելակերպերով(2,7) իրավիճակումշահումի (67) մաթեմատիկականսպասելինհավասար է՝

-Ֆֆոլեղյ0Ճ7

«(4)»:

151 )51

որում Է(4,7) ֆունկցիան անընդհատ է ըստ 26 24.ն 76 Մ: Նկատենք, որ այն դեպքում, երբ խաղացողներիցմեկն ընտրում է մաքուր վարվելակերպ (համապատասխանաբար,1 կամ )), իսկ մյուսը խառը վարվելակերպ(2 կամ 57, ԷԼԸ,5),ԼԱՐ.))շահումներնունեն հետնյալ տեսքը.

ըստ

ՒԼԸ,7) Է(ս,)-

ԷՐ)

ԷՐա)-

չյու, -

դյ,

Բյ,....ո,

Հտ, Ը1,...յռ, ջուծ

1-րդտողն ու )-րդ որտեղ Օ.-ն ն Օ-ն Ճ մատրիցի համապատասխանաբար սյունակն են: Այսպիսով, Լճ-(ԿՆՒՆՃ) մատրիցային խաղից մենք եկանք նոր՝ ւ-(Ճ,ՆԷՍ խաղին, որտեղ 24-ը ն 7-ը խառը վարվելակերպերիբազմություններն են Ր, խաղում, իսկ ԷԷԼը՝շահումի ֆունկցիան խառը վարվելակերպերով: Է, խաղը կանվանենքԷյ խաղի խառը ընդլայնում: Րչ խաղը Ի, խաղի է, այսինքն` ենթախաղնմ

«ՇԻ, :

Լ, խաղում (5 5՞) իրավիճակըհավասարակշռության -ԷԼ:.»՞) թիվը Ի, խաղի արժեքն է, եթե բոլոր «օ2: ն

4.3. Սահմանում:

իրավիճակ է, իսկ

համար՝

11057)ՀԱՐ»)

ՀԱՐ):

Խաղի խառն ընդլայնում

3.2 կետի հետնում է, որ հավասարակշռությանիրավիճակին ֆեորեմից լավագույնն են: Ավելին, 3.4կետի պատկանող ն» վարվելակերպերը թեորեմինհամաձայն, .« ն7 վարվելակերպերը,համապատասխանաբար, մաքսիմինային ն մինիմաքսային վարվելակերպերեն, քանի որ (3.11)-ում արտաքինէքստրեմումները հավասար են (Ո16.,7) ֆունկցիանանընդհատէ): ՕՃ ն7 կոմպակտբազմություներիվրա): 3.3 կետում ցույց էր տրված այնպիսի երկու խաղերի վարվելակերպային համարժեքությունը, որոնք տարբերվում են միայն շահումների հաշվման սկզբնակետով, իճչպես նան դրանց չափման մասշտաբով (մասշտաբի վերաբերյալ լեմը): Պարզվում է, որ եթե Լո ն Ր, երկու մատրիցային խաղերը գտնվում են այդ լեմի պայմաններում, ապա դրանց խառն ընդլայնումները վարվելակերպորենհամարժեք են: Ձնականորենայդ փաստը

հաստատվում է հետնյալ պնդումով. Լեմ։ Դիցուք՝ Լ,-ն ե Լ,.-ը երկումատրիցային (չո) ՃՀ

Օ4Դը, 050,

խաղերեն, ընդ որում

Հ-ՇՕՈՏՆ

միննույն Թ տարրերով մատրից է, այսինքն` 8-8 համար:Այդ դեպքում` ՒՔ, 2011) ԿՏ 21)

իսկ

8-ն`

որտեդ

Ր,.-ը ն Ր.-ն

համապատասխա(աբարԼ,,

ընդլայնումներն են, իսկ 7,-, 3, թվերը` 1.

բոլոր

1)-երի

Իչ խաղերի խառն

Ի, խաղերի արժեքները:

Ապացուցում: մատրիցները երկուսն էլ (տչո) չափսերի են, ուստի 1.,. ն Ր խաղերում խառը վարվեակերպերիբազմությունններըհամՃ

ն Ճ'

ընկնում են: Ցույց տանք, րիտ է

որ

ցանկացած(2,7) խառը իրավիճակում ճշմա-

(47)

հավասարությունը,որտեղ ԷԼ-ը

1.7)ԷԹ

(4.8)

ՒԷԼ-ը առաջին խաղացողի շահումներն համապատասխանաբար Ր, ն Ի, խսղերում: ն

են

76Մ-ների հսմար ունենք` «Ճ7- ՕՈ 428 ԱՎՐ,ԴԹ: Մասշտաբիվերաբերյալլեմից հետնում Է, որ՝ Իրոք, բոլոր

«6

4 ն

էլ ( 7)

21..Հ-2,, Կո

Հթ:

Օրինակ 3: Ստուգենք, որ »"-(12, 1/4, 1/4) ն ՞-(12, 1/4, 1/4) վարվելակերպերը լավագույն են, իսկ 7-0՝ Ր, -ն մատրիցային խաղի արժեքն է,

որտեղ՝

Հ|

Պարգեցնենք Ճ

Լ-Է-1 -| -1 Յէ. 3-1

մատրիցը ճնրպեսվզիառավելագույն թվով զրոներ

Մատրիցայինխաղեր

ստանանք): Ճ մատրիցիբոլոր տարրերինավելացնելովմեկ, կստանանք

Ճ՛|004

մատրիցը: ԷԼ մատրիցի յուրաքանչյուր մատրիցըընդունում է հետնյալ տեսքը՝

տարրը

բաժանենք 2-ի վրա: Նոր

"»Վ002|:

Ըստ

լեմի՝ խաղերի արժեքներըկապվածեն ՀՍ Կղ"1/2Խ7, «Ս/2(

հավասարությամբ: Այդպիսով, հարկավոր է ստուգել, որ ԼՐ, խաղի արժեքը հավասար է 1/2: Իրոք, ԷՇ 7-5 Ճ5Ր-1/2: ցանկացած 56 7, 7-(դղշ,ո) Մյուս կողմից, վարվելակերպերիհամար «1/2, ԷԼ». իսկ բոլոր «62, ունենք` համար՝ 116.7)-1/2ծլ1/2ծշԷ1/26-121Հ1/2: Հետնաբար,նշված -,7՝ վարվելակերպերըլավագույնեն, իսկ «.-0:

«ո-Լ2ղ2դչ-1/25-12:1-

-(Հլ,ծ»63)

Մատրիցայինխաղիլոծման գորությունը խառը վարվելակերպերի դասում

Ապացուցենք,որ ցանկացած մատրիցայինխաղ լիովին որոշված է խառը վարվելակերպերիդասում: Թեորեմ: Ցանկացած մատրիցվյին խաղ ունի խառը վարվելակերպերով հավասարակշռությանիրավիճնկ: (ոչ) խաղ է Ճ-(Օյ) խիստ Ապացուցում: Դիցուք` Ր,-ն 5.1.

կամվյական

համար: Ցույց դրական մատրիցով, այսինքն` օչ»0 յրլոր Լոտ ն յ-Լո տանք, որ այդ դեպքումթեորեմըճիշտ Դրա համար դիտարկենք գծայյն ծրագրման հետնյալ լրացուցիչ

խնդիրը. նրա

երկակի խնդիրը՝

ողո ս,

«/ՃՏՄ,«»0

(5.1)

ոյ ՄԽ, Ճ3ՀԱ, 720, (5.2) որտեղս»(1,1,....1)6 8, Խ-(Ո.....1)«8:: Քանի որ Ճ մատրիցը խիստ դրակսն է, ապա գոյություն ունի այնպիսի «»0 վեկտոր, որի համար 242, այսի)քն` (5.1) խնդիրը թույլատրելի է:

դասում 307 Սատրիցայինխաղի լուծման գորությունըխառը վարվելակերպերի

Մյուս կողմից, 7-0 վեկտորը (5.2) խնդրի թույլատրելի լուծումն է: Ուստի, ըստ գծային ծրագրման երկակիության թեռրեմի, (5.1) ն (Օ.2) խնդիրները երկուսն էլ ունեն համապատասխանաբար2 ն 7 լավագույն լուծումները, ընդ որում՝

Ւ,

Դիտարկենք 2» 2/0

ԱՀ3Ա1Հ-0»0: ն»Հ- /0 վեկտորներըն

խաղում համապատասխանաբարառաջին

(5.3) ցույց

տանք, որ դրանք

երկրորդ խաղացողների

լավագույնվարվելակերպերնեն, ընդ որում խաղի արժեքը հավասար է Լ/0-ի: Իրոք, (5.3)-ից ունենք՝ "ս «ՕԽ)/0 -(Խ)/0-»ա-1,

իսկ քանի որ (5.1)

(5.2) խաղերի համար

են, ապա

2 ն

7 վեկտորներըթույլատրելի

չ՞- 3/0 0,

»-3Խ/0,

այսինքն` ՞-ը ն )՞-ը առաջին ն երկրորդ խաղացողների խառը վարվելակերպերնեն Ր, խաղում: Հաշվենքառաջինխաղացողիշահումը (2. ,)/ ) իրավիճակում՝ ւ.

2-4)

ԷՐ"

Մյուս կողմից, քանի

որ

Օ47)/6-:

(54)

7 վեկտորները թույլատրելի

են

(5.2) խաղերի համար,ն (5.3) հավասարությունիցունենք`

0-ՀՈՃ)«0(43)Հյս-0:

Այսպիսով, 243

Հժ

ն(54)-ից ԱՇ

ստանում

(5.1)

(5.5)

ենք`

ՀՄՅ:

(5.6)

Դիցուք` «6 Ճ-ը ն Ֆ6Մ-ը առաջին ն երկրորդ խաղացողների կամայական խառը վարվելակերպերնեն: Այդ դեպքում` Ի )-Շ Ճ)- ՕՃ))/6 Հ(»5)/0 1/0, (5.7) ԱՐՀ

«(7

)-«(Ճ))/0Հօս)/0-10:

(5.8)

Համեմատելով (5.6)-(5.8) առնչությունները, ստանում ենք, որ (2,3) իրավիճակը հավասարակշռության իրավիճակ է, իսկ 1/-ր խիստ դրական մատրիցով1" խաղի արժեքն է: Այժմ ղիտարկենք 7Ճ՛-| 81) կամայական մատրիցով Լ,. (ոո) խաղը: Այդ դեպքում գոյություն ունի այնպիսի Յ»0 հաստատուն, որ րիցը խիստ դրական է, որտեղ 8-(8յ)-ն (ոո) մատրից է,

Լո:

Ճ-Ճ-Ց

8.-Բ.:-Լտ

Ր,, խաղում գոյություն ունի խառը վարվելակերպերով 2)

սարակշռության իրավիճակ, իսկ խաղի արժեքը հավասար է ժն որոշվում է այնպես, ինչպես (5.3)-ում:

մատ-

Կ/՞

հավա-

1/6, որտեղ

Սատրիցայինխաղեր

կետի լեմից հետնում է, որ (.՝,"-ը հավասարակշռությանիրավիճակ է խառը վարվելակերպերով Լ,. խաղում` 6:.)-)27(1,.), իսկ խաղի 4.3

արժեքը հավասար է՝

ՀՅլ-ԹՀ-1/0-8Թ:

Թեորեմն ապացուցվածէ:

Խառը վարվելակերպերի դասում լուծման գոյության փաստը նշանակում է, որ մաքուր վարվելակերպերիհավանակամայինընտրությամբ.խաղացողները միշտ կարող են վերացնել այն անորոշությունը,որն առկա էր խաղն սկսելուց առաջ: Հարկ է նշել, որ ոչ բոլոր հակամարտ խաղերում գոյություն ունի խառը վարվելակերպերով լուծում: Գոյություն ունեն անվերջ թվով մաքուր վարվելակերպերովհակամարտխաղեր,որոնք խառը լուծում չունեն: վարվելակերպերով Նշենք նան, որ թեռրեմի ապացուցումը կառուցողական է, քանի որ մատրիցային խաղի լուծումը հանգեցնում է գծային ծրագրման խնդրին, ընդ որում Լ. խաղիլուծման ալգորիթմըհետնյալն է. Լ. Ըստ Ճ՛ մատրիցի կառուցում ենք Ճ-Ճ՛ՒՑ խիստ դրականմատրիցը, որտեղ Ց- (89), 8/-8»0: 2. Լուծում ենք (5.1) ն (5.2) գծային ծրագրմանխնդիրները:Գտնում 2՛ն ենք 7 վեկտռրներըն 6 թիվը(տե'ս (5.3)|: 3.

Կառուցում ենք առաջին ն երկրորդխաղացողներիլավագույն վար-

վելակերպերը՝ 4.

2-39,

»-)/0:

Հաշվում ենք Լ,. խաղի արժեքը՝

Խ»1/0-թ: Օրինակ 4: Դիտարկենք

.-(9

մատրիցով որոշվող մատրիցային Լ գ խաղը: Դրան համապատասխան` գծային ծրագրմանխնդիրներըունեն հետնյալ տեսքը.

ծլՒծշ-» ուռ,

46126221, 302Ն

ոլՒղ-»

ոճ,

4ՈՏԼՆ

2ղւՒ3ղ2Հ1, ԱՄ ղշ»20: Նշենք, որ այս խնդիրներըկարող են գրվել համարժեքտեսքով՝հավահամար՝ սարություններիտեսքովսահմաճնճափակումների

ծ.Հ0, ծշ20,

ծյէծշ-5 ու, 1, 46լ-Է26ծ2-65Հ 3ծչ-Ճ Հ 1, ձՀ 0, ծչՀ 0, 2520, 6.20,

ղւՒղշ-»

ո,

4ղլՒղ:5-1, 2ղւՒ3ղշՒդւ5 1, դւՀ0, դշ20, դ20, դզ20:

Սատրիցայինխաղի լուծման գորությունըխառը վարվելակերպերիդասում 309

Այդպիսով,գծային ծրագրման խնդիրներիլուծման ցանկացած եղաճակ կարող է հարմարեցվելմատրիցայինխաղեր լուծելու համար: Այդպիսի խնդիրներըլուծելու համարամենահարմարըսիմպլեքսեղանակնէ: Գծային ծրագրման խնդիրը որոշակի իմաստով համարժեք է Լ, մատրիցային խաղին: Իրոք, դիտարկենք գծային ծրագրման հետնյալ ուղիղ ն երկակիխնդիրները. 5.2.

2Ա-»

ոլո,

241277,

120,

(5.9)

ՄԱ/-» Ոոզ,

ՃՆՖՀԱ,

(5.10) 720: Դիցուք (5.9) ն (5.10) խնդիրներիլավագույն լուծումների բազմությունճերը, համապատասխանաբար,ՆՄ բազմություններնեն: Նշանակենք՝

(/94-Թ/60|«63),

(/0)7-Թ/0|9օ3),

00:

Թեորեմ: Դիցուք` Լ,-ն Ճ դրական մատրիցով (բոլոր տարրերը դրական են) (ոո) խաղ է, ն տրված են գծային ծրագրման(5.9) ն (5.10) երկու երկակիխնդիրները:Այդ դեպքումճշմարիտեն հետնյալ պնդումները. լ. Գծային ծրագրման երկու խնդիրներն էլ ունեն լուծում («Չն 7» ), ընդ որում՝ 0-ոոոչս

Հ ՈՅւՖԽ:

Լր խաղի մ" արժեքըհավասար է ՄՀ 1/6,իսկ Հյ/0, 7 Հ)/0

վարվելակերպերըլավագույն են, որտեղ (5.9) ուղիղ խնդրի լուծումը 4-6 2: է, իսկ (5.10) երկակիխնդրիլուծումը 76 Մ է: 3. Խաղացողների ցանկացած 6` ն 7-6Ր լավագույն վարվելակերպերըկարող են կառուցվել նշված եղանակով,այսինքն` 5` -ՈԱ/6)3.,Ր -Ա/Ց)Մ: Ապացուցում: 1

ն 2

պնդումները, ինչպես

նան

(/0)242,

(/0)7 "Ր

ճներառումները անմիջապես հետնում են 5. | կետի թեռրեմիապացուցումից: Ցույց տանք հակառակ ներառումը:Դրա համար դիտարկենք Հ (է...ծո)ն 2Հծլ..., վեկտորները,որտեղ 2 Օ:՞: Այդ դեպքում բոլոր յ: Վ համար ունենք` 38) «0. 1, -

5/Հ011/0)-

Սատրիցայինխաղեր

ընդ որում 250, քանի որ 0»0 ն չ"20:Ուստի 4-ը (5.9) խնդրի թույլատրելի լուծումն է: Հաշվենք նպատակայինֆունկցիայիարժեքը՝

Ա-Թս-

ոլոԱ,

այսինքն` 6 26 վեկտորը (5.9) խնդրիլավագույն լուծումն է: Համանմանորենապացուցվումէ

ՀՐ ՇԱ/Մ

ներառումը: Թեորեմն ապացուցվածէ:

Խաղի արժեքի ն լավագույն վարվելակերպերի հատկությունները Դիտարկենք լավագույն

վարվելակերպերի հատկությունները, դեպքերում օգնում են գտնելու խաղի արժեքը ն հավասարակշռությանիրավիճակները: որնէ իրավիճակ է 1 Դիցուք0̀:,7/)-ըխառը վարվելակերպերով խաղում (2,7 )22»4): Պարզվում է, որ («,7) իրավիճակի հավասարակշռությունը ստուգելու համար բավարար է (4.7) անհավասարությունն ստուգել ոչ թե բոլոր «62: ն 767-ների համար, այլ միայն 631 ն յ-ի համար, քանի ռր ճիշա է հետնյալ պնդումը. Թեորեմ: Որպեսզի (23) իրավիճակըԼ, խաղում հավասարակշռված լինի, իսկ «ՀԱ(.,7) թիվը լինի Ր, խաղի արժեքը, անհրաժեշտ է ն բավարար հետնյալ անհավասարություններիճշմարտությունը՝ (6.1) ԱՆԱՀ ՈՒՀ: Ն) բոլոր 1Հ հ1ն յ« ԻԷԼերի համար: Ապացուցում: Անհրաժեշտություն:Դիցուք՝ (2. ,7 )-ը հավասարակշռության իրավիճակնէ ԼՐ, խաղում: Այդ դեպքում՝

Ն ԱԱԱՀ:ԵՖՈՒՀ: 23)

բոլոր 2624 ն 767 համար: Հետնաբար, մասնավորապես, աճ 2Ճն Մ համար ունենք՝ ԻՇ.) ԼԸ, ) Էս» ) Հ ԷՇ 7 ) ՀԱՇ, ԽԼն բոլոր յ: Վ,համար: Բավարարություն: Դիցուք՝ 0: ,) )-ը խառը վարվելակերպերիզույգ է, որի համար կատարվում են (6.1) անհավասարությունները:Դիցուք` նան, 2-(ծլ,....ծ0յճՃ ն 7-(դ.,....ղ)օՅՎ վեկտորները համապատասխանաբար առաջին ն երկրորդխաղացողներիկամայական վարվելակերպերնեն: (6.1) առաջին ն երկրորդ անհավասարությունները բազմապատկելովհամապատասխանաբարձ.-ովն դյ-ովն գումարելովստանում ենք՝ 6.1.

որոնք մի

շարք

ւ.

Խաղի արժեքի ն լավագույն վարվելակերպերիհատկությունները

3/1

(62) ԱՆ.)Ա6Ն356ԷՐ"), 9ՀԻՇ՞,) ՏԱԼԸ", Չֆո-ՒՐՐ,73)» (6.3) -

ընդ որում ունենք՝

3) 4116,

ջու.

(64)

-ՑՇՐ.3):

(65)

(6.4) ն (6.5) տեղադրելով արտահայտություններըհամապատասխամեջ ն հաշվի առնելով 262. ն նաբար (6.2) ն (6.3) անհավասաըրությունների ստանում ենք 3) իրավիվարվելակերպերիկամայական լինելը,

ճակի հավասարակշռությունը: Հետնանք1: Դիցուք՝ (1-.)")զույգը հավասարակշռությանիրավիճակ է Ր, խաղում: Այս դեպքում (1.յ") իրավիճակը հավասարակշոված է նան ը,

խաղում: Օրինակ 5: (Շեղման խնդրի լուծումը): Ենթադրվում է, որ խաղացողներն ընտրում են մ ն ) ամբողջ թվերը 1-ի ն ո-ի միջն, իսկ առաջին |սաղահեռավորությունը: ցողը շահում է Օչ-ի-յի այսինքն| ն.յ թվերի միջն եղած Դիցուք` առաջին խաղացողն ընտրում է 2 ՞Ռ/20....,0,1/2) վարվելակերպը:Այդ ո-1/2 ՒՐ.) Մ2(-յ) - 1/21-յ ԷՍ2լո-)|Հ- 20-17

դեպքում`

բոլոր

1ՀյՀո-երիհամար:

խաղացողն ա) Դիցուք` ո-2:Ւ1 թիվը կենտ է: Այդ դեպքում երկրորդ ունի )`-(ոՒ1)/2-ԽՒ1 մաքուր վարվելակերպայնպիսին, որ՝

1Ճ-Թ-)/2 Յյ"Հ ի-(ո`1)/2|Հի- ԷԵ 1--1,2,...,ո-երի համար: բոլոր բ) Ենթադրենք, որ ոՀշի թիվը զույգ է: Այդ դեպքում երկրորդ խաղացողն ունի այնպիսի 7 "-(0,0,...,1/2,1/2,0.....0) վարվելակերպ, որտեղ դ -1/2, ու, -1/2, ղյ-0, յ«ԷԷ1, յ»Է, որ ԷԼԸ,)Ր) 1/2ի-ՔԷ1/2ի-8-1| Հ 1/26--1/2(-- 1) (ո-1)/2 Հ

1ՀՏւՀո-երի համար: Այժմ, օգտագործելով թեորեմը,դժվար չէ համոզվել, որ խաղի արժեքը ւ է, հավասար է Ճ-(ո-1)/2, առաջին խաղացողի լավագույն վարվելակերպը իսկ երկրորդ խաղացողի լավագույն վարվելակերպըհավասար յ՞-ի, եթե ո-2իԻ1,ն7՝-ի, եթե ո-2է: մի շարք արդյունքներ, որոնք 6.1 կետի թեռրեմի անմիջական հետնանքներնեն: բոլոր

Բերենք

Սատրիցայինխաղեր

Թեորեմ: Դիցուք` Լ-ն (տչո) խաղ է: Որպեսզի 5", 5 խառը վարվելակերպով իրավիճակը հավասարակշիռլինի Լ, խաղում, անհրաժեշտ է ն

բավարար,որ՝

ու». ԷԼ. 7)-

ոլոՒՇ`,:

(6.6)

Ապացուցում: Անհրաժեշտություն: Եթե («-3Ր) իրավիճակըհավասարակշռությանիրավիճակէ, ապա (6.1) կետի թեորեմիհամաձայն` 11(,7) ՀԱԶ,7)ՀԱՆ,) բոլդը 16 (1,...,ո), )6 Լ1.....ո)-երի համար: Ուստի` 11,7: ) ՀԱՇ, յ) ցանկացած 1-ին յ-ի համար: Ենթադրենքհակառակը, այսինքն՝ որ (6.6)-ը չի կատարվում:Այդ դեպքում՝

ոո» 10,7 )Հ ռտԱՃ,):

Հետնաբար,ճիշտ են հետնյալ անհավասարությունները.

տամ3(.7`)Հ - էծ:ՒՐ.»՞) ուրԷլ", շոՒԼ.) 2:23

ԷՐ.) Հ

լա

Ստացված հակասություննապացուցում է թեռրեմի պնդման անհրա-

ժեշտությունը: Բավարարություն:Դիցուք` (2,7) խառը վարվելակերպերիզույգն այնպիսին է,

որ տո

ԷԼ, 7) Հ ոոԷԼ. )):

Ցույց տանք,

որ այս

դեպքում (2,7)

իրավվիճակըհավասարակշռությանիրավիճակէ Լ խաղում: Ճշմարիտ են հետնյալ առնչությունները. ո

ուտ

Ուստի ունենք`

Ւ(,7)

բոլոր

- չոԻՇ.) -

Հ ոու

ԷԼԸ,))

Հոու ԷԸ,)): 2ՀԱԱ,

Ի(.))-

Է.)

1Հւ:Հտ-երին 1ՀյՀո-երի համար ն,

ոոՒԷԼ(.,) ըստ

6.1

ՀԼ.

ԷԼՑ.))

կետի թեռրեմի, (2,7)-ը

հավասարակշռությանիրավիճակէ Լ խաղում: Ապացուցումիցհետնում (6.6)-ի թվերիցյուրաքանչյուրըհավա-սարէ խաղի արժեքին:

է,

որ

6.3. Թեռրեմ:

Լ,

մատրիցայինխաղի համար ճիշտ

չությունները.

ոո

ոո ՝

ՒԼ(:, յ)

Հ մո

Հոմո

ոչ :

ԷԼԸ,7)

են

հետնյալ առըն-

(6.7

Ընդ որում (6.7)-ի էքստրեմումներըըստ 2 ն 7 խառը վարվելակերպերի վրա: հասանելի են խաղացողներիլավագույն վարվելակերպերի

Խաղի արժեքի ն լավագույն վարվելակերպերիհատկությունները

Սույն թեռրեմը 3.4 ն 6.2 կետերի թեորեմների հետնանքն է, ն դրա ապացուցումըթողնումենք ընթերցողին: 6.4. Թեորեմ: խաղումխաղացողներիլավագույն խառը 1՞չմատրիցային են: 2«՝ն 7` բազմություններըուռուցիկ վարվելակերպերի բազմանիստներ 6.1. կետի թեռրեմիհամաձայն2-՞բազմությունը անհաԱպացուցում: վասարումներիհետնյալ համակարգի բոլոր լուծումներիբազմություննէ՝ ԱՄ, յ6 ՒՆ ճս-1,

որտեղ ս-(.,....1)

ՀԽ", «ո-ն խաղի

բազմանիստ բազմություն

է: Այսպիսով, 2-ը արժեքն

է: Մյուս կողմից, 2: 22-ը սահմանափակ է:

մաճնիստէ: Ուստի ուռուցիկբազմանիստէ: Համանմանորենապացուցվում է, 6.5.

ուռուցիկ ուռուցիկ բազլթ.4որտեղ 24-ը Հետնաբար, Ճ բազմությունը

ուռուցիկ բազմանիստէ: Մ՞-ը

որ

Որպես 6.3 կետի թեռրեմիօրինակ, բերենքայն խաղերի երկրաչա-

փական լուծումը, որտեղ խաղացողներիցմեկն ունի երկու մաքուր վարվելակերպ ((2»«ո) ն (տո) խաղեր): Գրականության մեջ այդպիսի մոտեցումը ճան անվանում են խաղերի լուծման գրաֆավերլուծականեղանակ: Գրաֆավերլուծականեղանակներիհիմքում ընկած է այն, որ ՈՅ Մո ոլո Լ(Հ, յ) տո ոչ ԼԸ, )) -

հավասարության արտաքին էքստրեմումները հասանելի են լավագույն վարվելակերպերիվրա: Օրինակ 6: ((2»«ո)խաղ): Դիտարկենք մի խաղ, որտեղ առաջին խաղացողն ունի երկու վարվելակերպ,իսկ երկրորդ խաղացողը՝ ո հատ վարվելակերպ: Մատրիցնունի հետնյալ տեսքը՝ Ճյլ

Յշշ

ՃՀ-

՛"

Ճշո

Դիցուք` առաջին խաղացողն ընտրել է -(ծ,1-ծ) խառր վարվելակերպը, իսկ երկրորդխաղացողը՝յՀ Վ մաքուր վարվելակերպը: Այդ դեպքում առաջին խաղացողիշահումը (ո.)) իրավիճակում հավասար է՝ (6.8) ՒՐՀ))- ծայ -ծ)օ2յ: Երկրաչափորենսա ուղիղ գիծ է (Հ,էը կռորդինատներում:Այդպիսով, յուրաքանչյուր) մաքուր վարվելակերպինհամապատասխանում է իր ուղիղը:

Ւ(:)

ոո յ

էՈ.))

