Ավետիսյան,Կարեն Լարիկի

Математика

Այս ուսումնասիրությունը նվիրված է հարմոնիկ և հոլոմորֆ ֆունկցիաների կշռված տարածությունների տեսությանը՝ դրանց կառուցվածքի, հիմնական հատկությունների և ֆունկցիոնալ անալիզի ու կոմպլեքս անալիզի տարբեր խնդիրներում կիրառությունների տեսանկյունից։ Աշխատության կենտրոնում այն ֆունկցիոնալ տարածություններն են, որոնց տարրերը օժտված են համապատասխան կշռված նորմերով կամ ինտեգրալային պայմաններով, ինչի շնորհիվ հնարավոր է ավելի ճշգրիտ նկարագրել ֆունկցիաների վարքը տվյալ տիրույթի տարբեր հատվածներում, հատկապես սահմանին մոտենալիս։ Կշռի ներմուծումը թույլ է տալիս տարածության կառուցվածքը հարմարեցնել ուսումնասիրվող ֆունկցիաների առանձնահատկություններին և առանձնացնել այն դասերը, որոնց աճը կամ նվազումը բավարարում է որոշակի պայմանների։ Հոլոմորֆ ֆունկցիաների տեսությունը կոմպլեքս անալիզի հիմնարար բաժիններից է, որտեղ ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը կոմպլեքս փոփոխականի նկատմամբ առաջացնում է բազմաթիվ ուժեղ հատկություններ։ Հոլոմորֆ ֆունկցիաները սերտորեն կապված են հարմոնիկ ֆունկցիաների հետ․ հոլոմորֆ ֆունկցիայի իրական և կեղծ մասերը հարմոնիկ են, իսկ այդ կապը հնարավորություն է տալիս մեկ տեսության մեթոդներն օգտագործել մյուսի խնդիրներում։ Այդ պատճառով հարմոնիկ և հոլոմորֆ ֆունկցիաների կշռված տարածությունների համատեղ ուսումնասիրությունը կարևոր է թե՛ տեսական, թե՛ կիրառական տեսանկյունից։ Կշռված տարածությունների հիմնական գաղափարներից է ֆունկցիայի չափի կամ աճի գնահատումը ոչ թե սովորական նորմի միջոցով, այլ որոշակի կշռային ֆունկցիայի ներգրավմամբ։ Կշիռը կարող է տարբեր կերպ ազդել տարածության տարբեր հատվածների վրա՝ օրինակ՝ ավելի մեծ նշանակություն տալով տիրույթի սահմանին մոտ գտնվող արժեքներին կամ, հակառակը, նվազեցնելով այդ հատվածների ներդրումը ինտեգրալային նորմում։ Այսպիսի մոտեցումը հնարավորություն է տալիս կառուցել ֆունկցիաների ավելի նուրբ դասակարգումներ և ուսումնասիրել այնպիսի ֆունկցիաներ, որոնք սովորական տարածություններում կարող են չլինել, բայց կշռված տարածության մեջ ունեն վերջավոր նորմ։ Ուսումնասիրության կարևոր ուղղություններից է կշռված տարածությունների կառուցվածքի ուսումնասիրությունը։ Քննարկվում են նորմերի, կիսանորմերի և համապատասխան ֆունկցիոնալ տարածությունների ամբողջականության հարցերը։ Այդ հատկությունները կարևոր են, քանի որ ֆունկցիոնալ անալիզի բազմաթիվ թեորեմներ կիրառելի են միայն այնպիսի տարածություններում, որոնք ունեն համապատասխան մետրական կամ գծային կառուցվածք։ Հոլոմորֆ ֆունկցիաների դեպքում տարածության կառուցվածքը միաժամանակ արտացոլում է և՛ ինտեգրելիության պայմանները, և՛ ֆունկցիաների կոմպլեքս անալիտիկ հատկությունները։ Հատուկ ուշադրություն է դարձվում կշռի ընտրության խնդրին։ Կշռի տարբեր հատկությունները կարող են էապես փոխել համապատասխան ֆունկցիոնալ տարածության բնույթը։ Որոշ կշիռներ թույլ են տալիս վերահսկել ֆունկցիայի աճը, մյուսները՝ սահմանին մոտ նրա վարքը կամ ինտեգրելիությունը։ Այդ պատճառով կշռված տարածությունների ուսումնասիրության կարևոր խնդիրներից է պարզել, թե տվյալ կշռի համար ինչպիսի ֆունկցիաներ են պատկանում տարածությանը և ինչ լրացուցիչ հատկություններ են հետևում դրանց պատկանելիությունից։ Հոլոմորֆ ֆունկցիաների համար նման խնդիրները հաճախ կապվում են ֆունկցիայի սահմանային վարքի, աճի արագության և արժեքների բաշխման հետ։ Հարմոնիկ ֆունկցիաների դեպքում կարևոր նշանակություն ունեն միջին արժեքների հատկությունը, առավելագույնի սկզբունքը և սահմանային