Վիճակագրության խնդիրների ժողովածու

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԺՈՂՈՎԱԾՈՒ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ

ԺՈՂՈՎԱԾՈՒ

ɎɩɎɧɊɟɔ ɣɎɨɊɘɊɟ əɊɝɊɕɦɊɩɊɟ

ɘ. ɧ. Ɍɸʔʑɸʗʌɸʍ

ɧɔɜɊɘɊɌɩɡɫɒɞɊɟ ɖɟɍɔɩɟɎɩɔ ɓɡɛɡɧɊɗɡɫ

ɎɩɎɧɊɟ Ɏɣə əɩɊɨɊɩɊɘɢɡɫɒɞɡɫɟ

əɨɍ 519.22(076.1) Ɍɝɍ 22.172ʘ7 Ɍ 316

əʗɸʖɸʗɸʆʏʙʀʌɸʍ ɾ ɼʗɸʎʄɸʕʏʗɼʃ

Ɏɣə ʋɸʀɼʋɸʖʂʆɸʌʂ ʞ ʋɼʄɸʍʂʆɸʌʂ

ʝɸʆʏʙʃʖɼʖʂ ɺʂʖɸʆɸʍ ʄʏʗʇʏʙʗɻɿ

ɖʋɹɸɺʂʗɵ

ʝʂɽ-ʋɸʀ. ɺʂʖ. ɻʏʆʖʏʗ, ʑʗʏʝɼʔʏʗ

ɧ. ɘ. ɮəɊɟɞɊɟ

Ɍʗɸʄʏʔʍɼʗɵ

ʝʂɽ-ʋɸʀ. ɺʂʖ. ɻʏʆʖʏʗ, ʑʗʏʝɼʔʏʗ

ɥ. Ɍ. ɊɩɊɝɞɊɟ

ʝʂɽ-ʋɸʀ. ɺʂʖ. ʀɼʆʍɸʅʏʙ, ɻʏʘɼʍʖ

ɦ. ɝ. ɟɊɩɔɝɊɟɞɊɟ

Ɍɸʔʑɸʗʌɸʍ ɘ.ɧ.

Ɍ 316

ɧʂʊɸʆɸɺʗʏʙʀʌɸʍ ʄʍɻʂʗʍɼʗʂ ʁʏʉʏʕɸʅʏʙ / ɘ. ɧ. Ɍɸʔʑɸʗʌɸʍ: - Ɏʗ.,:

Ɏɣə ʇʗɸʖ., 2017, 208 ɾʒ:

ɖʍɻʂʗʍɼʗʂ ʁʏʉʏʕɸʅʏʙʍ ʆɸɽʋʕɸʅ ɾ «ɝɸʀɼʋɸʖʂʆɸʆɸʍ ʕʂʊɸʆɸɺʗʏʙʀʌʏʙʍ»

ʞ «ɘʂʗɸʓɸʆɸʍ ʕʂʊɸʆɸɺʗʏʙʀʌʏʙʍ» ɸʓɸʗʆɸʍɼʗʂ ʅʗɸɺʗɼʗʂʍ ʇɸʋɸʑɸʖɸʔʄɸʍ, ʑɸʗʏʙʍɸʆʏʙʋ ɾ 440 ʖɼʔɸʆɸʍ ʞ ʆʂʗɸʓɸʆɸʍ ɹʍʏʙʌʀʂ ʄʍɻʂʗʍɼʗ ʏʙ ʕɸʗʁʏʙʀʌʏʙʍʍɼʗ: ɖʍɻʗɸɺʗʛʏʙʋ ʍɼʗɸʓʕɸʅ ɾ hɼʖʞʌɸʃ ʍʌʏʙʀɿɵ ʍʆɸʗɸɺʗɸʆɸʍ ʕʂʊɸʆɸɺʗʏʙʀʌʏʙʍ, ʆɼʖɸʌʂʍ ʞ ʋʂʒɸʆɸʌʛɸʌʂʍ ɺʍɸʇɸʖʋɸʍ ʖɼʔʏʙʀʌʏʙʍ, ʑɸʗɸʋɼʖʗɸʆɸʍ

ʞ ʏʐ ʑɸʗɸʋɼʖʗɸʆɸʍ ʕɸʗʆɸʅʍɼʗʂ ʔʖʏʙɺʏʙʋ, ɼʗʆʏʙ ʚʏʚʏʄɸʆɸʍʏʕ ɺʅɸʌʂʍ

ʓɼɺʗɼʔʂɸ:

ɖʍɻʂʗʍɼʗʂ ʁʏʉʏʕɸʅʏʙʍ ʍɸʄɸʖɼʔʕɸʅ ɾ ʋɸʀɼʋɸʖʂʆɸʌʂ ʞ ʋɼʄɸʍʂʆɸʌʂ (ʍɼʗɸʓʌɸʃ ɸʆʖʏʙɸʗɸʆɸʍ ʞ ʝʂʍɸʍʔɸʆɸʍ ʋɸʀɼʋɸʖʂʆɸʌʂ), ʂʍʝʏʗʋɸʖʂʆɸʌʂ ʞ ʆʂʗɸʓɸʆɸʍ ʋɸʀɼʋɸʖʂʆɸʌʂ ʝɸʆʏʙʃʖɼʖʍɼʗʂ ɹɸʆɸʃɸʕʗʂɸʖʂ ʞ ʋɸɺʂʔʖʗɸʖʏʙʗɸʌʂ ʏʙʔɸʍʏʉʍɼʗʂ ʇɸʋɸʗ: Ɋʌʍ ʆɸʗʏʉ ɾ ʜɺʖɸʆɸʗ ʃʂʍɼʃ ʍɸʞ Ɏɣə ʖʍʖɼʔɸɺʂʖʏʙʀʌɸʍ ʞ ʆɸʓɸʕɸʗʋɸʍ, ʝʂɽʂʆɸʌʂ, ʓɸɻʂʏʝʂɽʂʆɸʌʂ ʞ ɸʌʃ ɹʍɸɺʂʖɸʆɸʍ ʝɸʆʏʙʃʖɼʖʍɼʗʂ ɹɸʆɸʃɸʕʗʂɸʖʂ ʏʙʔɸʍʏʉʍɼʗʂʍ:

əɨɍ 519.22(076.1) Ɍɝɍ 22.172ʘ7

ISBN 978-5-8084-2232-2 © Ɏɣə ʇʗɸʖ., 2017 © ɘ.ɧ. Ɍɸʔʑɸʗʌɸʍ, 2017

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Նախաբան . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 1.

Կարգային վիճականիներ (մ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 2.

Նմուշային բաշխման ֆունկցիա: Հաճախությունների սյունապատկեր (հիստոգրամ) և բազմանկյուն (պոլիգոն). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 3.

Նմուշային բնութագրիչներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 4.

Կետային գնահատականներ և դրանց հատկությունները . . . . . . . . . . . . . . .

§ 5.

Մոմենտների մեթոդ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 6.

Ճշմարտանմանության մաքսիմումի մեթոդ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 7.

Գնահատականների համեմատություն . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 8.

Արդյունավետ (էֆեկտիվ) գնահատականներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 9.

Ասիմպտոտիկ արդյունավետ գնահատականներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 10. Ճշգրիտ վստահության միջակայքեր (մ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 11. Ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքեր . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 12. Նորմալ բաշխման պարամետրերի ճշգրիտ վստահության միջակայքեր . .

§ 13. Վարկածների ստուգում: Սկզբնական գաղափարներ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 14. Երկու պարզ վարկածի ստուգում: Նեյման – Պիրսոնի ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 15. Միակողմանի բարդ վարկածների ստուգում . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 16. Պարզ վարկածի ստուգում ընդդեմ երկկողմանի բարդ երկընտրանքային վարկածի . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 17. Վարկածների ստուգում և միջակայքային գնահատականներ . . . . . . . . .

§ 18. Ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ଶ

§ 19. Պիրսոնի ߯ համաձայնության հայտանիշ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 20. Կոլմոգորովի համաձայնության հայտանիշ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 21. Համասեռության հայտանիշներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 22. Անկախության հայտանիշներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 23. Պատահականության հայտանիշ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 24. Երկու պատահական մեծության կորելյացիոն կապը ստուգող հայտանիշ

§ 25. Փոքրագույն քառակուսիների գնահատականներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 26. Վարկածների ստուգում, միջակայքային գնահատականներ և կանխատեսումներ ռեգրեսիոն մոդելներում . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Հավելված 1. Կարևորագույն բաշխումներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Հավելված 2. Բաշխումների աղյուսակներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Հավելված 3. (*) - ով խնդիրների լուծումներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Համառոտագրություններ և նշանակումներ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Օգտագործված գրականություն . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Պատասխաններ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Նախաբան Խնդրագիրքը կազմված է Կ. Վ. Գասպարյանի «Տեսական և կիրառական վիճակագրություն» 1 ሺʹͲͳͷሻ և հրատարակման պատրաստվող «Տեսական և կիրառական վիճակագրություն» 2 դասագրքերի հիման վրա, որտեղ խնդիրների ընտրությունը կատարված է գրականության ցանկում բերված աղբյուրներից (դասագրքեր և խնդրագրքեր): Խնդիրները լուծելու համար ցանկալի է ծանոթանալ այդ դասագրքերում բերված տեսական նյութի հետ, որտեղ նաև լուծված են բազմաթիվ տիպային օրինակներ: Խնդիրների ժողովածուն կազմված է հետևյալ կերպ՛ յուրաքանչյուր պարագրաֆի սկզբնամասում տրվում է անհրաժեշտ տեսական նյութը, որից հետո բերվում են անհրաժեշտ ցուցումներով մեկտեղ տեսական և կիրառական բնույթի խնդիրներ ու վարժություններ: Խնդրագիրքը պարունակում է հետևյալ նյութը. նմուշային տեսության ներառական մասը ( կարգային վիճականիներ, նմուշային բաշխման և խտության ֆունկցիաներ, նմուշային բնութագրիչներ), գնահատման տեսությունը ( կետային և միջակայքային գնահատականներ), վարկածների ստուգումը (պարամետրական և ոչ պարամետրական վարկածներ) և զույգային ռեգրեսիայի տեսությունը ( երկու փոփոխականով գծային ռեգրեսիա): Խնդրագիրքը նախատեսված է ԵՊՀ - ի մաթեմատիկայի ֆակուլտետի «Մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայի, ինչպես նաև նույն ֆակուլտետի «Ակտուարական և ֆինանսական մաթեմատիկա» մասնագիտությամբ «Կիրառական վիճակագրություն» առարկայի գործնական դասընթացների համար: Համապատասխան խնդիրները բերվում են ( մ ) և ( կ ) նշումներով, իսկ երկու առարկաներին վերաբերող խնդիրները նշումներ չեն պարունակում: Առավել բարդ խնդիրները նշանակված են (*) - ով, որոնց լուծումները բերվում են խնդրագրքի վերջնամասում: Զույգային ռեգրեսիային վերաբերող խնդիրները օգտակար կլինեն «Տնտեսաչափություն» առարկայի ներառական մասը ուսումնասիրելու համար: Խնդրագիրքը նախատեսված է նաև «Ինֆորմատիկա և կիրառական մաթեմատիկա» ֆակուլտետի համար և կարող է օգտակար լինել «Ֆիզիկայի», «Ռադիոֆիզիկայի», ինչպես նաև «Տնտեսագիտության և կառավարման» ֆակուլտետների բակալավրիատի ուսանողներին:

Կ. Վ. Գասպարյան

§ 1. Կարգային վիճականիներ (մ ) Դիցուք ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ - ը ܺ պատահական մեծությանը համապատասխանող նմուշ է: Ցանկացած ܵ ൌ ܵሺܺ ௡ ሻ չափելի ֆունկցիա ܺ ௡ նմուշից կոչվում է վիճականի: ܺ ௡ նմուշից ստացված և աճման կարգով վերադասավորված ܺሺ૚ሻ ൑ ܺሺଶሻ ൑ ‫ ڮ‬൑ ܺሺ௞ሻ ൑ ‫ ڮ‬൑ ܺሺ௡ሻ շարքը կոչվում է վարիացիոն շարք, որտեղ ܺሺଵሻ ‫׷‬ൌ ‹ሼܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሽ և

ܺሺ௡ሻ ‫׷‬ൌ ƒšሼܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሽ

վիճականիները կոչվում են, համապատասխանաբար, մինիմալ և մաքսիմալ ( էքստրեմալ ) կարգային վիճականիներ, իսկ ܺሺ௞ሻ - ն՝ ‫ ܓ‬- րդ կարգային վիճականի: ଵ

ܴ௡ ‫׷‬ൌ ܺሺ௡ሻ െ ܺሺ૚ሻ և‫ܯ‬௡ ‫׷‬ൌ ൫ܺሺ૚ሻ ൅ ܺሺ௡ሻ ൯ ଶ

վիճականիները կոչվում են, համապատասխանաբար, նմուշի լայնք և լայնքի միջնակետ: ௡

௡

௜ୀଵ

௞ୀଵ

ͳǡեթե‫ܤ א ݔ‬ ൰ ߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ૤ሺିஶǡ௫ሻ ሺܺ௜ ሻ ൌ ෍ ૤ሺିஶǡ௫ሻ ൫ܺሺ௞ሻ ൯ǡ‫ א ݔ‬Թ ൬૤஻ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ൜ Ͳǡեթե‫ܤ ב ݔ‬ պատահական ֆունկցիան կոչվում է նմուշային կամ էմպիրիկ հաճախություն:

1. Դիցուք ܺ ௡ նմուշը համապատասխանում է ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիա ունեցող ܺ պատահական մեծությանը: Ապացուցել, որ ա) մինիմալ և մաքսիմալ կարգային վիճականիների ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ և ॲ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով՝ ௡

ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զ൫ܺሺଵሻ ൏ ‫ݔ‬൯ ൌ ͳ െ ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ǡ

௡

ॲ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զ൫ܺሺ௡ሻ ൏ ‫ݔ‬൯ ൌ ൫ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ǡ

բ) բացարձակ անընդհատ ൫ॲᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ բաշխման ֆունկցիայի դեպքում ܺሺଵሻ և ܺሺ௡ሻ կարգային վիճականիների խտության ֆունկցիաները հավասար են՝ ௡ିଵ

௡ିଵ

݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݂ሺ‫ݔ‬ሻǡ ݂௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊൫ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݂ሺ‫ݔ‬ሻǣ  2. Ցույց տալ, որ ሾͲǡͳሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխումից ܺ ௡ ̱ॼሺͲǡͳሻ նմուշի դեպքում ܺሺଵሻ կարգային վիճականին ունի ९‡–ሺͳǡ ݊ሻ բետա բաշխում, իսկ ܺሺ௡ሻ վիճականին՝ ९‡–ሺ݊ǡ ͳሻ բետա բաշխում :  3. Դիցուք ܺ ௡ - ը ॲሺ‫ݔ‬ሻ անընդհատ բաշխման ֆունկցիայից նմուշ է: Ցույց տալ, որ ܻሺଵሻ ൌ ॲ൫ܺሺଵሻ ൯ վիճականին ունի ९‡–ሺͳǡ ݊ሻ բետա բաշխում, իսկ ܻሺ௡ሻ ൌ ॲ൫ܺሺ௡ሻ ൯ - ը՝ ९‡–ሺ݊ǡ ͳሻ բետա բաշխում : Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 2 :

§ 1. ԿԱՐԳԱՅԻՆ ՎԻՃԱԿԱՆԻՆԵՐ

4. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից: Ապացուցել, որ ܺሺଵሻ և ܺሺ௡ሻ կարգային վիճականիների ॲଵǡ௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ համատեղ բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը` ௡

ॲଵǡ௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ॲ௡ ሺ‫ݕ‬ሻ െ ൫ॲሺ‫ݕ‬ሻ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ǡ

եթե‫ ݔ‬൏ ‫ݕ‬ǡ

ॲଵǡ௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ॲ௡ ሺ‫ݕ‬ሻǡեթե‫ ݔ‬൒ ‫׷ ݕ‬ Ցուցում՝ ൫ܺሺଵሻ ൏ ‫ݔ‬ǡ ܺሺ௡ሻ ൏ ‫ݕ‬൯ ൌ ሺߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݕ‬ሻ ൌ ݊ሻ̳ሺߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݕ‬ሻ െ ߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊ሻ, եթե ‫ ݔ‬൏ ‫ݕ‬, ൫ܺሺଵሻ ൏ ‫ݔ‬ǡ ܺሺ௡ሻ ൏ ‫ݕ‬൯ ൌ ൌ

ሺߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݕ‬ሻ

ൌ ݊ሻ, եթե ‫ ݔ‬൒ ‫ ݕ‬:

5. Դիցուք ܺ ௡ նմուշին համապատասխանող ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան բացարձակ անընդհատ է ൫ॲᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯: Ցույց տալ, որ ܺሺଵሻ և ܺሺ௡ሻ կարգային վիճականիների ݂ଵǡ௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ համատեղ խտության ֆունկցիան՝ կլինի ݂ଵǡ௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻሺॲሺ‫ݕ‬ሻ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௡ିଶ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݂ሺ‫ݕ‬ሻǡեթե‫ ݔ‬൏ ‫׷ ݕ‬  6. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॼሺܽǡ ܾሻ նմուշ է ሾܽǡ ܾሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխումից : Ապացուցել, որ ݊ܽ ൅ ܾ ܽ ൅ ܾ݊ ݊ሺܾ െ ܽሻଶ ॱܺሺଵሻ ൌ  ǡ ॱܺሺ௡ሻ  ൌ  ǡ ॽƒ”ሺܺሺଵሻ ሻ  ൌ ॽƒ”ሺܺሺ௡ሻ ሻ ൌ

ሺ݊ ൅ ͳሻଶ ሺ݊ ൅ ʹሻ

݊൅ͳ ݊൅ͳ Ցուցում՝դիտարկելߟ ൌ

̱ॼሺͲǡ ͳሻպատահականմեծությունըևօգտվելխնդիրʹǦիցǣ

7. Դիցուք ܺ ௡ նմուշը համապատասխանում է ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիային: Ցույց տալ, որ ܺሺ௞ሻ կարգային վիճականու ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան տրվում է հետևյալ բանաձևով՝ ௡

ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ Զ൫ܺሺ௞ሻ ൏ ‫ݔ‬൯ ൌ ෍ Զ௡ ሺ݉ሻǡ

որտեղ Զ௡ ሺ݉ሻ ൌ ‫ܥ‬௡௠ ሺॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௠ ሺͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௡ି௠ : Ցուցում՝ նկատել, որ ൫ܺሺ௞ሻ ൏ ‫ݔ‬൯ ൌ ሺߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ  ൒ ݇ሻǣ

ૡ‫ כ‬Ǥ Դիցուք ܺ ௡ ̱ॼሺͲǡͳሻ նմուշ է ሾͲǡͳሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխումից : Ցույց տալ, որ ܺሺ௞ሻ կարգային վիճականու ݂௞ ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝ ௞ିଵ ௞ିଵ ݂௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊‫ܥ‬௡ିଵ ‫ ݔ‬ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௡ି௞ :

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

§ 1. ԿԱՐԳԱՅԻՆ ՎԻՃԱԿԱՆԻՆԵՐ

ૢ‫ כ‬. Դիցուք ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ նմուշը համապատասխանում է ॲ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ անընդհատ բաշխման ֆունկցիային: Ցույց տալ, որ ա)

ܺሺ௞ሻ կարգային վիճականու ‫ܨ‬௞ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան ներկայացվում է ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺॲሺ‫ݔ‬ሻǢ ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻ

Ȟሺܽ ൅ ܾሻ න ‫ ݐ‬௔ିଵ ሺͳ െ ‫ݐ‬ሻ௕ିଵ ݀‫ݐ‬ሺͲ ൏ ‫ ݖ‬൑ ͳǡܽǡܾ ൐ Ͳሻ ՝ տեսքովǡորտեղሺ‫ݖ‬Ǣ ܽǡ ܾሻ ‫׷‬ൌ

ȞሺܽሻȞሺܾሻ

଴

९‡–ሺܽǡ ܾሻ բետա բաշխում ունեցող պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան է, բ)

ܻሺ௞ሻ ൌ ॲሺܺሺ௞ሻ ሻ կարգային վիճականին ունի ९et ሺ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻ բետա բաշխում,

գ)

եթե ॲሺ‫ݔ‬ሻ - ը բացարձակ անընդհատ է (ॲᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻǡապա ܺሺ௞ሻ կարգային

վիճականու ݂௞ ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիան՝ կլինի ௞ିଵ ݂௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊‫ܥ‬௡ିଵ ሺॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௞ିଵ ሺͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௡ି௞ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ :

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

10. Տրված է ܺ ௡ ̱ॱሺ݉ǡ ߙሻ նմուշ երկպարամետրական ցուցչային բաշխումից : Ապացուցել, որ ܺሺଵሻ կարգային վիճականին ունի ॱሺ݉ǡ ߙ݊ሻ բաշխում և ॱܺሺଵሻ ൌ ݉ ൅

ͳ ǡ ݊ߙ

ॽƒ”ሺܺሺଵሻ ሻ ൌ

ͳ ݊ଶ ߙ ଶ

11. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॾሺ݉ǡ ߙǡ ߣሻ նմուշ է Վեյբուլի բաշխումից : Ապացուցել, որ ܺሺଵሻ կարգային վիճականին ունի ॾ൫݉ǡ ݊ଵΤఒ ߙǡ ߣ൯ բաշխում և ॱܺሺଵሻ ൌ ݉ ൅

ͳ ͳ

Ȟሺͳ ൅ ͳΤߣሻǡॽƒ”ሺܺሺଵሻ ሻ ൌ ଶ ଶΤఒ ሾȞሺͳ ൅ ʹΤߣሻ െ ሼȞሺͳ ൅ ͳΤߣ ሻሽଶ ሿ ‫׷‬

Τ ଵ ఒ ߙ݊ ߙ ݊

12. Ապացուցել, որ ܺ ௡ ̱Զ‘™ሺ݉ǡ ߙǡ ߣሻ աստիճանային բաշխումից նմուշի համար ܺሺ௡ሻ կարգային վիճականին ունի Զ‘™ሺ݉ǡ ߙǡ ߣ݊ሻ բաշխում և ॱܺሺ௡ሻ ൌ ݉ ൅ 

ߣߙ݊ ߣ݊ߙ ଶ ǡॽƒ”ሺܺሺ௡ሻ ሻ ൌ

ሺߣ݊ ൅ ͳሻଶ ሺߣ݊ ൅ ʹሻ

ߣ݊ ൅ ͳ

13. Ապացուցել, որ ܺ ௡ ̱Զƒ”ሺ݉ǡ ߙǡ ߣሻ Պարետոյի բաշխումից նմուշի համար ܺሺଵሻ կարգային վիճականին ունի Զƒ”ሺ݉ǡ ߙǡ ߣ݊ሻ բաշխում և ॱܺሺଵሻ ൌ ݉ ൅ 

ߣߙ݊ ߣ݊ߙ ଶ ǡॽƒ”ሺܺሺଵሻ ሻ ൌ

ሺߣ݊ െ ͳሻଶ ሺߣ݊ െ ʹሻ

ߣ݊ െ ͳ

§ 1. ԿԱՐԳԱՅԻՆ ՎԻՃԱԿԱՆԻՆԵՐ

૚૝‫ כ‬. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॼሺܽǡ ܾሻ նմուշ է ሾܽǡ ܾሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշ-

խումից : Ցույց տալ, որ ա) ܴ௡ ൌ ܺሺ௡ሻ െ ܺሺଵሻ նմուշի լայնքը ներկայացվում է ܴ௡ ൌ ᇱ ᇱ ᇱ ᇱ ൌ ሺܾ െ ܽሻܴ௡ տեսքով, որտեղ ܴ௡ ൌ ܺሺ௡ሻ െ ܺሺଵሻ վիճականին ունի ९‡–ሺ݊ െ ͳǡ ʹሻ բետա  պատահականմեծությանըհամապատասǦ խանող նմուշի էքստրեմալ վիճականիներն են և ᇱ ᇱ բաշխումǡիսկܺሺଵሻ Ǧըևܺሺ௡ሻ Ǧը՝ܺ ᇱ ൌ 

ॱܴ௡ ൌ

݊െͳ ʹሺ݊ െ ͳሻ ሺܾ െ ܽሻଶ ǡ ሺܾ െ ܽሻǡॽƒ”ሺܴ௡ ሻ  ൌ

ሺ݊ ൅ ͳሻଶ ሺ݊ ൅ ʹሻ

݊൅ͳ

ଵ

բ) ‫ܯ‬௡ ൌ ଶ ൫ܺሺଵሻ ൅ ܺሺ௡ሻ ൯ լայնքի միջնակետի համար ճիշտ են հետևյալ բանաձևերը՝ ॱ‫ܯ‬௡ ൌ

ሺܾ െ ܽሻଶ ǡॽƒ”ሺ‫ܯ‬௡ ሻ ൌ

ʹሺ݊ ൅ ͳሻሺ݊ ൅ ʹሻ

ʹ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

૚૞‫ כ‬. Դիցուք ܺ ௡ նմուշն ունի ॲሺ‫ݔ‬ሻ բացարձակ անընդհատ բաշխման ֆունկցիա: Ապացուցել, որ ցանկացած ݉ǡ ݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ թվերի համար տեղի ունեն հետևյալ զուգամիտությունները, երբ ݊ ՜ λ՝ ௗ

ௗ

௡ ௡ ա) ܼሺ௠ሻ ‫׷‬ൌ ݊ॲ൫ܺሺ௠ሻ ൯ ՜ Ռሺͳǡ ݉ሻ, բ) ܹሺ௡ି௞ାଵሻ ‫׷‬ൌ ݊ൣͳ െ ॲ൫ܺሺ௡ି௞ାଵሻ ൯൧ ՜ Ռሺͳǡ ݇ሻ:

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

16. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺͳሻ- ը նմուշ է ߣ ൌ ͳ պարամետրով ցուցչային բաշխումից : ௗ

ௗ

Ապացուցել, որ ա) ݊ܺሺଵሻ ՜ ॱሺͳሻ, բ) ܺሺ௡ሻ െ Ž ݊ ՜ Ժ, երբ ݊ ՜ λ, որտեղ Ժ - ը షೣ

‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ ି௘ , ‫ א ݔ‬Թ բաշխման ֆունկցիայով պատահական մեծություն է: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ͳͷ‫ כ‬:

§ 2. Նմուշային բաշխման ֆունկցիա: Հաճախությունների սյունապատկեր (հիստոգրամ) և բազմանկյուն (պոլիգոն) Դիցուք ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௡ ሻ̱ Զ նմուշ է անհայտ Զբաշխումից: ൫Թǡ ࣜሺԹሻ൯ տարածության վրա Զ௡‫ כ‬ሺ‫ܤ‬ሻ ‫׷‬ൌ

ߥ௡‫ כ‬ሺ‫ܤ‬ሻ ǡ ݊

‫ࣜ א ܤ‬ሺԹሻ

բանաձևով սահմանված պատահական բաշխումը, որտեղ ௡

ߥ௡‫ כ‬ሺ‫ܤ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ૤஻ ሺܺ௜ ሻ ௜ୀଵ

‫ ܤ‬բազմության նմուշային հաճախությունն է, կոչվում է նմուշային (էմպիրիկ) բաշխում: Զ‫כ‬௡ ሺ‫ܤ‬ሻ նմուշային բաշխմանը համապատասխանող ߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ǡ‫ א ݔ‬Թ ݊ ֆունկցիան կոչվում է նմուշային ( էմպիրիկ ) բաշխման ֆունկցիա, որտեղ ߥ௡‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ - ը` նմուշային հաճաॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զ‫כ‬௡ ൫ሺെλǡ ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ

խությունն է :

Դիսկրետ դեպք Դիցուք ࣲ ൌ ሼܾ௞ ሽ௞ஹଵ ሺܾ௞ ൏ ܾ௞ାଵ ሻ դիսկրետ ܺ պատահական մեծության արժեքների բազմությունն է և ‫ ݔ‬ൌ ሺ‫ݔ‬ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ - ը` համապատասխան թվային նմուշը: ሺܾ௞ ǡ ߥ௞ ሻ և ሺܾ௞ ǡ ݂௞ ሻ, ݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ ݎ‬զույգերի հաջորդականությունները կոչվում են ‫ ݔ‬௡ թվային նմուշին ௡

համապատասխանող բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների վիճակագրական շարքեր, իսկ ‫ݔ‬௜

ܾଵ

ܾଶ

…

ܾ௥

‫ݔ‬௜

ܾଵ

ܾଶ

…

ܾ௥

ߥ௜

ߥଵ

ߥଶ

…

ߥ௥

݂௜

݂ଵ

݂ଶ

…

݂௥

,

աղյուսակները՝ բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների վիճակագրական բաշխման աղյուսակներ, որտեղ ௡

ߥ௞ ‫׷‬ൌ ෍ ૤ሼ௕ೖሽ ൫‫ݔ‬௝ ൯ǡ ௝ୀଵ

௥

෍ ߥ௞ ൌ ݊ǡ

݂௞ ൌ 

௞ୀଵ

ߥ௞ ǣ ݊

ሺܾ௞ ǡ ߥ௞ ሻ և ሺܾ௞ ǡ ݂௞ ሻ, ݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ ݎ‬կետերին համապատասխանող ուղղաձիգ հատվածների գծապատկերները կոչվում են բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների սյունապատկերներ, իսկ այդ կետերը միացնող բեկյալները՝ բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների բազմանկյուններ կամ պոլիգոններ: ‫ ݔ‬௡ նմուշին համապատասխանող ௥

ॲ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ

 ૤ሺ௕ೖ ǡ௕ೖశభሿ ሺ‫ݔ‬ሻሺܾ௥ ାଵ ൌ λሻ ‫ א ݔ‬Թǡ ‫׷‬ൌ ෍ ߱௞

݇ 

 ǣ ൌ  ෍ ݂݅ ሺ߱௥ ൌ ͳሻ

௞ୀଵ

ֆունկցիան կոչվում է նմուշային կամ էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիա:

݅ൌͳ

§ 2. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ: ՀԻՍՏՈԳՐԱՄ ԵՎ ՊՈԼԻԳՈՆ

Միջակայքային դեպք Դիցուք դիսկրետ կամ անընդհատ ܺ պատահական մեծության ‫ ݔ‬௡ ൌ ሺ‫ݔ‬ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ նմուշի ‫ݔ‬௜ անդամները պատկանում են ࣲ ൌ ሺܽǡ ܾሿ, ܽǡ ܾ ൏ λ միջակայքին, որը տրոհված է ௥

ࣲ ൌ ራ ο௞ ǡο௜ ‫ ת‬ο௝ ൌ ‫׎‬ǡ݅ ് ݆ ௞ୀଵ

݄ ൌ ܾ௞ାଵ െ ܾ௞ հավասար երկարությամբ ο௞ ൌ ሺܾ௞ ǡ ܾ௞ାଵ ሿ միջակայքերի: ‫ ݔ‬௡ նմուշին համապատասխանող բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների միջակայքային բաշխման աղյուսակներ կոչվում են ȟ௜

ȟଵ

ȟଶ

ߥ௜

ߥଵ

ߥଶ

…

ȟ௥

…

ߥ௥

և

ȟ௜

ȟଵ

ȟଶ

…

ȟ௥

݂௜

݂ଵ

݂ଶ

…

݂௥

௡

௥

աղյուսակներըǡորտեղߥ௞ ‫׷‬ൌ ෍ ૤οೖ ሺ‫ݔ‬௜ ሻ՝ ο௞ միջակայքինմուշայինհաճախություննէǡ ෍ ߥ௞ ൌ ݊ ‫׷‬ ௜ୀଵ

ఔೖ

ο௞ միջակայքերի վրա

௜ୀଵ

բարձրություններով կառուցված ուղղանկյունների պատկերը կոչվում է

հարաբերական հաճախությունների սյունապատկեր կամ հիստոգրամ, իսկ ଴ ሺ‫ݔ‬ଵ଴ െ ݄ ǡ Ͳሻǡ൬‫ݔ‬௞ ǡ

ߥ௞ ൰ ǡ݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݎ‬ևሺ‫ݔ‬௥଴ ൅ ݄ ǡ Ͳሻ

ଵ

կետերը միացնող բեկյալը ൬‫ݔ‬௞௢ ‫׷‬ൌ  ሺܾ௞ ൅ ܾ௞ାଵ ሻ൰ կոչվում է հարաբերական հաճախությունների բազմանଶ

կյուն կամ պոլիգոն: Նմուշային բաշխման ֆունկցիան այս դեպքի համար՝ կլինի ௞

௥

ॲ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ߱௞ ૤ൣ௫ బǡ௫ బ ೖ

௞ୀଵ

ሺ‫ݔ‬ሻ൭߱௞ ೖశభ ൯

ͳ ଴ ൌ ෍ ߥ௜ ǡ‫ݔ‬௥ାଵ ൌ λ൱ ǡ ‫ א ݔ‬Թ ݊ ௜ୀଵ

ֆունկցիան: ௥ାଵ

෡ ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ൤߱௞ିଵ ൅  ॲ ௞ୀଵ

ߥ௞ ሺ‫ ݔ‬െ ܾ௞ ሻ൨ ૤οೖ ሺ‫ݔ‬ሻǡ ሺ߱଴ ൌ Ͳǡߥ௥ାଵ ൌ Ͳǡܾ௥ାଶ ൌ λሻ

անընդհատ կտոր առ կտոր գծային ֆունկցիան, որի գագաթները գտնվում են ሺܾ௞ ǡ ߱௞ିଵ ሻ, ݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ ݎ‬൅ ͳ կետերում կոչվում է կուտակված հարաբերական հաճախությունների ֆունկցիա ( կումուլյատա):

17. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից: Ապացուցել ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ նմուշային բաշխման ֆունկցիայի հետևյալ հատկությունները՝ ॲሺ‫ݔ‬ሻ ॱॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻǡॽƒ”൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ǡ ݊ ͳ ԧ‘˜൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻǡ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ൯ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ଵ ሻ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ଶ ሻ൯ሺ‫ݔ‬ଵ ൑ ‫ݔ‬ଶ ǡॲሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ് Ͳǡॲሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ് ͳሻǡ ݊ ͳ Զ൫ȁॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻȁ ൒ ߝ Τξ݊൯ ൑ ଶ ሺߝ ൐ Ͳሻǣ Ͷߝ

§ 2. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ: ՀԻՍՏՈԳՐԱՄ ԵՎ ՊՈԼԻԳՈՆ

18. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից: Ապացուցել, որ ցանկացած ‫ א ݔ‬Թ - ի համար տեղի ունի զուգամիտություն՝ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ՜ ॲሺ‫ݔ‬ሻ

Զ - հ.հ.,

݊՜λ:

19. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից: Ապացուցել զուգամիտությունը՝ ௗ

ξ݊ ൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ՜ ԳሺͲǡ ॲሺ‫ݔ‬ሻሺͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻሻ,

݊ ՜ λ, ‫ א ݔ‬Թ:

20. Ենթադրենք ܺ ௡ - ը նմուշ է Զ բաշխումից: Ապացուցել զուգամիտությունը՝ ௡

Զ‫כ‬௡ ሺ‫ܤ‬ሻ

Զ ͳ ൌ ෍ ૤஻ ሺܺ௜ ሻ ՜ Զሺ‫ܤ‬ሻǡ݊ ՜ λǡ‫ࣜ א ܤ‬ሺԹሻǣ ݊ ௜ୀଵ

21. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է Զ բաշխումից: Ապացուցել զուգամիտությունը՝ ௗ

ξ݊൫Զ‫כ‬௡ ሺ‫ܤ‬ሻ െ Զሺ‫ܤ‬ሻ൯ ՜ Գ ቀͲǡ Զሺ‫ܤ‬ሻ൫ͳ െ Զሺ‫ܤ‬ሻ൯ቁ ǡ݊ ՜ λǡ‫ࣜ א ܤ‬ሺԹሻ: 22. Դիցուք ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ ൌ ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯- ը ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ համատեղ բաշխման ֆունկցիայով ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորի անկախ դիտումներ են: Սահմանենք ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորի համատեղ նմուշային բաշխման ֆունկցիան՝ ௡

ͳ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ૤ሺିஶǡ௫ሻൈሺିஶǡ௬ሻ ሺܺ௜ ǡ ܻ௜ ሻ ǣ ݊ ௜ୀଵ

Ապացուցել, որ ցանկացած ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݕ‬Թ - ից՝ Զ

ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ  ՜ ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǡॱॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻǡॽƒ”൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ൯ ൌ

ͳ ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ൯ǣ ݊

23. Բերված են դիսկրետ պատահական մեծություններին համապատասխանող նմուշային բացարձակ հաճախությունների բաշխման աղյուսակները՝ (1)

‫ݔ‬௜ ߥ௜

(2) և

‫ݔ‬௜

ߥ௜

Կառուցել ՝ ա) հարաբերական հաճախությունների բազմանկյունները (պոլիգոնները), բ) նմուշային բաշխման ֆունկցիաների գծապատկերները:

§ 2. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ: ՀԻՍՏՈԳՐԱՄ ԵՎ ՊՈԼԻԳՈՆ

24. Կառուցել միջակայքային աղյուսակներով տրված անընդհատ պատահական մեծությունների հարաբերական հաճախությունների սյունապատկերները (հիստոգրամները), բազմանկյունները (պոլիգոնները) և նմուշային բաշխման ֆունկցիաները՝

ա)

բ)

Միջակայքեր

[0, 1)

[1, 2)

[2, 3)

[3, 4)

[4, 5)

[5, 6)

[6, 7)

Հաճախություններ

Միջակայքեր

[10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80)

Հաճախություններ

25. ܺևܻդիսկրետ պատահական մեծություններն ընդունել են արժեքներ՝ ‫ݔ‬௡  ‫׷‬

5,

4,

7,

9,

3,

3,

‫ ݕ‬௠ :

െ3,

0,

1, െ1,

0,

1, െ3,

4,

7,

1,

4,

3,

2, െ3 :

ա) Բերել բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների վիճակագրական բաշխման աղյուսակները, բ ) կառուցել հարաբերական հաճախությունների սյունապատկերները և բազմանկյունները, գ ) կառուցել նմուշային բաշխման ֆունկցիաների գծապատկերները: 26 (կ). Բերված է 20 դիմորդի ǼՄաթեմատիկաǽ առարկայից ընդունելության քըննությունների ժամանակ ստացած միավորների հետևյալ շարքը՝ 16, 5, 12, 10, 14, 8, 11, 5, 0, 3, 20, 18, 4, 8, 11, 20, 19, 5, 20, 3 : ա) Ներկայացնել տվյալները վարիացիոն շարքի տեսքով, բ ) կազմել բացարձակ հաճախությունների բաշխման աղյուսակը, գ ) կառուցել բացարձակ հաճախությունների սյունապատկերը և բազմանկյունը, դ ) կառուցել նմուշային բաշխման ֆունկցիայի գծապատկերը: 27 (կ). Ներկայացված են երաժշտական խանութում մեկ օրվա ընթացքում դասական երաժշտության ձայնասկավառակներ գնողների տարիքային տվյալները՝

§ 2. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ: ՀԻՍՏՈԳՐԱՄ ԵՎ ՊՈԼԻԳՈՆ

26 37 40 18 14 45 32 68 31 37 20 32 15 27 46 44 62 58 30 42 22 26 44 41 43 55 50 63 29 22 : ա) Ներկայացնել տվյալները Ǽցողունև տերևներǽ տեսքով՝ որպես Ǽցողունǽ վերցնելով 1, 2, 3, … թվերը, բ ) կառուցել բացարձակ հաճախությունների միջակայքային բաշխման աղյուսակը՝ վերցնելով վեց հավասար երկարություն ունեցող միջակայքեր, գ ) պատկերել միջակայքային բաշխման աղյուսակի միջոցով հարաբերական հաճախությունների բազմանկյունը (պոլիգոնը) և սյունապատկերը ( հիստոգրամը), դ ) կառուցել (միջակայքային) նմուշային բաշխման ֆունկցիայի և անընդհատ կուտակված հարաբերական հաճախությունների (կումուլյատայի) գծապատկերները. վերջինի օգնությամբ գտնել ՝ 1. ո՞ր տարիքից է մեծ ձայնասկավառակներ գնողների 70 % - ը, 2. որքա՞ն է այն գնորդի (մոտավոր) տարիքը, որից տարիքով մեծ և փոքր գնորդների թվերը հավասար են: 28 (կ). Բերված են 40 նավթատար լցանավերի ջրատարողությունների վերաբերյալ հետևյալ տվյալները (հազարական տոննաներով )՝ 229 232 239 232 259 361 220 260 231 229 249 254 257 214 237 253 274 230 223 253 195 269 231 268 189 290 218 313 220 270 277 374 222 290 231 258 227 269 220 224 : ա) Բերել տվյալների Ǽցողուն և տերևներǽ տեսքի ներկայացումը՝ որպես Ǽցողունǽ վերցնելով 18, 19, 20, … թվերը, բ ) օգտվելով ստացված ներկայացումից՝ կառուցել հաճախությունների միջա-

կայքային վիճակագրական բաշխման աղյուսակը վերցնելով ութ հավասար երկարություն ունեցող միջակայքեր, որոնցից առաջինը [175, 200) միջակայքն է, գ ) բերել հարաբերական հաճախությունների բազմանկյան (պոլիգոնի) և սյունապատկերի ( հիստոգրամի) գծապատկերները, դ ) կառուցել (միջակայքային) բաշխման ֆունկցիայի (ॲ୬ ሺ‫ݔ‬ሻ) և կուտակված հա෡ ୬ ሺ‫ݔ‬ሻ) գրաֆիկները: րաբերական հաճախությունների՝ կումուլյատայի (ॲ 29 (կ). Տարբեր լցակայաններից հետազոտության նպատակով վերցված բենզինի նմուշներում Ǽօկտանայինǽ թվերն ընդունել են հետևյալ արժեքները՝

§ 2. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ: ՀԻՍՏՈԳՐԱՄ ԵՎ ՊՈԼԻԳՈՆ

88.5 87.7 83.4 86.7 87.5 91.5 88.6 100.3 95.6 93.3 94.7 91.1 91.0 94.2 87.8 89.9 88.3

87.6

84.3 86.7

88.2 90.8 88.3 98.8 94.2 92.7 93.2

91.0

90.3 93.4 :

ա) Ներկայացնել տվյալները Ǽցողուն և տերևներǽ տեսքով՝ վերցնելով որպես Ǽցողունǽ 83, 84, … արժեքները, բ ) կառուցել բացարձակ և հարաբերական հաճախությունների միջակայքային բաշխման աղյուսակները՝ վերցնելով վեց հավասար երկարությամբ միջակայքեր, որոնցից առաջինը [83, 86) միջակայքն է, գ ) պատկերել միջակայքային հարաբերական հաճախությունների բազմանկյունը (պոլիգոնը) և սյունապատկերը (հիստոգրամը), դ ) կառուցել կուտակված (միջակայքային) հարաբերական հաճախությունների ֆունկցիան ( կումուլյատան ), որի միջոցով գտնել Ǽօկտանայինǽ թվի այն արժեքը, որը շարքը բաժանում է երկու հավասար մասի (գտնել միջնարժեքը): 30 (կ). Ներկայացված է Լոնդոնի 166 ավտոբուսների վարորդների մեկ ( հինգ ) տարվա ընթացքում ավտովթարների թվի հաճախականային բաշխումը՝

10 11 12 13 14 t15

(1 տ)

45 36 40 19 12 8

(5 տ)

3 14 17 21 17 14 14 12 13

Ավտովթարների թիվը Վարորդների թիվը

ա) Կազմել բացարձակ հաճախությունների սյունապատկերները և բազմանկյունները (պոլիգոնները), բ ) կառուցել նմուշային բաշխման ֆունկցիաների գծապատկերները:

31 (կ). Բերված են 190 միջքաղաքային ավտոբուսների անխափան անցած (մինչև դրանց շարժիչի առաջին լուրջ խափանումը) ճանապարհների միջակայքային բացարձակ հաճախությունները (ܽ௞ െ ՝ նշանակում է [ܽ௞ ǡ ܽ௞ାଵ ሻ միջակայքը)՝ Անխափան անցած ճանապարհը (ͳͲଷ կմ ) Հաճախությունը

0െ

0.2െ

0.4െ 0.6െ 0.8െ

1.0െ 1.2െ 1.4െ ͳǤ͸ െ 1.8െ

§ 2. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ: ՀԻՍՏՈԳՐԱՄ ԵՎ ՊՈԼԻԳՈՆ

ա) Կառուցել հարաբերական հաճախությունների բազմանկյունը և սյունապատկերը, բ) կառուցել նմուշային բաշխման ֆունկցիայի և կուտակված հարաբերական հաճախությունների ( կումուլյատայի) գծապատկերները: 32 (կ). Հիվանդանոցում դիտարկվել է պատահականորեն ընտրված 200 հիվանդի բաշխումն ըստ հիվանդանոցում անցկացրած հետվիրահատական օրերի` Հետվիրահատական օրերը Հաճախությունը

1െ

4െ

7െ

10 െ

13 െ

16 െ

19 െ

22 െ

ա) Կառուցել բացարձակ հաճախությունների սյունապատկերը և բազմանկյունը, ෡ ୬ ሺšሻ) կուտակված հարաբերական հաճախությոնների ( կումուբ ) կառուցել (ॲ լյատայի) գծապատկերը, և դրա օգնությամբ գտնել հետվիրահատական այն օրերի թիվը, որից քիչ և շատ ժամանակ մնացած հիվանդների թվերը հավասար են (գտնել

միջնարժեքը):

§ 3. Նմուշային բնութագրիչներ Դիցուք ܺ ௡ ̱ॲ - ը նմուշ է ॲ ൌ ॲ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից: I տիպի նմուշային բնութագրիչներ կոչվում են հետևյալ բնութագրիչները՝ ௡

ͳ ௡ ‫׷‬ൌ ෍ ܺ ՝միջինըǡ തതതത ܺ ௜ ݊ ௜ୀଵ ௡

ͳ ܽ௞‫׷ כ‬ൌ ෍ ܺ௜௞ ՝ ࢑Ǧրդկարգիሺսկզբնականሻմոմենտըሺ࢑ ൒ ૚ሻǡ ݊ ௜ୀଵ ௡

ͳ ௡ ሻ௞ ՝࢑Ǧրդկարգիկենտրոնականմոմենտըǡ തതതത ݉௞‫׷ כ‬ൌ  ෍ሺܺ௜ െ ܺ ݊ ௜ୀଵ

௡

ͳ ௡ ሻଶ ൌ ܽ ‫ כ‬െ ሺܺ ௡ ሻଶ ՝ցրվածքըሺդիսպերսիանሻǡ തതതത തതതത ܵ௡ଶ ‫׷‬ൌ ݉ଶ‫ כ‬ൌ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ଶ ݊ ௜ୀଵ

ܵ௡ ‫׷‬ൌ ඥܵ௡ଶ ՝միջինքառակուսայինሺստանդարտሻշեղումըǡ ݉ଷ‫כ‬ ݃ଵ‫׷ כ‬ൌ  ଷ ՝անհամաչափությանգործակիցըǡ ܵ௡ ݉ସ‫כ‬ ‫כ‬ ݃ଶ ‫׷‬ൌ  ସ  െ ͵՝կուտակվածությանሺէքսցեսիሻգործակիցըǡ ܵ௡ ܸ௡‫׷ כ‬ൌ ሺܵ௡ Τതതതത ܺ ௡ ሻ ή ͳͲͲΨ՝փոփոխականությանሺվարիացիայիሻգործակիցըǣ II տիպի նմուշային բնութագրիչներն են՝ ߞ௣‫ כ‬ሺ݊ሻ ‫׷‬ൌ •—’ሺ‫ א ݔ‬Թǣॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൑ ‫݌‬ሻ ൌ ܺሺሾ௡௣ሿାଵሻǡ Ͳ ൏ ‫ ݌‬൏ ͳ՝࢖– քանորդիչը (քվանտիլը), ሾ݊‫݌‬ሿǦն՝࢔࢖թվիամբողջմասնէǡ ܺሺ௞ሻ ǡեթե݊ ൌ ʹ݇ െ ͳ ‫כ‬ ‫׷‬ൌ ቐͳ ՝միջնարժեքըሺմեդիանըሻǡ ൫ܺሺ௞ሻ ൅ ܺሺ௞ାଵሻ ൯ǡեթե݊ ൌ ʹ݇ ʹ ߞଵ‫כ‬Τସ ‫׷‬ൌ ܳଵ‫ כ‬և ߞଷ‫כ‬Τସ ‫׷‬ൌ ܳଷ‫ כ‬՝ ստորին և վերին քվարտիլները, ‫כ‬ ‫כ‬ ߞ଴ǡଵ ǡ ǥ ǡ ߞ଴ǡଽ ՝տասնորդիչներըǡ

‫ܨ‬ଵ ‫׷‬ൌ ‡†൛‫ݔ‬ሺଵሻ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൟ, ‫ܨ‬ଷ ‫׷‬ൌ ‡†൛‫ݔ‬ሺ௞ାଵሻ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬ሺଶ௞ሻ ൟ,

եթե ݊ ൌ ʹ݇,

‫ܨ‬ଵ ‫׷‬ൌ ‡†൛‫ݔ‬ሺଵሻ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൟ, ‫ܨ‬ଷ ‫׷‬ൌ ‡†൛‫ݔ‬ሺ௞ሻ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬ሺଶ௞ିଵሻ ൟ,

եթե ݊ ൌ ʹ݇ െ ͳǡ

ստորին ሺ‫ܨ‬ଵ ሻ և վերին ሺ‫ܨ‬ଷ ሻ քառորդիչները, ‫ܨ‬ଷ െ ‫ܨ‬ଵ ՝ միջքառորդչային լայնքը,

ܶ ‫׷‬ൌ ൫‫ݔ‬ሺଵሻ ǡ ‫ܨ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬௠௘ௗ ǡ ‫ܨ‬ଷ ǡ ‫ݔ‬ሺ௡ሻ ൯՝ǼհինգթվանիամփոփագիրըǽሺՏյուկիիբնութագրիչըሻǣ

Միջակայքային բաշխումների նմուշային բնութագրիչներ Դիցուք տրված է ‫ ݔ‬௡ թվային նմուշի բացարձակ հաճախությունների միջակայքային աղյուսակը՝

ଵ

ȟ௜

ȟଵ

ߥ௜

ߥଵ

…

ȟ௞

…

ȟ௥

…

ߥ௞

…

ߥ௥

:

Նշանակենք ‫ݔ‬௞଴ ‫׷‬ൌ ሺܾ௞ ൅ ܾ௞ାଵ ሻ՝ ο௞ ൌ ሺܾ௞ ǡ ܾ௞ାଵ ሿ միջակայքի միջնակետը: Սահմանենք հետևյալ նմուଶ

շային բնութագրիչները՝

§ 3. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲՆՈՒԹԱԳՐԻՉՆԵՐ

௥

ͳ ܽ௞ ‫׷‬ൌ ෍ሺ‫ݔ‬௜଴ ሻ௞ ߥ௜ ՝‫ܓ‬Ǧրդկարգիሺսկզբնականሻմոմենտըǡ݇ ൒ ͳǡ ݊ ௜ୀଵ ௥

ͳ തതത ‫ ݔ‬௡ ‫׷‬ൌ  ෍ ‫ݔ‬௜଴ ߥ௜ ՝ միջինըǡ ݊ ௜ୀଵ ௥

ͳ ௡ ሻ௞ ߥ  ՝‫ܓ‬Ǧրդկարգիկենտրոնականմոմենտըǡ തതത ݉௞ ‫׷‬ൌ ෍ሺ‫ݔ‬௜଴ െ ‫ݔ‬ ௜ ݊ ௜ୀଵ ௥

௥

ͳ ͳ ௡ ሻଶ ߥ ൌ  ෍ሺ‫ ݔ‬଴ ሻଶ ߥ െ ሺ‫ݔ‬ ௡ ሻଶ ՝ցրվածքըሺդիսպերսիանሻǡ തതത തതത ‫ ݏ‬ଶ ‫׷‬ൌ ෍ሺ‫ݔ‬௜଴ െ ‫ݔ‬ ௜ ௜ ௜ ݊ ݊ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

‫׷ ݏ‬ൌ ඥ‫ ݏ‬ଶ ՝միջինքառակուսայինሺստանդարտሻշեղումըǣ

ǼՇեպպարդի ուղղումները ǽ որոշվում են հետևյալ բանաձևերից՝ ͳ ଶ ͳ ͳ ͹ ݄ ǡܽଷᇱ ‫׷‬ൌ ܽଷ െ  ܽଵ ݄ଶ ǡܽସᇱ ‫׷‬ൌ ܽସ െ  ܽଶ ݄ଶ  ൅  ݄ସ ǡ ͳʹ Ͷ ʹ ʹͶͲ որտեղ ݄ ‫׷‬ൌ ȁο௞ ȁ - ն՝ ο௞ միջակայքի երկարությունն է: ܽଵᇱ ‫׷‬ൌ ܽଵ ǡܽଶᇱ ‫׷‬ൌ ܽଶ െ 

Այնο௞ միջակայքերը, որոնց համար ߥ௞ ൐ ߥ௞ିଵ և ߥ௞ ൐ ߥ௞ାଵ , կոչվում են մոդալ միջակայքեր: ο௞ ൌ ሺܾ௞ ǡ ܾ௞ାଵ ሿ մոդալ միջակայքում գտնվող միջակայքային մոդը որոշվում է հետևյալ բանաձևից՝ ‫ݔ‬௠௢ௗ ‫׷‬ൌ ܾ௞  ൅ 

ߥ௞ െ ߥ௞ିଵ ሺܾ െ  ܾ௞ ሻǣ ʹߥ௞ െ ሺߥ௞ିଵ ൅  ߥ௞ାଵ ሻ ௞ାଵ

Միջակայքային միջնարժեքը (մեդիանը ) որոշվում է ௞ିଵ

‫ݔ‬௠௘ௗ ‫׷‬ൌ ܾ௞  ൅ 

ͳ ݊ ቌ െ ෍ ߥ௝ ቍ ሺܾ௞ାଵ െ  ܾ௞ ሻ ߥ௞ ʹ ௝ୀଵ

բանաձևից, որտեղ ο௞ ൌ ሺܾ௞ ǡ ܾ௞ାଵ ሿ - ը՝ միջնարժեքը պարունակող միջակայքն է: Միջակայքային ստորին և վերին քվարտիլները որոշվում են, համապատասխանաբար, հետևյալ բանաձևերից՝ ௞ିଵ

௞ିଵ

௝ୀଵ

௝ୀଵ

ͳ ݊ ͳ ͵݊ ܳଵ ‫׷‬ൌ ܾ௞  ൅  ቌ െ ෍ ߥ௝ ቍ ሺܾ௞ାଵ െ  ܾ௞ ሻǡܳଷ ‫׷‬ൌ ܾ௞  ൅  ቌ െ ෍ ߥ௝ ቍ ሺܾ௞ାଵ െ  ܾ௞ ሻǡ ߥ௞ Ͷ ߥ௞ Ͷ որտեղ ο௞ ൌ ሺܾ௞ ǡ ܾ௞ାଵ ሿ - երը, համապատասխանաբար, ստորին և վերին քվարտիլները պարունակող միջակայքերն են:

33. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից և ߙଶ௞ ‫׷‬ൌ ॱܺ ଶ௞ ൏ λሺ݇ ൒ ͳሻ: Ապացուցել

ௗ

ξ݊ ሺܽ௞‫ כ‬െ ߙ௞ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ߙଶ௞ െ ߙ௞ଶ ሻ զուգամիտությունը, երբ ݊ ՜ λ: Մասௗ

௡ െ ݉ሻ ՜ ԳሺͲǡ ߪ ଶ ሻ, եթե ߪ ଶ ‫׷‬ൌ ॽƒ”ሺܺሻ ൏ λ (݉ ‫׷‬ൌ ॱܺ): തതതത նավորապես` ξ݊ ሺܺ

Ցուցում՝ տե՛ս ሾʹǡ թեորեմͶǤ͸Ͳሿ:

34. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից և ݉ ൌ ॱܺ ് Ͳ, ߪ ଶ ൌ ௗ

௡ ሻିଵ െ ݉ ିଵ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ߪ ଶ Τ݉ ସ ሻ, երբ ݊ ՜ λ : തതതത ൌ ॽƒ”ሺܺሻ ൏ λ: Ապացուցել, որ ξ݊ ሺሺܺ

§ 3. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲՆՈՒԹԱԳՐԻՉՆԵՐ

35. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից և ߤସ ‫׷‬ൌ ॱሺܺ െ ݉ሻସ ൏ λ: Ապացուցել ܵ௡ଶ նմուշային ցրվածքի ասիմպտոտիկ նորմալությունը՝ ௗ

ξ݊ ሺܵ௡ଶ  െ ߪ ଶ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ߤସ െ ߤଶଶ ሻ,

݊՜λ:

૜૟‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից և ߤସ ൌ ॱሺܺ െ ݉ሻସ ൏ ൏ λ: Ապացուցել հետևյալ զուգամիտությունը ՝ ௗ

ξ݊ ሺܸ௡‫ כ‬െ ܸሻ ՜ ԳሺͲǡ ߪ௏ଶ ሻ,

݊ ՜ λ,

որտեղܸǦնտեսականվարիացիայիգործակիցնէǡիսկߪ௏ଶ ൌ

ߤସ െ ߤଶଶ

ߤଷ ߤଶଶ  െ   ൅  Ͷ݉ଶ ߤଶ ݉ଷ ݉ସ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

37. Ստանալ կենտրոնական և սկզբնական նմուշային մոմենտների միջև հետևյալ ௞

կապերը՝݉௞‫כ‬

௞

ൌ ෍ሺെͳሻ

௝

௝ തതതത ௡ ሻ ௝ ܽ ‫ כ‬ǡܽ ‫כ‬ ‫ܥ‬௞ ሺܺ ௞

௝

௡ ሻ ௝ ݉ ‫ כ‬ǡ݇ ‫ א‬Գǣ തതതത ൌ ෍ ‫ܥ‬௞ ሺܺ

Ցուցում՝ կիրառել հետևյալ արտահայտություններում Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը՝ ௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ௡ ሻ௞ ǡܽ ‫ כ‬ൌ  ෍ሾሺܺ െ ܺ ௡ሻ ൅ ܺ ௡ ሿ௞ ‫׷‬ തതതത തതതത തതതത ݉௞‫ כ‬ൌ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ௜ ௞ ݊ ݊

38. ܺ ௡ նմուշի գրառման ժամանակ կատարվել է միևնույն (սիստեմատիկ ) c սխալը՝ Ǽգերագնահատումǽ, երբ ܿ ൐ Ͳ, կամ Ǽթերագնահատումǽ, երբ ܿ ൏ Ͳ : Ինչպե՞ս կփոխվեն նմուշային միջինը, մոդան (մոդաները), միջնարժեքը և ցրվածքը, եթե` ա) սխալն ունի գծային տեսք. ܻ௜ ൌ ܺ௜ ൅ ܿ,

݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ǡ

որտեղ ܿ ‫Ͳ ش‬,

բ ) սխալն ունի մասշտաբային տեսք. ܻ௜ ൌ ܿܺ௜ ,

݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ǡ

որտեղ ܿ ‫ͳ ش‬:

39 (կ). Ըստ խնդիր 25 - ի տվյալների յուրաքանչյուր նմուշի համար գտնել ՝ ա) միջինը, ցրվածքը, միջին քառակուսային շեղումը, բ ) միջնարժեքը, քվարտիլները և քառորդիչները, լայնքը, լայնքի միջնակետը, միջքառորդչային լայնքը, «հինգթվանի ամփոփագիրը», գ ) անհամաչափության, կուտակվածության և վարիացիայի գործակիցները: 40 (կ). Ըստ խնդիր 26 - ի տվյալների գտնել հետևյալ նմուշային բնութագրիչները՝ ա) միջինը և ստանդարտ շեղումը, բ ) միջնարժեքը, լայնքը, քվարտիլները և քառորդիչները, Ƀ଴Ǥଵ  և Ƀ଴Ǥଽ տասնորդիչները, Տյուկիի բնութագրիչը:

§ 3. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲՆՈՒԹԱԳՐԻՉՆԵՐ

41. Ըստ խնդիր 23 - ի տվյալների գտնել նմուշային ա)

միջինները, ցրվածքները, ստանդարտ շեղումները,

բ)

միջնարժեքները, քվարտիլները և քառորդիչները,

գ)

համեմատել (1) և (2) տվյալների վարիացիայի գործակիցները:

42. Ըստ խնդիր 24 - ի տվյալների օգտվելով ǼՇեպպարդի ուղղումներից ǽ գտնել նմուշային ա)

միջինը, ցրվածքը, միջին քառակուսային շեղումը,

բ)

անհամաչափության, կուտակվածության և վարիացիայի գործակիցները,

գ)

միջնարժեքը, մոդաները, քվարտիլները:

43 (կ). Ըստ խնդիր 27 - ի խմբավորված տվյալների օգտվելով ǼՇեպպարդի ուղղումներից ǽ գտնել նմուշային ա) միջինը, ցրվածքը, ստանդարտ շեղումը և համեմատել իրական ( չխմբավորված) տվյալների միջինի և ցրվածքի հետ, բ ) միջնարժեքը, մոդան, քվարտիլները և համեմատել իրական ( չխմբավորված) տվյալների համապասասխան բնութագրիչների հետ: 44 (կ). Ըստ խնդիր 31 - ի տվյալների գտնել նմուշային ա) միջնարժեքը, մոդան, քվարտիլները, Ƀ଴Ǥଵ և Ƀ଴Ǥଽ տասնորդիչները, բ ) միջինը, ցրվածքը և վարիացիայի գործակիցը: 45 (կ). Բերված են երկու տարբեր շրջաններում խնձորենիների տերևների մեջ

պրոտեինի պարունակության վերաբերյալ տվյալներ (մգ / 1 գ )՝ ‫ݔ‬௡ :

11.7

16.1

14.0

6.1

5.1

4.9

௡

6.4

5.9

6.1

5.8

6.6

6.0 :

‫ ݕ‬: Գտնել նմուշային

ա) միջինները, ստանդարտ շեղումները, լայնքերը, վարիացիայի գործակիցները և համեմատել դրանք, բ ) անհամաչափության և կուտակվածության գործակիցները: Նմուշային բնութագրիչների մոմենտներ 46. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է Զ բաշխումից: Ցույց տալ, որ ௡ ǡ ܵ ଶ ሻ ൌ ͳ ቀͳ െ ͳቁ ߤ , തതതത ա) ԧ‘˜ሺܺ ݊ ݊ ଷ

ͳ ʹ բ) ॱ݉ଷ‫ כ‬ൌ ቀͳ െ  ቁ ቀͳ െ  ቁ ߤଷ : ݊ ݊

§ 3. ՆՄՈՒՇԱՅԻՆ ԲՆՈՒԹԱԳՐԻՉՆԵՐ

Եթե ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ նմուշ է նորմալ բաշխումից, ապա ʹ݇ ௡ ሻ ൌ Ͳ, ߤ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ሺʹ݇ െ ͳሻԥ ߪ  (݇ ൒ ͳሻ, բ) ߤ ሺܵ ଶ ሻ ൌ ʹ ቀͳ െ ͳቁ ߪ ସ : തതതത തതതത ա) ߤଶ௞ିଵ ሺܺ ଶ௞ ଶ ݊ ݊ ݊݇ ௡ ͳ ૝ૠሺմሻǤԴիցուքܺ ௡ ǦընմուշէԶբաշխումիցǣԱպացուցելܽ௞‫ כ‬ൌ  ෍ ܺ௜௞ բնութագրիչի ݊

௜ୀଵ

մոմենտների հետևյալ ներկայացումները ( ݇ ൒ ͳ)՝

ߙ௠ ሺܽ௞‫ כ‬ሻ

൬ߙଶ ሺܽ௞‫ כ‬ሻ

ൌ

ॱሺܽ௞‫ כ‬ሻ௠

݉Ǩ ൌ ௠ή ݊

௡

෍

ෑ

௠೔ ‫א‬Ժశ ǣσ೙ ೔సభ ௠೔ ୀ௠ ௜ୀଵ

ߙ௞௠೔ ǡ ߙ௞௠೔ ൌ ॱܺ௞௠೔ ݉௜ Ǩ

ߙଶ௞ ݉Ǩ ͳ ൰ ǡ ߤ௠ ሺܽ௞‫ כ‬ሻ ൌ ॱሺܽ௞‫ כ‬െ ߙ௞ ሻ௠ ൌ  ௠ ൌ ൬ͳ െ ൰ ߙ௞ଶ ൅ ݊ ݊ ݊

ߤ௠೔ ൫ܺ௜௞ ൯ ൌ ॱ൫ܺ௜௞ െ ߙ௞ ൯

௠೔

௡

෍

ߤ௠ ൫ܺ௜௞ ൯ ෑ ೔ ǡ ݉௜ Ǩ

௠೔ ‫א‬Ժశ ǣσ೙ ೔సభ ௠೔ ୀ௠ ௜ୀଵ

ͳ ͳ ቆߤଶ ሺܽ௞‫ כ‬ሻ ൌ  ሺߙଶ௞ െ ߙ௞ଶ ሻቇ ǡԧ‘˜ሺܽ௞‫ כ‬ǡ ܽ௥‫ כ‬ሻ ൌ  ሺߙ௞ା௥ െ ߙ௞ ߙ௥ ሻǣ ݊ ݊

݉Ͷ െ ͵ գործակիցը բավարա݉ʹʹ  րում է ȁ݃ଶ ȁ ൏ ݊ պայմանը, երբ ݊ ൐ ͵ և ॱ݃ଶ ൌ ߛଶ ൅ ܱሺ݊ିଵ ሻ, ॽƒ”ሺ݃ଶ ሻ ൌ ‫ ܥ‬Τ݊ ൅ ܱ൫݊ିଷΤଶ ൯:

૝ૡ‫( כ‬մ). Ապացուցել, որ կուտակվածության ݃ଶ ൌ 

Ցուցում՝ տե՛ս ሾʹǡ օրինակͶǤͻͶሿǣ

૝ૢ‫( כ‬մ). Ապացուցել, որ ܺ ൐ Ͳ պատահական մեծության նմուշային վարիացիայի ܵ ܸ௡‫ כ‬ൌ തതതതത݊ գործակիցը բավարարում է հետևյալ պայմանները՝ ܺ ॱܸ௡‫ כ‬ൌ ܸ ൅ ܱሺ݊ିଵ ሻ, ॽƒ”ሺܸ௡‫ כ‬ሻ ൌ ܱሺ݊ିଵ ሻ, ߪ որտեղ ܸ ൌ ݉ - ն տեսական վարիացիայի գործակիցն է: Ցուցում` տե՛ս Հավելված 3 :

૞૙‫( כ‬մ). Ապացուցել, որ նմուշային միջին քառակուսային շեղումը ܵ௡ ൌ ඥ݉ଶ‫  כ‬բավարարում է հետևյալ պայմանները՝ ͳ ߤ െߤʹ ॱܵ௡ ൌ ߪ ൅ ܱሺ݊ିଵ ሻ, ॽƒ”ሺܵ௡ ሻ ൌ   Ͷߤ ʹ  ൅ ܱሺ݊ିଶ ሻ: Ͷ݊ ʹ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

§ 4. Կետային գնահատականներ և դրանց հատկությունները Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զ ‫ ࣪ א‬Ǽթույլատրելիǽբաշխումների࣪ ൌ ሼԶሽդասից որոշակի Զ բաշխում ունեցող նմուշ է, իսկ ߠ ‫ א‬ȣ - ին՝ ȣ ‫ ك‬Թ պարամետրական բազմությունից անհայտ պարամետր: ȣ բազմությունից արժեքներ ընդունող և ߠ - ից անկախ կամայական ߠ௡‫ כ‬ൌ ߠ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ վիճականին ( ܺ ௡ նմուշից չափելի ֆունկցիան), կոչվում է ߠ ‫ א‬ȣ պարամետրի համար ( կետային ) գնահատական: Որպես պարամետրեր հաճախ դիտարկվում են ࣪ ൌ ሼԶሽդասի վրա որոշված ߠ ൌ ‫ܩ‬ሺԶሻ ֆունկցիոնալները: ߠ௡‫ כ‬ൌ ߠ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻգնահատականը կոչվում է ունակ ( խիստ ունակ ) ߠ պարամետրի համար, եթե Զ

ߠ௡‫  כ‬՜ ߠ (ߠ௡‫ כ‬՜ ߠ

Զ - հ.հ.)ǡ ݊ ՜ λ:

ߠ௡‫ כ‬ൌ ߠ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ գնահատականը կոչվում է անշեղ ( ասիմպտոտիկ անշեղ ) ߠ պարամետրի համար, եթե ॱߠ௡‫ כ‬ൌ ߠ ሺॱߠ௡‫ כ‬՜ ߠǡ݊ ՜ λሻ: ܾ௡ ሺߠሻ ൌ ॱߠ௡‫ כ‬െ ߠ մեծությունը կոչվում է ߠ௡‫ כ‬գնահատականի շեղում:

Ունակության հայտանիշ Թեորեմ 4.1: ॱሺߠ௡‫ כ‬െ ߠሻଶ ՜ 0, ݊ ՜ λ պայմանը բավարարող ߠ ‫ א‬ȣ պարամետրի ߠ௡‫ כ‬գնահատա-

կանը ունակ է : Հետևանք 4.2: Եթե ߠպարամետրի ߠ௡‫ כ‬գնահատականն ասիմպտոտիկ անշեղ է՝ ܾ௡ ሺߠሻ ՜ Ͳ և ܸܽ‫ݎ‬ሺߠ௡‫ כ‬ሻ ՜ Ͳ, երբ݊ ՜ λ, ապա այն ունակ է: ߠ௡‫ כ‬ൌ ߠ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ գնահատականը կոչվում է ߪ଴ଶ ൐ Ͳ գործակցով ասիմպտոտիկ նորմալ ߠ պարամետրի համար, եթե տեղի ունի ըստ բաշխման զուգամիտությունը՝ ௗ

ξ݊ሺߠ௡‫ כ‬െ ߠሻ  ՜ ԳሺͲǡ ߪ଴ଶ ሻ, այսինքն, եթե ߠ௡‫כ‬

է Գሺߠǡ

ߠ௡‫כ‬

݊ ՜ λ,

- ները (մեծ ݊ - ի համար) ասիմպտոտիկ նորմալ պատահական մեծություններ են՝

ߪ଴ଶ Τ݊ሻǣ

Թեորեմ 4.3: Դիցուք ܺ ௡ ̱ॲ଴ , որտեղ ॲ଴ ൌ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ ࣠ א‬ൌ ሼॲሺ‫ݔ‬ሻǣ‫ א ݔ‬Թሽ բաշխման ֆունկցիանߞ௣଴ ‫׷‬ൌ ൌ

ॲିଵ ଴ ሺ‫݌‬ሻ

կետում անընդհատ է և խիստ մոնոտոն աճող: Այդ դեպքում տեղի ունի Զ

ߞ௣‫ כ‬ሺ݊ሻ ՜ ߞ௣଴ ,

݊՜λ

զուգամիտությունը: Թեորեմ 4.4: Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॲ଴ ‫ ࣠ א‬ൌ ሼॲሺ‫ݔ‬ሻǣ‫ א ݔ‬Թሽ, որտեղ ॲ଴ ‫׷‬ൌ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան բացարձակ անընդհատ է ( ॲᇱ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ), իսկ ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիան անընդհատ դիֆերենցելի ߞ௣଴ ‫׷‬ൌ ଴ ൌ ॲିଵ ଴ ሺ‫݌‬ሻ կետում և ݂଴ ൫ߞ௣ ൯ ൐ Ͳ: Այդ դեպքում ճիշտ է հետևյալ զուգամիտությունը՝ ௗ

ξ݊൫ߞ௣‫ כ‬ሺ݊ሻ െ ߞ௣଴ ൯ ՜ Գ൫Ͳǡ ‫݌‬ሺͳ െ ‫݌‬ሻΤ݂଴ଶ ሺߞ௣଴ ሻ൯,

݊ ՜ λ,

մասնավորապես՝ ௗ

଴ ଴ ‫כ‬ ሺ݊ሻ െ ܺ௠௘ௗ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ሾʹ݂଴ ሺܺ௠௘ௗ ሻሿିଶ ሻ, ξ݊ሺܺ௠௘ௗ

଴ ݊ ՜ λ ሺܺ௠௘ௗ ‫׷‬ൌ ॲିଵ

଴ ሺͳΤʹሻሻ:

§ 4. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

51. Անհայտ ߠ պարամետրը որոշելու նպատակով կատարվել են ݊ անկախ չա-

փումներ, որի արդյունքում ստացվել են՝ ܺ௜ ൌ ߠ ൅  ߝ௜ ,

݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊

արժեքներ, որտեղ ߝ௜ - երը՝ չափումների պատահական սխալներն են ( չափման արդյունքների վրա ազդում են, օրինակ, չափման գործիքի ճշգրտությունը, չափողի մասնագիտական պատրաստվածությունը, տվյալների գրանցման արդյունքում ստացված մոտարկման սխալները և այլն): Համարվում է, որ ߝ௜ պատահական մեծություններն անկախ են և ունեն միևնույն նորմալ բաշխում 0 միջինով` ॱߝ௜ ൌ Ͳ և ॽƒ”ሺߝ௜ ሻ ൌ ܺ ௡ նմուշային միջինը խիստ ൌ ߪ ଶ ൐ 0, ݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ ցրվածքով: Ցույց տալ, որ ߠ௡‫ כ‬ൌ തതതത ունակ, անշեղ և ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական է ߠ պարամետրի համար: 52. Ենթադրենք ܺ ௡ նմուշը համապատասխանում է բաշխման ֆունկցիաների ࣠ դասից որոշակի ॲ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայի: Ապացուցել, որ ߠ௡‫ כ‬ൌ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬଴ ሻ վիճականին (‫ݔ‬଴ ‫ א‬Թ ֆիքսված է ) ունակ, անշեղ և ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական է ߠ ൌ ॲሺ‫ݔ‬଴ ሻ, ॲ ‫ ࣠ א‬պարամետրի համար: 53. Դիցուք ࣲ ൌ ሼܾ௞ ሽ (݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥǡ ܰ) ‫݌‬ሺ݇ሻ ൌ Զሺܺ ൌ ܾ௞ ሻ հավանականություններով դիսկրետ ܺ պատահական մեծության արժեքների բազմությունն է, իսկ ܺ ௡ - ը՝ համապատասխան նմուշը: ܺ ௡ նմուշում ܾ௞ արժեքի բացարձակ հաճախությունը նշանա‫כ‬

կենքߥ݇

݊

ܰ

‫׷‬ൌ ෍ ૤ቄܾ ቅ ൫ܺ݅ ൯ ǡորտեղ ෍ ݅ൌͳ

݇

݇ൌͳ

‫כ‬

ߥ݇ ൌ ݊ ‫ ׷‬Ապացուցելǡոր݂݇ ൌ ߥ‫݇כ‬Τ݊ հարաբերական

հաճախությունը անշեղ և ունակ (݊ ՜ λ) գնահատական է ‫݌‬ሺ݇ሻ - ի համար: 54. Ենթադրենք ܺ ௡ նմուշը համապատասխանում է Զ ‫ ࣪ א‬բաշխումով ܺ պատահական մեծությանը: Ապացուցել, որ ܶ௡ ൌ ߥ௡‫ כ‬Τ݊ վիճականին անշեղ և ունակ գնահատական է ‫׷ ݌‬ൌ Զሺܺ ‫ א‬οሻ պարամետրի համար ሺԶ ‫࣪ א‬ሻ, որտեղ ο ‫ ؿ‬Թ տրված մի‫כ‬

ջակայքնէǡիսկߥ݊

݊

‫׷‬ൌ ෍ ૤ο ൫ܺ݅ ൯ ՝οǦիբացարձակհաճախությունըǣ ݅ൌͳ

55. Դիցուք ܺ ௡ - ը Զ ‫࣪ א‬բաշխում ունեցող ܺ պատահական մեծության նմուշ է: ‫כ‬ ͳ ݊ ݇ Ցույցտալǡ որܽ݇ ൌ ݊ ෍ ܺ݅  ቀ݇ ൒ ͳቁ նմուշայինմոմենտըունակǡանշեղևասիմպտոտիկ ݅ൌͳ

նորմալ գնահատական է ߙ௞ ൌ ॱܺ ௞ ൏ λտեսական մոմենտի համար (ߙଶ௞ ൏ λ): 56. Դիցուք ܺ - ը հայտնի ݉ ൌ ॱܺ միջինով և անհայտ ߠ ଶ ൌ ॽƒ”ሺܺሻ ൏ λ ցըրվածքով պատահական մեծություն է, իսկ ܺ ௡ - ը` համապատասխան նմուշը: Ապաʹ ʹ ݊ ʹ ͳ ݊ ցուցելǡորܵͳ݊ ‫׷‬ൌ ܵͳ ቀܺ ቁ ൌ   ෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯ վիճականինունակǡանշեղևասիմպտոտիկ ݊ ݅ൌͳ

նորմալ գնահատական է ߠ ଶ պարամետրի համար (ߤସ ൏ λ):

§ 4. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

57. Ենթադրենք ܺ ௡ - ը անհայտ ߠଵ ൌ ॱܺ միջինով և ߠଶଶ ൌ ॽƒ”ሺܺሻ ցրվածքով ܺ ʹ തതതതത ݊ ʹ ͳ ݊ պատահականմեծությաննմուշէ ‫ ׷‬Ստուգել՝կլինի՞արդյոք݊ ൌ  ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ նմուǦ ݊

շային ցրվածքը ունակ, անշեղ և ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական ߠଶଶ պարամետրի համար (ߤସ ൏ λ): ௡ ሻଶ തതതത Ցուցում` ունակությունը ստուգելու համար ներկայացնել նմուշային ցրվածքը ܵ௡ଶ ൌ ܽଶ‫ כ‬െ ሺܺ

տեսքով: Ասիմպտոտիկ նորմալությունը բխում է խնդիր 35 - ից: ‫כ‬

૞ૡ൫մ൯ǤՑույցտալǡոր݉݇ ൌ 

തതതതത ݊ ݇ ͳ ݊ ݊ ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ ǡ ݇ ൐ ͳնմուշայինկենտրոնականմոմենտը

ունակ և ասիմպտոտիկ անշեղ գնահատական է տեսական ߤ௞ ൌ ॱሺܺ െ ݉ሻ௞ մոմենտի համար: Ցուցում՝ տե՛ս ሾʹǡ պնդումͶǤͻͳሿ և հետևանքͶǤʹ:

59 (մ). Ցույց տալ, որ ա) նմուշային անհամաչափության ሺ݃ଵ‫ כ‬ሻ և կուտակվածության ሺ݃ଶ‫ כ‬ሻ գործակիցներն ունակ և ասիմպտոտիկ անշեղ գնահատականներ են, համապատասխանաբար, ߛଵ և ߛଶ տեսական գործակիցների համար, բ) նմուշային փոփոխականության (վարիացիայի) ܸ ‫ כ‬գործակիցն ունակ, ասիմպտոտիկ անշեղ և ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական է տեսական փոփոխականության (վարիացիայի) V գործակցի համար: Ցուցում՝ տե՛ս՝ աሻ ሾʹǡ օրինակͶǤͻͶሿ, բ) խնդիրներ ͵͸‫ כ‬և Ͷͻ‫ כ‬:

60 (մ). Ցույց տալ, որ նմուշային ߞ௣‫ כ‬ሺͲ ൏ ‫ ݌‬൏ ͳሻ քանորդիչն ունակ, ասիմպտոտիկ անշեղ և ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական է տեսական ߞ௣ քանորդիչի համար: Ցուցում՝ տե՛ս թեորեմներ 4.3 և 4.4 :

61. Դիցուք ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ - ը ࣠ դասից ॲ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ համատեղ բաշխման ֆունկցիայով ሺܺǡ ܻሻ երկչափ պատահական մեծության անկախ դիտումներ են: Ապացուցել, որ ա) ߠ௡‫ כ‬ൌ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬଴ ǡ ‫ݕ‬଴ ሻ վիճականին ሺ‫ݔ‬଴ ǡ ‫ݕ‬଴ ‫ א‬Թሻ խիստ ունակ, անշեղ և ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական է ߠ ‫׷‬ൌ ॲ଴ ൌ ॲሺ‫ݔ‬଴ ǡ ‫ݕ‬଴ ሻ ሺॲ ‫࣠ א‬ሻ պարամետրի համար, որտեղ ‫כ‬

ॲ݊ ൫‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬൯ ‫׷‬ൌ 

ͳ ݊ ݊  ෍ ૤ሺെλǢ‫ݔ‬ሻൈ൫െλǢ‫ݕ‬൯ ൫ܺ݅ǡ ܻ݅ ൯ ՝երկչափնմուշայինբաշխմանֆունկցիանէǡ

݅ൌͳ Ͳ തതതതത തതതതത ݊ ݊ ͳ ݊ բሻܻܵܺ  ‫׷‬ൌ   ෍ ൬ܺ െ ܺ ൰ ൬ܻ݅ െ ܻ ൰ Ǽուղղվածǽնմուշայինկովարիացիանանշեղև ݊ െ ͳ ݅ൌͳ ݅

խիստ ունակ գնահատական է տեսական ԧ‘˜ሺܺǡ ܻሻ կովարիացիայի համար,

§ 4. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

գ ) ‫ݎ‬௑ǡ௒ ‫׷‬ൌ

మ ήௌ మ ටௌ೉ ೊ

նմուշային կորելյացիայի գործակիցը խիստ ունակ գնահատաଵ

଴ ൌ կան է ߩ௑ǡ௒ տեսական կորելյացիայիգործակցի համար, որտեղ ܵ௑௒ ‫׷‬ൌ ቀͳ െ ௡ቁ ܵ௑௒ ൌ

ͳ ݊

ൌ 

݊

തതതതത തതതതത ʹ ݊ ݊ ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ ൬ܻ݅ െ ܻ ൰ Ʈնմուշայինկովարիացիանէǡիսկܵܺ

തതതതത ʹ ݊ ʹ ͳ ݊ ൌ ݊  ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ ևܻܵ ൌ

݅ൌͳ

݅ൌͳ

തതതതത ݊ ʹ ͳ ݊  ෍ ൬ܻ݅ െ ܻ ൰ ՝նմուշայինցրվածքներըǣ ݊

݅ൌͳ

Ցուցում` ա) օգտվել այն փաստից, որ ૤ሺିஶǢ௫ሻൈሺିஶǢ௬ሻ ሺܺ௜ ǡ ܻ௜ ሻ ̱९‡”ሺॲ଴ ሻ անկախ Բեռնուլիի պատա଴ - ի խիստ ունակությունն ապացուցելու համար ներկայացնել այն հական մեծություններ են, բ) ܵ௑௒ ௡

଴ ൌ

ͳ ݊ ௡ തതതത ෍ ܺ௞ ܻ௞  െ   തതതത ܺ ௡ ܻ ݊െͳ ݊െͳ ௞ୀଵ

տեսքով և կիրառել ուժեղացված մեծ թվերի օրենքը: Անշեղությունն ապացուցելու համար դիտարկել ܼ ൌ ܺ ൅ ܻ



պատահական մեծությունը և հաշվի առնել, որ դրա ॽƒ”ሺܼሻ ൌ ॽƒ”ሺܺሻ  ൅ ॽƒ”ሺܻሻ ൅

൅ʹԧ‘˜ሺܺǡ ܻሻ ցրվածքի անշեղ գնահատականը ଶ

௡

௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ͳ ʹ ଶ ௡ ሻଶ  ൅  തതതത ෍൫ܼ௜ െ ܼ ௡ ൯ ൌ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ෍ሺܻ௜ െ തതതത ܻ ௡ ሻଶ  ൅  ෍ሺܺ௜ െ തതതത ܺ ௡ ሻሺܻ௜ െ തതതത ܻ ௡ ሻ ݊െͳ ݊െͳ ݊െͳ ݊െͳ

վիճականին է, գ) օգտվել բ) կետից, խնդիր 57 - ից և անընդհատության թեորեմներից ሺտե՛սሾʹሿሻ:

62. Անհայտ ߠպարամետրով ९‹ሺߠǡ ݇ሻሺͲ ൏ ߠ ൏ ͳሻ բինոմական բաշխում ունեցող ܺպատահական մեծության նկատմամբ կատարվում է մեկ փորձǣ Ցույց տալ, որ ͳ ͳ ܶሺܺଵ ሻ ‫׷‬ൌ ܺ  െ  ൫ ܺ ଶ վիճականին անշեղ գնահատական է ݃ሺߠሻ ൌ ߠሺͳ െ ߠሻ ݇െͳ ଵ ݇ ݇െͳ൯ ଵ պարամետրական ֆունկցիայի համար: 63. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ նմուշ է անհայտ ߠ ሺͲ ൏ ߠ ൏ ͳሻ պարամետրով Բեռ-

նուլիի բաշխումից : Ապացուցել, որ անշեղ և ունակ գնահատականը ݃ሺߠሻ ൌ ߠሺͳ െ ߠሻ ݊ തതതത

௡ ሺͳ െ തതതത

ܺ ௡ ሻ վիճականին է: պարամետրական ֆունկցիայի համար ܶሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ݊െͳ ܺ Ցուցում՝ նկատել, որ

݊ തതതത ܺ ௡ ̱ ९‹ሺߠǡ ݊ሻ և կիրառել խնդիր 62 - ը:

64 (մ). Սሺߠሻ Պուասոնի բաշխում ունեցող պատահական մեծության նկատմամբ կատարված է մեկ փորձ: Ցույց տալ, որ ܶ௞ ሺܺሻ ‫׷‬ൌ ሺܺሻ௞ ൌ ܺሺܺ െ ͳሻǤ Ǥ Ǥ ሺܺ െ ݇ ൅ ͳሻ վիճականին անշեղ գնահատական է ݃ሺߠሻ ൌ ߠ ௞ ሺ݇ ൒ ͳሻֆունկցիայի համար: ஶ

ՑուցումƮօգտվելॱܶ௞ ሺܺሻ ൌ ෍ ሺ݉ሻ௞ ݁ ିఏ 



ߠ௠ ներկայացումիցǣ ݉Ǩ

§ 4. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

65 (մ). Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է անհայտ ߠ պարամետրով Պուասոնի բաշխումից : Ապացուցել, որ անշեղ և ունակ գնահատականը ݃ሺߠሻ ൌ ߠ ௞ ሺ݇ ൒ ͳሻ ֆունկցիայի հաെ݇ մար݃‫כ‬ ݊ ǣ ൌ ݊ ൫࣭݊ ൯݇

ൌ ݊െ࣭݇݊ ൫࣭݊ െ ͳ൯Ǥ Ǥ Ǥ ቀ࣭݊ െ ݇ ൅ ͳቁ վիճականինէǡորտեղ࣭݊  ൌ

݊ ෍

ܺ݅ ‫׷‬

݅ൌͳ

ՑուցումƮօգտվելՍሺߠሻդասիվերարտադրվողլինելու࣭࢔ ሺܺሻ̱Սሺ݊ߠሻհատկությունիցǡ ևǡ դիտարկելով այն որպես ࣭௡ ൌ ࣭௡ ሺܺሻ պատահական մեծության նկատմամբ կատարված մեկ փորձի արդյունքը` կիրառել խնդիր 64 - ը:

66. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ նմուշ է նորմալ բաշխումից (ߠ - ն անհայտ է, ߪ ଶ - ն՝ ʹ ௡ ሻଶ െ  ߪ തതതത հայտնի ): Ցույց տալ, որ ܶሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ሺܺ վիճականին անշեղ և խիստ ունակ ݊ ଶ գնահատական է ݃ሺߠሻ ൌ ߠ պարամետրական ֆունկցիայի համար: նմուշ է նորմալ բաշխումից ( ߠ ଶ - ն անհայտ է, ݊ ͳ ݉Ǧը՝հայտնիሻǣԱպացուցելǡորܶ ‫׷‬ൌ   ටߨΤʹ ή ෍ หܺ݅ െ ݉หվիճականինանշեղևունակ ݊ ݊ 67. Դիցուք

ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ

݅ൌͳ

գնահատական է ߠ ստանդարտ շեղման համար: ଶ

Ցուցում`ցույց տալ, որ ॱȁܺ௜ െ ݉ȁ ൌ ඥʹΤߨ ή ߠ, ॽƒ”ȁܺ௜ െ ݉ȁ ൌ ቀͳ െ ቁ ߠ ଶ և օգտվել հետևանք 4.2 - ից: గ

68. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ նմուշ է անհայտ ߠଵ և ߠଶଶ պարամետրերով նորմալ

բաշխումների դասից : Ապացուցել, որ ௡

௡

௡

աሻܶଵ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ܿ௜ ܺ௜ ൭෍ ܿ௜ ൌ ͳǡ ෍ ܿ௜ଶ ൌ ܱሺͳΤ݊ሻ൱ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

վիճականին անշեղ և ունակ գնահատական է ߠଵ պարամետրի համար, ଵΤଶ ݊െͳ ௡ Ȟቀ ʹ ቁ ͳ ௡ ଶ ௡ തതതത բሻሺմሻܶଶ ሺܺ ሻ ‫׷‬ൌ ඥ݊Τʹ  ݊ ܵ௡ ቌܵ௡ ‫׷‬ൌ ൥݊ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ሻ ൩ ቍ Ȟ ቀʹቁ ௜ୀଵ վիճականին անշեղ և խիստ ունակ գնահատական է ߠଶ պարամետրի համար: Ցուցում` բ) անշեղությունն ապացուցելու համար օգտվել Ֆիշերի թեորեմից, համաձայն որի` ߟ ‫׷‬ൌ ൌ ݊ܵ௡ଶΤߠଶଶ ̱ԯଶ ሺ݊ െ ͳሻ (տե՛ս թեորեմ 12.1), որտեղից ॱߟ ௧ ൌ 

կությունն ապացուցելու համար օգտվել Էյլեր - Գաուսի

୻ሺ௧ାఒሻ

ǡ ‫ א ݐ‬Թ (տե՛ս ሾʹǡ ȚʹǤͳሿ): Խիստ ունա-

ఈ ೟ ୻ሺఒሻ ୻ሺ௡ା௔ሻ ି௔ Ž‹௡՜ஶ ݊ ୻ሺ௡ሻ

ൌ ͳሺܽ ‫ א‬Թሻբանաձևիցǣ

69 (մ). Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ Ռሺߠǡ ߣሻ նմուշ է գամմա բաշխումից : Ցույց տալ, որ Ȟሺߣ݊ሻ ௡ ሻି௔ ሺܽ ൏ ߣ݊ሻ തതതത ሺ݊ܺ ܶ௡ ሺܺሻ ‫׷‬ൌ  Ȟሺߣ݊ െ ܽሻ վիճականին խիստ ունակ և անշեղ գնահատական է ݃௔ ሺߠሻ ൌ ߠ ௔ ֆունկցիայի համար: ௡ ̱ Ռሺߠǡ ݊ߣሻ հատկությունից և խնդիր 68 - ից: തതതത Ցուցում` օգտվել ݊ܺ

§ 4. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

70 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ԧሺߠǡ ͳሻ նմուշ է Կոշիի բաշխումից : Ցույց տալ, որ ܶ௡ ሺܺሻ ൌ ൌ തതതത ܺ ௡ գնահատականն ունակ չէ ߠ պարամետրի համար: Ապացուցել, որ ունակ և ‫כ‬ ասիմպտոտիկ անշեղ գնահատականը ՝ ܺ௠௘ௗ նմուշային միջնարժեքն է:

Ցուցում` օգտվել

௡ ̱ԧሺߠǡ ͳሻ պայմանից և թեորեմ 4.4 - ից: തതതത ܺ

71 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॼሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ‫ א‬Թሻ՝ ሾߠଵ ǡ ߠଶ ሿ միջակայքում հավասարա-

չափ բաշխումից նմուշ է: Ցույց տալ, որ ௡ାଵ ͳ ݊൅ͳ ܴ ൌ ൫ܺሺ݊ሻ െ ܺሺͳሻ ൯ ܶଵ ሺܺሻǣ ൌ ‫ܯ‬௡ ൌ  ൫ܺሺଵሻ ൅ ܺሺ௡ሻ ൯ և ܶଶ ሺܺሻ ‫׷‬ൌ  ʹ ݊െͳ ௡ ௡ିଵ վիճականիներն անշեղ և ունակ գնահատականներ են, համապատասխանաբար, ͳ ሾߠଵ ǡ ߠଶ ሿմիջակայքի ߠҧ ‫׷‬ൌ ሺߠଵ ൅ ߠଶ ሻ միջնակետի և ݈ ൌ ߠଶ െ ߠଵ երկարության համար: ʹ Ցուցում՝ օգտվել խնդիր ͳͶ‫ כ‬- ից:

72. Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠǡ ߙሻ ሺߠ ൐ Ͳǡ ߙ ൐ Ͳሻ նմուշը վերցված է երկպարամետ-

րական ցուցչային բաշխումից : Համարելով մասշտաբի ߙ պարամետրը հայտնի՝ ապացուցել, որ անշեղ և ունակ գնահատականը տեղաշարժի ߠ պարամետրի համար ߠ௡‫׷ כ‬ൌ ܺሺଵሻ െ 

ͳ վիճականին է: ݊ߙ

Ցուցում՝ օգտվել խնդիր 10 - ից:

73. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺ݉ǡ ߠሻ ሺ݉ ൐ Ͳǡ ߠ ൐ Ͳሻ նմուշը վերցված է երկպարամետրա-

կան ցուցչային բաշխումից : Համարելով տեղաշարժի ݉պարամետրը հայտնի՝ ապացուցել, որ անշեղ և ունակ գնահատականը ݃ሺߠሻ ൌ ߠ ିଵ պարամետրական ֆունկցիայի ௡ െ ݉ վիճականին է : തതതത համար ሺ݃ሺߠሻሻ‫כ‬௡ ‫׷‬ൌ ܺ ૠ૝‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ նմուշը վերցված է երկպարամետրական ցուցչային

բաշխումից (ߠଵ ‫ א‬Թևߠଶ ൐ Ͳ՝ անհայտ են ): Ցույց տալ, որ ունակ և անշեղ գնահատականները ߠଵ և ߠଶିଵ պարամետրերի համար հետևյալ վիճականիներն են՝ ௡

ߠଵ‫׷ כ‬ൌ

ͳ ݊ ͳ ௡ ൯ǡሺߠ ିଵ ሻ‫׷ כ‬ൌ ௡െܺ ൯ൌ തതതത തതതത ൫݊ܺሺଵሻ െ ܺ ൫ܺ ෍൫ܺሺ௜ሻ െ ܺሺଵሻ ൯ ǣ ሺଵሻ ଶ ݊െͳ ݊െͳ ݊െͳ ௜ୀଶ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

ૠ૞‫( כ‬մ). Սափորից, որը պարունակում է անհայտ թվով համարակալված (1, 2, …, ܰሻ գնդիկներ, պատահական վերադարձումի եղանակով վերցվում է ݊ հատը: Դիցուք ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ܺଶ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௡ ሻ - ը` ստացված նմուշն է: Ապացուցել, որ

§ 4. ԿԵՏԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ܶ௡ ‫׷‬ൌ ܶ൫ܺሺ௡ሻ ൯ ൌ

ିଵ ͳ െ ൫ͳ െ ܺሺ௡ሻ

௡ାଵ

ିଵ ͳ െ ൫ͳ െ ܺሺ௡ሻ

௡

ܺሺ௡ሻ

վիճականին անշեղ գնահատական է ߠ ൌ ܰ պարամետրի համար: Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

ૠ૟‫( כ‬մ). Ցույց տալ, որ եթե նախորդ խնդրի պայմաններում կատարվում է ան-

վերադարձ նմուշահանում, ապա անշեղ գնահատականն անհայտ ߠ ൌ ܰ գնդիկների ͳ թվի համար կլինի ߠ௡‫׷ כ‬ൌ ܵ൫ܺሺ௡ሻ ൯ ൌ ቀͳ ൅  ቁ ܺሺ௡ሻ െ ͳ վիճականին: ݊ Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

§ 5. Մոմենտների մեթոդ Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զఏ ‫ ࣪ א‬նմուշին համապատասխանող բաշխումը պատկանում է պարամետրական բաշխումների ࣪ ൌ ሼԶఏ ‫ א ߠ ׷‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ դասին: Դիտարկենք ൫Թǡ ࣜሺԹሻ൯ տարածության վրա որոշված այնպիսի ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ինտեգրելի բորելյան ֆունկցիա, որի համար 

݉௚ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ॱఏ ݃ሺܺሻ ൌ න ݃ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ܨ‬ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ǡ‫ܨ‬ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զఏ ሺܺ ൏ ‫ݔ‬ሻ Թ

մաթեմատիկական սպասումը, որպես ֆունկցիա ߠ - ից, լինի խիստ մոնոտոն և անընդհատ, որտեղից կհետևի, որ այն անընդհատ հակադարձելի է ݉௚ ሺȣሻ տիրույթում: Մոմենտների գնահատական ߠ պարամետրի համար կոչվում է ௡

ͳ ݉௚ ሺߠሻ ൌ ݃ҧ ‫׷‬ൌ  ෍ ݃ሺܺ௜ ሻ ݊ ௜ୀଵ

‫כ‬ հավասարման (ըստ Ʌ - ի) ߠ௡ լուծումը ቀեթե݃ҧ  ‫݉ א‬௚ ሺȣሻቁ: ‫כ‬ Թեորեմ 5.1: ߠ௡ մոմենտների գնահատականը խիստ ունակ է, և, ևթե ݉௚ ሺߠሻֆունկցիան դիֆերենցե

լի է ߠ ‫ א‬ȣկետում,



݉௚ᇱ ሺߠሻ ൐ Ͳևॱఏ ݃ଶ ሺܺሻ ൌ න ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ Զఏ ሺ݀‫ݔ‬ሻ ൏ λǡ Թ ିଶ

ապա այն նաև ߪത ଶ ሺߠሻǣ ൌ ቀ݉௚ᇱ ሺߠሻቁ ॽƒ”ఏ ൫݃ሺܺሻ൯ գործակցով ասիմպտոտիկ նորմալ է, այսինքն՝ ௗ

‫כ‬ ξ݊ሺߠ௡ െ ߠሻ  ՜ Գ൫Ͳǡ ߪത ଶ ሺߠሻ൯,

݊ ՜ λ:

Բազմաչափ ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թ௞ պարամետրի դեպքում մոմենտների գնահատական ߠ պարամետրի համար կոչվում է ௡

ͳ ݉௚ೕ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ॱఏ ݃௝ ሺܺሻ ൌ ෍ ݃௝ ሺܺ௜ ሻǡ ݆ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݇ ݊ ௜ୀଵ

‫ כ‬ሻ ‫כ‬ հավասարումների համակարգի ߠ௡‫ כ‬ൌ ሺߠଵ௡ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߠ௞௡ լուծումը, որտեղ ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݃௞ ሺ‫ݔ‬ሻ բորելյան ֆունկ-

ցիաներն ընտրվում են այնպես, որ ݉௚ೕ ሺߠሻ ൌ ‫ݐ‬௝ , ݆ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݇ հավասարումները միարժեք և անընդհատ հակադարձվեն ըստ ߠ - ի կամայական ‫ ݐ‬ൌ ሺ‫ݐ‬ଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݐ‬௞ ሻ ‫א‬ ‫݉ א‬௚ ሺȣሻ - ից: Քանի որ մոմենտների գնահատականը կախված է ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݃௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիաների ընտրությունից, ապա այն որոշվում է ոչ միարժեք ձևով : Սովորաբար, որպես ݃௝ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիաներ վերցվում են ݃௝ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൌ ‫ ݔ‬௝ , ݆ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݇ տեսքի ֆունկցիաները:

77. ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխում ունեցող ܺ պատահական մեծության ܺ ௡ նմուշի միջոցով գտնել ߠሺߠ ൐ Ͳሻ պարամետրի մոմենտների գնահա-

տականը վերցնելով ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬և ստուգել գնահատականի անշեղությունը, խիստ ունակությունը և ասիմպտոտիկ նորմալությունը : 78. ሾߠଵ ǡ ߠଶ ሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխված ܺպատահական մեծության ܺ ௡ նմուշի միջոցով գտնել ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ պարամետրի մոմենտների գնահատա-

կանը և ստուգել դրա խիստ ունակությունը :

§ 5. ՄՈՄԵՆՏՆԵՐԻ ՄԵԹՈԴ

79. ܺ ௡ ̱ ९‡”ሺߠሻ՝ ݊ անկախ Բեռնուլիի փորձերին համապատասխանող նմուշ է: Գտնել ߠ պարամետրի մոմենտների գնահատականները ( ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ): 80. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ९‹ሺߠǡ ݇ሻ նմուշ է բինոմական բաշխումից ǣ Գտնել Ǽհաջողու-

թյանǽ ߠ հավանականության մոմենտների գնահատականը համարելով ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬: 81. Պուասոնի բաշխումից ܺ ௡ ̱ Սሺߠሻ նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի երկու տարբեր մոմենտների գնահատականներ՝ վերցնելով ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ , և ստուգել ստացված գնահատականների խիստ ունակությունը: ߠଶ௞ ͳ ߠଵ௞ ૡ૛ǤԶሺܺ ൌ ݇ሻ ൌ ቆ ݁ ିఏభ  ൅  ݁ ିఏమ ቇ ǡ݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ Ǥ Ǥ ǤǡͲ ൏ ߠଵ ൏ ߠଶ ʹ ݇Ǩ ݇Ǩ «կրկնապատիկ» Պուասոնի բաշխումից ܺ ௡ ̱ Սሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ նմուշի միջոցով գտնելߠ ൌ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ պարամետրի մոմենտների գնահատականը (݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ): 83. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ - ը նմուշ է ցուցչային բաշխումից : Մոմենտների մեթոդով գտնել ߠ պարամետրի գնահատականները վերցնելով ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ : Ստուգել այդ գնահատականների խիստ ունակությունը և ասիմպտոտիկ նորմալությունը: Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 5.1 - ից:

84.

