Հարությունյան, Տիգրան Ներսեսի

Математика

Работа посвящена исследованию функции собственных значений семейств операторов Штурма–Лиувилля и Дирака, являющихся важными объектами современной теории дифференциальных операторов и спектрального анализа. В центре исследования находится изучение зависимости собственных значений от параметров, входящих в определение соответствующих операторов, а также установление закономерностей изменения спектра при изменении коэффициентов, граничных условий и других характеристик задачи. Рассматриваются основные свойства операторов Штурма–Лиувилля и Дирака, их спектральные характеристики и условия, при которых соответствующие краевые задачи обладают дискретным спектром. Особое внимание уделяется построению и исследованию функции, связывающей собственные значения с параметрами рассматриваемого семейства операторов. Такой подход позволяет анализировать не отдельную спектральную задачу, а целое множество близких задач и прослеживать непрерывное или иное изменение спектральных характеристик при вариации исходных данных. Для операторов Штурма–Лиувилля исследуются свойства собственных значений самосопряжённых дифференциальных операторов второго порядка, их расположение, кратность и зависимость от коэффициентов дифференциального выражения и граничных условий. Параллельно рассматриваются операторы Дирака, которые имеют существенное значение для спектральной теории операторов первого порядка и находят применение в различных областях математической физики. Важной частью исследования является установление аналитических и качественных свойств спектральных функций, позволяющих оценивать поведение собственных значений при малых и конечных изменениях параметров. Работа может включать применение методов функционального анализа, теории операторов, обыкновенных дифференциальных уравнений и асимптотического анализа. Существенное значение имеют вопросы существования, единственности, регулярности и дифференцируемости функций собственных значений, а также исследование условий, при которых отдельные ветви спектра могут быть однозначно продолжены при изменении параметров. Полученные результаты позволяют глубже понять структуру спектра дифференциальных операторов и взаимосвязь между параметрами задачи и её собственными значениями. Исследование может иметь и прикладное значение, поскольку спектральные задачи Штурма–Лиувилля и Дирака возникают при математическом моделировании колебательных процессов, квантовых систем, задач математической физики и других прикладных моделей. Работа представляет интерес для специалистов по функциональному анализу, спектральной теории, дифференциальным уравнениям и математической физике, а также для исследователей и студентов математических специальностей.