ֆունկցիայիգրաֆիկը (6.8) ուղիղների ընտանիքիստորին ընդգրկողն է: Այդ ֆունկցիան գոգավոր է` որպես գոգավոր (տվյալ դեպքում` գծային) ֆունկցիաների ստորին ընդգրկող: Այն Հ՝ կետը, ռրտեղ 11(ծ)ֆունկցիան իրմաք(է, 1-6) սիմումին է հասնում ըստ Հճ (0,1), ն տալիս է պահանջվող 2 -

լավագույն լուծումը ն

Մյ-

Խ(Ր)խաղի արժեքը:

Սատրիցայինխաղեր

Որոշակիությանհամարդիտարկենք Ճ

-ն ) 11314

լ 4

մատրիցովխաղը: Յուրաքանչյուր )-1.2,3,4-ի համար ունենք. էԼ(.,1)--Հ-Է2, Ւ(.2)-2231, Է0.3)--354, Ա0Ն4)-46:16.)) ուղիղների ընտանիքի ընդԳգըրկող, ինչպես ճան իրենք` Է(..), )-1,2,3,4 ուղիղներըպատկերվածեն 1-ին գծանկարում: 8(Հ) ֆունկցիայի ԷԼ(Հ՞)մաքսիմումը գտնվում է առաջին ն չորրորդ ուղիների հատման կետում: Այսպիսով,Հ՝-ը հետնյալ հավասարման լուծումն է՝

44" -Հ

Կլ:

Գծ.

Այստեղ ստանում ենք առաջին խաղացողի չ -(2/5,3/5) լավագույն վարվելակերպը ն խաղի արժեքը՝ «.-8/5: Երկրորդ խաղացողի լավագույն վարվելակերպը գիտենք հետնյալ ճկատառումներից:Նկատենք, որ դիտարկվող դեպքում՝ Է(2,1)-ԷԼԸ 4)-Կ4-8/5:

Լավագույն

-(դլ.դ,,դյ,դ,)

վարվելակերպիհամար պետք է բավա-

րարվի

ԷՇ 2) դ, Բ :3)Է դ,ԷՇ 4)

ԷՐՆ»)Հ- դ ԷՇՆ Իդ,

հետնաբար`դ,, դ:-0, հավասարությունը:Ընդ որում` Ս.-,2)»8/5,ԷՐ: 3)»8/5, ւՆ

իսկ

7/ -ը, դ.-ը կարելի է գտնել (6.1) պայմանից՝ դէ 4ղ: 8/5, 2ղ. 8/5: -

Այսպիսով,

դ,4/5

դւ-1/5 ն

երկրորդխաղացողիլավագույն վարվե-

Լ/5): լակերպը հավասար է` 7-«(4/5,0,0,

Խաղի արժեքի ն լավագույն վարվելակերպերիհատկությունները

Օրինակ 7: ((ո»2) խաղ): Այս օրինակում երկրորդխաղացողն ունի երկու մաքուր վարվելակերպ,իսկ առաջին խաղացողը՝ ո հատ մաքուր վարվելակերպ:Ուստի Ճ մատրիցըկունենահետնյալ տեսքը. Ձ

ՃՀԼՀ.

1ոլ 12

Այս խաղի վերլուծություն կատարվում է համամասնորեն: Իրոք, դիցուք` 7-(ղ,1-ղ)-ն երկրորդ խաղացողի կամայական խառը վարվելակերպն է: Այդ դեպքում, առաջին խաղացողի շահումը (Ն) իրավիճակում հավասարըէ՝

ԷԼ») (Հ-Գշ)դ62: Գյո Օ2Ա-դ) 10,7) ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է: Դիտարկենք վերինընդգրկողը,այսինքն` ԷԼ(7)-ճշյդՒյչ) Հ

ուղիղների

այդ

ոճչլ(.յ

ֆունկցիան: Է(դ) ֆունկցիան ուռուցիկ ֆունկցիա է (որպես ուռուցիկ ֆունկցիաներիընտանիքի վերին ընդգրկող): 11(դ) ֆունկցիայի մինիմումիդ կետը տալիս է 7 -(դ,Լ-դ ) լավագույն վարվելակերպըն խաղի արժեքը` ռո էԼ(ղ):

ԿՈՏ Ա(դ )

ՈԼ

ո6լ0.11

6.6. Բերենք մի արդյունք, որն օգտակար է խաղի լուծումը փնտրելիս:

Թեորեմ: Դիցուք՝ վարվելակերպերնեն

-(ծլ....ծ.)

ր,

խաղում

--(ոյ....ղ.

) վեկտորներըլավագույն

"ո-ն խաղի արժեքն է: Այդ դեպքում,

ցանկացած .-ի համար, որի դեպքում 10,7)Հ

Մո,

ճիշտ է

թյունը, իսկ ցանկացած )-ի դեպքում, որի համար

ծ՛-

հավասարու-

ՄՀԱՐՀ,)), ճիշտ

ղ.-

հավասարությունը:

Ընդհակառակը, եթե

ԱՐՀ -

ծ՛»0,

11(,)-)-Կո, իսկ եթե դ՛»0, ապա

ապա

«ո:

Ապացուցում: Ենթադրենք, որ որնէ 16 ԽԼի համար` ԱԿԽՄ)ՀԿո, ընդ

որումծ.

Հ.

Այղ դեպքում ստանում

ենք, որ

Ւ(,3-)6.,, 2 Հ

Բոլոր 16 հ1-երի համար ԱՆ,

ուստի` )ՀՄ»,

ԱՐ)6

ՀԿո ծ:

)ՀԿո,ինչը հակասում է այն հանգամանքին, որ «յ-ն խաղի արժեքն է: Թեորեմի երկրորդ մասն ապացուցվումէ համանմանորեն:

ԷԼ, Հետնաբար,

Սատրիցայինխաղեր

Սահմանում: Առաջին (երկրորդ) խաղացողի16հ/(յ6 ԻՑմաքուր վարվելակերպը կոչվում է էական կամ գռրծուն վարվելակերպ,եթե գոյություն ունի

-(ծրծո)0Հ

(դլ,

)) լավագույն վարվելակերպ,որի համար

ձ'»0

(դ)`»0): Այս սահմանումիցն վերջին թեորեմիցհետնում է, որ Լ, խաղում առացանկացած 1 էական վարվելակերպին երկրորդխաղացողի ջինխաղացողի 7 67 լավագույն վարվելակերպիհամար`

Է»)

Համանման

-8.

Հո:

հավասարությունը ճիշտ է

ցանկախաղացողի երկրորդ

Վնառաջինխադացողիցանկացած «` ցած էական յճ վելակերպիհամար՝

ԱՇ)

ոոՀ

լավագույն վար-

սր:

Եթե 16 հ/ մաքուրվարվելակերպին 767 խառըվարվելակերպիհամար ճիշտ է Յյ-"ո, ապա ասում են, որ չ վարվելակերպը7 խառըվարվելակերպը հավասարակշռում է ԼՐ խաղում: Այսպիսով, թեռրեմը կարելի է վերաձնակերպելհետնյալ կերպ: Եթե խաղացողիմաքուրվարվելակերպըէական է, ապա այն հավասարակշռումէ հակառակորդիցանկացածլավագույն վարվելակերպը: է Լավագույն վարվելակերպի սպեկտրի իմացությունը պարզեցնում խաղի լուծումը գտնելը: Իրոք, դիցուք՝ Խն,.-ր առաջին խաղացողի` օպտիմալ վարվելակերպիսպեկտրնէ: Այդ դեպքում երկրորդխաղացողի յուրաքանչյուր

(դ...

վարարում են

դ: ) լավագույն վարվելակերպըն խաղի մ արժեքը բա-

հետնյալ համակարգին. անհավասարությունների

ձ:,Հ.

զ, 1.

Խ(Լ,«,

1ՇԽՈԽՆ»,

«1, ղյ Հ0,)օ1Ն չ,դյ ԷԼ

Ընդ որում ցանկացած2` լավագույն վարվելակերպիհ.» սպեկտրիմեջ կարող են պատկանելմիայն էական վարվելակերպերը: 7.

Վարվելակերպերիգերակայություն

Սատրիցային խաղի լուծման բարդություննաճում է Ճ մատրիցիչափսերն աճելու հեւո մեկտեղ:Բացի այդ, մի շարք դեպքերումշահումներիմատրիցի վերլուծությունըթույլ է տալիսեզրակացնել,որ որոշ մաքուր վարվելակերսպեկտրին:Դա հանգեցնումէ պեր չեն պատկանումլավագույնվարվելակերպի ավելիփոքրչափսերիմատրիցով: սկզբնականմատրիցիփոխարինմանը

7.1. Սահմանում:

խաղացողի7՛

գերակայություն Վարվելակերպերի

խաղում առավարվելակերպին, եթե )6 41....,ո)-երը մաքուր վարվելակերպերիհամար

Ասում

են, որ Լլ, մատրիցային (տո)

վարվելակերպը գերակայում է ո՛

ջին երկրորդխաղացողիբոլոր բավարարումեն

"22 2) (7.1) անհավասարություններին: Համանմանորեն,երկրորդխաղացողի7՛ վարվելակերպըիր 7՛ վարվելակերպին գերակայում է, եթե առաջին խաղացողի բոլոր 186(Լ....ո)-երի մաքուր վարվելակերպերիհամար՝ (7.2) 17Տ 87-: Եթե (7.1), (7.2) անհավասարություններըկատարվում են որպես խիստ անհավասարություններ,ապա խոսում են խիստ գերակայության մասին: Վարվելակերպերիգերակայության մասնավոր դեսյքը դրանց համարժեքությունն է: Սահմանում: Առաջին խաղացողի2 ն «՛ վարվելակերպերը համարժեք ն ճշանաանվանենք Լ, խաղում, եթե բոլոր )6 (1.....ո)-երի համար՝ 2-2 կենք 2՛-չ՛: Երկու համարժեք 2՛ ն :՛ վարվելակերպերիհամար (յուրաքանչյուր 76 Մ-ի համար)` Ւ2.,7)- 1,7): Համանմանորեն,երկրորդ խաղացողի 7՛ ն 7՛ վարվելակերպերը(7-77 Ր խաղում համարժեք են, եթե բոլոր 16 է1...., ո)-երի համար՝ 788: Այստեղից ունենք, որ առաջին խաղացողի ցանկացած «62 խառը վարվելակերպիհամար՝ ՒԼ(Ը,73) ԱՇ.,»73: Մաքուր վարվելակերպերի համար մուծված սահմանումները ձնափոխվում են հետնյալ կերպ. եթե առաջին խադացողի մաքուր՝ 1 վարվելակերպը գերակայում է 1՛ վարվելակերպին,իսկ երկրորդխաղացողի )՛ մաքուր վարվելակերպը՝նույն խաղացողի յ՛ վարվելակերպին,ապա բոլոր :-1,...,ո, յ-Լ....ո-երի համար՝ ՆԽ Տ: Դա կարելի է վեկտորական տեսքովգրել հետնյալ կերսլ. Թ -

Վարվելակերպերի 1,

յ, յ՛ զույգերի համարժեքությունը (1-1, )-)Դ) 2-2 Սահմանում: Առաջին (երկրորդ) խաղացողի 2՛(7՛) վարվելակերպըկասենք, որ գերակայող է, եթե գոյություն ունի այդ խաղացողի 227577) վարվելակերպ,որը գերակայում է «՛(7՛) վարվելակերպին: Հակառակ դեպքում, (5) վարվելակերպը ոչ գերակայվող է:

նշանակում է 3.

2 հավասարություններիկատարում:

Սատրիցայինխաղեր

Համանմանորեն, առաջին (երկրորդ)խաղացողի2՞ (համապատասխանաբար, 5՛) վարվելակերպըկոչվում է խիստ գերակայվող, եթե գոյություն ունի այդ խաղացողիայնպիսի 27) վարվելակերպ, որը խիստ գերակայումէ 557) վարվելակերպին,այսինքն` բոլոր յ- 1,ո(ՀԼ.

)-երի համար՝

«Հ 2-2,Յ7՛Հ Յ7՞: Հակառակ դեպքում կասենք, որ առաջին (երկրորդ) խաղացողի 2՛(77 վարվելակերպերըխիստ գերակայվող չեն: Ցույց տանք, որ խաղացողները կարող են չօգտագործել գերակըշռվող վարվելակերպերը:Այդ փաստը հաստատում է հետնյալ պնդումը: Թեորեմ: Եթե Ր, խաղում խաղացողներիցմեկի շ՛ վարվելակերպըգերակշռում է 3 լավագույն վարվելակերպին,ապա 2՛ վարվելակերպընույնպես լավագույն է: Ապացուցում: Դիցուք` որոշակիության համար, «2-ը ն «-ը առաջին խաղացողի վարվելակերպերնեն: Այդ գերակայությանշնորհիվ` 7.2.

2Հա

բոլոր

դեպքում

յՀ 1,ո-երի համար: Այստեղից չ

շնորհիվ (տե՛ս 6.3

վարվելակերպի լավագույն լինելու

ենք՝ կետը) բոլոր )՞ Լոստանում Խչ

Հոու

-ոոչ2

Հոու յ

)

Հմյ

նույնպեսլավագույնէ: Ուստի,6.3 կետիթեորեմիհամաձայն,շ՛ վարվելակերպը Այսպիսով, լավագույն վարվելակերպը կարող է գերակայվել միայն լավագույն վարվելակերպով:Մյուս կողմից, ոչ մի լավագույն վարվելակերպ խիստ գերակայվող չէ, ուստի խաղացողներըչպետք է օգտագործենխիստ գերակայվողվարվելակերպեր: Թեռրեմ: Եթե Ր, խաղում խաղացողներիցորնէ մեկի Հ» վարվելա:

կերպըլավագույն է, ապա »՝-ըխիստ գերակայվողչէ: 2 -ը առաջին խաղացոԱպացուցում:Դիցուք՝ որոշակիությանհամար, Ճ է: ղի լավագույն վարվելակերպն Ենթադրենք, որ -ը խիստ գերակայվողէ, այսինքն՝ գոյություն ունի այնպիսի 2՛6 Ճ վարվելակերպ,որ 21)» 21), ՐՆ2,...ը:

Որտեղից՝

ուղ) )

ոլո»53: )

Սակայն, 2-24 վարվելակերպիլավագույնլինելու շնորհիվ ճիշտ է

ոլո ո ՅՀ

հավասարությունը:Ուստի ճիշտ է Ոշ Ճ

ինչը հակասում է նրան,

որ

Սղ

հետնյալ խիստ աճհավասարությունը՝

ոլո

2)» Մ,,

"ո-ն խաղի արժեքն է (կետ 6.3): Ստացված

Վարվելակերպերի գերակայություն

հակասությունըապացուցում է թեորեմը: Պարզ է, որ հակառակ պնդումը ընդհանուրառմամբճիշտ չէ: Այդպես,

թ3)

մատրիցով խաղում առաջին խաղացողի առաջին ն երկրորդ մաքուր վարվելակերպերըխիստ գերակայվողչեն, սակայն դրանք լավագույն չեն: Մյուս կողմից, ներըմբռնորենհասկանալի է, որ եթե Ճ մատրիցի 1-րդ տողը (յ)-րդ սյունակը) գերակայվող է, ապա անհրաժեշտություն չկա դրան տալու դրական հավանականություն: Այսպիսով, լավագույն վարվելակերպերը գտնելու համար Լո խաղի փոխարեն բավական է լուծել Րչ. ենթախաղը, որտեղ Ճ՛--ըմատրից է, որը ստացվում է Ճ մատրիցիցջնջելով գերակայվող տողերը ն սյունակները: Այս արդյունքի ճշգրիտ ձնակերպմանը ն ապացուցմաննանցնելուց առաջ, մուծենք «օւ խառը վարվելակերպիընդլայնռւմ 1,-րդտեղում» հասկացությունը:Եթե 2-(էյ,....Հո)ծԿ ն ԼԳՀոՒԼ, ապա րդ տեղում « վարվելակերպի ընդլայնում կանվանենք 4, «(Հ.....,Շ..0.ծ»....ձո) վեկտորը: Այսպես, երկրորդ տեղում (1/3,2/3,1/3)վեկտորի ընդլայնումը(1/3,0,2/3,1/3) վեկտորն է, չորրորդ տեղում՝(1/3,2/3,2/3,0)վեկտորնէ, առաջինտեղում՝(0,1/3,2/3,1/3)վեկտորը:

Թեորեմ: Դիցուք՝Լ,.-ն (ռտ) խաղ է: Ենթադրենք,որ /ՃՃմատրիցի:-րդ գերակայվող է (այսինքն՝ գերակայվողէ առաջին խաղացողի 1-րդմաՃ՛ մատրցով խաղ է, որն ստացվում է քուր վարվելակերպը) ն դիցուք՝ Լ-ն Ճ-ից 1-րդտողը ջնջելով: Այդ դեպքումճիշտ են հետնյալ պնդումները. 7.3.

տողը

լ, ՍՀ

Դր:

Րր. խաղում երկրորդ խաղացողի ցանկացած լակերպ լավագույն է նան Ր, խաղում: 2.

»՝ լավագույն վարվե-

Եթե 5-ը առաջին խաղացոդի կամայական լավագույն վարվելակերպն է Ը. խաղում ն 2-ը 3 վարվելակերպիընդլայնումն է ւ-րդ տեղում, 3.

8, -ը

ապա

այդ

Եթե

խաղացողի լավագույն վարվելակերպն է Ր, խաղում:

մատրիցի 1-րդ տողը խիստ գերակայվող է,

ապա

առաջին

խաղացողիկամայական 4` լավագույնվարվելակերպըԷ, խաղում կարող է ստացվել Ր,. խաղի որնէ Հ" լավագույն վարվելակերպից՝ 1-րդտեղում ընդլայնելով: Ապացուցում: Ընդհանրությունը չխախտելով, կարելի Է ենթադրել, որ գերակայվողը վերջին` տ-րդ տողն է: Դիցուք` 2-(ձյ,....Հո)-ր խառր վարվելակերպն է, որը գերակայում է տ-րդ տողը: Նթե ծո-0, ապա գերակայության պայմանից բոլոր յ-1,2,...,ո-երի համար ստանում ենք՝ ո

ֆՀու

Հո» ֆեո,

Սատրիցայինխաղեր

Տ:

ՀԼ, Հ»0, -Լ..յո-1:

Պոլ

(13)

2-(ծլ..ծռ ) վեկտորը,որտեղ՝ դիտարկենք

Հակառակդեպքում (ծո»0)

աղարիչուն

Վեկտորի

բացասական են (Հ/ 20, :-1,...,ո):

ոչ

համար

կողմից, բոլոր )-1,...,ո-երի

ունենք`

Մյուս

Ըզշենւյալքն:

կամ

բզֆետաբնե:

Հաշվի առնելով

սատնում

ռ-լ

ռտ-1

2.61

ՀՅ

տ-1

ենք՝

ել,

(7.5)

՞Լ...ո,

-1....յո-1: -1,8:20,

Այդպիսով, ո-րդ տողի գերակայվող լինելուց միշտ հետնում է, որ այն չի գերազանցումմնացած տ--| տողերի ուռուցիկ գծային համակցությանը: )62(1,:) զույգը հավասարակշռության իրավիճակ է Լ, Դիցուք` խաղում, »

(2.

-(ծյ...ծա), 7 Հ«(դւ.-.ղւ): Թեորեմի 1-ին, 2-րդ, 3-րդ պնդումներն

ապացուցելու համար բավական է ապացուցել, որ ը

շող,

ՀՆ.

Ռ-1

Հշո6 30-ոյ

(7.6)

-1....ո-երի համար: Առաջին հավասարություննակներնէ, իսկ Րճ: խաղում (7`) կերպերիլավագույնլինելուց հետնում են

բոլոր 1Հ1,...,ո,

ո-)

շու

Հո

Հ0-4յ» Հշուէ՝

11.....ո-1,

-1....ռ

վարվելա(7.7

»-

անհավասարությունները:(7.7)-ից ակնհայտորեն հետնում է (7.6) անհավասարություններիցաջը: Ապացուցենք ձախ անհավասարությունը:Դրա համար բավական է ցույց տալ, որ՝ Հ. Ֆուդ)

(7.3)

ստանում (7.5) անհավասաըրություններից

ենք՝

ՊՈԵՎ,,,.

ՈՀՄ,,,

Հոն: շող)Հ»,շաատ. -

յՀ)».

Մր

ապացուցում է թեռրեմիառաջին մասը: Թեորեմի երկրորդմասը (4-րդ պնդումը) ապացուցելու համար բավական է նկատել, որ ո-րդ տողի խիստ գերակայվող լինելու դեպքում (7.3) ն (7.5) անհավասարություններըկատարվում են ռրպես խիստ անհավասաորը ն

րություններ բոլոր յՀ 1,ո -երի համար: Ուստի՝ ը

Ո-1

շող)ՀՀշ8:եմյ

չկր:

Այդ դեպքում 6.6 կետի թեռրեմից ստանում ենք, որ Ր, խաղում առաջին խաղացողի ցանկացած լավագույն վարվելակերպի տ-րդ բաղադրիչը հավասար է զրոյի: Թեռրեմն ապացուցվածէ: Ձնակերպենքերկրորդխաղացողի վարվելակերպերիմասին թեռրեմը, որի ապացուցումը բաց ենք թողնում: Թեորեմ: Դիցուք՝ Րո-0 (ոո) խաղ է: Ենթադրենք, որ Ճ մատրիցիյ-րդ սյունակը գերակայվող է, ն դիցուք՝ Լ,-ը Ճ՛ մատրիցով խաղ է, որն ստացվում է Ճ-ից )-րդ սյունակը ջնջելով: Այդ դեպքում ճիշտ են հետնյալ պնդում-

ները.

1. Մ-

Պ/-:

Առաջին խաղացողի ցանկացած »` լավագույն վարվելակերպը Լ,: է նան Ր, խաղում: խաղումլավագույն 3. Եթե 7 -ը երկրորդ խաղացողի կամայական լավագույն վարվելա2.

կերպն ապա

է Ր,.

խադում, ն

37-ը7՝ վարվելակերպիընդլայնումն է )-րդ

տեղում,

վարվելակերպըերկրորդխաղացողի լավագույն վարվելակերպնէ

Ր, խաղում: 4. Եթե Ճ մատրիցիյ-րդ սյունակր խիստ գերակայվող է, ղում երկրորդ խաղացողի կամայական

ապա

1, խա-

7՝ լավագույն վարվելակերպը կա-

ստացվել Ր,։ խաղի որնէ )՝ լավագույն վարվելակերպից՝)-րդ տեդում ընդլայնելով: 7.4. Հանրագումարի բերենք ստացված արդյունքները: 7.3. կետի թեռրեմներր տալիս են խաղի մատրիցիչափսերի նվազեցման ալգորիթմը: Այդպիսով,եթե մատրիցիորնէ տող (սյունակ) մեծ (փոքր) չէ այդ մատրիցի մնացած տողերի (սյունակների) որնէ ուռուցիկ գծային համակցությունից, ապա խաղի լուծումը գտնելու համար այդ տողը (սյունակը) կարելի է ջնջել: Ընդ որում հատյալ մատրիցով խաղի լավագույն վարվելակերպերի ընդլայնումը կտա սկզբնական խաղի լավագույն լուծումը: Եթե անհավասարությունները խիստ էին, ապա սկզբնական խաղի լավագույն վարվելակերպերի բազմությունը կարելի է ստանալ հատյալ խաղի լավագույն վարրող է

Սատրիցայինխաղեր

վելակերպերի բազմության ընդլայնումով, հակառակ դեպքում այդսպլիսի գործընթաց կիրառելիս լավագույն վարվելակերպերը կարելի է կորցնել: Տվյալ թեռրեմներիկիրառումըբացատրենք օրինակով: Օրինակ 7: Դիտարկվում է Ճ-

մատրիցով խաղը: Քանի որ 3-րդ տողը՝ 85-ը գերակայում է առաջին տողին (85 8յ), ապա, ջնջելռվ առաջին տողը, ստանում ենք՝

ՃլՀ

3120):

Այս մատրիցում3-րդ սյունակը՝ 85-ը, չի գերազանցումառաջին սյունակին՝ 4-ին: Ուստի, ստանում ենք`

Ճշ-5|120:|

Վերջին մատրիցումռչ մի տող (սյունակ) չի գերակայվումայլ տողով (սյունակով): Դրա հետ մեկտեղ 4' առաջին սյունակը գերազանցումէ 82ն 87 սյունակների ուռուցիկ գծային համակցությանը, քանի որ 4 ՀԼ/2 21/2 գ: 3Հ 0՝1/2-Է1/2՝6:Արտաքսելով1-ին սյունա1-1/2՝2-1/2"0, Իրոք, 3»1/2--1/2՝3, կը՝ ստանում ենք 20):

է Այս մատրիցումառաջինտողը համարժեք »«(0,1/2, Ն2) խառը վար3 Հ1/2-0Է1/2"6: 1-1/2՝2-1/2՝0, վելակերպին, քանի որ Այդպիսով, արտաքսելով առաջին տողը, ստանում ենք

մատրիցը: Այս մատրիցովխաղում խաղացողների1` ն ՝ լավագույն վարվելակերպերը հավասար են` 2 ԷՀ) (3/4, 1/4), ըստ որում խաղի արժեքը հավասար է 3/2-ի: Վերջին մատրիցն ստացվել է առաջին մատրիցից երկու տողերը ն սյունակները ջնջելով, ուստի սկզբնական խաղում խաղացողներիլավագույն վարվելակերպերընշված վարվելակերպերիընդլայնումներնեն առաջին ն երկրորդ տեղերում,այսինքն` 2,

Հռ

(00:3/4,1/4):

ծ.

Լիովին խառը ն համաչափխաղեր

Լավագույն վարվելակերպի սպեկտրընիմանալը պարզեցնում է խաղի լուծումը գտնելը: Լավագույն վարվելակերպիսպեկտրին կարող են պատկանալ խաղացողի միայն էական մաքուր վարվելակերպերը: Ընդ որում ոչ մի էական վարվելակերպ խիստ գերակայվող չէ, ինչը անմիջականորեն հետնում է 7-րդ կետի թեռրեմից: 8.1.

Դիտարկենք խաղերի մի դաս, որտեղ սպեկտրն իմանալը բավախաղը լուծելու համար: Սահմանում: Առաջին (երկրորդ) խաղացողի(7) վարվելակերպըկոչվում է լիովին խառը, եթե դրա սպեկտրը բաղկացած է խաղացողի բոլոր մաքուրվարվելակերպերիբազմությունից, այսինքն՝ Խ1,-Իք (ԵՀ-ԻՍ: Հավասարակշռության(2,7 ) իրավիճակըկոչվում է լիովին խառը, եթե ՝ ն ` վարվելակերպերըլիովին խառն են: Ի, խաղը կոչվում է լիովին խառը, եթե այդ խաղում յուրաքանչյուր հավասարակշռությանիրավիճակ լիովին խառն է: Հետնյալ թեռրեմըպնդում է, որ լիովին խառը խաղըունի միակ լուծում: Թեորեմ: 1" լիովին խառը (ոո) խաղը ունի միակ հավասարակշռության իրավիճակն քառակուսի մատրից(ոՀռ): Եթե «չ«0, ապա /Ճ մատրիցը վերածվող չէ, ն սձ-----, (8.1 ) աճ- ս րար է

Ք:

Մլյ------: Տ

Ապացուցում: Դիցուք`

Ճխ ԱՃ

ԱՃս

8.2 62) 8.3 (83)

2՝-(ծր.....է. )624-ը ն »-(դ..,.դւ)6-ը

խա-

ղացողների կամայական լավագույն վարվեակերպերն են, իսկ «ո-ն Ր,-ն0 խաղի արժեքն է: Քանի որ Րո-ն լիովին խաոր խաղ է, ապա --ը ն »-ը են, որոնք (ն միայն դրանք) (6.6) կետի լիովին խառը վարվելակերպեր

ՅԾ

ՀՄյ,«ԱՀ 2»0, յ»|....,ո, ՄԱՏ 1, )»0, 151...,Պ, |,

ոչ

ս-(1.....1)6Ք",

(8.4) (8.5)

Կ-ԱՈ....,1)6Ք՞,

գծային անճհավասարությունների համակարգիլուծումներն են: հետնում են գծային անհավասարությունների Թեռրեմի պնդումները համակարգերինվերաբերողհայտնի արդյունքներից: Հետնյալ թեռրեմիապացուցումը նույնպես թուլնում ենք ընթերցողին:

Սատրիցայինխաղեր

Թեորեմ: Դիցուք՝ 1, (տչո) խաղում Ճ մատրիցըոչ վերածվածէ: Այդ դեպքում, եթե երկրորդ խաղացողըՐ, խաղումունիլիովին խառնլավագույն վարվելակերպ,տպա առաջին խաղացողն ունի միակ , լավագույն վարվելակերպ(8.1): Եթե Լո խաղում առաջին խաղացողն ունի լիովին խառն լավագույն վարվելակերպ,ապա երկրորդ խաղացողն ունի միակ ` լավագույն վարվելակերպ՝(8.2), ընդ որում խաղի 7, արժեքըորոշվում է (8.3)-ով: Օրինակ 8: ((2»2) խաղ): Դիցուք՝ տրված է

ՃՀ|Տո

4շշ

մատրիցով (222) խաղ: Առաջին խաղացողի կամայական 2 խառը վարվելակերպը կարող է գրվել շ-(ծ,1-ծ) տեսքով, որտեղ 0ՀՀՀ1:Համանմանորեն, երկրորդ խաղացողի » խառը վարվելակերպն ունի 7-(դ, 1-դ) տեսքը, որտեղ 0ՀԴՀԼ: (4,7) իրավիճակումշահումը հավասարէ` ՒՐՇ,- ծդ 8շ1-ՈԴՒՄԱ-8 12 ճշ01-ո)ի Այժմ ենթադրենք,որ Լ, խաղում մաքուր վարվելակերպերովհավասարակշռության իրավիճակ չկա (հակառակ դեպքում լուծումը հեշտ է գտնել ն, դիցուք՝չ ն» -(դ»1-դ ն համինիմաքսերի հավասարությունից), ն մապատասխանաբարառաջին երկրորդ խաղացողներիկամայական են: 0:,7) լավագույն վարվելակերպերն իրավիճակը ն Ր, խաղը լիովին են ն խառն (է՞»0 դ՝»0): Հետնաբար, ըստ 8.1 կետի թեռրեմի, խաղում գոյություն ունի լավագույն խառը վարվելակերպերիմիակ զույգ: Այդ վարվելակերպերըհավալուծումն են` սարումների

-Հ..1-8 7-ը

հետնյալ համակարգի ) 821276» 8 ծ-Է(1-Հ-)8ր-Կու դ Որ

8շշ-Կո: 82ծ-Ի(1-4")

8շշ-«ոչ դ ԻԱԼ-ղ")

Կչ»«Օ (երբ, օրինակ, Ճ մատրիցի բոլոր Եթե մենք վստահ ենք, են, դրական ապա այդ անհավասարությունըբավարարվումէ), տարրերը ապա խաղի լուծումը հետնյալն է. որ

Կո

ՀԿՃԱՃ՝,

7 ՀՄդճՃԱ,

որտեղ ս-Ո,1): Այդպես, հեշտ է ստուգել, որ

«9

մատրիցումթամբակետչկա: ՀակադարձՃ- մատրիցըհավասարէ`

Այս խաղի

նյ

հետնյալն աեւ: 13, -Օ, 13), է.