արժեքների հետ կապը։ Այս հատկությունները հնարավորություն են տալիս ֆունկցիայի ներքին վարքը կապել նրա արժեքների հետ տիրույթի սահմանին։ Կշռված տարածությունների շրջանակում այդ կապը կարող է ուսումնասիրվել ավելի մանրամասն՝ հաշվի առնելով տարբեր հատվածների նկատմամբ կշռի ազդեցությունը։ Այսպիսի մոտեցումը հատկապես օգտակար է այն դեպքերում, երբ ֆունկցիայի վարքը տիրույթի սահմանին զգալիորեն տարբերվում է ներքին տիրույթում ունեցած վարքից։ Ուսումնասիրության կարևոր թեման է նաև ֆունկցիոնալների և օպերատորների վարքը կշռված տարածություններում։ Հոլոմորֆ ֆունկցիաների տարածությունների համար կարող են ուսումնասիրվել գնահատման ֆունկցիոնալները, պրոյեկցիոն օպերատորները, բազմապատկման օպերատորները և այլ գծային կամ ոչ գծային փոխակերպումներ։ Դրանց սահմանափակությունը, կոմպակտությունը կամ շարունակականությունը հաճախ կախված են ինչպես կշռից, այնպես էլ տիրույթի երկրաչափական հատկություններից։ Այս հարցերը կարևոր են ժամանակակից ֆունկցիոնալ անալիզում և օպերատորների տեսության մեջ։ Կշռված տարածությունների տեսությունը հնարավորություն է տալիս ուսումնասիրել նաև ֆունկցիաների տարբեր դասերի միջև ներդրումները։ Եթե մի կշռված տարածություն ներառվում է մեկ այլ տարածության մեջ, անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչ պայմաններ են ապահովում այդ ներդրման շարունակականությունը կամ այլ հատկությունները։ Նման հարցերը սերտորեն կապված են կշիռների համեմատության, ֆունկցիաների աճի գնահատականների և տվյալ տարածքների կառուցվածքային առանձնահատկությունների հետ։ Դրանք կարող են կարևոր լինել ինչպես տեսական թեորեմների ձևակերպման, այնպես էլ կոնկրետ օպերատորների հատկությունների ուսումնասիրության համար։ Ուսումնասիրության մեջ հարմոնիկ և հոլոմորֆ ֆունկցիաները դիտարկվում են ոչ միայն առանձին ֆունկցիաների մակարդակում, այլև որպես համապատասխան ֆունկցիոնալ տարածությունների տարրեր։ Այս մոտեցումը թույլ է տալիս անցնել կոնկրետ ֆունկցիաների հատկություններից դեպի ընդհանուր տարածությունների կառուցվածքային ուսումնասիրություն։ Դրա շնորհիվ հնարավոր է կիրառել ֆունկցիոնալ անալիզի այնպիսի գործիքներ, ինչպիսիք են գծային ֆունկցիոնալների տեսությունը, նորմավորված տարածությունների մեթոդները և օպերատորների ուսումնասիրությունը։ Թեման կարևոր է նաև այն պատճառով, որ կշռված տարածությունները հաճախ հնարավորություն են տալիս լուծելու այնպիսի խնդիրներ, որոնք սովորական տարածություններում չափազանց կոպիտ են ձևակերպվում։ Կշռի միջոցով հնարավոր է առանձնացնել ֆունկցիայի վարքի այն առանձնահատկությունը, որը տվյալ խնդրի համար առավել նշանակալի է, և կառուցել ավելի ճկուն մաթեմատիկական մոդել։ Այդ պատճառով այս տեսությունը կիրառելի է ոչ միայն մաքուր կոմպլեքս անալիզում, այլև ֆունկցիոնալ անալիզի, մասնակի ածանցյալներով հավասարումների և օպերատորների տեսության որոշ ուղղություններում։ Ընդհանուր առմամբ, աշխատանքը ներկայացնում է հարմոնիկ և հոլոմորֆ ֆունկցիաների կշռված տարածությունների ուսումնասիրության հիմնական գաղափարներն ու մեթոդները՝ կենտրոնանալով ֆունկցիաների աճի, ինտեգրելիության, սահմանային վարքի և համապատասխան օպերատորային հատկությունների վրա։ Այն կարող է հետաքրքրել մաթեմատիկոսներին, հետազոտողներին, ասպիրանտներին և ֆունկցիոնալ անալիզով ու կոմպլեքս անալիզով զբաղվող ուսանողներին՝ հնարավորություն տալով խորացնել պատկերացումները կշռված ֆունկցիոնալ տարածությունների կառուցվածքի և դրանցում հարմոնիկ ու հոլոմորֆ ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեթոդների վերաբերյալ։