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠሺߠ ൅ ͳሻ‫ ݔ‬ఏିଵ ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫אݔ‬Թ

௡

խտության ֆունկցիայով բետա բաշխում ունեցող ܺ ̱ ९‡–ሺߠǡ ʹሻ, ߠ ൐ Ͳ նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի մոմենտների գնահատականը վերցնելով ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ու ստուգել դրա խիստ ունակությունը և ասիմպտոտիկ նորմալությունը: Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 5.1 - ից:

85.

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ఏͳ ഇʹ Ռሺఏʹ ሻ

 ‫ ʹߠݔ‬െͳ ݁െߠͳ ‫ ݔ‬૤ሺͲǡλሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ (ߠଵ ൐ Ͳǡ ߠଶ ൐ Ͳሻ

խտության ֆունկցիայով գամմա բաշխում ունեցող ܺ ௡ ̱ Ռሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ նմուշի միջոցով գտնել ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻպարամետրի մոմենտների գնահատականը համարելով ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ  և ապացուցել դրա խիստ ունակությունը: 86. Տրված է նմուշ Պարետոյի բաշխումից : Մոմենտների մեթոդով գտնել ߠ պարամետրի գնահատականը և ցույց տալ դրա խիստ ունակությունը, եթե

§ 5. ՄՈՄԵՆՏՆԵՐԻ ՄԵԹՈԴ

ա) ܺ ௡ ̱Զƒ”ሺߠǡ ܿሻ,

ܿ ൐ ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ

ߠ ൐ Ͳ,

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿߠ ௖ ‫ି ݔ‬ሺଵା௖ሻ ૤ሺఏǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ, բ ) ܺ ௡ ̱Զƒ”ሺܿǡ ߠሻ,

‫ א ݔ‬Թ,

ߠ ൐ ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ

ܿ ൐ Ͳ,

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠܿ ఏ ‫ି ݔ‬ሺଵାఏሻ ૤ሺ௖ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ, գ ) ܺ ௡ ̱Զƒ”ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ,

‫ א ݔ‬Թ,

ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻǡߠଵ ൐ Ͳǡߠଶ ൐ ʹ ሺ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ  ‫ ݔ‬ଶ ሻ

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠଶ ߠଵ ఏమ ‫ି ݔ‬ሺଵାఏమ ሻ ૤ሺఏభ ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ:

87. Երկպարամետրական ցուցչային բաշխումից նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի մոմենտների գնահատականը և ցույց տալ դրա խիստ ունակությունը, եթե աሻܺ ௡ ̱ॱሺߠǡ ܿሻ,

ߠ ‫ א‬Թ,

ܿ ൐ Ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ‡š’ሼെܿሺ‫ ݔ‬െ ߠሻሽ૤ሾఏǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ,

բ )ܺ ௡ ̱ॱሺܿǡ ߠሻ, ܿ ‫ א‬Թ,ߠ ൐ Ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠ ‡š’ሼെߠሺ‫ ݔ‬െ ܿሻሽ૤ሾ௖ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ,

գ ) ܺ ௡ ̱ॱሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ, ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻǡߠଵ ‫ א‬Թǡߠଶ ൐ Ͳ ሺ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ  ‫ ݔ‬ଶ ሻ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠଶ ‡š’ሼെߠଶ ሺ‫ ݔ‬െ ߠଵ ሻሽ૤ሾఏభ ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ:

88. Տրված է նմուշ երկկողմանի ցուցչային (Լապլասի) բաշխումից : Գտնել ߠ պարամետրի մոմենտների գնահատականը և ստուգել դրա խիստ ունակությունը, եթե

աሻܺ ௡ ̱ॷሺߠǡ ܿሻ,

ߠ ‫ א‬Թ, ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

բ ) ܺ ௡ ̱ॷሺܿǡ ߠሻ,

ܿ ‫ א‬Թ, ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

գ ) ܺ ௡ ̱ॷሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ,

ܿ ൐ Ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ ௖ ଶ

‡š’ሼെܿȁ‫ ݔ‬െ ߠȁሽ,

‫ א ݔ‬Թ,

ߠ ൐ Ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ሻ ఏ ଶ

 ‡š’ሼെߠȁ‫ ݔ‬െ ܿȁሽ,

‫ א ݔ‬Թ,

ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻǡߠଵ ‫ א‬Թǡߠଶ ൐ Ͳ ሺ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ  ‫ ݔ‬ଶ ሻ

ߠ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹʹ ‡š’ሼെߠଶ ȁ‫ ݔ‬െ ߠଵ ȁሽ,

‫ א ݔ‬Թ:

§ 5. ՄՈՄԵՆՏՆԵՐԻ ՄԵԹՈԴ

89. Դիցուք տրված է նմուշ Ռելեյի բաշխումից : Մոմենտների մեթոդով գտնել ߠ պարամետրի գնահատականը և ստուգել դրա խիստ ունակությունը, եթե աሻܺ ௡ ̱Թሺܿǡ ߠ ଶ ሻǡܿ ‫ א‬Թǡߠ ൐ Ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ բ ) ܺ ௡ ̱Թሺߠǡ ܿ ଶ ሻ,

ʹሺ‫ݔ‬െܿሻ ͳ ‡š’ ൜െ ʹ ሺ‫ ݔ‬െ ܿሻଶ ൠ ૤ሾ௖ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ, ʹ ߠ ߠ

‫ א ݔ‬Թ,

ߠ ‫ א‬Թǡܿ ൐ Ͳ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሻ

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ʹ൫‫ݔ‬െߠ൯ ͳ ‡š’ ቄെ ʹ ሺ‫ ݔ‬െ ߠሻଶ ቅ ૤ሾఏǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ, ܿ ܿʹ

‫ א ݔ‬Թ,

գ ) (մ) ܺ ௡ ̱Թሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ, ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻǡߠଵ ‫ א‬Թǡߠଶ ൐ Ͳ ሺ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ  ‫ ݔ‬ଶ ሻ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ʹ൫‫ݔ‬െߠͳ ൯ ͳ

‡š’ ቊെ ʹ ሺ‫ ݔ‬െ ߠଵ ሻଶ ቋ ૤ሾఏభ ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

ʹ ߠʹ ߠʹ

‫ א ݔ‬Թ:

90 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ ९‡–ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ (ߠଵ ൐ Ͳǡ ߠଶ ൐ Ͳ) նմուշ է բետա բաշխումից : Գտնել ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ պարամետրի մոմենտների գնահատականը: 91. Դիցուք

ܺ ௡ ̱ Գ९‹ሺߠǡ ‫ݎ‬ሻ նմուշ է բացասական բինոմական բաշխումից

( 0൏ ߠ ൏ 1, ‫ א ݎ‬Գሻ: Գտնել ߠ պարամետրի մոմենտների գնահատականը և ստուգել դրա խիստ ունակությունն ու ասիմպտոտիկ նորմալությունը ( ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫) ݔ‬: 92. Սափորից, որը պարունակում է անհայտ ߠ թվով համարակալված գընդիկներ, կատարվում է նմուշահանում վերադարձի եղանակով: Նշանակենքܺ ௡ ൌ ൌ ሺܺଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௡ ሻ- ով ստացված ݊ ծավալի նմուշը:Մոմենտների մեթոդով գնահատել ߠ ‫ א‬Գ պարամետրը և ստուգել դրա անշեղությունը: Ցուցում` ܺ௜ պատահական մեծություններն ունեն հավասարաչափ դիսկրետ բաշխում ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում՝ Զఏ ሺܺ௜ ൌ ݇ሻ ൌ ߠ ିଵ , ݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ǡ ݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߠ:

§ 6. Ճշմարտանմանության մաքսիմումի մեթոդ Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ նմուշը համապատասխանում է ࣪ ൌ ሼԶఏ ǣߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ բաշխումների դասից Զఏ բաշխմանը, ընդ որում ቀ൫‫ܣ‬ఓ ൯Ȃ պայմանቁ ցանկացած բաշխում այդ դասից բացարձակ անընդհատ է ൫ࣲǡ ࣜሺࣲሻ൯ (ࣲ ൌ ܺሺȳሻ ‫ ك‬Թ) տարածության վրա տրված որոշ ߪ – վերջավոր ߤ չափի նկատմամբ (սովորաբար այն հաշվող կամ Լեբեգի չափ է): Նշանակենք ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ

݀Զߠ ሺ‫ݔ‬ሻ ൒ Ͳ, ݀ߤ

ߠ‫א‬ȣ

Զఏ բաշխումների խտություններն ըստ այդ չափի: ܺ ௡ նմուշին համապատասխանող ௡

݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ෑ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬௜ ሻ ǡ

‫ ݔ‬௡ ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ ‫ ࣲ א‬௡

௜ୀଵ

համատեղ խտության ֆունկցիան (որը դիտարկվում է որպես ֆունկցիա ߠ - ից), կոչվում է ճշմարտանմանության ֆունկցիա: ௡

‫ܮ‬ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ Ž݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ෍ Ž ݂ఏ ሺ‫ݔ‬௜ ሻ ௜ୀଵ

ֆունկցիան կոչվում է լոգարիթմական ճշմարտանմանության ֆունկցիա: Այն ߠ෠௡ ൌ ߠ෠(ܺ ௡ ሻ ‫ א‬ȣ վիճականին, որի դեպքում ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ(կամ ‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ) պատահական ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն արժեքը, այսինքն ݂ఏ෡೙ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ƒš ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻቀկամ‫ܮ‬ఏ෡೙ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ƒš ‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻቁ ǡ ఏ‫஀א‬

ఏ‫஀א‬

կոչվում է ߠ պարամետրի ճշմարտանմանության մաքսիմումի ( ՃՄ ) գնահատական և նշանակվում է՝ ߠ෠௡ ‫׷‬ൌ ƒ”‰ ƒš ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻቀկամߠ෠௡ ‫׷‬ൌ ƒ”‰ ƒš ‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻቁǣ ఏ‫஀א‬

ఏ‫஀א‬

1. Դիցուք բոլոր ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ - ի համար ݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൫‫ܮ‬ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ൯ ֆունկցիան իր մեծագույն արժեքն ընդունում է ȣ բազմության ներքին կետում ( կետերում ), և այդ բազմության վրա այն ունի առաջին և երկ-

րորդ կարգի ածանցյալները: Այդ ֆունկցիայի «ստացիոնար» կետերը (գոյության դեպքում) բավարարում են հետևյալ հավասարմանը (էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը) ՝ ݂ఏᇱ ሺܺ ௡ ሻ ൌ Ͳሺ‫ܮ‬ᇱఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ Ͳሻǣ ௡ ௡ ෩ կետը լոկալ մաքսիմումի կետ լինելու բավարար ݂ఏ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൫‫ܮ‬ఏ ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ֆունկցիայիհամար «ստացիոնար » ߠ պայմանն է` ᇱᇱ ᇱᇱ ௡ ௡ ݂ఏ ෩ ሺܺ ሻ ൏ Ͳ൫‫ܮ‬ఏ ෩ ሺܺ ሻ ൏ Ͳ൯:

ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականն այդ լոկալ մաքսիմումների արժեքներից մեծագույն արժեքին համապատասխանող «ստացիոնար» կետն է: 2. Օրինակի վրա դիտարկենք այն դեպքը, երբ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ճշմարտանմանության ֆունկցիան դիֆերեն-

ցելի չէ (ըստ ߠ - ի): Օրինակ 6.1: Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॼሺͲǡ ߠሻሺߠ ൐ Ͳሻ նմուշը համապատասխանում է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠ ିଵ ૤ሾ଴ǡఏሿ ሺ‫ݔ‬ሻ, ‫ א ݔ‬Թ խտության ֆունկցիայով ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխված ܺ պատահական մեծությանը: ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ճշմարտանմանության ֆունկցիայի համար՝ կստանանք ௡

௡

݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෑ ݂ఏ ሺܺ௜ ሻ ൌ ߠ ି௡ ෑ ૤ሾ଴ǡఏሿ ሺܺ௜ ሻ ൌ ߠ ି௡ ૤ሾ௑ሺ೙ሻǡ ஶሻ ሺߠሻ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

§ 6. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՄԱՔՍԻՄՈՒՄԻ ՄԵԹՈԴ

(քանի որ ܺ௜ ൑ ߠ պայմանից բոլոր ݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ - ի համար բխում է Ͳ ൑ ܺሺଵሻ ൑Ǥ ǤǤ൑ ܺሺ௡ሻ ൑ ߠ պայմանը, որը համարժեք է ߠ ൒ ܺሺ௡ሻ անհավասարությանը): Պարզ է, որ ߠ ൌ ܺሺ௡ሻ կետում ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ֆունկցիան

դիֆերենցելի չէ (այդ կետում այն նույնիսկ անընդհատ չէ ) և ընդունում է իր մեծագույն ߠ ି௡ արժեքը: Հետևաբար՝ ߠ෠௡ ൌ ܺሺ௡ሻ - ը ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականն է : ‫ז‬ Այժմ դիտարկենք բազմաչափ ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥǡ ߠ௞ ሻ պարամետրի դեպքը: ௡

Այնߠ෠௡ ൌ ൫ߠ෠ଵ௡ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߠ෠௞௡ ൯վիճականին ቀߠ෠௝௡ ‫׷‬ൌ ߠ෠௝ ሺܺ ௡ ሻቁ որիդեպքում݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෑ ݂ఏ ሺܺ௜ ሻ ճշմարտանմաǦ ௜ୀଵ

௡

նությանֆունկցիանկամ ‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ Ž ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෍ Ž ݂ఏ ሺܺ௜ ሻ լոգարիթմականճշմարտանմանության ௜ୀଵ

ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն արժեքը, կոչվում է ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥǡ ߠ௞ ሻպարամետրի ճշմարտանմանության մաքսիմումի (ՃՄ ) գնահատական: Եթե կամայական‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ - ի համար ݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ൫‫ܮ‬ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ൯ ֆունկցիան իր մեծագույն արժեքն ընդունում է ȣ ‫ ؿ‬Թ௞ բազմության ներքին կետում ( կետերում ), և այդ բազմության վրա գոյություն ունեն డ௅ഇሺ௫ ೙ ሻ

డమ ௙ഇ ሺ௫ ೙ ሻ

డఏೕ

డఏ೔ డఏೕ

൰ և 

డ௙ഇ ሺ௫ ೙ ሻ డఏೕ



డమ ௅ഇ ሺ௫ ೙ ሻ

డఏ೔ డఏೕ

൰ ǡ݅ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ ածանցյալները, ապա այդ ֆունկցիայի Ǽստացիոնարǽ

կետերը ( գոյության դեպքում ) բավարարում են հետևյալ հավասարումներին (էքստրեմումի անհրա-

ժեշտ պայմաններ) ՝ డ௙ഇ ሺ௫ ೙ ሻ డఏೕ

డ௅ഇሺ௫ ೙ሻ

ൌ0 ൬

డఏೕ

ൌ Ͳ൰,

݆ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݇:

෩ Ǽստացիոնար » կետի համար ݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൫‫ܮ‬ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ൯ ֆունկցիայի լոկալ մաքսիմումի կետ լինելու ߠ

բավարար պայմանն է ᇱᇱ ௡ ݂ఏ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ฯ

೙ డమ ௙ഇ ෩ ሺ௫ ሻ

డఏ೔ డఏೕ

௞

ฯ ௜ǡ௝ୀଵ

௡ ቆ‫ܮ‬ᇱᇱఏ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ฯ

೙ డమ ௅ഇ ෩ ሺ௫ ሻ

డఏ೔ డఏೕ

௞

ฯ

ቇ ௜ǡ௝ୀଵ

մատրիցի բացասական որոշվածությունը՝ ᇱᇱ ௡ ᇱᇱ ௡ ݂ఏ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൏ Ͳ൫‫ܮ‬ఏ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൏ Ͳ൯, որը նշանակում է համապատասխան քառակուսային ձևի բացասական որոշված լինելը՝ այսինքն ௞ ᇱᇱ ௡ ் ‫݂ݐ‬ఏ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ‫ ݐ‬ൌ ෍ ௜ǡ௝ୀଵ

௞

௡ ௡ ߲ ଶ ݂ఏ ߲ ଶ ‫ܮ‬ఏ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ ௡ ் ‫ݐ‬௜ ‫ݐ‬௝ ൏ Ͳ ቌ‫ܮݐ‬ᇱᇱఏ ‫ݐ‬௜ ‫ݐ‬௝ ൏ Ͳቍ ෩ ሺ‫ ݔ‬ሻ‫ ݐ‬ൌ ෍ ߲ߠ௜ ߲ߠ௝ ߲ߠ௜ ߲ߠ௝ ௜ǡ௝ୀଵ

բոլոր ‫ ݐ‬ൌ ሺ‫ݐ‬ଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫ݐ‬௞ ሻ ‫ א‬Թ௞ - ի համար (‫ ் ݐ‬- ն՝ վեկտոր – սյուն է):

ՃՄ գնահատականը բավարարում է անփոփոխության ( ինվարիանտության ) հատկությանը. Թեորեմ 6.2: Դիցուք տրված է որոշ ߬ሺߠሻǣȣ ՜ ࣮ ֆունկցիա ൫࣮ ൌ ߬ሺȣሻ൯ǡ որտեղ ȣ ‫ ؿ‬Թ௞ և ࣮ ‫ ؿ‬Թ௥ ՝ միջակայքեր են ሺͳ ൑ ‫ ݎ‬൑ ݇ሻ: Այդ դեպքում, եթե ߠ෠௡ - ը ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականն է, ապա ෣ ௡ ൌ ߬൫ߠ෠௡ ൯: ߬൫ߠ෠௡ ൯- ը կլինի ߬ሺߠሻ պարամետրական ֆունկցիայի ՃՄ գնահատականը, այսինքն՝ ߬ሺߠሻ

93. Բինոմական բաշխում ունեցող ܺ ௡ ̱ ९‹ሺߠǡ ݇ሻ նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականը: 94. Պուասոնի բաշխում ունեցող ܺ ̱Սሺߠሻպատահական մեծության նկատմամբ կատարված են անկախ ܺଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௡  դիտարկումներ: Գտնելߠպարամետրի ՃՄ գնա-

հատականը:

§ 6. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՄԱՔՍԻՄՈՒՄԻ ՄԵԹՈԴ

95. Բացասական բինոմական բաշխում ունեցող ܺ ௡ ̱Գ९‹ሺߠǡ ‫ݎ‬ሻ նմուշի միջոఏ ցով գտնել ݃ሺߠሻ ൌ ֆունկցիայի ՃՄ գնահատականը: ଵିఏ 96. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠሻ նմուշն ունի ցուցչային բաշխում : Գտնել ߠ պարամետրի

ՃՄ գնահատականը: 97. ̱ܺ Զఏ բաշխում ունեցող պատահական մեծության ܺ ௡ նմուշի միջոցով գտնել ॲ௖ ሺߠሻ ൌ Զఏ ሺܺ ൏ ܿሻ բաշխման ֆունկցիայի որպես ֆունկցիաߠ - ից ՃՄ գնահա-

տականը (ܿ ‫ א‬Թ՝ հաստատուն թիվ է), եթե ա) ܺ ̱ Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ, բ) ܺ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: 98. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ նմուշ է անհայտ ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ պարամետրով նորմալ բաշխումից : Գտնել ॲ௖ ሺߠሻ ൌ Զఏ ሺܺ ൏ ܿሻ բաշխման ֆունկցիայի որպես ֆունկցիա ߠ - ից (ܿ ‫ א‬Թ՝ հաստատուն թիվ է) ՃՄ գնահատականը: 99. ܺ ௡ ̱ Գሺߠǡ ʹߠሻ ሺߠ ൐ Ͳሻ նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի ՃՄ գնահա-

տականը և ցույց տալ այդ գնահատականի ունակությունը: 100. Դիցուք ܺ ௡ նմուշը վերցված է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

݃Ԣሺ‫ݔ‬ሻ ͳ ‡š’ ቊെ ʹ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻ െ ߠଵ ሻଶ ቋ, ߠʹ ඥʹߨ ʹߠʹ

‫ א ݔ‬Թ (ߠଵ ‫ א‬Թ,ߠଶ ൐ Ͳ)

խտության ֆունկցիայով Կեպտայնի բաշխումների դասից, որտեղ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ - ը մոնոտոն աճող ሺ݃ሺ൅λሻ ൌ ൅λǡ ݃ሺെλሻ ൌ െλ) դիֆերենցելի ֆունկցիա է: Գտնել ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ պարամետրի ՃՄ գնահատականը և ցույց տալ այդ գնահատականի ունակությունը: 101.

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ʹ‫ି ݔ‬௫ మ Τఏ ݁ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻǡ‫ א ݔ‬Թ ሺߠ ൐ Ͳሻ ߠ

խտության ֆունկցիայով Ռելեյի օրենքով բաշխված ܺ ௡ նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականը և ցույց տալ դրա ունակությունն ու անշեղությունը: 102. Դիցուք ܺ ௡ ̱Ռሺߠǡ ߣሻ նմուշ է ߣ ൐ Ͳ հայտնի պարամետրով ߣ

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ߠ  ‫ ݔ‬ఒିଵ݁ ିఏ௫ ૤ሺ଴ǡஶሻሺ‫ݔ‬ሻ, Ȟ൫ߣ൯

‫ א ݔ‬Թ ሺߠ ൐ Ͳሻ

խտության ֆունկցիայով գամմա բաշխումների դասից : Գտնել ߠ պարամետրի ՃՄ

գնահատականը և ցույց տալ այդ գնահատականի ասիմպտոտիկ անշեղությունը և խիստ ունակությունը:

§ 6. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՄԱՔՍԻՄՈՒՄԻ ՄԵԹՈԴ

103. Գտնել ߠ ൐ Ͳ պարամետրի ՃՄ գնահատականը, եթե ܺ ௡ նմուշին համապատասխանող պատահական մեծության խտության ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝ భΤమ ʹ ա) ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠ ଵΤଶ ‫ ݔ‬ఏ ିଵ ૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻ, բሻ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ ‫ݔ‬૤ሾ଴ǡఏሿ ሺ‫ݔ‬ሻ,  ߠ ߠ ͳ ߠ ‡š’ ቄെ ߠ ଶ ቅ ૤ሾ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ, դ ) ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ  ሺŽ ‫ݔ‬ሻఏିଵ ૤ሾଵǡ௘ሿ ሺ‫ݔ‬ሻ : գ ) ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ඥʹߨ‫͵ݔ‬ 104 (մ). Գտնել ՝ ա) [-ߠǡ Ͳሿ, ߠ ൐ Ͳ, բሻ [െ ߠǡ ߠሿ, ߠ ൐ Ͳ, գ) [ߠǡ ߠ ൅ ʹሿ, ߠ ‫ א‬Թ, դ) [ߠǡ ʹߠሿ, ߠ ൐ Ͳ միջակայքերում հավասարաչափ բաշխում ունեցող նմուշի միջոցով ߠ պարամետրի

ՃՄ գնահատականը: 105. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॼሺߠǡ ͳ ൅ ߠሻ (ߠ ൐ Ͳ) նմուշ է ሾߠǡ ͳ ൅ ߠሿ միջակայքում հավա-

սարաչափ բաշխումից : Գտնել ߠ պարամետրի անշեղ ՃՄ գնահատականը : Ցուցում` օգտվել խնդիր 6 - ից: Տե՛ս նաև օրինակ 6.1 :

106. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զƒ”ሺߠǡ ܿሻ նմուշ է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠܿ ఏ ‫ି ݔ‬ሺଵାఏሻ ૤ሺ௖ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թሺߠ ൐ Ͳሻ

խտության ֆունկցիայով Պարետոյի բաշխումից (ܿ ൐ Ͳ հայտնի է): Գտնել ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականը: ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߙߠ ఈ ‫ି ݔ‬ሺଵାఈሻ ૤ሾఏǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

107.

‫ א ݔ‬Թ ሺߠ ൐ Ͳሻ

խտության ֆունկցիայով ܺ ௡ ̱ Զƒ”ሺߙǡ ߠሻ (ߙ ൐ Ͳ հայտնի պարամետր է) Պարետոյի

բաշխումից նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականն ու պարզել այդ գնահատականի անշեղության և ունակության հարցերը: Ցուցում` նկատել, որ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիան դիֆերենցելի չէ ըստ ߠ - ի և ներկայացնել ܺ ௡ նմուշը

վարիացիոն շարքի տեսքով:

108. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠଵ ǡ ߠଶିଵ ሻ նմուշ է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠଶିଵ ‡š’ሼെߠଶିଵ ሺ‫ ݔ‬െ ߠଵ ሻሽ૤ሾఏభ ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ (ߠଵ ‫ א‬Թǡ ߠଶ ൐ Ͳ)

խտության ֆունկցիայով երկպարամետրական ցուցչային բաշխումից : Գտնել ߠ ൌ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ պարամետրի ՃՄ գնահատականն ու ցույց տալ այդ գնահատականի ասիմպտոտիկ անշեղությունը և ունակությունը: Ցուցում՝ Նախ գտնել ߠଵ պարամետրի ՃՄ գնահատականը, այնուհետև՝ ߠଶ - ինը: Օգտվել նաև խնդիր 10 - ից:

§ 6. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՄԱՔՍԻՄՈՒՄԻ ՄԵԹՈԴ

109. ߠ հատ անհայտ թվով համարակալված գնդիկներ պարունակող սափորից կատարում են նմուշահանում վերադարձի եղանակով: Դիցուք ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௡ ሻ - ը համապատասխան ݊ ծավալի պատահական նմուշն է: Ապացուցել, որ ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականը ߠ෠௡ ൌ ܺሺ௡ሻ վիճականին է: ૚૚૙‫( כ‬մ). Տրված է ܺ ௡ ̱ ॸሺ݊Ǣߠଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߠே ሻնմուշ բազմանդամային (պոլինոմական) բաշխումիցǡորտեղͲ ൏ ߠ݅

ܰ

൏ ͳǡ ෍ ߠ݅ ൌ ͳǣԳտնելߠ ൌ ቀߠͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߠܰ ቁպարամետրիՃՄ ݅ൌͳ

գնահատականն ու ստուգել դրա անշեղությունը և ունակությունը: Ցուցում` տե՛ս Հավելված 3 :

૚૚૚‫ כ‬ሺմሻǤ Որպեսզի գնահատվի լճի ձկների ߠ ൌ ܰ անհայտ թիվը, անվերադարձ նմուշահանման եղանակով կատարվում է հետևյալ փորձը`բռնում են ݉ଵ հատ ձկներ, նրանց վրա հատուկ նշումներ են անում և վերադարձնում լիճ: Այնուհետև կրկին բռնում են ݉ଶ  հատ ձկներ և հաշվում նշված ձկների ߤ ൌ ݉ թիվը: Ցույց տալ, որ ݉ ݉ ߠ - ի ՃՄ գնահատականը ߠ෠ ൌ ቂ ͳ ʹ ቃ վիճականին է ሺሾήሿ ՝ թվի ամբողջ մասն է): ݉ Ցուցում` տե՛ս Հավելված 3 :

૚૚૛‫ כ‬ሺմሻǤ ( Նմուշային հսկողություն ). ܰ հատ արտադրանքներից բաղկացած խմբաքանակը, որը պարունակում է անհայտ ߠ թվով անորակ արտադրատեսակ, գտնվում է հսկիչի մոտ: Որպեսզի գնահատվի ߠ պարամետրը, հսկիչը պատահականորեն (անվերադարձ եղանակով ) լրիվ խմբաքանակից վերցնում է ݊ հատը (݊ ൏ ܰ) և հաշվում անորակ արտադրատեսակների ݀ թիվը: Ցույց տալ, որ ՃՄ գնահատա൫ܰ൅ͳ൯݀ կանը ߠ - ի համար ߠ෠௡ ൌ ቂ ቃ վիճականին է: ݊ ௡

113. Դիցուք ܺ௝ ೕ ൌ ቀܺ௝ଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௝௡ೕ ቁ - երը ( ݆ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݇) համապատասխանաբար Գ൫ߠ௝ଵ ǡ ߠଶଶ ൯ նորմալ բաշխումներից միմյանցից անկախ ݊௝ - ծավալի նմուշներ են: Նշանակենք նմուշային միջինները և ցրվածքները՝ തതതതതത ݆݊ തതത ݆ܺ ǣ ൌ ݆ܺ ൌ

ͳ ݆݊

݆݊ ෍

݉ൌͳ

ʹ ʹ ͳ ݆ܺ݉ և݆ܵ ǣ ൌ ݆݆ܵ݊ ൌ ݊ 

݆݊

തതത ʹ ෍ ቀ݆ܺ݉ െ ݆ܺ ቁ ‫׷‬

݆ ݉ൌͳ

Ապացուցել, որ ա) ߠ ൌ ሺߠଵଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߠ௞ଵ ǡ ߠଶ ሻ պարամետրի ՃՄ գնահատականը՝ վիճականինէǡորտեղܵ

ʹ

ͳ ݊

݇

‫׷‬ൌ  ෍ ݆ൌͳ

ʹ

݆݊ ݆ܵ ǡ݊ ൌ

݇ ෍

ʹ

݆݊ ǡբሻߠʹընդհանուրցրվածքիանշեղ

݆ൌͳ

݇ ʹ ͳ գնահատականը՝ߠʹ  ‫׷‬ൌ ܵ ൌ  ෍ ݆݊ ݆ܵ վիճականինէ ‫׷‬ ݊ െ ݇ ݆ൌͳ ʹ

෩ʹ

ߠ෠ ൌ  ሺܺതଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺത௞ ǡ ܵሻ

§ 7. Գնահատականների համեմատություն Ֆիքսված ծավալի նմուշներ Կասենք, որ ߠ ‫ א‬ȣ պարամետրի համար ߠଵ‫ כ‬գնահատականը ߠଶ‫ כ‬գնահատականից (միջին քառակուսային իմաստով ) ավելի Ǽլավն էǽ կամ առավել ճշգրիտ է, եթե բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ի համար ܴଶ ሺߠǡ ߠଵ‫ כ‬ሻ ‫׷‬ൌ ॱఏ ሺߠଵ‫ כ‬െ ߠሻଶ  ൑  ॱఏ ሺߠଶ‫ כ‬െ ߠሻଶ ‫׷‬ൌ ܴଶ ሺߠǡ ߠଶ‫ כ‬ሻ, և, գոյություն ունի ߠ պարամետրի համար առնվազն մեկ արժեք, որի դեպքում այդ անհավասարությունը խիստ է (R(ߠǡ ߠ ‫ ) כ‬ֆունկցիան կոչվում է ( քառակուսային ) ռիսկի ֆունկցիա):  Ներմուծենք Ʌ պարամետրից միևնույն ܾሺߠሻ շեղում ունեցող ॶ௕ ǣ ൌ ሼߠ ‫ כ‬ǣॱఏ ߠ ‫ כ‬ൌ ߠ ൅ ܾሺߠሻሽ գնահատականների դասը: ߠ଴‫ॶ א כ‬௕ գնահատականը կոչվում է Ʌ պարամետրի համար օպտիմալ ॶ௕ դասում, եթե ߠ- ի ցանկացածայլߠ ‫ॶ א כ‬௕ - ից գնահատականի և բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ի համար տեղի ունի ܴଶ ሺߠǡ ߠ଴‫ כ‬ሻ ൌ ॱఏ ሺߠ଴‫ כ‬െ ߠሻଶ  ൑  ॱఏ ሺߠ ‫ כ‬െ ߠሻଶ ൌ ܴଶ ሺߠǡ ߠ ‫ כ‬ሻ անհավասարությունը: Օպտիմալ գնահատականը ॶ௕ դասում Զఏ - հ.հ. իմաստով միակն է՝ այսինքն, եթե ߠଵ‫ כ‬- ը և ߠଶ‫ כ‬- ը երկու օպտիմալ գնահատականներ են ॶ௕ դասից, ապա բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ի համար

Զఏ ሺߠଵ‫ߠ ് כ‬ଶ‫ כ‬ሻ ൌ Ͳ :

Օպտիմալߠ଴‫ כ‬գնահատականն անշեղ գնահատականներիॶ଴ դասում կոչվում է ուղղակի օպտիմալ կամ հավասարաչափ փոքրագույն ցրվածքով անշեղ գնահատական ሺ۰‫܃ۺ‬۳ሻ: Այն բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ի և բոլոր ߠ ‫ॶ א כ‬଴ - ից գնահատականների համար բավարարում է ॽƒ”ఏ ሺߠ଴‫ כ‬ሻ  ൑ ॽƒ”ఏ ሺߠ ‫ כ‬ሻ անհավասարությանը:

Ասիմպտոտիկ դեպք Ներմուծենքߠ պարամետրի գնահատականների հետևյալ դասերը՝ ௗ

ॶ஍ ‫׷‬ൌ ቄߠ ‫ כ‬ǣߟ௡ ൌ ξ݊ሺߠ௡‫ כ‬െ ߠሻ  ՜ ߟ̱Գ൫Ͳǡ ߪ ଶ ሺߠሻ൯ǡ݊ ՜ λቅ` ɐଶ ሺɅሻգործակցով ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատականների դասը և ॶ஍ǡଶ ‫׷‬ൌ ሼߠ ‫ॶ א כ‬஍ ǣॱఏ ሺߟ௡ ሻ௜ ՜  ॱఏ ሺߟሻ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ʹሽ: Կասենք, որ ߠ պարամետրի համար ߠଵ‫ॶ א כ‬ఃǡଶ  գնահատականը ߠଶ‫ॶ א כ‬ఃǡଶ գնահատականից ասիմպտոտիկ իմաստով Ǽվատը չէǽ (ավելի Ǽլավն է ǽ), եթե

ߪଵଶ ሺߠሻ ൑ ߪଶଶ ሺߠሻ

բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ- ի համար, և, գոյություն ունի առնվազն մեկ ߠ ᇱ ‫ א‬ȣ արժեք, այնպիսին, որ ߪଵଶ ሺߠ ᇱ ሻ ൏ ߪଶଶ ሺߠ ᇱ ሻ (ߪଵଶ ሺߠሻ- ն և ߪଶଶ ሺߠሻ - ն ߠଵ‫ כ‬և ߠଶ‫ כ‬գնահատականների ասիմպտոտիկ նորմալության գործակիցներն են): ߠ଴‫ॶ א כ‬ఃǡଶ գնահատականը կոչվում է ասիմպտոտիկ օպտիմալ ߠ պարամետրի համար, եթե ॶఃǡଶ դասից ցանկացած այլ ߠ ‫ כ‬գնահատականի համար՝

ߪ଴ଶ ሺߠሻ ൑ ߪ ଶ ሺߠሻ

բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ի համար, որտեղ ߪ଴ଶ ሺߠሻ - ն և ߪ ଶ ሺߠሻ - ն ߠ଴‫ כ‬և ߠ ‫ כ‬գնահատականների ասիմպտոտիկ նորմալության գործակիցներն են: ॶ஍ǡଶ  դասի սահմանումից հետևում է, որ ցանկացած ߠ ‫ॶ א כ‬ఃǡଶ գնահատականի համար՝ ܾ௡ ሺߠሻ ൌ ‫݋‬൫ͳΤξ݊൯ այսինքն՝

ߠ௡‫כ‬

և

ॱఏ ሺߠ௡‫ כ‬െ ߠሻଶ ൌ  ߪ ଶ ሺߠሻΤ݊ ൅ oሺͳΤ݊ሻ,

գնահատականն ասիմպտոտիկ անշեղ է և ունակ :

§ 7. ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆ

114. Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ նմուշ է հայտնի ݉ ‫ א‬Թ միջինով նորմալ

բաշխումների դասից : Դիտարկենք անհայտ ߠ ଶ ցրվածքի համար հետևյալ գնահատականներըƮܵ

ʹ

തതതതത ʹ ʹ ʹ ݊ ʹ ʹ ͳ ݊ ݊ ͳ ݊ ൌ ݊  ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ ǡ ܵͲ ൌ ܵ ǡ ܵͳ ൌ ݊  ෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯ ‫ ׷‬ԳտնելայդգնաǦ ݊ െ ͳ ݅ൌͳ ݅ൌͳ

հատականներից (միջին քառակուսային իմաստով ) առավել ճշգրիտը: ଶ

ଵ

௡

௡

Ցուցում` ॽƒ”ఏ ሺܵ ଶ ሻ ൌ ቀͳ െ ቁ ߠ ସ ሺտե՛սխնդիրͶ͸ሻ, բացի այդ՝ ߤସ ൌ ͵ߠ ସ : Օգտվել նաև ॱఏ ሺܺ െ െܽሻଶ ൌ ॽƒ”ఏ ሺܺሻ ൅ ሺॱఏ ܺ െ ܽሻଶ ሺܽ ‫ א‬Թሻ ներկայացումից:

૚૚૞‫( כ‬մ). Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ նմուշ է նորմալ բաշխումների դասից : ʹ

݊

ʹ

࣮ ቆܵͲ ቇ  ‫׷‬ൌ  ቐܶߣ ǣܶߣ ቀܺ ቁ  ‫׷‬ൌ ߣܵͲ ൌ

݊ തതതതത ݊ ʹ ߣ  ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ ǡ ݊ െ ͳ ݅ൌͳ

ߣ ‫ א‬Թቑ

վիճականիների դասում դիտարկենքߠଶଶ ցրվածքի գնահատման հարցը: Ցույց տալ, որ ա)

ܶఒ ‫࣮ א‬ሺܵ଴ଶ ሻ գնահատականի քառակուսային ռիսկի ֆունկցիան հավասար է՝

ܴଶ ሺߠଶଶ ǡ ܶఒ ሻ ൌ ॱఏ ሺܶఒ െ ߠଶଶ ሻଶ ൌ ൤ሺߣ െ ͳሻଶ  ൅ 

ʹ

ߣଶ ൨ ߠଶସ ǡ

݊െͳ

բ) ܶఒ ‫࣮ א‬ሺܵ଴ଶ ሻ գնահատականը ܵ଴ଶ գնահատականից առավել ճշգրիտ է, եթե ௡ିଷ ൏ ߣ ൏ ͳ, ௡ାଵ գ ) ࣮ሺܵ଴ଶ ሻ դասում ߠଶଶ պարամետրի համար օպտիմալ գնահատականը ܶఒబ վիճականին է ( ߣ଴ ǣ ൌ ݊െͳ ): ݊൅ͳ Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

116. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠǡ ߙ ିଵ ሻ նմուշ է երկպարամետրական ցուցչային բաշߙ խումից : Գտնել ߠ ൐ Ͳ պարամետրի համար ܶ௡ଵ ‫׷‬ൌ തതതത ܺ ௡ െ ߙ և ܶ௡ଶ ‫׷‬ൌ ܺሺଵሻ െ   գնահա݊ տականներից (միջին քառակուսային իմաստով ) առավել ճշգրիտը: Ցուցում՝ օգտվել խնդիր 10 - ից:

117 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॼሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ նմուշ է ሾߠଵ ǡ ߠଶ ሿ միջակայքում հավասարաչափ ͳ բաշխումից ሺߠଵ ǡ ߠଶ ‫ א‬Թሻ: Գտնել այդ միջակայքի ‫ܯ‬ሺߠሻ ൌ ʹ ሺߠଵ ൅ ߠଶ ሻ միջնակետի ͳ ܺ ௡ գնահատականներից միջին քառակուսային համար ‫ܯ‬ଵ‫׷ כ‬ൌ  ʹ ൫ܺሺଵሻ ൅ ܺሺ௡ሻ ൯ և‫ܯ‬ଶ‫׷ כ‬ൌ തതതത իմաստով լավագույնը: Ցուցում՝ օգտվել խնդիր ͳͶ‫ כ‬- ից:

§ 7. ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆ

118 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠሻ նմուշէ ցուցչային բաշխումից : Գտնել ߠ պարա௡ ሻିଵ  և ߠ ‫׷ כ‬ൌ ቀͳ െ ͳቁ ሺܺ ௡ ሻିଵ գնահատականներից միջին քաതതതത തതതത մետրի համար ߠଵ‫ כ‬ǣ ൌ ሺܺ ଶ ݊ ռակուսային իմաստով լավագույնը: ௡

ՑուցումƮօգտվելܶ௡ ‫׷‬ൌ  ෍ ܺ௜  ̱Ռሺߠǡ ݊ሻհատկությունիցևॱఏ ܶ௡௧  ൌ ௜ୀଵ

Ȟሺ݊ ൅ ‫ݐ‬ሻ ି௧ ߠ բանաձևիցǣ Ȟሺ݊ሻ

119 (մ). Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠሻ նմուշ է ցուցչային բաշխումից : Գտնել ߠ պարամետրի համար մոմենտների գնահատականներից (݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬,݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ) ասիմպ-

տոտիկ իմաստով լավագույնը : Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 5.1 - ից:

120. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ նմուշ է հայտնի ݉ ‫ א‬Թ միջինով նորմալ բաշխուതതതതത ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ݊ ʹ ͳ ݊ ݊ միցǣԳտնելանհայտߠ ցրվածքիհամարܵ݊ ൌ  ෍ ൬ܺ݅ െܺ ൰ ǡܵͲ݊ ൌ ܵ ևܵͳ݊ ൌ ݊ ݊െͳ ݊ ݅ൌͳ

ʹ ͳ ݊ ൌ  ෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯ գնահատականներիցասիմպտոտիկիմաստովլավագույնըǣ ݊ ݅ൌͳ

ൌ

Ցուցում` գնահատականների ասիմպտոտիկ նորմալության գործակիցներն են՝ ߪ ଶ ሺߠሻ ൌ ߪ଴ଶ ሺߠሻ ൌ ൌ ʹߠ ସ ‫׷‬

ߪଵଶ ሺߠሻ

121. Գտնել ሾͲǡ Ʌሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխված ܺ պատահական մեծության ܺ ௡  նմուշի միջոցովɅ պարամետրի մոմենտների գնահատականները ሺ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ) և ընտրել ասիմպտոտիկ իմաստով լավագույնը: Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 5.1 - ից:

122 (մ). Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ Ռሺߠǡ ߣሻ նմուշ է հայտնի ߣ պարամետրով գամմա

բաշխումների դասից : Գտնել ߠ պարամետրի մոմենտների գնահատականները (݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬, ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ) և որոշել ասիմպտոտիկ իմաստով լավագույնը: Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 5.1 - ից:

123 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ նմուշը վերցված է հայտնի ݉ ‫ א‬Թ միջինով նոր-

մալ համախմբությունից : ߠ ൐ Ͳ ստանդարտ շեղման համար դիտարկվում են ߠଵ‫כ‬ ݊

ͳΤʹ

ʹ ͳ ൌ ܵͳ ൌ  ቎݊  ෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯ ቏ ݅ൌͳ

݊

‫כ‬ ͳ ߨ ևߠʹ ‫׷‬ൌ ݊  ඨ  ෍ หܺ݅ െ ݉ห գնահատականներըǣԳտնել՝ո՞րնէայդ ʹ ݅ൌͳ

գնահատականներից ասիմպտոտիկ իմաստով գերադասելի: Ցուցում՝ օգտվել ԿՍԹ - ից, խնդիր 67 - ից և թեորեմ 4.60 - ից ሺտե՛սሾʹሿሻ:

§ 8. Արդյունավետ ሺէֆեկտիվሻ գնահատականներ Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ‫ ࣪ א‬նմուշը համապատասխանում է ൫‫ܣ‬ఓ ൯- պայմանը բավարարող ࣪ ൌ ሼԶఏ ǣ ߠ ‫א‬ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թ} բաշխումների դասից Զఏ բաշխմանը: Նշանակենք ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ

ௗԶഇ ௗఓ

ሺ‫ݔ‬ሻ ըստߤչափիԶఏ բաշխ-

ման խտության ֆունկցիան: ܺ ௡ նմուշի ներդրման ֆունկցիա կոչվում է հետևյալ վիճականին՝ ௡

௡

ܷሺܺ ௡ ǡ ߠሻ ‫׷‬ൌ ‫ܮ‬ᇱఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ  ෍ ݈ ᇱ ሺܺ௜ ǡ ߠሻ ൭‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ Ž݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෍ ݈ሺܺ௜ ǡ ߠሻǡ ݈ሺ‫ݔ‬ǡ ߠሻ ൌ Ž ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ൱ ǣ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

ܷሺܺ௜ ǡ ߠሻ ‫׷‬ൌ ݈ ᇱ ሺܺ௜ ǡ ߠሻ վիճականիները կոչվում ենܺ௜ նմուշային անդամների ներդրման ֆունկցիաներ: ೙

ॴ௡ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ॴ௑ ሺߠሻ ൌ ॱఏ ሾܷሺܺ ௡ ǡ ߠሻሿଶ ֆունկցիան կոչվում է Ʌ պարամետրի վերաբերյալ ܺ ௡ նմուշում պարունակվող Ֆիշերի տեղեկատվության ( ինֆորմացիայի ) քանակ: Կամայական ܺ௜ նմուշային անդամի մեջ ߠ պարամետրի վերաբերյալ պարունակվող Ֆիշերի տեղեկատվության ( ինֆորմացիայի ) քանակ կամ ուղղակի տեղեկատվության ֆունկցիա կոչվում է ॴሺߠሻ ‫׷‬ൌ ॴ௑೔ ሺߠሻ ൌ ॱఏ ሾܷሺܺ௜ ǡ ߠሻሿଶ ֆունկցիան: Ճիշտ է ॴ௡ ሺߠሻ ൌ ݊ॴሺߠሻ ադիտիվության հատկությունը: Բաշխումների ࣪ դասը բավարարում է ռեգուլյարության ሺࡾሻ- պայմանները, եթե՝ ࡾͳǤ Զఏ բաշխումների ܰԶഇ ‫׷‬ൌ ሼ‫ࣲ א ݔ‬ǣ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൐ Ͳሽկրիչները կախված չեն ߠ - ից, ࡾʹǤ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻխտության ֆունկցիանߤ - հ.հ. ըստ ‫ ࣲ א ݔ‬- ի անընդհատ դիֆերենցելի է ըստ ߠ - ի, ࡾ͵Ǥ ॴሺߠሻտեղեկատվության ֆունկցիան բոլորߠ ‫ א‬ȣǦի համար գոյություն ունի, դրական է ሺͲ ൏ ॴሺߠሻ ൏ λሻ և անընդհատ: Դիտարկենք ߠ պարամետրից ܾሺߠሻ շեղում ունեցող ߠ ‫ כ‬գնահատականների դասը. ॶ௕ ‫׷‬ൌ ሼߠ ‫ כ‬ǣ߬ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ॱఏ ߠ ‫ כ‬ൌ ߠ ൅ ܾሺߠሻሽ: Թեորեմ 8.1 (Տեղեկատվական (Ֆրեշե - Ռաո - Կրամերի ) անհավասարություն )::

Դիցուք բավարարվում են ሺࡾሻ- պայմանները, և, ߠ պարամետրի ߠ ‫ॶ א כ‬௕ գնահատականն այնպիսին է, որ ॱఏ ሺߠ ‫ כ‬ሻଶ ൏ ܿ ൏ λ բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ի համար: Այդ դեպքում տեղի ունի անհավասարություն՝ ॽܽ‫ݎ‬ఏ ሺߠ ‫ כ‬ሻ  ൒ 

ൣଵା௕ ᇲሺఏሻ൧

మ

ߠ ‫ א‬ȣ:

,

௡ॴሺఏሻ

ሺͺǤͳሻ

Եթե ߠ ‫ॶ א כ‬଴ (անշեղ գնահատական է ), ապա ॽܽ‫ݎ‬ఏ ሺߠ ‫ כ‬ሻ  ൒ 

ଵ ௡ॴሺఏሻ

ߠ ‫ א‬ȣ:

,

ॶ௕ դասից ߠ պարամետրի այն ߠ ‫ כ‬գնահատականը, որի համար ሺͺǤͳሻ անհավասարությունում

ստորին եզրը հասանելի է, այսինքն՝ ॽƒ”ఏ ሺߠ ‫ כ‬ሻ ൌ

ൣଵା௕ ᇲሺఏሻ൧

మ

௡ॴሺఏሻ

,

ߠ ‫ א‬ȣ,

կոչվում է արդյունավետ ( էֆեկտիվ ) գնահատական, իսկ ݁௡ ‫׷‬ൌ 

ൣଵା௕ ᇲሺఏሻ൧

మ

௡ॴሺఏሻॽୟ୰ഇ ሺఏ ‫ כ‬ሻ

ሺͲ ൑ ݁௡ ൑ ͳሻ

մեծությունը կոչվում է ߠ ‫ כ‬գնահատականի արդյունավետություն ( էֆեկտիվություն): Արդյունավետ գնահատականների համար ݁௡ ൌ ͳ:

§ 8. ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ (ԷՖԵԿՏԻՎ) ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

Արդյունավետության հայտանիշ Թեորեմ 8.2: Դիցուք բավարարվում են ሺࡾሻ- պայմանները, և, ߠ պարամետրի ߠ ‫ॶ א כ‬௕ գնահատականն այնպիսին է, որ ॱఏ ሺߠ ‫ כ‬ሻଶ ൏ ܿ ൏ λբոլորߠ ‫ א‬ȣ- ի համար: Այդ դեպքում, որպեսզի ߠ ‫ כ‬գնահա-

տականը լինի արդյունավետ ߠ պարամետրի համար, անհրաժեշտ է և բավարար, որ տեղի ունենա հետևյալ համարժեք պայմաններից մեկը` 1. ներդրման ֆունկցիան ներկայացվի ܷሺܺ ௡ ǡ ߠሻ ൌ ܿሺߠሻ൫ߠ ‫ כ‬െ ߬ሺߠሻ൯,

տեսքով, որտեղ ܿሺߠሻ- ն որոշակի պարամետրական ֆունկցիա է, 2. ճշմարտանմանության ֆունկցիան բերվի ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ݄ሺܺ ௡ ሻ‡š’ሼ‫ܣ‬ሺߠሻߠ ‫ כ‬൅ ‫ܤ‬ሺߠሻሽ ցուցչային տեսքի, որտեղ ‫ܣ‬ሺߠሻ- ն և ‫ܤ‬ሺߠሻ- ն դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են : Դիցուք ȣ բազմության վրա տրված է որոշակի սկալյար դիֆերենցելի ߬ ൌ ߬ሺߠሻ ֆունկցիա: Նշանակենք ॶ௕ ሺ߬ሻ ‫׷‬ൌ ሼ߬ ‫ כ‬ǣ߬௕ ሺߠሻǣ ൌ  ॱఏ ߬ ‫ כ‬ൌ ߬ሺߠሻ ൅ ܾሺߠሻሽ - ով ߬ሺߠሻ ֆունկցիայից ܾሺߠሻ շեղում ունեցող ߬ ‫ כ‬ൌ ሺ߬௡‫ כ‬ሻ௡ஹଵ գնահատականների դասը: ሺࡾሻ- պայմանների դեպքում ճիշտ է թեորեմ 8.2 - ի տարբերակը, համաձայն որի՝ եթե ߬ ‫ॶ א כ‬௕ ሺ߬ሻ գնահատականն այնպիսին է, որ ߬௕ ሺߠሻ ൌ  ॱఏ ߬ ‫ כ‬ֆունկցիան դիֆերենցելի է (ըստ ߠ- ի), ॱఏ ሺ߬ ‫ כ‬ሻଶ ൑ ܿ բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ- ի համար, ապա տեղի ունի անհավասարություն՝ ॽƒ”ఏ ሺ߬ ‫ כ‬ሻ  ൒ 

ᇲ ሺఏሻ൧ ൣఛ್

௡ॴሺఏሻ

మ

,

ߠ ‫ א‬ȣ:

‫כ‬

߬ ‫ॶ  א‬௕ ሺ߬ሻ դասից ߬ ൌ ߬ሺߠሻ ֆունկցիայի այն գնահատականը, որի համար այդ անհավասարությունում ստորին եզրը հասանելի է, կոչվում է արդյունավետ ॶ௕ ሺ߬ሻ դասում, իսկ ݁௡ ‫׷‬ൌ ݁ሺ߬௡‫ כ‬ሻ ൌ

ᇲ ሺఏሻ൧ ൣఛ್

మ

௡ॴሺఏሻॽୟ୰ഇ ሺఛ‫ כ‬ሻ

մեծությունը կոչվում է ߬ ‫ כ‬գնահատականի արդյունավետություն (էֆեկտիվություն ): Ակնհայտ է, որ Ͳ ൑ ݁௡ ൑ ͳ, իսկ արդյունավետ գնահատականի համար ݁௡ ൌ ͳ: Թեորեմ 8.2 - ը կընդունի հետևյալ տեսքը՝ Թեորեմ 8.3: Դիցուք բավարարվում են ሺࡾሻ- պայմանները, և ߬ ൌ ߬ሺߠሻ ֆունկցիայի ߬ ‫ॶ א כ‬௕ ሺ߬ሻ գնահատականն այնպիսին է, որ ॱఏ ሺ߬ ‫ כ‬ሻଶ ൑ ܿ բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ- ի համար: Այդ դեպքում, որպեսզի ߬ ‫ כ‬գնահա-

տականը լինի߬ ൌ ߬ሺߠሻ ֆունկցիաի համար արդյունավետ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ տեղի ունենա հետևյալ համարժեք պայմաններից մեկը՝ 1. ܷሺܺ ௡ ǡ ߠሻ ൌ ܿሺߠሻ൫߬ ‫ כ‬െ ߬௕ ሺߠሻ൯, ʹǤ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ݄ሺܺ ௡ ሻ‡š’ሼ‫ܣ‬ሺߠሻ߬ ‫ כ‬൅ ‫ܤ‬ሺߠሻሽ,



որտեղ ‫ܣ‬ሺߠሻ - ն և ‫ܤ‬ሺߠሻ - ն դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են: ܷሺܺ ௡ ǡ ߠሻ ներդրման ֆունկցիան միարժեք է որոշվում ࣪ մոդելի միջոցով, այնպես, որ (ܽ߬௕ ሺߠሻ ൅ ݀ գծային ձևափոխության ճշտությամբ)՝ 1. ներկայացումով միարժեք որոշվում է և այն ߬௕ ሺߠሻ ֆունկցիան, որի արդյունավետ գնահատականը ߬ ‫ כ‬վիճականին է: ߬௕ ‫׷‬ൌ ߬௕ ሺߠሻ ֆունկցիայի անշեղ արդյունավետ ߬ ‫ॶ א כ‬଴ ሺ߬௕ ሻ գնահատականի ցրվածքը և Ֆիշերի տեղե-

կատվության ֆունկցիան որոշվում են հետևյալ բանաձևերից՝ ॽƒ”ఏ ሺ߬ ‫ כ‬ሻ ൌ

ᇲ ሺఏሻ ఛ್

௖ሺఏሻ

,

ଵ

ॴሺߠሻ ൌ ܿሺߠሻ߬௕ᇱ ሺߠሻ:

௡

§ 8. ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ (ԷՖԵԿՏԻՎ) ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

൫ࣲǡ ࣜሺࣲሻ൯ տարածության վրա տրված ࣟ ‫׷‬ൌ ሼԶఏ ǡ ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թ ሽ բաշխումների դասը կոչվում է ૚ պարամետրական ցուցչային ( էքսպոնենտական) դաս, եթե Զఏ ‫ ࣟ א‬բաշխումները բացարձակ անընդ-

հատ են ըստ այդ տարածության վրա տրված որոշ ߪ – վերջավոր ߤ չափի (սովորաբար այն Լեբեգի կամ հաշվող չափ է), որի նկատմամբ Զఏ բաշխումների ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

ௗԶഇ ௗఓ

ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիաներն

ունեն հետևյալ ներկայացումը՝ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݄ሺ‫ݔ‬ሻ‡š’ሼ‫ܣ‬ሺߠሻܶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ܤ‬ሺߠሻሽ : Այս բանաձևում մասնակցող բոլոր ֆունկցիաները վերջավոր են և չափելի ըստ համապատասխան փոփոխականների: Թեորեմ 8.4: Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զఏ ‫ ࣟ א‬նմուշ է Զఏ  բաշխումից և բավարարվում են ሺࡾሻ- պայմանները:

Այդ դեպքում այն (գծային ձևափոխության ճշտությամբ միակ ) ߬ሺߠሻ ֆունկցիան, որն ունի անշեղ արդյունավետ ߬ ‫ॶ א כ‬଴ ሺ߬ሻ գնահատական և այդ գնահատականը գտնվում են հետևյալ բանաձևերից՝ ௡

߬ሺߠሻ ൌ െ

‫ܤ‬ᇱ ሺߠሻ

ͳ ሺ‫ܣ‬ᇱ ሺߠሻ ് Ͳሻǡ߬ ‫ כ‬ൌ ෍ ܶሺܺ௜ ሻǣ

‫ܣ‬ᇱ ሺߠሻ

݊ ௜ୀଵ

Բացի այդ՝ ॽƒ”ఏ ሺ߬ ‫ כ‬ሻ ൌ

ఛᇲ ሺఏሻ ௡஺ᇲሺఏሻ

,

ॴሺߠሻ ൌ ‫ܣ‬ᇱ ሺߠሻ߬ ᇱ ሺߠሻ:

124. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‹ሺߠǡ ݇ሻ նմուշը վերցված է բինոմական բաշխումից : Ցույց ͳ തതതത ௡  վիճականին արդյունավետ գնահատական է ߠ պարամետրի տալ, որ ܶ௡ ሺܺሻ ൌ   ܺ ݇ համար և գտնել Ֆիշերի տեղեկատվության ॴሺߠሻֆունկցիան: 125. Անհայտ ߠպարամետրով Պուասոնի բաշխում ունեցող ̱ܺՍሺߠሻ պատահական մեծության նկատմամբ կատարված են ܺଵ ǡ ܺଶ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܺ௡ պատահական արդյունք௡ վիճականին արդյունավետ գնաതതതത ներով ݊ անկախ փորձեր: Ցույց տալ, որ ܶ௡ ሺܺሻ ൌ ܺ հատական է ߠ պարամետրի համար: Գտնել նաև ॽƒ”ఏ ሾܶ௡ ሺܺሻሿ և ॴሺߠሻ: 126. Ցույց տալ, որ ॳሺߠሻ երկրաչափական բաշխումից վերցված ܺ ௡ նմուշի մի௡ վիճականին արդյունավետ գնահատական է ߬ሺߠሻ ൌ തതതത ջոցով կառուցված ܶ௡ ሺܺሻ ൌ ܺ ͳ ൌ  െ ͳ ֆունկցիայի համար: Գտնել նաև ॽƒ”ఏ ሾܶ௡ ሺܺሻሿ և ॴሺߠሻ: ߠ 127. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠ ିଵ ሻ նմուշը վերցված է ߠ ିଵ պարամետրով ցուցչային բաշ௡ վիճականին արդյունավետ գնահատական է ߠ തതതത խումից : Ցույց տալ, որ ܶ௡ ሺܺሻ ൌ ܺ պարամետրի համար: Գտնել ॽƒ”ఏ ሾܶ௡ ሺܺሻሿ և ॴሺߠሻ: 128. Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ նմուշը վերցված է անհայտ ߠ միջինով նորմալ

բաշխումից : Գտնել Ֆիշերի տեղեկատվության ॴሺߠሻ ֆունկցիան և ստուգել ߠ պարա௡  վիճականու արդյունավետությունը: തതതത մետրի համար ߠ௡‫ כ‬ൌ ܺ

§ 8. ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

129. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ նմուշը վերցված է անհայտ ߠ ଶ ցրվածքով նորմալ

բաշխումների դասից : Ցույց տալ, որ Ֆիշերի տեղեկատվության ֆունկցիան հավաʹ ʹ ʹ ʹ ͳ ͳ ݊  ൭ॴ ቆߠ ቇ ൌ Ͷ൱ ǡ ևապացուցելǡորܵͳ ൌ ݊  ෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯ վիճականինարǦ ʹ ߠ ʹߠ ݅ൌͳ դյունավետ գնահատական է ߬ሺߠሻ ൌ ߠ ଶ ցրվածքի համար: սարէॴቀߠቁ ൌ

130. Գտնել Գ९‹ሺߠǡ ‫ݎ‬ሻ բացասական բինոմական բաշխումների դասից վերցված ܺ ௡ նմուշի միջոցով անշեղ արդյունավետ ߬௡‫  כ‬գնահատական ունեցող ߬ሺߠሻ պարամետրական ֆունկցիան: Գտնել նաև ॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿ և ॴሺߠሻ: 131. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Ռሺߠǡ ߣሻնմուշ է անհայտ ߠ պարամետրով գամմա բաշխումից : Գտնել անշեղ արդյունավետ ߬௡‫ כ‬գնահատական ունեցող ߬ሺߠሻ ֆունկցիան և այդ գնահատականը: Ստանալ նաև ॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿ և ॴሺߠሻ: 132. Դիցուք ܺ ௡  նմուշը վերցված է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ ିሺ௫ିఏሻ ૤ሺఏǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

ߠ൐Ͳ

խտության ֆունկցիայով Ǽշեղվածǽ ցուցչային բաշխումից : Ուսումնասիրել ߠ෠௡ ൌ ܺሺଵሻ

ՃՄ գնահատականի արդյունավետության հարցը: Ցուցում` տե՛ս խնդիր 10 :

133.

షభ

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ ఏ ߠ ିଵ ‫ି ݔ‬൫ଵାఏ

షభ ൯

૤ሺ௖ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

ܿ ൐ Ͳ, ߠ ൐ Ͳ

խտության ֆունկցիայով Պարետոյի բաշխումների դասից ܺ ௡ նմուշի միջոցով գտնել այն ߬ሺߠሻֆունկցիան, որն ունի անշեղ արդյունավետ ߬௡‫ כ‬գնահատական: Գտնել նաև ॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿևॴሺߠሻ: ߠ ߠ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ൠ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻǡ݉ ൐ Ͳǡߠ ൐ Ͳ ૚૜૝ሺմሻǤ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ඨ ‡š’ ൜െ ʹߨ‫ ݔ‬ଷ ʹ݉ଶ ‫ݔ‬ խտության ֆունկցիայով հակադարձ Գաուսի բաշխումների դասից վերցված նմուշի միջոցով գտնել անշեղ արդյունավետ ߬௡‫  כ‬գնահատական ունեցող ߬ሺߠሻ ֆունկցիան, ॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿ և ॴሺߠሻ: ૚૜૞Ǥ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߣߠ ିఒ ‫ ݔ‬ఒିଵ ‡š’൛െߠ ିఒ ‫ ݔ‬ఒ ൟ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻǡ ߣ ൐ Ͳǡ ߠ ൐ Ͳ խտության ֆունկցիայով Վեյբուլի բաշխումից ܺ ௡ նմուշի միջոցով գտնել՝ ա) այն ߬ሺߠሻ ֆունկցիան, որի համար գոյություն ունի անշեղ արդյունավետ ߬௡‫כ‬ գնահատականը, բ ) ॱఏ ߬௡‫ כ‬, ॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿ և ॴሺߠሻ:

§ 9. Ասիմպտոտիկ արդյունավետ գնահատականներ ߬ሺߠሻ դիֆերենցելի ֆունկցիայի համար ߬௡‫׷ כ‬ൌ  ߬ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ‫ॶ א‬௕ ሺ߬ሻ գնահատականը կոչվում է ասիմպտոտիկ արդյունավետ, եթե

ሾ߬௕ᇱ ሺߠሻሿଶ

ൌ ͳǡ ‫כ‬ሿ ௡՜ஶ ݊ॴሺߠሻॽƒ”ఏ ሾ߬௡ ‫כ‬ ‫כ‬ որտեղ ߬௕ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ॱఏ ߬௡ ൌ ߬ሺߠሻ ൅ ܾ௡ ሺߠሻ: ݁଴ ሺ߬ ሻ մեծությունը կոչվում է ߬௡‫ כ‬գնահատականի ասիմպտոտիկ արդյունավետություն ሺͲ ൑ ݁଴ ሺ߬ ‫ כ‬ሻ ൑ ͳሻ: ݁଴ ሺ߬ ‫ כ‬ሻ ‫׷‬ൌ Ž‹ 

Եթե ߬ሺߠሻ ൌ ߠ և ߠ௡‫ॶ א כ‬଴ (անշեղ գնահատական է ߠ - ի համար), ապա ասիմպտոտիկ արդյունավետությունը նշանակում է, որ ॽƒ”ఏ ሾߠ௡‫ כ‬ሿ  ൌ այսինքն` ॽƒ”ఏ ሾߠ௡‫ כ‬ሿ̱ Նշանակենք՝

ଵ ௡ॴሺఏሻ

ଵା௢ሺଵሻ ௡ॴሺఏሻ

,

(մեծ ݊ - ի համար) կամ ݊ॴሺߠሻॽƒ”ఏ ሾߠ௡‫ כ‬ሿ ՜ 1, երբ ݊ ՜ λ: ௗ

ॶ஍ ሺ߬ሻ ‫׷‬ൌ ቄ߬௡‫ߟ  ׷ כ‬௡ ൌ ξ݊൫߬௡‫ כ‬െ ߬ሺߠሻ൯  ՜ Գ൫Ͳǡ ߪఛଶ ሺߠሻ൯ǡ݊ ՜ λቅ

߬ሺߠሻֆունկցիայի ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատականների դասը և ॶ஍ǡଶ ሺ߬ሻ ‫׷‬ൌ ሼ߬௡‫ॶ א כ‬஍ ሺ߬ሻǣॱఏ ߟ௡ ՜ Ͳǡ ॱఏ ߟ௡ଶ ՜ ߪఛଶ ሺߠሻǡ݊ ՜ λሽ: Պնդում 9.1: ߬ ൌ ߬ሺߠሻ ֆունկցիայի համար ասիմպտոտիկ նորմալ ߬௡‫ॶ א כ‬஍ǡଶ ሺ߬ሻ գնահատականը

ասիմպտոտիկ արդյունավետ է, եթե ߪఛଶ ሺߠሻ ൌ

ൣఛᇲ ሺఏሻ൧

మ

ॴሺఏሻ

, ߠ ‫ א‬ȣ, այսինքն, եթե տեղի ունի զուգամիտություն՝

ௗ

ξ݊൫߬௡‫ כ‬െ ߬ሺߠሻ൯  ՜ Գ ൬Ͳǡ ߠ պարամետրի համար ասիմպտոտիկ նորմալ և անշեղ տիկ արդյունավետ, եթե ߪ ଶ ሺߠሻ ൌ ሾॴሺߠሻሿିଵ , այսինքն`

ൣఛᇲ ሺఏሻ൧

మ

ॴሺఏሻ

ߠ௡‫כ‬

൰ ǡ݊ ՜ λ:

‫ॶ א‬஍ǡଶ գնահատականը կլինի ասիմպտո-

ௗ

ξ݊ሺߠ௡‫ כ‬െ ߠሻ  ՜ ԳሺͲǡ ሾॴሺߠሻሿିଵ ሻǡ݊ ՜ λ:

Ճշմարտանմանության մաքսիմումի գնահատականի ասիմպտոտիկ արդյունավետությունը Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ  ‫ ࣪ א‬նմուշ է Զఏ բաշխումից, որտեղ ࣪ ‫׷‬ൌ ሼԶఏ ǣߠ ‫ א‬ȣ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻǡ െλ ൑ ߠଵ ൏ ߠଶ ൑ ൅λሽ: Բաշխումների ࣪ դասը բավարարում է ռեգուլյարության ሺࡾࡾሻ - պայմանները, եթե RR 1 . Առկա են ռեգուլյարության ሺࡾሻ - պայմանները, RR 2 . ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիան ߤ – հ.հ. ըստ ‫ ࣲ א ݔ‬- ի երեք անգամ անընդհատ դիֆերենցելի է ( ըստ ߠ- ի ), և, գոյություն ունի այնպիսի ‫ܪ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիա, որ

ቚ 

డయ ௟ሺ௫ǡఏሻ ቚ൑ డఏయ

‫ܪ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, որտեղ ॱఏ ‫ܪ‬ሺܺሻ ൏ ‫ܯ‬, ߠ ‫ א‬ȣ ൫݈ሺ‫ݔ‬ǡ ߠሻ ൌ Ž ݂ߠ ሺ‫ݔ‬ሻ൯,

ܴܴ͵Ǥ න ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻߤሺ݀‫ݔ‬ሻ ൌ ͳ հավասարությունըկարելիէերկուանգամդիֆերենցելሺըստɅǦիሻինտեգǦ ࣲ

րալի նշանի տակ, այսինքն՝ ճիշտ են հետևյալ առնչությունները՝ 



න ݂ఏᇱ ሺ‫ݔ‬ሻߤሺ݀‫ݔ‬ሻ ൌ Ͳև න ݂ఏᇱᇱ ሺ‫ݔ‬ሻߤሺ݀‫ݔ‬ሻ ൌ Ͳǣ ࣲ

ࣲ

ሺࡾࡾሻ- պայմանների դեպքում ՃՄ գնահատականը բավարարում է հետևյալ սահմանային հատկութունները`

§ 9. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

Զഇ

1. ߠ෠௡  ሱሮ ߠ,

݊ ՜ λ (ո ունակություն), ௗ

2. ξ݊൫ߠ෠௡ െ ߠ൯ ՜ Գ൫Ͳǡ ߪ ଶ ሺߠሻ൯, ݊ ՜ λ (ասիմպտոտիկ նորմալություն), ଶ ሺߠሻ ିଵ ሾॴሺߠሻሿ 3. ߪ (ասիմպտոտիկ արդյունավետություն): ൌ Եթե߬ ൌ ߬ሺߠሻ- ն ȣ ൌ ሺߠଵ ǡ ߠଶ ሻ միջակայքի վրա որոշված դիֆերենցելի ֆունկցիա է, և߬Ƹ௡ ‫׷‬ൌ ߬൫ߠ෠௡ ൯ - ը այդ ֆունկցիայի ՃՄ գնահատականը, ապա՝ 1.

Զഇ

߬Ƹ௡ ሱሮ ߬ሺߠሻ,

݊ ՜ λ, ௗ

ʹǤξ݊ሺ߬Ƹ௡ െ ߬ሺߠሻሻ  ՜ Գ ൬Ͳǡ

ൣఛᇲ ሺఏሻ൧

మ

ॴሺఏሻ

൰,

݊ ՜ λ:

Ցրվածքը կայունացնող ձևափոխություն կոչվում է այնպիսի ߬ሺߠሻ պարամետրական ֆունկցիան, որի ՃՄ գնահատականի ߪ௡ଶ ሺ߬ሻ ասիմպտոտիկ ցրվածքը կախված չէ ߠ պարամետրից, այսինքն, եթե ߪ௡ଶ ሺ߬ሻ ‫׷‬ൌ

ߪఛଶ ሺߠሻ ሾ߬ ᇱ ሺߠሻሿଶ

ൌ  ൌ ܿ‫ݐݏ݊݋‬ǡ ݊ॴሺߠሻ ݊

ఏ

որտեղից հետևում է, որ ߬ሺߠሻ ൌ ܿ ‫׬‬଴ ඥॴሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬, ܿ ൌ ܿ‫ݐݏ݊݋‬ǣ

136. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ անհայտ ߠ ଶ ցրվածքով նորմալ բաշխումների դասից ݊ തതതതത ʹ ݊ ʹ ͳ վերցվածնմուշէǣՑույցտալǡորܵͲ ൌ  ෍ ൬ܺ݅ െ ܺ ൰ վիճականինասիմպտոտիկ ݊ െ ͳ ݅ൌͳ արդյունավետ գնահատական է ߠ ଶ ցրվածքի համար: Ցուցում` օգտվել ܵ଴ଶ վիճականու ասիմպտոտիկ նորմալությունից և խնդիր 129 - ից:

137 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Ռሺߠǡ ߣሻ նմուշը վերցված է անհայտ ߠ պարամետրով գամఒ մա բաշխումների դասից : Գտնել ߠ௡‫ כ‬ൌ തതതത݊ ՃՄ գնահատականի ܾ௡ ሺߠሻ շեղումը: «Վե௑ րացնել» այդ շեղումը և ցույց տալ, որ ստացված ߠ෨௡ անշեղ գնահատականն ասիմպտոտիկ արդյունավետ է : ௡

ՑուցումƮօգտվել ෍ ܺ௜ ̱Ռሺߠǡ ݊ߣሻ հատկությունիցǣ ௜ୀଵ

138. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ - ը անհայտ ߠ միջինով նորմալ բաշխումների դասից ‫כ‬ վերցված նմուշ է: Կլինի՞, արդյոք ߠ௡‫ כ‬ൌ ܺ௠௘ௗ ሺ݊ሻ նմուշային միջնարժեքը ասիմպտո-

տիկ արդյունավետ գնահատական ߠ պարամետրի համար: Ցուցում` օգտվել թեորեմ 4.4 - ից:

139 (մ). Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ԧሺߠǡ ͳሻ Կոշիի բաշխումից վերցվաճ նմուշ է: Կլինի՞, արդյոք

‫כ‬ ߠ௡‫ כ‬ൌ ܺ௠௘ௗ ሺ݊ሻ նմուշային միջնարժեքը ասիմպտոտիկ արդյունավետ գնահա-

տական ߠ պարամետրի համար: Ցուցում` տե՛ս թեորեմ 4.4 :

§ 9. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

140 (մ). Ենթադրենք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ անհայտ ߠ ଶ ցրվածքով նորմալ բաշխումների ͳΤʹ

ʹ ͳ ݊ դասիցվերցվածնմուշէǣՑույցտալǡ որܵͳ ൌ ቎݊  ෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯ ቏

վիճականինասիմպտոտիկ

݅ൌͳ

անշեղ, ունակ և ասիմպտոտիկ արդյունավետ գնահատական է ߠ ստանդարտ շեղման համար: ௗ

Ցուցում` օգտվել 1. ܵଵ վիճականու ասիմպտոտիկ նորմալությունից ՝

ఏమ

ξ݊ሺܵଵ െ ߠሻ  ՜ Գ ቀͲǡ ଶ ቁǡ

݊൅ͳ ௡ ݊ܵଵଶ ͳ ߠ ʹ Ȟቀ ʹ ቁ ଶ ଶ ሺ݊ሻ൫տե՛սሾʹǡ ଵΤଶ ඨ ૛Ǥߟ ‫׷‬ൌ  ଶ ൌ  ଶ ෍ሺܺ௜ െ ݉ሻ ̱ ԯ ൌ  ή ߠǡ ȚʹǤʹሿ൯ǡ որտեղից՝ॱఏ ܵଵ ൌ  ॱఏ ߟ ߠ ݊ Ȟ ቀ݊ ቁ ߠ ξ݊ ௜ୀଵ ʹ օգտվել նաև Էյլեր - Գաուսի

୻ሺ௡ା௞ሻ ୻ሺ௡ሻ

̱݊௞ բանաձևից («մեծ» ݊ - ի դեպքում, ݇ - ն այստեղ ֆիքսված է):

141. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Սሺߠሻ նմուշը վերցված է Պուասոնի բաշխումից : Գտնել այն ߪʹ݃൫ߠ൯ ݃ሺߠሻ ֆունկցիան, որի ݃ො௡ ՃՄ գնահատականի ߪ௡ଶ ሺ݃ሻ ‫׷‬ൌ  ասիմպտոտիկ ցրվածքը ݊ կախված չէ ߠ պարամետրից: ௡ ՃՄ գնահատականի համար ասիմպտոտիկ էֆեկտիվության պայմանը: തതതത Ցուցում` բերել ߠ෠௡ ൌ ܺ

૚૝૛ሺմሻǤ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹߠ ିଶ ‫ି ݁ݔ‬௫

మ Τఏ మ

૤ሾ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

‫ א ݔ‬Թ,

ߠ൐Ͳ

խտության ֆունկցիայով Ռելեյի բաշխումից նմուշի միջոցով գտնել ߠ պարամետրի

ՃՄ գնահատականը, բերել այդ գնահատականի ասիմպտոտիկ արդյունավետության պայմանը, և, գտնել այն ݃ሺߠሻ ֆունկցիան, որի ՃՄ գնահատականի ߪ௡ଶ ሺ݃ሻ ասիմպտոտիկ ցրվածքը կախում չունենա ߠ պարամետրից: 143. Համոզվել, որ ցուցչային բաշխումից ܺ ௡ ̱ ॱሺߠ ିଵ ሻ նմուշի միջոցով ստացʹ ߠ ված ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականը Գ ቆߠǡ ݊ ቇ - ասիմպտոտիկ նորմալ է, գըտ-

նել այն ߬ሺߠሻ ֆունկցիան, որի ߬Ƹ ௡ ՃՄ գնահատականի ߪ௡ଶ ሺ߬ሻ ասիմպտոտիկ ցրվածքը

կախված չլինի ߠ պարամետրից: Ներկայացնել ߬Ƹ௡ գնահատականի համար ասիմպտոտիկ նորմալության պայմանը: 144. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ԧሺߠǡ ͳሻ նմուշը վերցված է Կոշիի բաշխումից : Կազմել ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականը գտնելու համար հավասարումը: Ստանալ այդ գնահատականի ասիմպտոտիկ ցրվածքը և պարզել` այդ գնահատակա՞նն է առավել արդյունավետ ߠ պարամետրի համար (մեծ ݊ - ի համար), թե՝ նմուշային միջնարժեքը:

§ 10. Ճշգրիտ վստահության միջակայքեր (մ ) Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ‫ ࣪ א‬նմուշ է Զఏ  բաշխումից, որտեղ ࣪ ‫׷‬ൌ {Զఏ : ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թ}: ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ մակարդակի (երկկողմանի) վստահության միջակայք կոչվում է այնպիսի ȟఈ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ሺߠ ି ǡ ߠ ା ሻ պատահական միջակայքը ൫ߠ േ ‫ ߠ ؠ‬േ ሺܺ ௡ ǡ ߙሻ൯, որի համար Զఏ ሺߠ ି ൏ ߠ ൏  ߠ ା ሻ  ൒ ߛ:

ሺͳͲǤͳሻ

Բանաձևում մասնակցող հավանականությունը պետք է հասկանալ որպես ሺߠ ି ǡ ߠ ା ሻ պատահական միջակայքի անհայտ ߠ պարամետրը «ծածկելու» հավանականություն: Եթե ሺͳͲǤͳሻ անհավասարությունում տեղի ունի հավասարության նշան, ապա ሺߠ ି ǡ ߠ ା ሻ միջակայքը կոչվում է ઻ մակարդակի ճշգրիտ վստահության միջակայք: ߛ թիվը կոչվում է վստահության հավանականություն, վստահության մակարդակ, վստահության գործակից կամ հուսալիություն, իսկ Ƚ թիվը` նշանակալիության մակարդակ: Սովորաբար, որպես ߙ - ի արժեքներ վերցվում են 0.05, 0.01 կամ 0.1 թվերը: ߠ ି և ߠ ା վիճականիները կոչվում են, համապատասխանաբար, ստորին և վերին վստահության սահմաններ: ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ վերին (ստորին) վստահության միջակայք կոչվում է ȟାఈ ሺܺ ௡ ሻ = ሺെλǡ ߠ ା ሻ (համապատասխանաբար՝ ȟିఈ ሺܺ ௡ ሻ = ሺߠ ି ǡ ൅λሻ) վստահության միջակայքը, այնպես, որ բավարարվում են հետևյալ պայմանները՝ Զఏ ሺെλ ൏ ߠ ൏  ߠ ା ሻ ൌ Զఏ ሺߠ ൏  ߠ ା ሻ  ൒ ߛ,

համապատասխանաբար,

Զఏ ሺߠ ି ൏ ߠ ൏  ൅λሻ ൌ Զఏ ሺߠ ି ൏ ߠሻ  ൒ ߛ :

Վստահության միջակայքերի կառուցման մեթոդներ 1. Կենտրոնական վիճականիների մեթոդ 1. Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ‫׷ ࣪ א‬ൌ ሼԶఏ ǣߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ և ࣪ դասը բավարարում է ൫‫ܣ‬ఓ ൯ - պայմանը :

Կենտրոնական վիճականի ( Ʌպարամետրի համար) կոչվում է ߠ - ից կախված այնպիսի ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ վիճականին, որը բավարարում է հետևյալ պայմանները՝ 1. ֆիքսված ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ - ի համար ॳఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ֆունկցիան անընդհատ է և խիստ մոնոտոն ըստ ߠ- ի, 2. ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ վիճականու բաշխումը կախված չէ ߠ պարամետրից, այսինքն՝ Զఏ ሺॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫ܤ א‬ሻ ‫׷‬ൌ ‫ܪ‬ሺ‫ܤ‬ሻ, ‫ࣜ א ܤ‬ሺԹሻ: ߠ պարամետրից կախված ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ վիճականին, որի բաշխումը կախված չէ ߠ- ից, կոչվում է ոչ պարամետրական կամ բաշխումից Ǽազատǽ (Ǽdistribution free statisticǽ): Նշանակենք ݄ሺ‫ݕ‬ሻ - ով ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ վիճականու ‫ܪ‬ሺ‫ܤ‬ሻ բաշխման ըստ ߤչափի խտության ֆունկցիան ( ենթադրենք՝ ߤሺ݀‫ݕ‬ሻ ‫׷‬ൌ ݀‫ ݕ‬- ը Լեբեգի չափ է ൫Թǡ ࣜሺԹሻ൯ տարածությունում ): Թեորեմ 10.1: Դիցուք ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ - ը կենտրոնական վիճականի է: Այդ դեպքում ௬శ

 න ݄ሺ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ͳ െ ߙሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ ௬ష

պայմանը բավարարող ցանկացած ‫ ି ݕ‬և ‫ ݕ‬ା թվերի համար ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ‫ ି ݕ‬և ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ‫ ݕ‬ା հավասարումներով միարժեք որոշվում է ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ሺߠ ି ǡ ߠ ା ሻ վստահության միջակայքը: ሺߠ ି ǡ ߠ ା ሻ վստահության միջակայքը կոչվում է կենտրոնական, եթե թեորեմում նշված ‫ ି ݕ‬և ‫ ݕ‬ା թվերը բավարարում են հետևյալ պայմանը՝ Զఏ ሺॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൑ ‫ ି ݕ‬ሻ ൌ Զఏ ሺॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൒ ‫ ݕ‬ା ሻ ൌ ߙΤʹ ‫׷‬

§ 10. ՃՇԳՐԻՏ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

2. Որոշ մոդելների համար կենտրոնական վիճականիները միշտ գոյություն ունեն և գտնվում են բավականաչափ պարզ ձևով: Թեորեմ 10.2: Դիցուք Զఏ  բաշխմանը համապատասխանող ॲఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զఏ ሺܺ ൏ ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմանները՝ 1. ցանկացած ֆիքսված ߠ ‫ א‬ȣ- ի համար այն անընդհատ է ըստ ‫ ݔ‬- ի , 2. ցանկացած ֆիքսված ‫ א ݔ‬Թ- ի համար անընդհատ է և մոնոտոն ըստ ߠ- ի : Այդ դեպքում ௡

ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ െ ෍ Ž ॲఏ ሺܺ௜ ሻ ՝ ௜ୀଵ

կենտրոնական վիճականի է : Եթե ‫ ି ݕ‬൏  ‫ ݕ‬ା թվերը բավարարում են ௬శ

ͳ න ‫ ݕ‬௡ିଵ ݁ ି௬ ݀‫ ݕ‬ൌ ͳ െ ߙ  Ȟሺ݊ሻ ௬ష

պայմանը ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ, ապա՝ ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ‫ି ݕ‬

և ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ‫ ݕ‬ା հավասարումների ߠ և ߠ համապատասխան լուծումները կլինեն ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի վստահության միջակայքի սահմանները : ି

ା

2. Տրված վիճականու բաշխման վրա հիմնված մեթոդ Դիցուք ܵ ൌ ܵሺܺ ௡ ሻ- ը որևէ վիճականի է, որի բաշխման ֆունկցիան նշանակենք՝ ॳఏௌ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ॳఏௌ ൫ሺെλǡ ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ Զఏ ሺܵሺܺ ௡ ሻ ൏ ‫ݔ‬ሻ: ܵ վիճականին ըստ բաշխման մոնոտոն կախված է ߠ պարամետրից, եթե ցանկացած ‫ א ݔ‬Թ և ߠଵ ൏ ߠଶ համար տեղի ունի ॳఏௌభ ሺ‫ݔ‬ሻ ൒ ॳఏௌమ ሺ‫ݔ‬ሻ անհավասարությունը: Դիցուք ॳఏௌ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիան անընդհատ է ըստ ‫ ݔ‬- ի և ըստ ߠ - ի: Այդ դեպքում, եթե այն նաև ըստ բաշխման մոնոտոն կախված է ߠ - ից, ապա ցանկացած ߛ ‫ א‬ሺͲǡ ͳሻ և ‫ א ݔ‬Թ համար

ॳఏௌ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߛ

հավասարումն ունի լուծում ըստ ߠ - ի: Նշանակենք այդ լուծումը ܾሺ‫ݔ‬ǡ ߛሻ - ով: Թեորեմ 10.3: Դիցուք ܵ ൌ ܵሺܺ ௡ ሻ վիճականին բավարարում է հետևյալ պայմանները՝

1. այն ըստ բաշխման մոնոտոն կախված է ߠ պարամետրից, 2. ॳఏௌ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիան անընդհատ է ըստ ‫ ݔ‬- ի և ըստ ߠ - ի: Այդ դեպքում որոշ ߙ ൌ ߙଵ ൅ ߙଶ  նշանակալիության մակարդակի համար ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ ॳఏௌ ሺܵሻ ൌ ͳ െ ߙଶ և ॳఏௌ ሺܵሻ ൌ ߙଵ ି հավասարումների ߠ ‫׷‬ൌ ܾሺܵǡ ͳ െ ߙଶ ሻ և ߠ ା ǣ ൌ ܾሺܵǡ ߙଵ ሻ լուծումները կլինեն ߠ պարամետրի համար (ͳ െ ߙ) մակարդակի վստահության սահմաններ: Սովորաբար որպես ܵ վիճականի վերցվում է ߠպարամետրի որևէ գնահատական, օրինակ՝ ՃՄ

գնահատականը : Քանի որ ॳఏௌ ሺܵሻ վիճականին կենտրոնական է, ներկայացվող մեթոդը կենտրոնական վիճականիների մեթոդի մասնավոր դեպքն է, ընդ որում՝ ‫ܪ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ॼ଴ǡଵ ሺ‫ݔ‬ሻ:

§ 10. ՃՇԳՐԻՏ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

145. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ ିሺ௫ିఏሻ ૤ሾఏǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ, ߠ ‫ א‬Թ խտության ֆունկցիայով Ǽշեղվածǽ ցուցչային բաշխումից : Օգտվելով կենտրոնական

վիճականիների և կետային գնահատականների մեթոդներից՝ գտնել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի Ǽլավագույնǽ (փոքրագույն երկարություն ունեցող) վստահության միջակայքը: Ինչպիսի՞ տեսք կունենա կենտրոնական վստահության միջակայքը: Ցուցում` ցույց տալ, որ ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ݊൫ܺሺଵሻ െ ߠ൯ ` կենտրոնական վիճականի է:

146. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ߠ պարամետրով ցուցչային բաշխումից : Գտնել ߠ - ի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ստորին և կենտրոնական վստահության միջակայքերը: 147. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ߠ պարամետրով ցուցչային բաշխումից : Կառուցել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ճշգրիտ վստահության միջակայքը օգտվելով ա) ܵଵ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ܺଵ և բ) ܵଶ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ܺሺଵሻ վիճականիներից: ௡ ՝ կենտրոնական վիճականի է : തതതത Ցուցում` ցույց տալ, որ ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ʹ݊ߠܺ

148. Դիցուք ܺ ௡ նմուշը վերցված է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠ‫ ݔ‬ఏିଵ ૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻ,

ߠ൐Ͳ

խտության ֆունկցիայով բետա բաշխումների դասից : Գտնել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙմակարդակի ճշգրիտ վստահության միջակայքը: ௡

ՑուցումƮօգտագործելॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ െ ෍ Ž ॲఏ ሺܺ௜ ሻ կենտրոնականվիճականինǣ ௜ୀଵ

149. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॾሺͲǡ ߠǡ ߣሻ նմուշ է անհայտ ߠպարամետրով Վեյբուլի բաշ-

խումից ( ߣ ൐ Ͳ - ն՝ հայտնի է ): ߬ሺߠሻ ൌ ߠ ఒ պարամետրական ֆունկցիայի համար գըտնել ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը: ௡

ՑուցումƮցույցտալǡ որॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ʹߠ ఒ ෍ ܺ௜ఒ ՝ կենտրոնականվիճականիէǣ ௜ୀଵ

150. Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ॲ նմուշը համապատասխանում է ࣠ ൌ ሼॲሺ‫ݔ‬ሻǣ‫ א ݔ‬Թሽ

անընդհատ բաշխման ֆունկցիաների դասից ॲ ‫׷‬ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիային: Կառուցել վստահության միջակայքը ߠ ‫׷‬ൌ ߞ௣ ൌ ॲିଵ ሺ‫݌‬ሻ ( ॲ ‫ – ݌ ) ࣠ א‬քանորդիչի համար ሺͲ ൏ ‫ ݌‬൏ ͳሻ և գտնել նրա վստահության մակարդակը: Ցուցում` օգտվել Զ൫ܺሺ௞ሻ ൏ ߞ௣ ൏ ܺሺ௠ሻ ൯ ൌ ͳ െ Զ൫ߞ௣ ൑ ܺሺ௞ሻ ൯ െ Զ൫ܺሺ௠ሻ ൑ ߞ௣ ൯ ներկայացումից, որտեղ ݇ ൏ ݉ և խնդիր ͻ‫ כ‬- ից:

§ 10. ՃՇԳՐԻՏ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

151. Դիցուք ܺ ௡ նմուշը վերցված է ߣ

ߠ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Ȟ൫ߣ൯ ‫ ݔ‬ఒିଵ ݁ ିఏ௫ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ

խտության ֆունկցիայով անհայտ ߠ պարամետրով գամմա բաշխումների դասից ( ߣ ൐ ൐ Ͳ - ն՝ հայտնի է ): Գտնել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը : ௡ Τߣ արդյունավետ գնահատականից (տե’ս խնդիր തതതത Ցուցում` օգտվել ݃ሺߠሻ ൌ ߠ ିଵ ֆունկցիայի ݃‫ כ‬ൌ ܺ ௡ ‫כ‬ ௡ ̱Ռሺͳǡ ݊ߣሻ` կենտրոնական վիճականի է : തതതത 131), և, ցույց տալ, որॳఏ ሺܺ ሻ ‫׷‬ൌ ሺ݊ߠߣሻ݃ ൌ ݊ߠܺ

152. Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ ԧሺߠǡ ߪሻ նմուշ է Կոշիի բաշխումից (ߪ ൐ Ͳ - ն՝ հայտնի է): Գտնել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը (օգտագործել՝ ա) կենտրոնական վիճականիների մեթոդը, բ) തതതത ܺ ௡ վիճականու բաշխման ֆունկցիան): Ցուցում` ցույց տալ, որ ա) ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ

തതതതത ௑ ೙ିఏ ఙ

೙ ೙ തതതത തതതത ௡ ሻ̱ ॼሺͲǡ ͳሻ, որտեղ ॳ ௑ തതതത ̱ԧሺͲǡ ͳሻ, բ) ॳఏ௑ ሺܺ ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ

௡ ൏ ‫ݔ‬ሻ: തതതത ൌ Զఏ ሺܺ

153. ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում մեկ ծավալ ունեցող հավասարաչափ բաշխումից (ܺଵ ሻ նմուշի միջոցով կառուցել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ճշգրիտ վստահության միջակայքը: Ցուցում ՝ տե՛ս ሾʹǡ օրինակ͹Ǥͳͻሿ:

154. Վերցնելով հավասարաչափ բաշխումից ܺ ௡ նմուշին համապատասխանող ܺሺଵሻ կարգային վիճականին՝ կառուցել ߠ ‫ א‬Թ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակար-

դակի ճշգրիտ վստահության միջակայքը, եթե՝ ա) ܺ ௡ ̱ॼሺߠǡ ߠ ൅ ͳሻ, բ) ܺ ௡ ̱ॼሺߠǡ ʹߠሻ: 155. Ցույց տալ, որ հավասարաչափ բաշխումից վերցված ܺ ௡ ̱ॼሺߠ െ ͳΤʹ ǡ ߠ ൅ ൅ ͳΤʹሻ նմուշի միջոցով կառուցված ൫ܺሺଵሻ ǡ ܺሺ௡ሻ ൯ միջակայքը ߠ ‫ א‬Թ պարամետրի համար վստահության միջակայք է և գտնել նրա վստահության մակարդակը: Ցուցում` օգտվել Զఏ ൫ܺሺଵሻ ൏ ߠ ൏ ܺሺ௡ሻ ൯ ൌ ॲ௑ሺభሻ ሺߠሻ െ ॲ௑ሺ೙ሻ ሺߠሻ ներկայացումից:

156. Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹߠ ିଶ ‫ݔ‬૤ሺ଴ǡఏሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

ߠ൐Ͳ

խտության ֆունկցիայով Զఏ բաշխումից: Գտնել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ

մակարդակի վստահության միջակայքը (օգտագործել՝ ա) կենտրոնական վիճականիների մեթոդը, բ) ՃՄ գնահատականի բաշխման ֆունկցիան):

§ 10. ՃՇԳՐԻՏ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

௡

Ց ՑուցումƮաሻօգտագործելॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ǣ െ ෍ Ž ॲఏ ሺܺ௜ ሻ կենտրոնականվիճականինǡբሻօգտվել ௜ୀଵ ்

ଶ௡

்

ॳఏ೙ ሺܶ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ൫ܺሺ௡ሻ Τߠ൯ ̱ ॼሺͲǡ ͳሻ պայմանից, որտեղ ॳఏ೙ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը ߠ պարամետրի ܶ௡ ൌ ܺሺ௡ሻ ՃՄ գնահատականի բաշխման ֆունկցիան է:

157. Դիցուք ܺ ௡ ̱Զ նմուշ է անհայտ Զ բաշխումից: Գտնել ߤ ൌ ܺ௠௘ௗ միջ-

նարժեքի համար ൫ܺሺଵሻ ǡ ܺሺ௡ሻ ൯ վստահության միջակայքի մակարդակը: ௡

ՑուցումƮնկատելǡոր൫ܺሺ௡ሻ  ൑ ߤ൯ ൌ  ሩሺܺ௜  ൑ ߤሻǡ ௜ୀଵ

௡

൫ܺሺଵሻ  ൒ ߤ൯ ൌ ሩሺܺ௜  ൒ ߤሻǣ ௜ୀଵ

§ 11. Ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքեր Ʌ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ ասիմպտոտիկ վստահության միջակայք կոչվում է ି  Զఏ ሺߠ௡ ௡՜ஶ

൏ ߠ ൏ ߠ௡ା ሻ ൒ ͳ െ ߙ

ି ǡ ߠ௡ା ሻ պատահական միջակայքը ቀߠ௡‫׷ ט‬ൌ ߠ ‫ ט‬ሺߙǡ ܺ ௡ ሻቁ: Եթե այդ անհավապայմանը բավարարող ሺߠ௡ ି ǡ ߠ௡ା ሻ միջակայքը կոչվում է ߛ ൌ ͳ െ ߙ սարությունում տեղի ունի հավասարության նշանը, ապա ሺߠ௡

մակարդակի ճշգրիտ ասիմպտոտիկ վստահության միջակայք ( հետագայում կդիտարկվեն միայն ճըշգրիտ ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքերը): ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻվերին (ստորին) ասիմպտոտիկ վստաି ǡ λሻ) պատահական հության միջակայք կոչվում է այնպիսի ሺെλǡ ߠ௡ା ሻ ( համապատասխանաբար՝ ሺߠ௡

միջակայքը, որը բավարարում է հետևյալ պայմանը՝  Զఏ ሺߠ ௡՜ஶ

ି ൏ ߠ௡ା ሻ ൒ ͳ െ ߙ ( համապատասխանաբար՝ Ž‹  Զఏ ሺߠ௡ ൏ ߠሻ ൒ ͳ െ ߙ ): ௡՜ஶ

Ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքերի կառուցման մեթոդները 1. Ասիմպտոտիկ օպտիմալ գնահատականների վրա հիմնված մեթոդ Թեորեմ 11.1: Դիցուք ߠ௡‫ॶ א כ‬ఃǡଶ որոշակի ասիմպտոտիկ նորմալ գնահատական է ߠ պարամետրի

համար, այսինքն՝ ௗ

ξ݊ሺߠ௡‫ כ‬െ ߠሻ  ՜ Գ൫Ͳǡ ߪ ଶ ሺߠሻ൯ǡ

݊ ՜ λ,

և ասիմպտոտիկ նորմալության ߪ ଶ ሺߠሻ գործակիցն անընդհատ է: Այդ դեպքում ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը՝ կլինի οఈ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ቀߠ௡‫ ט  כ‬

‫כ‬ሻ ఙሺఏ೙

ξ௡

‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ ,

‫ݖ‬ఈΤଶ - ը՝ ԳሺͲǡ ͳሻ - ստանդարտ նորմալ բաշխման ߙΤʹ մակարդակի կրիտիկական կետն է, այսինքն՝ Ȱ൫‫ݖ‬ఈΤଶ ൯ ൌ ͳ െ

ߙ ʹ

ߠ պարամետրի համար ߠ௡‫ॶ א כ‬஍ǡଶգնահատականի միջոցով ստացված ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի

ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքի երկարությունը հավասար է ‫כ‬

݈௡ ‫׷‬ൌ ݈ሺܺ ௡ ሻ ൌ

ʹߪቀߠ݊ቁ ‫ݖ‬ఈΤଶ : ξ݊

ǼԼավագույն ǽ ասիմպտոտիկ վստահության միջակայք ߠպարամետրի համար կոչվում է ॶ஍ǡଶ դասից ասիմպտոտիկ օպտիմալ ߠ௡‫ כ‬գնահատականին համապատասխանող փոքրագույն ࢒࢔ երկարություն ունեցող միջակայքը: ሺࡾࡾሻ– պայմանների դեպքումߠպարամետրի ߠ෠௡ ՃՄ գնահատականն ասիմպտոտիկ արդյունավետ է, այսինքն ունինվազագույն ասիմպտոտիկ նորմալությանߪ ଶ ሺߠሻ ൌ ሾॴሺߠሻሿିଵ գործակից, ուստի այն առաջացնում է Ǽլավագույնǽ ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը ՝ οఈ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ቌߠ෠௡  ‫ ט‬

௭ഀΤమ

ቍ:

