Գրիգորյան, Հակոբ Բորիսի

Математика

Աշխատությունը նվիրված է սինգուլյար ինտեգրալ հավասարումների որոշակի դասի լուծման մեթոդների մշակմանը, տեսական հիմնավորմանը և դրանց կիրառական նշանակության ուսումնասիրությանը։ Հետազոտության առանցքում այնպիսի ինտեգրալ հավասարումներ են, որոնց միջուկի կամ ինտեգրման կառուցվածքի առանձնահատկությունների պատճառով առաջանում են սինգուլյարություններ, և սովորական վերլուծական մեթոդների անմիջական կիրառումը դառնում է սահմանափակ կամ պահանջում է հատուկ մոտեցումներ։ Ուսումնասիրության շրջանակում կարող են դիտարկվել համապատասխան հավասարումների կառուցվածքային հատկությունները, լուծումների գոյության և միակության պայմանները, ինչպես նաև խնդրի ձևափոխման այնպիսի եղանակներ, որոնք հնարավորություն են տալիս սկզբնական հավասարումը ներկայացնել հետազոտության և հաշվարկի համար ավելի հարմար տեսքով։ Առանձնահատուկ ուշադրություն կարող է հատկացվել սինգուլյար անդամների ճիշտ մեկնաբանմանը, ֆունկցիոնալ տարածությունների ընտրությանը և այն պայմանների բացահայտմանը, որոնց դեպքում առաջարկվող մեթոդը տալիս է կայուն ու մաթեմատիկորեն հիմնավորված լուծումներ։ Կարևոր ուղղություն է լուծման ճշգրտության, մոտարկման սխալի և հաշվարկային կայունության գնահատումը, հատկապես այն դեպքերում, երբ ճշգրիտ անալիտիկ լուծման ստացումը դժվար է կամ անհնար։ Տեսական արդյունքների հիման վրա կարող են մշակվել նաև թվային մոտեցումներ, որոնք հնարավորություն են տալիս իրականացնել համապատասխան հավասարումների մոտավոր լուծում և ուսումնասիրել լուծումների վարքը տարբեր սկզբնական տվյալների ու պարամետրերի պայմաններում։ Աշխատության կիրառական մասը կարող է վերաբերել մաթեմատիկական ֆիզիկայի, առաձգականության տեսության, հիդրոդինամիկայի, ջերմահաղորդականության, էլեկտրադինամիկայի և այլ ոլորտներում առաջացող եզրային խնդիրներին, որոնց մաթեմատիկական ձևակերպումը հանգեցնում է սինգուլյար ինտեգրալ հավասարումների։ Այդպիսի խնդիրներում ինտեգրալ հավասարումների մեթոդը հնարավորություն է տալիս բարդ դիֆերենցիալ կամ եզրային խնդիրը վերածել համապատասխան ինտեգրալ հարաբերության և հետագայում կիրառել մշակված լուծման մեթոդաբանությունը։ Հետազոտության կարևոր բաղադրիչ կարող է լինել առաջարկվող մոտեցման համեմատությունը հայտնի վերլուծական և թվային մեթոդների հետ՝ գնահատելով դրա կիրառելիության սահմանները, հաշվարկային արդյունավետությունը և տարբեր տիպի կիրառական խնդիրների նկատմամբ հարմարեցման հնարավորությունները։ Ընդհանուր առմամբ աշխատանքը համադրում է ինտեգրալ հավասարումների տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, հաշվողական մաթեմատիկայի և մաթեմատիկական ֆիզիկայի մոտեցումները՝ նպատակ ունենալով զարգացնել սինգուլյար կառուցվածք ունեցող խնդիրների լուծման արդյունավետ մաթեմատիկական գործիքակազմը։