ՀԸ,.2Թ):

ծ.

8.2.

վոր ղաս:

Լիովին խառը

համաչափխաղեր

Հետազոտենմք հատուկ տեսքի մատրիցներովխաղերի մի

մասնա-

Քառակուսի Ճ մատրիցով1", խաղը կոչվում է համաչափ մատրիցըշեղհամաչափ է, այսինքն` եթե 4յ--ոլյ բոլոր 1-երին

Սահմանում:

խաղ, եթե )-երի համար: Այս դեպքում Ճ մատրիցի բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են 0-ի, այսինքն՝ 2-0 բոլոր համար: Շեղհամաչափ Ճ մատրիցի համար միշտ բավարարումէ Ճ 7 պայմանը: Քանի որ Ճ մատրիցըքառակուսային է, ապա խաղացողների խառը վարվելակերպերիբազմություններըհամընկնումեն, այսինքն` Ճ-Ծ՛: Ապացուցենքհամաչափ Լ խաղի լուծման հատկությունների վերաբերյալ մի թեռրեմ, որն օգտակար է հավասարակշռության իրավիճակը փնտրելիս: Թեորեմ: Դիցուք՝ Լ -ն համաչափ խաղ է: Այդ դեպքում` Ճ

երի

ԿՄՀ 0, վարվելակերպերի խաղացողներիլավագույն բազմությունները համընկնում են, այսինքն` 2ՀՊ`:

մատրիցն

է, իսկ «6 Ճ-ը՝ կամայական Ապացուցում: Դիցուք Ճ-ն խաղի «ՀՅ 7--ՄՃ: է: Այդդեպքում` Ուստի24»-0: վարվելակերպ Դիցուք` (4,7 )62(Ճ) հավասարակշոությանիրավիճակն է, իսկ «ո-ն խաղի արժեքն է: Այդ դեպքում`

ՄՈՏԴ Ճ) Հ

7, Մո»

Բոլոր «6 Ճ-ի

76-ի

Ճ)Հ ոճ)

համար: Հետնաբար՝

ՄՈՀ»-Ճ-0, Մ» Ճ) -0:

Այստեղից՝ «չ-0: Դիցուք` «` վարվելակերպը լավագույն է Ր, խաղում: Այդ դեպքում (տ՛ես 6.1 կետի թեորեմը) լ Ճ»0: հետնում է, որ 2 (-Ճ)20, ուստի չ-Ճ ՀՕ:Այսպիսով Սակայն այստեղից ստանում

ենք՝

/ԽՀՕ: Ուրեմն, ըստ այդ նույն 6.1 կետի թեորեմի, »--ը երկրորդ խաղացողի լավագույն վարվելակերպն է: Այսպիսով ապացուցված է, որ «՞ՇՊ՞: Հակաէ համանմանորեն: դակ ներառումը ապացուցվում Հետագայում, 2-7 հավասարման հիման վրա, խոսելով համաչափ խադում խաղացողի լավագույն վարվելակերպիմասին, մենք չենք նշի, թե որ խաղացողիմասին է խոսքը:

Սատրիցայինխաղեր

Օրինակ 9: Լուծենք 0-1

ՃՀ

0-1

մատրիցով խաղը: Դիցուք՝ »--(ծլ.ծշ.ծ:)-ն լավագույն վարվելակերպն Ր խաղում: Այդ դեպքում պետք է բավարարվեն հետնյալ անհավասարությունները՝

ծչ-ծ-0, -ձր ծ: 0,

ծ/-ծ. -0,

էՀ: Ցույց տանք,

(86)

է:20, էՀ0,

ՀԼ

որ այս

էՀ0:

խաղը լիովին խառն է: Իրոք, դիցուք`

դեպքում անհավասարությունների(8.6) համակարգից ստանում տնյալ համակարգը.

-0:

Այդ

ենք

հե-

բացասականլուծում: Համանման դատողություններըցույց

են

ծչ-8:Հ0, ծ: 20,

-ծչ Հ0,

ԵԵ որը

չունի

տալիս

ոչ

ծշ-0 կամ ծ,-0

-ն

Ուստի Ր խաղը լիռվին դեպքերիանհնարինությունը:

խառը խաղ է: Հետնաբար, ծր,ծ,,ծ»բաղադրիչներըհետնյալ համակարգի լուծումն են.

ծչ-ծ: «0,

-ծլՒծչ

Հ0,

ծլ -ձշ-0,

ծ «81 է»Լ

Հջ0, թԼ2:3: Այս համակարգն ունի միակ լուծում: Լավագույն վարվելակերպը

Հ(1/3, 1/3, 1/3) վեկտորնէ:

ՈԱ. ԲԱԶՄԱՔԱՅԼ

ԽԱՂԵՐ

Լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլխաղեր

Լ.1 Առաջին հատորում դիտարկված են բնականոն տեսքով խաղերը: Սկզբունքորեն`նման տեսքի կարելի է բերել դինամիկորեն(այսինքն` ոչ թե ընթացող), ներհակորեն ակնթարթորեն, այլ ինչ-որ Ժամանակահատվածում կառավարվողգործընթացը`մաքուր վարվելակերպհասկացության ձնական տարածության հզորուներմուծումով:Այն դեպքերում,երբ վարվելակերպերի թյունը մեծ չէ ն հնարավոր է գտնելթվային լուծումներ,նման մոտեցումըլիովին ընդունելի է: Սակայն ներհակորեն կառավարվողգործընթացի մասնակիցների լավագույն վարքագծի որոնման խնդիրների մեծ մասում բնականոն տեսքի անցումը,այսինքն`խնդիրը մաքուր վարվելակերպերիռ̀րպես տարածության տարրերի,միապատիկընտրությանհանգեցնելը,լուծումներգտնելու արդյունավետեղանակ չի ընձեռում,թեն հնարավորությունէ տալիս ակնբախորենպատկերելօպտիմացմանայս կամ այն սկզբունքը: Մի շարք դեպքերում բնականոն տեսքով խաղերի համար լուծումների գոյության ընդհանուր թեռրեմները հնարավորություն չեն տալիս գտնելու կամ նույնիսկ մասնավորեցնելուլավագույն վարքագիծն այն խաղերում, որոնց բնականոնացումըդրանք են: Ինչպես ցույց կտրվի ստորն, «շախմատում» գոյություն ունի լուծում մաքուր վարվելակերպերի դասում: Մակայն այդ արդյունքը հնարավոր չէ ստանալ մատրիցային խաղի ուղղակի ուսումնասիրությամբ: Այս պարագան շատ ավելի ցայտուն է հետապընդման դիֆերենցիալ խաղերն ուսումնասիրելիս, որոնց համար մի շարք դեպքերում հաջողվում է գտնել բացահայտ տեսքով լուծումներ, սակայն դիֆերենցիալ խաղի բնականոն տեսքն այնքան ընդհանուր է, որ գործնականում անհնար է կոնկրետ արդյունքներստանալ:

1.2

Ներհակությունների մաթեմատիկականմոդելները, որոնք հաշվի

են առնում

դինամիկան, ուսումնասիրվում են դիրքային խաղերի տեսության մեջ: Դիրքային խաղերի առավել պարզ դասը լրիվ իրազեկմամբվերջնաքայլավոր խաղերի դասն է: Լրիվ իրազեկմամբ ռ անձանց վերջնաքայլավոր խաղի սահմանման համար անհրաժեշտ է գրաֆների տեսության տարրական իմացություն: Դիցուք` 2-ը որնէ վերջավորբազմությունէ: Յուրաքանչյուր «6 Ճ տարրին Ր կանոնը կոչվում է 2-ի միարժեք 12)624 տարրը համապատասխանեցնող արտապատկերում24-ի մեջ, կամ 24-ի վրա որոշված ն 24-ի մեջ արժեքներ ընդունող ֆունկցիա: 2. բազմության Բ բազմարժեքարտապատկերումըՀ բազմության մեջ մի կանոն է, որր յուրաքանչյուր «62, տարրին համապատասխանեցնում է որոշ Ի, շ« ենթաբազմություն(ընդ ռրում, չի բացառվում Ի,-Մ հնարավորությունը):

/Է

Բազմաքայլխաղեր

Այսունեետն «բազմարժեք արտապատկերում» բառակապակցության փոխարենպարզությանհամարկօգտագործենք «արտապատկերում» եզրը: Ճ բազմուԴիցուք՝ Է-ը Ճ-ի արտապատկերումնէ 24-ի մեջ, իսկ ՃՇ: թյան պատկեր ասելով կհասկանանք ԲՃ- Հ բ, բազմությունը, որտեղ Ւ(Մ)-Մ: Կարելի է համոզվել, որ եթե Ճ:6 2, 1-1,...,ո,

Բ(Ճ)-

ապա

ՍԲ:Բ(ՈՃ)- ՈՔԽ

Է՛,Է՞....,Բ-... արտապատկերումներըհետնյալ կերպ. Սահմանենք (1.1) Բ: Հ-Ի(Ի,), Բ:Հ Ի(Բ:),...,- Է(Բ՛"),... բազմության բ արտապատկերումը2Ճ-ի մեջ կոչվում է պատկերմանփոխանցականմիակցում,եթե Ճ

բ (ՉԵՔՆ..ԽՔ"Ն...

(12)

որպես

Է արտա-

արտապատկերմանը հակադարձ Բ՞ արտապատկերումըորոշվում է -

Ի,

Ք),

այսինքն՝ դա այն

պատկերը պարունակում է

(Բ):

որոշվում է

Եթե 8 ՇՃ,

կետը:

կետերի բազմությունն է, որոնց

Բ արտապատկերմանըհամանման

այն է՝ արտապատկերումը,

Ք-Ի(Բ)», Բ (Ը),) Փ-Ի(83),)-. ապա

(13)

ենթադրումենք, որ

(14) Ւ(8)Հ (ՎԲ,ՐՑ«Մ) Օրինակ 1: (Շախմատ) Խաղատախտակի վրա յուրաքանչյուր դիրք որոշվում է ինչպես յուրաքանչյուր խաղացողի խաղաքարերիքանակով ու կազմով, այնպես էլ տվյալ պահին դրանց դասավորությամբ,ինչպես նան նրանով, թե խաղացողներից ումն է քայլ անելու հերթը: Դիցուք` տրված են. Ճ-րը դիրքերի բազմությունն է, Է,, 26 Ճ-ը այն դիրքերի բազմությունն է, որոնք կարող են անմիջականորենիրագործվել ճչ դիրքից հետո: Եթե դիրքում սն ն սպիտակ խաղաքարերիթիվը հավասարըէ զրոյի, ապա Ւ,- Մ:

Այդ դեպքում (1.1)-ով որոշվող

Ւ, -ը

այն դիրքերի բազմությունն է,

քից կարող է ստացվել է քայլ կատարելուց հետո, Ի, -ը այն

բոլոր

որ

դիր-

դիրքերի

բազմությունն է, որոնք կարող են ստացվել ճ դիրքից, Բո(Ճ) (ՃՇ20-ր այն դիրքերի բազմությունն է, որոնցից մեկ քայլով հնարավոր է անցնելՃ բազմության դիրքերին: Պատկերելով դիրքերը ն սլաքով միացնելով շն 7, ԲԻ, երկու դիրքերը, տեսականորենկարելի է կառուցել խաղի՝ սկզբնականդիրքից ելնող գրաֆը: Սակայն դիրքերիչափազանց մեծ թվի պատճառովհնարավոր չէ նկարել այդ գրաֆը:

էրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղեր

Վերջավոր բազմությունների վրա բազմարժեքարտապատկերումների օգտագործումըհնարավորություն է տալիս ներկայացնելու բազմաթիվբազմաքայլ խաղերի՝ շախմատի,շաշկու, «գո»-ի ե այլ խաղերի կառուցվածքը: Սահմանում. (Ճ,ԻՒ) զույգը կոչվում է գրաֆ, եթե 2Ճ-ըորնէ վերջավոր բազմություն է, իսկ Ի-ը՝ «-ի արտապատկերումըՃ-ի մեջ: (ՕՃ,Է)գրաֆը նշանակենք Օ պայմանանշանով: Այսուհետն 2. բազմության տարրերըկպատկերենքհարթության վրա կետերով, իսկ 2 ն 7 կետերի զույգերը, որոնց համար 7ճ Ի,, կմիացնենքսլաքավոր անընդհատ գծերով, ընդ որում սլաքներն ուղղված են 2-ից դեպի 7: Այդ դեպքում ւ բազմության յուրաքանչյուր տարրը կկոչվի գրաֆի գագաթ կամ հանգույց, իսկ տարրերի (ո) զույգը, որում Հ ի,, գրաֆի աղեղ: Ի-(.,7) աղեղի համար 2 ն 7 գագաթներըկոչվում են եզրային գագաթներ,ընդ որում, «-ը աղեղի սկիզբն է, իսկ »-ը՝ վերջը: ք ն գ երկու աղեղները կոչվում են կից, եթե դրանք տարբեր են ն ունեն ընդհանուրեզրային կետ: Գրաֆի աղեղների բազմությունը նշանակենք Ե-ով: Օ-(Ճ,Ի) գրաֆում տրված աղեղներիբազմությունըորոշում է Է արտապատկերումըն, ընդհակառակը, Ի արտապատկերումըորոշում է թ բազմությունը:Այդ պատճառովՕ գրաֆըկարելիէ գրել ինչպեսՕ-(Ճ,Է), այնպես էլ Օ-(2Ճ.,Բ) տեսքով: ՕՀ(Ճ,Ւ) գրաֆում ուղի է կոչվում թ-(թթ......թ աղեղների այնպիսի հաջորդականությունը,որ յուրաքանչյուր աղեղի վերջը համընկնում է հաջորդի սկզբի հետ: ք-(քյ,քշ,...ք) ուղու երկարությունը հաջորդականության աղեղների 4(թ)-Է թիվն է: անվերջ Ք ուղու դեպքում ընդունումենք, որ 24(ք)-»: Օ-(Ճ,Ք) գրաֆի կող է կոչվում 57-27 երկու տարրերից բաղկացած բազմությունը, որտեղ (2,7)6 Ք կամ (7,25)6Ք: Ի տարբերություն աղեղի, կողի կողմնորոշվածությունը էական չէ: Կռղերը ճշաճակենք թ ե զ տառերով, իսկ կողերի բազմությունը՝ Ք-ով: Շղթա ասելով` կհասկանանք (թյլ.թշ....) կողերի հաջորդա դականությունը, որում յուրաքանչյուր թ, կողի եզրային գազաթճերից մեկը եզրային է նան թ.-ի, իսկ մյուսը թ,,լ-ի համար: Ցիկլը մի վերջավոր շղթա է, որն սկսվում է ինչ-որ գագաթումն վերջանում է նույն գագաթում: Գրաֆը կոչվում է կապակցված, եթե նրա ցանկացած երկու գագաթներ կարելի է միացնել շղթայով: Ծառը կամ ծառակերպ գրաֆը, ըստ սահմանման, առանց ցիկլերի վերջավոր կապակցվածգրաֆ է, որն ունի առնվազն երկու գագաթ: Ցանկացած ծառգրաֆում գոյություն ունի միակ 2 գագաթը՝ այնպիսին, որ Բ, - 24: ոց գազաթը կոչվում է ՕՕ գրաֆի սկզբնական գագաթ: Օրինակ 2: 1-ին գծանկարում բերված է ո, սկիզբ ունեցող ծառր կամ ծառակերպ գրաֆը: Կետերով նշված են «6: հանգույցները կամ գրաֆի գագաթները: Գրաֆի աղեղները պատկերված են սլաքավոլր հատվածներով, որոնց սլաքը ցույց է տալիս աղեղի սկիզբն ու վերջը:

Բազմաքայլխաղեր

Գծ.

Օրիճակ 3: Շաշկին կամ շախմատը չեն կարողպատկերվել ծառակերպ գրաֆի միջոցով, եթե գրաֆի գագաթ ասելով հասկանանք խաղաքարերի դասավորությունը տվյալ պահին ն քայլի նշումը, քանի որ խաղաքարերի միննճույնդասավորությունը կարող է ստացվել տարբեր ուղիներով: Միննույն ժամանակ, եթե շաշկու կամ շախմատի կառուցվածքը պատկերող գրաֆի գագաթ ասելով հասկանանքխաղատախտակիվրա խաղաքարերի դասավորությունը տվյալ պահին, քայլի նշումը ն խաղի ողջ ճախապատմությունը (խաղաքարերի բոլոր հաջորդական դասավորությունները նախորդ քայլերից առաջ), յուրաքանչյուր գագաթ սկզբնականիցկարող է ստացվել միայն մեկ ձնով (այսինքն` գոյություն ունի միակ շղթա, որն սկըզբնական գագաթից ուղղվում է դեպի կամայական տվյալ գագաթը), ուստի ն խաղի համապատասխանգրաֆը ցիկլեր չի պարունակումն ծառ է: 1.3

ՕՔ.)

Դիցուք՝

Շ-(Ճ,Ւ)

տեսքիգրաֆը,որտեղ 2.-

ծառակերպ գրաֆի Օ, ենթագրաֆէ կոչվում

Է, ,

իսկ Բ, «-Բ, եշ:

1-ին գծանկարումկետագծովնշված է 2 գագաթիցսկիզբ առնող ենթագրաֆը: Բոլոր 26 2Ճ-երիհամար ծառակերպգրաֆում Ք, բազմությունըհամընկնում է Իշ: բազմության հետ, այսինքն` Ի, արտապատկերումըԲ արտապատկերմաննեղացումնէ 2., բազմությանվրա: Այդ պատճառովծառակերպ գրաֆիենթագրաֆներիհամար կօգտագործենքՕ,-ՕԼ,Ի) նշանակումը: Այժմ անցնենք վերջավոր ծառակերպ գրաֆի վրա լրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղի սահմանմանը: Դիցուք` Շ-(Ճ,Ի)-ը ծառակերպ գրաֆ է: Դիտարկենք Ճ գագաթների բազմության տրոհումըոՒ1 բազմությունների՝

24...

ոՒլ

ՃՃո

Ս Ճ-Ճ,

ՃԱՆ -Թ,

էք,

որտեղ 26 2,ւյ-ի համար Ի,-Ձ: 2,, 1ՀԼ,...ո բազմությունը կոչվում է 1-րդ բազմությունը՝ իսկ Ճո. խաղացողի հերթականության Ճո: բազմության դիրքերի վերջնական վերջնական դիրքերի բազմություն: ո են Ճո: էն), վրա որոշված իրական ֆունկցիաներ էԼ().....էԱ(Ժ, 1,2,...,ո ֆունկցիան կոչվում է 1-րդխաղացողիշահում:

բազմություն,

Լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլխաղեր

Խաղն ընթանում է հետնյալ կերպ: Տրված է խաղացողների Հ բազմությունը, ռրոնք համարակալված են բնական 1,2....,Լ....ո թվերով (ռետագայում Ա-|1,2....,ոչ): Դիցուք՝ 6 Ճ.., այդ դեպքումչօ գագաթում (դիրքում) «խաղում է» |«քայլէ անում») լ, խաղացողը ն ընտրում26

Է,

գագաթը:

Եթե

Ճ.,չ ապա յ գագաթում «խաղում է» էչ խաղացողը ն ընտրում հաջորդ ճշճ Է, գագաթը (դիրքը), ն այլն: Այսպիսով, եթե է-րդ քայլում լ. գագաթը (դիրքը) պատկանում է 2., բազմության, ապա այդտեղ «խաղում է» լ, խաՃԸ

ղացողը

ընտրում հաջորդ գագաթը

(դիրքը) ընտրվում է Բ,

նից: Խաղն ավարտվում է, երբ որնէ խաղացող հասնում գագաթ (2,6 2ՃՃոչլ), որի համար Բ,, Թ:

բազմությու-

վերջնական 2,

Դիրքերի հաջորդական ընտրության արդյունքում միարժեքորեն իրացվում է ինչ-որ 2գ»...չճց,....4, հաջորդականություն, որը Օ ԺԾառակերպ գրաֆում որոշում է այն ուղին, որ սկիզբ է առնում չը. սկզբնական դիրքից ն հասնում խաղի վերջնական դիրքերից մեկին: Այդպիսի ուղին հետագայում կանվանենք պարտիա: Քանի որ Օ-ն ծառ է, ապա յուրաքանչյուր պարտիա միարժեքորեն ռրոշում է մ, վերջնականդիրքր, որին նա հանգեցնում է, ն, ընդհակառակը, «. վերջնականդիրքը միարժեքորենորոշում է պարտիան:Յուրաքանչյուր 1է էԷԼ(ո) շահումը: Ենթարդ, 1-1,2,...,ո, խաղացողը »«. դիրքում ստանում դրենք, որ 1 խաղացողը26 2, դիրքում ընտրություն կատարելիս գիտե այդ 2 դիրքը, հետնաբար ն, Օ գրաֆի՝ ծառակերպության շնորհիվ կարող է վերականգնել նան նախորդ բոլոր դիրքերը:Նման ղեպքում ասում են, որ խաղացողներն ունեն լրիվ իրազեկում: Լրիվ իրազեկմամբ խաղերի օրինակ են շախմատն ու շաշկին, քանի որ խաղացողներըկարող են գրանցել քայլերը ն, ուրեմն, կարելի է համարել, որ նրանք խաղի նախապատմությունը գիտեն յուրաթանչյուր հերթական քայլը կատարելիս: Սահմանում: սպմիարժեք արտապատկերումը,որը յուրաքանչյուր «6.4. գագաթին (դիրքին) համապատասխանելցնումէ որոշ 76 Ի, գագաթ (դիրք) կոչվում է )-րդ խաղացոդիվարվելակերպ: Ս,.-ով նշանակենք :-րդ խաղացողի բոլոր հնարավոր վարվելակերպերի բազմությունը: Այսպիսով ս-րդ խաղացողի վարվելակերպը նրան պարտադրումէ իր 2, հերթականությանբազմության ցանկացած 2 դիրքում միարժեքորենընտրել հաջորդ դիրքը: Յուրաքանչյուր ս-(Այ,...,սյ,...,նո) կարգավորված հավաքանին, որտեղ Աճ Ս,

կոչվում է խադի իրավիճակ, իսկ Ս -

ղ Ս, դեկարտյան արտադրյալը՝ ւ-1

իրավիճակների բազմություն: Ամեն մի ս-(ա,սչ,...,ու...,նո) իրավիճակ միարժեքորեն որոշում է խաղի պարտիան ն, հետնաբար` խաղացուլների

Լ Բազմաքայլխաղեր

շահումները: Իրոք, դիցուք` «օ6 2: Այս դեպքում ս-(ել....,սչ,...,սո) իրավիճակում հաջորդ »լ դիրքը միարժեքորենորոշվում է ս, Օօ) -.Ճլ կանոնով: Դիցուք` այժմ

2.,: Այդ դեպքում 2շ-ը միարժեքորենորոշվում է ս(ոլ)-2շ

կանոնով:Եթե այժմ ճ-երորդքայլում իրագործվել է 2.16 24, դիրքը,ապա չ-ն միարժեքորեն որոշվում է Ճչ- Ա, (ել) կանոնովն այլն: Դիցուք` ս-(Խլչնշ,...,ալ»...չնը) իրավիճակին նշված առումով,համապատասխանում է 2ց,չլ,...,6, պարտիան: Այդ դեպքում կարելի է մտցնել 1-րդ խաղացողի Է, շահումի ֆունկցիա հասկացությունը,յուրաքանչյուր ս իրավիճակում շահումի ֆունկցիայի արժեքը հավասարեցնելով ս-(նել,...,նո) իրավիճակինհամապատասխանող լ,...,:չ պարտիայի վերջնականդիր12.0, քում ՒԼ շահումի արժեքին, այսինքն` 1-Ն2,. ..«ո Խ(սլչսյ,.Առ) ԷԼ /), -

թ.