෡೙൯ ට௡ॴ൫ఏ

§ 11. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

Այդ միջակայքի երկարությունը հավասար է ݈௡ ൌ

ଶ௭ഀΤమ ෡೙൯ ට௡ॴ൫ఏ

, իսկ նմուշի նվազագույն ࢔૙ ծավալը, որի

դեպքում միջակայքի երկարությունը չի գերազանցի որոշակի ݈଴ թիվը, կլինի հավասար మ ସ௭ഀ Τమ

݊଴ ൌ ൤ మ

෡೙൯ ௟బ ήॴ൫ఏ

൨ ൅ͳ,

որտեղ [ήሿ - ը՝ թվի ամբողջ մասն է:

Դիցուք բավարարվում են ሺࡾࡾሻ- պայմանները, ߬ ൌ ߬ሺߠሻ- ն որոշակի սկալյար դիֆերենցելի ֆունկցիա է և ߬ ᇱ ሺߠሻ ് Ͳǡߠ ‫ א‬ȣ: Այդ դեպքում ߬ሺߠሻ - ի փոքրագույն երկարություն ունեցող ( Ǽլավագույնǽ) ߛ ൌ ͳ െ ߙ ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը՝ կլինի οఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ቌ߬Ƹ௡  ‫ ט‬

෡೙ ൯ ఛᇲ ൫ఏ ෡೙൯ ට௡ॴ൫ఏ

ሺͳͳǤͳሻ

‫ݖ‬ఈΤଶ ቍ

միջակայքը, որտեղ ߬Ƹ௡ ‫׷‬ൌ ߬൫ߠ෠௡ ൯- ը ߬ሺߠሻ ֆունկցիայի ՃՄ գնահատականն է:

2. Ցրվածքը կայունացնող ձևափոխության վրա հիմնված մեթոդ Դիցուք բավարարվում են ሺࡾࡾሻ - պայմանները: Եթե ߬ ‫׷‬ൌ ߬ሺߠሻ դիֆերենցելի ֆունկցիան ցրվածքը կայունացնող ձևափոխություն է (տես § 9), ապա ߬ሺߠሻ ֆունկցիայի ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը՝ կլինի οఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ቀ߬Ƹ௡  ‫ ט‬

௖ ξ௡

‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ ǡܿ ൌ 

ఛᇲ ሺఏሻ ඥॴሺఏሻ

ൌ ܿ‫ݐݏ݊݋‬

միջակայքը:

3. Կենտրոնական սահմանային թեորեմի վրա հիմնված մեթոդ Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զఏ ՝ նմուշ է Զఏ ‫ ࣪ א‬ൌ ሼԶఏ ǣߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ բաշխումից, ݉ሺߠሻ ൌ  ॱఏ ܺ ֆունկցիան անընդհատ հակադարձելի է ȣ բազմության կետերում և ߪ ଶ ሺߠሻ ൌ ॽƒ”ఏ ሺܺሻ ցրվածքն անընդհատ է: Այդ դեպքում ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը ߠ պարամետրի համար՝ կլինի Թեորեմ 11.2:

௡ ‫ט‬ തതതത οఈ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ൬݉ିଵ ቀܺ

‫כ‬ሻ ఙሺఏ೙

ξ௡

௡ േ തതതത ‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ൰ կամοఈ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ൬݉ିଵ ቀܺ

միջակայքը: Այդ ներկայացումները բխում են തതതത ௑ ೙ ି௠ሺఏሻ ఙሺఏሻ

կենտրոնական սահմանային թեորեմից :

ௗ

ξ݊  ՜ ԳሺͲǡ ͳሻ,

݊՜λ

‫כ‬ሻ ఙሺఏ೙

ξ௡

‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ൰

§ 11. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

158. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ९‹ሺߠǡ ݇ሻ նմուշ է անհայտ ߠ պարամետրով բինոմական բաշխումից : Գտնել ߠ - ի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը: 159. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॲ ‫ ࣠ א‬ൌ ሼॲሺ‫ݔ‬ሻǣ‫ א ݔ‬Թሽ նմուշը համապատասխանում է ࣠ դասից ॲ ‫׷‬ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիային: Գտնել ߠ ൌ ॲሺ‫ݔ‬଴ ሻሺॲ ‫࣠ א‬, ‫ݔ‬଴ ‫ א‬Թ՝ ֆիքսված է ) պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը: ௡

ͳ ՑուցումƮօգտվելߠǦիॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ෍ ૤ሺିஶǤ௫బሻ ሺܺ௜ ሻՃՄգնահատականիցǣ ݊ ௜ୀଵ

160. Օգտվելով Գ९‹ሺߠǡ ‫ݎ‬ሻ (‫ ݎ‬൒ ͳ ՝ հայտնի է ) բացասական բինոմական բաշխ-

ման ܺ ௡  նմուշի միջոցով ստացված ߠ պարամետրի ՃՄ գնահատականի ասիմպտոտիկ արդյունավետությունից՝ կառուցել ߠ - ի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայք : ௗ

௥ ௥ Ցուցում` ξ݊൫ߠ෠௡ െ ߠ൯ ՜ ԳሺͲǡ ሾॴሺߠሻሿିଵ ሻ, որտեղ ߠ෠௡ ൌ തതതത೙ , ॴሺߠሻ ൌ మሺଵିఏሻ: ఏ

161. Կառուցել հայտնի ݉ միջինով Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻնորմալ մոդելի ܺ௡ նմուշիմիջոցով ߠ ստանդարտ շեղման ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայք: Ցուցում` օգտվել հետևյալ զուգամիտություններից, երբ ݊ ՜ λ . ௡

ௗ ͳ աሻξ݊൫ߠ෠௡ െ ߠ൯  ՜ ԳሺͲǡ ሾॴሺߠሻሿିଵ ሻǡորտեղߠ෠௡ ‫׷‬ൌ ܵଵ ൌ  ൥ ෍ሺܺ௜ െ ݉ሻଶ ൩ ݊ ௜ୀଵ

ௗ

ଵ

բሻξ݊൫Ž ߠ෠௡ െ Ž ߠ൯ ՜ Գ ቀͲǡ ቁ, ଶ

ଵΤଶ

ǡॴሺߠሻ ൌ

ʹ ǡ ߠଶ

ௗ

գ ) ξ݊ሺܵଵଶ െ ߠ ଶ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ʹߠ ସ ሻ:

162. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ նմուշ է անհայտ ߠଵ ևߠଶଶ պարամետրերով նորմալ

բաշխումների դասից : Օգտվելով կենտրոնական սահմանային թեորեմից՝ գտնել ߠଶଶ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը: ௗ

Ցուցում` օգտվել ξ݊ሺܵ௡ଶ െ ߠଶଶ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ʹߠଶସ ሻ զուգամիտությունից:

163. Դիցուք ܺ ௡ ̱ԧሺɅǡ ͳሻ (ߠ ൐ Ͳ) նմուշ է Կոշիի բաշխումից : Գտնելߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը: Ցուցում` օգտվել թեորեմ 4.4 - ից:

§ 11. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

164. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զ ‫ ࣪ א‬նմուշ է Զ բաշխումից, որտեղ ॽƒ”ሺܺሻ ൏ λ: Գտնել

անհայտ ߠ ൌ ॱܺ միջինի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը : Այնուհետև, ընդհանրացնելով խնդիրը՝ գտնել

ߛ մակարդակի

௞

ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը ߠ ‫׷‬ൌ ߙ௞ ൌ ॱܺ սկզբնական մոմենտի համար (ߙଶ௞ ൏ λ): ௡

ଵΤଶ

௡ െߠ തതതത ௗ ܺ ͳ ՑուցումƮԱպացուցելǡ որ  ξ݊  ՜ ԳሺͲǡ ͳሻǡܵ௡ ൌ  ൥ ෍ሺܺ௜ െ തതതത ܺ ௡ ሻଶ ൩ ܵ௡ ݊

ǡ տե՛սնաևխնդիրͷͷ ‫׷‬

௜ୀଵ

165. ࢔ ազատության աստիճաններով ࣑૛ - բաշխում ունեցող պատահական մեծության նկատմամբ կատարվում է մեկ դիտարկում ՝ ሺܺଵ ሻ ̱ԯଶ ሺ݊ሻ: Գտնել ߠ ‫׷‬ൌ ݊ պարամետրի համար (մեծ ݊ - ի դեպքում ) ߛ ൌ ͳ െ ߙմակարդակի մոտավոր վստահության միջակայքը : Ցուցում` օգտվել

௑భ ି௡ ௗ ξଶ௡

 ՜ ԳሺͲǡ ͳሻ զուգամիտությունից:

166 (կ). Սննդի ծառայության կառավարիչը ցանկանում է 95 % վստահությամբ համոզվել, որ նախաճաշին իրացված սենդվիչների միջին քանակի գնահատման

սխալը 10 - ից ավելի չէ : Որոշել այդ ենթադրությունը ստուգելու համար նվազագույն անհրաժեշտ նմուշի ծավալը (ߪ ൌ ͶͲሻ: 167 (կ). Խանութի տնօրինությունը ցանկանում է իմանալ օրական հաճախորղների թվի միջակայքային գնահատականը : Հայտնի է, որ օրական հաճախորդների թվի ստանդարտ շեղումը հավասար է 15- ի: Քանի՞ օր կպահանջվի հետազոտությունները կատարելու համար, որպեսզի 95 % վստահությամբ հնարավոր լինի պնդել, որ հաճախորդների միջին թվի գնահատականի վստահության միջակայքի լայնությունը հավասար է 8 - ի: 168 (կ). 400 էլեկտրական լամպերի ստուգման ժամանակ պարզվել է, որ դրանցից 40 - ը խոտանված են: Գտնել գլխավոր համախմբության խոտանի հավանականու-

թյան 0.99 մակարդակի վստահության միջակայքը: 169 (կ). 540 անգամ փորձեր կատարելիս դրանցից 216 - ում դիտվել է «դրական» արդյունք: Գտնել մեկ փորձում «դրական» արդյունքների թվի ցրվածքի 0.99 մակար-

դակի վստահության միջակայքը: Ցուցում՝ օգտվել ሺͳͳǤͳሻ բանաձևից, որտեղ ߬ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ߪ ଶ ሺߠሻ ൌ ߠሺͳ െ ߠሻ:

§ 11. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

170 (կ). Սոցիոլոգիական հարցման ժամանակ 300 մասնակցից 175 - ը իրենց ձայնը տվել են ներկա քաղաքապետի օգտին, իսկ մնացածը՝ ոչ: Գտնել սպասվող Ǽկողմ ǽ քվեարկողների բաժնի 0.99 մակարդակի վստահության միջակայքը: 171 (կ). Կատարված են 100 անկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում միաժամանակ նետվել են 4 մետաղադրամներ: Փորձերի ընթացքում Ǽգերբǽ - երի ܺ௜ թվի

բաշխումը բերվում է հետևյալ աղյուսակում՝ ‫ݔ‬௜

ߥ௜

:

Գտնել Ǽգերբǽ- ը բացվելու հավանականության 95 % - անոց վստահության միջակայքը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 158 :

172 (կ). Ուսումնասիրվում են տվյալ շրջանի 3 երեխա ունեցող ընտանիքները: Պատահական կերպով վերցված 160 այդպիսի ընտանիքներում տղա երեխա ունեցող ընտանիքների համար ստացվել է հետևյալ հաճախականային բաշխումը` Տղաների թիվը

Հաճախությունը

:

Ենթադրելով տվյալ շրջանում 3 երեխա ունեցող ընտանիքներում տղաների թվի բինոմական բաշխում ունենալու վարկածը՝ գտնել 0.99 մակարդակով այդ ընտանիքներում տղա երեխա ունենալու հավանականության վստահության միջակայքը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 158 :

173 (կ). Որոշ տեսակի արտադրանքի մեծ խմբաքանակից հսկողության նպատակով պատահական կերպով վերցված 500 հատից 20 - ը անորակ են : Գտնել լրիվ խմբաքանակի անորակ արտադրանքի բաժնի 95 % - անոց վստահության միջակայքը: 174 (կ). Որոշելու համար էլեկտրական լամպերի անխափան աշխատելու միջին տևողությունը՝ այդ խմբաքանակից պատահականության սկզբունքով վերցվել են 400 - ը, որոնց անխափան աշխատելու միջին տևողությունը` ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͳʹʹͲ ժամ է, իսկ

միջին քառակուսային շեղումը՝ ‫ ݏ‬ൌ 35 ժամ: Գտնել լրիվ խմբաքանակի էլեկտրական լամպերի անխափան աշխատելու միջին տևողության 99 % - անոց վերին վստահության միջակայքը:

§ 11. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

175 (կ). 50 հրանոթից գնդակ արձակելու միջին հեռավորությունը 2500 մետր է, իսկ նմուշային միջին քառակուսային շեղումը՝ 45.7 մետր: Որոշել գնդակների արձակման միջին հեռավորության 95 % - անոց ստորին վստահության միջակայքը : 176 (կ). Որոշակի պատահական մեծության ݊ ൌ ͶͲ անկախ չափումների արդյունքում նմուշային միջինի և ստանդարտ շեղման վերաբերյալ ստացվել են հետևյալ տվյալները՝ ത‫ݔ‬തത௡ത = 121 և ‫ ݏ‬ൌ ͳͲǤʹ: Գտնել այդ պատահական մեծության տեսական

միջինի 0.9 մակարդակի վստահության միջակայքը: 177 (կ). Հսկողության բաժինը կատարել է որոշակի խմբաքանակից վերցված 200 գլանակի տրամագծերի չափումները: Արդյունքում ստացված տրամագծերի շեղումները իրական (նոմինալ ) արժեքից բերված են հետևյալ աղյուսակում (միկրոններով)՝ Միջակայքեր [-20,-15) [-15,-10) [-10,-5) [-5,0) [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) Գլանակների թիվը

Համարելով շեղումների նորմալ բաշխվածությունը՝ 0.99 հուսալիությամբ որոշել նմուշային ‫ ݏ‬ଶ  ցրվածքի միջոցով ամբողջ խմբաքանակի ցրվածքի գնահատման ճշգրտությունը (ߜ ‫׷‬ൌ ȁ‫ ݏ‬ଶ െ ߪ ଶ ȁ) : Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 162 :

178 (կ). Բերվում են 190 միջքաղաքային ավտոբուսների (մինչև դրանց շարժիչի առաջին լուրջ խափանումը) անխափան անցած ճանապարհների միջակայքային բացարձակ հաճախությունները. Անխափան անցած ճանապարհը (ͳͲଷ կմ) Հաճախությունը

0െ

0.2െ

0.4െ

0.6െ

0.8െ

1.0െ

1.2െ

1.4െ

ͳǤ͸-

1.8 -

Գտնել (մինչև շարժիչի առաջին լուրջ խափանումը) տվյալ տեսակի ավտոբուսների համար նախատեսված (տեսական) միջին անխափան անցնելու ճանապարհի 95 % -

- անոց վստահության միջակայքը: 179 (կ). Անորակ պահածոներ հայտնաբերելու նպատակով ստուգել են պահածոների 250 արկղ: Արդյունքում ստացվել է հետևյալ շարքը՝

§ 11. ԱՍԻՄՊՏՈՏԻԿ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

ܺ௜

ߥ௜

որտեղ ܺ௜ - ն մեկ արկղում պարունակվող անորակ տուփերի թիվն է, որը ենթադրաբար ունի Պուասոնի բաշխում, ߥ௜ - ն՝ ܺ௜ հատ անորակ տուփ պարունակող արկղերի թիվն է: Գտնել մեկ արկղում պարունակվող անորակ տուփերի միջին (տեսական )

թվի 95 % - անոց վստահության միջակայքը: 180. Դիցուք ሺܺଵ ሻ̱ԯଶ ሺ݊ሻ ࢔ ազատության աստիճաններով ࣑૛ - բաշխում ունեցող պատահական մեծության մեկ ծավալի նմուշ է: Գտնել ߠ ൌ ݊ պարամետրի համար (մեծ ݊ - ի դեպքում ) 0.9 մակարդակի մոտավոր վստահության միջակայքը, եթե ‫ݔ‬ଵ ൌ ͳͷ͹ǤͶ: Ցուցում՝

տե՛ս խնդիր 165 :

§ 12. Նորմալ բաշխման պարամետրերի ճշգրիտ վստահության միջակայքեր Թեորեմ 12.1 ( Ֆիշեր ): Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ: Ճիշտ են հետևյալ պնդումները՝ തതതത ௑ ೙ ି௠

1.

ఙ

 ξ݊ ̱ԳሺͲǡ ͳሻ, ௡

ʹǤ߯ʹ݊െͳ ‫׷‬ൌ 

ሺ݊ െ ͳሻܵ଴ଶ ݊ܵ ଶ ͳ ௡ ሻଶ ̱ԯଶ ሺ݊ െ ͳሻǡ തതതത ൌ ଶ ൌ ଶ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ߪଶ ߪ ߪ ௜ୀଵ

തതതത ܺ ௡ և ܵ଴ଶ (ܵ ଶ ) վիճականիներն անկախ են :

3.

ଶ ߯௡ିଵ ̱ԯଶ ሺ݊ െ ͳሻ ՝ ሺ࢔ െ ૚ሻ ազատության աստիճաններով

Այստեղ

݄௡ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ

ଵ ‫ ݔ‬ሺ௡ିଵሻΤଶିଵ ݁ ି௫Τଶ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ,

ଶሺ೙షభሻΤమ ୻ሺሺ௡ିଵሻΤଶሻ

‫ א ݔ‬Թ

խտության ֆունկցիայով ૏૛ - բաշխում ունեցող պատահական մեծություն է ൬ԯଶ ሺ݊ െ ͳሻ ‫׷‬ൌ Ռ ቀ

ͳ ݊െͳ ǡ ʹ ቁ൰ : ʹ

Թեորեմ 12.2 (Ստյուդենտ ): Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ: Այդ դեպքում ‫ݐ‬௡ିଵ ‫׷‬ൌ 

തതതത തതതത ܺ௡ െ ݉ ܺ  ξ݊  ൌ  ξ݊ െ ͳ̱ॻሺ݊ െ ͳሻ ܵ଴ ܵ

վիճականին ունի ሺ࢔ െ ૚ሻ ազատության աստիճաններով Ստյուդենտի ( t- ) բաշխում, որի խտության ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

‫ݏ‬௡ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ

೙

೙ మ

୻ቀ ቁ ݊െͳ

ඥሺ௡ିଵሻగ୻ቀ

మ

ቁ

ή ቀͳ ൅

ି మ ௫ మ ቁ ǡ ௡ିଵ

‫אݔ‬Թ‫׷‬

Ճշգրիտ վստահության միջակայքեր: Մեկ նմուշի դեպք 1.

Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ, ߠ ‫ א‬Թ:

ߛ ൌ ͳ െ ߙ (0൏ ߙ ൏ ͳ) մակարդակի լավագույն ( փոքրագույն երկարություն ունեցող) կենտրոնական ௡ ‫ט‬ തതതത վստահության միջակայքը ߠ պարամետրի համար οఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ቀܺ ௡ െ തതതത Զఏ ቀܺ

ఙ

ξ௡

௡ െ തതതത ቀܺ

ఙ ξ௡

௡ ൅ തതതത ‫ݖ‬ఈ ǡ λቁ և ቀെλǡ ܺ

ఙ ξ௡

௡ െ തതതത Զఏ ቀߠ ൐  ܺ

2.

‫ݖ‬ఈΤଶ ൏ ߠ ൏  തതതത

ܺ௡ ൅ 

ఙ ξ௡

ఙ ξ௡

‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ ՝միջակայքն է՝

‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ ൌ ͳ െ ߙ :

ሺͳʹǤͳሻ

‫ݖ‬ఈ ቁ՝ միակողմանի վստահության միջակայքերն են՝

ఙ ξ௡

௡ ൅ തതതത ‫ݖ‬ఈ ቁ ൌ  Զఏ ቀߠ ൏  ܺ

ఙ ξ௡

‫ݖ‬ఈ ቁ ൌ ͳ െ ߙ ‫׷‬

ሺͳʹǤʹሻ

Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ, ߠ ൐ Ͳ:

ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը ߠ ଶ պարամետրի համար οఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ൌ ൬

௡ௌభమ

మ ሺ௡ሻ ఞഀ Τమ

ǡ

௡ௌభమ

൰ միջակայքն է՝

మ ఞభషഀ Τమ ሺ௡ሻ

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

௡

݊ܵଵଶ ݊ܵଵଶ ͳ  ൏ ߠଶ ൏  ଶ ቇ ൌ ͳ െ ߙǡܵଵଶ ൌ ෍ሺܺ௜ െ ݉ሻଶ ǡ ሺͳʹǤ͵ሻ Զఏ ቆ ଶ ݊

߯ఈΤଶ ሺ݊ሻ

߯ଵିఈΤଶ ሺ݊ሻ

௜ୀଵ

ଶ ଶ ૛ որտեղ ߯ଵିఈ Τଶ ሺ݊ሻ - ը և ߯ఈ Τଶ ሺ݊ሻ - ը ‫ ܖ‬ազատության աստիճաններով ૏ - բաշխման կրիտիկական կե-

տերն են: ቀ

௡ௌభమ మ ሺ௡ሻ ఞഀ

ǡ λቁ և ቀെλǡ

௡ௌభమ మ ሺ௡ሻ ఞభషഀ

ቁ՝ միակողմանի վստահության միջակայքերն են՝

Զఏ ቆߠ ଶ ൐  3.

݊ܵଵଶ ݊ܵଵଶ ቇ ൌ Զఏ ቆߠ ଶ ൏  ଶ ቇ ൌ ͳ െ ߙ ‫  ׷‬ሺͳʹǤͶሻ ଶ ߯ఈ ሺ݊ሻ ߯ଵିఈ ሺ݊ሻ

Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ, ߠଵ ‫ א‬Թ, ߠଶ ൐ Ͳ:

աሻ ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը ߠଶଶ պարամետրի համար οఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ൬

ሺ௡ିଵሻௌబమ

మ ሺ௡ିଵሻ ఞഀ Τమ

ǡ

ሺ௡ିଵሻௌబమ

൰ միջակայքն է՝

మ ఞభషഀ

Τమ ሺ௡ିଵሻ

௡

ሺ݊ െ ͳሻܵ଴ଶ ሺ݊ െ ͳሻܵ଴ଶ ͳ ௡ ሻଶ  ‫ ׷‬ሺͳʹǤͷሻ തതതത Զఏ ቆ ଶ  ൏ ߠଶଶ ൏  ଶ ቇ ൌ ͳ െ ߙǡܵ଴ଶ ൌ  ෍ሺܺ௜ െ ܺ ݊െͳ

߯ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ

߯ଵିఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ

௜ୀଵ

ʹ

ሺ݊െͳሻܵబ

൬

߯ʹߙ ሺ݊െͳሻ

ʹ

ሺ݊െͳሻܵబ ൰ ߯ʹͳെߙ ሺ݊െͳሻ

ǡ λ൰ և ൬െλǡ Զఏ ቀ

ሺ௡ିଵሻௌబమ మ ሺ௡ିଵሻ ఞഀ

՝ միակողմանի վստահության միջակայքերն են՝

൏ ߠଶଶ ቁ ൌ Զఏ ቀߠଶଶ  ൏ 

ሺ௡ିଵሻௌబమ

ቁ ൌ ͳ െ ߙ :

మ ሺ௡ିଵሻ ఞభషഀ

ሺͳʹǤ͸ሻ

բሻ ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի լավագույն կենտրոնական վստահության միջակայքը ߠଵ պարամետրի ௡  ‫ܵ  ט‬బ ‫ݐ‬ തതതത համար οఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ൬ܺ ఈ Τଶ ሺ݊ െ ͳሻ൰ միջակայքն է՝ ξ݊

ܵబ ௡ െ ܵబ ‫ݐ‬ ௡ തതതത തതതത Զఏ ൬ܺ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ൰ ൌ ͳ െ ߙ, ఈ Τଶ ሺ݊ െ ͳሻ ൏  ߠଵ ൏ ܺ  ‫ ט‬ ξ݊

ξ݊

ሺͳʹǤ͹ሻ

որտեղ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ - ը ሺ࢔ െ ૚ሻ ազատության աստիճաններով Ստյուդենտի ( t - ) բաշխման ߙΤʹ մակարդակի կրիտիկական կետն է: ௡ െ  ௌబ ‫ ݐ‬ሺ݊ െ ͳሻǡ λቁ և ൬െλǡ ܺ ௡ ൅  ௌబ ‫ ݐ‬ሺ݊ െ ͳሻ൰՝ միակողմանի վստահության միջակայքերն են՝ തതതത തതതത ቀܺ ఈ ఈ ξ௡

ξ௡

௡ െ തതതത Զఏ ቀܺ

ௌబ ξ௡

௡ ൅ തതതത ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ െ ͳሻ ൏ ߠଵ ቁ ൌ Զఏ ቀߠଵ ൏  ܺ

ௌబ ξ௡

‫ݐ‬ఈ ሺ݊ െ ͳሻቁ ൌ ߛ ‫  ׷‬ሺͳʹǤͺሻ

Ճշգրիտ վստահության միջակայքեր: Երկու նմուշի դեպք 1.

Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߪ௑ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߪ௒ଶ ሻ երկու միմյանցից անկախ նմուշներ են:

߬ ‫׷‬ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ պարամետրի համարߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի լավագույն կենտրոնական վստահության ௡ െ തതതത തതതത միջակայքը οఈ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ ൌ ൫ܺ ܻ ௠  ‫ݖߪ ט‬ఈΤଶ ൯ միջակայքն է՝ ௡ െ തതതത ௡ െ തതതത തതതത തതതത Զఛ ൫ܺ ܻ ௠ െ ߪ‫ݖ‬ఈΤଶ ൏ ߬ ൏ ܺ ܻ ௠ ൅ ߪ‫ݖ‬ఈΤଶ ൯ ൌ ͳ െ ߙ :

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ 61

2.

Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߠ ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߠ ଶ ሻ անհայտ և հավասար ցրվածքներով երկու մի-

մյանցից անկախ նմուշներ են: ߬ ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ պարամետրի համարߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի լավագույն կենտրոնական վստահության ௡ െ  ܻ ௠  ‫ ט‬ට ଵ ൅ ଵ ܵ ‫ݐ‬ തതതത തതതത միջակայքը οఈ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ ൌ ൭ܺ ௣ ఈ Τଶ ሺ݊ ൅ ݉ െ ʹሻ൱ միջակայքն է՝ ௡

௠

௡ െ  ܻ ௠  ‫ ט‬ට ଵ ൅ ଵ ܵ ‫ݐ‬ തതതത തതതത Զఛ ቌ߬ ‫ א‬൭ܺ ௣ ఈ Τଶ ሺ݊ ൅ ݉ െ ʹሻ൱ቍ ൌ ͳ െ ߙ, ௡

որտեղ ܵ௣ଶ ‫׷‬ൌ 

మ ା௠ௌೊమ

௡ା௠ିଶ

௠

՝ ߠ ଶ պարամետրի համար ունակ գնահատական է, ௡

௠

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ௡ ሻଶ ǡ ܵ ଶ ‫׷‬ൌ ௠ ሻଶ ‫׷‬ തതതത തതതത ܵ௑ଶ ‫׷‬ൌ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ෍ሺܻ௜ െ ܻ ௒ ݊ ݉ 3.

ଶ ሻ ଶ ሻ Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௡ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ երկու միմյանցից անկախ միևնույն ծավալի

նմուշներ են: ߬ ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ պարամետրի համարߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի լավագույն կենտրոնական վստահության തതത௡ത  ‫  ט‬ௌబ೥ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ൰ միջակայքն է՝ միջակայքը οఈ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ ൌ ൬ܼ ξ௡

തതത௡ത െ  Զఛ ൭ܼ

ܵ଴௭ ξ݊

௡ ൅ തതതത ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ  ൏ ߬ ൏ ܼ

ܵ଴௭ ξ݊

௡

ଶ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻ൱ ൌ ͳ െ ߙǡ ܵ଴௭ ǣൌ

ͳ

തതത௡തሻଶ ǡ

෍ሺܼ௜ െ ܼ ݊െͳ ௜ୀଵ

ܼ௜ ‫׷‬ൌ ܺ௜ െ ܻ௜ ǣ 4.

ଶ ሻ ଶ ሻ Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௠ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ երկու միմյանցից անկախ նմուշներ են:

ଶ Τ ଶ ߬ ǣ ൌ ߠଶ௑ ߠଶ௒ ցրվածքների հարաբերության համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի լավագուն կենտրոնական

վստահության միջակայքը ቆ

Զఛ ቆ

మ ௌబ೉ మ ௌబೊ

మ ௌబ೉ మ ௌబೊ

ܵଵିఈΤଶ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻǡ

ܵଵିఈΤଶ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻ  ൏ ߬ ൏ 

మ ௌబ೉ మ ௌబೊ

మ ௌబ೉ మ ௌబೊ

ܵఈΤଶ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻቇ միջակայքն է՝

ܵఈΤଶ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻቇ ൌ ͳ െ ߙǡሺͳʹǤͻሻ

որտեղ ଶ

௡

௠

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ௡ ሻଶ ǡ ܵ ଶ ‫׷‬ൌ ௠ ሻଶ ǡ തതതത തതതത ෍ሺܺ௜ െ ܺ ෍ሺܻ௜ െ ܻ ଴௒ ݊െͳ ݉െͳ

ܵଵିఈΤଶ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻևܵఈΤଶ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻ՝ F - բաշխման կրիտիկական կետերն են ൫ܵఈିଵ ሺ݊ǡ ݉ሻ ൌ ൌ ܵଵିఈ ሺ݉ǡ ݊ሻ൯ǣ

  

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

Մեկ նմուշի դեպք

181. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ նմուշը վերցված է անհայտ ߠ ‫ א‬Թմիջինով նորմալ

բաշխումների դասից : Գտնել դիտումների այն նվազագույն ݊ ‫׷‬ൌ ݊ሺ݈ǡ ߙሻ ծավալը, որի դեպքում ߛ ൌ ͳ െ ߙ վստահության մակարդակով ߠ պարամետրի գնահատման ճըշտության չափը (վստահության միջակայքի ݈ఈ  երկարությունը) չի գերազանցի տվյալ ݈ թիվը: Գտնել վստահության մակարդակի կախվածությունը ݈ - ից և ݊ - ից: ૚ૡ૛‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ նմուշ է անհայտ ߠ ଶ ցրվածքով նորմալ բաշ-

խումների դասից : Ցույց տալ, որ ɀ ൌ ͳ െ Ƚ մակարդակի վստահության միջակայքը ߠ ଶ ʹ

݊

պարամետրիհամարοߙ ቀܺ ቁ ൌ  ቌ

ʹ

ʹ ݊ܵͳ ݊ܵͳ ‫ ʹݕ‬ǡ ‫ ͳݕ‬ቍ միջակայքնէǡորտեղ݊ܵͳ ൌ ‫ʹݕ‬

իսկ‫ͳݕ‬

൏ ‫ʹݕ‬թվերնընտրվումեն

න

‫ͳݕ‬

݊

ʹ

෍ ൫ܺ݅ െ ݉൯

ǡ

݅ൌͳ

݄݊ ൫‫ݕ‬൯݀‫ ݕ‬ൌ ͳ െ ߙ պայմանիցሺ݄݊ ൫‫ݕ‬൯Ǧը߯ʹ ݊ ǦպատաǦ

հական մեծության խտության ֆունկցիան է): Գտնել այդ միջակայքերից փոքրագույն երկարություն ունեցող ο଴ఈ ሺܺ ௡ ሻ միջակայքը: Համընկնու՞մ է արդյոք այն կենտրոնա-

կան վստահության միջակայքի հետ: Ցուցում` ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ǣ ൌ

௡ௌభమ ఏమ

̱ ԯଶ ሺ݊ሻ - ը կենտրոնական վիճականի է: Այնուհետև, օգտվելով Լագրանժի ௬మ

անորոշգործակիցներիմեթոդիցǡ մինիմալացնել න ݄௡ ሺ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ͳ െ ߙ պայմանիդեպքում ‫ݕ‬ଶ Τ‫ݕ‬ଵ հարաբերուǦ ௬భ

թյունը (տե՛ս Հավելված 3): ௡  ‫ݐ Ͳܵ  ט‬ തതതത ሺ݊ െ ͳሻቇ 183 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ: Ցույց տալ, որ ο଴ఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ቆܺ ݊ ఈΤଶ ξ

վստահության միջակայքըߠଵ պարամետրիߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի բոլոր վստահության միջակայքերի մեջ ունի փոքրագույն երկարությունը : Ցուցում` տե՛ս ሾʹǡ օրինակ͹ǤͳͲሿ:

184 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ: Ցույց տալ, որ ቆ

ሺ௡ିଵሻௌͲʹ

որտեղ

և

ߙଶ଴

թվերը

(ߙଵ଴

൐ Ͳ,

ߙଶ଴

൐ Ͳ,

ߙଵ଴

൅

ߙଶ଴

ሺ௡ିଵሻௌͲʹ

ఞߙʹͲ ሺ௡ିଵሻ ఞͳʹെߙͲ ሺ௡ିଵሻ

ʹ

ߙଵ଴

ǡ

ቇ միջակայքը,

ͳ

ൌ ͳ) բավարարում են 

ఞߙʹͲ ሺ௡ିଵሻ

ʹ

ʹ ఞͳെߙ Ͳ ሺ௡ିଵሻ

ൌ

ͳ

ͳ ଶ ଶ ൌ ‡š’ ቄ  ൬߯ఈଶబ ሺ݊ െ ͳሻ െ ߯ଵିఈ బ ሺ݊ െ ͳሻ൰ቅ պայմանը, ߠଶ պարամետրի բոլոր ߛ ൌ ͳ െ ߙ ݊ మ భ մակարդակի վստահության միջակայքերի մեջ ունի փոքրագույն երկարությունը: Ցուցում` տե՛ս խնդիր ͳͺʹ‫ כ‬:

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ 63

185. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ նմուշ է անհայտ ߠଵ ‫ א‬Թ և ߠଶ ൐ Ͳ պարամետրերով

նորմալ բաշխումների դասից : Ապացուցել, որ ߛ ൌ ͳ െ ߙ հավանականությունով հա௡  ‫  ט‬ට݊൅ͳ ܵ ‫ݐ‬ തതതത ջորդ ሺ݊ ൅ ͳሻ- րդ փորձի ܺ௡ାଵարդյունքը կգտնվիቆܺ ሺ݊ െ ͳሻቇ մի݊െͳ ௡ ఈΤଶ

ջակայքում, որտեղ ܵ௡ - ը՝ նմուշային ստանդարտ շեղումն է : Ցուցում՝

օգտվել Ֆիշերի թեորեմից :

186. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߠ ଶ ሻ ሺߠ ‫ א‬Թሻ նորմալ բաշխումների դասից նմուշ է: Գըտնել ߠ պարամետրի համար ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը (դիտարկել ߠ ൐ Ͳ և ߠ ൏ Ͳ դեպքերը): 187. Դիցուք

ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ նմուշը վերցված է անհայտ միջինով նորմալ բաշ-

խումների դասից : ա) Որքա՞ն պետք է լինի նմուշի նվազագույն ծավալը, որպեսզի ߠ պարամետրի 90 % - անոց վստահության միջակայքի երկարությունը չգերազանցի ݈ ൌ ͳ արժեքը ሺߪ ൌ ͵ሻ, բ) գտնել վստահության մակարդակը, եթե ݊ ൌ ʹͷ, ߪ ൌ ݈ ൌ ͳ: Ցուցում` տե՛ս խնդիր 181:

188. ܺ ௡ նմուշը վերցված է ߪ ൌ ͵ միջին քառակուսային շեղում ունեցող անհայտ

միջինով նորմալ բաշխումների դասից : Գտնել այդ պատահական մեծության միջինի 95 % - անոց միակողմանի և երկկողմանի (կենտրոնական) վստահության միջակայ௡ ൌ ͷͺ: തതതത քերը, եթե նմուշի ծավալն է ݊ ൌ ʹͷ, իսկ նմուշային միջինը` ܺ

189. Դիտվել են ݉ ൌ ͻ միջինով նորմալ բաշխված պատահական մեծության 8.1,

10.4, 9.5, 8.9, 10.7

արժեքները: Գտնել այդ պատահական մեծության անհայտ ցրվածքի 95 % - անոց երկկողմանի կենտրոնական վստահության միջակայքը: 190. Ըստ անհայտ պարամետրերով նորմալ բաշխված պատահական մեծության 2.96, 3.07, 3.02, 2.98, 3.06 տվյալների գտնել միջինի և ցրվածքի համար 0.9 մակարդակի միակողմանի և երկկողմանի (կենտրոնական) վստահության միջակայքերը : 191. Անհայտ պարամետրերով նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծության ݊ ൌ 10 ծավալի նմուշի միջոցով ստացված են հետևյալ բնութագրիչները` մի-

ջինը՝ 30.2, միջին քառակուսային շեղումը` 3.1: Գտնել այդ պատահական մեծության միջինի և միջին քառակուսային շեղման 99 % - անոց վստահության միջակայքերը:

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

192 (կ). Որոշ ապրանքի հինգ անգամ անկախ կշռելու արդյունքում ստացվել են հետևյալ տվյալները (գրամներով )՝ 4.12, 3.92, 4.55, 4.04, 4.35: Համարելով չափման

սխալները նորմալ բաշխված՝ ստանալ նախատեսվող 6 - րդ կշռման 0.95 մակարդակի կենտրոնական վստահության միջակայքը: 193 (կ). Միատեսակ դիմադրությունների համախմբությունից հսկողության նպատակով ընտրված են 10 - ը: Չափումները տվել են իրական արժեքից բացարձակ շե-

ղումների համար հետևյալ արժեքները (կիլոօհմերով )` Դիմադրության համարը

Բացարձակ շեղումը

:

Համարելով, որ շեղումները բաշխված են նորմալ օրենքով, գտնել 0.95 վստահությամբ նմուշային միջինի միջոցով տեսական միջինի գնահատման ճշտությունը: 194 (կ). Մեկ օրվա ընթացքում ռեստորանում մատուցվող սննդի քանակը որոշելու համար ղեկավարությունը ցանկանում է իմանալ մեկ օրվա հաճախորդների միջին թիվը: Պատահականորեն ընտրված 25 օրերի ընթացքում օրական հաճախորդների միջին թիվը կազմել է 71 մարդ: Հաճախորդների թվի տեսական ստանդարտ շե-

ղումը՝ ߪ ൌ ͵Ǥ͹͸ (գնահատվել է նախօրոք): Գտնել հաճախորդների միջին թվի 99.7 % - անոց վստահության միջակայքը ենթադրելով այդ թվի նորմալ բաշխվածությունը : 195 (կ). Օդերևութաբանը պետք է ներկայացնի տվյալներ որոշակի օրվա սպասվող տեղումների քանակի վերաբերյալ: Պատահականորեն ընտրված նախորդ 16 տարիների այդ օրվա տեղումների մասին կատարված չափումների արդյունքներն են՝ 11.75,

6.75, 3.25, 13.5, 0.00, 2.0, 18.75, 1.5,

0.00, 26.25, 8.5,

6.5,

4.25, 10.5, 12.5,

21.5 (միլիմետր):

Ենթադրելով տեղումների քանակի նորմալ բաշխվածությունը՝ գտնել այդ օրվա համար միջին սպասվող տեղումների քանակի 95 % - անոց վստահության միջակայքը: 196 (կ). Մարզահամալիրի նստատեղերն ավելացնելու համար անհրաժեշտ է որոշել մեկ միջոցառմանը մասնակցող հանդիսատեսների միջին թիվը և փոփոխու-

թյան աստիճանը : Այդ նպատակով գրանցվել են պատահականորեն ընտրված 9 սպորտային միջոցառումների մասնակցող հանդիսատեսների թվերը` 8.8, 14.0, 21.3, 7.9, 12.5, 20.6, 16.3, 14.1, 13.0 (հազար մարդ): Ենթադրելով հանդիսատեսների թվինորմալ բաշխվածությունը ՝ գտնել հանդիսատեսների միջին թվի և ստանդարտ շեղման 99 % - անոց վստահության միջակայքերը:

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ 65

Երկու նմուշի դեպք

197. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߪ௑ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߪ௒ଶ ሻ հայտնի ցրվածքներով նորմալ

համախմբություններից երկու միմյանցից անկախ նմուշներ են: Գտնել ߬ ൌ ߠ௑ െߠ௒ պարամետրի ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի միակողմանի վստահության միջակայքերը: 198. ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߠ ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߠ ଶ ሻ անհայտ և հավասար ցրվածքներով նոր-

մալ բաշխումներից երկու միմյանցից անկախ նմուշներ են: Գտնել ߬ ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ պարամետրի ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի միակողմանի վստահության միջակայքերը: ଶ ሻ ଶ ሻ 199. ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௠ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ միմյանցից անկախ նմուշներ են: Գըտଶ Τ ଶ ߠଶ௒ պարամետրի միակողմանի վստահության միջակայքերը ሺߛ ൌ ͳ െ ߙሻ: նել ߬ ൌ ߠଶ௑

200. Դիցուք

ଶ ሻ ଶ ሻ ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௡ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ երկու միմյանցից անկախ

միևնույն ծավալի նմուշներ են: Գտնել ߬ ൌ ߠଵ௑ െ ߠଵ௒ պարամետրի ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի միակողմանի վստահության միջակայքերը: 201. ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߠ ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߠ ଶ ሻ երկու միմյանցից անկախ նմուշներ են, ௠ = 11.87, ‫ ݏ‬ଶ ൌ ͲǤͺͶ: Գտնել 0.95 մակարതതത௡ത = 12.57, ‫ݏ‬௫ଶ ൌ ͲǤͺͷǡ‫ݕ‬ തതതത ݊ ൌ ͳ͸ǡ݉ ൌ ͻǡ‫ݔ‬

դակի վստահության միջակայքը ߬ ൌ ߠ௑ െ ߠ௒  պարամետրի համար: 202. ݊ ൌ ʹͲև݉ ൌ ʹͷ ծավալներ ունեցող միմյանցից անկախ ܺ ௡ և ܻ ௠ նմուշതതത௡ത = 29.8 և തതതത ների համար ստացվել են ‫ݔ‬ ‫ ݕ‬௠ ൌ 34.7 արժեքները: Ենթադրելով, որ նըմուշները վերցված են ߪ௑ ൌ ͶǤͲ և ߪ௒ ൌ ͷǤͲ ստանդարտ շեղումներ ունեցող նոր-

մալ համախմբություններից , գտնել 0.99 մակարդակի վստահության միջակայքը ߤ௑ െ  ߤ௒  իրական միջինների տարբերության համար: ଶ ሻ ଶ ሻ 203. Տրված են ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௠ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ միմյանցից անկախ նմուշներ: Գտնել 0.9 մակարդակի վստահության միջակայքը ߠଶ௑ Τߠଶ௒ ստանդարտ շեଶ ଶ ղումների հարաբերության համար, եթե ‫ݏ‬଴௫ ൌ ͶǤͷǡ ‫ݏ‬଴௬ ൌ5.0 , ݊ ൌ ͳͲǡ ݉ ൌ ͳͷ:

204. Համարելով, որ խնդիր 201 - ի տվյալները համապատասխանում են միևնույն դասից վերցված ܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ նմուշներին,ܼ ௡ା௠ ൌ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ միավորված տվյալների օգնությամբ ստանալ միջինի և ցրվածքի անշեղ գնահատականները , ու կառուցել դրանց համար 0.95 մակարդակի վստահության միջակայքերը: ௡ା௠ ǣ ൌ തതതതതതത Ցուցում` ܼ

ଵ

௡ ൅ ܻ݉ ௠ ሻ, ܵ ଶ ‫׷‬ൌ തതതത തതതത ሺ݊ܺ ௓

ଵ ௡ା௠ିଶ

ሺ݊ܵ௑ଶ ൅ ݉ܵ௒ଶ ሻ:

§ 12. ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՇԽՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐԻ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐ

205 (կ). Գործարանն արտադրում է երկու տեսակի պլաստմասսա: Հայտնի է, որ այդ պլաստմասսաների ամրության աստիճանները բաշխված են նորմալ օրենքով ߪଵ ൌ ߪଶ ൌ 1 միավոր ստանդարտ շեղումներով : Պատահականորեն վերցված այդ երկու տիպի պլաստմասսաների ݊ଵ ൌ ʹͲ և ݊ଶ ൌ ʹͷ ծավալների նմուշների հետազոտությունը տվել է միջին ամրության աստիճանների համար հետևյալ արժեքները՝ തതതതത ‫ ݔ‬௡భ ൌ 157 և തതതതത ‫ ݔ‬௡మ ൌ 155: Գտնել այդ տեսակի պլաստմասսաների իրական ամրու-

թյան աստիճանների տարբերության (ߤଵ െ ߤଶ  միջինների տարբերության) 95 % - անոց վստահության միջակայքը: 206 (կ). Մետաղի ամրությունը ստուգում են երկու տարբեր ծայրակալներ ունեցող սարքով: Բարձր ճնշման տակ ծայրակալները ներմղում են մետաղի մեջ, այնուհետև չափում առաջացած անցքի խորությունը: Ծայրակալները համեմատելու նպատակով վերցվել են 8 տարբեր մետաղյա նմուշներ, որոնցից յուրաքանչյուրը դակվել է այդ ծայրակալներով: Արդյունքում անցքերի խորությունների համար ստացվել են հետևյալ արժեքները (պայմանական կոդավորված միավորներով )`

I ծայրակալ

II ծայրակալ

:

Ենթադրելով չափումների նորմալ բաշխվածությունը՝ գտնել այդ ծայրակալների միջոցով ստացված իրական անցքերի խորությունների տարբերության 0.95 մակարդակի վստահության միջակայքը ( միջինների տարբերության վստահության միջա-

կայքը ): 207 (կ). Դիզելային վառելիքի որոշակի նմուշի մեջ ծծումբի պարունակության աստիճանը ( % - ով ) որոշելու համար երկու լաբորատորիայում կատարվել են հետազոտություններ: Առաջինում կատարված 6 անկախ չափումների արդյունքում ստացվել են հետևյալ արժեքները` 0.869, 0.874, 0.867, 0.875, 0.870, 0.869 ( ‫ݏ‬௫ଶ ൌ ͺǤ͵ ή ͳͲିସ ):

Երկրորդում կատարված նմանատիպ 5 չափումների արդյունքում ստացվել են՝ 0.865, 0.870, 0.866, 0.871, 0.868 ( ‫ݏ‬௬ଶ ൌ ͷǤʹ ή ͳͲିସ ሻ: Ենթադրելով, որ չափումների սխալները բաշխված են նորմալ օրենքով, ստանալ այդ լաբորատորիաներում կատարված չափումների իրական (անհայտ) ցրվածքների հա-

րաբերության համար 0.9 մակարդակի վստահության միջակայքը :

§ 13. Վարկածների ստուգում: Սկզբնական գաղափարներ

Ցանկացած ենթադրություն փորձի ընթացքում դիտվող պատահական մեծության (մեծությունների) բաշխման տեսքի կամ բնութագրիչների վերաբերյալ կոչվում է վիճակագրական վարկած, որն անվանվում է նաև հիմնական կամ զրոյական վարկած և նշանակվում է ԯ଴ - ով: Հիմնական վարկածին հակադրվող վարկածը կոչվում է երկընտրանքային (ալտերնատիվ ) կամ մրցող վարկած և նշանակվում է ԯଵ - ով: Վարկածը կոչվում է պարզ, եթե այն միարժեք է որոշում պատահական մեծության (մեծությունների) Զ բաշխումը և բարդ` հակառակ դեպքում:

Բաշխման տեսքի վերաբերյալ ԯ଴ : Զ ‫࣪ א‬଴ ‫ ࣪ ؿ‬վարկածը կոչվում է պարամետրական, եթե բաշխումների ࣪ǣ ൌ ሼԶ஘ ǡ ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ դասը պարամետրական է : ࣪଴ և ࣪ଵ ൌ ࣪ ‫࣪ ך‬଴ դասերը կարելի է ներկայացնել ࣪଴ ‫׷‬ൌ ሼԶ஘ ǡ ߠ ‫ א‬ȣ଴ ሽ և ࣪ଵ ‫׷‬ൌ ሼԶ஘ ǡ ߠ ‫ א‬ȣଵ ሽ ሺȣ ൌ ȣ଴ ‫  ׫‬ȣଵ ǡȣ଴ ‫ ת‬ȣଵ ൌ ‫׎‬ሻ տեսքով, իսկ ԯ଴ և ԯଵ վարկածները կգրվեն հետևյալ կերպ՝ ԯ଴ : ߠ ‫ א‬ȣ଴ և ԯଵ : ߠ ‫ א‬ȣଵ : ା ԯ଴ : ߠ ് ߠ଴ վարկածը (ߠ଴ ‫ א‬Թ) կոչվում է երկկողմանի բարդ վարկած, իսկ ԯି ଴ : ߠ ൏ ߠ଴ և ԯ଴ :

ߠ ൐ ߠ଴ ՝ միակողմանի (համապատասխանաբար՝ ձախակողմյան և աջակողմյան) բարդ վարկածներ: Ստուգել ԯ଴ : Զ ‫࣪ א‬଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Զ ‫࣪ א‬ଵ երկընտրանքայինը նշանակում է  պատահական մեծությանը համապատասխանող ܺ ௡ նմուշի ընդունած ‫ ݔ‬௡ արժեքի հիման վրա կայացնել ݀଴ որոշում, որ այդ արժեքը համաձայնեցվում է ԯ଴ վարկածի հետ, կամ ընդունել ݀ଵ որոշում՝ հերքել այդ վարկածը, այսինքն՝ ընդունել ԯଵ վարկածը: Կամայական չափելի ߜ : ࣲ ௡  ՜ ሼ݀଴ ǡ ݀ଵ ሽ (ࣲ ൌ ܺሺȳሻ) արտապատկերում կոչվում է ԯ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ - ի ստուգման ոչ ռանդոմիզացված (ոչ պատահական) հայտանիշ: ߜ െ արտապատկերումն առաջացնում է ࣲ ௡ բազմության տրոհում՝ ࣲ ௡ ൌ ࣲ଴ ‫ࣲ ׫‬ଵ , ࣲ଴ ‫ࣲ ת‬ଵ ൌ ‫ ׎‬: ࣲଵ ǣ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ‫ߜ ׷‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ݀ଵ ሽ բազմությունը կոչվում է ոչ ռանդոմիզացված հայտանիշին համապատասխանող կրիտիկական տիրույթ, իսկࣲ଴ ‫׷‬ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ‫ߜ ׷‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ݀଴ ሽ բազմությունը` թույլատրելի տիրույթ: ɔሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ ૤ࣲభ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ֆունկցիան կոչվում է հայտանիշի կրիտիկական ֆունկցիա: Այսպիսով՝ եթե ‫ ݔ‬௡ ‫ࣲ א‬ଵ ሺɔሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ͳሻ, ապա ընդունվում է †ଵ որոշում՝ հերքել ԯ଴ վարկածը: Հակառակ դեպքում, երբ ‫ ݔ‬௡ ‫ࣲ א‬଴ կասենք, որ ‫ ݔ‬௡ արժեքը չի հակասում ԯ଴ վարկածը և ընդունվում է †଴ որոշումը: ԯ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ - ի ստուգման հայտանիշը կոչվում է ռանդոմիզացված (պատահական), եթե նմուշի ընդունած ‫ ݔ‬௡ արժեքի հիման վրա ԯ଴ վարկածը հերքելու ሺ݀ଵ ሻ կամ ընդունելու ሺ݀଴ ሻ որոշումների միջև ընտրությունը կատարվում է ‫ ܣ‬և ‫ܣ‬ҧ երկու ելքով լրացուցիչ փորձի (ռանդոմիզացիայի) հիման վրա, ընդ որում այդ ընտրության հավանականությունը կախված է ‫ ݔ‬௡ - ից՝ ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ Զሺߜሺܺ ௡ ሻ ൌ ݀ଵ ȁܺ ௡ ൌ ‫ ݔ‬௡ ሻǡ ͳ െ ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ Զሺߜሺܺ ௡ ሻ ൌ ݀଴ ȁܺ ௡ ൌ ‫ ݔ‬௡ ሻǣ Եթե փորձն ավարտվում է ‫ ܣ‬ելքով, ապա ընդունվում է ݀ଵ որոշումը, հակառակ դեպքում՝ ݀଴ որոշումը: ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ պայմանական հավանականությունը կոչվում է ռանդոմիզացված հայտանիշի կրիտիկական ֆունկցիա: Մասնավորապես ոչ ռանդոմիզացված դեպքում ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ֆունկցիան ընդունում է միայն 0 և 1 արժեքներ և ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ૤ࣲభ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ : ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ կրիտիկական ֆունկցիայով ռանդոմիզացված հայտանիշի հզորության ֆունկցիա կոչվում է ࣪ դասի վրա որոշված



ܹఝ ሺԶሻ ‫׷‬ൌ ॱԶ ߮ሺܺ ௡ ሻ ൌ න ߮ሺ‫ ݔ‬௡ ሻԶሺ݀‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ॱԶ ቀॱԶ ൫૤ሺఋሺ௑ ೙ ሻୀௗభሻ ȁܺ ௡ ൯ቁ ൌ Զሺߜሺܺ ௡ ሻ ൌ ݀ଵ ሻǡ ࣲ೙

ֆունկցիոնալը, որը ցույց է տալիս ԯ଴ վարկածը հերքելու հավանականությունը:

Զ ‫࣪ א‬

§ 13. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՍԿԶԲՆԱԿԱՆ ԳԱՂԱՓԱՐՆԵՐ

Ոչ ռանդոմիզացված դեպքում հզորության ֆունկցիան կլինի հավասար՝ ܹఝ ሺԶሻ ‫׷‬ൌ ॱԶ ߮ሺܺ ௡ ሻ ൌ Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵ ሻ ൌ Զሺߜሺܺ ௡ ሻ ൌ ݀ଵ ሻǣ Դիտարկված ࣪ଵ դասի վրա ஦ ሺԶሻ հզորության ֆունկցիան կոչվում է հայտանիշի հզորություն և ցույց է տալիս երկընտրանքային վարկածը հերքելու հավանականությունը: Դիցուք դիտարկվում է ԯ଴ : Զ ‫࣪ א‬଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Զ ‫࣪ א‬ଵ երկընտրանքայինը ստուգման հարցը: Այդ խնդիրը լուծելու ընթացքում հայտանիշի կիրառումը կարող է հանգեցնել երկու տեսակի սխալների. ԯ଴ վարկածը «հերքելու» որոշում ընդունելը, երբ այն իրականում ճիշտ է ( I սեռի սխալ ) և ԯ଴ վարկածն «ընդունելու» որոշում կայացնելը, երբ այն իրականում տեղի չունի ( II սեռի սխալ ): I և II սեռի սխալների հավանականությունները կոչվում են այդ սխալների չափեր և սահմանվում են հետևյալ ձևով I սեռի սխալի չափը՝ ߙఝ ሺԶሻǣ ൌ ܹఝ ሺԶሻ ൌ ॱԶ ߮ሺܺ ௡ ሻ ൌ Զሺߜሺܺ ௡ ሻ ൌ ݀ଵ ሻ, II սեռի սխալի չափը՝ ߚఝ ሺԶሻ ‫׷‬ൌ ͳ െ ܹఝ ሺԶሻ ൌ Զሺߜሺܺ ௡ ሻ ൌ ݀଴ ሻǡ

Զ ‫࣪ א‬଴ ,

Զ ‫࣪ א‬ଵ :

Ոչ ռանդոմիզացված դեպքում I և II սեռի սխալների չափերը՝ կլինեն. I սեռի սխալի չափը` ߙఝ ሺԶሻ ൌ Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵ ሻ,

ܺ ௡ ̱Զ ‫࣪ א‬଴ ,

II սեռի սխալի չափը՝ ߚఝ ሺԶሻ ൌ Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬଴ ሻ,

ܺ ௡ ̱Զ ‫࣪ א‬ଵ :

ߙ ‫׷‬ൌ •—’Զ‫࣪א‬బ ߙఝ ሺԶሻ մեծությունը կոչվում է հայտանիշի չափ: Դիտարկենք ॶఈ ൌ ൛ߜǣߙఝ ሺԶሻ ൑ ߙբոլորԶ ‫࣪ א‬଴ ൟ՝ ߙ չափի ռանդոմիզացված հայտանիշների դասը: ߮ሺ‫ݔ‬ሻ կրիտիկական ֆունկցիայով ॶ஑ դասից այն հայտանիշը, որը բոլոր երկընտրանքային բաշխումների համար հերքում է ԯ଴ վարկածը հայտանիշի Ƚ չափից ոչ պակաս հավանականությամբ, այսինքն՝ ቊ

ܹఝ ሺԶሻ ൑ ߙǡբոլորԶ ‫࣪ א‬଴ , ܹఝ ሺԶሻ ൒ ߙǡբոլորԶ ‫࣪ א‬ଵ

կոչվում է անշեղ հայտանիշ : Հայտանիշը կոչվում է ունակ, եթե Ž‹ ܹఝ ሺԶሻ ൌ ͳǡբոլորԶ ‫࣪ א‬ଵ ǣ ௡՜ஶ

Վարկածների ստուգման հայտանիշի ࣲଵ կրիտիկական տիրույթը տրվում է որոշակի ܶሺܺ ௡ ሻ վիճականու միջոցով և ունի հետևյալ տեսքերից մեկը՝ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿሽǡ ܶ௡ ‫׷‬ൌ ܶሺܺ

௡ሻ

ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿሽ կամ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ǣሺܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ ሻ ‫ ׫‬ሺܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଶ ሻǡ ܿଵ ൏ ܿଶ ሽ:

վիճականին կոչվում է հայտանիշի վիճականի, իսկ ܿ , ܿଵ և ܿଶ թվերը՝ կրիտիկական

կամ եզրային կետեր: Հայտանիշի ܶ௡ վիճականին կոչվում է ոչ պարամետրական կամ «բաշխումից ազատ» (ասիմպտոտիկ ոչ պարամետրական), եթե նրա ԯ բաշխումը (ասիմպտոտիկ բաշխումը) կախված չէ Զ ‫࣪ א‬ բաշխումներից, այսինքն, եթե ॳ் ሺ‫ܤ‬ሻ ‫׷‬ൌ Զሺܶሺܺ ௡ ሻ ‫ܤ א‬ሻ ‫׷‬ൌ ԯሺ‫ܤ‬ሻ, ‫ࣜ א ܤ‬ሺࣲ ௡ ሻ, ௗ

ቀܶ௡ ՜ ԯ ǡ݊ ՜ λቁ:

բոլոր Զ ‫ ࣪ א‬- ից

§ 13. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՍԿԶԲՆԱԿԱՆ ԳԱՂԱՓԱՐՆԵՐ

Վարկածների ստուգման խնդիրներում գտնվում են հայտանիշի ոչ պարամետրական կամ ասիմպտոտիկ ոչ պարամետրական վիճականիներ և տվյալ նշանակալիության ߙ (0൏ ߙ ൏1) մակարդակի համար այնպիսի ܿ ൌ ܿఈ կրիտիկական կամ ասիմպտոտիկ կրիտիկական կետեր, որ բոլոր Զ ‫࣪ א‬଴ բաշխումների համար բավարարվի Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵఈ ሻ ൑ ߙ պայմանը (ࣲଵ ‫׷‬ൌ ࣲଵఈ կրիտիկական տիրույթն այստեղ ունի վերը նշված տեսքերից մեկը): Այսպիսով՝ վարկածների ստուգումը կատարվում է հետևյալ կերպ՝ դիցուք ‫ ݔ‬௡ - ը ܺ ௡ նմուշի դիտված արժեքն է: Եթե այդ արժեքը պատկանում է Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵఈ ሻ ൑ ߙ պայմանը բավարարող կրիտիկական տիրույթին՝ ‫ ݔ‬௡ ‫ࣲ א‬ଵఈ , ապա ԯ଴ վարկածը նշանակալիության ߙ մա-

կարդակով հերքվում է (ߙ - ն՝ 0 - ին շատ մոտ թիվ է), ընդ որում, եթե վարկածը իրականում ճիշտ է ሺԶ ‫࣪ א‬଴ ሻ, ապա հերքումը հայտանիշը կատարում է ߙ - ի արժեքը չգերազանցող հավանականությամբ: Ընդհակառակը, եթե դիտված արժեքը պատկանում է թույլատրելի տիրույթին՝ ‫ ݔ‬௡ ‫ࣲ א‬଴ఈ , ապա համարվում է, որ ‫ ݔ‬௡ արժեքը ߙ նշանակալիության մակարդակով համաձայնեցվում է ԯ଴ վարկածի հետ: Վարկածների ստուգումը կարելի է կատարել նաև օգտագործելով Զ - արժեքի գաղափարը. Զ - արժեք ሺࡼǤ ࢂǤ ሻ կամ հասանելի նշանակալիության մակարդակ կոչվում է նշանակալիության մակարդակի այն փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում հայտանիշի ܶ௡ ‫׷‬ൌ ܶሺܺ ௡ ሻ վիճականին հերքում է ԯ଴ վարկածը: Այլ կերպ ասած Զ - արժեքը ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ሺԶ ‫࣪ א‬଴ ሻ սահմանվում է հետևյալ կերպ (պարամետրական վարկածների դեպքում)՝ աሻ աջակողմյան

ԯଵା: ߠ ൐ ߠ଴ (ձախակողմյան ԯଵି : ߠ ൏ ߠ଴ ) երկընտրանքային վարկածի դեպքում՝ ࡼǤ ࢂǤ ‫׷‬ൌ Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵ ሻ ൌ Զሺܶ଴ ൐ ‫ݐ‬଴ ሻ ൌ ԯ൫ሺ‫ݐ‬଴ ǡλሻ൯

ቀࡼǤ ࢂǤ ‫׷‬ൌ Զሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵ ሻ ൌ Զሺܶ଴ ൏ ‫ݐ‬଴ ሻ ൌ ԯ൫ሺെλǡ ‫ݐ‬଴ ሻ൯ቁǡ  բሻ երկկողմանի

ԯଵ ǣ ࣂ ് ࣂ૙ երկընտրանքային վարկածի դեպքում՝

ܲǤ ܸǤ ‫׷‬ൌ ʹ ‹ ሼԶሺܶ଴ ൏ ‫ݐ‬଴ ሻǡԶሺܶ଴ ൐ ‫ݐ‬଴ ሻሽ ൌ ʹ ‹ ൛ԯ൫ሺെλǡ ‫ݐ‬଴ ሻ൯ǡԯ൫ሺ‫ݐ‬଴ ǡ λሻ൯ൟ ൫ܲǤ ܸǤ ‫׷‬ൌ ʹԯ൫ሺ‫ݐ‬଴ ǡλሻ൯ǡեթեԯբաշխումըհամաչափէͲկետինկատմամբ൯ǡ որտեղ ܶ଴ ̱ԯ՝ ԯ բաշխում ունեցող պատահական մեծություն է, իսկ ‫ݐ‬଴ ൌ ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ - ը՝ ܶ௡ ‫׷‬ൌ ܶሺܺ ௡ ሻ վիճականու իրագործված արժեքն է, երբ ܺ ௡ ሺ߱ሻ ൌ ‫ ݔ‬௡ : Այսպիսով, եթե տվյալ ߙ (0൏ ߙ ൏1) նշանակալիության մակարդակի համար ࡼǤ ࢂǤ ൏ ࢻǡ ապա ԯ଴ վարկածը հերքվում է, հակառակ դեպքում՝ չի հերքվում:

208. Հետևյալ զույգերից որո՞նք հիմնական և երկընտրանքային վարկածների զույգեր չեն՝ ա)

ԯ଴ : ߤ ൌ ͳͲ ԯଵ : ߤ ൐ ͳͲ,

բ) ԯ଴ : ߤଵ െ ߤଶ ൌ ʹͷ ԯଵ : ߤଵ െ ߤଶ ൐ ͳͲͲǡ

գ) ԯ଴ : ߤ ൌ ͳʹͲ ԯଵ : ߤ ൌ ͳͷͲǡ

դ) ԯ଴ : ‫Ͳ ് ݌‬Ǥʹͷ ԯଵ : ‫ ݌‬ൌ ͲǤʹͷ :

209. Դիցուք ܺଵ ൌ ሺܺଵ ሻ̱ॼሺͲǡ ߠሻ՝ ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխված պատահական մեծության մեկ ծավալի դիտում է: Ստուգվում է ԯ଴ : ߠ ൌ ʹ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ʹ երկընտրանքայինը: Ենթադրենք ԯ଴ վարկածը հերքվում է, եթե ܺଵ ൑ ͲǤͳ կամ ܺଵ ൒ ͳǤͻ : Գտնել ա) I սեռի սխալի չափը, բ) II սեռի սխալի չափը, եթե ߠ ൌ ʹǤͷǡ գ) ܹఝ ሺߠሻ հզորության ֆունկցիան և կառուցել դրա գրաֆիկը:

§ 13. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՍԿԶԲՆԱԿԱՆ ԳԱՂԱՓԱՐՆԵՐ

210. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից և ստուգվում է ԯ଴ ǣ ߠ ൌ ߠ଴  վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ߠ଴ երկընտրանքայինը: Ենթադրենք ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣ݊ ή ത‫ݔ‬തത௡ത ൒ ܿሽ կրիտիկական տիրույթով ԯ଴ վարկածը հերքվում է: Կհերքվի՞, արդյոք այն ա) ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚ մակարդակով, բ) ࢻ૚ ൌ ൌ ૙Ǥ ૙૞ մակարդակով, եթե այն հերքվում է ࢻ૛ ൌ ૙Ǥ ૙૚ մակարդակով : 211. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॼሺͲǡ ߠሻ նմուշ է ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխումից : Ստուգվում է ԯ଴ ǣߠ ൌ ʹ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ʹ երկընտրանքայինը: Ենթադրենք ԯ଴ վարկածը հերքվում է, եթե ‫ݔ‬ሺ௡ሻ ൒ ܿ : Գտնել ܿ - ի այն արժեքը, որի դեպքում I սեռի սխալի չափը լինի հավասար ߙ - ի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ: Գտնել հզորության ֆունկցիան և ստուգել հայտանիշի անշեղությունը և ունակությունը: 212. Բետա բաշխում ունեցող ܺଵ ̱ ९etሺߠǡ ͳሻ մեկ ծավալի նմուշի միջոցով ստուգା վում է ԯି ଴ : ߠ ൑ ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ͳ երկընտրանքայինի: Գտնել հայտաȂ

նիշի չափը և հզորության ֆունկցիան, եթե ԯ଴ վարկածը հերքվում է ܺଵ ൒ ͳ െ ߝ ( 0൏ ൏ ߝ ൏ ͳ) դեպքում: Ստուգել հայտանիշի անշեղությունը:

ԯି ଴ :

213. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ, ݊ ൌ ͳͲ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից : Ստուգվում է ߠ ൑ ͳΤʹ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ͳΤʹ երկընտրանքայինը: Գտնել հայտանիշի

չափըևհզորությանֆունկցիանǡեթեկրիտիկականտիրույթնէ՝ࣲͳ

݊

ൌ ቐ‫ ݊ݔ‬ǣ ෍ ‫ ݅ݔ‬൒ ͸ቑ ǣ ݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս աղյուսակ 8 :

214. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ, ݊ ൌ ʹͲ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից : Ստուգվում է ԯ଴ ǣ ߠ ൌ ͳΤʹ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ͳΤʹ երկընտրանքայինը: Վերցնելով որպես ݊

հայտանիշիկրիտիկականտիրույթࣲͳ

ൌ  ቐ‫ ݊ݔ‬ǣ ෍ ‫ ݅ݔ‬൒ ܿቑ բազմությունըǡգտնել՝ ݅ൌͳ

ա) I սեռի սխալի չափը, երբ ܿ ൌ ͳʹ ሺܿ ൌ ͳ͵ሻ, բ) ࢉ կրիտիկական եզրը, եթե նշանա-

կալիության մակարդակը ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ : Ցուցում՝ տե՛ս աղյուսակ 8 :

215. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ, ݊ ൌ ʹͲ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից : Ստուգվում է ԯ଴ ǣ ߠ ൌ ͳΤʹ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߠ ൏ ͳΤʹ երկընտրանքայինը: ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանա-

կալիության մակարդակով գտնել II սեռի սխալի չափը երբ ߠ ൌ ͲǤ͵, եթե կրիտիկա݊

կանտիւույթըࣲͳߙ ൌ ቐ‫  ׷ ݊ݔ‬෍

݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս աղյուսակ 8 :

‫ ݅ݔ‬൑ ܿߙ ቑ բազմություննէǣԳտնելնաևࢉࢻ Ȃ նǣ

§ 13. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՍԿԶԲՆԱԿԱՆ ԳԱՂԱՓԱՐՆԵՐ

216. Դիցուք ‫ ݔ‬௡ ൌ ሺെͲǤʹǡ െͲǤͻǡ െͲǤ͸ǡ ͲǤͳሻ՝ Գሺߠǡ ͳሻ նորմալ բաշխված պատաି : հական մեծության նմուշ է: ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴

ߠ ൑ Ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ Ͳ երկընտրանքայինը, համարելով որպես հայտանիշիկրիտիկականտիրույթࣲͳߙ ൌ ቐ‫݊ݔ‬

ͳ ݊ ‫ ݊ ׷‬෍ ‫ ݅ݔ‬൐ ܿߙ ቑ բազմությունըǣԳտնելհայտանիǦ ݅ൌͳ

շի հզորության ֆունկցիան ու ստուգել նրա անշեղությունը և ունակությունը: ௡ െ ߠሻ ݊ ̱ԳሺͲǡ ͳሻ պայմանից, օգտագործել Զ - արժեքը: തതതത Ցուցում՝ օգտվել ܶሺܺ ௡ ሻ ൌ ሺܺ ξ

217. Ստուգել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚ մակարդակով 213 և 214 խնդիրներում բերված վարതതത௡ത = 0.6, և խնդիր 215 - ում բերված վարկածները, եթե ‫ݔ‬ തതത௡ത = 0.4: կածները, եթե ‫ݔ‬ ௡

Ցուցում՝ʹͳ͵խնդրիպայմաններումորպեսկրիտիկականտիրույթվերցնելࣲଵఈ ൌ ൝‫ ݊ݔ‬ǣ ෍ ‫ݔ‬௜  ൒ ܿఈ ൡ ǣ ௜ୀଵ

§ 14. Երկու պարզ վարկածի ստուգում: Նեյման – Պիրսոնի ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ Դիցուք ܺ ௡ ̱Զ ‫ ࣪ א‬նմուշը համապատասխանում է բաշխումների ࣪ դասից որոշակի Զ բաշխմանը և ࣪଴ ‫࣪ ؿ‬՝ ࣪ դասի որոշ ենթադաս է: Ստուգվում է ԯ଴ : Զ ‫࣪ א‬଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Զ ‫࣪ א‬ଵ երկընտրանքայինը, որտեղ ࣪ଵ ൌ ࣪ ‫࣪ ך‬଴ և ߙǦն (0 ൏ ߙ ൏ ͳ) որոշակի նշանակալիության մակարդակ է : Դիտարկենք ߙ չափի ռանդոմիզացված հայտանիշների դասը ॶఈ ‫׷‬ൌ ൛ߜǣߙఝ ሺԶሻ ൑ ߙբոլորԶ ‫࣪ א‬଴ ൟ ‫׷‬ ߮ ‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ կրիտիկական ֆունկցիայով ॶఈ դասից այն ߜ ‫ כ‬െ հայտանիշը, որի համար

ߚఝ ሺԶሻ ൌ ͳ െ ܹఝ ሺԶሻ

II սեռի սխալի չափը բոլոր Զ ‫࣪ א‬ଵ - ից բաշխումների համար փոքրագույնն է ( կամ ܹఝ ሺԶሻ հզորությունը՝ մեծագույնը) կոչվում է օպտիմալ կամ հավասարաչափ (ըստ բոլոր բաշխումների համար ࣪ଵ դասից) առավել հզոր (ՀԱՀ) հայտանիշ: Այսպիսով՝ ߮ ‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ կրիտիկական ֆունկցիայով օպտիմալ հայտանիշը բավարարում է հետևյալ պայմանները՝ ܹఝ‫ כ‬ሺԶሻ ‫׷‬ൌ ॱԶ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൑ ߙǡբոլորԶ ‫࣪ א‬଴ ൝ ܹ ‫ כ‬ሺԶሻ ‫׷‬ൌ •—’ ܹ ሺԶሻ ǡբոլորԶ ‫׷  ࣪ א‬ ఝ

ఋ‫ॶא‬ഀ

ఝ

ଵ

Այժմ ենթադրենք ܺ ௡ ̱Զ ‫ ࣪ א‬նմուշը համապատախանում է երկու բաշխումից բաղկացած ࣪ ൌ ൌ ሼԶ଴ ǡ Զଵ ሽ դասից որոշակի բաշխմանը: Դիցուք ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը ( ‫݌‬଴ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը ) և ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը ( ‫݌‬ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը )՝ Զ଴ և Զଵ բաշխումների խտություններն են, եթե ܺ - ը բացարձակ անընդհատ պատահական մեծություն է ( կամ ‫݌‬௜ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ Զ௜ ሺܺ ൌ ‫ݔ‬ሻ, ݅ ൌ ͳǡ ʹ հավանականությունները, եթե ܺ - ը՝ դիսկրետ պատահական մեծություն է): Պահանջվում է կատարել ընտրություն ԯ଴ :Զ ൌ Զ଴ և ԯଵ : Զ ൌ Զଵ երկու պարզ վարկածների միջև: Ճշմարտանմանության հարաբերության ֆունկցիա կոչվում է ߣ௡ ‫׷‬ൌ ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ

݂ଵ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫݌‬ଵ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ቆ ቇǡ ݂଴ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫݌‬଴ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ

௡

‫ ݔ‬௡ ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ ‫ ࣲ א‬௡ 

௡

ֆունկցիանǡ որտեղ݂௝ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ෑ ݂௝ ሺ‫ݔ‬௜ ሻ ൭‫݌‬௝ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ෑ ‫݌‬௝ ሺ‫ݔ‬௜ ሻ൱ ǡ݆ ൌ Ͳǡ ͳƮԶ௝ բաշխումներիճշմարտանմաǦ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

նության ֆունկցիաներն են (համարվում է, որ ݂଴ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൅ ݂ଵ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ Ͳ): Ճշմարտանմանության հարաբերության վիճականի կոչվում է Ȧ௡ ‫׷‬ൌ Ȧሺܺ ௡ ሻ ൌ պատահական մեծությունը:

݂ଵ ሺܺ ௡ ሻ ‫݌‬ଵ ሺܺ ௡ ሻ ቆ ቇ ݂଴ ሺܺ ௡ ሻ ‫݌‬଴ ሺܺ ௡ ሻ

§ 14. ԵՐԿՈՒ ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՆԵՅՄԱՆ Ȃ ՊԻՐՍՈՆԻ ՀԱՅՏԱՆԻՇ 73

Ճշմարտանմանության հարաբերության (ՃՀ) հայտանիշ կոչվում է ͳǡ եթեߣ௡ ൐ ܿ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ߝǡ ߮ ‫׷‬ൌ ቐ եթեߣ௡ ൌ ܿ ሺͲ ൏ ߝ ൏ ͳǡܿ ൐ Ͳሻ ‫׷‬ Ͳǡ եթեߣ௡ ൏ ܿ կրիտիկական ֆունկցիայով ռանդոմիզացված հայտանիշը (ߣ௡ ‫׷‬ൌ Ȧሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ): Թեորեմ 15.1 (Նեյման െ Է. Պիրսոնի ֆունդամենտալ լեմմա): Տրված ߙሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ նշանակալիության մակարդակի համար (Զ଴ ሺȦ௡ ൐ Ͳሻ ൒ ߙ պայմանի դեպքում ) գոյություն ունեն ܿఈ ൐ Ͳ և ߝఈ ሺͲ ൑ ൑ ߝఈ ൑ ͳሻ թվերն այնպիսին, որ ߮ ‫ כ‬կրիտիկական ֆունկցիայով ՃՀ հայտանիշը (որտեղ ܿǣ ൌ ܿఈ , ߝǣ ൌ ߝఈ ) ߙ չափ ունեցող հայտանիշների ॶ଴ఈ ‫׷‬ൌ ൛ߜǣܹఝ ሺԶ଴ ሻ ൌ ߙൟ դասում օպտիմալ է (առավել հզոր), այսինքն՝ ܹఝ‫ כ‬ሺԶ଴ ሻ ‫׷‬ൌ ॱ଴ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൌ ߙǡ ൝ ܹఝ‫ כ‬ሺԶଵ ሻ ൌ •—’ ܹఝ ሺԶଵ ሻǡ ఋ‫ॶא‬బ ഀ

‫כ‬

որտեղ նշանակված է՝ ॱ଴ ‫׷‬ൌ ॱԶబ ǣ Բացի այդ ߮ - հայտանիշն անշեղ է՝ ܹఝ‫ כ‬ሺԶଵ ሻ ൐ ߙ :

218. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ: Կառուցել ߙ չափի Նեյման – Պիրսոնի հայտանիշը, որը ստուգի ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը (ߠଵ ൏ ߠ଴ ): Գտնել II սեռի սխալի չափը, հայտանիշի հզորությունը ու ստուգել նրա անշեղությունը և ունակությունը: Ցուցում՝ (ոչ ռանդոմիզացված) հայտանիշի կրիտիկական տիրույթն է՝ ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣߣ௡ ൒ ܿሽ ൌ ଵ

ఙ మ ୪୬ ௖

ଶ

௡ሺఏభ ିఏబ ሻ

௡ ൑ ܿ ሽ, որտեղ ܿ ‫׷‬ൌ  ሺߠ ൅ ߠ ሻ  ൅  തതത ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣ‫ݔ‬ ଵ ଵ ଴ ଵ

219. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: Ստուգվում է ԯ଴ : ߠ ଶ ൌ ߠ଴ଶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ଶ ൌ ߠଵଶ երկընտրանքայինը, եթե ߠଵଶ ൐ ߠ଴ଶ ሺߠଵଶ ൏ ߠ଴ଶ ሻ: ա) Կառուցել այդ վարկածները ստուգող ߙ չափի առավել հզոր Նեյման െՊիրսոնի հայտանիշը, բ ) գտնել I և II սեռի սխալների չափը, գ ) ստուգել հայտանիշի անշեղությունը: ૛૛૙‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ ሺͲ ൏ ߠ ൏ ͳሻ: Դիտարկվում է ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքային վարկածը ստուգման խնդիրը (ߠଵ ൏ ߠ଴ ): ա) Կառուցել այդ վարկածները ստուգող ߙ չափի Նեյման - Պիրսոնի հայտանիշը, բ) գտնել այդ հայտանիշի հզորությունը: Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

221. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ ሺͲ ൏ ߠ ൏ ͳሻ: Ստուգվում է ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը, երբ ߠଵ ൏ ߠ଴ : Կառուցել այդ վարկածները ստուգող ասիմպտոտիկ ߙ չափի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ հայտանիշը և գտնել դրա հզորությունը: Ցուցում՝ օգտվել Մուավր – Լապլասի ինտեգրալային սահմանային թեորեմից:

74 § 14. ԵՐԿՈՒ ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՆԵՅՄԱՆ Ȃ ՊԻՐՍՈՆԻ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

૛૛૛‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ - ը նմուշ է Սሺߠሻ Պուասոնի բաշխումից : Կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ չափի Նեյման - Պիրսոնի հայտանիշը (ߠଵ ൐ ߠ଴ ): Գտնել հայտանիշի հզորությունը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫ כ‬:

223. Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߠሻ : Կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը ստուգող ասիմպտոտիկ Ƚ չափի հայտանիշը և գտնել դրա հզորությունը, երբ ߠଵ ൐ ߠ଴ : Ի՞նչ տեղի կունենա ߠଵ ൏ ߠ଴ դեպքում: ૛૛૝‫( כ‬մ). Տրված է ܺ ௡ ̱९‹ሺߠǡ ݇ሻ, Ͳ ൏ ߠ ൏ ͳ նմուշ բինոմական բաշխումից : Կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ

չափի Նեյման – Պիրսոնի հայտանիշը և գտնել դրա հզորությունը (ߠଵ ൐ ߠ଴ ): Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫ כ‬:

225 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ նմուշ է ցուցչային բաշխումից : Կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ չափի Նեյման – െ Պիրսոնի հայտանիշը (ߠଵ ൐ ߠ଴ ) և գտնել դրա հզորությունը: ௡

Ցուցում՝օգտվելʹߠ ෍ ܺ௜ ̱ԯଶ ሺʹ݊ሻհատկությունիցǣ ௜ୀଵ

226 (մ). Կոշու բաշխումից ሺܺଵ ሻ̱ԧሺߠǡ ͳሻ մեկ դիտումի միջոցով կառուցել ࣲଵ ൌ ൌ ሼ‫ א ݔ‬Թ ‫ߣ ׷‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൒ ܿሽ կրիտիկական տիրույթով ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ չափի ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշը: Գտնել ࣲଵ - ի տեսքը և I ու II սեռի սխալների չափը, երբ ܿ ൌ ͳ և ܿ ൌ ʹ: 227 (մ). ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߪଵଶ ሻ և ܻ ௠ ̱ Գሺߠଶ ǡ ߪଶଶ ሻ նորմալ բաշխումների դասերից նմուշͳ തതതത ௠ ሻ վիճականու օգնությամբ (ߪ ଶ ‫׷‬ൌ ͳ ߪ ଶ  ൅  ͳ ߪ ଶ ) ` തതതത ներ են: ܶ௡ǡ௠ ‫׷‬ൌ ሺܺ ߪ ݊ ଵ ݉ ଶ ա) կառուցել ԯ଴ ǣ οൌ  ߠଵ െ ߠଶ ൌ Ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ο൐ Ͳ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ չափի հայտանիշը, բ) ܺ ௡ նմուշի հաստատուն ݊ ծավալի դեպքում և տվյալ ߙ և ߚ թվերի համար ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳǡ Ͳ ൏ ߚ ൏ ͳሻ գտնել ܻ ௠ նմուշի այն նվազագույն ࢓૙ ծավալը, որի դեպքում I և II սեռի սխալների չափը չի գերազանցի, համապատասխանաբար, ߙ և ߚ թվերը: Ցուցում՝ նկատել, որ ԯ଴ վարկածի դեպքում ܶ௡ǡ௠ ̱ ԳሺͲǡ ͳሻ, իսկ ԯଵ վարկածի դեպքում՝ ܶ௡ǡ௠ ̱ ԳሺοΤߪ ǡ ͳሻǡ և, օգտվել խնդիր 218 - ից, համարելով ܶ ‫׷‬ൌ ܶ௡ǡ௠ վիճականին որպես ܶ պատահական մեծության նորմալ բաշխումների դասից ܶ ଵ ‫׷‬ൌ ܶ ̱Գሺߠǡ ͳሻ մեկ ծավալի նմուշ:

§ 14. ԵՐԿՈՒ ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՆԵՅՄԱՆ Ȃ ՊԻՐՍՈՆԻ ՀԱՅՏԱՆԻՇ 75

228. Զ բաշխում ունեցող պատահական մեծության ݊ ൌ ͳ ծավալի ሺܺଵ ሻ նմուշի միջոցով ստուգվում է այդ բաշխման ݂ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիայի վերաբերյալ ԯ଴ : ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ երկընտրանքայինը: Կառուցել այդ վարկածները ստուգող ߙ չափի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ առավել հզոր հայտանիշը և գտնել դրա հզորությունը, եթե ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ‫ݔ‬૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻǡ ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ ૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻ : 229. Դիցուք ሺܺଵ ሻ- ը ݂ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիայով Զ բաշխումից միավոր ծավալի նմուշ է: Ստուգվում է ԯ଴ : ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ երկընտրանքայինը, որտեղ ݂଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻ, ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ‫ݔ‬૤ሾ଴ǡଵሿ ሺ‫ݔ‬ሻ: Կառուցել այդ վարկածները ստուգող ߙ չափի առավել հզոր հայտանիշը և գտնել II սեռի սխալի չափը: 230. Դիցուք ሺܺଵ ሻ - ը միավոր ծավալի նմուշ է Զ բաշխումից: Ստուգվում է ԯ଴ : ܺଵ ̱ ॼሺͲǡͳሻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ܺଵ ̱ ॱሺͳሻ երկընտրանքայինը: Կառուցել այդ վարկածները ստուգող ߙ չափի առավել հզոր հայտանիշը և գտնել դրա հզորությունը: 231. ߠ պարամետրով ցուցչային բաշխումից ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ նմուշի միջոցով կառուցել առավել հզոր ասիմպտոտիկ ߙ չափի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ հայտանիշը, որը տարբերի ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածը ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ  երկընտրանքայինից, որտեղ ߠଵ ൐ ߠ଴ : Գտնել կառուցված հայտանիշի հզորության սահմանը, երբ ݊ ՜ λ : 232. ߠ ሺͲ ൏ ߠ ൏ ͳሻ պարամետրով երկրաչափական բաշխումից ܺ ௡ ̱ॳሺߠሻ նմուշի միջոցով կառուցել առավել հզոր ասիմպտոտիկ ߙ չափի հայտանիշ, որը տարբերի ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածը ԯଵ : ߠ ൌ ߠଵ  երկընտրանքայինից, որտեղ ߠଵ ൐ ߠ଴ : Գտնել կառուցված հայտանիշի հզորության սահմանը, երբ ݊ ՜ λ: 233. Դիցուք ሺܺଵ ሻ- ը ९etሺߠǡ ͳሻ բետա բաշխումից միավոր ծավալի նմուշ է: Կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ2 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ 1 երկընտրանքայինը ստուգող Նեյման Ȃ Պիրսոնի ߙ չափի առավել հզոր հայտանիշը և գտնել դրա հզորության ֆունկցիան: 234. Դիցուք ሺܺଵ ሻ- ը

݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺͳ ൅ ߠሻ‫ ݔ‬ఏ ૤ሺ଴ǡଵሻ ሺ‫ݔ‬ሻ ሺߠ ൐ െͳሻ

խտության ֆունկցիայով ९etሺߠ ൅ ͳǡ ͳሻ բետա բաշխումից միավոր ծավալի դիտում է: Գտնել ߙ չափի առավել հզոր հայտանիշը, որը տարբերի ԯ଴ : ߠ ൌ 0 վարկածը ԯଵ : ߠ ൌ 1 մրցող վարկածից և գտնել դրա հզորության ֆունկցիան:

76 § 14. ԵՐԿՈՒ ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՆԵՅՄԱՆ Ȃ ՊԻՐՍՈՆԻ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

235. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ, ݊ ൌ ͳͲ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից : Գտնել હ ൌ ൌ ૙Ǥ ૙૞૞ չափի առավել հզոր հայտանիշը, որը տարբերի ԯ଴ : ߠ ൌ ͳΤʹ վարկածը ԯଵ : ߠ ൌ ͳΤͶ երկընտրանքայինից: Հաշվել հայտանիշի հզորությունը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫ כ‬:

236. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից : Ստուգել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞

նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : ߠ ൌ 0.5 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ͲǤ͹ երկʹͲ

ընտրանքայինըǡեթե݊ ൌ ʹͲǡ ෍

‫ ݅ݔ‬ൌ ͳʹ ‫ ׷‬Գտնել۷۷սեռիսխալիչափըǣ

݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫ כ‬:

237. ݊ ൌ ͳͲͲ ծավալ ունեցող ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ նմուշի միջոցով ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚ և ࢻ ൌ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակներով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ͳΤʹ վարկածն ընդդեմԯͳ

ʹͲ

‫ ߠ ׷‬ൌ ͵ΤͶ մրցողվարկածըǡեթե ෍ ‫ ݅ݔ‬ൌ ͸Ͳևհաշվել۷۷սեռիսխալիչափը ‫׷‬ ݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 221 :

238. Կատարվում են անկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում դրական ելքի հավանականությունը հավասար է ‫݌‬- ի: Կառուցել 0.05 նշանակալիության մակար-

դակով ԯ଴ : ‫ ݌‬ൌ 0 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ͲǤͲͳ երկընտրանքայինը ստուգող հայտանիշը, գտնել I և II սեռի սխալների չափը, և, նմուշի այն նվազագույն ծավալը, որի դեպքում I և II սեռի սխալների չափը չգերազանցի 0.01 թիվը: 239 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߠሻ նմուշ է Պուասոնի բաշխումից : Ստուգել હ ൌ ૙Ǥ ૙૞

նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : ߠ ൌ 1 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ʹ երկ݊

ընտրանքայինըǡեթե݊ ൌ ͳͲǡ ෍

‫ ݅ݔ‬ൌ ͳ͸ ‫ ׷‬Գտնելհայտանիշիհզորությունըǣ

݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹʹ‫ כ‬:

240. Տրված է ܺ ௡ ̱Սሺߠሻ նմուշը Պուասոնի բաշխումից, որտեղ ݊ ൌ ͳͲͲǣ ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚

նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ ǣߠ ൌ ͻվարկածնընդդեմԯଵ ǣߠ ൌ ͳ͸ ݊

երկընտրանքայինըǡեթե ෍

‫  ݅ݔ‬ൌ ͳͲͲͲǣ

݅ൌͳ

241 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߠሻ՝ նմուշ է Պուասոնի բաշխումից , որտեղ ݊ ൌ ͳͲǣ Գըտնել ԯ଴ : ߠ ൌ 1 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ʹ երկընտրանքայինը ստուգող ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚

չափի Նեյման - Պիրսոնի (ռանդոմիզացված) հայտանիշը և դրա հզորությունը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹʹ‫ כ‬:

§ 14. ԵՐԿՈՒ ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ: ՆԵՅՄԱՆ Ȃ ՊԻՐՍՈՆԻ ՀԱՅՏԱՆԻՇ 77

തതത௡ത ൌ ͳ͹Ǥͷ : Դիտարկվում է ԯ଴ : ߠ ൌ 15 վար242. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ͻሻ, ݊ ൌ ʹͷǡ ‫ݔ‬ կածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ 20 երկընտրանքայինը ստուգման խնդիրը: Պահանջվում է՝ ա) կառուցել այդ վարկածները ստուգող ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ չափի առավել հզոր հայտանիշը և գտնել I և II սեռի սխալների չափը, բ) գտնել նմուշի այն նվազագույն ծավալը, որի դեպքում I սեռի սխալի չափը լինի հավասար 0.01 - ի, իսկ II սեռի սխալի չափը՝ 0.05 - ի: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 218 : ૛૝૜ǤԴիցուքܺ

݊

ʹ

݊

ʹ

തതതതത തതതതത ݊ ൌ ʹǤ͹ǡ ෍ ቀ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ ݊ ቁ ൌ ʹͷͲ ‫ ׷‬Ստուգելࢻ ൌ ̱Գ ቆ͵ǡ ߠ ቇ ǡ݊ ൌ ͶͲǡ‫ݔ‬ ݅

݅ൌͳ

ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : ߠ ଶ ൌ 9 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ଶ ൌ Ͷ երկընտրանքայինը և հաշվել հայտանիշի հզորությունը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 219 :

244. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠሻ: Ստուգել ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : തതത௡ത ൌ 15: ߠ ൌ 1 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ ͳΤʹ երկընտրանքայինը, եթե ݊ ൌ ͳͲ, ݊‫ݔ‬ Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 225 :

245. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ նմուշ է ցուցչային բաշխումից , ݊ ൌ ͳͲͲ: Ստուգել ࢻ ൌ ൌ ૙Ǥ ૙૚ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ :ߠ ൌ 1 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൌ 2 երկընտրանքայինը, եթե ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͲǤ͹ : Գտնել հայտանիշի հզորությունը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 231 :

§ 15. Միակողմանի բարդ վարկածների ստուգում Դիտարկենք վարկածների ստուգման խնդիրը, երբ ԯ଴ և ԯଵ վարկածները միակողմանի բարդ վար-

կածներ են՝ ା ԯି ଴ : ߠ ൑ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ߠ଴

կամ

ି ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ :

Բաշխումների ࣪ դասն ունի մոնոտոն ճշմարտանմանության հարաբերություն, եթե գոյություն ունի այնպիսի ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ֆունկցիա, որ ߠ ൐ ߠ ᇱ պայմանը բավարարվելու դեպքում ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ

݂ߠ ሺ‫݊ݔ‬ሻ ‫ ݌‬ሺ‫ ݊ݔ‬ሻ  ቆ ߠ ቇ ݂ Ԣ ሺ‫ ݊ݔ‬ሻ ‫ ݌‬Ԣ ሺ‫݊ݔ‬ሻ ߠ

ߠ

ճշմարտանմանության հարաբերությունը մոնոտոն ֆունկցիա է ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ - ից (որոշակիության համար կհամարենք, որ ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻǦը՝մոնոտոնաճողֆունկցիաէܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻǦից): Սահմանումից հետևում է, որ կամայական ܿ ൐ Ͳ - ի և ߠ ൐ ߠ ᇱ - ի համար ճիշտ է համարժեքությունը՝ ሺ‫ ݔ‬௡ ǣߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൒ ܿሻ  ֞  ሺ‫ ݔ‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൒ ܿଵ ሻǡ ᇱ որտեղ ܿଵ ‫׷‬ൌ ܿଵ ሺ݊ǡ ܿǡ ߠǡ ߠ ሻ: Թեորեմ 15.1: Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ‫ ࣪ א‬և ࣪ դասն ունի մոնոտոն ճշմարտանմանության հարաբերություն ըստ ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ֆունկցիայի: Այդ դեպքում ॶఈ ‫׷‬ൌ ൛ߜǣߙఝ ሺߠሻ ൑ ߙǡߠ ൑ ߠ଴ ൟ դասում գոյություն ունի ା ԯି ଴ : ߠ ൑ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգող ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଵ  ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ ቐ ߝǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ܿଵ  , ሺͳͷǤͳሻ Ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ  կրիտիկական ֆունկցիայով օպտիմալ ( հավասարաչափ առավել հզոր) ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ (ՃՀՀ), որտեղ ܿଵ ‫׷‬ൌ ܿଵ ሺߙሻ ‫ א‬Թ և ߝ ‫׷‬ൌ ߝሺߙሻ թվերը ሺͲ ൏ ߝ ൏ ͳሻ որոշվում են

ॱ଴ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൌ Զ଴ ሺܶሺܺ ௡ ሻ ൐ ܿଵ ሻ  ൅ ߝԶ଴ ሺܶሺܺ ௡ ሻ ൌ ܿଵ ሻ ൌ ߙ

պայմանից : ି ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգող հավասարաչափ առավել

հզոր հայտանիշն ունի ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ  ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ ቐ ߝǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ܿଵ  Ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଵ 

ሺͳͷǤʹሻ

տեսքը, որտեղ ॱ଴ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൌ Զ଴ ሺܶሺܺ ௡ ሻ ൏ ܿଵ ሻ  ൅ ߝԶ଴ ሺܶሺܺ ௡ ሻ ൌ ܿଵ ሻ ൌ ߙ :

Մոնոտոն ճշմարտանմանության հարաբերություն ունեցող բաշխումների դասի կարևոր մասնավոր դեպքն է ցուցչային ࣟ ൌ ሼԶఏ ǡ ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ դասը, որի ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ խտության ֆունկցիան (‫݌‬ఏ ሺ‫ݔ‬ሻհավանաǦ կանությունը) ունի հետևյալ ներկայացում՝ ݂ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ൫‫݌‬ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݄ሺ‫ݔ‬ሻ‡š’ሼ‫ܣ‬ሺߠሻܵሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ܤ‬ሺߠሻሽ, ‫ ࣲ א ݔ‬:

ሺͳͷǤ͵ሻ

Եթե ܺ ௡ ̱Զఏ ‫ࣟ א‬, ապա ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ճշմարտանմանության հարաբերությունը բոլոր ߠ ൐ ߠ ᇱ - ների համար կներկայացվի ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ

݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫݌‬ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ቆ ቇ ൌ ‡š’൛൫‫ܣ‬ሺߠሻ െ ‫ܣ‬ሺߠ ᇱ ሻ൯ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൅ ݊൫‫ܤ‬ሺߠሻ െ ‫ܤ‬ሺߠ ᇱ ሻ൯ൟ ݂ఏᇲ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫݌‬ఏᇲ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ௡

տեսքովևայնկլինիմոնոտոնկախվածܶሺ‫ݔ‬

௡ሻ

 ‫׷‬ൌ ෍ ܵሺ‫ݔ‬௜ ሻ Ǧիցǡ եթե‫ܣ‬ሺߠሻǦնմոնոտոնֆունկցիաէ ‫׷‬ ௜ୀଵ

§ 15. ՄԻԱԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

Հետևանք 15.2: Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ  ‫ ࣟ א‬, որտեղ ‫ܣ‬ሺߠሻ - ն մոնոտոն ֆունկցիա է : Այդ դեպքում՝ ԯି ଴ :ߠ ൑ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ

ԯଵା : ߠ ൐ ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգող հավասարաչափ առավել հզոր ( օպտիմալ ) ՃՀՀ - ը մոնոտոն աճող ‫ܣ‬ሺߠሻ ֆունկցիայի դեպքում ունի ሺͳͷǤͳሻ տեսքը, իսկ եթե այն մոնոտոն նվազող է՝ ապա ሺͳͷǤʹሻ տեսքը : ି ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգման դեպքում հավասարաչափ առավել հզոր ՃՀՀ - ն ունի ሺͳͷǤʹሻ տեսքը, եթե ‫ܣ‬ሺߠሻ- ն մոնոտոն աճող է և ሺͳͷǤͳሻ տեսքը, եթե այն

մոնոտոն նվազող է : ା 246. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ: Կառուցել ա) ԯି ଴ : ߠ ൑ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ି ൐ ߠ଴ - ի և բ) ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ երկընտրանքայինը ստու-

գող ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշներ: Գտնել այդ հայտանիշների հզորության ֆունկցիաները և ստուգել դրանց ունակությունը և անշեղությունը: Ցուցում՝ բերել դասը ցուցչային տեսքի և օգտվել հետևանք 15.2 - ից:

247. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: Կառուցել ԯ଴ା : ߠ ଶ ൒ ߠ଴ଶ վարկածն ընդդեմ ԯଵି :ߠ ଶ ൏ ൏ ߠ଴ଶ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշը: Գտնել այդ հայտանիշի հզորության ֆունկցիան և ստուգել անշեղությունը: Ցուցում՝ բերել դասը ցուցչային տեսքի և օգտվել հետևանք 15.2 - ից և խնդիր 219 - ից:

૛૝ૡ‫( כ‬մ). Բինոմական բաշխումների դասից ܺ ௡ ̱९‹ሺߠǡ ݇ሻ նմուշի միջոցով կառուցել ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշներ հետևյալ վարկածները ି ստուգելու համար՝ ա) ԯ଴ି : ߠ ൑ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ߠ଴ , բ) ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ :

ߠ ൏ ߠ଴ : Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

249. ʹͶͺ‫ כ‬խնդրի պայմաններում գտնել ասիմպտոտիկ ՀԱՀ հայտանիշները: Ցուցում՝ օգտվել կենտրոնական սահմանային թեորեմից :

૛૞૙‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߠሻ: Կառուցել ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր ା հայտանիշներ հետևյալ վարկածները ստուգելու համար՝ ա) ԯି ଴ : ߠ ൑ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ି ߠ ൐ ߠ଴ և բ) ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ :

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹʹʹ‫ כ‬:

251. Նախորդ խնդրի պայմաններում ܺ ௡ ̱Սሺߠሻ նմուշի օգնությամբ կառուցել ասիմպտոտիկ ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշները: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 223 :

§ 15. ՄԻԱԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

252 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ: Կառուցել ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշներ հետևյալ վարկածները ստուգելու համար՝ ա) ԯ଴ି : ߠ ൑ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ି ൐ ߠ଴ և բ) ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ և գտնել դրանց հզորության ֆունկցիաները:

Ցուցում՝ բերել դասը ցուցչային տեսքի և օգտվել հետևանք 15.2 - ից: Տե՛ս նաև խնդիր 225 :

253. ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ նմուշի միջոցով կառուցել ասիմպտոտիկ ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշներ հետևյալ վարկածները ստուգելու համար՝ ա) ԯ଴ି : ି ߠ ൑ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ߠ଴ և բ) ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ :

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 231:

