Հակոբյան, Տիգրան Ստեփանի

Մաթեմատիկա

Աշխատությունը նվիրված է միաչափ և քվազի-միաչափ համակարգերում ճշգրիտ մեթոդների ուսումնասիրությանը՝ կենտրոնանալով այն տեսական ու մաթեմատիկական մոտեցումների վրա, որոնք հնարավորություն են տալիս բարդ համակարգերի համար ստանալ վերլուծական կամ ճշգրիտ լուծումներ։ Հետազոտության հիմքում այն խնդիրներն են, որոնց դեպքում համակարգի ազատության աստիճանների կամ տարածական կառուցվածքի սահմանափակումը հնարավորություն է տալիս կիրառել հատուկ մաթեմատիկական մեթոդներ և ավելի խորությամբ ուսումնասիրել համակարգի վարքը։ Միաչափ համակարգերը տեսական ուսումնասիրությունների համար առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում, քանի որ դրանց կառուցվածքային պարզությունը հաճախ թույլ է տալիս ստանալ այնպիսի արդյունքներ, որոնք բազմաչափ համակարգերում հասանելի են միայն մոտավոր կամ թվային եղանակներով։ Քվազի-միաչափ համակարգերը, իրենց հերթին, հնարավորություն են տալիս ուսումնասիրել գրեթե միաչափ երկրաչափություն ունեցող, սակայն լրացուցիչ ներքին կամ լայնական ազատության աստիճաններ պահպանող համակարգեր։ Աշխատությունում կարող են ուսումնասիրվել այդպիսի համակարգերի մաթեմատիկական նկարագրությունները, փոխազդեցությունների կառուցվածքը, սահմանային պայմանները և համակարգի հիմնական ֆիզիկական կամ մաթեմատիկական բնութագրերի կախվածությունը պարամետրերից։ Հատուկ ուշադրություն է դարձվում ճշգրիտ լուծումներ ստանալու մեթոդներին, որոնց շարքում կարող են կիրառվել ինտեգրելի համակարգերի տեսությունը, տրանսֆորմացիոն մեթոդները, մատրիցային և օպերատորային մոտեցումները, հատուկ ֆունկցիաների օգտագործումը, փոխանցման մատրիցների մեթոդը և այլ վերլուծական գործիքներ։ Նման մեթոդների կիրառումը հնարավորություն է տալիս ոչ միայն հաշվարկել համակարգի առանձին վիճակները, այլև բացահայտել ընդհանուր օրինաչափություններ, պահպանվող մեծություններ և համակարգի կառուցվածքային առանձնահատկություններ։ Ուսումնասիրության կարևոր ուղղություններից է միաչափ և քվազի-միաչափ մոդելների համեմատությունը՝ պարզելու համար, թե լրացուցիչ ազատության աստիճանների կամ կառուցվածքային բարդության ավելացումը ինչպես է փոխում համակարգի հատկությունները։ Կարող են ուսումնասիրվել էներգետիկ սպեկտրները, սեփականարժեքները և սեփականֆունկցիաները, վիճակների տարածական բաշխումները, անցումային գործընթացները և տարբեր փոխազդեցությունների ազդեցությունը համակարգի դինամիկայի վրա։ Աշխատությունը կարող է ներառել նաև սահմանային և պարբերական համակարգերի ուսումնասիրություն, որտեղ սահմանային պայմանների փոփոխությունը կարող է էապես ազդել ճշգրիտ լուծումների կառուցվածքի և համակարգի դիտարկվող հատկությունների վրա։ Կարևոր է նաև այն հարցը, թե ինչ պայմաններում է հնարավոր համակարգը համարել ինտեգրելի և ինչ սահմանափակումների դեպքում կարելի է ստանալ ճշգրիտ արդյունքներ։ Այդ տեսանկյունից աշխատանքը նպաստում է մոտավոր և թվային մեթոդների համեմատությանը ճշգրիտ լուծումների հետ՝ հնարավորություն տալով գնահատել տարբեր հաշվարկային մոտեցումների ճշտությունը և կիրառելիության սահմանները։ Միաչափ և քվազի-միաչափ մոդելները լայնորեն կիրառելի են պինդ մարմնի ֆիզիկայում, քվանտային մեխանիկայում, վիճակագրական ֆիզիկայում և նյութագիտության մեջ, ուստի նման համակարգերի ճշգրիտ ուսումնասիրությունը կարող է տեսական հիմք հանդիսանալ ավելի բարդ բազմաչափ համակարգերի որոշ հատկությունների ըմբռնման համար։ Աշխատանքի արդյունքները կարող են օգտակար լինել տեսական ֆիզիկոսներին, մաթեմատիկական ֆիզիկայի մասնագետներին, մաթեմատիկոսներին, քվանտային համակարգերի և վիճակագրական ֆիզիկայի հետազոտողներին, ինչպես նաև համապատասխան գիտական ուղղությունների ուսանողներին ու ասպիրանտներին։ Ընդհանուր առմամբ, ուսումնասիրությունը միաչափ և քվազի-միաչափ համակարգերը դիտարկում է որպես ճշգրիտ լուծումների և տեսական մոդելների մշակման կարևոր միջավայր՝ նպատակ ունենալով բացահայտել դրանց մաթեմատիկական կառուցվածքը, ստանալ համակարգի հիմնական բնութագրերի ճշգրիտ արտահայտություններ և պարզել այն պայմանները, որոնց դեպքում բարդ համակարգերի վարքը հնարավոր է նկարագրել վերլուծական եղանակներով։