:-1,...յո,

բազմության վրա: Այդպիսով խաղ, որտեղ ԻՀ11,.. 1-րդխաղացողի հումի ֆունկցիան:

տեսքով

-ը Ս, ենք Ր-(Վ աու

ֆունկցիաները որոշված

են

իրավիճակների

բնականոն ստանում չո)՝ խաղացողներիբազմություննէ, Ս.-ն` ո)

բազմությունը,Ի:-ն՝1-րդխաղացողի վարվելակերպերի

շա-

1.5 Ր խաղի հետագա ուսումնասիրությանհամար անհրաժեշտ է դիտարկել ենթախաղ հասկացությունը, այսինքն` խաղ` հիմնական խաղի Օ գրաֆի ենթագրաֆիվրա: Դիցուք` 26 Ճ: Դիտարկենք Օ,-(Ճ,,Ի) ենթագրաֆը,որի հետ Լ, ենթախաղը կկապենք հետնյալ կերպ: Խաղացողներիհերթականությանբազկանոնով, մությունը Ր, ենթախաղում որոշվում է Մ՛- ՃՈՐՃ, -Ն2,...ո,

վերջնական դիրքերի բազմությունը՝ Մոլ - ՃոյՐԺՃԽ 1-րդ խաղացողիէԼ, 0)

շահումը՝ ենթախաղումհամարվում է հավասար Էնն), «6 Մել, 1-...ո ՒԼ) Հ

1-րդխաղացողի սչ վարվելակերպըԼՐ, ենթախաՀամապատասխանաբար, ղում ռրոշված է ռրպես ԼՐ խաղի 1-րդխաղացողի ս, վարվելակերպիճեղացում Մշ բազմությանվրա, այսինքն`

սչ - ւ),

«6

Ս ՀԿՐՃ,,

1Թթ1....ո

Ենթախաղում 1-րդ խաղացողի բոլոր վարվելակերպերիբազմությունը նշանակվում է ՄՀ-ով: Ի վերջո` յուրաքանչյուր Օ, ենթագրաֆի հետ մենք կապում ենք բնականոն տեսբով ենթախաղ՝ Րչ ՕՆ: մ: ),1Բլ 7-ը, -

որտեղ, Խ:, Հ1....չո շահումի ֆունկցիաները որոշված են Ս՛-

տյան արտադրյալի վրա: Սահմանում:

Լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր

Ս: դեկար-

Հիմնականխաղի ս-(ա.,...,ս.) Նեշի հավասարակշռու-

թյան իրավիճակը կոչվում է

խաղում Նեշի բացարձակ հավասարակըշ-

ռության իրավիճակ, եթե ցանկացած 2624-ի համար (ս՞)՛-((սլ )......(.1)5 իրավիճակը,որտեղ (ս:)՛-ը

ս՛

վարվելակերպի նեղացումն է Ի, ենթախաղի

վրա, Նեշի հավասարակշռությանիրավիճակ է Լ՝ ենթախաղում: Ճշմարիտ է հետնյալ հիմնականթեռրեմը. Թեորեմ: Ցանկացած լրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղում վերջավոր ծառակերպգրաֆի վրա գոյություն ունի Նեշի բացարձակհավասարակշռության իրավիճակ:

Օրինակ 4. Դիցուք` Ր խաղը տեղի է ունենում 2-րդ գծանկարում պատկերված գրաֆի վրա ն Ի բազմությունը բաղկացած է երկու խաղացողից. ՒՀ-Վ(12): 2-րդ գծանկարում որոշենք հերթականության բազմությունները: յ բազմության գագաթներըպատկերենքշրջանակներով, իսկ 2«չ բազմության գագաթները` թառակուսիներով: Խաղացողների շահումները նշված են վերջնական դիրքերում: 2Ճյ ն 4Ճչ բազմությունների մեջ մտնող դիրքերը համարակալենք երկյակ համաթվով, իսկ յուրաքանչյուր գագաթից ելնող աղեղնմերը՝մեկ համաթվով:Ընտրությունը « գագաթում համարժեք է հաջորղ 26 Ւ, գագաթի ընտրությանը, ուստի կհամարենք, որ յուրաքանչյուր գագաթում վարվելակերպերըցույց են տալիս այն աղեղի համարը, որով պետք է ընթանալ առաջ: Օրինակ, առաջին խաղացողի սլ-(2,1.2:3,1.2, 1,1)վարվելակերպը նրան պարտադրում է 2-րդ աղեղն ընտրել 1-ին գագաթում, 1-ին աղեղը` 2-րդ գագաթում, 2-րդ աղեղը` 3-րդ գագաթում, 3-րդ աղեղը` 4-րդ գագաթում ն այլն:.Քանի որ առաջին խաղացողի հերթականությանբազմու-

Բազմաքայլխաղեր

թյունը բաղկացած է ութ գագաթից, ուրեմն նրա վարվելակերպըութչափանի վեկտոր է: Համանմանորեն, 2-րդ խաղացողի ցանկացած վարվելակերպ յոթչափանի վեկտոր է: Առաջին խաղացողն ունի 864 վարվելակերպ,իսկ երկրորդը` 576 վարվելակերպ: Այսպիսով, համապատասխան բնականոն տեսքը 864»:576 չափի մատրիցներով երկմատրիցխաղ է: Բնական է, որ այդպիսի երկմատրից խաղերի լուծումը բավականին բարդ է: Սակայն դիտարկվողխաղը պարզէ ն լուծելի: Իսկապես, նշանակենք (2), "22)-ոով Լ, ենթախաղի շահումները բացարձակ հավասարակշռությանորնէ սնեռյալ իրավիճակում: Մկզբում լուծում ենք 14, 1լշ, Լշշ ենթախաղերը: Հեշտ է համոզվել, որ "լ(1,6)Հ6, ՄՀ(,6)-2, Մ(1,77)-2, Մ.(177)Հ4, Մլ(2,7Հ1Լ, 7չԶ,7-8: Այնուհետն լուծում ենք Լ25, Էշ, 1. ենթախաղերը:Լշչչ ենթախաղումկա Նեշի երկու հավասարակշռություն, քանի որ 2-րդ խաղացողի համար միննույնն է, թե որ այլընտրանքն ընտրի: Միաժամանակ նրա ընտրածննէական է դառմուն առաջին խաղացողի համար, քանի որ 2-րդ խաղացողի կողմից ձախ աղեղն ընտրվելու դեպքում առաջին խաղացողն ստանում է Էլ, իսկ երկրորդ աղեղն ընտրվելուդեպքում`6: Նշենք այս հանգամանքըն ենթադրենք,որ 2-րդ խաղացողը «բարյացակամ է» ն (2,5) դիրքում ընտրում է աջ աղեղը: Այդ դեպ«2(26)-"1,7)-4, քում«լ(2,5)-Մ/(1,6)-6, «շ(2,5)-Կ2(1,6)-2, .(2,60-0,7Հ2, Կ(Ա,Տ-2, «չ(18-3: Այնուհետն լուծում ենք Լլ:, Լլ, Էլ», Էշ», չգ խաղերը: Րլչ ենթախաղումկա Նեշի երկու հավասարակշռություն,քանի որ առաջին խաղացողի համար միննճույննէ, թե որ այլընտրանքնընտրի:Միաժամանակ ճրա ընտրություննէական է 2-րդ խաղացողի համար, քանի որ 1-ին խաղացողի կողմից ձախ այլընտրանքն ընտրվելու դեպքում, ինքն ստանում է 1, իսկ աջի դեպքում՝--10: Ենթադրենք,որ առաջինխաղացողը«բարյացակամէ» ե (3) դիրքում ընտրում է աջ այլղնտրանքը: Այդ դեպքում` "(1,3)-5, «2(1,5ԽՀ(1,3)-10, Մլ(,4)-"(2,5-6, Մշ(Ն4)-42Օ0,5)-2, Ո,5)-ԿՕ»6)-2» ՀՄշ(2,6-4, «լ(2,3)-0, Մշ(2,3-6, Պ(2:4-3, «22,4-5: Այնուհետն լուծում ենք ՊՈ2-Գ(24»-3։ «2Զ,-"20:3-10, Լ,, Լլշ, Լչշ խաղերը: 7(2,1-"(,3)-5, ՄլՕ,2--5 Ճ.(2,2)-6: Այժմ լուծում ենք ԼՐլյ խաղը: Այստեղ "Հ1,2)-Նչ(2:4-5, Կ(,ՆԼ1ԷՅ0,185, շչՈ,Լ-Ն20.1)-10:

Արդյունքում

ստանում

ենք

(ս,սչ)

կըշռության իրավիճակ,որտեղ (,2,2,2,2,3,2,1), ս

Նեշի բացարձակ հավասարա-

սչ- 0:3.2.2.2,Ն2)

(1.5)

(սլ,սչ) իրավիճակումխաղը զարգանում է (1,1), (2,1), Ո,3) ուղիով: Կառուցմանընթացքումնկատվեց,որ

ԹՆ2, վարվելակերպերը «բարյացա-

այն առումով, որ 1-րդխաղացողըիր քայլը կատարելիս,հավասակամ րապես շահագրգռված լինելով հետագա այլընտրանքներիընտրությամբ, դրանցիցընտրում է մյուս խաղացողիհամար առավել բարենպաստը: են»

էրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր

է.

Ր խաղում գոյություն ունեն բացարձակհավասարակշռությանիրավիճակներ, որոնցում խաղացողներըկունենան այլ շահումներ: Այդպիսի հավասարակշռություններկառուցելու համար բավական է հանել խաղացողճերի «բարյացակամություն» պայմանը ն փոխարինել «անբարյացակամություն» հակադարձպայմանով: 1, ենթախաղում«անբարյացակամ» հավասարակշռոության օգտագործման դեպքում խաղացողների շահումները նշանակենք լ (2), Մչ2)-ով: Այդ դեպքում ունենք

ՊԱՆ) աշ Ճշ,

(1.6)

6, Մշ(16)

Հ-Մշ(1,6)-2,

«20,7 -Մ.0,3-

լ0,7Հ--2,

ՀՄչ(0,7)-4,

ՀՆլ (1,7) 2,

(17)

Ինչպես նշվեց, Էշչ ենթախաղում գոյություն ունի Նեշի երկու հավասարակշռություն: Ի տարբերություն նախորդ դեպքի, ենթադրենք,ռր 2-րդ խաղացողը «անբարյացակամէ» ն ընտրում է այն գագաթը, որում իր առավելագույն շահումի դիմաց առաջին խաղացողի շահումը նվազագույն է: Այդ դեպքում Մլ(2,5) ի Նշ (2,5) 2, Մյ (2,6) Կ(Ն7) 2, -

Մշ(2,6)

(1,7)

4, Մլ(18)

Կ(Ն8) -2,

(18)

2(Ն8)-3:

Այնուհետն փնտրումենք Իլ, Ր զ, Լլ», Էշ), Րշգխաղերիլուծումը: Րյ.յ ենթախաղում կա Նեշի երկու հավասարակշռություն: Ինչպես նախորդղեպքում, ընտրենք առաջին խաղացողի «անբարյացակամ» գործողություննելը: Այդ դեպքումունենք 5, 7չ07)Հ Ն Խ(.4)Հ-2, Կ. Օ,3:Հ «3)(14)-3

Մյ0,5) Մ 0,3)

Մ (0,4)

ԿՎ(2,6) Կ(,5)

(2,3) (24)

2, Ճ, (15)

0, 7,273)

10:44)

(23) 20.4)

Կ2(2,6)

-6,

Մ, (2,6)

Այնուհետն լուծում ենք Լլ, Ր,շ, Րշչչխաղերը: Ունենք 2, Մչ(2.1) ՀՃչ(,5)54, 0.2) -704)-3, ԿՕ,1)ՀՄյ(,5) Հ

Մշ (72) Հ՛7չ(24)Հ5,

7չ(22)

(2,2)

6, (2,2)

Այժմ լուծենք ԼՀՐլ լ խաղը: Այստեղ լ (1.1)-Մ(,2)-3,

(2.2):

7չ02-5,չ(182)-5:

Այսպիսով ստացվեց Նեշի հավասարակշռության նոր իրավիճակ՝

ՕՀ(.2.ՆՆ2,3.2,1),

7, ՀՕ0:3.22.

Լ.13):

(1.6)

Երկու խաղացողներիշահումները (1.6) իրավիճակում փոքը են (1.5) իրավիճակում շահածից: (1.6) իրավիճակը ինչպես ն (1.5) իրավիճակը, բացարձակ հավասարակշռությանիրավիճակ Է: 1.6 Ակնհայտ է, որ Նեշի բացարձակ հավասարակշռության«բարյացակամ» ն «անբարյացակամ»իրավիճակներիցբացի գոյությունոյնի բացարձակ հավասարակշոությանմիջանկյալ իրավիճակներիմի ամբողջ ընտանիթ: Հետաքրքրականէ այն հարցը, թե երբ կարելի է պնղել խաղացողների

Բազմաքայլխաղեր

շահումներով տարբերվող բացարձակ հավասարակշռությաներկու տարբեր իրավիճակներիբացակայությունը: Թեորեմ: Դիցուք՝ Լ խաղում խաղացողներիԷԼՄ»), 1-1,...,ո շահումները այնպիսիք են, որ եթե գոյություն ունի այնպիսի մօ ն այնպիսի 2, 7, որ ՒԼ, 0) ԷԼ,0), ապա էԷԼ()-ԷԼ0Դ բոլոր 16 Վ-ի համար: Հ

Այդ դեպքում Ը խաղում խաղացողների շահումները համընկնում են բացարձակհավասարակշռությանբոլոր իրավիճակներում: 2.

Հիմնականֆունկցիոնալհավասարումներ

2.1 Դիտարկենք լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ հակամարտ խաղերը: Եթե 1.4 ենթակետի պայմաններում խաղացողներիԻՀ41,2) բազմությունը «624 բաղկացած է երկու տարրից ն ՒՇՐ)--ԷԼՈ) բոլոր համար (ռչ-ը վերջնական դիրքերիբազմությունն է 1՝ խաղում), ապա դա Ր- ՀԽ, Ս, Բ» 1րիվ իրազեկմամբ հակամարտբազմաքայլ խաղ է: Ակնհայտ է, որ նույն հատկությամբօժտված են նան Ր խաղի բոլոր Լ, ենթախաղերը:Քանի որ ՒՆ()--Է լռ) պայմանիցանմիջապեսհետնում է, որ բոլոր սյ« Սյ-ի, սչճ Սշ-ի

համար Ճշ(սյ,սշ:--Իլ(լչնշ), վիճակում բոլոր սյ6

ապա

Սյ-ի, սշչ6 Սշ-ի Բյ(սյ,

անհավասարումները:Այդ

Աշ)Հ

(

իրաս սշ ) Նեշի հավասարակշռության ,

համար ճշմարիա են

(աս) ՀՃԽ(ո ս) դեպքում (ս. նշ) զույգը կանվանենք հավասա-

րակշռության իրավիճակ կամ թամբակետ, իսկ հավասարակըշռության իրավիճակ կազմող վարվելակերպերը`օպտիմալ կամ լավագույն վարվելակերպեր: Շահումի ֆունկցիայի արժեքները հավասարակշռությանիրավիճակում նշանակենք «-ով ն անվանենք Լ խաղիարժեք: 2.2 Լին պարագրաֆիցից հետնում է, որ լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ հակամարտ խաղում վերջավոր ծառակերպ գրաֆի վրա գոյություն ուն, բացարձակ հավասարակշռության իրավիճակ, այսինքն` այնպիսի

(ս, սչ ) իրավիճակ, որի նեղացումը Ր

խաղի ցանկացած Լ, ենթախաղիվրա

1շ-ում ստեղծում է հավասարակշռությանիրավիճակ: Ցանկացած Լ, ենթախաղի համար նան կարելի է որոշել «(7) թիվը, որն այդ ննթախաղիհավասարակշռության իրավիճակումշահումի ֆունկցիայի արժեքն է ն կոչվում է Ր, ենթախաղիարժեք: Ինչպես արդեն նշել ենք, հակամարտխաղի արժեքը (այսինքն` հավասարակշռությանիրավիճակում առաջին խաղացողի շահումի ֆունկցիայի արժեքը) որոշվում է միակ ձնով, այդ պատճառով (7) ֆունկցիանորոշված է բոլոր 76 2Էլ, 76 Ճշ-ի համար ն միարժեք է:

Հիմնականֆունկցիոնալհավասարումներ

(5) ֆունկցիան հաշվելու համար արտածենքֆունկցիոնալ հավասարումը. "(5)-ի սահմանումիցհետնում է, որ "(Հ Խ/((սլ):,(սչ):)Հ--Բ((ա):,(), 2.3

որտեղ ((ս:):,(ս:): որը

իրավիճակնէ, ը Ը, ենթախաղումհավասարակըշռության

(սյ, սչ ) բացարձակհավասարակշռությանիրավիճակինեղացումնէ: Դիցուք՝ 7լ6 24

Բչ: Այդ դեպքում ունենք

(1) "0)-ռուծ: (ա)")-ոաոս(2

Ճշ-ի համար համանմանորենստանում «(9-

-Քչ((սյ)',(սշ)")-

Հուշ»(-Խ(0՞))-

ոլոԽ(2):

ոլոԿ(2), 6

ենք

-ոոչ Խչ((ս)"(դչ)՛)-

(2.1)ն Օ.2)-ից վերջնականապեսունենք Կ) -ոռչս(2),63. Կ()-

Օ.0

Ճո

2-Ի,

(2.2) Օ.3) (2.4)

(2.3), (2.4) հավասարումներըլուծվում են

ԿԸԼ»,

ԷՍ

0.5)

եզրային պայմանի դեպքում: (2.5) եզրային պայմանով (2.3), (2.4) հավասարումներիհամակարգը հնարավորություն է տալիս իրագործելու խաղի արժեքը ն խաղացողների լավագույն վարվելակերպերը գտնելու հետընթաց անդրադարձ ընթացակարգը: Իրոք, դիցուք` /(2)Հ5-1 երկարությամբ բոլոր Ը, ենջախաղերի արժեքները հայտնի են ն հավասար են Ճ(2)-ի, ղիցուք` Լ,-ը «6Դ-Է երկարություն ունեցող ենթախաղ է: Այդ դեպքում, եթե 6 Ճյ, ապա "(7)-ը որոշվում է (2.3) բանաձնով, իսկ եթե 76 24, ապա «(7)-ը որոշվում է (2.4) բանաձնով: Ընդ որում (2.3), (2.4) բանաձներում Կ(2) ֆունկցիայի արժեքները հայտնի են, քանի որ համապատասխանենթախաղերիերկարությունըե- 1-ից մեծ չէ: Այս բանաձները ցույց են տալիս խաղացողների վարվելակերպերի կառուցման եղանակը: Իսկապես, եթե 7` շլ-ին, ապա առաջին խաղացողը (մաքսիմացնողը) պետք է չ կետում ընտրի 26 Ւ, գագաթը, ոլլի համար հաջորդ ենթախաղիարժեքի առավելագույնն է: Իսկ եթե 76 2շ-ին, ապա 2-րդ խաղացողը (մինիմացնողը)պետք է ընտրի 26 Ւ, դիրքը, որի համար հաջորդ ենթախաղիարժեքը նվազագույննէ: Այն դեպքում, երբ խաղացողների ընտրությունները հակամարտ բազմաքայլ խաղում հերթագայվում են (հերթովի խաղ), (2.3), (2.24) հավասարումները կարոդ են գրվել մեկ հավասարման տեսքով: Իսկապես, դիտար-

Բազմաքայլ խաղեր

կենք Լ, ենթախաղը, ն դիցուք՝ որոշակիության համար, «6-ին: Այդ դեպքում հաջորդ դիրքում խաղում է 2-րդ խաղացողը, կամ այդ դիրքը (խաղը հերթովիէ) վերջնական է, այսինքն` Բ, շա): Ուստի, կարելի է գրել «ՀՀԿ, ս), (2.6) ՕՀ-ոաւ Տէ,

0-2,

(2.7) տեղադրելով(2.6)-ի մեջ, ստանում Ն()լ (2), ապա

(Ու)

(2.7)

ենք Ճլ

(2.8)

համանմանորենունենք ռոլ ոճ Ն(2)|

(2.9)

ո:

Եթե 6 Ճշ,

ոլո

Շ2Ճա2:

«6

26,

(2.8), (2.9) հավասարումներ, համարժեք Ն(Ճ)|յ, էնՑ) սկզբնական պայմանով:

են

պետք է դիտարկվեն

Նեշի բացարձակ հավասարակշռության գոյության թեռրեմը՝ դիտարկվելով հակամարտ հերթովի բազմաքայլ խաղերի նկատամբ, հնարավորություն է տալիս պնդելու «շախմատ», «շաշկի» խաղերում մաքուր վարվելակերպերի դասում հավասարակշռության իրավիճակի գոյությունը, իսկ (2.8), (2.9) հավասարումներըցույց են տալիս խաղի արժեքը գտնելու ուղին: Դրա հետ մեկտեղակնհայտ է, որ խաղի արժեքը ն լավագույնվարվելակերպերըըգտնելու համար տվյալ ֆունկցիռնալ հավասարումներիլուծումը մռտ ապագայում չի իրագործվի ԷՀՄ-ներով ն մենք այղպես էլ չենք իմանա, թե կարո՞ղէ, արդյոք, «սպիտակներով»կամ «սներով» որնէ խաղացող երաշխավորելիր հաղթանակը ամեն մի պարտիայում, թե միշտ հնարավոր է «ոչ ոքին»: Մակայն շախմատում ն շաշկիում բավականին հաջող փորձեր են կատարվում մի քանի քայլ առաջ մտածող ծրագրերի օգնությամբ կառուցելու մոտավոր լավագույն լուծումները ն օգտագործելու (ռրպես կանոն փորձառական ճանապարհով ստացված) ընթացիկդիրքերը գնահատող բազմապիսի ֆունկցիաները:Այդպիսի մոտեցումը հնարավոր է նան լրիվ իրազեկմամբ ընդհանուր հակամարտ բազմաքայլ խաղերի ուսումնասիրության դեպքում: Գնահատող ֆունկցիաների հաջորդական բազմակրկնումը մի քանի քայլ առաջ կարող է ցանկալի արդյունքներ տալ:

3. Պատժման

վարվելակերպեր

1-ին պարագրաֆումմենք առաջարկեցինքվերջավոր ժառակերպ գրաֆի վրա լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղերում բացարձակ հավասարակշռության (ըստ ՆԽեշի)իրավիճակի գոյության թեռրեմը: Միննույն ժամանակ այդ դասի կոնկրետ խաղերը ուսումնասիրելիս կարելի է հայտնաբերել հավասարակշռության այնպիսի իրավիճակների մի ամբողջ 3.1

3. Պատժման

վարվելակերպեր

ընտանիք, որոնց նեղացումներըպարտադիրչէ, որ հավասարակշռության իրավիճակներ լինեն սկզբնական խաղի բոլոր ենթախաղերում:Այդպիսի իրավիճակների թվին են պատկանում հավասարակշռություններըպատժման վարվելակերպերում:Այս հասկացությունը ցույց տանք օրինակով: Օրինակ 5. Դիցուք՝ Ր խաղն ընթանում է 3-րդ գշանկարում պատկերված գրաֆի վրա: Հ-Վ1,2) բազմությունը բաղկացած է երկու խաղացողից: Ճլ բազմությունը կազմող գագաթներըպատկերված են շրջանակներով, 2.շ բազմությունը՝ քառակուսիներով: Գրաֆի գագաթները համարակալված են երկյակ համաթվերով,աղեղները՝մեկականհամաթվեր:

ն)ն) էկ)

ՍԱՍԼԼ,

Գծ.3

Դժվար չէ համոզվել, որ

ս/ Հ(,1.2.2,2),

ս: -Ա,1) իրավիճակը բացար-

ձակ հավասարակշիռ է Ր խաղում: Ընդ ռրում խաղացողներիշահումները համապատասխամաբարհավասար են 8 ն 2 միավորի: Այժմ դիտարկենք սյ -(2,1.2,1,2), սչ (2,2) իրավիճակը: Այս իրավիճակում խաղացողների շահումները համապատասխանաբարհավասար առաջին խաղացողը

(Ալ,սշ)

ստանում

են

է ավելին, քան

10-ի

1-ի: Դրանով իսկ

(ս,ս.)

իրավիճակում:

իրավիճակը հավասարակշիռէ Ր խաղում, սակայն

բացարձակ հա-

վասարակշիռ չէ: Իսկապես, Րլգ ենթախաղում ս. վարվելակերպի նեղացումը առաջին խաղացողին թելաղրում է ձախ աղեղի ընտրությունը, որը 1.4 դիրքում նրա համար լավագույնը չէ: 1.4 դիրքում առաջին խաղացողի նման գործողությունը կարելի է մեկնաբանել որպես 2-րդ խաղացողի «պատրժման» սպառ0ալիք, եթե նա 2.2 ղիրքում չեղվի առաջին խաղացողի համար ցանկալի 2-րդ աղեղի ընտրությունից, ղրանով իսկ առաջին խաղացողին զրկելով 10 միավոր առավելագույն շահումից: Սակայն «պատժման» նման սպառնալիքն ըստ էության հազիվ թե կարելի է գործուն միջոց համարել, քանի որ պատժողն ինքր կարող Լ կորցնել 5 միավոր շահում (ոչ լավագույն ձեով գործելով Իլգ խաղում):

է.

Բազմաքայլխաղեր

3.2 Տանք պատժման վարվելակերպերի խստորոշ սահմանումը: Պար-

զության համար սահմանափակվենքերկու անձանց անհակամարտ խաղի օրինակով: Դիցուք` տրված է երկու անձանց անհակամարտխաղ՝ ՐՀ

ՀԱլ, նշ,

Էլ, Էշ

Րլ Լշ երկու հակամարտ խաղերը կապենք հետնյալ կերպ. խաղի Րլ-ը մի հակամարտ խաղ է` կառուցված Լ՝ խաղի հիմքի վրա, որտեղ 2-րդ խաղացողը խաղում է առաջին խաղացողիդեմ, այն է՝ ԲշՀ--Քլ: Րշ-ը հակամարտ խաղ է՝ կառուցված Լ խաղի հիմքի վրա, որտեղառաջին խաղացողը խաղում է 2-րդ խաղացողիդեմ, այն է՝ Էլ--Բշ: Րլ, Լչ, Ր խաղերիգրաֆները ն դրանցում վարվելակերպերիբազմությունները համընկնում են: Րլ ն Լշ խաղերում բացարձակ հավասարակշչռության իրավիճակները համապատասխանաբար նշանակենք (սլլ,սշլ)ով ն (այ,սշչ)-ով: Դիցուք` Էլ,-ը ն Ր

հետ

Լշ,-ը Էյ

Րչ խաղերի ենթախաղերն են, իսկ 7(4)-ը 7չ(5)-ը այդ ենթախաղերի արժեքները: Այդ դեպքում է այ,սշ) ն (աշ,սշ) իրավիճակները

հավասարակշիռ

ԿՕԺ-Խ, (սռ.ս),

համապատասխանաբար Ր,,

են

(ժ-

Խչ(սռ.սը

ԼՐ,

խաղերում

ԴիրտարկենքԼ՝

խաղի (սլ,սչ) վարվելակերպերիկամայական զույգը: Իհարկե, վարվելակերպերիայս զույգը այդպիսին է նան 1, Րչ խաղերում: Դիցուք` 2-(Ճ0-20.21»...,2:»....2)-ն այն ուղին է, որ իրագործվում է (սյ,սշ) իրավիճակում: Սահմանում: ԱլԸ) վարվելակերպըկոչվում է առաջին խաղացողի պատրժմանվարվելակերպ,եթե ԷՅ 2ՐԳել-ի համար, նլ (2-26

նյ0Դ-պշ 07, 762Ճ., 7642-իհամար: նչ()

0.1)

վարվելակերպը կոչվում է 2-րդ խաղացողի պատժման վարվելա-

կերպ, եթե

մ, ()-2յւ,

2.6

2ՐԺշ-ի համար,

ճ,(Դ- սլ 07,362Կ, 7627-ի համար:

(32)

վարվելակերպերի սահմանումից անմիջապես նում ենք հետնյալ հատկությունները՝

Պատժման

ստա-

Ի. ո(մւ(,ճչ0-1ենշ,Ե(նՕ,80-1են): 2".Դիցուք` ռրնէ խաղացող, օրինակ` առաջին խաղացողն օգտագործելով սլ() վարվելակերպը,որի համար 2,6 7 Մել դիրքը առաջինն է 2. ուղու վրա, որտեղ ս.()-ը թելադրում է շչ, հաջորդ դիրքի ընտրությունը, որը տարբերվումէ ս.(շ) վարվելակերպովթելադրվողդիրքից,այսինքն՝ 2,122:

վարվելակերւլեր

3. Պատժման

Այդ դեպքում սչ() պատժմանվարվելակերպիսահմանումիցհետնում է, որ (3.3) ՏԿՇԺ: Բլ(ս()չմ,() Համանմանորեն, եթե 2-րդ խաղացողնօգտագործումէ սշ(:) վարվելակերպը, որի համար 26 2 26շ դիրքը առաջինն է 7, ուղու վրա, որտեղ սշ()-ը թելադրում է 2, հաջորդ դիրքի ընտրությունը, որը տարբերվում է ս,()

վարվելակերպովթելադրվող դիրքից, այսինքն, 22 տրժման վարվելակերպիսահմանումիցհետնում է, Բշ( սլ), սչ()) Տ Մշ(2Ժ:

ապա

մյ()

պա-

որ

0.4)

Այստեղիցմասնավորապեսստանում ենք հետնյալ թեորեմը. Թեորեմ: Դիցուք՝ ( Ալ(), մ,(7-ը պատժման վարվելակերպերի իրավի-

ճակ է: (ս Օ,մչ()) որ բոլոր

իրավիճակիհավասարակշոությանհամար բավարար է,

Է-0,1....,-1-երի

համար ճշմարիտեն Խ(մյ (2, 8, (0) Հ ոնժ,

Բշ(սլ(),սչՕ) անհավասարությունները, որտեղ

իրագործվածուղին է: 3.4.