254 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ॼሺͲǡ ߠሻ: Կառուցել ߙ չափի հավասարաչափ առավել հզոր ା հայտանիշներ հետևյալ վարկածները ստուգելու համար՝ ա) ԯି ଴ : ߠ ൑ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ି ߠ ൐ ߠ଴ և բ) ԯା ଴ : ߠ ൒ ߠ଴ ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൏ ߠ଴ :

Ցուցում՝ նկատել, որ ॼሺͲǡ ߠሻ դասն ունի մոնոտոն ճշմարտանմանության հարաբերություն ըստ ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ‫ݔ‬ሺ௡ሻ ֆունկցիայի և կիրառել թեորեմ 15.1 :

255. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ : Ստուգել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդա-

կով ԯ଴ : ߠ ൌ ͳͲͲ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ͳͲͲ երկընտրանքայինը, եթե ߪ ଶ ൌ ൌ 100, ݊ ൌ ʹͷ, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͳͲ͵: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 246 :

256. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: Ստուգել હ ൌ ૙Ǥ ૙૚ նշանակալիության մակարդաതതത௡ത ൌ ͳͳǤͳǡ կով ԯ଴ : ߠ ଶ ൌ ͳͲ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ଶ ൐ ͳͲ երկընտրանքայինը, եթե ‫ݔ‬ ݉ ൌ ͳͳǡ ‫ ݏ‬ൌ ͵Ǥ͵ , ݊ ൌ ʹͷ :

 ௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ௡ ሻଶ ൅  ሺ‫ݔ‬ ௡ െ ݉ሻଶ ներկայացումիցǣ തതത തതത Ցուցում՝օգտվել‫ݏ‬ଵଶ ൌ  ෍ሺ‫ݔ‬௜ െ ݉ሻଶ ൌ ෍ሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ ݊ ݊

257. Տրված է ݉ ൌ ͳͲ միջինով նորմալ բաշխված պատահական մեծության 9.0,

10.2,

9.5,

11.2,

10.7,

12.4

նմուշը: Ստուգել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૚ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : ߪ ଶ ൌ 36 վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߪ ଶ ൏ 36 երկընտրանքայինը: 258 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺ‫݌‬ሻ - ը նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից , որտեղ ݊ ൌ ͳͲǡ ା ݊ ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͷ: Ստուգել 0.05 մակարդակով ԯି ଴ ‫ ݌ ׷‬൑ ͲǤͶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ‫ ݌‬൐ ͲǤͶ: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹͶͺ‫ כ‬:

§ 15. ՄԻԱԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

തതത௡ത ൌ 259 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߣሻ նմուշ է Պուասոնի բաշխումից , որտեղ ݊ ൌ ʹͲ, ‫ݔ‬ ൌ ͳǤʹ : Ստուգել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : ߣ ൌ ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߣ ൐ ͳ երկընտրանքայինը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ʹͷͲ‫ כ‬:

260. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‹ሺ‫݌‬ǡ ͳͲሻ նմուշ է բինոմական բաշխումից , որտեղ ݊ ൌ ͳͲͲǡ ݊  ෍

൅

‫  ݅ݔ‬ൌ ʹͷͲǣՍտուգել૙Ǥ ૙૚մակարդակովԯͲ ‫ ݌ ׷‬ൌ ͲǤʹվարկածնընդդեմԯͳ ǣ‫ ݌‬൐ ͲǤʹǣ

݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 249 :

261. Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߣሻ նմուշ է Պուասոնի բաշխումից : Ստուգել 0.05 նշանա-

կալիության մակարդակով ԯ଴ : ߣ ൌ ͲǤͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߣ ൏ ͲǤͷ երկընտրանതതത௡ത ൌ ͲǤͶ : քայինը, եթե ݊ ൌ ͸Ͷ, ‫ݔ‬ Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 251 :

262. Տրված է նմուշ ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ ցուցչային բաշխումից : Ստուգել 0.01 մակարդակով ା തതത௡ത ԯି ଴ : ߠ ൑ ͲǤͶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ͲǤͶ մրցող վարկածը, եթե ݊ ൌ ͳͶͶ, ‫ ݔ‬ൌ ͵ : Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 253 :

263 (կ). Ավտոդողեր արտադրող ընկերության հետազոտությունները ցույց են տվել, որ տվյալ տեսակի ավտոդողերը պետք է լինեն այնպիսին, որ այդ տիպի դողեր ունեցող ավտոմեքենաների միջին անցած ճանապարհը լինի 37 000 կմ- ից ոչ պակաս: Ստուգվել են այդ տեսակի դողերով 16 ավտոմեքենա: Պարզվել է, որ դրանց միջին անցած ճանապարհը կազմել է ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 38 445 կմ: Ենթադրելով, որ այդ տիպի ավտոդողերով մեքենաների միջին անցած ճանապարհը բավարարում է ߪ ൌ 2780 կմ ստան-

դարտ շեղումով նորմալ օրենքին , կազմել համապատասխան վարկածների ստուգման խնդիրը և հիմնվելով այդ տվյալների վրա՝ ստուգել այն 0.01 մակարդակով : ା Ցուցում՝ ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻǡ ստուգել ԯି ଴ : ߠ ൑ ͵͹ͲͲͲ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ͵͹ͲͲͲ երկընտրան-

քայինը:

264 (կ). Ինչպե՞ս կփոխվի խնդիր 263 - ում բերված ընկերության որոշումը, եթե ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 38 820 կմ: Գտնել ߚఝ ሺ͵ͺͲͲͲሻǣ Որքա՞ն պետք է լինի՝ ա) նմուշի ࢔૙ նվազագույն ծավալը, որպեսզի ૙Ǥ ૙૚ նշանակալիության մակարդակով II սեռի սխալի չափը լինի ߚఝ ሺ͵ͺͲͲͲሻ ൌ ͲǤͲͷ, բ) նշանակալիության մակարդակի նվազագույն արժեքը ( Զ- ար-

ժեքը ), որի դեպքում ԯି଴ վարկածը հերքվի:

§ 15. ՄԻԱԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

265 (կ). Որոշ տեսակի յուղաներկի չորանալու ժամանակն ունի 75 րոպե միջինով և 9 րոպե ստանդարտ շեղումով նորմալ բաշխում : Քիմիկոսներն առաջարկել են ավելացնել որոշ նյութեր, որը կփոքրացնի ներկի չորանալու ժամանակը: Նյութերը ավելացնելուց հետո ներկի չորանալու ժամանակը կրկին մնացել է որոշակի ߤ միջինով և ߪ ൌ ͻ րոպե ստանդարտ շեղումով նորմալ օրենքով բաշխված: Ստուգվում է ԯ଴ : ߤ ൌ ͹ͷ րոպե վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߤ ൏ ͹ͷ րոպե երկընտրանքայինը: Նոր ներկը փաստորեն կհամարվի արդյունավետ, եթե վարկածը հերքվի: Պահանջվում է պատասխանել հետևյալ հարցերին՝ ա) ի՞նչ որոշում կընդունվի ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚ նշանակալիության մակարդակով, եթե തതത௡ത ൌ 72.3 րոպե, ݊ ൌ ͸ͷ, նմուշային միջինը` ‫ݔ‬ բ ) ինչ՞ի է հավասար նշանակալիության ࢻ մակարդակը, երբ ԯ଴ վարկածը հերքվում է համապատասխան վիճականու (െ 2.88) - ից փոքր արժեքի դեպքում, գ ) ինչ՞ի է հավասար բ) կետի պայմաններում II սեռի սխալի ߚఝ ሺ͹Ͳሻ չափը, դ ) գտնել բ) կետի պայմաններում նմուշի այն անհրաժեշտ ծավալը, որի դեպքում ߚఝ ሺ͹Ͳሻ ൌ ͲǤͲͳ : 266 (կ). Որոշ տեսակի աղյուս կարելի է օգտագործել շինարարության համար, եթե դրա վրա ազդող սեխմվածության ուժը չի գերազանցում ߤ଴ ൌ ͵ʹͲͲ պ.մ. (պայմա-

նական միավոր): Պատահական վերցված 46 աղյուսների վրա ազդող միջին սեխմվածության ուժի չափը կազմել է 3109 պ.մ., իսկ միջին քառակուսային շեղումը ՝ ‫ ݏ‬ൌ ൌ ͳͷ͸ պ.մ.: Ստուգել համապատասխան վարկածները 0.05 մակարդակով : Ցուցում՝ օգտվել ԿՍԹ - ից, համաձայն որի Ժ௡ ൌ

തതതത ௫ ೙ିఓబ

ௗ

 ξ݊  ՜ ԳሺͲǡ ͳሻ, երբ ݊ ՜ λ:

267 (կ). Դետալների որոշ խմբաքանակից հսկողության նպատակով վերցված է 250 դետալ, որոնց չափումների հիման վրա ստանդարտ շեղման համար ստացվել է ‫ ݏ‬ൌ ͳͲǤʹ մկ արժեքը: Ստուգել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ : ߪ ൌ ൌ 10 մկ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߪ ൐10 մկ երկընտրանքայինը, որտեղ ߪ- ն՝ իրական (տեսական) ստանդարտ շեղումն է : ௗ

Ցուցում՝ օգտվել ξ݊ሺܵ ଶ െ ߪ ଶ ሻ ՜ ԳሺͲǡ ʹߪ ସ ሻ ասիմպտոտիկ նորմալությունից :

268 (կ). Պահածոների տուփեր արտադրող գործարանում մշակվել են նոր տիպի տուփեր, որոնց մեջ ըստ գործարանի ղեկավարության հայտարարության պահածոները կարելի է պահպանել 6 տարվա ընթացքում: Այդ հայտարարությունը ստուգելու նպատակով պատահականորեն վերցվել է այդ տիպի 20 հատ տուփ և ստուգվել արա-

գացված տեստի օգնությամբ: Հայտարարությունը համարվում է հիմնավորված, եթե այդ տեստի ընթացքում պահպանվի պահածոների առնվազն 90 % - ը:

§ 16. ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾՆ ԸՆԴԴԵՄ ԵՐԿԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ 83

Կազմել վարկածների ստուգման խնդիրը և լուծել այն ࢻ ൌ ૙Ǥ ૚ նշանակալիու-

թյան մակարդակով, եթե 20 հատ պատահական վերցված պահածոներից 14 - ը պահպանվել են: Ցուցում՝ ստուգվում է ԯ଴ : ‫ ݌‬ൌ ͲǤͻ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ‫ ݌‬൏ ͲǤͻ երկընտրանքայինը, որտեղ ‫ ݌‬- ն՝ նոր տիպի տուփերում գտնվող արագացված տեստի օգնությամբ ստացված պահպանված պահածոների բաժինն է: Տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫ כ‬:

269 (կ). Հեռահաղորդակցության ընկերությունը ուզում է բարելավել հեռախոսակապի որակը, որը կբերի վճարումների բարձրացմանը: Ընկերությունը որոշել է իրականացնել այդ ծրագիրը, եթե ոչ պակաս քան 60 % աբոնենտներից այն չմերժի: Հարցումների ընթացքում 160 աբոնենտներից 118 - ը դրական են արձագանքել բարելավումներ անցկացնելու որոշմանը: Ստուգել վարկածը ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ մակարդակով : ା Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 249 : Ստուգվում է ԯି ଴ : ‫ ݌‬൑ ͲǤ͸ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ‫ ݌‬൐ ͲǤ͸ :

270 (կ). Որոշ ֆինանսական տեսաբաններ հավատում են, որ արժեթղթերի շուկայի գների օրական փոփոխությունները բավարարում են դրական միտումով «պատահական թափառումների» օրենքին: Եթե այդ վարկածը ճշմարիտ է, ապա «D Dow - Jones» ինդեքսը պետք է աճեր 50 % - ից ի վեր մեկ օրվա ընթացքում: Պատահական ընտրված 175 օրերի ընթացքում 101 - ում այդ ինդեքսն աճել էր: Ի՞նչ կարելի է ասել ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով այդ տեսության վերաբերյալ: ା Ցուցում՝ ստուգվում է ԯି ଴ : ‫ ݌‬൑ ͲǤͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ‫ ݌‬൐ ͲǤͷ երկընտրանքայինը:

§ 16. Պարզ վարկածի ստուգում ընդդեմ երկկողմանի բարդ երկընտրանքային վարկածը Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ‫ ࣟ א‬նմուշ է ሺͳͷǤ͵ሻ ցուցչային դասին պատկանող Զఏ բաշխումից: Դիտարկվում է ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ߠ଴

ሺͳ͸Ǥͳሻ

երկկողմանի բարդ երկընտրանքայինը ստուգման խնդիրը: Նշանակենք ॶ଴ఈ ‫׷‬ൌ ሼߜǣॱ଴ ߮ሺܺ ௡ ሻ ൌ ߙሽ ൫ॱ଴ ‫׷‬ൌ ॱఏబ ൯ ߙ չափ ունեցող հայտանիշների դասը և ෩ ଴ఈ ‫׷‬ൌ ሼߜ ‫ॶ א‬଴ఈ ‫ॱ  ׷‬ఏ ߮ሺܺ ௡ ሻ ൒ ߙǡ ߠ ് ߠ଴ ሽ, ॶ

Ͳ൏ߙ൏ͳ

դրա անշեղ հայտանիշների ենթադասը: Թեորեմ 16.1: Եթե բավարարվում են ռեգուլյարության ሺܴሻ – պայմանները և ሺͳͷǤ͵ሻ ներկայացման ෩ ૙ࢻ մեջ մասնակցող ‫ܣ‬ሺߠሻ ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է, ապա ߙ չափի անշեղ հայտանիշների ॶ դասում գոյություն ունի ሺͳ͸Ǥͳሻ վարկածները ստուգող օպտիմալ (ՀԱՀ) հայտանիշը, որն ունի հետևյալ տեսքը՝ ͳǡ եթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ կամܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଶ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ሺͳ͸Ǥʹሻ ߮ ‫׷‬ൌ ቐߝ௜ ǡ եթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ܿ௜ ǡ ݅ ൌ ͳǡ ʹ , Ͳǡեթեܿଵ ൏ ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଶ  ௡

որտեղܶሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ܵሺܺ௜ ሻ ǡիսկܿ௜ ևߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ʹհաստատուններըորոշվումեն ௜ୀଵ

ॱ଴ ሺ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ െ ߙሻ ൌ Ͳ և ॱ଴ ሺ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ െ ߙሻܶሺܺ ௡ ሻ ൌ Ͳ

պայմաններից: Եթե ߠ ൌ ߠ଴ դեպքում ܶ ‫׷‬ൌ ܶሺܺ ௡ ሻ վիճականու Զ଴ ሺܶ ‫ܤ א‬ሻ, ‫ࣜ א ܤ‬ሺԹሻ բաշխումը համաչափ է 0 կետի նկատմամբ, այսինքն՝ Զ଴ ሺܶ ൏ െ‫ݔ‬ሻ ൌ Զ଴ ሺܶ ൐ ‫ݔ‬ሻ, ‫ א ݔ‬Թ, ապա ܿଵ ൌ െܿଶ ‫׷‬ൌ െܿ ሺܿ ൐ Ͳሻ և ሺͳ͸Ǥʹሻ ում մասնակցող ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ կրիտիկական ֆունկցիան կընդունի հետևյալ տեսքը՝ ͳǡ ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ቐߝǡ Ͳǡ

եթեȁܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻȁ ൐ ܿ եթեȁܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻȁ ൌ ܿ եթեȁܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻȁ ൏ ܿ

Անընդհատ ܶሺܺ ௡ ሻ վիճականիների դեպքում ( երբ ߠ ൌ ߠ଴ ) ոչ ռանդոմիզացված հայտանիշի կրիտիկական ֆունկցիան՝ կլինի ͳǡ եթեȁܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻȁ ൒ ܿ ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൜ , Ͳǡ եթեȁܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻȁ ൏ ܿ որտեղ ܿ ൐ Ͳ կրիտիկական եզրը որոշվում է Զ଴ ሺܶ ൏ െܿሻ ൌ Զ଴ ሺܶ ൐ ܿሻ ൌ պայմանից:

ߙ ʹ

§ 16. ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾՆ ԸՆԴԴԵՄ ԵՐԿԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ 85

271 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠሻ նմուշ է ցուցչային բաշխումից : Կառուցել ԯ଴ : Ʌ ൌ Ʌ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് Ʌ଴ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ չափի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ ՀԱՀ (օպտիմալ ) անշեղ հայտանիշը: Գտնել հայտանիշի հզորության ֆունկցիան: Ցուցում՝ բերել բաշխումը ցուցչային տեսքի և օգտվել թեորեմ 16.1 - ից:

૛ૠ૛‫( כ‬մ). ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠሻ Բեռնուլիի բաշխումից նմուշի միջոցով կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ ൌ Ʌ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് Ʌ଴ երկընտրանքային վարկածը ստուգող ߙ չափի ՀԱՀ ( օպտիմալ ) անշեղ հայտանիշը: Ցուցում՝ բերել բաշխումը ցուցչային տեսքի և օգտվել թեորեմ 16.1 - ից:

273. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ९‡”ሺߠሻ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից : Կառուցել ԯ଴ : ߠ ൌ ൌ Ʌ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് Ʌ଴ մրցող վարկածը ստուգող ասիմպտոտիկ ߙ չափի ՀԱՀ (օպտիմալ ) անշեղ հայտանիշը և գտնել հայտանիշի հզորության ֆունկցիան: Ցուցում՝ օգտվել Մուավր – Լապլասի սահմանային թեորեմից՝ Ժ௡ ‫׷‬ൌ

തതതത ௑ ೙ ିఏబ

ඥఏబ ሺଵିఏబ ሻ

ௗ

 ξ݊ ՜ ԳሺͲǡͳሻ:

274. ܺ ௡ ̱ ՍሺߠሻՊուասոնի բաշխումից նմուշի միջոցով կառուցել ԯ଴ : Ʌ ൌ Ʌ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് Ʌ଴ մրցող վարկածը ստուգող ասիմպտոտիկ ߙ չափի ՀԱՀ (օպտիմալ ) անշեղ հայտանիշը: Գտնել նաև հայտանիշի հզորության ֆունկցիան: Ցուցում՝ օգտվել կենտրոնական սահմանային թեորեմից՝ Ժ௡ ‫׷‬ൌ

തതതത ௑ ೙ ିఏబ ඥఏబ

ௗ

 ξ݊ ՜ ԳሺͲǡͳሻ, երբ ݊ ՜ λ,

բերել մոդելը ցուցչային տեսքի և օգտվել թեորեմ 16.1 - ից:

275. ݊ ൌ ʹͲ չափումների արդյունքում ստացվել են հետևյալ արժեքները՝ ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͻǤͷǡ ‫ ݏ‬ൌ ͵: Համարելով, որ նմուշը համապատասխանում է݉ ൌ ͳͲ միջինով Գሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ

նորմալ բաշխմանը 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ɐ ൌ Ͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ɐ ് Ͷ երկընտրանքայինը: 276 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॱሺߠሻ ցուցչային բաշխումից նմուշ է, ընդ որում ݊ ൌ ͳͲ, തതത௡ത ൌ 2.5: 0.05 մակարդակով ստուգել ԯ଴ : Ʌ ൌ 0.5 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് 0.5 : ‫ݔ‬ Ցուցում՝ օգտվել խնդիր 271- ից:

277 (մ). Դիցուք ݊ ൌ ͷͲ Բեռնուլիի փորձերում 30 անգամ տեղի է ունեցել «հաջո-

ղությունը»: 0.05 մակարդակով ստուգել ԯ଴ : Ʌ ൌ ͲǤͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് ͲǤͷ : Ցուցում՝ օգտվել խնդիր 273 - ից:

86 § 16. ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾՆ ԸՆԴԴԵՄ ԵՐԿԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ

278. Ենթադրենք ܺ ௡ ̱ ९‡”ሺߠሻ նմուշ է Բեռնուլիի բաշխումից , որտեղ ݊ ൌ ͷͲͲ, തതത௡ത ൌ ͲǤͶ͵ : ૙Ǥ ૙૛ሺ૙Ǥ ૙૜ሻ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : Ʌ ൌ ͲǤͶͺ ‫ݔ‬ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് 0.48 երկընտրանքային վարկածը: 279. Դիտվում է ܺ ௡ ̱ Սሺߠሻնմուշ Պուասոնի բաշխումից : 0.1 նշանակալիության

մակարդակով ստուգել ԯ଴ : Ʌ ൌ ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ്1 երկընտրանքայինը, ݊

եթե ෍

‫ ݅ݔ‬ൌ ͻͲǡ ݊ ൌ ͳͲͲǣԻնչպիսի՞նպետքէլինինշանակալիությանմակարդակիամենաǦ

݅ൌͳ

մեծ արժեքը, որպեսզի վարկածը չհերքվի (գտնել Զ - արժեքը): Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 274 :

280 (կ) Անորակ պահածոներ հայտնաբերելու նպատակով ստուգել են պահածոների 200 արկղ: Արդյունքում ստացվել են հետևյալ տվյալները՝ ‫ݔ‬௜

ߥ௜

, որտեղ ‫ݔ‬௜ - ն մեկ արկղում անորակ տուփերի թիվն է, իսկ ߥ௜ - ն՝ ‫ݔ‬௜ հատ անորակ տուփ պարունակող արկղերի թիվը: Համարելով, որ անորակ պահածոներ պարունակող տուփերի թիվը բաշխված է Պուասոնի օրենքով , 0.05 նշանակալիության մակար-

դակով ստուգել պահածոների լրիվ համախմբությունում երկու արկղում միջինում մեկ անորակ պահածոների տուփ լինելու ԯ଴ վարկածը ሺߣ ൌ ͲǤͷሻ: Գտնել Զ - արժեքը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 274 :

281 (կ) Ավտոմեքենաշինական ընկերությունը ենթադրում է, որ իր նոր տեսակի էլեկտրական շարժիչով ավտոմեքենաները մեկ տարվա ընթացքում կգրավեն տվյալ շրջանի ավտոշուկայի 48 % - ը, ինչը բացատրվում է այդ մեքենաների լավ տեխնիկական տվյալներով և զգալի էժանությամբ: Մեկ տարի հետո այդ շրջանում գրանցված մեքենա ունեցողներից պատահական վերցված 10 % - ի համար կատարված հարցումը ցույց տվեց, որ նրանց 43 % գնել են այդ նոր տեսակի ավտոմեքենաները: Կարո՞ղ է արդյոք 0.01 (0.03 ) նշանակալիության մակարդակով այդ ընկերությունը հաստատել, որ հասել է իր հայտարարված նպատակին: 282 (կ). Որոշակի թվով պետական պարտատոմսեր ունեցողներից պատահական ընտրվել են 350 - ը: Պարզվել է, որ ընտրվածներից 39 % - ը կանայք են: 5 տարի հետո անցկացված մարդահամարը ցույց տվեց, որ պետական պարտատոմսեր ունեցողների 41 % - ը կանայք են: 0.02 մակարդակով պարզել՝ փոխվե՞լ է, արդյոք 5 տարիների ընթացքում պարտատոմսեր ունեցողների մեջ կանանց բաժինը:

§ 16. ՊԱՐԶ ՎԱՐԿԱԾՆ ԸՆԴԴԵՄ ԵՐԿԿՈՂՄԱՆԻ ԲԱՐԴ ՎԱՐԿԱԾԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ 87

283 (կ). Արևածաղկի յուղի հալեցման աստիճանը որոշելու համար ստուգվել է արևածաղկի 16 նմուշ, որոնց միջին հալեցման աստիճանը կազմել է 94.3Ԩ : Ենթադրելով, որ հալեցման կետը բավարարում է ߪ ൌ ͳǤʹ Ԩ ստանդարտ շեղումով նորմալ

օրենքին՝ ա) ստուգել 0.01 մակարդակով ԯ଴ : ߤ ൌ ͻͷԨվարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤ ് ് ͻͷԨերկընտրանքայինը, բ ) գտնել II սեռի սխալի չափը, երբ ߤ ൌ ͻͶԨ ቀߚఝ ሺͻͶሻቁ: 284 (կ). Որոշ ավիաընկերության կատարված հաշվարկները ցույց են տվել, որ տվյալ ուղղությամբ ավիատոմսերի միջին գինը կազմել է ߤ଴ ൌ ʹ͵ͷ̈́ , իսկ միջին

քառակուսային շեղումը՝ 68 ̈́: Մեկ տարի անց պատահական վերցված 90 ուղևորների միջև կատարված հաշվարկը ցույց տվեց, որ տոմսը գնելու համար նրանք միջինում վճարել են 218.77 ̈́ : Փոխվե՞լ է, արդյոք նշանակալի այդ ընթացքում ( 0.05 մակար-

դակով ) տոմսի գինը: Ո՞րն է նշանակալիության մակարդակի այն մեծագույն արժեքը, որի դեպքում հնարավոր լինի եզրակացնել, որ տոմսի գինը էապես չի փոխվել:

285 (կ) . 2005 Ȃ 2010 թ. Նյու – Յորքի արժեթղթերի բորսայում ሺǼࡺࢅࡿࡱǽሻ արժեթղթերի գինΤեկամուտ հարաբերության միջին արժեքը կազմել էր 14.35, իսկ ստան-

դարտ շեղումը՝ 9.73: 2011 թվին 30 հատ պատահական վերցված արժեթղթերի համար կատարված գինΤեկամուտ հարաբերության հաշվարկը տվեց 11.77 արժեք: Կարելի է՞, արդյոք այստեղից 0.05 մակարդակով եզրակացնել, որ 2011 թվին 2005 – 2010 թ.թ. համեմատությամբ այդ հարաբերության միջին արժեքը Ǽࡺࢅࡿࡱǽ բորսայում փոխվել է, համարելով գին /եկամուտ հարաբերության նորմալ բաշխվածությունը :

§ 17. Վարկածների ստուգում և միջակայքային գնահատականներ Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ՝ ࣪ ‫׷‬ൌ ሼԶఏ ǡ ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թሽ բաշխումների դասից Զఏ բաշխմանը համապատասխանող նմուշ է: Դիտարկենք որոշակի ߠ଴ ‫ א‬ȣ արժեքի համար ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածը ստուգող ߙ ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ

նշանակալիության մակարդակի ࣲଵఈ ሺߠ଴ ሻ կրիտիկական տիրույթով որևէ հայտանիշ: Նշանակենք ഥଵఈ ሺߠ଴ ሻ - ով այդ հայտանիշի թույլատրելի տիրույթը: Այսպիսով՝ տվյալ ߙ - ի համար ࣲ ௡ ࣲ଴ఈ ሺߠ଴ ሻ ‫׷‬ൌ ࣲ նմուշային տարածությունում տրվում է ենթաբազմությունների ሼࣲ଴ఈ ሺߠሻ ‫ ࣲ ؿ‬௡ ǡ ߠ ‫ א‬ȣሽ ընտանիքը: Կամայական ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ նմուշային կետի համար սահմանենք ‫ܩ‬ఊ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ǣ ൌ ሼߠǣ‫ ݔ‬௡ ‫ࣲ א‬଴ఈ ሺߠሻሽ ‫ ؿ‬ȣ բազմությունը, ߛ ൌ ͳ െ ߙ : Այսպիսով ȣ բազմության մեջ առաջանում է ൛‫ܩ‬ఊ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻǣ ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ൟ բազմությունների դասը: Այժմ դիտարկենք ‫ܩ‬ఊ ሺܺ ௡ ሻ պատահական բազմությունը: Քանի որ ൛ߠ ‫ܩ א‬ఊ ሺܺ ௡ ሻൟ և ሼܺ ௡ ‫ࣲ א‬଴ఈ ሺߠሻሽ պատահույթներն ըստ կառուցման համարժեք են, ապա Զఏ ൫‫ܩ‬ఊ ሺܺ ௡ ሻ ‫ߠ ד‬൯ ൌ Զఏ ൫ܺ ௡ ‫ࣲ א‬଴ఈ ሺߠሻ൯ ൌ ߛ, այնպես, որ ‫ܩ‬ఊ ሺܺ ௡ ሻ բազմությունը ߠ - ի համար ߛ մակարդակի վստահության միջակայք է : Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը, այսինքն, եթե տրված է ߠ պարամետրի ߛ մակարդակի վստահության միջակայքերի ൛‫ܩ‬ఊ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻǣ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ൟ ընտանիքը, ապա ࣲ଴ఈ ሺߠ଴ ሻ ǣ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ǣߠ଴ ‫ܩ א‬ఊ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻൟ բազմությունը հանդիսանում է ߙ ൌ ͳ െ ߛ նշանակալիության մակարդակի ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածը ստուգող հայտանիշի թույլատրելի

տիրույթը: Հավասարաչափ առավել հզոր (օպտիմալ ) հայտանիշին դրա գոյության դեպքում համապատասխանում է այսպես կոչված առավել ճշգրիտ (տվյալ մակարդակի բոլոր վստահության միջակայքերի մեջ փոքրագույն երկարություն ունեցող) վստահության միջակայքը:

Մեկ նմուշի դեպք

286. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ: ߙ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߠ ൏ ߠ଴ միակողմանի երկընտրանքայինը: Ցուցում՝ տե՛ս ሺͳʹǤʹሻ բանաձևը (համեմատիր խնդիր 246 - ի հետ):

287. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: ߙ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ ‫׷‬ ߠ ଶ ൌ ߠ଴ଶ վարկածնընդդեմԯଵ :Ʌଶ ് ߠ଴ଶ երկընտրանքայինը: Ցուցում՝ տե՛ս ሺͳʹǤ͵ሻ բանաձևը:

288. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: ߙ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ ‫׷‬ ߠ ଶ ൌ ߠ଴ଶ վարկածնընդդեմԯଵା ‫ ߠ  ׷‬ଶ ൐ ߠ଴ଶ ሺԯଵି ǣߠ ଶ ൏ ߠ଴ଶ ሻ երկընտրանքայինը: Ցուցում՝ տե՛ս ሺͳʹǤͶሻ բանաձևը:

289. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ: ߙ նշանակալիության մակարդակով գտնել ԯ଴ ǣ ߠଵ = ൌ ߠଵ଴ վարկածնընդդեմԯଵା ‫ߠ  ׷‬ଵ ൐ ߠଵ଴ ሺԯଵି ǣߠଵ ൏ ߠଵ଴ ሻ միակողմանի երկընտրանքայինը ստուգող ՀԱՀ հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս ሺͳʹǤͺሻ բանաձևը:

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

290. Դիցուք ߠଵ ൌ

ߠଵ଴ ሺߠଶଶ

ൌ

ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ: ߙ նշանակալիության մակարդակով գտնել ԯ଴ ‫׷‬ ଶ ሻ երկընտրանքայինը վարկածն ընդդեմ ԯଵ ‫ߠ ׷‬ଵ ് ߠଵ଴ ሺߠଶଶ ് ߠଶ଴

ଶ ሻ ߠଶ଴

ստուգող ՀԱՀ անշեղ հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս ሺͳʹǤ͹ሻ և ሺͳʹǤͷሻ բանաձևերը:

291. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ ǡ ߠଶଶ ሻ: ߙ նշանակալիության մակարդակով գտնել ԯ଴ ‫׷‬ ଶ ଶ ଶ

ߠଶଶ ൌ ߠଶ଴

վարկածնընդդեմԯଵା ǣߠଶଶ ൐ ߠଶ଴ (ԯଵି ǣߠଶଶ ൏ ߠଶ଴ ) երկընտրանքայինը ստուգող

ՀԱՀ հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս ሺͳʹǤ͸ሻ բանաձևը:

292. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠǡ ͳሻ (ߠ ‫ א‬Թ) նմուշ է «շեղված» ցուցչային բաշխումից : ߙ

նշանակալիության մակարդակով գտնել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ് ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգող ՀԱՀ հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս ሾʹǡ խնդիր͹Ǥͳሿ:

293. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॼሺͲǡ ߠሻ նմուշ է ሾͲǡ ߠሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխու-

մից : ߙ նշանակալիության մակարդակով գտնել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգող ՀԱՀ հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս ሾʹǡ օրինակ͹Ǥͳͻሿ:

294. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॾ ሺͲǡ ߠǡ ߣሻ նմուշ է Վեյբուլի բաշխումից : ߙ նշանակալիու-

թյան մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ߠ଴ երկընտրանքայինը ստուգող հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս ሾʹǡ խնդիր͹Ǥͷሿ:

295. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠǡ ͻሻ նմուշ է նորմալ բաշխումների դասից: 0.05 մակար-

դակով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ͸Ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ͸Ͳ երկընտրանքայինը, եթե ௡ ൌ ͷͺ, ݊ ൌ ʹͷ : തതതത նմուշային միջինը` ܺ

296. Դիտվել են ݉ ൌ ͻ միջինով նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծության հետևյալ արժեքները` 8.1, 10.4, 9.5, 8.9, 10.7 : 0.05 մակարդակով ստուգել այդ պատահական մեծության անհայտ ߪ ଶ ցրվածքի վերաբերյալ ԯ଴ : ߪ ଶ ൌ Ͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߪ ଶ ് Ͷ մրցող վարկածը:

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

297. Ըստ անհայտ պարամետրերով նորմալ բաշխված պատահական մեծության 2.96,

3.07,

3.02,

2.98,

3.06

տվյալների 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել միջինի և ցրվածքի վերաբերյալ հետևյալ վարկածները՝ ա)

ԯ଴ : ݉ ൌ ͵ ԯଵ : ݉ ് ͵ ,

բ)

ԯ଴ : ߪ ଶ ൌ ͲǤͲͳ

ԯଵ : ߪ ଶ ് ͲǤͲͳ :

298. Ենթադրվում է, որ անհայտ պարամետրերով նորմալ բաշխված պատահական մեծության ստանդարտ շեղումը հավասար է 50 - ի: Կմերժվի՞, արդյոք 0.05

նշանակալիության մակարդակով այդ վարկածը, եթե պատահական մեծության 30 դիտումների միջոցով հաշվարկած ստանդարտ շեղման արժեքը կազմել է 57 միավոր: 299. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠǡ ߪ ଶ ሻ: ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ͳͲͲ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ൐ ͳͲͲ երկընտրանքայինը, եթե ߪ ଶ ൌ 100, ݊ ൌ ʹͷ , ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͳͲ͵ : 300. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺ݉ǡ ߠ ଶ ሻ: ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૚ նշանակալիության մակարդակով ստուതതത௡ത ൌ ͳͳǤͳǡ գել ԯ଴ : ߠ ଶ ൌ ͳͲ վարկածն ընդդեմ ԯଵା : ߠ ଶ ൐ ͳͲ երկընտրանքայինը, եթե ‫ݔ‬ ‫ ݏ‬ൌ ͵Ǥ͵ , ݊ ൌ ʹͷ : 301. Տրված է ݉ ൌ ͳͲ միջինով նորմալ բաշխված պատահական մեծության հետևյալ նմուշը՝ 9.0, 10.2, 9.5, 11.2, 10.7, 12.4 : ࢻ ൌ ૙Ǥ ૚ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߪ ଶ ൌ ͵͸ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߪ ଶ ൏ ͵͸ երկընտրանքայինը: 302. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‹ሺ‫݌‬ǡ ͳͲሻ նմուշ է բինոմական բաշխումից , որտեղ ݊ ൌ ͳͲͲǡ ݊ ෍

൅

‫ ݅ݔ‬ൌ ʹͷͲ ‫ ׷‬૙Ǥ ૙૚մակարդակովստուգելԯͲ ‫ ݌ ׷‬ൌ ͲǤʹվարկածնընդդեմԯͳ ‫ ݌ ׷‬൐ ͲǤʹ

݅ൌͳ

երկընտրանքայինը: 303. Դիցուք ܺ ௡ ̱Սሺߣሻ նմուշ է Պուասոնի բաշխումից : 0.05 նշանակալիության

մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߣ ൌ ͲǤͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߣ ൏ ͲǤͷ երկընտրանքայինը, եթե ݊ ൌ ͸Ͷ, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ ͲǤͶ : 304. Տրված է ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ նմուշ ցուցչային բաշխումից : 0.01 մակարդակով ստուգել ା തതത௡ത ԯି ଴ : ߠ ൑ ͲǤͶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ൐ ͲǤͶ երկընտրանքայինը, եթե ݊ ൌ ͳͶͶ, ‫ ݔ‬ൌ ͵:

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

305 (կ). Հիվանդանոցը օգտագործում է մեծ քանակությամբ որոշակի դեղամիջոց, ընդ որում մեկ դեղամիջոցի փաթեթի դոզան կազմում է 100 սմଷ : Դեղամիջոցի ազդեցությունը այնպիսին է, որ հիվանդը անվնաս է տանում մեծ դոզաները, սակայն անբավարար դոզաների դեպքում չի ապահովվում անհրաժեշտ բուժ. արդյունավետությունը, որը նույնիսկ վնասում է բուժմանը: Հայտնի է, որ արտադրված դեղերի ամբողջ համախմբի դոզայի ստանդարտ շեղումը նոմինալ արժեքից կազմում է 2 սմଷ : Կատարվել է նոր ստացված դեղերի համախմբության ստուգում: 50 հատ պատահական վերցված դեղամիջոցի նմուշի մեջ հայտնաբերվել է, որ 1 փաթեթի միջին դոզան կազմում է 99.75 սմଷ : 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել, շա՞տ է, արդյոք այդ նմուշում տարբերվում նոմինալից մեկ դեղամիջոցի դոզայի չափը, թե՝ ոչ: Ցուցում՝ ստուգվում է ԯ଴ : ߤ ൌ ͳͲͲ սմଷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤ ് 100 սմଷ երկընտրանքայինը:

306 (կ). Բնապահպանության կոմիտեի որոշմամբ ատոմակայանը իրավունք ունի բաց թողնել օգտագործված ջուրը մոտակա գետը, եթե ջրի տաքությունը միջինում չի գերազանցում 28.9Ԩ : 70 անգամ բաց թողնված օգտագործված ջրի նմուշում միջին

ջերմաստիճանը կազմել էր 30.2 Ԩ , իսկ միջին քառակուսային շեղումը՝ 7.5 Ԩ : Պարզել՝ կարո՞ղ է, արդյոք ատոմակայանի ղեկավարությունը հայտարարել, որ այն չի գերազանցում սահմանափակումների չափը: Ստուգել վարկածը 0.05 մակարդակով : Ցուցում՝ ստուգել ԯ଴ : ߤ ൑ 28.9Ԩ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤ ൐ 28.9Ԩ երկընտրանքայինը: Օգտվել ԿՍԹ - ից և գտնել ասիմպտոտիկ ստորին վստահության միջակայքը ߤ միջին ջերմաստիճանի համար:

307 (կ). Գրադարանի աշխատողները ենթադրում են, որ յուրաքանչյուր ուսանողի պատվիրած գրքերի քանակը մեկ այցի ժամանակ փոխվել է: Անցյալում մեկ ուսանողը պատվիրում էր միջինում 3.4 գիրք, սակայն այժմ պատահական վերցված 23 ուսանողների խմբում միջին պատվերը կազմեց 1 այցի ընթացքում 4.3 գիրք՝ 1.5 գիրքստան-

դարտ շեղումով : 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել՝ փոխվե՞լ է, արդյոք մեկ այցի ընթացքում պատվերների թիվը, եթե այն բաշխված է նորմալ օրենքով : Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 290 :

308 (կ). Որպեսզի որոշվի նոր տեսակի ավտոմեքենայի վառելիքի ծախսը մեքենաշինական ընկերությունը ընտրել է 6 ոչ պրոֆեսիոնալ ավտովարորդներ այդ տեսակի ավտոմեքենաներով որոշակի ճանապարհ անցնելու համար: Ճանապարհորդությունը կատարելուց հետո պարզվել է, որ այդ մեքենաները 1 լիտր վառելիք ծախսելով անցել են, համապատասխանաբար՝ 123, 132, 142, 130, 136 և 133 կմ ճանապարհ: Ընկերությունը իր գովազդում հայտարարել է, որ այդ տեսակի մեքենաները 1 լիտր վառելիք ծախսելով անցնում են ամենաքիչը 135 կմ ճանապարհ:

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

Հակասու՞մ են, արդյոք 0.05 մակարդակով ստացված տվյալները այդ հայտարարությանը (ենթադրվում է, որ անցած ճանապարհները բաշխված են նորմալ օրենքով ): Ցուցում՝ Գሺߤǡ ߪ ଶ ሻմոդելում ߤ և ߪ ଶ պարամետրերն անհայտ են : Ստուգել ԯା ଴ : ߤ ൒ ͳ͵ͷ կմ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߤ ൏ ͳ͵ͷ կմ - ի: Ստանալ վերին վստահության միջակայքը (տե՛ս խնդիր 289 ):

309 (կ). Որոշ հեռուստաընկերություն իր հաղորդումների ընթացքում հայտարարեց, որ ԱՄՆ - ի քաղաքացու միջին կշիռը գերազանցում է նոմինալ արժեքը 5 կգ - ով: Որպեսզի ստուգվի այդ հայտարարությունը հետազոտվեցին պատահական ընտրված 18 ԱՄՆ- ի քաղաքացի, որոնց միջին կշիռը գերազանցեց նոմինալ արժեքը 6.2 կգ - ով, 1.35 կգ միջին քառակուսային շեղումով : Հիմք կա՞ արդյոք կասկածել հեռուստաընկերության այդ հայտարարությանը: 0.05 մակարդակով ստուգել այդ վարկածը ենթադրելով կշռավորումների նորմալ բաշխվածությունը : Ցուցում՝ Ստուգել ԯ଴ : ߤ ൌ ߤ଴  ൅ ͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤ ൐ ߤ଴ ൅ ͷ երկընտրանքայինը կառուցելով ߤ - ի համար ստորին վստահության միջակայքը ( տե՛ս խնդիր 289 ):

310 (կ). Աստղադիտակներ արտադրող ընկերությունը ուզում է, որ իր արտադրված աստղադիտակների «որոշման ունակության» ստանդարտ շեղումը չգերազանցի 2 արժեքը, երբ դիտվող աստղերը գտնվում են 500 «լույսային տարուց» ի վեր հեռավորության վրա: 30 անգամ փորձելով նոր արտադրված աստղադիտակը ստանդարտ

շեղման համար ստացվեց 1.46 արժեքը: Բավարարու՞մ է, արդյոք այդ աստղադիտակը առաջարկված պահանջներին, թե՝ ոչ: Վարկածը ստուգել 0.01 նշանակալիության մակարդակով, ենթադրելով «որոշման ունակության» նորմալ բաշխվածությունը : ି Ցուցում՝ ստուգվում է ԯା ଴ : ߪ ൒ ʹ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߪ ൏ ʹ ( տե՛ս խնդիր 291):

Երկու նմուշի դեպք

311. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߪ௑ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߪ௒ଶ ሻ հայտնի ցրվածքներով միմյանցից անկախ նմուշներ են: Ստուգել ߙ մակարդակով ԯ଴ : ߬ ൌ ߬଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߬ ൏ ߬଴ ( ԯଵା ǣ ߬ ൐ ߬଴ ) երկընտրանքայինը, որտեղ ߬ ‫׷‬ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ : Ցուցում՝ կառուցել ߬ - ի համար միակողմանի վստահության միջակայքեր (տե՛ս խնդիր 197) ǣ

312. Դիցուք ܺ ௡ - ը և ܻ ௠ - ը որոշակի բաշխումներից վերցված միմյանցից անկախ նմուշներ են, որտեղ ߠ௑ ൌ ॱܺ և ߠ௒ ൌ ॱܻ այդ բաշխումների անհայտ միջիններն են և ߬ ‫׷‬ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ : Մեծ ծավալի նմուշների դեպքում ሺ݊ǡ ݉ ൐ ͵Ͳሻ նշանակալիության ߙ մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߬ ൌ ߬଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߬ ൏ ߬଴ (ԯଵା : ߬ ൐ ߬଴): Ցուցում՝ օգտվելով ԿՍԹ - ից կառուցել ߬ - ի համար միակողմանի վստահության միջակայքեր:

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ 93

313. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߠ ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߠ ଶ ሻ միմյանցից անկախ անհայտ և հավասար ߠ ଶ ሺߠ ൐ Ͳሻ ցրվածքով նորմալ բաշխումների դասերից նմուշներ են: ߙ

նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߬ ൌ ߬଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߬ ൏ ߬଴ ሺԯଵା ‫ ߬ ׷‬൐ ߬଴ ሻ երկընտրանքայինը, որտեղ߬ ‫׷‬ൌ ߠ௑ െ ߠ௒ : Ցուցում՝ կառուցել ߬ - ի համար միակողմանի վստահության միջակայքերը (տե՛ս խնդիր 198)ǣ

314. Դիցուք ܺ ௡ ̱९‡”ሺߠ௑ ሻ և ܻ ௠ ̱९‡”ሺߠ௒ ሻ անհայտ ߠ௑ և ߠ௒ պարամետրերով

Բեռնուլիի բաշխումների դասերից միմյանցից անկախ նմուշներ են: Նմուշների մեծ ݊ և ݉ ծավալների դեպքում նշանակալիության ߙ մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ௑ ൌ ߠ௒ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߠ௑ ൏ ߠ௒ ሺԯଵା ‫ߠ  ׷‬௑ ൐ ߠ௒ ሻ երկընտրանքայինը: Ցուցում՝ համաձայն Մուավր – Լապլասի սահմանային թեորեմի մեծ ݊ - երի և ݉ - երի դեպքում՝ ௠ െ ߠ തതതത തതതത ܺ ௡ െ ߠ௑ ͳ ܻ ͳ ௒ է Գ ൬Ͳǡ ൰ և է Գ ൬Ͳǡ ൰ ‫׷‬ ݊ ݉ ඥߠ௑ ሺͳ െ ߠ௑ ሻ ඥߠ௒ ሺͳ െ ߠ௒ ሻ ௡ െ  ܻ ௠ തതതത തതതത ௗ  ՜ ԳሺͲǡ ͳሻǡ݊ ՜ λǡ݉ ՜ λǡ Այստեղիցԯ଴ վարկածիդեպքում՝Ժ௡ǡ௠ ‫׷‬ൌ ටቀͳ  ൅  ͳ ቁ ߠ෠൫ͳ െ ߠ෠൯ ݊ ݉ ௡ ௡  ൅  ௠ ܻ ௠ վիճականինանշեղևխիստունակգնահատականէߠǦիհամարǣ തതതത തതതത որտեղߠ෠ ‫׷‬ൌ ܺ

ଶ ሻ ଶ ሻ 315. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௡ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ անհայտ պարամետրերով

նորմալ բաշխումների դասերից միմյանցից անկախ միևնույն ծավալի նմուշներ են: Նշանակալիության ߙ մակարդակով ստուգել հետևյալ վարկածները՝ ա) ԯ଴ : ߬ ൌ ߬଴ ընդդեմ ԯଵ : ߬ ് ߬଴, բ) ԯ଴ : ߬ ൌ ߬଴ ընդդեմ ԯଵି : ߬ ൏ ߬଴ , գ ) ԯ଴ : ߬ ൌ ߬଴ ընդդեմ ԯଵା : ߬ ൐ ߬଴ , որտեղ ߬ǣ ൌ ߠଵ௑ െ ߠଵ௒ : Ցուցում՝ օգտվել ሺͳʹǤͻሻ բանաձևից և խնդիր 200 - ից: ଶ ሻ ଶ ሻ 316. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ և ܻ ௠ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒ նորմալ բաշխումների դա-

սերից միմյանցից անկախ նմուշներ են: ߙ նշանակալիության մակարդակով ստուգել ଶ ଶ ଶ ଶ ሺԯା ଶ ଶ ԯ଴ ‫ߠ  ׷‬ଶ௑ ൌ ߠଶ௒ վարկածն ընդդեմ ԯଵି ‫ߠ ׷‬ଶ௑ ൏ ߠଶ௒ ଵ ‫ߠ  ׷‬ଶ௑ ൐ ߠଶ௒ ሻ:

Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 199 :

317. Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߙଵ ሻ և ܻ ௠ ̱ ॱሺߙଶ ሻ ցուցչային բաշխումների դասերից միմյանցից անկախ նմուշներ են: ߙ նշանակալիության մակարդակով կառուցել ԯ଴ : ߙଵ ൌ ߙଶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߙଵ ് ߙଶ (ԯଵି ‫ߙ  ׷‬ଵ ൏ ߙଶ ǡ ԯଵା ‫ߙ  ׷‬ଵ ൐ ߙଶ ) երկընտրանքային վարկածը ստուգման հայտանիշը: ௡ ߙ և ॳ ሺܻ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ʹܻ݉ ௠ ߙ ՝ կենտրոնական վիճականիներ തതതത തതതത Ցուցում՝ ցույց տալ, որ ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ʹ݊ܺ ଵ ఏ ଶ

են և գտնել ߬ ‫׷‬ൌ

ఈభ ఈమ

պարամետրի վստահության միջակայքը:

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

318. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ͳ͸ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ʹͷሻ նորմալ բաշխումների դասերից ௠ ൌ 34.7: തതതത միմյանցից անկախ նմուշներ են, ընդ որում ՝ ݊ ൌ 20, ݉ ൌ 25, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 29.8, ‫ݕ‬ 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ௑ ൌ ߠ௒ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ௑ ് ߠ௒ երկընտրանքայինը: 319. Տրված են Գሺߠ௑ ǡ Ͷሻ և Գሺߠ௒ ǡ ͷሻ նորմալ բաշխումներից միմյանցից անկախ

‫ ݔ‬௡ ൌ ሺെͶǤͶǡ ͶǤͲǡ ʹǤͲǡ െͶǤͺሻ

և

‫ ݕ‬௡ ൌ ሺ͸ǤͲǡ ͳǤͲǡ െ͵Ǥʹǡ െͲǤͶሻ

նմուշներ: 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ௒ െ ߠ௑ ൑ ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ௒ െ ߠ௑ ൐ ͳ երկընտրանքային վարկածը: 320. Դիցուք ܺ ௡ ̱Գሺߠ௑ ǡ ߠ ଶ ሻ և ܻ ௠ ̱Գሺߠ௒ ǡ ߠ ଶ ሻ նորմալ բաշխումների դասերից ௠ ൌ തതതത միմյանցից անկախ նմուշներ են, որտեղ` ݊ ൌ 16, ݉ ൌ 9, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 18.1, ‫ݏ‬௫  ൌ ͸ǤͲǡ ‫ݕ‬ ൌ 15.9, ‫ݏ‬௬ ൌ ͷǤͲ : 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠ௑ ൌ ߠ௒ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ௑ ് ߠ௒ երկընտրանքայինը: 321. Տրված են անհայտ պարամետրերով նորմալ բաշխումների դասերից միմյանցից անկախ ‫ ݔ‬௡ ൌ ሺͳǤͺǡ ʹǤͻǡ ͳǤͶǡ ͳǤͳሻ և ‫ ݕ‬௠ ൌ ሺെͳǡ ʹǤ͸ǡ ͵Ǥʹሻ նմուշները: 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ դասերի միջինների

հավասարության վերաբերյալ վարկածը: ଶ ሻ ଶ ሻ 322. ܺ ௡ ̱Գሺߠଵ௑ ǡ ߠଶ௑ նորմալ համախմբություններից վերցև ܻ ௠ ̱Գሺߠଵ௒ ǡ ߠଶ௒

ված միմյանցից անկախ նմուշներ են: Ստուգել 0.05 նշանակալիության մակարդակով ା ଶ ଶ ଶ ଶ ԯି ଴ ‫ߠ ׷‬ଶ௑ ൑ ߠଶ௒ վարկածնընդդեմԯଵ ‫ߠ ׷‬ଶ௑ ൐ ߠଶ௒ երկընտրանքային վարկածը, եթե ݊ ൌ ଶ ଶ ൌ ݉ ൌ 10, ‫ݏ‬଴௫ ൌ 4.5, ‫ݏ‬଴௬ ൌ 5.0 :

323 (կ). Ծխախոտ արտադրող գործարանը ուղարկել է երկու տարբեր լաբորատորիաներ ենթադրաբար նույնատիպ ծխախոտի նմուշներ: Կատարված հետազոտությունները տվել են ծխախոտի մեջ նիկոտինի պարունակության վերաբերյալ հետևյալ արժեքներ (միլիգրամներով )՝

I - ի լաբորատորիա` 24 27 26 21, II - րդ լաբորատորիա` 27 28 23 31 26 : Ըստ ստացված տվյալների 0.05 նշանակալիության մակարդակով որոշել՝ արդյոք հետազոտվել են նույնատի՞պ ծխախոտի նմուշներ, թե` ոչ, եթե ծխախոտի մեջ նիկոտինի պարունակությունը բավարարում է միևնույն ցրվածքով նորմալ օրենքին :

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

324 (կ). Որոշ գործարան արտադրում է երկու տեսակի պլաստմասսա: Հայտնի է, որ այդ պլաստմասսաների ամրության աստիճանները բաշխված են ߪଵ ൌ ߪଶ ൌ 1.0 պ. ( պասկալ ) ստանդարտ շեղումով և անհայտ միջիններով նորմալ օրենքով : Պատահականորեն վերցվել են այդ երկու տեսակի պլաստմասսաների ݊ଵ ൌ 10 և ݊ଶ ൌ 12 ծավալների նմուշներ, որոնց միջին ամրության աստիճանների համար ստացվել են ‫ݔ‬ଵ ൌ 164.1 պ. և തതത തതത ‫ݔ‬ଶ ൌ 155.0 պ. արժեքները: Պլաստմասսա արտադրող ընկերությունը

չի ընդունի I տեսակի պլաստմասսան, եթե հսկողության ժամանակ պարզվի, որ դրա ամրության աստիճանը չի գերազանցում II տեսակի պլաստմասսայի ամրության աստիճանը առնվազն 10 պասկալով: Կընդունի՞ արդյոք 0.01 նշանակալիության մակարդակով ընկերությունը I տեսակի պլաստմասսան, թե՝ ոչ: ି Ցուցում՝ ստուգվում է ԯା ଴ : ߤଵ െ ߤଶ  ൒ 10 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤଵ െ ߤଶ  ൏ 10: Տե՛ս խնդիր 311 :

325 (կ). 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել վարկած, որ երկու տարբեր տեսակի ավտոդողեր ունեցող ավտոմեքենաների միջին անցման ճանապարհները նույնն են, եթե այդ տիպի ավտոդողերով 40 - ական ավտոմեքենայից բաղկացած երկու շարասյան համար ստացվել են հետևյալ տվյալները՝ തതത ‫ݔ‬ଵ ൌ 36 500 կմ, ‫ݏ‬ଵ ൌ 2 200 կմ և തതത ‫ݔ‬ଶ ൌ 33 400 կմ, ‫ݏ‬ଶ ൌ 1 900 կմ: ௠ െ߬ ௗ തതതത തതതത ܺ௡ െ  ܻ  ՜ ԳሺͲǡͳሻǡ݊ ՜ λǡ݉ ՜ λզուգամիտությունիցǡ որտեղ ܵ ௡ ௡ ܵ௑ଶ ܵ௒ଶ ͳ ͳ ௡ ሻଶ ǡܵ ଶ ൌ ௠ ଶ തതതത തതതത ෍ሺܻ ܵ ଶ ‫׷‬ൌ   ൅  ǡܵ௑ଶ ൌ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ௜ െ ܻ ሻ  ‫׷‬ ௒ ݊ ݉ ݊ ݉

Ցուցում՝օգտվելԺ ‫׷‬ൌ Ժ௡ǡ௠ ൌ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

326 (կ). Որոշ թեկնածուի քաղաքապետ ընտրելու նպատակով երկու շրջաններում կատարվել են հարցումներ. արդյունքում I - ին շրջանում 248 հարցմանը մասնակիցներից կողմ են արտահայտվել 84 - ը , II - րդ շրջանում 279 մասնակիցներից կողմ են արտահայտվել՝ 81- ը: Ո՞ր շրջանում է ( 0.01 նշանակալիության մակարդա-

կով ) այդ թեկնածուի «ռեյտինգը» առավել բարձր: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 314 :

327 (կ). 20 հատ ծովային օցաձկների արյան մեջ նատրիումի պարունակության ստանդարտ շեղումը կազմել է ‫ݏ‬଴ ൌ 40.5 միավոր, իսկ 20 հատ գետի քաղցրահամ օցաձկների մեջ՝ ‫ݏ‬଴ ൌ 32.1 միավոր: Ենթադրելով օցաձկների արյան մեջ նատրիումի պարունակության վերաբերյալ նորմալ բաշխվածությունը՝ 0.1 մակարդակով ստուգել տեսական ցրվածքների էական տարբեր լինելու վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ տե՛ս բանաձև ሺͳʹǤͻሻ :

§ 17. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ՄԻՋԱԿԱՅՔԱՅԻՆ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

328 (կ). Բերվում են օրգանական և անօրգանական խախտումներ ունեցող երեխաների խմբերի միջև դեղորայք ընդունելուց հետո առողջացածների թվի տոկոսային տվյալները՝

օրգանական խախտումներով երեխաներ՝ 17.5, 20.6, 17.6, 28.9, 27.1, անօրգանական խախտումներով երեխաներ՝ 15.6, 14.7, 13.3, 12.5, 12.8 : Համարելով, որ նմուշները վերցված են նորմալ օրենքով բաշխված համախմբություններից, պարզել՝ էապե՞ս են տարբերվում, թե՝ ոչ 0.05 նշանակալիության մակարդակով օրգանական և անօրգանական խախտումներով երեխաների խմբերի մոտ առողջացածների միջին թվերը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 315 :

329 (կ). ݊ଵ ൌ ʹͲ և ݊ଶ ൌ ͶͲ ծավալի երկու տիպի սարքի անխափան աշխատելու ժամանակը կազմել է համապատասխանաբար՝ 3.2 և 3.6 հազար ժամ : 0.05 մակար-

դակով ստուգել՝ փոխվու՞մ է, թե՝ ոչ այդ սարքերի տեսական անխափան աշխատելու ժամանակը, եթե հայտնի է, որ դրանք բաշխված են ցուցչային օրենքով : Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 317 :

§ 18. Ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զఏ ‫࣪ א‬՝ ൫‫ܣ‬ఓ ൯ - պայմանը բավարարող պարամետրական բաշխումների դասից Զఏ բաշխմանը համապատասխանող նմուշ է: Դիտարկենք ԯ଴ : ߠ ‫ א‬ȣ଴ ‫ ؿ‬Թ௞

ընդդեմ

ԯଵ : ߠ ‫ א‬ȣଵ ‫ ؿ‬Թ௞

ሺ݇ ൒ ͳሻ

ሺͳͺǤͳሻ

բարդ վարկածների ստուգման խնդիրը, որտեղ ȣ଴ ‫ ׫‬ȣଵ ൌ ȣ, ȣ଴ ‫ ת‬ȣଵ ൌ ‫ ׎‬: Ճշմարտանմանության հարաբերության (ՃՀ) վիճականի կոչվում է •—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ

௡

Ȧ ‫׷‬ൌ Ȧሺܺ

௡ሻ

ൌ

ఏ‫஀א‬భ

•—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ఏ‫஀א‬బ

•—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ቌ

ఏ‫஀א‬భ

•—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ቍ

ఏ‫஀א‬బ

պատահական մեծությունը, որտեղ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൫‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ൯ - ը բացարձակ անընդհատ (դիսկրետ) ܺ պատահական մեծության ܺ ௡ նմուշին համապատասխանող ճշմարտանմանության ֆունկցիան է: Դիտարկենք նաև Ȧ௡ - ին համարժեք •—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ Ȧᇱ௡ ‫׷‬ൌ Ȧᇱ ሺܺ ௡ ǡ ȣ଴ ሻ ൌ

•—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ఏ‫஀א‬ ቌ ቍ൫Ȧᇱ௡ ൌ ƒšሺͳǡ Ȧ௡ ሻ൯ •—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ •—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ఏ‫஀א‬

ఏ‫஀א‬బ

ఏ‫஀א‬బ

վիճականին և առավել հաճախ կիրառվող •—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ഥ௡

ഥሺܺ ௡

Ȧ ‫׷‬ൌ Ȧ

ᇱ ሺܺ ௡

ǡ ȣ଴ ሻ ‫׷‬ൌ ͳΤȦ

ǡ ȣ଴ ሻ ൌ

ఏ‫஀א‬బ

•—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ ఏ‫஀א‬

•—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ቌ

ఏ‫஀א‬బ

•—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ቍ

ఏ‫஀א‬

վիճականին: ሺͳͺǤͳሻ խնդրին համապատասխանող ഥሺܺ ௡ ሺ߱ሻǡ ȣ଴ ሻ ൌ ߣҧሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ȣ଴ ሻቁ ࣲଵఈ ‫׷‬ൌ ࣲଵఈ ሺȣ଴ ሻ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ‫ߣ  ׷‬ҧሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ȣ଴ ሻ ൑ ܿఈ ൟ ቀȦ կրիտիկական տիրույթով հայտանիշը կոչվում է ճշմարտանմանության հարաբերության (ՃՀ) հայտանիշ, որտեղ ܿ ‫׷‬ൌ ܿఈ կրիտիկական եզրն ընտրվում է այնպես, որ հայտանիշն ունենա տվյալ ߙሺͲ ൏ ൏ ߙ ൏ ͳሻ չափը ՝



ഥ௡ ൑ ܿఈ ሻ ൌ ߙǡ Զఏ ሺܺ ௡ ‫ࣲ א‬ଵఈ ሻ ൌ න ݂ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ݀‫ ݔ‬௡ ൌ Զఏ ሺȦ

ߠ ‫ א‬ȣ଴ ‫׷‬

ࣲభഀ

Թեորեմ 18.1: Դիցուք ܺ ௡ ̱ Զఏ ‫ ࣪ א‬և ստուգվում է ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ պարզ վարկածն ընդդեմ

ԯଵ : ߠ ് ߠ଴

ሺͳͺǤʹሻ

երկկողմանի բարդ երկընտրանքային վարկածը, որտեղ ߠ଴ ൌ (ߠ଴ଵ ǡ …, ߠ଴௞ ሻ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թ௞ ՝ ȣ տիրույթի որոշակի ներքին կետ է: Այդ դեպքում, եթե բավարարվում են ሺܴܴሻ– պայմանները (տե՛ս § 9) և ճիշտ է ԯ଴ վարկածը, ապա տեղի ունի զուգամիտություն՝ ௗ

ഥሺܺ ௡ ǡ ߠ଴ ሻ  ՜ԯଶ ሺ݇ሻ, ܶ௡ ǣ ൌ െʹ Ž Ȧ ഥ ሺܺ ௡ ǡ ߠ଴ ሻ ‫׷‬ൌ որտեղȦ

‫݌‬ఏబ ሺܺ ௡ ሻ ݂ఏబ ሺܺ ௡ ሻ ቌ ቍ ‫׷‬ ௡ •—’ ݂ఏ ሺܺ ሻ •—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ఏ‫஀א‬

ఏ‫஀א‬

݊՜λ,

§ 18. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Թեորեմից հետևում է, որ մեծ ݊ - երի դեպքում ߙ մակարդակի ՃՀ հայտանիշը որոշվում է ࣲଵఈ ሺߠ଴ ሻ ǣ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ǣ െ ʹ Ž ɉതሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ߠ଴ ሻ ൒  ߯ఈଶ ሺ݇ሻൟ ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթով: Որպես ሺͳͺǤʹሻ վարկածը ստուգող ߙ նշանակալիության մա-

կարդակի կրիտիկական տիրույթ կարելի է դիտարկել նաև 

ᇱ ሺߠ ሻ ᇱᇱ ௡  ் ௡ ᇱ ଶ ᇱᇱ ் ଶ ෠ ࣲଵఈ ଴ ‫׷‬ൌ ሼ‫ܶ  ׷ ݔ‬௡ ൌ ߟ௡ ॴሺߠ଴ ሻ ߟ௡  ൒  ߯ఈ ሺ݇ሻሽ կամ ࣲଵఈ ሺߠ଴ ሻ ‫׷‬ൌ ൛‫ܶ  ׷ ݔ‬௡ ൌ  ߟ௡ ॴ൫ߠ௡ ൯ ߟ௡  ൒  ߯ఈ ሺ݇ሻൟ

ሺͳͺǤ͵ሻ ௗ

բազմությունները, որտեղ ߠ෠௡ - ը ߠ ‫ א‬Թ௞ պարամետրի ՃՄ գնահատականն է,ߟ௡ ‫׷‬ൌ ξ݊൫ߠ෠௡ െ ߠ଴ ൯ ՜ ௗ

՜ߟ଴ ̱Գ௞ ሺͲǡ ॴሺߠ଴ ሻିଵ ሻ, երբ ݊ ՜ λ, ॴሺߠ଴ ሻ - ն՝ Ֆիշերի տեղեկատվական մատրիցի արժեքն է ߠ଴ կետում: Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ ԯ଴ վարկածը բարդ է՝ ԯ଴ : ߠ ‫ א‬ȣ଴ ‫ ؿ‬ȣ ሺȣ ‫ ك‬Թ௞ ǡ†‹ȣ ൌ ݇ሻ, ȣ଴ ‫׷‬ൌ ሼߠ ‫ א‬ȣ ‫ ߠ ׷‬ൌ ሺߠ଴ ǡ ߠ ᇱ ሻǡߠ଴ ‫ א‬Թ௞ି௥ ǡߠ ᇱ ‫ א‬Թ௥ ሽ, Ͳ ൏ ‫ ݎ‬൏ ݇, dim ȣ଴ ൌ ‫ݎ‬,

ሺͳͺǤͶሻ

որտեղ ߠ଴ - ն՝ ֆիքսված է: Թեորեմ 18.2: Դիցուք ܺ ௡ ̱Զఏ ‫ ࣪ א‬և ստուգվում է ሺͳͺǤͶሻ բարդ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ‫ א‬ȣଵ ൌ ൌ ȣ ‫ ך‬ȣ଴ երկընտրանքայինը: Եթե բավարարվում են ሺܴܴሻ- պայմանները և ճիշտ է ԯ଴ վարկածը, ապա

տեղի ունի զուգամիտություն՝ ௗ

ഥ ௡ ՜ԯଶ ሺ݇ െ ‫ݎ‬ሻ, ܶ௡ ǣ ൌ െʹ ŽȦ

݊ ՜ λ,

•—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ •—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ఏ‫஀א‬ ഥ௡ ‫׷‬ൌ Ȧ ഥሺܺ ௡ ǡ ȣ଴ ሻ ൌ ఏ‫஀א‬బ որտեղȦ ቌ బ ቍ ‫׷‬ •—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ •—’ ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ఏ‫஀א‬

ఏ‫஀א‬

ߙ չափի ՃՀ հայտանիշն այդ դեպքում որոշվում է ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ǣ െ ʹ Ž ɉതሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ȣ଴ ሻ  ൒  ߯ఈଶ ሺ݇ െ ‫ݎ‬ሻൟ ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթով:

330. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Գሺߠǡ ͳሻ նմուշ է նորմալ բաշխումից : Ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߠ ൏ ߠ଴ երկընտրանքայինը: ௡ െ ߠ ሻଶ ቅ : ഥ௡ ൌ exp ቄെ ௡ ሺܺ തതതത Ցուցում՝ ՃՀ վիճականին է՝ Ȧ ଴ ଶ

331. Դիցուք ܺ ௡ ̱ Սሺߠሻ նմուշ է Պուասոնի բաշխումից : Ստուգել ասիմպտոտիկ

ՃՀ հայտանիշի միջոցով ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ߠ଴ մրցող վարկածը: Ցուցում՝

օգտվել ՃՄ գնահատականի ասիմպտոտիկ արդյունավետությունից և ሺͳͺǤ͵ሻ ներկա-

յացումներից:

332. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॳሺߠሻ նմուշ է երկրաչափական բաշխումից : Ասիմպտոտիկ ՃՀ

հայտանիշի միջոցով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ ߠ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ ് ߠ଴ երկընտրանքայինը:

§ 18. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

333. ܺ ௡ ̱ ॱሺߠଵ ሻ և ܻ ௠ ̱ ॱሺߠଶ ሻ միմյանցից անկախ ցուցչային բաշխումների դա-

սերից նմուշներ են: Կառուցել ԯ଴ : ߠଵ ൌ ߠଶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠଵ ് ߠଶ երկընտրանքայինը ստուգող ասիմպտոտիկ ՃՀ հայտանիշը: ௡

334. Դիցուք ܺ௝ ೕ ̱ Ս൫ߠ௝ ൯ǡ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇միմյանցից անկախ Պուասոնի բաշխում-

ների դասերից ݊௝ ծավալի նմուշներ են: Կառուցել ԯ଴ : ߠଵ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ߠ௞ համասեռության վերաբերյալ վարկածը ստուգող ասիմպտոտիկ ՃՀ հայտանիշը: ૜૜૞‫ כ‬Ǥ Ենթադրենք

௡

ܺ௝ ೕ ̱Գ൫ߠ௝ ǡ ߪ௝ଶ ൯, ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ միմյանցից անկախ ݊௝ ծավալի

նորմալ բաշխումների դասերից նմուշներ են: Կառուցել ԯ଴ : ߠଵ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ߠ௞ ൌ ߠ ଴ համասեռության վարկածը ստուգող ասիմպտոտիկ ՃՀ հայտանիշը: Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

336 (մ). Դիցուք ܺ ௡ ̱ॱሺߠሻ, ݊ ൌ ͳͲ, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 2.5 : 0.05 նշանակալիության մակարդա-

կով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ 0.5 վարկածն ընդդեմ ԯ଴ : ߠ ് 0.5 երկընտրանքայինը: Ցուցում՝ ցույց տալ, որ ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ǣɉത௡ ൑ ܿൟ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣߠ଴ തതത ‫ ݔ‬௡ ൑ ݇ሽ ቀɉത௡ ൌ ߣҧሺ‫ ݔ‬௡ ǡ Ʌ଴ ሻቁ:

337. Ենթադրենք

ܺ ௡ ̱ Սሺߠሻǡ݊ ൌ ͳͲͲ, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 17.5 ǣ0.05 նշանակալիության մա-

կարդակովստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ 18 վարկածն ընդդեմ ԯ଴ : ߠ ് 18 երկընտրանքայինը: 338. Դիցուք ܺ ௡ ̱ ९‡”ሺߠሻ, ݊ ൌ ʹͲͲ, ത‫ݔ‬തത௡ത ൌ 0.55 ǣ 0.05 նշանակալիության մակար-

դակով ստուգել ԯ଴ : ߠ ൌ 0.6 վարկածն ընդդեմ ԯ଴ : ߠ ് 0.6 երկընտրանքայինըǣ ૜૜ૢǤԴիցուքܺ

݊

ʹ

݊

ʹ

തതതതത തതതതത ݊ ൌ ʹǤ͹ǡ ෍ ቀ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ ݊ ቁ ൌ ʹʹͷ ‫ ࢻ ׷‬ൌ ૙Ǥ ૙૚ ̱Գ ቆߠͳǡ ߠʹቇ ǡ݊ ൌ ͳͲͲǡ‫ݔ‬ ݅

݅ൌͳ

նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠଵ ൌ 3, ߠଶଶ ൌ 2.5 վարկածն ընդդեմ ԯ଴ : ߠଵ ് 3, ߠଶଶ ് 2.5 երկընտրանքայինը: 340. Խնդիր 339 - ի պայմաններում 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߠଵ ൌ ߠଶଶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠଵ ് ߠଶଶ երկընտրանքայինը: ௡

341. Ենթադրենք ܺ௝ ೕ ̱ Ս൫ߠ௝ ൯,݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ Ͷմիմյանցից անկախ Պուասոնի բաշ-

խումների դասերից ݊௝ ծավալի նմուշներ են, ݊ଵ ൌ 120, ݊ଶ ൌ 100, ݊ଷ ൌ 100 , ݊ସ ൌ 125, ௡య ௡భ ௡మ ௡ర തതതതത തതതതത തതതതത തതതതത իսկ նմուշային միջինները հավասար են՝ ‫ݔ‬ ଵ ൌ 251, ‫ݔ‬ଶ ൌ 323, ‫ݔ‬ଷ ൌ 180, ‫ݔ‬ସ ൌ 426:

0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել՝ համընկնու՞մ են, արդյոք այդ բաշխումների ինտենսիվությունները, թե՝ ոչ:



§ 18. ՃՇՄԱՐՏԱՆՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

342 (կ). Բերվում են որոշակի օրերի ընթացքում 4 ապահովագրական ընկերությունների դիմաց քաղաքացիների թվի վերաբերյալ հետևյալ տվյալները՝ I

ընկերություն՝ ‫ݔ‬ଵ భ

௡

15, 17, 14, 12,

݊ଵ ൌ Ͷ

௡ ‫ݔ‬ଶ మ ௡ ‫ݔ‬ଷ య ௡ ‫ݔ‬ସ ర

12, 10, 13, 17,

݊ଶ ൌ Ͷ

11, 14, 13, 15, 12,

݊ଷ ൌ ͷ

II ընկերություն՝ III ընկերություն՝ IV ընկերություն՝

13, 12, 12, 14, 10, 9, ݊ସ ൌ ͸ :

Համարելով, որ այդ տվյալները բավարարում են միևնույն անհայտ ցրվածքով նորմալ

օրենքներին, ստուգել 0.05 նշանակալիության մակարդակով այդ տվյալների համասեռության (այսինքն՝ միջինների հավասարության) վերաբերյալ վարկածը: ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ǣɉത௡ ൑ ܿఈ ൟ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣ݂௡ ൒ ܵఈ ሺ݇ െ ͳǡ ݊ െ ݇ሻሽǡ որտեղ ܵఈ ሺ݇ െ ͳǡ ݊ െ ݇ሻ - ը՝ Ֆիշեր – Սնեդեկորի կրիտիկական կետն է, ݊ ൌ σ ݊௝ , ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ Ͷ, ݇ ൌ Ͷ, Ցուցում՝ օգտվել այն փաստից, որ

௞

௞

௡ೕ

ͳ ͳ ଶ ଶ ݂௡ ‫׷‬ൌ ቌ ෍ ݊௝ ൫‫ݔ‬ҧ௝ െ ‫ݔ‬ҧ ൯ ቍ൙ቌ ෍ ෍ ൫‫ݔ‬௝௠ െ ‫ݔ‬ҧ௝ ൯ ቍǡ ݇െͳ ௝ୀଵ ௠ୀଵ

௝ୀଵ ௡ೕ

௡ೕ ‫ݔ‬௝

௞

௡ೕ

ͳ ͳ ‫׷‬ൌ  ቀ‫ݔ‬௝ଵ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௝௡ೕ ቁǡ‫ݔ‬ҧ௝ ‫׷‬ൌ   ෍ ‫ݔ‬௝௠ ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ǡ‫ݔ‬ҧ ‫׷‬ൌ ෍ ෍ ‫ݔ‬௝௠ ‫׷‬ ݊௝ ݊ ௠ୀଵ

௝ୀଵ ௠ୀଵ

ଶ ሻ ଶ ሻ 343. Դիցուք ܺ ௡భ ̱ Գሺߠ௑ଵ ǡ ߠ௑ଶ և ܻ ௡మ ̱ Գሺߠ௒ଵ ǡ ߠ௒ଶ միմյանցից անկախ նմուշներ են, ݊ଵ ൌ ݊ଶ ൌ ݊ ൌ 20, ‫ݏ‬௫ ൌ 40.5, ‫ݏ‬௬ ൌ 32.1 : Ստուգել 0.1 նշանակալիության մաଶ ଶ ଶ ଶ ൌ ߠ௒ଶ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߠ௑ଶ ് ߠ௒ଶ երկընտրանքայինը: կարդակով ԯ଴ : ߠ௑ଶ

Ցուցում՝ օգտվել կրիտիկական բազմության հետևյալ ներկայացումից, որտեղ ݂଴ ‫׷‬ൌ ‫ݏ‬௫ଶ ൗ‫ݏ‬௬ଶ ՝ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣɉത௡ ൑ ܿఈ ൟ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣ ݂଴ ൑ ܵଵିఈΤଶ ሺ݊ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻ  ‫݂  ׫‬଴ ൒ ܵఈ Τଶ ሺ݊ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻൟ :

344 (կ). Բերված են ցուցչային օրենքով բաշխված երկու տիպի սարքերի անխափան աշխատելու տևողությունների վերաբերյալ (հազարական ժամով ) տվյալները՝ Անխափան աշխատանք Հաճախություններ

Անխափան աշխատանք Հաճախություններ

(0, 5]

(0, 8]

(5, 10]

(10, 15]

(8, 16]

(15, 20]

(16, 24]

(20, 25]

(25, 30]

(24, 32]

I տիպի սարքեր

II տիպի սարքեր

Ստուգել՝ նույննե՞ն, թե՝ ոչ 0.05 նշանակալիության մակարդակով այդ սարքերի միջին ծառայության ժամանակները: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր 333 :

§ 19. Պիրսոնի ࣑૛ െ համաձայնության հայտանիշ Պարզ վարկածի ստուգում Դիցուք ܺ ௡ - ը Զ բաշխում ունեցող ܺ պատահական մեծության նմուշ է, իսկ Զ଴ ‫࣪ א‬՝ որոշակի

հայտնի բաշխում: Պահանջվում է ստուգել ԯ଴ ‫  ׷‬Զ ൌ Զ଴ պարզ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ‫ ׷‬Զ ് Զ଴ բարդ երկընտրանքային վարկածը: Հայտանիշը հիմնված է վիճակագրական տվյալների խմբավորման

մեթոդի վրա: Ենթադրենք ܺ պատահական մեծության ࣲ ‫׷‬ൌ ܺሺȳሻ արժեքների բազմությունը (գլխավոր համա-

խմբությունը) տրոհված է ‫ ݎ‬հատ οյ ‫׷‬ൌ ሾ‫ݖ‬௝ିଵ ǡ ‫ݖ‬௝ ሻ միջակայքերի՝ ௥

ࣲ ൌ ራ οյ ǡ ο௜ ‫ ת‬ο௞ ൌ ‫׎‬ǡ݅ ് ݇ǡ݅ǡ ݇ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݎ‬ǡ ௝ୀଵ

որտեղ െλ ൑ ܽ ൌ ‫ݖ‬଴ ൏ ‫ݖ‬ଵ ൏ ‫ ڮ‬൏ ‫ݖ‬௥ିଵ ൏ ‫ݖ‬௥ ൌ ܾ ൑ ൅λ (ࣲ ൌ ሾܽǡ ܾሻሻ: Սովորաբար տրոհման ‫ݖ‬௜ կետերն ընտրում են այնպես, որ ௥

ͳ ‫݌‬௜଴ ‫׷‬ൌ Զ଴ ሺܺ ‫ א‬ο௜ ሻ ൌ ॲ଴ ሺ‫ݖ‬௜ ሻ െ ॲ଴ ሺ‫ݖ‬௜ିଵ ሻ ൌ ൫ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զ଴ ሺܺ ൏ ‫ݔ‬ሻ൯ǡ෍ ‫݌‬௜଴ ൌ ͳ ‫׷‬ ‫ݎ‬ ௜ୀଵ

௡

Նշանակենքߥ௝‫כ‬

‫׷‬ൌ ෍ ૤οೕ ሺܺ௜ ሻ ൌ

‫כ‬ ݊Զ௡ ൫οյ ൯ǡ݆

ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݎ‬՝οյ միջակայքերինմուշայինհաճախություններըǣ

௜ୀଵ

ԯ଴ ǣԶ ൌ  Զ଴  վարկածի դեպքումߥ ‫ כ‬ൌ ሺߥଵ‫ כ‬ǡ ǥ ǡ ߥ௥‫ כ‬ሻ ̱ॸሺ݊Ǣ‫݌‬ଵ଴ ǡ ǥ ǡ ‫݌‬௥଴ ሻ վեկտորն ունի բազմանդամային ௥

բաշխումǡ որտեղ ෍ ߥ௜ ൌ ݊ ǣԱյսպիսով՝ԯ଴ վարկածըկարելիէփոխարինելԯᇱ଴ ‫ॸ̱ כ ߥ  ׷‬ሺ݊Ǣ‫݌‬ଵ଴ ǡ ǥ ǡ ‫݌‬௥଴ ሻվարǦ ௜ୀଵ

կածով այնպես, որ ԯᇱ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ߥ௝‫« כ‬ապոստերիոր» հաճախությունները պետք է «քիչ» տարբերվեն «ապրիոր» կամ սպասվող ॱߥ௝‫ כ‬ൌ ݊‫݌‬௝଴ ቀߥ௝‫̱ כ‬९‹൫‫݌‬௝଴ ǡ ݊൯ቁ հաճախություններից:

Կ. Պիրսոնը առաջարկել է որպես Զ‫כ‬௡ և Զ଴ բաշխումների միջև շեղման չափ («հեռավորություն») դիտարկել հետևյալ վիճականին ( ࣑૛ െ վիճականի )՝ ௥ ‫כ‬ ݀ఞమ ሺԶ௡ ǡ Զ଴ ሻ ‫׷‬ൌ ߯Ƹ௡ଶ ‫׷‬ൌ ෍ ௜ୀଵ

ሺߥ௜‫ כ‬െ ݊‫݌‬௜଴ ሻଶ

௥

ൌ෍ ௜ୀଵ

ሺߥ௜‫ כ‬ሻଶ

 െ ݊ ‫׷‬

Թեորեմ 19.1 (Կ. Պիրսոն): ԯ଴ (կամԯᇱ଴) վարկածը բավարարվելու դեպքում տեղի ունի զուգամիտուௗ

թյուն ՝ ߯Ƹ௡ଶ  ՜  ԯଶ ሺ‫ ݎ‬െ ͳሻǡ݊ ՜ λ ‫׷‬ Թեորեմից հետևում է, որ տրված ߙ (0൏ ߙ ൏ ͳ) նշանակալիության մակարդակի համար ճիշտ է ଶ Զ଴ (߯Ƹ ௡ଶ  ൒ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ͳሻ) ՜ Զ(߯௥ିଵ ൒ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ͳሻ) ൌ ߙǡ ݊ ՜ λ ଶ զուգամիտությունը, որտեղ ߯௥ିଵ ̱ ԯଶ ሺ‫ ݎ‬െ ͳሻ՝ ሺ‫ ݎ‬െ ͳሻ ազատության աստիճաններով ࣑૛ െ բաշխում ունեցող պատահական մեծություն է, իսկ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ͳሻ - ը՝ նրա ߙ մակարդակի կրիտիկական կետը :

Գործնականում Պիրսոնի թեորեմը կիրառվում է, երբ ݊ ൐ ͷͲǡ ߥ௜ ൐ 5, ݊‫݌‬௜଴ ൐ ͷǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ ݎ‬:

Բարդ վարկածի ստուգում Դիցուք պահանջվում է ստուգել վարկած, որ ܺ պատահական մեծությունն ունի Զ բաշխում, որը պատկանում է որոշակի ࣪଴ ‫ ࣪ ؿ‬պարամետրական բաշխումների դասին և ࣪଴ ‫ ׷‬ൌ ሼԶఏ ǣ ߠ ‫ א‬ȣ଴ ‫ ؿ‬Թ௞ ǡ ݇ ൒ ͳሽ: Այսպիսով՝ ܺ պատահական մեծության ܺ ௡ նմուշի միջոցով պետք է ստուգել ԯ଴ : Զ ൌ Զఏ ‫࣪ א‬଴ բարդ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Զ ൌ Զఏ ‫࣪ ב‬଴ բարդ երկընտրանքայինը:

ሺͳͻǤͳሻ

§ 20. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Ենթադրենք ܺ պատահական մեծության ࣲ ൌ ܺሺȳሻ ൌ ሾܽǡ ܾሻ ‫ ك‬Թ արժեքների բազմությունը տրոհված է ‫ ݎ‬հատ οյ ൌ ሾ‫ݖ‬௝ିଵ ǡ ‫ݖ‬௝ ሻ միջակայքերի՝ ௥

ࣲ ൌ ራ ο௝ ǡο௜ ‫ ת‬ο௞ ൌ ‫׎‬ǡ݅ ് ݇ǡ݅ǡ ݇ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫׷ ݎ‬ ௝ୀଵ ௡

Նշանակենքߥ௝‫׷ כ‬ൌ ෍ ૤οೕ ሺܺ௜ ሻ ൌ ݊Զ‫כ‬௡ ൫οյ ൯ǡ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݎ‬՝οյ միջակայքերինմուշայինሺǼապոստերիորǽሻհաǦ ௜ୀଵ

ճախությունները և ߥ ‫ כ‬ൌ ሺߥଵ‫ כ‬ǡ ǥ ǡ ߥ௥‫ כ‬ሻ- ով՝ հաճախությունների վեկտորը: ܺ պատահական մեծության ապրիոր » բաշխումն է ՝ «ա ‫݌‬௝ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ Զఏ ൫ܺ ‫ א‬ο௝ ൯ ൌ ॲఏ ൫‫ݖ‬௝ ൯ െ ॲఏ ൫‫ݖ‬௝ିଵ ൯,

ॲఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զఏ ሺܺ ൏ ‫ݔ‬ሻ,

այնպես, որ ࣑૛ – վիճականին կլինի կախված անհայտ ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ǥ ǡ ߠ௞ ሻ պարամետրից՝ ௥

߯Ƹ௡ଶ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ ෍

ቀߥ௝‫ כ‬െ ݊‫݌‬௝ ሺߠሻቁ

ଶ

݊‫݌‬௝ ሺߠሻ

௝ୀଵ

௥

ଶ

ൌ෍ ௝ୀଵ

൫ߥ௝‫ כ‬൯  െ ݊ ‫  ׷‬ሺͳͻǤʹሻ ݊‫݌‬௝ ሺߠሻ

Որպեսզի այս վիճականին կիրառվի ሺͳͻǤͳሻ վարկածները ստուգելու համար անհրաժեշտ է գնահատել ߠ պարամետրը: Դիտարկենք ߥ ‫ כ‬ൌ ሺߥଵ‫ כ‬ǡ ǥ ǡ ߥ௥‫ כ‬ሻ̱ॸ൫݊Ǣ‫݌‬ଵ ሺߠሻǡ ǥ ǡ ‫݌‬௥ ሺߠሻ൯ վեկտորի ճշմարտանմանության ֆունկցիան՝ ‫݌‬ఏ ሺߥሻ ‫׷‬ൌ Զఏ ሺߥ ‫ כ‬ൌ ߥሻ ൌ Զఏ ሺߥଵ‫ כ‬ൌ ߥଵ ǡ ǥ ǡ ߥ௥‫ כ‬ൌ ߥ௥ ሻ ൌ 

௥

௥

௝ୀଵ

௝ୀଵ

݊Ǩ ఔ ෑൣ‫݌‬௝ ሺߠሻ൧ ೕ ǡቌ෍ ߥ௝ ൌ ݊ቍǣ ߥଵ Ǩ ǥ ߥ௥ Ǩ

Բազմանդամային ճշմարտանմանության հավասարումների համակարգ կոչվում է

߲

‫ ܮ‬ሺߥሻ ൌ Ͳǡ

߲ߠ௠ ఏ

݉ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ǡሺͳͻǤ͵ሻ

համակարգը, որտեղ ௥

‫ܮ‬ఏ ሺߥሻ ‫׷‬ൌ Ž ‫݌‬ఏ ሺߥሻ ൌ Ž

݊Ǩ ൅ ෍ ߥ௝ Ž ‫݌‬௝ ሺߠሻ ߥଵ Ǩ ǥ ߥ௥ Ǩ ௝ୀଵ

բազմանդամային լոգարիթմական ճշմարտանմանության ֆունկցիան է, այնպես, որ ሺͳͻǤ͵ሻ համակարգը կընդունի ௥

ߥ௝ ߲‫݌‬௝ ሺߠሻ ߲ ‫ ܮ‬ሺߥሻ ൌ ෍ ή ൌ Ͳǡ ‫݌‬௝ ሺߠሻ ߲ߠ௠ ߲ߠ௠ ఏ

݉ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ሺͳͻǤͶሻ

௝ୀଵ

տեսքը: ȣ଴ ‫ ؿ‬Թ௞ բազմությունից արժեքներ ընդունող այն ߠ෨ ǣ ൌ ߠ෨ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ൫ߠ෨ଵ ǡ ǥ ǡ ߠ෨௞ ൯ վիճականին, որի դեպքում ‫݌‬ఏ ሺߥሻ൫կամ‫ܮ‬ఏ ሺߥሻ൯ ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն արժեքը և որը բավարարում է ሺͳͻǤͶሻ պայմանները, կոչվում է բազմանդամային ճշմարտանմանության մաքսիմումի ( ՃՄ ) գնահատական: Տեղադրելով այդ գնահատականը ߠ պարամետրի փոխարեն ‫݌‬௝ ሺߠሻ ֆունկցիաներում և նշանակելով ‫݌‬෤௝ ‫׷‬ൌ ‫݌‬௝ ൫ߠ෨ ൯՝ ሺͳͻǤʹሻ վիճականին կընդունի հետևյալ տեսքը՝ ௥

߯Ƹ ௡ଶ ൫ߠ෨൯ ൌ ෍ ௝ୀଵ

ଶ

௥

ଶ

൫ߥ௝‫ כ‬െ ݊‫݌‬෤௝ ൯ ൫ߥ௝‫ כ‬൯ ൌ෍  െ ݊ ‫׷‬ ௝ୀଵ

§ 19. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Թեորեմ 19.2 ሺՖիշերሻǣ Դիցուք ‫݌‬௝ ሺߠሻ, ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ ݎ‬ֆունկցիաները բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ଴ ‫ ؿ‬Թ௞ - ի համար (݇ ൏ ‫ ݎ‬െ ͳ) բավարարում են հետևյալ պայմանները՝ ௞ǡ௥

ͳǤ‫݌‬௝ ሺߠሻ ൒ ܿ ൐ Ͳǡ‫݌‬௝ ሺߠሻ ‫ ܥ א‬ሺଶሻ ሺȣ଴ ሻǡ

ʹǤ”ƒ ብ

߲‫݌‬௝ ሺߠሻ ብ ߲ߠ௜ ௜ǡ௝ୀଵ

Այդ դեպքում ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում տեղի ունի ௗ

߯Ƹ௡ଶ ൫ߠ෨൯  ՜  ԯଶ ሺ‫ ݎ‬െ ݇ െ ͳሻǡ݊ ՜ λ

զուգամիտությունը, որտեղ ߠ෨ - ը ߠ- ի բազմանդամային ՃՄ գնահատականն է : Այսպիսով՝ տրված ߙ ( 0൏ ߙ ൏ ͳ) նշանակալիության մակարդակի համար ճիշտ է ଶ Զఏ෩ (߯Ƹ ௡ଶ ൫ߠ෨ ൯ ൒ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ݇ െ ͳሻ) ՜ Զ(߯௥ି௞ିଵ ൒ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ݇ െ ͳሻ) ൌ ߙ ,

݊՜λ

զուգամիտությունը, այնպես, որ ࣑૛ െ հայտանիշի ߙ նշանակալիության մակարդակի ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ‫߯  ׷‬Ƹ ௡ଶ ൫ߠ෨൯ ൒ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ݇ െ ͳሻൟ:

345. 4000 անկախ փորձեր կատարելիս ‫ܣ‬ଵ ǡ ‫ܣ‬ଶ և‫ܣ‬ଷ լրիվ խումբ կազմող պատահույթները ի հայտ են եկել, համապատասխանաբար՝ ߥଵ ൌ 1905, ߥଶ ൌ 1015 և ߥଷ ൌ 1080 անգամ: 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել՝ համաձայնեցվու՞մ են, արդյոք ͳ ͳ այդ տվյալները ԯ଴ : ‫݌‬ଵ ൌ , ‫݌‬ଶ ൌ ‫݌‬ଷ ൌ վարկածի հետ, թե՝ ոչ, որտեղ ‫݌‬௜ ൌ Զሺ‫ܣ‬௜ ሻǡ ʹ Ͷ ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ : Գտնել իրական հասանելի նշանակալիության մակարդակը (Զ - արժեքը )ǣ 346. ߨ թվի ստորակետից հետո տասնորդական ներկայացման 10 002 նիշերի մեջ 0, 1, …, 9 թվերը հանդիպում են, համապատասխանաբար՝ 968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970, 948, 1014 անգամ: Կարելի՞ է, արդյոք 0.05 նշանակալիության մակարդակով համարել, որ ߨ թվի գրառման մեջ այդ թվերի ի հայտ գալը պատահական (հավասարահնարավոր) է ‫ ׷‬Ո՞ ր նշանակալիության մակարդակի համար այդ վարկածը կհերքվի: Ցուցում՝ ստուգել ԯ଴ : ‫݌‬଴ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ‫݌‬ଽ ൌ

ଵ ଵ଴

վարկածը, որտեղ ‫݌‬௜ ൌ Զሺߦ ൌ ݅ሻǡ ݅ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ ͻǣ

347. Փորձի ընթացքում դիտվել են 0.01 ճշտությամբ մոտարկված և աճման կարգով վերադասավորված դրական անընդհատ պատահական մեծության հետևյալ արժեքները՝ 0.01 0.01 0.04 0.17 0.18 0.22 0.22 0.25 0.25 0.29 0.42 0.46 0.47 0.47 0.56 0.59 0.67 0.68 0.70 0.72 0.76 0.78 0.83 0.85 0.87 0.93 1.00 1.01 1.01 1.02 1.03 1.05 1.32 1.34 1.37 1.47 1.50 1.52 1.54 1.59 1.71 1.90 2.10 2.35 2.46 2.46 2.50 3.73 4.07 6.03 :

§ 19. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Խմբավորելով տվյալները հավասար հավանականությամբ 4 միջակայքերի 0.1 նը-

շանակալիության մակարդակով ստուգել ܺ ௡ նմուշը ստանդարտ ցուցչային օրենքով բաշխված լինելու ԯ଴ : ܺ ௡ ̱ ॱሺͳሻ վարկածը: Գտնել նաև ԶǦ արժեքը: ଵ

ଵ

ସ

ସ

Ցուցում՝ [ܽ௜ , ܽ௜ାଵ ሻ միջակայքերի սահմանները գտնել ͳ െ ݁ ି௔భ ൌ , ݁ ି௔೔ െ݁ ି௔೔శభ ൌ , ݅ ൌ ͳǡ ʹ պայմաններից:

348. Կարելի՞ է, արդյոք հետևյալ ‫ݔ‬௜

൒ͷ

ߥ௜ 20 57 98 85 78

տվյալների հիման վրա 0.1 նշանակալիության մակարդակով եզրակացնել, որ համապատասխան պատահական մեծությունը բաշխված է Պուասոնի օրենքով : ௡ ൌ ͵` ߣ - ի բազմանդամային ՃՄ գնահատականն է : തതത Ցուցում՝ ցույց տալ, որ ߣሚ ൌ ‫ݔ‬

349. Տրված է դրական պատահական մեծության հաճախականային բաշխումը՝ Միջակայքերը Հաճախությունները

൏ ʹǤ͸

[2.6, 3.8) [3.8, 5) [5, 6.2) [6.2, 7.4) ൒ ͹ǤͶ

0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել վարկած, որ այդ տվյալները նկարագրում են Գሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ նորմալ օրենքով բաշխված պատահական մեծությունը: Ցուցում ` որպես ݉ և ߪ ଶ պարամետրերի գնահատականներ վերցնել՝ തതത ‫ ݔ‬௡ և ‫ ݏ‬ଶ բնութագրիչները:

350. 8002 անկախ փորձեր կատարելիս լրիվ խումբ կազմող ‫ܣ‬ǡ ‫ܤ‬և‫ ܥ‬պատահույթները ի հայտ են եկել, համապատասխանաբար, 2014, 5008 և 980 անգամ: Ճի՞շտ է արդյոք 0.05 նշանակալիության մակարդակով հետևյալ վարկածը՝

ԯ଴ : Զሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ͲǤͷ െ ʹߠ, Զሺ‫ܤ‬ሻ ൌ ͲǤͷ ൅ ߠ, Զሺ‫ܥ‬ሻ ൌ ߠ ሺͲ ൏ ߠ ൏ ͲǤʹͷሻ :

Ցուցում՝ գտնել ߠ պարամետրի բազմանդամային ՃՄ գնահատականը :

351 (կ). Բերված են երկու ժամագործների ցուցարկղերում ցուցադրված, յուրաքանչյուրում 500 - ական ժամացույցների, ցուցումների երկու նմուշ՝ Ցուցումների միջակայքերը Հաճախությունները

0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12

1 խումբ 41 34 54 39 49 45 41 33 37

2 խումբ 36 47 41 47 49 45 32 37 40

§ 19. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Համաձայնեցվու՞մ են, արդյոք 0.05 մակարդակով այդ տվյալները ժամացույցների ցուցումները (0, 12) միջակայքում հավասարաչափ բաշխված լինելու վարկածի հետ: ଴ Ցուցում՝ ստուգել ԯ଴ : ‫݌‬ଵ଴ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ‫݌‬ଵଶ ൌ

ଵ ଵଶ

վարկածը:

352 (կ). Ոսկու լուծույթի բարակ շերտում հավասար ժամանակահատվածներում գրանցվել են որոշ քանակությամբ ոսկու մասնիկներ: 517 դիտումների արդյունքում ստացվել են հետևյալ տվյալները`

Մասնիկների թիվը Փորձերի թիվը (ߥ௝ )

112 168 130

0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ ժամանակահատվածներում մասնիկների թվի Պուասոնի օրենքով բաշխված լինելու վարկածը: Ցուցում՝ ցույց տալ, որ բազմանդամային ՃՄ գնահատականը ߣ ինտենսիվության համար ߣሚ  ൌ ௡ തതതത ൌ  ܺ  վիճականին է ( աղյուսակում բերված 5 – 7 խմբերը միացնել ):

353 (կ). Ապահովագրական ընկերության մասնաճյուղը առաջարկում է 5 տարբեր տեսակի ապահովագրեր: Որոշակի օրվա ընթացքում 1 անձի հետ մասնաճյուղում կնքված պայմանագրերի հաճախականային բաշխումն ունի հետևյալ տեսքը՝ 1 օրում կնքված պայմանագրերի թիվը

Հաճախությունները

Կարելի՞ է, արդյոք 0.05 նշանակալիության մակարդակով համարել, որ այդ տվյալները բավարարում են բինոմական օրենքին (համարել, որ յուրաքանչյուր ապահովագիր անկախ տեսակից վաճառվում է 0.4 հավանականությամբ): Ցուցում՝ միացնել վերջին երկու խմբերը:

354 (կ). Ուսումնասիրվում են տվյալ շրջանի 3 երեխա ունեցող ընտանիքները: Պատահական ընտրված 160 այդպիսի ընտանիքներում տղա երեխա ունեցողների համար ստացվել է հետևյալ հաճախականային բաշխումը՝ Տղաների թիվը

Հաճախությունը (ߥ௜ ሻ

§ 19. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ շրջանում 3 երեխա ունեցող ընտանիքներում տղաների թվի բինոմական օրենքով բաշխված լինելու վարկածը: Գտնել ԶǦ արժեքը: Ցուցում՝ ցույց տալ, որ 3 երեխա ունեցող ընտանիքներում տղա երեխա ունենալու ߠ հավանակաଵ նության բազմանդամային ՃՄ գնահատականը ՝ ߠ෨ ൌ ( ߥଵ + 2ߥଶ + 3ߥଷ ) վիճականին է: ଷ௡

355 (կ). Խաղարկային հանձնաժողովը հայտարարում է, որ նոր տեսակի խաղի մասնակիցը 0.1 հավանականությամբ կարող է շահել 1 $, 0.05 հավանականութամբ՝ 100 $ և 0.85 հավանականությամբ՝ ոչինչ չի շահի: Որպեսզի ստուգվի այդ հայտարարությունը նախորդ խաղարկության հաղթողներից մեկը ձեռք բերեց այդ խաղի 1000 տոմս, որից 87 հատը շահեց 1 $, 48 հատը՝ 100 $, իսկ մնացածը՝ ոչինչ չշահեց: Համապատասխանու՞մ է, արդյոք 0.05 նշանակալիության մակարդակով իրականությանը հանձնաժողովի հայտարարությունը, թե՝ ոչ: Գտնել ԶǦ արժեքը: 356 (կ) . Բեռնատար մեքենաները կշռելիս մաքսատան աշխատակիցը ունենալով երկար տարիների աշխատանքային փորձ ենթադրում է, որ բեռնատարների կշիռները բաշխված են ߤ ൌ ͹ͳ միջինով և ߪ ଶ ൌ ͳͻ͸ ցրվածքով նորմալ օրենքով : Որպեսզի ստուգվի այդ ենթադրությունը, մաքսատան աշխատակիցը պատահական ընտրված օրվա ընթացքում գրանցեց կայանին մոտեցող բեռնատարների կշիռները: Գրանցված տվյալները հետևյալն են (տոննաներով )՝ 85 57 60 81 89 63 52 65 77 64 89 86 90 60 57 61 95 78 66 92 50 56 95 60 82 55 61 81 61 53 63 75 50 98 63 77 50 62 79 69 76 66 97 67 54 93 70 80 67 73 : Համաձայնեցվու՞մ են, արդյոք 0.1 նշանակալիության մակարդակով տվյալները այդ ենթադրության հետ, թե՝ ոչ: Խմբավորել տվյալները՝ վերցնելով 5 հատ հավասար հավանականություններ ունեցող միջակայքեր: Ցուցում՝ տվյալները ներկայացնել Ǽցողուն և տերևներ» տեսքով ( տե՛ս [2] ):

