Պետրոսյան, Հայկանուշ Սամվելի

Математика

Աշխատությունը նվիրված է մաթեմատիկական անալիզի, ֆունկցիոնալ անալիզի և ոչ գծային ինտեգրալ հավասարումների տեսության կարևորագույն հիմնախնդիրներից մեկի՝ կիսաառանցքի վրա սահմանված ինտեգրալ և ինտեգրո-դիֆերենցիալ հավասարումների ուսումնասիրությանը, որոնցում հանդես են գալիս Համմերշտեյնի տիպի ոչ կոմպակտ օպերատորներ։ Հետազոտության հիմնական ուղղությունը նման հավասարումների լուծումների գոյության, միակության, կառուցվածքային հատկությունների և ասիմպտոտիկ վարքի ուսումնասիրությունն է՝ հաշվի առնելով անվերջ միջակայքում սահմանված ոչ գծային օպերատորների առանձնահատկությունները։ Առանձնահատուկ ուշադրություն է դարձվում Համմերշտեյնի տիպի ինտեգրալ օպերատորների մաթեմատիկական բնույթին, դրանց միջուկների և ոչ գծային ֆունկցիաների հատկություններին, ինչպես նաև այն պայմաններին, որոնց դեպքում հնարավոր է հաստատել համապատասխան օպերատորային հավասարումների լուծելիությունը։ Ուսումնասիրվում են ոչ կոմպակտ օպերատորների հետ կապված տեսական դժվարությունները, որոնք պայմանավորված են անվերջ միջակայքում կոմպակտության դասական պայմանների հնարավոր խախտմամբ, ֆունկցիոնալ տարածությունների կառուցվածքային առանձնահատկություններով և լուծումների վարքի նկատմամբ լրացուցիչ սահմանափակումների անհրաժեշտությամբ։ Քննարկվում են ինտեգրալ հավասարումների տեսության մեջ կիրառվող ֆունկցիոնալ-անալիտիկ մեթոդները, անշարժ կետի սկզբունքները, օպերատորների շարունակականության և սահմանափակության պայմանները, ինչպես նաև ոչ գծային հավասարումների լուծումների գոյությունն ապահովող բավարար պայմանների ձևակերպման հնարավորությունները։ Կարևորվում է կիսաառանցքի վրա սահմանված խնդիրների առանձնահատկությունների բացահայտումը, քանի որ անվերջ միջակայքի առկայությունը կարող է էական ազդեցություն ունենալ ինտեգրալ օպերատորների հատկությունների, լուծումների սահմանափակության և դրանց ասիմպտոտիկ վարքի վրա։ Անդրադարձ է կատարվում ինտեգրո-դիֆերենցիալ հավասարումների կառուցվածքին, որոնցում անհայտ ֆունկցիան և դրա ածանցյալները փոխկապակցված են ինտեգրալ արտահայտությունների միջոցով՝ առաջացնելով բարդ ոչ գծային կախվածություններ։ Նման հավասարումների ուսումնասիրությունը կարևոր նշանակություն ունի ինչպես մաքուր մաթեմատիկայի, այնպես էլ մաթեմատիկական ֆիզիկայի և կիրառական մաթեմատիկայի մի շարք ուղղությունների համար։ Հետազոտության թեմատիկ շրջանակներում դիտարկվում են լուծումների դրականության, սահմանափակության, շարունակականության և անվերջության մեջ վարքի հետ կապված հարցերը, ինչպես նաև համապատասխան ֆունկցիոնալ տարածությունների ընտրության և օպերատորային մեթոդների կիրառման առանձնահատկությունները։ Հատուկ ուշադրության են արժանանում ոչ գծային ինտեգրալ հավասարումների լուծման համար կիրառելի գնահատականների ստացման, օպերատորների հատկությունների վերլուծության և գոյության թեորեմների կիրառման հնարավորությունները։ Կարևորվում է նաև կոմպակտ և ոչ կոմպակտ օպերատորների միջև տեսական տարբերությունների ուսումնասիրությունը, քանի որ ոչ կոմպակտության պայմաններում դասական մեթոդների կիրառումը կարող է պահանջել լրացուցիչ մաթեմատիկական մոտեցումներ և ապացուցման նոր եղանակներ։ Աշխատության շրջանակներում քննարկվող խնդիրները կապված են ոչ գծային ֆունկցիոնալ հավասարումների ընդհանուր տեսության զարգացման, ինտեգրալ օպերատորների հատկությունների խորքային բացահայտման և անվերջ միջակայքներում սահմանված մաթեմատիկական մոդելների ուսումնասիրության հետ։ Հետազոտության արդյունքները կարող են տեսական հիմք ծառայել այնպիսի մոդելների վերլուծության համար, որոնցում գործընթացների ընթացիկ վիճակը կախված է ոչ միայն տեղային փոփոխություններից, այլև նախորդ վիճակների կամ տարածականորեն բաշխված ազդեցությունների ինտեգրալային փոխազդեցությունից։ Նման մաթեմատիկական կառուցվածքները հանդիպում են ֆիզիկական, կենսաբանական և տեխնիկական գործընթացների նկարագրման տարբեր խնդիրներում, այդ թվում՝ ոչ գծային դինամիկական համակարգերի, փոխանցման և փոխազդեցության երևույթների մոդելավորման ժամանակ։ Աշխատությունը նպաստում է ինտեգրալ և ինտեգրո-դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության զարգացմանը, ոչ կոմպակտ օպերատորների ուսումնասիրության մեթոդների ընդլայնմանը և բարդ ոչ գծային մաթեմատիկական խնդիրների լուծելիության վերաբերյալ պատկերացումների խորացմանը։ Այն ունի գիտական և տեսական նշանակություն՝ հետաքրքրություն ներկայացնելով ֆունկցիոնալ անալիզի, օպերատորների տեսության, դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների բնագավառներում մասնագիտացող հետազոտողների համար։ Աշխատությունը կարող է օգտակար լինել մաթեմատիկոսների, կիրառական մաթեմատիկայի մասնագետների, մաթեմատիկական ֆիզիկայի հետազոտողների, գիտաշխատողների, բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների դասախոսների, ասպիրանտների և մաթեմատիկական անալիզի խորացված հիմնախնդիրներով հետաքրքրվող ուսանողների համար։