Դիցուք`

վագույն հակամարտ խաղերում, ն

22,21»...,2,-ը

սշչ()-ը առաջին ե

այ()-ըն

6.5)

Հ"Շժ

նչԸ)) իրավիճակում

(մլ,

երկրորդխաղացողներիլա-

համապատասխանաբար1" ն Լշ օժանդակ 2-129,7լ....2, )-ը այն ուղին է, որ համապատաս-

վարվելակերպերնեն

խանում է ( սլ,սչ,

()) իրավիճակին:Ենթադրենք, մյ()

վարվելակերպերըայնպիսին են,

որ

մյ(2,)-Կյ(2,),

շլ

նչ() պատժման

համար ն «2ԺԿ-ի

համար: Այդ դեպքում (ս. (), մ, )) իրավիճակը 627ԹԿ-ի պատժման վարվելակերպերումկազմում է Նեշի հավասարակշռության իրա-

ս, (2 Էչ

ւ),

վիճակ:Այս պնդումնապացուցելուհամարբավական է ԿՆ), Խ(սղ(),սշչ0)- Խ ((,մ20)Հ Էշ (0,0) ն

Խշ(ո0.Կ.()Հ

ցույց

տալ, որ

(3.6)

Հ.Շ),

Ւ- 0.1...../-1 օգտվել նախորդ կետի թեորեմից: (3.6) անհավասարումներըհետնում

համապատասխանաբարԻլ

Րչ խաղերում

ս()

սչ,Ը)

են

վարվելակեր-

պերի օպտիմալությունից: Դրանց հիմնավորումն առաջարկում ենք որպես վարժություն: Այսպիսով, ստացանք հետնյալ թեռրեմը: Թեորեմ: Ր խաղում պատժման վարվելակերպերում միշտ գոյություն ունի հավասարակշոության իրավիճակ, ընդ որում այդ իրավիճակում շահումները հավասար

են Ք(ս/լ(),

սչ, )),

որտեղս. Ը)-ը

ն սչ()-րը համա-

Բազմաքայլխաղեր

պատասխամաբար Րլ ն Րչ օժանդակ հակամարտ խաղերում առաջին ն երկորդխաղացողներիլավագույնվարվելակերպերնեն: Պատժման վարվելակերպերիիմաստն այն է, որ խաղացողը հակառակռրդին ստիպում է խաղի մեջ ընթանալ որոշակի ուղիով (որոշակի ընտրություններով), օգտագործելովմշտական սպառնալիքը՝անցնելու այն վարվելակերպին, որը լավագույնն է հակառակորդիդեմ հակամարտ խաղում: Պատժման վարվելակերպերիդասում հավասարակշռությանիրավիէ, սակայն ճակների բազմությունը բավականաչափ ճնճերկայացուցչական այդ վարվելակերպերը չպետք է համարել «շատ լավը», քանի որ, պատժելով հակառակորդին,խաղացողը կարող է է՛լ ավելի խստորեն պատժած լինել ինքն իրեն: Օրինակ 6: Դիտարկենք Ի անձանց խաղը, որը պատկերված է 4-րդ գծանկարում լ

ու

(2.2. ...2)

ճ1.1,...

Լ Ը4--4| եո-Ւռ-1ո-Ղ1 Ըմը "|

ոռ"

Գծ. 4

Այս խաղում յուրաքանչյուր խաղացող կատարում է մեկ քայլ ն խաղացողները իրենց քայլերը կատարում են հերթով, յուրաքանչյուր դիրքում հնարավորություն ունենալով երկընտրանքիցընտրելու մեկը՝ Ճ-ն կամ Ծ-ն: Խաղացողների շահումները նշված են վերջնական դիրքերում: Կիրառելով ինդուկցիայիեղանակը խաղի վերջից, հեշտ է համոզվել, որ

«(Ճ.Ճ.....Բ)իրավիճակը Նեշի

ս՛ -Ճ,

-1....ԻՆ

հավասարակշռության իրավիճակ է ն (2,2,...»2) շահումներով բացարձակ հավասարակշիռիրավիճակ: Իսկապես, դիցուք` 1-րդ խաղացողն ընտրում է պ-քՁ, այդ դեպքում իրավիճակում բոլոր խաղացողներիշա(Ա/Խ-(ս/ԹԷ(Ճ,Ճ...,Ճ.0,Ճ.....Ճ) հումնճերըհավասար են համապատասխանաբար1/,1/.....,1/ւ: Այսինքն` ս

2-Ե(ա)»

Եա /պ-Է)-ՍՆ

ս--ն Նեշի հավասարակշռություն

է: Ակնհայտ է, ռր այս նույն դատողությունը ճշմարիտ է ցանկացածենթախաղիհամար՝ սկսած է-րդ քայլից: Սակայն, այդ իրավիճակը անկայուն է այն իմաստով, որ մեծ թվով խաղացողներիդեպքում, առաջին խաղացողներըչեն կարող վստահ լինել, որ խաղացողներիցորնէ մեկը չի «սխալվթ» ն Ճ-ի փոխարենչի ընտրի Ծ-ն ն ն

Ստորակարգխաղեր

այդ դեպքում բոլոր խաղացողները(ոչ միայն ճա, ով «նխալվեց», շահումի կորուստներկունենան: Խաղի մեջ պատժման վարվելակերպերում գոյություն ունի ճան հավասարակշռությանիրավիճակների հարուստ բազմություն: Այն իրավիճակը, որի դեպքում առաջին ն ցանկացած այլ խաղացող ընտրում է 0Օ-ն, Նեշի հավասարակշռության իրավիճակ է: Այսինքն` պարզվում է, որ հավասարակշիռ են հետնյալ տեսքի իրավիճակները.

(5,Ճ.....0....,Ճ), (Ք-ով՝ մեկ Ծ-ով՝ ցանկացած այլ տեղում): Բոլոր նման իրավիճակներում շահումներըմիննույն են ն հավասարեն (1.լ.....1)-ի: Իսկապես, դիցուք` ս իրավիճակում 2-րդ խաղացողը, որն ընտրում է Ծ-ն, ունի է»1 համարը, եթե 122 խաղացողն ընտրում է պ-ն, որը չի պատկանում ս իրավիճակին, ապա խաղացողների շահումները չեն փոխվում, քանի որ 1-ին խաղացողի կողմից առաջին քայլում Ք այլընտրանքի ընտրությունը երաշխավորում է խաղի ավարտը այդ քայլում, որի դեպքում բոլոր խաղացողների շահումը հավասաը է 1-ի: Եթե ւ-Լ խաղացողը Ծ այլընտրանքիփոխարենընտրում է Ճ այլընտրանքը, ապա շնորհիվ ս դիրքում նս մեկ խաղացողի առկայության, որն ընտրում է Օ-ն (6 համարովխաղացողը), 1-ին խաղացողիշահումը պակասումն հավասարվումէ է-ի: ն-

առաջին ն նս

իրավիճակումշահումները,իհարկե,քիչ

կի շահումներից,սակայն կախված չեն 4.

մեծ

են

ս՝-(Ճ,Ճ.....) իրավիճա-

թվով խաղացողների սխալներից:

Ստորակարգխաղեր

Անհակամարտբազմաքայլ խաղերի կարնորագույնենթադաս են կազստորակարգ խաղերը: Այս խաղերը` մողելավորում են ստորակարգման կառուցվածք ոււնեցող ներհակորեն կառավարվող համակարգերը: Այդպիսիկառուցվածքըորոշվում է որոշակի գերակայության կարգով իրար հաջորդող կառավարման մակարդակներիհաջորդականությամբ: Ստորակարգ խաղերը մաթեմատիկորենդասակարգվում են ըստ մակար-դակճերի թվի ն ուղղահայաց կապերի բնույթի: Դրանցից պարզագույնը երկմակարդակ համակարգնԷ: մում

Ճ.օ

ը,

Գծ.5

Բազմաքայլխաղեր

Ներհակորեն կառավարվող երկմակարդակհամակարգըգործում է հետնյալ կերպ: Կառավարող (կռորդինացնող) Ճօ կենտրոնը գտնվում է ստորակարգությանառաջին մակարդակում, Մ կառավարումներիտրված բազմությունից ընտրում է սՀ(ապ,....մո) վեկտորը, որտեղ պ-ն կենտրոնի կառավարող ազդեցությունն է իրեն ենթակա 8,, -Ն2,....ո ստորաբաժանումների վրա, որոնք գտնվում են ստորակարգության երկրորդ մակարդակում: Իրենց հերթին, 8.-ները, 1-1,2,...,ո ընտրում են ՃԲ (ս), կառավարումները, որտեղ Ճ(ս)-ն՝` 8-ների ստորաբաժանման կառավարումների բազմություններն են` Ճօ կենտրոնի Ս կառավարումովկանխորոշված:Այդպիսով, կառավարող կենտրոնն ունի առաջին քայլի իրավունք ն կարող է սահմանափակել իրեն ենթակա ստորաբաժանումներիենարավորությունները` անհրաժեշտ հունի մեջ դնելով նրանց գործողությունները: Ճօցկենտրոնի նպատակնէ հետագայում մաքսիմացնելԽշ(ալ,...,7ո) ֆունկցիռնալը ըստ ս.-ների, իսկ 8. Հ1.2,...,ո ստորաբաժանումները,ունենալով սեփական նպատակներ,ձգտում են մաքսիմացնելԽ(ս.Պ) ֆունկցիոնալներըըստ ".-ի: 4.2 Այս խնդիրըձնայնացնենքորպես (ոՒ1Լ)անձի (Ճօ վարչականկենտՐ բնականոն տեսքի րոնի ն 8,....,8. արտադրականստորաբաժանումների) ս Ս է անդաշինքխաղ:Դիցուք՝Ճօխաղացողնընտրում վեկտորը,որտեղ՝ 4.1

-խ»

(ե....նը)| սլշ0

պտ Թ:

11,...,ղ,

Հս ԷԶ)

Ե),

Ե20:

Ճօ-ն խաղացողիվարվելակերպերիբազմությունն է 1՝ խաղում: ս, վեկտորը

մեկնաբանենքորպես 2 անվանումներիպաշարներիհավաքանի, որոնք ց կենտրոնըհատկացնումէ 1-րդարտադրականստորաբաժանմանը: Դիցուք` 8. խաղացողներիցյուրաքանչյուրը, իմանալով Ճ0օ-իընտրության մասին, ընտրում է 7.6 Պ/(սլ) վեկտորը,որտեղ ՊԱՃՀՏԱՒՕ,,20): (4.1.) Մ(ապ)«ԽՏ Պլ վեկտորըմեկնաբանվումէ որպես 1-րդարտադրականստորաբաժանման տարբեր արտադրատեսակներիարտադրությանծրագիր: 4Ճ:-ն (Ճ»0) 1-րդ արտադրական ստորաբաժանմանարտադրական կամ տեխնոլոգիական մատրիցն է: 0.-ն (0.20) 1-րդարտադրականստորաբաժանմանառկա պաշարների վեկտորը: Ր խաղում 8, խաղացողի վարվելակերպերասելով, հասկանում ենք այն "() ֆունկցիաների բազմությունը, ռրոնք յուրաքանչյուր ս, տարրին, (Ալ,...չնլ...,մո)ճ Մ, համապատասխանեցնումեն «(պ)ճ (սլ) վեկտորը: Այդպիսի ֆունկցիաներիբազմությունը նշանակենք Ճ., 1-1,2,...,ո: Որոշենք 1՝ խաղում խաղացողներիշահումների ֆունկցիաները: Ճց խաղացողիհամար շահումի ֆունկցիան ունի հետնյալ տեսքը՝ (3,...յո()«(ԱԿ

»զԿ(ս)),

որտեղ 0420, 0:օ Ք" սնեռյալ վեկտոր է, 1--1....,ո։ Օս(ա))-ն գ,

Կ(ա) վեկտոր-

Ստորակարգխաղեր

Ենթադրում ենք, որ 8. խաղացողիշահումի ների սկալյար արտադրյալը: ֆունկցիանհավասարէ` Խշ(մԱ.Մ.(),....«(-ՕԿ(ա), որտեղ 6Հ0, զ6 Ք", -1,...յո՝ սնեռյալ վեկտորէ: տեսքը: Այսպիսով, 1՝ խաղն ունի ՐՀ(Ս,Ճ,Ճշ,...,Մոք,Ի....,Ճղ) 4.3 Ր խաղում կառուցենք Նեշի հավասարակշռության իրավիճակ:

7.(պ)

Դիցուք`

վեկտորը

(ս)

ճո ՇլՄ-ճլ ԿճՆ (սա)

(ս), -1,2....,ո,

(4.2)

պարամետրականգծային ծրագրման խնդրի լուծումն վեկտորնէ), իսկ ս"ՇՍ -ն

(պարամետրը սլ

ոթ (ս,

(43)

խնդրիլուծումն է: Պարզության համար ենթադրենք, որ (4.2)-ում ն (4.3)-ում մաքսիմումները հասանելի են: Նկատենք, որ (4.3)-ը էապես խզվող նպատակային ֆունկցիայով ոչ գծային ծրագրման խնդիր է (մաքսիմացումըկատարվում է ըստ

ս-ի, իսկ

աներ

են:

7: (ս), ընդհանուր առմամբ, ս պարամետրիխզվող ֆունկցի-

Ցույց տանք,

ԼՐ

որ

խաղում (ս.

րակշռությանիրավիճակէ: Իրոք

Ի«(ս Մ Ը). »

2)--

Խ:(ս . ,

Ը),...Մ. Ը))

(3,.

(3,

սճ

կետը հավասաՍ:

Այնուհետն, բոլոր 1-1,...,ո թվերի համար՝

Է(.,Օ....«:(2Հ

Ես,

Ը)...

զԻ(ՀՇպ(ո)ՄՕԿ (ՕոյՕ.

Օ)

հավասարությունը ճիշտ է ցանկացած «()ՇՄ-ի համար: Այսպիսով Ճո,8լ,...,8ո խաղացողներիցոչ մեկին ձեռնտու չէ միակողմանիորենշեղվել

(ս, 7.Ը),..., Կ Ը)) իրավիճակից,ուրեմն այն հավասարակշիռէ: Նկատենք

տվյալ իրավիճակը կայուն է նան դրանից շեղված ՏՇէՌլ,...,8ղ) ցանկացած դաշնախմբի նկատմամբ, քանի որ :-րդ խաղացողի Խ, շահումը կախված չէ (3, )6 (1....չո), թ1 վարվելակերպերից: 4.4 Կրկնակի ենթակայության ստորաբաժանումներ ունեցող ստորակարգ համակարգերըկոչվում են շեղանկյունաձն (Գծ.6): որ

Մ»

8շ

Գծ.

Կրկնակի ենթակայության Շ ստորաբաժանմանկառավարումը կախ-

Բազմաքայլյինաղեր

ված է Ցյ-ի կառավարումիցն 8Ցշ-իկառավարումից:Կարելի է պատկերացնել այնպիսի իրավիճակ, որում բնագավառիշահերը ներկայացնում է լ կենտրոնը, իսկ տարածաշրջանիշահերը, ներառյալ շրջակա միջավայրի պահպանության խնդիրները,8շ կենտրոնը: Կառավարման պարզ շեղանկյունաձն համակարգը որոշումների ընդունման եռամակարդակ ստորակարգ համակարգի օրինակ է: Վարչական կենտրոնը գտնվում է ամենաբարձր մակարդակում ն իր տրամադրությանտակ ունի նյութական ն աշխատանքային պաշարներ: Նա ազդում է իրեն ենթակա երկու կենտրոնների գործունեության վրա, որոնք պատկանում են հաջորդ մակարդակին: Այդ երկու կենտրոններիընդունած որոշռւմներից է կախված այն ձեռնարկության արտադրությանծավալը, որ գտնվում է ստորակարգհամակարգի վերջին մակարդակում: Որոշումների ընդունման այս գործընթացը դիտարկենք որպես չորս անձանց խաղ: Այն նշանակենք Է-ով: Անցնելով խաղային դրվածքի, պայմանավորվենք, որ 1-ին քայլը կատարում է Ճօջ խաղացողը ն ընտրում է ս-(Ալչսշ) տարրը (վարվելակերպը)որոշ Ս բազմությունից, որտեղ Ս-ն /Ճօ խաղացողիվարվելակերպերիբազմությունն է: ս: Ս տարըը սահմանափակում է հաջորդ քայլում Ցլ ն 8չ խաղացողների կողմից ընտրություն կատարելուհնարավորությունները:Այլ կերպ, Ցլ խաղացողիընտրությունների բազմությունը հանդիսանումէ սլ պարամետրիֆունկցիա(նշանակենք այն 8.(դյ)), ն համանմանորեն, 8չ խաղացողի ընտրությունների բազմությունը հանդիսանում է սշ պարամետրի ֆունկցիա (նշանակենք այն 8չ(դշ)): ն «շով Խո-ով (ալճ8լ(ս)) (Մշճ Ծշ(աշ)) նշանակենք համապատասխաման 8չ խաղացողներիընտրություններիբազմություններիտարրերը: բար 8յ 8լ ն Ցչ խաղացողներիկողմից ընտրված լ ն աշ պարամետրերըՇ խաղացողի ընտրությունների բազմությունը սահմանափակում են խաղի երրորդ քայլին, այսինքն, այդ բազմությունըդառնում է 5/լ ն 7 պարամետրերի ֆունկցիա: Նշանակենք այն Շ(այ,աշ), իսկ այդ բազմությանտարրերը (արտադրականծրագրերը)՝Մ: Դիցուք` 40, 8լ, 8շ, Ը բոլոր խաղացողներիշահումները կախված են արտադրական ծրագրից, որն ընտրվում է Շ խաղացողի կողմից ն համապատասխանաբարհավասար են 4.(5), 62Ը), 4ԸԴ, ԸԴ), որտեղ ճԸԴ»20: Այդպիսի ստորակարգ խաղը կարելի է ներկայացնել որպես չորս անձանց բնականոն տեսքի անդաշինք խաղ, եթե համարենք, որ Ճց խաղացողի վարվելակերպերըս-(սլչսշ)6 Մ տարրեր են, իսկ 8, Ցշ ն Շ խաղացողշ(սշ) ն Մ ալ,աշ) ֆունկցիաներնեն, որոնց ճերի վարվելակերպերը(սյ), ն 8չ(շ) արժեքներ, համապատասխանաբար պատկանում են 8:(), Շ(Ցլ,աշ) բազմություններին (այդպիսի ֆունկցիաների բազմությունները նշանակենքՑ., 8շ, Ը), ն որոնք առավել բարձր մակարդակումգտնվողխաղացողի (կամ խաղացողների)յուրաքանչյուր հնարավոր ընտրությանըհաեն տվյալ խաղացողիընտրությունը: մապատասխանեցնում

Ստորակարգխաղեր

Ընդունելով՝ Խ(ՆԽ()շ()7()) ձա ո(աաշաշ), կստանանքԼ խաղի բնականոն տեսքը՝

ԹՀ1,2,3,4,

(Ս,8.,8շ,:Շ5,Ճշ,Ճ».Ճ.):

Լ-

Փնտրենք խաղում Նեշի հավասարակշռության իրավիճակը: Դրա համար կատարենք օժանդակկառուցումներ: սնեռյալ զույգի հաՅուրաքանչյուր (Խլ,Ծշ), (Բոչ"2)6

«յ8.(ս»«8:(սշ)

մար Կ՝(Խղ,Կշ)-ով նշանակենք հետնյալ պարամետրականխնդրի լուծումը՝ ոշ ԿՐ (Թղթ): 2()(4.4) "6Շ(ալ,թշ)

(Համարում ենք, որ (4.4)-ում մաքսիմումը հասանելի է:) Պարզվում է, որ (4.4) աշն 10116 պարամետրերի ֆունկցիա է: Դիտարկենք պարամետրական (սլ, սչ պարամետրերով) 8յ ն 8շ երկու անձանց ԼՐ(սլչնշ)-(8:(Կլ),82(աշ),8շ,83) անհակամարտ խաղը, որտեղ Շ-ԵՐԻ(աշ), Ք-ՅՐԻ(Ո,ն»)): Լ(ասշ)-ում 8 խաղացողի վարվելակերպերը ՄՀ 8յ(սյ) տարրերն են, Ցչ խաղացողի վարվելակերպերը`Կ/չՇ Ցշ(սշ) տարրերը: Ենթադրենք,որ Ր(դ"լչսշ) խաղում գոյություն ունի Նեշի հավա-

լուծումը լ, (Խղ,Կշ), խնդրիԽ-(Տ-Կ

աշ(սշ))-ով:Նշենք, ('՛ (սյ),

սարակշռության իրավիճակ, որը նշանակենք որ

ա: ()-ն

պարամետրիֆունկցիա է,

Դիցուք՝ այնուհետն ս'-(

(ս-,

(Կլ(սյ, Կչ(ս)):

(Օշ Ը),Խ ()) :

Խ(սՆԿ (ԽՄ

ՀՈՐ

առնչությունը բոլոր Քանի

որ

սճ

այ(սլ),

ռու ո

(Գղ (ա, դ

(4.5)

իրավիճակը Նեշի հավասարակրշոության

խաղում: Ապացուցում: Ըստ ս -ի սահմանման, (4.5)-ից

իրավիճակ է Ր

1-12:

ս.,ս: )-ը հետնյալ էքստրեմալ խնդրի լուծումն է.

ոռ: 6. Լեմ:

(268,

(սշ))

Կ(ա

հետնում

(Գո(այ,

է ո

զոԸ), «0:

(սշ))Հ (9

Ս-ի համար:

,(սշ)-երը Ի'(ս.,սչ )

օժանդակ խաղում ստեղծում

Նեշի հավասարակշռության իրավիճակ, ցանկացած Պլ)Շ8: Հ

են

ա(ս)-

ՄՇ 8յ(սշ) ֆունկցիայի համար ճշմարիտ են հետնյալ առնչությունները`

Խ(ս,

(,"2(,:

(Հ

ՔԸ

-Զ(ԿՆալ(), Համանման

(աա(ու))ՀԶռնա

(Գոա)

(37 (3)

անհավասարությունըճիշտ է

նան

8շ խաղացողի համար:

Ըստ

Բազմաքայլխաղեր

«` ֆունկցիայի սահմանումի (4.5)-ից ունենք՝

Խմ. Կղ(,ա2Օ,"

ոջ.

«Շ(ալ(Կլ)աշաշ)

ցանկացած «()ՇՇ

Կ(ե(4)Հ

ՐՐ (Կ (ա), ա(83)սաա)

ֆունկցիայի համար,

«(Կո(ա, աչ(մշ)) Լեմը

ՕՀ

ՕՇ(ԵԼ(Ալ),չ(նչ)):

ապացուցված է:

Ոչ լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր

1-4 պարագրաֆներում դիտարկվեցինլրիվ իրազեկմամբ բազմախաղերը՝ որոշված 1-(Ճ.Է) վերջավոր ծառակերպ գրաֆի վրա, որոնցում խաղացողներիցյուրաքանչյուրը իր քայլի կատարմանպահին ստույգ գիտեր, թե որ դիրքում կամ ծառի որ գագաթում է գտնվում ինքը: Հենց այդ պատճառով հնարավոր եղավ մտցնել 1-րդխաղացողիվարվելակերպհասկացությունը՝ որպես լ հերթականությանբազմության վրա որոշված միարժեք սլ(6) ֆունկցիա,որի արժեքներըք, բազմությունումեն: Սակայն, եթե փորձենք հետազոտել այնպիսի բազմաքայլ խաղեր, երբ խաղացողներնիրենց ընտրությունըկատարելիս ստույգ չգիտեն իրենց դիրքը քայլը կատարելու պահին, կամ կարող են լոկ ենթադրել, որ այդ դիրքը պատկանում է 2: հերթականությանբազմության որոշ Ճ ենթաբազմությանը, ապա խաղացողի վարվելակերպիիրականացում, որպես 2627. դիրքի ֆունկցիայի, անհնարին կդառնա: Այսպիսով խաղի իրազեկային կառուցվածքը բարդացնելու ցանկությունը անխուսափելիորեն հանգեցնում է վարվելակերպ հասկացության փոփոխության: Ստույգ ձնակերպումներիհամար անհրաժեշտ է առաջին հերթին ձնայնացնել իրազեկում հասկացությունը խաղի համար: Այստեղ կարնոր դեր է խաղում իրազեկման բազմությունհասկացությունը: Ասվածը պարզաբանենքմի քանի պարզագույն օրինակներով,որոնք խաղերիտեսության ուսումնականգրականությանմեջ դարձելեն դասական: Օրինակ 7: (Հակամարտխաղ): Կատարելով առաջին քայլը՝ 1-ին խաղացողը (1,2) բազմությունիցընտրում է մի թիվ: Երկրորդ քայլը կատարում է 2-րդ խաղացողը: Գիտենալով 1-ին խաղացողիընտրությունը,նաէլ է 41,2) բազմությունից ընտրում մի թիվ: Երրորդ քայլը կատարում է դարձյալ 1-ին խադացողը: Գիտենալով 2-րդ խաղացողի ընտրությունը ն հիշելով սեփական ընտրությունը,նա (1,2) բազմությունիցընտրում է մի թիվ: Այստեղ խաղը դադարում է, ն 1-ին խաղացողն ստանում է ԷԼ շահում (2-րդ խաղացողը` --էԼ շահում, այսինքն` խաղը հակամարտ է), որտեղ Է ֆունկցիան որոշվում է հետնյալ կերպ. 5.1

քայլ

Ո, լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր

ԷՈ,,352-3 ԱՈ,.2--2

(2,114 ..8Օ,.2)»1

ԷԱ(2,2,1)Հ Է(ՈՆ,2,2)--5 Է(22,2)-5 Խաղի Լ-(Ճ,Է) գրաֆը պատկերված է 10-րդ գծանկարում:

ո(1.,2,1)-2

(5.1)

Գծ.7

այն դիրքերը, որոնցումքայԳրաֆի լեր է կատարում 1-ին խաղացողը, իսկ քառակուսիներով` այն դիրքերը, որոնցում քայլեր է կատարում 2-րդ խաղացողը: Եթե Ճյ բազմությունը նշանակենք2-ով, Հ.շ բազմությունը՝7-ով ն այդ բազմություններիտարրերը համապատասխանաբար,26 Ճ, 6 7, ապա 1-ին խաղացողի սլ() վարվելասյ), (3), ս0գ), սլ): հնգաչափ կերպը տրվում է սյ()-լայ0), վեկտորով, որը Ճ բազմության յուրաքանչյուր դիրքում պահանջում է (1,2) երկու թվերից մեկի ընտրությունը: 2-րդ խաղացողի սչ() վարվելակերպը հանգունապես ներկայացնում է սչ()-1սշ(7:), սշ0շ)) երկչափ վեկտորը, որը պահանջում է (12) երկու թվերից մեկի ընտրությունը Մ բազմության յուրաքանչյուր դիրքում: Այսպիսով 1-ին խաղացողն այս խաղում ունի 32 վարվելակերպ, իսկ 2-րդ խաղացողը՝ 4 վարվելակերպ: Խաղին համապատասխանող բնականոն տեսքը` 3224 չափի մատրից է, որը սակայն ունի հավասարակշռության իրավիճակ` մաքուր վարվելակերպերում:Կարելի է համոզվել, որ դիտարկվողխաղի արժեքը հավասար է 4-ի: 1-ին խաղացողն Օ,ԷԵ2,12), ունի չորս լավագույն մաքուր վարվելակերպ` (2,1,11,2), (2,2,1,1,2), Օ,2,2,1.2), իսկ 2-րդ խաղացողն ունի երկու լավագույն վարվելակերպ.(1,1), (2,1): Օրինակ 8: Մի փոքր փոխենք 7-րդ օրինակի իրազեկման պայմանները: Խաղը հակամարտ է: Կատարելով առաջին քայլը, 1-ին խաղացողը (1,2) բազմությունից ընտրում է մի թիվ: Երկրորղ քայլը կատարում է 2-րդ խաղացողը: Գիտենալով 1-ին խաղացողի ընտրությունը, նա էլ է |1,2) բազմությունից ընտրում մի թիվ: Երրորդ քայլը կատարում է դարձյալ 1-ին խաղացողը: Չիմանալով 2-րդ խաղացողի ընտրությունը ն մոռանալով վրա օղակներով պատկերվածեն

Բազմաքայլ խաղեր

սեփական ընտրությունը, նա մի թիվ է ընտրում (1,2) բազմությունից: Այստեղ խաղն ավարտվում է, իսկ շահումը որոշվում է (5.1) բանաձնով, ինչպես ռր ճախորդ օրինակում: Խաղի ԼՀ(Ճ,Է) գրաֆը չի փոխվում, սակայն, գտնվելով 2, 23, Հգ, 25. հանգույցներում, (խաղի երրորդ քայլին) 1-ին խաղացողըչի կարող որոշել, թե իրականում որ հանգույցում է գտնվում ինքը, բայց, գիտենալովքայլերի հերթականությունը (երրորդ քայլ), նա կարող է համոզված լինել, որ չի գտնվում լ հանգույցում: 1՝ գրաֆում 2., 23, «գ, «5 հանգույցներն առնենք կետագիծ շրջանակի մեջ (գծ.8): Արդյունքում լ հանգույցը հայտնվեց

Գծ.