357 (կ). Ստորև բերված են որոշ շրջանի գետերի աղտոտման աստիճանի վերաբերյալ տվյալներ (պայմանական միավորներով ): Հաշվարկները տվել են նմուշային

തതത௡ത ൌ ͲǤͳ͹Ͷǡ ‫ ݏ‬ൌ ͲǤͲ͹ͷ :

միջինի և ստանդարտ շեղման համար հետևյալ արժեքները՝ ‫ݔ‬ 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ շրջանի գետերի աղտոտման աստիճանը նորմալ բաշխված լինելու վարկածը և գտնել ԶǦ արժեքը:

§ 19. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Աղտոտման ൏ ͲǤͳ [0.1, 0.15) աստիճանը (պ.մ.) Հաճախությունը ሺߥ௞ ሻ

[0.15, 0.2) [0.2, 0.25) ൒0.25 :

Ցուցում՝ որպես Գ ሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ նորմալ բաշխման ߠ ൌ ሺ݉ǡ ߪ ଶ ሻ պարամետրի գնահատական վերցնել ௡ ǡ ‫ ݏ‬ଶ ሻ վիճականին: തതത ߠ෠ ൌ ሺ‫ݔ‬

358 (կ). Խաղաքարը 300 անգամ նետելուց ստացվել են հետևյալ տվյալները՝ ݅

ߥ௜

:

Համաձայնեցվու՞մ են, արդյոք 0.05 նշանակալիության մակարդակով այդ տվյալները խաղաքարի կանոնավոր լինելու վարկածի հետ, թե՝ ոչ: Գտնել ԶǦ արժեքը: 359 (կ). Ծովախոզուկի 64 սերունդների մեջ 34 - ը կարմիր գույնի են, 10 - ը՝ սև և 20 - ը՝ սպիտակ: Համաձայն գենետիկ մոդելի այդ թվերը պետք է բավարարեին 9 : 3 : 4 հարաբերությանը: Համաձայնեցվու՞մ են, արդյոք 0.05 նշանակալիության մակար-

դակով այդ տվյալները մոդելի հետ, թե՝ ոչ: Գտնել ԶǦ արժեքը: Ցուցում՝ Ստուգել՝ ԯ଴ : ‫݌‬ଵ ൌ

ଽ ଵ଺

, ‫݌‬ଶ ൌ

ଷ ଵ଺

, ‫݌‬ଷ ൌ

ସ ଵ଺

վարկածը:

360 (կ). Որոշ տեսակի կենդանու սերունդներն ըստ ֆիզիկական տվյալների խմբավորել են 10, 53 և 46 քանակությամբ երեք մասի: Համաձայն գենետիկ մոդելի այդ խմբերի հաճախությունները պետք է հարաբերվեին ինչպես՝ ߠ ଶ : 2ߠሺͳ െ ߠሻ: ሺͳ െ ߠሻଶ , Ͳ ൏ ߠ ൏ ͳ : Համաձայնեցվու՞մ են, արդյոք 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստացված տվյալները մոդելի հետ, թե՝ ոչ: Գտնել ԶǦ արժեքը: Ցուցում՝ նկատել, որ գենետիկ մոդելը բավարարում է ९‹ሺͳ െ ߠǡ ʹሻ բինոմական օրենքին:

૜૟૚‫( כ‬կ). Բնակչության որոշ համախմբությունից պատահական վերցված 1000 մարդ դասակարգվել էն ըստ սեռի և ըստ գունակույր (գույներ չտարբերող) մարդկանց թվի պատկանելիությանը, հետևյալ ձևով

Նորմալ Գունակույր

Տղամարդիկ

Կանայք

§ 19. ՊԻՐՍՈՆԻ ߯ ଶ െ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Համաձայն գենետիկ մոդելի այդ խմբերը պետք է ի հայտ գան, համապատասխանաբար, հետևյալ հավանականություններով (0൏ ߠ ൏ ͳ)՝

Նորմալ Գունակույր

Տղամարդիկ ߠΤʹ

ሺͳ െ ߠሻΤʹ

Կանայք

ߠ ʹ ൅ ߠሺͳ െ ߠሻ

ሺͳ െ ߠሻଶΤʹ

ଶΤ

Այստեղ ሺͳ െ ߠሻ-ն՝այդ համախմբության գունակույր մարդկանց (տեսական) բաժինն է: 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ տվյալների գենետիկ մոդելին համապատասխանության վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ գտնել ‫ ݌‬պարամետրի բազմանդամային ՃՄ գնահատականը :

§ 20. Կոլմոգորովի համաձայնության հայտանիշ Ստուգվում է ԯ଴ ǣܺ ௡ ̱Զ ൌ Զ଴ պարզ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣܺ ௡ ̱Զ ് Զ଴ բարդ երկընտրանքային վարկածը: Զ଴ բաշխմանը համապատասխանող ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան ենթադրվում է անընդհատ : Որպես հայտանիշի վիճականի կիրառվում է ‫ܦ‬௡ ‫׷‬ൌ ‫ ܦ‬ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ  •—’ ȁॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻȁ ୶‫א‬Թ

վիճականին: Զ‫כ‬௡ և Զ଴ բաշխումների միջև սահմանվում է հետևյալ հեռավորություն (Կոլմոգորովի

վիճականի ) ՝  ݀௄ ሺԶ‫כ‬௡ ǡ Զ૙ ሻ ‫׷‬ൌ ξ݊‫ܦ‬௡ ൌ ξ݊•—’ ȁॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻȁ ‫׷‬ ୶‫א‬Թ

Թեորեմ 20.1 (Կոլմոգորով ): ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում տեղի ունի ըստ բաշխման հետևյալ զուգամիտությունը՝ ௗ

ξ݊‫ܦ‬௡ ՜ ॶ ,

݊ ՜ λ,

որտեղ ॶ - ն՝ Կոլմոգորովի բաշխումն է : Կոլմոգորովի Ɍ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը` ାஶ

ॶሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ԶሺɌ ൏ ‫ݔ‬ሻ ൌ ൭ ෍ ሺെͳሻ௞ ݁ ିଶ௞

మ௫మ

൱ ૤ሾ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻǡ

‫אݔ‬Թ‫׷‬

௞ୀିஶ

ॶሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիայի համար կազմված են աղյուսակներ ሺտեսաղյուսակͳͳሻ: Գործնականում արդեն ݊ ൒ ʹͲ - ի դեպքում Զ൫ξ݊‫ܦ‬௡ ൏ ‫ݔ‬൯ հավանականություններն անկախ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից բավականաչափ լավ մոտարկվում են ॶሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիայով: Թեորեմ 20.1 - ից բխում է, որ ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում տրված ߙ ( 0൏ ߙ ൏ ͳ ) նշա-

նակալիության մակարդակի համար ճիշտ է Զ଴ ൫ξ݊‫ܦ‬௡ ൒ ߣఈ ൯ ՜ ԶሺɌ ൒ ߣఈ ሻ ൌ ͳ െ ॶሺߣఈ ሻ ൌ ߙ զուգամիտությունը, որտեղ ߣఈ - ն Կոլմոգորովի բաշխման ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ կրիտիկա-

կան կետն է (եզրը): Այսպիսով՝ Կոլմոգորովի հայտանիշի ߙ նշանակալիության մակարդակի ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը (երբ ݊ ൒ ʹͲ - ի) ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬ξ݊‫ܦ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൒ ߣఈ ൟ բազմությունն է: Գործնականում ‫ܦ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ - ի արժեքը հաշվարկվում է ‫ ܦ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ  •—’ ȁॲ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻȁ ൌ ƒš ൛หॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ െ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯หǡหॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ାଵሻ ൯ െ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯หൟ ௫‫א‬Թ

բանաձևի օգնությամբ, որտեղ ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൌ

ଵஸ௞ஸ௡

௞ିଵ ௡

:

Թեորեմ 20.2 (Կոլմոգորով ): Եթե ճիշտ է ԯ଴ ‫ ܺ  ׷‬௡ ̱Զ଴ վարկածը և ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան

անընդհատ է, ապա ࡰ࢔ վիճականու բաշխումը ցանկացած ݊ ൒ ͳ- ի համար Զ଴ բաշխումից կախված չէ :

§ 20. ԿՈԼՄՈԳՈՐՈՎԻ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Ի նկատի ունենալով ‫ܦ‬௡ վիճականու ոչ պարամետրական (Զ଴ բաշխումից «ազատ») լինելու հատկությունը, կազմված է այդ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիայի աղյուսակը (տե՛ս աղյուսակ 12), որտեղ որպես Զ଴ բաշխում դիտարկվում է ሾͲǡͳሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխումը : Նշանակենք ‫ܦ‬௡ վիճականու կրիտիկական կետը ݀ఈ ሺ݊ሻ - ով, այսինքն՝ Զ൫‫ܦ‬௡ ൒ ݀ఈ ሺ݊ሻ൯ ൌ ߙ ‫׷‬ ݊ ൒ ʹͲ- ի դեպքումߣఈ կրիտիկական կետի արժեքը գործնականորեն քիչ է տարբերվում ξ݊݀ఈ ሺ݊ሻ մեծության արժեքից: Որոշակի ߙ նշանակալիության մակարդակների համար ߣఈ կրիտիկական կետերի արժեքներն են՝ ߣ଴Ǥଶ ൌ ͳǤͲͺ, ߣ଴Ǥଵ ൌ ͳǤʹ͵ǡ ߣ଴Ǥ଴ହ ൌ ͳǤ͵͸ǡ ߣ଴Ǥ଴ଶ ൌ ͳǤͷʹǡ ߣ଴Ǥ଴ଵ ൌ ͳǤ͸͵ : Թեորեմ 20.1 - ից հետևում է, որ հավասարաչափ ըստ բոլոր ‫ א ݔ‬Թ - ի Զ ൬ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ  െ 

ߣఈ ξ݊

 ൏ ॲሺ‫ݔ‬ሻ ൏  ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ  ൅ 

ߣఈ ξ݊

൰ ՜ ͳ െ ߙǡ

݊՜λ‫׷‬

Այստեղից՝ ሺͳ െ ߙሻ մակարդակի ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքը ॲሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիայի համար՝ ቀॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ  ‫ ט‬

ఒഀ ξ௡

ǡ բոլոր‫ א ݔ‬ԹǦիցቁ միջակայքն է:

Նմանապես թեորեմ 20.2 - ից հավասարաչափ ըստ բոլոր ‫ א ݔ‬Թ - ի՝ կստանանք Զ൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ  െ  ݀ఈ ሺ݊ሻ ൏ ॲሺ‫ݔ‬ሻ ൏  ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ  ൅  ݀ఈ ሺ݊ሻ൯ ൌ ͳ െ ߙǡ

݊ ൒ ͳǡ

այսինքն՝ ሺͳ െ ߙሻ մակարդակի վստահության միջակայքը ॲሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիայի համար՝ ሺॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ  ‫݀  ט‬ఈ ሺ݊ሻǡ բոլոր‫ א ݔ‬ԹǦիցሻ միջակայքն է: Այստեղից, օգտվելով վարկածների ստուգման վստահության միջակայքերի մեթոդից՝ ԯ଴ վարկածը ստուգվում է հետևյալ կերպ. ߙ ( 0 ൏ ߙ ൏ ͳ ) նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ վարկածը չի հերքվի, եթե բոլոր ݇ - երի (݇ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ െ ͳ) համար բավարարվեն հետևյալ պայմանները՝

ասիմպտոտիկ դեպքում ՝ ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ାଵሻ ൯  െ 

ߣఈ ξ݊

 ൏ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൏ ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯  ൅ 

ߣఈ ξ݊

ǡ

࢔ ൏ ૛૙ դեպքում ՝ ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ାଵሻ ൯  െ  ݀ఈ ሺ݊ሻ ൏ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൏ ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯  ൅  ݀ఈ ሺ݊ሻǡ և, համապատասխանաբար, ԯ଴ վարկածը կհերքվի, եթե գոնե մեկ ݇ - ի համար այս անհավասարությունները խախտվեն:

૜૟૛‫( כ‬մ). Դիցուք ܺ ௡ - ը անընդհատ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից նմուշ է: Սահմանենք հետևյալ վիճականին ሺ࣓૛ െ վիճականիሻ՝ ାஶ

߱௡ଶ ‫׷‬ൌ

ଶ

න ൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݀ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ ିஶ

Ցույց տալ, որ

߱௡ଶ

– վիճականին ոչ պարամետրական է և ապացուցել, որ ॱ߱௡ଶ =

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

ଵ ଺௡

:

§ 20. ԿՈԼՄՈԳՈՐՈՎԻ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

363. ࢻ ൌ ૙Ǥ ૚ նշանակալիության մակարդակով ստուգել, որ 0.0989, 0.3205, 0.0514, 0.2256, 0.8514, 0.4642, 0.7567, 0.8893 «պատահական թվերը» ሺͲǡ ͳሻ միջակայքում բաշխված են հավասարաչափ օրենքով : Գտնել նաև ߙ նշանակալիության մակարդակի այն մեծագույն արժեքը (Զ - արժեքը), որի դեպքում վարկածը չի հերքվի: ૜૟૝‫( כ‬մ). Հետազոտվում է վարիացիոն շարքի տեսքով տրված ݊ ൌ ͶͲ ծավալի հետևյալ նմուշը՝ 0.0475 0.2153 0.2287 0.2824 0.3743 0.3868 0.4421 0.5033 0.5945 0.6004 0.6255 0.6331 0.6478 0.7867 0.8878 0.8930 0.9335 0.9602 1.0448 1.0556 1.0894 1.0999 1.1765 1.2036 1.2344 1.2543 1.2712 1.3507 1.3515 1.3528 1.3774 1.4209 1.4304 1.5137 1.5288 1.5291 1.5677 1.7238 1.7919 1.8794 : 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ տվյալների 1 միջինով և ͳΤ͸

ցրվածքով նորմալ բաշխված պատահական մեծության արժեքները լինելու վարկածը: Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

365. Մոդելավորման եղանակով ստացված են ՌሺͳǡʹሻԷռլանգի բաշխումից հետևյալ թվերի հաջորդականությունը՝ 0.8465 1.4770 1.7406 1.8669 3.4113 3.1820 1.4988 1.3281 3.0715 4.4123 : 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ հաջորդականության Ռሺͳǡʹሻբաշ-

խում ունեցող պատահական մեծության արժեքներ լինելու վարկածը: 366. Լուծել խնդիր 349 - ը օգտվելով Կոլմոգորովի հայտանիշից : 367. Մոդելավորել ݊ ൌ ͳͷ ծավալի նմուշ 3 ազատության աստիճաններով ࣑૛ բաշխումից և 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ նմուշը ԯଶ ሺ͵ሻ օրեն-

քին բավարարելու վարկածը: Ցուցում՝ օգտվել ሾʹǡ խնդիրͶǤͺǦիցሿ:

368. Մոդելավորել ݊ ൌ ͳͲ ծավալի նմուշ 4 ազատության աստիճաններովՍտյուդենտի (t -) բաշխումից և 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ստացված նմուշի համաձայնությունը ॻሺͶሻ Ստյուդենտի օրենքի հետ: Ցուցում՝ օգտվել ሾʹǡ խնդիրͶǤͳͲǦիցሿ :

§ 20. ԿՈԼՄՈԳՈՐՈՎԻ ՀԱՄԱՁԱՅՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

369. (կ) Որոշ գործարանի հսկողության բաժինը կատարել է 200 դետալի չափումներ, որի արժեքները ( 0.1 մմ ճշտությամբ) համապատասխան հաճախությունների հետ մեկտեղ բերված են հետևյալ աղյուսակում՝

‫ݔ‬௜ ߥ௜

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել վարկած, որ այդ նմուշը համապատասതതത௡ത միջինով և ߪ ଶ ൌ ‫ ݏ‬ଶ ցրվածքով նորմալ բաշխմանը : խանում է ߤ ൌ ‫ݔ‬ 370 (կ). Լուծել խնդիր 369 - ը օգտվելով Պիրսոնի ߯ ଶ െ հայտանիշից դիտարկելով [‫ݔ‬௜ െ ͲǤͲͷǡ ‫ݔ‬௜ ൅ ͲǤͲͷሻ, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ͻ միջակայքերը: 371 (կ). Միևնույն հաստոցի միջոցով կատարված դետալների անցքերի տրամագծի չափումները (0.01 մմ ճշտությամբ) տվել են հետևյալ արժեքներ՝

‫ݔ‬௜ ߥ௜

40.25 40.35 40.44

40.27 40.36 40.45

40.28 40.37 40.46

40.29 40.38

40.30 40.39

40.31 40.40

40.32 40.41

40.33 40.42

40.34 40.43

0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ անցքերի տրամագծի [40.245, 40.465] միջակայքում հավասարաչափ բաշխված լինելու վարկածը: ૜ૠ૛‫( כ‬կ). Բերվում են ինքնաթիռում տեղադրված օդափոխիչ սարքավորումների անխափան աշխատանքի տևողության վերաբերյալ տվյալները ሺօրերովሻ՝ 74, 57, 48, 29, 502, 12, 70, 21, 29, 386, 59, 27, 153, 26, 326 : 0.1 և 0.05 նշանակալիության մակարդակներով ստուգել այդ տվյալները ߙ ൌ ͳΤͳʹͲ պարամետրով ॱሺߙሻ ցուցչային օրենքին ենթարկվելու վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ տե՛ս խնդիր ͵͸Ͷ‫ כ‬:

373 (կ). Լուծել խնդիր 357 - ը օգտվելով Կոլմոգորովի հայտանիշից :

§ 21. Համասեռության հայտանիշներ Վիճակագրության կիրառություններում կարևոր է պարզել տարբեր պայմաններում ստացված ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ և ܻ ௠  ൌ ሺܻଵ ǡ ǥ ǡ ܻ௠ ሻ նմուշների միևնույն բաշխում ունենալու ( համասեռության ) հարցը: Ընդհանուր արմամբ խնդիրը դրվում է հետևյալ կերպ՝ դիցուք ܺ ௡ ̱ Զଵ և ܻ ௠ ̱ Զଶ ՝ համապատասխանաբար ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ և ॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիաներով Զଵ և Զଶ  անհայտ բաշխումներից վերցված միմյանցից անկախ նմուշներ են: Պահանջվում է ստուգել ԯ଴ : ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ॲ ؠ‬ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ (ǣ ൌ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ)

համասեռության վերաբերյալ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ॲ ء‬ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ

երկընտրանքային վարկածը:

Սմիռնովի համասեռության հայտանիշ Հայտանիշը հիմնված է ‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ܦ‬௡௠ ‫׷‬ൌ ‫ܦ‬ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ ‫׷‬ൌ •—’ȁॲଵ௡ െ ॲ‫כ‬ଶ௠ ሺ‫ݔ‬ሻȁ ௫‫א‬Թ

‫ כ‬ሺ‫ݔ‬ሻՍմիռնովի վիճականու հատկությունների վրա, որտեղ ॲଵ௡ ը և ॲ‫כ‬ଶ௠ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը, համապատասխանա-

բար, ܺ ௡ և ܻ ௠ նմուշների բաշխման ֆունկցիաներն են: Թեորեմ 21.1 (Սմիռնով ): Եթե ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻևॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիաներն անընդհատ են, ապա ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ է ըստ բաշխման հետևյալ զուգամիտությունը՝ ௗ ݊݉ ට ‫ ܦ‬՜ ॶǡ ݊ ൅ ݉ ௡௠

݊ ՜ λǡ݉ ՜ λǡ ቀ

݊  ՜ ܿ ൐ Ͳቁ ‫׷‬ ݉

௡௠

Սմիռնովի հայտանիշը տրվում է ࣲଵఈ ൌ ൜ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻ ‫  ׷‬ට௡ା௠ ‫ܦ‬௡௠ ൒ ߣఈ ൠ ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթի միջոցով (݊ǡ ݉ ൐ ʹͲ), որտեղ ߣఈ - ն Կոլմոգորովի բաշխման ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ

կրիտիկական կետն է: Թեորեմ 21.2 (Սմիռնով ): Եթե ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻևॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիաներն անընդհատ են, ապա ԯ଴ վարկածը

բավարարվելու դեպքում ࡰ࢔࢓ վիճականու բաշխումը ( ցանկացած ݊ ൒ ͳև݉ ൒ ͳհամար) Զଵ և Զଶ բաշխումներից կախում չունի:

࣑૛ – համասեռության հայտանիշ Այս մեթոդը թույլ է տալիս միաժամանակ հետազոտել ցանկացած վերջավոր թվով նմուշներ: Դիցուք կատարվում են ݇ հատ անկախ ࣯ଵ ǡ ǥ ǡ ࣯௞ փորձերի սերիաներ, որտեղ յուրաքանչյուր ݆- րդ սերիա բաղկացած է ݊௝ հատ դիտումից, ݆ ൌ ͳ, …, ݇: Դիցուք յուրաքանչյուր ࣯௝ սերիային համապատաս௡ೕ

խանում է ‫ ݏ‬տարբեր ‫ݔ‬௜ , ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ ݏ‬արժեքներ ընդունող ܺ௝ ̱ Զ௝ պատահական մեծությունը ևܺ௝ ൌ ௡ೕ

ൌ ቀܺ௝ଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௝௡ೕ ቁ - ն այդ պատահական մեծության հետ կապված նմուշն է: Նշանակենք ߥ௜௝‫ כ‬- ով ܺ௝ նմուշում ‫ݔ‬௜ արժեքն ընդունող ܺ௝௠ , ݉ ൌ ͳ, …, ݊௝ պատահական մեծությունների թիվը՝ ௡ೕ

ߥ௜௝‫כ‬

‫׷‬ൌ ෍ ૤ሼ௫೔ ሽ ൫ܺ௝௠ ൯ ǡ෍ ߥ௜௝ ൌ ݊௝ ǡ ௠ୀଵ

௜ୀଵ

௞

෍ ݊௝ ൌ ݊ ‫׷‬ ௝ୀଵ

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

Պահանջվում է ստուգել ԯ଴ վարկած, որ բոլոր փորձերը կատարվել են միևնույն ܺ ̱ Զ պատահական մեծության նկատմամբ, այսինքն՝ կամ ԯ଴ ‫ॲ ׷‬௝ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ,

ԯ଴ ‫ ׷‬Զ௝ ൌ Զ

݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇

(այստեղ ॲ௝ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան համապատասխանում է ܺ௝ պատահական մեծությանը, իսկ ॲሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ ܺ - ին): Նշանակելով ‫݌‬௜௝ ǣ ൌ Զ௝ ൫ܺ௝ ൌ ‫ݔ‬௜ ൯, ݅ ൌ ͳ, …, ‫ݏ‬, ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ և ‫݌‬௜ ǣ ൌ Զሺܺ ൌ ‫ݔ‬௜ ሻ՝ ԯ଴ վարկածը կարելի է ներկայացնել հետևյալ ձևով՝

ԯ଴ ‫݌  ׷‬௜௝ ൌ ‫݌‬௜ ǡ

݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬ǡ

݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ ൭෍ ‫݌‬௜ ൌ ͳ൱ ‫׷‬ ௜ୀଵ

Քանի որ ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում

ߥ௜௝‫כ‬

̱ ९in ൫݊௝ ǡ ‫݌‬௜ ൯, ապա ॱߥ௜௝‫݊ = כ‬௝ ‫݌‬௜ և, համաձայն

Պիրսոնի ߯ ଶ մեթոդի, որպես փորձնական և տեսական ( «ապրիոր» ) բաշխումների շեղման չափ վերցվում է ࣑૛ Ȃ վիճականին՝

௞

߯Ƹ ௡ଶ ሺ‫݌‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ෍ ௜ୀଵ ௝ୀଵ

ଶ

൫ߥ௜௝‫ כ‬െ ݊௝ ‫݌‬௜ ൯ ǡ‫ ݌‬ൌ ሺ‫݌‬ଵ ǡ ǥ ǡ ‫݌‬௦ ሻ ‫ ׷‬ሺʹͳǤͳሻ ݊௝ ‫݌‬௜

Սակայն քանի որ ‫݌‬௜ , ݅ ൌ ͳ, …, ‫ ݏ‬հավանականություններն անհայտ են, ուստի որպեսզի կիրառվի ߯Ƹ ௡ଶ ሺ‫݌‬ሻ վիճականին անհրաժեշտ է գնահատել ‫݌‬௜ պարամետրերը: Լեմմա 21.3: ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ‫݌‬௜ ሺ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬ሻ պարամետրերի ըստ միացյալ ௞

ͳ ௡ ௡ ܺ ௡ ൌ ൫ܺଵ భ ǡ ǥ ǡ ܺ௞ ೖ ൯նմուշիՃՄգնահատականները՝‫݌‬Ƹ࢏ ൌ ෍ ߥ௜௝‫ כ‬վիճականիներնենǣ ݊ ௝ୀଵ

Թեորեմ 21.4: ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում տեղի ունի զուգամիտություն՝ ௗ

߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ ՜ ԯଶ ൫ሺ‫ ݏ‬െ ͳሻሺ݇ െ ͳሻ൯ǡ݊ ՜ λ‫׷‬ ԯ଴ վարկածը ստուգող ߙ (Ͳ ൏ ߙ ൏ ͳ) չափի ࣑૛ Ȃ հայտանիշի ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը կունենա ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ‫߯  ׷‬௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ ൐ ߯ఈଶ ൫ሺ‫ ݏ‬െ ͳሻሺ݇ െ ͳሻ൯ൟ տեսքը: Դիցուք պետք է ստուգել պարամետրական տեսք ունեցող 

ԯ଴ ‫݌  ׷‬௜௝ ሺߠሻ ൌ ‫݌‬௜ ሺߠሻǡ

݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬ǡ

݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ ൭෍ ‫݌‬௜ ሺߠሻ ൌ ͳ൱ ௜ୀଵ

համասեռության վարկածը, որտեղ ߠ ‫ א‬ȣ ‫ ؿ‬Թ௥ ሺ‫ ݎ‬൒ ͳሻ, ‫݌‬௜௝ ሺߠሻ ‫׷‬ൌ Զఏ (ܺ௝ ൌ ‫ݔ‬௜ ): Թեորեմ 21.5: ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ է ௗ

߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ ՜ ԯଶ ൫ሺ‫ ݏ‬െ ͳሻ݇ െ ‫ݎ‬൯ǡ

݊ ՜ λǡ

զուգամիտությունը, որտեղ ‫݌‬Ƹ ൌ ሺ‫݌‬Ƹଵ ǡ ǥ ‫݌‬Ƹ࢙ ሻ, ‫݌‬Ƹ࢏ ൌ ‫݌‬௜ ൫ߠ෠൯, ߠ෠ - ը՝ ߠ - ի բազմանդամային ՃՄ գնահատականն է :

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

Մասնավոր դեպքեր ࢙ ൌ ૛ ሺ࢏ ൌ ૚ǡ ૛ǡ࢐ ൌ ૚ǡ ǥ ǡ ࢑ሻ:

1.

Դիցուք ܺ௝ - երը, ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇՝ յուրաքանչյուրը 0 և 1 արժեք ընդունող անկախ պատահական մեծություններ են: Նշանակենք ‫׷ ܣ‬ൌ ൫ܺ௝ ൌ ͳ൯ - ով հաջողությունը և ‫ܣ‬ҧ ǣ ൌ ൫ܺ௝ ൌ Ͳ൯ - ով՝ անհաջողությունը : Համասեռության ԯ଴ ǣ‫݌‬௜௝ ൌ ‫݌‬௜ վարկածը նշանակում է, որ ‫ ܣ‬պատահույթը բոլոր ࣯յ ሺ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ሻ փոր-

ձերի սերիաներում ունի միևնույն հաստատուն (անհայտ) Զሺ‫ܣ‬ሻ ‫׷‬ൌ ‫݌‬ଵ ‫׷‬ൌ ‫ ( ݌‬Զሺ‫ܣ‬ҧሻ ‫׷‬ൌ ‫݌‬ଶ ൌ‫׷‬ൌ ‫ ݍ‬ൌ ͳ െ ‫) ݌‬ հավանականությունը: ௞

ͳ ՀամաձայնլեմմաʹͳǤ͵Ǧի‫݌‬պարամետրիՃՄգնահատականը‫݌‬Ƹ ൌ ෍ ߥ௝‫ כ‬վիճականինէǡորտեղ ݊ ௝ୀଵ

‫כ‬ - ը՝ ‫ ܣ‬պատահույթի ի հայտ գալու (պատահական ) թիվն է փորձերի ݆- րդ ࣯௝ սերիայում: ߥ௝‫ כ‬ǣ ൌ ߥଵ௝

߯Ƹ ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ վիճականին ( տես (21.1) ) այդ դեպքի համար կներկայացվի հետևյալ ձևով՝ ௞

߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ ൌ

ଶ

൫ߥ௝‫ כ‬൯ ‫݌‬Ƹ ͳ ෍ െ ݊ ሺʹͳǤʹሻ ‫ݍ‬ො ݊௝ ‫݌‬Ƹ ‫ݍ‬ො ௝ୀଵ

‫כ‬ ‫כ‬ ൫‫ݍ‬ො ‫׷‬ൌ ͳ െ ‫݌‬Ƹ ǡ ߥଵ௝ ‫׷‬ൌ  ߥ௝‫ כ‬ǡ ߥଶ௝ ‫׷‬ൌ ݊௝ െ ߥ௝‫ כ‬൯ǣ

࢑ ൌ ૛ ሺ࢏ ൌ ૚ǡ ǥ ǡ ࢙ǡ࢐ ൌ ૚ǡ ૛ሻǣ

2.

Երկու նմուշի դեպքում ԯ଴ ‫݌  ׷‬௜௝ ൌ ‫݌‬௜ վարկածը ստուգող ߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ վիճականին կընդունի հետևյալ տեսքը՝

ଶ

߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ ൌ ݊ଵ ݊ଶ ෍

ߥ‫כ‬ ௜ୀଵ ௜ଵ

Նշանակելով այստեղ ߱௜

ఔ‫כ‬

೔భ ǣ ൌ ఔ‫ כ‬ାఔ ‫ כ‬ǡ ߱ ‫׷‬ൌ ௡ ೔భ

௡భ

భ ା௡మ

೔మ

‫כ‬ ‫כ‬ ͳ ߥ௜ଵ ߥ௜ଶ  െ  ൰ ǣሺʹͳǤ͵ሻ ‫ כ‬൬ ൅ ߥ௜ଶ ݊ଵ ݊ଶ

 ` ሺʹͳǤ͵ሻ բանաձևը կբերվի

߯Ƹ ௡ଶ ሺ‫݌‬Ƹ ሻ

ͳ ‫כ‬ ൭෍ ߱௜ ߥ௜ଵ െ ߱݊ଵ ൱ ൌ ߱ሺͳ െ ߱ሻ ௜ୀଵ

տեսքի:

Նշանների հայտանիշ Դիցուք ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ - ը ܷ ൌ ሺܺǡ ܻሻ երկչափ պատահական վեկտորին համապատասխանող նմուշ է: Պահանջվում է ստուգել ԯ଴ վարկած, որ ܺ և ܻ պատահական մեծություններն անկախ են և

միատեսակ բաշխված, այսինքն ստուգել ԯ଴ : ॲ௎ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ ή ॲሺ‫ݕ‬ሻ վարկածը, որտեղ ॲሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ որոշակի անընդհատ բաշխման ֆունկցիա է: Վարկածը ստուգելու համար կառուցվում են ܼ௜ ‫׷‬ൌ ܺ௜ െ  ܻ௜ , ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ պատահական մեծություններ: Եթե ԯ଴ վարկածը բավարարվում է, ապա տեղի ունի հետևյալ պայմանը՝ 

Զሺܼ௜ ൏ Ͳሻ ൌ

න ሺ௫ି௬ழ଴ሻ

ାஶ

ାஶ

ାஶ

݀ ॲ௎ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ න ݀ॲሺ‫ݔ‬ሻ න ݀ॲሺ‫ݕ‬ሻ ൌ න ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݀ॲሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ିஶ

ିஶ

ͳ ൌ Զሺܼ௜ ൐ Ͳሻǡ ʹ

և ԯ଴ վարկածը բերվում է ԯᇱ଴ ‫ॲ ׷‬௓ ሺͲሻ ൌ ͳΤʹ ሺ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ Ͳሻ կամ ԯᇱᇱ ଴ : Զ൫ܼ ‫ א‬ሺെλǡͲሻ൯ ൌ ͳΤʹ համարժեք վարկածին: Այնպես, որ կիրառելով ૏૛ – համաձայնության հայտանիշը, կստանանք՝

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

ʹ ݊ ଶ ʹ ݊ ଶ Ͷ ݊ ଶ ߯Ƹ௡ଶ ൌ ቀߥଵ‫ כ‬െ ቁ ൅  ቀߥଶ‫ כ‬െ ቁ ൌ ቀߥଵ‫ כ‬െ ቁ ǡ ݊ ʹ ݊ ʹ ݊ ʹ ௡ ͳ որտեղߥଵ‫׷ כ‬ൌ ෍ ૤ሺିஶǡ଴ሻ ሺܼ௜ ሻ ǡߥଶ‫ כ‬ൌ ݊ െ ߥଵ‫ כ‬ǡ‫݌‬ଵ‫ כ‬ൌ ‫݌‬ଶ‫ כ‬ൌ ǡևߙնշանակալիությանմակարդակիկրիտիկաǦ ʹ ௜ୀଵ

կան տիրույթը՝ կլինի Ͷ ݊ ଶ ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬ቀߥଵ െ ቁ ൒  ߯ఈଶ ሺͳሻൠ ݊ ʹ բազմությունը:

Ման – Ուիտնիի (Ուիլկոկսոնի) ռանգային հայտանիշ Հավասար ծավալ ունեցող ܺ ௡ և ܻ ௡ երկու նմուշների համար այս հայտանիշը առաջին անգամ դիտարկել է Ուիլկոկսոնը: Տարբեր ծավալի նմուշների համար այն ընդհանրացրել է Մանը և Ուիտնին: Հայտանիշը պատկանում է այսպես կոչված ռանգային հայտանիշների ցանկին: ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ նմուշի ܺ௜ - րդ անդամի ռանգ կոչվում է ܺሺଵሻ ൑ ‫ ڮ‬൑ ܺሺ௡ሻ վարիացիոն շարքում այդ անդամի զբաղեցրած տեղի ࡾ࢏ համարը: Դիցուք ܺ ௡ ̱ ॲଵ և ܻ ௠ ̱ ॲଶ ՝ անընդհատ բաշխման ֆունկցիաներին համապատասխանող մի-

մյանցից անկախ նմուշներ են: Դիտարկվում է ԯ଴ : ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ॲ ؠ‬ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ համասեռության վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ॲ ء‬ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ երկընտրանքայինը: Կազմենք ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ǡ ܻଵ ǡ ǥ ǡ ܻ௠ ሻ միացյալ նմուշը և նրա վարիացիոն շարքը: Դիցուք ܴଵ ǡ ǥ ǡ ܴ௡ - ը՝ միացյալ նմուշում ܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ անդամների ռանգերն են: ௡

ܶ ‫׷‬ൌ  ෍ ܴ௜ վիճականինǡորըցույցէտալիսայնտեղերիհամարներիሺռանգերիሻգումարըǡ որըզբաղեցǦ ௜ୀଵ

նում են միացյալ վարիացիոն շարքում ܺ ௡ նմուշի անդամները, կոչվում է Ուիլկոկսոնի վիճականի: Սահմանենք ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௠ ሻ միացյալ նմուշի վարիացիոն շարքի համար հետևյալ պատահական մեծությունները՝ ͳǡեթեܺ௥ ൏ ܻ௦  Ժ௥௦ ‫׷‬ൌ ൜ ǣ Ͳǡեթեܺ௥ ൒ ܻ௦  ௡

௠

ܷ ‫׷‬ൌ ܷሺ݊ǡ ݉ሻ ൌ ෍ ෍ Ժ௥௦ վիճականինǡ որըցույցէտալիսայնդեպքերիթիվըǡ երբմիացյալվարիացիոն ௥ୀଵ ௦ୀଵ

շարքում ܺ ௡ նմուշի անդամները նախորդում են ܻ ௠ նմուշի անդամները, կոչվում է Ման – Ուիտնիի ࢁ െ վիճականի, կամ ուղղակի ࢁ െ վիճականի: ܶ և ܷ վիճականիների միջև տեղի ունի հետևյալ կապը՝ ܶ ൅ ܷ ൌ ݊݉ ൅ 

௡ሺ௡ାଵሻ ଶ

Թեորեմ 21.6 (Ման െՈւիտնի): ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ է զուգամիտությունը՝ ݊݉ ௗ ͳʹ ඨ ቀܷ െ ቁ  ՜ ԳሺͲǡͳሻǡ ʹ ݊݉ሺ݊ ൅ ݉ ൅ ͳሻ

݊ǡ ݉ ՜ λ ‫׷‬

Թեորեմը գործնականում կարելի է կիրառել արդեն, երբ ݊ǡ ݉ ൒ Ͷ և ݊ ൅ ݉ ൒ ʹͲ :

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

ଵ

ԯ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ܽ ്  երկընտրանքայինը ൫ܽ ‫׷‬ൌ Զሺܺଵ ൏ ܻଵ ሻ൯ ստուգող ունակ հայտանիշն ଶ

ունի հետևյալ ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը (մեծ ݊ - երի և ݉ - երի դեպքում)՝

ࣲଵఈ ൌ ቐሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣቚ‫ݑ‬ሺ݊ǡ ݉ሻ െ

݊݉ሺ݊ ൅ ݉ ൅ ͳሻ ݊݉ ቚ൒ඨ

‫ݖ‬ఈΤଶ ቑǡ

ͳʹ ʹ

որտեղ ‫ݑ‬ሺ݊ǡ ݉ሻ - ը՝ ܷሺ݊ǡ ݉ሻ վիճականու արժեքն է, երբ ܺ ௡ ሺ߱ሻ ൌ ‫ ݔ‬௡ , ܻ ௡ ሺ߱ሻ ൌ ‫ ݕ‬௠ : Համապատասխան միակողմանի ունակ հայտանիշները կտրվեն. ͳ ԯଵ ‫ ܽ ׷‬൏ երկընտրանքայինվարկածիդեպքում՝ ʹ ࣲଵఈ ൌ ሼሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻ ‫ݑ ׷‬ሺ݊ǡ ݉ሻ ൑ ‫ݐ‬ఈି ሺ݊ǡ ݉ሻሽ ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթի միջոցով, և ͳ ԯଵ ‫ ܽ ׷‬൐ երկընտրանքայինվարկածիդեպքում՝ ʹ ࣲଵఈ ൌ ሼሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻ ‫ݑ ׷‬ሺ݊ǡ ݉ሻ ൒ ‫ݐ‬ఈା ሺ݊ǡ ݉ሻሽ ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթով, որտեղ

‫ݐ‬ఈ‫ ט‬ሺ݊ǡ ݉ሻ ൌ

݊݉ሺ݊ ൅ ݉ ൅ ͳሻ ݊݉ ‫ט‬ඨ ‫ݖ‬ఈ ‫׷‬ ͳʹ ʹ

૜ૠ૝‫( כ‬մ). Ապացուցել Ման – Ուիտնիի ܷ – վիճականու համար հետևյալ բանաձևերը՝ ॱܷ ൌ ݊݉ܽǡ ॽƒ”ሺܷሻ ൌ ݊݉ሾܽ ൅ ሺ݊ െ ͳሻܾ ൅ ሺ݉ െ ͳሻܿ െ ሺ݊ ൅ ݉ െ ͳሻܽଶ ሿǡ որտեղ ାஶ

ାஶ

ܽ ‫׷‬ൌ Զሺܺଵ ൏ ܻଵ ሻ ൌ න ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ݀ॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ǡܾ ‫׷‬ൌ න ିஶ

ାஶ

ॲଵଶ ሺ‫ݔ‬ሻ݀ ॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻǡܿǣ ൌ

ିஶ

ଶ

න ൫ͳ െ ॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻǣ

ିஶ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

375 (կ). Ինստիտուտ ընդունվող դիմորդները բաժանված են երկու հոսքի՝ յուրաքանչյուրում 300 - ական դիմորդ: Այդ հոսքերում նույն առարկայից անցկացված քննությունը տվել է հետևյալ արդյունքներ՝ I հոսքում

2, 3, 4 և 5 թվանշաններ ստա-

ցան, համապատասխանաբար 33, 43, 80 և 144 դիմորդ, II հոսքում ՝ 39, 35, 72 և 154 : Օգտվելով

߯ ଶ Ȃ հայտանիշից պարզել՝ կարելի՞ է, արդյոք 0.05 նշանակալի-

ության մակարդակով համարել այդ հոսքերը համասեռ: Ցուցում՝ դիտարկել ‫ ݏ‬ൌ Ͷ, ݇ ൌ ʹ դեպքը:

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

376 (կ). Որոշ քաղաքական հարցի շուրջ կատարվել է հարցում, որի արդյունքում ստացվել են հետևյալ տվյալները՝ մինչև 25 տարեկան անձանց շրջանում այդ հարցին դեմ էին 400 - ը, կողմ՝ 500 - ը, իսկ 100 - ը չէին կողմնորոշվել: 25 տարիքից բարձր հարցման մասնակիցներից հարցին դեմ էին 600 - ը, կողմ՝ 500 - ը, 400 - ը՝ չէին կողմնորոշվել: 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել օգտվելով ߯ ଶ Ȃ հայտանիշից տվյալ տարիքային խմբերում կարծիքների կախվածության վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ դիտարկել ‫ ݏ‬ൌ ͵, ݇ ൌ ʹ դեպքը:

377 (կ). Ենթադրվում է, որ մրսածության դեմ որոշ դեղամիջոց ունի լավ ազդեցություն: Այդ ենթադրությունը ստուգելու նպատակով դեղամիջոցը փորձարկվել է մեկ տարվա ընթացքում 500 հոգուց բաղկացած մարդկանց մի խմբի վրա և արդյունքը համեմատվել է 500 հոգուց բաղկացած մարդկանց մի այլ խմբի հետ, որոնք այդ դեղամիջոցը չեն ընդունել : Հետազոտման արդյունքում ստացվել են հետևյալ տվյալները՝

Չեն հիվանդացել Դեղամիջոցն ընդունողների թիվը Դեղամիջոցը չընդունողների թիվը

Հիվանդացել են մեկ անգամ

մեկից ավելի անգամ

Հիվանդացել են

Օգտվելով ߯ ଶ Ȃ հայտանիշից 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել այդ դեղամիջոցի արդյունավետությունը: Ցուցում՝ դիտարկել ‫ ݏ‬ൌ ͵, ݇ ൌ ʹ դեպքը:

378 (կ) . Ստորև բերված աղյուսակը պարունակում է 4 տարբեր ժամանակահատվածներում առաջին երեխայի ծննդաբերության ժամանակ մայրերի մահացության վերաբերյալ տվյալներ՝

݊௝ ߥ௝

I

II

III

IV

 Օգտվելով ߯ ଶ Ȃ հայտանիշից 0.05 մակարդակով ստուգել վարկած, որ այդ ժամանակահատվածներում մահացության մակարդակների միջև տարբերություն չկա: Ցուցում: դիտարկել ‫ ݏ‬ൌ ʹ, ݇ ൌ Ͷ դեպքը:

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

379 (կ). Բնապահպանները պնդում են, որ ռադիացիոն ֆոնը քաղաքում անցյալ տարվա համեմատությամբ աճել է, ինչը բացատրվում է նոր ինդուստրիալ կենտրոնի կառուցման պատճառով: Քաղաքապետարանը սակայն պնդում է, որ նոր պահպանիչ սարքավորումները ռադիացիոն ֆոնը պահում են նույն մակարդակի վրա: Որպեսզի ստուգվի քաղաքապետարանի այդ հայտարարությունը, մեկ տարվա ընթացքում պատահական ընտրված 11 օրերին կատարվել են ռադիացիոն ֆոնի չափումներ: Ստացված տվյալները համեմատվել են նախորդ տարվա նույն օրերի գրանցումների հետ՝

1.402 1.440

1.401 1.395

1.400 1.398

1.404 1.404

1.395 1.393

1.402 1.400

1.406 1.401

1.401 1.402

1.404 1.400

1.406 1.403

1.397 1.402

Օգտվելով Սմիռնովի և նշանների հայտանիշներից պարզել՝ ճիշտ է՞ արդյոք 0.1

նշանակալիության մակարդակով քաղաքապետարանի հայտարարությունը:

380 (կ). Մայրաքաղաքի օդի աղտոտվածության աստիճանը իջեցնելու նպատակով քաղաքապետարանը կատարել է մի շարք միջոցառումներ: Յուրաքանչյուր ամսվա պատահական ընտրված օրերին կատարված չափումները ( նախորդ տարվա այդ ամիսների միջին տվյալների համեմատությամբ) տվել են օդում հիդրոկարբո-

նատների առկայության վերաբերյալ (պայմանական միավորներով) հետևյալ տվյալներ՝ Ամիսներ Նախորդ տարի Տվյալ տարի

I 7.0

II 6.0

III 5.4

IV 5.9

V 3.9

VI 5.7

VII 6.9

VIII 7.6

IX 6.3

X 5.8

XI 5.1

XII 5.9

5.3

6.0

5.6

5.7

3.7

4.7

6.1

7.8

6.4

5.7

4.9

5.8

Կարելի է՞ արդյոք 0.1 մակարդակով համարել, որ քաղաքապետարանի միջոցառումները հասել են նպատակին (օգտվել Սմիռնովի և նշանների հայտանիշներից ): 381 (կ). Լուծել 379 խնդիրը օգտվելով Ման – Ուիտնիի հայտանիշից, երբ հայտարարվում է, որ ռադիացիոն ֆոնը՝ ա) չի փոխվել, բ) լավացել է (նվազել է): 382 (կ). Լուծել խնդիր 380 - ը օգտվելով Ման – Ուիտնիի հայտանիշից, երբ ա) ԯଵ վարկածն է՝ էկոլոգիական վիճակը փոխվել է, բ) ԯଵ վարկածն է՝ էկոլոգիական վիճակը լավացել է: Ցուցում: տե՛ս խնդիր 381 :

§ 21. ՀԱՄԱՍԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

૜ૡ૜‫( כ‬կ). Որպեսզի համեմատվեն երկու ուսումնական հաստատությունների տվյալ մասնագիտությամբ պատրաստվող մասնագետների որակը այդ երկու ուսումնական հաստատություններից պատահական վերցված ݊ଵ ൌ 11 և ݊ଶ ൌ 13 շրջանավարտների միջև անց է կացվել մասնագիտական քննություն, որի արդյունքում ստացվել են հետևյալ միավորներ (100 բալային համակարգով)՝ I II

െ

െ

Օգտվելով Ման – Ուիտնիի հայտանիշից 0.05 մակարդակով ստուգել այդ հաստատություններում նույն որակի մասնագետ պատրաստելու վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

§ 22. Անկախության հայտանիշներ Տրված է անհայտ ॲ௓ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայով ܼ ൌ ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորի ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ ൌ ൌ ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ նմուշը: Պահանջվում է ստուգել ܺ և ܻ պատահական մեծությունների անկախության վերաբերյալ ԯ଴ ‫ॲ ׷‬௓ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ॲ ؠ‬௑ ሺ‫ݔ‬ሻ ή ॲ௒ ሺ‫ݕ‬ሻ վարկածը:

૏૛ െ անկախության հայտանիշ Դիցուք ܼ - ը դիսկրետ պատահական վեկտոր է, ընդ որում ܺ պատահական մեծությունն ընդունում է ܽଵ ǡ ǡ ǥ ǡ ܽ௦ տարբեր արժեքներ, իսկ ܻ - ը՝ ܾଵ ǡ ܾଶ ǡ ǥ ǡ ܾ௞ արժեքներ: Եթե s և k ծավալները բավականաչափ մեծ են, կամ ܺ - ը և ܻ - ն անընդհատ պատահական մեծություններ են, ապա նշանակենք οଵᇱ , οᇱଶ ǡ …, οᇱ௦ - ով ܺ պատահական մեծության արժեքների բազմության տրոհումը միջակայքերի, իսկ ᇱᇱ ௡ ௡ οଵᇱᇱ , οᇱᇱ ଶ ǡ …, ο௞ - ով՝ ܻ - ի արժեքների տրոհումը: Այնուհետև՝ նշանակենք ߥ௜௝ - ով ሺܺ ǡ ܻ ሻ նմուշում ൫ܽ௜ ǡ ܾ௝ ൯, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ զույգերի թիվը ( կամ οᇱ௜ ൈ ο௝ᇱᇱ  ուղղանկյունների մեջ պարունակվող

௞

ሺܺ௟ ǡ ܻ௟ ሻզույգերիթիվըሻայնպեսǡոր ෍ ෍ ߥ௜௝ ൌ ݊ǣ ௜ୀଵ ௝ୀଵ

ܻ

ܾଵ

ܾଶ

௞

ܾ௞

ሺοᇱᇱ ௞ሻ

ߥ௜ή ‫׷‬ൌ ෍ ߥ௜௝

ߥଵ௞

ߥଵή

ߥଶଶ

ߥଶ௞

ߥଶή

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ܽ௦ ሺοᇱ௦ ሻ

ߥ௦ଵ

ߥ௦ଶ

ߥ௦௞

ߥ௦ή

ߥήଵ

ߥήଶ

ߥή௞

ሺοଵᇱᇱ ሻ

ሺοᇱᇱ ଶሻ

ܽଵ ሺοଵᇱ ሻ

ߥଵଵ

ߥଵଶ

ܽଶ ሺοᇱଶ ሻ

ߥଶଵ

.

ܺ

ߥή௝ ‫׷‬ൌ ෍ ߥ௜௝

௝ୀଵ

௞

෍ ߥ௜ή ൌ ෍ ߥή௝ ൌ ݊

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௝ୀଵ

Բերված աղյուսակը կոչվում է ܺ և ܻ պատահական մեծությունների զուգակցության կամ երկու մուտքով աղյուսակ: ‫݌‬௜௝ ‫׷‬ൌ Զ൫ܺ ൌ ܽ௜ ǡ ܻ ൌ ܾ௝ ൯ ቀկամ‫݌‬௜௝ ‫׷‬ൌ Զ൫ܺ ‫ א‬οᇱ௜ ǡ ܻ ‫ א‬ο௝ᇱᇱ ൯ቁ,

Նշանակենք՝

‫݌‬௜ή ‫׷‬ൌ Զሺܺ ൌ ܽ௜ ሻቀկամ‫݌‬௜ή ‫׷‬ൌ Զሺܺ ‫ א‬οᇱ௜ ሻቁǡ ‫݌‬ή௝ ǣ ൌ Զ൫ܻ ൌ ܾ௝ ൯ቀկամ‫݌‬ή௝ ‫׷‬ൌ Զ൫ܻ ‫ א‬ο௝ᇱᇱ ൯ቁǣ ௞

Պարզէǡոր՝‫݌‬௜ή ൌ  ෍ ‫݌‬௜௝ ǡ ‫݌‬ή௝ ൌ ෍ ‫݌‬௜௝ ‫׷‬ ௝ୀଵ

௜ୀଵ

Օգտվելով այս նշանակումներից անկախության ԯ଴ վարկածը կգրվի ԯ଴ : ‫݌‬௜௝ ൌ ‫݌‬௜ή ή ‫݌‬ή௝ տեսքովǡ որտեղ՝

௞

෍ ‫݌‬௜ή ൌ ෍ ‫݌‬ή௝ ൌ ͳǣԱյստեղիցհետևումէǡ որԯ଴ վարկածըբավարարվելուդեպքում‫ ݇ݏ‬െ չափանիպատաǦ ௜ୀଵ

௝ୀଵ

‫כ‬ ‫כ‬ ሻ վեկտորն ունի ॸሺ݊Ǣ ‫݌‬ሻ բազմանդամային բաշխում, որտեղ հական հաճախությունների ߥ ‫ כ‬ൌ ሺߥଵଵ ǡ ǥ ǡ ߥ௦௞

௞

‫ ݌‬ൌ ൫‫݌‬௜௝ ൌ ‫݌‬௜ή ή ‫݌‬ή௝ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬ǡ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇൯ǣՔանիոր ෍ ‫݌‬௜ή ൌ ෍ ‫݌‬ή௝ ൌ ͳǡապա ‫݌‬վեկտորըորոշվումէ ௜ୀଵ

௝ୀଵ

§ 22. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

ሺ‫݌‬ଵή ǡ ǥ ‫݌‬ሺ௦ିଵሻήǡ ‫݌‬ήଵ ǡ ǥ ǡ ‫݌‬ήሺ௞ିଵሻ ሻ պարամետրերով (պարամետրերի թիվը՝ ‫ ݎ‬ൌ ‫ ݏ‬൅ ݇ െ ʹ), որոնց բազմանդաଵ

մային ՃՄ գնահատականները հավասար են ‫݌‬෤௜௝ ൌ ௡మ ߥ௜ή ή ߥή௝ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬ǡ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ ‫׷‬ Այժմ ԯ଴ վարկածը ստուգելու համար կառուցենք Պիրսոնի ࣑૛ - վիճականին՝ ߥ௜ή ߥή௝ ଶ ௞ ௞ ଶ ቁ ቀߥ௜௝ െ ߥ௜௝ ଶ ൫ߥ௜௝ െ ݊‫݌‬෤௜௝ ൯ ݊ ൌ ݊ ቌ෍ ෍ െ ͳቍǣሺʹʹǤͳሻ ‫׷‬ൌ ෍ ෍ ߥ ߥ ௜ή ή௝ ߥ௜ή ߥή௝ ௜ୀଵ ௝ୀଵ ௜ୀଵ ௝ୀଵ ௜ୀଵ ௝ୀଵ ݊

߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬෤ሻ

௞

Համաձայն 19.2 Ֆիշերի թեորեմի ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ է ௗ

߯Ƹ௡ଶ ሺ‫݌‬෤ሻ  ՜ԯଶ ሺܰ െ ‫ ݎ‬െ ͳሻ զուգամիտությունը, որտեղ ܰ ൌ ‫݇ݏ‬, ‫ ݎ‬ൌ ‫ ݏ‬൅ ݇ െ ʹ, այնպես, որ ܰ െ ‫ ݎ‬െ ͳ ൌ ‫ ݇ݏ‬െ ሺ‫ ݏ‬൅ ݇ െ ʹሻ െ ͳ ൌ ሺ‫ ݏ‬െ ͳሻሺ݇ െ ͳሻǣ Այսպիսով՝ ߙ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ վարկածը ստուգող ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣ߯௡ଶ ሺ‫݌‬෤ሻ ൒ ߯ఈଶ ൫ሺ‫ ݏ‬െ ͳሻሺ݇ െ ͳሻ൯ൟ ‫׷‬ ࢙ ൌ ࢑ ൌ ૛ դեպքում ߯௡ଶ ሺ‫݌‬෤ሻ վիճականին ներկայացվում է հետևյալ ձևերով՝

߯௡ଶ ሺ‫݌‬෤ሻ

ߥ ߥ ଶ

ቀߥଵଵ െ  ଵή ήଵ ቁ

ሺߥଵଵ ߥଶଶ െ  ߥଵଶ ߥଶଵ ሻଶ

ߥଵଵ

ߥଵଶ ଶ ߥήଵ ߥήଶ

݊ ଷ ൌ ݊ ൬ െ ൰ ή ൌ݊ ൌ݊ ‫  ׷‬ሺʹʹǤʹሻ ߥήଵ ߥήଶ ߥଵή ߥଶή ߥଵή ߥଶή ߥήଵ ߥήଶ ߥଵή ߥଶή ߥήଵ ߥήଶ

Սպիրմենի հայտանիշ Որակական հատկանիշների անկախությունը ստուգելու համար օգտագործվում են ռանգային հայտանիշները, որոնցից առավել հայտնի է Սպիրմենի հայտանիշը: Հայտանիշը կառուցվում է հետևյալ ձևով՝ ܺ և ܻ պատահական մեծությունների երկչափ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ ൌ ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ նմուշի համար նշանակենք ܴ௜ - ով ܺ௜ անդամների ռանգերը ܺ ௡ նմուշում, ܵ௜ - ով՝ ܻ௜ անդամների ռանգերը ܻ ௡ նմուշում: Այնուհետև ሺܴ௜ ǡ ܵ௜ ሻ, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ ռանգերի զույգերը վերադասավորենք ըստ ܴ௜ ռանգերի աճման կարգի, նշանակելով ሺͳǡ ܶଵ ሻǡ ሺʹǡ ܶଶ ሻǡ ǥ ǡ ሺ݊ǡ ܶ௡ ሻ - ով ստացված զույգերը ሺܴ௜ ǣ ൌ ݅ሻ: Սպիրմենի ռանգային կորելյացիայի գործակից (կամ Սպիրմենի վիճականի) կոչվում է ܴଵ , …, ܴ௡ և ܵଵ , …, ܵ௡ ռանգերի միջև կորելյացիայի գործակիցը՝ ௡

௡

௡

௡ ሻሺܵ െ തതത

௡ ሻଶ ෍ሺܵ െ ܵ ଶ തതത തതതത തതതത ‫ݎ‬ௌ‫׷ כ‬ൌ ෍ሺܴ௜ െ ܴ ܵ ௡ ሻ൙ඩ෍ሺܴ௜ െ ܴ ௜ ௜ ௡ ሻ  ‫  ׷‬ሺʹʹǤ͵ሻ ௜ୀଵ ࢔

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௡

Քանի որ ܴ ൌ ሺܴଵ ǡ ǥ ǡ ܴ௡ ሻ և ܵ ൌ ሺܵଵ ǡ ǥ ǡ ܵ௡ ሻ ռանգերը ներկայացնում են ͳǡ ǥ ǡ ݊ թվերի որոշ տեղա-

փոխություններ, ապա ௡

ͳ ݊൅ͳ ௡ ൌ ෍ ݅ ൌ തതത തതതത ܴ௡ ൌ ܵ ǡ ݊ ʹ ௜ୀଵ

௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

݊ ൅ ͳ ଶ ݊ሺ݊ଶ െ ͳሻ ෍ሺܴ௜ െ തതതത ܴ௡ ሻଶ ൌ ෍ሺܵ௜ െ തതത ܵ ௡ ሻଶ ൌ ෍ ݅ ଶ െ ݊ ൬ ൰ ൌ ͳʹ ʹ

§ 22. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

Այնպես, որ ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬գործակիցը կբերվի հետևյալ տեսքի՝ ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ൌ

௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

͸ ͳʹ ݊൅ͳ ݊൅ͳ ͸ ෍ ൬݅ െ ൰ ൬ܶ௜ െ ൰ ൌ ͳ െ ෍ሺܴ௜ െ ܵ௜ ሻଶ ൌ ͳ െ ෍ሺ݅ െ ܶ௜ ሻଶ  ‫׷‬ ݊ሺ݊ଶ െ ͳሻ ݊ሺ݊ଶ െ ͳሻ ʹ ʹ ݊ሺ݊ଶ െ ͳሻ

Այս բանաձևից անմիջապես երևում է, որ ܴ௜ ൌ ܵ௜ , ݅ ൌ ͳǡ …,݊ դեպքում` ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ൌ ͳ, իսկ ܶ௜ ൌ ݊ െ ݅ ൅ ͳ - ի դեպքում (հակադիր ռանգեր) ՝ ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ൌ െͳ: Ընդհանուր դեպքում՝ ȁ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ȁ ൑ ͳ: ȁ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ȁ - ի մեկին մոտ ընդունած արժեքները վկայում են անկախության ԯ଴ վարկածի դեմ : ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬վիճականու ճշգրիտ բաշխումը ԯ଴ վարկածի դեպքում ոչ պարամետրական է ( բաշխումից

«ազատ» ) և համաչափ 0 կետի նկատմամբ: ߙ նշանակալիության մակարդակով այդ վարկածը ստուգող Սպիրմենի հայտանիշի երկկողմանի կրիտիկական տիրույթն ունի հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣȁ‫ݎ‬ௌ ȁ ൒ ‫ݏ‬ఈΤଶ ሺ݊ሻൟǡ որտեղ ‫ݏ‬ఈΤଶ ሺ݊ሻ - ը ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬վիճականու բաշխման կրիտիկական եզրն է, որի արժեքները, երբ ݊ ൌ 4, …, 30, բերված են աղյուսակ 13 - ում:  Թեորեմ 22.1: ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ են հետևյալ զուգամիտությունները՝ ௗ

ξ݊ െ ͳ‫ݎ‬ௌ‫  כ‬՜ ԳሺͲǡͳሻሺͳሻǡ  ඨ

ௗ ݊െʹ ‫ כ ݎ‬՜ ॻሺ݊ െ ʹሻǡ݊ ՜ λሺʹሻ ‫׷‬ ͳ െ ሺ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ሻଶ ௌ

( ሺʹሻ – ում նշված զուգամիտությունը բավականաչափ «արագ» է, այնպես, որ համապատասխան հայտանիշը կարելի է կիրառել արդեն, երբ ݊ ൒ ͳͲ) : Թեորեմիցբխումէǡ որߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ երկկողմանի կրիտիկական տիրույթներն ունեն, համապատասխանաբար, հետևյալ տեսքը՝ ݊െʹ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ ‫  ׷‬ξ݊ െ ͳȁ‫ݎ‬ௌ ȁ ൒ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൟǡ ࣲଵఈ ൌ ቐሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ ‫  ׷‬ඨ ȁ‫ ݎ‬ȁ ൒ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻቑ ‫׷‬ ͳ െ ‫ݎ‬ௌ ଶ ௌ Այն դեպքում, երբ հատկանիշներն ունեն համընկնող ռանգեր ռանգային կորելյացիայի գործակիցը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևի օգնությամբ՝ ͳ ଷ ሺ݊ െ ݊ሻ െ σሺܴ௜ଵ െ ܴ௜ଶ ሻଶ െ ܶଵ െ ܶଶ ǡ ‫ݎ‬ௌ ൌ ͸ ටͳ ሺ݊ଷ െ ݊ሻ െ ʹܶଵ ටͳ ሺ݊ଷ െ ݊ሻ െ ʹܶଶ ͸ ͸ որտեղܶଵ ‫׷‬ൌ 

௠భ

௠మ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ଷ ଷ ෍ሺ݊ଵ௜ െ ݊ଵ௜ ሻ ǡܶଶ ‫׷‬ൌ  ෍ሺ݊ଶ௜ െ ݊ଶ௜ ሻ ǡ݉ଵ Ǧըև݉ଶ Ǧը՝ և հատկանիշներիհաǦ ͳʹ ͳʹ

մընկնող ռանգերի խմբերի թիվն է, ݊ଵ௜ - ն և ݊ଶ௜ - ն՝  և  հատկանիշների ݅ - րդ խմբի ռանգերի կրկնությունների թիվը, ܴ௜ଵ (ܴ௜ଶ ) - ը՝ ܺ௜ ( ܻ௜ ) անդամների ռանգերը ܺ ௡ ( ܻ ௡ ) նմուշում:

Քենդալի հայտանիշ Հաջորդ հայտնի ռանգային հայտանիշն առաջարկվել է Քենդալի կողմից: Դիցուք ሺͳǡ ܶଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺ݊ǡ ܶ௡ ሻ - ը ܺ ௡ ևܻ ௡ նմուշներին համապատասխանող ռանգերի զույգերն են:

§ 22. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

௡

ࡽ െ վիճականիկոչվումէܳ ‫׷‬ൌ ෍ ܶ௜ᇱ պատահականմեծությունը ǡ որտեղܶ௜ᇱ Ǧը՝ܶ௜ ռանգինհամաǦ ௜ୀଵ

պատասխանող «ինվերսիան» է, այսինքն՝ ሺܶଵ ǡ ǥ ǡ ܶ௡ ሻ շարքում ܶ௜ - ից աջ գտնվող այն ռանգերի թիվն է, որոնք փոքր են ܶ௜ արժեքից: ࡽ െ վիճականին նկարագրում է ܶ௜ ռանգերի «ինվերսիաների» («անկարգավորվածությունների») թիվը: Պարզ է, որ Ͳ ൑ ܳ ൑

௡ሺ௡ିଵሻ ଶ

, ընդ որում ܳ ൌ 0 դեպքը վկայում է «անկարգավորվածությունների»

բացակայության մասին, այսինքն՝ ܶଵ ൏ ܶଶ ൏ …൏ ܶ௡ : Ընդհակառակ՝ ܳ ൌ

௡ሺ௡ିଵሻ ଶ

դեպքը համապատաս-

խանում է հակառակ դասավորությանը՝ ܶ௡ ൏ ܶ௡ିଵ ൏ …൏ ܶଵ : Քենդալի ռանգային կորելյացիայի գործակից կոչվում է࢘‫׷ ࡷכ‬ൌ ૚ െ Պարզ է, որ ‫ݎ‬௄ ൌ ͳ, եթե ܳ ൌ Ͳ և ‫ݎ‬௄ ൌ െͳ, երբ ܳ ൌ

௡ሺ௡ିଵሻ ଶ

૝ࡽ ࢔ሺ࢔ି૚ሻ

վիճականին:

: Ընդհանուր դեպքում՝ ȁ‫ݎ‬௄ ȁ ൑ ͳ :

‫ݎ‬௄‫כ‬

վիճականու ճշգրիտ բաշխումը ԯ଴ վարկածի դեպքում ոչ պարամետրական է ( բաշխումից «ազատ» ) և համաչափ 0 կետի նկատմամբ: ߙ նշանակալիության մակարդակով այդ վարկածը ստուգող Քենդալի հայտանիշի երկկողմանի կրիտիկական տիրույթն ունի հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣȁ‫ݎ‬௄ ȁ ൒ ݇ఈΤଶ ሺ݊ሻൟǡ որտեղ ݇ఈΤଶ ሺ݊ሻ - ը ‫ݎ‬௄‫ כ‬վիճականու ճշգրիտ բաշխման կրիտիկական եզրն է, որի արժեքները, երբ ݊ ൌ ൌ 4, …, 10, բերված են աղյուսակ 14 - ում: Թեորեմ 22.2 ሺՔենդալሻǣ ԯ଴ վարկածի դեպքում ճիշտ է

ඨ

ͻሺ െ ͳሻ ‫ כ‬ௗ ‫  ݎ‬՜ ԳሺͲǡͳሻǡ݊ ՜ λ ‫׷‬

ʹሺʹ ൅ ͷሻ ௄

զուգամիտությունը: ԯ଴ վարկածը ստուգող ߙ մակարդակի երկկողմանի ասիմպտոտիկ հայտանիշը կունենա հետևյալ

կրիտիկական տիրույթը՝ ͻሺ െ ͳሻ ȁ‫ ݎ‬ȁ ൒ ‫ݖ‬ఈΤଶ ቑ ‫׷‬ ࣲଵఈ ൌ ቐሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ ‫  ׷‬ඨ

ʹሺʹ ൅ ͷሻ ௄

384 (մ). Գտնել անկախության ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում Սպիրմենի ռանգային կորելյացիայի ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬գործակցի ॱ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬միջինը և ॽƒ”ሺ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ሻ ցրվածքը: 385 (կ). Բուհ ընդունելության քննություն հանձնող 300 դիմորդներից 97 - ը դպրոցում տվյալ առարկայից ունեին «գերազանց» թվանշանը: Քննության ժամանակ 48 դիմորդ ստացել էր «գերազանց» թվանշան, ընդ որում միայն 18 դիմորդ ուներ դպրոցում «գերազանց» թվանշան տվյալ առարկայից և ստացել էր «գերազանց» թվանշան ընդունելության քննության ժամանակ: 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել օգտվելով ߯ ଶ Ȃհայտանիշից դպրոցում և ընդունելության քննության ժամանակ «գերազանց» թվանշան ստանալու անկախության վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ կազմել զուգակցության աղյուսակը և օգտվել ߯ ଶ Ȃ հայտանիշից:

§ 2. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

386 (կ). Բերված են դասակարգված ըստ երկու հատկանիշի՝ «ընդունված է ሺ‫ܣ‬ሻ െ ընդունված չէ ሺ‫ܣ‬ҧሻ» և ըստ սեռի՝ «արական ሺ‫ܤ‬ሻ – իգական ሺ‫ܤ‬ത ሻ» բուհ ընդունվողների վերաբերյալ հետևյալ տվյալները ` 1)

‫ܣ‬ ‫ܣ‬ҧ ȭ

‫ܤ‬

‫ܤ‬ത

ȭ 442 ሺ݊ሻ

‫ܤ‬

‫ܤ‬ത

ȭ 315 ሺ݊ሻ

2)

‫ܣ‬ ‫ܣ‬ҧ ȭ

Յուրաքանչյուր աղյուսակի համար ստուգել ‫ ܣ‬և ‫ ܤ‬հատկանիշների վերաբերյալ անկախության վարկածը: Օգտվել ߯ ଶ Ȃ հայտանիշից : Ցուցում՝ օգտվել բանաձև ሺʹʹǤʹሻ - ից:

387 (կ). Ստուգվում է վարկած առ այն, որ ուսանողների առաջադիմությունը կախված է պարապելու ընթացքում երաժշտություն լսելու տևողությունից: 400 ուսանողի հետ կատարված հարցումը տվել է հետևյալ արդյունքները՝

1 շաբաթվա ընթացքում երաժշտություն լսելու վրա ծախսած ժամանակը ൏ ͷժամից 5 Ȃ 10 ժամ 11Ȃ 20 ժամ ൐ ʹͲ ժամից Ընդամենը

Առաջադիմությունը A

B

C

D

F

Ընդամենը

Ստուգել վարկածը 0.05 նշանակալիության մակարդակով օգտվելով ߯ ଶ Ȃ հայտա-

նիշից : Ցուցում՝ օգտվել բանաձև ሺʹʹǤͳሻ - ից:

§ 22. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

388 (կ). 1725 աշակերտ դասակարգվել են ըստ մտավոր կարողությունների և ընտանեկան տնտեսական մակարդակի (ըստ հագնվածքի): Ստացվել է աղյուսակ. Մտավոր կարողությունները Հագնվելու որակը

Սովորական

Խելացի

Շատ խելացի

Ընդամենը

Շատ լավ Լավ Վատ Ընդամենը 

ͲǤͲͳմակարդակով ստուգել օգտվելով ߯ ଶ Ȃ հայտանիշից աշակերտների հագնվածքի և մտավոր կարողությունների միջև կախվածության վերաբերյալ վարկածը: Ցուցում՝ օգտվել բանաձև ሺʹʹǤͳሻ - ից:

389 (կ). Գործարանի մենեջերը ռանգավորել է պատահական վերցված 8 բանվորների ըստ նրանց արտաժամ աշխատանքի և աշխատանքային ստաժի: 0.1

նշանակալիության մակարդակով Սպիրմենի հայտանիշի օգնությամբ ստուգել այդ ռանգերի միջև կորելյացիոն կապի նշանակալիությունը՝ 1 շաբաթվա ընթացքում արտաժամ աշխատելու տևողությունը (ժամերով) Աշխատանքային ստաժը (տարիներով)

4.5

4.5

390 (կ). Ենթադրվում է, որ մենեջերների տարիքը նպաստում է իր և աշխատակիցների միջև առավել սերտ փոխհարաբերություններին: Ստորև բերված են մենեջերների հասցեին որոշ կազմակերպության աշխատակիցների կողմից մեկ տարվա ընթացքում գրանցված բողոքները՝ Մենեջերի տարիքը Բողոքների թիվը

0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել Սպիրմենի ռանգային կորելյացիայի

գործակցի միջոցով մենեջերի տարիքից կախված նրանց և աշխատակիցների միջև հարաբերությունների կապը:

§ 22. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

391 (կ). Ինքնաթիռների վերանորոգման վրա ծախսված ժամանակը գնահատելու համար, առաջարկվում է դիտարկել վերջին լուրջ վերանորոգումից հետո կատարված

թռիչքային ժամերը: Հիմնվելով որոշակի 10 ինքնաթիռների համար կատարված հետևյալ գրանցումների վրա՝ Ինքնաթիռներ Վերջին լուրջ վերանորոգումից հետո կատարած

1.2

0.9

1.45

1.3

1.65

1.7

0.5

2.1

թռիչքային ժամերը ሺͳͲଷ ժամሻ Վերանորոգման համար ծախսված ժամանակը (ժամերով )

0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել Սպիրմենի ռանգային կորելյացիայի

գործակցի օգնությամբ այդ կախվածությունը: 392 (կ). Որոշ հասարակական կազմակերպությունների տվել են կյանքի համար 7 առավել մեծ ռիսկեր պարունակող երևույթների ցանկ և առաջարկել ռանգավորել այն ըստ ռիսկերի նվազման կարգի: Արդյունքում ստացվել է ռանգերի աղյուսակ, որտեղ նշանակված է ‫ܣ‬- ով՝ մասնագետների խումբը, ‫ ܤ‬- ով՝ կանանց հասարակական լիգան, ‫ ܥ‬- ով՝ ուսանողական կազմակերպությունը, ‫ ܦ‬- ով՝ քաղաքացիների ակումբը Կազմակերպություններ Ռիսկեր (ռանգավորված) Ավտովթարներ Ծխախոտ Խմիչք Զենք Վիրահատություն Մոտոցիկլ վարել Ճառագայթում

‫ܣ‬

‫ܤ‬

‫ܥ‬

‫ܦ‬

Գտնել մասնագետների կարծիքի համեմատությամբ յուրաքանչյուր խմբի համար

Սպիրմենի ռանգային կորելյացիայի գործակիցը, որոշել, ո՞ր խումբն է առավել ճըշգրիտ ընկալում ռիսկերը և 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ‫ ܣ‬խմբի նկատմամբ համապատասխան խմբի կորելյացիոն կապի նշանակալիությունը:

§ 22. ԱՆԿԱԽՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐ

393 (կ). ‫ ܣ‬և ‫ ܤ‬թեստերի օգնությամբ ստուգվել է 10 ուսանողի գիտելիք: Գնահատման արդյունքում (100 բալային համակարգով) ստացվել է հետևյալ աղյուսակը. Ուսանողներ Թեստ ‫ܣ‬ Թեստ ‫ܤ‬

0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել Քենդալի և Սպիրմենի հայտանիշ-

ների օգնությամբ ‫ ܣ‬և ‫ ܤ‬թեստերի միջոցով գնահատված թվանշանների միջև ռանգային կորելյացիոն կապի նշանակալիությունը: 394 (կ). Լուծել խնդիր 391 - ը օգտվելով Քենդալի հայտանիշից : 395 (կ). Որոշ ապահովագրական ընկերություն աշխատանքի ընդունելու նպատակով անց է կացնում հարցազրույց, որին կարող են մասնակցել նաև մագիստրատուրայում սովորող տնտեսագիտական մասնագիտությամբ ուսանողները: Ընկերության ներկայացուցիչը զգուշացնում է ուսանողներին որպեսզի նրանք չտեղեկացնեն ընկերներին հարցազրույցի ընթացքում շոշափված հարցերի մասին: Սակայն ընկերության աշխատակիցը ենթադրում է, որ հարցազրույցի վերջում մասնակցող ուսանողները որոշ հարցերի վերաբերյալ այնուամենայնիվ ստացել էին տեղեկատվություն: 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել օգտվելով Քենդալի հայտա-

նիշից հարցազրույցին մասնակցողների հերթական համարների և նրանց ստացած գնահատականների միջև ռանգային կորելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը: Ապահովագրական ընկերության կողմից կազմակերպած հարցազրույցի արդյունքները բերված են հետևյալ աղյուսակում. Հարցազրույցին մասնակցողի հերթական համարը

Գնահատականը

Հարցազրույցին մասնակցողի հերթական համարը

Գնահատականը

§ 23. Պատահականության հայտանիշ Պահանջվում է ստուգել վարկած, որ փորձի ընթացքում ստացված ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ դիտումների վեկտորը ներկայացնում է իրենից որոշակի Զ բաշխմանը համապատասխանող պատահական նմուշ, այսինքն, որ ܺ ௡ վեկտորի ܺ௜ անդամներն անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծություններ են: Դա նշանակում է, որ պահանջվում է ստուգել ԯ଴ : ॲ௑ ೙ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൈǤ Ǥ Ǥൈ ॲሺ‫ݔ‬௡ ሻǡ

‫ ݔ‬௡ ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ ‫ ࣲ א‬௡

վարկածը, որտեղ ॲሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ Զ բաշխմանը համապատասխանող բաշխման ֆունկցիան է: ԯ଴ վարկածի ստուգումը կառուցվում է «անկարգավորվածության» աստիճանը նկարագրող վիճականիների օգնությամբ: Այդպիսի վիճականիներից մեկն է ܺ ௡ նմուշում «ինվերսիաների» ܳ௡ թիվը: Հիշենք, որ ܺ ௡ ൌ (ܺଵ , …, ܺ௜ ǡ …, ܺ௝ ǡ …, ܺ௡ ) նմուշի ܺ௜ և ܺ௝ անդամները կազմում են «ինվերսիա», եթե ݅ ൏ ݆ պայմանից հետևում է ܺሺ௜ሻ ൐ ܺሺ௝ሻ պայմանը կարգային վիճականիների համար: ௡ିଵ

Նշանակենքܳ௡ ‫׷‬ൌ ܳሺܺ ௡ ሻ  ൌ ෍ ߟ௜ Ǧովܺ ௡ նմուշիǼինվերսիաներիǽթիվըǡ որտեղߟ௜ Ǧնܺ௜ նմուշային ௜ୀଵ

անդամին համապատասխանող «ինվերսիաների» թիվն է: ܳ௡ վիճականին նկարագրում է դիտումների «անկարգավորվածությունների» չափը: Թեորեմ 23.1: ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ է ܳ෨௡ ‫׷‬ൌ ቆܳ௡ െ

݊ሺ݊ െ ͳሻ ͸ ௗ ቇ ଷΤଶ ՜ ԳሺͲǡ ͳሻ ǡ݊ ՜ λǡሺʹ͵Ǥͳሻ Ͷ ݊

զուգամիտությունը, որին համարժեք է ասիմպտոտիկ նորմալության ܳ௡ է Գ ቆ

݊ሺ݊ െ ͳሻ ݊ଷ ǡ ቇሺմեծ݊Ǧիդեպքումሻ ͵͸ Ͷ

պայմանը : ԯ଴ վարկածը ստուգող ߙ նշանակալիության մակարդակի ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ቊ‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬ቤܳ௡ െ

݊ሺ݊ െ ͳሻ ͸ ቤ ଷΤଶ ൒ ‫ݖ‬ఈΤଶ ቋ ‫׷‬ Ͷ ݊

ሺʹ͵Ǥͳሻ բանաձևում բերված զուգամիտությունը բավականաչափ «արագ» է, այնպես, որ հայտանիշը կարելի է կիրառել արդեն, երբ ݊ ൐ ͳͲ - ից:





‫כ‬

݊െͳ

૜ૢ૟ ൫մ൯ǤՍտանալǡ որպատահականությանվարկածիդեպքումܳ݊  ൌ ෍

݅ൌͳ

ներիǽթվի միջինը և ցրվածքը հավասար են՝ ॱܳ௡ ൌ

ߟ݅ ǼինվերսիաǦ

௡ሺ௡ିଵሻሺଶ௡ାହሻ ݊൫݊െͳ൯ , ॽƒ”ሺܳ௡ ሻ ൌ : Ͷ ଻ଶ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :

397 (կ). Կարելի է՞ արդյոք 0.001 նշանակալիության մակարդակով համարել, որ 1.05, 1.12, 1.37, 1.50, 1.51, 1.73, 1.85, 1.98 հաջորդականությունը հանդիսանում է անկախ միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների իրագործումներ:

§ 24. ԿՈՐԵԼՅԱՑԻՈՆ ԿԱՊԸ ՍՏՈՒԳՈՂ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

398 (կ). 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել խնդիր 365 - ում բերված Ռሺͳǡ ʹሻբաշխմանը համապատասխանող 0.8465, 1.4770, 1.7406, 1.8669, 3.4113, 3.1880, 1.4988, 1.3281, 3.0715, 4.4123 նմուշի պատահականության վերաբերյալ վարկածը: 399 (կ). 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել խնդիր 372 - ում բերված 74, 57, 48, 29, 502, 12, 70, 21, 29, 386, 59, 27, 153, 26, 326 հաջորդականության պատահականության վերաբերյալ վարկածը:

§ 24. Երկու պատահական մեծությունների կորելյացիոն կապը ստուգող հայտանիշ Դիցուք տրված է ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորը և ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ ൌ ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ - ը նրան համաԧ‘˜ሺܺǡ ܻሻ ǦովայդպատահականմեծությունǦ պատասխանողնմուշնէǣՆշանակենքߩ ‫׷‬ൌ ߩ௑ǡ௒ ൌ  ඥॽƒ”ሺܺሻඥॽƒ”ሺܻሻ ଶ ଶ Ǧով՝նմուշայինկորելյացիայիգործակիցըǡ որտեղܵ௑௒ ներիկորելյացիայիգործակիցըǡ‫ݎ‬௑ǡ௒ ‫׷‬ൌ ܵ௑ ܵ௒ ௡

ͳ ௡ ܻ ௡ ǦըƮնմուշայինկովարիացիանէǡիսկܵ Ǧըևܵ Ǧը՝նմուշայինստանդարտշեǦ തതതത തതതത ൌ  ෍ ܺ௜ ܻ௜ െ ܺ ௑ ௒ ݊ ௜ୀଵ

ղումները: Սովորաբար ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ պատահական նմուշի թվային իրագործումը ներկայացված է լինում դիսկրետ

դեպքում ൫ܽ௜ ǡ ܾ௝ ൯, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݏ‬, ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ զույգերի և համապատասխան ߥ௜௝ հաճախությունների զուգակցության աղյուսակի միջոցով ሺտեսȚʹʹሻ: Անընդհատ ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորի դեպքում ൫ܽ௜ ǡ ܾ௝ ൯ զույգերը հանդիսանում են ܺ և ܻ պատահական մեծությունների արժեքների բազմության տրոհումների համապատասխան οᇱ௜ և ο௝ᇱᇱ միջակայքերի միջնակետերը: Համապատասխան (թվային) նմուշային բնութագրիչները՝ կլինեն նմուշային միջինը և ցրվածքը` ࢙

࢑

௜ୀଵ ௞

௜ୀଵ ௞

௝ୀଵ

௝ୀଵ

ͳ ͳ ͳ ௡ ‫׷‬ൌ  ෍ ߥ ܽ ǡ‫ ݏ‬ଶ ‫׷‬ൌ  ෍ ߥ ሺܽ െ ‫ݔ‬ ௡ ሻଶ  ൌ  ෍ ߥ ܽ ଶ െ ሺ‫ݔ‬ ௡ ሻଶ ǡ തതത തതത തതത ‫ݔ‬ ௜ή ௜ ௜ή ௜ ௜ή ௜ ݊ ݊ ݊ ͳ ͳ ͳ ത‫ݕ‬തത௡ത ‫׷‬ൌ  ෍ ߥή௝ ܾ௝ ǡ‫ݏ‬௬ଶ ‫׷‬ൌ  ෍ ߥή௝ ൫ܾ௝ െ ‫ݕ‬ തതത௡ത൯ଶ ൌ  ෍ ߥή௝ ܾ௝ଶ െ ሺ‫ݕ‬

തതത௡തሻଶ ǡ

݊ ݊ ݊ նմուշային կովարիացիան և կորելյացիայի գործակիցը՝

௞

ͳ ଶ ௡ ‫ݕ‬ തതത തതത௡തǡ ‫ݏ‬௫௬ ‫׷‬ൌ  ෍ ෍ ߥ௜௝ ܽ௜ ܾ௝ െ ‫ݔ‬ ݊ ௜ୀଵ ௝ୀଵ

‫ݎ‬௫ǡ௬ ‫׷‬ൌ 

௞

௞

௜ୀଵ

௝ୀଵ

ଶ ‫ݏ‬௫௬ ௡ ‫ݕ‬ ௡ ሻଶ ൲ ൮ඩ෍ ߥ ܾ ଶ െ ݊ሺ‫ݕ‬ തതത തതത௡തቍ൙൮ඩ෍ ߥ௜ή ܽ௜ଶ െ ݊ሺ‫ݔ‬ തതത

തതത௡തሻଶ ൲ǣ

ൌ ቌ෍ ෍ ߥ௜௝ ܽ௜ ܾ௝ െ ݊‫ݔ‬ ή௝ ௝ ‫ݏ‬௫ ‫ݏ‬௬ ௜ୀଵ ௝ୀଵ

Թեորեմ૛૝Ǥ ૚ǣԯ଴ ‫ ߩ ׷‬ൌ Ͳվարկածըբավարարվելուդեպքումܶ௡ିଶ ‫׷‬ൌ ξ݊ െ ʹ

௥೉ǡೊ మ ටଵି௥೉ǡೊ

վիճականին

ունի ሺ݊ െ ʹሻ ազատության աստիճաններով Ստյուդենտի բաշխում: Թեորեմից հետևում է, որ ԯ଴ : ߩ ൌ 0 վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩ ് Ͳ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ

նշանակալիության մակարդակի կրիտիկական տիրույթն ունի հետևյալ տեսքը ൫‫ݐ‬௡ିଶ ‫׷‬ൌ ܶ௡ିଶ ሺ߱ሻ൯ ՝ ‫ۓ‬ ۗ

‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ

ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ ‫  ׷‬ȁ‫ݐ‬௡ିଶ ȁ ൐ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻൟ ൌ ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ ‫ ׷‬ห‫ݎ‬௫ǡ௬ ห ൐ ۘ ට‫ݐ‬ఈଶΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ ൅ ݊ െ ʹ ‫ە‬ ۙ Եթե ߙ նշանակալիության մակարդակով ԯ଴ վարկածը չի հերքվում, ապա ասում են, որ կորելյացիոն կապը ܺ և ܻ հատկանիշների միջև ߙ մակարդակով նշանակալի չէ : Հակառակ դեպքում (երբ տեղի ունի ԯଵ վարկածը) ասում են այդ կապը ߙ մակարդակով նշանակալի է:

§ 24. ԿՈՐԵԼՅԱՑԻՈՆ ԿԱՊԸ ՍՏՈՒԳՈՂ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Գործնական կիրառումների համար, երբ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ նմուշը վերցված է երկչափ նորմալ բաշխումից, հաճախ օգտագործվում է Ֆիշերի ներմուծած այսպես կոչված «Ֆիշերի ‫ ܢ‬- ձևափոխությունը»: Նշանակենք՝ ͳ ͳ ൅ ‫ݎ‬௑ǡ௒ ͳ ͳ൅ߩ ǡߞ ‫׷‬ൌ  Ž ‫ݖ‬௡ ‫׷‬ൌ  Ž ʹ ͳ െ ‫ݎ‬௑ǡ௒ ʹ ͳെߩ Թեորեմ 24.2 (Ֆիշեր): Դիցուք ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ - ը երկչափ նորմալ բաշխումից նմուշ է : ԯ଴ : ߩ ൌ ߩ଴ վար-

կածը բավարարվելու դեպքում ճիշտ է հետևյալ զուգամիտությունը՝ ௗ ߩ଴ ൰  ՜ ԳሺͲǡ ͳሻ ǡ݊ ՜ λ ʹሺ݊ െ ͳሻ (այստեղ բերված մոտարկումը բավականաչափ «լավն» է, երբ ݊ ൐ ͳͲ - ից ):

‫ݖ‬௡ᇱ ‫׷‬ൌ  ξ݊ െ ͵ ൬‫ݖ‬௡ െ ߞ െ

௡ ௡ ௡ ௡ 400. Դիցուք ൫ܺଵ భ ǡ ܻଵ భ ൯ և ൫ܺଶ మ ǡ ܻଶ మ ൯ երկչափ նորմալ բաշխված ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻ և ሺܺଶ ǡ ܻଶ ሻ

պատահական վեկտորների միմյանցից անկախ նմուշներ են: ߙ մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߩଵ ൌ ߩଶ ሺǣ ൌ ߩ଴ ሻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩଵ ് ߩଶ երկընտրանքայինը, որտեղ ߩଵ ‫׷‬ൌ ߩ௑భ ǡ௒భ - ը և ߩଶ ‫׷‬ൌ ߩ௑మ ǡ௒మ - ը տեսական կորելյացիայի գործակիցներն են: 401. Դիցուք ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ- ը համատեղ երկչափ նորմալ բաշխում ունեցող պատահական վեկտորի ݊ ൌ Ͷ͸ ծավալի նմուշ է: Այդ դիտումների միջոցով նմուշային կորելյացիայի գործակցի համար ստացվել է ‫ݎ‬௑ǡ௒ ൌ ͲǤ͹ͻʹͺ արժեքը: 0.05 մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߩ ൌ ͲǤͻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩ ൏ ͲǤͻ մրցող վարկածը: Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 24.2 - ից:

ͶͲʹǤԴիտվում է համատեղ երկչափ նորմալ բաշխում ունեցող պատահական վեկտորի ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ նմուշը, որտեղ ݊ ൌ ʹͺ, իսկ նմուշային կորելյացիայի գործակիցը՝ ‫ݎ‬௑ǡ௒ ൌ ͲǤ͸ͷʹͳǣԱրդյոք հնարավո՞ր է ստացվի այդպիսի արժեքնմուշային կորելյացիայի

գործակցի համար, եթե հայտնի է, որ տեսական կորելյացիայի գործակիցը՝ ߩ ൌ ͲǤ͹ʹͳ: Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 24.2 - ից:

403 (կ). Ստորև բերված են 40 տարիների ընթացքում Մոսկվա ሺ‫ݔ‬ሻ և Յարոսլավլ ሺ‫ݕ‬ሻ քաղաքների հունիս ամսվա ընթացքում գրանցված օդի միջին ջերմաստիճանների վերաբերյալ հետևյալ տվյալները՝ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬

12.0 10.8 14.0 10.0 16.0 13.0 18.0 14.0

12.0 11.3 14.0 12.0 15.9 15.0 18.0 14.8

12.0 12.0 13.9 12.4 16.0 16.0 18.1 16.0

12.0 13.0 15.0 11.0 16.9 12.9 18.4 17.8

12.8 10.9 14.9 13.0 17.2 13.9 19.2 15.0

13.8 10.0 14.9 14.2 16.9 14.8 19.3 16.1

13.1 11.5 16.0 13.8 16.9 15.0 20.0 17.0

13.0 13.0 15.0 16.0 17.0 16.0 20.1 17.7

13.9 10.1 15.5 13.9 16.8 17.0 14.0 14.8

14.2 10.0 15.9 14.7 17.5 16.0 14.0 15.2

§ 24. ԿՈՐԵԼՅԱՑԻՈՆ ԿԱՊԸ ՍՏՈՒԳՈՂ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

Գտնել նմուշային կորելյացիայի գործակիցը: Համարելով ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորի համատեղ նորմալ բաշխվածությունը՝ 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߩ ൌ ͲǤ͹ͷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩ ് ͲǤ͹ͷ երկընտրանքայինը: 404 (կ). Որոշ հանքից վերցված 302 ծավալ ունեցող նմուշի օգնությամբ կատարված հետազոտությունը հանքաքարերի մեջ կապարի և արծաթի տոկոսային պարունակության վերաբերյալ տվել է հետևյալ արժեքները՝

Արծաթի պարունակությունը , ‫ݕ‬ሺΨǦովሻ 0Ȃ4 4Ȃ8 8 െ 12 12 െ 16 ͳ͸ Ȃ 20 20 Ȃ 24 24 Ȃ 28 28 Ȃ 32 32 Ȃ 36 36 െ 40

Կապարի պարունակությունը, ‫ ݔ‬ሺΨǦովሻ

0Ȃ5

5െ10

10െ15

15െ20

20െʹͷ

25െ30

30െ35

35െ40

40െ45

െ െ െ െ െ െ െ

െ െ െ െ െ െ െ

െ

െ െ

െ െ െ െ െ െ െ

െ െ െ െ െ െ െ

െ െ െ െ െ െ

െ െ െ െ െ െ െ

െ െ െ െ െ െ െ

െ െ

െ

െ െ െ െ െ

െ െ െ െ

Գտնել հանքաքարերի մեջ արծաթի և կապարի տոկոսային պարունակությունների միջև նմուշային կորելյացիայի գործակիցը: 405. Դիցուք ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ, ݊ ൌ ͳʹͲ նմուշը համապատասխանում է երկչափ նորմալ բաշխում ունեցող ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորին: Նմուշային կորելյացիայի գործա-

կցի համար ստացվել է ‫ݎ‬௫ǡ௬ ൌ 0.4 արժեքը: 0.05 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߩ ൌ Ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩ ് Ͳ երկընտրանքայինը: 406 (կ). Ստորև բերված 79 փորձերի արդյունքում ստացված կորելյացիոն աղյուսակի միջոցով գտնել նմուշային կորելյացիայի գործակիցը և 0.1 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߩ ൌ െͲǤͻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩ ് െͲǤͻ երկընտրանքայինը (ենթադրվում է, որ ሺܺǡ ܻሻ երկչափ վեկտորն ունի համատեղ նորմալ բաշխում ).

