Ստեփանյան, Արփի Արայիկի

Математика

Աշխատությունը նվիրված է իրական և ֆունկցիոնալ անալիզի շրջանակում ֆունկցիաների՝ տարբեր օրթոգոնալ համակարգերի միջոցով շարքային ներկայացումների տեսական խնդիրների ուսումնասիրությանը։ Հետազոտության կենտրոնում այն պայմաններն են, որոնց դեպքում տրված ֆունկցիան հնարավոր է ներկայացնել համապատասխան օրթոգոնալ համակարգի տարրերով կազմված շարքի միջոցով, ինչպես նաև այդ ներկայացման զուգամիտության, միակության և մոտարկման հատկությունները։ Քննվում են օրթոգոնալ ֆունկցիաների համակարգերի ընդհանուր հատկությունները, շարքերի գործակիցների որոշման սկզբունքները և ֆունկցիայի հատկությունների ու համապատասխան գործակիցների վարքի միջև առկա կապերը։ Առանձնահատուկ ուշադրություն է հատկացվում տարբեր իմաստներով զուգամիտությանը՝ դիտարկելով կետային, գրեթե ամենուրեք, միջին քառակուսային կամ այլ ֆունկցիոնալ տարածություններին համապատասխան զուգամիտության ձևերը։ Հետազոտությունը կարող է ներառել դասական Ֆուրիեի համակարգերի հետ մեկտեղ այլ օրթոգոնալ համակարգերի ուսումնասիրություն՝ բացահայտելով դրանց միջոցով ֆունկցիաների ներկայացման ընդհանուր և առանձնահատուկ օրինաչափությունները։ Կարևոր տեղ է զբաղեցնում օրթոգոնալ շարքերի մասնակի գումարների վարքի գնահատումը և այն հարցը, թե ինչ պայմաններում են դրանք վերականգնում սկզբնական ֆունկցիան կամ ապահովում դրա բավարար մոտարկումը։ Քննության առարկա կարող են լինել նաև լրիվության, օրթոգոնալության և բազիսայնության հասկացությունների փոխհարաբերությունները, որոնք որոշում են տվյալ համակարգի ներկայացուցչական հնարավորությունները համապատասխան ֆունկցիոնալ դասերում։ Առանձին խնդիր է ֆունկցիայի հարթության, ինտեգրելիության կամ այլ վերլուծական հատկությունների ազդեցությունը շարքի գործակիցների և զուգամիտության բնույթի վրա։ Հնարավոր է դիտարկվեն նաև շարքերի վերադասավորման, գումարման հատուկ մեթոդների, եզակիությունների և զուգամիտության բացառիկ բազմությունների հետ կապված հարցեր։ Նման խնդիրների ուսումնասիրությունը կարևոր է հարմոնիկ անալիզի համար, քանի որ օրթոգոնալ համակարգերը հնարավորություն են տալիս բարդ ֆունկցիաները ներկայացնել ավելի պարզ բաղադրիչների միջոցով և ուսումնասիրել դրանց հատկությունները համապատասխան գործակիցների օգնությամբ։ Ընդհանուր առմամբ աշխատանքը համադրում է իրական անալիզի, ֆունկցիոնալ անալիզի և օրթոգոնալ շարքերի տեսության մեթոդները՝ ֆունկցիաների ներկայացման հնարավորությունների և այդ ներկայացումների վերլուծական հատկությունների համակարգված ուսումնասիրության նպատակով։