ինչը կարելի է

շրջանակի մեջ, մեկնաբանել որպես 1-ին խաղացողիկողմից այդ հանգույցի ստույգ իմացությունը երբ ինքը գտնվում էր այնտեղ: 7,7շ հանգույցներնառնված են քառակուսիներիմեջ: Սա նույնպես ճշանակումէ, որ 2-րդ խաղացողն իր քայլը կատարելիս գտնվելով դրանցից մեկում, կարող է մեկ ուրիշից այն տարբերել: շշ, 2, »., «5 հանգույցներըխմբավորելով մի բազմության մեջ. մենք ցույց ենք տալիս դրանց անզաճազանելիության փաստը 1-ին խաղացողի համար: Այն բազմությունները, որոնցում խմբավորվածեն հանգույցները, կանվանենքիրազեկմանբազմություններ: Այժմ անցնենք վարվելակերպերինկարագրությանը:2-րդ խաղացողի իրազեկությանվիճակը չի փոխվել, այդ պատճառովնրա վարվելակերպերի բազմությունը նույնն է, ինչ որ 7-րդ օրինակում,այսինքն՝ բաղկացած է չորս վեկտորներից՝ (1,1), (1,2), (2,1), 0,2): 1-ին խաղացողի իրազեկությանվիճակը փոխվել է: Խաղի երրորդքայլում նճա գիտե միայն այդ քայլի համարը, բայց չգիտե այն դիրքը, որում գտնվում է: Հետնաբար, նա չի կարող իրականացնել հաջորդ գագաթի ընտրությունը (կամ (1,2) բազմությունից թվի ընտրությունը) կախված այն դիրքից, որում գտնվում է երրորդ քայլի ժամանակ: Այդ պատճառով երրորդ քայլում նա ստիպված է, անկախ իսկապես իրականացված դիրքից, ընտրել (112) երկու թվերից մեկը: Այդ պատճառով նրա վարվելակերպը իրենից ներկայացնում է (1), 16(12), )5 0,2) թվերի զույգը, որտեղ 1 թիվն ընտրվումէ »չ դիրքում, իսկյ թիվը բոլոր ,

5. 5շ, Ճ3, 3Կ» 55

Ոչ լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր

դիրքերում նույնն է երրորդքայլի ժամանակ: Այսպիսով պարզ-

վում է, որ ) թվի ընտրությունըբազմության ֆունկցիա է ն կարող է ունենալ ս(22,43.44,4:5)-) տեսքը: Տվյալ խաղում երկու խաղացողներն էլ ունեն չորսականվարվելակերպ,ն խաղի մատրիցնունի հետնյալ տեսքը. 02) (ւդ (412). Օ1 01.7(-3

(Ը.2)|-2

Զ.)| (2.2)|

-Ց

Այս խաղում մաքուր վարվելակերպերումչկա հավասարակշռության իրավիճակ: Խաղի արժեքը հավասար է 19/7, 1-ին խաղացողի լավագույն խառը վարվելակերպը (0, 0, 4/7, 3/7) վեկտորն է, իսկ 2-րդ խաղացողի լավագույն խառը վարվելակերպըհավասար է (4/7, 3/7, 0, 0)-ի: 8-րդ օրինակի համեմատությամբ 1-ին խաղացողի երաշխավորված շահումը նվազում է: Դրա պատճառընրա իրագեկության վիճակի վատթալրանալնէ: Հետաքրբիրէ, ռր 9-րդ օրինակի խաղի մատրիցն ունի 424 չափ, մինչղեռ 8-րդ օրինակի խաղի մատրիցը3224 չափի է: Այսպիսով մատչելի իրազեկության նվազումըփոքրացնում է շահումների մատրիցի չափը, ուստի ն հեշտացնումխաղի լուծումը, ինչը հակասումէ լայն տարածումգտած այն կարծիքին, թե իրազեկությաննվազումըբարդացնում է որոշումներիընդունումը: Փոփոխելով իրազեկման պայմանները, կարելի է ստանալ 8-րդ օրինակում նկարագրվածխաղի այլ տարբերակներ: Օրինակ 9: Կատարելով առաջին քայլը, 1-ին խաղացողը 11,2) բազմությունից ընտրում է մի թիվ: Երկրորդ քայլը կատարում է 2-րդ խաղացողը, որը, չիմանալով 1-ին խաղացողի ընտրությունը, մի թիվ է ընտլում (12) բազմությունից: Այնուհետն կատարելով երրորդ քայլը, 1-ին խաղացողը (1,2) բազմությունից մի թիվ ընտրումէ` իմանալով 2-րդ խաղացողի ընտրությունը ն հիշելով առաջին քայլում իր կատարած ընտրությունը: Շահումը որոշվում է նույն ձնով, ինչպես որ 8-րդ օրինակում (տե'ս. գծ.9)

գծ.

/ւ

Բազմաքայլխաղեր

Քանի որ երրորդ քայլը կատարելիսխաղացողըգիտե այն դիրքը, որում ինքը գտնվում է, երրորդ մակարդակիդիրքերն առնված են շրջանակների մեջ, երկու հանգույցները,որոնցում իր քայլն է կատարում2-րդ խաղացողը, նշել ենք կետագծով՝դրանք ներառելովմեկ իրազեկմանբազմության մեջ: Օրինակ 10: Կատարելով առաջին քալր, 1-ին խաղացողը (1,2) բազմությունից ընտրում է մի թիվ: Երկրորդ քայլը կատարումէ 2-րդ խաղացողը՝ չիմանալով 1-ին խաղացողիընտրությունը: Այնուհետն կատարելովերրորդ քայլը, 1-ին խաղացողըմի թիվ է ընտրում (1,2, բազմությունից`չիմանալով 2-րդ խաղացողի ընտրությունը ն չհիշելով առաջին քայլում իր կատարած ընտրությունը: Շահումը որոշվում է նույն ձնով, ինչպես ռր 8-րդ օրինակի խաղում (Գծ.10):

Գծ.

Այստեղ 1-ին խաղացողի վարվելակերպըբաղկացած (1, )) թվերի զույգից, որտեղ 1-ն առաջին քայլում կատարած ընտրությունն է, իսկ )-ն՝ երրորդ քայլում: 2-րդ խաղացողիվարվելակերպըխաղի երկրորդ քայլում յ թվի ընտրությունն է: Այսպիսով, 1-ին խաղացողն ունի չորս վարվելակերպ, իսկ 2-րդ խաղացողը երկու վարվելակերպ: Բնականոն տեսքի խաղի մատրիցը 422 չափի է՝ է

(«2-3

-5|

412)|-2 Օ2.2|

(2211

Խաղի արժեքը հավասար է 19/7-ի, 1-ին խաղացողիլավագույն խառը վարվելակերպը(0,0,4/7,3/7) է, 2-րդ խաղացողի լավագույն վարվելակերպը՝ (4/7, 3/7) է: Այս խաղում արժեքը նույն է, ինչ որ 9-րդ օրինակի խաղում, այսինքն` պարզվեց, որ 2-րդ խաղացողի իրազեկման պայմանների վատանալը չլավացրեց 1-ին խաղացողի վիճակը: Տվյալ դեպքում այս հանգամանքըպա-

Ո, լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր

տահական բնույթ է կրում, ն պատճառըշահումի ֆունկցիայի յուրահատկությունն է: Օրինակ 11: Նախորդ օրինակումխաղացողներըչեն տարբերումխաղի ծառի նույն մակարդակումգտնվող դիրքերը, սակայն, այնուամենայնիվ, նրանք գիտեն, թե ռր քայլն են կատարում: Կարելի է կառուցել այնպիսի ուն: խաղ, որում խաղացողներըհաճդես են բերում առավել աճգիտութ Դիտարկենք երկու անձանց այնպիսի հակամարտ խաղ, որում առաջին խաղացողը մեկ մարդ է իսկ երկրորդ խաղացողը՝ Ճ. ն Ց երկր մ.սրդուց բաղկացած թիմ: Երեքն էլ մեկուսացված են մեկը մյուսից (գտնվում են տարբեր սենյակներում) ն չեն կարող հաղորդակցվելմիմյանց հետ: Խաղի սկզբում միջնորդը մտնում է այն սենյակը, որտեղ գտնվում է առաջին խաղացողը ն նրան առաջարկում է 11,2) բազմությունիցընտրել մի թիվ: Եթե առաջին խաղացողնընտրում է 1 թիվը, ապա միջնորդընախ մտնում է այն սենյակը, որտեղ գտմճվումէ Ճ-ն ն առաջարկում (1,2) բազմությունից ընտրել մի թիվ, այնուհետն մտնում է 8-ի մոտ ն առաջարկում ընտրություն կատարել 41,2) բազմությունից: Իսկ եթե 1-ին խաղացողն ընտրում է 2 թիվն, ապա միջնորդըՑ խաղացողին է առաջարկումառաջինը ընտրուբյուն կատարել: Երբ երեք թվերն ընտրվում են, 1-ին խաղացողըշահում է Է(..շ.7) մեծությունը, որտեղ 2, 7, 2-ը՝ 1-ին խաղացողի ն 2-րդ թիմի անդամների` Ճ-ի ն 8-ի, ընտրություններնեն: Խ(.ՆՖ,2) ֆունկհամապատասխանաբար է ցիան որոշվում հետնյալ կերպ. Է(,1,1)-1., Ճ(Ո,Ն2):Հ3, ԲՃ(Ո2,1)-7, ԷՃ(Ն22) 9, ՃՕԶ,12)21., Խ(21,))Հ25 Ճ(22,1)Հ6. .Բ(Օ,2.2) -7: է, Խաղի կանոններիցերնում որ երբ թիմիանդամճերիցորեէ մեկին՝Ճ-ին կամ 8-ին, առաջարկվումէ ընտրություն կատարել, ճա չգիտե, թե իր ընտրությունը խաղի 2-րդ, թե 3-րդ քայլում է կատարում: Խաղի կառուցվածքը պատկերված է 1 1-րդգծանկարում:

ԴՂծ. 11

Այսպիսով, 2-րդ խաղացողի իրազեկմանբազմությունները պարունակում են տարբեր մակարդակի գագաթննր, ինչը համապատասխանում է խաղի ընթացքում քայլի համարը չիմանալուն: Այստեղ 1-ին խաղացողն ունի երկու վարվելակերպ: 2-րդ խաղացողն ունի չորս վարվելակերպ,

Բազմաքայլխաղեր

դրանք բաղկացած են իր թիմի Ճ ն Ծ անդամներիընտրություններիբոլոր հնարավոր համակցություններից, այսինքն` նրա վարվելակերպերը(1,1), (1,2), (2,1), 0,2) զույգերն են: Հասկանալու համար, թե ինչպես են որոշվում շահումների մատրիցի տարրերը, դիտարկենք (2,(2,1)» իրավիճակը: Քանի որ 1-ին խաղացողն ընտրել է 2-ը, միջնորդը գնում է 8-ի մոտ, որը (2,1) վարվելակերպիհամաձայն, ընտրում է 1-ը: Այնուհետն նա գնում է Ճ-ի մոտ, որն ընտրում է 2-ը: Այսպիտվ (2,(2,1)) իրավիճակումշահումը հավասար է Խ(2,1,2)-1-ի: Բնականոն տեսքի խաղի համար շահումներիմատրիցն ունի հետնյալ տեսքը. (1.1) (1.2) Օ.1) Օ.2) ւ/1

Խաղի արժեքը հավասար է 17/5-ի, 1-ին ու 2-րդ խաղացողների լավագույն խառը վարվելակերպերը համապատասխանաբարհավասար են (2/5, 3/5), (3/5, 0, 2/5, 0)-ի: Նկատենք, որ լրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղերում գոյություն ունի Նեշի հավասարակշռությանիրավիճակ մաքուր վարվելակերպերիդասում, իսկ լրիվ իրազեկմամբ հակամարտ բազմաքայլ խաղերի դեպքում` պարզապես հավասարակշռության իրավիճակ մաքուր վարվելակերպերում: Ընդսմին, ոչ լրիվ իրազեկմամբ բոլոր խաղերում դիտարկված8-11-րդ օրինակներում, հավասարակշռությանիրավիճակ մաքուր վարվելակերպերում գռյություն չունի: 5.2 Այժմ տանքբազմաքայլ դիրքային խաղի սահմանումը: ո անձանց 1՝ բազմաքայլդիրքայինխաղը որոշված է, եթե՝ Սահմանում: 1) Տրված է Լ-(Ճ, Ի) ծառակերպգրաֆը՝ սկզբնական2ց գագաթով, որը կոչվում է խաղի սկզբնականդիրք: 2) Բոլոր , գագաթներիբազմությունները տրոհված են ՈՒԼ 2Ճ.,2շ...., Ֆոչճոչլ բազմությունների,որտեղ Չէ,բազմությունըկռչվում է 1-րդխաղացողի ԸՇՀ1,2,....ո) հերթականության բազմություն, իսկ Ճու- ւ: Բ) բազմությունը կոչվում է վերջնականդիրքերիբազմություն: 3) 26 Ճոււ վերջնական դիրքերի բազմության վրա տրված է ԽԸ)Հ(Բ.(5),....Բո(5)) վեկտոր ֆունկցիան: Խ(չ) ֆունկցիան կոչվում է 1-րդ խաղացողի շահում: 4) Յուրաքանչյուր 2.,, Է-1,...,ո բազմություն ենթատրոհված է չհատվող ն

ենթաբազմությունների,որոնք կոչվում են :-րդ խաղացողիիրազեկման միննույն բազմության ցանկացած բազմություններ: Ընդ ռրում իրազեկման պետք է պանրան հաջորդող գագաթներիբազմությունը դիրքերի համար րունակի միննույն քանակի գագաթներ, այսինքն` ցանկացած 2,765 2.) համար |Բ,Է|Խի)(Է,-ը

Է, բազմության տարրերի քանակն է), ն իրազեկման

բազմության ոչ մի այլ

է հաջորդի այն նույն բազմության որնէ չսպլետք

գագաթ

գագաթի, այսինքն` եթե

գագաթ

այնպիսին,որ 6

Վարքի վարվելակերպ

Է:

Է), ապա

գոյություն չունի մեկ

այլ

Լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղի սահմանումը այստեղ ներկայացվածից տարբերվում է միայն 4-րդ պայմանով, որի մեջ մտցվում են 2. խաղացողներիհերթականությանբազմություններիօժանդակ տրոհումները իրազեկման բազմությունների: Ինչպես երնում է օրինակներից, այդպիսի տրոհման բովանդակության իմաստն այն է, որ «ՀՃ. դիրքում իր քայլը կատարելիս, 1-րդ խաղացողը, ոչ լիրվ իրազեկման պայմաճներում չգիտե բուն

դիրքը, այլ գիտե միայն,

բազմության մեջ («6

չ)):

ռր

այդ

դիրքը գտնվում է

որոշ

ՃՇ

4-րդ պայմաճը որոշակի սահմանափակումներ է

դնում խաղացողի իրազեկման բազմությունների վրա: Իրազեկման մեկ բազմության ցանկացած երկու գագաթների համար |Բ.Է|Բյ պահանջը դրվում է որպեսզի, 2.76

գագաջները լինեն չտարբերվող: Իսկապես,

դեպքում 1-րդխաղացողը կարող էր 2.76 Ճ: գագաթներըիրարից |Բ,ԻՎԲ,|-ի տարբերելնրանցից դուրս եկող աղեղներիքանակով: Եթե իրազեկման մեկ բազմությանմեջգոյություն ունենային երկու այնպիսի 2, 7 գագաթներ,որ Խճ

ապա

դա

կնշանակեր, որ խաղի պարտիան կարող էր երկիցս հատել

մեկ իրազեկմանբազմությունը, իսկ դա իր հերթին հավասարազոր կլիներ նրան, ռր յ-րդ խաղացողը չի հիշում քայլի համարը տվյալ պարտիայում, ինչը դժվար է պատկերացնելիրական խաղում: 6.

Վարքի վարվելակերպ

Շարունակենք ոչ լրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղի ուսումնասիրությունը ն ցույց տանք, որ բոլոր խաղացողներիլիակատար հիշողության դեպքումայդպիսի խաղը ունի հավասարակշռության իրավիճակ վարքագծի վարվելակերպում: 6.1 Հետագա ուսումնասիրության համար անհրաժեշտ է ճերմուծել մի շարք լրացուցիչ հասկացություններ: Սահմանում: «6 Ճ գագաթում այլընտրանքներ են կոչվում այն աղեղները, որոնք պատկանելի են 4 գագաթին, այն է՝ ((., 7)-76 Է,): Եթե |է, է, ապա « գագաթն ունի Բ թվով այլընտրանք: Համարենք, որ եթե գագաթումգոյություն ունի է թվով այլընտանք,ապադրանք համարակալվում են 1....,է ամբողջ թվերով, ընդորում 2 գագաթը շրրջանցվում է ժամացույցի պաքի ուղղությամբ: շօ գագաթի առաջին այլրընտրանքը կարող է նշվել կամայականորեն: Եթե որնէ 2». գագաթ շրջանցվում է ժամացույցի

/է

սլաքի ուղղությամբ, այն

որը հետնում

ապա

է 2-ի

Բազմաքայլխաղեր

դիրքում առաջին այլընտրանքը համարվում է

մեջ մտնող ( Բ՛՛ չ) միակ աղեղին(գծ.12).

Լ.

Հվ

ատա

բ:

Գծ.12

Համարենք,որ Ր խաղում բոլոր այլընտրանքները համարակալվածեն հիշյալ եղանակով: Դիցուք` Ճ.-ն բոլոր «6 Հ: գագաթներիբազմությունն է, որոնք ունեն ճիշտ Ք այլընտրանք, այսինքն` Ճ-(2:Ի,ԷԻ): Դիցուք՝

ԼՀ-(2)::20

Ճ) բազմությունը 1-րդխաղացողիիրազեկմանբոլոր բազմությունների բազմությունն է: 1-րդխաղացողի մաքուր վարվելակերպ ասելով կհասկանանք սլ ֆունկցիան, որը կ-ն դրական թվերի բազմության մեջ արտապատկերումէ այնպես, որ ս(20)Հ Լ, եթե21Շճյ:Կասենք, որ պ Շ

վարվելակերպնընտրում է

այլընտրանքը 26

2.) դիրքում, եթե ս(2)-Շ

ռրտեղ4-ը այլընտրանքիհամարն է: Ինչպեսոր 1-ինպարագրաֆում՝կարելիէ ցույց տալ, որ ս(-)-(ե()....չա)) իրավիճակին միակ ձնով համապատասխանումէ ա, պարտիան, ուստի ն՝ այդ պարտիայիվերջնականդիրքիշահումը: Դիցուք՝ 26 Ճոչլ-ը որոշ վերջնական դիրք է ն Խ-0ն 75-ից դեպի չ տանող միակ ուղին (Բ-ը ծառն է): 7 դիրքի պատկանելությանպայմանը 7 ուղուն կներկայացնենք76 Խ կամ 7Հյ տեսքով: «624 դիրքը կոչվում է ա()-ի համար հնարավոր, եթե Սահմանում: գոյություն ունի սյ) պարունակող այնպիսի ա() իրավիճակ, որ ս() իրավիճակում իրագործվումէ Խ ուղիճ, որը պարունակումէ չ դիրքը, այն է՝ «67:

Հ)

ՃՇ

իրազեկման բազմությունը կոչվում

1.)

ս()-ի համար էական, եթե որոշ

դիրքը հնարավոր է ս՛(:)-ի համար:

ս()-ի համար հնարավորդիրքերիբազմությունընշանակենքԹօջտտա()-ով, ընտանիքը՝ՔՀխ.()-ով: իսկ ս()-ի համարիրազեկմանէականբազմությունների 6.2 Ոչ լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ 1՝ խաղերումխառը վարվելակերպը սահմանվումեն նույն կերպ,ինչպեսկ. 3-ում՝ վերջավորխաղերիհամար: Սահամնում: 1-րդխաղացողի ս խառը վարվելակերպ է կոչվում 1-րդ խաղացողիմաքուր վարվելակերպերիբազմության վրա հավանականային մաքուր վարվելակերպին համապաբաշխումը, որը յուրաքանչյուր ս)

ճ.

Վարքի վարվելակերպ

(պարզության համար տասխանեցնումէ զ, (0) հավանականությունը

հե-

տագայում ուղղակի զ,, ): ու- (եչքծ»...չչո) իրավիճակը խառը վարվելակերպերում որոշում է հապարտիաների վրա (հետնաբար, վանականություններիբաշխումը բոլոր ա, ն ույ վերջնականդիրքերիվրա) ըստ

թաՈՉ-

զայ «զ..2,( 8)

բանաձնի, որտեղ Ի(«Դ-1, եթե 7,պարտիանիրագործվում է ս) իրավիճակում ն Ք.(ս)-0 հակառակ դեպքում: Լեմ: 5024)-ռվնշանակենք 7»: դիրքի իրականացման հավանականությունը յս իրավիճակում:Այդ դեպքում տեղիունի

ԽՑ-

զազա

|սԸ)26թ055սյ()35Լռ)

զա

) (ալտթ055ս,

(6.1)

բանաձնը: խ իրավիճակում 1-րդ խաղացողի Է(ա) շահումի մաթեմատիկական սպասելինհավասար է (6.2) Ւ (2)5,(0), Ե(:)-

ՃՏՃուլ

որտեղ 5,(2)-ը հաշվարկվում է (6.1) բանաձնով: Սահմանում: 2. դիրքը կոչվում է հնարավոր /զ-ի համար, եթե խառը վարվելակերպերումգոյություն ունի յգ պարունակող յչ իրավիճակ, այնպիսին,

որ

ք,(5)»0: 1-րդխաղացողի 24: իրազեկման բազմությունը կոչվում

էական չյգ-իհամար, եթե որնէ «Օ

24)հնարավոր է յո-ի համար:

ի-ի հնարավորդիրքերի բազմությունը նշանակենք Ֆ0ՏՏ չղ-ով, իսկ /«-ի էական իրազեկմանբազմություններիբազմությունը՝ 861 ո-ով: 6.3 Ուսումնասիրելովլրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղերր, ցույց տվեցինք, ռր վարվելակերպի ընտրությունը կարող է կայանալ խաղի համապատասխանդիրքի յուրաքանչյուր քայլում, իսկ կոնկրետ խնդիրների լուծման դեպքում պարտադիր չէ (գործնականում հնարավոր էլ չէ) նախապես որոշել վարվելակերպը,այսինքն, հանձնարարվող վարքագծի լրիվ հավաքածուն բոլոր դիրքերում (իրազեկման բազմություններում), քանի որ ճման կանոնը «տառապում է մեծ հավելուրդով»: Կարելի՞ է արդյոք, համանման պարզեցում կատարել ոչ լրիվ իրազեկմամբ խաղերում, այսինքն` վարվելակերպըկառուցել ոչ թե՝ որպես ընտրության նախապես (որոշ) հաստատագրված կանոն իրազեկման բոլոր բազմություններում,այլ այն ձեավորել իրազեկման համապատասխան բազմության մեջ ընկնելուն զուգընթաց: Պարզվում է, որ ընդհանուր դեպքում դա հնարավոր չէ: Սակայն, գոյություն ունի ոչ լրիվ իրազեկմամբխաղերի դաս, որտեղ նման պարզեցումը հնարավոր է: Մտցնենք վարքագծի վարվելակերպհասկացությանը:

Բազմաքայլ խաղեր

1,-րդխաղացողի Բ վարքագծի վարվելակերպ ասելով կհասկանանքայնպիսիկանոնը,որը իրազեկման1-րդխաղացողիյուրաքանՍահմանում:

չյուր Վան բազմության համապատասխանեցնումէ ԵՀ,...,ւ

թվովԵ(2:),6)20,

թվերիհամակարգայնպիսիք, որ

չ.ԵՍԽ.")-1,

որտեղ՝ Ճ-

(4:18,Էն):

Ե(24/,Խ)թվերը կարող են մեկնաբանվել որպես " այլընտրանքի ընտրության հավաճակաճնություններ Վար իրազեկման բազմության մեջ, որի

յուրաքանչյուր դիրքը պարունակումէ ճիշտ է այլընտրանք: ո խաղացողների համար վարքագծի վարվելակերպերի ցանկացած Ց -(8.,...,.8)) հավաքածուն որոշում է խաղի պարտիաների ն վերջնական դիրքերի վրա հավանականություններիբաշխումըհետնյալ կերպ.

թ(-

2)ՈՀ

ԵՕԿ.»):

(6.3)

ԽՇա

Այստեղ

արտադրյալը

վերցվում է

ըստ

այնպիսի

բոլոր

որ 24),Ն-երի,

ն 7 համարն այլընտրանքի ընտրությունը2) Րա կետում 2) Րա«Օ, `հան-

գեցնում է 7 ուղուն պատկանող դիրքի: Հետագայում "ուղի" հասկացությունը հարմար է հասկանալ ոչ միայն որպես այն կազմող դիրքերի հավաքանի, այլն համապատասխանայլընտրանքների(աղեղների) հավաքանի: Վարքի վարվելակերպերումԹ -(թյ....,8ո) իրավիճակումսպասվողԷ՛(թ) շահումը սահմանվումէ, որպես

Է(Թ-

ՇՆ

Ֆ։

ուլ

հլ(Խ(,)»1-1,...ո,

ււ վերջնական դիրք ունեմաթեմաթիկականսպասելի, որտեղ ՃԽ,-ը 26 ցող պարտիա է: 6.4 Յուրաքանչյուր յ, խառը վարվելակերպինկարելի է համադրել վարքագծիորնէ վարվելակերպին: Սահմանում: 1-րդխաղացողի /վ-( զ, ) խառը վարվելակերպինհամա-

պատասխանողվարքագծի վարվելակերպ կոչվում է Բ վարքի վարվելակերպ, որը սահմանվածէ հետնյալ կերպ: ապա Եթե 2) 6 Թօլո,

Ե(2)-

չ,

զ.

(ալյառօխլԿՕ)) յ» զա (ալ:468տխլ)

(6.4)

Ֆունկցիոնալհավասարումներմիաժամանակյաբազմաքայլխաղերի համար:

Եթե 13:21

ապա

շել կամայական, (6.4)-ից

26)բազմության Բ վարվելակերպըկարելի է որոդեպքում (6.4) արտարբեր ձնով: (22 Թ6յա-ի

տահայտության հայտարարը վերածվում է զրոյի): Որոշակիության համար ենթադրենք՝

Ե(ՉԽ)-

Ֆ.

զ":

(6.5)

(ալս 654) Լ խաղը կոչվում է 1-րդ խաղացողիհամար լրիվ հիշողուՍահմանում: թյամբ խաղ, եթե ցանկացած Կ), չ), »5-երիհամար 216Բոյլըն 26 չ) պայմաններիցհետնում է, որ 26 Ք0ՏՏ Աչ: Սահմանումից հետնում է, որ 1-րդ խաղացողի համար լրիվ հիշողությամբ խաղում՝ ս()-ի իրազեկմանբազմության համար էական ցանկացած դիրք հնարավոր է ս.Ը)-ի համար: «Լրիվ հիշողություն» տերմինն ընդգծում է այն հանգամանքը, որ հայտնվելով ցանկացած իրազեկման բազմությունում 1-րդ խաղացողը կարող է ճշտորեն վերականգնել, թե ինքը որ այլընտրանքները (այն է համարներն) է ընտրել իր բոլոր նախորդ քայլերում (միարժեք համապատասխանության շնորհիվ): Լրիվ հիշողությամբ խաղը բոլոր խաղացողների համար վերածվումէ լրիվ իրազեկմամբխաղի, եթե դրա իրազեկմանբոլոր բազմություններըպարունակումեն մեկականգագաթ: Թեորեմ: Դիցուք` վարքագծի վարվելակերպերում Թ իրավիճակը համապատասխանում է Լ խաղում (որում բոլոր դիրքերն ունեն առնվազն երկու այլընտրանք) յ, խառը վարվելակերպերիիրավիճակին:Այդ դեպքում, որպեսզի Է՛(Թ-Է(ո), 1-12....,ո, անհրաժեշտ է ն բավարար, որ Լ-ն բոլոր խաղացողների համար լրիվ հիշողությամբ խադ: 7.