§ 24. ԿՈՐԵԼՅԱՑԻՈՆ ԿԱՊԸ ՍՏՈՒԳՈՂ ՀԱՅՏԱՆԻՇ

‫ݕ‬

0.5

0.6

0.7

0.8

0.5

െ

0.6

െ

0.7

0.8

െ

െ

0.9

െ

െ

െ

‫ݔ‬

Ցուցում՝ օգտվել թեորեմ 24.2 - ից:

407. ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ նմուշի օգնությամբ ստացված են հետևյալ տվյալները ሺ݊ ൌ ʹͲͲሻ. ݊ ෍

݅ൌͳ

݊

݊

݊

݊

݅ൌͳ

݅ൌͳ

݅ൌͳ

݅ൌͳ

‫ ݅ݔ‬ൌ ͳͳǤ͵Ͷǡ ෍ ‫ ݅ݕ‬ൌ ʹͲǤ͹ʹǡ ෍ ‫ ݅ʹݔ‬ൌ ͳʹǤͳ͸ǡ ෍ ‫ ݅ʹݕ‬ൌ ͺͶǤͻ͸ǡ ෍ ‫ ݅ݕ ݅ݔ‬ൌ ʹʹǤͳ͵ ‫׷‬

1) Գտնել ‫ݎ‬௫ǡ௬ նմուշային կորելյացիայի գործակիցը, 2) համարելով ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻ նմուշը համապատասխանող երկչափ նորմալ բաշխված ሺܺǡ ܻሻ պատահական վեկտորին՝ 0.01 նշանակալիության մակարդակով ստուգել ԯ଴ : ߩ ൌ ͲǤ͸ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߩ ൐ ͲǤ͸ երկընտրանքայինը, որտեղ ߩ ‫׷‬ൌ ߩ௑ǡ௒ - ը՝ ܺ և ܻ պատահական մեծությունների միջև տեսական կորելյացիայի գործակիցն է:

§ 25. Փոքրագույն քառակուսիների գնահատականներ: Գծային ռեգրեսիոն մոդել 

Դիցուք դիտվում են ܺ և ܻ (ոչ պատահական ) փոփոխականների (ܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ ൌ ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ զույգերի նմուշը: ݂ሺܺሻ ൌ ܽ ൅ ܾܺ գծային ֆունկցիաների դասում ሺܽǡ ܾ ‫ א‬Թሻ ௡ ଶ

‫ܨ‬ሺܽǡ ܾሻ ‫׷‬ൌ ෍൫ܻ௜ െ ሺܽ ൅ ܾܺ௜ ሻ൯ ௜ୀଵ

ֆունկցիոնալի մինիմումի իմաստով ሺܺ௜ ǡ ܻ௜ ሻ, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ կետերի լավագույն մոտարկումը որոշվում է ௡

‫ۓ‬ ۖ

௡

݊ܽ ൅ ൭෍ ܺ௜ ൱ ܾ ൌ ෍ ܻ௜ ǡ ௜ୀଵ

௡

௜ୀଵ

௡

௡

ۖ൭෍ ܺ௜ ൱ ܽ ൅ ൭෍ ܺ௜ଶ ൱ ܾ ൌ ෍ ܺ௜ ܻ௜ ǡ ‫ ە‬௜ୀଵ ௜ୀଵ ௜ୀଵ

նորմալ հավասարումների համակարգից, որի ௡

௡

௡

௡

௡

ଶ

ܾ෠ ൌ ቌ݊ ෍ ܺ௜ ܻ௜ െ ൭෍ ܺ௜ ൱ ൭෍ ܻ௜ ൱ቍ൙ቌ݊ ෍ ܺ௜ଶ െ ൭෍ ܺ௜ ൱ ቍ ൌ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ଶ ܵ௒ ൌ ‫ݎ‬௑ǡ௒  ሺܵ௑ ് Ͳሻǡ ܵ௑ ܵ௑ଶ

௡  തതതത ܽො ൌ തതതത ܻ ௡ െ ܾ෠ܺ

լուծումները կոչվում են ܽ և ܾ պարամետրերի փոքրագույն քառակուսիների ( ՓՔ) գնահատականներ : ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ կետով և ներկայացվում է նաև തതതത തതതത Առաջացած ܻ෠ ൌ ܽො ൅ ܾ෠ܺ ուղիղն անցնում է ሺܺ ௡ ൌܾ ෠ ሺܺ െ തതതത തതതത ܺ௡ሻ ܻ෠ െ  ܻ

տեսքով: ௡ ଶ ௡ ǡ ‫ ݕ‬ൌ ܻ െ ܻ ௡ փոփոխականներիփոխարինում‫ܨ‬ሺܽǡ ܾሻ ൌ  ෍൫‫ ݕ‬െ ሺܽ ൅ ܾ‫ ݔ‬ሻ൯ തതതത തതതത Կատարելով‫ݔ‬௜ ൌ ܺ௜ െ ܺ ௜ ௜ ௜ ௜ ௜ୀଵ

ֆունկցիոնալի մինիմալացման խնդիրը հանգեցնում է հետևյալ գնահատականներին՝ ௡ ௡ ൌ ‫ݕ‬ തതത

തതത௡ത ൌ Ͳሻǡ

ܽො ൌ Ͳሺքանիոր‫ݔ‬

௡

ܾ෠ ൌ ൭෍ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ ൱൙൭෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ൌ ‫ݎ‬௫ǡ௬  ௜ୀଵ

௜ୀଵ

‫ݏ‬௬ ǡ ‫ݏ‬௫

որտեղից գնահատվող ուղղի հավասարումը՝ կլինի ‫ݕ‬ො ൌ ܾ෠‫׷ ݔ‬ 

Այժմ դիցուք դիտվող (ܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ ൌ ൫ሺܺଵ ǡ ܻଵ ሻǡ ǥ ǡ ሺܺ௡ ǡ ܻ௡ ሻ൯ զույգերից ܺ௜ - երը ոչ պատահական (դետեր-

մինացված) մեծություններ են, իսկ ܻ௜ - երը՝ պատահական, ընդ որում դրանց սպասվող արժեքները կախված են ܺ௜ - երից գծային ձևով, այսինքն՝ ॱܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ , այնպես, որ ܻ௜ դիտումները կարելի է ներկայացնել ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݊ሺʹͷǤͳሻ տեսքով, որտեղ ߝ௜ - երը ܻ௜ - երի սպասվող արժեքներից տատանումները նկարագրող որոշակի պատահական մեծություններ են:

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

ሺʹͷǤͳሻ ներկայացումով տրվող կապը ୧ և ୧ մեծությունների միջև կոչվում է գծային ռեգրեսիոն մոդել: ୧ ոչ պատահական մեծությունները անվանվում են բացատրող (անկախ) փոփոխականներ կամ ռեգրեսորներ, ୧ մեծությունները՝ բացատրվող (կախյալ) փոփոխականներ կամ «արձագանք» , իսկ ɂ୧ երը՝ ռեգրեսիայի սխալներ: Սովորաբար գծային ռեգրեսիոն մոդելի վրա դրվում են հետևյալ (H ) պայմաններ`

H 1. ܺ௜ - երը ոչ պատահական ( դետերմինացված ) մեծություններ են, ընդ որում ոչ բոլորն են իրար հավասար,

H 2. ॱߝ௜ ൌ Ͳǡ ॽƒ”ሺߝ௜ ሻ ൌ ߪ ଶ, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊, ԧ‘˜൫ߝ௜ ǡ ߝ௝ ൯ ൌ ॱߝ௜ ߝ௝ ൌ Ͳǡ݅ ് ݆, ݅ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊՝ սխալների չկորելյացվածություն : Որոշ դեպքերում H 2 պայմանը կփոխարինվի հետևյալ պայմանով՝ H 3. ߝ௜ սխալների անկախություն և նորմալ բաշխվածություն` ߝ௜ ̱ԳሺͲǡ ߪ ଶ ሻ, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ : ௡

Նշանակենքࣦఏ଴ ሺܻሻ ǣ ൌ

‫כ‬

‫כ‬

൝ߠ ‫ॶ א‬଴ ‫ ߠ  ׷‬ൌ ෍ ܿ௜ ܻ௜ ǡ ܿ௜ ‫ א‬Թൡ Ǧովሺॶ଴ ǣ ൌ ሼߠ ‫ כ‬ǣॱఏ ߠ ‫ כ‬ൌ ߠሽሻƮߠպարամետրի ௜ୀଵ

գծային (ըստ ܻ௜ - երի) անշեղ գնահատականների դասը: Թեորեմ 25.1 (Գաուս – Մարկով ): Դիցուք ሺʹͷǤͳሻ մոդելը բավարարում է H 1 և H 2 պայմանները: Այդ դեպքում ܽ և ܾ պարամետրերի փոքրագույն քառակուսիների (ՓՔ) ܽො և ܾ෠ գնահատականները օպտիմալ են համապատասխանաբար, ࣦ௔଴ ሺܻሻ և ࣦ௕଴ ሺܻሻ դասերում (ունեն փոքրագույն ցրվածքներ), ընդ որում՝

ߪ௔ଶො ‫׷‬ൌ ॽƒ”ሺܽොሻ ൌ

ߪʹ ݊

݊

݊

 ൭෍ ܺʹ݅ ൱൙൭෍ ‫ ݅ʹݔ‬൱ǡ ݅ൌͳ

݅ൌͳ

௡ ௡ ‫׷‬ തതതത ߪʹܾ෡ ‫׷‬ൌ ॽƒ”൫ܾ෠൯ ൌ ߪ ଶ ൘൭෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ǡ‫ݔ‬௜ ‫׷‬ൌ ܺ௜ െ ܺ ௜ୀଵ

෡ప ൌ ܻ௜ െ ܽො െ ܾ෠ܺ௜ ൌ ‫ݕ‬௜ െ ܾ෠‫ݔ‬௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ  վիճականիները կոչվում են ռեգրեսիայի մնա݁௜ ‫׷‬ൌ ܻ௜ െ ܻ ցորդներǣ Թեորեմ 25.2: Դիցուք բավարարվում են H1 և H 2 պայմանները: Այդ դեպքում ௡

෢ଶ ൌ ওଶ ‫׷‬ൌ ߪ

ͳ ෍ ݁௜ଶ  ݊െʹ ௜ୀଵ

վիճականին անշեղ գնահատական է ߪ ଶ ցրվածքի համար : ওଶ վիճականին կոչվում է մնացորդային ցրվածք, իսկ ও ൌ ξওଶ վիճականին՝ ռեգրեսիայի միջին քառակուսային սխալ կամ գնահատման ստանդարտ սխալ և նկարագրում է ռեգրեսիայի ուղղի շուրջ ሺܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ሻ դիտվող արժեքների կուտակվածության աստիճանը: Քանի որ գործնականում ռեգրեսիայի ߝ௜ սխալների ߪ ଶ ցրվածքը անհայտ է, ապա վերցնելով որպես նրա գնահատական ওଶ մնացորդային ցրվածքը, կարելի է ստանալ ܽො և ܾ෠ փոքրագույն քառակուսիների գնահատականների ॽƒ”ሺܽොሻ և ෣ොሻ ൌ ওଶ௔ො ‫׷‬ൌ ॽƒ”ሺܽ

ॽƒ”൫ܾ෠൯ ցրվածքների գնահատականները`

௡

௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ওଶ ͳ ෣෠ ൯ ൌ ওଶ ൘൭෍ ‫ ݔ‬ଶ ൱ ‫׷‬ ௡ ሻଶ ൘൭෍ ‫ ݔ‬ଶ ൱൱ ǡ ওଶ ‫׷‬ൌ ॽƒ”൫ܾ തതതത ൭෍ ܺ௜ଶ ൱൙൭෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ൌ ওଶ ൭ ൅ ሺܺ ௜ ௜ ௕෠ ݊ ݊

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

(25.1) ռեգրեսիոն մոդելի തതതത ܻ ௡ միջինի նկատմամբ ܻ կախյալ փոփոխականի վարիացիան ներկայացվում է հետևյալ տեսքով՝ ௡

௡

௡

ଶ ௡ ൯ ൅  ෍൫ܻ െ ܻ തതതത ෠௜ ൯ଶ ǡ ෍ሺܻ௜ െ തതതത ܻ ௡ ሻଶ ൌ ෍൫ܻ෠௜ െ ܻ ௜ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ ࢔

այսինքն փոփոխականիամբողջվարիացիան՝ࢀࡿࡿ ‫׷‬ൌ ෍ሺࢅ࢏ െ തࢅതത࢔തሻ૛ ሺࢀ࢕࢚ࢇ࢒ࡿ࢛࢓࢕ࢌࡿ࢛ࢗࢇ࢘ࢋ࢙ሻ տրոհǦ

࢔

෡࢏ െ վումէերկումասի՝ࡾࡿࡿ ‫׷‬ൌ  ෍൫ࢅ

തതത࢔ത൯૛ ሺࡾࢋࢍ࢘ࢋ࢙࢙࢏࢕࢔ࡿ࢛࢓࢕ࢌࡿ࢛ࢗࢇ࢘ࢋ࢙ሻƮǼբացատրվողǽܻ෠ ࢅ

ൌ ܽො ൅ ܾ෠ܺ

࢔ ૛

෡ ࢏ ൯ ሺࡱ࢘࢘࢕࢘ ռեգրեսիայիհավասարումովևռեգրեսիայիհավասարումովչբացատրվողࡱࡿࡿ ‫׷‬ൌ  ෍൫ࢅ࢏ െ ࢅ

ࡿ࢛࢓࢕ࢌࡿ࢛ࢗࢇ࢘ࢋ࢙ሻ՝ሺմնացորդայինանդամሻǣ Ամբողջ վարիացիայի այն մասը, որը «բացատրվում» է ռեգրեսիայի հավասարումով ՝ ܴଶ ‫׷‬ൌ 

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

‫ܵܵܧ‬ ଶ ௡ ሻଶ ൱ǡ തതതത  ൌ ͳ െ  ൌ  ൭෍൫ܻ෠௜ െ തതതത ܻ ௡ ൯ ൱൙൭෍ሺܻ௜ െ ܻ

կոչվում է դետերմինացիայի գործակից : Հեշտ է տեսնել, որ ௡

௡

ଶ

௡

௡

ଶ ܴ ൌ ൭෍ሺ‫ݕ‬ො௜ ൱൙൭෍ሺ‫ݕ‬௜ ൱ ൌ ൭൭෍ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ ൱൙൭෍ሺ‫ݔ‬௜ ൱൱ ൌ  ‫ݎ‬௑ǡ௒ ǡ Ͳ ൑ ܴଶ ൑ ͳ ‫׷‬ ଶ

ሻଶ

௜ୀଵ

ሻଶ

ሻଶ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

Տեղի ունի մնացորդների քառակուսիների գումարի համար հետևյալ ներկայացումը՝ ௡

௡

௡

௡

ଶ

‫ ܵܵܧ‬ൌ  ෍൫ܻ௜ െ ܻ෠௜ ൯ ൌ ෍ ܻ௜ଶ െ ܽො ෍ ܻ௜ െ ܾ෠ ෍ ܺ௜ ܻ௜ ‫׷‬ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

408. Դիցուք ܾ෠ - ը ܻ փոփոխականի ըստ ܺ - ի գծային ռեգրեսիայի թեքվածու-

թյան գործակցի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականն է, իսկ ܿƸ - ը՝ ܺ փոփոխականի ըստ ܻ- ի գծային ռեգրեսիայի թեքվածության գործակցի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականը : Ցույց տալ, որ ܿƸ ൌ ͳΤܾ෠ այն և միայն այն դեպքում, երբ ܴ ଶ ൌ ͳ : ఊ

409. Ստանալ ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ (ߛ ് ͳ), ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ նորմալ ռեգրեսիոն մոդելի ܽ, ܾ և ߪ ଶ պարամետրերը գտնելու համար ճշմարտանմանության հավասարումների համակարգը: Ինչ՞ու պարամետրերը գնահատելու համար հնարավոր չէ օգտագործել

փոքրագույն քառակուսիների մեթոդը : ܽ ൅ ߝ௜  ܾ െ ܺ௜ մոդելներից որո՞նք է հնարավոր բերել ըստ պարամետրերի գծային տեսքի: ૝૚૙Ǥաሻܻ௜ ൌ ܽ݁ ௕௑೔ ߝ௜ ǡբሻܻ௜ ൌ ܽ݁ ௕௑೔ ൅ ߝ௜ ǡգሻܻ௜ ൌ ݁ ௔ା௕௑೔ ାఌ೔ ǡդሻܻ௜ ൌ

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

411. Դիցուք ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ռեգրեսիոն մոդելը տրոհված է ܻ௜ ൌ ܻ௜ଵ ൅ ܻ௜ଶ  երկու մոդելների՝ ܻ௜௞ ൌ ܽ௞ ൅ ܾ௞ ܺ௜ ൅ ߝ௜௞ ǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊, ݇ ൌ ͳǡ ʹ: Ապացուցել, որ այդ մոդելների պարամետրերի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականների միջև տեղի ունի ܽො ൌ ܽොଵ ൅ ܽොଶ , ܾ෠ ൌ ܾ෠ଵ ൅ ܾ෠ଶ կապը: 412. Դիցուք ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊

ռեգրեսիոն մոդելի պարամետրերը

գնահատվում են փոքրագույն քառակուսիների մեթոդով : Ցույց տալ, որ ܴ ଶ դետեր-

մինացիայի գործակցի համար ճիշտ են հետևյալ համարժեք ներկայացումները՝ ௡

૛

௡

௡

௡

௡

աሻܴ ൌ ൭෍ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ ൱ ൙൭෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ൭෍ ‫ݕ‬௜ଶ ൱ ǡբሻܴ ଶ ൌ  ܾ෠ ൭෍ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ ൱൙൭෍ ‫ݕ‬௜ଶ ൱ǡ ଶ

௜ୀଵ ௡ ଶ

գሻܴ ൌ ൭෍ ‫ݕ‬ො௜ ‫ݕ‬௜ ൱ ௜ୀଵ

ଶ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ ௡

൙൭෍ ‫ݕ‬ො௜ଶ ൱ ൭෍ ‫ݕ‬௜ଶ ൱ǡդሻܴ ଶ ௜ୀଵ ௜ୀଵ

ൌ ͳെ

௡

൭෍ ݁௜ଶ ൱൙൭෍ ‫ݕ‬௜ଶ ൱ ௜ୀଵ ௜ୀଵ

 413. Տրված է հաստատունի վրա ռեգրեսիոն մոդելը՝ ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ߝ௜ ,

݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ :

ա) Գտնել ܽ պարամետրի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականը, նրա ցրվածքը և ռեգրեսիայի ߝ௜ սխալների ߪ ଶ ൌ ॽܽ‫ݎ‬ሺߝ௜ ሻ ցրվածքի անշեղ գնահատականը, բ ) գտնել ܴ ଶ դետերմինացիայի գործակիցը: 414. Տրված է առանց ազատ անդամի գծային ռեգրեսիոն մոդելը՝ ܻ௜ ൌ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ : Գտնել ܾ պարամետրի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականը, նրա ցրվածքը և ռեգրեսիայի ߝ௜ սխալների ߪ ଶ ൌ ॽܽ‫ݎ‬ሺߝ௜ ሻ ցրվածքի անշեղ գնահատականը: ૝૚૞‫ כ‬. Դիցուք ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊  ռեգրեսիոն մոդելը բավարարում է H 1 և H 2 պայմանները: Որպես ܾ պարամետրի գնահատական դիտարկվում է ܾ෨ ‫׷‬ൌ  վիճականին:

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௡ തതതത ͳ ‫ݕ‬௜ ͳ ܻ௜ െ ܻ ෍  ൌ ෍ ௡ തതതത ‫ݔ‬௜ ݊ ݊ ܺ௜ െ ܺ



ա) Ապացուցել, որ ܾ෨ գնահատականը անշեղ է և գծային ըստ ܻ௜ - երի, բሻ գտնել նրա ॽƒ”൫ܾ෨൯ ցրվածքը, ݊

෡ գሻապացուցելॽƒ” ቀܾቁ ൒ ॽܽ‫ ݎ‬ቀܾቁ  ൌ ߪʹ ൘ቌ ෍

݅ൌͳ

Ցուցում՝ տե՛ս Հավելված 3 :



‫ ݅ʹݔ‬ቍ անհավասարությունըǣ

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

416. Տրված է ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ ռեգրեսիոն մոդելը: Նշանակենք ܼ௜ ‫׷‬ൌ ܺ௜ଶ : Դիտարկվում է ܾ պարամետրի հետևյալ գնահատականը՝ ௡

௡

௡ ሻܻ ൱൙൭෍ሺܼ െ ܼ ௡ሻ ܺ ൱ ‫׷‬ തതതത തതതത ܾ෨ ‫׷‬ൌ ൭෍ሺܼ௜ െ ܼ ௜ ௜ ௜ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

ա) Ապացուցել, որ ܾ෨ ‫ࣦ א‬௕଴ ሺܻሻ՝ ըստ ܻ௜ - երի գծային անշեղ գնահատական է, բ ) գտնել ॽƒ”൫ܾ෨൯, ստուգել, որ ॽƒ”൫ܾ෨൯  ൒ ॽܽ‫ݎ‬൫ܾ෠൯:

գ)

417. Ըստ ( ܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ) երկչափ դիտումների` 1) ܺ௜ ܻ௜

2) ܺ௜ ܻ௜

ա) գտնել ܻ փոփոխականի ռեգրեսիան ܺ - ի նկատմամբ, ܺ փոփոխականի ռեգրեսիան ܻ - ի նկատմամբ և այդ ռեգրեսիաների մնացորդային ցրվածքները, բ ) կառուցել «ցրվածության դաշտը» և ռեգրեսիաների ուղիղները: 418. Ըստ ܺ և ܻ փոփոխականների ստացված չափումների՝ ܺ௜ ܻ௜

գտնել ܻ փոփոխականի ܺ - ի նկատմամբ և ܺ փոփոխականի ܻ - ի նկատմամբ ռեգրեսիայի հավասարումները: 419. Ըստ հետևյալ տվյալների՝ ܺ௜ ܻ௜

գտնել ܻ փոփոխականի ܺ- ի նկատմամբ ռեգրեսիան և դետերմինացիայի գործակիցը:

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

420. 200 ծավալի ሺܺ௜ ǡ ܻ௜ ሻ դիտումների հիման վրա կատարված հաշվարկները տվել են հետևյալ արդյունքները՝ ௡

௡

෍ ܺ௜ ൌ ͳͳǤ͵Ͷ ǡ෍ ܻ௜ ൌ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

௡

௡

ʹͲǤ͹ʹǡ ෍ ܺ௜ଶ ௜ୀଵ

ͳʹǤͳ͸ǡ ෍ ܻ௜ଶ ௜ୀଵ

ൌ

௡

ൌ ͺͶǤͻ͸ǡ ෍ ܺ௜ ܻ௜ ൌ ʹʹǤͳ͵ ‫׷‬ ௜ୀଵ

Ստանալ ܺ և ܻ փոփոխականների համար երկու տեսակի ռեգրեսիայի հավասարումները և ռեգրեսիայի գործակիցների փոքրագույն քառակուսիների գնահատա-

կանների ցրվածքների գնահատականները: 421. ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊մոդելի պարամետրերը գնահատելու համար օգտագործվում է ݊ ൌ 20 ծավալի (ܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ) նմուշը, որի օգնությամբ ստացված են հետևյալ տվյալներ՝ ௡

௡

௡

௡ ሻଶ ൌ ͺ͸Ǥͻǡ ෍ሺܺ െ ܺ ௡ ሻ ሺܻ െ ܻ ௡ ሻ ൌ ͳͲ͸ǤͶ തതതത തതതത തതതത ෍ ܻ௜ ൌ ʹͳǤͻǡ ෍ሺܻ௜ െ ܻ ௜ ௜ ௜ୀଵ

௜ୀଵ ௡

௡

௜ୀଵ

௡ ሻଶ ൌ ʹͳͷǤͶ ‫׷‬ തതതത ෍ ܺ௜ ൌ ͳͺ͸Ǥʹǡ ෍ሺܺ௜ െ ܺ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

Գնահատել ܽ և ܾ գործակիցները և դրանց ցրվածքները: 422. 79 փորձերի արդյունքում ստացվել է հետևյալ կորելյացիոն աղյուսակը՝ 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.5 െ െ

0.6 െ

0.7 െ െ

0.8 െ െ

Ստանալ ܺ և ܻ փոփոխականների համար երկու տեսակի ռեգրեսիայի հավասարումները և գտնել դրանց մնացորդային ցրվածքները: 423. Ըստ կորելյացիոն աղյուսակներում բերված տվյալների՝ ա) ܻ

ܺ 10 െ 11 11െͳʹ 12െͳ͵ 13െͳͶ

40െͷͲ

ͷͲ െ ͸Ͳ

͸Ͳ െ ͹Ͳ

͹Ͳ െ ͺͲ

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

բ) ܻ

ܺ 10െ20 ʹͲ െ ͵Ͳ 30 െͶͲ 40 െͷͲ ͷͲ െ ͸Ͳ

ͷȂ ͳͷ െ െ െ െ

ʹͷ െ ͵ͷ െ െ

15 െʹͷ െ െ െ

͵ͷ െ Ͷͷ െ െ

45 െ 55 െ െ

ͷͷ െ ͸ͷ െ െ െ

գտնել՝ 1) ܻ փոփոխականի ܺ - ի նկատմամբ ռեգրեսիայի հավասարումները, 2) դետերմինացիայի գործակիցները, 3) մնացորդային ցրվածքները, 4) ռեգրեսիայի հավասարումների գործակիցների փոքրագույն քառակուսիների

գնահատականների ցրվածքների գնահատականները : 424. Տրված է ܻ௜ ൌ ܾ଴ ൅ ܾଵ ܺ௜ ൅ ܾଶ ܺ௜ଶ ൅ ߝ௜ ,

݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊

պարաբոլական ռեգրեսիոն մոդելը, որը բավարարում է զույգային ռեգրեսիայի H 1 և H 2 պայմանները: Գտնել ܾ଴ , ܾଵ և ܾଶ պարամետրերի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականները հետևյալ ( ܺ ௡ ǡ ܻ ௡ ) դիտումների դեպքում՝ ա) െʹ

ܺ ܻ

െͳ

բ) ܺ

െʹ

െͳ

ܻ

െͶ

െʹ

െͳ

գ) ܺ ܻ

െʹ

െͳ

Ͳ

ͶǤͺ

ͲǤͶ

െ͵ǤͶ

ͳ ͲǤͺ

ʹ ͵Ǥʹ

դ) ܺ ܻ

െͳ

െͲ.5

1.5

4.5

8.5

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

425. Տրված է ܻ௜ ൌ ܾ଴ ൅

ܾଵ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ ܺ௜

հիպերբոլական ռեգրեսիոն մոդելը: Գտնել ܾ଴ և ܾଵ պարամետրերի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականները: Լուծել խնդիրը հետևյալ տվյալների դեպքում՝ ܺ ܻ

5.25

3.5

3.25

426 (կ). Ներկայացված են որոշ երկրի 1986 – 1997 թ.թ. ազգային տնտեսության համընդհանուր սպառումը ሺܻሻ և համընդհանուր եկամուտները ሺܺሻ (պայմանական

միավորներով )՝ Տարին

݅

ܻ௜

ܺ௜

Տարին

݅

ܻ௜

ܺ௜

ա) Գրաֆիկորեն պատկերել ܻ փոփոխականի կախվածությունը ܺ- ից: Կարելի է՞ արդյոք այդ կախվածությունը համարել գծային, բ ) ստանալ համընդհանուր եկամուտների նկատմամբ համընդհանուր սպառման գծային ռեգրեսիայի հավասարումը , գ ) գտնել դետերմինացիայի գործակիցը, դ ) գտնել ռեգրեսիայի գործակիցների փոքրագույն քառակուսիների գնահատա-

կանների ցրվածքների գնահատականները: 427 (կ). Աշխատավարձի կապը անգործության մակարդակից տնտեսագիտությունում նկարագրվում է այսպես կոչված «Ֆիլիպսի կորով», որը տրվում է հետևյալ ռեգրեսիոն հավասարումով՝ ߜ߱௜ ൌ ܾ଴ ൅

ܾଵ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ǡ ‫ݑ‬௜

որտեղ ߱௜ - ն աշխատավարձի մակարդակն է, ߜ߱௜ ‫׷‬ൌ

ఠ݅ ିఠ݅షͳ ఠ݅షͳ

ͳͲͲΨ ` աշխատա-

վարձի աճի տեմպն է և ‫ݑ‬௜ - ն՝ անգործության մակարդակը ݅ - րդ տարում: Տեսությունում ենթադրվում է, որ ܾ଴ ൏ Ͳ, ܾଵ ൐ Ͳ:

§ 25. ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆՆԵՐ

Օգտվելով որոշ երկրին վերաբերող հետևյալ տվյալների վրա՝ ݅ - րդ տարի

߱௜ 1.62 1.65 1.79 1.94 2.03 2.12 2.26 2.44 2.57

‫ݑ‬௜ 1.0 1.4 1.1 1.5 1.5 1.2 1.0 1.1 1.3

݅ - րդ տարի

߱௜ 2.66 2.73 2.80 2.92 3.02 3.13 3.28 3.43 3.58

‫ݑ‬௜ 1.8 1.9 1.5 1.4 1.8 1.1 1.5 1.3 1.4

ա) գտնել ܾ଴ և ܾଵ գործակիցների փոքրագույն քառակուսիների գնահատականները, բ ) գտնել անգործության «բնական» մակարդակը, այսինքն այն մակարդակը, երբ ߜ߱௜ ൌ Ͳ, գ ) գտնել այն տարիները, երբ անգործության մակարդակի փոփոխությունը առավել ձևով (նվազագույն ձևով ) է ազդում աշխատավարձի փոփոխման տեմպի վրա: 428 (կ). Որոշ սարքի աշխատանքի ընթացքում 5 րոպե պարբերությամբ կատարված ջերմաստիճանի փոփոխության չափումները տվել են հետևյալ արդյունքները՝ ‫( ݐ‬րոպե) ιܶ (Ԩ)

59.3

59.8

60.1

64.9

70.2

Համարելով, որ այդ փոփոխականների միջև տեղի ունի ܶ௜ ൌ ܽ ൅ ܾ‫ݐ‬௜ ൅ ܿ‫ݐ‬௜ଶ ൅ ߝ௜ ,

݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊

տիպի պարաբոլական ռեգրեսիոն կախվածություն, գտնել ܽ, ܾ և ܿ գործակիցների փոքրագույն քառակուսիների գնահատականները :

§ 26. Վարկածների ստուգում, միջակայքային գնահատականներ և կանխատեսումներ ռեգրեսիոն մոդելներում

Դիտարկվում են նորմալ գծային ռեգրեսիոն մոդելները: Թեորեմ 26.1: Դիցուք ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ գծային ռեգրեսիոն մոդելը բավարարում է

H 1 և H 3 պայմանները: Այդ դեպքում ௡

ଶ աሻ߯௡ିଶ ‫׷‬ൌ 

ሺ݊ െ ʹሻওଶ

ͳ ൌ ଶ ෍ ݁௜ଶ ̱ԯଶ ሺ݊ െ ʹሻվիճականինունիሺ݊ െ ʹሻազատությանաստիճանǦ ߪଶ ߪ ௜ୀଵ

ներով ࣑૛ – բաշխում, ܽො െ ܽ ܾ෠ െ ܾ ̱ॻሺ݊ െ ʹሻևܶ௡ିଶ ሺܾሻ ‫׷‬ൌ  ̱ॻሺ݊ െ ʹሻվիճականիներնունենሺ݊ െ ʹሻազաǦ ও௔ො ও௕෠ տության աստիճաններով Ստյուդենտի ( t -) բաշխում : բሻܶ௡ିଶ ሺܽሻ ‫׷‬ൌ 

Դիտարկենք երկու դեպք՝ երբ ռեգրեսիոն մոդելի ߝ௜ ̱ ԳሺͲǡ ߪ ଶ ሻ սխալների մնացորդային ߪ ଶ ցըր-

վածքը հայտնի է և երբ այն անհայտ է : 1. Դիցուք ߪ ଶ - ն հայտնի է: Քանի որ ܻ௜ ̱Գሺܽ ൅ ܾܺ௜ ǡ ߪ ଶ ሻǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ǡ ապա ܽො̱Գ൫ܽǡ ߪ௔ොଶ ൯ǡܾ෠̱Գ൫ܾǡ ߪ ෠ଶ ൯ǡሺʹ͸Ǥͳሻ ௕

ෝ െܽ ܽ ܾ෡ െܾ որտեղից՝ ܼሺܽሻ ‫׷‬ൌ  ̱ԳሺͲǡͳሻǡ ܼሺܾሻ ‫׷‬ൌ ̱ԳሺͲǡͳሻǡ և ܽ ու ܾ պարամետրերի ߪܽෝ ߪܾ෡

ߛ ൌ ͳ െ ߙ նշանա-

կալիության մակարդակի վստահության միջակայքերի համար՝ կստանանք Զ൫ܽො െ  ߪ௔ො ή  ‫ݖ‬ఈΤଶ ൏ ܽ ൏ ܽො ൅ ߪ௔ො ή  ‫ݖ‬ఈΤଶ ൯ ൌ ͳ െ ߙ, Զ൫ܾ෠ െ  ߪ௕෠ ή  ‫ݖ‬ఈΤଶ ൏ ܾ ൏ ܾ෠ ൅ ߪ௕෠ ή  ‫ݖ‬ఈΤଶ ൯ ൌ ͳ െ ߙ ‫׷‬ Այստեղից՝ ԯ଴ ‫ ܽ ׷‬ൌ ܽ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ‫ܽ ് ܽ ׷‬଴ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ մակարդակի

կրիտիկական տիրույթը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣȁ‫ݖ‬ሺܽ଴ ሻȁ ൐ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൟǡ որտեղ ‫ݖ‬ሺܽ଴ ሻ - ն` ܼሺܽ଴ ሻ վիճականու թվային արժեքն է: Նման ձևով ԯ଴ ǣ ܾ ൌ ܾ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ܾ ് ܾ଴ երկընտրանքայինը ստուգող հայտանիշը կունենա ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣȁ‫ݖ‬ሺܾ଴ ሻȁ ൐ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൟ

կրիտիկական տիրույթ: 2. Այժմ դիցուք ߪ ଶ - ն անհայտ է: Օգտվելով թեորեմ 26.1- ի բሻ կետից՝ կստանանք՝ Զ ൭ฬ

ܽො െ ܽ ܾ෠ െ ܾ ฬ ൏ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ൱ ൌ ͳ െ ߙևԶ ቌቤ

ቤ ൏ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻቍ ൌ ͳ െ ߙǡ

ও௔ො ও௕෠

այնպես, որ ܽ և ܾ պարամետրերի ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի վստահության միջակայքերի համար՝ կունենանք՝ Զ ൬ܽ ‫ א‬ቀܽො  ‫  ט‬ও௔ො ή ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻቁ൰ ൌ ͳ െ ߙևԶ ൬ܾ ‫ א‬ቀܾ෠  ‫  ט‬ও௕෠ ή ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻቁ൰ ൌ ͳ െ ߙ ‫׷‬ ԯ଴ ǣ ܽ ൌ ܽ଴ ሺܾ ൌ ܾ଴ ሻ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ܽ ് ܽ଴ ሺܾ ് ܾ଴ ሻ երկընտրանքայինը ստուգող ߙ մակար-

դակի կրիտիկական տիրույթը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣȁ‫ݐ‬௡ିଶ ሺܽ଴ ሻȁ ൐ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻൟ൫ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣȁ‫ݐ‬௡ିଶ ሺܾ଴ ሻȁ ൐ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻൟ൯ǡ որտեղ ‫ݐ‬௡ିଶ ሺܽ଴ ሻ - ն և ‫ݐ‬௡ିଶ ሺܾ଴ ሻ - ն՝ ܶ௡ିଶ ሺܽ଴ ሻ և ܶ௡ିଶ ሺܾ଴ ሻ վիճականիների թվային արժեքներն են:

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

Առավել հետաքրքրություն է ներկայացնում ԯ଴ ǣ ܾ ൌ Ͳ վարկածը ստուգման խնդիրը, որի հերքումը տվյալ ߙ մակարդակով նշանակում է, որ ܺ փոփոխականը (գործոնը) նշանակալի ազդեցություն ունի

կախյալ ܻ փոփոխականի վրա: Այդ վարկածը ստուգող հայտանիշի վիճականին նշանակվում է՝ ܾ෠ ̱ॻሺ݊ െ ʹሻ ও௕෠

ঔǣ ൌ ܶ௡ିଶ ሺͲሻ ൌ և կոչվում է ঔ - վիճականի:

Ցրվածքային վերլուծություն (դիսպերսիոն անալիզ ሺ࡭ࡺࡻࢂ࡭ሻ) ռեգրեսիոն մոդելներում Նորմալ ռեգրեսիոն մոդելի ܺ գործոնի նշանակալիության ստուգումը (ԯ଴ ‫ ܾ ׷‬ൌ Ͳ) կարելի է կատարել նաև ցրվածքների վերլուծության եղանակով: Համաձայն ሺʹ͸Ǥͳሻ - ի և թեորեմ 26.1 - ի՝ ௡

ܾ෠ െ ܾ ܾ෠ െ ܾ ܼሺܾሻ ‫׷‬ൌ  ൌ ൭෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ߪ௕෠ ߪ

ଵΤଶ

̱ԳሺͲǡͳሻ൫ܼ ଶ ሺܾሻ̱ԯଶ ሺͳሻ൯ǡ

௜ୀଵ

ଶ ߯௡ିଶ

௡

ሺ݊ െ ʹሻওଶ

ͳ ‫׷‬ൌ   ൌ ଶ ෍ ݁௜ଶ ̱ԯଶ ሺ݊ െ ʹሻ ߪଶ ߪ ௜ୀଵ

և, քանի որ ওଶ և ܾ෠ վիճականիներն անկախ են ( տես [8] ), ապա ௡

‫׷ ܨ‬ൌ 

௡

ܼ ଶ ሺܾሻ ͳ ଶ ൌ ൥൫ܾ෠ െ ܾ൯ ෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൩൙൥ ൭෍ ݁௜ଶ ൱൩ ̱ॺሺͳǡ ݊ െ ʹሻ ͳ ݊ െ ʹ ଶ ߯௡ିଶ ௜ୀଵ ௜ୀଵ ݊െʹ

‫ ܨ‬െվիճականին ունի ݉ և ݊ ազատության աստիճաններով Ֆիշեր – Սնեդեկորի ( ࡲǦ ) բաշխում: ԯ଴ ǣ ܾ ൌ Ͳ վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ܾ ് Ͳ երկընտրանքայինը ստուգման համար կիրառենք կենտրոնական ‫ ܨ‬െ վիճականին: Եթե ճիշտ է ԯ଴ վարկածը, ապա ௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ଶ ‫ܨ‬଴ ‫׷‬ൌ ൥൫ܾ෠൯ ෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൩൙൥ ൭෍ ݁௜ଶ ൱൩ ̱ॺሺͳǡ ݊ െ ʹሻǡ ݊െʹ այնպես, որ ߙ նշանակալիության մակարդակի կրիտիկական տիրույթը ࣲଵఈ ൌ ሼሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௡ ሻǣ݂଴ ൐ ܵఈ ሺͳǡ ݊ െ ʹሻሽ բազմությունն է, որտեղ ܵఈ  ሺͳǡ ݊ െ ʹሻ - ը՝ 1 և (݊ െ ʹ) ազատության աստիճաններով ࡲ െ բաշխման ߙ

մակարդակի կրիտիկական կետն է, իսկ ‫ܨ‬଴ ሺ߱ሻ ‫׷‬ൌ ݂଴ : Նկատի ունենալով ‫ݕ‬ො௜ ൌ ܾ෠‫ݔ‬௜ ներկայացումը ‫ ܨ‬െ վիճականին կգրվի հետևյալ համարժեք տեսքով՝ ௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ܴܵܵΤͳ ൭෍ ݁௜ଶ ൱൩ ൌ ǡ ‫ܨ‬଴ ൌ ൥෍ሺ‫ݕ‬ො௜ ሻଶ ൩൙൥ ݊െʹ ‫ܵܵܧ‬Τሺ݊ െ ʹሻ որտեղ ‫ ܵܵܧ‬մնացորդային անդամը հեշտությամբ գտնվում է ௡

௡ ଶ

‫ ܵܵܧ‬ൌ ܶܵܵ െ ܴܵܵ ൌ ෍ ‫ݕ‬௜ଶ െ ൫ܾ෠൯ ෍ ‫ݔ‬௜ଶ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

ներկայացումից: ‫ ܨ‬െվիճականին գտնելու համար անհրաժեշտ հաշվարկները բերվում են հետևյալ աղյուսակում ՝

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

Ցրվածքային վերլուծության (ANOVA) աղյուսակ

Ցրվածքների աղբյուրը Գործոն (ܺሻ

Շեղումների քառակուսիների գումարը

Շեղումների քառակուսիների միջինը

ܴܵܵΤͳ

݊െʹ

‫ܵܵܧ‬Τሺ݊ െ ʹሻ

௡ ଶ

ܴܵܵ ‫׷‬ൌ ൫ܾ෠ ൯ ෍ ‫ݔ‬௜ଶ

Մնացորդ (݁)

௡

‫ܵܵܧ‬ Ընդհանուր ցրվածքը

Ազատության աստիճանները

௜ୀଵ

‫׷‬ൌ  ෍ ݁௜ଶ ௜ୀଵ ௡

݊ െ ͳ

ܶܵܵ ‫׷‬ൌ  ෍ ‫ݕ‬௜ଶ

‫ܨ‬଴ ‫׷‬ൌ 

ܴܵܵΤͳ  ‫ܵܵܧ‬Τሺ݊ െ ʹሻ

௜ୀଵ

ܺ գործոնի նշանակալիությունը ստուգելու համար օգտագործվում են երկու համարժեք մեթոդներ՝ առաջինը հիմնված է ঔ െ վիճականու, իսկ երկրորդը՝ ‫ ܨ‬െ վիճականու վրա ሺ‫ ܨ‬ൌ ঔଶ ሻ: Այս խնդիրը լուծելու համար գոյություն ունի նաև երրորդ տարբերակը, որը հիմնված է կորելյացիայի գործակցի գաղափարի վրա: Լեմմա૛૟Ǥ ૛ǣঔ ‫׷‬ൌ ܶ௡ିଶ ሺͲሻ ൌ

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ܾ෠ ͳ ଶ և‫ܨ‬଴ ‫׷‬ൌ ൥൫ܾ෠൯ ෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൩൙൥ ൭෍ ݁௜ଶ ൱൩ վիճականիներնունեն ও௕෠ ݊െʹ

հետևյալ համարժեք ներկայացումներ՝ ঔ ൌ

‫ݎ‬ξ݊ െ ʹ ξͳ െ

‫ݎ‬ଶ

ܴଶ ǡ ͳ െ ܴଶ - ը՝ նմուշային կորելյացիայի գործակիցը:

և‫ܨ‬଴ ൌ ሺ݊ െ ʹሻ

որտեղ ܴଶ - ն դետերմինացիայի գործակիցն է, իսկ ‫׷ ݎ‬ൌ ‫ݎ‬௑ǡ௒

Համաձայն թեորեմ 24.1 - ի կորելյացիայի գործակցի նշանակալիությունը (ԯ଴ : ߩ ൌ Ͳ) ստուգող հայտանիշը համարժեք է նորմալ գծային ռեգրեսիոն մոդելում ܺ գործոնի նշանակալիությունը (ԯ଴ : ܾ ൌ Ͳ) ստոգող հայտանիշին (տե՛ս լեմմա 26.2):

Կանխատեսումներ ռեգրեսիոն մոդելներում 1. Դիցուք նորմալ գծային ռեգրեսիոն մոդելին բավարարող (ܺ௜ ,ܻ௜ ), ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ նմուշի միջոցով պահանջվում է կանխատեսել ܺ փոփոխականի որոշ ܺ଴ արժեքին համապատասխանող ܻ଴ պատահական մեծության ݉଴ ൌ ॱܻ଴ միջինը: ܺ଴ արժեքը կարող է գտնվել ինչպես վարիացիոն շարքի ܺሺଵሻ - ից ܺሺ௡ሻ արժեքների միջև, այնպես էլ այդ արժեքներից դուրս: Դիտարկենք կետային և միջակայքային կանխատեսումների խնդիրները:

Կետային կանխատեսում ݉ ෝ ଴ կետային գնահատականը (կանխատեսումը) փնտրվում է ըստ ܻ௜ - երի գծային անշեղ ௡ ଴ ሺܻሻ ࣦ௠ ෝ ଴ ൌ ෍ ܿ௜ ܻ௜ ǡॱ ݉ ෝ ଴ ൌ ݉଴ ൡ ‫׷‬ൌ ൝݉ ෝ଴ ‫݉  ׷‬ బ ௜ୀଵ

գնահատականների դասում այնպես, որ այն լինի օպտիմալ այդ դասում (ունենափոքրագույն ցրվածք):

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

Թեորեմ 26.3: H 1 և H 3 պայմանների դեպքում ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ

݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊

ռեգրեսիոն մոդելին բավարարող (ܺ௜ ,ܻ௜ ) նմուշի միջոցով որոշակի ܺ଴ արժեքին համապատասխանող ଴ ሺܻሻ ܻ଴ ൌ ܽ ൅ ܾܺ଴ ൅ ߝ଴ պատահական մեծության ݉଴ ‫׷‬ൌ ॱܻ଴ միջինի համար ࣦ ௠ դասում օպտիմալ ݉ ෝ଴ బ գնահատականը ( կանխատեսումը ) կլինի ݉ ෝ ଴ ൌ ܽො ൅ ܾ෠ܺ଴ ෠ վիճականին, որտեղ ܽො - ը և ܾ - ը՝ ܽ և ܾ պարամետրերի փոքրագույն քառակուսիների գնահատականෝ ଴ - ի ցրվածքը հավասար է՝ ներն են, իսկ ݉ ௡

ͳ ଶ ଶ ௡ ଶ ௡ ଶ തതതത തതതത ॽƒ”ሺ݉ ෝ ଴ ሻǣ ൌ ߪ௠ ෝ బ ൌ ߪ ൭ ൅ ሾሺܺ଴ െ ܺ ሻ ሿ൘൥෍ሺܺ௜ െ ܺ ሻ ൩൱ ‫׷‬ ݊ ௜ୀଵ

Միջակայքային կանխատեսում Գտնենք ܺ଴ արժեքին համապատասխանող ܻ଴ պատահական մեծության ݉଴ ‫׷‬ൌ ॱܻ଴ միջինի ߛ ൌ ൌ ͳ െ ߙ ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ մակարդակի վստահության միջակայքը: Թեորեմ 26.4: Դիցուք ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ ռեգրեսիոն մոդելը բավարարում է H 1 և H 3 պայմանները: Այդ դեպքում ঔ ‫׷‬ൌ

݉ ෝ ଴ െ ݉଴ ̱ॻሺ݊ െ ʹሻ ‫ݏ‬௠ෝబ

ଶ վիճականին ունի ሺ݊ െ ʹሻ ազատության աստիճաններով Ստյուդենտի բաշխում, որտեղ‫ݏ‬௠ ෝ బ ‫׷‬ൌ ௡

ͳ ௡ ሻଶ ሿ൘෍ ‫ ݔ‬ଶ ൱ǣ തതതത ൌ ওଶ ൭ ൅ ሾሺܺ଴ െ ܺ ௜ ݊ ௜ୀଵ

Համաձայն թեորեմի ݉଴ ൌ ॱܻ଴ միջինի ߛ ൌ ͳ െ ߙ ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ մակարդակի վստահության միջա-

կայքը՝ կլինի Զ൫݉ ෝ ଴ െ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ ή  ‫ݏ‬௠ෝబ ൏ ݉଴ ൏ ݉ ෝ ଴ ൅ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ ή  ‫ݏ‬௠ෝబ ൯ ൌ ͳ െ ߙ ‫׷‬ 2.

Դիցուք (ܺ௜ ,ܻ௜ ), ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ նմուշը ենթարկվում է H 1 և H 3 պայմանները բավարարող նոր-

մալ գծայինռեգրեսիոն մոդելին: Ենթադրենք բացի այդ, որ նոր դիտված (ܺ଴ ,ܻ଴ ) արժեքը նույնպես բավարարում է այդ մոդելին, այսինքն՝ ܻ଴ ൌ ܽ ൅ ܾܺ଴ ൅ ߝ଴ ǡորտեղ ߝ଴ ̱ԳሺͲǡ ߪ ଶ ሻ և անկախ է ߝ௜ - երից, ݅ ൌ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ : Այդ դեպքում կանխատեսվող ܻ෠଴ արժեքը՝ կլինի ௡ ൅ܾ ௡ ), ෠ ‫ݔ‬଴ (‫ݔ‬଴ ൌ ܺ଴ െ ܺ തതതത തതതത ܻ෠଴ ൌ ܽො ൅ ܾ෠ܺ଴ ൌ ܻ ௡

ͳ ௡ ൌ ܽ ൅ ܾܺ ௡൅ߝ ௡ ൭ߝ ௡ ‫׷‬ൌ ෍ ߝ ൱ ǣ തതതത തതതത തതത തതത որտեղܻ ௜ ݊ ௜ୀଵ

௡ ǡ որտեղից կանխատեսման սխալի համար՝ կունենանք Այսպիսով՝ܻ଴ െ തതതത ܻ ௡ ൌ ܾ‫ݔ‬଴ ൅ ߝ଴ െ ߝതതത

݁଴ ൌ ܻ଴ െ ܻ෠଴ ൌ െ൫ܾ෠ െ ܾ൯‫ݔ‬଴ ൅ ߝ଴ െ തതത ߝ ௡  ‫׷‬ Այստեղից անմիջապես հետևում է, որ ॱ݁଴ ൌ Ͳ, այսինքն՝ ܻ෠଴ - ը գծային ըստ ܻ௜ - երի անշեղ գնահատական է ॱܻ଴ - ի համար՝ ॱܻ෠଴ ൌ ॱܻ଴ :

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

Թեորեմ 26.5: H 1 և H 3 պայմանները բավարարող ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ , ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ մոդելին ենթարկվող կամայական (ܺ଴ ,ܻ଴ ) զույգի ܻ଴ պատահական մեծության ܻ෠଴ ൌ ܽො ൅ ܾ෠ܺ଴ կանխատեսման ࢋ૙ սխալի ցրվածքը հավասար է՝ ௡

ͳ ߪ௘ଶబ ‫׷‬ൌ ॽܽ‫ݎ‬ሺ݁଴ ሻ ൌ ߪ ଶ ൭ͳ ൅   ൅  ‫ݔ‬଴ଶ ൘෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ǡ ݊ ௜ୀଵ

և այն ըստ ܻ௜ - երի գծային անշեղ գնահատականների ௡ ଴ ሺܻሻ ‫׷‬ൌ ൝ܻ෨଴ ‫ܻ  ׷‬෨଴  ‫׷‬ൌ ෍ ܿ௜ ܻ௜ ǡ ॱܻ෨଴ ൌ ॱܻ଴ ǡܿ௜ ‫ א‬Թൡ బ ௜ୀଵ

դասում փոքրագույնն է, այսինքն ܻ෠଴ - ը՝ ܻ଴ - ի համար օպիմալ գնահատական է : Թեորեմ 26.6: Դիցուք ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ ռեգրեսիոն մոդելը բավարարում է H 1 և H 3 պայմանները: Այդ դեպքում ‫׷ ݐ‬ൌ

ܻ෠଴ െ ܻ଴ ̱ॻሺ݊ െ ʹሻ ‫ݏ‬௒෠బ

վիճականին ունի ሺ݊ െ ʹሻ ազատության աստիճաններով Ստյուդենտի բաշխում, որտեղ ‫ݏ‬௒ଶ෠బ ǣ ൌ ௡

ൌ ওଶ ൭ͳ ൅

ͳ ൅ ‫ݔ‬଴ଶ ൘෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൱ ‫׷‬ ݊ ௜ୀଵ

Թեորեմ 26.6 - ից ܻ଴ - ի համար կստանանք ߛ ൌ ͳ െ ߙ մակարդակի վստահության միջակայքը ՝ Զ൫ܻ෠଴ െ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ ή ‫ݏ‬௒෠బ ൏ ܻ଴ ൏ ܻ෠଴ ൅ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ʹሻ ή ‫ݏ‬௒෠బ ൯ ൌ ͳ െ ߙ:

429. Խնդիր 420 - ում բերված տվյալների օգնությամբ 0.05 նշանակալիության

մակարդակով ստուգել ܻ փոփոխականի ըստ ܺ - ի և ܺ փոփոխականի ըստ ܻ- ի ռեգրեսիաների գործակիցների նշանակալիությունը, ենթադրելով ռեգրեսիաների սխալների նորմալ բաշխվածությունը : 430. (ܺ௜ ,ܻ௜ ), ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ͳ͹ նմուշի միջոցով կառուցված նորմալ գծային ռեգրեսիոն մոդելի թեքվածության գործակցի համար ստացվել է ܾ෠ ൌ 3.73 արժեքը, ռեգրեսիայի ʹ

ստանդարտսխալիհամար՝ও ൌ ʹͺǤ͸ͷͶև݊‫ܺݏ‬

݊

ൌ

෍

ʹ

തതതതത ݊ ʹ ൰

ܺ݅ െ ݊ ൬ܺ

ൌ ͺ͹ͳǤͷ ‫׷‬

݅ൌͳ

ա) Գտնել թեքվածության ܾ෠ գործակցի գնահատականի ստանդարտ շեղումը: բ ) Կառուցել թեքվածության ܾ գործակցի 98 Ψ -ոց վստահության միջակայքը: 431. ݊ ൌ 15 դիտարկումների միջոցով նորմալ գծային ռեգրեսիոն մոդելի թեքվածության գործակցի համար ստացվել է ܾ෠ ൌ 2.9 արժեքը: Համարելով, որ թեքվածու-

թյան գործակցի ܾ෠ գնահատականի ստանդարտ սխալը՝ ‫ݏ‬௕෠ ൌ 0.18, պարզել՝ կա՞ արդյոք հիմք պնդելու, որ 0.05 նշանակալիության մակարդակով թեքվածության գործակիցը իր նախկին ܾ ൌ 3.2 արժեքի համեմատ փոխվել է:

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

432. Ըստ հետևյալ տվյալների՝ ܺ ܻ

െ 4.4

8.0

2.1

8.7

0.1

െ 2.9

ա) պատկերել ሺ‫ݔ‬௜ ǡ ‫ݕ‬௜ ሻ կետերի «ցրվածության դաշտը», բ) ստանալ ܻ - ի ռեգրեսիայի հավասարումը ܺ - ի նկատմամբ, գ) գնահատել ܻ - ի արժեքը, երբ ܺ ൌ 5, 6, 20 : 433. Օգտվելով հետևյալ տվյալներից՝ ܺ ܻ

38.5

34.5

46.1

33.3

32.1

40.4

ա) գտնել ܻ- ների (փոքրագույն քառակուսիների իմաստով ) ܺ - երի միջոցով լավագույն գծային մոտարկումը, բ) հաշվել գնահատման ստանդարտ սխալը, գ) գտնել ܺ଴ ൌ 44 արժեքին համապատասխանող կախյալ փոփոխականի 95 Ψ - ոց վստահու-

թյան մակարդակի կանխատեսման միջակայքը (ռեգրեսիոն մոդելը համարվում է նորմալ ): 434. Ըստ խնդիր 421 - ում բերված տվյալների գնահատել (կանխատեսել ) ܺ଴ ൌ 10 արժեքին համապատասխանող ܻ - ի միջին արժեքը և գտնել այդ միջինի 95 Ψ - ոց վստահության միջակայքը: 435 (կ). Ըստ խնդիր 426 - ի տվյալների ենթադրելով ܻ փոփոխականի ըստ ܺ - ի գծային ռեգրեսիայի նորմալությունը՝ ա) ձևակերպել ռեգրեսիոն հավասարման գործակիցների նշանակալիությունը ստուգող հիմնական և երկընտրանքային վարկածները, բ ) գտնել ܽො և ܾ෠ գնահատականների բաշխումները, գ ) բերել ܽ և ܾ գործակիցների նշանակալիությունը ստուգելու համար օգտագործվող վիճականիները, դ ) ստուգել 5 Ψ - ոց մակարդակով ܽ և ܾ գործակիցների նշանակալիությունը, ե ) կառուցել ܽ և ܾ գործակիցների 95 Ψ - ոց վստահության միջակայքերը: 436 (կ). Հետևյալ աղյուսակում բերված են որոշ երկրում շրջանառության մեջ գտնվող ազգային տարադրամի ծավալների և համազգային եկամուտների վերաբերյալ տվյալները (տվյալները բերվում են այդ երկրի տարադրամի պայմանական միա-

վորներով (միլիարդ պ.մ.)).

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

Տարի Տարադրամի ծավալները ሺܺሻ Համազգային եկամուտը ሺܻሻ ա) Գտնել

2.0

2.5

3.2

3.6

3.3

4.0

4.2

4.6

4.8

5.0

5.0

5.5

6.0

7.0

7.2

7.7

8.4

9.0

9.7

10.0

համազգային եկամուտների ռեգրեսիոն կապը կախված տարադրամի

ծավալներից, բ ) կառուցել գնահատվող պարամետրերի 95 Ψ - ոց վստահության միջակայքերը և ստուգել ԯ଴ ǣ ܾ ൌ0 վարկածն ընդդեմ ԯଵ ǣ ܾ ് 0 - ի և ԯᇱ଴ ‫ ܾ ׷‬ൌ1 վարկածն ընդդեմ ԯଵᇱ ‫് ܾ ׷‬1 - ի, գሻստուգել F – վիճականու օգնությամբ 0.05 մակարդակով ռեգրեսիայի նշանաANOVA) աղյուսակը : կալիությունը և կառուցել ցրվածքային վերլուծության (A 437 (կ) . Ֆինանսական շուկայում հետաքրքրություն է ներկայացնում արժեթղթերի միջին ሺܻ௜ ሻ շահութաբերության և ընդհանուր շուկայական ሺܺ௜ ሻ շահութաբերության միջև փոխհարաբերությունը: Համապատասխան գծային ռեգրեսիոն հավասարման թեքվածության ሺܾሻ գործակիցը կոչվում է արժեթղթերի բետա – գործակից : Այդ գործակցի մեկից մեծ արժեքը վկայում է, որ արժեթուղթը շուկայի փոփոխման հանդեպ հարաբերական զգայուն է, մինչ դեռ բետա െ գործակցի մեկից փոքր արժեքը նշանակում է արժեթղթի հարաբերական անզգայունության մասին: Ըստ հետևյալ տվյալների՝ ܻ ሺΨሻ ܺሺΨሻ ෠ գնահատել բետա - գործակիցը ൫ܾ൯ և ստուգել ࢻ ൌ 0.05 նշանակալիության մակար-

դակով նրա մեկից փոքր լինելու վարկածը: 438 (կ). Որոշ երկրի առողջապահության նախարարությունը հրապարակել է տվյալներ, համաձայն որի այդ երկրի 100 000 բնակիչներից ծխողների թվից սիրտանոթային հիվանդություններից մահացողների թվի թեքվածության գործակիցը կազմել է ܾ෠ ൌ 0.08: Այդ երկրի 18 շրջաններում նախկինում կատարված հետազոտությունները տվել են թեքվածության գործակցի համար 0.147 արժեք, իսկ այդ գործակցի

ստանդարտ շեղման համար՝ ‫ݏ‬௕෠ ൌ 0.032 արժեք: Կառուցել նորմալ գծային ռեգրեսիոն հավասարման թեքվածության գործակցի՝ ա) 90 Ψ - ոց, բ) 99 Ψ - ոց վստահության միջակայքերը : Կարելի՞ է արդյոք այստեղից եզրակացնել, որ թեքվածության գործակիցը փոխվել է:

§ 26. ՎԱՐԿԱԾՆԵՐԻ ՍՏՈՒԳՈՒՄ ԵՎ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒՄՆԵՐ

439 (կ). Բերված են որոշ երկրի շրջանառության մեջ գտնվող ազգային տարադրամի ծավալների և համընդհանուր ներքին արտադրանքի (ՀՆԱ- ի) վերաբերյալ տվյալներ (մլրդ. պայմ. միավորով )՝ Տարին Տարադրամի ծավալները ՀՆԱ

2.0 5.0

2.5 5.5

3.2 6.0

3.6 7.0

3.3 7.2

4.0 7.7

4.2 8.4

4.6 9.0

4.8 9.7

5.0 10.0

ա) Ստանալ ըստ տարադրամի ծավալների ՀՆԱ - ի կանխատեսման համար հավասարումը, բ ) ինչպե՞ս բացատրել ստացված հավասարման թեքվածության գործակիցը, գሻ գտնել գնահատման ሺওሻ ստանդարտ սխալը, ենթադրելով ստացված ռեգրեսիոն մոդելի նորմալությունը, դ ) գտնել ՀՆԱ - ի կանխատեսման 90 Ψ - ոց վստահության միջակայքը, երբ տարադրամի ծավալները կազմեն 8.0 մլրդ. պ.մ.: 440 (կ). Հետազոտվում է քիմիական նյութի որոշ (ܻ) բնութագրիչի կախվածությունը նրա (ܺ) ջերմաստիճանից (տվյալները բերվում են կոդավորված ձևով )՝ ܺ ܻ

െͷ

െͶ

െʹ

െͳ

ա) Պատկերել «ցրվածության դաշտը », բ ) ստանալ (ܺ௜ ,ܻ௜ ) կետերի փոքրագույն քառակուսիների իմաստով լավագույն գծային մոտարկումը, գ ) ենթադրելով ܻ௜ ൌ ܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ մոդելի նորմալությունը, կառուցել ցրվածության վերլուծության ሺ‫ۯ܄۽ۼۯ‬ሻ աղյուսակը և ստուգել 0.05 մակարդակով ռեգրեսիայի նշանակալիությունը, դ ) գտնել թեքվածության գործակցի 0.95 մակարդակի վստահության միջակայքը, ե ) գտնել ܺ଴ ൌ 3 արժեքին համապատասխանող ܻ଴ - ի միջինի վստահության միջակայքը, զ ) գտնել ܺ ᇱ ൌ ͵ և ܺ ᇱᇱ ൌ െʹ արժեքներին համապատասխանող ܻ ᇱ - ի և ܻ ᇱᇱ - ի

միջինների տարբերության վստահության միջակայքը :

Հավելված 1: Կարևորագույն բաշխումներ

Դիսկրետ բաշխումներ

Բաշխման տեսակը Բեռնուլիի ९‫ܚ܍‬ሺ‫݌‬ሻ

Պարամետրերը

Բաշխման կրիչը

Զሺࢄ ൌ ࢑ሻ հավանականություն

Ͳ൏‫݌‬൏ͳ

݇ ൌ Ͳǡ ͳ

‫݌‬௞ ሺͳ െ ‫݌‬ሻଵି௞

Բինոմական ९ܑ‫ܖ‬ሺ‫݌‬ǡ ݊ሻ

݊ ‫ א‬Գ, Ͳ൏‫݌‬൏ͳ

݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊

‫ܥ‬௡௞ ‫݌‬௞ ሺͳ െ ‫݌‬ሻ௡ି௞

Բացասական բինոմական Գ९ܑ‫ܖ‬ሺ‫݌‬ǡ݊ሻ

݊ ‫ א‬Գ, Ͳ൏‫݌‬൏ͳ

݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ Ǥ ǤǤ

௞ ‫ܥ‬௡ା௞ିଵ ‫݌‬௡ ሺͳ െ ‫݌‬ሻ௞

Ͳ൏‫݌‬൏ͳ

݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ Ǥ ǤǤ

ߣ൐Ͳ

݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ Ǥ ǤǤ

݊ ‫ א‬Գ, ‫ ݌‬ൌ ሺ‫݌‬ଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ‫݌‬௥ ሻ, Ͳ ൏ ‫݌‬௜ ൏ ͳǡ

݇ ൌ ሺ݇ଵ ǡ ǥ ǡ ݇௥ ሻ,

Երկրաչափական ॳሺ࢖ሻ Պուասոնի Սሺࣅሻ Բազմանդամային ሺպոլինոմականሻ ॸሺ࢔Ǣ࢖૚ ǡ ǥ ǡ ࢖࢘ ሻ

‫ݎ‬

෍

݅ൌͳ

‫ ݅݌‬ൌ ͳ

‫ݎ‬ ෍

݅ൌͳ

݇݅ ൌ ݊

‫݌‬ሺͳ െ ‫݌‬ሻ௞ ߣ௞  ݁ ିఒ ݇Ǩ

௥

݊Ǩ ෑ ௜ୀଵ

௞

‫݌‬௜ ೔ ݇௜ Ǩ

ԿԱՐԵՎՈՐԱԳՈՒՅՆ ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐ

Անընդհատ բաշխումներ

Բաշխման տեսակը Հավասարաչափ ሾࢇǡ ࢈ሿ – ում, ॼሺࢇǡ ࢈ሻ Նորմալ ሺԳաուսիሻ, Գሺ࢓ǡ ࣌૛ ሻ Հակադարձ Գաուսի ሺՎալդիሻ,

ॴॳሺ࢓ǡ ࣅሻ

Լոգարիթմական նորմալ, ॷԳሺ࢓ǡ ࣌૛ ሻ Կոշիի, ԧሺ࢓ǡ ࣌ሻ Լապլասի, ॷሺ࢓ǡ ࢻሻ Պարետոյի,,

Զ‫ܚ܉‬ሺ࢓ǡ ࢻǡ ࣅሻ

Աստիճանային, Զ‫ܟܗ‬ሺ࢓ǡࢻǡࣅሻ Երկպարամետրական ցուցչային, ॱሺ࢓ǡ ࢻሻ Գամմա, Ռሺࢻǡ ࣅሻ

Պարա-մետրերը ܽǡ ܾ ‫ א‬Թ, ݉ ‫ א‬Թ, ߪଶ ൐ 0 ݉ ൐ Ͳǡ ߣ൐Ͳ

Բաշխման կրիչը

݉ ‫ א‬Թ, ߪଶ ൐ 0 ݉ ‫ א‬Թǡ ߪ ൐ Ͳ ݉ ‫ א‬Թǡ ߙ ൐ Ͳ

ሺͲǡ λሻ

݉ ‫ א‬Թǡ ߙ൐Ͳ ߣ൐Ͳ ݉ ‫ א‬Թǡ ߙ ൐ Ͳ

ሾܽǡ ܾሿ Թ

ሺͲǡ λሻ

Թ

ͳ

ͳ ሺŽ ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ൠ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ ʹߪ ଶ ͳ ߪ  ߨ ߪ ଶ ൅ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ߙ  ݁ ିఈȁ௫ି௠ȁ ʹ

‡š’ ൜െ

[݉ ൅ ߙǡ λሻ

 ߣߙ ఒ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻିሺଵାఒሻ ૤ሾ௠ାఈǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ

[݉ǡ ݉ ൅ ൅ߙሻ [݉, λ)

ߣߙ ିఒ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻఒିଵ ૤ሾ௠ǡ௠ାఈሻ ሺ‫ݔ‬ሻ

ሺͲǡ λሻ ሾܽǡ ܾሿ

࣑૛ , ԯ૛ ሺ࢔ሻ

ܽ ൐ Ͳǡ ܾ൐Ͳ ݊‫א‬Գ

ሺͲǡ λሻ

Ֆիշեր – Սնեդեկորի (F -), ॺሺ࢓ǡ ࢔ሻ

݉ǡ ݊ ‫ א‬Գ

ሺͲǡ λሻ

Ստյուդենտի ሺ࢚Ǧሻ, ॻሺ࢔ሻ

݊‫א‬Գ

Թ

Վեյբուլի, ॾሺ࢓ǡ ࢻǡ ࣅሻ

݉ ‫ א‬Թǡ ߙ ൐ Ͳǡ ߣ൐Ͳ ݉ ‫ א‬Թǡ ߙ൐Ͳ

(݉, λ)

Ռելեյի, Թሺ࢓ǡ ࢻሻ

ߣ ߣ ඨ

ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ൠ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ

‡š’ ൜െ ଷ ʹߨ‫ݔ‬ ʹ݉ଶ ‫ݔ‬ ‫ߪݔ‬ξʹߨ

Թ

ߙ ൐ Ͳǡ ߣ ൐ Ͳ

Բետա, ९‫ܜ܍‬ሺܽǡ ܾሻ

ࢌࣂ ሺ࢞ሻ խտությունը ሺ‫ א ݔ‬Թሻ ͳ  ૤ሾ௔ǡ௕ሿ ሺ‫ݔ‬ሻ ͳ ͳ ‡š’ ൜െ ଶ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ൠ ʹߪ ߪξʹߨ

ߙ݁ ିఈሺ௫ି௠ሻ ૤ሾ௠ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ ߙ ఒ ఒିଵ ିఈ௫ ‫ݔ‬ ݁

૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ

Ȟሺߣሻ ͳ ‫ ݔ‬௔ିଵ ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௕ିଵ ૤ሾ௔ǡ௕ሿ ሺ‫ݔ‬ሻ ሺܽǡ ܾሻ ͳ ‫ ݔ‬௡Τଶିଵ ݁ ି௫Τଶ ૤ሺ଴ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ

ʹ௡Τଶ Ȟሺ݊Τʹሻ

ͳ ‫ ݔ‬௠Τଶିଵ ݉௠Τଶ ݊௡Τଶ

ሺ݉Τʹ ǡ ݊Τʹሻ

ሺ݊ ൅ ݉‫ݔ‬ሻ ଶ  ௡ାଵ ݊ ൅ ͳ ି ଶ Ȟቀ ʹ ቁ ‫ ݔ‬ଶ ݊ ቆͳ ൅ ݊ ቇ

ξ݊ߨȞ ቀʹቁ

ߣߙ ఒ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻఒିଵ ‡š’൛െߙ ఒ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻఒ ൟ

ሺ݉ǡ λሻ

ʹሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻ ିሺ௫ି௠ሻమ Τఈ ݁ ૤ሺ௠ǡஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻ ߙ

Հավելված 2: Բաշխումների աղյուսակներ

1. Ստանդարտ նորմալ բաշխում ઴ሺ࢞ሻ ‫׷‬ൌ

0.00

0.01

0.02

૚ ξ૛࣊

࢛૛

න ࢋି ૛ ࢊ࢛ ֆունկցիայիարժեքներըǣ ିஶ

0.03

 0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 .1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 .2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 .3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 .4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 .5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 .6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 .7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 .8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 .9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 .1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 .2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 .3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 .4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9278 .9292 .9306 .9319 .5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 .6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 .7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 .8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 .9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 .1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 .2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 .3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916 .4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 .5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 .6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 .7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 .8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 .9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 .1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 .2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 .3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 .4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

2. ࢔ - ազատության աստիճաններովով ࣑૛ - բաշխում: λ

࣑૛ࢻ ሺ࢔ሻǦկրիտիկականկետերըƮ ࢻ 0.995 ࢔

0.000 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.600 5.142 5.697 6.265 6.843 7.434 8.033 8.643 9.260 9.886 10.519 11.160 11.807 12.461 13.120 13.787 14.457 15.134 15.814 16.501 17.191

૚ ૛࢔Τ૛ ડሺ࢔Τ૛ሻ

න ࢞࢔Τ૛െ૚ ࢋെ࢞Τ૛ ࢊ࢞ ൌ ࢻǡ૙ ൏ ࢻ ൏ ૚ǣ ࣑૛ࢻ ሺ࢔ሻ

0.99

0.975

0.95

0.90

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.000 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.407 7.015 7.632 8.260 8.897 9.542 10.195 10.856 11.523 12.198 12.878 13.565 14.256 14.954 15.655 16.362 17.073 17.789 18.508

0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.906 9.591 10.283 10.982 11.688 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.147 16.791 17.538 18.291 19.046 19.806 20.569

0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.682 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.090 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.280 20.072 20.866 21.664 22.465

0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.041 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.042 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 21.433 22.271 23.110 23.952 24.796

2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.203 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.381 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 41.422 42.585 43.745 44.903 46.059

3.843 5.992 7.815 9.488 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.143 31.410 32.670 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 44.985 46.194 47.400 48.602 49.802

5.025 7.378 9.348 11.143 12.832 14.440 16.012 17.534 19.022 20.483 21.920 23.337 24.735 26.119 27.488 28.845 30.190 31.526 32.852 34.170 35.478 36.781 38.075 39.364 40.646 41.923 43.194 44.461 45.772 46.979 48.231 49.480 50.724 51.966 53.203

6.637 9.210 11.344 13.277 15.085 16.812 18.474 20.090 21.665 23.209 24.724 26.217 27.687 29.141 30.577 32.000 33.408 34.805 36.190 37.566 38.930 40.289 41.637 42.980 44.313 45.642 46.962 48.278 49.586 50.892 52.190 53.486 54.774 56.061 57.340

7.882 10.597 12.837 14.860 16.748 18.548 20.276 21.954 23.587 25.188 26.755 28.300 29.817 31.319 32.799 34.267 35.716 37.156 38.580 39.997 41.399 42.796 44.179 45.558 46.925 48.290 49.642 50.993 52.333 53.672 55.000 56.328 57.646 58.964 60.272

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

3. ࢔ - ազատության աստիճաններովով ࣑૛ - բաշխում: ஶ

૚ ૚ െ ԯ࢔ ሺ࢞ሻ ‫׷‬ൌ  ࢔Τ૛ න ࢚࢔Τ૛Ȃ૚ ࢋି࢚Τ૛ ࢊ࢚ ֆունկցիայիարժեքները ૛ ડሺ࢔Τ૛ሻ ࢞

ሺ࢞ ൐ ૙ǡ૚ ൑ ࢔ ൑ ૛૙ሻ : ࢞

࢔ 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5

0.7518 .6547 .5271 .4386 .3711 .3173 .2207 .1573 .0833 .0455 .0254 .0143 .0082 .0047 .0027 .0016 .0009 .0005 .0003 .0002 .0001 .0001

0.9512 .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .4724 .3679 .2231 .1353 .0821 .0498 .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001

0.9918 .9776 .9402 .8964 .8495 .8013 .6823 .5725 .3916 .2615 .1718 .1116 .0719 .0460 .0293 .0186 .0117 .0074 .0046 .0029 .0018 .0011 .0007 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001

0.9988 .9953 .9825 .9631 .9385 .9098 .8266 .7358 .5578 .4060 .2873 .1992 .1359 .0916 .0611 .0404 .0266 .0174 .0113 .0073 .0047 .0030 .0019 .0012 .0008 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001

0.9998 .9991 .9953 .9880 .9770 .9626 .9131 .8492 .7000 .5494 .4159 .3062 .2206 .1562 .1091 .0752 .0514 .0348 .0234 .0156 .0104 .0068 .0045 .0030 .0019 .0013 .0008 .0005 .0003 .0002 .0001

ԲԱԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

࣑૛ - բաշխում ሺշարունակությունሻ ࢞

࢔ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.9978 .9856 .9595 .9197 .8685 .8089 .6767 .5438 .4232 .3204 .2381 .1736 .1246 .0884 .0629 .0430 .0296 .0203 .0138 .0093 .0062 .0042 .0028 .0018 .0012 .0008 .0005 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001

0.9995 .9948 .9823 .9598 .9271 .8850 .7798 .6600 .5398 .4284 .3326 .2527 .1886 .1386 .1006 .0721 .0512 .0360 .0251 .0174 .0120 .0082 .0056 .0038 .0025 .0017 .0011 .0008 .0005 .0003 .0002 .0002 .0001

0.9999 .9983 .9927 .9810 .9617 .9344 .8571 .7576 .6472 .5366 .4335 .3423 .2650 .2017 .1512 .1119 .0818 .0592 .0424 .0301 .0212 .0149 .0103 .0072 .0049 .0034 .0023 .0016 .0011 .0007 .0004 .0003 .0002

1.0000 0.9994 .9972 .9915 .9809 .9643 .9114 .8343 .7399 .6371 .5342 .4373 .3505 .2757 .2133 .1626 .1223 .0909 .0669 .0487 .0352 .0252 .0179 .0127 .0084 .0062 .0043 .0030 .0020 .0014 .0010 .0007 .0004

1.0000 0.9998 .9989 .9963 .9909 .9814 .9474 .8912 .8153 .7254 .6288 .5321 .4405 .3575 .2851 .2237 .1730 .1321 .0996 .0744 .0550 .0403 .0193 .0211 .0151 .0108 .0076 .0054 .0037 .0026 .0018 .0013 .0009

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

࣑૛ - բաշխում ሺշարունակությունሻ

࢞

࢔

0.9985 .9907 .9699 .9312 .8734 .7991 .7133 .6219 .5304 .3636 .2330 .1411 .0816 .0453 .0334 .0244 .0177 .0127 .0091 .0065 .0046 .0032 .0023 .0016 .0011 .0008 .0005 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001

0.9994 .9955 .9834 .9580 .9161 .8576 .7852 .7029 .6160 .4457 .3007 .1912 .1157 .0671 .0504 .0375 .0277 .0203 .0148 .0107 .0077 .0055 .0039 .0028 .0020 .0014 .0010 .0007 .0005 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001

0.9998 .9979 .9912 .9752 .9462 .9022 .8436 .7729 .6939 .5276 .3738 .2491 .1575 .0952 .0729 .0554 .0417 .0311 .0231 .0170 .0124 .0091 .0066 .0047 .0034 .0024 .0017 .0012 .0009 .0006 .0004 .0003 .0002 .0001

0.9999 .9991 .9955 .9858 .9665 .9347 .8893 .8311 .7622 .6063 .4497 .3134 .2068 .1301 .1016 .0786 .0603 .0458 .0346 .0259 .0193 .0142 .0105 .0076 .0055 .0040 .0029 .0021 .0015 .0010 .0007 .0005 .0004 .0003

1.0000 0.9996 .9977 .9921 .9798 .9577 .9238 .8775 .8197 .6790 .5255 .3821 .2627 .1719 .1368 .1078 .0841 .0651 .0499 .0380 .0287 .0216 .0161 .0119 .0088 .0064 .0047 .0034 .0025 .0018 .0013 .0009 .0006 .0005

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

࣑૛ - բաշխում ሺշարունակությունሻ

࢞

࢔

0.9989 .9958 .9881 .9733 .9489 .9134 .8666 .7440 .5987 .4530 .3239 .2202 .1432 .0895 .0540 .0316 .0180 .0135 .0100 .0074 .0054 .0040 .0029 .0021 .0015 .0011 .0008 .0006 .0004 .0003 .0002 .0001

0.9995 .9978 .9932 .9836 .9666 .9403 .9036 .8001 .6671 .5238 .3888 .2742 .1847 .1194 .0745 .0449 .0264 .0200 .0151 .0113 .0084 .0062 .0046 .0034 .0025 .0018 .0013 .0009 .0007 .0005 .0003 .0002

0.9998 .9989 .9962 .9901 .9786 .9597 .9319 .8472 .7291 .5926 .4557 .3328 .2320 .1550 .0998 .0621 .0375 .0288 .0220 .0167 .0126 .0095 .0071 .0052 .0039 .0029 .0021 .0015 .0011 .0008 .0006 .0004

0.9999 .9994 .9979 .9942 .9867 .9735 .9530 .8856 .7837 .6573 .5224 .3946 .2843 .1962 .1302 .0834 .0518 .0404 .0313 .0240 .0184 .0140 .0106 .0080 .0059 .0044 .0033 .0024 .0018 .0013 .0009 .0007

1.0000 0.9997 .9989 .9967 .9919 .9829 .9682 .9161 .8305 .7166 .5874 .4579 .3405 .2424 .1658 .1094 .0699 .0552 .0433 .0337 .0261 .0201 .0154 .0117 .0089 .0067 .0050 .0037 .0028 .0020 .0015 .0011

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

4 . Ստյուդենտի (t- ) բաշխում: ࢚ࢻ ሺ࢔ሻ - կրիտիկական կետերը` ஶ ି ૛ ቁ ૛   න ቆ૚ ൅ ቇ ࢊ࢞ ൌ ࢻǡ૙ ൏ ࢻ ൏ ૚ ǣ ࢔ ࢔ ξ࢔࣊ડ ቀ૛ ቁ ࢚ࢻ ሺ࢔ሻ

ડቀ

ࢻ

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

0.0005

3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.296 1.289 1.282

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.671 1.658 1.645

12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.000 1.980 1.960

31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.390 2.358 2.326

63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.660 2.617 2.576

318.31 22.326 10.213 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.232 3.160 3.090

636.62 31.598 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646 3.551 3.460 3.373 3.291

࢔ λ

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

5. Ֆիշեր - Սնեդեկորի (۴-) բաշխում: ࡿࢻ ሺ࢓ǡ ࢔ሻ - կրիտիկական կետերը` ஶ ࢓ ࢔ ડ ቀ ቁ ડ ቀ ቁ ૛ ૛ ࢓Τ૛ ࢔Τ૛  ࢔ න ࢞࢓Τ૛ି૚ ሺ࢔ ൅ ࢓࢞ሻି ૛  ൌ ࢻ ൌ ૙Ǥ ૙૞ǣ ࢓ ൅ ࢔ ࢓ ડቀ

ࡿࢻ ሺ࢓ǡ࢔ሻ

૛ ቁ

 ࢓

λ

࢔ λ

161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 238.9 241.9 243.9 245.9 248.0 254.0 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.37 19.40 19.41 19.41 19.45 19.50 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.85 8.79 8.74 8.70 8.66 8.53 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.04 5.96 5.91 5.86 5.80 5.63 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.93 4.82 4.74 4.68 4.62 4.56 4.36 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.15 4.06 4.00 3.94 3.87 3.67 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.73 3.64 3.57 3.51 3.44 3.23 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.44 3.35 3.28 3.22 3.15 2.93 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.23 3.14 3.07 3.01 2.94 2.71 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.32 3.07 2.98 2.91 2.85 2.77 2.54 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 2.95 2.85 2.79 2.72 2.65 2.40 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.85 2.75 2.69 2.62 2.54 2.30 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.77 2.67 2.60 2.53 2.46 2.21 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.70 2.60 2.53 2.46 2.39 2.13 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.64 2.54 2.48 2.40 2.33 2.07 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.59 2.49 2.42 2.35 2.28 2.01 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.55 2.45 2.38 2.31 2.23 1.96 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.51 2.41 2.34 2.27 2.19 1.92 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.48 2.38 2.31 2.23 2.16 1.88 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.45 2.35 2.28 2.20 2.12 1.84 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.42 2.32 2.25 2.18 2.10 1.81 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.40 2.30 2.23 2.15 2.07 1.78 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.37 2.27 2.20 2.13 2.05 1.76 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.36 2.25 2.18 2.11 2.03 1.73 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.34 2.24 2.16 2.09 2.01 1.71 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.27 2.16 2.09 2.01 1.93 1.62 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.18 2.08 2.00 1.92 1.84 1.51 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.10 1.99 1.92 1.84 1.75 1.39 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.02 1.91 1.83 1.75 1.66 1.25 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 1.94 1.83 1.75 1.67 1.57 1.00 ࡿࢻ ሺ࢓ǡ ࢔ሻ ൌ ࡿି૚ ૚ିࢻ ሺ࢔ǡ ࢓ሻ

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

6. ሾ૙ǡ ૚ሿ միջակայքում հավասարաչափ բաշխված Ǽպատահական թվերǽ

0.6548 .8012 .7435 .6991 .0989

0.1176 .4356 .0998 .6268 .3205

0.7417 .3517 .1777 .0366 .0514

0.4685 .7270 .4027 .2522 .2256

0.0950 .8015 .7214 .9148 .8514

0.5804 .4531 .4323 .3693 .4642

0.7769 .8223 .6002 .6872 .7567

0.7445 .7445 .1019 .0337 .8893

.3407 .4557 .0205 .0532 .0652

.2768 .1824 .1656 .5470 .9647

.5036 .0635 .9268 .4890 .7835

.6973 .3034 .6657 .5535 .8083

.6170 .2614 .4818 .7548 .4282

.6581 .8679 .7305 .2846 .6093

.3398 .9074 .3852 .8287 .5203

.8556 .3982 .4789 .0975 .4476

.2210 .5072 .1374 .3676 .9182

.9405 .5682 .6700 .6679 .6089

.5860 .4829 .7818 .5190 .2893

.9709 .4052 .4754 .3647 .7856

.3433 .4201 .0610 .6493 .1368

.5050 .5277 .6871 .2960 .2347

.0739 .5678 .1778 .9110 .8341

.9823 .5198 .1749 .6242 .1329

.6847 .2694 .8515 .1110 .1650

.9276 .0368 .7479 .0020 .5344

.8646 .5870 .5432 .4012 .8440

.1628 .2973 .9792 .8607 .2195

.3554 .4135 .6575 .4697 .2565

.9475 .5314 .5760 .9664 .4365

.0899 .0333 .0408 .8494 .1770

.2345 .4045 .8119 .3937 .8293

.1009 .3754 .0842 .9901 .1280

.7325 .2048 .2689 .9025 .7999

.3376 .0564 .5319 .2909 .7080

.5201 .8947 .6450 .3767 .1573

.3586 .4296 .9303 .0715 .6147

.3467 .2480 .2320 .3831 .6403

.3548 .5240 .9025 .1311 .2366

.7607 .3732 .6047 .6509 .5353

.8095 .2063 .1595 .8867 .9895

.9091 .6104 .3347 .6743 .1168

.1739 .0200 .6435 .9704 .7712

.2927 .8229 .0803 .4362 .1717

.4945 .1665 .3606 .7659 .6833

.6606 .3106 .8526 .6357 .7379

.5747 .0108 .9776 .3321 .6457

.1756 .0582 .0289 .3575 .5376

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

7. Նորմալ բաշխված Ǽպատահական թվերǽ െ 0.486 െ 0.256 0.065 1.147 െ 0.199

0.856 െ 0.212 0.415 െ 0.121 െ 0.246

െ 0.491 0.219 െ 0.169 1.096 1.239

െ 1.983 0.779 0.313 0.181 െ 2.574

െ 1.787 െ 0.105 െ 1.339 1.041 0.279

െ 0.261 െ 0.357 1.827 0.535 െ 2.056

1.237 െ 1.384 െ 0.959 0.731 0.717

1.046 0.360 0.424 1.377 െ 0.873

െ 0.508 െ 0.992 0.969 0.983 െ 1.096

െ 1.630 െ 0.116 െ 1.141 െ 1.330 െ 1.396

െ 0.146 െ 1.698 െ 1.041 1.620 1.047

െ 0.392 െ 2.832 0.362 െ 1.040 0.089

െ 1.805 െ 1.186 0.658 െ 0.439 െ 1.399

െ 2.008 1.180 െ 1.141 0.358 െ 0.230

െ 1.633 1.114 1.151 െ 1.939 0.385

0.542 0.882 െ 1.210 0.891 െ 0.649

0.250 1.265 െ 0.927 െ 0.227 െ 0.577

െ 0.166 െ 0.202 0.425 0.602 0.237

0.032 0.151 0.290 0.873 െ 0.289

0.079 െ 0.376 െ 0.902 െ 0.437 0.513

0.199 0.159 2.273 0.041 െ 1.132

0.208 0.272 0.606 െ 0.307 െ 2.098

െ 1.083 െ 0.313 0.606 0.121 0.921

െ 0.219 0.084 െ 0.747 0.790 0.145

െ 0.291 െ 2.828 0.247 െ 0.584 0.446

1.122 െ 0.439 1.291 0.541 െ 1.661

1.119 െ 0.792 0.063 0.484 1.045

0.004 െ 1.275 െ 1.793 െ 0.986 െ 1.363

0.768 0.375 െ 0.513 0.292 1.026

0.079 െ 1.656 െ 0.344 െ 0.521 2.990

0.034 0.234 െ 0.736 െ 1.206 െ 0.491

െ 2.127 െ 0.656 1.041 െ 0.899 െ 1.114

0.665 0.340 0.008 0.110 1.297

0.084 െ 0.086 0.427 െ 0.528 െ 1.433

െ 0.880 െ 0.158 െ 0.831 െ 0.813 െ 1.345

െ 1.473 െ 0.851 0.210 1.266 െ 0.574

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

Նորմալ բաշխված Ǽպատահական թվերǽ ሺշարունակությունሻ

െ 1.334 െ 0.287 0.161 െ 1.346 1.250

1.278 െ 0.144 െ 0.886 0.193 െ 0.199

െ 0.568 െ 0.254 െ 0.921 െ 1.202 െ 0.288

െ 0.109 0.574 െ 0.509 0.394 1.810

െ 0.515 െ 0.451 1.410 െ 1.045 1.378

െ 0.566 െ 1.181 െ 0.518 0.843 0.584

2.923 െ 1.190 0.192 0.942 1.216

0.500 െ 0.318 െ 0.432 1.045 0.733

0.630 0.375 െ 1.420 െ 0.151 െ 0.309

െ 0.537 െ 1.941 0.489 െ 0.243 0.531

0.782 0.247 െ 1.711 െ 0.430 0.416

0.060 െ 0.491 െ 1.186 െ 0.762 െ 1.541

0.499 0.665 0.754 0.298 1.456

െ 0.431 െ 0.135 െ 0.732 1.049 2.040

1.705 െ 0.145 െ 0.066 1.810 െ 0.124

1.164 െ 0.498 1.006 2.885 0.196

0.424 0.593 0.862 0.235 െ 0.853

െ 0.444 0.658 െ 0.885 െ 0.628 0.402

0.593 െ 1.127 െ 0.142 െ 0.023 0.777

0.993 െ 1.407 െ 0.504 െ 0.463 0.833

െ 0.106 െ 1.579 0.532 െ 0.809 0.410

0.116 െ 1.616 1.381 െ 0.394 െ 0.349

0.484 1.458 0.022 െ 0.538 െ 1.094

െ 1.272 1.262 െ 0.281 1.707 0.580

0.241 0.022 െ 0.853 െ 0.501 0.439

െ 0.957 0.525 െ 1.865 െ 0.273 െ 0.035

െ 1.885 െ 0.255 െ 0.423 0.857 െ 0.260

0.371 െ 0.702 െ 0.973 െ 0.465 0.120

െ 2.830 0.953 െ 1.016 െ 1.691 െ 9.558

െ 0.238 െ 0.869 െ 1.726 0.417 0.056

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

8. Բինոմական բաշխում

९ሺ࢞Ǣ ࢔ǡ ࢖ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ࡯࢑࢔ ࢖࢑ ሺ૚ െ ࢖ሻ࢔ି࢑ ֆունկցիայիարժեքներըሺ࢞ ‫ א‬Գሻǣ

࢔ ൌ ૞ ࢖ 0.01 0.05 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.99 ࢞ .951 .774 .590 .328 .999 .977 .919 .737 1.000 .999 .991 .942 1.000 1.000 1.000 .993 1.000 1.000 1.000 1.000

.237 .633 .896 .984 .999

.168 .528 .837 .969 .998

.078 .337 .683 .913 .990

.031 .188 .500 .812 .969

.010 .087 .317 .663 .922

.002 .031 .163 .472 .832

.001 .016 .104 .367 .763

.000 .007 .058 .263 .672

.000 .000 .009 .081 .410

.000 .000 .001 .023 .226

.000 .000 .000 .001 .049

࢔ ൌ ૚૙ ࢖ 0.01 0.05 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.99 ࢞

.904 .599 .349 .107 .056 .028 .006 .996 .914 .736 .376 .244 .149 .046 1.000 .988 .930 .678 .526 .383 .167 1.000 .999 .987 .879 .776 .650 .382 1.000 1.000 .998 .967 .922 .850 .633 1.000 1.000 1.000 .994 .980 .953 .834 1.000 1.000 1.000 .999 .996 .989 .945 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .988 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

.001 .011 .055 .172 .377 .623 .828 .945 .989 .999

.000 .002 .012 .055 .166 .367 .618 .833 .954 .994

.000 .000 .002 .011 .047 .150 .350 .617 .851 .972

.000 .000 .000 .004 .020 .078 .224 .474 .756 .944

.000 .000 .000 .001 .006 .033 .121 .322 .624 .893

.000 .000 .000 .000 .000 .002 .013 .070 .264 .651

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .012 .086 .401

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .004 .096

࢔ ൌ ૚૞ ࢖ 0.01 0.05 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.99 ࢞ .860 .463 .206 .035 .013 .005 .990 .829 .549 .167 .080 .035 3 1.000 .964 .816 .398 .236 .127 4 1.000 .995 .944 .648 .461 .297 5 1.000 .999 .987 .836 .686 .515 6 1.000 1.000 .998 .939 .832 .722 7 1.000 1.000 1.000 .982 .943 .869 8 1.000 1.000 1.000 .996 .983 .950

.000 .005 .027 .091 .217 .403 .610 .787

.000 .000 .004 .018 .059 .151 .304 .500

.000 .000 .000 .002 .009 .034 .095 .213

.000 .000 .000 .000 .001 .004 .015 .050

.000 .000 .000 .000 .000 .001 .004 .017

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .004

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

Բինոմական բաշխում ( շարունակություն ) ࢔ ൌ ૚૞ ࢖ 0.01 0.05 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.99 ࢞

1.000 1.000 1.000 .999 .996 .985 .905 .696 .390 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .996 .966 .849 .597 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .991 .941 .783 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .982 .909 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .996 .973 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .995 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

.131 .278 .485 .703 .873 .965 .995

.057 .148 .314 .539 .764 .920 .987

.018 .061 .164 .352 .602 .833 .965

.000 .002 .013 .056 .184 .451 .794

.000 .000 .001 .005 .036 .171 .537

.000 .000 .000 .000 .000 .010 .140

࢔ ൌ ૛૙ ࢖ 0.01 0.05 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.99 ࢞

.818 .358 .122 .012 .003 .001 .000 .000 .000 .983 .736 .392 .069 .024 .008 .001 .000 .000 .999 .925 .677 .206 .091 .035 .004 .000 .000 1.000 .984 .867 .411 .225 .107 .016 .001 .000 1.000 .997 .957 .630 .415 .238 .051 .006 .000 1.000 .1000 .989 .804 .617 .416 .126 .021 .002 1.000 1.000 .998 .913 .786 .608 .250 .058 .006 1.000 1.000 1.000 .968 .898 .772 .416 .132 .021 1.000 1.000 1.000 .990 .959 .887 .596 .252 .057 1.000 1.000 1.000 .997 .986 .952 .755 .412 .128 1.000 1.000 1.000 .999 .996 .983 .872 .588 .245 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .995 .943 .748 .404 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .979 .868 .584 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .994 .942 .750 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .979 .874 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .994 .949 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .984 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .996 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .005 .017 .048 .113 .228 .392 .584 .762 .893 .965 .992 .999

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .004 .014 .041 .102 .214 .383 .585 .775 .909 .976 .997

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .003 .010 .032 .087 .196 .370 .589 .794 .931 .988

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .011 .043 .133 .323 .608 .878

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .003 .016 .075 .264 .642

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .017 .182

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

9. Պուասոնի բաշխում

Սࣅ ሺ࢞ሻ ‫׷‬ൌ ࢋିࣅ ή ෍

ࣅ 0.1

ࣅ࢑ ֆունկցիայիարժեքներըሺ࢞ ‫ א‬Գሻǣ ࢑Ǩ

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

.819 .982 .999 1.000

.741 .963 .996 1.000

.670 .938 .992 .999 1.000

.607 .910 .986 .998 1.000

.549 .878 .977 .997 1.000

.497 .844 .966 .994 .999 1.000

.449 .809 .953 .991 .999 1.000

.407 .772 .937 .945 .989 .998 1.000

.368 .736 .920 .981 .996 .999 1.000

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

15.0

20.0

.050 .199 .423 .647 .815 .916 .966 .988 .996 .999 1.000

.018 .092 .238 .433 .629 .785 .889 .949 .979 .992 .997 .999 1.000

.007 .040 .125 .265 .440 .616 .762 .867 .932 .968 .986 .995 .998 .999 1.000

.002 .017 .062 .151 .285 .446 .606 .744 .847 .916 .957 .980 .991 .996 .999 .999 1.000

.001 .007 .030 .082 .173 .301 .456 .599 .729 .830 .901 .947 .973 .987 .994 .998 .999 1.000

.000 .003 .014 .042 .100 .191 .313 .453 .593 .717 .816 .888 .936 .966 .983 .992 .996 .998 1.000

.000 .001 .006 .021 .055 .116 .207 .324 .456 .587 .706 .803 .876 .926 .959 .978 .989 .995 .999 1.000

.000 .000 .003 .010 .029 .067 .130 .220 .333 .458 .583 .697 .792 .864 .917 .951 .973 .986 .993 .997 .998 .999 1.000

.000 .000 .000 .000 .001 .003 .008 .018 .037 .070 .118 .185 .268 .363 .466 .568 .664 .749 .819 .875 .917 .947 .967

.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .002 .005 .011 .021 .039 .066 .105 .157 .221 .297 .381 .470 .559 .644 .721

࢞

.905 .995 1.000

ࣅ 2.0 ࢞

.135 .406 .677 .857 .947 .983 .995 .999 1.000

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

Պուասոնի բաշխում ( շարունակություն ) ࣅ 2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

15.0

20.0

࢞

.981

.787

.989

.843

.994

.888

.997

.922

.998

.948

.999

.966

1.000

.978

.987

.992

.995

.997

.999

.999

1.000

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

10. Էռլանգի բաշխում ࢞

૚ ॲ૚ǡ࢔ ሺ࢞ሻ ‫׷‬ൌ න ࢚࢔ି૚ ࢋି࢚ ࢊ࢚ֆունկցիայիարժեքները ሺ૚ ൑ ࢔ ൑ ૚૙ሻǣ ડሺ࢔ሻ ૙

࢔

.632

.264

.080

.019

.004

.001

.000

.000

.000

.000

࢞

.865

.594

.323

.143

.053

.017

.005

.001

.000

.000

.950

.801

.577

.353

.185

.084

.034

.012

.004

.001

.982

.908

.762

.567

.371

.215

.111

.051

.021

.008

.993

.960

.875

.735

.560

.384

.238

.133

.068

.032

.998

.983

.938

.849

.715

.554

.394

.256

.153

.084

.999

.993

.970

.918

.827

.699

.550

.401

.271

.170

1.000

.997

.986

.958

.900

.809

.687

.547

.407

.283

.999

.994

.979

.945

.884

.793

.676

.544

.413

1.000

.997

.990

.971

.933

.870

.780

.667

.542

.999

.995

.985

.962

.921

.857

.768

.659

1.000

.998

.992

.980

.954

.911

.845

.758

.999

.996

.989

.974

.946

.900

.834

1.000

.998

.994

.986

.968

.938

.891

.999

.997

.992

.982

.963

.930

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

11. Կոլմոգորովի բաշխում ାஶ

ॶሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ൭ ෍ ሺെͳሻ௞ ݁ ିଶ௞

మ௫మ

൱ ૤ሾ଴ǡାஶሻ ሺ‫ݔ‬ሻֆունկցիայիարժեքներըǣ

௞ୀିஶ

࢞

0.2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 .0000 .0001 .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 .0013 .0019 .3 .0000 .0040 .0055 .0074 .0097 .0126 .0160 .0200 .0247 .0300 .4 .0028 .0428 .0503 .0585 .0675 .0772 .0876 .0987 .1104 .1228 .5 .0361 .1492 .1633 .1778 .1927 .2080 .2236 .2396 .2558 .2722 .6 .1357 .7 .2888 .3055 .3223 .3391 .3560 .3728 .3896 .4064 .4230 .4395 .8 .4559 .4720 .4880 .5038 .5194 .5347 .5498 .5646 .5791 .5933 .9 .6073 .6209 .6343 .6474 .6601 .6725 .6846 .6965 .7079 .7191 1.0 .7300 .7406 .7508 .7608 .7704 .7798 .7889 .7976 .8061 .8143 .1 .8223 .8300 .8374 .8445 .8514 .8580 .8644 .8706 .8766 .8823 .2 .8878 .8930 .8981 .9030 .9077 .9121 .9164 .9206 .9245 .9283 .3 .9319 .9354 .9387 .9419 .9449 .9478 .9505 .9531 .9557 .9580 .4 .9603 .9625 .9646 .9665 .9684 .9702 .9719 .9735 .9750 .9764 .9791 .9803 .9815 .9826 .9836 .9846 .9855 .9864 .9873 .5 .9778 .6 .9881 .9888 .9895 .9902 .9908 .9914 .9919 .9924 .9929 .9934 .9938 .9942 .9946 .9950 .9953 .9956 .9959 .9962 .9965 .9967 .7 .8 .9969 .9972 .9974 .9975 .9977 .9979 .9980 .9982 .9983 .9984 .9 .9985 .9986 .9987 .9988 .9989 .9990 .9991 .9992 .9992 .9993 2.0 .9993 .9994 .9994 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9997 .9997 .1 .9997 .9997 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .2 .3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 .4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

12. Կոլմոգորովի բաշխում: ࢊࢻ ሺ࢔ሻ - կրիտիկական կետերը՝ Զ ൬ࡰ࢔ ൌ ‫ܘܝܛ‬ȁॲ࢔ ሺ࢞ሻ െ ॲሺ࢞ሻȁ ൒ ࢊࢻ ሺ࢔ሻ൰ ൌ ࢻǡ

૙ ൏ ࢻ ൏ ૚ǣ

࢞‫א‬Թ

ࢻ 0.20

0.10

0.05

0.02

1 0.9000 .6838 .5648 .4927 .4470 .4104 .3815 .3583 .3391 10 .3226 11 .3083 12 .2958 13 .2847 14 .2748 15 .2659 16 .2578 17 .2504 18 .2436 19 .2374 20 .2316 21 .2262 22 .2212 23 .2165 24 .2121 25 .2079 26 .2040 27 .2003 28 .1968 29 .1935 30 .1903

ࢻ

0.01

࢔

0.20

0.10

0.05

0.02

0.01

࢔ 0.9500 0.9750 0.9900 0.9950 .7764 .8419 .9000 .9293 .6360 .7076 .7846 .8290 .5652 .6239 .6889 .7342 .5095 .5633 .6272 .6685 .4680 .5193 .5774 .6166 .4361 .4834 .5384 .5758 .4096 .4543 .5065 .5418 .3875 .4300 .4796 .5133 .3687 .4093 .4566 .4889 .3524 .3912 .4367 .4677 .3382 .3754 .4192 .4491 .3255 .3614 .4036 .4325 .3142 .3489 .3897 .4176 .3040 .3376 .3771 .4042 .2947 .3273 .3657 .3920 .2863 .3180 .3553 .3809 .2785 .3094 .3457 .3706 .2714 .3014 .3369 .3612 .2647 .2941 .3287 .3524 .2586 .2872 .3210 .3443 .2528 .2809 .3139 .3367 .2475 .2749 .3073 .3295 .2424 .2693 .3010 .3229 .2377 .2640 .2952 .3166 .2332 .2591 .2896 .3106 .2290 .2544 .2844 .3050 .2250 .2499 .2794 .2997 .2212 .2457 .2747 .2947 .2176 .2417 .2702 .2899

31

0.1873 .1845 .1817 .1791 .1766 .1742 .1719 .1697 .1675 .1655 .1635 .1616 .1597 .1580 .1562 .1546 .1530 .1514 .1499 .1484 .1470 .1456 .1442 .1429 .1416 .1404 .1392 .1380 .1369 .1357

0.2141 0.2379 0.2660 0.2853 .2109 .2342 .2619 .2809 .2077 .2308 .2580 .2768 .2047 .2274 .2543 .2728 .2019 .2243 .2507 .2690 .1991 .2212 .2473 .2653 .1965 .2183 .2440 .2618 .1939 .2154 .2409 .2584 .1915 .2127 .2379 .2552 .1891 .2101 .2349 .2521 .1869 .2076 .2321 .2490 .1847 .2052 .2294 .2461 .1826 .2028 .2268 .2433 .1805 .2006 .2243 .2406 .1786 .1984 .2218 .2380 .1767 .1963 .2194 .2354 .1748 .1942 .2172 .2330 .1730 .1922 .2149 .2306 .1713 .1903 .2128 .2283 .1696 .1884 .2107 .2260 .1680 .1866 .2086 .2239 .1664 .1848 .2067 .2217 .1648 .1831 .2048 .2197 .1633 .1814 .2029 .2177 .1619 .1798 .2011 .2157 .1604 .1782 .1993 .2138 .1591 .1767 .1976 .2120 .1577 .1752 .1959 .2102 .1564 .1737 .1943 .2084 .1551 .1723 .1927 .2067

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

Կոլմոգորովի բաշխում: ࢊࢻ ሺ࢔ሻ – կրիտիկական կետերը ሺշարունակությունሻ ࢻ 0.20

0.10

0.05

0.02

ࢻ 0.20

0.01

࢔

0.10

0.05

0.02

0.01

࢔

61 0.1346 0.1539 0.1709 0.1911 0.2051

.1336

.1526

.1696

.1896

.2034

0.1172 0.1339 0.1487 0.1663 0.1784 .1165

.1331

.1478

.1653

.1773

.1325

.1514

.1682

.1881

.2018

.1158

.1323

.1469

.1643

.1763

.1315

.1503

.1669

.1867

.2003

.1151

.1315

.1461

.1633

.1752

.1305

.1491

.1657

.1853

.1988

.1144

.1307

.1452

.1624

.1742

.1295

.1480

.1644

.1839

.1973

.1138

.1300

.1444

.1614

.1732

.1286

.1469

.1632

.1825

.1958

.1131

.1292

.1436

.1605

.1722

.1277

.1459

.1620

.1812

.1944

.1125

.1285

.1427

.1596

.1713

.1268

.1448

.1609

.1799

.1930

.1119

.1278

.1420

.1587

.1703

.1259

.1438

.1598

.1786

.1917

.1113

.1271

.1412

.1579

.1694

.1250

.1428

.1586

.1774

.1903

.1106

.1264

.1404

.1570

.1685

.1241

.1418

.1576

.1762

.1890

.1101

.1257

.1397

.1562

.1676

.1233

.1409

.1565

.1750

.1878

.1095

.1251

.1389

.1553

.1667

.1225

.1399

.1554

.1738

.1865

.1089

.1244

.1382

.1545

.1658

.1217

.1390

.1544

.1727

.1853

.1083

.1238

.1375

.1537

.1649

.1209

.1381

.1534

.1716

.1841

.1078

.1231

.1368

.1529

.1641

.1201

.1372

.1524

.1705

.1829

.1072

.1225

.1361

.1521

.1632

.1194

.1364

.1515

.1694

.1817

.1067

.1219

.1354

.1514

.1624

.1186

.1355

.1505

.1683

.1806

.1062

.1213

.1347

.1506

.1616

.1179

.1347

.1496

.1673

.1795 100

.1056

.1207

.1340

.1499

.1608

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

13. Սպիրմենի ࢘‫ ࡿכ‬ռանգային կորելյացիայի գործակից: ࢙ࢻ ሺ࢔ሻ – կրիտիկական կետերը՝ ࢔

Զ ቌ࢘‫ ࡿכ‬ൌ ૚ െ

૟ ෍ሺ࢏ െ ࢀ࢏ ሻ૛ ൒ ࢙ࢻ ሺ࢔ሻቍ ൌ ࢻǡ ࢔ሺ࢔૛ െ ૚ሻ

૙ ൏ ࢻ ൏ ૚ǣ

ࢻ

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

0.8000 .7000 .6000 .5357 .5000 .4667 .4424 .4182 .3986 .3791 .3626 .3500 .3382 .3260 .3148 .3070 .2977 .2909 .2829 .2767 .2704 .2646 .2588 .2540 .2490 .2443 .2400

