Մկրտչյան (Պետրոսյան), Հեղինե Արամի

Математика

Աշխատությունը նվիրված է մասնակի ածանցյալներով հիպոէլիպտիկ դիֆերենցիալ հավասարումների տեսական ուսումնասիրությանը բազմաանիզոտրոպ Սոբոլևի տարածությունների շրջանակում։ Հետազոտության կենտրոնում այնպիսի դիֆերենցիալ օպերատորների և հավասարումների հատկություններն են, որոնց համար լուծումների հարթությունը և կանոնավորությունը պայմանավորված են հավասարման աջ մասի համապատասխան հատկություններով, սակայն տարբեր փոփոխականների ուղղություններով ածանցյալների դերն ու կարգը կարող են էապես տարբերվել։ Բազմաանիզոտրոպ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս յուրաքանչյուր փոփոխականի կամ փոփոխականների խմբի նկատմամբ սահմանել կանոնավորության տարբեր պահանջներ՝ դրանով ավելի ճշգրիտ նկարագրելով ուսումնասիրվող հավասարումների կառուցվածքը։ Քննության են առնվում համապատասխան Սոբոլևի տարածությունների կառուցվածքային և ֆունկցիոնալ հատկությունները, տարբեր կարգի ընդհանրացված ածանցյալների գոյությունը և դրանց նորմերի միջոցով ֆունկցիաների կանոնավորության գնահատման հնարավորությունները։ Առանձնահատուկ ուշադրություն է դարձվում հիպոէլիպտիկության պայմաններին, լուծումների գոյության և միակության խնդիրներին, ինչպես նաև այն ապրիորի գնահատականներին, որոնք հնարավորություն են տալիս հավասարման տվյալների միջոցով վերահսկել լուծման հատկությունները։ Վերլուծվում են դիֆերենցիալ օպերատորի սիմվոլի առանձնահատկությունները և դրանց կապը հավասարման կանոնավորության հետ։ Կարևոր տեղ է հատկացվում տարբեր ուղղություններով ածանցյալների անհավասար կարգերի ազդեցությանը, քանի որ նման անիզոտրոպ կառուցվածքը բնորոշ է բազմաթիվ բարդ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների։ Ուսումնասիրվում են նաև ֆունկցիոնալ տարածությունների միջև ներդրման և շարունակականության հատկությունները, ընդհանրացված լուծումների վարքը և դրանց լրացուցիչ հարթության ստացման պայմանները։ Տեսական վերլուծության ընթացքում կիրառվում են ֆունկցիոնալ անալիզի, Ֆուրիեի անալիզի, բաշխումների տեսության և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների ժամանակակից մեթոդներ։ Հետազոտությունը նպաստում է հիպոէլիպտիկ օպերատորների վերաբերյալ տեսության ընդլայնմանը այն դեպքերի համար, երբ խնդրի տարբեր ուղղություններ ունեն տարբեր աստիճանի կանոնավորություն։ Աշխատության արդյունքները կարևոր նշանակություն ունեն մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների որակական տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի և ընդհանրացված ֆունկցիաների ուսումնասիրության համար, ինչպես նաև կարող են տեսական հիմք հանդիսանալ անիզոտրոպ հատկություններով տարբեր մաթեմատիկական ու ֆիզիկական մոդելների հետազոտման համար։