Ֆունկցիոնալ հավասարումներ միաժամանակյա բազմաքայլխաղերիհամար:

Վարքի վարվելակերպերի թեռրեմը ընդհանուր դեպքում հնարավորություն չի ընձեռում անմիջականորենլուծելու լրիվ հիշողությամբ բազմաքայլ խաղերը, սակայն իրազեկման բազմությունների պարզ կառուցվածքի դեպքում այդ թեռրեմը հիմնավորում է խաղի արժեքի համար ֆունկցիոնալ հավասարումների արտածումը ն այդ հավասարումների վրա հիմնված լավագույն վարվելակերպերգտնելու եղանակները: Լրիվ հիշողությամբ առավել պարզ խաղերր, նկատի չունենալով լրիվ իրազեկմամբ խադերը, այսպես կոչված, միաժամանակյա բազմաքայլ խաղերն են: Արտածենք այղպիսի խաղերի արժեքների համար ֆունկցիոնալ հավասարումը ն դիտարկենք մի քանի հանրահայտ օրինակներ, որոնցում այդ հավասարումները լուծելի են:

է.

Բազմաքայլխաղեր

7.1 Բովանդակային առումռվ միաժամանակյա բազմաքայլ խաղը մի այնպիսի հակամարտ բազմաքայլ խաղ է, որում խաղի յուրաքանչյուր քայլին 1-ին ն 2-րդ խաղացողներըմիաժամամակեն ըճտրում իրենց գործողությունները, այսինքն` իրազեկ չլինելով այդ պահին իրենց հակառակորդի ընտրության մասին: Երբ ընտրություններըկայացած են, դրանք հայտնի են դառնում երկու խաղացողներինէլ, ն մասնակիցներըկրկին միաժամաճակյա ընտրություն են կատարում ն այլն: Պայմանականորեն այդպիսի խաղը կպատկերենքգրաֆի տեսքով, որն ունի երկու պատկերներից մեկը (գծ. 13):

Գծ.

Գրաֆը պատկերում է զույգ թվով քայլերի հերթովի խաղ, որում առաջին քայլն անող խաղացողիիրազեկմանբազմություններըմի տարրանիեն, իսկ մյռաինը՝ երկտարրանի:Այդպիսի ՐԸ խաղում երկու խաղացողներն էլ ունեն լրիվ հիշողություն, հետնաբար, ըստ 15.4 կետի թեռրեմի, հավասարակշիռ իրավիճակ որոնելիս կարելի է սահմանափակվելվարքագծի վարվելակերպերիդասով: Դիցուք` որոշակիությանհամար, Լ-ում առաջինը քայլն անում է 1-ին խաղացողը, յուրաքանչյուր 26 2-ի հետ կապվում է Ր խաղի իրազեկման կառուցվածքով 1, ենթախաղը: Թերի իրազեկմամբ հակամարտ վերջնաքայլավոր ցանկացած խաղի բնականոն տեսքը իրենից ներկայացնում է մատրիցային խաղ, այսինքն վերջավորթվով վարվելակերպերունեցող հակամարտ խաղ, այդ իսկ պատճառով բոլոր Լ1., «6 լ ենթախաղերում (ճերառյալ Ր-Լ, խաղը) գոյություն ունի հավասարակշռության իրավիճակ խառը վարվելակերպերիդասում: Ըստ 15.4 կետի թեռրեմի, այդպիսի հավասարակշռության իրավիճակ գոյություն ունի ճան վարքագծիվարվելակերպերի դասում, ն խաղի արժեքները(այսինքն` շահումի ֆունկցիայի արժեքները խառը վարվելակերպերիդասում ն վարքագծի վարվելակերպերի իրավիճակում)իրար հավասարեն: դասում հավասարակշռության Նշանակենք Լ, խաղի արժեքը «(:)-ով, «62-ին, ն կազմենք ֆունկցիոնալ հավասարումճեր«(2«)-իհամար:

Ֆունկցիոնալհավասարումներմիաժամանակյաբազմաքայլխաղերիհամար: 361

Յուրաքանչյուր 2Հ 2Ճ.-իհամար 2՛ հաջորդ դիրքը (եթե այդպիսին ընդհանրապեսգոյություն ունի), որտեղ քայլ է կատարումառաջինխաղացողը, պատկանումէ Բշ բազմությանը:7՛ դիրքը իրագործվումէ երկու հաջորդական ընտրություններիարդյունքում. 1-ին խաղացողի կողմից այն աղեղի, պատկանելիէ ճ գագաթին,ն 2-րդ խաղացողի կողմից այն աղեղի, որը գտնվում է 2-րդ խաղացողի իրազեկման բազմությունները կազմող 76 Ի, դիրքերում: Ուստի, կարելի է համարել,որ ճ՛ դիրքն ստացվումէ 1,-ի արտապատկերումից, որը կախված է 1-ին ն 2-րդ խաղացողների 6, Թ ընտրություններից, այն է` 2 («. թ): Օ ն Քանի որ Թ տարբեր այլընտրանքներիթիվը վերջավոր է, ապա յուրաքանչյուր «62-ի համար կարելի է դիտարկել Ճ,-((1(Թթի որը

շահումների մատրիցայով մատրիցային խաղ: Դիցուք`

Խ...Թ))-ները

Թ(4)-(Ե(.օ)),

լավագույն խառը վարվելակերպերն են 4,

մատ-

րից ունեցող խաղում: Այդ դեպքում տեղի ունի Ր, խաղում լավագույն վարվելակերպերիկառուցվածքի մասին հետնյալ թեորեմը: Թեորեմ: ԼՐ խաղում 1-ին խաղացողի վարքագծի լավագույն վարվելակերպը չ կետում (1-ին խաղացողի յուրաքանչյուր իրազեկման բազմությունը Ր խաղումբաղկացածէ 26 2-լ միակ դիրքից)յուրաքանչյուր Օ այլընտրանքինպարտադրումէ հավանականություն՝/ՃՃ,, մատրիցովխաղում 1-ին խաղացողիխառը լավագույնվարվելակերպին համապատասխան,այսինքն` Ել(4,0) Ե, (5.0): Հ

խաղում 2-րդ խաղացողի (Եչ(24,,8)) վարքագծի լավագույն վարվե-

լակերպը յուրաքանչյուր Թ այլընտրանքին պարտադրում է հավանականություն` Ճ, մատրիցով խաղում 2-րդ խաղացողի խառը լավագույն վարվելակերպին համապատասխան,այսինքն` Եչ( 42,8)ՀԵւ(.թ):

որտեղ՝

«-

Բ.' եթե 76 24.:

Խաղի արժեքը բավարարումէ հետնյալ ֆունկցիոնալհավասարմանը ՄՅ |Լ,(Օ, Թ)), «ՀՔ. ՃԸ) (7.1) հետնյալ սահմանայինպայմանով Հ

«(ւ)». Հ

Իռ):

(1.2)

(Այստեղ մատրիցով խաղի արժեքն է): Թեորեմը ապացուցվում է ինդուկցիայի եղանակով: 7.2 Օրինակ 12: (Տեսչական ստուգման խաղ:) Ի խաղացողը (կարգազանցը) ուզում է կատարել որնէ արգելված գործողություն: Գոյություն ունեն Վ ժամանակահատվածներ, որոնց ընթացքում այդ գործողությունը կարող է իրականացվել:Բ խաղացողը(տեսուչը), որր ցանկանում է կանխել Կ4ԼՃ-0

/Ճ

Բազմաքայլ խաղեր

գործողությունը,կարող է միայն մեկ տեսչական ստուգում կատարել ժամանակահատվածներից ցանկացածիընթացքում:Է խաղացողի շահումը հավասար է 1-ի, եթե արգելված գռրծողությունը տեղի է ունեցել ու մնացել չհայտնաբերված,ն հավասար է (-1)-ի, եթե խաղացողը բոնված է (դա կլինի այն դեպքում, երբ գործողությունը կատարելու համար նա ընտրում է այն նույն ժամանակահատվածը,որը տեսուչն ընտրում է ստուգման համար). շահումը հավասար է զրոյի, եթե խախտողնընդհանրապեսչի գործում: ԱյդպիսիԷ-քայլանի խաղը նշանակենքԼպ-ով: Առաջին ժամանակահատվածում (առաջին քայլին) յուրաքանչյուր խաղացող ունի երկու այլընտրանք: Է խաղացողը կարող է գործողությունը ձեռնարկել կամ չձեռնարկել, Ք խաղացողըկարող է ստուգել կամ չստուգել: Եթե Է խաղացողը գործում է, իսկ Ք խաղացողը՝ստուգում, ապա խաղն ավարտվում է, ն շահումը հավասար է (-1)-ի: Եթե Է խաղացողըչի գռրծում, Ք իսկ խաղացողը կատարում է տեսչական ստուգում, ապա Է խաղացողը կարող է գործողությունը ձեռնարկել հաջորդ Ժամանակահատվածում (ենթադրվում է, որ Ւթ1), ն շահումը դարձյալ հավասար է 1-ի: Եթե Ք խաղացողը չի գործում ն Ք խաղացողըստուգումչի կատարում,ապա անցնում են խաղի հաջորդ քայլին, որը ճախորդից տարբերվում է միայն նրանով, որ մինչն խաղիվերջը մնում է ավելիքիչ թվովժամանակահատված,Այսինքն` հայտնվում է են Լլ ենթախաղում: Հետնաբար,խաղի առաջին քայլի մատրիցըպատկերվումէ այսպես՝ այդ այդ

11.

(7.3)

Այս դեպքում(16.1) հավասարումնունի հետնյալ տեսքը՝ «ՄզԱ|՞1

աշտ

լ|. ս

(7.4)

Այստեղ «"(«)-ը նույնն է միննույն մակարդակիխաղի բոլոր դիրքերի համար, այդ պատճառովէլ կախված է միայն՝ մինչն խաղի ավարտը եղած ժամանակահատվածներիթվից: Այդ պատճառով«(:)-ի փոխարենգրված է Աչ Հետագայում ցույց կտրվի, որ Մո.յ.ՀԼ, հետնաբար(7.4)-ի մատրիցըչունի թամբակետ, այսինքն` (7.4) մատրիցով խաղը լիովին խառն է: Այստեղից ստանում ենք Մո Դ1

-ԿուԴ3

(.5)

անդրադարձհավասարումը, որը

9. ց: "-Ը

Օգ

սկզբնականպայմանի հետ որոշում է Մո-ը: տեղադրության օգնուՁնափոխենք (7.5) հավասարումը Խ-ԽԽլ է--1 Խ-եայ-1/2, Կստանանք ճոր անդրադարձ հավասարումը:Այս թյամբ:

ֆունկցիոնալ հավասարումներմիաժամանակյաբազմաքայլխաղերիհամար: 363

հավասարումնունի Է--ԱՀ)/2

ակնհայտ լուծումը, որտեղիցունենք Վ-

Բ» այո

Մ7.7

Այժմ խաղի յուրաքանչյուր քայլին կարելի է հաշվել վարքագծի լավագույն վարվելակերպերը:Իսկապես, (7.4) խաղի մատրիցն ընդունում է -|

լ լ

(Գ-2/Ա

են.

տեսքը,վարքագծի լավագույն վարվելակերպերըայսպիսիք

Լ.Հ ԸՀ-1Լ

ՎՀ

Ն»-ԸԸ.8 Ւ-Է1

ԱՎՀԼ

Օրինակ 13: (Պաշարի լավագույն ծախսի տեսական խաղային առանձնահատկությունները): Դիցուք, սկզբնապես 1-ին ն 2-րդ խաղացողներն ունեն որոշ պաշարի համապատասխանաբարո ն ԽՃ միավոր, ինչպես նան երկուական մաքուր վարվելակերպ: Ենթադրենք, որ եթե խաղացողներն ընտրեն նույն համարի մաքուր վարվելակերպեր, ապա 2-րդ խաղացողի պաշարը կնվազի 1 միավորով:Իսկ եթե խաղացողներնընտրեն տարբեր համարի մաքուր վարվելակերպեր, ապա 1-ին խաղացողի պաշարը կնվազի 1 միավորով:Խաղն ավարտվումէ, երբ խաղացողներից մեկի պաշարը հավասարվում է զրոյի: Ընդ որում 1-ին խաղացողիշահումը հավասար է 1-ի եթե 2-րդ խաղացողիպաշարը հավասար է զրոյի, ն հավասար է -1-ի, եթե իր սեփականպաշարը հավասարվիզրոյի: Լ,-ով նշանակենք բազմաքայլ խաղը, որում 1-ին խաղացողն ունի պաշարի է(-՞1,2,.....7) միավոր, իսկ 2-րդ խաղացողը` «(Ժ-1.2....,Ք.-դ) միավոր: Այդ դեպքում` Մոր, յ. արլ,

Պոն

ՄՈՒ, Կով լ»

Կոմ

ոլ

որտեղ ՄՅԱՆօ-1,ՄՀԼՐլ--1: Դիտարկենք վերջից հաշված առաջին քայլը, այսինքն՝ երբ երկու խաղացողներինէլ մնացել է պաշարի մեկական միավոր: Ակնհայտ է, որ այդ քայլում խաղարկվում է մատրիցհետեյալ խաղը.

արի)

խաղը համաչափ է, նրա արժեքը, որր մենք կնշանակենք"լ յ-ով, հավասար Է զրոյի, իսկ խաղացողների լավագույն վարվելակերպերը համընկնում են ն հավասարեն (1/2, 1/2): Վերջից հաշված երկրորդքայլում, այսինքն՝ երբ խաղացողներին մնացել է պաշարների երեք միավոր, խաղարկվում է մատրիցի Րլշ, կամ Րչյ խաղերիցմեկը:

Ընդ որում՝

Բազմաքայլխաղեր

| Կո-աաոշ-Կսվ --

ան

Մյ-

ատ

2»

Խշարո-նով Իար-ր

Մլ

Կլ

աՀ

Վերջից հաշված երրորդ քայլում (այսինքն` երբ խաղացողներն ընդհանուր առմամբ ունեն պաշարի չորս միավոր) խաղարկվում է հետնյալ խաղերից մեկը՝ 112, 12,»13,լ: Ընդ որում`

Մոլ

-. ՊՀԼԸշշ Ն2.2 ռ

Կ": ԻՐ Կ |-շջ-՞ ե | Պշ|

Մ,

լՀՄՅԼլՀՊ/Յ1

ԻՈ»

Խո

Մշ

Ֆլ-

ՀԱՒ

ՒԼ

Ե-Յ---Հ: շ

ւ.

-0,

Այնուհետն, շարունակելով համանման հաշվումները մինչն, վերջից հաշված Ա-րդ քայլը, սկզբնականխաղի արժեքի համար կստանանքհետնյալ արտահայտությունը.

Կակաո" յ "

-,Լ-ք

Լ,

ունենք

խաղի շահումներ ՄՐԲ--

ՄՈՔ-ո1

մատրիցի համաչափության պատճառով

1 (ՄԵԽՐԼ-ՄԵԼՔ»

խաղացողների վարքագծի լավագույն վարվելակերպերը յուրաքանչյուր քայլում համընկնումեն ն հավասար են (1/2, 1/2): Օրինակ 14: Կատակախաղում1-ին խաղացողն է՝ ոլ կին ն ոչ կատու, 2-րդ խաղացողը՝ ոլ մուկ ն ոչ տղամարդ:Յուրաքանչյուր քայլում խաղացողներիցյուրաքանչյուրն ընտրում է իր ներկայացուցչին: Ընտրված երկու ճերկայացուցչից մեկը «հեռացվում է» հետնյալ կանոնների համաձայն. կինը «հեռացնում է» տղամարդուն, տղամարդը «հեռացնում է» կատվին, կատուն «հեռացնում է» մկանը, մուկը «հեռացնում է» կնոջը: Խաղը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչն որ խմբերից մեկում կմնան միայն մեկ տեսակի խաղացողներ: Երբ մի խումբը այլնս ընտրություն չունի, մյուս խումբը ակնհայտորենշահում է: Սկզբնական խաղի արժեքը նշանակենք «ճոլ,ոշչոլ,ոշ)-ով: Ենթաղրենք, որ Խ(ղլ,ոոշ,Ոլ,0) Խ(ղլոոշ,0,ոշ) 1, եթե ոլչոչ» 0, (7.8) Ճ(ուլ,0,ոլ,ոչ) Կ(0,ոշ,ոլյոշ) -1, եթե ոլ,ոչ» 0: -

ծ.

Կատարենքհետնյալ ճշանակումները. Կ(ու-1) Մ(ու-1,ոշչոլ,ոշ), ԿՐոշ-1) Խ(ու-1) Ճ(ոլ,աշչու--1,ոշ), Ճ(ոշ-1) 7.1 կետի թեորեմիհամաձայն ճիշտ է -

ԽԱղ-1)

առնչությունը: Կարելի է

ցույց

տալ, որ

Խո,

Խ(ոլչոշ,ոլ,ոչ)-

նում

Կոոպերատիվդինամիկխաղեր ն դինամիկկայունություն

Կ(ու,ոշ-1,ոյչոշ),

ԽՃ(ոյ,ոշ,ոլ,ոշ-1):

(ո, -1)

դիտարկվողխաղըլիովին խառն է -ՍՆ(ո,-1) ՍՆ(ո,-0-.(լ

Ճ(ոլ -1)Ի (տ, -1)-"(ու-Ս-"(ու-) Հաշվի առնելով (16.8) սահմանային պայմանները, այստեղից ստա-

ենք, ռր

Խ(ոլ,1,1,1) -

Խ(ո, -1)31

-ԿԽԱղ,-1)Է3

ն Մ(1,1,1,1)-0: Բայց այս հավասարումներըհամընկնում են (16.5), (16.6) հավասարումներիհետ, հետնաբար՝ Ճ(ո,1,1,1) (ո-1)/(ոՒ1) ն լավագույն վարվելակերպերը այս դեպքումնույնպես համընկնումեն 27-րդ օրինակումբերվածներիհետ: Հ

Կոոպերատիվդինամիկխաղեր ն դինամիկկայունություն

Հիմք ընդունելով Լ բազմաքայլ խաղը, այժմ սահմանենք կոռպերատիվ խաղը: Կոռպերատիվխաղում ենթադրվում է, որ խաղացողները գործում են այնպես, որ մաքսիմացնեն գումարային շահումը: Այսինքն խաղացողները միասին ընտրում են այնպիսի սՀ(ս,....,Ա,,....Ա,) իրավիճակ, որի դեպքում ճշմարիտ է

Խ(եյ..«Ա..«նո) Հ.ուռ:ֆ.Խլ(Ալսչ.«մո)

Խլ.Կշ,...Առ)լ-)

հավասարությունը: ս-(ս....,ն.....Ս,) ծում

ՃՀՕպ....լ....Ճ.)

իրավիճակը միարժեքորեն ստեղ-

պարտիան:

պարտիան կոչվում

լավագույն

հետագիծ 1` ման

կռռպերատիվ խաղում: Այսպիսով, խաղացոդներիկոռպերացորպես հետնանք ՍսՀ(ն,,...Ա......նյ) իրավիճակի դիրքում խաղը

զարգանում է

(Գը,Ճլ...

3...)

Սյլարտիայիերկայնությամբ:

Օրինակ 15: Դիտարկենք 14-րդ գծանկարում պատկերված երեք ձանց Ր խաղը:

ան-

3ճ6

Բազմաքայլ խաղեր

Գծ.

Այստեղ գրաֆի յուրաքանչյուր հանգույցում 1,2, լխնաղացողների շահումները նշված են փակագծերում:ԷՀ (1,2,3): ՃլՀՃշ-Ճ:-(ԽՑ8) խաղացոդների վարվելակերպերիբազմությունները բաղկացած են Ճ ն 8 երկու տարրերից: Խաղացողներիշահումներըհավասարեն էԼ (ԽՃ,Ճ)Հ-ԷՆ(ՈԽՃ,Ճ)ՀԷՆՕԽՃ,Ճ-ԱՈ2,12,12) էլլ(8,22,25)- ԷՇ(Ց,ոշ,:5)ՀԷՐ(8,22,255)-(9,9,9) ցանկացած 226 242,236 Ճ3 համար ն ՒԼ(Ճ,8,»:)- ԷՇ(Ճ,Ց,»:)-ԷՆ(ԽՑ,»5)-(9,9,99) ցանկացած 246 4: համար

Էլ(,Ճ,8)-ԷՆ(ՆԽ ,8)ՀԷԵ(ԽՃ,8ՀԱՆ11,11)

Շահումները իաշվելու կանոններին կարելի է հետնել` օգտագործելով 14-րդ գծանկարը: Ճ,ձ,չձ հաջորդականությանիրացման դեպքում խաղացողի շահումը հավասար է գրաֆի յուրաքանչյուր գագաթումնրա շահումների գումարին, եթե իրագործվածուղին խաղացողներիցմեկի կողմից ներառում է Ց ընտրությունը, ապա յուրաքանչյուր խաղացողիշահումը հավասար է շահումներիգումարինայն ուղու երկայնությամբ, որ ավարտվումէ 8 վարվելակերպիառաջին ընտրությամբ: Հաշվենք բնութագրիչ ֆունկցիայի արժեքները:Այստեղ հնարավոր են 1,2,3), (1.2), (1,3), Օ»3), Ա), Օ), 0): հետնյալ դաշնախմբերըՎ ԽԱ1,2,3))-36, քանի որ ընտրելով Ճ-ն, յուրաքանչյուրն խաղացող ստանում է 12 (իսկ դաշնախումբն ամբողջությամբ`1223--36): Խ((1,2))-22, քանի որ 1-ին, 2-րդ խաղացողները,ընտրելով Ճ-ն, վատագույն դեպքում կարող են իրենց համար ապահովել 22-ը: Վատագույն դեպքըկլինի, եթե 3-րդ խաղացողնընտրի Ց-ն: Խ(1,3))Հ18, քանի որ 1-ին խաղացողը, ընտրելով Ճ-ն, իր ն 3-րդ խաղացողի համար վատագույն դեպքում կարող է ապահովել 18 շահում: Վատագույն դեպքըկլինի, եթե 2-րդ խաղացողնընտրի 8-ն: ԽՎ2,3)-18, քանի որ 1-ին խաղացողը, ընտրելով 8-ն, միշտ կարող է այնպես անել, որ (2,3) խաղացողներիշահումը չգերազանցի 18-ը: 1-ին

Կոռպերատիվդինամիկխաղեր ն դինամիկկայունություն

խաղացողի մեկ այլ ընտրության դեպքում (2,3) խաղացողներնակնհայտորեն ավելի մեծ շահում կունենան: Ճ(1))-9, այս շահումն ստանում 1-ին խաղացողը՝ ընտրելով 8-ն, ն 2րդ խաղացռողը՝ընտրելով 8-ն: Ակնհայտ է, որ 8-ի ընտրությամբ 2-րդ խաղացողը 1-ինխաղացողիշահումը սահմանափակում է 3 թվով: Կ(2))-9, այստեղ 1-ին խաղացողը, ընտրելով Ց-ն, 2-րդ խաղացողի շահումը սահմանափակումէ 9 թվով: 1-ին խաղացողի կողմից մեկ այլ ընտրության դեպքում 2-րդ խաղացողի շահումը կարող է ավելին լինել: Ճ(13))-9, այս դեպքը նման է նախորդին: Հաշվենք Շեպլիի վեկտորը՝ ՏիլՀ76/6, Տհչ-՛76/6, Տիչ-64/6: Այսինքն, Շեպլիի վեկտորը 1-ին ն 2-րդ խաղացողներին պարտադրում է միանման գագաթներ: Օրինակ 16: Գտնենք բնութագրիչ ֆունկցիան 4-րդ գծանկարումպատկերված օրինակի համար (այստեղ խաղացողների շահումները նկարագրվում են այնպես, ինչպես 4-րդ օրինակում, այսինքն՝ վերջնականդիրքերում): Բնութագրիչֆունկցիան ունի հետնյալ տեսքը. Կ(2.3))-6, ՄԱ1.2-2, Կ(Ա.3))-2, ԿԱ2:3))-2, ՄԱ1))»-1, ՃԱ2))-12, ՄԱ3))-1/2 Շեպլիի վեկտորիհամար ստանում ենք ՏհլՀ2, Տհշ-2, Տեյ-2

արտահայտությունը: Տվյալ օրինակը մենք կօգտագործենք հետագա արդյունքների պարզաբանման համար: Դիտարկենք Ր խաղի դիրքերը :-ի երկայնությամբ, այսինքն` ՒՀ Լ, 1, է, ենթախաղերը:Ակնհայտ որ 2` -(ո....2......4Ճլ) տեսքի շշ Ւր... հետագծիհատվածը,որը դիտարկվել է Լ,, ենթախաղում,հանդիսանումէ այդ ենթախաղի լավագույն հետագիծ (Բելմանի օպտիմացման սկրզբունք): Մ(Տ,Ճ)-ով, ՏՇՎ-ին նշանակենք բնութագրիչ ֆունկցիան ր ենթաՃ

խաղում: ՄասնավորապեսՃ/՛(Տ,0)-Մ(Տ), ՏՇԱՎ-ին Ը խաղի բնութագրիչ ֆունկցիանէ: Գիտենալով ենթախաղիբնութագրիչֆունկցիաները, կարելի է կառուցել Շեպլիի վեկտորը 1, ենթախաղի համար: Այն նշանակենք Տհ(1)-

(Տհ՛(1),՞1.....ո): Ենթադրենք,

որ

«1`

կոոպերատիվ խաղում

որպես օպտիմացման սկզբունք ընտրված է Շնպլիի վեկտորը: Դա ճմշանակում է, որ խաղացողներըպայմանավորվելովմս (ն.....,ն,..... ս,) վարվելաՀ

կերպերի հավաքանիի ընտրության շուրջը, որր երաշխավորում է խաղացողների առավելագույն գումարային շահումը, ակնկալում են ստանալ այն-

Բազմաքայլխաղեր

պիսի շահումներ, որոնք Շեպլիի վեկտորովորոշվում են

Հենց

Ը, խաղի համար:

էլ հիմք նրանց կոռպերացմանհամար: Ա իրավիճաէ կում խաղը զարգանում 2-(գց,Հլ.....2.)լավագույն հետագծի երկայնուէ ծառայում

դա

թյամբ: Առաջինքայլից

հետո

խաղը տեղափոխվումէ Ճ.

ցողները փաստորենխաղում են 1չ նոր խաղը, որը

գագաթ,

խաղա-

Ը, խաղի ենթախաղնէ:

Այս ենթախաղումՏե(1) Շեպլիի վեկտորըտարբերվում է Տհ(0)-Տհ Շեսպլլիի վեկտորից` Լ, խաղում: Այս պատճառով, եթե ցանկանում ենք Ր, -ում վճարումները կատարել ապա

Լ,

-ում

ըստ

Տհ(0)-ի,

որը

կոռպերացման հիմքն էր Լ, -ում,

կոռոպերացումըպահպանելու համար խաղացողներըպետք է

ակնկալեն շահումներ` Տոհ(1)-ին Շեպլիի վեկտորին համապատասխան, որը հաշվարկված է ԻՐ, -ի համար: Հարցն այն է, թե արդյո՞ք հնարավոր է, --

խաղի յուրաքանչյուր քայլում վճարումներկատարելով,հասնել այն բանին, որ մնացած վճարումներըիրենցից ներկայացնենՇեպլիի վեկտորի բաղադրիչներ՝ տվյալ քայլից սկսվող

ենթախաղի համար:

Թ -(թ.թ'...Թ..8:),

Սահմանում:

Շյ..ո

վեկտորը կոչվում է

Շեպլիի վեկտորիբաշխմանընթացակարգ(ՇՎԲԸ), եթե՝

3/: -Տե(0)-Տե,,

6.1)

8'(6)-Տեւ(ժ-Տե((0),

(82)

որտեղ՝

ԼՏ2Ա

8 (9-

Լան

2,քո :

Շեպլիի վեկտորը 1` խաղում կոչվում է դինամիկկայուն (ժամանակի մեջ կայացած), եթե գոյություն ունի Շեպլիի վեկտորի բաշխման ոչ բացասականընթացակարգ: Այսպիսով, եթե Շեպլիի վեկտորը դինամիկորեն կայուն է, ապա հետագծի յուրաքանչյուր քայլում խաղացողներին վճարումներ կատարելով` Շեպուհի վեկտորի բաշխման ընթացակարգինհամապատասխան(այն է՝ է Սահմանում:

քայլում 1-րդխաղացողինվճարելով

բանին,

որ

Բ. մեծությունը), կարելի է հասնել այն

Շեպլիի վեկտորը Լ,, ննջախաղի համար համապատասխանի

այն շահումներին,որ խաղացողներինմնացելէ ստանալու 1չ, ենթախաղում:

Նթե չպահանջվի

Թ.,

:-1,...յո,

(17.2)-ի առընչությունը միշտ էլ կան

Է՞1,...,-ի հնարավոր է

ոչ

բացասականլինելը,

ապա

իրագործել, սակայն բացասա-

Բ. -երը տնտեսագիտականիմաստ չունեն, քանի

հազիվ թե համաձայնեն իրենց միջոցներըտալ

հանուն

որ

խաղացողները

կոռպերացման:

ծ.