0.8000 .8000 .7714 .6786 .6190 .5833 .5515 .5273 .4965 .4780 .4593 .4429 .4265 .4118 .3994 .3895 .3789 .3688 .3597 .3518 .3435 .3362 .3299 .3236 .3175 .3113 .3059

.9000 .8286 .7450 .7143 .6833 .6364 .6091 .5804 .5549 .5341 .5179 .5000 .4853 .4716 .4579 .4451 .4351 .4241 .4150 .4061 .3977 .3894 .3822 .3749 .3685 .3620

.9000 .8857 .8571 .8095 .7667 .7333 .7000 .6713 .6429 .6220 .6000 .5824 .5637 .5480 .5333 .5203 .5078 .4963 .4852 .4748 .4654 .4564 .4481 .4401 .4320 .4251

.9429 .8929 .8571 .8167 .7818 .7455 .7273 .6978 .6747 .6536 .6324 .6152 .5975 .5825 .5684 .5545 .5426 .5306 .5200 .5100 .5002 .4915 .4828 .4744 .4665

.9643 .9286 .9000 .8667 .8364 .8182 .7912 .7670 .7464 .7265 .7083 .6904 .6737 .6586 .6455 .6318 .6186 .6070 .5962 .5856 .5757 .5660 .5567 .5479

࢔

ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐԻ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐ

14. Քենդալի ࢘‫ ࡷכ‬ռանգային կորելյացիայի գործակից: ࢑ࢻ ሺ࢔ሻ – կրիտիկական կետերը՝ Զ ቆ࢘‫ ࡷכ‬ൌ ૚ െ 

ࢻ

૝ࡽ

൒ ࢑ࢻ ሺ࢔ሻቇ ൌ ࢻǡ

࢔ሺ࢔ െ ૚ሻ

0.05

0.025

0.01

0.005

1.000

1.000

1.000

1.000

.800

1.000

1.000

1.000

.733

.867

.867

1.000

.619

.714

.810

.905

࢔

.571

.643

.714

.786

.500

.556

.667

.722

.467

.551

.600

.644

૙ ൏ ࢻ ൏ ૚ǣ

Հավելված 3: (*)- ով խնդիրների լուծումներ § 1. Կարգային վիճականիներ Խնդիր ૡ‫ כ‬Ǥ Համաձայն խնդիր 7 – ի ௡

ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ Զ൫ܺሺ௞ሻ ൏ ‫ݔ‬൯ ൌ ෍ ‫ܥ‬௡௜ ‫ ݔ‬௜ ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௡ି௜ ‫׷‬

Դիֆերենցելով ձախ և աջ մասերն ըստ ‫ ݔ‬- ի այստեղից՝ կստանանք ௡

݂௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ෍

௡ିଵ

௡

݊Ǩ ሺ݊ െ ݅ሻ ௜ ݊Ǩ ௜ିଵ ௜ିଵ ሺͳ ݅‫ ݔ‬௜ିଵ ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௡ି௜ െ ෍ ‫ ݔ‬ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௡ି௜ିଵ ൌ ෍ ݊‫ܥ‬௡ିଵ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬ሻሺ௡ିଵሻିሺ௜ିଵሻ െ ݅Ǩ ሺ݊ െ ݅ሻǨ ݅Ǩ ሺ݊ െ ݅ሻǨ ௡ିଵ ௜ ௞ିଵ ௞ିଵ ‫ ݔ‬௜ ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻሺ௡ିଵሻି௜  ൌ ݊‫ܥ‬௡ିଵ ‫ ݔ‬ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௡ି௞ ‫ז ׷‬ െ ෍ ݊‫ܥ‬௡ିଵ

Խնդիր ૢ‫ כ‬Ǥ ա) Համաձայն խնդիր 7 - ի՝ ௡

௡ ௠

ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ෍ Զ௡ ሺ݉ሻ ൌ ෍ ‫ܥ‬௡௠ ൫ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯

ॲሺ௫ሻ

Մյուսկողմիցሺॲሺ‫ݔ‬ሻǢ ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻ ‫׷‬ൌ 

݊Ǩ  න ‫ ݐ‬௞ିଵ ሺͳ െ ‫ݐ‬ሻ௡ି௞ ݀‫ ݐ‬ինտեգրալըሺբետաբաշխում ሺ݇ െ ͳሻǨ ሺ݊ െ ݇ሻǨ ଴

ունեցող պատահական մեծության ሺ‫ݔ‬Ǣ ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻ բաշխման ֆունկցիայի արժեքը, երբ ‫׷ ݔ‬ൌ ॲሺ‫ݔ‬ሻ) մասերով ինտեգրման բանաձևի օգնությամբ կարելի է բերել հետևյալ անդրադարձ (ռեկուրենտ) տեսքի ሺ݇ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ሻ՝ ௞

ሺॲሺ‫ݔ‬ሻǢ ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻ  ൌ ݇‫ܥ‬௡௞ ࣣ௞ ൌ  ‫ܥ‬௡௞ ൫ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൫ͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯

൅  ሺ݇ ൅ ͳሻ‫ܥ‬௡௞ାଵ ࣣ௞ାଵ ,

ॲሺ௫ሻ

որտեղࣣ௞ ‫׷‬ൌ න ‫ ݐ‬௞ିଵ ሺͳ െ ‫ݐ‬ሻ௡ି௞ ݀‫ ݐ‬ǡࣣ௡ାଵ ‫׷‬ൌ ͲǣԱյնպեսǡ որ ଴ ௡ିଵ ௡

ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ෍ ሾ݉‫ܥ‬௡௠ ࣣ௠ െ ሺ݉ ൅ ͳሻ‫ܥ‬௡௠ାଵ ࣣ௠ାଵ ሿ ൅ ൫ॲሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݇‫ܥ‬௡௞ ࣣ௞ ൌ ሺॲሺ‫ݔ‬ሻǢ ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻǣ

բ)

Նշանակենք ܻ௞ ‫׷‬ൌ ॲሺܺ௞ ሻ, այնպես, որ ܻሺ௞ሻ ൌ ॲ൫ܺሺ௞ሻ ൯: Պարզ է, որ ܻሺଵሻ ൑ ‫  ڮ‬൑ ܻሺ௞ሻ ൑ ‫  ڮ‬൑ ܻሺ௡ሻ և

նկատի ունենալով ܻ௞ ̱ॼሺͲǤͳሻ պայմանը ու ա) կետը՝ կստանանք ܻሺ௞ሻ ̱ ९‡–ሺ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻǣ գ ) Ածանցելով ॲሺ௫ሻ

݊Ǩ ॲ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ  න ‫ ݐ‬௞ିଵ ሺͳ െ ‫ݐ‬ሻ௡ି௞ ݀‫ݐ‬ ሺ݇ െ ͳሻǨ ሺ݊ െ ݇ሻǨ ଴

ներկայացման երկու մասերն ըստ ‫ ݔ‬- ի՝ կստանանք ௞ିଵ ݂௞ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊‫ܥ‬௡ିଵ ሺॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௞ିଵ ሺͳ െ ॲሺ‫ݔ‬ሻሻ௡ି௞ ݂ሺ‫ݔ‬ሻǣ‫ז‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

 Խնդիր ૚૝‫ כ‬. ա) Քանի որ ܺ ൌ ܽ ൅ ሺܾ െ ܽሻܺ ᇱ , որտեղ ܺ ᇱ ̱ ॼሺͲǡ ͳሻ, ապա ներկայացնենք ܴ௡ ൌ ܺሺ௡ሻ െܺሺଵሻ նմուᇱ ᇱ ᇱ ᇱ െ ܺሺଵሻ ൯ տեսքով: Այստեղ ܺሺଵሻ - ը և ܺሺ௡ሻ - ը՝ ܺ ᇱ պատահական մեծուշային լայնքը ܴ௡ ൌ ሺܾ െ ܽሻ൫ܺሺ௡ሻ

թյանը համապատասխանող ሺܺ ᇱ ሻ௡ ̱ ॼሺͲǡͳሻ նմուշի եզրային վիճականիներն են: Այսպիսով՝ ܴ௡  ൌ ᇱ ᇱ ൌ ሺܾ െ ܽሻܴ௡ᇱ , որտեղ ܴ௡ᇱ ൌ ܺሺ௡ሻ െ ܺሺଵሻ : ᇱ ᇱ Գտնենք ܴ௡ᇱ ൌ ܺሺ௡ሻ െ ܺሺଵሻ նմուշային լայնքի բաշխման ֆունկցիան ሺտեսխնդիրͷǦըሻ ଵି௭



ॲோ೙ᇲ ሺ‫ݖ‬ሻ ൌ

Զሺܴ௡ᇱ

൏ ‫ݖ‬ሻ ൌ

௫ା௭

݀ ॲଵǡ௡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ න ݀‫ ݔ‬න ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݔ‬ሻ௡ିଶ ݀‫ ݕ‬൅

න

௬ି௫ழ௭ ଴ழ௫ழ௬ழଵ ଵ ଵ

଴

ଵି௭

ଵ

൅݊ሺ݊ െ ͳሻ න ݀‫ ݔ‬නሺ‫ ݕ‬െ ‫ݔ‬ሻ௡ିଶ ݀‫ ݕ‬ൌ ݊ න ‫ ݔ‬௡ିଵ ݀‫ ݔ‬൅ ݊ නሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ௡ିଵ ݀‫ ݔ‬ൌ ݊‫ ݖ‬௡ିଵ െ ሺ݊ െ ͳሻ‫ ݖ‬௡ ‫׷‬ ଵି௭

଴

ଵି௭

Այստեղից հետևում է, որ ݂ோ೙ᇲ ሺ‫ݖ‬ሻ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ‫ ݖ‬௡ିଶ ሺͳ െ ‫ݖ‬ሻǡ այսինքն՝ ܴ௡ᇱ ̱९‡–ሺ݊ െ ͳǡ ʹሻ: Այսպիսով՝ ॱܴ௡ᇱ ൌ

݊െͳ ʹሺ݊ െ ͳሻ ǡॽƒ”ሺܴ௡ᇱ ሻ ൌ

ሺ݊ ൅ ͳሻଶ ሺ݊ ൅ ʹሻ

݊൅ͳ

Այժմ օգտվելով խնդիր 6 - ից՝ կստանանք ᇱ ᇱ ǡ ܺሺ௡ሻ ൯ൌ ԧ‘˜൫ܺሺଵሻ

ͳ ᇱ ᇱ ᇱ ᇱ ൣॽƒ”൫ܺሺଵሻ ൯ ൅ ॽƒ”൫ܺሺ௡ሻ ൯ െ ॽƒ”൫ܺሺ௡ሻ െ ܺሺଵሻ ൯൧ ൌ ʹ ൌ

ͳ ʹ݊ ʹሺ݊ െ ͳሻ ͳ ቈ ቉ൌ

ሺ݊ ൅ ͳሻଶ ሺ݊ ൅ ʹሻ

ሺ݊ ൅ ͳሻଶ ሺ݊ ൅ ʹሻ

ʹ ሺ݊ ൅ ͳሻଶ ሺ݊ ൅ ʹሻ

բ) Համաձայն խնդիր 6 - ի՝ ունենք՝ ॱ‫ܯ‬௡ ൌ ॽƒ”ሺ‫ܯ‬௡ ሻ ൌ

ͳ ͳ ݊ܽ ൅ ܾ ܽ ൅ ܾ݊ ͳ ൫ॱܺሺଵሻ ൅ ॱܺሺ௡ሻ ൯ ൌ ൬ ൅ ൰ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻǡ ʹ ʹ ݊൅ͳ ݊൅ͳ ʹ

ሺܾ െ ܽሻଶ ͳ ቀॽƒ”൫ܺሺଵሻ ൯ ൅ ॽƒ”൫ܺሺ௡ሻ ൯ ൅ ʹԧ‘˜൫ܺሺଵሻ ǡ ܺሺ௡ሻ ൯ቁ ൌ ‫ז ׷‬

ʹሺ݊ ൅ ͳሻሺ݊ ൅ ʹሻ

Ͷ

Խնդիր ૚૞‫ כ‬Ǥ ௡ Համաձայն խնդիր ͻ‫ כ‬- ի ܼሺ௠ሻ ‫׷‬ൌ ݊ॲ൫ܺሺ௠ሻ ൯ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան՝ կլինի

‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ॲ௡௠ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ Զ ቀॲ൫ܺሺ௠ሻ ൯ ൏ ቁ ൌ Զ ቀॲ൫ܺሺ௠ሻ ൯ ൏ ቁ ൌ ९௠ǡ௡ି௠ାଵ ቀ ቁǡ ݊ ݊ ݊ որտեղ ९௔ǡ௕ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ ९‡–ሺܽǡ ܾሻ բետա բաշխման բաշխման ֆունկցիան է: Այստեղից ݂௠௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ ሾॲ௡௠ ሺ‫ݔ‬ሻሿᇱ խտության ֆունկցիայի համար՝ կստանանք ‫ݔ‬ ‫ ݔ‬௠ିଵ ‫ ݔ‬௡ି௠ ͳ ௠ିଵ ቀ ቁ ቀͳ െ ቁ ǡ ݂௠௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ߚ௠Ǥ௡ି௠ାଵ ቀ ቁ ൌ ‫ܥ‬௡ିଵ ݊ ݊ ݊ ݊ որտեղ

ߚ௔ǡ௕ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ ९݁‫ݐ‬ሺܽǡ ܾሻ բաշխման խտության ֆունկցիան է:

Այժմ օգտվելով Պուասոնի թեորեմից (տես ሾʹǡ ՀǤ ͳǤ͵ሿ ) հաստատուն ‫ א ݔ‬Թ և ݉ ‫ א‬Գ համար՝ կստանանք ݂௠௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ՜

‫ ݔ‬௠ିଵ ݁ ି௫ ൌ ‫݌‬௫ ሺ݉ െ ͳሻǡ݊ ՜ λǡ ሺ݉ െ ͳሻǨ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

որտեղ ‫݌‬௫ ሺ݉ െ ͳሻ ‫׷‬ൌ Զ௫ ሺܻ ൌ ݉ െ ͳሻǡ ܻ̱ Սሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ ߣ ൌ ‫ ݔ‬ինտենսիվությունով Պուասոնի պատահական մեծություն է: Նկատենք, որ ‫݌‬௫ ሺ݉ െ ͳሻ ൌ ߛଵǡ௠ ሺ‫ݔ‬ሻ, որտեղ ߛଵǡ௠ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ Ռሺͳǡ ݉ሻգամմա բաշխման խտության ֆունկցիան է: Այսպիսով՝ ௗ

௡ ܼሺ௠ሻ ǣ ൌ ݊ॲ൫ܺሺ௠ሻ ൯ ՜ Ռሺͳǡ ݉ሻǡ

݊՜λ:

Նման ձևով ապացուցվում է ௗ

௡ ܹሺ௡ି௞ାଵሻ ‫׷‬ൌ ݊ൣͳ െ ॲ൫ܺሺ௡ି௞ାଵሻ ൯൧ ՜ Ռሺͳǡ ݇ሻǡ

݊՜λ ‫ז‬

զուգամիտությունը:

§ 3. Նմուշային բնութագրիչներ Խնդիր ૜૟‫ כ‬Ǥ Օգտվենք թեորեմ ͶǤ͸ͳ- ից ሺտե՛սሾʹሿሻ, որտեղ Τ

ߤଶଵ ଶ ൌ ݄ ൬න ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻǡ න ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻ൰ ǡ ݉ Τ ‫ݔ‬ଵ ଶ ݃ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݔ‬െ ݉ሻଶ ǡ ݃ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ݄ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ ଵ ǡܽ ൌ ሺߤଶ ǡ ݉ሻǣ ‫ݔ‬ଶ Այստեղից՝կստանանք ‫ܩ‬௛ ሺ‫ܨ‬ሻ ‫׷‬ൌ ܸ ൌ

Τ

݄ଵᇱ ሺܽሻ ൌ

ͳ ߤଵ ଶ ߲݄ሺܽሻ ߲݄ሺܽሻ ൌ ǡ݄ଶᇱ ሺܽሻ ൌ ൌ െ ଶଶ  ‫׷‬ ݉ ߲‫ݔ‬ଵ ߲‫ݔ‬ଶ ʹ݉ξߤଶ

Մյուս կողմից՝ ունենք ߪଵଵ ‫׷‬ൌ ॽƒ”൫݃ଵ ሺܺሻ൯ ൌ ॽƒ”ሺܺ െ ݉ሻଶ ൌ ߤସ െ ߤଶଶ ǡߪଵଶ ‫׷‬ൌ ॱሺሺܺ െ ݉ሻଶ െ ߤଶ ሻሺܺ െ ݉ሻ ൌ ߤଷ ǡ ߪଶଶ ‫׷‬ൌ ॽƒ”൫݃ଶ ሺܺሻ൯ ൌ ߤଶ : Այնպես, որ ቀ݄ᇱ ሺܽሻ ൌ ൫݄ଵᇱ ሺܽሻǡ ݄ଶᇱ ሺܽሻ൯ቁ ଶ ଶ തߪതത૛ത ൌ ݄ᇱ ሺܽሻȭሺ݃ሻሾ݄ᇱ ሺܽሻሿ் ൌ ሾ݄ᇱ ሺܽሻሿଶ ߪଵଵ ൅ ʹ݄ᇱ ሺܽሻ݄ᇱ ሺܽሻ ൅ ሾ݄ᇱ ሺܽሻሿଶ ߪଶଶ ൌ ߤସ െ ߤଶ  െ  ߤଷ  ൅  ߤଶ  ‫׷‬ ଵ ଵ ଶ ଶ Ͷ݉ଶ ߤଶ ݉ଷ ݉ସ Այսպիսով համաձայն թեորեմ 4.61 - ի ሺտե՛սሾʹሿሻ՝ ունենք ௗ

ξ݊ ሺܸ௡‫ כ‬െ ܸሻ ՜ Գ൫Ͳǡ തߪതത૛ത൯, որտեղܸ௡‫ כ‬ൌ ‫ܩ‬௛ ሺॲ‫כ‬௡ ሻ ൌ

݊ ՜ λ,

ܵ Ǧը՝նմուշայինվարիացիայիգործակիցնէǣ‫ז‬ ௡ തതതത ܺ

Խնդիր ૝ૡ‫ כ‬Ǥ Ներկայացնենք՝ ௡

݃ଶ ൌ 

௡ ሻସ ௡ ሻସ തതത തതത σሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ ሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ ݉ସ െ ͵ ൌ ݊  െ ͵ ൌ ݊ ෍  െ ͵ǡ ௡ ሻଶ ሻଶ തതത ሺσሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬

ሺσሺ‫ݔ‬௜ െ തതത

‫ ݔ‬௡ ሻଶ ሻଶ ݉ଶଶ  ௜ୀଵ

որտեղից՝ ௡

ȁ݃ଶ ȁ ൑ ݊ ෍ ቆ ௜ୀଵ

௡ ሻଶ ଶ തതത ሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ ቇ ൏݊‫׷‬ ௡ ሻଶ തതത σሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬

Այստեղից, համաձայն թեորեմ 4.92 - ի ሺտե՛սሾʹሿሻ՝ կստանանք՝ ॱ݃ଶ ൌ ߛଶ ൅ ܱሺ݊ିଵ ሻ, ॽƒ”ሺ݃ଶ ሻ ൌ ‫ ܥ‬Τ݊ ൅ ܱ൫݊ିଷΤଶ ൯:

‫ז‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Խնդիր ૝ૢ‫ כ‬Ǥ Գնահատենք՝ ௡

ܸ௡ଶ ൌ

ଶ

௡

ଶ

௡ ሻଶ തതത σሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ σ ‫ݔ‬௜ଶ ܵ௡ଶ ‫ݔ‬௜ ‫ݔ‬௜ ൌ ൌ ݊  െ ͳ ൌ ݊ ෍ ቆ  ቇ െ ͳ ൏ ݊ ൭෍ ൱ ൌ ݊ǡ  ଶ ௡ ଶ ௡ ଶ തതതሻ തതതሻ ሺσ ‫ݔ‬௜ ሻ σ ‫ݔ‬௜ σ ‫ݔ‬௜ ሺ‫ݔ‬ ݊ሺ‫ݔ‬ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

որտեղից ܸ௡ ൏ ξ݊ : Այստեղից, ըստ թեորեմ 4.92 - ի ሺտե՛սሾʹሿሻ՝ կստանանք ॱܸ௡‫ כ‬ൌ ܸ ൅ ܱሺ݊ିଵ ሻ, որտեղ ܸ ൌ

ఙ ௠

ॽƒ”ሺܸ௡‫ כ‬ሻ ൌ ܱሺ݊ିଵ ሻ, ‫ז‬

- ը՝ տեսական փոփոխականության (վարիացիայի) գործակիցն է:

Խնդիր ૞૙‫ כ‬Ǥ Ներկայացնենք ሺ݉ଶ ൌ  ܵ௡ଶ ǡߤଶ ൌ ߪ ଶ ሻ` ඥ݉ ଶ െ ඥߤ ଶ ൌ

݉ଶ െ ߤଶ ʹξ ߤ ଶ ݉ଶ െ ߤଶ ξ݉ଶ െ ξߤ ଶ  ൌ ቆͳ െ ቇൌ ʹ ξߤଶ ξ݉ଶ ൅ ξߤ ଶ ʹ ξߤଶ ξ݉ଶ ൅ ξߤ ଶ ൌ

ሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଶ ݉ଶ െ ߤ ଶ െ ʹ ξߤଶ

ʹξߤଶ ሺξ݉ଶ ൅ ξߤଶ ሻଶ

Որտեղից՝ ॱ൫ඥ݉ଶ െ ඥߤଶ ൯ ൌ

ሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଶ ͳ ͳ

ॱሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻ െ

ॱ ǡ ʹ ξߤଶ

ʹξߤଶ ሺξ݉ଶ ൅ ξߤଶ ሻଶ

ሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଶ ሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଶ ͳ ͳ այստեղॱሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻ ൌ െ ߤଶ ൌ ܱሺͳΤ݊ሻǡիսկ   ൑ Τ ݊

ʹξߤଶ ሺξ݉ଶ ൅ ξߤଶ ሻଶ

ʹߤ ଷ ଶ ଶ

Այժմ հաշվի առնելով (տես ሾʹǡ դիտողությունͶǤͻͲሿ ) ॱሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଶ ൌ ॽƒ”ሺ݉ଶ ሻ ൌ

ͳ

ሺߤ െ ߤଶଶ ሻ ൅ ܱሺ݊ିଶ ሻ

݊ ସ

ներկայացումը՝ կստանանք ॱሺξ݉ଶ െ ξߤଶ ሻ ൌ ܱሺ݊ିଵ ሻ : Մյուս կողմից՝ ունենք ଶ

ଶ

ॽƒ”൫ඥ݉ଶ െ ඥߤଶ ൯ ൌ ॱ൫ඥ݉ଶ െ ඥߤଶ ൯ െ ൣॱ൫ඥ݉ଶ െ ඥߤଶ ൯൧ ǡ որտեղ ଶ

ॱ൫ඥ݉ଶ െ ඥߤଶ ൯ ൌ

ሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଷ ሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻସ ͳ ͳ ͳ

ॱሺ݉ଶ െ ߤଶ ሻଶ െ

ॱ ॱ ൌ Ͷߤଶ

ʹߤଶ ሺξ݉ଶ ൅ ξߤଶ ሻଶ

Ͷߤଶ ሺξ݉ଶ ൅ ξߤଶ ሻସ

ൌ

ߤସ െ ߤଶଶ

 ൅ ܱሺ݊ିଶ ሻǡ Ͷ݊ߤଶ

այնպես, որ ॽƒ”൫ඥ݉ଶ ൯ ൌ ॽƒ”൫ඥ݉ଶ െ ඥߤଶ ൯ ൌ

ߤସ െ ߤଶଶ

 ൅ ܱሺ݊ିଶ ሻ ‫ז ׷‬ Ͷ݊ߤଶ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

§ 4. Կետային գնահատականներ և դրանց հատկությունները Խնդիր ૠ૝‫ כ‬Ǥ Համաձայն խնդիր 10 - ի՝ ունենք

ॱܺሺଵሻ ൌ ߠଵ ൅

ͳ ͳ ௡ ൌ ॱܺ ൌ ߠ ൅ തതതത ǡիսկॱܺ ǡ ଵ ଵ ݊ߠଶ ߠଶ

այնպես, որ ॱሺߠଶିଵ ሻ‫ כ‬ൌ

݊ ݊ ͳ ͳ ௡ െ തതതത ॱܺ ॱܺሺଵሻ ൌ ǡ ॱߠଵ‫ כ‬ൌ ॱܺሺଵሻ െ ॱሺߠଶିଵ ሻ‫ כ‬ൌ ߠଵ ǣ ݊െͳ ݊െͳ ߠଶ ݊

Մյուս կողմից, քանի որ ݊ ͳ ݊ ॱܺሺଵሻ ൌ ൬ߠ ൅ ൰ ՜ ߠଵ ǡ ݊ െ ͳ ଵ ݊ߠଶ ݊െͳ ॽƒ” ቀ

݊ ݊ ଶ ͳ ͳ

ܺሺଵሻ ቁ ൌ ቀ

ቁ  ൌ ՜ Ͳǡ ݊െͳ

݊ െ ͳ ݊ଶ ߠଶଶ ሺ݊ െ ͳሻଶ ߠଶଶ

երբ ݊ ՜ λ, ապա ௡

Զ Զ Զ ݊ ͳ ͳ ͳ ௡ ՜ Ͳ ൭ ෍ ܺ ՜ ॱܺ ൌ ߠ ൅ തതതത ܺሺଵሻ ՜ ߠଵ և ܺ ൱ǣ ௜ ଵ ଵ ݊െͳ ݊െͳ ݊ ߠଶ ௜ୀଵ

այնպես, որ

ߠଵ‫כ‬

Զ

՜ ߠଵ : Բացի այդ՝ ሺߠଶିଵ ሻ‫׷ כ‬ൌ

Զ ݊ ݊ ͳ ͳ തതതത ܺ௡ െ ܺሺଵሻ ՜ ߠଵ ൅ െ ߠଵ ൌ ‫ז ׷‬ ݊െͳ ݊െͳ ߠଶ ߠଶ

Խնդիր ૠ૞‫ כ‬Ǥ ܺ௜ պատահական մեծություններն անկախ են և ունեն հավասարաչափ դիսկրետ բաշխում՝ Զሺܺ௜ ൌ ݇ሻ ൌ ܰ ିଵ ,

݅ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊, ݇ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܰ,

որտեղից՝ ॲ௑ሺ೙ሻ ሺ݉ሻ ൌ Զ൫ܺሺ௡ሻ ൏ ݉൯ ൌ ቀ

௠ିଵ ௡ ே

ቁ , Զ൫ܺሺ௡ሻ ൌ ݉൯ ൌ ॲ௑ሺ೙ሻ ሺ݉ ൅ ͳሻ െ ॲ௑ሺ೙ሻ ሺ݉ሻ ൌ ܰ ି௡ ሾ݉௡ െሺ݉ െ ͳሻ௡ ሿǡ

݉ ൌ ͳǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ܰ, այնպես, որ ே

ॱܶ൫ܺሺ௡ሻ ൯ ൌ ෍ ௠ୀଵ ே

ൌ ܰ ି௡ ෍ ௠ୀଵ

ͳ െ ሺͳ െ ݉ିଵ ሻ௡ାଵ ݉ ܰ ି௡ ሾ݉௡ െ ሺ݉ െ ͳሻ௡ ሿ ൌ ͳ െ ሺͳ െ ݉ିଵ ሻ௡ ே

ͳ െ ሺͳ െ ݉ିଵ ሻ௡ାଵ ௡ାଵ ݉ ሾͳ െ ሺͳ െ ݉ିଵ ሻ௡ ሿ ൌ ܰ ି௡ ෍ ሾ݉௡ାଵ െ ሺ݉ െ ͳሻ௡ାଵ ሿ ൌ ܰ ି௡ ܰ ௡ାଵ ൌ ܰ ‫ז ׷‬ ͳ െ ሺͳ െ ݉ିଵ ሻ௡ ௠ୀଵ

Խնդիր ૠ૟‫ כ‬Ǥ Հեշտ է տեսնել, որ ܺሺ௡ሻ կարգային վիճականին ունի հետևյալ բաշխումը՝ Զ൫ܺሺ௡ሻ ൌ ݉൯ ൌ Զ൫ܺሺ௡ሻ ൌ ݉ǡ݉ ൒ ݊൯ ൌ Զሺܺ௜ ൌ ݇ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ െ ͳǡ݇ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݉ െ ͳሻ ൌ

௡ିଵ ‫ܥ‬௠ିଵ ǡ ‫ܥ‬ே௡

որտեղ݉ ൌ ݊ǡ ݊ ൅ ͳǡ ǥ ǡ ܰǡ այնպես, որ ே

ॱܺሺ௡ሻ ൌ

݊ ܰ൅ͳ ݊ ௡ାଵ ௡  ෍ ‫ܥ‬௠ ൌ ௡ ‫ܥ‬ேାଵ ൌ ݊ ‫ܥ‬ே௡ ݊൅ͳ ‫ܥ‬ே

Այստեղից՝ ͳ ݊൅ͳ ܰ൅ͳ െ ͳ ൌ ܰ ‫ז ׷‬ ॱܵ൫ܺሺ௡ሻ ൯ ൌ ൬ͳ ൅ ൰ ॱܺሺ௡ሻ െ ͳ ൌ ݊ ݊ ݊൅ͳ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

§ 6. Ճշմարտանմանության մաքսիմումի մեթոդ Խնդիր ૚૚૙‫ כ‬Ǥ ே

Դիտարկենքܺሺ߱ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ݅૤஺೔ ሺ߱ሻ պատահականմեծությունըǡ որտեղ‫ܣ‬ଵ ǡ ǥ ǡ ‫ܣ‬ே Ǧըլրիվխումբկազմող ௜ୀଵ

պատահույթներ են: ܺ պատահական մեծության բաշխման օրենքն է՝ ே

૤ሼೕሽ ሺ௜ሻ

ൌ ෑ ߠ௝

௝ୀଵ

૤ሼಿሽ ሺ௜ሻ

ேିଵ

ேିଵ ૤ሼೕሽ ሺ௜ሻ

‫݌‬ఏ ሺ݅ሻ ‫׷‬ൌ Զఏ ሺܺ ൌ ݅ሻ ‫׷‬ൌ ߠ௜ ൌ ෑ ߠ௝

൭ͳ െ ෍ ߠ௞ ൱

ǡ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ܰǡ

௞ୀଵ

௝ୀଵ

ே

ߠ ൌ ሺߠଵ ǡ ǥ ǡ ߠே ሻǡͲ ൏ ߠ௜ ൏ ͳǡ ෍ ߠ௜ ൌ ͳ ‫׷‬ ௜ୀଵ

ܺ ௡ = ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ նմուշին համապատասխանող ճշմարտանմանության ֆունկցիան է՝ ௡

‫݌‬ఏ

ሺܺ ௡ ሻ

ൌ

௡ ૤ሼೕሽ ሺ௑೔ ሻ ෑ ൭ͳ ෑ ෑ ߠ௝ ௜ୀଵ ௝ୀଵ ௜ୀଵ ேିଵ

૤ሼಿሽ ሺ௑೔ ሻ

ேିଵ

െ ෍ ߠ௞ ൱

ேିଵ

ேିଵ

ൌ ෑ ߠ௝

ఔೕ‫כ‬

൭ͳ െ ෍ ߠ௞ ൱

௝ୀଵ

௞ୀଵ

‫כ‬ ఔಿ

ǡ

௞ୀଵ

௡

որտեղߥ௝‫׷ כ‬ൌ ෍ ૤ሼ௝ሽ ሺܺ௜ ሻ ‫׷‬ ௜ୀଵ

Լոգարիթմական ճշմարտանմանության ֆունկցիան՝ կլինի ேିଵ

ேିଵ

‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ Ž ‫݌‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෍ ߥ௝‫ߠ Ž כ‬௝ ൅ ߥே‫ Ž כ‬൭ͳ െ ෍ ߠ௞ ൱ ‫׷‬ ௝ୀଵ

௞ୀଵ

Այստեղից՝ կստանանք ճշմարտանմանության հավասարումների համակարգը ߲‫ܮ‬ఏ ሺܺ ௡ ሻ ߥ௝‫ߥ כ‬ே‫כ‬ ൌ െ ൌ Ͳǡ ߲ߠյ ߠ௝ ߠே

݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ܰ െ ͳǡ

որտեղից` ունենք ߥ௝‫ߠ כ‬ே ൌ ߥே‫ߠ כ‬௝ ǡ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ܰ െ ͳ ‫׷‬ Այնուհետև՝ կստանանք ேିଵ

ேିଵ

ቌ෍ ߥ௝‫ כ‬ቍ ߠே ൌ ቌ෍ ߠ௝ ቍ ߥே‫ כ‬ǡ ௝ୀଵ

௝ୀଵ

որտեղից՝ ሺ݊ െ ߥே‫ כ‬ሻߠே ൌ ሺͳ െ ߠே ሻߥே‫ כ‬ևߠ෠ே ൌ

ߥே‫כ‬ ݊

Մյուս կողմից՝ ունենք ߠ෠௝ ൌ

ߥ௝‫כ‬ ߥ௝‫כ‬ ෠ ǡ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ܰ െ ͳ ‫׷‬ ‫ כ‬ή ߠே ൌ ߥே ݊

Այժմ ստուգենք անշեղությունը՝ ௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ॱߠ෠௝ ൌ ෍ ॱ૤ሼ௝ሽ ሺܺ௜ ሻ ൌ ෍ Զఏ ሺܺ௜ ൌ ݆ሻ ൌ ߠ௝ ‫׷‬ ݊ ݊ Նմանապես՝

ॱߠ෠ே ൌ ߠே :

ߠ෠௝ և ߠ෠ே գնահատականների ունակությունը հետևում է մեծ թվերի օրենքից :

‫ז‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Խնդիր ૚૚૚‫ כ‬Ǥ Նշանակենք ܺ ௠మ = ൫ܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௠మ ൯ - ով փորձին համապատասխանող նմուշը, որտեղ ܺ௜ ൌ ͳ, եթե ݅ - րդ ձուկը «նշված» է և ܺ௜ ൌ Ͳ՝ հակառակ դեպքում: ௠మ

Դիտարկենքߤ ‫׷‬ൌ  ෍ ܺ௜ վիճականինǡորըցույցէտալիսǼնշվածǽձկներիթիվըܺ ௠మ նմուշումǣ ௜ୀଵ

Ճշմարտանմանության ֆունկցիան ܺ ௠మ նմուշի համար՝ կլինի ௠ ି௞

Զே ሺߤ ൌ ݇ሻ ൌ

௞ ‫ ܥ‬మ ‫ܥ‬௠ భ ேି௠భ ௠ ‫ܥ‬ே మ

 ‫׷‬ൌ ݃ሺܰሻǡ݇ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ ݉ଶ Ʈհիպերերկրաչափականբաշխումǣ

ՃՄ գնահատականը ܰ - ի այն արժեքն է, որը մաքսիմալացնում է Զே ሺߤ ൌ ݇ሻ ֆունկցիան: Այդ արժեքը պետք է բավարարի ݃ሺܰሻ ݃ሺܰሻ ൒ ͳև ൒ͳ ݃ሺܰ ൅ ͳሻ ݃ሺܰ െ ͳሻ պայմանները: Այստեղից կստանանք հետևյալ համարժեք պայմաններ՝ ܰ൑ Եթե

݉ଵ ݉ଶ ݉ଵ ݉ଶ ևܰ ൒  െ ͳ ‫׷‬ ݇ ݇

݉ଵ ݉ଶ ݉ଵ ݉ଶ ݉ଵ ݉ଶ ‫ ב‬Գǡ ապաܰ଴ ‫׷‬ൌ ቂ ቃ Ǧնկլինի݃ሺܰሻֆունկցիայիմաքսիմումիկետըǡ իսկեթեܰ଴ ‫׷‬ൌ  ‫א‬ ݇ ݇ ݇

‫ א‬Գǡ ապա݃ሺܰሻֆունկցիանկունենաերկումաքսիմումիկետ՝ܰ଴ െ ͳև ܰ଴ : Այսպիսով՝ որպես ՃՄ գնա௠ ௠ հատական ߠ ൌ ܰ պարամետրի համար կարելի է վերցնել ߠ෠ ‫׷‬ൌ ቂ భ௞ మ ቃ վիճականինሺሾήሿ՝թվիամբողջ

մասնէሻǣ

‫ז‬

Խնդիր ૚૚૛‫ כ‬Ǥ Նշանակենք ܺ ௡ = ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ- ով փորձին համապատասխանող նմուշը, որտեղ ܺ௜ ൌ ͳǡ եթե ݅ - րդ ստուգվող արտադրանքը անորակ է և ܺ௜ ൌ Ͳ՝ հակառակ դեպքում: ௡

Դիտարկենք݀ሺܺሻ ‫׷‬ൌ ෍ ܺ௜ վիճականինǣՃշմարտանմանությանֆունկցիանܺ ௡ նմուշիհամար՝կլինի ௜ୀଵ

‫ܥ‬ఏ௠ ‫ܥ‬ேିఏ ǡ݉ ൌ Ͳǡ ǥ ǡ ݊ ‫׷‬ ‫ܥ‬ே௡ Այնուհետև օգտվել խնդիր ͳͳͳ‫ כ‬- ում բերված մեթոդից:

Զఏ ሺ݀ሺܺሻ ൌ ݉ሻ ൌ

‫ז‬

§ 7. Գնահատականների համեմատություն: Օպտիմալ գնահատականներ Խնդիր ૚૚૞‫ כ‬Ǥ ա) Ունենք ॱఏ ሺܶఒ െ ߠଶଶ ሻଶ ൌ ॽܽ‫ݎ‬ఏ ሺܶఒ ሻ ൅ ܾ ଶ ሺߠଶ ሻǡ որտեղ ܾሺߠଶ ሻ ൌ ॱఏ ܶఒ െ ߠଶଶ ൌ ሺߣ െ ͳሻߠଶଶ ǡ իսկ համաձայն խնդիր ͳͳͶ‫ כ‬- ի՝ ॽܽ‫ݎ‬ఏ ሺܶఒ ሻ ൌ ߣଶ ॽܽ‫ݎ‬ఏ ሺܵ଴ଶ ሻ ൌ

ʹߣଶ ସ ߠ ‫׷‬ ݊െͳ ଶ

բ ) ॱఏ ሺܶఒ െ ߠଶଶ ሻଶ ൏ ॱఏ ሺܵ଴ଶ െ ߠଶଶ ሻଶ անհավասարությունը ճիշտ է, եթե ( խնդիր ͳͳͶ‫) כ‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

൤ሺߣ െ ͳሻଶ  ൅ 

ʹ ʹ

ߣଶ ൨ ߠଶସ ൏

ߠ ସ ǡ ݊ െ ͳ ݊െͳ ଶ

որտեղից

ሺߣ െ ͳሻଶ ൏

ʹ ሺͳ െ ߣଶ ሻ ‫׷‬ ݊െͳ

Այստեղից՝ կստանանք ሺߣ െ ͳሻ ൬ߣ െ ևǡքանիոր

൰൏Ͳ ݊൅ͳ

൏ ͳǡապա ൏ߣ൏ͳ‫׷‬ ݊൅ͳ ݊൅ͳ

գ ) ܶఒబ գնահատականի օպտիմալության պայմանը ࣮ሺܵ଴ଶ ሻ դասում նշանակում է, որ ଶ

ॱఏ ൫ܶఒబ െ ߠଶଶ ൯ ൏ ॱఏ ሺܶఒ െ ߠଶଶ ሻଶ

բոլոր ܶఒ ‫࣮ א‬ሺܵ଴ଶ ሻ - ից և բոլոր ߠ ‫ א‬ȣ - ից: ଶ

Գտնենք ॱఏ ൫ܶఒబ െ ߠଶଶ ൯ ൌ  ॽܽ‫ݎ‬ఏ ൫ܶఒబ ൯ ൅ ܾ଴ଶ ሺߠଶ ሻǡ որտեղ

ܾ଴ ሺߠଶ ሻ ൌ ॱఏ ܶఒబ െ ߠଶଶ ൌ

ଶ

այնպեսǡ որॱఏ ൫ܶఒబ െ ߠଶଶ ൯ ൌ ൬

݊െͳ ଶ ʹ ߠ െ ߠଶଶ ൌ െ ߠ ଶ ǡ ݊൅ͳ ଶ ݊൅ͳ ଶ

݊ െ ͳ ଶ ʹߠଶସ

Ͷߠଶସ ʹߠଶସ ൰  ൅ ൌ ଶ ݊ ൅ ͳ ݊ െ ͳ ሺ݊ ൅ ͳሻ ݊൅ͳ

Այսպիսով՝ օպտիմալության պայմանը բերվում է հետևյալ անհավասարությանը՝ ʹ ʹ

൑ ሺߣ െ ͳሻଶ ൅

ߣଶ ǡ ݊൅ͳ ݊െͳ ݊൅ͳ ଶ ݊െͳ ߣ െ ʹߣ ൅   ൒ Ͳանհավասարությանըǡ իսկայնճիշտէցանկացածߣ ‫ א‬ԹǦ ݊െͳ ݊൅ͳ - ից, քանի որ այդ քառակուսային եռանդամի տարբերիչը՝ ‫ ܦ‬ൌ Ͳ : ‫ז‬

որըհամարժեքէ

§ 12. Նորմալ բաշխման պարամետրերի ճշգրիտ վստահության միջակայքերը Խնդիր ૚ૡ૛‫ כ‬Ǥ Պարզ է, որ ௡

ॳఏ ሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ

ܺ௜ െ ݉ ଶ ݊ܵଵଶ ൌ ෍൬ ൰ ̱ԯ૛ ሺ݊ሻ ଶ ߠ ߠ ௜ୀଵ

կենտրոնական վիճականի է, որտեղից տվյալ ߛ ൌ ͳ െ ߙ (0൏ ߙ ൏ ͳ) նշանակալիության մակարդակի համար ճիշտ է հետևյալ պայմանը՝ ௬మ

ߛ ൌ Զఏ ቆ‫ݕ‬ଵ ൏

݊ܵଵଶ ൏ ‫ݕ‬ଶ ቇ ‫׷‬ൌ ԯ௡ ൫ሺ‫ݕ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଶ ሻ൯ ൌ න ݄௡ ሺ‫ݕ‬ሻ݀‫ݕ‬ ߠଶ ௬భ

(݄௡ ሺ‫ݕ‬ሻ - ը՝ ߯௡ଶ - պատահական մեծության խտության ֆունկցիան է), այնպես, որ Զఏ ቆ

݊ܵଵଶ ݊ܵଵଶ ൏ ߠଶ ൏ ቇ ൌ ߛ ൌ ͳ െ ߙǣ ‫ݕ‬ଶ ‫ݕ‬ଵ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

183

Այդ միջակայքերից նվազագույն երկարություն ունեցող միջակայքը գտնելու համար կիրառենք Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչների մեթոդը մինիմալացնելով ‫ݕ‬ଶ Τ‫ݕ‬ଵ հարաբերությունը ௬మ

න ݄௡ ሺ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ԯ௡ ሺ‫ݕ‬ଶ ሻ െ ԯ௡ ሺ‫ݕ‬ଵ ሻ ൌ ߛ ௬భ

պայմանի դեպքում: Լագրանժի ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝ ‫ܪ‬ሺ‫ݕ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଶ Ǣ ߣሻ ‫׷‬ൌ

‫ݕ‬ଶ  ൅ ߣሺԯ௡ ሺ‫ݕ‬ଶ ሻ െ ԯ௡ ሺ‫ݕ‬ଵ ሻ െ ͳ ൅ ߙሻ ‫׷‬ ‫ݕ‬ଵ

Այստեղից էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանը՝ կլինի ‫ݕ‬ଶ ߲‫ܪ‬ ‫ ۓ‬െ ‫ ݕ‬ଶ  െ ߣ݄௡ ሺ‫ݕ‬ଵ ሻ ൌ Ͳǡ ൌ Ͳǡ ଵ ۖ ߲‫ݕ‬௜ ͳ  ֞   ൅ ߣ݄௡ ሺ‫ݕ‬ଶ ሻ ൌ Ͳǡ ‫ܪ߲ ۔‬ ‫ݕ‬ଵ ۖ ‫ ߣ߲ ە‬ൌ Ͳ ‫ە‬ԯ ሺ‫ ݕ‬ሻ െ ԯ ሺ‫ ݕ‬ሻ ൌ ͳ െ ߙ ‫ۓ‬

௡

ଶ

௡

ଵ

կամ ‫ۓ‬

‫ݕ‬ଵ ݄௡ ሺ‫ݕ‬ଵ ሻ ൌ ‫ݕ‬ଶ ݄௡ ሺ‫ݕ‬ଶ ሻǡ ௬మ

‫ ۔‬න ݄௡ ሺ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ͳ െ ߙ ǡ ‫ ە‬௬భ ଶ ሺ݊ሻǡ ‫ݕ‬ଶ ൌ ߯ఈଶమ ሺ݊ሻሺߙଵ ൅ ߙଶ ൌ ͳሻ ߯௡ଶ - պատահական մեծության կրիտիորտեղից վերցնելով ‫ݕ‬ଵ ൌ ߯ଵିఈ భ

կական կետերը՝ կստանանք ߯ఈଶ ሺ݊ሻ ͳ ݄௡ ሺ‫ݕ‬ଵ ሻ ଶ ሺ݊ሻቁൠ ǣ ൌ ଶ మ ൌ ‡š’ ൜ ቀ߯ఈଶమ ሺ݊ሻ െ ߯ଵିఈ భ ሺ‫ݕ‬ ሻ ݊ ݄௡ ଶ

߯ଵିఈభ ሺ݊ሻ

ଶ ሺ݊ሻ Այս և ߙଵ ൅ ߙଶ ൌ ͳ պայմաններից միարժեք են որոշվում ߙଵ଴ ու ߙଶ଴ թվերը, հետևաբար՝ և ߯ఈଶమ ሺ݊ሻǡ ߯ଵିఈ భ

կրիտիկական կետերը: Այսպիսով նվազագույն երկարություն ունեցող վստահության միջակայքը՝ ο଴ఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ൭ միջակայքնէǣο௖ఈ ሺܺ ௡ ሻ ൌ ቆ

݊ܵଵଶ ݊ܵଵଶ ǡ ଶ ൱ ଶ ሺ݊ሻ ߯ఈబ

߯ଵିఈబ ሺ݊ሻ

మ భ

݊ܵଵଶ ݊ܵଵଶ ቇ կենտրոնականվստահությանմիջակայքըչիհամընկնում ଶ ሺ݊ሻ ǡ ଶ ߯ఈΤଶ

߯ଵିఈΤଶ ሺ݊ሻ

ο଴ఈ ሺܺ ௡ ሻ միջակայքի հետ:

‫ז‬

§ 14. Երկու պարզ վարկածի ստուգում: Նեյման – Պիրսոնի ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ Խնդիր ૛૛૙‫ כ‬Ǥ Երբ ߠ ൌ ߠ௝ , ݆ ൌ Ͳǡ ͳ՝

̱ܺ ९‡”ሺߠሻ պատահական մեծության բաշխման օրենքը՝ կլինի ଵି௫

‫݌‬௝ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Զ௝ ሺܺ ൌ ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠ௝௫ ൫ͳ െ ߠ௝ ൯

,

‫ ݔ‬ൌ Ͳǡ ͳ ,

այնպես, որ ճշմարտանմանության հարաբերության վիճականու համար՝ կստանանք ೙ തതതത

Ȧ௡ ‫׷‬ൌ Ȧሺܺ ௡ ሻ ൌ

೙ തതതത

ߠଵ ௡ή௑ ͳ െ ߠଵ ௡ି௡ή௑ ߠଵ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ ‫݌‬ଵ ሺܺ ௡ ሻ ൌ൬ ൰ ൰ ൌቈ ቉ ௡ ߠ଴ ͳ െ ߠ଴ ‫݌‬଴ ሺܺ ሻ ߠ଴ ሺͳ െ ߠଵ ሻ

೙ തതതത ௡ή௑

ͳ െ ߠଵ ௡ ൰ ‫׷‬ ͳ െ ߠ଴

Քանի որ ݃ሺߠሻ ൌ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

ఏ ଵିఏ

ֆունկցիան ሺͲǡ ͳሻ միջակայքում աճող է, ուստի՝ ௚ሺఏభ ሻ ௚ሺఏబ ሻ

ൌ

ఏభ ሺଵିఏబ ሻ

ఏబ ሺଵିఏభ ሻ

൏ ͳ, ߠଵ ൏ ߠ଴ ,

௡ ൑ തതത այնպես, որ ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൒ ܿ անհավասարությունը ൫ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ Ȧ൫ܺ ௡ ሺ߱ሻ൯ǡ ܺ ௡ ሺ߱ሻ ൌ ‫ ݔ‬௡ ൯ համարժեք է ݊‫ݔ‬

൑ ܿଵ անհավասարությանը, որտեղ

ܿଵ ൌ

భషഇబ భషഇభ

ഇ ሺభషഇ ሻ

୪୬ భ ሺభషഇబ ሻ ഇబ  భ

୪୬ ௖ା௡ ୪୬

:

Համաձայն Նեյման – Պիրսոնի թեորեմի ߙ նշանակալիության մակարդակի առավել հզոր հայտանիշը որոշվում է ௡ ൑ ܿ ሺߙሻሽ തതത ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ݊‫ݔ‬ ଵ

կրիտիկական տիրույթի միջոցով: ܿଵ ‫׷‬ൌ ܿଵ ሺߙሻ կրիտիկական կետը գտնելու համար նկատենք, որ ԯ଴ վարկածը բավարարվելու դեպքում ௡ ௡ ൌ ෍ ܺ ̱९‹ሺߠ ǡ ݊ሻǣ തതതത ܶ௡ ‫׷‬ൌ ݊ܺ ௜ ଴ ௜ୀଵ

Այսպիսով, ըստ Նեյման – Պիրսոնի հայտանիշի, ܿଵ կրիտիկական կետը գտնվում է այնպես, որ բավարարվի հետևյալ պայմանը՝ Զ଴ ሺȦ௡ ൐ ܿଵ ሻ ൌ Զ଴ ሺܶ௡ ൏ ܿଵ ሻ ൏ ߙ ൑ Զ଴ ሺȦ௡ ൒ ܿଵ ሻ ൌ Զ଴ ሺܶ௡ ൑ ܿଵ ሻ൫९ሺܿଵ Ǣ ݊ǡ ߠ଴ ሻ ൏ ߙ ൑ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠ଴ ሻ൯ կամ ௖భ ିଵ

௖భ

ߙ ᇱᇱ ‫׷‬ൌ ෍ ‫ܥ‬௡௠ ߠ଴௠ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ௡ି௠ ൏ ߙ ൑  ෍ ‫ܥ‬௡௠ ߠ଴௠ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ௡ି௠ ‫׷‬ൌ ߙ ᇱ ‫׷‬

ߙ ᇱ ൌ ߙ դեպքում ߙ չափի ոչ ռանդոմիզացված հայտանիշը տրվում է ௡ ൑ ܿ ሺߙሻሽ തതത ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ݊‫ݔ‬ ଵ

կրիտիկական տիրույթի միջոցով, ընդ որում I սեռի սխալի չափը՝ կլինի հավասար ߙఝ ሺߠ଴ ሻ ‫׷‬ൌ Զ଴ ሺܶ௡  ൑ ܿଵ ሺߙሻ)ൌ ߙ ᇱ ൌ ߙ, իսկ հզորությունը՝ ௖భ ሺఈሻ

ܹఝ ሺߠଵ ሻ ‫׷‬ൌ Զଵ ൫ܶ௡ ൑  ܿଵ ሺߙሻ൯  ൌ ෍ ‫ܥ‬௡௠ ߠଵ௠ ሺͳ െ ߠଵ ሻ௡ି௠ ‫׷‬

Այժմ դիցուք ߙ ᇱ ൐ ߙ : Որպեսզի ստանանք առավել հզոր հայտանիշը, որի չափը լինի ճշգրիտ հավա-

սար ߙ - ին, հայտանիշը պետք է ռանդոմիզացվի : Ի նկատի ունենալով, որ ௖ ሺఈሻ

Զ଴ ሺܶ௡  ൌ ܿଵ ሺߙሻ)ൌ ‫ܥ‬௡భ

௖ ሺఈሻ

ߠ଴ భ

ሺͳ െ ߠ଴ ሻ௡ି௖భሺఈሻ ൌ ߙ ᇱ െ ߙ ᇱᇱ ,

սահմանենք հետևյալ կրիտիկական ֆունկցիան՝ ͳǡեթեܶ௡  ൏ ܿଵ ሺߙሻ ߙ െ ߙ ᇱᇱ ‫׷‬ൌ ߝఈ ൌ ᇱ ǡեթե ܶ௡  ൌ ܿଵ ሺߙሻ ‫׷‬ ߙ െ ߙ ᇱᇱ ‫Ͳ ە‬ǡեթեܶ௡  ൐ ܿଵ ሺߙሻ ‫ۓ‬

߮

‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Այսպիսով՝ ԯ଴ վարկածը կհերքվի, երբ ܶ௡  ൏ ܿଵ ሺߙሻ և չի հերքվի, երբ ܶ௡  ൐ ܿଵ ሺߙሻ: ܶ௡  ൌ ܿଵ ሺߙሻ դեպքում ԯ଴ վարկածը հերքվում է ߝఈ հավանականությամբ և չի հերքվում ͳ െ ߝఈ հավանականությամբ: ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ կրիտիկական ֆունկցիայով հայտանիշի I սեռի սխալի չափը՝ կլինի ߙఝ‫ כ‬ሺߠ଴ ሻ ൌ ॱ଴ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൌ Զ଴ ൫ܶ௡  ൏ ܿଵ ሺߙሻ൯  ൅  ߝఈ Զ଴ ሺܶ௡  ൌ ܿଵ ሺߙሻ)ൌ ߙ ᇱᇱ  ൅

ఈିఈᇲᇲ ఈᇲ ିఈᇲᇲ

ሺߙ ᇱ െ ߙ ᇱᇱ ሻ ൌ ߙǡ

իսկ հզորությունը`

௖భ ሺఈሻିଵ

௡ି௖భ ሺఈሻ

ߠଵ ௖భሺఈሻ ͳ െ ߠଵ

൰ ܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ॱଵ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෍ ‫ܥ‬௡௠ ߠଵ௠ ሺͳ െ ߠଵ ሻ௡ି௠ ൅ ሺߙ െ ߙ ᇱᇱ ሻ ൬ ൰ ߠ଴ ͳ െ ߠ଴

‫ז ׷‬

Խնդիրներ ૛૛૛‫  כ‬և ૛૛૝‫ כ‬Ǥ Տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫ כ‬:

§ 15. Միակողմանի բարդ վարկածների ստուգում Խնդիր ૛૝ૡ‫ כ‬Ǥ ա) Կազմենք ճշմարտանմանության հարաբերության վիճականին ሺߠ ൐ ߠ ᇱ ሻ` ߣሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ

ߠሺͳ െ ߠ ᇱ ሻ

‫݌‬ఏ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌቈ ᇱ ቉ ‫݌‬ఏᇲ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ߠ ሺͳ െ ߠሻ

೙ തതതത ௡௫

ͳ െ ߠ ௡௞

ߠሺͳ െ ߠ ᇱ ሻ

൰ ǡորտեղ ᇱ ൐ ͳǡ ߠ ሺͳ െ ߠሻ ͳ െ ߠᇱ

௡ തതതത այնպես, որ ९‹ሺߠǡ ݇ሻ դասն ունի մոնոտոն ճշմարտանմանության հարաբերություն ܶሺܺ ௡ ሻ ‫׷‬ൌ ݊ܺ

վիճականու նկատմամբ: Հետևաբար՝որոնելի հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշի կրիտիկական ֆունկցիան՝ կլինի (տե՛ս խնդիր ʹʹͲ‫) כ‬ ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൐ ܿଵ ሺߙሻ ߙ െ ߙ ᇱᇱ ߮ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫׷‬ൌ ߝఈ ൌ ᇱ ǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൌ ܿଵ ሺߙሻ ǡ ߙ െ ߙ ᇱᇱ ‫Ͳ ە‬ǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൏ ܿଵ ሺߙሻ ‫ۓ‬

որտեղ ܿଵ ‫׷‬ൌ ܿଵ ሺߙሻǡ ߙ ᇱ և ߙ ᇱᇱ որոշվում են հետևյալ պայմանից՝ ߙ ᇱᇱ ‫׷‬ൌ ͳ െ ९ሺܿଵ ሺߙሻ ൅ ͳǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ൏ ߙ ൑ ͳ െ ९ሺܿଵ ሺߙሻǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ‫׷‬ൌ ߙ ᇱ ‫׷‬ Խնդիր ૛૞૙‫ כ‬Ǥ Տե՛ս խնդիր 248 :

§ 16. Պարզ վարկածի ստուգում ընդդեմ երկկողմանի բարդ երկընտրանքային վարկածը Խնդիր ૛ૠ૛‫כ‬ Բերենք Բեռնուլիի ९‡”ሺߠሻ մոդելը ցուցչային տեսքի՝ ‫݌‬ఏ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫׷‬ൌ Զఏ ሺܺ ൌ ‫ݔ‬ሻ ൌ ߠ ௫ ሺͳ െ ߠሻଵି௫ ൌ ‡š’ ൜‫Ž ݔ‬

ߠ ൅ Žሺͳ െ ߠሻൠǡ ͳെߠ

‫ז‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

որտեղ ‫ܣ‬ሺߠሻ ‫׷‬ൌ Ž

ఏ ଵିఏ

ֆունկցիան մոնոտոն աճող է ሺͲǡͳሻ միջակայքում, այնպես, որ համաձայն թեո-

րեմ 16.1 - ի ԯ଴ : Ʌ ൌ Ʌ଴ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : Ʌ ് Ʌ଴ երկընտրանքային վարկածը ստուգող ߙ չափի ሺͲ ൏ ߙ ൏ ͳሻ ՀԱՀ ( օպտիմալ ) անշեղ հայտանիշն ունի հետևյալ տեսքը՝

߮

‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ

եթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ կամܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଶ ͳǡ ߝ ǡ եթե ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ܿ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ʹ ǡ ‫׷‬ൌ ቐ ௜ եթեܿଵ ൏ ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଶ  Ͳǡ

௡

որտեղܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ‫׷‬ൌ ෍ ‫ݔ‬௜ ‫ܿ  ׷‬௜ ևߝ௜ թվերըբավարարումեն ௜ୀଵ

ܹఝ‫ כ‬ሺߠ଴ ሻ ൌ ߙ և ॱ஘బ ሺ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ െ ߙሻܶሺܺ ௡ ሻ ൌ Ͳ պայմանները: Հեշտ է տեսնել, որ 1 - ին պայմանը բերվում է հետևյալ տեսքի՝ ௖మ ିଵ

ଶ ௖

௖

ͳ െ ܹఝ‫ כ‬ሺߠ଴ ሻ ൌ ͳ െ ॱ஘బ ߮ ‫ כ‬ሺܺ ௡ ሻ ൌ ෍ ‫ܥ‬௡௫ ߠ଴௫ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ௡ି௫ ൅ ෍ሺͳ െ ߝ௜ ሻ‫ܥ‬௡೔ ߠ଴ ೔ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ௡ି௖೔ ൌ ͳ െ ߙ ௫ୀ௖భ ାଵ

௜ୀଵ

կամ ଶ

९ሺܿଶ Ǣ ݊ǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠ଴ ሻ ൅ ෍ሺͳ െ ߝ௜ ሻሾ९ሺܿ௜ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿ௜ Ǣ ݊ǡ ߠ଴ ሻሿ ൌ ͳ െ ߙ ‫׷‬ ௜ୀଵ

Ի նկատի ունենալով, որ ௫ିଵ ௫ିଵ

ߠ଴ ሺͳ െ ߠ଴ ሻሺ௡ିଵሻିሺ௫ିଵሻ ǡ

‫ܥݔ‬௡௫ ߠ଴௫ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ௡ି௫ ൌ ݊ߠ଴ ‫ܥ‬௡ିଵ

2 - րդ պայմանը տալիս է՝ ௖మ ିଵ

ଶ ௖ ିଵ

௖ ିଵ

௫ିଵ ௫ିଵ ሺͳ ೔ ෍ ‫ܥ‬௡ିଵ ߠ଴ ߠ଴ ೔ ሺͳ െ ߠ଴ ሻሺ௡ିଵሻିሺ௖೔ ିଵሻ ൌ ͳ െ ߙ െ ߠ଴ ሻሺ௡ିଵሻିሺ௫ିଵሻ ൅ ෍ሺͳ െ ߝ௜ ሻ‫ܥ‬௡ିଵ ௫ୀ௖భ ାଵ

௜ୀଵ

կամ ଶ

९ሺܿଶ െ ͳǢ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿଵ Ǣ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻ  ൅ ෍ሺͳ െ ߝ௜ ሻሾ९ሺܿ௜ Ǣ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿ௜ െ ͳǢ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻሿ ൌ ͳ െ ߙ ‫׷‬ ௜ୀଵ

Այս երկու պայմաններից օգտվելով բինոմական բաշխման աղյուսակներից (տե՛ս աղյուսակ 8) գտնվում են ܿ௜ ևߝ௜ թվերը:

‫ז‬

§ 18. Ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ Խնդիր ૜૜૞‫ כ‬Ǥ Մոդելին համապատասխանող վարկածների ստուգման խնդրի պարամետրական բազմություններն են՝ ȣ ൌ Թ௞ , ȣ଴ ൌ Թ : ௡

௡

ܺ ௡ ൌ ൫ܺଵ భ ǡ ǥ ǡ ܺ௞ ೖ ൯ նմուշի ճշմարտանմանության ֆունկցիան՝ կլինի ௞

݂ఏ

ሺܺ ௡ ሻ

ൌ

௡ೕ ෑ ݂ఏ ቀܺ௝ ቁ ௝ୀଵ

௞

௡ೕ

௞

௡ೕ

ൌ ෑ ෑ ݂ఏ ൫ܺ௝௠ ൯  ൌ ෑ ෑሺʹߨሻ ௝ୀଵ ௠ୀଵ

ିଵΤଶ

ିଵΤଶ ൫ߪ௝ଶ ൯

௝ୀଵ ௠ୀଵ

௠ୀଵ

௞

ൌ

ሺʹߨሻି௡Τଶ

௡ೕ

ͳ ଶ ‡š’ ቐെ ଶ  ෍ ൫ܺ௝௠ െ ߠ௝ ൯ ቑ ൌ ʹߪ௝ 

ି௡ Τଶ ෑ൫ߪ௝ଶ ൯ ೕ ௝ୀଵ

௞

௡ೕ

௝ୀଵ

௠ୀଵ

ͳ ͳ ଶ ‡š’ ቐെ ෍ ଶ ෍ ൫ܺ௝௠ െ ߠ௝ ൯ ቑ  ‫׷‬ ʹ ߪ௝

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Այստեղից ճշմարտանմանության հարաբերության վիճականու համար՝ կստանանք •—’ ݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ

ͳ ݊௝ ଶ ቋ ‡š’ ቊെ σ ଶ ܵ଴௝ ʹ ߪ௝

ఏ‫஀א‬

ͳ ݊௝ ‡š’ ቊെ σ ଶ ܵ௝ଶ ቋ ʹ ߪ௝

݂ఏ ሺܺ ௡ ሻ Ȧ ‫׷‬ൌ  ൌ బ ௡ ൌ ௡ •—’ ݂ఏ ሺܺ ሻ ݂ఏ෡ ሺܺ ሻ ఏ‫஀א‬బ

ഥ௡

௞

݊௝ ͳ ଶ  ൌ ‡š’ ቐെ ෍ ଶ ൫ܵ଴௝ െ ܵ௝ଶ ൯ቑ ǡ ʹ ߪ௝ ௝ୀଵ

որտեղ ଶ

௡ೕ

௡ೕ

௡ೕ

௠ୀଵ

௠ୀଵ

௠ୀଵ

ͳ ͳ ͳ ଶ ଶ ‫׷‬ൌ   ෍ ൫ܺ௝௠ െ ߠ଴ ൯ ǡ ܵ௝ଶ ‫׷‬ൌ   ෍ ൫ܺ௝௠ െ ܺത௝ ൯ ǡܺത௝ ‫׷‬ൌ   ෍ ܺ௝௠ ǡ ݆ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݇ ‫׷‬ ݊௝ ݊௝ ݊௝

Այնպես, որ ௞

݊ ͳ ଶ ഥ௡ ൌ െ ෍ ௝ ൫ܵ଴௝ Ž Ȧ െ ܵ௝ଶ ൯ ʹ ߪ௝ଶ ௝ୀଵ

և ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշի ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթը՝ կլինի ௞

ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬െʹ Ž ɉത௡ ൒ ߯ఈଶ ሺ݇ െ ͳሻൟ ൌ ቐ‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬෍ ௝ୀଵ

݊௝ ଶ ଶ ൫‫ ݏ‬െ ‫ݏ‬଴௝ ൯ ൒ ߯ఈଶ ሺ݇ െ ͳሻቑ ǡ ߪ௝ଶ ௝

որտեղ ଶ ଶ ഥሺܺ ௡ ǡ ȣ଴ ሻǡ ‫ݏ‬଴௝ ഥሺܺ ௡ ሺ߱ሻǡ ȣ଴ ሻǡ Ȧ ഥ௡ ‫׷‬ൌ Ȧ ሺ߱ሻǡ ‫ݏ‬௝ଶ ‫׷‬ൌ ܵ௝ଶ ሺ߱ሻ ‫ז ׷‬ ‫׷‬ൌ ܵ଴௝ ɉത௡ ‫׷‬ൌ ߣҧሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ȣ଴ ሻ ‫׷‬ൌ Ȧ

§ 19. Պիրսոնի ࣑૛ համաձայնության հայտանիշ Խնդիր ૜૟૚‫ כ‬Ǥ Գտնենք ‫ ݌‬պարամետրի բազմանդամային ճշմարտանմանության մաքսիմումի գնահատականը: Կազմենք ௥

‫ܮ‬ᇱఏ ሺߥሻ ൌ ෍ ߥ௜ ሺŽ ‫݌‬௜ ሺߠሻሻᇱ ൌ Ͳǡ

‫ݎ‬ൌͶ

௜ୀଵ

հավասարումը, որտեղ ߠ ‫݌‬ଵ ሺߠሻ ൌ ǡ ʹ այնպես, որ

‫݌‬ଶ ሺߠሻ ൌ

ߠଶ ൅ ߠሺͳ െ ߠሻǡ ʹ

‫ܮ‬ᇱఏ ሺߥሻ ൌ

‫݌‬ଷ ሺߠሻ ൌ

ͳെߠ ǡ ʹ

‫݌‬ସ ሺߠሻ ൌ

ߥଶ ߥଷ ʹߥସ ߥଵ ߥଶ ൅ െ െ െ ൌ Ͳǡ ߠ ߠ ʹെߠ ͳെߠ ͳെߠ

որտեղից՝

ߥଵ ൅ ߥଶ ߥଷ ൅ ʹߥସ

ߥଶ െ ൌ ߠ ͳെߠ ʹെߠ կամ

ߥଵ ൅ ߥଶ ‫ݍ‬ሺߥଷ ൅ ʹߥସ ൅ ߥଶ ሻ ൅ ߥଷ ൅ ʹߥସ

ൌ ǡ ͳെ‫ݍ‬ ‫ݍ‬ሺͳ ൅ ‫ݍ‬ሻ

‫ ݍ‬ൌͳെߠ ‫׷‬

Այստեղից՝ կստանանք հավասարում

ሺ݊ ൅ ߥଷ ൅ ߥସ ሻ‫ ݍ‬ଶ ൅ ߥଵ ‫ ݍ‬െ ሺߥଷ ൅ ʹߥସ ሻ ൌ Ͳǡ

այսինքն՝ 760‫ ݍ‬ଶ ൅ ʹʹͳ‫ ݍ‬െ ʹͷ ൌ Ͳ,

ሺͳ െ ߠሻଶ

ǡ ʹ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

որի լուծումն է՝ ‫ݍ‬෤ ൎ ͲǤͲͺ͹, ߠ෨ ൌ ͳ െ ‫ݍ‬෤ ൎ ͲǤͻͳ͵ : Այնպես, որ ‫݌‬෤ଵ ൌ ‫݌‬ଵ ൫ߠ෨൯ ൌ ͲǤͶͷ͸ͷǡ ‫݌‬෤ଶ ൌ ͲǤͶͻ͸ʹǡ ‫݌‬෤ଷ ൌ ͲǤͲͶ͵ͷǡ ‫݌‬෤ସ ൌ ͲǤͲͲ͵ͺ : ଶ ෨ Այժմ հաշվենք ߯Ƹ௡ ൫ߠ ൯ վիճականու արժեքը՝ ௥

߯Ƹ௡ଶ ൫ߠ෨൯ ൌ ෍ ௜ୀଵ

ߥ௜ଶ െ ݊ ൎ ͵ǤͲ͹ ‫׷‬

ଶ ሺʹሻ Այստեղից, քանի որ ߯ఈଶ ሺ‫ ݎ‬െ ʹሻ ൌ ߯଴Ǥଵ ൌ ͶǤ͸Ͳͷǡ ապա վարկածը չի հերքվում: Իրական հասանելի

նշանակալիության մակարդակը (Զ - արժեքը) հավասար է՝ Զሺ߯ଶଶ ൒ ͵ǤͲ͹ሻ ൎ ͲǤʹʹ͵ሺտեսաղյուսակ͵ሻ ‫ז ׷‬

§ 20. Կոլմոգորովի համաձայնության հայտանիշ Խնդիր ૜૟૛‫ כ‬. Ենթադրենք ॲ଴ ሺܽሻ ൌ Ͳǡ ॲ଴ ሺܾሻ ൌ ͳ և Ͳ ൏ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൏ ͳ բոլոր ‫ א ݔ‬ሺܽǡ ܾሻ, െλ ൑ ܽ ൏ ܾ ൑ ൅λ, այսինքն՝ ሺܽǡ ܾሻ միջակայքը Զ଴ բաշխման կրիչն է (ܰԶబ ൌ ሺܽǡ ܾሻሻ: Նշանակենք ‫׷ ܤ‬ൌ {‫ א ݔ‬ሺܽǡ ܾሻǣॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൏ ॲ଴ ሺ‫ ݔ‬൅ ߝሻ բոլոր բավականաչափ փոքր ߝ ൐ Ͳ - ների համար} - ով՝ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ֆունկցիայի «աճի» կետերը: Հեշտ է տեսնել, որ կամայական ‫ א ݕ‬ሺͲǡͳሻ - ի համար գոյություն ունի միակ ‫ ܤ א ݔ‬կետ այնպիսին, որ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬ (այսինքն՝ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիան հակադարձելի է ‫ ܤ‬բազմության վրա): Նշանակենք՝ ‫׷ ݔ‬ൌ ॲିଵ ଴ ሺ‫ݕ‬ሻ: Դիտարկենք ܺ ௡ ൌ ሺܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ ሻ̱Զ଴ նմուշի համար ܷ௜ ‫׷‬ൌ ॲ଴ ሺܺ௜ ሻ, ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ պատահական մեծությունները: ܷଵ , …, ܷ௡ պատահական մեծություններն անկախ են, քանի որ ܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ - երն անկախ են: Մյուս կողմից՝ ܷ௜ ̱ ॼሺͲǡͳሻ պատահական մեծությունները հավասարաչափ են բաշխված ሾͲǡͳሿ միջակայքում: Իրոք՝ ିଵ ॲ௎೔ ሺ‫ݕ‬ሻ ൌ Զ଴ ሺܷ௜ ൏ ‫ݕ‬ሻ ൌ Զ଴ ൫ܺ௜ ൏ ॲିଵ ଴ ሺ‫ݕ‬ሻ൯ ൌ ॲ଴ ൫ॲ଴ ሺ‫ݕ‬ሻ൯ ൌ ‫ݕ‬

բոլոր ‫ א ݕ‬ሺͲǡͳሻ - ների համար: Այժմ կատարելով ‫ ݕ‬ൌ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ փոփոխականի փոխարինում՝ կստանանք ௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ෩‫כ‬ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ॲ‫כ‬௡ ൫ॲିଵ ଴ ሺ‫ݕ‬ሻ൯ ൌ ෍ ૤ቀିஶǡॲషభ ሺ௬ሻቁ ሺܺ௜ ሻ ൌ ෍ ૤ሺିஶǡ௬ሻ ሺܷ௜ ሻ ‫׷‬ൌ ॲ௡ ሺ‫ݕ‬ሻǡ బ ݊ ݊ ෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻ - ը ܷ ௡ ൌ ሺܷଵ ǡ ǥ ǡ ܷ௡ ሻ նմուշի բաշխման ֆունկցիան է: որտեղ ॲ Այսպիսով՝ կստանանք ାஶ

ଵ ଶ

ଶ

෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻ െ ‫ݕ‬൯ ݀ ‫ݕ‬ǡ ߱௡ଶ ‫׷‬ൌ න ൫ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬ሻ െ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݀ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ න൫ॲ ିஶ

଴

այնպես, որ ߱௡ଶ վիճականու բաշխումը կախված չէ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ բաշխման ֆունկցիայից, այսինքն այն ոչ

պարամետրական է : Մյուս կողմից՝ ௡

ͳ ෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ૤ሺିஶǡ௬ሻ ሺܷ௜ ሻ ॲ ݊ ௜ୀଵ

෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻ̱९‹ሺ‫ݕ‬ǡ ݊ሻǡ այնպես, որ նմուշային բաշխման ֆունկցիայի համար ունենք՝ ݊ॲ ଵ

ॱ߱௡ଶ

ଵ ଶ

෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻ െ ॱॲ ෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻቁ ݀‫ ݕ‬ൌ ෩‫כ‬௡ ሺ‫ݕ‬ሻቁ ݀ ‫ ݕ‬ൌ න ॽƒ” ቀॲ ൌ න ॱ ቀॲ ଴

଴

ଵ

ͳ ͳ න ‫ݕ‬ሺͳ െ ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݕ‬ൌ ‫ז ׷‬ ͸݊ ݊ ଴

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Խնդիր ૜૟૝‫ כ‬. Նախ գտնում ենք աղյուսակ 12 - ից Կոլմոգորովի ‫ܦ‬௡ վիճականու ݀଴Ǥ଴ହ ሺͶͲሻ ൌ ͲǤʹͳͲͳ կրիտիկական կետը: Այնուհետև ենթադրենք, որ ճիշտ է ԯ଴ : ̱ܺ Գሺͳǡ ͳΤ͸ሻ վարկածը: ԯ଴  վարկածը կհերքվի, եթե գոնե մեկ ݇ - ի համար ሺ݇ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ͶͲሻ խախտվի ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ାଵሻ ൯  െ  ݀ఈ ሺ݊ሻ ൑ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯  ൑  ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯  ൅  ݀ఈ ሺ݊ሻሺ‫כ‬ሻ անհավասարությունը, որտեղ ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ାଵሻ ൯ ൌ ݇Τ݊ǡ

ॲ௡ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൌ ሺ݇ െ ͳሻΤ݊ : ॲ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ նմուշային բաշխ-

ման ֆունկցիան է, իսկ ॲ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ = ȰଵǡଵΤ଺ ሺ‫ݔ‬ሻ - ը՝ Գሺͳǡ ͳΤ͸ሻ նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան: Ստուգենք ሺ‫כ‬ሻ անհավասարությունը ݇ ൌ ͳ դեպքի համար՝ ունենք ‫ݔ‬ሺଵሻ ൌ ͲǤͲͶ͹ͷ և ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺଵሻ ൯ ൌ Ȱ ൬

‫ݔ‬ሺͳሻ െͳ ͳΤඥ͸

൰ ൌ ȰሺെʹǤ͵͵͵ሻ ൎ 0.098,

այնպես, որ ሺ‫כ‬ሻ անհավասարությունը կընդունի հետևյալ տեսքը՝ െͲǤͳͺͷͳ ൑ ͲǤͲͻͺ ൑ ͲǤʹͳͲͳǡ հետևաբար ԯ଴ վարկածը ‫ݔ‬ሺଵሻ դիտումով չհերքվեց : Այնուհետև վարկածը չի հերքվի հաջորդ դիտումներով մինչ այն ݇ - րդ արժեքը, որի դեպքում ሺ‫כ‬ሻ պայմանը խախտվի, այսինքն այդ արժեքի համար պետք է տեղի ունենա հետևյալ անհավասարություններից գոնե մեկը՝ ݇ ݇െͳ ͳ െ ͲǤʹͳͲͳ ൐ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൐ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺଵሻ ൯ ൌ ͲǤͲͻͺկամॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൐ ൅ ݀ఈ ሺ݊ሻ ൐ ൅ ͲǤʹͳͲͳ ‫׷‬ ͶͲ ͶͲ ͶͲ Առաջին պայմանից կստանանք՝ ݇ ൐ ͺǤ͹ͻ͸ ሺ݇ ൒ ͻሻ, երկրորդ պայմանից՝ ‫ݔ‬ሺ௞ሻ  െ ͳ ቇ ൐ ͲǤʹ͵ͷͳǡ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൐ ͲǤʹ͵ͷͳկամȰ ቆ ͳΤξ͸ որտեղից՝ ‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൐

ଵ ξ଺

‫ݖ‬଴Ǥଶଷହଵ ൅ ͳ, ‫ݖ‬଴Ǥଶଷହଵ - ը՝ ստանդարտ նորմալ բաշխման ͲǤʹ͵ͷͳ կարգի կրիտիկական

կետը գտնվում է աղյուսակ 1 - ից: Այսպիսով՝ ունենք ‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൐ ͲǤ͹Ͳ͸ͳ և տրված վարիացիոն շարքից գտնում ենք, որ ݇ ൒ ͳͶ : Հետևաբար ստացանք՝ ݇ ൒ ͻ կամ ݇ ൒ ͳͶ: Վերցնում ենք փոքրագույնը՝ ݇ ൌ ͻǣ Ստուգենք ሺ‫כ‬ሻ անհավասարությունը ݇ ൌ ͻ դեպքի համար: Ունենք՝

‫ݔ‬ሺଽሻ ൌ ͲǤͷͻͶͷ և ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺଽሻ ൯ ൌ Ȱ ൬

ͲǤͷͻͶͷെͳ ൰ ൌ ȰሺെͲǤͻͻ͵ሻ ൎ 0.1603, ͳΤඥ͸

այնպես, որ ሺ‫כ‬ሻ անհավասարությունը կընդունի հետևյալ տեսքը՝ ͲǤͲͳͶͻ ൑ ͲǤͳ͸Ͳ͵ ൑ ͲǤͶͳͲͳǡ այսպիսով ‫ݔ‬ሺଽሻ արժեքը նույնպես չի հերքում ԯ଴ վարկածը: Այնուհետև, որպեսզի վարկածը հերքվի, պետք է բավարարվի հետևյալ պայմաններից գոնե մեկը՝ ‫ݔ‬ሺ௞ሻ  െ ͳ ͻ ݇ െ ͲǤʹͳͲͳ ൐ ॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺଽሻ ൯ ൌ ͲǤͳ͸Ͳ͵կամॲ଴ ൫‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൯ ൌ Ȱ ቆ ቇ൐ ൅ ͲǤʹͳͲͳ ൌ ͲǤͶ͵ͷͳǡ ͶͲ ͶͲ ͳΤξ͸ որտեղից՝ ‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൐

ଵ ξ଺

‫ݖ‬଴Ǥସଷହଵ ൅ ͳ և ‫ݔ‬ሺ௞ሻ ൐ ͲǤͻ͵͵ͳǡայսինքն ݇ ൒ ͳ͹, իսկ 1 - ին պայմանից՝ կստանանք

݇ ൐ ͳͶǤͺͳ͸ ሺ݇ ൒ ͳͷሻ: ݇ ൒ ͳͷ և ݇ ൒ ͳ͹ պայմաններից վերցնենք ݇ ൌ ͳͷ: Շարունակելով նույն ձևով կստանանք, որ վարկածը կարող էր հերքվել միայն վարիացիոն շարքի ݇ ൌ ͳǡ ͻǡ ͳͷǡ ʹͳǡ ʹ͹և͵Ͷ անդամների համար: Սակայն պարզվում է, որ յուրաքանչյուր դեպքում այն

չի հերքվում, այսինքն Կոլմոգորովի հայտանիշով ԯ଴ վարկածը չի հերքվում :

‫ז‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Խնդիր ૜ૠ૛‫ כ‬.

Տե՛ս խնդիր ͵͸Ͷ‫ כ‬:

§ 21. Համասեռության հայտանիշներ Խնդիր ૜ૠ૝‫ כ‬. Նախ գտնենք ॱܷ միջինը՝ ௡

௠

ॱܷ ൌ ෍ ෍ ॱԺ࢙࢘ ൌ ݊݉ॱԺଵଵ ൌ ݊݉Զሺܺଵ ൏ ܻଵ ሻ ൌ ݊݉ܽǡ ௥ୀଵ ௦ୀଵ

որտեղ 

ܽ ൌ Զሺܺଵ ൏ ܻଵ ሻ ൌ

ஶ

ஶ

݀ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ න ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ሻ න ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ න ॲଵ ሺ‫ݕ‬ሻ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ሻ ‫׷‬

ඵ ௫ழ௬ ିஶழ௬ழஶ

ିஶ

ିஶ

ିஶ

Այժմ գտնենք ॱܷ ૛ երկրորդ մոմենտը՝ ଶ

ॱܷ ૛ ൌ ॱ ൭෍ Ժ௥௦ ൱ ൌ ෍ ॱԺଶ௥௦ ൅ ෍ ॱԺ௥௧ Ժ௦௧ ൅ ෍ ॱԺ௥௦ Ժ௥௧ ൅ ෍ ॱԺ௥௦ Ժ௧௨ ‫׷‬ൌ ܵଵ ൅ ܵଶ ൅ ܵଷ ൅ ܵସ ǡ ௥ǡ௦

௥ǡ௦ǡ௧ ௥ஷ௦

௥ǡ௦

௥ǡ௦ǡ௧ ௦ஷ௧

௥ǡ௦ǡ௧ǡ௨ ௥ஷ௧ǡ௦ஷ௨

ଶ ൌ ݊݉ॱԺଵଵ ൌ ݊݉ܽǡ ܵଵ ൌ ݊݉ॱԺଵଵ

ܵଶ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ݉ॱԺ௥௧ Ժ௦௧ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ݉Զሺܺ௥ ൏ ܻ௧ ǡ ܺ௦ ൏ ܻ௧ ሻǡ 

ܾ ‫׷‬ൌ Զሺܺ௥ ൏ ܻ௧ ǡ ܺ௦ ൏ ܻ௧ ሻ ൌ ම ݀ॲሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ௫భ ழ௬ ௫మ ழ௬ ௬‫א‬Թ ஶ



ஶ

ஶ

ൌ න ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ሻ න ݀ॲሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ න ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ሻ න ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ න ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ න ॲଵଶ ሺ‫ݕ‬ሻ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ሻǡ

௫భ ழ௬ ௫మ ழ௬

ିஶ

ିஶ

ିஶ

ିஶ

ିஶ

ܵଷ ൌ ݊݉ሺ݉ െ ͳሻॱԺ௥௦ Ժ௥௧ ൌ ݊݉ሺ݉ െ ͳሻԶሺܺ௥ ൏ ܻ௦ ǡ ܺ௥ ൏ ܻ௧ ሻǡ որտեղ 

ஶ



ܿ ‫׷‬ൌ Զሺܺ௥ ൏ ܻ௦ ǡ ܺ௥ ൏ ܻ௧ ሻ ൌ ම ݀ॲሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଶ ሻ ൌ න ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ න ݀ॲሺ‫ݕ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଶ ሻ ൌ ௫ழ௬భ ௫ழ௬మ ௫‫א‬Թ ஶ

ஶ ஶ

௫ழ௬భ ௫ழ௬మ

ିஶ

ஶ

ஶ

ஶ

ஶ ଶ

ൌ න ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ න න ݀ॲሺ‫ݕ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଶ ሻ ൌ න ݀ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ න ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ଵ ሻ න ݀ॲଶ ሺ‫ݕ‬ଶ ሻ ൌ න ൫ͳ െ ॲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݀ ॲଵ ሺ‫ݔ‬ሻǡ ିஶ

௫ ௫

ିஶ

ିஶ

ܵସ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ݉ሺ݉ െ ͳሻॱԺ௥௦ Ժ௧௨ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ݉ሺ݉ െ ͳሻԶሺܺ௥ ൏ ܻ௦ ሻԶሺܺ௧ ൏ ܻ௨ ሻ ൌ ݊ሺ݊ െ ͳሻ݉ሺ݉ െ ͳሻܽଶ ‫׷‬ Այսպիսով՝ ॱܷ ૛ ൌ ݊݉ܽ ൅ ݊ሺ݊ െ ͳሻܾ݉ ൅ ݊݉ሺ݉ െ ͳሻܿ ൅ ݊ሺ݊ െ ͳሻ݉ሺ݉ െ ͳሻܽଶ ǡ ॽƒ”ሺܷሻ ൌ ॱܷ ૛ െ ሺॱܷሻ૛ ൌ ݊݉ሾܽ ൅ ሺ݊ െ ͳሻܾ ൅ ሺ݉ െ ͳሻܿ ൅ ሺ݊ ൅ ݉ െ ͳሻܽଶ ሿ ‫ז ׷‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Խնդիր ૜ૡ૜‫ כ‬. Կազմենք նմուշների վարիացիոն շարքերը՝ ‫ ݔ‬ሺ௡భሻ ‫ ݕ‬ሺ௡మሻ

69 73 76 84 84 87 88 90 92 93 97,

65 69 72 84 85 87 88 89 90 91 91 97 99 :

Միացյալ վարիացիոն շարքը՝ կլինի ൫‫ ݔ‬ሺ௡భሻ ǡ ‫ ݕ‬ሺ௡మሻ ൯

65 69 69 72 73 76 84 84 85 87 87 88 88 89 90 90 91 91 92 93 97 97 99 :

Գտնենք ܷ վիճականու արժեքը՝ ܷ ൌ ݊ଵ ݊ଶ ൅ ௡భ

݊ଵ ሺ݊ଵ ൅ ͳሻ െ ܶǡ ʹ

݊ଵ ൌ ͳͳǡ

݊ଶ ൌ ͳ͵ǡ

որտեղܶ ‫׷‬ൌ ෍ ܴ௜ ǡ ܴ௜ Ǧերը՝‫ݔ‬௜ անդամներիռանգերնեն൫‫ ݔ‬ሺ௡భሻ ǡ ‫ ݕ‬ሺ௡మሻ ൯շարքումǣ ௜ୀଵ

ܶሺ߱ሻ ൌ ‫ ݐ‬ൌ ʹʹǤͷ ൅ ʹǤͷ ൅ ͷ ൅ ͺ ൅ ͸ ൅ ʹͲ ൅ ͳ͸Ǥͷ ൅ ͳ͵Ǥͷ ൅ ͺ ൅ ͳͳǤͷ ൅ ʹͳ ൌ ͳ͵ͶǤͷ ‫׷‬ Այստեղից՝ܷሺ߱ሻ ‫׷‬ൌ ‫ ݑ‬ൌ ݊ଵ ݊ଶ ൅

݊ଵ ሺ݊ଵ ൅ ͳሻ െ ‫ ݐ‬ൌ ͳͶ͵ ൅ ͸͸ െ ͳ͵ͶǤͷ ൌ ͹ͶǤͷ ‫׷‬ ʹ

ԯଵ : ܽ ് ͳΤʹ երկընտրանքային վարկածի դեպքում ൫ܽ ൌ Զሺܺ ൏ ܻሻ൯ ߙ մակարդակի ասիմպտոտիկ կրիտիկական տիրույթն է՝

ࣲଵఈ ൌ ቐ൫‫ ݔ‬ሺ௡భሻ ǡ ‫ ݕ‬ሺ௡మሻ ൯ ‫  ׷‬ቚ‫ ݑ‬െ

݊ଵ ݊ଶ ሺ݊ଵ ൅ ݊ଶ ൅ ͳሻ ݊ଵ ݊ଶ ቚ൒ඨ ‫ݖ‬ఈ Τଶ ቑ ǡ ʹ ͳʹ

որտեղ՝ ቚ‫ ݑ‬െ

݊ଵ ݊ଶ ቚ ൌ ͵ǡ ʹ

݊ ݊ ሺ݊ ൅ ݊ଶ ൅ ͳሻ ඨ ଵ ଶ ଵ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൌ ͳͳǤͻͷͺ ή ͳǤͻ͸ ൌ ʹ͵ǤͶ͵ͺ ൐ ͵ ‫׷‬ ͳʹ

Այսպիսով եզրակացնում ենք, որ համասեռության վարկածը չի հերքվում, ընդ որում՝

‫׷ ݏ‬ൌ ඨ

ͳʹ ݊ଵ ݊ଶ ቚ‫ ݑ‬െ ቚ ൎ ͲǤʹͷǡ ݊ଵ ݊ଶ ሺ݊ଵ ൅ ݊ଶ ൅ ͳሻ ʹ

Այստեղից իրական հասանելի նշանակալիության մակարդակը ሺԶǦարժեքըሻ կլինի՝ ԶሺɌ଴ ൒ ͲǤʹͷሻ ൎ ͲǤͺǡ որտեղ Ɍ଴ - ն՝ ստանդարտ նորմալ պատահական մեծություն է:

‫ז‬

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

§ 23. Պատահականության հայտանիշ Խնդիր ૜ૢ૟‫ כ‬. ԯ଴ : ॲ௑ ೙ ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ॲሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൈǤ Ǥ Ǥൈ ॲሺ‫ݔ‬௡ ሻǡ

‫ ݔ‬௡ ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ ‫ ࣲ א‬௡

պատահականության վարկածի դեպքում ܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ պատահական մեծությունների անկախությունից և միատեսակ բաշխվածությունից հետևում է, որ վարիացիոն շարքի ܺሺ௜ሻ վիճականիների բոլոր ݊Ǩ դիրքերը հավասարահնարավոր են և ի հայտ են գալիս ͳΤ݊Ǩ հավանականություններով: ܺ௜ անդամների ߟ௜ ինվերսիաների թվերը անկախ են ߟ௜ାଵ ǡ ǥ ǡ ߟ௡ିଵ պատահական մեծություններից բոլոր ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡ ݊ െ ʹ - ի համար, այնպես, որ ߟଵ ǡ ǥ ǡ ߟ௡ିଵ պատահական մեծություններն անկախ են: Այնուհետև՝ ունենք Զሺߟ௜ ൌ ݇ሻ ൌ

ͳ ǡ݇ ൌ Ͳǡ ͳǡ ǥ ǡ ݊ െ ݅ ‫׷‬ ݊െ݅൅ͳ

Այստեղից ߟ௜ պատահական մեծությունների ծնորդ ֆունկցիաները՝ կլինեն

߮௜ ሺ‫ݖ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ‫ ݖ‬௞ Զሺߟ௜ ൌ ݇ሻ ൌ

ͳ  ෍ ‫ ݖ‬௞ ǡ ݊െ݅൅ͳ

௡ିଵ

իսկܳ௡ ‫׷‬ൌ ෍ ߟ௜ պատահականմեծությանծնորդֆունկցիան՝ ௜ୀଵ ௡ିଵ

߮ொ೙ ሺ‫ݖ‬ሻ ‫׷‬ൌ ෍ ‫ ݖ‬௞ Զሺܳ௡ ൌ ݇ሻ ൌ ෑ ߮௜ ሺ‫ݖ‬ሻ ൌ ௞

௜ୀଵ

௡ିଵ ௞

ͳ ෑ ෍ ‫ ݖ‬௝  ‫׷‬ ݊Ǩ ௞ୀଵ ௝ୀଵ

Այստեղից՝ կստանանք ॱߟ௜ ൌ ߮௜ᇱ ሺͳሻ ൌ

ͳ൅݊െ݅ ͳ  ሺ݊ െ ݅ሻ ൌ ǡ ʹ ʹ ݊െ݅൅ͳ

ॽƒ”ሺߟ௜ ሻ ൌ ߮௜ᇱᇱ ሺͳሻ ൅ ߮௜ᇱ ሺͳሻ െ ሾ߮௜ᇱ ሺͳሻሿଶ ǡ

߮௜ᇱᇱ ሺͳሻ ൌ

ͳ ൣʹଶ ൅ ͵ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ݊ െ ݅ሻଶ െ ൫ʹ ൅ ͵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ݊ െ ݅ሻ൯൧ ൌ ݊െ݅൅ͳ ൌ

ሺ݊ െ ݅ሻሺ݊ െ ݅ ൅ ͳሻሺʹሺ݊ െ ݅ሻ ൅ ͳሻ ͳ ൅ ݊ െ ݅ ሺ݊ െ ݅ െ ͳሻሺ݊ െ ݅ሻ ͳ ቈ െ ሺ݊ െ ݅ሻ቉ ൌ ǡ ͸ ʹ ͵ ݊െ݅൅ͳ

որտեղից՝  ॽƒ”ሺߟ௜ ሻ ൌ

ሺ݊ െ ݅ െ ͳሻሺ݊ െ ݅ሻ ݊ െ ݅ ሺ݊ െ ݅ሻଶ ሺ݊ െ ݅ሻሺ݊ െ ݅ ൅ ʹሻ ൅ െ ൌ ͵ ͳʹ Ͷ ʹ 

Այնուհետև՝ ունենք ௡ିଵ

௡ିଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ݊ሺ݊ െ ͳሻ ॱܳ௡ ൌ ෍ ॱߟ௜ ൌ  ෍ሺ݊ െ ݅ሻ ൌ ǡ ʹ Ͷ ௡ିଵ

ॽƒ”ሺܳ௡ ሻ ൌ ෍ ॽƒ”ሺߟ௜ ሻ ൌ ௜ୀଵ

௡ିଵ

௡ିଵ

௡ିଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ͳ  ෍ሺ݊ െ ݅ሻሺ݊ െ ݅ ൅ ʹሻ ൌ  ෍ሺ݊ െ ݅ሻଶ ൅  ෍ሺ݊ െ ݅ሻ ൌ ͳʹ ͸ ͳʹ ൌ

ͳ ݊ሺ݊ െ ͳሻ ݊ሺ݊ െ ͳሻሺʹ݊ ൅ ͷሻ ሺ݊ െ ͳሻ݊ሺʹ݊ െ ͳሻ ൅ ൌ  ‫ז ׷‬ ͹ʹ ͳʹ ͹ʹ

(*) - ՈՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

§ 25. Փոքրագույն քառակուսիների գնահատականներ Խնդիր ૝૚૞‫ כ‬. ա) Գտնենք ॱܾ෨` ௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ሺܽ ൅ ܾܺ௜ ሻ െ  ሺܽ ൅ ܾܺത ሻ ͳ ܻ௜ െ ܻത ͳ ॱሺܽ ൅ ܾܺ௜ ൅ ߝ௜ ሻ െ ॱሺܽ ൅ ܾܺത ൅ ߝҧሻ ͳ ॱܾ෨ ൌ ॱ ൭ ෍ ൱ ൌ ෍ ൌ ෍ ݊ ݊ ݊ ܺ௜ െ ܺത ܺ௜ െ ܺത ܺ௜ െ ܺത Այժմ ցույց տանք, որ ܾ෨ - ը գծային գնահատական է ըստ ܻ௜ - երի (‫ݔ‬௜ ൌ ܺ௜ െ ܺത)՝ ௡

௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ܻ௜ െ ܻത ͳ ܻ௜ ܻത ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ܾ෨ ‫׷‬ൌ  ෍  ൌ  ෍  െ ෍  ൌ  ෍  ܻ௜  െ  ଶ ൭෍ ܻ௜ ൱ ൭෍ ൱ ൌ ത ݊ ݊ ‫ݔ‬ ݊ ‫ݔ‬ ݊ ‫ݔ‬ ݊ ‫ݔ‬ ܺ௜ െ ܺ ௜ ௜ ௜ ௜ ௡

௡

௡

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

ͳ ͳ ͳ ͳ ൌ  ෍ ൭ െ ෍ ൱ ܻ௜  ‫׷‬ൌ ෍ ܿ௜ ܻ௜ ‫׷‬ ݊ ‫ݔ‬௜ ݊ ‫ݔ‬௜ Այսպիսով ܾ෨ ‫ࣦ א‬௕଴ ሺܻሻ :

բ ) Գտնենք ॽƒ”൫ܾ෨൯ հաշվի առնելով, որ ԧ‫ ˜݋‬൫ܻ௜ ǡ ܻ௝ ൯ ൌ Ͳ, ݅ ് ݆ : ௡

௡

௡

ॽƒ”൫ܾ෨൯ ൌ ෍ ܿ௜ଶ ॽƒ”ሺܻ௜ ሻ  ൌ  ߪ ଶ ෍ ܿ௜ଶ  ൌ ߪ ଶ ෍ ௜ୀଵ

௜ୀଵ

௜ୀଵ

௡

ଶ

ͳ ͳ ͳ ͳ ൭ െ ෍ ൱ ‫׷‬ ݊ଶ ‫ݔ‬௜ ݊ ‫ݔ‬௜ ௜ୀଵ

գ ) Օգտվելով Կոշի – Շվարց – Բունյակովսկու անհավասարությունից՝ կստանանք ௡

௡

௜ୀଵ

௝ୀଵ

ଶ

௡

ॽƒ”൫ܾ෨ ൯ ߪଶ ͳ ͳ ͳ ͳ ൌ ൦ ଶ ෍ ቌ െ ෍ ቍ ൪൥ ଶ ෍ ‫ݔ‬௜ଶ ൩ ൒ ෠ ݊ ‫ݔ‬௜ ݊ ‫ݔ‬௝ ߪ ॽƒ”൫ܾ ൯ ௜ୀଵ

௡

௡

௜ୀଵ

௝ୀଵ



ଶ

௡

௡

௜ୀଵ

௝ୀଵ

ଶ

ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ‫ݔ‬௜ ͳ ൒ ଶ ቎෍ ቌ െ ෍ ቍ ‫ݔ‬௜ ቏ ൌ  ଶ ቎෍ ቌͳ െ ෍ ቍ቏ ൌ ‫ݔ‬௜ ݊ ‫ݔ‬௝ ݊ ݊ ‫ݔ‬௝ ݊

ൌ

௡

௡

௝ୀଵ

௜ୀଵ

ଶ

௡

ͳ ͳ ͳ ͳ ቎݊ െ ෍ ൭ ෍ ‫ݔ‬௜ ൱቏ ൌ  ଶ ݊ଶ ൌ ͳ ൭෍ ‫ݔ‬௜ ൌ Ͳ൱ ‫ז ׷‬ ݊ଶ ݊ ‫ݔ‬௝ ݊ ௜ୀଵ

ՀԱՄԱՌՈՏԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ՆՇԱՆԱԿՈՒՄՆԵՐ

Համառոտագրություններ ԿՍԹ – կենտրոնական սահմանային թեորեմ ՃՀ վիճականի – ճշմարտանմանության հարաբերության վիճականի ՃՄ գնահատական – ճշմարտանմանության մաքսիմումի գնահատական ՓՔ գնահատական – փոքրագույն քառակուսիների գնահատական ՀԱՀ հայտանիշ – հավասարաչափ առավել հզոր հայտանիշ

Նշանակումներ Զ

ࣈ࢔ ՜ ࣈ – ըստ Զ հավանականության զուգամիտություն ࣈ࢔ ՜ ࣈ Զ - հ.հ. െ համարյա հավաստի զուգամիտություն ࢊ

ࣈ࢔ ՜ ࣈ െ ըստ բաշխման ( թույլ ) զուգամիտություն ࣂ‫ ࢔כ‬է Գሺࣂǡ ࣌૛ Τ࢔ሻ െ ߠ௡‫ כ‬գնահատականի ասիմպտոտիկ նորմալություն ‫ ؠ‬െ նույնության նշան ‫׷‬ൌ  െ նշանակում, սահմանում ‫ ז‬െ խնդիրների վերջ

Օգտագործված գրականություն ሾͳሿ Ватутин В. А., Ивченко Г. И, Медведев Ю. И., Чистяков В. П., Теория

веро-

ятностей и математическая статистика в задачах, М., ǼДрофаǽ, 2003. [2] Գասպարյան Կ. Վ., Տեսական և կիրառական վիճակագրության հիմունքներ, մաս 1, Երևան, «Գիտություն», 2015. ሾ͵ሿ Гмурман В. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, М., ǼВысшая школаǽ, 2003. ሾͶሿ Джонстон Д ж., Эконометрические методы, М., ǼСтатистикаǽ, 1980. ሾͷሿ Devore J. L., Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 7 – th Edit., Belmont, Brooks / Cole, 2009. ሾ͸ሿ Емельянов Г. В., Скитович В. П., Задачник по теории вероятностей и математической статистике, изд – во Ленинградского ун – та, 1967. ሾ͹ሿ Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Чистяков В. П., Сборник задач по математической статистике, М., ǼВысшая школаǽ, 1989. ሾͺሿ Кендалл М. Д ж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, М., ǼНаука”, 1973. ሾͻሿ Кендалл М. Д ж., Стьюарт А., Теория распределений, М., ǼНаукаǽ, 1966. ሾͳͲሿ Коршунов Д. А., Чернова Н. И., Сборник задач и упражнений по математической статистике, Новосибирск, Изд – во института математики, 2004. ሾͳͳሿ Levin R., Rubin D., Statistics for Management, 7 – th Edit., New Jersey, Prentice – Hall, 1997. [12] Maгнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А., Сборник задач к начальному курсу эконометрики, М., «Дело», 2002. ሾͳ͵ሿ Montgomery D. C., Runger G. C., Applied Statistics and Probability for Engineers, 5 – th Edit., New York, Wiley, 2011. ሾͳͶሿ Mood A. M., Graybill F. A., Boes O. C., Introduction to the Theory of Statistics, 3 – th Edit., New York, Mc. Graw – Hill, 1974. ሾͳͷሿ Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М., Сборник вероятностей, М., ǼНаукаǽ, 1980.

задач по

теории

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

§ 2. Նմուշային բաշխման ֆունկցիա: Հաճախությունների սյունապատկեր (հիստոգրամ) և բազմանկյուն (պոլիգոն) 27. դ) 1. 27.5 տարի, 2. ൎ 38 տարի: 29. դ) ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ ͻͲ: 32. ‫ݔ‬௠௘ௗ ൎ 7 օր:

§ 3. Նմուշային բնութագրիչներ ‫כ‬ ‫כ‬ ‫כ‬ ‫כ‬ ଶ ଶ ௡ ൌܺ ௡ ൅ ܿ, ܻ ‫כ‬ ௡ ௡ തതതത തതതത തതതത തതതത 38. ա) ܻ ௠௢ௗ ൌ ܺ௠௢ௗ ൅ ܿ, ܻ௠௘ௗ ൌ ܺ௠௘ௗ ൅ ܿ, ܵ௒ ൌ ܵ௑ , բ) ܻ ൌ ܿܺ , ܻ௠௢ௗ ൌ ‫כ‬ ‫כ‬ ‫כ‬ ௡ ൎ െͲǤ͸͹ǡ ‫ ݏ‬ଶ  ൎ തതത௡ത ൎ4.58, ‫ݏ‬௫ଶ ൎ 4.44, ‫ݏ‬௫ ൎ2.1, ‫ݕ‬ തതതത ൌ ܿܺ௠௢ௗ , ܻ௠௘ௗ ൌ ܿܺ௠௘ௗ , ܵ௒ଶ ൌ ܿ ଶ ܵ௑ଶ : 39. ա) ‫ݔ‬

͵Ǥ͵͵ǡ ‫ݏ‬௬ ൎ ͳǤͺ͵, բ) ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ‫ݔ  ׷‬௠௘ௗ ൌ Ͷǡ ܳଵ ൌ ͵ǡ ܳଷ ൌ ͷǡ ‫ܨ‬ଵ ൌ ͵ǡ ‫ܨ‬ଷ ൌ ͸ǡ ܴଵଶ ൌ ͺǡ ‫ܯ‬ଵଶ ൌ ͷǡ ο଴ଵΤସ ൌ ൌ ͵ǡܶ ൌ ሺͳǡ ͵ǡ ͵ǡ ͸ǡ ͻሻ, ሺ‫ ݕ‬௡ ሻ ‫ݕ ׷‬௠௘ௗ ൌ Ͳǡ ܳଵ ൌ െ͵ǡ ܳଷ ൌ ͳǡ‫ܨ‬ଵ ൌ െ͵ǡ ‫ܨ‬ଷ ൌ ͳ, ܴଽ ൌ ͷǡ ‫ܯ‬ଽ ൌ ൌ െͲǤͷǡο଴ଵΤସ ൌ Ͷǡ ܶ ൌ ሺെ͵ǡ െ͵ǡ Ͳǡ ͳǡ ʹሻǡ գ ) ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ : ݃ଵ  ൎ ͲǤͶͺǡ݃ଶ  ൎ െͲǤʹ͵ǡ‫ ݒ‬ൌ ͶͷǤͺͷΨ : തതത௡ത ൌ 10.6, ‫ ݏ‬ൎ6.38, բ) ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ 10.5, ܴଶ଴ = 20, ܳଵ ൌ 5, ܳଷ ൌ16, ‫ܨ‬ଵ ൌ 5, ‫ܨ‬ଷ ൌ 17, ߞ଴Ǥଵ ൌ 40. ա) ‫ݔ‬ തതത௡ത ൎ6.81, ‫ ݏ‬ଶ ൎ 4.44, ‫ ݏ‬ൎ 2.11, բ) ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ ൌ3, ߞ଴Ǥଽ ൌ 20, ܶ ൌ ሺͲǡ ͷǡ ͳͲǤͷǡ ͳ͹ǡ ʹͲሻ: 41. ( 1 ) ա) ‫ݔ‬ ௡ തതതത ൎ 2.71, ‫ ݏ‬ଶ ൎ 16.82, ‫ ݏ‬ൎ 4.1, բ)‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ ‫ݔ‬௠௢ௗ ൌ 6, ܳଵ ൌ ‫ܨ‬ଵ ൌ 5, ܳଷ ൌ ‫ܨ‬ଷ ൌ 9, ( 2 ) ա) ‫ݔ‬ തതത௡ത  ൌ ൌ ‫ݔ‬௠௢ௗ  ൌ 3, ܳଵ ൌ ‫ܨ‬ଵ ൌ 0, ܳଷ ൌ ‫ܨ‬ଷ ൌ 4, գ) ‫ݒ‬ଵ ൌ 31 % , ‫ݒ‬ଶ ൌ 151 % : 42. ሺʹͶաሻሻ ա) ‫ݔ‬ ൌ 3.71, ‫ ݏ‬ଶ ൎ 1.82, ‫ ݏ‬ൎ 1.35, բ) ݃ଵ ൎ െ 0.28, ݃ଶ ൎ 0.17, ‫ ݒ‬ൎ 36 %, գ) ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ ͵Ǥ͹͵ǡ ‫ݔ‬௠௢ௗ ൌ ͵Ǥ͹ǡ തതത௡ത ൌ 37.7 ( 37.3 ), ‫ ݏ‬ଶ ൌ ͳͻ͹ǤͲͳሺͳͻͻǤͳ͵ሻ, ܳଵ ൌ ʹǤͺͳǡܳଷ ൌ ͶǤ͹ǡ ߞ଴Ǥଵ ൌ1.8, ߞ଴Ǥଽ ൌ 5.57: 43. ա) ‫ݔ‬ ‫ ݏ‬ൌ ͳͶǤͲͶ ( 14.11 ), բ) ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ ͵͹ǤͶ ( 37 ), ‫ݔ‬௠௢ௗ ൌ ͶͶሺͶͶሻ, ܳଵ ൌ ʹͷǤʹͷሺʹ͸ሻǡܳଷ ൌ ͶͺǤͲ͹ (45) (իրական տվյալները բերված են փակագծերում ): 44. ա) ‫ݔ‬௠௘ௗ ൌ ͳǤͲʹǡ ‫ݔ‬௠௢ௗ ൌ ͳǤͳǡ ܳଵ ൌ ͲǤ͹ʹǡ തതത௡ത= 0.97, ‫ ݏ‬ଶ ൌ ͲǤͳͶǡ ‫ ݏ‬ൌ 0.38, ‫ ݒ‬ൌ 39 % : 45. ա) ‫ݔ‬ തതത௡ത ൌ

ܳଷ ൌ ͳǤʹ͵, ߞ଴Ǥଵ ൌ ͲǤͶͶǡ ߞ଴Ǥଽ ൌ ͳǤͶͳ, բ) ‫ݔ‬

௡ ൌ 9.65, തത ‫ݕ‬തത = 6.13, ‫ݏ‬௫ ൌ ͶǤͶͺǡ‫ݏ‬௬ ൌ ͲǤ͵ͷǡܴ௫ ൌ ͳͳǤʹǡܴ௬ ൌ ͲǤͺǡ ‫ݒ‬௫ ൌ Ͷ͸Ψǡ‫ݒ‬௬ ൌ ͸Ψǡբ) ݃ଵ௫ ൌ ͲǤʹͳǡ݃ଵ௬ ൌ ͲǤʹ͸ǡ݃ଶ௫ ൌ െͳǤ͸͹ǡ݃ଶ௬ ൌ െʹǤͳ͹:

§ 5. Մոմենտների մեթոդ ‫כ‬ ௡ ǡ ߪ ௡ , ߠ ‫ כ‬ൌ ܽ : 80.ߠ ‫ כ‬ൌ തതതത തതതത 77. ߠ‫ כ‬ൌ ʹ ܺ

ത ଶ ሺߠሻ ൌ ߠ ଶΤ͵: 78. ߠଵǡଶ

ൌ തതതത ܺ ௡  ‫  ט‬ξ͵ܵ: 79. ߠଵ‫ כ‬ൌ ܺ ଶ ଶ ଵ ௡ : 81. ߠ ‫ כ‬ൌ ܺ ௡ , ߠ ‫ כ‬ൌ ଵ ൫ඥͳ ൅ Ͷܽ െ ͳ൯ǣ 82. ߠ ‫ כ‬ൌ ܺ ௡  ‫  ט‬ඥܵ ଶ െ ܺ ௡ (ܵ ଶ ൒  ܺ ௡ ): 83. തതതത തതതത തതതത തതതത തതതത ൌ ή ܺ ଶ ଵ ଶ ଵǡଶ ௞

ߠଵ‫כ‬ ൌ

ଶ

ିଵΤଶ

ଵ ௡ ሻିଵ ǡߪ തതതത ൌ ሺܺ തଵଶ ሺߠሻ ൌ ߠ ଶ ǡߠଶ‫ כ‬ൌ ቀ σ௡௜ୀଵ ܺ௜ଶ ቁ ଶ௡

ఏሺఏାଶሻమ

ଶሺఏାଷሻ

: 85. ߠଵ‫ כ‬ൌ

തതതത ௑೙ , ௌమ

ߠଶ‫ כ‬ൌ

೙ ൯మ തതതത ൫௑

ௌమ

ହ ସ

ǡ ߪതଶଶ ሺߠሻ ൌ ߠ ଶ ‫ ׷‬84. ߠ‫ כ‬ൌ

ଵ ௡ , բ) തതതത : 86. ա) ቀͳ െ  ௖ ቁܺ

തതതത ௑೙ തതതത ௑ ೙ ି௖

, գ) ൭

ଵ ௡ െ ܿሻିଵ , գ) ሺܺ ௡ െܵ ǡ ܵ ିଵ ሻ: 88. աሻ ܺ ௡ , բ) ߠ ‫ כ‬ൌ തതതത തതതത തതതത աሻ തതതത ܺ ௡ െ ௖ , բ) ሺܺ ට௔   

89. աሻ

ଶ ௡ തതതത ሺܺ ξగ

91. ߠ‫ כ‬ൌ

௡ െ ξగ , գ) ൬ܺ ௡െට തതതത തതതത െ ሻ, բ) ܺ

௥ ೙  തതതത

ଶ

, ߪത ଶ ሺߠሻ ൌ

ఏమ ሺଵିఏሻ

௥

గ ଶ ܵǡ ܵ൰: ସିగ ξସିగ

90. ቆ

೙ തതതത ଶή௑ ೙ , തതതത ଵି௑

തതതത ௑೙ ೄ ඥೌమ

ଵା

ଶ మ ି௖

మ

ߪത ଶ ሺߠሻ ൌ

௔

ǡ ͳ ൅ ξௌ మ ൱ : 87.

௡ ǡ ξʹܵ ିଵ ൯: തതതതത , գ) ൫ܺ 

೙ തതതതത തതതതത ௑ ೙ ି௔మ ௡ ǡ ௑ ି௔మ ሺͳ തതതത ܺ ௌమ ௌమ

െ തതതത ܺ ௡ ሻቇǣ

௡ െ ͳ: Ստացված գնահատականը պիտանի തതതത : 92. ߠ‫ כ‬ൌ ʹܺ

௡ െ ͳǡքանի որ ܺ തതതത չէ, եթե ܺሺ௡ሻ ൐ ʹܺ ሺ௡ሻ  ൑ ߠ:

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

§ 6. Ճշմարտանմանության մաքսիմումի մեթոդ ଵ ௞

93.

തതതത ௖Ȃ௑ ௡ : 95. ݃ሺߠሻ ௡ : 94. ܺ ௡ ሻିଵ : 97. Ա) ॲ෣ ෣ ൌ ௥ : 96. ሺܺ ෣ തതതത തതതത തതതത ήܺ

௖ ሺߠሻ ൌ Ȱ ቀ ఙ ቁ, բ ) ॲ௖ ሺߠሻ ൌ

തതതത ௑೙ ೙

௖Ȃ௠ ቁ, ௌభ

ൌ Ȱ ቀ

ܵଵଶ

ൌ

ଵ ௡

೙ തതതത

௖Ȃ௑  ଶ σ௡௜ୀଵሺܺ௜ െ ݉ሻଶ ‫ ׷‬98. ॲ෣ ௖ ሺߠሻ ൌ Ȱ ቀ ௌ ቁ, ܵ

ൌ



ଵ ௡ ଵ

ଶ

തതത݊ ൯ ‫ ׷‬99. σ௡௜ୀଵ൫ܺ௜ െ  ܺ

ଵ ଶ ߠ෠ ൌ െͳ ൅  ඥͳ ൅ ܽଶ ǡܽଶ ൌ  ௡ σ௡௜ୀଵ ܺ௜ଶ ‫ ׷‬100. ߠ෠ ൌ ሺ݃ҧ ǡ ܵଶ ሺ݃ሻሻǡ ݃ҧ ൌ  σ௡ ௜ୀଵ ݃ሺܺ௜ ሻǡܵ ሺ݃ሻ ൌ

௡

ൌ

ଵ

σ௡ ሺ݃ሺܺ௜ ሻ ௡ ௜ୀଵ

െ ݃ҧ ଵΤଶ

գሻ൫݊Τσ௡௜ୀଵ ܺ௜ିଵ ൯

ሻଶ

‫ ׷‬101.

ଵ

௡ σ ܺଶ ǣ ௡ ௜ୀଵ ௜

102.

ఒ തതതത ௑೙

ିଶ

: 103. ԱሻൣŽሺς௡௜ୀଵ ܺ௜ ሻଵΤ௡ ൧ ǡբሻܺሺ௡ሻ ǡ

, դሻȂ ሺ݊Τσ௡௜ୀଵ Ž Ž ܺ௜ ሻ: 104. ա) െ ܺሺଵሻ , բሻ ൫െܺሺଵሻ ൯ ‫ ש‬൫ܺሺ௡ሻ ൯, գ) ߙ൫ܺሺ௡ሻ Ȃ ʹ൯ ൅ ଵ  ଶ

ሺͳ െ ߙሻܺሺଵሻ , ߙ ‫[ א‬0, 1], դ)

ܺሺ௡ሻ : 105.

ଵ ൫ܺሺଵሻ ଶ

ͳΤ݊

൅ ܺሺ௡ሻ െ ͳ൯: 106. ቈቆŽ ൫ς݊݅ൌͳ ܺ݅൯

ൗܿቇ቉

െͳ

ǣ 107.

௡ െ  ܺ ൯: 110. ߠ ෠௜ ൌ ߥ௜‫כ‬Τ݊ ǡ ߥ௜‫  כ‬ൌ σ௡௝ୀଵ ૤ሼ௜ሽ ൫ܺ௝ ൯ǣ തതതത ܺሺଵሻ –ը աս.անշեղ է և ունակ: 108. ൫ܺሺଵሻ ǡ ܺ ሺଵሻ

§ 7. Գնահատականների համեմատություն ௡ ሻିଵ : 120. Ոչ തതതത 114. ܵ ଶ – ն, ॶ૙ դասում` ܵଵଶ – ն: 116. ܶ௡ଶ : 117. ‫ܯ‬ଵ‫ כ‬: 118. ߠଶ‫כ‬: 119. ߠଵ‫ כ‬ൌ ሺܺ ఒ

ఒሺఒାଵሻ ௔మ

௡ , ߠ ‫ כ‬ൌ ඥ͵ܽ ՝ լավագունն է: 122. ߠ ‫ כ‬ൌ തതതത ՝ լավագունն է, ߠଶ‫ כ‬ൌ ට մեկը : 121. ߠଵ‫ כ‬ൌ ʹܺ ଶ ଶ ଵ തതതത ௑೙

:

123. ߠଵ‫כ‬:

§ 8. Արդյունավետ ሺէֆեկտիվሻ գնահատականներ 124. ॴሺߠሻ ൌ ൌ ఏమ

ଵ ൫ଵȂఏ൯

௞ ఏ൫ଵȂఏ൯

‫ ׷‬125. ॽƒ”ఏ ሾܶ௡ ሺܺሻሿ ൌ ߠΤ݊, ॴሺߠሻ ൌ ߠ ିଵ: 126. ॽƒ”ఏ ሾܶ௡ ሺܺሻሿ ൌ

ଵȂఏ ǡ ௡ఏమ

: 127. ॽƒ”ఏ ሾܶ௡ ሺܺሻሿ ൌ ߠ ଶΤ݊, ॴሺߠሻ ൌ ߠ ିଶ: 128. ॴሺߠሻ ൌ ߪ ିଶ : 130. ߬ሺߠሻ ൌ

௡ , ॽƒ” ሾ߬ ‫ כ‬ሿ ൌ ௥൫ଵȂఏ൯, ॴሺߠሻ ൌ തതതത ߬௡‫ כ‬ൌ ܺ ఏ ௡ ఏమ ௡ఏమ

௥

ఒ

൫ଵȂఏ൯

ॴሺߠሻ ൌ

௥൫ଵȂఏ൯ ఏ

,

ఒ

௡ , ॽƒ” ሾ߬ ‫ כ‬ሿ ൌ തതതത : 131. ߬ሺߠሻ ൌ ఏ, ߬௡‫ כ‬ൌ ܺ , ॴሺߠሻ ൌ ఏ ௡ ௡ఏమ

ఒ ൌ ఏమ : 132. ߠ෠௡ ൌ ܺሺଵሻ –ը Ǽգերարդյունավետǽ գնահատական է: 133. ࣎ሺߠሻ ൌ ߠ ൅ Ž ܿ ǡ߬௡‫ כ‬ൌ ଵ

ଶ

ଵ

௑

ଵ

ൌ Žሺς௡௜ୀଵ ܺ௜ ሻଵΤ௡ ǡॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿ ൌ ߠ ଶΤ݊ ǡॴሺߠሻ ൌ ߠ ିଶ ǣ 134. ߬ሺߠሻ ൌ  ఏ  ൅  ௠ ǡ ߬௡‫  כ‬ൌ  ௡ σ௡௜ୀଵ ቀ௠೔మ ൅ ௑ ቁ ǡ ೔

ଶ ǡॴሺߠሻ ௡ఏమ ఒమ ॴሺߠሻ ൌ మ  ‫׷‬ ఏ

ܸܽ‫ݎ‬ఏ ሺ߬௡‫ כ‬ሻ ൌ ൌ

ఏమഊ ǡ ௡

ൌ

ଵ ଶఏమ

ଵ ௡

‫ ׷‬135. աሻ߬ሺߠሻ ൌ ߠ ఒ ǡ ߬௡‫ כ‬ൌ σ௡௜ୀଵ ܺ௜ఒ ǡ բሻॱఏ ߬௡‫ כ‬ൌ  ߠ ఒ ǡॽƒ”ఏ ሾ߬௡‫ כ‬ሿ ൌ

§ 9. Ասիմպտոտիկ արդյունավետ գնահատականներ ʹ ఏ ଵ ఒ 137. ܾ௡ ሺߠሻ ൌ ௡ఒȂଵ , ߠ෨௡ ൌ ቀͳ െ  ௡ఒቁ തതതത : 138. ݁଴ ሺߠ ‫ כ‬ሻ ൌ  ൏ ͳ: ௑೙ ߨ 141. ݃ሺߠሻ ൌ ξߠ , ߪ௡ଶ ሺ݃ሻ ൌ

ଵ ସ௡

ଵ : 142. ߠ෠௡ ൌ ቂ σ௡௜ୀଵ ܺ௜ଶ ቃ ௡

ଵΤଶ

ௗ

ǡ ξ݊൫ߠ෠௡ െ ߠ൯ ՜ Գ ቀͲǡ ௗ

ଵ

଼

139. ݁଴ ሺߠ ‫ כ‬ሻ ൌ  గమ ൏ ͳ: ఏమ ቁǡ ସ

௡ െ Ž ߠሻ ՜ ԳሺͲǡ ͳሻ: 144. തതതത ߪ௡ଶ ሺ݃ሻ ൌ ସ௡ǣ 143. ߬ሺߠሻ ൌ Ž ߠ, ߪ௡ଶ ሺ߬ሻ ൌ ͳΤ݊ , ξ݊ሺŽ ܺ ଶ

గమ

‫כ‬ ሻ ൌ ‫׷‬ ൌ Ͳǡ ߪ௡ଶ ൫ߠ෠௡ ൯ ൌ  ௡  ൏  ߪ௡ଶ ሺܺ௠௘ௗ ସ௡

݃ሺߠሻ ൌ Ž ߠǡ

σ݊ ݅ൌͳ

ܺ݅െߠ ͳ൅ቀܺ݅െߠቁ

ʹ

ൌ

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

§ 10. Ճշգրիտ վստահության միջակայքեր ଵ

ଵ

ఈ

ଵ

ఈ

145. ቀܺሺଵሻ ൅  ௡ Ž ߙǡ ܺሺଵሻ ቁ՝ լավագույն միջակայք, ቀܺሺଵሻ  ൅  ௡ Ž ଶ ǡܺሺଵሻ  ൅  ௡ Ž ቀͳ െ ଶ ቁቁ ՝ ଵ

ଵ

ଶ ଶ ሺʹ݊ሻǡ ሺʹ݊ሻǡ ൅λቁ, ൬ଶ௡௑ կենտրոնական վստահության միջակայք : 146. ቀଶ௡௑തതതത೙ ߯ଵିఈ ೙ ߯ଵିఈΤଶ തതതത ଵ ଶ ሺʹ݊ሻ൰ǣ ೙ ߯ఈΤଶ തതതത ଶ௡௑

147. ա) ቀͲǡ െ

୪୬ ఈ ቁ, ௑భ

୪୬ ఈ

բ) ൬Ͳǡ െ ௡௑ ൰ : 148. ൬

ଵ

ଶ Ȟଵǡ௡ ൫ሺ‫ݕ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଶ ሻ൯ ൌ ͳ െ ߙǣ 149. ൬ଶ் ߯ଵିఈ

Τଶ ሺʹ݊ሻǡ

ଵ ߯ ଶ ሺʹ݊ሻ൰: ଶ் ఈΤଶ

௬భ షభ

୪୬൫ς೙ ೔సభ ௑೔ ൯

ሺభሻ

ǡ

௬మ షభ

୪୬൫ς೙ ೔సభ ௑೔ ൯

൰,

150. ൫ܺሺ௞ሻ ǡ ܺሺ௠ሻ ൯ - ը ߛ ൌ ͳ െ

െሺ‫݌‬Ǣ ݇ǡ ݊ െ ݇ ൅ ͳሻ െ ሺ‫݌‬Ǣ ݉ǡ ݊ െ ݉ ൅ ͳሻ մակարդակի վստահության միջակայք է : 151. ଵ ଵ ሺͳǡ ݊ߣሻǡ തതതത೙ ȞఈΤଶ ሺͳǡ ݊ߣሻቁ, Ȟఌ ሺͳǡ ݊ߣሻ- ն՝ Ռሺͳǡ ݊ߣሻբաշխման ߝ - կրիտիկական ೙ ȞଵିఈΤଶ തതതത ௡௑ ௡௑ ௡  ‫ܿ  ט‬ തതതത կետն է : 152. ա) ൫ܺ ఈΤଶ ߪ൯, ܿఈΤଶ - ը ԧሺͲǡ ͳሻ Կոշու բաշխման ߙ Τʹ - կրիտիկական

ቀ

೙ ௡  ‫ ‰– ߪ ט‬ቀగ ߙቁ൰ : 153. ሺܺଵ ǡ ܺଵ Τߙ ሻ : 154. ա) ൫ܺ തതതത կետն է, բ) ൬ܺ ሺଵሻ െ ͳ ൅  ξߙ ǡ ܺሺଵሻ ൯, ଶ ೙

ଵି௡

൫ܺሺଵሻ Τ൫ʹ െ ξߙ ൯ǡ ܺሺଵሻ ൯: 155. ߛ ൌ ͳ െ ʹ

ష աሻ൫ሺς௡௜ୀଵ ܺ௜ ሻଵΤ௡ ݁ ௬ Τଶ௡ ǡ

: 156.

բ)

శ ሺς௡௜ୀଵ ܺ௜ ሻଵΤ௡ ݁ ௬ Τଶ௡ ൯ǡ

௬శ ଵ ‫ ି ݕ‬െ ըև‫ ݕ‬ା െ ըբավարարումեն ‫ ݕ ׬‬௡ିଵ ݁ ି௬ ݀‫ ݕ‬ൌ ͳ െ ߙպայմանըǡ բሻοఈ ሺܺ ௡ ሻ ୻ሺ୬ሻ ௬ ష ൫ܺሺ௡ሻ ǡ ܺሺ௡ሻ ߙ ିଵΤଶ௡ ൯ - ը՝ լավագուն միջակայքն է : 157. Զఏ ൫ܺሺଵሻ ൏ ߤ ൏ ܺሺ௡ሻ ൯ ൌ ͳ െ ʹଵି௡ :

ൌ

§ 11. Ասիմպտոտիկ վստահության միջակայքեր ଵ

ଵ

భ തതതത ೙ ቁ തതതത ௑ ೙ ቀଵି ௑

௡  ‫   ט‬ඨ തതതത 158. ቌ௞ ܺ ௞

160.

ଵ ௡ തതതതቃ ቆቂͳ ൅  ௥ ܺ

բ) ൬ܵଵ ݁ ‫ט‬

గ ଶξ௡

೥ഀΤమ ‫ט‬  ξమ೙

ିଵ

‫ ט‬

ೖ

௡

௭ഀΤమ ௥

ଵ

‫ݖ‬ఈΤଶ ቍ: 159. ቆॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ‫ݖ  ט‬ఈΤଶ ට ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬଴ ሻ൫ͳ െ ॲ‫כ‬௡ ሺ‫ݔ‬଴ ሻ൯ቇ: ௡

ଵ ௡ തതതതቃ ቂͳ ൅  ܺ ௥

ିଵ

ିଵ

௭ Τ ଵ

௡ ቂͳ ൅  ଵ തതതത

തതതത ή ට ܺ ܺ ௡ ቃ ቇ: 161. ա ) ൬ܵଵ ቀͳ ‫  ט‬ഀ మ ቁ൰, ௡ ௥ ξଶ௡

ିଵΤଶ ଶ ௡

ିଵ ଶ ௡

‫כ‬ ൱: 162. ൭ܵଶ ቆͳ േ  ට ‫ݖ‬ఈΤଶ ቇ ൱ǣ 163. ( ܺ௠௘ௗ ሺ݊ሻ ‫ט‬

൰, գ) ൭ܵଵ ቆͳ േ  ට ‫ݖ‬ఈΤଶ ቇ

మ

௔మೖ ି௔ೖ ௡  ‫  ט‬ௌ೙ ‫ݖ‬ തതതത ‫ݖ‬ఈΤଶ ): 164. ቀܺ ቇ: 165. ൭൫ܺଵ ൅ ‫ݖ‬ఈଶΤଶ ൯  ‫ݖ ט‬ఈΤଶ ටʹܺଵ ‫ݖ‬ఈଶΤଶ ൅  ‫ݖ‬ఈସΤଶ ൱: ఈ Τଶ ቁ, ቆܽ௞  ‫ݖ  ט‬ఈ Τଶ ට ௡

ξ௡

168. ሺͲǤͲ͸ͳǡ ͲǤͳ͵ͻሻ:

169. ሺͲǤʹ͵ǡ ͲǤʹͷሻ: 170. ሺͲǤͷͳǡ ͲǤ͸ͷ͹ሻ:

166.

݊ ൒ ͸ʹ: 167. 55 օր:

171.

ሺͲǤͷǡ ͲǤͷͷͷሻ: 172. ሺͲǤͶͶͷǡ ͲǤͷ͸͵ሻ: 173. ሺͲǤͲʹ͵ǡ ͲǤͲͷ͹ሻǣ 174. ሺͲǡ ͳʹʹͶǤͲ͹ͺժամሻ: ଶ

175. ሺʹͶͺͻǤ͵͸ͺմǤǡ ൅λሻ: 176. ሺͳͳͺǤ͵Ͷ͹ǡ ͳʹ͵Ǥ͸ͷ͵ሻ: 177. ߜ ൌ ʹͶǤʹ͹ʹ ቆߜ ൌ ට௡ ‫ ݏ‬ଶ ‫ݖ‬ఈΤଶ ቇ: 178. ሺͲǤͻͳ͹ ή ͳͲଷ կմǡ ͳǤͲʹ͸ ή ͳͲଷ կմሻ: 179. ሺͲǤ͸ʹ͸ǡ ͲǤͺ͵ͺሻ: 180. ሺͳ͵ͲǤ͹ͻͶǡ ͳͺͻǤͶͳͺሻ:

§ 12. Նորմալ բաշխման պարամետրերի ճշգրիտ վստահության միջակայքեր ଶఙ

ଶ

௟ ξ௡

௡ௌభమ ௡ௌ మ

ǡ మ భሺ௡ሻቇ,

ఞ బ ሺ௡ሻ బ

181. ݊ ൌ ൤ቀ ‫ݖ‬ఈΤଶ ቁ ൨ ൅ ͳ, ߛ ൌ ʹȰ଴ ቀ ቁ: 182. ቆ మ ௟ ଶఙ ఞ

ഀమ

թվերը բավարարում են

మ ሺ௡ሻ ఞഀ మ మ ሺ௡ሻ ఞభషഀ భ

ଵ ௡

ߙଵ଴ ൅ ߙଶ଴ ൌ ߙ, ߙଵ଴ և ߙଶ଴

భషഀభ

ଶ ሺ݊ሻቁቅպայմանը: ൬ ൌ ‡š’ ቄ ቀ߯ఈଶమ ሺ݊ሻ െ ߯ଵିఈ భ

௡ௌభమ ௡ௌభమ ൰ మ ሺ௡ሻ ǡ ఞమ ఞഀ Τమ

భషഀΤమ ሺ௡ሻ

՝



ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

կենտրոնական վստահության միջակայքը: 186. ൬ቀͳ േ  ‫ט‬

௭ഀΤమ ିଵ ξ௡

ቁ

௭ഀΤమ ିଵ ξ௡

ቁ

തതതത ܺ ௡ ൰ , երբ ߠ ൐ Ͳ և ൬ቀͳ ‫ט‬

തതതത ܺ ௡ ൰, երբ ߠ ൏ Ͳ: 187. ա) ݊ ൒ ͻͺ, բ) ߛ ൎ 0.99: 188. ሺͷ͹ǤͲͳ͵ǡ ൅λሻ, ሺെλǡ ͷͺǤͻͺ͹ሻ և

ሺͷ͸ǤͺʹͶǡ ͷͻǤͳ͹͸ሻ: 189. ሺͲǤͶ͸ͳǡ ͹ǤͳʹͶሻ: 190. միջինի համար` ሺʹǤͻͺͷǡ ൅λሻǡ ሺെλǡ ͵ǤͲͷͳሻ և

ሺʹǤͻ͹ʹǡ ͵ǤͲ͸Ͷሻ, ցրվածքի համար` ሺͲǤͲͲͳʹǡ ൅λሻǡ ሺͲǡ ͲǤͲͲͺ͹ሻ և ሺͲǤͲͲͻͺǡ ͲǤͲͳ͵ሻ: 191.ߠଵ ‫א‬ ‫ א‬ሺʹ͸ǤͺͶʹǡ ͵͵Ǥͷͷͺሻ, ߠଶ ‫ א‬ሺʹǤͲͳ͹ǡ ͹ǤͶͶʹሻ: 192. (3.428, 4.964): 193. ߜ ൎ ͲǤͺ͹ͻ: 194. ሺ͸ͺǤ͹͹Ͳǡ ͹͵Ǥʹ͵Ͳሻ: 195. ሺͷǤͲ͵͸ǡ ͳ͵ǤͶͲʹሻ: 196. ݉ ‫ א‬ሺͻǤͳ͵ͺǡ ͳͻǤͶͳ͹ሻ, ߪ ‫ א‬ሺʹǤ͹͹Ͷǡ ͳͳǤʹͳʹሻ: Երկու նմուշ՝ ௡ െܻ ௠ െ ߪ‫ ݖ‬, λሻ, ሺെλǡ തതതത ௠  ൅ ߪ‫ ݖ‬ሻ: 198. ቆܺ ௡ െܻ ௠ െ ටଵ ൅ ଵ  ή ܵ ‫ ݐ‬ሺ݊ ൅ തതതത തതതത തതതത തതതത തതതത 197. ሺܺ ܺ௡  െ  ܻ ఈ ఈ ௣ ఈ ௡ ௠ మ

మ

௡  െ  ܻ ௠  ൅  ටଵ  ൅  ଵ  ή  ܵ ‫ ݐ‬ሺ݊ ൅ ݉ െ ʹሻቇ, ܵ ଶ  ൌ  ௡ௌ೉ ା௠ௌೊ : 199. തതതത തതതത ൅݉ െ ʹሻǡλቇ, ቆെλǡܺ ௣ ఈ ௣ ௡ ௠ ௡ା௠ିଶ మ ௌబ೉ మ  ή ܵଵିఈ ሺ݉ ௌబೊ

െ ͳǡ ݊ െ ͳሻǡλ൰ǡ൬െλǡ

௡ ൅  ௌబ೥ ‫ ݐ‬ሺ݊ തതതത ൬െλǡܼ ξ௡ ఈ

మ ௌబ೉ మ ௌబೊ

௡ െ  ௌబ೥ ‫ ݐ‬ሺ݊ െ ͳሻǡ λቁ, തതതത ή ܵఈ ሺ݉ െ ͳǡ ݊ െ ͳሻ൰: 200. ቀܼ ఈ ξ௡

െ ͳሻ൰: 201. ߬ ‫ א‬ሺെͲǤͳʹ͹ǡ ͳǤͷʹ͹ሻ: 202. ሺെͺǤ͵ͷͷǡ െͳǤͶͶͷሻ: 203.ሺͲǤͷͺ͵ǡ

ͳǤ͸Ͷ͸ሻ: 204. തതതതതതത

‫ ݖ‬௡ା௠ = 12.318, ‫ݏ‬௭ଶ ൌ ͲǤͻʹǡ ߠଵ ‫ א‬ሺͳͳǤͻͲͶǡ ͳʹǤ͹͵ʹሻ, ߠଶଶ ‫ א‬ሺͲǤͷͺͶǡ ͳǤͺͷͷሻ: 205. ሺͳǤͶͳʹǡ ʹǤͷͺͺሻ: 206. ሺെͳǤͳ͸͹ǡ ͲǤͻͳ͹ሻ: 207. ( 0.245, 7.953):

§ 13. Վարկածների ստուգում: Սկզբնական գաղափարներ 208. բ) : 209. ա) ߙఝ ሺߠሻ ൌ ͲǤͳ, բ) ߚఝ ሺʹǤͷሻ ൌ ͲǤ͵ʹ, գ) ܹఝ ሺߠሻ ൌ ͳ െ 211. ܿఈ ൌ ʹሺͳ െ ߙሻଵΤ௡ , ܹఝ ሺߠሻ ൌ ͳ െ

௖ ௡ ቀఏቁ ,

ଵǤ଼ ఏ

: 210. ա) ոչ, բ) այո :

հայտանիշն անշեղ է և ունակ : 212. ߙ ൌ ߝ, ܹఝ ሺߠሻ ൌ

௜ ߠ ௜ ሺͳ െ ߠሻଵ଴ି௜ ǣ 214. ൌ ͳ െ ሺͳ െ ߝሻ , հայտանիշն անշեղ է : 213. ߙ ൌ ͲǤ͵ͺǡ ܹఝ ሺߠሻ ൌ ͳ െ σହ௜ୀ଴ ‫ܥ‬ଵ଴ ఏ

ա) ߙఝ ሺߠሻ ൌ ͲǤʹͷʹ ሺͲǤͳ͵ʹሻ, բ) ܿ ൌ ͳͶ : 215. ߚఝ ሺͲǤ͵ሻ ൎ ͲǤͶ , ܿఈ ൌ ͸ : 216. Վարկածը չի

հերքվում, ܹఝ ሺߠሻ ൌ Ȱሺʹߠ െ ‫ݖ‬ఈ ሻ, հայտանիշն անշեղ է և ունակ : 217. Վարկածները չեն

հերքվում : § 14. Երկու պարզ վարկածի սուգում: Նեյման – Պիրսոնի ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ 218. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ

೙ ିఏ തതതത ௫ బ  ξ݊  ൑ ఙ

ఏభ ିఏబ ξ݊ ఙ

െ‫ݖ‬ఈ ቅ, ߚఝ ሺߠଵ ሻ ൌ Ȱ ቀ

ఏబ ିఏభ  ξ݊  െ ఙ

൅ ‫ݖ‬ఈ ቁ, ܹఝ ሺߠଵ ሻ ൌ Ȱ ቀ

െ‫ݖ‬ఈ ቁ, հայտանիշն ունակ է և անշեղ : 219. ૚Ǥ൫ࣂ૛૚ ൐ ࣂ૛૙ ൯՝աሻࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫ ׷‬

ଵ σ௡௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ ఏబమ

െ ݉ሻଶ ൒

ʹ

൒  ߯ఈଶ ሺ݊ሻቅǡ բሻߙఝ ሺߠ଴ ሻ ൌ ߙǡ ߚఝ ሺߠଵ ሻ ൌ ԯ௡ ൭

ߠͲ ଶ ૛ ૛ ʹ ή ߯ఈ ሺ݊ሻ൱ǡ գ) հայտանիշն անշեղ է :૛Ǥ ൫ࣂ૚ ൏ ࣂ૙ ൯ ߠͳ ߠʹ

ଶ ሺ݊ሻሽǡբሻߙఝ ሺߠ଴ ሻ ൌ ߙǡߚఝ ሺߠଵ ሻ ൌ  ͳ െ ԯ݊ ቆ Ͳʹ ߯ʹͳെߙ ሺ݊ሻቇ ǡ աሻࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡  ‫  ׷‬σ௡௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ െ ݉ሻଶ ൑ ߯ଵିఈ

ߠͳ

գሻհայտանիշնանշեղէ ‫ ׷‬220. 1. ա) ࣲଵఈ ൌ ‫ ࣲ א‬ǣ݊ ή ത‫ݔ‬തത௡ത  ൑ ܿଵ ሺߙሻሽ, ܿଵ ൌ ܿଵ ሺߙሻ- ն բավաᇱᇱ րարում է ߙ ൌ ९ሺܿଵ Ǣ ݊ǡ ߠ଴ ሻ ൏ ߙ ൑ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠ଴ ሻ ൌ ߙ ᇱ պայմանը, ߙ ᇱ ൌ ߙ դեպքում այն կլինի ոչ ռանդոմիզացված, բ) ܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠଵ ሻ: ૛Ǥաሻߙ ൏ ߙ ᇱ դեպքում ռանդոմիǦ ሼ‫ ݔ‬௡

զացված հայտանիշնէ

௡

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

 തതത௡ത  ൏ ܿଵ  ͳǡեթե݊ ή ‫ݔ‬ ᇲᇲ

ఈିఈ തതത௡ത  ൌ ܿଵ  , ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൞ ߝఈ ൌ  ᇲ ᇲᇲ ǡ եթե݊ ή ‫ݔ‬ ఈ ିఈ തതത௡ത  ൐ ܿଵ  Ͳǡեթե݊ ή ‫ݔ‬ ௖భ

ఏ

௡ି௖భ

ଵିఏ

բሻܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ९ሺܿଵ Ǣ ݊ǡ ߠଵ ሻ ൅  ሺߙ െ ߙ ᇱᇱ ሻ ή ቀఏభ ቁ ቀଵିఏభ ቁ

బ

൑ െ‫ݖ‬ఈ ൠ ǡ ܹఝ ሺߠଵ ሻ̱Ȱ ൬

ୡಉ ሺ௡ሻି௡ήఏభ

ඥ௡ఏభ ሺଵିఏభ ሻ

஑ ሺ݊ሻ

൰ǡ

బ

‫ ׷‬221. ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ

തതതത ௫ ೙ ିఏబ

ඥఏబ ሺଵିఏబ ሻ

ή ξ݊  ൑

ൌ ݊ߠ଴ െ ‫ݖ‬ఈ ή ඥ݊ߠ଴ ሺͳ െ ߠ଴ ሻ: 222. 1. ա) ࣲଵఈ ൌ {‫ ݔ‬௡ ‫א‬

‫ ࣲ א‬௡ ǣܶ௡ ൌ ݊ ή ത‫ݔ‬തത௡ത  ൒ ܿଵ ሺߙሻ}, ܿଵ ൌ ܿଵ ሺߙሻ - ն բավարարում է ߙ ᇱᇱ ൌ ͳ െ Սఏబ ሺܿଵ ൅ ͳሻ ൏ ߙ ൑ ൑ ͳ െ Սఏబ ሺܿଵ ሻ ൌ ߙ ᇱ պայմանը, ߙ ᇱ ൌ ߙ դեպքում այն կլինի ոչ ռանդոմիզացված, բ) ܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ͳ െ Սఏభ ሺܿଵ ሻ: ૛Ǥաሻߙ ൏ ߙ ᇱ դեպքումռանդոմիզացվածհայտանիշնէ՝ ͳǡեթեܶ௡  ൒ ܿଵ ߮

‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ

ఈିఈ ᇲᇲ

ൌ ൞ߝఈ ൌ ᇲ ᇲᇲ ǡ եթե ܶ௡  ൌ ܿଵ , ఈ ିఈ Ͳǡեթեܶ௡  ൏ ܿଵ ఏ

௖భ

հզորությունը՝ܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ቀͳ െ Սఏభ ሺܿଵ ൅ ͳሻቁ  ൅  ሺߙ െ ߙ ᇱᇱ ሻ ή ቀఏభ ቁ ݁ ି௡ሺఏభ ିఏబ ሻ ‫ ׷‬223. ૚Ǥࣂ૚ ൐ ࣂ૙ ՝ బ

ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ ࣲଵఈ  ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ

തതതത ௫ ೙ ିఏబ ඥఏబ തതതത ௫ ೙ ିఏబ ඥఏబ

ఏభ ିఏబ

ξ݊  ൒  ‫ݖ‬ఈ ൠǡ ܹఝ ሺߠଵ ሻ ൎ Ȱ ൬

ඥఏభ

ఏ

బ ξ݊ െ  ‫ݖ‬ఈ ටఏ ൰ մեծ݊Ȃ երիդեպքումǣ૛Ǥࣂ૚ ൏ ࣂ૙ ՝ భ

ఏబ ିఏభ

ή ξ݊  ൑ െ‫ݖ‬ఈ ൠ ǡ ܹఝ ሺߠଵ ሻ ൎ Ȱ ൬

ඥఏభ

ఏ

ή ξ݊  െ ‫ݖ‬ఈ ටఏబ ൰ǣ 224. 1. ա) ߙ չափի Նեյման భ

െ Պիրսոնի հայտանիշի կրիտիկական տիրույթն է՝ ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣ݊ ή ത‫ݔ‬തത௡ത  ൒ ܿଵ ሺߙሻሽ, ܿଵ ൌ ܿଵ ሺߙሻ - ն բավարարում է ߙ ᇱᇱ ‫ ͳ ؠ‬െ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ൏ ߙ ൑ ͳ െ ९ሺܿଵ Ǣ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ‫ ߙ ؠ‬ᇱ պայմանը, ߙ ᇱ ൌ ߙ դեպքում կլինի ոչ ռանդոմիզացված, բ) հզորությունը՝ ܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ  ൌ ͳ െ ९ሺܿଵ Ǣ ݇݊ǡ ߠଵ ሻǣ ૛Ǥ աሻߙ ൏ ൏ ߙ ᇱ դեպքումռանդոմիզացվածհայտանիշնէ՝ തതത௡ത  ൐ ܿଵ  ͳǡեթե݊ ή ‫ݔ‬ ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൞ ߝఈ ൌ

ఈିఈ ᇲᇲ ǡեթե݊

ఈ ᇲ ିఈᇲᇲ

തതത௡ത  ൌ ܿଵ  ǣ ή‫ݔ‬ തതത௡ത  ൏ ܿଵ  Ͳǡեթե݊ ή ‫ݔ‬ ఏ ௖భ ଵିఏభ ௡௞ି௖భ ቁ ǣ ఏబ ଵିఏబ

բሻܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ͳ െ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݊݇ǡ ߠଵ ሻ  ൅ ሺߙ െ ߙ ᇱᇱ ሻ ቀ భ ቁ ቀ

൑

ଵ

߯ ଶ ሺʹ݊ሻቅ ǡ

ଶఏబ ଵିఈ

225.ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣσ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ൑

ఏ ఏబ

ଶ ሺʹ݊ሻቇǣ

ܹఝ‫ כ‬ሺߠଵ ሻ ൌ ԯଶ௡ ቆ భ ߯ଵିఈ

226. ࣲଵ ൌ ሼ‫ א ݔ‬Թǣሺܿ െ ͳሻ‫ ݔ‬ଶ െ ʹܿ‫ ݔ‬൅ ʹܿ െ ͳ ൑ Ͳሽǡ ଵ ଶ

ଵ ଶ

ଵ గ

ࢉ ൌ ૚` ࣲଵ ൌ ሼ‫ א ݔ‬Թ ‫ ݔ ׷‬൒ } , ߙఝ ሺͲሻ ൌ  െ ή ƒ” –‰ ൌ ሼ‫ א ݔ‬Թǣͳ ൑ ‫ ݔ‬൑ ͵}, ߙఝ ሺͲሻ ൌ ൐ ‫ݖ‬ఈ ሽǡ բሻ݉଴ ൌ ቈ

ଵ ቀƒ” గ

మ ௡൫௭ഀ ା௭ഁ ൯ ఙమమ మ ௡οమ ି൫௭ഀ ା௭ഁ ൯ ఙభమ

–‰͵ െ

గ ቁ, ସ

ଵ ଶ

ଵ ଶ

ଵ గ

ଵ ଶ

, ߚఝ ሺͳሻ ൌ  െ ή ƒ” –‰ ,

ߚఝ ሺͳሻ ൌ ͳ െ

ଵ ܽ” గ

ࢉ ൌ ૛`ࣲଵ ൌ

–‰ʹ: 227. աሻࣲଵఈ ൌ ሼ‫ݐ‬ǣܶ ൌ ‫ ݐ‬൐ ଶ

቉ ൅ ͳǣ 228. ࣲଵఈ ൌ ൛‫ א ݔ‬Թ ‫ ݔ ׷‬൑ ξߙൟ, ܹఝ ሺԶଵ ሻ ൌ ͳ െ ൫ͳ െ ξߙ൯ :

229. ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ א ݔ‬Թ ‫ ݔ ׷‬൒ ͳ െ ߙሽ, ߚఝ ሺԶଵ ሻ ൌ ሺͳ െ ߙሻଶ : 230. ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ א ݔ‬ԹǣͲ ൑ ‫ ݔ‬൑ ߙሽ, ܹఝ ሺԶଵ ሻ ൌ തതത௡ത െ ߠ଴ିଵ ሻξ݊  ൑ െ‫ݖ‬ఈ ൟ, ܹఝ ሺߠଵ ሻ ՜ ͳ, երբ ݊ ՜ λ: 232. ࣲଵఈ ൌ ൌ ͳ െ ݁ ିఈ : 231. ࣲଵఈ = ൛‫ ݔ‬௡ ǣߠ଴ ሺ‫ݔ‬ തതത௡ത  ൑ ଵିఏబ ൅ ଵିఏమ బ ή ௭ഀ ቅǡܹఝ ሺߠଵ ሻ ՜ ͳǡ երբ݊ ՜ λ ‫ ׷‬233. ࣲଵఈ ൌ ൛‫ א ݔ‬Թǣ‫ ݔ‬൏ ξߙൟ, ܹఝ ሺߠሻ ൌ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ‫ݔ‬ ఏబ

ఏబ

ξ௡

ൌ ߙ ఏΤଶ : 234. ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ א ݔ‬Թǣ‫ ݔ‬൒ ͳ െ ߙሽ, ܹఝ ሺߠሻ ൌ ͳ െ ሺͳ െ ߙሻఏାଵ : 235. ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣσ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ൑ ൑ ʹሽǡ ܹఝ ሺͳΤͶሻ ൌ ͲǤͷʹ͸: 236. ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣσ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ൒ ͳͶሽ՝ վարկածըߙ ൌ ͲǤͲͷͺմակարդակով

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

չի հերքվում, ߚఝ ሺͲǤ͹ሻ ൌ ͲǤ͵ͻʹ: 237. ߙ ൌ ͲǤͲͳ մակարդակով վարկածը չի հերքվում, ߙ ൌ ͲǤͲͷ – ով այն հերքվում է , ߚఝ ሺ͵ΤͶሻ ൎ ͲǤͲͲͳ, երբ ߙ ൌ ͲǤͲͳ և ߚఝ ሺ͵ΤͶሻ ൎ ͲǤͲͲͲͳ, երբ ߙ ൌ ͲǤͲͷ : 238. ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ǣσ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ൐ Ͳሽǡ որտեղ σ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ՝݊անկախփորձերումդրականելքերիթիվնէሺ‫ݔ‬௜ ൌ Ͳ կամ ‫ݔ‬௜ ൌ ͳ), ߙఝ ሺͲሻ ൌ Ͳ, ߚఝ ሺͲǤͲͳሻ ൌ ሺͲǤͻͻሻ௡ , ݊ ൒ ͶͷͶ: 239. Վարկածը հերքվում է, ܹఝ ሺʹሻ ൌ ͳǡ եթե σ ‫ݔ‬௜ ൐ ͳͺ ൌ ͲǤͺͻͷ: 240. Վարկածը հերքվում է : 241. ܹఝ‫ כ‬ሺʹሻ ൌ ͲǤ͹ͷͷǡ ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ቐ͵Τ͹ǡ եթե σ ‫ݔ‬௜ ൌ ͳͺǣ Ͳǡ եթե σ ‫ݔ‬௜ ൏ ͳͺ തതത௡ത  ൒ ͳ͸ሽ, ߙఝ ሺͳͷሻ ൌ ͲǤͲͷǡ ߚఝ ሺʹͲሻ ൎ Ͳ, բ) ݊଴ ൌ ͸: 243. Վարկածը 242. ա) ࣲଵఈ ൌ ሼ‫ ݔ‬௡ ‫ ࣲ א‬௡ ǣ‫ݔ‬

չի հերքվում, ܹఝ ሺߠଵ ሻ ൎ ͲǤͻͺ͸: 244. Վարկածը չի հերքվում: 245. Վարկածը հերքվում է,

ܹఝ ሺߠଵ ሻ ൎ ͳ:

§ 15. Միակողմանի բարդ վարկածների ստուգում ఏିఏబ ξ௡ തതത௡ ξ௡ തതത௡ തെ ሺ‫ ݔ‬ത െ ߠ଴ ሻ ൐ ‫ݖ‬ఈ ቅ, ܹఝ ሺߠሻ ൌ Ȱ ቀ  ξ݊  െ ‫ݖ‬ఈ ቁ, բ) ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ ሺ‫ݔ‬ ఙ ఙ ఙ ఏ ିఏ ଵ

ଶ ሺ݊ሻቅǡ

െߠ଴ ሻ ൏ െ‫ݖ‬ఈ ቅ, ܹఝ ሺߠሻ ൌ Ȱ ቀ బఙ  ξ݊  െ ‫ݖ‬ఈ ቁ: 247. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬ఏమ ή  σ௡௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ െ ݉ሻଶ ൏ ߯ଵିఈ బ ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൐ ܿଵ ሺߙሻ ఏబమ ఈିఈᇲᇲ ଶ ሺ݊ሻቇǣ ܹఝ ሺߠሻ  ൌ  ԯ௡ ቆఏమ  ή ߯ଵିఈ 248. ա) ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൞ ߝఈ ൌ ᇲ ᇲᇲ ǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൌ ܿଵ ሺߙሻ ǡ ఈ ିఈ Ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൏ ܿଵ ሺߙሻ

246. ա) ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ

ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ σ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ǡ ߙ ᇱᇱ ൌ ͳ െ ९ሺܿଵ ሺߙሻ ൅ ͳǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ൏ ߙ ൑ ͳ െ ९ሺܿଵ ሺߙሻǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ  ൌ ߙ ᇱ ,  ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൏  ܿଵ ሺߙሻ ఈିఈᇲᇲ

բ) ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൞ ߝఈ ൌ  ᇲ ᇲᇲ ǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൌ ܿଵ ሺߙሻ : ߙ ᇱᇱ ൌ ९ሺܿଵ ሺߙሻǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ൏ ߙ ൑ ९ሺܿଵ ሺߙሻ ൅ ఈ ିఈ Ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଵ ሺߙሻ

൅ͳǢ ݇݊ǡ ߠ଴ ሻ ൌ ߙ ᇱ : 249. ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ

തതതത ௫ ೙ ି௞ఏబ

ඥ௞ఏబ ሺଵିఏబ ሻ

ή ξ݊  ൒ ‫ݖ‬ఈ ൠ ǡ բሻࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ

തതതത ௫ ೙ ି௞ఏబ

ඥ௞ఏబ ሺଵିఏబ ሻ

ή ξ݊  ൑ െ‫ݖ‬ఈ ൠǣ

ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଵ ሺߙሻ ఈିఈ ᇲᇲ ǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ܿଵ ሺߙሻǡ

ఈ ᇲ ିఈᇲᇲ

Ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൏ ܿଵ ሺߙሻ

250. ա) ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൞ߝఈ ൌ

որտեղߙ ᇱᇱ ൌ ͳ െ Ս௡ఏబ ሺܿଵ ሺߙሻ ൅ ͳሻ ൏ ߙ ൑ ͳ െ Ս௡ఏబ ൫ܿଵ ሺߙሻ൯ ൌ ߙ ᇱ ǡ ͳǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ ሺߙሻ բ) ߮‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ൞

ఈିఈᇲᇲ ǡեթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ

ఈ ᇲ ିఈᇲᇲ

௡ሻ

Ͳǡեթեܶሺ‫ݔ‬

ൌ ܿଵ ሺߙሻǡ

 ൐ ܿଵ ሺߙሻ

որտեղߙ ᇱᇱ ൌ Ս௡ఏబ ൫ܿଵ ሺߙሻ൯  ൏ ߙ ൑  Ս௡ఏబ ሺܿଵ ሺߙሻ ൅ ͳሻ  ൌ ߙ ᇱ ‫ ׷‬251. ա) ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ բሻࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ

തതതത ௫ ೙ ିఏబ ඥఏబ

ή ξ݊  ൑ െ‫ݖ‬ఈ ൠǣ 252. աሻࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣσ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ൑ 

ଵ ଶఏబ

തതതത ௫ ೙ ିఏబ ඥఏబ

ξ݊  ൒  ‫ݖ‬ఈ ൠ,

ଶ ሺʹ݊ሻ ή ߯ଵିఈ

ቅǡ ܹఝ‫ כ‬ሺߠሻ ൌ

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

ఏ

ଵ

ఏ

ଶ ሺʹ݊ሻቇǡ

բሻࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫ ׷‬σ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜  ൒  ଶఏ ή ߯ఈଶ ሺʹ݊ሻቅ ǡ ܹఝ‫ כ‬ሺߠሻ ൌ ͳ െ  ԯଶ௡ ቆఏ ή ߯ఈଶ ሺʹ݊ሻቇǣ ൌ ԯଶ௡ ቆఏ ή ߯ଵିఈ బ

బ

బ

തതത௡ത െ ߠ଴ିଵ ሻξ݊  ൑ െ‫ݖ‬ఈ ൟ, բ) ࣲଵఈ = ൛‫ ݔ‬௡ ‫ߠ  ׷‬଴ ሺ‫ݔ‬ തതത௡ത െ ߠ଴ିଵ ሻξ݊  ൒  ‫ݖ‬ఈ ൟ : 254. 253. ա) ࣲଵఈ = ൛‫ߠ  ׷ ݔ‬଴ ሺ‫ݔ‬ ௡

೙

೙

ա) ࣲଵఈ = ൛‫ ݔ‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൒  ߠ଴  ξͳ െ ߙൟ, բ) ࣲଵఈ = ൛‫ ݔ‬௡ ǣܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ  ൑  ߠ଴  ξߙ ൟǣ 255. Վարկածը չի հերք-

վում : 256. Վարկածը չի հերքվում : 257. Վարկածը հերքվում է : 258. Վարկածը չի հերքվում : 259. Վարկածը չի հերքվում : 260. Վարկածը հերքվում է : 261. Վարկածը չի հերքվում : 262. Վարկածը հերքվում է : 263. Վարկածը չի հերքվում ( ավտոդողերն ընդունելը նպատակահարմար չէ ): 264. Վարկածը հերքվում է՝ ավտոդողերը կընդունվեն, ߚఝ ሺ͵ͺͲͲͲሻ ൌ 0.8133 : ա) ݊଴ ൎ 123, բ) ߙ ൎ 0.0045 : 265. ա) Վարկածը հերքվում է, բ) ߙ ൌ ൌ0.002, գ) ߚఝ ሺ͹Ͳሻ ൎ Ͳ,055, դ) ݊଴ ൎ ʹͺ ‫ ׷‬266. ԯ଴ : ߤ ൌ ͵ʹͲͲ պ.մ. վարկածն ընդդեմ ԯଵି : ߤ ൏ ͵ʹͲͲ պ.մ. երկընտրանքայինի հերքվում է՝ աղյուսը կարելի է օգտագործել շինարարության համար: 267. Վարկածը չի հերքվում : 268. Վարկածը հերքվում է , գործարանի ղեկավարության հայտարարությունը մերժվեց : 269. Վարկածը հերքվում է, ընկերությունը կարող է ընդունել բարելավումների ծրագիրը: 270. Վարկածը չի հերքվում, ֆինանսական տեսաբանների հայտարարությունը չհամապատասխանեց փորձի արդյունքներին:

§ 16. Պարզ վարկածի ստուգում ընդդեմ երկկողմանի բարդ երկընտրանքային վարկածը 271. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ ఏ െԯଶ௡ ቆఏ బ

ή

߯ఈଶమ ሺʹ݊ሻቇ,

ଵ ߯ ଶ ሺʹ݊ሻ ଶఏబ ఈమ

൑  σ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ ൑ 

ߙଵ ൅ ߙଶ ൌ ߙ: 272. ߮

ଵ

߯ ଶ ሺʹ݊ሻቅ ǡ ܹఝ‫ כ‬ሺߠሻ

ଶఏబ ଵିఈభ

‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬௡ ሻ

ൌ ԯଶ௡ ቆ

ఏ ఏబ

ଶ ሺʹ݊ሻቇ െ ή ߯ଵିఈ భ

ͳǡ եթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଵ կամܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൐ ܿଶ ൌ ቐߝ௜ ǡ եթեܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൌ ܿ௜ ǡ ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ Ͳǡեթեܿଵ ൏ ܶሺ‫ ݔ‬௡ ሻ ൏ ܿଶ 

௡

որտեղܶሺ‫ݔ‬

௡ሻ

ൌ ෍ ‫ݔ‬௜ ǡ իսկܿ௜ ևߝ௜ ǡ݅ ൌ ͳǡ ʹթվերըգտնվումենհետևյալպայմաններից՝ ௜ୀଵ ଶ

९ሺܿଶ Ǣ ݊ǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿଵ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠ଴ ሻ ൅  ෍ሺͳ െ ߝ௜ ሻሾ९ሺܿ௜ ൅ ͳǢ ݊ǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿ௜ Ǣ ݊ǡ ߠ଴ ሻሿ  ൌ ͳ െ ߙǡ ௜ୀଵ ଶ

९ሺܿଶ െ ͳǢ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿଵ Ǣ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻ ൅ ෍ሺͳ െ ߝ௜ ሻሾ९ሺܿ௜ Ǣ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻ െ ९ሺܿ௜ െ ͳǢ ݊ െ ͳǡ ߠ଴ ሻሿ ൌ ௜ୀଵ

=ͳെߙ: 273. ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣฬ

തതതതത ௫ ೙ ିఏబ

ඥఏబ ሺଵିఏబ ሻ

ఏబ ିఏ

ξ݊ฬ ൒  ‫ݖ‬ఈΤଶ ൠ, ܹఝ‫ כ‬ሺߠሻ ൌ Ȱ ൬ඥఏ

ఏିఏబ

బ ሺଵିఏబ ሻ

തതതത ௫ ೙ ିఏబ

െ‫ݖ‬ఈΤଶ ൰: 274. ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣฬ

ඥఏబ

ξ݊െ‫ݖ‬ఈΤଶ ൰ ൅ Ȱ ൬ඥఏ

ఏబ ିఏ

ξ݊ฬ ൒ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൠ, ܹఝ‫ כ‬ሺߠሻ ൌ Ȱ ൬

ඥఏబ

బ ሺଵିఏబ ሻ

ఏିఏబ

ξ݊ െ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൰ ൅ Ȱ ൬

ඥఏబ

ξ݊  െ ξ݊ െ

െ‫ݖ‬ఈΤଶ ൰: 275. Վարկածը չի հերքվում : 276. Վարկածը հերքվում է : 277. Վարկածը չի հերք-

վում: 278. ૙Ǥ ૙૛ մակարդակով վարկածը չի հերքվում, ૙Ǥ ૙૜ - ով՝ հերքվում է : 279. Վարկածը չի հերքվում, Զ -արժեքը հավասար է 0.3174: 280. Վարկածը չի հերքվում, Զ -արժեքը հավասար է 0.484 : 281. 0.01 մակարդակով վարկածը չի հերքվում, 0.03 -ով այն հերքվում է : 282. Վարկածը չի հերքվում : 283. ա) Վարկածը չի հերքվում, բ) ߚఝ ሺͻͶሻ ൎ ͲǤʹʹͶ: 284. Տոմսի գինը 0.05 մակարդակով փոխվել է, ߙ௠௔௫ ൌ ͲǤͲͳͳͻ: 285. Հարաբերությունը չի փոխվել :

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

§ 17. Վարկածների ստուգում և միջակայքային գնահատականներ ௡ െߠ ሻ ξ௡  ൏ െ‫ ݖ‬ቅ: തതതത 286. ՀԱՀ հայտանիշի կրիտիկական տիրույթն է՝ ࣲଵఈ ሺߠ଴ ሻ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣሺ‫ݔ‬ ଴ ఙ ఈ

287. ࣲଵఈ ሺߠ଴ ሻ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ

ଵ ௡ σ ሺ‫ݔ‬ ఏబమ ௜ୀଵ ௜

ଶ ሺ݊ሻ  ‫ ׫‬ െ ݉ሻଶ ൏ ߯ଵିఈ భ

տանիշի կրիտիկական տիրույթն է, ߙଵ ൅ ߙଶ ൌ ߙ

և

ଵ ௡ σ ሺ‫ݔ‬ ఏబమ ௜ୀଵ ௜ మ ሺ௡ሻ ఞഀ మ మ ሺ௡ሻ ఞభషഀ భ

െ ݉ሻଶ ൐ ߯ఈଶమ ሺ݊ሻቅ ǡ  ՀԱՀ հայଵ

௡

ଶ ሺ݊ሻቁቅ: =‡š’ ቄ ቀ߯ఈଶమ ሺ݊ሻ െ  ߯ଵିఈ భ

288. ՀԱՀ հայտանիշի կրիտիկական տիրույթն է՝ ࣲଵఈ ൌ  ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ

ଵ ௡ σ ሺ‫ݔ‬ ఏబమ ௜ୀଵ ௜

ଵ

ξ௡ିଵ

ଶ ሺ݊ሻ ௡ െ ߠ ሻ തതതത ቀࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ ఏమ σ௡௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ െ ݉ሻଶ ൏ ߯ଵିఈ ቅቁǣ 289. ࣲଵఈ ሺߠଵ଴ ሻ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣሺ‫ݔ‬ ଵ଴ బ

௡ െ ߠ ሻ തതതത ቀࣲଵఈ ሺߠଵ଴ ሻ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣሺ‫ݔ‬ ଵ଴

ξ௡ିଵ

ଶ ሻ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫ ׷‬ ൏ െ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ െ ͳሻቅቁ: 290. ࣲଵఈ ሺߠଶ଴

మబ

ଵ ௡

ቀࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫ ׷‬

ଵ ௡ మ σ௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ ఏమబ

൐ ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ െ ͳሻቅ,

ଵ ௡ మ σ௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ ఏమబ

ଵ ଶ ௡ ሻଶ  ൐ ߯ ଶ ሺ݊ െ ͳሻቅ, որտեղ ߙ  ൅  ߙ ൌ ߙ തതതത ሺ݊ െ ͳሻ  ‫  ׫‬మ σ௡௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ ൏ ߯ଵିఈ ఈమ ଵ ଶ భ ఏ ଶ ሺ݊ െ ͳሻቅ: 291. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫ ׷‬ ൌ ‡š’ ቄ ቀ߯ఈଶమ ሺ݊ െ ͳሻቁ  െ ߯ଵିఈ భ

െ ݉ሻଶ  ൐  ߯ఈଶ ሺ݊ሻቅ

և

௡ ሻଶ ൏ തതതത െ‫ݔ‬

మ ሺ௡ିଵሻ ఞഀ మ మ ሺ௡ିଵሻ ఞభషഀ భ

ଵ ௡ ଶ ௡ ଶ തതതത మ σ௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜  െ  ‫ ݔ‬ሻ  ൐  ߯ఈ ሺ݊ ఏమబ

ൌ

െ ͳሻቅ

௡ ௡ ሻଶ ൏  ߯ ଶ ሺ݊ െ ͳሻቅቁǣ 292. ࣲ തതതത െ‫ݔ‬ ଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬ǣ‫ݔ‬ሺଵሻ ൑ ߠ଴  ‫ݔ  ׫‬ሺଵሻ ൒ ߠ଴ െ ଵିఈ

ଵ

ଵ

െ ௡ Ž ߙቅ: 293. ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬௡ ǣ‫ݔ‬ሺ௡ሻ ൑ ߠ଴ ή ξߙ  ‫ݔ  ׫‬ሺ௡ሻ ൒ ߠ଴ ൟǣ 294. ࣲଵఈ  ൌ  ൜‫ ݔ‬௡ ‫  ׷‬σ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ఒ  ൑  ഊ ή ଶఏ ೙

బ

ή

ଵ ଶ ௡ ఒ ߯ଵିఈ Τଶ ሺʹ݊ሻ ‫  ׫‬σ௜ୀଵ ‫ݔ‬௜  ൒  ଶఏഊ

ή

బ

߯ఈଶΤଶ ሺʹ݊ሻൠǣ

295. Վարկածը հերքվում է : 296. Վարկածը չի

հերքվում : 297. ա) Վարկածը չի հերքվում, բ) Վարկածը չի հերքվում : 298. Վարկածը չի հերքվում : 299. Վարկածը չի հերքվում : 300. Վարկածը չի հերքվում : 301. Վարկածը հերքվում է : 302. Վարկածը հերքվում է : 303. Վարկածը չի հերքվում : 304. Վարկածը հերքվում է : 305. ԯ଴ : ߤ ൌ ͳͲͲ սմଷ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤ ് 100 սմଷ երկընտրանքայինի չի հերքվում : 306. ԯ଴ : ߤ ൑ 28.9Ԩ վարկածն ընդդեմ ԯଵ : ߤ ൐ 28.9Ԩ երկընտրանքայինի չի հերքվում : 307. Վարկածը չի հերքվում : 308. Վարկածը չի հերքվում : 309. Վարկածը հերքվում է, տվյալները չեն հակասում հայտարարությանը:

310. Ստուգվում է

ି ԯା ૙ : ࣌ ൒ ૛ վարկածն ընդդեմ ԯ૚ : ࣌ ൏ ૛ երկընտրանքայինի, ըստ ստացված տվյալների

ընկերության պահանջները 0.01 մակարդակով ି ࣲଵఈ

ሼሺ‫ ݔ‬௡

ൌ

ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݖ‬଴

൏ െ‫ݖ‬ఈ ሽ,

ା ࣲଵఈ

ൌ

ሼሺ‫ ݔ‬௡

ା ି ଴ 312. ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݖ‬௡ǡ௠ ൏ െ‫ݖ‬ఈ ൟ, ࣲଵఈ ൌ

ൌ

௦మ ௦ೣమ  ൅  ೤ ǡ‫ݏ‬௫ଶ ௡ ௠

௡

௠ ή ‫ݏ‬௬ଶ ௡ା௠ିଶ ೘ തതതതത തതതതത ௫ ೙ ି௬

ή ‫ݏ‬௫ଶ  ൅ 

భ భ ෡ ෡ ൯ ටቀ ା ቁఏ ൫ଵିఏ ೙

311.

೙ ି௬ ೘ ିఛ തതതത തതതതത ௫ ఙమ ఙమ బ ൐ ‫ݖ‬ఈ ሽ, ‫ݖ‬଴ ൌ ǡߪ ଶ ൌ ೉  ൅  ೊ ‫׷‬ ఙ ௡ ௠ ೙ ି௬ ೘ ିఛ  തതതതത തതതതത ௫ బ ଴ ௡ ௠ ሻǣ‫ ݖ‬଴ ଶ ǡ‫ ݏ‬ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ ௡ǡ௠  ൐ ‫ݖ‬ఈ ൟ, ‫ݖ‬௡ǡ௠ ൌ

ଵ ି ௡ ௠ ௠ ଶ തതത௡തሻଶ ǡ‫ݏ‬௬ଶ ൌ  ଵ σ௠ തതതത ൌ  σ௡௜ୀଵሺ‫ݔ‬௜ െ ‫ݔ‬ ௜ୀଵሺ‫ݕ‬௜ െ ‫ ݕ‬ሻ ‫ ׷‬313. ࣲଵఈ ൌ ሼሺ‫ ݔ‬ǡ ‫ ݕ‬ሻǣ‫ݐ‬଴ ൏

൏ െ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ ൅ ݉ െ ʹሻሽ,

ൌ

չեն բավարարվում : Երկու նմուշ՝

ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݖ‬଴

௠

ା ࣲଵఈ

ൌ {ሺ‫ݔ‬

௡

ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݐ‬଴

൐  ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ ൅ ݉ െ ʹሻሽǡ‫ݐ‬଴ ൌ 

೘ ିఛ തതതതത തതതതത ௫ ೙ ି௬ బ భ భ ௦೛ ට ା  ೙ ೘

ǡ‫ݏ‬௣ଶ  ൌ 

௡ ή ௡ା௠ିଶ

ା ି ଴ ଴ ଴ ‫ ׷‬314. ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݖ‬௡ǡ௠ ൏ െ‫ݖ‬ఈ ൟ, ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݖ‬௡ǡ௠  ൐ ‫ݖ‬ఈ ൟ,‫ݖ‬௡ǡ௠ ൌ

ି  : 315. ա) ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣȁ‫ݐ‬଴ ȁ  ൒ ‫ݐ‬ఈΤଶ ሺ݊ െ ͳሻൟ, բ) ࣲଵఈ ൌ ሼሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݐ‬଴ ൑

೘

൑ െ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ െ ͳሻሽ, ଵ

തതതത ௭ ೙ ିఛబ ξ݊ ௦೥

ା գ) ࣲଵఈ ൌ ሼሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݐ‬଴  ൒ ‫ݐ‬ఈ ሺ݊ െ ͳሻሽ, ‫ݐ‬଴ ൌ 

௦మ

௡ ൌ‫ݔ‬ ௡ ǡ തതത௡ത  െ  ‫ݕ‬ തതതത െ ͳ , ‫ݖ‬തതത

ି ‫ ݖʹݏ‬ൌ  ௡ σ௡௜ୀଵሺ‫ݖ‬௜ െ ‫ݖ‬തതത௡ ሻଶ ǡ ‫ݖ‬௜ ൌ  ‫ݔ‬௜ െ ‫ݕ‬௜ ‫ ׷‬316. ࣲଵఈ ൌ ൜ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ బೣ  ൑  ܵଵିఈ ሺ݊ െ ͳǡ ݉ െ ͳሻൠ , ௦మ బ೤

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

௦మ

ା ൌ ൜ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ బೣ  ൒ ܵఈ ሺ݊ െ ͳǡ ݉ െ ͳሻൠ: 317. ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݐ‬௡ǡ௠ ൑ ܵଵିఈΤଶ ሺʹ݊ǡ ʹ݉ሻ ‫׫‬ ࣲଵఈ ௦మ బ೤

ି ା ‫ݐ  ׫‬௡ǡ௠  ൒  ܵఈΤଶ ሺʹ݊ǡ ʹ݉ሻൟ ൫ࣲଵఈ ൌ ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݐ‬௡ǡ௠ ൑  ܵఈ ሺʹ݊ǡ ʹ݉ሻൟǡࣲଵఈ ൌ  ൛ሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣ‫ݐ‬௡ǡ௠  ൒ തതതത ௫೙

൒ ܵଵିఈ ሺʹ݊ǡ ʹ݉ሻൟ൯, ‫ݐ‬௡ǡ௠ ൌ തതതതത 318. Վարկածը հերքվում է : 319. Վարկածը չի հերքվում : ೘ : 320. Վարկածը չի հերքվում : 321. Վարկածը չի հերքվում : 322. Վարկածը չի հերքվում : 323. Վարկածը չի հերքվում : 324. Վարկածը չի հերքվում, I տեսակի պլաստմասսան կըն-

դունվի : 325. Վարկածը հերքվում է : 326. «Ռեյտինգների» միջև էական տարբերություն չկա : 327. Ցրվածքների միջև էական տարբերություն չկա : 328. Վարկածը հերքվում է, միջին թվերը տարբերվում են: 329. Տեսական անխափան աշխատելու ժամանակները նույնն են:

§ 18. Ճշմարտանմանության հարաբերության հայտանիշ തതത௡ത ൏ ߠ଴ െ  330. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣ‫ݔ‬ ᇱ ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣ

ȁ௫ ೙ ିఏబ ȁ ඥఏబ

௭ഀ ቅ: ξ௡

ఏ

തതത௡ത െ ‫ݔ‬ തതത௡ത ή Ž బ೙ ቃ ൐ ߯ఈଶ ሺͳሻቅ կամ 331. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ‫ ݊ʹ ׷‬ቂߠ଴ െ ‫ݔ‬ തതതത തതതത ௫೙

തതത௡ത ቂŽ

ሻቃ  െ  Žሺͳ ൅ ത‫ݔ‬തത௡തሻ െ ή ξ݊ ൒ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൠǣ 332. ࣲଵఈ ൌ ቄ‫ ݔ‬௡ ǣʹ݊ ቄ‫ݔ‬ ೙ െ Žሺͳ െ ߠ଴ തതതതത ଵା௫ ௡೙ ௠೘

െŽ ߠ଴ ቅ ൒ ߯ఈଶ ሺͳሻቅǣ 333. ࣲଵఈ ൌ ቄሺ‫ ݔ‬௡ ǡ ‫ ݕ‬௠ ሻǣʹ ቂŽ ሺ௡ା௠ሻ೙శ೘  െ ݊ Ž ܶଵ െ ݉ Ž ܶଶ ቃ  ൒  ߯ఈଶ ሺͳሻቅ ǡ ܶଵ ൌ ௠ ௡ ௠ ௞ ௡ ൌ σ௡௜ୀଵ ܺ௜ Τሾσ௡௜ୀଵ ܺ௜  ൅  σ௠ ௜ୀଵ ܻ௜ ሿ ǡ ܶଶ ൌ σ௜ୀଵ ܻ௜ Τሾσ௜ୀଵ ܺ௜ ൅ σ௜ୀଵ ܻ௜ ሿǣ 334. ࣲଵఈ ൌ ൛‫ ݔ‬ǣʹ σ௝ୀଵ ݊௝ ή ௡

ଶ തതത௡ത൯ ൒ ߯ఈଶ ሺ݇ െ ͳሻൟǣ 335. ࣲଵఈ ൌ ൜‫ ݔ‬௡ ǣσ௞௝ୀଵ మೕ ή ൫‫ݏ‬଴௝ ή ‫ݔ‬ҧ௝ ൫Ž ‫ݔ‬ҧ௝ െ Ž ‫ݔ‬ െ ‫ݏ‬௝ଶ ൯ ൒ ߯ఈଶ ሺ݇ െ ͳሻൠ ǡ ݊ ൌ σ௞௝ୀଵ ݊௝ ǡ ఙ ೕ

ଶ ‫ݏ‬଴௝

ൌ

ଵ ௡ೕ σ ൫‫ݔ‬ ௡ೕ ௠ୀଵ ௝௠

ଶ

െ ߠ଴ ൯ ǡ

‫ݏ‬௝ଶ

ൌ

௡ೕ ଵ σ௠ୀଵ ൫‫ݔ‬௝௠ ௡ೕ

ଶ

௡

௡

ଵ

ೕ െ ‫ݔ‬ҧ௝ ൯ ǡ ‫ݔ‬ҧ௝ ൌ  ௡ σ௠ୀଵ ‫ݔ‬௝௠ ǡ‫ݔ‬௝ ೕ ൌ ቀ‫ݔ‬௝ଵ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௝௡ೕ ቁ ‫׷‬ ೕ

336. Վարկածը չի հերքվում : 337. Վարկածը չի հերքվում : 338. Վարկածը չի հերքվում : 339. Վարկածը չի հերքվում : 340. Վարկածը հերքվում է :͵ͶͳǤՎարկածը հերքվում է : ͵ͶʹǤՎարկածը չի հերքվում :͵ ͵Ͷ͵ǤՎարկածը չի հերքվում :͵ ͵ͶͶǤԺամանակները նույնն են :

§ 19. Պիրսոնի ૏૛ െ համաձայնության հայտանիշ 345. Վարկածը հերքվում է : Իրական հասանելի նշանակալիության մակարդակը՝ԶարǦ ଵ

ժեքը (P.V.) ൎ 0.004 - ի: 346. ԯ଴ : ‫݌‬଴ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ‫݌‬ଽ ൌ ଵ଴ վարկածը չի հերքվում : ߙ ൐ ͲǤͶͶ մակարդակների համար ԯ଴ վարկածը՝ կհերքվի : 347. Վարկածը չի հերքվում, Զ արժեքը ( P.V.) ൎ 0.26 : 348. ߣሚ ൌ 3 դեպքում համաձայնությունը վարկածի հետ լավն է ( Զ արժեքը ( P.V.) ൎ 0.3): 349. Վարկածը հերքվում է, Զարժեքը հավասար է ( P.V. ) ൎ 0.02: 350. Վարկածը չի հերքվում, համաձայնությունը լավն է ( Զարժեքը ( P.V. ) ൎ 0.65): 351. Համաձայଵ

଴ ൌ վարկածի հետ լավն է ինչպես յուրաքանչյուր նմուշի, այննությունը ԯ଴ : ‫݌‬ଵ଴ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ‫݌‬ଵଶ ଵଶ

պես էլ միացյալ նմուշի համար: 352. Վարկածը չի հերքվում, համաձայնությունը լավն է : 353. Վարկածը չի հերքվում : 354. Վարկածը չի հերքվում : 355. Հանձնաժողովի հայտարարությունը չի համաձայնեցվում ստացված տվյալների հետ: 356. Վարկածը հերքଵ

վում է : 357. Վարկածը չի հերքվում, համաձայնությունը լավն է : 358. ԯ଴ : ‫݌‬௜ ൌ ଺ , ݅ ൌ ͳǡ ଽ

ଷ

ସ

ǥ ǡ ͸ վարկածը չի հերքվում , P.V. ൎ 0.1: 359. ԯ଴ : ‫݌‬ଵ ൌ ଵ଺, ‫݌‬ଶ ൌ ଵ଺ , ‫݌‬ଷ ൌ ଵ଺ վարկածը չի

հերքվում, P.V. ൎ 0.48 : 360. Վարկածը չի հերքվում, համաձայնությունը լավն է, P.V. ൎ 0.34: 361. Վարկածը չի հերքվում :

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

§ 20. Կոլմոգորովի համաձայնության հայտանիշ 363. Վարկածը չի հերքվում , ߙ - ի մեծագույն ߙ଴  արժեքը, որի դեպքում վարկածը չի հերքվի, բավարարում է ߙ଴ ൐ 0.2 պայմանը: 364. Վարկածը չի հերքվում : 365. Վարկածը չի հերքվում : 366. Վարկածը հերքվում է : 369. Վարկածը հերքվում է : 370. Վարկածը հերքվում է : 371. Վարկածը հերքվում է : 372. 0.1 մակարդակով վարկածը հերքվում է, 0.05 մակարդակով՝ ոչ : 373. Վարկածը չի հերքվում :

§ 21. Համասեռության հայտանիշներ 375. Համասեռության վարկածը չի հերքվում : 376. Վարկածը հերքվում է, շեղումը

խիստ նշանակալի է : 377. Ոչ արդյունավետության վարկածը հերքվում է : 378. Վարկածը չի հերքվում : 379. Վարկածը հերքվում է : 380. Միջոցառումները հասել են նպատակին: 381. ա) Վարկածը չի հերքվում, ռադիացիոն ֆոնը չի փոխվել, բ) վարկածը հերքվում է, ռադիացիոն ֆոնը փոխվել է ( նվազել է ): 382. ա) ԯ଴ վարկածը հերքվում է, էկոլոգիական վիճակը փոխվել է, բ) ԯ଴ վարկածը հերքվում է, տեղի է ունեցել էկոլոգիական վիճակի որոշ լավացում: 383. Համասեռության վարկածը չի հերքվում :

§ 22. Անկախության հայտանիշներ 384. ॱ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ൌ Ͳ, ॽ‫ܚ܉‬ሺ‫ݎ‬ௌ‫ כ‬ሻ ൌ

ଵ ௡ିଵ

: 385. Վարկածը հերքվում է : 386. 1) Վարկածը հստակ

հերքվում է ( իրական հասանելի նշանակալիության մակարդակը՝ ߙ ൎ ͲǤͲͲͲͳሻ, 2) վարկածը հստակ չի հերքվում ( իրական հասանելի նշանակալիության մակարդակը՝ ߙ ൎ 0.63): 387. Անկախության վարկածը հերքվում է : 388. Անկախության վարկածը հերքվում է : 389. Կորելյացիոն կապը նշանակալի չէ : 390. Առկա է բացասական կորելյացիոն կապ: 391. Կախվածությունը նշանակալի է : 392. ‫ݎ‬ௌ஻ ൌ ͲǤ͹ͷǡ ‫ݎ‬ௌ஼ ൎ ͲǤͷͶǡ ‫ݎ‬ௌ஽ ൎ ͲǤ͵ʹ, ‫ ܤ‬խմբի կորելյացիոն կապը ‫ ܣ‬խմբի հետ առավել նշանակալի է : 393. Ռանգային կորելյացիոն կապը նշանա-

կալի է : 394. Ռանգային կորելյացիոն կապը նշանակալի է : 395. Ռանգային կորելյացիայի գործակիցը նշանակալի է :

§ 23. Պատահականության հայտանիշ 397. Վարկածը հերքվում է : 398. Վարկածը չի հերքվում : 399. Վարկածը չի հերքվում :

§ 24. Երկու պատահական մեծության կորելյացիոն կապը ստուգող հայտանիշ ௡

௡

௡

௡

400. Հայտանիշի կրիտիկական տիրույթն է՝ ࣲଵఈ ൌ ൛൫‫ݔ‬ଵ భ ǡ ‫ݕ‬ଵ భ ൯ǡ ൫‫ݔ‬ଶ మ ǡ ‫ݕ‬ଶ మ ൯ ‫  ׷‬ห‫ݖ‬௡భ ǡ௡మ ห ൐ ‫ݖ‬ఈΤଶ ൟǡ Ժ௡భ ǡ௡మ ൌ

ଵ భ భ ට೙ షయା೙ షయ భ మ

ή ሺ‫ݖ‬ଵ െ ‫ݖ‬ଶ ሻ െ

ఘబ ଵ ଵ ቀ െ ௡ ିଵቁ ǡ ଶ ௡భ ିଵ మ

ଵ

Ժ௡భ ǡ௡మ ሺ߱ሻ ൌ ‫ݖ‬௡భ ǡ௡మ ǡ ‫ݖ‬௜ ൌ ଶ Ž

ଵା‫ ݅ܺݎ‬ǡܻ݅  ଵି‫ ݅ܺݎ‬ǡܻ݅

ǡ ‫ݎ‬௑೔ǡ௒೔ Ǧերը

նմուշայինկորելյացիայիգործակիցներնենǡ ݅ ൌ ͳǡ ʹǣ 401. Վարկածը հերքվում է: 402. Հնարավոր է: 403. Վարկածը չի հերքվում : 404. ‫ݎ‬௫ǡ௬ ൌ ͲǤͻͷ͹: 405. Վարկածը հերքվում է : 406. ‫ݎ‬௫ǡ௬ ൌ ൌ െͲǤ͹ͺͷ, վարկածը հերքվում է : 407. 1) ‫ݎ‬௫ǡ௬ ൌ ͲǤ͸͹ͺ, 2) վարկածը չի հերքվում :

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

§ 25. Փոքրագույն քառակուսիների գնահատականներ

௡ǡ തതതത 410. աሻ և գሻմոդելները բերվում են գծային տեսքի, բሻ և դሻ մոդելները՝ ոչ: 413. աሻܽො ൌ ܻ

ॽܽ‫ݎ‬ሺܽොሻ ൌ

ఙమ ǡߪ෢ଶ ௡

ଵ ௡ ሻଶ ǡբሻܴ ଶ ൌ Ͳǣ 414. ܾ ෠ ൌ  ሺσ௡௜ୀଵ ܺ௜ ܻ௜ ሻൗ൫σ௡௜ୀଵ ܺ௜ଶ ൯ǡ ॽܽ‫ݎ‬൫ܾ෠൯ ൌ തതതത ൌ  ௡ିଵ σ௡௜ୀଵሺܻ௜ െ ܻ

ൌ ߪ ଶ ൗ൫σ௡௜ୀଵ ܺ௜ଶ ൯ ǡ ߪ෢ଶ ൌ 

ଵ σ௡ ݁ ଶ ǣ ௡ିଵ ௜ୀଵ ௜

ଵ

ଵ

ଵ

௫೔

௡

௫೔

௡ 415. ॽƒ”൫ܾ෨൯  ൌ ߪʹ σ௡ ௜ୀଵ ቀ  െ   σ௜ୀଵ

ቁ

ଶ

ǣ 416. ॽܽ‫ݎ‬൫ܾ෠൯ ൌ

ଵ଴ ௡ ଶ ଶ ௡ ଶ ௡ തതതത തതതത ෠ ଷ ෠ ൌ ߪ ଶ ή ሺσ௡ ௜ୀଵሺܼ௜ െ ܼ ሻ ሻΤሾσ௜ୀଵሺܼ௜ െ ܼ ሻ ܺ௜ ሿ ‫ ׷‬417. 1) ܻ ൌ ଻ ܺ െ  ଻ , ܺ ൌ ͳǤͷܻ ൅ ͷ, ও௒ȁ௑ ൌ ଶ ଶ ൌ ͲǤͶ͹͸, ও௑ȁ௒ ൌ1.667, 2) ܻ෠ ൌ ͲǤͷܺ ൅ ͲǤͷ, ܺ෠ ൌ ͳǡ͵ܻ ൅ ʹǤͷ , ওଶ௒ȁ௑ ൌ 1.75, ও௑ȁ௒ ൌ 4.55 : 418. ܻ෠ ൌ ͲǤ͹ͻͷͶܺ ൅ ͳʹǤʹͶͷͳ, ܺ෠ ൌ ͲǤ͸ͻͶ͵ܻ ൅ ʹͺǤ͹ͻ: 419. ܻ෠ ൌ ͹ͻǤͻͷ െ ͳǤ͸͵ܺ, ܴ ଶ ൌ ͲǤͻͺ : 420. ܻ෠ ൌ ͳǤͺʹܺ ൅ ͲǤͲͲͲͶ, ܺ෠ ൌ ͲǤʹͷܻ ൅ ͲǤͲ͵, ওଶ௔ො ൌ ͲǤͲͲͳʹ, ওଶ෠ ൌ0.02 ൫ܻ෠ ൌ ܽො ൅ ܾ෠ܺ൯, ওଶ௖Ƹ ൌ ͲǤͲͲͲʹ, ௕

ওଶௗ෠ ൌ ͲǤͲͲͲͶ ൫ܺ෠ ൌ ܿƸ ൅ ݀መܻ൯: 421. ܽො ൌ െ͵ǤͷͲͶ, ܾ෠ ൌ ͲǤͶͻͶ, ওଶ௔ො ൌ ͲǤͳ, ওଶ௕෠ ൌ ͲǤͲͲͻ: 422. ܻ෠ ൌ 0.9333 ଶ ൌ 0.0136: 423. ա) ܻ෠ ൌ ͲǤͲ͵Ͷͺܺ ൅ ͻǤͻͲ͹Ͷ, െͲǤͶͶ͹ͷܺ, ܺ෠ ൌ ͳ െ ͲǤͶͺ͸ͷܻ, ওଶ௒ȁ௑ ൌ ͲǤͶͳ͵ͷ, ও௑ȁ௒ ଶ ଶ ଶ ଶ ܴ ൌ ͲǤͲͻ, ও ൌ ͲǤͺʹ, ও௔ො ൌ ͲǤͶͲʹͶ,ও ෠ ൌ ͲǤͲͲͲͳ, բ) ܻ෠ ൌ ͲǤ͹ʹͳͶܺ ൅ ͳͲǤͳͳ, ܴ ଶ ൌ ͲǤ͸, ওଶ ൌ ͶʹǤͻ, ௕

ওଶ௔ො ൌ ʹǤͶͷ͵ͺǡ ওଶ௕෠ ൌ ͲǤͲͲͳͺ: 424. ա) ܻ෠ ൌ ʹǤͶͺͷ͹ ൅ ͳǤͺܺ ൅ ͲǤͺͷ͹ͳܺ ଶ , բ) ܻ෠ ൌ െͲǤ͸ ൅ ͳǤͲͺܺ െ െͲǤʹͶܺ ଶ ǡ գ) ܻ෠ ൌ െͳǤͻʹͷ͹ െ ͲǤʹͺܺ ൅ ͳǤͷͶʹͻܺ ଶ ǡ դ) ܻ෠ ൌ Ͷ െ ʹǤͳ͸Ͷ͵ܺ ൅ ͲǤʹ͸͹ͻܺ ଶ ‫ ׷‬425. ௒ ଵ ܾ෠ଵ ൌ  ቆ݊ σ௡௜ୀଵ ೔ െ ሺσ௡௜ୀଵ ܻ௜ ሻ ቀσ௡௜ୀଵ ቁቇ൘൬݊ σ௡௜ୀଵ ௑೔

௑೔

ൌ

ଵଶ ʹ ൅  ௑  ‫׷‬

ଵ ௑೔మ

ଶ

ଵ ଵ ଵ െ ቀσ௡௜ୀଵ ቁ ൰ ǡܾ෠଴ ൌ തതതത ܻ ௡ െ ቀ σ௡௜ୀଵ ቁ ή ܾ෠ଵ ǡ ܻ෠ ൌ ௑೔

426. բ) ܻ෠ ൌ ʹ͹Ǥʹ ൅ ͲǤ͹͵͵͸ܺ, գ) ܴ ଶ ൌ ͲǤͻͺ͹ͺ, դ)

աሻߜመ ߱ ൌ െͳǤͲͲ͹ͷ ൅

଻Ǥ଼଺ ǡբሻ‫ݑ‬଴

௡

ওଶ௔ො

ൌ ʹ͸Ǥ͸ͺ,

ওଶ௕෠

௑೔

ൌ 0.0007: 427.

ൌ ͹ǤͺΨǡգሻնվազագույնձևովէազդում1 և 7 - րդ տարի-

ներին,առավել ձևով՝ 11 - րդ տարին: 428. ܶ෠ ൌ ͸ͳǤͺͶ െ ͲǤ͸͹‫ ݐ‬൅ ͲǤͲͶ‫ ݐ‬ଶ :

§ 26. Վարկածների ստուգում, միջակայքային գնահատականներ և կանխատեսումներ ռեգրեսիոն մոդելներում 429.

ܻ෠ = ͳǤͺʹܺ ൅ͲǤͲͲͲͶ և ܺ෠ ൌ ͲǤʹͷܻ ൅ͲǤͲ͵ ռեգրեսիաներում 1.82 գործակիցը նշա-

նակալի չէ, ͲǤͲͲͲͶ, ͲǤʹͷ և ͲǤͲ͵ գործակիցները՝ նշանակալի են: 430. ա) ‫ݏ‬௕෠ ൌ 0.9706, բ) ܾ ‫א‬ ‫ א‬ሺͳǤʹͲͶͷǡ ͸Ǥʹͷͷͷሻ: 431. Թեքվածության գործակիցը չի փոխվել : 432. բ) ܻ෠ ൌ 15.0279 െ െ 1.2479 ή ܺ , գ) ܻ෠ ൌ 8.7884, 7.5405, െ 9.9301: 433. ա) ܻ෠ ൌ 3.6467 ൅ 0.7339 ܺ, բ) ও ൌ 0.26, գሻ ܻ଴ ‫ א‬ሺ͵ͷǤʹͳͳʹǡ ͵͸Ǥʹʹͳͳሻǣ 434. ݉ ෝ ଴ ൌ 1.436, ݉଴ ൌ ॱܻ଴ ‫ א‬ሺͲǤ͹͹͵ǡ ʹǤͲͻͻሻǣ 435. ա) ԯ଴ ǣ ܾ ൌ 0 మ

ఙ ሺܽ ൌ Ͳሻ ընդդեմ ԯଵ ǣ ܾ ് 0 ሺܽ ് Ͳሻ, բ) ܽො ̱ Գ൫ܽǡ ߪ௔ଶො ൯,ܾ෠̱Գ൫ܾǡ ߪ௕෠ଶ ൯ǡ ߪ௔ଶො ൌ  ൫σ௡௜ୀଵ ܺ௜ଶ ൯ൗ൫σ௡௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ଶ ൯ǡ ௡ ௡ ߪ௕෠ଶ ൌ ߪ ଶ ൗ൫σ௜ୀଵ ‫ݔ‬௜ଶ ൯ ǡգሻ݊ ൌ ͳͲազատությունների աստիճանով Ստյուդենտի ( ‫ ݐ‬- ) բաշխում

կամ ݉ ൌ ͳ և ݊ ൌ ͳͲ ազատությունների աստիճանով F – բաշխում, դ) ܽ և ܾ գործակիցները նշանակալի են, ե) ܽ ‫ א‬ሺͳͷǤ͸ͺͳʹǡ ͵ͺǤͷͳͺͺሻǡ ܾ ‫ א‬ሺͲǤ͸͹͸͵ǡ ͲǤ͹ͻͲͻሻ: 436. ա) ܻ෠ ൌ 1.7156 ή ή ܺ ൅ 1.168, բ) ܽ ‫ א‬ሺͲǤͲͷͳͻǡ ʹǤʹͺͶͳሻǡ ܾ ‫ א‬ሺͳǤͶʹͷ͹ǡ ʹǤͲͲͷͷሻǡ ԯ଴ և ԯᇱ଴ վարկածները հերքվում են, գ) ռեգրեսիան նշանակալի է : 437. ܾ෠ ൌ 0.41, ԯ଴ ‫ ܾ ׷‬൏ ͳ վարկածը չի հերքվում : 438. ա) ܾ ‫ א‬ሺͲǤͲͻͳͷǡ ͲǤʹͲʹͷሻ ՝ թեքվածության գործակիցը փոխվել է, բ) ܾ ‫ א‬ሺͲǤͲͷͷǡ ͲǤʹ͵ͻሻ՝ թեքվածության գործակիցը չի փոխվել : 439. ա) ܻ෠ ൌ 1.168 ൅ 1.7156 ܺ, գሻ ও ൌ 0.3737, դ) ܻ଴ ‫א‬ ‫ א‬ሺͳ͵Ǥ͸ͷʹͷǡ ͳ͸Ǥͳ͵ʹ͹ሻ: 440. բ) ܻ෠ ൌ 9.2727 ൅ 1.4364 ܺ, գ) նշանակալի է, դ) ܾ ‫ א‬ሺͳǤͳͲͷǡ ͳǤ͹͸͹ͺሻ, ե) ݉଴ ൌ ॱܻ଴ ‫ א‬ሺͳʹǤͳ͵͹ͺǡ ͳͷǤͲʹ͸ሻ, զ) ݉ᇱ െ ݉ᇱᇱ ‫ א‬ሺͷǤͷʹͷ͵ǡ ͺǤͺ͵ͺ͹ሻ:

ɎɩɎɧɊɟɔ ɣɎɨɊɘɊɟ əɊɝɊɕɦɊɩɊɟ

ɘ. ɧ. Ɍɸʔʑɸʗʌɸʍ

ɧɔɜɊɘɊɌɩɡɫɒɞɊɟ ɖɟɍɔɩɟɎɩɔ ɓɡɛɡɧɊɗɡɫ s£ž¯’¨¤š¥ Ž­§¯§±£—Œ r. |›‘¤¥š s¯®. ¬¯‘’¯§±£—Œ . g”¯ ¤¥š

‚©’¯­ – «fŽ§¯’-s¯¤¯» €}k-§±£: ³. h¯Ž¥, f¯š’§¯ o§±¬­§¯¨š 6

€®§¯’¯­ – ®©’¯§±˜¤§±¥Œ 11.10.2017: |²¬—Œ 60x84 1/16: ‚©. ££§±›—Œ 13: ‚©³¥ž—Œ 250: h}s Ÿ¯®¯ž¨§±˜¤§±¥ ³. h¯Ž¥, 0025, d›”³ w¥§±ž¤¥ 1 www.publishing.am

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԺՈՂՈՎԱԾՈՒ

ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ

ԺՈՂՈՎԱԾՈՒ