Կոռպերատիվդինամիկխաղեր ն դինամիկկայունություն

Օրինակ 17: 15-րդ օրինակից դիտարկենքԼ՝ խաղը՝ որպես լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղ: Այստեղ Ճ(Ի-36, ս ՀԸԽ/Ճ.Ճ) ն լավագույն հետագիծն ունի (2.,2.42շ,2:)-:2 տեսք: Լ-Ր, խաղի համար բնութագրիչ ֆունկցիան գտել էինք 16-րդ.օրինակում. Մ((12,3),0-36, Մ((Ն2),0)-22, Ճ(1.3),0-18, Մ((2,3),0Հ-18, Կ(11),0Հ9, Մ(2),0)29, Մ(3),0-9: Շեպլլիիվեկտորըունի տեսքը:

Տե(0)Հ(76/6,76/6,64/6)

Է.,1,,։1,

խաղերի համար բնութագրականֆունկցիաները հաշվ-

վում են համանմանորենն հսմապատասխանաբարհավասար են` Ճ(Ա,2,3),1)-27, «ԱՆ2), 1-14,.(173),1Է12, Կ((237,1)-18, "(1),0-6, «(Ս2),Հ8, ԱՅ),0-6 Տե(3)-(3:3,3)

Տե(2)51.57),

(52.12.12)-Տե(1) )- (11.51.2)Տե(2) Տհ(2)- (21.2:,4)-:Տե(3)

Տե(0)ՏԻԱ

Տեհ(3)-(3,3:3):

Այսինքն՝Բ. Հ» 0,

:1-Ն2,3, է-1,2,3

Շեպլիի վեկտորը Ը խաղում դինամիկո-

րեն կայուն է: Հաջորդ օրինակը ցույց է տալիս, որ դա ամեննին էլ միշտ չէ, որ տեղի ունի: Օրինակ 18: 16-րդ օրինակի խաղը դիտարկենք որպես լրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղ: Այստեղ ՄԱՈ-6, Ա ՀԱԽՃ,Ճ) ն լավագույն հետագիծը, ինչպես որ նա7 տեսք: Ր- Ը, խաղի համար բնութախորդ դեպքում, ունի (4.,2..4շ,5:) -

Գրիչ ֆունկցիան գտել էինք 16-րդ օրինակում. Ճ(Լ2,3),0)-6, Կ((1,2).0)-2, Մ(Ա3),0)-2, Խ(12,3),0)-2, Կ(Ա),0)-1, Կ(2),0Հ1/2, Մ(3),0Հ-1/2

Շեպլիի վեկտորըունի

տեսքը:Բր են

:Ր,

Տհ-(2,2,2) խաղերի համար բնութագրիչ ֆունկցիաները հաշվվում

համանմանորենն համապատասխանաբար հավասար են Կ((,2,3),1)Հ6, «(ԼՆ2),1)-1, «(1,3),1-1, Կ((2,3),1)-4, Տո(2)-

(1),

իւ, (), «ւ,

Տհ(0)- (,-Հ,-1)

ՏեՉ)-(-8.-3,2)

11/2, «(12),1)51/2, "(3),Ս-1/2 Տհ()- 12.22),

չՏհ(1), Տե(1)-

Ը-Հ,2.,-2)ՀՏհՕՉ), 18:18:

Տե(3)-(02,2.2): ԷՏե(3),

Բազմաքայլխաղեր

Տվյալ օրինակում Շեպլիի վեկտորը դինամիկորենանկայուն է, քանի որ

Թ. մեծությունների թվում կան բացասական մեծություններ: Հեշտ

նկատել, որ այս հանգամանքըբնորոշ է տերմինալշահումներով խաղերին, այսինքն` երբ խաղացողները շահումն ստանում են խաղի միայն վերջճականդիրքում: Դինամիկ կայունություն հասկացությունըկարող է տարածվել կոռպերատիվ տեսության օպտիմացման նան այլ սկզբունքներիվրա: Տվյալ պարագրաֆում հնարավոր չէ ընդգրկել օպտիմացմանսկզբունքներիդինամիկ կայունության հետ կապված բոլոր հարցերը: Միայն նկատենք, որ դինամիկ կայունություն հասկացությունը առաջին անգամ սահմանվել է՛ հեղինակիս կողմից: Ավելի ուշ ն ըստ երնույթին, մեզանից անկախ, այն վերահայտնագործվել է արնմտյան մաթեմատիկոսներիկողմից ն անվանվել էոդօ-6օրտ151օոօ7 (կայունություն ժամանակի մեջ): Շեպլիի վեկտորի դինամիկ կայունության չկատարումը անհնարին է դարձնում բաժանքի այդ սկզբունքի իրական կիրառումը դինամիկորեն կոոպերատիվխաղում, քանի որ հնարավոր չէ կազմակերպելքայլ առ քայլ վճարումներ խաղացողներինայնպես, որ խաղացողները շահումների արդար բաշխման հույս ունենան (Շեպլիի վեկտորի համապատասխանբաշխման, որը նրանք ընտրել էին որպես օպտիմացման սկզբունք) յուրաքանչյուր ընթացիկ ենթախաղում: Ցավոք, դասականկոռպերատիվտեսությանօպտիմացմանսկզբունքներից շատերը դինամիկորենանկայուն են: Դինամիկ խաղերի ժամանակակից տեսության կարնորագույնէ խընդիրը օպտիմացմանդինամիկռրենկայուն նոր սկզբունքներիստեղծումնէ ն ուսումնասիրությունը:

Գրականություն 1.

ԽՃ ԱՇյքօօճո,ՒԼՃ.3686688Վ,Է.Ճ.Շջոաւոճ՛Լօօքու ուք. 8.1.

Լշօո Ճ.ՔօԱօջյոո,Ւնէօլո7 Ճ.26ոնօաշի. 16567 օ Նօոզօո ԷԼօոջԽօռք, 1996.

Մ/օոմ Տոլօոն

Հ.

մբի'

-:ի1. 1998.

ոօ.Տւոքոքսւ

ՒՇ

Հավելված2. Առաջին մասում նկատվածվրիպակներ ն անհրաժեշտլրացումներ

Ստորն բերվում են դասագրքի 1 մասի գործածությանընթացքումնկատՕգտագործվում է «փոված վրիպակներըն որոշ անհրաժեշտ լրացումներ՝: խարինել» նշանը` Օրինակ՝ ա-» բ նշանակում է, որ տպագրված է ա, բայց պետք է լինի բ, ուրեմն՝ ա-ն փոխարինելբ-ով: Լրազումներ Էջ 89. (եմ 3: -» Ենթադրենքք վեկտորիվերլուծությանԹլ....,Քոգործակիցները ըստ (5.5) հենքիբացասականչենն(5.12) վերլուծությանմեջ 8լ «0: Որպեսզի ք վեկտորի վերլուծության թլ.....Թո գործակիցները ըստ (5.7) հենքի նս բացասական չլինեն անհրաժեշտ է ն բավարար,որ ա) զպ» 0-ից,բ) ոմո(թ/գ.) Հ (8./0,: Եթե 8.-0-ի, ապա ըստ լեմ 2` 8, 20-ից 1-Լ....,տ ն լեմ 3-ը ճշմարիտ է, հետնաբար հետաքրքիրէ 8.»0-ից պայմանի դեպքը. ն Թ, Հ0»58լ» 0: Էջ 170. (այլ 4-րդ: Հ» Ստուգենք բավարար պայմանը: Նշանակենք ԷԼ՝ Լագրանժի ֆունկցիայի ընդլայնված Հեսի մատրիցը՝ ը

Հայտնի է

որ,

Եջ ք.րաո (Խջ.,ՄՔ....7Ք.):

«(0

եթե

ը -

(ՀՆ

կետը Լագրանժի

(4,7.)ֆունկցիայի ստացիո-

ճար կետ է, ապա 2 հանդիսանում է` » մաքսիմումի կետ, եթե ՒԼ" մատրիցի (ոՓ1)-րդ գլխավոր մինորիցսկսած հաջորդ (ո-տ) գլխավոր մինորները կազմում են նշանափոխ թվային հաջորդականություն, որի առաջին անդամիճշանը որոշվում է (-1)"'' բազմապատկիչինշանով: » մինիմումիկետ, եթե ՒԼ" մատրիցի(տ-|)-րդգլխավորմինորիցսկսած հաջորդ (ոո) գլխավոր մինորներինշաններըորոշվումեն (-1)" բազմապատկիչինշանով: Մասնավորդեպքում, երբ ո-տ 1-ի պետք է ստուգել երկրորդ կարգի բավարար պայմանը՝հաշվել Ւ" ընդլայնված Հեսի մատրիցի Օ՞ որոշիչը՝ " Եթե Ձ"»0, ապա 3: կետը (տեղային) մաքսիմումի կետ է, եթե ԾՀՀ 0, 2 -»-ը (տեղային)մինիմումիկետ: Եթե "Հ 0-ի, եզրակացությունանել չենք կարող: Օրինակ 1 -» (252) 2յլ -322-» ոշ, -

Տ "

-71Ի2:չ-1-0:

Սալրդածվրիպակները նկատելն իրենց դիտողություններնու առաջարկություններն են արել` դոցենտ ՈւԱվետիսյանը(Ռ.Ա), ԵՊՀ-ի տնտեսագիտականֆակուլտետի ն Իջնանի մասնաճյուղիտնտեսագիտականֆակուլտետի ուսանողները,որի համար նրանցհայտնում եմ իմ խորհինշնորհակալությունը: Մ. Սահակյան

Հավելված2

Լուծում:

Քայլ

Կառուցենք Լագրանժիֆունկցիան՝ Լւ շյ1) 2». 3:21 0-22.) Հաշվենք առաջին կարգի մասնակիածանցյալներըն հավասարեցնենք Հ

Քայլ 2: զրոյի.

Լ, Լ, Քայլ

2-2Խ.-0

--342.

-0:

Լ, «1-21 25,0

Ստացվածհավասարումների համակարգիլուծումն է. Ճ-3/2, լ 2/3, :շ- 13/19: Ստուգենքբավարար պայմանը:ԿառուցենքԷԼ մատրիցը Հ

Քայլ 4:

էլ"-

Տ"

Լ.ո

Լ ու

Ր|

-2չլ

-շա

-2ն

Հ|-4/3

01|2

-4/3

Ծ 1220ն2 "Հ (2/3.13/18) մաքսիմումիկետ է,: 3- ից հետո. Առաջարկություն(Ռ1.Աւ)..էջ 170. ւյլ »

(Ճ", 13-ը

Դիցուք` » .

Լ.) .

են

(2,8) համակարգիորնէլուծում է: Այդ դեպքում,եթե

ք(Ճ) ֆունկցիայիգրադիենտները գծորենանկախեն

Լ.Լ)

2" կետում. -ի 2-րդ կարգի մասճակի ածանցյալներըանընդհատեն 2" կետում, իսկ

անգամդիֆերենցելիէ 7 5-ի շրջակայքում.

հ)»0 ճ.,,ՇեՃ)ի,

(ՀՕ)չբոլոր հ«0 վեկտորների համար, որոնք բավարարում

(Մբ (թ),հ)Հ0.ԹԼ...,տ

պայմանին,

ապա 2:

տեղային մինիմումի (մաքսիմումի) կետ է 12) ֆուկցիայի համար (2.2) սահմաճափակումներիառկայությամբ: Ռ.,,-ով նշաճակված է Լագրանժի ֆունկցի-

այի Հեսի մատրիցըըստ 34 փոփոխականի,իսկ քլ-ին 8(3:) ֆունկցիայի գրադիենտն է): Ասվածըմեկնաբանենքկոնկրետ օրինակով:

Օրինան: 1(Ր:չ)

Ալթչ)

3ել

4.շ

7է Է 25,

Է5-»62է

Լագրանժի ֆունկցիան` Լ(էլ,24շ,1)-3յ

4:շ

5-22

2ոլռշ -2)

Գրենք էքստրեմումիանհրաժեշտ պայմանները՝

Է, Հ3ՀԻ2եւյ Հ 2.0 Լ, «442եւ -0 Լ, «2 Հշոաչ-2-0 Երկրորդ հավասարումից`շլ- -2/., առաջինից՝ շշ մեջ կստանաճք`(4/17) (2/2) -2-57 Հէ Լ: Այսպիսով (2.4) համակարգիլուծումներնեն` -

1/21, տեղադրելով երրորդի

(-1, «լ--2, տն2)ն ՕՀ-1, «լ-2, Հ -1/2) Պարզենք (2լ- -2, Ճշ-1/2) ն (լ-2, 72Հ -1/2) կետերըէքստրեմումիկետեր են, թե ռչ:

Լ,

24, Լ,»..

է,

ւլ

274, Լ., լ.

ուստի

-21ի:Հ 41իլհ,, (այստեղ

(.,,հ,հ)

ե ո)

-0-5Լ,, հ

-ի:ի

(2.5)

ընդորում(2.5)-ում հյ-ը ն հշ-ը պետք է բավարարենեն լրացուցիչպայմանի՝

հլ Էջ,չիշ-0,

Ք,

որտեղ

Ք,լն Ք,, ածանցյալները հաշվված են քննարկվողկետում:

Մեր օրինակում՝ Ք,/

Ուստի (-2, 1/2) կետում

223222: Քչ, շ2»լ:

Ք: (2.12)

2-(2):2-1/2 Հ-3, Ք, Ը2,12)

-3հլ 4հ, 0. հյՀ Ը4/3)հչ տեղադրելովհյ-ի ստացվածարժեքը (2.5)-ում ն հաշվի առնելովՃճ -

(Լ,,.հ,հ)Հ2

չել)

-2: քում, ուստի (լ Նույն ձնով ցույց Հ

Ի4

ՀՕ գեչ)հ, թհ: -

Լ, կստանանք

ցանկացած հչ

1/2) կետը լոկալ մաքսիմումիկետ է: տրվում,որ («լ -2: ճշ -/2) կետըլոկալ կետ է: մինիմումի

2շՀ

Վրիպակներ Վ

Էջ

է օ«ժմա

ԱՎՈԵԼ:

70. 157. 158. 159. 166.

ծ է

8»

է` հանե

ավելորդ

չլի

ն 171. 171,

էջ 173. վերնից8-րդ

Էջ 176, 14-րդ. էջ 179. 2-րդ

է»

«լի25

ներքնից8-րդ

էջ 173

(1,2,...

1, ՇլՃ

ուռ

(ոու

դեպ-

Հավելված 2

Էջ 181, վերնից2-րդ 181.

ներքնից 6-րդ

181.

9-րդ. ճերքնից

181.

|լ

Լ,

»0

չ-0

լ,...հ

յՀ

ճերքնից նճերքնից 10-րդ

Էջ 182, ներքնից 8-րդ |

Էշե(8),

ոո

Էջ

«6ճ

ԳՈՑ: 190. էջ

վե

վերնից5-րդ

7-27"

ղՀ0 ն

|Լ

ֆաժ-ԵՕ՞«0

Ք)»

Ե: 0.15 7.13) 0.14) -

(7.12)

| ոկ. ո,

լ-

«Էխ

1Հհլ()

զ-809-6

-86-50

Օ.10) ),

(2)

ֆո

/04Դոր-0

խ-0

(1. 12) (8.8)-(2.9)

դշղ'-ից ն Ճ-յ.:`:

1-0

էջ 190. ներքնից6-րդ էջ 190. վերջին ԳԱԻ Ց Թ Էջ 193.ներքնից9-րդ

Լ(.,

| 188.վերնից 2-րդ Քած

Էջ 189. ներքնից՝ 2-րդ էջ 190. վերնից3-րդ

"էլ

ուղ»

«6ճ

էջ 186 վերջին Էջ 187. վերնից 1-ին

ե Է| ո

ռլ

Լ6, 2) Էջ 185 վերեից 3-րդ

Հ0:

յՀլ,...ո:

10-րդ.

«ԵԽ:

ո(ե-80-3-0 դեռ)

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Ղէ.

ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ

ԵՎ ԿԱՌԱՎԱՐՈՒՄ

ԾՐԱԳՐԵՐԻ

Մուտք Ծրագրերի ներկայացումըցանցերի միջոցով 2. Ծրագրի աշխատանքներիկատարմանժամկետների հաշվարկը ցանցերիվրա 3. Նկարների ցուցահանդեսիկազմակերպման աշխատանքներիխնդիր 4. Ռեսուրսների օրացուցային պլանավորումն բաշխում 5. Տվյալների հավանականբաշխումով պլանավորմանխնդիրներ 6. Ստուգողական հարցեր Գրականություն լ.

ԷՀ. ՊԱՇԱՐՆԵՐԻ

Մուտք

կառավարմանմոդելներիտեսակներ

Հիմնականհասկացություններն պաշարների 1.1 1.2

ԿԱՌԱՎԱՐՄԱՆ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

լ.

Մենարտադրանքայինստատիկ մոդել պակասուրդիբացակայությանդեպքում

Արտադրանքիխմբաքանակիարտադրությանմոդել Մենարտադրանքայինստատիկ մոդել պակասուրդով

Դետերմինային մոդելներ 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

2.6

Պաշարների կառավարմանխնդիրներ Օգտագործվելիք նշանակումները

Գների «խզումներով»մենարտադրանքային ստատիկմոդել Բազմաարտադրանքայինստատիկ մոդել՝ պահեստային տարածքներիսահմանափակտարողություններիդեպքում

ՄենարտադրանքայինԻ փուլանոց դինամիկմոդել

Հավանականայինմոդելներ Նախնական տեղեկություններ

3.2

Կրկնվողպատվերիմակարդակայինհամակարգ Կրկնվողպատվերիցիկլային համակարգ Պատահականընդհատունն անընդհատպահանջարկով պաշարներիկառավարմանմոդել Պաշարների կառավարմանմոդելներերբ մատակարարմաճ հապաղումըհաստատագրվածժամանակով Ստուգողականհարցեր

3.3 3.4 3.5

Գրականություն

Ճ. ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ

ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐ

3.1

ԸՆԴՈՒՆՄԱՆ

Մուտք

Որոշումներիընդունմանտարրեր 1.1 Որոշումների ընդունման չափանիշներ 1.2

Հավաստիտեղեկատվության արժեքը Ռիսկի գնահատմանհամար միջին արժեքին կանոնական շեղման օգտագործում 1.4 Որոշումներիօգտակարությանգնահատում

1.3

Որոշումներիծառ 2.1 2.2

3. 4.

Որոշումներիզգայունության վերլուծություն

Ներդրումներիփաթեթիընտրությանխնդիր Ներդրումների փաթեթիգնահատման չափանիշները 4.1

4.2

ծառի եղանակ Որոշումների

Լավագույն ներդրմանփաթեթի ընտրությանխնդիր Փաթեթներիարդյունավետբազմությանկառուցման

ալգորիթմ

Ռիսկավոր ն

ռիսկազերծարժեթղթերից ներդրումային փաթեթներիձնավորում

Գրականություն

ՃԼ

ՇՂԹԱՆԵՐ

ԵՎ ՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

ԿԻՍԱՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ

ՄԱՐԿՈՎԻ

ՈՒ

Մուտք

Մարկովիշղթաներ 2. Մարկովյան գործընթացներ 3. Պուասոնիգործընթաց 4. Բազմացման ն կործանմանգործընթաց 5. Կիսամարկովյանգործընթացներ 6. Մեծ չափակայնությամբխնդիրների լուծման եղանակներ լ.

Գրականություն

ՃԱ. ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ

ՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

լ.

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ

Մուտք

ԵկամուտներովՄարկովիշղթաներ ն

1.1

ԵկամուտներովՄարկովիշղթաներ

1.2

ԵկամուտներովԿիսամարկովյանգործընթացներ Եկամուտներիվերագնահատմամբ ԿՄԳ-ներ

Օպտիմացմանխնդիր Կլանման վիճակներով ԿՄՇ-ների օպտիմացման խնդիր

1.3

ԿառավարվողՄարկովիշղթաներ 2.1 2.2

ԿԱՅԱՑՄԱՆ

կիսամարկովյանգործընթացներ

Կառավարվողկիսամարկովյանգործընթացներ ԵկամուտիվերագնահատմամքԿԿՄԳ-ների օպտիմացման խնդիր 3.2 ԱռանցեկամուտիվերագնահատմանԿԿՄԳ-ների օպտիմացմանխնդիր

3.1

3.3

ԿլանմամբԿԿՄԳ-ներ

ԿառավարվողՄարկովիշղթաների ն ԿՄԳ-ների խոշորացում 4.1

ԿառավարվողՄարկովիշղթաների խոշորացում

4.2

ԿԿՄԳ-ների խոշորացմանխնդիր

Գրականություն ՃԱ.

լ.

ՀԵՐԹԵՐԻ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

Մուտք Հերթերիտեսության տարրերը 1.1 1.2

1.3 1.4 1.5

Սպասարկմանհամակարգ Հերթերիբնութագրերըն պահպանմանօրենքները Սահմանափակհերթ՝ ԽՈԽկ1|ք Անսահմանափակհերթ՝ ԽՈԽ(Լ Սահմանափակհերթով սպասարկմանհամակարգը

Ավտոտեխսպասարկման ձեռնարկությանմոդել

Հտիպի սպասարկմանհամակարգ ԽՈԱԽկտ|Ճ տիպի ն հերթում մնալու սահմանափակ ժամանակովձեռնարկությանմոդելը 5. ԽՈԽ(ո տիպի ն անհամբերհաճախորդներով սպասարկմանհամակարգ 6. ԽՈՒ: տիպի ն Վ հաճախորդներով փակ սպասարկմանհամակարգ 7. ԽԱԽՈոա|Ճ տիպի սահմանափակհերթով ն Վ հաճախորդներովփակ սպասարկմանհամակարգ 8. Մարկովյանսպասարկմանցանցեր 9. Հերթերիոչ մարկովյան տեսությանհիմնական արդյունքների ընտրանի 10. Ստուգողական հարցեր

2.1

Սպասարկմանհամակարգինկարագրություն

3. Խ/ԽՍո/Ո

Գրականություն

ՃԼՄ.

1. 2.

3. 4.

ՆՄԱՆԱԿՄԱՆ

Մուտք

ԵՂԱՆԱԿ

Նմանակման ընթացակարգերը Սոնտե Կառլոյի նմուշահանմանեղանակ Հարբածանցորդիխնդիրը «Կեղծ» պատահականթվերի ստացում

5. 6.

Պատահականթվերի ստացում Նմանակման մոդելի կառուցում 6.1

Մարկովիշղթայի ն կիսամարկովյան գործընթացներիմոդելներ

Հերթերի մոդելներ 6.2.1 ՇՇԼհամակարգի ճմանակմանմոդել

6.2

6.2.2

Գիտափորձինմանակման ծրագրում 7.1 Նմանակման գիտափորձերիռազմավարականծրագրում

ՍպասարկմանՀ նույնատիպսարքերովմոդել Պաշարների կառավարմաննմանակման մոդել

Գիտափորձերիմարտավարականծրագրում

Ավտոտեխսպասարկմանձեռնարկությանմոդել

Գրականություն Հավելված1 Լ.

ԽԱՂԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

ԽԱՂԵՐ

Բնականոնտեսքի հակամարտ խաղի սահմանումը Մաքսիմինայինն մինիմաքսիմայինվարվելակերպեր 3. Հավասարակշռությանիրավիճակներ 4. Խաղի խառն ընդլայնում 5. Մատրիցայինխաղի լուծման գոյությունըխառը վարվելակերպերիդասում 6. Խաղի արժեքի ն լավագույն վարվելակերպերի 1.

8. Ա

հատկությունները

Վարվելակերպերիգերակշռություն Լիովին խառը ն համաչափ խաղեր

ԲԱԶՄԱՔԱՅԼ

ԽԱՂԵՐ

լ.

Լրիվ իրազեկմամբբազմաքայլ խաղեր Հիմնական ֆունկցիռնալ հավասարումներ 3. Պատժման վարվելակերպեր 4. Ստորակարգխաղեր 5. Ոչ լրիվ իրազեկմամբ բազմաքայլ խաղեր

6. 7.

Վարքագծիվարվելակերպ Ֆունկցիոնալ հավասարումներմիաժամանակյա բազմաքայլ խաղերիհամար Կոռպերատիվդինամիկխաղեր ն դինամիկկայունություն

Գրականություն

Հավելված2

Բովանդակություն

Լն Ա

մասերիհամառոտ

բովանդակություն

1 ԵՎԱ

ՄԱՍԵՐԻ

ՀԱՄԱՌՈՏ

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ՄԱՍ1 Լ

ԵՎՍՈԴԵԼՆԵՐ

ԻՐԱՎԻՃԱԿՆԵՐ

ՏՆՏԵՍԱԿԱՆ

Ո. ՆԱԽԱԳԻՏԵԼԻՔ

ԳԾԱՅԻՆ

Ու

ԾՐԱԳՐՄԱՆ

ԵՎ

ԽՆԴԻՐԸ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԵՐԿԱԿԻՈՒԹՅԱՆ

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

ՕՊՏԻՄԱՑՄԱՆ

Ր7.

ԴԻՍԿՐԵՏ

Մ.

ՈՉ ԳԾԱՅԻՆ

ՄԼ

ՈՒՌՈՒՑԻԿ

ԾՐԱԳՐՄԱՆ

ԼՈՒԾՄԱՆ

ԵՂԱՆԱԿՆԵՐ

ԾՐԱԳՐՈՒՄ

ՄԱ. ԴԻՆԱՍԻԿ

ՀԱՎԵԼՎԱԾ.

ՍԱՍ ՄԱԼ

ԽՆԴՐԻ

ԱՆՀԱԿԱՄԱՐՏ

ԽԱՂԵՐ

ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ

ԾՐԱԳՐԵՐԻ

ԵՎ ԿԱՌԱՎԱՐՈՒՄ

Օ«.

ՊԱՇԱՐՆԵՐԻ

Ճ.

ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ

ՃԼ

ՄԱՐԿՈՎԻ

ԿԱՌԱՎԱՐՄԱՆ

ԸՆԴՈՒՆՄԱՆ

ՇՂԹԱՆԵՐ

ԿԱՅԱՑՄԱՆ

ՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ

ՀԵՐԹԵՐԻ

ՃՐ/.

ՆՄԱՆԱԿՄԱՆ

Հավելված 1. Լ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ԵՂԱՆԱԿ

ԽԱՂԵՐԻ

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ԽԱՂԵՐ

ԲՔԲԱԶՄԱՔԱՅԼ ԽԱՂԵՐ

Հավելված 2

ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐ

ԵՎ ՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ

ՃԱ.

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ

ԿԻՍԱՄԱՐԿՈՎՅԱՆ

ՃԱ.

ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՈՒ

Ուսումնականձեռնարկ Մելս Սահակյան, Նորայր Բեկնազարյան, Համլետ Հակոբյան, Խանիկ Քերոբյան

Տնտեսության վերլուծության մաթեմատիկականեղանակներ Ո

Գործույթների հետազոտումը տնտեսության կառավարման խնդիրներում

Ձեռնարկըգրել են` Մելս Սահակյան Նորայր Բեկնազարյան Համլետ Հակոբյան Խանիկ Քերոբյան Լնոն Պետրոսյան

Շ:

Մասնագիտականխմբագիրներ՝ Շարադրանքի խմբագիր՝ Համակարգչայինշարվածք՝

ՃՐ/

բաժիններ բաժին ԽԱՎ բաժին .Ճ-ՃԼՄ/ բաժիններ Հավելված.Խաղերի տեսություն ՄԱԼ-

Շահբաղյան, ԷդուարդԴաճիելյան Վրույր Ասլանյան Անահիտ Թադնոսյաճ Ռոմեն

Ծավալը` 24,4 տպ. մամուլ. Չափսը` 605484 1/16: Թուղթը օֆսեթ ՎԼ: Տպաքանակ՝ 1500: ՀՀ ԳԱՍ «Գիտություն» հրատարակչությանտպարան Երնան, Մարշալ Բաղրամյան 24: